Дискретные подгруппы полупростых групп Ли 978-5-94057-174-2

Citation preview

Г. А. МАРГУЛИС

ДИСКРЕТНЫЕ ПОДГРУППЫ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИ Перевод с английского Б. Р. Френкина под редакцией Э. Б. Винберга

Москва Издательство МЦНМО 2007

УДК 512.817.3 ББК 22.144 М25

М25

Издание осуществлено при поддержке РФФИ (Издательский проект № 03-01-14097)

Р

88

И

Маргулис Г. А. Дискретные подгруппы полупростых групп Ли. Перевод с английского. — М.: МЦНМО, 2007. — 464 с. ISBN 978-5-94057-174-2 Книга посвящена дискретным подгруппам конечного кообъема в полупростых группах Ли. Рассматриваются вопросы строения, классификации и описания дискретных подгрупп групп Ли. Результаты допускают применение в теории алгебраических групп над глобальными полями. Для студентов, аспирантов и научных сотрудников математических специальностей.

ББК 22.144

ISBN 978-5-94057-174-2

9 785940 571742 >

© Маргулис Г. А. © МЦНМО, 2007.

Оглавление Предисловие

6

Введение 8 § 1. Формулировка основных результатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 § 2. Обзор содержания глав . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 § 3. Замечания о структуре книги, библиографии и обозначениях . . 15 Глава § 0. § 1. § 2. § 3. § 4. § 5.

I. Предварительные сведения Обозначения, терминология и исходные факты . . . . . . . . . . . . . . Алгебраические группы над произвольными полями . . . . . . . . . . Алгебраические группы над локальными полями . . . . . . . . . . . . . Арифметические группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Теория меры и эргодическая теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Унитарные представления и аменабельные группы . . . . . . . . . . .

16 16 52 66 78 85 93

Глава § 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7.

II. Теоремы плотности и эргодичности Итерации линейных преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Теоремы плотности для подгрупп со свойством (S). I . . . . . . . . . Обобщенная лемма Маутнера и лебеговский спектр . . . . . . . . . . Теоремы плотности для подгрупп со свойством (S). II . . . . . . . . Недискретные замкнутые кофинитные подгруппы . . . . . . . . . . . . Плотность проекций и теорема о сильной аппроксимации . . . . Эргодичность действий на факторпространствах . . . . . . . . . . . . .

100 101 105 107 115 117 123 129

Глава III. Свойство (T) § 1. Представления, изолированные от тривиального одномерного представления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Свойство (T) и некоторые его следствия. Свойство (T) для групп и их подгрупп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Свойство (T) и разложения групп в амальгамы . . . . . . . . . . . . . . § 4. Свойство (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 5. Полупростые группы со свойством (T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

131 132 139 145 151 155

4

§ 6. Связь между строением замкнутых подгрупп и свойством (T) нормальных подгрупп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Глава IV. Факторгруппы дискретных подгрупп § 1. Определение b-метрики, теорема Витали о покрытиях и теорема о точке плотности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Инвариантные алгебры измеримых множеств . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Аменабельные факторгруппы решеток, лежащих в прямых произведениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Конечность факторгрупп дискретных подгрупп . . . . . . . . . . . . . . .

174

Глава § 1. § 2. § 3.

201 202 204

V. Характеристические отображения Вспомогательные утверждения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Мультипликативная эргодическая теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Определение и основные свойства характеристических отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Эффективные пары . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 5. Существенные пары . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Глава § 1. § 2. § 3. § 4. Глава § 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8.

174 179 185 196

208 215 222

VI. Дискретные подгруппы и теория границ G-проксимальные пространства и G-границы . . . . . . . . . . . . . . . Понятие m-границы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Проективные G-пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Эквивариантные измеримые отображения в алгебраические многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

232 232 235 241

VII. Жесткость Вспомогательные утверждения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Коциклы в G-пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Конечномерные инвариантные подпространства . . . . . . . . . . . . . . Эквивариантные измеримые отображения и продолжения представлений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Сверхжесткость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Гомоморфизмы дискретных подгрупп в алгебраические группы Сильная жесткость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Жесткость эргодических действий полупростых групп . . . . . . . .

254 255 256 258

245

260 265 287 297 300

Глава VIII. Нормальные подгруппы и «абстрактные» гомоморфизмы 305 § 1. Некоторые свойства фундаментальных областей S-арифметических групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 § 2. Конечность факторгрупп S-арифметических групп . . . . . . . . . . . 311

5

§ 3. Гомоморфизмы S-арифметических подгрупп в алгебраические группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 Глава § 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7.

IX. Арифметичность Формулировка теорем арифметичности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Доказательство теорем арифметичности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Конечная порождаемость решеток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Следствия из теорем арифметичности. I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Следствия из теорем арифметичности. II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Арифметичность в полупростых группах Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . Симметрические пространства и комплексные многообразия . .

339 339 352 365 369 379 384 390

Дополнения § A. Доказательство мультипликативной эргодической теоремы . . . . § B. Свободные дискретные подгруппы линейных групп . . . . . . . . . . . § C. Примеры неарифметических решеток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

404 404 410 412

Исторические и библиографические замечания Список литературы Предметный указатель

429 432 459

Предисловие Подробное исследование геометрии дискретных групп можно найти в книге M. S. Raghunathan «Discrete subgroups of Lie Groups», изданной в 1972 г. [русский перевод: Рагунатан М. Дискретные подгруппы групп Ли, М., Мир, 1977]. В частности, там содержится теория решеток в нильпотентных и разрешимых группах Ли, результаты Мальцева и Мостова, а также доказана теорема Бореля о плотности и теорема Сельберга—Вейля о локальной жесткости. Включены также некоторые результаты об унипотентных элементах дискретных подгрупп и о структуре фундаментальных областей. Главы о дискретных подгруппах полупростых групп Ли в основном освещают результаты, полученные в 1960-е годы. Наша книга посвящена решеткам, т. е. дискретным подгруппам конечного кообъема в полупростых группах Ли. Под группами Ли мы понимаем не только вещественные группы Ли, но и группы k-рациональных точек в алгебраических группах над локальными полями k, а также прямые произведения таких групп. Наши результаты допускают применение в теории алгебраических групп над глобальными полями. Например, мы находим наилучшую в некотором смысле классификацию «абстрактных» гомоморфизмов полупростых алгебраических групп над глобальными полями. В основном мы рассматриваем вопросы строения, классификации и описания дискретных подгрупп групп Ли. Многие результаты формулируются в терминах теории алгебраических групп и, разумеется, существенно используют ее методы. Кроме того, мы используем аппарат из других областей, на первый взгляд не связанных с теорией алгебраических групп, таких как теория меры, эргодическая теория, бесконечномерные унитарные представления и аменабельные группы. Мы не затрагиваем многие важные темы. Наиболее значительные из них — теория групп Клейна и теория трехмерных многообразий Тёрстона; их можно объединить под общим названием «Теория дискретных подгрупп в SL2 (C)». Дискретные подгруппы полупростых групп Ли ранга 1 рассматриваются лишь в дополнении C, где приведены примеры неарифметических решеток в таких группах.

Предисловие

7

Многие темы этой книги тесно связаны с содержанием книги R. J. Zimmer «Ergodic Theory and Semisimple Groups», вышедшей в 1984 г. Однако нам представляется, что во многих отношениях эти две книги дополняют друг друга. Я хотел бы поблагодарить Ж. Титса, который вдохновил меня на написание этой книги; его советы и предложения оказались чрезвычайно ценными. Я весьма признателен также А. Т. Хаклберри и Г. Прасаду за конструктивные замечания. Наконец, хотелось бы выразить благодарность моему наставнику и учителю Я. Г. Синаю, глубоко повлиявшему на мой подход к математическим проблемам. Москва, осень 1990

Введение § 1. Формулировка основных результатов Пусть A — непустое конечное множество, причем каждому a ∈ A соответствует локальное (т. е. недискретное локально компактное) поле ka , Ga . Группу ее ka -рациональных а также связная полупростая ka -группа Q точек обозначим Ga (ka) и положим G = Ga (ka). a∈A

Главным предметом изучения в этой книге служат решетки (т. е. дискретные подгруппы конечного кообъема) в группе G. В основном мы рассматриваем так называемые неприводимые решетки (точное определение этого понятия см. в п. 5.9 гл. III; здесь отметим лишь, что если ни при каком a ∈ A группа Ga не имеет нетривиальных ka -анизотропных множителей, то неприводимость решетки Γ ⊂ G равносильна тому, что никакая подгруппа конечного индекса в Γ не является прямым произведением двух бесконечных подгрупп). Приведем важный пример неприводимой решетки. Пусть K – глобальное поле, R — множество всех его (неэквивалентных) нормирований, R∞ ⊂ R — множество архимедовых нормирований. Пополнение поля K относительно нормирования v ∈ R обозначим Kv . Если S ⊂ R, то кольцо S-целых элементов из K будет обозначаться K (S); оно имеет вид {x ∈ K | |xv | 6 1 ∀ v ∈ R − R∞ − S}, где |xv | — значение нормирования v на элементе x. Пусть теперь H — связная некоммутативная абсолютно почти простая K -подгруппа в группе SLn унимодулярных n × n-матриц. Положим T = T (H) = {v ∈ R | группа H анизотропна над Kv , т. е. группа H(Kv) компактна}. Пусть S ⊂ R — такое конечное множество, что S ⊃ R∞ − T . Обозначим через H(K (S)) подгруппу в H, состоящую из матриц с элементами из K (S). Q Положим HS = H(Kv) и отождествим группу H(K (S)) с ее обраv∈S

зом при диагональном вложении в HS . По теореме редукции Бореля — Хариш-Чандры—Бера—Хардера H(K (S)) является решеткой в HS . Легко проверить, что эта решетка неприводима. Если f : HS → G — непрерывный изоморфизм, то f (H(K (S)) — неприводимая решетка в G. Неприводимые

§ 1. Формулировка основных результатов

9

решетки, полученные таким способом, а также соизмеримые с ними, будут называться арифметическими. Это определение станет окончательным в случае, когда группы Ga (a ∈ A) не имеют нетривиальных ka -анизотропных факторгрупп и либо все односвязны, либо все являются присоединенными. В общем случае нужно взять в качестве f не только изоморфизмы, но и непрерывные гомоморфизмы из более широкого класса ( подробности см. в пп. 1.3 и 1.4 гл. IX). Если G — связная полупростая R-группа, G = G(R), то неприводимая решетка Γ ⊂ G арифметична тогда и только тогда, когда существуют связная некоммутативная почти Q-простая Q-группа F и R-эпиморфизм t : F → G, такие что группа Ли (Ker t) (R) компактна, а подгруппы t (F(Z)) и Γ соизмеримы. Теперь мы можем сформулировать теорему об арифметичности (хотя еще не в полной общности). Напомним, что char k обозначает характеристику поля k, а rankk F обозначает k-ранг k-группы F, т. е. размерность ее P максимального k-расщепимого тора. Положим rank G = rankka Ga . a∈A

Теорема 1 (см. теоремы A и B и замечание 2 в п. 1.9 гл. IX). Пусть Γ — неприводимая решетка в группе G, причем либо rank G > 2, либо решетка Γ конечно порождена и имеет бесконечный индекс в def

подгруппе соизмеримости CommG (Γ) = {g ∈ G | подгруппы gΓ g −1 и Γ соизмеримы}. Пусть, кроме того, ни при каком a ∈ A группа Ga не имеет нетривиальных ka -анизотропных факторгрупп. Тогда решетка Γ арифметична. Следует отметить, что неприводимая решетка Γ ⊂ G конечно порождена, если выполнено хотя бы одно из следующих условий: а) решетка Γ кокомпактна (т. е. факторпространство Γ \ G компактно); б) существует a ∈ A, для которого char ka = 0; в) rank G > 2. Доказательство теоремы 1 существенно опирается на теоремы о сверхжесткости, точнее на последующую теорему 2. Чтобы ее сформулировать, Q положим G + = Ga (ka) + , где Ga (ka) + — подгруппа в Ga (ka), порожденa∈A

ная всеми ka -рациональными точками унипотентных радикалов параболических ka -подгрупп группы Ga . Заметим следующее: 1) если все группы Ga односвязны и не имеют нетривиальных ka анизотропных множителей, то G + = G; 2) если группы Ga не имеют нетривиальных ka -анизотропных множителей, а поля ka архимедовы, то G + совпадает с компонентой единицы в группе Ли G. Теорема 2 (см. теоремы 5.4 и 5.6 гл. VII). Пусть Γ — решетка в группе G; Λ — подгруппа в CommG (Γ), содержащая Γ; k — локальное

10

Введение

поле; H — связная присоединенная k-простая k-группа; t : Λ → H(k) — гомоморфизм. Предположим, что при всех a ∈ A группа Ga не имеет нетривиальных ka -анизотропных факторгрупп и выполнены следующие условия: (i) либо rank G > 2 и решетка Γ неприводима, либо замыкание подгруппы Λ содержит G + ; (ii) подгруппа t (Γ) плотна по Зарисскому в H, но не относительно компактна в H(k) (в топологии, которую индуцирует топология поля k). Тогда t продолжается единственным образом до непрерывного гомоморфизма e t : G → H(k). На самом деле в теореме 2 идет речь о гомоморфизмах t решетки Γ в алгебраические группы над локальными полями k, при которых замыкание подгруппы t (Γ) по Зарисскому является k-простой k-группой. Однако аналогичные утверждения можно доказать и для гомоморфизмов, не удовлетворяющих этому условию. С помощью этих утверждений мы получим следующую теорему. Теорема 3 (см. теорему 5.8 и следствие 5.9 в гл. IX). Пусть Γ ⊂ G — неприводимая решетка, l — поле, F — алгебраическая l-группа, d : Γ → F(l) — гомоморфизм. Далее, пусть rank G > 2 и при всех a ∈ A группа Ga не имеет нетривиальных ka -анизотропных факторгрупп. Тогда (i) если char l = 0, то замыкание группы d (Γ) по Зарисскому является полупростой l-группой; (ii) если char l 6= char ka при всех a ∈ A, то группа d (Γ) конечна; (iii) одномерная группа когомологий H 1 (Γ, r) тривиальна для любого представления r группы Γ в конечномерном векторном пространстве над полем характеристики 0. В связи с утверждением (iii) заметим, что если r — непрерывное нетривиальное абсолютно неприводимое представление группы G в конечномерном векторном пространстве над локальным полем k произвольной характеристики, то при некоторых условиях на G и Γ отображение огра1 ничения групп когомологий Hcont (G, r) → H 1 (G, r) является изоморфизмом (см. следствие 5.21 в гл. VII). Другая группа результатов относится к конечности факторгрупп решеток Γ ⊂ G. Эти результаты можно сформулировать следующим образом. Теорема 4 (см. предложение 5.3 и теорему 5.4 в гл. IX). Пусть Γ ⊂ G — неприводимая решетка, rank G > 2 и при всех a ∈ A группа Ga не имеет нетривиальных ka -анизотропных факторгрупп. Тогда (i) если N — нормальная подгруппа в Γ, то либо N содержится в центре Z (G) группы G, либо группа Γ/N конечна;

§ 1. Формулировка основных результатов

11

(ii) факторгруппа группы Γ по ее коммутанту конечна. Если при всех a ∈ A поле ka архимедово, то теоремы 1—4 можно переформулировать в терминах теории групп Ли. Для этого нам потребуются некоторые определения. Пусть H — связная полупростая группа Ли. Ее связная коммутативная подгруппа T называется расщепимым R-тором, если при любом x ∈ T линейный оператор Ad x полупрост и его собственные числа вещественны. Здесь Ad обозначает, как обычно, присоединенное представление. Размерность максимального расщепимого R-тора в H называется рангом группы H и обозначается rank H . Отметим, что если H — связная компонента единицы в группе изометрий симметрического пространства X неположительной кривизны, то rank H совпадает с рангом пространства X, т. е. с размерностью максимального вполне геодезического плоского подмногообразия M ⊂ X. Назовем решетку Γ ⊂ H приводимой, если в H найдутся две такие бесконечные связные нормальные подгруппы H ′ и H ′′ , что H = H ′ · H ′′ , H ′ ∩ H ′′ ⊂ Z (H) и подгруппа (Γ ∩ H ′) · (Γ ∩ H ′′) имеет конечный индекс в Γ; в противном случае решетка Γ называется неприводимой. Теперь мы можем переформулировать теоремы 1—4 в терминах групп Ли. Теорема 1′ (см. теорему 6.5 гл. IX). Пусть H — связная полупростая группа Ли с тривиальным центром, не имеющая нетривиальных компактных факторгрупп, а Γ — неприводимая решетка в H . Предположим, что rank H > 2 либо Γ имеет бесконечный индекс в группе CommH (Γ). Тогда решетка Γ арифметична, т. е. существуют связная некоммутативная Q-простая Q-группа F и непрерывный эпиморфизм s : F(R) 0 → H , такие что ядро Ker s компактно, а подгруппа s (F(Z) ∩ F(R) 0)) соизмерима с Γ. Здесь F(R) 0 обозначает связную компоненту единицы в группе Ли F(R). Теорема 2′ (см. теорему 6.16 гл. IX.) Пусть H — связная полупростая группа Ли, не имеющая нетривиальных компактных факторгрупп; Γ ⊂ H — решетка; Λ ⊃ Γ — подгруппа в CommH (Γ); k — локальное поле; F — связная полупростая k-группа; d : Λ → F(k) — гомоморфизм, причем подгруппа d (Γ) плотна по Зарисскому в F. Пусть при этом либо rank H > 2 и решетка Γ неприводима, либо подгруппа Λ плотна в H . Тогда верно следующее: а) если поле k не изоморфно R или C, т. е. неархимедово, то подгруппа d (Γ) относительно компактна в F(k); б) если поле k архимедово, подгруппа d (Γ) не является относительно компактной в F(k), а группа F присоединенная и k-простая,

12

Введение

то d продолжается единственным образом до непрерывного гомоморфизма e d : H → F(k); в) если k = R, группа F является присоединенной и не имеет нетривиальных R-анизотропных факторгрупп, то d продолжается единственным образом до непрерывного гомоморфизма e d : H → F(R). Теорема 3′ (см. теорему 6.15 гл. IX.) Пусть H — связная полупростая группа Ли с конечным центром, не имеющая нетривиальных компактных факторгрупп; Γ — неприводимая решетка в H ; l — поле; F — алгебраическая l-группа; d : Γ → F(l) — гомоморфизм. Если rank H > 2, то верно следующее: (i) если char l = 0, то замыкание подгруппы d (Γ) по Зарисскому является полупростой l-группой; (ii) если char l 6= 0, то группа d (Γ) конечна; (iii) одномерная группа когомологий H 1 (Γ, r) тривиальна для любого представления r группы Γ в конечномерном векторном пространстве над полем характеристики 0. Теорема 4′ (см. теорему 6.14 гл. IX.) Пусть H и Γ таковы, как в теореме 3′ , причем rank H > 2. Тогда (i) если N — нормальная подгруппа в Γ, то либо N содержится в центре группы H , либо факторгруппа Γ/N конечна; (ii) факторгруппа группы Γ по ее коммутанту конечна. В §§ 4–7 гл. IX приведен целый ряд следствий из перечисленных результатов. Среди них — теоремы 7.20 и 7.23, которые можно рассматривать как усиление теоремы Мостова о сильной жесткости локально симметрических пространств (для случая пространств, ранг которых больше единицы). Теперь посмотрим, как теоремы о сверхжесткости и о конечности факторгрупп дискретных групп применяются в теории алгебраических групп над глобальными полями. Пусть обозначения K , R, R∞ , Kv , K (S), H, T = T (H) и H(K (S)) имеют тот же смысл, что и в определении арифметической решетки (см. выше). Зафиксируем такое подмножество S ⊂ R, что S ⊃ R∞ − T . Подгруппу группы H назовем S-арифметической, если P она соизмерима с H(K (S)). Положим rankS H = rankKv H. v∈S

Пусть даны l-группа F и гомоморфизм полей s : l → l ′ , причем s F обозначает l ′ -группу, полученную из F посредством s, а s0 — индуцированный гомоморфизм из F(l) в s F(l ′). (Если F – матричная l-группа, то s F получается применением гомоморфизма s к уравнениям, определяющим F; при этом если x = (xi j) ∈ F(l), то s0 (x) = (s (xi j)).) Теорема 5 (см. теорему C гл. VIII). Пусть Λ — некоторая S-арифметическая подгруппа группы H; l — поле; F — связная некомму-

§ 2. Обзор содержания глав

13

тативная абсолютно почти полупростая l-группа; d : Λ → F(l) — гомоморфизм, причем подгруппа d (Λ) плотна по Зарисскому в F. Пусть при этом rankS H > 2 и либо группа H односвязна, либо F является присоединенной. Тогда существуют гомоморфизм s : K → l, l-эпиморфизм h : s H → F и гомоморфизм n : Λ → Z (F), такие что d (l) = n (l) · h (s0 (l)) для всех l ∈ Λ. Теорема 6 (см. теорему B гл. VIII). Пусть Λ — некоторая Sарифметическая подгруппа группы H; l — поле; F — алгебраическая l-группа; d : Λ → F(l) — гомоморфизм. Если char K = 0 и rankS H > 2, то верно следующее: (i) если char l 6= 0 и группа H односвязна, то группа d (Λ) конечна; (ii) если char l = 0, то замыкание группы d (Λ) по Зарисскому является полупростой l-группой; (iii) если char l = 0 (т. е. l ⊃ Q), а группа H односвязна, то существуют единственный l-морфизм f : RK /Q H → F и гомоморфизм n : Λ → → F, такие что подгруппа n (Λ) конечна и коммутирует с f (RK /Q H), причем l (g) = n (l) · f (RK0 /Q (l)) для всех l ∈ Λ. Здесь RK /Q обозначает функтор ограничения скаляров, а RK0 /Q : H(K) → (RK /Q H) (Q) — естественный изоморфизм (точные определения см. в п. 1.7 гл. I). Теорема 7 (см. теорему A гл. VIII). Пусть Λ — некоторая Sарифметическая подгруппа группы H, а N — нормальная подгруппа в Λ. Предположим, что rankS H > 2 и либо группа H односвязна, либо множество S конечно. Тогда либо N содержится в центре группы H, либо факторгруппа Λ/N конечна. Следует отметить, что теоремы 5–7 вытекают из теорем 2–4 (более точно, из слабых вариантов этих теорем, доказанных в гл. IV и VII) с учетом теоремы редукции Бореля—Хариш-Чандры—Бера—Хардера.

§ 2. Обзор содержания глав Глава I носит вводный характер. Она содержит факты из различных областей математики, используемые в последующих главах. В ней сформулированы без доказательств практически все результаты из других книг и статей, которые потребуются в главах II–IX. Содержание гл. II можно разделить на три части: 1) теоремы плотности для подгрупп со свойством (S), в частности вариант теоремы Бореля—Вана о плотности по Зарисскому некоторых подгрупп в алгебраических группах; 2) теоремы плотности для проекций дискретных подгрупп на прямые множители; 3) теоремы эргодичности для действия на факторпространствах.

14

Введение

При этом мы доказываем ряд утверждений, касающихся теории унитарных представлений и итераций линейных преобразований. Эти утверждения применяются в гл. II, III и V. Глава III посвящена свойству (T). В случае локально компактной группы оно означает, что тривиальное одномерное представление изолировано в пространстве неприводимых унитарных представлений. В случае дискретных групп свойство (T) оказывается тесно связанным с их строением. В частности, если дискретная группа Γ имеет свойство (T), то она конечно порождена, а ее факторгруппа по коммутанту конечна. Приложения свойства (T) в теории дискретных подгрупп основаны на том, что этим свойством обладают решетки в достаточно широком классе полупростых групп. В гл. IV мы доказываем слабый вариант сформулированной выше теоремы 4 о конечности факторгрупп дискретных подгрупп. Наши рассуждения существенно опираются на содержание гл. III и на результаты об инвариантных алгебрах измеримых множеств. В гл. V и VI доказаны теоремы о существовании эквивариантных измеримых отображений. Они используются в гл. VII при доказательстве теорем сверхжесткости. В гл. VI представлен подход, основанный на мультипликативной эргодической теореме, а в гл. VII — на теории границы. Главу VI, точнее первые три ее параграфа, можно рассматривать как введение в теорию границы Фюрстенберга. В гл. VII получены теоремы сверхжесткости для дискретных подгрупп. В частности, мы доказываем теорему 2, сформулированную выше. Получен также ряд следствий из этих теорем. В конце гл. VII, а именно в § 8, содержатся некоторые результаты о жесткости эргодического действия полупростых групп. В гл. VIII с помощью результатов гл. VI и VII мы доказываем ряд утверждений о нормальных подгруппах и «абстрактных» гомоморфизмах алгебраических групп над глобальными полями. В частности, доказываются теоремы 5–7, сформулированные выше. В гл. IX формулируются и доказываются теоремы арифметичности в полной общности. Получен ряд следствий из этих теорем; в частности показано, как усилить некоторые результаты гл. IV и VII с помощью этих теорем. Параграфы 6 и 7 в основном посвящены переформулировке предыдущих результатов в терминах теории групп Ли, симметрических пространств и комплексных многообразий. В дополнениях A и B мы доказываем две теоремы, использованные в гл. V. В дополнении C приведены примеры неарифметических решеток в вещественных полупростых группах Ли ранга 1. В заключение мы хотели бы указать некоторые варианты использования этой книги. Читатель, которого интересуют лишь теоремы арифметич-

§ 3. Замечания о структуре книги, библиографии и обозначениях

15

ности, может перейти от гл. I непосредственно к гл. VI, затем к гл. VII, закончить п. 5.17 и перейти к гл. IX. При этом потребуется иногда обращаться и к другим главам, в особенности к §§ 2, 4 и 7 гл. II. Читатель, которого в основном интересуют формулировки результатов, может обратиться к §§ 2, 4, 6 и 7 гл. II, § 5 гл. III, §§ 5—8 гл. VII, §§ 2 и 3 гл. VIII и §§ 1, 3—7 гл. IX. Нужно отметить, что аппарат теории алгебраических групп в §§ 1, 2 гл. II, §§ 1—3 гл. III, §§ 1, 3 гл. IV, §§ 1—3 гл. V, §§ 1—4 гл. VII и в гл. VI практически не используется.

§ 3. Замечания о структуре книги, библиографии и обозначениях В нашей книге главы делятся на параграфы, а параграфы — на пункты. В §§ 1—5 гл. I нумерация имеет три уровня, а в остальных главах — два. Ссылка на результат из другой главы начинается с номера главы (римскими цифрами), например «лемма II.3.5», однако этот номер не ставится при ссылке на результат из той же главы: «лемма 3.5». Во всей книге применяются обозначения и терминология, введенные в § 0 гл. I. В основном они соответствуют общепринятым. Обозначения, специфичные для данной главы, приводятся в начале главы перед § 1. Обозначения, применяемые в данном параграфе, обычно вводятся либо в начале параграфа, либо перед пунктом с последней цифрой 1, либо же в пункте с последней цифрой 0: например, обозначения из § 3 приводятся либо перед п. 3.1, либо в п. 3.0.

Глава I

Предварительные сведения

§ 0. Обозначения, терминология и исходные факты 0.1. Символы C, R, R+ , Q, Z, N, N+ и Q p , как обычно, обозначают множества комплексных, вещественных, положительных вещественных, рациональных, целых, неотрицательных целых, натуральных и p-адических чисел соответственно. Иногда мы пишем Q∞ вместо R (т. е. Q p совпадает с R при p = ∞). В частности, p-группа Ли при p = ∞ — это вещественная группа Ли. 0.2. Централизатор и нормализатор подмножества F в группе H обозначаются соответственно ZH (F) и NH (F), а ее центр и коммутант — Z (H) и D (H). Как обычно, единица группы обозначается e. Если A и B — подмножества в группе, то мы полагаем A · B = {ab | a ∈ A, b ∈ B}, A−1 = {a−1 | a ∈ A}. Элементу h группы H отвечает ее внутренний автоморфизм Int h : (Int h) (h′) = hh′ h−1 для всех h′ ∈ H . Две подгруппы некоторой группы называются соизмеримыми, если их пересечение имеет конечный индекс в каждой из них. Пусть G — группа, Γ — ее подгруппа. Будем называть множество CommG (Γ) = {g ∈ G | gΓ g −1 и Γ соизмеримы} подгруппой соизмеримости для Γ в G. Отметим, что это действительно подгруппа в G, причем Γ ⊂ NG (Γ) ⊂ CommG (Γ). Если две подгруппы Γ1 и Γ2 в группе G соизмеримы, то CommG (Γ1) = CommG (Γ2). Пусть на группе H определена функция (отображение) f . Через h f и fh соответственно обозначаются ее левый и правый сдвиг, отвечающие элементу h ∈ H , т. е. (h f) (x) = f (h−1 x), (fh) (x) = f (xh), x ∈ H . Как обычно, коммутатор элементов x и y в алгебре Ли обозначается [x, y]. Если X, Y — подмножества алгебры Ли, то мы полагаем [X, Y ] = { [x, y] | x ∈ X, y ∈ Y }. Центр и коммутант алгебры Ли G обозначаются Z (G) и D (G) соответственно. 0.3. Количество элементов конечного множества A обозначается card A или |A|.

§ 0. Обозначения, терминология и исходные факты

17

0.4. Характеристика поля k обозначается char k. 0.5. Как обычно, f ◦ g обозначает композицию отображений f , g, а f|A — ограничение отображения f на множество A. Если f — вещественнозначная функция на множестве X, то f + обозначает ее положительную часть, т. е. f + (x) = max{0, f (x)}, x ∈ X. 0.6. Если g = G1 × . . . × Gn — прямое произведение групп G1 , . . . , Gn , то мы всегда отождествляем группу Gi , 1 6 i 6 n, с ее образом при естественном вложении в G (т. е. с {e} × . . . × {e} × Gi × {e} × . . . × {e}). 0.7. Основные определения и факты из алгебраической геометрии и теории алгебраических групп см. в [Bo 6] и [Hum 1]. 0.8. Размерность dim понимается в смысле алгебраической геометрии, если явно не указано противное. 0.9. Алгебраические многообразия. Как обычно, топология Зарисского на алгебраическом многообразии — это топология, в которой замкнутыми подмножествами служат алгебраические подмногообразия. Подмножество алгебраического многообразия замкнуто по Зарисскому (соответственно открыто, плотно и т. д.), если оно замкнуто (открыто, плотно и т. д.) в топологии Зарисского. Под замыканием множества по Зарисскому понимается его замыкание в топологии Зарисского. Алгебраическое многообразие называется неприводимым, если оно непусто и не является объединением двух собственных алгебраических подмногообразий. Каждое алгебраическое многообразие M является объединением конечного числа своих максимальных неприводимых алгебраических подмногообразий, которые называются его неприводимыми компонентами. В топологии Зарисского любое алгебраическое многообразие нетерово, т. е. его замкнутые подмножества удовлетворяют условию обрыва возрастающих цепей. Иначе говоря, любая возрастающая цепь алгебраических подмногообразий обрывается. Подмножество топологического пространства называется локально замкнутым, если его можно представить в виде пересечения замкнутого и открытого множества. Подмножество алгебраического многообразия называется конструктивным, если оно является объединением конечного числа подмножеств, локально замкнутых по Зарисскому. Пусть X и Y — алгебраические многообразия. Отображение a : X → Y называется регулярным отображением или морфизмом алгебраических многообразий, если оно определяется локально регулярными функциями — иначе говоря, удовлетворяет следующим двум условиям: 1) a непрерывно в топологии Зарисского; 2) если подмножество U открыто по Зарисскому в Y, а f — регулярная функция на U , то функция f ◦ a регулярна на a−1 (U).

18

Глава I. Предварительные сведения

Если a : X → Y — морфизм алгебраических многообразий, то (см. [Bo 6], гл. AG, следствие 10.2 или [Hum 1], п. 4.4) конструктивные множества переходят под действием a в конструктивные1 . Как следствие, если множество a (X) плотно по Зарисскому в Y, то оно содержит открытое подмножество, плотное по Зарисскому в Y. Пусть подмножества V ⊂ X и U ⊂ Y открыты по Зарисскому, a : X → Y — морфизм алгебраических многообразий и a (V ) ⊂ U . Тогда соответствие f 7→ f ◦ a|V является гомоморфизмом алгебры регулярных функций на U в алгебру регулярных функций на V . Он называется коморфизмом морфизма a. Строго говоря, коморфизм — это гомоморфизм пучков регулярных функций. Если X и Y — алгебраические подмногообразия аффинных пространств, то отображение a : X → Y является морфизмом в том и только том случае, когда координаты точки a (x) регулярны как функции от x ∈ X — иначе говоря, если отображение определяется многочленами. Коморфизм морфизма аффинных многообразий a : X → Y может рассматриваться как морфизм алгебры регулярных функций на Y в алгебру регулярных функций на X. Морфизм a : X → Y называется изоморфизмом, если он биективен, причем a−1 : X → Y также является морфизмом. Изоморфизмы называются также бирегулярными отображениями. Отметим, что не всякий биективный морфизм алгебраических многообразий является изоморфизмом. Однако эти понятия совпадают (см. [Bo 6], гл. AG, 18.2), если X и Y — нормальные неприводимые алгебраические многообразия над полем характеристики 0 (определение нормального многообразия см. ниже в п. 0.12) 2 . Пусть X — алгебраическое многообразие. На каждом локально замкнутом подмножестве A ⊂ X имеется естественная структура алгебраического многообразия. Локально замкнутое множество A ⊂ X называется аффинным, если оно изоморфно аффинному алгебраическому многообразию. 0.10. Понятия k-структур, k-многообразий и k-морфизмов3 . Пусть K — алгебраически замкнутое поле, k — его подполе. Определить k-структуру на векторном пространстве W (не обязательно конечномерном) над K означает указать такой k-подмодуль Wk ⊂ W , что естественный гомоморфизм K ⊗k Wk → W является изоморфизмом. Мы говорим, что линейное подпространство U ⊂ W определено над k, если U ∩ Wk является k-структурой на U , т. е. U ∩ Wk порождает U как K -пространство. 1 Здесь

имеются в виду алгебраические многообразия над алгебраически замкнутым полем. — Прим. ред. 2 Здесь предполагается, что поле алгебраически замкнуто. — Прим. ред. 3 См. [Bo 6] , гл. AG, §§ 11 14. —

§ 0. Обозначения, терминология и исходные факты

19

Пусть дано K -линейное отображение f : V → W векторных пространств, наделенных k-структурой. Мы говорим, что f определено над k, если f (Vk) ⊂ Wk . Под k-структурой на K -алгебре A понимается k-структура Ak на ее носителе, которая является k-подалгеброй. Иначе говоря, k-структура на K -алгебре A — это такая k-подалгебра Ak ⊂ A, что K ⊗k Ak = A. Пусть n ∈ N+ , а M — алгебраическое подмногообразие аффинного пространства K n . Оно называется k-замкнутым или замкнутым над k, если является множеством общих нулей конечной системы многочленов с коэффициентами из k. Многообразие M является k-замкнутым, если и только если оно инвариантно при естественном действии на K n группы Галуа поля K над k. Пусть J (M) ⊂ K [x1 , . . . , xn ] обозначает идеал многочленов, равных нулю на M; положим Jk (M) = J (M) ∩ k [x1 , . . . , xn ]. Многообразие M называется определенным над k, если Jk (M) является k-структурой на пространстве J (M), т. е. если J (M) = K ⊗k Jk (M). Многообразие M замкнуто над полем k, если и только если оно определено над его чисто несепарабельным расширением. Если поле k совершенно (например, если его характеристика равна 0), то M замкнуто в том и только том случае, когда оно определено над k. Пусть K [M] = K [x1 , . . . , xn ] /J (M) — алгебра регулярных функций на M. Если M определено над k, то K [M] = K ⊗k k [M], где k [M] = k [x1 , . . . , xn ] /Jk (M). Иначе говоря, если M определено над k, то k-алгебра k [M] является k-структурой на K -алгебре K [M]. Регулярная функция f ∈ K [M] определена над k или k-регулярна, если f ∈ k [M]. Определить k-структуру на аффинном алгебраическом многообразии X означает указать его изоморфизм на алгебраическое подмногообразие M аффинного пространства, определенное над k. Аффинное многообразие, наделенное k-структурой, называется аффинным k-многообразием. Образ k-алгебры k [M] при коморфизме морфизма a называется алгеброй k-регулярных функций на k-многообразии X и обозначается k [X]. Отметим, что k [X] — это k-структура K -алгебры K [X] регулярных функций на X. Две k-структуры на аффинном многообразии называются эквивалентными, если соответствующие алгебры k-регулярных функций совпадают. Мы говорим, что морфизм a : X → X′ между двумя аффинными k-многообразиями определен над k или является k-морфизмом, если образ алгебры k [X′ ] при соответствующем коморфизме содержится в k [X]. Если X и X′ — подмногообразия аффинных пространств над k, то морфизм a : X → X′ определен над k, если и только если он задается многочленами с коэффициентами из k. Пусть X — алгебраическое многообразие над K . Для любого открытого по Зарисскому подмножества U ⊂ X пусть K [U ] обозначает K -алгебру

20

Глава I. Предварительные сведения

регулярных функций на U . Задание k-структуры на X означает задание топологии (k-топологии), которая грубее топологии Зарисского и обладает следующими свойствами: i) для каждого k-открытого (т. е. открытого в k-топологии) подмножества U ⊂ X определена k-структура на K [U ]; ii) для каждой пары k-открытых подмножеств U ⊃ V гомоморфизм ограничения K [U ] → K [V ] определен над k; iii) существует конечное покрытие k-открытыми аффинными множествами многообразия X; iv) для каждого k-открытого аффинного подмножества U ⊂ X задана такая k-структура на U , что алгебра k-регулярных функций совпадает с k-структурой на K [U ]. Многообразие, наделенное k-структурой, называется k-многообразием. Подмногообразие M в k-многообразии X называется k-замкнутым (т. е. замкнутым в k-топологии), если и только если для каждого k-открытого аффинного подмножества U ⊂ X множество M ∩ U является множеством общих нулей конечной системы k-регулярных функций на U . Подмногообразие M в k-многообразии X определено над k или k-определено, если для каждого k-открытого аффинного подмножества U ⊂ X пересечение M ∩ U является подмногообразием в U и определено над k (т. е. определен над k идеал J (M ∩ U) регулярных функций, равных нулю на M ∩ U). Как и в случае подмногообразий в K n , подмногообразие M в X является k-замкнутым тогда и только тогда, когда оно определено над чисто несепарабельным расширением поля k. Подмногообразия, определенные над k, называются k-подмногообразиями. Пусть a : X → Y — морфизм k-многообразий. Мы говорим, что он определен над k или является k-морфизмом, если 1) морфизм a непрерывен в k-топологии; 2) для каждой пары k-открытых множеств V ⊂ X и U ⊂ Y из условия a (V ) ⊂ U вытекает, что коморфизм aUV : K [U ] → K [V ], f 7→ f ◦ a|V , определен над k. Если морфизм a определен над k и является изоморфизмом, то морфизм a−1 также определен над k. Если M — некоторое k-подмногообразие в K n , то M(k) = M ∩ kn обозначает множество его k-рациональных точек. Пусть X — некоторое аффинное k-многообразие, M — некоторое k-подмногообразие аффинного пространства и изоморфизм a : X → M определен над k; тогда положим X(k) = a−1 (M(k)). Для произвольного k-многообразия X положим X(k) = = {x ∈ X | существует k-открытая аффинная окрестность M точки x ∈ X,

§ 0. Обозначения, терминология и исходные факты

21

такая что x ∈ M(k)} = {x ∈ X | x ∈ M(k) для каждой k-открытой аффинной окрестности M точки x}. Если многообразие X аффинно, то X(k) можно отождествить с множеством гомоморфизмов K -алгебры K [X] в K , определенных над k. В дальнейшем, как обычно, k-многообразие X отождествляется с множеством X(K). 0.11. Пусть K — алгебраически замкнутое поле; k — его подполе; M — некоторое k-многообразие; B ⊂ M(k); B¯ обозначает замыкание по Зарисскому множества B в M. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) подмногообразие B¯ определено над k (см. [Bo 6], гл. AG, теорема 14.4); 2) если f : M → M′ — морфизм k-многообразий, B¯ = M и f (B) ⊂ M′ (k), то морфизм f определен над k (см. [Bo—T4], 1.4). 0.12. Касательные многообразия. Гладкие и нормальные многообразия. Сепарабельные морфизмы1 . Пусть M — алгебраическое многообразие, определенное над алгебраически замкнутым полем K . Выберем x ∈ M = M(K). Далее, пусть Ox обозначает локальное кольцо точки x, а mx — его единственный максимальный идеал (напомним, что если многообразие M аффинно и неприводимо, то Ox — кольцо рациональных функций на M вида g /h, где g, h ∈ k [M] и h(x) 6= 0). Факторкольцо Ox /mx естественно изоморфно полю K . Пусть f (x) обозначает образ элемента f ∈ Ox при естественном эпиморфизме Ox → Ox /mx = K . Дифференцирование в точке x определяется как K -линейное отображение d : Ox → Ox /mx , удовлетворяющее условию d (fg) = f (x) · d (g) + g (x) · d (f), f , g ∈ Ox . Дифференцирования в точке x образуют конечномерное векторное пространство над K , которое называется касательным многообразием к M в точке x и обозначается Tx (M). Векторное пространство Tx (M) естественно изоморфно двойственному пространству для mx /m2x . Если a : M → M′ — морфизм алгебраических многообразий, то можно определить естественное отображение (d a) x : Tx (M) → Ta (X) (M′), которое называется дифференциалом морфизма a в точке x. Оно строится следующим образом: (d a) x (X) (f) = X (a0 (f)), где X ∈ Tx (M), f ∈ Oa (x) , a0 — коморфизм для a. Если M определено над k и x ∈ M(k), то на пространстве Ox существует естественная k-структура Ox,k . Она индуцирует k-структуру Tx,k (M) на пространстве Tx (M), состоящую из дифференцирований, отображающих Ox,k в k. Если a : M → M′ — некоторый k-морфизм и x ∈ M(k), то (d a) x (Tx,k (M)) ⊂ Ta (x),k (M′). 1 См.

[Bo 6] , гл. AG, §§ 15–18 и [Hum 1] , § 5.

22

Глава I. Предварительные сведения

Точка x ∈ M называется простой, если ее локальное кольцо Ox регулярно. Для неприводимого многообразия это означает, что dim Tx (M) = = dim M (напомним, что если многообразие M неприводимо, то dim Tx (M) > > dim M при всех x ∈ M). Множество простых точек многообразия M плотно и открыто по Зарисскому в M. Если это множество совпадает с многообразием M, то последнее называется гладким. Точка x ∈ M называется нормальной в M, если Ox является целостным кольцом и целозамкнуто в своем поле частных. Многообразие M называется нормальным, если все его точки нормальны в M. Любое гладкое алгебраическое многообразие нормально. Морфизм k-многообразий a : M → M′ называется сепарабельным, если для любой неприводимой компоненты V многообразия M поле рациональных функций на V сепарабельно над образом поля рациональных функций на a (V) при коморфизме морфизма a|V . Если char k = 0, то любой морфизм k-многообразий сепарабелен. Морфизм a называется доминантным, если множество a (M) плотно по Зарисскому в M′ и образ каждой неприводимой компоненты многообразия M плотен по Зарисскому в некоторой неприводимой компоненте многообразия M′ . Пусть a : M → M′ — доминантный морфизм. Тогда следующие условия равносильны: 1) морфизм a сепарабелен; 2) отображение (d a) x сюръективно для каждой точки x из некоторого плотного и открытого по Зарисскому подмножества V ⊂ M′ ; 3) каждая неприводимая компонента из M содержит простую точку x, для которой a (x) — простая точка в M′ , а отображение (d a) x сюръективно. 0.13. Алгебраические группы и их морфизмы. Пусть G — алгебраическое многообразие, на котором задана структура группы, причем отображения m : G × G → G и t : G → G, где m (x, y) = xy и t (x) = x −1 , являются морфизмами алгебраических многообразий. Тогда G называется алгебраической группой. Если алгебраическая группа G является k-многообразием, а морфизмы m и t определены над k, то мы говорим, что алгебраическая группа G определена над k. В этом случае говорят также о алгебраических группах над k, алгебраических k-группах или просто о k-группах. Любая алгебраическая группа является гладким, а следовательно, нормальным алгебраическим многообразием (см. [Bo 6], гл. I, предложение 1.2). Подгруппа H алгебраической группы G называется алгебраической, если H является алгебраическим подмногообразием в G. Алгебраические подгруппы, определенные над k (как алгебраические подмногообразия), называются k-подгруппами. Алгебраическая подгруппа алгебраической

§ 0. Обозначения, терминология и исходные факты

23

группы называется k-замкнутой или замкнутой над k (соответственно k-определенной или определенной над k), если она k-замкнута (соответственно k-определена) как алгебраическое подмногообразие. Коммутант k-группы является k-группой (см. [Bo 6], гл. I, предложение 2.3). Если H и F — две подгруппы в алгебраической группе G, причем ¯ где M¯ обозначает замыкание по ЗаH нормализует F , то (H , F) = (H¯ , F), рисскому подгруппы M ⊂ G, а (M1 , M2) — взаимный коммутант подгрупп M1 и M2 в G (см. [Bo 6], глава I, 2.3). Как следствие, замыкание по Зарисскому разрешимой (соответственно нильпотентной) подгруппы также является разрешимой (соответственно нильпотентной) подгруппой. Центр k-группы G является алгебраической подгруппой в G и k-замкнут (но не обязательно определен над k). Алгебраическая группа называется связной, если она связна в топологии Зарисского. Пусть G — алгебраическая k-группа. Через G0 будем обозначать связную компоненту единицы в группе G, т. е. максимальную связную алгебраическую подгруппу в G. Тогда факторгруппа G/G0 конечна, подгруппа G0 определена над k и любая алгебраическая подгруппа конечного индекса в G содержит G0 (см. [Bo 6], гл. I, предложение 1.2). Как следствие, если подгруппа H плотна по Зарисскому в G, а F — подгруппа конечного индекса в H , то ее замыкание по Зарисскому F¯ содержит G0 . В частности, если G связна, то подгруппа F плотна по Зарисскому в G. В свою очередь, отсюда вытекает, что если H1 и H2 — две соизмеримые подгруппы связной алгебраической группы G и H1 плотна по Зарисскому в G, то плотна и H2 . Если G — алгебраическая k-группа и H — подгруппа в G(k), то замыкание подгруппы H по Зарисскому является k-подгруппой в G (см. [Bo 6], гл. I, предложение 1.3). Морфизм алгебраических групп (соответственно эпиморфизм, автоморфизм, изоморфизм и т. д.) определяется как гомоморфизм групп, одновременно являющийся морфизмом (соответственно эпиморфизмом, автоморфизмом, изоморфизмом и т. д.) алгебраических многообразий. Выражение «отображение a : G → G′ является k-морфизмом k-групп» (соответственно k-эпиморфизмом, k-автоморфизмом, k-изоморфизмом и т. д.) означает, что G и G′ являются k-группами, а морфизм (соответственно эпиморфизм, автоморфизм, изоморфизм и т. д.) a определен над k. Гомоморфизм a : G → G′ называется рациональным (соответственно k-рациональным или k-гомоморфизмом), если a является морфизмом (соответственно k-морфизмом) алгебраических групп. Две k-группы G и G′ называются изоморфными над k или k-изоморфными, если между ними существует k-изоморфизм. Если отображение a : G → G′ является морфизмом k-групп, то a (G) является k-подгруппой в G′ , a (G0) = a (G) 0 и dim G = dim Ker a + dim a (G) (см. [Bo 6], гл. I, следствие 1.4).

24

Глава I. Предварительные сведения

Алгебраическая группа называется аффинной, если она аффинна как алгебраическое многообразие. Любая аффинная k-группа k-изоморфна k-подгруппе группы GLn (при подходящем n), где GLn , как обычно, обозначает группу обратимых n × n-матриц (см. [Bo 6], гл. I, предложение 1.10). Алгебраические подгруппы в GLn называются линейными алгебраическими группами. Алгебра k [GLn ], состоящая из k-регулярных функций на GLn , имеет вид k [GLn ] = k [T11 , T12 , . . . , Tnn , D −1 ], где Ti j — элементы матрицы g ∈ GLn , а D = det g. Как следствие, любая k-регулярная функция на k-подгруппе H ⊂ GLn определяется многочленом от элементов матриц h и h−1 , где h ∈ H . Если H ⊂ SLn , то любая регулярная функция на H задается многочленом от элементов матрицы h ∈ H. Здесь SLn , как обычно, обозначает группу унимодулярных n × n-матриц. В дальнейшем термин «алгебраическая группа» всегда означает аффинную алгебраическую группу, реализованную как алгебраическая подгруппа в GLn . 0.14. Пусть Endn обозначает векторное пространство всех линейных преобразований n-мерного векторного пространства; Pn — проективное пространство размерности n; Grn,l — грассманово многообразие l-мерных подпространств n-мерного векторного пространства; Grn — объединение S Grn,l . Можно ввести структуру алгебраического многообразия на Pn 06l6n

и на Grn,l — а значит, и на Grn (см. [Bo 6], гл. III, 10.3). Далее, пусть End(W ) обозначает векторное пространство всех линейных преобразований конечномерного векторного пространства W ; GL(W ) (соответственно SL(W )) — группу обратимых (соответственно унимодулярных) линейных преобразований пространства W ; P(W ) — проективное пространство, ассоциированное с W (т. е. множество одномерных подпространств в W ); Grl (W ) — грассманово S многообразие l-мерных подпространств в W ; Gr(W ) — объединение Grl (W ). 06l6 6dim W

Пусть K — алгебраически замкнутое поле, k — его подполе, W — конечномерное векторное пространство над K с k-структурой Wk . Тогда естественно вводятся k-структуры на GL(W ), SL(W), Grl (W ), P(W) и т. д. Множества k-точек в полученных k-группах и k-многообразиях мы будем отождествлять соответственно с GL(Wk), SL(Wk), Grl (Wk), P(Wk) и т. д. Точно так же мы будем отождествлять GLn (k) с GL(kn), SLn (k) с SL(kn), Pn−1 (k) с P(kn), Grn,l (kn) с Grl (kn), Grn (k) с Gr(kn), а также Endn (k) с End(kn). Представление r : G → GL(W ) некоторой k-группы G в пространстве W называется рациональным (соответственно k-рациональным или опре-

§ 0. Обозначения, терминология и исходные факты

25

деленным над k), если r является морфизмом алгебраических групп (соответственно k-морфизмом). Представление r : G → GL(Wk) абстрактной группы G (соответственно k-рациональное представление r : G → GL(W ) некоторой k-группы G) называется k-неприводимым или неприводимым над k, если W не содержит r (G)-инвариантных (соответственно r (G)-инвариантных) нетривиальных подпространств, определенных над k. Представление r называется абсолютно неприводимым, если оно неприводимо над K . 0.15. Алгебра Ли алгебраической группы1 . Пусть K — алгебраически замкнутое поле, k — его подполе, G — алгебраическая k-группа. Алгебра Ли группы G, т. е. алгебра Ли левоинвариантных дифференцирований алгебры K [G], обозначается Lie(G). Множество {D ∈ Lie(G) | D (k [G]) ⊂ ⊂ k [G]} будет обозначаться Lie(G) k . Отметим, что Lie(G) k является k-структурой на Lie(G). Если D ∈ Lie(G), то формула De (f) = (D f) (e) определяет дифференцирование De в единице группы G. Соответствие D 7→ De задает линейный изоморфизм алгебры Ли Lie(G) с касательным пространством Te (G), определенный над k. Алгебра Ли Lie(GLm) группы GLm канонически отождествляется с алгеброй Ли Endm всех m × m-матриц. Если G — некоторая k-подгруппа в GLm , а E — единичная матрица, то справедливо соотношение n o df (E + tA) Lie(G) = A ∈ Endm (0) = 0 ∀ f ∈ J (G) , dt

где J (G) ⊂ K [Endm ] — идеал многочленов, равных нулю на G. Каждый морфизм k-групп f : G → G′ индуцирует гомоморфизм алгебр Ли Lie(G) → Lie(G′), который называется дифференциалом морфизма f и обозначается d f (отметим, что d f (D) e = (d f) e (D), где D ∈ Lie(G), а (d f) e определено выше в п. 0.12). Если морфизм f определен над k, то это верно и для d f , т. е. d f (Lie(G) k) ⊂ Lie(G′) k . Пусть f : G → G′ — некоторый k-эпиморфизм. Тогда следующие условия равносильны: 1) f сепарабелен как морфизм алгебраических многообразий; 2) морфизм d f сюръективен. Дифференциал морфизма Int g, g ∈ G, обозначается Ad g. Если G — алгебраическая подгруппа в GLm , то (Ad g)x = gx g −1 для всех x ∈ Lie(G) ⊂ ⊂ Endm . Отображение Ad : G → GL(Lie(G)) является морфизмом k-групп, а значит, Ad G является k-подгруппой в GL(Lie(G)). Будем называть Ad присоединенным представлением группы G. Дифференциал морфизма Ad является присоединенным представлением ad : Lie(G) → End(Lie(G)) 1 См.

[Bo 6] , гл. I и [Hum 1] , гл. III.

26

Глава I. Предварительные сведения

алгебры Ли Lie(G)). Так как при любом g ∈ G(k) автоморфизм Int g определен над k, алгебра Lie(G) k инвариантна относительно Ad G(k). Если a : G → G′ — морфизм алгебраических групп, то d a ◦ Ad g = Ad(a (g)) ◦ d a для всех g ∈ G. Для A ⊂ G = Lie(G) положим ZG (A) = {g ∈ G | Ad g (a) = a ∀a ∈ A}, ZG (A) = {f ∈ G | ad f (a) = a ∀a ∈ A} и назовем ZG (A) (соответственно ZG (A)) централизатором подмножества A в G (соответственно в G). Если char k = 0, то справедливы следующие утверждения (см. [Bo 6], гл. II, § 7 и [Hum 1], § 13). i) Отображение H 7→ Lie(H) взаимно однозначно и сохраняет отношение включения между связными алгебраическими подгруппами H группы G и их алгебрами Ли, рассматриваемыми как подалгебры в Lie(G). ii) Пусть G — связная алгебраическая группа, H — ее связная алгебраическая подгруппа. Тогда Lie(H) является идеалом в Lie(G), если и только если H — нормальная подгруппа в G. iii) Если группа G связна, G = Lie(G) и A ⊂ G, то верно следующее: а) Lie(ZG (A)) = ZG (A); б) Ker Ad = Z (G); в) Lie(Z (G)) = Z (G). (iv) Если группа G связна, то Lie(D (G)) = D (Lie(G)). (v) Если подалгебра Ли H ⊂ Lie(G) совпадает со своим коммутантом, то H является алгеброй Ли некоторой алгебраической подгруппы H в G. Пусть f1 , f2 : H → G — морфизмы алгебраических групп, причем d f1 = = d f2 . Тогда алгебры Ли подгрупп {(f1 (h), f2 (h)) | h ∈ H} и

{(f1 (h), f1 (h)) | h ∈ H}

в группе G × G совпадают. Поэтому из утверждения (i) вытекает следующее утверждение. vi) Если char k = 0, то морфизм связной k-группы однозначно определяется своим дифференциалом. 0.16. Пусть a : G × V → V, (g, v) 7→ gv = a (g, v) — морфизм алгебраических многообразий, причем g (hv) = (gh)v при всех v ∈ V и g, h ∈ G. В этом случае мы говорим, что алгебраическая группа G рационально действует на алгебраическом многообразии V. Если G, V и a определены над k, то мы говорим, что G действует k-рационально на V. Важнейшие факты

§ 0. Обозначения, терминология и исходные факты

27

об орбитах рациональных действий содержатся в следующем предложении (см. [Bo 6], гл. I, предложение 1.8 или [Hum 1], 8.3). Предложение. Пусть алгебраическая группа G рационально действует на алгебраическом многообразии V . Тогда каждая орбита (т. е. множество вида {gv | g ∈ G}, v ∈ V) является гладким многообразием и открыто в своем замыкании по Зарисскому в V. Граница каждой орбиты является объединением орбит строго меньшей размерности. Как следствие, орбиты минимальной размерности замкнуты по Зарисскому. 0.17. Факторпространства и факторгруппы1 . Пусть p : V → W — морфизм k-многообразий, определенный над k. Мы говорим, что p является факторморфизмом (над k), если а) морфизм p сюръективен и открыт по Зарисскому; б) если подмножество U ⊂ V открыто по Зарисскому, то коморфизм морфизма p индуцирует изоморфизм между алгеброй регулярных функций на p (U) и алгеброй всех регулярных функций на U , постоянных на слоях ограничения p|U . Факторморфизмы удовлетворяют следующему условию универсальности. Пусть p : V → W — некоторый k-факторморфизм, а морфизм a : V → M постоянен на слоях морфизма p. Тогда существует такой единственный морфизм b : W → M, что a = b ◦ p. Если a является k-морфизмом, то это верно и для b. Если G — (аффинная) алгебраическая k-группа, а H — ее k-подгруппа, то на однородном пространстве G/H можно ввести такую k-структуру, что естественное отображение G → G/H будет сепарабельным k-факторморфизмом. Более точно, существуют k-многообразие M и сепарабельный k-факторморфизм p : G → M, слоями которого служат смежные классы по H. Многообразие G/H гладко и квазипроективно. Если подгруппа H нормальна, то G/H является k-группой, а канонический гомоморфизм G → G/H является морфизмом k-групп. Доказательства перечисленных утверждений основаны на следующей теореме Шевалле (см. [Bo 6], гл. II, теорема 5.1 или [Hum 1], теорема 11.2). Теорема. Пусть H — некоторая k-подгруппа k-группы G. Тогда существуют точное конечномерное представление a : G → GL(W ), определенное над k, а также одномерное k-подпространство L ⊂ W , такие что H = {g ∈ G | a (g)L = L} и {Lie(H) = {y ∈ Lie(G) | d a (y)L ⊂ L}. 0.18. Сюръективный гомоморфизм групп с конечным ядром называется изогенией. Так как любая конечная нормальная подгруппа связной алге1 См.

[Bo 6] , гл. II, § 6 или [Hum 1] , гл. IV.

28

Глава I. Предварительные сведения

браической группы G центральна (т. е. содержится в Z (G)), ядро любой изогении связных алгебраических групп центрально. Эпиморфизм (соответственно изоморфизм, изогения и т. д.) k-групп, являющийся k-морфизмом, далее называется k-эпиморфизмом (соответственно k-изоморфизмом, k-изогенией и т. д.). 0.19. Алгебраическая группа G называется прямым произведением своих нормальных алгебраических подгрупп G1 , . . . , Gn , если отображение умножения G1 × . . . × Gn → G является изоморфизмом алгебраических групп. Если это отображение является изогенией, то G называется почти прямым произведением подгрупп Gi . Алгебраическая группа G называется полупрямым произведением нормальной алгебраической подгруппы H ⊂ G и алгебраической подгруппы F ⊂ G, если отображение умножения индуцирует изоморфизм между алгебраическим многообразием H × F и G. В этом случае мы будем писать G = H ⋊ F или G = F ⋉ H. Символы ⋊ и ⋉ будут употребляться для полупрямых произведений не только алгебраических, но и других групп, для которых полупрямое произведение определяется аналогично, например топологических групп, групп Ли и т. п. 0.20. Полупростые, унипотентные и нильпотентные элементы. Жорданово разложение1 . Пусть K — алгебраически замкнутое поле, x ∈ End(W ), где W — конечномерное пространство над K . Эндоморфизм x называется полупростым, если пространство W порождается его собственными векторами, т. е. если этот эндоморфизм диагонализуем. Эндоморфизм x называется нильпотентным, если x n = 0 для некоторого n ∈ N+ , и унипотентным, если эндоморфизм x − 1 нильпотентен. Иначе говоря, эндоморфизм x нильпотентен (соответственно унипотентен), если все его собственные значения равны 0 (соответственно 1). Следующие факты хорошо известны (см. [Bo 6], гл. I, 4.2 или [Hum 1], 15.1). а) Пусть x ∈ End(W ). Тогда существуют такие однозначно определенные элементы xs , xn ∈ End(W ), что x = xs + xn ,

элемент xs полупрост, элемент xn нильпотентен и xs xn = xn xs . б) Пусть x ∈ GL(W ). Тогда существуют такие однозначно определенные элементы xs , xu ∈ GL(W ), что x = xs xu ,

элемент xs полупрост, элемент xn унипотентен и xs xu = xu xs . 1 См.

[Bo 6] , гл. I, § 4 и [Hum 1] , § 15.

§ 0. Обозначения, терминология и исходные факты

29

Разложения x = xs + xn и x = xs xu называются соответственно аддитивным и мультипликативным жордановыми разложениями. Будем называть xs и xu полупростой и унипотентной частями эндоморфизма x ∈ GL(W ). Пусть k — подполе поля K , а G ⊂ GLn — алгебраическая k-группа. Множество всех унипотентных (соответственно полупростых) элементов группы G будет обозначаться G (u) (соответственно G (s)). Аналогично, множество всех нильпотентных (соответственно полупростых) элементов алгебры Ли Lie(G), рассматриваемой как подпространство в Endn , будет обозначаться Lie(G) (n) (соответственно Lie(G) (s)). Множество G (u) является k-замкнутым алгебраическим подмногообразием в G. Если G (u) = G, то группа G называется унипотентной. Для связных групп G следующие условия равносильны: а) группа G унипотентна; б) Lie(G) (n) = Lie(G). Каждая унипотентная k-подгруппа группы GLn сопряжена посредством некоторого элемента g ∈ GLn (k) подгруппе группы верхних треугольных матриц с единицами на диагонали. Как следствие, если группа G унипотентна, то алгебра Lie(G) нильпотентна (см. [Bo 6], гл. V, следствие 15.5). Мы говорим, что унипотентная k-группа G расщепляется над k или k-расщепляется, если она имеет композиционный ряд из связных k-подгрупп G = G0 ⊃ G1 ⊃ . . . ⊃ Gm = {e}, в котором факторгруппы Gi /Gi+1 изоморфны над k одномерной аддитивной группе Ga . Если поле k совершенно, в частности при char k = 0, любая унипотентная k-группа k-расщепляется (см. [Bo 6], гл. V, следствие 15.5). Справедливы следующие утверждения: i) Пусть g ∈ G, x ∈ Lie(G). Тогда полупростая и унипотентная (соответственно нильпотентная) части элемента g (соответственно x) принадлежат G (соответственно Lie(G)). Если g ∈ G(k) (соответственно x ∈ Lie(G) k) и char(k) = 0, то gs , gu ∈ G(k) (соответственно xs , xn ∈ Lie(G) k)). Если g ∈ G(k) (соответственно x ∈ ∈ Lie(G) k) и p = char k > 0, то gs , gu ∈ G(k p−∞) (соответственно xs , −∞ n xn ∈ Lie(G) k p−∞ ), где k p = {y ∈ K | ∃n ∈ N+ : y p ∈ k} обозначает максимальное чисто несепарабельное расширение поля k. ii) Если f : G → G1 — морфизм алгебраических групп, g ∈ G и x ∈ ∈ Lie(G), то f (g) s = f (gs), f (g) u = f (gu), (d f) (xs) = (d f) (x) s , (d f) (xn) = (d f) (x) n .

30

Глава I. Предварительные сведения

В частности, образ полупростого (соответственно унипотентного) элемента при морфизме алгебраических групп полупрост (соответственно унипотентен). iii) Пусть G — коммутативная k-группа. Тогда G (u) и G (s) являются алгебраическими подгруппами в G, а отображение G (u) × G (s) → → G — изоморфизмом алгебраических групп (т. е. алгебраическая группа G является прямым произведением групп G (u) и G (s)). iv) Пусть char k = 0. Тогда (см. [Bo 6], гл. II, 7.3) из условия x ∈ Lie(G) (n) вытекает, что X def exp x = (i!) −1 x i i>0

принадлежит G (u) . Обратно, если g ∈ G (u) , то логарифм X def ln g = (−i) −1 (1 − g) i i>0

приинадлежит Lie(G) (n) . Множество Lie(G) (n) (соответственно G (u)) является k-подмногообразием в Lie(G) (соответственно в G), а отображения exp: Lie(G) (n) → G (u) и ln: G (u) → Lie(G) (n) взаимно обратны, бирегулярны и определены над k. Если char k = 0, то ввиду (iv) порядок любого элемента из g ∈ G (u) − {e} бесконечен, многообразие G (u) связно и множество Gk(u) плотно по Зарисскому в G (u) . Как следствие, любая унипотентная алгебраическая группа над полем нулевой характеристики связна. Из (ii) вытекает следующий результат. (v) Если f : G1 → G — морфизм алгебраических групп, причем группа Ker f унипотентна, то f−1 (G (u)) = G1(u) . В дальнейшем M (u) при M ⊂ G обозначает множество M ∩ G (u) . 0.21. Пусть G — алгебраическая группа. Морфизм алгебраических групп из G в GL1 называется характером или рациональным характером группы G. Множество всех характеров является конечно порожденной коммутативной группой относительно умножения значений характеров. Эта группа свободна, если группа G связна. Группа характеров будет обозначаться X(G). 0.22. Торы и коммутативные алгебраические группы1 . Коммутативная алгебраическая группа T называется тором, если она связна и выполнены следующие равносильные условия: (i) группа T состоит из полупростых элементов; 1 См.

[Bo 6] , гл. III, § 8 и [Hum 1] , § 16.

§ 0. Обозначения, терминология и исходные факты

31

(ii) группа T диагонализуема, т. е. сопряжена подгруппе группы диагональных матриц; (iii) группа T изоморфна произведению dim T экземпляров группы GL1 . Если T — тор, то X(T) — свободная абелева группа ранга dim T. Мы говорим, что тор T расщепим над k или k-расщепим, если он определен над k и k-изоморфен прямому произведению dim T экземпляров группы GL1 . Если тор T ⊂ GLn определен над k, то следующие условия равносильны: а) тор T расщепим над k; б) тор T диагонализуем над k, т. е. существует такая матрица g ∈ GLn (k), что gT g −1 состоит из диагональных матриц; в) все характеры тора T определены над k. Любой тор, определенный над k, расщепим над некоторым конечным сепарабельным расширением поля k. Любая связная алгебраическая подгруппа S тора T является тором и отщепляется как прямой множитель (т. е. существует такой тор S′ ⊂ T, что T = S × S′). Любая связная алгебраическая подгруппа k-расщепимого тора является k-расщепимым тором и определена над k. Все морфизмы k-расщепимых торов определены над k; в частности, любой морфизм из GL1 в k-расщепимый тор определен над k. Образ тора (соответственно k-расщепимого тора) при морфизме алгебраических групп (соответственно морфизме k-групп) является тором (соответственно k-расщепимым тором). Пусть p — характеристический показатель поля k (т. е. p = char k, если char k > 0, и p = 1, если char k = 0) и T — тор, определенный над k. При m ∈ N+ можно определить морфизм am : T → T, положив am (x) = x m , x ∈ T. Тогда а) морфизм am сюръективен при всех m ∈ N+ ; б) если m = p i , i ∈ N+ , то морфизм am биективен. В торе содержится лишь конечное число элементов данного конечного порядка m. Если m = p i , i ∈ N+ , то единица e — единственный элемент порядка m. Пусть G — коммутативная алгебраическая группа, состоящая из полупростых элементов. Тогда G = F × G0 , где F — конечная группа, G0 — тор. Пусть H — связная алгебраическая группа, h — ее полупростой элемент. Тогда h принадлежит некоторому тору T ⊂ H (см. [Bo 6], гл. IV, следствие 11.12 или [Hum 1], 22.3). В качестве T можно выбрать некоторый максимальный тор в H. Тогда из предложения 0.20 (i) получаем, что любая связная не унипотентная алгебраическая группа содержит тор положительной размерности. Все максимальные торы группы H сопряжены друг другу (см. [Bo 6], гл. IV, следствие 11.3 или [Hum 1], 21.3). Любая связная k-группа H содержит максимальный тор, определенный над k (см. [Bo 6], гл. V, теорема 18.2). С учетом предыдущих утверждений

32

Глава I. Предварительные сведения

получаем, что любая связная не унипотентная k-группа H содержит k-тор (т. е. тор, определенный над k) положительной размерности. 0.23. Напомним, что радикал (соответственно унипотентный радикал) k-группы G — это максимальная связная разрешимая (соответственно унипотентная) алгебраическая нормальная подгруппа в G. Такие подгруппы k-замкнуты, поскольку они инвариантны относительно действия группы Галуа поля K над k; как и выше, K обозначает алгебраически замкнутое поле, содержащее k. Как следствие, если поле k совершенно, например если char k = 0, то радикал и унипотентный радикал любой k-группы определены над k. 0.24. Редуктивные, полупростые и почти простые группы. Пусть G — алгебраическая k-группа. Мы называем ее полупростой (соответственно редуктивной), если ее радикал (соответственно унипотентный радикал) состоит только из e. Факторгруппа любой алгебраической группы по ее радикалу (соответственно унипотентному радикалу) полупроста (соответственно редуктивна). Любая полупростая группа редуктивна. Группа G называется (абсолютно) простой (соответственно (абсолютно) почти простой), если {e} — ее единственная собственная алгебраическая нормальная подгруппа (соответственно все такие подгруппы конечны); если аналогичное условие выполнено для k-замкнутых нормальных подгрупп, то группа G называется k-простой или простой над k (соответственно почти k-простой или почти простой над k). Если группа G связна, то все ее конечные нормальные подгруппы лежат в Z (G). Как следствие, если группа G связна и почти k-проста, то любая ее нормальная k-замкнутая подгруппа либо совпадает с G, либо лежит в Z (G). Так как D (G) является k-подгруппой в G — связной, если группа G связна, — то D (G) = G, если группа G некоммутативна и либо k-проста, либо связна и почти k-проста. По определению группа G полупроста (соответственно редуктивна), если это верно для ее связной компоненты, содержащей единицу. Если G связна, некоммутативна и почти k-проста, то она полупроста. Если группа G является почти прямым произведением полупростых (соответственно редуктивных) подгрупп, то она полупроста (соответственно редуктивна). Если группа G 6= {e} связна и полупроста, то она однозначно разлагается (с точностью до перестановки множителей) в почти прямое произведение связных некоммутативных почти простых алгебраических подгрупп G1 , . . . , Gi , а также в почти прямое произведение связных некоммутативных почти k-простых k-подгрупп G′1 , . . . , G′j (см. [Bo—T 1], 2.15). Группы G1 , . . . , Gi называются почти простыми множителями группы G, а группы G′1 , . . . , G′j — ее почти k-простыми множителями. Разложение группы на почти k-простые множители инвариантно относительно k-изогений. Более точно, если f : G → H — некоторая k-изогения связных

§ 0. Обозначения, терминология и исходные факты

33

полупростых k-групп, то образы почти k-простых множителей группы G являются почти k-простыми множителями в H. Это утверждение легко выводится из того факта, что любая связная алгебраическая нормальная подгруппа полупростой k-группы определена над сепарабельным замыканием поля k (см. ниже п. 0.25). Связная k-группа G редуктивна, если и только если она является почти прямым произведением k-тора и связной полупростой k-группы D (G) (см. [Bo—T 1], 2.2 и 2.15). Из свойств жорданова разложения, перечисленных в п. 0.20, вытекает, что если G — связная редуктивная k-группа, то G (u) ⊂ D (G). Из сказанного о полупростых и редуктивных группах вытекает, что образ полупростой (соответственно редуктивной) группы при морфизме алгебраических групп полупрост (соответственно редуктивен). В связной редуктивной группе G множество всех полупростых элементов содержит плотное и открытое по Зарисскому подмножество (см. [Bo 6], гл. IV, теорема 12.3 и следствие 2(c) в 13.17). Связная алгебраическая группа редуктивна, если и только если она имеет вполне приводимое рациональное представление с конечным ядром (см. [Bo—T 1], предложение 2.2). Если char k = 0, то любое рациональное представление редуктивной k-группы вполне приводимо (см. [C 3], гл. IV, теорема 4(a)). Следует отметить, что это неверно при char k 6= 0. Если char k = 0, то (см. [Hum 1], теорема 13.5) k-группа полупроста, если и только если ее алгебра Ли полупроста. При положительной характеристике это, вообще говоря, неверно, например для SL2 над полем характеристики 2. Пусть G — связная редуктивная k-группа. Тогда (см. [Bo—T 1], 2.14 и 2.15) выполняются следующие условия: а) если поле k бесконечно, то подгруппа G(k) плотна по Зарисскому в G; б) центр группы G определен над k. При бесконечном k из п. а) вытекает, что Z (G(k)) = Z (G) (k) (при конечном k это равенство также справедливо, но не вытекает из п. а)). Отметим, что если поле k совершенно, то пп. а) и б) выполняются независимо от редуктивности группы G. В связи с предложением 0.15 (iii, б) отметим, что для связной редуктивной группы G равенство Ker Ad = Z (G) справедливо и в случае, когда char k 6= 0 (см. [Hum 1], § 27, упражнение 5). 0.25. Пусть G — алгебраическая k-группа. Если она редуктивна или поле k совершенно, то (см. [Bo—T 1], 4.21 и 8.2) максимальные k-расщепимые торы в G сопряжены посредством элементов из G(k) и как следствие имеют одинаковую размерность. В этой ситуации пусть

34

Глава I. Предварительные сведения

rankk G обозначает k-ранг группы G, т. е. общую размерность k-расщепимых торов в G. Если rankk G>0, то группа G называется k-изотропной или изотропной над k, а в противном случае — k-анизотропной или анизотропной над k. Если почти k-простой множитель группы k-изотропен (соответственно k-анизотропен), то он называется k-изотропным (соответственно k-анизотропным) множителем. Редуктивная k-группа G называется k-расщепимой или расщепимой над k, если она содержит расщепимый тор, который является максимальным тором в G, — иначе говоря, если rankk G = rankK G, где K — алгебраическое замыкание поля k. Справедливы следующие утверждения. (i) Любая связная редуктивная k-группа расщепима над некоторым конечным сепарабельным расширением поля k (см. [Bo 6], следствие 18.8). (ii) Любая связная алгебраическая нормальная подгруппа связной k-расщепимой редуктивной k-группы определена над k (это вытекает из теоремы 18.7 в [Bo 6]). (iii) Любая связная алгебраическая нормальная подгруппа связной редуктивной k-группы определена над конечным сепарабельным расширением поля k (это вытекает из (i) и (ii)). 0.26. Системы корней. Приведем здесь некоторые свойства систем корней. Доказательства и более подробные сведения читатель найдет в [Bou 6], гл. VI. Пусть дано конечномерное векторное пространство V над R. Определим отражение относительно ненулевого вектора a ∈ V как такое линейное преобразование s, которое переводит a в −a и оставляет на месте все элементы некоторого подпространства коразмерности 1; это подпространство называется гиперплоскостью отражения s. Система корней в пространстве V — это подмножество Ψ ⊂ V , удовлетворяющее следующим трем условиям. R1 . Множество Ψ конечно, порождает V и не содержит нуля (элементы множества Ψ называются корнями). R2 . Если a ∈ Ψ, то существует отражение sa относительно a, которое оставляет инвариантным множество Ψ. R3 . Если a, b ∈ Ψ, то вектор sa (b) − b пропорционален a с целочисленным коэффициентом. Пусть Ψ — система корней в V . Группа W (Ψ) ⊂ GL(V ), порожденная отражениями sa , a ∈ Ψ, называется группой Вейля системы корней Ψ. Так как множество Ψ конечно и порождает V , группа W (Ψ) конечна. На пространстве V существует положительно определенное скалярное произведение, инвариантное относительно W (Ψ). Система корней называется

§ 0. Обозначения, терминология и исходные факты

35

неприводимой, если она не представима в виде объединения двух взаимно ортогональных собственных подсистем. В этом случае W (Ψ)-инвариантное скалярное произведение единственно с точностью до скалярного множителя. Если два корня пропорциональны, то коэффициент пропорциональности может равняться только ±1, ±1/2 или ±2. Корень a ∈ Ψ, для которого (1/2) · a ∈ / Ψ (соответственно 2 · a ∈ / Ψ), называется неделимым (соответственно неумножаемым). Система корней Ψ называется приведенной, если каждый корень a ∈ Ψ неделим. Множество неумножаемых корней из системы корней Ψ является приведенной системой корней и имеет ту же группу Вейля, что и Ψ. Камеры Вейля (системы корней Ψ) — это связные компоненты дополнения к объединению гиперплоскостей отражений sa , a ∈ Ψ. На множестве камер Вейля системы Ψ группа W (Ψ) действует просто транзитивно. Пусть C ⊂ V — некоторая камера Вейля системы Ψ. Тогда в пространстве V существует такой однозначно определенный T базис B (C) = {a1 , . . . , al } ⊂ Ψ, Yi , где Yi обозначает полупрочто все ai , 1 6 i 6 l, неделимы и C = 16i6l

странство, содержащее ai и ограниченное гиперплоскостью отражения sai . Множество B (C) называется базисом системы корней Ψ, отвечающим камере Вейля C. Упорядочение, отвечающее камере Вейля C, — это упорядочение > на пространстве V , согласованное с линейной структурой, при котором элементы, большие либо равные нулю, — это неотрицательные линейные комбинации корней ai . Корень, больший (соответственно меньший) нуля, называется положительным (соответственно отрицательным). Каждый корень системы Ψ либо положителен, либо отрицателен.P При этом каждый корень a ∈ Ψ однозначно представляется в виде a = ci ai , где все ci — целые числа одного знака (допускаются нули). Положительный корень называется простым (относительно введенного упорядочения), если он не является суммой двух положительных корней. Легко видеть, что множество простых корней совпадает с B (C). Фиксируем на пространстве V положительно определенное скалярное произведение, инвариантное относительно группы Вейля. Для каждого корня a ∈ Ψ определим линейную форму a∗ на пространстве V , положив a∗ (v) = 2ha, viha, ai−1 ,

v ∈V,

где hx, yi обозначает скалярное произведение векторов x, y. Каждая пара a, b различных элементов из B (C) удовлетворяет (возможно, после перестановки a и b) одной из следующих систем соотношений: а) a∗ (b) = b∗ (a) = 0; б) a∗ (b) = b∗ (a) = −1;

36

Глава I. Предварительные сведения

в) a∗ (b) = −1, b∗ (a) = −2; г) a∗ (b) = −1, b∗ (a) = −3. Теперь мы можем построить схему Дынкина системы корней Ψ. Для этого обозначим элементы из B (C) точками; две точки, отвечающие корням a и b, соединим как показано ниже, в соответствии с тем, какие из соотношений (а) — (г) выполнены для a и b. а) в)

б) г) Рис. I.1.

Так как W (Ψ) действует на множестве камер Вейля транзитивно, схема Дынкина не зависит от выбора камеры C. Схема Дынкина системы корней Ψ связна, если и только если Ψ неприводима. Каждая приведенная система корней определяется своей схемой Дынкина с точностью до изоморфизма. Ниже приведены все возможные схемы Дынкина неприводимых систем корней: An Bn Cn Dn E6

1

2

3

4

1

n

1

2

3

4

n−1

n

1

2

3

4

n−1

n

1

2

3

4

n−2

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

1

2

n−1 n

6 E7

7 E8

8 F4 G2

Рис. I.2.

7

§ 0. Обозначения, терминология и исходные факты

37

Тип неприводимой системы корней — это, по определению, тип ее схемы Дынкина. 0.27. Корни алгебраической группы относительно тора. Пусть G — алгебраическая группа, определенная над k; S ⊂ G — некоторый тор; r — рациональное представление группы G в конечномерном векторном пространстве V . Характер q ∈ X(S) называется характером или весом тора S в представлении r, если существует такой ненулевой вектор v ∈ V , что r (s)v = q (x)v при всех s ∈ S. Нетривиальные характеры тора S в присоединенном представлении группы G называются корнями группы G относительно S. Множество этих корней будет обозначаться Φ(S, G). Факторгруппа NG (S) /ZG (S) называется группой Вейля группы G относительно S и будет обозначаться W (S, G). Естественное действие этой группы на торе S определяется формулой p (g)s = gs g −1 , где g ∈ NG (S), а p : NG (S) → W (S, G) — естественный эпиморфизм. При этом индуцируется действие группы W (S, G) на X(S), а тем самым и на X(S) ⊗ R, по формуле (w q) (s) = q (w −1 s),

w ∈ W (S, G),

q ∈ X(S),

s ∈ S.

Отметим, что множество Φ(S, G) инвариантно относительно W (S, G). Пусть группа G связна и полупроста, и пусть S — максимальный k-расщепимый тор в G. Тогда (см. [Bo—T 1], § 5) выполнено следующее: а) Φ(S, G) — система корней в X(S) ⊗ R; она неприводима, если группа G почти k-полупроста; б) W (S, G) как группа автоморфизмов пространства X(S) ⊗ R совпадает с группой Вейля системы корней Φ(S, G); в) образ группы NG (S) (k) при естественном эпиморфизме NG (S) → W (S, G) совпадает с W (S, G). Как следствие, если rankk G = 1, то существует такой элемент x ∈ NG (S) (k), что xsx −1 = s −1 при всех s ∈ S. Введем упорядочение на X(S) как упорядочение, отвечающее камере Вейля системы Φ(S, G). Пусть T — максимальный тор в связной полупростой алгебраической группе G. Тогда (см. [Bo 6], теорема 14.8 или [Hum 1], 27.1) система корней Φ(T, G) является приведенной. Схема Дынкина группы G — это, по определению, схема Дынкина системы корней Φ(S, G). Последняя неприводима, если и только если группа G абсолютно почти проста. Тип абсолютно почти простой группы G — это тип ее схемы Дынкина. Две связные полупростые k-группы G и G′ строго изогенны (определение см. ниже в п. 1.4.3), если и только если они имеют одинаковую схему Дынкина (см. [Ti 2], теорема 1.2.2). Как следствие, абсолютно почти простые k-группы строго изогенны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый тип. Будем говорить, что группа G имеет тип A (соответственно B, C, D), если она имеет тип An (соответственно Bn , Cn , Dn) для некоторого n.

38

Глава I. Предварительные сведения

0.28. Подгруппы Леви. (См. [Bo—T 1], 0.8.) Пусть G — алгебраическая k-группа, причем G как алгебраическая группа является полупрямым произведением алгебраической редуктивной подгруппы H и унипотентного радикала Ru (G). Тогда H называется подгруппой Леви группы G. Разложение G = H ⋉ Ru (G) называется разложением Леви группы G. Если char k = 0, то в G всегда существует k-подгруппа Леви H и любая редуктивная k-подгруппа в G сопряжена подгруппе из H посредством элемента из Ru (G) (k). Однако при char k 6= 0 это утверждение неверно. 0.29. Борелевские и параболические подгруппы. Пусть G — связная алгебраическая группа. Ее борелевская подгруппа — это связная алгебраическая разрешимая подгруппа, которая не содержится в другой такой подгруппе. Алгебраическая подгруппа P ⊂ G называется параболической, если алгебраическое многообразие G/P полно или, что равносильно, проективно. Справедливы следующие утверждения (см. [Bo 6], § 51 и [Hum 1], §§ 21, 23). а) Любые две борелевские подгруппы сопряжены, и объединение всех борелевских подгрупп совпадает со всей группой. б) Алгебраическая подгруппа группы G является параболической, если и только если она содержит борелевскую подгруппу группы G. в) Любая параболическая подгруппа группы G связна и совпадает со своим нормализатором в G. Мы говорим, что две параболические подгруппы редуктивной алгебраической группы противоположны, если их пересечение является подгруппой Леви в каждой из них. Если G — связная редуктивная k-группа, то (см. [Bo–T 1], 4.8 и 4.18) пересечение любых двух ее параболических k-подгрупп P и P′ содержит централизатор максимального k-расщепимого тора S группы G; оно совпадает с этим централизатором (т. е. P ∩ P′ = ZG (S))), если и только если P и P′ противоположны. Связная редуктивная k-группа содержит собственную параболическую k-подгруппу, если и только если она содержит нецентральный k-расщепимый тор (см. [Bo–T 1], следствие 4.17). В частности, связная полупростая k-группа содержит собственную параболическую k-подгруппу, если и только если она изотропна над k. 0.30. Топологическое пространство называется s-компактным, если оно является счетным объединением компактов, и полуотделимым или T0 -пространством, если из двух различных точек хотя бы одна имеет окрестность, не содержащую другую точку. Будем говорить, что последовательность {xn }n∈N в локально компактном топологическом пространстве X сходится к бесконечности в X, если для любого компакта K ⊂ X выполняется условие xn ∈ X − K при всех достаточно больших n ∈ N.

§ 0. Обозначения, терминология и исходные факты

39

Пусть f : X → C — функция на топологическом пространстве. Замыкание в X множества {x ∈ X | f (x) 6= 0} называется носителем функции f и обозначается supp f . Непрерывное отображение топологических пространств f : X → Y называется собственным, если прообраз f −1 (K) любого компакта K ⊂ Y компактен в X. Подмножество топологического пространства называется борелевским, если оно принадлежит s-алгебре, порожденной всеми его замкнутыми подмножествами. Отображение f : X → Y локально компактных пространств называется борелевским, если прообраз f −1 (U) любого открытого подмножества U ⊂ Y — борелевское подмножество в X. Топологическая группа называется компактно порожденной, если она порождена компактным подмножеством. 0.31. Локальные поля1 . Под локальным полем мы всегда будем понимать коммутативное недискретное локально компактное поле. Локальное поле изоморфно либо C, либо R, либо конечному расширению поля Q p , либо полю формальных степенных рядов от одного переменного над конечным полем. (Здесь и далее под формальным степенным рядом пониP мается ряд вида ai t i , где n — целое число, возможно отрицательное.) n6i6∞

Локальное поле имеет конечную степень над любым своим локальным подполем. Конечное расширение локального поля также является локальным полем. Локальное поле не содержит бесконечных дискретных подполей; иначе говоря, замыкание любого его бесконечного подполя также является локальным полем. Пусть k — локальное поле, x ∈ k. Назовем модулем элемента x и обозначим через modk (x) модуль автоморфизма y 7→ yx аддитивной группы k+ поля k (величина modk (x) определяется условием m (xB) = modk (x) m (B), где B ⊂ k+ , а m — мера Хаара на k+). Абсолютная величина или нормирование на поле k — это непрерывная функция | | : k → R+ ∪ {0} со следующими свойствами: (А) равенство |x| = 0 равносильно равенству x = 0; (Б) |xy| = |x||y| при всех x, y ∈ k; (В) |x + y| 6 |x| + |y| при всех x, y ∈ k. Если поле k изоморфно R или C, то в качестве нормирования можно взять обычную абсолютную величину. В остальных случаях можно взять modk . Если | | — абсолютная величина на поле k, то существует такое число c > 0, что modk (x) = |x|c при всех x ∈ k. Таким образом, на каждом локальном поле существует нормирование, которое единственно с точностью до возведения в положительную степень. Любое нормирование поля k одно1 См.

[Weil 4] , гл. I.

40

Глава I. Предварительные сведения

значно продолжается на любое его конечное расширение и, как следствие, на его алгебраическое замыкание (см. [Wae 2], § 144). Пусть | | — абсолютная величина на поле k. Можно ввести метрику r на k, положив r (x, y) = |x − y|. Топология, отвечающая этой метрике, совпадает с исходной топологией поля k. Локальное поле k называется архимедовым, если оно изоморфно R или C, и неархимедовым в противном случае. Поле k неархимедово, если и только если оно вполне несвязно. Пусть поле k неархимедово, и пусть | | — абсолютная величина на k. Тогда |k − {0}| — бесконечная циклическая группа, и функция | | удовлетворяет ультраметрическому неравенству: |x + y| 6 max{|x|, |y|},

x, y ∈ k.

Множество Ker | | = {x ∈ k | |x| = 1} называется группой единиц локального поля k. Эта группа компактна. Элемент x ∈ k называется униформизатором, если |x| порождает циклическую группу |k − {0}| и |x| < 1. Множество униформизаторов непусто. Если x ∈ k — униформизатор, то мультипликативная группа поля k распадается в прямое произведение группы единиц и бесконечной циклической группы {x n | n ∈ Z}. Множество {x ∈ k | |x| 6 1} замкнуто по сложению и умножению и называется кольцом целых элементов поля k. Это единственное максимальное компактное подкольцо поля k. Множество {x ∈ k | |x| < 1} — единственный максимальный идеал кольца целых элементов поля k. Пусть f : k → k′ — непрерывный гомоморфизм локальных полей. Тогда f является собственным отображением, и поэтому f (k) — замкнутое подполе в k′ (для неархимедова поля k этот факт вытекает из того, что для любого униформизатора x в k абсолютная величина его образа f (x) меньше чем 1). Как следствие, если f (k) плотно в k′ , то f (k) = k′ и изоморфизм f−1 непрерывен. Мы говорим, что локальные поля k и k′ одинакового типа, если они содержат изоморфные локальные подполя, и различного типа в противном случае. Легко видеть, что поля k и k′ имеют одинаковый тип, если и только если существует непрерывный гомоморфизм поля k в некоторое конечное расширение поля k′ . Из классификации локальных полей вытекает, что k и k′ имеют одинаковый тип, если и только если выполнено одно из следующих условий: (А) char k = char k′ 6= 0; (Б) k и k′ изоморфны конечным расширениям поля Q p при некотором простом p; (В) k и k′ изоморфны R или C. В частности, если p и p ′ принадлежат множеству простых чисел, пополненному бесконечностью, а поле k (соответственно k′) изоморфно ко-

§ 0. Обозначения, терминология и исходные факты

41

нечному расширению поля Q p (соответственно Q p′ ), то k и k′ имеют одинаковый тип тогда и только тогда, когда p = p ′ . Рассматривая n-мерное векторное пространство V над локальным полем k, мы всегда будем предполагать, что V наделено структурой отделимого топологического векторного пространства над k. Как известно (см. [Bou 2], гл. 1, § 2, теорема 2), такое пространство изоморфно kn . Пусть дано k-многообразие M. Топология локального поля k индуцирует естественную топологию на M(k). Если M является k-подмногообразием n-мерного аффинного пространства, то такая топология совпадает с ограничением на M(k) естественной топологии пространства kn . В дальнейшем, если не оговорено противное, замыкание подмножества X ⊂ M(k) понимается в смысле указанной топологии. Так как k локально компактно, s-компактно и метризуемо, то M(k) также обладает этими свойствами. Отметим, что проективное пространство Pn (k) = P(kn+1) компактно. Если k изоморфно R или C, то (см. [Wh]) число компонент связности пространства M(k) конечно. В противном случае пространство M(k) вполне несвязно. Пусть H — компактная подгруппа в GLn (R). Тогда H = H(R), где H — некоторая R-подгруппа в группе GLn (см. [Vi 2], теорема 6). Это утверждение известно как теорема алгебраичности компактной вещественной линейной группы. Ее можно переформулировать следующим образом. Пусть дана алгебраическая R-группа H, причем H(R) содержит относительно компактную подгруппу, плотную по Зарисскому в H. Тогда группа H(R) компактна. Отметим, что для произвольного локального поля k аналогичное утверждение неверно. 0.32. Глобальные поля1 . Под глобальным полем мы понимаем конечное расширение поля рациональных чисел или поля рациональных функций одного переменного над конечным полем. Пусть K — глобальное поле. Нормирование или абсолютная величина на поле K — это, по определению, функция v : K → R+ ∪ {0}, удовлетворяющая условиям (А), (Б) и (В) из п. 0.31 при |x| = v (x). В дальнейшем мы всегда предполагаем, что нормирование v нетривиально, т. е. v (x) 6= 1 для некоторого x ∈ K , x 6= 0. Любое нормирование v поля K определяет на K метрику dv по формуле dv (x, y) = v (x − y), x ∈ K . Пополнение поля K относительно этой метрики является локальным полем, которое обозначается Kv . Два нормирования v и v ′ поля K называются эквивалентными, если соответствующие метрики dv и dv ′ определяют одну и ту же топологию на K . Значение нормирования v на элементе x ∈ K будет часто обозначаться |x|v . Пусть l — вложение поля K в локальное поле k. Если l (K) плотно в k, то пара (l, k) называется пополнением поля K . Два пополнения (l, k) 1 См.

[Wae 2] , гл. 18 и [Weil 4] , гл. III.

42

Глава I. Предварительные сведения

и (l′ , k′) поля K называются эквивалентными, если существует такой непрерывный изоморфизм r : k → k′ , что l′ = r · l. Если (l, k) — пополнение поля K , то можно определить нормирование v на K , положив v (x) = |l (x)|, где | | — абсолютная величина на k. При этом вложение l : K → k продолжается до непрерывного изоморфизма между Kv и k. Как следствие, классы эквивалентных нормирований поля K естественно отождествляются с классами эквивалентных пополнений. В дальнейшем мы не различаем нормирование и его класс эквивалентности. Множество неэквивалентных нормирований поля K счетно. Как следствие, это верно и для множества неэквивалентных пополнений. Пусть K ′ — конечное расширение поля K . Тогда каждое нормирование на K продолжается до нормирования на K ′ и число таких продолжений не превосходит степени расширения K ′ над K . Нормирование называется неархимедовым, если оно удовлетворяет ультраметрическому неравенству, и архимедовым в противном случае. Следует отметить, что во многих книгах и статьях термин «нормирование» означает лишь неархимедово нормирование. Нормирование v архимедово, если и только если поле Kv архимедово. Поле K имеет лишь конечное число неэквивалентных архимедовых нормирований. Множество архимедовых нормирований непусто, если и только если char K = 0 (т. е. если K — конечное расширение поля Q). В случае неархимедова нормирования v кольцо целых элементов поля Kv обозначается Ov . Пусть S — множество нормирований поля K . Элемент x ∈ K называется S-целым, если |x|v 6 1 для любого неархимедова нормирования v ∈ / S. Множество S-целых элементов является подкольцом в поле K и будет обозначаться K (S). Если card K (S) = ∞ (т. е. char K = 0 или card S > 1), то K является полем частных кольца K (S). Факторкольцо кольца K (S) по любому ненулевому идеалу конечно. Отметим, что если char K = 0, а S содержится в множестве архимедовых нормирований, то K (S) совпадает с кольцом целых алгебраических чисел, принадлежащих K . Для любого x ∈ K множество нормирований поля K с условием |x|v > 1 конечно. Иначе говоря, K совпадает с объединением подколец K (S), где S пробегает все конечные множества нормирований поля K . Смысл введенных понятий станет более ясным, если применить их к полю рациональных чисел Q. Пусть B — множество простых чисел, дополненное бесконечностью. Если p = ∞, то положим v p (x) = |x|, где |x| — обычная абсолютная величина. Если p — простое число, то положим v p (x) = p −l , где x = p l m/n, причем m и n взаимно просты с p. Функции v p являются нормированиями поля Q. Нормирование v p архимедово, если и только если p = ∞. Если p 6= p ′ , то нормирования v p и v p′ неэквивалентны. Любое нормирование поля Q эквивалентно одному из нормирований

§ 0. Обозначения, терминология и исходные факты

43

v p , p ∈ B. Таким образом, множество нормирований поля Q естественно отождествляется с B. При таком отождествлении элемент x ∈ Q является S-целым, если и только если он представим в виде x = m/n, где m ∈ Z, а n равно произведению степеней простых чисел из S ⊂ B. В частности, если S = {∞}, то Q(S) = Z. 0.33. Адели (См. [Hum 2], §§ 3, 14 и [Weil 2], гл. I). Пусть {Xl }l∈Λ — семейство топологических пространств, причем для всех, кроме конечного числа, элементов l ∈ Λ отмечены открытые множества Yl ⊂ Xl . Положим Q X = {(xl) ∈ Xl | xl ∈ Yl для всех, кроме конечного числа, l ∈ Λ}. Введем l∈Λ Q на X топологию с базой открытых множеств Zl , где Zl открыто в Xl и l∈Λ

Zl = Yl для всех, кроме конечного числа, элементов l. Пространство X с такой топологией называется ограниченным топологическим произведением пространств Xl относительно подмножеств Yl , l ∈ Λ. Пусть K — глобальное поле, R — множество всех (неэквивалентных) нормирований поля K , а обозначения Kv и Ov имеют тот же смысл, что в п. 0.32. Кольцо Ov определено для всех неархимедовых нормирований v и является компактным открытым подкольцом в локально компактном поле Kv . Поэтому ограниченное топологическое произведение пространств Kv относительно подмножеств Ov , где v пробегает R, является локально компактным топологическим кольцом (операции определяются покомпонентно). Это кольцо называется кольцом аделей поля K и обозначается AK . Если x ∈ K , то x ∈ Ov для всех, кроме конечного числа, элементов v ∈ R. Поэтому поле K можно вложить в AK как множество главных аделей (a, a, . . .), a ∈ K . Это множество дискретно в AK . Пусть M — аффинное K -многообразие, а a : M → M′ — его K -изоморфизм на (замкнутое по Зарисскому) K -подмногообразие M′ аффинного пространства. Пусть M′ (Ov) обозначает подмножество в M′ , состоящее из точек с координатами в O Qv . Рассмотрим ограниченное топологическое произведение M(AK ) ⊂ M(Kv) пространств M(Kv) относительно v∈R

подмножеств a−1 (M′ (Ov)). Легко видеть, что M(AK ) как подмножество в Q M(Kv), а также топология на M(AK ) не зависит от выбора K -изо-

v∈R

морфизма a. Пространство M(AK ) называется пространством аделей, отвечающим многообразию M. Можно определить пространство аделей для произвольного K -многообразия, используя его покрытия аффинными K -открытыми подмножествами. Так как множества M′ (Ov), а значит, и a−1 (M′ (Ov)) компактны, а пространства M(Kv) локально компактны, то и пространства M(AK ) локально компактны. Если x ∈ M(K), то x ∈ a−1 (M′ (O p)) при всех, кроме конечного числа, v ∈ R. Поэтому M(K)

44

Глава I. Предварительные сведения

естественно отождествляется с множеством главных аделей пространства M(AK ) посредством диагонального вложения x 7→ (x, x, . . .), x ∈ M(K). Пусть теперь G — линейная алгебраическая K -группа. Рассматривая ее как K -многообразие, можно определить пространство G(AK ). Определим на нем групповую операцию покомпонентно. Тогда G(AK ) превращается в локально компактную топологическую группу, которая называется группой аделей группы G или группой аделей, ассоциированной с G. Если G является K -подгруппой в GLn , то G(AK ) можно рассматривать как группу обратимых матриц с элементами из AK , удовлетворяющими полиномиальным условиям, которые определяют G в GLn . Группа G(K), отождествленная с множеством главных аделей пространства G(AK ), является дискретной подгруппой в G(AK ). 0.34. Меры (См. [Ha 1]). Мера на множестве X — это неотрицательная счетно-аддитивная функция m, которая определена на s-алгебре Ω подмножеств из X и принимает конечные и бесконечные значения. Подмножества из X, принадлежащие Ω, называются m-измеримыми или просто измеримыми. Мера m на X называется конечной, если m (X) < ∞; s-конечной, если X является счетным объединением измеримых подмножеств конечной меры; нормализованной или вероятностной, если m (X) = 1. В дальнейшем dx , x ∈ X, обозначает нормализованную меру, сосредоточенную в точке x, т. е.  1 при x ∈ Y , dx (Y) = 0 при x ∈ / Y. Если m1 — мера на множестве X1 , а m2 — на X2 , то m1 × m2 обозначает произведение этих мер (т. е. (m1 × m2) (Y1 × Y2) = m1 (Y1) m2 (Y2) для измеримых множеств Y1 ⊂ X1 и Y2 ⊂ X2). Для данного пространства с мерой выражения «почти всюду» и «почти для всех» означают, соответственно, «всюду, кроме множества нулевой меры» и «для всех, кроме принадлежащих множеству нулевой меры». Отображение пространства X с мерой m в топологическое пространство (соответственно в пространство с мерой без топологии) Y называется m-измеримым или просто измеримым, если оно определено почти всюду на X и прообраз любого открытого (соответственно измеримого) подмножества из Y измерим. Мы говорим, что измеримое отображение f : X → X сохраняет меру, если m (f−1 (Y)) = m (Y) для любого измеримого множества Y ⊂ X. Отображение f : X → X пространства X с мерой m в себя называется автоморфизмом пространства с мерой, если f почти всюду биективно, m-измеримо и сохраняет меру. Измеримое отображение (функция), определенное на пространстве с мерой m, называется m-постоянным, если оно постоянно почти всюду.

§ 0. Обозначения, терминология и исходные факты

45

Две меры m и n на множестве X называются эквивалентными, если {Y ⊂ X | m (Y) = 0} = {Y ⊂ X | n (Y) = 0}.

Образ f (m) меры m на множестве X при отображении f : X → Y определяется по формуле f (m) (B) = m (f −1 (B)) для множеств B ⊂ Y с измеримым прообразом. Пусть X — локально компактное хаусдорфово пространство. Мера m на пространстве X называется борелевской, если она определена на s-алгебре борелевских подмножеств в X, причем m (C) < ∞ для любого компакта C ⊂ X. Борелевская мера m на X называется регулярной, если для каждого борелевского подмножества Y ⊂ X и любого ε > 0 существуют открытое множество U ⊂ X и замкнутое множество F ⊂ X, такие что U ⊃ Y ⊃ F и m (U − F) < ε. Носитель борелевской меры m — это дополнение к объединению всех открытых множеств меры нуль; мы обозначаем его supp m. Пространство непрерывных комплекснозначных функций на X с компактными носителями будет обозначаться через K (X), множество регулярных борелевских мер на X — через M (X), а его подмножество, состоящее из вероятностных мер на X, — через P (X). Для каждой меры m ∈ M (X) можно определить линейный функционал на K (X) по формуле ] m (f) = f (x)d m (x). (∗) X

По теореме Рисса об общем виде линейных функционалов на K (X) можно отождествить M (X) посредством формулы (∗) с множеством положительных (l (f) > 0 при f > 0) линейных функционалов l на K (X). Наделим M (X) слабой топологией, в которой база открытых множеств состоит из конечных пересечений множеств вида U f ,V = {m ∈ M (X) | m (f) ∈ V }, где f ∈ K (X), а V — открытое подмножество в C. Подмножество M ⊂ ⊂ M (X) называется ограниченным, если существуют такие относительно компактные открытые множества Xi ⊂ X и такие числа bi > 0, i ∈ N+ , что [ X= Xi и m (Xi) < bi i∈N+

для любой меры m ∈ M. По теореме Тихонова о компактности произведения компактов каждое слабо замкнутое ограниченное подмножество в M (X) слабо компактно. Как следствие, если X компактно, то P (X) слабо компактно. В дальнейшем, если явно не оговорено противное, все меры на локально компактных пространствах считаются регулярными и борелевскими.

