Краткая история математики: учебное пособие для вузов

Table of contents :
Предисловие......Page 3
Введение......Page 4
1.2. Счет предметов......Page 6
1.3. Возникновение арифметики......Page 7
1.5. Возникновение геометрии......Page 8
2.1. Элементарная математика VI–V вв. до н. э. — I в. до н. э.......Page 9
2.2. Период элементарной математики нашей эры (I–XV вв.)......Page 10
ГЛАВА 3. Период математики переменных величин......Page 18
4.2. Выдающиеся математики ХX в.......Page 25
4.3.1. Основания математики......Page 30
4.3.2. Математическая логика......Page 31
4.3.3. Алгебра......Page 33
4.3.4. Геометрия и топология......Page 37
4.3.5. Функциональный анализ......Page 40
4.3.6. Теория функций действительной переменной......Page 46
Третий этап становления ТФКП, XIX в.......Page 48
Четвертый этап развития ТФКП, ХX в.......Page 49
4.3.8. Теория вероятностей......Page 51
4.3.10. Дискретная математика......Page 54
4.3.11. Математическая физика......Page 55
ГЛАВА 5. Математика ХХI века......Page 57
ГЛАВА 6. Плеяда выдающихся математиков в области функционального анализа......Page 60
Заключение......Page 71
Литература......Page 72

Citation preview

Е. А. ПАВЛОВ

КРАТКАЯ ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ Учебное пособие Издание третье, стереотипное

•САНКТПЕТЕРБУРГ• •МОСКВА•КРАСНОДАР• 2021

УДК 51 ББК 22.1г я73 П 12

Павлов Е. А. Краткая история математики : учебное по собие для вузов / Е. А. Павлов. — 3е изд., стер. — СанктПе тербург : Лань, 2021. — 80 с. : ил. — Текст : непосредствен ный. ISBN 9785811467754 В данном пособии содержится обширный исторический матери ал, посвященный возникновению развитию математики от древней ших времен до наших дней, приведены все основные достижения в математике в разных странах мира, даны краткие сведения о вели ких математиках, сделавших выдающиеся открытия как в матема тике, так и в ее приложениях. Пособие предназначено для студентов педагогических, инженер нопедагогических и классических университетов, обучающихся по специальностям «Математика», «Прикладная математика», «Тео ретическая физика», а также студентов некоторых технических спе циальностей.

УДК 51 ББК 22.1г я73

Обложка П. И. ПОЛЯКОВА

© Издательство «Лань», 2021 © Е. А. Павлов, 2021 © Издательство «Лань», художественное оформление, 2021

ПРЕДИСЛОВИЕ На данное время издано более сотни книг, пособий по истории математики и отечественной математики в частности. Все эти книги содержат большой объем исторической информации о развитии математики. Следует отметить, что самые краткие курсы истории математики содержат более 200–250 страниц и сведения о достижениях российских математиков наших дней в них не приведены. Отметим также, что во всех этих монографиях не выделены «самые», «великие» достижения российских и других математиков в период с начала ХX в. н. э. по настоящее время (2018 г.). Я привожу эти данные согласно оценке Филдсовского комитета, созданного фактически по предложению канадского математика Джона Филдса во время прохождения VII Международного математического конгресса, проходившего в 1924 г. в Торонто. Первые медали и премии имени Д. Филдса были вручены в 1936 г. в Осло. Учитывая, что до ХVI в. н. э. количество ученых-математиков исчислялось несколькими десятками, то, начиная примерно с ХVII в. н. э. уже несколькими сотнями, пришлось «выбирать» наиболее важные достижения в области математики и краткую информацию об авторах этих достижений. Автор осознает, что в любой из книг по истории математики (и в данной книге в частности) присутствует элемент «субъективизма», так как на каждое из открытий имеются противоположные точки зрения, поэтому данная книга не претендует на «истину в последней инстанции». Данная книга предназначена для студентов, обучающихся в педагогических и инженерно-педагогических университетах России по специальностям: «Математика», «Прикладная математика». Пособие будет полезным также для студентов классических университетов, обучающихся по специальностям: «Математика», «Прикладная математика», «Теоретическая физика». Автор выражает благодарность: – доктору физико-математических наук, профессору Крымского федерального университета М. А. Муратову; – кандидатам физико-математических наук, доцентам Крымского Федерального университета О. И. Рудницкому и Ф. С. Стонякину за внимание к данной книге и сделанные замечания, которые были учтены при подготовке рукописи к печати. Автор дополнительно благодарит зав. редакционно-издательским отделом Крымского инженерно-педагогического университета А. Р. Фазылову за редактирование рукописи. Крым, Симферополь Е. А. Павлов 3

ВВЕДЕНИЕ К настоящему времени существует несколько хронологий возникновения и развития математики. В данном пособии приводится хронология, предложенная великим советским русским математиком А. Н. Колмогоровым. В данном пособии приводятся краткие сведения возникновения и развития математики, сведения о математических исследованиях и их авторах. Я поставил перед собой задачу: написать пособие по истории математики, обладающее свойствами: 1. Достаточно полный объем информации по истории математики. 2. Небольшой объем книги. Следует отметить, что в разных источниках разных авторов — известных исследователей в области истории математики — зачастую на одно и то же открытие в области математики приводятся неточные сведения: фамилии разных авторов разных стран, разных годов и даже разных столетий. Это связано с тем, что часто совершённые открытия (например, теорема Пифагора была открыта за несколько тысячелетий до рождения Пифагора) забывались, терялись, а затем переоткрывались заново спустя несколько десятков лет, столетий. В данной книге кратко изложена история возникновения и развития математики в разных странах мира от древнейших времен до начала ХХI в. (до конца 2018 г.). Содержание данного учебного пособия охватывает все периоды развития математики. Глава 1 посвящена периоду зарождения математики. Глава 2 охватывает период элементарной математики. Дано описание основных математических школ этого периода: Пифагорийская школа (530 г. до н. э. — 400 г. до н. э.), Элейская школа (VI–III вв. до н. э.), Восточная школа (III–I вв. до н. э.) и достижения математиков периода I в. н. э. — ХV в. н. э. Глава 3 посвящена периоду расцвета математики: XVII в. н. э. — XIX в. н. э. В этой главе описаны самые выдающиеся достижения в области математики и дана краткая информация о великих математиках этого периода, совершивших великие открытия: П. Ферма, Р. Декарте, Б. Кавальери, Г. Лейбнице, И. Ньютоне, Я. Бернулли и многих других. В главе 3 приведены также достижения русских математиков и их краткие биографии: М. Головина, С. Лобанова и др. Глава 4 посвящена математике и математикам ХX в. В этой главе перечислены основные направления (как «старые», так и «новые») развития математики в этот период, приведен список и краткие биографии наиболее выдающихся математиков ХX в. и кратко описаны основные открытия, сделанные ими в математике и ее приложениях. В данной главе, в частности, приведен полный (на данный мо4

мент) список всех лауреатов Филдсовской премии, начиная с 1936 по 1998 гг. Глава 5 содержит исторический материал о развитии математики в ХХI в. В этой главе содержатся сведения о самых вающихся открытиях в математике начала ХХI в., в частности, самое великое открытие гениального российского математика Г. Перельмана — решение проблемы А. Пуанкаре. В данной главе содержится список всех лауреатов Фидлсовской премии в период от 2002 до 2018 гг. включительно, даны краткое описание этих открытий и краткие биографии авторов этих открытий. В конце книги приведен список литературы, состоящий из произведений классиков истории математики и современных авторов по истории математики.

5

ГЛАВА 1. ЗАРОЖДЕНИЕ МАТЕМАТИКИ 1.1. Возникновение представления о форме предмета Возникает вопрос: что было первично — возникновение представления о форме предмета или счет? Однозначно ответить сложно, но, по мнению многих историков, представление о форме предмета появилось несколько раньше. В эпоху палеолита (каменный век) люди уже изображали на стенах пещер рисунки животных и некоторых предметов, делали первые статуэтки.

1.2. Счет предметов Охота и рыбалка способствовали появлению первых представлений о счете: палочки, зарубки, бирки. Вначале появилось число «один» — одна зарубка, которое привязывалось к одному конкретному предмету. Слова, соответствующего числу один, еще не было, хотя в разных народах нанесение одной зарубки или откладывание одной палочки сопровождалось определенным звуком. Так, например, если было поймано несколько рыб или убито несколько животных, то делалось несколько зарубок или откладывалось несколько палочек. Счет предметов на начальном этапе сопровождался звуками, соответствующими нашим словам «один», «два», «три». Все, что было больше трех, называлось «много». На низшей стадии развития первобытного человека понятие отвлеченного числа отсутствовало. Возникновению абстрактного, отвлеченного числа, которое не привязано к конкретному предмету, способствовало сравнение количества однородных предметов (рыб, птиц и т. д.) с некоторым «эталонным» набором предметов, например с пальцами рук. Один предмет — загибался один палец. Два — два пальца и т. д., до десяти предметов. Пальцы рук считались самым первым счетным инструментом древнего человека, однако, как происходил счет на пальцах (загибание пальцев или что-то другое) — однозначного ответа нет. Появление счета на пальцах датируется приблизительно, начиная с 40 тысяч лет до н. э. (эпоха верхнего палеолита). Этот этап соответствует появлению современного человека — кроманьонца. Таким образом, отличительная черта кроманьонца от более древних людей — умение считать на пальцах. Потребность в выработке количественных исчислений вызвал обмен предметами (в частности и продуктами питания) между племенами. 6

В Египте (V в. до н. э.) счетным прибором были палочки и проволока с нанизанными камешками — предвестница русских счет. Примерно в это же время в Древней Греции (V в. до н. э.) появился счетный инструмент АБАК — счетная доска. В племени майя для обозначения чисел использовалось три обозначения: точка, линия (отрезок) и эллипс — и их комбинации. В Древнем Египте (5000– 4000 лет до н. э.) единица обозначалась палочкой, сотня — пальмовым листом, сто тысяч — лягушкой (в дельте реки Нил было очень много лягушек). Первыми цифрами были римские цифры (появились у этрусских племен примерно 500 лет до н. э.). Эти цифры обозначались I — «один»; II — «два»; III — «три»; IV — «четыре»; V — «пять»; VI — «шесть»; VII — «семь»; VIII — «восемь»; IX — «девять»; X — «десять»; XI — «одиннадцать» и т. д.; L — «пятьдесят»; C — «сто»; D — «пятьсот»; М — «тысяча». Эти знаки получили название цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Их изображения вначале были «угловыми», похожими на цифры индекса на конвертах. От количества углов зависел «номинал» числа. Число ноль и цифра 0 появились позднее. Цифра ноль и ее символ означал — «ничто», «пусто». Со временем угловатые арабские цифры «разгладились» и предстали в той форме, которую мы имеем сегодня. Арабские цифры возникли чуть позже римских (V в. до н. э.) в Индии.

1.3. Возникновение арифметики Арифметика — наука о числах, их свойствах и действиях над ними. История арифметики охватывает период от возникновения счета предметов до формального определения чисел и арифметических операций (действий) над ними. Первые сведения об арифметических действиях относятся к периоду начала охоты, рыбной ловли, торговли (около 3,5 тысячи лет до н. э.) Операция (действие) сложение выполнялась загибанием пальцев, когда группы сборщиков кореньев или группы сборщиков ягод складывали в одно место свою добычу. Очень сложно определить, в какой стране, в каком веке впервые появилось действие сложение. Например, древние вавилоняне (III–II тысячелетние до н. э.) уже умели выполнять эти действия. Они же первыми (по-видимому) изобрели число 0 (нуль). То же самое примерно в это же время умели делать племена майя. Операция деление возникла в Древнем Вавилоне и Древнем Египте. Древние египтяне и вавилоняне уже умели делить целое число на части (около 2000 лет до н. э.).

7

Отрицательные числа, как и операция вычитание, появились значительно позже.

1.4. Возникновение алгебры Алгебра возникла как продолжение арифметики. Начало возникновения алгебры примерно совпадает с началом развития арифметики (2000 лет до н. э.). Древние египтяне и древние вавилоняне уже умели решать простейшие уравнения первой и второй степени в натуральных числах, без использования действия вычитание, без использования отрицательных чисел, которые еще не были изобретены. Отрицательные числа, как и действие вычитание, появились, повидимому, в Китае (II в. до н. э.) во времена развития торговли. Отрицательное число ассоциировалось с понятием «долг», например — 3 — «ты должен мне 3 денежных единицы». Операция умножения выполнялась уже древними египтянами как повторные сложения одного числа. В Древней Индии уже применяли способ умножения чисел, аналогичный современному (в «столбик»). Корни из натурального числа впервые возникли в Древнем Египте. Археологи просчитали, что без знания квадратного корня (длины гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника, определяемой, если известна длина катета) и числа π невозможно было построить пирамиды, составленные из камней, содержащих прямые углы и дуги окружности. Еще за 3 тыс. лет до н. э. вавилоняне знали теорему, которая сегодня называется теоремой Пифагора. Древние владели достаточно большим набором правил и формул для решения многих практических задач: измерение земельных участков, составление календарей, строительство и т. д.

1.5. Возникновение геометрии Самые первые понятия о геометрии возникли, по-видимому, в Древнем Египте около 4 тыс. лет назад, т. е. около 2 тыс. лет до н. э. в связи со строительством пирамид, вычислением объемов различных сосудов и помещений. В геометрии Древнего Вавилона рассматривались те же фигуры, что и в Египте, кроме того, исследовались сегмент круга и усеченный конус, было дано приближенное значение числа π ≈ 3, затем получены более точные значения: π ≈ 3,125; π ≈ 1605. Площадь круга ≈ 1/12∙С, где С — длина окружности. «Теорему Пифагора» вавилоняне «открыли» между 2000 г. до н. э. и 1786 г. до н. э.

8

ГЛАВА 2. ПЕРИОД ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ 2.1. Элементарная математика VI–V вв. до н. э. — I в. до н. э. Геометрия как наука сложилась в трудах в основном греческих математиков во главе с Пифагором (VI–Vвв. до н. э.). Пифагор переоткрыл и сформулировал теорему, которая сегодня называется теоремой Пифагора. Пифагор доказал эту теорему, поэтому ее и связывают с именем Пифагора, хотя, как мы отмечали выше, эта теорема (без доказательства) была известна древним вавилонянам задолго до рождения Пифагора. Рассмотрим, какие математические школы развивались в этот промежуток времени и какие достижения и кем, в каких странах, были сделаны. 1. Пифагорейская школа (530 г. до н. э.) Главной задачей пифагорийцев являлось развитие математики как по содержанию, так и по форме. По содержанию — открытие новых математических фактов. По форме — построение геометрии и арифметики как теоретических, доказательных наук. Основные результаты (достижения) пифагорийской школы: 1. Создание теории пропорций. 2. Введение понятий среднего арифметического и среднего геометрического. 3. Введение понятия среднего гармонического. 4. Создание Пифагором учения о четных и нечетных числах. 5. Открытие несоизмеримых величин — предвестников иррациональных чисел. 6. Открыт метод дедуктивного построения геометрии. 7. Создана теория окружности и круга. 2. Элейская школа (VI–III вв. до н. э.) Основные представители этой школы: Парменид (конец VI — V вв. до н. э.) — философ, метафизик — основатель элейской школы. Зенон (первая половина V в. до н. э.) — философ, разработал теорию математического атомизма, построил теорию математической перспективы и проекции. Евклид (III в. до н. э.) — величайший ученый — математик, построивший строгую теорию геометрии на плоскости. «Начала» — ве9

ликое творение гениального грека. Эта теория была основой для математиков на протяжении почти двух тысячелетий. 3. Восточная школа (III–I вв. до н. э.). К III в. до н. э. окончательно определились начертания цифр. Ярким представителем этой школы был китайский математики и астроном Цьзин Фан (I в. до н. э.). Восточная математика возникла как прикладная наука, имевшая целью облегчить календарные расчеты, распределение урожая и сбора налогов. Древние египтяне умели решать некоторые линейные уравнения. В папирусе Ахмеса содержится 84 математических задачи (около 1650 г. до н. э.). Египтяне умели приближенно находить площадь круга и четырехугольника, знали точные формулы для вычисления объема параллелепипеда, цилиндрических тел, пирамиды и усеченной пирамиды. Знаменитое древнекитайское математическое сочинение «Математика в девяти книгах» датируется примерно II в. до н. э. Это произведение было окончательно отредактировано Чжан Ценом (150 лет до н. э.). Появился счетный прибор абак (счеты).

2.2. Период элементарной математики нашей эры (I–XV вв.) I в. н. э. Герон Александрийский (2-я половина I в. н. э.) — греческий математик. Занимался математикой и механикой. Основной труд по математике — «Метрика», в котором приведены формулы вычисления: площадей правильных многоугольников, объемов правильных многогранников, пирамид, конусов, усеченного конуса, тора, шарового сегмента, формула расчета площади треугольника по длинам его стороны (открытая Архимедом и переоткрытая Героном). Приведены правила численного решения квадратных уравнений. Даны алгоритмы извлечения квадратных и кубических корней. Менелай Александрийский (I в. н. э.) — греческий математик. Главное сочинение — «Сферика» в трех книгах, посвященных тригонометрии на сфере. Менелаю принадлежат также следующие математические произведения: «О вычислении хорд», «Книга о треугольнике», «Книга о подразделении составных чисел». Ал-Ходжанды (940 г. н. э.) — таджикский математик и астроном. Он доказал, что уравнение x3 + y3 = z3 не имеет рациональных корней. Отсюда, в частности, следует, что это уравнение неразрешимо в целых положительных числах — проблема, которую поставил французский математик П. Ферма спустя полторы тысяч лет (1601– 1665 гг. н. э.). 10

II в. н. э. Никомах Герасский (60–120 гг. н. э.) — древнегреческий философ и математик. Основные труды: «Введение в арифметику», «Руководство по гармонике», «Теологумены арифметики». Клавдий Птолемей (100 г. н. э.) — эллинистический математик, механик и астроном. Основными достижениями являются: 1) доказал теорему о произведении диагоналей вписанного в круг четырехугольника (теорема Птоломея); 2) составил таблицу хорд, соответствующих дугам от 0° до 180°; 3) ввел деление градуса на минуты и секунды. Теон Смирнский (70–135 гг. н. э.) — автор трактата «Изложение математических предметов, полезных при чтении Платона». При написании основывался на трудах предшественников. Сридхара — индийский математик (II в. н. э.). Основной труд — книга «Ганитасара» («Сущность вычислений»), в которой сформулировал свойства нуля. III в. н. э. Сунь-Цзы занимался решением неопределенных уравнений первой степени в целых числах. Диофант Александрийский — древнегреческий математик из Александрии. Он написал трактат из 13 книг, решал уравнения (диофантовы уравнения) различных степеней с несколькими неизвестными. Лю-Хуэй — китайский математик. Основные труды: «Расчет числа π методом вписанных правильных многоугольников», «Решение систем линейных уравнений методом исключения неизвестных» (позже этот метод переоткрыл немецкий математик К. Ф. Гаусс), «Расчет объемов призмы, пирамиды, тетраэдра, цилиндра, конуса и усеченного конуса методом неделимых». Средневековье (IV–XV вв. н. э.) IV в. н. э. Папп Александрийский — древнегреческий математик. Основные произведения — трактат «Математическое собрание» — руководство для изучающих геометрию с комментариями и историческими справками, с улучшениями и видоизменениями известных теорем и их доказательств. Трактат содержит ряд собственных результатов автора. Серен Антинойский — греческий математик. Основные труды: «О сечении цилиндра», «О сечении конуса». Доказал, что сечения цилиндра и конуса дают однотипные эллипсы. Труд содержит результаты его предшественников. Теон Александрийский — греческий математик. Издал «Начала» Евклида в своей редакции.

