Algebra 1 (Vorlesungsmitschrift) [version 16 Jan 2018 ed.]

Table of contents :
Grundlegende Begriffe......Page 5
Gruppenaktionen......Page 8
Normalteiler und Faktorgruppen......Page 12
Isomorphiesätze......Page 14
Exponent und Klassengleichung......Page 16
Sylowsche Sätze......Page 18
Anwendungen......Page 20
Direkte Produkte......Page 23
Semidirekte Produkte......Page 24
Auflösbare Gruppen......Page 27
Grundlegende Begriffe......Page 32
Ideale und Quotientenringe......Page 33
Polynomringe......Page 35
Chinesischer Restsatz......Page 39
Hauptidealbereiche......Page 42
Berlekamps Algorithmus und formale Ableitungen......Page 45
Multivariate Polynome......Page 51
Faktorisierung......Page 54
Symmetrische Polynome......Page 58
Resultante und Diskriminante......Page 62
Grundbegriffe......Page 67
Einfache Körpererweiterungen......Page 69
Endliche Körpererweiterungen......Page 70
Zerfällungskörper......Page 71
Endliche Körper......Page 74
Algebraischer Abschluss von Körpern......Page 78
Literatur......Page 82

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Algebra 1

VORLESUNGSMITSCHRIFT

Prof. Peter Bürgisser

WS 2013/14

Was ist nahrhaft und kommutativ? Eine abelsche Suppe. 16. Januar 2018

Inhaltsverzeichnis 1 Gruppen

1

1.1

Grundlegende Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Gruppenaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Normalteiler und Faktorgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4

Isomorphiesätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Die Sätze von Sylow

12

2.1

Exponent und Klassengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2

Sylowsche Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3

Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Fortführung der Gruppentheorie

19

3.1

Direkte Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2

Semidirekte Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3

Auflösbare Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Ringe

28

4.1

Grundlegende Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2

Ideale und Quotientenringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.3

Polynomringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.4

Chinesischer Restsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.5

Hauptidealbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.6

Berlekamps Algorithmus und formale Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . 41

5 Polynome

47

5.1

Multivariate Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2

Faktorisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.3

Symmetrische Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.4

Resultante und Diskriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6 Algebraische Körpererweiterungen

63

6.1

Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.2

Einfache Körpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.3

Endliche Körpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.4

Zerfällungskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.5

Endliche Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.6

Algebraischer Abschluss von Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Literatur

78

1

Gruppen

1.1

Grundlegende Begriffe

Wir beginnen mit den grundlegendsten Begriffen der Gruppentheorie. Definition 1.1. Eine Gruppe ist eine Menge G zusammen mit einer zweistelligen Verknüpfung G × G, (g, h) 7→ g · h = gh, welche wir Multiplikation nennen, einem ausgezeichneten Element e ∈ G, welches wir das neutrale Element nennen werden, und einer einstelligen Operation G → G, g 7→ g −1 , welche wir Inversion nennen, so dass folgende Anforderungen erfüllt sind: (i) Für alle g, h, k ∈ G gilt (gh)k = g(hk). (Assoziativität) (ii) Für alle g ∈ G gilt g · e = e · g = g. (iii) Für alle g ∈ G gilt gg −1 = g −1 g = e. Weiter heißt die Gruppe abelsch oder kommutativ, falls zusätzlich gh = hg für alle g, h ∈ G gilt. Beispiel 1.2. Die Zahlenmengen Z, Q, R und C bilden mit der Addition jeweils eine abelsche Gruppe. Beispiel 1.3 (Symmetrische Gruppen). Für n ∈ N bezeichne Sn die Menge der Permutationen einer Menge {1, . . . , n} von n Elementen, d.h. die Menge der Bijektionen auf ihr. Mit der Komposition als Verknüpfung, der Identität als neutrales Element und der Umkehrung von Abbildungen als Inversion ist Sn eine Gruppe, welche auch als symmetrische Gruppe bezeichnet wird und für n ≥ 3 nicht abelsch ist. Beispiel 1.4. Es sei k ein Körper und V ein k-Vektorraum. Mit GL(V ) bezeichnen wir die Menge der bijektiven linearen Abbildungen von V auf sich selbst und nennen dies die allgemeine lineare Gruppe, denn mit der Komposition als Verknüpfung ist sie ähnlich wie Sn tatsächlich eine Gruppe. Sobald die Dimension von V größer als Eins ist, ist GL(V ) nicht abelsch. Wir merken an, dass zwei Gruppen, die in der zugrundeliegenden Menge und der Multiplikation übereinstimmen, identisch sind. Mit anderen Worten: Neutrales Element und inverse Elemente einer Gruppe sind eindeutig. Sind nämlich e und e0 neutrale Elemente bezüglich einer festen Multiplikation auf einer festen Grundmenge, so ist e = ee0 = e0 . Existiert zu einem Element g einer Gruppe mit neutralem Element e ein h, so dass gh = hg = e, so muss h bereits das (damit eindeutig bestimmte) inverse Element g −1 sein, was durch Linksmultiplikation von gh = e mit g −1 ersichtlich ist. Bemerkung 1.5. Das inverse Element e−1 des neutralen Elements e einer Gruppe ist stets e selbst. Eine zweifache Inversion führt zurück zum betrachteten Element, d.h. (g −1 )−1 = g für alle Elemente g einer Gruppe. Weiterhin besteht die Regel (gh)−1 = h−1 g −1 für Inverse von Produkten. Schließlich definieren wir Produkte g1 g2 · · · gn von n Gruppenelementen g1 bis gn rekursiv als (g1 · · · gn−1 )gn . Aufgrund der Assoziativität ist auch hier die Klammersetzung bedeutungslos. 1

Algebra 1

1

Gruppen

Definition 1.6. Es sei G eine Gruppe. Als eine Untergruppe von G bezeichnen wir eine Teilmenge H ⊂ G, so dass e ∈ H und für alle g, h ∈ H außerdem auch gh und g −1 in H liegen. Wir schreiben dann H ≤ G. Eine Untergruppe ist also eine Teilmenge, die bezüglich der bereits vorhandenen Multiplikation eine Gruppe bildet. Beispiel 1.7. Ist V ein endlichdimensionaler k-Vektorraum, so ist die spezielle lineare Gruppe SL(V ) aller Automorphismen aus GL(V ), deren Determinante Eins ist, eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe GL(V ). Ist V ein euklidischer Vektorraum, so ist die Menge O(V ) aller orthogonalen Automorphismen von V (orthogonale Gruppe genannt) ebenfalls eine Untergruppe von GL(V ). Wir erinnern nun an die Zykelschreibweise für Permutationen (der Menge {1, . . . , n}). Mit (i1 i2 . . . il ) bezeichnen wir diejenige zyklische Permutation, welche ik auf ik+1 für k < l und il auf i1 abbildet. Zykel der Form (i1 i2 ), welche lediglich zwei Zahlen miteinander vertauschen, heißen Transpositionen. Unterscheiden sich dabei i1 und i2 nur um Eins, so sprechen wir von einer Nachbartransposition. Als Übungsaufgabe kann gezeigt werden, dass jede Permutation als Produkt von Transpositionen (sogar von Nachbartranspositionen) darstellbar ist. Die Anzahl der dazu verwendeten Transpositionen mag variieren, doch ihre Parität hängt nur von der betrachteten Permutation ab, weshalb das Signum sgn einer Permutation als −1 in dieser Potenz wohldefiniert ist. Beispiel 1.8. Die Teilmenge An von Sn , die aus den geraden Permutationen – also solchen mit Signum Eins – besteht, bildet eine Untergruppe von Sn und wird alternierende Gruppe genannt. Die Gruppe S3 enthält etwa die ungeraden Permutationen (23), (12) und (13). Die Untergruppe A3 besteht aus der Identität und den geraden Permutationen (123) und (132). Wir kommen nun zur Erzeugung von Untergruppen. Für eine Teilmenge S ⊂ G einer Gruppe G setzen wir zunächst S −1 := {s−1 ∈ G : s ∈ S} . Definition 1.9. Es sei G eine Gruppe und S ⊂ G eine nichtleere Teilmenge. Dann ist hSi := {s1 s2 · · · sn : si ∈ S ∪ S −1 , n ∈ N0 } . Weiter setzen wir h∅i := {e}. Wir nennen hSi die von S erzeugte Untergruppe und zeigen nun, dass dieser Name gerechtfertigt ist. Lemma 1.10. Es sei wie oben S ⊂ G nichtleer. (i) Die Menge hSi ist eine Untergruppe von G. (ii) Jede Untergruppe von G, welche S enthält, enthält auch hSi. Beweis. (i). Die Abgeschlossenheit von hSi ergibt sich direkt aus der Definition. Ist weiter −1 s1 · · · sn ∈ hSi, so ist auch (s1 · · · sn )−1 = s−1 n · · · s1 ∈ hSi, und falls s ∈ hSi, so ist auch e = ss−1 ∈ hSi. (ii). Es sei s ∈ S ∪ S −1 . Dann ist entweder s ∈ S ⊂ H oder s−1 ∈ S ⊂ H, womit aber ebenfalls s ∈ H folgen würde. Da sich jedes Element von hSi als Produkt von Elementen aus S ∪ S −1 schreiben lässt, liegt jedes solche Produkt auch in H. Algebra 1

2

1.1

Grundlegende Begriffe

Definition 1.11. Wir sagen, dass eine Teilmenge S ⊂ G die Gruppe G erzeugt, falls hSi = G. Besitzt eine Gruppe eine endliche Teilmenge, von welcher sie erzeugt wird, so nennen wir diese Gruppe endlich erzeugt. Die Bemerkung vor der Einführung der alternierenden Gruppe in Beispiel 1.8 kann nun folgendermaßen formuliert werden: Satz 1.12. Die symmetrische Gruppe Sn wird von der Menge der Transpositionen und von der Menge der Nachbartranspositionen erzeugt. Korollar 1.13. Die symmetrische Gruppe Sn wird von S = {(12), (12 . . . n)} erzeugt. Beweis. Wir zeigen, dass hSi alle Nachbartranspositionen enthält. Ist a < n, so können wir die Nachbartransposition (a, a + 1) als (a, a + 1) = g(12)g −1 ∈ hSi schreiben, wobei g := (12 · · · n)a−1 ∈ hSi. Der einfachste Fall eines Erzeugnisses ist derjenige, in dem eine Gruppe G von einer einelementigen Menge {g} erzeugt wird. Wir sagen dann, dass G von g erzeugt wird und schreiben G = hgi statt G = h{g}i. In dieser Situation ist hgi = {g n : n ∈ Z} , wenn wir g 0 = e und g −n = (g n )−1 = (g −1 )n für n ∈ N schreiben. Ähnlich wie bei den Potenzgesetzen gilt g m g n = g m+n für alle m, n ∈ Z. Definition 1.14. Eine Gruppe G, welche ein Element g ∈ G mit hgi = G besitzt, heißt zyklisch. Beispiel 1.15. Die additive Gruppe Z der ganzen Zahlen ist zyklisch, wird nämlich von 1 und ebenso von −1 erzeugt, d.h. Z = h1i = h−1i. Satz 1.16. Auch jede Untergruppe von Z ist zyklisch. Der Beweis ist Übungsaufgabe. Definition 1.17. Es seien G und G0 Gruppen. (i) Eine Abbildung ϕ : G → G0 heißt Gruppenhomomorphismus, falls ϕ(gh) = ϕ(g)ϕ(h) für alle g, h ∈ G gilt. (ii) Ein bijektiver (Gruppen-)Homomorphismus heißt Isomorphismus. (iii) Ein Isomorphismus, bei dem Bild- und Urbildgruppe G und G0 gleich sind, heißt Automorphismus. Beispiel 1.18. Ist k ein Körper und V ein endlichdimensionaler k-Vektorraum, so ist die Determinante ein Gruppenhomomorphismus von GL(V ) in die multiplikative Gruppe k \ {0}. Beispiel 1.19. Auch das Signum sgn : Sn → {−1, 1} von der symmetrischen Gruppe Sn in die multiplikative Gruppe {−1, 1} ist ein Homomorphismus. 3

Algebra 1

1

Gruppen

Bemerkung 1.20. Es sei ϕ : G → G0 ein Gruppenhomomorphismus. Dann bildet ϕ das neutrale Element e in G auf das neutrale Element e0 in G0 ab, was aus ϕ(e) = ϕ(ee) = ϕ(e)ϕ(e) durch Multiplikation mit ϕ(e)−1 hervorgeht. Auch gilt ϕ(g −1 ) = ϕ(g)−1 für alle g ∈ G, was zu zeigen eine Übungsaufgabe ist. Weiter sind der Kern ker ϕ := {g ∈ G : ϕ(g) = e0 } und das Bild im ϕ = {ϕ(g) : g ∈ G} von ϕ Untergruppen von G bzw. G0 . Die Injektivität von ϕ kann darüber charakterisiert werden, dass der Kern trivial ist: ϕ ist genau dann injektiv, wenn ker ϕ = {e}. Beispiel 1.21. Für jede Gruppe G und g ∈ G ist Z → G, n 7→ g n ein Homomorphismus. Letztlich führen wir noch direkte Produkte von Gruppen ein. Sind G1 , . . . , Gr Gruppen, r so statten wir das kartesische Produkt G := G1 × · · · × Gr = ×i=1 Gi mit der komponentenweisen Multiplikation aus und erhalten so eine Gruppenstruktur auf dem kartesischen Produkt G, welches damit als (externes) direktes Produkt bezeichnet wird. Bemerkung 1.22. Die Projektionen G → Gi , (g1 , . . . , gr ) 7→ gi , i ≤ r, sind surjektive Homomorphismen.

1.2

Gruppenaktionen

Definition 1.23. Eine Operation oder Aktion einer Gruppe G auf einer Menge X ist eine Abbildung G × X → X , (g, x) 7→ g.x = gx mit der Eigenschaft, dass (gh).x = g.(h.x) und 1.x = x für alle g, h ∈ G und x ∈ X. Wir definieren weiter SX als die Menge aller Bijektionen auf X. So ist Sn = S{1,...,n} für n ∈ N und wieder ist SX eine Gruppe. Lemma 1.24. Eine Operation von G auf X definiert einen Gruppenhomomorphismus D : G → SX , wobei D(g) : X → X die Abbildung x 7→ g.x ist. Beweis. Tatsächlich ist D wohldefiniert, denn für g ∈ G ist D(g) bijektiv mit Umkehrabbildung D(g −1 ), was durch
D(g) ◦ D(g −1 ) (x) = D(g)(g −1 .x) = g.(g −1 .x) = (gg −1 ).x = 1.x = x ersichtlich ist. Für g, h ∈ G ist weiterhin

D(gh)(x) = (gh).x = g.(h.x) = g. D(h)(x) = D(g) ◦ D(h) (x) , was D(gh) = D(g) ◦ D(h) zeigt. Definition 1.25. Einen Gruppenhomomorphismus D : G → SX nennen wir eine Permutationsdarstellung.

Algebra 1

4

1.2

Gruppenaktionen

Wir haben soeben gesehen, dass Permutationsdarstellungen durch Gruppenaktionen induziert werden. Umgekehrt kann eine Permutationsdarstellung D über g.x := D(g)(x), g ∈ G, x ∈ X, auch eine Gruppenaktion definieren. Beispiel 1.26. Ist V ein Abbildung

k-Vektorraum

und G = GL(V ), so operiert G auf V mit der

G × V → V , (g, v) 7→ g(v) . Beispiel 1.27. Jede Gruppe G operiert auf sich selbst bezüglich der Linksmultiplikation G × G → G , (g, h) 7→ gh . Die Rechtsmultiplikation (g, h) 7→ hg jedoch definiert keine Gruppenaktion; dies tut allerdings die Abbildung G × G → G , (g, h) 7→ hg −1 . Die beiden Operationen kommutieren und ergeben in der Verknüpfung eine Gruppenwirkung von G × G auf G selbst, welche durch (G × G) × G → G , (g1 , g2 , h) 7→ g1 hg2−1 gegeben ist. Beispiel 1.28. Für eine Gruppe G sei Aut(G) die Gruppe der Automorphismen von G, welche eine Untergruppe von SG bildet. Weiter betrachten wir die Wirkung von G auf sich selbst durch Konjugation G × G → G , (g, h) 7→ ghg −1 . Wir behaupten, dass das Bild im(Ad) der zugehörigen Permutationsdarstellung Ad : G → SG eine Teilmenge von Aut(G) ist, d.h. dass jede Abbildung Ad(g) : h 7→ ghg −1 ein Automorphismus ist. Dazu ist nur noch zu zeigen, dass diese Abbildung ein Homomorphismus ist. Für g, h1 , h2 ∈ G ist jedoch Ad(g)(h1 h2 ) = gh1 h2 g −1 = gh1 g −1 gh2 g −1 = Ad(g)(h1 ) Ad(g)(h2 ) . Den Kern dieser Permutationsdarstellung nennen wir das Zentrum von G und bezeichnen ihn mit Z(G) := ker Ad = {g ∈ G : ghg −1 = h für alle h ∈ G} = {g ∈ G : gh = hg für alle h ∈ G} . Dies ist gerade die Untergruppe von G derjenigen Elemente, welche mit allen anderen kommutieren. Definition 1.29. Die Gruppe G operiere auf der Menge X. Für x ∈ X nennen wir G.x := {g.x : g ∈ G} ⊂ X die Bahn oder den Orbit von x. Weiter nennen wir Gx := {g ∈ G : g.x = x} ⊂ G den Stabilisator von x. Es lässt sich leicht überprüfen, dass ein Stabilisator stets eine Untergruppe von G ist.

5

Algebra 1

1

Gruppen

Definition 1.30. Eine Teilmenge Y ⊂ X von X heißt G-invariant, falls die Bahnen all ihrer Elemente in ihr enthalten sind, falls also G.y ⊂ Y für alle y ∈ Y . Weiter sagen wir, dass G transitiv auf X operiert, falls für alle x, y ∈ X ein g ∈ G existiert, so dass y = g.x. Offenbar operiert G genau dann transitiv auf X, falls G.x = X für alle x ∈ X gilt. Bemerkung 1.31. Jede Bahn ist G-invariant. Lemma 1.32. Die Gruppe G operiere auf X. Dann bildet die Menge aller Bahnen in X eine Partition von X. Beweis. Zunächst ist klar, dass [

G.x = X .

x∈X

Wir zeigen noch, dass zwei Bahnen entweder gleich oder disjunkt sind. Es seien also x, y ∈ X mit G.x ∩ G.y 6= ∅. Für z ∈ G.x ∩ G.y finden wir also g, h ∈ G mit z = g.x = h.y. Dies zeigt y = (h−1 g).x, womit offenbar G.y = G.x folgt. Beispiel 1.33. Es seien m, n ∈ N und k ein Körper. Die Gruppe G := GL(m, k) × GL(n, k) wirkt auf X = km×n durch G × X → X , (g, h, A) 7→ gAh−1 . Die Bahnen sind die Äquivalenzklassen von Matrizen gleichen Ranges. Auch wirkt G := GL(n, C) auf X = Cn,n durch G × X → X , (g, A) 7→ gAg −1 und hier sind die Bahnen Äquivalenklassen von Matrizen mit gleicher Jordan-Normalform. Definition 1.34. Die Gruppe G operiere auf sich selbst durch Konjugation, also durch G × G → G , (g, h) 7→ ghg −1 . Die Bahn {ghg −1 : g ∈ G} eines Elements h ∈ G heißt dann Konjugationsklasse von h. Weiter heißt Zh := {g ∈ G : gh = hg} der Zentralisator von h. Satz 1.35 (Bahnformel). Die endliche Gruppe G operiere auf der Menge X. Dann gilt für alle x ∈ X |G| = |Gx ||G.x| . Beweis. Die „Bahnabbildung“ ϕx : G → G.x , g 7→ g.x ist surjektiv. Außerdem ist ϕ−1 x (x) = {g ∈ G : g.x = x} = Gx . Für h ∈ G beobachten wir −1 h−1 ϕ−1 ˜ ∈ G : g˜.x = h.x} = {g ∈ G : (h−1 hg).x} = ϕ−1 x (h.x) = {h g x (x) .