46

Глава I. Предварительные сведения

0.35. Понятие G-пространства. Пусть G — топологическая группа. Левым (соответственно правым) действием группы G на множестве X называется отображение f: G × X → X

(соответственно f : X × G → X), такое что (мы полагаем f (g, x) = gx и соответственно f (x, g) = x g) 1) ex = x (соответственно xe = x) при всех x ∈ X; 2) (g1 g2)x = g1 (g2 x) (соответственно x (g1 g2) = (x g1) g2) при всех x ∈ X, g1 , g2 ∈ G. Если X — топологическое пространство, то отображение f предполагается непрерывным. Если X — пространство с мерой, то f предполагается измеримым в следующем строгом смысле: для каждого измеримого подмножества A ⊂ X прообраз f−1 (A) принадлежит s-алгебре на G × X, порожденной множествами вида Y × B, где множество Y ⊂ G борелевское, а B ⊂ X измеримое. Если задано левое (соответственно правое) действие группы G на множестве X, то мы говорим, что X является левым (соответственно правым) G-пространством. Можно превратить правое (соответственно левое) G-пространство в левое (соответственно правое) G-пространство, положив gx = x g −1 (соответственно x g = g −1 x). Обычно бывает более удобно рассматривать левые G-пространства: в этом случае отображение g 7→ T g , ставящее в соответствие каждому элементу g ∈ G преобразование T g : x 7→ f (x, g), является гомоморфизмом, тогда как для правых G-пространств отображение T g : x 7→ f (x, g) является антигомоморфизмом. Поэтому мы часто будем для краткости называть левое действие и левые G-пространства просто действием и G-пространствами. Однако иногда бывает удобнее рассматривать правые G-пространства. Вот пример такой ситуации. Пусть X — правое G-пространство, Y — некоторое множество. Множество всех отображений из X в Y обозначим F (X, Y). Для каждого g ∈ G определим преобразование r (g) множества F (X, Y), положив (r (g) f) (x) = f (x g), x ∈ X, g ∈ G, f ∈ F (X, Y). Тогда отображение g 7→ r (g) является гомоморфизмом, тогда как для левых G-пространств аналогичное отображение g 7→ r′ (g) является антигомоморфизмом (здесь (r′ (g) f) (x) = f (gx)). Пусть X — локально компактное хаусдорфово G-пространство. Тогда K (X), M (X) и P (X) также являются G-пространствами: (g f) (x) = f (g −1 x),

(g m) (A) = m (g −1 A),

где x ∈ X, f ∈ K (X), m ∈ M (X) или m ∈ P (X), A ⊂ X, g ∈ G. Непосредственно

§ 0. Обозначения, терминология и исходные факты

47

проверяется, что (g m) (g f) = m (f) ∀ g ∈ G, m ∈ M (X), f ∈ K (X). Пусть X и Y — два G-пространства. Отображение f : X → Y называется G-эквивариантным или просто эквивариантным, если f (gx) = g f (x) при всех x ∈ X, g ∈ G. Если на множестве X задана мера m и отображение f является m-измеримым, то f называется эквивариантным, если при каждом g ∈ G равенство f (gx) = g f (x) выполнено почти для всех x ∈ X. Мера m на левом (соответственно правом) G-пространстве называется G-инвариантной или просто инвариантной, если m (gA) = m (A) (соответственно m (A g) = m (A)) для любого g ∈ G и любого измеримого подмножества A ⊂ X. Мера m называется G-квазиинвариантной или просто квазиинвариантной, если равенство m (gA) = 0 (соответственно m (A g) = 0) равносильно равенству m (A) = 0. 0.36. Мера Хаара1 . Пусть G — локально компактная s-компактная группа. Левая (соответственно правая) мера Хаара на G — это левоинвариантная (соответственно правоинвариантная) регулярная борелевская мера на G. Такая мера единственна с точностью до скалярного множителя. Левая мера Хаара на группе G будет обозначаться mG . Эта мера квазиинвариантна справа: если mG (A) = 0, то mG (A g) = 0 для любого g ∈ G. При этом существует такой непрерывный гомоморфизм ∆G : G → R+ , что mG (A g) = ∆G (g) −1 mG (A) для любого измеримого A ⊂ G и любого g ∈ G. Назовем ∆G модулем группы G и отметим, что ∆G · mG — правая мера Хаара на G. Если ∆G (g) = 1, т. е. мера m также и правоинвариантна, то группа G называется унимодулярной. Если группа G компактна или D (G) = G, то G унимодулярна. Если mG (A) = 0, то mG (A−1) = 0. Если Γ — дискретная подгруппа в группе G, то мера, индуцированная на Γ \ G мерой mG , также будет обозначаться mG . (Если A ⊂ G и A ∩ gA = ∅ для любого g ∈ Γ − {e}, то mG (p (A)) = mG (A), где p : G → Γ \ G — естественная проекция.) Пусть H — замкнутая подгруппа в G. Мера на G /H называется G-инвариантной или инвариантной (соответственно G-квазиинвариантной или квазиинвариантной), если она инвариантна (соответственно квазиинвариантна) при левых сдвигах, соответствующих всем g ∈ G. Заменив левые сдвиги правыми, мы аналогично определяем инвариантные и квазиинвариантные меры на H \ G. Далее mG /H (соответственно mH \G) обозначает ненулевую квазиинвариантную меру на G /H (соответственно на H \ G); такая мера всегда существует и единственна с точностью до эквивалентности. Она имеет следующее свойство: mG /H (Y) = 0 (соответственно mH \G (Y) = 0), если и только если mG (p−1 (Y) = 0, где p : G → G /H 1 См.

[Bou 3] , гл. VII и [Ha 1] , гл. XI.

48

Глава I. Предварительные сведения

(соответственно p : G → H \ G) — естественная проекция. Ненулевая G-инвариантная мера на G /H (так же как и на H \ G) существует, если и только если ∆G (h) = ∆H (h) для каждого h ∈ H (см. [Bou 3], гл. VII, § 2, теорема 3, следствие 2). Если F и H — замкнутые подгруппы в G и H ⊃ F , то конечная инвариантная мера на F \ G существует, если и только если существуют конечные инвариантные меры на H \ G и F \ H (см. [Rag 5], лемма 1.6). 0.37. Пусть x и y — векторы в гильбертовом пространстве. Тогда hx, yi обозначает их скалярное произведение, а kxk — норму вектора x. Пространство комплекснозначных функций на пространстве с мерой (X, m), имеющих интегрируемую p-ю степень модуля, обозначается L p (X, m). 0.38. Пусть G — локально компактная группа. Под представлением группы G в векторном пространстве V , как обычно, понимается гомоморфизм U группы G в группу обратимых линейных преобразований пространства V . Последнее называется пространством представления U . Представление U группы G в гильбертовом пространстве V называется унитарным, если операторы U (g) унитарны при всех g ∈ G. Если не оговорено противное, унитарные представления будут предполагаться непрерывными (т. е. U (g)v непрерывно зависит от (g, v) ∈ G × V). Если U — унитарное представление группы G и f ∈ L1 (G, mG), то мы полагаем ] U (f) = f (g)U (g)d mG (g). G

Пусть U и U ′ — унитарные представления группы G в гильбертовых пространствах V и V ′ соответственно. Представления U и U ′ называются эквивалентными, если существует такой унитарный оператор A: V → V ′ , что U ′ (g) = AU (g)A−1 для любого g ∈ G. Если замкнутое подпространство V1 ⊂ V инвариантно относительно операторов U (g), g ∈ G, то ограничение представления U на V1 называется подпредставлением представления U . Представление U называется неприводимым, если оно не имеет нетривиальных подпредставлений. Мы говорим, что представление U ′ содержится в представлении U , если U ′ эквивалентно подпредставлению представления U . Для каждого g ∈ G можно определить оператор l (g) на пространстве L2 (G, mG), если при f ∈ L2 (G, mG), x ∈ G положить (l (g) f) (x) = f (g −1 x). Непосредственно проверяется, что l — непрерывное представление группы G в пространстве L2 (G, mG); оно называется левым регулярным представлением. Аналогично определяется правое регулярное представление r группы G в пространстве L2 (G, m′G), где m′G — правая мера Хаара

§ 0. Обозначения, терминология и исходные факты

49

на G: при f ∈ L2 (G, m′G), x, g ∈ G положим (r (g) f) (x) = f (x g). Правое регулярное представление мы часто будем называть просто регулярным представлением. 0.39. Пусть f — топологический автоморфизм хаусдорфова топологического пространства X. Точка x ∈ X называется блуждающей (относительно f), если для некоторой ее окрестности U верно, что fn (U) ∩ U = ∅ при всех n ∈ N+ ; в противном случае точка x называется неблуждающей. Легко показать, что точка x является блуждающей, если и только если для некоторой ее окрестности W верно, что fn (W ) ∩ W = ∅ при всех n, превосходящих некоторое натуральное число N (W). Гомеоморфизм f называется возвратным, если он не имеет блуждающих точек. Пусть X — локально компактное хаусдорфово топологическое пространство, f : X → X — топологический автоморфизм, A и B — соответственно замкнутое и открытое подмножества в X. Мы говорим, что f притягивает B к A, если для любого компакта K ⊂ B и любого открытого множества U ⊂ X, содержащего A, существует такое натуральное число N = N (K , U), что fn (K) ⊂ U при всех n > N . В этом случае любая точка x ∈ B − A является блуждающей относительно f. Пусть G — локально компактная группа, а f — ее непрерывный автоморфизм. Он называется стягивающим, если он притягивает G к {e}, т. е. для любого компакта K ⊂ G и любой окрестности единицы U существует такое m = m(K , U) ∈ N+ , что fn (K) ⊂ U при всех n > m. Автоморфизм f называется нерастягивающим, если выполнены следующие условия: а) для каждой окрестности единицы W найдется такая окрестность единицы V , что [ fn (V ) ⊂ W ; n∈N+

б) для каждого компакта K ⊂ G множество [ fn (K) n∈N+

относительно компактно в G. Легко видеть, что любой стягивающий автоморфизм является нерастягивающим. 0.40. Пусть G — локально компактная группа. Ее дискретная подгруппа Γ называется решеткой, если mG (Γ \ G) < ∞. Решетка Γ называется кокомпактной или равномерной, если факторпространство Γ \ G компактно; в противном случае решетка Γ некокомпактна или неравномерна.

50

Глава I. Предварительные сведения

Пусть H1 , H2 — замкнутые подгруппы в G, причем H1 ⊃ H2 и на G /H2 существует конечная инвариантная мера. Тогда (см. п. 0.36) конечная инвариантная мера существует и на H1 /H2 . Как следствие, если Γ — решетка в G, содержащаяся в замкнутой подгруппе G ′ , то Γ является решеткой в G ′ . Пусть Γ — дискретная подгруппа в G. Подмножество X ⊂ G называется левой (соответственно правой) фундаментальной областью для Γ, если G = Γ · X и (g1 X) ∩ (g2 X) = ∅ (соответственно G = X · Γ и (X g1) ∩ (X g2) = ∅) при всех g1 , g2 ∈ Γ, g1 6= g2 . Если X — левая (соответственно правая) фундаментальная область, то X −1 — правая (соответственно левая) фундаментальная область. Если группа G является s-компактной, то (см. [Bou 3], гл. VII, § 2, упражнение 12) существует левая (соответственно правая) борелевская фундаментальная область X, такая что 1) mG (∂X) = 0, где ∂X — граница области X; 2) для любого компакта X ⊂ G множество {g ∈ Γ | (gX) ∩ K 6= ∅ (соответственно (X g) ∩ K 6= ∅)} конечно. Если при этом факторпространство Γ \ G компактно, то можно выбрать область X относительно компактной. Если группа G компактно порождена, а решетка Γ ⊂ G кокомпактна, то Γ конечно порождена. В самом деле, поскольку группа G компактно порождена, а факторпространство Γ \ G компактно, существует такое компактное множество Y ⊂ G, что Γ · Y = G, причем Y порождает G. Так как решетка Γ дискретна, Y компактно и Γ · Y = G, то существует такое конечное множество L ⊂ Γ, что Y · Y ⊂ L · Y и Y ∩ Γ ⊂ L. Пусть Γ0 обозначает подгруппу в Γ, которую порождает L. Индукция по m ∈ N+ показывает, S что Ym ⊂ Γ0 · Y , где Y1 = Y , Ym = Ym−1 · Y . Так как Y порождает G, то G = Ym . Как следствие, G = Γ0 · Y , и потому

m∈N+

Γ ⊂ Γ0 · (Y ∩ Γ) ⊂ Γ0 · L = Γ0 .

Это означает, что Γ совпадает с конечно порожденной подгруппой Γ0 . 0.41. Пусть N — некоторая группа, Aut N — группа ее автоморфизмов, H — подгруппа в Aut N . Тогда можно определить полупрямое произведение N ⋊ H , введя на декартовом произведении N × H следующую операцию умножения: (x1 , y1) · (x2 , y2) = (x1 · (y1 x2), y1 · y2).

Если N и H — топологические группы (соответственно алгебраические группы, k-группы), а H действует на N непрерывно (соответственно рационально, k-рационально), то на группе N ⋊ H существует естественная структура топологической группы (соответственно алгебраической группы, k-группы).

§ 0. Обозначения, терминология и исходные факты

51

Пусть G — группа, r : G → H — гомоморфизм групп. Мы говорим, что гомоморфизм s : G → N ⋊ H накрывает r, если r = p ◦ s, где p : N ⋊ H → → H — естественный эпиморфизм, задаваемый формулой p (x, y) = y, x ∈ N , y ∈ H . Два гомоморфизма s, s′ : G → N ⋊ H , накрывающие r, называются эквивалентными, если существует такой элемент x ∈ N , что s′ (g) = x s (g)x −1 при всех g ∈ G. Для каждого отображения f : G → N можно определить отображение r f : G → N ⋊ H , положив r f (g) = (f (g), r (g)) ∈ N ⋊ H . Легко проверить, что условие «r f является гомоморфизмом» равносильно условию (а) f (g1 g2) = f (g1) · (r (g1) f (g2)) ∀ g1 , g2 ∈ G. При этом два гомоморфизма r f и r f ′ эквивалентны, если и только если (б) существует такой элемент x ∈ N , что f ′ (g) = x · f (g) · (r (g)x −1) при всех g ∈ G. Отображение f : G → N называется коциклом (относительно r), если выполнено условие (а). Два коцикла f , f ′ называются эквивалентными или когомологичными, если выполнено условие (б). Множество классов эквивалентных коциклов будет обозначаться H 1 (G, r). Если N , H , G — топологические (соответственно алгебраические) группы, H действует на N непрерывно (соответственно рационально) и гомоморфизм r непрерывен (соответственно рационален), то, рассматривая только непрерывные (соответственно регулярные) отображения f : G → N , мы 1 1 можем построить множество Hcont (G, r) (соответственно Hrat (G, r)), ко1 торое можно считать подмножеством в H (G, r). Таким образом, суще1 1 ствует биекция между H 1 (G, r) (соответственно Hcont (G, r), Hrat (G, r)) и множеством классов эквивалентности всех (соответственно непрерывных, рациональных) гомоморфизмов из G в N ⋊ H , накрывающих r. Пусть F — подгруппа в группе G. Ограничивая на F отображения из G в N , получаем естественное отображение H 1 (G, r) → H 1 (F , r), которое называется отображением ограничения. Аналогично, если F — замкнутая (соответственно алгебраическая) подгруппа в топологической (соответственно алгебраической) группе G, то существует естественное отображение ограничения 1 1 Hcont (G, r) → Hcont (F , r) 1 1 (соответственно Hrat (G, r) → Hrat (F , r))). Пусть теперь группа N коммутативна и операция в ней записывается аддитивно. Тогда условия (а) и (б) принимают следующий вид: (а′) f (g1 g2) = f (g1) + r (g1) f (g2) при всех g1 , g2 ∈ G; (б′) существует такое x ∈ N , что h(g) = f (g) + x − r (g)x при всех g ∈ G.

52

Глава I. Предварительные сведения

Коцикл f : G → N называется кограницей, если он когомологичен нулю, т. е. существует такое x ∈ N , что f (g) = r (g)x − x при всех g ∈ G. Вводя операцию поточечного сложения на множестве Ω отображений из G в N , получаем абелеву группу. Легко видеть, что множество коциклов и множество кограниц являются подгруппами в группе Ω, причем два коцикла когомологичны, если и только если их разность является кограницей. Поэтому если группа N коммутативна, то H 1 (G, r) является факторгруппой группы коциклов по подгруппе кограниц. Аналогично мож1 1 но ввести структуру абелевой группы на Hcont (G, r) и Hrat (G, r). Группа 1 H (G, r) называется первой группой когомологий группы G относительно r.

§ 1. Алгебраические группы над произвольными полями В этом параграфе k обозначает некоторое поле, G — связную редуктивную k-группу. 1.1. Замкнутые и квазизамкнутые множества корней и ассоциированные с ними подгруппы1 Пусть S — тор в группе G, содержащийся в максимальном торе T. Для каждого b ∈ Φ(T, G) пусть Ub обозначает однопараметрическую корневую подгруппу, ассоциированную с b. Такая подгруппа единственна (см. [Bo 6], гл. V, 18.6 или [Hum 1], 26.3) и характеризуется наличием такого изоморфизма ϑ : Ga → Ub , что tϑb (x)t −1 = ϑb (b (t)x),

t ∈ T, x ∈ Ga ,

где Ga — одномерная аддитивная группа. Попутно заметим, что def (i) Lie(Ub) = Ub = {v ∈ Lie(G) | Ad t (v) = b (t)v, t ∈ T}, (ii) dim Ub = 1,L (iii) Lie G = Ub ⊕ Lie(T).

(1)

b∈Φ(T,G)

Если тор T определен и расщепим над k, то подгруппы Ub также определены над k и существуют изоморфизмы ϑb , определенные над k (см. [Bo 6], гл. V, 18.7). Подмножество Ψ ⊂ Φ(T, G) называется квазизамкнутым, если b ∈ Ψ для каждого такого b ∈ Φ(T, G), что Ub содержится в подгруппе, порожденной всеми Ua , a ∈ Ψ. 1 См.

[Bo-T 1] , 3.8.

§ 1. Алгебраические группы над произвольными полями

53

Пусть Ψ ⊂ Φ(S, G) ⊂ X (S). Обозначим через s = s (Ψ) (соответственно n = n (Φ)) множество тех элементов из Φ(T, G), ограничения которых на S принадлежат Ψ ∪ {0} (соответственно Ψ). Множество Ψ ⊂ Φ(S, G) называется замкнутым, если из того, что a, b ∈ Ψ и a + b ∈ Φ(S, G), вытекает, что a + b ∈ Ψ, и квазизамкнутым, если s квазизамкнуто. Если множество Ψ замкнуто, то оно квазизамкнуто (это следует из соответствующего утверждения для s, которое в свою очередь вытекает из предложения 3.4 (S) в [Bo-T 1]). В случае квазизамкнутого множества Ψ пусть GΨ или GΨ обозначает подгруппу, которую порождают T и подгруппы Ua , a ∈ s; аналогично, пусть G∗(S) или G∗Ψ обозначает подгруппу, порожденную всеми Ψ подгруппами Ua , a ∈ n. Подгруппы GΨ и G∗Ψ являются алгебраическими и не зависят от выбора максимального тора T, содержащего S. При этом ZG (S) ⊂ NG (G∗Ψ) и GΨ = ZG (S) · G∗Ψ . Если группа G∗Ψ унипотентна, то она часто будет обозначаться UΨ ; в этом случае множество Ψ будет называться унипотентным. Если Ψ квазизамкнyто и состоит из положительных корней относительно некоторого упорядочения на X(S), то Ψ унипотентно, а n квазизамкнуто и унипотентно. Мы говорим, что алгебраическая группа H прямо порождается своими алгебраическими подгруппами H1 , . . . , Hn (в данном порядке), если отображение умножения H1 × . . . × Hn → H является изоморфизмом между многообразиями H1 × . . . × Hn и H. 1.1.1. Предложение (см. [Bo 6], гл. IV, 14.3 и [Hum 1], 28.1). Пусть B — борелевская подгруппа в G, содержащая тор T, а W — подгруппа в Ru (B), нормализуемая тором T. Положим C = {a ∈ Φ(T, G) | Ua ⊂ W}. Тогда W прямо порождается L (в любом порядке) подгруппами Ua , a ∈ C, и, значит, Lie(W) = Lie(Ua). В частности, если множество a∈C

Ψ ⊂ Φ(S, G) квазизамкнуто и унипотентно, то UΨ прямо L порождается подгруппами Ua , a ∈ n (Ψ), и при этом Lie(UΨ) = Lie(Ua). a∈n (Ψ)

1.1.2. Предложение (см. [Bo-T 1], предложение 3.11). Пусть множество Ψ ⊂ Φ(S, G) квазизамкнуто и унипотентно; Ψ1 , . . . , Ψn — его разбиение на квазизамкнутые подмножества; H — связная унипотентная алгебраическая подгруппа в UΨ (соответственно в GΨ), нормализуемая тором S. Тогда H прямо порождается подгруппами H ∩ UΨ1 , . . . , H ∩ UΨn (соответственно H ∩ ZG (S), H ∩ UΨ1 , . . . , H ∩ UΨn). Отметим, что предложение 1.1.1 является частным случаем предложения 1.1.2 (на самом деле оно используется в доказательстве последнего). 1.1.3. Предложение (см. [Bo-T 1], следствие 3.18). Пусть тор S(⊂ G) определен и расщепим над k, а Ψ — квазизамкнутое унипотентное подмножество в Ψ(S, G). Тогда унипотентная подгруппа UΨ определена и расщепима над k.

54

Глава I. Предварительные сведения

1.2. Подгруппы, ассоциированные с множествами простых корней1 Пусть G — полупростая группа, S — максимальный k-расщепимый тор в G. Тогда (см. п. 0.27) множество Φ = Φ(S, G) является системой корней в X(S) ⊗ R. Фиксируем на последнем множестве упорядочение; пусть Φ+ = Φ+ (S, G), Φ− = Φ− (S, G), ∆ = ∆(S, G) обозначают соответственно множества положительных, отрицательных и простых корней относительно этого упорядочения. Для каждого ϑ ⊂ ∆ пусть [ϑ] обозначает множество корней, являющихся целочисленными линейными комбинациями элементов из ϑ. Следующие подмножества замкнуты в Φ: pϑ = [ϑ] ∪ Φ+ , − p− ϑ = [ϑ] ∪ Ψ , + bϑ = Φ − [ϑ], − b− ϑ = Φ − [ϑ]. Для каждого Ψ ⊂ X(S) пусть SΨ обозначает компоненту единицы в пересечении ядер характеров q ⊂ Ψ. Подгруппы Gpϑ , Gp− , Ubϑ , Ub− будут для ϑ ϑ − простоты обозначаться Pϑ , P− ϑ , Vϑ , Vϑ . Эти подгруппы, как и ZG (Sϑ), связны и определены над k. Имеют место следующие разложения Леви: Pϑ = ZG (Sϑ) ⋉ Vϑ , − P− ϑ = ZG (Sϑ) ⋉ Vϑ .

(1)

Подгруппы Pϑ (ϑ ⊂ ∆) называются стандартными параболическими k-подгруппами в G, ассоциированными с S и Φ+ . Это в точности те k-подгруппы в G, которые содержат P∅ , и любая параболическая k-подгруппа в G сопряжена единственной стандартной посредством элемента из G(k) (см. [Bo-T 1], предложение 5.14). В частности, любая минимальная параболическая k-подгруппа в G сопряжена посредством элемента из G(k) подгруппе P∅ . Для любого ϑ ∈ ∆ верно, что V− ϑ ∩ Pϑ = {e}, Pϑ ∩ P− ϑ = ZG (Sϑ), 1 См.

[Bo-T 1] , 4.2, 4.3, 4.8 и 5.12.

§ 1. Алгебраические группы над произвольными полями

55

так что Pϑ и P− ϑ — противоположные параболические k-подгруппы. Отображение умножения индуцирует изоморфизм k-многообразия V− ϑ × Pϑ , а также k-многообразия Vϑ × P− на плотное и открытое по Зарисскому подϑ множество в G. 1.2.1. Предложение. Для каждого ϑ ⊂ ∆ группа G(k) порождается подгруппами Pϑ (k) и V− ϑ (k). Д о к а з а т е л ь с т в о. Как отмечено выше, отображение умножения индуцирует изоморфизм k-многообразия V− ϑ × Pϑ на плотное и открытое по Зарисскому подмножество W в G. При этом W ∩ G(k) = V− ϑ (k) · Pϑ (k). С другой стороны, так как W плотно и открыто по Зарисскому в G, а G(k) плотно по Зарисскому в G, то W ∩ gW −1 ∩ G(k) 6= ∅ при всех g ∈ G(k), и потому g содержится в (W ∩ G(k)) · (W ∩ G(k)). Следовательно, − G(k) ⊂ V− ϑ (k) · Pϑ (k) · Vϑ (k) · Pϑ (k).

Доказательство завершено. 1.2.2. Предложение. Если dim S = rankk G > 2, то в торе S для некоторого натурального n существуют такие одномерные подторы S1 , . . . , Sn , что G(k) = ZG(k) (S1 (k)) · . . . · ZG(k) (Sn (k)). Д о к а з а т е л ь с т в о. Если a ∈ Φ = Φ(S, G) — неделимый корень, то пусть Wa обозначает подгруппу G∗Ψ(a) = UΨ(a) , где Ψ(a) = {na | n ∈ N+ } ∩ Φ. Согласно предложению 1.1.3 подгруппы Wa определены над k. Так как dim S > 2, для каждого неделимого корня a ∈ Φ существует такой одномерный тор Sa ⊂ S, что Sa ⊂ Ker a. Следовательно, Wa ⊂ ZG (Sa). Ввиду предложения 1.1.2 подгруппа P∅ прямо порождается k-подгруппами ZG (S), Wa1 , . . . , War , где a1 , . . . , ar ∈ Φ+ — положительные неделимые корни. Значит, P∅ (k) = ZG(k) (S(k)) · Wa1 (k) · . . . · War (k). Но Wa ⊂ ZG (Sa) и ZG (S) ⊂ ZG (Sa), поэтому P∅ (k) ⊂ ZG(k) (Sa1 (k)) · . . . · ZG(k) (Sar (k)).

(2)

P− ∅ (k) ⊂ ZG(k) (Sa1 (k)) · . . . · ZG(k) (Sar (k)).

(3)

Аналогично Так как G(k) порождается подгруппами P∅ (k) и P− ∅ (k) (см. предложение 1.2.1), искомое равенство вытекает из включений (2) и (3). 1.2.3. Предложение (см. [Bo-T 1], следствие 5.18). (i) Группы Pϑ (k) — это в точности подгруппы в G(k), содержащие P∅ (k).

56

Глава I. Предварительные сведения

(ii) Пусть ϑ, ϑ′ ⊂ ∆ и g ∈ G(k). Тогда gPϑ′ (k) g −1 ⊂ Pϑ (k), если и только если ϑ′ ⊂ ϑ и g ∈ Pϑ (k). В частности, Pϑ (k) ⊂ Pϑ′ (k) (соответственно Pϑ (k) = Pϑ′ (k)), если и только если ϑ ⊂ ϑ′ (соответственно ϑ = ϑ′). 1.2.4. Следствие. Пусть ϑ ⊂ ∆. Тогда Pϑ (k) порождается подгруппами P{b} (k), b ∈ ϑ. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть P{b} (k), b ∈ ϑ, порождают в G(k) подгруппу H . В силу предложения 1.2.3 (i) существует такое ϑ′ ⊂ ∆, что H = Pϑ′ (k). Так как H ⊂ Pϑ (k) и P{b} (k) ⊂ H при всех b ∈ ϑ, то в силу предложения 1.2.3 (ii) ϑ′ = ϑ.

1.3. Эквивариантные отображения унипотентных групп на алгебры Ли Пусть char k = 0; H — алгебраическая k-группа; exp : Lie(H) (n) → → H (u) и ln : H (u) → Lie(H) (n) определены как в п. 0.20. Напомним, что если a : H → F — морфизм алгебраических групп, то a (H (u)) ⊂ F (u) (см. п. 0.20). 1.3.1. Предложение. Пусть a : H → F — морфизм k-групп, причем char k = 0. Тогда для любого u ∈ H (u) выполняется равенство a (u) = exp((d a) (ln u)), где d a : Lie(H) → Lie(F) — дифференциал морфизма a. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть u ∈ H (u) . Положим ut = exp(t · ln u) и (a (u)) t = exp(t · ln a (u)). Тогда отображение ut 7→ (a (u)) t является морфизмом однопараметрической группы {ut } на однопараметрическую группу {(a (u)) t } и совпадает с a на плотной по Зарисскому подгруппе {un | n ∈ Z}. Следовательно, a (ut) = (a (u)) t при всех t ∈ k, откуда d a (ln u) = ln a (u). Предложение доказано. Из предыдущего предложения вытекает, что если char k = 0, то для любой унипотентной k-группы U логарифмическое отображение ln : U → → Lie(U) эквивариантно в следующем смысле: если a — бирегулярный автороморфизм группы U, то ln ◦a = d a ◦ ln. Но если char k 6= 0, то такое эквивариантное отображение не обязательно существует. Тем не менее справедливо следующее утверждение. 1.3.2. Предложение (см. [Bo-Sp], следствие 9.12). Пусть H — связная разрешимая k-группа; U = Ru (H); S — тор в H, определенный над k. Допустим, что либо ZH (S) ∩ U = {e}, либо поле k совершенно. Тогда унипотентная группа U определена и расщепима над k, причем существует S-эквивариантный k-изоморфизм f : U → Lie(U) алгебраических многообразий; здесь S-эквивариантность означает, что f (sus −1) = Ad s (f (u)) при всех s ∈ S, u ∈ U.

§ 1. Алгебраические группы над произвольными полями

57

1.3.3. Предложение. Пусть S — максимальный k-расщепимый тор в G. (i) Пусть параболическая k-подгруппа P ⊂ G содержит S. Тогда унипотентный радикал Ru (P) определен и расщепим над k, причем существует S-эквивариантный k-изоморфизм алгебраических многообразий Ru (P) → Lie(Ru (P)). (ii) Пусть группа G полупроста и ϑ ⊂ ∆ = ∆(S, G). Тогда унипотентные группы Vϑ и V− ϑ (см. 1.2) определены и расщепимы над k, причем существуют S-эквивариантные k-изоморфизмы Vϑ → Lie(Vϑ) − и V− ϑ → Lie(Vϑ ). Чтобы доказать (i), достаточно заметить, что ZG (S) ∩ Ru (P) = {e} (см. [Bo-T 1], теорема 4.15), и применить предложение 1.3.2 к H = S · Ru (P). Утверждение (ii) является частным случаем утверждения (i). Его можно вывести и из предложения 1.3.2, так как ZG (S) ∩ Vϑ = ZG (S) ∩ V− ϑ = {e} (что вытекает, например, из разложения (1) в п. 1.2)). 1.4. Центральные изогении. Односвязные и присоединенные группы1 1.4.1. Определение. Морфизм алгебраических групп f : H → H′ называется квазицентральным, если Ker f ⊂ Z (H). Иначе говоря, f квазицентрален, если существует такое отображение q : f (H) × f (H) → H, что q (f (x), f (y)) = xyx −1 y −1 при всех x, y ∈ H. 1.4.2. Определение. Морфизм алгебраических групп f : H → H′ называется центральным, если он квазицентрален и отображение q из определения 1.4.1 (заведомо единственное) является морфизмом алгебраических многообразий. Замечание 1. Пусть f : H → H′ — центральный морфизм k-групп. Тогда отображение q определено над k (см. [Bo-T 3], замечание 2.6). Следовательно, если f (x), f (y) ∈ H′ (k), то xyx −1 y −1 = q (f (x), f (y)) ∈ H(k). Таким образом, D (f−1 (H′ (k))) ⊂ H(k). Как следствие, если f (H) = H′ , то D (H′ (k)) ⊂ f (H(k)). Замечание 2. Пусть b : G → G′ — центральная k-изогения редуктивных k-групп, d — ее степень (т. е. степень поля k(G) рациональных функций на G над полем b0 (k(G′)), где b0 — коморфизм морфизма b). Тогда (см. [Bo-T 4], предложение 3.16) существует такой k-морфизм алгебраических многообразий m : G′ → G, что m (b (g)) = g d при всех g ∈ G. Если b (g) ∈ G′ (k), то g d = m (b (g)) ∈ G(k). Но D (b−1 (G′ (k))) ⊂ G(k) ввиду замечания 1. Значит, G(k) — нормальная подгруппа в b−1 (G′ (k)), а b−1 (G′ (k)) /G(k) — коммута1 См.

[Bo-T 3] , § 2.

58

Глава I. Предварительные сведения

тивная периодическая группа, показатель которой делит d. Следовательно, b (G(k)) — нормальная подгруппа в G′ (k), а G′ (k) /b (G(k)) — коммутативная периодическая группа, показатель которой делит d (см. [Bo-T 4], следствие 3.17). Замечание 3. Если морфизм квазицентрален и сепарабелен, то он централен (обратное в общем случае неверно). Как следствие, при char k = 0 любая изогения связных k-групп центральна. 1.4.3. Определение. Две алгебраические группы H и H′ называются изогенными (соответственно строго изогенными), если для некоторой алгебраической группы F существуют изогении (соответственно центральные изогении) F → H и F → H′ . 1.4.4. Определение. Две алгебраические k-группы H и H′ называются k-изогенными (соответственно строго k-изогенными), если для некоторой k-группы F существуют k-изогении (соответственно центральные k-изогении) F → H и F → H′ . 1.4.5. Предложение (см. [Bo-T 3], теорема 2.20). Пусть G′ — редуктивная k-группа, а f : G → G′ — центральная k-изогения. Тогда выполнены следующие утверждения. (i) Максимальные k-расщепимые торы в G′ (соответственно в G) являются образами (соответственно связными компонентами единицы в прообразах) максимальных k-расщепимых торов в G (соответственно в G′) при отображении f . (ii) Параболические k-подгруппы в G′ (соответственно в G) являются образами (соответственно прообразами) параболических k-подгрупп в G (соответственно в G′) при отображении f . 1.4.6. Следствие. (а) Строго k-изогенные редуктивные k-группы имеют одинаковый k-ранг (это вытекает из предложения 1.4.5 (i)). (б) Пусть n — неотрицательное целое число, G, G′ — две строго k-изогенные связные полупростые k-группы. Тогда G имеет почти k-простой множитель ранга n, если и только если G′ имеет такой множитель. Как следствие, G не имеет k-анизотропных множителей, если и только если G′ не имеет таких множителей. (в) Пусть f : G → G′ — центральная k-изогения связных полупростых k-групп. Обозначим через Gis ⊂ G (соответственно Gis0 ⊂ G0) почти прямое произведение k-изотропных множителей группы G (соответственно группы G0). Тогда f (Gis) = Gis0 . Утверждения (б) и (в) вытекают из утверждения (а) с учетом того факта, что разложение на k-простые компоненты инвариантно относительно k-изогений. 1.4.7. Предложение (см. [Bo-T 3], 2.13, 2.15, 2.17). Пусть G — редуктивная алгебраическая группа; f : G → G′ — изогения; T — мак-

§ 1. Алгебраические группы над произвольными полями

59

симальный тор в G; fT∗ : X(f (T)) → X(T) — гомоморфизм, переводящий q ∈ X(f (T)) в q ◦ f ∈ X(T). Тогда следующие условия равносильны. (i) Изогения f центральна. (ii) Справедливо равенство fT∗ (Φ(f (T), G′)) = Φ(T, G). (iii) Ядро дифференциала d f : Lie(G) → Lie(G′) содержится в центре алгебры Ли Lie(G) (этот центр совпадает с ZLie(G) (G) и содержится в Lie(T)). (iv) Справедливо равенство d f (Lie(G) (n)) = Lie(G′) (n) , где, как и в п. 0.20, Lie(G) (n) и Lie(G′) (n) обозначают множества нильпотентных элементов в Lie(G) и Lie(G′) соответственно. (v) Справедливо равенство Lie(G) (n) ∩ Ker d f = {0}. (vi) Для любого b ∈ Φ(T, G) отображение f : Ub → f (Ub) является изоморфизмом алгебраических групп; здесь Ub обозначает корневую подгруппу, ассоциированную с b. Замечание. Из равносильности условий (i) и (iv) вытекает, что композиция центральных изогений связных редуктивных алгебраических групп является центральной изогенией (см. [Bo-T 3], следствие 2.18). 1.4.8. Следствие. Пусть G — редуктивная алгебраическая группа; f : G → G′ — центральная изогения; g ∈ G. Тогда характеристические многочлены преобразований Ad g и Ad f (g) совпадают; как следствие, Tr Ad g = Tr Ad f (g). Д о к а з а т е л ь с т в о. Характеристические многочлены линейного преобразования и его полупростой части совпадают, и согласно п. 0.20 (ii) (Ad g) s = Ad gs и (Ad f (g)) s = Ad f (gs). Поэтому можно считать элемент g полупростым. Теперь остается заметить, что любой полупростой элемент из G принадлежит некоторому максимальному тору (см. п. 0.22), и применить предложение 1.4.7. 1.4.9. Определение. Связная полупростая алгебраическая группа H называется односвязной (соответственно присоединенной), если любая центральная изогения f : H′ → H (соответственно f : H → H′), где группа H′ связна, является изоморфизмом алгебраических групп. Если связная алгебраическая k-группа H является присоединенной, то Z (H) = {e}. Если char k = 0, то верно и обратное. Если же char k 6= 0, то не любая связная полупростая k-группа с тривиальным центром является присоединенной. В качестве примеров односвязных групп упомянем SLn , а также группу Sp2n симплектических матриц порядка 2n. 1.4.10. Предложение (см. [Ti 2]], 3.1.2.). Связная односвязная (соответственно присоединенная) полупростая k-группа однозначно разлагается в прямое произведение односвязных (соответственно присоединенных) почти k-простых k-групп.

60

Глава I. Предварительные сведения

1.4.11. Предложение (см. [Bo-T 3], предложения 2.24, 2.26 и [Ti 2], 2.6.1). Пусть G и G′ — связные полупростые k-группы. Тогда справедливы следующие утверждения. p˜ p¯ ¯ где G˜ — (i) Существует точная последовательность G˜ − →G− → G, ¯ односвязная k-группа, G — присоединенная k-группа, p˜ и p¯ — центральные k-изогении. Группы G˜ и G¯ и изогении p˜ и p¯ определены однозначно с точностью до k-изоморфизма. (ii) Если f : G → G′ — центральная k-изогения, h : G1 → G′ — некоторый k-гомоморфизм полупростой односвязной k-группы G1 , то существует единственный k-гомоморфизм h′ : G1 → G, такой что h = f ◦ h′ . (iii) Если f : G → G′ — центральная k-изогения, а h: G → G1 — некоторый k-эпиморфизм в полупростую присоединенную k-группу G1 , то существует единственный k-гомоморфизм h′ : G′ → G1 , такой что h = h′ ◦ f . (iv) Изогения Ad : G → Ad G центральна и Ad G является присоединенной группой (т. е. в утверждении (i) можно взять Ad G и Ad ¯ в качестве G¯ и p). 1.4.12. Определение. Группы G˜ и G¯ в предложении 1.4.11 (ii) называются, соответственно, односвязной накрывающей и присоединенной группой связной полупростой k-группы G. 1.4.13. Предложение. Пусть G′ — алгебраическая k-группа, b : Lie(G) → Lie(G′) — морфизм алгебр Ли, определенный над k. Пусть при этом char k = 0 и группа G полупроста и односвязна. Тогда существует единственный морфизм p : G → G′ , дифференциал которого равен b. При этом p определен над k. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G = Lie(G); H = {(x, b (x)) | x ∈ G} ⊂ G × × Lie(G′) — график морфизма b. Так как группа G полупроста (см. п. 0.24), полупроста и алгебра G, а тогда и изоморфная ей алгебра H. Значит, H является алгеброй Ли некоторой связной полупростой алгебраической подгруппы H ⊂ G × G′ (см. утверждение 0.15 (v) и п. 0.24). Пусть a : G × G′ → G и d a : G × Lie(G′) → G — естественные проекции. Так как dim H = dim H = dim G = dim G и d a (H) = G, ограничение морфизма a на H является изогенией. Но char k = 0 и группа G односвязна. Поэтому a|H является изоморфизмом и, значит, H — график некоторого морфизма p : G → G′ . Так как H — график морфизма b и H = Lie(H), то b = d p. Единственность морфизма p вытекает из утверждения (vi) в п. 0.15. Так как морфизм b определен над k, а p единствен, то s p = p для любого k-автоморфизма s любого расширения поля k (определение s p см. ниже в начале п. 1.7). Так как поле k совершенно, морфизм p определен над k.

§ 1. Алгебраические группы над произвольными полями

61

1.4.14. Пусть f : G → G′ — эпиморфизм связных полупростых k-групп. Если это изогения, то в силу предложения 1.4.7 она центральна, если и только если d f (Lie(G) (n)) = Lie(G′) (n) . Эпиморфизм f называется специальным, если d f (Lie(G) (n)) ∩ Lie(G′1) (n) 6= {0} для всякого почти простого множителя G′1 группы G′ . Ясно, что любая центральная изогения специальна. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако если char k > 5 и изогения f специальна, то она центральна. Точнее (см. [Bo-T 4], 3.3), если f : G → G′ — специальная нецентральная изогения, а группы G, G′ почти просты, то выполнено одно из следующих условий: char k = 2, группа G принадлежит одному из типов Bn , Cn или F4 , а группа G′ — двойственному типу Cn , Bn или F4 ; char k = 3, группы G и G′ принадлежат типу G2 . Из предложения 1.4.7 вытекает, что если f0 : G0 → G (соответственно f1 : G′ → G1) — рациональный эпиморфизм, а f : G → G′ — центральная изогения, то эпиморфизм f ◦ f0 (соответственно f1 ◦ f) специален, если и только если специален морфизм f0 (соответственно f1). 1.5. Унипотентные подгруппы и группа H(k) + 1.5.1. Предложение (см. [Bo-T 2], следствие 3.7). Пусть k — совершенное поле, H — связная k-группа. Тогда любая унипотентная подгруппа в H(k) (соответственно унипотентная k-подгруппа в H) содержится в унипотентном радикале параболической k-подгруппы группы H. Как следствие, максимальные унипотентные подгруппы в H(k) (соответственно максимальные унипотентные k-подгруппы в H) имеют вид Ru (P) (k) (соответственно Ru (P)), где P обозначает минимальную параболическую k-подгруппу в H, и, тем самым, сопряжены между собой посредством элементов из H(k). 1.5.2. Пусть H — связная k-группа. Обозначим через H(k) + нормальную подгруппу в H(k), порожденную подгруппами Ru (P) (k), где P пробегает множество всех параболических k-подгрупп в H. Из предложения 1.5.1 вытекает, что если поле k совершенно, то H(k) + совпадает с подгруппой, которую порождает множество H(k) (u) всех унипотентных элементов из H(k). Если группа H полупроста, а поле k алгебраически замкнуто, то (см. [Hum 1], теорема 27.5(d)) множество H(k) (u) порождает H(k) и потому H(k) + = H(k). 1.5.3. Предложение. Пусть группа G полупроста. Тогда подгруппа G(k) + совпадает с {e}, если и только если G анизотропна над k. Для доказательства достаточно заметить следующее: (а) связная полупростая k-группа содержит собственную параболическую k-подгруппу, если и только если она изотропна над k (см. 0.29);

62

Глава I. Предварительные сведения

(б) если S — максимальный k-расщепимый тор в полупростой группе G и ϑ $ ∆ = ∆(S, G), то в силу предложения 1.3.3 (ii) подгруппа Ru (Pϑ) (k) = Vϑ (k) не совпадает с {e}. 1.5.4. Предложение (см. [Bo-T 4], 6.2, 6.9, 6.11). Пусть Gi , 1 6 i 6 r — все связные некоммутативные почти k-простые k-изотропные нормальные k-подгруппы в G. Тогда справедливы следующие утверждения. (i) Группа G(k) + совпадает с подгруппой в G(k), которую порождают подгруппы U(k), где U пробегает множество k-расщепимых унипотентных подгрупп в G. (ii) Пусть P и P− — противоположные параболические k-подгруппы в G, не содержащие ни одной из подгрупп Gi , 1 6 i 6 r. Тогда G(k) + порождается подгруппами Ru (P) (k) и Ru (P−) (k). Как следствие, если P и P− — противоположные минимальные параболические k-подгруппы в G, то G(k) + порождается подгруппами Ru (P) (k) и Ru (P−) (k). (iii) (Вытекает из (ii).) Пусть группа G почти k-проста и некоммутативна, а P и P− — противоположные параболические k-подгруппы в G, причем P 6= G. Тогда G(k) + порождается подгруппами Ru (P) (k) и Ru (P−) (k). В частности, если S — максимальный k-расщепимый тор в G, ϑ $ ∆ = ∆(S, G), а обозначения Vϑ , V− ϑ имеют тот же смысл, что в п. 1.2, то G(k) + порождается подгруппами Vϑ (k) и V− ϑ (k). (iv) Группа G(k) + является почти прямым произведением подгрупп Gi (k) + , 1 6 i 6 r. (v) Если поле k бесконечно, то замыкание по Зарисскому подгруппы G(k) + в группе G совпадает с произведением подгрупп Gi , 1 6 i 6 r. Как следствие, если группа G почти k-проста, k-изотропна и некоммутативна, то подгруппа G(k) + плотна по Зарисскому в G. (vi) Для любого k-расщепимого тора S в группе G верно, что G(k) = G(k) + · ZG (S) (k). 1.5.5. Предложение (см. [Bo-T 4], следствие 6.3). Пусть f : F → G′ — центральная k-изогения редуктивных k-групп. Тогда f (G(k) +) = = G′ (k) + . 1.5.6. Теорема (см. [Ti 1], основная теорема и следствие 6.4). Пусть поле k содержит не менее четырех элементов. Тогда верно следующее. (i) Если группа G почти k-проста, то любая подгруппа в G(k), нормализуемая подгруппой G(k) + , либо лежит в Z (G), либо содержит G(k) + . (ii) Группа G(k) + совпадает со своим коммутантом.

§ 1. Алгебраические группы над произвольными полями

63

1.5.7. Следствие (см. [Bo-T 4], следствие 6.7). Пусть поле k бесконечно. Тогда G(k) + не содержит собственных подгрупп конечного индекса. Как следствие, любая подгруппа конечного индекса в G(k) содержит G(k) + . 1.6. Расщепимые полупростые подгруппы В этом пункте группа G предполагается полупростой, а максимальный k-расщепимый тор в ней обозначается S. Пусть Φ′ — система неумножаемых корней из Φ = Φ(S, G). Пользуясь обозначениями из п. 1.1, для каждого a ∈ Φ положим U (a) = U{a} , где {a} = {na | n ∈ N+ } ∩ Φ. Отметим, что если a — неумножаемый корень, то Lie(U (a)) совпадает с корневым подпространством {v ∈ Lie(G) | Ad s (v) = a(s)v ∀s ∈ S}. 1.6.1. Теорема (см. [Bo-T 1], теорема 7.2). Группа G содержит связную k-расщепимую полупростую k-подгруппу H, такую что H ⊃ S, Φ′ = Φ(S, H) и для каждого a ∈ Φ′ = Φ(S, H) подгруппа U (a) ∩ H совпадает с (одномерной k-расщепимой) корневой подгруппой Ua в H. Если группа G почти k-проста, то это верно и для H. Следует отметить, что подгруппа H не определяется однозначно, даже с точностью до сопряженности (см. [Bo-T 1], 7.3).   0 E Пусть Sp2n = {g ∈ GL2n | t gJg = J}, где J = , а t g обозначает −E 0

матрицу, транспонированную к g. 1.6.2. Предложение. Пусть группа G почти k-проста, rankk G > 2. Тогда G содержит почти k-простую k-подгруппу F, такую что ее односвязная накрывающая изоморфна над k либо SL3 , либо Sp4 . Для доказательства достаточно применить теорему 1.6.1. и заметить, что для k-расщепимой группы G можно построить подгруппу F следующим образом: так как группа G почти k-проста и rankk G > 2, можно найти два не пропорциональных корня a, b ∈ Φ = Φ(S, G), которые не ортогональны относительно W (Φ)-инвариантного скалярного произведения; здесь W (Φ) — группа Вейля системы Φ. Если при этом Φ принадлежит к типу G2 , то можно считать длину корней a и b одинаковой (т. е. a ∈ W (Φ)b). Пусть F — подгруппа, порожденная корневыми подгруппами Ua , U−a , Ub , U−b . Тогда из классификации расщепимых полупростых групп (см. [Hum 1], гл. XI, XII и [Ti 2]) вытекает, что односвязная накрывающая группы F совпадает с SL3 или Sp4 . 1.6.3. Предложение (см. [Ti 1], 3.1, предложение 13). Пусть U=

n

1 x 0 1

 o x∈k ,

D=

n

c 0 0 c −1

o  c ∈ k, c 6= 0 ,

64

Глава I. Предварительные сведения

и пусть a ∈ Φ(S, G) — неумножаемый корень. Тогда существует такой k-морфизм s : SL2 → G с конечным ядром, что s (U) ⊂ U (a) (k) и s (D) ⊂ S(k). 1.7. Ограничение скаляров1 Пусть K — конечное сепарабельное расширение поля k степени d; f : K → K ′ — гомоморфизм полей; p : M → M′ — некоторый K -морфизм K -многообразий. Обозначим соответственно через f M, f M′ и f p : f M′ → → f M те K ′ -многообразия и K ′ -морфизм, которые получаются из M, M′ и p под действием f. Если M, M′ — подмногообразия аффинных пространств, определенные над K , то можно получить f M, f M′ и f p, применяя f к коэффициентам многочленов, определяющих M, M′ и p соответственно. Пусть {s1 = Id, s2 , . . . , sd } — множество всех различных k-вложений поля K в алгебраическое замыкание поля k. Тогда для каждого K -многообразия W существуют такое k-многообразие V и такой K -морфизм p : V → W, что отображение (s1 p, . . . , sd p) : V → s1 W × . . . × sd W является изоморфизмом алгебраических многообразий; при этом пара (V, p) определяется однозначно с точностью до k-изоморфизма. Многообразие V обозначается RK /k W. Если W является K -группой, то RK /k W является k-группой, а p — морфизмом K -групп. Соответствие W 7→ RK /k W является функтором из категории K -многообразий (соответственно аффинных K -многообразий, K -групп) в категорию k-многообразий (соответственно аффинных k-многообразий, k-групп) и называется функтором ограничения скаляров (с K на k). Отображение p : RK /k W → W обладает следующим свойством универсальности: для любого k-многообразия X и K -морфизма f : X → W существует единственный k-морфизм f : X → → RK /k W, такой что f = p ◦ f. Отметим, что если f — морфизм K -групп, то f — морфизм k-групп. Ограничение проекции p на V(k) индуцирует биекцию множества V(k) на W(K). Отображение, обратное к p|V(k) , будет обозначаться RK0 /k . Если k — локальное поле, K наделено топологией отделимого топологического векторного пространства над k, а V(k) и W(K) — индуцированной топологией, отвечающей полям k и K соответственно, то p|V(k) и RK0 /k являются гомеоморфизмами. Если W является K -группой, то отображение RK0 /k : W(K) → V(k) является изоморфизмом групп. Пусть H — некоторая K -группа. Тогда функтор RK /k определяет биекцию между множеством параболических K -подгрупп из H и множеством параболических k-подгрупп k-группы RK /k H, причем Ru (H) пере1 См.

[Bo-T 1] , 6.17–6.21 и [Weil 2] , 1.3.

§ 1. Алгебраические группы над произвольными полями

65

ходит в Ru (RK /k H). Как следствие, (RK /k H) (k) + = RK0 /k (H(K) +) для любой связной K -группы H. Если T — некоторый K -тор, то RK /k T является k-тором; если T — максимальный K -расщепимый тор в H, то максимальный k-расщепимый тор, содержащийся в k-торе RK /k T, является максимальным k-расщепимым тором в группе RK /k H. Если группа H редуктивна, то rankK H = rankk RK /k H. Если K -группа H почти проста над K (соответственно K -проста, полупроста, редуктивна, унипотентна), то группа RK /k H почти проста над k (соответственно k-проста, полупроста, редуктивна, унипотентна). Если G — односвязная (соответственно присоединенная) почти k-простая k-группа, то существуют конечное сепарабельное расширение k′ поля k и связная односвязная (соответственно присоединенная) абсолютно почти простая k′ -группа G′ , такие что G = Rk′ /k G′ (см. [Ti 2], 3.1.2). 1.8. «Абстрактные» гомоморфизмы изотропных алгебраических групп Пусть K — некоторое поле, f : k → k′ — гомоморфизм полей. Определим fG , как в п. 1.7, и пусть f0 обозначает канонический гомоморфизм группы G(k) в f G(k′) (при котором к элементам матриц из G(k) применяется гомоморфизм f). 1.8.1. Теорема (см. [Bo-T 4], теорема (A)). Пусть H — подгруппа в G(k), содержащая G(k) + ; G′ — связная некоммутативная абсолютно почти простая k-группа; d : H → G′ (k′) — гомоморфизм. Пусть поля k и k′ бесконечны, причем (а) группа G некоммутативна, k-изотропна и почти k-проста; (б) либо группа G односвязна, либо G′ — присоединенная группа; (в) G′ 6= {e} и подгруппа d (G(k) +) плотна по Зарисскому в G′ . Тогда существуют однозначно определенный гомоморфизм f : k → k′ , специальный (в смысле п. 1.4.14) k-эпиморфизм b : f G → G′ и гомоморфизм t : H → Z (G′ (k′)) = Z (G′) (k′), такие что для любого g ∈ H d (g) = t (g) · b (f0 (g)). Если группа G абсолютно проста, то b является изогенией. 1.8.2. Замечания к теореме 1.8.1. (I). На самом деле предположение о бесконечности полей излишне, так как оно вытекает из условия (в) и связности группы G′ . (II). В статье [Bo-T 4] группа G предполагается абсолютно почти простой. Но это допущение используется лишь при доказательстве того, что k-эпиморфизм b является изогенией. Нужно отметить, что с помощью функтора ограничения скаляров общий случай легко сводится к случаю, когда группа G абсолютно почти проста.

66

Глава I. Предварительные сведения

(III). Если k и k′ — локальные поля, а гомоморфизм d непрерывен, то и гомоморфизм f непрерывен. Это утверждение вытекает из построения гомоморфизма f, приведенного в [Bo-T 4], § 8.3. Его можно вывести и из равенства d (g) = t (g) · b (f0 (g)), g ∈ H , если заметить следующее: (а) так как группа G изотропна над k, в силу предложений 1.5.3 и 1.5.4 (i) она содержит такую одномерную унипотентную k-группу U, что U(k) ⊂ G(k) + и U изоморфна над k аддитивной группе Ga ; (б) так как подгруппа Z (G′) конечна, а согласно следствию 1.5.7 G(k) + не содержит собственных подгрупп конечного индекса, то t (G(k) +) = {e}. Наконец, заметим, что если k′ не изоморфно C, то любой гомоморфизм ϑ : k → k′ непрерывен (см. [Bo-T 4], 2.3). (IV) Пусть k, k′ — локальные поля, G, G′ — присоединенные абсолютно простые группы, Ker d = {e} и d (H) ⊃ G′ (k′) + . Тогда f : k → k′ является изоморфизмом полей, а b : f G → G′ — изоморфизмом алгебраических групп. Это частный случай следствия 8.13 из [Bo-T 4]. 1.8.3. Предложение. Пусть G′ — алгебраическая k-группа; H — подгруппа в G(k), содержащая G(k) + ; a : H → G′ (k′) — гомоморфизм групп; P — параболическая k-подгруппа группы G; поле k бесконечно. Тогда (i) группа a (Ru (P) (k)) унипотентна; (ii) если a (G(k) +) 6= {e}, то char k = char k′ ; (iii) если поле k совершенно, то a (H (u)) ⊂ G′ (k′) (u) . Так как G (u) ⊂ D (G), а группа D (G) полупроста (см. п. 0.24), группу G тоже можно считать полупростой. Утверждения (i) и (ii) для этого случая содержатся в [Bo-T 4] (предложение 7.2). Утверждение (iii) вытекает из утверждения (i) и предложения 1.5.1.

§ 2. Алгебраические группы над локальными полями В этом параграфе k обозначает локальное поле с нормированием | |; K — алгебраическое замыкание поля k; G — связную полупростую k-группу. Каждое k-многообразие M наделяется топологией, которую индуцирует топология поля k (см. п. 0.31). 2.1. Поведение множества k-рациональных точек при k-морфизмах 2.1.1. Предложение. Пусть a : V → W — биективный k-морфизм неприводимых нормальных k-многообразий. Тогда: (i) подмножество a (V(k)) замкнуто в W(k) и отображение a : V(k) → a (V(k)) является гомеоморфизмом;

§ 2. Алгебраические группы над локальными полями

67

(ii) существует конечное чисто несепарабельное расширение k′ поля k, такое что a−1 (W(k)) ⊂ V(k′). Д о к а з а т е л ь с т в о. Морфизм a индуцирован коморфизмом K (W) → → K (V), который далее рассматривается как вложение; здесь, как обычно, K (M) — поле рациональных функций на неприводимом K -многообразии M. Так как a — биективный морфизм неприводимых нормальных многообразий, то K (V) является чисто несепарабельным расширением поля K (W) (см. [Bo 6], гл. AG, 18.2). Если при этом U — открытое по Зарисскому аффинное подмножество многообразия W, то множество U ′ = a−1 (U) совпадает с пространством specK (K [U ] ′) максимальных идеалов целого замыкания K [U ] ′ кольца K [U ] в K (V), а морфизм a индуцируется вложением K [U ] ֒→ K [U ] ′ = K [U ′ ]. Поэтому можно считать, что V и W — n def n аффинные многообразия и k [W] ⊃ k [V] p = {f p | f ∈ k [V]} для некоторого натурального n, где p = char k (в частности, если char k = 0, то k [W] = k [V] и предложение для этого случая доказано). Пусть f1 , . . . , fn порождают k-алn n гебру k [V]. Положим h j = f jp ∈ k [W], 1 6 j 6 i. Тогда f j (x) p = h j (a (x)) для любого x ∈ V, и точка y ∈ W(k) принадлежит a (V(k)), если и только если n h j (y) ∈ k p при всех j, l 6 j 6 i. С другой стороны, из описания локальных n полей в п. 0.31 вытекает, что множество k p замкнуто в k, а отображение n n x 7→ x p , x ∈ k, является гомоморфизмом поля k на k p . Таким образом (а) множество a (V(k)) замкнуто в W(k), а f j (a−1 (y)) непрерывно зависит от y ∈ a (V(k)), откуда вытекает утверждение (i); −n (б) f j (a−1 (y)) ∈ k p при всех y ∈ W(k), следовательно, a−1 (W(k)) ⊂ −n ⊂ V(k p ), что доказывает утверждение (ii). 2.1.2. Замечание 1. Как отмечено в п. 0.9, при char k = 0 любой биективный k-морфизм неприводимых нормальных k-многообразий является изоморфизмом. Поэтому если char k = 0, то a (V(k)) = W(k). Замечание 2. В предложении 2.1.1 допущение о неприводимости многообразий V и W можно заменить допущением, что все неприводимые компоненты многообразия V имеют одинаковую размерность. 2.1.3. Следствие. Пусть f : H → H′ — морфизм k-групп с тривиальным ядром. Тогда (i) подгруппа f (H(k)) замкнута в H′ (k) и гомоморфизм f : H(k) → → f (H(k)) является морфизмом топологических групп; (ii) существует конечное чисто несепарабельное расширение k′ поля k, такое что f −1 (H(k)) ⊂ H(k′). Это следствие вытекает из предложения 2.1.1 и замечания 2.1.2 (ii), поскольку любая алгебраическая группа является нормальным алгебраическим многообразием (см. п. 0.13), неприводимые компоненты группы H являются сдвигами подгруппы H0 , а образ k-группы при k-морфизме является k-группой. Можно обойтись и без замечания 2.1.2 (ii). В самом

68

Глава I. Предварительные сведения

деле, подгруппа H0 имеет конечный индекс в группе H, поэтому последнюю можно считать связной. Но тогда можно применить предложение 2.1.1. 2.1.4. Предложение (см. [Bo-T 4], 3.18). Пусть k-группа H действует k-рационально на k-многообразии M; x ∈ M(k); отображение h 7→ hx, h ∈ H, группы H на орбиту Hx сепарабельно. Тогда (i) подмножество H(k)x замкнуто и открыто в (Hx) (k) и потому локально замкнуто в M(k); (ii) естественное отображение H(k) /H(k) x → H(k)x является гомеоморфизмом; здесь H(k) x = {x ∈ H(k) | hx = x}. 2.1.5. Следствие. Пусть P — параболическая k-подгруппа k-группы H. Тогда факторпространство H(k) /P(k) компактно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть p : H → H/P — естественный k-морфизм. Он сепарабелен (см. п. 0.17), и с учетом предложения 2.1.4 пространство H(k) /P(k) гомеоморфно замкнутому подмножеству H(k) p (e) пространства (H/P) (k). Но последнее компактно, так как H/P — проективное многообразие. 2.2. Разложения Картана и Ивасавы Если k равно R или C, то положим kˆ = {x ∈ R | x > 1}, k0 = {x ∈ R | x > 0}.

В противном случае положим kˆ = {bn | n ∈ N},

k0 = {bn | n ∈ Z},

где b — фиксированный униформизатор неархимедова локального поля k. Пусть S — максимальный k-расщепимый тор в G. Введем на множестве X(S) ⊗ R упорядочение, отвечающее камере Вейля системы Φ(S, G) (см. пп. 0.26, 0.27). Множество характеров, положительных относительно этого упорядочения, обозначим X+ ⊂ X(S). Унипотентную k-подгруппу V∅ , введенную в п. 1.2, будем обозначать V. Положим S + = {s ∈ S(k) | q (s) ∈ kˆ ∀q ∈ X+ }, S ′ = {s ∈ S(k) | q (s) ∈ k0 ∀q ∈ X(S)}. 2.2.1. Теорема. Пусть группа G односвязна. Тогда в G(k) существует такая компактная подгруппа M, что NG (S) (k) ⊂ M · S(k)

(1)

и имеют место следующие разложения (которые называются соответственно разложением Картана и Ивасавы): G(k) = M · S + · M,

G(k) = M · S ′ · V(k).

При этом справедливо следующее: (i) если Ms1 M = Ms2 M, s1 , s2 ∈ S + , то s1 = s2 ;

(2)

§ 2. Алгебраические группы над локальными полями

69

(ii) если Ms1 V(k) = Ms2 V(k), s1 , s2 ∈ S ′ , то s1 = s2 . Если k изоморфно R, то это классический факт из теории полупростых групп Ли (см. теоремы 1.1 и 5.1 из гл. VI в [He]). Приведенная формулировка равносильна формулировке в [He] с учетом связности группы G(k) (см. замечание 2 в п. 2.3), замечаний в п. 14.7 из [Bo-T 1] и результатов § 6 гл. V в [He]. О включении (1) при k = R см. 14.7 в [Bo-T 1]. Случай k = C сводится к случаю k = R после замены G на RC/R G, где RC/R — ограничение скаляров с C на R (см. п. 1.7). О случае неархимедова поля k и почти k-простой группы G см., например, 2.5 и теорему 2.6.11 в [Macd] (включение (1) в этом случае вытекает из приведенной в [Macd] конструкции подгруппы M и из 2.5.(IV) в той же книге). Остается только заметить, что любая полупростая односвязная k-группа является прямым произведением почти k-простых односвязных k-групп (см. предложение 1.4.10), а максимальный k-расщепимый тор в прямом произведении k-групп есть прямое произведение максимальных k-расщепимых торов в множителях (см. [Bo-T 1], предложение 4.2.7). 2.2.2. Следствие. Пусть группа G односвязна и rankk G = 1. Тогда существует такая компактная подгруппа M ⊂ G(k), что g −1 ∈ M gM при любом g ∈ G(k). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть M — компактная подгруппа в G(k), о которой говорится в теореме 2.2.1. Положим Y = {g ∈ G(k) | g −1 ∈ M gM}. Так как rankk G = 1 и группа G полупроста, то существует такой элемент x ∈ NG (S) (k), что xsx −1 = s −1 при всех s ∈ S (см. 0.27). С учетом включения (1) и коммутативности группы S получаем, что S(k) ⊂ Y . Но G(k) = M · S(k) · M ввиду соотношений (2), и легко видеть, что M · Y · M = Y . Поэтому Y = G(k). 2.3. Некоторые свойства группы G(k) и ее подгруппы G(k) + . 2.3.1. Теорема. (а) Если группа G односвязна, k-изотропна и почти k-проста, то G(k) + = G(k) (см. [Pl 2] и [Pr-R 4]). (а′) Если группа G односвязна и не имеет k-анизотропных множителей, то G(k) + = G(k) (это вытекает из предложения 1.4.10 (a) и предложения 1.5.4 (iv)). (б) Группа G(k) + — замкнутая нормальная подгруппа в G(k), а факторгруппа G(k) /G(k) + компактна (см. [Bo-T 4], 6.14). (в) Предположим, что группа G не имеет нетривиальных k-анизотропных множителей. Пусть G˜ — ее односвязная накрывающая, q — степень несепарабельности центральной изогении f : G˜ → G (иначе говоря, если f0 — коморфизм морфизма f , то q — степень ˜ над f0 (K (G)); если char k = 0, то q = 1). несепарабельности поля K (G)

70

Глава I. Предварительные сведения

Тогда факторгруппа G(k) /G(k) + коммутативна и содержит открытую периодическую подгруппу, показатель которой делит q (а индекс конечен, поскольку G(k) /G(k) + компактна). Как следствие 1) существует такое r ∈ N+ , что g r ∈ G(k) + при всех g ∈ G(k); 2) если char k = 0, то G(k) + — открытая нормальная подгруппа конечного индекса в G(k). Если при этом k = R, то G(k) + совпадает с компонентой единицы группы Ли G(k) (см. [Bo-T 4], 6.14, 6.15). Замечание 1. В работе [Pl 2] утверждение (а) доказано лишь для полей характеристики 0, но отмечается, что доказательство можно перенести на случай положительной характеристики. Доказательство утверждения (а) в статье [Pr-R 4] основано на редукции к группам k-ранга 1. Замечание 2. Если k = R, а группа G изотропна и почти k-проста, то (см. (в)) G(k) + совпадает с компонентой единицы в группе Ли G(k). Поэтому при k = R утверждение (а) вытекает из связности группы k-рациональных точек любой связной односвязной полупростой k-группы. (Этот факт общеизвестен и вытекает из теоремы, известной уже Э. Картану, о связности множества неподвижных точек инволютивного автоморфизма связной односвязной полупростой группы Ли.) Замечание 3. Если k = C, то G(k) + = G(k), поскольку поле C алгебраически замкнуто (см. п. 1.5.2). 2.3.2. Следствие. (а) Если группа G односвязна, k-изотропна и почти k-проста, то любая нормальная подгруппа группы G(k) либо совпадает с ней, либо лежит в Z (G) (это вытекает из теорем 2.3.1 (a) и 1.5.6 (i)). (б) Если группа G односвязна и не имеет k-анизотропных почти k-простых множителей, то D (G(k)) = G(k) и любая подгруппа конечного индекса в группе G(k) совпадает с G(k) (это вытекает из теорем 2.3.1 (a), 1.5.6 (ii) и следствия 1.5.7). 2.3.3. Следствие. Локально компактная группа G(k) унимодулярна. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как D (G(k) + = G(k) + (см. теорему 1.5.6 (ii)), то группа G(k) + унимодулярна. Но факторгруппа G(k) /G(k) + компактна (см. теорему 2.3.1 (б)) и потому унимодулярна. Следовательно, и группа G(k) унимодулярна. 2.3.4. Предложение (см. [Bo-T 4], предложение 3.19 и следствие 3.20). Пусть b : H → H′ — центральная k-изогения связных редуктивных k-групп. Тогда верно следующее. (i) Подгруппа b (H(k)) замкнута и нормальна в H′ (k), а факторгруппа H′ (k) /b (H(k)) компактна, коммутативна и периодична. Если изогения b сепарабельна, в частности при char k = 0, то подгруппа b (H(k)) открыта и имеет конечный индекс в H′ (k).

§ 2. Алгебраические группы над локальными полями

71

(ii) Изоморфизм H(k) / (Ker b) (k) → b (H(k)) является гомеоморфизмом, и, следовательно, ограничение изогении b на H(k) является собственным отображением. 2.3.5. Следствие. Группы G(k) и G(k) + компактно порождены. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G˜ — односвязная накрывающая группы G, а p˜ : G˜ → G — центральная k-изогения. Если S — максимальный ˜ то группа S(k) является прямым произведением k-расщепимый тор в G, подгрупп, изоморфных мультипликативной группе k∗ поля k. Но группа k∗ компактно порождена в силу свойств локальных полей, приведенных в п. 0.31. Поэтому и группа S(k) компактно порождена. С учетом разложе˜ ˜ ния Картана (см. теорему 2.3.1) группа G(k), а тогда и p˜ (G(k)), компактно ˜ порождена. Но в силу предложения 2.3.4 факторгруппа G(k) / p˜ (G(k)) компактна. Следовательно, группа G(k) компактно порождена. Пусть G˜ i , 1 6 i 6 r, — связные почти k-простые k-изотропные нормальные k-под+ ˜ Группа G(k) ˜ группы в G. является произведением групп G˜ i (k) + , 1 6 i 6 r (см. предложение 1.5.4 (iv)); при этом G˜ i (k) + = G˜ i (k) при всех i, 1 6 i 6 r (см. теорему 2.3.1 (а)), и мы уже показали, что группы G˜ i (k) компактно + ˜ порождены. Значит, группа G(k) также компактно порождена. Но в силу + ˜ предложения 1.5.5 мы имеем G(k) + = p˜ (G(k) ), и потому группа G(k) + компактно порождена. Замечание. В случае char k = 0 компактная порожденность группы H(k) была доказана Борелем и Титсом не только для полупростых, но и для редуктивных групп H — и более того, без использования разложения Картана (см. [Bo-T 1], предложение 13.4). Это доказательство можно перенести на случай положительной характеристики. Но мы не будем этого делать, так как компактная порожденность группы H(k) потребуется лишь в частном случае, когда группа H полупроста. 2.3.6. Предложение. Пусть H — редуктивная k-группа, а S — максимальный k-расщепимый тор в H. Тогда топологическая группа ZH (S) (k) /S(k) компактна. В частности, группа H(k) компактна тогда и только тогда, когда rankk H = 0. Это было показано в статье [Bo-T 4] в ходе доказательства предложения 3.19. Отметим, что простое доказательство последнего утверждения содержится в заметке [Pr 7]. 2.3.7. Следствие. Группа G(k) + компактна, если и только если rankk G = 0. Это непосредственно вытекает из предложения 2.3.6 и теоремы 2.3.1 (b). 2.3.8. Предложение. Пусть G′ ⊂ G — почти прямое произведение (почти k-простых) k-изотропных множителей группы G. Тогда

72

Глава I. Предварительные сведения

факторгруппа G(k) /G′ (k) компактна (это непосредственно вытекает из теоремы 2.3.1 (б) и предложения 1.5.4 (iv)). 2.4. Расщепимые торы над локальными полями 2.4.1. Предложение. Пусть S — тор положительной размерности, определенный и расщепимый над k, а A — конечное множество его нетривиальных характеров. Тогда существует такой элемент s ∈ S(k), что |q (s)| 6= 1 при всех q ∈ A. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть X∗ (S) = Mor(GL1 , S) — свободный Z-модуль мультипликативных однопараметрических подгрупп тора S, а X(S) × × X∗ (S) → Z = X(GL1) — двойственность над Z, определяемая формулой hq, li = m, если (q · l) (y) = y m (см. [Bo 6], гл. III, 8.6). Так как A конечно и состоит из нетривиальных характеров, то существует такое l ∈ X∗ (S), что hq, li 6= 0 при любом q ∈ A. Отождествим GL1 (k) с мультипликативной группой k∗ поля k и выберем униформизатор x этого поля. Элемент s = l (x) обладает нужным свойством. 2.4.2. Предложение. Пусть S — тор, определенный и расщепимый над k; A ⊂ B ⊂ X(S); SA — компонента единицы в пересечении ядер характеров a ∈ A. Предположим, что характеры из B линейно независимы. Тогда существует такой элемент s ∈ SA , что |q (s)| < 1 при всех q ∈ B − A. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть X∗ (S), hq, li и x ∈ GL1 (k) = k∗ таковы, как в предложении 2.4.1. Так как характеры из B линейно независимы, то существует такое l ∈ X∗ (S), что hq, li = 0 при всех q ∈ A и hq, li < 0 при всех q ∈ B − A. Тогда s = l (x) обладает нужным свойством. 2.5. Аналитические многообразия над локальными полями Хаусдорфово пространство X называется k-аналитическим многообразием, если для каждого x ∈ X найдутся натуральное число n(x) и гомеоморфизм fx окрестности Ux точки x на открытое подмножество в kn(x) , такие что для любых x, x ′ ∈ X отображение fx ◦ f−1 x ′ аналитично на fx ′ (Ux ∩ Ux ′) (подробности см. в [Bou 4], § 5). Размерность многообразия X — это точная верхняя грань чисел n(x), x ∈ X. Если n(x) = n при всех x ∈ X, то X называется чистым k-аналитическим многообразием размерности n. Подмножество Y ⊂ X называется аналитическим подмногообразием аналитического многообразия X, если для каждой точки y ∈ Y найдутся ее окрестность U˜ y ⊂ Uy и бианалитический гомеоморфизм fy между fy (U˜ y) и открытым подмножеством в kn(y) , такие что

§ 2. Алгебраические группы над локальными полями

73

fy (fy (Y ∩ U˜ y)) совпадает с пересечением множества fy (fy (Y)) и линейного подпространства в kn(y) . Пусть X — некоторое s-компактное k-аналитическое многообразие. Тогда (см. [Bou 4], 10.1.4) на нем существует единственный класс M эквивалентных мер со следующим свойством: для каждой меры n ∈ M и каждого x ∈ X образ при fx ограничения меры n на Ux эквивалентен ограничению меры mkn на fx (Ux). Множество M называется каноническим классом мер на многообразии X. 2.5.1. Лемма. Пусть V — гладкое k-многообразие, W — его k-подмногообразие. Тогда верно следующее. (i) Пространство V(k) с топологией, которую индуцирует топология поля k, является k-аналитическим многообразием. Если все неприводимые компоненты многообразия V имеют одинаковую размерность, то V(k) является чистым k-аналитическим многообразием размерности dim V. (ii) Положим Y = {w ∈ W(k) | w — простая точка многообразия W}. Тогда Y — аналитическое подмногообразие k-аналитического многообразия V(k), имеющее размерность не выше dim W. (iii) Множество W(k) является конечным объединением непересекающихся локально замкнутых подмножеств, каждое из которых является аналитическим подмногообразием в V(k) размерности не выше dim W. (iv) Пусть dim W < dim V и все неприводимые компоненты многообразия V имеют одинаковую размерность. Тогда для любой меры n из канонического класса мер на V(k) выполнено равенство n (W(k)) = 0 (это вытекает из утверждений (i) — (iii)). Об утверждениях (i) и (ii) см. 5.8.10 и 5.8.11 в [Bou 4]. В любом алгебраическом многообразии множество простых точек открыто и плотно по Зарисскому (см. [Bo 6], гл. AG, следствие 17.2), а замыкание по Зарисскому любого множества A ⊂ W(k) определено над k. Поэтому существует такое k-подмногообразие W′ ⊂ W, что dim W′ < dim W и W(k) − W′ (k) = Y . Утверждение (iii) выводится из утверждения (ii) индукцией по dim W. 2.5.2. Предложение. (2.5.2) Пусть H — некоторая k-группа. Тогда верно следующее. (i) Группа H(k) является чистым k-аналитическим многообразием размерности dim H. (ii) Меры Хаара mH(k) принадлежат каноническому классу мер на H(k) (см. [Bou 4], 10.1.7). Утверждение (i) вытекает из предложения 2.5.1 (i) с учетом того, что всякая алгебраическая группа является гладким многообразием (см. п. 0.13).

74

Глава I. Предварительные сведения

2.5.3. Предложение. Пусть H — связная k-группа. Тогда: (i) если W — собственное алгебраическое k-подмногообразие в H, то mH(k) (W(k)) = 0 и потому W(k) нигде не плотно в H(k); (ii) группа H(k) плотна по Зарисскому в H (это вытекает из (i)). Д о к а з а т е л ь с т в о у т в е р ж д е н и я ( i ). В силу предложения 2.5.2 (i) и леммы 2.5.1 (iii) H(k) является чистым k-аналитическим многообразием размерности dim H, а W(k) можно представить как конечное объединение аналитических подмногообразий из H(k) размерности не выше dim W. Так как k-группа H связна, а W является собственным подмногообразием в H, мы имеем dim W < dim H. Теперь остается применить предложения 2.5.2 (ii) и 2.5.1 (iv). 2.5.4. Предложение (см. [Bou 4], 5.8.10, 5.8.11 и 5.9.1). Пусть f : V → V′ — некоторый k-морфизм k-многообразий и x ∈ V(k). Предположим, что x — простая точка многообразия V и дифференциал (d f) x морфизма f в точке x сюръективен. Тогда (i) f (V(k)) содержит окрестность U ′ ⊂ V′ (k) точки f (x); (ii) если (d f) x — изоморфизм, то существует такая окрестность U точки x, что множество f (U) открыто в V′ (k), а ограничение f|u : U → f (U) является аналитическим изоморфизмом (т. е. биективно и бианалитично). 2.5.5. Предложение. Пусть l — собственное замкнутое подполе поля k, а H — некоторая l-группа положительной размерности. Тогда mH(k) (H(l)) = 0 и, значит, подгруппа H(l) имеет бесконечный индекс в H(k). Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим s = dim H. Так как H является гладким аффинным l-многообразием, то для каждого h ∈ H(l) существует определенное над l регулярное отображение f из H в n-мерное аффинное пространство, причем (d f) h является изоморфизмом (см. п. 0.13). В силу предложения 2.5.4 (ii) существует такая окрестность Uh точки h в H(k), что множество f (Uh) открыто в kn , а отображение f|Uh : Uh → f (Uh) является аналитическим изоморфизмом. Поскольку l — собственное замкнутое подполе в k и n > 0, мы имеем mkn (l n) = 0. Но так как f|Uh — аналитический изоморфизм и mH(k) в силу предложения 2.5.2 (ii) принадлежит каноническому классу мер на H(k), то для любого Y ⊂ Uh условия mH(k) (Y) = 0 и mkn (f (Y)) = 0 равносильны. Следовательно, mH(k) (Uh ∩ f−1 (l n)) = 0.

Так как f определено над l, мы имеем Uh ∩ H(l) ⊂ Uh ∩ f−1 (l n). Поэтому mH(k) (Uh ∩ H(l)) = 0. Покрыв H(l) счетным семейством открытых множеств вида Uh ∩ H(l), h ∈ H(l), получаем, что mH(k) (H(l)) = 0.

§ 2. Алгебраические группы над локальными полями

75

2.6. Непрерывные «абстрактные» гомоморфизмы алгебраических групп над локальными полями Пусть B — совокупность простых чисел, дополненная бесконечностью. Если char k = 0, то (см. п. 0.31) существует такое p (k) ∈ B, что k изоморфно конечному расширению поля Q p (k) (напомним, что Q∞ = R). Если char k 6= 0, положим p (k) = 0. 2.6.1. Предложение. Пусть p ∈ B; H — редуктивная Q p -группа; H′ — алгебраическая k-группа; d : H(Q p) → H′ (k) — непрерывный гомоморфизм. (i) Если d (H(Q p) (u)) 6= {e}, то p (k) = p и ограничение гомоморфизма d на H(Q p) (u) продолжается до регулярного отображения d : H (u) → H′ , определенного над k. (ii) Если группа H связна, полупроста, односвязна, не имеет Q p -анизотропных множителей и d (H(Q p)) 6= {e}, то p (k) = p и d продолжается до k-морфизма d˜ : H → H′ . (iii) Если группа H связна, полупроста, не имеет Q p -анизотропных множителей, подгруппа d (H(Q p)) плотна по Зарисскому в H′ , группа H′ нетривиальна, связна и имеет тривиальный центр, то p (k) = p и d продолжается до k-морфизма d˜ : H → H′ . Д о к а з а т е л ь с т в о. (i) Так как d (H(Q p) (u)) 6= {e} и H(Q p) (u) ⊂ H(Q p) + (см. предложение 1.5.1), ввиду предложения 1.8.3 (ii) мы имеем char k = 0. Заменив H′ на Rk/Q p (k) H′ , где Rk/Q p (k) — функтор ограничения скаляров (см. п. 1.7), можно положить k = Q p′ , где p ′ = p (k). В силу следствия 2.5.2 группа H(Q p) (соответственно H′ (Q p′ )) является Q p - (соответственно Q p′ -) аналитическим многообразием, а значит, и p- (соответственно p ′ -) адической группой Ли. Алгебры Ли Lie(H(Q p)) и Lie(H′ (Q p′ )) групп Ли H(Q p) и H′ (Q p′ ) естественно отождествляются с Lie(H) Q p и Lie(H′) Q p′ (это вытекает из результатов п. 11 в [Bou 5], гл. III, § 3). Пусть exp : U → H(Q p) и exp : U ′ → H′ (Q p′ ) — экспоненциальные отображения; здесь U и U ′ — окрестности нуля в Lie(H(Q p)) и Lie(H′ (Q p′ )) (см. [Bou 5], гл. III, § 3). Отметим, что эти отображения согласованы с экспоненциальными отображениями, определенными ранее на Lie(H) (n) и Lie(H′) (n) . Для произвольных t ∈ Q p и u ∈ H(Q p) (n) (соответственно t ∈ Q p′ и u ∈ H′ (Q p′ ) (n)) положим ut = exp(t ln u) ∈ H(Q p) (u) (соответственно ∈ H′ (Q p′ ) (u)). Если t = m/n, m, n ∈ Z − {0}, то унипотентный элемент ut однозначно определяется равенством (ut) n = um . С другой стороны, ввиду предложения 1.8.3 (iii) мы имеем d (H(Q p) (u) ⊂ H′ (Q p′) (u) . Следовательно, d (ur) = (d (u)) r ,

r ∈ Q, u ∈ H(Q p) (u) .

(1)

76

Глава I. Предварительные сведения

Пусть p 6= p ′ . Согласно предложению 1 из [Bou 5], гл. III, § 8, найдется окрестность единицы V в p-адической группе Ли H(Q p), для которой d (V ) = {e}. Если u ∈ H(Q p) (u) , то ut → e при t → 0 в Q p . Поэтому найдется r ∈ Q, для которого ur ∈ V . С учетом равенства (1) получаем противоречие, так как d (H(Q p) (u)) 6= {e}. Следовательно, p = p ′ , и по теореме из [Bou 5], гл. III, § 8, найдется такая окрестность нуля U˜ ⊂ U в Lie(H(Q p)) и такой морфизм алгебр Ли L(d) : Lie(H) → Lie(H′), определенный над Q p , что def ˜ открыто в H(Q p) и d (exp x) = exp(L(d) (x)) при всех множество V = exp(U) ˜ Поэтому u = exp(L(d) (ln u)) при всех u ∈ H (u) ∩ V . Но при любом x ∈ U. u ∈ H(Q p) (u) , как мы видели, найдется r ∈ Q, для которого ur ∈ V . Поэтому из равенства (1) следует, что d (u) = exp(L(d) (ln u)) при всех u ∈ H(Q p) (u) . Так как отображения exp, L(d) и ln регулярны и определены над Q p , утверждение (i) доказано. (ii) В силу теоремы 2.3.1 (а) мы имеем H(Q p) = H(Q p) + . Но d (H(Q p)) 6= 6= {e}. Поэтому и d (H(Q p) (u)) 6= {e}, откуда (см. (i)) следует, что p (k) = p. Заменив H′ на Rk/Q p H′ , можно положить k = Q p . Пусть L(d) : Lie(H) → → Lie(H′) — морфизм алгебр Ли, определенный над Q p как в доказательстве утверждения (i). Тогда по предложению 1.4.13 существует k-морфизм d : H → H′ , дифференциал которого совпадает с L(d). Так как d (u) = exp(L(d) (ln u)) при всех u ∈ H(Q p) (u) (см. доказательство утверждения (i) и предложение 1.3.1), то d (u) = d˜ (u) при всех u ∈ H(Q p) (u) . Но ввиду теоремы 2.3.1 (а) группа H(Q p) (u) порождает H(Q p). Поэтому d (h) = d˜ (h) при всех h ∈ H(Q p), т. е. d˜ является искомым продолжением для d. (iii) Пусть H˜ — односвязная накрывающая группы H, а p : H˜ → H — (центральная) Q p -изогения. Согласно предложению 2.3.4 (i) подгруппа ˜ p (H(Q p)) открыта, нормальна и имеет конечный индекс в H(Q p). Но группа H связна, нетривиальна, а подгруппа d (H(Q p)) плотна по Зарисскому ˜ в H′ . Следовательно, подгруппа d (p (H(Q p))) нетривиальна и плотна по Зарисскому в H′ . Применив утверждение (ii) к гомоморфизму d ◦ p, получаем, что p (k) = p и d ◦ p продолжается до k-морфизма d′ : H˜ → H′ . ˜ ˜ Так как подгруппа d′ (H(Q p)), содержащая d (p (H(Q p))), плотна по Зарис′ ′ ′ ′ ˜ = {e}. Как следствие, скому в H и Z (H ) = {e}, то d (Ker p) ⊂ d (Z (H)) ˜ существует такой k-морфизм d˜ группы H = H/ Ker p в H′ , что d′ = d˜ ◦ p. ˜ Поскольку d ◦ p = d′ |H(Q , мы имеем d˜ (h) = d (h) при всех h ∈ p (H(Q ˜ p)). p) −1 ˜ ˜ Положим n (x) = d (x) d (x), и пусть x ∈ H(Q p), h ∈ p (H(Q p)). Так как под˜ ˜ ˜ группа p (H(Q p)) нормальна в H(Q p) и d совпадает с d на p (H(Q p)), мы получаем d˜ (x) d (h) d˜ (x) −1 = d˜ (xhx −1) = d (xhx −1) = d (x) d (h) d (x) −1 ,

§ 2. Алгебраические группы над локальными полями

77

и потому n (x) и d (h) коммутируют. Но подгруппа d (p (H(Q p))) плотна по Зарисскому в H′ и Z (H′) = {e}. Поэтому d = d˜ |H(Q p ) , что и требуется. 2.6.2. Следствие. Пусть l — локальное поле характеристики 0; H — связная полупростая l-группа; H′ — некоторая k-группа; d : H(l) → H′ (k) — непрерывный гомоморфизм; F — замыкание по Зарисскому подгруппы d (H(l)) в H′ ; группа H не имеет l-анизотропных множителей. Тогда группа F полупроста. Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу результатов § 1.7 группа Rl /Q p (l) H связна, полупроста и не имеет Q p (l) -анизотропных множителей, а отображение Rl0/Q p (l) : H(l) → (Rl /Q p (l) H) (Q p (l))

является изоморфизмом топологических групп. Поэтому, заменив H на Rl /Q p (l) H и d на d ◦ (Rl0/Q p (l) ) −1 , мы можем считать, что l = Q p , где p ∈ B. Пусть H˜ — односвязная накрывающая группы H; p : H˜ → H — некоторая ˜ Q p -изогения; F˜ — замыкание по Зарисскому подгруппы d (p (H(Q p))) в H. В силу предложения 2.6.1 (ii) морфизм d ◦ p продолжается до k-морфизма ˜ ˜ d˜ : H˜ → H′ . Так как подгруппа H(Q p) плотна по Зарисскому в H (см. п. 0.24 ˜ ˜ ˜ или предложение 2.5.3), мы имеем F = d (H). Но образ полупростой группы при морфизме алгебраических групп полупрост (см. п. 0.24). Поэтому ˜ группа F˜ полупроста. Так как подгруппа p (H(Q p)) имеет конечный индекс в H(Q p) (см. предложение 2.3.4 (i)), полупростая группа F˜ имеет конечный индекс в F, и потому группа F также полупроста. 2.6.3. Замечание. Нетрудно показать, что в следствии 2.6.2 можно опустить требование отсутствия l-анизотропных множителей. 2.6.4. Предложение. Пусть A — конечное множество. Для каждого a ∈ A пусть ka — локальное поле, Ga — связная полупростая ka -группа без ka -анизотропных множителей. Далее, пусть G = Q Ga (ka); H — некоторая k-группа; d : G → H(k) — непрерывный = a∈A

гомоморфизм. Предположим, что если a ∈ A и char ka 6= 0, то группа Ga односвязна. Тогда (а) если char k 6= char ka при всех a ∈ A, то группа d (G) конечна; (б) если char k = 0 и F является замыканием по Зарисскому подгруппы d (G) в H, то группа F полупроста. Д о к а з а т е л ь с т в о. (а) Согласно предложению 1.8.3 (ii), мы имеем d (Ga (ka) +) = {e} при всех a ∈ A. Но в силу теоремы 2.3.1 (а′),(в) подгруппа Ga (ka) + имеет конечный индекс в Ga (ka), a ∈ A. Поэтому все группы d (Ga (ka)) конечны, а тогда конечна и группа d (G). (б) Пусть Fa обозначает замыкание по Зарисскому подгруппы d (Ga (ka)) в H. Ввиду утверждения (а) и следствияQ2.6.2 группы Fa , a ∈ A, полупросты. Но F совпадает с образом группы Fa при отображении умножения a∈A

78

Q

a∈A

Глава I. Предварительные сведения

Fa → H, а образ полупростой алгебраической группы при морфизме ал-

гебраических групп также является полупростой алгебраической группой (см. п. 0.24). Значит, группа F полупроста. 2.6.5. Предложение. Пусть G, G′ — связные полупростые R-группы, причем G′ — присоединенная группа; G(R) 0 , G′ (R) 0 — компоненты единицы в группах Ли G(R) и G′ (R). Тогда любой непрерывный эпиморфизм f : G(R) 0 → G′ (R) 0 рационален, т. е. продолжается до R-эпиморфизма f˜ : G → G′ . Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G˜ — односвязная накрывающая группы G; p : G˜ → G — (центральная) R-изогения; b : Lie(G) → Lie(G′) — эпиморфизм алгебр Ли, определенный над R и индуцированный непрерывным эпиморфизмом f. Согласно предложению 1.4.13 существует R-эпиморфизм p : G˜ → G′ , дифференциал которого совпадает с b (здесь мы отождествля˜ ем Lie(G) с Lie(G)). Так как группа G′ присоединенная , существует такой R-эпиморфизм f˜ : G → G′ , что f˜ ◦ p = p (см. предложение 1.4.11 (iii)). Тогда дифференциал морфизма f˜ совпадает с b, и потому f˜ является продолжением эпиморфизма f.

§ 3. Арифметические группы В этом параграфе K обозначает глобальное поле, R — множество всех его неэквивалентных нормирований, R∞ ⊂ R — множество архимедовых нормирований. Будем пользоваться обозначениями, введенными в пп. 0.32 и 0.33. В частности, Kv обозначает пополнение поля K относительно нормирования v ∈ R, а при S ⊂ R кольцо S-целых элементов поля K обозначается K (S). Мы рассмотрим лишь случай, когда K является полем частных кольца K (S), т. е. либо char k = 0, либо card S > 1. 3.1. Группа H (K (S)), конгруэнц-подгруппы и S-арифметические подгруппы Пусть n — натуральное число, а L — коммутативное кольцо с единицей. Обозначим через GLn (L) группу матриц с элементами из L, определитель которых обратим в кольце L. Легко видеть, что GLn (K (S)) для любого S ⊂ R состоит из всех таких матриц A ∈ GLn (K), что элементы матриц A и A−1 принадлежат K (S). Если a — ненулевой идеал в K (S), то пусть GLn (a) обозначает множество матриц A ∈ GLn (K (S)), сравнимых с единичной матрицей E по модулю a, т. е. таких, что все элементы матрицы A − E принадлежат a. Естественный гомоморфизм K (S) → K (S) /a индуцирует гомоморфизм групп sa : GLn (K (S)) → GLn (K (S) /a),

§ 3. Арифметические группы

79

ядро которого совпадает с GLn (a). Как следствие, подгруппа GLn (a) нормальна в GLn (K (S)). Ее индекс конечен, поскольку факторкольцо K (S) /a конечно, а значит, конечна и группа GLn (K (S) /a). Пусть H — некоторая K -подгруппа в GLn . Положим H(K (S)) = H ∩ ∩ GLn (K (S)) и H(a) = H ∩ GLn (a). Так как GLn (a) — нормальная подгруппа конечного индекса в GLn (K (S)), то H(a) — нормальная подгруппа конечного индекса в H(K (S)). Подгруппы вида H(a) называются главными S-конгруэнц-подгруппами группы H(K (S)). Подгруппа, содержащая главную S-конгруэнц-подгруппу, называется S-конгруэнц-подгруппой. 3.1.1. Лемма. Пусть S ⊂ R; n, m ∈ N+ ; H ⊂ GLn и H′ ⊂ GLm — две K -подгруппы; E — единичная матрица; f : H → H′ — регулярное отображение, определенное над K , причем f (E) = E. Тогда верно следующее. (i) Для каждого ненулевого идеала a кольца K (S) найдется такой ненулевой идеал a′ ⊂ K (S), что если матрица h ∈ H(K (S)) конгруэнтна E по модулю a′ , то матрица f (h) конгруэнтна E по модулю a. (ii) Допустим, что либо H′ ⊂ GLm , либо f является K -гомоморфизмом. Тогда прообраз при отображении f любой S-конгруэнцподгруппы в H′ (K (S)) содержит S-конгруэнц-подгруппу в H(K (S)). Как следствие, в группе H(K (S)) найдется такая S-конгруэнцподгруппа D, что f (D) ⊂ H′ (K (S)). (iii) Любая S-конгруэнц-подгруппа в группе H(K (S)) имеет конечный индекс. (iv) Если f — K -изоморфизм, то подгруппы f (H(K (S))) и H′ (K (S)) соизмеримы. (v) Для любого h ∈ H(K) подгруппы hH(K (S))h−1 и H(K (S)) соизмеримы. Иначе говоря, H(K) ⊂ CommH (H(K (S))). Д о к а з а т е л ь с т в о. Любая регулярная функция на группе H задается многочленом от элементов матриц h и h−1 , h ∈ H (см. п. 0.13). Как следствие, элементы матриц f (h) − E задаются m2 многочленами P1 , . . . , Pm2 от элементов матриц h − E и h−1 − E, h ∈ H, с нулевыми свободными членами, поскольку f (E) = E. С другой стороны, так как K является полем частных кольца K (S), найдется такой элемент a ∈ K (S), a 6= 0, что коэффициенты многочленов P1 , . . . , Pm2 принадлежат a−1 K (S). Следовательно, если матрица h ∈ H(K (S)), а тогда и h−1 , сравнима с E по модулю aa, то матрица f (h) сравнима с E по модулю a. Утверждение (i) доказано. Если H′ ⊂ SLm , то утверждение (ii) непосредственно вытекает из (i). Пусть теперь f — гомоморфизм групп. Подгруппы H(a) и H′ (a) соответственно состоят из всех таких матриц в H(k) и H′ (k), что элементы матриц h − E и h−1 − E принадлежат a. Поэтому утверждение (ii) вытекает из утверждения (i) и равенства f (h−1) = f (h) −1 для всех h ∈ H. Утверждение

80

Глава I. Предварительные сведения

(iii) справедливо, поскольку H(a) имеет конечный индекс в H(K (S)) для любого ненулевого идеала a ⊂ K (S). Утверждение (iv) следует из (ii) и (iii). Утверждение (v) вытекает из утверждения (iv), примененного к отображению Int h. 3.1.2. Если f — некоторый K -изоморфизм между K -группами H ⊂ GLn и H′ ⊂ GLm , то в общем случае f (H(K (S))) 6= H′ (K (S)). Поэтому при рассмотрении групп H(K (S)) и H(a) мы будем считать, что H является K -подгруппой в GLn . Отметим, что группу H(K (S)) можно определить внутренним образом, если наделить H «K (S)-структурой», иначе говоря, если указать аффинную групповую K (S)-схему с общим слоем H. Пусть даны нормирование S ⊂ R и K -группа H. Подгруппу группы H назовем S-арифметической, если она соизмерима с H(K (S)). В силу леммы 3.1.1 (iv) это понятие однозначно определено, если задана K -структура на H, иначе говоря, при любом K -изоморфизме K -групп S-арифметическим подгруппам соответствуют S-арифметические. Если K = Q и S = {∞} — единственное архимедово нормирование поля Q, то мы называем S-арифметическую подгруппу просто арифметической. 3.1.3. Лемма. Пусть S ⊂ R; f : H → H′ — некоторый K -гомоморфизм; X ⊂ H, X ′ ⊂ H′ — две S-арифметические подгруппы. Тогда верно следующее. (а) Подгруппа X ∩ f −1 (X ′) имеет конечный индекс в X. (б) Для каждого h ∈ H(k) подгруппы hXh−1 и X соизмеримы. Иначе говоря, H(K) ⊂ CommH (X). Утверждение (а) вытекает из леммы 3.1.1 (ii), (iii), а утверждение (б) — из леммы 3.1.1 (v). 3.1.4. Лемма. Пусть K ′ — конечное сепарабельное расширение поля K ; H — некоторая K ′ -группа; S ⊂ R. Для каждого v ∈ R пусть v ′ обозначает множество нормирований поля K ′ , продолжающих норS ′ ′ мирование v. Положим S = v . Мы пользуемся обозначениями Rl /k v∈S

и Rl0/k , введенными в п. 1.7. (i) Для каждого v ∈ R существует естественный Kv -изоморфизм Y fv : RK /K ′ H → RKw′ /Kv H. w∈v ′

Изоморфизмы fv−1 ◦ RK0 w′ /Kv , v ∈ R, w ∈ v ′ , индуцируют изоморфизм топологических групп между группами аделей, ассоциированными с H ′ и RK /K ′ H, причем его ограничение с RK0 /K ′ . P на H(K ) совпадает P (ii) Справедливо равенство rankKw′ H = rankKv (RK /K ′ H). w∈S ′

0 K /K ′

(iii) Подгруппы R

v∈S

H(K (S )) и (RK /K ′ H) (K (S)) соизмеримы. ′

′

§ 3. Арифметические группы

81

Утверждение (i) — переформулировка некоторых результатов из книги [Weil 2] (см. теоремы 1.3.1 и 1.3.3). Так как rankKv (RKw′ /Kv H) = rankKw′ H при всех v ∈ R, w ∈ v ′ (см. п. 1.7), утверждение (ii) вытекает из (i). Утверждение (iii) следует из (i), но легко выводится и из леммы 3.1.1 (iv). 3.2. Конечность объема факторпространств Пусть G ⊂ GLn — связная K -группа. Обозначим через XK (G) множество ее рациональных характеров, определенных над K . Как и в 0.33, G(AK ) обозначает группу аделей группы G, а G(K) отождествляется с подгруппой главных аделей в G(AK ). Эта подгруппа дискретна. Она часто оказывается решеткой в G(AK ). 3.2.1. Теорема. Пусть G — связная редуктивная K -группа. Тогда (а) подгруппа G(K) является решеткой в G(AK ), если и только если XK (G) = 1; (б) факторпространство G(K) \ G(AK ) компактно, если и только если группа G анизотропна над K . В случае char K = 0 эта теорема была доказана Борелем в [Bo 3], а в случае char K 6= 0 — Бером [Be 2] и Хардером [Har 2]. Замечание 1. Если char K = 0, то допущение о редуктивности группы G можно опустить. Замечание 2. При XK (G) 6=T 1 справедлив следующий аналог утверждения (а). Положим G1 (AK ) = Ker yq , где гомоморфизм yq : G(AK ) → q∈XK (G)

+ →R Q определяется следующим образом: если g = 1(gv) ∈ G(AK ), то yq (g) = = v (q (gv)). Тогда G(K) является решеткой в G (AK ). (Подгруппа G(K) v∈R Q содержится в G1 (AK ), поскольку v (x) = 1 при всех x ∈ K − {0}.) v∈R

Следующий факт является частным случаем утверждения (а). 3.2.2. Теорема. Если G — связная полупростая K -группа, то G(K) является решеткой в G(AK ). 3.2.3. Пусть S ⊂ R. Обозначим через GS подгруппу в G(AK ), состоящую из аделей, v-компоненты которых равны единице при Q всех v ∈ R − S. Отметим, что GR = G(AK ) и если S конечно, то GS = G(Kv). Полезно иметь в виду, что

v∈R



G(K (S)) = G(K) ∩ GS∪R∞ ·

Y

v∈R−R∞ −S



G(Ov) ,

(∗)

где Ov — кольцо целых элементов поля Kv и G(Ov) = G ∩ GLn (Ov). Пусть группа G редуктивна. Положим T = T (G) = {v ∈ R | группа G(Kv) компактна или, что эквивалентно, группа G анизотропна над Kv }. Как известно,

82

Глава I. Предварительные сведения

множество T (G) конечно (см. [Spr], лемма 4.9). Так как подгруппа G(Ov) открыта в G(Kv) при всех v ∈ R − R∞ , она имеет конечный индекс в G(Kv) при всех v ∈ T − R∞ . С учетом равенства (∗) получаем, что подгруппа G(K (S)) имеет конечный индекс в G(K (S ∪ T )), а ее образ при диагональном вложении в GS дискретен в GS , если только R∞ − T (G) ⊂ S ⊂ R. Следующие две теоремы вытекают из равенства (∗) и теорем 3.2.1 и 3.2.2. 3.2.4. Теорема. Пусть G — связная редуктивная K -группа, R∞ − − T (G) ⊂ S ⊂ R. Тогда (а) подгруппа G(K (S)) является решеткой в GS , если и только если XK (G) = 1; (б) факторпространство G(K (S)) \ GS компактно, если и только если группа G анизотропна над K . 3.2.5. Теорема. Если G — связная полупростая K -группа и R∞ − − T (G) ⊂ S ⊂ R, то G(K (S)) является решеткой в GS . 3.2.6. В случае нулевой характеристики требование редуктивности группы G в теореме 3.2.4, как и в теореме 3.2.1, является излишним. Применим теперь теорему 3.2.4 к частному случаю, когда S ⊂ R∞ , и отбросим требование редуктивности группы G. Справедлива следующая 3.2.7. Теорема (см. [Bo-Hari], теорема 12.3). Пусть K — конечное расширение поля Q; L = K (R∞) ⊂ K — его кольцо целых; G — связная K -группа; R∞ − T (G) ⊂ S ⊂ R. Отождествим подгруппу G(L) с ее Q образом при диагональном вложении в G(Kv). v∈S Q (а) Подгруппа G(L) является решеткой в G(Kv), если и только v∈S

если XK (G) =Q1. В частности, если группа G полупроста, то G(L) — решетка в G(Kv). v∈S Q (б) Факторпространство G(L) \ G(Kv) компактно, если и тольv∈S

ко если группа G анизотропна над K . Замечание. Условие «группа G анизотропна над K » равносильно следующему: «XK (G) = 1 и каждый унипотентный элемент группы G(L) (или, равносильно, группы G(K)) принадлежит Ru (G)». Следующая теорема является частным случаем теоремы 3.2.7. 3.2.8. Теорема. Пусть G — связная Q-группа. (а) Группа G(Z) является решеткой в G(R), если и только если XQ (G) = 1. В частности, если группа G полупроста, то G(Z) — решетка в G(R) (см. [Bo-Hari], теорема 9.4). (б) Факторпространство G(Z) \ G(R) компактно, если и только если группа G анизотропна над Q (см. [Bo-Hari] и теорему 11.8 в [M-T]).

§ 3. Арифметические группы

83

Нам также потребуется следствие из теоремы 3.2.5. 3.2.9. Следствие. Пусть S ⊂ R — конечное множество нормирований поля K , а f : G → G′ — центральная K -изогения связных полупростых K -групп. Тогда подгруппы f (G(K (S))) и G′ (K (S)) соизмеримы. Как следствие, прообраз f −1 (Λ) любой S-арифметической подгруппы Λ ⊂ G′ является S-арифметической подгруппой в G. Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего заметим, что можно считать, что S ⊃ R∞ , поскольку K (S) = K (S ∪ R∞). Изогения f индуцирует гомоморфизм fS : GS → GS′ , при котором (gv) ∈ GS переходит в (f (gv)) ∈ GS′ . Так как множество S конечно, то ввиду предложения 2.3.4 fS (GS) является замкнутой подгруппой в GS′ и факторгруппа GS′ / fS (GS) компактна, причем индуцированный изоморфизм GS / Ker fS → fS (GS) является изоморфизмом топологических групп. С другой стороны, множество Ker fS конечно, и по теореме 3.2.5 группа G(K (S)) является решеткой в GS . Следовательно, f (G(K (S))) — решетка в GS′ . В силу утверждений (ii) и (iii) леммы 3.1.1 подгруппа G′′ (K (S)) ∩ f (G(K (S))) имеет конечный индекс в f (G(K (S))) и потому также является решеткой в GS′ . Остается использовать дискретность подгруппы G′ (K (S)) ⊂ GS′ и заметить, что решетка имеет конечный индекс в любой содержащей ее дискретной подгруппе. Замечание. В формулировке следствия 3.2.9 можно заменить «полупростые K -группы» на «редуктивные K -группы». В случае нулевой характеристики условие полупростоты излишне, т. е. можно заменить «связные полупростые K -группы» на «связные K -группы». С помощью теоремы 3.2.5 мы докажем 3.2.10. Предложение. Пусть G — связная полупростая K -группа; R∞ ⊂ S ⊂ R; Λ — некоторая S-арифметическая в G(K); K P подгруппа является конечным расширением подполя k; rankKv G′ > 0 для кажv∈S

дого почти K -простого множителя G′ группы G. Тогда подгруппа RK0 /k (Λ) плотна по Зарисскому в RK /k G. Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно рассмотреть случай, когда группа G почти K -проста. Пусть H — замыкание по Зарисскому подгруппы RK0 /k (Λ) в RK /k G, а H0 — компонента единицы группы H. Для любого g ∈ G(K) подгруппы gΛ g −1 и Λ соизмеримы (см. лемму 3.1.3(b)), отображение RK0 /k : G(K) → (RK /k G) (k) является изоморфизмом, а H0 совпадает с пересечением всех алгебраических подгрупп конечного индекса в H. Следовательно, группа (RK /k G) (k) нормализует H0 . С другой стороны, группа G, а тогда и RK /k G, связна и полупроста. Поэтому подгруппа (RK /k G) (k) плотна по Зарисскому в RK /k G (см. п. Q 0.24). Следовательно, подгруппа H0 нормальна в RK /k G. Далее, группа G(Kv) некомпактна, а v∈S

в некомпактной локально компактной группе любая решетка бесконечна.

