Статистические методы в биологии 978-966-2129-26-7

Table of contents :
Содержание
1. Систематизация данных
Совокупности, признаки, даты
Частотное распределение
Ранжирование
Количественная вариация
Качественная вариация
2. Характеристики распределений
Средние величины
Показатели вариации
3. Вероятности и распределения
Основные понятия теории вероятностей
Биномиальное распределение
Нормальное распределение
Распределение Пуассона
4. Оценка генерального параметра
Статистические ошибки
Оценки генеральных параметров
5. Статистические гипотезы
Нулевая и альтернативная гипотезы
Уровень значимости
Статистические критерии
6. Проверка распределения дат на нормальность
Характер распределения дат и выбор статистического метода
Большие выборки (сотни дат)
Малочисленные выборки (не менее 50 дат)
Выборки менее 30 дат
7. Сравнение даты с группой
Выпадающие даты
Нормально распределяющиеся даты
Свободно распределяющиеся даты
8. Сравнение групп
Выбор метода.
Количественные признаки. Нормально распределяющиеся даты. Большие выборки
Количественные и порядковые (ранговые) признаки. Даты с любым типом распределения. Небольшие выборки
Качественные признаки
Сравнение рядов распределения
Сравнение нескольких групп
9. Дисперсионный анализ
Теория дисперсионного анализа
Однофакторный параметрический дисперсионный анализ количественных признаков
Дисперсионный анализ качественных признаков
Непараметрический дисперсионный анализ
10. Анализ связи
Корреляция и регрессия
Количественные и ранговые признаки. Линейная связь
Нелинейная связь. Оценка формы связи
Качественные признаки.
Связь между качественными и количественными признаками
11. Методология научного исследования
Выборочный метод исследования
Условия проведения эксперимента
Точность и ошибки исследования
Статистика и логика
Мифы и предубеждения
Приложение. Таблицы статистических критериев

Citation preview

Л. А. АТРАМЕНТОВА О. М. УТЕВСКАЯ

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

В БИОЛОГИИ

Учебник для студентов высших учебных заведений

Горловка 2008

УДК 57.087.1 ББК 28в6 А 92

Утверждено Министерством образования и науки Украины в качестве учебника для студентов высших учебных заведений (письмо № 1.4/18-Г-373 от 04.07.06 г.)

Рецензенты: С. С. Мал юта, член-корреспондент НАН Украины, доктор биологических наук, профессор, заведующий отделом молекулярной генетики Института молекулярной биологии и генетики НАН Украины; Л. И. Остапченко, доктор биологических наук, профессор, декан биологического факультета Киевского национального университета имени Тараса Шевченко; В. В. Мясоедов, доктор медицинских наук, профессор, заведующий кафедрой медицинской биологии Харьковского государственного медицинского университета

А 92

Атраментова Л. О. Статистичні методи в біології: підручник [для огуд. вищ. навч. закл.]/ Атраментовая. О, Утєвська О. М. - Горлівка: «Видавництво Ліхтар», 2008. - 248 с. - Рос. мов. (SBN 978-966-2129-26-7 У підручнику наведено статистичні методи, що застосовуються для аналізу експери­ ментальних даних з біології й суміжних наук. Наведені параметричні й непараметричні методи стш'истики. Кожен метод супроводжуєі’ься прикладами з описом техніки розрахунків. У додатку розміщені необхідні статистичні таблиці. Кпиіїі призначенії для науковців, асгіираитів і студентів біологічних, медичних і психо­ логічних спеціальностей, може використовуватися викладачами вищих навчальних закладів.

ББК28в6

А 92

Атраментова Л. А> Статистические методы в биологии: учебник [для студ. высш. уч. зав.] / Атраментова Л. А, Утевская О. М. - Горловка: «Видавницгво Л1хтар», 2008. - 248 с.

В учебнике описаны статистические методы, применяемые для анализа экспериментальных данных из биологии и смежных наук. Приведены параметрические и непараметрические методы статистики. Каждый метод сопровождается примерами с описанием техники расчётов. В приложении помещены необходимые статистические таблицы. Книга предназначена для научных работников, аспирантов и студентов биологических, медицинских и психологических специальностей, может использоваться преподавателями высших учебных заведений.

ISBN 978-966-2129-26-7 © Атраментовая. А., Утевская О. М., 2008

ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящее время никто не оспаривает необходимости статистического анализа в исследовательской практике. Между тем, у многих исследователей сложилось отношение к нему как к чему-то второстепенному. Большинство начинающих учёных считают, что главное - провести наблюдение, выполнить эксперимент, то есть, получить данные, а далее можно их, как говорят, «статистически обработать». Иными словами, к статистике обращаются не потому, что испытывают в ней потребность, вытекающую из самой сути исследования, а потому, что «так принято». Научный работник должен безупречно владеть специальными методиками. Но только этого для научной работы недостаточно. Мало получить научные факты, их необходимо проанализировать. Первый этап - анализ статисти­ ческий. Именно статистический анализ, а не субъективное ощущение, даёт учёному право исключить из дальнейшего рассмотрения ту или иную дату, подобрать адекватный, а не «общепринятый» критерий для проверки выдви­ нутой гипотезы и т.д. Строго говоря, к статистике необходимо обращаться не в конце, а в начале исследования. Ведь нередко бывает так: собран большой экспериментальный материал, а анализировать, собственно говоря, нечего. Есть набор данных, собранных без определённой системы, из которых трудно получить скольконибудь ценный в научном отношении результат, поскольку при формировании сопоставимых групп данных оказывается слишком мало. Так получилось потому, что заранее не был продуман объём исследования, и обнаруженная разница оказалась статистически не значимой. В других случаях объём исследований слишком велик и даёт более высокую значимость, чем та, которую считают достаточной. Казалось бы, ничего страшного в этом нет: чем больше, тем лучше. Однако существует принцип: меньше нельзя, а больше не нужно. Не нужно тратить время и средства на работу, которая ничего не прибавляет к научному выводу. Чтобы разумно расходовать ресурсы, к статис­ тике необходимо прибегать не в конце исследования, а в начале, ещё на стадии планирования работы. Наиболее частая ошибка, которая обнаруживается во многих работах использование неадекватного статистического критерия. Это приводит к непра­ вильным статистическим, а затем и научным выводам и бесполезным, если не

______________________________________________________ П редислов ие___________________________________________________

вредным, практическим рекомендациям. Как правило, исследователь не объяс­ няет, почему он использует тот, а не иной статистический метод. Выбор критерия также должен быть обоснован с помощью специальных приёмов, которые являются частью общего научного анализа. Мало кто из исследователей задумывается над результатами эксперимента, в котором получен, как говорят, отрицательный результат: не обнаружена разница, не выявлена связь, не доказано влияние. Обычно эти результаты принимаются безоговорочно на том лишь основании, что полученная величина «статистически не значима». А может быть, в реальности разница существует, но мощность критерия недостаточна, чтобы выявить её в эксперименте? Смутно представляя значение статистики, некоторые исследователи пере­ дают фактический материал специалисту по «компьютерной обработке». Обычно это работник с техническим образованием или просто «компьютерный гений». Не имея представления о сути конкретной научной проблемы, он возвращает заказчику множество статистических показателей, выданных компьютером, а тот, как правило, не знает, что с ними делать. Вообще слова «компьютерные программы» на многих научных работников, не имеющих математического или технического образования, производят магическое действие. Им кажется, что и на других тоже. Упомянув в научном труде фразу «данные статистически обработаны с помощью таких-то компьютерных про|рамм» (далее на 3-5 строчках следует обозначение марки компьютера с техническими характеристиками и название программ), они считают свою задачу по информированию читателя о статистическом анализе выполненной. Следует отметить, что программное изобилие породило у многих иссле­ дователей ложные надежды. Они считают, что достаточно добыть такую программу и установить её на своём компьютере, как проблемы со статисти­ ческим анализом решатся сами собой. Однако, чудес не бывает. К слову сказать, доступные нам компьютерные программы по преимуществу пират­ ского происхождения (цена лицензионных программ часто просто недоступна). А что можно ожидать от таких программ? Случается, они дают сбои, а иссле­ дователь, не владея элементарными знаниями по статистике, не видит этого, даже если на выходе полный абсурд. Случается, что исследователь не может внятно объяснить, почему он использует тот, а не иной статистический метод и обычно следует традиции, сложившейся в научном микросоциуме. В действительности же выбор кри­ терия должен определяться не подражанием, а логикой. Выбор критерия должен быть обоснован с помощью специальных приёмов, которые являются частью общего научного анализа. Всё больше становится научных работников, которые пытаются самосто­ ятельно разобраться в компьютерных программах по специальным пособиям. К сожалению, теоретические выкладки, написанные разработчиками программ, часто недоступны для понимания биологов, врачей, психологов, социологов 4