11

V в. н. э. Гипатия Александрийская — женщина-ученый греческого происхождения. Она написала комментарии к сочинениям Аполлония Пергского и Диофанта Александрийского. Прокл Диадох — греческий ученый. Написал комментарии к «Началам» Евклида. ЦзуГэн — древнекитайский математик. Он сформулировал аналог принципа Кавальери, получил формулу объема шара. ЦзуЧунчжи — древнекитайский математик. Он вычислил приближенное значение числа π. Катнайана — индийский математик. Автор трактата «Правило веревки» из индийской геометрии. VI в. н. э. Капалла Марциан — римский математик. Автор труда «Энциклопедическое сочинение, посвященное геометрии: треугольники, круг, пирамида, конус и др.». Труд «Правила земледелия». Анфимий из Тралл — византийский математик и архитектор. Написал книгу «О канонических сечениях». Ариабхата — индийский математик и астроном (четыре века позднее жил ученый-математик того же имени Ариабхата. Чтобы не путать, его назвали Ариабхата II). Два сочинения «Ариабхатия» и «Ариабхата-сиддханта». Свой труд Ариабхата написал в 23 года, изложение очень краткое, требующее комментариев. В математической части трактата Ариабхата: 1. Описывается процесс извлечения квадратного и кубического корня. 2. Даны формулы для вычисления площади круга и объема шара. 3. Приближенное значение числа π. 4. Правило проверки результата с помощью девятки. 5. Вычисление гипотенузы с помощью катетов. 6. Дает решение квадратного уравнения. 7. Приводит правила суммирования конечных рядов натуральных чисел. Брахмагупта — индийский математик и астроном. Использовал алгебраические методы для астрономических вычислений. Ввел правила операций с нулем, положительными и отрицательными числами. Сохранилось его главное произведение «Брахма-спухута-сиддханта». Число 0 он определил как результат вычитания из числа самого себя. Установил правила арифметических операций над положительными, отрицательными числами и нулем. Попытался расширить арифметику и ввел деление на 0 (нуль). Предложил три метода умножения многозначных чисел в столбик, метод вычисления квадратного корня, метод решения неопределенных линейных уравнений вида: ax2 + c = y2 12

и ax + c = by. Вывел формулу вычисления площади четырехугольника, вписанного в окружность. Дал формулу приближенного вычисления, которая в настоящее время записывается в виде:  nf ( a ) + nf ( a − h )  x 2 n 2 f ( a − h ) , f ( a + xh ) ≈ f ( a ) + x   +  2 2! где f(a) = f(a + h) – f(a) и еще множество разных задач и тождеств. ЦзуГэн — китайский математик. Получил формулу вычисления объема шара. Сформулировал самый древний аналог принципа Кавальери. VII в. н. э. Анания Ширакоци — армянский математик. Труды: «Математика Анании Ширакоци — о весах и мерах», «Вопросы и решения» (сборник арифметических задач). Бхаскара — индийский математик. Написал два трактата «Махабхаскариа» и «Лагхубхаскакия», в которых рассматривал элементы тригонометрии и неопределенные линейные уравнения. Исидор Милетский — византийский математик и архитектор. Исследовал двугранные углы. Решал задачу об удвоении куба. Вараха-Махира — индийский математик. Впервые рассмотрел:  α sin   .  2 VIII в. н. э. Абу Абдаллах Джабир ибн Хайян аль-Азди ас Суфи — арабский математик, фармацевт, врач, астроном. Основные труды: «Комментарии к „Началам” Евклида», «Книга о построении астролябии». Абу Исхак Ибрахим ибн Хабиб аль-Фазари — первый арабский математик и астроном. Сочинения: «Книга о проектировании сферы на плоскость», «Книга о действиях с плоской астролябией», «Книга об измерительном шесте для полудня». И. Син — китайский математик, астроном. Занимался комбинаторными задачами, разработкой интерполяционных методов. Ал-Хабаш Ахмед — туркменский математик. Он первый ввел определение тангенса и котангенса. IX в. н. э. Абу КамилШуджа ибн Аслам ибн Мухаммад ал-Хасиб ал-Мисри — египетский математик, автор сочинений: «Книга об алгебре и алмукабале», «Книга о треугольнике и десятиугольнике». Бону Муса — сыновья Мусы ибн Шакира: Мухаммад Ахмад и ал-Хасан — выдающиеся математики, астрономы и механики. Труды: «Книга измерения плоских и шаровых фигур», «Книга о вытянутом круге», «Книга о движении первой сферы». 13

Абу-л-Фадл Абу ал-Хамид ибн Васи ибн туркал-Хуттади — тюркский мусульманский математик. Труды: трактат «Логическая необходимость в смешанных уравнениях», в нем излагается теория квадратных уравнений. Абу Таййиб Санад ибн Али аль-Яхуди — израильский математик. Труды: «Книга об алгебре и аль-мукабале», «Книга об индийской арифметике», «Книга о сложении и вычитании». Аль Фергани — персидский математик. Достижения: расчет величины земного меридиана, вычисление окружности земли. Хабаш аль-Хасиб — туркменский математик. Определил длину радиуса земного шара. Разработал подробные тригонометрические таблицы, содержащие функции синуса. Книга «трактаты по арифметике». Ал-Хорезми Мухаммед — узбекский математик. Написал трактаты: «Арифметический трактат», «Алгебра». Решил уравнения вида: 22 x2 + a = bx. Вычислил число π. π ≈ ;  π ≈ 10. 7 X в. н. э. Абу-ль-Вафа аль-Бузджани — персидский математик. Доказал теорему синусов для сферических треугольников. Ибн Синан — арабский математик. Труды: «Книга о построении трех конических сечений», «Книга о методе анализа и синтеза при решении геометрических задач», «Книга о геометрии и звездах». Абу Сахль аль-Кухи — персидский математик. Автор книг «О совершенствованном циркуле», «О нахождении стороны семиугольника в круге», «Об измерении параболоида», занимался решением кубических уравнений. Абу-ль-Хасан аль-Уклидиси — арабский математик. Составил «Книгу разделов об индийской математике», пытался ввести десятичные дроби, которые были вновь «изобретены» в начале XV в. АлКаши. Абу Джафар аль-Хазин — персидский математик и астроном, написал книги: «Об изображении сферы на плоскости», «О решении кубических уравнений», «О расстояниях и объемах». Мухаммад аль-Хашими — арабский математик и астроном. Трактат «О вычислении иррациональных корней». Юханна ибн Юсуф — арабский математик. Написал книгу «О рациональных и иррациональных величинах», «Книгу о доказательстве того, что если прямая линия пересекает две другие прямые, лежащие в одной плоскости, то сумма двух внутренних углов меньше

14

суммы двух прямых углов». Доказал теорему синусов для плоских треугольников. XI в. н. э. Абу Рейхан Бируни — персидский ученый — энциклопедист. Труды по математике «Математические и астрономические трактаты», «Трактат об определении хорд в круге при помощи ломаной линии, вписанной в него». Ибн Муаз аль-Джайяни — арабский математик. Книга «О неизвестных дугах сферы», в которой изучаются сферические многоугольники, решаются сферические треугольники, доказываются сферические теоремы синусов. Ибн аль-Хайсан — арабский ученый-универсал: математик, механик, физик и астроном. В книге комментариев к введениям в «Начала» Евклида попытался доказать пятый постулат Евклида. В трактате «Об измерении параболического тела» приводит формулы для сумм последовательных квадратов, кубов и четвертых степеней. В трактате «Об изопериметрических фигурах» сделал попытку доказать, что круг имеет самую большую площадь из всех фигур равного периметра, а шар — самый большой объем из тел с равными площадями поверхностей. Написал книги: «О квадратуре круга», «Об измерении шара», «О построении семиугольника», «О построении пятиугольника, вписанного в квадрат», «О свойствах высоты треугольника», «Об извлечении кубического корня», «О параболе», «О гиперболе», «О магическом квадрате». Абу Бакр аль-Караджи — персидский математик. Труды: «Достаточная книга об арифметике», «Книга об алгебре и алмукабале», составил таблицу биномиальных коэффициентов, записал формулу — аналог формулы Бинома. Кушьяр ибн Лаббан — газневидский математик и астроном. В трактате «О началах индийской арифметики» рассматриваются действия с десятичными числами, а также с числами, записанными в шестидесятеричной системе. Омар Хайям — персидский математик, астроном, философ, поэт. Внес вклад в алгебру построением классификации кубических уравнений и их решением с помощью конических сечений. ХII в. н. э. Бхаскара II — индийский математик. Трактаты: «Лилавати» — посвящен арифметике «Биждаганита» — алгебре, «Голадхайя» — сферике. ХIII в. н. э. Асируддин аль-Абхари — арабский математик. «Книга об уравнениях». Фибоначчи — пизанский математик. Труд «Книга абака» способствовал распространению в Европе позиционной системе счисле15

ния. В нем даны приемы решения практических задач, в частности, связанных с торговым делом. Настоящее имя Леонардо Пизанский. Фибоначчи — прозвище. Цинь Цзю-шао — китайский математик. Считается одним из великих алгебраистов ХIII–XIV вв. Автор сочинения «Девять книг по математике». Символ нуля использует в форме кружка. Сочинение посвящено теории чисел и решению алгебраических уравнений. ХIV в. н. э. Бонфис, Иммануил бен Яаков — еврейский математик и астроном. Опубликовал трактат «Путь деления» — подробный набросок общей теории десятичных дробей. Сформулировал правила действий со степенями как с положительными, так и с отрицательными показателями. Дал алгоритм извлечения квадратного корня с любой точностью. Брадвардин Томас — английский математик. Трактат «О теоретической геометрии» рассматривает звездчатые многоугольники. Изучаются изопериметрические свойства многоугольников, круга, шара. Построено учение о пропорциях. Мадхава из Сангамаграмы — индийский математик. Он первым стал заниматься разложением тригонометрических функций в ряды. Многие его исследования относятся к алгебре, тригонометрии и геометрии. Орем, Николай — французский математик. Труды: «Вычисление пропорций», «Вопросы по геометрии Евклида». «Трактат о конфигурации качеств» содержит примеры геометрических фигур, имеющих бесконечную протяженность, но конечную площадь. Позже такие фигуры стали строить Ферма и Торричели. ХV в. н. э. Аль Каши — самаркандский математик. Опубликовал первое систематическое изложение теории десятичных дробей. Вычислил число π до 16-го десятичного знака. Изучал уравнения трисекции угла x3 + q = px. Апиан Петрус — немецкий математик. Описал простейшие случаи превращения обыкновенных дробей в десятичные и наоборот. Николай Кузанский — римский математик, энциклопедист, церковный деятель. Трактаты: «О квадратуре круга», «О соизмерении прямого и кривого». Региомонтан — немецкий математик. Основной математический труд «О всех видах треугольников», в котором впервые тригонометрия рассматривалась как самостоятельная дисциплина. Шюке, Никола — французский математик. Издал обстоятельный трактат «Наука о числах в трех частях». Ввел большое число биллион, триллион и т. д. 16

ХVI в. н. э. В этот век работала плеяда великих и крупных математиков, из которых в пособие вошло только несколько самых выдающихся математиков XVI в. Бомбели, Рафаэль — итальянский математик. Первый ввел в математику комплексные числа как «легальный» объект. С этого момента начала зарождаться в Европе теория чисел как наука. Генри, Бригс — английский математик. Создатель первых таблиц десятичных логарифмов. Видман. Иоган — немецкий математик. Впервые употребил и опубликовал современные знаки + и – (плюс и минус). Виет Франсуа — французский математик — основоположник символической алгебры. Труды: «Математический канон» — капитальный труд по тригонометрии. Ему принадлежит формула, известная каждому школьнику, связывающая корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Кардано Джиролама — итальянский математик. Решил уравнения вида: x3 + ax + b = 0; x3 + b = ax, x3 = ax + b». «Украл» у Тартальи формулу нахождения корней кубического уравнения. Тарталья Никколо — итальянский математик — первый вывел формулу нахождения корней кубического уравнения. Непер Джон — шотландский математик, один из «изобретателей» логарифмов. Он первый опубликовал логарифмические таблицы. Феррари — итальянский математик. Он нашел общее решение алгебраического уравнения четвертой степени методом алгоритма.

17

ГЛАВА 3. ПЕРИОД МАТЕМАТИКИ ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН XVII в. н. э. Декарт Рене — французский математик, механик, физик, философ. Он независимо от П. Ферма считался создателем аналитической геометрии. Постоянные, известные величины, он обозначал a, b, c, d, а неизвестные величины x, y, z — предвестники переменных величин. Декарт формулирует правило знаков. Он первый начал задавать кривую линию с помощью уравнения — это бы решающий шаг к введению понятия «функция». Пьер Ферма — французский математик-самоучка, профессиональный юрист — один из создателей (одновременно и независимо от Р. Декарта) аналитической геометрии. Сформулировал «Великую теорему Ферма», которая была решена только в наше время, спустя более 400 лет со для ее формулировки. Внес большой вклад в теорию чисел. Доказал, что если а не делится на простое число р, то число ap – 1 – 1 всегда делится на р — «Малая теорема Ферма». Ставил проблемы, которые много лет решали выдающиеся математики (Эйлер и др.) в более позднее время. Бонавентура Кавальери — итальянский математик. Его работы — предшественницы математического анализа. Основное достижение — метод сечений (метод неделимых) для сравнения площадей и объемов плоских фигур и объемных тел. Лейбниц Готфрид Вильгельм — саксонский математик, физик, механик, логик, философ независимо от И. Ньютона создал математический анализ — дифференциальное и интегральное исчисление, основанное не бесконечно малых величинах, создал комбинаторику как науку, описал двоичную систему счисления с цифрами 0 и 1. Ньютон Исаак — английский физик, математик и астроном, создатель дифференциального и интегрального исчисления, математического анализа. Валлис Джон — английский математик, один из предшественников математического анализа. Издал трактат «Арифметика бесконечного». Сформулировал строгое определение предела переменной величины, ввел отрицательные абсциссы, вычислил суммы бесконечных рядов — по существу интегральные суммы, хотя понятия «интегралы» тогда еще не было. Бернулли Якоб — швейцарский математик — один из основателей теории вероятностей и математического анализа, вслед за Лейбницем положил начало вариационному исчислению, доказал частный 18

случай закона больших чисел (теорема Бернулли). Значительны достижения в теории рядов, дифференциальных уравнениях (уравнений Бернулли), теории чисел. В теории вероятностей — «Распределение Бернулли». XVIII в. н. э. Муавр Абрахам Де — английский математик французского происхождения, ученик И. Ньютона — создатель теории вероятностей. Опубликовал труд «Метод флюксий». В 1722 г. опубликовал формулу возведения в степень комплексного числа в тригонометрический форме «Формула Муавра». Монж Гаспар — французский математик, государственный деятель, морской министр Франции. Создал начертательную геометрию — как результат выработки методов по резанию камней по заданным эскизам применительно к архитектуре. Он один из создателей вариационного исчисления. Монж внес заметный вклад в развитие математического анализа. Участвовал в походах Наполеона. Бонапарт назначил Монжа пожизненным сенатором. Байес Томас — английский математик — один из основоположников теории вероятностей (формула Байеса). Крупная его работа «Очерки к решению проблем доктрины шансов». Безу Этьен — французский математик. Основные работы относятся к алгебре (известна теорема Безу). Автор шеститомного «Курса математики». Бернулли Даниил, Бернулли Иоган, Бернулли Иоган II, Бернулли Иоган III, Бернулли Николай (1687–1759), Бернулли Николай (1695– 1726) — братья, отец, сыновья, внуки — швейцарские математики и физики. Они внесли вклад в теорию бесконечно малых величин, теорию дифференциальных уравнений. Головин Михаил Евсеевич — один из первых русских математиков-методистов, профессор. Автор учебников по арифметике, геометрии, тригонометрии. Лобанов Семен — русский математик, автор книг «Физика», «Математика». Маклорен Колин — шотландский математик. Разработал теорию кривых линий. Опубликовал «Трактат алгебры», «Трактат флюкций». Вандермонд Александр Теофил — французский математик и музыкант. Работы посвящены теории функций, комбинаторике. Он заложил основы теории определителей (определитель Вандермонда). Горнер Уильям Джордж — английский математик, в честь которого названа схема Горнера. Опубликовал способ приближенного вычисления действительных корней многочлена. 19

Д’Аламбер Жан Лерон — выдающийся французский математик. Сформулировал правила составления дифференциальных уравнений движения любых материальных систем. Исследовал задачу о колебании струны. Большой вклад внес в развитие математического анализа: числовые ряды — «Признак Д’Аламбера». Крамер Габриэль — швейцарский математик. Внес большой вклад в развитие геометрии, алгебры (правило Крамера) и др. Лагранж Жозеф Луи — французский математик. Внес огромный вклад в математический анализ (теорема Лагранжа), теорию чисел, теорию вероятностей, создал вариационное исчисление. Лаплас Пьер-Симон — французский математик, механик, физик и астроном — один из создателей теории вероятностей (распределение Лапласа). Внес огромный вклад в развитие математики: как в «чистую», так и «прикладную математику». Лежандр Андриен Мари — французский математик — внесен в список величайших ученых Франции. Вклад его в математику огромен. Множества теорем и понятий названы его именем: многочлен Лежандра, символ Лежандра и т. д. Лейбниц Готфрид Вильгельм — саксонский математик, механик, физик, философ. Он является одним из создателей математического анализа, независимо от И. Ньютона. Создал комбинаторику, заложил основы математической логики и др. Ламберт Иоганн Генрих — немецкий математик — один из основателей неевклидовой геометрии. Составил таблицу простых чисел до 102 000. Внес вклад в теории: тригонометрии, конических сечений, гиперболических функций. Риккати Винченцо де — итальянский математик. Открытия в области дифференциальных уравнений (уравнения Риккати), конических сечений. Ввел гиперболические функции. Румовский Степан Яковлевич — русский математик и астроном. Сотрудничал с Л. Эйлером. Автор учебника «Сокращения математики». Федоров Илья — русский математик, бакалавр Московского университета автор учебника «Математические наставления». Эйлер Леонард — великий швейцарский математик, внесший фундаментальный вклад в математику: математический анализ, дифференциальная геометрия, теория чисел (формула Эйлера), математическая физика, почти половину своей жизни (с 1726 по 1766) провел в России. Внес огромный вклад в становление российской математической науки. XIX в. н. э. Абель Нильс Хенрик — норвежский математик. В 20 лет представил университету свою первую значительную работу 20

