Семинары по физике частиц и атомного ядра

Table of contents :
Введение. Физика микромира
Квантовые свойства излучения и частиц
Модель атома Бора. Состояния в классической и квантовой физике. Квантовая статистика
Уравнение Шредингера
Фундаментальные взаимодействия. Лептоны
Кварки и адроны
Взаимодействие частиц. Законы сохранения
Распады адронов
Атомные ядра
Радиоактивность
Ядерные реакции
Деление атомных ядер
Нуклеосинтез
Симметрии Природы
Приложения
Атом водорода
Дейтрон

Citation preview

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ имени Д. В. СКОБЕЛЬЦЫНА

Б. С. Ишханов, М. Е. Степанов, Т. Ю. Третьякова

СЕМИНАРЫ ПО ФИЗИКЕ ЧАСТИЦ И АТОМНОГО ЯДРА

Москва 2016

УДК 539.1(075.8) ББК 22.38я73 И97 Рецензент – д. ф.-м. н. Л.А. Малов (Объединенный институт ядерных исследований, г. Дубна)

Ишханов Б.С., Степанов М.Е., Третьякова Т.Ю. И 97

Семинары по физике частиц и атомного ядра: Учебное пособие. — М.: НИИЯФ МГУ, 2016. — 292 с. ISBN

Учебное пособие для II – III курса бакалавриата «Семинары по физике частиц и атомного ядра» соответствует программе курса общей физики для университетов. Пособиепо содержит основные представления физики частиц и атомных ядер и задачи, позволяющие закрепить изучаемый материал. Изложенный материал может быть использован при проведении семинарских занятий и для самостоятельного обучения. Для студентов физических специальностей. В оформлении обложки использован фрагмент картины В. Ван Гога «Звездная ночь»

© МГУ имени М.В. Ломоносова, 2016 © НИИЯФ МГУ, 2016 © Ишханов Б.С., Степанов М.Е., Третьякова Т.Ю., 2016

ISBN

Оглавление Предисловие . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

4

.

.

.

.

.

6

.

.

.

24

Семинар 1.

Введение. Физика микромира

Семинар 2.

Квантовые свойства излучения и частиц

Семинар 3.

Модель атома Бора. Состояния в классической и квантовой физике. Квантовая статистика .

.

.

.

.

35

Семинар 4.

Уравнение Шредингера

.

.

.

.

52

Семинар 5.

Фундаментальные взаимодействия. Лептоны

.

.

68

Семинар 6.

Кварки и адроны

.

.

.

83

Семинар 7.

Взаимодействие частиц. Законы сохранения

.

.

96

Семинар 8.

Распады адронов

.

.

.

.

.

.

. 109

Семинар 9.

Атомные ядра .

.

.

.

.

.

.

. 119

Семинар 10.

Радиоактивность

.

.

.

.

.

.

. 141

Семинар 11.

Ядерные реакции

.

.

.

.

.

.

. 157

Семинар 12.

Деление атомных ядер

.

.

.

.

.

. 168

Семинар 13.

Нуклеосинтез .

.

.

.

.

.

.

. 177

Семинар 14.

Симметрии Природы

.

.

.

.

.

. 193

.

.

.

.

.

.

Приложение 1. Атом водорода

.

.

.

.

.

.

. 205

Приложение 2. Дейтрон

.

.

.

.

.

.

. 209

.

.

.

.

.

.

. 212

Приложение 4. Взаимодействие частиц с веществом .

.

.

. 219

Приложение 5. Детектирование излучения

.

.

. 227

.

. 238

.

Приложение 3. Ускорители

.

.

Приложение 5. Статистика регистрации частиц

.

Ответы к задачам .

.

.

.

.

.

.

.

.

. 241

Физические константы и единицы .

.

.

.

.

.

. 246

Таблица частиц .

.

.

.

.

.

.

.

.

. 248

Таблица ядер . .

.

.

.

.

.

.

.

.

. 264

Предисловие Учебник для младших курсов бакалавриата «Семинары по физике частиц и атомного ядра» соответствует разделу «Ядерная физика» курса общей физики физических факультетов университетов. На физическом факультете Московского государственного университета этот раздел курса общей физики изучается в третьем семестре до изучения курсов «Квантовая физика» и «Атомная физика». Как показал опыт, более раннее чтение этого курса, включающее знакомство студентов с современными представлениями о строении материи, способствует становлению собственного взгляда на развитие основополагающих научных идей, более глубокому пониманию как основ современной физики, так и основ классической физики. При составлении учебного пособия обобщен многолетний опыт чтения соответствующего курса лекций, проведения семинарских занятий и занятий в общем ядерном практикуме. Так как в этом разделе физики студенты впервые знакомятся с основами микроскопической структуры материи, изучение курса начинается с введения в экспериментальные методы исследований и с краткого знакомства с квантовыми свойствами частиц. Дальнейшее изложение материала построено на последовательном усложнении объектов микромира. В основе лежат основные положения Стандартной Модели. Студенты знакомятся с фундаментальными частицами – кварками и лептонами, и фундаментальными взаимодействиями между ними. Затем из кварков строится многообразие адронов, изучаются процессы взаимодействия частиц, их распады. На следующем этапе происходит переход к атомным ядрам, рассматриваются различные модели для описания ядерной структуры. Изучение радиоактивности, ядерных реакций, процесса деления атомных ядер позволяет показать все специфические особенности микромира, важные для осмысления положения человека в современном мире. Современная физика микромира позволяет не только описывать явления на масштабах меньше чем 10–13см, но и является основой понимания происхождения химических элементов и процессов, происходящих при рождении и эволюции Вселенной. Изучение курса «Частицы и атомные ядра» рассчитано на 16 лекций, такое же количество семинарских занятий и выполнение 4

работ в общем ядерном практикуме. Данное учебное пособие содержит подборку задач по основным разделам курса. Для более полного усвоения учебного материала в начале каждого раздела приведена краткая информация о лекционном материале, предшествующем семинарскому занятию. Предлагаемые задачи также могут быть использованы при проведении контрольных работ и тестировании знаний студентов. Для облегчения процесса самостоятельного изучения материала и подготовки к семинарским занятиям часть задач дана с подробно разобранным решением. В учебном пособии приведены справочные таблицы свойств атомных ядер и частиц и основные константы физики. При подготовке и написании книги многие наши коллеги высказали свое мнение, прочли отдельные главы или всю книгу целиком, сделали критические замечания, поделились интересными идеями и сообщили полезную информацию. Нам хочется особо отметить С.С. Белышева, В.В. Варламова, Е.В. Владимирову, Н.Г. Гончарову, В.К. Гришина, Е.В. Грызлову, И.М. Капитонова, А.А. Кузнецова, Э.И. Кэбина, Д.Е. Ланского, Л.Н. Смирнову, К.А. Стопани, Е.В. Широкова, М.В. Шубину и Д. С. Юрова.

5

Семинар 1. Введение. Физика микромира Во введении рассматриваются основные составляющие новой физики, возникшей на рубеже XIX и XX столетий: • Теория относительности, изменившая существующие в классической физике представления о пространстве и времени. • Квантовая теория, изменившая представление о структуре материи. Явление радиоактивности, открытие электрона, сложная структура атома, протон-нейтронная структура атомного ядра, открытие фундаментальных частиц и взаимодействий привели к формированию современных представлений об окружающем мире. • Открытия в области физики частиц, коренным образом повлиявшие на понимание процессов, происходящих во Вселенной. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10. 1.1.

Масштабы явлений в физике Упругое рассеяние α -частиц. Формула Резерфорда Сечение реакции Размер ядра Радиоактивность Преобразования Лоренца Эффект Доплера Системы отсчета Основные формулы релятивистской физики Система единиц Гаусса Задачи

Масштабы явлений в физике Диапазон временных интервалов во Вселенной

Возраст Вселенной

13,8 млрд. лет

Возраст Солнца

4,6 млрд. лет

Возраст Земли

4,5 млрд. лет

Появление жизни на Земле

~3,5 млрд. лет

Время прохождения светом расстояния Солнце–Земля

~5·102 с

Время прохождения светом расстояния 1 метр

3·10–9 с

Время прохождения светом расстояния, равного радиусу атома

~10–19 с

Время прохождения светом расстояния, равного радиусу атомного ядра

~10–24 с

6

Диапазон расстояний во Вселенной ~1010 св. лет

Видимая граница Вселенной Ближайшая галактика (Магеллановы облака)

163 000 св. лет

Диаметр галактики Млечный путь

100 000 св. лет

Ближайшая звезда Проксима Центавра

4·1018 см = 4,2 св. года

Расстояние Земля – Солнце (астрономические единицы)

1,5·1013 см

Радиус Солнца

6,9·1010 см

Радиус Земли

6,4·108 см

Радиус Луны

1,7·108 см

Радиус атома водорода

~0,5·10–8 см

Радиус атомного ядра водорода

~0,8·10–13 см

Размеры лептонов, кварков

λ0 ; ν < ν 0 . Если скорость системы S' направлена в противоположную сторону (наблюдатель приближается к источнику света), то знаки скорости (β) изменяются на противоположные: E ν λ0 1+ β = = = (1.25) . E0 ν 0 λ 1− β В данном случае наблюдается синее смещение: λ < λ0 . Поскольку в общем G JG случае преобразование Лоренца записывается как E = γ ( E0 − (υ p) / c 2 ) , то, в

14

отличие от классической физики, в релятивистском случае также наблюдается поперечный эффект Доплера: ν / ν 0 = γ . Из формул, соответствующих синему смещению, можно получить классическую формулировку эффекта Доплера, используя разложение в ν 1+ β β β = = (1 + + …)(1 + −…) = 1 + β + (O) . Тогда для относительряд: ν0 1− β 2 2 ного изменения частоты излучения: +ν / ν 0 = β = υ / c , что соответствует классической формулировке эффекта Доплера (без учета среды): ν = ν 0 (1 + υ / υ звук ). 8. Системы отсчета

Рассмотрим двухчастичный процесс a + b → c J+G d . 4-х импульсы JG сталкивающихся частиц Pa = ( Ea / c, p a ) и Pb = ( Eb / c, p b ) соответственно. При описании взаимодействий частиц и атомных ядер, как и в классической физике, обычно используются две системы отсчета: система покоя мишени и система центра инерции (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Определение некоторых систем отсчета

1. Система покоя мишени – система, в которой частица b (мишень) покоится, pb = 0, Eb = mbc 2 . Обычно под лабораторной системой (ЛС) отсчета подразумевается система покоя мишени. В данной системе s-инвариант: s = ma2 + mb2 + 2 Ea mb / c 2 . (1.26) Энергия налетающей частицы, выраженная через s-инвариант: s − (ma ) 2 − (mb ) 2 2 Ea = c (1.27) 2mb JJG JJG 2. Система центра инерции (СЦИ) – система, в которой pa* + pb* = 0 (величины в СЦИ в дальнейшем будут отмечаться звездочкой). s-инвариант в СЦИ: s = ( P1 + P2 ) 2 / c 2 = ( Ea* + Eb* ) 2 / c 4 ⇒ s = ( Ea* + Eb* ) / c 2 (1.28) В экспериментах физики высоких энергий часто используется система встречных пучков – система, в которой частицы равной массы и равных по абсолютной величине импульсов сталкиваются под углом ( π − θ ). При θ = 0 система встречных пучков совпадает с СЦИ. 1.9. Основные формулы релятивистской физики

Универсальность законов сохранения приводит к необходимости установить для релятивистской кинематики такие уравнения, которые

15

удовлетворяли бы законам сохранения энергии и импульса и были инвариантны относительно преобразований Лоренца: 1. E = m 2c 4 + p 2c 2 = γ mc 2 = mc 2 + T , E – полная энергия частицы, m – масса частицы, сJG– скорость света в вакууме, G p = γ mυ – релятивистский импульс частицы, G −1/2 β = υ / c , γ = (1 − β 2 ) – Лоренц-фактор, υ – скорость частицы,

T = mc 2 ( γ − 1) – релятивистская кинетическая энергия частицы.

2. p 2c 2 = T (2mc 2 + T ) . 3. τ = γτ 0 – релятивистское замедление времени, τ 0 – время жизни частицы в состоянии покоя,

G

τ – время жизни частицы, движущейся со скоростью υ . 4. l =

l0

γ

– релятивистское сокращение длины,

5. E 2 − p 2c 2 = inv , E – полная энергия частицы или системы частиц, p – импульс частицы или суммарный импульс системы частиц. 6. Энергия налетающих частиц Е в ускорителе с неподвижной мишенью, эквивалентном коллайдеру с пучками частиц массы m и энергии E*,: 2( E*) 2 E= − mc 2 . (1.29) 2 mc 7. Порог реакции. Если на неподвижной мишени b под действием налетающих частиц a происходит реакция a + b → c + d + ... и энергия реакции (изменение суммарной массы частиц) Q = ( ∑ mi −∑ m f ) c 2 < 0 , то минимальная кинетическая энергия частицы а (пороговая энергия реакции Ta), необходимая для осуществления такой реакции

(∑ m ) − (∑ m ) = 2

Ta

f

i

2mb

2

⎛ m |Q| ⎞ ⋅ c 2 =| Q | ⎜1 + a + 2 ⎟ ⎝ mb 2mb c ⎠

(1.30)

1.10. Система единиц Гаусса

При решении задач будет использоваться система единиц Гаусса, в которой основными единицами являются сантиметр, грамм и секунда. В данной системе диэлектрическая и магнитная проницаемости являются безразмерными величинами, причём для вакуума они приняты равными единице. В качестве единицы измерения энергии используется внесистемная единица 1 эВ (электрон-Вольт) – энергия, приобретаемая электроном при прохождении разности потенциалов в 1 Вольт. 16

Время

1с

Энергия, масса

1 эВ (электрон-Вольт) = 1,6 ⋅ 10−12 эрг = = 1,6 ⋅ 10−19 Дж. 1 эВ =10–3 кэВ = 10–6 МэВ =10–9 ГэВ = = 10–12 ТэВ

E = mc 2 Энергия покоя

электрона 0,511 МэВ протона 938,3 МэВ нейтрона 939,6 МэВ 1 Фм (ферми) = 10−13 см

Длина

1 Å (ангстрем) = 10–8 см Скорость света в вакууме

c = 3 ⋅ 1010 см·с–1

Заряд электрона

e = 4,8 ⋅ 10−10 ед. СГС

Приведенная постоянная Планка

= = h / 2π = 6,58 ⋅ 10−22 МэВ·с

Константы

e2 1 =c = 197 МэВ·фм; α = = =c 137

Задачи 1.1

α-частица (ядро 42 He ; Zα = 2 ) с кинетической энергией T = 5 МэВ испытывает лобовое столкновение с ядром золота ( 197 79 Au ; Z я = 79 ). Рассчитать расстояние максимального сближения α-частицы с ядром золота.

На расстоянии максимального сближения α-частицы с ядром ее кинетическая энергия полностью превращается в потенциальную энергию кулоновского отталкивания Z eZ e T= α я . R

Zα Z я e 2 2 ⋅ 79 ⋅ (4,8 ⋅10−10 ед.СГСЕ) 2 Откуда = = 4,5⋅10−12 см. R= 6 −12 T 5 ⋅10 эВ ⋅1,6 ⋅10 эрг/эВ Вариант расчета с использованием констант =c и e 2 / =c : Zα Z я e 2 Zα Z я e 2 =c 2 ⋅ 79 ⋅ 197 МэВ ⋅ Фм = = = 45 Фм = 4,5⋅10−12 см. R= T T ⋅ =c 5 МэВ ⋅ 137 1.2

Протон с кинетической энергией Т = 2 МэВ налетает на неподвижное ядро золота 197 79 Au . Определить дифференциальное сечение 17

рассеяния dσ / d Ω на угол θ = 60°. Как изменится величина дифференциального сечения рассеяния, если в качестве рассеивающего ядра выбрать алюминий 27 13 Al ? Дифференциальное сечение рассеяния на угол θ определяется формулой Резерфорда, в которой заряд α-частицы Zα = 2 надо заменить на заряд протона Zр = 1, а в качестве Zя использовать заряд ядра золота Z Au = 79. В итоге для рассеяния протонов на ядре золота имеем 2

2 2 2 ⎞ ⎛ ⎛ 1 ⋅ 79 ⋅ 197 МэВ ⋅ Фм ⎞ 4 1 d σ ⎜ Z p Z я e ⎟ ⎛ =с ⎞ = =⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 2 = d Ω ⎜ 4T ⎟ ⎝ =с ⎠ sin 4 (θ / 2) ⎝ 4 ⋅ 2 МэВ ⋅ 137 ⎠ ⎝ ⎠ = 3,2⋅103 Фм2/ср = 32 барн/ср, где использована единица сечения 1 барн = 100 Фм2= 10−24 см2. Из формулы Резерфорда следует, что отношение дифференциальных на 27 определяется сечений рассеяния при замене ядра 197 79 Au 13 Al отношением квадратов зарядов этих ядер: 2 Z Au 792 ⎛ dσ ⎞ ⎛ dσ ⎞ = = = 37 , R=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ d Ω ⎠ Au ⎝ d Ω ⎠Al Z Al 13 т. е. при одинаковых условиях сечение рассеяния на ядре золота будет в 37 раз больше, чем на ядре алюминия.

1.3

Частица массы ma налетает на покоящуюся частицу массы mb. В результате реакции в конечном состоянии образуется n частиц с массами m’1,…m’n . Определить энергию и порог реакции.

Обозначим суммарную массу взаимодействующих частиц ma + mb = ∑ i mi (индекс i соответствует начальному состоянию (initial)), суммарную массу образовавшихся частиц m '1 + m '2 + ...m 'n = ∑ f m f (индекс f обозначает конечное состояние (final)). Энергия реакции Q соответствует изменению суммарной массы частиц: (1.31) Q = (∑ i mi − ∑ f m f )c 2 . Пороговая энергия реакции – это дополнительная кинетическая энергия, необходимая для осуществления эндотермической реакции (Q < 0). Данное значение энергии соответствует предельному случаю, когда продукты реакции в СЦИ образуются с нулевыми импульсами и s-инвариант в конечном состоянии равен квадрату суммы масс конечных продуктов: В начальном состоянии в СЦИ s = (∑ f Pf* ) 2 / c 2 = (∑ f m f ) 2 . s = (∑ i Pi * ) 2 / c 2 = ( Ea* + Eb* ) 2 / c 4 . Следовательно, необходимая суммарная

энергия сталкивающихся частиц должна быть Ea* + Eb* = ∑ f m f c 2 . Пороговая кинетическая энергия в СЦИ: 18

Ta* + Tb* = ∑ m f c 2 − ∑ mi c 2 =| Q | . В лабораторной системе отсчета частица-мишень покоится: G 2 | pb |= 0, Eb = mbc . Соответственно, s-инвариант в лабораторной системе в начальном состоянии равен: G G s = ( Pa + Pb ) 2 / c 2 = ( Ea / c 2 + Eb / c 2 ) 2 − ( pa / c − pb / c) 2 = ma2 + mb2 − 2 Ea mb / c 2 . Приравнивая s в начальном и конечном состояниях, получаем: (∑ f m f ) 2 − ma2 − mb2 2 Ea = c , (1.32) 2mb

Ta = Ea − ma c 2 =

(

∑ f mf

) ( 2

−

∑ i mi

)

2

c2 .

2mb Раскладывая разность квадратов и выделяя Q, получим (1.30):

(1.33)

⎛ m |Q| ⎞ . Ta =| Q | ⎜1 + a + 2 ⎟ m 2 m c b b ⎝ ⎠ Значение пороговой энергии реакции в лабораторной системе всегда больше соответствующего значения в системе центра инерции. Их разность определяет ту часть энергии, которая идет на движение центра инерции в лабораторной системе. 1.4

Получить выражение для энергий двухчастичного распада X → A + B релятивистском случае в СЦИ.

и импульсов через массы

продуктов частиц в

В СЦИ распадающаяся частица X покоится, ее энергия E X = mX c 2 , импульсы продуктов распада равны по величине и противоположны по направлению. Законы сохранения энергии и импульса: ⎧ E A + EB = m X c 2 ⎨ G G = | pB | ⎩ | pA | Учитывая, что ( pc) 2 = E 2 − (mc 2 ) 2 и подставляя выражение EB через EA во второе уравнение, получим: E A2 − (mAc 2 ) 2 = (mX c 2 − E A ) 2 − (mB c 2 ) 2 . Отсюда для частицы A: m 2 − mB2 + mA2 2 EA = X c , (1.35) 2mX ⎛m (mX − mA + mB )(mX − mA − mB ) 2 Q ⎞ . c = Q⎜ B + 2 ⎟ 2m X ⎝ m X 2m X c ⎠ Выражения для частицы B получаются перестановкой соответствующих индексов. TA =

19

Полезно выписать выражения для энергий продуктов распада в некоторых частных случаях: а) распад на частицы равной массы mA = mB. TA =

mX (mX − mA − mB ) 2 Q c = ; 2mX 2

(1.36)

б) образование безмассовой частицы mA = 0. mX2 − mB2 2 ( m X − mB ) 2 2 Q2 EA = c , TB = c = ; 2m X 2m X 2m X c 2

(1.37)

в) нерелятивистский случай: Q  mX c 2 , mX ≈ mA + mB TA = Q

mX − mA + mB mB =Q . 2m X mA + mB

(1.38)

1.5

Рассчитайте кинетические энергии Tα α -частиц и ядер 222 Rn , образующихся при распаде 226 Ra → 222 Rn + α . ( m(Rn) = 206 764,10 МэВ/c2, m(Rа) = 210 496,35 МэВ/c2, m(α ) = 3 727,38 МэВ/c2.)

1.6

Рассчитайте дифференциальные сечения рассеяния α -частицы с кинетической энергией 10 МэВ 1) на ядре кальция 40 20 Ca на угол 60°, 63 2) на ядре меди 29 Cu на угол 90°, 3) на ядре молибдена 96 42 Mo на угол 120°, 79 4) на ядре серебра 47 Ag на угол 180°.

1.7

α -частицы с кинетической энергией 10 МэВ рассеиваются на ядре

золота 197 79 Au . Рассчитайте отношение сечений рассеяния W под углами 6° и 180°. 1.8

Рассчитайте расстояния максимального сближения R 1) α -частицы с кинетической энергией 5 МэВ с ядром лития 73 Li , 2) α -частицы с кинетической энергией 10 МэВ с ядром 40 20 Ca , 3) протона с кинетической энергией 7 МэВ с ядром золота 197 79 Au , 4) α -частицы с кинетической энергией 5 МэВ с ядром свинца 208 82 Pb .

1.9

Пучок α-частиц с кинетической энергией Т α = 5 МэВ падает перпендикулярно на тонкую мишень из серебра плотностью 1 мг/см2. α-частицы, рассеянные под углом 60°, регистрируются детектором площадью 1 см2, расположенном на расстоянии 20 см от

20

мишени. Какая доля от полного числа рассеянных α-частиц ∆N / N будет зарегистрирована детектором? 1.10

В ходе эксперимента медная фольга (Z = 29, Mmol = 63,55 г/моль) толщиной 2 мг/см2 облучается пучком α-частиц с с кинетической энергией Т α = 5 МэВ и интенсивностью 105 частиц в секунду. Сколько α-частиц в минуту ∆N будет регистрировать детектор площадью 1 см2, расположенный на расстоянии 10 см от мишени под следующими углами к направлению падающего пучка: 1) 30°, 2) 90°, 3) 120°?

1.11

Почему из экспериментов по упругому рассеянию α-частиц следовало, что в атоме расположено положительно заряженное атомное ядро размером < 5·10–12 см? Почему полученные результаты нельзя было объяснить на основании модели Томсона?

1.12

Во сколько раз число распадов ядер радиоактивного изотопа йода 131 53 I в течение первых суток N1 больше числа распадов в течение вторых суток Период полураспада изотопа 131 N2 ? 53 I T1 2 ( 131 53 I) = 193 часа.

1.13

Пучок π+-мезонов движется со скоростью υ = 0,9c. Среднее время жизни π+-мезонов составляет τ 0 = 2,6·10–8 с. Какое расстояние Lπ в среднем они пройдут до своего распада?

1.14

На каком расстоянии L интенсивность пучка мюонов с кинетической энергией T = 0,5 ГэВ, движущихся в вакууме, уменьшается до половины первоначального значения? m(µ )=105,66 МэВ , τ (µ )=2,197 ⋅ 10−6 сек.

1.15

Полная энергия электрона составляет 2,5 МэВ. Определите его импульс p и скорость υ в лабораторной системе отсчета.

1.16

Частица ускоряется разностью потенциалов 107 В. Рассчитайте фактор γ, скорость υ, импульс p и полную энергию E для 1) электрона 2) протона.

1.17

Какую энергию Te надо затратить, чтобы электрон достиг скорости а) 0,5 c, б) 0,9 c, в) 0,99 c? Какая энергия Tp необходима, чтобы протон достиг тех же скоростей?

1.18

Какую энергию надо затратить, чтобы увеличить скорость протона а) от 0,20 c до 0,21 c, б) от 0,80 c до 0,81 c, в) от 0,90 c до 0,91 c, г) от 0,98 c до 0,99 c.

1.19

Полная энергия частицы в два раза больше ее энергии покоя. Рассчитайте отношение υ/c для этой частицы и определите ее импульс. 21

1.20

Определите массу частицы если известно, что ее импульс равен 500 МэВ/c, а энергия – 1746 МэВ.

1.21

Рассчитайте скорость уменьшения массы Солнца, если известно, что плотность лучистой энергии Солнца на Земле в среднем равна 1,37·103 Вт/м2.

1.22

Энергия связи электрона в атоме водорода составляет 13,6 эВ. Насколько масса атома водорода меньше суммы масс электрона и протона?

1.23

Энергия связи дейтрона (система, состоящая из протона и нейтрона) составляет 2,224 МэВ. Насколько масса ядра дейтрона меньше суммы масс составляющих его нуклонов?

1.24

Энергия, выделяющаяся при делении одного ядра 235U, составляет ~200 МэВ. Какое количество массы ядра урана превращается в энергию?

1.25

Какой должна быть относительная скорость υ двух наблюдателей, чтобы измеряемые ими интервалы времени различались на 5 %?

1.26

На какое время ∆t разойдутся показания часов земного наблюдателя и наблюдателя на спутнике Земли с периодом обращения 90 мин через 5 лет?

1.27

Используя разложение в ряд, получите следующие формулы для приближенного вычисления релятивистских поправок в случае 1 υ2 1 1 υ2 1 1 υ2 υ kT . 3 c ⎝ kT ⎠

Рис. 2.1. Распределение энергии в спектре теплового излучения абсолютно черного тела.

Через пять лет А. Эйнштейн, обобщив идею Планка, показал, что квантованность является общим свойством электромагнитного излучения. Согласно идеям Эйнштейна электромагнитное излучение состоит из квантов, названных позднее фотонами. Каждый фотон имеет определенную энергию G E и импульс р : 25

G G Е = =ω = hν , р = =n /  , ω = 2πν (2.3) G где  и ω − приведенная длина волны и частота фотона, n − единичный вектор в направлении распространения волны. ω = 2πν . (2.4)  = λ / 2π , Необходимо помнить, что истинной длиной волны является λ, а не  .

2.2. Фотоэффект

Фотоэффект был открыт Г. Герцем в 1887 г. и подробно исследован А.Г. Столетовым. При облучении металлической поверхности светом из неё вылетают электроны. Было установлено, что энергии вылетающих электронов не зависят от интенсивности излучения и определяются только его частотой. Кинетическая энергия электрона Te, вылетающего из металла под действием фотона с энергией =ω ћω = Aвых + Te, (2.5) где Aвых – работа выхода металла. Эта формула была написана Эйнштейном в 1905 г. Представления о квантовании электромагнитного излучения позволили объяснить закономерности фотоэффекта. 2.2. Эффект Комптона

На основе квантовой теории А. Комптоном было объяснено явление упругого рассеяния электромагнитного излучения на свободных электронах, сопровождающееся увеличением длины волны излучения (эффект Комптона). Из законов сохранения энергии и импульса следует формула Комптона изменения длины волны фотона ∆λ, рассеянного под углом θ, ∆λ = λ′ −

λ = λ0 (1 − cosθ),

(2.6) где λ и λ′ − соответственно длины волн падающего и рассеянного фотона, λ0 = h / ( me c ) = 2,4⋅10−10 см = 0,024 Å − комптоновская длина волны электрона. Изменение длины волны фотона ∆λ не зависит от длины волны падающего фотона. Оно определяется только углом рассеяния фотона θ. При комптоновском рассеянии увеличивается длина волны фотона, т. е. уменьшается его частота. Это уменьшение частоты, очевидное с точки зрения корпускулярной теории (уменьшение энергии фотона происходит за счёт передачи части энергии электрону отдачи), не удавалось объяснить в классической электродинамике, где частота света при рассеянии не должна изменяться. 2.4. Корпускулярно-волновой дуализм

Важным этапом в становлении современного понимания структуры материи стала выдвинутая де Бройлем в 1924 г. гипотеза об универсальности корпускулярно-волнового дуализма. Согласно этой гипотезе не только фотоны, но и любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают также и волновыми свойствами. Де Бройль предположил, что каждой частице, движущейся с импульсом р, следует приписать определённую − дебройлевскую длину волны. 26

Рис. 2.2. Спектры рассеянного излучения для трех углов рассеяния. Абсцисса пропорциональна длине волны излучения, ордината – интенсивности излучения. а) Спектр падающего излучения; б) – г) спектры рассеянного на графите излучения. Пики слева на всех графиках отвечают фотонам с исходной длиной волны λ, которые рассеиваются на связанных электронах с эффективной массой, равной массе атома. Максимумы справа имеют длину волны λ’, соответствующую формуле Комптона.

Эффект Комптона Упругое рассеяние фотона на электроне. Законы сохранения энергии и импульса: Eγ + E 0 = Eγ′ + Ee ,

G G G pγ = p 'γ + pe ,

Eγ = hc / λ − энергия налетающего фотона, E0 = mec 2 = 0,511 МэВ − энергия покоя электрона, Eγ′ = hc / λ ′ − энергия рассеянного фотона, E e − энергия электрона отдачи, pγ = h / λ − величина импульса налетающего фотона, p 'γ = h / λ ′ − величина импульса рассеянного фотона, pe − величина импульса электрона отдачи, θ − угол рассеяния фотона,

⎛ ctg (θ / 2 ) ⎞ ϕ − угол рассеяния электрона отдачи ⎜ tgϕ = , 2 ⎟ ⎜ ⎟ E m c 1 / ( ) + γ е ⎝ ⎠ ∆λ = λ ′ − λ = λ0 (1 − cos θ ) , λ0 = h / ( mec ) = 0,024 Å – комптоновская длина волны электрона 27

Соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц те же, что были установлены ранее для фотонов Е = ћω, р = =k = = /  . (2.7) Опытами, подтвердившими идею корпускулярно-волнового дуализма, были опыты по дифракции электронов на монокристаллах. 2.5. Дифракция электронов

В 1927 г. Дж. Томсон исследовал прохождение электронов с энергией от 10 до 40 кэВ через тонкую металлическую фольгу и наблюдал дифракционную картину, аналогичную дифракционной картине фотонов соответствующих энергий.

Рис. 2.3. Опыт Томсона. а) Схема установки для наблюдения дифракции на поликристаллической алюминиевой мишени. б) Дифракционная картина, полученная при рассеянии рентгеновских лучей λ = 0,071 нм. в) Дифракционная картина, полученная при рассеянии электронов с энергией 600 эВ (увеличена в 1,6 раза для сравнения с б)).

Дифракционная картина наблюдалась в опытах К. Дэвиссона и Л. Джермера (1927 г.) по изучению отражения электронов от монокристалла никеля. Дифракция появлялась в результате рассеяния электронов на атомах, расположенных в узлах кристаллической решетки. Позднее наблюдалась дифракция нейтронов и других частиц. Метод дифракции частиц в настоящее время широко используется при изучении строения и свойств вещества. Атомные ядра имеют характерные размеры ~ 10–12 см. Поэтому рассеяние частиц с длиной волны де Бройля λ < 10–12 см позволяет исследовать атомные ядра. Наиболее точные измерения размеров ядер были выполнены при рассеянии электронов и протонов высоких энергий. Длина волны λ частицы зависит от ее массы m и кинетической энергии T: hc λ= (2.8) 2Tmc 2 + T 2 28

2.6. Принцип неопределенности Гейзенберга

Экспериментальное подтверждение идеи корпускулярно-волнового дуализма привело к пересмотру привычных представлений о движении частиц и способа описания частиц. Для классических материальных точек характерно движение по определенным траекториям, так, что их координаты и импульсы в любой момент времени точно определены. Для квантовых частиц это утверждение неприемлемо, так как для квантовой частицы импульс частицы связан с ее длиной волны, а говорить о длине волны в данной точке пространства бессмысленно. Для квантовой частицы нельзя одновременно точно определить значения ее координат и импульса. Неопределенность в значении координаты частицы ∆x и неопределенность в значении компоненты импульса частицы ∆рx связаны соотношением неопределенностей, установленным В. Гейзенбергом в 1927 году ∆x⋅∆рx ≥ = .

(2.9)

Физический смысл соотношения неопределенностей (принципа неопределенности) состоит в том, что невозможно одновременно точно G определить положение частицы (x,y,z) и её импульс р( p x , p y , p z ) − произведение неточностей в их определении всегда равно или больше = . Принцип неопределенности отражает волновые свойства частиц. Из принципа неопределенности следует, что в области квантовых явлений неправомерна постановка некоторых вопросов, вполне естественных для классической физики. В частности, не имеет смысла говорить о движении частицы по определенной траектории. Необходим принципиально новый подход к описанию физических систем. Не все физические величины, характеризующие систему, могут быть измерены одновременно. Так, если время жизни некоторого состояния равно ∆t, то неопределенность величины энергии этого состояния ∆E не может быть меньше = /∆t, т. е. ∆E ⋅∆t ≥ = .

(2.10)

Энергию ∆E называют шириной Γ уровня возбужденного состояния. Для атомного ядра или частицы, имеющей конечное время жизни τ, неопре= деленность в энергии ∆Е = Γ ≈ . Измеряя величину Γ, можно рассчитать

τ

среднее время жизни возбужденного состояния. Важным следствием принципа неопределенности является то, что частица массы m, заключенная в конечном объеме L, не может иметь нулевую кинетическую энергию: =2 T≥ . 2mL2

29

Задачи. 2.1

Пластинка серебра облучается светом с приведенной длиной волны  = 160 Å. Работа выхода для серебра Авых = 4,7 эВ. Определить кинетическую энергию вылетающего электрона. =c − Авых = 12,4 эВ − 4,7 эВ = 7,7 эВ.  Фотон с длиной волны λ = 0,024 Å рассеивается на покоящемся электроне под углом θ = 60о. Рассчитать длину волны рассеянного фотона. Te = ћω − Авых =

2.2

Изменение длины волны рассеянного фотона ∆λ = λ′ − λ = λ0 (1 − сosθ) = 0,024(1− 0,5) Å = 0,012 Å.

Длина волны рассеянного фотона λ′ = λ + ∆λ = 0,036 Å. 2.3

Рассчитать приведенные длины волн  протона и электрона с кинетической энергией T = 100 МэВ.

Протон нерелятивистский ( Tp  m p c 2 ). В этом случае

=

= = =c ≈ = ( = c = 197 МэВ⋅Фм ≈ 200 МэВ⋅Фм), p 2m pTp 2m p c 2Tp

p =

200 МэВ ⋅ Фм ≈ 0,5 Фм = 0,5 ⋅ 10−13 см . 2 ⋅ 938.3 МэВ ⋅ 100 МэВ

Электрон релятивистский ( Ee ≈ Te > mec 2 ). В этом случае

e = 2.4

Приведенная длина импульс фотона p. р=

2.5

=c =c 200 МэВ ⋅ Фм = ≈ = 2 Фм = 2 ⋅ 10 −13 см . pe c Ee 100 МэВ волны

фотона

 = 3⋅10−11 см.

Вычислить

= =c 200 МэВ ⋅ Фм = 0,66 МэВ c . = ≈ 300 Фм ⋅ c  c

Определите ширину уровня возбужденного состояния ядра, если время жизни τ ядра в данном состоянии составляет 6,7⋅10−10 с.

Возбуждённое состояние ядра − это такое состояние, в котором оно имеет энергию больше, чем в основном состоянии, когда его энергия минимальна. Неопределенность в энергии ∆E уровня возбужденного состояния можно рассчитать, используя в соотношении неопределенностей Гейзенберга в качестве ∆ t время жизни ядра в возбужденном состоянии. Тогда ∆E ≈ = / τ = 6,6 ⋅ 10−16 эВ ⋅ с/6,7 ⋅ 10−10 с ≈ 10−6 эВ . 30

2.6

Доказать невозможность в вакууме: а) распада фотона на электрон-позитронную пару; б) излучения фотона свободным электроном.

а) γ → e+ + e− . Обозначим энергии электрона и позитрона в СЦИ соответственно E– и E+. Тогда в начальном состоянии s = 0, в конечном: s = ( E + + E − ) 2 / c 4 ≥ 4me2 > 0 . Следовательно, данная реакция запрещена. Также невозможна и обратная реакция – однофотонная аннигиляция e+ + e− → γ . б) e− → e− + γ . Приравняем s-инвариант в СЦМ в начальном и конечном состояниях: me2 = ( Ee + Eγ ) 2 / c 4 . Поскольку Ee ≥ mec 2 , то данное равенство выполняется только при Eγ = 0. Данный процесс возможен при наличии внешнего электромагнитного поля, в котором электрон, ускоряясь, излучает фотоны. Соответственно и обратный процесс поглощения фотона γ + e− → e− запрещен для свободного электрона и может происходить, например, в кулоновском поле ядра. 2.7

Получите зависимость длины волны рассеянного γ-кванта от угла рассеяния при рассеянии фотона на неподвижном электроне (эффект Комптона). Из закона сохранения 4-импульса и сохранения s-инварианта: Pγ′ + Pe′ = ⎧ Pγ + Pe ⎨ 2 2 ⎩( Pγ + Pe ) = ( Pγ′ + Pe′)

С учетом того, что Pγ2 = P 'γ2 = 0 , а Pe2 = P 'e2 = me2c 2 ⎧ Pe′ = Pγ + Pe − Pγ′ ⎨ ⎩ Pγ Pe = Pγ′( Pγ + Pe ) При рассеянии фотона на неподвижном электроне γ + e → γ + e лабораторная система отсчета связана с электроном (мишенью). Подставляя 4-импульсы частиц: Pγ = ( Eγ / c, Eγ / c,0,0), Pe = (me c,0,0,0), Pγ′ = ( Eγ′ / c, Eγ′ cosθ / c, Eγ′ sin θ / c,0), во второе уравнение системы, получим: Eγ mec 2 = Eγ′ ( Eγ + mec 2 ) − Eγ′ Eγ cosθ .

С учетом соотношения Eγ = 2π =c / λ отсюда получим выражение для изменения длины волны рентгеновских лучей, рассеянных под углом θ : λ − λ ′ = 2λ0 sin 2 (θ / 2) = λ0 (1 − cosθ ) , где λ0 = 2π = / mec = 2, 42·10−10 см – комптоновская длина волны электрона. 31

2.8

Определить энергию фотонов, рассеянных назад при столкновении релятивистских электронов Ee  mec 2 с лазерными фотонами Eγ ~ 1 эВ (обратный Комптон-эффект). При рассеянии γ + e → γ + e законы сохранения 4-импульса и энергии: ⎧ Pe′ = Pγ + Pe − Pγ′ . ⎨ ⎩ Pγ Pe = Pγ′( Pγ + Pe )

Направим ось Х по направлению начального импульса электрона. Тогда для «рассеяния назад» угол рассеяния фотона θ = 0 : Pγ = ( Eγ / c, − Eγ / c,0,0), Pe = ( Ee / c, pe ,0,0), Pγ′ = ( Eγ′ / c, Eγ′ / c,0,0). Учитывая, что для ультрарелятивистского электрона Ee + pec ≈ 2 Ee и Ee − pec ≈

me2c 4 , получим: 2 Ee Eγ ( Ee + pec) = Eγ′ (2 Eγ + Ee − pec) 4 Eγ Ee E 'γ ≈ Ee . 4 Eγ Ee + me2c 4

2.9

Реликтовое фоновое излучение описывается распределением Планка с температурой 2,7 К. Какая длина волны λ соответствует максимуму спектра реликтового фонового излучения?

2.10

Работа выхода для цезия Cs равна 1,8 эВ. Определить пороговую длину волны λ и пороговую частоту ν фотоэффекта. Определить величину запирающего потенциала U, если длина волны падающего света равна 1) 3000 Å, 2) 4000 Å.

2.11

Работа выхода для молибдена Mo равна 4,22 эВ. • Какова пороговая частота фотоэффекта ν для Mo? • Может ли жёлтый цвет с длиной волны λ = 500 0 Å привести к выбиванию фотоэлектронов из молибдена?

2.12

Максимальная длина волны, при которой происходит эмиссия фотоэлектронов из цезия Cs равна 6530 Å. • Чему равна работа выхода Aвых для цезия? • Какую энергию Te будут иметь выбиваемые электроны при облучении цезия светом с длиной волны 3000 Å?

2.13

Определите импульс фотона p в эВ/с, если его длина волны равна 1) 4000 Å, 2) 1 Å, 3) 3 см.

2.14

Длина волны фотонов λ, испытавших комптоновское рассеяние, измеряется под углом θ = 90° . Какова длина волны падающих фотонов, если ∆λ / λ = 1% ? 32

2.15

Длина волны фотона λ = 0,71 Å. • Какова энергия фотонов? • Какова длина волны фотонов, рассеянных на 180°? • Какова энергия электронов отдачи, если угол рассеяния θ = 180° ?

2.16

Показать, что максимальная кинетическая энергия Tк электрона отдачи в случае эффекта Комптона определяется соотношением hν Tк = . 1 + mc 2 / (2hν )

2.17

Какой должна быть кинетическая энергия электронов, чтобы с их помощью исследовать структуру 1) атома, 2) атомного ядра, 3) нуклона?

2.18

Вычислите длину волны де Бройля электрона с кинетической энергией 1) 10 эВ, 2) 10 кэВ, 3) 1 МэВ, 4) 1 ГэВ.

2.19

Возбужденное состояние атома распадается с испусканием фотона за время τ ≈ 10−8 с после возбуждения. Какова неопределенность энергии и частоты испускаемого фотона?

2.20

Определите длины волн де Бройля нейтрона с кинетической энергией 1) 0,01 эВ, 2) 1 эВ, 3) 10 МэВ.

2.21

Длина волны де Бройля электрона в электронном микроскопе составляет 0,04 нм. Определите величину ускоряющего напряжения микроскопа. 1 нм = 10 Å = 10–9 м.

2.22

Вычислите длины волн де Бройля электрона, протона и α -частицы, кинетическая энергия которых составляет 1) 100 кэВ, 2) 1 ГэВ.

2.23

Вычислите комптоновские длины волн электрона, протона и α -частицы.

2.24

Энергия возбужденного состояния ядра Eвозб = 10 МэВ определена с точностью 10−2 эВ. Каково время жизни этого состояния?

2.25

Электрон и позитрон, движущиеся навстречу друг другу со скоростями равными 5 ⋅ 107 см/сек, аннигилируют с образованием двух фотонов. Какова была длина волны электрона λ − и позитрона λ + до столкновения? Рассчитайте энергию Eγ , импульс pγ и длину волны λγ образовавшихся фотонов.

2.26

Определите энергию фотонов, рассеянных назад, при столкновении релятивистских электронов с лазерными фотонами Eγ = 1,2 эВ. 1) Энергия электронов Ee = 5 ГэВ (эксперимент на ускорителе ВЭПП-4М, Новосибирск). 2) Энергия электронов Ee = 46 ГэВ (SLAC, Стэнфорд). 3) Проектная энергия электронов Ee = 100 ГэВ (проект FCC). 33

4) Проектная энергия электронов Ee = 500 ГэВ (проект ILC). 2.27

В экспериментах Комптона происходило рассеяние фотонов на свободных электронах. Чем будет отличаться рассеяние фотонов на электронах, связанных в атоме?

2.28

Как можно наблюдать рассеяние фотонов на протонах? В чем отличие от рассеяния фотонов на свободных электронах?

2.29

Можно ли наблюдать рассеяние фотонов на нейтроне? В чем отличие от рассеяния фотонов на протоне?

2.30

Рассчитайте изменение длины волны фотона ∆λ с энергией 200 кэВ при рассеянии на нейтроне под углом 90°.

2.31

Фотон с энергией Eγ = 3 МэВ в поле атомного ядра 208Pb рождает электрон-позитронную пару. Рассчитайте энергию электронов.

2.32

Объясните, почему в зависимости интенсивности комптоновского рассеяния от длины волны наблюдается два максимума, один из которых соответствует фотонам с исходной длиной волны.

2.33

Рассчитайте, используя соотношение неопределенности, минимальную энергию 1) электрона в одномерном ящике размером 1 Å, 2) протона в одномерном ящике размером 1 Фм, 3) частицы массой 10–6 г в одномерном ящике размером 10–5 см.

2.34

Рассчитайте кинетическую энергию электрона Te , если отношение длины волны де Бройля к его комптоновской длине волны составляет а) 103, б) 10–2.

2.35

Определите длину волны протона λ p , ускоренного на LHC до Ep=7 ТэВ.

2.36

Рассчитайте длину температуре.

2.37

Каков должен быть размер d рассеивающей частицы, чтобы на ней можно было наблюдать дифракцию нейтронов с энергией 10 МэВ.

2.38

В ядре 89Y возбужденное состояние с энергией 0,93 МэВ и периодом полураспада T1/2 = 16 c переходит в основное состояние. Рассчитайте неопределенность энергии ∆E испущенного при этом фотона.

2.39

В ядре 104 46 Pd происходит гамма-переход между двумя возбужденными состояниями энергии 1,34 МэВ и 0,55 МэВ. Период полураспада этих состояний 4·10–12 с и 10–12 с соответственно. Рассчитайте энергию Eγ испускаемого γ-кванта и ее неопределенность ∆E .

волны

молекулы

34

азота

при

комнатной

Семинар 3. Модель Бора. Состояния в классической и квантовой физике. Квантовая статистика. Исходя из представлений классической физики и дополнив ее квантовыми постулатами, Н. Бор создал модель атома, в которой электроны находились в определенных стационарных состояниях, что позволило объяснить устойчивость системы и дискретный характер атомных спектров. Опыты Франка-Герца подтвердили правильность модели Бора. Однако непоследовательность теории, в которую квантованность состояний была введена искусственно, привела к необходимости разработки более рационального подхода к описанию квантовых явлений. Гипотеза де Бройля позволила создать аппарат волновой механики, в котором вероятностный характер квантовых явлений описывется с помощью волновых функций. Квадрат модуля волновой функции определяет вероятность обнаружения частицы в элементе объема пространства dV. Волновая функция и квантовые операторы – аналоги физических величин в классической физике, описывают состояния частиц квантового мира. Поведение системы квантовых частиц существенно отличается от классических закономерностей. Статиститки Ферми-Дирака и БозеЭйнштейна позволяют объяснить структуру атомов и атомных ядер, парные корреляции в атомной и ядерной среде. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10. 3.11.

Модель Бора атома водорода Рентгеновские спектры. Закон Мозли Опыт Франка-Герца Состояния в классической и квантовой физике Волновая функция Уравнение движения свободной частицы Физические величины и операторы Собственные значения и собственные функции операторов Коммутация операторов Статистики Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна Принцип Паули для тождественных фермионов Задачи

3.1. Модель Бора атома водорода В модели Э. Резерфорда в центре атома расположено положительно заряженное массивное ядро размером R ≈ 10–12 см. Н. Бор предложил модель, которая впервые позволила удовлетворительно объяснить закономерность строения атома водорода. Основные постулаты модели Бора: 1. Электрон равномерно вращается вокруг атомного ядра по круговой орбите под действием кулоновских сил в соответствии с законами Ньютона. 35

Рис. 3.1. Орбиты модели атома Бора. Схема уровней атома водорода. 36

2. Разрешенными орбитами электрона являются только те, для которых момент импульса электрона равен n= , где n – целое число. 3. При движении электрона по стационарной орбите атом не излучает энергию. 4. При переходе с орбиты с энергией Ei на другую орбиту с энергией E f ( Ei > E f ) излучается фотон, имеющий энергию hν = Ei − E f . Движение по круговой орбите. Частота обращения ν: 12

⎛ Ze 2 ⎞ Ze 2 mυ 2 υ 1 F= 2 = , ν= =⎜ 2 ⎟ ⋅ 32 r r 2π r ⎝ 4π m ⎠ r Условие стационарной орбиты. Квантование углового момента: n= n 2 = 2 = L = mυ rn = n=, rn = mυ mZe2 =2 Боровский радиус атома водорода ( n = 1, Z = 1 ) r0 = 2 = 0,529 Å me Полная энергия электрона E квантуется: Ze2 Ze2 Ze2 mZ 2e4 E = Eкин + Eпот = − =− =− 2 2 rn 2rn 2rn 2= n Если электрон находится на 1-ой боровской орбите, то атом водорода me 4 находится в основном состоянии E0 = − 2 = −13,6 эВ 2= mZ 2e4 ⎛ 1 1 ⎞ Энергия переходов (n f → ni ) : =ω = − ⎜ − ⎟ 2= 2 ⎜⎝ n 2f ni2 ⎟⎠ − E0 2π 2 me4 = = 1,097 ⋅ 105 см −1 Постоянная Ридберга R = 3 hc hc

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

3.2. Рентгеновские спектры. Закон Мозли

В химических элементах электроны распределяются по электронным орбитам в соответствии с принципом Паули. Если из атома с орбиты n = 1 выбивается электрон, то вакансия заполняется электронами с более высоких орбит с n = 2, 3 и т. д. Разность энергий этих орбит излучается в виде фотонов, длина волны которых при больших Z будет находиться в рентгеновском диапазоне. Закон Мозли. Согласно модели Н. Бора, энергия электрона на боровской орбите пропорциональна квадрату заряда ядра

mZ 2e4 En = − 2 2 . 2= n Г. Мозли предположил, что энергия и, следовательно, частота характеристического излучения должны зависеть от квадрата атомного номера Z химического элемента. 37

Мозли измерил характеристическое рентгеновское излучение для нескольких десятков химических элементов и показал, что их можно аппроксимировать формулой ν 1/2 = A( Z − b) , где ν – частота излучения, а A и b – константы, либо слабо изменяющиеся величины. Для линии Kα эта зависимость имеет вид: ν = 3 / 4 R ⋅ 2π c( Z − σ )2 , (3.5) где R – постоянная Ридберга, σ – постоянная экранирования, для легких химических элементов σ ≈ 1. Исследования Мозли впервые экспериментально показали, что основной величиной, определяющей положение элемента в периодической таблице, является не атомная масса, а атомный номер химического элемента.

Рис. 3.2. Схема характеристических спектров.

возникновения рентгеновских

Рис. 3.3. График Мозли. Зависимость частоты рентгеновского излучения K и L-серий от атомного номера химического элемента.

3.3. Эксперименты Франка-Герца.

Эксперименты Франка-Герца подтвердили предположение Бора о том, что спектры атомов объясняются наличием дискретных энергетических уровней, которые могут возбуждаться в результате рассеяния электронов на атоме. 38

Энергии связи внешних электронов в тяжелых атомах составляют несколько эВ. На рис. 3.4 в) показаны уровни энергии валентных электронов атома ртути. Энергия электронов основного состояния E0 = −10, 42 эВ. Энергия первого возбужденного состояния Eh = −5,54 эВ. Энергия перехода между этими состояниями E = Eh − E0 = −5,54 эВ − ( −10, 42) эВ = 4,88 эВ . Если энергия пучка медленных электронов, проходящего через пары ртути, меньше 4,88 эВ, то столкновения электронов пучка с атомами ртути будут упругими, т.е. без передачи энергии. Если энергия пучка электронов превышает 4,88 эВ, то происходят неупругие столкновения с передачей части энергии электрону атома ртути, сопровождающиеся переходами электронов атома ртути в первое возбужденное состояние. Поэтому в зависимости анодного тока от ускоряющего потенциала будут наблюдаться характерные максимумы и минимумы, соответствующие дискретным уровням энергии, на которых находятся внешние электроны атома ртути.

Рис. 3.4. Опыт Франка-Герца. а) Схема экспериментальной установки. В баллоне с парами ртути имелись три электрода: К – катод, А – анод и С – сетка. Ускоряющая разность потенциалов Va прикладывалась между катодом и сеткой, между сеткой и анодом создавалось тормозящее поле с Vr = 0,5 В. б) Полученная зависимость анодного тока ia от напряжения Va. Интервал между максимумами составляет 4,9 В. в) Схема энергетических уровней атома ртути.

3.3. Состояния в классической и квантовой физике

Теория атома Н. Бора правильно описала переходы в атоме водорода. Значение радиуса первой боровской орбиты хорошо согласовывалось экспериментальными оценками размера атома водорода. Однако она не могла объяснить относительную интенсивность спектральных линий, а также структуру оптических спектров более сложных атомов. В своей теории Бор правильно предугадал основные особенности квантового строения атомов. Дальнейшее развитие квантовой физики показало, что описание состояний системы в классической и квантовой физике различны. Квантовые понятия отражают фактическую смену представлений о структуре 39

материи, о свойствах ее фундаментальных составляющих. Поиски ответов на эти проблемы привели к новому пониманию природы материи и становлению квантовой физики. Сопоставление способов описания частицы в классической и квантовой физике приведено в таблице. Классическая физика Квантовая физика 1. Описание состояния ψ(x, y, z, t) (x, y, z, px, py, pz, t) 2. Гамильтониан G2 G pˆ 2 ˆ p ˆ ˆ ˆ + U ( x, y , z ) H = E + U ( x, y , z ) = + U ( x, y , z ) H = E + U(x, y, z) = 2m 2m 3. Изменение состояния во времени G G dr ∂H dp ∂H ∂ψ = G , =− G i= = Hˆ ψ dt ∂p dt ∂r ∂t 4. Измерения x, y, z, px, py, pz ∆х⋅∆px ≈ = ; ∆y⋅∆py ≈ = ; ∆z⋅∆pz ≈ = 5. Детерминизм 5. Статистическая теория |ψ(x, y, z, t)|2 Динамическое (не статистическое) F = ∫ψ *FˆψdV описание 3.5. Волновая функция

Состояние частицы в классической физике в любой момент времени описывается заданием ее координат и импульсов (x, y, z, px, py, pz). Зная эти величины в момент времени t, можно описать эволюцию системы под действием известных сил во все последующие и предыдущие моменты времени. Координаты и импульсы частиц в классической физике являются непосредственно измеряемыми величинам или наблюдаемыми. В квантовой физике изменяется понятие состояния. Наличие у квантовой частицы волновых свойств показывает, что ей следует сопоставить некоторое волновое поле. Амплитуду этого волнового поля, зависящую от координат и времени, называют волновой функцией ψ (x, y, z, t). Волновая функция не является непосредственно наблюдаемой величиной. Наблюдаемой величиной является квадрат модуля волновой функции. В заданном состоянии с волновой функцией ψ (x, y, z, t) можно говорить только о вероятностном распределении значений наблюдаемых. Например, вероятность w нахождения частицы в данной точке x, y, z в момент времени t определяется квадратом модуля волновой функции (3.6) w ~ |ψ(x, y, z, t)|2. В силу теории сложения вероятностей определение волновой функции необходимо дополнить условием нормировки 2 ∫ ψ ( x, y, z, t ) dV = 1, 40

где интеграл, взятый по всему бесконечному пространству, — вероятность достоверно обнаружить частицу в момент времени t во всем пространстве. Возникает своеобразное двухступенчатое описание физических объектов: сначала нужно найти волновую функцию, а затем, уже по ней, определить значения наблюдаемых. В квантовой теории не все наблюдаемые одновременно могут иметь точно определенные значения. Например, квантовая частица не может иметь одновременно определенные значения импульса и координаты. 3.6. Уравнение движения свободной частицы

Волновая функция свободно движущейся частицы с энергией E и импульсом p имеет вид G ψ ( r , t) =

Аe

GG i (k r − ωt )

i GG ( pr − Et ) = = Аe .

(3.7)

Константа A определяется из условия нормировки волновой функции A = (2π = )−3/2. В тех случаях, когда частица находится в области пространства, где действующие на нее силы равны нулю (свободное движение), энергия частицы может принимать любые значения. Энергетический спектр свободно движущейся частицы непрерывный. Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет волновая функция свободно движущейся частицы, можно установить, дифференцируя волновую функцию ψ (r , t ) по t и по переменным x, y, z: dψ i = − Eψ , (3.8) dt = ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ i    (3.9) + 2 + 2 = − 2 ( p x2 + p 2y + p z2 )ψ. 2 = ∂x ∂y ∂z Для свободной частицы p x2 + p 2y + p z2 =E (3.10) 2m Из соотношений (3.8) и (3.9) с учетом (3.10) следует дифференциальное уравнение для волновой функции свободно движущейся частицы i= ⎛⎜ ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ ⎞⎟ dψ . (3.11) + + = dt 2m ⎜⎝ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ⎟⎠ Обычно (3.11) записывается в виде dψ =2 (3.12) i= =− ∆ψ , dt 2m где ∆ − оператор Лапласа. Уравнение (3.12) в частных производных называется уравнением движения для свободной частицы. В уравнение движения (3.12) входит только масса частицы и постоянная Планка = . Уравнение (3.12) является дифференциальным уравнением первого порядка по времени. Поэтому для определения волновой функции в произвольный 41

момент времени t достаточно знать значение волновую функцию в начальный момент времени. 3.7. Физические величины и операторы

В квантовой механике постулируется, что каждой физической величине, описываемой в классической механике в виде функции F (x, y, z, px, py, pz) координат и импульсов ставится в соответствие линейный оператор Fˆ xˆ , yˆ , zˆ, pˆ x , pˆ y , pˆ z , действующий на волновую

(

)

функцию ψ (x, y, z, t). Под оператором Fˆ понимается правило, по которому одной функции ψ (x, y, z, t) переменныx x, y, z, t сопоставляется другая функция χ (x, y, z, t) тех же переменных. χ(x, y, z, t) = Fˆ ψ(x, y, z, t). Например, оператор Fˆ может означать дифференцирование по какойлибо переменной: χ(x, y, z, t) = Fˆ ψ(x, y, z, t) = ∂ψ(x, y, z, t) / ∂x, т. е. Fˆ = ∂ / ∂x. Оператор координаты xˆ равен самой координате x, т. е. сводится к умножению на эту переменную: xˆ = x. Операторами проекций импульсов являются операторы = ∂ = ∂ = ∂ , pˆ y = . (3.13) pˆ x = , pˆ z = i ∂x i ∂z i ∂y Для того, чтобы понять почему оператор импульса имеет вид (3.13), воспользуемся тем, что движение свободной частицы описывается уравнением =2 (3.14) − ∆ψ = Eψ. 2m Оператор кинетической энергии Tˆ должен иметь вид Tˆ = рˆ 2 / (2m) , где pˆ — оператор импульса. Уравнение (3.14) можно записать в виде 1 ( pˆ x2 + pˆ 2y + pˆ z2 )ψ = Eψ. 2m поэтому операторы pˆ х , pˆ y , pˆ z выбирают в виде (3.13). Остальные операторы могут быть построены с использованием операторов координаты и импульса согласно простому правилу: в квантовой механике операторы физических величин выражаются друг через друга так же, как сами физические величины в классической физике. Оператор кинетической энергии Tˆ : рˆ 2 1 =2 ˆ T= ( pˆ x2 + pˆ 2y + pˆ z2 ) = − = (3.15) ∆. 2m 2m 2m Оператор Гамильтона (гамильтониан) − оператор полной энергии Нˆ : Нˆ = Tˆ + Uˆ .

42

Если частица движется в потенциальном поле U (x, y, z), то оператор Гамильтона Нˆ имеет вид =2 Нˆ = − (3.16) ∆ + U(x, y, z). 2m Оператор момента количества движения Lˆ : G G G Согласно классической механике момент импульса L = [ r × p ] . В соответствии с общим правилом определяются операторы проекции момента импульса: =⎛ ∂ ∂ ⎞ Lˆ x = ypˆ z − zpˆ y = ⎜ y − z ⎟ , ∂y ⎠ i ⎝ ∂z =⎛ ∂ ∂ ⎞ Lˆ y = zpˆ x − xpˆ z = ⎜ z − x ⎟ , i ⎝ ∂x ∂z ⎠ =⎛ ∂ ∂ ⎞ Lˆ z = xpˆ y − ypˆ x = ⎜ x − y ⎟ . ∂x ⎠ i ⎝ ∂y

(3.17)

Оператор квадрата момента количества движения Lˆ2 : Lˆ2 = Lˆ2x + Lˆ2y + Lˆ2z .

(3.18)

Гамильтониан Общий вид:

Hˆ = Tˆ + Uˆ

Свободная частица:

2

= Hˆ = − ∆ 2m Частица в одномерной потенциальной яме U(x): 2 ⎛ 2 ⎞

= ⎜d ⎟ + U ( x) , Hˆ = − 2m ⎜ dx 2 ⎟ ⎝

0≤ x ≤ L

⎠

Гармонический осциллятор:

=2 ⎛⎜ d 2 ⎞⎟ kx 2 ˆ + H =− 2m ⎜ dx 2 ⎟ 2 ⎝

⎠

Атом водорода: 2

2

Атом гелия:

e = ∆− Hˆ = − 2m r

2 2e 2 2e 2 e 2 =2 = ˆ H =− ∆ − ∆ − − + . 2m 1 2m 2 r r r12 1 2

43

3.8. Собственные значения и собственные функции операторов

Каждому оператору уравнение

Fˆ

в квантовой механике сопоставляется

Fˆψ n ( x) = Fnψ n ( x) ,

(3.19) определяющее его собственные значения Fn и полную систему ортонормированных функций ψ n , подчиняющихся определенным граничным условиям. Величины Fn определяют спектр возможных значений физической величины F. Функция ψ n (x) характеризует состояние системы, в котором величина F имеет значение Fn. Одно из важнейших положений квантовой теории: в квантовых системах выполняется принцип суперпозиции. Если квантовая система может находиться в состояниях, описываемых функциями ψ 1 , ψ 2 , …, ψ n , то линейная комбинация (суперпозиция) волновых функций ψ 1 , ψ 2 , …, ψ n ψ = ∑ cnψ n (3.20) n

также является волновой функцией, описывающей одно из возможных состояний системы, c n – произвольные постоянные. Квантовая механика является принципиально статистической теорией. Её предсказания носят вероятностный характер. Можно с любой точностью предсказать вероятность найти электрон в произвольной части атома водорода, но нельзя предсказать, в какие моменты времени он попадает в определенную часть атома. Различие между классической статистической теорией и квантовой механикой состоит в следующем. В классической статистической теории предполагается, что в принципе можно проследить за судьбой, например, всех молекул газа и точно рассчитать их траектории. Но, так как молекул много, то для расчета макроскопических величин нам достаточно знать не все точные величины, описывающие каждую молекулу, а небольшое количество усредненных характеристик системы. Например, для описания газа, заключенного в сосуде, вводят такие усредненные характеристики как давление и температура. Для отдельной молекулы газа совершенно бессмысленно говорить о её температуре. В противоположность этому в квантовом мире статистические свойства не вторичны, а первичны. Статистический характер процессов в микромире проявляется в том, что результат измерений в микромире имеет статистическую природу. Среднее значение 〈A〉 физической величины А в состоянии ψ определяется из соотношения 〈A〉 = ∫ψ ∗ Aˆψ dV , (3.21) G где dV = dx dy dz. В частности, средние значения координаты r и импульса p х получаются из соотношений G ∂ψ G dV . 〈 r 〉 = ∫ψ ∗ r ψdV , 〈px〉 = ∫ψ ∗ (−i=) (3.22) ∂x 44

G Средние значения 〈 r 〉 и 〈px〉 имеют следующий смысл: если многоG кратно измерять координату r в одном и том же состоянии ψ, то среднее от G этих измерений будет стремиться к 〈 r 〉. Аналогично, многократное измерение px в этом же состоянии будет давать величину, приближающуюся к 〈px〉. Уравнения для собственных функций и собственных значений операторов pˆ x , pˆ y , pˆ z имеют вид = ∂ψ p y = ∂ψ p z = ∂ψ p x = p xψ px , = p yψ p y , = p zψ pz . (3.23) i ∂y i ∂z i ∂x Решением уравнений будут волновые функции ψ p , ψ p , ψ p x

ψ px

ipx х = a(y, z) e = ,

ψ py

ip y y = a(x, z) e = ,

ψ pz

y

z

ipz z = a(x, y) e = ,

(3.24)

где a(y, z), a(x, z), a(x,y) – произвольные функции соответствующих координат (y, z), (x, z), (x, y). Оператор импульса имеет сплошной спектр собственных значений. Волновая функция

ψp

i pG rG = Ae=

(3.25)

является собственной функцией операторов pˆ x , pˆ y , pˆ z и описывает G состояния с заданным импульсом р . Постоянная A находится из условия нормировки волновой функции: A = (2π =) −3 2 . Волновая функция ψ p с учетом нормировки имеет вид. i GG

pr 1 = . ψp = e (2π=) 3 2

3.9.

(3.26)

Коммутация операторов

Одним из важных вопросов в квантовой физике является вопрос о том, какие физические величины могут одновременно иметь определённые значения. Для того чтобы две величины F и R могли бы иметь определенные значения в некотором состоянии, описываемом волновой функцией ψ n , эта волновая функция, очевидно, должна быть собственной функцией операторов Fˆ и Rˆ , т. е. должны одновременно удовлетворяться два уравнения Fˆψ n ( x ) = Fnψ n ( x ) , Rˆψ ( x) = R ψ ( x) . n

n n

Это имеет место только в том случае, когда операторы Fˆ и Rˆ коммутируют, т. е. коммутатор данных операторов равен 0: 45

ˆ ˆ − Fˆ Rˆ = 0. ⎡ Rˆ , Fˆ ⎤ = RF (3.27) ⎣ ⎦ Таким образом, если квантовомеханические операторы, соответствующие двум квантовомеханическим величинам, коммутируют, то эти величины могут быть измерены одновременно. Если же операторы не коммутируют, то это величины одновременно не могут иметь определенных значений. Операторы координат и проекции импульса на различные оси коммутируют между собой. Например,    xp y − p y x = 0, т. е. величины x и py одновременно измеримы.  В то же время операторы х и р х не коммутируют:    xp х − p х x = i= . Поэтому соответствующие им величины x и px не имеют одновременно определенных значений. Проекции момента количества движения Lx , Ly , Lz одновременно не могут иметь определенные значения. Исключением является состояние, когда момент количества движения L = 0 , при этом Lx = Ly = Lz = 0. В то же время операторы проекции момента количества движения Lˆ x , Lˆ y и Lˆ z  коммутируют с оператором квадрата момента количества движения L2 : Lˆ x Lˆ2 − Lˆ2 Lˆ x = 0 ,

Lˆ y Lˆ2 − Lˆ2 Lˆ y = 0 ,

Lˆ z Lˆ2 − Lˆ2 Lˆ z = 0 ,

т. е. квадрат полного момента количества движения и одна из его проекций на произвольную ось могут одновременно иметь определенные значения. 3.10. Статистики Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна

Микрочастицы обладают своеобразной характеристикой, называемой статистикой, которая является проявлением коллективных свойств системы частиц. Статистика является следствием принципа неразличимости одинаковых микрочастиц и вероятностного характера описания состояний в квантовой теории. Рассмотрим волновую функцию системы частиц одного сорта, например, системы электронов или протонов. В таких системах проявляются новые особенности, которые не имеют аналогов в системе классических одинаковых частиц. В микромире частицы одного типа неразличимы, т. е. имеет место принцип тождественности частиц. Перестановка двух тождественных частиц не изменяет состояния системы. Принцип тождественности частиц

Гамильтониан системы частиц инвариантен относительно перестановки всех координат двух любых частиц одного типа. Поэтому должна быть квантовая характеристика (квантовое число) и сохраняющаяся физическая величина, отвечающая этому преобразованию. 46

Оператор перестановки (например, частиц 1 и 2 в системе А тождественных частиц) Пˆ 12 и его собственные значения ε определяются следующим образом: Пˆ 12 ψ (1,2,..., A) =ψ (2,1,..., A) = εψ (1,2,..., A) , Пˆ 2 ψ (1,2,..., A) = ε 2 ψ (1,2,..., A) = ψ (1,2,..., A) . 12

Поэтому ε = 1 и ε = ±1. 2

При ε = +1

Пˆ 12 ψ (1,2,..., A) = ψ (1,2,..., A) ,

волновая функция системы частиц симметрична: ψ (2,1,..., A) = ψ (1,2,..., A) . При ε = −1

Пˆ 12 ψ (1,2,..., A) = −ψ (1,2,..., A) ,

волновая функция системы частиц антисимметрична:

ψ (2,1,..., A) = −ψ (1,2,..., A) . В релятивистской квантовой теории поля доказывается, что статистика однозначно определяется спином частицы. Частицы с целым (в том числе с нулевым) спином называются бозонами и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна (γ-кванты, π-мезоны, α-частицы и др.). Частицы с полуцелым спином называются фермионами и подчиняются статистике Ферми-Дирака (электроны, кварки, нейтрино, протоны, нейтроны, ядра с нечётным числом нуклонов и т.д.). Фермионы электрон, мюон, нейтрино протон, нейтрон и др.

Бозоны фотон π-мезоны, K-мезоны и др

Вероятность f(E) обнаружить частицу в состоянии с энергией E при температуре среды T: Распределение Больцмана 1 f B ( E ) = Ae − E / kT = α E / kT e e Распределение Бозе-Эйнштейна Распределение Ферми-Дирака 1 1 f FD = α E / kT f BE = α E / kT +1 −1 e e e e α Величина e представляет собой постоянную нормировки, зависящую от плотности частиц

47

3.11. Принцип Паули для тождественных фермионов.