______________________________________________________ Предисловие___________________________________________________

и др. Результатом этого является нередкие ситуации, когда мощные компьютер­ ные программы используются для простейших вычислений, которые легко делаются с помощью калькулятора. Таким образом, сложилась парадоксальная ситуация - имеются огромные возможности компьютерной техники, но нет возможности эффективно её использовать. Приступать к статистическому анализу с помощью компью­ терных программ, не умея вручную получить необходимые статистические показатели, так же неразумно, как садиться за руль автомобиля, не зная правил дорожного движения. Без понимания смысла статистического анализа невозможно эффективно использовать современные компьютерные программы. Надо помнить, что компьютер незаменим при наличии большого количества показателей в огром­ ных выборках. Без компьютера невозможна многомерная статистика. Статис­ тика, которой посвящён изучаемый в университетах курс, является одномер­ ной. Эта статистика закладывает основу для использования более сложных видов анализа с использованием многомерной статистики.

л I

СИСТЕМАТИЗАЦИЯ ДАННЫХ

1.1. СОВОКУПНОСТИ, ПРИЗНАКИ, ДАТЫ

Статистический анализ применяется к группам, которые включают хотя бы два объекта. Любая группа, независимо от её размера, в статистике называ­ ется совокупностью. Исследователи чаще всего имеют дело с совокупностями, хотя научный интерес представляют и единичные объекты. К единичному объекту статистический анализ не применим. Объекты, составляющие совокуп­ ность, характеризуются особенностями, которые отличают их от других объек­ тов - признаками. Числовая выраженность признака называется датой. Изучая явление, исследователь имеет дело с группами физических объектов, а, проводя статистический анализ, оперирует числами - датами.

ГЕНЕРАЛЬНЫЕ И ВЫБОРОЧНЫЕ СОВОКУПНОСТИ В статистике различают генеральные и выборочные совокупности. Гене­ ральная и выборочная совокупности соотносятся как целое и часть.

Генеральная совокупность

В понятие «генеральная совокупность» вкладывается разный смысл - всё зависит от цели исследования. Генеральные совокупности могут представлять собой группы реально существующих объектов. В этом случае генеральной совокупностью являются все объекты, которые могут быть отнесены к инте­ ресующей исследователя категории, например, все мухи вида Drosophila melanogaster, все крысы лабораторной линии Вистар и т. д. Генеральной совокупностью может быть набор чисел, описывающий дей­ ствительные или предполагаемые свойства объектов. Если одни и те же объек­ ты измеряются несколько раз в различных экспериментальных условиях, то генеральными совокупностями являются теоретически возможные наборы дат, получаемые на одних же и тех же физических объектах в разных условиях. Генеральная совокупность может быть численно конечной или бесконеч­ ной. В большинстве случаев генеральная совокупность реально существующих 6

_______________________________ ______________ 1 .Систематизация данных_________________ _____________________________

объектов является очень большой, практически бесконечной. Такая совокуп­ ность не может быть изучена в полном объёме. Некоторые генеральные сово­ купности невелики по размеру и доступны для сплошного изучения. Дело в том, что пределы генеральной совокупности задаёт исследователь в зависимости от того, какую научную проблему он собирается решать. К примеру, одной из задач исследования является изучение показателя умственного развития, выраженного в баллах IQ, пятнадцатилетних городских мальчиков. В этом случае генеральной совокупностью будут все индивиды мужского пола пятнадцати лет, живущие в городах страны, где проводится исследование. Эта генеральная совокупность очень большая, и изучить её всю не представляется возможным. Если стоит задача определить IQ пятнадцатилетних мальчиков, имеющих звание мастера спорта по шахматам, то генеральная совокупность будет во много раз меньшей и доступной для сплошного исследования. Круг объектов, входящих в генеральную совокупность, определяется зада­ чей, которую формулирует исследователь. Например, необходимо выяснить, влияет ли радиоактивное излучение на хромосомы человека, а если влияет, то каким образом. Эта научная задача может быть решена с помощью разных подходов. Можно провести эксперимент по действию радиоактивного излуче­ ния на клетки человека в культуре (in vitro). Объектом исследования в таком эксперименте является отдельная клетка со своими хромосомами. Генеральной совокупностью являются все клетки, которые теоретически можно получить при поддержании культуры. Такую генеральную совокупность можно считать практически бесконечной. Эта же научная задача может быть сформулирована по-другому: влияет ли радиоактивный фон на частоту хромосомных перестроек у работников атомной электростанции? При такой постановке задачи объектами генеральной совокуп­ ности являются не клетки, а люди. Такая генеральная совокупность тоже практически бесконечна, так как выводы о действии излучения переносятся на всех людей, которые могли бы работать на атомной электростанции. Возможна и такая постановка задачи: повлияла ли одноразовая утечка радиоактивного вещества на хромосомы работников атомной электростанции? Генеральной совокупностью в таком исследовании являются сотрудники стан­ ции, которые находились в зоне действия радиации. Объём этой генеральной совокупности - несколько десятков человек, оказавшихся в зоне излучения. Такую генеральную совокупность можно изучить полностью.

Выборочная совокупность (выборка)

Имея дело с большими генеральными совокупностями, исследователь не может изучить их полностью. В этом и нет необходимости, поскольку пред­ ставление о генеральной совокупности можно составить по её части - выбороч­ ной совокупности. Выборочная совокупность (выборка) - это часть генераль­ ной совокупности, взятая для исследования. 7

______________________________________________ 1 .Систематизация данных______________________________________________

Для того, чтобы по выборке составить правильное представление о гене­ ральной совокупности, первая должна по возможности полно и правильно отра­ жать последнюю, то есть, выборка должна быть представительной - репрезен­ тативной, Единственный принцип, который взят в основу отбора объектов в выборку - принцип случайности. Дря. того, чтобы его реализовать, исследо­ ватель создаёт такие условия отбора, чтобы у каждого представителя гене­ ральной совокупности была одинаковая вероятность попасть в выборку. Только с помощью случайного отбора можно сформировать репрезентативную выбор­ ку. Все иные принципы отбора приводят к формированию смещённой выборки. Научной практикой выработаны конкретные приёмы формирования вы­ борки для различных объектов, однако принцип случайности должен соблю­ даться всегда. При таком отборе каждый представитель генеральной совокуп­ ности, независимо от его индивидуальных особенностей, имеет равный со всеми остальными её членами шанс попасть в выборку. Начинающие исследователи иногда считают, что в выборку необходимо отобрать «наиболее типичных», «средних» или «одинаковых». Это грубая ошибка. Ведь составить представление о том, что такое «типичный» или «средний» объект можно только после того, как совокупность изучена. С использованием выборок решают два вида задач: 1. По выборке оценивают неизвестные параметры генеральной совокупности, из которой она взята. Этой задаче соответствует первая модель генеральной совокупности. 2. Выясняют, соответствует ли выборка, взятая из неизвестной генеральной совокупности, той генеральной совокупности, параметры которой известны. Этой задаче соответствует вторая модель генеральной совокупности. Соответственно изложенным задачам выделяют два типа выборок. Вы­ борка первого типа формируется в том случае, когда объекты отбираются из известной генеральной совокупности с неизвестными характеристиками. Такая выборка изучается для того, чтобы составить представление обо всей генеральной совокупности. Например, необходимо узнать всхожесть большой партии семян. Для этого в случайном порядке отбирают некоторое количество семян (например, 200) и проращивают их. Процент взошедших семян (напри­ мер, 83 %) даёт ориентировочное представление о всхожести всей партии. Всхожесть семян учитывают при посеве: чем она меньше, тем больше семян необходимо внести в почву. Второй тип выборок - это выборки, происхождение которых неизвестно, так как они взяты из неизвестной генеральной совокупности. Показатели, полученные на такой выборке, сравнивают с показателями известной генераль­ ной совокупности, и заключают, принадлежит исследуемая выборка к данной генеральной совокупности или нет. Например, имеется партия семян со средней массой 517 мг. Необходимо решить, относится ли эта партия к сорту со средней массой семян 495 мг. 8