84

Глава I. Предварительные сведения

С учетом теоремы 3.2.5 получаем, что группа G(K (S)) бесконечна, а тогда это верно для Λ и H. Но RK0 /k (Λ) ⊂ (RK /k G) (k), и потому подгруппа H0 определена над k (см. пп. 0.11 и 0.13). Значит, H0 — бесконечная нормальная k-подгруппа в RK /k G. Но группа G почти K -проста, и потому группа RK /k G почти k-проста. Значит, H0 = RK /k G. Частным случаем предложения 3.2.10 является 3.2.11. Предложение. Пусть G — связная полупростая Q-группа, причем rankR G′ > 0 для любого ее почти Q-простого множителя G′ . Тогда любая арифметическая подгруппа в G плотна по Зарисскому.

3.3. Унипотентные арифметические группы и их унипотентные гомоморфизмы Мы называем гомоморфизм r : H → F группы H в алгебраическую группу F унипотентным, если r (H) ⊂ F (u) . Ниже в лемме 3.3.4 сформулированы некоторые свойства унипотентных гомоморфизмов унипотентных арифметических групп. Но сначала мы приведем три другие леммы. 3.3.1. Лемма (см. [Rag 5], теорема 2.11). Пусть N и V — связные односвязные нильпотентные группы Ли, а H — замкнутая подгруппа в N , причем факторпространство H \ N компактно. Тогда любой непрерывный гомоморфизм r : H → V однозначно продолжается до непрерывного гомоморфизма r˜ : N → V . 3.3.2. Лемма (см. [Mal], лемма 4). Пусть N — связная односвязная нильпотентная группа Ли, Γ — кокомпактная решетка в N . Тогда существуют такие циклические подгруппы Γi , 1 6 i 6 n = dim N , что любой элемент g ∈ Γ представляется в виде g = g1 · . . . · gn , gi ∈ Γi , 1 6 i 6 n. 3.3.3. Лемма. Пусть W — унипотентная R-группа. (i) Нильпотентная группа Ли W(R) связна и односвязна. (ii) Если W′ — унипотентная R-группа и f : W(R) → W′ (R) — непрерывный гомоморфизм, то f однозначно продолжается до R-морфизма f˜ : W → W′ . (iii) Если группа W определена над Q, то любая арифметическая (т. е. соизмеримая с W(Z)) подгруппа в W(Q) плотна по Зарисскому в W. Эта лемма вытекает из того факта, что для любой унипотентной R-группы V существует R-изоморфизм ln : V → Lie(V) алгебраических многообразий, который определен над Q, если V определено над Q. 3.3.4. Лемма. Пусть W — унипотентная Q-группа; Γ — арифметическая (т. е. соизмеримая с W(Z)) подгруппа в W(Q); k — локальное

§ 4. Теория меры и эргодическая теория

85

поле; F — алгебраическая k-группа; r : Γ → F(k) — унипотентный гомоморфизм. (а) Если поле k равно R или C, то r однозначно продолжается до рационального гомоморфизма r˜ : W → F. (б) Если поле k не изоморфно R или C, т. е. вполне несвязно, то подгруппа r (Γ) относительно компактна в F (k). Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 3.2.7 (б) факторпространство Γ \ W(R) компактно. Поэтому при k = R утверждение (а) вытекает из лемм 3.3.1 и 3.3.3. Случай k = C сводится к случаю k = R, если перейти от F к RC/R F. Утверждение (б) вытекает из компактности факторпространства Γ \ W(R), леммы 3.3.2 и того факта, что если поле k вполне несвязно, то любая циклическая унипотентная подгруппа в F(k) относительно компактна.

§ 4. Теория меры и эргодическая теория В этом параграфе используются понятия и обозначения из пп. 0.34, 0.35 и 0.36. 4.1. Инвариантность множеств и отображений на локально компактных группах относительно сдвигов 4.1.1. Лемма. Пусть H — локально компактная s-компактная группа; B — некоторое mH -измеримое подмножество в H , где mH — мера Хаара на H ; f — измеримое отображение из H в полуотделимое топологическое пространство X, удовлетворяющее второй аксиоме счетности. Положим H1 (B) = {h ∈ H | mH ((hB)△B) = 0}, H2 (B) = {h ∈ H | mH ((Bh)△B) = 0}, H1 (f) = {h ∈ H | f (hh′) = f (h′) почти для всех (относительно mH ) h′ ∈ H }, H2 (f) = {h ∈ H | f (h′ h) = f (h′) почти для всех h′ ∈ H }. Тогда выполнено следующее. (i) Подгруппы H1 (B) и H2 (B) замкнуты в H . (ii) Существуют такие подмножества B1 , B2 ⊂ H , что mH (B△B1) = mH (B△B2) = 0, H1 (B) · B1 = B1 , B2 · H2 (B) = B2 .

(iii) Если H1 (B) = H или H2 (B) = H , то всегда либо mH (B) = 0, либо mH (H − B) = 0.

86

Глава I. Предварительные сведения

(iv) Подгруппы H1 (f) и H2 (f) замкнуты в H . (v) Существуют отображения f1 , f2 : H → X, совпадающие почти всюду с f и такие, что f1 (hh′) = f1 (h′) при всех h ∈ H1 (f), h′ ∈ H и f2 (h′ h) = f2 (h′) при всех h ∈ H2 (f), h′ ∈ H . (vi) Если H1 (f) = H или H2 (f) = H , то отображение f является mH -постоянным. Д о к а з а т е л ь с т в о. (i) Так как группа H является s-компактной, можно представить H − B как счетное объединение множеств конечной меры C j , 1 6 j < ∞. Тогда H1 (B) = {h ∈ H | mH ((hB) ∩ C j) = 0 ∀ j ∈ N+ }. Так как функции f j (h) = mH ((hB) ∩ C j) непрерывны (см. [Bou 3], гл. VII, § 1, упражнение 20), подгруппа H1 (B) замкнута. Аналогично доказывается, что подгруппа H2 (B) также замкнута. (iv) Пусть {Ui | i ∈ N+ } — счетная база открытых множеств в X. Так как пространство X полуотделимо, мы имеем \ H1 (f) = H1 (f −1 (Ui)). i∈N+

Теперь из утверждения (i) вытекает, что подгруппа H1 (f) замкнута. Аналогично получаем, что замкнута и подгруппа H2 (f). (v) Рассмотрим множества D = {(h, h′) ∈ H1 (f) × H | f (hh′) 6= f (h′)}, C = {h′ ∈ H | mH1 (f) {h ∈ H1 (f) | f (hh′) 6= f (h′)} = 0}. Так как пространство X полуотделимо, мы имеем  D = (h, h′) ∈ H1 (f) × H | (hh′ , h′) ∈ ∈

[

i∈N+

 [(f −1 (Ui) × (H − f −1 (Ui))) ∪ ((H − f −1 (Ui)) × f −1 (Ui))] .

Так как отображение f измеримо, множество D является mH1 (f) × mH -измеримым. Но если h ∈ H1 (f), то mH {h′ ∈ H | (h, h′) ∈ D} = 0. По теореме Фубини mH (H − C) = 0. Из определения множества C вытекает, что f (h′) = f (h′′) при всех h′ , h′′ ∈ C, h′′ ∈ H1 (f) · h′ . Следовательно, если h ∈ H1 (f) · C, то элемент f1 (h) = f (C ∩ (H1 (f) · h)) ∈ X корректно определен. Так как при этом mH (H − C) = 0, отображение f искомое. Аналогично доказывается существование отображения f2 . Применив утверждение (v) к характеристической функции множества B, получаем утверждение (ii). Утверждения (iii) и (vi) вытекают из утверждений (ii) и (v).

§ 4. Теория меры и эргодическая теория

87

4.1.2. Лемма. Пусть H — локально компактная s-компактная группа; D — ее замкнутая подгруппа; p : H → H /D — естественная проекция; R — подмножество в H /D; p — отображение пространства H /D в некоторое топологическое пространство. Тогда (i) множество p−1 (R) является mH -измеримым; (ii) отображение p ◦ p является mH -измеримым, если и только если p является mH /D -измеримым (см. [Bou 3], гл. VII, § 2, предложение 6 и лемма 4). Утверждение (i) вытекает из утверждения (ii), примененного к характеристической функции множества R. 4.1.3. Лемма. Пусть H , D, p таковы, как в лемме 4.1.2; B ⊂ H — некоторое mH -измеримое множество, причем mH ((Bd)△B) = 0 при всех d ∈ D; f — некоторое mH -измеримое отображение группы H в полуотделимое топологическое пространство X со второй аксиомой счетности, причем для каждого d ∈ D равенство f (hd) = f (h) выполнено при почти всех h ∈ H . Тогда (i) существует такое mH /D -измеримое подмножество R ⊂ H /D, что mH (B△(p−1 (R))) = 0; (ii) существует такое mH /D -измеримое отображение p : H /D → X, что p ◦ p почти всюду совпадает с f . Д о к а з а т е л ь с т в о. С учетом утверждений (ii) и (v) леммы 4.1.1 можно считать, изменив B и f с помощью множества меры 0, что BD = B и f (hd) = f (h) при всех h ∈ H , d ∈ D. Тогда B = p−1 (R) и f = p ◦ p, где R = p (B) и p (y) = f (p−1 (y)) ∈ X, y ∈ H /D. Но по леммме 4.1.2 множество R и отображение p являются mH /D -измеримыми. 4.2. Алгебры измеримых множеств1 Пусть X — пространство с s-конечной мерой m. Измеримые подмножества в X, отличающиеся лишь подмножеством меры 0, объединим в один класс; совокупность всех таких классов обозначим M(X, m). На эту совокупность можно перенести операции счетного объединения, счетного пересечения и дополнения множеств, превратив M(X, m) в алгебру. Любое ее подмножество, замкнутое относительно этих операций, называется ее подалгеброй. Подалгебра, состоящая из класса множеств нулевой меры и класса их дополнений, называется тривиальной. Отображение, которое каждому измеримому множеству в X ставит в соответствие его класс, будет обозначаться b. Для каждого B ∈ M(X, m) положим m (B) = m (B ′), где B ′ ∈ b−1 (B). 1 См.

[Rohlin 1] и [Rohlin 2] .

88

Глава I. Предварительные сведения

Мы говорим, что последовательность B1 , . . . , Bn , . . . измеримых подмножеств в X (соответственно элементов алгебры M(X, m)) сходится по мере m к измеримому множеству B ⊂ X (соответственно к B ∈ M(X, m)), если lim m (Y ∩ (Bn △B)) = 0

n→∞

(соответственно lim m (b (Y) ∩ (Bn △B)) = 0) для любого подмножества Y ⊂ n→∞

⊂ X, имеющего конечную m-меру. Если X — локально компактное s-компактное пространство, а m — регулярная борелевская мера на X, то последовательность {Bn }n∈N+ сходится к B, если и только если указанные пределы равны нулю для всех компактных множеств Y ⊂ X. Легко показать, что если две s-конечные меры m и n на X эквивалентны и последовательность {Bn } сходится по мере m к B, то она сходится и по мере n; нам это не потребуется, так что опустим доказательство. Любая подалгебра B алгебры M(X, m) замкнута относительно сходимости, определенной выше. (Действительно, пусть Bn ∈ B, n ∈ N+ , и последовательность {Bn } сходится S по мере m к B ∈ M(X, m). Так как мера m является s-конечной, то X= Yi , где m (Yi) < ∞. Переходя к подпоследовательности в {Bn }, можi∈N+

но считать, что m (b (Yi) ∩ (Bn △B)) < 2−n при всех i ∈ N+ и всех n > i. Но  T S S Bn ∩ b (Yi) при всех i ∈ N+ , и, так как X = Yi , тогда B ∩ b (Yi) = m∈N+ n>m i∈N+   T S мы получаем B = Bn ∈ B.) m∈N+

n>m

Пусть X — измеримое пространство с s-конечной мерой m′ , а f : X → → X ′ — измеримое отображение, при котором прообраз любого множества меры 0 имеет меру 0. Для каждого B ∈ M(X ′ , m′) положим f ∗ (B) = = b (f −1 (b−1 (B))) ∈ M(X ′ , m′). Подалгебра f ∗ (B) алгебры M(X, m) называется прообразом подалгебры B ⊂ M(X ′ , m′) при отображении f . Пусть X — локально компактная s-компактная группа, H ⊂ H ′ — две замкнутые подгруппы в X. Положим M(X) = M(X, mX ) и M(X /H) = = M(X /H , mX /H ) и обозначим через M(X, H ′) и M(X /H , H ′) прообразы алгебры M(X /H ′) при естественных отображениях X → X /H ′ и X /H → X /H ′ . Обозначим соответственно через xM1 = b (x b−1 (M1)) ∈ M(X /H) и xM ∈ ∈ M(X) левые сдвиги классов M1 ∈ M(X /H) и M ∈ M(X). Аналогично определим M(H \X) = M(H \X, mH \X ) и правые сдвиги M1 x и Mx классов M1 ∈ M(H \X) и M ∈ M(X). Очевидно, M(X, H ′) является прообразом подалгебры M(X /H , H ′) при естественном отображении X → X /H . Из леммы 4.1.1 (ii) вытекает, что M(X, H) = {M ∈ M(X) | MH = M}. ′

§ 4. Теория меры и эргодическая теория

89

4.3. Некоторые свойства меры Хаара 4.3.1. Предложение (см. [Bou 3], гл. VII, § 2, предложение 13). Пусть H — унимодулярная локально компактная s-компактная группа, X и Y — ее замкнутые подгруппы, причем подгруппа X ∩ Y компактна, а множество Ω = X · Y открыто в H . Тогда ограничение меры mH на Ω с точностью до постоянного множителя совпадает с образом меры mX × mY при отображении (x, y) 7→ xy −1 произведения X × Y на Ω. В дальнейшем нам потребуется следующая простая 4.3.2. Лемма. Пусть H — локально компактная группа, F ⊂ H — замкнутая подгруппа, причем на множестве H /F (соответственно F \H) существует H -инвариантная мера m. Тогда для любого компакта K ⊂ H существует такая константа c (K) > 0, что mH (p−1 (A) ∩ K) 6 c (K) m (A) для любого измеримого множества A ⊂ H /F (соответственно A ⊂ F \H), где p : H → H /F (соответственно p : H → → F \H) — естественная проекция. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как ∆H · mH — правая мера Хаара, а модуль ∆H : H → R+ непрерывен, достаточно рассмотреть случай A ⊂ H /F . Тогда (см. [Bou 3], гл. VII, § 2, лемма 6) ] mH (p−1 (A) ∩ K) = a f (x)d m (x), A

где a > 0 не зависит от A и K , f (p (y)) = q (y) и q (y) = mF (F ∩ (y −1 K)) (отметим, что q (yz) = q (y) при всех y ∈ H и z ∈ F , поскольку мера mF левоинвариантна). Так как множество K компактно, def

b = sup f (x) < ∞. x∈A

Значит, c (K) = ab, что и требовалось. 4.4. Борелевские сечения Борелевское отображение f : X → X ′ локально компактных пространств называется регулярным, если образ f (K) любого компакта K ⊂ X относительно компактен в X ′ . Отображение f называется регулярным борелевским изоморфизмом, если оно биективно и оба отображения f и f −1 регулярные борелевские. 4.4.1. Теорема (существование борелевских сечений, см. [F-G], теорема 1 и [Mack], лемма 1.1). Пусть G — локально компактная группа со второй аксиомой счетности; H — ее замкнутая подгруппа; p : G → G /H и p′ : G → H \G — естественные отображения. Тогда существует регулярное борелевское сечение f : G /H → G (соответ-

90

Глава I. Предварительные сведения

ственно f′ : H \G → G), такое что p ◦ f = Id (соответственно p′ ◦ f′ = = Id) и f (G /H) (соответственно f (H \G)) является борелевским подмножеством в G. 4.4.2. Следствие. Пусть G, H , p, p′ таковы, как в теореме 4.4.1. Положим X = G /H и X ′ = H \G. Тогда существуют такие регулярные борелевские отображения ϑ, ϑ′ : G → H , что (а) ϑ(gh) = ϑ(g)h и ϑ′ (h g) = hϑ′ (g) при всех g ∈ G, h ∈ H ; (б) отображения f : G → X × H и f ′ : G → H × X ′ , переводящие g ∈ G соответственно в (p (g), ϑ(g)) ∈ X × H и в (ϑ′ (g), p′ (g)) ∈ H × X ′ , являются регулярными борелевскими изоморфизмами. Для доказательства достаточно положить ϑ(g) = f (p (g)) −1 (g) и ϑ′ (g) = = g f′ (p (g)) −1 , где f, f′ таковы, как в теореме 4.4.1. 4.4.3. Следствие. Пусть G — локально компактная группа со второй аксиомой счетности, а H и F — ее замкнутые подгруппы, причем G = HF . (а) Пусть C ⊂ G — некоторое mG -измеримое подмножество, причем CF = C. Тогда множество C ∩ H является mH -измеримым, и если mG (C) = 0, то mH (C ∩ H) = 0. (б) Пусть X — топологическое пространство и w : G → X — такое mG -измеримое отображение, что w (gx) = w (g) при всех g ∈ G, x ∈ F . Тогда отображение w|H является mH -измеримым. Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 4.4.1 существует такое борелевское множество Y ⊂ F , что F = (H ∩ F)Y и для каждого x ∈ F представление x = hy, h ∈ H ∩ F , y ∈ Y , единственно. Так как G = HF , мы имеем G = HY и для каждого g ∈ G представление g = hy, h ∈ H , y ∈ Y , единственно. Отождествим Y с H \ G, поставив в соответствие каждому y ∈ Y смежный класс Hy ∈ H \ G. Так как меры mG и mH левоинвариантны, существует такая мера m на Y = H \ G, что mG является образом меры mh × m при отображении (h, y) 7→ hy, h ∈ H , y ∈ Y (заметим, что если B ⊂ Y , то можно определить m (B) как коэффициент пропорциональности между левоинвариантными мерами mB и mH , где mB (A) = m (AB), A ⊂ H). Таким образом, (а) доказано. Утверждение (б) непосредственно из него следует.

4.5. Эргодические действия Пусть дано левое действие топологической группы G на пространстве X с s-конечной G-квазиинвариантной мерой m. Мы говорим, что это действие является эргодическим, если выполнены следующие равносильные условия:

§ 4. Теория меры и эргодическая теория

91

(а) если Y ⊂ X измеримо и m (Y △(gY)) = 0 при всех g ∈ G, то либо m (Y) = 0, либо m (X − Y) = 0; (а′) если B ∈ M(X, m) и gB = B при всех g ∈ G, то либо m (B) = 0, либо m (X − B) = 0. Эргодичность правого действия определяется аналогично. Автоморфизм L пространства X называется эргодическим, если эргодично действие группы {Lm | m ∈ Z} на X. Легко видеть, что эргодичность автоморфизма L равносильна следующему свойству: если Y ⊂ X измеримо и L(Y) = Y , то либо m (Y) = 0, либо m (X − Y) = 0. 4.5.1. Предложение. Пусть G — локально компактная s-компактная группа, Λ — ее плотная подгруппа. Рассмотрим G как пространство с мерой mG . Тогда действие группы Λ левыми (соответственно правыми) сдвигами на G эргодично, т. е. если B∈M(G) и ΛB = = B (соответственно BΛ = B), то либо mG (B) = 0, либо mG (G − B) = 0. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть B ∈ M(G) и ΛB = B (соответственно BΛ = = B). Так как подгруппа Λ плотна в G, по лемме 4.1.1.(i) мы имеем GB = B (соответственно BG = B). Остается применить лемму 4.1.1 (iii).

4.6. Теорема Пуанкаре о возвращении и эргодические теоремы1 4.6.1. Теорема (теорема Пуанкаре о возвращении). Пусть L: X → X — автоморфизм пространства X с конечной мерой, U ⊂ X — измеримое подмножество положительной меры. Тогда почти все точки x ∈ U возвращаются в U бесконечно часто, т. е. почти для всех x ∈ U множество {n ∈ N+ | Ln x ∈ U } бесконечно. 4.6.2. Следствие. Пусть L — автоморфизм пространства X с конечной мерой, а f — неотрицательная измеримая функция на X. Тогда почти для всех x ∈ X верно, что lim inf(1/m) f (Lm x) = 0,

m→+∞

lim inf(−1/m) f (Lm x) = 0.

m→−∞

Для доказательства достаточно применить теорему Пуанкаре о возвращении к множествам Um = {x ∈ X | f (x) 6 m}, 1 См.

[Bi] , гл. I, [Hal 2] и [K-S-F] , гл. I.

m ∈ N+ .

92

Глава I. Предварительные сведения

4.6.3. Следствие. Пусть G — локально компактная s-компактная группа; d ∈ G; H — замкнутая подгруппа в G, причем H \ G имеет конечную G-инвариантную меру m; f — такая измеримая функция на G, что f (h g) = f (g) при всех g ∈ G, h ∈ H . Тогда lim inf(1/m) f (gd m) = 0,

m→+∞

lim inf(−1/m) f (gd m) = 0

m→−∞

почти для всех g ∈ G. Это вытекает из следствия 4.6.2, примененного к автоморфизму x 7→ xd пространства с мерой (H \ G, m) и к функции fˆ = f ◦ p−1 , где p : G → H \ G — естественное отображение. 4.6.4. Теорема (статистическая эргодическая теорема). Пусть X — пространство с конечной мерой m; L: X → X — автоморфизм простn 1P ранства с мерой; f ∈ L1 (X, m). При n ∈ N+ положим fn (x) = f (Li (x). n i=1

Тогда последовательность {fn } при n → ∞ сходится в L1 (X, m) к L-инвариантной интегрируемой функции f˜ (L-инвариантность функции f˜ означает, что f˜ (Lx) = f˜ (x) почти для всех x ∈ X). Если ав1 ] томорфизм L эргодичен, то f˜ (x) = f (x)d m (x) почти для всех m (X)

X

x ∈ X. 4.6.5. Теорема (индивидуальная эргодическая теорема Биркгофа). Пусть L — автоморфизм пространства X с конечной мерой m и f ∈ L1 (X, m). Тогда существует такая L-инвариантная функция f˜ ∈ L1 (X, m), что ] ] f˜ (x)d m (x) = f (x)d m (x) X

X

и lim (1/n)

n→∞

n X

f (Li x) = f˜ (x)

i=1

почти для всех x ∈ X.

1 ] Если автоморфизм L эргодичен, то f˜ (x) = f (x)d m (x) почти

m (X)

X

для всех x ∈ X. Замечание. Часть утверждений этой (и предыдущей) теоремы справедлива для s-конечных мер m.

§ 5. Унитарные представления и аменабельные группы

93

§ 5. Унитарные представления и аменабельные группы В этом параграфе G обозначает локально компактную группу со второй аксиомой счетности. 5.1. Двойственное пространство группы G и разложение унитарных представлений1 ˆ — совокупность классов эквива5.1.1. Пусть G˜ (соответственно G) лентности унитарных (соответственно неприводимых унитарных) представлений группы G в сепарабельных гильбертовых пространствах. Множество Gˆ называется двойственным пространством группы G. На множестве G˜ можно ввести следующую топологию. Пусть даны унитарное представление r группы G на гильбертовом пространстве V , компакт K ⊂ G, конечный набор векторов x1 , . . . , xn ∈ V и число ε > 0. ˜ состоящее из классов Рассмотрим подмножество U (K , x1 , . . . , xn , ε) ⊂ G, [r′ ] тех представлений r′ в пространстве V , для которых существуют такие векторы h1 , . . . , hn , что |hr (g) xi , x j i − hr′ (g) hi , h j i| < ε

при всех g ∈ K , 1 6 i, j 6 n. Семейство множеств U (K , x1 , . . . , xn , ε) можно ˜ Если [r′ ] ∈ G˜ принадрассматривать как базу окрестностей точки [r] ∈ G. ˜ то мы лежит замыканию одноэлементного множества { [r]}, где [r] ∈ G, говорим, что представление r′ слабо содержится в r. Отметим, что если представление r′ содержится в r, то оно и слабо содержится в r. Таким образом, пространство G˜ не хаусдорфово. Если группа G коммутативна, то все ее неприводимые унитарные представления одномерны. В этом случае операция тензорного произведения ˆ и эта группа естественопределяет структуру коммутативной группы на G, но отождествляется с группой характеров группы G. Если группа G компактна, то двойственное пространство Gˆ дискретно (см. [Ki], § 9, следствие 2 теоремы 2). 5.1.2. Пусть X — пространство с мерой m, а V — сепарабельное гильбертово пространство. Далее, пусть для каждого x ∈ X выбрано такое замкнутое подпространство Hx ⊂ V , что отображение x 7→ Hx измеримо, т. е. при всех v, w ∈ V вещественнозначная функция x 7→ hPx v, wi измерима; здесь Px — ортогональный проектор пространства V на Hx . Рассмотрим пространство измеримых функций f : X → V , таких что ] k f (x)k2 d m (x) < ∞ X

1 См.

[Ki] , 7.3 и 8.4.

94

Глава I. Предварительные сведения

и f (x) ∈ Hx при всех x ∈ X. Введем на этом пространстве следующее скалярное произведение: ] h f1 , f2 i = h f1 (x), f2 (x)id m (x) X

и отождествим функции, совпадающие почти всюду. Мы получим гиль] бертово пространство H , которое обозначается Hx d m (x) и называется X

непрерывной суммой гильбертовых пространств Hx . Пусть для каждого x ∈ X задано унитарное представление rx группы G на пространстве Hx . Мы говорим, что унитарное представление r ] группы G на пространстве H = Hx d m (x) является непрерывной сумX

мой (или интегралом) представлений rx по мере m, если для каждого g ∈ G и каждой функции f ∈ H при почти всех x ∈ X выполнено равен] ство (r (g) f) (x) = rx (g) f (x). В этом случае будем писать r = rx d m (x). Если X

пространство X конечно (или счетно), а мера m дискретна, то непрерывная сумма представлений — это просто прямая сумма конечного (или счетного) множества представлений. 5.1.3. Теорема (см. [Ki], 8.4, следствие из теоремы 2). Любое унитарное представление r группы G в сепарабельном ] гильбертовом пространстве распадается в непрерывную сумму rx d m (x) непривоX

димых унитарных представлений. 5.1.4. Мы говорим, что унитарное представление r′ кратно унитарному представлению r, если оно является прямой суммой конечного или счетного семейства унитарных представлений, эквивалентных r. В случае коммутативных групп справедлива следующая теорема о разложении унитарных представлений. 5.1.5. Теорема (см. [Ki], 8.4, теорема 3 и проблема 4). Пусть группа G ˜ Тогда унитарное представление r распакоммутативна и [r] ∈ G. ] дается в непрерывную сумму r = rq d m (q), где rq кратно характеру q ∈ Gˆ (т. е. rq (g)x = q (g)x).

Gˆ

5.2. Унитарные индуцированные представления1 Пусть H — замкнутая подгруппа в G, а U — унитарное представление группы H в пространстве V . Для каждого h ∈ H положим U0 (h) = (∆H (h) /∆G (h)) 1/2 U (h),

1 См.

[Ki] , 13.2.

§ 5. Унитарные представления и аменабельные группы

95

где, как и в п. 0.36, ∆G и ∆H обозначают модули групп G и H соответственно. Рассмотрим пространство L(G, H , U0), которое состоит из mG -измеримых вектор-функций F на G со значениями в V , удовлетворяющих равенству F (h g) = U0 (h)F (g), h ∈ H , g ∈ G. (1)

Пусть m′G (соответственно m′H ) обозначает правую меру Хаара на G (соответственно на H). Выберем такую неотрицательную непрерывную функцию q на G, что при любом g ∈ G множество H g ∩ supp q компактно и ] q (h g)d m′H (h) = 1. Пусть L2 (G, H , U) — подпространство в L(G, H , U0), H ] состоящее из таких функций F , для которых kF (g)k2 q (g)d m′G (g) < ∞. G

Введем на L2 (G, H , U) следующее скалярное произведение: ] (F1 , F2) = hF1 (g), F2 (g)iq (g)d m′G (g),

(2)

G

где Fi ∈ L2 (G, H , U), i = 1, 2. Отметим, что подпространство L2 (G, H , U) и интеграл в правой части равенства (2) не зависят от выбора функции q. Определим теперь следующее представление группы G в L2 (G, H , U): (r (g)F) (x) = F (x g),

F ∈ L2 (G, H , U),

x, g ∈ G.

(3)

Представление r унитарно. Мы говорим, что оно индуцировано в смысле Макки представлением U , и обозначаем его Ind(G, H , U) или просто Ind U . Если на H \ G существует G-инвариантная мера m, то определение пространства L2 (G, H , U) и скалярного произведения в нем можно упростить. Для этого рассмотрим такое регулярное борелевское отображение f : H \ G → G, что p ◦ f = Id, где p : G → H \ G — естественная проекция. Положим X = f (H \ G) и определим меру m′ на X как образ меры m при отображении f. Пространство L2 (G, H , U) состоит из mG -измеримых функций F : G → V , для которых F (h g) = U (h)F (g), h ∈ H , g ∈ G, ] kF (x)k2 d m′ (x) < ∞.

и

X

Скалярное произведение в L2 (G, H , U) определяется формулой ] hF1 , F2 i = hF1 (x), F2 (x)id m′ (x). X

Если группа G унимодулярна, а ее подгруппа H дискретна, то в качестве X можно взять левую борелевскую фундаментальную область для H , а в качестве m′ — ограничение меры mG на X.

96

Глава I. Предварительные сведения

Пусть H \ G обладает G-инвариантной мерой m, а U обозначает тривиальное одномерное представление IH группы H . Тогда Ind U — это так называемое квазирегулярное представление t группы G в пространстве L2 (H \ G, m). Это представление можно также задать формулой (t (g) f) (x) = f (x g),

f ∈ L2 (H \ G, m), x ∈ H \ G, g ∈ G.

В частности, регулярное представление группы G можно записать в виде Ind(G, {e}, I{e}). 5.2.1. Справедлив следующий принцип «сквозного индуцирования». Пусть H — замкнутая подгруппа в G, а K — замкнутая подгруппа в G. Тогда для любого унитарного представления U группы K имеет место следующая эквивалентность: Ind(G, H , Ind(H , K , U)) ∼ Ind(G, K , U), или, в символическом виде, IndGH IndHK = IndGK , где IndGH означает операцию, переводящую U в Ind(G, H , U). Пусть RG обозначает регулярное представление группы G. Так как RG = Ind(G, {e}, I{e}) и RH = Ind(H , {e}, I{e}), то в силу принципа «сквозного индуцирования» RG = Ind(G, H , RH ). 5.2.2. Если два унитарных представления U1 и U2 подгруппы H эквивалентны, то представления Ind U1 и Ind U2 группы G также эквивалентны. Поэтому операцию индуцирования можно перенести с представлений на ˜ Это их классы эквивалентности, т. е. определить отображение Ind: H˜ → G. отображение непрерывно в топологии, определенной в п. 5.1.1 (см. [Fe], теорема 4.1). Следовательно, если U1 слабо содержится в U2 , то Ind U1 слабо содержится в Ind U2 . 5.2.3. Теорема (теорема Макки, см. [Ki], 13.3, теорема 1). Пусть N — замкнутая коммутативная нормальная подгруппа в G. Определим естественное действие группы G на группе характеров Nˆ группы N , положив (g q) (n) = q (g −1 n g),

ˆ n ∈ N. g ∈ G, q ∈ N,

ˆ локально замкнута Предположим, что каждая из орбит Gq , q ∈ N, ˆ в N. Тогда любое неприводимое унитарное представление r группы G эквивалентно представлению вида Ind(G, H , U), где H — стаˆ U ⊂ Hˆ и ограничение унитарного предбилизатор характера q ∈ N, ставления U на N кратно характеру q (т. е. U (n)x = q (n)x для всех n ∈ N и всех векторов x в пространстве представления U).

§ 5. Унитарные представления и аменабельные группы

97

5.3. Групповые алгебры локально компактных групп1 5.3.1. Напомним, что свертка f1 ∗ f2 двух функций f1 , f2 ∈ L1 (G, mG) определяется формулой ] (f1 ∗ f2) (g) = f1 (h) f2 (h−1 g)d mG (h). G

Если взять операцию свертки в качестве умножения, то L1 (G, mG) превращается в ассоциативную алгебру. Для всех f1 , f2 ∈ L1 (G, mG) мы имеем ] ] ] (f1 ∗ f2) (g)d mG (g) = f1 (g)d mG (g) f2 (g)d mG (g). G

G

G

5.3.2. Пусть f ∈ L1 (G, mG) — комплекснозначная функция. Определим функцию f ∗ ∈ L1 (G, mG), положив f ∗ (g) = ∆ g (g) · f (g −1), где ∆G обозначает модуль группы G, а черта — комплексное сопряжение. Отображение f 7→ f ∗ является инволюцией алгебры L1 (G, mG), т. е. при всех x, y ∈ L1 (G, mG) и l, m ∈ C выполнены равенства 1) (lx + my) ∗ = l∗ x ∗ + m∗ y ∗ , l, m ∈ C, 2) (xy) ∗ = y ∗ x ∗ , 3) (x ∗) ∗ = x. Если r — унитарное представление группы G, то r (f1 ∗ f2) = r (f1) r (f2),

r (f ∗) = r (f) ∗ ,

где f , f1 , f2 ∈ L1 (G, mG) и r (f) ∗ обозначает оператор, сопряженный к r (f). 5.4. Положительно определенные функции 5.4.1. Непрерывная комплекснозначная функция f на G называется положительно определенной, если при любом n ∈ N+ и всех g1 , . . . . . . , gn ∈ G матрица (f (gi−1 g j)) 16i, j6n положительно определенна. Иначе говоря, функция f положительно определенна, если n X

ai a¯ j f (gi−1 g j) > 0

i, j=1

при всех n ∈ N+ , g1 , . . . , gn ∈ G и a1 , . . . , an ∈ C. 5.4.2. Пусть U — непрерывное представление группы G в топологическом векторном пространстве V . Вектор x ∈ V называется циклическим относительно U , если конечные линейные комбинации векторов U (g) x, g ∈ G, образуют плотное подмножество в V . 1 См.

[Bou 3] , гл. VIII, §§ 4,5 и [Ki] , 10.2.

98

Глава I. Предварительные сведения

5.4.3. Теорема (см. [Dix], теорема 13.4.5 (II)). Комплексная функция f : G → C непрерывна и положительно определенна, если и только если для некоторого непрерывного унитарного представления r группы G в гильбертовом пространстве V и некоторого вектора x ∈ V (который можно считать циклическим) выполнено соотношение y (g) = hr (g) x, xi

при всех g ∈ G. 5.5. Аменабельные группы 5.5.1. Группа G называется аменабельной, если выполнены следующие равносильные условия: (i) на пространстве Ω непрерывных ограниченных функций на G существует левоинвариантное среднее, т. е. такой линейный функционал m, что а) m(f) > 0, если f > 0; б) m(1) = 1; в) m(g f) = m(f) при всех g ∈ G, f ∈ Ω; (ii) для любого непрерывного аффинного действия группы G на компактном выпуклом подмножестве W локально выпуклого топологического векторного пространства найдется G-инвариантный элемент w ∈ W (действие группы G на W называется аффинным, если g (lw1 + (1 − l)w2) = = l gw1 + (1 − l) gw2 при всех w1 , w2 ∈ W , 0 6 l 6 1 и g ∈ G); (iii) для любого непустого компактного G-пространства X существует G-инвариантная мера на X, принадлежащая P (X). Ввиду теоремы 3.3.1 из [Gre] условия (i) и (ii) равносильны. Так как множество P (X) выпукло и компактно, то условие (iii) вытекает из (ii). Наконец, отображение, ставящее в соответствие каждой мере n ∈ P (W ) ее ] центроид wd n (w) ∈ W , является G-эквивариантным, и потому из условия W

(iii) следует (ii). 5.5.2. Если группа G аменабельна, то это верно и для любой ее замкнутой подгруппы (см. [Gre], теорема 2.3.2). Если H — замкнутая нормальная подгруппа в G, причем группы H и G /H аменабельны, то группа G аменабельна (см. [Gre], теорема 2.2.3). Коммутативная группа аменабельна (см. [Gre], теорема 1.2.1). Наконец, если группа G компактна, то она ] аменабельна, причем m(f) = f (g)d mG (g). Из перечисленных результатов G

вытекает, что если в группе G имеется замкнутая разрешимая нормальная подгруппа H , факторгруппа по которой компактна, то группа G аменабельна.

§ 5. Унитарные представления и аменабельные группы

99

5.5.3. Теорема (см. [Gre], теорема 3.5.2 и последующие замечания). Следующие условия на группу G равносильны: (i) группа G аменабельна; (ii) тривиальное одномерное представление группы G слабо содержится в ее регулярном представлении; (iii) любое неприводимое унитарное представление группы G слабо содержится в ее регулярном представлении. Замечание. Равносильность условий (ii) и (iii) впервые была доказана в работе [Go], а их равносильность условию (i) — в статье [Hul].

Глава II

Теоремы плотности и эргодичности В § 2 с помощью результатов § 1 будет доказана 2.5. Теорема. Пусть G — локально компактная группа; k — локальное поле; W — конечномерное векторное пространство над k; T : G → GL(W ) — непрерывное представление; H — подгруппа в G; g ∈ G. Предположим, что пара (H , g) обладает свойством (S) в группе G (определение свойства (S) см. в п. 2.2). Пусть Ψ g обозначает замыкание подгруппы, порожденной множеством {x ∈ G | замыкание множества {g i x g −i | i ∈ Z} содержит e}. Тогда любое T (H)-инвариантное подпространство W ′ ⊂ W является T (Ψ g)-инвариантным. Теорема 2.5 равносильна утверждению, что если f — любой непрерывный гомоморфизм группы G в множество k-рациональных точек k-группы, то замыкание по Зарисскому подгруппы f (H) содержит f (Ψ g) (см. следствие 2.6). В § 4 результаты § 2 применяются к случаю G=

Y

Ga (ka),

a∈A

где A — конечное множество, ka — локальное поле, Ga — связная полупростая ka -группа. Согласно основному результату § 6 (теорема 6.7 (a)), если Γ — решетка в группе Y G= Ga (ka), a∈A

B$A и prB : G → GB =

Y

a∈B

Ga (ka)

§ 1. Итерации линейных преобразований

101

подгруппы prB (Γ) в GB при — естественное отображение, то замыкание Q Ga (ka) + . Нетрудно получить отсюопределенных условиях содержит a∈B

да теорему о сильной аппроксимации (см. 6.8). Теорема 6.7 без труда выводится из теоремы о недискретных замкнутых подгруппах с факторпространством конечного объема, доказанной в § 5. В доказательстве используются некоторые результаты из § 3, а именно следствие 3.10, понимаемое как утверждение о том, что определенные действия на однородных пространствах обладают свойством «топологического перемешивания». Результаты из § 3 применяются также в § 7 при доказательстве предложений об эргодичности действий на факторпространствах.

§ 1. Итерации линейных преобразований Пусть k — локальное поле с нормированием | |; K — его алгебраическое замыкание; ks — сепарабельное замыкание поля k (т. е. множество элементов из K , сепарабельных над k). Единственное продолжение нормирования | | на K также будет обозначаться | |. Пусть n ∈ N+ , W — векторное пространство над k размерности n. Для каждого расширения l поля k мы полагаем Wl = l ⊗k W , отождествляем W и Wk и при l ⊂ l ′ считаем, что Wl естественно вложено в Wl ′ . Мы говорим, что линейное подпространство W ′ ⊂ WK определено над полем l ⊂ K , если W ′ порождается множеством def Wl ′ = W ′ ∩ Wl . Рассматривая систему линейных координат y = (y1 , . . . , yn) в W как систему линейных координат в WK , положим X kwk = kwky = |y j (w)|, w ∈ WK , 16 j6n

kBk = kBky =

sup w∈WK ,w6=0

kBwky /kwky ,

B ∈ End(WK ).

Отображение w 7→ kwk определяет норму в пространстве WK , т. е. для любых w, w1 , w2 ∈ WK и l ∈ K выполнены следующие условия: 1) kwk = 0 ⇔ w = 0; 2) kw1 + w2 k 6 kw1 k + kw2 k; 3) klwk = |l|kwk. Отображение B 7→ kBk определяет норму в пространстве End(WK ), причем kBCk 6 kBkkCk при всех B, C ∈ End(WK ). Легко показать следующее: (∗) если y, z — две системы координат в пространстве W , то нормы kwky и kwz k эквивалентны в обычном смысле: существуют такие положительные числа c1 , c2 , что c1 kwkz 6 kwky 6 c2 kwkz

∀w ∈ WK .

102

Глава II. Теоремы плотности и эргодичности

Если дано линейное подпространство W ′ ⊂ W , то P(W ′) ⊂ P(W ) обозначает соответствующее проективное пространство. Наделим W , End(W ) и P(W ) топологией, которую индуцирует топология поля k, и пусть p обозначает естественную проекцию W − {0} → P(W ). Преобразование B ∈ ∈ GL(W ) индуцирует преобразование pB p−1 пространства P(W ), которое будет обозначаться Bp . Тождественное преобразование (определяемое единичной матрицей) будет обозначаться E. Если дано преобразование B ∈ GL(W ), то Ω(B) ⊂ K будет обозначать множество его cобственных значений, а Wl (B) — корневое подпространство, отвечающее значению l ∈ Ω(B), т. е. Wl (B) = {w ∈ WK | (B − lE) n w = 0}. −m

Если char k = 0, то ks = K ; если же char k = p > 0, то K = {x p | x ∈ ks , m ∈ N+ }. В любом случае существует такое m ∈ N+ , что lm ∈ ks и, как следствие, подпространства Wlm (B m) определены над ks при всех l ∈ Ω(B). Но Wl (B) = Wlm (B m). Поэтому подпространства Wl (B) определены над ks . Пространство W является прямой суммой подпространств Wl (B). Пусть pl,B : W → Wl (B) — естественная проекция, т. е. pl,B (w) ∈ Wl (B) и X w= pl,B (w) l∈Ω(B)

для всех w ∈ W . При d ∈ R положим Ωd (B) = {l ∈ Ω(B) | ln |l| = d},  M  Wd (B) = Wl (B) , l∈Ωd (B)

Wd+ (B) =

M

k

Wd ′ (B),

d ′ >d

Wd− (B) =

M

Wd ′ (B).

d ′ 6d

Так как подпространства Wl (B) определены над ks , а множество Ωd (B) инвариантно относительно всех автоморфизмов поля K над k, подпространства M Wl (B) l∈Ωd (B)

определены над k. Как следствие, W является прямой суммой подпространств Wd (B). Если Ωd (B) 6= ∅, то мы говорим, что d — характеристический показатель преобразования B, а Wd (B) — отвечающее ему

§ 1. Итерации линейных преобразований

103

характеристическое подпространство этого преобразования. ПолоS жим также ∆B = Wd (B) и назовем ∆B характеристическим крестом d∈R

преобразования B. 1.1. Лемма. Пусть B ∈ GL(W ). (а) Существуют такие положительные числа c1 = c1 (B), c2 = c2 (B), что при всех l ∈ Ω(B), w ∈ Wl (B) и i ∈ Z, i 6= 0 выполняются неравенства c1 |i|−n |l|i kwk 6 kB i wk 6 c2 |i|n |l|i kwk. (1) (б) Если l ∈ Ω(B), w ∈ W и pl,B (w) 6= 0, то существует такое число c (w) > 0, что kB i wk > c (w)|l|i при всех i ∈ Z. (в) Если |l| = 1 для всех l ∈ Ω(B), то при w ∈ W − {0} замыкание множества {B i w | i ∈ Z} не содержит нуля. (г) Существует такое число c = c (B) > 1, что при всех d ∈ R, v ∈ Wd+ (B), w ∈ Wd− (B) и i ∈ N+ выполняются неравенства kB i vk > c −1 i −n exp(di)kvk, kB i wk 6 ci n exp(di)kwk. Д о к а з а т е л ь с т в о. Разложив B i = (lE + (B − lE)) i по формуле бинома, из равенства (B − lE) n w = 0 для всех w ∈ Wl получаем правое неравенство (1). Левое неравенство вытекает из правого, примененного к B −1 и B i w. В силу утверждения (∗) из п. 1.0 можно считать, что в системе координат y преобразование B приводится к жордановой нормальной форме. Поэтому если pl,B (w) 6= 0, то существует такое натуральное число j = j (w) 6 n, что y j (B i w) = li y j (w) при всех i ∈ Z. Отсюда следует утверждение (б). Из него непосредственно вытекает утверждение (в). Так как  M   M  Wd+ (B) = Wl (B) k , Wd− (B) = Wl (B) k , ln |l|>d

ln |l|6d

то из утверждения (а) следует утверждение (г). 1.2. Предложение. Пусть преобразование B принадлежит GL(W ) и d ∈ R не является его характеристическим показателем. Тогда B притягивает P (W ) − p (Wd− (B)) к p (Wd+ (B)). Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как Ωd (B) = ∅, мы имеем W = Wd+ (B) ⊕ ⊕ Wd− (B) и найдется такое ε > 0, что + Wd+ε (B) = Wd+ (B), + d

Wd−ε (B) = Wd− (B). − d

(1)

Пусть p + : W → W (B), p − : W → W (B) — естественные проекции (т. е. w = p + (w) + p − (w), w ∈ W ). Выберем произвольный компакт M ⊂ P(W ) −

104

Глава II. Теоремы плотности и эргодичности

− p (Wd− (B)). Тогда sup (k p − (w)k/k p + (w)k) < ∞.

w∈p−1 (M)

(2)

Из формул (1), (2) и леммы 1.1 (г) вытекает, что lim

m→+∞

sup (k p − (B m w)k/k p + (B m w)k) = 0,

w∈p−1 (M)

что и требовалось. 1.3. Предложение. Пусть B ∈ GL(W ), w ∈ W − ∆B . Тогда p (w) — блуждающая точка относительно Bp . Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как w ∈ / ∆B , найдется такое d ∈ R, что p (w) ∈ / + + + − − − ∈ / Yd ∪ Yd , где Yd = p (Wd (B)), Yd = p (Wd (B)). Тогда p (w) ∈ P(W ) − Yd , + − + p (w) ∈ / Yd . Но Bp притягивает P(W ) − Yd к Yd (см. предложение 1.2). Поэтому p (w) — блуждающая точка относительно Bp . 1.4. Лемма. Пусть B ∈ GL(W ), Y ∈ End(W ), Y 6= E и Ω(B) = Ωd (B) для некоторого d ∈ R. Тогда замыкание множества {B i YB −i | i ∈ Z} не содержит E. Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим линейное преобразование B˜ пространства End(W ), положив B˜ (X) = BXB −1 , X ∈ End(W ). Собственные значения преобразования B˜ имеют вид l1 /l2 , где l1 , l2 ∈ Ω(B). Ввиду леммы 1.1 (в) замыкание множества {B˜ i (Y − E) | i ∈ Z} не содержит нуль, поэтому E не принадлежит замыканию множества {B i YB −i | i ∈ Z}. 1.5. Предложение. Пусть B ∈ GL(W ), Y ∈ End(W ), Y 6= E и характеристический крест ∆B содержит Y -инвариантное подмножество L, которое порождает W . Тогда замыкание множества {B i YB −i | i ∈ Z} не содержит E. Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим Ld = L ∩ Wd (B) и рассмотрим два случая: (а) YLd ⊂ Ld при всех d ∈ R; (б) YLd 6⊂ Ld при некотором d ∈ R. Так как L содержится в ∆B и порождает W , а последнее является прямой суммой подпространств Wd (B), мы получаем, что Ld порождает Wd (B). Следовательно, в случае (а) подпространства Wd (B) инвариантны относительно Y , и остается применить лемму 1.4 к ограничениям преобразований B и Y на Wd (B). Так как L ⊂ ∆B и YL = L, в случае (б) найдутся такие c, d ∈ R и w ∈ Lc − {0}, что c 6= d, Yw ∈ Ld . Поскольку подпространства Wc (B) и Wd (B) инвариантны относительно B, мы имеем B i w ∈ Wc (B) − {0}, B i YB −i (B i w) = B i Yw ∈ Wd (B). С другой стороны, пересечение линейных подпространств Wc (B) и Wd (B) состоит лишь из нуля, поэтому существует такая окрестность U преобразования E в GL(W ), что

§ 2. Теоремы плотности для подгрупп со свойством (S). I

105

Wd (B) ∩ g (Wc (B) − {0}) = ∅ при всех g ∈ U . Значит, и в случае (б) замыкание множества {B i YB −i | i ∈ Z} не содержит E.

§ 2. Теоремы плотности для подгрупп со свойством (S). I Пусть G — локально компактная группа, H — ее подгруппа, g ∈ G. Положим Θ g = {x ∈ G | e принадлежит замыканию множества {g i x g −i | i ∈ Z}} и обозначим через Ψ g замыкание подгруппы в G, которую порождает Θ g . 2.1. Лемма. Следующие условия равносильны: (а) для каждой окрестности Ω единицы в G и каждого x ∈ G найдется такое натуральное число n = n(Ω, x), что x g n x −1 ∈ ΩH Ω; (б) гомеоморфизм пространства H¯ \ G, переводящий x ∈ H¯ \ G в x g, является возвратным (в смысле п. I.0.39); здесь H¯ обозначает замыкание подгруппы H в G. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть p : G → H¯ \ G — естественное отображение. Равносильность условий (а) и (б) вытекает из равносильности условий x g n x −1 ∈ ΩH Ω и p (Ωx) g n ∩ p (Ωx) 6= ∅, где x ∈ G, n ∈ Z, а Ω — окрестность единицы в G со свойством Ω = Ω−1 . 2.2. Определение. Мы говорим, что пара (H , g) обладает свойством (S) в группе G, если выполнены условия (a) и (b) леммы 2.1. Подгруппа H ⊂ G обладает свойством (S) в группе G, если при каждом g ∈ G пара (H , g) обладает свойством (S) в G. Из теоремы Пуанкаре о возвращении (см. теорему I.4.6.1) вытекает 2.3. Лемма. Если подгруппа H замкнута и на факторпространстве H \ G существует конечная G-инвариантная мера, то H обладает свойством (S) в G. Из определений непосредственно вытекает 2.4. Лемма. (а) Пусть f1 , f2 — автоморфизмы топологических пространств X1 , X2 соответственно, а f : X1 → X2 — непрерывное отображение, для которого f ◦ f1 = f2 ◦ f . Если точка x ∈ X1 не является блуждающей относительно f1 , то точка f (x) не является блуждающей относительно f2 . (б) Пусть f : G → F — непрерывный эпиморфизм группы G на локально компактную группу F . Если пара (H , g) обладает свойством (S) в группе G, то это верно и для пары (f (H), f (g)) в группе F . Как следствие, если подгруппа H обладает свойством (S) в группе G, то f (H) обладает свойством в группе F .

106

Глава II. Теоремы плотности и эргодичности

2.5. Теорема. Пусть k — локальное поле; W — конечномерное векторное пространство над k; T : G → GL(W ) — непрерывное представление; пара (H , g) обладает свойством (S) в группе G. Если линейное подпространство W ′ ⊂ W является T (H)-инвариантным, то оно T (Ψ g)-инвариантно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим внешнюю степень Λd W пространства W , где d = dim W ′ . Положим D = Λd W ′ ⊂ Λd W . Так как {h ∈ GL(W ) | hW ′ = W ′ } = {h ∈ GL(W ) | (Λd h)D = D} (см. [Bo 6], лемма 5.1), можно заменить T на Λd T , W ′ на D и считать, что dim W ′ = 1. Можно также считать, что T (G)W ′ порождает W . Пусть B = T (g), а p, Bp и ∆B таковы, как в п.1.0. Положим w = p (W ′) ∈ P(W ). Поскольку T (H)W ′ = W ′ , можно определить непрерывное отображение f : G /H → T (G) p w, положив f (yH) = T (y) p w, y ∈ G. Так как T — гомоморфизм, f (gx) = Bp (f (x)) при всех x ∈ G /H . Но пара (H , g) обладает свойством (S) в G. По лемме 2.4 (а) в множестве T (G) p w = p (T (G)W ′) нет точек, блуждающих относительно преобразования Bp . В силу предложения 1.3 мы имеем T (G)W ′ ⊂ ∆B . С другой стороны, множество T (G)W ′ порождает W и T (G)-инвариантно. Как следствие, если Y = T (G), Y 6= E, то ввиду предложения 1.5 замыкание множества {B i YB −i | i ∈ Z} не содержит E; поэтому для каждого y ∈ G либо T (y) = E, либо замыкание множества {B i T (y)B −i = T (g i y g −i) | i ∈ Z} не содержит E. Так как представление T непрерывно, T (Θ g) = {E}. Значит, T (Ψ g) = E, что и требовалось. 2.6. Следствие. Пусть k — локальное поле; F — алгебраическая k-группа; f : G → F(k) — непрерывный гомоморфизм; пара (H , g) обладает свойством (S) в группе G. Тогда замыкание по Зарисскому f (H) подгруппы f (H) в F(k) содержит f (Ψ g). Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме Шевалле (см. п. I.0.17) существуют точное конечномерное представление a : F → GL(W ), определенное над k, и одномерное подпространство W ′ ⊂ W над k, такие что f (H) = {x ∈ F | a (x)W ′ = W ′ }.

Чтобы доказать включение f (Ψ g) ⊂ f (H), теперь достаточно применить теорему 2.5 к гомоморфизму T = a ◦ f : G → GL(W ). 2.7. Следствие. Пусть k — локальное поле; F — алгебраическая k-группа; f1 : G → F(k) и f2 : G → F(k) — непрерывные гомоморфизмы; пара (H , g) обладает свойством (S) в группе G; f1 |H = f2 |H . Тогда f1 |Ψ g = f2 |Ψ g . Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим непрерывный гомоморфизм f : G → F(k) × F(k) = (F × F) (k),

§ 3. Обобщенная лемма Маутнера и лебеговский спектр

107

положив f (s) = (f1 (s), f2 (s)). Так как f1 (h) = f2 (h) при всех h ∈ H , то f (H) содержится в диагонали D = {(x, x)|x ∈ F}. Но D замкнуто по Зарисскому в F × F и пара (H , g) обладает свойством (S) в G. С учетом следствия 2.6 получаем, что f (Ψ g) ⊂ D. 2.8. Следствие. Пусть k — локальное поле, l — его конечное расширение, F — алгебраическая k-группа, f : G → F(l) — непрерывный гомоморфизм. Если пара (H , g) обладает свойством (S) в группе G и f (H) ⊂ F(k), то f (Ψ g) ⊂ F(k). Д о к а з а т е л ь с т в о. Можно считать, что F = GLm , m ∈ N+ . Положим V = l m , W = km ⊂ V и рассмотрим V как векторное пространство над k. Так как GLm (k) = {g ∈ GLm (l) | gW = W }, включение f (Ψ g) ⊂ F(k) вытекает из теоремы 2.5.

§ 3. Обобщенная лемма Маутнера и лебеговский спектр 3.0. Пусть A — конечное множество. Для a ∈ A пусть ka — локальное поле с нормированием | |a , а Ga — нетривиальная связная полупростая группа, определенная над ka . Через Ga будем обозначать локально компактную группу Ga (ka), наделенную топологией, Q которая определяется топологией поля ka . При B ⊂ A положим GB = Ga ; положим G = GA и a∈B

будем считать, что G∅ = {e}. Группы Ga метризуемы, s-компактны и компактно порождены (см. п. I.0.31 и следствия I.2.3.3 и I.2.3.5). Поэтому группа G также обладает этими свойствами. Естественные проекции G → GB и G → Ga , где B ⊂ A и a ∈ A, будут обозначаться prB и pra . Для каждого a ∈ A выберем максимальный ka -расщепимый тор Sa в группе Ga и положим Φa = Φ(Sa , Ga). Зафиксируем упорядочение на си− стеме корней Φa и обозначим через Φ+ a , Φa и ∆a соответственно множества положительных, отрицательных и простых корней относительно этого упорядочения. В обозначениях из п. I.1.2 определим для каждого ϑ ⊂ ∆a − − подгруппы Sϑ , Pϑ , P− ϑ , Vϑ = Ru (Pϑ) и Vϑ = Ru (Pϑ ) группы Ga . Подгруппы − − P∅ , P∅ , V∅ и V∅ в группе Ga будут обозначаться соответственно Pa , P− a , Va и Va− . Положим Y Y Y S= Sa (ka), P = Pa (ka), P − = P− a (ka), a∈A

V= Положим ∆ =

S

a∈A

Y

a∈A

a∈A

Va (ka),

V

−

=

Y

a∈A

a∈A

Va (ka). −

∆a и для каждого ϑ ⊂ ∆ рассмотрим следующие под-

108

Глава II. Теоремы плотности и эргодичности

группы: Sϑ =

Y

a∈A

Sϑ∩∆a (ka), Vϑ =

Y

a∈A

Pϑ =

Y

a∈A

Pϑ∩∆a (ka),

Vϑ∩∆a (ka),

V

− ϑ

=

Y

a∈A

Pϑ− =

Y

a∈A − ϑ∩∆a

V

P− ϑ∩∆a (ka),

(ka).

Выполнены следующие соотношения: 1) S∅ = S, P∅ = P, V∅ = V , V∅− = V − ; 2) Vϑ1 ⊂ Vϑ2 ⊂ Pϑ2 ⊂ Pϑ1 , Vϑ−1 ⊂ Vϑ−2 ⊂ Pϑ−2 ⊂ Pϑ−1 при ϑ2 ⊂ ϑ1 ⊂ ∆. − Так как ZGa (Sϑ) = Pϑ ∩ P− ϑ является подгруппой Леви в Pϑ и Pϑ при всех a ∈ A и ϑ ⊂ Aa (см. п. I.1.2), то при всех ϑ ⊂ ∆ мы имеем ZG (Sϑ) = Pϑ ∩ Pϑ− ,

Pϑ = ZG (Sϑ) ⋉ Vϑ ,

Pϑ− = ZG (Sϑ) ⋉ Vϑ− .

(1)

Для каждого ϑ ⊂ ∆ положим Rϑ = {s ∈ S | |b1 (pra (s))|a 6 1 и |b2 (pra (s))|a < 1 при всех a ∈ A, b1 ∈ ∆a , b2 ∈ ∆a − ϑ}, Dϑ = Sϑ ∩ Rϑ = {s ∈ Sϑ | |b (pra (s))|a < 1 при всех a ∈ A, b ∈ ∆a − ϑ}. Из предложения I.2.4.2 следует, что Dϑ 6= ∅. Для каждого s ∈ S положим A(s) = {a ∈ A | |b (pra (s))|a 6= 1 хотя бы для ˜ одного b ∈ Φa }. Множество {s ∈ S | A(s) = A} обозначим S. + Напомним, что H(k) обозначает подгруппу в H(k), порожденную множествами k-рациональных точек унипотентных радикалов всех Q параболических k-подгрупп k-группы H. Положим Ga+ = Ga (ka) + , GB+ = Ga+ при a∈B

B ⊂ A, а также G + = GA+ . Поясним введенные обозначения для случая G = SLn (R), n > 2. В качестве S можно взять группу диагональных матриц, а в качестве P — группу верхних треугольных матриц с определителем 1. Тогда P − — это группа нижних треугольных матриц, V (соответственно V −) — группа верхних (соответственно нижних) треугольных матриц с единицами на диагонали. Множество ∆ естественно отождествляется с множеством {1, 2, . . . , n − 1}. Пусть ϑ ⊂ ∆, ∆ − ϑ = {i1 , . . . , it } и 1 6 i1 < i2 < . . . < it 6 n − 1. Тогда    lE 0 ... 0    1 i1  0 it −it−1  0 l2 Ei2 −i1 . . .  i1 i2 −i1 Sϑ =  . . . l l . . . l = 1 ,  t ... ... ...  1 2    0 0 . . . lt Ei −i t

t−1

где E j обозначает единичную j × j-матрицу. Группа Pϑ состоит из блочнотреугольных матриц с определителем 1, имеющих вид   A11 A12 . . . A1t

 0 A22 . . . A2t  ... ... ... ..., 0

0

. . . Att

§ 3. Обобщенная лемма Маутнера и лебеговский спектр

109

где Ass — квадратная матрица порядка is − is−1 ; мы полагаем i0 = 0. Группа Vϑ состоит из блочно-треугольных матриц с единичными матрицами в качестве диагональных блоков, т. е.   E A12 . . . A1t    i1   0 Ei2 −i1 . . . A2t  Vϑ =  . . . . . . . . . .  ...     0

0

. . . Eit −it−1

Группа Pϑ− (соответственно Vϑ−) получается из Pϑ (соответственно из Vϑ) путем транспонирования. Далее,       q1 0 . . . 0 |q1 | 6 . . . 6 |qi1 | < |qi1 +1 | 6 . . . 6 |qi2 | < |qi2 +1 | 6 . . .  0 q2 . . . 0  . . . 6 |qi3 | < |qi3 +1 | 6 . . . 6 |qn |, Rϑ =       . . . . . . . . . . . . q1 q2 . . . qn = 1 0 0 . . . qn и

 lE 0 ...   1 i1  0 l2 Ei2 −i1 . . . Dϑ =  . . . ... ...   0

Наконец,

0





0   0  |l1 | < |l2 | < . . . < |lt |; .  i −i i i −i ... l11 l22 1 . . . ltt t−1 = 1  . . . lt Eit −it−1

     q1 q2 . . . qn = 1 и существует  q1 0 . . . 0   0 q2 . . . 0  такое натуральное число j 6 n, что S˜ =  .     . . . . . . . . . . . .  |q j | 6= 1 0 0 . . . qn

Заметим также, что если G = SLn (R), то G + = G. 3.1. Лемма. (а) Для всех ϑ ⊂ ∆ и s ∈ Rϑ автоморфизмы Int s|Vϑ и Int s −1 |V − — стягивающие. ϑ (б) Для всех s ∈ R∆ автоморфизм Int s|P — нерасширяющий. Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу предложения I.1.1.1 справедливо следующее неравенство (в обозначениях из пп. I.1.1 и I.1.2): M Lie(Vϑ∩∆a ) = Lie(Ua), a ∈ A. a∈n (bϑ∩∆a )

Следовательно, если s ∈ Rϑ , то |l|a < 1 для всех a ∈ A и для всех собственных значений l преобразования Ad pra (s)|Lie(Vϑ∩∆a ) . Так как имеются Sa -эквивариантные ka -изоморфизмы алгебраических многообразий Vϑ∩∆a → Lie(Vϑ∩∆a )

110

Глава II. Теоремы плотности и эргодичности

и − V− ϑ∩∆a → Lie(Vϑ∩∆a )

(см. предложение I.1.3.3 (ii)), то утверждение (а) вытекает из леммы 1.1.(г). Так как P = V ⋊ ZG (S) (см. равенства (1) в п. 3.0) и s коммутирует с ZG (S), то из утверждения (а) вытекает утверждение (б). 3.2. Лемма (обобщенная лемма Маутнера). Пусть H — топологическая группа; для некоторых ее элементов x, y последовательность {x n yx −n } сходится к e при n → +∞; r — непрерывное унитарное представление группы H в гильбертовом пространстве W ; r (x)w = w для некоторого w ∈ W . Тогда r (y)w = w. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как r (x)w = w и представление r унитарно, при каждом n ∈ Z имеем kr (y)w − wk = kr (y) r (x −n)w − r (x −n)wk = kr (x n yx −n)w − wk.

Но {x n yx −n } → e при n → +∞, а представление r непрерывно. Следовательно, kr (y)w − wk = 0, т. е. r (y)w = w. 3.3. Предложение. (а) Пусть s ∈ S; H — подгруппа группы G, содержащая {s} ∪ G + ; r — унитарное представление группы H в гильбертовом пространстве W ; для каждого a ∈ A группа Ga почти + ka -проста. Если w ∈ W и r (s)w = w, то r (GA(s) )w = w. (б) Пусть s ∈ S; r — унитарное представление группы G в гильбертовом пространстве W ; для каждого a ∈ A группа Ga односвязна, ka -изотропна и почти ka -проста. Если w ∈ W и r (s)w = w, то r (GA(s))w = w. Д о к а з а т е л ь с т в о. (а) Пусть a ∈ A(s). Изменив, если нужно, упорядочение на множестве Φa , можно считать, что |b (pra (s))|a 6 1 при всех b ∈ Φ+ a . Так как a ∈ A(s), мы имеем def

ϑ = {b ∈ ∆a | |b (pra (s))|a < 1} 6= ∅. − В силу предложения I.1.5.4 (iii) подгруппы V∆−ϑ и V∆−ϑ порождают Ga+ . −1 С другой стороны, так как r (s)w = r (s )w = w, ввиду лемм 3.1 (а) и 3.2 мы получаем − r (V∆−ϑ)w = r (V∆−ϑ )w = w. + Поэтому r (Ga+)w = w при всех a ∈ A(s), откуда следует, что r (GA(s) )w = w. (б) Так как группы Ga односвязны, ka -изотропны и почти ka -просты, в силу теоремы I.2.3.1 (а) мы имеем Ga+ = Ga при любом a ∈ A. Значит, + GA(s) = GA(s) . Тогда из утверждения (а) вытекает, что r (GA(s))w = w.

§ 3. Обобщенная лемма Маутнера и лебеговский спектр

111

3.4. Лемма. Пусть k — локальное поле, r — унитарное представление группы SL2 (k) в гильбертовом пространстве W . Положим n  o 1 x U= x∈k . 0 1

Если r (U)w = w для некоторого w ∈ W , то r (SL2 (k))w = w. Д о к а з а т е л ь с т в о. Можно считать, что kwk = 1. Рассмотрим непрерывную функцию f (g) = hr (g)w, wi, g ∈ SL2 (k). Так как представление r унитарно и r (U)w = w, функция f постоянна на двустороннем смежном   a b классе по модулю U . Но если ∈ SL2 (k) и c 6= 0, то c d



1 c −1 (1 − a) 0 1



Как следствие, если c 6= 0, то  a f

a b c d

0 c a−1





1 c −1 (1 − d) 0 1





1 0 . c 1

  1 0 =f . c 1

Переходя к пределу при c → 0, получаем   a 0 f = 1. −1 0 a

  a 0 Так как представление r унитарно, r (g)w = w при всех g = −1 . Дей0 a ствительно, для таких g имеем kr (g)w − wk2 = hr (g)w − w, r (g)w − wi = 2 − 2 Re f (g) = 0.   p 0 Применим теперь предложение 3.3 (б) к матрице s = −1 , где p — уни0 p

формизатор поля k. Получаем, что r (SL2 (k))w = w. 3.5. Определение. Мы говорим, что унитарный оператор B в гильбертовом пространстве W имеет лебеговский спектр, если существует такое подпространство L ⊂ W , что подпространства B m L, m ∈ Z, взаимно ортогональны и в совокупности порождают W . Замечание. Нетрудно показать, что унитарный оператор B на сепарабельном комплексном гильбертовом пространстве W имеет лебеговский спектр, если и только если мера m в спектральном разложении ] W= Wz d m (z) |z|=1

пространства W относительно оператора B эквивалентна лебеговской мере на окружности {z ∈ C | |z| = 1} и кратность n(z) = dim Wz постоянна.

112

Глава II. Теоремы плотности и эргодичности

3.6. Лемма. Если унитарный оператор B в гильбертовом пространстве W имеет лебеговский спектр, то для любой пары w1 , w2 ∈ ∈ W выполняется равенство lim hB n w1 , w2 i = 0.

n→∞

(1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть X — множество Lпар i (w1 , w2) ∈ W × W , удовлетворяющих условию (1). Положим Ln = B L, где L — подпро−n6i6n

странство из определения 3.5. Так как оператор B унитарен, множество X замкнуто. С другой стороны, объединение [ Ln n∈N+

плотно в W , и легко видеть, что X ⊃ Ln × Ln при всех n ∈ N+ . Следовательно, X = W × W , что и требовалось. Замечание. Обратное в общем случае неверно, т. е. в гильбертовом пространстве W может существовать такой унитарный оператор B, что условие (1) выполнено при всех w1 , w2 ∈ W , но B не имеет лебеговского спектра. 3.7. Лемма. Пусть группа F является полупрямым произведением дискретной циклической группы C, порожденной элементом q, и коммутативной локально компактной нормальной подгруппы N со второй аксиомой счетности. Далее, пусть r — унитарное представление группы F в сепарабельном гильбертовом пространстве W . Предположим, что в пространстве W нет ненулевых r (N)-инвариантных векторов и автоморфизм Int q|N является стягивающим. Тогда оператор r (q) имеет лебеговский спектр. Д о к а з а т е л ь с т в о. Ограничение представления r на N можно записать в виде непрерывной суммы ] ] r|N = Tx d m (q), W = Wq d m (q), Nˆ

Nˆ

где Tq — одномерное представление, определяемое характером q ∈ Nˆ группы N в пространстве Wq . Для каждого борелевского множества X ⊃ Nˆ положим ] WX = Wq d m (q). (1) X

Определим действие группы F на множестве Nˆ следующим образом: (f q) (n) = q (f −1 n f),

f ∈ F , q ∈ Nˆ , n ∈ N .

§ 3. Обобщенная лемма Маутнера и лебеговский спектр

113

Непосредственно проверяется, что r (f)WX = W fX

ˆ при всех f ∈ F , X ⊂ N.

(2)

(Действительно, если считать w ∈ Wq обычным, а не «обобщенным», собственным вектором операторов r (n), n ∈ N , то r (n) r (f)w = r (f) r (f −1 n f)w = q (f −1 n f) r (f)w = (f q) (n) r (f)w,

откуда r (f)w ∈ W f q .) Так как W не содержит ненулевых r (N)-инвариантных векторов, то W{q0 } = 0, (3) где q0 ∈ Nˆ — тривиальный характер группы N . Поскольку автоморфизм Int q|N стягивающий, автоморфизм q 7→ q −1 q группы Nˆ также стягивающий. Поэтому существует такое борелевское подмножество Y ⊂ Nˆ − {q0 }, что подмножества q i Y , i ∈ Z, попарно не пересекаются и покрывают Nˆ − {q0 }. Тогда из равенств (1), (2), (3) и (4) вытекает, что подпространства r (q i)WY , i ∈ Z, взаимно ортогональны и в совокупности порождают W . 3.8. Замечание. Можно доказать лемму 3.7, разложив r в непрерывную сумму неприводимых представлений и применив следующее рассуждение: если представление r неприводимо и выполнены условия леммы 3.7, то по теореме Макки (см. п. I.5.2.3) представление r индуцировано нетривиальным характером группы N . В вышеприведенном доказательстве на самом деле используются соображения из доказательства теоремы Макки. 3.9. Предложение. Пусть r — унитарное представление группы G ˜ группы Ga почти ka -просты; в гильбертовом пространстве W ; s ∈ S; W не содержит ненулевого r (G +)-инвариантного вектора. Тогда оператор r (s) имеет лебеговский спектр. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для каждого a ∈ A рассмотрим группы n  o n  o c 0 1 x Ya = x ∈ ka , Da = c ∈ ka , c 6= 0 . −1 0 1

0 c

Пусть ca ∈ ka , ca 6= 0, |ca |a 6= 1 и da =





ca 0 ∈ Da . Положим 0 ca−1

Ψa = {b ∈ Φa | |b (pra (s))|a < 1}. Изменив, если необходимо, упорядочение на множестве Φa , можно счиS ˜ мы имеем тать, что Ψa ⊂ Φ+ . Положим ∆(s) = ∩ Ψa). Так как s ∈ S, (∆ a a a∈A

∆a ∩ Ψa 6= ∅, и потому V∆a ∩Ψa ⊃ U{b} для неумножаемого корня b ∈ Φa+ , где U{b} — унипотентная ka -подгруппа, отвечающая квазизамкнутому подмножеству {b} (см. п. I.1.1). Из теоремы I.1.6.1 и предложения I.1.6.3 вытекает,

114

Глава II. Теоремы плотности и эргодичности

что для каждого a ∈ A существует ka -морфизм sa : SL2 → Ga с конечным ядром, такой что sa (Ya) ⊂ V∆a ∩Ψa (ka),

sa (Da) ⊂ Sa (ka),

(1)

причем S нормализует sa (Ya). Пусть pra (s0) = sa (da) для некоторого s0 ∈ S при всех a ∈ A. Так как |ca |a 6= 1, группы Ga полупросты и ядра ka -морфиз˜ Но W не содержит r (G +)-инвариантных мов sa конечны, мы имеем s0 ∈ S. 1 векторов , а тогда и r (s0)-инвариантных — в силу предложения 3.3 (а). Применив соотношения (1) и лемму 3.4 к представлениямQr · sa , получаем, что W не содержит r (F)-инвариантных векторов, где F = sa (Ya). Теперь a∈A

достаточно заметить, что автоморфизм Int s|V∆(s) стягивающий (см. лемму 3.1 (а)), и применить лемму 3.7 к группе C · F , где C = {s n | n ∈ Z}. 3.10. Следствие. Пусть H — замкнутая подгруппа в группе G, причем на пространстве H \ G имеется конечная ненулевая G-инвариантная мера m. Возьмем s ∈ S˜ ∩ G + . Тогда для каждого открытого непустого подмножества Y ⊂ G и каждого g0 ∈ G + существует такое натуральное число N (Y , g0), что H ∩ (Y · g0 · s −m · Y −1) 6= ∅ при всех m > N (Y , g0), m ∈ N+ . Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим представление r группы G в пространстве W = L2 (H \ G, m) следующим образом: (r (g) f) (q) = f (q g),

q ∈ H \ G, g ∈ G, f ∈ W .

Ввиду g-инвариантности меры m представление r унитарно. Положим T = {w ∈ W | r (G +)w = w} и обозначим через T ⊥ ортогональное дополнение к T в W . Так как подгруппа G + нормальна в G, то подпространство T , а тогда и T ⊥ , является r (G)-инвариантным. Подпространство T не содержит r (G +)-инвариантных векторов в силу определения T . С учетом предложения 3.9 получаем, что ограничение оператора r (s) на T ⊥ не имеет лебеговского спектра, и поэтому (см. лемму 3.6) lim hr (s m) f1 , f2 i = 0

n→∞

при всех f1 , f2 ∈ T ⊥ .

Но s ∈ G + , и потому r (s)t = t при всех t ∈ T . Следовательно, lim hr (s m) f , f + ti = hJ (f), J (f)i

m→∞

при всех f ∈ W , t ∈ T ⊥ ,

(1)

где J — ортогональный проектор из W на T . Пусть p : G → H \ G — естественное отображение. Положим Yˆ = p (Y), и пусть q — характеристическая 1 Имеются

в виду ненулевые векторы. — Прим. перев.

§ 4. Теоремы плотности для подгрупп со свойством (S). II

115

функция этого множества. Так как g0 ∈ G + , мы имеем r (g0−1) q − q ∈ T ⊥ . С учетом равенства (1) получаем lim m ((Yˆ s m) ∩ (Yˆ g0)) = lim hr (s −m) q, r (g0−1) qi =

n→∞

m→∞

= lim hr (s −m) q, q + r (g0−1) q − q)i = hJ (q), J (q)i. n→∞

(2)

Так как множество Y , а потому и Yˆ , открыто, а ненулевая мера m является ˆ > 0. С другой стороны, константы принадлежат T , G-инвариантной, то m (Y) поскольку мера m конечна. Поэтому hJ (q), J (q)i > 0. С учетом равенства (2) получаем, что (Yˆ s m) ∩ (Yˆ g0) 6= ∅ при всех достаточно больших m. В то же время (Yˆ s m) ∩ (Yˆ g0) = p (H · Y · s m) ∩ (Y · g0)). Следовательно, (H · Y · s m) ∩ (Y · g0) 6= ∅, и потому H ∩ (Y · g0 · s −m · Y −1) 6= ∅ при всех достаточно больших m.

§ 4. Теоремы плотности для подгрупп со свойством (S). II В этом параграфе сохраняются обозначения из п. 3.0. Как и в § 2, при всех g ∈ G положим Θ g = {g ∈ G | замыкание множества {g i x g −i | i ∈ Z} содержит e}, а замыкание подгруппы, порожденной множеством Θ g , обозначим Ψ g . 4.1. Лемма. Существует элемент s ∈ S, для которого Ψs = G + . Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем элемент s ∈ D∅ = R∅ . По лемме 3.1 (а) автоморфизмы Int s|V и Int s −1 |V − — стягивающие. Поэтому V ∪ V − ⊂ Θs . С другой стороны, в силу предложения I.1.5.4 (ii) подгруппы V и V − порождают G + , и потому Ψs ⊃ G + . По теореме I.2.3.1 (б) факторгруппа G /G + компактна, а в компактной группе все классы сопряженных элементов замкнуты. Следовательно, подгруппа G + содержит Θs , а тогда и Ψs . 4.2. Теорема. Пусть k — локальное поле; W — конечномерное векторное пространство над k; T : G → GL(W ) — непрерывное представление группы G; H — подгруппа со свойством (S) в G; W ′ — линейное подпространство в W , инвариантное относительно T (H). Тогда (а) подпространство W ′ является T (G +)-инвариантным, а потому и T (G ′)-инвариантным, где G ′ — замыкание подгруппы H · G + в G; (б) если все группы Ga , a ∈ A, односвязны и не имеют ka -анизотропных множителей, то T (G)W ′ = W ′ .

116

Глава II. Теоремы плотности и эргодичности

Утверждение (а) следует из теоремы 2.5 и леммы 4.1, а утверждение (б) — из утверждения (а) и теоремы I.2.3.1 (а′). Из следствия 2.6 и леммы 4.1 вытекает 4.3. Предложение. Пусть k — локальное поле; F — алгебраическая k-группа; f : G → F(k) — непрерывный гомоморфизм; H — подгруппа со свойством (S) в G. Тогда (а) замыкание по Зарисскому подгруппы f (H) содержит f (G +); (б) если все группы Ga , a ∈ A, односвязны и не имеют ka -анизотропных множителей, то f (G) содержится в замыкании по Зарисскому подгруппы f (H) (это следует из утверждения (a) и теоремы I.2.3.1 (а′)). 4.4. Следствие (теорема Бореля—Вана о плотности). Пусть k — локальное поле; G — связная полупростая k-группа; G′ ⊂ G — произведение k-изотропных множителей группы G; H — подгруппа в G(k) со свойством (S). Тогда G′ содержится в замыкании по Зарисскому подгруппы H в G. В частности, если G не имеет k-анизотропных множителей (т. е. G = G′), то группа H плотна по Зарисскому в G. Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу предложения I.1.5.4 (v) замыкание по Зарисскому подгруппы G (k) + совпадает с G′ , и достаточно применить предложение 4.3 к тождественному гомоморфизму. 4.5. На самом деле теорема Бореля—Вана является более общей, чем следствие 4.4. Чтобы сформулировать ее в полном объеме, нам потребуется следующее определение. Мы говорим, что замкнутая подгруппа H локально компактной группы F обладает свойством (NP), если для любого g ∈ F и любого плотного открытого подмножества U ⊂ H \ F , инвариантного относительно умножения справа на g, найдется такой компакт K ⊂ U , что множество {n ∈ N+ | K ∩ K g n 6= ∅} бесконечно. Теорема (см. [WS 8], теорема A). Пусть k — локальное поле; G — связная k-группа; H — замкнутая подгруппа группы G(k) со свойством (NP). Тогда замыкание по Зарисскому H¯ подгруппы H содержит все k-расщепимые торы группы G. Если при этом k равно R или C, то H¯ содержит все унипотентные k-подгруппы из G. Следствие (см. [WS 8], следствие 1.4). Пусть k — локальное поле, а G — связная полупростая k-группа без k-анизотропных множителей. Тогда любая замкнутая подгруппа в G(k) со свойством (NP) плотна по Зарисскому в G. 4.6. Предложение. Пусть k — локальное поле; F — алгебраическая k-группа; f1 , f2 : G → F(k) — непрерывные гомоморфизмы, совпадающие на подгруппе H ⊂ G со свойством (S). Тогда (а) f1 (g) = f2 (g) для всех g ∈ G + ;

§ 5. Недискретные замкнутые кофинитные подгруппы

117

(б) если при этом все группы Ga , a ∈ A, односвязны и не имеют ka -анизотропных множителей, то f1 = f2 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение (а) вытекает из следствия 2.7 и леммы 4.1, а утверждение (б) — из утверждения (а) и теоремы I.2.3.1 (а′). 4.7. Предложение. Пусть k — локальное поле; l — его конечное расширение; F — алгебраическая k-группа; f : G → F(l) — непрерывный гомоморфизм; H — подгруппа в G со свойством (S); f (H) ⊂ F(k). Тогда (а) f (G +) ⊂ F(k); (б) если все группы Ga , a ∈ A, односвязны и не имеют ka -анизотропных множителей, то f (G) ⊂ F(k). Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение (а) вытекает из следствия 2.8 и леммы 4.1, а утверждение (б) — из (а) и теоремы I.2.3.1 (а′). 4.8. Предложение. Пусть H — подгруппа со свойством (S) в группе G; f : G → G — непрерывный гомоморфизм; для каждого a ∈ A группа Ga не имеет ka -анизотропных множителей и Z (Ga) = {e}. Если f (h) = h при всех h ∈ H , то f (g) = g при всех g ∈ G. Д о к а з а т е л ь с т в о. Применив предложение 4.6 (a) к гомоморфизмам f1 = pra и f2 = pra ◦ f, a ∈ A, получаем, что f (x) = x при всех x ∈ G + . Возьмем g ∈ G и положим n (g) = f (g) g −1 . Так как f|G + = Id и подгруппа G + нормальна в G, для любого x ∈ G + мы имеем gx g −1 = f (gx g −1) = = f (g) f (x) f (g) −1 = f (g)x f (g) −1 , откуда следует, что n (g) ∈ ZG (G +).

Так как Z (Ga) = {e} и по предложению I.1.5.4 (v) подгруппы Ga (ka) + плотны по Зарисскому в Ga при всех a ∈ A, мы имеем ZG (G +) = {e}. Значит, n (g) = e, откуда следует, что f (g) = g.

§ 5. Недискретные замкнутые кофинитные подгруппы Замкнутая подгруппа E локально компактной группы F называется кофинитной1 , если E \ F имеет конечную ненулевую F -инвариантную меру. Цель данного параграфа — доказать следующий результат. 5.1. Теорема. Пусть k — локальное поле; G — связная полупростая k-группа, изотропная и почти простая над k; H — замкнутая (в топологии, которая индуцирована топологией поля k) недискретная кофинитная подгруппа в группе G(k). Тогда (а) H ⊃ G(k) + ; (б) если группа G односвязна, то H = G(k). 1В

оригинале используется термин группа конечного кообъема. — Прим. перев.

118

Глава II. Теоремы плотности и эргодичности

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть S — максимальный k-расщепимый тор в G. Можно рассматривать G как k-подгруппу в GLn при некотором n ∈ N+ . Для каждого характера a ∈ q (S) положим Wa = {w ∈ Endn | sws −1 = a(s)w при всех s ∈ S}. Пусть Ω = {a ∈ q (S) | Wa 6= 0}. Так как тор S расщепим над k, пространство Endn является прямой суммой подпространств Wa , a ∈ Ω. Пусть w1 , . . . , wn2 — базис в Endn (k), причем wi при 1 6 i 6 n принадлежит P некоторому Wai , ai ∈ Ω. Коэффициент при wi в разложении w = ci wi 16i6n2

вектора w по этому базису будет обозначаться ci (w). Пусть | | — нормирование поля k. Назовем последовательность {gt }t∈N+ элементов из G(k), отличных от e, толерантной, если lim gt = e и выполнено следующее t→∞ условие: (∗) для каждого ε > 0 найдутся такое натуральное число N (ε) и такая окрестность единицы Y (ε) в G(k), что |1 − ci (y gt y −1) /ci (gt)| < ε при всех t > N (ε), y ∈ Y (ε) и 1 6 i 6 n2 (мы здесь полагаем |1 − 0/0| = 0 и |1 − a/0| = ∞ > ε для всех a ∈ k, a 6= 0). Справедливы следующие две леммы о допустимых последовательностях. A. Лемма. Если в подгруппе H имеется допустимая последователньность, то H ⊃ G(k) + . B. Лемма. Для некоторого g ∈ G(k) существует допустимая последовательность в gH g −1 . Если gH g −1 содержит допустимую последовательность, то после замены тора S на g −1 S g подгруппа H будет содержать допустимую последовательность. Следовательно, утверждение теоремы (а) вытекает из лемм A и B, которые будут доказаны соответственно в пп. 5.3 и 5.4. Утверждение (б) следует из утверждения (а) и предложения I.2.3.1 (а). 5.2. Лемма. Пусть {gt }t∈N+ — допустимая последовательность в G(k); q0 — тривиальный характер тора S. Тогда существует такое натуральное число i, что i 6 n2 , ai 6= q0 и множество {t ∈ N+ | ci (gt) 6= 0} бесконечно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное, т. е. что c j (gt) = 0 при всех достаточно больших t и всех j ∈ J, где J = {j ∈ N+ | a j 6= q0 }. Так как {gt } — допустимая последовательность, то существует такая окрестность единицы Y в G(k), что c j (y gt y −1) = 0 при всех y ∈ Y , j ∈ J и всех достаточно больших t. Но множество Y плотно по Зарисскому в G (см. предложение I.2.5.3 (i)), а c j (g gt g −1) является регулярной функцией от g ∈ G. Поэтому c j (g gt g −1) = 0 при всех g ∈ G, j ∈ J и достаточно больших t. С другой стороны, очевидно, что ZG (S) = Wq0 ∩ G. Поэтому при достаточно больших

§ 5. Недискретные замкнутые кофинитные подгруппы

t ∈ N+ мы имеем

119

{g gt g −1 | g ∈ G} ⊂ ZG (S).

Следовательно, минимальная k-замкнутая нормальная подгруппа в G, содержащая gt , лежит в ZG (S). Но группа G почти k-проста и G 6= ZG (S) (так как G изотропна над k). Значит, gt ∈ Z (G) при всех достаточно больших t ∈ N+ . Мы получили противоречие, поскольку центр полупростой группы G конечен, gt 6= e и lim gt = e. t→∞

5.3. Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы A. Пусть {ht }t∈N+ — допустимая последовательность в H , а q0 — тривиальный характер тора S. В силу леммы 5.2 существует такое i0 , 1 6 i0 6 n2 , что ai0 6= q0 и (после перехода к подпоследовательности в {ht }, если нужно) ci0 (ht) 6= 0

при всех t ∈ N+ .

(1)

Положим S˜ = {s ∈ S(k) | модуль хотя бы одного собственного числа преобразования Ad s отличен от 1}. Так как группа G полупроста и изотропна над k, а S — максимальный k-расщепимый тор в G, по предложению I.2.4.1 ˜ что |ai (s0)| 6= 1. Заменив, если нужно, s0 на s0−1 , существует такое s0 ∈ S, 0 можно считать, что ˜ |ai0 (s0)| < 1, s0 ∈ S. (2) В силу теоремы I.2.3.1 (в) существует такое r ∈ N+ , что g r ∈ G(k) + при всех g ∈ G(k). Заменив s0 на s0r , можно считать, что s0 ∈ G(k) + .

(3)

Так как центр группы G конечен, существуют относительно компактные окрестности единицы U ′ и U ′′ в G(k), такие что U ′ ⊂ U ′′ ,

U¯ ′′ ∩ Z (G) = {e},

s0−1 U ′ s0 ⊂ U ′′ ,

(4)

где U¯ ′′ — замыкание окрестности U ′′ . Из соотношений (1) и (2) вытекает, что при всех t ∈ N+ верно следующее: множество {s0−m · ht · s0m | m ∈ N+ } не является относительно компактным в G(k) ⊂ Endn (k).

(5)

Так как lim ht = e, то, удалив конечное множество элементов из послеt→∞

довательности {ht }, можно считать, что ht ∈ U ′ при всех t ∈ N+ . С учетом соотношений (4), (5) и относительной компактности множества U ′′ получаем, что для каждого t ∈ N+ найдется такое m(t) ∈ N+ , что def h˜ t = s0−m(t) · ht · s0m(t) ∈ U ′′ − U ′ .

(6)

120

Глава II. Теоремы плотности и эргодичности

Так как lim ht = e, мы имеем t→∞

lim m(t) = ∞.

(7)

t→∞

Поскольку окрестность U ′′ относительно компактна в G(k), можно считать (переходя, если нужно, к подпоследовательности в {ht }), что lim h˜ t = h˜ ∈ U¯ ′′ − U ′ .

(8)

t→∞

Зафиксируем элемент g0 ∈ G(k). Так как подгруппа H кофинитна и (с учетом соотношений (2) и (3)) s0 ∈ S˜ ∩ G(k) + , ввиду следствия 3.10 для любой окрестности единицы Y в G(k) найдется такое натуральное число N (Y), что H ∩ (Y · g0 · s0−m · Y −1) 6= ∅ при всех M > N (Y). В силу соотношения (7) существуют такие последовательности {yt } и {zt } в G(k), что lim yt = e,

t→∞

и

lim zt = e

t→∞

def

ut = yt g0 s0−m(t) zt ∈ H .

(9) (10)

Так как {ht } — допустимая последовательность, lim zt = e и ci (s0m ws0−m) = t→∞

= ai (s0m)ci (w) при всех m ∈ Z, 1 6 i 6 n2 и w ∈ Endn , мы имеем lim |1 − ci (s0−m(t) zt ht zt−1 s0m(t)) /ci (s0−m(t) ht s0m(t))| = 0

t→∞

при всех i, 1 6 i 6 n2 . С учетом соотношений (6) и (8) получаем, что ˜ lim s0−m(t) zt ht zt−1 s0m(t) = h.

t→∞

(11)

Поскольку ut = yt g0 s0−m(t) zt ,

lim yt = e,

t→∞

ввиду соотношения (11) мы получаем ˜ 0−1 . lim ut ht u−1 = g0 hg t

t→∞

Но подгруппа H замкнута и ut , ht ∈ H , поэтому g0 h˜ g0−1 ∈ H

при всех g0 ∈ G(k) + .

(12)

Из теоремы I.1.5.6 (i) вытекает, что всякая подгруппа группы G(k), нормализуемая подгруппой G(k) + , либо содержится в Z (G), либо содержит G(k) + . С другой стороны, так как h˜ ∈ / Z (G) (см. (4) и (8)), H ввиду включения (12) содержит подгруппу (а именно порожденную множеством ˜ −1 | g ∈ G(k) + }), которая нормализуется подгруппой G(k) + , но не со{g hg держится в Z (G). Значит, H ⊃ G(k) + .

§ 5. Недискретные замкнутые кофинитные подгруппы

121

5.4. Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы B. Положим di,w (g) = ci (g −1 w g),

w ∈ Endn (k),

g ∈ G(k),

1 6 i 6 n2 .

(1)

Так как группа G связна и полупроста, мы имеем G ⊂ SLn . Поэтому функции di,w (g) — это ограничения на G(k) многочленов на Endn (k) степени не выше n2 . Как следствие, линейные комбинации этих функций с коэффициентами из k образуют конечномерное линейное пространство D. Зафиксируем компакт M ⊂ G(k), внутренность которого содержит e, и положим k f k = sup | f (g)|, f ∈ D. g∈M

Так как множество M плотно по Зарисскому в G (см. предложение I.2.5.3 (i)), то k f k = 0 тогда и только тогда, когда f = 0 (f ∈ D). Положим D1 = {f ∈ D | | f k = 1}. Так как пространство D конечномерно, множество D1 компактно. Но M компактно и D1 состоит из непрерывных функций. Поэтому семейство D1 равностепенно непрерывно на M, т. е. для каждого ε > 0 найдется такая окрестность единицы X (ε) ⊂ G(k), что | f (gx) − f (g)| < ε при всех f ∈ D1 , g ∈ M, x ∈ X (ε). 2 Для каждого компакта Z ⊂ G(k) и любого q = (q1 , . . . , qn2) ∈ D1n положим fZ (q) = sup inf |qi (g)|. (2) 2 g∈Z 16i6n

Так как множество M плотно по Зарисскому в G, функция fM не явля2 ется тождественным нулем на D1n . С другой стороны, она непрерывна, а множество D1 компактно. Следовательно, def

a = inf fM (q) > 0.

(3)

2

q∈D1n

Так как семейство функций D1 равностепенно непрерывно на компакте M, найдется такое конечное множество R ⊂ M, что |fM (q) − f (q)| < a/2 при 2 всех q ∈ D1n . Из неравенства (3) теперь вытекает, что inf fR (q) > a/2.

(4)

2

q∈D1n

2

В силу соотношений (2) и (4) для каждого q = (q1 , . . . , qn2) ∈ D1n существует такое r (q) ∈ R, что inf |qi (r (q))| > a/2. (5) 2

q∈D1n

122

Глава II. Теоремы плотности и эргодичности

Так как подгруппа H не дискретна в G(k), то существует последовательность {ht }t∈N+ отличных от единицы элементов из H , сходящаяся к единице. Возьмем элемент bi,ht ∈ k, для которого |bi,ht | = kdi,ht k. Для t ∈ N+ и 1 6 i 6 n2 положим d˜ i,ht = di,ht /bi,ht ∈ D1 ,

2 d˜ t = (d˜ 1,t , . . . , d˜ n2 ,t) ∈ D1n .

(6)

Так как множество R конечно, можно считать (переходя, если нужно, к подпоследовательности в {ht }), что r (d˜ t) = r для некоторого r ∈ R при всех t ∈ N+ . Тогда согласно неравенству (5) для каждого t ∈ N+ мы имеем inf |d˜ i,t (r)| > a/2.

16i6n2

(7)

С учетом формул (1) и (6) получаем для всех g ∈ G(k): def ′ di,t (g) = d˜ i,t (g) /d˜ i,t (r) = di,ht (g) /di,ht (r) = ci (g −1 ht g) /ci (r −1 ht r).

(8)

Так как a > 0, d˜ i,ht ∈ D1 и семейство D1 равностепенно непрерывно на M, ′ ввиду неравенства (7) семейство {di,h | t ∈ N+ , 1 6 i 6 n2 } равностепенно t непрерывно на компакте M, внутренность которого содержит e. С учетом соотношения (8) получаем, что последовательность {r −1 ht r ∈ r −1 Hr} допустимая. 5.5. Замечание 1. В случае char k = 0 теорема 5.1 легко следует из теоремы Бореля—Вана о плотности. Действительно, тогда k является конечным расширением поля Q p , где p — простое число или бесконечность. Заменив G на Rk/Q p G, где Rk/Q p означает ограничение скаляров с k на Q p , можно положить k = Q p . Так как подгруппа H замкнута, она является (p-адической) подгруппой Ли в группе G(k). Пусть H ⊂ Lie(G) k — алгебра Ли подгруппы H . По теореме Бореля—Вана о плотности подгруппа H плотна по Зарисскому в G, и потому подалгебра H является (Ad G)-инвариантной. С другой стороны, группа G почти проста над k и dim H > 0 (поскольку подгруппа H не дискретна). Значит, H = Lie(G) k , и потому подгруппа H открыта в G(k). Так как ее кообъем конечен, конечен и ее индекс в G(k). Ввиду следствия I.1.5.7 получаем H ⊃ G(k) + . Замечание 2. В приведенном доказательстве теоремы 5.1 (т. е. в пп. 5.1—5.4) мы не опирались на теорему Бореля—Вана о плотности. Отметим, что для кофинитных подгрупп эта теорема (точнее, следствие 4.4) легко вытекает из теоремы 5.1.

§ 6. Плотность проекций и теорема о сильной аппроксимации

123

§ 6. Плотность проекций и теорема о сильной аппроксимации В этом параграфе обозначения A, ka , Ga , Ga , GB , G = GA , Ga+ , GB+ , G = GA+ , prB : G → GB , pra : G → Ga имеют тот же смысл, что в п. 3.0. Положим A0 = {a ∈ A | группа Ga не компактна} и заметим следующее: 1) A0 = {a ∈ A | группа Ga изотропна над ka } согласно предложению I.2.3.6; 2) группа GA−A0 компактна. В этом параграфе группы Ga предполагаются почти ka -простыми при всех a ∈ A. Замыкание множества Y ⊂ G обозначается Y¯ ⊂ G. Используется понятие кофинитной подгруппы, введенное в начале § 5. 6.1. Лемма. Пусть D — локально компактная группа; F — замкнутая нормальная подгруппа в D; p : D → D /F — естественный эпиморфизм; Λ — замкнутая кофинитная подгруппа в D. Тогда замыкание p (Λ) подгруппы p (Λ) в D /F кофинитно в D /F . Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что эпиморфизм p индуцирует отображение p0 : Λ/D → p (Λ) \ (D /F). Пусть m — конечная ненулевая D-инвариантная мера на Λ \ D, а m0 — ее образ при отображении p0 (т. е. m0 (U) = m (p−1 0 (U)), U ⊂ p (Λ) \ (D /F)). Тогда m0 — конечная ненулевая (D /F)-инвариантная мера на p (Λ) \ (D /F). 6.2. Теорема. Пусть H — замкнутая кофинитная подгруппа в группе G. Тогда (а) существует такое подмножество B ⊂ A0 , что H ⊃ GB+ и prA0 −B (H) — решетка в GA−B ; (б) если подгруппы Ga односвязны при всех a ∈ A0 , то существует такое подмножество B ⊂ A0 , что H ⊃ GB и prA0 −B (H) — решетка в GA0 −B . Д о к а з а т е л ь с т в о. (а) Положим +

B = {a ∈ A0 | H ⊃ Ga (ka) + }. Вначале рассмотрим частный случай B = ∅. Положим M = {a ∈ A | ka изоморфно R или C}, и пусть RC/R — ограничение скаляров с C на R. Заменив Ga на RC/R Ga в тех случаях, когда ka = C, можно считать, что ka = R при всех a ∈ M. Так как подгруппа H кофинитна в G, по лемме 2.3 она обладает свойством (S) в G, а тогда по лемме 2.4 подгруппа prM (H) обладает свойством (S) в GM . Согласно следствию 4.4, подгруппа GA0 ∩M содержится в замыкании по Зарисскому подгруппы prM (H). Так как последняя нормализует подгруппу H ∩ GM , алгебра Ли L подгруппы H ∩ GM инвариантна относительно Ad prM (H). Значит, алгебра L инвариантна и относительно (Ad GA0 ∩M). С другой стороны, B = ∅ и для каждого a ∈ A0 ∩ M подгруппа Ga

124

Глава II. Теоремы плотности и эргодичности

почти ka -проста, причем Ga+ = Ga (R) 0 (см. теорему I.2.3.1 (в)). Поэтому (H ∩ GM) 0 ⊂ GM−A0 (далее до конца доказательства F 0 означает компоненту единицы в группе Ли F). Из компактности группы Ли GM−A0 получаем: подгруппа prA0 (H ∩ GM) ⊂ GA0 ∩M дискретна.

(1)

Так как любое локальное поле, не изоморфное R или C, вполне несвязно, то группа GA−M вполне несвязна. Поэтому существует убывающая последовательность {Ui }i∈N+ открытых компактных подгрупп в GA−M , такая что T Ui = {e}. Покажем, что i∈N+

подгруппа prA0 (H ∩ GA−M) ⊂ GA0 −M дискретна.

(2)

Предположим противное. Подгруппы GA0 −M · Ui имеют конечный индекс в GA−M (поскольку подгруппа GA−A0 компактна, а подгруппы Ui открыты при i ∈ N+). Поэтому подгруппы prA0 (H ∩ (GA0 −M · Ui)), i ∈ N+ , не дискретны. Следовательно, найдется такое a ∈ A0 − M, что подгруппы def

Hi = pra (H ∩ (Ga · Ui)) не дискретны при i ∈ N+ . Положим H ′ = prA−M (H), Hi′ = pra (H ′ ∩ (Ga · Ui)), i ∈ N+ . Тогда верно следующее: 1) так как H — замкнутая кофинитная подгруппа в G, а подгруппы Ui компактны и открыты, то по лемме 6.1 подгруппы Hi′ , i ∈ N+ , замкнуты и кофинитны в Ga ; 2) так как H ′ ⊃ H ∩ GA−M , то Hi′ ⊃ Hi и потому подгруппы Hi′ , i ∈ N+ , не дискретны. Тогда по теореме 5.1 мы получаем Hi′ ⊃ Ga+ при всех i ∈ N+ . Но подгруппа H ′ замкнута, все T + подгруппы Ui , i ∈ N , компактны, Ui+1 ⊂ Ui и Ui = {e}. Следовательi∈N+

но, H ′ ⊃ Ga+ . С другой стороны, верно следующее. 1) Так как подгруппа H замкнута, то H ′ нормализует H ∩ GA−M . 2) Так как подгруппа Z (Ga) конечна, а подгруппы Hi , i ∈ N+ , не дискретны, то pra (H ∩ GA−M) 6⊂ Z (Ga). Применив теорему I.1.5.6 и обозначая через [F1 , F2 ] взаимный коммутант подгрупп F1 и F2 , получаем [Ga+ , H ∩ GA−M ] = [Ga+ , pra (H ∩ GA−M)] 6⊂ Z (Ga).

Таким образом, подгруппа [Ga+ , H ∩ GA−M ] содержится в H , нецентральна в Ga и нормализуется подгруппой Ga+ ; из теоремы I.1.5.6 (i) получаем, что H ⊃ Ga+ , вопреки тому что B = ∅. Утверждение (2) доказано. Положим Vi = prM (H ∩ (GM · Ui)), i ∈ N+ . Так как подгруппа H замкнута, а подгруппы Ui компактны, то Vi — замкнутая подгруппа в группе Ли GM и, следовательно, подгруппа Ли в GM . Но любая убывающая последовательность связных подгрупп Ли обрывается. Поэтому найдется такое

§ 6. Плотность проекций и теорема о сильной аппроксимации

125

j ∈ N+ , что V j0 = Vm0 при всех m >Tj. Так как подгруппа H замкнута, подгрупUi = {e}, мы имеем (H ∩ GM) 0 = V j0 . Но пы Ui компактны, Ui+1 ⊂ Ui и i∈N+

при этом, во-первых, подгруппа U j открыта в GA−M , а во-вторых, так как V j — группа Ли, то подгруппа V j0 открыта в V j . Следовательно, подгруппа (H ∩ GM) · (H ∩ GA−M) открыта в H . Отсюда, из (1), (2) и компактности группы GA−A0 получаем, что если B = ∅, то подгруппа prA0 (H) дискретна в GA0 .