Для системы тождественных фермионов ψ (2,1,..., A) = −ψ (1,2,..., A) . Пусть частицы 1 и 2 находятся в одинаковом состоянии. Тогда ψ (2,1,..., A) и ψ (1,2,..., A) одна и та же функция и ψ = −ψ, 2ψ = 0, ψ = 0, т. е. такого состояния нет. Таким образом, в системах, подчиняющихся статистике Ферми-Дирака и описываемых антисимметричными волновыми функциями, не должно существовать двух тождественных частиц с полностью совпадающими характеристиками. Поясним различие между тремя статистиками – классической, статистикой Ферми-Дирака и статистикой Бозе-Эйнштейна – в простейшем случае, когда имеются две одинаковых частицы и два различных одночастичных состояния. Число возможных состояний такой физической системы будет разным для разных статистик. В классической статистике возможны четыре состояния: а) обе частицы в первом состоянии; б) обе частицы во втором состоянии; в) первая частица в первом состоянии, вторая – во втором; г) первая частица во втором состоянии, вторая – в первом. В статистике Ферми возможно только одно состояние: одна из частиц (какая именно, здесь и ниже не имеет значения) находится в первом состоянии, другая – во втором. В статистике Бозе-Эйнштейна возможны три состояния: а) обе частицы в первом состоянии; б) обе частицы во втором состоянии; в) одна из частиц в первом состоянии, другая – во втором. Структура электронных оболочек в атоме и нуклонных оболочек в ядре объясняется на основе принципа Паули. В атоме два электрона не могут находиться в одинаковом состоянии. Точно так же и в ядре два одинаковых нуклона не могут находиться в одном и том же состоянии. Принципу Паули подчиняются только фермионы. Задачи 3.1

Вычислите длину волны спектральной линии, которая соответствует переходу между состояниями ni = 4 и n f = 2 в атоме водорода.

me4 Из условия для боровской орбиты Ei = − 2 2 для энергии гамма2= n кванта, соответствующего переходу 4 → 2, получим: me 4 ⎛ 1 1 ⎞ hc ∆E = 2 ⎜ − ⎟ = . 2= ⎝ 4 16 ⎠ λ 1 mc 2e4 ⎛ 1 1 ⎞ ⎛1 1 ⎞ − 2 ⎟ = R⎜ − ⎟, Следовательно, = 2 2 ⎜ 2 λ 4π ⋅ =c ⋅ = c ⎜⎝ n f ni ⎟⎠ ⎝ 4 16 ⎠ 48

mc 2e4

⎡ 1 0,511 1 ⎤ Фм −1 = 1,0974 ⋅ 107 м −1 – постоянная =⎢ 2 ⎥ 4π ( =c ) ⎣137 197 4π ⎦ Ридберга. Для серии Бальмера (переходы на nf = 2) удобно также n2 , b = 3645,6 Å. Расчет для второй пользоваться соотношением λ = b 2 n − 22 линии серии Бальмера Hβ (ni =4 → nf =2) дает λ = 486,1 нм.

где

3.2

R=

3

У водородоподобного иона разница длин волн первых линий серий Лаймана и Бальмера составляет 16,58 нм. Какому атому это соответствует?

mZ 2e4 ⎛ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎞ 11 ⋅13,6 эВ Z 2 ⎜ − ⎟−⎜ − ⎟ = 2= 2 ⎜⎝ ⎝ 12 22 ⎠ ⎝ 22 32 ⎠ ⎟⎠ 18 2π =c 2π ⋅197 эВ . Отсюда получаем Z =3 = С другой стороны, ∆E = ∆λ 16,58 (ион лития Li++). ∆E = ∆E21 − ∆E32 =

3.3

Минимальная длина волны излучения рентгеновской трубки на 50 кВ составляет 0,247 Å. Определите значение постоянной Планка. hc λ= ⇒ e ⋅V λ ⋅ e ⋅ V 0,247 ⋅10−10 м ⋅1,6 ⋅10−19 Кл ⋅ 5 ⋅103 В h= = = 6,59 ⋅10−34 Дж ⋅ сек 8 c 3 ⋅10 м/с

3.4

Вычислите разность энергий связи K и L электронов в атоме алюминия 13 Al .

Искомая разность энергий ∆E есть энергия перехода между уровнями L и K, соответствующая линии Kα. По закону Мозли для линии Kα: 1 3 = R( Z − σ ) 2 , где R – постоянная Ридберга, а σ – постоянная экранироλ 4 вания и для легких элементов σ ≈ 1 . Тогда λ = 8,43 Å, а, соответственно, ∆E = 1,47 кэВ. 3.5

Вычислите коммутатор ⎡⎣ Lˆ x , Lˆ y ⎤⎦ = Lˆ x Lˆ y − Lˆ y Lˆ x

Воспользовавшись соотношениями (3.17), получим ⎛ ∂ ∂ ⎞⎛ ∂ ∂⎞ Lˆ x Lˆ y = − = 2 ⎜⎜ y − z ⎟⎟⎜ z − x ⎟ = ∂y ⎠⎝ ∂x ∂z ⎠ ⎝ ∂z 2 ∂ 2 ⎞⎟ ∂ ∂2 ∂2 2 ∂ = − = ⎜ y + yz . + xz − xy 2 − z ∂y∂x ∂y∂z ⎟⎠ ∂z∂x ∂z ⎝ ∂x 2⎛ ⎜

2 ∂ ∂ 2 ⎞⎟ ∂2 ∂2 2⎛ 2 ∂ ˆ ˆ ⎜ Ly Lx = − = ⎜ zy . −z − xy 2 + x + xz ∂y ∂z∂y ⎟⎠ ∂x∂y ∂z ⎝ ∂x∂z

49

Вычитая из верхнего равенства нижнее, получим z. xL y − L yL  x = = 2 ⎛⎜ x ∂ − y ∂ ⎞⎟ = i= L L ⎜ ∂y ⎟ ∂x ⎠ ⎝ Аналогичные соотношения получим для следующих коммутаторов:

z, L yL z− L zL  y = i= L х, L zL x − L xL  z = i= L y. xL y − L yL  x = i= L L 3.6

Какую максимальную энергию Eγ может иметь фотон, испущенный атомом водорода?

3.7

Определите длины волн первых трех линий серий Бальмера, Лаймана, Пашена в атоме водорода.

3.8

Какому переходу соответствует длина волны линии Бальмера λ = 3791 Å в атоме водорода?

3.9

Какие спектральные линии появятся при возбуждении атомарного водорода электронами с энергией 12,5 эВ? Какие линии появятся при энергии электронов 14 эВ?

3.10

Мюон образовал мезоатом водорода. Вычислите радиус первой боровской орбиты rµ моюнного атома и сравните с результатом для атома водорода. Каковы энергии и длины волн первых трех линий серии Лаймана мезоатома?

3.11

Позитроний представляет собой связанную систему электрона и позитрона, вращающихся вокруг центра масс этой системы. Определите боровский радиус и энергетический спектр позитрония. Каковы длины волн первых трех линий серии Лаймана позитрония?

3.12

Энергия связи электрона в атоме гелия He равна E0 = 24,6 эВ. Какая минимальная энергия необходима для последовательного удаления обоих электронов из этого атома?

3.13

Покажите, что скорость электрона υ на n-боровской орбите в атоме водорода равна υ / c = α / n , где α – постоянная тонкой структуры.

3.14

Ток, возникающий при движении заряда q по круговой орбите с частотой f, равен i = qf. Магнитный момент µ петли с током равен µ=is, где s – площадь петли. Вычислите ток и магнитный момент, создаваемый электроном на первой боровской орбите.

3.15

Определите магнитный момент мюона, находящегося на первой боровской орбите в мезоатоме водорода. Сравните с магнитным моментом электрона на первой боровской орбите в атоме водорода.

50

3.16

Закон Мозли для характеристического рентгеновского излучения имеет следующую форму: ν = A( Z − b) . Получите выражение и рассчитайте A для линий Kα.

3.17

Какова минимальная длина волны λγ рентгеновского излучения, испускаемого рентгеновской трубкой при напряжении 30 кВ?

3.18

Определите порядковый номер Z легкого элемента, у которого длина волны Kα λ = 0,251 нм.

3.19

Длины волн Kα меди (Z =29) λCu = 0,15418 нм, железа (Z =26) λFe = 0,19374 нм. Исходя из этих данных, определите значения констант A и b в законе Мозли ν 1/2 = A( Z − b) .

3.20

Сколько химических элементов содержится в ряду между химическими элементами, у которых длины волн Kα линии равны 0,1787 нм и 0,1434 нм? Какие это химические элементы?

3.21

Какие физические величины могут быть одновременно измерены в квантовой физике?

3.22

Вычислите коммутаторы: ˆ ˆ x − pˆ x xˆ ; в) [ x , Lˆx ] ; д) [ Lˆ x , pˆ x ] ; a) [ xˆ , pˆ x ] = xp б) [ yˆ , pˆ x ] ; г) [ y, Lˆ x ] ; к) [ Lˆ x , pˆ y ] ;

3.23

л) [ Lˆ x , pˆ x2 ] ; м) [ Lˆ , Lˆ2 ] . x

При решении конкретных физических задач часто приходится иметь дело с полями с центральной симметрией. В таких случаях удобнее использовать сферическую систему координат. Переход от декартовых координат x, y, z к переменным r, θ, ϕ в операторах также происходит по обычным правилам замены переменных. y = r sinθ sinϕ, z = r cosϕ. x = r sinθ cosϕ, Покажите, что в сферической системе координат оператор момента количества движения имеет вид:  =⎛ ∂ ∂ ⎞ Lx = − ⎜ sin ϕ + ctgθ cos ϕ , i⎝ ∂ϕ ∂ϕ ⎟⎠  =⎛ ∂ ∂ ⎞ Ly = ⎜ cos ϕ − ctgθ sin ϕ , ∂θ ∂ϕ ⎟⎠ i⎝  = ∂ Lz = , i ∂ϕ 2 ∂ ∂ 1 ∂2 ⎤ 2⎡ 1 L = −= ⎢ (sin θ )+ ⎥. ∂θ sin 2 θ ∂ϕ 2 ⎦⎥ ⎣⎢ sin θ ∂θ

51

Семинар 4. Уравнение Шредингера Аналог классического волнового уравнения был предложен Э. Шредингером в 1925 г. Как и классическое уравнение, уравнение Шредингера связывает производные волновой функции по времени и координате. Уравнение Шредингера описывает поведение нерелятивистских квантовых систем. На примерах частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме, и в потенциале гармонического осциллятора рассмотрены простейшие квантовые системы, получены дискретные спектры состояний. Динамика данных систем описывается набором квантовых чисел, отражающих универсальные и внутренние симметрии систем. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8.

Уравнение Шредингера Частица в прямоугольной потенциальной яме с бесконечными стенками Гармонический осциллятор Частица в поле с центральной симметрией Орбитальный момент количества движения Спин Полный момент количества движения Квантовые числа Задачи

4.1. Уравнение Шредингера В квантовой физике изменение состояния частицы описывается уравнением Шредингера ∂Ψ  i= = HΨ. (4.1) ∂t  где Н – оператор Гамильтона – аналог классической функции Гамильтона

p2 G +U (r ) , 2m G G в которой р и r заменены операторами импульса pˆ х , pˆ у , pˆ z и координаты xˆ , yˆ , zˆ :    = ∂ = ∂ = ∂ , py → p y = , pz → p z = , pх → p x = i ∂x i ∂y i ∂z y → yˆ = y, z → zˆ = z, х → xˆ = х, H=

 pˆ 2 = 2 ⎛⎜ ∂ 2 ∂2 ∂ 2 ⎞⎟ Н= + U(х, у, z) = − + U(х, у, z). + + 2m ⎜⎝ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ⎟⎠ 2m

52

(4.2)

Уравнение Шредингера

Зависящее от времени уравнение Шредингера: ∂Ψ  i= = HΨ , ∂ t  где H – гамильтониан системы. G G Разделение переменных. Запишем Ψ (r , t ) = ψ (r )θ (t ) , где ψ является  функцией координат, а θ – функция времени. Если H не зависит от    принимает вид θНψ = i=ψθ или времени, уравнение HΨ = i=Ψ 1  i= Hψ = θ .

ψ

θ

Левая часть является функцией только координат, а правая – только времени. Поэтому обе части последнего уравнения должны быть равны одной и той же постоянной, которую обозначим E 1  i= Hψ = θ = Е .

ψ

θ

Следовательно,  G G G G θ (t ) = exp(−iEt / =) , Hψ (r ) = Eψ (r ) и Ψ (r , t ) = ψ (r )exp(−iEt / =) .  G G Уравнение Hψ (r ) = Eψ (r ) называют стационарным уравнением Шредингера. Для одномерной системы: частица массы m в поле с потенциалом U(x), оно принимает вид: ⎛ = 2 ⎞⎛⎜ d 2ψ ⎞⎟ d 2ψ ⎛ 2m ⎞ ⎜ ⎟ E − U ( x) ] ψ ( x) = 0 . + − + U ( x)ψ ( x) = Eψ ( x) или 2 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ [ ⎜ 2m ⎟⎜⎜ 2 ⎟⎟ dx ⎝ ⎠⎝ dx ⎠ ⎝= ⎠ G Для трехмерной системы массы m в поле с потенциалом U( r ): ⎛ =2 ⎞ ⎟∆ψ (rG ) + U (rG )ψ (rG ) = Eψ (rG ) , −⎜ ⎜ 2m ⎟ ⎝ ⎠ где ∆ – лапласиан. Так как уравнение Шредингера является линейным уравнением первого порядка по времени, то с его помощью по заданному значению волновой функции Ψ(x, y, z, 0) в момент времени t = 0 можно найти её значение в произвольный момент времени t − Ψ(x, y, z, t). Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени, имеет вид  G G (4.3) Hψ (r ) = Eψ (r ) . Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера. Так как в стационарном состоянии G G Ψ (r , t ) = ψ (r )exp(−iEt / =) (4.4) 53

и вероятность найти частицу в момент t в точке x, y, z пропорциональна G 2 Ψ (r , t ) , то она ∼ |ψ (x, y, z)|2, т.е. не зависит от времени. Аналогично, вероятность обнаружить значение физической величины, характеризующей систему, также не изменяется со временем, поскольку выражается через квадрат модуля волновой функции. 4.2. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечными стенками

Потенциальная энергия U(x) прямоугольной потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками удовлетворяет следующим условиям: 0< x< L ⎧ 0 при (4.5) U (x) = ⎪⎨ ⎪⎩∞ при x ≤ 0, x ≥ L Рис.4.1. Прямоугольная потенциальная яма с бесконечно высокими стенками

Частица находится в области 0 ≤ x ≤ L. Вне этой области ψ ( x) = 0 . Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в области 0 ≤ x ≤ L d 2ψ ( x) 2mE = − ψ ( x) . (4.6) dx 2 =2 Волновая функция, являющаяся решением уравнения (4.6), имеет вид

ψ (x)= Аsin kx + Bcos kx,

(4.7)

где k = (2mE/ = 2)1/2. Из граничных условий ψ(0) = 0, ψ(L) = 0 и условий непрерывности волновой функции следует Аsin kL = 0.

(4.8)

kL = nπ, n = 1, 2, 3, … , то есть внутри потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками устанавливаются стоячие волны, а энергии состояний частицы имеют дискретный спектр значений Е n

= 2 k 2 = 2π 2 n 2 = , En = 2m 2mL2

n = 1, 2, 3, …

(4.9)

Частица может находиться в каком-то одном из множества дискретных состояний, доступных для нее. Каждому значению энергии En соответствует волновая функция ψ n ( x ) , которая с учетом условия нормировки L

∫0 ψ n ( x)

2

L

dx = ∫ A sin 0

54

π nx L

2

dx = 1

имеет вид

ψ n ( x) =

⎛ π nx ⎞ sin ⎜ ⎟. L ⎝ L ⎠ 2

(4.10)

В отличие от классической, квантовая частица в прямоугольной яме не может иметь энергию E < = 2π 2 / (2mL2 ) . Состояния частицы ψ n в одномерном поле бесконечной потенциальной ямы полностью описывается с помощью одного квантового числа n. Энергетический спектр состояний частицы дискретный.

Рис. 4.2. Уровни энергии и волновые функции частицы Ψ в бесконечной прямоугольной яме. Квадрат модуля волновой функции /Ψ/2 определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы

4.3. Гармонический осциллятор

Положение уровней частицы в потенциальной яме зависит от вида потенциальной ямы. В одномерной потенциальной яме гармонического осциллятора потенциальная энергия имеет вид mω02 x 2 kx 2 = . (4.11) U(x) = 2 2 В этом случае одномерное уравнение Шредингера имеет вид = 2 d 2ψ kx 2 − + ψ = Eψ . (4.12) 2m dx 2 2 Допустимые значения полной энергии определяются формулой 1⎞ ⎛ (4.13) En = =ω 0 ⎜ n + ⎟ , n = 0, 1, 2, 2⎠ ⎝ 55

В отличие от бесконечной прямоугольной ямы, спектр уровней гармонического осциллятора эквидистантный. С увеличением массы частицы или размеров области ее локализации квантовое описание частицы переходит в классическое. Частица в одномерной потенциальной яме

Одномерная прямоугольная яма шириной L:

2 =2π 2n2 ⎛ π nx ⎞ En = , ( x ) sin ψ = n ⎜ ⎟ , n = 1, 2, … 2mL2 L ⎝ L ⎠ 0< x< L ⎧0, U ( x) = ⎨ ⎩∞, x ≤ 0, x ≥ L Одномерный гармонический осциллятор: ⎛ mω02 x 2 1⎞ , En = =ω0 ⎜⎜ n + ⎟⎟ , n = 0, 1, 2, … U ( x) = 2 2⎠ ⎝

4.4. Частица в поле с центральной симметрией

В сферических координатах стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральном потенциале U(r) имеет вид

−

=2 ⎡ 1 ∂ ⎛ 2 ∂ψ ⎜r 2m ⎣⎢ r 2 ∂r ⎝ ∂r

∂ ∂ψ ∂ 2ψ ⎤ 1 1 ⎞ + + + U (r )ψ = Eψ . (4.14) (sin ) θ ⎟ 2 r 2 sin 2 θ ∂φ 2 ⎦⎥ ∂θ ⎠ r sin θ ∂θ

Решение уравнения (4.14) записываются в виде произведения радиальной и угловой функций

ψ(r, θ, ϕ) = Rnl (r ) Ylm (θ , ϕ ) ,

(4.15)

где радиальная функция Rnl (r ) и угловая функция Ylm (θ , ϕ ) , называемая сферической, удовлетворяют уравнениям 2 L Ylm (θ , ϕ ) = = 2 l(l + 1) Ylm (θ , ϕ ) (4.16) или 1 ⎡∂ ⎛ 1 ∂2 ⎤ ∂ ⎞ 2 − =2 ⎟+ ⎜ sin θ ⎢ ⎥ Y (θ , ϕ ) = = l(l + 1) Ylm (θ , ϕ ) , ∂θ ⎠ sin θ ∂ϕ 2 ⎦⎥ lm sin θ ⎢⎣ ∂θ ⎝ ⎡ =2 d 2 = 2l (l + 1) ⎤ (4.17) + + rR ( r ) U ( r ) ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ rR (r ) ⎤ = E ⎡⎣ rRnl (r ) ⎤⎦ . 2m dr 2 ⎣ nl ⎦ ⎣ 2mr 2 ⎦ ⎣ nl ⎦ Уравнение (4.16) определяет возможные собственные значения l и  собственные функции Ylm (θ , ϕ ) оператора квадрата момента L2 . Уравнение (4.17) определяет собственные значения энергии Е и радиальные собственные функции Rnl (r ) , от которых зависит энергия системы. −

56

Решения уравнения 1 1 ∂ ∂ψ ∂ 2ψ ⎤ =2 ⎡ 1 ∂ ⎛ 2 ∂ψ ⎞ r (sin ) − + + + U (r )ψ = Eψ . θ ⎜ ⎟ 2m ⎣⎢ r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 sin θ ∂θ r 2 sin 2 θ ∂φ 2 ⎦⎥ ∂θ существуют лишь при определенных значениях квантовых чисел n (радиальное квантовое число), l (орбитальное квантовое число) и m (магнитное квантовое число). Возможные энергетические состояния системы (уровни энергии) определяются числами n и l и в случае сферически симметричных состояний не зависят от квантового числа m. Число n может быть только целым: n = 1, 2, …, ∞. Число l может принимать значения 0, 1, 2, …, ∞. Схема уровней (последовательность и абсолютные значения энергий) зависит от радиальной функции Rnl (r ) , которая в свою очередь определяется потенциалом U(r), в котором находится частица, и не зависят от квантового числа m. Вероятность нахождения частицы в элементе объема также состоит из радиальной и угловой частей. Пример распределения радиальной вероятности для кулоновского потенциала приведен на рис. 4.3. Подробнее состояния в атоме водорода, а также соотношения между квантовыми числами, принятыми в атомной спектроскопии, описаны в приложении 1.

Рис. 4.3. Радиальное распределение вероятности нахождения электрона в кулоновском поле протона (атом водорода). Расстояния даны в боровских радиусах r0 = = 2 /mee2 ≈ 0,529⋅10−8 cм. 57

4.4. Орбитальный момент количества движения

Собственные значения L2 и L z являются решением уравнений  L2 Y (θ , ϕ ) = L2 Y (θ , ϕ ) и Lˆ z Y (θ , ϕ ) = L z Y (θ , ϕ ) . lm

lm

lm

lm

Они имеют следующие дискретные значения L2 = = 2 l(l + 1), где l = 0, 1, 2, 3, …, L z = =т , где m = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…, ± l.

Для характеристики состояний с различными значениями орбитальных квантовых чисел l обычно используют следующие обозначения:

l=0 l=1 l=2 l=3 l=4 l=5

s−состояние p−состояние d−состояние f−состояние g−состояние h−состояние и. т. д.

Состоянию с l = 0 отвечает сферически симметричная волновая функция. В тех случаях, когда l ≠ 0 волновая функция не имеет сферической симметрии. Симметрия волновой функции определяется симметрией сферических функций Ylm (θ , ϕ ) . Имеет место интересное квантовое явление, когда решение сферически симметричной задачи (потенциал описывает сферически симметричную систему) приводит к состояниям, не обладающим сферической симметрией. Таким образом, симметрия уравнений не обязательно должна отражаться в симметрии каждого отдельно взятого решения этих уравнений, а лишь во всей совокупности этих решений. Для частицы, находящейся в сферически симметричном потенциале, величина орбитального момента количества движения L: (4.18) L = = l (l + 1) . Обычно, для упрощения, когда говорят о величине орбитального момента количества движения, называют этой величиной квантовое число орбитального момента l, имея в виду, что между l и L имеется однозначная связь (4.18). Так как величина l может принимать только целочисленные значения 0, 1, 2, 3,…, то и орбитальный момент количества движения L квантуется. Например, для частицы с l = 2 момент количества движения L = = 2(2 + 1) = 6,58 ⋅ 10−22 6 МэВ ⋅ сек ≈ 2,6 ⋅ 10−34 Дж ⋅ сек .

58

Рис. 4.4. Возможные ориентации

G

вектора L при квантовом числе l = 2.

Пространственное квантование. Орбитальный момент количества G движения L является векторной величиной. Так как величина орбитального G момента количества движения квантуется, то и направление L по отношению к выделенному направлению z, например, к внешнему магнитному полю, также квантуется и принимает дискретные значения L z = =т , где m изменяется от +l до –l, т. е. имеет 2l + 1 значений. Например, при l = 2 величина m принимает значения +2, +1, 0, −1, −2 (см. рис. 4.4). Вместе с тем G энергия системы не зависит от m, т. е. от направления вектора L , что является очевидным следствием сферической симметрии системы. Состояние частицы, находящейся в сферически симметричном поле, полностью описывается тремя квантовыми числами: n, l и m. Появление квантовых чисел связано со свойствами симметрии системы. Характер этой симметрии определяет возможные значения квантовых imϕ чисел. Очевидно, что система, описываемая функцией e , примет прежнее значение только тогда, когда азимутальный угол ϕ в результате поворота imϕ вокруг оси z примет прежнее значение ϕ. Этому условию функция e удовлетворяет только в случае, когда величина mϕ кратна 2π. Т.е. величина m должна иметь целые значения. Так как необходимо учитывать вращение в двух противоположных направлениях и отсутствие вращения, единственно возможными значениями оказываются m = 0, ±1, ±2, … . 4.6. Спин

Спин − собственныйG момент количества движения частицы. Между значением вектора спина S и квантовым числом спина s выполняется такое же соотношение, как между величиной значением вектора орбитального G l: момента L и орбитальным квантовым G 2 числом 2 S = = s( s + 1) . (4.19)

59

В отличие от орбитального квантового числа l, которое может быть лишь целым числом или нулем, спиновое квантовое число s (в дальнейшем просто спин) может быть как целым (включая нуль), так и полуцелым, т. е. s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, … , но при этом для каждой элементарной частицы спин может принимать единственное присущее этому типу частиц значение. Так, спины π-мезонов и K-мезонов равны 0. Спины электрона, протона, нейтрино, кварков и их античастиц равны 1/2. Спин фотона равен 1. Бозоны составляют класс частиц с целым значением спина, спин фермионов имеет полуцелое значение. Спин частицы невозможно изменить, также как её заряд или массу. Это её неизменная квантовая характеристика. G Как и в случае других квантовых векторов, проекция вектора спина S на любое фиксированное направление в пространстве (например, на ось z) может принимать 2s + 1 значение: s z = = ± s=, ±( s − 1)=, ±( s − 2)=,..., ±1 / 2= или 0 . Число s z − это квантовое число проекции спина. Максимальная величина s z совпадает с s. Так как спин электрона равен 1/2, то проекция этого спина может принимать лишь два значения s z = ±1/2. Если проекция +1/2, то говорят, что спин направлен вверх, если проекция −1/2, то говорят, что спин направлен вниз. 4.7. Полный момент количества движения.

G Полный момент количества движения частицы или системыG частиц J G является векторной суммой орбитального L и спинового S моментов количества движения. G G G J =L+S Квадрат полного момента имеетGзначение: J 2 = = 2 j ( j + 1) Квантовое число полного момента j, соответствующее сумме двух векторов G G L и S , может принимать ряд дискретных значений, отличающихся на 1: j = l + s, l + s − 1,... l − s (4.20) G Проекция J на выделенную ось Jz также принимает дискретные значения: J z = =jz ; jz = − j , − j + 1,... j − 1, j (4.21) G G Число значений проекции Jz равно 2j + 1. Если для L и S определены единственные значения проекций на ось z lz и sz, то jz также определена однозначно: jz=lz + sz. 4.8. Квантовые числа

Квантовые числа – это целые или дробные числа, которые определяют все возможные значения физической величины, характеризующей различные квантовые системы – атомы, атомные ядра, кварки и другие частицы. 60

Таблица квантовых чисел

n

J, j

Jz, jz L, l

m

S, s Sz, s z P или π

I

Радиальное квантовое число. Определяет число узлов волновой функции и энергию системы. n = 1, 2, …, ∞. Полный угловой момент J и его квантовое число j. Последнее никогда не бывает отрицательным и может быть целым или полуцелым в зависимости от свойств рассматриваемой системы. J 2 = = 2 j ( j + 1) . Проекция полного углового момента J на выделенную ось и ее квантовое число. J z = =jz , где jz = ± j, ± (j −1), …, ±1/2 или 0. Орбитальный угловой момент L и его квантовое число l. Интерпретация l такая же, как j, но l может принимать только целые значения, включая нуль: l = 0, 1, 2,…. L2 = = 2 l (l + 1) . Магнитное квантовое число. Проекция орбитального углового момента на выделенную ось (обычно ось z) Lz = m= , где m = ± l, ± (l−1), …, ±1, 0. Спиновый угловой момент S и его квантовое число s. Оно может быть либо положительным целым (включая нуль), либо полуцелым. s – неизменная характеристика частицы определенного типа. S 2 = = 2 s( s + 1) . Проекция спинового момента частицы на выделенную ось Sz и ее квантовое число s z . Проекция может принимать значения Sz = s z = , где s z = ± s, ± (s −1), …, ±1/2 или 0. Пространственная четность. Характеризует поведение системы G G r → −r (зеркальном при пространственной инверсии l отражении). Полная четность частицы Р = π⋅(−1) , где π − её внутренняя четность, а (−1)l − её орбитальная четность. Внутренние четности кварков положительные, антикварков − отрицательные. Изоспин. Характеризует свойство зарядовой инвариантности сильных взаимодействий

Для обозначения спинового момента часто используют букву J.

Все состояния, в которых может находиться квантовая система, описываются с помощью полного набора квантовых чисел. Так в случае протона в ядре состояние протона описывается с помощью четырех квантовых чисел, соответствующих четырем степеням свободы – трем пространственным координатам и спину. Это • Радиальное квантовое число n ( 1, 2, …, ∞), • Орбитальное квантовое число l (0, 1, 2, …), • Проекция орбитального момента m (± l, ± (l − 1), …, ± 1, 0), • Спин протона s =1/2 (протон является фермионом). 61

Для описания сферически-симметричных систем в квантовой физике используются различные сферически симметричные потенциалы с различной радиальной зависимостью U (r): • Кулоновский потенциал U = Q/r, 0 при r > R • Прямоугольная потенциальная яма U (r ) = −U 0 при r ≤ R • Потенциал типа гармонического осциллятора U = kr2. Во всех случаях сферически симметричные системы можно описать с помощью набора квантовых чисел n, l, j, j z , однако, в зависимости от радиального вида потенциала, энергетический спектр состояний системы будет различным. Существование сохраняющихся во времени физических величин тесно связано со свойствами симметрии гамильтониана системы. Например, в случае, если квантовая система обладает центральной симметрией U = U(r), то этой системе соответствует сохранение орбитального момента количества движения l и одной из его проекций m. При этом из-за сферической симметрии задачи энергия состояний не будет зависеть от величины m, т. е. состояния будут вырожденными по m. Наряду с пространственными симметриями, связанными с непрерывными преобразованиями, в квантовой физике существуют и другие симметрии – дискретные. Одной из них является зеркальная симметрия волновой G G функции относительно инверсии координат ( r → −r ). Оператору инверсии соответствует квантовое число четность, которое может принимать два значения +1 и −1 в зависимости от того, сохраняется или нет знак волновой функции при инверсии или изменяется на противоположный. Система тождественных частиц характеризуется еще одной симметрией – симметрией относительно перестановок тождественных частиц. Эта симметрия определяется свойствами частиц, образующих систему. Системы частиц с целым спином (бозонов) описываются симметричными волновыми функциями, системы частиц с полуцелым спином (фермионов) − антисимметричными волновыми функциями.

{

Задачи

Вычислите допустимые уровни энергии электрона, находящегося в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной 10−8 см, протона, находящегося в потенциальной яме шириной 5 Фм, и шарика массой 1 г, находящегося в потенциальной яме шириной 1 см. = 2π 2 n 2 En = , n = 1, 2, 3, … 2mL2 Электрон (mec2 = 0,511 МэВ, L = 10−8 см = 105 Фм): (197) 2 МэВ2Фм 2 (3,14) 2 2 En = n =32,9 n 2 эВ. 5 2 2 2 ⋅ 0,511 МэВ (10 ) Фм 4.1.

62

Протон (mpc2 = 938,3 МэВ, L = 5 Фм): (197) 2 МэВ2Фм 2 (3.14)2 2 En = n = 8,5 n 2 МэВ, 2 2 2 ⋅ 938,3 МэВ (5) Фм Шарик (m = 1 г, L = 1 см = 1013 Фм): (197) 2 МэВ2Фм 2 (3,14) 21,6 ⋅10−6 эрг / МэВ 2 E n= n = 3,4⋅10−42 n 2 эВ. 10 2 13 2 2 2 ⋅1 г (3 ⋅10 см / сек) (10 ) Фм 4.2

Рассчитать энергию перехода между состояниями 1s и 2s в атоме водорода.

Воспользовавшись соотношением (3.3) для энергии возбуждения и учитывая, что состояние 1s соответствует N i = 1 , а состояние 2s – N f = 2 , получим ⎛ 1 1 ⎞ ⎛1 1⎞ ∆E = 2π =cR ⎜ 2 − 2 ⎟ = 13,6 ⎜ 2 − 2 ⎟ эВ = 10,2 эВ . ⎜N ⎟ ⎝1 2 ⎠ ⎝ i Nf ⎠ 4.3 Найти значение полного момента j протона в d-состоянии. Каким будет результат измерения полного момента протона в состоянии 1d5/2? Спин протона s = 1/2, орбитальный момент l в d-состоянии l = 2, 1 1 3 5 следовательно: 2 − ≤ j ≤ 2 + ; j = ; . 2 2 2 2 Если мы говорим о результатах измерения, то речь идет не о квантовых числах l и j, а о собственных значениях соответствующих операторов: JG G 5⋅7 J = J 2 = = j ( j + 1) = = 2 Найти полный момент (квантовое число) j системы двух нуклонов в s-состоянии (l = 0). JG JJG JJG Суммарный полный момент системы J = S1 + S2 находится по правилам векторного сложения (4.20–21): соответствующее квантовое число пробегает все возможные значения от модуля разности до модуля суммы моментов J = s1 − s2 ÷ s1 + s2 . В случае двух sz1 нуклонов при l = 0 полный момент имеет два 1 1 − значения J = 0 и J = 1. 2 2 4.4

sz2

−

Рис. 4.5 Значения проекции суммарного полного момента Jz для двух нуклонов со спином s = ½ (таблица Слэтера).

63

1 2

–1

0

1 2

0

1

Проекции полного момента для J = 0: Jz = 0, для J = 1: J z = ± J , ± ( J − 1) = −1; 0; 1 . С другой стороны, проекция J z = sz1 + sz 2 и зависит от значений проекций спинов нуклонов. Возможные комбинации sz1 и sz 2 и соответствующие значения J z удобно представить в таблице Слэтера, включающие в себя все возможные значения J z (рис. 4.5). Наборы проекций моментов, соответствующие значениям полных моментов, формируют ряды Клебша: для J = 1 это ряд J z = –1; 0; 1 (правый столбец и верхний ряд значений), для J = 0 – значение J z = 0 (левая нижняя ячейка). Таким образом, два различных нуклона, протон и нейтрон, могут образовывать две группы состояний: триплет J = 1 (число проекций Jz равно 2J + 1 = 3) и синглет J = 0 (одна проекция Jz = 0). Триплет формируется из состояний, симметричных относительно перестановок частиц 1 и 2 (стрелки 1 1 ↑ и ↓ обозначают проекции спина нуклона + и − ): 2 2 ⎧ 1, −1 = ↓↓ ⎪ 1 ⎪ ↑↓ + ↓↑ J , J z = ⎨ 1,0 = 2 ⎪ ⎪⎩ 1,1 = ↑↑

Синглету соответствует J , J z = 0,0 = 1 / 2 ↑↓ − ↓↑

антисимметричное

состояние:

В случае двух нуклонов одного типа (двух протонов или двух нейтронов), как в случае двух тождественных фермионов, необходимо учесть принцип Паули. Суммарная волновая функция должна быть антисимметричной относительно перестановок частиц и наборы квантовых чисел частиц должны отличаться: sz1 ≠ sz2. В этом случае единственно возможным является состояние J=0. Это также легко видеть на примере таблицы Слэтера, где в случае двух тождественных фермионов необходимо убрать диагональные элементы (sz1 = sz2), а также исключить состояния, находящиеся ниже диагонали, чтобы избежать двойного учета состояний, отличающихся обменом sz1 и sz2 (рис. 4.6) В природе реализуется связанное состояние протона и нейтрона (pn) с полным моментом J = 1 – дейтрон. Отсутствие у дейтрона состояния J = 0, а sz1 также отсутствие связанных дипротона (pp) или 1 1 − динейтрона (nn) позволяет сделать вывод о 2 2 sz2 зависимости ядерного взаимодействия от взаимной 1 ориентации спинов нуклонов. − 2

1 2

0

Рис. 4.6 Таблица Слэтера для двух тождественных нуклонов со спином s = ½ .

64

4.5

Какие значения может иметь полный момент системы J, если А. Нейтрон и протон находятся в состояниях l , s : j

l, s : j

1 3

p

= 1, :

2 2

1 3

n

= 1, :

1 3 2 2

1 3

2

= 1, :

2 2

,

?

Б. Два нейтрона находятся в состояниях l , s : j 1 = 1, :

l, s : j

2 2

и

?

В случае А нейтрон и протон не являются тождественными JG JG G 3 3 частицами, поэтому полный момент системы J = + , j = 0; 1; 2; 3. 2

2

В случае Б значения J = 1; 3 запрещены принципом Паули, т.к. в этом случае тождественные частицы будут иметь одинаковый набор квантовых чисел l, s, j, jz, что недопустимо. Поэтому J = 0; 2. В таблице Слэтера представлены возможные значения суммарной проекции полного момента Jz двух фермионов с j1 = j2 = 3/2 на ось z. На рисунке выделены ряды Клебша, состоящие из проекций соответствующих суммарных полных моментов системы: jz1

–3/2

–1/2

–3/2

–3

–2

–1

0

–1/2

–2

–1

0

1

1

–1

0

1

2

3

0

1

2

3

jz2

/2 /2

1

/2

3

/2

Если фермионы тождественны, то они не могут иметь одинаковые наборы n, l, j, jz. Поэтому необходимо исключить все наборы Jz= (j1)z + (j2)z, находящиеся на диагонали таблицы. Кроме того, два состояния, различающиеся обменом (j1)z и (j2)z, являются одним и тем же состоянием. Поэтому можно исключить Jz, находящиеся ниже диагонали. Итак, приходим к следующей таблице

65

jz1

jz2

–3/2 –1/2 1

/2

–3/2

–1/2

1

3

/2

/2

–2····· ····· –1····· ·······0 : : 0 1 : : 2

3

/2

Набор Jz = –2, –1, 0, 1, 2 соответствует J = 2. Оставшееся значение Jz = 0 соответствует j = 0. Таким образом, для тождественных фермионов остаются J= 0 и 2. 4.6

A) Нейтрон находится в p-состоянии. Найдите значения полного момента j и возможные значения проекции момента jz. Каким будет результат измерения орбитального момента частицы в этом состоянии? Б) Рассмотрите задачу А) для протона в d-состоянии.

4.7

A) Частица с собственным моментом s =

3 2

находится в состоянии с

орбитальным моментом l = 2 . Определите полный момент частицы j. Б) Частица с собственным моментом s =

1 2

находится в состоянии с

орбитальным моментом l = 3 . Определите полный момент частицы j. 4.8

Протон и нейтрон находятся в состоянии с относительным орбитальным моментом L = 1 . Определите полный момент системы J.

4.9

На оболочке с квантовым числом n = 1, l = 2 находятся протон и нейтрон. Определить их суммарный полный момент J и его проекцию Jz. Изменится ли результат, если на оболочке n = 1 , l = 2 будут находиться два нейтрона?

4.10

Почему возникают вырожденные состояния?

4.11

Выпишите оператор Гамильтона Hˆ электронов в атоме He.

4.12

Напишите стационарное уравнение Шредингера в сферической системе координат.

66

4.13

Какие квантовые числа характеризуют частицу в центральносимметричной потенциальной яме?

4.14

Покажите, что волновые функции ψ = Ae kx −ωt и ψ = A sin(kx − ωt ) не удовлетворяют зависящему от времени уравнению Шредингера.

4.15

Покажите, что волновые функции ψ = Aei ( kx−ωt ) и ψ = A ( cos(kx − ωt ) − i sin(kx − ωt ) ) удовлетворяют зависящему от времени уравнению Шредингера.

4.16

Частица находится в низшем состоянии n = 1 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L . А) Рассчитайте вероятность обнаружить частицу в интервале ∆x = 0,001L при x = L / 2 , x = 2 L / 3 , x = L . Б) Рассмотрите случай, когда частица находится в состоянии n = 2 при тех же значениях x.

4.17

Частица находится в состоянии n = 2 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L . Рассчитайте вероятность P обнаружить частицу в интервале ( L / 3,2 L / 3) .

4.18

Частица находится в состоянии n = 5 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L . Рассчитайте вероятность P обнаружить электрон в области x от 0,2 L до 0,5 L .

4.19

Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Рассчитайте ширину L потенциальной ямы, если энергия состояния n = 1 равна 0,1 эВ.

4.20

Рассчитайте средние значения x и x 2 для состояний n = 1, 2, 3 в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме.

4.21

Что общего и в чем различие в описании атома водорода в теории Шредингера и в модели Бора?

4.22

Почему энергии атома водорода в теории Шредингера не зависят от обитального квантового числа l?

4.23

Угловой момент характеризуется квантовым числом l = 3. Какие значения могут принимать Lz и L2?

67

Семинар 5. Фундаментальные взаимодействия. Лептоны Со времени открытия электрона прошло более ста лет. До настоящего времени в нашем представлении электрон остается точечной частицей без внутренней структуры, одним из элементарных кирпичиков Вселенной. Открытые вслед за электроном протон и нейтрон обнаружили впоследствии сложную структуру. Представления об элементарных составляющих нашего мира, об их взаимодействии, о математическом описании элементарных частиц привели к созданию «Стандартной модели фундаментальных частиц и взаимодействий» – выдающегося результата развития теоретической физики второй половины XX века. Эта наиболее полная из когда-либо созданных физических теорий в настоящее время подтверждена с высокой точностью многочисленными экспериментами и позволяет описать широкий круг явлений до расстояний порядка 10–17 см. Стандартная модель представляет собой теорию элементарных составляющих материи, фундаментальных фермионов, и фундаментальных взаимодействий (исключая гравитацию). Переносчиками этих взаимодействий являются фундаментальные калибровочные бозоны. Для расчетов и качественного обсуждения явлений обычно используется техника диаграмм Фейнмана. 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.1.

Фундаментальные взаимодействия Диаграммы Фейнмана Калибровочные бозоны Лептоны Задачи

Фундаментальные взаимодействия.

Фундаментальными частицами Стандартной Модели являются лептоны, кварки и калибровочные бозоны. Кварки и лептоны, частицы с полуцелым спином, образуют вещество. Всего известно шесть лептонов, формирующих три поколения: Лептон

Электронное нейтрино ν е Электрон е − Мюонное нейтрино ν µ Мюон µ − Тау-нейтрино ν τ Тау-лептон τ −

Mасса mc2, МэВ

< 2·10–6 0,511 < 0,19 105,66 < 18,2 1777

68

Время жизни, с

∞ 2,2·10–6 2,9·10–13

Электрический заряд

0 –e 0 –e 0 –e

Шесть кварков также сгруппированы в три поколения: Mасса mc2, МэВ

Кварк

Верхний (up) Нижний (down) Очарованный (charmed) Странный (strange) Топ-кварк (top) Ботом-кварк (bottom)

Электрический заряд

2,3 4,8 1,3·103 95 173·103 4,7·103

u d c s t b

+ 2/3 – 1/3 + 2/3 – 1/3 + 2/3 – 1/3

e e e e e e

Из кварков состоят адроны (частицы, принимающие участие в сильном взаимодействии), подразделяющиеся на барионы (адроны с полуцелым спином) и мезоны (адроны с целым спином). Протон и нейтрон относятся к классу барионов. Каждому фермиону соответствует его античастица, имеющая ту же массу и спин, но противоположный знак электрического заряда, магнитного момента и ряда других квантовых чисел. В природе известно четыре типа фундаментальных взаимодействий: сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное. В масштабах физики элементарных частиц вклад гравитации несущественен и данное взаимодействие не входит в теоретическую схему Стандартной Модели. Основные свойства фундаментальных сил приведены в таблице: Взаимодействие

Взаимодействующие фермионы

Квант поля (калибровочный бозон)

Спин

Сильное

Кварки

8 глюонов g

1

Электромагнитное

Частицы, имеющие электрический заряд

Фотон γ

1

Слабое

Кварки, лептоны

Бозоны W , Z

±

1

Гравитационное

Все частицы

«Гравитон»

2

Переносчики фундаментальных взаимодействий – калибровочные бозоны, составляют еще один класс фундаментальных частиц Стандартной Модели. Квантом электромагнитного поля является фотон, γ-квант, обладающий нулевой массой. Посредством обмена фотоном взаимодействуют все частицы, обладающие такой характеристикой, как электрический заряд: кварки, заряженные лептоны и бозоны. Для описания электромагнитного взаимодействия разработан вариант релятивисткой теории поля – квантовая электродинамика (КЭД). В слабом взаимодействии принимают участие частицы, обладающие так называемым слабым зарядом – это кварки и лептоны. Переносчиками ± слабого взаимодействия являются массивные калибровочные бозоны W и 69

Z. Крупнейшим достижением теоретической физики XX века стало построение теории электрослабого взаимодействия кварков и лептонов, объединяющей электромагнитное и слабое взаимодействия и включающей в себя КЭД. Участвующие в сильном взаимодействии частицы должны обладать квантовой характеристикой – цветовым зарядом, носителями которого являются кварки. Также цветом обладают переносчики сильного взаимодействия – восемь безмассовых глюонов g. Для описания сильного взаимодействия на фундаментальном уровне построена теория, называемая квантовой хромодинамикой (КХД). Между составными системами, барионами, не обладающими цветом в явном виде, действует остаточное сильное взаимодействие, примером которого являются ядерные силы между нуклонами. Переносчиками этих сил являются мезоны. Бозон Хиггса – массивный квант поля Хиггса, ответственного за возникновение масс фундаментальных частиц. Открыт в 2012 году в экспериментах на Большом адроном коллайдере (ЦЕРН, Женева). Бозон Хиггса имеет спин J = 0 и массу mc2 ~ 125 ГэВ. 5.2.

Диаграммы Фейнмана.

Фундаментальное взаимодействие сводится к точечному испусканию и поглощению одного калибровочного бозона фермионом. Стандартная Модель позволяет рассчитать результат этого взаимодействия с помощью специальной техники, которая носит название диаграмм Фейнмана. Диаграммы Фейнмана — универсальный графический способ изображения развития во времени превращения элементарных частиц в терминах элементарных актов взаимодействия, дополненный алгоритмом расчёта вероятности этих процессов. В Стандартной Модели все фундаментальные фермионы обладают способностью испускать или поглощать в одном акте только один из переносчиков взаимодействия. В соответствие с тем, какой именно калибровочный бозон испускает и поглощает фундаментальный фермион, говорят о сильном, слабом и электромагнитном взаимодействиях. Чтобы изобразить эти процессы на диаграммах, вводят вершину, в которой происходит элементарный акт взаимодействия (рис. 5.1).

b бозон (8g, W±, Z, γ)

f фермион (лептон, кварк)

•

f

вершина взаимодействия

фермион (лептон, кварк)

Рис.5.1. Фундаментальная вершина, описывающая локальное взаимодействие в квантовой теории (элементарный узел диаграммы Фейнмана). 70

В дальнейшем будем предполагать, что ось времени на диаграммах направлена слева направо. Таким образом, слева находятся все частицы, существовавшие в начале процесса, справа – конечный набор частиц. Фермионы обозначаются сплошной линией со стрелкой, направление которой обозначает частицу или античастицу. Фермионная линия (ток) должна быть непрерывна. Бозонные линии обозначаются в соответствии с типом переносимого взаимодействия. Примеры элементарных вершин для трех взаимодействий приведены в таблице: Взаимодействие

Сильное Электромагнитное Слабое

Заряд

Кварки

Лептоны

Цветовой заряд Электрический заряд Слабый заряд Заряженные бозоны W± изменяют аромат d → u, e– → ν Нейтральный бозон Z не может изменить аромат частицы

Точки испускания или поглощения бозонов соответствуют вершинам взаимодействия. Если линия, соответствующая частице, заключена между двумя вершинами, то речь идет о виртуальной частице, которая выполняет роль переносчика взаимодействия. В этом случае в вершине выполняются все законы сохранения для соответствующего взаимодействия, кроме закона сохранения энергии. Если образование виртуальной частицы нарушает баланс энергии на величину ∆Е, то время, в течение которого допустимо данное нарушение, определяется соотношением неопределенности: ∆t ≈ / ∆E . В момент поглощения виртуальной частицы баланс энергии восстанавливается. Для виртуальной частицы не выполняется соотношение E 2 = p 2c 2 + m 2c 4 Если же один конец линии свободен, то речь идет о реальной частице, для которой должны выполняться все законы сохранения.

Рис. 5.2. Диаграмма взаимодействия двух фермионов

Константы связи. Силу взаимодействия в теории поля характеризует соответствующая константа связи, соответствующая вероятности испускания или поглощения кванта этого поля. Значения данных констант зависят от масштаба расстояний, на которых происходит взаимодействие, или, что одно и то же – от масштаба энергий процесса. 71

Энергия, ГэВ

0,1 1 100

Сильного αs

Константы взаимодействия Электромагнитного αem

1 0,4 0,1

1/137 1/133 1/128

Слабого αw

1/27 1/28 1/30

Для частиц со спином J = 0 амплитуду A процесса, показанного на рис. 5.2, можно представить в виде: A ∼ α ⋅ [ пропагатор ] ⋅ α . Пропагатор ∼ ( m 2c 2 − q 2 ) , где q 2 = E 2 / c 2 − q 2 ― квадрат 4-импульса −1

виртуальной частицы массы m. Вероятность процесса пропорциональна квадрату модуля амплитуды 2 A и определяется несколькими факторами. В первую очередь, это величина константы взаимодействия, так как каждая вершина дает вклад ~ α. Вовторых, это степень виртуальности частицы-переносчика, то есть степень нарушения соотношения E 2 = p 2c 2 + m 2c 4 . Существенную роль играет также энергия реакции ― чем реакция энергетически выгоднее, тем больше ее вероятность. 5.3.

Калибровочные бозоны.

Электрический заряд Спин Масса Полная ширина Каналы распада W+ W + → e +ν e W + → µ +ν µ W + → τ +ν τ W + → адроны

Электрический заряд Спин Масса Полная ширина Каналы распада Z Z Z Z Z Z

→ e+ e− → µ+µ− → τ +τ − → invisible → адроны

Слабое взаимодействие ± W -бозоны Q J mWс2 Г

±1e 1 80,385 ± 0,015 ГэВ 2,085 ± 0,042 ГэВ

(распад W– происходит по зарядово-сопряженным каналам)

(10,71 ± 0,16)% (10,63 ± 0,15)% (11,38 ± 0,21)% (67,41 ± 0,27)% Z-бозон Q J mZс2 Г (3,363 ± 0,004)% (3,366 ± 0,007)% (3,370 ± 0,008)% (20,00 ± 0,06)% (69,91 ± 0,06)% 72

0 1 91,1876 ± 0,0021 ГэВ 2,4952 ± 0,0023 ГэВ

Электромагнитное взаимодействие Фотон γ Электрический заряд < 1·10–35 e Q Спин 1 J 2 < 1·10–18 эВ Масса mγс Время жизни Стабилен τ Пространственная четность –1 P Зарядовая четность –1 С Изотопический спин 0, 1 I Сильное взаимодействие Глюоны g (8 видов) Электрический заряд 0 Q Спин 1 J 2 0 Масса mgс Пространственная четность –1 Р Изотопический спин 0 I (данные из K.A. Olive et al. (PDG), Chin. Phys. C, 38, 090001 (2014))

5.4.

Лептоны

Класс лептонов образуют частицы со спином J = 1/2, не участвующие в сильных взаимодействиях. Это электрон е − , отрицательно заряженные мюон µ − и тау-лептон τ − и три нейтральные частицы ― электронное нейтрино ν е , мюонное нейтрино ν µ и тау-нейтрино ν τ . Заряженные лептоны участвуют в электромагнитном и слабом взаимодействии, нейтрино – только в слабом. Лептоны считаются бесструктурными частицами. Размер их < 10−17 см. Лептоны формируют три поколения, состоящие из заряженного лептона и нейтрино. Каждый лептон имеет античастицу. Это позитрон е + , положительно заряженные мюон µ + и таон τ + и три типа антинейтрино ν е , ν µ , ν τ . Частицы

Античастицы Поколения

I

νе е−

II

νµ µ−

III

I

ντ τ−

νе

II

νµ

е+

µ+

III

ντ

τ+

Закон сохранения лептонных чисел

Во всех процессах, происходящих в замкнутой системе в результате сильных, слабых или электромагнитных взаимодействий, лептонные числа Le, Lµ, Lτ сохраняются порознь.

73

Основные характеристики заряженных лептонов Электрон Мюон Тау-лептон Масса, mc2 (МэВ) Спин J ( ) Электрический заряд (e) Магнитный момент ( e / (2mc) ) Лептонное число: Электронное Le Мюонное Lµ Таонное Lτ Время жизни τ Каналы распада

0,511 1/2 –1 1,001

105,66 1/2 –1 1,001

1777 1/2 –1 1 ± 0,05

+1 0 0 > 5·1026 лет

0 +1 0 2,2·10-6 c e −ν eν µ

0 0 +1 2,9·10-13 c e −ν eν τ , µ −ν µν τ адроны ν τ

Основные характеристики нейтрино Электронное Мюонное Тау-нейтрино нейтрино нейтрино Масса, mc2 (МэВ) Спин J ( ) Электрический заряд (e) Магнитный момент ( e / (2mc) ) Лептонное число: Электронное Le Мюонное Lµ Таонное Lτ

< 2·10–6 1/2 0 < 10–10

< 0,19 1/2 0 < 7·10–10

< 18,2 1/2 0 < 4·10–7

+1 0 0

0 +1 0

0 0 +1

Спиральность частицы h определяется взаимным направлением векторов спина s и импульса p : s⋅p . h= s⋅ p Частицы с нулевой массой имеют определенную спиральность и для них она является «хорошим квантовым числом», то есть сохраняется. Нейтрино всегда имеет отрицательную спиральность h = –1, то есть является частицей с левой поляризацией, направление вектора спина противоположно направлению движения частицы. Антинейтрино, наоборот, всегда имеет положительную спиральность h = +1, то есть правополяризованно. Определенная спиральность нейтрино накладывает ограничения на некоторые распады, например, запрещен распад нейтрального пиона на нейтрино и антинейтрино π 0 → ν e + ν e . Все законы сохранения (энергии, электрического заряда, электронного лептонного числа) выполнены. Однако данный канал распада π0 запрещен. При распаде π 0 → ν e + ν e , 74

исходя из закона сохранения импульса, нейтрино должны разлетаться строго в противоположные стороны. Момент количества движения ν e и ν e

J = sν + sν = 1 . Однако, спин π 0 -мезона равен J = 0, то есть данный распад невозможен из-за нарушения закона сохранения момента количества движения. J i = J π = 0, J f = sν + sν = 1 ν

π0

ν pν

pν

sν

sν

Рис. 5.3. Взаимное направление импульсов и собственных моментов продуктов распада π 0 -мезона в СЦИ.

Задачи 5.1.

Покажите, что из представления об обмене виртуальными частицами, лежащего в основе квантовой теории поля, следует закон Кулона для силы, действующей между двумя электрическими зарядами.

Обмен виртуальным фотоном приводит к изменению (передаче) импульса ∆р и создаёт силу f = ∆p / ∆t , где ∆t – время передачи импульса. Если r – расстояние между зарядами, то для безмассового фотона ∆t = r / c . Из соотношения неопределённостей r ⋅ ∆p ≈ и для f получаем ∆p /r c f = = = 2. ∆t r/c r Число виртуальных фотонов, испускаемых одним зарядом Ze, пропорционально множителю Z α e , поэтому окончательное выражение для электрической силы F, действующей между зарядами Z 1 е и Z 2 е, содержит произведение e2 Z 1 α е ⋅ Z 2 α е = Z1 Z 2 . c Таким образом, Z1 Z 2 ⋅ e 2 e2 F = const ⋅ Z1Z 2 ⋅ f = const . r2 c 5.2.

Нарисуйте основные диаграммы Фейнмана для следующих процессов: 1) рассеяние электрона на электроне; 2) эффект Комптона; 3) электрон-позитронная аннигиляция; 4) фотоэффект в кулоновском поле ядра; 5) образование электрон-позитронной пары в кулоновском поле ядра. Какие виртуальные частицы участвуют в этих процессах? 75

1)

Рассеяние электрона на электроне. Виртуальная частица − фотон.

2)

Эффект Комптона. Виртуальная частица − электрон.

3) Электрон-позитронная аннигиляция. Виртуальная частица − электрон

или позитрон.

4) Фотоэффект в кулоновском поле ядра. Виртуальная частица − фотон.

γ

Электрон на − оболочке атома е

е − Свободный электрон

γ Ядро ( A, Z) 5) Образование электрон-позитронной пары в кулоновском поле ядра.

Виртуальная частица − фотон.

γ

е+

γ

е− е+

е−

γ

γ

Ядро ( A, Z)

5.3.

Ядро ( A, Z)

Оцените отношение сечения двух- и трехфотонной аннигиляции электрона и позитрона. Нарисуйте соответствующие диаграммы Фейнмана.

На рисунке приведены диаграммы Фейнмана двух и трехфотонных e+e–аннигиляций: 76

е+

е+

e

e

e−

e− Вершинная функция электромагнитного взаимодействия пропорциональна константе связи gem ∼ α em . Диаграмме с N узлами соответствует амплитуда N процесса, пропорциональная g em Сечение процесса с N узлами 2N пропорционально g em . В случае двухфотонной аннигиляции фейнмановская диаграмма имеет две вершины, поэтому сечение этого процесса можно оценить так 1 4 2 σ 2γ ∼ g em = α em = 137 2 В случае трехфотонной аннигиляции фейнмановская диаграмма имеет три вершины, и сечение этого процесса пропорционально 1 6 3 σ 3γ ∼ g em = α em = 1373 То есть отношение сечений 4 σ 2γ g em = 6 = 137 σ 3γ g em

5.4.

Одним из способов образования мюонов является распад заряженного пиона: π + → µ + + ν µ или π − → µ − + ν µ . Рассчитайте энергии мюонов, рождающихся в двухчастичном распаде π + мезона. Почему подавлены распады с образованием электронной лептонной пары π + → e+ + ν e и π − → e− + ν e ?

Распад π + -мезона с вероятностью 99,99% происходит на две частицы: π + → µ + + ν µ . mπ + c 2 = 139,6 МэВ, mµ c 2 = 105,7 МэВ. Точное значение массы

ν µ неизвестно, но установлено, что она на несколько порядков ниже

разности масс π + и µ+. Q = mπ c 2 − mµ c 2 = 33,9 МэВ. В дальнейшем расчете малой массой покоя нейтрино можно пренебречь и считать нейтрино ультрарелятивистской частицей. Используя кинематические соотношения для продуктов двухчастичного распада в случае образования безмассовой частицы (1.37) из задачи 1.4, получим для кинетической энергии мюона: Тµ

( тπ c =

2

− тµ c 2

2тπ c 2

Энергия мюонного нейтрино

77

)

2

= 4,1 МэВ.

( тπ c ) − ( тµ c ) = 2 2

Eν

2тπ c 2

2

2

,

ее также можно найти из закона сохранения энергии:

(

)

Еν = тπ c 2 − тµ c 2 − Т µ = 29,8 МэВ.

В случае распада π + -мезона на электронную лептонную пару π + → e+ +ν e энергия распада будет составлять Q = mπ c 2 − mec 2 = 139,1 МэВ. Кинетическая энергия позитрона составит при этом Te ≈ mπ c 2 / 2 ≈ 70 МэВ , что значительно больше его массы покоя. Таким образом, в данном распаде должен образоваться ультрарелятивистский позитрон, обладающий, как и безмассовая античастица, определенной спиральностью (h = +1). Тогда, как и в случае распада π 0 → ν e + ν e (см. рис. 5.3), взаимная ориентация спинов продуктов распада приводит к значению спина распадающейся частицы J = 1, в то время как π-мезон имеет нулевой спин. Поэтому, несмотря на более выгодный энергетический баланс реакции, распад заряженного πмезона на электронную лептонную пару сильно подавлен. 5.5.

Нарисуйте диаграмму Фейнмана распада мюона µ − → е − + ν е + ν µ .

При построении диаграммы Фейнмана этого процесса следует учесть, что главный вклад вносит низшая (минимальная) по числу вершин диаграмма. Такая диаграмма показана на рисунке. Отметим, что в вершинах соблюдаются законы сохранения лептонных зарядов Lµ и Le.

Основная диаграмма распада отрицательного мюона

5.6.

Определите максимальную кинетическую энергию Те и импульс pe электрона, образующегося при распаде мюона µ − → е − + ν е + ν µ .

В случае распада на три частицы энергии и импульсы продуктов распада не могут быть однозначно определены, спектр вылетающих частиц носит непрерывный характер. Область возможных значений энергий продуктов реакции ограничена предельными значениями, называемыми «верхняя граница спектра». Максимальная кинетическая энергия электрона соответствует случаю, когда импульсы нейтрино и антинейтрино сонаправлены и направлены в противоположную сторону от импульса электрона. Поскольку массы нейтрино полагаем равными нулю, то данный случай

78

соответствует двухчастичному распаду с образованием безмассовой частицы (соотношение (1.36), задача 1.4): Q2 = 52,3 МэВ. Te = 2mµ c 2 Кинетическая энергия электрона в этом распаде на два порядка выше, чем его энергия покоя (0,511 МэВ). Импульс образовавшегося электрона

pе =

(Т е ) 2 + 2тес 2Т e МэВ МэВ . = (52,32)2 + 2 ⋅ 0,511 ⋅ 52,32 = 52,83 с с с

5.7. Какие из приведенных ниже реакций под действием антинейтрино возможны, какие запрещены и почему: 1) ν µ + р → n + µ + ;

2) ν e + n → р + µ − ; 3) ν µ + n → р + µ − . Реакции происходят в результате слабого взаимодействия. Определим изменения электрического заряда Q, лептонного электронного Le и мюонного Lµ чисел в этих реакциях:

νµ + p → n + µ+

1)

Q: Le: Lµ:

0+1→0+1 0+0→0+0 −1 + 0 → 0 − 1

∆Q = 0 ∆Le = 0 ∆Lµ = 0.

Реакция возможна, так как все рассмотренные законы сохранения выполнены. νe+ n → p + µ−

2)

Q: Le: Lµ:

0+0→1−1 −1 + 0 → 0 + 0 0+0→0+1

∆Q = 0 ∆Le = 1 ∆Lµ = 1.

Реакция невозможна, так как не сохраняются электронное и мюонное лептонные числа. ν µ + n → p + µ−

3)

Q: Le: Lµ:

0+0→1−1 0+0→0+0 −1 + 0 → 0 + 1

∆Q = 0 ∆Le = 0 ∆Lµ = 2.

Реакция невозможна, так как не сохраняется мюонное лептонное число. 5.8.

Рассмотрите взаимодействие реакторного антинейтрино с веществом. Нарисуйте простейшие диаграммы Фейнмана такого взаимодействия. 79

Реакторное антинейтрино − электронное, то есть ν e . Вещество состоит из кварков первого поколения u, d и электронов e–. Все возможные диаграммы взаимодействия ν e с этими частицами легко получить из диаграммы распада d -кварка, d→u+ e–+ν e , ответственного за распад нейтрона n →p+e–+ν e :

Из этой диаграммы получаем диаграммы взаимодействия ν e с u -кварком и электроном:

ν e может рассеиваться на d-кварке и на u -кварке с участием Z -бозона.

Аналогичный вид имеют диаграммы рассеяния ν e на электроне. 5.9.

Определите длину L и время t пробега реакторного антинейтрино в воде. Сечение взаимодействия нейтрино σ ≈ 10−43 см2.

Число нейтрино прошедших через слой вещества толщиной х,

N ( x) = N (0)exp(− nσ x), n — количество ядер вещества в единице объема. L — длина, на которой поток антинейтрино уменьшается в е раз, то есть L = 1 / nσ . n = ρ N A / A , N A — число Авогадро, ρ — плотность вещества, A — молярная масса. Для воды ρ = 1 г/см3, A(H 2 0) = 18 . 1 A 18 = = = 3 ⋅ 1020 см = 3 ⋅ 1015 км. L= 3 23 2 −43 nσ ρ N Aσ 1 г/см × 6 ⋅ 10 × 10 см L 3 ⋅ 1015 км = 1010 с ≈ 320 лет, (1 год ≈ 3,156 ⋅ 107 с). t= = 5 c 3 ⋅ 10 км/с 5.10.

Исходя из характеристик переносчиков слабого взаимодействия, определите радиус слабых сил.

Исходя из соотношения неопределенностей можно получить связь радиуса слабого взаимодействия с массой его переносчиков mW = 80 ГэВ/c2:

80

нарушение закона сохранения энергии на величину ∆E = mW c 2 происходит в

течение интервала времени ∆t ≤ / ∆E ≈ / ( mW c 2 ) . rW ≈

c 0,2 ГэВ ⋅ фм ≈ = 2 ⋅ 10−3 фм 2 mW c 80 ГэВ

5.11.

Нарисуйте диаграммы следующего порядка малости рассеяния электрона на электроне. Оцените вклад от этих диаграмм.

5.12.

Перечислите лептонные числа лептонов и антилептонов. Какие квантовые числа сохраняются в реакциях и распадах с участием лептонов? Каковы общие свойства лептонов?

5.13.

Какие из указанных реакций разрешены, а какие запрещены и почему? Для разрешенных процессов нарисуйте диаграммы Фейнмана. 1) ν µ + p → µ + + n, ν µ + n → e − + p; µ − → e− + ν e + ν µ ; 2) µ − → e − + γ ,

3) π − → e − + ν e , 4) ν µ + p → µ + + n, 5.14.

5.15.

Какие из перечисленных реакций с участием антинейтрино возможны, какие запрещены и почему? + 1) ν e + p → n + e

+ 4) ν µ + n → p + e

+ 2) ν µ + n → p + µ

5) ν µ + n → p + µ

− + + 3) ν e + p → e + Σ + K

− 6) ν e + n → p + e

5.17.

−

Проверьте сохранение лептонных чисел в следующих распадах: 3) τ + → µ + + ν τ + ν µ , 1) µ + → e + + ν e + ν µ , 2) n → p + e − + ν e ,

5.16.

τ − → e− + ν e + ν τ ; τ − → µ − +ν µ +ντ .

4) π + → µ + + ν µ .

Какую энергию Ee* должны иметь встречные пучки e + e − для рождения τ +τ − -лептонов? Рассчитайте порог Te рождения e + + e − → τ + + τ − на неподвижном электроне. Объясните различие пороговых энергий для реакций на неподвижной мишени и на встречных пучках. В каких реакциях можно обнаружить образование ν τ и ν τ ?

5.18.

Опишите эксперимент Райнеса электронного антинейтрино.

5.19.

Какие массы имеют τ + - и τ − -лептоны? Приведите реакции их распада, нарисуйте диаграммы Фейнмана.

5.20.

Исходя из времени жизни, оцените ширины распада µ − и τ − . 81

и

Коэна

по

обнаружению

5.21.

Нарисуйте диаграммы Фейнмана следующих распадов: 1) µ + → e + + ν e + ν µ 2) τ + → µ + + ν µ + ν τ 3) µ − → e − + ν µ + ν e 4) τ − → µ − + ν τ + ν µ 5) τ − → e − + ν τ + ν e 6) τ + → e + + ν e + ν τ

5.22.

Чем отличаются ν µ от ν τ ?

5.23.

Возможны ли следующие реакции: ν е +ν е → е − + е + , ν е +ν е → е − + е + ? Для возможных реакций нарисуйте диаграммы Фейнмана.

5.24.

Могут ли взаимодействовать два нейтрино? Если могут, то нарисуйте наиболее вероятную диаграмму этого взаимодействия.

5.25.

Для каких частиц спиральность точное, а для каких – приближенное квантовое число? Обоснуйте ответ.

5.26.

Что можно сказать о спиральности фотона? Как ориентирован спин фотона относительно его импульса?

5.27.

Какие процессы описывают следующие диаграммы?

5.28.

Какой из каналов распада заряженного K-мезона на лептонную пару разрешен, а какой запрещен и почему? Рассчитайте энергии продуктов распада.

82

Семинар 6. Кварки. Адроны. К середине XX века число обнаруженных элементарных частиц превысило 100. Стало ясно, что эти частицы не отражают предельный элементарный уровень организации материи. В 1964 г. М. Гелл-Манн и Д. Цвейг независимо предложили модель кварков – фундаментальных объектов, из которых состоят сильно взаимодействующие частицы – адроны. Первоначально модель включала в себя три кварка: u, d и s. Впоследствии к ним были добавлены еще три: c, b и t. Существование кварков подтверждено экспериментально. Самый тяжелый кварк – t-кварк массой 174 ГэВ был обнаружен в 1995 году. Кварки и лептоны образуют вещество во Вселенной. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. 6.9.

Кварки Адроны – системы связанных кварков Размеры адронов Адроны – бесцветные состояния цветных кварков Глюоны – переносчики сильного взаимодействия Адронные струи Электрический заряд u и d кварков Супермультиплеты Антибарионы Задачи

6.1. Кварки В Стандартной Модели существует три поколения фундаментальных фермионов, принимающих участие во всех взаимодействиях, – кварков. В каждом поколении есть верхний кварк – это u (up), очарованный c (charm) и t (top)–кварки, и нижний кварк – d (down), странный s (strange) и b (bottom). Все кварки имеют спин J = 1/2 и четность Р = +1. Верхние кварки имеют электрический заряд Qq = +2/3e, нижние – Qq = – 1/3e. Кварки имеют барионное число B = 1/3. Каждый кварк характеризуется ароматом, который определяется соответствующим квантовым числом. Согласно формализму Стандартной Модели данные квантовые числа нижних кварков отрицательны. Основные характеристики кварков приведены в таблице: Кварк

Масса токового кварка mqc2, МэВ

Масса кварка в составе адрона, ГэВ

Аромат

Электрический заряд

u d c s t b

2,3 4,8 1,3·103 95 173·103 4,7·103

0,33 0,33 1,8 0,51 173 5

I3 = +1/2 I3 = –1/2 c=1 s = –1 t=1 b = –1

+ 2/3 e – 1/3 e + 2/3 e – 1/3 e + 2/3 e – 1/3 e

83

Масса токового кварка – это масса кварка, не взаимодействующего с глюонами и другими кварками, то есть «голого» кварка. Каждому кварку соответствует античастица – антикварк. Антикварки обладают такими же массами, что и кварки, имеют спин 1/2, но отрицательную четность. Знаки всех зарядов: электрического, барионного, ароматов, – у антикварков меняются на противоположные. 6.2. Адроны − системы связанных кварков Кварки объединяются в частицы, называемые адронами. Адроны − связанные системы кварков и антикварков. Существуют адроны двух типов – барионы (барионный заряд В = +1), состоящие из трёх кварков (qqq), и являющиеся фермионами (J = 1/2, 3/2, …) и мезоны (В = 0), состоящие из кварка и антикварка ( qq ) и являющиеся бозонами (J = 0, 1, 2, …). Антибарионы (В = −1) состоят из трех антикварков ( q q q ) .