______________________________________________ 1 .Систематизация данных_______________________________________________

К задачам второй типа, решаемых с помощью выборок, относятся и такие, в которых необходимо выяснить, соответствуют ли характеристики данной выборки теоретической модели. Например, выясняя тип наследования окраски оперения волнистых попугайчиков, селекционер сопоставляет расщепление в потомстве от определённых скрещиваний с теоретической моделью. Скрещи­ вая белых попугайчиков с зелёными, он сопоставляет расщепление в потомстве (выборке) с моделью наследования, согласно которой потомство второго по­ коления расщепляется на фенотипические классы в соотношении 9 зелёных, 3 голубых, 3 жёлтых, 1 белый. Обычно исследование включает несколько выборок. Выборки, задейство­ ванные в эксперименте, могут быть независимыми и зависимыми. В независи­ мых выборках объекты никак не соотносятся друг с другом, кроме того, что могут быть взяты из одной генеральной совокупности. Объекты, составляющие такие выборки, никак не связаны. Если каждому объекту одной выборки соответствует определённый объект другой выборки, то такие выборки являются зависимыми. Подбор объектов во вторую выборку определяется тем, какой объект попал в первую выборку. Так, для изучения роли наследст­ венности в формировании уровня интеллекта, который оценивается в баллах 1(2, формируют группы родственников. Одна группа включает одного из родителей (мать или отца), вторая - потомков (сыновей и/или дочерей). Это зависимые выборки, так как каждому испытуемому родительской группы соответствует испытуемый в группе потомков. Используя близнецовый метод, также формируют две зависимые группы: одна группа включает одного партнёра близнецовой пары, а другая - второго. Размер выборки определяет особенности статистического анализа. Важен как абсолютный размер выборки, так и размер выборки по отношению к генеральной совокупности. Абсолютный размер выборки может иметь значе­ ние при решении вопроса о том, какой метод использовать - параметрический или непараметрический. Относительный объём выборки определяет поправку, которую нужно вносить в формулу для расчёта статистического показателя. Выборка любого размера по отношению к бесконечно большой генеральной совокупности является величиной бесконечно малой. Если генеральная сово­ купность состоит из обозримого числа объектов, то можно установить, какую долю от неё составляет выборка. Эта величина - доля выборки по отношению к генеральной совокупности - вводится в формулы расчётов статистических показателей.

Параметры и статистики

Математические величины, характеризующие генеральную совокупность, называются параметрами. Параметры обозначаются греческими буквами (ц средняя арифметическая, о - стандартное отклонение, р - коэффициент корреляции и т. д.). Математические величины, характеризующие выборку, 9

______________________________________________ 1 .Систематизация данных______________________________________________

называются выборочными характеристиками, или статистиками. Их обычно обозначают латинскими буквами (х - средняя арифметическая, 5 - стандартное отклонение, г - коэффициент корреляции). Все статистики имеют ошибку выборочности (статистическую ошибку, или ошибку репрезентативности) (см. п. 4.1). Параметры статистической ошибки не имеют. Что получается при вычислениях - параметры или статистики - зависит от того, какая совокупность исследуется - генеральная или выборочная. Как уже отмечалось, генеральная совокупность реальных объектов, которую можно исследовать целиком, встречается редко. Такая ситуация возможна, например, при изучении признаков новой породы животных, насчитывающей несколько десятков особей и потому доступной для сплошного изучения. Если изучаются все существующие на данный момент особи породы, то формально они составляют генеральную совокупность, показатели которой являются парамет­ рами и статистической ошибки не имеют. Ситуацию можно представить иначе. Если новая порода будет разводиться, то существующую в данный момент группу следует рассматривать как выборку из практически неограниченной в будущем совокупности. В этом случае показатели ныне существующей груп­ пы являются статистиками и дают представление о будущих поколениях с не­ которой погрешностью, которая находит отражение в ошибке выборочности.

КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ, КАЧЕСТВЕННЫЕ И РАНГОВЫЕ ПРИЗНАКИ

Объекты характеризуются множеством самых разнообразных признаков. Для удобства их условно делят на качественные, количественные и ранговые. В руководствах по статистике в таких случаях используют понятие шкалы признаков: номинальную, интервальную, порядковую. Количественные признаки (интервальная шкала) можно измерить, посчи­ тать и выразить в тех или иных единицах измерения. Количественные признаки бывают дискретными и непрерывными. По дискретным признакам объекты могут отличаться на минимальное фиксированное значение, например, на еди­ ницу (количество детей в семье 1, 2, 3, 4 и т. д.). По непрерывным признакам объекты могут различаться на сколь угодно малые значения. Например, массу можно измерять в килограммах, граммах, миллиграммах и т. д. По качественным признакам (номинальная шкала) объекты можно разделить на чёткие категории. Качественный признак может иметь несколько состояний. Так, шерсть животного может быть чёрной, белой, коричневой, рыжей; цвет глаз - чёрным, коричневым серым, зелёным, голубым. Некоторые качественные признаки имеют два состояния: пол мужской или женский, ген мутантный или нормальный, обследуемый болен или здоров, особь фертильная или стерильная. Качественные признаки с двумя состояниями называются альтернативными (дихотомическая номинальная шкала).

ю

______________________________________________ 1 .Систематизация данных______________________________________________

В статистическом анализе приходится иметь дело с признаками, которые трудно описать с помощью физических величин; их разнообразию невозможно дать точную количественную или качественную характеристику. Например, нельзя численно выразить разницу во вкусовых качествах яблок разных сортов, хотя с помощью химического анализа можно найти процентное содержание в них кислот и сахаров. Невозможно дать точную количественную оценку качества меха пушных животных, хотя можно измерить длину и толщину волоса, а также количество волосков на квадратном сантиметре шкуры. Степень развития таких признаков субъективно оценивается словами «лучше или хуже», «больше или меньше» и т. п. В таких случаях каждому объекту присваивают ранг - условное численное значение, которое описывает степень развития признака. Например, при продаже овощей их по внешнему виду и/или вкусу разделяют на первый, второй, третий сорта. Такие признаки называются ранговыми (порядковая шкала). Деление признаков на качественные, количественные и ранговые условно. Всё зависит от выбора шкалы. Например, можно выбрать количественную шкалу и оценивать массу людей в килограммах, а кровяное давление в милли­ метрах ртутного столба. Тех же людей можно разделить на качественные группы «нормальный вес» и «избыточный вес», «здоровые» и «гипертоники». Если распределить людей в порядке возрастания веса или кровяного давления и присвоить им повышающиеся ранги, то признаки будут анализироваться как ранговые. Признаки бывают простыми и составными (с множественной характе­ ристикой). Масса отдельного яблока - пример простого признака. Чтобы его оценить, достаточно измерить один плод. Пример составного признака - масса яблок определённого сорта. Чтобы охарактеризовать этот признак, необходимо измерить несколько плодов.

ДАТЫ. СТРУКТУРА И ТРАНСФОРМАЦИЯ ДАТ

Значения, характеризующие количественный признак, называются дата­ ми. Они представляют собой числа любой размерности. Даты могут представ­ лять собой доли - положительные числа от 0 до 1, или проценты от 0 до 100 %. Датами могут быть ранги - числа-символы, не имеющие точного физического смысла. Продемонстрируем разницу между количественными датами и рангами. Сравнивая две количественные даты, мы получаем точную информацию о раз­ нице между ними. Например, кролик массой 1,5 кг на 0,2 кг тяжелее кролика, масса которого 1,3 кг. Если масса выражается в рангах, то кролик № 4 тяжелее кролика № 3, но насколько - определить невозможно.