(3)

Рассмотрим теперь общий случай, без предположения B = ∅. Так как подгруппа H замкнута и кофинитна в G, пространство GB /GB+ компактно (см. теорему I.2.3.1 (б)) и H ⊃ GB+ , мы получаем, что подгруппа def Hˆ = prA−B (H) замкнута и кофинитна в GA−B . Предположим, что подгруппа ˆ не дискретна. Тогда из (3) вытекает, что Hˆ ⊃ Ga+ prA0 −B (H) = prA0 −B (H) 0 при некотором a0 ∈ A0 − B. Но, во-первых, H ⊃ GB+ ; во-вторых, при любом a ∈ A0 группа Ga /Ga+ коммутативна и D (Ga) + = Ga+ (см. теоремы I.2.3.1 (в) и I.1.5.6 (ii)). Следовательно, D (H) ∩ GB = GB+ , D (H) ⊂ GA−B · GB+ ˆ ⊃ Ga+ . Как следствие, D (H) ⊃ Ga+ , т. е. a0 ∈ B. Мы и prA−B (D (H)) = D (H) 0 0 получили противоречие, так как a0 ∈ A − B. Значит, подгруппа prA0 −B (H) дискретна, откуда с учетом леммы 6.1 вытекает утверждение (а). Утверждение (б) непосредственно следует из утверждения (а) и теоремы I.2.3.1 (а). 6.3. Лемма. Пусть G0 = GA0 и Λ — решетка в G0 . Тогда (I) ZG0 (Λ) = Z (G0); (II) подгруппа NG0 (Λ) дискретна в G0 , и Λ имеет конечный индекс в NG0 (Λ); (III) если A0 6= ∅, то коммутант D (Λ) бесконечен. Д о к а з а т е л ь с т в о. (I) Так как Λ — решетка в G0 , по леммам 2.3 и 2.4 подгруппа pra (Λ) обладает свойством (S) в G при всех a ∈ A0 и с учетом следствия 4.4 плотна по Зарисскому в Ga . Как следствие, pra (ZG0 (Λ)) ⊂ ⊂ Z (Ga), a ∈ A0 , и потому ZG0 (Λ) = Z (G0). (II) Ясно, что ZGa (D) — алгебраическая подгруппа в Ga , причем \ ZGa (D) = ZGa (d) d∈D

при всех a ∈ A и D ⊂ Ga . С другой стороны, группы Ga нетеровы в топологии Зарисского и Y ZG0 (F) = ZGa (pra (F)) a∈A0

при всех F ⊂ G0 . Поэтому существует конечное подмножество M ⊂ Λ, для которого ZG0 (M) = ZG0 (Λ). Так как группа Λ счетна, то и факторгруппа

126

Глава II. Теоремы плотности и эргодичности

NG0 (Λ) /ZG0 (Λ) счетна. Так как ZG0 (Λ) = Z (G0) и группы Ga полупросты, то группа ZG0 (Λ) конечна, и потому группа NG0 (Λ) счетна. Но последняя замкнута в G0 , так как замкнута группа Λ. В силу теоремы Бэра о категориях множеств1 любая счетная замкнутая подгруппа в G0 дискретна. Поэтому группа NG0 (Λ) дискретна, а так как NG0 (Λ) ⊃ Λ и Λ является решеткой в G0 , то группа NG0 (Λ) /Λ конечна. (III) Пусть a ∈ A0 . Как и в доказательстве утверждения (I), легко проверить, что подгруппа pra (Λ) плотна по Зарисскому в Ga . Так как группа Ga связна и полупроста, D (Ga) = Ga . Следовательно, подгруппа D (pra (Λ)) = pra (D (Λ)) плотна по Зарисскому в бесконечной группе Ga , и поэтому группа D (Λ) бесконечна. 6.4. Лемма. Пусть G0 = GA0 ; Λ — решетка в G0 ; B ⊂ A0 . Если подгруппа prB (Λ) дискретна в GB , то подгруппа (Λ ∩ GB) · (Λ ∩ GA0 −B) имеет конечный индекс в Λ. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как Λ — решетка в G0 и подгруппа prB (Λ) дискретна в GB , то prB (Λ)и Λ ∩ GA0 −B являются решетками соответственно def

в GB и GA0 −B . Следовательно, подгруппа Λ′ = prB (Λ) · (Λ ∩ GA0 −B) является решеткой в G0 и потому (см. лемму 6.3) имеет конечный индекс в NG0 (Λ′). С другой стороны, так как Λ нормализует prB (Λ) и Λ ∩ GA0 −B , то Λ ⊂ NG0 (Λ′). Поэтому подгруппа Λ′ ∩ Λ имеет конечный индекс в Λ. Так как Λ и Λ′ — решетки в G0 , они соизмеримы, а тогда соизмеримы Λ ∩ GB и prB (Λ) = Λ′ ∩ GB . Как следствие, подгруппа (Λ ∩ GB) · (Λ ∩ GA0 −B) имеет конечный индекс в Λ. 6.5. Определение. Решетка Λ в группе GC , C ⊂ A, называется неприводимой, если для всех B ⊂ C, B 6= ∅, B 6= C, подгруппа (Λ ∩ GB) · (Λ ∩ GC−B) имеет бесконечный индекс в Λ. 6.6. Замечание. Так как группа GA−A0 компактна, то для любой решетки Λ в G подгруппа prA0 (Λ) является решеткой в GA0 . 6.7. Теорема. Пусть Γ — решетка в группе G; B — непустое подмножество в A0 ; prA0 (Γ) — неприводимая решетка в GA0 . Тогда + (а) prA−B (Γ) ⊃ GA−B ;

(а′) Γ · GB+ ⊃ G + ; (б) если все группы Ga , a ∈ A0 , односвязны, то prA−B (Γ) ⊃ GA0 −B , и потому Γ · GB ⊃ GA0 ; (в) Γ ∩ GA−B ⊂ GA−A0 · Z (G), и потому подгруппа Γ ∩ GA−B конечна; (в′) Γ ∩ (Z (GB) · GA−B) ⊂ GA−A0 · Z (G); (г) если A0 = A, то Γ ∩ GA−B ⊂ Z (G); 1 Полное

метрическое пространство не может быть представлено в виде счетного объединения нигде не плотных подмножеств. — Прим. перев.

§ 6. Плотность проекций и теорема о сильной аппроксимации

127

(г′) если A0 = A, то Γ ∩ (Z (GB) · GA−B) ⊂ Z (G). Д о к а з а т е л ь с т в о. (а) Так как Γ — решетка в группе G, в силу леммы 6.1 подгруппа prA−B (Γ) кофинитна в GA−B . По теореме 6.2(a) существует такое подмножество C ⊂ A0 − B, что prA−B (Γ) ⊃ GC+ , а prA0 −B−C (prA−B (Γ)) — решетка в GA0 −B−C . Так как решетка prA0 (Γ) неприводима и A0 − B − − C 6= A0 (при B 6= ∅), то из дискретности подгруппы prA0 −B−C (prA−B (Γ)) = = prA0 −B−C (prA0 (Γ)) и леммы 6.4 вытекает, что A0 − B − C = ∅. Отсюда + C = A0 − B и prA−B (Γ) ⊃ GA+0 −B = GA−B . ′ (а ) Из утверждения (a) вытекает, что Γ · GB ⊃ G + . С другой стороны: 1) так как по теореме I.2.3.1 (в) факторгруппа Ga /Ga+ коммутативна при всех a ∈ A0 , мы имеем D (GB) ⊂ GB+ ; 2) так как по теореме I.1.5.6 (ii) группа Ga+ при всех a ∈ A совпадает со своим коммутантом, то D (G +) = G + . Следовательно, Γ · GB+ ⊃ Γ · D (GB) ⊃ D (Γ · GB) ⊃ D (G +) = G + . Утверждение (б) вытекает из утверждения (а) и теоремы I.2.3.1 (а). (в) Положим Γ0 = Γ ∩ GA−B . Легко видеть, что prA−B (Γ) нормализует Γ0 . Так как эта подгруппа дискретна и, значит, замкнута, то замкнут и ее нормализатор. Поэтому с учетом утверждения (а) GA+0 −B нормализует Γ0 . Следовательно, G + нормализует pra (Γ0) при всех a ∈ A0 − B. Согласно теореме I.1.5.6 (i) всякая подгруппа группы Ga , a ∈ A0 , нормализуемая подгруппой Ga+ , либо содержится в Z (Ga), либо имеет мощность континуума. Так как подгруппа Γ0 счетна, pra (Γ0) ⊂ Z (Ga) при всех a ∈ A0 − B, откуда следует, что Γ ∩ GA−B = Γ0 ⊂ GA−A0 · Z (G). Утверждение (в′) вытекает из утверждения (а), примененного к решетке Γ · Z (G). Утверждения (г) и (г′) вытекают из (в) и (в′) соответственно. 6.8. В этом пункте мы сформулируем и докажем теорему о сильной аппроксимации для полупростых групп над глобальными полями. Пусть K — глобальное поле; R — множество всех (неэквивалентных) нормирований поля K ; R∞ ⊂ R — (конечное) множество архимедовых нормирований; Kv и Ov таковы, как в п. I.0.32; G — связная односвязная почти K -простая K -подгруппа в SLn . Как и в п. I.0.33, обозначим через G(AK ) группу аделей группы G и отождествим G(K) посредством диагонального вложения с подгруппой главных аделей группы G. Положим T = {v ∈ R | группа G анизотропна над Kv , или, что равносильно, группа G(Kv) компактна}. Напомним (см. п. I.3.2.3), что множество T конечно. Обозначим через GB , где B ⊂ R, подгруппу в G(AK ), состоящую из аделей, v-компоненты которых равны единице при всех v ∈ / B. Естественную проекцию G(AK ) → GB обозначим p.

128

Глава II. Теоремы плотности и эргодичности

6.9. Теорема (теорема о сильной аппроксимации). Пусть E ⊂ R. Предположим, что группа GE некомпактна, или, что равносильно, E 6⊂ T . Тогда подгруппа G(K)GE плотна в G(AK ) — иначе говоря, подгруппа pR−E (G(K)) плотна в GR−E . Д о к а з а т е л ь с т в о. Подгруппу G можно представить в виде RK ′ /K G′ , где группа G′ абсолютно почти проста и односвязна (см. п. I.1.7). Заменив G на G′ и K на K ′ , можно считать, что группа G абсолютно почти проста (и односвязна). Пусть B ⊂ R, B ⊃ R∞ . Положим Y Y UB = G(Kv) · G(Ov) v∈B

v ∈B /

и заметим, что UB — открытая подгруппа в G(AK ). В силу теоремы I.3.2.2 группа G(K) — решетка в G(AK ). Поэтому G(K) ∩ UB — решетка в открыdef той подгруппе UB , и потому ΓB = pB (G(K) ∩ UB) — решетка в GB . Ясно, что решетка ΓB неприводима (для любого конечного B). Применив теорему 6.7 (б) к решетке ΓB , получаем, что GB−C−T содержится в замыкании подгруппы pB−C (ΓB) для любого такого конечного множества B, что R∞ ⊂ B ⊂ R, и любого непустого множества C ⊂ B − T . Однако E 6⊂ R, поэтому замыкание подгруппы pB−E (ΓB) содержит GB−E−T для любого конечного множества B со свойством R∞ ⊂ B ⊂ R. Это равносильно (по определению топологии в G(AK )) следующему утверждению: замыкание подгруппы G(K)GE содержит GR−T .

(∗)

Согласно теореме о слабой аппроксимации (см. [Kn 2], [Har 1] и [Pl-J]) подгруппа G(K)GR−B плотна в G(AK ) для любого конечного множества B ⊂ R. Но так как множество T конечно, подгруппа G(K)GR−T плотна в G(AK ) .

(∗∗)

Из свойств (∗) и (∗∗) вытекает утверждение теоремы. Замечание 1. Если T состоит только из архимедовых нормирований, то утверждение (∗∗) легко вытекает из следующих фактов: 1) в любой связной Q-группе F множество F(Q) плотно по Зарисскому; 2) группа GT компактна; 3) любая замкнутая подгруппа компактной вещественной алгебраической группы алгебраична. С другой стороны (см. [B-T 3]), любая анизотропная почти простая группа над неархимедовым локальным полем является «внутренней формой» типа A. Поэтому для доказательства утверждения (∗∗) достаточно доказать теорему о слабой аппроксимации для K -анизотропной группы G типа A. В этом случае (см. [Ti 2]) возможны два варианта:

§ 7. Эргодичность действий на факторпространствах

129

(а) G(K) = SL1 (D) = {x ∈ D | n (x) = 1}, где D — конечномерная центральная простая ассоциативная алгебра над K , а n — приведенная норма в D; (б) G(K) = {x ∈ D | xx s = 1, n (x) = 1}, где D — конечномерная центральная простая ассоциативная алгебра над квадратичным расширением K ′ поля K с приведенной нормой n и инволюцией второго рода s, такой что K = {x ∈ K ′ | x s = x}. Но для таких групп теорема о слабой аппроксимации легко следует из теоремы о сильной аппроксимации для аддитивной группы (см. [Hum 2], 6.3) и того факта (см. [Pl-J]), что коммутант группы обратимых элементов конечномерной центральной простой ассоциативной алгебры над локальным полем совпадает с группой элементов приведенной нормы 1. В случае (б) необходимо также применить следствие из теоремы Гильберта 90: если x ∈ D и xx s = 1, то x = y /y s , где y ∈ K (x). Здесь мы также используем тот факт, что множество K -рациональных точек плотно в {z ∈ D | zz s = z s z}. Это легко вытекает из наблюдения, что оно плотно в множестве {z ∈ D | s (z) = −z}, т. е. в множестве чисто мнимых точек относительно s. Замечание 2. С учетом свойства I.3.2.3(∗) можно переформулировать теорему о сильной аппроксимации следующим образом. Пусть E ⊂ S ⊂ R и G(K (S)) таковы, как в § 3 гл. I, причем E 6⊂ T . Тогда образ подгруппы G(K (S)) при диагональном вложении в группу GS−E плотен в ней.

§ 7. Эргодичность действий на факторпространствах В этом параграфе A, ka , Ga , Ga , GB , G = GA , Ga+ , GB+ , G + = GA+ , prB : G → GB , pra : G → Ga , Sa , S и A(s) таковы, как в п. 3.0. Аналогично § 6 положим A0 = {a ∈ A | группа Ga некомпактна}. Кроме того, мы используем обозначения, введенные в п. I.4.2. В частности, если H — локально компактная группа, Λ — ее дискретная подгруппа, то алгебры классов измеримых множеств в H и в Λ \ H обозначаются соответственно M(H) = M(H , mH ) и M(Λ \ H) = M(Λ \ H , mH ). 7.1. Пусть H — локально компактная s-компактная группа, Λ — дискретная подгруппа в H и h ∈ H . Мы говорим, что h действует эргодично на Λ \ H , если эргодично преобразование x 7→ xh, x ∈ Λ \ H , пространства Λ \ H с мерой mH , т. е. выполнено следующее условие: если Y ∈ M(Λ \ H) и Yh = Y , то либо mH (Y) = 0, либо mH ((Λ \ H) − Y) = 0. Эргодичность действия элемента h на Λ \ H равносильна (ввиду леммы I.4.1.3 (i)) следующему условию: если B ∈ M(H) и Λ · B · h = B, то либо mH (B) = 0, либо mH (H − B) = 0. 7.2. Теорема. Пусть Γ — решетка в группе G; s ∈ S ∩ G + ; группа Ga почти ka -проста для каждого a ∈ A; G ′ — замыкание подгруппы Γ · G + в G.

130

Глава II. Теоремы плотности и эргодичности

+ (а) Если подгруппа Γ · GA(s) плотна в G ′ , то s действует эргодично ′ на Γ \ G . (б) Если A(s) 6= ∅ и prA0 (Γ) — неприводимая решетка в GA0 , то s действует эргодично на Γ \ G ′ . Д о к а з а т е л ь с т в о. (a) Пусть p : G ′ → Γ \ G ′ — естественное отображение; r — квазирегулярное представление группы G на пространстве L2 (Γ \ G ′ , mG ′), т. е. (r (g) f) (x) = f (x g), g ∈ G ′ , x ∈ Γ \ G ′ , f ∈ L2 (Γ \ G ′ , mG ′ ); Y ∈ M(Γ \ G ′) — класс измеримых множеств, для которого Ys = Y ; B = = p−1 (Y) ∈ M(G ′); qY — характеристическая функция класса Y . Так как Γ — решетка в группе G, а подгруппа G ′ замкнута и содержит Γ, то подгруппа Γ является решеткой в G ′ (см. п. I.0.40). Поэтому qY ∈ L2 (Γ \ G ′ , mG ′). Так как Ys = Y , мы имеем r (s) qY = qY , откуда (см. предложение 3.3 (а)) следует, что + + r (GA(s) ) qY = qY . Значит, B · GA(s) = B. Тогда из леммы I.4.1.1 (ii) вытекает, + что в классе B имеется такое измеримое множество B ′ , что B ′ · GA(s) = B′. + + ′ ′ Так как подгруппа GA(s) нормальна в G, мы имеем GA(s) · B = B , отку+ да GA(s) · B = B. Но Γ · B = B, подгруппа {g ∈ G | gB = B} замкнута в G + (см. лемму I.4.1.1 (i)), а подгруппа Γ · GA(s) плотна в G ′ . Следовательно, ′ G · B = B. Тогда из леммы I.4.1.1 (iii) вытекает, что либо mG ′ (B) = 0, либо mG ′ (G ′ − B) = 0, и потому либо mG ′ (Y) = 0, либо mG ′ ((Γ \ G ′) − Y) = 0. Утверждение (б) вытекает из утверждения (а) и теоремы 6.7 (а’). 7.3. Следствие. Пусть Γ — решетка в группе G; s ∈ S; группа Ga односвязна и почти ka -проста при любом a ∈ A. (а) Если подгруппа Γ · GA(s) плотна в G, то s действует эргодично на Γ \ G. (б) Если A(s) 6= ∅, подгруппа prA−A0 (Γ) плотна в GA−A0 , а prA0 (Γ) — неприводимая решетка в GA , то s действует эргодично на Γ \ G. (в) Если A(s) 6= ∅, группы Ga изотропны над ka при всех a ∈ A и решетка Γ неприводима, то s действует эргодично на Γ \ G. Утверждения (а) и (б) вытекают из соответствующих утверждений в теореме 7.2 и из теоремы I.2.3.1 (а), а утверждение (в) является частным случаем утверждения (б).

Глава III

Свойство (T) Мы говорим, что локально компактная группа обладает свойством (T), если ее тривиальное одномерное представление изолировано в пространстве ее неприводимых унитарных представлений. Это понятие введено Кажданом (см. [Kaz 1]). В его статье также доказано следующее: (1) если дискретная группа Γ обладает свойством (T), то она конечно порождена, а факторгруппа Γ/D (Γ) конечна; (2) если Γ — решетка в простой группе Ли ранга выше чем 2, то Γ обладает свойством (T). Эти результаты Каждана изложены в §§ 2 и 5 в несколько большей общности, чем в оригинальной статье [Kaz 1]. В §§ 1 и 4 содержатся некоторые факты из теории представлений, которые используются в §§ 2 и 5. В § 3 доказана теорема Вататани, согласно которой группы со свойством (T) не являются амальгамами1 . Мы излагаем не только первоначальное доказательство Вататани, но и набросок доказательства, принадлежащего Серру. В § 6 получен ряд результатов о строении замкнутых подгрупп локально компактной группы H , которая может не обладать свойством (T), но содержит «достаточно большую» нормальную подгруппу с этим свойством. На протяжении этой главы H обозначает локально компактную группу со второй аксиомой счетности, mH — фиксированную левоинвариантˆ — множество классов ную меру Хаара на H , а H˜ (соответственно H) эквивалентности (непрерывных) унитарных (соответственно неприводимых унитарных) представлений группы H в сепарабельных гильбертовых пространствах. Мы не будем различать унитарное представление и его класс эквивалентности. Пространство представления r ∈ H˜ обозначается L(r), и мы полагаем L(r) H = {x ∈ L(r) | r (H)x = x}. 1 Отметим, что в теории групп термин «амальгама» употребляется в близком, но не совпадающем смысле (см., например, А. Г. Курош, «Теория групп», М., «Наука», 1967, с. 462). — Прим. ред.

132

Глава III. Свойство (T)

ˆ Тривиальное одномерное представление группы H обозначается IH ∈ H. ˜ Мы говорим, что представление r ∈ H содержит IH , и пишем r > IH , если L(r) H 6= 0. Через A(H) обозначается множество неотрицательных непрерывных функций f с компактным носителем на группе H , таких что ] fd mH = 1. H

§ 1. Представления, изолированные от тривиального одномерного представления 1.0. Пусть дан компакт K ⊂ H , а также число ε > 0. Положим W (ε, K) = = {r ∈ H˜ | существует такое y ∈ L(r), что kr (h)y − yk < εkyk при всех h ∈ K }. Ясно, что множества W (ε, K) образуют базу окрестностей представления IH относительно стандартной топологии, введенной в п. I.5.1.1. Так как H˜ состоит из унитарных представлений, мы имеем ] ˜ kr (f)k 6 | f |d mH для всех f ∈ L1 (r, H), r ∈ H, (1) H

откуда следует, что kr (f)k 6 1

˜ для всех f ∈ A(H), r ∈ H.

(2)

Если f ∈ A(H) и ε > 0, то положим W (ε, f) = {r ∈ H˜ | |r (f)k > 1 − ε}. 1.1. Лемма. (а) W (ε, f) ⊃ W (ε, supp f) для всех ε > 0, f ∈ A(H). (б) Для любого ε > 0 и любого компакта K ⊂ H существуют такие d > 0 и функция f ∈ A(H), что W (ε, K) ⊃ W (d, f). (в) Множества W (ε, f), ε > 0, f ∈ A(H), образуют базу окрестностей представления IH в пространстве H˜ . Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть r ∈ H˜ , u ∈ L(r), f ∈ A(H). Тогда

]

]

kr (f)y − yk = f (h) r (h)yd mH (h) − f (h)yd mH (h)

= H

H

]

]

=

f (h) (r (h)y − y)d mH (h) 6 f (h)kr (h)y − ykd mH (h) 6 H

H

6 sup kr (h)y − yk.

(1)

h∈supp f

Отсюда вытекает утверждение (а). Докажем утверждение (б). Возьмем элемент d ∈ A(H). Существуют такие f ∈ A(H) и l > 0, что f > l ((hd) + d) при всех h ∈ K , где функция (hd) определяется равенством (hd) (h′) = = d (h−1 h′), h′ ∈ H . Пусть теперь r ∈ / W (ε, K) и y ∈ L(r). Тогда kr (h0) r (d)y − r (d)yk > εkr (d)yk

§ 1. Представления, изолированные от тривиального одномерного представления

133

для некоторого d0 ∈ K . В то же время для любых u, v из гильбертова пространства L(r) выполняется равенство ku + vk2 = 2kuk2 + 2kvk2 − ku − vk2 , оператор r (h0) унитарен и r (h0) r (d) = r (h0 d). С учетом неравенства (2) из п. 1.0 получаем √ √ kr ((h0 d) + d)yk 6 4 − ε2 kr (d)yk 6 4 − ε2 ky | . Так как функция def

p = f − l ((h0 d) + d) неотрицательна, с учетом неравенства (1) из п. 1.0 и левоинвариантности меры mH получаем, что kr (f)yk 6 lkr ((h0 d) + d)yk + kr (p)yk 6 √ √ 6 l 4 − ε2 kyk + (1 − 2l)kyk = [1 − l (2 − 4 − ε2)]kyk при всех y√∈ L(r). Следовательно, kr (f)k 6 1 − d для всех r ∈ / W (ε, K), где d = l (2 − 4 − ε2) > 0. Таким образом, W (ε, K) ⊃ W (d, f), откуда следует утверждение (б). Утверждение (в) непосредственно вытекает из утверждений (а) и (б). 1.2. Мы говорим, что представление r ∈ H˜ близко к тривиальному одномерному представлению IH , если IH принадлежит замыканию одноэлементного множества {r}, т. е. если r ∈ W (ε, K) для любого ε > 0 и любого компакта K ⊂ H . В противном случае (т. е. если r ∈ / W (ε, K) для некоторого компакта K ⊂ H и некоторого ε > 0) мы говорим, что представление r изолировано от тривиального одномерного представления IH . ˜ Мы говорим, что последовательность {yi }i∈N+ в пространПусть r ∈ H. стве L(r) асимптотически r (H)-инвариантна, если yi 6= 0 для всех достаточно больших i и при этом lim sup kr (h)yi − yi k/kyi k = 0

i→∞ h∈K

для любого компакта K ⊂ H . Так как группа H является s-компактной, представление r близко к IH тогда и только тогда, когда в пространстве L(r) существует асимптотически r (H)-инвариантная последовательность. Из леммы 1.1 (в) вытекает 1.3. Предложение. Для любого r ∈ H˜ следующие условия равносильны: (I) r изолировано от тривиального одномерного представления; (II) существует функция f ∈ A(H), для которой kr (f)k < 1.

134

Глава III. Свойство (T)

] 1.4. Предложение. Пусть r = rx d m (x) — разложение представлеX

ˆ ния r ∈ H˜ в непрерывную сумму неприводимых представлений rx ∈ H. Тогда следующие условия равносильны: (I) представление r изолировано от тривиального одномерного представления; (II) существует такая окрестность W представления IH , что rx ∈ / W почти для всех (относительно ]меры m) точек x ∈ X. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как r (f) = rx (f)d m (x), мы имеем X

kr (f)k = vraim sup krx (f)k для всех f ∈ A(H), где vraim sup обозначает существенную точную верхнюю грань относительно меры m. Ввиду леммы 1.1 (в) отсюда вытекает, что (I) и (II) равносильны. 1.5. Пусть X — нормированное комплексное линейное пространство, а {ji }i∈N+ — последовательность mH -измеримых отображений из H в X. Назовем эту последовательность равностепенно непрерывной на компактах, если для каждого компакта K ⊂ H и любого ε > 0 существует такая окрестность единицы R в группе H , что k ji (rh) − ji (h)k < ε при всех h ∈ K , r ∈ R и i ∈ N+ . Мы говорим, что последовательность {ji } равномерно ограничена на компактах, если sup i∈N+ ,h∈K

k ji (h)k < ∞

для любого компакта K ⊂ H . Последовательность {ji } равномерно ограничена в среднем, если X] k ji (h)kd mH (h) < ∞ i∈N+ K

для любого компакта K ⊂ H . Применив неравенство Гельдера к характеристическим функциям qK компактов K ⊂ H и к функциям k ji (h)k, получаем, что последовательность {ji } равномерно ограничена в среднем во всех случаях, когда ] sup k ji (h)k p d mH (h) < ∞ i∈N+ K

при некотором целом p > 1 для всех компактов K ⊂ H .

§ 1. Представления, изолированные от тривиального одномерного представления

135

1.6. Лемма. Пусть последовательность {ji }i∈N+ комплекснозначных измеримых функций ji : H → C равностепенно непрерывна и равномерно ограничена на компактах. Тогда она содержит подпоследовательность, равномерно сходящуюся на любом компакте к некоторой непрерывной функции f . Утверждение этой леммы обобщает классическую теорему Асколи и является частным случаем теоремы 2 из [Bou 1], гл. X, § 2, п. 5. Отметим, что доказательство леммы является непосредственным обобщением доказательства теоремы Асколи. 1.7. Лемма. Пусть f — непрерывная функция с компактным носителем на группе H , а {ji }i∈N+ — равномерно ограниченная в среднем последовательность измеримых отображений из H в нормированное комплексное линейное пространство X. Положим ] pi (h) = f (x) ji (hx)d mH (x), h ∈ H . H

Тогда последовательность {pi }i∈N+ равностепенно непрерывна и равномерно ограничена на компактах. На самом деле это частный случай стандартных теорем о сглаживающих операторах. Поэтому ограничимся кратким наброском доказательства. Легко проверить, что при любых x, y ∈ H и i ∈ N+ выполняются неравенства ] (1) k pi (xy) − pi (y)k 6 | f (y −1 x −1 h − f (y −1 h)|k ji (h)kd mH (h) H

и

] k pi (x)k 6 | f (x −1 h)|k ji (h)kd mH (h).

(2)

H

Так как функция f имеет компактный носитель и непрерывна, а последовательность {ji } равномерно ограничена в среднем, то из неравенства (1) вытекает, что последовательность {pi } равностепенно непрерывна на компактах, а из неравенства (2) — что она равномерно ограничена на компактах. 1.8. Пусть F — замкнутая подгруппа группы H , p : H → F \ H — естественное отображение и на пространстве F \ H существует (ненулевая) H -инвариантная мера m. Если U — унитарное представление группы F в гильбертовом пространстве Y , то оно индуцирует в смысле Макки унитарное представление группы H , которое мы будем обозначать Ind(H , F , U) или просто Ind U . Напомним, что пространство L2 (H , F , U) представления Ind U состоит из измеримых вектор-функций j : H → Y , для которых j (zh) = U (z) j (h),

z ∈ F, h ∈ H

(1)

136

и

Глава III. Свойство (T)

def

k jk2 =

] F \H

k j (p−1 (x))k2 d m (x) < ∞.

Представление r = Ind U определяется формулой (r (h) j) (x) = j (xh),

(2)

где j ∈ L2 (H , F , U) и h, x ∈ H . Пусть t обозначает квазирегулярное представление группы H в пространстве L2 (F \ H , m), т. е. (t (h) f) (x) = f (xh), где x ∈ F \ H , h ∈ H , f ∈ L2 (F \ H , m). Имеется естественная изометрия p˜ : L2 (F \ H , m) → L2 (H , F , IF ), p˜ (p) = p ◦ p, p ∈ L2 (F \ H , m), которая отождествляет t с Ind IF . Если мера m конечна, положим   ] L02 = f ∈ L2 (F \ H , m) f (x)d m (x) = 0 . F \H

Если же m бесконечна, то положим L = L2 (F \ H , m). Линейное подпространство L02 замкнуто в L2 (F \ H , m). Из H -инвариантности меры m следует, что представление t унитарно и подпространство L02 является t (H)-инвариантным. Подгруппа F называется слабо кокомпактной, если ограничение представления t на L02 изолировано от IH . 1.9. Лемма. Пусть F , m и t таковы, как в п. 1.8. Тогда следующие условия равносильны: (I) подгруппа F не является слабо кокомпактной; (II) существует асимптотически t (H)-инвариантная (в смысле п. 1.2) последовательность {qi }i∈N+ в пространстве L2 (F \ H , m), удовлетворяющая условиям 0 2

inf kqi k > 0,

i∈N+

]

lim |qi (x)|2 d m (x) = 0

i→∞

K

для любого компакта K ⊂ F \ H . Д о к а з а т е л ь с т в о. (I) ⇒ (II). Выберем в множестве L02 − {0} асимптотически t (H)-инвариантную последовательность {pi }i∈N+ (см. п. 1.2). Пусть p : H → F \ H — естественное отображение. Возьмем f ∈ A(H). В силу леммы I.4.3.2 для любого компакта K ⊂ H найдется такая константа c (K), что mH (p−1 (A) ∩ K) 6 c (K) m (A) для любого измеримого множества A ⊂ F \ H . Следовательно, последовательность {(pi /k pi k) ◦ p}i∈N+ равномерно ограничена в среднем. С другой стороны, 1) так как последовательность {pi } асимптотически t (H)-инвариантна и f ∈ A(H), ввиду неравенства (1) из п. 1.1 мы имеем lim kt (f) pi − pi k/k pi k = 0;

i→∞

§ 1. Представления, изолированные от тривиального одномерного представления

137

2) из определения представления t вытекает, что для каждой функции p ∈ L2 (F \ H , m) и любого h ∈ H выполняется равенство ] (t (f) p) ◦ p (h) = f (x) (p ◦ p) (hx)d mH (x). H

Поэтому, заменив pi на t (f) pi /kt (f) pi k, можно считать (см. лемму 1.7), что k pi k = 1 и последовательность {pi ◦ p} равностепенно непрерывна и равномерно ограничена на компактах. Перейдя к подпоследовательности (см. лемму 1.6), можно считать, что последовательность {pi } равномерно сходится на любом компакте к непрерывной функции p. Так как k pi k = 1 и последовательность {pi } асимптотически t (H)-инвариантна, то p ∈ L2 (F \ H , m) и t (H) p = p. Значит, функция p постоянна и потому ортогональна подпространству L02 . Но pi ∈ L02 и k pi k = 1. Поэтому k pi − pk > 1, и, так как последовательность {pi } равномерно сходится к p на любом компакте, последовательность {qi = pi − p} обладает нужными свойствами. (II) ⇒ (I). Пусть q˜ — проекция вектора qi на L02 . Так как infi∈N+ kqi k > 0, ] lim |qi (x)|2 d m (x) = 0 i→∞

K

для любого компакта K ⊂ F \ H и функция p (x) ≡ 1, x ∈ F \ H , аппроксимируется в пространстве L2 (F \ H , m) характеристическими функциями компактов, мы имеем lim kq˜ i − qi k/kqi k = 0.

i→∞

Так как последовательность {qi } асимптотически t (H)-инвариантна, это верно и для {q˜ i }, откуда вытекает утверждение (I). 1.10. Следствие. Пусть F и m таковы, как в п. 1.8. Если пространство F \ H компактно, то подгруппа F слабо кокомпактна. Для доказательства достаточно применить лемму 1.9 и вспомнить, что ] k f k2 = | f (x)|2 d m (x), f ∈ L2 (F \ H , m). F \H

1.11. Предложение. Пусть F и m таковы, как в п. 1.8; U — непрерывное унитарное представление подгруппы F ; r = Ind(H , F , U). Тогда (а) если m (F \ H) < ∞ и U близко к IF , то r близко к IH ; (б) если подгруппа F слабо кокомпактна и U изолировано от IF , то r изолировано от IH . Д о к а з а т е л ь с т в о. (а) Поскольку m (F \ H) < ∞, представление Ind IF содержит IH . Так как U близко к IF , а операция индуцирования непрерывна (см. I.5.2.2), представление r близко к IH .

138

Глава III. Свойство (T)

(б) Предположим противное. Тогда (см. п. 1.2) L2 (H , F , U) − {0} содржит асимптотически r (H)-инвариантную последовательность {ji }i∈N+ . Возьмем f ∈ A(H). Рассуждая как в начале доказательстве леммы 1.9 и заменив ji на r (f) ji /kr (f) ji k, можно считать, что k ji k = 1 и последовательность {ji } равностепенно непрерывна и равномерно ограничена на компактах. Тогда это верно для последовательностей {ci } и {di }, где ci (h) = k ji (h)k и di (h1 , h2) = k ji (h1) − ji (h2)k,

h, h1 , h2 ∈ H .

Перейдя к подпоследовательностям и применив лемму 1.6, можно считать, что последовательности {ci } и {di } сходятся на любом компакте к непрерывным функциям c (h) и d (h1 , h2) соответственно. Так как k ji k = 1 и последовательность {ji } асимптотически r (H)-инвариантна, то d (h1 , h2) ≡ 0. Но поскольку U изолировано от IF , ввиду равенства (1) из п. 1.8 существуют компакт K ⊂ F и ε > 0, такие что sup di (zh, h) > εci (h) и, как следствие, x∈K

sup d (zh, h) > εc (h) при всех h ∈ H . Значит, c (h) ≡ 0. Пусть p, p˜ и t таz∈K

ковы, как в п. 1.8. Так как ji ∈ L2 (H , F , U), мы имеем ci ∈ L2 (H , F , IF ) и kci k = k ji k = 1. Положим c˜ i = ci ◦ p−1 = p˜ −1 (ci) ∈ L2 (F \ H , m).

Так как последовательность {ji } почти r (H)-инвариантна, то последовательность {c˜ i } почти t (H)-инвариантна. С другой стороны, 1) kc˜ i k = kci k = 1; 2) так как c = 0 и последовательность {ci } равномерно сходится на компактах к c, мы имеем ] lim |c˜ i (x)|2 d m (x) = 0 i→∞

K

для любого компакта K ⊂ F \ H . Значит (см. лемму 1.9), подгруппа F не является слабо кокомпактной. Полученное противоречие доказывает утверждение (б). 1.12. Замечание 1. Автору неизвестно, верно ли следующее утверждение для F , m, U и r из предложения 1.11: (∗) если m (F \ H) < ∞ и U изолировано от IF , то r изолировано от IH Ввиду предложения 1.11 (б) утверждение (∗) можно вывести из следующего: (∗∗) если m (F \ H) < ∞, то подгруппа F слабо кокомпактна. Утверждение (∗∗) выглядит очень правдоподобно, если H — группа Ли. По крайней мере, оно доказано для случая, когда H — связная полупростая

§ 2. Свойство (T) и некоторые его следствия. Свойство (T) для групп и их подгрупп

139

группа Ли, а F — ее дискретная подгруппа. (Доказательство достаточно сложно. Оно основано на результатах относительно свойства (T), которые изложены в следующем параграфе, и на изучении фундаментальных областей дискретных подгрупп.) Замечание 2. Утверждение 1.11(a) можно доказать непосредственно, не опираясь на теорему о непрерывности операции индуцирования в полной общности. Действительно, пусть {yi }i∈N+ — асимптотически U (F)-инвариантная последовательность в пространстве представления U ∈ F˜ . Рассмотрим такое регулярное борелевское отображение f : F \ H → H , что p ◦ f = id (см. п. I.4.4.1), где p : H → F \ H — естественное отображение. Тогда любой элемент h ∈ H можно записать в виде h = z (h)x (h), где x (h) ∈ f (F \ H), z (h) ∈ F . Положим ji (h) = U (z (h))yi , h ∈ H . Тогда ji ∈ L(r), где r = Ind(H , F , U). Так как последовательность {yi } асимптотически U (F)-инвариантна, а мера m (F \ H) конечна, легко видеть, что последовательность {ji } асимптотически r (H)-инвариантна. Значит, r близко к IH .

§ 2. Свойство (T) и некоторые его следствия. Связь между свойством (T) для групп и для их подгрупп В этом параграфе используются понятия, введенные в п. 1.2. 2.1. Лемма. Следующие условия равносильны: (i) представление IH изолировано в пространстве Hˆ (относительно топологии, введенной в п. I.5.1.1); (ii) если представление r ∈ H˜ близко к IH , то r > IH ; (iii) если последовательность {rn }n∈N+ в пространстве H˜ сходится к IH , то rn > IH при всех достаточно больших n. Д о к а з а т е л ь с т в о. (i) ⇒ (ii). Пусть r ∈ H˜ близко к IH . Далее, пусть ] r = rx d m (x) X

— разложение представления r в непрерывную сумму неприводимых представлений rx ∈ Hˆ . Так как IH изолировано в пространстве Hˆ , то существует такая окрестность ] W точки IH , что W ∩ Hˆ = {IH }. Положим X0 = {x ∈ X | rx ∈ W } и L0 = rx d m (x). Так как r близко к IH , по предX0

ложению 1.4 мы имеем m (X0) > 0, и потому L0 6= {0}. С другой стороны, так как W ∩ Hˆ = {IH }, подпространство L0 состоит из r (H)-инвариантных векторов. Значит, r содержит IH . (ii) ⇒ (iii). Предположим противное. Тогда существует такая сходяща˜ что никакое предяся к IH последовательность {rn }n∈N+ элементов из H,

140

Глава III. Свойство (T)

ставление rn не содержит IH . Пусть r=

X

rn

n∈N+

— прямая сумма этих представлений. Так как последовательность {rn } сходится к IH , то r близко к IH . С другой стороны, никакое rn не содержит IH , а тогда это верно и для r. Получено противоречие с утверждением (ii). (iii) ⇒ (i). Так как группа H является s-компактной, пространство Hˆ удовлетворяет второй аксиоме счетности. Поэтому если IH не изолировано в Hˆ , то существует сходящаяся к IH последовательность {rn }n∈N+ попарно ˆ Поскольку все представразличных (и отличных от IH ) элементов из H. ления rn неприводимы, из неравенства rn > IH следовало бы r ∼ = IH , а это противоречит утверждению (iii). 2.2. Определение. Мы говорим, что локально компактная группа H со второй аксиомой счетности обладает свойством (T), если выполнены три равносильных условия из леммы 2.1. Любая компактная группа обладает свойством (T). Действительно, пусть группа H компактна, r ∈ H˜ и последовательность {yi }i∈N+ асимптотив множестве L(r) − {0}. Тогда r (H)-инвариантные чески r (H)-инвариантна ] векторы r (h)yi d mH (h) при всех достаточно больших i отличны от нуля. H

Если группа H не компактна, то ее регулярное представление RH в пространстве L2 (H , mH ) не содержит IH . Но по теореме I.5.5.3 представление RH близко к IH , если и только если группа H аменабельна. Таким образом, аменабельная группа со свойством (T) компактна. Как следствие, если группа H дискретна, аменабельна и обладает свойством (T), то она конечна. Так как для локально компактной коммутативной группы F ее компактность равносильна дискретности группы характеров, верно следующее. 2.3. Лемма. Коммутативная группа обладает свойством (T), если и только если она компактна. 2.4. Лемма. Если группа H обладает свойством (T) и F — ее замкнутая нормальная подгруппа, то факторгруппа F \ H обладает свойством (T). Эта лемма вытекает из того факта, что r ∈ F \ H близко к IF \H (соответственно содержит IF \H ), если и только если r ◦ p близко к IH (соответственно содержит IH ), где p : H → F \ H — естественное отображение. 2.5. Теорема. Пусть D (H) — замыкание коммутанта группы H . Если H обладает свойством (T), то факторгруппа H /D (H) ком-

§ 2. Свойство (T) и некоторые его следствия. Свойство (T) для групп и их подгрупп

141

пактна. Как следствие, если группа H дискретна и обладает свойством (T), то H /D (H) конечна. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если H обладает свойством (T), то по лемме 2.4 коммутативная группа H /D (H) также обладает свойством (T), и по лемме 2.3 она компактна. 2.6. Следствие. Группа H со свойством (T) унимодулярна. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть локально компактная группа H обладает свойством (T) и ∆H : H → R+ — ее модуль. В силу теоремы 2.3 группа H /D (H) компактна. С другой стороны, отображение ∆H является непрерывным гомоморфизмом в коммутативную группу и потому тривиально на D (H). Следовательно, ∆H (H) — компактная подгруппа в группе R+ , и потому ∆H (h) = 1 при всех h ∈ H . 2.7. Теорема. Если группа H обладает свойством (T), то она компактно порождена. Как следствие, если группа H дискретна и обладает свойством (T), то она конечно порождена. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть группа H обладает свойством (T). Так как она s-компактна, в ней найдется такая последовательность S {Mn }n∈N+ относительно компактных открытых подмножеств, что H = Mn и Mn ⊂ Mn+1 n∈N+

при всех n ∈ N+ . Обозначим через Hn подгруппу в H , порожденную множеством Mn . Так как множество Mn открыто, то подгруппа Hn открыта в H , и потому пространство Hn \ H дискретно. Положив меру каждого одноточечного множества равной 1, получим H -инвариантную меру mn на дискретном пространстве Hn \ H . Обозначим через rn квазирегулярное унитарное представление группы H на пространстве L2 (Hn \ H , mn): (rn (h) f) (x) = f (xh),

x ∈ Hn \ H , h ∈ H , f ∈ L2 (Hn \ H , mn).

Пусть pn : H → Hn \ H — естественная проекция, fn — характеристическая функция одноэлементного множества {pn (e)}. Ясно, что rn (Hn) fn = fn . С другой стороны, любой компакт K ⊂ H содержится в Hn для всех достаточно больших n. Поэтому последовательность {rn } сходится к IH . Но группа H обладает свойством (T). Поэтому существует такое n0 ∈ N+ , что rn > IH при всех n > n0 . С другой стороны, из определения представления rn вытекает, что rn > IH тогда и только тогда, когда дискретное пространство Hn \ H конечно. Следовательно, Hn \ H конечно при всех n > n0 , и потому возрастающая последовательность подгрупп {Hn } обрывается. Но [ H= Hn . n∈N+

Поэтому для некоторого натурального n компактно порожденная подгруппа Hn совпадает с H .

142

Глава III. Свойство (T)

2.8. Предложение. Пусть Pr , где r ∈ H˜ , обозначает ортогональный проектор пространства L(r) на подпространство L(r) H . Предположим, что H обладает свойством (T). Тогда существует компакт K ⊂ H , для которого верно следующее. (А) Для любого a > 0 найдется такое d > 0, что если r ∈ H˜ , x ∈ L(r) и |r (h)x − x| 6 dkxk при всех h ∈ K , то kPr x − xk 6 akxk. (Б) Для любого a > 0 найдется такое d′ > 0, что если r ∈ H˜ , x ∈ L(r) и |r (h)x − x| 6 d′ kxk при всех h ∈ K , то kr (h)x − xk 6 akxk для всех h ∈ H . ˜ x ∈ L(r) (В) Для любого a > 0 найдется такое d′′ > 0, что если r ∈ H, ′′ 2 и Rehr (h)x, xi > (1 − d )kxk при всех h ∈ K , то Rehr (h)x, xi > (1 − a)kxk2 для всех h ∈ H . Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как группа H обладает свойством (T), то существуют ε > 0 и компакт K ⊂ H , для которых r∈ / W (ε, K), если r не содержит IH ,

(1)

sup kr (h)x − xk > εkP ′ xk = εkPr x − xk.

(2)

˜ Обозначим через L′ ⊂ L(r) где W (ε, K) таково, как в п. 1.0. Пусть r ∈ H. ортогональное дополнение подпространства L(r) H , а через P ′ — ортогональный проектор на L′ . Так как представление r унитарно, мы имеем r (H)L′ = L′ . Ограничение r|L′ обозначим r′ . Так как L′ и L(r) H ортогональны, то r′ не содержит IH . Отсюда и из условия (1) получаем, что для каждого x ∈ L(r) выполняется неравенство h∈K

Из (2) вытекает, что K обладает свойством (А) (для d = aε). Так как представление r унитарно, мы имеем kr (h)x − xk 6 2kPr x − xk при всех x ∈ L(r) и h ∈ H . Значит, свойство (Б) вытекает из свойства (А). Наконец, 2 Rehr (h)x, xi = 2kxk2 − kr (h)x − xk2 при всех x ∈ L(r) и h ∈ H (так как представление r унитарно); поэтому из свойства (Б) вытекает свойство (В). 2.9. Предложение. Пусть F — замкнутая нормальная подгруппа в группе H . Если F и F \ H обладают свойством (T), это верно и для H . Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть r ∈ H˜ близко к IH . Положим W = {x ∈ L(r) | r (F)x = x}. Так как подгруппа F нормальна в H , множество W является r (H)-ин^ \ H, что вариантным. Поэтому существует такое представление r1 ∈ F r ◦ p = r|W , где p : H → F \ H — естественное отображение. Так как F

§ 2. Свойство (T) и некоторые его следствия. Свойство (T) для групп и их подгрупп

143

обладает свойством (T), ввиду предложения 2.8 (А) образ любой асимптотически r (H)-инвариантной последовательности при ортогональном проектировании на W также асимптотически r (H)-инвариантен. Но r близко к IH . Поэтому W 6= {0}, rW близко к IH и, следовательно, r1 близко к IF \H . С другой стороны, так как F \ H обладает свойством (T), мы имеем r1 > IF \H , и потому r > IH . Из доказанного предложения непосредственно вытекает 2.10. Следствие. Пусть H = H1 × H2 — прямое произведение локально компактных групп. Если H1 и H2 обладают свойством (T), это верно и для H . 2.11. Лемма. Пусть F — замкнутая подгруппа в группе H и U ∈ F˜ . Если Ind(H , F , U) > IH , то U > IF . Эта лемма непосредственно вытекает из определения индуцированного представления и леммы I.4.1.1 (vi). 2.12. Теорема. Пусть F — замкнутая подгруппа группы H , причем F \ H имеет конечную H -инвариантную борелевскую меру m. Тогда следующие условия равносильны: (i) H обладает свойством (T); (ii) F обладает свойством (T). Д о к а з а т е л ь с т в о. (i) ⇒ (ii). Пусть U ∈ F˜ близко к IF . Так как m (F \ H) < ∞, по предложению 1.11 (a) представление r = Ind(H , F , U) ∈ H˜ близко к IH , и с учетом леммы 2.11 мы имеем U > IF . (ii) ⇒ (i). Пусть r ∈ H˜ близко к IH . Так как F обладает свойством (T), по предложению 2.8 (А) ортогональная проекция на подпространство {x ∈ L(r) | r (F)x = x} любой асимптотически r (H)-инвариантной последовательности также асимптотически r (H)-инвариантна. Так как r близко к IH , то существуют такие yi ∈ L(r), i ∈ N+ , что r (F)yi = yi и последовательность {yi }i∈N+ асимптотически r (H)-инвариантна. Так как r (F)yi = yi , для всех x = hF ∈ H /F и i ∈ N+ можно определить элемент xyi ∈ L(r), положив xyi = r (hF)yi = r (h)yi . Антиавтоморфизм h 7→ h−1 , h ∈ H , индуцирует отображение F \ H → H /F . При этом отображении мера m переходит в конечную H -инвариантную меру m˜ на H /F . Так как представление r непрерывно и унитарно, то при каждом i ∈ N+ вектор-функция x 7→ xyi , x ∈ H /F , непрерывна и ограничена. Поэтому при каждом i ∈ N+ можно определить zi ∈ L(r), положив ] zi = (1/m˜ (H /F)) xyi d m˜ (x). H /F

Тогда (h1 x)yi = r (h1 hF)yi = r (h1) r (hF)yi = r (h1)xyi

144

Глава III. Свойство (T)

при всех h1 ∈ H и x = hF ∈ H /F . Отсюда и из инвариантности меры m˜ мы заключаем, что при всех h ∈ H и i ∈ N+ выполняется равенство ] ] m˜ (H /F) r (h)zi = r (h) xyi d m˜ (x) = r (h)xyi d m˜ (x) = H /F

]

=

H /F

(hx)yi d m˜ (x) =

H /F

]

(hx)yi d m˜ (hx) = m˜ (H /F)zi .

H /F

Значит, r (H)zi = zi при всех i ∈ N+ . Заменив yi на yi /kyi k, можно считать, что kyi k = 1. Так как последовательность {yi } асимптотически r (H)-инвариантна, lim hxyi , yi i = 1 i→∞

при всех x ∈ H /F . С другой стороны, так как представление r унитарно и kyi k = 1, мы имеем |hxyi , yi i| 6 1 для всех x ∈ H /F и i ∈ N+ . Отсюда по классической теореме Лебега о мажорированной сходимости получаем ] hxyi , yi id m˜ (x) = lim hzi , yi i = (1/m˜ (H /F)) lim i→∞

i→∞

H /F

= (1/m˜ (H /F))

]

H /F

lim hxyi , yi id m˜ (x) = 1.

i→∞

Следовательно, zi 6= 0 при всех достаточно больших i. Но r (H)zi = zi , и потому r > IH . Частными случаями теоремы 2.12 являются следствия 2.13 и 2.15. 2.13. Следствие. Если F — замкнутая нормальная подгруппа в H и факторгруппа F \ H компактна, то следующие утверждения равносильны: (i) H обладает свойством (T); (ii) F обладает свойством (T). 2.14. Замечание. Так как любая компактная группа обладает свойством (T) (см. 2.2), импликация (ii)⇒(i) в следствии 2.13 вытекает и из предложения 2.9. 2.15. Следствие. Пусть F — счетная дискретная группа, D — ее подгруппа конечного индекса. Тогда следующие утверждения равносильны: (i) F обладает свойством (T); (ii) D обладает свойством (T). 2.16. Как отмечено в п. 2.14, для доказательства импликации (ii)⇒(i) в следствии 2.13 не обязательно использовать более трудную импликацию (ii)⇒(i) из теоремы 2.12. Вот почему имеет смысл непосредственно вывести следствие 2.15 из следствия 2.13.

§ 3. Свойство (T) и разложения групп в амальгамы

145

В ы в о д с л е д с т в и я ( 2. 1 5) и з с л е д с т в и я ( 2. 1 3). Так как подгруппа D имеет конечный индекс в F , это верно и для подгруппы \ D′ = zDz −1 . z∈F

С другой стороны, подгруппа D нормальна в F . По следствию 2.13 условие «D ′ обладает свойством (T)» равносильно обоим утверждениям (i) и (ii) следствия 2.15. ′

§ 3. Свойство (T) и разложения групп в амальгамы В этом параграфе мы докажем теорему Вататани, согласно которой группы со свойством (T) не являются амальгамами. Доказательство основано на рассмотрении отрицательно определенных функций. 3.1. Определение. Непрерывная комплекснозначная функция f на группе H называется отрицательно определенной, если f (h−1) = f (h) для всех h ∈ H и выполняется неравенство n X

f (hi h−1 j )zi z¯ j 6 0

i, j=1

для всех n ∈ N , всех h1 , . . . , hn ∈ H и всех z1 , . . . , zn ∈ C с условием +

n X

zi = 0.

i=1

Очевидно, что множество отрицательно определенных функций замкнуто относительно линейных комбинаций с положительными коэффициентами. Во избежание недоразумений отметим, что если функция f отрицательно определенна, то функция − f может не быть положительно определенной. 3.2. Теорема. Функция f на группе H отрицательно определенна, если и только если функция exp(−t f) положительно определенна для всех положительных t ∈ R. По существу эту теорему доказал Шенберг при изучении проблемы вложения метрических пространств в гильбертовы (см. [Scho]). Для случая H = R доказательство приведено в книге [G—V] (гл. 3, § 4, теорема 4). Это доказательство дословно переносится на общий случай. Фактически доказывается следующее утверждение. Пусть A = (ai j) — эрмитова n × n-матрица. Если неравенство n X ai j zi z¯ j 6 0 i, j=1

146

Глава III. Свойство (T)

выполнено при всех z1 , . . . , zn ∈ N, удовлетворяющих условию

n P

zi = 0, то

i=1

матрица (exp(ai j)) положительно определенна. 3.3. Теорема. Если на группе H существует неограниченная непрерывная отрицательно определенная функция f , то H не обладает свойством (T). Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 3.2 для любого t ∈ R, t > 0, функция exp(−t f) положительно определенна. Тогда по теореме I.5.4.3 для любого t > 0 существуют такие rt ∈ H˜ и xt ∈ L(rt ), что hrt (h)xt , xt i = exp(−t f (h)) ∀h ∈ H .

(1)

Так как функция f непрерывна и, значит, локально ограничена, ввиду (1) для любого компакта K ⊂ H мы имеем lim sup (1 − Rehrt (h)xt , xt i/kxt k2) = 0. t→0 h∈K

(2)

С другой стороны, так как функция f не ограничена, ввиду равенства (1) lim sup (1 − Rehrt (h)xt , xt i/kxt k2) > 0. t→0 h∈H

(3)

С учетом предложения 2.8 (В) получаем из соотношений (2) и (3), что группа H не обладает свойством (T). 3.4. Замечание. Верно и обращение теоремы 3.3. А именно, можно показать (см. [A—W], теорема 3), что если группа H не обладает свойством (T), то на H существует неограниченная непрерывная отрицательно определенная функция. 3.5. В этом пункте предполагается, что читатель знаком с основными понятиями теории графов. Пусть X — неориентированный граф, V — множество его вершин. Две вершины называются смежными, если они соединены ребром. Автоморфизм графа X — это такая биекция f : V → V , что вершины f (x) и f (y) смежны в том и только том случае, когда смежны x и y (x, y ∈ V). Группа автоморфизмов графа X будет обозначаться Aut X. Ее можно рассматривать как вполне несвязную топологическую группу, если в качестве базы окрестностей единицы взять совокупность множеств вида UB = {h ∈ Aut X | hb = b ∀b ∈ B}, где множество B ⊂ V конечно. Действие группы G на графе X — это такое ее действие на множестве V , что для каждого g ∈ G отображение f (g) : V → V , f (g)x = gx, x ∈ V , является автоморфизмом графа. Если G — топологическая группа и гомоморфизм f : G → Aut X непрерывен, то действие называется непрерывным. Расстояние на множестве V мы определим стандартным образом: именно, d (x, y) равно числу ребер в кратчайшем пути, соединяющем вершины x и y. Ясно,

§ 3. Свойство (T) и разложения групп в амальгамы

147

что d (x, x) = 0 и равенство d (x, y) = 1 характеризует смежные вершины. Такое расстояние (Aut X)-инвариантно, т. е. d (hx, hy) = d (x, y) для всех x, y ∈ V и h ∈ Aut X. Деревом называется связный неориентированный граф без циклов. Любые две вершины x и y дерева X можно соединить единственным приведенным путем (т. е. путем без возвращений). Длина этого пути равна d (x, y). 3.6. Предложение. Пусть X — некоторое дерево, P0 — его вершина и группа H действует на X непрерывно. Для h ∈ H положим l (h) = d (P0 , hP0). Тогда функция l отрицательно определенна на H . Д о к а з а т е л ь с т в о. Множество ребер дерева X обозначим Y . Пусть L — комплексное гильбертово пространство с ортонормированным базисом {e (y) | y ∈ Y }. Определим отображение f : H → L , положив f (h) = e (u1) + . . . + e (un), h ∈ H , где u1 , . . . , un — ребра приведенного пути из P0 в h−1 P0 . Так как векторы e (u1), . . . , e (un) взаимно ортогональны и ke (ui)k = 1, мы имеем k f (h)k2 = n = l (h). Покажем, что k f (g) − f (h)k2 = l (gh−1) ∀ g, h ∈ H .

(1)

Пусть приведенный путь из P0 в g −1 P0 (соответственно в h−1 P0) состоит из ребер u1 , . . . , um (соответственно v1 , . . . , vn). Положим a = max{k | uk = vk }. Получаем следующую диаграмму: g −1 P0 um

P0 u1 =v1

ua =va

ua+1 va+1 vn

h−1 P0

Из этой диаграммы мы видим, что d (g −1 P0 , h−1 P0) = (m − a) + (n − a) = = m + n − 2a. Но расстояние d является (Aut X)-инвариантной функцией. Следовательно, l (gh−1) = d (P0 , gh−1 P0) = d (g −1 P0 , h−1 P0) = m + n − 2a. Так как u1 = v1 , . . . , ua = va ,

(2)

148

Глава III. Свойство (T)

мы имеем f (g) − f (h) = e (ua+1) + . . . + e (um) − (e (va+1) + . . . + e (vn)). Но векторы e (ua+1), . . . , e (um), e (va+1), . . . , e (vn) взаимно ортогональны и имеют норму 1. Следовательно, k f (g) − f (h)k2 = ke (ua+1)k2 + . . . + ke (um)k2 + ke (va+1)k2 + . . . + ke (vn)k2 = = (m − a) + (n − a) = m + n − 2a, откуда с учетом соотношения (2) вытекает равенство (1). Так как мы имеем he (y1), e (y2)i ∈ {0, 1} при всех y1 , y2 ∈ Y , то h f (g), f (h)i ∈ N ⊂ R

∀ g, h ∈ H .

Пусть теперь h1 , . . . , hn ∈ H и z1 , . . . , zn ∈ C, причем

соотношений (1) и (3) получаем, что n X

l (hi h )zi z¯ j = −1 j

i, j=1

i, j=1

=

n X

i, j=1

=

n X i=1

n X

2

(k f (hi)k zi ·

n P

(3)

zi = 0. Тогда с учетом

i=1

k f (hi) − f (h j)k2 zi z¯ j =

((k f (hi)k2 + k f (h j)k2 − 2h f (hi), f (h j)i)zi z¯ j) =

n X

z¯ j) +

j=1

n X j=1

2

(k f (h j)k z¯ j ·

= −2

n X

i, j=1

n X i=1

zi ) − 2

n X

(h f (hi), f (h j)izi z¯ j) =

i, j=1

X

2

n

(h f (hi), f (h j)izi z¯ j) = −2 zi f (hi)

60

(предпоследнее равенство вытекает из условия

i=1

P n

zi = 0). Таким образом,

i=1

функция l отрицательно определенна, что и требовалось. 3.7. Предложение. Как и в предложении 3.6, пусть X — дерево, на котором топологическая группа H действует непрерывно; P0 — некоторая вершина; l (h) = d (P0 , hP0); группа H обладает свойством (T). Тогда sup l (h) < ∞. h∈H

Это предложение непосредственно вытекает из теоремы 3.3 и предложения 3.6. Отметим, что Ж.-П. Серр нашел доказательство предложения 3.7, не использующее отрицательно определенных функций. Набросок этого доказательства см. ниже в пп. 3.11—3.12.

§ 3. Свойство (T) и разложения групп в амальгамы

149

3.8. Пусть G — некоторая группа, G1 и G2 — две ее подгруппы, A = G1 ∩ ∩ G2 . Тройке (G, G1 , G2) поставим в соответствие граф X = X (G, G1 , G2), множеством вершин которого служит G /G1 ∪ G /G2 , а ребрами — всевозможные пары {gG1 , gG2 }, g ∈ G. Действие группы G левыми сдвигами на G /G1 и на G /G2 индуцирует ее действие на графе X. Если G — топологическая группа, а подгруппы G1 , G2 открыты в G, то это действие непрерывно. Ясно, что G действует транзитивно на множестве ребер графа X, а множество вершин распадается на две орбиты G /G1 и G /G2 . Выбрав по представителю в каждом смежном классе x ∈ G /G1 (соответственно x ∈ G /G2), мы получим подмножество Y1 (соответственно Y2) в G. Если G1 ∪ G2 порождает G, то каждый элемент g ∈ G можно представить в виде g = yn · . . . · y1 a, где a ∈ A, yi ∈ Y1 при нечетном i, yi ∈ Y2 при четном i и yi ∈ / A при i > 1. Такое представление элемента g назовем каноническим. Группа G называется свободным произведением подгрупп G1 и G2 с объединенной подгруппой A (обозначение: G = G1 ∗A G2 или просто G = G1 ∗ G2), если (а) G порождается множеством G1 ∪ G2 ; (б) каноническое представление каждого элемента g ∈ G единственно. Легко проверить, что условие (б) равносильно следующему: единицу e ∈ G нельзя представить в виде e = gn . . . g1 , где gi ∈ G j (i) − A, j (i) = 1, 2(1 6 i 6 n) и j (i + 1) 6= j (i) для всех i от 1 до n − 1. Нетрудно показать (см. [Ser 3], теорема 7), что G = G1 ∗A G2 , если и только если X (G, G1 , G2) является деревом. Мы называем группу H амальгамой, если H = H1 ∗A H2 , где H1 , H2 — открытые подгруппы в H , A = H1 ∩ H2 и H1 6= A 6= H2 . 3.9. Теорема. Если группа H обладает свойством (T), то она не является амальгамой. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное, т. е. что H = H1 ∗A H2 , где H1 и H2 — открытые подгруппы в H , A = H1 ∩ H2 и H1 6= A 6= H2 . Тогда (см. п. 3.8) граф X = X (H , H1 , H2) является деревом. Положим P0 = eH1 ∈ ∈ H /H1 . Как и в п. 3.6, для h ∈ H положим l (h) = d (P0 , hP0). Так как H = H1 ∗A H2 и H1 6= A 6= H2 , функция l не ограничена (в самом деле, l ((h1 h2) n) = 2n для всех n ∈ N+ и h1 ∈ H − H1 , h2 ∈ H − H2). С другой стороны, H обладает свойством (T), и по предложению 3.7 функция l ограничена. Полученное противоречие доказывает теорему. 3.10. Мы говорим, что группа G действует без инверсий на дереве X, если ни для какой пары смежных вершин x и y не существует такого элемента g ∈ G, что gx = y и gy = x. Следуя Серру, будем говорить, что группа G имеет свойство (FA), если при любом действии группы G на любом дереве X без инверсий найдется G-инвариантная вершина. Счетная группа G обладает свойством (FA), если и только если выполнены следующие три условия:

150

Глава III. Свойство (T)

(I) G не является амальгамой; (II) факторгруппа G /D (G) конечна; (III) группа G конечно порождена (см. [Ser 3], теорема 15; в работе [Ser 3] вместо (II) рассматривается иное условие (II′): G не имеет факторгрупп, изоморфных группе Z; но при наличии (III) эти два условия равносильны, так как любая конечно порожденная абелева группа является конечной прямой суммой циклических групп). Из теорем 2.5, 2.7 и 3.9 вытекает, что счетная группа со свойством (T) имеет и свойство (FA). Отметим, что в статье [Wat] построен пример счетной группы со свойством (FA), но без свойства (T). А именно, это группа с двумя образующими x и y и определяющими соотношениями x a = y b = (xy) c = e, где 1 1 1 + + = 1. a, b, c > 2 и a

b

c

3.11. Приведем теперь обещанный набросок доказательства предложения 3.7 по Серру. Обозначим через Y (соответственно через V) множество ребер (соответственно вершин) дерева X. Пусть L — комплексное гильбертово пространство с ортонормированным базисом {e (y) | y ∈ Y }. Вложим V в L , отобразив P ∈ V в e (u1) + . . . + e (um), где u1 , . . . , um — ребра приведенного пути из P0 в P; при этом P0 отображается в 0. Легко проверить, что при таком вложении любой автоморфизм дерева продолжается до изометрии пространства L . Поэтому можно считать, что H действует на пространстве L изометриями. Нетрудно показать, что kP1 − P2 k2 = d (P1 , P2) для всех P1 , P2 ∈ V . В частности, l (h) = d (P0 , hP0) = khP0 − P0 k2

для всех h ∈ H . Таким образом, достаточно доказать следующее 3.12. Предложение. Пусть L — гильбертово пространство, на котором группа H непрерывно действует изометриями. Если H обладает свойством (T), то sup khx − xk < ∞ ∀x ∈ L .

(1)

h∈H

Д о к а з а т е л ь с т в о. P Пусть B — векторное пространство конечных формальных сумм вида ly y, y ∈ L , ly ∈ C. Элементы пространства L составляют базис пространства B. Для каждого t > 0 определим эрмитову форму h, it на пространстве B, положив 2

hy, zit = e −tky−zk , y, z ∈ L . 2

(2)

При каждом t > 0 функция e −tkuk , u ∈ L , положительно определенна (это легко вытекает из классической теоремы Бохнера о преобразованиях Фурье положительно определенных функций, примененной к ограничениям

§ 4. Свойство (R)

151 2

функции e −tkuk на конечномерные линейные подпространства в L ). Таким образом, форма h, it положительно определенна, т. е. является скалярным произведением. Пусть Bt — гильбертово пространство, полученное пополнением пространства B относительно этого скалярного произведения. Так как khy − hzk = ky − zk для всех h ∈ H и y, z ∈ L , действие группы H на пространстве L индуцирует при каждом t > 0 ее унитарное (в силу равенства (2)) представление rt в пространстве Bt . Пусть x ∈ L , K — компакт из предложения 2.8. Так как H действует на L непрерывно, мы имеем sup khx − xk < ∞. h∈K

Но r (h)x = hx, и с учетом равенства (2) мы получаем lim inf hrt (h)x, xit = hx, xit = 1. t→0 h∈K

(3)

Отсюда и из свойства (В) компакта K (см. предложение 2.8) вытекает, что lim inf hrt (h)x, xit = 1. t→0 h∈H

С учетом соотношения (2) и равенства rt (h)x = hx получаем равенство (1).

§ 4. Свойство (R) В этом параграфе RH обозначает правое регулярное представление группы H на пространстве L2 (H , m′H ), где m′H — правая мера Хаара на H . 4.1. Определение. Мы говорим, что группа H обладает свойством (R), если RH близко к IH . Следующие условия равносильны (см. теорему I.5.5.3): (i) группа H обладает свойством (R); ˆ (ii) замыкание представления RH в H˜ содержит H; (iii) группа H аменабельна. Из соответствующих свойств аменабельных групп (см. п. I.5.5.2) вытекает 4.2. Лемма. (а) Если группа H обладает свойством (R), а F — ее замкнутая подгруппа, то F обладает свойством (R). (б) Пусть F — замкнутая нормальная подгруппа в H . Если F и F \ H обладают свойством (R), то это верно и для H . (в) Если группа H разрешима, то она обладает свойством (R). 4.3. Предложение. Если H — свободная дискретная группа с двумя или более образующими, то она не обладает свойством (R).

152

Глава III. Свойство (T)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Ввиду леммы 4.2 (а) достаточно рассмотреть случай, когда H имеет два образующих a, b. Так как kRH (h) f − f k2 = 2k f k2 − 2 RehRH (h) f , f i для всех f ∈ L2 (H , m′H ), h ∈ H , достаточно найти ε > 0, для которого следующие три условия не могут выполняться одновременно: (а) k f k = 1; (б) |hRH (a−1) f , f i − 1| 6 ε2 /2; (в) |hRH (b −1) f , f i − 1| 6 ε2 /2. Пусть существуют f ∈ L2 (H , m′H ) и ε > 0, для которых выполнены условия (а), (б) ]и (в). Рассмотрим меру m на группе H , определенную равенством m (X) = | f (h)|2 d m′H (h). Тогда X

 1/2 ] ] |m (aX) − m (X)|= | f (ah)|2 −| f (h)|2 d m′H (h) 62 | f (ah) − f (h)|2 d m′H (h) = X

H

= 2kRH (a−1) f − f k = 2(2k f k2 − 2 RehRH (a−1) f , f i) 1/2 6 2ε,

откуда следует, что m (aX) > m (X) − 2ε.

(1)

Пусть P — совокупность тех элементов свободной группы H , несократимая запись которых через образующие {a, b} начинается с ненулевой степени элемента a. Если N — дополнение к P в H , то в силу неравенста (1) мы имеем 1 > m (N) + m (aN) + m (a2 N) > 3m (N) − 6ε, откуда следует, что m (N) 6

Аналогично, m (P) 6

1 + 2ε. 3

1 + 2ε. В итоге имеем 3

1 = m (N) + m (P) 6

2 + 4ε. 3

При ε = 1/13 получаем искомое противоречие. 4.4. Следствие. Группа SL2 (k), где k — локальное поле, не обладает свойством (R). Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу леммы 4.2 (а) и предложения 4.3 достаточно показать, что SL2 (k) содержит свободную дискретную подгруппу с

§ 4. Свойство (R)

153

двумя образующими. Но это частный случай теоремы, доказанной в дополнении B, о свободных дискретных подгруппах линейных групп (читатель может доказать в качестве упражнения, что при подходящем l ∈ k матрицы     l 0 2 1 A= и B = CAC −1 , где C = , −1 0 l

1 1

порождают свободную дискретную подгруппу в SL2 (k)). 4.5. Предложение. Пусть H = F ⋉ N — полупрямое произведение локально компактных групп, причем группа N коммутативна. Рассмотрим естественное действие группы H на группе Nˆ характеров группы N , заданное формулой (hq) (n) = q (h−1 nh), h ∈ H ,

ˆ n ∈ N. q ∈ N,

Пусть выполнены следующие условия: ˆ локально замкнута в N; ˆ (i) каждая орбита Fq , q ∈ N, ˆ q 6= 0, стабилизатор {f ∈ F | f q = q} обладает (ii) для каждого q ∈ N, свойством (R); (iii) группа F не обладает свойством (R). Если представление r ∈ H˜ близко к IH , то r|N > IN . ] Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное. Пусть r = rx d m (x) — X

разложение представления r в непрерывную сумму неприводимых представлений rx ∈ Hˆ . Так как r|N не содержит IN , можно считать, что rx |N не содержит IN при всех x ∈ X. Тогда из условия (i) в силу теоремы Макки (см. п. I.5.2.3) вытекает, что rx = Ind(H , Hx , px), где Hx — стабилизатор {h ∈ H | hqx = qx } нетривиального характера qx ∈ Nˆ и px ∈ Hˆ x . Из леммы 4.2 (б), (в) и условия (ii) вытекает, что Hx обладает свойством (R). Следовательно (см. п. 4.1), px содержится в замыкании регулярного представления RHx группы Hx . Но операция ограничения непрерывна и RH = Ind(H , Hx , RHx ), поэтому rx содержится в замыкании представления RH . С другой стороны, так как r близко к IH , по предложению 1.4 представление IH является точкой прикосновения множества {rx | x ∈ X} в H˜ . Таким образом, RH близко к IH , что противоречит условию (iii) ввиду леммы 4.2 (а). 4.6. Следствие. Пусть k — локальное поле. Рассмотрим следующие две подгруппы в SL3 (k): a b c   H = X = c d y X ∈ SL3 (k) , 

0 0 1

Если r ∈ H˜ близко к IH , то r|N > IN .

1 0 x   0 1 y x, y ∈ k . N= 0 0 1

154

Глава III. Свойство (T)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим подгруппу  a b 0  F = X = c d 0 X ∈ SL3 (k) ⊂ H . 0 0 1

Группа F естественным образом отождествляется с SL2 (k), а группа N — с векторным пространством k × k. Как известно (см. [Weil 4], гл. II, § 5, теорема 3), если V — конечномерное векторное пространство над k, а l — нетривиальный характер аддитивной группы поля k, то формула ˆ = l ([v, v ′ ]) при каждом v ∈ V определяет биекцию v ′ 7→ vˆ сопряhv, vi женного пространства V ′ на группу Vˆ характеров аддитивной группы пространства V ; здесь h, i — естественное спаривание между V и Vˆ , а [, ] — естественное спаривание между V и V ′ . Как следствие, Nˆ можно отождествить с N ′ ∼ = k × k. При таких отождествлениях естественные действия группы F на группах N и Nˆ переходят соответственно в стандартное и контраградиентное ему представления группы F на k × k. Отсюда вытекает следующее: 1) F q = {0} при q = 0 и F q = Nˆ − {0} при q ∈ Nˆ − {0}; ˆ q 6= {0}, стабилизатор {f ∈ F | f q = q} разрешим 2) для каждого q ∈ N, и в силу леммы 4.2(c) обладает свойством (R). С другой стороны, по следствию 4.4 группа F = SL2 (k) не обладает свойством (R). Таким образом, полупрямое произведение H = F ⋉ H удовлетворяет всем условиям предложения 4.5, что и завершает доказательство. 4.7. Следствие. Пусть k — локальное поле. Рассмотрим следующие подгруппы в SL4 (k): n  o A B t t H= t −1 A B = B A , 0 A n  o E B N= B = tB , 0 E где A, B — матрицы второго порядка с элементами из k, det A = 1, матрица t X транспонирована по отношению к X. Если r ∈ H˜ близко к IH , то r|N > IN . Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим подгруппу n  o A 0 F= ⊂ H. t −1 A ∈ SL2 (k) 0

A

Рассуждая как в предыдущем доказательстве, отождествим F с SL2 (k) и Nˆ с векторным пространством над k. Так как       A 0 E B A 0 −1 E AB t A = , t −1 t −1 0

A

0 E

0

A

0

E

§ 5. Полупростые группы со свойством (T)

155

естественное действие группы F на Nˆ при таком отождествлении индуцирует представление, эквивалентное стандартному представлению группы SL2 (k) в пространстве W симметрических билинейных форм порядка 2 над k. Далее, 1) для каждой ненулевой формы w ∈ W ее стабилизатор, т. е. множество {g ∈ SL2 (k) | gw = w}, разрешим и потому обладает свойством (R); 2) в силу следствия 4.4 группа F = SL2 (k) не обладает свойством (R). Таким образом, с учетом предложения 4.5 осталось доказать следующее утверждение: (∗) для каждой формы w ∈ W орбита SL2 (k)w локально замкнута в W . Положим fw (f) = fw, f ∈ F . Если char k 6= 2, то непосредственно проверяется, что дифференциал морфизма fw : SL2 → SL2 w сюръективен в любой точке h ∈ H и потому морфизм fw сепарабелен, а тогда из предложения I.2.1.4 (i) вытекает свойство (∗). Аналогично разбирается случай, когда char k = 2, w = ax1 x2 + b (x1 y2 + x2 y1) + cy1 y2 и b 6= 0. Теперь можно def считать, что char k = 2 и w = ax1 x2 + cy1 y2 . Тогда множество k2 = {x 2 | x ∈ k} является замкнутым подполем в k и  n  o p r SL2 (k)w = (a p + cq)x1 x2 + (ar + cs)y1 y2 ∈ SL2 (k2) , q s

откуда вытекает свойство (∗).

§ 5. Полупростые группы со свойством (T) 5.1. Лемма. Пусть k — локальное поле. (а) Группа SL3 (k) обладает свойством (T). (б) Группа Sp4 (k) обладает свойством (T). Здесь Sp4 — симплектическая группа: Sp4 = {g ∈ GL4 | t gJg = J}, где матрица tg транспо  0 E нирована по отношению к g и J = . −E 0

Д о к а з а т е л ь с т в о. (а) Пусть G = SL3 (k), а H и N таковы, как в следствии 4.6. Положим  a 0 b   Y = X = 0 1 0 X ∈ SL3 (k) , c 0 d

s=

l 0 0 0 1 0 0 0 l−1

!

∈ Y,

где l = 2, если k равно R или C, и l является униформизатором поля k, если последнее неархимедово. Пусть теперь r ∈ G˜ близко к IG . Тогда по

156

Глава III. Свойство (T)

следствию 4.6 существует такое w ∈ L(r), w 6= 0, что r (N)w = w. Положим n  o 1 x U= x ∈ k , и пусть дано (непрерывное) унитарное представление 0 1

s группы SL2 (k), а также s (U)-инвариантный вектор z. Тогда (см. лемму II.3.4) s (SL2 (k))z = z. Следовательно, r (Y)w = w, и потому r (s)w = w. Из определения матрицы s вытекает, что хотя бы одно из собственных значений преобразования Ad s отлично от 1 по абсолютной величине. С другой стороны, группа SL3 односвязна и почти проста. В силу предложения II.3.3, если s — унитарное представление группы G и вектор z инвариантен относительно s (s), то r (G)z = z. Так как при этом r (s)w = w, мы имеем r (G)w = w, откуда r > IG . Утверждение (б) доказывается аналогично утверждению (а). Достаточно взять в качестве H и N подгруппы из формулировки следствия 4.7 и положить     a 0 b 0     0 1 0 0 Y = X = X ∈ SL4 (k) ⊂ Sp4 (k),  c 0 d 0     0 0 0 1   l 0

0

0 0

0

0

0 1 0 0 s= ∈ Y, 0 0 l−1 0 1

где l таково же, как в доказательстве утверждения (а). 5.2. Лемма. Пусть k — локальное поле, G — связная полупростая k-группа и G˜ — ее односвязная накрывающая. Тогда следующие условия равносильны: (i) Группа G(k) обладает свойством (T). ˜ (ii) Группа G(k) обладает свойством (T). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть p : G˜ → G — центральная k-изогения. В си˜ лу предложения I.2.3.4 подгруппа p (G(k)) замкнута в G(k) и изоморфизм ˜ ˜ групп G(k) / (Ker p) (k) → p (G(k)) является топологическим. Но группа (Ker p) (k) конечна и потому обладает свойством (T). С учетом леммы 2.4 и ˜ предложения 2.9 группа G(k) обладает свойством (T), если и только если ˜ им обладает p (G(k)). С другой стороны, в силу предложения I.2.3.4 (i) ˜ подгруппа p (G(k)) нормальна в G(k) с компактной факторгруппой. Из следствия 2.13 теперь вытекает, что условия (i) и (ii) равносильны. 5.3. Теорема. Пусть k — локальное поле, G — связная некоммутативная почти k-простая k-группа и rankk G 6= 1. Тогда G(k) обладает свойством (T). Д о к а з а т е л ь с т в о. Из следствия I.1.4.6 (а) вытекает, что группа G и ее односвязная накрывающая имеют одинаковый k-ранг. С учетом лем-

§ 5. Полупростые группы со свойством (T)

157

мы 5.2 можно считать, что группа G односвязна. Если rankk G = 0, то по предложению I.2.3.6 группа G(k) компактна и, значит (см. п. 2.2), обладает свойством (T). Поэтому можно считать, что rankk G > 2. Тогда по предложению I.1.6.2 группа G содержит полупростую k-подгруппу F k-ранга 2, односвязная накрывающая которой изоморфна над k либо группе SL3 , либо Sp4 . Ввиду лемм 5.1 и 5.2 группа F(k) обладает свойством (T). Поэтому ] близко к IG(k) , то r (F(k))w = w для некоторого w ∈ L(r), w 6= 0. если r ∈ G(k) Пусть S — максимальный k-расщепимый тор в F. Так как rankk F > 0 и группа G полупроста, существует такой элемент s ∈ S(k), что хотя бы одно собственное значение преобразования Ad s отлично от 1 по абсолютной величине. Поскольку группа G почти k-проста и односвязна, из равенства r (s)w = w (см. предложение II.3.3) вытекает, что r (G(k))w = w. Таким образом, r > IG(k) . 5.4. Следствие. Пусть A — конечное непустое множество. Для каждого a ∈ A пусть ka — локальное поле, Ga — связная полупростая группа, определенная над ka и не содержащая связных нормальных ka -подгрупп ka -ранга 1. Тогда группа Y G= Ga (ka) a∈A

обладает свойством (T). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G˜ a — односвязная накрывающая группы Ga . Так как k-ранг инвариантен при центральных k-изогениях (см. следствие I.1.4.6), ka -ранг любого ka -простого множителя группы G˜ a отличен от 1. С другой стороны, односвязная ka -группа G˜ a является прямым произведением почти ka -простых множителей. В силу следствия 2.10 и теоремы 5.3 группа G˜ a (ka) обладает свойством (T), а тогда по лемме 5.2 это верно и для Ga (ka). Ввиду следствия 2.10 отсюда вытекает доказываемое утверждение. 5.5. Теперь посмотрим, что произойдет, если в формулировке теоремы 5.3 отказаться от условия rankk G 6= 1. Пусть rankk G = 1. Рассмотрим два случая: (а) k неархимедово; (б) k равно R или C. (а) Так как rankk G = 1, (аффинный) комплекс Брюа — Титса1 группы G является деревом. Тогда в силу предложения 3.7 группа G(k) не обладает свойством (T). (б) Если поле k равно R или C, то (см. [Ko], замечание 10) G(k) не обладает свойством (T) лишь в следующих двух случаях: 1 См., например, Т. А. Спрингер «Линейные алгебраические группы», п. 4.2.2, в кн.: «Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». Т. 55. М.: ВИНИТИ, 1989. С. 118. — Прим. ред.

158

Глава III. Свойство (T)

(i) k = C и группа G локально изоморфна (т. е. изогенна) группе SL2 ; (ii) k = R и группа G локально изоморфна (т. е. R-изогенна) либо группе SOn,1 , либо SUn,1 , где SOn,1 (соответственно SUn,1), как обычно, обозначает группу линейных преобразований с определителем 1, сохраняющих 2 квадратичную форму x12 + . . . + xn2 − xn+1 (соответственно эрмитову форму z1 z¯ 1 + . . . + zn z¯ n − zn+1 z¯ n+1). Из утверждений (а) и (б) и теоремы 5.3 вытекает 5.6. Теорема. Пусть k — локальное поле, G — связная полупростая почти k-простая k-группа. Тогда G(k) не обладает свойством (T) лишь в следующих трех случаях: (а) поле k неархимедово и rankk G = 1; (б) k = C и группа G локально изоморфна группе SL2 ; (в) k = R и группа G локально изоморфна либо SOn,1 , либо SUn,1 . 5.7. Теорема. Пусть A — конечное непустое множество. При a ∈ A пусть ka — локальное поле, Ga — Qсвязная полупростая группа, определенная над ka . Положим G = Ga (ka). Пусть Γ — решетка в групa∈A

пе G. Пусть также выполнено следующее: (∗) для каждого a ∈ A все почти ka -простые множители группы Ga имеют ka -ранг, отличный от 1. Тогда (а) группа Γ обладает свойством (T); (б) факторгруппа группы Γ по ее коммутанту конечна; (в) группа Γ конечно порождена; (г) группа Γ не является амальгамой. Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение (а) вытекает из следствия 5.4 и теоремы 2.12. Утверждения (б), (в) и (г) следуют из (а) и, соответственно, теорем 2.5, 2.7 и 3.9. 5.8. Теорема. Пусть K — глобальное поле; S — конечное множество его (неэквивалентных) нормирований, содержащее все арифметические нормирования; G — связная полупростая K -группа; Γ — некоторая S-арифметическая (т. е. соизмеримая с G(K (S))) подгруппа в G. Предположим, что выполнено следующее: (∗) для каждого v ∈ S любой почти Kv -простой множитель группы G имеет Kv -ранг, отличный от 1; здесь, как и раньше, Kv означает пополнение поля K относительно v. Тогда (а) Γ обладает свойством (T); (б) факторгруппа группы Γ по ее коммутанту конечна; (в) Γ не является амальгамой. Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим Γ0 = Γ ∩ G(K). Q В силу теоремы I.3.2.5 при диагональном вложении группы G(K) в G(Kv) подгруппа Γ0 пеv∈S

реходит в решетку. С другой стороны, условие (∗) выполнено и Γ0 имеет

§ 5. Полупростые группы со свойством (T)

159

конечный индекс в группе Γ. В силу теоремы 5.7 и следствия 2.15 группа Γ обладает свойством (T). Остается применить теоремы 2.5, 2.7 и 3.9. 5.9. Условия (∗) в утверждениях теорем 5.7 и 5.8 не являются необходимыми. Ввиду теоремы 5.6 можно заменить (∗) в теореме 5.7 на следующее условие: (∗∗) если поле ka вполне несвязно, то группа Ga не имеет почти ka -простых множителей ka -ранга 1; если же ka = R (соответственно ka = C), то Ga не имеет почти ka -простых множителей, локально изоморфных группе SOn,1 или SUn,1 (соответственно SL2). В теореме 5.7 условие (∗) можно заменить следующим: (∗∗) ′ если нормирование v ∈ S неархимедово, то G не содержит Kv -простых множителей Kv -ранга 1; если же v ∈ S и Kv = R (соответственно Kv = C), то G не содержит почти Kv -простых множителей, локально изоморфных группе SOn,1 или SUn,1 (соответственно SL2). Пусть A, ka , Ga , G и Γ таковы, как в теореме 5.7. Обозначим через pra естественную проекцию G → Ga (ka). В связи с теоремой 5.7 (г) приведем следующий результат. Теорема А (См. [Mar 15], теорема 2). Пусть при любом a ∈ A группа Ga односвязна, ka -изотропна и почти ka -проста. Пусть, кроме того, подгруппа pra (Γ) плотна в Ga (ka), если rankka Ga = 1, a ∈ A. (а) Пусть Γ1 , Γ2 — подгруппы в Γ, причем card(Γ1 / (Γ1 ∩ Γ2)) > 2, card(Γ2 / (Γ1 ∩ Γ2)) > 3 и в обозначениях п. 3.8 выполняется равенство Γ = Γ1 ∗ Γ2 . Тогда существуют a0 ∈ A и открытые подгруппы Γ1 , Γ2 в Ga0 (ka0), такие что rankka0 Ga0 = 1, Γi = pr−1 a0 (Gi) ∩ Γ (i = 1, 2) и −1 G = pra−1 (G ) ∗ pr (G ). 1 2 a0 0 (б) Пусть ranka0 Ga > 2 для всех неархимедовых полей ka , a ∈ A. Тогда в Γ не существует таких подгрупп Γ1 , Γ2 , что card(Γ1 / (Γ1 ∩ Γ2)) > > 2, card(Γ2 / (Γ1 ∩ Γ2)) > 3 и Γ = Γ1 ∗ Γ2 . Доказательство теоремы А в работе [Mar 15] существенно отличается от доказательства теоремы 5.7 (г) и основано на рассмотрении Γ-эквивариантных измеримых отображений группы G в пространство конечноаддитивных мер на множестве висячих вершин дерева X (Γ, Γ1 , Γ2). Нормальная подгруппа G ′ группы G называется стандартной, если ее можно представить в виде Y G′ = G′a (ka), a∈A

где Ga — связная нормальная ka -подгруппа в Ga . Стандартная нормальная подгруппа бесконечна, если и только если Q G′a 6= {e} для некоторого Q ′′ a ∈ A. ′ Назовем две стандартные подгруппы G = G′a (ka) и G ′′ = Ga (ka) до′

a∈A

a∈A

160

Глава III. Свойство (T)

полнительными, если при каждом a ∈ A группа Ga является почти прямым произведением подгрупп G′a и G′′a . Дадим теперь определение неприводимой решетки, которое совпадает с определением II.6.5 в случае, когда все группы Ga почти ka -просты. Определение. Решетка Γ называется приводимой, если в группе G существуют такие две стандартные дополнительные нормальные подгруппы G ′ , G ′′ , что подгруппа (Γ ∩ G ′) · (Γ ∩ G ′′) имеет конечный индекс в Γ; в противном случае решетка Γ называется неприводимой. В п. 6.9 будет доказана def Теорема Б. Пусть решетка Γ неприводима, а множество Aˆ = def

= {a ∈ A | хотя бы один из почти ka -простых множителей группы Ga имеет ka -ранг больше единицы} непусто. Пусть также ни при каком a ∈ A группа Ga не имеет нетривиальных ka -анизотропных множителей. Тогда (а) для любой нормальной подгруппы N 6⊂ Z (G) факторгруппа Γ/N обладает свойством (T) и как следствие (см. п. 2.2) либо не аменабельна, либо конечна; (б) факторгруппа Γ/D (Γ) конечна; (в) группа Γ конечно порождена; (г) группа Γ обладает свойством (FA) (см. п. 3.10), если выполнено следующее условие: для неархимедовых полей ka , a ∈ A, любой почти ka -простой множитель группы Ga имеет ka -ранг больше единицы. Теорема В. В обозначениях теоремы 5.8 предположим, что группа G односвязна и выполнено следующее условие: (E1) если G′ — некоторый почти K -простой множитель групP пы G, то rankKv G′ > 2. v∈S

Пусть Γ1 , Γ2 — подгруппы в Γ, причем card(Γ1 / (Γ1 ∩ Γ2)) > 2, card(Γ2 / (Γ1 ∩ Γ2)) > 3 и Γ = Γ1 ∗ Γ2 . Тогда существуют неархимедово нормирование v ∈ S, почти Kv -простой множитель G˜ группы ˜ v), такие что rankK G˜ = 1, G и открытые подгруппы G1 , G2 в G(K v −1 −1 Γi = p (Gi) ∩ Γ (i = 1, 2) и G(Kv) = p (G1) ∗ p−1 (G2), где p : G → G˜ — естественное отображение. Теорему В можно вывести из теоремы А по существу так же, как теорему 5.8 — из теоремы 5.7. Для этого достаточно заметить, что из условия (E1), сильной теоремы об аппроксимации (см. п. II.6.8) и следствия I.2.3.2 (б) вытекает, что если v ∈ S и rankKv G′ = 1, где G′ — почти K -простой множитель группы G, то подгруппа Γ ∩ G′ (K) плотна в G′ (Kv). Теорема Г. В обозначениях теоремы 5.8 пусть группа G почти K -проста и выполнено следующее условие:

§ 5. Полупростые группы со свойством (T)

161

(E2) существует такое v ∈ S, что хотя бы один из почти Kv -простых множителей группы G имеет Kv -ранг больше единицы. Тогда (а) для любой нормальной подгруппы N 6⊂ Z (G) факторгруппа Γ/N обладает свойством (T) и как следствие (см. п. 2.2) либо не аменабельна, либо конечна; (б) факторгруппа Γ/D (Γ) конечна; (в) группа Γ конечно порождена; (г) группа Γ обладает свойством (FA), если выполнено следующее условие: (E3) для любого неархимедова нормирования v ∈ S любая связная нормальная Kv -подгруппа в G имеет Kv -ранг, отличный от 1. Если группа G абсолютно почти проста, то теорему Г можно вывести из теоремы Б по существу так же, как теорему 5.8 из теоремы 5.7 (с той лишь разницей, что нужно рассмотреть диагональное вложение группы G(K) не в Q Q G(Kv), а в G(Kv), где S0 = {v ∈ S | группа G изотропна над Kv }. В об-

v∈S

v∈S0

щем случае рассмотрим присоединенную группу G′ группы G и представим ˆ где L — конечное расширение поля K , Gˆ — абсолютее в виде RL/K G, но почти простая присоединенная L-группа, а RL/K — функтор ограничения скаляров (см. п. I.1.7). Пусть p : G → G′ — центральная K -изогения, ˆ R = RL0/K : G(L) → G′ (K) — естественный изоморфизм, S — множество продолжений нормирования v ∈ S на L. Тогда подгруппы p (G(K (S))), G′ (K (S)) ˆ ˆ и R (G(L( S))) соизмеримы (см. следствие I.3.2.9 и лемму I.3.1.4 (ii)). Значит, чтобы свести общий случай к случаю абсолютно почти простой группы, достаточно доказать следующее утверждение. 5.10. Лемма. Пусть F — счетная дискретная группа, P — одно из следующих ее свойств: (а) свойство (T); (б) факторгруппа F /D (F) конечна; (в) группа F конечно порождена; (г) свойство (FA). Тогда верно следующее. (i) Если подгруппа конечного индекса в F обладает свойством P, то это верно и для F ; в частности, если группа F конечна, то F обладает свойством P. (ii) Если нормальная подгруппа D ⊂ F и факторгруппа F /D имеют свойство P, то это верно и для F . В случае (а) см. предложение 2.9 и следствие 2.15. В случаях (б) и (в) лемма очевидна. В случае (г) см. 6.3 в работе [Ser 3]. 5.11. Замечание. Пусть Fq [t] — кольцо многочленов от одной переменной t над конечным полем Fq . Кольцо Fq [t] совпадает с K ({v}), где

162

Глава III. Свойство (T)

K = Fq (t) — поле рациональных функций от одной переменной над Fq , а v — нормирование поля K с условием |t|v > 1. Из теоремы 5.8(a) тогда следует, что группа SL3 (Fq [t]) обладает свойством (T). С другой стороны (см. [Be 3]), она не является конечно представимой. Таким образом, мы построили контрпример к гипотезе Каждана (см. [Kaz 1]) о том, что любая счетная группа со свойством (T) конечно представима. 5.12. Пусть X — пространство с конечной нормализованной мерой m (т. е. m (X) = 1), а M — топологическая группа преобразований множества X, сохраняющих меру. Предположим, что m (hB△B) непрерывно зависит от h ∈ M для всех измеримых множеств B ⊂ X. Мы говорим, что X имеет малые почти M-инвариантные множества, если для всех t > 0, ε > 0 и конечных множеств E ⊂ M существует такое измеримое множество B ⊂ X, что 0 < m (B) < ε и m (hB△B) < t m (B) для всех h ∈ E. Последовательность {Bn }n∈N+ измеримых подмножеств пространства X назыается асимптотически M-инвариантной, если m (hBn △Bn) → 0 для всех h ∈ M, и тривиальной, если m (Bn) (1 − m (Bn)) → 0.

Действие группы M на пространстве X называется сильно эргодическим, если любая асимптотически M-инвариантная последовательность подмножеств из X тривиальна. Пусть L02 (X, m) — подпространство в L2 (X, m), состоящее из функций с интегралом, равным 0; U — квазирегулярное представление группы M в пространстве L2 (X, m), т. е. (U (h) f) (x) = f (h−1 x), h ∈ M, f ∈ L2 (X, m), x ∈ X. Если C ⊂ X, то q (C) обозначает характеристическую функцию множества C. Для измеримых множеств C положим q˜ (C) = q (C) − m (C). Очевидны следующие соотношения: q˜ (C) ∈ L02 (X, m);

kq˜ (C)k = m (C) (1 − m (C)); kU (h) q˜ (C) − q˜ (C)k = m (hC△C), h ∈ M. 2

(1) (2) (3)

Как следствие, если X имеет малые почти M-инвариантные множества или нетривиальные асимптотически M-инвариантные последовательности и M рассматривается как дискретная группа, то ограничение представления U на L02 (X, m) близко к IM . С другой стороны, если M действует на X эргодически, то ограничение представления U на L02 (X, m) не содержит IM . Отсюда вытекают следующие два предложения.

§ 5. Полупростые группы со свойством (T)

163

Предложение 1. Если M как дискретная группа обладает свойством (T) и действует на X эргодически, то X не имеет малых почти M-инвариантных множеств. Предложение 2. Если M как дискретная группа обладает свойством (T) и действует на X эргодически, то это действие сильно эргодично. Предложение 2 допускает обращение. Точнее, справедливо следующее утверждение. Предложение 3 (см. [Co–W]). Пусть Λ — счетная дискретная группа. Если любое ее эргодическое и сохраняющее меру действие на пространстве с вероятностной мерой сильно эргодично, то Λ обладает свойством (T). Обозначим через L∞ (X, m) пространство (существенно) ограниченных измеримых функций на X. Среднее на L∞ (X, m) — это такой линейный функционал l на L∞ (X, m), что l (1) = 1 и l (f) > 0 для всех f > 0. Среднее l называется M-инвариантным, если l (h f) = l (f) для всех h ∈ M и f ∈ L∞ (X, m), где (h f) (x) = f (h−1 x), x ∈ X. Имеется естественное соответствие между средними на L∞ (X, m) и конечно-аддитивными неотрицательными нормализованными функциями, определенными на кольце Ω(X, m) измеримых подмножеств в X. Действительно, пусть n — такая] функция. Тогда для каждой функции f ∈ L∞ (X, m) определен интеграл fd n. Мы ] получим среднее на L∞ (X, m), положив l (f) = fd n. Обратно, если l — некоторое среднее, то положим n (B) = l (q (B)), где q (B) — характеристическая функция множества B. Мы получим конечно-аддитивную функцию множеств. Ясно, что при этом соответствии сохраняется M-инвариантность. Таким образом, справедливо Предложение 4. Интеграл по мере m является единственным Mинвариантным средним, если и только если m является единственной M-инвариантной конечно-аддитивной неотрицательной нормализованной функцией множеств, определенной на Ω(X, m). В статье [D-R] было показано, что если группа M счетна, то интегрирование по мере m является единственным M-инвариантным средним на L∞ (X, m) в том и только том случае, когда X не имеет малых почти M-инвариантных множеств. С другой стороны, так как m (hB△B) непрерывно зависит от h ∈ M для всех измеримых множеств B ⊂ X, то любая плотная подгруппа в M действует на X эргодически, если только M действует на X эргодически. С учетом предложения 1 получаем Предложение 5. Если M содержит счетную плотную подгруппу, которая обладает свойством (T) как дискретная группа, и при этом M действует на X эргодически, то интеграл по мере m является единственным M-инвариантным средним на L∞ (X, m).

164

Глава III. Свойство (T)

Из предложения 5 вытекает Предложение 6. Пусть группа M локально компактна и действует на X транзитивно. Пусть при этом ее действие измеримо в том смысле, что измеримо отображение f : M × X → X, f (h, x) = hx, h ∈ M, x ∈ X.

Если M содержит счетную плотную подгруппу, которая обладает свойством (T) как дискретная группа, то интеграл по мере m является единственным M-инвариантным средним на L∞ (X, m). Теперь мы выведем из теоремы 5.8 и предложения 6 следующее Предложение 7. Пусть H — связная простая некоммутативная компактная группа Ли, не изоморфная локально группе SO3 (R). Если H действует транзитивно и непрерывно на гладком многообразии Y и сохраняет на нем лебеговскую меру m, то интеграл по мере m является единственным H -инвариантным средним на L∞ (Y , m). Д о к а з а т е л ь с т в о. Зафиксируем простое число p ∈ N+ . Как известно, существует абсолютно почти простая Q-группа H, которая расщепляется над p, и при этом группы Ли H(R) 0 и H изоморфны (в частности, это вытекает из теоремы B в работе [Bo–Hard]). Так как группа H не изоморфна локально группе SO3 (R), мы имеем rankQ p H > 2. Пусть Z [1/ p] — подкольцо в Q, порожденное элементом 1/ p. Так как H(R) ≃ H и группа H компактна, rankR H = 0. Поскольку при этом группа H абсолютно почти проста, по теореме 5.8(a) группа H(Z [1/ p]) обладает свойством (T). С другой стороны, по теореме о сильной аппроксимации (см. п. II.6.8) группа H(Z [1/ p]) плотна в H(R) 0 ≃ H . Теперь доказываемое утверждение вытекает из предложения 6. Следующий факт является частным случаем предложения 7. Предложение 8 (см. [Mar 14] или [Sul 2]). При n > 5 интеграл по обычной лебеговской мере m на сфере S n−1 является единственным SOn (R)-инвариантным средним на L∞ (S n−1 , m). Замечание 1. Объединив предложения 5 — 8 с предложением 4, мы получим утверждения о единственности конечно-аддитивных инвариантных функций множеств, определенных на кольце всех измеримых подмножеств. Замечание 2. В работе [Mar 16] показано, что при n > 3 лебеговская мера m является единственной (с точностью до пропорциональности) конечно-аддитивной функцией множеств, которая определена на кольце ограниченных m-измеримых подмножеств в Rn и инвариантна относительно всех движений. Доказательство этого утверждения технически гораздо сложнее, чем доказательство предложения 8, однако основано на сходных идеях.

§ 6. Связь между строением замкнутых подгрупп и свойством (T) нормальных подгрупп 165

Замечание 3. Дринфельд показал [Dr], что условие n > 5 в предложении 8 можно заменить более слабым условием n > 3. На самом деле в этой работе показано также, что в предложении 7 условие «группа H не изоморфна локально группе SO3 (R)» является излишним. Доказательство Дринфельда основано на теореме Жаке—Ленглендса и гипотезе Петерссона, доказанной Делинем. 5.13. Пусть H — счетная группа со свойством (T), а h1 , . . . , hm — ее образующие. С помощью равенств, аналогичных (2) и (3) из п. 5.12, нетрудно доказать существование числа c > 0, зависящего только от h1 , . . . , hm и такого, что [ hi X > (1 + c (1 − |X|/|F |)) · |X| 16i6m

для любой конечной факторгруппы F группы H и любого X ⊂ F (здесь hi X обозначает образ p (hi p−1 (X)) при естественном эпиморфизме p : H → F). Этот факт используется при явном построении так называемых «расширителей» (expanders). Подробности см. в [A—M] и [Mar 2].

§ 6. Связь между строением замкнутых подгрупп и свойством (T) нормальных подгрупп Пусть M — замкнутая нормальная подгруппа группы H ; p : H → H /M — естественное отображение; F — замкнутая подгруппа в H . Замыкание подмножества B в топологическом пространстве, как обычно, будет обозна¯ чаться B. В предыдущих параграфах получен ряд результатов о строении замкнутых подгрупп в группе со свойством (T). В этом параграфе мы докажем аналогичные факты для случая, когда M обладает свойством (T), а подгруппа p (F) «достаточно велика». 6.1. Определение. Пусть U ∈ F˜ — унитарное представление группы F . Мы говорим, что это представление p-факторизуемо, если существует такое (непрерывное) унитарное представление r группы p (F) в пространстве L(U), что r (p (z)) = U (z) для всех z ∈ F . Мы говорим, что U частично p-факторизуемо, если p-факторизуемо ограничение представления U на некоторое ненулевое замкнутое U (F)-подпространство в L(U) (как и выше, L(U) обозначает пространство представления U). 6.2. Лемма. Пусть U ∈ F˜ и существует такой ненулевой вектор x ∈ L(U), что для некоторого непрерывного отображения f : p (F) → L(U) при всех x ∈ F выполняется равенство f (p (z)) = U (z)x.

Тогда представление U частично p-факторизуемо.

166

Глава III. Свойство (T)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим Y = {y ∈ L(U) | существует (и единственно) непрерывное отображение fy : p (F) → L(U), для которого fy (p (z)) = = U (z)y при всех z ∈ F }. Так как U унитарно, мы имеем kfy1 (p (z)) − fy2 (p (z))k = ky1 − y2 k

при всех y1 , y2 ∈ Y и z ∈ F . Как следствие, Y замкнуто (если y = lim yn , где n→∞

yn ∈ Y , то положим fy (g) = lim fyn (g) и применим теорему о непрерывn→∞ ности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных отображений). Ясно, что Y является линейным подпространством в L(U). Положим fU (z)y (g) = fy (g p (z)) при z ∈ F , g ∈ p (F), y ∈ Y и заметим, что подпространство Y является U (F)-инвариантным. Для каждого g ∈ p (F) определим унитарный оператор r (g) на пространстве Y , положив r (g)y = fy (g), y ∈ Y . Так как fy (p (z)) = = U (z)y, отображения fy непрерывны, множество p (F) плотно в p (F) и представление U унитарно, то r является непрерывным унитарным представлением группы p (F) в пространстве Y , причем r (p (z)) = U (z) для всех z ∈ F. 6.3. Теорема. Пусть выполнено следующее: (А) группа M обладает свойством (T); (Б) на пространстве F \ H существует конечная H -инвариантная мера. Тогда в пространстве F˜ существует окрестность W представления IF со следующими свойствами: (а) каждое представление U ∈ W частично p-факторизуемо; (б) каждое неприводимое представление U ∈ W p-факторизуемо. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как m (F \ H) < ∞, операция индуцирования непрерывна и M обладает свойством (T), то существует такая открытая окрестность W ⊂ F˜ представления IF , что Ind(H , F , U)|M > IM для любого U ∈ W . Пусть U ∈ W , r = Ind(H , F , U), и пусть j — ненулевой r (M)-инвариантный вектор в пространстве L2 (H , F , U) представления r. Из леммы I.4.1.1 (v) и равенств (1) и (2) в п. 1.8 следует, что, изменив вектор-функцию j на множестве нулевой меры, можно считать, что j (zhM) = U (z) j (h),

z ∈ F,

h ∈ H.

(1)

Так как j 6= 0, существует функция f ∈ A(H), для которой (r (f) j) (e) 6= 0. Из формулы (2) п. 1.8 и леммы 1.7 вытекает, что вектор-функция r (f) j непрерывна. Но подгруппа M нормальна, и ввиду формулы (2) п. 1.8 множество вектор-функций j, удовлетворяющих условию (1), инвариантно относительно r (H), а тогда и относительно r (f). Поэтому, заменив j на r (f) j,

§ 6. Связь между строением замкнутых подгрупп и свойством (T) нормальных подгрупп 167

можно считать, что функция j непрерывна и j (e) 6= 0. Из формулы (1) вытекает, что вектор-функция j постоянна на p−1 (g) для каждого g ∈ H /M. Поэтому можно определить отображение f : p (F) → X в пространство X представления U , положив f (g) = j (p−1 (g)), g ∈ p (F).

(2)

Так как функция j непрерывна, отображение f также непрерывно. С другой стороны, j (e) 6= 0 и из формул (1), (2) вытекает, что f (p (z)) = U (z) j (e) при всех z ∈ F . Согласно лемме 6.2 представление U частично p-факторизуемо, откуда вытекает (а). Свойство (б) следует из (а) и определения неприводимого представления. Следующее утверждение непосредственно вытекает из определения частично p-факторизуемого представления. 6.4. Лемма. Если представление U ∈ F˜ частично p-факторизуемо, то существует такой вектор x ∈ L(U), что kxk = 1 и lim

z∈F ,p (z)→e

hU (z)x, xi = 1.