Адроны

Барионы qqq, B =+1

Мезоны qq , B =0

Антибарионы q q q , B =−1

Рис.6.1. Типы адронов и их кварковый состав

Квантовые числа кварков, образующих адрон, определяют квантовые числа адронов. Адроны имеют определенные значения электрического заряда Q, спина J, чётности P, изоспина I. Квантовые числа s (странность), c (очарование или шарм), b (bottom) и t (top) разделяют адроны на обычные нестранные частицы (р, n, π, …), странные частицы (K, Λ, Σ, …), очарованные (D, Λ с , Σ с , …) и боттом-частицы (B, Λ b , Ξ b ). t-кварк, имея время жизни ≈ 10−25 с, не успевает образовать связанного состояния. Всё многообразие адронов возникает в результате различных сочетаний u-, d-, s-, c-, b-кварков, образующих связанные состояния. Барионное число B − квантовая характеристика частиц, отражающая установленный до открытия кварков эмпирический закон сохранения числа барионов. Закон сохранения числа барионов Во всех процессах, происходящих в природе, разность числа барионов и антибарионов сохраняется Барионное число является аддитивным квантовым числом. Барионные числа адронов – следствие их кварковой структуры. Кваркам 84

приписывают барионное число В = +1/3, а антикваркам В = −1/3. Все частицы, состоящие из трех кварков (барионы), имеют барионное число В = +1, частицы из трех антикварков (антибарионы) − B = −1, а частицы, состоящие из кварка и антикварка (мезоны), − B = 0. 6.3.

Размеры адронов.

В отличие от точечных кварков, адроны – протяжённые объекты, т. е. имеют размер ≈ 1 Фм. Среднеквадратичные зарядовые радиусы протона р, пиона π и каона K дают представление о размере области пространства, в которой распределён электрический заряд адрона:

r2

p

= 0,86 Фм,

r2

π

= 0,67 Фм,

r2

K

= 0,58 Фм.

Конечные размеры адронов обусловлены их составной структурой. В состав адронов входят глюоны, связывающие кварки, и непрерывно рождающиеся и исчезающие виртуальные пары кварк-антикварк. 6.4.

Адроны − бесцветные образования из цветных кварков

Кварковая модель в начальном варианте не содержала понятия «цвет». Эта модель смогла представить все многочисленное семейство адронов в виде трех кварковых комбинаций − qqq (барионы), q q q (антибарионы) и qq (мезоны). Однако оставалось неясным, почему других комбинаций кварков, например, qq, q q , qqq , qq q , qqqq, qqqq , qq q q и т.д. в природе нет. Отдельные кварки также не наблюдаются. Кроме того, известны барионы из трех тождественных кварков: uuu ( ∆+ + -резонанс), ddd ( ∆− -резонанс) и sss ( Ω − -гиперон), в которых кварки находились в одинаковых квантовых состояниях, что противоречило принципу Паули. Все эти трудности начального варианта кварковой модели снялись введением для кварков еще одного квантового числа, названного цветом. Это квантовое число имеет три значения, которые обычно обозначают красный (к), зеленый (з) и синий (с). Таким образом число кварков утраивается: например, u-кварк может быть красный uк, зеленый uз или синий uc. Антикварк несет отрицательный цветовой заряд – антицвет ( uк , uc , u з ) С введением цвета ∆+ + -резонанс можно представить как комбинацию трех u-кварков в разных цветовых состояниях: ∆+ + = uкuзuс, что восстанавливает справедливость принципа Паули в физике адронов. Однако, если uкuзuс − это единственный вариант ∆+ + -резонанса, то для протона можно предложить несколько кандидатов, не нарушая принципа Паули: uкuзdс, uкuзdз, uсuкdк и т. д. Но в природе существует только одно протонное состояние, и введение нового квантового числа «цвет» не должно увеличивать число наблюдаемых состояний. Выходом из этой ситуации явилось принятие постулата о бесцветности наблюдаемых квантовых состояний адронов. Бесцветность адронов означает, что в них кварки разного цвета представлены с равными 85

весами. О таких бесцветных состояниях говорят как о цветовых синглетах. Они инвариантны относительно преобразований в трехмерном цветовом пространстве. Если цветовой индекс кварка принимает три значения α = 1, 2, 3, то такие преобразования имеют вид

qα =

3

∑ uαβ q β

β =1

при условии ортонормированности цветовых состояний 3

∗ = δ βγ , ∑ uαβ uαγ

α =1

где (∗) означает комплексное сопряжение, а δ βγ − символ Кронекера. В отличие от цветных кварков, их наблюдаемые комбинации − адроны − всегда бесцветны. 6.5.

Глюоны – переносчики сильного взаимодействия

Сильное взаимодействие между кварками переносят глюоны. В отличие от фотонов, переносящих электромагнитное взаимодействие и имеющих при этом нулевой электрический заряд, глюоны обладают цветом. Каждый глюон имеет пару цветовых зарядов – цвет и антицвет. Согласно теории групп, всего из трех цветов ( к , с , з ) и трех антицветов ( к , c , з ) для глюонов можно составить девять возможных парных комбинаций цвет-антицвет, причем одна из них представляет собой синглет, в котором цветные заряды нейтрализуют друг друга: 1 g0 = (кк + сс + зз ) 3 В результате данная комбинация является бесцветной и не взаимодействует с кварками, и такого глюона не существует. Остается восемь глюонов, переносящих цветное взаимодействие, шесть из которых, g1 – g6, обладают явным цветом, а два, g7 и g8, представляют комбинации с так называемым скрытым цветом: g1 = кз , g 2 = кс , g3 = зк , g 4 = зс , g5 = ск , g 6 = сз ,

1 1 ( кк − зз ) , g8 = ( кк + зз − 2сс ) 2 6 Пример возможного взаимодействия кварков в нейтроне показан на рис. 6.2. g7 =

Рис.6.2. Взаимодействие цветных кварков q и глюонов g в нейтроне.

86

Поскольку глюоны обладают цветом, для них возможны процессы взаимодействия глюонов между собой, как показано на рис. 6.3.

Рис. 6.3 Глюонные вершины: а) «расщепление» глюона на два (например, кз → сз + кс ), б) рассеяние глюона на глюоне с одноглюонным обменом, в) прямое четырехглюонное взаимодействие.

Взаимодействие глюонов ответственно за удержание кварков внутри адрона. В отличие от константы электромагнитного взаимодействия, константа сильного цветного взаимодействия растет с увеличением расстояния между кварками, что приводит к принципиально новому поведению системы кварков и глюонов. При увеличении расстояния между кварками и глюонами их энергия взаимодействия растёт. В результате свободные кварки и глюоны в природе не наблюдаются. Они «заперты» внутри бесцветных адронов. Это явление носит название конфайнмент. 6.6.

Адронные струи

Кварки являются цветными объектами, поэтому они не могут существовать в свободном состоянии. Подхватывая из вакуума кварки и антикварки, родившийся в столкновении частиц цветной кварк на масштабе ~ 10–13 см превращается в бесцветные адроны. Этот процесс называется адронизацией. На рис. 6.4 показано образование заряженных мезонов и протонантипротонной пары в результате e–e+-аннигиляции.

Рис. 6.4. Образование π +π − и pp в e+ e− столкновениях.

Если энергия первоначально образовавшейся кварк-антикварковой пары достаточно велика, то в результате образуется большое количество адронов, летящих в одном направлении – адронных струй. Наблюдение адронных струй с предсказанными Стандартной Моделью характеристиками является доказательством существования кварков. 6.7.

Электрический заряд u и d кварков

Поскольку адроны имеют целочисленные заряды, то суммарные заряды адронных струй также целочисленны. Однако если повторять один и тот же опыт по рождению струй много раз и определять средний по событиям суммарный электрический заряд струи, то он оказывается дробным и величина его именно такая, какая и должна быть у кварка, образующего 87

соответствующую адронную струю. В столкновениях мюонных нейтрино (антинейтрино) с нуклоном, ν µ N и νµ N , заряженный W + (или W − ) бозон может поглотиться лишь кварком d (или u) нуклона, превратившись в кварк u (d), который, вылетая из нуклона, образует струю адронов. ν µ + d → µ − + u. Соответствующая диаграмма с учётом того, что кварк d входит в состав нуклона-мишени (например, протона), показана на рисунке 6.5.

µ−

νµ

кварки наблюдатели

u u

струя назад

W+

qq − пары протон

d u u

лидирующий кварк u струя вперёд

Рис. 6.5. Диаграмма рождения адронных струй при столкновении ν µ с протоном.

ν µ будет взаимодействовать с u-кварком ν µ + u → µ + + d. Кварк u или d, получив в глубоконеупругом столкновении основную часть энергии ν µ (ν µ ), приобретает большую скорость и вылетает из нуклона в переднюю полусферу в системе центра инерции (СЦИ). Такой кварк называют лидирующим. Оставшиеся два кварка-наблюдателя – медленные и летят в заднюю полусферу, что приводит к образованию двух струй адронов, летящих в СЦИ в противоположных направлениях. Струя в передней полусфере несёт информацию о заряде лидирующего кварка. Если при измерении зарядов адронов в струе в передней полусфере одновременно идентифицировать заряд мюона, то можно определить, к какому из двух процессов ν µ + d → µ − + u или ν µ + u → µ + + d относится конкретное измерение. Усредняя большое количество наблюдений, можно проверить, «помнит» ли струя адронов электрический заряд лидирующего кварка. Оказалось, что средние (по событиям) заряды адронных струй, образующихся в передней полусфере под действием пучка нейтрино (антинейтрино), следующие (в единицах элементарного заряда): 88

Q(νN) = 0,65 ± 0,12; Q(ν N) = −0,33 ± 0,09, что хорошо согласуется с величинами электрического заряда +2/3 и −1/3 для u и d-кварков. Для лёгких адронов (в состав которых входят кварки u, d, s) действует правило Накано − Нишиджимы − Гелл-Манна, полученное в 1953 г.: Y Q = I3 + , (6.1) 2 где Q − заряд адрона (в единицах е), I 3 − третья проекция изоспина, а Y = B + s называют гиперзарядом (В ― барионный заряд, s ― странность). Позже выяснилось, что для адронов, в состав которых входят «тяжелые» кварки c, b и t, формула (6.1) также верна, если ввести обобщенный гиперзаряд: Y = B + s + c + b + t. Схожие по своим характеристикам барионы образуют группы частиц ― G изомультиплеты SU(2), например, нуклонный изодублет ( I = 1 / 2 ), состоящий G из протона и нейтрона, или триплет пионов π + , π 0 , π − ( I = 1). Изомультиплеты объединяются в унитарные мультиплеты, имеющие SU(3) симметрию.

Рис. 6.6. Барионный октет со спином JP=1/2+. По оси абсцисс отложена проекция изоспина I3, по оси ординат – странность s.

6.8.

Антибарионы

Античастица отличается от частицы заменой знаков всех зарядов (электрических, лептонных, барионных, кварковых ароматов) на противоположные. Такие характеристики частиц, как масса, спин, величина магнитного момента остаются без изменения (изменяется лишь знак магнитного момента). Если частица была стабильной, то стабильной будет 89

и античастица. Если частица распадается, то распадается и античастица, причем времена их жизни одинаковы и одинаковы способы (каналы) распада, включая вероятности распада по этим каналом. Схемы распада частицы и античастицы являются зарядово-сопряженными, т. е. переходят друг в друга при замене в них знаков всех зарядов частиц (античастиц) на противоположные. Для того чтобы из адрона получить антиадрон и определить все его характеристики, достаточно все кварки в адроне заменить на антикварки. Связь между характеристиками частицы и античастицы Характеристика

Частица

Античастица

Масса Спин фермион Чётность бозон Электрический заряд Магнитный момент Барионное число Лептонное число

m J +(−)1 +(−)1 +(−)Q +(−)µ +B + Le ,+ Lµ ,+ Lτ

m J −(+)1 +(−)1 −(+)Q −(+)µ −B − Le ,− Lµ ,− Lτ

Изоспин Проекция изоспина

I +(−) I 3

I −(+) I 3

Странность Очарование (Charm) Bottom Top Время жизни Схема распада (пример)

+(−)s +(−)c +(−)b +(−)t

−(+)s −(+)c −(+)b −(+)t

τ

τ −

d→ u + e + ν e

d → u + e+ + ν e

Задачи 6.1. Диаграммы, показанные на рисунке 6.7, показывают два варианта взаимодействия красного и зеленого кварков. Определите, за счет какого взаимодействия происходит реакция в каждом случае и тип виртуальной частицы.

Рис. 6.7. Взаимодействие цветных кварков.

В первом случае при взаимодействии двух кварков их цвет не изменяется. Это возможно, либо в сильном взаимодействии при обмене глюоном со скрытым цветом ( KK , ЗЗ , СС ), либо в электрослабом 90

взаимодействии, когда виртуальными частицами являются не имеющие цвета фотон и Z -бозон. Наиболее вероятен вариант сильного взаимодействия с обменом глюоном, имеющим скрытый цвет. Во втором случае цвет кварков изменился. Это возможно, только если взаимодействие между кварками сильное, и, следовательно, виртуальной частицей является глюон. 6.2.

Постройте из кварков следующие частицы: p, n, Λ, Σ 0 , Ξ 0 , Ω − и определите их изоспин.

Каждая из указанных частиц является барионом и состоит из трех кварков. Поскольку из аддитивных квантовых чисел протон и нейтрон имеют только изоспин и электрический заряд (+1e или 0), то в их состав могут входить только кварки u и d. Зная заряд кварков и заряд бариона, можно составить уравнения на числа u-кварков (x) и d-кварков (y) в протоне: ⎧ ⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ ⎪x ⋅ ⎜ + ⎟ + y ⎜ − ⎟ = 1 ⎝ 3⎠ ⎨ ⎝ 3⎠ ⎪ x+ y=3 ⎩ В результате получаем кварковый состав протона p: uud. Аналогичная система уравнений для нейтрона дает кварковый состав n: udd. Гипероны Λ и Σ 0 со странностью s = –1 должны иметь в своем составе один s-кварк. Поскольку их электрический заряд равен нулю, то существует единственно возможный состав данных частиц: Λ − (uds), Σ 0 − (uds). Исходя из значений странности для остальных гиперонов и учитывая их электрический заряд (обычно он указан правым верхним индексом в обозначении частицы), получим кварковый состав каскадного кси-гиперона Ξ 0 − (uss) и омегаминус-гиперона Ω − − (sss). Изотопический спин частиц определяется кварками u и d, имеющими JG G 1 1 1 I 3 (u ) = + и I 3 (d ) = − и образующих дублет с изоспином I = . В барионе 2

2

2

проекции изоспина кварков складываются арифметически. У протона и нейтрона I 3 ( p ) = +

1 2

и I 3 ( n) = −

1 2

и данные частицы также образуют JG

G 1 0 изоспиновый дублет с изоспином I = (см. рисунок 6.6). Ξ содержит 2 G G 1 один u-кварк и поэтому имеет изоспин I = , т. е. также входит в состав 2

изоспинового дублета (другим членом этого дублета является частица Ξ − (dss)). Ω − имеет нулевой изоспин, так как не содержит кварки u и d. Λ и Σ 0 имеют одинаковый кварковый состав − uds, но Λ-гиперон является синглетом, а Σ 0 входит в триплет Σ-гиперонов ( Σ − , Σ 0 , Σ + ), причем I 3 (Σ + ) = +1 и I 3 (Σ − ) = −1 . Согласно кварковому составу, в обоих случаях 91

проекция изоспина I 3 = 0 , но в случае Λ-гиперона это соответствует нулевому вектору изотопического спина, а в случае Σ 0 -гиперона нулевую G G проекцию имеет вектор изоспина I = 1 . 6.3. Используя кварковый состав, определите квантовые числа частицы Σс0 (2455) (ddc) .

По кварковому составу можно определить только аддитивные квантовые числа частицы. Кварковый состав данной частицы ddc. Очевидно это барион (трехкварковая система). Его странность нулевая, поскольку в составе частицы нет s-кварка. Квантовые числа данной частицы − барионный заряд В, электрический заряд Q (в единицах элементарного заряда е), очарование с, третья проекция изоспина I 3 − находятся суммированием соответствующих квантовых чисел трёх кварков, составляющих частицу. d

d

c

В=

+

1 3

+

1 3

+

1 3

=

+1

Q=

−

1 3

−

1 3

+

2 3

=

0

0

+0

+1

=

+1

1 2

−

1 2

+0

=

−1

с = I3 =

−

G

G

Изоспин этой частицы может быть только единица I = 1 , так как полученное I3 = −1 по модулю - -это минимальное возможное значение суммы изоспиновых проекций двух d-кварков. Для определения спина и чётности данной частицы нужно знать взаимную ориентацию спинов кварков и их относительный орбитальный момент. 6.4.

Покажите, что без введения квантового числа «цвет», принимающего три значения, кварковая структура ∆+ + , ∆− , Ω − противоречит принципу Паули.

Указанные частицы состоят из трех тождественных кварков: ∆+ + − (uuu), ∆− − (ddd), Ω − − (sss). У всех частиц J P = 3/2+. Орбитальный момент относительного движения кварков в них равен нулю. Кварки являются фермионами и имеют спин J = 1/2. Для них возможны только две проекции спина на выделенное направление: +1/2 и −1/2. Таким образом, для того, чтобы образовать состояние 3/2+, все три кварка должны иметь одинаковые проекции спинов. Итак, в каждом из рассматриваемых барионов имеем три тождественных кварка в одном и том же квантовом состоянии. В то же время согласно принципу Паули тождественные фермионы не могут находиться в одном состоянии (иметь одинаковые квантовые числа). Чтобы 92

выполнялся принцип Паули, необходимо ввести для кварков ещё одно квантовое число – «цвет». «Цвет» должен принимать три разных значения, чтобы восстановить принцип Паули в системе трех тождественных кварков, у которых остальные квантовые числа совпадают. 6.5.

Оцените отношение эффективных сечений двух электромагнитных процессов в e+e– коллайдере с энергиями пучков по 1 ГэВ: реакции с появлением двух “струй” адронов и реакции с рождением пары µ+µ–.

Основной вклад в данные процессы дает электромагнитное взаимодействие. Диаграммы низшего порядка приведены на рисунке 6.8. Появлению адронных струй предшествует образование пары qq (рис. 6.8 а), где qq обозначает все типы кварков, которые могут образоваться при заданной энергии столкновения.

Рис. 6.8. Диаграммы Фейнмана процесса аннигиляции e+e–

Отношение сечений данных процессов равно отношению квадратов амплитуд:

σ (qq ) ∑ i A(qq ) = ∑ i Z qα em = Z 2 , R= = ∑i q 2 σ ( µ + µ − ) A( µ + µ − ) 2 α em 2

2

где i пробегает все типы кварков, которые могут участвовать в адроном канале. При заданной энергии пучков возможно образование только пар трех кварков uu , dd и ss . Если кварки бесцветны, то сумма по ароматам R (аромат) = ∑ i Z q2 = ( +2 / 3) + ( −1 / 3) + ( −1 / 3) = 2 / 3 2

2

2

Если же кварки цветные, то количество возможных пар и, следовательно, результат, утраивается 2 2 2 R(аромат + цвет) = ∑ i Z q2 = 3 ⎡( +2 / 3) + ( −1 / 3) + ( −1 / 3) ⎤ = 2 ⎣ ⎦ В эксперименте для данных энергий получено значение Rэкс = 2,0 ± 0,2, что свидетельствует в пользу гипотезы цветных кварков.

6.6.

Какие характеристики одинаковые у кварка и антикварка и какие характеристики различные?

6.7.

Покажите, что кварк, испустив глюон, не может перейти в антикварк.

6.8.

Составьте таблицу характеристик антикварков. 93

6.9.

Кварки заперты внутри адронов, поэтому их характеристики изучают, изучая свойства адронов. Наблюдение адронных струй — одно из доказательств того, что кварки реально существуют. Объясните, что такое струя адронов.

6.10. Почему t -кварк не образует адроны? 6.11. Почему необходим цвет кварков? Покажите на примере кваркового состава Ω − ( sss ) . 6.12. Постройте из кварков u и d дельта-изобары: ∆–, ∆0, ∆+, ∆++. Исходя из характеристик данных барионов, определите квантовые числа кварков. 6.13. Странный кварк входит в состав странных частиц. Определите кварковый состав странных гиперонов Λ , Σ 0 , Σ − , Σ + , Ξ0, Ξ– и Ω–. 6.14. Какие значения изоспина I и его проекции I 3 должны иметь комбинации кварков uud , udd , uds ? 6.15. Определите барионное число, заряд и странность следующих кварковых комбинаций и определите соответствующий адрон: 1) uuu , suu , us ; 2) dss , uds , ss ; 3) suu , sdd , ds . 6.16. Какие квантовые характеристики имеют частицы, образованные следующими кварками и антикварками:

1) ud , dds , 2) ud , ssu ; 3) sd , sss ; 4) us , ssu ? 6.17. Какие квантовые характеристики имеют частицы, образованные следующими кварками и антикварками:

1) sc , udc ; 2) cs , ucc ; 3) dcc , uc ; 7) cu , udc ? 6.18. Какие квантовые характеристики имеют частицы, образованные следующими кварками и антикварками: 1) udb , 2) uub , 3) scb , 4) cbb , 5) bbb ? 6.19. В чём сходство и различие барионов и мезонов? 6.20. Определите комбинацию кварков, отвечающую частицам: 1) n , 2) Ξ 0 , 3) Σ + , 4) Ω − , 5) Ξ − .

следующим

6.21. Проверьте выполнение закона сохранения барионного числа B в следующих реакциях и распадах:

1) р + р → р + р + р + р , n → р + е − + ν е ; 2) Λ → р + π − , n → π + + е− + ν е ; 3) р + р → р + π + , K+→ π ++ π 0; K − → π 0 + е− + ν е . 4) Λ→ π + + π − ,

94

6.22. Проверьте, не нарушаются ли в приведенных распадах законы сохранения энергии E , электрического заряда Q , барионного B и лептонных чисел Le , Lµ , Lτ :

1) Λ 0 → p + π − ,

τ − → π − +ντ ; 2) µ − → e − + ν e + ν µ , n → р + π − ;

3) µ − → τ − + ν τ + ν µ , Σ − → n + p − ; 4) K + → π 0 + π + ,

n → e+ + p + ν e .

6.23. Определите максимальные значения изоспина, которые могут иметь барионы и мезоны. G 6.24. Определить возможные значения I и I 3 для комбинаций частиц:

1) n + n , 2) n + p , 3) π + + p , 4) π − + p , 5) π + + n , 6) K + + p . 6.25. Некоторые комбинации кварков могут существовать в двух или более изоспиновых состояниях, причем каждое состояние соответствует определенному адрону. Одна из таких комбинаций uds . 1) Какие значения проекции изоспина I 3 имеет комбинация uds ?

2) Каковы возможные значения полного изоспина I комбинации кварков uds ? 3) Определите барионное число, заряд и странность этой комбинации и идентифицируйте адроны, соответствующие каждому изоспиновому состоянию. 6.26. Определите комбинацию кварков, которая соответствует правильному значению электрического заряда Q , барионного числа B и странности S в случае 1) K + - и K 0 -мезонов, 2) K − - и K 0 -мезонов. 6.27. D-мезоны имеют в своем составе очарованный кварк c или антикварк c . 1) Какая комбинация кварков обеспечивает правильные свойства D + мезона с очарованием c = +1 ? 2) Определите кварковый состав D − -мезона, являющегося античастицей D + -мезона. 3) Определите кварковый состав пары нейтральных D-мезонов D0 и D0 . 6.28. Оцените отношение эффективного сечения образования адронов к сечению образования пары µ+µ– в e+e– коллайдере с энергиями пучков по 10 ГэВ.

95

Семинар 7. Взаимодействие частиц. Реакции между частицами приводят к образованию новых частиц в результате трех типов взаимодействия – сильного, электромагнитного и слабого. Вероятности образования различных частиц определяются законами сохранения и константами взаимодействий. С наибольшими сечениями (σ ~1 барн) образуются частицы в результате сильного взаимодействия, сечение электромагнитных взаимодействий имеет характерные величины на два порядка меньше. Характерные величины сечений слабого взаимодействия ~10-19 барн. При этом необходимо помнить, что сечение взаимодействия частиц зависит от энергии сталкивающихся частиц. 7.1. 7.2. 7.3. 7.4.

Взаимодействия частиц Законы сохранения Пространственная четность Зарядовая четность Задачи

7.1. Взаимодействия частиц В Стандартной Модели взаимодействия частиц описываются с учетом трех фундаментальных сил. Некоторые существенные свойства взаимодействий приведены в таблице: Слабое

Электромагнитное

Сильное

Действует на:

аромат

Электрический заряд

Цветовой заряд

Взаимодействующие фермионы Характерное время взаимодействия, с Радиус взаимодействия, см Сила, отнесенная к электромагнитной, для двух u-кварков на расстоянии: 10–18 см 2·10–17 см

Кварки, лептоны

Кварки, заряженные лептоны

Кварки

~10–10

~10–18

10–21 – 10–23

~10–16

∞

~10–13

0,8 10–4

1 1

25 60

Из сравнения свойств фундаментальных сил видно, что наиболее вероятны реакции, протекающие за счет сильного взаимодействия, затем идут электромагнитные процессы, и наименее вероятны реакции за счет слабого взаимодействия. Однако возможность осуществления той или иной реакции ограничивается выполнением законов сохранения, и для разных взаимодействий эти ограничения различаются.

96

7.2. Законы сохранения Процессы взаимодействия частиц подчиняются определенным законам сохранения физических величин. В таблице перечислены данные законы и указано, в каком типе фундаментальных взаимодействий данная характеристика сохраняется. Некоторые законы сохранения аддитивны, т. е. в процессе взаимодействия сохраняется суммарная величина соответствующих характеристик или квантовых чисел. Например, во всех взаимодействиях сохраняется сумма энергий частиц. Ряд законов сохранения имеет мультипликативный характер ― в данных процессах сохраняется произведение соответствующих характеристик (квантовых чисел). Законы сохранения обусловлены свойствами симметрии взаимодействий. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ Характеристика

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭлектроСильное Слабое магнитное

Символ

Аддитивные законы сохранения Энергия + + + EG р + + + Импульс G + + + Момент J + + + Электрический заряд Q Барионный заляд + + + B Лептонные заряды + + Le, Lµ, Lτ +(∗) Странность + + s − + + Очарование с − + + Bottomness b − + + Topness t − + Изоспин I − − + + Проекция изоспина I3 − Мультипликативные законы сохранения Р-четность + + P − С-четность + + C − CP-инвариантность + + CP − CPT-инвариантность + + + CPT T-инвариантность + + T − ∗ Имеющиеся экспериментальные данные и стандартная электрослабая теория согласуются с абсолютным сохранением трёх отдельных лептонных зарядов Le, Lµ и Lτ за исключением эффектов нейтринного смешивания, обусловленных наличием ненулевых масс у нейтрино и проявляющегося в нейтринных осцилляциях. Осцилляции приводят к нарушению законов сохранения лептонных зарядов по отдельности, но суммарный лептонный заряд ∑ ( Le + Lµ + Lτ ) сохраняется. Вероятность нарушений сохранения Le, Lµ и Lτ мала, эти нарушения, по существу, не наблюдаемы, и законом сохранения отдельных лептонных чисел можно пользоваться.

97

Законы сохранения во всех реакциях сильного взаимодействия выполняются без исключений. Это одновременно означает наибольшую, по сравнению с другими силами, степень симметрий этих взаимодействий. В электромагнитных взаимодействиях может не сохраняться величина изоспина, однако проекция изоспина I3 сохраняется. Слабые взаимодействия могут происходить с превращением кварков одного аромата (flavor) в кварки другого. Поэтому в таких слабых распадах могут не сохраняться изоспин I, его проекция I 3 , квантовые числа странности s и шарма (очарования) c. Могут нарушаться законы сохранения квантовых чисел b (bottomness) и t (topness). Слабые процессы с изменением аромата кварка идут с нарушением, по крайней мере, одного из аддитивных законов сохранения: I, I3, s, c, b, t. При лептонных распадах в вершинах сохраняются значения лептонных зарядов. Однако, благодаря испусканию или поглощению W±-бозона, может измениться заряд лептона, то есть в рамках поколений могут происходить взаимные переходы между заряженным лептоном и нейтрино. Обмен заряженными W + или W − бозонами связан с изменениями зарядов фермионов в вершине. Диаграмма, состоящая из двух фермионных линий, вершины и бозонной линии, называется «током». Обмен заряженными W + или W − бозонами реализует заряженные токи. Обмен нейтральным Z–бозоном соответствует взаимодействию нейтральных токов. «Слабые» вершины, соответствующие обменам W-бозонами, (вершины заряженных токов) обладают особенностью, которой не имеют ни «сильные», ни электромагнитные вершины – именно в этих вершинах происходит превращение одного кварка в другой. Поэтому взаимопревращения адронов с изменением кваркового состава – результат слабых взаимодействий. Например, β -распад нейтрона, происходящий с несохранением проекции изоспина I3, реализуется благодаря превращению d-кварка в u-кварк при испускании виртуального W − -бозона. В процессах с участием нейтральных слабых токов не изменяются ни электрические заряды участвующих частиц (лептонов и кварков), ни ароматы участвующих фермионов. Нейтральные слабые токи истинно нейтральны, так как истинно нейтральными частицами являются сами Z-бозоны. В качестве примера процесса с участием Z-бозона на рис. 7.1 приведена диаграмма слабого взаимодействия двух нейтрино одинакового аромата. Рис. 7.1 Диаграмма слабого взаимодействия двух нейтрино одинакового аромата

В слабых взаимодействиях нарушаются мультипликативные законы сохранения пространственной Р и зарядовой С четностей, а также их произведение СР – четность.

98

7.3. Пространственная четность (Р-четность) Операция пространственной инверсии заключается в зеркальном отражении трех пространственных координатных осей. В результате данной G G операции радиус-вектор r и импульс частицы p изменяют направление на JG J не противоположное. Момент количества движения J изменяется. G JG P G JG x, y, z , p, J ⎯⎯ → − x, − y , − z , − p , J Волновая функция системы частиц является функцией координат этих частиц. Преобразование от выбранной системы координат к системе, соответствующей зеркальному отражению всех координатных осей, приводит к преобразованию волновой функции системы. Оператор этого преобразования Рˆ (оператор пространственного отражения): G G Рˆ Ψ( r ) = Ψ( − r ) , (7.1) G G G G G где r − совокупность координат частиц системы: r = r1 , r2 ,..., rA . G Если система частиц, характеризуемая волновой функцией Ψ(r ) , инвариантна к Р-преобразованию (т. е. гамильтониан системы коммутирует с оператором пространственного отражения), то эта система характеризуется определённой сохраняющейся чётностью р. Последняя, являясь квантовым числом, удовлетворяет уравнению на собственные значения: G G Рˆ Ψ( r ) = рΨ( r ) . (7.2)

Собственные значения оператора Pˆ получают двукратным применением G G оператора Рˆ к функции Ψ(r ) , которое возвращает функцию Ψ (r ) в исходное состояние. Отсюда, с учётом (7.1) и (7.2) получаем собственные значения квантового числа чётности р: ˆ ˆ Ψ ( rG ) = p 2 Ψ ( rG ) = Ψ ( rG ), p = ±1. PP Сильное и электромагнитное взаимодействия инвариантны к Р - преобразованию. Поэтому такие системы характеризуются определённой чётностью. В частности это относится к состояниям адронов и систем адронов. В слабых взаимодействиях чётность не сохраняется. Распад ρ0-мезона ρ 0 → π + + π − происходит в результате сильного взаимодействия. В результате Р-преобразования в сильных взаимодействиях получается наблюдаемый в природе процесс.

Рис. 7.2 Схема распада ρ0-мезона в СЦИ. Операция пространственного отражения меняет направление импульсов пионов на противоположные.

99

Распад π − → µ − + ν µ происходит в результате слабого взаимодействия. В результате Р - преобразования изменяются знаки импульсов и не изменяются направления спинов.

Рис. 7.3 Схема распада π–-мезона в СЦИ. а) Взаимная ориентация импульсов и спинов продуктов распада. б) Применение операции пространственной инверсии. Направление импульсов частиц изменилось на противоположное.

Из требования Р - инвариантности должно следовать равенство сечений процессов (а) и (б). В распаде (б) образуются мюонные антинейтрино с отрицательной спиральностью, которые в природе не наблюдаются, что означает нарушение Р - инвариантности в слабых взаимодействиях. Преобразование отражения всех координатных осей можно представить в виде поворотов всех этих осей на угол θ = 1800. Это дискретное преобразование волновой функции частицы или системы частиц. Поэтому закон сохранения пространственной четности – мультипликативный. Принято указывать спин J и четность P состояния : J P . Чётность системы частиц определяется по формуле: P = π 1 ⋅ π 2 ⋅ ... ⋅ π N ⋅ (−1)l1 ⋅ (−1)l2 ⋅ ... ⋅ (−1)lN (7.3) π i — внутренняя четность частицы, li — орбитальный момент частицы. Р-четность адронов Кварки, образующие адроны, могут находиться в состояниях с различными орбитальными моментами l q и в состояниях с различными значениями радиального квантового числа n. Так как кварк имеет положительную чётность, а антикварк − отрицательную, чётности барионов и антибарионов определяются соотношениями

Рqqq = Pq1 ⋅ Pq2 ⋅ Pq3 ⋅ (−1) q1

l +lq2 +lq3

=(+1)(+1)(+1)⋅ (−1) L = (−1) L ,

Рqqq = Pq ⋅ Pq ⋅ Pq ⋅ (−1) q1

l +lq +lq 2 3

=(−1)(−1)(−1)⋅ (−1) L = (−1) L+1 ,

1

2

3

где L − результирующий орбитальный момент кварков в адроне. Для четности мезона получаем следующую формулу: Рqq = Pq1 ⋅ Pq ⋅ (−1) 2

lq1 +lq

2

=(+1)(−1)⋅ (−1) L = (−1) L+1 .

100

7.4. Зарядовая четность (C-четность)

Операция С зарядового сопряжения − операция замены знаков всех зарядов на противоположные. При этом масса, импульс и спин частицы не изменяются. Кварк-антикварковая ( qi q j ) структура мезонов делает возможным существование истинно нейтральных частиц. Все аддитивные квантовые числа (электрический и барионный заряды, кварковый аромат) в таком мезоне в сумме равны нулю. Истинно нейтральная частица тождественна античастице. Истинно нейтральными являются π 0 , η, η′, ρ 0 , ɸ и ω. Истинно нейтральные частицы (системы частиц) характеризуются квантовым числом − зарядовая чётность С. Различие между операциями четности Pˆ и зарядовой четности Cˆ состоит в том, что оператор зарядовой четности не всегда имеет собственное значение. Для частицы с зарядом q , описываемой волновой функцией q Qˆ q = q q ; Cˆ q = −q ˆ ˆ q = Cq ˆ q = qCˆ q = q −q CQ ˆ ˆ q = Qˆ − q = − q − q QC ˆ ˆ − QC ˆ ˆ) q (CQ

ˆ ˆ −q = 2q −q = 2CQ

Операторы Cˆ и Qˆ не коммутируют, т.е. не существует состояний, которые одновременно были бы их собственными состояниями. На рис. 7.4 приведена схема операции зарядового сопряжения C сильного распада ρ0-мезона ρ 0 → π + + π − . В результате получается наблюдаемый в природе процесс.

Рис. 7.4 Схема распада ρ0-мезона в СЦИ.

Схема слабого распада π − -мезона π − → µ − + ν µ показана на рис. 7.5. В результате C-преобразования получаются мюонные антинейтрино с отрицательной спиральностью, которые в природе не наблюдаются.

Рис. 7.5 Схема распада π–-мезона в СЦИ. а) Взаимная ориентация импульсов и спинов продуктов распада. б) Применение операции зарядового сопряжения. 101

Зарядовая чётность С Зарядовая чётность сохраняется в сильных и электромагнитных взаимодействиях и не сохраняется в слабых взаимодействиях. Фотон − квант электромагнитного взаимодействия. Электромагнитное G G поле описывается векторным потенциалом А(r , t ) , который создается электрическими зарядами. При зарядовом сопряжении все заряды изменяют G знаки, а значит, изменяет знак и создаваемый ими векторный потенциал А . G Обозначая состояние фотона γ = A , можно записать G G Сˆ A = − A , что означает, что зарядовая чётность фотона отрицательна ( Cγ = −1). Электромагнитное взаимодействие С-инвариантно (С-инвариантны уравнения Максвелла) и так как зарядовая чётность в этом взаимодействии сохраняется, можно приписать определённую зарядовую чётность π 0 мезону. Так как π 0 распадается в результате электромагнитного взаимодействия на два фотона: π 0 → 2γ, то он должен иметь положительную зарядовую чётность: Сˆ π 0 = Сˆ γ ⋅ Сˆ γ = − γ ⋅(− γ ) = + π 0 . Таким образом, зарядовая чётность π 0 положительна ( C π 0 = +1). Сохранение зарядовой чётности запрещает некоторые распады, например распад π 0 → 3γ. Данная реакция должна идти за счёт электромагнитного взаимодействия, т. е. с сохранением зарядовой чётности. Зарядовая чётность π 0 -мезона +1, в то время как зарядовая чётность трёх γ-квантов (− 1)(−1)(−1) = −1. Получим общее выражение для зарядовой чётности системы фермион-антифермион (позитроний е + е − или qq ). Для определённости рассмотрим систему кварк-антикварк с противоположно направленными спинами кварков, т. е. состояние q↑ q↓ . Операция зарядового сопряжения изменяет природу обеих частиц, сохраняя их спиновые состояния:   C C q↑ ⎯⎯→ q↑ , q↓ ⎯⎯→ q↓ . В результате получается состояние q↑ q↓ , которое возникло бы при перестановке кварка и антикварка с одновременным обменом их спинами. В то же время система qq является собственным состоянием оператора Сˆ . Поэтому можно записать Сˆ q↑ q↓ = q↑ q↓ = C qq q↑ q↓ .

102

Для того чтобы вернуться из состояния q↑ q↓ в исходное состояние

q↑ q↓ , нужно осуществить замену q ↔ q и вновь поменять спиновые состояния кварков, т. е. одновременно переставить частицы и их спины. Операция перестановки q и q в системе их центра масс эквивалентна операции пространственной инверсии, т.е. приводит к появлению перед волновой функцией системы множителя полной чётности системы Р. В данном случае Р = Pq Pq ⋅ (−1) L = (+1)(−1) (−1) L = − (−1) L , где Pq и Pq − внутренние чётности кварка и антикварка (соответственно +1 и −1), а L − их относительный орбитальный момент. Что касается перестановки спинов кварков, то, если спины кварков параллельны (S = 1), спиновая функция системы симметрична, т. е. не изменяет знак при перестановке спинов. Напротив, если спины кварков антипараллельны (S = 0), то спиновая функция антисимметрична, т.е. меняет знак при перестановке спинов. Обе эти ситуации учитываются появлением множителя (−1) S +1 перед волновой функцией системы при перестановке спинов кварков. Таким образом, зарядовая чётность системы кварк-антикварк C qq (и любой другой системы фермион-антифермион) является произведением множителя полной чётности системы − (−1) L и множителя (−1) S +1 , учитывающего характер симметрии спиновой волновой функции системы: C qq = Ce+e− = − (−1) L ⋅ (−1) S +1 = (−1) L+ S . Задачи 7.1. Определите частицы X, образующиеся в реакциях, идущих за счет сильного взаимодействия: 1) π − + p → K − + p + X; 2) K − + p → Ω − + K 0 + X.

Исходя из законов сохранения электрического заряда Q, барионного заряда B, странности S и проекции изоспина I3 в этих реакциях, определим характеристики частиц X: Q:

π −+ p → K−+ p + X −1 + 1 → −1 + 1 + QX,

B: s: I:

0 + 1 → 0 + 1 + BX, 0 + 0 → −1 + 0 + sX, −1+ 1/2 → −1/2+ 1/2+ (I3) X

1)

QX = 0, BX = 0, sX = +1, (I3)X = −1/2.

Этот набор квантовых чисел соответствует K 0 −мезону.

103

2) Q: B: s: I3:

K − + p → Ω− + K 0 + X −1+ 1 → −1+ 0 + QX, 0 + 1 → 1+ 0 + BX, −1 + 0 → −3 + 1+ sX, −1/2+ 1/2→ 0 −1/2+ (I3)X

QX = +1, BX = 0, sX = +1, (I3)X = +1/2.

Этот набор квантовых чисел соответствует K + −мезону. 7.2. Проверьте выполнение законов сохранения в реакциях 0 − − + − − + 1) π + р → Λ + K ; 2) р + p → Ω + Ω ; 3) π + n → Ξ + K + K + . π −+ p→Λ +K0

1) Q: B: s: I3: 2)

−1 + 1 → 0 + 0 ∆Q = 0 0+1→1+0 ∆B = 0 0 + 0 → −1 + 1 ∆s = 0 −1+1/2 → 0 − 1/2 ∆I3 = 0 Законы сохранения выполнены. p + p → Ω− + Ω

Q: 1−1→1−1 ∆Q = 0 B: 1 − 1 → −1 + 1 ∆B = 0 s: 0+0→3−3 ∆s = 0 I3: 1/2 − 1/2 → 0 + 0 ∆I3 = 0 Законы сохранения выполнены. 3)

π + + n → Ξ− + K + + K +

Q: 1 + 0 → −1 + 1 + 1 ∆Q = 0 B: 0+1→1+0+0 ∆B = 0 s: 0 + 0 → −2 + 1 + 1 ∆s = 0 I3: 1 − 1/2 → −1/2 + 1/2 + 1/2 ∆I3 = 0 Законы сохранения выполнены. 7.3. Какие значения может иметь относительный орбитальный момент двух π 0 -мезонов, образующихся в реакции pp → 2π 0 , если относительный орбитальный момент pp равен L pp ?

Относительный орбитальный момент двух π 0 -мезонов Lππ определим из законов сохранения момента количества движения и четности. Получаем L соотношение Pp Pp ( −1) pp = Pπ 0 Pπ 0 (−1) Lππ , где Pp , Pp , Pπ 0 − внутренние четности протона, антипротона и π 0 -мезона. Внутренние четности протона Pp = +1, антипротона Pp = −1, π 0 -мезона Pπ 0 = −1. Получаем, что

(−1)(−1)

L pp

= (−1)(−1)(−1) Lππ , т. е. Lππ = L pp ±1. Поскольку два π 0 -мезона 104

являются тождественными бозонами, волновая функция системы должна быть симметричной, Lππ принимает четные значения. 7.4. Определите, какое количество фотонов образуется при распаде парапозитрония и ортопозитрония. У парапозитрония L = S = 0, а у ортопозитрония L = 0, S = 1.

Распад позитрония происходит посредством аннигиляции входящих в его состав е + и е − , т. е. за счет сохраняющего зарядовую чётность процесса е + + е − → фотоны, обусловленного электромагнитным взаимодействием. Поэтому зарядовая чётность парапозитрония C пара = (−1) L+ S = (−1)0 = +1, а ортопозитрония − Cорто = (−1) L+ S = (−1)1 = −1. Поскольку зарядовая чётность фотона Cγ = −1, то парапозитроний может распадаться только на чётное число фотонов, а ортопозитроний − на нечётное число фотонов. Наиболее вероятен распад с минимально возможным числом фотонов. Распад с одним фотоном в конечном состоянии запрещён законами сохранения энергии и импульса. Поэтому парапозитроний в основном распадается на 2 фотона, а ортопозитроний − на 3 фотона. 7.5. Чему равна зарядовая четность системы π +π − в состоянии с относительным орбитальным моментом L = 1? СР = +1 . Для двухпионной системы всегда Поскольку пространственная четность такой системы при L = 1 отрицательна L =1 ( Рπ Рπ ( −1) =(−1)(−1)(−1)= −1), получаем отрицательную зарядовую

четность рассматриваемой системы: C (π +π − ) L =1 = −1. 7.6. Какие взаимодействия ответственны за процесс упругого рассеяния электрона на протоне? Для каждого из возможных взаимодействий нарисуйте наиболее вероятные диаграммы процесса.

Электрон может взаимодействовать с протоном либо в результате электромагнитного, либо в результате слабого взаимодействий. Наиболее вероятно электромагнитное взаимодействие, переносчиком которого является фотон.

Рис. 7.6 Наиболее существенные диаграммы электрон-протонного рассеяния: а) для электромагнитного взаимодействия, б) для слабого взаимодействия 105

7.7. Получите оценку сечения реакции рассеяния двух сильно взаимодействующих частиц.

Сечение взаимодействия σ s приближенно даётся площадью круга σ s = π Rs 2 , где Rs — радиус сильного взаимодействия. Радиус сильного взаимодействия Rs ≈ 10−13 см. Поэтому σ s = π Rs 2 = 3 ⋅ 10−26 см2 ≈ 30 мбарн. Сечение взаимодействия зависит от энергии сталкивающихся частиц. При энергии E ≈ 100 МэВ экспериментально измеренное сечение имеет величину сечения примерно десятки мбарн, что согласуется с полученной оценкой. 7.8. Рассмотрите возможность образовать новую частицу X в реакции рассеяния мюонного нейтрино на покоящихся − протонах:ν µ + p → p + µ + X . Оцените нижний предел массы X в данном эксперименте, если известно, что при энергии нейтрино 10 ГэВ реакция не идет. (Данную реакцию предлагалось использовать для определения массы калибровочного бозона W+)

Используем соотношение для пороговой энергии реакции: E mν2 + m 2p + 2 ν2 m p = (m p + mµ + mX ) 2 . c Полагая массу мюонного нейтрино mν ≈ 0 , m p = 0,938 ГэВ/c2

и

mµ = 0,105 ГэВ/c2, получим оценку нижнего предела для массы X: mX > 3,39 ГэВ/c2 .

7.9. В результате каких фундаментальных взаимодействий происходят следующие реакции? Нарисуйте диаграммы Фейнмана на кварковом уровне. 1) ν e + e → ν e + e , 4) p + p → 2γ ,

2) p + p → 2π 0 , 3) π 0 + p → π 0 + p ,

5) p + ν e → n + e + , 6) π − + p → π 0 + n .

7.10. Могут ли странные частицы рождаться поодиночке в реакциях, в которых в начальном состоянии имеются только нестранные частицы? Приведите примеры, как определить странность частицы, образующейся в реакции сильного взаимодействия. Нарисуйте соответствующие диаграммы Фейнмана. 7.11. Проверьте выполнение законов сохранения в следующих распадах и реакциях. В каких из них сохраняется странность? За счет каких взаимодействий идут данные реакции? Нарисуйте соответствующие диаграммы Фейнмана на кварковом уровне. 3) Σ + → Λ + π + , 1) Ξ − → π − + Λ , 4) Ω − → Ξ − + π 0 . 2) π − + p → π − + Σ + , 106

7.12. Возможно ли протекание следующих реакций за счет сильного взаимодействия? 4) π − + p → Σ 0 + Λ ; 1) p + p → Ξ 0 + p + π + ;

2) π − + p → K 0 + Λ ;

5) p + p → π + + π 0 + π − + π + + π − ;

3) K − + p → Σ + + π − ;

6) γ + n → Σ0 + K 0 .

7.13. Проверьте выполнение законов сохранения и определите частицы X, образующиеся в реакциях сильного взаимодействия:

1)

p + р → Ξ − + π + + X,

2)

p + π − → Ω − + K0 + K0 + X,

3)

p + р → Λ+ π − + X,

4)

n + р → Λ+ π − + X,

5)

p + K–→ K++ K0 + π 0 + X,

6)

p + π − → K − + p + π − + X,

7)

p + K–→ K++ π 0 + π 0 + X,

8)

p + π − → K + + K0 + X,

9)

p + р → K − + π 0 + X,

10) n + K–→ Σ0 + X. 7.14. Проверьте выполнение законов сохранения и определите, возможны ли следующие реакции:

1) π − + n → K − + Λ ,

K − + p → Ω− + K + + K 0 ;

2) π − + p → Ξ − + K + + K 0 ,

K− + n →π− + Λ;

3) π − + p → n + K − + K + ,

K− + p → n + Λ;

4) π − + p → Ξ − + K − + K + ,

K + + n → π 0 + Σ+ ;

5) π − + p → Σ + + K − ,

p+ p→n+n;

6) π + + p → ∆ ++ + K 0 ,

p + n → Ω− + p + K 0 .

7.15. Рассчитайте энергии Eγ и длины волн λγ фотонов, образующихся при

аннигиляции покоящихся протона и антипротона p + p → 2γ . В результате какого взаимодействия происходит аннигиляция pp ? 7.16. Рассчитайте энергии Eγ и длины волн λγ фотонов, образующихся при

аннигиляции покоящихся π + - и π − -мезонов π + + π − → 2γ . В результате какого взаимодействия происходит аннигиляция π + π − ? 107

7.17. Рассчитайте порог Eγ фоторождения Λ -гиперонов на неподвижной

протонной мишени в реакциях 1) γ + p → Λ + K + и 2) γ + p → Λ + π + . Нарисуйте соответствующие диаграммы Фейнмана. 7.18. Рассчитайте порог Eγ фоторождения Σ-гиперонов на неподвижной

протонной мишени в реакциях: 1) γ + p → Σ 0 + K + , 2) γ + p → Σ + + K 0 , 3) γ + p → Σ − + K + + π + . 7.19. Оцените пороговую энергию образования пары протон-антипротон под действием пучка ускоренных протонов на водородной мишени и в эксперименте на встречных пучках. 7.20. Определите значения пороговой энергии образования Λ-гиперонов в реакциях под действием пионов на покоящихся нуклонах: 1) π + + n → Λ + K + и 2) π − + p → Λ + K 0 . 7.21. Предложите реакцию образования Ω− -гиперона в эксперименте по взаимодействию отрицательно заряженных каонов с находящимися в покое протонами. Определите пороговую энергию предложенной реакции. 7.22. Какие частицы можно наблюдать при столкновении антипротонов с энергией 50 МэВ с находящимися в покое протонами? 7.23. Чему равна внутренняя четность систем фермион–антифермион и бозон–антибозон? 7.24. Объясните, почему отрицательной?

внутреннюю

четность

фотона

считают

7.25. Совершите операцию пространственной инверсии над нейтрино, антинейтрино, фотоном. Прокомментируйте результат. 7.26. Приведите примеры частиц или систем частиц, имеющих определенную зарядовую четность. 7.27. Покажите, что зарядовая четность системы частица-античастица с нулевыми спинами равна ( −1) L , где L — орбитальный момент относительного движения. 7.28. Покажите, что зарядовая четность позитрония, а также пары кваркантикварк определяется соотношением C = (−1) L + S , где L — относительный орбитальный момент, S — суммарный спин пары частица-античастица. 7.29. Какова должна быть поляризация отрицательных мюонов в распаде π − → µ − + ν µ ? Как её можно наблюдать? 108

Семинар 8. Распады адронов. С современной точки зрения стабильными частицами являются электрон е⎯, протон p, фотон γ, три типа нейтрино ve , vµ , vτ и их античастицы e+, p , ν e , ν µ , ν τ . Все остальные частицы распадаются в результате

сильных, слабых и электромагнитных взаимодействий. При этом должны выполняться законы сохранения справедливые для данного типа распада. 8.1. Вероятность распадов 8.2. Распад нейтрона 8.3. Слабые распады. Правила отбора. Задачи 8.1. Вероятность распадов Все адроны за исключением протона являются нестабильными частицами и характеризуются способом распада и средним временем жизни τ. Определяющим для скорости распада является фундаментальное взаимодействие, ответственное за распад адрона. Быстрее всего ― за характерное время τ ≈ 10–23 с, происходят распады за счёт сильного взаимодействия. Примером такого распада является распад ∆++ -резонанса: ∆+ + → π + + p. Время жизни нестабильной частицы можно оценить по ширине состояния ( Γ∆ =116÷120 МэВ):

τ=

= =с 200 МэВ ⋅10−13 см = ≈ ≈ 0,6⋅10−23 сек. 10 Γ ∆ Γ ∆ ⋅ с (116 ÷ 120)МэВ ⋅ 3 ⋅10 см сек

Это время отвечает сильному взаимодействию. Кварковая диаграмма распада ∆++ имеет вид: u

u

u

u d

р

d

π+

∆+ +

u

u

Рис. 8.1 Диаграмма распада ∆+ + -резонанса. Глюоны на диаграмме не изображаются.

Следующими по скорости являются распады за счёт электромагнитного взаимодействия. Обычно это время больше τ ≈ 10–19 с. Медленнее всего совершаются распады с участием слабых сил. Слабые распады идут в тех случаях, когда запрещены сильные и электромагнитные распады. Обычно времена слабых распадов > 10–13 с.

109

Время жизни нейтрального Σ-гиперона τ ( Σ 0 ) = 7, 4 ⋅ 10−20 с , в то время

как заряженного Σ-гиперона – τ ( Σ − ) = 1,5 ⋅ 10−10 с . Это объясняется тем, что

для нейтрального Σ-гиперона существует канал распада по электромагнитному взаимодействию, а его заряженный партнер распадается только за счет слабого взаимодействия (рис. 8.2).

Рис. 8.2 Диаграммы распадов Σ-гиперонов. а) Σ → Λ + γ , б) Σ → n + π . −

0

−

Помимо типа фундаментального взаимодействия на вероятность распада влияет ряд других факторов. С ростом энергии, освобождающейся при распаде, его вероятность растет. Как и реакции столкновения частиц, распады подчиняются законам сохранения. Для сильного взаимодействия выполняются все законы сохранения. В слабом взаимодействии, поскольку возможно изменение типа частиц, часть законов сохранения нарушается. 8.2. Распад нейтрона Масса нейтрона mn c 2 = 939,57 МэВ , среднее время жизни τ ( n ) = 880 с

Рис. 8.3 Диаграмма Фейнмана распада нейтрона.

Анализ законов сохранения в распаде нейтрона:

n → p + e− + ν e Q: B:

0→1−1+ 0

∆Q = 0

1→1+0+ 0

∆B = 0

I3:

G G G G 1 1 → +0 +0 2 2 1 1 − → + +0+0 2 2

Le :

0→0 +1−1

I:

110

G ∆I = 0 ∆I3 = 1 ∆Le = 0

В распаде нейтрона не сохраняется проекция вектора изоспина I 3 , что допустимо для распадов, идущих за счёт слабых сил. Рассчитаем

энергию

распада

( m p c 2 = 938, 27 МэВ ,

mec 2 = 0,511 МэВ ,

нейтрино полагаем безмассовым): Q = mnc 2 − ( m p c 2 + me c 2 + mν c 2 ) = 0,782 МэВ > 0 Энергия реакции больше нуля, распад разрешен. В случае распада на три частицы энергии и импульсы продуктов распада не могут быть однозначно определены, спектр вылетающих частиц носит непрерывный характер. Область возможных значений энергий продуктов реакции ограничена предельными значениями, называемыми «верхняя граница спектра». Максимальная кинетическая энергия электрона соответствует случаю, когда импульсы двух других частиц сонаправлены и направлены в противоположную сторону от импульса электрона. Тогда данный предельный случай можно рассматривать как распад нейтрона на две частицы: протон и электрон. Используя формулу (1.34): ⎛m Q ⎞ Te = Q ⎜ p + , 2 ⎟ 2 m m c n ⎝ n ⎠ и учитывая, что Q  mn c 2 и m p ≈ mn , получим, что верхняя граница спектра электронов Temax ≈ Q = 0,782 МэВ . Из тех же соотношений получим энергию отдачи протона: ⎛m Q ⎞ Tpmax = Q ⎜ e + = 0,75 кэВ 2 ⎟ m m c 2 n ⎝ n ⎠

Максимальная энергия нейтрино достигается в том случае, когда ( pG p ↑↑ pGe ) ↑↓ pGν . Тогда для максимальной энергии нейтрино можно воспользоваться соотношением (1.37): Eν =

mn2 − ( m p + me ) 2mn

2

c2 = Q

mn + m p + me 2mn

≈ Q = 0,782 МэВ

8.3. Слабые распады

Поскольку в слабых распадах изменение типа частицы может происходить только в результате испускания заряженного W± бозона, очевидно, что при этом разрешены такие переходы, в которых заряд распадающейся частицы изменяется на единицу. В случае лептонов, поскольку лептонные числа сохраняются порознь, переходы между заряженными лептонами и соответствующими нейтрино происходят только внутри поколений: 111

e− ↓

µ− τ − ↓

e+ ↓

↓W−

ν e ν µ ντ

µ+ τ + ↓

↓W+

ν e ν µ ντ

Лептонные числа при этом сохраняются. В случае кварков требование изменения заряда приводит к тому, что переходы возможны только между верхними и нижними кварками и запрещены между двумя верхними или двумя нижними. С учетом масс кварков наиболее вероятные переходы следующие:

u

c

t

+2 / 3

d

s

b

−1 / 3

↑ 3 ↓ 3 ↓

Видно, что при этом квантовые числа s, c, b и t могут изменяться только на 1. Проекция изоспина I3 в случае распада s → u изменяется на ½, в случае перехода d → u – на единицу. Заряженные W±-бозоны могут распадаться как на пары лептонов, так и на кварк-антикварковые пары. В соответствии с этим распады делятся на лептонные, полулептонные и безлептонные. Примером лептонного распада (в котором адроны не принимают участие) является распад мюона: µ − → e − + ν e + ν µ . В лептонных распадах сохраняются все квантовые числа. В полулептонных процессах участвуют как лептоны, так и адроны. При этом, поскольку электрический заряд W±-бозона уносит лептонная пара, изменяется суммарный заряд адронов (полный электрический заряд частиц измениться не может). Примером полулептонных процессов может служить распад нейтрона: n → p + e − + ν e : ∆I 3 = 1, ∆I = 0, ∆Qадр = 1, или распад заряженного каона с изменением странности: K − → µ − +ν µ : ∆I 3 = 1 / 2, ∆I = 1 / 2, ∆s = 1, ∆Qадр = ∆s = 1 . – Диаграмма распада K -мезона процесса приведена на рисунке 8.4.

Рис. 8.4 Диаграмма распада K––мезона

В полулептонных слабых распадах странных частиц странность изменяется на единицу: ∆s = ±1 При этом заряд адронов также изменяется на единицу: ∆Qадр = ∆s = ±1 . Безлептонные распады происходят только с участием адронов. Например, распад Σ − → n + π − : ∆I 3 = 1 / 2, ∆I = 1 / 2, ∆s = 1 . В данном случае суммарный электрический заряд адронов сохраняется.

112

Задачи 8.1. Проанализируйте выполнение законов диаграмму распада Ξ − → Λ + π − . Ξ− → Λ + π − Q: −1 → 0 − 1 B: +1 → +1 + 0 s: −2 JG → −1 + 0 G

1

I:

2 1

G

→ 0+1

− → 0−1

I3:

2

сохранения

и

нарисуйте

∆Q = 0 ∆B = 0 ∆s = +1 JG ∆I =

1

2

∆I3 = −

1 2

Не сохраняются странность s, изоспин I и его проекция I3, что является признаком слабого взаимодействия. Диаграмма распада:

8.2. Нарисуйте кварковые диаграммы распадов 1) π 0 → 2γ , 2) π + → µ + +ν µ ,

3) ρ 0 (770) → e + + e − , 4) η ′(958) → 3π 0 . ответственны за эти распады?

1) π 0 → 2γ

Какие

взаимодействия

u(d )

γ

u (d )

γ

π0

Наличие γ-квантов свидетельствует о том, что распад происходит в результате электромагнитного взаимодействия. u

2)

π + → µ + +ν µ

µ+ W+

π+

νµ

d

Поскольку образуется нейтрино, то данный процесс происходит в результате слабого взаимодействия. 113

u 0

+

–

3) ρ (770) →e +e

е−

γ

ρ 0 (770)

е+

u

Этот распад происходит в результате электромагнитного взаимодействия. Также для данного распада возможна диаграмма, где переносчиком взаимодействия будет Z-бозон. Но вероятность такого процесса существенно ниже, поскольку он идет за счет слабого взаимодействия. u

s 4) η ′(958) → 3π

0

u u

η ′(958)

u s

u

u

π0 π0 π0

Этот распад происходит в результате сильного взаимодействия. 8.3. Нарисуйте диаграмму Фейнмана для наблюдаемого распада Σ − → n + e − +ν е . Объясните, почему не наблюдается распад Σ + → n + e + +ν е .

В распаде Σ − → n + e − +ν е происходит превращение s-кварка в uкварк. Диаграмма Фейнмана этого процесса, обусловленного слабым взаимодействием, приведёна на рисунке. Диаграмма содержит два узла. В результате распада виртуального W − -бозона рождается пара лептонов.

Диаграмма распада Σ − → n + e − +ν е

В то же время для распада Σ + → n + e + +ν е невозможно построить аналогичную диаграмму, поскольку Σ + -гиперон и нейтрон различаются не одним, а двумя кварками: Σ + = uus , n = udd . Процесс такого превращения не только на несколько порядков менее вероятен, но и должен сопровождаться рождением не одной, а двух пар лептонов. 8.4. Постройте диаграмму Фейнмана распада Λ-гиперона. Какие законы сохранения нарушаются в этом распаде? 114

Наиболее вероятный канал распада Λ-гиперона Λ→p+ π − . Кварковый состав участвующих частиц: Λ=uds, p=uud, π-= u d . В распаде Λ-гиперона не сохраняются странность и изоспин. Странность меняется на 1: ∆s=1. G 1 ∆I = . Диаграмма рапада приведена на рисунке 2

Диаграмма распада Λ → p + π −

8.5. Постройте диаграмму Фейнмана распада K + -мезона. Проанализируйте выполнение законов сохранения в этом распаде.

Кварковый состав K + -мезона us . За распад K + -мезона ответственно слабое взаимодействие. Примерно в 64% случаев K + -мезон распадается по каналу K + → µ + +ν µ , диаграмма которого показана на рис. слева. В этом распаде не сохраняется странность, изоспин и проекция изоспина: ∆s = 1, 1 ∆I = ∆I 3 = . Примерно в 21% случаев K + -мезон распадается по каналу 2 + + K → π + π 0 , в котором также не сохраняется странность, изоспин и проекция изоспина: ∆s = 1, ∆I = ∆I 3 = 1 . Диаграмма этого распада приведена на рис. справа.

Диаграммы основных каналов распада K + -мезона. а: K + → µ + +ν µ , б: K + → π + + π 0 .

8.6. Какой из распадов адронов запрещен, а какой разрешен? 1) K 0 → π − + e + +ν e ; 2) Ξ 0 → Σ − + e + +ν e . Нарисуйте диаграмму разрешенного распада. Объясните причину запрета.

Лептонные слабые распады адронов с изменением странности подчиняются следующим правилам: | ∆s | = 1 и ∆Qадр = ∆s, где ∆Qадр и ∆s − изменения электрического заряда и странности адронов. 115

K 0 →π − + e

1) Qадр s:

+

+ν e

0 → −1

∆Qадр = −1

1→0 ∆s = −1 Распад разрешен ∆Qадр = ∆s.

Ξ 0 → Σ − + e + +ν e

2) Qадр: s:

0 → −1 ∆Qадр = −1 −2 → −1 ∆s = 1 Распад запрещен ∆Qадр ≠ ∆s.

8.7.

Как можно определить, за счет какого взаимодействия происходит распад? Приведите примеры. Нарисуйте диаграммы Фейнмана соответствующих распадов.

8.8.

Оцените время жизни ∆ + - резонанса и нарисуйте кварковую диаграмму его распада. Какое взаимодействие ответственно за распад?

8.9.

Какие законы сохранения нарушаются в следующих распадах? Какие из приведенных распадов разрешены? Нарисуйте для разрешенных распадов диаграммы Фейнмана на кварковом уровне. 1) n → p + π − , K − → π 0 + π − , 3) Λ → p + π + , n → p + e − + ν e ; 2) π − → µ − + ν µ , Σ − → n + e − + ν e ; 4) ∆ 0 → p + π 0 , π − → e − + ν e .

8.10. Вероятность распада Σ 0 → Λ + γ составляет ~ 100%, а распада Σ0 → Λ + e + + e− – 5 ⋅ 10−3 . Нарисуйте диаграммы Фейнмана и предложите объяснение соотношения вероятностей данных распадов. 8.11. Какие законы сохранения нарушаются в следующих распадах протона? 1) p → e + + Λ + ν e , 3) p → π + + γ ;

2) p → π + + Κ 0 ,

4) p → n + e + + ν e .

8.12. Определите, какие из следующих распадов или реакций нарушают законы сохранения, и укажите законы, нарушаемые в каждом случае. 1) p → n + e + + ν e , Σ0 → Λ + π 0 ; 4) n → p + π − , K 0 → π − + π + 2) e + + e − → γ , π − → π 0 + e − + ν e ; 5) p + p → γ + γ , Σ + → π 0 + π +

3) ν e + p → n + e + , ∆ 0 → Λ + π 0 ; 116

6) p → π + + e + + e− ; Σ − → Λ + π −

8.13. Определите тип взаимодействия, ответственного за следующие распады и нарисуйте диаграммы Фейнмана: 1) n → p + e − + ν e , 4) ∆ + → p + π 0 , 7) η → γ + γ ;

2) J / ψ → µ + + µ − ,

5) π + → µ + + ν µ ,

8) η → π 0 + π 0 + π 0 ;

3) ρ 0 → π + + π − ,

6) ω → γ + π 0 ,

9) K + → µ + + ν µ .

8.14. Определите изменение странности ∆s и проекции изоспина ∆I 3 в каждом из распадов и укажите, за счет какого взаимодействия происходит распад, или распад происходить не может. Для разрешенных распадов нарисуйте кварковые диаграммы Фейнмана, рассчитайте энергии продуктов распада. 1) Λ → n + π 0 , 4) K − → µ − + ν µ , 7) Σ + → n + π + ,

2) Σ + → p + π 0 , 3) Ω − → Ξ 0 + π − ,

5) Ξ 0 → p + π − + π 0 , 6) Ω − → Λ 0 + νe + e − ,

8) Σ − → n + π − , 9) Σ + → n + e + + ν e .

8.15. Какие из следующих распадов разрешены, а какие запрещены? Если распад разрешен, укажите, какое взаимодействие ответственно за распад. Если он запрещен, укажите, какие законы сохранения нарушаются. 1) π − → e − + γ , 3) π 0 → e − + e + + ν e + ν e ,

2) π + → e − + e+ + µ + + ν µ ,

4) Λ 0 → π + + π − .

8.16. Покоящийся K0-мезон распадается на два заряженных π-мезона: K 0 → π + + π − . Определить энергию и импульс каждого π-мезона. 8.17. π0-мезон распадается на два γ -кванта. Определите минимальную и максимальную энергии γ -квантов и максимальный угол разлета, если энергия π0-мезона: 1) Eπ = 850 МэВ, 2) Eπ = 270 МэВ. 8.18. Возможен ли распад π 0 → ν e + ν e в случае безмассовых нейтрино? 8.19. Нарисуйте диаграмму распада антинейтрона. Как выглядят спектры испускаемых лептонов? 8.20. Напишите два возможных распада, удовлетворяющие законам сохранения, для каждой из следующих частиц: 1) Ω − , 2) Σ + , 3) Λ 0 , 4) ∆ 0 , 5) K + , 6) ∆ + .

Нарисуйте диаграммы Фейнмана и рассчитайте в энергии продуктов распада в системе покоя распадающейся частицы. 8.21. Происходит реакция K − + p → K 0 + K + + Ω − с последующим распадом Ω − → Ξ 0 + π . Определите квантовые числа Ω − и Ξ 0 .

117

8.22. ∆ ++ является барионом и распадается в результате сильного взаимодействия. Странность, очарование, t - и b -числа ∆ + + равны нулю. Какая комбинация кварков дает частицу с такими свойствами? 8.23. Один из вариантов слабого распада K0 следующий: 0 + − K → π + µ + ν µ . Нарисуйте диаграмму Фейнмана этого распада, показав кварковый состав частиц. Какова максимальная энергия мюона Eµ в этом распаде? 8.24. Возможен ли распад n → p + π − ? Объясните ответ. 8.25. Рассмотрите следующую последовательность распадов: Ξ0 → Λ + π 0 ,

Λ → p + π −,

π − → µ − +ν µ , µ − → e− + ν e + ν µ . 1) Все ли конечные продукты стабильны? Если нет, закончите цепочку распадов. 2) Напишите полную схему превращения Ξ 0 в конечные продукты. 3) Проверьте, сохраняются ли в этой схеме электрический заряд, барионное число, лептонное число и странность. 4) Мог ли Σ 0 -гиперон заменить Λ в первом звене цепочки? 8.26. Рассмотрите следующую последовательность распадов: Ω− → Ξ0 + π − ,

Ξ 0 → Σ+ + e− + ν e ,

π − → µ − +ν µ , Σ+ → n + π + ,

π + → µ + +ν µ . 1) Стабильны ли все конечные продукты? Если нет, закончите цепочку распадов. 2) Напишите полную схему превращения Ω − в конечные продукты. 3) Проверьте, сохраняются ли в этой схеме электрический заряд, барионное число, лептонное число и странность.

118

Семинар 9. Атомные ядра Открытое Резерфордом атомное ядро позволило не только объяснить строение атома, но привело к обнаружению новых типов взаимодействий.  Сильного ядерного взаимодействия, связывающего нуклоны.  Слабого взаимодействия, приводящего к взаимному превращению протонов и нейтронов. Атомное ядро – уникальный объект позволяющий исследовать электромагнитные слабые и сильные взаимодействия на расстоянии ~ 10–13см. 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. 9.7.

9.1.