Algebra 1

6

1.2

Gruppenaktionen

−1 Insbesondere stellen wir fest, dass |ϕ−1 x (h.x)| = |ϕx (x)|. Damit ist also X X |G| = |ϕ−1 |ϕ−1 x (y)| = x (x)| = |G.x||Gx | . y∈G.x

y∈G.x

Bemerkung 1.36. Ähnlich wie oben und mit derselben Notation erhalten wir auch Gh.x = {g ∈ G : (h−1 gh).x = x} = {g ∈ G : h−1 gh ∈ Gx } = hGx h−1 . Beispiel 1.37. Wir betrachten den endlichen Körper Fp mit p Elementen (wobei p eine Primzahl ist), den wir als {0, . . . , p − 1} mit Rechenoperationen modulo p interpretieren können. Wir fragen uns, was die Zahl γm := |GL(m, Fp )| ist. Dazu verwenden wir die Operation der Gruppe G := GL(m, Fp ) auf Fm p durch Matrix-Vektor-Multiplikation. Die m Bahnen dieser Wirkung sind {0} und Fp \ {0} und insbesondere ist G.e1 = Fm p \ {0} und Ge1 ist die Menge aller Matrizen der Form   1 a2 · · · am 0      .. . , B     0 wobei B ∈ GL(m − 1, Fp ) und a2 , . . . , am ∈ Fp . Daher ist |Ge1 | = γm−1 pm−1 . Die Bahnformel besagt nun γm = |G| = |Ge1 ||G.e1 | = pm−1 γm−1 (pm − 1) . Außerdem ist γ1 = p − 1 leicht einzusehen, womit wir m(m−1)

γm = pm−1 (pm − 1)pm−2 (pm−1 − 1) · · · p(p2 − 1)(p − 1) = p 2 (pm − 1) · · · (p − 1)      m  Y m(m−1) m(m+1) 1 1 1 2 m =p 2 p 2 1 − m ··· 1 − =p 1− i p p p i=1

erhalten. Insbesondere ist lim

p→∞

γm = 1. pm2

Es sei nun H eine Untergruppe einer Gruppe G. Dann operiert H auf G durch Linksmultiplikation H × G → G , (h, g) 7→ hg . Die Bahn H.g = Hg = {hg : h ∈ H} von g ∈ G nennen wir eine Rechtsnebenklasse. Auch operiert H auf G durch H × G → G , (h, g) 7→ gh−1 und die Bahnen H.g = gH = {gh−1 : h ∈ H} = {gh : h ∈ H} 7

Algebra 1

1

Gruppen

unter dieser Operation werden als Linksnebenklassen bezeichnet. Auch definieren wir G/H := {gH : g ∈ G} als die Menge aller Linksnebenklassen von H. Ist G/H endlich, so nennen wir (G : H) := |G/H| den Index von H in G. Aus der Bahnformel ergibt sich nun direkt das folgende Resultat. Satz 1.38 (Lagrange). Es sei G eine endliche Gruppe und H ≤ G eine Untergruppe. Dann gilt |G| = (G : H)|H| . Insbesondere ist die Ordnung einer Untergruppe stets ein Teiler der Gruppenordnung. Korollar 1.39. Jede endliche Gruppe primer Ordnung ist zyklisch und wird von jedem von Eins verschiedenen Element erzeugt. Beweis. Zu 1 6= g ∈ G betrachten wir H := hgi ≤ G. Nach dem Satz von Lagrange ist |H| ein Teiler von |G|, ist jedoch von Eins verschieden, weshalb |H| = |G| folgt. Damit ist schließlich G = H = hgi.

1.3

Normalteiler und Faktorgruppen

Wir wollen nun auf der Menge G/H der Linksnebenklassen einer Untergruppe H von G eine Gruppenstruktur definieren. Weiter soll G → G/H, g 7→ gH ein Gruppenhomomorphismus sein, wozu wir g1 H · g2 H = g1 g2 H für g1 , g2 ∈ G fordern wollen. Dies wäre unproblematisch, wenn H = g2 Hg2−1 für alle g2 ∈ G gälte. Dann hätten wir nämlich g1 Hg2 H = g1 g2 Hg2−1 g2 H = g1 g2 HH = g1 g2 H . Definition 1.40. Eine Untergruppe H einer Gruppe G nennen wir einen Normalteiler von G, falls für alle g ∈ G H = gHg −1 , also gH = Hg gilt. Wir schreiben dann H E G. Bemerkung 1.41. Eine Untergruppe H kann ein Normalteiler sein, ohne im Zentrum zu liegen. Es ist nämlich denkbar, dass hg = gh0 für g ∈ G und h = 6 h0 ∈ H. Gilt bereits gHg −1 ⊂ H für alle g, so folgt mit g −1 Hg ⊂ H bereits H ⊂ gHg −1 , also gHg −1 = H. Lemma 1.42. Es sei ϕ : G → G0 ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist ker ϕ ein Normalteiler in G. Kerne von Homomorphismen sind also Normalteiler.

Algebra 1

8

1.3

Normalteiler und Faktorgruppen

Beweis. Es sei H := ker ϕ. Für g ∈ G und h ∈ H wollen wir ghg −1 ∈ H zeigen und beobachten dazu ϕ(ghg −1 ) = ϕ(g)ϕ(h)ϕ(g −1 ) = ϕ(g)ϕ(g −1 ) = 1 , also tatsächlich ghg −1 ∈ ker ϕ = H. Dies zeigt gHg −1 ⊂ H, womit H ein Normalteiler ist. Satz 1.43. Es sei G eine Gruppe und H E G ein Normalteiler. Dann ist auf G/H eine Gruppenstruktur definiert, bezüglich welcher π : G → G/H , g 7→ gH ein Homomorphismus mit ker π = H ist. Wir nennen G/H auch eine Faktorgruppe. Beweis. Die Multiplikation auf G/H ist mit π(g)π(h) := π(gh), g, h ∈ G, wohldefiniert, denn gHhH = ghHh−1 hH = ghHH = ghH . Das neutrale Element in G/H ist π(1) = 1H = H und für π(g) = 1 ist gH = H, was nur für g ∈ H gelten kann. Wir können sogar mehr aussagen. Satz 1.44 (Universelle Eigenschaft des Gruppenquotienten). Es sei G eine Gruppe und H E G ein Normalteiler. Weiter sei ϕ : G → G0 ein Gruppenhomomorphismus mit H ⊂ ker ϕ. Dann existiert ein eindeutiger Gruppenhomomorphismus ϕ : G/H → G0 mit ϕ ◦ π = ϕ, d.h. ϕ(gH) = ϕ(g) für alle g ∈ G. ϕ

G π



/ G0
0. Definition 1.50. Es sei G eine Gruppe. Wir definieren die Ordnung eines Gruppenelements g ∈ G als ( ∞ falls hgi ∼ = Z, ord(g) := = |hgi| . m falls hgi ∼ = Z/mZ Die Ordnung eines Elements g ist (falls sie endlich ist) also die kleinste positive ganze Zahl n, für welche g n = 1 gilt. Ist sogar G endlich, so ist ord(g) nach dem Satz von Lagrange ein Teiler von |G|. Insbesondere ist g |G| = 1. Beispiel 1.51. Wir betrachten G = S5 und g = (123)(45). Dann erhalten wir |G| = 5! = 120 und ord(g) = 6.

1.4

Isomorphiesätze

Satz 1.52 (Erster Isomorphiesatz). Es sei G eine Gruppe mit Normalteilern H, K E G, so dass K ⊂ H. Dann ist K ein Normalteiler von H und (G/K)/(H/K) ∼ = G/H . Beweis. Dass K E G, bedeutet gK = Kg für alle g ∈ G. Somit gilt dies natürlich auch für alle g ∈ H ⊂ G, was K E H zeigt. Auch existiert nach der universellen Eigenschaft 1.44 ein Homomorphismus ϕ : G/K → G/H, welcher das Diagramm / / G/H ;

G 

ϕ

G/K Algebra 1

10

1.4

Isomorphiesätze

kommutieren lässt. Dieser ist insbesondere surjektiv und für ϕ(gK) = H muss gH = H und damit g ∈ H gelten, was ker ϕ = {gK : g ∈ H} = H/K zeigt. Damit wiederum ist nach Korollar 1.45 (G/K)/(H/K) ∼ = G/H. Satz 1.53. Es sei ϕ : G → G0 ein surjektiver Gruppenhomomorphismus und H 0 E G0 ein Normalteiler. Dann ist H := ϕ−1 (H 0 ) E G und G/H ∼ = G0 /H 0 . Beweis. Für g ∈ G und h ∈ H ist ϕ(ghg −1 ) = ϕ(g)ϕ(h)ϕ(g −1 ) ∈ H 0 , also gHg −1 ⊂ H, was H E G zeigt. Nun gibt es genau einen Homomorphismus ϕ : G/H → G0 /H 0 , welcher das Diagramm G

ϕ



G/H

ϕ

/ / G0 $  / G0 /H 0

kommutieren lässt. Offenbar ist ϕ surjektiv und der Kern der Abbildung von G nach G0 /H 0 ist H, woraus G/H ∼ = G0 /H 0 folgt. Satz 1.54 (Zweiter Isomorphiesatz). Es sei G eine Gruppe mit einem Normalteiler H E G und einer Untergruppe K ≤ G. Dann ist H ∩ K E K, KH = HK = {hk : h ∈ H, k ∈ K} ist eine Untergruppe von G und H E HK. Weiterhin gilt K/(H ∩ K) ∼ = HK/H . Beweis. (1). Für h ∈ H ∩ K und k ∈ K ist zunächst khk −1 ∈ K, aber auch khk −1 ∈ H, da H ein Normalteiler ist. Damit ist k(H ∩ K)k −1 ⊂ H ∩ K, was H ∩ K E K zeigt. (2). Zunächst ist kH = Hk für alle k ∈ K ⊂ G, also KH = HK. Damit ist HK · HK = H(KH)K = H(HK)K = HHKK = HK , was HK ≤ G zeigt. (3). Dass H E HK gilt, ist klar. Wir betrachten nun die Abbildung ϕ : K → HK/H, welche k auf kH abbildet. Diese ist surjektiv, denn HK/H ist die Menge aller Nebenklassen hkH, mit h ∈ H und k ∈ K, wobei hkH = Hhk = Hk = kH = ϕ(k). Weiter ist offenbar ker ϕ = H ∩ K, womit K/(H ∩ K) nach Korollar 1.45 isomorph zu HK/H ist.

11

Algebra 1

2

Die Sätze von Sylow

2

Die Sätze von Sylow

Ist G eine endliche Gruppe, so gilt nach dem Satz von Lagrange, dass für jede Untergruppe H die Ordnung |H| ein Teiler von |G| ist. Die Umkehrung ist jedoch falsch: Nicht jeder Teiler der Gruppenordnung ist Ordnung einer Untergruppe. Beispiel 2.1. Betrachte G = A4 mit der Ordnung |A4 | = 12. Als Übungsaufgabe wird gezeigt, dass A4 keine Untergruppe der Ordnung Sechs besitzt. Der erste Sylowsche Satz jedoch wird zeigen, dass die Umkehrung zumindest für diejenigen Teiler der Gruppenordnung gültig ist, welche eine Primpotenz sind. Zunächst jedoch ist etwas Vorbereitung nötig.

2.1

Exponent und Klassengleichung

Definition 2.2. Es sei G eine endliche Gruppe. Der Exponent exp(G) von G ist die kleinste positive ganze Zahl n, welche g n = 1 für alle g ∈ G liefert. Beispiel 2.3. Wir betrachten die alternierende Gruppe G = A4 , welche aus Dreierzykeln, Produkten disjunkter Zykel und der Identität besteht. Der Exponent von A4 ist damit exp(A4 ) = 6. Lemma 2.4. Es sei G eine endliche Gruppe. (i) Der Exponent exp(G) ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Ordnungen ord(g) aller Gruppenelemente g ∈ G. (ii) Der Exponent exp(G) ist ein Teiler der Gruppenordnung |G|. (iii) Ist G zyklisch, so gilt exp(G) = |G|. (iv) Für alle Untergruppen H ≤ G gilt exp(H)| exp(G). (v) Ist H ein Normalteiler, so gilt sogar exp(G/H)| exp(G). Beweis. (i). Für g ∈ G gilt g exp(G) = 1, womit bereits ord(g)| exp(G) folgt. Ist umgekehrt n ∈ N so gegeben, dass ord(g)|n für alle g ∈ G gilt, so ist g n = 1 für alle g ∈ G. Damit ist exp(G) ≤ n. (ii). Zunächst ist ord(g) für alle g ∈ G ein Teiler von |G| und so auch exp(G) als kleinstes gemeinsames Vielfache. (iii). Klar. (iv). Auch klar. (v). Es sei π : G → G/H der kanonische Homomorphismus. Da g exp(G) = 1 für alle g ∈ G gilt, folgt auch ϕ(g)exp(G) = 1, also exp(G/H)| exp(G). Lemma 2.5. Ist G eine endliche, abelsche Gruppe, so gibt es ein k ∈ N, für welches |G| ein Teiler von exp(G)k ist. Dies besagt, dass jeder Primfaktor von |G| auch Primfaktor von exp(G) ist. Beweis. Wir führen den Beweis mittels Induktion nach |G|. Für |G| = 1 ist die Aussage trivial.

Algebra 1

12

2.1

Exponent und Klassengleichung

Ist |G| > 1, nehmen wir o.B.d.A. an, dass G nicht zyklisch ist. Es sei nun g ∈ G von Eins verschieden und H := hgi ist ein Normalteiler, da G abelsch ist. Dann ist H 6= G und es gilt |G/H| < |G|. Nach Induktionsvoraussetzung gebe es k1 , k2 ∈ N, so dass |H| ein Teiler von exp(H)k1 und |G/H| ein Teiler von exp(G/H)k2 ist. Das vorige Lemma liefert, dass |H| ein Teiler von exp(G)k1 und |G/H| ein Teiler von exp(G)k2 ist. Mit |G| = |H||G/H| erhalten wir, dass |G| ein Teiler von exp(G)k1 +k2 ist. Korollar 2.6. Es sei G eine endliche, abelsche Gruppe und die Primzahl p Teiler der Gruppenordnung |G|. Dann hat G eine Untergruppe der Ordnung p. Beweis. Nach dem obigen Lemma ist p auch ein Teiler von exp(G), es existiert daher ein g ∈ G mit p| ord(g). Für ord(g) = pk, k ∈ N, ist also ord(g k ) = p, womit die Untergruppe hg k i Ordnung p hat. Wir kommen nun zur Klassengleichung. Dazu sei G eine endliche Gruppe. Diese operiert bekanntlich auf sich selbst durch Konjugation G × G → G , (g, x) 7→ gxg −1 und die Bahn eines Elements x ∈ G nennen wir die Konjugationsklasse Kx von x. Den Stabilisator von x unter diese Operation nennen wir auch den Zentralisator und schreiben dafür Zx := {g ∈ G : gxg −1 = x} . Die Bahnformel 1.35 besagt nun |Kx | =

|G| = (G : Zx ) . |Zx |

Insbesondere gilt genau dann |Kx | = 1, wenn G = Zx , wenn also x im Zentrum Z(G) liegt. Die Konjugationsklassen bilden außerdem eine Partition von G und bezeichnen wir die nichttrivialen Konjugationsklassen mit Kxi , i = 1, . . . , n, so erhalten wir G = Z(G) ∪ Kx1 ∪ · · · ∪ Kxn =

[

{x} ∪

x∈Z(G)

n [

Kxi ,

i=1

was uns die Klassengleichung n X

|G| = |Z(G)| +

(G : Zxi )

i=1

liefert. Definition 2.7. Eine Gruppe G heißt p-Gruppe, falls p eine Primzahl ist und die Ordnung von G eine Potenz von p ist, also |G| = pk für ein k ∈ N. Korollar 2.8. Ist G eine p-Gruppe und |G| > 1, so ist Z(G) 6= {e}. Beweis. Betrachten wir die Klassengleichung |G| = |Z(G)| +

n X

(G : Zxi ) ,

i=1

so stellen wir fest, dass alle Indizes (G : Zxi ) Teiler von pk und mit (G : Zxi ) > 1 tatsächlich ein Vielfaches von p. Daher muss auch |Z(G)| ein Vielfaches von p sein. 13

Algebra 1

2

Die Sätze von Sylow

Nachdem wir bereits wissen, dass Gruppen primer Ordnung abelsch und sogar zyklisch sind, kommen wir zu folgendem Resultat. Korollar 2.9. Jede p-Gruppe G der Ordnung |G| = p2 ist abelsch. Beweis. Da G eine p-Gruppe ist, gilt zumindest |Z(G)| > 1. Ist |Z(G)| = p2 , so ist die Behauptung mit Z(G) = G bewiesen. Wäre jedoch |Z(G)| = p, so würde mit |G/Z(G)| = p folgen, dass G/Z(G) zyklisch ist und mit einer Übungsaufgabe würde nun folgen, dass G = Z(G) abelsch ist.

2.2

Sylowsche Sätze

Wir untersuchen nun die p-Untergruppen endlicher Gruppen. (also Untergruppen, welche p-Gruppen sind) Satz 2.10 (Erster Sylowscher Satz). Es sei G eine endliche Gruppe und pk ein Teiler von |G|, wobei p eine Primzahl sei. Dann existiert eine Untergruppe von G der Ordnung pk . Beweis. Wir beweisen den Satz durch Induktion nach |G|. Für |G| = 1 ist die Behauptung trivial. Ist nun pk , k > 0, ein Teiler der Gruppenordnung |G|, so unterscheiden wir zwei Fälle: Im ersten Fall ist p kein Teiler von |Z(G)|, weshalb es aufgrund der Klassengleichung ein xi ∈ G geben muss, für welches p auch kein Teiler von (G : Zxi ) > 1 ist. Aus |G| = |Zxi |(G : Zxi ) folgt dann, dass pk ein Teiler von |Zxi | < |G| ist. Gibt es nach Induktionsvoraussetzung eine Untergruppe H von Zxi der Ordnung pk , so ist H ebenso eine Untergruppe von G der Ordnung pk . Im zweiten Fall ist p ein Teiler von |Z(G)|. Korollar 2.6 liefert die Existenz einer Untergruppe H ≤ Z(G) der Ordnung p. Da H im Zentrum liegt, ist H auch ein Normalteiler von G und wir erhalten |G| = |H||G/H|. Nun ist pk−1 ein Teiler der Ordnung der Gruppe G/H, welche nach Induktionsvoraussetzung eine Untergruppe K ≤ G/H der Ordnung pk−1 besitze. Ist π : G → G/H die kanonische Projektion, so setzen wir L := π −1 (K) ≤ G. Dann ist L/H isomorph zu K, also |L/H| = |K| = pk−1 , was |L| = |H||L/H| = ppk−1 = pk liefert. Beispiel 2.11. Wir betrachten die alternierende Gruppe G = A4 der Ordnung |A4 | = 4·3 = 22 · 3. Nach dem ersten Sylowschen Satz 2.10 hat A4 eine Untergruppe der Ordnung Vier. Eine solche ist die Kleinsche Vierergruppe  K := id, (12)(34), (13)(24), (14)(23) , wie man leicht überprüft. Wir fragen uns, ob K die einzige solche Untergruppe ist. Zu einer allgemeinen Überlegung sei g ∈ G und wir betrachten den Gruppenautomorphismus Kg : G → G , x 7→ gxg −1 , also die Konjugation mit g. Ist H nun eine Untergruppe von G, so ist Kg (H) ebenfalls eine Untergruppe und isomorph zu H. Bevor wir darauf zurückkommen, geben wir folgende Definition an.