6.5. Теорема. Пусть выполнены условия (А) и (Б) теоремы 6.3 и группа p (F) компактно порождена. Тогда и группа F компактно порождена. Как следствие, если группа F дискретна, то она конечно порождена. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как группа F является s-компактной, в ней существует последовательность {Fn }n∈N+ открытых компактно порожденных подгрупп, такая что [ F= Fn , Fn ⊂ Fn+1 , n ∈ N+ . n∈N+

Рассмотрим следующие два случая: (i) существует такое n0 ∈ N+ , что e ∈ / p (F − Fn0); (ii) e ∈ p (F − Fn0) при всех n ∈ N+ . (i) Пусть K ⊂ p (F) — компактное множество, порождающее группу p (F), а W — окрестность единицы в этой группе, причем W ∩ p (F − Fn0) = ∅.

(1)

Так как K — компактное подмножество в p (F), а множество W открыто, то существует такое конечное подмножество L ⊂ F , что K ⊂ p (L)W . Пусть n1 > n0 и L ⊂ Fn1 . Из формулы (1) и включения Fn0 ⊂ Fn1 следует, что для каждого z ∈ L выполняется равенство p (z)W ∩ p (F − Fn1) = p (z) (W ∩ p (z −1 (F − Fn1)) =

= p (z) (W ∩ p (F − Fn1)) ⊂ p (z) (W ∩ p (F − Fn0)) = ∅.

168

Глава III. Свойство (T)

Но K ⊂ p (L)W , и потому K ∩ p (F − Fn1) = ∅,

(2)

K ⊂ p (Fn1 ).

(3)

откуда следует, что Так как Fn1 — подгруппа, мы имеем p (F − Fn1) · p (Fn1 ) = p (F − Fn1). Но p (Fn1) также подгруппа. Поэтому либо p (F − Fn1) ⊃ p (Fn1), что невозможно ввиду формул (2) и (3), либо p (F − Fn1) ∩ p (F n1) = ∅. С другой стороны, K порождает p (F), а p (Fn1 ) является подгруппой, и с учетом формулы (3) мы получаем p (F) ⊂ p (Fn1). Значит, p (F − Fn1) = ∅, и F совпадает с компактно порожденной подгруппой Fn1 . (ii) В данном случае существует такая последовательность {zn }n∈N+ , что zn ∈ F − Fn и lim p (zn) = e. (4) n→∞

Как и в доказательстве теоремы 2.7 (заменив H на F и Hn на Fn), определим F -инвариантную меру mn на Fn \ F и обозначим через rn квазирегулярное унитарное представление группы F в пространстве L2 (Fn \ F , mn). Так как S F= , Fn ⊂ Fn+1 и zn ∈ F − Fn , то для каждого i ∈ N+ и любого конечного n∈N+

подмножества X ⊂ Fi \ F найдется такое число n(X), что (Xzn) ∩ X = ∅ при всех n > n(X). Как следствие, lim hri (zn) f , f i = 0 ∀i ∈ N+ , f ∈ L2 (Fi \ F , mi).

n→∞

(5)

Как и при доказательстве теоремы 2.7, мы видим, что последовательность {rn } сходится к IF . Тогда по теореме 6.3 найдется i ∈ N+ , при котором представление ri частично p-факторизуемо. Из формулы (4) вытекает (см. лемму 6.4), что существует функция f ∈ L2 (Fi \ F , mi), для которой lim hri (zn) f , f i = 1. Но это противоречит соотношению (5).

n→∞

6.6. Теорема. Пусть выполнены условия (А) и (Б) теоремы 6.3. (а) Пусть N — замкнутая нормальная подгруппа группы F , причем факторгруппа p (F)/p (N) конечна. Тогда факторгруппа F /N обладает свойством (T) и потому (см. п. 2.2) либо не аменабельна, либо компактна. (б) Если факторгруппа p (F)/p (D (F)) конечна, то факторгруппа F /D (F) компактна. В частности, если факторгруппа p (F)/p (D (F)) конечна, а группа F дискретна, то факторгруппа F /D (F) конечна. Д о к а з а т е л ь с т в о. (a) Так как группа p (F)/p (N) конечна, из следствия 2.15 вытекает, что если (F ∩ p−1 (p (N))) /N обладает свойством (T), то

§ 6. Связь между строением замкнутых подгрупп и свойством (T) нормальных подгрупп 169

это верно и для F /N . Поэтому, заменив F на F ∩ p−1 (p (N)), можно считать, что p (F) = p (N). (1) Пусть f : F → F /N — естественное отображение. Предположим, что группа F /N не обладает свойством (T). Пусть U ′ — ее представление, близкое к представлению IF /N и не содержащее его. Положив U (z) = U ′ (f (z)), z ∈ F , мы определим представление U ∈ F˜ , не содержащее IF , близкое к нему и тривиальное на N . Так как представление U близко к IF , по теореме 6.3 оно частично p-факторизуемо. Поэтому найдутся унитарное представление r группы p (F) и ненулевой вектор x ∈ L(U), для которых выполняется равенство r (p (z))x = U (z)x ∀z ∈ F . (2) Так как представление U тривиально на N и r непрерывно, из формулы (2) следует, что r (p (N))x = x. С другой стороны, из формул (1) и (2) вытекает, что U (F)x = r (p (F))x ⊂ r (p (F))x = r (p (N))x. В итоге получаем, что U (F)x = x, и, так как x 6= 0, мы имеем U > IF . Получено противоречие, из которого следует утверждение (а). Утверждение (б) вытекает из утверждения (а) и леммы 2.3. 6.7. Теорема. Пусть выполнены условия (А) и (Б) теоремы 6.3 и p (F) = H /M. (а) Пусть F1 , F2 — открытые подгруппы в группе F , причем F1 6= F 6= F2 и в обозначениях п. 3.8 F = F1 ∗ F2 . Тогда существуют такие открытые подгруппы G1 , G2 в H /M, что Fi = p−1 (Gi) ∩ F (i = 1, 2) и H /M = G1 ∗ G2 . (б) Если группа H /M не является амальгамой, то это верно и для F . (в) Если группа H /M связна, то F не является амальгамой. Д о к а з а т е л ь с т в о. (а) Определим граф X = X (F , F1 , F2) как в п. 3.8. Так как F = F1 ∗ F2 , этот граф является деревом (см. п. 3.8). На множестве его вершин V = (F /F1) ∪ (F /F2) обычным образом введем расстояние d (см. п. 3.5) и рассмотрим естественное действие группы F на X (см. п. 3.8). Пусть P0 = eF1 ∈ F /F1 ⊂ V . Для z ∈ F положим l (z) = d (P0 , zP0). По предложению 3.6 функция l отрицательно определенна на F . Следовательно, по теореме 3.2 при каждом t > 0 функция exp(−tl) положительно определенна. Тогда (см. теорему I.5.4.3) для каждого t > 0 существуют rt ∈ F˜ и циклический вектор xt ∈ L(rt), такие что hrt (z)xt , xt i = exp(−tl (z))

∀ z ∈ F.

(1)

170

Глава III. Свойство (T)

Так как представление rt унитарно, мы имеем hrt (z) rt (z1)xt , rt (z2)xt i = hrt (z2−1 zz1)xt , xt i при всех t > 0 и z, z1 , z2 ∈ F . С другой стороны, так как l (z) = d (P0 , zP0) и расстояние d инвариантно относительно Aut X, мы имеем l (z2−1 zz1) > > l (z) − l (z2−1) − l (z1) при всех z, z1 , z2 ∈ F . Таким образом, из формулы (1) вытекает, что lim hrt (z) rt (z1)xt , rt (z2)xt i = 0 z∈F ,l (z)→∞

при всех t > 0 и z1 , z2 ∈ F . Но конечные линейные комбинации векторов rt (z)xt , z ∈ F , составляют плотное подмножество в L(rt ) (поскольку xt — циклический вектор для rt). Таким образом, lim

hrt (z)x, yi = 0 ∀ t > 0, x, y ∈ L(rt ).

z∈F ,l (z)→∞

(2)

Так как функция l непрерывна и, значит, локально ограничена, представление rt ввиду равенства (1) стремится к IF при t → 0. Тогда в силу теоремы 6.3 найдется t > 0, для которого rt частично p-факторизуемо. Из леммы 6.4 теперь вытекает, что для некоторого x ∈ L(rt ) выполнено равенство lim hrt (z)x, xi = 1. (3) z∈F ,p (z)→e

Из соотношений (2) и (3) следует, что def

l=

lim

z∈F ,p (z)→e

sup l (z) < ∞.

(4)

Выберем такую последовательность {zi }i∈N+ в F , что lim p (zi) = e, l (zi) = l ∀ i ∈ N+ .

i→∞

(5)

Обозначим через [w1 , w2 ] приведенный путь, соединяющий вершины w1 и w2 дерева X. Так как F1 6= F 6= F2 , существуют u1 , u2 ∈ F , для которых u1 P0 6= P0 6= u2 P0 , P0 ∈ [u1 P0 , u2 P0 ]

(6)

(в качестве u1 и u2 можно взять соответственно v1 и v2 v1 , где vi ∈ F3−i − Fi). Покажем, что верно следующее утверждение: −1 (∗) если z ∈ F и zP0 6= P0 , то l (z) < max{l (z 2), l (u−1 1 zu1), l (u2 zu2)}. Из условий (6) вытекает, что P0 принадлежит объединению путей [u1 P0 , zP0 ] и [u2 P0 , zP0 ]. Пусть P0 ∈ [u1 P0 , zP0 ]. Тогда zP0 ∈ [zu1 P0 , z 2 P0 ]. Как следствие, zP0 принадлежит либо [P0 , zu1 P0 ], либо [P0 , z 2 P0 ]. Если zP0 ∈ [P0 , z 2 P0 ] и zP0 6= P0 , то l (z 2) = d (P0 , z 2 P0) = d (P0 , zP0) + d (zP0 , z 2 P0) = 2d (P0 , zP0) = 2l (z) > l (z).

§ 6. Связь между строением замкнутых подгрупп и свойством (T) нормальных подгрупп 171

Таким образом, можно считать, что zP0 ∈ [P0 , zu1 P0 ]. Из включения P0 ∈ ∈ [u1 P0 , zP0 ], следует [P0 , zP0 ] ⊂ [u1 P0 , zu1 P0 ], откуда −1 l (u−1 1 zu1) = d (P0 , u1 zu1 P0) = d (u1 P0 , zu1 P0) = = d (u1 P0 , P0) + d (P0 , zP0) + d (zP0 , zu1 P0) = l (z) + 2l (u1).

Но u1 P0 6= P0 , и потому l (u1) > 0. Значит, l (u−1 1 zu1) > l (z), откуда вытекает утверждение (∗). Так как lim p (zi) = e, мы имеем i→∞

−1 lim p (zi2) = lim p (u−1 1 zi u1) = lim p (u2 zi u2) = e.

i→∞

i→∞

i→∞

Но ввиду (5) zi P0 6= P0 при l > 0. Таким образом, из (4), (5) и (∗) вытекает, что l = 0. С другой стороны, l (z) = 0, если и только если z ∈ F1 . Следовательно, существует такая открытая окрестность единицы W1 ⊂ H /M, что F ∩ p−1 (W1) ⊂ F1 . Согласно условию теоремы p (F) = H /M, откуда вытекает следующее: def (i) подгруппа G1 = p (F1) открыта; (ii) F ∩ p−1 (G1) ⊂ F ∩ p−1 (p (F1)W1) = F ∩ (F1 p−1 (W1)) = F1 (F ∩ p−1 (W1)) = = F1 F1 = F1 , откуда следует, что F1 = F ∩ p−1 (G1).

(7)

def

Аналогично получаем, что подгруппа G2 = p (F2) также открыта и F2 = F ∩ p−1 (G2).

(8)

Обозначим через YG (соответственно YF ) множество элементов g ∈ G (соответственно z ∈ F), представимых в виде g = gn . . . g1 (соответственно z = zn . . . z1), где gi ∈ G j (i) − (G1 ∩ G2) (соответственно z j ∈ F j (i) − (F1 ∩ F2)), j (i) = 1, 2 при i = 1, 2 и j (i + 1) 6= j (i) при всех i от 1 до n − 1. Так как Gi = p (Fi), мы имеем YG ⊂ p (YF ). Но из равенства F = F1 ∗ F2 следует, что YF ∩ F1 ∩ F2 = ∅ (см. п. 3.8). Так как подгруппы G1 , G2 открыты, с учетом соотношений (7) и (8) получаем, что YG ∩ G1 ∩ G2 = ∅, откуда следует, что G = G1 ∗ G2 . Утверждение (а) доказано. Утверждение (б) вытекает из утверждения (а). Утверждение (в) вытекает из утверждения (б) и того факта, что связная топологическая группа не содержит собственных открытых подгрупп. 6.8. Лемма. Пусть A, ka , Ga , G и Γ таковы, как в формулировке теоремы 5.7. Для произвольного B ⊂ A положим Y Y GB = Ga (ka), GB+ = Ga (ka) + a∈B

a∈B

172

Глава III. Свойство (T)

и обозначим через prB естественную проекцию G → GB . Пусть N — нормальная подгруппа в Γ, причем N 6⊂ Z (G); решетка Γ неприводима; при любом a ∈ A группа Ga изотропна и почти проста над ka . Тогда: (а) prB (N) ⊃ GB+ для всех B $ A; (б) если группы Ga , a ∈ A, односвязны, то prB (N) = GB для всех B $ A. Д о к а з а т е л ь с т в о. (a) Предположим противное. Тогда Ga (ka) + 6⊂ 6⊂ prB (N) при некотором a ∈ B. Так как N 6⊂ Z (G) и Γ ∩ GA−{a} ⊂ Z (GA−{a}) (см. теорему II.6.7 (г)), мы имеем pra (N) 6⊂ Z (Ga), и потому pra (prB (N)) 6⊂ 6⊂ Z (Ga). Но замыкание подгруппы prB (Γ) содержит GB+ (см. теорему II.6.7(a)) и подгруппа N нормальна в Γ, поэтому GB+ нормализует prB (N) и как следствие Ga (ka) + нормализует pra (prB (N)). Из теоремы I.1.5.6 вытекает, что prB (N) ⊃ [Ga (ka) + , prB (N)] = [Ga (ka) + , pra (prB (N))] ⊃ ⊃ [Ga (ka) + , Ga (ka) + ] = Ga (ka) + , где [C, D] обозначает взаимный коммутант подгрупп C и D. Получено противоречие. Утверждение (б) следует из утверждения (а) и теоремы I.2.3.1 (а). Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы Б и з п. 5. 9. Пусть G′a — при′ соединенная группа Q ′для Ga , а pa : Ga → Ga — центральная ka -изогения. ′ Положим G = Ga (ka). Изогении pa индуцируют непрерывный гомоa∈A

морфизм p : G → G ′ . По предложению I.2.3.4 подгруппа p (G) замкнута и нормальна в G ′ , факторгруппа G ′ / p (G) компактна и изоморфизм G / Ker p → p (G) является изоморфизмом топологических групп. Таким образом, p (Γ) — решетка в G ′ . Так как решетка Γ неприводима, решетка p (Γ) также неприводима. По следствию I.1.4.6 (б) множество {a ∈ A | ka -ранг хотя бы одного из почти k-простых множителей группы Ga′ больше единицы} совпадает с Aˆ и потому непусто. С учетом леммы 5.10, заменив Ga и Γ соответственно на G′a и p (Γ), можно считать группу Ga присоединенной. Тогда она распадается в прямое произведение ka -простых групп. Поэтому группы Ga можно считать ka -простыми. В этом случае Aˆ = {a ∈ A | rankka Ga > 2}. Пусть GB , GB+ и prB таковы, как в формулировке леммы 6.8. Так как решетка Γ неприводима и Aˆ 6= ∅, по теореме II.6.7(a) мы имеем + prA−Aˆ (Γ) ⊃ GA− . (1) Aˆ + Из следствия I.2.3.5 и теоремы I.2.3.1 (б) вытекает, что группа GA− комAˆ + пактно порождена, а факторгруппа GA−Aˆ /GA−Aˆ компактна. Тогда ввиду

§ 6. Связь между строением замкнутых подгрупп и свойством (T) нормальных подгрупп 173

включения (1) подгруппа prA−Aˆ (Γ) компактно порождена. С другой стороны, по следствию 5.4 группа GAˆ обладает свойством (T). Тогда в силу теоремы 6.5 группа Γ конечно порождена, и утверждение (в) доказано. Так как группы Ga изотропны над ka , по теореме I.2.3.1 (в) фактор+ группа GA−Aˆ /GA− коммутативна и периодична. Следовательно, подгруппа Aˆ −1 + Γ ∩ prA−Aˆ (GA−Aˆ ) имеет конечный индекс в конечно порожденной группе Γ. + Тогда из леммы 5.10 (i) вытекает, что можно заменить Γ на Γ ∩ pr−1 (GA− ). A−Aˆ Aˆ С учетом включения (1) получаем + prA−Aˆ (Γ) = GA− . Aˆ

(2)

По следствию 5.4 группа GAˆ обладает свойством (T). С другой стороны, + + по теореме I.1.5.6 (ii) мы имеем D (GA− ) = GA− . Таким образом, утверAˆ Aˆ ждения (а) и (б) теоремы легко вытекают из равенства (2), теоремы 6.6 и леммы 6.8 (a). Осталось доказать утверждение (г). Положим A′ = {a ∈ A | ka изоморфно R или C}. Из теоремы I.2.3.1 (в) вытекает, что GA+′ — связная открытая подгруппа в GA′ . Используя раdef + венство (2) и теорему 6.7 (в), получаем, что группа Γ′ = Γ ∩ pr−1 A′ (GA′ ) имеет ′ ˆ конечный индекс в Γ и не является амальгамой, если A ⊃ A − A. Из только ˆ что доказанных утверждений (б) и (в) теперь вытекает, что если A′ ⊃ A − A, ′ то Γ обладает свойством (FA) (см. п. 3.10). Тогда в силу леммы 5.10 (i) им обладает и решетка Γ, что доказывает утверждение (г). 6.9. Замечание. Рассуждение, сходное с вышеприведенным доказательством утверждения (г), позволяет с помощью теоремы 6.7 (а) доказать теорему А из п. 5.9 при условии, что решетка Γ неприводима, а множество Aˆ непусто. При этом условие card(Γ2 / (Γ1 ∩ Γ2)) > 3 можно заменить более слабым: card(Γ2 / (Γ1 ∩ Γ2)) > 2.

Глава IV

Факторгруппы дискретных подгрупп В § 4 этой главы мы докажем теорему о том, что при определенных условиях любая нормальная подгруппа N неприводимой решетки Γ либо центральна, либо имеет конечный индекс. Доказательство основано на следующих двух утверждениях: (а) если факторгруппа Γ/N не аменабельна, то подгруппа N центральна; (б) если факторгруппа Γ/N аменабельна, то она конечна. Доказательство утверждения (а) опирается на результаты § 2 о Γ-инвариантных алгебрах измеримых множеств и теорему Фюрстенберга о существовании эквивариантных измеримых отображений в некоторые пространства с мерой. В § 2 используется обобщение классической теоремы о точке плотности. Оно доказано в § 1. Для большинства случаев утверждение (б) легко вытекает из результатов гл. III. В остальных случаях применяется доказанная в § 3 теорема о факторгруппах решеток, лежащих в прямых произведениях.

§ 1. Определение b-метрики, теорема Витали о покрытиях и теорема о точке плотности Пусть X — некоторое множество, b > 1. Неотрицательная функция r на множестве X × X называется b-расстоянием (или b-метрикой), если выполнены следующие условия: r (x, y) = 0 ⇔ x = y; r (x, y) = r (y, x); r (x, z) 6 b [r (x, y) + r (y, z)]

(1) (2) (3)

§ 1. Определение b-метрики, теорема Витали о покрытиях и теорема о точке плотности 175

при всех x, y, z ∈ X. При b = 1 мы получаем расстояние в обычном смысле. Для x ∈ X, F ⊂ X и ε > 0 положим U (x, ε) = {y ∈ X | r (y, x) 6 ε}, U0 (x, ε) = {y ∈ X | r (y, x) < ε}, [ U (F , ε) = U (x, ε), x∈F

d (F) = sup r (x, y). x,y∈F

Последняя величина называется диаметром множества F . Пусть топологическое пространство X наделено b-растоянием r. Если семейство {U0 (x, ε) | x ∈ X, ε > 0} образует базу открытых множеств пространства X, то X называется b-метрическим топологическим пространством. Замыкание множества U (x, ε) будет обозначаться U (x, ε). Очевидно, U (x, ε) ⊂ U (x, bε). 1.1. Лемма. Пусть X — компактное b-метрическое пространство и B ⊂ X. Предположим, что семейство F замкнутых подмножеств в X обладает следующим свойством: (V ) для каждой точки x ∈ X существует содержащее ее множество F ∈ F сколь угодно малого положительного диаметра d (F). Тогда либо B содержится в конечном объединении непересекающихся множеств из семейства F , либо существует такая счетная совокупность {Fn } непересекающихся множеств из F , что B ⊂ F1 ∪ . . . ∪ Fn ∪

∞ [

U (Fk , 3b d (Fk))

при всех n.

(1)

k=n+1

Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим множества Fn по индукции. В качестве F1 возьмем произвольное множество из F . Предположим, что F1 , . . . . . . , Fk уже определены. Если B ⊂ F1 ∪ . . . ∪ Fk , то утверждение леммы def очевидно. В противном случае положим εk = sup d (F), F ∈ Fk = {F ∈ F | Fi ∩ ∩ U (F , d (F)) = ∅ при всех i от 1 до k }. Так как X является b-метрическим k S пространством и множество Fi замкнуто в X, то ввиду свойства (V ) i=1

семейство Fk непусто и εk > 0. Возьмем в качестве Fk+1 произвольное множество из семейства Fk , для которого d (Fk+1) > 2εk /3. Пусть теперь включение (1) не выполнено при некотором n > 1. Пусть   ∞ [ (2) p ∈ B − F1 ∪ . . . ∪ Fn ∪ U (Fk , 3b d (Fk)) . k=n+1

176

Глава IV. Факторгруппы дискретных подгрупп

Так как множество

n S

Fi замкнуто, в силу свойства (V ) существует такое

i=1

множество F ∈ Fn , что p ∈ F и d (F) > 0. Если k > n и F ∈ Fk , то d (F) 6 εk . Следовательно, d (Fk+1) > 2d (F) /3. Так как p ∈ F , мы имеем U (F , d (F)) ⊂ U (p, 2b d (F)) ⊂ U (p, 3b d (Fk+1)).

С другой стороны, так как k > n, то ввиду условия (2) мы получаем p∈ / U (Fk+1 , 3b d (Fk+1)). Таким образом, Fk+1 ∩ U (F , d (F)) = ∅. Но мы показали, что если k > n и F ∈ Fk , то Fk+1 . Отсюда и из включения F ∈ Fn получаем индукцией по k, что F ∈ Fk при всех k. Поэтому εk > d (F) > 0 при всех k > 0, откуда мы получаем, что d (Fk) > 2d (F) /3 > 0 при всех k > 1. Рассмотрим теперь произвольную последовательность {pk }k∈N+ , где pk ∈ Fk при всех k ∈ N+ . Если i < j, то Fi ∩ U (F j , d (F j)) = ∅, откуда r (pi , p j) > d (F j) > 2d (F) /3. Поэтому последовательность {pk } не содержит сходящейся подпоследовательности, что противоречит компактности пространства X. Значит, включение (1) выполнено при всех n > 1. 1.2. Определение. Пусть m — регулярная борелевская мера на локально компактном b-метрическом топологическом пространстве X. Мы говорим, что множество B ⊂ X покрыто в смысле Витали семейством F замкнутых подмножеств пространства X, если все множества F ∈ F имеют положительную m-меру и для некоторого l > 0 любая точка из B принадлежит множеству F ∈ F произвольно малого диаметра, которое удовлетворяет условию m (U (F , 3b d (F))) /m (F) 6 l.

(1)

1.3. Теорема (теорема Витали о покрытиях). Пусть X — локально компактное b-метрическое топологическое пространство с (регулярной борелевской) мерой m. Если семейство F замкнутых множеств в X покрывает множество B ⊂ X в смысле Витали, то существует последовательность {Fn }n∈N+ непересекающихся множеств   ∞ S из F , для которой m B − Fn = 0. n=1

Д о к а з а т е л ь с т в о. Вначале рассмотрим случай, когда X компактно. В силу леммы 1.1 существует последовательность {Fn } непересекающихся множеств из F , такая что n ∞ [ [ B− Fk ⊂ U (Fk , 3b d (Fk)) k=1

k=n+1

для каждого n. Согласно неравенству (1) из п. 1.2 мы имеем   [ ∞ ∞ ∞ X X m m (U (Fk , 3b d (Fk))) 6 l m (Fk) → 0 U (Fk , 3b d (Fk)) 6 k=n+1

k=n+1

k=n+1

§ 1. Определение b-метрики, теорема Витали о покрытиях и теорема о точке плотности 177

при n → ∞, так как

∞ P

m (Fk) 6 m (X) < ∞. Поэтому для каждого ε > 0 су-

k=1

ществует такое натуральное число n, что B−

и

∞ [

k=1

Fk ⊂ B −  [ ∞

m

nε [

k=1

Fk ⊂

∞ [

U (Fk , 3b d (Fk))

k=nε +1

Как следствие, множество B −

U (Fk , 3b d (Fk))

k=nε +1

∞ S



< ε.

Fn имеет меру нуль.

n=1

Общий случай можно свести к случаю компактного пространства X следующим образом. Так как X является s-компактным, в нем существует последовательность {Xi }i∈N+ непересекающихся относительно компактных   ∞ S открытых подмножеств, такая что m X − Xi = 0. Например, можно поi=1

ложить Xi := {x ∈ X | li < f (x) < li+1 }, где f : X → R — функция, для которой множества {x ∈ X | f (x) < c} относительно компактны при каждом c ∈ R, а {li } — такая возрастающая последовательность в R, что lim li = ∞ и li i→∞

не является точкой разрыва монотонной функции h(c) = m{x ∈ X | f (x) < c}. Существование такой функции f вытекает из классической теоремы Урысона о продолжении непрерывных функций на нормальных пространствах. Заменив X на замыкание множества Xi для каждого i ∈ N+ , B на B ∩ Xi , а семейство F на подсемейство {F ∈ F | F ⊂ Xi }, мы приходим к случаю компактного пространства. 1.4. Пусть m и X таковы, как в определении 1.2. Мы говорим, что b-расстояние m-конечномерно, если m (U (x, ε)) > 0 для всех x ∈ X и ε > 0 и sup lim (m (U (x, cε)) /m (U (x, ε))) < ∞ (1) x∈X ε→0

при всех c > 1. Отметим, что если неравенство (1) выполнено при некотором c > 1, то оно верно и при любом c > 1. Мы говорим, что x ∈ X является точкой плотности измеримого подмножества C ⊂ X, если lim (m (C ∩ U (x, ε)) /m (U (x, ε))) = 1.

ε→0

(2)

1.5. Теорема (теорема о точке плотности). Пусть X и m таковы, как в теореме 1.3, и b-расстояние в пространстве X является m-конечномерным. Тогда для любого измеримого множества C ⊂ X почти все (по мере m) его точки являются точками плотности.

178

Глава IV. Факторгруппы дискретных подгрупп

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как мера m регулярна, в пространстве X существует последовательность {W j } открытых подмножеств, содержащих C и таких, что lim m (W j − C) = 0. (1) j→∞

Для i ∈ N+ положим Bi = {x ∈ C | lim inf(m (C ∩ U (x, ε)) /m (U (x, ε))) < 1 − (1/i)}. ε→0

Так как подмножества W j ⊃ C открыты, а b-расстояние в пространстве X является m-конечномерным, при i, j ∈ N+ семейство def

Fij = {U (x, ε) | x ∈ C, ε > 0, U (x, ε) ⊂ W j , (m (C ∩U (x, ε)) /m (U (x, ε))) < 1− (1/i)} покрывает Bi в смысле Витали. Тогда в силу теоремы 1.3 существует такая последовательность {Fni j }n∈N+ непересекающихся множеств из Fi j , что   ∞ [ ij m Bi − Fn = 0. (2) n=1

Так как все множества Fni j принадлежат соответствующим семействам Fi j и не пересекаются, мы имеем m (W j − C) >

∞ X n=1

m (Fni j − C) >

∞ X

(1/i) m (Fni j).

(3)

n=1

Из (1), (2) и (3) вытекает, что m (Bi) = 0 для всех i ∈ N+ . Но def

B = {x ∈ C | x не является точкой плотности для C} =

∞ [

Bi .

i=1

Следовательно, m (B) = 0, что и требуется. 1.6. Следствие. Пусть H — локально компактная s-компактная группа, f : H → H — стягивающий автоморфизм, B ⊂ H — некоторое mH -измеримое подмножество. При Y ⊂ H положим  H при e ∈ Y , w (Y) = ∅ при e ∈ / Y. Тогда почти для всех (по мере mH ) элементов h ∈ H последовательность {f−n (hB)}n∈N+ сходится по мере mH к w (hB) (в смысле п. I.4.2). Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как группа H является s-компактной, то достаточно показать, что для любого C ⊂ H и любого открытого относительно

§ 2. Инвариантные алгебры измеримых множеств

179

компактного подмножества K ⊂ H , содержащего единицу, выполняется равенство lim (mH (f−n (hC) ∩ K) /mH (K)) = 1 почти для всех h ∈ C −1 .

n→+∞

(1)

Можно применить это равенство к C = B и C = H − B. Так как f — автоморфизм, то мера mH является f-однородной, т. е. mH (f (W )) /mH (W ) не зависит от W ⊂ H . Как следствие, (1) эквивалентно следующему равенству: lim (mH ((hC) ∩ fn K)) /mH (fn (K)) = lim (mH (C ∩ (h−1 fn (K))) /mH (fn (K))) =1 n→+∞

n→+∞

(2) почти для всех h ∈ C −1 . Так как автоморфизм f стягивающий, существует такое N ∈ N+ , что Заменив K на

S

fn ((K ∪ K −1) · K) ⊂ K

06n6N −1

∀ n > N.

(3)

fn (K ∪ K −1), можно считать, что

K = K −1 , f (K) ⊂ K .

(4)

При h1 , h2 ∈ H положим

n nK (h1 , h2) = max{n ∈ Z | h−1 1 h2 ∈ f (K)},

rK (h1 , h2) = 2−nK (h1 ,h2) /N .

Из формул (3) и (4) вытекает, что функция rK является левоинвариантным 2-расстоянием в группе H и hfn (K) = U (h, 2−n/N )

∀ h ∈ H , n ∈ Z,

(5)

где U (h, 2−n/N ) = {y ∈ H | rK (h, y) 6 2−n/N }. Так как автоморфизм f стягивающий, множество K открыто и содержит e, а мера mH является f-однородной, ввиду равенства (5) группа H с 2-расстоянием rK является 2-метрическим топологическим пространством, а расстояние rK является mH -конечномерным. Применив теорему 1.5 к расстоянию rK и множеству C, получаем равенство (2).

§ 2. Инвариантные алгебры измеримых множеств В этом параграфе применяются обозначения, введенные в п. II.3.0. Перечислим те, которые действительно используются ниже: − A, ka , Ga , Ga , G, GB , prB , pra , Pϑ , Pa , V− ϑ , S, P, P , V , V − , ∆, Sϑ , Pϑ , Pϑ− , Vϑ , Vϑ− , Rϑ , Dϑ , A(s).

180

Глава IV. Факторгруппы дискретных подгрупп

− − − − Положим L− ϑ = ZG (Sϑ) ∩ V , Ψϑ (C) = Vϑ · (C ∩ Kϑ ). Очевидно, L∅ = {e}. − − − − − − Так как ZG (Sϑ) = Pϑ ∩ Pϑ , Pϑ = ZG (Sϑ) ⋉ Vϑ и Vϑ ⊂ V ⊂ P ⊂ Pϑ− , мы − − имеем L− и V − = L− ϑ = Pϑ ∩ V ϑ ⋉ Vϑ при всех ϑ ∈ ∆ (см. п. II.3.0). Если − C ⊂ Vϑ , то  − Vϑ при e ∈ C, Ψϑ (C) = ∅ при e ∈ / C. P rankka Ga . Мы используем Ранг группы G определяется как rank G =

a∈A

также обозначения, введенные в п. I.4.2. В частности, пусть H — локально компактная группа, F ⊂ F ′ ⊂ H — ее подгруппы. Тогда M(H) = M(H , mH ) и M(H /F) = M(H /F , mH /F ) обозначают алгебры классов измеримых множеств в H и H /F , а M(H /F , F ′) ⊂ M(H /F) — прообраз алгебры M(H /F ′) при естественном отображении H /F → H /F ′ . Напомним, что отображение, ставящее в соответствие каждому измеримому множеству его класс, обозначается b. Пусть Γ — решетка в группе G. Основной результат этого параграфа (теорема 2.11 (а)) состоит в том, что при некоторых ограничениях на G и Γ любая Γ-инвариантная подалгебра в M(G /P) имеет вид M(G /P, Pϑ), где ϑ ⊂ ∆. Этот результат применяется в § 4 для изучения неаменабельных факторгрупп дискретных подгрупп. Как и в п. II.7.1, мы говорим, что элемент g ∈ G действует эргодически на Γ \ G, если преобразование x 7→ x g пространства Γ \ G с мерой mG эргодично. Напомним, что эргодичность действия элемента g на Γ \ G равносильна следующему свойству: если B ∈ M(G) и Γ · B · g = B, то либо mG (B) = 0, либо mG (G − B) = 0. 2.1. Лемма. Если g ∈ G действует эргодически на Γ \ G, S S то ′ для почти всех (по мере mG) g ′ ∈ G множества Γ g′ gn и Γ g g −n n∈N+

n∈N+

плотны в G. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как G удовлетворяет второй аксиоме счетности, достаточно показать, что для открытого непустого множеS любого S ства B ⊂ G дополнения множеств ΓB g n и ΓB g −n имеют меру нуль. n∈N+

n∈N+

Но это равносильно следующему утверждению: (∗) для любого открытого непустого множества Y ⊂ Γ \ G дополнения S S множеств Y gn и Y g −n имеют меру нуль в Γ \ G. n∈N+

n∈N+

Теперь остается заметить, что, так как g действует эргодически на Γ \ G и при этом mG (Y) > 0 для любого открытого непустого множества Y ⊂ Γ \ G, утверждение (∗) вытекает из эргодической теоремы Биркгофа, примененной к характеристической функции множества Y и преобразованию x 7→ x g, g ∈ Γ \ G. (Применение эргодической теоремы Биркгофа мож-

§ 2. Инвариантные алгебры измеримых множеств

но заменить следующим элементарным рассуждением: если X =

181

S

Y g n,

n∈N+

то X g ⊂ X и, так как мера инвариантна, множество X − gX имеет меру нуль.) При любых a ∈ A и ϑ ⊂ ∆a отображение, переводящее (v, p) ∈ V− ϑ × Rϑ в v p −1 ∈ Ga , является изоморфизмом между V− ϑ × Rϑ и открытым по Зарисскому подмножеством в Ga (см. п. I.1.2). В силу предложений I.2.5.3 (i) и I.4.3.1 справедлива 2.2. Лемма. Пусть ϑ ⊂ ∆. Тогда (i) подмножество Vϑ− · Pϑ открыто в G и отображение ε: Vϑ− · Pϑ → → Vϑ− · Pϑ , ε(v, p) = v p −1 , v ∈ Vϑ− , p ∈ Pϑ , является гомеоморфизмом; (ii) mG (G − (Vϑ− · Pϑ)) = 0; (iii) с точностью до скалярного множителя мера mG является образом меры mV − ·Pϑ при отображении ε. ϑ 2.3. Лемма. Пусть s ∈ S, причем s принадлежит R∆ и действует эргодически на Γ \ G.SТогда почти для всех (по мере mV − ) элементов v ∈ V − множество Γvs −n плотно в G. n∈N+

Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим W = {g ∈ G | множество {Γ gs −n | n ∈ N+ } плотно в G} и Y = {v ∈ V − | mP (Cv) = 0, где Cv = {p ∈ P | v p −1 ∈ / W }}. Так как s действует эргодически на Γ \ G, по лемме 2.1 мы имеем mG (G − W ) = 0. Тогда из леммы 2.2 и теоремы Фубини вытекает, что mV − (V − − Y) = 0.

(1)

Так как s ∈ R∆ , в силу леммы II.3.1.(б) автоморфизм Int s|P — нерасширяющий. Но g ps −n = gs −n (s n ps −n), g ∈ G, p ∈ P. Поэтому при каждом g ∈ G множество {p ∈ P | g p −1 ∈ W } замкнуто, откуда следует, что V − ∩ W ⊃ Y . Остается применить формулу (1). 2.4. Предложение. Пусть X — локально компактная s-компактная группа. (а) Пусть B — подалгебра алгебры M(X), причем XB = B (т. е. xB ∈ B для всех x ∈ X и B ∈ B). Тогда B = M(X, H) для некоторой замкнутой подгруппы H ⊂ X. (б) Пусть F — замкнутая подгруппа в X, а B — подалгебра алгебры M(X /F), причем XB = B. Тогда B = M(X /F , H) для некоторой замкнутой подгруппы H ⊂ X, содержащей F . Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть H и F — замкнутые подгруппы в X, причем H ⊃ F . Алгебра M(X, H) является прообразом алгебры M(X /F , H) при естественном отображении X → X /F . Поэтому утверждение (б) вытекает из (а). Докажем утверждение (а). Пусть Ω — пространство вещественнозначных измеримых функций f на группе X, для которых {x ∈ X | a < f (x) < b} ∈ B (точнее, b{x ∈ X | a < f (x)
0, mL− (L{b} − (vC)) > 0}. Так как BL{b} 6= B, {b} {b} в силу теоремы Фубини mV − (U) > 0. Заметим, что множество D{b} непусто (см. II.3.0), и выберем s ∈ D{b} . Так как при любом a ∈ A группа Ga является ka -изотропной, то либо A(s) = A, либо A(s) = A − {a}, где b ∈ ∆a и rankka Ga = 1. В обоих случаях подгруппа Γ · GA(s) плотна в G (в первом случае это очевидно, а во втором вытекает из утверждения (б)). Следовательно, s ∈ D{b} действует эргодически на Γ \ G (см. следствие II.7.3 (а)). Отсюда, из неравенства mV − (U) > 0 и леммы 2.7 получаем, что для некоторого v ∈ U выполняется включение b (g ◦ Ψ{b} (vC)) ∈ B

∀ g ∈ G.

(1)

Пусть B1 — подалгебра в B, порожденная классами b (g ◦ Ψ{b} (vC)), g ∈ G. Тогда GB1 = B1 . Ввиду предложения 2.4 (б) B1 = M(G /P, Pϑ′) для некоторого ϑ′ ⊂ ∆. Так как v ∈ U , мы имеем b (Ψ{b} (vC))L− {b} 6= b (Ψ{b} (vC)). Но b (Ψ{b} (vC)) ∈ B1 = M(G /P, Pϑ′ ) = M(V − , L− / ϑ′ , и потоϑ′ ). Значит, b ∈ ′ му ϑ ∩ ϑ 6= ϑ. С другой стороны, M(G /P, Pϑ′ ) = B1 ⊂ B (см. (1)) и B ⊃ ⊃ M(G /P, Pϑ), откуда следует, что B ⊃ M(G /P, Pϑ′ ∩ϑ). Это противоречит минимальности множества ϑ, что доказывает утверждение (а). Утверждение (б) вытекает из утверждения (а), примененного к прообразу подалгебры H при естественном отображении G /P → G /Pd . Утвержде-

§ 3. Аменабельные факторгруппы решеток, лежащих в прямых произведениях

185

ние (в) следует из (б) и того факта, что любая параболическая ka -подгруппа в Ga сопряжена стандартной параболической подгруппе посредством элемента из Ga (ka) (см. п. I.1.2). Из теорем 2.11 и II.6.7 (б) вытекает 2.12. Следствие. Пусть rank G > 2, решетка Γ неприводима (в смысле определения II.6.5 или определения из п. III.5.9) и для каждого a ∈ A группа Ga односвязна, ka -изотропна и почти ka -проста. Тогда выполнены утверждения (а), (б) и (в) теоремы 2.11. 2.13. Следствие. Пусть P′a — параболическая ka -подгруппа в Ga ; Q ′ ′ P = Pa (ka); X — некоторое Γ-пространство с Γ-квазиинвариантa∈A

ной s-конечной мерой m; f : G /P ′ → X — некоторое Γ-эквивариантное измеримое отображение, при котором прообразы множеств меры нуль имеют меру нуль. Пусть выполнены условия теоремы 2.11. Тогда существуют замкнутая подгруппа P ′′ в G, содержащая P ′ , и би-измеримая биекция f : G /P ′′ → X, такие что f−1 ◦ f совпадает почти всюду с естественной проекцией из G /P ′ на G /P ′′ . 2.14. Следствие 2.13 вытекает из теоремы 2.11 (в), примененной к прообразу алгебры M(X, m) при отображении f . Отметим, что обратное также верно, т. е. утверждение (в) теоремы 2.11 вытекает из следствия 2.13. Существует и топологический вариант следствия 2.13. 2.15. Теорема (см. [Da 5]). Пусть G — связная полупростая R-группа без R-анизотропных почти R-простых множителей; Γ — неприводимая решетка в G(R); P — параболическая R-подгруппа в G; X — хаусдорфово топологическое Γ-пространство; f : G(R) /P(R) → X — непрерывное сюръективное Γ-эквивариантное отображение. Если rankR G > 2, то существуют параболическая R-подгруппа P′ ⊂ G, содержащая P, и Γ-эквивариантный гомоморфизм f : G(R) /P′ (R) → X, такие что f−1 ◦ f совпадает с естественной проекцией из G(R) /P(R) на G(R) /P′ (R). 2.16. Замечание. Условие «rankR G > 2» в теореме 2.15 существенно (см. [Spa]). Аналогично нельзя опустить и условие (∗) в теореме 2.11 (см. [Mar 11], следствие 2.9.1 (II)).

§ 3. Аменабельные факторгруппы решеток, лежащих в прямых произведениях Определение аменабельной группы см. в п. I.5.5.1. Этот параграф посвящен доказательству теоремы 3.9 о конечности (при определенных условиях) аменабельных факторгрупп решеток, лежащих в прямых произведениях локально компактных групп G1 и G2 со следующим свойством:

186

Глава IV. Факторгруппы дискретных подгрупп

(Q) существуют такие компактные подгруппы Ki ⊂ Gi , i = 1, 2, что g −1 ∈ Ki gKi при всех g ∈ Gi . 3.1. Обозначения. Замыкание множества A в топологическом про¯ странстве мы обозначаем A. Пусть H — локально компактная группа. Как и в гл. III, H˜ (соответˆ обозначает множество всех непрерывных унитарных (соответственно H) ственно неприводимых унитарных) представлений группы H в сепарабельных комплексных гильбертовых пространствах. Тривиальное одномерное ˆ Пространство представлепредставление группы H обозначается IH ∈ H. ˜ ния r ∈ H будет обозначаться L(r). Как и выше, mH обозначает левоинвариантную меру Хаара на H . В случае H = H1 × H2 мы полагаем mH = mH1 × mH2 . При H = H1 × H2 для каждого r ∈ H˜ и f ∈ L1 (H1 , mH1) положим r (f) =

]

f (h) r (h)d mH1 (h).

H1

Если B ⊂ H , r ∈ H˜ и K — компактная подгруппа в H , то положим ] L(r) B = {x ∈ L(r) | r (B)x = x} и rK = (1/mK (K)) r (k)d mK (k). K

Пусть A(H) обозначает множество всех неотрицательных непрерывных ] функций f на H с компактным носителем, для которых fd mH = 1. H

Как и выше, h f и fh будут обозначать левый и правый сдвиги функции f на H . Для A ⊂ H положим A0 = {e} и Ai = Ai−1 · A, где i ∈ N+ . 3.2. Лемма. Пусть H — локально компактная группа и f ∈ A(H). Тогда существует такое a(f) > 0, что для любых r ∈ H˜ и x ∈ L(r) выполняется неравенство 2(kxk2 − Rehr (f)x, xi) 6 sup kr (h)x − xk2 6 a(f) (kxk2 − Rehr (f)x, xi). (1) h∈supp f

Д о к а з а т е л ь с т в о. Зафиксируем rH˜ и x ∈ L(r). Так как kxk2 − ] 1 − Rehr (f)x, xi = kr (x) − xk2 при всех h ∈ H и fd mH = 1, мы имеем 2

kxk2 − Rehr (f)x, xi =

H

1] f (h)kr (h)x − xk2 d mH (h). 2

(2)

H

Так как f ∈ A(H), первое неравенство в (1) непосредственно следует из соотношения (2). Из включения f ∈ A(H) также вытекает, что в группе H существуют компакт K и относительно компактная окрестность едини-

§ 3. Аменабельные факторгруппы решеток, лежащих в прямых произведениях

187

цы V , такие что K · K −1 · K ⊃ supp f ,

(3)

a = inf{f (h) | h ∈ K · V · V } > 0.

(4)

def

Так как множество K компактно, найдется такое k ∈ K , что kr (k)x − xk = def

= b = sup{kr (h)x − xk | h ∈ K }. Рассмотрим множество Y = {v ∈ V · V | kr (kv)x − xk > b /3}. Так как множество V относительно компактно, мы def

имеем c = inf{∆H (h) | h ∈ V } > 0, где ∆H — модуль локально компактной группы H . Покажем, что mH (Y) >

c m (V ). c+1 H

(5)

Это очевидно, если Y ⊃ V . Пусть теперь V − Y 6= ∅ и w ∈ V − Y . Так как kr (ku)x − xk < b /3 для всех u ∈ V − Y , а представление r унитарно, для каждого v ∈ V − Y мы имеем kr (kvw)x − xk > kr (kvw)x − r (kv)xk − kr (kv)x − xk >

> kr (kvk−1) (r (kw)x − r (k)xk − b /3 = kr (kw)x − r (k)xk − b /3 >

> kr (k)x − xk − kr (kw)x − xk − b /3 > b − (b /3) − (b /3) = b /3.

Таким образом, (V − Y)w ⊂ Y . Теперь неравенство (5) вытекает из соотношений mH ((V − Y)w = ∆H (w) mH (V − Y) > c mH (V − Y). Так как f > 0 и мера mH левоинвариантна, из соотношений (2), (4) и (5) вытекает, что kxk2 − Rehr (f)x − xi >

1 ] f (h)kr (h)x − xk2 d mH (h) > 2 kY

> (ab 2 /9) mH (Y) >

ab 2 c m (V ). 9(c + 1) H

(6)

Так как представление r унитарно, при всех h, h1 , h2 ∈ H kr (h1 h2)x − xk 6 6 kr (h1)x − xk + kr (h2 (x) − xk и kr (h−1)x − xk = kr (h)x − xk. Таким образом, из включения (3) вытекает, что sup{kr (h)x − xk | h ∈ supp f } 6 3 sup{kr (h)x − xk | h ∈ K } = 3b. Отсюда и из неравенств (6) следует, что искомой константой является a(f) =

81(c + 1) mH (V). ac

188

Глава IV. Факторгруппы дискретных подгрупп

3.3. Пусть G1 , G2 — компактно порожденные унимодулярные локально компактные группы со второй аксиомой счетности. Положим G = G1 × G2 . Предположим, что группы Gi , i = 1, 2, обладают следующим свойством: (Q) Существует такая компактная подгруппа Ki ⊂ Gi , что g −1 ∈ Ki gKi при всех g ∈ Gi . Положим K = K1 × K2 . До конца параграфа обозначения G, G1 , G2 , K1 , K2 имеют тот же смысл, что и выше. 3.4. Лемма. Пусть функции fi ∈ A(Gi), i = 1, 2, биинвариантны относительно Ki (т. е. fi (Ki gKi) = fi (g) для всех g ∈ Gi), причем supp Fi ⊃ Ki . Положим f = f1 × f2 (т. е. f (g1 , g2) = f1 (g1) f2 (g2), g1 ∈ G1 , ˆ Тогда: g2 ∈ G2). Пусть T ∈ G. K (i) dim L(T ) 6 1; (ii) операторы T (f) и T (fi) эрмитовы; (iii) подпространство L(T ) K состоит из общих собственных векторов операторов T (f) и T (fi), которые отвечают их вещественным собственным значениям l f (T ) и l fi (T ), не превосходящим 1 по абсолютной величине. При этом l f (T ) = l f1 (T ) l f2 (T ); (iv) оператор T (f) отображает L(T ) в L(T ) K , причем kT (f)k = = |l f (T )|; (v) существует такая не зависящая от T константа b (f) > 0, что p kT K (T (g)x − xk 6 b (f) 1 − l f (T )kT (g)x − xk, x ∈ L(T ) K , g ∈ supp f ; p kT (g1) (T (g2)x − x) − (T (g2)x − x)k 6 b (f) 1 − l f (T )kT (g2)x − xk; x ∈ L(T ) K , g ∈ supp f1 , g2 ∈ G2 .

(1) Д о к а з а т е л ь с т в о. (i) Хорошо известен следующий факт (см. [Lan 2], гл. IV, теоремы 1 и 3). А. Пусть t — антиавтоморфизм группы G порядка 2, причем t (g) ∈ K gK ˆ при всех g ∈ G. Тогда dim L(r) K 6 1 при всех r ∈ G. −1 Так как g ∈ K gK при всех g ∈ G и отображение g 7→ g −1 является антиавтоморфизмом порядка 2, из утверждения А вытекает, что dim L(T ) K 6 1. (ii) Так как g −1 ∈ Ki gKi и fi (Ki gKi) = fi (g), мы имеем fi (g −1) = fi (g) для всех g ∈ Gi . С другой стороны, представление T унитарно, а преобразование g 7→ g −1 , g ∈ Gi , сохраняет меру mGi (так как группа Gi унимодулярна). Следовательно, операторы T (f) и T (fi) эрмитовы. (iii) Так как операторы T (f) и T (fi) коммутируют с T (K) (поскольку функция fi биинвариантна относительно Ki), подпространство L(T ) K инвариантно относительно T (f) и T (fi). Но dim L(T ) K 6 1. Значит, L(T ) K состоит из общих собственных векторов операторов T (f) и T (fi). Обозна-

§ 3. Аменабельные факторгруппы решеток, лежащих в прямых произведениях

189

чим соответствующие собственные значения через l f (T ) и l fi (T ). Так как f = f1 × f2 , мы имеем l f (T ) = l f1 (T ) l f2 (T ). Поскольку операторы T (f) и T (fi) эрмитовы, то l f (T ) ∈ R и l fi (T ) ∈ R. Наконец, так как представление T унитарно и fi ∈ A(Gi), мы получаем kT (fi)k 6 1, откуда |l fi (T )| 6 1 и |l f (T )| 6 1. (iv) Поскольку f (K g) = f (g) для всех g ∈ G, мы имеем T (K)T (f) = = T (f). Значит, T (f) отображает L(T ) в L(T ) K . Так как оператор T (f) эрмитов, мы получаем равенство kT (f)k = |l f (T )|. (v) Пусть a(f) и a(f1) — константы из леммы 3.2. Положим p p (2) b (f) = max{ a(f), a(f)a(f1)}. Пусть x ∈ L(T ) K . Если x 6= 0, то, заменив x на x /kxk, можно считать, что kxk = 1. Так как T (f)x = l f (T )x, ввиду неравенства (1) из 3.2 kT (g)x − xk2 6 a(f) (1 − l f (T )), g ∈ supp f .

(3)

Так как представление T унитарно, x ∈ L(T ) K и g −1 ∈ K gK , мы имеем hT (g)x, xi = hT (g −1)x, xi = hT (g)x, xi, где черта означает комплексное сопряжение. Таким образом, hT (g)x, xi ∈ R при всех g ∈ G. Так как представление T унитарно, dim L(T ) K = 1, x ∈ L(T ) K , kxk = 1 и T K является ортогональным проектором на L(T ) K (поскольку T (K)T K = T K и T унитарно), ввиду неравенства (4) получаем 1 2

kT K (T (g)x − x)k = |hx, T (g)x − xi| = 1 − hT (g)x, xi = kT (g)x − xk2 = 1 2

1 2

= kT (g)x − xk · kT (g)x − xk 6 (a(f) (1 − l f (T )) 1/2 kT (g)x − xk. Отсюда и из соотношения (3) вытекает неравенство (1). Далее, так как T (f) (x) = l f (T )x, T (f1)x = l f1 (T )x и supp f1 ⊃ supp f (поскольку e ∈ K2 ⊂ supp f2), ввиду неравенства (1) из леммы 3.2 имеем 2(1 − l f1 (T )) 6 sup{kT (g)x − xk2 | g ∈ supp f1 } 6

6 sup{kT (g)x − xk2 | g ∈ supp f } 6 a(f) (1 − l f (T )).

(4)

Так как T (f1)x = l f1 (T )x и оператор T (f1) коммутирует с T (G2) (поскольку f1 ∈ A(G1)), мы получаем T (f1) (T (g2)x − x) = l f1 (T ) (T (g2)x − x)

∀ g2 ∈ G2 .

Отсюда и из неравенства (1) леммы 3.2 следует, что kT (g1) (T (g2)x − x) − (T (g2)x − xk 6 (a(f1) (1 − l f1 (T )) 1/2 kT (g2)x − xk

190

Глава IV. Факторгруппы дискретных подгрупп

для всех g1 ∈ supp f1 и g2 ∈ G2 . С учетом соотношений (3) и (5) отсюда вытекает неравенство (2). 3.5. Определение. Пусть r ∈ G˜ и xn ∈ L(r), n ∈ N+ . (i) Последовательность {xn }n∈N+ называется асимптотически r (G1)инвариантной (соответственно асимптотически r (G)-инвариантной), если xn 6= 0 для всех достаточно больших n и lim sup kr (g)xn − xn k/kxn k = 0

n→∞ g∈D

для любого компакта D ⊂ G1 (соответственно D ⊂ G). (ii) Последовательность {xn } называется r (G)-равномерной, если xn 6= 0 при всех достаточно больших n и lim sup kr (g)xn − xn k/kxn k = 0.

g→e

n∈N+

Так как представление r унитарно, r (G)-равномерность последовательности {xn } равносильна равностепенной непрерывности последовательности {fn } на компактах в смысле п. III.1.5, где fn (g) = r (g)xn /kxn k, g ∈ G. 3.6. Лемма. Пусть r ∈ G˜ и xn ∈ L(r), n ∈ N+ . Предположим, что последовательность {xn }n∈N+ является r (G)-равномерной, асимптотически r (G1)-инвариантной, но не асимптотически r (G)-инвариантной. Тогда этими же свойствами в некоторой окрестности единицы Y ⊂ G обладает любая последовательность вида {r (f)xn }, где f ∈ A(G) и supp f ⊂ Y . Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как последовательность xn ∈ L(r), n ∈ N+ , не является асимптотически r (G)-инвариантной, для некоторого компакта D ⊂ G выполняется неравенство def

r = lim sup kr (g)xn − xn k/kxn k > 0. n→∞ g∈D

(1)

Последовательность {xn } является r (G)-равномерной. Поэтому существует такая окрестность единицы Y ⊂ G, что kr (g)xn − xn k 6 rkxn k/3; g ∈ Y , n ∈ N+ .

(2)

Покажем, что эта окрестность искомая. Пусть f ∈ A(G) и supp f ⊂ Y . Из соотношения (2) следует ввиду неравенства (1) п. III.1.1, что kr (f)xn − xn k 6 6 rkxn k/3 для любого n ∈ N+ . С учетом неравенства (1) и унитарности представления r заключаем, что последовательность {r (f)xn } не является асимптотически r (G)-инвариантной. Так как kr (f)xn − xn k 6 rkxn k/3, мы имеем kr (f)xn k > 2rkxn k/3, n ∈ N+ . (3)

§ 3. Аменабельные факторгруппы решеток, лежащих в прямых произведениях

191

Очевидно, r (g) r (f) − r (f) = r (g f − f) для всех g ∈ G. Но так как f ∈ A(G), ввиду неравенства (1) из III.1.0 имеем lim kr (g f − f)k = 0. Таким образом, g→e

r (G)-равномерность последовательности {r (f)xn } является следствием из неравенства (3). Наконец, так как ] r (g) r (f)x − r (f)x = f (h) (r (gh)x − r (h)x)d mG (h) = G

] = f (h) r (h) (r (h−1 gh)x − x)d mG (h) G

при всех g ∈ G и x ∈ L(r), то асимптотическая r (G1)-инвариантность последовательности {r (f)xn } следует из неравенства (3), асимптотической r (G1)-инвариантности последовательности {xn }n∈N+ и нормальности подгруппы G1 в G. ˜ L(r) G2 = {0} и r близко к IG (в смысле 3.7. Лемма. Пусть r ∈ G, III.1.2). Тогда в L(r) существует последовательность {xn }n∈N+ , которая r (G)-равномерна, асимптотически r (G1)-инвариантна, но не асимптотически r (G)-инвариантна. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть компакты Di ⊃ Ki порождают соответственно группы Gi , i = 1, 2, а функции fi ∈ A(Gi) биинвариантны относительно Ki и при этом supp fi ⊃ Di . Положим D = D1 × D2 и f = f1 × f2 . Рассмотрим разложение ] ] r = rz d m (z), L(r) = L(rz)d m (z) Z

Z

представления r в непрерывную сумму неприводимых представлений ˆ При n ∈ N+ положим rz ∈ G. ] Zn = {x ∈ Z | |rz (f)k > 1 − 1/n}, Wn = L(rz)d m (z) ⊂ L(r). Zn

Так как r близко к IG , ввиду предложения III.1.4 имеем Wn 6= {0} при всех n ∈ N+ . С другой стороны, из леммы 3.4 (iv) следует, что L(rz) K 6= {0} при всех z ∈ Z1 . Поэтому для каждого n ∈ N+ можно выбрать yn ∈ Wn ∩ L(r) K , yn 6= 0. Положим cn = sup kr (g)yn − yn k. (1) g∈supp f2

Так как L(r) G2 = {0}, supp f2 ⊃ D2 и D2 порождает G2 , мы имеем cn 6= 0. Для каждого n ∈ N+ выберем gn ∈ supp f2 , для которого и положим

kr (gn)yn − yn k > cn /2,

(2)

xn = r (gn) r (f)yn − r (f)yn = r (gn f − f)yn .

(3)

192

Глава IV. Факторгруппы дискретных подгрупп

Пусть

] yn = yn,z d m (z)

(4)

Z

— разложение вектора yn в непрерывную сумму векторов yn,z ∈ L(rz) K . В силу леммы 3.4 (iv) мы имеем l − l f (rz) < 1/n

∀ z ∈ Zn .

(5)

Так как k(rz (gn) rz (f)yn,z − rz (f)yn,z) − (rz (gn)yn,z − yn,z)k =

= k(rz (gn) l f (rz)yn,z − l f (rz)yn,z) − (rz (gn)yn,z − yn,z)k = = (1 − l f (rz))krz (gn)yn,z − yn,z k,

то ввиду соотношений (3), (4) и (5) мы получаем kxn − (r (gn)yn − yn)k < kr (gn)yn − yn k/n. Отсюда и из неравенства (2) вытекает, что lim inf kxn k/cn > 1/2.

n→∞

(6)

При g ∈ G и n ∈ N+ положим f g,n = g gn f − g f − gn f + f . Тогда из неравенства (3) следует, что r (g)xn − xn = r (g) r (gn f − f)yn − r (gn f − f)yn = r (f g,n)yn = ] ] = f g,n (g ′) r (g ′)yn d mG (g ′) = f g,n (g ′) (r (g ′)yn − yn)d mG (g ′) G

G

(последнее равенство вытекает из равенства

]

f g,n (g ′)d mG (g ′) = 0). Так как

G

f ∈ A(G) и gn , e ∈ supp f , мы получаем ] lim sup | f g,n (g ′)|d mG (g ′) = 0, g→e

n∈N+ G

supp f g,n ⊂ (supp f) 3

при

g ∈ supp f .

Но так как kr (g1 g2)x − xk 6 kr (g1)x − xk + kr (g2)x − xk при всех g1 , g2 ∈ G и x ∈ L(r) (поскольку представление r унитарно), мы имеем sup{kr (g)yn − yn k | g ∈ (supp f) 3 } 6 3 sup{kr (g)yn − yn k | g ∈ supp f } = 3cn . Таким образом, из соотношений (6) и (7) следует, что последовательность {xn }n∈N+ является r (G)-равномерной. Применив неравенства (1) и (2) из

§ 3. Аменабельные факторгруппы решеток, лежащих в прямых произведениях

193

леммы 3.4 к представлениям rz и векторам rz (f)yn,z , получаем с учетом соотношений (3), (4) и (5), что lim krK xn − xn k/kxn k = 0

n→∞

(7)

и lim

sup kr (g)xn − xn k/kxn k = 0.

n→∞ g∈supp f 1

(8)

Так как krK xn − xn k 6 sup g∈K kr (g)xn − xn k, ввиду равенства (8) последовательность {xn }n∈N+ не является асимптотически r (G)-инвариантной. Наконец, так как supp f1 ⊃ D1 , множество D1 порождает G1 и, как замечено выше, kr (g1 g2)x − xk 6 kr (g1)x − xk + kr (g2)x − xk при всех g1 , g2 ∈ G и x ∈ L, то в силу равенства (9) последовательность {xn } асимптотически r (G1)-инвариантна. 3.8. Введем некоторые термины и обозначения, которые потребуются в формулировке и доказательстве теоремы 3.9. Пусть Γ — решетка в группе G, N — нормальная подгруппа в Γ, а f : Γ → Γ/N — естественный эпиморфизм. Семейство всех борелевских фундаментальных областей X ⊂ G для действия решетки Γ слева будет обозначаться f(G, Γ). Для каждой области X ∈ f(G, Γ) определим (единственное) отображение tX : G → Γ посредством включения g ∈ tX (g)X, g ∈ G. Область X ∈ f(G, Γ) называется (Γ, N)-допустимой, если для любого компакта M ⊂ G множество f (tX (X · M)) конечно. Если факторпространство Γ \ G компактно, то (Γ, N)-допустимая область существует (например, любая относительно компактная область X ∈ f(G, Γ)). 3.9. Теорема. Пусть в множестве f(G, Γ) имеется (Γ, N)-допустимая область и NGi = Gi , i = 1, 2. Тогда факторгруппа Γ/N обладает свойством (T) и потому либо неаменабельна, либо конечна (см. п. III.2.2). Доказательство для общего случая мы опустим, ограничившись ситуацией, когда факторпространство Γ \ G компактно. Общий случай рассмотрен в работе [Mar 12]. 3.10. Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 3.9 д л я с л у ч а я , к о г д а ф а к т о р п р о с т р а н с т в о Γ \ G к о м п а к т н о. Предположим, что Γ/N не обладает свойством (T). Пусть U ′ — унитарное представление группы Γ/N , близкое к представлению IΓ/N и не содержащее его. Положив ˜ тривиальное U (g) = U ′ (f (g)), g ∈ Γ, мы определим представление U ∈ Γ, на N , близкое к представлению IΓ и не содержащее его. Так как факторпространство Γ \ G компактно, существует относительно компактная область X ∈ f(G, Γ). Пусть r ∈ G˜ — представление, индуцированное в смысле Макки представлением U . Напомним, что пространство

194

Глава IV. Факторгруппы дискретных подгрупп

L(r) состоит из измеримых функций j : G → L(U), для которых и

j (g g) = U (g) j (g), g ∈ Γ, g ∈ G,

(1)

] def k jk2 = k j (g)k2 d mG (g).

(2)

X

Представление r определяется формулой (r (g) j) (g1) = j (g1 g),

g, g1 ∈ G.

(3)

Покажем, что L(r) G2 = {0}.

(4)

Предположим противное. Пусть j ∈ L(r) , j 6= 0. Тогда из леммы I.4.1.1 (v) и равенств (1) и (3) мы получаем (изменив, если необходимо, векторфункцию j на множестве меры нуль), что G2

j (gG2 g) = j (g gG2) = U (g) j (g)

при всех g ∈ Γ, g ∈ G.

Но U тривиально на подгруппе N , поэтому j (NG2 g) = j (g) для всех g ∈ G. С другой стороны, так как NG2 = G, действие группы NG2 на G левыми сдвигами эргодично (см. предложение I.4.5.1). Как следствие, векторфункция j постоянна (после изменения на множестве меры нуль). Тогда из равенства (3) вытекает, что r содержит IG . Но это невозможно, в силу того что U не содержит IG (см. лемму III.2.11). Полученное противоречие доказывает равенство (4). Так как U близко к IΓ , согласно предложению III.1.11 представление r также близко к IG . Но L(r) G2 = {0}, и по лемме 3.7 существуют такие jn ∈ L(r), n ∈ N+ , что последовательность {jn }n∈N+ является r (G)-равномерной, асимптотически r (G1)-инвариантной и не является асимптотически r (G)-инвариантной. Заменив jn на jn /k jn k, можно считать, что k jn k = 1. Так как последовательность {jn }n∈N+ является r (G)-равномерной, найдется такая окрестность единицы Y1 ⊂ G, что если f ∈ A(G), supp f ⊂ Y1 , то kr (f) jn k > k jn k/2 = 1/2 при всех n ∈ N+ . В силу леммы 3.6 существует такая функция f ∈ A(G), что kr (f) jn k > 1/2, n ∈ N+ ,

(5)

и последовательность {r (f) jn } является r (G)-равномерной, асимптотически r (G1)-инвариантной и не является асимптотически r (G)-инвариантной. Так как k jn k = 1, последовательность {jn }n∈N+ равномерно ограничена в среднем в смысле III.1.5. Но ввиду равенства (3) мы имеем ] (r (f) jn) (g1) = f (g) jn (g1 g)d mG (g), n ∈ N+ , g ∈ G. G

§ 3. Аменабельные факторгруппы решеток, лежащих в прямых произведениях

195

Следовательно, последовательность r (f) jn равностепенно непрерывна и равномерно ограничена на компактах (см. лемму III.1.7), а тогда это верно и для последовательности {qn }n∈N+ , где qn (g) = k(r (f) jn) (g) − (r (f) jn) (e)k, g ∈ G. Тогда по лемме III.1.6 множество {qn | n ∈ N+ } относительно компактно в пространстве непрерывных функций на G, снабженном топологией равномерной сходимости на компактах. Пусть q — предельная точка множества {qn | n ∈ N+ }. Так как представление U тривиально на N , из равенства (1) следует, что j (N g) = j (g) для всех j ∈ L(r) и g ∈ G. Как следствие, q (N g) = q (g) для всех g ∈ G. С другой стороны, так как последовательность {r (f) jn } асимптотически r (G1)-инвариантна, то q (gG1) = q (g) для всех g ∈ G. Следовательно, q (NG1 g) = q (N gG1) = q (g). Но функция q непрерывна, q (e) = 0 и NG1 = G. Значит, q = 0. Таким образом, функция q ≡ 0 является единственной предельной точкой компакта {qn | n ∈ N+ }. Как следствие, lim sup k(r (f) jn) (g) − (r (f) jn) (e)k = 0

n→∞ g∈D

для любого компакта D ⊂ G. С учетом соотношений (2), (3), (5) и компактности множества X мы получаем противоречие, так как последовательность {r (f) jn } не является асимптотически r (G)-инвариантной. Следующее утверждение доказано в работе [B—K]. 3.11. Теорема. Пусть F1 , F2 — локально компактные унимодулярные группы, F = F1 × F2 и Λ — кокомпактная решетка в F . Пусть при этом ΛF1 = ΛF2 = F и F обладает следующим свойством: (∗) существует компактная подгруппа K ⊂ F , для которой кольцо K -биинвариантных непрерывных функций на F с компактным носителем (со сверткой в качестве умножения) коммутативно. Тогда Hom(Λ, C) = Homcont (F , C), т. е. каждый гомоморфизм группы Λ в аддитивную группу поля C продолжается до непрерывного гомоморфизма группы F в C. Как следствие, если группа F компактно порождена (или, что равносильно, группа Λ компактно порождена) и Homcont (F , C) = 0, то факторгруппа Λ/D (Λ) конечна. Свойство (∗) следует из свойства (Q) (см. [Lan 2], гл. IV, § 1, теорема 1). При этом легко видеть, что если группа F обладает свойством (Q), то Homcont (F , C) = 0. Таким образом, из теоремы 3.11 вытекает 3.12. Следствие. Пусть G1 , G2 , G, Γ таковы, как в пп. 3.3 и 3.8, причем факторпространство Γ \ G компактно и ΓG1 =ΓG2 = G. Тогда факторгруппа Γ/D (Γ) конечна. 3.13. Замечание. В случае D (G) = G следствие 3.12 вытекает из теоремы 3.9.

196

Глава IV. Факторгруппы дискретных подгрупп

§ 4. Конечность факторгрупп дискретных подгрупп Этот параграф посвящен доказательству теоремы 4.9 о конечности факторгрупп неприводимых решеток по нецентральным нормальным подгруппам. Эта теорема выводится из результатов § 2 и § 3, теоремы III.6.6 и (также доказанной в этом параграфе) теоремы Фюрстенберга (теорема 4.5) о существовании эквивариантных измеримых отображений в пространства с мерой. Как и выше, если X — компактное пространство, то K (X) обозначает пространство непрерывных функций на X, K (X) ∗ — двойственное ему пространство, M (X) — множество регулярных борелевских мер на X, P (X) — множество {m ∈ M (X) | m (X) = 1}, которое отождествляется с пространством положительных нормированных (l (1) = 1) функционалов l ∈ K (X) ∗ . Как обычно, B¯ обозначает замыкание множества B в топологическом пространстве. Как и в § 2, мы используем здесь обозначения, введенные в п. I.4.2. Начнем со следующего простого замечания. 4.1. Лемма. Если X — компактное пространство, l ∈ K (X) ∗ , l (1) = = 1 и klk = 1, то l ∈ P (X). Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное. Тогда найдется функция f ∈ K (X), f > 0, k f k < 1, для которой l (f) < 0. Отсюда следует, что 1 = klk > kl (1 − f) /k1 − f k > 1/1 = 1 — противоречие. 4.2. Лемма. Пусть B — сепарабельная неаменабельная локально компактная группа. Тогда для некоторого непрерывного действия группы B на метризуемом компактном пространстве X не существует B-инвариантной меры m ∈ P (X). Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как группа B не аменабельна, для некоторого компактного B-пространства Y (не обязательно метризуемого) не существует B-инвариантных мер m ∈ P (Y) (см. п. I.5.5.1). Для f ∈ K (Y) положим L(f) = {m ∈ P (Y) | (b m) (f) = m (f) ∀ b ∈ B}. Пересечение всех L(f), f ∈ K (Y), пусто. Так как пространство P (Y) компактно, а множества L(f) замкнуты в слабой ∗T -топологии, то существует конечное множество Q ⊂ K (Y), для которого L(q) = ∅. Пусть F ⊂ K (Y) обозначает C ∗ -алq∈Q

гебру с единицей, порожденную множеством BQ, а X — пространство ее максимальных идеалов (F = K (X)). Так как группа B сепарабельна, то сепарабельна и алгебра F , поэтому компактное пространство X метризуемо. Поскольку B (BQ) = BQ, алгебра F является B-инвариантной. Как следствие, действие группы B на K (Y) ⊃ F индуцирует ее действие на X. Предположим, что существует B-инвариантная мера m ∈ P (X) на X. По теореме Хана — Банаха ее можно продолжить до l ∈ K (Y) ∗ , klk = 1. Тогда верно следующее:

§ 4. Конечность факторгрупп дискретных подгрупп

197

1) так как l (1) = m (1) = 1, в силу леммы 4.1 справедливо включение l ∈ P (Y); 2) так как F ⊃ Q и мера m является B-инвариантной, мы имеем T l∈ L(q) = ∅. q∈Q

Полученное противоречие показывает, что X — искомый компакт. 4.3. Как и в § 2, до конца этого параграфа мы пользуемся обозначениями, введенными в п. II.3.0. Кроме того, P пусть Γ — решетка в группе G; N — нормальная подгруппа в Γ; rank G = rankka Ga — ранг группы G; a∈A

f(G, Γ) — семейство борелевских фундаментальных областей X ⊂ G для действия решетки Γ слева. 4.4. Лемма. Группа P аменабельна. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как группы S и V разрешимы, P = ZG (S) ⋉ ⋉ V (см. III.3.0) и в силу предложения I.2.3.6 группа ZG (S) /S компактна, то P содержит такую разрешимую нормальную подгруппу S · V , что факторгруппа P / (S · V) компактна. Следовательно, группа P аменабельна (см. п. I.5.5.2). 4.5. Теорема. Пусть X — компактное метризуемое Γ-пространство. Тогда существует mG /P -измеримое Γ-эквивариантное отображение w : G /P → P (X) (т. е. такое отображение, что w (gx) = gw (x) для всех g ∈ Γ и почти всех x ∈ G /P). Д о к а з а т е л ь с т в о. Группа Γ × G действует на G × X и на G соответственно по формулам (g, g1) (g, x) = (g g g1−1 , gx) и (g, g1) g = g g g1−1 , g1 , g ∈ G, g ∈ Γ. Пусть f : G × X → G — естественная проекция. Положим Q = {m ∈ M (G × X) | f (m) = mG , (g, e) m = m ∀ g ∈ Γ}. Пусть F ∈ f(G, Γ). Для g ∈ G определим g g ∈ Γ посредством включения g ∈ g g F . Выберем точку x0 ∈ X и положим f′ (g) = (g, g g x0) ∈ G × X, g ∈ G. Тогда (g, e) (f′ (g)) = f′ ((g, e) g) при всех g ∈ Γ, g ∈ G, отображение f′ является борелевским и f ◦ f′ = Id. Значит, f′ (mG) ∈ Q, т. е. Q непусто. Ясно, что Q выпукло. Так как X компактно, Q — замкнутое (в слабой ∗ -топологии) ограниченное подмножество в M (G × X), т. е. Q компактно. С другой стороны, 1) так как (Γ × G) mG = mG (поскольку группа G унимодулярна) и отображение f является (Γ × G)-эквивариантным, то (Γ × G)Q = Q; 2) группа P аменабельна (см. лемму 4.4). Следовательно, существует такая мера t ∈ Q, что ({e} × P) t = t (см. I.5.5.1). Но (g, e) t = t при всех g ∈ Γ. Поэтому (Γ × P) t = t. Так как f (t) = mG , в силу теоремы о разложении мер на прямых произведениях локально компактных пространств (см. [Bou 3], гл. VI, § 3, теорема 1) мы

198

имеем

Глава IV. Факторгруппы дискретных подгрупп

] t = (d g × l g)d mG (g), G

где l g ∈ P (X).

(1)

При этом отображение g 7→ l g измеримо и с точностью до его изменения на множестве меры нуль разложение (1) единственно. Из (Γ × P)-инвариантности мер t и mG вытекает, что для всех g ∈ Γ и p ∈ P выполняются равенства ] ] (d g × l g)d mG (g) = t = (g, p) t = ((g, p) (d g × l g))d mG (g) = G

]

G

] = (dg g p−1 × gl g)d mG (g) = (d g × glg−1 g p)d mG (g). G

(2)

G

Так как разложение (1) единственно, lg−1 g p = g−1 l g почти для всех g ∈ G. Так как при каждом p ∈ P мы имеем l g p = l g почти для всех g ∈ G, ввиду леммы I.4.1.3 (ii) существует такое mG /P -измеримое отображение w : G /P → P (X), что l g = w (p (g)) почти для всех g ∈ G, где p : G → G /P — естественное отображение. Но при каждом g ∈ Γ мы имеем lg g = gl g почти для всех g ∈ G. Значит, отображение w Γ-эквивариантно. 4.6. Замечание 1. Если ka = R при всех a ∈ A, то теорема 4.5 является переформулировкой теоремы 15.1 из [Fu 5], а доказательство, приведенное выше, аналогично доказательству в этой статье. Отметим, что в теореме 15.1 из [Fu 5] компактное пространство X не предполагается метризуемым. Однако доказательство, приведенное в этой статье, пригодно только для метризуемого пространства X, поскольку в случае произвольного компакта X разложение (1) из теоремы 4.5 не обязательно единственно. Замечание 2. Из доказательства теоремы 4.5 видно, что можно заменить G на любую метризуемую s-компактную группу, Γ — на любую замкнутую подгруппу, а P — на любую аменабельную замкнутую подгруппу, для которой ∆G (p) = 1 при всех p ∈ P, где ∆G — модуль группы P. 4.7. Лемма. Если факторгруппа Γ/N не аменабельна, то существует такая бесконечная подалгебра B ⊂ M(G, P), что ΓB = B (т. е. gB ∈ B при всех g ∈ Γ, B ∈ B) и NB = B при всех B ∈ B. def Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как счетная группа H = Γ/N не аменабельна, в силу леммы 4.2 для некоторого непрерывного действия группы H на метризуемом компакте X не существует H -инвариантной меры m ∈ P (X). Пусть p : Γ → H — естественный эпиморфизм. Положим gx = p (g)x, g ∈ Γ, x ∈ X. В силу теоремы 4.5 существует mG /P -измеримое Γ-эквивариантное отображение w : G /P → P (X). Рассмотрим множество B = {B ∈ M(G /P) | некоторое подмножество в классе B служит прообразом борелевского подмножества из P (X) при отображении w}. Так как

§ 4. Конечность факторгрупп дискретных подгрупп

199

w является Γ-эквивариантным и Nx = p (N)x = ex = x при всех x ∈ X, то ΓB = B и NB = B при всех B ∈ B. Алгебра B бесконечна, так как иначе был быP конечен носитель R образа меры mG /P при отображении w и мера (1/|R|) dx ∈ P (X) была бы Γ-инвариантной (поскольку Γ-инвариантно x∈R

отображение w) и потому H -инвариантной. 4.8. Теорема. Пусть rank G > 2, решетка Γ неприводима и при любом a ∈ A группа Ga односвязна, ka -изотропна и почти ka -проста. Если факторгруппа Γ/N не аменабельна, то N ⊂ Z (G). Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу леммы 4.7 существует такая нетривиальная подалгебра B алгебры M(G /P), что ΓB = B

(1)

и NB = B

∀ B ∈ B.

(2)

Из равенства (1) и следствия 2.12 вытекает, что B = M(G /P, Pϑ) для некоторого ϑ ⊂ ∆. Тогда из равенства (2) следует, что Nx = x при всех x ∈ G /Pϑ , откуда \ N⊂ gPϑ g −1 . (3) g∈G

Так как в группе Ga , a ∈ A, нет собственных нецентральных нормальных подгрупп (см. следствие I.2.3.2(a)), мы имеем \ gPϑ g −1 = Z (GL)GA−L , (4) g∈G

где L = {a ∈ A | ∆a 6⊂ ϑ}. Так как подалгебра B нетривиальна, то ϑ 6= ∆ и потому L 6= ∅. Следовательно, Γ ∩ Z (GL) · GA−L ⊂ Z (G) (см. теорему II.6.7(d)). Тогда из соотношений (3) и (4) вытекает, что N ⊂ Z (G). 4.9. Теорема. Пусть rank G > 2, решетка Γ неприводима и для каждого a ∈ A группа Ga односвязна, ka -изотропна и почти ka -проста. Кроме того, пусть выполнено хотя бы одно из следующих условий: (а) множество Aˆ = {a ∈ A | rankka Ga > 2} непусто; (б) существует (Γ, N)-допустимая (в смысле п. 3.8) область X ∈ ∈ f(G, Γ); (в) факторпространство Γ \ G компактно. Тогда либо N ⊂ Z (G), либо факторгруппа Γ/N конечна. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть N 6⊂ Z (G). Тогда по теореме 4.8 группа Γ/N аменабельна. Достаточно показать, что она обладает свойством (T) (см. III.2.2). При Aˆ 6= ∅ это вытекает из теоремы Б(а) п. III.5.9. Пусть теперь Aˆ = ∅ и выполнено условие (б). Из следствий I.2.2.2 и I.2.3.5 вытекает,

200

Глава IV. Факторгруппы дискретных подгрупп

что группы Ga , a ∈ A, обладают свойством (Q) и компактно порождены. Так как при этом rank G > 2, мы имеем A = A1 ∪ A2 , A1 6= ∅, A2 6= ∅, и ввиду леммы III.6.8 (б) получаем NGAi = G, i = 1, 2. В силу теоремы 3.9 Γ/N обладает свойством (T). Остается заметить, что из условия (в) следует условие (б) (см. п. 3.8). 4.10. Из теоремы 4.9 и доказанных ниже теорем арифметичности вытекает (см. теорему IX.5.4 и замечание (i) в п. IX.1.2) следующая Теорема. Пусть rank G > 2, решетка Γ неприводима и при всех a ∈ A группа Ga не имеет ka -анизотропных множителей. Тогда либо N ⊂ Z (G), либо факторгруппа Γ/N конечна. 4.11. Замечание. Если rank G = 1, то в решетке Γ существует подгруппа Γ′ конечного индекса, содержащая свободную некоммутативную нормальную (в Γ′) подгруппу бесконечного индекса. Это легко следует из результатов Громова о нормальных подгруппах фундаментальых групп многообразий отрицательной кривизны (см. ниже замечание IX.7.16) и следующего факта. Если k — неархимедово локальное поле, а G — связная полупростая k-группа k-ранга 1, то любая дискретная свободная от кручения подгруппа Λ ⊂ G(k) свободна.

Глава V

Характеристические отображения Эта и следующая главы посвящены доказательству теорем существования для эквивариантных измеримых отображений. Они применяются в гл. VII при доказательстве теорем сверхжесткости. В данной главе мы излагаем метод, основанный на применении мультипликативной эргодической теоремы. В § 2 содержится мультипликативная эргодическая теорема и доказан ряд связанных с ней утверждений. Параграфы 3–5 посвящены следующей ситуации: Γ — решетка в локально компактной группе G; T — представление этой решетки в конечномерном векторном пространстве W над локальным полем; s — элемент группы G, действующий эргодически на Γ \ G. В § 3 мы определяем характеристические измеримые отображения wi группы G в грассмановы многообразия Grli (W ) и изучаем их основные свойства. Такие отображения находятся в каноническом соответствии с парами (s, T). Это соответствие устанавливается с помощью мультипликативной эргодической теоремы. В §§ 4 и 5 мы рассматриваем те пары (s, T), которым соответствуют характеристические отображения с некоторыми дополнительными свойствами. Результаты § 4 (соответственно § 5) применяются к случаю, когда замыкание по Зарисскому T (Γ) подгруппы T (Γ) не является (соответственно является) полупростой группой. Следует заметить, что в дальнейшем нам не придется применять результаты § 5. Причина состоит в том, что в случае полупростой группы T (Γ) достаточно воспользоваться результатами гл. VI. Однако автор уверен, что методы, изложенные в § 5, представляют интерес независимо от их применения к доказательству теорем сверхжесткости. На протяжении этой главы k обозначает локальное поле с нормированием | |, n — натуральное число, W — векторное пространство над k размерности n. Как и в § 1 гл. II, если дана система координат

202

Глава V. Характеристические отображения

y = (y1 , . . . , yn), то мы полагаем kwk = kwky =

P

16 j6n

|y j (w)|, w ∈ W , и

kBk = kBky = supw∈W ,w6=0 kBwky /kwky , B ∈ End(W ). При этом функция w 7→ kwk является нормой в пространстве W , а функция B 7→ kBk — в пространстве End(W ), и kBCk 6 kBkkCk для всех B, C ∈ End(W ). Топология в W , GL(W ) и грассмановых многообразиях Grl (W ) определяется топологией поля k.

§ 1. Вспомогательные утверждения В этом параграфе мы докажем несколько вспомогательных утверждений. 1.1. Лемма. Пусть B ∈ GL(W ). Тогда −n ln kB −1 k 6 ln | det B| 6 n ln kBk.

(1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (e1 , . . . , en) — базис координатной системы y, а bi j — элементы P матрицы линейного преобразования B в этом базисе. Положим c j = |bi j |. Так как l6i6n

det B =

X

(−1) r (d)

d∈D

Y

bd (j),j ,

16 j6n

где D — множество всех перестановок степени n, а r (d) равно Q +1 или −1 в зависимости от четности перестановки d, то det B 6 c j . Но 16 j6n

c j 6 kBe j k 6 kBk. Таким образом, | det B| 6 kBkn . Взяв логарифм от обеих частей этого неравенства, получаем правое неравенство в (1). Применив к последнему B −1 , получаем левое неравенство. 1.2. Лемма. Существуют борелевское отображение ϑ : GL(W ) → → SL(W ) и константа c > 0, такие что ϑ(gh) = ϑ(g)h kϑ(g1)ϑ(g2)

−1

∀ g ∈ GL(W ), h ∈ SL(W ); −1 2

−1 1

k 6 ck g1 g kk g2 g k

∀ g1 , g2 ∈ GL(W ).

(A) (B)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим G = GL(W ), H = SL(W ). Из определения локального поля вытекает, что факторгруппа мультипликативной группы k∗ поля k по подгруппе {x n | x ∈ k∗ } компактна. Тогда в силу теоремы I.4.4.1 (о существовании борелевских сечений) существуют такие борелевские отображения l : G → k∗ , f : G → G, ϑ : G → H , что ϑ обdef ладает свойством (A), множество Z = f (G) относительно компактно и g = l (g) f (g)ϑ(g) для всех g ∈ G. Так как Z относительно компактно, для некоторого r > 0 мы имеем |l|kzk 6 r| det lz|l /n

§ 1. Вспомогательные утверждения

203

при всех l ∈ k∗ и z ∈ Z ∪ Z −1 . С другой стороны, det(l (g) f (g)) = det g для каждого g ∈ G. Следовательно, для любых g1 , g2 ∈ G выполняются соотношения kϑ(g1)ϑ(g2) −1 k = k f (g1−1) l (g1) −1 g1 g2−1 l (g2) f (g2)k 6

6 |l (g1−1)|k f (g1) −1 k|l (g2)|k f (g2)kk g1 g2−1 k 6 6 r 2 | det g1−1 |1/n | det g2 |1/n k g1 g2−1 k =

= r 2 | det(g1 g2−1)|−1/n k g1 g2−1 k 6 r 2 k g2 g1−1 kk g1 g2−1 k

(1)

(последнее неравенство вытекает из левого неравенства (1) в лемме 1.1). Таким образом, ϑ и c = r 2 удовлетворяют неравенству (Б), что и завершает доказательство. 1.3. Лемма. Пусть H = SL(W ). Тогда существует такое d > 0, что функция b (h) = khk−d , h ∈ H , принадлежит L p (H , mH ) при всех p > 1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Напомним, что modk (x) обозначает модуль элемента x в поле k и что modk (x) = |x|c для всех x ∈ k при некотором c > 0 (см. п. I.0.31). Положим B (r) = {x ∈ k | modk (x) 6 r}, r > 0. Пусть k+ — аддитивная группа поля k. Так как mk+ (xB (1)) = modk (x) mk+ (B (1)) для всех x ∈ k (по определению modk (x)), мы имеем mk+ (B (r)) 6 r mk+ (B (1)) при всех r > 0. Следовательно, функция d (x) = min{1, modk (x) −3 } = min{1, |x|−3c }, x ∈ k,

интегрируема по мере mk+ . Положим Q = GL(W ), P = {X ∈ Q | modk (det X) > 1}. Максимум абсолютных величин коэффициентов xi j матрицы линейного преобразования X ∈ GL(W ) не превосходит Q kXk. Так как kXk > 1 для всех P (см. лемму 1.1), мы имеем kXk−d 6 d (xi j) для всех X = (xi j) ∈ P, где d = 3cn2 . i, j N Но d mQ (X) = modk (det X) −n d mk+ (xi j), где X = (xi j) (см. [Bou 3], гл. i, j

VII, § 3, третий абзац, пример 1), функция d (x) является mk+ -интегрируе] мой и modk (det X) −n 6 1 для всех X ∈ P. Поэтому kXk−d d mQ (X) < ∞. С P

другой стороны, в силу предложения I.4.3 мера mQ с точностью до скалярного множителя совпадает с образом меры mH × mD при отображении (h, d) 7→ hd −1 : H × D → Q, где D ⊂ GL(W ) — подгруппа диагональных матриц вида   0

x

 

1

...

0

1

  , x ∈ k, x 6= 0.

204

Глава V. Характеристические отображения

Применив теорему Фубини к функции f (h, p) = kh pk−d , h ∈ H , p ∈ P ∩ D, ] получаем, что kX pk−d d mH (X) < ∞ для некоторых (и даже почти для всех) H

p ∈ P ∩ D. Но kX pk 6 kXk · k pk. Отсюда следует mH -интегрируемость функции b (h) = khk−d , h ∈ H . Наконец, ввиду леммы 1.1 мы имеем khk 6 1 почти для всех h ∈ H , и потому b ∈ L p (H , mH ) при всех p > 1.

§ 2. Мультипликативная эргодическая теорема 2.0. Пусть X — локально компактное s-компактное пространство с конечной регулярной борелевской мерой m. Борелевский автоморфизм пространства X — это такая биекция f : X → X, что отображения f и f −1 борелевские. Пусть L — борелевский автоморфизм пространства X, сохраняющий меру m. Рассмотрим борелевский коцикл u на множестве Z × X относительно динамической системы {Lm } со значениями в группе GL(W ), т. е. функцию u(m, x) аргумента (m, x), борелевскую по x при каждом m и удовлетворяющую условию u(m + r, x) = u(m, Lr x)u(r, x)

∀ m, r ∈ Z, x ∈ X.

(1)

Положим w (x) = u(1, x), b (x) = ln kw (x)k, b˜ (x) = ln kw (x) −1 k. Индукцией по m получаем для всех m ∈ N+ и x ∈ X равенства u(m, x) = w (Lm−1 x) · . . . · w (x),

(2)

u(−m, x) = u(m, L−m x) −1 = w (L−m x) −1 · . . . · w (L−1 x) −1 . Обратно, если u(m, x) и u(−m, x), m ∈ N+ , выражены через w (x) по формуле (2) и u(0, x) = E, где E — единичная матрица, то непосредственно проверяется, что равенство (1) выполнено. Коцикл u называется интегрируемым, если ] max ln+ ku(m, x)kd m (x) < ∞. (3) X

m=±1

Так как L сохраняет меру m, u(1, x) = w (x) и u(−1, x) = w (L−1 x) −1 , условие (3) равносильно следующему: b ∈ L1 (X, m),

b˜ ∈ L1 (X, m).

(4)

Напомним также, что автоморфизм L пространства X называется эргодическим (по мере m), если любое L-инвариантное измеримое подмножество в X имеет меру либо 0, либо m (X). Прежде чем формулировать мультипликативную эргодическую теорему, хотелось бы обратить внимание на следующий факт.

§ 2. Мультипликативная эргодическая теорема

205

Замечание 1. Так как интегрируемость коцикла u равносильна условию (4), то из леммы 1.1 вытекает, что если коцикл u интегрируем, то функция ln | det u(1, x)| является m-интегрируемой по X. 2.1. Теорема (мультипликативная эргодическая теорема). Пусть коцикл u интегрируем, а автоморфизм L эргодичен (по мере m). (i) Существуют числа r ∈ N+ , li ∈ N+ , qi ∈ R и измеримые отображения yi : X → Grli (W ), 1 6 r 6 n, 1 6 i 6 r, со следующими свойствами: (а) почти для всех x ∈ X пространство W является прямой суммой подпространств yi (x), 1 6 i 6 r; (б) почти для всех x ∈ X и для всех i от 1 до r последовательность {(1/m) ln ku(m, x)wk/kwk}m∈N+ сходится к qi равномерно по w ∈ yi (x) − {0} при m → ±∞; r ] P (в) li qi = (1/m (X)) ln | det u(1, x)|d m (x); i=1

X

(г) qi < q j при 1 6 i < j 6 r. (ii) почти для всех x ∈ X и для всех w ∈ W − {0} существуют пределы q+ (w, x) = lim ln ku(m, x)wk/m и q− (w, x) = lim ln ku(m, x)wk/m. m→+∞

m→−∞

При этом почти для всех x ∈ X и для всех a ∈ R выполняются равенства M {0} ∪ {w ∈ W − {0} | q+ (w, x) 6 a} = yi (x), qi 6a

{0} ∪ {w ∈ W − {0} | q (w, x) > a} = −

M

yi (x).

qi >a

Назовем числа qi характеристическими показателями коцикла u, а числа li — их кратностями. Отображения yi называются характеристическими отображениями, отвечающими коциклу u и характеристическим показателям qi . Коцикл u называется существенным, если он имеет хотя бы два характеристических показателя, или, что равносильно, кратность любого его характеристического показателя строго меньше n. Для случая k = R мультипликативную эргодическую теорему доказал Оселедец (см. [O], теоремы 1 и 4); аналогичные результаты см. в [Milli]. В дополнении A теорема доказывается тем же методом для произвольного поля k. Другой метод доказательства мультипликативной эргодической теоремы предложен в работах [Rag 8] и [Ru]. Он основан на применении субаддитивной эргодической теоремы. Замечание 1. Из утверждения (ii) теоремы 2.1 вытекает, что числа r, li , qi определены однозначно, а отображения yi — с точностью до изменения на множествах меры нуль.

206

Глава V. Характеристические отображения

Замечание 2. Эргодичность автоморфизма L в теореме 2.1 несущественна. Для неэргодических автоморфизмов L выполняется сходное утверждение, но] тогда r, li , qi — уже не числа, а функции, и в свойстве (в) вместо (1/m (X)) ln | det u(1, x)|d m (x) следует взять lim ln | det u(m, x)|/m. m→±∞

X

Замечание 3. Как известно, любая норма k k в конечномерном векторном пространстве W эквивалентна k k, т. е. 0
q− (w, x).

Равенство достигается тогда и только тогда, когда w ∈ yi (x) для некоторого i, 1 6 i 6 r. Замечание 5. В формулировке мультипликативной эргодической теоремы можно взять в качестве L произвольный автоморфизм произвольного пространства с конечной мерой, а в качестве u — произвольный измеримый коцикл. Однако такое обобщение несущественно, поскольку стандартными методами теории меры можно легко свести общий случай к «борелевскому». Замечание 6. Метод, предложенный в работах [Rag 8] и [Ru], применим также в случае любого полного нормированного поля. Оселедец в своем доказательстве использовал компактность факторпространства GLn (k) /B, где B ⊂ GLn (k) — группа треугольных матриц. Поэтому его доказательство применимо лишь в случае локально компактного поля. 2.2. Предложение. Пусть det u(m, x) ≡ 1, автоморфизм L эргодичен, коцикл u интегрируем и ] lim sup(1/m) ln ku(m, x)kd m (x) > 0. (1) m→+∞

X

Тогда коцикл u существен. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как det u(m, x) ≡ 1, в силу теоремы 2.1 (в) мы r P имеем li qi = 0. Поэтому достаточно показать, что qi 6= 0 для некоторого i. i=1

Предположим противное. Тогда при m → +∞ последовательность функций def fm (x) = (1/m) ln ku(m, x)k сходится почти всюду к нулю. Положим dm (x) = (1/m) ]

d = bd m, X

m−1 X i=0

b (Li x),

m ∈ N+ , x ∈ X,

f˜ m (x) = min{fm (x), d}.

§ 2. Мультипликативная эргодическая теорема

207

Норму функции p ∈ L1 (X, m) обозначим k pk1 . Так как kBCk 6 kBk · kCk для всех B, C ∈ End(W ), ввиду равенств (2) п. 2.0 мы получаем fm 6 dm . С другой стороны, из статистической эргодической теоремы (см. п. I.4.6.4) вытекает, что lim kdm − dk1 = 0. Поэтому m→∞

lim k fm − f˜ m k1 = 0.

(2)

m→∞

Так как det u(m, x) ≡ 1, ввиду леммы 1.1 выполняются неравенства fm > 0, b > 0. Поскольку lim fm (x) = 0 почти для всех x ∈ X, мы имеем f˜ m > 0 и m→∞ lim f˜ m (x) = 0 почти для всех x ∈ X. Но f˜ m (x) 6 d, и в силу классической

m→∞

теоремы Лебега (см. [Hal 1], теорема 4 гл. V) lim k f˜ m k1 = 0. Тогда из m→∞

равенства (2) следует, что lim k fm k1 = 0. Это противоречит условию (1), m→∞

что и завершает доказательство. 2.3. Предложение. Пусть Q — такое линейное подпространство в W , что u(m, x)Q = Q для всех m ∈ Z и x ∈ X. Пусть F = W /Q; p : W → F — естественная проекция; u′ : Z × X → GL(F) — коцикл, индуцированный коциклом u и проекцией p (а именно, u′ (m, z) = = p (u(m, x)) p −1 (z), m ∈ Z, x ∈ X, z ∈ F). Предположим, что коцикл u (а тогда и коцикл u′) интегрируем. Пусть qi , 1 6 i 6 r (соответственно q′j , 1 6 j 6 r ′), — характеристические показатели коцикла u (соответственно коцикла u′), а yi (соответственно y′j) — характеристические отображения, отвечающие коциклу u (соответственно коциклу u′) и характеристическим показателям qi (соответственно q′j). Тогда (i) для каждого j, 1 6 j 6 r, существует такое число i (j), 1 6 i (j) 6 6 r, что q′j = qi (j) и y′j (x) = p (yi (j) (x)) почти для всех x ∈ X; (ii) если qi 6= q′j при данном i и всех j, то yi (x) ⊂ Q почти для всех x ∈ X; L (iii) Q = (Q ∩ yi (x)) почти для всех x ∈ X. 16i6r

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для a ∈ R и x ∈ X положим M M Va (x) = yi (x), Wa (x) = yi (x), qi 6a

V (x) = ′ a

M

q′j 6a

qi >a

y j (x),

W (x) = ′ a

M

y j (x).

q′j >a

В силу теоремы 2.1 (ii) почти для всех x ∈ X выполняются включения p (Va (x)) ⊂ Va′ (x), p (Wa (x)) ⊂ Wa′ (x).

208

Глава V. Характеристические отображения

С другой стороны, yi (x) = Vqi (x) ∩ Wqi (x),

y′i (x) = Vq′′i (x) ∩ Wq′′i (x)

и Va′ (x) ∩ Wa′ (x) = {0}, def

если a ∈ / A = {q′j | 1 6 j 6 r ′ }. Таким образом, почти для всех x ∈ X мы имеем p (yi (x)) ⊂ y′j (x), p (yi (x)) = 0,

если

qi = q′j ,

(1)

qi ∈ (2) / A. L ′ L yi (x) и F = y j (x), то (i) Из равенства (2) следует (ii). Так как W =

если

16i6r

16 j6r

вытекает из соотношений (1) и (2). Применив теорему 2.1 к ограничению u(m, x)|Q коцикла u на Q, получаем утверждение (iii).

§ 3. Определение и основные свойства характеристических отображений 3.0. В этом параграфе G — унимодулярная s-компактная локально компактная группа, Γ — решетка в G, p : G → Γ \ G — естественное отображение. Пусть Λ — подгруппа в CommG (Γ), содержащая Γ, а T : Λ → GL(W ) — представление группы Λ в пространстве W . Через Ω = ΩΓ,T обозначим множество таких борелевских отображений f : G → → GL(W ), что f (g g) = f (g)T (g−1),

g ∈ Γ, g ∈ G.

(1)

Для f ∈ Ω и y, g ∈ G положим B ′f (y, g) = f (y) f (y g) −1 .

(2)

Из соотношений (1) и (2) вытекает, что B ′f (gy, g) = B ′f (y, g) для всех f ∈ Ω, g ∈ Γ и y, g ∈ G. Поэтому для f ∈ Ω корректно определено отображение B f (x, g) = B ′f (p−1 (x), g),

x ∈ Γ \ G, g ∈ G.

(3)

Ввиду равенства (2) отображение B является коциклом, а тогда это верно и для B f , т. е. ′ f

B f (x, g1 g2) = B f (x, g1)B f (x g1 , g2)

∀ x ∈ Γ \ G, g1 , g2 ∈ G.

(4)

Для компакта M ⊂ G и x ∈ Γ \ G положим

QM, f (x) = sup (ln+ kB f (x, g)k + ln+ kB f (x, g) −1 k). g∈M

(5)

§ 3. Определение и основные свойства характеристических отображений

209

Положим также Ψ = ΨΓ,T = {f ∈ Ω | для любого компакта M ⊂ G величина QM, f (x) конечна почти при всех x ∈ Γ \ G и функция QM, f принадлежит L1 (Γ \ G, mG)}. Представление T называется Γ-интегрируемым, если ΨΓ,T 6= ∅. Как и в п. IV.3.8, f(G, Γ) обозначает семейство всех борелевских фундаментальных областей X ⊂ G для действия Γ слева. При X ∈ f(G, Γ) определим борелевское отображение tX : G → Γ посредством отношения g ∈ tX (g)X, g ∈ G. Положим fX (g) = T (tX (g) −1),

g ∈ G.

Так как tX (g g) = gtX (g) при всех g ∈ G, g ∈ Γ, мы имеем fX ∈ ΩΓ,T . Область X ∈ f(G, Γ) называется (Γ, T)-интегрируемой, если fX ∈ ΨΓ,T . Если y ∈ X, то tX (y) = e, откуда следует, что B ′f (y, g) = T (tX (y g)) при всех g ∈ G. Условие (Γ, T)-интегрируемости для X равносильно условию QM,X ∈ L1 (X, mG) для каждого компакта M, где def

QM,X (y) = sup (ln+ kT (tX (y g))k + ln+ kT (tX (y g)) −1 k), y ∈ X. g∈M

Замечание. Если Γ \ G компактно, то представление T является Γ-интегрируемым. Действительно, для компактной области X ∈ f(G, Γ) и компакта M ⊂ G множество tX (X · M) конечно, и потому функция QM,X ограничена. Таким образом, область X является (Γ, T)-интегрируемой, а тогда представление T является Γ-интегрируемым. Как и выше, мы говорим, что s ∈ G действует эргодически на Γ \ G, если преобразование x 7→ xs пространства Γ \ G эргодично (относительно меры mG). Отметим, что, так как группа G унимодулярна, это преобразование сохраняет меру mG . Теперь зафиксируем элемент s ∈ G, действующий эргодически на Γ \ G. 3.1. Лемма. Если преобразование T является Γ-интегрируемым и T (Γ) ⊂ SL(W ), то существует отображение f ∈ ΨΓ,T , для которого f (G) ⊂ SL(W ). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть h ∈ Ψ, и пусть ϑ: GL(W ) → SL(W ) — отображение, определенное в лемме 1.2. Положим f = ϑ ◦ h : G → SL(W ). Так как T (Γ) ⊂ SL(W ), h ∈ Ω, ϑ(gh) = ϑ(g)h для всех g ∈ SL(W ) и h ∈ SL(W ), мы получаем, что f ∈ Ω. С другой стороны, отображение h является Γ-интегрируемым, и из равенств (2), (3) п. 3.0 и свойства (Б) отображения ϑ вытекает, что ln+ kB f (x, g)k + ln+ kB f (x, g) −1 k 6 2(c + ln+ kBh (x, g)k + + ln+ kBh (x, g) −1 k). Следовательно, f ∈ Ψ. 3.2. Теорема. Пусть представление T является Γ-интегрируемым и f ∈ ΨΓ,T .

210

Глава V. Характеристические отображения

(i) Существуют r ∈ N+ , li ∈ N+ , qi ∈ R и измеримые отображения wi : G → Grli (W ), 1 6 r 6 n, 1 6 i 6 r, со следующими свойствами: (а) почти для всех g ∈ G пространство W является прямой суммой подпространств wi (g), 1 6 i 6 r; (б) почти для всех g ∈ G и для всех i от 1 до r последовательность (1/m) ln k f (gs m)wk/kwk сходится к qi равномерно по w ∈ W − {0} при m → ±∞; r ] P (в) li qi = (1/mG (Γ \ G)) · (− ln | det B f (x, s)|)d mG (x); (в ) ′

i=1 r

P

i=1

G

li qi = 0 при T (Γ) ⊂ SL(W );

(г) qi < q j при 1 6 i < j 6 r. (ii) Почти для всех g ∈ G и для всех w ∈ W − {0} существуют следующие пределы: q+ (w, g) = lim (1/m) ln k f (gs m)wk,

(1)

q− (w, g) = lim (1/m) ln k f (gs m)wk.

(2)

m→+∞

m→−∞

При этом почти для всех g ∈ G и для всех a ∈ R верно, что M {0} ∪ {w ∈ W − {0} | q+ (w, g) 6 a} = wi (g),

(3)

qi 6a

{0} ∪ {w ∈ W − {0} | q− (w, g) > a} =

M

wi (g).

(4)

qi >a

(iii) Числа r, li , qi однозначно определяются свойствами (а), (б), (в) и (г), а отображения wi определены с точностью до изменения на множестве меры нуль. (iv) Если заменить f другим отображением h ∈ Ψ, то числа r, li , qi останутся прежними, а отображения wi изменятся лишь на множестве меры нуль. Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим u(m, x) = B f (x, s m) −1 ,

m ∈ Z, x ∈ Γ \ G.