«Об интегрируемости дифференциальных уравнений», он доказал, что любые алгебраические уравнения степени больше чем 4 неразрешимы в радикалах. Привел конкретные примеры таких уравнений. На эту работу опирался Галуа в своих последованиях, развил теорию эллиптических функций. Адамар Жак — французский математик и механик, внес фундаментальный вклад в алгебру, геометрию, функциональный анализ, дифференциальную геометрию, математическую физику, теорию вероятностей, создал значительную часть теории аналитических функций. Александров Иван Иванович — русский математик, педагог. Опубликовал 30 работ по методике математики, изложил ряд способов построения фигур. Алексеев Виссарион Григорьевич — русский математик, член Московского математического общества. Защитил (1893) магистерскую диссертацию на тему «Теория числовых характеристик систем кривых линий». Алексеев Николай Николаевич — российский математик, адъюнкт Петербургской академии наук. Имеет труды по теории эллиптических функций и теории интегрирования, дифференциальным уравнениям и теории рядов. Андреев Константин Алексеевич — русский математик, заслуженный профессор и декан физико-математического факультета Московского университета, член-корреспондент академии наук. Основные труды в области проективной геометрии и математического анализа. Анисимов Василий Афанасьевич — российский математик. Защитил магистерскую диссертацию по теме «Основные теории дифференциальных уравнений». В 1892 г. защитил докторскую диссертацию «Круг Фукса и его приложения». Получил глубокие результаты в теории аналитических функций и дифференциальных уравнений. Арцелла Чезаре — итальянский математик. Ввел понятия квазиравномерной сходимости. Доказал критерий непрерывности ряда непрерывных на отрезке функций. Афанасьев Панфутий Алексеевич — русский математик, магистр физико-математических наук. Труды: «Арифметика», «Алгебра», таблицы логарифмов простых чисел и тригонометрических линий. Бойяи Янош — венгерский математик один из первооткрывателей неевклидовой геометрии. Доказал, что пятый постулат в «Нача21

лах» Евклида недоказуем и не зависит от остальных. В 1820–1823 гг. заканчивает трактат о «Новой» геометрии. Борель Эмиль — французский математик вместе с Рене Бэром и Анри Лебегом был основоположником теории меры и ее приложений в теории вероятностей. Бэр Рене-Луи — французский математик — один из создателей современной теории вещественных функций и дескриптивной теории множеств. Разработал классификацию разрывных функций. Безикович А. С. — русский и британский математик. Он автор выдающихся работ по теории меры и интегрирования, почти периодическим функциям. Вейерштрасс Карл — немецкий математик — отец современного анализа. Исследования Вейерштрасса существенно обогатили математический анализ — фактически от создал основы математического анализа. Он развил вариационное исчисление, дифференциальную геометрию линейную алгебру и теорию специальных функций. Галуа Эварист — французский математик, основатель современной высшей алгебры, был застрелен на дуэли в 20 лет. Он доказал, что алгебраическое уравнение выше четвертой степени неразрешимо в «радикалах», доказал критерий того, чтобы корни уравнения допускали выражение через радикалы. Ввел разные математические объекты: группа и поле. Гаусс Карл Фридрих — немецкий математик — один из величайших математиков всех времен, «король математиков». Во втором классе вывел формулу сумм членов конечного ряда арифметической прогрессии. Очень быстро считал до старости. Трудно указать область в математике, где бы не внес свой вклад К. Гаусс. Гейне Эдуард — немецкий математик, ученик Дирихле. Область научных исследований: теория потенциала, теория функции, дифференциальные уравнения. Утверждения, связанные с его именем: «Теорема Кантора — Гейне», «Теорема Гейне — Бореля», «Предел функции по Гейне». Граве Дмитрий Александрович — российский и советский математик, академик АН СССР (1929) — создатель первой русской математической школы. Он решил «Проблему трех тел», написал много учебников по аналитической геометрии, теории групп, теории эллиптических функций, высшей алгебры, теории чисел и др. Гюнтер Н. М. — российский и советский математик, профессор, член-корреспондент АН СССР. Основные работы относятся к теории обыкновенных дифференциальных уравнений с частными производными, математической физике, теории потенциалов. Он доказал су22

ществование и единственность решения уравнений гидродинамики идеальной жидкости при наличии внешней потенциальной силы. Лаплас Пьер-Симон — французский математик, механик. Он обосновал проблему устойчивости солнечной системы, важные результаты получил в теории определителей, теории вероятностей (распределение Лапласа), математической физике. Лахтин Леонид Кузьмич — российский и советский математик. Исследования Лахтина в области математики посвящены двум основным темам: решению алгебраических уравнений высших степеней в специальных функциях и задач математической статистики. Лежандр Андиен Мари — французский математик вместе с Лагранжем и Лапласом активно участвовал в комиссии по введению метрической системы. Он изложил полную теорию непрерывных дробей, продвинул сферическую тригонометрию, исследовал эллиптические интегралы, внес вклад в развитие вариационного исчисления, открыл метод наименьших квадратов независимо от К. Гаусса. Летников Алексей Васильевич — русский математик. Его научные работы посвящены аналитической геометрии, теории дифференцирования, тригонометрическим и сферическим функциям. Ли Софус — норвежский математик. Значительные результаты он получил по теории непрерывной симметрии, которую использовал в изучении геометрии и дифференциальных уравнений. В теории групп есть термин «Группа Ли». Лигин Валериан Николаевич — русский математик и механик, доктор прикладной математики, тайный советник, городской голова Одессы. Автор многих учебников по геометрии, начертательной геометрии. Лобачевский Николай Иванович — гениальный русский математик, один из создателей неевклидовой геометрии. В алгебре разработал метод приближенного решения уравнений, в математическом анализе получил признак сходимости рядов, доказал ряд теорем о тригонометрических рядах. Лоран Пьер Альфонс — французский математик, наиболее известен фундаментальным результатом в теории функций комплексной переменной — разложение в сумму двух степенных рядов, названных рядом Лорана. Лукьянов Яков Афанасьевич — русский математик. Имеет несколько математических трудов по теории функций. Ляпунов Александр Михайлович — русский математик, академик Петербургской Академии наук. Основные работы: «О равновесии твердых тел», «О потенциале гидростатического давления». 23

Макдональд Гектор Манро — шотландский математик, специалист по теории специальных функций и применению методов математики для решения задач электродинамики. Научные результаты: исследовал функции Бесселя, ряды Фурье. Марков Андрей Андреевич (старший) — русский математик, академик Петербургской Академии наук. Основной вклад он внес в теорию вероятностей (цепи Маркова) и теорию чисел. Он обосновал теорию вероятностей на основе теории меры, внес огромный вклад в теорию случайных процессов. Он внес большой вклад в теорию интерполяции функций, исследовал экстремальные задачи в функциональных пространствах. Риман Г. Ф. — выдающийся немецкий математик (Геометрия Римана). Матье Эмиль Леонард — французский математик и астроном. Наиболее важные результаты он получил по теории групп и математической физике. Он является автором учебника по математической физике в шести томах. Клейн Феликс — выдающийся немецкий математик. Он первый доказал непротиворечивость геометрии Лобачевского, построил свою геометрию: «Геометрия Клейна», внес большой вклад в общую алгебру.

24

ГЛАВА 4. ПЕРИОД МАТЕМАТИКИ ХX В. Н. Э. 4.1. Направления развития математики 4.1.1. Новые направления 1. Топология. 2. Функциональный анализ. 3. Дискретная математика. 4. Теория игр. 5. Теория графов. 6. Теория кодирования. 7. Информатика. 8. Кибернетика. 9. Теория информации. 10. Теория алгоритмов. 11. Теория группы Ли. 12. Теория компьютерного моделирования. 13. Теория оптимизации. 14. Теория случайных процессов. 15. Методы математической статистики. 4.1.2. Старые направления 1. Алгебраическая геометрия. 2. Комплексный анализ. 3. Математическая физика. 4. Общая алгебра. 5. Риманова геометрия. 6. Теория вероятностей. 7. Математическая логика. 8. Основания математики. Аксиоматическое построение теории.

4.2. Выдающиеся математики ХX в. 1. Жак Адамар — один из величайших математиков ХX в. Внес огромный вклад в теорию чисел, алгебру, геометрию, топологию, теорию вероятностей, математическую физику. Доказал закон распределения простых чисел. 2. Александров Павел Сергеевич. Он получил фундаментальные результаты в теории множеств и топологии, решил проблему о мощности борелевских множеств, ввел понятия компактности, дал критерий метризуемости топологического пространства. 25

3. Банах Стефан — один из основателей функционального анализа. Он ввел понятие полного нормированного пространства (банахово пространство), доказал теорему о неподвижной точке, обратном операторе, об открытости отображения. 4. ЛейтзенЭгберг Ян Брауэр. Он положил начало нового направления в математике — интуиционизму, получил выдающиеся результаты в топологии. 5. Вейль Герман — один из самых выдающихся математиков ХX в. Его фундаментальные работы относятся к областям: алгебра. математический анализ, математическая физика. Он ввел понятие сумм в теории чисел (сумма Вейля), дал строгое определение римановой поверхности. 6. Винер Норберт. Он внес большой вклад в теорию вероятностей, ряды и интегралы Фурье, теорию чисел, гармонический анализ. Н. Винер — создатель кибернетики. 7. Гельфанд Израиль Моисеевич. Он является созидателем теории нормированных колец. Областями его исследований являлись: функциональный анализ, топология алгебры, группы Ли, математическая физика. 8. Гротендик Александр — лауреат Филдсовской премии. Ему принадлежат выдающиеся достижения в алгебраической геометрии. Значителен его вклад в теорию чисел. 9. Дьедонне Жан. Он получил выдающиеся результаты в областях: функциональный анализ, группы Ли, топология, алгебраическая геометрия. Он ввел понятия паракомпактного пространства. 10. Картан Анри. Наиболее важные результаты им получены в области гомологической алгебры, областях: математический анализ, топология. 11. Джон фон Нейман — создатель теории игр, клеточных автоматов. Он примерил методы функционального анализа в квантовой механике. Выдающиеся его достижения относятся к областям: математическая логика, теория множеств, математическая физика, теория игр. 12. Егоров Дмитрий Федорович — русский, советский математик, внесший огромный вклад в теорию функций действительной переменной. 13. Тарский Альфред — основатель формальной теории истинности. Он получил важные результаты о разрешимости и неразрешимости в математической логике.

26

14. Колмогоров Андрей Николаевич — один из самых выдающихся математиков ХX в., один из основателей теории вероятностей. Огромный вклад он внес почти во все области математики. 15. Коэн Пол. Он доказал, что континуум-гипотеза Кантора недоказуема в обычной аксиоматике теории множеств. 16. Лузин Николай Николаевич — один из крупнейших математиков ХX в. — создатель дескриптивной теории множеств и функций. Он является создателем московской математической школы. Среди его учеников — выдающиеся математики: М. А. Айзерман, П. С. Александров, Н. К. Бари, В. Н. Гливенко, Л. В. Келдыш, А. Н. Колмогоров, А. С. Кронрод, М. А. Лаврентьев, Л. А. Люстерник, А. А. Ляпунов, Д. Е. Меньшов, В. В. Немыцкий, П. С. Новиков, М. Я. Суслин, П. С. Урысон, А. Я. Хинчин, Л. Р. Шнирельман. 17. Уайтхед Альфред Норт — создал теорию логицизма и типов. Основная область исследования — математическая логика. 18. Хаусдорф Феликс — один из основоположников современной топологии. Он ввел понятие «хаусдорфово пространство». Основные области исследования: топология, теория множеств, функциональный анализ, теория чисел. Известны понятия: метрика Хаусдорфа, разномерность Хаусдорфа и др. 19. Хинчин Александр Яковлевич — создал теорию аппроксимативных производных, обобщил понятие интеграла Данжуа. Основные его работы относятся к области теории вероятностей. 20. Черч Алонзо — разработал теорию лямбда-исчислений, основные его работы относятся к областям: математическая логика, информатика. 21. Уайлс Эндрю — доказал Великую теорему Ферма. 22. Шеннон Клод Элвуд — основатель теории информаций. Основные работы в областях: информатика, кибернетика. 23. Цермело Эрнст — автор знаменитой теоремы (теорема Цермело) об упорядочении множеств. Основные его работы в областях: математическая логика, теория множеств. 24. Гедель Курт — сформулировал и доказал теорему о неполноте аксиоматических систем. Основные его работы относятся к области теории множеств. 25. Гильберт Давид — великий немецкий математик, сформулировавший 23 не решенные в то время проблемы. Он один из основателей функционального анализа, создал полную аксиоматику евклидовой геометрии. 26. Арнольд Владимир Игоревич — решил 13-ю проблему Д. Гильберта. Он получил выдающиеся результаты в теории динами27

ческих систем, теории катастроф, топологии, алгебраической геометрии, теории сингулярностей, классической механики. Приведем список наиболее выдающихся математиков ХX в. — лауреатов Филдсовской премии. Лауреаты Филдсовской премии: 1. Альфорс (Финляндия) (1936) — разработал теорию квазиконформных отображений, создал новые методы в геометрической теории функций. 2. Дуглас (США) (1936) — решил проблему Плато, поставленную Ж. Лагранжем в 1970 г. 3. Щварц (Франция) (1950) — обобщил результаты теории обобщенных функций, доказал теорему о двойственности в пространствах Фреше. 4. Сольберг (Норвегия) (1950) — разработал метод решета, применявшийся в исследованиях в области аналитической теории чисел, получил элементарное доказательство закона (асимптотического) распределения простых чисел. 5. Кодаира (Япония) (1954) — описал К3-поверхности, основы теории деформации комплексных структур на многообразиях. 6. Серр (Франция) (1954) — один из основоположников алгебраической геометрии. Он разработал концепцию р-адических модулярных функций. 7. Рот (Великобритания) (1958) — доказал, что подмножество целых чисел положительной плотности должны содержать бесконечно много арифметических прогрессий длины три. Самый известный результат — теорема Туэ — Зигеля — Рота. 8. Том (Франция) (1958) — создал теорию кобордизмов. Основание его работы относятся к алгебраической и дифференциальной топологии. 9. Хермандер (Швеция) (1962) — основные работы по теории дифференциальных уравнений в частных производных теории дифференциальных операторов. 10. Милнор (США) (1962) доказал существование 7-мерных сфер с нестандартной гладкой структурой. 11. Атья (Великобритания) (1966) — основные работы по алгебраической геометрии, исследовал линейчатые поверхности на языке теории пучков, классифицировал векторные расслоения над эллиптической кривой. 12. Гротендик (Франция) (1966) — основоположник топологической к-теории. 28

13. Коэн (США) (1966) — доказал невозможность доказательства континуум-гипотезы контора в аксиометике Цермело — Френкеля. 14. Смейл (США) (1966) — открыл возможность «вывернуть наизнанку» сферу в трехмерном пространстве. Основные исследования по топологии и динамическим системам. 15. Бейкер (Великобритания) (1970) — создал эффективные методы исследований в теории чисел. 16. Хиронака (Япония) (1970) — доказал, что алгебраическое многообразие над полем характеристики ноль допускает разрешение особенностей. 17. Новиков С. П. (СССР) (1970) — развил теорию гомотопий сфер, построил общую теорию отображений односвязных многообразий на гладкие многообразия, доказал топологическую инвариантность классов Понтрягина. 18. Томпсон (Великобритания) (1970) — доказал теорему о разрешимости всякой конечной группы нечетного порядка. 19. Бомбиери (Италия) (1974) — доказал теорему, обобщающую теорему Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии. 20. Мамфорд (США) (1974) — основные работы по алгебраической геометрии: построение многообразий Пикара и многих пространств модулей. 21. Делинь (Бельгия) (1978) — доказал гипотезы Вейля. 22. Фефферман (США) (1978) — основная область исследований — математический анализ. 23. Маргулис (СССР) (1978) — основные работы по теории групп Ли, эргодической теории, теории чисел, теории меры. 24. Квиллен (США) (1978) — сформулировал высшую алгебраическую к-теорию, показал, что формальный групповой закон в комплексном кобордизме является универсальным. 25. Коэн (Франция) (1982) доказал невозможность доказать континуум гипотезу в аксиоматике Цермело — Френкеля. 26. Тэрстон (США) (1982) — доказал, что любая структура Хефлигерана на многообразии может быть проинтегрирована к слоению. Он получил ряд других важных результатов в теории групп. 27. Яу (Китай) (1982) — доказал гипотезу Калаби на классе многообразий. 28. Дональдсон (Великобритания) (1986) — получил выдающиеся результаты в области топологии гладких 4-мерных многообразий. 29. Фалтингс (ФРГ) (1986) — ввел и развил базовые «инструменты» теории чисел. 29

30. Фридман (США) (1986) — доказал, что гипотеза Пуанкаре справедлива для n = 4. 31. Дринфельд (Украина) (1990) — доказал гипотезу Ленглендса, создал теорию квантовых групп. 32. Джонс (Новая Зеландия) (1990) — основные работы в области функционального анализа и теории узлов. 33. Мори (Япония) (1990) — основные работы в области современной алгебраической геометрии, классифицировал трехмерные алгебраические многообразия. 34. Уиттен (США) (1990) — обобщил теорию струн в единой гипотетической м-теории. 35. Зельманов (Россия) (1994) — доказал, что если кольцо Ли удовлетворяет тождеству Энгеля, то оно локально Лиево нильпотентно, доказал ослабленную гипотезу Бернсайда. 36. Лионс (Франция) (1994) — ввел понятие вязкостного решения, нашел решение уравнения Больцмана. 37. Бургейн (Бельгия) (1994) — выдающиеся достижения в областях: функциональный анализ, гармонический анализ, аналитическая теория чисел, теория групп и др. 38. Йоккоз (Франция) (1994) — выдающиеся работы в области динамических систем. 39. Борчердс (Великобритания) (1998) — глубокие работы в области теории решеток, теории чисел, теории групп, бесконечномерных алгебр. 40. Гауэрс (Великобритания) (1998) — своими исследованиями связал функциональный анализ и комбинаторику. 41. Концевич (Россия) (1998) — доказал гипотезу Виттена об эквивалентности двух моделей квантовой гравитации. 42. Макмуллен (США) (1998) — предложил два новых типа так называемых оптимальных биллиардов. Сделать ему это удалось благодаря открытию в области геометрии — пространствах Тейхмюллера.