Algebra 1

14

2.2

Sylowsche Sätze

Definition 2.12. Es sei G eine endliche Gruppe der Ordnung |G| = pm a, wobei p kein Teiler von a ist und m > 0. Diejenigen Untergruppen von G der Ordnung pm nennen wir p-Sylow-Untergruppen von G. Eine p-Sylow-Untergruppe ist also gewissermaßen eine maximale p-Untergruppe. Bemerkung 2.13. Nach dem ersten Sylowschen Satz 2.10 existieren p-Sylow-Untergruppen. Beispiel 2.14. Die Kleinsche Vierergruppe ist eine 2-Sylow-Untergruppe der alternierenden Gruppe A4 . Bemerkung 2.15. Ist S eine p-Sylow-Untergruppe und g ∈ G, so ist auch gSg −1 = Kg (S) eine p-Sylow-Untergruppe. Lemma 2.16. Es sei G eine endliche Gruppe, S ≤ G eine p-Sylow-Untergruppe und H ≤ G eine p-Untergruppe. Dann existiert ein g ∈ G, so dass H ≤ gSg −1 . Beweis. Die Untergruppe H operiert auf der Menge G/S = {gS : g ∈ G} der Linksnebenklassen durch Linksmultiplikation: h.gS = (hg)S. Weiter bezeichne B(gS) ⊂ G/S die Bahn von gS unter dieser Operation. Dann ist |B(gS)| ein Teiler von |H|, was eine Potenz von p ist. Es ist also entweder |B(gS)| = 1 oder |B(gS)| ein Vielfaches von p. Zunächst sei |B(gS)| = 1 für ein g ∈ G, also B(gS) = {gS}. Dann gilt für alle h ∈ H die Gleichheit hgS = gS, also hg ∈ gS, was wiederum h ∈ gSg −1 bedeutet. Dies zeigt H ≤ gSg −1 . Wir zeigen nun, dass tatsächlich stets ein g ∈ G mit |B(gS)| = 1 existiert. Dazu sei |G| = pm a, wobei p kein Teiler von a sei. Dann ist |G/S| = (G : S) =

|G| = a. |S|

Die Betrachung der Bahnpartition zeigt, dass es ein g ∈ G geben muss, für welches |B(gS)| kein Vielfaches von p ist. Korollar 2.17 (Zweiter Sylowscher Satz). Es sei G eine endliche Gruppe, deren Ordnung ein Vielfaches von p sei. Dann ist jede p-Untergruppe von G in einer p-Sylow-Untergruppe enthalten. Weiter sind alle p-Sylow-Untergruppen konjugiert zueinander. Außerdem erfüllt die Anzahl sp der p-Sylow-Untergruppen die Relationen sp ||G| und sp ≡ 1 mod p. Die beiden genannten Relationen werden nach dem folgenden Lemma bewiesen. Lemma 2.18. Es seien S und S 0 zwei p-Sylow-Untergruppen von G. Ist S im Normalisator NG (S 0 ) := {g ∈ G : gS 0 g −1 = S 0 } von S 0 in G enthalten, so ist bereits S = S 0 . Beweis. Nach Definition des Normalisators ist S 0 E NG (S 0 ) und aus S ≤ NG (S 0 ) erhalten wir mit dem zweiten Isomorphiesatz 1.54 SS 0 ≤ NG (S 0 ) und SS 0 /S 0 ∼ = S/(S 0 ∩ S) . Insbesondere ist |SS 0 /S 0 | = |S/(S 0 ∩ S)| eine p-Potenz, womit dies auch für |S 0 S| = |S 0 S/S 0 | · |S 0 | gilt. Da außerdem S ≤ S 0 S gilt und S eine p-Sylow-Untergruppe ist (also maximal), folgt S = S 0 S. Analog zeigt man S 0 = S 0 S, was S = S 0 S = S 0 zeigt. 15

Algebra 1

2

Die Sätze von Sylow

Wir beweisen nun die Relationen für sp , welche wir in Korollar 2.17 behauptet haben. Beweis. Die Gruppe G operiert auf der Menge Sp der p-Sylow-Untergruppen transitiv durch Konjugation. Nach der Bahnformel zeigt dies bereits, dass sp ein Teiler von |G| ist. Weiter sei S ∈ Sp . Wir betrachten nun die Operation von S auf Sp durch Konjugation. Dazu bezeichnen wir mit B(S 0 ) die Bahn von S 0 ∈ Sp bezüglich dieser Operation. Klar ist, dass B(S) = {S}, also |B(S)| = 1. Allgemeiner ist |B(S 0 )|, S 0 ∈ Sp , ein Teiler von |S|, weshalb |B(S 0 )| eine p-Potenz ist. Wir nehmen zuerst |B(S 0 )| = 1 an. Dann ist B(S 0 ) = {S 0 }, also gS 0 g −1 = S 0 für alle g ∈ S. Dies wiederum zeigt S ⊂ NG (S 0 ), woraus wir mit Lemma 2.18 S = S 0 erhalten. Alle von B(S) verschiedenen Bahnen können daher nicht nur ein Element enthalten. Die Bahnzerlegung [ Sp = {S} ∪ B(S 0 ) S 0 6=S

ergibt sp = |Sp | = 1 + kp für irgendein k ∈ N. Bemerkung 2.19. Ist |G| = pm a, m > 0 und a kein Vielfaches von p, so teilt die Anzahl sp der p-Sylow-Untergruppen von G nicht nur |G|, sondern sogar a. Mit sp ≡ 1 mod p kann p nämlich kein Teiler von sp sein. Beispiel 2.20. Wir betrachten die alternierende Gruppe G = A4 der Ordnung |A4 | = 22 · 3. Mit h(123)i finden wir eine 3-Sylow-Untergruppe und alle anderen sind zu dieser konjugiert, womit wir  S3 = h(123)i, h(124)i, h(134)i, h(234)i} erhalten. Und tatsächlich ist |S3 | = 4 ein Teiler der Gruppenordnung 12 und es gilt 4 ≡ 1 mod 3. Weiterhin ist die bereits bekannte Kleinsche Vierergruppe eine 2-Sylow-Untergruppe. Diese ist ein Normalteiler, weshalb sie die einzige solche sein muss.

2.3

Anwendungen

Definition 2.21. Eine Gruppe G heißt einfach, wenn G nicht die triviale Gruppe {e} ist und falls es außer {e} und G selbst keine weiteren Normalteiler in G gibt. Lemma 2.22. Eine abelsche endliche Gruppe G ist genau dann einfach, wenn |G| prim ist. Beweis. Die Rückrichtung ist klar. Für „⇒“ sei G einfach und p ein Teiler von |G|. Nach Korollar 2.6 existiert eine Untergruppe H ≤ G der Ordnung p. Diese ist ein Normalteiler, da G abelsch ist. Als einfache Gruppe muss G damit gleich H sein, was |G| = p zeigt. Beispiel 2.23. Die alternierende Gruppe A3 ist einfach, da |A3 | = 3. Die alternierende Gruppe A4 jedoch ist nicht einfach, da sie mit der Kleinschen Vierergruppe einen nichttrivialen Normalteiler besitzt. Später werden wir beweisen, dass An für n ≥ 5 jedoch stets einfach ist. Auch die symmetrische Gruppe Sn ist nicht einfach, da sie die alternierende Gruppe An als Normalteiler besitzt. Algebra 1

16

2.3

Anwendungen

Bemerkung 2.24. Ist H eine p-Sylow-Untergruppe von G, so ist H genau dann ein Normalteiler H E G, wenn H die einzige p-Sylow-Untergruppe von G ist, d.h. sp = 1. Beispiel 2.25. Es seien p < q zwei Primzahlen. Dann enthält jede Gruppe G der Ordnung pq einen Normalteiler der Ordnung q und ist insbesondere nicht einfach. Beweis. Um sq = 1 zu zeigen, wollen wir den zweiten Sylowschen Satz 2.17 verwenden, welcher uns sq ≡ 1 mod q und sq |p liefert. Es muss also entweder sq = 1 oder sq = p gelten. Wegen p < q jedoch ist p ≡ 1 mod q unmöglich, weshalb tatsächlich sq = 1 gelten muss und die einzige q-Sylow-Untergruppe ein Normalteiler ist. Beispiel 2.26. Auch jede Gruppe der Ordnung 40 ist nicht einfach, enthält nämlich einen Normalteiler der Ordnung 5. Beweis. Auch hier wollen wir s5 = 1 zeigen. Aus s5 |8 erhalten wir s5 ∈ {1, 2, 4, 8} und aus s5 ≡ 1 mod 5 wiederum s5 ∈ {1, 6, 11, . . . }, was schließlich nur s5 = 1 zulässt. Beispiel 2.27 (Diedergruppen). Wir betrachten ein regelmäßiges n-Eck. Die Diedergruppe Dn definieren wir als die Gruppe aller Drehungen und Spiegelungen welche dieses regelmäßige n-Eck auf sich selbst abbilden. Dabei bezeichnen wir mit d ∈ Dn die Drehung um 2π n (gegen den Uhrzeigersinn) und mit s ∈ Dn die Spiegelung an einer fest gewählten Symmetrieachse. Alle weiteren Drehungen in Dn erhalten wir als Potenzen di von d, alle weiteren Spiegelungen als Produkte di s einer Drehung und der Spiegelung s, wobei jeweils i = 1, . . . , n − 1, wie wir es für den Fall n = 5 veranschaulichen: s

ds

d2 s

d3 s

d4 s

Die Diedergruppe Dn können wir also als Dn = {e, d, d2 , . . . , dn−1 , s, ds, . . . , dn−1 s} darstellen. Insbesondere hat Dn die Ordnung |Dn | = 2n. Weiter bemerken wir dn = e, s2 = e (also s = s−1 ) und sds = d−1 . Die zyklische Untergruppe Cn = hdi = {e, d, . . . , dn−1 } ist ein Normalteiler mit (Dn : Cn ) = 2, da sdi s−1 = sdi s = (sds)i = d−i . Bemerkung 2.28. Die Diedergruppe D2 = {e, d, s, sd} ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe. Für n ≥ 3 ist Dn jedoch nicht abelsch, was wir mit sds = d−1 6= ssd = d einsehen. Aus d = d−1 würde mit d2 = e nämlich n|2 folgen.

17

Algebra 1

2

Die Sätze von Sylow

Satz 2.29. Es sei G eine Gruppe der Ordnung |G| = pq, wobei p < q zwei Primzahlen seien. Dann gilt entweder G ∼ = Zpq oder aber es gibt s, d ∈ G mit ord(s) = p und ord(d) = q, so dass ds = sdr , wobei 2 ≤ r ≤ q − 1, p|q − 1 und q|(rp − 1). Bevor wir diesen Satz beweisen, geben wir eine Folgerung an. Korollar 2.30. Ist in obiger Situation p kein Teiler von q − 1, so muss G ∼ = Zpq sein. Dies trifft z.B. auf Gruppen der Ordnung 15 zu, welche somit stets zyklisch sind. Korollar 2.31. Es gelte |G| = 2q, wobei q > 2 eine Primzahl sei. Dann ist G entweder isomorph zu Z2q oder zur Diedergruppe Dq . Beweis. Wir wollen zeigen, dass im zweiten Fall des obigen Satzes G isomorph zur Diedergruppe Dq ist. In diesem zweiten Fall ist r2 − 1 = (r + 1)(r − 1) ≡ 0 mod q, also entweder r ≡ 1 mod q oder r ≡ −1 mod q. Mit 2 ≤ r ≤ q − 1 bleibt nur r = q − 1 ≡ −1 möglich, was die Relation ds = sd−1 der Diedergruppe liefert. Wir kommen nun zum Beweis des verwendeten Satzes. Beweis von Satz 2.29. Es sei H E G die nach Beispiel 2.25 eindeutig bestimmte q-SylowUntergruppe von G. Als Gruppe primer Ordnung |H| = q ist H zyklisch mit einem Erzeuger d ∈ H, welcher also H = hdi und ord(d) = q erfüllt. Weiter ist entweder sp = 1 oder sp = q. Wir betrachten den ersten Fall sp = 1. Dann sei K E G die ebenfalls eindeutig bestimmte p-Sylow-Untergruppe von G. Wir haben wieder einen Erzeuger s ∈ K der Ordnung p. Da |H ∩ K| ein gemeinsamer Teiler von p und q ist, muss H ∩ K = {e} sein. Außerdem ist (sds−1 ) d−1 = s (ds−1 d−1 ) ∈ H ∩ K = {e} , | {z } | {z } ∈H

∈K

also sd = ds. Wir wählen nun i so, dass (sd)i = e. Dann erhalten wir si = d−i ∈ H ∩ K, also si = d−i = e. Insbesondere sind p = ord(s) und q = ord(d) Teiler von i. Mit pq|i zeigt dies ord(sd) = pq, also G = hsdi ∼ = Zpq . Wir betrachten nun den zweiten Fall sp = q. Es sei K eine p-Sylow-Untergruppe von G, zu welcher wir wieder einen Erzeuger s ∈ K der Ordnung p finden und für welche wir wieder H ∩ K = {e} erhalten. Weiterhin ergibt sich HK/H ∼ = K/(H ∩ K) ∼ =K und daher |HK| = |HK/H||H| = |K||H| = pq = |G|, was HK = G zeigt. Da außerdem H ein Normalteiler ist, gibt es ein r ∈ {1, . . . , q − 1}, für welches s−1 ds = dr gilt. Den Fall r = 1 haben wir oben bereits behandelt und nehmen nun r ≥ 2 an. Wir erhalten 2 insbesondere s−1 di s = (s−1 ds)i = dri , also auch s−2 ds2 = s−1 (s−1 ds)s = s−1 dr s = dr . p Wegen sp = e ergibt sich nun d = s−p dsp = dr , was rp ≡ 1 mod q zeigt, denn q ist die Ordnung von d.

Algebra 1

18

3

Fortführung der Gruppentheorie

3.1

Direkte Produkte

Wir erinnern an die Konstruktion des externen direkten Produkts vor Bemerkung 1.22. Sind G1 , . . . , Gr Gruppen, so betrachten wir die Gruppe G := G1 × · · · × Gr . Außerdem setzen wir G0i := {e} × · · · × {e} × Gi × {e} × · · · × {e} . Dann ist G0i isomorph zu Gi und ein Normalteiler von G. Außerdem gilt gi gj = gj gi für alle gi ∈ G0i und gj ∈ G0j mit i 6= j. Wir wollen uns nun umgekehrt damit befassen, wann eine Gruppe G isomorph zu einem direkten Produkt G1 × · · · × Gr von Normalteilern Gi E G ist. Lemma 3.1. Es sei G eine Gruppe, H E G und K ≤ G. (i) Dann ist HK = KH ≤ G. (ii) Ist auch K E G und H ∩ K = {e}, so ist hk = kh für alle h ∈ H und k ∈ K. Beweis. (i). Für k ∈ K gilt Hk = kH, also HK = KH. Damit ist (HK)(HK) = (HK)(KH) = HKH = H(KH) = H(HK) = HK . Da für h ∈ H und k ∈ K auch (hk)−1 = k −1 h−1 ∈ KH = HK ist, folgt HK ≤ G. (ii). Für h ∈ H und k ∈ K ist hkh−1 ∈ K und kh−1 k −1 ∈ H, also (hkh−1 )k −1 ∈ K

und h(kh−1 k −1 ) ∈ H .

Dies zeigt hkh−1 k −1 ∈ K ∩ H, womit hkh−1 k −1 = e gelten muss, d.h. hk = kh. Definition 3.2. Es seien G1 , . . . , Gr Normalteiler einer Gruppe G. Dann heißt G internes direktes Produkt von G1 , . . . , Gr , falls die Abbildung ϕ : G1 × · · · × Gr → G , (g1 , . . . , gr ) 7→ g1 · · · gr

(3.1)

ein Gruppenisomorphismus ist. Lemma 3.3. Für Normalteiler G1 , . . . , Gr einer Gruppe G sind die folgenden Aussagen äquivalent: (i) Die Gruppe G ist internes direktes Produkt von G1 , . . . , Gr . (ii) Es gilt  G = G1 · · · Gr := g1 · · · gr : gi ∈ Gi
und für alle i = 1, . . . , r ist G1 · · · Gi−1 ∩ Gi = {e}.

19

Algebra 1

3

Fortführung der Gruppentheorie

Beweis. (i)⇒(ii). Die Gleichheit G = G1 · · · Gr erhalten wir direkt aus der Surjektivität von ϕ aus (3.1). Für ein i ∈ {1, . . . , r} gelte nun g1 · · · gi−1 = gi , wobei gj ∈ Gj . Um zu zeigen, dass dann gi = e, beobachten wir g1 · · · gi−1 gi−1 = e, woraus wir aus der
Injektivität von ϕ tatsächlich g1 = . . . = gi−1 = gi = e erhalten. Dies zeigt G1 · · · Gi−1 ∩ Gi = {e}. (ii)⇒(i). Zunächst ist ϕ nach Lemma 3.1 ein Gruppenhomomorphismus. Die Surjektivität erhalten wir aus G = G1 · · · Gr . Um Injektivität nachzuweisen, nehmen wir ϕ(g1 , . . . , gr ) = g1 · · · gr = e an. Insbesondere ist nun
g1 · · · gr−1 = gr−1 ∈ G1 · · · Gr−1 ∩ Gr = {e} , also gr = e und g1 · · · gr−1 = e. Induktiv erhalten wir g1 = . . . = gr−1 = gr = e. Bemerkung 3.4. Ein externes Produkt G := G1 × · · · × Gr ist internes Produkt der Normalteiler G0i := {e} × · · · × {e} × Gi × {e} × · · · × {e} E G . Bemerkung 3.5. Für abelsche bzw. additiv geschriebene Gruppen bezeichnen wir die direkte Summe von Gi , i = 1, . . . , r, mit r

G = ⊕ Gi . i=1

Anstelle von G1 · · · Gr schreiben wir G1 + · · · + Gr .

3.2

Semidirekte Produkte

Definition 3.6. Es sei G eine Gruppe, N E G ein Normalteiler und H ≤ G eine Untergruppe. Dann heißt G (internes) semidirektes Produkt von N und H, falls G = N H und N ∩ H = {e}. Ist dies der Fall, so operiert H auf N durch Konjugation: H × N → N , (h, n) 7→ hnh−1 . Der zugehörige Gruppenhomomorphismus ist ρ : H → Aut(N ) , ρ(h)(n) := hnh−1 .