(5)

Тогда из равенств (2) и (3) п. 3.0 вытекает, что при всех g ∈ G и m ∈ Z выполняется равенство f (gs m) = B ′f (g, s m) −1 f (g) = u(m, p (g)) f (g).

(6)

Так как B f является коциклом, u — коцикл относительно динамической системы {Lm }, где L — автоморфизм факторпространства Γ \ G, отображающий x ∈ Γ \ G в xs. Так как f ∈ Ψ, коцикл u интегрируем. Применим

§ 3. Определение и основные свойства характеристических отображений

211

теперь теорему 2.1 (мультипликативную эргодическую теорему). А именно, пусть qi , 1 6 i 6 r, — характеристические показатели коцикла u; li — кратность показателя qi ; yi — характеристическое отображение, определяемое коциклом u и характеристическим показателем qi . Определим отображения wi : G → Grli (W ), положив wi (g) = f (g) −1 yi (p (g)),

g ∈ G.

(7)

Так как yi , qi и li обладают свойствами (а), (б), (в) и (г) из формулировки теоремы 2.1, из соотношений (6) и (7) следует, что wi , qi и li обладают свойствами (а), (б), (в) и (г) из формулировки доказываемой теоремы. Утверждение (ii) вытекает из равенств (6), (7) и утверждения (ii) теоремы 2.1. Утверждение (iii) следует из утверждения (ii). Докажем (iv). Так как f , h ∈ Ψ, мы имеем f (g g)h(g g) −1 = f (g)h(g) −1 при всех g ∈ Γ и g ∈ G. Тогда в силу следствия I.4.6.3 почти для всех g ∈ G нижние пределы последовательностей {k f (gs m)h(gs m) −1 k/|m|} и {kh(gs m) f (gs m) −1 k/|m|} равны нулю при m → ±∞. Значит, почти при всех g ∈ G справедливо следующее утверждение: если при w ∈ W − {0} существуют пределы lim (1/m) ln k f (gs m)wk и

m→+∞

lim (1/m) ln kh(gs m)wk

m→+∞

(соответственно пределы lim (1/m) ln k f (gs m)wk и

m→−∞

lim (1/m) ln kh(gs m)wk),

m→−∞

то они совпадают. Отсюда и из утверждения (ii) вытекает утверждение (iv). Если теперь f (G) ⊂ SL(W ), то det B f (x, g) ≡ 1. Тогда из утверждения (iv) вытекает, что (в′) является следствием из (в) и леммы 3.1. Назовем числа qi характеристическими показателями пары (s, T), а числа li — кратностями характеристических показателей qi . Будем называть wi характеристическими отображениями, отвечающими паре (s, T) и характеристическим показателям qi . 3.3. Теорема. Пусть представление T является Γ-интегрируемым; qi , 1 6 i 6 r, — характеристические показатели пары (s, T); wi — характеристическое отображение, отвечающее паре (s, T) и характеристическому показателю qi . (i) Отображение wi является Λ-эквивариантным, т. е. для каждого l ∈ Λ и почти всех g ∈ G выполняется равенство wi (l g) = T (l) wi (g),

1 6 i 6 r.

(1)

212

Глава V. Характеристические отображения

(ii) Если для некоторых p, p ′ ∈ G множества {s −m ps m | m ∈ N+ }

и

{s m p ′ s −m | m ∈ N+ }

относительно компактны в G, то почти для всех ∈ G и для всех i от 1 до r выполняются равенства M M w j (g p) = w j (g) (2) и

q j 6 qi

q j 6 qi

M

M

q j > qi

w j (g p ′) =

w j (g).

(3)

q j > qi

(iii) Для каждого z ∈ ZG (S) выполняется равенство wi (gz) = wi (g)

(4)

почти для всех g ∈ G и для всех i от 1 до r. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f ∈ Ψ и l ∈ Λ. Положим hl (g) = f (l g)T (l) f (g) −1 ,

g ∈ G.

(5)

def

Если g ∈ Γ и lg−1 l−1 ∈ Γ, т. е. если g ∈ Γl = Γ ∩ (l−1 Γl), то с учетом равенства (1) п. 3.0 получаем для каждого g ∈ G равенства hl (g g) = f (lg g)T (l) f (g g) −1 = f (lgl−1 l g)T (l) f (g g) −1 = = f (l g)T (lg−1 l−1)T (l)T (g) f (g) −1 = f (l g)T (l) f (g) −1 = hl (g).

(6)

Так как l ∈ CommG (Γ), подгруппа Γl имеет конечный индекс в решетке Γ и потому является решеткой в G. Тогда из соотношения (6) и следствия I.4.6.3 вытекает, что почти при всех g ∈ G нижние пределы последовательностей {khl (gs m)k/|m|} и {khl (gs m) −1 k/|m|} равны нулю при m → ±∞. С другой стороны, в силу равенства (5) мы получаем hl (gs m) f (gs m)w = f (l gs m)T (l)w при всех g ∈ G, w ∈ W , m ∈ Z. Следовательно, почти для всех g ∈ G и для всех w ∈ W − {0} выполняются равенства q+ (w, g) = q+ (T (l)w, l g)

(7)

q− (w, g) = q− (T (l)w, l g),

(8)

и

§ 3. Определение и основные свойства характеристических отображений

213

где q+ (w, g) и q− (w, g) определены равенствами (1) и (2) в теореме 3.2. Очевидно, M  M  wi (g) = w j (g) ∩ w j (g) . (9) q j 6 qi

q j > qi

Из соотношений (7), (8) и (9), используя равенства (3) и (4) из теоремы 3.2, получаем утверждение (i). Положим M = {s −m ps m | m ∈ N+ } и определим QM, f (x), x ∈ Γ \ G, посредством равенства (5) п. 3.0. Так как M относительно компактно и f ∈ Ψ, мы имеем QM, f (x) < ∞ почти для всех x ∈ Γ \ G. Следовательно, почти для всех x ∈ Γ \ G (см. следствие I.4.6.2) выполняется неравенство lim inf(1/m) ln+ kB f (xs m , s −m ps m)k 6 lim inf(1/m) ln+ QM, f (xs m) = 0.

m→+∞

m→+∞

Поэтому почти для всех g ∈ G мы имеем

lim inf(1/m) ln+ kB f (gs m , s −m ps m)k = 0.

m→+∞

С другой стороны, в силу равенства (2) из п. 3.0 мы получаем f (gs m) = B ′f (gs m , s −m ps m) f (g ps m). Таким образом, q+ (w, g) 6 q+ (w, g p) почти для всех g ∈ G и для всех w ∈ W − {0}. Аналогично, заменив p на p −1 , получаем, что q+ (w, g) > > q+ (w, g p) и, следовательно, q+ (w, g) = q+ (w, g p) почти для всех g ∈ G и для всех w ∈ W − {0}. С учетом формулы (3) из теоремы 3.2 получаем (2). Равенство (3) доказывается аналогично. Так как s m zs −m = z для всех z ∈ ZG (s) и m ∈ Z, утверждение (iii) следует из равенства (9) и утверждения (ii). 3.4. Предложение. Пусть Q ⊂ W — некоторое T (Λ)-инвариантное линейное подпространство в W . Пусть F = W /Q; p : W → F — естественное отображение; T ′ : Λ → GL(F) — факторпредставление (т. е. T ′ (l) p (w) = p (T (l)w), l ∈ Λ, w ∈ W ). Предположим, что представление T (а тогда и T ′) Γ-интегрируемо. Пусть qi , 1 6 i 6 r (соответственно q′j , 1 6 j 6 r ′) — характеристические показатели пары (s, T) (соответственно (s, T ′)), а wi (соответственно w′j) — характеристические отображения, отвечающие паре (s, T) (соответственно (s, T ′)) и характеристическим показателям qi (соответственно q′j). Тогда (i) для каждого j от 1 до r ′ найдется такое i (j), 1 6 i (j) 6 r, что ′ q j = qi (j) и w′j (g) = p (wi (j) (g)) почти для всех g ∈ G; ′ (ii) если qL i отлично от всех q j , то wi (g) ⊂ Q почти для всех g ∈ G; (iii) Q = (Q ∩ wi (g)) почти для всех g ∈ G. 16i6r

214

Глава V. Характеристические отображения

Это предложение можно вывести из теоремы 3.2 таким же способом, как предложение 2.3 — из мультипликативной эргодической теоремы. В то же время предложение 3.4 можно получить, применив предложение 2.3 к коциклу u, который определяется равенством (5) в теореме 3.2. 3.5. Определение. Мы говорим, что гомоморфизм f : D → H подгруппы D ⊂ G в локально компактную группу H почти продолжает непрерывный гомоморфизм f˜ : G → H , если отображение r : D → H , r (d) = f (d) f˜ (d −1), d ∈ D, обладает следующими свойствами: (а) r (D) относительно компактно в H ; (б) r (D) и f˜ (G) коммутируют (т. е. r (D) ⊂ ZH (f˜ (G))). Легко проверить, что из свойства (б) вытекает следующее свойство: (в) r является гомоморфизмом. 3.6. Предложение. Пусть ограничение представления T на Γ почти продолжается до непрерывного представления T˜ : G → GL(W ). Обозначим через di ∈ R, 1 6 i 6 r, характеристические показатели преобразования T˜ (s −1), упорядоченные по возрастанию. Пусть Wi ⊂ W — характеристическое подпространство преобразования T˜ (s −1), отвечающее показателю di (определение см. в § 1 гл. II). Тогда (а) представление T является Γ-интегрируемым; (б) wi (g) = T˜ (g)Wi и qi = di почти для всех g ∈ G и для всех i, где qi — характеристический показатель пары (s, T), а wi — соответствующее характеристическое отображение. Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем борелевскую фундаментальную область X ⊂ G для действия Γ слева. Для g ∈ G определим (единственный) элемент t (g) ∈ Γ условием t (g) g ∈ X. Положим r (l) = T (l) T˜ (l−1), l ∈ Λ, ϑ(g) = = r (t (g)) и f (g) = ϑ(g) T˜ (g −1), g ∈ G. Так как T |Γ почти продолжает T˜ и t (g g) = t (g) g−1 для всех g ∈ G и g ∈ Γ, мы получаем, что ϑ и r обладают следующими свойствами: (А) ϑ(g g) = ϑ(g) r (g−1) при всех g ∈ G, g ∈ Γ; (Б) подмножество ϑ(G) ⊂ r (Γ) относительно компактно в GL(W ); (В) r (Γ) и T˜ (G) коммутируют. Из свойств (А) и (В) вытекает, что f (g g) = f (g)T (g−1) при всех g ∈ G и g ∈ Γ, т. е. f ∈ ΩΓ,T . С другой стороны, представление T˜ непрерывно и B ′f (y, g) = f (y) f (y g) −1 = ϑ(y) T˜ (y −1) T˜ (y g)ϑ(y g) −1 = ϑ(y) T˜ (g)ϑ(y g) −1 для всех y, g ∈ G. Поэтому из свойства (Б) следует, что множество {B f (x, g) | x ∈ Γ \ G, g ∈ M} относительно компактно для каждого компакта M ⊂ G. Значит, f ∈ Ψ, что доказывает утверждение (а). Из леммы II.1.1 (г) вытекает, что для каждого a ∈ R выполняются равенства M {0} ∪ {w ∈ W − {0} | lim ln kT˜ (s −m)wk 6 a} = Wi (1) m→+∞

di 6a

§ 4. Эффективные пары

и

215

{0} ∪ {w ∈ W − {0} | lim ln kT˜ (s −m)wk > a} = m→−∞

M

Wi .

(2)

di >a

С другой стороны, для всех g ∈ G и m ∈ Z мы имеем f (gs m) = ϑ(gs m) T˜ (s −m) T˜ (g −1).

(3)

Так как ϑ(G) относительно компактно в GL(W ), из равенств (1), (2), (3) и теоремы 3.2 (ii) вытекает, что почти для всех g ∈ G и для всех a ∈ R выполнены равенства M M T˜ (g −1) wi (g) = Wi (4) qi 6a

и

M

di 6a

T˜ (g −1) wi (g) =

qi >a

M

Wi .

(5)

di >a

Из соотношений (4) и (5) с учетом равенства (9) из п. 3.3 получаем утверждение (б).

§ 4. Эффективные пары В этом параграфе обозначения G, Γ, Λ, T , s имеют тот же смысл, что в § 3. Алгебраическое замыкание поля k обозначается K . Единственное продолжение абсолютного значения | | до абсолютного значения в поле K также будет обозначаться | |. Положим WK = W ⊗k K . Замыкание по Зарисскому подгруппы T (Λ) в GL(WK ) обозначается T (Λ). В п. 4.2 мы определяем понятие эффективной пары (s, T). Оказывается, каждой эффективной паре соответствуют определенные измеримые отображения группы G в векторные пространства (см. п. 4.3). В дальнейшем (см. предложения 4.7 и 4.8 гл. VII) мы покажем, что при некоторых дополнительных предположениях из существования таких отображений вытекает, что представление T продолжается до непрерывного представления группы G. Указанные предложения VII.4.7 и VII.4.8 затем используются при доказательстве теорем сверхжесткости. Главным результатом этого параграфа является теорема 4.12, согласно которой при некоторых ограничениях на k-группу F и гомоморфизм t : Λ → F(k) пара (s, Ad ◦t) эффективна. 4.1. Пусть дано k-рациональное действие k-группы H на k-многообразии M. Назовем множество X ⊂ M(k) строго k-эффективным, если выполнено одно из следующих равносильных условий:

216

Глава V. Характеристические отображения

(i) H действует эффективно на каждой орбите Hx, x ∈ X (т. е. если x ∈ X и h′ (hx) = hx для всех h ∈ H, то h′ = e); def (ii) для каждой точки x ∈ X ее стабилизатор Hx = {h ∈ H | hx = x} не содержит нетривиальных k-замкнутых нормальных подгрупп группы H. Равносильность условий (i) и (ii) вытекает из равенства {h′ ∈ H | h′ (hx) = T = hx ∀ h ∈ H} = hHx h−1 и того факта, что эта подгруппа k-замкнута и h∈H

нормальна в H для каждого x ∈ M(k). Пусть Y — пространство с мерой m. Измеримое отображение Ψ : Y → → M(k) называется строго H-эффективным, если для некоторого множества Z ⊂ Y меры нуль множество Ψ(Y − Z) строго H-эффективно. В дальнейшем мы используем следующее очевидное наблюдение. Пусть r — рациональное m-мерное представление группы H, определенное над k. Пусть также существует измеримое строго H-эффективное отображение пространство с мерой в km . Тогда Ker r = {e}. 4.2. Пара (s, T) называется эффективной, если представление T является Γ-интегрируемым и для некоторого i, 1 6 i 6 r, характеристическое отображение wi : G → Grli (W ) строго T (Λ)-эффективно. Иными словами, пара (s, T) эффективна, если представление T является Γ-интегрируемым и выполнены следующие равносильные условия: (а) при некотором i, 1 6 i 6 r, группа T (Λ) действует эффективно на орбите T (Λ)wi (g) почти для всех g ∈ G; (б) при некотором i, 1 6 i 6 r, почти для всех g ∈ G никакая k-замкнутая нормальная подгруппа в T (Λ), отличная от {e}, не содержится в {h ∈ T (Λ) | hwi (g) = wi (g)}. При доказательстве теорем сверхжесткости (гл. VII) нам потребуется 4.3. Предложение. Пусть пара (s, T) эффективна. Тогда существуют m ∈ N+ , точное рациональное m-мерное представление r группы T (Λ), определенное над k, и два измеримых отображения f : G → km и f′ : G /ZG (s) → km со следующими свойствами. (i) Отображения f и f′ строго T (Λ)-эффективны относительно действия группы T (Λ) на km , заданного представлением r. (ii) Для каждого l ∈ Λ выполнено равенство f (l gz) = r (T (l)) f (g) почти для всех g ∈ G и для всех z ∈ ZG (s). (iii) Отображение f′ является Λ-эквивариантным, т. е. f′ (lx) = = r (T (l)) f′ (x) для всех l ∈ Λ и почти всех x ∈ G /ZG (s). Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как пара (s, T) эффективна, из определения следует, что для некоторого i, 1 6 i 6 r, характеристическое отображение L wi : G → Grli (W ) строго T (Λ)-эффективно. Положим ϑ(g) = w j (g). 16 j6r, j6=i

Тогда W = wi (g) ⊕ ϑ(g) почти для всех g ∈ G. Пусть f (g) ∈ End(W ) — про-

§ 4. Эффективные пары

217

ектор пространства W на wi (g), который отображает ϑ(g) в 0. Определим рациональное представление r над k группы T (Λ) ⊂ GL(WK ) в пространстве End(WK ), положив r (h)x = hxh−1 , h ∈ T (Λ), x ∈ End(WK ). Согласно утверждениям (i) и (iii) теоремы 3.3 при всех l ∈ Λ, z ∈ ZG (s) и j от 1 до r выполняется равенство w j (l gz) = T (l) w j (g)

почти при всех g ∈ G. Поэтому при всех l ∈ Λ, z ∈ ZG (s) мы имеем f (l gz) = r (T (l)) f (g)

почти для всех g ∈ G. Применив лемму I.4.1.1 (v) и изменив f на множестве меры нуль, можно считать, что f обладает свойством (ii). Если r (h) f (g) = f (g), то hwi (g) = wi (g), h ∈ T (Λ). Но отображение wi строго T (Λ)-эффективно, а тогда это верно для f, что и требуется. Остается заметить, что f (gz) = f (g) почти для всех g ∈ G и всех z ∈ ZG (s), и положить f′ (gZG (s)) = f (g), g ∈ G. 4.4. Пусть B ∈ GL(W ). Как и в § 1 гл. II, пусть Ω(B) — множество всех собственных значений преобразования B; Wl (B) — весовое подпроh L i странство, отвечающее l ∈ Ω(B); Wd (B) — подпространство Wl (B) k . ln |l|=d

В частности,

W0 (B) =

M

|l|=1



Wl (B) k .

4.5. Лемма. Пусть H — некоторая k-группа; h ∈ H(k); hs ∈ H(k) — полупростая часть элемента h; M — замыкание по Зарисскому подгруппы {hm | m ∈ Z}. Следующие условия равносильны: (i) подгруппа {hm s | m ∈ Z} не является относительно компактной в H(k); (ii) существует такой (рациональный) характер q группы M, что |q (h)| 6= 1. Д о к а з а т е л ь с т в о. (i) ⇒ (ii). Можно считать, что H является k-подгруппой в GL(WK ). Так как преобразование hs диагонализуемо, а подгруппа {hm s | m ∈ Z} не является относительно компактной, найдется такое l ∈ Ω(hs) = Ω(h), что подгруппа {lm | m ∈ Z} не является относительно компактной в K − {0}. Если x ∈ K − {0} и |x| = 1, то в силу определения локального поля подгруппа {x m | m ∈ Z} относительно компактна. Значит, |l| 6= 1. Пусть z — собственный вектор преобразования h, отвечающий собственному значению l. Так как M — замыкание по Зарисскому подгруппы {hm | m ∈ Z}, вектор z является собственным вектором любого преобразования y ∈ M. Определим характер q группы M, положив q (y)z = y (z), y ∈ M. Тогда |q (h)| = |l| 6= 1.

218

Глава V. Характеристические отображения

(ii) ⇒ (i). Так как любой морфизм рациональных алгебраических групп переводит унипотентные элементы в унипотентные, то q (hs) = q (h). Следовательно, подгруппа {q (hm s ) | m ∈ Z} не является относительно компактной в K − {0}, а тогда подгруппа {hm s | m ∈ Z} не является относительно компактной в H(k). 4.6. Определение. Пусть H — некоторая k-группа. Элемент h ∈ H(k) называется существенно некомпактным, если выполнены условия (i) и (ii) леммы 4.5. 4.7. Лемма. Пусть M — коммутативная k-группа и элемент x ∈ ∈ M(k) существенно некомпактен. Тогда существует k-подгруппа Mx ⊂ M положительной размерности, состоящая из полупростых элементов и такая, что r (Mx)w = w для каждого k-рационального представления r : M → GL(WK ), определенного над k для любого w ∈ W0 (r (x)). Д о к а з а т е л ь с т в о. Коммутативную k-группу M можно представить в виде прямого произведения k-подгрупп следующим образом (см. пп. I.0.20 и I.0.22): M = C × T × M (u) , где T — тор, C — конечная группа, M (u) = {y ∈ M | y унипотентно}. Так как любой рациональный гомоморфизм переводит унипотентные элементы в унипотентные, M (u) ⊂ Ker q для любого q ∈ X(M), где, как обычно, X(M) обозначает группу характеров группы M. Следовательно, X(M) ∼ = Z′ × C, где r = dim T. Положим A = {q ∈ X(M) | |q (x)| = 1} и Mx = {y ∈ T | q (y) = 1 ∀ q ∈ A}. Так как элемент x существенно некомпактен, факторгруппа X(M) /A бесконечна. Следовательно, A ∼ = Z′ × C ′ , где r ′ < r и C ′ ⊂ C, и потому dim Mx > 0. Так как множество A инвариантно относительно автоморфизмов поля K над k, подгруппа Mx является k-замкнутой. Но любая k-замкнутая подгруппа k-тора определена над k. Таким образом, Mx является k-подгруппой. некоторое k-рациональное представление Пусть теперь r : M → GL(WK ) — L h i группы M. Так как W0 (r (x)) = Wl (r (x)) k , то любой вес группы M в |l|=1

r (M)-инвариантном подпространстве W0 (r (x)) тривиален на Mx . Но группа r (T) диагонализуема как образ тора T при рациональном морфизме. Поэтому r (Mx)w = w для всех w ∈ W0 (r (x)). 4.8. Мы говорим, что связная k-группа F обладает свойством (L) над k, если унипотентный радикал Ru (F) определен над k, {e} 6= Ru (F) 6= F и любая нетривиальная k-замкнутая нормальная подгруппа в F содержит Ru (F). До конца этого параграфа F будет обозначать связную k-группу со свойством (L) над k. Положим

H = F/Ru (F),

F = Lie(F),

R = Lie(Ru (F)),

H = Lie(H) = F/R.

§ 4. Эффективные пары

219

Пусть s : F → H и s˜ : F → H — естественные эпиморфизмы. Так как F обладает свойством (L) над k, а коммутант D (Ru (F)) нильпотентной нормальной k-подгруппы Ru (F) не совпадает с Ru (F) и является нормальной k-подгруппой в F, то группа Ru (F) коммутативна, а тогда это верно и для R. Поэтому можно определить представления AdR и adR группы H и алгебры Ли H в пространстве R, положив AdR s (f) (r) = Ad f (r), adR s˜ (f) (r) = ad f (r),

f ∈ F, r ∈ R; f ∈ F, r ∈ R.

Представления AdR и adR следует отличать от присоединенных представлений Ad и ad группы H. Если g ∈ H и r ∈ R, то adR g (r) будет также обозначаться [g, r]. При A ⊂ H и B ⊂ R положим [A, B] = { [g, r] | g ∈ A, r ∈ B}. Положим также ZH (R) = Ker AdR = {h ∈ H | AdR h(r) = r ∀ r ∈ R}, ZH (R) = Ker adR = {g ∈ H | [g, r] = 0 ∀ r ∈ R}.

Легко видеть, что

ZH (R) = s (ZF (R)), ZH (R) = s˜ (ZF (R)).

(1)

Как обычно, множество полупростых элементов алгебры H обозначается H (s) . Символы Fk , Rk и Hk = Fk /Rk обозначают соответственно множества k-точек в алгебрах Ли F, R и H. Эти обозначения используются до конца параграфа. 4.9. Лемма. Пусть h ∈ H(k) и d1 , d2 ∈ R. Тогда [Wd1 (Ad h), Wd2 (AdR h)] ⊂ Wd1 +d2 (AdR h).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем f ∈ s−1 (h). Так как Ad f является автоморфизмом алгебры Ли F, из [Bou 7], гл. VII, § 1, предложения 12 вытекает, что [Wl1 (Ad f), Wl2 (Ad f)] ⊂ Wl1 l2 (Ad f)

∀ l1 , l2 ∈ Ω(Ad f) .

С другой стороны s (Wl (Ad f)) = Wl (Ad h) и R ∩ Wl (Ad f) = Wl (AdR h) так как s (f) = h. Следовательно, [Wl1 (Ad h), Wl2 (AdR h)] ⊂ Wl1 l2 (AdR h), h L i что доказывает лемму ввиду равенства Wd (B) = Wl (B) k . ln |l|=d

4.10. Лемма. Пусть h — существенно некомпактный элемент группы H(k). Пусть также H (s) ∩ ZH (R) = {0}. Тогда [W0 (Ad h), Rk ] 6⊂ W0 (AdR h).

220

Глава V. Характеристические отображения

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть M — замыкание по Зарисскому подгруппы {hm | m ∈ Z}. Так как элемент h существенно некомпактен, ввиду леммы 4.7 существует k-подгруппа положительной размерности Mh ⊂ M, состоящая из полупростых элементов и такая, что AdH Mh (w) = w для всех w ∈ W0 (AdR h). Тогда [Mk , W0 (AdR h)] = {0},

(1)

где Mk = Lie(Mh) k . Так как dim Mh > 0 и Mh состоит из полупростых эле(s) ментов, мы имеем Mk 6= {0} и Mk ⊂ H (s) . Но H L ∩ ZH (R) = {0}. Поэтому [Mk , Rk ] 6= {0}. Тогда из (1) и равенства Rk = Wd (AdR h) вытекает, что d∈R

[Mk , Wd (AdR h)] 6= {0} для некоторого d ∈ R, d 6= 0. С другой стороны, группа M коммутативна, и потому Mk ⊂ W0 (Ad h). Следовательно, [W0 (Ad h), Wd (AdR h)] 6= {0}. Применив лемму 4.9 и равенство [Wd (Ad h) ∩ W0 (AdR h)] = {0}, получаем утверждение леммы. 4.11. Лемма. Пусть char k = 0. Тогда: (i) ZF (Ru (F)) = Ru (F); (ii) ZF (R) = Ru (F) и ZF (R) = R; (iii) ZH (R) = {e} и ZH (R) = {0}; (iv) Z (F) = {e}. Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим D = ZF (Ru (F)). Так как группа Ru (F) коммутативна (см. 4.8), то D ⊃ Ru (F), и потому Ru (D) ⊃ Ru (F). С другой стороны, так как подгруппа Ru (F) нормальна в F, подгруппа D, а тогда и Ru (D), нормальна в F. Следовательно, Ru (D) = Ru (F), и потому Ru (D) ⊂ ⊂ Z (D). Как следствие, в D имеется единственная k-подгруппа Леви M, и D = M × Ru (D). Так как подгруппа D нормальна в F, то k-подгруппа M нормальна в F. Но F обладает свойством (L) над k и M ∩ Ru (F) = {e}. Поэтому M = {e}, откуда вытекает утверждение (i). Так как char k = 0, то (ii) является следствием из (i). Из утверждений (i) и (ii), используя равенство (1) из п. 4.8, получаем утверждение (iii). Так как Ru (F) 6= F, то утверждение (iv) следует из (i). 4.12. Теорема. Пусть t : Λ → F(k) — гомоморфизм, причем подгруппа t (Λ) плотна по Зарисскому в F. Пусть также представление Ad ◦t : Λ → GL(Fk) является Γ-интегрируемым, а ограничение гомоморфизма s ◦ t : Λ → H(k) почти продолжается (в смысле п. 3.5) до непрерывного гомоморфизма t˜ : G → H(k). Наконец, пусть H (s) ∩ ZH (R) = {0} и элемент t˜ (s) существенно некомпактен. Тогда пара (s, Ad ◦t) эффективна. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для каждого d ∈ R положим WdH = Wd (Ad t˜ (s)) ⊂ Hk ,

WdR = Wd (AdR t˜ (s)) ⊂ Rk .

§ 4. Эффективные пары

221

Так как элемент t˜ (s) существенно некомпактен, по лемме 4.10 мы получаем [W0H , Rk ] 6⊂ W0R .

(1)

w′ (g) = Ad t˜ (g) (W0H),

(2)

Поскольку гомоморфизм s ◦ t|Γ почти продолжается до t˜ , то Ad ◦s ◦ t|Γ почти продолжается до Ad ◦t˜ : G → GL(Hk). Следовательно, нуль является характеристическим показателем пары (s, Ad ◦s ◦ t) (см. предложение 3.6), и почти для всех g ∈ G впыолняется равенство где w′ : G → Gr(Hk) — характеристическое отображение, отвечающее паре (s, Ad ◦s ◦ t) и характеристическому показателю 0. Легко видеть, что представление Ad ◦s ◦ t индуцировано представлением Ad ◦t в пространстве Hk = Fk /Rk . Поэтому w′ (g) = s˜ (w (g)) почти для всех g ∈ G, где w : G → Gr(Fk) — характеристическое отображение, отвечающее паре (s, Ad ◦t) и характеристическому показателю 0 (см. предложение 3.4 (i)). Тогда из соотношения (2) вытекает, что почти для всех g ∈ G выполняется равенство s˜ (w (g)) = Ad t˜ (g) (W0H). (3) Из предложения 3.4 (iii) аналогично получаем с учетом предложения 3.6, что w (g) ∩ Rk = AdR t˜ (g) (W0R) (4)

почти для всех g ∈ G. (Здесь используется тот факт, что AdR ◦s ◦ t — ограничение на R представления Ad ◦t.) Так как s˜ (Ad f (f)) = Ad s (f) (s˜ (f)) и Ad f (r) = AdR s (f) (r) при всех f ∈ F, f ∈ F и r ∈ R, мы имеем [Ad h(y), AdR h(r)] = AdR h([y, r]) при всех h ∈ H, y ∈ H и r ∈ R. Таким образом, из соотношений (1), (3) и (4) вытекает, что [s˜ (w (g)), Rk ] 6⊂ w (g) ∩ Rk (5)

почти для всех g ∈ G. Так как [s˜ (w (g)), Rk ] ≡ [w (g), Rk ] и [Hk , Rk ] ⊂ Rk , ввиду (5) мы получаем [w (g), Rk ] 6⊂ w (g) def

почти для всех g ∈ G, и поэтому подгруппа F g = {f ∈ F | Ad f (w (g)) = w (g)} не содержит Ru (F). Пусть F′g — максимальная нормальная подгруппа группы F, лежащая в F g . Так как подгруппа F g является k-замкнутой и не содержит Ru (F), подгруппа F′g является k-замкнутой. Но F обладает свойством (L) над k. Поэтому F′g = {e} почти для всех g ∈ G. Теорема доказана.

222

Глава V. Характеристические отображения

4.13. Замечание. В силу леммы 4.11 условие H (s) ∩ ZH (R) = {0} автоматически выполнено в случае char k = 0.

§ 5. Существенные пары В этом параграфе используются обозначения, введенные в п. 3.0. Как и в § 3, s обозначает элемент группы G, действующий эргодически на Γ \ G. До конца параграфа представление T предполагается Γ-интегрируемым, причем T (Γ) ⊂ SL(W ). Тогда можно выбрать такое отображение f ∈ ΨT ,Γ , что f (G) ⊂ SL(W ) (см. лемму 3.1). Через T (Λ) (соответственно T (Γ) будет обозначаться замыкание по Зарисскому подгруппы T (Λ) (соответственно T (Γ)). В основном мы будем рассматривать представления T со следующим свойством: (A) подгруппа T (Γ) не является относительно компактной в GL(W ) (в топологии, которую определяет топология поля k). В п. 5.1 мы вводим понятие существенной пары и выясняем, как оно соотносится с понятием эффективной пары, рассмотренным в § 4. Главной целью этого параграфа является получение результатов следующего рода: если T обладает свойством (A) и группа T (Γ) полупроста, то при некоторых ограничениях на G и Γ найдется такой элемент s, что пара (s, T) существенна. 5.1. Пара (s, T) называется существенной, если она имеет не менее двух характеристических показателей, или, что равносильно, если кратность любого ее характеристического показателя строго меньше n. Так как T (Γ) ⊂ SL(W ), в силу формулы (в′) из теоремы 3.2 (i) пара существенна тогда и только тогда, когда хотя бы один из ее характеристических показателей отличен от нуля. Если пара (s, T) существенна, то она заведомо обладает свойством (A). Так как для любого линейного подпространства W ′ ⊂ W подгруппа {h ∈ T (Λ) | hW ′ = W ′ } является k-замкнутой, в случае, когда представление T неприводимо над k и k-группа T (Λ) является k-простой, существенность пары равносильна ее эффективности. 5.2. Пусть g ∈ G. Положим ] h (g) = ln kB f (x, g) −1 kd mG (x), (1) Γ\G

d (g) = lim sup(1/m) h (g m). m→+∞

(2)

Так как представление T является Γ-интегрируемым, функция h локально ограничена (т. е. ограничена на любом компакте). Так как f (G) ⊂ SL(W ), из равенств (2) и (3) п. 3.0 вытекает, что det B f (x, G) ≡ 1 и потому

§ 5. Существенные пары

223

ln kB f (x, g) −1 k > 0 для всех x ∈ Γ \ G и g ∈ G (см. лемму 1.1). Следовательно, h (g) > 0 и d (g) > 0. Так как характеристические показатели пары (s, T) те же, что у коцикла u, определяемого уравнением (5) из теоремы 3.2 (см. ее доказательство), то из этой теоремы вытекает 5.3. Предложение. Если d (s) > 0, то пара (s, T) существенна. 5.4. Определение. Неотрицательная функция f на группе G называется полуаддитивной, если h(g1 g2) 6 h(g1) + h(g2) при всех g1 , g2 ∈ G. 5.5. Лемма. (i) Функция h полуаддитивна. (ii) Если элементы g1 и g2 группы G коммутируют, то d (g1 g2) 6 6 d (g1) + d (g2). Д о к а з а т е л ь с т в о. (i) Из уравнения (4) п. 3.0 и унимодулярности группы G вытекает, что ]

h (g1 g2) =

Γ\G

ln kB f (x, g1 g2) −1 kd mG (x) = =

6

]

Γ\G

] Γ\G

ln kB f (x g1 , g2) −1 B f (x, g1) −1 kd mG (x) 6

ln kB f (x g1 , g2) −1 kd mG (x) + = m (g1) +

]

Γ\G

]

Γ\G

ln kB f (x, g1) −1 kd mG (x) =

ln kB f (x, g1 g2) −1 kd mG (x g1) = h (g1) + h (g2).

(ii) Если g1 и g2 коммутируют, то из утверждения (i) вытекает, что h ((g1 g2) m) 6 h (g1m) + h (g2m) для всех m ∈ Z, откуда следует, что d (g1 g2) 6 6 d (g1) + d (g2). 5.6. Теорема (о свободных дискретных подгруппах линейных групп). Пусть H — полупростая k-группа, Λ — конечно порожденная подгруппа группы H(k), плотная по Зарисскому в H и не являющаяся относительно компактной в H(k) (в топологии, которую определяет топология поля k). Тогда Λ содержит некоммутатинвную свободную дискретную подгруппу. Эта теорема фактически доказана, хотя и не cформулирована явно, в работе [Ti 3]. В дополнении B мы покажем, как она выводится из утверждений, явно сформулированных в [Ti 3]. 5.7. Пусть t — квазирегулярное унитарное представление группы G в пространстве L2 (Γ \ G, mG), т. е. (t (g) f) (x) = f (x g), x ∈ Γ \ G, g ∈ G, f ∈ L2 (Γ \ G, mG). Положим o n ] f (x)d mG (x) = 0 . L02 (Γ \ G) = f ∈ L2 (Γ \ G, mG) | Γ\G

224

Глава V. Характеристические отображения

Решетка Γ называется слабо кокомпактной, если ограничение представления t на L02 (Γ \ G) изолировано от тривиального одномерного представления, т. е. если Γ слабо кокомпактна в смысле п. III.1.8. Если решетка Γ кокомпактна, то ввиду следствия III.1.10 она слабо кокомпактна. 5.8. До конца этого параграфа группа G будет предполагаться компактно порожденной. Пусть M — компактное подмножество, порождающее G, причем M = M−1 и M содержит окрестность единицы. Положим M1 = M и Mi = Mi−1 = Mi−1 M при i > 1. Для g ∈ G положим cM (g) = min{i ∈ N+ | g ∈ Mi }. Функция cM полуаддитивна, локально ограничена и симметрична (т. е. cM (g −1) = cM (g) для всех g ∈ G). При этом sup [f (g) /cM (g)] = a(f) < ∞ g∈G

для любой локально ограниченной полуаддитивной функции f на G, где a(f) = sup g∈M f (g) (проверку этих утверждений предоставляем читателю). Как следствие, если M′ ⊂ G — другой компакт с перечисленными свойствами, то функции cM и cM′ эквивалентны в том смысле, что inf [cM (g) /cM′ (g)] > 0,

g∈G

sup [cM (g) /cM′ (g)] < ∞. g∈G

5.9. Предложение. Пусть подгруппа T (Γ) не является относительно компактной в GL(W ), группа T (Γ) полупроста, а решетка Γ конечно порождена и слабо кокомпактна. Тогда lim

g∈G,cM (g)→∞

sup [h (g) /cM (g)] > 0.

(1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим H = SL(W ). Пусть E — регулярное представление группы H в пространстве L2 (H , mH ), т. е. (E (h) f) (h′) = f (h′ h), h, h′ ∈ H . Так как группа H унимодулярна, представление E унитарно (см. [Bou 3], гл. VII, § 3, предложение 6). Поскольку T (Γ) ⊂ SL(W ), можно определить унитарное представление U группы Γ, положив U (g) = E (T (g)), g ∈ Γ. Пусть r — представление группы G в пространстве L2 (G, Γ, U), индуцированное в смысле Макки представлением U . Напомним, что L2 (G, Γ, U) состоит из измеримых вектор-функций j на G, принимающих значения в L2 (H , mH ) и удовлетворяющих условию j (g g) = U (g) j (g), g ∈ Γ, g ∈ G. (2) ] def Здесь k jk2 = k j (g)k2 d mG (g) < ∞, где X ⊂ G — борелевская фундаменX

тальная область для действия решетки Γ слева. Скалярное произведение

§ 5. Существенные пары

225

в L2 (G, Γ, U) и унитарное представление r определяются формулами ] h j1 , j2 i = h j1 (g), j2 (g)id mG (x), (3) X

r (g) j (g1) = j (g1 g),

g, g1 ∈ G.

(4)

Так как подгруппа T (Γ) полупроста, а подгруппа T (Γ) конечно порождена (поскольку решетка Γ конечно порождена) и не является относительно компактной в GL(W ), то в силу теоремы 5.6 о свободных дискретных подгруппах линейных групп T (Γ) содержит некоммутативную свободную дискретную подгруппу Φ. Так как Φ дискретна, ограничение представления E на Φ кратно регулярному представлению группы Φ. С другой стороны, регулярное представление некоммутативной свободной группы изолировано от тривиального одномерного представления (см. предложение III.4.3). Но r индуцировано представлением U , а решетка Γ слабо кокомпактна. Поэтому из предложения III.1.11 (б) вытекает, что r изолировано от тривиального одномерного представления, и потому существует такая функция r ∈ A(G), что kr (r)k < 1, где A(G) —] множество неотрицательных непрерывных функций h на G, таких что hd mG = 1 (см. предложение III.1.3). G

Ввиду леммы 1.3 существует такое d > 0, что функция b (h) = khk−d , h ∈ H , принадлежит L2 (H , mH ). Положим ϑ(g) = E (f (g) −1 b),

g ∈ G,

(5)

где функция f определена в начале параграфа. Тогда f (g g) −1 = T (g) f (g) −1 для всех g ∈ G и g ∈ Γ (поскольку f ∈ ΩΓ,T ), b ∈ L2 (H , mH ) и mG (Γ \ G) < ∞. Как следствие, ϑ ∈ L2 (G, Γ, U). Положим r1 = r, rm = rm−1 ∗ r (m ∈ N+), где ∗ обозначает свертку функций (см. п. I.5.3.1). Тогда верно следующее: 1) так как r ∈ A(G), мы имеем rm ∈ A(G) при всех m ∈ N+ ; 2) так как r (f1 ∗ f2) = r (f1) r (f2) для всех f1 , f2 ∈ L1 (G, mG), справедливо равенство r (rm) = r (r) m для всех m ∈ N+ . Следовательно, inf hr (g)ϑ, ϑi 6 kr (r)km kϑk

g∈supp rm

и так как kr (r)k < 1, мы получаем h lim sup (1/m) inf m→∞

g∈supp rm

∀ m ∈ N+ ,

i lnhr (g)ϑ, ϑi < 0

(6)

(заметим, что, так как b > 0, ввиду соотношений (3) и (4) справедливо неравенство hr (g)ϑ, ϑi > 0 при всех g ∈ G). Так как r имеет компактный

226

Глава V. Характеристические отображения

носитель, supp rm ⊂ supp rm−i supp r и функция cM полуаддитивна и локально ограничена, мы получаем lim sup [(1/m) sup cM (g)] < ∞ .

m→∞

g∈supp rm

Тогда из неравенства (6) вытекает, что lim

g∈G,cM (g)→∞

sup [lnhr (g)ϑ, ϑi/cM (g)] < 0.

(7)

В силу того, что b (h) = khk−d и kh′ hk 6 kh′ kkhk, справедливо неравенство hE (h)b, bi > hb, bikhk−d . Тогда из уравнения (2) п. 3.0 и уравнения (5) вытекает, что для всех y, g ∈ G выполняются соотношения hϑ(y g), ϑ(y)i = hE (f (y g) −1)b, E (f (y) −1)bi =

= hE (f (y))E (f (y g) −1)b, bi = hE (B ′f (y, g))b, b) > kB ′f (y, g)k−d hb, bi.

Следовательно, для каждого g ∈ G мы имеем ] hr (g)ϑ, ϑi = hϑ(y g), ϑ(y)id mG (y) >

X ] ] > hb, bi kB ′f (y, g)k−d d mG (y) = hb, bi kB f (x, g)k−d d mG (x) =

= hb, bi

]

Γ\G

X

Γ\G

kB f (x g

> hb, bi exp(−d

−1

, g)k

]

Γ\G

−d

d mG (x g ) = hb, bi −1

]

Γ\G

kB f (x, g −1) −1 k−d d mG (x) >

ln kB f (x, g −1) −1 kd mG (x)) = hb, bi exp(−d h (g −1)).

(8)

Первое равенство вытекает из соотношений (3) и (4), второе из равенства (3) п. 3.0, третье очевидно, четвертое следует из равенства (4) п. 3.0 и унимодулярности группы G, а последнее из уравнения (1) п. 5.2. Последнее неравенство вытекает из интегрального неравенства Иенсена: ] ] exp hd m > exp hd m, Y

Y

где Y — пространство с мерой m, а h — интегрируемая функция на Y . Взяв логарифм от обеих частей неравенства (8), получаем, что h (g −1) 6 (−1/d) [lnhr (g)ϑ, ϑi + lnhb, bi].

Отсюда, из неравенства (7) и симметричности функции cM вытекает неравенство (1). Доказательство завершено. Замечание 1. Ясно, что если G обладает свойством (T), то решетка Γ слабо кокомпактна. С другой стороны, если G обладает свойством (T),

§ 5. Существенные пары

227

то по теореме III.2.12 это верно и для группы Γ, которая в этом случае конечно порождена (см. теорему III.2.7). Таким образом, если G обладает свойством (T), то условия на решетку Γ выполнены автоматически. Отметим, что слабая кокомпактность решетки Γ и теорема 5.6 использовались лишь в доказательстве того, что представление r изолировано от тривиального одномерного представления. Но если G обладает свойством (T), то это вытекает из того факта, что представление U (а тогда и r) не содержит тривиального одномерного представления (для U это следует из того, что подгруппа T (Γ) не является относительно компактной в GL(W )). Замечание 2. Заметим, что если группа G компактно порождена, то любая кокомпактная решетка в ней конечно порождена (см. п. I.0.40). 5.10. Определение. Мы говорим, что подгруппа H ⊂ G квазипорождает подгруппу F ⊂ G, если существуют такое компактное подмножество M ⊂ G, порождающее G, и такие i ∈ N+ и a > 0, что любой элемент g ∈ F можно представить в виде g = h1 m1 . . . hi mi , где h1 , . . . , hi ∈ H , m1 , . . . , mi ∈ M, cM (h j) < acM (g) при всех j от 1 до i. Из полуаддитивности и локальной ограниченности функции cM вытекает 5.11. Лемма. (а) Пусть H — подгруппа группы G, M′ ⊂ G — компактное подмножество и G = M′ HM′ . Тогда H квазипорождает G. (б) Пусть подгруппа H квазипорождает G, u — полуаддитивная функция на G и выполнено равенство lim

sup [u(h) /cM (h)] = 0.

lim

sup [u(g) /cM (g)] = 0.

h∈H ,cM (h)→∞

Тогда g∈G,cM (g)→∞

(в) Пусть G1 , G2 — компактно порожденные локально компактные группы, квазипорожденные подгруппами H1 ⊂ G1 и H2 ⊂ G2 . Тогда H1 × H2 квазипорождает G1 × G2 . (г) Пусть F и H — подгруппы в G, причем F квазипорождает G, а H квазипорождает F . Тогда H квазипорождает G. Как следствие, если F и H замкнуты, H ⊂ F , факторпространство F /H компактно и F квазипорождает G, то и H квазипорождает G. 5.12. Предложение. Пусть G — связная полупростая k-группа, S — максимальный k-расщепимый тор в G. Тогда (а) существует такое компактное подмножество L ⊂ G(k), такое что G(k) = L · S(k) · L; (б) подгруппа S(k) квазипорождает G(k).

228

Глава V. Характеристические отображения

Д о к а з а т е л ь с т в о. (а) Пусть G˜ — односвязная накрывающая группы G; p˜ : G˜ → G — центральная k-изогения; S˜ — максимальный k-расще˜ для которого p˜ (S) ˜ = S (см. п. I.1.4). Из разложения Картана пимый тор в G, ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ следует, что G(k) = L · S(k) · L, где L˜ — компактная подгруппа в G(k) (см. ˜ теорему I.2.2.1). С другой стороны, подгруппа p˜ (G(k)) замкнута и нормальна в G(k) с компактной факторгруппой (см. предложение I.2.3.4 (i)). ˜ Следовательно, G(k) = p˜ (G(k)) · A для некоторого компакта A ⊂ G(k). Отсюда следует, что ˜ · (p˜ (S(k)) ˜ ˜ · A ⊂ L · S(k) · L, G(k) = p˜ (L) p˜ (L)

˜ ∪ (p˜ (L) ˜ · A). Этим доказано утверждение (а). где L = p˜ (L) Утверждение (б) вытекает из (а) и леммы 5.11 (а). Замечание. Утверждение (б) можно доказать, не используя разложение Картана. Действительно, пусть P — минимальная параболическая k-подгруппа в G, содержащая S. Используя существование S-эквивариантного k-гомоморфизма Ru (P) → Lie(Ru (P)) (см. предложение I.1.3.3 (i)), кокомпактность факторгруппы ZG (S) (k) /S(k) (см. предложение I.2.3.6) и разложение Леви P = Ru (P) ⋊ ZG(S) (см. п. I.1.2), нетрудно показать, что S(k) порождает P(k). Так как факторгруппа G(k) /P(k) компактна (см. следствие I.2.15), S(k) квазипорождает G(k). 5.13. Для i ∈ N+ и z = (z1 , . . . , zi) ∈ Zi пусть kzk = max16 j6i |z j |. Гомоморфизм f : Zi → G называется квазигеодезическим, если inf [cM (f (z)) /kzk] > 0.

z∈Zi

Так как функции cM и cM′ эквивалентны для любых компактов M′ и M, имеющих свойства из п. 5.8, свойство гомоморфизма быть квазигеодезическим не зависит от выбора компакта M. Конечное множество {g1 , . . . , gi } попарно коммутирующих элементов группы G называется квазигеодезическим, если гомоморфизм Zi → G, переводящий (z1 , . . . , zi) ∈ Zi в g1z1 · . . . · gizi , является квазигеодезическим. 5.14. Предложение. Пусть g1 , . . . , gi (i ∈ N+) — попарно коммутирующие элементы группы G, которые порождают коммутативную подгруппу H . Предположим, что множество {g1 , . . . , gi } квазигеодезическое, а подгруппа H квазипорождает G. Пусть также выполнены условия предложения 5.9 (т. е. подгруппа T (Γ) не является относительно компактной в GL(W ), группа T (Γ) полупроста, а решетка Γ конечно порождена и слабо кокомпактна). Тогда (а) существует такое j, 1 6 j 6 i, что d (g j) > 0; (б) если каждый из элементов g1 , . . . , gi действует эргодически на Γ \ G, то при некотором j, 1 6 j 6 i, пара (g j , T) существенна.

§ 5. Существенные пары

229

Д о к а з а т е л ь с т в о. (a) Предположим противное. Тогда d (g j) = 0, т. е. lim sup [(1/m) h (g m (1) j )] = 0 m→+∞

для всех j от 1 до i. Как отмечено в п. 5.2, h (g) > 0 и d (g) > 0 для всех g ∈ G. Так как множество {g1 , . . . , gi } квазигеодезическое, а функция h полуаддитивна (см. лемму 5.5), ввиду равенства (1) мы имеем lim

h∈H ,cM (h)→∞

[h (h) /cM (h)] = 0.

(2)

Отсюда и из полуаддитивности функции h с учетом леммы 5.11 (б) вытекает, что lim [h (g) /cM (g)] = 0. (3) h∈H ,cM (h)→∞

Но в противоречии с этим h удовлетворяет неравенству (1) из предложения 5.9, так как условия этого предложения выполнены. Утверждение (б) следует из утверждения (а) и предложения 5.3. 5.15. Теорема. Пусть A — непустое конечное множество; ka для каждого a ∈ A — локальное поле; Ga — связная односвязная Q полупростая ka -группа, изотропная и почти простая над ka ; G = Ga (ka); a∈A

Γ — конечно порожденная слабо кокомпактная решетка в G; T : Γ → → GL(W ) — представление; Sa — максимальный ka -расщепимый тор Q в группе Ga ; S = Sa (ka). Предположим, что подгруппа T (Γ) не явa∈A

ляется относительно компактной в GL(W ), а подгруппа T (Γ) полупроста (иными словами, выполнены условия предложения 5.9). Тогда существует элемент s ∈ S, действующий эргодически на Γ \ G и такой, что пара (s, T) существенна. Д о к а з а т е л ь с т в о. Вначале заметим, что, так как группы Ga (ka) компактно порождены (см. следствие I.2.3.5), группа G также компактно порождена. Пусть | |a — абсолютное значение в ka , а pra : G → Ga (ka) — естественная проекция. Для s ∈ S положим A(s) = {a ∈ A | b (pra (s))|a 6= 1 хотя бы для одного b ∈ Φ(Sa , Ga)}. Представим ka -расщепимый тор Sa как прямое произведение одномерных ka -расщепимых торов Sai , 1 6 i 6 dim Sa , и будем считать их естественно вложенными в Sa . Так как группа Sai (ka) изоморфна мультипликативной группе поля ka , она содержит такой элеdef мент sai , что подгруппа S˜ ai = {sami | m ∈ Z} дискретна и факторгруппа Sa (ka) /S˜ ai компактна. Пусть qai — характер тора Sa , который нетривиален на Sai и тривиален на Sa j при всех j 6= i. Тогда |qai (sai)|a 6= 1, |qai (sa j)|a = 1

при j 6= i.

230

Глава V. Характеристические отображения

Следовательно, max | ln |qai (saz11 . . . sazllaa)|a | > b max |zi |

16i6la

(1)

16i6la

для любых z1 , . . . , zla ∈ Z, где la = dim Sa и b = min | ln |qai (sai)|a | > 0. Рас16i6la

смотрим ka -группу Ga как ka -подгруппу P в GLna . Для y = (y1 , . . . , yna ) ∈ knaa na и B ∈ End(ka ) определим нормы kyk = |yi |a и kBk = sup kBk/kyk. y∈kaa −{0} n

16i6n

Так как Ga ⊂ SLna (поскольку группа Ga связна и полупроста), группа Sa ˜ является многочленом замкнута по Зарисскому в End(kana ). Поэтому qai (s) от элементов матрицы s˜ ∈ Sa . Как следствие, существуют такие положи˜ a | 6 c1 ln ksk ˜ + c2 для всех s˜ ∈ Sa (ka) тельные константы c1 , c2 , что | ln |qai (s)| и всех i от 1 до la . Получаем из (1) следующее неравенство: inf

(z1 ...zla )∈Zla −{0}

[ln ksaz11 · . . . · sazllaa k/ max |zi |] > 0. 16i6la

(2)

Для g ∈ G положим k gk = maxa∈A kpra (g)k. Функция g 7→ k gk локально ограничена и полуаддитивна. Поэтому sup [k gk/cM (g)] < ∞ g∈G

(см. п. 5.8). Таким образом, из неравенства (2) следует, что множество {sai | a ∈ A, 1 6 i 6 la } квазигеодезично. Пусть S˜ — порожденная им подгруппа. Так как факторгруппы Sa (ka) /S˜ a компактны, факторгруппа S /S˜ также компактна. Тогда из предложения 5.12 (б) и леммы 5.11 (в) вытекает, что S квазипорождает G. Следовательно, S˜ квазипорождает G (см. лемму 5.11 (г)). Так как множество {sai | a ∈ A, 1 6 i 6 la } квазигеодезично, в силу предложения 5.14 (а) мы имеем d (sa0 Q i0 ) > 0 для некоторых a0 ∈ A и ˜ = A − {a0 } i0 , 1 6 i0 6 la0 . Выберем такой элемент s˜ ∈ Sa (ka), что A(s) A−{a0 } Q (в качестве s˜ можно взять sa1). Тогда A−{a0 }

A(s˜ −1 sa−1 ) = A(s˜ 2 sa0 i0) = A. 0 i0

Но d (sa0 i0) > 0, и по лемме 5.5 (ii) мы имеем d (sa0 i0) 6 d (s −1 sa−1 ) + d (s˜ 2 sa0 i0). 0 i0 Следовательно, взяв в качестве s ∈ S элемент s˜ −1 sa−1 или s˜ 2 sa0 i0 , можно 0 i0 считать, что A(s) = A и d (s) > 0. Тогда s действует на Γ \ G эргодически (см. следствие II.7.3 (а)), и пара (s, T) существенна (см. предложение 5.3). Замечание. Если G обладает свойством (T), то условие «решетка Γ конечно порождена и слабо кокомпактна» выполнено автоматически (см. замечание 1 после предложения 5.9). Напомним также следующее:

§ 5. Существенные пары

1) группа G =

Q

a∈A

231

Ga (ka) обладает свойством (T), если и только ес-

ли группы Ga (ka) обладают свойством (T) при всех a ∈ A (см. следствие III.2.10); 2) группа Ga (ka) не обладает свойством (T) лишь в следующих случаях: (а) поле ka вполне несвязно и rankka Ga = 1; (б) ka = C и группа Ga локально изоморфна SL2 ; (в) ka = R и группа Ga локально изоморфна SOm,l или SUm,l (см. теорему III.5.6).

Глава VI

Дискретные подгруппы и теория границ В этой главе представлен подход к доказательству существования эквивариантных измеримых отображений, отличный от изложенного в предыдущей главе. Этот подход основан на теории границ и может применяться только для изучения неприводимых представлений, в противоположность методу из предыдущей главы, который в принципе применим для изучения любых представлений. С другой стороны, новый метод имеет ряд преимуществ; главное из них состоит в том, что нет необходимости предполагать рассматриваемое представление Γ-интегрируемым. В §§ 1 и 2 содержатся некоторые основные понятия и результаты теории границ Фюрстенберга. В частности, вводятся понятия проксимального, сильно проксимального и проксимального в среднем G-пространства, а также понятия границы и m-границы. В § 3 показано, что при некоторых условиях проективные G-пространства сильно проксимальны и проксимальны в среднем. В § 4 с помощью результатов § 3 мы устанавливаем существование эквивариантных измеримых отображений. В этой главе, как и выше, K (X) обозначает пространство непрерывных функций на компакте X, а P (X) — множество регулярных борелевских вероятностных мер на X, наделенное ] слабой *-топологией. Для m ∈ P (X) и f ∈ K (X) мы полагаем m (f) = f (x)d m (x). Как обычно, B¯ обозначает X

замыкание подмножества B в топологическом пространстве.

§ 1. G-проксимальные пространства и G-границы В этом параграфе G обозначает локально компактную группу со второй аксиомой счетности, M — компактное метрическое G-пространство, d — расстояние в нем. Диаметром подмножества F ⊂ M называется diam F = sup{d (x, y) | x, y ∈ F }. Если diam(Fn ∪ {x}) → 0 для x ∈ M, Fn ⊂ M и n ∈ N+ , то будем писать Fn → x. Положим dM = {dx | x ∈ M} ⊂ P (M),

§ 1. G-проксимальные пространства и G-границы

233

где dx обозначает, как обычно, нормализованную меру с носителем {x}. Напомним, что структура G-пространства на M индуцирует структуру G-пространства на P (M). 1.1. Мы говорим, что пространство M минимально, если оно не содержит собственного замкнутого G-инвариантного подпространства. Разумеется, равносильное условие состоит в том, что для каждого x ∈ M орбита Gx плотна в M. Ясно, что однородное пространство минимально. 1.2. Множество F ⊂ M называется стягиваемым, если существует последовательность {gn }n∈N+ элементов из G, для которой diam(gn F) → 0. Пространство M и действие группы G на нем называются проксимальными, если любое двухточечное подмножество в M стягиваемо. Иначе говоря, M проксимально, если для любых двух точек x, y ∈ M найдется последовательность {gn }n∈N+ в G, для которой d (gn x, gn y) → 0. Так как пространство M компактно, его свойство быть проксимальным равносильно следующему: для любых x, y ∈ M найдутся z ∈ M и последовательность {gn }n∈N+ в G, такие что lim gn x = lim gn y = z. n→∞

n→∞

Если k — локальное поле и m ∈ N+ , то проективное пространство Pm−1 (k) = P(km) с естественным действием группы G = GLm (k) является примером минимального проксимального компактного G-пространства. 1.3. Лемма. Если подмножество F проксимального пространства M является стягиваемым, то для любой точки x ∈ M подмножество F ∪ {x} также стягиваемо. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {gn }n∈N+ — такая последовательность в G, что diam(gn F) → 0. Так как M компактно, найдутся такие y, z ∈ M, что после перехода к подпоследовательности мы получим gn F → y

и

gn x → z

при n → ∞.

(1)

Пусть {hn }n∈N+ — такая последовательность в G, что d (hn y, hn z) → 0. Так как G действует на M непрерывно, для каждого n ∈ N+ можно выбрать такие окрестности Yn и Zn точек y и z соответственно, что diam(hn Yn ∪ hn Zn) → 0. С другой стороны, ввиду соотношений (1) можно считать после замены последовательности {gn } на подпоследовательность, что gn F ⊂ Yn , gn x ∈ Zn . Тогда diam(hn gn F ∪ {hn gn x}) → 0, и лемма доказана. Из леммы 1.3 индукцией по card F получаем 1.4. Следствие. В проксимальном G-пространстве M любое конечное подмножество F стягиваемо. 1.5. Мы говорим, что G-пространство M, как и действие группы G на нем, является сильно проксимальным, если для любой вероятностной меры m ∈ P (M) существует последовательность {gn }n∈N+ в G, а также та-

234

Глава VI. Дискретные подгруппы и теория границ

кие x ∈ M, что gn m → dx . Будем называть M границей группы G, если M минимально и сильно проксимально. Если x, y, z ∈ M, gn ∈ G, n ∈ N+ , m = (dx + dy) /2 и gn m → dx , то gn y → x и gn z → x, откуда d (gn y, gn z) → 0. Поэтому если пространство M сильно проксимально, то оно проксимально. С учетом его компактности легко вывести из следствия 1.4, что M проксимально тогда и только тогда, когда G m ∩ dM 6= ∅ для любой дискретной (т. е. сосредоточенной на счетном множестве) меры m ∈ P (M). Однако не всякое проксимальное пространство является сильно проксимальным. Тем не менее, справедливо 1.6. Предложение. (а) Если пространство M проксимально и любая его точка имеет стягиваемую окрестность, то M сильно проксимально. (б) Если M минимально, проксимально и содержит непустое открытое стягиваемое подмножество, то M является G-границей. Д о к а з а т е л ь с т в о. (а) Пусть m ∈ P (M). Положим a (m) = sup{m ({x}) | x ∈ M} и b (m) = sup{a (n) | n ∈ G m}. Так как M компактно, a (m) > lim sup a (mn) n→∞

для любой последовательности {mn }n∈N+ в P (M), сходящейся к m. Поскольку пространство P (M) компактно и метризуемо, для любой меры m ∈ P (M) существует такая мера n ∈ G m, что a (n) = b (m). С другой стороны, 1) G n ⊂ G m при n ∈ G m; 2) a (m) = 1, если и только если m ∈ dM . Поэтому достаточно показать, что b (m) > a (m)

∀ m ∈ P (M) − dM .

(1)

Так как любая точка в M имеет стягиваемую окрестность и M компактно, то существует конечное покрытие пространства M открытыми стягиваемыми подмножествами Ui , 1 6 i 6 n. Пусть теперь Sm ∈ P (M) − dM , а x — точка в M, для которой m ({x}) = a (m). Поскольку Ui = M, существует такое i, 16i6n

1 6 i 6 n, что

m (Ui ∪ {x}) > a (m).

(2)

Так как Ui стягиваемо, ввиду леммы 1.3 Ui ∪ {x} также стягиваемо. Пусть {gn }n∈N+ — последовательность в G, причем diam(gn Ui ∪ {gn x}) → 0. Поскольку подпространства M и P (M) компактны и метризуемы, после перехода к подпоследовательности можно считать, что gn m → n, gn Ui → y и gn x → y, где n ∈ G m и y ∈ M. Тогда из неравенства (2) вытекает, что a (n) > n ({y}) > lim sup(gn m) (gn Ui ∪ {gn x}) = m (Ui ∪ {x}) > a (m), n→∞

откуда следует неравенство (1).

§ 2. Понятие m-границы

235

Утверждение (б) вытекает из утверждения (а) и того факта, что множество точек из M, имеющих стягиваемую окрестность, открыто в M и G-инвариантно. 1.7. Сформулируем без доказательства некоторые факты о границах, доказанные в [Fu 5]. В дальнейшем они не используются, но полезно иметь их в виду при чтении этой главы. 1. Пусть M′ — минимальное G-пространство, M — некоторая G-граница. Тогда (а) f (M′) ⊂ dM для всех (непрерывных) эквивариантных отображений f : M′ → P (M); (б) существует не более одного эквивариантного отображения из M′ в M. 2. Если группа G аменабельна, то любая G-граница состоит из одной точки. 3. Если G содержит замкнутую аменабельную подгруппу H с компактным факторпространством G /H , то любая G-граница является эквивариантным образом G-пространства G /H . 4. Понятие G-границы можно определить не только для случая метризуемых компактных G-пространств, но и для любых компактных. А именно, компактное G-пространство X называется G-границей, если G m содержит меры, сосредоточенные в точке, для всех m ∈ P (X). Компактное G-пространство X называется универсальной G-границей, если оно является границей и любая G-граница является его эквивариантным образом. Любая группа G имеет (единственную с точностью до изоморфизма) универсальную границу B (G), не обязательно метризуемую. Пусть G — связная группа Ли. Тогда G содержит такую замкнутую подгруппу H (G), что B (G) = G /H (G). При этом H (G) определена однозначно с точностью до сопряженности. Если G — связная полупростая группа Ли с конечным центром и разложением Ивасавы G = K · A · N , то H (G) является нормализатором разрешимой подгруппы A · N в G.

§ 2. Понятие m-границы Пусть G, M, diam F и dM таковы, как в § 1. Так как пространство M метризуемо и компактно, можно ввести расстояние в пространстве P (M), согласованное со слабой *-топологией. Для расстояний между точками, между точками и множествами, между множествами в M и P (M) мы используем обозначение d (. . . , . . .). 2.1. Пусть для каждого n ∈ N+ дано пространство Yn с вероятностной ∞ L Yn , т. е. множество мерой mn . Через Ω обозначим декартово произведение n=1

236

Глава VI. Дискретные подгруппы и теория границ

всех последовательностей {yn }n∈N+ , где yn ∈ Yn для каждого n ∈ N+ . Поло∞ L жим Φi = Yn и обозначим через S стандартную s-алгебру подмножеств n=i+1

из Ω, порожденную множествами вида A × Ωi , где i ∈ N+ и множество A ⊂ Y1 × . . . × Yi измеримо относительно меры m1 × . . . × mi . На пространстве Ω существует единственная мера t, которая определена на s-алгебре S и для любого измеримого множества вида A × Ωi равна (m1 × . . . × mi) (A) (см. [Hal 1], § 38, теорема 2). Эта мера называется произведением мер ∞ L mn и обозначается t = mn . Сформулируем в этих обозначениях частный n=1

случай теоремы о сходимости мартингалов (см. [Lo], 29.3). 2.2. Лемма. Для каждого n ∈ N+ пусть fn — неотрицательная функция на Y1 × . . . × Yn , интегрируемая по мере m1 × . . . × mn . Пусть при этом ] fn (y1 , . . . , yn) = fn+1 (y1 , . . . , yn , yn+1)d mn+1 (yn+1) Yn+1

для всех n ∈ N+ и почти всех (y1 , . . . , yn) ∈ Y1 × . . . × Yn . Тогда почти для всех (относительно меры t) последовательностей (y1 , y2 , . . .) ∈ Ω существует предел lim fn (y1 , . . . , yn). n→∞

2.3. Пусть m ∈ P (G) и n ∈ P (M). При g ∈ G и x ∈ M положим a (g, x) = = gx ∈ M. Образ меры m × n при отображении a : G × M → M называется сверткой мер m и n и обозначается m ∗ n. Очевидно, m ∗ n ∈ P (M). Из определения свертки вытекает, что ] (m ∗ n) (f) = (g n) (f)d m (g) G

для любой функции f ∈ K (M). Мера n ∈ P (M) называется m-стационарной, если m ∗ n = n. Применив теорему Шаудера—Тихонова о неподвижной точке к отображению n 7→ m ∗ n, n ∈ P (M), получаем, что множество m-стационарных мер n ∈ P (M) непусто. 2.4. Предложение. Пусть даны m ∈ P (G) и n ∈ P (M), для кото∞ ∞ L L рых m ∗ n = n. Положим (в обозначениях п. 2.1) Ω = Gn и t = mn , n=1

n=1

где Gn = G, mn = m — мера на Gn . Тогда почти для всех (по мере t) последовательностей (g1 , g2 , . . .) ∈ Ω существует предел lim g1 g2 . . . gn n.

n→∞

(1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пространство P (M) со слабой *-топологией сепарабельно, так же как и K (M) (поскольку M метризуемо и компактно). Поэтому достаточно показать, что если f ∈ K (M), то почти для всех

§ 2. Понятие m-границы

237

(g1 , g2 , . . .) ∈ Ω существует предел lim (g1 . . . gn n) (f).

(2)

n→∞

Так как m ∗ n = n, ввиду равенства (1) из п. 2.3 мы получаем ] n (f) = (g n) (f)d m (g), G

откуда следует, что

] (g1 . . . gn n) (f) = (g1 . . . gn g n) (f)d m (g). G

Применив лемму 2.2 к функциям fn (g1 , . . . , gn) = (g1 . . . gn n) (f), получаем, что предел (2) существует почти для всех (g1 , g2 , . . .) ∈ Ω. 2.5. Предложение 2.4 допускает следующую переформулировку в терминах теории вероятностей. Пусть даны мера m ∈ P (G) и последовательность {xn }n∈N+ независимых одинаково распределенных случайных величин со значениями в G и распределением m. Если мера n ∈ P (M) является m-стационарной, то с вероятностью 1 существует предел lim x1 x2 . . . xn n. n→∞

2.6. Определение. 1. Если m ∈ P (G), n ∈ P (M) и m ∗ n = n, то пара (M, n) называется (G, m)-пространством. 2. (G, m)-пространство (M, n) называется m-границей, если почти для всех (g1 , g2 , . . .) ∈ Ω предел (1) из 2.4 принадлежит dM . На языке вероятностей это означает следующее: (G, m)-пространство (M, n) называется m-границей, если с вероятностью 1 мера x1 x2 . . . xn n стремится к мере, сосредоточенной в точке, где xn — случайные величины со свойствами из п. 2.5. 3. Пусть m ∈ P (G). Назовем G-пространство M (и действие группы G на M) m-проксимальным, если (G, m)-пространство является m-границей для каждой m-стационарной меры n ∈ P (M). 4. Назовем G-пространство M (и действие группы G на M) проксимальным в среднем, если оно m-проксимально для каждой такой меры m ∈ P (G), что supp m = G. 2.7. Замечание. В [Fu 5] дано другое определение проксимального G-пространства. В этой работе G-пространство M называется m-проксимальным, если mn {g ∈ G | d (gx, gy) > ε} → 0 для всех x, y ∈ M и ε > 0 при n → ∞, где mn = (m + m (2) + . . . + m (n)) /n,

238

Глава VI. Дискретные подгруппы и теория границ

а m (n) = m ∗ m ∗ . . . ∗ m обозначает n-кратную свертку меры m. Равносильность обоих определений m-проксимальности установлена в той же статье (теорема 14.1). 2.8. Лемма. Пусть s ∈ P (P (M)) — вероятностная мера на P (M), x ∈ M и {gn }n∈N+ — некоторая последовательность в G. Положим ] n= yd s (y) ∈ P (M). (1) P (M)

Если gn n → dx при n → ∞, то

lim s{y ∈ P (M) | d (gn y, dx) > ε} = 0

n→∞

(2)

при любом ε > 0. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если f ∈ K (M), f > 0, f] (x) = 0 и ε > 0, то lim s{y ∈ P (M) | (gn y) (f) > ε} = 0, поскольку gn n = gn yd s (y) и gn n →

n→∞

P (M)

→ dx . Отсюда следует равенство (2), так как расстояние d согласовано со слабой *-топологией на P (M). 2.9. Предложение. Пусть m ∈ P (G), пространство M является m-проксимальным, s ∈ P (P (M)) — вероятностная m-стационарная мера на P (M). Тогда носитель меры s содержится в dM . Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим n ∈ P (M) формулой (1) из п. 2.8. Так как m ∗ s = s, мы имеем m ∗ n = n. Поскольку пространство M является m-проксимальным, (M, n) является m-границей, т. е. почти для всех (по мере t) последовательностей (g1 , g2 , . . .) ∈ Ω предел (1) из п. 2.4 принадлежит dM (здесь и до конца доказательства обозначения Ω и t имеют тот же смысл, что в формулировке предложения 2.4). Тогда из леммы 2.8 следует, что для любого ε > 0 и почти всех (g1 , g2 , . . .) ∈ Ω выполняется равенство lim s{y ∈ P (M) | d (g1 . . . gn y, dM) > ε} = 0. n→∞

Как следствие, для любого ε > 0 мера t × s множества

{(g1 , g2 , . . .) ∈ Ω, y ∈ P (M) | d (g1 . . . gn y, dM) > ε}

стремится к нулю при n → ∞ (мы неявно использовали теорему Фубини и лемму Фату). С другой стороны, так как m ∗ s = s, для любого n ∈ N+ образ меры t × s при отображении an : Ω × P (M) → P (M), an ((g1 , g2 , . . .), y) = g1 . . . gn y, совпадает с s. Следовательно, s ({y ∈ P (M) | d (y, dM) > ε}) = 0 для любого ε > 0. Предложение доказано. 2.10. Следствие. Пусть M′ — локально компактное хаусдорфово G-пространство, m ∈ P (G) и n′ ∈ P (M′). Предположим, что m ∗ n′ = n′ и пространство M является m-проксимальным.

§ 2. Понятие m-границы

239

(а) Если f : M′ → P (M) — n′ -измеримое G-эквивариантное отображение, то f (x) ∈ dM почти для всех (по мере n′) точек x ∈ M′ . (б) если f1 , f2 : M′ → M — измеримые G-эквивариантные отображения, то f1 (x) = f2 (x) почти для всех x ∈ M′ . Д о к а з а т е л ь с т в о. (а) Пусть f (n′) ∈ P (P (M)) — образ меры n′ при отображении f. Из равенства m ∗ n′ = n′ и G-эквивариантности отображения f вытекает, что m ∗ f (n′) = f (n′). Следовательно (см. предложение 2.9), носитель меры f (n′) содержится в dM . Но это равносильно включению f (x) ∈ dM почти для всех x ∈ M′ . Утверждение (б) вытекает из утверждения (а), примененного к отображению f : M′ → P (M), f (x) = (df1 (x) + df2 (x)) /2, x ∈ M′ . 2.11. Множество C ⊂ G называется равностепенно непрерывным на множестве U ⊂ M, если для любого ε > 0 найдется такое d > 0, что d (gx, gy) < ε для всех g ∈ C и x, y ∈ U при условии d (x, y) < d. 2.12. Лемма. Пусть C — подмножество в G; U — открытое подмножество в M; x ∈ U ; {nn }n∈N+ — последовательность в P (M). Предположим, что C равностепенно непрерывно на U и nn → dx при n → ∞. Тогда lim sup d (g nn , dM) = 0. (1) n→∞ g∈C

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как x принадлежит открытому множеству U и nn → dx , у точки x имеются такие открытые окрестности Wn ⊂ U , n ∈ N+ , что при n → ∞ мы имеем diam Wn → 0 (2) и nn (Wn) → 1.

(3)

Так как C равностепенно непрерывно на U и Wn ⊂ U , ввиду (2) мы получаем lim sup diam(gWn) = 0.

n→∞ g∈C

(4)

Из соотношений (3), (4) и равенства g nn (gWn) = nn (Wn) мы видим, что для любой последовательности {gn }n∈N+ в C все предельные точки множества {gn nn } принадлежат dM . Поскольку P (M) компактно, отсюда следует (1). 2.13. Предложение. Пусть выполнены следующие условия: (а) пространство M сильно проксимально; (б) существуют такие r ∈ N+ , подмножества C1 , . . . , Cr группы G и открытые подмножества U1 , . . . , Ur пространства M, такие S что C j = G, G · U j = M и для каждого j от 1 до r множество C j 16 j6r

равностепенно непрерывно на U j .

240

Глава VI. Дискретные подгруппы и теория границ

Тогда G-пространство M проксимально в среднем. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть m ∈ P (G) — мера с носителем G; n ∈ ∈ P (M) — некоторая m-стационарная мера; Ω и t таковы, как в предложении 2.4; G l — прямое произведение l экземпляров группы G. Положим Ω1 = {w = (g1 , g2 , . . .) ∈ Ω | существует lim g1 g2 . . . gn n}, n→∞

Ω2 = {(g1 , g2 , . . .) ∈ Ω | для каждого l ∈ N+

множество {(gn+1 , gn+2 , . . . , gn+l) | n ∈ N+ } плотно в G l }.

Так как supp m = G, для каждого l ∈ N+ и любого непустого открытого множества W ⊂ G l из закона больших чисел вытекает следующее: почти для всех (относительно меры t) последовательностей (g1 , g2 , . . .) ∈ Ω множество {n ∈ N+ | (gnl+1 , . . . , gnl+l) ∈ W } бесконечно. Но G удовлетворяет второй аксиоме счетности, и потому t (Ω − Ω2) = 0. С другой стороны, по предложению 2.4 получаем, что t (Ω − Ω1) = 0. Следовательно, t (Ω − (Ω1 ∩ Ω2)) = 0.

(1)

При каждом j множества вида {gU j | g ∈ G} покрывают M. Так как M компактно, из них можно выбрать конечное подпокрытие. Следовательно, существует такое конечное множество D = {d1 , . . . , dr } ⊂ G, что DU j = M для каждого j от 1 до r. Рассмотрим последовательность w = (g1 , g2 , . . .) ∈ Ω1 ∩ Ω2 . Так как M сильно проксимально, существуют такие hk ∈ G, k ∈ N+ и x ∈ M, что hkn → dx

при k → ∞.

(2)

Поскольку w ∈ Ω2 , в последовательности {gn }n∈N+ можно выбрать такую подпоследовательность {gnk }k∈N+ , что для каждого i от 1 до r выполняется соотношение −1 gnk +1 gnk +2 . . . gnk +i h−1 при k → ∞. k → di

(3)

g 1 g 2 . . . g nk ∈ C j .

(4)

Перейдя от {gnk } к подпоследовательности, можно считать, что для некоторого j, 1 6 j 6 r, и всех k ∈ N+ справедливо включение Так как DU j = M, существует такое i, 1 6 i 6 l, что d шений (2) и (3) вытекает, что gnk +1 gnk +2 . . . gnk +i n → dd −1 x i

при

−1 i

x ∈ U j . Из соотно-

k → ∞.

(5)

Поскольку множество C j равностепенно непрерывно на U j и di−1 x ∈ U j , из (4), (5) и леммы 2.12 следует, что lim d (g1 g2 . . . gnk gnk +1 gnk +2 . . . gnk +i n, dM) = 0.

k→∞

(6)

§ 3. Проективные G-пространства

241

Как следствие, для любой последовательности w ∈ Ω1 ∩ Ω2 предел lim g1 g2 . . . gn n принадлежит dM . Таким образом, из равенства (1) вытека-

n→∞

ет, что (M, n) является m-границей, что и завершает доказательство. Из предложений 2.13 и 1.6 вытекает 2.14. Следствие. Пусть выполнено условие (б) предложения 2.13 и G-пространство M минимально, проксимально и содержит непустое открытое стягиваемое подмножество. Тогда M проксимально в среднем.

§ 3. Проективные G-пространства В этом параграфе, как и в §§ 1 и 2, G обозначает локально компактную группу со второй аксиомой счетности. Пусть k — локальное поле с абсолютным значением | |, m ∈ N+ , а W — векторное пространство над k размерности m. Наделим W , GL(W ), End(W ) и проективное пространство P(W ) топологией, которая отвечает топологии поля k. Пусть p : W − {0} → P(W ) — естественная проекция. Любое преобразование B ∈ GL(W ) индуцирует преобразование pB p−1 пространства P(W ), которое будет обозначаться Bp . Пусть T : G → GL(W ) — непрерывное представление группы G в пространстве W . Превратим P(W ) в G-пространство и в GL(W )-пространство, положив gx = T (g) p x и Bx = Bp x, g ∈ G, B ∈ GL(W ), x ∈ P(W ). Пространство P(W ) компактно и метризуемо. Пусть d — расстояние в P(W ), согласованное с его топологией. Как и в § 1, положим dP(W ) = = {dx | x ∈ P(W )}, и пусть diam F = sup{d (x, y) | x, y ∈ F } — диаметр множества F ⊂ P(W ). Запись Fn → x означает, что diam(Fn ∪ {x}) → 0. Пусть дана система координат y = (y1 , . . . , yn) в линейном пространстве W . Введем норму в W и End(W ), положив X kwk = |yi (w)|, w ∈ W , 16i6m

kAk =

sup

w∈W ,w6=0

kAwk/kwk,

A ∈ End(W ).

3.1. Для ε > 0 пусть Ψε — семейство подмножеств вида {x ∈ P(W ) | d (x, P(W ′)) > ε}, где W ′ ∈ Grm−1 (W ) — линейное подпространство коразмерности 1. Ясно, что множества из семейства Ψε открыты. 3.2. Лемма. Для всех достаточно малых ε > 0 существуютSтакие r ∈ N+ , D1 , . . . , Dr ⊂ GL(W ) и U1 , . . . , Ur ∈ Ψε , что GL(W ) = Dj и 16 j6r

множество D j равностепенно непрерывно на U j (в смысле п. 2.11) при всех j от 1 до r.

242

Глава VI. Дискретные подгруппы и теория границ

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для каждого B ∈ End(W ), B 6= 0, рассмотрим преобразование Bp = pB p−1 . Оно определено и непрерывно на P(W ) − − P(Ker B). Выберем линейное подпространство WB коразмерности 1, содержащее Ker B, и положим UB = {x ∈ P(W ) | d (x, P(WB)) > ε} ∈ Ψε . Так как Bp непрерывно, а UB относительно компактно на P(W ) − P(Ker B), преобразование Bp равномерно непрерывно на UB . Как следствие, существует окрестность YB преобразования B в пространстве End(W ), равностепенно непрерывная на UB . Заметим теперь, что (lB) p = Bp для всех l ∈ k − {0}. Далее, обозначим через p0 естественную проекцию из End(W ) − {0} на P(End(W )), из открытого покрытия {p (YB) | B ∈ End(W ), B 6= 0} компакта P(End(W )) выберем конечное подпокрытие {p0 (YB j ) | 1 6 j 6 r} и положим D j = GL(W ) ∩ p−1 0 (p0 (YB j )), U j = UB j . 3.3. Лемма. Пусть (e1 , . . . , em) — базис в пространстве W . Тогда существуют такие окрестности Z j ⊂ W точек e j , 1 6 j 6 m, что для каждой последовательности {Bn }n∈N+ в GL(W ) из условия diam{p (Bn e j) | 1 6 j 6 m} → 0 при n → ∞

(1)

вытекает, что inf diam p (Bn Z j) → 0 при n → ∞.

16 j6m

(2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Можно считать, что базис (e1 , . . . , em) отвечает координатной системе y = (y1 , . . . , ym). Положим n o 1 Z = w ∈ W | |yi (w)| < ∀ i, 1 6 i 6 m 2m

и для каждого j от 1 до m рассмотрим множества Z j = e j + Z ⊂ W и C j = {B ∈ GL(W ) | kBe j k = sup kBei k}.

Очевидно, GL(W ) =

S

16i6m

C j . Разбив последовательность {Bn }n∈N+ на ко-

16 j6m

нечное число подпоследовательностей, можно считать, что последовательность {Bn } содержится в C j для некоторого j, 1 6 j 6 n. Тогда из условия (1) вытекает существование таких ln,i ∈ k (n ∈ N+ , 1 6 i 6 m), что |ln,i | 6 1

(3)

kBn ei − ln,i Bn e j k/kBn e j k → 0 при n → ∞

(4)

и

для всех i от 1 до m. Из соотношения (4) следует, что для любого относительно компактного подмножества X ⊂ W мы имеем X ln,i yi (w)Bn e j k/kBn e j k → 0 при n → ∞. (5) sup kBn w − w∈X

16i6m

§ 3. Проективные G-пространства

243

Из Pнеравенства (3) и определения множества Z вытекает неравенство ln,i yi (w) < 1/2 для всех w ∈ Z. С другой стороны, Z j = e j + Z. По 16i6m

этому из соотношения (5) следует, что diam p (Bn Z j) → 0 при n → ∞. 3.4. Лемма. Если представление T неприводимо, то найдется такое ε > 0, что GU = P(W ) для всех U ∈ Ψε . Д о к а з а т е л ь с т в о. Если x ∈ P(W ) и W ′ ∈ Grm−1 (W ), то f (x, W ′) будет обозначать хаусдорфово расстояние между множествами Gx и P(W ′). Легко видеть, что функция f полунепрерывна снизу. С другой стороны, она нигде не обращается в нуль, поскольку T неприводимо. Поэтому наибольшая нижняя грань функции f на компакте P(W ) × Grm−1 (W ) положительна, т. е. найдется такое ε > 0, что f (x, W ′) > ε при всех x ∈ P(W ) и W ′ ∈ Grm−1 (W ). Это ε и является искомым. 3.5. Пусть B ∈ GL(W ). Как и в § 1 гл. II, пусть Wa (b) ⊂ W — характеристическое подпространство преобразования B, отвечающее характеристическому показателю a. Пусть a0 — максимальный из характеристических показателей. Назовем преобразование B проксимальным, если подпространство Wa0 (B) одномерно, или, что равносильно, если множество p (Wa0 (B)) состоит из одной точки. Из предложения II.1.2 вытекает 3.6. Лемма. Если преобразование B ∈ GL(W ) проксимально, то существуют такие x ∈ P(W ) и линейное подпространство W ′ $ W , что Bp притягивает P(W ) − P(W ′) к x. 3.7. Теорема. Пусть H — замыкание по Зарисскому подгруппы T (G), а H0 — связная компонента единицы (в топологии Зарисского) группы H. Предположим, что выполнены следующие условия: (i) существует такой элемент g0 ∈ G, что преобразование T (g0) проксимально; (ii) группа H0 действует на W неприводимо, т. е. W не содержит нетривиальных H0 -инвариантных линейных подпространств. Тогда действие группы G на P(W ): (а) сильно проксимально; (б) проксимально в среднем. Д о к а з а т е л ь с т в о. (а) Так как T (g0) проксимально, по лемме 3.6 существуют такие x ∈ P(W ) и линейное подпространство W ′ $ W , что T (g0) притягивает P(W ) − P(W ′) к x. Пусть y, z ∈ P(W ). Так как H0 действует неприводимо на W и W ′ 6= W , мы получаем, что def

Hy = {h ∈ H0 | hy ∈ P(W ′)} 6= H0 , def

Hz = {h ∈ H0 | hz ∈ P(W ′)} 6= H0 .

Но группа H0 связна, Hy и Hz — алгебраические подмногообразия в H0 ,

244

Глава VI. Дискретные подгруппы и теория границ

а подгруппа T (G) ∩ H0 плотна по Зарисскому в H0 (так как подгруппа T (G) плотна по Зарисскому в H). Следовательно, существует такой элемент g ∈ G, что T (g)y ∈ / P(W ′) и T (g)z ∈ / P(W ′). Так как T (g0) притягивает ′ n P(W ) − P(W ) к x, мы имеем T (g0 g)y → x и T (g0n g)z → x при n → ∞. Таким образом, G-пространство P(W ) проксимально. Пусть (e1 , . . . , em) — базис в пространстве W . Так как P(W ) проксимально, ввиду следствия 1.4 мы имеем diam{p (T (gn)ei) | 1 6 i 6 n} → 0 при n → ∞ для некоторой последовательности {gn }n∈N+ в G. Тогда из леммы 3.3 вытекает, что существуют такие открытые окрестности Z j точек e j , что inf diam p (T (gn)Z j) → 0 при

16 j6m

n → ∞.

Как следствие, хотя бы одно из открытых множеств p (Z j), 1 6 j 6 m, стягиваемо. Таким образом, мы доказали, что для каждого базиса (e1 , . . . , em) пространства W хотя бы одна из точек p (ei), 1 6 i 6 m, имеет стягиваемую def окрестность. Поэтому множество Y = {y ∈ W − {0} | p (y) не имеет стягиваемой окрестности} лежит в линейном подпространстве меньшей размерности. Но T (G) действует на W неприводимо, и множество Y инвариантно относительно T (G). Значит, Y = ∅. С другой стороны, P(W ) проксимально. С учетом предложения 1.6 (а) действие группы G на P(W ) сильно проксимально. (б) В силу лемм 3.2 и 3.4 существуют r ∈ N+ , D1 , . . . , Dr ⊂ GL(W S ) и открытые подмножества U1 , . . . , Ur ⊂ P(W ), такие что GL(W ) = Dj , 16 j6r

GU j = P(W ) и D j равностепенно непрерывно на U j при каждом j от 1 до r. Положив C j = T −1 (D j), мы видим, что условие (б) предложения 2.13 выполнено. Поэтому (см. предложение 2.13) из уже доказанного утверждения (а) вытекает, что действие группы G на P(W ) проксимально в среднем, что и требуется. 3.8. Замечание 1. Так как H0 совпадает с пересечением всех алгебраических подгрупп конечного индекса в H, а подгруппа {h ∈ H | hW ′ = W ′ } алгебраична для любого линейного подпространства W ′ ⊂ W , условие (ii) в теореме 3.7 равносильно следующему: (ii′) ограничение представления T на любую подгруппу конечного индекса в G неприводимо. Замечание 2. Пусть M — замкнутое G-инвариантное подмножество в P(W ). Нетрудно показать, что если представление T неприводимо, то условия (i) и (ii) в теореме 3.7 необходимы и для сильной проксимальности G-пространства M, и для его проксимальности в среднем. Однако

§ 4. Эквивариантные измеримые отображения в алгебраические многообразия

245

это неверно для произвольного представления T . Элементарным примером n  o 1 x может служить действие группы x ∈ k на P(k2). 0 1

Из следствия 2.10 и теоремы 3.7 (б) вытекает 3.9. Следствие. Пусть m ∈ P (G) — мера с носителем G; M′ — локально компактное хаусдорфово G-пространство; n′ ∈ P (M), причем m ∗ n′ = n′ ; выполнены условия (i) и (ii) теоремы 3.7. (a) Если f : M′ → P (P(W )) — некоторое n′ -измеримое G-экивариантное отображение, то f (x) ∈ dP(W ) почти для всех (по мере n′) точек x ∈ M′ . (б) Если f1 , f2 : M′ → P(W ) — измеримые G-эквивариантные отображения, то f1 (x) = f2 (x) почти для всех x ∈ M′ . В следующем параграфе потребуется 3.10. Лемма. Пусть m ∈ P (G) — мера с носителем G; n ∈ P (P(W )), причем m ∗ n = n; выполнено условие (ii) теоремы 3.7. Тогда для любого собственного линейного подпространства W ′ ⊂ W верно, что n (P(W ′)) = 0. Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим a(s) = sup{n (P(W ′)) | W ′ ∈ Grs (W )}, 1 6 s 6 dim W , l = min{s ∈ N+ | a(s) > 0}.

Из определения числа l вытекает, что n (P(W1) ∩ P(W2)) = 0 для всех несовпадающих W1 , W2 ∈ Grl (W ). Следовательно, при любом ε > 0 множество {W ′ ∈ Grl (W ) | n (P(W ′)) > ε} конечно, и потому существует такое W ′ ∈ Grl (W ), что n (P(W ′)) = a(l). Так как m ∗ n = n, мы получаем ] n (P(W ′)) = n (P(g −1 W ′))d m (g). G

Но поскольку n (P(W )) = a(l), мы имеем n (P(g −1 W ′)) 6 n (P(W ′)) при всех g ∈ G. Значит, n (P(g −1 W ′)) = n (P(W ′)) почти для всех (по мере m) g ∈ G. С другой стороны, носитель меры m равен G, и множество {W ′′ ∈ Grl (W ) | m (P(W ′′)) = m (P(W ′)) = a(l) > 0} конечно. Поэтому множество {gW ′ | g ∈ G} ⊂ Grl (W )) также конечно. Это равносильно тому, что конечен индекс подгруппы {g ∈ G | gW ′′ = W ′′ } в G. С другой стороны, условие (ii) теоремы 3.7 равносильно условию (ii′) из п. 3.8. Следовательно, W ′ = W , откуда следует, что l = dim W . Лемма доказана. ′

§ 4. Эквивариантные измеримые отображения в алгебраические многообразия Как и в § 3 гл. II, возьмем конечное непустое множество A. Для каждого a ∈ A рассмотрим локальное поле ka и связную нетривиальную полу-

246

Глава VI. Дискретные подгруппы и теория границ

простую ka -группу Ga . Пусть G обозначает локально компактную группу Q Ga (ka). Напомним (см. § 3 гл. II), что группа G компактно порождена. a∈A

Для каждого a ∈ A выберем в Ga максимальный ka -расщепимый тор Sa и минимальную параболическую ka -подгруппу Pa , содержащую Sa . ПолоQ Q жим S = Sa (ka), P = Pa (ka). Отметим, что факторпространство G /P a∈A

a∈A

компактно, поскольку это верно для Ga (ka) /Pa (ka) при всех a ∈ A (см. следствие I.2.1.5). Пусть Γ — решетка в группе G, а Λ — подгруппа в CommG (Γ), содержащая Γ. 4.1. Предложение. Пусть m0 = y0 · mG ∈ P (G), где y0 — непрерывная функция на G с компактным носителем, причем множество {g ∈ G | y0 (g) > 0, y0 (g −1) > 0} порождает группу G. Пусть также n0 ∈ P (G /P) и m0 ∗ n0 = n0 . Тогда существует мера m ∈ P (Γ) с носителем Γ, для которой m ∗ n0 = n0 . Сначала докажем следующие две леммы. A. Лемма. Для любых g1 , g2 ∈ G найдутся такие n ∈ N+ и ε > 0, что g1 m0(n) > εg2 m0 , где m (n) = m ∗ m ∗ . . . ∗ m обозначает n-кратную свертку меры m. Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условий, наложенных на меру m, вытекает, что при достаточно больших n плотность меры g1 m0(n) положительна на носителе меры g2 m0 . Отсюда следует утверждение леммы, поскольку мера g2 m0 имеет компактный носитель и плотности мер g1 m0(n) и g2 m0 непрерывны. Б. Лемма. Для любых g ∈ G и g ∈ Γ найдутся такие ε = ε(g, g) > 0 и w = w (g, g) ∈ P (G), что g n0 = εgn0 + (1 − ε) w ∗ n0 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно лемме А, g m0(n) > εgm0 для некоторых n ∈ N+ и ε > 0. Так как m0 ∗ n0 = n0 (и потому m0(n) ∗ n0 = n0), мы получаем g n0 = g m0(n) ∗ n0 = εgm0 ∗ n0 + (g m0(n) − εgm0) ∗ n0 = εgm0 + (1 − ε) w ∗ n0 , где w = (1 − ε) −1 (g m0(n) − εgm0). Лемма доказана. Перейдем теперь к доказательству предложения 4.1. При g ∈ G положим L(g) = sup{l | 0 6 l 6 1, g n0 = l m′ ∗ n0 + (1 − l) m′′ ∗ n0 }, где m′ ∈ P (Γ), supp m′ = Γ и m′′ ∈ P (G). Из леммы Б легко вытекает, что L(g) > 0 для всех g ∈ G (меру m′ следует выбрать так, что m′ ({g}) < ε(g, g) при всех g ∈ Γ). Очевидно, L(g g) = L(g) для всех g ∈ Γ. Из равенства ] g n0 = g m0 ∗ n0 = g ′ n0 d m0 (g ′) G

легко вывести, что

] L(g) > L(g g ′)d m0 (g ′). G

§ 4. Эквивариантные измеримые отображения в алгебраические многообразия

247

Положив L′ (Γ g) = 1 − L(g), получаем функцию L′ на факторпространстве Γ \ G, для которой ] (1) L′ (x) 6 L′ (x g)d m0 (g), x ∈ Γ \ G. G

В силу неравенства Коши — Шварца — Буняковского ] ] ] ] L′ (x) 2 d mG (x) 6 L′ (x g) 2 d m0 (g)d mG (x) = L′ (x) 2 d mG (x), Γ\G

Γ\G G

Γ\G

причем равенство достигается в том и только том случае, когда L′ (x g) = = L′ (x) почти для всех (относительно меры mG ∗ m0) пар (x, g) ∈ (Γ \ G) × G. Но m0 = y0 mG и supp y0 порождает G. Значит, функция L′ (x) постоянна почти всюду (относительно mG). Тогда из неравенства (1) и положительности функции L(g) вытекает, что при некотором ε > 0 верно, что L′ (x) 6 1 − ε для всех x ∈ Γ \ G, или, что равносильно, L(g) > ε при всех g ∈ G. Выберем ] число l, 0 < l < ε. Так как m ∗ n0 = g n0 d m (g), для каждой меры s ∈ P (G) G

существуют такие m′ ∈ P (Γ) и m′′ ∈ P (G), что s ∗ n0 = l m′ ∗ n0 + (1 − l) m′′ ∗ n0 и supp m′ = Γ. Следовательно, n0 = l m1 ∗ n0 + (1 − l) [l m2 ∗ n0 + (1 − l) [l m3 ∗ n0 + . . . ,

где mi ∈ P (Γ) и supp mi = Γ. Но l + (1 − l)l + (1 − l) 2 l + . . . = 1, и лемма доказана. 4.2. Следствие. Существуют такие m ∈ P (Γ) и n′ ∈ P (G /P), что m ∗ n′ = n′ , supp m = Γ и мера n′ квазиинвариантна (т. е. эквивалентна мере mG /P). Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как факторпространство G /P компактно, на G существует непрерывная функция y0 с компактным носителем, таdef кая что множество Y = {g ∈ G | y0 (g) > 0, y0 (g −1) > 0} порождает группу G и Yx = G /P для всех x ∈ G /P. Положим m0 = y0 mG . Тогда мера m0 ∗ n эквивалентна mG /P при всех n ∈ P (G /P). С другой стороны, поскольку G /P компактно, существует такая мера n′ ∈ P (G /P), что m0 ∗ n′ = n′ (см. п. 2.3). Теперь доказываемое утверждение следует из предложения 4.1. 4.3. Теорема. Пусть k — локальное поле; m ∈ N+ ; W — линейное пространство размерности m над k; T : Λ → GL(W ) — представление группы Λ в пространстве W ; H — замыкание по Зарисскому подгруппы T (G) в GL(W ); H0 — компонента единицы в H. Предположим, что выполнены следующие условия: (i) существует такое g0 ∈ Γ, что T (g0) проксимально (в смысле п. 3.5); (ii) H0 действует на W неприводимым образом.

248

Глава VI. Дискретные подгруппы и теория границ

Тогда справедливы следующие утверждения. (а) Существует G-эквивариантное измеримое (относительно mG /P) отображение y : G /P → P(W ). Отображение y определено однозначно (с точностью до изменения на множестве меры нуль) и Λ-эквивариантно (т. е. для каждого l ∈ Λ равенство y (lx) = T (l) y (x) выполнено для почти всех x ∈ G /P). (б) Положим R = {x ∈ End(W ) | x 2 = x, dim Im x = 1}. Введем на R топологию, определяемую топологией поля k, и превратим его в Λ-пространство, положив lx = T (l)xT (l−1), l ∈ Λ, x ∈ R. 1) Существует такое mG -измеримое отображение f : G → R, такое что для каждого l ∈ Λ верно, что f (l gz) = T (l) f (g) почти для всех g ∈ G и для всех z ∈ ZG (S). 2) Существует mG /ZG (S) -измеримое Λ-эквиввариантное отображение f′ : G /ZG (S) → R. Д о к а з а т е л ь с т в о. (а) Пусть m ∈ P (Γ) и n′ ∈ P (G /P) — меры из следствия 4.2. Так как мера n′ эквивалентна mG /P , по теореме IV.4.5 существует Γ-эквивариантное n′ -измеримое отображение y1 : G /P → P (P(W )). Ввиду следствия 3.9 (а) мы имеем y1 (x) ∈ dP(W ) почти для всех x ∈ G /P. Положив теперь y1 (x) = dy (x) , мы определим измеримое Γ-эквивариантное отображение y : G /P → P(W ). Единственность отображения y вытекает из следствия 3.9 (б). Пусть теперь l ∈ Λ. Положим yl (x) = T (l−1) y (lx),

Если lgl

−1

x ∈ G /P.

(1)

∈ Γ, то ввиду Γ-эквивариантности отображения y мы имеем

yl (gx) = T (l−1) y (lgx) = T (l−1) y (lgl−1 lx) = T (l−1)T (lgl−1) y (lx) =

= T (g)T (l−1) y (lx) = T (g) yl (x) почти для всех x ∈ G /P. Таким образом, отображение yl является l−1 Γl-эквивариантным. Положим Γl = Γ ∩ (l−1 Γl). Так как l ∈ CommG (Γ), подгруппа Γl имеет конечный индекс в решетке Γ и, значит, является решеткой в G. С учетом доказанного выше получаем, что любые два Γl -эквивариантных измеримых отображения пространства G /P в P(W ) совпадают почти всюду. Но отображения y и yl являются Γl -эквивариантными. Поэтому y (x) = yl (x) почти для всех x ∈ G /P, и с учетом равенства (1) отображение y является Λ-эквивариантным. (б) Пусть W ∗ — двойственное пространство для W . Определим сопряженное (контраградиентное) представление T ∗ для T , положив T ∗ (l) = = T (l−1) ∗ , l ∈ Λ, где ∗ обозначает переход к сопряженному преобразованию. Пусть (H∗) 0 — компонента единицы в замыкании по Зарисскому группы T ∗ (Γ). Отображение B → (B −1) ∗ , B ∈ GL(W ), регулярно. Поэтому

§ 4. Эквивариантные измеримые отображения в алгебраические многообразия

249

def

(H∗) 0 = (H0) ∗ = {h∗ | h ∈ H0 }. Но поскольку H0 действует на W неприводимым образом, это верно и для действия группы (H0) ∗ на W ∗ . С другой стороны, так как преобразование T (g0) проксимально, это верно и для ∗ T ∗ (g−1 0 ) = T (g0) . Таким образом, из утверждения (а) следует существование Λ-эквивариантного измеримого отображения y∗ : G /P → P(W ∗). Пусть q : G → G /P — естественное отображение. Определим измеримые отображения w : G → P(W ) и w∗ : G → P(W ∗), положив w = y ◦ q и w∗ = y∗ ◦ q. Так как отображения y и y∗ являются Λ-эквивариантными, при каждом l ∈ Λ выполняются равенства w (l g p) = T (l) w (g)

(2)

w∗ (l g p) = T ∗ (l) w∗ (g)

(3)

и для всех p ∈ P и почти всех (относительно mG) g ∈ G. Пусть p∗ : W ∗ − {0} → → P(W ∗) — естественная проекция. Положим Y = {(y, y ∗) ∈ P(W ) × P(W ∗) | w ∗ (w) 6= 0 при p (w) = y, p∗ (w ∗) = y ∗ }. Если w ∈ W , w ∗ ∈ W ∗ и w ∗ (w) 6= 0, то можно определить одномерную проекцию R ′ (w, w ∗) ∈ R, положив R ′ (w, w ∗)v =

w ∗ (v) w, w ∗ (w)

v∈W.

Ясно, что если p (w) = p (w1) и p∗ (w ∗) = p∗ (w1∗), то R ′ (w, w ∗) = R ′ (w1 , w1∗). Поэтому можно определить отображение R : Y → R, положив R (y, y ∗) = R ′ (p−1 (y), p∗−1 (y ∗)), (y, y ∗) ∈ Y .

Легко видеть, что отображение R является GL(W )-эквивариантным, т. е. R (By, B ∗ y ∗) = BR (y, y ∗)B −1

∀ (y, y ∗) ∈ Y , B ∈ GL(W ).

Как и выше, рассмотрим такие меры m ∈ P (Γ) и n′ ∈ P (G /P), что m ∗ n′ = n′ , supp m = Γ и мера n′ эквивалентна mG /P . Обозначим через n ∈ P (P(W )) образ меры n′ при Γ-эквивариантном отображении y. Тогда m ∗ n = n. Следовательно, n (P(W )) = 0 (см. лемму 3.10), откуда n′ (y−1 (P(W ′))) = = 0 для всех W ′ ∈ Grm−1 (W ). Но мера n′ эквивалентна mG /P , w = y ◦ q и mG (q −1 (A)) = 0, если mG /P (A) = 0. Следовательно, mG (w−1 (P(W ′))) = 0 для всех W ′ ∈ Grm−1 (W ). С другой стороны, {u ∈ P(W ) | (y, p (w ∗)) ∈ / Y} = = Ker w ∗ ∈ Grm−1 (W ) для каждого w ∗ ∈ W ∗ − {0}. Поэтому для любого y ∗ ∈ P(W ∗) выполняется равенство mG {g ∈ G | (w (g), y ∗) ∈ / Y } = 0.

Положим Q = {(g1 , g2) ∈ G × G | (w (g1), w∗ (g1 g2)) ∈ / Y }.