4.3. Основные достижения в математике ХX в. 4.3.1. Основания математики Великий немецкий математик Д. Гильберт (1862–1943 гг.) высказал идею создания полной, непротиворечивой системы оснований математики. В 1931 г. Курт Гедель (1906–1978 гг.) опубликовал две знаменитые теоремы о неполноте, которые установили ограниченность математической логики и тем самым похоронили идею Д. Гильберта. 30

Несколько ранее (1915–1920 гг.) в исследованиях Л. Левенгейма (1878–1975 гг.) и Т. Скулема (1887–1936 гг.) был обнаружен неожиданный факт: никакая аксиоматическая система не может быть категоричной, т. е., как бы тщательно ни формулировалась система аксиом, всегда найдется интерпретация, совершенно не похожая на ту, ради которой эта система проектировалась. В 1993 г. А. Н. Колмогоров завершил построение аксиоматики теории вероятностей, которая сегодня является общепризнанной. В 1963 г. Пол Коэн доказал, что континуум-гипотеза Кантора недоказуема в обычной аксиоматике теории множеств — аксиоматике Цермело — Френккеля. 4.3.2. Математическая логика Математическая логика тесно связана с логикой. Основы логики, науки о законах и формах человеческого мышления, были заложены величайшим древнегреческим философом Аристотелем (384– 322 гг. до н. э.). В дальнейшем многие философы и математики развивали отдельные положения логики, ближе всех к созданию математической логики подошел выдающийся немецкий математик Г. В. Лейбниц (1646–1716). После Лейбница исследования в этой области вели многие выдающиеся ученые: Г. Фреге (1848–1925) — немецкий математик, логик, представитель школы аналитической философии и Ч. Пирс (1839–1914) — американский математик. Они ввели в язык алгебры предикаты, предметные переменные и кванторы. Итальянский математик Д. Пеано (1858–1932) — один из создателей современной математической логики, занимался формальной логикой. Настоящий успех здесь пришел к английскому математикусамоучке Д. Булю (1815–1864). В 1847 г. Буль опубликовал статью «Математический анализ логики, или Опыт исчисления дедуктивных умозаключений», а в 1854 г. появился его главный труд «Исследование законов мышления», на которых основаны математические теории логики и вероятностей, Буль изобрел своеобразную алгебру — систему обозначений и правил, применимую ко всевозможным объектам, от чисел и букв до предложений. Основными операциями булевой алгебры являются: конъюнкция, дизъюнкция и отрицание. Большой вклад в развитие математической логики внесли русские ученые П. С. Порецкий (1846–1907), И. И. Жегалкин (1869–1907). Независимо от Д. Буля шотландский математик де Морган (1806– 1871) ввел алгебру высказываний, аналогичную алгебре Буля. В 1847 г. он изложил элементы логики высказываний и логики клас31

сов, с его именем связаны известные теоретико-множественные соотношения (Законы де Моргана). В начале ХX в. (в 1910 г.) австрийский-русский физик Эренфест П. С. (1880–1933) указал на возможность применения аппарата булевой алгебры в телефонной связи. В 1938–1949 гг., почти в одно время, появились работы советского математика В. И. Шестакова (1907–1987) и американского математика К. Шеннона (1916–2001), японских ученых А. Накашимы (1908–1970) М. Ханзавы о применении математической логики в цифровой технике. В ХX в. огромную роль в развитии математической логики сыграл великий немецкий математик Д. Гильберт (1862–1943), предложивший программы формализации математики. Несмотря на всю важность математической логики, в 1931 г., как уже указывалось, Курт Гедель установил ограниченность математической логики (теорема о неполноте). Уайтхед Н. У. (1861–1947) и Рассел Б. (1872–1970) создают в 1910–1913 гг. трактат «Принцип математики», который оказал исключительное влияние на все последующее развитие математической логики. Брауэром Э. Я. (1881–1966) в 1908 г. была создана концепция интуиционизма и интуиционистическая логика. Используя методы математической логики, удалось доказать непротиворечивости арифметики. Это было сделано в работах Г. Генцена в 1936 г. и П. С. Новикова в 1943 г. На стыке математической логики и алгебры возникла общая теория алгебраических систем, которая была разработана в трудах А. И. Мальцева и А. Тарского. В 1930 г. А. Гейтингемом были введены формальные системы интуиционистической логики высказываний и предикатов. Позже были введены формальные системы интуиционического анализа. Приведем фамилии ученых ХX в., внесших значительный вклад в развитие математической логики: В. А. Абрашкин, В. Ф. Аккерман, М. И. Шейнфинкель, Ю. В. Матиясевич, И. А. Васильев, И. Е. Орлов, В. И. Гливенко, Д. А. Бочвар и др. В последнем десятилетии ХX в. бурное развитие математической логики было обусловлено развитием теории алгоритмов, алгоритмических языков, теории автоматов и теории графов А. Черч в 1936 г. доказал, что теорема может быть правильной, но алгоритмически неразрешимой. Он прославился разработкой теории лямбдаисчислений, в которой показал существование так называемых неразрешимых задач (теорема Черча — Тьюринга). Впоследствии Черч и Тьюринг показали, что лямбда-исчисления и машина Тьюринга (вычислительная машина на основе алгоритмов) имели одинаковые свойства (тезис Черча — Тьюринга). Впоследствии система лямбда32

исчислений легла в основу функциональных языков программирования. Большой вклад в развитие математической логики — теории вычислимости — внес американский математик Клини Коул Стивен (1909–1994). Он изобрел, так называемые регулярные выражения, доказал теорему о неподвижной точки, внес важный вклад в теорию конечных автоматов». Значительный вклад в теорию алгоритмов внес советский математик А. А. Марков (1903–1979). Он доказал неразрешимость проблемы равенства в ассоциативных системах, ввел понятие «нормального алгоритма». Огромный вклад в теорию алгоритмов внес академик АН СССР П. С. Новиков (1901–1975). Он доказал, что существуют группы с конечным числом образующих и конечным числом определяющих отношений, для которых не существует алгоритма, решающего проблему тождества слов. В 1936 г. Эмилем Постом, независимо от машины Тьюринга, была создана абстрактная вычислительная машина, названная машиной Поста. Эта машина, как и машина Тьюринга, была разработана для формализации понятия алгоритма и решения задач об алгоритмической разрешимости. Следует отметить, что обе эти машины алгоритмически эквивалентны. Значительный вклад в теорию алгоритмов внес американский математик Кнут Д. Э. (1938). Он является автором всемирно известной серии книг, посвященных основным алгоритмам и методам вычислительной математики, является создателем настольных издательских систем ТЕХ и METAFONT. Весомый вклад в теорию алгоритмов внес канадский ученый Ахо А. Известен алгоритм Ахо — Корасик. Существенный вклад в теорию алгоритмов внес академик АНССС А. И. Колмогоров. Он ввел понятие «сложности» объекта. Скачок в теории алгоритмов был сделан великим американским математиком Д. Ф. Нейманом (1903–1957), который создал модель компьютера. 4.3.3. Алгебра В начале ХX в. Эмми Нетер и Ван дер Варден завершили построение основ общей алгебры, структуры которой (группы, поля, кольца, линейные пространства и др.) пронизывают теперь всю математику. Теория групп проникла в физику и кристаллографию. Была создана теория р-адических чисел. Рамануджан сформулировал более 3000 теорем, включая свойства функции разбиения числа и ее асимптотических оценок. Он получил глубокие результаты в теории гаммафункций, модулярных форм, расходящихся рядов, теории чисел, ги33

пергеометрических рядов. Эндрю Уайлс в 1995 г. доказал последнюю теорему Ферма и закрыл многовековую проблему. Алгебра ХX в. — это учение об операциях над любыми «однородными» математическими объектами. Алгебра играет фундаментальную роль внутри математики. Она является одним из разделов, формирующих общие понятия и методы для всей математики. В 20 гг. ХX в. произошла алгебраизация всей математики. В центре внимания алгебры — свойства операций, а не объектов, над которыми эти операции производятся. Отвлекаясь от природы объектов, но фиксируя определенные свойства операций над ними, она изучает множества, наделенные алгебраической структурой, так называемые универсальные алгебры. Примерами могут служить группы, векторные (линейные) пространства, ассоциативные кольца и алгебры Ли, полугруппы и др. Алгебра имеет большое прикладное значение: в теоретической физике применяются конечные группы, группы Ли, в кибернетике — теория автоматов, алгебраическая теория инвариантов, в математической экономике — системы линейных неравенств и др. Достижения в алгебре ХX в. Об основных достижениях в алгебре, полученных Э. Нетером и Ван дер Варденом уже было сказано. Приведем теперь фамилии, имена крупных алгебраистов ХX в. и результаты, полученные ими. Список приведем в алфавитном порядке: – Абрашкин В. А. — специалист в области алгебры, математической логики. – Адамар Ж. — великий французский математик. Автор фундаментальных работ по алгебре, функциональному анализу. – Адян С. И. — получил отрицательное решение проблемы Бернсайда в теории группы. – Артамонов В. А. — первооткрыватель клонов полилинейных операций и мультиоператорных алгебр. – Бернсайд У. — указал критерий разрешимости конечных групп (теорема Бернсайда). Он сформулировал проблему: «Будет ли конечнопорожденная группа, в которой каждый элемент имеет конечный порядок, обязательно конечной?» – Биркгоф Д. Д. — выдающиеся достижения в теории групп Ли, дал описания универсальной, обертывающей ассоциативной алгебры для алгебры Ли. – Боревич З. И. — специалист по теории групп. – Борель А. — разработал теорию гомологий, применил спектральные последовательности Лере к вопросам топологии группы Ли. 34

– Ботт Р. В теории гомотопий групп Ли ввел функции, названные функциями Морса — Ботта. – Бьянки Л. В теории групп Ли доказал два тождества, названные тождествами Бьянки, дал классификацию для групп Ли. – Вагнер В. В. — ввел регулярные полугруппы с коммутирующими идемпотентами. – Винберг Э. Б. — специалист в области высшей алгебры, теории групп Ли, теории инвариантов. – Воробьев Н. Н. — разработал аппарат коалиционной теории игр, специалист в области алгебры. – Габриэль П. — специалист по гомологическим алгебрам. – Голод Е. С. — основной результат: применение операций Масси для вычисления гомологий локальных колец, построения нильпотентной алгебры и др. – Грам Й. П. — специалист в области линейной алгебры. – Григорук Р. И. — дал отрицательное решение проблемы Д. Милнора о конечнопорожденных группах. – Гюнтер З. — специалист в области линейной алгебры. – Джекобсон Н. — автор фундаментальных работ по теории колец. – Дринфельд В. Г. — лауреат филдсовской премии — создатель теории квантовых групп. – Дынкин Е. Б. — специалист по группам Ли. – Дьедонне Ж. — специалист в области группы Ли и функционального анализа. – Дю Сутуа Маркус — специалист в области теории групп. – Жаринов В. В. — специалист в области алгебры. – Жордан М. Э. Камиль — крупный специалист в области теории групп (теория Жордана о конечных группах). – Капелли А — алгебраист (тождество Капелли). – Капланский И. — специалитет в области теории групп Ли, квадратичных форм и форм высших порядков, доказал теорему плотности (плотность Капланского). – Капович М. Э. — специалист по группам Клейна, геометрической теории групп. – Квиллен Д. — лауреат филдсовской премии — создатель высшей алгебраической к-теории. – Кервер М. — алгебраист, доказал существование многообразий без гладкой структуры. – Киллинг В. — специалист по теории алгебр Ли, групп Ли. 35

– Кириллов А. А. — крупные результаты в теории топологических алгебр, теории колец. – Клейн Ф. — внес значительный вклад в общую алгебру: теорию группы и теорию непрерывных групп. – Комраков Б. П. — специалист по теории групп Ли. – Кон П. И. — ввел понятие кольца свободных идеалов и универсальной локализации некоммутативных колец. – Кондратьев А. С. — специалитет по теории конечных и алгебраических групп, их представлениям. – Кострикин А. И. — крупный алгебраист, решил ослабленную теорему Бернсайда. – Коул Ф. Н. — описал все простые группы, порядок которых находится между 200 и 661. – Кукин Г. П. — специалист по группам Ли. – Куликов А. Я. — специалист по абелевым группам. – Курош А. Г. — крупный советский алгебраист. – Лаффорг Лоран — лауреат филдсовской премии, алгебраист. (общие линейные группы), доказал гипотезу о соответствии Ленглендса для общей линейной группы над полем функций. – Левицкий Я. — алгебраист. – Ленг С. — крупный алгебраист, член группы «Н. Бурбаки». – Ленглендс Р. — специалист по теории автоморфных форм и теории групп Галуа. – Мальцев А. И. — создатель универсальной алгебры, специалист по группам Ли. – Марчевский Э. — установил важный результат в теории порядков. – Махнев А. А. — специалист в области теории групп, плотно вложенных подгрупп в конечных группах, дал классификацию конечных простых групп. – Мойшезон Б. Г. — крупный алгебраист. – Морли Ф. — крупный алгебраист. – Масаеси Н. — специалист по коммутативным алгебрам. – Наймарк М. А. — специалист по теории представлений группы Ли. – Накаяма Т. — его работы посвящены теории представлений симметричных групп, теории Галуа над кольцами. – Нетер А. Э. — выдающиеся результаты в теории непрерывных групп, n-параметрических групп, групп Лоренца.

36

– Новиков С. П. — лауреат филдсовской премии. Он получил выдающиеся результаты во многих областях математики и алгебры, в частности (алгебра Ландвебера — Новикова). – Ольшанский А. Ю. — он решил проблему Бернарда Неймана о существовании бесконечной системы групповых тождеств, не эквивалентной никакой конечной системе. – Панин И. И. — доказал теоремы типа Римана — Роха для ориентированных теорий когомологий в форме Гротендика, доказал гипотезу Герстена, вычислил к-группы. – Плоткин Б. И. — основные его работы по универсальной алгебре, теории групп. – Ремесленников В. И. — специалист в области теории групп. – Сато Микио — создатель алгебраического анализа, применил теорию пучков. – Седа Кэндзиро — специалист по универсальной алгебре. – Селькин М. В. — работы по максимальным подгруппам и конечным группам. – Скулем Р. — теорема Скулема — Нетера — фундаментальный результат в теории центральных простых алгебр. – Суслин А. А. — специалист по алгебраической к-теории. Доказал гипотезу Серра. – Тите Ж. — специалист по группам полиномиального роста. – Умирбаев У. — систематически изучил свободные алгебры Пуассона. – Фоменко А. Т. — получил фундаментальные результаты в теории алгебр и групп Ли. – Холл Ф. — исследовал подгруппы Фраттини конечно порожденных групп. – Хохстер М. — специалист по коммутативным алгебрам (теорема Хохстера — Робертса). 4.3.4. Геометрия и топология Общая топология стремительно развивается и находит применение в самых различных областях математики. Массовый интерес вызвали фракталы, открытые Бенуа Мандельбротом в 1975 г. Герман Минковский в 1907 г. разработал геометрическую модель специальной теории относительности, позднее послужившую основой общей теории относительности. Обе эти теории послужили стимулом для быстрого развития многомерной дифференциальной геометрии произвольных гладких многообразий — в частности, римановых и псевдоримановых. 37

Приведем теперь имена и фамилии выдающихся геометров и топологов, работавших в ХX в., и результаты, полученные ими. Они уже упоминались в общем списке выдающихся математиков ХX в.: – Александров Павел Сергеевич — академик АН СССР. Еще будучи студентом, в 19 лет, летом 1915 г. решил задачу о мощности борелевских множеств, тем самым решил проблему, поставленную академиком Н. Н. Лузиным. Он доказал первую общую теорему о компактификации любого локально компактного хаусдорфова пространства путем добавления единственной точки, доказал паракомпактность сепарабельных метрических пространств, вместе с П. С. Урысоном создал теорию размерности. – Александров Александр Данилович — академик АН СССР — один из крупнейших геометров ХX в. Он ввел синтетической подход к дифференциальной геометрии, создал теорию внутренней геометрии нерегулярных поверхностей. Он разработал наглядный метод «резания» и «склеивания» поверхностей, построил теорию метрических пространств с односторонними ограничениями на кривизну. Александров А. Д. доказал фундаментальные теоремы о выпуклых многогранниках и предложил новый метод (синтетический) доказательства теорем существования. Он является основоположником хроногеометрии. – Адамар Жак Саломон — французский математик — значительные работы в области дифференциальной геометрии. – Погорелов Алексей Васильевич — академик АН СССР. Он совершил прорыв в исследовании нерегулярных метрик и нерегулярных поверхностей. А. В. Погореловым была решена четвертая проблема Д. Гильберта. Он доказал, что любая метрика кривизны, заданная на двумерной сфере, погружается в трехмерное евклидово пространство в виде замкнутой выпуклой поверхности. Погорелов развил геометрические методы для получения оприорных оценок для решения уравнений Монжа Ампера, создал теорию тонких оболочек, решил ряд проблем о выпуклых поверхностях: локальных и глобальных свойствах. – Вейль Герман Клаус Гуго — немецкий математик, лауреат премии Лобачевского. Он получил выдающиеся результаты в дифференциальной геометрии, дал определение понятия римановой поверхности, ввел аксиоматику для афинного и евклидова точечного пространства (аксиоматика Вейля). – Гротендик Александр — французский математик — лауреат Филдсовской премии. Он является основоположником топологической к-теории, доказал обобщенную теорему Римана — Роха. 38

– Гильберт Давид — гениальный математик, сформулировавший 23 не решенных в то время математических проблем. Он создал полную аксиоматику евклидовой геометрии, ввел понятие скалярного произведения как следствия, ввел так называемое гильбертово пространство. – Арнольд Владимир Игоревич — академик АН СССР и РАН — один из крупнейших математиков ХX в. Он инициатор выделения симплектической геометрии, как отдельной дисциплины, автор глубоких работ в области топологии. – Том Рене Фредерик — французский математик — лауреат Филдсовской премии. В диссертации, посвященной расслоенным пространствам, заложил основы теории кобордизмов — первой, так называемой экстраординарной теории когомологий. – Новиков Сергей Петрович — академик АН СССР и РАН — лауреат Филдсовской премии. Он существенно продвинул вперед вычисление гомологий и когомологий алгебр Стинрода и развил теорию гомотопий сфер, получил важные результаты о свойствах слоений коразмерности один, доказал топологическую инвариантность характеристических классов Понтрягина, дал классификацию односвязных многообразий размерности большой или равной пяти. – Мамфорд Дэвид Брайант — американский математик, лауреат Филдсовской премии, автор выдающихся работ по алгебраической геометрии, разработал технику построений многообразий Пикарда и многих пространств модулей, дал классификацию гладких проективных поверхностей. – Дональсон Саймон Керван — британский математик, лауреат Филдсовской премии — автор знаменитых работ в области топологий гладких (дифференцируемых) 4-мерных многообразий. – Фридман Майкл Хартли — американский математик, лауреат Филдсовской премии — выдающийся математик в области топологии, доказал, что гипотеза Пуанкаре справедлива для n = 4. – Мори Сигэфуми — японский математик, лауреат Филдсовской премии. Он классифицировал трехмерные алгебраические многообразия. Приведем дополнительный список математиков ХX в., работавших в области геометрии и топологии. – Адамс Джон Фрэнк — английский математик, один из основателей теории гомотопий. – Август Адлер — австрийский математик, специалист в области начертательной геометрии. 39