Abbildung 1: Eine Merkhilfe? Beispiel 3.7. Wir wählen G = Sn , N = An und H = h(1, 2)i = {e, (1, 2)}. Dann ist Sn = An H = An ∪ {π(1, 2) : π ∈ An } und An ∩ H = {e}. Algebra 1

20

3.2

Semidirekte Produkte

∼ Zn und H = hsi ∼ Beispiel 3.8. Wir betrachten G = Dn , N = hdi = = Z2 . Dann ist   Dn = N H = di : i ≤ n ∪ di s : i ≤ n und N ∩ H = {e}. Hierbei ist ρ : H → Aut(N ) dadurch gegeben, dass ρ(e) = idN und ρ(s) : N → N , d 7→ sds = d−1 . Wir erinnern auch an die Situation, in der wir eine Gruppe G der Ordnung |G| = pq betrachteten, wobei p < q Primzahlen sind. In diesem Fall ist entweder G ∼ = Zpq oder es ist G = hs, di mit ord(s) = p und ord(d) = q mit ds = sdr , r ∈ Z. Wir behaupten, dass in letzterem Fall ein semidirektes Produkt vorliegt. Dabei wählen wir N := hdi als Normalteiler. Dass tatsächlich N E G folgt dabei aus sq = 1, also daraus, dass N die einzige p-Sylow-Untergruppe von G ist. Mit H := hsi überprüfen wir leicht G = N H und N ∩ H = {e}, dass also G tatsächlich das semidirekte Produkt von N und G ist. Wir wollen nun zeigen, wie sich ein semidirektes Produkt G = N H eindeutig bis auf Isomorphie aus den beteiligten Untergruppen N und H und dem zugehörigen Gruppenhomomorphismus ρ : H → Aut(N ) konstruieren lässt. Dazu zeigen wir, dass die Gruppenstruktur auf G = N H eindeutig durch N , H und ρ bestimmt ist. Sind nämlich n1 h1 ∈ N H und n2 h2 ∈ N H, so können wir das Produkt (n1 h1 )(n2 h2 ) darstellen, ohne auf die Multiplikation in G zurückgreifen zu müssen, indem wir −1 (n1 h1 )(n2 h2 ) = n1 h1 n2 h−1 1 h2 1 h1 h2 = n1 (h1 n2 h1 )h1 h2 = n1 ρ(h1 )(n2 ) h | {z } | {z } ∈N

(3.2)

∈H

beobachten. Da wir also das semidirekte Produkt N H von N und H mit zugehörigem Gruppenhomomorphismus ρ : H → Aut(N ) ohne Verwendung von G darstellen können, kann uns dies Motivation sein, semidirekte Produkte von beliebigen Gruppen zu bilden, die nicht in einer gemeinsamen Obergruppe G enthalten sind (welche wir für die Gruppenstruktur auf N H nicht benötigen). Definition 3.9. Es seien N und H zwei Gruppen und ρ : H → Aut(N ) ein Gruppenhomomorphismus. Dann definieren wir auf dem kartesischen Produkt N × H die durch (3.2) inspirierte Multiplikation
(n1 , h1 )(n2 , h2 ) := n1 ρ(h1 )(n2 ), h1 h2 . So entsteht auf N × H eine Gruppenstruktur (Übung) und wir bezeichnen die entstandene Gruppe mit N oρ H und nennen sie das (externe) semidirekte Produkt von N und H. Dass diese Bezeichnung tatsächlich sinnvoll ist, zeigt das folgende Lemma. Lemma 3.10. Es seien N und H zwei Gruppen und ρ : H → Aut(N ) ein Gruppenhomomorphismus. Wir setzen G := N oρ H, N 0 := N × {e} und H 0 := {e} × H. Dann gelten die folgenden Aussagen. (i) Es ist N 0 E G ein Normalteiler von G. (ii) Es ist H 0 ≤ G eine Untergruppe von G. (iii) Es gilt G = N 0 H 0 . 21

Algebra 1

3

Fortführung der Gruppentheorie

(iv) Der Schnitt N 0 ∩ H 0 = {(e, e)} von N 0 und H 0 ist trivial. Mit anderen Worten ist also das externe semidirekte Produkt von N und H das interne semidirekte Produkt von N 0 und H 0 . Beweis. Die Aussagen (ii) und (iv) sind nach Definition von N 0 und H 0 klar, ebenso die Untergruppeneigenschaft von N 0 , denn für n1 , n2 ∈ N ist (n1 , e)(n2 , e) = (n1 ρ(e)(n2 ), ee) = (n1 id(n2 ), e) = (n1 n2 , e) . Für (iii) beobachten wir, dass wir (n, h) ∈ G stets als Produkt (n, e)(e, h) = (nρ(e)(e), eh) = (n, h) darstellen können. Um nun zu zeigen, dass N 0 nicht nur Untergruppe, sondern sogar Normalteiler von G ist, bemerken wir zunächst, dass wir nach (iii) jedes g ∈ G als g = n0 h0 mit n0 = (n, e) ∈ N 0 und h0 = (e, h) ∈ H 0 schreiben können. Dann ist wegen (n0 h0 )−1 = (h0 )−1 (n0 )−1 die Konjugation mit n0 h0 dasselbe wie die Konjugation mit h0 gefolgt von einer Konjugation mit n0 . Da letztere offenbar die Untergruppe N 0 invariant lässt, bleibt es zu zeigen, dass auch die Konjugation mit h0 die Untergruppe N 0 invariant lässt. Um wiederum dies nachzuweisen, beobachten wir zunächst (e, h)−1 = (e, h−1 ) und damit

(e, h)(n, e)(e, h)−1 = (e, h)(n, e)(e, h−1 ) = eρ(h)(n), he (e, h−1 ) = ρ(h)(n), h (e, h−1 )

= ρ(h)(n)ρ(h)(e), hh−1 = ρ(h)(n), e ∈ N 0 .

Auch interne semidirekte Produkte können wir als externe semidirekte Produkte auffassen. Satz 3.11. Es sei G internes semidirektes Produkt von N E G und H ≤ G. Definieren wir ρ : H → Aut(N ) durch die Konjugation ρ(h)(n) := hnh−1 , so sind N oρ H und G auf kanonische Weise isomorph, es ist nämlich N oρ H → G , (n, h) 7→ nh ein Gruppenisomorphismus. Weiterhin ist G/N isomorph zu H. Beweis. Dass die genannte Abbildung ein Homomorphismus ist, ergibt sich aus der Gleichung (3.2) für die Multiplikation in G, nach welcher wir nämlich die Multiplikation in N oρ H definiert haben. Die Injektivität ergibt sich durch N ∩ H = {e} und die Surjektivität durch G = N H, was gerade die Definition eines internen semidirekten Produktes ist. Weiterhin bemerken wir, dass die Abbildung G → H, welche nh auf h abbildet ein surjektiver Gruppenhomomorphismus ist, dessen Kern gerade N ist, womit schließlich auch G/N = H folgt. Beispiel 3.12. Wir greifen Beispiel 3.8 auf und setzen N := hdi E Dn und H := hsi ≤ Dn , so dass Dn das semidirekte Produkt von N und H ist. Mit dem zugehörigen Gruppenhomomorphismus (ρ(s)(di ) = d−i ), N ∼ = Zn und H ∼ = Z2 ist also die Diedergruppe Dn isomorph zum semidirekten Produkt Zn oρ Z2 der zyklischen Gruppen Zn und Z2 . Algebra 1

22

3.3

3.3

Auflösbare Gruppen

Auflösbare Gruppen

Definition 3.13. Es sei G eine Gruppe. Eine Kette G = G0 ≥ G1 ≥ . . . ≥ Gr = {e} heißt Normalreihe von G, falls Gi+1 stets ein Normalteiler von Gi ist, wobei i = 0, . . . , r − 1. Eine Gruppe Gi /Gi+1 heißt Faktor der Normalreihe und die Zahl r heißt Länge der Normalreihe. Definition 3.14. Eine Gruppe G heißt auflösbar, falls sie eine Normalreihe mit abelschen Faktoren besitzt. Ein Beispiel für auflösbare Gruppen liefert der folgende Satz. Lemma 3.15. Jede p-Gruppe ist auflösbar. Genauer: Es sei G eine Gruppe der Ordnung |G| = pr , wobei p eine Primzahl sei. Dann existiert eine Normalreihe G = G0 ≥ G1 ≥ . . . ≥ Gr = {e} , so dass |Gi /Gi+1 | = p für alle i = 0, . . . , r − 1. Die Faktoren sind also zyklisch (und damit abelsch) von der Ordnung p. Beweis. Wir führen eine Induktion über r durch. Der Induktionsanfang für r = 0 ist leicht, denn dann ist G die triviale Gruppe. Ansonsten wissen wir, dass |Z(G)| > 1 ist und wir eine Untergruppe H ≤ Z(G) der Ordnung |H| = p wählen können. Dann ist H sogar ein Normalteiler und G/H eine Gruppe der Ordnung pr−1 . Finden wir eine Normalreihe G/H = G00 ≥ G01 ≥ . . . ≥ G0r−1 = {e} mit Faktoren der Ordnung p, so bezeichnen wir mit π : G → G/H den kanonischen Homomorphismus und setzen Gi := π −1 (G0i ), um eine Normalreihe G = G0 ≥ G1 ≥ . . . Gr−1 = H ≥ Gr = {e} zu erhalten, deren Faktoren Gi /Gi+1 ≈ G0i /G0i+1 (Isomorphiesatz) die Ordnung p haben. Offenbar sind auch alle abelschen Gruppen auflösbar. Für einfache Gruppen gilt sogar die Umkehrung: Bemerkung 3.16. Einfache Gruppen sind genau dann auflösbar, wenn sie abelsch sind. Satz 3.17. Für n ≥ 5 ist die alternierende Gruppe An einfach (und damit nicht auflösbar). Für den Beweis dieses Satzes benötigen wir zwei Lemmata, zu deren ersterem der Beweis eine Übungsaufgabe ist. Lemma 3.18. Für n ≥ 3 wird An von den Zykeln der Länge Drei erzeugt. Lemma 3.19. Ist N E An ein Normalteiler der alternierenden Gruppe für n ≥ 3 und ist (123) ∈ N , so ist N = An .

23

Algebra 1

3

Fortführung der Gruppentheorie

Beweis. Nach dem soeben unbewiesenen Lemma brauchen wir nur zu zeigen, dass N alle Zykel der Länge Drei enthält. Sind also i, j, k ∈ {1, . . . , n} paarweise verschieden, so wollen wir zeigen, dass N den Zykel (ijk) enthält. Dazu sei σ ∈ Sn derart, dass σ(1) = i, σ(2) = j und σ(3) = k. Ist sogar σ ∈ An , so ist bereits
σ(123)σ −1 = σ(1)σ(2)σ(3) = (ijk) ∈ N . Ist dies hingegen nicht der Fall, so ist jedoch σ(12) ∈ An und mit (12)−1 = (12) beobachten wir
σ(12)(123)(12)σ −1 = σ(132)σ −1 = σ(1)σ(3)σ(2) = (ikj) ∈ N . Jedoch ist mit (ikj) auch der Zykel (ijk) in N enthalten, da nämlich (ijk) = (ikj)2 . Nun können wir den bereits formulierten Satz beweisen. Beweis von Satz 3.17. Es sei N E An ein nichttrivialer Normalteiler, d.h. N 6= {e}. Wir wollen Lemma 3.19 verwenden, um N = An zu folgern, wofür wir also nachzuweisen haben, dass N zumindest einen Zykel der Länge Drei enthält. Wir bezeichnen hierzu die Anzahl der Nichtfixpunkte einer Permutation τ ∈ An mit m(τ ). Für τ 6= id ist dann m(τ ) ≥ 3. Wir wollen zeigen, dass N eine Permutation τ enthält, für welche gerade m(τ ) = 3 ist, denn dann ist τ ein Zykel der Länge Drei. Es sei also τ ∈ N mit τ 6= id so gewählt, dass m(τ ) minimal ist. Um m(τ ) = 3 zu zeigen, führen wir zuerst m(τ ) = 4 zu einem Widerspruch. Wäre dies nämlich der Fall, so wäre τ ein Produkt von zwei Transpositionen und wir können τ = (12)(34) annehmen. Nun jedoch können wir mit (345) konjugieren und erhalten eine Permutation τ1 := (345)τ (345)−1 = (12)(45). Dann wäre τ τ1 = (12)(34)(12)(45) = (34)(12)(12)(45) = (34)(45) = (345) ein Zykel der Länge Drei. Nun nehmen wir m(τ ) ≥ 5 an. Wir machen abermals eine Fallunterscheidung hinsichtlich der Länge L eines längsten Zykels in der Zykelzerlegung von τ . Diese mag Zwei, Drei oder größer sein. Für alle Fälle wird uns die Permutation τ1 hilfreich sein, welche wir durch Konjugation mit (234) erhalten: τ1 := (234)τ (234)−1 . Im Falle, dass L ≥ 4 ist, können wir τ = (123 . . . L) . . . annehmen und sehen m(τ1−1 τ ) ≤ 4, da τ1 (k) = τ (k) für alle k ≥ 5. Da außerdem τ1 6= τ , ist τ1−1 τ nicht die Identität, weshalb mit m(τ1−1 τ ) ≥ 3 die Minimalität von m(τ ) ≥ 5 verletzt ist. Der Fall L = 2 wird analog behandelt, in welchem wir nämlich τ = (12)(34)(56) . . . annehmen können. Im Falle L = 3 schließlich können wir annehmen, dass τ von der Form τ = (123)(456) . . . ist. Dann ist sogar m(τ ) ≥ 6, doch mit τ1 (k) = τ (k) für k ≥ 6 erhalten wir ähnlich wie oben m(τ1−1 τ ) ≤ 5. Wir beschäftigen uns nun mit Kompositionsreihen. Definition 3.20. Eine Verfeinerung einer Normalreihe entsteht durch Einfügen weiterer Untergruppen, so dass wieder eine Normalreihe entsteht. Ist G = G0 ≥ · · · ≥ Gr = {e} eine Normalreihe, so heißt G = H0 ≥ · · · ≥ Hs = {e} eine Verfeinerung, falls zu jedem i ≤ r ein j ≤ s existiert, so dass Gi = Hj . Algebra 1

24

3.3

Auflösbare Gruppen

Beispiel 3.21. Die Normalreihe S4 ≥ A4 ≥ {e} besitzt S4 ≥ A4 ≥ K ≥ {e} als Verfeinerung, wobei K die Kleinsche Vierergruppe bezeichne. Definition 3.22. Eine Kompositionsreihe einer Gruppe G ist eine Normalreihe, welche keine (echte) Verfeinerung besitzt: Eine Normalreihe aus paarweise verschiedenen Untergruppen, welche keine Verfeinerung besitzt, die abermals aus paarweise verschiedenen Untergruppen besteht. Beispiel 3.23. Die Normalreihe S4 ≥ A4 ≥ V =: {e, a, b, c} ≥ {e, a} ≥ {e} ist eine Kompositionsreihe. Ihre Faktorgruppen sind zyklisch der Ordnung 2, 3, 2 bzw. 2. Bemerkung 3.24. Endliche Gruppen besitzen stets Kompositionsreihen. Die Gruppe Z jedoch besitzt keine. Bemerkung 3.25. Es sei G = G0 ≥ . . . ≥ Gr = {e} eine Normalreihe mit Gi 6= Gi+1 . Dann ist dies genau dann eine Kompositionsreihe, wenn die Faktoren Gi /Gi+1 einfach sind. Beweis. Wir finden für jedes i eine Bijektion zwischen {H : Gi+1 ≤ H ≤ Gi } nach {K : K ≤ Gi /Gi+1 }, welche H auf H/Gi+1 abbildet. So können wir Normalteiler Gi+1 E H E Gi mit Normalteilern H/Gi+1 E Gi /Gi+1 identifizieren. Definition 3.26. Zwei Normalreihen einer Gruppe G heißen isomorph, falls ihre Faktoren bis auf Permutationen und Isomorphie übereinstimmen. Beispiel 3.27. Es sei G eine zyklische Gruppe der Ordnung Sechs mit Erzeuger g. Dann sind G ≥ hg 2 i ≥ {e} und G ≥ hg 3 i ≥ {e} zwei isomorphe Normalreihen mit Faktoren der Ordnungen Zwei und Drei. Lemma 3.28. Sind (Gi )i≤r und (Hj )j≤s zwei isomorphe Normalreihen, so existiert zu jeder Verfeinerung von (Gi ) eine dazu isomorphe Verfeinerung von (Hj ). Beweisskizze. Es sei Gi /Gi+1 ∼ = Hj /Hj+1 . Wie zu Bemerkung 3.25 können wir die Normalteiler dieser Gruppen identifizieren. Satz 3.29 (Schreier). Zwei beliebige Normalreihen (Gi )i≤r und (Hj )j≤s einer Gruppe G besitzen Verfeinerungen, welche zueinander isomorph sind. Beweis. Für r = 1 oder s = 1 ist die Aussage klar. Wir betrachten nun s = 2 und führen eine Induktion nach r durch. Es sei dazu r ≥ 2. Wir betrachten also die Normalreihen G = G0 ≥ . . . ≥ Gr = {e} und G ≥ H ≥ {e} . Auch betrachten wir die Normalteiler D := G1 ∩H E G und P := G1 H E G. Nach unserer Induktionsvoraussetzung sollen die Normalreihen G1 ≥ G2 ≥ . . . ≥ {e} und G1 ≥ D ≥ {e} von G1 isomorphe Verfeinerungen G1 ≥ . . . ≥ G2 ≥ . . . ≥ Gr−1 ≥ . . . ≥ Gr = {e}

(3.3)

G1 ≥ . . . ≥ D ≥ . . . ≥ {e}

(3.4)

und

25

Algebra 1

3

Fortführung der Gruppentheorie

besitzen. G

P

G1

H

D

{e} Der zweite Isomorphiesatz 1.54 liefert uns P/H ∼ = H/D. Damit sind = G1 /D und P/G1 ∼ die Normalreihen P ≥ G1 ≥ D ≥ {e} (3.5) und P ≥ H ≥ D ≥ {e}

(3.6)

isomorph. Fügen wir P zu (3.4) hinzu, erhalten wir eine Verfeinerung P ≥ G1 ≥ . . . ≥ D ≥ . . . ≥ {e} von (3.5). Nach dem vorigen Lemma finden wir also eine dazu isomorphe Verfeinerung P ≥ . . . ≥ H ≥ . . . ≥ D ≥ . . . ≥ {e} von (3.6). Insgesamt erhalten wir also G ≥ P ≥ G1 ≥ . . . ≥ G2 ≥ . . . ≥ Gr−1 ≥ . . . ≥ Gr = {e} | {z } (3.3)

und G ≥ P ≥ G1 ≥ . . . ≥ D ≥ . . . ≥ {e} | {z } (3.4)

und außerdem G ≥ P ≥ . . . ≥ H ≥ . . . ≥ D ≥ . . . ≥ {e} als drei isomorphe Normalreihen. Die erste ist eine Verfeinerung von (Gi ) und die zweite eine von G ≥ H ≥ {e}. Damit ist der Fall s = 2 abgehandelt. Für s > 2 führen wir eine Induktion nach s durch. Bei gegebenen Normalreihen (Gi )i≤r und (Hj )j≤s wenden wir die Aussage für s = 2 auf G ≥ H1 ≥ {e} an und erhalten eine Verfeinerung G ≥ . . . ≥ G1 ≥ . . . ≥ Gr−1 ≥ . . . ≥ {e} (3.7) von (Gi ), welche isomorph zu einer Verfeinerung G ≥ . . . ≥ H1 ≥ . . . ≥ {e}

(3.8)

von G ≥ H1 ≥ {e} ist. Nach Induktionsvoraussetzung sollen das rechte Stück H1 ≥ . . . ≥ {e} und H1 ≥ H2 ≥ . . . ≥ Hs−1 ≥ {e} isomorphe Verfeinerungen besitzen. Fügen wir der Verfeinerung von (Hj )1≤j≤s zu Beginn das „linke Stück“ aus (3.8), so erhalten wir eine Verfeinerung von (Hj )j≤s , welche isomorph zu einer Verfeinerung von (3.7) ist. Algebra 1

26

3.3

Auflösbare Gruppen

Satz 3.30 (Jordan-Hölder). Es sei G eine Gruppe. (i) Je zwei Kompositionsreihen von G sind isomorph. (ii) Besitzt G eine Kompositionsreihe, so kann jede Normalreihe von G zu einer solchen verfeinert werden.