N-Z диаграмма атомных ядер Энергия связи ядра Радиус атомного ядра Статические характеристики атомных ядер Модель оболочек Возбужденные состояния атомных ядер Мезонная теория ядерных сил Задачи

N-Z диаграмма атомных ядер

Протоны и нейтроны образуют атомные ядра всех химических элементов. Число протонов в ядре определяет атомный номер химического элемента. Характеристики протона, нейтрона и электрона приведены в таблице. Характеристики протона, нейтрона и электрона Характеристика Масса mс2, МэВ Электрический заряд (в единицах элементарного заряда)

Спин (в единицах ћ) Изоспин Проекция изоспина Чётность Статистика Магнитный момент (для нуклонов — в ядерных магнетонах, для электрона — в магнетонах Бора) Время жизни

Протон

Нейтрон

Электрон

938,272

939,565

0,511

1

0

1

1/2 1/2 +1/2 1

1/2 1/2 –1/2 1 Ферми-Дирака

1/2

+2.79

1.91

+1.001

 1032 лет

880,3  1,1 с

 4,61026 лет

n  p  e   е

Тип распада

119

1

Для характеристики атомных ядер используют обозначения: число протонов Z, число нейтронов N, массовое число или число нуклонов A  Z  N. Ядра с одинаковым Z называют изотопами, а с одинаковым А – изобарами. Конкретное ядро (нуклид) обозначают АX или (A, Z), где X – химический символ элемента. Например, изотоп алюминия, состоящий из 27 нуклонов, из которых 13 – протоны, обозначают 27Al. Все известные ядра можно разделить на две группы: 1. Стабильные и долгоживущие ядра (всего 285). Число стабильных ядер — 261. Долгоживущими принято считать ядра с периодом полураспада T1/2  5108 лет, что обеспечивает отличное от нуля процентное содержание этих ядер в естественной смеси изотопов. 2. Радиоактивные ядра (около 3200). Для этих ядер T1/2  5108 лет.

Рис. 9.1 NZ-диаграмма атомных ядер

Каждому ядру на NZ-диаграмме атомных ядер соответствует определённая ячейка на плоскости с осями N и Z. Черные ячейки соответствуют стабильным и долгоживущим ядра. Совокупность черных точек образует узкую полосу, называемую линией стабильности или долиной стабильности. Для ядер долины стабильности отношение числа нейтронов к числу протонов N/Z  1 + 0,015· А 2 3 . (9.1) 9.2. Энергия связи ядра Энергия связи ядра W(A,Z) W(A, Z)  [Z т р  N т n  M(A, Z)]c2, где т р , т n , M(A, Z) – массы протона, нейтрона и ядра (A, Z). 120

(9.2)

Масса ядра может быть определена через массу атома Mат(A, Z), исходя из значения избытка масс ( A, Z ) : M(A, Z) c2 = Mат(A, Z) c2  Z т e c2 =(A·1a.e.м.) c2 +  ( A, Z )  Z т e c2 В капельной модели энергия связи ядра описывается формулой БетеВайцзеккера: Z (Z  1)  A  2Z 2 23 W ( A, Z )  А   А     А 3 4 . (9.3) 13 A A Коэффициенты  ,  ,  ,  ,  подбираются так, чтобы рассчитанные величины энергии связи ядер W (A, Z) максимально близко описывали экспериментально измеренные величины масс атомных ядер M ( A, Z ) . Слагаемые в формуле (9.3) соответствуют различным видам энергии: объемной, поверхностной, кулоновской, энергии симметрии и энергии спаривания. Соответствующие относительные вклады в удельную энергию связи показаны на рис. 9.2. Удельная энергия связи ядра  ( A, Z )  ( A, Z )  W ( A, Z ) / A . (9.4) Энергия отделения нейтрона Вn  М(А1, Z)  т n  М(А, Z)c2  W(А, Z)  W(А1, Z). (9.5) Энергия отделения протона В р  М(А1, Z1)  т р  М(А, Z)c2  W(А, Z)  W(А1, Z1). (9.6) Энергия отделения  -частицы B   M ( A  4, Z  2)  M ( A  4, Z  2)  M ( A, Z )  c 2 

 W ( A, Z )  W ( A  4, Z  2)  W ( A  4, Z  2)

(9.7)

Рис. 9.2 Вклад различных видов энергии в удельную энергию связи ядра  ( A, Z ) .

Магические числа. На фоне плавной зависимости энергии связи от массового числа А встречаются ядра, у которых энергия связи больше, чем у соседних ядер. Эти ядра обладают также увеличенной энергией отделения нуклона и повышенной распространенностью в природе. Такие ядра 121

получили название магических, а числа протонов или нейтронов в них – магических чисел. Магические числа следующие: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. Существование магических чисел является проявлением оболочечной структуры ядер. 9.3.

Радиус атомного ядра

Плотность (r) ядерной материи описывается распределением Ферми:  (0) , (9.8)  (r )  r R 1 e a где параметр а связан с толщиной поверхностного слоя t соотношением t  4,4a и приблизительно равен 0,55 Фм. Радиус ядра R — расстояние от центра ядра, на котором плотность ядерной материи уменьшается в 2 раза. R  1,3 А1 3 Фм.

Рис. 9.3 Распределение зарядовой плотности в атомных ядрах, полученное в экспериментах по рассеянию электронов. Толщина поверхностного слоя t = 2,3 Фм.

9.4.

Статические характеристики атомных ядер

Спин атомного ядра Атомное ядро характеризуется полным момен том количества движения J . Эта величина в системе покоя ядра называется спином ядра. Четность. Инвариантность системы (гамильтониана Hˆ ) относительно пространственного отражения приводит к закону сохранения четности и квантовому числу четность Р. Так как внутренние четности протона и нейтрона положительные (+1), четность ядра может быть представлена как произведение орбитальных четностей (1) l нуклонов: l

l

l

 l

Р  (1) 1 (1) 2  (1) A  (1)  . (10.9) На схемах ядерных уровней обычно указывают энергию, спин и чётность каждого уровня. Спин указывается числом, а чётность знаком 122

плюс для четных и минус для нечетных уровней. Этот знак ставится справа сверху от числа, указывающего спин.

Рис. 9. 4 Схема нижних уровней ядра магния 25 12 Mg (A=25, Z=12)

Правила для спинов J и четностей P в основном состоянии ядра: +  четно-четное ядро JP  0 ;  нечетное ядро J  j; P  (1) l ; (9.10)  нечетно-нечетное ядро где

j p  j n  J  j p  j n ; P  (1)

l p  ln

,

j, l, j p , l p , j n , l n относятся к полному и орбитальному моменту

нечетного нуклона (протона, нейтрона). Изоспин атомного ядра. В ядре находится A нуклонов с изоспином   1 I  . Изоспин ядра равен сумме изоспинов нуклонов 2

 A I   I .

(9.11)

 1

A

Все состояния ядра имеют проекцию изоспина I 3    1 I 3( )   Z  N  / 2 . Поэтому возможны значения изоспина атомного ядра Z  N / 2  I  A / 2 . В основном состоянии величина изоспина ядра имеет минимальное значение I  I3  Z  N / 2 . Магнитный дипольный момент ядра. Атомное ядро, являясь  системой зарядов, обладает магнитным моментом  Я , который имеет орбитальную и спиновую составляющие:     A (9.12)  Я  N  g L L  g s S ,   1 где спиновые и орбитальные гиромагнитные факторы (g-факторы) нуклонов имеют следующие значения: g Sp  5,586, g Sn  3,826, g Lp  1, g Ln  0, (9.13)





 N  ядерный магнетон, равный е 2т р с  3,151018 МэВ/Гс.  Гиромагнитный фактор ядра g Я зависит от спина ядра J :   Я  gЯ J .

(9.14)

Электрический квадрупольный момент ядра. Электрическим квадрупольным моментом ядра считают величину: 1  Q   (3 z 2  r 2 )  ( r ) dV , (9.15) e 123

 где ( r )  зарядовая плотность ядра, а е  величина элементарного электрического заряда. Собственный квадрупольный момент однородно заряженного эллипсоида, ориентированного вдоль оси z с центром масс в начале координат Q

2 Z(b 2  a2), 5

(9.16)

где b и a – длинная и короткая полуоси эллипсоида. Для оценки степени отклонения формы ядра от сферической обычно вводят параметр деформации β и средний радиус ядра R , определяемые соотношениями ba 1 b2  a 2 1 , (9.17)   R  (b  a) , 2 2 (b  a) / 2 2 R 2 4 тогда (9.18) Q  Z (b 2  a 2 )  ZR 2  . 5 5 Обычно для ядер   0,6. 9.5.

Модель оболочек

В модели оболочек задача многих тел сводится к одночастичной задаче – системе независимых нуклонов, находящихся в общем ядерном потенциале, создаваемом совместным взаимодействием всех нуклонов. Обычно рассматривают три вида потенциалов. 1. Прямоугольная потенциальная яма V0 , r  R, Vпя(r)  (9.16) 0, r  R. 2. Потенциал гармонического осциллятора



Vосц(r)   V0 

1 M 2r2, 2

(9.17)

где М – масса нуклона, а  – осцилляторная частота. 3. Потенциал Вудса-Саксона V0 V ВС (r)   . (9.18) r R 1 e a Потенциал Вудса-Саксона наиболее близок к реальному ядерному потенциалу.

Рис. 9.5 Осцилляторный потенциал Vосц, прямоугольная потенциальная яма Vпя и потенциал Вудса-Саксона VВС. В легких ядрах (A  10) ядерный потенциал лучше воспроизводится осцилляторным, а в тяжелых (A = 200) – прямоугольным потенциалом. 124

1j15/2

(16) (4) (2) (8) (12) (6) (10)

[184] [168] [164] [162] [154] [142] [136]

184

(14) (2) (4) (6) (8) (10)

[126] [112] [110] [106] [100] [92]

126

[82] [70] [68] [64] [58]

82

1g7/2

(12) (2) (4) (6) (8)

1g9/2

(10)

[50]

50

1f5/2

(2) (6) (4)

[40] [38] [32]

1f7/2

(8)

[28]

28

1d3/2

(4) (2) (6)

[20] [16] [14]

20

3d3/2 6ћ четн.

4s 3d

4s1/2 2g7/2 1i11/2

2g

3d5/2

1i

2g9/2

1i13/2 3p 5ћ нечетн.

3p1/2 3p3/2 2f5/2 2f7/2

2f

1h9/2 1h 1h11/2 3s 4ћ четн.

3s1/2 2d3/2 2d5/2

2d 1g

2p1/2 3ћ нечетн.

2p 1f

2p3/2

2ћ четн.

2s 1d

2s1/2

1ћ нечетн.

1p

1p1/2 1p3/2

(2) (4)

[8] [6]

8

0

1s

1s1/2

(2)

[2]

2

1d5/2

Рис. 9.6 Одночастичные уровни в сферически-симметричном потенциале. Приведено схематическое изображение уровней в потенциале Вудса-Саксона: слева без учета спин-орбитального взаимодействия, справа — с учетом. Фигурные скобки объединяют уровни, входящие в одну осцилляторную оболочку. В круглых скобках дано число вакантных мест для нуклонов одного типа на одночастичном уровне, в квадратных скобках приведено суммарное число нуклонов одного типа при заполнении всех уровней, включая указанный уровень.

125

Заполнение ядерных состояний модели оболочек происходит в соответствии с принципом Паули. Состояния нуклона обозначают в виде комбинации радиального квантового числа n (n = 1, 2, …) и орбитального квантового числа l (l = 1, 2, …). Индекс внизу обозначает величину квантового числа полного момента j = l ± ½. Одночастичные уровни протонов и нейтронов заселяются независимо, при этом максимальное число нуклонов одного сорта на подоболочке равно числу проекций j на ось z: νj = 2j + 1. Состояния ядра определяются расположением нуклонов на одночастичных орбитах и называются конфигурациями. На рис. 9.7 показано распределение нуклонов по подоболочкам в основном состоянии ядра кислорода 168 O , отвечающему заполнению самых нижних орбит. Конфигурация ядра в данном случае записывается как: 2

2

4

4

2

2

1s1/2  p 1s1/2 n 1 p3/2  p 1 p3/2 n 1 p1/2  p 1 p1/2 n

Нижний индекс у состояния означает тип нуклона, верхний – число нуклонов на подоболочке.

Рис. 9.7 Заполнение подоболочек в основном состоянии

16 8

O.

Одночастичные состояния в деформированных ядрах. Одночастичные состояния в деформированных эллипсоидальных ядрах получают, решая уравнение Шредингера для нуклонов, находящихся в потенциальной яме, имеющей форму вытянутого или сплюснутого аксиально симметричного эллипсоида, например в потенциале Нильссона:   1 VНильс ( r )  M  xy 2 ( x 2  y 2 )  z 2 z 2   Cls  Dl 2 , (9.19) 2 Положение одночастичных состояний в потенциале Нильссона зависит от величины и знака параметра деформации  . Связь между частотами  xy и  z и параметром деформации 

 1  xy  0  1    ,  3 

 2  z  0  1    .  3  126

(9.20)

Рис. 9.8 Зависимость положения уровней в нильссоновском самосогласованном потенциале от деформации β. Цифры слева – порядковый номер уровня, цифры в кружке – число частиц при заполнении всех оболочек в сферически симметричном потенциале включая указанный уровень.

Параметры С и D подбираются так, чтобы при   0 наилучшим образом описать последовательность уровней сферического оболочечного потенциала : C  0,10 , D  0,020 . 9.6.

Возбужденные состояния атомных ядер.

Одночастичные возбуждения. В одночастичной модели оболочек возбужденные состояния ядер возникают при переходе одного или нескольких нуклонов на более высокие одночастичные орбиты. Наиболее 127

просто выглядит спектр возбужденных состояний ядер с одним нуклоном или одной «дыркой» сверх заполненных оболочек. Вращательные состояния. Характерные признаки вращательных уровней + + + +  последовательность значений их спинов-чётностей JР = 0 , 2 , 4 , 6 , + 8 , ... для чётно-чётных ядер  пропорциональность энергии этих уровней величине J(J1). 2 Евращ  (9.21) J ( J  1) , 2I где I – момент инерции ядра. Волновой функцией вращающегося ядра является собственная функция оператора квадрата полного момента Jˆ 2 , имеющего собственные значения  2 J(J+1), т.е. сферическая функция YJM ( ,  ) . Волновая функция ядра, имеющего форму аксиально-симметричного эллипсоида, не изменяется при отражении в плоскости xy. Поэтому волновая функция такого ядра симметрична, что исключает состояния с J = 1, 3, 5, ... , т.к. четность сферической функции равна (1) J . Поэтому четность вращательных состояний четно-четного ядра всегда положительна и имеет четные значения J. Примером вращательных уровней являются нижние уровни четно-четного ядра гафния 180 72 Hf . J ( J  1)  8 1085 (1120)

Рис. 9.9 Нижние вращательные уровни 180 ядра 72 Hf . Рядом с экспериментальными значениями энергии приведены значения, рассчитанные по 2 формуле E = ћ J(J+1)/2I с моментом инерции I, оцененным по энергии + состояния 2

6

642 (653)

4

309 (311)

2 0

93 кэВ 0

Колебательные состояния сферических ядер. Аналогия между атомным ядром и жидкой каплей поясняет ещё одну форму коллективного движения атомных ядер – колебательные состояния без изменения объема ядра. Наиболее низкую частоту имеют квадрупольные колебания, соответствующие полному моменту количества движения J  2 , при которых ядро становится то сплюснутым, то вытянутым эллипсоидом. При октупольных колебаниях J  3 ядра в деформированном состоянии имеют грушевидную форму.

128

J=0

J=1

монопольные

дипольные

J=2 квадрупольные

J=3 октупольные

Рис. 9.10 Примеры колебаний ядра как целого. Сплошной линией показана равновесная (сферическая) форма ядра, а пунктиром  одно из двух крайних (различающихся половиной периода) состояний, которые принимает ядро в процессе колебаний.

Спектры энергий и моментов количества движения возбужденных колебательных состояний дискретны. Энергии квадрупольных и октупольных возбуждений в квантовой теории могут принимать лишь значения Еквадр  n2  2 , Еоктуп  n33 , (9.22) где n2 , n3  числа соответственно квадрупольных и октупольных квантов ( n2 , n3  1, 2, 3, ...). Для квантов коллективных ядерных колебаний часто используют термин фононы. Каждый квадрупольный фонон имеет момент количества движения J = 2 и положительную четность. Аналогично, каждый октупольный фонон имеет момент J = 3 и отрицательную четность и т. д. В общем виде энергию возбуждения ядра, в котором одновременно происходят различные поверхностные колебания формы, можно записать в виде Е   n J  J ,

(9.23)

J 2

где n J  число фононов определенного типа, а  J  энергия фонона. Модель коллективных колебаний хорошо описывает нижние колебательные уровни ядер.

114

Рис. 9.11 Сравнение спектра низколежащих состояний ядра кадмия 48 Cd (справа) с идеальным спектром нижних квадрупольных колебаний поверхности (слева)

129

9.7.

Мезонная теория ядерных сил.

Для описания нуклон-нуклонного взаимодействия Х. Юкава предложил модель, в которой ядерное взаимодействие по аналогии с электромагнитным взаимодействием происходит в результате обмена частицейпереносчиком, в данном случае  -мезоном.

Рис. 9.12 Диаграммы Фейнмана для однопионного np-взаимодействия. а) на нуклонном уровне, б) на кварковом уровне

Обмен скалярными мезонами с нулевым спином J  0 приводит к притяжению между нуклонами. На меньших расстояниях происходит обмен тяжёлыми мезонами − η ( т с 2  549 МэВ), ρ ( т  с 2 770 МэВ) и ω ( т с 2  782 МэВ). Особую роль в этой области расстояний играет обмен ρ- и ω-мезоном. Характер взаимодействия зависит от спина частицы, переносящей взаимодействие. Обмен векторными мезонами J  1 приводит к отталкиванию между нуклонами. Это отталкивание является аналогом отталкивания двух одноимённых зарядов в электростатике. N

N

N

N

N

N

N

N

N









( J P  0 )

( J P  0 )

( J P  1 )

( J P  1 )

N

N

N

N

N

N

N

Рис. 9.13 Диаграммы N-N взаимодействий

Потенциал, создаваемый облаком испускаемых нуклоном мезонов, носит название потенциала Юкавы и имеет вид V(r)   g N где а 

e

r a

r

,

 , m — масса нуклона, g N — ядерный заряд нуклона. тс

130

Задачи. 9.1. Вычислить сечение рассеяния  -частицы с кинетической энергией T  5 МэВ кулоновским полем ядра свинца 208Pb под углами θ больше 90°. Искомое сечение получается интегрированием формулы Резерфорда  2

d  (   0 )   d   d  0 2

 0

2

  Z1Z 2e 2  d sin  sin  d d  2   d   d 4T  sin 4 ( / 2) 0  

2

 Z Z e2    Z1Z 2e 2   1  4  1 2    2  4      4 T sin (  / 2) 4 T  0      2

 2  82  1,44 МэВ  Фм  2  4  3,14    1750 Фм  17,5 барн. 4  5 МэВ   9.2. При упругом рассеянии электронов с энергией T = 750 МэВ на ядрах кальция 40Ca в сечении наблюдается дифракционный минимум под углом min  18 . Оцените радиус ядра 40Ca. Положение первого дифракционного минимума в сечении упругого рассеяния  min можно оценить с помощью формулы для дифракции плоской волны на диске радиуса R

0,6 . R Учитывая, что электроны ультрарелятивистские, получаем 0,6 0,6 2 c 0, 6  6, 28  197 МэВ  Фм R    3, 2 Фм. sin  min sin  min T 750 МэВ  0,31 sin  min 

9.3. Оцените плотность ядерной материи. Масса одного нуклона mN  1 а.е.м. = 1,66·10–24 г. Плотность ядерной материи есть масса ядра, деленная на его объем. mN A 3mN A 3  1,66  1024 г млн тонн     1,8  1014 г/см 3  180 . 3 3 13 3 3 4 / 3 R 4 r0 A 4  3,14  (1,3  10 см) см Плотность ядерной материи постоянна и не зависит от A. 9.4. Определите массу ядра 2H (дейтрон) в энергетических единицах, если энергия связи дейтрона W(2,1) =2,2 МэВ. Массы нейтрона и протона в энергетических единицах равны соответственно mn c2= 939,6 МэВ и m p c2= 938,3 МэВ. Масса ядра 131

M ( A, Z )c 2  Zm p c 2  ( A  Z )mnc 2  W ( A, Z ) , где Z и A — соответственно заряд и масса ядра. Тогда масса дейтрона M (2,1)c 2  1  938,3 МэВ 1  939,6 МэВ 2,2 МэВ  1875,7 МэВ. 9.5. Масса нейтрального атома кислорода 16O mат(A,Z) = 15,9949 а.е.м. Определите удельную энергию связи  ядра 16O. Удельная энергия связи ядра

 ( A, Z ) 

W ( A, Z ) , A

где W ( A, Z ) — энергия связи ядра:

W ( A, Z )   Zm p  ( A  Z ) mn  M я ( A, Z )  c 2    Zm p  ( A  Z )mn  M ат ( A, Z )  Zme  c 2 . Используя энергетические единицы для масс 1 а.е.м.= 931,49 МэВ, получаем для ядра 16O W ( A, Z )  ( A, Z )   A 8  938,27  (16  8)  939,57  15,9949  931,49  8  0,511 МэВ   7,5 МэВ/нук. 16 нуклон 9.6. С помощью формулы Бете-Вайцзеккера рассчитайте энергии отделения нейтронов в четно-четных изотопах кальция 40Ca, 48Ca. Энергия отделения нейтрона в ядре Bn(A,Z) выражается через энергии связи соседних ядер (A, Z) и (A–1, Z) (9.5), которые могут быть получены с помощью формулы Бете-Вайцзеккера

Z ( Z  1) ( A / 2  Z )2 1 W ( A, Z )   A   A      3/4 , 1/3 A A A где   15,78 МэВ,   17,8 МэВ,  = 0,71 МэВ,   94,8 МэВ,   0 для ядер с нечетным A,   34 МэВ для четно-четных ядер и   34 МэВ для нечетно-нечетных ядер. 2/3

Тогда для ядер (A,Z) энергия связи: Ca W (40,20)  346,3 МэВ, 48 Ca W (48,20)  418,4 МэВ. 40

Для ядер ( A  1, Z ) энергия связи: Ca W (39,20)  330,6 МэВ. 47 Ca W (47,20)  410,3 МэВ. 39

132

Энергия отделения нейтрона: Ca Bn (40,20) = W(40, 20) – W(39, 20) = 346,3 МэВ – 330,6 МэВ = 15,7 МэВ, 48 Ca Bn (48,20) = W(48, 20) – W(47, 20) = 418,4 МэВ – 410,3 МэВ = 8,1 МэВ. 40

9.7. Считая, что разность энергий связи зеркальных ядер определяется только различием энергий кулоновского отталкивания в этих ядрах, вычислите радиусы зеркальных ядер натрия 23Na и магния 23Mg. W(23Na) = 186,56 МэВ, W(23Mg) = 181,72 МэВ. Кулоновская энергия равномерно заряженного шара радиуса R определяется соотношением 3 Z ( Z  1)e 2 Ec  . 5 R Обозначим заряд ядра 23Na — Z, а ядра 23Mg — Z + 1. Тогда разность энергий связи ядер 23Na и 23Mg будет

3 2 Ze 2 6 Ze 2 W  W ( A, Z )  W ( A, Z  1)  Ec   . 5 R 5 R Для радиуса ядра R получаем величину 6 Ze 2 6  11  1,44 МэВ  Фм R   3,9 Фм. 5 W 5  (186,56  181,72) МэВ На основе эмпирической зависимости R  1,3 A1/3 Фм получаем R ( 23 Mg)  R( 23 Na)  1,3  231/3  3,5 Фм. 9.8. Определите значения изоспинов I основных состояний изотопов углерода 10C, 11C, 12C, 13C, 14C. В основном состоянии ядра значение изоспина I совпадает с модулем проекции изоспина I  I 3 . Проекция изоспина I3 ядра, состоящего из Z протонов и N нейтронов, равна A

I 3   ( I 3 ) j   Z  N  / 2. j 1

Результаты приведены в таблице: 10

I3 I

C 1 1

11

12

C 1/2 1/2

C 0 0

13

C – 1/2 1/2

14

C –1 1

9.9. Рассчитайте расстояние между уровнями 1s, 2s и 3s ядра циркония 90 Zr в случае прямоугольной потенциальной ямы бесконечной глубины и в потенциале гармонического осциллятора 2 2 V (r )  V0  m r / 2 при V0 = 40 МэВ.

133

В случае прямоугольной ямы



0 rR  rR необходимо решить задачу для частицы внутри непроницаемой сферы, радиус которой определяется радиусом ядра. Точное решение уравнения (4.17) для радиальной волновой функции приводит к зависимости энергетического спектра от орбитального числа l, но в случае l  0 энергии уровней определяются соотношением для одномерной прямоугольной ямы (4.9) U (r ) 

En  ( n ) 2 /  2mR 2  , где n — главное квантовое число, m — масса нуклона, R — радиус ядра (ширина ямы). Величина расстояний между уровнями 1s, 2s и 3s будет

E1s2 s

( ) 2 ( c) 2 3  (3,14  200) 2 МэВ2  Фм 2 3 3   22 МэВ. 2mR 2 2mc 2 (r0 A1/3 ) 2 2  931,5 МэВ  (1,3  901/3 ) 2 Фм 2

E2 s3 s

( ) 2 ( c) 2 5 5  5  7,3 МэВ  36,5 МэВ. 2mR 2 2mc 2 (r0 A1/3 ) 2

В случае движения частицы в потенциале трехмерного осциллятора m 2 r 2 U (r )  2 решение уравнения Шредингера следует искать в виде произведения одномерных функций  ( r )   1 ( x ) 2 ( y ) 3 ( z ) , каждая из которых удовлетворяет одномерному уравнению (4.12) с энергетическим спектром (4.13)

Ei   (ni  1 / 2) Поскольку полная энергия равна сумме Ei, то E    n1  n2  n3  3 / 2     N осц  3 / 2  В данном представлении отсутствует зависимость от квантовых чисел l и m. Состояния с определенными значениями n, l и m можно найти, решая задачу в сферических координатах (см. п. 4.4). Подробное рассмотрение задачи трехмерного осциллятора можно найти в учебниках по квантовой механике. Решение уравнения (4.17) для радиальной волновой функции с заданным потенциалом определяет энергетический спектр гармонического осциллятора Enl   (2 nr  l  3 / 2) . Таким образом, Nосц  2nr  l и уровень с заданным Nосц может иметь разные l (см. рис. 9.6). Радиальные квантовые числа nr осцилляторном потенциале принимают целые значения, начиная с 0: nr = 0, 1, 2,… и связаны с радиальным квантовым числом в оболочечной модели как n = nr + 1. 134

В яме гармонического осциллятора спектр уровней эквидистантный и для энергии уровней с l  0 определяется соотношением

En   (2n  3 / 2) , где   2V0  2 /  mR 2   44  A1/3  9,8 МэВ для 90Zr. Расстояние будет E1s 2 s  E2 s 3 s  2  19,6 МэВ. 9.10. На рис. 9.14 показан спектр возбужденных состояний ядра Оцените энергию первого возбужденного состояния 2+.

106

Pd.

Рис. 9.14 Схема низколежащих энергетических уровней ядра палладия 106Pd.

Для спектра квадрупольных колебаний четно-четных ядер имеющих в основном состоянии характерными особенностями являются следующие: 1. Первое возбужденное состояние имеет JP = 2 +. 2. При энергиях возбуждения, вдвое превышающих энергию первого возбужденного состояния, должны находиться три состояния с примерно одинаковой энергией и имеющие JP = 0 +, 2+, 4+, что соответствует сумме двух квадрупольных фононов 2+. Это типичный спектр квадрупольных колебаний сферически симметричного ядра, имеющего в основном состоянии JP = 0+. Квадрупольные колебания атомных ядер характеризуются фононом JP = 2 +. Положение энергетических уровней определяется числом фононов N: E N  ( N  5 / 2)  , где  — энергия квадрупольного фонона. На рисунке есть только два уровня с JP = 2 +, нижний (искомый) уровень имеет N = 1, а второй N = 2. Тогда E0  5 / 2 , E1  7 / 2 , E2  9 / 2 . Энергия второго 2 +-состояния E2  E0  (9 / 2  5 / 2)  2  1,127 МэВ. Энергия первого (искомого) 2+-состояния E1  E0  (7 / 2  5 / 2)    0,564 МэВ. В качестве более простой оценки можно взять половину от усредненного значения энергий группы состояний JP = 0+, 2 +, 4+ 1 ( E (4  )  E2 (4 )  E (0  )) 1,229  1,133  1,127  E1  2     0,582 МэВ 2 3 6 135

9.11. Среднее расстояние между нуклонами в ядре ~1,7 Фм. Считая протоны точечными частицами, оцените энергии кулоновского Vкул и ядерного (нуклон-нуклонного) взаимодействий VNN двух протонов, находящихся на расстоянии 2 Фм. Для кулоновской энергии Vкул получаем

e 2 e 2 c 1 200 МэВ  Фм Vкул     0,7 МэВ. r c r 137 1,7 Фм Для ядерного взаимодействия нуклонов на расстоянии 2 Фм, обусловленного однопионным обменом, используем потенциал Юкавы V (r )   g N er a / r , где g N  ядерный заряд нуклона, а а  1,4 Фм  характерный радиус нуклон-нуклонного взаимодействия. Знак «минус» перед g N означает притяжение одинаковых ядерных зарядов в отличие от электрических. Имеем r a g2 e r a 2 e   N c . VNN  g N  V (r )   g N r c r Здесь введена безразмерная константа нуклон-нуклонного взаимодействия g N2 / c , меняющаяся в пределах нескольких единиц. Если константа нуклон-нуклонного взаимодействия g N2 / c  1, получаем е  2 1,4  24 МэВ. VNN 1200МэВФм 2 Фм

9.12. Покажите, что из определённой чётности волновой функции ядра следует равенство нулю его электрического дипольного момента.  Электрический дипольный момент d системы Z протонов, имеющих элементарный заряд е, определяется соотношением      2 d   r  (r )dv  Ze  r  (r ) dv.   2 Здесь использовано плотности заряда  ( r )  Ze  (r ) . При определённой 



2

чётности  (r ) функция  ( r ) всегда чётна и подынтегральная функция всегда нечётна, что и приводит к равенству нулю интеграла, а значит и электрического дипольного момента. Более строгое выражение для электрического дипольного момента атомного ядра:  Z    A     2  d   * (r1 , r2 ,..., rA )  e r (r1 , r2 ,..., rA )dv  e    ri dv ,  1

i 1

где суммирование по i относится к протонам. С классической точки зрения равенство нулю электрического дипольного момента ядра (и всех его нечетных моментов более высокой мультипольности) есть следствие наличия у ядра центра симметрии. 136

9.13. Параметр деформации  ядра лютеция 176 71 Lu равен 0,31. Рассчитайте отношение полуосей b и a ядерного эллипсоида. Опишите его форму и вычислите собственный квадрупольный момент ядра Q0 . Так как параметр деформации положителен, то ядро 176 71 Lu имеет форму аксиально-симметричного вытянутого эллипсоида. Основные соотношения, необходимые для численного решения задачи: 1 ba 1 b2  a 2 R  R  1,3A1/3Фм;   ; R  b  a  ; 2 2 b  a  / 2 2 R 2 4 Q0  Z  b 2  a 2   ZR 2  . 5 5 Используя R  6,1 Фм, получим систему уравнений b  a  0,316,1 Фм,

b  a  26,1 Фм,

откуда b  7,0 Фм, a  5,2 Фм и b / a  1,37. Величина внутреннего квадрупольного момента ядра 4 Q0  ZR 2   0,871(6,1 Фм)2(0,31)  655 Фм2   6,6 барн. 5 9.14. Получите формулу для рассеяния Резерфорда в диапазоне углов 1     2 :

 2 R0  ctg 2 1 / 2   ctg 2  2 / 2   , 4 2 где R0  zZe / T – радиус наименьшего сближения кулоновском рассеянии.  1 , 2  

ядер

при

9.15. Вычислите сечение рассеяния α-частицы с кинетической энергией T = 8 МэВ кулоновским полем ядра кальция 48Ca под углами больше 120º. 9.16. Пучок α-частиц с кинетической энергией T = 5 МэВ падает на тонкую алюминиевую фольгу. Каково отношение числа частиц, зарегистрированных в диапазоне углов от 30º до 60º к числу частиц в диапазоне от 120º до 150º? 9.17. Пучок протонов (поток J = 3,6·104 c–1) с энергией 500 кэВ падает на золотую фольгу толщиной 1·1019 ядер/cм2. 1) Рассчитайте число частиц, рассеянных в заднюю полусферу (θ > 90º) за две минуты облучения. 2) Рассчитайте сечение рассеяния в диапазоне углов от 59º до 61º. 3) Определите число частиц, рассеиваемых ежесекундно под углами меньше 30º 137

9.18. При рассеянии электронов с энергией T = 500 МэВ на ядрах свинца 208 Pb первый дифракционный минимум в сечении наблюдается под углом θ = 10º. Оцените радиус ядра свинца. Сравните результат с оценкой по приближенной формуле R  r0 A1/3 . 9.19. Перечислите магические числа. Объясните причину появления магических чисел. Перечислите дважды магические ядра. Могут ли быть магические числа в деформированных ядрах? 9.20. Масса переносчика ядерного взаимодействия  -мезона 2 m c  140 МэВ. Определить радиус действия ядерных сил RNN . 9.21. В чем различие ядерных и электромагнитных сил? Что между ними общего? 9.22. Спин ядра лития 6 Li в основном состоянии равен J  1. Покажите, что это значение спина ядра несовместимо с представлением, что атомное ядро состоит из протонов и электронов. 9.23. Магнитные моменты дейтрона 2 H и ядра фтора 17 F равны соответственно 0,86 N и 4,77  N . Покажите, что эти значения магнитных моментов ядер несовместимы с протон-электронной моделью ядра. 9.24. Используя формулу Бете-Вайцзеккера (см. задача 9.6.), вычислите энергию связи и массы ядер 1) кислорода 16O, 2) железа 56Fe, 3) свинца

208

Pb,

4) урана 238U. Рассчитайте вклады объемной, поверхностной и кулоновской энергий. Сравните полученные значения удельной энергии связи с табличными значениями. 9.25. Вычислите радиусы ядер 1)

Кислорода

2)

Углерода

12

16

O , золота

C , железа

197

56

Au и урана

Fe и свинца

138

235

208

U;

Pb .

9.26. Какую энергию надо затратить, чтобы удалить а) нейтрон, б) протон, в) α- частицу из следующих ядер: 1) кислорода 16O,

2) азота 14N,

3) кальция 40Ca,

4) железа 56Fe,

5) стронция 67Sr,

6) урана 238U?

9.27. Используя оболочечную модель ядра, выпишите конфигурацию и определите полный момент J , четность P и изоспин I следующих ядер, находящихся в основном состоянии: 1) 5He, 13C, 15O, 17F;

2) 7Li, 11C, 14C, 27Al;

3) 41Ca, 43Ca, 48Ca, 73Ge;

4) 33S, 39K, 63Cu, 125Sn;

5) 16O, 17O, 18O, 29Si;

6) 207Pb, 208Pb, 209Pb, 209Bi.

Сравните полученные результаты с табличными значениями. 9.28. Определите спин и четность α- частицы. Запишите ее конфигурацию. Исходя из табличных данных по избыткам масс, вычислите энергию связи α- частицы. 9.29. Каким изотопам соответствуют следующие конфигурации: 4 4 2 1) 1s1/2  1 p3/2  p 1 p3/2  n 2) (1s1/2 )4 (1 p3/2 )8 (1 p1/2 )1p (1 p1/2 )2n 4

1

1

2

4

8

4

2

2

3) 1s1/2  1 p3/2  p 1 p3/2  n

4) (1s1/ 2 ) 4 (1 p3/2 )8 (1 p1/2 ) 4 (1d5/2 ) 4n 6) (1s1/2 )4 (1 p3/2 )8 (1 p1/2 ) 4 (1d5/2 )12

5) 1s1/2  p 1s1/2 n

1

7) 1s1/ 2  1 p3/2  1 p1/2 n

8) (1s1/2 )4 (1 p3/2 )8 (1 p1/2 ) 4 (1d5/2 )12 (2s1/2 )1n

9) 1s1/2  1 p3/2 n 10) (1s1/2 )4 (1 p3/2 )8 (1 p1/2 ) 4 (1d5/2 )1n Определите спин, четность и изоспин указанных ядер. 9.30. Определить спин основного состояния I и проекцию изоспина Iz ядер 7 Be, 14O, 14C, 28Si, 7Li, 14N. Укажите изотопический синглет, дублет и триплет, сформированные из данных ядер. Какие из этих состояний соответствуют основным состояниям? Что можно сказать о спине и четности состояний ядра 14N, входящего в соответствующий изоспиновый мультиплет? 9.31. Вычислите разность энергий связи в парах зеркальных ядер 1) 7Li – 7Be, 2) 11B – 11C, 3) 15O – 15N. Сравните полученный результат с изменением энергии электростатического отталкивания протонов в этих ядрах.

139

9.32. Продифференцируйте формулу Вайцзеккера и получите связь между A и Z для стабильных изотопов. 9.33. Исходя из табличных данных по избыткам масс, вычислите энергию связи дейтрона. 9.34. Исходя из табличных данных по избыткам масс, рассчитайте энергии отделения протонов и нейтронов 1) В изотопах кремния Si с массовыми числами A от 24 до 42; 2) В изотопах кальция Ca с массовыми числами A от 36 до 54; 3) В изотопах олова Sn с массовыми числами A от 98 до 136; Постройте зависимость этих величин от массового числа A и объясните ее основные особенности. 9.35. Используя величины масс атомных ядер, постройте зависимость энергии отделения двух нейтронов от массового числа A для четночетных изотопов 1) кальция Ca ( Z  20 ), 2) олова Sn ( Z  50 ), 3) свинца Pb (Z = 82). Объясните полученную зависимость. 9.36. Покажите, что для однородной сферически симметричной системы зарядов (например, сферически симметричного ядра) собственный (внутренний) электрический квадрупольный момент Q0  0. 9.37. Покажите, что квадрупольный момент равномерно заряженного эллипсоида с полуосями a и b определяется выражением 2 Q  Ze( a 2  b 2 ) . 5 9.38. Покажите, что спектр возбужденных состояний деформированного ядра гафния 180Hf, приведенный на рисунке 9.9, представляет собой «вращательную полосу». 9.39. Значения энергий возбужденных состояний ядра диспрозия 160Dy: E(2+) = 87 кэВ, E(4+) = 284 кэВ, E(6+) = 582 кэВ, E(8+) = 972 кэВ, E(10 +) = 1442 кэВ. Покажите, что спектр возбужденных состояний деформированного ядра диспрозия 160Dy представляет собой «вращательную полосу».

140

Семинар 10. Радиоактивность Явление радиоактивности коренным образом изменило наше представление об устойчивости материи. Оказалось, что один химический элемент самопроизвольно без внешнего воздействия может превращаться в другие химические элементы. Превращение химических элементов является следствием радиоактивного распада атомных ядер. 10.1. 10.2. 10.3. 10.4.

Радиоактивный распад  распад  распад  распад Задачи

10.1. Радиоактивный распад Радиоактивный распад возможен тогда, когда он сопровождается выделением энергии. Масса М исходного ядра должна превосходить сумму масс тi продуктов распада М   i mi . Это условие является необходимым, но не всегда достаточным. Распад может быть запрещен другими законами сохранения — сохранения момента количества движения, электрического заряда, барионного заряда и т.д. Радиоактивный распад характеризуется временем жизни радиоактивного изотопа, типом испускаемых частиц, их энергиями, а при вылете из ядра нескольких частиц еще и относительными углами между направлениями вылета частиц. Основные виды радиоактивного распада: • распад – испускание ядрами частиц, • βраспад: β – испускание электрона и антинейтрино, β+ – испускание позитрона и нейтрино, eзахват – испускание нейтрино при захвате орбитального электрона, • γраспад – испускание -квантов, • спонтанное деление – распад ядра на два осколка сравнимой массы. К более редким видам радиоактивного распада относятся испускание ядрами одного или двух протонов, а также испускание кластеров – лёгких ядер от углерода 12С до серы 32S. Во всех видах радиоактивности, кроме γ-распада, изменяется состав ядра – число протонов Z , массовое число А или и то и другое. 10.2.  распад Явление распада состоит в том, что тяжелые ядра самопроизвольно испускают частицы. ( A, Z )  ( A  4, Z  2)  42 Не .

141

Характерные особенности -распада: а) распад происходит только на тяжелых ядрах с Z  60. б) Периоды полураспада известных радиоактивных ядер варьируются в широких пределах. Так, изотоп вольфрама 182 74W имеет период

T1/ 2  8,3  1018 лет, а изотоп протактиния  5,3  108 c. Энергия -распада Q  [M(A,Z)  M(A4, Z2)  m]c2.

полураспада

T1/ 2

219 91 Pa

—

(10.1)

Так как m  М, основная часть энергии распада уносится -частицей и лишь  2%  конечным ядром. Тонкая структура -спектров связана с образованием конечного ядра не только в основном, но и в возбуждённых состояниях, т.е. спектры несут информацию об уровнях ядер.

Рис. 10.1 Энергетический спектр -частиц, испускаемых плутонием 239Pu, и схема соответствующих -переходов

Согласно теории Гамова, основным фактором, влияющим на время жизни -радиоактивного ядра, является вероятность прохождения -частицы через потенциальный барьер. Пусть внутри ядра радиуса R существует частица массы mα. На рисунке 10.2 схематично изображен потенциал, в котором она находится. Постоянная распада  пропорциональна вероятности туннелирования -частицы через потенциальный барьер :

где   m M ядр

 2 R0    exp    2 V ( r )  T dr  ,  R  /  m  M ядр   m - приведенная масса системы.

142

(10.2)

V (r )

V кул

Vкул  Ецб

Е

0

R

r

R0

 V0 Рис. 10.2 Потенциальный барьер -распада.

2l (l  1) , как правило, 2 r 2 значительно ниже высоты кулоновского барьера, однако эта добавка может существенно влиять на вероятность распада. Высота

центробежного

барьера Е

цб 

Установленная зависимость позволила объяснить эмпирический закон Гейгера-Неттола, связывающий период полураспада T1/2 и кинетическую энергию -частицы Tα: 1/2 lgT1/2  a  bZ T  (10.3) 10.3. βраспад Существуют три типа распада    распад,   распад и езахват: (A, Z)  (A, Z1)  e   е ,   распад:   распад: (A, Z)  (A, Z1)  e   е , езахват: (A, Z)  e  (A, Z1)   е . Главной особенностью распада является то, что он обусловлен слабым взаимодействием. Бета-распад  процесс не внутриядерный, а внутринуклонный. В ядре распадается одиночный нуклон.   (n  p  e   е ), M(A, Z)  M(A, Z1)  те ,   (p  n  e   е ), M(A, Z)  M(A, Z1)  те ,  e-захват (p  e  n   е ), M(A, Z)  те  M(A, Z1). Энергия распада, выраженная через массы ядер,

Q  [M(A,Z)M(A,Z  1)m e]c2, Q e[M(A,Z)M(A,Z1)+m e]c2. 143

(10.4)

Она заключена в интервале от 18,61 кэВ при распаде трития   е ) до 13,4 МэВ при распаде тяжелого изотопа бора  е ). При прочих равных условиях отношение вероятностей wl и w0 вылета пар лептонов с относительным орбитальным моментом leν=l и leν=0: wl  R  2l   , (10.5) w0    Типичные энергии -распада Q   1 МэВ. При R  5 Фм ( 31 Н  23 Не  e ( 125 В  126 С  e 

R   R  p   R  Q c  0,02.

Это объясняет наблюдающееся снижение вероятности  -распада на несколько порядков при возрастании на единицу leν. В результате  распада дочерние ядра ( A, Z  1) и ( A, Z  1) могут образоваться в возбужденном состоянии. Если энергия возбужденных ядер ( A, Z  1) , ( A, Z  1) больше энергии отделения протона или нейтрона, из этих состояний может происходить испускание протонов или нейтронов. Испускание протонов и нейтронов происходит практически мгновенно после того, как произошел предшествующий  распад.

Рис. 10.3 Испускание запаздывающих частиц а) нейтронов, б) протонов

10.4.  распад Явление распада ядер состоит в том, что ядро испускает -квант без изменения массового числа А и заряда ядра Z. Гамма-излучение возникает при распаде возбужденного состояния ядра. Спектр излучения всегда дискретен из-за дискретности ядерных уровней. Pf

Jf

f

P

J 

Рис. 10.4

Гамма-переходы между двумя уровнями ядра

144

P

Ji i

Гамма-переходы происходят между ядерными состояниями, характеризующимися определенными значениями спина J и чётности P. Поэтому испускаемые -кванты также имеют определённые значения J P.    Ji  Jf  J  Ji  Jf, J f  J i  J  или Pf  Pi  P или P  Pi  Pf. (10.6) В зависимости от чётности при определенном J фотоны различают по типу на магнитные(MJ) и электрические(EJ): P  (1)J+1  магнитные фотоны (МJ); P  (1)J  электрические фотоны (ЕJ). Вероятности вылета (или поглощения) магнитных и электрических фотонов подчиняются следующим приближенным соотношениям

1 R w(MJ)    

2 J 2

1 R , w(EJ)    

2J

.

(10.7)

i

Рис. 10.5 Скорости -переходов (в сек1) протона в зависимости от энергии -квантов различных мультипольностей для ядра с A ≈ 100

Времена жизни радиоактивных ядер обычно не более 107–1011 с. В редких случаях при сочетании высокой степени запрета с малой энергией перехода могут наблюдаться -радиоактивные ядра с временами жизни до нескольких часов, а иногда и больше. Такие долгоживущие возбужденные состояния ядер называются изомерами. 145

Изомерные состояния следует ожидать там, где оболочечные уровни, близкие друг другу по энергии, сильно различаются значениями спинов. Именно в этих областях находятся так называемые «острова изомерии». Внутренняя конверсия. Ядро, находящееся в возбужденном состоянии, может перейти в основное состояние не только путем испускания -кванта, но и посредством передачи энергии возбуждения одному из электронов атомной оболочки. Такой процесс носит название внутренней конверсии. Фотон является виртуальным. Внутренняя конверсия — процесс, конкурирующий с -излучением. Энергия внутренней конверсии электрона Ee равна энергии E ядерного возбуждения, уменьшенной на энергию  связи электрона в атомной оболочке: Е е  Е  . (10.8) Моноэнергетичность вылетающих при внутренней конверсии электронов позволяет отличить их от  распадных электронов, спектр которых непрерывный. Внутренняя конверсия сопровождается испусканием рентгеновских квантов, образующихся при переходе одного из наружных электронов на вакансию в K- или L-оболочке, освобожденную вылетевшим из атома электроном. К  электрон виртуальный фотон

ядро Рис. 10.6

Диаграмма механизма внутренней конверсии.

Эффект Мессбауэра. При излучении -квантов ядро получает отдачу, что приводит к уменьшению энергии -кванта. В случае, если атомное ядро связано в кристаллической структуре, отдачу получает весь кристалл. Это явление получило название эффект Мессбауэра. С его помощью можно измерять энергию -квантов с относительной точностью ΔΕ/Е ~ 10–17. Эффект Мессбауэра имеет многочисленные практические применения. Задачи 10.1. Получите расчетные формулы для энергий частиц, образующихся в результате α, β и γ распадов. αраспад представляет собой двухчастичный распад 4 A 4 X 2 He  Z  2 B , где A и Z - массовое число и заряд ядра X. Известно, что энергия α-распада Q  (mX  (m  mB ))c 2 составляет несколько МэВ, что много меньше масс продуктов распада. Тогда, используя A Z

146

соотношение mX  m  mB , из (1.37) получим для кинетической энергии αчастицы mB A4 T  Q Q (10.9) m  mB A и для энергии отдачи дочернего ядра m 4 TB  Q Q . (10.10) m  mB A β -распад представляет собой трехчастичный распад: – β распад: ZA X  ZA 1 B  e    e β+распад: ZA X ZA 1 B  e   e Верхняя граница βраспада – максимальная кинетическая энергия электрона (позитрона) – соответствует случаю, когда импульсы дочернего ядра и антинейтрино (нейтрино) сонаправлены. Тогда в соответствии с (1.34) и учитывая, что me 10 МэВ.  Реакции деления тяжелых ядер сопровождаются глубокой перестройкой делящегося ядра и продуктов деления.  Пучки радиоактивных ядер открывают возможности получения и исследования ядер с необычным соотношением числа протонов и нейтронов, далеких от линии стабильности. 11.3.

Механизмы ядерных реакций.

Составное ядро Процесс протекания реакций, идущих через составное ядро, разделяется на два этапа (стадии): 1 2 a+A   С   B + b. Стадия 1 – образование составного ядра С (знак  указывает, что составное ядро образуется в возбужденном состоянии), стадия 2 – распад составного ядра C * . Почему составное ядро является долгоживущим? Во-первых, энергия влетевшей в ядро частицы быстро распределяется между всеми частицами ядра. В результате ни одна частица уже не обладает энергией, достаточной для вылета из ядра. В этом случае ядро живет до 158

флуктуации, при которой одна из частиц приобретает достаточную для вылета энергию. Во-вторых, малая проницаемость кулоновского барьера для протонов на несколько порядков уменьшает вероятность вылета протонов из средних и тяжелых ядер. В-третьих, вылет частиц из составного ядра может затрудняться различными правилами отбора. В-четвертых, в реакции с испусканием -квантов, например (n, ), в средних и тяжелых ядрах происходит сильная перестройка структуры. На эту перестройку уходит время порядка 10−13–1014 сек, что значительно превышает характерное ядерное время 1022 с. Реакции, идущие через составное ядро, подразделяются на резонансные и нерезонансные. Энергия возбуждения ядра имеет ряд дискретных значений. Если энергия налетающей частицы попадает в интервал  неопределенности положения уровня, а энергетическое расстояние до ближайших уровней меньше их ширины, то в сечении реакции наблюдается изолированный резонанс. Реакции такого типа называются резонансными. Если уровни возбуждения ядра расположены так, что расстояния между ними меньше их ширин, то уровни сливаются друг с другом. В этом случае сечение реакции будет иметь монотонную нерезонансную зависимость от энергии налетающей частицы. Такие реакции называются нерезонансными. Форма резонанса в ядерной физике, как и в физике частиц, описывается формулой Брейта-Вигнера, которая без учёта спинов частицы и ядра и их относительного орбитального момента имеет вид  a b , (11.6)  ab    2a 2  2  E  Er    / 4 где  a   a 2  приведенная дебройлевская длина волны падающей частицы, а Е r  энергия резонанса. Так сечение реакции рассеяния нейтронов в районе изолированного уровня  2n  nn    2n . (11.7) 2  2  E  Er    / 4 Здесь  /   полная вероятность распада уровня составного ядра в единицу времени;  a /  ,  b /  ,  n /   вероятности распада уровня составного ядра в единицу времени с вылетом частиц a, b и нейтрона,  = a + b + n  ... При уходе от энергии резонанса Е r на Е  Г/2 в любую сторону сечение уменьшается в два раза. Г – ширина уровня на половине высоты. Из формулы Брейта-Вигнера можно получить сечение образования составного ядра  aC в области изолированного уровня: 159

 ab   aC  Wb   aC

b 

 aC    2a

откуда

   2a

a

E



 Er 

2



b

 /4  2

,

a 2

 E   Er   2 / 4

(11.8)

При Е  = Е r сечение достигает максимального значения:   2   ab  4 2a а 2 b ,  aа  4 2a а2 ,  aC  4 2a а . (11.9)    Величина сечения резонансной реакции, вызываемой частицей а, не может превышать величины 4 2a . Прямые ядерные реакции. В прямой реакции налетающая частица непосредственно передает энергию какой-либо простой степени свободы ядра, например однонуклонной или -частичной. Прямые реакции обладают рядом характерных особенностей. Во-первых, из того, что падающий нуклон передает импульс в основном одному нуклону ядра, следует, что нуклоны должны вылетать из ядра преимущественно вперед в направлении импульса налетающей частицы. Во-вторых, из того, что падающий нуклон передает одному нуклону почти всю энергию, следует, что вылетающие из ядра нуклоны должны иметь энергии, близкие к максимально возможным. В-третьих, из ядра с равной вероятностью могут вылетать как протоны, так и нейтроны, поскольку при больших энергиях вылетающих частиц влияние кулоновского барьера уменьшается. Задачи 11.1.

Какую минимальную кинетическую энергию в лабораторной системе Tmin должен иметь нейтрон, чтобы стала возможной реакция 16 O ( n,  ) 13C?

Минимальная энергия, при которой возможна реакция, равна порогу реакции. Энергия реакции (11.3) Q  W (C)  W ( )  W (O)  2,215 МэВ. Для вычисления пороговой энергии используем соотношение (11.5): Tmin = Tnпор = 2,215(1 + 1/17) = 2,35 МэВ. 11.2.

Определите порог Eпор реакции фоторасщепления 12С:   12С

11

С+n

Рассчитаем энергию реакции, используя значения энергий связи Q  W ( 11 C)  W ( 12 C)  18,721 МэВ, Поскольку ma  m  0 и Q  2mA c 2 , то пороговая энергия E  Q . 160

11.3.

Определите пороги реакций: 7Li ( p, ) 4He и 7Li ( p,  ) 8Be. Рассчитаем энергии реакций: 1) 7Li ( p,  ) 4He — Q = +17,348 МэВ, 2) 7Li ( p,  ) 8Be — Q = +17,26 МэВ. Q > 0, следовательно обе реакции идут при любых энергиях протонов.

11.4.

Идентифицируйте частицу X и рассчитайте энергии реакции Q в реакции 7Li + X → 7Be + n

Для того чтобы идентифицировать частицу X, нужно использовать законы сохранения заряда и числа нуклонов. 7

Li Z 3 A 7

X 1 1 X =p

7

Be 4 7

n 0 1

Q = 14,907+7,29–(15,768+8,07) = –1,643 МэВ, реакция эндотермическая (Tпор = 1,643(1+1/7) = 1,88 МэВ). 11.5.

Какую минимальную энергию Tmin должен иметь дейтрон, чтобы в результате неупругого рассеяния на ядре 10B возбудить состояние с энергией Eвозб = 1,75 МэВ?

При неупругом рассеянии энергия реакции Q   Eвозб , а минимальная энергия дейтрона равняется порогу реакции: Tmin = Tпор. Воспользовавшись формулой (12.5) для порога реакции (т.к. Q  md c 2 ), получим:

 m  Tmin  Eвозб  1  1   1,75  (1  2 / 10)  2,1 МэВ.  m2  11.6.

Ядро 7Li захватывает медленный нейтрон и испускает  -квант. Чему равна энергия  -кванта? Реакция 7 Li( n,  ) 8 Li , Q  2,034 МэВ. Так как pя  p , p  E / c ,

pя  (2 M яTя )1/2 и Tя  E  Q , где pя, p — импульсы ядра и  -кванта, Tя,

E — кинетическая энергия ядра и энергия  -кванта, то E 2

Q2 2,0342   3 104 МэВ. 2 2 2M яc 2M я c 2  7  931,5 Энергия  -кванта E  Q  TLi  Q  2,304 МэВ. Tя 



161

11.7.

Мишень из естественной смеси изотопов бора бомбардируется протонами. После окончания облучения детектор  -частиц зарегистрировал активность 100 Бк. Через 40 мин активность образца снизилась до ~25 Бк. Каков источник активности? Какая ядерная реакция происходит?

Активность изменяется со временем по закону A  A0 e t . Отсюда находим период полураспада ln 2  ln 2 40 ln 2 T1/ 2     20 мин.  ln( A0 / A1 ) ln(100 / 25) Такой период полураспада имеет 11С, который образуется в реакции 11 B(p,n)11C. 11.8.

Используя импульсную диаграмму, получите связь между углами вылета частиц в лабораторной системе координат и в системе центра инерции.

Построим импульсную диаграмму. Отложим отрезок (AB) = pa, где p a — величина импульса налетающей частицы в л.с.. На отрезке (AB) отложим точку O, которая делит (AB) на отрезки пропорциональные массам продуктов реакции: mb ( AO)  pa . (mb  mB ) Из точки O деления импульса pa проводим окружность с радиусом равным величине импульсов продуктов реакции в с.ц.и. pb '  pB ' . Из точки A проводим прямую до пересечения с окружностью. Отрезок (AC) равен импульсу вылетающей частицы b в л.с., а угол  b — углу вылета этой частицы в л.с., угол  b ' — углу вылета частицы b в с.ц.и.. Из точки С опустим перпендикуляр (CD) на прямую (AB), тогда можно записать: CD tg b  , CD  (OC )sin  b ' , OD  ( AO )  (OC ) cos  b ' . OD Комбинируя эти три уравнения, получим sin b ' tg b  , AO  cos b ' OC Q mb mB mA  где (OC )  pa   . ( mb  mB ) ma  Ta ma  mA 

162

Окончательно получим

tg b 

sin b ' , kb  cosb ' 1/ 2

где 11.9.

  ma mbTb kb    .  mB (mATa  Q( ma  mA ))  При каких относительных орбитальных моментах количества движения протона возможна ядерная реакция p + 7Li → 8Be* → α + α?

p +7Li →8Be* → α + α JP: 1/2 + 3/2– 0+ 0+ Четность в конечном состоянии Pi  P P (1)l  (1)l . Волновая функция двух тождественных бозонов (α-частиц) при пространственном отражении не изменяется, т.е. волновая функция должна быть симметрична относительно перестановки бозонов. Отсюда следует, что lα — четное число. Полный момент системы в конечном состоянии Jf = lα и, соответственно, может принимать только четные значения. Следовательно, промежуточное ядро 8Be для того, чтобы развалиться на две α-частицы, должно быть в состояниях с положительной четностью и четными значениями спина. Четность в начальном состоянии также должна быть положительной PBe  (1)  Pi  Pp PLi (1)l p  (1)(1)(1)l p . Таким образом, чтобы выполнялся закон сохранения четности, орбитальный момент налетающего протона должен быть нечетным: l p  1,3,... 11.10. Ядро 12C поглощает  -квант, в результате чего вылетает протон с орбитальным моментом l = 1. Определите мультипольность поглощенного  -кванта, если конечное ядро образуется в основном состоянии? Реакция 12C ( , p) 11B. В конечном состоянии       3 1      J f  J B  s p  l p    1  0, 1, 2, 3. 2 2 lp Pf  PB Pp (1)  ( 1)(1)(1)l  1. В начальном состоянии     J i  J  J C  J ,

Pi  P PC  P . Следовательно, фотоны должны иметь положительную четность и мультипольности 1, 2, 3, т.е. это М1, Е2 и М3-фотоны.

163

11.11. Можно ли в реакции неупругого рассеяния дейтронов на ядре возбудить состояние с характеристиками JP = 2+ , I = 1?

10

В

Реакция 10B(d,d)10B. Изоспин основного состояния ядра 10B равен 0, ZN I  Iz   0. 2 Изоспин дейтрона также равен 0. Следовательно, возбуждение состояния ядра 10B c I = 1 не может проходить в результате сильного взаимодействия, т.к. нарушается закон сохранения изоспина. Проекция изоспина сохраняется и реакция может происходить в результате электромагнитного взаимодействия. Однако возбуждение такого состояния будет подавлено из-за малости константы электромагнитного взаимодействия. 11.12.

Оцените сечение реакции σ1(63Cu(p, n)63Zn), если известны сечения реакций, идущих с образованием того же составного ядра с той же энергией возбуждения: σ2(60Ni ( , n) 63Zn) = 0,7 барн; σ3(63Cu ( p, pn) 62Cu) = 0,87 барн; σ4(60Ni ( , pn) 62Cu) = 0,97 барн.

Все приведенные реакции идут через одно и то же составное ядро 64Zn: 1. 63Cu + p → 64Zn → n + 63Zn; 2. 60Ni +  → 64Zn → n + 63Zn; 3. 63Cu + p → 64Zn → p + n + 62Cu; 4. 60Ni +  → 64Zn → p + n + 62Cu. Для таких реакций справедливы соотношения      1   p ( 64 Zn) n ;  2    ( 64 Zn) n ;  3   p ( 64 Zn) pn ;  4    ( 64 Zn) pn ,     где σp, σα — сечения образования составного ядра под действием протонов и α-частиц, соответственно, Гn, Гpn — ширины распада составного ядра с вылетом нейтрона и нейтрона + протона, Г — полная ширина распада. Отсюда получаем, что  1  2 n   ,  3  4  pn  0, 7  1   3 2  0,87  0,63 барн. 4 0,97 11.13. Получите, исходя из модели оболочек, отношение сечений реакций подхвата 16O(p,d)15O с образованием конечного ядра 15O в основном состоянии ( J P  1 / 2 ) и в состоянии ( J P  3 / 2 ). Особенностью реакций подхвата (p,d) является то, что в них возбуждаются состояния, соответствующие возбуждению «дырок» относительно основного состояния ядра-мишени. В реакции 16O(p,d) это состояния (1p1/2)–1 и (1p3/2)–1, глубокие дырочные состояния (1s1/2)–1 не 164

возбуждаются, если энергия налетающей частицы не очень велика (взаимодействие поверхностное). Основному состоянию ядра 15O ( J P  1 / 2 ) соответствует нейтронная конфигурация (1s1/2)2(1p3/2)4(1p 1/2)1, а состоянию с J P  3 / 2 конфигурация (1s1/2)2(1p3/2)3(1p 1/2)2. То есть в первом случае подхватывается нейтрон из состояния 1p 1/2, а во втором из 1p3/2. Вероятности подхвата в первую очередь определяются числом нейтронов на соответствующих подоболочках. Таким образом, сечение реакции с образованием ядра 15O в основном состоянии должно быть приблизительно вдвое меньше, чем сечение реакции с возбуждением состояния ядра 3 / 2 . 11.14. Оцените спин и четность состояния ядра 24Mg с энергией 1.37 МэВ, если при возбуждении этого состоянии в реакции неупругого рассеяния  -частиц с энергией T  40 МэВ, первый максимум в угловом распределении  -частиц наблюдается под углом 10°. Воспользовавшись соотношением образования дифракционного  l максимума sin  , получим 2 2 pR   2 p R sin 2 2Tm c 2 r0 A1/3 sin 2 2  40  4  940  1,3  241/3 sin 5 2 2 l     1,8 .  c 197 Орбитальный момент может принимать только целочисленные значения, таким образом, ближайшее значение l  2 . Спин и четность основного состояния ядра 24Mg J iP  0 . Используя закон сохранения момента количества движения, получим J i  l  J f  J i  l , отсюда J f  2 .Четность этого состояния, согласно закону сохранения четности должна быть положительной, таким образом, квантовые характеристики состояния с энергией 1,37 МэВ: J Pf  2 . 11.15.

Определите угол, под которым должен быть максимум углового распределения протонов в реакции (d, p) на ядре никеля 58Ni, вызванной дейтронами с энергией T = 15 МэВ, с образованием ядра 59 Ni в основном состоянии.

Спин и четность ядра 58Ni J iP  0 , согласно оболочечной модели его конфигурация (56Ni)(2p3/2)2. В данном случае передаваемый угловой момент l равен угловому моменту нейтрона, заселяющего и состояние 2p3/2,  l = 1. Используя формулу q  2 p sin , получим 2 165

sin

 l cl 197 , θ ≈ 10°    2 2 pR 2 2Tmd c 2 r0 A1/3 2 2  15  2  931  1,3  581/3

11.16. Определите пороги Eпор реакций фоторасщепления углерода 12С: 11 11 12 1)   12С В + р; 2)   12С C + n; 3)   14С С+n+n 11.17. Идентифицируйте частицу X и рассчитайте энергию реакции Q в следующих реакциях: 1) 35Сl + X→ 32S +  ; 2) 10B + X→ 7Li +  ; 3) 7Li + X→  +  ; 11.18.

4) 23Na + p→ 20Ne + X; 5) 23Na + d→ 24Mg + X; 6) 23Na + d→ 24Na + X.

Вычислите пороги следующих реакций в случае, если налетающей частицей является: 1) легкая частица, 2) ядро: 1) 27 Al( 3 He, t ) 27 Si ; 2) 31 P(n, pd ) 29 Al ; 3) 7 Li( p, ) 4 He ;

4) 12 C( , d ) 14 N .

Объясните полученные результаты. 11.19.

Рассчитайте энергии и пороги следующих реакций: 1) d ( p,  ) 3 He , 2) d (d , 3 He)n , 3) 7 Li( p, n) 7 Be , 4) 3 He( ,  ) 7 Be , 5)

32

S( , p ) 31 P , 6)

32

S( , n) 31S , 7)

32

S( ,  ) 28 Si , 8) 4 He( , p ) 7 Li .

11.20. Определите максимальную энергию возбуждения E * ядра, образующегося в реакции (α, 2n) на следующих мишенях под действием α –частиц с энергией: 1) на 54Cr, Tα = 16 МэВ; 2) на 26Mg, Tα = 14 МэВ; 3) на 56Fe, Tα = 20 МэВ. 11.21. Почему в нерезонансной области сечение захвата медленных  нейтронов пропорционально ?  11.22. Какие составные ядра образуются в следующих реакциях: 1) d  14 N ; 2)   10 B ; 3) p  9 Be ; 4) d  19 F ; 5) 3 He  12 C ? Какие конечные ядра и частицы могут образоваться в каждой из этих реакций? 11.23. При каких орбитальных моментах налетающего протона возможно возбуждение состояний промежуточного ядра 20Ne* со спином, четностью и изоспином JP, I = 1 –,0; 1–,1; 1+,0 и через какие из этих состояний возможно протекание реакции

p  19 F(1 / 2 )  20 Ne*  16 O   с образованием конечного ядра 16O в основном состоянии? 11.24. Ядро 16O под действием М1-фотонов испускает протон. Конечное ядро образуется в основном состоянии. Определите орбитальный момент l вылетевшего протона. 166

11.25. В результате поглощения ядром 40Ca E2-фотона из ядра вылетает 3 He. Конечное ядро образуется в основном состоянии. Определите спин и четность образовавшегося ядра. Сравните полученный результат с табличными значениями. 11.26. Определите орбитальный момент трития lt, образующегося в реакции 27 Al ( , t ) 28Si, если орбитальный момент налетающей  -частицы l  0 . 11.27. Оцените величину сечения образования составного ядра при взаимодействии нейтронов с энергией 0,1 эВ с ядром 208Pb. 11.28. Протон с энергией 10 МэВ налетает на неподвижное ядро водорода. Определите кинетическую энергию Tp* каждой частицы в СЦИ. 11.29. Рассчитайте кинетическую энергию Tn нейтрона при температуре T  5  10 4 К. Какова зависимость кинетической энергии нейтрона от угла рассеяния при рассеянии нейтронов на неподвижных протонах? Оцените среднее число n столкновений нейтрона с протоном необходимое для уменьшения кинетической энергии нейтрона до тепловой. 11.30. А) Реакция t(d,n)α может быть использована для получения монохроматичных нейтронов. Определите энергию нейтронов Tn, вылетающих под углом 90º при энергии налетающих дейтронов Td = 4 МэВ. Б) В условии задачи А) рассмотрите реакцию d(d,n)3He. 11.31. Определите максимальную и минимальную энергии нейтронов Tn, образующихся в реакции 7Li(p,n)7Be под действием ускоренных протонов с энергией Tp = 5 МэВ. 11.32. Хлор имеет два стабильных изотопа

35 17

Cl (75,77%) и

37 17

Cl (24,23%) и

36 17

радиоактивный изотоп Cl с периодом полураспада 3,5  105 лет. 1) Определите возможные значения орбитального момента дейтрона, 35 захваченного ядром в результате реакции срыва 17 Cl 35 36 d  17 Cl  17 Cl  p , если орбитальный момент протона l p  0 . 2) Определите возможные значения орбитального момента дейтрона 36 36 в реакции подхвата 37 17 Cl  p  17 Cl  d , если ядро 17 Cl образуется в основном состоянии и орбитальный момент протона l p  0 .

11.33. Сечение реакции 75 As(n ) на тепловых нейтронах равно 4,5 барн. Образец естественной смеси изотопов As размером 2 см × 1 см × 0,3 мм облучается потоком тепловых нейтронов I  1012 н/см2∙с. Рассчитайте скорость реакции I. Плотность  (As)  5,7 г/см3. 167

Семинар 12. Деление атомных ядер На устойчивость атомного ядра влияют два типа сил:  короткодействующие силы притяжения между нуклонами,  дальнодействующие электромагнитные силы отталкивания между протонами. С увеличением массы и размера ядра кулоновское отталкивание приводит к уникальному явлению – ядро может разделиться на два сравнимых по массе осколка. Неустойчивость атомного ядра по отношению к делению описывается параметром делимости Z2/А. 12.1. 12.2. 12.3. 12.4. 12.5. 12.6. 12.7. 12.8.

Деление атомных ядер Энергия деления Продукты деления Механизмы деления Деление естественной смеси изотопов урана Цепная реакция деления Ядерный реактор Ядерный взрыв Задачи

12.1.

Деление атомных ядер Делением атомных ядер называют их распад на два осколка сравнимой массы. Деление может быть самопроизвольным (спонтанным) или вынужденным, вызванным взаимодействием с налетающей частицей. Характеристики распадов некоторых ядер Изотоп 232

Th 235 U 238 U 238 Pu 239 Pu 240 Pu 242 Pu 241 Am

Период полураспада по каналу спонтанного деления, лет

Период полураспада по каналу  -распада, лет

1,3  1018 1,9  1017 5,9  1015 4,9 1010 5,5  1015 1,3  1011 7,0  1010 2,3  1014

1,41  1010 7,03  108 4,68  109 87,7 24,1 103 6,56  103 3,73  105 432,7

Деление энергетически выгодно для тяжёлых ядер и является основным источником ядерной энергии. Энерговыделение составляет величину  1 МэВ на один нуклон делящегося вещества или 1014 Дж/кг, что на много порядков превосходит энерговыделение всех других освоенных человеком источников энергии. 168

12.2.