– Алаоглу Леонидас — американский математик — специалист в области топологии. – Джеймс Уэдделл Александр — американский математик — специалист в области алгебраической топологии, ввел понятия когомологий, доказал топологическую инвариантность специальных гомологий, установил критерий компактности топологического пространства по свойствам его предбазы. – Амбарцумян Рубен Викторович — советский, армянский математик, специалист в области стохастической и интегральной геометрии. Решил четвертую проблему Гильберта в двухмерном и трехмерном пространствах. – Антуан Луи — французский математик, специалист по маломерной топологии, построил пример компакта в трехмерном пространстве. – Артин Эмиль — австрийский математик. Специалист в области проективной геометрии, решил семнадцатую проблему Гильберта. – Атья Майкл Фрэнсис — один из величайших математиков ХX в., ныне живущих, выдающийся ученый в области топологии и других разделов математики. Основные работы посвящены алгебраической геометрии. – Балман Вернер — немецкий математик, специалист в области дифференциальной геометрии. 4.3.5. Функциональный анализ Это наука, точнее, раздел математики, в котором изучаются бесконечномерные топологические векторные пространства (в основном пространства функций) и их отображения. Напомним, что термин «функция» был введен Л. Эйлером (1707–1783 гг.), а термин «функциональный анализ» Ж. Адамаром (1865–1963 гг.), который этим термином обозначал новую ветвь вариационного исчисления. Он также ввел термины «функционал», «линейный функционал». Функционального анализа как такового еще не было. Предвестниками возникновения функционального анализа как науки стали работы выдающихся математиков: В. Вольтерра, Ч. Арцела, П. Леви, который уже четко формулировал многие проблемы функционального анализа, которые нашли свое отражение в его монографии «Конкретные проблемы функционального анализа» (изданна в 1922 г. и переведена на русский язык в 1967 г.). Становлению функционального анализа способствовали так же работы Ж. Б. Фурье (1768–1830), (преобразования Фурье), С. Д. Пуассона, получившего уравнение теплопроводности, в которое входит интегральное выражение, позволившее в дальнейшем 40

ввести и изучить интегральные операторы свертки. Следует также отметить работы М. Фреше по построению теории метрических пространств, работы Ф. Хаусдорфа по созданию топологии. Толчком к возникновению функционального анализа явились также исследования в области функциональных уравнений, в частности интегральных и дифференциальных, начиная с работ Н. Абеля, Ж. Лиувилля. В дальнейшем это направление получило свое развитие в трудах И. Фредгольма, Ф. Нетера, А. Пуанкаре и др. Все эти исследования стали основой для полноценного создания Д. Гильбертом и С. Банахом современной науки: функциональный анализ, основу которого («хребет») составляют: теория операторов и теория функциональных пространств. Отметим, что впервые термин «оператор», его символ были введены английским математиком У. Клиффордом (1845–1879 гг.). Понятия топологического и метрического пространств были введены, как уже отмечалось, М. Фреше. Впервые в науку понятие и термин «функциональное пространство» ввел П. Дирак — великий физик, создатель квантовой механики, лауреат Нобелевской премии (1933). Так же, как работы великих физиков Лоренца и Пуанкаре стали предвестниками создания А. Эйнштейном теории относительности (основные результаты были получены Лоренцем и Пуанкаре), который оформил ее как самостоятельную науку, так и функциональный анализ оформился в самостоятельную науку благодаря работам Д. Гильберта и С. Банаха. Дальнейшее свое развитие функциональный анализ получил в работах таких выдающихся математиков, как: И. М. Гельфанд, Джон Фон Нейман, М. Г. Крейн, А. Н. Колмогоров, И. М. Гельфанд, Ф. Хаусдорф, Л. Шварц, Бургейн и многих других известных математиков. Теперь более подробно. Основополагающие результаты: 1. Принцип равномерной ограниченности набора непрерывных операторов, или теорема Банаха — Штейнгауза — фундаментальный результата функционального анализа, который утверждает, что если последовательность линейных ограниченных операторов поточечно ограничена, то она также равномерно ограничена. 2. Принцип открытости отображения С. Банаха: при непрерывном отображении одного банахова пространства в другое образ открытого множества является открытым множеством. 3. Теорема Хана — Банаха о расширении непрерывного функционала с подпространства на все пространство: непрерывный ли41

нейный функционал, заданный на подпространстве, может быть расширен на все пространство (Банахово) с сохранением нормы. 4. Спектральная теорема, дающая интегральную формулу для нормального оператора в Гильбертовом пространстве. 5. Теорема С. Банаха о замкнутом графике. 6. Теорема Гельфанда — Наймарка. На самом деле Гельфандом и Наймарком доказаны две основные теоремы о гомомофизмах и изоморфизмахС* — алгебр. 7. Создание теории интерполяции линейных операторов. Эта теория является, по-видимому, одной из самых прикладных в функциональном анализе. Основоположниками этой теории являются: Ф. Рисс, Ж. Марцинкевич, Ж. Лионс, С. Г. Крейн, Ж. Л. Петре, А. П. Кальдерон, Е. Гальярдо. Дальнейшее ее развитие связано с результатами В. Орлича, Р. Лоренца, Е. М. Семенова, Ю. И. Петунина, Н. Ароншайна, Е. Мадженеса и др. 8. Теорема Рисса — Фреше о представлении линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве в виде: f(x) = (y, x), где y ∈ H, у — фиксирован, Н — гильбертово пространство, x ∈ H, f — функционал на Н. 9. Теорема о вложенных шарах, которая утверждает, что, для того чтобы метрическое пространство было полным, необходимо и достаточно, чтобы в ней всякая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имела непустую внутренность. Эта теорема — обобщения теоремы Кантора о вложенных отрезках. 10. Принцип сжимающих отображений, который утверждает, что всякое е, сжимающее отображение в полном метрическом пространстве, имеет одну и только одну неподвижную точку. Эта теорема была доказана С. Банахом. 11. Принцип двойственности Л. Понтрягина об изоморфизме групп G ∧ ∧ и G, где G — группа, G ∧ — группа характеров. 12. Теорема Бэра о категориях. Категория Бэра — один из способов различить «большие» и «маленькие» множества. Подмножества могут быть первой или второй категории Бэра. Замечание. Еще раз подчеркну, что нет единого взгляда на важность тех или иных открытий как в общей математике, так и в функциональном анализе в частности. Мнения даже выдающихся математиков на один и тот же результат в математике часто диаметрально противоположны.

42

Приведем список выдающихся математиков ХX в., работавших и работающих в области функционального анализа. – Адамар Жак С. (1865–1963) — великий французский математик — автор фундаментальных работ по алгебре, геометрии, функциональному анализу, дифференциальной геометрии, математической физике, топологии, теории вероятностей, механике, гидродинамике. Он первым ввел понятия «функциональный анализ», «функционал» и др. в связи с развитием нового направления в вариационном исчислении. Трудно указать область математики, в которую не внес бы вклад Ж. Адамар. – Банах Стефан (1892–1945) — выдающийся польский математик — один из создателей функционального анализа. Его фундаментальные результаты: Теорема Хана — Банаха, теорема о замкнутом графике, теорема об открытости отображения, теорема о неподвижной точке и др. – Березанский Юрий Макарович (1925) — советский, русский математик. Он получил выдающиеся результаты в области функционального анализа и дифференциальных уравнений. Знаменита его монография «Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов». – Бесов Олег Владимирович (1933) — советский, русский математик, специалист по функциональному анализу, ввел новые функциональные пространства, названные пространствами Бесова. – Вольтерра Вито (1860–1940) — выдающийся итальянский математик, почетный член АН СССР. Он получил выдающиеся результаты в теории уравнений с частными производными, теории упругости, теории интегральных уравнений (уравнение Вольтера), интегродифференциальных уравнений, функциональном анализе (оператор Вольтерра). – Вейль Герман К. (1885–1955) — выдающийся немецкий математик. Он — автор многочисленных трудов в разных областях математики, в частности, в функциональном анализе. Он создал спектральную теорию дифференциальных операторов. – Гельфанд Израиль Моисеевич (1913–2009) — советский, американский математик. Основные его работы относятся к функциональному анализу, топологии и алгебре. Он один из создателей теории нормированных колец, теории унитарных представлений групп Ли, получил фундаментальные результаты в теории обобщенных функций, спектральной теории, теории вероятностей, теории приближенных методов и др. 43

– Гильберт Давид (1862–1943) — один из величайших математиков ХX в. Научное творчество Д. Гильберта охватывает практически всю математику его времени: теория инвариантов, теория алгебраических чисел, основания геометрии, вариационное исчисление (принцип Дирихле), теория дифференциальных уравнений, теория интегральных уравнений, решение задачи Варинга, математическая физика, логические основы математики. Им в 1900 г. на Парижском международном математическом конгрессе были сформулированы 23 проблемы, решение любой из этих проблем считается выдающимся достижением в математике. – Гельдер О. Л. (1859–1937) — немецкий математик. Его труды относятся к алгебре, математическому анализу, теории потенциала, теории функций, теории чисел, основаниям математики. Он доказал важное неравенство (неравенство Гельдера), которое сыграло ключевую роль в функциональном анализе. – Гнеденко Борис Владимирович (1912–1995) советский, русский математик, крупный специалист по теории вероятностей и математической статистики. Он решил проблему о сходимости распределений сумм независимых слагаемых ко всем возможным для них предельным распределениям. Он получил глубокие результаты по предельным теоремам и ряд других важных результатов в приложениях теории вероятностей. Его результаты о сходимости распределений были обобщены на основные функциональные пространства. – Данфорд Н. (1906–1986) американский математик, крупный специалист в области функционального анализа. Известна его монография (два тома), написанная совместно с Д. Шварцем «Теория операторов» (русский перевод под. ред. С. Г. Крейна). – Дьедонне Ж. А. (1906–1992) французский математик, член группы Н. Бурбаки. Он получил фундаментальные результаты в теории упорядоченных пространств, ввел понятие паракомпактного пространства. – Ильин Владимир Александрович (1928–2014) советский, российский математик, специалист по функциональному анализу. Он дал отрицательное решение проблемы И. М. Гельфанда о равносходимости спектрального разложения, внес фундаментальный вклад в спектральную теорию несамосопряженных операторов. – Иосида Косаку (1909–1990) японский математик, специалист в области функционального анализа — один из основателей теории полугрупп операторов (теорема Хилле — Иосиды о генераторе Со — полугрупп сжатия). 44

– Канторович Леонид Витальевич (1912–1986) — один из крупнейших математиков и экономистов (Нобелевская премия) ХX в. Он создатель линейного программирования, в функциональном анализе ввел класс полуупорядоченных пространств, доказал ряд важных теорем в теории интегральных операторов, разработал метод наискорейшего спуска и метод Ньютона для операторных уравнений. – Колмогоров Андрей Николаевич (1903–1987) советский, российский математик — один из величайших математиков ХX в. Он внес выдающийся вклад почти во все области математики: топология, геометрия, математическая логика, функциональный анализ, классическая механика, теория турбулентности, теория сложности алгоритмов, теория информации, теории множеств, теории меры, теории приближения функций, дифференциальные уравнения, теория динамических систем, теория вероятностей. Наряду с Жаком Адамаром и Д. Гильбертом он внес вклад почти во все разделы математики. – Красносельский Марк Александрович (1920–1997) — советский, российский математик, специалист в области функционального анализа. Он один из создателей нелинейного функционального анализа. – Крейн Марк Григорьевич (1907–1989) — выдающийся советский, российский математик. Он автор выдающихся работ по: алгебре, теории функций, функциональному анализу, теории интегральных и дифференциальных уравнений, математической физике, аналитической механике. Под его руководством защищено более 30 докторских диссертаций. – Крейн Селим Григорьевич — брат Марка Григорьевича Крейна (1917–1999) — выдающийся советский, российский математик, специалист в области функционального анализа и теории дифференциальных уравнений с частными производными. Он один их создателей теории интерполяции линейных операторов, создатель самой большой (по численности) научной школы: более 80 кандидатов наук и более 20 докторов наук. – Поль Леви (1886–1971) — выдающийся французский математик — основоположник общих предельных теорем в теории случайных процессов в теории вероятностей. Он автор выдающихся работ в областях: функциональный анализ, теория функций, механика, теория стохастических процессов. Его наставником и учителем был великий Жак Адамар. – Лере Жан (1906–1998) — выдающийся французский математик. Он совместно с польским математиком Ю. Шаудером, разработал метод неподвижной точки. 45

– Марцинкевич Юзеф (1910–1949) — один из основателей теории интерполяции линейных операторов. Широко известны пространства Марцинкевича, сыгравшие большую роль в построении теории интерполяции. – Нейман Джон Фон (1903–1957) — великий американский математик, внесший фундаментальный вклад в такие области: квантовая логика, функциональный анализ, теория множеств, информатика, экономика. Он «архитектор» современных компьютеров, создатель теории игр, концепции клеточных автоматов, усовершенствовал аксиоматику Цермело — Френкеля. – Рис Фридьеш (1880–1956) — крупный венгерский математик. Он один из основателей функционального анализа (теорема Рисса — Торина в теории интерполяции линейных операторов). Известна также теорема Рисса — Фишера об изометричности и изоморфности пространств Лебега и пространств последовательностей Гильберта. – Соболев Сергей Львович (1908–1998) — советский математик, один из крупнейших математиков ХX в., специалист в области функционального анализа (пространства Соболева), дифференциальных уравнений с частными производными (метод решения задачи Коши). Он внес весомый вклад в математическую физику вместе в И. В. Курчатовым занимался проблемой обогащения урана. – Семенов Евгений Михайлович (1940) — советский, российский математик — крупный специалист по функциональному анализу — создатель теории симметричных пространств. – Ульянов Петр Лаврентьевич (1928–2006) — советский, российский математик, крупный специалист по теории функций и функционального анализа, получил важные теоремы вложения, ряд других глубоких результатов. – Фредгольм Э. И. (1866–1927) — крупный шведский математик, специалист по теории интегральных уравнений и теории операторов (оператор Фредгольма, уравнение Фредгольма). P.S. Еще раз подчеркну, что список приведенных фамилий математиков нельзя считать полным и полностью объективным, так как сделать это не дано никому в силу субъективизма любого автора и разных оценок одного и того же открытия, разных ученых. 4.3.6. Теория функций действительной переменной Еще раз напомним, что термин «функция» впервые был введен Л. Эйлером. Первой самостоятельной работой по теории функций вещественной (действительной) переменной является, по-видимому, работа Римана «О возможности представления функции посредством 46

тригонометрического ряда», опубликованная в 1867 г. В ХX в. огромный вклад в развитие теории функций действительной переменной внес Егоров Д. Ф., учениками которого были Н. Н. Лузин, П. С. Александров, И. Г. Петровский, И. И. Привалов, В. В. Степанов, В. В. Голубев, Л. Н. Сретинский, Д. В. Меньшов. Известна знаменитая теорем Егорова, утверждающая, что из сходимости почти всюду, последовательности измеримых, в смысле Лебега функций следует равномерная сходимость этой последовательности на подмножестве исходного множества, имеющего ту же меру, что и исходное множество. – Лузин Н. Н. Одним из самых замечательных результатов Лузина — в построении тригонометрического ряда, коэффициенты которого стремятся к нулю, но сам ряд почти всюду расходится. Этот результат опроверг предположение П. Фату (1906) и был совершенно неожиданным для большинства математиков. Он создал дескриптивную теорию множеств и функций, опроверг (вместе с Суслиным) утверждение великого А. Лебега: «Проекция любого борелевского множества является борелевским множеством». – Колмогоров А. Н. — получил выдающиеся результаты в теории функций действительной переменной, теории тригонометрических рядов и, как мы уже отмечали, во множестве других разделов математики. – Келдыш Л. В. — советский математик — крупный специалист в области теории функций действительной переменной. Основные труды относятся к теории борелевских множеств. – Меньшов Д. Е. — советский математик. Основные его работы относятся к теории тригонометрических рядов. В 1920 г. Д. Меньшов установил достаточные условия сходимости ортогональных рядов, выраженных через их коэффициенты. Совместно с Н. К. Бари нашел критерий представимости непрерывной функции в виде суперпозиции двух абсолютно непрерывных функций. – Бари Н. К. — советский математик, крупный специалист в области тригонометрических рядов. Знаменита ее книга «Тригонометрические ряды». – Степанов В. В. — советский математик, крупный специалист по теории функций вещественной переменной — один из создателей теории функции нескольких переменных.