27

Algebra 1

4

Ringe

4 4.1

Ringe Grundlegende Begriffe

Wir wollen die Definition eines Ringes und anderer grundlegender Objekte in der Ringtheorie angeben. Zunächst definieren wir dazu Monoide. Definition 4.1. Ein Monoid (auch Halbgruppe) ist eine Menge S mit einer zweistelligen Verknüpfung S × S, (s, t) 7→ st = s · t (Multiplikation) und einem ausgezeichneten Element e ∈ S (neutrales Element), für welche die Beziehungen (rs)t = r(st) und es = se = s für alle r, s, t ∈ S gelten. Ein Monoid S heißt kommutativ, falls außerdem st = ts für alle s, t ∈ S gilt. Bemerkung 4.2. Eine Gruppe ist also ein Monoid, in welchem inverse Elemente existieren. Umgekehrt betrachtet ist ein Monoid eine Gruppe, in welcher wir auf die Existenz von Inversen verzichten (womit jede Gruppe auch ein Monoid ist). Bemerkung 4.3. Ähnlich wie in der Gruppentheorie ist das Einselement eines Monoids durch die Multiplikation eindeutig bestimmt. Siehe dazu die Ausführungen vor Bemerkung 1.5. Beispiel 4.4. Die Monoide (N, +, 0) und (N, ·, 1) sind keine Gruppen. Nun können wir zur Definition von Ringen gelangen. Definition 4.5. Ein Ring ist eine Menge A mit zwei zweistelligen Verknüpfungen + und ·, zwei ausgezeichneten Elementen 0 und 1 und einer einstelligen Operation −, so dass (A, +, −, 0) eine abelsche Gruppe und (A, ·, 1) ein Monoid ist und weiterhin für alle a, b, c ∈ A die Distributivgesetze a(b + c) = ab + ac und (a + b)c = ac + bc gelten. Einen Ring A nennen wir kommutativ, falls das Monoid (A, ·, 1) kommutativ ist, falls also ab = ba für alle a, b ∈ A gilt. Bemerkung 4.6. Für alle Elemente a ∈ A eines Rings A stellen wir zunächst a·0 = 0·a = 0 fest, denn a · 0 = a(0 + 0) = a · 0 + a · 0. Außerdem ist a(−b) = (−a)b = −(ab) für alle a, b ∈ A und es gelten die verallgemeinerten Distributivgsetze (a1 + · · · + an )b = a1 b + · · · + an b und b(a1 + · · · + an ) = ba1 + · · · + ban , wie man leicht durch Induktion nachweist. In der Literatur wird oft auf die Forderung der Existenz des Einselements 1 verzichtet. Die Subtraktion in einem Ring A definieren wir durch a − b := a + (−b) für a, b ∈ A. Beispiel 4.7. Die Zahlenbereiche Z, Q, R und C sind kommutative Ringe. Weitere (im allgemeinen nicht kommutative) Beispiele sind End(V ) und kn×n , wobei k ein Körper und V ein k-Vektorraum ist. Ein trivialer Ring ist A = {0}, in welchem 0 = 1 gilt. Definition 4.8. Ein Element a ∈ A eines Rings A heißt Einheit, falls es ein b ∈ A gibt, für welches ab = ba = 1 erfüllt ist. Bemerkung 4.9. Eine Einheit ist also ein Element, welches multiplikativ invertierbar ist. Die Menge der Einheiten eines Rings A bildet eine (multiplikative) Gruppe, welche mit A× bezeichnet wird (die Einheitengruppe von A). Algebra 1

28

4.2

Ideale und Quotientenringe

Beispiel 4.10. Im Ring Z der ganzen Zahlen sind nur 1 und −1 Einheiten, also Z× = {−1, 1}. In Q jedoch sind alle von Null verschiedenen Elemente Einheiten, d.h. Q× = Q \ {0}. Weiter ist End(V )× = GL(V ) und (kn×n )× = GLn (k). Die eben genannte Eigenschaft von Q soll nun die folgende Definition motivieren. Definition 4.11. Ein Körper ist ein kommutativer Ring mit 0 6= 1, in welchem jedes von Null verschiedene Element eine Einheit ist (also A× = A \ {0}). Die Mengen Q, R und C sind also Körper. Definition 4.12. Ist A ein Ring, so nennen wir eine Teilmenge B ⊂ A einen Unterring von A, falls B die Elemente 0 und 1 enthält und abgeschlossen unter den Operationen +, − und · ist, falls also für alle a, b ∈ B auch a + b ∈ B, −a ∈ B und ab ∈ B. Ein Unterring ist also eine Teilmenge, welche mit der vererbten Struktur ein Ring ist. Definition 4.13. Es seien A und B zwei Ringe. Eine Abbildung ϕ : A → B heißt Ringhomomorphismus, falls für alle a, a0 ∈ A die Beziehungen ϕ(a + a0 ) = ϕ(a) + ϕ(a0 ) und ϕ(aa0 ) = ϕ(a)ϕ(a0 ) gelten und außerdem ϕ(1) = 1 ist. Es ist leicht zu zeigen, dass Ringhomomorphismen auch Null auf Null abbilden. Bemerkung 4.14. Ist ϕ : A → B ein Ringhomomorphismus und sind A0 ⊂ A, B 0 ⊂ B zwei Unterringe, so ist ϕ(A0 ) ein Unterring von B und ϕ−1 (B 0 ) ein Unterring von A.

4.2

Ideale und Quotientenringe

Es sei nun A ein Ring und I ⊂ A eine additive Untergruppe von A. Dann erhalten wir Restklassengruppen der Form A/I = {a + I : a ∈ A} und einen kanonischen Gruppenhomomorphismus π : A → A/I, welcher a ∈ A auf die Restklasse a := a+I abbildet. Wir wollen nun auf A/I auch eine Multiplikation einführen, so dass π zum Ringhomomorphismus wird. Dazu soll ab = ab gelten, was für a ∈ A und b ∈ I nun ab = ab = a · 0 = 0 bedeutet. Dies wiederum versteht sich als ab ∈ I und analog ergäbe sich ba ∈ I. Diese Eigenschaft wollen wir also von I erwarten, um A/I als Ring auffassen zu können. Definition 4.15. Ein Ideal I ⊂ A eines Rings A ist eine additive Untergruppe von A mit der Eigenschaft, dass Produkte von Elementen aus A in I liegen, wann immer dies für zumindest einen der Faktoren gilt. Für a ∈ A und b ∈ I gelte also ab ∈ I sowie ba ∈ I. Ein Ideal soll also abgeschlossen sowohl unter Rechts- als auch unter Linksmultiplikation mit beliebigen Elementen aus A sein. Nach obiger Überlegung können wir für Ideale I ⊂ A also A/I als Ring auffassen. Bemerkung 4.16. Ein Ideal I ⊂ A eines Rings A, welches eine Einheit enthält, ist bereits der ganze Ring. Ist nämlich a ∈ I eine Einheit, so ist für jedes b ∈ A auch b = a(a−1 b) ∈ I. Insbesondere existieren keine von A verschiedenen Ideale, welche auch Unterringe sind. Bemerkung 4.17. Ist ϕ : A → A0 ein Ringhomomorphismus, so ist ker ϕ ein Ideal in A.

29

Algebra 1

4

Ringe

Beweis. Sind a ∈ A und b ∈ ker ϕ, so ist ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) = ϕ(a) · 0 = 0 , also ab ∈ ker ϕ. Analog lässt sich ba ∈ ker ϕ zeigen. Satz 4.18. Es sei I ein Ideal eines Rings A. Dann ist auf  A/I := a + I : a ∈ A eine Ringstruktur definiert, so dass die kanonische Abbildung π : A → A/I , a 7→ a + I =: a ein surjektiver Ringhomomorphismus mit ker π = I ist. Der so entstandene Ring A/I heißt Quotientenring bzw. Faktorring. Beweis. Zunächst ist A/I eine abelsche Gruppe. Wir definieren eine Multiplikation auf A/I durch a · b := ab . Zunächst weisen wir die Wohldefiniertheit dieser Multiplikation nach. Dazu seien x, y ∈ I. Wir beobachten (a + x)(b + y) = ab + ay + xb + xy = ab + ay + x(b + y) ∈ ab + I . |{z} | {z } ∈I

∈I

Seien nun a, b, c ∈ A. Dann erhalten wir (ab)c = abc = (ab)c = a(bc) = abc = a(bc) und analog a1 = a = 1a . Die Distributivgesetze lassen sich ähnlich leicht nachweisen. Beispiel 4.19. Wir betrachten den Ring A = Z der ganzen Zahlen. Für m ∈ Z setzen wir  (m) := {am : a ∈ Z} = x ∈ Z : m|x und stellen fest, dass dies ein Ideal ist. Da jede Untergruppe von Z diese Form hat, lassen sich auch alle Ideale auf diese Weise darstellen. Den Quotientenring Z/(m) nennen wir Restklassenring modulo m. Dieser kann mit der Menge {0, 1, . . . , m − 1} identifiziert werden. Satz 4.20 (Universelle Eigenschaft). Seien A und A0 zwei Ringe und I ⊂ A ein Ideal. Weiter sei ϕ : A → A0 ein Ringhomomorphismus mit I ⊂ ker ϕ. Dann gibt es genau einen Ringhomomorphismus ϕ∗ : A/I → A0 , so dass das folgende Diagramm kommutiert: A 

π

ϕ

ϕ∗

A/I Beweis. Analog zur Gruppentheorie. Algebra 1

30

/ A0 =

4.3

Polynomringe

Im Folgenden sei A stets ein kommutativer Ring. Definition 4.21. Ein Ideal P von A heißt Primideal, falls P 6= A und für alle a, b ∈ A stets a ∈ P oder b ∈ P folgt, wann immer ab ∈ P gilt. Beispiel 4.22. Wir betrachten wieder A = Z und eine nichtnegative ganze Zahl m ∈ Z. Wir wollen die Frage klären, wann (m) ein Primideal ist. Ist (m) eines, so zieht für alle a, b ∈ A die Beziehung m|ab entweder m|a oder m|b nach sich. Zunächst stellen wir fest, das alle Primzahlen m dies erfüllen, ebenso m = 0 und m = 1. Ist m jedoch zusammengesetzt mit m = ab, wobei 1 < a, b < m, so ist die genannte Bedingung verletzt. Als Ergebnis erhalten wir, dass (m) genau dann ein Primideal von Z ist, wenn m Null oder eine Primzahl ist. Definition 4.23. Es sei A ein kommutativer Ring. (i) Ein Element a ∈ A heißt Nullteiler, falls a 6= 0 ist und es ein von Null verschiedenes b ∈ A gibt, so dass ab = 0. (ii) Der Ring A heißt Integritätsbereich, falls er nicht der triviale Ring {0} ist und keine Nullteiler besitzt. Beispiel 4.24. Der Restklassenring Z/(6) ist kein Integritätsbereich, denn 2 · 3 = 6 = 0, obwohl 2 6= 0 und 3 6= 0. Bemerkung 4.25. Ein kommutativer Ring A 6= {0} ist genau dann Integritätsbereich, wenn für zwei von Null verschiedene Elemente a, b ∈ A auch ihr Produkt ab von Null verschieden ist. Satz 4.26. Es sei A ein kommutativer Ring und I ⊂ A ein Ideal. Dann ist I genau dann ein Primideal, wenn A/I ein Integritätsbereich ist. Beweis. Zunächst ist I 6= A äquivalent dazu, dass A/I 6= {0} ist. Weiter ist A/I genau dann ein Integritätsbereich, wenn für alle von Null verschiedenen a, b ∈ A/I auch ab von Null verschieden ist, was wiederum bedeutet, dass für alle a, b ∈ A, welche nicht in I liegen, auch ab nicht in I liegt. Äquivalent dazu ist die Bedingung, dass a ∈ I oder b ∈ I gilt, wann immer ab ∈ I gilt. Dies jedoch ist genau die Forderung an I, welche die Definition eines Primideals vervollständigt. Korollar 4.27. Der Restklassenring Z/(m) ist genau dann ein Integritätsbereich, wenn m Null oder eine Primzahl ist.

4.3

Polynomringe

In diesem Abschnitt wollen wir einen Polynombegriff über beliebigen kommutativen Ringen definieren. Die Idee dabei ist, ein „Polynom“ a0 + a1 x + · · · + ad xd , ai ∈ A, durch seine Koeffizientenfolge (a0 , . . . , ad ) zu definieren. Definition 4.28. Es sei A ein kommutativer Ring. Die Menge A[X] ist die Menge aller abbrechenden Folgen mit Gliedern in A, d.h. n o A[X] := (ai )i∈N ∈ AN : ai = 0 für alle bis auf endlich viele i , und heißt Polynomring in der Unbestimmten X über A. Die Elemente von A[X] heißen Polynome. 31

Algebra 1

4

Ringe

Bemerkung 4.29. Wir können A[X] als Untergruppe von AN bezüglich der komponentenweisen Addition auffassen. Weiter definieren wir eine Multiplikation auf A[X], indem wir das Produkt zweier Polynome (ai ), (bj ) ∈ A[X] als (ai )(bj ) = (ck ) festlegen, wobei ck :=

k X

ai bk−i .

i=0

Dadurch entsteht eine kommutative und assoziative Multiplikation auf A[X]. Es lässt sich nun nachweisen, dass A[X] mit den so definierten Operationen ein kommutativer Ring ist, dessen neutrales Element der Multiplikation durch (1, 0, 0, . . . ) gegeben ist. Bemerkung 4.30. Die Abbildung A → A[X], welche a ∈ A auf (a, 0, 0, . . . ) abbildet, ist ein injektiver Ringhomomorphismus. Somit können wir A als Unterring von A[X] auffassen. Statt (1, 0, 0, . . . ) schreiben wir 1 und anstelle von (0, 1, 0, 0, . . . , ) schreiben wir X: 1 := (1, 0, 0, . . . , ) und X := (0, 1, 0, . . . ) . So erhalten wir X · (b0 , b1 , . . . ) = (0, b0 , b1 , . . . ) . Weiterhin ist X 2 = X · X = (0, 0, 1, 0, 0 . . . ) und X i = (0, . . . , 0, |{z} 1 , 0, . . . ) . (i+1)-te Stelle

Für f = (a0 , a1 , . . . ) ∈ A[X] gilt deshalb f = a0 (1, 0, 0, . . . )+a1 (0, 1, 0, . . . )+· · ·+ad (0, . . . , 0, 1, 0, . . . ) = a0 +a1 X+a2 X 2 +· · ·+ad X d für ein d ≥ 0 und diese Darstellung ist eindeutig. Genauer: Ist m X

ai X i =

i=0

n X

bj X j

j=0

mit n ≥ m, so folgt für alle 0 ≤ i ≤ m, dass ai = bi gilt, und es ist bj = 0 für j > m. Beispiel 4.31. Ist A = k ein Körper, so ist k[X] ein k-Vektorraum, welcher nicht endlichdimensional ist, da die Elemente 1, . . . , X n stets k-linear unabhängig sind, wenn n ∈ N. P Definition 4.32. Der Grad eines von Null verschiedenen Polynoms f = ni=0 ai X i in A[X] ist definiert als n o d := deg f := max i ∈ N : ai 6= 0 . Der Koeffizient ad heißt Leitkoeffizient von f . Wir können also f = ad X d + · · · + a0 schreiben. Lemma 4.33. Ist A ein Integritätsbereich, so ist das Produkt f g aller von Null verschiedenen Polynome f, g ∈ A[X] wieder von Null verschieden und der Grad von f g ist die Summe der Grade von f und g, d.h. deg(f g) = deg f + deg g . Algebra 1

32

4.3

Polynomringe

Weiterhin ist deg(f + g) ≤ max deg f, deg g , falls f + g nicht das Nullpolynom ist. Sind die Grade von f und g verschieden, so gilt sogar Gleichheit. Beweis. Wir schreiben f = an X n + · · · + a0 und g = bm X m + · · · + b0 mit an 6= 0 und bm 6= 0, so dass deg f = n und deg g = m. Ist A ein Integritätsbereich, so ist an bm 6= 0 und daher f g = an bm X m+n + · · · + (a1 b0 + a0 b1 )X + a0 b0 , | {z } 6=0

was deg(f g) = n + m zeigt. Für den zweiten Teil der Behauptung sei o.B.d.A. n 6= m. Ist n > m, so ist f + g = an X n + · · · + (am + bm )X m + · · · + (a0 + b0 ) ,
womit deg(f + g) = max deg f, deg g = n wäre. Ist jedoch n = m, so ist f + g = (an + bn )X n + · · · + (a0 + b0 ) , womit zumindest deg(f + g) ≤ n gilt. Die Gleichheit gilt dabei, falls an + bn 6= 0. Bemerkung 4.34. Ist der Ring A ein Integritätsbereich, so ist auch der Polynomring A[X] ein Integritätsbereich. Ein von Null verschiedenes Polynom in A[X] ist genau dann eine Einheit in A[X], wenn sein Grad Null ist und sein Leitkoeffizient bzw. das Polynom als Element von A aufgefasst eine Einheit in A ist. Beweis. Ist f ∈ A[X] eine Einheit, so gibt es ein g ∈ A[X], für welches f g = 1 in A[X] gilt. Dann ist 0 = deg(f g) = deg f + deg g . Da der Grad jedoch eine nichtnegative ganze Zahl ist, muss deg f = 0 und deg g = 0 sein, d.h. wir können f und g als Elemente von A auffassen und erhalten f ∈ A× . Die Umkehrung ist klar. Definition 4.35. Es sei A ein Integritätsbereich. Wir sagen, dass ein Polynom g ∈ A[X] ein Polynom f ∈ A[X] teilt, falls es ein Polynom h ∈ A[X] gibt, welches gh = f erfüllt. In diesem Falle schreiben wir g|f . Bemerkung 4.36. Aus g|f und f 6= 0 (woraus g 6= 0 folgt) ergibt sich stets deg g ≤ deg f . Beweis. Aus gh = f erhalten wir deg f = deg(gh) = deg g + deg h ≥ deg g .