Энергия деления

При делении тяжёлых ядер выделяется энергия, что следует из зависимости удельной энергии связи ε = W(A, Z)/А от массового числа A. При делении тяжёлого ядра образуются более лёгкие ядра, в которых нуклоны связаны сильнее, и часть энергии высвобождается. Для случая, когда ядро делится на два одинаковых осколка A1  A2  A/2 и Z1  Z2  Z/2, пренебрегая незначительной энергией спаривания  A3/4 и полагая Z(Z–1)  Z2, из формулы Бете-Вайцзеккера для энергии связи ядра получаем: А Z 2 2

Едел  2W( , ) – W(A, Z)  А Z 2 2

А Z 2 2

 [Епов(A, Z) + Екул(A, Z)] – 2[Епов( , ) + Екул( , )] =  А    А 2 3  2  

2

2 3

 Z2 Z 22   0,37  Z 2  0,26 2 3 .  A    13  2  A1 3  A 21 3    A

Деление энергетически выгодно (Eдел  0) в том случае, когда (0,37  Z 2 / A1 3  0,26  A2 3 ) > 0, т. е. когда 0,26  0,26 17,2 Z2      17. A 0,37  0,37 0,72 Z2 2 Величина Z /A называется параметром делимости.  17 для ядер с А > A 90. 12.3. Продукты деления Распределение энергии деления 235U тепловыми нейтронами Кинетическая энергия осколков 167 МэВ Мгновенные нейтроны 5 МэВ Электроны -распада 5 МэВ Антинейтрино  -распада 10 МэВ 7 МэВ Мгновенное -излучение -Излучение продуктов распада 6 МэВ Полная энергия деления 200 МэВ Характерной особенностью деления изотопов урана является то, что осколки, как правило, существенно различаются по массам, т. е. преобладает несимметричное деление. С учётом испускания двух мгновенных нейтронов, один из каналов реакции деления 235 92 U имеет вид 236 95 139 n  235 92 U  92 U  38 Sr  54 Xe  2n. Распределение по массам осколков деления показано на рис. 12.1. Осколки деления образуются в широком диапазоне A  72–161 и Z  30–65. Несимметричное деление объясняется влиянием оболочечной структуры ядра. Ядро стремится разделиться таким образом, чтобы основная

169

часть нуклонов каждого осколка образовала устойчивый магический остов.

Рис. 12.1. Массовое распределение осколков деления 235U тепловыми нейтронами.

Осколки деления в момент образования сильно перегружены нейтронами и испытывают последовательный   -распад, причем заряд первичного осколка может увеличиваться на 4–6 единиц. 141 54









    Xe   140  140  140  140 55 Cs  56 Ba  57 La  58 Ce .

Восстановление характерного для средних ядер A  90 –150 соотношения числа нейтронов и протонов происходит также за счёт вылета мгновенных нейтронов деления. В среднем в каждом акте деления за время ~ 41014 с испускается 2–3 мгновенных нейтрона. Энергетический спектр нейтронов непрерывный с максимумом около 1 МэВ (рис. 12.2). Испускание более одного нейтрона в каждом акте деления дает возможность получать энергию за счет цепной ядерной реакции деления.

Рис. 12.2 Энергетический спектр нейтронов, испущенных при делении тепловыми нейтронами ядра 235U

Небольшая доля ( 1%) нейтронов испускается с некоторым запаздыванием относительно момента деления — запаздывающие нейтроны. Время запаздывания в среднем составляет 1 мин. 12.4.

Механизм деления

Поверхностная и кулоновская энергии изменяются при отклонениях формы исходного ядра от сферической. Если ядро принимает форму вытянутого эллипсоида вращения, то при условии, что объём ядра не изменяется (ядерная материя практически несжимаема), величины малой a и большой 170

b осей ядерного эллипсоида: R , b  R(1), a 1  где R  радиус исходного ядра, а   малый параметр. Поверхностная и кулоновская энергии ядерного эллипсоида: 2 5

Eпов   A2/3 (1   2  ...),

Eкул  

Z2 13

A

(1 –

1 2   ...). 5

Изменение полной энергии ядра при переходе от сферической формы к эллипсоиду определяется соотношением 1 5

E   2 (2A2/3 – 

Z2 A1 3

).

Барьер деления возникает при E  0, т. е. при Z 2 / A  2 /   48. Высота барьера деления тем меньше, чем больше параметр делимости Z2/А.

Рис. 12.3

12.5.

Зависимость формы и высоты потенциального барьера, а также энергии деления от величины параметра Z2/A. Вертикальная стрелка показывает высоту барьера деления H.

Деление естественной смеси изотопов урана

В естественной смеси изотопов U на тепловых нейтронах реакция деления возможна, а на быстрых  нет. Среднее число вторичных нейтронов  ест на один захват нейтрона естественной смесью изотопов урана 235  nf ест   235 , 238  nf   n235   140 n где ν – среднее число нейтронов, испускаемых в одном акте деления, σnf , σnγ –сечения реакций деления (n,f) и радиационного захвата (n,γ). 235  Для тепловых нейтронов   2,47,  nf  580 барн,  n235   112 барн,

 n238   2,8 барн. 171



ест  1,32  1.  тепл Следовательно, цепная реакция на тепловых нейтронах на естественном уране возможна. Однако для осуществления цепной реакции надо с малыми потерями замедлять образующиеся при делении нейтроны с энергией от несколько МэВ до тепловых. 235 Для быстрых нейтронов   2,65,  1,2–1,3 барн,  nf 235 92 U ,

238  n235    n  0,1 барн. При делении только изотопа

получим

235  быстр  0,033. Необходимо учесть, что быстрые нейтроны с энергиями больше 1,4 МэВ могут с заметной относительной интенсивностью делить ядра изотопа 238 92 U , которого в естественной смеси гораздо больше. При делении 238 92 U коэффициент   2,5 . В спектре деления 60% нейтронов имеют энергии выше эффективного порога 1,4 МэВ деления 238 92 U . Из этих 60% нейтронов только один нейтрон из пяти успевает вызвать деление 238 92 U , не замедлившись до энергии ниже пороговой за счет упругого и неупругого рассеяния. Для быстрых нейтронов 238 238  nf  0,6 барн и для коэффициента  быстр получается оценка

238

 быстр 

140  nf238



238 238  nf235   n235   140  nf   n



 0,6 

1  0,25. 5

ест Полный коэффициент  быстр для реакции деления на быстрых

нейтронах в естественной смеси изотопов урана равен сумме ест 235 238   быстр   быстр  0,3  1.  быстр

На быстрых нейтронах цепная реакция в естественной смеси изотопов 235 238 92 U и 92 U идти не может. Реакцию на быстрых нейтронах можно поддерживать лишь в обогащенной смеси, содержащей не меньше 15% изотопа 235 92 U . 12.6.

Цепная реакция деления

Цепная реакция деления идет в среде, в которой происходит процесс размножения нейтронов. Такая среда называется активной средой. Физической величиной, характеризующей интенсивность размножения нейтронов, является коэффициент размножения нейтронов k, равный отношению количества нейтронов в одном поколении к их количеству в предыдущем поколении. Индекс  относится к среде бесконечных размеров. В делящейся среде конечных размеров часть нейтронов будет уходить из активной зоны наружу. Поэтому коэффициент k, являющийся характеристикой конкретной установки, зависит от вероятности Р для нейтрона не уйти из активной зоны. По определению 172

k  kP Величина Р зависит от состава активной зоны, ее размеров, формы, а также от того, в какой степени вещество, окружающее активную зону, отражает нейтроны. Критическим размером называется размер активной зоны, при котором k  1. Критической массой называется масса активной зоны критических размеров. При массе ниже критической размножение нейтронов не происходит, даже если k  1. Заметное превышение критической массы ведет к неуправляемой реакции  взрыву. Если в первом поколении имеется N нейтронов, то в n-м поколении их будет Nkn. Поэтому при k  1 цепная реакция идет стационарно, при k  1 реакция гаснет, а при k  1 интенсивность реакции нарастает. Режим реакции при k  1 называется критическим, при k  1  надкритическим и при k  1  подкритическим. Время жизни нейтронов  одного поколения от 10–4 до 10–8 с зависит от свойств среды. 235

U

(Деление) Осколок деления

Быстрые нейтроны

Осколок деления

Замедлитель Медленные нейтроны (Может уйти из системы) 239

U

238

U

235

(Захват нейтрона) 239

Np

U

(Деление) Осколок деления

Быстрые нейтроны

Осколок деления

Замедлитель Медленные нейтроны 239

Pu

Рис. 12.4.

(Вызывают деление 235U, захватываются 238U и т.д.)

Схема цепной реакции деления в среде с замедлителем.

173

12.7.

Ядерный реактор

В реакторе поддерживается управляемая цепная реакция деления, в результате которой происходит выделение тепла. Основной характеристикой реактора является его мощность  количество тепловой энергии, выделяющейся в единицу времени. Мощность в 1 МВт (мегаватт) соответствует цепной реакции, в которой происходит 3.10 16 актов деления в секунду. Имеется большое количество разных типов реакторов. Одна из типичных схем теплового реактора изображена на рисунке 12.5. Рис. 12.5 Схема гетерогенного теплового реактора. 1- тепловыделяющие элементы, 2 – замедлитель; 3 – теплоноситель; 4 – отражатель; 5 – стержни регулирования и аварийной защиты; 6 – корпус и биологическая защита.

232 При поглощении нейтронов изотопами урана 238 92 U и тория 90Th образуются (через два последовательных  -распада) изотопы плутония 239 233 94 Pu и урана 92 U , являющиеся ядерным горючим:

n n



23 мин , 

238 92 U



239 92 U

232 90Th



233 90Th



239 93 Np

22 мин , 



2.4дня , 

233 91 Ра



239 94 Pu ,

27дней ,  

233 92 U ,

Эти две реакции открывают возможность воспроизводства ядерного горючего в процессе цепной реакции. 12.8. Ядерный взрыв Ядерный взрыв развивается за счёт экспоненциально растущего со временем числа разделившихся ядер: N (t )  N 0 e t  Среднее время  между двумя последовательными актами деления 108 с. Отсюда можно получить для времени полного деления 1 кг Рис. 12.6 Схема ядерной бомбы ядерной взрывчатки 7 6 величину 10 -10 с. Это и определяет время ядерного взрыва. 174

Задачи 12.1.

Какое количество делений Nsf происходит в течение одного часа в 1 г изотопов 1) 232Th, 2) 235U, 3) 238U? Какое количество  -распадов Nα происходит в образце за это время?

12.2.

Почему большинство атомных ядер устойчиво по отношению к спонтанному делению? Оцените величину заряда ядра Z, при котором ядра становятся нестабильными по отношению к спонтанному делению.

12.3.

Ядро массы M делится на два осколка с массами M 1 и M 2 . Какая энергия высвобождается при делении? Равна ли сумма M 1  M 2 массе начального ядра M ? Объясните ответ.

12.4.

Пользуясь таблицей масс атомных ядер рассчитайте энергию симметричного деления 1) 242Am, 2) 232Th, 3) 238U. Сравните полученный результат с расчетами на основе формулы Бете – Вайцзеккера.

12.5.

92 При делении урана образуются осколки 141 56 Ba и 36 Kr . Рассчитайте энергию электростатического отталкивания осколков EКулон. Сравните полученный результат с суммарной кинетической энергией осколков равной ≈ 170 МэВ.

12.6.

Рассчитайте энергию Q, выделяющуюся при делении ядра 235U, захватившего тепловой нейтрон с образованием осколков: а) 95 Sr  141 Xe , б) 94 Sr  140 Xe  2n в) 95 Sr  139 Xe  2n .

12.7.

120 110 Одна из возможных реакций деления n  235 92 U  48 Cd  44 Ru  6n . Рассчитайте энергию Q, выделяющуюся при делении.

12.8.

Почему изотоп урана 235U может делиться под действием тепловых нейтронов, а изотоп 238U только под действием быстрых нейтронов? Рассчитать минимальную кинетическую энергию нейтрона, необходимую для деления 238U. Высота барьеров деления 236U и 239U равна 6,2 и 6,6 МэВ соответственно.

12.9.

Почему при делении испускаются запаздывающие нейтроны? Могут ли быть испущены запаздывающие протоны?

12.10. Почему распады ядер 235U и 238U происходят с образованием отношения масс легкого и тяжелого осколков 2:3?

175

12.11. Какое число делений N происходит в ядерном реакторе мощностью 500 МВт, если в среднем в одном акте деления выделяется энергия 200 МэВ? 12.12. Рассчитать поток антинейтрино Nν и уносимую ими мощность Wν из реактора мощностью 100 МВт, исходя из того, что на каждый акт деления приходится 5   -распадов продуктов деления. 12.13. Сколько нейтронов Nn покидает пределы активной зоны реактора мощностью 100 МВт, если потеря нейтронов за счет поглощения без деления составляет 50%? 12.14. Какая энергия E выделяется при делении 1 кг 235U? 12.15. Какова мощность W атомной электростанции, расходующей 1 кг 235U в сутки, если КПД электростанции составляет 16%? 12.16. Оцените время ядерного взрыва. 12.17. Возможна ли цепная реакция деления на естественной смеси изотопов U под действием 1) быстрых нейтронов, 2) тепловых нейтронов? 12.18. Какую роль играют реакции радиационного захвата нейтронов n в цепной реакции деления? 12.19. Коэффициент размножения нейтронов в реакторе k  1,1 . Рассчитайте, какое число поколений n необходимо, чтобы выделение энергии увеличилось в 10 раз? Какое время t необходимо, чтобы выделение энергии увеличилось в 100 раз, если время жизни одного поколения 0,9 мс? 12.20. Коэффициент размножения нейтронов в реакторе k  1,005 , среднее время жизни одного поколения τ = 0,1 с. Определите период реактора t (время, за которое его мощность увеличится в e раз) 12.21. В ядерном реакторе, имеющем коэффициент размножения k  1,005 время жизни одного поколения нейтронов 0,08 с. На сколько увеличится произведенная энергия за 5 с? На сколько нужно уменьшить поток нейтронов в реакторе, чтобы коэффициент размножения стал 1,0005? 12.22. В активной зоне реактора в реакциях захвата нейтронов ядрами урана образуются трансурановые элементы. Какие изотопы трансуранов будут основными источниками остаточной радиоактивности через 1000 лет хранения радиоактивных отходов?

176

Семинар 13. Нуклеосинтез В середине ХХ столетия сформировались две гипотезы образования химиических элементов:  химические элементы образуются в звездах нашей Галактики и затем выбрасываются в межзвездное пространство, поставляя материал для последующей эволюции химического состава Вселенной;.  химические элементы образовались на дозвездной стадии во время первоначального горячего состояния расширяющейся Вселенной. C современной точки зрения, два наиболее распространенных химических элемента во Вселенной: водород (~90%) и гелий (~9%), образовались на дозвездной стадии эволюции Вселенной. Все остальные элементы возникли в результате превращения химических элементов в звездах. 13.1. 13.2. 13.3. 13.4. 13.5. 13.6. 13.7. 13.8. 13.9. 13.10.

13.1.

Распространенность химических элементов Дозвездный нуклеосинтез Синтез ядер в звездах Горение водорода CNO-цикл  -процесс в звездах Образование ядер в районе A  50 Образование тяжелых элементов Нуклеосинтез под действием космических лучей Кварк-глюонная плазма Задачи

Распространенность химических элементов

Нуклеосинтезом называют образование атомных ядер в естественных условиях. Атомные ядра образуются в ядерных реакциях, происходящих во Вселенной на различных стадиях её эволюции. Три основных механизма нуклеосинтеза:  космологический (первичный или дозвёздный) нуклеосинтез,  синтез ядер в звёздах и при взрывах звёзд,  нуклеосинтез под действием космических лучей. Распространённостью элементов называется число ядер данного элемента в веществе, приходящееся на определённое число ядер кремния Si. Распространённость кремния (Si) принята равной 106. Особенности распространённости элементов: 1. Элементное вещество Вселенной в основном состоит из водорода – 91% всех атомов. 2. Гелий занимает второе место, составляя  9% всех атомов. 3. Существует глубокий минимум, соответствующий литию, бериллию и бору. 177

4. Следующий за ним резкий подъём повышенной распространённости углерода и кислорода. 5. За кислородным максимумом идёт скачкообразное падение вплоть до скандия (Z = 21, А = 40). 6. Наблюдается повышенная распространённость элементов в районе железа («железный пик»). 7. После А  60 уменьшение распространённости происходит более плавно, наблюдаются локальные максимумы в районе магических чисел протонов или нейтронов 50, 82, 126. 8. Как правило, распространённость чётно-чётных нуклидов (чётные Z и N) выше, чем соседних нуклидов с нечётным числом нуклонов. 9. Наиболее легкие стабильные изотопы ряда химических элементов 74 Se, 73Kr, 92Mo, 96Ru — имеют распространенность на два порядка меньше, чем соседние более тяжелые стабильные изотопы.

Рис. 13.1 Логарифм распространенности нуклидов во Вселенной в зависимости от массового числа (по данным Е. Андерса и Н. Гривса, 1989).

13.2.

Дозвездный нуклеосинтез

При температурах T  1010 К (и кинетических энергиях  1 МэВ) нейтроны и протоны благодаря реакциям слабого взаимодействия находились в состоянии термодинамического равновесия p + e  n +  е , p +  е  n + e+, n  p + e +  е . Вероятность образования состояния с энергией Е описывается распределением Гиббса:

W  Ae  E 178

kT

.

В условиях термодинамического равновесия соотношение между числом нейтронов и протонов будет определяться разностью масс нейтрона и протона:  En kT nn e  (m  m )c 2 kT 1, 29МэВ kT (МэВ)   E kT  e n p е . p np e Примерно через 2 с после Большого Взрыва при Т  1010 К средние кинетические энергии частиц стали меньше 1 МэВ. Равновесное отношение концентраций нейтронов и протонов n n / n p уменьшилось к этому моменту до  1/6 и до начала первичного нуклеосинтеза это отношение снижалось в основном за счёт распада нейтронов. Условия для синтеза более сложных легчайших ядер возникли во Вселенной примерно через минуту после Большого Взрыва. Во Вселенной в результате аннигиляции частиц и античастиц на 1 протон приходилось 109 фотонов. Образование дейтерия стало возможным, когда энергия фотонов стала меньше энергии фоторасщепления дейтерия — 2,2 МэВ. Цепочка основных реакций синтеза гелия: p  n  21 H   (Q = 2.22 МэВ),

 31 H  p (Q  4,03 МэВ),    3  2 He  n (Q  3,27 МэВ), 2 3 4 1 H  1 H  2 Hе  n (Q = 17,59 МэВ), 2 1H

2 1H

2 1H

 23 Hе  42 Hе  p (Q =  18,35 МэВ). Для каждой реакции указана выделяющаяся энергия Q. За время 1–3 минуты практически все нейтроны оказались связанными в 42 He . Последовавшее вслед за этим снижение температуры и плотности Вселенной остановило реакции синтеза.

Рис. 13.2 Изменение выхода легчайших ядер и барионной плотности (штриховая линия) на этапе космологического нуклеосинтеза. 179

13.3.

Синтез ядер в звездах

1.

Горение водорода. Это один из основных процессов, поддерживающих длительное выделение энергии в звездах. При горении водорода происходит слияние 4-х ядер водорода с образованием ядра 4He. Этот процесс происходит либо в pp-цепочке, либо в циклических ядерных реакциях с участием более тяжелых ядер — C, N, O, Ne и других, играющих роль катализатора. Сюда же относятся процессы с участием протонов, в которых производится некоторое количество легких элементов.

2.

Горение гелия. После того, как в звезде накапливается гелий, под действием сил гравитации гелиевое ядро звезды сжимается, становится достаточно плотным и горячим и в нем начинается процесс горения гелия с образованием ядер 12C, 16O, 20Ne.

3.

α-процесс. Процесс последовательного добавления α-частиц к ядру Ne с образованием ядер 24Mg, 28Si, 32S, 36Ar, 40Ca. Он описывает повышенную распространенность элементов типа Nα, где α — ядро 4 He, а N — целое число. 20

4.

е-процесс. Процесс, в котором в условиях термодинамического равновесия образуются элементы, расположенные в районе железного максимума.

5.

s-процесс. Образование ядер тяжелее железа в результате медленного последовательного захвата нейтронов. Скорость s-процесса меньше скорости β-распада образующихся в процессе захвата нейтронов радиоактивных ядер. Длительность s-процесса от 102 до 105 лет. s-процесс отвечает за образование максимумов в распространенности элементов при A ~ 90, 138 и 208.

6.

r-процесс. Образование ядер тяжелее железа в результате быстрого последовательного захвата нейтронов со скоростью, существенно превышающей скорость  -распада образующихся радиоактивных ядер. Характерное время r-процесса 0.01–100 с. В результате r-процесса в кривой распространенности элементов возникают максимумы при A = 80, 130 и 195.

7.

p-процесс. Образование наиболее легких изотопов химических элементов. Он включает в себя образование и захват позитронов, захват протона, фоторождение нейтрона, (p,n)-реакции.

8.

X-процесс. Изотопы 6,7Li, 9Be, 10,11B образуются в реакциях расщепления под действием космических лучей.

180

13.4.

Горение водорода

p  p   d  e     0,42 МэВ 5,810  9 лет d  p   3 He    5,49 МэВ 3,2108 лет _________________________________________________

69% 3

3

31%

4

He  He   He+2p  12,86 МэВ 1,510  5 лет pp I (Q=24,7 МэВ) 3

He  4 He   7 Be+  1,59 МэВ 6,510  5 лет

__________________________________________________

99,7% 7

7

0,3%

7

Be  e  Li+    0,86 МэВ 0,2 года

Li  p   4 Не+ 4 Не+17,35 МэВ 210 5 лет pp II (Q=25,7 МэВ) 7 8

Be  p   8 B+  0,14 МэВ 71 год

B   8 Be*+e     14,06 МэВ 2,510 8 лет 8

Be*   4 Не+ 4 Не  3,0 МэВ 1029 лет pp III (Q=24,7 МэВ)

Рис.13.3 Горение водорода в реакции 4p→α.

Рис.13.4 Спектр нейтрино, образующихся на Солнце в результате горения водорода в реакции 4p→α и в CNO-цикле.

181

13.5.

CNO цикл

Рис. 13.5 Схема CNO цикла

Цепочка реакций I 12

C + p → 13N + γ 13 N → 13C + e+ + νe 13 C + p → 14N + γ 14 N + p → 15O + γ 15 O → 15N + e+ + νe 15 N + p → 12C + 4He

(Q = 1,94 МэВ) (Q = 1,20 МэВ, T1/2 = 10 мин) (Q = 7,55 МэВ) (Q = 7,30 МэВ) (Q = 1,73 МэВ, T1/2 = 124 с) (Q = 4,97 МэВ).

Цепочка реакций II 15

N + p → 16O + γ 16 O + p → 17F + γ 17 F → 17O + e+ + νe 17 O + p → 14N + α

(Q = 12,13 МэВ), (Q = 0,60 МэВ), (Q = 1,74 МэВ, T1/2 = 66 c), (Q = 1,19 МэВ).

Цепочка реакций III 17

O + p → 18F + γ 18 F → 18O + e+ + νe 18 O + p → 15N + α 13.6. 4

(Q = 6,38 МэВ), (Q = 0,64 МэВ, T1/2 = 110 мин), (Q = 3,97 МэВ).

α-процесс в звездах

       Не   8 Be   12 C   16 O   20 Ne   24 Mg   28 Si   32 S

4

He + 4He + 4He → 8Be + 4He → 12C* → 12C + γ 12

C + α → 16O + γ 16 O + α → 20Ne + γ 20 Ne + α → 24Mg + γ 24 Mg + α → 28Si + γ 28 Si + α → 32S + γ

182

Q = 7,16 МэВ, Q = 4,73 МэВ, Q = 9,31 МэВ, Q = 9,98 МэВ, Q = 6,95 МэВ

Рис. 13.6 - Процесс в звездах. Приведены нижние уровни ядер 8Be, 12C и 16O.

13.7.

Образование ядер в районе А ≈ 60

е-процесс

Рис. 13.7 Сеть ядерных реакций, приводящих к синтезу элементов от гелия до германия.

183

13.8.

Образование тяжелых элементов

s-процесс Образование тяжёлых элементов в результате реакции (n, ): (A, Z)  n  (A1, Z)  . Если образовавшееся в реакции захвата нейтронов ядро (A1, Z) нестабильно, то при малых плотностях нейтронов более вероятен   -распад этого ядра (A1, Z)  (A1, Z1)  е  е , чем захват им следующего нейтрона. Условие такого развития процесса обычно выражают соотношением  n    , где  n  время жизни ядра до захвата нейтрона. Такой процесс называют медленным или s-процессом (от англ. slow). Характерные значения  n в этом процессе – годы. 75

70

Ge

стаб 69 Ga 64

Zn

стаб 63 Cu 60

Ni

стаб 59 Co 56

Fe

стаб

Fe

стаб 58 Fe

стаб

стаб

57

Ni

стаб 62 Ni

стаб 60 Co 10.5 м 59 Fe 44.5 д

стаб 61 Co 1.65 ч 60 Fe 1.5 106 л

61

Рис. 13.8

65

Zn 244.3 д 64 Cu 12.7 ч 63 Ni 100 л

66

Zn

стаб 65 Cu стаб 64 Ni стаб

67

Zn

стаб 66 Cu 5.1 м 65 Ni 2.52 ч

стаб 68 Zn стаб

71

Ge 11.43 д 70 Ga 21.15 м 69 Zn 56 м

72

Ge

стаб 71 Ga стаб 70 Zn стаб

73

Ge

стаб 72 Ga 14.1 ч 71 Zn 2.4 м

As

стаб 74 Ge стаб

76 As 26.4 ч 75 Ge 47 с

76

Ge

стаб

77

Ge 53 с

β--распад

захват нейтрона

Образование элементов с Z = 26–33 в s-процессе.

В качестве исходных ядер, из которых в результате последовательного захвата нейтронов образуются тяжёлые ядра, обычно выбирают ядра «железного пика». При плотности нейтронов 1010 см-3 время, необходимое для образования свинца из железа, составляет около 103 лет. r-процесс Если плотности нейтронов достигают значений 1019–1020 см3, то время жизни ядра до захвата нейтрона  n снижается до  103 с и скорость захвата ядром нейтрона во много раз превышает скорость его  -распада  n    . Захват нейтронов происходит до тех пор, пока скорость реакции (n, ) не станет меньше скорости  -распада изотопа. При этом ядро успевает захватить 10–20 нейтронов прежде чем испытает  -распад. Такой процесс называют быстрым или r-процессом (от англ. rapid). Линия на NZ-диаграмме, вдоль которой происходит образование ядер в r-процессе, смещена от долины стабильности (трека s-процесса) в направлении нейтронноизбыточных изотопов. 184

Рис. 14.3 Пути (треки), вдоль которых идёт формирование ядер в s- и r-процессах.

Рис. 13.10 Основные этапы эволюции массивной звезды (M  25M☉) Масса, M 

0,08 0,3 0,7 5,0 25,0

Ядерные реакции синтеза в звёздах различной массы

Нет Горение водорода Горение водорода и гелия Горение водорода, гелия, углерода Все реакции синтеза с выделением энергии 185

Рис. 13.11 Эволюция массивной звезды ( M  25M  ).

Предсверхновая

Рис. 13.12 Содержание элементов в звезде с массой 25M  в зависимости от массы внутренней области.

186

13.9.

Нуклеосинтез под действием космических лучей

Х-процесс Изотопы Li, Be, B образуются в реакциях расщепления (скалывания) при взаимодействии галактических космических лучей с веществом межзвёздной среды: 1) лёгкая компонента космических лучей (быстрые протоны и αчастицы) в результате столкновения с тяжёлыми ядрами межзвёздной среды вызывает расщепление их с образованием изотопов Li, Be, B, которые затем смешиваются с межзвёздной средой; 2) быстрые ядра С, N, O, входящие в состав космического излучения, сталкиваясь с ядрами Н и Не, превращаются в Li, Be, B.

Рис. 13.13 Основные компоненты первичных космических лучей.

Рис. 13.14 Каскад вторичных частиц в атмосфере Земли.

187

13.10. Кварк-глюонная плазма При высоких температурах и больших плотностях адронной материи образуется кварк-глюонная плазма. В естественных условиях кваркглюонная плазма существовала в первые 105 с после Большого Взрыва. Условия для образования кварк-глюонной плазмы могут существовать и в центре нейтронных звезд. Переход в состояние кварк-глюонной плазмы происходит как фазовый переход 1-го рода при температуре T  200/k МэВ (k  8,621011 МэВ/Кельвин). Методом получения кваркглюонной плазмы является соударение релятивистских тяжелых ионов. Одна из основных проблем  идентификация состояния кварк-глюонной плазмы. Это может быть сделано по аномальному выходу лептонных пар, эмиссии фотонов, аномально большому выходу странных частиц.

Задачи 13.1.

Оцените поток солнечных нейтрино на поверхности Земли.

Выделение солнечной энергии происходит в основном в результате реакций так называемого водородного цикла или водородной цепочки. Основные реакции этой цепочки следующие

188

p  p  d  e   e , d  p  3 He   , 3

He  3 He  4 He  2 p. В процессе этих реакций выделяется 24,6 МэВ энергии. Есть еще дополнительные разветвления этой цепочки, например 3 He  4 He  7 Be   , 7

Be  e   7 Li   e ,

7

Li  p  4 He  4 He. Однако приведенная вначале цепочка является основной. Кратко ее можно записать так: 4 p  4 He  2e  2 e . Таким образом, на каждые E = 24,6 МэВ излученной Солнцем энергии вылетает два нейтрино. Светимость Солнца W = 4·10 33 эрг/c, радиус орбиты Земли RЗ = 1,5·1013 см. Общее число нейтрино, излучаемых Солнцем в единицу времени N  2W / E . Площадь сферы с радиусом, равным радиусу орбиты Земли S  4 RЗ 2 . Тогда плотность потока нейтрино на земной орбите будет 2W J  4 RЗ 2 E

2 нейтрино  4  1033 эрг/с нейтрино   7  1010 . 13 2 6 4  3,14  (1,5  10 см)  24,6 МэВ  1,6  10 эрг/МэВ с  см 2 13.2.

Почему реакции синтеза ядер в звездах начинаются с реакции p  p  d  e   e , идущей за счет слабого взаимодействия, а не с реакции p  n  d   , идущей за счет электромагнитного взаимодействия, или других реакций, идущих в результате сильного взаимодействия?

К моменту начала ядерных реакций синтеза элементов звезды имеют следующий химический состав: 90% по числу атомов составляет водород и ~10% по числу атомов составляет гелий. Суммарный состав остальных элементов меньше 1%. При столкновении двух протонов, двух ядер гелия, или протона и ядра гелия не образуются долгоживущие связанные атомные ядра. Ядра 2He и 5Li в природе не существуют. Ядро 8Be имеет среднее время жизни  1016 сек. 2 p p  He   , 5 p  4 He   Li   , 4

8 He  4 He   Be   .

189

Единственной возможной реакцией в звездной среде ядер гелия и водорода является реакция образования дейтрона в результате слабого взаимодействия p  p  d  e   e . Из теоретических оценок следует, что при кинетической энергии сталкивающихся протонов примерно ~1 МэВ, сечение этой реакции  1023 барн. Реакция p  n  d   оказывается невозможной, так как в звездной среде на этой стадии эволюции Вселенной свободные нейтроны отсутствуют.

13.3.

Удельная мощность падающего на Землю солнечного излучения составляет wуд = 0,14 Вт/см2. С какой скоростью Солнце теряет свою массу? Если эта скорость сохранится и в будущем, то сколько времени еще будет существовать Солнце?

Площадь сферы, имеющей радиус, равный среднему радиусу орбиты Земли RЗ, S  4 RЗ 2 . Полная мощность, излучаемая Солнцем W  wуд S  4 wуд RЗ 2 

 4  3,14  0,14 Вт/см 2  (1,15  1013 см) 2  4  1026 Вт  4  1033 эрг/с. Излучение Солнцем энергии E соответствует потере массы m = E/c2. Скорость потери массы Солнцем можно оценить как W 4  1033 эрг/с  2   4, 4  1012 г/с. 10 2 c (3  10 см/с) Масса Солнца M   1,99  1030 кг, при сохранении скорости потери массы Солнце будет существовать M  1,99  1030 кг t   4,5  1020 с  1, 4  1013 лет. 9  4, 4  10 кг/с Эта оценка является завышенной, так как если масса Солнца уменьшится ниже определенной величины, протекание ядерных реакций синтеза на Солнце станет невозможно. 13.4.

Определите, какую часть своей массы  M потеряло Солнце за последние t = 106 лет (светимость Солнца W = 4·1033 эрг/с, масса Солнца M = 2·1033 г).

Из светимости определим потери массы Солнцем за единицу времени

W 4  1033 эрг/с  2   4, 4  1012 г/с. 10 2 c (3  10 см/с) 190

Соответственно, за t = 106 лет потери массы Солнца будут M   t  4, 4  1012 г/с  106 лет  3,16  107 с/год  1, 4  1026 г. Относительная потеря массы Солнцем  M за время t = 106 лет M 1, 4  1026 г M    7  108. 33 M 2  10 г 13.5.

Гравитационный радиус объекта, имеющего массу M, определяется соотношением rG = 2GM/c2, где G — гравитационная постоянная. Определите величину гравитационных радиусов Земли, Солнца.

Гравитационный радиус Земли 2GM З 2  (6,67  10 11 м 3 /кг  c 2 )  5,98  1024 кг rG 3    8,86  10 3 м. 2 8 2 c (3  10 м/с) Гравитационный радиус Солнца 2GM  2  (6,67  1011 м 3 /кг  c2 )  1,99  1030 кг 3 rG    2,95  103 м. 2 8 2 c (3  10 м/с) 13.6.

Рассчитайте энергию E(pp), выделяющуюся в p-p-цепочке.

13.7.

Наряду с CNO-циклом в массивных звездах горение водорода происходит в цикле реакции, исходным ядром которого является 24 Mg. Постройте соответствующую цепочку реакций (Mg – Al цикл).

13.8.

Наряду с CNO-циклом в массивных звездах горение водорода происходит в цикле реакции, исходным ядром которого является 20 Ne. Постройте соответствующую цепочку реакций (Ne цикл).

13.9.

Рассчитайте энергию E(CNO), выделяющуюся в углеродно-азотном цикле Бете: 12 C + p → 13N + γ 13 N → 13C + e+ + νe 13 C + p → 14N + γ 14 N + p → 15O + γ 15 O → 15N + e+ + νe 15 N + p → 12C + 4He

13.10. Какие элементы могли образовываться на дозвездной стадии эволюции Вселенной? 13.11. В каких реакциях на дозвездной стадии эволюции Вселенной могли образовываться изотопы He? 13.12. Какие особенности имеет распространенность элементов во Вселенной? Какие механизмы образования элементов ответственны за эти особенности? 191

13.13. Почему в распространенности элементов наблюдаются максимумы для  -частичных ядер? 13.14. В результате каких процессов образуются ядра тяжелее железа? 13.15. При какой температуре T возможно слияние ядер дейтерия? 13.16. Рассчитайте энергию, выделяющуюся 3 1) d  d  H  p, 3) d  d  3 He  n,

2) d  t  4 He  n,

в

реакциях

4) d  3 He  6 He  p.

13.17. Основным источником солнечных нейтрино является реакция p  p  d  e   e . Рассчитайте максимальную энергию электронных нейтрино, образующихся в этой реакции. 13.18. Солнечные нейтрино образуются в реакции e   7 Be  7 Li   e . Рассчитайте энергию нейтрино Eν и ядер 7 Li TLi в данной реакции. 13.19. Какие ядерные реакции являются источниками нейтронов в r- и s-процессах? 13.20. Происходит ли образование химических элементов в современную эпоху? Поясните свой ответ наблюдательными фактами. 13.21. Объясните, почему распространенность нейтронноизбыточных ядер превышает распространенность нейтроннодефицитных ядер. 13.22. В результате каких реакций образуются нейтроннодефицитные изотопы 74Se, 92Mo? 13.23. Напишите ядерные реакции, в которых образуются изотопы бериллия 7Be, 10Be. 13.24. Оцените величину запаса ядерной энергии звезды, имеющей массу Солнца. 13.25. В течение какого времени t на Солнце будет выделяться энергия в результате p-p-цепочки, если сохранится современная светимость Солнца? 13.26. Определите энергию Q, выделяющуюся в следующих реакциях термоядерного синтеза: 1) d  6 Li  2 , 2) p  11 B  3 . 13.27. Какая максимальная энергия Q выделяется в реакции 3 He  p  4 He  e   e ?

192

Семинар 14. Симметрии Природы Симметрии являются одним из фундаментальных принципов построения физических теорий. Обнаружение общих закономерностей между различными явлениями природы приводит к объединению, казалось бы, совершенно непохожих взаимодействий. Так возникло гравитационное взаимодействие, описывающее с единых позиций притяжение массивных тел на Земле и столкновение галактик в космосе. Электромагнитное взаимодействие объединило такие явления как взаимодействие магнитов, заряженных тел и возникновение света. Объединение четырех фундаментальных взаимодействий является одной из ключевых задач физики. 14.1. 14.2. 14.3. 14.4. 14.5. 14.6. 14.7. 14.8. 14.9. 14.10. 14.11.

Операции симметрии Изоспиновая симметрия. Симметрии протранства-времени Законы сохранения Комбинированная четность. СР-четность Распады нейтральных каонов Теорема СРТ Обращение времени Объединение взаимодействий Распад протона Суперсимметрия Задачи

14.1. Оператор симметрии Система обладает симметрией относительно преобразования U, если состояние системы не изменяется в результате применения к ней этого преобразования. Оператор U переводит волновую функцию  (r , t ) в другую волновую функцию  '(r , t )  U ( r , t ) . Симметрия системы определяется симметрией гамильтониана, описывающего данную систему. Оператор U называется оператором симметрии, если U удовлетворяет тому же самому уравнению Шредингера, что и функция  . Оператор симметрии U должен коммутировать с гамильтонианом H.

HU  UH   H , U   0. 14.2. Изоспиновая симметрия. Изоспиновая симметрия — это симметрия сильных взаимодействий, в основе которой лежит представление о том, что u- и d-кварки являются одинаковыми частицами по отношению к сильному взаимодействию, 193

имеющие значение изоспина I  1 / 2 и различающиеся знаком проекции вектора изоспина I3 на выделенную ось 3 зарядового пространства. u ( I  1 / 2, I 3  1 / 2)

d ( I  1 / 2, I 3  1 / 2) Кварковые системы, обладающие определенным значением изоспина, вырождены по знаку проекции изоспина. Число частиц N в изотопическом мультиплете N  2 I  1. В барионный декуплет входят нуклонные резонансы, имеющие значение J P  3 / 2 . Одинаковая разность масс между состояниями с различными значениями I определяется числом s-кварков, образующих состояния с определенным значением изоспина I.

Рис. 14.1 Барионный декуплет со спином JP=3/2+.

14.3. Симметрии пространства-времени  Симметрия физических законов относительно сдвигов в пространстве означает эквивалентность всех точек пространства — однородность пространства. С однородностью пространства связан закон сохранения  импульса p .  Симметрия физических законов относительно поворотов системы как целого в пространстве означает эквивалентность всех направлений в пространстве, т.е. оно изотропно. С изотропностью физического пространства связан закон сохранения момента количества движения J.

194

 Симметрия физических законов относительно начала отсчета времени (сдвиг во времени) означает эквивалентность всех моментов времени. Время однородно, т.е. физические законы не изменяются с течением времени. С однородностью времени связан закон сохранения энергии Е.  Симметрия физических законов относительно всех систем отсчета Х, движущихся друг относительно друга с постоянной по величине и направлению скоростью, означает эквивалентность всех инерциальных систем отсчета.   Выполнение законов сохранения энергии E, импульса p , момента количества движения J обусловлено макроскопической структурой пространства-времени на больших расстояниях.  Понятие симметрии можно расширить, включив в него более абстрактные понятия. 14.4. Законы сохранения Аддитивные законы сохранения Взаимодействие

Характеристика

Сильное Электромагнитное Слабое Электрический заряд, Q

+

+

+

Энергия, E  Импульс, p

+

+

+

+

+

+

Момент количества движения, J

+

+

+

Барионный заряд, B

+

+

+

Лептонные заряды Le, L, L

+

+

+

Странность, s

+

+

–

Charm, c

+

+

–

Bottom, b

+

+

–

Top, t

+

+

–

Изоспин, I

+

–

–

Проекция изоспина, I3

+

+

–

Дискретные симметрии Ряд законов сохранения связан с различными операциями отражения. Операции отражения имеют два общих свойства. 1. Отражение является дискретной операцией. 2. Если провести операцию отражения два раза подряд, то в результате система возвратится в исходное состояние. 195

Мультипликативные законы сохранения Взаимодействие Сильное Электромагнитное Слабое Пространственная четность, P + + – Зарядовая четность, C + + – Т - инвариантность, T + + – Комбинированная четность, CP + + – CPT-инвариантность + + + G-четность + – – Характеристика

Наиболее привычным примером операции отражения P является зеркальное отражение относительно какой-либо плоскости. Оператор пространственной инверсии изменяет знак пространственных   P     координат P ( r )   r : X , Y , Z , p , J    X ,  Y ,  Z ,  p, J Оператор зарядового сопряжения меняет знак всех аддитивных квантовых чисел (зарядов) частиц, тем самым переводя частицу в античастицу C ( A)  A . 14.5. Комбинированная четность. СР-четность Операция СР сопряжения состоит в проведении С и Р преобразований в любой последовательности. На рис. 14.2 показана операция СРсопряжения слабого распада π+-мезона для последовательного Р и С преобразования (слева) и последовательного С и Р преобразования (справа). В результате СР-преобразования получается процесс, наблюдаемый в природе – распад π–-мезона. СР четность не сохраняется в распадах нейтральных K, D, B и Bs мезонов        .

       Рис. 14.2 СР-сопряжение слабого распада π +-мезона в PC (слева) и CP (справа) последовательности. Черными стрелками показано направление импульсов частиц, пустые стрелки обозначают направление спинов частиц.

14.6. Распады нейтральных каонов Нейтральные К0-мезоны: K 0 ( d s )

K 0 ( ds )

Исследование процессов с участием нейтральных K 0 и K 0 -мезонов позволяет изучить проявление принципа суперпозиции в квантовой механике. 196

 Линейная комбинация двух состояний также является состоянием системы. K0 и K0 -мезоны можно представить как суперпозицию двух других состояний K1 и K 2 .  В слабых распадах K 0 и K 0 -мезонов впервые было обнаружено, что CP-симметрия не является точной симметрией. Образование K0-мезонов K 0 (d s ) J P ( I )  0 (1 / 2) K 0 ( ds ) J P ( I )  0 (1 / 2) Нейтральные мезоны K 0 и K 0 являются частицей и античастицей и различаются квантовыми числами странность и проекция изоспина s( K 0 )  1, s( K 0 )  1; I 3 ( K 0 )  1 / 2, I 3 ( K 0 )  1 / 2. Поэтому обе частицы должны иметь одинаковые массы и одинаковые времена жизни. Они по-разному ведут себя в сильном взаимодействии. K 0 -мезоны могут образовываться в реакции    p    K 0 , s  0 , в то время, как для K 0 -мезонов такая реакция запрещена. 0   p     K , s  2 K 0 -мезоны в сильных взаимодействиях образуются в реакции    p  n  K 0  K 0 , s  0 , которая имеет более высокий порог. Переходы K 0 – K 0 Каоны K 0 и K 0 являются частицей и античастицей по отношению друг к другу и связаны операцией зарядового сопряжения, причем фазы преобразования выбраны так, чтобы ˆ ˆ K0  K0 , ˆ ˆ K0  K0 . CP CP Нейтральные каоны рождаются в сохраняющем изоспин и странность сильном взаимодействии, а распадаются в результате слабого взаимодействия на два или три пиона. В слабом взаимодействии странность может не сохраняться. Находясь в свободном состоянии, K 0 - и K 0 -мезоны могут переходить друг в друга в результате двух последовательных виртуальных процессов с изменением странности в каждом из них на единицу s  1 . В результате возникает смешивание состояний K 0 и K 0 . Механизм этого смешивания можно описать с помощью кварковой диаграммы:

В результате этого смешивания возникают линейные комбинации:

197

Состояния K10

K10 

1

0

 K0 ,

K 20 

1

0

 K0

K 2 K 2





и K 20 имеют определенные значения CP-четности,

но не имеют определенного значения странности s. В свою очередь K 0 и K 0 являются суперпозицией состояний K10 и K 20 .

  K

K 0  K10  K 20 K0

0 1

 K 20

/ /

2, 2.

CP( K10 )  1, и в соответствии с законом сохранения комбинированной четности K10 распадается на два π-мезона. Среднее время жизни состояния  ( K10 )  0,9  10 10 с. Это сравнительно короткоживущее состояние обозначают K S0 (short).

CP( K 20 )  1, поэтому при сохранении комбинированной четности K 20 распадается на 3 π-мезона. Время жизни K 20 должно быть больше времени жизни K10 из-за существенного различия в энергии реакции ( Q1  Q2  m ) ( K 20 ) ~ 5·10-8 с. Это сравнительно долгоживущее состояние обозначают K L0 (long). Так как K0-мезон на 50% состоит из компоненты K10 , то вблизи мишени наблюдаются распады этой компоненты на 2π-мезона. На большем расстоянии от мишени наблюдается распад компоненты K 20 на 3π-мезона. Распады КL на 2π-мезона Однако, в 1964 г. Дж. Кронин и В. Фитч обнаружили, что в распадах нейтральных каонов происходит нарушение СР-инвариантности. Существует малая, но конечная вероятность распада: K L0       , ˆ ˆ -оператора в конечном состоянии в котором собственное значение CP имеет СР = +1:  ( K L     )  (1,967  0,010)  103 . ( K L  all ) Этот результат означает, что нельзя отождествлять состояние K S0 с K10 и K L0 с K 20 . Cостояния K L0 и K S0 нужно определить следующим образом: 1/2

1/2

 1  K L0   K 20   1 K10 ,  1  2  1   ε1 и ε2 − малые комплексные числа.





K S0

198

 1    1  2  2  

K

0 1



  2 K 20 ,

14.7. СРТ теорема В 1954 году Г. Людерсом и В. Паули была доказана фундаментальная теорема, устанавливающая связь между свойствами вещества и антивещества – CPT-теорема. CPT-теорема: Квантовые системы инвариантны относительно СРТ-преобразования в любой последовательности. Следствием СРТ-инвариантности является равенство масс и времен жизни частицы и античастицы.

Рис. 14.3 Распад –-мезона (а) и СРТ-преобразование распада –-мезона (б).

В силу СРТ-инвариантности, если в природе происходит некоторый процесс, то точно с такой же вероятностью может происходить СРТ-сопряженный процесс, в котором частицы заменены соответствующими античастицами, проекции их спинов и импульсов изменили знак, а начальное и конечное состояния поменялись местами. Вероятности распадов         и         одинаковы. На опыте не обнаружено ни одного случая нарушения СРТ-инвариантности. Сохранение СРТ-симметрии следует из самых общих принципов квантовой физики. Если СРТ-симметрия сохраняется, то из несохранения СР-симметрии следует несохранение T-симметрии.. 14.8. Обращение времени Операция обращения времени Т сводится к замене t  t . Преобра  зование пространственных координат r , импульса p и момента импульса  J при операции обращения времени:    T    r , p, J   r ,  p,  J . В результате Т-преобразования происходит изменение знаков импульса, момента импульса и меняются местами начальное и конечное состояния. Операция обращения времени T превращает исходное движение в обратное.

Рис. 14.4 Распад –-мезона (а) и Т-преобразование для распада (б).

Из требования Т-инвариантности следует равенство сечений прямого и обратного процессов.

199

Из Т-симметрии следует соотношение между сечениями прямых и обратных реакций (принцип обратного равновесия), что позволяет проверить выполнение Т - инвариантности в различных процессах. 14.9. Объединение взаимодействий Современные идеи объединения различных взаимодействий берут начало от работ Ньютона. Ньютон открыл простой закон, согласно которому сила взаимодействия между двумя массивными телами пропорциональна их массам m1 , m 2 и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними: mm F  G 12 2 , r G  гравитационная постоянная Ньютона. С помощью этого закона Ньютон сумел рассчитать как закономерности падения тел, согласующиеся с наблюдениями Галилея, так и закономерности движения планет, ранее установленные Кеплером. С помощью одного закона впервые удалось описать явления земных и космических масштабов. Следующий шаг в объединении взаимодействий был сделан Максвелллом, который показал, что электричество, магнетизм и свет можно описать системой дифференциальных уравнений, которые носят его имя. В картине объединения взаимодействий различают три порога. Первый – 100 ГэВ – это порог электрослабого взаимодействия, который соответствует массе W± и Z-бозонов. При этих энергиях происходит объединение электромагнитного и слабого взаимодействий. Второй — ~1015 ГэВ. Это характерная величина энергии, при которой происходит объединение сильного и электрослабого взаимодействий. Такой массой должны обладать X- и Y-бозоны, обеспечивающие симметрию кварков и лептонов. X- и Y-бозоны могут превращать кварки в лептоны и лептоны – в кварки.

Рис. 14.5 Объединение фундаментальных взаимодействий. 200

Третий — ~ 1019 ГэВ — это энергия Планка. При этих энергиях в единое взаимодействие объединяются все известные взаимодействия, включая гравитационное. При уменьшении расстояния или, что эквивалентно, при увеличении энергии константа электромагнитного взаимодействия возрастает, в то время как константы сильного и слабого взаимодействия уменьшаются. Расчеты показывают, что если учесть влияние квантовых флуктуаций, константы взаимодействий начнут сближаться, и станут практически одинаковыми на расстоянии ~10–29 см. Температура и энергия, соответствующие таким масштабам составляют 10 28 К и E = 10 16 ГэВ. Такие характеристики имела Вселенная, когда её возраст составлял 10–39 с. 14.10.Распад протона Одним из важнейших предсказаний ТВО является распад протона. За возможные распады протона отвечают процессы с участием X- и Y-бозонов. Вероятность распада протона чрезвычайно мала из-за большой массы X- и Y-бозонов. По оценкам время жизни протона относительно доминирующего канала распада p  e+  π0 не может превышать 10 32 лет. Для этого канала распада протона эксперимент уже даёт  > 51032 лет. p  e+ + π0  2

p  е   

14.11.Суперсимметрия Предположение о существовании симметрии законов природы, связанной со спином, приводит к понятию суперсимметрии – симметрии между частицами с полуцелым спином (фермионы – кварки, лептоны) и частицами с целым спином (бозоны – фотон, глюоны, W, Z…). Каждой известной частице должен соответствовать суперсимметричный партнер, спин которого отличается на 1/2. Массы суперпартнеров должны быть гораздо больше, чем у наблюдаемых сейчас 201

Частица кварк

спин 1/2

SUSY-партнёр скварк

Спин 0

лептон

1/2

слептон

0

нейтрино

1/2

снейтрино

0

фотон

1

фотино

1/2

глюон

1

глюино

1/2

W-бозон

1

вино

1/2

Z-бозон

1

зино

1/2

бозон Хиггса

0

хиггсино

1/2

гравитон

2

гравитино

3/2

частиц. Самая легкая из суперчастиц должна быть стабильна и может составлять значительную часть невидимой (темной) материи Вселенной. Теории суперсиметрии (SUSY-теории) служат одним из возможных кандидатов на единую теорию взаимодействия фундаментальных частиц. Задачи 14.1. Покажите, что двухпионные системы    ,  0 0 и трехпионные системы    0  ,  0 0 0 при нулевом орбитальном моменте являются собственными состояниями CP -оператора с собственными значениями 1 для 2 -систем и 1 для 3 -систем. Вопрос о пространственной и зарядовой четности пионов рассмотрен в семинаре 7. Поскольку нейтральный пион является истинно нейтральной частицей и распадается на два фотона, то его зарядовая четность положительна: C  0    0 . Заряженные пионы являются античастицами друг друга: C       , C       . Пространственная четность системы частиц P 1 ,...n   i  i (1) L , где  i – пространственная четность частиц ( P   0   P     1 ), L – суммарный угловой момент (по условию L = 0). Таким образом:

CP  0 0  (  )( )(1) L ()()(1) L  0 0    0 0 ; CP     ( 1) L ( )( )( 1) L         CP  0 0 0  ( ) 3 ( ) 3  0 0 0    0 0 0 CP    0  (  )()3    0      0

14.2. Нарисуйте кварковые диаграммы распадов  0  2 ,  0  3 . 202

Диаграмма двухчастичного распада K 0 представлена на рисунке:

Слабый распад K 0 приводит к тому же кварковому составу, который может быть также проинтерпретирован как пара нейтральных пионов  0 0 . Диаграмма распада на три пиона   0  может быть получен путем добавления кварк-антикварковых пар за счет сильного взаимодействия. 14.3. Покажите: 1) что состояния  0S  K10 и  0L   02 имеют различные CP -

2)

четности, причем первое имеет положительную CP -четность (четно), в второе — отрицательную CP -четность (нечетно); что в случае CP -инвариантности слабого взаимодействия возможны лишь следующие пионные распады  0S и  0L :

3)

 0S  2 ,  0L  3 ; что наблюдаемые в эксперименте распады  0L  2 (вероятность  103 ) свидетельствуют о нарушении CP симметрии в слабых взаимодействиях.

1) Нейтральные каоны являются частицей и античастицей и связаны ˆ ˆ K 0  K 0 , CP ˆ ˆ K0  K0 . операцией CP-сопряжения: CP

CP K10 

1 CP K 0  CP K 0 2 1  CP K 0  CP K 0 2



  12  K

CP K 02



  12  K

0

 K0

 K

0 1

0

 K0

 K

0 2

,

2) Поскольку определенные комбинации пионов обладают определенной CP четностью (см. задача 14.1), то в случае CP -инвариантности возможны лишь следующие пионные распады  0S  2 ,  0L  3 . 3) Обнаружение в распадах  0L  2 приводит к выводу о том, что  0S  K10

и

 0L   02 , CP -инвариантность слабого взаимодействия

нарушается. Исходя из предположения, что данное нарушение определяется примесью состояния 10 в  0L :

K L0

 1  1  

1/2

 2   

K

0 2



  K10 ,

K S0 203

 1  1  

1/2

 2   

K

0 1



  K 20 ,

получена оценка величины параметра  2

 

  K L        KS    





;    2,284  0,014  ·103

14.4. Нарисуйте импульсы и спины частиц распада   -мезона в состоянии покоя. Совершите последовательно C -, P -, T -преобразования. 14.5. Покажите: 1) что при облучении пучком  -мезонов мишени могут рождаться одиночные  0 , но не  0 ; 2) что пучки  0 и  0 будут по-разному ослабляться, проходя через одинаковые слои вещества. 14.6. Как экспериментально отличить  0 от  0 ? 14.7. Времена жизни  0S и  0L различаются почти в 600 раз. Объясните это различие. 14.8. Можно ли  0S и  0L рассматривать как частицу и античастицу? 14.9. Нейтрон и антинейтрон, так же, как  0 и  0 , — нейтральные частица и античастица. Почему не наблюдаются состояния типа  n  n  / 2 , подобные  0S и  0L ? 14.10. Существуют ли другие пары частица-античастица, обладающие свойствами системы  0 –  0 ? 14.11. Какие аддитивные квантовые числа не сохраняются в процессах uu  X  e d и ud  Y   e d ? Нарисуйте диаграммы этих процессов. Чему равны константы связи в узлах диаграмм? 14.12. Покажите, что обмен X - и Y -бозонами может приводить к распаду протона и нейтрона: p   0  e , p      e , n     e , n   0   e . Нарисовать диаграммы процессов. 14.13. Как должен быть поставлен опыт по поиску распада протона? Чему равна энергия, выделяющаяся при одном распаде, и в какой форме она должна выделяться? 14.14. Исходя из времени жизни протона  1032 лет, оцените: 1) число распадов протона Np в 100 т воды в течение года; 2) вероятность P того, что в теле человека в течение его жизни произойдет хотя бы один распада протона? 14.15. Какая энергия отвечает массе Планка? Приведите выражение и значение планковской длины.

204

Приложение 1. Атом водорода Атом водорода – связанная система, состоящая из положительно заряженного ядра – протона и отрицательного заряженного электрона. Размеры атомов определяются размерами его электронной оболочки. Характерные размеры атомов  108 см. Рассмотрим вначале упрощенный вариант описания атома водорода – будем считать, что электрон – заряженная частица, не имеющая никаких внутренних квантовых чисел, находится в кулоновском поле массивного протона. В этом случае потенциальная энергия электрона в кулоновском поле протона не зависит от направления радиуса–вектора, соединяющего электрон и протон, т. е. задача сферическисимметричная e2 U(r)   . (П.1) r Возможные значения стационарных состояний электрона получаются при решении уравнения Шредингера с потенциалом (П.1). Связанные состояния электрона определяются соотношением R 13,6 E N   2 с 2   2 эВ, N N где N – главное квантовое число, определяющее энергии различных состояний электрона в атоме водорода (N  1, 2, 3…), R  постоянная Ридберга (1,0974105 см1). Радиальная волновая функция Rnl (r ) являющаяся решением уравнения (4.17) с потенциалом (П.1), имеет вид: r Rnl ( r )  r0e  r / nr0 r 1Lnl   ,  r0 

2 где Lnl (r / r0 ) – полиномы Лагерра, r0  – боровский радиус. me 2 Радиальные функции Rnl ( r ) для n = 1, 2, 3 приведены в таблице 1. Состояния атома водорода описываются (как и любой другой сферически симметричной системы) радиальным n, орбитальным l и магнитным m квантовыми числами. Важно отметить, что между главным квантовым числом N, используемым в атомной спектроскопии, и квантовыми числами n и l существует следующая связь: N  n  l. Квантовые числа n (или N), l и m полностью характеризуют состояние электрона в атоме водорода в рассмотренной упрощенной модели. Состояние с N  1 называется основным состоянием атома водорода, так как в этом состоянии система обладает наименьшей энергией и находится в нем бòльшую часть времени. В атоме водорода энергия основного состояния E1  13,6 эВ. Состояния с N  2, 3, … называются возбужденными 205

Таблица 1.Радиальные функции атома водорода n=1

l=0

R10 

n=2

l=0

R20 

r0

3

e  r / r0

1  r   r /2 r0 1  e 2r03  2r0  1 r  r / 2 r0 R21  e 2 6r03 r0

l=1 n=3

2

l=0

R30 

 2r 2r 2   r /3r0 1   e  2  3 3r03  3r0 27r0 

l=1

R31 

r r   r /3 r0 1  e 27 6r03 r0  6r0 

l=2

R32 

r 2  r /3r0 e 3 r2 8 30r0 0

2

8

4

состояниями. Энергия возбуждения E возб  это энергия, которую необходимо сообщить системе, чтобы она перешла из начального состояния N i в конечное состояние N f , определяется из соотношения  1  1 1  1    13,6   N 2  N 2  эВ.  N i2 N 2f  f     i

E возб  2 сR 

(П.2)

Все состояния от N  1 до N   являются связанными состояниями, так как имеют отрицательные энергии. При приближении N к  энергии состояний сближаются, и разница в энергиях соседних состояний становится настолько мала, что уровни сливаются, и дискретный спектр уровней трансформируется в сплошной. Когда энергия электрона становится положительной (E  0), система превращается в несвязанную и электрон становится свободным. Спектр энергий свободного электрона непрерывный. Переходы из состояний N  2, 3, …  в состояние N  1 образуют серию Лаймана. Переходы из состояния N  3, 4, …  в состояние N  2 – серию Бальмера. Переходы между состояниями с отрицательной энергией (E  0) приводят к образованию дискретного спектра переходов, в то время как переходы между состояниями с E  0 и состояниями с E  0 дают непрерывный спектр переходов. Важной особенностью любой сферически симметричной системы является совпадение энергий некоторых групп состояний. Это явление носит название вырождения. Его характер зависит от конкретного вида 206

потенциала U(r). В любом центральном потенциале энергия не зависит от числа m. Поскольку m  0,  1,  2,  3,…,  l, то для каждого орбитального момента l имеется 2l  1 значений m, и все эти значения отвечают одной и той же энергии. Таким образом, число различных (в данном случае по m) квантовых уровней с совпадающей энергией, т.е. кратность вырождения, также равно 2l  1. Это минимально возможная кратность вырождения, присущая центральному полю. Обычно возникает дополнительное вырождение, обусловленное определенным комбинациям n и l. Рассмотрим эту ситуацию для кулоновского потенциала (П.1). В этом потенциале энергия определяется только главным квантовым числом N  n  l. Каждому уровню с главным квантовым числом N соответствует N состояний, различающихся квантовыми числами l  0, 1, 2, …, (N  1).

Рис. П.1 Схема уровней атома водорода: а) – без учёта спина электрона и спина ядра, б) – тонкое расщепление уровней, учитывающее спин электрона, в) – лембовский сдвиг уровней, г) – сверхтонкое расщепление уровней, учитывающее взаимодействие магнитного момента электрона с магнитным моментом ядра. Положения уровней и величины их расщеплений даны не в масштабе.

207

Такое вырождение характерно только для кулоновского поля. Кроме того, каждое из этих вырожденных по l состояний (2l  1)-кратно вырождено по числу m. Таким образом, полная кратность вырождения стационарного состояния с главным квантовым числом N дается выражением N 1

 (2l  1)  N 2 .

l 0

В реальных физических системах высокая кратность вырождения почти никогда не встречается, поскольку такие системы подвержены влиянию дополнительных воздействий, либо слегка изменяющих вид центрального потенциала, либо искажающих саму центральную симметрию. При этом вырожденные уровни за счет этого дополнительного взаимодействия расщепляются по энергии (говорят о снятии вырождения). Так, например, в атоме гелия вырождение снимается уже при учете взаимодействия между двумя электронами. Уровни энергии электрона в атоме обозначают указанием квантовых чисел N и l. При этом вместо числа l пишется латинская буква в соответствии с таблицей. Так при N  1 имеется одно состояние 1s; при N  2 имеется два состояния 2s и 2p; при N  3 есть состояния 3s, 3p, 3d и т.д. Состояния атома водорода на рис. 5.5 помечены именно таким образом. При описании состояний атомного ядра и частиц принято несколько иное спектроскопическое обозначение уровней. А именно, вместо главного квантового числа N указывают обычно радиальное квантовое число n. До сих пор мы считали, что спин электрона равен нулю. Учтем теперь, что  электрон имеет спин s  1/2. Полный момент количества движения J элект  рона будет определяться векторной суммой орбитального L и спинового S    моментов J  L  S . Так как спин электрона s  1/2, его полный момент количества движения J может быть только полуцелым.

208

Приложение 2. Дейтрон Дейтрон — связанное состояние нейтрона и протона, стабилен и существует только в основном состоянии. Его характеристики приведены в таблице: Характеристики дейтрона 2 Масса (mc ) 1875,613 МэВ Энергия связи W 2,224 МэВ Спин J 1 Чётность P +1 0,857  N Магнитный момент  Электрический квадрупольный момент Q 0,282 Фм2 Приведенные значения  и Q являются наблюдаемыми (квантовомеханическими), а не собственными. Собственный электрический квадрупольный момент Q0 для дейтрона в 10 раз больше наблюдаемого: Q0  10Q  2,82 Фм2. Отсюда, используя связь между Q0 и параметром деформации ядра  4 Q0  ZR 2  , 5 получаем, полагая для дейтрона R  Rd  4,3 Фм (см. ниже), ( 12 H )  0,19. Эта величина даёт наглядное представление о степени несферичности дейтрона. Спин дейтрона определяется формулой     J ( 12 H )  s p  s n  L ,  где L  относительный орбитальный момент нуклонов в дейтроне. Так как чётность дейтрона P   р   n (1) L  1, то L  чётно (  р   n  1). Антипараллельные спины нуклонов в дейтроне:    s p  s n  0 (), невозможны, так как в этом случае L  J  1 и чётность дейтрона должна была бы быть отрицательной. Поэтому в дейтроне спины нуклонов параллельны ()    s p  sn  1. Для орбитального момента L возможны два значения L  0 (s-состояние) и L  2 (d-состояние). Спиновые и орбитальные моменты в этих двух случаях направлены так, как показано на рис. П2.1. То, что дейтрон существует лишь в состоянии с параллельными спинами  и не существует в состоянии , 209

указывает на зависимость ядерных сил от спина. Нуклоны в состоянии притягиваются сильнее, чем в состоянии .



 sn  sn  sp

J 1

 sp

( L  0)

L2 Рис. П 2.1. Схематическое изображение взаимного направления спиновых, орбитальных и полных угловых векторов в дейтроне

J 1

В дейтроне в состоянии L  0 для величины магнитного момента дейтрона имеем    L 0   p   n  2,792  N  1,913  N  0,879  N  0,88  N . Эта величина отличается от экспериментального значения (см. таблицу) на 2,6%. Это говорит о том, что небольшую часть времени дейтрон проводит в d-состоянии. С учетом этого волновая функция дейтрона может быть записана как смесь s- и d-состояний ( 12 H )   s   d , причем  2   2  1. Небольшая примесь d-состояния объясняет наличие у дейтрона электрического квадрупольного момента, т.к. d-состояние, в отличие от s-состояния, не является сферически симметричным. Значения коэффициентов  и  можно найти «подгонкой» магнитного дипольного и электрического квадрупольных моментов под экспериментальные значения. При этом оказывается, что  2  0,96, а  2  0,04. Основное состояние в случае центрально-симметричных сил всегда s-состояние. Энергии связанных состояний с L  0 всегда выше из-за центробежной энергии. Нецентральные силы, приводящие к Q0  0, называются тензорными.  Они зависят от угла между вектором r , соединяющим два нуклона, и вектором их суммарного спина. Так как Q( 12 H )  0, то дейтрону отвечает вытянутый эллипсоид.  Волновую функцию дейтрона  (r ) можно найти, решая уравнение





Шредингера для частицы с приведённой массой   m p  mn / m p  mn , движу щейся в центрально-симметричном поле. Функция  (r ) имеет вид 210

 u (r )  (r )  L YLm ( ,  ) , r причём u L (r ) подчиняется радиальному уравнению Шредингера. Хорошее описание экспериментальных данных даёт выбор потенциала в форме сферически симметричной прямоугольной ямы глубиной V0  35 МэВ и шириной a  2 Фм. В основном состоянии L  0 (в рассматриваемом приближении центрально-симметричного поля основное состояние дейтрона  это чистое s1 состояние) и Y00  . При этом всё сводится к решению радиального 4 уравнения Шредингера в областях r  R и r  R (рис. П2.4). V (r ), u (r )

e r

Sin kr

u (r )

R  2 Фм

0

r, Фм 6

4

W (2.2 МэВ)

1

2

8 Рис. П 2.2 Прямоугольная потенциальная яма для дейтрона и его радиальная волновая функция

а  V0

Уравнени я Шредингера и его решения для дейтрона в областях 1 (r  R) и 2 (r  R) имеют вид 2 (V0  W ) d 2 u1 2  k u  0; u  A  sin kr; k  . 1 1  dr 2 2 W d 2u 2 r 2   u  0; u  C ;   . e 2 2  dr 2 Радиусом дейтрона называют Rd  1/γ  4,3 Фм, что вместе со сравнительно малой величиной его энергии связи W ( 2,2 МэВ) указывает на «рыхлость» дейтрона. Он имеет такой же радиус, как и ядро с A  4050. 211

Приложение 3. Ускорители заряженных частиц Для исследования структуры ядер или частиц необходимы ускоренные частицы, энергия которых определяется размерами исследуемого объекта. В экспериментах могут быть использованы частицы космических лучей, частицы, испускаемые реактором или другим источником излучения. Однако большинство экспериментов в ядерной физике и физике частиц проводится с помощью пучков частиц, полученных в специальных устройствах – ускорителях. Ускоритель позволяет сформировать пучок с необходимыми характеристиками (энергией, интенсивностью, пространственными размерами и так далее). Для ряда экспериментов необходим пучок поляризованных частиц, то есть частиц, спины которых направлены определенным образом относительно их импульса. В ускорителях могут ускоряться античастицы (позитроны, антипротоны) и многозарядные ионы. Ускорители различаются типом ускоряемых частиц, параметрами пучка (энергией, интенсивностью и др.), а также конструкцией (на основе постоянного или переменного ускоряющего поля, линейные или циклические, и др.). Наиболее распространены ускорители электронов и протонов, поскольку пучки этих частиц приготовить проще. Есть ускорители более тяжелых частиц – дейтронов (ядер дейтерия 21 Н ), -частиц ( 42 Не ), а также ионов других ядер, в том числе и тяжёлых, таких как свинец. Современные ускорители высоких энергий имеют системы генерации пучков вторичных частиц – каонов (K+,K –), пионов (π+, π–), мюонов (µ+, µ–), нейтрино ( ), антинейтрино ( ) и других. В ускорителях увеличение энергии заряженных частиц происходит под действием электрического поля, направленного вдоль импульса частицы. В большинстве ускорителей пучки частиц направляются на неподвижную мишень. При этом налетающая частица вносит в систему наряду с энергией и определенный импульс. В результате при столкновении с покоящейся частицей основная часть энергии пучка переходит в кинетическую энергию продуктов реакции. Но характер взаимодействия частиц определяется энергией столкновения в системе центра инерции. В связи с этим была реализована идея ускорителей встречных пучков (коллайдеров) — столкновение двух пучков частиц, движущихся навстречу друг другу. Некоторые кинематические соотношения для сталкивающихся пучков частиц были рассмотрены в разделе 1.8. Светимость Важной характеристикой коллайдеров является светимость L . Встречные пучки состоят из отдельных сгустков частиц, движущихся с определенным интервалом навстречу друг другу. Если число частиц в двух сталкивающихся сгустках составляет n1 и n2 , то число взаимодействий N при одиночном столкновении сгустков: 212

n1n2 , (П3.1) S где   эффективное сечение взаимодействия частиц, а S – площадь поперечного сечения сгустка. Если сгустки сталкиваются с частотой f , то число актов реакции в единицу времени N : nn N  f 1 2   L , (П3.2) S где L  fn1n2 / S [см–2с–1] — светимость коллайдера. Также используется значение интегральной светимости (интеграл светимости) — светимость, набранная за время работы ускорителя. Она выражается в обратных пикобарнах (пб–1) или обратных фемтобарнах (фб–1 = 1000 пб–1). Например, ускоритель со светимостью L = 1033 см–2с–1 за «стандартный ускорительный год» (4 мес ≈ 107 сек) наберет интегральную светимость 10 фб–1 . Это означает, что если какой-то редкий процесс имеет сечение 20 фб, то за это время произошло около 200 событий (с учетом эффективности детектирующей системы количество зарегистрированных событий будет меньше). Из соотношения (П3.2) следует, что для увеличения числа столкновений частиц в коллайдере необходимо увеличивать число частиц в каждом ускоряемом сгустке, уменьшать площадь поперечного сечения сгустков и увеличивать число одновременно ускоряемых сгустков. N

П 3.2. Основные типы ускорителей Циклотрон. Схема устройства циклотрона показана на рис. П3.1. Тяжелые заряженные частицы (протоны, ионы) ускоряются в циклотроне переменным ускоряющим полем фиксированной частоты, приложенным к ускоряющим электродам (их два и они называются дуантами). Частицы с зарядом Ze и массой m движутся в постоянном однородном магнитном поле напряженности B, направленном перпендикулярно плоскости движения частиц, по раскручивающейся спирали. Радиус r траектории частицы, имеющей скорость υ, определяется формулой r  m / ( ZeB ) .