47

4.3.7. Теория функций комплексной переменной (ТФКП) Первый этап развития ТФКП Теория функций комплексной переменной или, как еще говорят, теория функций комплексного переменного, начинается с работы Дж. Кардано, открывшего формулы для нахождения решения кубического уравнения (XVI–XVIII вв.). Второй этап, XVIII–XIX вв. Л. Эйлер предположил замкнутость поля комплексных чисел. В 1748 г. Л. Эйлер впервые четко, формально определил алгебраическую форму комплексного числа, а затем тригонометрическую и показательную. Он впервые рассмотрел и исследовал элементарные функции комплексного переменного, построил теорию дифференцирования и интегрирования общих функций комплексного переменного, ввел понятие конформного отображения. Л. Эйлер по праву считается одним из основателей теории функций комплексного переменного. Термин «конформный» первым, по-видимому, употребил петербургский математик Ф. Шуберт (1789). Л. Эйлер привел многочисленные приложения теории функций комплексного переменного к различным математическим задачам и положил начало применению ТФКП в гидродинамике и аэродинамике. К. Гаусс сформулировал определение интеграла в комплексной плоскости, интегральную теорему о разложимости аналитической функции в степенной ряд. П. Лаплас (1749–1827 гг.) использует комплексные переменные при вычислении интегралов, вводит преобразование, названное позже преобразованием Лапласа. Третий этап становления ТФКП, XIX в. Основные заслуги здесь принадлежат О. Коши, Б. Риману, К. Вейерштрассу. Фактически основателем направления «Теория моногенных и дифференцируемых функций» был О. Коши (1789–1857). О. Коши разработал теорию пределов и теорию рядов функций КП. Он установил способ определения области сходимости степенного ряда комплексных переменных, получил условие разложимости функции КП в степенной ряд, ввел интегральную формулу для функции КП, понятие «вычет», заложил основы теории аналитических функций нескольких переменных, ввел другие новые понятия. Последователем О. Коши был Б. Риман (1826–1866), который создал «геометрическое» направление развития ТФКП, положил начало геометрической теории функций КП, разработал подробно теорию конформных отображений. 48

Дальнейшее (третье) направление развития ТФКП связано с именем К. Вейерштрасса (1815–1897). Он ввел понятие равномерной сходимости, обобщил теорему Коши о разложении в степенной ряд функции КП, заложил основы теории аналитических функций нескольких переменных. Следует отметить также выдающиеся работы русского математика Ю. В. Сохатского. Четвертый этап развития ТФКП, ХX в. Этот этап связан с именами выдающихся математиков. Российских: – Н. И. Мусхелишвили (1891–1976) — выдающийся советский математик и механик. Он широко применял методы ТФКП в теории упругости. – М. В. Келдыш (1911–1978) — выдающийся математик, внесший значительный вклад в теорию приближений функций комплексной переменной и во множество других разделов математики и механики. – М. А. Лаврентьев (1900–1980) — выдающийся математик и механик, внесший большой вклад в теорию приближений функций комплексной переменной рядами полиномов, получил большое число других важных результатов. – Н. Н. Боголюбов (1909–1992) — выдающийся математик и физик-теоретик — создатель статистической физики, получил важные результаты по приложениям теории функций комплексной переменой к задачам физики. – В. С. Владимиров (1923–2012) — советский математик — выдающийся ученый в области математической физики, разработал методы применения теории функций многих комплексных переменных в квантовой теории. – А. И. Аптекарев разработал численные методы комплексного анализа — приближенные конформные отображения. – И. А. Лаппо-Данилевский (1896–1931) — крупный специалист в области теории аналитических функций от матриц. – Н. Г. Чеботарев (1894–1947) — крупный советский математик, алгебраист. Он также получил теоремы о критериях устойчивости целых функций. – Б. В. Шабат (1917–1907) — советский математик, крупный специалист в области комплексного анализа. – И. Н. Векуа (1907–1977) — советский математик один из создателей аналитической теории класса уравнений эллиптического типа, результаты в ТФКП. 49

– М. А. Евграфов (1926–1997) — советский, российский математик — один из разработчиков приложений комплексного анализа для решения дифференциальных уравнений. – В. К. Иванов (1908–1992) — советский математик — значительный вклад в теорию гармонических и целых функций нескольких переменных. Зарубежных: – Ж. Адамар (1865–1963) — великий французский математик — создатель, в частности, современной теории целых аналитических функций. – Л. Альфорс (1907–1996) — математик, лауреат Филдсовской премии, разработал теорию квазиконформных отображений. – Э. Барнс (1874–1953) — английский математик. Он исследовал функции Гаусса, применив интегралы от функции КП. – Л. Берс (1914–1993) — американский математик — создатель теории псевдоаналитических функций. – Г. Вейль (1885–1955) — великий немецкий математик, внесший вклад почти во все области математики и статистической физики, в частности значителен его вклад в комплексный анализ. – А. Картан (1904–2008) — выдающийся французский математик, внесший огромный вклад во многие разделы математики, в частности в ТФКП. – Ш. Ж. Валле-Пуссен (1866–1962) — выдающийся бельгийский математик, внесший большой вклад в развитие математического анализа, в частности комплексного анализа — конформные отображения многосвязных областей. – Р. Неванлинна (1895–1980) — известный финский математик, специалист в области комплексного анализа. Он создал теорию распределения значений мероморфных функций. – А. Пуанкаре (1854–1912) — великий французский математик, внесший огромный вклад в разные отрасли математики, в частности, в теорию ФКП. Он ввел новый класс функций — автоморфные функции. – А. Сельберг (1917–2007) — норвежский математик, крупный специалист в теории автоморфных функций. – С. Стоилов (1887–1961) — выдающийся румынский математик, крупный специалист в области комплексного анализа. – Э. Ч. Титчмарш (1899–1963) — английский математик. Его работы посвящены рядом Фурье, целым функциям и другим математическим проблемам. 50

4.3.8. Теория вероятностей Зачатки теории вероятностей стали появляться только в XVI в. Математики этого века уже решали задачи, связанные с вероятностью, но не было четкого определения вероятности и общих теорем и методов решения вероятностных задач. Стимулом для развития теории вероятностей послужили проблемы, возникающие в азартных играх (например, в «кости»). В этот период стоит отметить работы де Кардано (1501–1576) — итальянский математик, инженер, философ. В 1663 г. опубликовал книгу «Книга об игре в кости», в которой он близко подошел к общему понятию вероятности. – Л. Пачоли (1445–1494) — итальянский математик — делал попытки определить вероятность события. – Н. Тарталья (1449–1557) — итальянский математик-самоучка, также как и Л. Пачоли, пытался определить возможность (вероятность) появление события. – Х. Гюйгенс (1629–1695) — нидерландский математик. Он вплотную подошел к определению вероятности в своем произведении «Книга о расчетах в азартных играх» (1657). Он один из основателей теории вероятностей. – Б. Паскаль (1623–1662) — французский математик, один из создателей теории вероятностей. Он автор книги «О расчетах в азартных играх». Определил понятие «математическое ожидание». – П. Ферма (1601–1665) — великий французский математик, сформулировавший «Великую проблему Ферма», которая не поддавалась решению почти четыре века. (Была решена в 1995 г.) В переписке П. Ферма с Б. Паскалем начинается формирование идей теории вероятностей. Достаточно строгое построение основ теории вероятностей, включающей достаточно строго определение вероятности, изложено в работах Я. Бернулли (1655–1705) — швейцарского математика — одного из создателей теории вероятностей «Искусство предположений» (1713 г.). – Х. Гюйгенс (1629–1695) — нидерландский математик. Он вплотную подошел к определению вероятности в своем произведении «Книга о расчетах в азартных играх» (1657). Он один из основателей теории вероятностей. Достаточно строгое построение основ теории вероятностей, включающей достаточно строго определение вероятности, изложено в работах Я. Бернулли (1655–1705) — швейцарского математика — 51

одного из создателей теории вероятностей «Искусство предположений» (1713). Дальнейшее развитие теории вероятностей связано с именами ученых: – А. Муавр (1667–1754) — английский математик. В 1718 г. он опубликовал свой главный труд по теории вероятностей. Он фактически сформулировал предельную теорему, которую «переоткрыл» П. Лаплас. – П. Е. Лаплас (1749–1827) — французский математик, механик, физик и астроном — один из создателей теории вероятностей. В 1812 г. вышла его книга «Аналитическая теория вероятностей», в которой, в частности, сформулирована предельная теорема теории вероятностей. – К. Ф. Гаусс (1777–1855) — великий немецкий математик, считается одним из величайших математиков всех времен, «королем математиков». Он внес огромный вклад во многие разделы математики. Он обосновал нормальный закон распределения вероятностей, разработал метод наименьших квадратов. – С. Пуассон (1781–1840). Он доказал более общую, чем Я. Бернулли, теорему — закон больших чисел. – П. Л. Чебышев (1821–1894) — великий русский математик. Он ввел в рассмотрение случайные величины и создал новый метод доказательства предельных теорем теории вероятностей — метод моментов. – А. А. Марков (1856–1922) — выдающийся русский математик. Он заложил основы новой ветви теории вероятностей — теории случайных процессов (стохастических процессов). – А. М. Ляпунов (1857–1918) — выдающийся русский математик, доказал центральную предельную теорему теории вероятностей при более общих условиях, чем у его предшественников. Начало современного (ХX в.) периода в развитии теории вероятностей положено исследованиям А. Я. Хинчина (1894–1959). Он разработал математические методы теории массового обслуживания. – А. Н. Колмогоров (1903–1987) — великий русский, советский математик. Он дал аксиоматическое построение теории вероятностей, которое сегодня является общепризнанным. – Э. Борель (1871–1956) — выдающийся французский математик, один из создателей теории меры, которую применил в теории вероятностей (принципы Бореля — Лебега, Лемма — Бореля и др.).

52

– П. Леви (1886–1971) — французский математик — основоположник общих предельных теорем и теории случайных процессов в теории вероятностей. – Р. Мызес (1883–1953) — австрийский математик и механик. Он построил аксиоматику теории вероятностей (аксиоматика Р. Мызеса критиковалась А. Н. Колмогоровым), которая хотя и не была совершенной, но послужила толчком для дальнейшего развития теории вероятностей. – Н. Винер (1894–1964) — великий американский математик (в детстве — вундеркинд. Знаменита его книга «Я вундеркинд») — отец кибернетики. Он также имел глубокие достижения в теории вероятностей. – У. Феллер (1906–1970) — американский математик, специалист в области функционального анализа, теории меры, дифференциальных уравнений, теории вероятностей. Он получил ряд важных результатов в области предельных теорем, теории диффузных случайных процессов. – В. И. Гливенко (1896–1940) — украинский математик, специалист по теории вероятностей. – Б. В. Гнеденко (1912–1995) — советский математик, специалист в области теории вероятностей. Он получил глубокие результаты по предельным теоремам, обобщил формулы Эрланга, получил важные результаты в теории случайных процессов. – Е. Б. Дынкин (1924–2014) — советский, американский математик, специалист в области групп и алгебр Ли, а также в теории вероятностей. Известны его работы: «Регулярные условные математические ожидания соответствий», «Марковские представления стохастических систем», «Регулярные марковские процессы», и многие другие работы. – Я. Г. Синай (1935) — советский, американский математик, специалист в области теории вероятностей, теории динамических систем, эргодинамической теории, проблем статистической физики, теории случайных процессов, теории фазовых переходов и в других областях математики. – А. В. Скороход (1930–2011) — советский математик, специалист в области случайных процессов теории вероятностей. – И. И. Гихман (1918–1985) — украинский математик, специалист в области теории вероятностей — теории случайных процессов, теории стохастических дифференциальных уравнений, развил теорию марковских процессов. 53

4.3.9. Математическая статистика Математическая статистика, как наука, начинается с работ великого немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777–1855), который на основе теории вероятностей исследовал и обосновал метод наименьших квадратов, созданный им в 1795 г. и применимый для обработки астрономических данных. Как правило, значительный вклад в теорию математической статистики внесли ученые, работавшие и работающие в области теории вероятностей. В конце XIX — начале ХХ в. крупный вклад в математическую статистику внесли К. Пирсон (1857–1936 гг.) и Р. Фишер (1890–1962). К. Пирсон разработал критерий «Хи-квадрат» — проверки статистических гипотез, а Р. Фишер — дисперсионный анализ, теорию планирования эксперимента, метод максимального правдоподобия оценки параметров. В 30-е гг. ХХ в. Ежи Нейман (1894–1977) и Э. Пирсон разработали общую теорию проверки статистических гипотез советские математики А. Н. Колмогоров и Н. В. Смирнов (1900–1966) заложили основы непараметрической статистики. Румынский математик А. Вальд (1902–1950) построил теорию последовательного статистического анализа. Значительный вклад в развитие математической статистики внесли Я. Бернулли, П. Лаплас, С. Пуассон, В. Я. Буняковский, П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. И. Ляпунов, С. И. Бернштейн, А. Кетле, Ф. Гальтон, В. И. Романовский, Е. Е. Слуцкий, Н. В. Смирнов, Ю. В. Линник. 4.3.10. Дискретная математика Дискретная математика — часть математики, изучающая дискретные математические структуры: конечные графы, конечные группы, конечные автоматы. Дискретная математика охватывает значительные части алгебры, теории чисел, математической логики. Дискретная математика — это раздел математики, не связанный с понятиями предела, непрерывности и бесконечности. Основные разделы дискретной математики: 1. Теория множеств. 2. Алгебраические структуры. 3. Логика и булевы функции. 4. Комбинаторика. 5. Теория графов. 6. Теория кодирования. 7. Логические исчисления и др. Дискретная математика — фундамент математической кибернетики. Огромную роль в становлении и развитии дискретной матема54

тики, различных ее разделов сыграли ученые: Г. В. Лейбниц, Ж. Л. Лагранж, Л. Эйлер, А. Кэли, Д. Буль, К. Жордан и др. В начале ХХ в. значительный вклад в развитие дискретной математики внесли А. Пуанкаре, Д. Гильберт, Эл. Пост, А. И. Тьюринг, В. А. Котельников, К. Э. Шеннон, А. Черч, В. И. Шестаков, Д. Ф. Нейман, А. А. Ляпунов, С. В. Яблонский, О. Б. Лупанов, К. Аппель, В. Хакен, С. Клини, Л. Лукасевич, С. Мостовский, А. А. Марков, И. И. Жегалкин, П. С. Новиков, В. И. Глушков, С. В. Яблонский, Ю. И. Журавлев. 4.3.11. Математическая физика Математическая физика — наука о построении математических моделей физических явлений, описываемых, как правило, в виде дифференциальных, интегральных уравнений и уравнений в частных производных. Условно математическую физику можно разделить на две подгруппы: 1. Классическая математическая физика. Первоначально математическая физика сводилась к описанию физических явлений дифференциальными уравнениями и сводилось к краевым задачам дифференциальных уравнений. Классическая математическая физика развивалась со времен И. Ньютона параллельно с обычной физикой. В конце XVII в. И. Ньютоном и Г. Лейбницем было открыто дифференциальное и интегральное исчисление и сформулированы И. Ньютоном основные законы классической механики и закон всемирного тяготения. В XVIII в. методы математической физики начали формироваться при изучении колебаний струн, стержней, маятников, а также задач, связанных с акустикой и гидродинамикой: закладываются основы аналитической механики (Ж. Даламбер, Л. Эйлер, Д. Бернулли, Ж. Лагранж, К. Гаусс, П. Лаплас). В XIX в. методы математической физики получили новое развитие в связи с задачами теплопроводности, диффузии, теории упругости, оптики, электродинамики, нелинейными волновыми процессами и др., создаются теория потенциала, теория устойчивости движения. Огромен вклад в становление и развитие этих направлений следующих ученых: Ж. Фурье, С. Пуассона, Л. Больцмана, О. Коши, М. В. Остроградского, П. Дирихле, Д. К. Максвелла, Б. Римана, С. В. Ковалевской, Д. Стокса, Р. Р. Кирхгофа, А. Пуанкаре, А. М. Ляпунова, В. А. Стеклова, Д. Гильберта, Ж. Адамара, А. Н. Тихонова. 2. Современная математическая физика. В ХX в. появляются новые разделы математической физики: квантовая механика, квантовая теория поля, квантовая статистическая физика, теория относи55

тельности, гравитация, синергетика и др. Основополагающие фундаментальные результаты в этих направлениях получены следующими выдающимися математиками и физиками: А. Пуанкаре, Д. Гильбертом, П. Дираком, А. Эйнштейном, Н. Н. Боголюбовым, В. А. Фоком, Э. Шредингером, Г. Вейлем, Р. Фейнманом, Д. Ф. Нейманом, В. Гейзенбергом, И. Пригожиным, С. Курдюмовым и др.

56

ГЛАВА 5. МАТЕМАТИКА ХХI ВЕКА Начнем самого важного (по мнению большинства математиков, экспертов филдсовского комитета) открытия в математике ХХI в. — решение проблемы Пуанкаре российским математиком Григорием Перельманом в 2006 г., получившим премию (отказался от премии и медали) и золотую медаль Филдса. Перельман доказал, что исходная трехмерная поверхность (если в ней нет разрывов) обязательно будет эволюционировать в трехмерную сферу. Дискретная математика В 2012 г. вручена международная Абелевская премия Эндре Семереди за его фундаментальный вклад в дискретную математику — произвел «революцию в дискретной математике, создав новые оригинальные методы и решил множество проблем». Приведем фамилии и имена выдающихся математиков ХХI в., лауреатов Филдсовской премии и формулировки основных научных результатов, полученных ими: 1. Л. Лаффорг — французский математик, лауреат Филдсовской премии (2002 г.). Он доказал гипотезу о соответствии Ленглендса для общей линейной группы над полем функций, был награжден премией математического института Клэя. 2. В. Воеводский (1966–2017 гг.) — советский, российский математик — лауреат Филдсовской премии (2002 г). Он построил теорию мотивных когомологий, доказал гипотезу Милнора и гипотезу Блоха — Като. Он внес решающий вклад в программу создания унивалентных оснований математики — формального языка для абстрактных разделов математики, обеспечивающего автоматическую проверку доказательств на компьютере. 3. Г. Перельман — российский, шведский математик — лауреат Филдсовской премии (2006 г.). Он доказал гипотезу Пуанкаре. Более подробно о нем уже было сказано. Добавим только, что Г. Перельманом была доказана также гипотеза Терстона. 4. А. Окуньков — российский, американский математик — лауреат Филдсовской премии (2006 г.). Он получил выдающиеся результаты, соединяющие теорию вероятностей, теорию представлений и алгебраическую геометрию. 5. Т. Тао — австрийский, американский математик — лауреат Филдсовской премии (2006 г.). Он доказал существование неограниченно длинных арифметических прогрессий простых чисел (теорема Грина — Тао). 57

6. В. Вернер — немецкий математик — лауреат Филдсовской премии (2006 г.). Он внес большой вклад в изучение стохастической эволюции Левнера, геометрии двумерного броуновского движения и конформной теории поля. 7. Э. Линденштраус — израильский математик лауреат Филдсовской премии (2010 г.). Он получил выдающиеся результаты в эргодической теории. 8. Иго БаоТяу — вьетнамский математик, лауреат Филдсовской премии. Он доказал фундаментальную лемму, составляющую часть программы Ленгдлендса. 9. С. К. Смирнов — российский математик — лауреат Филдсовской премии (2010 г.). Он, в частности, доказал формулы Карди для перколяций на треугольной решетке, доказал гипотезу о константе связанности для шестиугольной решетки. 10. Седрик (Франция) — Филдсовская медаль (2010 г.). 11. А. Авила — бразильский математик — лауреат Филдсовской премии (2014 г.). Он получил выдающиеся результаты в теории динамических систем и спектральной теории. 12. М. Бхаргава — индийский, американский математик — лауреат Филдсовской премии (2014 г.). Он внес выдающийся вклад в теорию чисел. 13. М. Хайрер — австрийский математик — лауреат Филдсовской премии (2014 г.). Филдсовскую премию он получил за выдающийся вклад в теорию стохастических дифференциальных уравнений в частностых производных. 14. М. Мирзахани — иранский математик — лауреат Филдсовской премии (2014 г.) — первая женщина — лауреат Филсовской премии за всю историю. Она получила выдающиеся результаты в аэродинамической теории, симплектической геометрии, геометрии Лобачевского. 15. А. Фигалли — итальянский математик, лауреат Филдсовской премии (2018 г.). Он получил выдающиеся достижения в теории оптимального транспорта и ее приложений в области дифференциальных уравнений в частных производных, метрической геометрии, теории вероятностей. 16. К. Биркар — курдский математик, лауреат Филдовской премии (2018 г.). Он доказал ограниченность расслоений Фано, внес большой вклад в исследование программы минимальных моделей. 17. П. Шольце — немецкий математик, лауреат Филдсовской премии (2018 г.). Он развил ряд новых когомологических теорий, ввел преобразование алгебраической геометрии над р-адическим по58

лем через введение перфектоидных пространств с приложениями для представлений Галуа. 18. А. Венкатеш — австрийский математик, лауреат Филдсовской премии (2018 г.). Он получил эту премию за синтез аналитической теории чисел, гомогенной динамики, топологии и теории представлений.