Wir wollen nun den Polynomen Funktionen zuordnen. Ist also ein Polynom f = in A[X] gegeben, so definieren wir die zugehörige Polynomfunktion A → A , ξ 7→

n X

Pn

i=0 ai X

i

ai ξ i = f (ξ) .

i=0

Zu beachten ist, dass diese Zuordnung jedoch nicht injektiv sein muss, d.h. zu zwei Polynomen kann auf diese Weise dieselbe Polynomfunktion zugeordnet werden. 33

Algebra 1

4

Ringe

Beispiel 4.37. Wir wählen als Ring den Körper A = Zp und betrachten f = X p − X ∈ Zp [X]. Für ξ ∈ Zp ist nun nach dem kleinen Fermatschen Satz ξ p − ξ = 0, obwohl f 6= 0. × Beweis. Zunächst ist Z× p = Zp \ {0}, was |Zp | = p − 1 liefert, und der Satz von Lagrange × p−1 besagt, dass für alle ξ ∈ Zp die Relation ξ = 1 gilt. Daraus ergibt sich sofort ξ p−1 − 1 = 0, also ξ p − ξ = 0, was für ξ = 0 offensichtlich ist.

Bemerkung 4.38. Für ξ ∈ A ist die Abbildung A[X] → A , f 7→ f (ξ) ein Ringhomomorphismus, welcher Auswertungsmorphismus an der Stelle ξ genannt wird. Die Behauptung ist durch (f + g)(ξ) = f (ξ) + g(ξ) und (f g)(ξ) = f (ξ)g(ξ) leicht nachzuweisen. Im Folgenden sei A stets ein Integritätsbereich. Definition 4.39. Ein Element ξ ∈ A heißt Nullstelle eines Polynoms f ∈ A[X], falls f (ξ) = 0. Satz 4.40 (Division mit Rest). Es seien f, g ∈ A[X] und der Leitkoeffizient von g 6= 0 sei eine Einheit in A. Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome h und r in A[X] mit f = gh + r , wobei entweder deg r < deg g oder r = 0 gilt. Lemma 4.41. Ist ξ ∈ A eine Nullstelle von f ∈ A[X], so existiert ein Polynom g ∈ A[X] mit f = (X − ξ)g. Beweis. Division mit Rest liefert f = q · (X − ξ) + r mit r ∈ A. Jedoch ist 0 = f (ξ) = q(ξ)(ξ − ξ) + r = r , also r = 0. Satz 4.42. Es sei A ein Integritätsbereich. Dann ist die Anzahl der Nullstellen eines von Null verschiedenen Polynoms f ∈ A[X] höchstens deg f . Beweis. Es seien ξ1 , . . . , ξn paarweise verschiedene Nullstellen von f . Mithilfe von Induktion nach n wollen wir zeigen, dass es ein g ∈ A[X] gibt, so dass f = (X − ξ1 ) · · · (X − ξn )g . Für n = 1 ist dies das vorige Lemma. Um von n − 1 auf n zu schließen, liefert uns die Induktionsvoraussetzung ein g˜ ∈ A[X] mit f = (X − ξ1 ) · · · (X − ξn−1 )˜ g. Auswerten bei ξn ergibt 0 = f (ξn ) = (ξn − ξ1 ) · · · (ξn − ξn−1 )˜ g (ξn ) . Algebra 1

34

4.4

Chinesischer Restsatz

Da alle ξi paarweise verschieden sind und A ein Integritätsbereich ist, folgt g˜(ξn ) = 0. Das vorige Lemma liefert die Existenz eines Polynoms g ∈ A[X] mit g˜ = (X − ξn )g, also f = (X − ξ1 ) · · · (X − ξn )g . So erhalten wir deg f = n + deg g ≥ n. P Korollar 4.43. Der Ringhomomorphismus ϕ : A[X] → AA , welcher f = ni=0 ai X i auf die Funktion ξ 7→ f (ξ) abbildet, ist injektiv, falls der Integritätsbereich A unendlich ist. Beweis. Es sei f ∈ A[X] ein von Null verschiedenes Polynom, welches jedoch ϕ(f ) = 0 erfüllt. Um dies zu einem Widerspruch zu führen, beobachten, wir, dass dann jedes ξ ∈ A eine Nullstelle von f ist. Diese Anzahl darf jedoch nicht größer als der endliche Grad von f sein. Über unendlichen Integritätsbereichen kann man also Polynome und Polynomfunktionen miteinander identifizieren. Es sei nun A = k ein Körper. Lemma 4.44. Sei f ∈ k[X] ein von Null verschiedenes Polynom und ξ ∈ k sei eine Nullstelle von f . Dann existieren ein eindeutig bestimmtes m ∈ N>0 und ein eindeutig bestimmtes g ∈ k[X] mit f = (X − ξ)m g und g(ξ) 6= 0. Die Zahl m heißt Vielfachheit der Nullstelle ξ von f . Beweis. Übung. Satz 4.45. Es seien ξ1 , . . . , ξn paarweise verschiedene Nullstellen eines von Null verschiedenen Polynoms f ∈ k[X]. Weiter bezeichne mi die Vielfachheit der Nullstelle ξi . Dann existiert ein nullstellenfreies Polynom g ∈ k[X] mit f = (X − ξ1 )m1 · · · (X − ξn )mn g . Beweis. Übung. Definition 4.46. Ein Körper k heißt algebraisch abgeschlossen, falls jedes nichtkonstante Polynom f ∈ k[X] (d.h. jedes Polynom, dessen Grad größer als Null ist) mindestens eine Nullstelle in k. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra ist der Körper C algebraisch abgeschlossen.

4.4

Chinesischer Restsatz

Es seien A1 , . . . , An nichttriviale Ringe. Das kartesische Produkt A := A1 × · · · × An wird bezüglich der komponentenweisen Operationen (a1 , . . . , an ) + (b1 , . . . , bn ) := (a1 + b1 , . . . , an + bn ) und (a1 , . . . , an )(b1 , . . . , bn ) := (a1 b1 , . . . , an bn ) 35

Algebra 1

4

Ringe

zu einem Ring, dessen neutrale Elemente durch 0 := (0, . . . , 0) bzw. 1 := (1, . . . , 1) gegeben sind, und welchen wir das direkte Produkt der Ringe Ai nennen. Man beachte jedoch, dass A1 × {0} × · · · × {0} kein Unterring von A ist, da die Eins nicht darin enthalten ist; dies ist jedoch ein Ideal. Wir setzen ei := (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) und erhalten aei = ei a für alle a ∈ A. Außerdem ist e1 + · · · + en = 1, e2i = ei und für i 6= j ist ei ej = 0. Satz 4.47 (Chinesischer Restsatz). Es sei A ein kommutativer Ring mit Idealen I1 , . . . , In , welche Ii + Ij = A für i 6= j erfüllen. Dann ist χ : A → A/I1 × · · · × A/In a 7→ (a mod I1 , . . . , a

mod In )

ein surjektiver Ringhomomorphismus1 , dessen Kern gerade der Schnitt I1 ∩ · · · ∩ In der betrachteten Ideale ist. Insbesondere ist A/(I1 ∩ · · · ∩ In ) isomorph zu A/I1 × · · · × A/In . Beweis. Es ist klar, dass χ ein Ringhomomorphismus ist. Weiter gilt χ(a) = (a mod I1 , . . . , a

mod In ) = (0, . . . , 0) ,

genau dann, wenn für alle i also a mod Ii = 0 gilt, was wiederum a ∈ I1 ∩· · ·∩In bedeutet. Um die Surjektivität von χ zu zeigen, genügt es zu zeigen, dass jedes ei im Bild von χ liegt, denn gibt es zi ∈ A mit χ(zi ) = ei , so erhalten wir für a1 , . . . , an ∈ A ! n n n X X X χ a i zi = χ(ai )χ(zi ) = (ai mod Ii )ei = (a1 mod I1 , . . . , an mod In ) . i=1

i=1

i=1

Nun wollen wir also die Existenz solcher zi beweisen. Für festes i und j 6= i wissen wir aufgrund von Ii + Ij = A, dass es aj ∈ Ii , bj ∈ Ij gibt, für welche aj + bj = 1 ist. Wir erhalten also Y Y 1= (aj + bj ) = y + bj j6=i

j6=i

| {z } =:z

für ein y ∈ Ii . Auch ist z ∈

T

j6=i Ij

z≡1

und wir erhalten mit y + z = 1

mod Ii

und z ≡ 0

für j 6= i. Somit ist χ(z) = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) = ei . 1

„χ wie chinesisch“

Algebra 1

36

mod Ij

4.4

Chinesischer Restsatz

Ein besonders wichtiger Spezialfall ist der Fall A = Z. Darin sind die Ideale Ii also stets Hauptideale Ii = (mi ). Die Bedingung (mi ) + (mj ) = Z bedeutet also, dass u, v ∈ Z existieren, so dass umi + vmj = 1. Daraus ist ersichtlich, dass mi und mj teilerfremd sein müssen, denn jeder Teiler beider Zahlen ist auch Teiler von umi + vmj . Auch die Umkehrung gilt, wie wir später allgemeiner sehen werden (siehe auch Übung). Es seien nun also m1 , . . . , mn ∈ Z paarweise teilerfremd. Wir erhalten nun n \

n o (mi ) = x ∈ Z : mi |x für alle i = (m1 · · · mn ) .

i=1

Satz 4.48 (Chinesischer Restsatz für Z). Für paarweise teilerfremde m1 , . . . , mn ∈ Z ist Z/(m1 · · · mn ) → Z/(m1 ) × · · · × Z/(mn ) a mod m1 · · · mn 7→ (a mod m1 , . . . , a

mod mn )

ein Ringisomorphismus. Beispiel 4.49. Zu m1 = 1234 und m2 = 567 suchen wir a ∈ Z mit a ≡ 3 mod m1 und a ≡ 7 mod m2 . Der Chinesische Restsatz liefert nun die Existenz eines solchen a. Mit der Kurzschreibweise Zm = Z/(m) suchen wir für χ : Z → Z1234 × Z567 also ein Element von χ−1 (3, 7). Dieses ist bis auf Vielfache von m1 m2 eindeutig bestimmt. In der Übung wird der Erweiterte Euklidische Algorithmus näher behandelt, welcher uns s, t ∈ Z mit sm1 + tm2 = 1 liefert. In diesem Fall werden wir s = −17 und t = 37 erhalten. Wir setzen z1 = tm2 und z2 = sm1 , so dass wir χ(z1 ) = (1, 0) und χ(z2 ) = (0, 1) erhalten. Außerdem ist χ(3z1 + 7z2 ) = 3(1, 0) + 7(0, 1) = (3, 7) . wir erhalten dazu z1 = 37 · 567 = 20979 und z2 = (−17) · 1234 = −20978, was uns a = 3z1 + 7z2 = −83909 ≡ 615769

mod m1 m2

liefert. Bemerkung 4.50. Ein Ringisomorphismus ϕ : A → B induziert einen Gruppenisomorphismus A× → B × , a 7→ ϕ(a) zwischen den Einheitengruppen. Außerdem stellen wir fest, dass × die Einheitengruppe (A1 × · · · An )× = A× 1 · · · × An eines Produkts durch das Produkt der Einheitengruppen gegeben ist. In der Situation des Chinesischen Restsatzes A/(I1 ∩ · · · ∩ In ) ∼ = A/I1 × · · · × A/In erhalten wir nun
× A/(I1 ∩ · · · ∩ In ) ∼ = (A/I1 )× × · · · × (A/In )× . Konkret für A = Z ist also × ∼ × Z× m1 ···mn = Zm1 × · · · × Zmn .

Z.B. ist × ∼ × Z× 24 = Z8 × Z3 .

37

Algebra 1

4

Ringe

Wir führen nun die folgende Schreibweise ein: Für n ≥ 1 definieren wir mit ϕ(n) := |Z× n| die Eulersche Phi-Funktion. Der Chinesische Restsatz liefert ϕ(m1 · · · mn ) = ϕ(m1 ) · · · ϕ(mn ) für teilerfremde m1 , . . . , mn ≥ 1. Lemma 4.51. Es ist  Z× n = a mod n : ggT(a, n) = 1 . Beweis. Es sei ggT(a, n) = 1. Wir erhalten also u, v ∈ Z mit ua + vn = 1 und daher ua ≡ 1 mod n, womit a mod n die Inverse u mod n besitzt und damit eine Einheit ist. Die andere Inklusion folgt sofort aus der Umkehrung der verwendeten Implikationen. Ist p also eine Primzahl, so ist also ϕ(p) = p − 1 . Allgemeiner ist ϕ(pl ) = pl − pl−1 = (p − 1)pl−1 . Für beliebiges n = pl11 · · · plrr ist also ϕ(n) = n

  r ϕ pli Y i i=1

plii

 r  Y 1 = 1− . pi i=1

Beispiel 4.52. Es ist ϕ(72) = ϕ(8 · 9) = ϕ(8)ϕ(9) = 23−1 · (2 − 1) · 32−1 · (3 − 1) = 4 · 1 · 3 · 2 = 24 .

4.5

Hauptidealbereiche

Im Folgenden sei A stets ein Integritätsbereich. Definition 4.53. Ein Hauptideal von A ist ein Ideal der Form (a) := {ax : x ∈ A} , also ein Ideal, welches von einem einzelnen Element erzeugt ist. Ist sogar jedes Ideal von dieser Form, d.h. ein Hauptideal, so nennen wir A einen Hauptidealbereich. Beispiel 4.54. Die ganzen Zahlen Z sind ein Hauptidealbereich. Wir merken auch an, dass wir im Integritätsbereich A einen Teilbarkeitsbegriff einführen können. Für a, b ∈ A schreiben wir nämlich a|b, falls es ein c ∈ A gibt, für welches ac = b gilt. Bemerkung 4.55. Die Teilbarkeitsrelation a|b ist äquivalent zu (b) ⊂ (a). Weiter ist a|b zusammen mit b|a äquivalent dazu, dass eine Einheit u ∈ A× mit au = b existiert. Beweis. Die erste Aussage ist leicht zu überprüfen. Für die zweite gebe es zunächst c1 , c2 ∈ A mit ac1 = b und bc2 = a. O.B.d.A. sei a 6= 0, was mit ac1 c2 = a (also a(c1 c2 − 1) = 0) nun c1 c2 = 1 liefert. Daher müssen c1 und c2 Einheiten sein. Algebra 1

38

4.5

Hauptidealbereiche

Für a1 , . . . , an betrachten wir das von diesen Elementen erzeugte Ideal, nämlich (a1 , . . . , an ) := {x1 a1 + · · · + xn an : xi ∈ A} . Dies ist das kleinste Ideal, welches a1 , . . . , an enthält. Ist A nun ein Hauptidealbereich, gibt es also ein d ∈ A mit (a1 , . . . , an ) = (d). Dafür erhalten wir (ai ) ⊂ (d), also d|ai für alle i. Ist nun x ∈ A, welches alle ai teilt, also (ai ) ⊂ (x) für alle i, was (d) = (a1 , . . . , an ) ⊂ (x) und damit x|d impliziert. Wir wollen also d einen größten gemeinsamen Teiler von a1 , . . . , an nennen und ihn mit d = ggT(a1 , . . . , an ) bezeichnen, obwohl dieser Ausdruck nur bis auf Multiplikationen mit Einheiten eindeutig ist. Insbesondere gibt es u1 , . . . , un ∈ A, so dass d = u1 a1 + · · · + un an . Definition 4.56. Der Ring A heißt euklidischer Bereich, falls es eine Abbildung d : A \ {0} → N gibt, so dass für alle a, b ∈ A mit b 6= 0 Elemente q, r ∈ A mit a = qb + r und außerdem d(r) < d(b) oder r = 0 existieren. Beispiel 4.57. Die ganzen Zahlen Z sind ein euklidischer Bereich (mit dem Betrag als d), ebenso jeder Polynomring k[X] (mit dem Grad als d), wenn k ein Körper ist. Satz 4.58. Euklidische Bereiche sind Hauptidealbereiche. Beweis. Es sei I ⊂ A ein Ideal ungleich {0}. Es sei b ∈ I \ {0} so, dass  d(b) = min d(a) : a ∈ I \ {0} . Wir behaupten nun I = (b). Es sei dazu a ∈ I. Die Division mit Rest aus der Definition eines euklidischen Bereiches liefert uns q, r ∈ A mit a = qb + r. Mit r = a − qb ∈ I erhalten wir r = 0, denn sonst wäre d(r) < d(b), was der Wahl von b widerspräche. Dies zeigt schließlich b|a, also a ∈ (b). Korollar 4.59. Polynomringe k[X] über einem Körper

k sind Hauptidealbereiche.