и

______________________________________________ 1 .Систематизация данны х______________________________________________

Структура дат Представлять структуру дат очень важно, так как от этого зависит метод статистического анализа. Даты могут быть первичными и вторичными. Первичные даты - это результаты непосредственных измерений. Вторичные даты получаются усреднением первичных дат. Например, необходимо узнать массу тела человека и выяснить уровень сахара у него в крови. Чтобы узнать массу, человека нужно взвесить. Одноразовое взвешивание даёт достаточно точный результат, поэтому взвешивание, как правило, не повторяют. Методика определения количества сахара в крови более сложная и даёт менее точный результат. В связи с этим делают несколько параллельных проб, по результатам которых вычисляется среднее арифметическое. Параллельные измерения являются первичными датами, а усреднённый результат - вторичной датой. Первичные и вторичные даты появляются и при учёте признаков с мно­ жественной характеристикой. Например, чтобы охарактеризовать дерево по массе яблок, необходимо взвесить несколько плодов (первичные даты) и найти среднее арифметическое (вторичная дата). Если один и тот же объект измеряется дважды (в разных эксперименталь­ ных условиях), то полученные даты формируют пары. Пары дат получаются также в том случае, если каждому объекту одной выборки соответствует вполне определённый объект другой выборки. Это попарно связанные даты. Трансформация дат

Каждый статистический метод предназначен для анализа групп, в которых даты распределяются вполне определённым образом. Применение метода к датам, которые не соответствуют нужному распределению, даёт неверный результат. Реальное распределение дат никогда не соответствует ни одной идеальной теоретической модели. Тем не менее, статистические методы успеш­ но применяются к анализу фактических данных, если отклонение в распреде­ лении дат несущественно отличается от теоретического. Если распределение дат неадекватно методу, который хочет применить исследователь, можно представить его в другой шкале. Этот приём называется трансформацией дат. Трансформацию дат проводят по ряду причин: при необходимости стаби­ лизировать дисперсию (см. п. 2.2), сделать связь линейной (см. п. 10.1), прибли­ зить распределение к нормальному (см. п. 3.3), упростить расчёты громоздких дат, сделать результаты пригодными к презентации в приемлемой шкале. Многие статистические методы требуют равенства дисперсий (см. п. 2.2) в сравниваемых группах. Если это условие не выполняется, проделываются специальные приёмы, при которых группы оцениваются дифференциально. Параметрические критерии (см. п. 5.3) требуют нормального распределения дат (см. п. 3.3), поэтому делают перевод дат из одной шкалы в другую, что нормализует распределение. Часто нормализация дат также приводит к стаби­ лизации дисперсии. 12

______________________________________________ 1 .Cue 1ематизаиия данных______________________________________________

Трансформация может быть линейной, например, если температуру пере­ водят из градусов Фаренгейта в градусы Цельсия. Более конструктивным является нелинейное преобразование, например, перевод в логарифмы или квадратные корни. Для удобства вычислений громоздкие даты можно трансфор­ мировать в более простые, например, путём вычитания постоянной величины. К приёмам трансформации дат относится логарифмическое преобра­ зование. При логарифмическом преобразовании исходные даты х заменяются датами у, которые представляют собой логарифмы исходных дат: y = logx. (1.1) Логарифмическая трансформация, которая может быть десятичной или натуральной, возможна только для положительных дат, так как logO = -«>, а логарифмы отрицательных чисел не существуют. Как видно из табл. 1.1, при логарифмическом преобразовании разнообра­ зие и разброс значений уменьшаются (дисперсия у меньше дисперсии х). Распределение становится менее асимметричным и приближается к нормально­ му (см. п. 3.3). К такому преобразованию прибегают при работе с данными микробиологии, иммунологии, а также когда имеют дело с концентрациями. Таблица 1.1. Пример перевода дат х в десятичный логарифм у

X

У = logx

2 0,3

20 1,3

200 2,3

2000 3,3

Для трансформации дат используют также степенное преобразование: у = х‘. (1.2) При этом значение х должно быть только положительным. Если с = 0,5, происходит квадратнокорневое преобразование (у = >/х), которое позволяет стабилизировать дисперсию. Такое преобразование часто используют для дат, распределяющихся в соответствии с законом Пуассона. При с = -1 происходит

обратное преобразование ( у = — ). х Все эти преобразования позволяют приспособить исходные даты для анализа параметрическими методами (см. п. 5.3)

*1.2. ЧАСТОТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Для лучшего восприятия больших массивов данных и облегчения анализа даты упорядочивают. В зависимости от характера вариации первичные данные сводят в таблицы, распределяют в вариационные ряды, для большей нагляд­ ности изображают в виде графиков. 13

______________________________________________ 1 .С истемал нация данны х______________________________________________

Самый распространённый способ организации данных - построение частотного распределения. Частотное распределение - это таблица, показыва­ ющая, какие значения принимает признак, и как часто эти значения встречают­ ся в совокупности. Значения, которые может принимать признак, обозначаются как классы. Числа, показывающие, как часто встречаются отдельные классы, называются частотами. Частоты, выраженные в числе наблюдений, называются абсолютными, а выраженные в долях единицы или процентах - относительными. Частотное распределение можно представить в виде абсолютного, относительного и куму­ лятивного (накопительного).

АБСОЛЮТНЫЕ ЧАСТОТЫ. АБСОЛЮТНОЕ ЧАСТОТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Абсолютная частота - это количество наблюдений в данном классе. Распределение, выраженное в абсолютных частотах, называется абсолютным частотным распределением (табл. 1.2). Таблица 1.2. Абсолютное частотное распределение семей по количеству детей

Количество детей, X

Число семей (/), имеющих х детей

О 1 2 3 4 5

44 282 200 18 3 1

Всего

1/= п = 548

ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ЧАСТОТЫ. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ЧАСТОТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Два и большее число распределений удобно сравнивать не по абсолютным, а по относительным частотам. Например, выраженные в абсолютных частотах распределения из таблицы 1.3 (столбцы 2 и 3), трудно сравнивать, так как каждое из них состоит из разного числа наблюдений. В таких случаях абсолютные частоты переводят в относительные - выражают их в виде долей или процентов от общего числа наблюдений. Получается относительное частотное распределение, которое показывает пропорцию каждого класса в общей группе (табл. 1.3, столбцы 4 и 5). 14

______________________________________________ 1 .С і істема 11 ізаці )я да н ны х_______________________________________________

Таблица 1.3. Частотное распределение населения по национальностям в двух городах Количество, чел

Количество, %

Национальность

1-й город

2-й город

1 -й город

2-й город

Украинцы Русские Евреи Белорусы Другие

505 504 50 11 30

549 75 4 1 31

45,9 45,8 4,6 1,0 2,7

83,2 11,4 0,6 0,2 4,6

Всего

1100

660

100

100

Чтобы рассчитать относительные частоты, абсолютную частоту каждого класса делят на общее число дат (//п). Полученные пропорции классовых интервалов выражаются в долях. Если необходимо выразить относительные частоты в процентах, то их умножают на 100. Правильность расчётов проверяют суммированием: при правильном вычислении сумма относительных частот будет равна 1 или 100 %.