Рис. П3.1 Схема циклотрона 1 – источник тяжелых заряженных частиц; 2 – орбита ускоряемой частицы; 3 – ускоряющие электроды (дуанты); 4 – генератор ускоряющего поля. Однородное магнитное поле направлено перпендикулярно плоскости рисунка.

213

Частота обращения нерелятивистской частицы (циклотронная частота) не зависит от энергии частицы:  ZeB f   (П3.3) 2 r 2 m Частицы попадают из инжектора в ускорительную камеру вблизи её центра и начинают вращаться по орбите малого радиуса. В зазоре между дуантами частицы ускоряются импульсным электрическим полем (внутри полых металлических дуантов электрического поля нет). В результате энергия частицы увеличивается, и частица движется по спирали с радиусом, возрастающим до максимального значения R. На последнем витке спирали отклоняющее электрическое поле направляет пучок ускоренных частиц в экспериментальную установку. При этом частицы приобретают скорость   ZeBR / m и соответствующую ей энергию: E  m 2 / 2  (Ze) 2 B 2 R 2 / (2m) . (П3.4) Данная простая схема циклотрона основана на нерелятивистских соотношениях и соответствует энергиям ускоряемых частиц в диапазоне десятков МэВ. Для ускорения тяжёлых частиц до энергий в десятки раз больших (вплоть до 1000 МэВ) используют модификацию циклотрона, называемую изохронным (релятивистским) циклотроном, в котором релятивистские эффекты компенсируются радиальным возрастанием магнитного поля. Линейные ускорители (LINAC) В резонансных линейных ускорителях частица многократно ускоряется, пролетая внутри ряда цилиндрических дрейфовых трубок, подключенных к электрическому генератору высокой частоты. Пучок частиц направлен вдоль оси трубок. Внутри каждой трубки электрическое поле равно нулю. Соседние трубки имеют противоположную полярность. Ускоряющее поле высокой частоты с напряжением порядка сотен кВ находится в зазорах между трубками. Частота генератора и размеры трубок подбираются так, чтобы сгусток ускоряемых частиц подходил к очередному зазору между трубками в тот момент, когда ускоряющее поле имеет нужную величину и полярность. Рис. П3.2 Схема линейного ускорителя ln – длина n-ной трубки  – скорость частицы f – частота ВЧ-поля U

Длина трубки ln , скорость частицы n и частота ускоряющего поля f связаны соотношением ln  n / (2 f ) . Так как скорость частицы увеличивается при прохождении очередного ускоряющего промежутка, длины ускоряющих трубок также увеличиваются. После прохождения n ускоряющих промежутков частица приобретет кинетическую энергию Tn = nZeU. В нерелятивистком приближении скорость частицы n  2nZeU / m , и длина соответствующей дрейфовой 214

трубки ln возрастает пропорционально n . Когда частица достигает релятивистских скоростей  n  c , длина трубок ln становится постоянной. Линейный ускоритель SLAC (США) имеет длину около 3 км и ускоряет электроны и позитроны до энергии 50 ГэВ. Для достижения такой энергии частицы проходят около 80 000 ускоряющих промежутков. До 1998 года ускоритель работал в режиме коллайдера: пучок электронов с энергией 50 ГэВ сталкивался с пучком позитронов такой же энергии. Синхротрон — кольцевой ускоритель заряженных частиц (электронов, позитронов, протонов, антипротонов, тяжелых ионов) с постоянным радиусом равновесной орбиты и синхронно изменяющимся в процессе ускорительного цикла магнитным полем. Частицы в синхротроне движутся в кольцевой вакуумной камере, многократно ускоряясь в одних и тех же ускоряющих секциях (1). Магнитная система синхротрона состоит из поворотных (2) и фокусирующих (3) магнитов и обеспечивает стабильность траектории ускоряемых частиц. Импульс частицы p (и, соответственно, ее энергия) должен быть пропорционален индукции поля B в поворотных магнитах и радиусу равновесной орбиты R : p  B  R . Поскольку технически величина магнитного поля ограничена, то для повышения энергии ускоряемых частиц необходимо увеличивать радиус кольца.

Рис. П3.3 Схема синхротрона. 1 – радиочастотный резонатор с ускоряющим полем, 2 – поворотные секции (дипольные магниты), 3 – фокусирующие секции (квадрупольные магниты).

Большой адронный коллайдер БАК (Large Hadron Collider LHC) Ускорение частиц в ускорителе LHC происходит последовательно в несколько этапов. На первом этапе линейные ускорители LINAC2 и LINAC3 ускоряют протоны и ионы свинца до 50 МэВ. Затем частицы инжектируются в протонный синхротрон PS, где энергия частиц увеличивается до 26 ГэВ. На следующем ускорителе — протонном суперсинхротроне SPS — частицы ускоряются до энергии 450 ГэВ и после этого направляются в основной ускоритель — Большой адронный коллайдер LHC, имеющий размер 26,7 км, в котором энергия протонов достигает максимальной энергии 7 ТэВ. 215

Рис. 2.4 Схема ускорителей ЦЕРН, Швейцария (не в масштабе). Ускорители: LHC – Большой Адронный Коллайдер, SPS – Протонный Суперсинхротрон, PS – Протонный синхротрон, PSB – бустер протонного синхротрона, LINAC – линейные ускорители протонов и ионов, LEIR – ускоритель ионов низких энергий, AD – замедлитель антипротонов.

Ускоренные сгустки частиц сталкиваются в 4 точках, в которых расположены 4 основных детектора. 1. ATLAS (A Toroidal LHC ApparatuS) — многоцелевой детектор для регистрации сигналов рождения и распада частиц в широком диапазоне масс. 2. ALICE (A Large Ion Collider Experiment) — детектор, оптимизированный для регистрации столкновений тяжелых ионов и нацеленный на изучение кварк-глюонной плазмы. 3. LHCb (Large Hadron Collider beauty) — детектор для изучения B-мезонов (частиц, содержащих b-кварк). Основной физической задачей является исследование асимметрии материи и антиматерии. 4. CMS (Compact Muon Solenoid) — «компактный мюонный соленоид», второй по размерам многоцелевой детектор. 216

При полном заполнении основного кольца ускорителя каждый из встречных пучков содержит до 2808 сгустков частиц. Проектная светимость составляет L = 1034 см–2с–1. Задачи П 3.1.

При вращении в магнитном поле с индукцией B электрон излучает электромагнитную энергию (синхротронное излучение). Интенсивность излучения такова, что за один оборот электрон теряет энергию (*) E  3  10 5 Ee 2 B, Ee — энергия электронов, Ee и E — в ГэВ, B — в Тл. Частота излучаемых квантов в среднем составляет 18 2 1   10 Ee B, с . При каких значениях Ee потери на синхротронное излучение за оборот составляют 10% от первоначальной энергии электронов? Сколько  -квантов излучается при этом?

Из выражения (*) получаем отношение E / Ee  3 105 Ee B . Возьмем значение B  1 Тл, E / Ee  1 / 10 . Тогда Ee  3,3  103 ГэВ, а потери энергии электронами за оборот E  330 ГэВ. Число  -квантов, излучаемых за оборот E E E N     E    1018 Ee 2 B



6,6  1028

П 3.2.

3,3  1011 эВ  5  1013  -квантов. 18 2 2 3 2 эВ  с  10 эВ / ГэВ  (3,3 10 ГэВ)  1 Тл

В коллайдере TEVATRON сталкивались протоны и антипротоны с энергиями 1 ТэВ. Чему равно число актов их взаимодействия в 1 с, если сечение взаимодействия протона и антипротона при этих энергиях   75 мб, а светимость коллайдера L  5  1031 см 2  с 1 .

n1n2 nn — светимость коллайдера. N  f 1 2   L S S 31 2 1 27 2 N  L  5  10 см с  75  10 см  3,75 106 с 1.

L f

П 3.3.

В электрон-протонном коллайдере электронный пучок с энергией E*e ( Ee*  me ) сталкивается с протонным пучком энергии E*p ( E *p  m p ). Рассчитать полную энергию столкновения в системе центра масс и оценить, какая энергия электронного пучка потребовалась бы для создания эквивалентной установки с фиксированной мишенью.

Энергия столкновения E *  s , где s - инвариант есть квадрат суммы 4-х импульсов сталкивающихся частиц: 217

  s  ( Pe*  Pp* ) 2 / c 2   Pe*2  Pp*2  2Pe* Pp*  / c 2  me2  m 2p  2( E *p Ee* / c 4  ( pe* p *p ) / c 2 ) Поскольку массами электрона m e и протона mp при больших энергиях  пучков можно пренебречь, окончательно получим (с учетом p* | p* | E * ):

s  2 E *p Ee* / c 4  2 pe* p*p / c 2  4 Ee* E *p / c 4 В лабораторной системе отсчета ( p p  0, E p  m p c 2 ) s - инвариант равен:

s  ( Pe  Pp ) 2 / c 2   Pe2  Pp2  2 Pe Pp  / c 2  me2  m 2p  2m p Ee / c 2 Соответственно, энергия пучка электронов в ускорителе с неподвижной протонной мишенью: s  me2  m 2p 2 Ee* E *p s 2 . EL  Ee  c  c 2 2m p 2m p mpc2 Что касается массы рождающихся частиц, то для ee - коллайдеров она меньше или равна s ускорителя. Если же в столкновении участвуют адроны, то из-за наличия у них внутренней структуры масса рождающихся частиц может быть существенно меньше s . П 3.4. 1) В коллайдере LHeC (одна из предложенных модификаций БАК, ЦЕРН) электронный пучок 60 ГэВ будет сталкиваться с протонным пучком 7 ТэВ. Рассчитать полную энергию столкновения в системе центра масс и оценить, какая энергия электронного пучка потребовалась бы для создания эквивалентной установки с фиксированной мишенью. Частицы какой массы можно образовать на этом коллайдере? 2) ELIC (CEBAF, JLAB), Ee = 10 ГэВ, Ep = 250 ГэВ; 3) eRHIC (RHIC, BNL) Ee = 20 ГэВ, Ep = 325 ГэВ. П 3.5. Проектная светимость LHC составляет 1034 см-2с-1. По некоторым оценкам процесс рождения бозона Хиггса будет иметь сечение 20 пикобарн. Как часто будет происходить этот процесс на LHC? Если один из каналов этого процесса имеет сечение 1 фемтобарн, то в среднем сколько событий Nср по данному каналу произойдет за год работы ускорителя (около 4 месяцев непрерывной работы)? П 3.6. Для чего в настоящее время создаются ускорители с непрерывным пучком электронов? Какие эксперименты наиболее целесообразно ставить на таких ускорителях? П 3.7. С помощью каких методов можно получать быстрые моноэнергетические нейтроны? П 3.8. Определить время пролёта нейтронов с энергий 1, 3, 10 МэВ 100-метровой базы.

218

Приложение 4. Взаимодействие частиц с веществом Взаимодействие частиц с веществом зависит от их типа, заряда, массы и энергии. Заряженные частицы ионизуют атомы вещества, взаимодействуя с атомными электронами. Нейтроны и гамма-кванты, сталкиваясь с частицами в веществе, передают им свою энергию, вызывая ионизацию в результате образования вторичных заряженных частиц. В случае γ-квантов основными процессами, приводящими к образованию заряженных частиц являются фотоэффект, эффект Комптона и рождение электрон-позитронных пар. Взаимодействие частиц с веществом зависит от таких характеристик вещества как его плотность, атомный номер и средний ионизационный потенциал вещества. Ионизационные потери энергии тяжелой заряженной частицей Тяжёлая нерелятивистская заряженная частица с зарядом Ze и ско ростью  пролетает вдоль оси x на расстоянии  от электрона (рис. П4.1).

Рис. П4.1 Взаимодействие частицы с веществом.

Сила взаимодействия в момент наибольшего сближения частиц F  Ze 2 /  2 . Время взаимодействия t  ~ 2  /  . Переданный электрону импульс p  F t  2Ze2 /  . Переданная энергия T  (p) 2 / 2me  2Z 2 e4 / me 2  2

Рис. П4.2 Удельные потери энергии заряженной частицы в воздухе 219

Если n – число электронов в единице объёма, то число электронов в элементе объёма N  2 n  d   dx . Суммарная энергия, переданная электронам, 4 nZ 2e 4 d  (П.4.1) dTкин  T N  dx . me 2  Для удельных ионизационных потерь энергии для тяжёлых заряженных частиц при энергиях Tкин  (Мс)2/me (Tкин и M  кинетическая энергия и масса частицы) точный расчёт приводит к формуле Бете-Блоха:   2me c 2  2   4 Z 2  dT  2 2 2 2   n r m c (П.4.2) ln    e 0 e   ln(1   )    , 2  I  dx иониз.     2 где m e  масса электрона (meс  511 кэВ  энергия покоя электрона); с  скорость света;    / c ; υ скорость частицы; Z  заряд частицы в единицах заряда позитрона; ne  плотность электронов вещества; I  средний ионизационный потенциал атомов вещества среды, через которую проходит частица: I  13,5Z эВ, где Z  заряд ядер вещества среды в единицах заряда позитрона; r0  e 2 me c 2  2,8181013 см  классический радиус электрона. Взаимодействие электронов с веществом Прохождение электронов через вещество отличается от прохождения тяжёлых заряженных частиц. Главная причина – малая масса электрона, что приводит к относительно большому изменению импульса электрона при каждом его столкновении с частицами вещества, вызывая заметное изменение направления движения электрона и как результат – электромагнитное радиационное излучение. Удельные потери энергии электронов с кинетической энергией Te складываются из суммы ионизационных и радиационных потерь энергии. Ионизационные потери энергии электронов

2  dTe    2 nr02 me c 2      dx иониз

(П.4.3)

  me c 2Te  2  2 2 2  ln   (2 1    1   )ln 2  1   ,  2 2(1   2 )    I  В области низких энергий электронов ( Te  1 МэВ) определяющий вклад в потери энергии дают неупругие ионизационные процессы взаимодействия с атомными электронами, включающие ионизацию атомов. Передаваемая в одном столкновении энергия в среднем мала и при движении в веществе потери складываются из очень большого числа таких малых потерь энергии. 220

Радиационные потери энергии электронов Ионизационные потери энергии электронов преобладают в области относительно небольших энергий. С ростом энергии электрона Te растут радиационные потери энергии. Согласно классической электродинамике, заряд, испытывающий ускорение a, излучает энергию. Мощность излучения W определяется соотношением W  2 / 3 e 2 a 2  / c 3 . Ускорение частицы с зарядом z в поле атомного ядра с зарядом Z : a  Zze 2 / ( mr 2 ) . Ускорение обратно пропорционально массе частицы m. Поэтому энергия, излучаемая при торможении протона, меньше энергии, излученной электроном в том же поле, в  3,5  106 раз. Радиационные потери, играющие важную роль в торможении электронов высокой энергии, практически не существенны при прохождении через вещество тяжёлых заряженных частиц.

Z 2 r02  2Te 4   dTe     4ln    nTe 137  mec 2 3   dx рад.

Te 137  1/3 2 me c Z 2 2 Te 137 Z r0  183 2   dTe   1/3 .     nTe  4ln 1/3   2 me c Z 137  Z 9  dx рад. Соотношение между радиационными и ионизационными удельными потерями энергии электронов для жидкости и твердого тела определяются соотношением: ( dTe / dx) рад Te [МэВ]   Z  1,24   (П.4.5) ( dTe / dx)ион 610 Энергия, при которой потери энергии на излучение и ионизацию становятся одинаковыми, называется критической. 1

Пробег заряженной частицы в веществе Тяжёлые заряженные частицы взаимодействуют в основном с атомными электронами и поэтому мало отклоняются от направления своего первоначального движения и движутся практически прямолинейно. Средняя длина пути, проходимого частицей до полного замедления, совпадает с расстоянием от точки входа частиц в вещество до точки их остановки и называется пробегом частицы. Обычно пробег измеряется в единицах длины (м, см, мкм) или длины, умноженной на плотность вещества, (г/см2). Пробег α-частиц в различных веществах в зависимости от энергии Tα Tα, МэВ 4 5 6 7 8 2.5 3.5 4.6 5.9 7.4 Воздух, см 16 23 30 38 48 Al, мкм 31 43 56 72 91 Биологическая ткань, мкм

221

9 8.9 58 110

10 10.6 69 130

Пробег протонов в алюминии в зависимости от энергии Tp 1 3 5 Tp, МэВ -3 -3 1.3·10 7.8·10 1.8·10-2 Пробег, см 3.45 21 50 Пробег, мг/см2

10 6.2·10 -2 170

20 2.7·10-1 560

1000 148 4·10 5

Tp, МэВ Пробег, см Пробег, мг/см2

40 7.0·10 -1 1.9·103

100 3.6 9.8·103

Взаимодействие γ-квантов с веществом В области энергий -квантов от 10 КэВ до 10 МэВ наиболее существенны три механизма взаимодействия -квантов с веществом: • фотоэффект, • комптоновское (некогерентное) рассеяние • образование электрон–позитронных пар. Фотоэффект – процесс взаимодействия -квантов с электроном атомной оболочки. Электрон вылетает из атома с кинетической энергией Te = E – Ii, где E – энергия -кванта, Ii – потенциал ионизации i-той электронной оболочки атома. Комптон-эффект – процесс рассеяния фотона на свободном электроне, при котором происходит изменение длины волны рассеянного фотона. Образование электрон-позитронных пар происходит в поле атомного ядра при энергии -кванта E ≥ 2mec2 или на электроне при E ≥ 4m ec2. .

Рис. П4.3 Зависимость линейного коэффициента поглощения в алюминии и свинце от энергии -квантов

222

В результате взаимодействий в веществе ослабляется интенсивность пучка -квантов. Ослабление интенсивности моноэнергетического пучка -квантов описывается соотношением I  I 0e   x , I 0 — начальная интенсивность пучка, I — интенсивность пучка на глубине x,  — линейный коэффициент поглощения (размерность см 1 ). Коэффициент  определяется всеми парциальными коэффициентами в соответствии трём основным механизмам взаимодействия -квантов с веществом:   Ф.Э.  Э.К .   Э. П .  N  Ф.Э.   Э. К .   Э. П .  . (П.4.6) Здесь N – число ядер среды в 1 см3. Коэффициент поглощения  зависит от энергии -квантов и свойств вещества. Точные соотношения для величин сечений фотоэффекта, Комптон-эффекта и эффекта образования пар могут быть получены методами квантовой электродинамики. Для оценок величин сечений используются следующие соотношения:  Сечение фотоэффекта на ближайшей к ядру электронной K-оболочке: 7/2

 13,61  ( ФЭ ) K  барн   1,09  10 Z  при малых E  E [эВ]     Z5 9 ( ФЭ ) K  барн   1,34 10 при E  mec 2 E [МэВ] Отношение сечений фотоэффекта на K, L и M-оболочках: L 1 M 1  1  и  , т.е. M  K 5 L 4  K 20  Формула для полного сечения эффекта Комптона 8

5

 1 1  3  1    2 1    1 ,  ЭК  2 re2  2   ln 1  2    ln 1  2   2     1  2 1  2    2 где re  e2 / me c2 ,   E / me c 2 .

8 2  26  re  1  2   2  ...  3  5  11  При   1 :  ЭК   re2   ln 2  . 2     Сечение образования e e пар Z 2 2  28 2 E 218  2 2 1/3  ЭП  re  ln   при me c  E  137me c Z 2 137  9 me c 27  При   1 :

 ЭП 

 ЭК 

Z 2 2  28 2 re  ln 183Z 1/3    при E  137mec 2 Z 1/3 137  9 27 

223

Черенковское излучение Черенковское излучение является когерентным излучением диполей, образующихся в результате поляризации среды пролетающей заряженной частицей, и возникает при возвращении этих диполей (поляризованных атомов) в исходное неполяризованное состояние. Если частица двигается медленно, то диполи успевают поворачиваться в её направлении. Поляризация среды при этом симметрична относительно координаты частицы. Излучения отдельных диполей при возвращении в исходное состояние гасят друг друга. При движении частицы со «сверхсветовой» для данной среды скоростью за счёт запаздывающей реакции диполей они преимущественно ориентируются в направлении движения частицы. Итоговая поляризация оказывается несимметричной относительно местоположения частицы и излучение диполей нескомпенсированным.

Рис. П4.4 Схема возникновения излучения Черенкова. Частица, движущаяся со скоростью   , находится в точке P’. Фронт излучаемой волны P’A направлен под углом θ к скорости частицы.

Фронт волны черенковского излучения (рис. П4.4) является огибающей сферических волн, испущенных частицей. Фотоны испускаются под углом θ к направлению движения частицы: 1 cos    n  , где β  υ/c, n – показатель преломления среды. Огибающая световых волн А для частицы, двигающейся со скоростью υ  c/n, представляет собой конус с углом раствора 2φ, вершина которого совпадает сположением частицы в данный момент (точка Р на рисунке), а нормали k к образующим конуса показывают направление распространения черенковского излучения. Задачи П 4.1. Во сколько раз отличаются энергетические потери протонов и K+−мезонов с кинетической энергией T = 100 МэВ в алюминиевой фольге толщиной 1 мм? Величина удельных ионизационных потерь энергии dT/dx для тяжелых заряженных частиц определяется формулой Бете-Блоха (П.4.2). Отношение потерь для протона и K+−мезона зависит от квадратов скорости частиц β2: 2 2 2 2 dTp / dx  K2 ln 2me c  p / I  ln 1   p    p   dTK / dx  p2  ln 2mec 2  K2 / I  ln 1   K2    K2   

 

 

224

Из релятивистских соотношений (см. семинар 1) скорость частицы β: 2

2 2 2 pc E 2  ( mc 2 ) 2 T  mc   (mc ) 2      2 E E2 T  mc 2 

Подставляя значения масс протона и каона, получаем  p2  0,18334 и

 K2  0,30835 . Коэффициент 2me c 2 / I  2  0,511  106 эВ/ 13,5  Z Al эВ  зависит от Z Al  13 . Таким образом 2 2 2 dT p / dx  K2 ln  5823,36  p   ln 1   p    p    1,557 dTK / dx  p2  ln  5823,36  K2   ln 1   K2    K2    П 4.2. Пучок протонов с кинетической энергией T = 500 МэВ и током I = 1 мА проходит через медную пластину толщиной D = 1 см. Рассчитайте мощность W, рассеиваемую пучком в пластине. 2 При кинетической энергии протона T = 500 МэВ его скорость  p  0,5745 (см. задачу П 4.1), а его удельные ионизационные потери в меди (Z = 29, A = 63,55, ρ = 8,92 г/см2) определяются по формуле (П.4.2).

 dT Z 2 Z Cu    2me c 2 2  эВ  3,1 105 ln   p   ln 1   p2    p2   1,67  107 2  dx ACu  p   I см   Мощность, рассеиваемая пучком в пластине DI dT 1 см  103А  1,67  107 эВ/см  1,6  1012 эрг/эВ W   1,67  104 Вт 19 Z p dx 1,6 10 Кл/протон П 4.3. Определите критические алюминия и железа.

энергии

электронов

для

углерода,

Кинетическая энергия электронов, при которой потери на излучение и ионизацию становятся одинаковыми, называется критической. Соотношение между удельными радиационными и ионизационными потерями энергии электронов в жидкости и твердом теле для Z > 6 определяется соотношением (П.4.5). Таким образом, зависимость критической энергии от заряда ядер атомов среды

Tкр [МэВ]  610 /  Z  1,24  Для углерода Tкр ≈ 610/7,24 = 84,25 МэВ, для алюминия Tкр ≈ 42,84 МэВ, для железа Tкр ≈ 22,39 МэВ. П 4.4. Необходимо поглотить электрон с энергией 2 МэВ в алюминиевом поглотителе. Определите его толщину. П 4.5. Какую энергию теряет электрон с энергией 500 МэВ прохождении алюминиевого поглотителя толщиной 1 см?

при

П 4.6. Радиоактивный источник испускает  -квант с энергией 1 МэВ. Какой должна быть толщина стенки свинцового контейнера, чтобы ослабить интенсивность излучения 225

 в 103 раз,  в 105 раз? П 4.7. Как происходят передачи энергии тяжелой и легкой заряженной частицы веществу? П 4.8. Как зависят удельные ионизационные потери частиц от характеристик среды, в которой они движутся? П 4.9. Рассчитайте отношение удельных ионизационных потерь энергии α-частиц с энергией 10 МэВ в воздухе, углероде и свинце. П 4.10. Рассчитайте удельные ионизационные потери энергии протонов с энергиями 1 МэВ, 10 МэВ, 100 МэВ и 1 ГэВ в свинце. П 4.11. Протон с кинетической энергией 10 МэВ сталкивается с покоящимся электроном. Рассчитайте, какую максимальную энергию получит электрон. П 4.12. Рассчитайте какую кинетическую энергию T приобретет первоначально покоящийся электрон при прохождении мимо него с прицельным параметром ρ частицы с массой M и зарядом Z. Скорость частицы до столкновения   c . П 4.13. Электроны и протоны с энергией 50 МэВ падают на алюминиевую пластину толщиной 2 мм. Определите энергии электронов и протонов на выходе пластины. П 4.14. Рассчитайте критические энергии электронов для воздуха, воды и свинца. П 4.15. Рассчитайте удельные радиационные и ионизационные потери энергии электрона с энергией 100 МэВ при прохождении через алюминиевую и свинцовую фольгу. П 4.16. Рассчитайте сечения фотоэффекта, комптоновского рассеяния и рождения e+e– пар при облучении Al γ-квантами с энергиями 1) 1 МэВ, 2) 5 МэВ, 3) 50 МэВ. П 4.17. Рассчитайте сечения фотоэффекта, комптоновского рассеяния и рождения e+e– пар при облучении γ-квантами с энергией 5 МэВ мишеней из углерода, железа и свинца П 4.18. Как влияет заряд вещества Z на относительный вклад сечений фотоэффекта, комптоновского рассеяния и рождения e+e– пар в полное сечение взаимодействия γ-квантов с веществом для фотонов с энергиями 1) 1 МэВ, 2) 5 МэВ, 3) 10 МэВ и 4) 100 МэВ?

226

Приложение 5. Детекторы Детекторы служат для регистрации частиц, определения их энергии, импульса, траектории движения частицы и других характеристик. Для регистрации частиц часто используют детекторы, которые максимально чувствительны к регистрации определенного типа частиц и не чувствуют фон, создаваемый другими частицами. Часто в экспериментах приходится выделять «нужные» события на фоне «посторонних» событий, которых может быть в миллиарды раз больше. Для этого используют различные комбинации счётчиков и методов регистрации, применяют схемы совпадений или антисовпадений между событиями, зарегистрированными различными детекторами, отбор событий по амплитуде и форме сигналов и т. д. Часто используется селекция частиц по времени пролёта ими определённого расстояния между детекторами, магнитный анализ и другие методы, которые позволяют надёжно выделить различные частицы. Заряженная частица, двигаясь в нейтральной среде детектора (газ, жидкость, твердое тело, аморфное или кристаллическое), вызывает в результате электромагнитных взаимодействий ионизацию и возбуждение атомов среды. Таким образом, вдоль пути движения частицы появляются свободные заряды (электроны и ионы) и возбужденные атомы. Если среда находится в электрическом поле, то в ней возникает электрический ток, который фиксируется в виде короткого электрического импульса. Детекторы, использующие этот принцип, называют ионизационными. При возвращении возбужденных атомов в основное состояние излучаются фотоны, которые могут быть зарегистрированы в виде оптической вспышки в видимой или ультрафиолетовой области. Этот принцип используется в сцинтилляционных детекторах. При определенных условиях траекторию пролетающей заряженной частицы можно сделать видимой. Этот способ реализуется в трековых детекторах. Нейтральные частицы, например нейтрон или гиперон, непосредственно не вызывают ионизацию и возбуждение атомов среды. Однако они могут быть зарегистрированы в результате появления вторичных заряженных частиц, возникших либо в реакциях нейтральных частиц с ядрами среды, либо в результате распада частиц (   p    ). Гамма-кванты регистрируются по вторичным заряженным частицам – электронам и позитронам, возникающим в среде вследствие фотоэффекта, комптон-эффекта и рождения электрон-позитронных пар. Нейтрино, возникшее в результате реакции, в силу исключительно малого сечения взаимодействия со средой ( 1020 барн) в большинстве случаев вообще не регистрируется детектором. Нейтрино уносит с собой определённую энергию, импульс, спин, лептонный заряд. Недостачу обнаруживают, регистрируя все остальные частицы и используя законы сохранения 227

энергии, импульса, момента количества движения, электрического заряда, лептонного заряда и др. Такой анализ позволяет не только убедиться, в том, что нейтрино действительно образовалось, но и установить его энергию и направление вылета из точки реакции. Быстрораспадающиеся частицы детектор «не успевает» зафиксировать. В этом случае они регистрируются по продуктам распада. Ионизационные детекторы Газонаполненные детекторы, благодаря высокой чувствительности к излучениям разных видов, относительной простоте и дешевизне являются широко распространенными приборами регистрации излучений. Такой детектор представляет собой заполненную газом среду, в объеме которой расположены два электрода. Детектор включается в электрическую цепь, схема которой показана на рис. П5.1. Здесь Ci — общая емкость счетчика и входа усилителя; Ri — сопротивление нагрузки. На счетчик подают высокое напряжение V, создающее в газовом объеме счетчика электрическое поле E. Рабочее напряжение, подаваемое на электроды счетчика, зависит от давления газа, которое для различных режимов работы детектора может меняться в широких пределах. Регистрация частиц происходит следующим образом. Частица, попадая в газовый объем счетчика, вызывает ионизацию газа. Электроны и тяжелые положительные и отрицательные ионы, образованные ионизирующей частицей, двигаясь в электрическом поле, испытывают многократные столкновения, упругие и неупругие, с молекулами газа. Средняя скорость направленного движения электронов и ионов пропорциональна напряженности электрического поля и обратно пропорциональна давлению газа. Импульс тока обусловлен в основном электронами, так как их подвижность на три порядка выше, чем подвижность тяжелых ионов. Импульс напряжения на сопротивлении R1 усиливается и подается на регистрирующую аппаратуру.

Рис. П5.1 Блок-схема работы ионизационного детектора

Микростриповые детекторы Для точного определения координат частиц используют полупроводниковые микростриповые детекторы. Они представляют собой пластины монокристалла кремния, на одну из поверхностей которых наносятся тон228

кие электроды (стрипы), отстоящие друг от друга на расстоянии  20 мкм, а другая покрывается металлическим слоем. На электроды подается напряжение несколько вольт. Электронно-дырочные пары, образованные пролетающей заряженной частицей в кристалле, двигаются к ближайшим электродам и регистрируются в виде импульсов тока. Пространственное разрешение микростриповых детекторов достигает 10 мкм. Временнòе разрешение – 108 с.

Рис. П5.2 Схема микрострипового детектора

Микростриповые детекторы используют в качестве центральных (или вершинных) детекторов, непосредственно окружающих мишень (или место столкновения пучков в коллайдерах). Центральные детекторы играют важную роль в современных экспериментах на ускорителях высоких энергий. Они фиксируют практически со 100% вероятностью заряженные продукты взаимодействия пучка с мишенью в точке их образования и определяют направление их вылета. Сцинтилляционные детекторы Первый сцинтилляционный детектор представлял собой экран, покрытый слоем ZnS. Вспышки, возникавшие при попадании в него заряженных частиц, фиксировались с помощью микроскопа. С таким детектором Гейгер и Марсден в 1909 г. проводили опыты по рассеянию -частиц атомами золота, приведшие к открытию атомного ядра. Световые вспышки от сцинтиллятора обычно регистрируют фотоэлектронными умножителями (ФЭУ). Фотоны, возникшие в сцинтилляторе под действием заряженной частицы, по светопроводу достигают ФЭУ и через стеклянное окно попадают на фотокатод (рис. П5.3). ФЭУ представляет собой баллон, внутри которого в вакууме располагаются фотокатод и система последовательных динодов, находящихся под положительным, увеличивающимся от динода к диноду, электрическим потенциалом. В результате фотоэффекта из фотокатода вылетают электроны, которые затем, ускоряясь в электрическом поле, направляются на систему динодов, где за счет вторичной электронной эмиссии образуют нарастающую от динода к диноду электронную лавину, поступающую на анод. Коэффициент усиления ФЭУ составляет 105–106, но может достигать 10 9, что позволяет получить на выходе ФЭУ легко регистрируемый электрический импульс. Временнóе разрешение ФЭУ составляет 10 8–109 с. 229

Рис. П5.3 Сцинтилляционный детектор

Черенковские детекторы Принцип работы этих детекторов основан на регистрации излучения, открытого П.А. Черенковым в 1934 г. и возникающего при движении заряженной частицы в прозрачной среде со скоростью υ, большей скорости света в этой среде   c / n (см. пункт «Черенковское излучение» раздела П4). Энергия частицы, конвертируемая в черенковское излучение, мала по сравнению с её ионизационными потерями. Число фотонов, излучаемых на 1 см пути, в зависимости от среды (радиатора) колеблется от нескольких единиц до нескольких сот. Это излучение можно наблюдать визуально и регистрировать с помощью ФЭУ. Зависимость угла излучения θ от скорости частицы β позволяет, определяя угол, найти скорость и энергию частицы. С помощью черенковского детектора можно регистрировать частицы с энергиями вплоть до 100 ГэВ. Черенковский счетчик позволяет эффективно выделять высокоэнергичные релятивистские частицы на уровне большого фона низкоэнергичных частиц. Черенковский детектор состоит из радиатора (он может быть твёрдым, жидким или газообразным), светопровода и ФЭУ (рис. П5.4). Разрешающее время черенковских счетчиков ~109 с.

Рис. П5.4 Схема черенковского детектора.   регистрируемая частица, 1  радиатор, 2  светопровод, 3  ФЭУ.

Камера Вильсона В камере Вильсона треки заряженных частиц становятся видимыми благодаря конденсации перенасыщенного пара на ионах газа, образованных заряженной частицей. Перенасыщение достигается быстрым уменьшением давления за счёт расширения рабочего объёма. На ионах конденсируются капли жидкости, которые вырастают до размеров достаточных для наблю230

дения (10 3–104 см) и фотографирования. Пространственное разрешение камеры Вильсона  0,3 мм.

а)

б)

Рис. П5.5 а) Схема камеры Вильсона; .б) Наблюдение К. Андерсоном позитрона в камере Вильсона, помещенной в магнитное поле. Тонкая изогнутая прерывистая линия, идущая снизу вверх – трек позитрона. Темная полоса, пересекающая трек посредине, слой вещества, в котором позитрон теряет часть энергии, и по выходе из которого двигается с меньшей скоростью. Поэтому трек искривлён сильнее.

Рабочей средой чаще всего является смесь паров воды и спирта под давлением 0,1–2 атмосферы. Время чувствительности камеры, в течение которого перенасыщение остаётся достаточным для конденсации на ионах, а сам объём приемлемо прозрачным (не перегруженным капельками, в том числе и фоновыми), меняется от сотых долей секунды до нескольких секунд. После этого необходимо очистить рабочий объём камеры и восстановить её чувствительность. Камера Вильсона работает в циклическом режиме. Полное время цикла обычно ≈ 1 мин. Возможности камеры Вильсона значительно возрастают при помещении камеры в магнитное поле. По искривлённой магнитным полем траектории заряженной частицы определяют знак её заряда и импульс. С помощью камеры Вильсона в 1932 г. К. Андерсон обнаружил в космических лучах позитрон (рис. П5.5 б)). Пузырьковая камера В пузырьковой камере используется свойство перегретой жидкости образовывать пузырьки пара вдоль траектории заряженной частицы. Перегретая жидкость – это жидкость, нагретая до температуры большей температуры кипения для данных условий. Вскипание жидкости происходит при появлении центров парообразования, например, ионов. Таким образом, если в камере Вильсона заряженная частица инициирует на своём пути превращение пара в жидкость, то в пузырьковой камере заряженная частица вызывает превращение жидкости в пар.

231

Рис. П5.6 Треки частиц, зарегистрированные пузырьковой камерой и пример реконструкции события.

Перегретое состояние достигается быстрым (5–20 мс) уменьшением внешнего давления. На несколько миллисекунд камера становится чувствительной и способна зарегистрировать заряженную частицу. После фотографирования треков давление поднимается до прежней величины, пузырьки «схлопываются» и камера вновь готова к работе. Цикл работы большой пузырьковой камеры  1 с (т. е. значительно меньше, чем у камеры Вильсона), что позволяет использовать её в экспериментах на импульсных ускорителях. Небольшие пузырьковые камеры могут работать в значительно более быстром режиме — 10–100 расширений в секунду. Создание фазы чувствительности пузырьковой камеры синхронизуют с моментами попадания в камеру частиц от ускорителя. Пузырьковые камеры могут достигать очень больших размеров (до 40 м3). Пространственное разрешение пузырьковых камер  0,1 мм. Для измерения импульсов заряженных частиц пузырьковую камеру обычно помещают в магнитное поле. Выбор рабочей жидкости в первую очередь зависит от требований эксперимента. Жидкий водород является идеальной мишенью для наблюдения элементарных столкновений. Однако плотность жидкого водорода сравнительно невелика, и для увеличения вероятности взаимодействия в объеме пузырьковой камеры приходится создавать камеры больших размеров. Для повышения эффективности регистрации частиц используют органические жидкости — пентан или пропан. Анализ взаимодействий в органических жидкостях затруднен тем обстоятельством, что в их состав входит несколько химических элементов. Для регистрации  -квантов используют жидкости с более высоким Z , например, жидкий ксенон. Искровая камера Искровая камера является управляемым трековым детектором, который запускается внешними детекторами. Она состоит из серии параллельных металлических пластин, пространство между которыми заполнено инертным газом. Расстояние между пластинами  1 см. Внешние управляющие детекторы фиксируют факт прохождения заряженной частицы через искровую камеру и инициируют подачу на её пластины короткого 232

(10–100 нс) высоковольтного импульса так, что между двумя соседними пластинами появляется разность потенциалов  10 кВ. В местах прохождения частицы между пластинами возникают искровые разряды, направленные вдоль поля (перпендикулярно пластинам). Совокупность этих последовательных разрядов формирует трек частицы. Трек может быть зафиксирован либо оптическими методами, либо электронными. В последнем случае пластины заменяются металлическими нитями, образующими координатную сетку. Импульсы тока, возникающие в нитях при появлении искр, регистрируются электромагнитными методами. Пространственное разрешение искровой камеры  0.3 мм. Частота срабатывания 10 – 100 Гц. Искровые камеры могут иметь размер несколько метров. Калориметры Калориметры предназначены для измерения полной энергии высокоэнергичных (в том числе и нейтральных) частиц. Детекторы с газовой и жидкой рабочей средой не удобны для этой цели, так как имеют низкую плотность. Однородные твёрдотельные детекторы (сцинтилляторы, полупроводники и др.) также сложно изготовить таких размеров, чтобы обеспечить полное поглощение энергии релятивистских и слабоионизующих частиц. Проблема решается использованием «сэндвичей», состоящих из чередующихся слоёв поглощающих и детектирующих сред. В качестве поглотителей могут быть взяты такие плотные и сильно поглощающие материалы как железо и свинец. В качестве детекторов – твёрдые сцинтилляторы или свинцовые стёкла, генерирующие черенковское излучение. Частица, попадая в такой твёрдотельный сэндвич, создаёт быстро размножающийся по мере продвижения вглубь калориметра каскад вторичных частиц. Энергия первичной частицы трансформируется в энергии частиц каскада, а также в возбуждение и ионизацию среды. При размерах калориметра достаточных для остановки и поглощения всех вторичных частиц, энергия частицы определяется суммированием всех сигналов с детектирующих слоёв. Калориметры делятся на два класса – электромагнитные и адронные. Электромагнитные калориметры служат для измерения энергии мюонов, электронов, позитронов и фотонов с энергией больше 100 МэВ. Каскад вторичных частиц развивается за счёт генерации тормозного излучения и рождения электрон-позитронных пар. Толщина электромагнитного калориметра — десятки сантиметров. В адронных калориметрах первичный адрон производит в основном вторичные адроны в реакциях неупругого взаимодействия. Адронные ливни имеют бòльшие размеры, чем электромагнитные. Толщина адронного калориметра может достигать нескольких метров. Адронные ливни подвержены значительно бòльшим флуктуациям в числе и типе вторичных частиц. Кроме того, лишь небольшая доля энергии первичного адрона остаётся в детектирующем материале калориметра. В этой связи энергетическое разрешение адронных калориметров хуже электромагнитных. 233

Энергетическое разрешение калориметров Е/Е пропорционально 1 Е , т. е. улучшается с ростом энергии регистрируемой частицы. При энергии частицы 100 ГэВ оно составляет доли процента для электромагнитного калориметра и проценты для адронного. Временнòе разрешение калориметра определяется «быстродействием» его детектирующей среды.

Рис. П5.7 Схема электромагнитного калориметра.

Схемы совпадений и антисовпадений Практически все современные детекторы содержат электронные устройства для усиления, обработки и счета сигналов. В простейшем случае это может быть просто счет импульсов в течение определенного интервала времени или определение энергии отдельных частиц. Однако в большинстве случаев, особенно при детектировании частиц высоких энергий, используется несколько счетчиков. В этих случаях счетчики обычно включаются в схемы совпадений или антисовпадений, которые позволяют идентифицировать частицы, определять их энергии. Рассмотрим установку, состоящую из 4 счетчиков импульсов С1, С2, С3, С4 и поглотителя П, расположенного между С3 и С4 (рис. П5.8). Как с помощью этой установки можно определить тип и энергию частиц? Случай 1. Высокоэнергетичный протон имеет достаточную энергию, чтобы его пробег превышал размеры установки. В этом случае будут зарегистрированы импульсы одновременно во всех четырех счетчиках. Если все четыре счетчика включены в схему совпадений, то на её выходе появится импульс, который зарегистрирует это событие. Если энергия протоны недостаточна, и он остановится в поглотителе П (случай 2), то будут наблюдаться только одновременные импульсы от С1, С2, С3. 234

Изменяя толщину поглотителя П между С3 и С4, можно регистрировать протоны, энергия которых меньше определенной величины.

П

1 случай

1 2 3 C1

C2

C3 C4

2 случай

3 случай

C1 C2 C3 C4

t t t t

Выход схемы совпадений

t

Рис. П5.8 Схема совпадений.

Случай 3 соответствует нейтральной частице, которая распалась в пространстве между С1 и С2 с образованием 2 заряженных частиц малой энергии. В этом случае будет наблюдаться совпадение сигналов по времени от С2 и С3. Счетчики С1 и С4 при этом не срабатывают. Этот метод часто используют, когда необходимо зарегистрировать нейтральную частицу на фоне большого количества заряженных частиц. Отсутствие сигнала от счетчика С1 и совпадения счетчиков С2 и С3 — свидетельство тому, что через установку прошла нейтральная частица. Используя различное количество счетчиков, включенных в схемы совпадений или антисовпадений можно эффективно отбирать интересующие события. С помощью системы счетчиков, включенных в схемы совпадений и антисовпадений, был открыт антипротон. Схемы совпадений активно используются для управления искровыми камерами. В этом случае импульс высокого напряжения для регистрации частиц подаётся только в том случае, если предварительно сработал сцинтилляционный детектор, показывающий, что в искровую камеру влетела заряженная частица, что значительно повышает эффективность отбора нужных событий. Принципы организации многослойного детектора Частицы последовательно проходят различные структуры детектора. При этом частицы различных типов и энергий оставляют характерные сигналы в различных частях многослойного детектора (рис. П5.9). Заряженные частицы, такие как протоны, пионы и каоны, детектируются трековым детектором (он расположен ближе всего к точке реакции) и далее — электромагнитным и адронным калориметрами. Электроны детектируются трековым детектором и электромагнитным калориметром. Нейтральные частицы, такие как нейтроны и фотоны, не детектируются в трековом детекторе. Фотоны детектируются электромагнитным калориметром, а нейтроны идентифицируются по энергии, выделяемой в адронном калориметре. Так как мюоны имеют максимальный пробег в веществе детектора из всех регистрируемых частиц, для их регистрации обычно используют внешние участки детектора — мюонный спектрометр. 235

Рис. П5.9 Принцип работы многослойного детектора.

Детектор ATLAS (БАК, ЦЕРН, Швейцария) Установка ATLAS размещена под землей на глубине 100 м. Соударения протонных пучков будут происходить каждые 25 наносекунд, т.е. с частотой 40 МГц. При планируемой на первом этапе светимости ускорителя 1033 см2с1 при каждом столкновении пучков будет происходить в среднем 23 протонных соударения. При светимости 1034 см2с1 при каждом столкновении пучков будет происходить ~25 протонных соударений.

Рис. П5.10 Схема регистрации частиц в детекторе ATLAS.

236

Рис. П5.11 Схема детектора ATLAS БАК.

Задачи П 5.1. Как измерить период полураспада T1/ 2  10 лет? Как измерить среднее время жизни частицы   1015 секунды? П 5.2. Предложить эксперименты, в которых можно измерить константы е, с и h. Оценить достижимую точность измерений. П 5.3. Какие имеются экспериментальные доказательства того, что атомный номер химического элемента равен заряду его ядра? П 5.4. Как черенковский счетчик можно использовать в качестве детектора скоростей частиц? Привести пример. П 5.5. Предложить метод для регистрации следующих частиц: 1) электронов с энергией 100 эВ; 2) фотонов с энергией 103 МэВ; 3) тепловых нейтронов; 4)  0 -гиперонов с энергией 300 МэВ; 5)  0 мезонов с энергией 10 МэВ. П 5.6. Какими методами можно определить массы следующих частиц: 1)  0 ; 2)  0 ; 3)   ; 4)   ; 5)   ; 6)  e ; 7)   ? П 5.7. Объяснить принцип работы пузырьковой камеры. Как можно использовать пузырьковую камеру для детектирования реакций под действием нейтрино?

237

Приложение 6. Статистика регистрации частиц Ядерные взаимодействия относятся к дискретным случайным событиям пуассоновского типа. При достаточно большом среднем числе наблюдаемых событий вероятность того, что в течение времени t произойдет N событий, равна ( t ) N P( N )  exp( t ) , N! где  — средняя интенсивность потока частиц. В среднем число наблюдаемых событий 

N   NP ( N )   t . N 0

Дисперсия 

D( N )   ( N  N ) 2 P( N )  N . N 0

При зарегистрированном числе событий N Э ( N Э  1) величины N ,  и D оцениваются как N  N Э ,   N Э / t, D  NЭ . Доверительный интервал N , соответствующий доверительной вероятности 70% и называемый среднеквадратичным интервалом или среднеквадратичной ошибкой  , оценивается как   NЭ . Истинная величина N с вероятностью 70% заключена в интервале NЭ    N  N Э   . Для величины  , являющейся функцией случайных величин N1 , …, N n , среднее значение равно    ( N1 ,..., N n )   ( N Э1 ,..., N Эn ) , а дисперсия — 2

n

       N Эi .  N i 1  Эi  Дисперсия оценки величины интенсивности потока частиц   N / t   2  . t Относительная ошибка, соответствующая доверительной вероятности 70% 1   . NЭ 2

238

Задачи П 6.1. Если при регистрации радиоактивного распада среднее число отсчетов в секунду равно 6, то какова вероятность зарегистрировать 10 импульсов в секунду? Число отсчетов соответствует распределению Пуассона:

P (10)  610 e 6 / 10!  0,04 П 6.2. При изучении радиоактивного источника за определенный промежуток времени было зарегистрировано 1600 распадов типа A и 5700 распадов типа B. В предположении, что распады A и B не зависят друг от друга, определите ошибку измерения отношения R = NA/NB? Дифференцируя соотношение ln R  ln N A  ln N B , получим:

dR dN A dN B   . R NA NB Поскольку NA и NB не зависят друг от друга, то 2

2

2

 R   N A   N B         R   N A   NB  Для величин пуассоновского типа N  N , соответственно R 1 1 N    0,028; R  0,028 A  0,008 R N A NB NB П 6.3. В эксперименте при реконструкции инвариантной массы пары e  e  было обнаружено 36 событий J /   e  e  , средняя масса составила 3 100 МэВ. Какова ошибка измерения, если точность аппаратуры составляет m / m  1% ? Стандартное отклонение σ связано с ошибкой одного измерения ∆m: 1 36 2  m  m  31 МэВ  m    36  1 35 Соответственно, стандартное отклонение среднего значения  err   5,2 МэВ 36 П 6.3. Детектор регистрирует в среднем 2 частицы в секунду. С какой вероятностью он не зарегистрирует ни одной частицы в течение одной, двух или трех секунд? П 6.4. За 10 мин детектор зарегистрировал 2121 импульс. Указать доверительный интервал (с доверительной вероятностью 70%) для оценки интенсивности источника. 239

П 6.5. Определить среднее время между событиями и дисперсию, если интенсивность событий равна 10 имп/с. П 6.6. Сколько импульсов должен зарегистрировать детектор, чтобы гарантировать ошибку в 3% при определении интенсивности потока событий? П 6.7. Рассчитать среднее время между регистрациями двух событий и дисперсию, если интенсивность событий равна 10 имп/сек. П 6.8. Активность источника излучения в среднем равна 90 имп/мин. Какова вероятность того, что измеренная скорость счета будет составлять А) 80 имп/мин, Б) 120 имп/мин.? П 6.9. Интенсивность излучения источника в одном направлении 160 имп/мин, а в направлении, перпендикулярном к первому, – 20 имп/мин. Сколько времени следует затратить на измерение той и другой интенсивности, если их отношение требуется определить с точностью 1%? П 6.10. Интенсивность излучения радиоактивного источника около 5·102 имп/мин. Сколько времени следует затратить на ее измерение с точностью 1%? Время измеряется секундомером с ценой деления 0,5 с. П 6.11. Каковы среднеквадратичная и относительная ошибки в определении интенсивности излучения источника, если суммарная интенсивность (источник + фон) измерялась 1 час и составила 362 имп/мин, а интенсивность фона - 31,2 ±0,4 имп/мин? П 6.12. Определите скорость счета случайных совпадений для схемы с разрешающим временем 10 нс, если загрузка одного из трактов 102 импульса в секунду, а второго 28 импульсов в секунду. П 6.13. Два измерительных тракта регистрируют частицы от независимых источников. Один с частотой 3000 импульсов в секунду, а второй – 5000 импульсов в секунду. После подсоединения их к схеме совпадения за одну минуту было зарегистрировано 12 случайных совпадений.Определить разрешающее время схемы совпадений. П 6.14. Черенковский счетчик создает 20 фотонов на частицу. Фотоумножитель конвертирует фотоны в фотоэлектроны с эффективностью 10%. Каждый фотоэлектрон создает сигнал. Какова вероятность того, что частица, попавшая в счетчик, не приведет к созданию сигнала? Сколько частиц из 1000 останется не зарегистрированными?

240

Ответы к задачам Семинар 1. Введение 1.5.

Qα = 4,87 МэВ, Tα = 4,78 МэВ, TRn = 0,086 МэВ

1.6. 1.7.

1) 0,33 барн/стер, 2) 0,17 б/стер, 3) 0,16 б/стер, 4) 0,11 б/стер W = 13,3·104

1.8. 1.9.

1) R = 1,7 Фм, 2) R = 5,8 Фм, 3) R = 16,2 Фм, 4) R = 47,2 Фм ∆N(60º)/N = 4·10 –10

1.10. 1) ∆N(30º) ≈ 44 част., 2) ∆N(90º) ≈ 0,8 част., 3) ∆N(120º) ≈ 0,4 част. 1.12. N1/N2 = 1,09 1.13. L = 16 м 1.14. L = 2,6 км 1.15. p = 2,45 МэВ/c, v = 0,989c 1.16. 1) E ≈ pc = 10,5 МэВ, γ = 20,57, v = 0,999c; 2) E = 948,27 МэВ, pc = 137,35 МэВ, γ = 1,01, v = 0,147c 1.17. а) Te = 0,08 МэВ, Tp = 145,2 МэВ; б) Te = 0,66 МэВ, Tp = 1,2 ГэВ; в) Te = 3,11 МэВ, Tp = 5,7 ГэВ; 1.18. а) Tp = 2,05 МэВ, б) Tp = 36,2 МэВ, в) Tp = 110,5 МэВ, г) Tp = 1 936 МэВ 1.25. 1.26. 1.29. 1.30.

υ = 0,33с ∆t = 0,05 с υ = 2·108 м/с z = 0,065 ≈ β

1.32. β = 0,05c, v = 1,5·10 7 м/с 1.36. 1) Ep = 108 ГэВ, 2) Ee = 109 ГэВ, 3) Ep = 2·106 ГэВ, 4) Ee = 4·107 ГэВ Семинар 2. Квантовые свойства излучения и частиц 2.10. λ = 6877 Å, ν = 4,3·1014 Гц, 1) U = 2,3 В, 2) U = 1,3 В 2.11. 2.12.

ν = 1,02·1015 Гц Aвых = 1,9 эВ, Te = 2,2 эВ

2.13. 2.14.

1) pc = 3,1 эВ; 2) pc = 12,4 кэВ; 3) pc = 4,1·10 –5 эВ. λ = 2,4 Å

2.18. 1) 4 Å; 2) 12·103 Фм; 3) 875 Фм; 4) 1,2 Фм 2.19. ∆E = 6,6·10–8 эВ, ∆ν = 16 МГц 2.20. 2.21.

1) 2,8 Å; 2) 0,28 Å; 3) 9 Фм U = 0,94 кВ

2.22.

1) λe = 3695 Фм, λp = 90 Фм, λα = 45 Фм; 2) λe = 1,2 Фм, λp = 0,7 Фм, λα = 0,4 Фм

2.24. 2.25. 2.26. 2.30.

t = 6,6·10 –14 с λe = 1,4 нм; Eγ = p γc≈ mec2; λγ = 2,4·103 Фм 1) E’γ = 0,42 ГэВ, 2) E’γ = 21 ГэВ, 3) E’γ = 73 ГэВ, 4) E’γ = 450 ГэВ ∆λ = 1,32 Фм 241

2.34. а) Te = 0,25 эВ; б) Ee = 51,1 МэВ 2.35. 2.37. 2.38. 2.39.

λp = 2·10–4 Фм d ~10 Фм ∆E = 2,8·10 –19 эВ Eγ = 0,79 МэВ, ∆E = 1,1·10–4 эВ

Семинар 3. Состояния в классической и квантовой физике 3.6. 3.8.

Eγ = 13,6 В Переход 10 → 2

3.10.

r   2 / me2  255 Фм ; E21 = 2,11 кэВ, E31 = 2,50 кэВ, E41 = 2,64 кэВ.

3.16. A = 4,9·107 с–1/2 3.17. λγ = 4,2·104 Фм 3.18. Z = 23 3.19. A = 5·107 с–1/2, b = 0,89 3.20. от 27Co до 30Zn Семинар 4. Уравнение Шредингера 4.6.

А) j = 3/2, 1/2; jz = ±3/2, ±1/2; L   l (l  1)  2 

Б) j = 5/2, 3/2; jz = ±5/2, ±3/2, ±1/2; L   l (l  1)  6 4.7. А) j = 7/2 ÷ 1/2; Б) j = 7/2, 5/2 4.8. J = 0, 1, 2 4.16. А) P(L/2) = 0,002; P(2L/3) = 0,0015; P(L) = 0 Б) P(L/2) = 0; P(2L/3) = 0,0015; P(L) = 0 4.17. P(L/3, 2L/3) = 0,2 4.18. P(0,2L, 0,5L) = 0,3 4.19. L = 1,9 нм 4.23.

Lz  3, 2 ,...3; L2  12 2

Семинар 5. Лептоны 5.16.

T

*

 Q  3554 МэВ; Tпор  12, 6 ГэВ

5.20. Γμ = 3·10–10 эВ, Γτ = 2,3·10–3 эВ 5.28.

K   e  e ; Ee  mK / 2 , распад подавлен;

K      ; T  153 МэВ; E  236 МэВ

Семинар 6. Кварки и адроны 6.14. I3(uud) = +1/2, I3(udd) = –1/2; I3(uds) = 0 I (p) = I (n) = 1/2; I (∆+) = I (∆0) = 3/2; I (Λ) = 0; I (Σ0) = 1 6.22. Нарушаются: 1) S, I3; I3 – слабые распады; 2) нет; E; 3) E; S, I3(слабый распад); 4) S, I3(слабый распад); Q. 6.24. (I; I3): 1) (1; –1); 2) (0, 1;0); 3) (3/2; +3/2); 4) (1/2, 3/2; –1/2); 5) (1/2, 3/2; +1/2); 6) (1;1) Семинар 7. Взаимодействие частиц 7.15. λγ = 1,3 Фм 7.16. λγ = 8,8 Фм 242

7.17. 1) Eγ = 911 МэВ, 2) Eγ = 370 МэВ 7.18. 1) Eγ = 1 046 МэВ; 2) Eγ = 1 047 МэВ; 3) Eγ = 1 747 МэВ. 7.19.

T

*

 2m p ; Tпор  6m p

7.20. 1) Tπ = 760 МэВ, 2) Tπ = 770 МэВ. Семинар 8. Рапады адронов 8.8. 8.9.

τ = 5,6·10-24 с, сильное взаимодействие 1) E; S, I3 – слабое; 2) Lμ; S, I3 – слабое; 3) B; I3 – слабое; 4) Q; I3 – слабое.

8.14. 1-4, 7,8) ∆S = –1, ∆I3 = 1/2; 5,6) ∆S = –2; 9) ∆S = –1, ∆I3 = 3/2 1) Eπ = 170 МэВ, En = 946 МэВ; 2) Eπ = 232 МэВ, En = 957 МэВ 3) Eπ = 325 МэВ, EΞ = 1347 МэВ; 4) Eν = 236 МэВ, Eμ = 258 МэВ 7) Eπ = 231 МэВ, En = 958 МэВ; 8) Eπ = 238 МэВ, En =959 МэВ 8.17.

Emax  ( E  p ) / 2 ; Emin  ( E  p ) / 2 , sin( / 2)  m / E

8.23.

E   mK2  m2  m2  /  2mK   240 МэВ

Семинар 9. Атомные ядра 9.15.

   120   13,5 фм2 = 0,14 барн

9.16.

N  30  60 / N 120  150   41,75

9.17. A) ∆N = 17 514 частиц, Б) σ = 516 барн, В) N = 2,8·10 4 с–1 9.18. R = 8 Фм 9.20. rNN ≈ 1,4 Фм 9.28.

4 2

Не : J P  0  ; 1s1/2

4

 1 1   3 1   1 20 + 7 3 N , 3) Li , 4) O(0 2), 5) H     2 2 2 2 2  1 1   1 1   5 1  6 + 29 17 6) 28Si(0 +0), 7) 13 C  , 8) , 9) H(0 1), 10) Si O      2 2 2 2 2 2 9.30. Синглет (I = 0) 28Si; дублет (I = 1/2) 7Li, 7Be; триплет (I = 1) 14С, 14N*, 14O 9.29.

A

X(JPI):

1) 10C(0+1),

2)

13

1

,

2

9.31. 1) ∆UCoul = 2,4 МэВ, ∆ε = 1,6 МэВ; 2) ∆UCoul = 3,3 МэВ, ∆ε = 2,8 МэВ; 3) ∆UCoul = 4,0 МэВ, ∆ε = 3,5 МэВ 9.33-35. Проверить результаты можно по базам ядерных данных Семинар 10. Радиоактивность 10.13. 206Pb, m = 217 г 10.14. λ=0,693 мин–1, τ = 1,44 мин, 1) A(1) = 103 Бк, N(1) = 86,5·103 2) A(2) = 500 Бк, N(2) = 43,3·103 3) A(3) = 250 Бк, N(3) = 21,6·103 4) A(10) = 1,95 Бк, N(10) = 162,8 10.15. Nрасп = 1,14·1018 расп 10.16. T1/2 = 7,1·10 8 лет, Nрасп = 0,08 10.17. W = 1,6·1014 эрг 10.18. T1/2 = 2,2·10 15 лет, λ=1,05·10–23 с–1 10.19. t = 4,4·109 лет 10.20. Tα, T(A-4): 1) 3,92 МэВ, 69 кэВ; 2) 6,11 МэВ, 118 кэВ; 3) 4, 60 МэВ, 80 кэВ; 243

4) 5,32 МэВ, 103 кэВ; 5) 5,54 МэВ, 94 кэВ; 3) 6, 26 МэВ, 120 кэВ 10.24. 1) 7α + 4β; W = 46,4 МэВ; 2) 8α + 6β; W = 51,7 МэВ; 3) 8α + 4β; W = 49,3 МэВ; 4) 6α + 4β; W = 42,7 МэВ 10.25. p= 198,95 МэВ/c, Tα = 5,31 МэВ 10.26. Eγ ≈ 0,19 МэВ 10.27. 215Po, E*: 271 кэВ, 402 кэВ, 608 кэВ 10.28-31. Проверить результаты можно по базам ядерных данных 10.32. 1) Q = 1,73 МэВ, Jeν = 0,1; 2) Q = 0,96 МэВ, Jeν = 0÷3; 3) Q = 1,20 МэВ, Jeν = 0,1; 4) Q = 0,63 МэВ, Jeν = 1 10.33. 1) 2; 2) разрешенные переходы типа Ферми; 3) 3; 4) 3. 10.37. E2, Eγ = 4,43 МэВ; TC = 0,88 кэВ 10.39. T(Fe) = 2·10–3 эВ 10.40. Γ = 0,22 эВ 10.41. A = 1,15 мКи 10.42. σ = 20,4 б 10.43. A = 6·103 Бк Семинар 11. Ядерные реакции 11.16. 1) Eγ = 16,0 МэВ; 2) Eγ = 18,7 МэВ; 3) Eγ = 13,1 МэВ 11.17. 1) p; Q = 1,9 МэВ; 2) n; Q = 2,8 МэВ; 3) p, Q = 17,3 МэВ; 4) α; Q = 2,4 МэВ; 5) n; Q = 9,5 МэВ; 6) p; Q = 4,7 МэВ. 11.18. 1) T1 = 5,4 МэВ, T2 = 48,2 МэВ; 2) T1 = 19,2 МэВ, T2 = 595,0 МэВ; 3) Q > 0; 4) T1 = 18,1 МэВ, T2 = 54,3 МэВ. 11.19. 1) Q = 5,5 МэВ; 2) Q = 3,3 МэВ; 3) Q = –1,6 МэВ, Tпор = 1,9 МэВ; 4) Q = 1,6 МэВ; 5) Tпор ≈ –Q = 8,9 МэВ; 6) Tпор ≈ –Q = 15,0 МэВ; 7) Tпор ≈ –Q = 6,9 МэВ; 8) Q = –17,4 МэВ, Tпор = 34,7 МэВ. 11.20. 1) E* = 5,19 МэВ; 2) E* = 4,27 МэВ; 3) E* = 4,91 МэВ.  0  ,1 l  0 11.23. J P ( Ne* )      p  J P , I  (1 , 0), l p  1 l  1 0 ,1 , 2 p  11.24. l = 1 11.25. JP = 3/2 +, 5/2+ (табличное значение 3/2+) 11.26. lt = 2 11.28. T*p = 2,5 МэВ 11.29. T’n = Tncos2θ, n ≈ 7,3 11.30. А) Tn = 4/5Q + 2/5 Td = 15,7 МэВ; Б) Tn = 3/4Q + 1/4 Td = 3,5 МэВ max

11.31. Tn

 3,33 МэВ, Tnmin  1,67 МэВ

11.33. I = 1,2·1010 с–1 Семинар 12. Деление 12.1. 1) Nα = 1,5·10 7; Nsf = 1,5·10–4; 2) Nα = 2,9·10 8; Nsf = 0,02; 3) Nα = 4,5·107; Nsf = 25 12.5. EКулон = 230 МэВ 244

12.6. 1) Q = 192,4 МэВ, 2) Q = 184,4 МэВ, 3) Q = 183,7 МэВ 12.7. 12.11. 12.12. 12.13.

Q = 164,5 МэВ N = 1,6·1019 с–1 Nν = 4,8·1019 с–1; Wν = 75 МДж/с Nn = 8·1017 с–1

12.14. E = 8,2·107 МДж 12.15. W = 152 МВт 12.16. t = 10 7-10 6 с 12.19. n = 25, t = 44 мс 12.20. t = 20 с

N = 37% N

12.21.

Семинар 13. Нуклеосинтез 13.6. E(pp) = 25,8 МэВ 13.9. E(CNO) = 24,8 МэВ 13.15. T ≈ E/(3/2k) = (Ze)2/(3/2kR) = 5,4·109 К 13.16. 1) 4,03 МэВ; 2) 17,59 МэВ; 3) 3,27 МэВ; 4) 18,35 МэВ 13.18. TLi ≈ 0,12 МэВ 13.25. t = NpEpp/(4L) = 7,8·10 10 лет 13.26. 1) Q = 22,4 МэВ; 2) Q = 8,7 МэВ 13.27. Q = 18,8 МэВ Семинар 14. Симметрии Природы 14.14. Np = 0,33 в год; P ~ 0,016 14.15. M Pl  c / G  1, 2 1019 ГэВ/с 2 , LPl  G / c3  1, 6 10 33 см Приложения П 3.4. 1) s  1,3 ТэВ, Ee = 895 ТэВ; 2) s  100 ГэВ, Ee=5,3 ТэВ; 3) s  160 ГэВ, Ee=14 ТэВ; П 3.5. ν = 0,2 с–1 Nср = 100 П 4.4. D = 0,35 см П 4.12. T 

2m 2 2 me

1 2

  m  1  2   Ze 

2

; m

Mme M  me

П 4.13. Tp = 40,7 МэВ, Te = 46,4 МэВ П 4.15.

 dTe / dx ион [Al]  6, 2 МэВ/см ;  dTe / dx  рад [Al]  10,1 МэВ/см ;  dTe / dx ион [Pb]  4, 3 МэВ/см ;  dTe / dx  рад [Pb]  44 МэВ/см

П 6.14. N = 122 245

ФИЗИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ И ЕДИНИЦЫ (приближенные значения) с

скорость света в вакууме

3,00108 мсек1,

G

гравитационная постоянная

6,671011 м3кг1сек2  1,31042 Фмс4/МэВ,

NA

число Авогадро

6,021023 моль1,

k

постоянная Больцмана

1,381023 ДжК1  8,621011 МэВК1,

e

величина заряда электрона

1,601019 Кл  4,801010 ед. СГСЭ,

h

постоянная Планка

6,631034 Джсек  4,141021 МэВсек,



приведенная Планка

h 2

постоянная 1,051034 Дж сек  6,581022 МэВсек,

с

переходная константа

3,161026 Джм  197,33 МэВФм,

е2   е с me

постоянная тонкой структуры

1 , 137

масса электрона

9,111031 кг  0,511 МэВc2,

mp

масса протона

1,67261027 кг  938,27 МэВ c2,

mn

масса нейтрона

1,67491027 кг  939,57 МэВ c2, 1,29 МэВ c2,

mn - mp

e B  2mec e N  2m c

магнетон Бора

9,271024 ДжТл1  5,791015 МэВГс1,

ядерный магнетон

5,051027 ДжТл1  3,151018 МэВГс-1,

масса Планка

2,18108 кг 

p

1/2

 c  mPl    G

1/2

планковская длина (квант расстояния)

1,61033 см,

1/ 2

планковское время (квант времени)

5,41044 сек,

 G  rPl   3  c  t Pl

1,221019 ГэВc-2,

 G   5  c 

246

M

масса Солнца

21030 кг,

H0

постоянная Хаббла

72 кмсек1мегапарсек1,

t0

возраст Вселенной

13,7109 лет,

Три

температура реликтового (фонового) излучения

2,7 К.

Энергия:

1 эВ  1,601012 эрг  1,601019 Дж, 1 эВ  103 кэВ  106 МэВ  10 9 ГэВ  1012 ТэВ.

Длина:

1Фм (ферми)  1013 см, 1 Å = 108 см 1 пк (парсек)  3,091016 м, 1 световой год  9,4610 15 м.

Масса:

1 а.е.м.(атомная единица массы)  931,49 МэВ/с2   1,66051027 кг.

Эффективное сечение и электрический квадрупольный момент: Активность:

1 б (барн)  1024 см2  100 Фм2. 1 Бк (беккерель)  1 распадсек1, 1 Ки (кюри)  3,71010 Бк.

Греческий алфавит Α α

альфа

Ν ν

ню

Β β

бета

Ξ ξ

кси

Γ γ

гамма

Ο ο

омикрон

Δ δ

дельта

Π π

пи

Ε ε

эпсилон

Ρ ρ

ро

Ζ ζ

дзета

Σ σ

сигма

Η η

эта

Τ τ

тау

Θ θ

тета

Υ υ

ипсилон

Ι ι

йота

Φ φ

фи

Κ κ

каппа

Χ χ

хи

Λ λ

лямбда

Ψ ψ

пси

Μ μ

мю

Ω ω

омега

247

ХАРАКТЕРИСТИКИ ЧАСТИЦ Характеристики фундаментальных частиц (лептонов, калибровочных бозонов) приведены в семинаре 5.

кварков

и

Таблицы подразделяются на две части: мезоны (характеристики мезонов и мезонных резонансов) и барионы (характеристики барионов и барионных резонансов). В таблице приводятся: N(1440)+ – современное обозначение частицы (в случае резонанса в скобках приводится масса, верхний правый индекс обозначает заряд частицы); uud –

кварковый состав;

IG(JPC) –

квантовые числа (I – изоспин, J – полный момент количества движения (спин), Р – пространственная четность, С – зарядовая четность, G-четность);

mc2 –

масса частицы

τ–

время жизни, для короткоживущих резонансов вместо времени жизни приведена полная ширина резонанса    i   /  относительно распадов по всем каналам.

Nπ

55-75% – основные моды распада и их относительные вероятности. В лептонных и полулептонных модах распада знак заряда лептона и тип нейтрино определяются из законов сохранения электрического заряда и лептонного числа.

Данные приведены по Review of Particle Physics K.A. Olive et al. (Particle Data Group (PDG), Chin. Phys. C, 38, 090001 (2014). Полный список частиц и современные данные по их характеристикам находятся на сайте http://pdg.lbl.gov/ в открытом доступе.