(4)

250

Глава VI. Дискретные подгруппы и теория границ

В силу равенства (4) и теоремы Фубини mG×G (Q) = 0. Поэтому существует такой элемент g0 ∈ G, что (w (g), w∗ (g g0) ∈ Y почти для всех g ∈ G. Положим f1 (g) = R (w (g), w∗ (g g0)) ∈ R, g ∈ G. Отображение f1 определено почти всюду и измеримо. Из соотношений (2), (3) и GL(W )-эквивариантности отображения R вытекает, что при любом l ∈ Λ выполняются равенства f1 (l gh) = T (l) f1 (g)

почти для всех g ∈ G и для всех h ∈ P ∩ (g0 P g0−1). С другой стороны, пересечение любых двух параболических ka -подгрупп в Ga содержит централизатор максимального ka -расщепимого тора группы Ga (см. п. I.0.29) и все такие торы сопряжены над ka (см. п. I.0.24); поэтому существует такое u ∈ G, что uZG (S)u−1 ⊂ P ∩ (g0 P g0−1). Следовательно, положив f (g) = f1 (gu−1), мы получим такое измеримое отображение f : G → R, что при любом l ∈ Λ выполняются равенства f (l gz) = f1 (l gzu−1) = f1 (l gu−1 uzu−1) = T (l) f1 (gu−1) = R (l) f (g)

почти для всех g ∈ G и для всех z ∈ ZG (S). Наконец, положив f′ (gS) = = f (g), g ∈ G, мы получаем искомое Λ-эквивариантное отображение f′ : G /ZG (S) → R. 4.4. Лемма. Пусть k — локальное поле, m ∈ N+ и H — подгруппа в GLm (k). Предположим, что подгруппа H порождает End(km) и не является относительно компактной в GLm (k) в топологии, которая определяется топологией поля k. Тогда некоторое преобразование h ∈ H обладает собственным значением, превосходящим 1 по абсолютной величине (подразумевается, что k наделено абсолютным значением | |, которое продолжается на любое алгебраическое расширение поля k). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {h1 , . . . , hm2 } ⊂ H — базис в End(km), а {e1 , . . . , em2 } ⊂ End(km) — двойственный ему базис относительно невырожденной билинейной формы (x, y) 7→ Tr xy. Тогда X H⊂ Tr(hi H)ei . 16i6m2

С другой стороны, hi H = H и подгруппа H не является относительно компактной в GLm (k), а тогда и в End(km). Как следствие, множество следов Tr H не является относительно компактным в k. Поэтому существует такой элемент h ∈ H , что | Tr h| > m. Этот элемент искомый, так

§ 4. Эквивариантные измеримые отображения в алгебраические многообразия

251

как | Tr B| 6 m|l (B)|, где l (B) — собственное значение преобразования B ∈ End(km), максимальное по абсолютной величине. 4.5. Лемма. Пусть k — локальное поле, H — связная полупростая k-группа, F — подгруппа в H(k), плотная по Зарисскому в H. Предположим, что подгруппа F не является относительно компактной в топологии, которая определяется топологией поля k. Тогда существуют x ∈ F , r > 1 и рациональное r-мерное k-неприводимое определенное над k представление r группы H , такие что преобразование r (x) проксимально. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как k-группа H связна и полупроста, существует точное вполне приводимое рациональное представление ϑ группы H , определенное над k (в качестве ϑ можно взять прямую сумму композиционных факторов любого точного k-рационального представления группы H). Разложим ϑ в прямую сумму абсолютно неприводимых mi -мерных представлений ϑi , 1 6 i 6 t. Представления ϑi определены над конечным расширением l поля k. Так как Ker ϑ = {e}, ввиду следствия I.2.1.3 (i) отображение ϑ|H(k) собственное. Но подгруппа F не является относительно компактной. Поэтому для некоторого i, 1 6 i 6 t, подгруппа ϑi (F) не является относительно компактной в GLmi (l). Так как подгруппа F плотна по Зарисскому в H, а представление ϑi рационально и абсолютно неприводимо, то его ограничение на F абсолютно неприводимо. По теореме Бернсайда (см. [Wae 2], § III) ϑi (F) порождает End(l mi ). Тогда по лемме 4.4 найдется такой элемент x ∈ F , что преобразование ϑi (x), а тогда и ϑ(x), обладает собственным значением, превосходящим 1 по абсолютной величине. Пусть q — размерность характеристического подпространства преобразования ϑ(x), отвечающего максимальному характеристическому показателю (определение см. в § 1 гл. II). Заменив представление ϑ подходящим композиционным фактором его q-й внешней степени, можно положить q = 1. Тогда представление ϑ(x) проксимально, а максимум абсолютных величин его собственных значений по-прежнему больше 1. Теперь остается положить r = ϑ и заметить, что любое одномерное представление группы H тривиально, поскольку она полупроста. 4.6. Пусть дано k-рациональное действие k-группы H на k-многообразии M. Напомним, что в п. V.4.1 были введены понятия строго H-эффективного множества и строго H-эффективного измеримого отображения. Так как для любого x ∈ M(k) стабилизатор {h ∈ H | hx = x} точки x является k-замкнутым, то справедливо следующее утверждение: (∗) если группа H является k-простой, а множество X ⊂ M(k) не содержит H-инвариантных точек, то X строго H-эффективно. 4.7. Теорема. Пусть k — локальное поле, H — связная k-простая k-группа, t : Λ → H(k) — гомоморфизм групп. Предположим, что под-

252

Глава VI. Дискретные подгруппы и теория границ

группа t (Γ) плотна по Зарисскому в H и не является относительно компактной в топологии, которая отвечает топологии поля k. (а) Существует k-рациональное действие группы H на k-многообразии M, а также измеримое (относительно mG /P) строго H-эффективное Λ-эквивариантное отображение y : G /P → M(k) (Λ-эквивариантность отображения y означает, что при каждом l ∈ Λ равенство y (lx) = t (l) y (x) выполнено почти для всех x ∈ G /P). (б) Существуют m ∈ N+ , точное рациональное m-мерное представление r группы H , определенное над k, и два измеримых отображения f : G → km и f′ : G /ZG (S) → km , которые удовлетворяют следующим условиям: (i) отображения f и f′ строго H-эффективны относительно действия группы H, определяемого равенством hx = r (h)x, h ∈ H , x ∈ km ; (ii) при каждом l ∈ Λ равенство f (l gz) = r (t (l)) f (g) справедливо почти для всех (относительно mG) g ∈ G и для всех z ∈ ZG (S); (iii) отображение f′ является Λ-эквивариантным, т. е. при каждом l ∈ Λ равенство f′ (lx) = r (t (l)) f′ (x) справедливо почти для всех (относительно mG /ZG (S)) x ∈ G /ZG (S). Д о к а з а т е л ь с т в о. По лемме 4.5 существуют l ∈ Λ, r > 1 и рациональное r-мерное k-неприводимое определенное над k представление r′ группы H , такие что преобразование r′ (t (l)) проксимально. Определим представление r группы H в пространстве Endr , положив r (h)x = r′ (h)x r′ (h−1), h ∈ H, x ∈ Endr . Так как группа H является k-простой, r > 1 и представление r неприводимо над k, то ввиду утверждения (∗) из п. 4.6 множество P(kr) и множество одномерных проекций R ⊂ End(kr) строго H-эффективны. Теперь утверждения (а) и (б) вытекают из соответствующих утверждений теоремы 4.3. 4.8. Пусть выполнены следующие условия: (А) при каждом a ∈ A группа Ga односвязна, ka -изотропна и ka -проста; (Б) решетка Γ конечно порождена и слабо кокомпактна (в смысле п. V.5.7); (C) существует точное неприводимое рациональное представление r def группы H, определенное над k и такое, что представление T = r ◦ t является Γ-интегрируемым. Тогда теорема 4.7 следует из теоремы V.5.15. В самом деле, подгруппа t (Γ) не является относительно компактной, и по следствию I.2.1.3 (i) ограничение r|H(k) является собственным отображением; поэтому и подгруппа T (Γ) не является относительно компактной. Таким образом, из теоремы V.5.15 при выполнении условий (A), (B) и (C) вытекает существование элемента s ∈ S, действующего эргодически на Γ \ G и такого, что пара (s, T) существенна. Так как представление T неприводимо над k и k-груп-

§ 4. Эквивариантные измеримые отображения в алгебраические многообразия

253

па T (Λ) = r (H) является k-простой, пара (s, T) эффективна (см. п. V.5.1). В силу предложения V.4.3 отсюда следует утверждение (б) теоремы 4.7. Пусть теперь w — характеристическое отображение, отвечающее паре (s, T) и максимальному характеристическому показателю q. Так как любые две минимальные параболические ka -подгруппы в Ga сопряжены посредством элемента из Ga (ka), то ввиду леммы II.3.1 (б), заменив подгруппы Pa сопряженными, можно считать множество {s m ps −m | m ∈ N+ } относительно компактным в G для каждого p ∈ P. Так как характеристический показатель q максимален, по теореме V.3.3 (ii) при каждом p ∈ P равенство w (g p) = w (g) выполнено почти для всех g ∈ G. С учетом леммы I.4.1.1 (v) можно так изменить w на множестве меры нуль, что равенство w (g p) = w (g) будет выполняться почти для всех g ∈ G и для всех p ∈ P. Пусть W — пространство представления r, а l — кратность характеристического показателя q. Определим отображение y : G /P → Grl (W ), положив y (gP) = w (g). По теореме V.3.3 (i) при каждом l ∈ Λ равенство w (l g) = T (l) w (g) справедливо почти для всех g ∈ G, и поэтому отображение y является Λ-эквивариантным. Чтобы завершить доказательство теоремы 4.7 (а) в рассматриваемом случае, достаточно заметить, что строгая H-эффективность отображения y вытекает из трех фактов: 1) пара (s, T) существенна; 2) представление T неприводимо; 3) группа T (Λ) = r (H) является k-простой.

Глава VII

Жесткость Центральное место в этой главе занимает § 5, где доказаны теоремы о сверхжесткости для дискретных подгрупп. Доказательства основаны на рассмотрении эквивариантных измеримых отображений в линейные пространства. Существование таких отображений с необходимыми свойствами было доказано в гл. V и VI. Связь с результатами этих глав устанавливается с помощью результатов §§ 1—4. В §§ 6 и 7 получены некоторые следствия из теорем сверхжесткости. В § 8 содержатся некоторые результаты о жесткости эргодических действий полупростых групп. Введем ряд понятий и обозначений, которые используются в §§ 1—4. Пусть X — пространство с мерой m, а Y — топологическое пространство. Подмножество M ⊂ X × Y называется измеримым, если оно принадлежит s-алгебре, порожденной множествами вида A × B, где множество A ⊂ X измеримо относительно меры m, а B ⊂ Y — борелевское множество. Отображение из X × Y в топологическое пространство (соответственно пространство с мерой) называется измеримым, если прообраз любого открытого (соответственно измеримого) множества измерим в указанном смысле. Через F0 (X, m, Y) или просто F0 (X, Y) мы обозначаем множество измеримых отображений (функций) f : X → Y . Будем считать эквивалентными отображения, отличающиеся лишь на множестве меры нуль. Фактормножество по этому отношению эквивалентности будет обозначаться F (X, m, Y) или просто F (X, Y). Естественное отображение из F0 (X, Y) на F (X, Y), сопоставляющее каждому измеримому отображению его класс эквивалентности, будет обозначаться b. Пусть Ω1 ⊂ F0 (X, Y1), Ω2 ⊂ F0 (X2 , Y2); если отображение A : Ω1 → Ω2 переводит эквивалентные функции в эквивалентные, то A индуцирует отображение из b (Ω1) в b (Ω2), которое будет обозначаться Ab (а именно, Ab (b (f)) = b (A(f)), f ∈ Ω1). Если Y — топологическое векторное пространство над топологическим полем K , то F0 (X, Y) и F (X, Y) с обычными операциями поточечного сложения и умножения на элементы из K также являются векторными пространствами над K .

§ 1. Вспомогательные утверждения

255

§ 1. Вспомогательные утверждения В п. 1.1—1.3 X обозначает пространство с s-конечной мерой m, а Y — сепарабельное метрическое пространство с расстоянием d. 1.1. Лемма. Для всех f , h ∈ F0 (X, Y) и a > 0 множество Ba = {x ∈ X | d (f (x), h(x)) > a} измеримо. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Z — счетное плотное подмножество в Y . Утверждение леммы вытекает из следующего равенства: [ Ba = [{x ∈ X | d (f (x), z) < 1/n} ∩ {x ∈ X | d (h(z), z) > a + 1/n}]. z∈Z,n∈N+

1.2. Введем на F (X, Y) топологию сходимости по мере, взяв базу открытых подмножеств, состоящую из подмножеств вида {f ∈ F (X, Y) | m (SK ,a (f0 , h0)) < ε при f0 ∈ f },

где ε > 0, a > 0, h0 ∈ F0 (X, Y), K ⊂ X — подмножество конечной меры и SK ,a (f0 , h0) = {x ∈ K | d (f0 (x), h0 (x)) > a}.

В силу s-конечности меры m пространство F (X, Y) с этой топологией хаусдорфово. Пусть Y — топологическое векторное пространство над топологическим полем l и топология на Y согласована с метрикой d; тогда топология сходимости по мере с естественными операциями сложения и умножения на элементы из l определяет на F (X, Y) структуру топологического векторного пространства над l. 1.3. Лемма. Пусть Z — пространство с s-конечной мерой t, а q : X × Z → Y — измеримое отображение (относительно меры m × t). Положим qz (x) = q (x, z), x ∈ X, z ∈ Z, и ϑq (z) = b (qz), z ∈ Z. Тогда отображение ϑq : Z → F (X, Y) измеримо (относительно меры t). Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать для любого подмножества конечной меры K ⊂ X и всех h ∈ F0 (X, Y), ε > 0 и a > 0 измеримость множества def DK ,a,h,ε = {z ∈ Z | m (SK ,a,h,z) < ε}, где

SK ,a,h,z = {x ∈ K | d (qz (x), h(x)) > a}.

Но SK ,a,h,z представляет собой z-сечение, т. е. пересечение X × {z} с измеримым множеством {x ∈ K , z ∈ Z | d (q (x, z), h(x)) > a} ⊂ X × Z,

а по теореме Фубини мера z-сечения любого измеримого множества B ⊂ X × Z является измеримой функцией от z ∈ Z. Следовательно, множество DK ,a,h,a измеримо.

256

Глава VII. Жесткость

1.4. Лемма. Пусть G и H — локально компактные s-компактные группы. Тогда любой измеримый (относительно mG) гомоморфизм f : G → H непрерывен. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть W — окрестность единицы в H . Выберем такую окрестность единицы V ⊂ H , что V −1 · V ⊂ W . Так как группа H является s-компактной, существует ее счетное покрытие множествами вида hV , h ∈ H . Поэтому найдется элемент h0 ∈ H , для которого mG (f −1 (h0 V)) > 0. С другой стороны, для каждого подмножества конечной меры Хаара B ⊂ G мера mG ((B g)△B) непрерывна как функция от g ∈ G (см. [Hal 1], § 61, теорема 1). Поэтому для каждого подмножества положительной меры C ⊂ G множество {g ∈ G | C g ∩ C 6= ∅} содержит окрестность единицы группы G. Как следствие, в G имеется окрестность единицы R со следующим свойством: для каждого r ∈ R найдется такое gr ∈ G, что f (gr) ∈ h0 V и f (gr r) ∈ h0 V . Так как f является гомоморфизмом, f (r) = f (gr) −1 f (gr r) ∈ (h0 V) −1 · (h0 V) = V −1 · V ⊂ W для всех r ∈ R. Поэтому гомоморфизм f непрерывен в e, а тогда и на всей группе G. 1.5. Представление U локально компактной группы G в топологическом векторном пространстве W называется измеримым, если для всех w ∈ W отображение g 7→ U (g)w, g ∈ G, измеримо относительно mG , и непрерывным, если отображение (g, w) 7→ U (g)w непрерывно по обоим переменным. 1.6. Лемма. Пусть G — локально компактная s-компактная группа, k — локальное поле, W — отделимое конечномерное топологическое векторное пространство над k. Тогда любое измеримое представление U группы G в пространстве W непрерывно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Поставив в сооответствие каждому линейному преобразованию h ∈ GL(W ) его матрицу в фиксированном базисе, мы получим изоморфизм l : GL(W ) → GLn (k), n = dim W . Поскольку W как топологическое векторное пространство изоморфно kn (см. п. I.0.31), гомоморфизм l ◦ U : G → GLn (k) непрерывен (соответственно измерим), если и только если представление U непрерывно (соответственно измеримо). Остается применить к гомоморфизму l ◦ U лемму 1.4.

§ 2. Коциклы в G-пространствах 2.0. Пусть G — локально компактная s-компактная группа, X — правое G-пространство с s-конечной мерой m. Предположим, что отображение X × G → X, (x, g) 7→ x g, измеримо и мера m квазиинвариантна (т. е. m (A g) = 0, если и только если m (A) = 0). Пусть M — сепарабельная мет-

§ 2. Коциклы в G-пространствах

257

ризуемая локально компактная группа, Y — сепарабельное метрическое левое M-пространство. Отображение s : X × G → M называется коциклом в G-пространстве X, если s измеримо и s (x, g1 g2) = s (x, g) s (x g1 , g2)

(1)

для всех x ∈ X и g1 , g2 ∈ G. Пусть s — некоторый коцикл и g ∈ G; определим преобразование r0s (g) множества F0 (X, Y), положив (rs0 (g) f) (x) = s (x, g) f (x g),

f ∈ F0 (X, Y), x ∈ X.

Из равенства (1) непосредственно вытекает, что rs0 — гомоморфизм группы G в группу преобразований множества F0 (X, Y). Так как мера m квазиинвариантна, преобразование rs0 (g) переводит эквивалентные отображения в эквивалентные. Поэтому, положив rs0 (g) = rs0 (g) b , мы получим гомоморфизм rs группы G в группу преобразований множества F (X, Y). Если Y — векторное пространство и H действует на Y линейными преобразованиями, то r0s и rs определяют (линейные) представления группы G в пространствах F0 (X, Y) и F (X, Y) соответственно. 2.1. Лемма. Для каждой функции f ∈ F (X, Y) отображение ϑ: G → → F (X, Y), g 7→ rs (g) (f), измеримо. Для доказательства достаточно применить лемму 1.3 к отображению q : X × G → Y , q (x, g) = s (x g) f (x g), x ∈ X, g ∈ G. Замечание 1. В действительности при некоторых слабых ограничениях на G и X отображение ϑ непрерывно, а отображение (g, f) 7→ rs (g) f непрерывно по обоим переменным. В частности, это верно, если группа G метризуема, а m — регулярная борелевская мера на сепарабельном полном метрическом пространстве X. Мы опустим рутинное доказательство этого факта. 2.2. Лемма. Пусть отображение f ∈ F (X, Y) является rs (G)-инвариантным. Тогда (а) в классе f существует такое отображение f0 , что почти для всех x ∈ X равенство s (x, g) f0 (x g) = f0 (x)

(1)

выполнено при всех g ∈ G; (б) если Y — векторное пространство и H действует на Y линейными преобразованиями, то существует такое отображение f0 ∈ f , что равенство (1) выполнено для всех x ∈ X и g ∈ G (т. е. отображение f0 является r0s (G)-инвариантным). Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем произвольное f1 ∈ f . Пусть Ψ — множество таких x ∈ X, что при некотором q (x) ∈ Y выполняется равенство s (x, g) f1 (x g) = q (x)

почти для всех

g ∈ G.

(2)

258

Глава VII. Жесткость

Очевидно, q (x) однозначно определяется условием (2). Так как отображение f является rs (G)-инвариантным, по теореме Фубини m (X − Ψ) = 0 и q (x) = f1 (x) почти для всех x ∈ X. С другой стороны, из равенства (1) п. 2.0 вытекает, что ΨG = Ψ и s (x, g)q (x g) = q (x) для всех x ∈ Ψ и g ∈ G. Положив теперь f0 (x) = q (x), x ∈ Ψ, получаем утверждение (а). Чтобы доказать утверждение (б), достаточно продолжить f0 на X − Ψ, положив f0 (x) = 0 при всех x ∈ X − Ψ.

§ 3. Конечномерные инвариантные подпространства 3.0. Пусть G, X и m таковы, как в п. 2.0; k — локальное поле; n ∈ N+ ; s : X × G → GL(kn) — коцикл в G-пространстве X; U — непрерывное представление группы G в конечномерном векторном пространстве W над k. Векторное пространство линейных отображений из W в kn обозначим Ψ и определим коцикл ϑ : X × G → GL(Ψ), положив ϑ(x, g) (y) = s (x, g) yU (g −1)

(1)

при x ∈ X, g ∈ G, y ∈ Ψ. Наконец, как и в § 2, каждому коциклу s мы сопоставим представления rs0 и rs группы G в пространствах F0 (X, kn) и F (X, kn) соответственно, а коциклу ϑ — ее представления rϑ0 и rϑ в пространствах F0 (X, Ψ) и F (X, Ψ) соответственно. Напомним определение сплетающих операторов. Пусть даны два представления T1 и T2 группы H в векторных пространствах V1 и V2 над k. Назовем оператор A: V1 → V2 сплетающим, если AT1 (h) = T2 (h)A для всех h ∈ H . Сплетающие операторы составляют векторное пространство над k, которое мы обозначим L (T1 , T2). Размерность этого пространства называется числом сплетения представлений T1 и T2 и обозначается c (T1 , T2). 3.1. Лемма. (а) Для каждого A ∈ L (U , rs) существует такое A0 ∈ L (U , rs0 ), что A = b ◦ A0 . (б) Число сплетения c (U , rs0 ) (соответственно, c (U , rs)) совпадает с размерностью пространства rϑ0 (G)-инвариантных (соответственно rϑ (G)-инвариантных) элементов пространства F0 (X, Ψ) (соответственно F (X, Ψ)). Д о к а з а т е л ь с т в о. Отождествим F0 (X, Ψ) с пространством линейных отображений из W в F0 (X, kn), положив (f0 w) (x) = f0 (x)w, f0 ∈ F0 (X, Ψ), x ∈ X, w ∈ W .

Если f0 , h0 ∈ F0 (X, Ψ), b (f0) = b (h0) и w ∈ W , то b (f0 w) = b (h0 w). Поэтому можно отождествить F (X, Ψ) с пространством линейных отображений пространства W в F (X, kn), положив b (f0)w = b (f0 w), f0 ∈ F0 (X, Ψ), w ∈ W .

§ 3. Конечномерные инвариантные подпространства

259

Для всех g ∈ G, f0 ∈ F0 (X, Ψ), w ∈ W и x ∈ X мы имеем

(r0s (g) f0 w) (x) = s (x, g) (f0 w) (x g) = s (x, g) f0 (x g)w, (f0 U (g)w) (x) = f0 (x)U (g)w.

С другой стороны, из равенства (1) п. 3.0 и определения представления rϑ0 вытекает, что для всех g ∈ G, f0 ∈ F0 (X, Ψ), x ∈ X выполняется равенство (rϑ0 (g) f0) (x) = s (x, g) f0 (x g)U (g −1).

Следовательно, f0 ∈ L (U , r0s) (соответственно f ∈ L (U , rs)), если и только если rϑ0 (G) f = f (соответственно rϑ (G) f = f). Из этого факта непосредственно следует утверждение (б), а утверждение (а) вытекает из леммы 2.2 (б). 3.2. Предложение. Пусть Z — пространство rs (G)-инвариантных элементов пространства F (X, kn). Если группа G действует эргодически на X, то dim Z 6 n. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого конечного набора f1 , . . . , fi ∈ b−1 (Z) размерность линейной оболочки векторов f1 (x), . . . , fi (x) является измеримой функцией от x ∈ X. Если g ∈ G, то f j (x) = s (x, g) f j (x g) почти для всех x ∈ X, 1 6 j 6 i, и потому m(x) = m(x g) почти для всех x ∈ X. Но G действует на X эргодически. Поэтому m(x) почти всюду равно целому числу, которое мы назовем рангом набора f1 , . . . , fi . Ясно, что этот ранг не превосходит n. Пусть для некоторого целого i существует набор f1 , . . . , fi ∈ b−1 (Z) ранга i и любой набор i + 1 элементов из b−1 (Z) имеет ранг не выше i. Тогда для любого f ∈ b−1 (Z) вектор f (x) однозначно представляется в виде следующей линейной комбинации: f (x) =

i X j=1

c j, f (x) f j (x) почти для всех x ∈ X.

Если f ∈ b−1 (Z), то для каждого g ∈ G выполняется раевнство f (x) = s (x, g) · f (x g) = s (x, g) · =

i X

c j, f (x g) f j (x g) =

j=1

i X

c j, f (x g) s (x, g) f j (x g) =

j=1

i X

c j, f (x g) f j (x),

j=1

откуда следует, что c j, f (x g) = c j, f (x) почти для всех x ∈ X. Но G действует эргодически на X. Поэтому существуют такие константы c ′j, f , i P что c j, f (x) = c ′j, f почти для всех x ∈ X. Тогда b (f) = c ′j, f b (f j) для всех j=1

260

Глава VII. Жесткость

f ∈ b−1 (Z). Как следствие, b (f1), . . . , b (fi) порождают Z. Так как i 6 n, то dim Z 6 n. 3.3. Следствие. Если G действует эргодически на X, то число сплетения c (U , r) конечно и не превосходит n · dim W . Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через Zϑ пространство rϑ (G)-инвариантных элементов пространства F (X, Ψ). По лемме 3.1 (б) мы имеем c (U , r) = dim Zϑ . Но ввиду предложения 3.2 мы получаем dim Zϑ 6 dim Ψ = = n dim W . Поэтому c (U , r) 6 n dim W . 3.4. В пп. 3.5—3.7 будем обозначать через B конечномерное rs (G)-инвариантное линейное подпространство в F (X, kn), а через rB — ограничение представления rs на B (т. е. rB (g) = rs (g)|B). Из лемм 1.6 и 2.1 вытекает 3.5. Лемма. Представление rB непрерывно. 3.6. Предложение. Пусть Φ — множество линейных преобразований пространства F (X, kn), коммутирующих с rs (G). Предположим, что G действует на X эргодически. Тогда размерность линейного def S подпространства ∆, порожденного множеством ΦB = f (B), коf∈Φ

нечна и не превосходит n(dim B) 2 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ΦB — множество ограничений преобразований f ∈ Φ на B. Выберем в пространстве B базис b1 , . . . , bi (i = dim B). def Так как Φ коммутирует с rs (G), то ΦB ⊂ L = L (rB , rs). С другой стороны, L B ⊂ L b1 + . . . + L bi , и по следствию 3.3 и лемме 3.5 dim L 6 n dim B. Отсюда следует, что n · dim(L b j) 6 n · dim B для всех j от 1 до i, и потому dim ∆ 6 n(dim B) 2 . 3.7. Лемма. Существует отображение a : B → F0 (X, kn) со следующими свойствами: (1) b (a (b)) = b для всех b ∈ B; (2) отображение a эквивариантно, т. е. a (rs (g)b) = r0s (g) a (b) для всех g ∈ G, b ∈ B. Для доказательства достаточно, с учетом леммы 3.5, применить лемму 3.1 (а) к представлению rB и тождественному оператору A : B → F (X, kn), A(b) = b, b ∈ B.

§ 4. Эквивариантные измеримые отображения и непрерывные продолжения представлений 4.0. Пусть G — локально компактная s-компактная группа; Λ ⊂ G — счетная подгруппа; H ⊂ G — замкнутая подгруппа; k — локальное поле; n ∈ N+ ; T — представление группы Λ в пространстве kn . Введем на Λ дискретную топологию и превратим G в правое (Λ × G)-пространство, положив x (l, g) = l−1 x g при l ∈ Λ, x, g ∈ G. Назовем пару (Λ, H) эргоди-

§ 4. Эквивариантные измеримые отображения и продолжения представлений

261

ческой, если Λ × H действует эргодически на G, т. е. выполнено следующее условие: если Y ⊂ G — mG -измеримое подмножество и ΛYH = Y , то либо mG (Y) = 0, либо mG (G − Y) = 0. Если подгруппа Λ дискретна, то пара (Λ, H) эргодична, если и только если действие группы H правыми сдвигами на Λ \ G эргодично. Определим теперь представления rT0 и rT группы G, индуцированные представлением T . Пространство ΩT0 представления rT0 состоит из отображений w ∈ F0 (G, kn) = F0 (G, mG , kn), для которых w (l g) = T (l) w (g)

∀ g ∈ G,

l ∈ Λ,

(1)

и представление rT0 группы G в пространстве ΩT0 определяется формулой (rT0 (g) w) (x) = w (x g),

w ∈ ΩT0 ,

g ∈ G.

(2)

Представление rT определяется в пространстве ΩT = b (ΩT0 ) по формуле rT (g) = rT0 (g) b . Измеримое (относительно mG) отображение w : G → kn в соответствии с уже применявшейся терминологией мы называем Λ-эквивариантным, если при каждом l ∈ Λ равенство (1) выполнено почти для всех g ∈ G. Если измеримое отображение w : G → kn является Λ-эквивариантным, то по лемме 2.2 мы имеем b (w) ∈ ΩT . Легко видеть, что ΩT0 (соответственно ΩT ) состоит из r0s (Λ × {e})-инвариантных (соответственно rs (Λ × {e})-инвариантных) элементов из F0 (G, kn) (соответственно из F (G, kn)) и rT0 (g) = rs0 (e, g)|ΩT0 (соответственно rT (g) = rs (e, g)|ΩT ) для всех g ∈ G, где s : G × (Λ × G) → GL(kn) — коцикл в (Λ × G)-пространстве G, заданный уравнением s (x, (l, g)) = T (l−1),

l ∈ Λ,

x, g ∈ G.

С учетом предложения 3.6 и лемм 3.5 и 3.7 получаем предложение 4.2 и леммы 4.1 и 4.3. 4.1. Лемма. Ограничение представления rT на любое конечномерное rT (G)-инвариантное линейное подпространство B ⊂ ΩT непрерывно. 4.2. Предложение. Пусть B ⊂ ΩT — конечномерное rT (H)-инвариантное линейное подпространство, (Λ, H) — эргодическая пара. Тогда размерность линейного подпространства, порожденного множеством rT (ZG (H))B, конечна и не превосходит n(dim B) 2 . Здесь, как обычно, ZG (H) обозначает централизатор подгруппы H в G. 4.3. Лемма. Для каждого конечномерного rT (G)-инвариантного подпространства B ⊂ ΩT существует отображение a : B → ΩT0 со следующими свойствами: 1) b (a (b)) = b для всех b ∈ B;

262

Глава VII. Жесткость

2) отображение a эквивариантно, т. е. a (rT (g)b) = rT0 (g) a (b) для всех g ∈ G, b ∈ B. 4.4. Мы говорим, что подгруппа F ⊂ G сильно k-плотна в G, если для каждого конечномерного векторного пространства W над k и каждого непрерывного представления r : G → GL(W ) любое r (F)-инвариантное линейное подпространство V ⊂ W является r (G)-инвариантным. Очевидно, если подгруппа F плотна в G, то она сильно k-плотна в G. Пусть g ∈ G. Так как r (g) переводит r (F)-инвариантные подпространства в r (gF g −1)-инвариантные, то подгруппа gF g −1 сильно k-плотна в G, если и только если это верно для F . Замечание. Пусть подгруппа F сильно k-плотна в G. Тогда справедливы следующие утверждения. (а) Пусть H — некоторая k-группа, f : G → H(k) — непрерывный гомоморфизм. Тогда замыкание по Зарисскому подгруппы f (F) содержит f (G). (б) Пусть l — конечное расширение поля k; H — алгебраическая k-группа; f : G → H(l) — непрерывный гомоморфизм. Если f (F) ⊂ H(k), то f (G) ⊂ H(l). Утверждения (а) и (б) доказываются тем же рассуждением, каким сводятся следствия II.2.6 и II.2.8 к теореме II.2.5. 4.5. Пусть T (Λ) — замыкание по Зарисскому подгруппы T (Λ) в GLn . В соответствии с определением из п. V.4.1 назовем множество X ⊂ kn строго T (Λ)-эффективным, если выполнены следующие равносильные условия: (i) T (Λ) действует эффективно на каждой орбите T (Λ)x, x ∈ X; (ii) для каждого x ∈ X стабилизатор {h ∈ T (Λ) | hx = x} точки x не содержит нетривиальных k-замкнутых нормальных подгрупп из T (Λ). Измеримое отображение f : G → kn называется строго T (Λ)-эффективным, если множество f (G − Y) строго T (Λ)-эффективно для некоторого множества Y ⊂ G меры нуль. 4.6. Предложение. Пусть подгруппа Λ сильно k-плотна в G и существуют Λ-эквивариантное строго T (Λ)-эффективное измеримое отображение f : G → kn , а также линейное подпространство M ⊂ kn , со следующими свойствами: (а) линейное подпространство B ⊂ ΩT , натянутое на rT (G) b (f), конечномерно; (б) почти для всех g ∈ G линейное подпространство в kn , натянутое на T (Λ) f (g), совпадает с M. Тогда T продолжается до непрерывного представления группы G в kn . Д о к а з а т е л ь с т в о. Из свойства (б) следует, что подпространство M является T (Λ)-инвариантным, а тогда и T (Λ)-инвариантным. Поэтому мы получим рациональное представление f группы T (Λ) в пространстве M,

§ 4. Эквивариантные измеримые отображения и продолжения представлений

263

определенное над k, если положим f (h)x = hx, h ∈ T (Λ), x ∈ M. Так как отображение f строго T (Λ)-эффективно и M содержит T (Λ) f (g) почти для всех g ∈ G, мы имеем Ker f = {e}. В силу следствия I.2.1.3 (i) подгруппа f (T (Λ)) (k)) замкнута в GL(M), отображение f : T (Λ)(k) → f (T (Λ)(k)) является изоморфизмом топологических групп и существует такое конечное расширение l поля k, что f −1 (f (T (Λ)) (k)) ⊂ T (Λ)(l). Если f ◦ T продолжается до непрерывного представления d группы G в M, то ввиду замечания в п. 4.4 мы имеем d (G) ⊂ f (T (Λ)) и f −1 ◦ d является непрерывным представлением группы G в kn , продолжающим T . Поэтому, заменив kn на M и T на f ◦ T , можно считать, что выполнена следующая модификация свойства (б): (б′) почти для всех g ∈ G линейное подпространство в kn , натянутое на T (Λ) f (g), совпадает с kn . Пространство B является rT (G)-инвариантным. По лемме 4.3 существует такое линейное эквивариантное отображение a : B → ΩT0 , что b (a (b)) = b для каждого b ∈ B. Положим f0 = a (b (f)). Так как f0 ∈ b (f), отображения f и f0 совпадают почти всюду. Поэтому из свойства (б′) вытекает существование такого g0 ∈ G, что линейная оболочка множества T (Λ) f0 (g0) совпадает с kn . Определим линейный оператор Q : B → kn , положив Q (b) = (a (b)) (g0), b ∈ B. (1) Так как a (B) ⊂ ΩT0 и отображение a эквивариантно, из равенств (1) и (2) п. 4.0 вытекает, что для всех l ∈ Λ и b ∈ B выполняются равенства Q (rT (g0−1 l g0)b) = (a (rT (g0−1 l g0)b)) (g0) = (rT (g0−1 l g0) a (b)) (g0) = = (a (b)) (g0 g0−1 l g0) = (a (b)) (l g0) = T (l) (a (b) (g0)) = T (l)Q (b).

(2)

По лемме 4.1 ограничение представления rT на B непрерывно. С другой стороны, подгруппа Λ (а тогда и g0−1 Λ g0) сильно k-плотна в G, и из равенств (2) следует rT (g0−1 Λ g0)-инвариантность подпространства Ker Q. Как следствие, оно rT (G)-инвариантно, и поэтому можно определить непрерывное представление T ′ группы G в пространстве Q (B), положив T ′ (g)Q (b) = Q (r (g0−1 g g0)b),

g ∈ G, b ∈ B.

(3)

Из равенств (2) вытекает T (Λ)-инвариантность подпространства Q (B). Но f0 (g0) = Q (f0), и T (Λ) f0 (g0) порождает kn как линейное пространство. Поэтому Q (B) = kn . С другой стороны, из равенств (2) и (3) следует, что T ′ (l)Q (b) = T (l)Q (b) при всех l ∈ Λ, b ∈ B. Значит, T ′ — искомое продолжение представления T . 4.7. Предложение. Пусть подгруппа Λ плотна в G и существует Λ-эквивариантное T (Λ)-эффективное измеримое отображение

264

Глава VII. Жесткость

f : G → kn . Тогда T продолжается до непрерывного представления группы G в kn . Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как подгруппа Λ плотна в G, по предложению I.4.5.1 ее действие левыми сдвигами на G эргодично. Иначе говоря, пара (Λ, {e}) эргодична. Тогда в силу предложения 4.2 линейное подпространство, натянутое на rT (G) b (f), конечномерно. Пусть M g — линейное подпространство в kn , натянутое на T (Λ) f (g). Из Λ-эквивариантности отображения f вытекает, что Ml g = M g для всех l ∈ Λ и почти всех g ∈ G. Так как при этом пара (Λ, {e}) эргодична, существует такое линейное подпространство M ⊂ kn , что M = M g почти для всех g ∈ G. Остается заметить, что подгруппа Λ строго k-плотна в G (поскольку это верно для Λ), и применить предложение 4.6. 4.8. Предложение. Пусть подгруппа Λ сильно k-плотна в G и существуют i ∈ N+ , замкнутые подгруппы H1 , . . . , Hi в G и Λ-эквивариантное строго T (Λ)-эффективное измеримое отображение f : G → kn , которые обладают следующими свойствами: (а) H j+1 ⊂ ZG (H j) для j = 1, . . . , i − 1; (б) ZG (Hi) · . . . · ZG (H1) = G; (в) пара (Λ, H j) эргодична при j = 1, . . . , i; (г) f (gh) = f (g) почти для всех g ∈ G и для всех h ∈ H1 . Тогда T продолжается до непрерывного представления группы G в kn . Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть L j , 1 6 j 6 i, — линейное подпространство, натянутое на rT (ZG (H j) · . . . · ZG (H1)) b (f).

Покажем индукцией по j, что

dim L j < ∞.

(1)

Так как rT (H1) b (f) = b (f) (см. свойство (г)) и пара (Λ, H1) эргодична, в случае j = 1 неравенство (1) следует из предложения 4.2. Так как ZG (H j) — подгруппа, подпространство L j является ZG (H j)-инвариантным и потому инвариантно относительно H j+1 ⊂ ZG (H j). Но пара (Λ, H j+1) эргодична, и, так как подпространство L j конечномерно, ввиду предложения 4.2 подпространство L j+1 также конечномерно. Тем самым доказано неравенство (1). С учетом свойства (б) теперь получаем, что линейная оболочка множества rT (G) b (f) конечномерна. Как и в доказательстве предложения 4.7, линейное подпространство, натянутое на T (Λ) f (g), g ∈ G, будет обозначаться M g . Из свойства (г) и Λ-эквивариантности отображения f вытекает, что Ml gh = M g для всех l ∈ Λ, h ∈ H1 и почти всех g ∈ G. Но пара (Λ, H1) эргодична. Поэтому существует такое линейное подпространство M ⊂ kn ,

§ 5. Сверхжесткость

265

что M = M g почти для всех g ∈ G. Остается вспомнить, что пространство B конечномерно, и применить предложение 4.6.

§ 5. Сверхжесткость (непрерывные продолжения гомоморфизмов дискретных подгрупп на алгебраические группы над локальными полями) Пусть дано непустое конечное множество A и для каждого a ∈ A — локальное поле ka и связная нетривиальная полупростая ka -группа Q Ga без ka -анизотропных множителей. Локально компактная группа Ga (ka) a∈A

будет обозначаться G. Выберем при каждом Q a ∈ A максимальный ka -расщепимый тор Sa в Ga и положим S = Sa (ka) ⊂ G. Пусть rank G = a∈A P rankka Ga обозначает ранг группы G. Как и в § 3 гл. II, положим G + = = aQ ∈A = Ga (ka) + и обозначим через pra естественную проекцию G → Ga (ka). a∈A

Пусть Γ — решетка в группе G, а Λ — подгруппа в CommG (Γ), содержащая Γ (подгруппа Λ счетна, поскольку группа CommG (Γ) счетна, см. ниже п. 6.3). Если замкнутая подгруппа G ′ ⊂ G содержит Γ, то Γ \ G ′ будет рассматриваться как правое G ′ -пространство. Как и выше, мы говорим, что подгруппа H ⊂ G ′ действует эргодически на Γ \ G ′ , если выполнено следующее условие: если YH = Y для некоторого mG ′ -измеримого подмножества Y ⊂ Γ \ G ′ , то либо mG ′ = 0, либо mG ′ ((Γ \ G ′) − Y) = 0. 5.1. Лемма. (а) Пусть p : F → F ′ и q : F → F ′ — гомоморфизмы групп. При x ∈ F определим w (x) ∈ F ′ посредством равенства p (x) = = w (x) · q (x). Тогда отображение w : F → F ′ является гомоморфизмом, если и только если w (F) коммутирует с q (F). (б) Пусть F — группа; H — алгебраическая группа; f и f ′ — гомоморфизмы группы F в H; B — подгруппа в F , причем CommF (B) = F ; D — замыкание по Зарисскому подгруппы f (F) в H. Предположим, что группа D связна, ограничения гомоморфизмов f и f ′ на B совпадают и подгруппа f (B) = f ′ (B) плотна по Зарисскому в D. Тогда существует такой гомоморфизм n : F → ZH (D), что f ′ (x) = n (x) f (x) для всех x ∈ F . Д о к а з а т е л ь с т в о. (а) Так как w (x1 x2)q (x1 x2) = p (x1 x2) = p (x1) p (x2) = w (x1)q (x1) w (x2)q (x2), w (x1) w (x2)q (x1 x2) = w (x1) w (x2)q (x1)q (x2),

отображение w является гомоморфизмом в том и только том случае, когда q (x1) коммутирует с w (x2) при всех x1 , x2 ∈ F .

266

Глава VII. Жесткость

(б) При x ∈ F определим n (x) ∈ H посредством равенства f ′ (x) = def = n (x) f (x). Пусть x ∈ F и y ∈ Bx = B ∩ (x −1 Bx). Тогда f ′ (x) f (y) f ′ (x) −1 = f ′ (xyx −1) = f (xyx −1) = f (x) f (y) f (x) −1 . Следовательно, n (x) коммутирует с f (Bx). С другой стороны, так как подгруппа f (B) плотна по Зарисскому в D, подгруппа Bx имеет конечный индекс в B (поскольку F = CommF (B)), а группа D связна и поэтому не содержит алгебраических подгрупп конечного индекса, то подгруппа f (Bx) плотна по Зарисскому в D. Как следствие, n (F) ⊂ ZH (D). Остается применить утверждение (а). 5.2. Пусть ϑ — гомоморфизм поля K в поле K ′ , а M — некоторое K -многообразие. Напомним, что ϑ M обозначает K ′ -многообразие, которое получается из M в результате применения ϑ, а ϑ0 : M(K) → ϑ M(K ′) — индуцированное отображение (см. п. I.1.7). Если M является K -группой, то ϑ0 — гомоморфизм групп. Напомним, что определение специального эпиморфизма полупростых алгебраических групп дано в п. I.1.4.14. 5.3. Предложение. Пусть G ′ — замкнутая подгруппа в G, содержащая G + ; k — локальное поле; H — связная абсолютно почти простая k-группа; f : G ′ → H(k) — непрерывный гомоморфизм, причем подгруппа f (G ′) плотна по Зарисскому в H. Предположим, что либо группа H — присоединенная, либо при каждом a ∈ A группа Ga односвязна. Тогда (а) существуют (однозначно определенные) a ∈ A, непрерывный гомоморфизм ϑ: ka → k и специальный k-эпиморфизм h : ϑ Ga → H, такие что f (g) = h (ϑ0 (pra (g))) при всех g ∈ G; (б) гомоморфизм f однозначно продолжается до непрерывного гомоморфизма f˜ : G → H(k). Д о к а з а т е л ь с т в о. (а) Разложим группу Ga в почти прямое произведение почти ka -простых ka -групп G j , где j пробегает конечное множе+ ство Ja . При j ∈ Ja положим G + и обозначим через H j замыкание j = G j (ka) + по Зарисскому подгруппы f (G j ) в H. Так как подгруппа G + j нормальна в G, а подгруппа f (G ′) плотна по Зарисскому в H, то подгруппа H j нормальна в связной почти простой группе H, и потому либо H j = H, либо H j ⊂ Z (H). + С другой стороны, так как D (G + j ) = G j , мы имеем D (H j) = H j (см. теорему I.1.5.6 (ii)). Значит,Sлибо H j = H, либо H j = {e}. + Положим J = Ja . Если j1 , j2 ∈ J, j1 6= j2 , то подгруппы G + j1 и G j2 a∈A

коммутируют. Как следствие, H j1 и H j2 коммутируют. Так как группа H некоммутативна, существует такое j0 ∈ J, что H j 6= H и, значит, H j = {e} при всех j ∈ J − {j0 }. Предположим, что H j0 6= H. Тогда H j0 = {e} и, следо-

§ 5. Сверхжесткость

267

вательно, f (G + j ) ⊂ H j = {e} при всех j ∈ J. Но по предложению I.1.5.4 (iv) группа Ga (ka) + является почти прямым произведением подгрупп G + j , j ∈ J. Значит, f (G +) = {e}. С другой стороны, так как при каждом a ∈ A факторгруппа Ga (ka) /Ga (ka) + коммутативна, это верно и для факторгруппы G /G + (см. теорему I.2.3.1 (в)). Значит, подгруппа f (G ′) коммутативна. Получили противоречие, так как группа H некоммутативна, а подгруппа f (G ′) плотна по Зарисскому в H. Таким образом, мы доказали, что H j0 = H. Пусть a ∈ A и j0 ∈ Ja . Тогда по теореме I.1.8.1 и замечанию I.1.8.2 (III) существуют однозначно определенный непрерывный гомоморфизм ϑ : ka → k, специальный k-эпиморфизм h : ϑ Ga → H и гомоморфизм m : Ga (ka) + → Z (H(k)), такие что f (g) = m (g) h (ϑ0 (pra (g))) для каждого g ∈ G + . Так как группа Z (H(k)) ⊂ Z (H) конечна и Ga (ka) + не содержит собственных подгрупп конечного индекса (см. следствие I.1.5.7), то гомоморфизм m тривиален, т. е. f (g) = h (ϑ0 (pra (g))) для всех g ∈ G + . Положив f˜ (g) = h (ϑ0 (pra (g))), g ∈ G ′ , мы получим гомоморфизм f˜ : G ′ → H(k). Так как H j0 = H, подгруппа f (G +) плотна по Зарисскому в H. С другой стороны, гомоморфизмы f и f˜ совпадают на G + , и подгруппа G + нормальна в G ′ . Поэтому существует такой гомоморфизм n : G ′ → Z (H), что f˜ (g) = n (g) f (g) для каждого g ∈ G (см. лемму 5.1(b)). Осталось показать, что гомоморфизм n тривиален. Если H — присоединенная группа, то Z (H) = {e}. Поэтому можно считать, что группы Ga односвязны. Тогда из теоремы I.2.3.1 (а′) и следствия I.2.3.2 (б) вытекает, что G = G + и G не содержит собственных подгрупп конечного индекса. Так как при этом подгруппа Z (H) конечна, гомоморфизм n тривиален, что и доказывает утверждение (а). Утверждение (б) следует из утверждения (а). 5.4. Теорема. Пусть k — локальное поле, H — связная присоединенная k-простая k-группа, t : Λ → H(k) — гомоморфизм. Предположим, что выполнены следующие условия: (i) замыкание подгруппы Λ содержит G + ; (ii) подгруппа t (Γ) плотна по Зарисскому в H, но не является относительно компактной в H(k) (в топологии, которая отвечает топологии поля k). Тогда (а) если группа H абсолютно проста, то существуют (однозначно определенные) a ∈ A, непрерывный гомоморфизм ϑ : ka → k и специальный k-эпиморфизм h : ϑ Ga → H, такие что t (l) = h (ϑ0 (pra (l))) для всех l ∈ Λ; (б) t однозначно продолжается до непрерывного гомоморфизма t˜ : G → H(k). Д о к а з а т е л ь с т в о. Группу H можно представить в виде H = Rk′ /k H′ , где H′ — абсолютно простая присоединенная k′ -группа, Rk0′ /k : H′ (k′) →

268

Глава VII. Жесткость

→ H(k) — изоморфизм топологических групп. Поэтому, заменив H на H′ и t на (Rk0′ /k) −1 ◦ t, можно считать, что группа H абсолютно проста. По теореме VI.4.7(b) существуют m ∈ N+ , точное k-рациональное m-мерное представление r группы H и строго H-эффективное измеримое отображение f : G → km , такие что при всех l ∈ Λ выполняется условие f (l gz) = r (t (l)) f (g)

(1)

почти для всех (относительно mG) g ∈ G и для всех z ∈ ZG (S). Как и в § 4, превратим G в (Λ × G)-пространство, положив x (l, g) = = l−1 x g, l ∈ Λ, x, g ∈ G, и рассмотрим коцикл s : G × (Λ × G) → GL(km), заданный равенством s (x, (l, g)) = r (t (l−1)), l ∈ Λ, g ∈ G. Применив лемму 2.2 (б) к коциклу s, можно переопределить f на множестве меры нуль таким образом, что равенство (1) будет выполняться для всех l ∈ Λ, g ∈ G и z ∈ ZG (S) (причем f останется H-эффективным). Обозначим через G ′ замыкание подгруппы Λ в G. В силу условия (ii) ′ G ⊃ G + . С другой стороны, так как Ga (ka) = Ga (ka) + · ZGa (ka) (Sa (ka)) при всех a ∈ A (см. предложение I.1.5.4 (vi)), мы имеем G = G + · ZG (S). Следовательно, G = G ′ · ZG (S). Обозначим через f′ ограничение отображения f на G ′ . Так как G = G ′ · ZG (S), отображение f измеримо и строго H-эффективно и f (gz) = f (g) при всех g ∈ G, z ∈ ZG (S), то с учетом следствия I.4.4.3 мы заключаем, что отображение f′ измеримо и строго H-эффективно. Положим T = r ◦ t. Так как f строго H-эффективно и подгруппа t (Λ) плотна по Зарисскому в H, отображение f′ строго T (Λ)-эффективно в смысле п. 4.5. С другой стороны, так как f (l g) = r (t (l)) f (g) для всех l ∈ Λ, g ∈ G, отображение f′ является Λ-эквивариантным. Тогда в силу предложения 4.7 представление T продолжается до непрерывного представления T˜ группы G ′ в km . Так как Ker r = {e}, по следствию I.2.1.3 (i) подгруппа r (H(k)) замкнута в GL(km) и гомоморфизм r : H(k) → r (H(k)) является изоморфизмом топологических групп. Заметим, что T˜ (G ′) ⊂ r (H(k)), поскольку подгруппа Λ плотна в G ′ . Теперь положим t′ = r−1 ◦ T˜ . Гомоморфизм t′ : G ′ → H(k) является непрерывным продолжением гомоморфизма t, причем такое продолжение единственно, поскольку подгруппа Λ плотна в G ′ . Поэтому утверждение (б) теоремы вытекает из предложения 5.3 (б). Теперь остается применить предложение 5.3 (a). 5.5. Лемма. Пусть G ′ — замыкание подгруппы Γ · G + . Предположим, что при каждом a ∈ A группа Ga почти ka -проста и ka -изотропна. Пусть при этом rank G > 2 и решетка Γ неприводима (в смысле определения II.6.5). Тогда существуют такое i ∈ N+ и такие циклические подгруппы S1 , . . . , Si в S ∩ G + , что (а) ZG ′ (Si) · . . . · ZG ′ (S1) = G ′ ;

§ 5. Сверхжесткость

269

(б) подгруппа S j действует эргодически на Γ \ G ′ при j = 1, . . . , i. Д о к а з а т е л ь с т в о. Как и в § 3 гл. II, для каждого s ∈ S положим A(s) = {a ∈ A | |b (pra (s))|a 6= 1 хотя бы для одного b ∈ Φ(Sa , Ga)}, где | |a — абсолютное значение в поле ka . Далее, положим S ′ = {s ∈ S | A(s) 6= ∅}. Так как по теореме II.7.2 (б) любой элемент s ∈ S ′ ∩ G + действует эргодически на Γ \ G ′ , достаточно найти такие s1 , . . . , si ∈ S ′ ∩ G + , что ZG ′ (si) · . . . · ZG ′ (s1) = G ′ .

Пусть G˜ a — односвязная накрывающая группы Ga ; pa : G˜ a → Ga — центральная ka -изогения; S˜ a — максимальный ka -расщепимый тор в G˜ a , для которого pa (S˜ a) = Sa . Положим Y Y G˜ = G˜ a (ka), S˜ = S˜ a (ka), a∈A

a∈A

и пусть p : G˜ → G — непрерывный гомоморфизм, индуцированный изогени˜ Предположим, ями pa . По аналогии с подгруппой S ′ ⊂ G определим S˜ ′ ⊂ G. ′ ˜ что мы нашли такие s˜ 1 , . . . , s˜ i ∈ S , что ˜ ZG˜ (s˜ i) · . . . · ZG˜ (s˜ 1) = G.

Так как G˜ a (ka) + = G˜ a (ka) и pa (G˜ a (ka) +) = Ga (ka) + (см. теорему I.2.3.1 (а) ˜ = G+ и и предложение I.1.5.5), мы получаем p (G) ZG + (p (s˜ i)) · . . . · ZG + (p (s˜ 1)) = G + . С другой стороны, так как G = G + · ZG (S) и G ′ ⊃ G + (см. доказательство теоремы 5.4), мы имеем G ′ = ZG ′ (S ∩ G ′) · G + , откуда следует, что G ′ = ZG ′ (p (s˜ i)) · G + . Следовательно, ZG ′ (p (s˜ i)) · . . . · ZG ′ (p (s˜ 1)) ⊃ ⊃ ZG ′ (p (s˜ i)) · ZG + (p (s˜ i)) · . . . · ZG + (p (s˜ 1)) = ZG ′ (p (s˜ i)) · G + = G ′ . Но так как при всех a ∈ A и s ∈ S˜ a собственные значения преобразований Ad s и Ad pa (s) совпадают (поскольку изогения pa центральна), то p (S˜ ′) ⊂ S ′ . Заменив теперь G˜ a на Ga , мы видим, что достаточно найти такие s1 , . . . , si ∈ S ′ , для которых выполняется равенство ZG (si) · . . . · ZG (s1) = G. Рассмотрим два случая:

270

Глава VII. Жесткость

(i) card A > 2; (ii) card A = 1. (i) Так как группа Ga изотропна над ka , то по предложению I.2.4.1 множество Sa (ka) ∩ S ′ непусто при всех a ∈ A. Пусть sa ∈ Sa (ka) ∩ S ′ . Тогда Y Ga′ (ka′) ⊂ ZG (sa), a′ ∈A−{a}

и, так как card A > 2, элементы sa , a ∈ A, — искомые. (ii) Пусть A = {a}. Так как rankka Ga = rank G > 2, то по предложению I.1.2.2 существуют i ∈ N+ и одномерные подторы S1 , . . . , Si ⊂ Sa , такие что ZG (Si (ka)) · . . . · ZG (S1 (ka)) = G.

(1)

Поскольку dim S j > 0, ввиду предложения I.2.4.1 множество S j (ka) ∩ S ′ непусто для j = 1, . . . , i. Пусть s j ∈ S j (ka) ∩ S ′ . Ввиду равенства (1) элементы s j , 1 6 j 6 i, — искомые. 5.6. Теорема. Пусть k — локальное поле, H — связная присоединенная k-простая k-группа, t : Λ → H(k) — гомоморфизм. Предположим, что выполнены следующие условия: (i) rank G > 2; (ii) решетка Γ неприводима (в смысле п. III.5.9); (iii) подгруппа t (Γ) плотна по Зарисскому в H и не является относительно компактной в H(k). Тогда (а) если группа H абсолютно проста, то существуют (однозначно определенные) a ∈ A, непрерывный гомоморфизм ϑ : ka → k и специальный k-эпиморфизм h : ϑ Ga → H, такие что t (l) = h (ϑ0 (pra (l))) для всех l ∈ Λ; (б) t однозначно продолжается до непрерывного гомоморфизма t˜ : G → H(k). Д о к а з а т е л ь с т в о. Как и в доказательстве теоремы 5.4, можно считать группу H абсолютно простой. Если t1 , t2 — непрерывные гомоморфизмы группы G в H(k) и t1 (g) = t2 (g) при всех g ∈ Γ, то по лемме II.2.3 и предложению II.4.6 мы имеем t1 (g) = t2 (g) при всех g ∈ G + . Поэтому с учетом предложения 5.3 достаточно доказать, что t продолжается до непрерывного гомоморфизма t˜ : G → H(k). ′ Пусть G′a — присоединенная группа группы Ga , а pa : GQ a → Ga — ′′ ′ соответствующая центральная ka -изогения. Положим G = Ga (ka). a∈A

Изогении pa индуцируют непрерывный гомоморфизм p : G → G ′′ . Как и при доказательстве теоремы B п. III.5.9 (см. п. III.6.9), заметим, что p (Γ) — неприводимая решетка в G ′′ и rankka Ga′ = rankka Ga . Так как группа H абсолютно проста и подгруппа t (Λ) плотна по Зарисскому в H, то

§ 5. Сверхжесткость

271

Λ ∩ Ker p ⊂ Λ ∩ Z (G) ⊂ Ker t. Как отмечено в п. I.1.4.14, композиция специального эпиморфизма и центральной изогении является специальным эпиморфизмом. Поэтому, заменив Ga на G′a , Γ на p (Γ), Λ на p (Λ) и t на t ◦ p −1 , можно считать группу Ga присоединенной. Тогда она распадается в прямое произведение почти ka -простых групп. Поэтому можно считать, что группы Ga являются ka -простыми. Обозначим через G ′ замыкание подгруппы Γ · G + в G. Используя теорему VI.4.7 (б) и рассуждая как в доказательстве теоремы 5.4, можно показать, что существуют m ∈ N+ , точное k-рациональное m-мерное представление r группы H и измеримое Λ-эквивариантное отображение f′ : G ′ → km , такие что f′ строго T (Λ)-эффективно в смысле п. 4.5, где T = r ◦ t, и f′ (gz) = f′ (g) при всех g ∈ G ′ и z ∈ G ′ ∩ ZG (S). По лемме 5.5 существуют подгруппы S1 , . . . , Si в группе S ∩ G + ⊂ S ∩ G ′ , для которых выполняются следующие условия: 1) ZG ′ (Si) · . . . · ZG ′ (S1) = G ′ , 2) S j действует эргодически на Γ \ G ′ , и поэтому пара (Λ, S j) эргодична (в смысле § 4) при j = 1, . . . , i. Из леммы II.2.3 и теоремы II.4.2(a) вытекает, что подгруппа Γ сильно k-плотна в G ′ (в смысле п. 4.4). Заметив, что S j+1 ⊂ ZG ′ (S j), и применив предложение 4.8, мы получаем, что представление T = r ◦ t продолжается до непрерывного представления T˜ группы G ′ в km . В силу леммы II.2.3 и предложения II.4.3 замыкание по Зарисскому подгруппы T (Γ) содержит T˜ (G +). Но T (Γ) содержится в алгебраичской подгруппе r (H) группы GLm . Поэтому T˜ (G ′) ⊂ r (H) (k). Так как Ker r = {e}, корректно определен гомоморфизм t′ = r−1 ◦ T˜ группы G ′ в H. Так как T˜ продолжает T = r ◦ t, гомоморфизм t′ продолжает t. Далее, так как Ker r = {e}, по следствию I.2.1.3 мы имеем r−1 (r (H) (k)) ⊂ H(l), где l — конечное расширение поля k, а гомоморфизм r−1 : r (H) (k) → r−1 (r (H) (k)) — изоморфизм топологических групп. Следовательно, t′ является непрерывным гомоморфизмом группы G ′ в H(l). Тогда ввиду леммы II.2.3 и предложения II.4.7 мы получаем, что t′ (G ′) ⊂ H(k). В силу предложения 5.3 (б) можно продолжить t′ до непрерывного гомоморфизма t˜ : G → H(k), который служит искомым продолжением для t. 5.7. Теорема. Пусть B — множество всех простых чисел с добавлением бесконечности, A′ — его конечное подмножество, G′p для каждого p ∈ A′ — связная нетривиальная полупростая Q p -групQ ′ па без Q p -анизотропных множителей. Положим G ′ = G p (Q p), и p∈A′

пусть pr p : G → G (Q p) — естественная проекция. Далее, пусть Γ′ — решетка в G ′ ; Λ′ — счетная подгруппа в CommG ′ (Γ′), содержащая Γ′ ; k — локальное поле; H — связная присоединенная k-простая k-груп′

′ p

272

Глава VII. Жесткость

па; t : Λ′ → H(k) — гомоморфизм, причем подгруппа t (Γ′) плотна по def P Зарисскому в H. Предположим, что либо rank G ′ = rankQ p G′p > 2 и p∈A′

′

решетка либо замыкание подгруппы Λ′ в G ′ содерQ Γ′ неприводима, + жит G p (Q p) . p∈A′

(а) Если k не изоморфно конечному расширению поля Q p ни для какого p ∈ A′ , то подгруппа t (Γ′) относительно компактна в H(k). (б) Если подгруппа t (Γ′) не является относительно компактной в H(k) и k — конечное расширение поля Q p для некоторого p ∈ A′ , то существует единственный k-эпиморфизм h : G p → H , такой что t (l) = h (pr p (l)) при всех l ∈ Λ. (в) Если подгруппа t (Γ′) не является относительно компактной в H(k), то t однозначно продолжается до непрерывного гомоморфизма t˜ : G ′ → H(k). Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как группу H можно представить в виде H = Rk′ /k H′ , где H′ — абсолютно простая присоединенная k-группа, то благодаря свойству универсальности можно ограничиться случаем, когда группа H абсолютно проста (см. п. I.1.7). Теперь достаточно использовать теоремы 5.4 и 5.6 и заметить, что справедливы следующие утверждения: (А) если p ∈ B и k не является конечным расширением поля Q p , то не существует непрерывных гомоморфизмов поля Q p в k; (Б) если p ∈ B и k является конечным расширением поля Q p , то не существует непрерывных гомоморфизмов поля Q p в k, отличных от тождественного. 5.8. Если char ka = 0 при всех a ∈ A, то теорема 5.7 превращается в переформулировку теорем 5.4 и 5.6. Это легко показать, применив функтор ограничения скаляров и классификацию локальных полей. Следующее утверждение является частным случаем теоремы 5.7. 5.9. Теорема. Пусть G — связная полупростая R-группа без R-анизотропных почти R-простых множителей; Γ′ — решетка в G(R); Λ′ — счетная подгруппа в CommG(R) (Γ′), содержащая Γ′ ; k — локальное поле; H — связная присоединенная k-простая k-группа; t : Λ′ → H(k) — гомоморфизм, причем подгруппа t (Γ′) плотна по Зарисскому в H. Предположим, что либо rankR (G) > 2 и решетка Γ′ неприводима, либо замыкание подгруппы Λ′ в G(R) содержит компоненту единицы группы Ли G(R). (а) Если поле k не равно R или C, т. е. неархимедово, то подгруппа t (Γ′) относительно компактна в H(k). (б) Если k равно R или C и подгруппа t (Γ′) не является относительно компактной в H(k), то t однозначно продолжает-

§ 5. Сверхжесткость

273

ся до k-эпиморфизма h : G → H и до непрерывного гомоморфизма t˜ : G(R) → H(k). 5.10. В формулировках теорем 5.4 и 5.6 и утверждениях (б) и (а) теоремы 5.7, а также в теореме 5.9 (б), условие «подгруппа t (Γ′) (соответственно t (Γ′)) не является относительно компактной в H(k)» существенно. Покажем это на следующем примере. Пусть d 6= 1 это натуральное число, свободное от квадратов; K = √ = Q( d) квадратичное расширение поля Q, полученное присоединением — √ d; L ⊂ K — кольцо Z-целых элементов поля K ; s : K → K √ — единствен√ ный нетривиальный автоморфизм поля K , а именно s (a + b d) = a − b d, a, b ∈ Q. Рассмотрим квадратичную форму √ √ f = x12 + x22 + x32 − dx42 − dx52

и K -группу G = SO(f) унимодулярных линейных преобразований, сохраняющих форму f . Группа G связна и абсолютно почти проста. Так как √ − d < 0, форма f приводится над R к виду x12 + x2 x3 + x4 x5 . Как следствие, rankR G = 2. Положим Γ′ = G(L), Λ′ = G(K) и заметим, что ввиду леммы I.3.1.1 (v) группа Λ′ состоит из Γ′ -рациональных элементов. Применив s к коэффициентам формы f , получаем квадратичную форму s f . Так как √ √ s (− d) = d > 0, форма s f положительно определенна. Но s G = SO(s f), поэтому группа s G(R) компактна. Применив теорему I.3.2.7, мы видим, что Γ′ — решетка в G(R). Положим t = s0 : Γ′ → s G(R). Так как группа Γ′ — решетка в G(R), то по следствию II.4.4 она плотна по Зарисскому в G, и потому подгруппа t (Γ′) = s0 (Γ′) плотна по Зарисскому в s G. Поскольку t (Γ′) 6= {e} и любой непрерывный гомоморфизм связной некомпактной почти простой группы Ли G(R) в компактную группу Ли s G(R) тривиален, гомоморфизм t нельзя продолжить до непрерывного гомоморфизма из G(R) в s G(R). Остается заметить, что подгруппа Λ = G(K) плотна в G(R); этот факт легко следует из слабой теоремы об аппроксимации, а также из того, что группа Ли G(R) связна и почти проста, подгруппа Λ′ недискретна в G(R), а подгруппа Γ′ плотна по Зарисскому в G. 5.11. Пусть k — локальное поле; H — связная некоммутативная почти k-простая k-группа; n — нетривиальный гомоморфизм группы Λ в Z (H) (k); t′ : G → H(k) — непрерывный гомоморфизм, причем подгруппа t′ (G) плотна по Зарисскому в H. Для l ∈ Λ положим t (l) = n (l) · t′ (l). Так как n и t′ — гомоморфизмы и n (Λ) коммутирует с t′ (Λ), по лемме 5.1 (а) отображение t является гомоморфизмом. Предположим, что при каждом a ∈ A группа Ga односвязна. Тогда t нельзя продолжить до непрерывного гомоморфизма группы G в H(k). В самом деле, если t˜ — такое продолжение, то t˜ совпадает с t′ на Ker n. Но так как группа Z (H(k) конечна, подгруппа Ker n имеет конечный индекс в Λ, и потому Γ ∩ Ker n является

274

Глава VII. Жесткость

решеткой в G. В силу леммы II.2.3 и следствия II.4.6 мы имеем t˜ = t′ в противоречии с тем, что гомоморфизм n нетривиален. Отметим, что, так как подгруппа t′ (G) плотна по Зарисскому в H, Γ ∩ Ker n является решеткой в G и t совпадает с t′ на Ker n, то из леммы II.2.3 и предложения II.4.3 вытекает, что подгруппа t (Γ) плотна по Зарисскому в H. Приведем пример описанной ситуации. Пусть F3 — поле вычетов по модулю 3, y : SL3 (Z [1/2]) → SL3 (F3) — гомоморфизм, индуцированный естественным эпиморфизмом Z → F3 , где Z [1/2] обозначает кольцо, полученное присоединением 1/2 к Z. Положим ( ! ) 1 0 x 0 1 0 x ∈ F3 ⊂ SL3 (F3), Γ = p−1 (∆) ∩ SL3 (Z) ∆= 0 0 1

и G = SL3 (R). В качестве Λ можно взять SL3 (Z [1/2]) или Γ. Ввиду теоремы I.3.2.8 (а) подгруппа Γ является решеткой в G. Положим k = C, H = SL3 . Так как группы ∆ и Z (H) изоморфны циклической группе порядка 3, существует нетривиальный гомоморфизм t : Λ → Z (H) (k). В качестве t′ : G → H(k) возьмем тождественный гомоморфизм (t′ (g) = g). Теперь достаточно заметить, что группа SL3 абсолютно почти проста и односвязна. В вышеприведенном примере rank G = 2 и подгруппа Λ = SL3 (Z [1/2]) плотна в G. При этом подгруппа t (Γ) не является относительно компактной в H(k); здесь, как и выше, t (l) = n (l) · t′ (l). Таким образом, в теоремах 5.4, 5.6, 5.7 (б) и (в) и 5.9 (б) условие «H — связная присоединенная k-простая k-группа» нельзя заменить условием «H — связная почти k-проcтая k-группа». Однако ниже мы покажем, что если при каждом a ∈ A группа Ga односвязна и сделана указанная замена в формулировках теорем 5.4 и 5.6, то существуют непрерывный гомоморфизм t˜ : G → H(k) и гомоморфизм n : Λ → Z (H), такие что t (l) = n (l) t˜ (l) для всех l ∈ Λ (см. 5.13). Чтобы доказать это и другие аналогичные утверждения, нам потребуется 5.12. Лемма. Пусть k — локальное поле; p : H → H1 — центральная k-изогения связных полупростых k-групп; f1 : G → H1 (k) — непрерывный гомоморфизм, причем подгруппа f1 (G) плотна по Зарисскому в H1 . Предположим, что при любом a ∈ A группа Ga односвязна. Тогда существует единственный непрерывный гомоморфизм f : G → H(k), такой что f1 = p ◦ f . Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала покажем единственность гомоморфизма f . Пусть f , f ′ ∈ G → H(k) — два гомоморфизма, для которых f1 = p ◦ f = p ◦ f ′ . Положим n (g) = f ′ (g) f (g) −1 . Так как p ◦ f = p ◦ f ′ и Ker p ⊂ Z (H), мы имеем n (G) ⊂ Z (H). По лемме 5.1 (а) отображение n является гомоморфизмом. Так как группа Z (H) конечна и n (G) ⊂ Z (H),

§ 5. Сверхжесткость

275

подгруппа Ker n имеет конечный индекс в G. С другой стороны, по следствию I.2.3.2 (б) группа G не содержит собственных подгрупп конечного индекса. Значит, Ker n = G, и потому f = f ′ . Теперь докажем, что f существует. Сначала рассмотрим случай, когда H — односвязная, а H1 — присоединенная группа. Разложив H и H1 в прямое произведение почти k-простых k-групп (см. предложение I.1.4.10), можно считать H и H1 почти k-простыми группами. Далее, представив их в виде Rk′ /k H′ и Rk′ /k H′1 , где H′ и H′1 абсолютно почти просты (см. п. I.1.7), можно считать H и H1 абсолютно почти простыми. Тогда по предложению 5.3 существуют a ∈ A, непрерывный гомоморфизм ϑ : ka → k и k-эпиморфизм h : ϑ Ga → H1 , такие что f1 (g) = h (ϑ0 (pra (g))) для всех g ∈ G. Так как группа Ga односвязна, по предложению I.1.4.11 (ii) существует k-морфизм h′ : ϑ Ga → H, для которого h = p ◦ h′ . Положив f (g) = h′ (ϑ0 (pra (g)), g ∈ G, получим искомый гомоморфизм. Перейдем к общему случаю. Пусть Ad H1 — присоединенная группа для H1 ; H˜ — односвязная накрывающая группы H1 ; p˜ : H˜ → H — центральная k-изогения. Ввиду предложения I.1.4.7 композиция центральных изогений редуктивных групп является центральной изогенией. С другой стороны, согласно предложению I.1.4.11 (iv) изогения Ad : H1 → Ad H1 центральная. Как следствие, Ad ◦ p ◦ p˜ : H˜ → Ad H1 — центральная изогения. Но мы уже рассмотрели случай, когда H — односвязная, а H1 — присоединенная груп˜ па. Значит, такой существует непрерывный гомоморфизм f˜ : G → H(k), что ˜ Ad ◦ f1 = Ad ◦ p ◦ p˜ ◦ f . Как показано выше, гомоморфизм f единствен, и потому f1 = p ◦ p˜ ◦ f˜ . Таким образом, f = p˜ ◦ f˜ — искомый гомоморфизм. 5.13. Теорема. Пусть k — локальное поле; H — связная полупростая k-группа; t : Λ → H(k) — гомоморфизм. Предположим, что выполнены следующие условия: (i) либо rank G > 2 и решетка Γ неприводима, либо замыкание подгруппы Λ содержит G + ; (ii) подгруппа t (Γ) плотна по Зарисскому в H; (iii) либо подгруппа H присоединенная, либо при любом a ∈ A группа Ga односвязна. Тогда справедливы следующие утверждения. (а) Существуют нормальные k-подгруппы H′ , H′′ ⊂ H, непрерывный гомоморфизм t˜ : G → H′ (k) и гомоморфизм w : Λ → H′′ (k) · Z (H) (k), такие что H — почти прямое произведение подгрупп H′ и H′′ , подгруппа t˜ (G) плотна по Зарисскому в H′ , подгруппа w (Γ) относительно компактна в H(k) и t (l) = w (l) · t˜ (l) при всех l ∈ Λ. (б) Ограничение гомоморфизма t на Γ почти продолжается (в смысле определения V.3.5) до непрерывного гомоморфизма t˜ : G → H(k).

276

Глава VII. Жесткость

(в) Если подгруппа t (Γ) не является относительно компактной в H(k) и группа H почти k-проста, то существуют такие однозначно определенные гомоморфизмы t˜ : G → H(k) и n : Λ → Z (H), что t˜ непрерывен и t (l) = n (l) · t˜ (l) при всех l ∈ Λ. (г) Если подгруппа t (Γ) не является относительно компактной в H(k) и группа H абсолютно почти проста, то существуют (однозначно определенные) a ∈ A, непрерывный гомоморфизм ϑ: ka → k, специальный k-эпиморфизм h : ϑ Ga → H и гомоморфизм n : Λ → Z (H), такие что t (l) = n (l) · h (ϑ0 (pra (l))) при всех l ∈ Λ. ДокQ а з а т е л ь с т в о. (а) Разложим группу H в почти прямое произведение Hi почти k-простых k-групп. Тогда Ad H распадется в прямое i∈J

произведение присоединенных k-простых k-групп Ad Hi . Обозначим через pi естественную проекцию Ad H → Ad Hi . Пусть J ′ = {i ∈ J | подгруппа (pi ◦ Ad ◦t) (Γ) не является Q относительно Q компактной в (Ad Hi) (k)} и J ′′ = J − J ′ . Положим H′ = Hi , H′′ = Hi . Естественную проекцию i∈J ′ i∈J ′′ Q pi группы Ad H на Ad H′ обозначим через p′ . Если i ∈ J ′ , то по теоре-

i∈J ′

мам 5.4 (б) и 5.6 (б) гомоморфизм pi ◦ Ad ◦t продолжается до непрерывного гомоморфизма ti : G → (Ad Hi) (k). Как следствие, гомоморфизм p′ ◦ Ad ◦t продолжается до непрерывного гомоморфизма t′ : G → (Ad H′) (k). Так как подгруппа t (Γ) плотна по Зарисскому в H, подгруппа t′ (G), содержащая (p′ ◦ Ad ◦t) (Γ), плотна по Зарисскому в H′ . Изогения H′ → Ad H′ центральна и в случае, когда H — присоединенная группа, является k-изоморфизмом (см. п. I.1.4). Поэтому существует такой непрерывный гомоморфизм t˜ : G → H′ (k), что t′ = Ad ◦t˜ (см. лемму 5.12). Для l ∈ Λ определим w (l) ∈ H(k) посредством равенства t (l) = w (l) · t˜ (l). Тогда из определений множества J ′ и гомоморфизмов t′ и t˜ вытекает, что (Ad ◦w) (Λ) ⊂ (Ad H′′) (k) и множество (Ad ◦w) (Γ) относительно компактно в (Ad H) (k). Но Ker Ad ⊂ Z (H), и по предложению I.2.3.4 (ii) отображение Ad: H(k) → (Ad H) (k) является собственным. Следовательно, w (Λ) ⊂ H′′ (k) · Z (H) (k), и множество w (Γ) относительно компактно в H(k). Так как множество w (Λ) ⊂ H′′ · Z (H) коммутирует с H′ , в силу леммы 5.1 (а) отображение w является гомоморфизмом. Утверждение (б) является ослабленным вариантом утверждения (а). (в) Ввиду утверждения (а) достаточно доказать единственность гомоморфизмов t˜ и n. Пусть t1 и t2 — непрерывные гомоморфизмы группы G в H(k), а n1 , n2 — гомоморфизмы группы Λ в Z (H) и при этом t (l) = n1 (l) t1 (l) = n2 (l) t2 (l) для всех l ∈ Λ. Положим Λ0 = Ker n1 ∩ Ker n2 . Так как центр группы H конечен, подгруппа Λ0 имеет конечный индекс в Λ, и потому Λ0 ∩ Γ является решеткой в G. Но t1 (l) = t2 (l) при всех l ∈ Λ0 .

§ 5. Сверхжесткость

277

Поэтому t1 (g) = t2 (g) при всех g ∈ G + (см лемму II.2.3 и следствие II.4.6). С учетом предложения 5.3 (б) получаем, что t1 = t2 , откуда n1 = n2 . Утверждение (г) вытекает из утверждения (в) и предложения 5.3 (a). Замечание. Используя единственность гомоморфизмов t˜ и n в утверждении (в) и лемму 5.18 (см. ниже), нетрудно показать, что H′ , H′′ , t˜ и w в утверждении (а) однозначно определены. 5.14. Теорема. Пусть B, A′ , G′p , G ′ , pr p , Γ′ и Λ′ таковы, как в формулировке теоремы 5.7; H — связная некоммутативная почти k-простая k-группа; t : Λ′ → H(k) — гомоморфизм, причем подгруппа t (Γ′) плотна по Зарисскому в H. Предположим, что либо def P rank G = rankQ p G′p > 2 и решетка Γ′ неприводима, либо замыкаp∈A′ Q ′ ние подгруппы Λ′ в G ′ содержит G p (Q p) + . Предположим также, p∈A′

что либо группа H присоединенная, либо при любом p ∈ A′ группа G′p односвязна. (а) Если k не изоморфно конечному расширению поля Q p ни при каком p ∈ A′ , то подгруппа t (Γ′) относительно компактна в H(k). (б) Если подгруппа t (Γ′) не является относительно компактной в H(k) и k — конечное расширение поля Q p для некоторого p ∈ A′ , то существуют такие (однозначно определенные) k-эпиморфизм h : G′p → H и гомоморфизм n : Λ′ → Z (H), что t (l) = n (l) · h (pr p (l)) при всех l ∈ Λ. (в) Если подгруппа t (Γ′) не является относительно компактной в H(k), то существуют такие (однозначно определенные) непрерывный гомоморфизм t˜ : G ′ → H(k) и гомоморфизм n : Λ′ → Z (H), что t (l) = n (l) · t˜ (l) при всех l ∈ Λ′ . Эта теорема выводится из утверждений (в) и (г) теоремы 5.13 таким же образом, как теорема 5.7 была выведена из теорем 5.4 и 5.6. Частным случаем теоремы 5.14 является 5.15. Теорема. Пусть G, Γ′ , Λ′ и k′ таковы, как в теореме 5.9; H — связная некоммутативная почти k-простая k-группа; t : Λ′ → → H(k) — гомоморфизм, причем подгруппа t (Γ′) плотна по Зарисскому в H. Предположим, что либо rankR G > 2 и решетка Γ′ неприводима, либо замыкание подгруппы Λ′ в G(R) содержит компоненту единицы группы Ли G(R). Предположим также, что либо H — присоединенная, либо G — односвязная группа. (а) Если поле k не равно R или C, т. е. вполне несвязно, то подгруппа t (Γ′) относительно компактна в H(k). (б) Если k совпадает с R или C и подгруппа t (Γ′) не является относительно компактной в H(k), то существуют такие (однозначно

278

Глава VII. Жесткость

определенные) k-эпиморфизм h : G → H и гомоморфизм n : Λ′ → Z (H), что t (l) = n (l) · h (l) при всех l ∈ Λ′ . (в) Если k равно R или C и подгруппа t (Γ′) не является относительно компактной в H(k), то существуют такие (однозначно определенные) непрерывный гомоморфизм t˜ : G(R) → H(k) и гомоморфизм n : Λ′ → Z (H), что t (l) = n (l) · t˜ (l) для всех l ∈ Λ′ . 5.16. Пусть k — локальное поле, H — связная полупростая k-группа. Представим группу Ad H в виде Y Ad H = Rki /k Hi , 16i6n

где ki — сепарабельное конечное расширение поля k, а Hi — абсолютно простая присоединенная ki -группа (см. пп. I.1.4 и I.1.7). Обозначим через pi естественную проекцию Ad H → Rki /k Hi и отождествим (Rki /k Hi) (k) и H(ki) посредством Rk0i /k . Так как отображение Ad : H(k) → (Ad H) (k) собственное (см. предложения I.1.4.11 (iv) и I.2.3.4 (ii)), то множество X ⊂ H(k) относительно компактно в том и только том случае, когда множество pi (Ad X) относительно компактно в Hi (ki) при i = 1, . . . , n. Используя теоремы 5.4 и 5.6, получаем Следствие. Пусть k — локальное поле; H — связная полупростая k-группа; t : Λ → H(k) — гомоморфизм, причем подгруппа t (Γ) плотна по Зарисскому в H(k). Предположим, что либо замыкание подгруппы Λ содержит G + , либо rank G > 2 и решетка Γ неприводима. Предположим также, что при любом a ∈ A поля ka и k имеют различный тип в смысле п. I.0.31 (т. е. не существует непрерывных гомоморфизмов поля ka в конечные расширения поля k). Тогда подгруппа t (Γ) относительно компактна в H(k). Таким образом, утверждение (а) теоремы 5.14 (соответственно утверждение (а) теоремы 5.15) остается справедливым, если в формулировке теоремы опустить условие «либо группа H присоединенная, либо при любом p ∈ A′ группа G′p односвязная» (соответственно «либо группа H присоединенная, либо группа G односвязная»), а условие «H — связная некоммутативная почти k-простая k-группа» заменить условием «H — полупростая k-группа». 5.17. Пусть k — локальное поле, t — гомоморфизм группы Λ в множество k-рациональных точек k-группы. В этом параграфе мы до сих пор ограничивались случаем, когда замыкание по Зарисскому подгруппы t (Λ) полупросто. Теперь рассмотрим случай, когда k-группа T (Λ) обладает свойством (L) (определение свойства (L) см. в п. V.4.8). Соответствующая теорема будет сформулирована и доказана в п. 5.19. В качестве следствия из нее мы получим некоторые результаты об одномерных когомологиях

§ 5. Сверхжесткость

279

группы Γ. В § 6 теорема 5.19 используется в доказательстве того, что при некоторых ограничениях на G, Λ и Γ замыкание по Зарисскому подгруппы r (Λ) полупросто для любого гомоморфизма r группы Λ в алгебраическую группу над полем характеристики 0. При доказательстве теоремы 5.19 потребуется следующая 5.18. Лемма. Пусть k — локальное поле, H — алгебраическая k-группа, f : G → H(k) — непрерывный гомоморфизм. (i) Если f (G +) 6= {e}, то группа f (G) не является относительно компактной в H(k). При этом существует s ∈ S, для которого элемент f (s) существенно некомпактен (в смысле определения V.4.6). (ii) Если f (G) 6= {e} и при любом a ∈ A группа Ga односвязна, то существует такое s ∈ S, что его действие на Γ \ G эргодично и элемент f (s) существенно некомпактен. Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся обозначениями, введенными в п. II.3.0. В частности, пусть D∅ = {s ∈ S | |b (pra (s))|a < 1 при всех a ∈ A, b ∈ ∆}. Как отмечено в п. II.3.0, D∅ 6= ∅. Пусть s ∈ D∅ . Согласно лемме II.3.1 (а), автоморфизмы Int s|V∅ и Int s −1 |V − стягивающие. Отсюда и из непрерыв∅ ности гомоморфизма f получаем, что для каждого v ∈ V∅ ∪ V∅− замыкание множества {f (s) i f (v) f (s) −i | i ∈ Z} содержит e. Ввиду леммы II.1.4 справедливо хотя бы одно из двух следующих утверждений: (а) хотя бы одно из собственных значений преобразования f (s) отлично от 1 по абсолютной величине, и поэтому элемент f (s) существенно некомпактен; (б) f (V∅ ∪ V∅−) = {e}. Согласно предложению I.1.5.4 (iii), при каждом a ∈ A подгруппы V∅ (ka) − + + и V− ∅ (ka) порождают Ga (ka) . Поэтому если f (G ) 6= {e}, то f (V∅ ∪ V∅ ) 6= 6= {e} и выполнено утверждение (а). Чтобы завершить доказательство леммы, осталось заметить, что если при каждом a ∈ A группа Ga односвязна, то G = G + (см. теорему I.2.3.1 (а)) и любой элемент из D∅ действует эргодически на Γ \ G (см. следствие II.7.3 (а) и предложение I.1.4.10). 5.19. В этом пункте мы пользуемся обозначениями, введенными в п. V.4.8. В частности, k обозначает локальное поле; F — связную k-группу со свойством (L); H = F/Ru (F); F = Lie(F); R = Lie(Ru (F)); H = Lie(H) = F/R; H (s) — множество полупростых элементов в H; s : F → H — естественный эпиморфизм; ZH (R) = Ker adR ⊂ H, где adR — представление алгебры Ли H в пространстве R, определенное в п. V.4.5. Нам также потребуется понятие Γ-интегрируемого представления, введенное в п. V.3.0. Теорема. Пусть t : Λ → F(k) — гомоморфизм, образ которого плотен по Зарисскому в F, и выполнены следующие условия: (i) при каждом a ∈ A группа Ga односвязна;

280

Глава VII. Жесткость

(ii) либо rank G > 2 и решетка Γ неприводима, либо подгруппа Λ плотна в G; (iii) ограничение гомоморфизма s ◦ t : Λ → H(k) на Γ почти продолжается (в смысле определения V.3.5) до нетривиального непрерывного гомоморфизма r : G → H(k); (iv) представление Ad ◦t : Λ → GL(Fk) является Γ-интегрируемым; (v) H (s) ∩ ZH (R) = {0}. Тогда t однозначно продолжается до непрерывного гомоморфизма t˜ : G → F(k). Д о к а з а т е л ь с т в о. Ввиду леммы 5.18 (а) существует элемент s ∈ S, действующий эргодически на Γ \ G и такой, что элемент f (s) существенно некомпактен. Используя условия (iii), (iv), (v) и применяя теорему V.4.12, получаем, что пара (s, Ad ◦t) эффективна. Следовательно, существуют m ∈ N+ , точное рациональное m-мерное представление r группы Ad F, определенное над k, и измеримое строго (Ad F)-эффективное отображение f : G → km , такое что при каждом l ∈ Λ мы имеем f (l gz) = r (Ad(t (l))) f (g)

почти для всех g ∈ G и для всех z ∈ ZG (S) ⊂ ZG (s) (см. предложение V.4.3). Рассуждая как при доказательстве теоремы 5.4 (если подгруппа Λ плотна) или как при доказательстве теоремы 5.6 (если rank G > 2 и решетка Γ неприводима), получаем, что представление Ad ◦t продолжается до непрерывного представления T˜ : G → GL(Fk). Редукция в доказательстве теоремы 5.6 к случаю почти ka -простых групп Ga заменяется следующим рассуждением: «так как группа Ga односвязна, она разлагается в прямое произведение почти ka -простых групп; поэтому можно считать группы Ga почти ka -простыми». Так как группа F обладает свойством (L), ядро ее присоединенного представления Ad либо тривиально, либо содержит Ru (F). В последнем случае ZH (R) = H, что противоречит условию (v). Значит, Ker Ad = {E}. Положим теперь t˜ = Ad−1 ◦T˜ . Рассуждая как в конце доказательства теоремы 5.6, получаем, что гомоморфизм t˜ является непрерывным продолжением гомоморфизма t : G → F(k). Наконец, как и в доказательстве теоремы 5.6, единственность гомоморфизма t˜ вытекает из леммы II.2.3 и предложения II.4.6. 5.20. Замечание. Из теоремы 5.13 (б) следует, что если подгруппа (s ◦ t) (Γ) плотна по Зарисскому в H и не является относительно компактной в H(k), то условие (iii) теоремы 5.19 выполнено. В пп. 5.21—5.25 нам потребуются обозначения, введенные в п. I.0.41. 5.21. Следствие. Пусть k — локальное поле, n ∈ N+ и r — непрерывное нетривиальное абсолютно неприводимое представление груп-

§ 5. Сверхжесткость

281

пы G в пространстве kn . Предположим, что выполнены следующие условия: (i) для каждого a ∈ A группа Ga односвязна; (ii) либо rank G > 2 и решетка Γ неприводима, либо подгруппа Λ плотна в G; (iii) любое представление группы Λ в конечномерном пространстве над k является Γ-интегрируемым. 1 Тогда отображение ограничения групп когомологий Hcont (G, r) → 1 → H (Λ, r) является изоморфизмом. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть K — алгебраическое замыкание поля k; H — замыкание по Зарисскому подгруппы r (G) в GLn ; F — полупрямое произведение K n ⋊ H. Легко видеть, что k-группа F может быть реализована как группа матриц порядка n + 1 вида   h x , h ∈ H, x ∈ K n . 0 1

При такой реализации группы H и K n состоят из матриц вида     E x h 0 и 0 1 0 1

соответственно, где E — единичная матрица порядка n. В силу следствия I.2.3.2 (б) группа G не содержит собственных подгрупп конечного индекса. Поэтому k-группа H не содержит собственных алгебраических подгрупп конечного индекса и, следовательно, связна. Если связная алгебраическая группа допускает точное рациональное абсолютно неприводимое представление, то она редуктивна (см. п. I.0.25). Но представление r абсолютно неприводимо и H является замыканием по Зарисскому подгруппы r (G). Значит, связная k-группа H редуктивна. Отсюда и из указанной реализации группы F матрицами получаем, что Ru (F) = K n и H является подгруппой Леви в F. Теперь докажем следующее утверждение: (∗) если нетривиальная алгебраическая подгруппа P группы K n = Ru (F) нормализуется группой H, то она совпадает с K n . Вначале заметим, что непосредственно проверяется равенство (x, h) (y, e) (x, h) −1 (y, e) −1 = (hy − y, e)

(1)

для всех x, y ∈ K n , h ∈ H. Пусть теперь y = (y, e) ∈ P, y 6= 0. Так как представление r нетривиально и абсолютно неприводимо, H ⊃ r (G) и y 6= 0, мы получаем, что Hy 6= {y}. Но алгебраическая группа H связна и нормализует P. Поэтому из равенства (1) вытекает, что dim P > 0, откуда следует, что Lie(P) 6= 0. (2)

282

Глава VII. Жесткость

Легко видеть, что при указанной матричной реализации группы F мы имеем  o n 0 x (3) Lie(K n) = x ∈ Kn , 0 0     0 x 0 hx (Ad h) 0 0 = 0 0 . (4)

Так как r абсолютно неприводимо и H ⊃ r (G), из соотношений (2), (3) и (4) следует, что Lie(P) = Lie(K n). Но алгебраическая группа K n связна, поэтому P = K n , откуда вытекает условие (∗). Пусть M — нетривиальная алгебраическая нормальная подгруппа в F. Так как M 6= {e}, K n нормализует M и H действует эффективно на K n , ввиду равенства (1) мы имеем M ∩ K n 6= {e}. Но H нормализует алгебраическую подгруппу M ∩ K n , и в силу свойства (∗) мы получаем M ⊃ K n . С другой стороны, {e} 6= Ru (F) = K n 6= F. Следовательно, F обладает свойством (L). Пусть s : F = K n ⋊ H → H — естественный эпиморфизм. Как отмечено в п. I.0.41, существует естественное взаимно однозначное соответствие 1 междуH 1 (Λ, r) (соответственно Hcont (G, r)) и множеством классов эквивалентности всех (соответственно непрерывных) гомоморфизмов группы Λ (соответственно G) в F(k) = kn ⋊ H(k), накрывающих r. Поэтому доказываемое утверждение равносильно следующему: (А) пусть t : Λ → F(k) — гомоморфизм, для которого s ◦ t = r|Λ . Тогда t однозначно продолжается до такого непрерывного гомоморфизма t˜ : G → F(k), что s ◦ t˜ = r. Докажем утверждение (А). Пусть t (Λ) — замыкание по Зарисскому подгруппы t (Λ) в F. Так как Γ — решетка в группе G, в силу леммы II.2.3 и предложения II.4.3 (б) подгруппа r (Γ) ⊂ r (Λ) плотна по Зарисскому в H. Но s ◦ t = r|Λ , и образ алгебраической подгруппы при морфизме алгебраических групп является алгебраической подгруппой. Поэтому s (t (Λ)) = H.

(5)

Покажем теперь, что t продолжается до непрерывного гомоморфизма t˜ : G → F(k). Рассмотрим два случая: (а) t (Λ) 6= F; (б) t (Λ) = F. (а) Так как подгруппа K n ⊂ F коммутативна и нормальна, K n · t (Λ) нормализует K n ∩ t (Λ). С другой стороны, так как F = K n ⋊ H, Ker s = K n и s (t (Λ)) = H (см. равенство (5)), мы получаем, что K n · t (Λ) = F. Отсюда и из свойства (∗) вытекает, что в рассматриваемом случае K n ∩ t (Λ) = {e} и потому Ker s0 = {e}, где s0 = s|t (Λ) . Тогда из следствия I.2.1.3 вытекает, что s−1 0 (H(k)) ⊂ (t (Λ)) (l), где l — конечное расширение поля k и гомоморфизм −1 s−1 0 : H(k) → s0 (H(k)) является изоморфизмом топологических групп. По−1 ложим t˜ = s0 ◦ r. Так как s ◦ t = r|Λ , s0 = s|t (Λ) и гомоморфизмы s−1 0 , r

§ 5. Сверхжесткость

283

непрерывны, то гомоморфизм t˜ : G → t (Λ)(l) является непрерывным продолжением для t. Поскольку Γ — решетка в G и t˜ (Γ) = t (Γ) ⊂ t (Λ)(k), в силу леммы II.2.3 и предложения II.4.7 мы имеем t˜ (G) ⊂ F(k). (б) Как показано выше, F обладает свойством (L). Очевидно, что n  o A 0 Lie(H) ⊂ A ∈ Endn , 0 0 h   i   A 0 0 x 0 Ax , = 0 0

0 0

0

0

для всех A ∈ End K n , x ∈ K n . Отсюда и из соотношения (3) вытекает, что [h, Lie(K n)] 6= 0 при всех h ∈ Lie(H), h 6= 0. Таким образом, централизатор ZF (Lie(K n)) совпадает с Lie(K n), и, поскольку K n = Ru (F), выполнено условие (v) теоремы 5.19. Поэтому можно применить эту теорему, из которой следует существование искомого продолжения. Как и при доказательстве теорем 5.6 и 5.19, единственность продолжения t˜ вытекает из леммы II.2.3 и предложения II.4.6. Заметим теперь, что Γ — решетка в группе G и (s ◦ t˜ ) (g) = (s ◦ t) (g) = r (g) при всех g ∈ Γ; снова применив лемму II.2.3 и предложение II.4.6, получаем, что s ◦ t˜ = r. 5.22. Лемма. Пусть D — топологическая группа; l — топологическое поле характеристики 0; n ∈ N+ ; r — непрерывное представление группы D в пространстве l n . Предположим, что выполнено следующее условие: (U) для любой l-группы B и любого непрерывного гомоморфизма f : D → B(l) замыкание по Зарисскому подгруппы f (D) в B редуктивно. 1 Тогда Hcont (D, r)=0. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть K — алгебраическое замыкание поля l; H — замыкание по Зарисскому подгруппы r (D) в GLn ; F = K n ⋊ H. Так как l-группа H редуктивна (см. условие (U)), мы получаем, как и при доказательстве следствия 5.21, что Ru (F) = K n и H является подгруппой Леви в F. Пусть s : F = K n ⋊ H → H — естественный эпиморфизм, t : D → F(l) — непрерывный гомоморфизм и s ◦ t = r. Через t (D) мы обозначаем замыкание по Зарисскому подгруппы t (D) в F. Из условия (U) следует, что l-группа t (D) редуктивна. Но Ru (F) = K n , H является l-подгруппой Леви в F и char l = 0. Поэтому существует такое x ∈ K n , что x · t (D) · x −1 ⊂ H (см. п. I.0.28). Так как s ◦ t = r, мы имеем x t (d)x −1 = r (d) при всех d ∈ D. Таким образом, мы показали, что любой непрерывный гомоморфизм t : D → → F(k), накрывающий r, эквивалентен r. С учетом п. I.0.41 это доказывает лемму. 5.23. Следствие. Пусть k — локальное поле, n ∈ N+ и r — нетривиальное непрерывное абсолютно неприводимое представление груп-

284

Глава VII. Жесткость

пы G в пространстве kn . Предположим, что char k = 0 и выполнены условия (i), (ii) и (iii) следствия 5.21. Тогда H 1 (Λ, r) = 0. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если H — любая k-группа и f : G → H(k) — непрерывный гомоморфизм, то согласно предложению I.2.6.4 (б) замыкание по Зарисскому подгруппы f (G) в H полупросто. Отсюда и из леммы 1 5.22 получаем, что Hcont (G, r) = 0. Остается применить следствие 5.21. 5.24. Замечание. (i) Как отмечено в п. V.3.0, если факторпространство Γ \ G компактно, то любое представление группы Γ в конечномерном векторном пространстве над локальным полем k является Γ-интегрируемым. Поэтому в случае компактного факторпространства Γ \ G условие (iv) теоремы 5.19 и условие (iii) следствия 5.21 выполняются автоматически. (ii) Ниже мы покажем (см. следствие IX.5.9), что если rank G > 2, решетка Γ неприводима и char ka = 0 при некотором a ∈ A, то H 1 (Γ, r) = 0 для любого представления r группы Γ в конечномерном векторном пространстве над полем характеристики 0. (iii) В формулировках всех результатов этого параграфа условие «rank G > 2 и решетка Γ неприводима» можно заменить следующим: (∗) подгруппа Γ ∩ G′ (ka) не является решеткой в G′ (ka) для всех тех a ∈ A и почти ka -простых множителей G′ группы Ga , для которых rankka G′ = 1. Если подгруппы Ga почти ka -просты при всех a ∈ A, то нетрудно показать, что условие (∗) равносильно условию «если a ∈ A и rankka Ga = 1, то подгруппа pra (Γ) не дискретна в Ga (ka)», а также следующему условию: (∗∗) если a ∈ A и rankka Ga = 1, то замыкание подгруппы pra (Γ) в Ga (ka) содержит Ga (ka) + . Чтобы убедиться, что условие «rank G > 2 и решетка Γ неприводима» можно заменить условием (∗), достаточно показать, что в лемме 5.5 его можно заменить условием (∗∗). 5.25. Пусть H — локально компактная группа, Φ — ее счетная подгруппа. Пространство всех гомоморфизмов из Φ в H обозначим A (Φ, H) и наделим топологией поточечной сходимости. Естественное действие группы H на A (Φ, H) задается формулой (h f) (x) = h f (x)h−1 , h ∈ H , x ∈ Φ, f ∈ A (Φ, H). Пусть id: Φ → H , id(x) = x, — тождественное вложение. Подгруппа Φ называется локально (или инфинитезимально) жесткой, если орбита гомоморфизма id при действии группы H открыта в A (Φ, H). Пусть k — локальное поле, G — некоторая k-группа, а подгруппа Φ конечно порождена. В силу результата А. Вейля (см. [Weil 3], а также [Rag 5], теорема 6.7) из тривиальности группы когомологий H 1 (Φ, Ad) следует

§ 5. Сверхжесткость

285

локальная жесткость подгруппы Φ. Отсюда и из замечания (ii) в п. 5.24 вытекает A. Теорема. Пусть rank G > 2, решетка Γ неприводима и char ka = 0 при некотором a ∈ A. Тогда подгруппа Γ является локально жесткой. Упоминание о нулевой характеристике в теореме А существенно. Это позкаывает следующая Б. Теорема (см. [Pr 4]). Пусть F — локальное поле; k = F ((t)) — поле формальных степенных рядов от одного переменного над F ; G — связная нетривиальная полупростая F -группа с тривиальным центром; Γ′ — конечно порожденная решетка в G(k). Тогда подгруппа Γ′ не является локально жесткой и поэтому H 1 (Γ′ , Ad) 6= 0. Таким образом, в следствии 5.23 условие «char k = 0» существенно. Приведем схему доказательства теоремы Б. Для каждого i > 1 существует единственный непрерывный автоморфизм ϑi поля F ((t)) над F , переводящий t в t + t i . Так как группа G определена над F , отображение ϑi индуцирует непрерывный автоморфизм ϑ0i : G(k) → G(k). С помощью теоремы Ленга об изотропности над F любой нетривиальной связной полупростой F -группы нетрудно показать, что автоморфизмы ϑ0i не являются внутренними. Но из леммы II.2.3 и предложения II.4.8 вытекает, что если f : G → G — непрерывный автоморфизм и f (g) = g для всех g ∈ Γ′ , то f (g) = g для всех g ∈ G. Следовательно, гомоморфизмы ϑ0i |Γ′ ∈ A (Γ′ , G(k)) не принадлежат G(k)-орбите тождественного вложения id: Γ → G(k). Осталось заметить, что для любого g ∈ G(k) последовательность {ϑ0i (g)} сходится к g при i → ∞. Пусть Aut H (соответственно Int H) — группа непрерывных (соответственно внутренних) автоморфизмов группы H . Изложенное доказательство теоремы Б основывалось на том, что подгруппа Int G(k) не является открытой в Aut G(k). Оказывается, в большинстве случаев решетка Γ′ может не быть локально жесткой только по этой причине. А именно, справедлива следующая В. Теорема. Пусть rank G > 2 и решетка Γ неприводима. Тогда орбита тождественного вложения id: Γ → G при естественном действии группы Aut G на A (Γ, G) открыта в A (Γ, G). Мы опустим доказательство теоремы В, однако заметим, что она легко выводится из теоремы 5.6 с помощью теоремы Бореля—Вана о плотности. 5.26. Существует и другой подход к доказательству теорем сверхжесткости (см. [Fu 8], [Gu], [Mar 7], [Mar 9], [Ti 4], [Zi 1], [Zi 4], [Zi 8]), основанный на рассмотрении эквивариантных измеримых отображений не только в векторные пространства, но и в более общие алгебраические многообразия. Продемонстрируем этот подход на примере доказательства

286

Глава VII. Жесткость

теоремы 5.9. Нетрудно показать. что эта теорема вытекает из следующих двух предложений. Предложение 1. Пусть G, Γ′ , Λ′ , k, H и t таковы, как в формулировке теоремы 5.9, P — минимальная параболическая R-подгруппа в G. Предположим, что подгруппа t (Γ′) не является относительно компактной в H(k). Тогда существуют k-рациональное действие группы H на k-многообразии M и измеримое строго H-эффективное (в смысле п. V.4.1) Λ′ -эквивариантное отображение y : G(R) /P(R) → M(k). Предложение 2. Пусть k-группа H действует k-рационально на k-многообразии M. Далее, пусть y : G(R) /P(R) → M(k) — измеримое Λ′ -эквивариантное отображение. Предположим, что rank G > 2 и решетка Γ′ неприводима. (а) Если поле k совпадает с R или C, то y совпадает почти всюду (относительно меры mG(R) /P(R)) с некоторым рациональным отображением. (б) Если поле k не изоморфно R или C, т. е. неархимедово, то y совпадает почти всюду с отображением в точку. Предложение 1 является частным случаем теоремы VI.4.7 (а). К настоящему времени известны различные его доказательства. Первоначальное доказательство, изложенное в § 5 гл. V, основано на мультипликативной эргодической теореме (см. [Mar 7] и [Ti 4]). В других доказательствах первый шаг состоит в применении теоремы Фюрстенберга о существовании Γ′ -эквивариантных измеримых отображений в пространство мер P (X), где X — компактное метрическое Γ′ -пространство (см. теорему IV.4.5). Далее, как и в § 4 гл. VI, либо применяется теоретико-вероятностное рассуждение (см. [Fu 6], [Fu 8], [Gu]), либо рассматриваются эквивариантные измеримые отображения из пространства мер на проективном пространстве в некоторые алгебраические многообразия (см. [Mar 9]), либо же используются гладкие действия алгебраических групп на подходящих пространствах мер (см. [Zi 1], [Zi 4], [Zi 8]). Отметим, что в работах [Mar 9], [Zi 1] и [Zi 4] построены Γ′ -эквивариантные измеримые отображения, но не доказана их Λ′ -эквивариантность. Доказательство предложения 2 основано на рассмотрении действий алгебраических групп на подходящих пространствах мер и теореме о рациональности функции, которая рациональна по каждому переменному. Подход, описанный выше, может непосредственно применяться, если char ka = 0 при всех a ∈ A. В противном случае возникают технические трудности. Они были преодолены в работе [Ve]. Отметим также, что если подгруппа Λ содержит G + , то все результаты данного параграфа выво-

§ 6. Гомоморфизмы дискретных подгрупп в алгебраические группы

287

дятся из соответствующих обобщений предложения 1 без использования предложения 2. 5.27. Как показывает анализ доказательств, в формулировках результатов из первой части этого параграфа (до п. 5.17) нет необходимости считать дискретную подгруппу решеткой. Достаточно лишь предполагать выполненными следующие условия: (а) существуют такие i ∈ N+ и s1 , . . . , si ∈ S, что ZG (s1) · . . . ZG (si) = G и s j действует эргодически на Γ \ G при j = 1, . . . , i; (б) существует функция f на G со следующими свойствами: ] 1) функция f непрерывна, имеет компактный носитель и fd mG = 1; G

] 2) если L — ограниченная измеримая функция на Γ \ G и L(x) > > L(x g) f (g)d mG (g) при всех x ∈ Γ \ G, то L постоянна почти всюду G

(относительно mG). Если при этом замыкание подгруппы Λ содержит G + , то условие (а) излишне. Весьма вероятно, что условие (б) следует из (а). Отметим также, что справедливы следующие два утверждения. (i) Пусть группа G обладает свойством (T). Тогда условие (б) равносильно утверждению, что Γ является решеткой в G. (ii) Пусть группа Gai (ka) обладает свойством (T) для любого a ∈ A и любого почти ka -простого множителя Gai группы Ga . Тогда любая такая дискретная подгруппа Γ ⊂ G, что некоторый элемент s ∈ S действует на Γ \ G эргодически, является решеткой в G. Следует отметить, что в [Shir], [Sul 1] и некоторых других работах рассматривалась (хотя в несколько ином плане) проблема эргодичности действия элемента s ∈ S на Γ \ G для случая, когда группа G локально изоморфна группе движений пространства Лобачевского и факторпространство Γ \ G имеет бесконечную меру.