НАКОПЛЕННЫЕ ЧАСТОТЫ. КУМУЛЯТИВНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Накопленная (кумулятивная) частота - это сумма частот предыдущих классов. Она показывает процент дат, которые располагаются между началом вариационного ряда и верхними границами классовых интервалов. Накоп­ ленные частоты находят последовательным суммированием частот в направ­ лении от первого класса до конца вариационного ряда. Для построения кумулятивного частотного распределения сначала стро­ ится обычное частотное распределение. Затем последовательно складывают частоты всех предыдущих классов и частоту данного класса. Например, чтобы определить кумулятивную частоту третьего класса, необходимо сложить частоты первого, второго и третьего классов. Частота последнего класса равна 100% (табл. 1.4). Таблица 1.4. Частотное распределение студенток по росту

Рост, см

Количество, Абсолютная на­ чел копленная частота, чел

151-155 156-160 161 - 165 166-170 171 - 175 176-180

12 39 64 31 48 6

Всего

200

12 51 115 146 194 200

Относительная Количество, % накопленная частота (%)

6,0 19,5 32,0 15,5 24,0 3,0 100,0 15

6,0 25,5 57,5 73,0 97,0 100,0

______________________________________________ 1 .Сі істематизаці ія ланных______________________________________________

1.3. РАНЖИРОВАНИЕ

ПРАВИЛА РАНЖИРОВАНИЯ

Ранжирование - это замена фактических значений признака рангами. Ранги - это места, последовательно занимаемые датами при их упорядочении по возрастанию или убыванию. Ранжирование производится в отношении признаков, которым невозможно дать точное количественное описание, но при этом их можно упорядочить. Например, собак на выставке можно расположить по соответствию стандартам породы, присвоив им места - ранги. В данном случае ранжирование является единственным приёмом оценки. Ранжировать можно и количественные признаки. Например, можно ранжировать вы­ пускников школы по среднему баллу в аттестате. Можно выделить лучших учеников для награждения специальными призами. Например, выдать аттестат с отличием тем, у кого средний балл выше 4,76. В этом случае количественный признак предстаёт как качественный. Ранговая шкала показывает, что данный признак развит больше или меньше, но не указывает насколько. Рассмотрим на конкретном примере, как производится ранжирование. Набор дат в количестве п (8, 5, 9, 7, 11, 6, 10, 9, 6, 15) записывается в порядке возрастания, даты нумеруются от 1 до п\ Даты: Порядковые номера:

56 1 2

78 4 5

6 3

9 6

9 7

10 8

11 9

15 10

После этого каждой дате присваивается ранг. Если даты не повторяются, ранги совпадают с номерами. Если есть повторяющиеся даты, им присваива­ ются одинаковые ранги. Эти ранги представляют собой средние арифмети­ ческие номеров, присвоенных одинаковым датам. Даты: Порядковые номера: Ранги:

5 1 1

6 2 2,5

6 3 2,5

7 4 4

8 5 5

9 6 6,5

9 7 6,5

10 8 8

11 9 9

15 10 10

Ранги для 2-й и 3-й дат вычисляем так: (2 + 3) / 2 = 2,5; для 6-й и 7-й дат: (6 + 7) / 2 = 6,5. Проверку правильности ранжирования проводят суммиро­ ванием: сумма рангов должна быть равна сумме порядковых номеров. После ранжирования все дальнейшие статистические действия производятся не с ис­ ходными датами, а с их рангами. К ранжированию дат прибегают при вычисле­ нии непараметрических статистических критериев. 16

______________________________________________ 1 .Снегемаї изация данных_______________________________________________

РАНЖИРОВАНИЕ ДВУХ ВЫБОРОК В ОБЩИЙ РЯД В некоторых статистических методах данные для двух выборок ранжи­ руются в общий ряд. Такая процедура производится при сравнении двух групп методами непараметрической статистики (см. п. 5.3). Предположим, даны две группы дат: 1)5,3,8,4,6,3 (и, = 6); 2) 7, 8, 2, 9,6, 9, 7 (пу= 7). Принадлежность дат к группе отмечается индексами 1 и 2: 1) 5і, Зі, 8і, 4Ь 6і, Зі; 2) 72, 82, 22,92, 62, 92, 72. Из двух групп формируется общий ряд. Даты объединяются и распола­ гаются по возрастанию. При этом отмечается принадлежность каждой даты к своей выборке. Для этого можно использовать нижние индексы (а) или развести даты пространственно (6). Датам присваиваются порядковые номера, затем производится ранжирование по общим правилам. а) Даты Номера Ранги б) Даты 1 Даты 2 Номера Ранги

Зі 2 2,5

22 1 1 3

2 1 1

2 2,5

3, 3 2,5

3 3 2,5

4, 4 4

4 4 4

6і 6 6,5

51 5 5

5 5 5

62 7 6,5

72 9 8,5

72 8 8,5

82 10 10,5

6

8, и 10,5

92 12 12,5

92 13 12,5

8

6 7 6,5

6 6,5

7 8 8,5

7 9 8,5

8 10 10,5

11 10,5

9 12 12,5

9 13 12,5

1.4. КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ВАРИАЦИЯ

ВАРИАЦИОННЫЙ РЯД

Для анализа количественных признаков их организуют в вариационный ряд - двойной ряд чисел, который показывает, как значения признака связаны с их повторяемостью. Весь размах изменчивости разбивают на равные интервалы классы, а затем определяют частоту каждого класса. Совокупность дат можно распределить в интервальный или безинтервальный вариационный ряд. Безинтервальный вариационный ряд включает классы с единственным значением признака. В интервальном вариационном ряду классы включают объекты со значениями признака, лежащими в некотором промежутке - классовом интер­ вале. Наибольшее и наименьшее значения классового интервала называются 17

______________________________________________ 1 .С нстематизация дан ных_______________________________________________

классовыми границами. В интервальные ряды обычно распределяют признаки с большим размахом изменчивости. Признаки с небольшим размахом измен­ чивости распределяют в безинтервальные ряды. При построении интервального вариационного ряда следует придержи­ ваться следующих правил. 1. Найти наибольшую и наименьшую даты совокупности: Хтах и хт1П, рас­ считать размах изменчивости Я = хтах - хт1п. 2. Определить приблизительное число классов, на которое будет разбита сово­ купность. Сделать это можно несколькими способами, например, с помо­ щью формулы Старджеса: #=1+ 3,32 1ёи (1.3) или К=5 1%п (при п > 100), (1.4)

где К - число классов, п - число дат в совокупности. Можно, не производя расчётов, воспользоваться таблицей 1.5. Таблица 1.5. Рекомендуемое число классов вариационного ряда в зависимости от числа наблюдений

Число наблюдений п

Число классов К

25 40 40 60 60 100 100 200 > 200

5-6 6-8 7-10 8-12 10-15

При большой вариации удобно разбивать совокупность на 10-20 классов. Большое количество классов приводит к излишней подробности и уве­ личивает трудоёмкость работы. Малое число классов сглаживает ряд и иска­ жает распределение частот (рис. 1.5 а, в, г). 3. Определить классовый интервал. Для этого используют формулу:

Х = 5пахі5піп , (1 ,5) К где X - классовый интервал, Хщах и хтіп - максимальная и минимальная даты совокупности, К - число классов, на которые будет разбита совокупность. Если X = 1, данные распределяют в безинтервальный ряд, если X 1, данные распределяют в интервальный ряд. Нередко рассчитанное значение X оказывается дробным числом, что неудобно для работы. В этом случае его округляют до ближайшего более удобного числа. Если признак измеряется целыми числами, то и классовый интервал должен быть целым. Лучше всего, когда классовый интервал равен единице или числу, кратному 2, 5, 10, ... . Например, получив Х = 6,88, не обязательно округлять его до Х = 7, можно взять X = 5 или X = 10, но не X = 20. 18

1. СI ютем ат 11 за ни я да н н ы х

4. Наметить границы классов. Нижняя граница первого класса должна быть меньше минимальной даты, верхняя граница последнего класса - больше максимальной. Нижняя граница первого классового интервала устанав­ ливается так, чтобы минимальная дата совокупности попадала примерно в середину первого интервала: X хнпжн1 = хтш .----- ‘ (1.6) Верхняя граница отстоит от нижней на размер классового интервала: *.срм.1=*нпжн|+ХС1-7) Подобным образом следует наметить границы всех интервалов от пер­ вого до последнего. При выборе границ классовых интервалов следует руководствоваться соображениями удобства. Лучше взять 5, 10, 15..., чем 3, 8, 13.... Все интервалы должны быть равновеликими. Интервалы не должны перекрываться: нижняя граница последующего класса не должна совпадать с верхней границей предыдущего. Например, если даты представляют собой целые числа, нижняя граница последующего класса должна быть на еди­ ницу больше верхней границы предыдущего:

Класс____________________ 1_______________ 2_________________ 3__________________ 4________ Интервал

1-5

6-10

11 - 15

16-20

Для признаков, измеряемых в дробных числах, нижняя граница после­ дующего класса может быть больше верхней границы предыдущего на 0,1, 0,01,0,001 или любое другое число, не превышающее точность измерения: Класс____________________ 1_______________ 2_________________ 3__________________ 4________ 1,1-5,0

Интервал

5,1-10,0

10,1-15,0

15,1-20,0

5. Разнести даты по классам. Поочередно рассматривая все даты, заносят каждую в соответствующий классовый интервал. Разноску делают, отмечая каждую дату точкой, а затем штрихами: Частота

ш"фр

1

■

23456789

10

’’пип. сссси

После того, как все даты разнесены по классам, шифры преобразуют в абсолютные частоты, а затем в относительные.