59

ГЛАВА 6. ПЛЕЯДА ВЫДАЮЩИХСЯ МАТЕМАТИКОВ В ОБЛАСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Остановимся более подробно на одном из самых мощных направлений в математике — функциональном анализе. Напомним, что первые понятия и определения современного функционального анализа ввел великий французский математик Ж. Адамар. В дальнейшем основы функционального анализа были заложены в работах С. Банаха, Д. Гильберта, П. Леви, Д. Ф. Неймана и ряда других математиков. Дальнейшее развитие функционального анализа связано с именами таких выдающихся математиков, как: Ф. Рисс, С. Л. Соболев, Ж. Марцинкевич, Р. Лоренц, Л. Шварц, Л. В. Канторович, М. Г. Крейн, Н. Винер, Д. Ф. Нейман, В. Вольтерра, И. И. Гельфанд, А. Н. Колмогоров, Т. Карлеман, Л. А. Люстерник, В. П. Маслов, В. А. Марченко, С. М. Никольский, Л. Д. Фадеев, А. Г. Костюченко, И. М. Гельфанд, С. Г. Крейн, М. А. Красносельский, Ю. М. Березанский, П. П. Забрейко Ю. Л. Далецкий, И. И. Дэй, В. Рудин, Л. Шварц, А. И. Плеснер и многие другие. Известные ученые ХX в. в области функционального анализа 1. Ж. Адамар (1865–1963 гг.) — великий французский математик, основатель функционального анализа. Он первый ввел понятие окрестности, функционала и ряд других понятий, таких как: «линейный функционал», «функциональный анализ». Ж. Адамар — автор фундаментальных работ по алгебре, геометрии, функциональному анализу, дифференциальной геометрии, топологии, теории вероятностей. 2. Ч. Арцелла (1847–1912 гг.) — итальянский математик. Основные работы относятся к теории функций действительной переменной. Он ввел понятие квазиравномерной сходимости, доказал условия компактности семейства непрерывных функций. Он также доказал теорему о предельном переходе под знаком интеграла, которая играет важную роль в функциональном анализе. 3. Л. Алаоглу (1914–1961 гг.) — американский математик — выдающийся ученый в области функционального анализа, более всего он известен благодаря доказанной им теореме о слабой топологии единичного шара в сопряженном пространстве. Он автор многочисленных работ по функциональному анализу. 4. А. Андо (1932–2003) — японский математик, специалист в области функционального анализа (теория операторов). 60

5. Г. П. Акилов (1921–1986 гг.) — советский математик специалист в области функционального анализа. Он получил важные результаты в задачах продолжения линейных операторов, в теории локально выпуклых пространств, он автор (соавтор вместе с Л. В. Канторовичем) учебника «Функциональный анализ». 6. Ю. А. Абрамович (1940) — российский математик, крупный специалист в области функционального анализа (спектральная теория). 7. Н. И. Ахиезер (1901–1080 гг.) — советский математик — специалист по теории приближений, автор ряда монографий: (Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман, «Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве», «Лекции об интегральных преобразованиях»). 8. М. С. Агранович (1931–2017 гг.) — советский математик — крупный специалист в области теории дифференциальных уравнений с частными производными. Известна его совместная работа: А. С. Дыпин, М. С. Агранович, «Общие краевые задачи для эллиптических систем в многомерных областях. Он получил ряд важных результатов для несамосопряженных операторов, близких к самосопряженным». 9. С. Банах (1892–1945) — великий польский математик — один из создателей функционального анализа. Он доказал основополагающие теоремы: об открытости отображения, теорему о замкнутом графике, теорему о продолжении линейного функционала (теорема Хана — Банаха) и др. 10. Ж. Биркгоф (1884–1944 гг.) — американский математик — специалист по статистической механике и эргодической теории. В функциональном анализе положил начало теории гиперциклических операторов. 11. С. Бохнер (1899–1982 гг.) — немецкий и американский математик — ввел так называемый интеграл Бохнера, играющий важную роль в функциональном анализе. 12. Е. Борель (1871–1956 гг.) — французский математик. Он вместе с Р. Бэром и А. Лебегом был одним из основоположников теории меры (Борелевские множества). 13. О. В. Бесов (1930) — советский и российский математик — крупный специалист в области функционального анализа: теоремы вложения. Известны «пространства Бесова». 14. Р. Л. Бэр (1874–1932 гг.) — французский математик — специалист в теории меры и теории функций. Известна теорема Бэра. Его работы нашли применение и в функциональном анализе. 61

15. Ю. М. Березанский (1925 г.) — советский, российский математик — один из крупнейших в мире специалистов в области функционального анализа: спектральная теория самосопряженных операторов и др. 16. Х. А. Бор (1887–1951 гг.) — датский математик — специалист в области теории функций, теории рядов Дирихле. Его результаты нашли применение в функциональном анализе. 17. Э. Борель (1871–1956 гг.) — французский математик. Он вместе с Р. Бором и А. Лебегом являлся основоположником теории меры. Известны принципы Бореля — Лебега, Лемма — Бореля — Кантелли. 18. М. З. Берколайко (1945 г.) — российский математик — специалист в области функционального анализа: теория функциональных пространств, гармонический анализ, сингулярные интегральные операторы и др. 19. А. В. Бухвалов (1946 г.) — российский математик — крупный специалист в области функционального анализа: порядково ограниченные операторы, интегральное представление линейных операторов и др. 20. М. Ш. Бирман (1928–2009 гг.) — советский и российский математик — крупный специалист в области функционального анализа: «Теория расширения положительных операторов». Он получил важные результаты в спектральной теории операторов и др. 21. И. А. Бахтин (1933–2011 гг.) — крупный специалист в области функционального анализа: теория «конусов» в банаховом пространстве, теория неподвижных точек операторов, метод монотонных приближений, теория положительных операторов и др. 22. Н. Винер (1894–1964 гг.) — великий американский математик — «отец» кибернетики. Он также опубликовал статьи по рядам и интегралам Фурье, обобщенному гармоническому анализу, эргодическим теоремам и др. 23. В. С. Владимиров (1923–2012 гг.) — русский и советский математик, выдающийся ученый в области математической физики. Он изучил оператор дробного дифференцирования обобщенных функций и достиг ряд других результатов. 24. Г. К. Вейль (1885–1955 гг.) — выдающийся немецкий математик. Он автор трудов по теории тригонометрических рядов и рядам по ортогональным функциям, разработал систему аксиом для афинного и евклидова точечного пространства (аксиоматика Вейля).

62

25. А. М. Вершик (1933 г.) — советский и российский математик. Его работы находятся на стыке теории групп и функционального анализа: теория меры, эргодическая теория и др. 26. Б. З. Вулих (1913–1978 гг.) — советский математик — крупный специалист в области функционального анализа: аналитические представления операторов, теория линейных упорядоченных пространств. Он автор нескольких учебников по функциональному анализу. 27. М. М. Вайнберг — советский математик — крупный специалист в области функционального анализа: теория монотонных операторов, операторные дифференциальные уравнения и др. 28. Ла Валле Пуссен (1866–1962 гг.) — бельгийский математик — выдающийся ученый в области математического анализа, теории тригонометрических рядов, теории рядов Фурье. Его работы сыграли большую роль в функциональном анализе. 29. В. Вольтерра (1860–1940 гг.) — итальянский математик — выдающийся ученый в области функционального анализа: теория интегральных операторов (известен «оператор Вольтерра», «ядро Вольтерра»). 30. Д. Гильберт (1862–1943 гг.) — великий немецкий математик — один из создателей функционального анализа: «Гильбертовы пространства», теория инвариантов. Знамениты 23 проблемы Гильберта, решение которых считается выдающимся достижением в математике. Большинство этих проблем к настоящему времени решены. 31. И. М. Гельфанд (1913–2009 гг.) — советский, американский математик — один из крупнейших математиков XX в. Основные его труды относятся к функциональному анализу: теория нормированных колец, теория эллиптических операторов, обратные спектральные задачи, биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве, спектр несамосопряженных операторов, дифференциальные операторы и др. 32. И. М. Глазман — советский математик — крупный специалист в области функционального анализа: спектральная теория дифференциальных операторов, теория расширения эрмитовых операторов и др. 33. М. И. Граев (1922–2017 гг.) — советский и российский математик — крупный специалист в области функционального анализа: замкнутые операторы, интегральные преобразования и др. 34. И. Ц. Гохберг (1928–2009 гг.) — советский, молдавский и израильский математик — крупный специалист в области функционального анализа: теория фредгольмовых операторов, сингулярные 63

интегральные операторы, теория несамосопряженных операторов и др. 35. В. Ф. Гапошкин — советский, российский математик — крупный специалист по функциональному анализу: эргодическая теория нормальных операторов, группы унитарных операторов, системы Хаара, безусловные базисы и др. 36. Р. Гато (1836–1914 гг.) — французский математик. Основные труды по функциональному анализу. Известны определения: вариация Гато, производная Гато. 37. О. Гельдер (1859–1937 гг.) — известный немецкий математик. Известно классическое неравенство Гельдера, которое нашло применение в функциональном анализе. 38. Ю. Л. Далецкий (1926–1997 гг.) — известный советский и украинский математик — крупный специалист в области приложения методов функционального анализа к дифференциальным уравнениям. 39. А. Дворецкий (1916–2008 гг.) — израильский математик — крупный специалист в области функционального анализа: нормированные пространства (теорема Дворецкого). 40. Ж. А. Дьедонне (1906–1992 гг.) — выдающийся французский математик. Он автор выдающихся работ по функциональному анализу (спектральная теория операторов). 41. П. П. Забрейко (1939 г.) — крупнейший специалист в области функционального анализа: идеальные структуры, теория интегральных операторов, интегральные уравнения, топология, операторные уравнения. Он автор нескольких монографий. 42. И. С. Иохвидов (1919–1984 гг.) — крупный специалист в области функционального анализа: пространства с индефинитной метрикой, геометрия гильбертовых и общих банаховых пространств, принцип неподвижной точки, ганкелевы и теплицевы матрицы. 43. К. Иосида (1909–1990 гг.) — японский математик — известный специалист по функциональному анализу. Он автор известного учебника по функциональному анализу. 44. С. Какутани (1911–2001) — американский математик японского происхождения — крупный специалист в области функционального анализа: теорема Какутани — Крейна. Известна теорема Какутани о передвижной точке, максимальная эргодическая теорема. 45. Л. В. Канторович (1912–1986 гг.) — советский математик и экономист — лауреат Нобелевской премии по экономике — создатель теории линейного программирования, один из крупнейших специалистов по функциональному анализу: теория интегральных операторов, теория структур. Он применил методы функционального ана64

лиза в вычислительной математике, развил общую теорию приближенных методов, эффективные методы решения операторных уравнений. 46. А. Н. Колмогоров (1903–1987 гг.) — великий русский, советский математик — построил строгую аксиоматическую теорию вероятностей. Он один из крупнейших специалистов по функциональному анализу, топологии, теории меры, теории турбулентности, классической механике и др. Огромна его математическая школа: 22 академика и члена-корреспондента, более 60 докторов наук. 47. А. П. Кальдерон (1920–2002 гг.) — американский математик — крупный специалист в области функционального анализа: интерполяция линейных операторов. Известен оператор Кальдерона, играющий важную роль в теории интерполяции линейных операторов. 48. Т. Като — японский, американский математик — крупный специалист в области функционального анализа: теория возмущений линейных операторов, которая тесно связана с теоретической физикой. 49. Т. Карлеман (1892–1949 гг.) — шведский математик — крупнейший специалист в области функционального анализа: интегральные сингулярные уравнения, спектральная теория операторов. Известны интегральные операторы с ядром Карлемана. 50. М. Г. Крейн (1907–1989 гг.) — советский, российский выдающийся математик XX в. — крупнейший специалист в области функционального анализа, теории интегральных и дифференциальных уравнений, математической физики. Автор нескольких монографий. Создатель всемирно известной школы функционального анализа. 51. С. Г. Крейн (1917–1999 гг.) — советский, российский выдающийся математик — крупнейший специалист в области функционального анализа, теории дифференциальных уравнений с частными производными. Он создал всемирно известную школу функционального анализа. По оценке Американской академии искусств и наук, С. Г. Крейн — самый плодовитый ученый — педагог, воспитавший более ста докторов и кандидатов наук (около 30 докторов физикоматематических наук). 52. М. А. Красносельский (1920–1997 гг.) — советский и российский, выдающийся математик в области функционального анализа. Он один из создателей нелинейного функционального анализа. Он автор четырнадцати научных монографий, создатель всемирно известной школы функционального анализа. Среди его учеников более 30 докторов физико-математических наук. 65

53. А. Г. Костюченко (1931–2010 гг.) — советский и российский математик — крупнейший специалист в области функционального анализа, теории дифференциальных уравнений в частных производных. Он создатель и руководитель всемирно известной школы по функциональному анализу 54. М. И. Кадец (1923–2011 гг.) — советский и украинский математик — крупный специалист в области функционального анализа: геометрия банаховых пространств. 55. В. Б. Коротков (1938 г.) — российский математик — крупный специалист в области функционального анализа: теоремы вложения банаховых пространств, теория интегральных операторов: спектральная теория, интегральное представление линейных операторов. 56. Б. И. Коренблюм — советский, российский математик — крупный специалист в области функционального анализа: инвариантные подпространства, нормированные кольца, гармонический анализ. 57. П. Леви (1886–1971 гг.) — выдающийся французский математик — один из основоположников функционального анализа. Он автор многочисленных трудов по функциональному анализу, теории вероятностей, теории функций и механике. 58. В. Люксембург — американский математик — специалист в области функционального анализа — один из создателей симметричных пространств. 59. С. М. Лозинский (1914–1985 гг.) — советский математик — крупнейший специалист в области функционального анализа. 60. С. М. Никольский (1905–2012 гг.) — выдающийся ученый XX в. — крупнейший специалист в области функционального анализа: пространства Никольского, теоремы вложения банаховых пространств. Он автор ряда учебников по математическому анализу. 61. Д. Ф. Нейман (1903–1957 гг.) — один из великих математиков XX в. — крупнейший ученый в областях: квантовая физика, функциональный анализ, теория множеств, информатика, экономика и др. области. Он один из создателей современных компьютеров. Известны алгебры Неймана, интеграл Неймана. Получил важные результаты в теории гильбертовых пространств. 62. М. А. Наймарк (1909–1978 гг.) — советский математик — крупный специалист по функциональному анализу: прямой интеграл пар двойственных пространств, алгебра операторов в гильбертовом пространстве, алгебры пространств с индефинитной метрикой, нормированные кольца. 66

63. В. Орлич (1903–1990 гг.) — польский математик — специалист в области функционального анализа. Известны пространства Орлича. 64. В. П. Паламодов (1938 г.) — российский математик — крупный специалист в области функционального анализа: дифференциальные операторы. 65. А. И. Плеснер (1900–1961 гг.) — советский математик — крупный специалист в области функционального анализа: спектральная теория эрмитовых операторов. 66. О. С. Парасюк (1921–2003 гг.) — советский математик. Известны его работы по применению методов функционального анализа в квантовой теории поля. 67. Я. В. Радыно (1946–2016 гг.) — советский и белорусский математик — крупный специалист в области функционального анализа, дифференциально-операторных уравнений. 68. Я. Б. Рутицкий (1920–1997 гг.) — советский, израильский математик — крупный специалист в области функционального анализа. 69. Ф. Рис (1880–1956 гг.) — венгерский математик — один из основателей современного функционального анализа. Известны теорема Риса — Фишера, пространства Риса, интерполяционная теорема Риса. 70. И. Радон (1887–1956 гг.) — австрийский математик — крупнейший специалист по функциональному анализу: теорема Радона — Никодима, мера Радона, преобразование Радона и др. 71. В. К. Романко (1936–2012 гг.) — советский и российский математик — крупный специалист в области функционального анализа: спектральная теория дифференциальных операторов. 72. Н. П. Романов (1907–1972 гг.) — советский математик — известный специалист в области функционального анализа: однопараметрические группы линейных операторов, теория гильбертовых пространств. 73. В. А. Рохлин (1919–1984 гг.) — советский математик — специалист по теории меры, топологии. 74. У. Рудин (1921–2010 гг.) — американский математик — крупный специалист по функциональному анализу. Он автор ряда учебников по функциональному анализу. 75. Секефалви-Надь Бела (1913–1998 гг.) — выдающийся венгерский математик — один из крупнейших специалистов в области функционального анализа. Известна его монография «Лекции по 67

функциональному анализу». Один из основных трудов — теория расширений операторов в гильбертовом пространстве. 76. Т. Сабиров (1941–1976 гг.) — российский математик, крупный специалист в области функционального анализа (интегральные операторы). 77. Ю. С. Самойленко (1943 г.) — советский и украинский математик — крупный специалист в области функционального анализа: спектральная теория линейных операторов, теория представлений семейства операторов. 78. Г. Г. Лоренц — американский математик — крупный специалист в области функционального анализа, известны пространства Лоренца. 79. А. Лебег (1875–1941 гг.) — выдающийся французский математик — один из основателей теории меры, создатель интеграла Лебега, играющего важнейшую роль в функциональном анализе. 80. Ю. И. Любич (1931 г.) — советский математик — специалист в области функционального анализа. 81. Л. А. Люстерник (1899–1981 гг.) — советский математик — выдающийся ученый в области функционального анализа, вариационного исчисления, дифференциальной геометрии, топологии и др. 82. Б. И. Левитан (1914–2004 гг.) — советский математик — крупнейший ученый в области функционального анализа: спектральная теория, теория операторов обобщенного сдвига, теория дифференциальных операторов. 83. Ж. Л. Лионс (1928–2001 гг.) — французский математик — крупный специалист в области функционального анализа: интерполяция линейных операторов. 84. Д. И. Литтлвуд (1885–1977 гг.) — британский математик. Он вместе с Г. Г. Харди доказал ряд неравенств, сыгравших большую роль в функциональном анализе. 85. В. П. Маслов (1930 г.) — выдающийся российский математик — крупнейший специалист в области функционального анализа, механике и квантовой физике, гидродинамике, математической физике, теории поля, статистической физике. Известны индекс Маслова, оператор Маслова. 86. Б. С. Митягин (1937 г.) — российский и американский математик — один из крупнейших специалистов в области функционального анализа: ядерные пространства, положительно определенные функционалы, интерполяция линейных операторов, ряды и интегралы Фурье. 68