Definition 4.60. Ein Element a ∈ A des Integritätsbereichs A heißt irreduzibel, falls a 6= 0, a keine Einheit ist und für alle b, c ∈ A mit a = bc entweder b oder c eine Einheit ist. Beispiel 4.61. Für A = Z ist a genau dann irreduzibel, wenn |a| eine Primzahl ist. Bemerkung 4.62. Produkte von irreduziblen Elementen und Einheiten sind wieder irreduzibel. Weiter ist a 6= 0 irreduzibel, falls (a) ein Primideal ist. Beweis. Wir zeigen die zweite Aussage. Wäre a eine Einheit, so wäre (a) = A. Ist nun a = bc, so ist also bc ∈ (a), womit b ∈ (a) oder c ∈ (a) folgt. O.B.d.A. nehmen wir also b ∈ (a) an. Dies bedeutet nun a|b, jedoch gilt auch b|a. Dies zeigt, dass sich a und b nur durch Multiplikation mit einer Einheit unterscheiden, weshalb c ∈ A× folgt. Die wünschenswerte Situation ist diejenige, dass jedes Element a ∈ A \ {0} eine Faktorisierung in irreduzible Elemente a = up1 p2 · · · pn (4.1)

39

Algebra 1

4

Ringe

mit u ∈ A× und irreduziblen pi . Noch wünschenswerter wäre die Eindeutigkeit dieser Zerlegung bis auf Permutationen der pi und Multiplikationen mit Einheiten. Gilt also neben (4.1) auch a = vq1 · · · qm , so würden wir gern n = m und die Existenz von Einheiten u1 , . . . , un ∈ A× und einer −1 Permutation π ∈ Sn folgern, so dass qi = ui pπ(i) und v = uu−1 1 · · · un . Definition 4.63. Einen kommutativer Integritätsbereich nennen wir faktoriell, falls eine solche Zerlegung (4.1) für all seine Elemente existiert und (in obigem Sinne) eindeutig bis auf Einheiten und Permutation ist. Beispiel 4.64. Die ganzen Zahlen Z bilden einen faktoriellen Ring, was auch als „Fundamentalsatz der Arithmetik“ bekannt ist. Satz 4.65. Jeder Hauptidealbereich ist faktoriell. Korollar 4.66. Neben Beispiel 4.64 folgern wir, dass Polynomringe über Körpern faktoriell sind. Auch ist z.B. Z[i] als sogar euklidischer Bereich ebenfalls faktoriell. Vor dem Beweis des Satzes 4.65 führen wir ein „seltsames Beispiel“ an. Beispiel 4.67. Wir setzen √ √ A := Z[i 5] := {m + ni 5 : m, n ∈ Z} und beobachten

√ √ 6 = 2 · 3 = (1 + i 5)(1 − i 5) . (4.2) √ √ Nun wollen wir zeigen, dass 2, 3, 1 + i 5 und 1 − i 5 irreduzibel sind und sich jeweils nicht nur um √ Einheiten unterscheiden. Wir betrachten dazu die Funktion A → N, welche a = m + ni 5 auf |a|2 = m2 + 5n2 abbildet. Diese ist multiplikativ, d.h. |ab|2 = |a|2 |b|2 . Ein Element a ∈ A mit |a|2 = 1 muss 1 oder −1 sein, was A× = {−1, 1} impliziert, denn aus ab = 1 folgt |a|2 |b|2 = 1, also a, b = ±1. Es bleibt also nur die Irreduzibilität der Faktoren aus (4.2) zu zeigen. Es sei a eines dieser Elemente und wir nehmen a = bc, b, c ∈ A, an. Dann erhalten wir |a|2 = |b|2 |c|2 und können o.B.d.A. von |b| ≤ |c| ausgehen. Für a = 2 kann nun |b|2 = 2 unmöglich erfüllt sein, weshalb |b|2 = 1 und |c|2 = 4 gelten müssen. Daraus erhalten wir b = ±1. Analog behandeln wir a = 3. √ Für a = 1 ± i 5. Nun ist 6 = |a|2 = |b|2 |c|2 und aus |b|2 6= 2 folgt wieder b = ±1 nach |b|2 = 1 und |c|2 = 6. Beweis von Satz 4.65. Es sei A ein Hauptidealbereich. (1). Wir behaupten folgendes: Ist (a0 ) ⊂ (a1 ) ⊂ (a2 ) ⊂ . . . eine aufsteigende Kette von Idealen, so gibt es einS n ∈ N mit (an ) = (an+i ) für alle i ∈ N. (d.h. A ist noethersch) Dazu betrachten wir I := n∈N (an ) und stellen fest, dass I ein Ideal ist, denn für x ∈ (ai ), y ∈ (aj ) haben wir x, y ∈ (amax(i,j) ), also x + y ∈ I für x, y ∈ I. Außerdem sehen wir für x ∈ (ai ) und a ∈ A, dass ax ∈ (ai ) ⊂ I. Da A ein Hauptidealbereich ist, existiert ein d ∈ A, welches I erzeugt, also I = (d). Da d ∈ I, gibt es ein n ∈ N mit d ∈ (an ), was (an ) = I zeigt. Auch für alle i ∈ N haben wir dann I = (an ) ⊂ (an+i ) ⊂ I. Algebra 1

40

4.6

Berlekamps Algorithmus und formale Ableitungen

(2). Wir zeigen nun die Existenz von Faktorisierungen. Wir bezeichnen dazu mit S die Menge aller a ∈ A \ {0}, welche keine Faktorisierung in irreduzible Faktoren besitzt und nehmen an, dass S nichtleer wäre. Weiter betrachten wir die Familie von Idealen (a) mit a ∈ S, welche nach Übungsaufgabe ein maximales Element (b) bezüglich der Inklusion besitzt (auch gäbe es sonst eine aufsteigende Folge von unendlich vielen Hauptidealen). Für alle a ∈ S mit (b) ⊂ (a) muss also (b) = (a) folgen. Da außerdem b ∈ S, kann b nicht irreduzibel sein; es gibt also x, y ∈ A, welche keine Einheiten sind und xy = b erfüllen. Für diese Elemente ist also (b) ( (x) und ebenso (b) ( (y). Daher können x und y nicht in S liegen, besitzen also Faktorisierungen in irreduzible Elemente. Aus diesen Faktorisierungen ergäbe sich jedoch eine Faktorisierung von xy = b. Schließlich muss S also leer sein. (3). Um auch die Eindeutigkeit nachzuweisen, behaupten wir nun, dass (p) ein Primideal ist, falls p irreduzibel ist. Es sei dazu p irreduzibel, aus x|p (d.h. (p) ⊂ (x)) folge also (x) = A oder (x) = (p). Damit ist (p) ein maximales Ideal. Für ab ∈ (p) wollen wir nun a ∈ (p) oder b ∈ (p) folgern. Äquivalent dazu ist die Implikation, dass aus ab ∈ (p) und a∈ / (p) bereits b ∈ (p) folgt. Ist also a ∈ / (p), so erhalten wir aus (p) ( (p, a), dass (p, a) = A sein muss. Somit gibt es u, v ∈ A mit up + va = 1, woraus wir wegen upb + vab = b und der Voraussetzung p|ab die Teilbarkeitsrelation p|b erhalten. Dies wiederum bedeutet b ∈ (p). (4). Schließlich können wir die Eindeutigkeit der Faktorisierungen mithilfe von (3) zeigen. Es sei also up1 · · · pr = vq1 · · · qs mit u, v ∈ A× und irreduziblen pi , pj ∈ A. Nach (3) ist (p1 ) ein Primideal; aus p1 |vq1 · · · qs folge also, dass es ein j mit p1 |qj gibt. O.B.d.A. sei j = 1 und wir schreiben q1 = p1 u1 für eine Einheit u1 ∈ A× . Für u p p 1 p2 · · · pr = vu1 1 q2 · · · qs fahren wir induktiv fort. Korollar 4.68. Es sei a ∈ A ein von Null verschiedenes Element eines Hauptidealbereichs A. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (i) Der Faktorring A/(a) ist ein Integritätsbereich. (ii) Der Faktorring A/(a) ist ein Körper. (iii) Das Element a ist irreduzibel. Beweis. Wie oben bewiesen wurde, ist (a) genau dann ein Primideal, wenn a irreduzibel ist. Weiter wissen wir, dass A/(a) genau dann ein Integritätsbereich ist, wenn (a) ein Primideal ist. Ist all dies der Fall, so wollen wir noch zeigen, dass A/(a) ein Körper ist. Dazu sei also b ∈ A mit b mod (a) 6= 0, also ist a kein Teiler von b. Dann ist ggT(a, b) = 1, weshalb (a, b) = A und damit die Existenz von u, v ∈ A mit ua+vb = 1 folgt. Dies bedeutet vb ≡ 1 mod (a).

4.6

Berlekamps Algorithmus und formale Ableitungen

Ist A ein Ring, so gibt es einen eindeutigen Ringhomomorphismus ρ : Z → A, welcher durch   1 + 1 + ··· + 1 n > 0,  {z }  | n-mal ρ(n) = 0 n = 0,     −ρ(−n) n 0, so betrachte man f = X m . Hierfür gilt f 0 = mX m−1 = 0. Wir betrachten nun die Situation A = Zp , wobei p eine Primzahl ist. Lemma 4.72. Es sei f ∈ Zp [X] ein Polynom mit f 0 = 0. Dann existiert ein Polynom g ∈ Zp [X] mit f = g p . P P Beweis. Es sei f = di=0 ai X i mit ai ∈ Zp und wir nehmen f 0 = di=1 iai X i−1 = 0 an, also iai = 0 für alle i = 1, . . . , d. Dies wiederum ist genau dann der Fall, wenn ai = 0 oder i = 0 (also p|i) für jedes i. Mit anderen Worten verschwinden alle Koeffizienten, deren Indizes keine Vielfachen von p sind. Wir können daher X f= ajp X jp j

schreiben. Wir erinnern nun abermals an den kleinen Fermatschen Satz, der apjp = ajp liefert. Damit ergibt sich !p X p X X f= ajp X jp = = gp (ajp X j )p = ajp X j j

j

j

|

{z

=:g

}

nach Lemma 4.70. Bemerkung 4.73. Dieses Lemma gilt über beliebigen perfekten Körpern. Dabei heißt ein Körper k Körper perfekt, falls er Charakteristik Null hat oder im Falle von char(k) = p für alle a ∈ k ein b ∈ k mit bp = a existiert („es existieren p-te Wurzeln“). Z.B. ist Zp für alle Primzahlen p perfekt. Definition 4.74. Es sei k ein Körper und f ∈ k[X] ein nichtkonstantes Polynom (also f ∈ / k). Wir nennen f quadratfrei, falls f keinen irreduziblen Faktor einer Vielfachheit größer Eins besitzt. Beispiel 4.75. Das Polynom f = X 2 + 2X + 1 = (X + 1)2 ist nicht quadratfrei. Satz 4.76. Ein Polynom f ∈ Zp [X] \ Zp ist genau dann quadratfrei, wenn f und f 0 teilerfremd sind, d.h. ggT(f, f 0 ) = 1. Beweis. Zunächst sei f nicht quadratfrei; es gebe also Polynome g, h ∈ Zp [X] mit f = g 2 h und deg g > 0. Dann ist (g 2 )0 = gg 0 +g 0 g = 2gg 0 und somit f 0 = 2gg 0 h+g 2 h0 = g(2g 0 h+gh0 ), weshalb g ein gemeinsamer Teiler von f und f 0 ist. Umgekehrt sei f quadratfrei, wir schreiben also f = λq1 q2 · · · qr

43

Algebra 1

4

Ringe

mit irreduziblen, normierten2 und paarweise verschiedenen qi und λ ∈ Zp . Wir erhalten 0

f =λ

r X

q1 · · · qi−1 qi0 qi+1 · · · qr .

i=1

Angenommen, ggT(f, f 0 ) 6= 1, es gebe also ein j, für welches qj die formale Ableitung f 0 teilt. Insbesondere ist qj |q1 · · · qj−1 qj0 qj+1 · · · qr . Damit muss qj einen der Faktoren teilen; dieser kann nur qj0 sein. Aus qj |qj0 muss jedoch qj0 = 0 folgen, denn sonst wäre deg qj0 < deg qj . Nach Lemma 4.72 gibt es jedoch ein g ∈ Zp [X] mit qj = g p . Dies widerspricht der Irreduzibilität von qj . Bemerkung 4.77. Auch dieser Satz gilt für beliebige perfekte Körper. Wir reduzieren nun das Faktorisierungsproblem auf quadratfreie Polynome. Dazu verwenden wir folgenden Algorithmus, der zu einer Eingabe f ∈ Zp [X], deg f ≥ 1, ausgibt, ob f quadratfrei ist und ansonsten eine echte Zerlegung von f liefert: 1. Berechne f 0 . 2. Falls f 0 = 0, so ist f = g p . Gib dies aus. 3. Falls f 0 6= 0, berechne ggT(f, f 0 ) mit dem Euklidischen Algorithmus. 4. Ist ggT(f, f 0 ) = 1, so gib aus, dass f quadratfrei ist. f 5. Ist ggT(f, f 0 ) 6= 1, so gib die Zerlegung f = ggT(f, f 0 ) ggT(f,f 0 ) aus.

Dieser Algorithmus arbeitet nach der bisher entwickelten Theorie korrekt und wiederholtes Anwenden liefert eine vollständige Zerlegung von f in ein Produkt quadratfreier Polynome. Nun fragen wir uns also noch, wie ein quadratfreies Polynom f ∈ Zp [X] in irreduzible Faktoren zerlegt werden kann. Es sei dazu f = q1 · · · qr ein normiertes Polynom mit irreduziblen, normierten und paarweise verschiedenen qi . Wir setzen n := deg f ≥ 1 und betrachten den Restklassenring A := Zp [X]/(f ). Die Restklasse a mod (f ) für a ∈ Zp [X] ist genau dann eine Einheit, wenn ggT(a, f ) = 1, und genau dann ein Nullteiler, wenn ggT(a, f ) 6= 1. Zur Faktorisierung von f suchen wir also Nullteiler in Zp [X]/(f ). Wir betrachten nun die Zp -lineare Frobenius-Abbildung Φ : A → A, a 7→ ap und die Menge B := {a ∈ A : Φ(a) = ap = a} . Lemma 4.78. In obiger Situation gelten folgende Aussagen: (i) Die Menge B ist ein Unterring von A. (ii) Es ist B = ker(Φ − id). (iii) Es ist Zp ⊂ B und ist A ein Körper, so gilt sogar Zp = B. 2

Leitkoeffizienten seien Eins

Algebra 1

44

4.6

Berlekamps Algorithmus und formale Ableitungen

Beweis. (i) und (ii) sind klar. Ebenso klar ist Zp ⊂ B. Wir betrachten weiter das Polynom f := X p − X =∈ A[X], welches höchstens p = deg f Nullstellen hat, wenn A ein Körper ist. Diese sind bereits alle p Elemente von Zp . Außerdem besagt der Chinesische Restsatz, dass χ : Zp [X]/(f ) → Zp [X]/(q1 ) × · · · × Zp [X]/(qr ) | {z } | {z } | {z } =A

=:A1

=:Ar

ein Isomorphismus ist, da die qi paarweise teilerfremd sind. Dabei ist jeder Ring Ai ein Körper, da qi irreduzibel ist. Lemma 4.79. Es ist χ(B) = Zp × · · · × Zp . Beweis. Es sei χ(a) = (a1 , . . . , ar ). Für a ∈ B gilt also χ(a)p = χ(ap ) = χ(a). Dies wiederum ist äquivalent zu (ap1 , . . . , apr ) = (a1 , . . . , ar ) , also api = ai für alle i. Da Ai = Zp [X]/(qi ) ein Körper ist, ist daher ai ∈ Zp nach Lemma 4.78. Zusammenfassend ist genau dann a ∈ B, wenn ai ∈ Zp für alle i. ∼ Zp × · · · × Zp , wobei das Produkt über r Faktoren gebildet wird. Korollar 4.80. Es ist B = Insbesondere ist dimZp B = r. Mit B = ker(Φ − id) können wir deshalb die Anzahl r der irreduziblen Faktoren von f mittels linearer Algebra über Zp (effizient) berechnen. Wir haben also einen effizienten Irreduzibilitätstest. Es sei nun wieder A := Zp [X]/(f ) und es sei g ∈ Zp [X]. Wir bemerken, dass g mod (f ) genau dann eine Einheit in A ist, wenn ggT(f, g) = 1. Andernfalls ist g mod (f ) ein Nullteiler. Für t > 1 ist Zp ( B ∼ = Zt . p

Lemma 4.81. Es sei a ∈ B \ Zp . Dann existiert ein s ∈ Zp , so dass a − s ein Nullteiler in B ist, also ggT(a − s, f ) 6= 1. Beweis. Es sei χ(a) = (a1 , . . . , at ) ∈ Ztp . Es gibt nun ein i mit a1 6= ai , denn sonst wäre a ∈ Zp . Setzen wir s = ai , so ist
χ(a − s) = a1 − s, a2 − s, . . . , ai − s, . . . , at − s | {z } =0

ein Nullteiler und so auch a − s. Dies führt zu folgendem Algorithmus: 1. Berechne eine Zp -Basis von B = ker(Φ − id). 2. Falls t > 1, so finde ein Basiselement a ∈ B \ Zp . 3. Teste für alle s ∈ Zp , ob ggT(a − s, f ) 6= 1 (kann bis zu p Schritte Kosten; nur für kleines p effizient).

45

Algebra 1

4

Ringe

Bemerkung 4.82. Berlekamp entwickelte einen weiteren Algorithmus, der randomisiert ist und nur (n log p)c Schritte braucht. Wir beschreiben den Algorithmus nun mit mehr Details. Für j = 0, . . . , n − 1 sei j

Φ(X ) = X

jp

n−1 X

βij X i |{z} i=0

=

∈Zp

in A = Zp [X]/(f ). Dann hat Φ − id : A → A bezüglich der Basis {1, . . . , X n−1 } die Darstellungsmatrix [βij − δij ] ∈ Zn×n . p Berlekamps Algorithmus Eingabe: Ein normiertes quadratfreies Polynom f ∈ Zp [X] vom Grad n ≥ 1. Ausgabe: Die Anzahl t der irreduziblen Faktoren von f und für t > 1 eine nichttriviale Zerlegung von f .


1. Berechne eine Matrix [αij ] ∈

n× (n−1)p+1 Zp

k

X =

mit

n−1 X

αik X i .

i=0

2. Berechne [βij ] ∈ Zn×n durch Auswählen der jp-ten Spalten von [αik ]. p 3. Transformieren [βij − δij ] auf Treppen- bzw. Stufenform. 4. Berechne eine Zp -Basis von B = ker[βij − δij ] und gib t = dim B aus. 5. Ist t > 1, so finde ein Basiselement a ∈ / Zp und berechne für s = 0, 1, . . . , p − 1 den größten gemeinsamen Teiler d := ggT(a − s, f ) bis d 6= 1. Gib nun f = d fd aus.

Algebra 1

46

5

Polynome

5.1

Multivariate Polynome

Wir kennen bereits den Polynomring A[X] über einem Ring A in einer Variablen X. Diese Konstruktion verallgemeinern wir auf mehrere Variablen. Es sei A ein beliebiger kommutativer Ring. Für eine Abbildung f : Nn → A definieren wir den Träger  supp(f ) := ε ∈ Nn : f (ε) 6= 0 . Wir betrachten die Menge  Γ(Nn , A) := f : Nn → A : supp(f ) ist endlich . Dies ist eine Gruppe bezüglich der punktweisen Addition. Außerdem haben wir eine Skalarmultiplikation A × Γ(Nn , A) → Γ(Nn , A) , (a, f ) 7→ a · f , wobei a · f : ε 7→ af (ε) . Es gelten für Γ(Nn , A) die gleichen Axiome wie die für Vektorräume. Für ε ∈ Nn sei δε ∈ Γ(Nn , A) die Indikatorfunktion von ε, ( 1 ε0 = ε n 0 δε : N → A , ε 7→ . 0 sonst Für f ∈ Γ(Nn , A) haben wir eine eindeutige Zerlegung X f= f (ε)δε , ε∈supp(f )

womit die δε gewissermaßen eine Basis bilden. Den Wert f (ε) nennen wir den Koeffizienten von f bei ε. Da Nn bezüglich der Addition ein Monoid ist, können wir durch X (f ∗ g)(ε) := f (ε0 )g(ε00 ) ε0 +ε00 =ε

ein Produkt von f, g ∈ Γ(Nn , A) definieren, welches auch Konvolution bzw. Faltung genannt wird. Nun ist f ∗ g = g ∗ f , f ∗ δ0 = f , f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h und außerdem f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h. Proposition 5.1. Die Menge Γ(Nn , A) ist bezüglich der Addition und der Konvlution ein kommutativer Ring und heißt Polynomring über A in n Variablen. Es gilt weiterhin δε0 ∗ δε00 = δε0 +ε00 . Es sei nun ei = (0, . . . , 0, |{z} 1 , 0, . . . , 0) ∈ Nn . i

Dann können wir ε=

n X

εi ei

i=1

47

Algebra 1

5

Polynome

schreiben und es ist δε = δε1 e1 ∗ · · · ∗ δεn en = δeε11 ∗ · · · ∗ δeεnn mit der Potenzschreibweise f k := f k−1 ∗f , f 0 := δ0 . Man beachte dazu δkε = δε+···+ε = δεk . Wir schreiben δi := δei und für f ∈ Γ(Nn , A) erhalten wir X X f= f (ε)δε = f (ε)δ1ε1 ∗ · · · ∗ δnεn . ε

ε

Auch schreiben wir Xi := δi und nennen dies Variablen oder Unbestimmte. Dann führen wir die Bezeichnung A[X1 , . . . , Xn ] := Γ(Nn , A) für den Polynomring ein. Wir haben einen injektiven Ringhomomorphismus A ,→ A[X1 , . . . , Xn ], a 7→ aδ0 , womit wir A als Teilmenge von A[X1 , . . . , Xn ] auffassen können, indem wir aδ0 mit a identifizieren. Nun haben wir also einen Polynomring P = A[X1 , . . . , Xn ] mit einem Ringhomomorphismus A ,→ P und ausgezeichneten Elementen X1 , . . . , Xn . Satz 5.2 (Universelle Eigenschaft). Es seien A und B kommutative Ringe mit einem Ringhomomorphismus ϕ : A → B. Weiter seien b1 , . . . , bn ∈ B. Dann gibt es genau einen Ringhomomorphismus ϕ0 : A[X1 , . . . , Xn ] → B, so dass ϕ0 (Xi ) = bi für alle i gilt und das folgende Diagramm kommutiert: ϕ

A 

8/ B

ϕ0

A[X1 , . . . , Xn ] Beweis. Für die Eindeutigkeit schreiben wir X f= f (ε)X1ε1 · · · Xnεn ε

und erhalten ϕ0 (f ) =

X

X

ϕ0 f (ε) bε11 · · · bεnn = ϕ f (ε) bε11 · · · bεnn .