**♦ Приведённая схема построения интервального ряда не является един­ ственно возможной. Придерживаясь её, можно сгруппировать данные более чем одним способом. Среди всех вариантов нужно выбрать наиболее понятный и наглядный. 19

______________________________________________ 1. С и с те м ат и за и 11 я д а н н ы х_______________________________________________

ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ КОЛИЧЕСТВЕННОЙ ВАРИАЦИИ Информацию, содержащуюся в таблице, можно представить графически. Графики воспринимаются лучше, чем таблицы, на них легче уловить законо­ мерности. Частотное распределение количественных признаков представляют в виде гистограммы, частотного полигона, кумулятивной кривой.

Гистограмма Интервальный вариационный ряд графически удобно представить в виде гистограммы - графика из серии столбцов, каждый из которых представляет частоту наблюдений в одном из классов распределения (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Гистограмма

При построении гистограммы используют прямоугольную систему коор­ динат. На вертикальной оси откладывают частоты, а на горизонтальной границы классов. Частоты могут выражаться как в абсолютных, так и в отно­ сительных единицах. Боковые стенки столбцов совпадают с границами классовых интервалов. Ширина столбца равна величине классового интервала, а высота - частоте. Гистограмма отображает распределение объектов одной категории с раз­ ной выраженностью количественного признака. Столбцы (одного тона или цвета) располагают без интервалов, что отличает гистограмму от столбчатой диаграммы. Полигон распределения (частотный полигон) Графически вариационный ряд можно изобразить в виде полигона рас­ пределения, или частотного полигона. Это график, в котором серединные точки каждого классового интервала соединены между собой и с горизон­ тальной осью координат (рис. 1.2). 20

______________________________________________ 1 .Систематизацня данных_______________________________________________

Рис. 1.2. Полигон распределения

Для построения этого графика за границами распределения добавляют по одному дополнительному классовому интервалу. Это интервалы с нулевой час­ тотой. Срединные точки всех классовых интервалов, в том числе и дополни­ тельных, последовательно соединяют прямыми линиями. В результате получа­ ется частотный полигон, или полигон распределения.

Кумулята и огива Если на горизонтальной оси отложить значения классов, а на вертикальной - накопленные частоты и последовательно соединить точки прямыми линиями, получится график, называемый кумулятой (рис. 1.3). Отложив на горизон­ тальной оси накопленные частоты, а на вертикальной - значения классов, получим график, называемый огивой (рис. 1.4). Накопленные частоты наносятся на график в точках верхней точной границы классовых интервалов. На горизонтальной оси отмечается точка с нулевой кумулятивной частотой. За неё принимается нижняя граница дополнительного классового интервала, предшествующего первому классу. Отмеченные точки последовательно соединяются прямыми линиями.

Рис. 1.3. Кумулята

Рис. 1.4. Огива 21

______________________________________________ 1 .С истемат 11 за пня ланны х_______________________________________________

Пример 1.1 Представим данные по росту студентов в виде вариационного ряда и изобразим его графически. 174 171 169 172 170 176 183 182 178 178 170 189 174 201 176 169 170 173 169 179

183 182 178 168 170 179 175 196 190 179 178 180 172 190 192 168 170 167 178 181

167 178 169 173 169 165 160 171 160 157 178 170 173 174 174 165 170 173 174 161

173 168 173 174 170 176 185 194 183 170 187 184 180 162 174 180 170 170 170 185

180 192 172 174 170 180 180 175 172 169 165 172 180 167 170 162 186 165 170 184

193 173 178 183 178 169 190 175 167 172 162 174 185 193 183 170 187 170 184 180

167 177 178 172 181 173 167 177 178 177 169 172 173 170 156 164 164 181 185 182

154 175 182 173 177 179 178 180 192 168 166 166 170 188 185 188 185 165 165 181

175 172 171 173 178 180 165 175 168 176 176 163 175 164 175 173 180 180 178 170

168 178 181 167 178 169 173 177 172 173 177 173 180 178 178 177 172 158 168 180

Решение 1. Находим минимальную и максимальную даты совокупности: Хпйп = 154, хтах = 201, размах изменчивости Л = 201 - 154 = 47, число дат п = 200.

2. Число дат в совокупности п > 100, поэтому для определения числа классов используем формулу (1.4): К = 5 п = 5 200 = 11,5. По таблице 1.5 число классов К может быть от 8 до 15. 3. Для определения величины классового интервала используем формулу (1.5): х

—х

Х = тах__ щщ_. При К =11,5 классовый интервал равен

Аг"}

4,09. При

Л’=8-^-15 классовый интервал X = 5,883,13. Удобнее взять классовый интервал 1 = 5. 4. Распределяем данные в интервальный ряд (табл. 1.6). Намечаем границы классов. Минимальная дата совокупности хт,п = 154 должна попасть пример­ но в середину первого класса. Для удобства принимаем х(1ИЖ1(1 = 151, х^рм,!= 155. Намечаем границы остальных классов: 156 - 160,161 - 165, 166 - 170 и т. д. 5. Разносим даты по классам, получаем абсолютные частоты, которые пере­ водим в относительные и накопленные. 6. Полученное частотное распределение представим в виде гистограммы и кумуляты (рис. 1.5 а, б). 7. Проверим, как выглядит гистограмма этого распределения при других значениях классового интервала, например, X - 10 и X = 2 (рис.1.5 в, г). 22

______________________________________________ 1 .Сіістематнзация данных______________________________________________

Таблица 1 .б.Частотное распределение роста студентов

Классы

Абсолютные частоты, чел.

Относительные частоты, %

Относительные накопленные частоты, %

151 - 155 156-160 161-165 166- 170 171 - 175 176-180 181 - 185 186-190 191-195 196-200 201 - 205

1 5 15 45 46 48 23 9 6 1 1

0,5 2,5 7,5 22,5 23,0 24,0 Н,5 4,5 з,о 0,5 0,5

0,5 3,0 10,5 33,0 56,0 80,0 91,5 96,0 99,0 99,5 100,0

Сумма

200

100,0

Рост (см)

Рис. 1.5. Графическое изображение относительного частотного распределения в зависимости

от классового интервала: а, в, г- гистограммы, б - кумулята; а), б)Х=5, в)Х = 10, г)Х=2. 23

______________________________________________ 1 .Системаї і нация данных______________________________________________

1.5. КАЧЕСТВЕННАЯ ВАРИАЦИЯ

Внутригрупповое разнообразие по качественным признакам численно выражают в виде доли или процента:

р=или р% = —100%, (1.8) п п где р - доля, р% - процент, п - объём выборки, т - число объектов, относя­ щихся к одной категории.