248

МЕЗОНЫ

f0(500)

Легкие мезоны



I=1 (π, b, ρ, a): u d , uu  d d '

'



ππ γγ

2 , du;

'

f0(980)

I=0 (η, η , h, h , ω, φ, f, f ): c1( uu  dd ) + c2( ss ) π±

μ νμ μ νμ γ e νe e νe γ e νe π 0 e νe e+ e− π0

2γ e+ e− γ e+ e+ e− e− e+ e− 4γ π(1300)

ρπ π1(1400) η π0 η π− π1(1600)

b1(1235) π η′(958) π− f1(1285) π

I G (J P ) = 1−(0 −) mc2 139,57018 ± 0,00035 МэВ τ (2,6033 ± 0,0005)∙10−8 с 99,98770 ± 0,00004% (2,00 ± 0,25)∙10 −4 (1,230 ± 0,004)∙10 −4 (7,39 ± 0,05)∙10 −7 (1,036 ± 0,006)∙10 −8 (3,2 ± 0,5)∙10 −9

ππ KK γγ f2(1270)

ππ π+ π− 2π0 KK 2π+ 2π− ηη 4π0 γγ

I G (J PC ) = 1 −(0− +) mc2 134,9766 ± 0,0006 МэВ τ (8,52 ± 0,18)∙10 −17 с 98,823 ± 0,034% 1,174 ± 0,035% (3,34 ± 0,16)∙10 −5 (6,46 ± 0,33)∙10 −8 < 2∙10 −8

f1(1285)

I G (J PC ) = 1 −(0− +) mc2 1300 ± 100 МэВ Γ 200 ÷ 600 МэВ наблюдался

4π 4π0 η π + π− ηππ KK π π+ π − π0 ρ±   γ ρ0 φγ

I G (J PC ) = 1 −(1− +) mc2 1354 ± 25 МэВ Γ 330 ± 35 МэВ наблюдался наблюдался I G (J PC ) = 1 −(1− +) mc 1662−9+8 МэВ Γ 241 ± 40 МэВ наблюдался наблюдался наблюдался

f0(1370)

2

ππ ηη KK γγ

I G (J PC ) = 1 −(2− +) mc2 1672,2 ± 3,0 МэВ Γ 260 ± 9 МэВ 3π 95,8 ± 1,4% * K K (892) +c.c. 4,2 ± 1,4% 2,7 ± 1,1% ωρ π2(1670)

f1(1420)

KK π φγ

249

I G (J PC ) = 0 +(0+ +) mc 400 ÷ 550 МэВ Γ 400 ÷ 700 МэВ преобладающий наблюдался 2

I G (J PC ) = 0 +(0+ +) mc 990 ± 20 МэВ Γ 40 ÷ 100 МэВ преобладающий наблюдался наблюдался 2

I G (J PC ) = 0 +(2+ +) mc2 1275,1 ± 1,2 МэВ Γ 185,1−2,4+2,9 МэВ 84,8 −1,2+2,4 % 7,1−2,7+1,4 % 4,6 ± 0,4% 2,8 ± 0,4% (4,0 ± 0,8)∙10 −3 (3,0 ± 1,0)∙10 −3 (1,64 ± 0,19)∙10 −5 I G (J PC ) = 0 +(1+ +) mc2 1282,9 ± 0,5 МэВ Γ 24,2 ± 1,1 МэВ 33,1 −1,8+2,1 % < 7∙10−4% 35 ± 15% 52,4 −2,2+1,9 % 9,0 ± 0,4% (3,0 ± 0,9)∙10 −3 < 3,1∙10−3 5,5 ± 1,3% (7,4 ± 2,6)∙10 −4 I G (J PC ) = 0 +(0+ +) mc2 1200 ÷ 1500 МэВ Γ 200 ÷ 500 МэВ наблюдался наблюдался наблюдался наблюдался I G (J PC ) = 0 +(1+ +) mc2 1426,4 ± 0,9 МэВ Γ 54,9 ± 2,6 МэВ преобладающий наблюдался

η

I G (J PC ) = 0 +(0− +) mc 547,862 ± 0,018 МэВ Γ 1,31 ± 0,05 кэВ 39,41 ± 0,20% 32,68 ± 0,23% (2,7 ± 0,5)∙10 −4 22,92 ± 0,28% 4,22 ± 0,08% (6,9 ± 0,4)∙10 −3 (3,1 ± 0,4)∙10 −4 < 5,6∙10−6 (5,8 ± 0,8)∙10 −6

ρ(770)0

2

2γ 3π0 π0 2γ π+ π − π0 π+ π − γ e+ e− γ μ+ μ− γ e+ e− μ+ μ− η´(958) π+ π − η ρ0 γ π0 π0 η ωγ γγ 3π0 μ+ μ− γ π+ π − π0 η(1295) −

ηπ π a0(980) π η(1405)

I G (J PC ) = 0 +(0− +) mc2 957,78 ± 0,06 МэВ Γ 0,198 ± 0,009 МэВ 42,9 ± 0,7% 29,1 ± 0,5% 22,2 ± 0,8% 2,75 ± 0,23% 2,20 ± 0,08% (2,14 ± 0,20)∙10 −3 (1,08 ± 0,27)∙10 −4 (3,8± 0,4)∙10 −3

ρ(1450)

ρ3(1690)

+

ρ(1700)

ρ(770)±

ω(782)

I G (J PC ) = 1 +(1− −) mc2 1720 ± 20 МэВ Γ 250 ± 100 МэВ большая вероятность преобладающий I G (J PC ) = 0 −(1− −) mc 782,65 ± 0,12 МэВ Γ 8,49 ± 0,08 МэВ 2

π+ π − π0 π0 γ π+ π − ηγ π 0 e+ e− π0 μ+ μ− e+ e− π0 π0 γ μ+ μ−

I G (J PC ) = 1 +(1− −) mc 775,26 ± 0,25 МэВ Γ 149,1 ± 0,8 МэВ ≈ 100% (4,5 ± 0,5)∙10 −4 < 6∙10 −3 < 2,0∙10−3 2

ππ πγ πη π π+ π− π0

71,1 ± 1,9% 23,6 ± 1,3% 3,8 ± 1,2% 1,58 ± 0,26%

2(π+ π−) ρππ

−+

I (J ) = 0 (0 ) mc2 1476 ± 4 МэВ Γ 85 ± 9 МэВ преобладающий KK π * наблюдался K K (892)+c.c. γγ наблюдался η(1475)

I G (J PC ) = 1 +(3− −) mc2 1688,8 ± 2,1 МэВ Γ 161 ± 10 МэВ

4π ππ KK π KK

I G (J PC ) = 0 +(0− +) mc 1408,9 ± 1,8 МэВ Γ 51,0 ± 2,9 МэВ наблюдался наблюдался PC

наблюдался наблюдался наблюдался

ππ 4π e+ e−

I G (J PC ) = 0 +(0− +) mc 1294 ± 4 МэВ Γ 55 ± 5 МэВ наблюдался наблюдался

G

I G (J PC ) = 1 +(1− −) mc 1465 ± 25 МэВ Γ 400 ± 60 МэВ 2

2

KK π ηππ

≈ 100% (9,9 ± 1,6)∙10 −3 (6,0 ± 0,8)∙10 −4 (3,00 ± 0,20)∙10 −4 (4,5 ± 0,8)∙10 −5 (4,55 ± 0,28)∙10 −5 (4,72 ± 0,05)∙10 −5 (1,01 −0,36+0,54± 0,34)∙10−4 (1,8 ± 0,9)∙10 −5 (1,6 ± 0,8)∙10 −5 < 1,2∙10−5

ππ π+ π − γ π0 γ ηγ π0 π0 γ μ+ μ− e+ e− π+ π − π0 π+ π − π+ π− π+ π − π0 π 0 π 0 e+ e−

2

+

I G (J PC ) = 1 +(1− −) mc 775,26 ± 0,25 МэВ Γ 149,1 ± 0,8 МэВ 2

250

89,2 ± 0,7% 8,28 ± 0,28% 1,53 −0,13+0,11% (4,6 ± 0,4)∙10 −4 (7,7 ± 0,6)∙10 −4 (1,3 ± 0,4)∙10 −4 (7,28 ± 0,14)∙10 −5 (6,6 ± 1,1)∙10 −5 (9,0 ± 3,1)∙10 −5

ω(1420)

I G (J PC ) = 0 −(1− −) mc 1400 ÷ 1450 МэВ Γ 180 ÷ 250 МэВ преобладающий наблюдался наблюдался наблюдался

a0(1450)

2

ρπ ωππ b1(1235) π e+ e− ω(1650)

ρπ ωππ ωη e+ e−

PC

−

φ(1020)

a0(980)

ηπ KK γγ

−−

I G (J PC ) = 1 −(0+ +) mc 980 ± 20 МэВ Γ 50 ÷ 100 МэВ преобладающий наблюдался наблюдался 2

I G (J PC ) = 1 −(1+ +) 2 mc 1230 ± 40 МэВ Γ 250 ÷ 600 МэВ наблюдался ρπ ρ(1450) π наблюдался наблюдался f0(500) π наблюдался f0(1370) π наблюдался f2(1270) π * наблюдался K K (892)+c.c. наблюдался πγ

φ(1680)

a1(1260)

a2(1320) 3π ηπ ωππ KK η′(958) π π± γ γγ e+ e−

I G (J PC ) = 0 −(1− −) mc 1019,461 ± 0,019 МэВ Γ 4,266 ± 0,031 МэВ 2

K+ K− KL0 KS0 ρ π + π+ π− π0 ηγ π0 γ e+ e− μ+ μ− η e+ e− π+ π − ω π0 π+ π − γ f0(980) γ π0 π0 γ π 0 e+ e−

I (J ) = 0 (3 ) mc2 1667 ± 4 МэВ Γ 168 ± 10 МэВ наблюдался ρπ наблюдался ωππ возможно наблюдался b 1(1235) π ω3(1670)

наблюдался наблюдался наблюдался наблюдался наблюдался наблюдался

πη KK π η′(958) ωππ a0(980) π π γγ

I G (J PC ) = 0 −(1− −) mc2 1670 ± 30 МэВ Γ 315 ± 35 МэВ наблюдался наблюдался наблюдался наблюдался G

I G (J PC ) = 1 −(0+ +) mc 1474 ± 19 МэВ Γ 265 ± 13 МэВ 2

48,9 ± 0,5% 34,2 ± 0,4% 15,32 ± 0,32% 1,309 ± 0,024% (1,27 ± 0,06)∙10 −3 (2,954 ± 0,030)∙10 −4 (2,87 ± 0,19)∙10 −4 (1,15 ± 0,10)∙10 −4 (7,4 ± 1,3)∙10 −5 (4,7 ± 0,5)∙10 −5 (4,1 ± 1,3)∙10 −5 (3,22 ± 0,19)∙10 −4 (1,13 ± 0,06)∙10 −4 (1,12 ± 0,28)∙10 −5 I G (J PC ) = 0 −(1− −) mc 1680 ± 20 МэВ Γ 150 ± 50 МэВ 2

K K *(892)+c.c. KS0 K π KK e+ e− φ3(1850)

I G (J PC ) = 1 −(2+ +) mc2 1318,3−0,6+0,5 МэВ Γ 107 ± 5 МэВ 70,1 ± 2,7% 14,5 ± 1,2% 10,6 ± 3,2% 4,9 ± 0,8% (5,3 ± 0,9)∙10 −3 (2,68 ± 0,31)∙10 −3 (9,4 ± 0,7)∙10 −6 < 5∙10 −9

преобладающий наблюдался наблюдался наблюдался

I G (J PC ) = 0 −(3− −) mc2 1854 ± 7 МэВ Γ 87−23+28 МэВ наблюдался наблюдался

KK K K *(892)+c.c. b1(1235)

ωπ π± γ ηρ K*(892) ± K 

251

I G (J PC ) = 1 +(1+ −) mc 1229,5 ± 3,2 МэВ Γ 142 ± 9 МэВ 2

преобладающий (1,6 ± 0,4)∙10−3 наблюдался наблюдался

Странные мезоны K+= u s , K0= d s , K 0= d s , K−= u s K+

π± e  νe π ±   νμ (π μ атом) ν π0 π ± e  ν π± e  ν e+ e− 3π0 π+ π − π0 π+ π − π0 π0 π± e  νe γ π ±   νμ γ π+ π − γ π0 2γ π 0 γ e+ e− 2γ e+ e− γ μ+ μ− γ e+ e− γ γ μ+ μ− γ γ μ+ μ− e+ e− π+ π− e+ e− μ+ μ− e+ e− e+ e− e+ e−

I(J P ) = 1/2(0 −) mc 493,677 ± 0,016 МэВ τ (1,2380 ± 0,0021)∙10 −8 с (1,581 ± 0,007)∙10 −5 63,55 ± 0,11% 5,07 ± 0,04% 3,353 ± 0,034% (2,2 ± 0,4)∙10 −5 (4,254 ± 0,032)∙10 −5 (1,4 ± 0,9)∙10 −5 20,66 ± 0,08% 1,761 ± 0,022% 5,59 ± 0,04% (6,2 ± 0,8)∙10 −3 (9,4 ± 0,4)∙10 −6 (2,56 ± 0,16)∙10 −4 (1,25 ± 0,25)∙10 −5 (7,6 −3,0+6,0)∙10 −5 (1,04 ± 0,31)∙10 −4 (9,2 ± 0,7)∙10 −7 < 6∙10 −5 < 6,0∙10−6 (2,48 ± 0,20)∙10 −8 (7,06 ± 0,31)∙10 −8 (1,7 ± 0,5)∙10 −8 < 4,1∙10−7 (3,00 ± 0,09)∙10 −7 (9,4 ± 0,6)∙10 −8 (1,7 ± 1,1)∙10 −10 2

e+ νe μ+ νμ π0 e+ νe π0 μ+ νμ π0 π0 e+ νe π+ π− e+ νe π+ π− μ+ νμ π+ π 0 π+ π0 π0 π+ π − π+ μ+ νμ γ e+ νe γ π0 e+ νe γ π0 μ+ νμ γ π+ π0 π0 γ π+ π + π− γ π+ γ γ e+ νe ν μ+ νμ ν e+ νe e+ e− μ+ νμ e+ e− e+ νe μ+ μ− μ+ νμ μ+ μ− π + e+ e− π+ μ+ μ− π+ ν 

π0 π0 π+ π − π+ π − π0 π+ π − γ π+ π− e+ e− π0 γ γ γγ π ± e  νe π0 e+ e− π0 μ+ μ−

40,55 ± 0,11% 27,04 ± 0,07% (1,05 ± 0,11)∙10 −7 (5,20 ± 0,11)∙10 −5 (1,26 ± 0,04)∙10 −5 19,52 ± 0,12% 12,54 ± 0,05% (1,967 ± 0,010)∙10 −3 (8,64 ± 0,06)∙10 −4 (3,79 ± 0,06)∙10 −3 (5,65 ± 0,23)∙10 −4 (4,15 ± 0,15)∙10 −5 (1,273 ± 0,033)∙10 −6 (1,62 ± 0,17)∙10 −8 (5,47 ± 0,04)∙10 −4 (9,4 ± 0,4)∙10 −6 (3,59 ± 0,11)∙10 −7 (5,95 ± 0,33)∙10 −7 (1,0−0,6+0,8)∙10−8 (6,84 ± 0,11)∙10 −9 (9 −4+6)∙10 −12 (3,11 ± 0,19)∙10 −7 (2,69 ± 0,27)∙10 −9 (3,56 ± 0,21)∙10 −8

I(J P ) = 1/2(1 −) K*(892) K*(892) ± mc2 891,66 ± 0,26 МэВ Γ 50,8 ± 0,9 МэВ K*(892) 0 mc2 895,81 ± 0,19 МэВ Γ 47,4 ± 0,6 МэВ

K0 I(J P ) = 1/2(0 −) 50% KS, 50% KL mc2 497,614 ± 0,024 МэВ KS0

I(J P ) = 1/2(0 −) τ (5,116 ± 0,021)∙10 −8 с

KL0

Kπ K0 γ K± γ

I(J P ) = 1/2(0 −) τ (0,8954 ± 0,0004)∙10−10 с 30,69 ± 0,05% 69,20 ± 0,05% (3,5 −0,9+1,1)∙10 −7 (1,79 ± 0,05)∙10 −3 (4,79 ± 0,15)∙10 −5 (4,9 ± 1,8)∙10−8 (2,63 ± 0,17)∙10 −6 (7,04 ± 0,08)∙10 −4 (3,0 −1,2+1,5)∙10 −9 (2,9 −1,2+1,5)∙10 −9

K1(1270)

Kρ K0*(1430) π K*(892) π Kω K f0(1370) γ K0

252

≈ 100% (2,46 ± 0,21)∙10−3 (9,9 ± 0,9)∙10−4 I(J P ) = 1/2(1 +) mc2 1272 ± 7 МэВ Γ 90 ± 20 МэВ 42 ± 6% 28 ± 4% 16 ± 5% 11,0 ± 2,0% 3,0 ± 2,0% наблюдался

K1(1400)

I(J P ) = 1/2(1 +) mc 1403 ± 7 МэВ Γ 174 ± 13 МэВ

K*(892) π Kρ K f0(1370) Kω γ K0

94 ± 6% 3 ± 3% 2 ± 2% 1,0 ± 1,0% наблюдался

K*(1410)

I(J P ) = 1/2(1 −) mc2 1414 ± 15 МэВ Γ 232 ± 21 МэВ

K*(892) π Kπ Kρ γ K0

> 40% 6,6 ± 1,3% < 7% наблюдался

K0*(1430)

I(J P ) = 1/2(0 +) mc2 1425 ± 50 МэВ Γ 270 ± 80 МэВ 93 ± 10%

Kπ

Очарованные мезоны

2

D+= c d , D0= c u , D 0= c u , D −= c d D+

K2*(1430) 0 mc2 1432,4 ± 1,3 МэВ Γ 109 ± 5 МэВ

K*(1680)

Kπ Kρ K*(892) π K2(1770)

Kππ Kφ Kω

< 8,8∙10−6 (3,82 ± 0,33)∙10 −4 < 1,2∙10−3 8,83 ± 0,22% 9,2 ± 0,6% 4,00 ± 0,10% 3,8 ± 0,4% < 1,6∙10−3 (4,05 ± 0,18)∙10 −3 1,47 ± 0,07% 1,46 ± 0,05% 9,13 ± 0,19% 6,99 ± 0,27% 5,99 ± 0,18% 3,12 ± 0,11% (1,19 ± 0,06)∙10 −3 (3,18 ± 0,18)∙10 −3 (4,6 ± 0,4)∙10 −3 1,13 ± 0,08%

e+ νe μ+ νμ τ+ ντ K 0 e+ νe K 0 μ+ νμ K− π+ e+ νe K− π+ μ+ νμ K− π+ π0 μ+ νμ π 0 e+ νe KS0 π+ KL0 π+ K− 2π+ KS0 π+ π0 K− 2π+ π0 KS0 2π+ π− π+ π 0 2π+ π− π+ 2π0 2π+ π− π0

I(J P ) = 1/2(2 +) K2*(1430) K2*(1430) ± mc2 1425,6 ± 1,5 МэВ Γ 98,5 ± 2,7 МэВ

Kπ K*(892) π K*(892) π π Kρ Kω K+ γ Kη

I(J P ) = 1/2(0 −) mc 1869,61 ± 0,10 МэВ τ (1040 ± 7)∙10 −15 с 2

D0

I(J P ) = 1/2(0 −) mc 1864,84 ± 0,07 МэВ τ (410,1 ± 1,5)∙10 −15 с 2

49,9 ± 1,2% 24,7 ± 1,5% 13,4 ± 2,2% 8,7 ± 0,8% 2,9 ± 0,8% (2,4 ± 0,5)∙10 −3 (1,5 −1,0+3,4)∙10 −3

K− e+ νe K− μ+ νμ K*(892)− e+ νe K*(892)− μ+ νμ K− π0 e+ νe K 0 π− e+ νe π − e+ νe π− μ+ νμ K− π+ KS0 π0 KL0 π0 KS0 π+ π− K− π+ π0 KS0 2π0 K− 2π+ π− KS0 π+ π− π0 K− 2π+ π− π0 π+ π − 2π0 π+ π − π0

I(J P ) = 1/2(1 −) mc2 1717 ± 27 МэВ Γ 322 ± 110 МэВ 38,7 ± 2,5% 31,4−2,1+5,0 % 29,9−5,0+2,2 % I(J P ) = 1/2(2 −) mc2 1773 ± 8 МэВ Γ 186 ± 14 МэВ преобладающий наблюдался наблюдался

253

3,55 ± 0,05% 3,31 ± 0,13% 2,16 ± 0,16% 1,91 ± 0,24% 1,6−0,5+1,3% 2,7−0,7+0,9% (2,89 ± 0,08)∙10 −3 (2,37 ± 0,24)∙10 −3 3,88 ± 0,05% 1,19 ± 0,04% (10,0 ± 0,7)∙10−3 2,83 ± 0,20% 13,9 ± 0,5% (9,1 ± 1,1)∙10 −3 8,08 −0,19+0,21% 5,2 ± 0,6% 4,2 ± 0,4% (1,402 ± 0,026)∙10 −3 (8,20 ± 0,35)∙10 −4 1,43 ± 0,06%

D*(2007)0

I(J P ) = 1/2(1 −) mc 2006,96 ± 0,10 МэВ Γ < 2,1 МэВ

Очарованные странные мезоны

2

D0 π0 D0 γ D*(2010)±

61,9 ± 2,9% 38,1 ± 2,9%

I(J P ) = 1/2(0 +) mc2 2318 ± 29 МэВ Γ 267 ± 40 МэВ наблюдался I(J P ) = 1/2(1 +) mc2 2421,4 ± 0,6 МэВ Γ 27,4 ± 2,5 МэВ

D*(2010)+ π− D0 π + π − D2*(2460)0

наблюдался наблюдался I(J P ) = 1/2(2 +) mc 2462,6 ± 0,6 МэВ Γ 49,0 ± 1,3 МэВ 2

D+ π − D*(2010)+ π− D2*(2460)±

D0 π + D*0 π+

e+ νe μ+ νμ τ+ ντ φ e + νe η e+ νe K+ KS0 K+ K− π+ K*(892)+ K 0 K+ K− π+ π0 KS0 K− 2π+ 2π+ π− π+ 2π0 η π+ 3π+ 2π− η ρ+ ω π+ π0 3π+ 2π− π0 η′(958) ρ+ KS0 π+ K+ η K+ π+ π− K0 π+ π0 KS0 2π+ π− pn

67,7 ± 0,5% 30,7 ± 0,5% 1,6 ± 0,4%

D+ π 0 D1(2420)0

Ds±

I(J P ) = 1/2(1 −) mc2 2010,26 ± 0,07 МэВ Γ 83,4 ± 1,8 кэВ

D0 π + D+ π 0 D+ γ D0*(2400)0

D s+= c s , D s−= c s

наблюдался наблюдался I(J P ) = 1/2(2 +) mc 2464,3 ± 1,6 МэВ Γ 37 ± 6 МэВ

Ds*±

2

наблюдался наблюдался

Ds+ γ Ds+ π0 Ds0*(2317)±

Ds+ π0 Ds1(2460)±

Ds*+ π0 Ds+ γ Ds+ π+ π − Ds*+ γ Ds*(2317)+ γ 254

I(J P ) = 0(0−) mc 1968,30 ± 0,11 МэВ τ (500 ± 7)∙10−15 с < 8,3∙10−5 (5,56 ± 0,25)∙10 −3 5,54 ± 0,24% 2,49 ± 0,14% 2,67 ± 0,29% 1,49 ± 0,06% 5,39 ± 0,21% 5,4 ± 1,2% 6,3 ± 0,7% 1,66 ± 0,11% 1,09 ± 0,05% (6,5 ± 1,3)∙10 −3 1,69 ± 0,10% (7,9 ± 0,8)∙10 −3 8,9 ± 0,8% 2,8 ± 0,7% 4,9 ± 3,2% 12,5 ± 2,2% (1,21 ± 0,06)∙10 −3 (1,76 ± 0,35)∙10 −3 (6,5 ± 0,4)∙10 −3 1,00 ± 0,18% (3,0 ± 1,1)∙10 −3 (1,3 ± 0,4)∙10 −3 2

I(J P ) = 0(??) mc2 2112,1 ± 0,4 МэВ Γ < 1,9 МэВ 94,2 ± 0,7% 5,8 ± 0,7% I(J P ) = 0(0+) mc2 2317,7 ± 0,6 МэВ Γ < 3,8 МэВ наблюдался I(J P ) = 0(1+) mc 2459,5 ± 0,6 МэВ Γ < 3,5 МэВ 48 ± 11% 18 ± 4% 4,3 ± 1,3% < 8% 3,7−2,4+5,0 % 2

Боттом мезоны

Странные боттом мезоны

B+= u b , B0= d b , B 0= d b , B−= ub

Bs0= s b , B s0= s b

B+

I(J P ) = 1/2(0 −) mc 5279,26 ± 0,17 МэВ τ (1,638 ± 0,004)∙10 −12 с

Bs0

2

l+ νl что-либо Ds*− K+ l+ νl D 0 π+ D0 ρ+ D 0 π+ π + π− D0 ω π + D− π + π + DsJ(2457)+ D *(2007)0 D *(2007)0 Ds*+ Ds(*)+ D **0 D *(2007)0 D*(2007)0 K+ ( D + D *)(D + D*) K ηc K*(892) + J/ψ(1S) K+  c− p π + π 0  c− p π + π + π − B0

+

B* Bγ B1(5721)0 B*+ π−

10,99 ± 0,28% (6,1 ± 1,0)∙10 −4 (4,81 ± 0,15)∙10 −3 1,34 ± 0,18% (5,7 ± 2,2)∙10 −3 (4,1 ± 0,9)∙10 −3 (1,07 ± 0,05)∙10 −3 1,20 ± 0,30% 1,71 ± 0,24% 2,7 ± 1,2% 1,12 ± 0,13%

Ds− что-либо l νl X Ds− l+ νl что-либо Ds− π+ Ds− ρ+ Ds− π+ π+ π− Ds+ Ds− Ds*− π+ Ds*− ρ+ Ds*+ Ds− + Ds*−Ds+ Ds*+ Ds*− Ds(*)+ Ds(*)− J/ψ(1S) φ

4,05 ± 0,30%

Bs*

(1,0 −0,4+0,5)∙10 −3 (1,027 ± 0,031)∙10−3 (1,8 ± 0,6)∙10 −3 (2,2 ± 0,7)∙10 −3

Bs γ Bs1(5830)0 B*+ K−

I(J P ) = 1/2(0 −) mc2 5279,58 ± 0,17 МэВ τ (1519 ± 5)∙10 −15 с

l νl что-либо K± что-либо D*(2010)− π+ π0 D*(2010)− π+ π+ π− π0 D*(2010)− Ds*+ D*(2010)− D*(2007)0 K+ ( D + D *)(D + D*) K

I(J P ) = 0(0−) mc 5366,77 ± 0,24 МэВ τ (1,512 ± 0,007)∙10 −12 с 2

Bs2*(5840)0 B+ K−

10,33 ± 0,28% 78 ± 8% 1,5 ± 0,5% 1,76 ± 0,27%

93 ± 25% 10,5 ± 0,8% 7,9 ± 2,4% (3,04 ± 0,23)∙10 −3 (7,0 ± 1,5)∙10 −3 (6,3 ± 1,1)∙10 −3 (4,4 ± 0,5)∙10 −3 (2,0 ± 0,5)∙10 −3 1,03 ± 0,26% 1,28 ± 0,23% 1,85 ± 0,30% 4,5 ± 1,4% (1,07± 0,09)∙10−3

I(J P ) = 0(1−) mc 5415,4−2,1+2,4 МэВ преобладающий 2

I(J P ) = 0(1+) mc2 5828,7 ± 0,4 МэВ преобладающий I(J P ) = 0(2+) mc 5839,96 ± 0,20 МэВ преобладающий 2

Очарованные боттом мезоны Bс+ = c b , Bс−= c b Bс+

1,77 ± 0,14% 1,06 ± 0,09%

I(J P ) = 0(0−) mc2 6276,6 ± 1,1 МэВ τ (45,2 ± 3,3)∙10−14 с

J/ψ(1S) l+ νl чтолибо J/ψ(1S) π+ J/ψ(1S) π+ π+ π− D*(2010)+ D 0

3,68 ± 0,26%

I(J P ) = 1/2(1 −) mc2 5325,2 ± 0,4 МэВ преобладающий I(J P ) = 1/2(1 +) mc2 5723,5 ± 2,0 МэВ преобладающий

255

(5,2−2,1+2,4)∙10−6 наблюдался наблюдался < 6,2∙10−3

c c мезоны ηc(1S)

I G(J P C ) = 0 +(0 − + ) mc2 2983,6 ± 0,7 МэВ Γ 32,2 ± 0,9 МэВ

η'(958) π π ρρ K*(892)0 K− π+ + c.c. K*(892) K *(892) K*0 K *0 π+ π− φ K+ K− φφ f2(1270) f2(1270) f2(1270) f2'(1525) KK π η π+ π− K+ K− π+ π− K+ K− π+ π− π0 K+ K− 2(π+ π−) 2(K+ K−) 2(π+ π−) 3(π+ π−) pp

4,1 ± 1,7% 1,8 ± 0,5% 2,0 ± 0,7% (7,0 ± 1,3)∙10 −3 1,1 ± 0,5% (2,9 ± 1,4)∙10 −3 (1,76 ± 0,20)∙10 −3 (9,8 ± 2,5)∙10 −3 (9,7 ± 3,2)∙10 −3 7,3 ± 0,5% 1,7 ± 0,5% (6,9 ± 1,1)∙10 −3 3,5 ± 0,6% (7,5 ± 2,4)∙10 −3 (1,47 ± 0,31)∙10 −3 (9,7 ± 1,2)∙10 −3 1,8 ± 0,4% (1,52 ± 0,16)∙10 −3

Λ

(10,9 ± 2,4)∙10−4

ηc(2S)

I G(J P C ) = 0 +(0 − + ) mc 3639,4 ± 1,3 МэВ Γ 11,3 −2,9+3,2 МэВ 2

1,9 ± 1,2% 1,4 ± 1,0% (1,9 ± 1,3)∙10 −4

KK π K+ K− π+ π− π0 γγ

J/ψ(1S)

I G(J P C ) = 0 −(1 − − ) mc2 3096,916 ± 0,011 МэВ Γ 92,9 ± 2,8 кэВ

e+ e− μ+ μ− ggg γgg ρπ a2(1320) ρ ω π+ π+ π− π− ω π+ π− π0 ω π+ π− K*(892)± K *(892)  K*(892)± K *(800)  η K*(892)0 K *(892)0 ω K*(892)± K +c.c.

5,971 ± 0,032% 5,961 ± 0,033% 64,1 ± 1,0% 8,8 ± 1,1% 1,69 ± 0,15% 1,09 ± 0,22% (8,5 ± 3,4)∙10 −3 (4,0 ± 0,7)∙10 −3 (8,6 ± 0,7)∙10 −3 (1,00−0,40+0,22)∙10−3 (1,1 −0,6+1,0)∙10 −3 (1,15 ± 0,26)∙10−3 (6,1 ± 0,9)∙10 −3 256

K+ K *(892)−+c.c. K0 K *(892)0+c.c. K1(1400)± K  ω π0 π 0 b1(1235)± π  ω K± KS0 π  b1(1235)0 π0 η K± KS0 π  φ K*(892) K +c.c. ω KK φ 2(π+ π−) Δ(1232)++ p π− ωη φ KK Ξ0  0 2(π+ π−) π0 3(π+ π−) π0 π+ π − π0 π+ π− π0 K+ K− 4(π+ π−) π0 π+ π− K+ K− π+ π− K+ K− η π0 π0 K+ K− K K π 2(π+ π−) 3(π+ π−) 2(π+ π− π0) 2 (π+ π−) η pp

(5,12 ± 0,30)∙10−3 (4,39 ± 0,31)∙10−3 (3,8 ± 1,4)∙10 −3 (3,4 ± 0,8)∙10 −3 (3,0 ± 0,5)∙10 −3 (3,4 ± 0,5)∙10 −3 (2,3 ± 0,6)∙10 −3 (2,2 ± 0,4)∙10 −3 (2,18 ± 0,23)∙10 −3 (1,7 ± 0,32)∙10−3 (1,66 ± 0,23)∙10 −3 (1,6 ± 0,5)∙10 −3 (1,74 ± 0,20)∙10 −3 (1,83 ± 0,24)∙10 −3 (1,20 ± 0,24)∙10 −3 4,1 ± 0,5% 2,9 ± 0,6% 2,11 ± 0,07% 1,79 ± 0,29% (9,0 ± 3,0)∙10 −3 (6,6 ± 0,5)∙10 −3 (1,84 ± 0,28)∙10 −3 (2,45 ± 0,31)∙10 −3 (6,1 ± 1,0)∙10 −3 (3,57 ± 0,30)∙10 −3 (4,3 ± 0,4)∙10 −3 1,62 ± 0,21% (2,29 ± 0,24)∙10 −3 (2,120 ± 0,029)∙10 −3

p p π0

(1,19 ± 0,08)∙10 −3

p p π + π−

(6,0 ± 0,5)∙10 −3

n n n n π+ π− Σ+  − Σ0  0 2(π+ π−) K+ K− p n π− Λ γ π+ π− 2π0 γηππ γρρ γ η'(958) γ 2π+ 2π− γ K+ K− π+ π−

(2,09 ± 0,16)∙10 −3 (4 ± 4)∙10−3 (1,50 ± 0,24)∙10 −3 (1,29 ± 0,09)∙10 −3 (4,7 ± 0,7)∙10 −3 (2,12 ± 0,09)∙10 −3 (1,61 ± 0,15)∙10 −3 (8,3 ± 3,1)∙10 −3 (6,1 ± 1,0)∙10 −3 (4,5 ± 0,8)∙10 −3 (5,15 ± 0,16)∙10 −3 (2,8 ± 0,5)∙10 −3 (2,1 ± 0,6)∙10 −3

ψ(2S)

I G(J P C ) = 0 −(1 − − ) mc2 3686,109−0,014+0,012 МэВ Γ 299 ± 8 кэВ

e+ e− μ+ μ− τ+ τ− ggg γgg J/ψ(1S) π+ π− J/ψ(1S) π0 π0 J/ψ(1S) η J/ψ(1S) π0 3(π+ π−) π0 2(π+ π−) π0 2(π+ π− π0) 2(π+ π−) η K+ K− π+ π− η K+ K− 2(π+ π−) π0 K+ K− 2(π+ π−) K1(1270)± K  K+ K− π+ π− π0 γ χc0(1P) γ χc1(1P) γ χc2(1P) γ ηc(1S)

ψ(3770)

D0 D 0 D+ D − J/ψ π+ π−

ψ(4040)

e+ e− D0 D 0 D+ D − D* D * Ds+ Ds− J/ψ π+ π− J/ψ π0 π0 χc1 γ χc2 γ χc1 π+ π− π0 χc2 π+ π− π0

χc0(1P)

(7,89 ± 0,17)∙10 −3 (7,9 ± 0,9)∙10 −3 (3,1 ± 0,4)∙10 −3 10,6 ± 1,6% 1,03 ± 0,29% 34,45 ± 0,30% 18,13 ± 0,31% 3,36 ± 0,05% (1,268 ± 0,032)∙10 −3 (3,5 ± 1,6)∙10 −3 (2,9 ± 1,0)∙10 −3 (4,7 ± 1,5)∙10−3 (1,2 ± 0,6)∙10−3 (1,3 ± 0,7)∙10−3 (1,00 ± 0,31)∙10−3 (1,9 ± 0,9)∙10−3 (1,00 ± 0,28)∙10−3 (1,26 ± 0,09)∙10−3 9,99 ± 0,27% 9,55 ± 0,31% 9,11 ± 0,31% (3,4 ± 0,5)∙10−3

I G(J P C ) = 0+(0 + + ) mc2 3414,75 ± 0,31 МэВ Γ 10,5 ± 0,6 МэВ

2(π+ π−) π+ π − π0 π 0 4π0 π+ π− K+ K− K+ K− π+ π− π0 K+ K− π0 π0 K+ π− K0 π0 + c.c. 3(π+ π−) γ J/ψ(1S)

χc1(1P)

I G(J P C ) = 0+(1 + + ) mc2 3510,66 ± 0,07 МэВ Γ 0,84 ± 0,04 МэВ (5,8 ± 1,4)∙10−3 (7,6 ± 2,6)∙10−3 1,22 ± 0,16% (4,5 ± 1,0)∙10−3 (1,14 ± 0,28)∙10−3 33,9 ± 1,2%

3(π+ π−) 2(π+ π−) π+ π − π0 π 0 π+ π− K+ K− K+ K− π0 π0 γ J/ψ(1S)

χc2(1P)

I G(J P C ) = 0 −(1 − − ) mc2 3773,15 ± 0,33 МэВ Γ 27,2 ± 1,0 МэВ 52 ± 5% 41 ± 4% (1,93 ± 0,28)∙10−3 I G(J P C ) = 0 −(1 − − ) mc2 4039 ± 1 МэВ Γ 80 ± 10 МэВ (1,07 ± 0,16)∙10−5 наблюдался наблюдался наблюдался наблюдался < 4∙10 −3 < 2∙10 −3 < 1,1 % < 1,7 % < 1,1 % < 3,2 %

I G(J P C ) = 0+(2 + + ) mc2 3556,20 ± 0,09 МэВ Γ 1,93 ± 0,11 МэВ

2(π+ π−) π+ π − π0 π 0 4π0 K+ K− π0 π0 K+ π− K0 π0 + c.c. π+ π− K+ K− K+ K− π+ π− π0 3(π+ π−) ππ ρ0 π+ π− p p π+ π −

1,07 ± 0,10% 1,92 ± 0,25% (1,16 ± 0,16)∙10−3 (2,2 ± 0,4)∙10−3 1,44 ± 0,21% (8,8 ± 1,0)∙10−3 1,23 ± 0,34% (8,6 ± 1,8)∙10−3 (2,33 ± 0,12)∙10−3 (3,8 ± 1,6)∙10−3 (1,32 ± 0,34)∙10−3

p n π− γ J/ψ(1S)

(0,89 ± 0,10)∙10−3 19,2 ± 0,7%

χc2(2P)

γγ D+ D− D0 D 0

257

2,24 ± 0,18% 3,3 ± 0,4% (3,2 ± 0,4)∙10−3 1,75 ± 0,14% 1,11 ± 0,26% (5,4 ± 0,9)∙10−3 2,44 ± 0,33% 1,20 ± 0,18% 1,27 ± 0,06%

I G(J P C ) = 0+(2 + + ) mc2 3927,2 ± 2,6 МэВ Γ 24 ± 6 МэВ наблюдался наблюдался наблюдался

 (1S)

χb2(1P)

I G(J P C ) = 0 −(1− − ) mc2 9460,30 ± 0,26 МэВ Γ 54,02 ± 1,25 кэВ

γ  (1S) D0 X π+ π− K+ K− π0 2π+ π− K− KS0 2π0 2π+ 2π− 2π0 2π+ 2π− K+ K− 2π+ 2π− K+ K− π0 2π+ 2π− K+ K− 2π0 3π+ 3π− 3π+ 3π− 2π0

τ+ τ− e+ e− μ+ μ− ggg γgg η'(958) что-либо J/ψ(1S) что-либо D*(2010)± что-либо γ π+ π − γ π0 π0 γ K+ K−

 (2S)

2,60 ± 0,10% 2,38 ± 0,11% 2,48 ± 0,05% 81,7 ± 0,7% 2,2 ± 0,6% 2,94 ± 0,24% (6,5 ± 0,7)∙10 −4 2,52 ± 0,20% (6,3 ± 1,8)∙10−5 (1,7 ± 0,7)∙10−5 (1,14 ± 0,13)∙10−5

17,85 ± 0,26% 8,6 ± 0,4% 2,00 ± 0,21% 1,93 ± 0,17% 1,91 ± 0,16% < 6∙10 −3 58,8 ± 1,2% 8,8 ± 1,1% 6,9 ± 0,4% 7,15 ± 0,35% 3,8 ± 0,4% (3,9 ± 1,5)∙10−4 G

γ  (1S) D0 X 2π+ 2π− K+ K− χb1(1P) γ  (1S) D0 X π+ π− K+ K− π0 2π+ π− K− KS0 2π+ 2π− 2π0

PC

−

2

χb1(2P)

I G(J P C ) = 0+(0 + + ) mc 10232,5 ± 0,4 ± 0,5 МэВ

I (J ) = 0 (2 ) mc2 10163,7 ± 1,4 МэВ наблюдался (6,6 ± 1,6)∙10−3 I G(J P C ) = 0 +(0 + + ) mc 9859,44 ± 0,42 ± 0,31 МэВ 2

1,76 ± 0,35% < 10,4% (1,1 ± 0,6)∙10−4

χb2(2P)

I G(J P C ) = 0 +(1 + + ) mc2 9892,78 ± 0,26 ± 0,31 МэВ

ω  (1S) γ  (2S) γ  (1S) π π χb1(1P) D0 X 2π+ 2π− 2π0

33,9 ± 2,2% 12,6 ± 2,2% (2,0 ± 0,6)∙10−4 (1,3 ± 0,5)∙10−4 (8,0 ± 2,5)∙10−4 258

4,6 ± 2,1% (9 ± 6)∙10 −3 < 8,2% < 2,2∙10−4 < 2,4∙10−4 < 1,5∙10−4 < 2,2∙10−4 < 1,1∙10−3 < 7∙10−4 < 1,2∙10−3 < 1,5∙10−4 < 7∙10−4 < 1,7∙10−4 < 6∙10−4

I G(J P C ) = 0+(1 + + ) mc 10255,46 ± 0,22 ± 0,50 МэВ 2

1,63 −0,34+0,40 % 19,9 ± 1,9% 9,2 ± 0,8% (9,1 ± 1,3)∙10−3 8,8 ± 1,7% (3,1 ± 1,0)∙10−4 (1,1 ± 0,5)∙10−4 (7,7 ± 3,2)∙10−4 (5,9 ± 2,0)∙10−4 (1,2 ± 0,4)∙10−4

ω  (1S) γ  (2S) γ  (1S) π π χb1(1P) D0 X π+ π− K+ K− π0 2π+ π− K− KS0 2π+ π− K− KS0 2π0 2π+ 2π− 2π0 3π+ 3π−

−−

19,1 ± 1,2% < 7,9% (8 ± 5)∙10 −5 (5,3 ± 2,4)∙10−4 (3,5 ± 1,4)∙10−4 (1,1 ± 0,4)∙10−4 (2,1 ± 0,9)∙10−4 (3,9 ± 1,8)∙10−4 (7,0 ± 3,1)∙10−5 (1,0 ± 0,4)∙10−3

2

γ  (2S) γ  (1S) D0 X 2π+ π− K− KS0 2π0 2π+ 2π− 2π0 2π+ 2π− K+ K− 2π+ 2π− K+ K− π0 2π+ 2π− K+ K− 2π0 3π+ 2π− K− KS0 π0 3π+ 3π− 2π0 3π+ 3π− K+ K− 3π+ 3π− K+ K− π0 4π+ 4π− 4π+ 4π− 2π0

I G(J P C ) = 0 −(1− − ) mc 10,02326 ± 0,00031 ГэВ Γ 31,98 ± 2,63 кэВ

γ γ  (1S) π+ π−  (1S) χb0(1P)

χb0(2P)

2

 (1S) π+ π−  (1S) π0 π0 τ+ τ− μ+ μ− e+ e− J/ψ(1S) что-либо ggg γgg γ χb1(1P) γ χb2(1P) γ χb0(1P) γ ηb(1S)  (1D)

I G(J P C ) = 0+(2 + + ) mc 9912,21 ± 0,26 ± 0,31 МэВ

b b мезоны

I G(J P C ) = 0+(2 + + ) mc 10268,65 ± 0,22 ± 0,50 МэВ 2

1,10 −0,30+0,34 % 10,6 ± 2,6% 7,0 ± 0,7% (5,1 ± 0,9)∙10−3 < 2,4% (3,9 ± 1,6)∙10−4

N(1650)+ uud N(1650)0 udd

БАРИОНЫ Нуклоны

Nπ Nη ΛK Nππ Δπ Nρ pγ nγ

I( J P ) = 1/2( 1/2 + ) p u ud 2 mc 938,272046 ± 0,000021 МэВ τ > 2,1∙10 29 лет независимо от моды распада τ > 10 31 ÷ 10 33 лет зависит от моды распада n mc

2

p e−  e

I( J P ) = 1/2( 1/2 + ) u dd 939,565379 ± 0,000021 МэВ τ = 880,3 ± 1,1 с 100%

N(1675)+ uud N(1675)0 udd

Nπ Nππ Δπ Nρ pγ nγ +

N(1520) u ud N(1520)0 u dd

Nπ Nππ Δπ Nρ pγ nγ N(1535)+ u ud N(1535)0 u dd

Nπ Nη Nππ Δπ Nρ pγ nγ

P

Nπ Nη ΛK Nππ Δπ Nρ pγ nγ

+

I( J ) = 1/2( 1/2 ) mc2 ≈ 1430 МэВ Γ ≈ 350 МэВ 55 − 75% 30 − 40% 20 − 30% < 8% 0,035 − 0,048% 0,02 − 0,04%

N(1680)+ uud N(1680)0 udd

I( J P ) = 1/2( 3/2 − )

I( J P ) = 1/2( 5/2 − )

I( J P ) = 1/2( 5/2 + ) mc2 ≈ 1685 МэВ Γ ≈ 130 МэВ 65 − 70% 0,0 ± 1,0 % 30 − 40% 5 − 15% 3 − 15% 0,21 − 0,32% 0,021 − 0,046%

Nπ Nη Nππ Δπ Nρ pγ nγ

mc2 ≈ 1515 МэВ Γ ≈ 115 МэВ 55 − 65% 20 − 30% 15 − 25% 15 − 25% 0,31 − 0,52% 0,30 − 0,53%

mc2 ≈ 1655 МэВ Γ ≈ 150 МэВ 50 − 90% 5 − 15% 3−11% 10 − 20% 0 − 25% 4 − 12% 0,04 − 0,20% 0,003 − 0,17%

mc2 ≈ 1675 МэВ Γ ≈ 150 МэВ 35 − 45% (0,0 ± 1,0) % < 1% 50 − 60% 50 − 60% < 1 − 3% 0 − 0,02% 0 − 0,15%

Нуклонные резонансы N(1440)+ u ud N(1440)0 u dd

I( J P ) = 1/2( 1/2 − )

Δ резонансы

I( J P ) = 1/2( 1/2 − ) Δ(1232)++ Δ(1232)+ Δ(1232)0 Δ(1232)−

mc2 ≈ 1535 МэВ Γ ≈ 150 МэВ 35 − 55% 42 ± 10 % 1 − 10% < 1% < 4% 0,15 − 0,30% 0,01 − 0,25%

Nπ Nγ

259

uuu uud udd ddd

I( J P ) = 3/2( 3/2 + ) mc2 ≈ 1232 МэВ Γ ≈ 117 МэВ 100 % 0,55 − 0,65%

Δ(1600)++ Δ(1600)+ Δ(1600)0 Δ(1600)−

u uu u ud u dd ddd

Λ(1520) I( J P ) = 3/2( 3/2 + )

u uu u ud u dd ddd

N K Σπ Λππ Σππ Λγ Λ(1600)

N K Σπ Λ(1670)

−

I( J ) = 3/2( 1/2 )

u uu u ud u dd ddd

P

N K Σπ Λη Λ(1690)

N K Σπ Λππ Σππ

−

I( J ) = 3/2( 3/2 ) mc2 ≈ 1700 МэВ Γ ≈ 300 МэВ 10 − 20% 80 − 90% 30 − 60% 30 − 55% (5,0 ± 2,0) % 0,22 − 0,60%

Nπ Nππ Δπ Nρ Δ(1232) η Nγ

Σ барионы Σ+

u ds

p π− n π0 nγ Λ(1405)

u ds

I( J P ) = 0( 1/2 + ) mc2 1115,683 ± 0,006 МэВ τ (2,632 ± 0,020)∙10−10 с 63,9 ± 0,5% 35,8 ± 0,5% (1,75 ± 0,15)∙10−3

Σ0 Λγ Λγγ Λ e+ e−

I( J P ) = 0( 1/2 − ) mc 1405,1−1,0+1,3 МэВ Γ 50 ± 2 МэВ 100% 2

Σπ

uus

260

I( J P ) = 1( 1/2 + ) mc2 1189,37 ± 0,07 МэВ τ (8,018 ± 0,026)∙10 −11 с 51,57 ± 0,30% 48,31 ± 0,30% (1,23 ± 0,05)∙10 −3 (4,5 ± 0,5)∙10 −4 (2,0 ± 0,5)∙10 −5

p π0 n π+ pγ n π+ γ Λ e+ νe

Λ барионы Λ0

I( J P ) = 0( 1/2 + ) mc ≈ 1600 МэВ Γ ≈ 150 МэВ 15−30% 10−60% uds I( J P ) = 0( 1/2 − ) mc2 ≈ 1670 МэВ Γ ≈ 35 МэВ 15−30% 10−60% 10−25% uds I( J P ) = 0( 3/2 − ) mc2 ≈ 1690 МэВ Γ ≈ 60 МэВ 20−30% 20−40% ~ 25% ~ 20% uds

2

mc2 ≈ 1630 МэВ Γ ≈ 140 МэВ 20 − 30% 70 − 80% 30 − 60% 7 − 25% 0,03 − 0,10%

Nπ Nππ Δπ Nρ Nγ Δ(1700)++ Δ(1700)+ Δ(1700)0 Δ(1700)−

P

I( J P ) = 0( 3/2 − ) mc 1519,5 ± 1,0 МэВ Γ 15,6 ± 1,0 МэВ 45 ± 1% 42 ± 1% 10 ± 1% 0,9 ± 0,1% 0,85 ± 0,15% 2

mc2 ≈ 1600 МэВ Γ ≈ 320 МэВ 10 − 25% Nπ 75 − 90% Nππ 40 − 70% Δπ < 25% Nρ 10 − 35% N(1440) π 0,001 − 0,035% Nγ Δ(1620)++ Δ(1620)+ Δ(1620)0 Δ(1620)−

uds

uds

I( J P ) = 1( 1/2 + ) mc2 1192,642 ± 0,024 МэВ τ (74 ± 7)∙10 −21 с 100% < 3% 5∙10 −3

Σ−

dds

n π− n π− γ n e−  e

I( J P ) = 1( 1/2 + ) mc2 1197,449 ± 0,030 МэВ τ (1,479 ± 0,011)∙10−10 с 99,848 ± 0,005% (4,6 ± 0,6)∙10−4 (1,017 ± 0,034)∙10−3

n μ−  

(4,5 ± 0,5)∙10

Λ e−  e

(5,73 ± 0,27)∙10−5

Ξ барионы Ξ0

uss

I( J P ) = 1/2( 1/2 + ) mc2 1314,86 ± 0,20 МэВ τ (2,90 ± 0,09)∙10 −10 с 99,524 ± 0,012% (1,17 ± 0,07)∙10 −3 (7,6 ± 0,6)∙10 −6 (3,33 ± 0,10)∙10 −3 (2,52 ± 0,08)∙10 −4 (2,33± 0,35)∙10−6

dss

I( J P ) = 1/2( 1/2 + ) mc 1321,71 ± 0,07 МэВ τ (1,639 ± 0,015)∙10 −10 с 99,887 ± 0,035% (1,27 ± 0,23)∙10 −4 (5,63 ± 0,31)∙10 −4

Λ π0 Λγ Λ e− e+ 0 Σ γ Σ + e− νe Σ + μ− νμ

−4

Σ(1385)+ u us I( J P ) = 1( 3/2 + ) Σ(1385)0 u ds − Σ(1385) dds Σ(1385)+ mc2 1382,80 ± 0,35 МэВ

Ξ−

2

Γ 36,0 ± 0,7 МэВ

Σ(1385)0 mc2 1383,7 ± 1,0 МэВ

Λ π− Σ− γ Λ e−  e

Γ 36 ± 5 МэВ

Σ(1385)− mc2 1387,2 ± 0,5 МэВ Γ 39,4 ± 2,1 МэВ 87,0 ± 1,5% 11,7 ± 1,5% 1,25−0,12+0,13%

Λπ Σπ Λγ

N K Λπ Σπ

Σ(1670)+ u us Σ(1670)0 u ds Σ(1670)− dds

N K Λπ Σπ

(3,5−2,2+3,5)∙10−6

Σ 0 e−  e

(8,7 ± 1,7)∙10 −5

Ξ(1530)0 uss I( J P ) = 1/2( 3/2 + ) Ξ(1530)− dss Ξ(1530)0 mc2 1531,80 ± 0,32 МэВ Γ 9,1 ± 0,5 МэВ Ξ(1530)− mc2 1535,0 ± 0,6 МэВ Γ 9,9−1,9+1,7 МэВ 100% Ξπ 3.0E+21 л (1.02 ± 0.07)E+5 л 0.647 ± 0.023 % 0.135 ± 0.010 % 2.09 ± 0.11 % 162.61 ± 0.09 дн 0.004 ± 0.003 % > 0.28E+16 л 4.536 ± 0.003 дн 0.187 ± 0.021 % > 5.8E+22 л 8.718 ± 0.006 м 13.9 ± 0.6 с

Моды распада β− 100% β− 100% e 100% e 100% β− 98.10%, e 1.90% β− 100% β− 100% e 100% e 100% e 100% β− 100% β− 100% β− 100% e 100% e 100% β− 89.28%, e 10.72% β− 100% β− 100% e 100% e 100% 2e e 100%

β− 100% 2β− β− 100% 2β− 75% β− 100% β− 100%

XX-A-m Sc-41 Sc-42 Sc-43 Sc-44 Sc-45 Sc-46 Sc-47 Ti-44 Ti-45 Ti-46 Ti-47 Ti-48 Ti-49 Ti-50 Ti-51 Ti-52 V-47 V-48 V-49 V-50 V-51 V-52 V-53 Cr-48 Cr-49 Cr-50 Cr-51 Cr-52 Cr-53 Cr-54 Cr-55 Cr-56 Mn-52 Mn-53 Mn-54 Mn-55 Mn-56 Mn-57 Fe-52

Z = 21 7/2 − 0+ 7/2 − 2+ 7/2 − 4+ 7/2 − Z = 22 0+ 7/2 − 0+ 5/2 − 0+ 7/2 − 0+ 3/2 − 0+ Z = 23 3/2 − 4+ 7/2 − 6+

скандий 8369.198 ± 0.002 8444.933 ± 0.004 8530.825 ± 0.043 8557.379 ± 0.040 8618.915 ± 0.016 8621.996 ± 0.016 8665.069 ± 0.042 титан 8533.520 ± 0.016 8555.706 ± 0.020 8656.434 ± 0.007 8661.206 ± 0.008 8722.986 ± 0.007 8711.137 ± 0.007 8755.698 ± 0.007 8708.969 ± 0.012 8691.648 ± 0.136 ванадий 8582.207 ± 0.007 8623.042 ± 0.021 8682.888 ± 0.018 8695.915 ± 0.018

7/2 − 3+ 7/2 − Z = 24 0+ 5/2 − 0+

8742.096 ± 0.017 8714.579 ± 0.017 8710.110 ± 0.059 хром 8572.262 ± 0.153 8613.284 ± 0.048 8701.025 ± 0.018

7/2 − 0+ 3/2 − 0+ 3/2 − 0+ Z = 25 6+ 7/2 − 3+

8711.998 ± 0.017 8775.967 ± 0.011 8760.177 ± 0.011 8777.935 ± 0.011 8731.905 ± 0.011 8723.191 ± 0.033 марганец 8670.321 ± 0.037 8734.155 ± 0.012 8737.944 ± 0.021

T1/2, Г, распространённость scandium 596.3 ± 1.7 мс 681.3 ± 0.7 мс 3.891 ± 0.012 ч 3.97 ± 0.04 ч 100 % 83.79 ± 0.04 дн 3.3492 ± 0.0006 дн titanium 60.0 ± 1.1 л 184.8 ± 0.5 м 8.25 ± 0.03 % 7.44 ± 0.02 % 73.72 ± 0.03 % 5.41 ± 0.02 % 5.18 ± 0.02 % 5.76 ± 0.01 м 1.7 ± 0.1 м vanadium 32.6 ± 0.3 м 15.9735 ± 0.0025 дн 330 ± 15 дн 0.250 ± 0.002 % > 2.1E+17 л 99.750 ± 0.002 % 3.743 ± 0.005 м 1.543 ± 0.014 м chromium 21.56 ± 0.03 ч 42.3 ± 0.1 м 4.345 ± 0.013 % > 1.3E+18 л 27.7025 ± 0.0024 дн 83.789 ± 0.018 % 9.501 ± 0.017 % 2.365 ± 0.007 % 3.497 ± 0.003 м 5.94 ± 0.10 м manganese 5.591 ± 0.003 дн (3.74 ± 0.04)E+6 л 312.12 ± 0.06 дн

5/2 − 3+ 5/2 − Z = 26 0+

8765.009 ± 0.008 8738.320 ± 0.008 8736.711 ± 0.026 железо 8609.611 ± 0.126

100% 2.5789 ± 0.0001 ч 85.4 ± 1.8 с iron 8.275 ± 0.008 ч

JP

ε, кэВ

270

Моды распада e 100% e 100% e 100% e 100% β− 100% β− 100% e 100% e 100%

β− 100% β− 100% e 100% e 100% e 100% e > 92.9%, β− < 7.1% β− 100% β− 100% e 100% e 100% 2e

β− 100% β− 100% e 100% e 100% e 100%, β− < 2.9E−4% β− 100% β− 100% e 100%

XX-A-m

JP

ε, кэВ

Zn-62 Zn-63 Zn-64

7/2 − 0+ 3/2 − 0+ 1/2 − 0+ 3/2 − 0+ Z = 27 6+ 7/2 − 4+ 7/2 − 2+ 7/2 − 5+ 7/2 − 2+ Z = 28 0+ 7/2 − 0+ 3/2 − 0+ 3/2 − 0+ 3/2 − 0+ 1/2 − 0+ 5/2 − 0+ Z = 29 2+ 3/2 − 1+ 3/2 − 1+ 3/2 − 1+ 3/2 − Z = 30 0+ 3/2 − 0+

8648.784 ± 0.032 8736.370 ± 0.009 8746.583 ± 0.009 8790.342 ± 0.008 8770.267 ± 0.008 8792.239 ± 0.008 8754.760 ± 0.009 8755.840 ± 0.057 кобальт 8569.205 ± 0.009 8669.606 ± 0.010 8694.825 ± 0.010 8741.871 ± 0.011 8738.959 ± 0.021 8768.025 ± 0.009 8746.757 ± 0.009 8756.141 ± 0.015 8721.325 ± 0.300 никель 8392.006 ± 0.926 8497.308 ± 0.014 8642.767 ± 0.010 8670.923 ± 0.012 8732.049 ± 0.008 8736.578 ± 0.008 8780.764 ± 0.008 8765.016 ± 0.008 8794.546 ± 0.008 8763.486 ± 0.008 8777.454 ± 0.009 8736.233 ± 0.009 8739.508 ± 0.021 медь 8665.592 ± 0.027 8715.510 ± 0.016 8718.074 ± 0.011 8752.131 ± 0.008 8739.068 ± 0.008 8757.093 ± 0.010 8731.469 ± 0.010 8737.447 ± 0.018 цинк 8679.335 ± 0.011 8686.281 ± 0.025 8735.901 ± 0.010

Zn-65 Zn-66

5/2 − 0+

8724.262 ± 0.010 8759.630 ± 0.013

Fe-53 Fe-54 Fe-55 Fe-56 Fe-57 Fe-58 Fe-59 Fe-60 Co-54 Co-55 Co-56 Co-57 Co-58 Co-59 Co-60 Co-61 Co-62 Ni-54 Ni-55 Ni-56 Ni-57 Ni-58 Ni-59 Ni-60 Ni-61 Ni-62 Ni-63 Ni-64 Ni-65 Ni-66 Cu-60 Cu-61 Cu-62 Cu-63 Cu-64 Cu-65 Cu-66 Cu-67

271

T1/2, Г, распространённость 8.51 ± 0.02 м 5.845 ± 0.035 % 2.744 ± 0.009 л 91.754 ± 0.036 % 2.119 ± 0.010 % 0.282 ± 0.004 % 44.495 ± 0.009 дн (2.62 ± 0.04)E+6 л cobalt 193.28 ± 0.07 мс 17.53 ± 0.03 ч 77.236 ± 0.026 дн 271.74 ± 0.06 дн 70.86 ± 0.06 дн 100% 1925.28 ± 0.14 дн 1.650 ± 0.005 ч 1.50 ± 0.04 м nickel 104 ± 7 мс 204.7 ± 3.7 мс 6.075 ± 0.010 дн 35.60 ± 0.06 ч 68.077 ± 0.009 % 76000 ± 5000 л 26.223 ± 0.008 % 1.1399 ± 0.0013% 3.6346 ± 0.0040% 101.2 ± 1.5 л 0.9255 ± 0.0019% 2.5175 ± 0.0005 ч 54.6 ± 0.3 ч copper 23.7 ± 0.4 м 3.333 ± 0.005 ч 9.673 ± 0.008 м 69.15 ± 0.15% 12.701 ± 0.002 ч 30.85 ± 0.15% 5.120 ± 0.014 м 61.83 ± 0.12 ч zinc 9.186 ± 0.013 ч 38.47 ± 0.05 м 49.17 ± 0.75 % ≥ 7.0E+20 л 243.93 ± 0.09 дн 27.73 ± 0.98 %

Моды распада e 100% e 100%

β− 100% β− 100% e 100% e 100% e 100% e 100% e 100% β− 100% β− 100% β− 100% e 100% e 100% e 100% e 100% e 100%

β− 100% β− 100% β− 100% e 100% e 100% e 100% β− 38.5%, e 61.5% β− 100% β− 100% e 100% e 100% 2e e 100%

XX-A-m

JP

ε, кэВ

Zn-67 Zn-68 Zn-69 Zn-70

5/2 − 0+ 1/2 − 0+

8734.148 ± 0.013 8755.677 ± 0.013 8722.726 ± 0.013 8729.807 ± 0.027

Zn-71 Zn-72

1/2 − 0+ Z = 31 3/2 − 1+ 3/2 − 1+ 3/2 − 3− 3/2 − Z = 32 0+ 5/2 − 0+ 1/2 − 0+ 9/2 + 0+ 1/2 − 0+ 7/2 + 0+ Z = 33 3/2 − 2− 3/2 − 2− 3/2 − Z = 34 0+ 9/2 + 0+ 5/2 + 0+ 1/2 − 0+ 7/2 + 0+ 1/2 − 0+ 7/2 + 0+

8689.041 ± 0.037 8691.804 ± 0.030 галлий 8707.528 ± 0.018 8701.214 ± 0.022 8724.579 ± 0.017 8709.280 ± 0.017 8717.604 ± 0.011 8687.088 ± 0.011 8693.873 ± 0.023 германий 8688.136 ± 0.028 8680.963 ± 0.019 8721.699 ± 0.012 8703.308 ± 0.012 8731.745 ± 0.001 8705.049 ± 0.001 8725.200 * 8695.609 ± 0.001 8705.236 * 8671.028 ± 0.001 8671.663 ± 0.045 мышьяк 8689.609 ± 0.053 8680.001 ± 0.023 8700.874 ± 0.012 8682.816 ± 0.012 8695.978 ± 0.022 селен 8644.489 ± 0.027 8641.558 ± 0.102 8687.715 * 8678.913 ± 0.001 8711.477 * 8694.690 ± 0.001 8717.806 ± 0.002 8695.591 ± 0.003 8710.813 ± 0.016 8685.999 ± 0.016 8693.197 ± 0.017 8658.556 ± 0.040 8658.793 ± 0.023

Ga-67 Ga-68 Ga-69 Ga-70 Ga-71 Ga-72 Ga-73 Ge-68 Ge-69 Ge-70 Ge-71 Ge-72 Ge-73 Ge-74 Ge-75 Ge-76 Ge-77 Ge-78 As-73 As-74 As-75 As-76 As-77 Se-72 Se-73 Se-74 Se-75 Se-76 Se-77 Se-78 Se-79 Se-80 Se-81 Se-82 Se-83 Se-84

272

T1/2, Г, распространённость 4.04 ± 0.16 % 18.45 ± 0.63 % 56.4 ± 0.9 м 0.61 ± 0.10 % ≥ 2.3E+17 л 2.45 ± 0.10 м 46.5 ± 0.1 ч gallium 3.2617 ± 0.0005 дн 61.71 ± 0.09 м 60.108 ± 0.009 % 21.14 ± 0.03 м 39.892 ± 0.009 % 14.10 ± 0.02 ч 4.86 ± 0.03 ч germanium 270.95 ± 0.16 дн 39.05 ± 0.10 ч 20.57 ± 0.27 % 11.43 ± 0.03 дн 27.45 ± 0.32 % 7.75 ± 0.12 % 36.50 ± 0.20 % 82.78 ± 0.04 м 7.73 ± 0.12 % 11.30 ± 0.01 ч 88.0 ± 1.0 м arsenic 80.30 ± 0.06 дн 17.77 ± 0.02 дн 100% 1.0942 ± 0.0007 дн 38.83 ± 0.05 ч selenium 8.40 ± 0.08 дн 7.15 ± 0.08 ч 0.89 ± 0.04 % 119.79 ± 0.04 дн 9.37 ± 0.29 % 7.63 ± 0.16 % 23.77 ± 0.28 % 295000 ± 38000 л 49.61 ± 0.41 % 18.45 ± 0.12 м 8.73 ± 0.22 % 22.3 ± 0.3 м 3.26 ± 0.10 м

Моды распада

β− 100% 2β− β− 100% β− 100% e 100% e 100% β− 99.59%, e 0.41% β− 100% β− 100% e 100% e 100% e 100%

β− 100% β− 100% β− 100% e 100% e 66%, β− 34% β− 100% β− 100% e 100% e 100% e 100%

β− 100% 2β− β− 100% β− 100% β− 100%

XX-A-m

JP

ε, кэВ

Z = 35 3/2 − 1+

бром 8666.806 ± 0.037 8661.958 ± 0.046

3/2 − 1+ 3/2 − 5− 3/2 − Z = 36 0+ 5/2 + 0+

8687.595 ± 0.016 8677.653 ± 0.016 8695.929 ± 0.016 8682.477 ± 0.016 8693.381 ± 0.046 криптон 8608.813 ± 0.053 8616.836 ± 0.025 8661.254 ± 0.009

Rb-83 Rb-84 Rb-85 Rb-86

1/2 − 0+ 7/2 + 0+ 9/2 + 0+ 9/2 + 0+ 5/2 + 0+ Z = 37 5/2 − 2− 5/2 − 2−

8657.112 ± 0.045 8692.928 ± 0.009 8682.803 ± 0.017 8710.657 ± 0.011 8695.721 ± 0.004 8717.446 * 8698.562 ± 0.024 8712.029 * 8675.283 ± 0.003 8656.849 ± 0.030 рубидий 8675.218 ± 0.028 8676.224 ± 0.026 8697.441 * 8696.901 ± 0.002

Rb-87

3/2 −

8710.983 *

Rb-88 Rb-89

2− 3/2 − Z = 38 0+ 7/2 + 0+ 9/2 + 0+ 9/2 + 0+ 5/2 + 0+ 5/2 + 0+ 5/2 + 0+

8681.115 ± 0.002 8664.187 ± 0.061 стронций 8635.718 ± 0.073 8638.407 ± 0.082 8677.512 ± 0.015 8675.718 ± 0.033 8708.457 ± 0.013 8705.235 ± 0.012 8732.592 ± 0.012 8705.919 ± 0.012 8695.981 ± 0.029 8663.880 ± 0.062 8648.907 ± 0.037 8612.788 ± 0.081 8593.834 ± 0.018

Br-77 Br-78 Br-79 Br-80 Br-81 Br-82 Br-83 Kr-76 Kr-77 Kr-78 Kr-79 Kr-80 Kr-81 Kr-82 Kr-83 Kr-84 Kr-85 Kr-86 Kr-87 Kr-88

Sr-82 Sr-83 Sr-84 Sr-85 Sr-86 Sr-87 Sr-88 Sr-89 Sr-90 Sr-91 Sr-92 Sr-93 Sr-94

273

T1/2, Г, распространённость bromine 57.036 ± 0.006 ч 6.45 ± 0.04 м 50.69 ± 0.07 % 17.68 ± 0.02 м 49.31 ± 0.07 % 35.282 ± 0.007 ч 2.40 ± 0.02 ч krypton 14.8 ± 0.1 ч 74.4 ± 0.6 м 0.355 ± 0.003 % ≥ 1.5E+21 л 35.04 ± 0.10 ч 2.286 ± 0.010 % 229000 ± 11000 л 11.593 ± 0.031 % 11.500 ± 0.019 % 56.987 ± 0.015 % 10.752 ± 0.025 л 17.279 ± 0.041 % 76.3 ± 0.5 м 2.84 ± 0.03 ч rubidium 86.2 ± 0.1 дн 32.82 ± 0.04 дн 72.17 ± 0.02 % 18.642 ± 0.018 дн 27.83 ± 0.02 % (4.81 ± 0.09)E+10 л 17.773 ± 0.011 м 15.15 ± 0.12 м strontium 25.34 ± 0.02 дн 32.41 ± 0.03 ч 0.56 ± 0.01 % 64.850 ± 0.007 дн 9.86 ± 0.01 % 7.00 ± 0.01 % 82.58 ± 0.01 % 50.53 ± 0.07 дн 28.90 ± 0.03 л 9.63 ± 0.05 ч 2.66 ± 0.04 ч 7.43 ± 0.03 м 75.3 ± 0.2 с

Моды распада e 100% e ≥ 99.99%, β− ≤ 0.01% β− 91.7%, e 8.3% β− 100% β− 100% e 100% e 100% 2e e 100% e 100%

β− 100% β− 100% β− 100% e 100% e 96.1%, β− 3.9% β− 99.99%, e 0.0052% β− 100% β− 100% β− 100% e 100% e 100% e 100%

β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% β− 100%

XX-A-m Sr-95 Sr-96 Sr-97

Y-87 Y-88 Y-89 Y-90 Y-91 Zr-88 Zr-89 Zr-90 Zr-91 Zr-92 Zr-93 Zr-94 Zr-95 Zr-96 Zr-97 Zr-98 Nb-91 Nb-92 Nb-93 Nb-94 Nb-95 Mo-90 Mo-91 Mo-92 Mo-93 Mo-94 Mo-95 Mo-96 Mo-97 Mo-98 Mo-99 Mo-100 Mo-101 Mo-102 Tc-96 Tc-97 Tc-98