87. В. Д. Мильман (1939 г.) — советский и израильский математик — крупный специалист в области функционального анализа: асимптотическая теория банаховых пространств, концепция концентрации меры, спектр-дистрофии. 88. С. Г. Михлин (1908–1990 гг.) — советский математик — крупнейший специалист в области функционального анализа: сингулярные интегральные операторы, степенные операторные ряды, спектр пучка операторов, теории упругости, аппроксимация функций соболевских пространств и др. 89. В. А. Марченко (1922 г.) — советский и украинский математик — выдающийся ученый в области функционального анализа: спектральная теория дифференциальных операторов с периодическими потенциалами, обратные задачи спектрального анализа. 90. Ю. Марцинкевич (1910–1940 гг.) — польский математик. Известна теорема Марцинкевича в теории интерполяции линейных операторов, пространства Марцинкевича. Он автор работ по математическому анализу и теории вероятностей. 91. Е. М. Семенов (1940 г.) — советский, российский математик — крупный специалист в области функционального анализа: создатель теории симметричных пространств, автор многих теорем по теории интерполяции линейных операторов, теории рядов в банаховых пространствах и др. 92. С. Л. Соболев (1908–1996 гг.) — советский математик — один из крупнейших математиков XX в. — крупный специалист в области функционального анализа — первый ввел понятие вложения функциональных пространств, получил фундаментальные теоремы вложения пространств дифференцируемых функций нескольких переменных. 93. П. Е. Соболевский (1930 г.) — советский математик — крупный специалист в области функционального анализа. Он соавтор монографии «Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций». Значительны его исследования в теории дробных степенных операторов. 94. В. И. Соболев (1913–1995 гг.) — крупный ученый в области функционального анализа — один из создателей школы функционального анализа в Воронеже. Он развил теорию полуупорядоченных пространств. 95. В. А. Треногин (1931–2013 гг.) — советский и российский математик — крупный специалист в области функционального анализа и его приложений. 96. Х. Трибель — немецкий математик — крупный специалист в области функционального анализа. Он автор известного учебника по 69

функциональному анализу, получил ряд важных результатов в теории вложения функциональных пространств. 97. О. Теплиц (1881–1940 гг.) — немецкий математик — выдающийся ученый в области функционального анализа: теорема об ограниченности симметрического оператора в гильбертовом пространстве. 98. П. Л. Ульянов (1928–2006 гг.) — советский, российский математик — крупный специалист в области функционального анализа: теоремы вложения. 99. Л. Фейер (1880–1959 гг.) — венгерский математик, крупный ученый в области функционального анализа. Известны ядро Фейера, теорема Фейера. 100. С. В. Фомин (1917–1975 гг.) — советский математик, известный специалист в области функционального анализа. 101. Э. И. Фредгольм (1868–1927) — шведский математик, выдающийся ученый в области теории интегральных уравнений, которые сыграли важную роль в развитии теории интегральных операторов (ядро Фредгольма). 102. Х. Хан (1879–1934 гг.) — австрийский математик — выдающийся ученый в области функционального анализа. Знамениты теорема Хана — Банаха, теорема Хана — Колмогорова, теорема Хана — Мазуркевича, теорема Витали — Хана — Сакса. 103. Г. Х. Харди (1877–1947 гг.) — выдающийся английский математик. Им было, в частности, доказано неравенство, сыгравшее важную роль в теории интегральных операторов. (Оператор Харди, оператор Харди — Литтлвуда.) 104. Г. М. Хенкин (1942–2016 гг.) — советский и французский математик — крупный специалист в области функционального анализа. 105. Л. Хермандер (1931–2012 гг.) — выдающийся шведский математик в области функционального анализа: линейные дифференциальные операторы.

70

ЗАКЛЮЧЕНИЕ В данном пособии изложена краткая история развития математики начиная, примерно от 40 тыс. лет до н. э. до наших дней. Данное учебное пособие представляет один вариантов изложения истории математики. С учетом сохранения небольшого объема пособия достаточно кратко представлена история русской и российской математики. В следующем, более полном идании этот пробел будет заполнен. В дальнейшем, по мере развития математической науки, дисциплина «История математики» будет дополняться новыми фактами.

71

ЛИТЕРАТУРА 1. Асмус, В. Ф. Декарт / В. Ф. Асмус. — М. : Наука, 1956. — 318 с. 2. Асмус, В. Ф. Демокрит / В. Ф. Асмус. — М. : Наука, 1960. — 322 с. 3. Башмаков, И. Г. Становление алгебры / И. Г. Башмаков. — М. : Наука, 1979. — 408 с. 4. Башмакова, И. Р. Математика ХIX века / И. Р. Башмакова, Б. В. Гнеденко, А. П. Юшкевич. — М. : Наука, 1978. — 640 с. 5. Бернал, Д. Наука в истории общества / Д. Бернал. — М. : Издво иностранной литературы, 1956. — 400 с. 6. Беллюстин, В. К. Как постепенно люди дошли до настоящей арифметики / В. К. Беллюстин. — М. : Изд-во типографии К. Л. Меньшова, 1909. — 407 с. 7. Березкина, Э. Н. Математика древнего Китая / Э. Н. Березкина. — М. : Наука, 1980. — 360 с. 8. Белл Эрик. Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней / Эрик Белл. — М. : Центрополиграф, 2014. — 322 с. 9. Богомолов, Н. В. Очерки о российских педагогах-математиках / Н. В. Богомолов. — М. : Высшая школа, 2006. — 608 с. 10. Бородин, А. И. Биографический словарь деятелей в области математики / А. И. Бородин, А. С. Бугай. — Киев : Радянська школа, 1979. — 609 с. 11. Бобынин, В. В. Происхождение, развитие и современное состояние истории математики / В. В. Бобынин. — М. : Медиа, 2005. — 421 с. 12. Боголюбов, Н. Н. Советская математическая школа / Н. Н. Боголюбов, С. Н. Мергнлян. — М. : Знание, 1967. — 412 с. 13. Боев, Г. П. Лекции по истории математики / Г. П. Боев. — Саратов : Изд-во Саратовского университета, 1956. — 383 с. 14. Бурбаки, Н. Очерки по истории математики / Н. Бурбаки. — Иностранная литература, 1963. — 600 с. 15. Вайман, А. А. Шумеро-вавилонская математика III–I тысячелетия до нашей эры / А. А. Вайман. — М. : Изд-во восточной литературы, 1961. — 392 с. 16. Васильев, А. В. История математики в России / А. В. Васильев. — М. : Высшая школа, 2015. — 710 с. 17. Ван дер Варден, Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции / Б. Л. Ван дер Варден. — М. : Физматгиз, 1959. — 603 с. 72

18. Вавилов, С. И. Исаак Ньютон / С. И. Вавилов. — М. : Изд-во Ленинградского университета, 1945. — 273 с. 19. Володарский, А. И. Очерки истории средневековой индийской математики / А. И. Володарский — М. : Просвещение, 1977. — 301 с. 20. Володарский, А. И. Ариабхатта / А. И. Володарский. — М. : Просвещение, 1977. — 326 с. 21. Вилейнер, Г. И. История математики от Декарта до середины ХIХ столетия / Г. И. Вилейнер. — М. : Наука, 1978. — 532 с. 22. Веселовский, И. Н. Архимед / И. Н. Веселовский. — М. : Наука, 1957. — 246 с. 23. Выгодский, М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире / М. Я. Выгодский. — М. : Наука, 1967. — 414 с. 24. Гнеденко, Б. В. Очерки по истории математики в России / Б. В. Гнеденко. — М. : Гостехиздат, 1946. — 477 с. 25. Гнеденко, Б. В. Очерки по истории математики в России. 2-е изд. / Б. В. Гнеденко. — М. : УРСС, 2007. — 402 с. 26. Гутер, Р. С. От абака до компьютера / Р. С. Гутер, Ю. Л. Полунов. — М. : Просвещение, 1975. — 380 с. 27. Даниеман, М. Ф. История естествознания / М. Ф. Даниеман. — М. : Знание, 1932. — 443 с. 28. Даан-Дальмедико, А. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики / А. Даан-Дальмедико. — М. : Книга по требованию, 2012. — 470 с. 29. Делоне, Б. Н. Петербургская школа теории чисел / Б. Н. Делоне. — М. : Знание, 1947. — 447 с. 30. Добровольский, В. А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений / В. А. Добровольский. — М. : Высшая школа, 1974. — 308 с. 31. Депман, И. Я. Возникновение системы мер и способов измерения величин / И. Я. Депман. — М. : Учпедгиз, 1956. — 401 с. 32. Каган, В. Ф. Основания геометрии и учение об основаниях геометрии в ходе его исторического развития / В. Ф. Каган. — М. : Просвещение, 1949. — 382 с. 33. Клейн, Ф. Лекции о развитии математики в ХIХ столетии / Ф. Клейн. — М. : ОНТИ, 1937. — 402 с. 34. Кольман, Э. История математики в древности / Э. Кольман. — М. : Знание, 1961. — 324 с. 35. Колмогоров, А. Н. Математика в ее историческом развитии / А. Н. Колмогоров. — М. : Наука, 1991. — 413 с. 73

36. Колмогоров, А. Н. Математика ХIХ века. Геометрия. Теория аналитических функций / А. Н. Колмогоров, А. П. Юшкевич. — М. : Наука, 1981. — 613 с. 37. Курош, А. Г. Математика в СССР за тридцать лет 1917– 1947 гг. / А. Г. Курош, А. И. Маркушевич, П. К. Рашевский. — М. : ГИТЛ, 1948. — 712 с. 38. Кэджорг, Ф. История элементарной математики / Ф. Кэджорг. — М. : МЕДИА, 1996. — 501 с. 39. Лаптев, Б. Л. Геометрия Лобачевского, ее история и значение / Б. Л. Лаптев. — М. : Просвещение, 1976. — 401 с. 40. Лурье, С. Я. Архимед / С. Я. Лурье. — М. : Просвещение, 1945. — 127 с. 41. Майстров, Д. Е. Теория вероятностей. Исторический очерк / Д. Е. Майстров. — М. : Наука, 1967. — 417 с. 42. Марков, С. Н. Курс истории математики: учебное пособие / С. Н. Марков. — Иркутск : Иркутский университет, 1995. — 326 с. 43. Матвиевская, Г. П. История математики Средней Азии IХ– ХV вв. / Г. П. Матвиевская. — М. : Наука, 1962. — 621 с. 44. Матвиевская, Г. П. Учение о числе на средневековом Востоке / Г. П. Матвиевская. — М. : Наука, 1967. — 410 с. 45. Матвиевская, Г. П. Развитие учения о числе в Европе до XVIII века / Г. П. Матвиевская — М. : ФАН, 1971. — 412 с. 46. Медведев, Ф. А. Развитие теории множеств в ХIХ веке / Ф. А. Медведев. — М. : Наука, 1965. — 362 с. 47. Метельский, Н. В. Очерки истории методики математики / Н. В. Метельский. — Минск : Вышейшая школа, 1968. — 420 с. 48. Маркушевич, А. И. Очерки по истории аналитических функций / А. И. Маркушевич. — М. : ГИТТЛ, 1951. — 371 с. 49. Молодший, В. Н. Основы учения о числе в XVIII веке и начале ХIХ века / В. Н. Молодший. — М. : Учпедгиз, 1963. — 387 с. 50. Мышкис, А. Л. Советские математики: мои воспоминания / А. Л. Мышкис. — М. : ЛКИ, 2007. — 286 с. 51. Нейгебауэр, О. Точные науки в древности / О. Нейгебауэр. — М. : Изд-во иностранной литературы, 1968. — 408 с. 52. Нейгебауэр, О. Лекции по истории античных математических наук / О. Нейгебауэр. — М. : ОНТИ, 2015. — 710 с. 53. Полякова, Т. С. История математического образования в России / Т. С. Полякова. — М. : МГУ, 2002. — 410 с. 54. Попов, Г. Н. Культура точного знания в древнем Перу / Г. Н. Попов. — М. : Сиятель, 1923. — 372 с. 74

55. Прудников, В. Е. Русские педагоги-математики XVIII–ХIХ веков / В. Е. Прудников. — М. : Учпедгиз, 1956. — 437 с. 56. Раик, А. Е. Очерки по истории математики в древности / А. Е. Раик. — М. : МГУ, 1977. — 380 с. 57. Райнов, Т. Наука в России ХI–ХII вв. / Т. Райнов. — М. : АН СССР, 1940. — 607 с. 58. Рыбников, К. А. История математики. Т. 1. / К. А. Рыбников. — М. : МГУ, 1960. — 640 с. 59. Рыбников, К. А. История математики. Т. 2. / К. А. Рыбников. — М. : МГУ, 1977. — 542 с. 60. Стройк, Д. Д. Очерк истории дифференциальных уравнений до ХХ столетия / Д. Д. Стройк. — М. : Наука, 1941. — 381 с. 61. Стройк, Д. Д. Краткий очерк истории математики / Д. Д. Стройк. — М. : Наука, 2009. — 340 с. 62. Тихомиров, В. М. Великие математики прошлого и их великие теоремы / В. М. Тихомиров. — СПб. : ПИТЕР, 1999. — 401 с. 63. Фрид, Э. Малая математическая энциклопедия / Э. Фрид. — Будапешт : Академия Наук Венгрии, 1976. — 612 с. 64. Цейтен, Г. Г. История математики в XVI и XVII веках / Г. Г. Цейтен — М. : Просвещение, 1938. — 312 с. 65. Штокало, Н. З. История отечественной математики. Т. 1. / Н. З. Штокало. — Киев : Наукова Думка, 1966. — 517 с. 66. Штокало, Н. З. История отечественной математики. Т. 2 / Н. З. Штокало. — Киев : Наукова Думка, 1967. — 503 с. 67. Штокало, Н. З. История отечественной математики. Т. 3. / Н. З. Штокало. — Киев : Наукова Думка, 1968. — 482 с. 68. Юшкевич, А. П. История математики в Средние века / А. П. Юшкевич. — М. : Физматгиз, 1961. — 560 с. 69. Юшкевич, А. П. Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / А. П. Юшкевич. — М. : Просвещение, 1976. — 610 с. 70. Юшкевич, А. П. Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / А. П. Юшкевич. — М. : Просвещение, 1977. — 582 с. 71. Юшкевич, А. П. История математики в России до 1917 года / Л. П. Юшкевич. — М. : Наука, 1968. 72. Юшкевич, А. П. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Т. 1 / А. П. Юшкевич — М. : Наука, 1970. — 580 с.

75

73. Юшкевич, А. П. История математики с древнейших времен до начала ХIХ столетия. Т. 2 / А. П. Юшкевич — М. : Наука, 1970. — 546 с. 74. Юшкевич, А. П. История математики с древнейших времен до начала ХIХ столетия. Т. 3. / А. П. Юшкевич — М. : Наука,1971. — 604 с.

76

ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ ...................................................................................... 3 ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................. 4 ГЛАВА 1. ЗАРОЖДЕНИЕ МАТЕМАТИКИ ......................................... 6 1.1. Возникновение представления о форме предмета ...................... 6 1.2. Счет предметов .............................................................................. 6 1.3. Возникновение арифметики ......................................................... 7 1.4. Возникновение алгебры ................................................................ 8 1.5. Возникновение геометрии ............................................................ 8 ГЛАВА 2. ПЕРИОД ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ .................. 9 2.1. Элементарная математика VI–V вв. до н. э. — I в. до н. э. ........ 9 2.2. Период элементарной математики нашей эры (I–XV вв.)........ 10 ГЛАВА 3. ПЕРИОД МАТЕМАТИКИ ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН .............................................................................................. 18 ГЛАВА 4. ПЕРИОД МАТЕМАТИКИ ХX В. Н. Э. ............................. 25 4.1. Направления развития математики ............................................ 25 4.1.1. Новые направления ............................................................... 25 4.1.2. Старые направления ............................................................. 25 4.2. Выдающиеся математики ХX в. ................................................. 25 4.3. Основные достижения в математике ХX в. ............................... 30 4.3.1. Основания математики ......................................................... 30 4.3.2. Математическая логика ........................................................ 31 4.3.3. Алгебра .................................................................................. 33 4.3.4. Геометрия и топология ......................................................... 37 4.3.5. Функциональный анализ ...................................................... 40 4.3.6. Теория функций действительной переменной.................... 46 4.3.7. Теория функций комплексной переменной (ТФКП) .......... 48 4.3.8. Теория вероятностей............................................................. 51 4.3.9. Математическая статистика ................................................. 54 4.3.10. Дискретная математика ...................................................... 54 4.3.11. Математическая физика ..................................................... 55 ГЛАВА 5. МАТЕМАТИКА ХХI ВЕКА ............................................... 57 ГЛАВА 6. ПЛЕЯДА ВЫДАЮЩИХСЯ МАТЕМАТИКОВ В ОБЛАСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА ............................. 60 ЗАКЛЮЧЕНИЕ...................................................................................... 71 ЛИТЕРАТУРА ....................................................................................... 72

77

3. ГОРМОНАЛЬНЫЙ ПРОФИЛЬ И ХОЗЯЙСТВЕННЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ

3

Евгений Александрович ПАВЛОВ КРАТКАЯ ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ Учебное пособие Издание третье, стереотипное Редакция естественнонаучной литературы

ЛР № 065466 от 21.10.97 Гигиенический сертификат 78.01.10.953.П.1028 от 14.04.2016 г., выдан ЦГСЭН в СПб Издательство «ЛАНЬ» [email protected]; www.lanbook.com; 196105, СанктПетербург, пр. Юрия Гагарина, 1, лит. А. Тел.: (812) 4129272, 3362509. Бесплатный звонок по России: 88007004071

Подписано в печать 14.10.20. Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Формат 84×108 1/32. Печать офсетная. Усл. п. л. 5,04. Тираж 50 экз. Заказ № 126020. Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленного оригиналмакета в АО «Т8 Издательские Технологии». 109316, г. Москва, Волгоградский пр., д. 42, к. 5.