ТАБЛИЦЫ

При анализе качественной вариации данные сводят в таблицы. Частотное распределение для качественной вариации представляют в виде четырёх­ польных или многопольных таблиц, в которые помещают абсолютные значения или доли. Например, в таблице 1.2 приведено частотное распределение, где классы выделены в соответствии с количеством детей, а в таблице 1.7 - в соответствии с цветом волос. В таблице 1.8 классы выделены на основании пола студентов и факультетов, на котором они обучаются. Таблица 1.9 представляет собой частотное распределение, классами которого являются разные национальности - украинцы, русские и т. д. Таблица 1.7. Частотное распределение детей по цвету волос Класс

Блондины

Шатены

Брюнеты

Рыжие

Частота

177

80

19

5

Таблица 1.8. Распределение студентов различных факультетов по полу

Количество студентов Факультет

Мужчин

Женщин

Всего

Математический Физический Филологический Психологический Биологический

327 296 89 58 94

159 148 306 184 296

496 444 395 242 390

Всего

864

1093

1957

24

______________________________________________ 1 .С истематизация данных_______________________________________________

Евреи

Грузины

Армяне

Татары

Поляки

Немцы

Латыши

548 282 15 11 7 9 2 2 1 1

Белорусы

Украинки Русские Белоруски Еврейки Грузинки Армянки Польки Татарки Немки Латышки

Русские

Украинцы

Таблица 1.9. Распределение браков по национальности супругов

265 302 10 6 5 4 1 1 2 1

12 4 3 0 0 0 0 0 0 1

8 0 0 18 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 2 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 29 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 13 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

Примечание: по горизонтали - национальности невест, по вертикали - женихов.

ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ КАЧЕСТВЕННОЙ ВАРИАЦИИ Столбчатая диаграмма Столбчатая диаграмма представляет собой серию столбцов. При её построении на одной оси откладывают частоты (доли, проценты), по другой категории объектов. Высота столбца соответствует частоте объектов с опреде­ лённым признаком. Столбцы размещают на некотором расстоянии друг от друга. Если признаки не упорядочены по какому-либо принципу, столбцы располагают по убыванию высоты. Существуют разные способы изображения столбчатых диаграмм. Ком­ пьютерные программы дают большой выбор различных видов графики. Пред­ почтение желательно отдавать плоским столбцам (рис. 1.6 а), так как при объёмном изображении (рис. 1.6 б) восприятие рассеивается на дополнительные линии, не несущие смысловой нагрузки. Особенно тяжело воспринимать объём­ ный график с большим числом столбцов, представляющих группы сравнения. Столбцы можно располагать группами по 2, 3 и т. д. (рис. 1.7, 1.8). Для сопоставления пропорций используют составные столбцы (рис. 1.9). Если разнообразие признаков выражается в положительных и отрицательных зна­ чениях (табл. 1.9), то столбцы размещают по обе стороны от нулевого уровня (рис.1. 10). Столбцы могут иметь как вертикальную (рис. 1.6, 1.8, 1.10), так и горизонтальную ориентацию (рис. 1.7, 1.9). 25

______________________________________________ 1 .Систематизация данных______________________________________________

Рис. 1.6. Столбчатая диаграмма распределения детей по цвету волос

(а - плоская, б - объёмная): 1 - блондины, 2 - шатены, 3 - брюнеты, 4 - рыжеволосые

Рис. 1.7. Различия в частоте групп крови системы АВО у разных народов,

(взято из Ф. Айала, Введение в популяционную и эволюционную генетику. М.:Мир. С. 195)

26

_______________________________________ 1 .Систематизация данных_____________________________________

Рис. 1.8. Распределение по полу студентов различных факультетов: 1 - математический, 2 - физический, 3 - филологический, 4 - психологический,

5 - биологический.

Рис. 1.9. Соотношение длительности дорепродуктивной (1), репродуктивной (2)

и пострепродуктивной (3) стадий онтогенеза у некоторых видов.

(взято из А. В. Яблоков. Популяционная биология.М.:Высш. шк., 1987. С. 33.)

Рис. 1.10. Миграционный прирост населения Харьковской области в 1990-1995 гг.

______________________________________________ 1 .Систематизация данных______________________________________________

Разновидностью столбчатой диаграммы является возрастно-половая пирамида. Это диаграмма, которая изображает распределение людей по воз­ расту и полу. Возрастно-половые пирамиды строятся по данным переписей. Население страны подразделяется на различные возрастные классы. Каждый класс охватывает лиц, родившихся в пределах одного (обычно пятилетнего) периода. Данные представляют в виде двусторонне направленной диаграммы, на которой число людей определенного возраста и пола изображается горизон­ тальными столбцами (рис. 1.11). >100 95-99 90-94 85-89 80-84 75-79 70-74 65-69 60-64 55-59 50-54 45-49 40-44 35-39 30-34 25-29 20-24 15-19 10-14 5-9 0-4 0

100 200 300 400 500 600 700

Рис. 1.11. Возрастно-половая пирамида (Камерун, 1976 г.)

Иногда диаграммы изображаются на шкале, модифицированной из линей­ ной в круговую. В этом случае столбцам соответствуют радиально расходящиеся лучи, длины которых пропорциональны частотам (рис. 1.12). Центральная точка соответствует нулевому значению, точка на окружности соответствует единице (100%). Такой приём применяется для отражения циклических изменений. Цикличность свойственна многим явлениям. Например, заболеваемость гриппом проявляет сезонную цикличность. Сезонный характер имеет рождаемость у че­ ловека (рис. 1.12).

Рис. 1.12. Сезонность рождаемости

28

1 .Систематизация данных______________________________________________

Круговая диаграмма

Распределение частот качественных признаков можно представить в виде круговой диаграммы (рис. 1.13). Она представляет собой круг, разбитый на секторы. Число секторов соответствует числу категорий, а их углы пропор­ циональны величинам долей. При использовании круговой диаграммы следует отдавать предпочтение плоскому варианту перед объёмным, так как восприятие угла зависит от расположения секторов. Секторы, расположенные горизонталь­ но, воспринимаются меньшими, расположенные вертикально - большими.

Построение круговой диаграммы включает следующие этапы. 1. Объекты каждой категории выражаются в процентах (/%). 2. Категории упорядочиваются по убыванию относительных частот. 3. Для каждой категории определяется угол сектора: г^/% 360°

100%

(1.9)

4. Круг разбивается на секторы, которые располагаются по часовой стрелке в порядке убывания частот.

12%

3 12%

Рис. 1.13. Структура пищевого рациона:

а - плоская диаграмма, б - объемная диаграмма: 1 - углеводы, 2 - жиры, 3 - белки.

29

2

ХАРАКТЕРИСТИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Частотное распределение характеризует совокупность. Распределения раз­ ных совокупностей отличаются положением на шкале значений признака и степенью отклонения дат от центра. В соответствии с этими особенностями выделяют две группы статистических показателей - характеристики положе­ ния и показатели вариации. Характеристики положения отражают центральные тенденции распределения, к ним относятся средние величины - мода, медиана, средняя арифметическая и др. Показатели вариации характеризуют рассеяние дат вокруг среднего значения. Это размах вариации, дисперсия, стандартное отклонение, коэффициент вариации.

2.1. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ Средняя величина описывает группу в целом, характеризуя признак в группе одним числом. Она занимает промежуточное положение между мини­ мальным и максимальным значениями признака. Числовое значение средней величины может ни разу не встретиться среди исходных наблюдений. Средняя величина - это абстрактный показатель, нередко она принимает значения, которых не может быть среди фактических дат. Например, количество детей в реальной семье всегда выражается целым числом - один ребёнок, два и т. д. Среднее число детей в группе семей может принимать дробное значение, например 1,9. В статистике известно несколько средних величин: средняя арифмети­ ческая, средняя квадратическая, средняя кубическая, средняя геометрическая, средняя гармоническая и другие. Правильно выбранная средняя величина адекватно характеризует группу. Выбор той или иной средней величины для характеристики группы должен быть обоснован целью поставленной научной задачи. Единый критерий для выбора и применения той или иной средней величины отсутствует. В каждом случае приходится выяснить, какая из них наилучшим образом соответствует цели исследования. Чаще всего используют

зо

__________________________________________ 2. Х.зраюеристики распределен 11й_________________________________________

среднюю арифметическую. Она удобна при описании количественных дат однородной совокупности. Мода и медиана - дополнительные характеристики распределения. К медиане обращаются при анализе асимметричных распреде­ лений или распределений с неопределёнными крайними значениями. Моду и ме­ диану можно использовать и в тех случаях, когда данные выражены рангами.

СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ

Средняя арифметическая - это сумма всех дат, делённая на их количество: г=2г

(2.1)

п где х - отдельные даты, п - количество дат. Средняя арифметическая уместна для характеристики группы, в которой распределение дат близко к нормальному. Если распределение имеет сильную асимметрию, средняя арифметическая для характеристики группы неадекватна. Проверка правильности выбора средней арифметической для решаемой задачи производится суммированием средних и фактических дат: (*1 + х2+- +хп)= их.

(2.2)

Равенство сумм указывает на правильность нахождения средней ариф­ метической.

Пример 2.1 При исследовании концентрации сахара в анализах крови, взятых у одного человека, были проведены три параллельных анализа и получены такие результаты: 109, 120 и 116 мг%. Результатом анализа является средняя ариф­ метическая из отдельных определений: 109 + 120 + 116 X = = 115мг%. 3 Проверка: 109+ 120+ 116 = 345, 115 + 115+ 115 = 345.

СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ВЗВЕШЕННАЯ К средней взвешенной прибегают в тех случаях, когда требуется объе­ динить средние арифметические нескольких групп. Среднюю взвешенную вычисляют по формуле:

= Е(*л) 5л ’

(2.3)

где х1 - средняя арифметическая /-й группы, и, - количество дат в 1-й группе. 31

__________________________________________ 2. Характеристики распределений_________________________________________

Пример 2.2

Три лаборанта делали анализ одного образца корма для животных. Первый лаборант сделал три параллельные пробы и получил среднее содержание белка 17,6 %, второй - семь проб со средним результатом 16,3 %, третий - пять проб со средним результатом 15,8 %. Используя эти данные, найдём содержание белка в корме. = ^7,6.7-16,3^15,8^ 9 15 Проверка: 17,6 + 17,6 + 17,6 + 16,3 + 16,3 + 16,3 + 16,3 + 16,3 + 16,3 + 16,3 + 15,8 + + 15,8 + 15,8 + 15,8 + 15,8 = 15 • 16,39 = 245,85.

МОДА

Мода - это дата, которая чаще других встречается в совокупности. На графике модальное значение соответствует наивысшей точке распределения. Класс, включающий максимальное число дат, называется модальным. В распре­ делении может быть более чем одна мода, и тогда оно называется много­ вершинным, или полимодальным. Распределение с двумя вершинами называет­ ся двувершинным, или бимодальным. Многовершинность графика говорит о гетерогенности совокупности, о наличии каких-то группировок в её пределах - возрастных, половых и др. Полимодальность может возникнуть, если не­ большие по объёму совокупности подвергаются излишне дробной группировке. Мода может характеризовать не только количественные, но и качествен­ ные данные. Например, нельзя найти среднее или медиану для распределения признака «цвет глаз», но легко определить модальный цвет глаз. В безынтервальных рядах мода определяется по наибольшей частоте. Например, в этом ряду наибольшую частоту имеет класс со значением 15, Мо=15: Класс

14

15

16

17

Частота

1

7

5

2

В интервальных рядах мода вычисляется по формуле: Мо = хтт. +4 Ї

(2.4)

12/2-/+/3; где Хнижи. - нижняя граница модального класса, / - частота класса, предшест­ вующего модальному, /2 - частота модального класса, Уз - частота класса, следующего за модальным, X - ширина классового интервала. 32

___________________________________________2. Характеристики распределений_________________________________________

Пример 2.3 Вычислим моду в интервальном ряду: Класс

1-5 2

Частота

6-Ю

11-15

16-20

6

9

3

Решение Модальный класс (класс с наибольшим числом дат) соответствует интер­ валу 11-15. Соответственно, нижняя граница модального класса х|1ИЖ||.= 11, частота класса, предшествующего модальному / = 6, частота модального класса /2-9, частота класса, следующего за модальным = 3. Ширина классового интервала Х = 5. Мо = х„ИЖ11 + X ——1=11+ 5| ———| = 12.

Ь-9-б+з;

Ьл-/;+/,;

Ответ Мода равна 12.

МЕДИАНА Медиана (Мсіп} - это дата, которая располагается в середине ранжиро­ ванного по возрастанию ряда. Медиана делит ряд на две равные части, 50 % дат располагаются до медианы, и 50 % после неё. На значение медианы слабее, чем на среднюю арифметическую, влияют выпадающие даты. Медиану удобно использовать для характеристики сильно асимметричных распределений. Иногда встречаются распределения с неопределёнными крайними датами. Например, если измеряется время поведенческой реакции, то дата может иметь значение «менее 5 мин» или «более 30 мин». Для такого распределения нельзя рассчитать среднюю арифметическую, но можно рассчитать медиану. В малочисленных рядах найти медиану несложно. Для этого ряд ранжи­ руют, располагая даты в порядке возрастания. При нечётном числе членов медианой является центральная дата. Если число дат в ряду чётное, медианой является число, равное полусумме двух центральных дат. В качестве примера рассмотрим такой ряд: 8, 10, И, 14, 15. В этом ряду медианой является 11 - срединная дата. В ряду 1, 3, 3, 7, 7, 9, 9, 9 середина попадает между семерками, медиана равна 7. Середина ряда 9, 12, 15, 17 расположена между 12 и 15, медиана равна: М/и = (12 + 15): 2 = 13,5. 33

__________________________________________ 2. Характеристики распределений_________________________________________

В больших рядах нерационально ранжировать множество измерений только для того, чтобы найти медиану. В таких случаях даты разносятся по классовым интервалам, а медиана находится по формуле: / „

\

--У/ 7 предыдущ. М/л=Хннжя.+Х -

к где

(2-5)

І

Умедиан.

7

- нижняя граница классового интервала, содержащего медиану, прсдыдуш. - сумма частот всех классов, стоящих перед медианным классом, •Я|1НЖИ.

/медиан. _ частота медианного класса.

Пример 2.4 Вычислим медиану для интервального ряда: Класс

1-5

6-10

11-15

16-20

Частота

2

6

9

3

Решение Находим интервал, в котором должна быть медиана. Для этого последова­ тельно суммируем классовые частоты. Меньший класс, после которого сумма п частот превышает —, содержит медиану. « = 2+6 + 9+3=20, — = 10. 2 Последовательно суммируем частоты всех классов:

2 + 6=8, 2 + 6 + 9=17, 2 + 6 + 9 + 3=20. Сумма начинает превышать у = 10 после прибавления частоты третьего класса (11-15). Значит, этот класс содержит медиану. Нижняя граница класса, содержащего медиану, х||ИЖН. = 11, сумма частот всех классов, стоящих перед медианным ^/.редмдуш.= 8, частота медианного класса /медиан = 9. Ширина классового интервала X = 5. / „ --У/

л М/л = х„„ж„. + Х 2

к

\ /

'/предыдущ.

.

/медиан.

7

Ответ Медиана равна 12,11 34

X

(10-8)

___

__________________________________________ 2. X ара ктер ист и кирас пределен и й_________________________________________

2.2. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

При вычислении средней величины информация о разнообразии объектов утрачивается. Между тем, учёт и анализ разнообразия имеет важное научное и практическое значение. Так, эффективная селекция возможна в группах животных или растений с высокой изменчивостью признака, тогда как одно­ родная группа не содержит генетического материала для отбора. Изменение разнообразия признака в группе может быть более чувствительным индикато­ ром реакции организмов на внешние воздействия, чем сдвиг среднего значения признака. Количественно оценить уровень разнообразия признаков можно с помощью специальных показателей вариации. Эти показатели характеризуют рассеяние дат вокруг центра распределения. На рис. 2.1 представлены распре­ деления количественного признака в двух группах. Средние арифметические значения признака в этих группах равны, но группы сильно различаются по изменчивости признака.

Рис. 2.1. Распределения с одинаковыми средними и неодинаковой вариацией.

1 - большинство дат группируется вблизи середины распределения, 2 - многие даты

отклоняются далеко от середины. В первом случае рассеяние дат мало, во втором - велико.

ПРЕДЕЛЫ И РАЗМАХ ВАРИАЦИИ

Максимальное и минимальное значение признака в группе (хтах и хт