ε

(5.1)

ε

Die Existenz zeigen wir, indem wir ϕ0 durch (5.1) definieren und zeigen, dass dies ein Ringhomomorphismus ist. Haben wir einen kommutativen Ring R mit ausgezeichneten Elementen r1 , . . . , rn ∈ R, so gibt es also genau einen Homomorphismus Xi 7→ ri , so dass 8/ R

Z 

Z[X1 , . . . , Xn ] kommutiert.

Algebra 1

48

5.1

Multivariate Polynome

Bemerkung 5.3. Es sei A ⊂ B ein Unterring eines Rings B, wobei ϕ : A ,→ B die Inklusion sei. Es seien weiter bi ∈ B, i = 1, . . . , n. Dann heißt ϕ0 : A[X1 , . . . , Xn ] → B , Xi 7→ bi Auswertungshomomorphismus und man schreibt suggestiv f (b1 , . . . , bn ) := ϕ0 (f ) für f ∈ A[X1 , . . . , Xn ]. Definition 5.4. Es sei wieder A ⊂ B ein Unterring. Elemente b1 , . . . , bn ∈ B heißen algebraisch unabhängig über A, falls der Kern des zugehörigen Auswertungshomomorphismus trivial ist, d.h. falls f (b1 , . . . , bn ) = 0 für ein f ∈ A[X1 , . . . , Xn ] gilt, so muss f = 0 sein. Beispiel 5.5. Es ist A ⊂ A[X1 , . . . , Xn ] und die Variablen X1 , . . . , Xn sind algebraisch unabhängig über A. Beispiel 5.6 (n = 1). Statt b ∈ B algebraisch unabhängig über A zu nennen, sagen wir auch, dass b transzendent über A ist. Für A = Q ⊂ R = B ist bekannt, dass π und e transzendent sind. Es ist ein offenes Problem, ob {e, π} algebraisch unabhängig über Q sind. Lemma 5.7. Der Polynomring A[X1 , . . . , Xn ][X] in einer Variablen X über einem Polynomring A[X1 , . . . , Xn ] ist isomorph zum Polynomring A[X1 , . . . , Xn , Xn+1 ]. Beweisskizze. Wir betten A[X1 , . . . , Xn ] durch die Inklusion ϕ in A[X1 , . . . , Xn+1 ] ein und die universelle Eigenschaft liefert einen Ringhomomorphismus ϕ0 : A[X1 , . . . , Xn ][X] → A[X1 , . . . , Xn+1 ] , welcher ϕ fortsetzt und ϕ0 (X) = Xn+1 erfüllt. Man verifiziert nun, dass ϕ0 ein Isomomorphismus ist. Wir führen die folgende Bezeichnung ein: Für ε ∈ Nn nennen wir X ε := X1ε1 · · · Xnεn ein Monom. Die Größe deg X ε := ε1 + · · · + εn nennen wir den Grad von X ε . Ein Polynom f heißt homogen, falls alle in f vorkommenden Monome (Monome X ε mit ε ∈ supp(f )) den gleichen Grad d haben, also deg X ε = d für alle ε ∈ supp(f ). Der Grad deg f eines Polynoms f 6= 0 ist der maximale Grad der vorkommenden Monome. Beispiel 5.8. Das Polynom f = X13 X2 X3 + X12 X22 X3 + X35 ist homogen vom Grade Fünf. Das Polynom g = X12 X24 X33 + X1 X25 X3 + X2 + X3 + 1 ist nicht homogen und hat Grad deg g = 9. Wir wissen: Ist A ein Integritätsbereich, so ist auch A[X] ein Integritätsbereich und es ist A[X]× = A× . Korollar 5.9. Ist A ein Integritätsbereich, so ist A[X1 , . . . , Xn ] ein Integritätsbereich und A[X1 , . . . , Xn ]× = A× . Beweis. Folgt induktiv mit Lemma 5.7 und dem oben in Erinnerung gerufenen Resultat.

49

Algebra 1

5

Polynome

5.2

Faktorisierung

Wir wissen, dass k[X] faktoriell ist, falls k ein Körper ist. Wir zeigen nun folgendes: Ist A faktoriell, so ist A[X] faktoriell. Mit Lemma 5.7 folgt dann wieder, dass k[X1 , . . . , Xn ] faktoriell ist, falls k ein Körper ist. Zuerst zeigen wir, dass jeder Integritätsbereich als Unterring eines Körpers vorkommt. Satz 5.10. Für jeden Integritätsbereich A gibt es einen Körper k und einen injektiven Ringhomomorphismus ϕ : A → k mit folgender universeller Eigenschaft: Zu jedem Körper k0 mit injektivem Ringhomomorphismus ϕ0 : A → k0 gibt es genau einen Ringhomomorphismus ψ : k → k0 , so dass folgendes Diagramm kommutiert: ϕ

A ϕ0

/k ψ

 

k0

Bemerkung 5.11. Man fasst ϕ : A → k als Inklusion auf und schreibt daher die Elemente von k in der Form ab . Auch nennt man k den Quotientenkörper von A. Dieser ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Beispiel 5.12. Die rationalen Zahlen Q sind der Quotientenkörper von Z. Beweis zu Satz 5.10. Wir konstruieren k analog zur Konstruktion von Q aus Z: Auf der Menge A × (A \ {0}) eine Äquivalenzrelation durch (a, b) ∼ (a0 , b0 ) :⇔ ab0 = a0 b . Zum Nachweis der Transitivität müssen wir die Voraussetzung benutzen, dass A ein Integritätsbereich sei. Nun definieren wir auf der Menge k der Äquivalenzklassen Addition und Multiplikation durch       (a, b) + (a0 , b0 ) := (ab0 + a0 b, bb0 ) und       (a, b) · (a0 , b0 ) := (aa0 , bb0 ) . Man verifiziert nun, dass diese Operationen wohldefiniert sind und dass mit Null [(0, 1)] und Eins [(1, 1)] ist. Insbesndere gilt für a, b ∈ A \ {0}         (a, b) · (b, a) = (ab, ba) = (1, 1) .

k

einen Körper

Weiter ist die Abbildung ϕ : A → k, a 7→ [(a, 1)] ein injektiver Ringhomomorphismus. Zur universellen Eigenschaft sei ϕ0 : A → k0 gegeben, wobei auch k0 ein Körper sei. Wir setzen
0 nun ψ [(a, b)] := ϕ (a)ϕ0 (b)−1 und verifizieren, dass dies ein wohldefinierter Ringhomomorphismus ist. Beispiel 5.13. Es sei k ein Körper und A = k[X]. Dann nennen wir den Quotientenkörper von k[X] auch den rationalen Funktionskörper k(X) in der Variablen X über k. Elemente von k(X) schreiben wir als fg , wobei f, g ∈ k[X], g 6= 0, Polynome sind. Wir wenden uns nun wieder dem Faktorisierungsproblem zu und nehmen an, dass A ein faktorieller Ring ist, dessen Quotientenkörper wir k nennen. Wir wissen bereits, dass k[X] faktoriell ist und auch können wir A[X] ⊂ k[X] schreiben. Nun wollen wir zeigen, dass A[X] faktoriell ist. Algebra 1

50

5.2

Faktorisierung

Definition 5.14. Zwei Elemente a, b ∈ A eines Integritätsbereiches A heißen assoziiert, falls es eine Einheit u ∈ A× mit a = ub gibt. Dann schreiben wir a ∼ b und ∼ ist eine Äquivalenzrelation. Beispiel 5.15. In A = Z sind a und −a assoziiert.

In A = k[X] sind zwei Polynome f, g ∈ k[X] genau dann assoziiert, wenn es ein λ ∈ mit f = λg ist.

k×

In faktoriellen Ringen existiert der größte gemeinsame Teiler und ist eindeutig bis auf Assoziiertheit. Definition 5.16. Der Inhalt I(f ) ∈ A eines von Null verschiedenen Polynoms f ∈ A[X] über einem faktoriellen Ring A ist der größte gemeinsame Teiler seiner Koeffizienten. Ein Polynom f heißt primitiv, falls sein Inhalt Eins (sprich: eine Einheit) ist. Beispiel 5.17. Wir betrachten A = Z und f = 4X 2 + 6X + 10. Dann ist I(f ) = 2 und f = 2(2X 2 + 3X + 5). Allgemein können wir jedes Polynom f als f = I(f )f˜ für ein Polynom f˜ ∈ A[X] schreiben, welches wir den primitiven Teil von f nennen. Lemma 5.18 (Gauß-Lemma). Das Produkt primitiver Polynome über einem faktoriellen Ring ist primitiv. Beweis. Es seien f, g ∈ A[X] primitiv (wobei A faktoriell sei), nicht aber h = f g, also I(h) 6= 1. Dann existiert ein irreduzibles p ∈ A, welches I(h) teilt. Das von p erzeugte Ideal (p) ist ein Primideal, womit R := A/(p) ein Integritätsbereich ist. Der kanonische Homomorphismus A → R induziert einen Ringhomomorphismus X X A[X] → R[X] , ai X i 7→ ai X i . i

i

Es gilt nun jedoch h = 0 und somit f · g = h = 0, womit f = 0 oder g = 0 folgt, da R[X] ein Integritätsbereich ist. O.B.d.A. sei f = 0, weshalb p Teiler aller Koeffizienten von f ist, was ein Widerspruch zur Primitivität von f ist. Lemma 5.19. Es seien f, g ∈ A[X] primitiv und A ein faktorieller Ring. Weiter sei der Quotientenkörper von A. Dann gelten folgende Aussagen:

k

(i) Die Polynome f und g sind genau dann assoziiert in A[X], wenn sie assoziiert in k[X] sind. (ii) Das Polynom f ist genau dann irreduzibel in A[X], wenn f irreduzibel in k[X] ist. Beweis. (i), „⇒“ ist klar. „⇐“. Es sei f = ab g mit a, b ∈ A \ {0}. Dann ist bf = ag und daher b ∼ I(bf ) ∼ I(ag) ∼ a, womit a = ub für ein u ∈ A× folgt. Dies bedeutet f = ug. (ii), „⇐“. Es sei f irreduzibel in k[X] und f = gh in A[X]. Dann ist deg g = 0 oder deg h = 0, o.B.d.A. deg g = 0. Damit folgt g ∈ A und über g|I(f ) erhalten wir g ∈ A× . „⇒“. Es sei f reduzibel in k[X], d.h. es sei f = gh für Polynome f , g vom Grade Eins oder größer. Wir schreiben g = ab g˜, wobei g˜ ∈ A[X] primitiv sei und a, b ∈ A, b 6= 0. Analog 0 ˜ für primitives h ˜ ∈ A[X] und a0 , b0 ∈ A, b0 6= 0. Wir erhalten nun schreiben wir h = a0 h b

f = gh = 51

aa0 ˜ g˜h , bb0 Algebra 1

5

Polynome

˜ Da f primitiv ist, ist bb0 ∼ I(bb0 f ), und nach dem Gauß-Lemma ist g˜h ˜ also bb0 f = aa0 g˜h. aa0 0 0 0 0 ˜ primitiv, womit wir bb ∼ I(bb f ) ∼ I(aa g˜h) ∼ aa ist. Damit ist u := bb0 wie oben sogar ˜ ist eine echte Zerlegung von f . eine Einheit in A, d.h. f = u˜ gh Satz 5.20. Ist A faktoriell, so ist auch A[X] faktoriell. Korollar 5.21. Ist A faktoriell und n ≥ 1, so ist auch A[X1 , . . . , Xn ] faktoriell. Beweis. Durch Induktion nach n. Der Induktionsstart ist obiger Satz, der Induktionsschritt ergibt sich aus A[X1 , . . . , Xn+1 ] ∼ = A[X1 , . . . , Xn ][Xn+1 ] und der Induktionsvoraussetzung, dass A[X1 , . . . , Xn ] faktoriell ist. Beweis zu Satz 5.20. Wir zeigen zunächst die Existenz einer Zerlegung in irreduzible Elemente. Sei dazu f ∈ A[X] von Null verschieden. Wir schreiben f = I(f )f˜ für ein primitives f˜. Nun zerlegen wir I(f ) = a1 · · · am , wobei die ai ∈ A irreduzibel sind – dies ist möglich, da A faktoriell ist. Außerdem fassen wir f˜ ∈ A[X] als Polynom über dem Quotientenkörper k von A auf. Da Polynomringe über Körpern faktoriell sind, können wir in k[X] f˜ = p1 · · · pr schreiben, wobei die pi ∈ k[X] irreduzibel sind. Diese stellen wir in der Form pi =

αi p˜i βi

mit αi , βi ∈ A, βi 6= 0 und primitivem p˜i ∈ A[X]. Nun ist β1 · · · βr f˜ = α1 · · · αr p˜1 · · · p˜r und p˜1 · · · p˜r ist primitiv. Es gibt also eine Einheit u ∈ A× mit f˜ = u˜ p1 · · · p˜r . Wir wissen, dass p˜i primitiv und irreduzibel in k[X] ist. Nach Lemma 5.19 ist p˜i ∈ A[X] auch irreduzibel in A[X]. Wir erhalten also eine Zerlegung f = I(f )f˜ = ua1 · · · am p˜1 · · · p˜r in irreduzible Elemente a1 , . . . , am und p˜1 , . . . , p˜r . Wir zeigen nun auch die Eindeutigkeit dieser Zerlegung. Schreiben wir f = b1 · · · bn q1 · · · qs für irreduzible bi ∈ A und nichtkonstante qi ∈ A[X], so sind die qi offenbar auch primitiv. Damit ist auch q1 · · · qs primitiv, es gibt also eine Einheit v ∈ A× mit f˜ = vq1 · · · qs und I(f ) = v −1 b1 · · · bn . Insbesondere sind durch u˜ p1 · · · p˜r = f = vq1 · · · qs zwei Zerlegungen in Irreduzible in k[X] gegeben. Da k[X] jedoch faktoriell ist, haben wir r = s und (o.B.d.A. – bis auf Permutation) p˜i ist assoziiert zu qi in k[X]. Nach Lemma 5.19 sind p˜i und qi auch assoziiert in A[X]. Analog erhalten wir aus a1 · · · am ∼ I(f ) ∼ b1 · · · bn , dass n = m und o.B.d.A. ist ai assoziiert zu bi , denn A ist faktoriell. Algebra 1

52

5.2

Faktorisierung

Wir geben nun eine hinreichende Bedingung für Irreduzibilität. Satz 5.22 (Eisensteinscher Satz). Es sei A faktoriell, k der Quotientenkörper und n ≥ 1. Weiter sei f = f0 + f1 X + · · · + fn−1 X n−1 + fn X n ∈ A[X] und p ∈ A sei irreduzibel. Gelten nun die Beziehungen fi ≡ 0

mod p

für 0 ≤ i < n und fn 6≡ 0

mod p , und f0 6≡ 0

mod p2 ,

so ist f irreduzibel in k[X]. Beispiel 5.23. Wir betrachten f = X 5 − 9X 2 + 15X − 3 ∈ Z[X] und p = 3. Nach dem Satz von Eisenstein ist f irreduzibel in Q[X]. Da f primitiv ist, ist f auch irreduzibel in Z[X]. √ Außerdem ist X n − p irreduzibel in Z[X], falls p eine Primzahl ist. Damit ist n p ∈ / Q für n > 1. Beweis. Wir schreiben f = I(f )f˜ für primitives f˜ und da p kein Teiler von fn ist, ist p auch kein Teiler von I(f ). Somit erfüllt f˜ die Voraussetzungen des Satzes. O.B.d.A. können wir also annehmen, dass f primitiv ist, denn I(f ) ∈ k× . Angenommen, f wäre nicht irreduzibel. Dann gibt es eine Zerlegung f = gh in A[X] mit g = g0 + · · · + gd X d und h = h0 + · · · + hm X m , so dass deg f = n = m + d und fn = gd hm . Wir erhalten f0 = g0 h0 , p|f0 und p2 teilt nicht f0 . O.B.d.A. sei p|g0 und p teile nicht h0 . Wir betrachten den Ringhomomorphismus A[X] → A/(p)[X], f 7→ f . Dann ist f = fn X n = gh. Wir bemerken h = h0 +h1 X + · · · + hm X m |{z} 6=0

und g = gk X k + · · · + gd X d |{z} |{z} 6=0

6=0

für ein k ≤ d. Dann wäre jedoch hg = gk h0 X k + · · · + gd hm X n |{z} | {z } 6=0

6=0

in A/(p)[X]. Dies widerspricht f = fn X n , da k ≤ d < d + m = n.

53

Algebra 1

5

Polynome

5.3

Symmetrische Polynome

Es sei A ein kommutativer Ring und R := A[X1 , . . . , Xn ]. Für π ∈ Sn definieren wir den Ringhomomorphismus Dπ : R → R durch Dπ (a) = a für alle a ∈ A und Dπ (Xi ) = Xπ(i) . Es gilt Did = idR und Dπ2 ◦ Dπ1 = Dπ2 ◦π1 . Damit ist Dπ ein Ringautomorphismus und wir sagen, dass Sn auf R durch Ringautomorphismen operiert. Wir schreiben π.f := Dπ (f ) für π ∈ Sn und f ∈ R. Definition 5.24. Ein Polynom f ∈ R heißt symmetrisch, falls π.f = f für alle π ∈ Sn . Beispiel 5.25. Wir betrachten R = A[X1 , X2 , X3 ] und f1 = X1 X2 + X1 X3 + X2 X3 . Dieses Polynom f1 ist symmetrisch. Das Polynom f2 = X1 X2 + X1 X3 jedoch ist nicht symmetrisch. Wir behaupten nun, dass die Menge RSn der symmetrischen Polynome f ∈ R ein Unterring von R ist. Sind nämlich f und g symmetrisch und π ∈ Sn , so ist Dπ (f + g) = Dπ (f ) + Dπ (g) = f + g. Analog ist Dπ (f g) = f g. Definition 5.26. Es sei 0 ≤ k ≤ n. Das k-te elementarsymmetische Polynom in n Variablen ist X Y σk = Xi . S⊂[n] i∈S |S|=k

Beispiel 5.27. Es ist σ0 = 1, σ1 = X1 + · · · + Xn und σ2 = σn = X1 X2 · · · Xn .

P

i