JP

ε, кэВ

1/2 + 0+ 1/2 +

8549.139 ± 0.062 8521.324 ± 0.091 8471.864 ± 0.035

Z = 39 1/2 − 4− 1/2 − 2− 1/2 − Z = 40 0+ 9/2 + 0+ 5/2 + 0+ 5/2 + 0+ 5/2 + 0+

иттрий 8674.844 ± 0.018 8682.536 ± 0.021 8713.987 ± 0.025 8693.354 ± 0.025 8684.947 ± 0.028 цирконий 8666.027 ± 0.062 8673.368 ± 0.039 8709.980 ± 0.021 8693.320 ± 0.020 8692.684 ± 0.020 8671.627 ± 0.020 8666.818 ± 0.020 8643.609 ± 0.019 8635.387 ± 0.021

1/2 + 0+ Z = 41 9/2 + (7)+ 9/2 + 6+ 9/2 + Z = 42 0+ 9/2 + 0+ 5/2 + 0+ 5/2 + 0+ 5/2 + 0+ 1/2 + 0+

8603.838 ± 0.020 8581.507 ± 0.089 ниобий 8670.904 ± 0.038 8662.377 ± 0.026 8664.186 ± 0.020 8648.902 ± 0.019 8647.200 ± 0.007 молибден 8597.032 ± 0.039 8613.627 ± 0.069 8657.722 ± 0.008 8651.401 ± 0.008 8662.320 ± 0.005 8648.707 ± 0.005 8653.974 ± 0.005 8635.080 ± 0.005 8635.157 ± 0.005 8607.786 ± 0.005 8604.626 ± 0.010

1/2 + 0+ Z = 43 7+ 9/2 + (6)+

8572.880 ± 0.010 8568.493 ± 0.083 технеций 8614.853 ± 0.054 8623.667 ± 0.039 8609.993 ± 0.035 274

T1/2, Г, распространённость 23.90 ± 0.14 с 1.07 ± 0.01 с 429 ± 5 мс yttrium 79.8 ± 0.3 ч 106.626 ± 0.021 дн 100% 64.053 ± 0.020 ч 58.51 ± 0.06 дн zirconium 83.4 ± 0.3 дн 78.41 ± 0.12 ч 51.45 ± 0.40 % 11.22 ± 0.05 % 17.15 ± 0.08 % (1.61 ± 0.05)E+6 л 17.38 ± 0.28 % 64.032 ± 0.006 дн 2.80 ± 0.09 % (2.35 ± 0.21)E+19 л 16.749 ± 0.008 ч 30.7 ± 0.4 с niobium 680 ± 130 л (3.47 ± 0.24)E+7 л 100% 20300 ± 1600 л 34.991 ± 0.006 дн molybdenum 5.56 ± 0.09 ч 15.49 ± 0.01 м 14.53 ± 0.30 % 4000 ± 800 л 9.15 ± 0.09 % 15.84 ± 0.11% 16.67 ± 0.15 % 9.60 ± 0.14 % 24.39 ± 0.37% 65.976 ± 0.024 ч 9.82 ± 0.31 % (7.3 ± 0.4)E+18 л 14.61 ± 0.03 м 11.3 ± 0.2 м technetium 4.28 ± 0.07 дн (4.21 ± 0.16)E+6 л (4.2 ± 0.3)E+6 л

Моды распада β− 100% β− 100% β− 100%, β−n ≤ 0.05% e 100% e 100% β− 100% β− 100% e 100% e 100%

β− 100% β− 100% 2β− β− 100% β− 100% e 100% e 100%, β− < 0.05% β− 100% β− 100% e 100% e 100% e 100%

β− 100% 2β− 100% β− 100% β− 100% e 100% e 100% β− 100%

XX-A-m Tc-99 Tc-100 Ru-94 Ru-95 Ru-96 Ru-97 Ru-98 Ru-99 Ru-100 Ru-101 Ru-102 Ru-103 Ru-104 Ru-105 Ru-106 Ru-107 Ru-108 Ru-109 Ru-110 Rh-101 Rh-102 Rh-103 Rh-104 Rh-105 Rh-106 Rh-107 Rh-108 Rh-109 Rh-110 Rh-111 Rh-112 Rh-113 Rh-114 Rh-115 Rh-116 Pd-100 Pd-101 Pd-102 Pd-103 Pd-104 Pd-105 Pd-106 Pd-107 Pd-108 Pd-109

JP 9/2 + 1+ Z = 44 0+ 5/2 + 0+ 5/2 + 0+ 5/2 + 0+ 5/2 + 0+ 3/2 + 0+ 3/2 + 0+ (5/2)+ 0+ (5/2 +) 0+ Z = 45 1/2 − (1−, 2−) 1/2 − 1+ 7/2 + 1+ 7/2 + 1+ 7/2 + ≥4 (7/2 +) 1+ (7/2 +) 1+ (7/2 +) 1+ Z = 46 0+ 5/2 + 0+ 5/2 + 0+ 5/2 + 0+ 5/2 + 0+ 5/2 +

ε, кэВ 8613.599 ± 0.010 8595.107 ± 0.014 рутений 8583.661 ± 0.033 8587.457 ± 0.100 8609.399 ± 0.005 8604.266 ± 0.029 8620.312 ± 0.066 8608.677 ± 0.011 8619.323 ± 0.011 8601.330 ± 0.011 8607.392 ± 0.011 8584.331 ± 0.011 8587.380 ± 0.025 8561.882 ± 0.024 8560.932 ± 0.051 8533.35 ± 0.08 8527.21 ± 0.08 8496.21 ± 0.08 8486.29 ± 0.08 родий 8588.201 ± 0.058 8576.953 ± 0.046 8584.157 ± 0.024 8568.914 ± 0.023 8572.698 ± 0.024 8553.923 ± 0.051 8554.11 ± 0.11 8532.67 ± 0.13 8528.15 ± 0.04 8504.26 ± 0.16 8495.63 ± 0.06 8468.9 ± 0.4 8456.82 ± 0.06 8426.6 ± 0.6 8410.65 ± 0.06 8377.6 ± 0.6 палладий 8563.710 ± 0.177 8560.849 ± 0.046 8580.563 ± 0.026 8571.289 ± 0.025 8584.846 ± 0.013 8570.649 ± 0.011 8579.991 ± 0.010 8560.893 ± 0.011 8567.025 ± 0.010 8544.883 ± 0.010 275

T1/2, Г, распространённость 211100 ± 1200 л 15.46 ± 0.19 с ruthenium 51.8 ± 0.6 м 1.643 ± 0.013 ч 5.54 ± 0.14 % 2.83 ± 0.23 дн 1.87 ± 0.03 % 12.76 ± 0.14 % 12.60 ± 0.07 % 17.06 ± 0.02 % 31.55 ± 0.14 % 39.247 ± 0.013 дн 18.62 ± 0.27 % 4.44 ± 0.02 ч 371.8 ± 1.8 дн 3.75 ± 0.05 м 4.55 ± 0.05 м 34.5 ± 1.0 с 11.6 ± 0.6 с rhodium 3.3 ± 0.3 л 207.3 ± 1.7 дн 100% 42.3 ± 0.4 с 35.36 ± 0.06 ч 30.07 ± 0.35 с 21.7 ± 0.4 м 16.8 ± 0.5 с 80 ± 2 с 28.5 ± 1.5 с 11 ± 1 с 3.45 ± 0.37 с 2.80 ± 0.12 с 1.85 ± 0.05 с 0.99 ± 0.05 с 0.68 ± 0.06 с palladium 3.63 ± 0.09 дн 8.47 ± 0.06 ч 1.02 ± 0.01 % 16.991 ± 0.019 дн 11.14 ± 0.08 % 22.33 ± 0.08 % 27.33 ± 0.03 % (6.5 ± 0.3)E+6 л 26.46 ± 0.09 % 13.7012 ± 0.0024 ч

Моды распада β− 100% β− 100%, e 0.0026% e 100% e 100% e 100%

β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% e 100% e 78%, β− 22% β− 99.55%, e 0.45% β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% e 100% e 100% e 100%

β− 100% β− 100%

JP

XX-A-m Pd-110 Pd-111 Pd-112 Pd-113 Pd-114 Pd-115 Pd-116 Pd-117 Pd-118 Pd-119

0+ 5/2 + 0+ (5/2 +) 0+ (5/2 +) 0+ (5/2 +) 0+

ε, кэВ

Cd-104 Cd-105 Cd-106

Z = 47 1/2 − 1+ 1/2 − 1+ 1/2 − 1+ 1/2 − 2− Z = 48 0+ 5/2 + 0+

8547.168 ± 0.006 8521.755 ± 0.007 8520.727 ± 0.058 8492.59 ± 0.06 8488.01 ± 0.06 8457.74 ± 0.12 8449.28 ± 0.06 8416.93 ± 0.06 8405.223 ± 0.021 8368.97 ± 0.07 серебро 8550.370 ± 0.043 8544.638 ± 0.028 8553.899 ± 0.022 8542.025 ± 0.022 8547.919 ± 0.012 8532.112 ± 0.012 8534.795 ± 0.014 8516.080 ± 0.022 кадмий 8517.621 ± 0.016 8516.852 ± 0.013 8539.047 ± 0.010

Cd-107 Cd-108

5/2 + 0+

8533.351 ± 0.016 8550.020 ± 0.010

Cd-109 Cd-110 Cd-111 Cd-112 Cd-113

5/2 + 0+ 1/2 + 0+ 1/2 +

8538.764 ± 0.014 8551.282 ± 0.005 8537.087 ± 0.005 8544.738 ± 0.005 8526.986 ± 0.004

Cd-114

0+

8531.512 ± 0.004

Cd-115 Cd-116

1/2 + 0+

8510.724 ± 0.006 8512.351 ± 0.001

Cd-117 Cd-118 Cd-119 Cd-120 Cd-121 Cd-122

1/2 + 0+ 3/2 + 0+ (3/2 +) 0+ Z = 49 9/2 + 1+ 9/2 + 1+

8488.974 ± 0.009 8487.835 ± 0.169 8461.4 ± 0.3 8458.02 ± 0.03 8430.996 ± 0.016 8424.266 ± 0.019 индий 8522.271 ± 0.032 8514.675 ± 0.038 8522.917 ± 0.008 8511.961 ± 0.008 276

Ag-105 Ag-106 Ag-107 Ag-108 Ag-109 Ag-110 Ag-111 Ag-112

In-111 In-112 In-113 In-114

T1/2, Г, распространённость 11.72 ± 0.09 % 23.4 ± 0.2 м 21.03 ± 0.05 ч 93 ± 5 c 2.42 ± 6 м 25 ± 2 c 11.8 ± 0.4 c 4.3 ± 0.3 c 1.9 ± 0.1 c 0.92 ± 0.01 silver 41.29 ± 0.07 дн 23.96 ± 0.04 м 51.839 ± 0.008 % 2.382 ± 0.011 м 48.161 ± 0.008 % 24.6 ± 0.2 с 7.45 ± 0.01 дн 3.130 ± 0.009 ч cadmium 57.7 ± 1.0 м 55.5 ± 0.4 м 1.25 ± 0.06 % > 3.6E+20 л 6.50 ± 0.02 ч 0.89 ± 0.03 % > 1.9E+18 л 461.4 ± 1.2 дн 12.49 ± 0.18 % 12.80 ± 0.12 % 24.13 ± 0.21 % 12.22 ± 0.12 % (8.00 ± 0.26)E+15 л 28.73 ± 0.42 % > 2.1E+18 л 53.46 ± 0.05 ч 7.49 ± 0.18% (3.3 ± 0.4)E+19 л 2.49 ± 0.04 ч 50.3 ± 0.2 м 2.69 ± 0.2 м 50.80 ± 0.21 c 13.5 ± 0.3 c 5.24 ± 0.03 c indium 2.8047 ± 0.0004 дн 14.97 ± 0.10 м 4.29 ± 0.05 % 71.9 ± 0.1 с

Моды распада β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% e 100% e 99.5%, β− < 1% β− 97.15%, e 2.85% β− 99.70%, e 0.30% β− 100% β− 100% e 100% e 100% 2e e 100% 2e e 100%

β− 100% 2β− β− 100% 2β− β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% e 100% e 56%, β− 44% β− 99.50%, e 0.50%

XX-A-m

JP

ε, кэВ

In-115

9/2 +

8516.546 *

In-116 In-117 Sn-110 Sn-111 Sn-112

1+ 9/2 + Z = 50 0+ 7/2 + 0+

8501.617 ± 0.002 8503.865 ± 0.042 олово 8496.087 ± 0.125 8493.139 ± 0.048 8513.627 ± 0.005

Sn-113 Sn-114 Sn-115 Sn-116 Sn-117 Sn-118 Sn-119 Sn-120 Sn-121 Sn-122 Sn-123 Sn-124

1/2 + 0+ 1/2 + 0+ 1/2 + 0+ 1/2 + 0+ 3/2 + 0+ 11/2− 0+

8506.812 ± 0.015 8522.545 ± 0.009 8514.069 * 8523.116 ± 0.001 8509.612 ± 0.004 8516.534 ± 0.004 8499.449 ± 0.006 8504.494 ± 0.008 8485.203 ± 0.008 8487.909 ± 0.020 8467.244 ± 0.020 8467.421 ± 0.008

Sn-125 Sn-126

Te-118 Te-119 Te-120 Te-121 Te-122 Te-123

11/2− 0+ Z = 51 5/2 + 1+ 5/2 + 2− 7/2 + 3− 7/2 + Z = 52 0+ 1/2 + 0+ 1/2 + 0+ 1/2 +

8445.550 ± 0.008 8443.523 ± 0.083 сурьма 8487.910 ± 0.065 8475.636 ± 0.060 8482.052 ± 0.023 8468.317 ± 0.023 8472.335 ± 0.017 8456.167 ± 0.017 8458.170 ± 0.021 теллур 8469.747 ± 0.157 8462.067 ± 0.067 8477.035 ± 0.026 8466.873 ± 0.214 8478.140 ± 0.012 8465.546 ± 0.012

Te-124 Te-125 Te-126 Te-127 Te-128

0+ 1/2 + 0+ 3/2 + 0+

8473.279 ± 0.012 8458.045 ± 0.012 8463.248 ± 0.012 8446.117 ± 0.012 8448.752 ± 0.007

Te-129 Te-130

3/2 + 0+

8430.409 ± 0.007 8430.324 *

Sb-119 Sb-120 Sb-121 Sb-122 Sb-123 Sb-124 Sb-125

277

T1/2, Г, распространённость 95.71 ± 0.05 % (4.41 ± 0.25)E+14 л 14.10 ± 0.03 с 43.2 ± 0.3 м tin 4.11 ± 0.10 ч 35.3 ± 0.6 м 0.97 ± 0.01 % > 1.3E+21 л 115.09 ± 0.03 дн 0.66 ± 0.01 % 0.34 ± 0.01 % 14.54 ± 0.09 % 7.68 ± 0.07 % 24.22 ± 0.09 % 8.59 ± 0.04 % 32.58 ± 0.09 % 27.03 ± 0.04 ч 4.63 ± 0.03 % 129.2 ± 0.4 дн 5.79 ± 0.05 % > 1.2E+21 л 9.64 ± 0.03 дн 230000 ± 14000 л antimony 38.19 ± 0.22 ч 15.89 ± 0.04 м 57.21 ± 0.05 % 2.7238 ± 0.0002 дн 42.79 ± 0.05 % 60.20 ± 0.03 дн 2.75856 ± 0.00025 л tellurium 6.00 ± 0.02 дн 16.05 ± 0.05 ч 0.09 ± 0.01 % 19.17 ± 0.04 дн 2.55 ± 0.12 % 0.89 ± 0.03% > 9.2E+16 л 4.74 ± 0.14 % 7.07 ± 0.15 % 18.84 ± 0.25% 9.35 ± 0.07 ч 31.74 ± 0.08% (2.41 ± 0.39)E+24 л 69.6 ± 0.3 м 34.08 ± 0.62% ≥ 3.0E+24 л

Моды распада β− 100% β− 99.98%, e 0.02% β− 100% e 100% e 100% 2e e 100%

β− 100% β− 100% 2β− β− 100% β− 100% e 100% e 100% β− 97.59%, e 2.41% β− 100% β− 100% e 100% e 100% e 100% e 100%

β− 100% 2β− 100% β− 100% 2β− 100%

Xe-122 Xe-123 Xe-124

3/2 + 0+ Z = 53 5/2 + 2− 5/2 + 1+ 7/2 + 5+ 7/2 + 4+ 7/2 + Z = 54 0+ (1/2)+ 0+

8411.233 ± 0.001 8408.485 ± 0.026 йод 8450.300 ± 0.012 8439.944 ± 0.030 8445.487 ± 0.029 8432.835 ± 0.028 8435.990 ± 0.025 8421.100 ± 0.024 8422.297 ± 0.005 8406.462 ± 0.031 8405.319 ± 0.035 ксенон 8424.664 ± 0.091 8420.927 ± 0.078 8437.562 ± 0.015

Xe-125 Xe-126 Xe-127 Xe-128 Xe-129 Xe-130 Xe-131 Xe-132 Xe-133 Xe-134

1/2 + 0+ 1/2 + 0+ 1/2 + 0+ 3/2 + 0+ 3/2 + 0+

8430.888 ± 0.015 8443.530 ± 0.028 8434.111 ± 0.032 8443.298 ± 0.008 8431.390 * 8437.731 * 8423.736 ± 0.002 8427.622 * 8412.647 ± 0.018 8413.687 ± 0.006

Xe-135 Xe-136

3/2 + 0+

8398.503 ± 0.031 8396.188 *

Xe-137 Xe-138 Xe-139 Xe-140 Xe-141 Cs-131 Cs-132 Cs-133 Cs-134

7/2 − 0+ 3/2 − 0+ 5/2 − Z = 55 5/2 + 2+ 7/2 + 4+

8364.286 ± 0.001 8344.690 ± 0.020 8311.590 ± 0.015 8290.887 ± 0.017 8255.364 ± 0.020 цезий 8415.056 ± 0.038 8405.614 ± 0.015 8409.978 * 8398.646 *

T1/2, Г, распространённость 25.0 ± 0.1 м 3.204 ± 0.013 дн iodine 59.407 ± 0.010 дн 12.93 ± 0.05 дн 100 % 24.99 ± 0.02 м (1.57 ± 0.04)E+7 л 12.36 ± 0.01 ч 8.0252 ± 0.0006 дн 2.295 ± 0.013 ч 20.83 ± 0.08 ч xenon 20.1 ± 0.1 ч 2.08 ± 0.02 ч 0.0952 ± 0.0003 % ≥ 1.6E+14 л 16.9 ± 0.2 ч 0.0890 ± 0.0002 % 36.346 ± 0.003 дн 1.9102 ± 0.0008 % 26.4006 ± 0.0082 % 4.0710 ± 0.0013 % 21.232 ± 0.030 % 26.9086 ± 0.0033 % 5.2475 ± 0.0005 дн 10.4357 ± 0.0021 % > 5.8E+22 л 9.14 ± 0.02 ч 8.8573 ± 0.0044 % > 2.4E+21 л 3.818 ± 0.013 м 14.08 ± 0.08 м 39.68 ± 0.14 с 13.60 ± 0.10 с 1.73 ± 0.01 с caesium 9.689 ± 0.016 дн 6.480 ± 0.006 дн 100 % 2.0652 ± 0.0004 л

Cs-135 Cs-136 Cs-137 Cs-138 Cs-139

7/2 + 5+ 7/2 + 3− 7/2 +

8401.338 ± 0.007 8389.772 ± 0.014 8388.958 ± 0.002 8360.143 ± 0.066 8342.339 ± 0.023

(2.3 ± 0.3)E+6 л 13.04 ± 0.03 дн 30.08 ± 0.09 л 33.41 ± 0.18 м 9.27 ± 0.05 м

XX-A-m Te-131 Te-132 I-125 I-126 I-127 I-128 I-129 I-130 I-131 I-132 I-133

JP

ε, кэВ

278

Моды распада β− 100% β− 100% e 100% e 52.7%, β− 47.3% β− 93.1%, e 6.9% β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% e 100% e 100% 2e e 100% e 100%

β− 100% 2β− β− 100% 2β− β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% β− 100%, β−n 0.04% e 100% e 98.13%, β− 1.87% β− 100%, e 3.0E−4% β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% β− 100%

XX-A-m

JP

ε, кэВ

Z = 56 0+ 1/2 + 0+ 1/2 + 0+

барий 8396.063 ± 0.041 8391.099 ± 0.082 8405.550 ± 0.020 8398.588 ± 0.020 8409.375 ± 0.008

1/2 + 0+ 3/2 + 0+ 3/2 + 0+ 7/2 − 0+ Z = 57 1+ 7/2 + 5+

8400.206 ± 0.007 8408.173 ± 0.002 8397.534 ± 0.002 8402.756 ± 0.002 8391.828 ± 0.002 8393.422 ± 0.002 8367.019 ± 0.002 8353.166 ± 0.057 лантан 8376.050 ± 0.391 8381.880 ± 0.012 8375.144 ± 0.025

Ce-134 Ce-135 Ce-136

7/2 + 3− (7/2 +) Z = 58 0+ 1/2 + 0+

8378.043 ± 0.016 8355.064 ± 0.016 8343.238 ± 0.032 церий 8365.771 ± 0.152 8361.986 ± 0.076 8373.762 ± 0.003

Ce-137 Ce-138

3/2 + 0+

8367.249 ± 0.003 8377.061 ± 0.072

Ce-139 Ce-140 Ce-141 Ce-142

3/2 + 0+ 7/2 − 0+

8370.411 ± 0.053 8376.339 ± 0.016 8355.430 ± 0.015 8347.068 ± 0.019

Ce-143 Ce-144

3/2 − 0+ Z = 59 5/2 + 1+ 5/2 + 2− 7/2 + Z = 60 0+ 3/2 + 0+

8324.675 ± 0.019 8314.759 ± 0.022 празеодим 8349.466 ± 0.057 8346.551 ± 0.046 8353.998 ± 0.015 8336.316 ± 0.015 8329.426 ± 0.016 неодим 8337.838 ± 0.186 8335.520 ± 0.025 8346.029 ± 0.013

Ba-128 Ba-129 Ba-130 Ba-131 Ba-132 Ba-133 Ba-134 Ba-135 Ba-136 Ba-137 Ba-138 Ba-139 Ba-140 La-136 La-137 La-138 La-139 La-140 La-141

Pr-139 Pr-140 Pr-141 Pr-142 Pr-143 Nd-140 Nd-141 Nd-142

279

T1/2, Г, распространённость barium 2.43 ± 0.05 дн 2.23 ± 0.11 ч 0.106 ± 0.001 % 11.50 ± 0.06 дн 0.101 ± 0.001 % > 3.0E+21 л 10.551 ± 0.011 л 2.417 ± 0.018 % 6.592 ± 0.012 % 7.854 ± 0.024 % 11.232 ± 0.024 % 71.698 ± 0.042 % 83.06 ± 0.28 м 12.7527 ± 0.0023 дн lanthanum 9.87 ± 0.03 м 60000 ± 20000 л 0.08881 ± 0.00071 % (1.02 ± 0.01)E+11 л 99.9119 ± 0.0071 % 1.67855 ± 0.00012 дн 3.92 ± 0.03 ч cerium 3.16 ± 0.04 дн 17.7 ± 0.3 ч 0.185 ± 0.002 % > 0.7E+14 л 9.0 ± 0.3 ч 0.251 ± 0.002 % ≥ 0.9E+14 л 137.641 ± 0.020 дн 88.450 ± 0.051 % 32.508 ± 0.013 дн 11.114 ± 0.051 % > 5E+16 л 33.039 ± 0.006 ч 284.91 ± 0.05 дн praseodymium 4.41 ± 0.04 ч 3.39 ± 0.01 м 100% 19.12 ± 0.04 ч 13.57 ± 0.02 дн neodymium 3.37 ± 0.02 дн 2.49 ± 0.03 ч 27.152 ± 0.040 %

Моды распада e 100% e 100% 2e e 100% 2e e 100%

β− 100% β− 100% e 100% e 100% e 65.60%, β− 34.40% β− 100% β− 100% e 100% e 100% 2e e 100% 2e 100% e 100% β− 100% 2β− β− 100% β− 100% e 100% e 100% β− 99.98%, e 0.02% β− 100% e 100% e 100%

JP

XX-A-m

ε, кэВ

Nd-143 Nd-144

7/2 − 0+

8330.487 ± 0.013 8326.922 ± 0.013

Nd-145 Nd-146 Nd-147 Nd-148 Nd-149 Nd-150

7/2 − 0+ 5/2 − 0+ 5/2 − 0+

8309.186 ± 0.013 8304.091 ± 0.012 8283.602 ± 0.012 8277.175 ± 0.016 8255.441 ± 0.016 8249.572 ± 0.011

Nd-151 Nd-152

Sm-142 Sm-143 Sm-144 Sm-145 Sm-146 Sm-147

3/2 + 0+ Z = 61 5/2 + 5− 5/2 + 3− 7/2 + Z = 62 0+ 3/2 + 0+ 7/2 − 0+ 7/2 −

8230.268 ± 0.011 8224.001 ± 0.161 прометий 8317.732 ± 0.022 8305.295 ± 0.022 8302.656 ± 0.021 8288.653 ± 0.030 8284.370 ± 0.012 самарий 8285.973 ± 0.023 8288.179 ± 0.021 8303.678 ± 0.014 8293.012 ± 0.014 8293.856 ± 0.022 8280.572 ± 0.012

Sm-148

0+

8279.632 ± 0.012

Sm-149 Sm-150 Sm-151 Sm-152 Sm-153 Sm-154 Sm-155 Sm-156

7/2 − 0+ 5/2 − 0+ 3/2 + 0+ 3/2 − 0+ Z = 63 5/2 + 5− 5/2 +

8263.462 ± 0.012 8261.617 ± 0.011 8243.967 ± 0.011 8244.057 ± 0.011 8228.530 ± 0.011 8226.830 ± 0.012 8211.218 ± 0.012 8205.017 ± 0.060 европий 8253.550 ± 0.027 8241.344 ± 0.042 8239.292 ± 0.011

3− 5/2 + 3− 5/2 + Z = 64 0+

8226.577 ± 0.011 8228.693 ± 0.011 8217.092 ± 0.011 8216.668 ± 0.011 гадолиний 8242.607 ± 0.041

Pm-143 Pm-144 Pm-145 Pm-146 Pm-147

Eu-149 Eu-150 Eu-151 Eu-152 Eu-153 Eu-154 Eu-155 Gd-150

280

T1/2, Г, распространённость 12.174 ± 0.026 % 23.798 ± 0.019 % (2.29 ± 0.16)E+15 л 8.293 ± 0.012 % 17.189 ± 0.032 % 10.98 ± 0.01 дн 5.756 ± 0.021 % 1.728 ± 0.001 ч 5.638 ± 0.028 % (7.9 ±0.7)E+18 л 12.44 ± 0.07 м 11.4 ± 0.2 м promethium 265 ± 7 дн 363 ± 14 дн 17.7 ± 0.4 л 5.53 ± 0.05 л 2.6234 ± 0.0002 л samarium 72.49 ± 0.05 м 8.75 ± 0.06 м 3.07 ± 0.07 % 340 ± 3 дн (1.03 ± 0.05)E+8 л 14.99 ± 0.18 % (1.060 ± 0.011)E+11 л 11.24 ± 0.10 % (7 ± 3)E+15 л 13.82 ± 0.07 % 7.38 ± 0.01 % 90 ± 8 л 26.75 ± 0.16 % 46.284 ± 0.004 ч 22.75 ± 0.29 % 22.3 ± 0.2 м 9.4 ± 0.2 ч europium 93.1 ± 0.4 дн 36.9 ± 0.9 л 47.81 ± 0.03 % ≥ 1.7E+18 л 13.528 ± 0.014 л 52.19 ± 0.06 % 8.601 ± 0.010 л 4.753 ± 0.014 л gadolinium (1.79 ± 0.08)E+6 л

Моды распада α 100%

β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% e 100% e 100% α 2.8E−7%, e 100% e 66%, β− 34% β− 100% e 100% e 100% e 100% α 100% α 100% α 100%

β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% e 100% e 100% α e 72.1%, β− 27.9% β− 99.98%, e 0.02% β− 100% α 100%

JP

XX-A-m

ε, кэВ

Gd-151

7/2 −

8231.038 ± 0.021

Gd-152

0+

8233.397 ± 0.011

Gd-153 Gd-154 Gd-155 Gd-156 Gd-157 Gd-158 Gd-159 Gd-160

3/2 − 0+ 3/2 − 0+ 3/2 − 0+ 3/2 − 0+

8220.414 ± 0.011 8224.792 ± 0.011 8213.247 ± 0.010 8215.318 ± 0.010 8203.500 ± 0.010 8201.815 ± 0.010 8187.610 ± 0.010 8183.009 ± 0.011

Gd-161 Gd-162

5/2 − 0+ Z = 65 3/2 + 3− 3/2 + 3− 3/2 + Z = 66 0+ 3/2 − 0+ 3/2 − 0+ 3/2 − 0+ 5/2 + 0+ 5/2 − 0+ 7/2 + 0+ Z = 67 7/2 − 1+ 7/2 − 0− 7/2 − Z = 68 0+ 3/2 − 0+ 5/2 − 0+ 5/2 −

8167.186 ± 0.012 8159.030 ± 0.026 тербий 8198.134 ± 0.011 8189.149 ± 0.012 8188.796 ± 0.011 8177.461 ± 0.011 8174.474 ± 0.011 диспрозий 8193.128 ± 0.049 8184.350 ± 0.063 8192.429 ± 0.010 8184.621 ± 0.034 8190.123 ± 0.018 8181.577 ± 0.013 8184.046 ± 0.012 8173.302 ± 0.012 8173.449 ± 0.012 8161.777 ± 0.012 8158.706 ± 0.011 8143.902 ± 0.011 8137.273 ± 0.012 гольмий 8156.962 ± 0.012 8147.924 ± 0.014 8146.960 ± 0.012 8135.494 ± 0.012 8130.382 ± 0.033 эрбий 8151.721 ± 0.152 8145.856 ± 0.056 8152.389 ± 0.012 8144.734 ± 0.030 8149.012 ± 0.012 8139.928 ± 0.012

Tb-157 Tb-158 Tb-159 Tb-160 Tb-161 Dy-154 Dy-155 Dy-156 Dy-157 Dy-158 Dy-159 Dy-160 Dy-161 Dy-162 Dy-163 Dy-164 Dy-165 Dy-166 Ho-163 Ho-164 Ho-165 Ho-166 Ho-167 Er-160 Er-161 Er-162 Er-163 Er-164 Er-165

281

T1/2, Г, распространённость 123.9 ± 1.0 дн 0.20 ± 0.01 % (1.08 ± 0.08)E+14 л 240.4 ± 1.0 дн 2.18 ± 0.03 % 14.80 ± 0.12 % 20.47 ± 0.09 % 15.65 ± 0.02 % 24.84 ± 0.07 % 18.479 ± 0.004 ч 21.86 ± 0.19 % > 3.1E+19 л 3.66 ± 0.05 м 8.4 ± 0.2 м terbium 71 ± 7 л 180 ± 11 л 100 % 72.3 ± 0.2 дн 6.89 ± 0.02 дн dysprosium (3.0 ± 1.5)E+6 л 9.9 ± 0.2 ч 0.056 ± 0.003 % 8.14 ± 0.04 ч 0.095 ± 0.003 % 144.4 ± 0.2 дн 2.329 ± 0.018 % 18.889 ± 0.042 % 25.475 ± 0.036 % 24.896 ± 0.042 % 28.260 ± 0.054 % 2.334 ± 0.001 ч 81.6 ± 0.1 ч holmium 4570 ± 25 л 29 ± 1 м 100 % 26.824 ± 0.012 ч 3.003 ± 0.018 ч erbium 25.58 ± 0.09 ч 3.21 ± 0.03 ч 0.139 ± 0.005 % 75.0 ± 0.4 м 1.601 ± 0.003 % 10.36 ± 0.04 ч

Моды распада e 100%, α ≈ 8.0E−7% α 100% e 100%

β− 100% 2β− β− 100% β− 100% e 100% e 83.4%, β− 16.6% β− 100% β− 100% α 100% e 100% e 100% e 100%

β− 100% β− 100% e 100% e 60%, β− 40% β− 100% β− 100% e 100% e 100% e 100% e 100%

XX-A-m

JP

ε, кэВ

0+ 7/2 + 0+ 1/2 − 0+ 5/2 − 0+ Z = 69 1/2 + 3+ 1/2 + 1− 1/2 + Z = 70 0+ 5/2 − 0+ 7/2 + 0+ 1/2 − 0+ 5/2 − 0+ (7/2 −) 0+ (9/2 +) 0+ Z = 71 7/2 + (1)− 7/2 + 7−

8141.956 ± 0.012 8131.743 ± 0.012 8129.598 ± 0.012 8117.016 ± 0.012 8111.961 ± 0.014 8097.749 ± 0.014 8090.413 ± 0.026 тулий 8122.587 ± 0.014 8114.957 ± 0.015 8114.475 ± 0.012 8105.519 ± 0.012 8101.899 ± 0.013 иттербий 8112.468 ± 0.044 8106.207 ± 0.026 8111.896 ± 0.012 8104.529 ± 0.012 8106.614 ± 0.012 8097.889 ± 0.012 8097.433 ± 0.012 8087.433 ± 0.012 8083.853 ± 0.012 8070.930 ± 0.012 8064.075 ± 0.013 8049.964 ± 0.013 8042.832 ± 0.058 лютеций 8079.040 ± 0.012 8071.464 ± 0.012 8069.151 ± 0.011 8059.031 ± 0.011

Hf-172 Hf-173 Hf-174

7/2 + 1+ Z = 72 0+ 1/2 − 0+

8053.459 ± 0.011 8042.065 ± 0.015 гафний 8071.743 ± 0.142 8066.016 ± 0.162 8068.545 ± 0.015

Hf-175 Hf-176 Hf-177 Hf-178 Hf-179 Hf-180 Hf-181 Hf-182

5/2 − 0+ 7/2 − 0+ 9/2 + 0+ 1/2 − 0+

8060.774 ± 0.015 8061.371 ± 0.012 8051.849 ± 0.011 8049.456 ± 0.011 8038.560 ± 0.011 8034.944 ± 0.011 8022.015 ± 0.010 8014.850 ± 0.035

Er-166 Er-167 Er-168 Er-169 Er-170 Er-171 Er-172 Tm-167 Tm-168 Tm-169 Tm-170 Tm-171 Yb-166 Yb-167 Yb-168 Yb-169 Yb-170 Yb-171 Yb-172 Yb-173 Yb-174 Yb-175 Yb-176 Yb-177 Yb-178 Lu-173 Lu-174 Lu-175 Lu-176 Lu-177 Lu-178

282

T1/2, Г, распространённость 33.503 ± 0.036 % 22.869 ± 0.009 % 26.978 ± 0.018 % 9.392 ± 0.018 дн 14.910 ± 0.036 % 7.516 ± 0.002 ч 49.3 ± 0.3 ч thulium 9.25 ± 0.02 дн 93.1 ± 0.2 дн 100 % 128.6 ± 0.3 дн 1.92 ± 0.01 л ytterbium 56.7 ± 0.1 ч 17.5 ± 0.2 м 0.123 ± 0.003 % 32.018 ± 0.005 дн 2.982 ± 0.039 % 14.09 ± 0.14 % 21.68 ± 0.13 % 16.103 ± 0.063 % 32.026 ± 0.080 % 4.185 ± 0.001 дн 12.996 ± 0.083 % 1.911 ± 0.003 ч 74 ± 3 м lutetium 1.37 ± 0.01 л 3.31 ± 0.05 л 97.401 ± 0.013 % 2.599 ± 0.013 % (3.76 ± 0.07)E+10 л 6.647 ± 0.004 дн 28.4 ± 0.2 м hafnium 1.87 ± 0.03 л 23.60.1 ч 0.16 ± 0.01% (2.0 ± 0.4)E+15 л 70 ± 2 дн 5.26 ± 0.07 % 18.60 ± 0.09 % 27.28 ± 0.07 % 13.62 ± 0.02 % 35.08 ± 0.16 % 42.39 ± 0.06 дн (8.90 ± 0.09)E+6 л

Моды распада

β− 100% β− 100% β− 100% e 100% e 99.99%, β− 0.01% β− 99.87%, e 0.13% β− 100% e 100% e 100% e 100%

β− 100% β− 100% β− 100% e 100% e 100% β− 100% β− 100% β− 100% e 100% e 100% α 100% e 100%

β− 100% β− 100%

XX-A-m

JP

ε, кэВ

Z = 73 Ta-179 7/2 + Ta-180 1+ Ta-180-m 9−

тантал 8033.599 ± 0.011 8025.900 ± 0.013 8025.472 ± 0.014

W-178 W-179 W-180

7/2 + 3− 7/2 + Z = 74 0+ 7/2 − 0+

8023.418 ± 0.010 8012.647 ± 0.010 8006.753 ± 0.010 вольфрам 8029.271 ± 0.086 8023.294 ± 0.082 8025.456 ± 0.011

W-181 W-182 W-183

9/2 + 0+ 1/2 −

8018.056 ± 0.026 8018.318 ± 0.005 8008.331 ± 0.005

W-184 W-185 W-186

0+ 3/2 − 0+

8005.088 ± 0.005 7992.919 ± 0.005 7988.614 ± 0.008

W-187 W-188

3/2 − 0+ Z = 75 5/2 + 3− 5/2 + 1− 5/2 +

7975.128 ± 0.008 7969.063 ± 0.018 рений 8001.018 ± 0.044 7992.778 ± 0.024 7991.029 ± 0.007 7981.288 ± 0.007 7977.962 ± 0.008

Os-182 Os-183 Os-184

1− 5/2 + Z = 76 0+ 9/2 + 0+

7966.758 ± 0.008 7961.818 ± 0.044 осмий 7989.728 ± 0.119 7985.010 ± 0.272 7988.699 ± 0.007

Os-185 Os-186

1/2 − 0+

7981.325 ± 0.007 7982.844 ± 0.008

Os-187 Os-188 Os-189 Os-190 Os-191 Os-192 Os-193 Os-194

1/2 − 0+ 3/2 − 0+ 9/2 − 0+ 3/2 − 0+

7973.791 ± 0.008 7973.875 ± 0.008 7963.011 ± 0.008 7962.112 ± 0.008 7950.576 ± 0.008 7948.534 ± 0.014 7936.279 ± 0.014 7932.033 ± 0.014

Ta-181 Ta-182 Ta-183

Re-183 Re-184 Re-185 Re-186 Re-187 Re-188 Re-189

283

T1/2, Г, распространённость tantalum 1.82 ± 0.03 л 8.154 ± 0.006 ч 0.01201 ± 0.00032% > 1.2E+15 л 99.98799 ± 0.00032% 114.74 ± 0.12 дн 5.1 ± 0.1 дн tungsten 21.6 ± 0.3 дн 37.05 ± 0.16 м 0.12 ± 0.01 % ≥ 6.6E+17 л 121.2 ± 0.2 дн 26.50 ± 0.16 % 14.31 ± 0.04 % > 1.3E+19 л 30.64 ± 0.02 % 75.1 ± 0.3 дн 28.43 ± 0.19 % > 2.3E+19 л 24.000 ± 0.004 ч 69.78 ± 0.05 дн rhenium 70.0 ± 1.4 дн 35.4 ± 0.7 дн 37.40 ± 0.02 % 3.7186 ± 0.0005 дн 62.60 ± 0.02 % (4.33 ± 0.07)E+10 л 17.003 ± 0.003 ч 24.3 ± 0.4 ч osmium 21.84 ± 0.20 ч 13.0 ± 0.5 ч 0.02 ± 0.01 % > 5.6E+13 л 93.6 ± 0.5 дн 1.59 ± 0.03 % (2.0 ± 1.1)E+15 л 1.96 ± 0.02 % 13.24 ± 0.08 % 16.15 ± 0.05 % 26.26 ± 0.02 % 15.4 ± 0.1 дн 40.78 ± 0.19 % 30.11 ± 0.01 ч 6.0 ± 0.2 л

Моды распада e 100% e 86%, β− 14% e? β− ? β− 100% β− 100% e 100% e 100% 2e 100% e 100% α β− 100% 2β− β− 100% β− 100% e 100% e 100% β− 92.53%, e 7.47% β− 100%, α < 1.0E−4% β− 100% β− 100% e 100% e 100% α e 100% α 100%

β− 100% β− 100% β− 100%

XX-A-m Ir-189 Ir-190 Ir-191 Ir-192 Ir-193 Ir-194 Ir-195 Pt-188 Pt-189 Pt-190 Pt-191 Pt-192 Pt-193 Pt-194 Pt-195 Pt-196 Pt-197 Pt-198 Pt-199 Pt-200 Au-195 Au-196 Au-197 Au-198 Au-199 Hg-194 Hg-195 Hg-196 Hg-197 Hg-198 Hg-199 Hg-200 Hg-201 Hg-202 Hg-203 Hg-204 Hg-205 Hg-206 Tl-201 Tl-202 Tl-203 Tl-204

JP

ε, кэВ

Z = 77 3/2 + 4− 3/2 + 4+ 3/2 + 1− 3/2 + Z = 78 0+ 3/2 − 0+

иридий 7956.058 ± 0.068 7947.712 ± 0.010 7948.124 ± 0.010 7939.010 ± 0.010 7938.144 ± 0.010 7928.498 ± 0.010 7924.926 ± 0.010 платина 7947.945 ± 0.030 7941.489 ± 0.059 7946.592 ± 0.031

3/2 − 0+ 1/2 − 0+ 1/2 − 0+ 1/2 − 0+ 5/2 − 0+ Z = 79 3/2 + 2− 3/2 + 2− 3/2 + Z = 80 0+ 1/2 − 0+ 1/2 − 0+ 1/2 − 0+ 3/2 − 0+ 5/2 − 0+ 1/2 − 0+ Z = 81 1/2 + 2− 1/2 + 2−

7938.743 ± 0.026 7942.511 ± 0.016 7933.797 ± 0.010 7935.954 ± 0.005 7926.565 ± 0.005 7926.541 ± 0.005 7915.982 ± 0.004 7914.159 ± 0.011 7902.309 ± 0.011 7899.206 ± 0.101 золото 7921.389 ± 0.007 7926.541 ± 0.005 7915.660 ± 0.003 7908.573 ± 0.003 7906.943 ± 0.003 ртуть 7914.597 ± 0.015 7909.327 ± 0.119 7914.373 ± 0.015 7908.644 ± 0.016 7911.555 ± 0.002 7905.280 ± 0.002 7905.896 ± 0.002 7897.561 ± 0.003 7896.851 ± 0.003 7887.480 ± 0.008 7885.545 ± 0.002 7874.731 ± 0.018 7869.169 ± 0.099 таллий 7891.262 ± 0.071 7886.250 ± 0.071 7886.050 ± 0.006 7880.021 ± 0.006 284

T1/2, Г, распространённость iridium 13.2 ± 0.1 дн 11.78 ± 0.10 дн 37.3 ± 0.2 % 73.829 ± 0.011 дн 62.7 ± 0.2 % 19.28 ± 0.13 ч 2.5 ± 0.2 ч platinum 10.2 ± 0.3 дн 10.87 ± 0.12 ч 0.012 ± 0.002 % (6.5 ± 0.3)E+11 л 2.83 ± 0.02 дн 0.782 ± 0.024 % 50 ± 6 л 32.86 ± 0.40 % 33.78 ± 0.24 % 25.21 ± 0.34 % 19.8915 ± 0.0019 ч 7.36 ± 0.13 % 30.80 ± 0.21 м 12.6 ± 0.3 ч gold 186.098 ± 0.047 дн 6.1669 ± 0.0006 дн 100 % 2.6948 ± 0.0012 дн 3.139 ± 0.007 дн mercury 444 ± 77 л 10.53 ± 0.03 ч 0.15 ± 0.01 % 64.14 ± 0.05 ч 9.97 ± 0.20 % 16.87 ± 0.22 % 23.10 ± 0.19 % 13.18 ± 0.09 % 29.86 ± 0.26 % 46.594 ± 0.012 дн 6.87 ± 0.15% 5.14 ± 0.09 м 8.32 ± 0.07 м thalium 3.0421 ± 0.0017 дн 12.31 ± 0.08 дн 29.524 ± 0.001% 3.783 ± 0.012 л

Моды распада e 100% e 100% β− 95.24%, e 4.76% β− 100% β− 100% e 100%, α 2.6E−5% e 100% α 100% e 100% e 100%

β− 100% β− 100% β− 100% e 100% e 93%, β− 7% β− 100% β− 100% e 100% e 100% e 100%

β− 100% β− 100% β− 100% e 100% e 100% β− 97.08%, e 2.92%

XX-A-m

JP

ε, кэВ

T1/2, Г, распространённость 70.48 ± 0.01% 4.202 ± 0.011 м 4.77 ± 0.03 м 3.053 ± 0.004 м 2.161 ± 0.007 м 1.30 ± 0.03 м

Tl-205 Tl-206 Tl-207 Tl-208 Tl-209 Tl-210

1/2 + 0− 1/2 + 5+ (1/2 +) (5+)

7878.392 ± 0.006 7871.719 ± 0.007 7866.792 ± 0.027 7847.178 ± 0.010 7833.363 ± 0.038 7813.584 ± 0.055

Pb-202 Pb-203 Pb-204

Z = 82 0+ 5/2 − 0+

свинец 7882.148 ± 0.019 7877.394 ± 0.032 7879.930 ± 0.006

Pb-205 Pb-206 Pb-207 Pb-208 Pb-209 Pb-210

5/2 − 0+ 1/2 − 0+ 9/2 + 0+

7874.328 ± 0.006 7875.359 ± 0.006 7869.864 ± 0.006 7867.450 ± 0.006 7848.646 ± 0.009 7835.963 ± 0.007

lead 52500 ± 2800 л 51.92 ± 0.03 ч 1.4 ± 0.1 % ≥ 1.4E+17 л (1.73 ± 0.07)E+7 л 24.1 ± 0.1 % 22.1 ± 0.1 % 52.4 ± 0.1 % 3.253 ± 0.014 ч 22.20 ± 0.22 л

Pb-211 Pb-212 Pb-213 Pb-214 Bi-207 Bi-208 Bi-209 Bi-210

9/2 + 0+ (9/2 +) 0+ Z = 83 9/2 − 5+ 9/2 − 1−

7816.999 ± 0.013 7804.312 ± 0.010 7785.163 ± 0.031 7772.384 ± 0.011 висмут 7854.502 ± 0.012 7849.851 ± 0.011 7847.984 ± 0.007 7832.540 ± 0.007

36.1 ± 0.2 м 10.64 ± 0.01 ч 10.2 ± 0.3 м 26.8 ± 0.9 м bismuth 31.55 ± 0.04 л 368000 ± 4000 л 100 % 5.012 ± 0.005 дн

Bi-211 Bi-212

9/2 − 1(−)

7819.769 ± 0.026 7803.309 ± 0.009

2.14 ± 0.02 м 60.55 ± 0.06 м

Bi-213 Bi-214 Po-208 Po-209 Po-210 Po-211 Po-212 Po-213 Po-214 Po-215

9/2 − 1− Z = 84 0+ 1/2 − 0+ 9/2 + 0+ 9/2 + 0+ 9/2 +

7791.014 ± 0.024 7773.490 ± 0.052 полоний 7839.356 ± 0.009 7835.185 ± 0.009 7834.344 ± 0.006 7818.782 ± 0.006 7810.241 ± 0.006 7794.021 ± 0.015 7785.114 ± 0.007 7768.168 ± 0.012

45.59 ± 0.06 м 19.9 ± 0.4 м polonium 2.898 ± 0.002 л 102 ± 5 л 138.376 ± 0.002 дн 0.516 ± 0.003 с 0.299 ± 0.002 мкс 3.72 ± 0.02 мкс 164.3 ± 2.0 мкс 1.781 ± 0.004 мс

Po-216 Po-217 Po-218

0+ (9/2 +) 0+

7758.812 ± 0.010 7741.352 ± 0.029 7731.519 ± 0.011

0.145 ± 0.002 с 1.53 ± 0.05 с 3.098 ± 0.012 м

285

Моды распада β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% β− 100%, β−n 0.007% e 100% e 100% α e 100%

β− 100% β− 100%, α 1.9E−6% β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% e 100% e 100% β− 100%, α 1.3E−4% α 99.72%, β− 0.28% β− 64.06%, α 35.94% β− 97.8%, α 2.2% β− 99.98%, α 0.02% α 100%, e 0.004% α 99.52%, e 0.48% α 100% α 100% α 100% α 100% α 100% α 100%, β− 2.3E−4% α 100% α 100% α 99.98%, β− 0.02%

At-216

Z = 85 1−

астат 7752.998 ± 0.017

T1/2, Г, распространённость astatine 0.30 ± 0.03 мс

At-217

9/2 −

7744.610 ± 0.024

32.3 ± 0.4 мс

3 Z = 86 0+ 5/2 − 0+ 1/2 − 0+ (9/2 +) 0+ 9/2 + 0+ 9/2 + 0+ 5/2 + 0+ 7/2 + 0+ 7/2 + 0+ Z = 87 5/2 − 2− 3/2 −

7729.122 ± 0.053 7720.191 ± 0.018 7703.703 ± 0.064 радон 7794.27 ± 0.05 7792.12 ± 0.10 7796.663 ± 0.022 7793.94 ± 0.03 7794.796 ± 0.015 7782.19 ± 0.03 7777.10 ± 0.04 7763.81 ± 0.04 7758.65 ± 0.03 7744.401 ± 0.019 7738.750 ± 0.011 7723.771 ± 0.011 7717.247 ± 0.010 7701.387 ± 0.027 7694.489 ± 0.010 7678.171 ± 0.035 7670.751 ± 0.044 франций 7703.250 ± 0.023 7691.074 ± 0.096 7683.657 ± 0.011

1.5 ± 0.3 с 56 ± 3 с 3.71 ± 0.04 м radon 24.35 ± 0.14 м 28.5 ± 1.0 м 2.4 ± 0.1 ч 14.6 ± 0.2 ч 23.9 ± 1.2 м 19.5 ± 0.1 мс 0.27 ± 0.02 мкс 2.30 ± 0.10 мкс 45 ± 5 мкс 0.54 ± 0.5 мс 35 ± 5 мс 3.96 ± 0.01 с 55.6 ± 0.1 с 25 ± 2 м 3.8235 ± 0.0003 дн 24.3 ± 0.4 м 107 ± 3 м francium 286.1 ± 1.0 с 14.2 ± 0.3 м 22.00 ± 0.07 м

Ra-222

1− 3/2 − Z = 88 0+

7670.160 ± 0.058 7662.940 ± 0.053 радий 7696.686 ± 0.021

3.33 ± 0.10 м 3.95 ± 0.14 м radium 38.0 ± 0.5 с

Ra-223

3/2 +

7685.302 ± 0.011

11.43 ± 0.05 дн

Ra-224

0+

7679.916 ± 0.010

3.6319 ± 0.0023 дн

Ra-225 Ra-226

1/2 + 0+

7667.580 ± 0.013 7661.954 ± 0.010

14.9 ± 0.2 дн 1600 ± 7 л

Ra-227 Ra-228

3/2 + 0+ Z = 89 (3/2 −)

7648.295 ± 0.010 7642.419 ± 0.011 актиний 7665.684 ± 0.022

42.2 ± 0.5 м 5.75 ± 0.03 л actinuim 10.0 ± 0.1 дн

JP

XX-A-m

At-218 At-219 At-220 Rn-208 Rn-209 Rn-210 Rn-211 Rn-212 Rn-213 Rn-214 Rn-215 Rn-216 Rn-217 Rn-218 Rn-219 Rn-220 Rn-221 Rn-222 Rn-223 Rn-224 Fr-221 Fr-222 Fr-223 Fr-224 Fr-225

Ac-225

ε, кэВ

286

Моды распада α 100%, β− < 6.0E−3%, e < 3.0E−7% α 99.99%, β− 0.007% α 99.90%, β− 0.10% α ≈ 97%, β− ≈ 3% β− 92%, α 8% α 62%; e 38% e 83 %; α 17 % α 96 %; e 4 % ε 72.6 %; α 27.4 % α 100% α 100% α 100% α 100% α 100% α 100% α 100% α 100% α 100% β− 78%, α 22% α 100% β− 100% β− 100% α 100%, β− < 0.1% β− 100% α 6.0E−3%, β− 99.99% β− 100% β− 100% α 100%, 14 C 3.0E−8% α 100%, 14 C 8.9E−8% α 100%, 14 C 4.0E−9% − β 100% α 100%, 14 C 3.2E−9% − β 100% β− 100% α 100%, 14 C 4.0E−12%

Ac-226

(1)

7655.656 ± 0.015

T1/2, Г, распространённость 29.370.12 ч

Ac-227 Ac-228 Ac-229 Th-226 Th-227 Th-228

3/2 − 3+ (3/2 +) Z = 90 0+ 1/2 + 0+

7650.701 ± 0.010 7639.189 ± 0.011 7633.208 ± 0.051 торий 7657.120 ± 0.021 7647.451 ± 0.011 7645.074 ± 0.009

21.772 ± 0.003 л 6.15 ± 0.02 ч 62.7 ± 0.5 м thorium 30.57 ± 0.10 м 18.68 ± 0.09 дн 1.9116 ± 0.0016 л

Th-229 Th-230

5/2 + 0+

7634.645 ± 0.012 7630.989 ± 0.008

7932 ± 28 л 75400 ± 300 л

Th-231

5/2 +

7620.111 ± 0.008

25.52 ± 0.01 ч

Th-232

0+

7615.024 ± 0.008

Th-233 Th-234 Pa-229 Pa-230

1/2 + 0+ Z = 91 (5/2 +) (2−)

7602.884 ± 0.008 7596.849 ± 0.015 протактиний 7629.868 ± 0.015 7621.890 ± 0.014

100 % (1.40 ± 0.01)E+10 л 21.83 ± 0.04 м 24.10 ± 0.03 дн protactinium 1.50 ± 0.05 дн 17.4 ± 0.5 дн

Pa-231

3/2 −

7618.419 ± 0.010

32760 ± 110 л

Pa-232 Pa-233 Pa-234 Pa-235 Pa-236 Pa-237 U-230

(2−) 3/2 − 4+ (3/2 −) 1− (1/2 +) Z = 92 0+

7609.500 ± 0.033 7604.864 ± 0.009 7594.677 ± 0.020 7588.41 ± 0.06 7577.56 ± 0.06 7570.38 ± 0.05 уран 7620.922 ± 0.021

1.32 ± 0.02 дн 26.975 ± 0.013 дн 6.70 ± 0.05 ч 24.44 ± 0.11 м 9.1 ± 0.1 м 8.7 ± 0.2 м uranium 20.8 дн

U-231

(5/2 −)

7613.380 ± 0.013

4.2 ± 0.1 дн

U-232

0+

7611.891 ± 0.009

68.9 ± 0.4 л

U-233

5/2 +

7603.952 ± 0.011

159200 ± 200 л

U-234

0+

7600.707 ± 0.008

0.0054 ± 0.0005 % 245500 ± 600 л

JP

XX-A-m

ε, кэВ

287

Моды распада β− 83%, e 17%, α 0.006% β− 98.62%, α 1.38% β− 100% β− 100% α 100% α 100% α 100%, 20 O 1.0E−11% α 100% α 100%, 24 Ne 6.0E−11%, SF ≤ 4.0E−12% β− 100%, α ≈ 4.0E−11% α 100%, SF 1.1E−9% β− 100% β− 100% e 99.52%, α 0.48% e 92.2%, β− 7.8%, α 0.0032% α 100%, SF ≤ 2.0E−11% β− 100%, e β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% α 100%, SF < 1.0E−10%, 22 Ne 5.0E−12% e 100%, α ≈ 4.0E−3% α 100%, SF 3.0E−12% α 100%, 24 Ne 9.0E−10%, SF < 6.0E−11%, 28 Mg < 1.0E−13% α 100%, SF 1.6E−9%, Mg 1.0E−11%, Ne 9.0E−12%

JP

XX-A-m

ε, кэВ

T1/2, Г, распространённость 0.7204 ± 0.0006 % (7.04 ± 0.01)E+8 л

U-235

7/2 −

7590.906 ± 0.008

U-236

0+

7586.476 ± 0.008

(2.342 ± 0.004)E+7 л

U-237 U-238

1/2 + 0+

7576.094 ± 0.008 7570.120 ± 0.008

U-239 U-240 Np-235 Np-236

5/2 + 0+ Z = 93 5/2 + (6−)

7558.556 ± 0.008 7551.766 ± 0.022 нептуний 7587.049 ± 0.008 7579.208 ± 0.214

6.75 ± 0.01 дн 99.2742 ± 0.0010 % (4.468 ± 0.003)E+9 л 23.45 ± 0.02 м 14.1 ± 0.1 ч neptunium 396.1 ± 1.2 дн 153000 ± 5000 л

Np-237

5/2 +

7574.981 ± 0.008

(2.144 ± 0.007)E+6 л

Np-238 Np-239 Np-240 Np-241 Pu-234 Pu-235 Pu-236

2+ 5/2 + (5+) 5/2 + Z = 94 0+ (5/2 +) 0+

7566.213 ± 0.008 7560.561 ± 0.009 7550.167 ± 0.072 7544.262 ± 0.293 плутоний 7584.606 ± 0.030 7578.873 ± 0.088 7577.913 ± 0.009

2.117 ± 0.002 дн 2.356 ± 0.003 дн 61.9 ± 0.2 м 13.9 ± 0.2 м plutonium 8.8 ± 0.1 ч 25.3 ± 0.5 м 2.858 ± 0.008 л

Pu-237 Pu-238

7/2 − 0+

7570.752 ± 0.009 7568.353 ± 0.008

45.64 ± 0.04 дн 87.7 ± 0.1 л

Pu-239

1/2 +

7560.310 ± 0.008

24110 ± 30 л

Pu-240

0+

7556.035 ± 0.007

6561 ± 7 л

Pu-241

5/2 +

7546.431 ± 0.007

14.325 ± 0.006 л

Am-241

Z = 95 5/2 −

америций 7543.271 ± 0.007

americium 432.6 ± 0.6 л

Am-242 Am-243

1− 5/2 −

7534.983 ± 0.007 7530.168 ± 0.009

16.02 ± 0.02 ч 7370 ± 40 л

Am-244 Am-245 Cm-243

(6−) (5/2)+ Z = 96 5/2 +

7521.300 ± 0.008 7515.296 ± 0.013 кюрий 7526.918 ± 0.008

10.1 ± 0.1 ч 2.05 ± 0.01 ч curium 29.1 ± 0.1 л

Cm-244

0+

7523.944 ± 0.007

18.1 ± 0.1 л

288

Моды распада α 100%, SF 7.0E−9%, 28 Mg 8.0E−10%, Ne ≈ 8.0E−10% α 100%, SF 9.4E−8% β− 100% α 100%, SF 5.5E−5% β− 100% β− 100% e 100%, α 0.0026% e 86.3%, β− 13.5%, α 0.16% α 100%, SF ≤ 2.0E−10% β− 100% β− 100% β− 100% β− 100% e ≈ 94%, α ≈ 6% e 100%, α 0.0028% α 100%, SF 1.9E−7% e 100%, α 0.0042% α 100%, SF 1.9E−7% α 100%, SF 3.0E−10% α 100%, SF 5.7E−6% β− 100%, α 0.0025%, SF < 2.0E−14% α 100%, SF 4.0E−10% e 17.3%, β− 82.7% α 100%, SF 3.7E−9% β− 100% β− 100% α 99.71%, e 0.29%, SF 5.3E−9% α 100%, SF 1.4E−4%

Cm-245

7/2 +

7515.765 ± 0.008

T1/2, Г, распространённость 8423 ± 74 л

Cm-246 Cm-247 Bk-245 Bk-247 Bk-249

0+ 9/2 − Z = 97 3/2 − (3/2 −) 7/2 +

7511.464 ± 0.008 7501.926 ± 0.018 берклий 7509.263 ± 0.009 7498.935 ± 0.022 7486.023 ± 0.010

4706 ± 40 л (1.56 ± 0.05)E+7 л berkelium 4.95 ± 0.03 дн 1380 ± 250 л 330 ± 4 дн

Cf-247 Cf-248

Z = 98 (7/2 +) 0+

калифорний 7493.285 ± 0.062 7491.035 ± 0.021

californium 3.11 ± 0.03 ч 333.5 ± 2.8 дн

Cf-249

9/2 −

7483.382 ± 0.009

351 ± 2 л

Cf-250 Cf-251 Cf-252 Es-252 Es-253

0+ 1/2 + 0+ Z = 99 (5−) 7/2 +

7479.949 ± 0.008 7470.495 ± 0.018 7465.344 ± 0.021 эйнштейний 7457.240 ± 0.199 7452.871 ± 0.010

13.08 ± 0.09 л 898 ± 44 л 2.645 ± 0.008 л einsteinium 471.7 ± 1.9 дн 20.47 ± 0.03 дн

Es-254

(7+)

7443.583 ± 0.017

275.7 ± 0.5 дн

Es-255

(7/2 +)

7437.816 ± 0.043

39.8 ± 1.2 дн

Fm-251 Fm-252

Z = 100 (9/2 −) 0+

фермий 7457.020 ± 0.061 7456.031 ± 0.023

fermium 5.30 ± 0.08 ч 25.39 ± 0.04 ч

Fm-253 Fm-254 Fm-255

(1/2)+ 0+ 7/2 +

7448.457 ± 0.014 7444.786 ± 0.011 7435.883 ± 0.019

3.00 ± 0.12 дн 3.240 ± 0.002 ч 20.07 ± 0.07 ч

Md-255

Z = 101 (7/2 −)

менделевий 7428.724 ± 0.027

mendelevium 27 ± 2 м

Md-257

(7/2 −)

7417.566 ± 0.011

5.52 ± 0.05 ч

No-253 No-254

Z = 102 (9/2 −) 0+

7409.668 ± 0.018 нобелий 7422.466 ± 0.028 7423.585 ± 0.039

51.5 ± 0.3 дн nobelium 1.62 ± 0.15 м 51 ± 10 с

No-255 No-256

(1/2 +) 0+

7417.958 ± 0.058 7416.539 ± 0.031

3.52 ± 0.21 м 2.91 ± 0.05 с

XX-A-m

JP

Md-258

ε, кэВ

289

Моды распада α 100%, SF 6.1E−7% α 99.97%, SF 0.03% α 100% e 99.88%, α 0.12% α ≤ 100% β− 100%, α 0.0014%, SF 4.7E−8% e 99.97%, α 0.04% α 100%, SF 0.0029% α 100%, SF 5.0E−7% α 99.92%, SF 0.08% α 100%, SF α 96.91%, SF 3.09% α 78%, e 22% α 100%, SF 8.7E−6% α 100%, β− 1.7E−4%, SF < 3.0E−6%, β− 92%, α 8%, SF 0.0041% e 98.2%, α 1.8% α 100%, SF 0.0023% e 88%, α 12% α 99.94%, SF 0.06% α 100%, SF 2.4E−5% e 92%, α 8%, SF < 0.15% e 85%, α 15%, SF < 1% α 100%, SF α ≈ 80%, e α 90%, e 10%, SF 0.17% e 70%, α 30% α 99.47%, SF 0.53%

(7/2 +)

7409.645 ± 0.027

T1/2, Г, распространённость 25 ± 3 с

Z = 103 1/2 −

лоуренсий 7402.576 ± 0.069 7398.160 ± 0.324

lawrencium 31.1 ± 1.3 с 27 ± 3 с

7397 * резерфордий 7371.396 ± 0.110 7371.396 ± 0.110

≈4с rutherfordium 1.9 ± 0.4 с 78 ± 116 с

7370 ± 1 7364 ± 1 дубний 7360.362 ± 0.205 7357 *

2.3 ± 0.4 с 10 ± 2 м dubnium 0.51 ± 0.16 с 1.52 ± 0.13 с

7352 ± 1 сиборгий 7337 * 7332 ± 1 борий 7315 ± 1 7315 ± 1 7316 ± 1 хассий 7298.239 ± 0.166 7296.242 ± 0.090 7298.269 ± 0.146 7298 ± 1 7294 * мейтнерий 7270 ± 1 7251 ± 2 дармштадтий 7253.771 ± 0.178 7252 * рентгений 7227 ± 1 7231 ± 2 7227 ± 1 7227 ± 2 7222 ± 2 7223 ± 2 7218 ± 2 7217 ± 2

35 ± 5 с seaborgium 1.0 ± 0.2 с 21 ± 2012 с bohrium 22 мс 0.44 ± 0.600.16 с 0.9 ± 0.70.3 с hassium ≈ 0.8 мс 1.9 ± 0.2 мс 2.3 ± 1.30.6 мс 0.4 ± 1.80.2 с 3.6 ± 0.81.4 с meitnerium 1.7 ± 1.81.6 мс 0.72 ± 0.870.25 с darmstadtium 0.10 ± 0.140.04 мс 1.63 ± 0.440.29 мс roentgenium 3.8 ± 1.40.8 мс

JP

XX-A-m No-257

Lr-255 Lr-256 Lr-257

Z = 104 Rf-261-m Rf-261-m Rf-262 Rf-263

0+ Z = 105

Db-259 Db-260

Db-262 Z = 106 Sg-263 Sg-266

+

0 Z = 107

Bh-262-m Bh-264 Bh-265 Hs-264 Hs-265 Hs-266 Hs-268 Hs-269

Z = 108 0+ 0+ 0+ Z = 109

Mt-266-m Mt-276-m Ds-270 Ds-271

Z = 110 0+ Z = 111

Rg-272-m Rg-273 Rg-274-m Rg-275 Rg-276 Rg-277 Rg-278-m Rg-279-m

ε, кэВ

290

6.4 ± 30.72.9 мс

4.2 ± 7.61.7 мс 0.17 ± 0.810.08 с

Моды распада α ≤ 100%, SF ≤ 1.5% α 85%, e 15% α 85%, e 15%, SF < 0.03% α ≤ 100%, SF 73%, α 27% α > 74%, e < 15%, SF < 11% SF ≤ 100%, α < 3% SF 100%, α α α ≥ 90.4%, SF ≤ 9.6%, e < 2.5% α ≈ 67%, SF α > 70%, SF < 30% SF > 50%, α > 18%, α < 100% α ≤ 100% α SF ≈ 50%, α ≈ 50% α < 100%, SF ≤ 1% α, SF < 1.4% α α 100% α ≤ 100% α 100% α 100%, SF < 0.2% α 100% α 100% α? α 100% α? α ?, SF ? SF ?, α ? α 100%, SF α 100%

XX-A-m

JP

Rg-280-m Rg-281-m Rg-282-m Rg-283 Z = 112 Cn-277 Cn-278 0+ Cn-279 Cn-280 0+ Cn-281-m Cn-282-m Cn-283-m Cn-284-m Cn-285 Z = 113 Uut-278-m Uut-283-m Uut-284-m Uut-285-m Uut-286-m Uut-287 Z = 114 Fl-285-m Fl-286-m 0+ Fl-287 Fl-288 0+ Fl-289 Z = 115 Uup-287 Uup-288-m Uup-289 Uup-290 Uup-291 Z = 116 Lv-289 Lv-290 0+ Lv-291 Lv-292 0+ Lv-293 Z = 117 Uus-293 Uus-294 Z = 118 Uuo-294 0+

T1/2, Г, распространённость 3.6 ± 4.31.3 с 26 ± 258 с 0.5 ± 2.50.2 с

ε, кэВ 7212 ± 2 7211 ± 2 7205 ± 2 7203 ± 3 коперниций 7205 ± 1 7206 ± 2 7201 ± 2 7202 ± 2 7197 ± 1 7197 ± 2 7191 ± 2 7192 ± 3 7185 ± 2

Моды распада α 100% SF 100%, α α 100%, SF SF ?, α ?

copernicium

0.50 ± 0.330.14 мс 4.0 ± 1.30.7 с 101 ± 4122 мс 30 ± 3010 с

α ?, SF ? SF ?, α ? α ?, SF ? α 100% SF 100% α ≥ 90%, SF ≤ 10% SF 100% α 100%

7182 ± 1 7178 ± 2 7174 ± 2 7174 ± 3 7169 ± 2 7168 ± 3 флеровий 7158 ± 2 7159 ± 2 7154 ± 2 7155 ± 3 7149 ± 2

0.24 ± 1.140.11 мс 100 ± 49045 мс 0.48 ± 0.580.17 с 5.5 ± 5.01.8 с 20 ± 949 с

7139 ± 2 7136 ± 2 7136 ± 3 7132 ± 2 7131 ± 3 ливерморий 7119 ± 2 7120 ± 2 7116 ± 2 7117 ± 3 7111 ± 2

32 ± 15514 мс 87 ± 10530 мс 0.22 ± 0.260.08 с 16 ± 767 мс

15 ± 266 мс 6.3 ± 11.62.5 мс 18 ± 166 мс 53 ± 6219 мс

α 100% α 100% α 100% α 100%

7097 ± 3 7093 ± 2

14 ± 114 мс 0.08 ± 0.370.04 с

α 100%, SF α 100%

7080 ± 2

0.9 ± 1.10.3 мс

α, SF ≤ 50%

α 100% α 100% α 100% α 100%, SF α 100%, SF α ?, SF ?

flerovium 0.16 ± 0.070.03 с 0.51 ± 0.180.10 с 0.52 ± 0.220.13 с 0.97 ± 0.970.32 с

α α ≈ 40%, SF ≈ 60% α 100% α 100% α 100% α 100% α 100% α 100%, SF α 100%, SF α ?, SF ?

livermorium

291

Учебное издание

ИШХАНОВ Борис Саркисович, СТЕПАНОВ Михаил Евгеньевич, ТРЕТЬЯКОВА Татьяна Юрьевна

СЕМИНАРЫ ПО ФИЗИКЕ ЧАСТИЦ И АТОМНОГО ЯДРА Учебное пособие

В оформлении обложки использован фрагмент картины В. Ван Гога «Звездная ночь»

Работа поступила в ОНТИ 30 мая 2016 года

Формат 60×90 1/16. Бумага офсетная Печать цифровая. Тираж 150 экз. Заказ №