§ 6. Гомоморфизмы дискретных подгрупп в алгебраические группы над произвольными полями В этом параграфе обозначения A, ka , Ga , G, G + , pra , rank G, Γ, Λ имеют тот же смысл, что в § 5, M¯ обозначает замыкание по Зарисскому подмножества M в алгебраическом многообразии, а H0 — компоненту единицы в алгебраической группе H. Если даны l-группа H и гомоморфизм s поля l в поле l ′ , то мы определим l ′ -группу s H и гомоморфизм как в пп. I.1.7 и I.1.8.

s0 : H(l) → s H(l ′),

288

Глава VII. Жесткость

В предыдущем параграфе мы рассматривали гомоморфизмы вида t : Λ → H(k), где k — локальное поле, H — некоторая k-группа. Теперь перейдем к гомоморфизмам группы Λ в множества l-рациональных точек алгебраических групп, определенных над произвольным полем l. Доказательства теорем этого параграфа основаны на редукции к результатам § 5. Главную роль при этом играет следующая 6.1. Лемма. Пусть l — конечно порожденное поле; H — связная нетривиальная редуктивная l-группа; Φ — подгруппа в H(l), плотная по Зарисскому в H. Тогда существуют полупростой элемент g ∈ Φ, локальное поле k и гомоморфизм s : l → k, такие что элемент s0 (g) ∈ s H(k) существенно некомпактен (в смысле определения V.4.6) и поэтому подгруппа s0 (Φ) не является относительно компактной в s H(k). Эта лемма будет доказана в п. 6.22. Нам также потребуется следующая 6.2. Лемма. Пусть l — поле; H — связная l-группа; Φ — подгруппа в H(k), плотная по Зарисскому в H; Φ˜ = CommH (Φ) — подгруппа соизмеримости. (i) Если Ad : H → Ad H — изоморфизм l-групп, то Φ˜ ⊂ H(l). (ii) Если группа H — полупростая и присоединенная, то Φ˜ ⊂ H(l). (iii) Если char l = 0 и Z (H) = {e}, то Φ˜ ⊂ H(l). ˜ Положим B = Φ ∩ h−1 Φh. Так Д о к а з а т е л ь с т в о. (i) Пусть h ∈ Φ. как подгруппа Φ плотна по Зарисскому в H, подгруппы Φ и h−1 Φh соизмеримы и связная группа H не содержит алгебраических подгрупп конечного индекса, то подгруппа B плотна по Зарисскому в H. Но B ⊂ H(l) и (Int h) (B) ⊂ H(l). Значит, автоморфизм Int h: H → H определен над l (см. п. I.0.11 (II)). Поэтому алгебра Lie(H) l инвариантна относительно преобразования Ad h, которое является дифференциалом автоморфизма Int h (см. п. I.0.15). Следовательно, Ad h ∈ (Ad H) (l). Но оба отображения Ad : H → Ad H и Ad−1 : Ad H → H являются l-изоморфизмами l-групп. Поэтому h ∈ H(l), что и доказывает утверждение (i). Утверждение (ii) вытекает из (i) и предложения I.1.4.11 (iv). Если char l = 0, то любой биективный l-морфизм l-групп является l-изоморфизмом и Ker Ad = Z (H) (см. п. I.0.15). Поэтому утверждение (iii) также следует из утверждения (i). Полезно иметь в виду следующие результаты. 6.3. Следствие. Подгруппа соизмеримости CommG (Γ) счетна. Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем a ∈ A. Так как группа Γ счетна, для некоторого счетного подполя la ⊂ ka в алгебре Ли Lie(Ga) имеется la -структура, инвариантная относительно Ad(pra (Γ)). В силу лемм II.2.3 и II.2.4 и следствия II.4 подгруппа Ad(pra (Γ)) плотна по Зарисскому в Ad Ga . Ввиду леммы 6.2 (ii) указанная la -структура инвариантна относительно группы

§ 6. Гомоморфизмы дискретных подгрупп в алгебраические группы

289

Ad(pra (CommG (Γ))), и, значит, эта группа счетна. Так как при этом ядра морфизмов Ad : Ga → Ad Ga конечны, группа CommG (Γ) счетна. 6.4. Если Φ — конечно порожденная подгруппа в GLn (l), то Φ ⊂ GLn (l), где l — конечно порожденное поле (его образующими служат элементы матриц, порождающих Φ). Поэтому при рассмотрении гомоморфизмов произвольной конечно порожденной группы Ω в линейные алгебраические группы можно ограничиться гомоморфизмами f : Ω → H(l), где l — конечно порожденное поле, H — некоторая l-группа. 6.5. Теорема. Пусть l ′ — некоторое поле; l ⊂ l ′ — конечно порожденное подполе; H — связная некоммутативная абсолютно почти простая l-группа; d : Λ → H(l ′) — такой гомоморфизм, что d (Γ) ⊂ H(l). Предположим, что выполнены следующие условия: (i) либо rank G > 2 и решетка Γ неприводима, либо замыкание подгруппы Λ содержит G + ; (ii) подгруппа d (Γ) плотна по Зарисскому в H; (iii) либо группа H присоединенная, либо группы Ga односвязны при всех a ∈ A; (iv) решетка Γ конечно порождена. Тогда существуют a ∈ A, конечное расширение k поля ka , расширение k′ поля k, гомоморфизм s : l ′ → k′ , отображающий l в k, специальный (в смысле п. I.1.4.14) k-эпиморфизм h : Ga →s H и гомоморфизм n : Λ → Z (s H), такие что s0 (d (l)) = n (l) · h (pra (l)) для всех l ∈ Λ. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как l-группа H связна, нетривиальна и редуктивна, а подгруппа s (Γ) ⊂ H(l) плотна по Зарисскому в H и конечно порождена, то по лемме 6.1 существуют локальное поле k и гомоморфизм s : l → k, такие что подгруппа s0 (d (Γ)) не является относительно компактной в s H(k). Произвольное продолжение гомоморфизма s до гомоморфизма поля l ′ в расширение k′ поля k также будет обозначаться s. Вначале рассмотрим случай, когда группа H присоединенная. Из леммы 6.2 (ii) следует, что s0 (d (Λ)) ⊂ s H(k). Применив теорему 5.13 (г) или теоремы 5.4 (а) и 5.6 (а) к гомоморфизму s0 ◦ d : Λ → s H(k), мы видим, что существуют a ∈ A, непрерывный гомоморфизм ϑ: ka → k и специальный k-эпиморфизм h : ϑ Ga → s H, такие что s0 (d (l)) = n (l) · h (ϑ0 (pra (l))) для всех l ∈ Λ. Отождествив ka и s (ka) посредством гомоморфизма ϑ, можно считать, что ϑ0 = Id и k является расширением поля ka . Это расширение конечно, поскольку поля k и ka локальны. Таким образом, в случае присоединенной группы H теорема справедлива. Пусть теперь группы Ga односвязны. По доказанному для присоединенной группы, существуют a ∈ A, конечное расширение k поля ka , расширение k′ поля k, гомоморфизм s : l ′ → k′ , отображающий l в k, и спе-

290

Глава VII. Жесткость

циальный k-эпиморфизм h′ : Ga → s Ad H, такие что (Ad ◦s0 ◦ d) (l) = (s0 ◦ Ad ◦d) (l) = h′ (pra (l))

∀ l ∈ Λ.

(1)

Так как группа Ga односвязна, существует такой k-эпиморфизм h : Ga → → s H, что h′ = Ad ◦h (см. предложение I.1.4.11 (ii) и (iv)). Так как эпиморфизм h′ специален и по предложению I.1.4.11 (iv) изогения Ad : H → Ad H центральна, в силу п. I.1.4.l4 эпиморфизм h также специален. Для l ∈ Λ определим n (l) ∈ s H посредством равенства s0 (d (l)) = n (l) · h (pra (l)). Так как h′ = Ad ◦h, ввиду равенства (1) мы имеем n (l) ∈ Ker Ad = Z (s H). Следовательно, отображение n является гомоморфизмом из Λ в Z (s H) (см. лемму 5.1 (а)). 6.6. Теорема. Пусть G — связная полупростая R-группа без R-анизотропных множителей, Γ′ — решетка в G(R) и Λ′ — счетная подгруппа в CommG(R) (Γ′), содержащая Γ′ . Пусть также даны конечно порожденное поле l, его алгебраическое замыкание l,¯ связная некоммутативная абсолютно почти простая l-группа H и та¯ что d (Γ′) ⊂ H(l). Предположим, что кой гомоморфизм d : Λ′ → H(l), выполнены следующие условия: (i) либо rankR G > 2 и решетка Γ′ неприводима, либо замыкание подгруппы Λ′ в G(R) содержит компоненту единицы группы Ли G(R); (ii) подгруппа d (Γ′) плотна по Зарисскому в H; (iii) либо H— присоединенная, либо G — односвязная группа; (iv) решетка Γ′ конечно порождена. Тогда существуют гомоморфизм s : l¯ → C, C-эпиморфизм h : G → s → H и гомоморфизм n : Λ → Z (s H), такие что s0 (d (l)) = n (l) · h (l) при всех l ∈ Λ. 6.7. Замечание. Заключения теорем 6.5 и 6.6 можно переформулировать, соответственно, следующим образом: «Тогда существуют конечное расширение k′ поля l ′ , подполе k в k′ , содержащее поле l, a ∈ A, гомоморфизм s : ka → k, специальный k-эпиморфизм h : s Ga → H и гомоморфизм n : Λ → Z (H), такие что степень поля k над s (ka) конечна и d (l) = n (l) · h (s0 (pra (l))) для всех l ∈ Λ»; «Тогда существуют изоморфизм s поля C на расширение k поля l,¯ k-эпиморфизм h : s G → H и гомоморфизм n : Λ → Z (H), такие что d (l) = n (l) · h (s0 (l)) для всех l ∈ Λ». 6.8. Лемма. Пусть H — связная неразрешимая алгебраическая группа. Тогда H содержит такую нормальную алгебраическую подгруппу F, что факторгруппа H/F некоммутативна и абсолютно проста.

§ 6. Гомоморфизмы дискретных подгрупп в алгебраические группы

291

Д о к а з а т е л ь с т в о. Профакторизовав группу H по ее радикалу, можно считать ее полупростой. Тогда H распадается в почти прямое произведение абсолютно почти простых подгрупп Hi , 1 6 i 6 n, и подгруппа F = Z (H) · H1 · . . . · Hn−1 искомая. 6.9. Лемма. Пусть F — некоторая группа, H — алгебраическая группа, d : F → H — гомоморфизм групп, Φ — подгруппа в F , для которой F = CommF (Φ) (т. е. для любого x ∈ F подгруппы xΦx −1 и Φ соизмеримы). (а) Группа d (F) нормализует подгруппу (d (Φ))0 . (б) Предположим, что для любой подгруппы индекса S конечного Φ0 ⊂ Φ подгруппа, порожденная множеством xΦ0 x −1 , имеет коx∈F

нечный индекс в F . Тогда (d (F))0 = (d (Φ))0 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Если D — алгебраическая группа, то факторпространство D/D0 конечно и D0 содержится в любой алгебраической подгруппе конечного индекса в D. Но так как F = CommF (Φ), подгруппы d (Φ) и d (xΦx −1) соизмеримы при любом x ∈ F . Следовательно, d (x)(d (Φ0))0 d (x) −1 = (d (xΦx −1)) 0 = (d (Φ)) 0

для любого x ∈ F и любой подгруппы Φ0 конечного индекса в Φ. Отсюда легко вытекают оба утверждения леммы. 6.10. Следствие. Пусть l¯ — поле характеристики, отличной от char ka для всех a ∈ A. Предположим, что выполнены следующие условия: (i) либо rank G > 2 и решетка Γ неприводима, либо замыкание подгруппы Λ содержит G + ; (ii) решетка Γ конечно порождена; (iii) для каждой подгруппы индекса в Γ подгруппа, S Γ0 конечного порожденная множеством lΓ0 l−1 , имеет конечный индекс в Λ. l∈Λ

¯ Тогда для любой l-группы H и любого гомоморфизма d : Λ → H(l)¯ группа d (Λ) содержит разрешимую подгруппу конечного индекса. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное, т. е. что в группе d (Λ) нет разрешимых подгрупп конечного индекса. Можно считать, что H = d (Λ) и поле l¯ алгебраически замкнуто. Группа H/H0 конечна, подгруппа конечного индекса в конечно порожденной подгруппе конечно порождена, и по следствию I.1.5.7 группа G + не содержит собственных подгрупп конечного индекса. Поэтому можно заменить Λ на d−1 (H0), а Γ на Γ ∩ d−1 (H0) и считать группу H связной. Так как она при этом не является разрешимой, а поле l¯ алгебраически замкнуто, по лемме 6.8 группа H содержит такую ¯ нормальную l-подгруппу F, что факторгруппа H/F некоммутативна и аб-

292

Глава VII. Жесткость

солютно проста. Пусть p : H → H/F — естественный эпиморфизм. Заменив d на p ◦ d, можно считать, что группа H некоммутативна и абсолютно про¯ ста. Ее можно рассматривать как l-подгруппу в GLn . Так как решетка Γ конечно порождена, существует такое конечно порожденное подполе l ⊂ l,¯ что d (Γ) ⊂ GLn (l) (см. п. 6.4). Тогда группа d (Γ) ⊂ GLn определена над l. Так как Λ ⊂ CommG (Γ), группа H = d (Λ) связна и условие (iii) выполнено, ввиду леммы 6.9 (б) мы получаем, что d (Γ) = H. Таким образом, имеются конечно порожденное поле l ⊂ l,¯ связная некоммутативная абсолютно ¯ что d (Γ) ⊂ H(l) и простая l-группа H и такой гомоморфизм d : Λ → H(l), d (Γ) = H. Ввиду теоремы 6.5 это противоречит условию, что char l 6= char ka при всех a ∈ A. Частным случаем следствия 6.10 является 6.11. Следствие. Пусть G, Γ′ и Λ′ таковы, как в формулировке теоремы 6.6. Предположим, что выполнены следующие условия: (i) либо rankR G > 2 и решетка Γ′ неприводима, либо замыкание подгруппы Λ′ в G(R) содержит компоненту единицы группы Ли G(R); (ii) решетка Γ′ конечно порождена; (iii) для каждой подгруппы Γ0 конечного индекса в Γ′ подгруппа, S порожденная множеством lΓ0 l−1 , имеет конечный индекс в Λ′ . l∈Λ

Тогда образ любого гомоморфизма d группы Λ′ в алгебраическую группу над полем положительной характеристики содержит разрешимую подгруппу конечного индекса. 6.12. Замечание. Как вытекает из доказанного ниже (см. п. IX.3.1 (vi)) утверждения о конечной порожденности решеток, условие (iv) теоремы 6.6 и условие (ii) следствия 6.11 на самом деле выполняются автоматически. 6.13. Лемма. Если f : H → H′ — эпиморфизм алгебраических групп, то f (Ru (H)) = Ru (H′). Д о к а з а т е л ь с т в о. Эпиморфизм f индуцирует рациональный эпиморфизм f˜ : H/Ru (H) → H′ / f (Ru (H)). Группа H/Ru (H) редуктивна, а образ редуктивной группы при морфизме алгебраических групп также редуктивен. Поэтому редуктивна группа H′ / f (Ru (H)) = f˜ (H/Ru (H)), откуда следует, что f (Ru (H)) ⊃ Ru (H′). Наконец, так как f (H (u)) ⊂ H′(u) (см. п. I.0.20), мы получаем, что f (Ru (H)) ⊂ Ru (H′). 6.14. В п. V.4.8 мы определили свойство (L) над k для k-групп. Аналогично, будем говорить, что связная алгебраическая группа F обладает абсолютным свойством (L), если {e} 6= Ru (F) 6= F и любая нетривиальная алгебраическая нормальная подгруппа в F содержит Ru (F). Если связная k-группа F обладает абсолютным свойством (L) и ее унипотентный ради-

§ 6. Гомоморфизмы дискретных подгрупп в алгебраические группы

293

кал Ru (F) определен над k, то F обладает свойством (L) над k. В частности, если связная k-группа F обладает абсолютным свойством (L) и char k = 0, то F обладает свойством (L) над k. 6.15. Лемма. Пусть l — поле характеристики 0, F — связная l-группа, D (F) = F и Ru (F) 6= {e}. Тогда F содержит такую нормальную алгебраическую подгруппу B, что факторгруппа F/B обладает абсолютным свойством (L). Д о к а з а т е л ь с т в о. Из результатов, приведенных в п. I.0.24, мы получаем следующее: (а) если алгебраическая группа H связна, редуктивна и совпадает со своим коммутантом, то она полупроста; (б) полупростая алгебраическая группа содержит лишь конечное число нормальных алгебраических подгрупп. Так как группа F связна и D (F) = F, в силу утверждения (а) редуктивная группа F/Ru (F) полупроста и в силу утверждения (б) она содержит лишь конечное число алгебраических нормальных подгрупп. С другой стороны, так как char l = 0, то любая алгебраическая подгруппа унипотентной l-группы Ru (F) связна (см. п. I.0.20), и потому любая возрастающая цепь нормальных алгебраических подгрупп в Ru (F) обрывается. Тогда это верно и для F. Как следствие, существует такая нормальная алгебраическая подгруппа B ⊂ F, что Ru (F) 6⊂ B и B максимальна в следующем смысле: если B′ — нормальная алгебраическая подгруппа в F, строго включающая B, то B′ ⊃ Ru (F). Покажем, что F/B обладает абсолютным свойством (L). Пусть H — нетривиальная алгебраическая подгруппа в F/B. Положим H′ = p−1 (H), где p : F → F/B — естественный эпиморфизм. Так как H 6= {e}, то H′ % B, и из максимальности подгруппы B вытекает, что H′ ⊃ Ru (F). Но p (Ru (F)) = Ru (F/B) (см. лемму 6.13), откуда следует, что H = p (H′) ⊃ Ru (F/B). Так как Ru (F) 6⊂ B, то {e} 6= Ru (F/B). Наконец, так как D (F) = F и потому D (F/B) = F/B, а унипотентная подгруппа Ru (F/B) нильпотентна, мы получаем, что Ru (F/B) 6= F/B. 6.16. Теорема. Предположим, что выполнены следующие условия: (i) при любом a ∈ A группа Ga односвязна; (ii) либо rank G > 2 и решетка Γ неприводима, либо подгруппа Λ плотна в G; (iii) любое представление группы Λ в конечномерном векторном пространстве над локальным полем характеристики нуль Γ-интегрируемо; (iv) решетка Γ конечно порождена; (v) для любой подгруппы Γ0 конечного индекса в Γ подгруппа, S lΓ0 l−1 , имеет конечный индекс в Λ; порожденная множеством l∈Λ

294

Глава VII. Жесткость

(vi) факторгруппа Γ0 /D (Γ0) конечна для любой подгруппы Γ0 конечного индекса в Γ. ¯ Пусть дано поле l¯ характеристики нуль, а также l-группа Fи ¯ ¯ гомоморфизм d : Λ → F(l). Тогда l-группа d (Λ) полупроста. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное, т. е. что группа d (Λ) не полупроста. Можно считать, что F = d (Λ) и поле l¯ алгебраически замкнуто. Группа F/F0 конечна, любая подгруппа конечного индекса в конечно порожденной группе конечно порождена, и ввиду следствия I.2.3.2 (б) группа G не содержит собственных подгрупп конечного индекса. Поэтому можно заменить Λ на d−1 (F0) и Γ на Γ ∩ d−1 (F0) и считать группу F связной. Так как Λ ⊂ CommG (Γ), группа F = d (Λ) связна и выполнено условие (v), то по лемме 6.9 (б) мы получаем d (Γ) = F. Но поскольку факторгруппа Γ/D (Γ) конечна, то факторгруппа F/D (F) также конечна, и, так как группа F связна, мы имеем F = D (F). Поскольку группа F = d (Λ) связна и совершенна (т. е. совпадает со своим коммутантом), но не полупроста, из утверждения (а) в доказательстве леммы 6.15 вытекает, что Ru (F) 6= {e}. Так как поле l¯ алгебраически замкнуто, по лемме 6.15 можно выбрать такую нор¯ мальную l-подгруппу B ⊂ F, что F/B обладает абсолютным свойством (L). Пусть p : F → F/B — естественный эпиморфизм. Заменив d на p ◦ d, можно считать, что F обладает абсолютным свойством (L). Реализуем F как ¯ l-подгруппу в GLn . Так как решетка Γ конечно порождена, существует такое конечно порожденное поле l ⊂ l,¯ что d (Γ) ⊂ GLn (l) (см. п. 6.4). Тогда группа F = d (Γ) определена над l. Так как l-группа F обладает абсолютным свойством (L) и char l = 0, по лемме V.4.11 (iv) мы получаем Z (F) = {e}. Но d (Γ) ⊂ F(l), F = d (Γ) и Λ ⊂ CommG (Γ). Поэтому из леммы 6.2 (iii) следует, что d (Λ) ⊂ F(l). Итак, имеются конечно порожденное поле l характеристики 0, связная l-группа F с абсолютным свойством (L) и гомоморфизм d : Λ → F(l), такие что d (Γ) = F. Положим H = F/Ru (F) и обозначим через s естественный эпиморфизм F → H. Так как Ru (F) 6= F и группа F = d (Γ) связна, подгруппа s (d (Γ)) бесконечна. Но группа Γ, а тогда и s (d (Γ)), конечно порождена. Поэтому существует локальное поле k, содержащее l и такое, что подгруппа s (d (Γ)) не является относительно компактной в H(k) (см. лемму 6.1). В силу теоремы 5.19, замечания V.4.13 и замечания 5.20 можно продолжить d до непрерывного гомоморфизма d0 : G → F(k). Так как char k = 0, по предложению I.2.6.4 (б) группа d0 (G) ⊂ F полупроста. Поскольку d (Λ) ⊂ d0 (G) и F = d (Λ), группа F полупроста вопреки предположению. Из теоремы 6.16 и леммы 5.22 вытекают такие результаты. 6.17. Следствие. Пусть выполнены условия (i) — (vi) теоремы 6.16. Тогда H 1 (Λ, r) = 0 для любого представления r группы Λ в

§ 6. Гомоморфизмы дискретных подгрупп в алгебраические группы

295

конечномерном векторном пространстве над полем характеристики 0. 6.18. Следствие. Пусть выполнены следующие условия: (i) факторпространство Γ \ G компактно; (ii) либо rank G > 2 и решетка Γ неприводима, либо подгруппа Λ ∩ G + плотна в G + ; (iii) для любой подгруппыS Γ0 конечного индекса в Γ подгруппа, lΓ0 l−1 , имеет конечный индекс в Λ. порожденная множеством l∈Λ

Тогда выполняются следующие утверждения. ¯ (а) Если l¯ — поле характеристики нуль, F — некоторая l-группа ¯ и d : Λ → F(l)¯ — гомоморфизм, то l-группа d (Λ) полупроста. (б) Для любого представления r группы Λ в конечномерном векторном пространстве над полем характеристики 0 выполняется равенство H 1 (Λ, r) = 0. Д о к а з а т е л ь с т в о. (а) Так как группы Ga (ka) компактно порождены (см. следствие I.2.3.5), это верно и для G. Но факторпространство Γ \ G компактно, а любая равномерная решетка в компактно порожденной группе конечно порождена (см. п. I.0.40). Поэтому решетка Γ конечно порождена. Но так как факторгруппы Ga (ka) /Ga (ka) + коммутативны и периодичны (см. следствие I.2.3.1 (в)), это верно и для G/G + . Следовательно, подгруппа Γ ∩ G + имеет конечный индекс в Γ. Поэтому можно заменить Γ на Γ ∩ G + и Λ на Λ ∩ G + и считать, что Λ ⊂ G + . Пусть G˜ a — односвязная накрывающая группы Ga , а pa : G˜ a → Ga — центральQ ˜ P ная k-изогения. Положим G˜ = Ga (ka) и rank G˜ = rankk G˜ a . Изогении a∈A

a∈A

a

pa индуцируют непрерывный гомоморфизм p : G˜ → G. В силу следствия I.1.4.6, предложения I.1.5.5, теоремы I.2.3.1 и предложения I.2.3.4 группа G˜ a при любом a ∈ A не имеет ka -анизотропных почти ka -простых множителей, rankka G˜ a = rankka Ga , G˜ a (ka) + = G˜ a (ka), подгруппа Ga (ka) + замкнута в Ga (ka), pa (G˜ a (ka)) = Ga (ka) + и изоморфизм G˜ a (ka) / (Ker pa) (ka) → → Ga (ka) + является изоморфизмом топологических групп. Как следствие, ˜ = G + и изоморфизм rank G˜ = rank G, подгруппа G + замкнута в G, p (G) ˜G / Ker p → G + является изоморфизмом топологических групп. Заметим, ˜ то что Λ ⊂ G + . Так как Γ — неприводимая кокомпактная решетка в G, −1 p (Γ) — неприводимая равномерная решетка в G. Поэтому можно заменить Ga на G˜ a , Γ на p −1 (Γ) и Λ на p −1 (Λ) и считать выполненными условия (i) и (ii) теоремы 6.16. Так как факторпространство Γ \ G компактно, то, как отмечено в п. V.3.0, любое представление группы Λ в конечномерном векторном пространстве над локальным полем Γ-интегрируемо. Если Γ0 — под-

296

Глава VII. Жесткость

группа конечного индекса в Γ, то по теореме IV.4.9 и лемме II.6.3 (iii) факторгруппа Γ0 /D (Γ0) конечна. Таким образом, выполнены все условия теоремы 6.16, и остается ее применить, чтобы получить утверждение (а). Утверждение (б) вытекает из леммы 5.22 и п. (a). 6.19. Перейдем теперь к доказательству леммы 6.1. Сначала приведем две леммы из теории полей. 6.20. Лемма (см. [Ti 3], лемма 2.3). Пусть l — конечно порожденное поле, m ∈ N+ . Тогда существует лишь конечное число корней из единицы, удовлетворяющих уравнению степени m над l. 6.21. Лемма (см. [Ti 3], лемма 4.1). Пусть l — конечно порожденное поле, l ∗ — его мультипликативная группа, t ∈ l ∗ — элемент бесконечного порядка. Тогда существуют локальное поле k с абсолютным значением | | и гомоморфизм s : l → k, такие что |s (t)| 6= 1. Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы 6. 1. Реализуем H как l-подгруппу в GLn . Обозначим через ∆ множество корней из единицы, удовлетворяющих уравнению степени n над l, и положим Ω = {h ∈ H | все собственные значения матрицы h принадлежат ∆}. Согласно лемме 6.20 множество ∆ конечно. Поэтому множество Ω замкнуто по Зарисскому в H. Так как группа H связна, редуктивна и отлична от {e}, она содержит тор положительной размерности, и поэтому Ω 6= H. Значит, множество H − Ω открыто по Зарисскому и непусто. С другой стороны, подгруппа Φ плотна по Зарисскому в H, а в связной редуктивной группе множество полупростых элементов содержит открытое и плотное по Зарисскому подмножество (см. п. I.0.24). Поэтому найдется полупростой элемент g ∈ Φ, принадлежащий H − Ω. Так как все собственные значения матрицы g ∈ GLn (l) удовлетворяют уравнению степени n над l, среди них найдется некоторое l, не являющееся корнем из единицы. Расширив поле l, можно считать, что l ∈ l. По лемме 6.21 существуют локальное поле k с абсолютным значением | | и гомоморфизм s : L → k, такие что |s (l)| 6= 1. Тогда элемент s0 (g) ∈ s H(k) существенно некомпактен. 6.22. Замечания. (i) Лемма 6.1 фактически была доказана в работе [Ti 3]. Более того, там доказано, что если группа H в лемме 6.1 полупроста, то существуют локальное поле k и гомоморфизм s : l → k, такие что группа s0 (Φ) ⊂ s H(k) содержит некоммутативную свободную дискретную подгруппу, порожденную полупростыми элементами (в связи с этим см. дополнение B). (ii) Замыкание бесконечного подполя в локальном поле является локальным полем. Поэтому в лемме 6.1, перейдя от k к замыканию подполя s (l), можно считать, что s (l) плотно в k.

§ 7. Сильная жесткость

297

§ 7. Сильная жесткость (непрерывные продолжения изоморфизмов дискретных подгрупп) Как и в § 6, для l-группы H и гомоморфизма полей s : l → l ′ мы рассматриваем l ′ -группу s H и гомоморфизм s0 : H(l) →s H(l ′), которые были определены в пп. I.1.7 и I.1.8. 7.1. Теорема. Пусть A и A′ — конечные множества. Для каждого a ∈ A (соответственно a′ ∈ A′) пусть ka (соответственно ka′ ′) — локальное поле, Ga (соответственно Ga′ ′) — связная полупростая присоединенная алгебраическая группа, которая определена, изотропQ на и проста над ka (соответственно над k′a′). Положим G = Ga (ka) a∈A Q и G′ = G′a′ (k′a′ ). Пусть Γ — решетка в G, Γ′ — решетка в G ′ , a′ ∈A′

def

f : Γ → Γ′ — изоморфизм. Предположим, что rank G =

P

a∈A

rankka Ga > 2

и решетка Γ неприводима. (а) Изоморфизм f однозначно продолжается до непрерывного гомоморфизма групп f˜ : G → G ′ , который является изоморфизмом топологических групп. (б) Если при всех a ∈ A и a′ ∈ A′ группы Ga и Ga′ ′ абсолютно просты, то существуют (однозначно определенные) биекция i : A → A′ , непрерывные гомоморфизмы ϑa : ka → k′i (a) и специальные (в смысле I.1.4.14) k′i (a) -эпиморфизмы ha : ϑa Ga → G′i (a) , такие что произведение Q f˜ = (ha ◦ ϑ0 ) : G → G ′ гомоморфизмов ha ◦ ϑ0 : Ga (ka) → G′ (k′ ) явa∈A

a

a

i (a)

i (a)

ляется продолжением изоморфизма f . При этом ϑa — изоморфизмы локально компактных полей, а ha — изоморфизмы алгебраических групп. Д о к а з а т е л ь с т в о. Как отмечено в п. I.1.7, если G — присоединенная k-простая k-группа, то существуют конечное сепарабельное расширение k′ поля k и связная присоединенная абсолютно простая k-группа G′ , такие что G = Rk′ /k G′ . При этом rankk G = rankk′ G′ и если k — локальное поле, то Rk0′ /k : G′ (k′) → G(k) — изоморфизм топологических групп. Поэтому можно считать группы Ga и G′a′ абсолютно простыми. Обозначим соответственно через pra , pra′ и pra′ (Γ′) естественные проекции G → Ga (ka), G ′ → G′a′ (k′a′) и замыкание подгруппы pra′ (Γ′) в Ga′ ′ (k′a′ ) (в топологии, которая отвечает топологии поля k′a′). Так как Γ′ — решетка в G ′ , по лемме II.6.1 факторгруппа pra′ (Γ′)/Ga′ ′ (ka′ ′ ) имеет конечную инвариантную меру, и потому подгруппа pra′ (Γ′) плотна по Зарисскому в G′a′ (см. лемму II.2.3 и следствие II.4.4). С другой стороны, по предложению I.2.36 группа G′a′ (k′a′) некомпактна. Поэтому подгруппа pra′ (Γ′) (а тогда и pra′ (Γ′)) плот-

298

Глава VII. Жесткость

на по Зарисскому в G′a′ и не является относительно компактной в G′a′ (k′a′ ) при всех a′ ∈ A′ . Теперь можно применить теорему 5.6 к гомоморфизмам pra′ ◦ f : Γ → Ga′ ′ (k′a′ ) и получить следующие утверждения. (i) Для каждого a′ ∈ A′ существуют (однозначно определенные) j (a′) ∈ ∈ A, непрерывный гомоморфизм ϑ˜ a′ : k j (a′) → k′a′ и специальный k′a′ -эпи˜ морфизм h˜ a′ : ϑa′ G j (a′) → G′a′ , такие что pr ′ (f (g)) = ha′ (ϑ˜ 0a′ (pr ′ (g))) ∀ g ∈ Γ. (1) a

j (a )

(ii) При каждом a′ ∈ A′ гомоморфизм pra′ ◦ f : Γ → G′a′ (ka′ ′) однозначно продолжается до непрерывного гомоморфизма fa′ : G → G′a′ (ka′ ′ ). При этом fa′ = h˜ a′ ◦ ϑ˜ a0 ′ ◦ pr j (a′) . Из утверждения (ii) вытекает первая часть утверждения (а), т. е.Q существование и единственность продолжения f˜ : G → G ′ ; при этом f˜ = fa′ . a′ ∈A′

Положим Ha′ = (h˜ a′ ◦ ϑ˜ 0a′ ) (G j (a′) (k j (a′))) ⊂ G′a′ (k′a′ ). Так как группы Ga абсолютно просты и Ga′ ′ 6= {e}, ядра эпиморфизмов ha′ тривиальны. В силу следствия I.2.1.3 получаем: (iii) при любом a′ ∈ A′ подгруппа Ha′ замкнута в G′a′ (k′a′ ) и гомоморфизм h˜ a′ ◦ ϑa0 ′ : G′j (a′) (k′j (a′)) → Ha′ является изоморфизмом топологических групп. Так как группа pra′ (Γ′) \ G′a′ (ka′ ′) имеет конечную инвариантную меру и подгруппа Ha′ замкнута, дискретна и ввиду равенства (1) содержит pra′ (Γ′), то по теореме II.5.1(a) мы имеем Ha′ ⊃ G′a′ (k′a′) + . Поэтому справедливо следующее утверждение (см. замечание I.1.8.2 (iv)). (iv) При любом a′ ∈ A′ отображение ϑ˜ a′ является изоморфизмом локально компактных полей, а h˜ a′ — изоморфизмом Q алгебраических групп. Как и в § 3 гл. II, при B ⊂ A положим GB = Ga (ka) и обозначим a∈B

через prB естественную проекцию G → GB .QАналогично определим GB′ ′ и prB′ : G ′ → GB′ , где B ′ ⊂ A′ . Так как f˜ = fa′ , fa′ = h˜ a′ ◦ ϑ0a′ ◦ pr j (a′) и a′ ∈A′

Ker h˜ a′ = {e}, мы получаем, что Ker f˜ = GA− j (A′) . Но гомоморфизм f˜ непрерывен, а подгруппа f˜ (Γ) = f (Γ) = Γ′ дискретна в G ′ . Поэтому подгруппа pr j (A′) (Γ) дискретна в G j (A′) . С другой стороны, так как решетка Γ при ∅ 6= B 6= A неприводима, по лемме II.6.4 подгруппа prB (Γ) не дискретна в GB . Следовательно, A = j (A′). (2) При a′ ∈ A′ Q положим Ja′ = {a′′ ∈ A′ | j (a′′) = j (a′)}, обозначим через ha′ гомоморфизм (ha′′ ◦ ϑ0a′′ ) : G j (a′) (k j (a′)) → GJ′a′ и пусть Fa′ = ha′ (G j (a′) (k j (a′))). a′′ ∈Ja′

Из утверждения (iii) вытекает, что подгруппа Fa′ замкнута в GJa′ и операция умножения определяет гомеоморфизм топологического пространства GJa′ −{a′ } × Fa′ на GJa′ . Поэтому существует GJa′ −{a′ } -эквивариантный

§ 7. Сильная жесткость

299

гомеоморфизм пространства Fa′ \ GJa′ на GJa′ −{a′ } . Но группы G′a′′ (k′a′′ ), a′′ ∈ A′ , некомпактны, и поэтому при Ja′ 6= {a′ } группа GJa′ −{a′ } не имеет конечной инвариантной меры, а тогда это верно и для Fa′ \ GJa′ . С другой стороны, так как Γ′ — решетка в G ′ и ввиду равенства (1) мы имеем Fa′ ⊃ prJa′ (Γ′), согласно лемме II.6.1 и п. I.0.36 пространство Fa′ \ GJa′ имеет конечную инвариантную меру. Значит, в действительности Ja′ = {a′ }. Отсюда и из равенства (2) следует биективность отображения j : A → A′ . Положим i = j −1 , ha = h˜ i (a) , ϑa = ϑi (a) , a ∈ A. Чтобы завершить доказательство, осталось использовать равенство (1), утверждение (iv) и заметить, что отображение i и гомоморфизмы ϑa и ha единственны в силу единственности гомоморфизма f˜ , равенства f˜ (Ga (ka)) = G′i (a) (k′i (a)) и единственности гомоморфизмов ϑ˜ a′ и h˜ a′ . 7.2. Замечание. Несложная редукция показывает, что в теореме 7.1 условие «rank G > 2 и решетка Γ неприводима» можно заменить условием «подгруппа pra (Γ) не дискретна в Ga (ka) при всех таких a ∈ A, что rankka Ga = 1». 7.3. Пусть k — поле, K — его конечное расширение, f : W → W′ — некоторый K -изоморфизм K -групп, p : RK /k W → W и p′ : RK /k W′ → W′ — естественные проекции. Тогда из свойства универсальности отображений p и p′ (см. п. I.1.7) вытекает существование и единственность k-морфизма k-групп h : RK /k W → RK /k W′ , такого что f ◦ p = p′ ◦ h. С другой стороны, любую связную полупростую присоединенную k-группу F можно предстаQ вить в виде F = Rki /k Fi , где Fi — абсолютно простые присоединенные 16i6n

ki -группы (см. пп. I.1.4 и I.1.7). Поэтому из теоремы 7.1 и утверждений (А) и (Б) в доказательстве теоремы 5.7 вытекает 7.4. Теорема. Пусть B — совокупность всех простых чисел с добавлением бесконечности; A′ , A′′ — конечные подмножества в B; для каждого p ∈ A′ (соответственно p ∈ A′′) G′p (соответственно G′′p) — связная полупростая присоединенная QQ p -группа без Q p -анизотропQ ′′ ных Q p -простых множителей; G ′ = G′p (Q p); G ′′ = G p (Q p); p∈A′

p∈A′′

Γ′ ⊂ G ′ и Γ′′ ⊂ G ′′ –решетки; f : Γ′ → Γ′′ — изоморфизм между ними. def P rankQ p G′p > 2 и решетка Γ′ непривоПредположим, что rank G ′ = p∈A′

дима. Тогда (а) изоморфизм f однозначно продолжается до непрерывного гомоморфизма f˜ : G ′ → G ′′ , который является изоморфизмом топологических групп; (б) A′ = A′′ и существуют такие однозначно определенные Q p Q эпиморфизмы h p : G′p → G′′p , p ∈ A′ , что h p : G ′ → G ′′ является проp∈A′

300

Глава VII. Жесткость

должением изоморфизма f . При этом все h p являются изоморфизмами алгебраических групп. Частным случаем теоремы 7.4 является 7.5. Теорема. Пусть G′ , G′′ — связные полупростые присоединенные R-группы без R-анизотропных почти R-простых множителей, Γ′ ⊂ G′ (R) и Γ′′ ⊂ G′′ (R) — решетки, f : Γ′ → Γ′′ — изоморфизм между ними. Предположим, что rankR G′ > 2 и решетка Γ′ неприводима. Тогда (а) изоморфизм f однозначно продолжается до изоморфизма групп Ли f˜ : G′ (R) → G′′ (R); (б) изоморфизм f однозначно продолжается до R-изоморфизма h : G′ → G′′ . 7.6. Замечание. В формулировке теоремы 7.5 условие «rankR G′ > 2» можно заменить условием «группа G′ не изоморфна над R группе PSL2 = = SL2 /{±E}» (см. [Most 7] и [Pr 1]). Следует отметить, что в формулировке теоремы 5.9 аналогичная замена невозможна (подробности см. в п. 2.5 дополнения C).

§ 8. Жесткость эргодических действий полупростых групп В этом параграфе представлены некоторые результаты Циммера о жесткости и эквивалентности орбит эргодических действий полупростых групп. Теоремы 8.2 и 8.3 о сверхжесткости коциклов (см. ниже) могут рассматриваться как обобщения теорем 5.7 и 5.9. Все G-пространства X в этом параграфе считаются стандартными борелевскими, т. е. существует борелевский изоморфизм между X и некоторым борелевским подмножеством сепарабельного полного метрического пространства. При этом рассматриваются лишь борелевские меры на X и отображение X × G → X, (x, g) 7→ x g, предполагается борелевским. 8.1. Пусть G, X, m и M таковы, как в п. 2.0. Коцикл в G-пространстве X — это борелевское отображение s : X × G → M, удовлетворяющее условию (1) п. 2.0. Два коцикла s1 , s2 : X × G → M называются эквивалентными или когомологичными, если существует такое борелевское отображение h : X → M, что для каждого g ∈ G выполняется равенство s2 (x, g) = h (g) s1 (x, g) h (x g) −1

почти для всех (относительно меры m) x ∈ X. В этом случае мы пишем s1 ∼ s2 .

§ 8. Жесткость эргодических действий полупростых групп

301

Если p : G → M — непрерывный гомоморфизм, то отображение sp : X × × G → M, sp (x, g) = p (g), является коциклом. Такой вид имеют те и только те коциклы, которые не зависят от x ∈ X. Коцикл s : X × G → M называется относительно компактным, если он эквивалентен коциклу, принимающему значения в компактной подгруппе группы M. Пусть k — локальное поле, H — алгебраическая k-группа. Мы говорим, что коцикл s : X × G → H(k) плотен по Зарисскому в H, если он не эквивалентен коциклу со значениями в L(k) ни для какой собственной k-подгруппы L ⊂ H. Прежде чем формулировать теорему сверхжесткости для коциклов, приведем еще одно определение. Q Пусть группа G = Ga (ka) такова, как в § 5. Назовем G-пространство a∈A

(X, m) неприводимым, если любая бесконечная стандартная (в смысле п. III.5.9) нормальная подгруппа в G действует эргодически на X. 8.2. Теорема (см. [Zi 8], теорема 10.1.6). Пусть B — совокупность всех простых чисел с добавлением бесконечности; A — конечное подмножество в B; для каждого p ∈ A пусть G p — связная односвязная нетривиальнаяQполупростая Q p -группа без Q p -анизотропных множителей; G = G p (Q p); pr p — естественная проекция G → G p (Q p); p∈A

p (k) ∈ B; k = Q p (k) ; H — связная присоединенная k-простая k-группа; X — неприводимое G-пространство с конечной инвариантной мерой; ϑ : X × G → H(k) — коцикл. Предположим, что def

rank G =

X

rankQ p G p > 2,

p∈A

коцикл ϑ плотен по Зарисскому в H и не относительно компактен. Тогда (i) p (k) ∈ A и существует такой Q p (k) -эпиморфизм h : G p (k) → H, что ϑ ∼ sh◦pr p (k) , где ∼ — отношение эквивалентности коциклов, определенное в п. 8.1, и sh◦pr p (k) (x, g) = h (pr p (k) (g)), x ∈ X, g ∈ G; (ii) существует такой непрерывный гомоморфизм p : G → H(k), что ϑ ∼ sp . 8.3. Теорема (см. [Zi 8], теорема 5.2.5). Пусть G — связная полупростая R-группа без R-анизотропных множителей; G(R) 0 — компонента единицы группы Ли G(R); k — локальное поле характеристики 0; H — связная почти k-простая k-группа; X — неприводимое G(R) 0 -пространство с конечной инвариантной мерой; ϑ : X × G(R) 0 → H(k) — коцикл. Предположим, что rankR G > 2 и коцикл ϑ плотен по Зарисскому в H. Тогда

302

Глава VII. Жесткость

(i) если поле k неархимедово, то коцикл ϑ относительно компактен; (ii) если поле k совпадает с R или C, а группа H проста над k (или, что равносильно, Z (H) = {e}), то либо коцикл ϑ относительно компактен, либо существует такой k-эпиморфизм h : G → H, что ϑ ∼ sh|G(R) 0 . Отметим, что для односвязной группы G теорема 8.3 является частным случаем теоремы 8.2. 8.4. Пусть G, k и H таковы, как в теореме 8.2; Γ — решетка в группе G; t : Γ → H(k) — гомоморфизм. Как и в п. V.3.0, обозначим через Ω = ΩΓ,t множество борелевских отображений f : G → H(k), удовлетворяющих условию f (g g) = f (g) t (g−1), g ∈ Γ, g ∈ G, и каждому f ∈ Ω поставим в соответствие коцикл B f : (Γ \ G) × G → H(k) (напомним, что B f (p (y), g) = f (y) f (y g) −1 , где y ∈ G, а p : G → Γ \ G — естественная проекция). Класс эквивалентности коцикла B f не зависит от выбора f ∈ Ω. Легко проверить, что коцикл B f относительно компактен (соответственно плотен по Зарисскому) в H, если и только если подгруппа p (Γ) относительно компактна (соответственно плотна по Зарисскому) в H. Легко также проверить, что для непрерывного гомоморфизма p : G → H(k) следующие условия равносильны: (а) существует h ∈ H(k), для которого p (g) = ht (g)h−1 при всех g ∈ Γ; (б) коциклы B f эквивалентны коциклу sp при всех f ∈ ΩΓ,t . В силу теоремы II.6.7 (б) неприводимость решетки Γ равносильна неприводимости G-пространства Γ \ G. Поэтому для случая rank G ′ > 2 теорема 5.7 вытекает из теоремы 8.2. Аналогично для этого случая теорема 5.9 вытекает из теоремы 8.3. 8.5. С помощью теорем 8.2 и 8.3 можно получить и такие результаты, которые на первый взгляд не имеют ничего общего с теоремами сверхжесткости для дискретных подгрупп. Эти результаты относятся к проблеме эквивалентности орбит эргодических действий. Напомним необходимые определения. Пусть G и G ′ — локально компактные группы; X — (правое) G-пространство с квазиинвариантной мерой m; X ′ — (правое) G ′ -пространство с квазиинвариантной мерой m′ . Действия группы G на X и группы G ′ на X ′ называются траекторно эквивалентными, если существуют борелевские подмножества X0 ⊂ X, X0′ ⊂ X ′ с дополнениями меры нуль и борелевский изоморфизм f : X0 → X0′ , такие что: (а) точки x, y ∈ X0 принадлежат одной и той же G-орбите, если и только если f (x) и f (y) принадлежат одной и той же G ′ -орбите; (б) отображение f переводит m в меру, эквивалентную m′ (т. е. m (Y) = 0 тогда и только тогда, когда m′ (f (Y)) = 0).

§ 8. Жесткость эргодических действий полупростых групп

303

Если G = G ′ и отображение f является G-эквивариантным, то действия группы G на X и на X ′ называются изоморфными. Пусть борелевский изоморфизм f : X → X ′ реализует эквивалентность орбит и действие группы G ′ на X ′ существенно свободно (т. е. почти все точки в X ′ имеют тривиальный стабилизатор). Удалив, если необходимо, множество меры нуль из X и из X ′ , можно для всех x ∈ X и g ∈ G посредством равенства f (x)ϑ(x, g) = f (x g) однозначно определить ϑ(x, g) ∈ G ′ . Непосредственно проверяется, что ϑ является коциклом. Пусть ϑ ∼ sp , где p : G → G ′ — непрерывный изоморфизм. Отождествим G и G ′ посредством p. Нетрудно показать, что тогда действия группы G на X и на X ′ будут изоморфны. С помощью указанной связи между коциклами и эквивалентностью орбит можно вывести из теорем 8.2 и 8.3 следующие теоремы 8.6 и 8.8. 8.6. Теорема (см. [Zi 8], теорема 10.1.8). Пусть A, A′ — конечные множества; ka (соответственно ka′ ′) при каждом a ∈ A (соответственно a′ ∈ A′) — локальное поле характеристики 0; Ga (соответственно Ga′ ′) — связная полупростая присоединенная алгебраичекая группа, которая определена, изотропна над ka (соответQ Q и ′проста ственно над ka′ ′ ); G = Ga (ka); G ′ = Ga′ (k′a′); X (соответственa∈A

a′ ∈A′

но X ′) — существенно свободное неприводимое G-пространство (соответственно G ′ -пространство) с конечной инвариантной мерой. Предположим, что X def rank G = rankka Ga > 2 a∈A

и действие группы G на X орбитально эквивалентно действию группы G ′ на X ′ . Тогда G и G ′ изоморфны как топологические группы, и после их отождествления посредством некоторого изоморфизма p : G → G ′ их действия становятся изоморфными. 8.7. Для каждой связной полупростой группы Ли G положим rank G = = rankR Ad G, где Ad G — замыкание по Зарисскому группы Ad G (подробности см. в начале § 6 гл. IX). 8.8. Теорема (см. [Zi 8], теорема 5.2.1). Пусть G и G ′ — связные полупростые группы Ли с конечным центром и без нетривиальных компактных множителей, X (соответственно X ′) — существенно свободное неприводимое эргодическое G- (соответственно G ′ -) пространство с конечной инвариантной мерой. Предположим, что действия группы G на X и группы G ′ на X ′ орбитально эквивалентны. Пусть также rank G > 2. Тогда: (i) G и G ′ локально изоморфны;

304

Глава VII. Жесткость

(ii) если Z (G) = Z (G ′) = {e}, то группы G и G ′ изоморфны и после их отождествления посредством этого изоморфизма действия G на X и G ′ на X ′ становятся изоморфными. 8.9. Представляется правдоподобным следующее утверждение. Q Ga ka и rank G таковы, как в § 5; k — (∗) Пусть A, ka , Ga , G = a∈A

локальное поле; H — связная присоединенная k-простая k-группа; X — неприводимое G-пространство с конечной инвариантной мерой; ϑ : X × G → H(k) — коцикл. Предположим, что rank G > 2 и коцикл ϑ плотен по Зарисскому в H и не является относительно компактным. Тогда существует такой непрерывный гомоморфизм p : G → H(k), что ϑ ∼ sp . Если char k = 0 и char ka = 0 при всех a ∈ A, то утверждение (∗) легко выводится из теоремы 8.2 (ii). Теоремы 8.2 и 8.3 были доказаны в работе [Zi 9] методом, который во многих отношениях аналогичен методам доказательства теорем сверхжесткости, упомянутым в п. 5.26. Вероятно, этот метод — в том виде, как он представлен в работе [Ve], — пригоден и для доказательства утверждения (∗). С другой стороны, весьма вероятно, что утверждение (∗) можно доказать, модифицировав доказательство теоремы 5.6. Также весьма вероятно, что можно доказать результаты об эргодических действиях, аналогичные результатам второй части § 5 (после п. 5.17). 8.10. Замечание. Из теорем сверхжесткости для коциклов вытекает и ряд других следствий, которые можно найти в [Zi 8], гл. 9, и других оригинальных статьях Роберта Циммера, в частности [Zi 6].

Глава VIII

Нормальные подгруппы и «абстрактные» гомоморфизмы полупростых алгебраических групп над глобальными полями В этой главе K обозначает глобальное поле; R — множество всех (неэквивалентных) нормирований поля K ; R∞ ⊂ R — (конечное) множество его архимедовых нормирований. Значение нормирования v ∈ R на элементе x ∈ K будет обозначаться |x|v . Как и выше, Kv обозначает пополнение поля K относительно нормирования v ∈ R. Если S ⊂ R и H — (редуктивная) K -группа, то положим X rankS H = rankKv H ∈ N ∪ {∞}. v∈S

Как и в п. I.0.32, для каждого S ⊂ R обозначим через K (S) кольцо S-целых элементов поля K . Как и в п. I.3.1, для каждой K -подгруппы H ⊂ GLn положим H(K (S)) = H ∩ GLn (K (S)),

H(a) = H ∩ GLn (a),

где a — ненулевой идеал в K (S). Как и в п. I.3.1.2, подгруппа группы H называется S-арифметической, если она соизмерима с H(K (S)). Как и в § 6 гл. VII, M¯ обозначает замыкание по Зарисскому множества M, а H0 — связную компоненту единицы в алгебраической группе H. Для l-группы H и гомоморфизма s поля l в поле l ′ в пп. I.1.7 и I.1.8 были определены l ′ -группа s H и гомоморфизм s0 : H(l) → s H(l ′). В этой главе G ⊂ GLn обозначает связную некоммутативную почти K -простую K -группу. Положим T = T (G){v ∈ R | группа G(Kv) ком-

306

Глава VIII. Нормальные подгруппы и «абстрактные» гомоморфизмы

пактна, или, что эквивалентно, группа G анизотропна над Kv } и выберем подмножество S ⊂ R, содержащее R∞ − T . В этой главе будет получен ряд результатов о нормальных подгруппах и гомоморфизмах S-арифметических подгрупп группы G в алгебраические группы. В частности, будут доказаны следующие теоремы. A. Пусть Λ — некоторая S-арифметическая подгруппа группы G, а N — нормальная подгруппа в Λ. Предположим, что rankS G > 2 и либо группа G связна, либо множество S конечно. Тогда либо N ⊂ Z (G), либо факторгруппа Λ/N конечна. Б. Пусть Λ — некоторая S-арифметическая подгруппа группы G; l — поле; H — алгебраическая l-группа; d : Λ → H(l) — гомоморфизм. Предположим, что char K = 0 и rankS G > 2. Тогда (i) если char l 6= 0 и группа G односвязна, то группа d (Λ) конечна; (ii) если char l = 0, то группа d (Λ) полупроста; (iii) если char l = 0 (т. е. l ⊃ Q) и группа G односвязна, то существуют (однозначно определенный) l-морфизм f : RK /Q G → H и гомоморфизм n : Λ → H, такие что подгруппа n (Λ) конечна, коммутирует с f (RK /Q G) и d (l) = n (l) · f (RK0 /Q l) при всех l ∈ Λ. Теоремы А и Б доказываются по следующей схеме. Выберем такое конечное подмножество E ⊂ S, что E ⊃ R∞ − R и rankE G > 2. Положим Γ = Λ ∩ G(K (E )) и отождествим группу Γ с ее образом при диагональном def Q вложении в GE = G(Kv). Согласно теореме Бореля — Хариш-Чандры — v∈E

Бера — Хардера о редукции (см. теорему I.3.2.5) Γ является решеткой в GE . Поэтому можно применить теорему IV.4.9 для доказательства теоремы А, а теоремы VII.6.5 и VII.6.16 — для доказательства теоремы Б. В случае бесконечного множества S необходимо использовать сильную теорему об аппроксимации. Осуществление этой схемы не встречает существенных трудностей в любом из следующих случаев: (а) группа G анизотропна над K ; (б) в теореме A выполняется неравенство rankKv G > 2 при некотором v ∈ S; (в) в теореме Б группа d (Λ) полупроста. В других случаях приходится использовать некоторые свойства фундаментальных областей S-арифметических подгрупп. Мы рассматриваем эти свойства в § 1. В качестве таких фундаментальных областей мы берем, как обычно, подмножества конечных объединений областей Зигеля. Если в теореме Б отбросить условие «char K = 0», то ввиду теоремы I.3.2.4 (б), теоремы Б п. VII.5.25 и леммы VII.5.22 группа d (Λ) в общем случае не является полупростой. Однако без ограничения на характеристику поля K можно доказать следующую теорему (см. 3.4).

§ 1. Некоторые свойства фундаментальных областей S-арифметических групп

307

В. Пусть Λ — некоторая S-арифметическая подгруппа группы G; l — поле; H — связная некоммутативная абсолютно почти простая l-группа; d : Λ → H(l) — гомоморфизм, для которого d (Λ) = H. Предположим, что rankS G > 2 и либо G — односвязная, либо H — присоединенная группа. Тогда существуют (однозначно определенные) гомоморфизм s : K → l, специальный (в смысле п. I.1.4.14) l-эпиморфизм h : s G → H и гомоморфизм n : Λ → Z (H), такие что d (l) = n (l) · h (s0 (l)) при всех l ∈ Λ. Уместно сказать несколько слов о доказательстве теоремы В. С помощью теоремы VII.6.5 и упоминавшейся теоремы Бореля — Хариш-Чандры — Бера — Хардера о редукции можно легко установить существование гомоморфизмов s, h и n, если заменить поле l некоторым его расширением. Тогда остается доказать единственность этих гомоморфизмов и включение s (K) ⊂ l. Если K = Q, то это включение очевидно, а единственность гомоморфизмов следует из того факта, что любая подгруппа конечного индекса в Λ плотна по Зарисскому в G (см. предложение I.3.2.10). Случай char K = 0 легко сводится к случаю K = Q с помощью функтора ограничения скаляров. Однако при char K 6= 0 требуется более тщательный анализ. Отметим также, что в нашем доказательстве теоремы В не используются результаты § 1.

§ 1. Некоторые свойства фундаментальных областей S-арифметических групп В этом параграфе множество S предполагается конечным. Пусть Q Γ— некоторая S-арифметическая подгруппа в G(K). Положим GS = G(Kv) v∈S

и отождествим группу Γ с ее образом при диагональном вложении в GS . Множество борелевских фундаментальных областей при действии подгруппы Γ на GS слева будет обозначаться f(GS , Γ). Для каждой области X ∈ f(GS , Γ) определим (единственные) борелевские множества tX : GS → Γ и wX : GS → X посредством уравнения g = tX (g) · wX (g),

g ∈ G,

tX (g) ∈ Γ,

wX (g) ∈ X.

1.1. Напомним, что G рассматривается как K -подгруппа в GLn , n ∈ N+ . Для v ∈ S, y = (y1 , . . . , yn) ∈ Kvn , B ∈ End(Kvn), G ∈ GS определим нормы X kykv = |yi |v , kBkv = sup kByk/kyk, k gk = max kprv (g)k, 16i6n

y∈Kvn ,y6=0

где prv : GS → G(Kv) — естественная проекция.

v∈S

308

Глава VIII. Нормальные подгруппы и «абстрактные» гомоморфизмы

Борелевское множество X ⊂ GS называется квазиограниченным, если ] + ln (kyk + ky −1 k)d mGS (y) < ∞. (1) X

Замечание. Так как D (G) = G, мы имеем G ⊂ SLn . При A ∈ SLn элементы матрицы A−1 — многочлены от элементов матрицы A. Поэтому существуют такие положительные константы c и d, что k g −1 k < ck gkd при всех g ∈ GS . Так как G ⊂ SLn , по лемме IV.1.1 мы получаем, что ln k gk > 0 при всех g ∈ GS . Поэтому условие (1) равносильно следующему: ] (1′) ln kykd mG (y) < ∞. X

1.2. Предложение. Существуют квазиограниченная фундаментальная область X ∈ f(GS , Γ), i ∈ N+ и минимальные параболические K -подгруппы P1 , . . . , Pi ⊂ G, для которых выполнено следующее: (а) для любого компакта M ⊂ GS существует такое конечное S множество F = F (M) ⊂ Γ, что tX (X · M) ⊂ (Ru (P j) ∩ Γ) · F ; 16 j6i

(б) для любого компакта M ⊂ GS множество {wX (y g) −1 y | y ∈ X, g ∈ M} относительно компактно в GS . Мы дадим лишь схему доказательства этого предложения. Пусть мы нашли борелевское множество Ω ⊂ GS со следующими свойствами: (i) Ω — фундаментальная область для Γ, т. е. GS = Γ · Ω; (ii) множество Ω квазиограничено; (iii) существуют такое i ∈ N+ и такие минимальные параболические K -подгруппы P1 , . . . , Pi ⊂ G, что для любого компакта M ⊂ GS множество {g ∈ Γ | gΩ ∩ ΩM 6= ∅} содержится в конечном объединении множеств вида (Ru (P j) ∩ Γ) g, 1 6 j 6 i, g ∈ Γ; (iv) для любого компакта M ⊂ GS множество {z −1 y | y, z ∈ Ω, z ∈ ΓyM} относительно компактно в GS . В этом случае в качестве X можно взять любую фундаментальную область, лежащую в Ω. Область Ω для случая K = Q, S = {∞} построена в [Bo 5], а для общего случая в [Be 2] и [Har 2]. Можно взять в качестве Ω конечное объединение (обобщенных) областей Зигеля. Напомним определение области Зигеля в случае K = Q, S = {∞} (тогда GS = G(R), Γ — арифметическая подгруппа в G(Q)). Пусть P — минимальная параболическая Q-подгруппа в G; A — максимальный Q-расщепимый тор в G, содержащийся в P; L — максимальная компактная подгруппа в G(R), алгебра Ли которой ортогональна (относительно формы Киллинга) алгебре Ли подгруппы A(R). Введем на системе корней Φ(A, G) упорядочение, при котором P совпадает с P∅ (в обозначениях п. I.1.2). Пусть

§ 1. Некоторые свойства фундаментальных областей S-арифметических групп

309

∆ — множество простых корней относительно этого упорядочения. Обозначим через F A компоненту единицы в группе Ли A(R) и при каждом t ∈ R+ положим F At = {a ∈F A | a (a) 6 t ∀ a ∈ ∆}. Пусть U = Ru (P). Напомним, что P = ZG (A) ⋉ U. При этом ZG (A) = A · F, где F — наибольшая связная Q-анизотропная Q-подгруппа в ZG (A). С другой стороны, из разложения Ивасавы получаем P(R) · L = G(R). Отсюда вытекает следующее разложение: G(R) = U(R) · F A · F(R) · L. Область Зигеля в G(R), ассоциированная с L, P и A, — это любое множество вида st,h,w = w · F At · h · L,

где h (соответственно w) — компакт в F(R) (соответственно в U(R)). Как отмечено выше, в качестве Ω можно взять конечное объединение областей Зигеля. Точнее, существуют область Зигеля s = st,h,w и конечное множество C ⊂ G(Q), такие что Ω = C · s удовлетворяет условиям (i) — (iv). Проверка условий (iii) — (iv) в действительности проведена в работе [Be 2] при доказательстве того, что группа G(K (S)) конечно порождена. Квазиограниченность множества s (а тогда и Ω) можно доказать тем же способом, что и конечность объема этих множеств (см. [Bo 5], § 12, предложение 3). Относительно условия (i) в случае K = Q, S = {∞} см. [Bo 5], § 14, теорема 2. 1.3. Предложение. Пусть n ∈ N+ , K — локальное поле, T : Γ → → GLn (K) — представление группы Γ в пространстве K n . Предположим, что char K = 0, S ⊂ R∞ и выполнено следующее условие: (∗) существует такая подгруппа конечного индекса Γ1 ⊂ Γ, что T (Γ1(u)) ⊂ GLn(u) (т. е. матрица T (g) унипотентна для любого унипотентного g ∈ Γ1). Тогда представление T является Γ-интегрируемым (в смысле § 3 гл. V). Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно лемме I.3.1.4 можно заменить G на RK /Q G, Γ — на RK0 /Q (Γ) и считать, что K = Q, S = {∞}. Тогда G является Q-группой, Γ — арифметической подгруппой в G(Q) и GS = G(R). Пусть фундаментальная область X ∈ f(GS , Γ) и K -подгруппы P1 , . . . , Pi таковы, как в предложении 1.2. Покажем, что область X является (Γ, T)-интегрируемой, т. е. для любого компакта M ⊂ GS выполнено соотношение def

QM,X (y) = sup (ln+ kT (tX (y g))k + ln+ kT (tX (y g)) −1 k) < ∞ g∈M

почти для всех y ∈ X и QM,X ∈ L1 (X, mGS ). Так как

tX (y g) = y g wX (y g) −1 = y g (wX (y g) −1 y)y −1 ,

310

Глава VIII. Нормальные подгруппы и «абстрактные» гомоморфизмы

из квазиограниченности области X и предложения 1.2 (б) вытекает, что для любого компакта M ⊂ GS функция def

fM (y) = sup (ln+ ktX (y g)k + ln+ ktX (y g) −1 k), g∈M

y ∈ X,

принадлежит L1 (X, mGS ); здесь kBk, B ∈ End(kn), определяется так же, как в гл. II и V. Так как Γ1 имеет конечный индекс в Γ и [ tX (X · M) ⊂ (Ru (P j) ∩ Γ) · F , 16 j6i

где подгруппа F ⊂ Γ конечна, то существует конечное множество F1 ⊂ Γ, для которого [ tX (X · M) ⊂ (Ru (P j) ∩ Γ1) · F1 . (1) 16 j6i

Вначале рассмотрим случай, когда k совпадает с R или C. Так как ограничение гомоморфизма T на арифметическую подгруппу Ru (P j) ∩ Γ1 или Ru (P) (Q) унипотентно, его можно продолжить по лемме I.3.3.4 (а) до рационального гомоморфизма T j : Ru (P j) → GLn . Следовательно, элементы матрицы T (u) являются многочленами от элементов матрицы u ∈ Ru (P j) ∩ Γ1 , и поэтому существуют такие константы c1 , c2 , что ln+ kT (u)k 6 c1 ln+ kuk + c2 ,

u ∈ Ru (P j) ∩ Γ1 ,

1 6 j 6 i.

(2)

Так как fM ∈ L1 (X, mGS ) и множество F1 конечно, из соотношений (1), (2) и неравенства kBCk 6 kBkkCk (B, C ∈ End kn) вытекает, что QM,X ∈ L1 (X, mGS ). Пусть теперь поле k неархимедово. Тогда по лемме I.3.3.4 (б) подгруппа T (Ru (P j) ∩ Γ) относительно компактна в GLn (k) при j = 1, . . . , i. Отсюда с учетом включения (1) и конечности множества F1 следует, что множество tX (X · M) относительно компактно в GLn (k). Следовательно, функция QM,X ограничена и потому принадлежит L1 (X, mGS ). Это означает, что область X является (Γ, T)-интегрируемой, а тогда представление T является Γ-интегрируемым. 1.4. Замечание. В предложении 1.3 условие «S ⊂ R∞ » наложено лишь для упрощения доказательства и может быть опущено. Однако условие «char K = 0», вообще говоря, существенно. Действительно, пусть K = F (t) — поле рациональных функций одного переменного над конечным полем F , множество S = {v} состоит из одного нормирования и Γ = SL2 (K (S)) рассматривается как дискретная подгруппа в SL2 (Kv). Тогда можно показать, что некоторое конечномерное представление T группы Γ над Kv не является Γ-интегрируемым и переводит унипотентные элементы

§ 2. Конечность факторгрупп S-арифметических групп

311

из Γ в унипотентные матрицы. Однако есть достаточно оснований полагать, что в случае положительной характеристики любое представление T : Γ → GLn (K), rankS G > 2, является Γ-интегрируемым.

§ 2. Конечность факторгрупп S-арифметических групп Пусть Ψ = Ψ(G) — подгруппа Ad−1 ((Ad G) (K)) группы G. Иначе говоря, Ψ = {g ∈ G | K -алгебра Lie(G) K является (Ad g)-инвариантной}. Отметим, что G(K) ⊂ Ψ. 2.1. Лемма. (i) Подгруппа G(K) нормальна в Ψ, факторгруппа Ψ/G(K) коммутативна и периодична и порядки ее элементов ограничены в совокупности. (ii) Пусть p : G → G′ — центральная K -изогения K -групп. Тогда p (Ψ(G)) = Ψ(G′). Д о к а з а т е л ь с т в о. (i) Согласно предложению I.1.4.11 (iv) изогения Ad: G → Ad G центральна. Остется применить замечание 2 из п. 1.4.2 гл. I. (ii) В силу предложения I.1.4.7 композиция центральных изогений редуктивных групп является центральной изогенией. Теперь заметим, что изогении AdG = Ad: G → Ad G и AdG′ = Ad: G′ → Ad G′ центральны, а группы Ad G и Ad G′ присоединенные. Таким образом, имеются две центральные K -изогении AdG′ ◦p : G → Ad G′ и AdG : G → Ad G группы G в присоединенные K -группы (см. предложение I.1.4.11 (iv)). В силу предложения I.1.4.11 (iii) существует такой K -изоморфизм f : Ad G′ → Ad G, что f ◦ AdG′ ◦p = AdG . Отождествив Ad G′ и Ad G посредством f , получаем, что −1 ′ p (Ψ(G)) = p (Ad−1 ◦ Ad−1 G (Ad G) (K)) = (p ◦ p G′ ) (Ad G) (K) = Ψ(G ).

2.2. Лемма. Пусть Λ — некоторая S-арифметическая подгруппа в G, причем S 6⊂ T или, что эквивалентно, rankS G > 0. Тогда справедливы следующие утверждения. (i) Λ ⊂ Ψ. (ii) Если N — подгруппа в Ψ, нормализуемая подгруппой Λ, и N 6⊂ Z (G), то N ∩ G(K) = G, откуда следует, что N ∩ G(K) 6⊂ Z (G). def Д о к а з а т е л ь с т в о. (i) По предложению I.3.2.10 подгруппа Λ0 = Λ ∩ ∩ G(K (S)) плотна по Зарисскому в G, и поэтому подгруппа Ad Λ0 группы (Ad G) (K) плотна по Зарисскому в полупростой присоединенной группе Ad G. С другой стороны, так как Λ0 имеет конечный индекс в Λ, то Ad Λ ⊂ Comm AdG (Ad Λ0). Тогда по лемме VII.6.2 (ii) мы имеем Ad(Λ) ⊂ ⊂ (Ad G) (K), откуда Λ ⊂ Ψ. (ii) Согласно предложению I.3.2.10 мы имеем Λ¯ = G, откуда Ad Λ= Ad G. Так как Ker Ad = Z (G) (см. I.0.24), N 6⊂ Z (G), Ad N ⊂ (Ad G) (K) и Ad Λ

312

Глава VIII. Нормальные подгруппы и «абстрактные» гомоморфизмы

нормализует Ad N , мы получаем, что подгруппа Ad N отлична от {e}, определена над K и нормальна в Ad Λ = Ad G. Поскольку группа G связна и почти K -проста, группа Ad G является K -простой. Поэтому Ad N = Ad N = Ad G. Отсюда, из связности группы G и конечности ядра Ker Ad вытекает, что N¯ = G, откуда следует, что D (N) = G. Но по лемме 2.1 (i) мы имеем D (N) ⊂ D (Ψ) ⊂ G(K). Следовательно, N ∩ G(K) = G. 2.3. Лемма. Пусть Λ — некоторая S-арифметическая подгруппа в G; N — подгруппа в Ψ,нормализуемая подгруппой Λ; E — подмножество в S, не содержащееся в T ; ΛE = Λ ∩ G(K (E )). (а) Если N 6⊂ Z (G), то N ∩ ΛE 6⊂ Z (G). (б) Пусть группа G связна и абсолютно почти проста, E ⊃ S ∩ T , Λ ⊂ G(K), N 6⊂ Z (G). Тогда Λ = (N ∩ Λ) · ΛE , и поэтому факторгруппа Λ/ (N ∩ Λ) изоморфна ΛE / (N ∩ ΛE ). (в) Пусть группа G односвязна. Тогда если подгруппа N ∩ ΛE имеет конечный индекс в группе ΛE , то N ∩ Λ имеет конечный индекс в Λ. Д о к а з а т е л ь с т в о. (а) Согласно лемме 2.2 (ii) мы имеем N ∩ G(K) 6⊂ 6⊂ Z (G). Пусть g ∈ (N ∩ G(K)) − Z (G). Положим Λ g = ΛE ∩ (g −1 ΛE g). Так как g ∈ G(K), по лемме I.3.1.3 (б) подгруппа Λ g имеет конечный индекс в E -арифметической подгруппе ΛE , откуда следует, что Λ¯ g = G (см. предложение I.3.2.10). Но g ∈ / Z (G), группа G связна и ее центр конечен. Поэтому существует такое l ∈ Λ g , что g l g −1 l−1 ∈ / Z (G). Так как g ∈ N1 , l ∈ Λ g и Λ g нормализует N , мы имеем g l g −1 l−1 ∈ N ∩ ΛE . Следовательно, N ∩ ΛE 6⊂ Z (G). (б) Так как G(K (S)) — объединение подгрупп G(K (S ′)), где S ′ пробегает все конечные подмножества в S, то можно считать S конечным. Индукция позволяет ограничиться случаем, когда S = E ∩ {v}, где v ∈ R − R∞ − E ⊂ R − R∞ − T . Пусть Λv и Nv — замыкания подгрупп Λ и N ∩ G(K) в G(Kv). Так как E 6⊂ T и v ∈ S − E , по сильной теореме об аппроксимации подгруппа G(K (S)) плотна в G(Kv) (см. замечание 2 в п. II.6.8). Но подгруппа Λ соизмерима с G(K (S)) и нормализует подгруппу N ∩ G(K), которая по лемме 2.2 (ii) не содержится в Z (G). Следовательно, подгруппа Λv имеет конечный индекс в G(Kv) и нормализует Nv 6⊂ Z (G). С другой стороны, так как группа G односвязна, абсолютно почти проста и Kv -изотропна, то по следствию I.2.3.2 группа G(Kv) не содержит собственных подгрупп конечного индекса и любая ее собственная нормальная подгруппа лежит в Z (G). Поэтому Nv = G(Kv), т. е. подгруппа N ∩ G(K) плотна в G(Kv). Осталось заметить, что если O — кольцо целых элементов поля Kv , то ΛE = Λ ∩ G(Ov) и подгруппа G(Ov) открыта в G(Kv). (в) Заменив Λ на Λ ∩ G(K) и N на N ∩ G(K), можно считать, что Λ ⊂ G(K) и N ⊂ G(K). Представим G в виде G = RK ′ /K G′ , где K — конечное

§ 2. Конечность факторгрупп S-арифметических групп

313

сепарабельное расширение поля K , а G′ — односвязная абсолютно почти простая K -группа (см. п. I.1.7). Тогда по лемме I.3.1.4 можно заменить G, Λ и N соответственно на G′ , (RK0 ′ /K ) −1 (Λ) и (RK0 ′ /K ) −1 (N). Поэтому можно считать группу G абсолютно почти простой. Так как подгруппы G(K (E )) и G(K (E ∪ T )) соизмеримы, можно заменить E на E ∪ (S ∩ T ) и считать, что E ⊃ S ∩ T (см. п. I.3.2.3). После всех этих редукций получаем с учетом утверждения (б), что факторгруппа Λ/ (N ∩ Λ) изоморфна конечной группе ΛE / (N ∩ ΛE ). 2.4. Лемма. Пусть Λ — некоторая S-арифметичекая подгруппа в G; N — нормальная подгруппа в Λ; P — минимальная параболическая K -подгруппа в G; V = Ru (P). Предположим, что N 6⊂ Z (G), группа G односвязна, множество S конечно и rankS G > 2. Тогда: (i) в кольце K (S) имеется такой ненулевой идеал a, что N ⊃ ⊃ (gV g −1) (a) для всех g ∈ G(K) (см. [Rag 7], теорема 2.1); (ii) подгруппа N ∩ V имеет конечный индекс в Λ ∩ V, т. е. образ подгруппы Λ ∩ V при естественном эпиморфизме f : Λ → Λ/N конечен (это следует из (i) и леммы I.3.1.1 (iii)). Из предложения 1.2.(a) и леммы 2.4 (ii) вытекает 2.5. Следствие. Пусть Λ — некоторая S-арифметическая подгруппа в группе G(K), а N — нормальная подгруппа в Λ. Предположим, что N 6⊂ Z (G), группа G односвязна, множество S конечно Q и rankS G > 2. Положим GS = G(Kv), отождествим группу Λ с ее n∈S

(дискретным) образом при диагональном вложении в GS , и пусть f(GS , Λ) — семейство борелевских фундаментальных областей X ⊂ GS для действия Λ слева. Тогда существует (Λ, N)-допустимая область X ∈ f(GS , Λ). (Как и в п. IV.3.8, область X ∈ f(GS , Λ) называется (Λ, N)-допустимой, если для любого компакта L ⊂ GS множество f (tX (X · L)) конечно; здесь f : Λ → Λ/N — естественный эпиморфизм, а отображение tX : GS → A определяется включением g ∈ tX (g)X, g ∈ G.) 2.6. Теорема. Пусть N ⊂ Ψ — подгруппа, нормализуемая S-арифметической подгруппой Λ группы G. (i) Если множество S конечно и rankS G > 2, то либо N ⊂ Z (G), либо N ∩ Λ имеет конечный индекс в Λ. (ii) Если множество S бесконечно и группа G односвязна, то либо N ⊂ Z (G), либо N ∩ Λ имеет конечный индекс в Λ. Д о к а з а т е л ь с т в о. (i) Пусть G˜ — односвязная накрывающая группы G, а p : G˜ → G — центральная K -изогения (см. предложение I.1.4.11 (i)). ˜ (S))) Так как множество S конечно, по следствию I.3.2.9 подгруппы p (G(K и G(K (S)) соизмеримы. С другой стороны, при любом v ∈ R группы G и G˜ имеют одинаковый Kv -ранг (см. следствие I.1.4.6), и по лемме 2.1 (ii) мы

314

Глава VIII. Нормальные подгруппы и «абстрактные» гомоморфизмы

˜ Поэтому можно заменить G на G, ˜ Λ на p−1 (Λ), N имеем p−1 (Ψ(G)) = Ψ(G). −1 на p (N) и считать, что группа G односвязна. Далее, ввиду леммы 2.3 (а) и соизмеримости подгрупп Λ и Λ ∩ G(K) можно заменить Λ на Λ ∩ G(K), N на N ∩ Λ и считать, что Λ ⊂ G(K) и N ⊂ Λ. Как и в доказательстве леммы 2.3 (в), можно использовать функтор ограничения скаляров и перейти к случаю, когда группа G абсолютно почти проста. Как отмечено в п. I.3.2.3, для любого S ′ ⊂ R подгруппа G(K (S ′)) имеет конечный индекс в G(K (S ′ ∪ T )). Поэтому можно заменить S на S − T и считать Q группу G изотропной над Kv для всех v ∈ S. Положим GS = G(Kv) и v∈S

отождествим группу Λ с ее образом при диагональном вложении в GS . По теореме Бореля — Хариш-Чандры — Бера — Хардера о редукции (см. теQ орему I.3.2.5) Λ является решеткой в GS . Очевидно, Λ ∩ G(Kv) = {e} v∈S ′

для всех S $ S. Тогда решетка Λ ⊂ GS неприводима, поскольку группа G абсолютно почти проста. Согласно следствию 2.5, существует (Λ, N)-допустимая область X ∈ f(GS , Λ). Применив теорему IV.4.9, получаем, что либо N ⊂ Z (G(K)) = Z (G) (K), либо факторгруппа Λ/N конечна. (ii) Так как множество S бесконечно, а T конечно, существует такое конечное подмножество E ⊂ S, что E ⊃ R∞ − T и rankE G > 2. Положим ΛE = Λ ∩ G(K (E )). Пусть N 6⊂ Z (G). Тогда по лемме 2.3 (а) мы имеем N ∩ ∩ ΛE 6⊂ Z (G). Отсюда и из утверждения (i) вытекает, что N ∩ ΛE имеет конечный индекс в ΛE , а тогда N ∩ Λ имеет конечный индекс в Λ (см. лемму 2.3 (а)). 2.7. Замечания к теореме 2.6. (i) В случае K -анизотропной группы G факторпространство G(K (S)) \ GS компактно (см. теорему I.3.2.4 (б)). Поэтому при редукции теоремы 2.6 к теореме IV.4.9 нет необходимости использовать следствие 2.5. Это не требуется и в том случае, когда rankKv G > 2 при некотором v ∈ S. (ii) Теорема А, сформулированная в начале этой главы, является частным случаем (N ⊂ Λ) теоремы 2.6. (iii) Если rankS G = 1, то существует S-арифметическая подгруппа Λ ⊂ G, содержащая некоммутативную свободную нормальную (в Λ) подгруппу конечного индекса. Это √ следует из замечания IV.4.11. (iv) Пусть d ∈ N+ ; k = Q( −d) — чисто мнимое квадратичное расширение поля Q; B — кольцо Z-целых элементов поля k. Тогда (см. [G–S 2]) существует подгруппа конечного индекса Γ ⊂ SL2 (B), имеющая свободную некоммутативную факторгруппу. 2.8. Следствие. Пусть Λ — некоторая S-арифметическая подгруппа в G. Тогда факторгруппа Λ/D (Λ) конечна в любом из двух следующих случаев: ′

§ 2. Конечность факторгрупп S-арифметических групп

315

(а) множество S конечно и rankS G > 2; (б) множество S бесконечно и группа G односвязна. Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно предложению I.3.2.10 мы имеем Λ¯ = G, откуда следует, что D (Λ) = D (G) = G. Значит, D (Λ) 6⊂ Z (G), и остается применить теорему 2.6. 2.9. Замечание. Если группа G анизотропна над K или rankKv G > 2 при некотором v ∈ S, то следствие 2.8 можно также вывести из теоремы Г(б) п. III.5.9 и следствия IV.3.12 тем же способом, каким теорема 2.6 выводится из теоремы IV.4.9. Следующая теорема является частным случаем (S = R и N ⊂ Λ) теоремы 2.6. 2.10. Теорема. Пусть группа G односвязна; Λ — подгруппа конечного индекса в G(K); N — нормальная подгруппа в Λ. Тогда либо N ⊂ Z (G), либо факторгруппа Λ/N конечна. 2.11. Замечание. Если группа G изотропна над K и rankKv G = 1 при всех v ∈ R, то группа G квазирасщепима над K 1 . Но, как известно, если k — бесконечное поле, а H — связная односвязная квазирасщепимая полупростая k-группа, то H(k) = H(k) + . Поэтому группа H(k) не содержит собственных подгрупп конечного индекса и все ее собственные нормальные подгруппы лежат в Z (H) (см. теорему I.1.5.6 и следствие I.1.5.7). Поэтому, как отмечено в [Pr 5], в доказательстве теоремы 2.10 можно считать, что либо группа G анизотропна над K , либо rankKv G > 2 для некоторого v ∈ R. Отсюда и из замечания 2.7 (i) видно, что при доказательстве теоремы 2.10 можно не использовать следствие 2.5. Теорема 2.6 допускает следующее обобщение. 2.12. Теорема. Пусть G˜ — односвязная накрывающая группы G; p : G˜ → G — центральная K -изогения; Λ˜ — некоторая S-арифмети˜ ческая подгруппа в G(K); N — подгруппа в Ψ, которую нормализует ˜ p (Λ). Пусть при этом rankS G > 2. Тогда либо N ⊂ Z (G), либо фактор˜ / (N ∩ p (Λ)) ˜ конечна. группа p (Λ) Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно следствию I.1.4.6 группы G и G˜ имеют одинаковый Kv -ранг при всех v ∈ R. Следовательно, rankS G˜ > 2. С другой стороны, Λ˜ нормализует p−1 (N), и по лемме 2.1 (ii) мы имеем p−1 (N) ⊂ ˜ Тогда по теореме 2.6 либо p−1 (N) ⊂ Z (G), ˜ либо фак⊂ p−1 (Ψ(G)) = Ψ(G). −1 ˜ ˜ торгруппа p (N) ∩ Λ имеет конечный индекс в Λ. 2.13. Следствие. Пусть Λ — некоторая S-арифметическая подгруппа в G, а N — нормальная подгруппа в Λ. Пусть при этом rankS G > 2. Тогда либо N ⊂ Z (G), либо порядки всех элементов 1 Редуктивная

алгебраическая K -группа называется квазирасщепимой, если она содержит борелевскую подгруппу, определенную над K . — Прим. ред.

316

Глава VIII. Нормальные подгруппы и «абстрактные» гомоморфизмы

факторгруппы Λ/N ограничены и Λ/N содержит нормальную подгруппу F конечного индекса с конечным коммутантом. Чтобы доказать следствие 2.13, потребуется 2.14. Лемма. Пусть f : F′ → F — центральная K -изогения связных редуктивных K -групп. Тогда (i) существует S-конгруэнц-подгруппа F(a) (конечного индекса) в F(K (S)), такая что D (F(a)) ⊂ f (F′ (K (S))); (ii) существует такое r ∈ N+ , что g r ∈ f (F′ (K (S))) для всех g ∈ ∈ F(K (S)). Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как f — центральная K -изогения связных редуктивных K -групп, существуют d ∈ N+ и регулярные отображения q : F × F → F′ и m : F → F′ , определенные над K , для которых q (f (u0 , v0)) = −1 = u0 v0 u−1 и m (f (u0)) = ud0 для всех u0 , v0 ∈ F (см. п. I.1.4.1). Очевидно, 0 v0 q (e, e) = m (e) = e. Поэтому существует такой ненулевой идеал a кольца K (S), что q (F(a) × F(a)) ⊂ F′ (K (S)) и m (F(a)) ⊂ F′ (K (S)) (см. лемму I.3.1.1 (i)). Тогда uvu−1 v −1 = f (q (u, v)) ∈ f (F′ (K (S))) при всех u, v ∈ F(a). Этим доказано утверждение (i). При этом ud ∈ f (F(K (S))) для всех u ∈ F(a). Этим доказано утверждение (ii), поскольку g t ∈ F(a) для всех g ∈ F(K (S)), где t = card(F(K (S))) /F(a). 2.15. Д о к а з а т е л ь с т в о с л е д с т в и я 2. 1 3. Пусть G˜ — односвязная накрывающая группы G, а p : G˜ → G — центральная K -изогения. Поло˜ жим Λ˜ = p−1 (Λ) ∩ G(K (S)). Так как Λ и G(K (S)) соизмеримы, по лемме 2.14 существуют t ∈ N+ и подгруппа Λ0 конечного индекса в Λ, та˜ для каждого g ∈ Λ и D (Λ0) ⊂ p (Λ). ˜ Остается положить кие что g t ∈ p (Λ) F = Λ0 / (N ∩ Λ0) и заметить, что если N 6⊂ Z (G), то по теореме 2.12 фак˜ / (N ∩ p (Λ)) ˜ конечна. торгруппа p (Λ) 2.16. Для K -изотропных групп G ранее были доказаны алгебраическими методами различные частные случаи теоремы 2.6. В частности, при rankK G > 2 она была доказана Л.Н. Вассерштейном [Va 2] для всех классических групп и Рагунатаном [Rag 7] в общем случае. В работе [Va 2] были, кроме того, анонсированы некоторые результаты о нормальных подгруппах, например теорема 2.6 для классических групп K -ранга 1. Алгебраическими методами можно полностью исследовать случай K -изотропных групп (см. [Rag 2]). Доказательства, предложенные в работах [Rag 7] и [Va 2], состоят из двух частей. Первая часть — это утверждение (i) леммы 2.4. Вторая часть посвящена доказательству следующего факта. Пусть группа G изотропна над K и rankS G > 2; a — ненулевой идеал кольца K (S); S подгруппа Ea порождена множеством (gV g −1) (a), где V = Ru (P), P — g∈G(K)

максимальная параболическая K -подгруппа в G. Тогда Ea имеет конечный индекс в G(K (S)).

§ 2. Конечность факторгрупп S-арифметических групп

317

Если группа G анизотропна над K , то Ea = {e}. При этом представляется маловероятным, чтобы для произвольной K -анизотропной группы G, даже в случае rankS G > 2, удалось явно указать класс Ω подмножеств группы G(K (S)) со следующими свойствами: (а) если N — нормальная подгруппа S-арифметической подгруппы в G и N 6⊂ Z (G), то N ⊃ X для некоторого X ∈ Ω; (б) любое подмножество X ∈ Ω порождает подгруппу конечного индекса в G(K (S)). Поэтому в случае rankK G = 0 применение алгебраических методов представляется чрезвычайно трудным. Тем не менее Кнезер (см. [Kn 1], [Kn 4] и [Kn 5]) сумел дать алгебраическое доказательство теоремы 2.6 для спинорных групп G = Spin(f), где f — невырожденная квадратичная форма над K от достаточно большого (> 5) числа переменных. Возможно, методы Кнезера применимы ко многим другим классическим группам. Но представляется невозможным доказать этими методами теорему 2.6 в общем виде, например в случае G(K) = SL1 (D) = {x ∈ D | NrdD/K (x) = 1}, где D — центральная алгебра с делением и NrdD/K — приведенная норма. Следует отметить, что главная цель упомянутых статей [Va 2], [Rag 7], [Kn 1], [Kn 4] и [Kn 5] состояла в решении проблемы конгруэнцподгрупп, а не в доказательстве конечности факторгрупп S-арифметических подгрупп по их нецентральным нормальным подгруппам. В формулировке Серра проблема конгруэнц-подгрупп состоит в следующем. Пусть Γ = G(K (S)); Ω — множество нормальных подгрупп конечного индекса в Γ; Ω0 ⊂ Ω — множество всех конгруэнц-подгрупп в Γ. Факторгруппы Γ/H , H ∈ Ω, образуют обратный спектр, и можно рассмотреть его проективный предел Γˆ = lim Γ/H, H ∈ Ω. Аналогично, заменив Ω на Ω0 , можно рас← смотреть проективный предел Γ˜ = lim Γ/H , H ∈ Ω0 . Существует естествен← ˜ ядро которого обозначается C (S, G) и называетный эпиморфизм Γˆ → Γ, ся конгруэнц-ядром. Проблема конгруэнц-подгрупп состоит в описании этого ядра. Отметим, что конгруэнц-ядро является проконечной (и, следовательно, компактной) группой; оно тривиально, если и только если любая подгруппа конечного индекса в Γ содержит S-конгруэнц-подгруппу. Если группа G не односвязна и rankS G > 0, то подгруппа C (S, G) бесQ конечна. При этом легко проверить, что компактная группа G(Kv) v∈T ∩S

является ее факторгруппой. Поэтому группа G обычно предполагается односвязной, а множество T ∩ S — пустым. В этом случае общая схема решения проблемы конгруэнц-подгрупп получает следующий вид (см. [Pr–R 2]). ˆ ОтсюВначале доказывается, что подгруппа C (S, G) центральна в Γ. да с помощью теории центральных расширений можно получить, что если

318

Глава VIII. Нормальные подгруппы и «абстрактные» гомоморфизмы

D (G(K)) = G(K) и R = ∅, то группа C (S, G) двойственна в смысле Понтрягина так называемому метаплектическому ядру M(S, G). Последнее определяется как ядро гомоморфизма ограничения H 2 (GR−S , R/Z) → H 2 (G(K), R/Z).

Здесь GR−S обозначает подгруппу в G(AK ), состоящую из всех аделей с единичными v-компонентами (v ∈ S); H 2 (GR−S , R/Z) — вторая группа когомологий группы GR−S с коэффициентами в R/Z, определяемая борелевскими коциклами; H 2 (G(K), R/Z) — обычная вторая группа когомологий абстрактной группы G(K) с коэффициентами в R/Z. ˆ если выполнено следуИзвестно, что группа G (S, G) центральна в Γ, ющее условие: группа G изотропна над K и rankS G > 2. Это было показано в работе [B–M–S] для SLn , n > 3, и Sp2n ; в [Ser 1] для SL2 ; в [Mat] для всех K -расщепимых групп G; в [Va 2] для классических групп K -ранга не ниже 2 и в [Rag 7] для всех групп K -ранга не ниже 2 (как отмечено выше, методы из работ [Va 2] и [Rag 7] охватывают и случай rankK G = 1, см. [Rag 12]). Кнезер доказал в 1979 г. (см. [Kn 5]), что группа C (S, G) центральна в случае спинорных групп G = Spin(f), где f — невырожденная квадратичная форма над K от достаточно большого (> 5) числа переменных (при условии rankS G > 2). Позже при том же условии А. С. Рапинчук доказал центральность группы C (S, G) для групп G типа G2 (см. [Rap 2]), а Томанов — для некоторых групп типа An , для всех групп типа Cn (n > 4), а также, при некоторых ограничениях в случае S ⊂ R∞ , — для групп типа Dn (n > 5) (см. [To 4] и [To 5]) и типа G2 (см. [To 2]). Перечисленные результаты не предполагают K -изотропности группы G. Если rankS G = 1, то конгруэнц-ядро бесконечно (см. [Lu 1], [Lu 2] и [Ser 1]). В работе [Pr–R 2] Прасад и Рагунатан показали, что если группа G является K -изотропной и S содержит неархимедовы нормирования, то группа M(S, G) тривиальна. Они показали также, что в общем случае она вкладывается в группу m (K) корней из единицы поля K . Для многих K -анизотропных групп метаплектическое ядро было по существу описано Рапинчуком (см. [Rap 1]). Как итог сказанного о группах, изотропных над K , получаем следующий результат. Теорема. Пусть группа G односвязна и K -изотропна, rankS G > 2 и D (G(K)) = G(K). Если при этом S содержит неархимедовы нормирования, то группа C (S, G) тривиальна. В общем случае она вкладывается в группу корней из единицы поля K .

§ 2. Конечность факторгрупп S-арифметических групп

319

Замечание. Если группа G односвязна, K -изотропна и не изоморфна группам типов E6 и D4 , то G(K) не содержит нецентральных нормальных подгрупп и потому D (G(K)) = G(K) (см. [Pl 4], 9.1). Это утверждение представляется правдоподобным для всех односвязных K -изотропных групп G (о случае, когда группа G анизотропна над K , см. п. 2.17). 2.17. Пусть f — невырожденная квадратичная форма над K от n переменных. Спинорную группу Spin(f) обозначим G f . В работе [Kn 1] Кнезер показал, что при n > 5 группа G f (K) /Z (G f (K)) проста в абстрактном смысле. При n = 3; 4 в общем случае T (G f ) 6⊂ R∞ , поэтому в G f (K) существует бесконечно много нормальных подгрупп вида G f (K) ∩ W , где W — открытая нормальная подгруппа компактной вполне несвязной группы G(Kv), v ∈ T (G f ) − R∞ . Как следствие, при n = 3, 4 группа G f (K) /Z (G f (K)) может не быть простой в абстрактном смысле. Однако такая ситуация невозможна, если T (G f ) ⊂ R∞ . Это утверждение было сформулировано как гипотеза в упомянутой работе [Kn 1] и доказано в статье [Mar 13] с помощью теоремы 2.5 (см. выше) и методов из работы [Pl–R 1]. Полезно иметь в виду, что при n = 3; 4 группа G f (K) изоморфна SL1 (D), где D — центральная алгебра кватернионов над полем K или его квадратичным расширением (при n = 4). Отметим также, что любая односвязная K -группа типа A1 изоморфна над K группе G f , где f — невырожденная форма над K от трех переменных. В работе [Pl 3] В.П. Платонов предположил, что группа G(K) /Z (G(K)) проста в абстрактном смысле всегда, когда группа G односвязна и T (G) ⊂ R∞ . Естественно было бы обобщить гипотезу Платонова следующим образом. (∗) Пусть Λ — подгруппа конечного индекса в G(K); N — нормальная подгруппа в Λ; GT ∩(R−R∞) — некомпактная вполне несвязная Q группа G(Kv). Отождествим группу G(K) с ее образом v∈T ∩(R−R∞)

при диагональном вложении в GT ∩(R−R∞) . Предположим, что группа G односвязна. Тогда либо N ⊂ Z (G), либо N = G(K) ∩ W , где W — открытая подгруппа в GT ∩(R−R∞) . Согласно теореме 2.6, гипотезу (∗) можно рассматривать как частный случай (S = R − T ) проблемы конгруэнц-подгрупп. Для групп G типа A1 эта гипотеза доказана в работе [Mar 13] при условии char K 6= 2, а в статье [Rag 11] — для случая char K = 2. Гипотезу Платонова доказал М. В. Боровой для всех групп типов Cn (n > 3), F4 , G2 и некоторых групп типа An , n > 2 (см. [Boro 1]). Боровой и Томанов доказали гипотезу Платонова для групп типа Dn (n > 5) и для классических групп типа D4 (см. [Boro 2]и [To 1]), а В. Д. Черноусов — для групп, расщепимых над квадратичным расширением поля K , и, в частности, для групп типов Bn , Cn , G2 , F4 , E7 и E8 (см. [Ch 1]

320

Глава VIII. Нормальные подгруппы и «абстрактные» гомоморфизмы

и [Ch 3]). Другое доказательство для типов Cn , F4 и G2 дано в работе [To 3]. Позже Томанов доказал гипотезу Платонова для всех групп типа A3 , а также гипотезу (∗) для многих групп типа A3 , в частности, для случая G(K) = SL1 (D), где D — центральная алгебра с делением индекса 4 над K (см. [To 5]). Следует отметить, что в вышеупомянутой работе [To 1] в действительности доказана гипотеза (∗) для групп типа Dn (n > 5) и для классических групп типа D4 . Общий случай, однако, не рассматривался. В частности, гипотеза (∗) остается недоказанной для G(K) = SL1 (D), где D — центральная алгебра с делением над K индекса n > 3, n 6= 4. В этом случае имеется следующий промежуточный результат. Теорема. Пусть D — конечномерная центральная алгебра с делением над K индекса n. Обозначим через T1 множество тех неархимедовых нормирований поля K , для которых Dv = D ⊗K Kv является телом. Отождествим группу D с ее образом при диагональном Q вложении в SL1 (Dv). Пусть W — открытая подгруппа группы v∈T1 Q SL1 (Dv). Положим Λ1 = W ∩ SL1 (D). Тогда D (Λ) = D (W) ∩ SL1 (D).

v∈T1

Как следствие, если T1 = ∅, то группа SL1 (D) совпадает со своим коммутантом. Эта теорема была доказана Платоновым и Рапинчуком (см. [Pl–R 2]) для случая, когда char K = 0 и v ((n, 2)) = 1 для любого (мультипликативного) нормирования v ∈ T1 (здесь (n, 2) обозначает наибольший общий делитель чисел n и 2). В общем случае эта теорема доказана Рагунатаном (см. [Rag 11]). Следующее утверждение можно рассматривать как шаг в доказательстве гипотезы (∗). 2.18. Предложение. Пусть Λ1 — подгруппа конечного индекса в G(K); N1 — нормальная подгруппа в Λ1 ; C — группа автоморфизмов группы G(K). Предположим, что группа G односвязна. Тогда N1 содержит C-инвариантную подгруппу N ′ конечного индекса. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть множество E ⊃ T таково, что rankE G > 2. Тогда группа G(K (E )) конечно порождена (см. ниже теорему 3.3). Но в любой конечно порожденной группе количество подгрупп фиксированного конечного индекса конечно. С другой стороны, в силу леммы 2.3 (б) любая нецентральная нормальная подгруппа в G(K) однозначно определяется своим пересечением с G(K (E )). Значит, количество нормальных подгрупп фиксированного конечного индекса в G(K) конечно. Теперь остается поT ложить N ′ = c (N) и применить теорему 2.10. c∈C

2.19. Замечание. Согласно предложению 2.18 гипотезу (∗) достаточно доказать для C-инвариантных подгрупп N1 . В частности, если

§ 3. Гомоморфизмы S-арифметических подгрупп в алгебраические группы

321

G(K) = SL1 (D), то достаточно доказать гипотезу (∗) для подгрупп N1 , нормализуемых группой обратимых элементов алгебры D.

§ 3. Гомоморфизмы S-арифметических подгрупп в алгебраические группы Как и в § 2, положим Ψ = Ψ(G) = Ad−1 ((Ad G) (K)). Обозначим через ΩS = ΩS (G) класс таких подгрупп Λ ⊂ G, что Λ ⊂ Ψ и подгруппа Λ ∩ G(K (S)) имеет конечный индекс в G(K (S)). Если S 6⊂ T и S ⊂ S ′ ⊂ R, то по лемме 2.2 (i) любая S ′ -арифметическая подгруппа в G принадлежит ΩS . Пусть дан гомоморфизм полей s : k → l, который продолжается до гомоморфизма расширения k′ поля k в расширение l ′ поля l. Таким образом, если M — некоторое k-многообразие, то отображение s0 : M(k) → s M определено не только на M(k), но и на M (точнее, на M(k1), где k1 — произвольное расширение поля k). 3.1. Лемма. Пусть p : G˜ → G — некоторая K -изогения K -групп и ˜ Λ ∈ ΩS (G). Тогда p−1 (Λ) ∈ ΩS (G). Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как подгруппа Λ ∩ G(K (S)) имеет конечный ˜ индекс в G(K (S)), по лемме I.3.1.3 (a) подгруппа p−1 (Λ) ∩ G(K (S)) имеет ˜ конечный индекс в G(K (S)). С другой стороны, так как Λ ⊂ Ψ(G), по лемме ˜ 2.1 (ii) мы имеем p−1 (Λ) ⊂ Ψ(G). 3.2. Лемма. Пусть Λ ∈ ΩS ; E ⊂ S; Γ — подгруппа конечного индекса в группе Λ ∩ G(K (E )). Предположим, что Λ ⊂ G(K) и E 6⊂ Γ. (i) Если группа G односвязна, то подгруппа F ⊂ Λ, порожденная S множеством lΓl−1 , имеет конечный индекс в Λ. l∈Λ

(ii) Пусть H — алгебраическая группа, d : Λ → H — гомоморфизм, для которого d (Λ) = H. Предположим, что либо группа G односвязна, либо D (H0) = H0 . Тогда d (Γ) ⊃ H0 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как F — нормальная подгруппа в Λ, утверждение (i) вытекает из леммы 2.3 (в). При этом в силу леммы I.3.1.3 (б) мы имеем Λ ⊂ G(K) ⊂ CommG (Γ). Поэтому в случае односвязной группы G утверждение (ii) следует из утверждения (i) и леммы VII.6.9 (б). Пусть теперь D (H0) = H0 . Группа H/H0 конечна. Поэтому можно заменить Λ на d−1 (H0) и считать группу H связной. Пусть G˜ — односвязная накрывающая группы G и p : G˜ → G — центральная K -изогения (см. предложе˜ ˜ ние I.1.4.11 (i)). Положим Λ0 = p−1 (Λ) ∩ G(K) и Γ0 = p−1 (Γ) ∩ G(K (E )). Так −1 ˜ как Γ имеет конечный индекс в Λ ∩ G(K (E )), а G(K (E )) ∩ p (G(K (E ))) — ˜ в G(K (E )) (в силу леммы I.3.1.3 (а)), подгруппа Γ0 имеет конечный индекс ˜ в Λ0 ∩ G(K (E )). С другой стороны, так как E 6⊂ T (G) и для каждого v ∈ R ˜ группы G и G˜ имеют одинаковый Kv -ранг, мы получаем, что E 6⊂ T (G)

322

Глава VIII. Нормальные подгруппы и «абстрактные» гомоморфизмы

(см. следствие I.1.4.6). Поскольку случай односвязной группы G уже рассмотрен, отсюда вытекает, что (d (p (Λ0)))0 = (d (p (Γ0)))0 . Теперь остается за˜ метить, что, поскольку D (G(K)) ⊂ p (G(K)), мы имеем D (Λ) ⊂ p (Λ0) (см. замечание 1 из п. I.1.4.2). Следовательно, (d (p (Λ0)))0 ⊃ (d (D (Λ)))0 = D (d (Λ)) 0 = (D (H)) 0 = H (последнее равенство справедливо, поскольку H = H0 = D (H0)). В этом параграфе используются результаты § 6 гл. VII, где по существу рассматривались лишь конечно порожденные решетки. В связи с этим нам потребуется 3.3. Теорема. Пусть множество S конечно и выполнено хотя бы одно из следующих условий: (а) char K = 0; (б) группа G анизотропна над K ; (в) rankS G > 2. Тогда любая S-арифметическая подгруппа Γ ⊂ G конечно порождена. О случае нулевой характеристики см. [Bo–Hari] и [Bo 3]. Пусть группа G изотропна над K . В силу теоремы I.3.2.4 (б) группа Γ при диагональdef Q ном вложении в GS = G(Kv) переходит в кокомпактную решетку. Но v∈S

согласно следствию I.2.3.5 группа GS компактно порождена. Поэтому и группа Γ компактно порождена (см. I.0.40). Наконец, о случае rankS G > 2 см. [Be 2]. Отметим, что в этой работе наложены некоторые ограничения на характеристику поля K . Однако они не требуются при доказательстве результатов из [Har 2]. Напомним также, что в гл. III было доказано, что решетка Γ конечно порождена «почти во всех случаях» (см. теорему Г(в) из п. III.5.9). Теперь перейдем к доказательству теоремы В, о которой шла речь в начале главы. Сформулируем эту теорему в несколько ином виде — для класса ΩS , состоящего не только из S-арифметических подгрупп. 3.4. Теорема. Пусть l — поле; Λ ∈ ΩS ; H — связная некоммутативная абсолютно почти простая l-группа; d : Λ → H(l) — гомоморфизм, для которого d (Λ) = H. (а) Пусть rankS G > 2 и либо G — односвязная, либо H — присоединенная группа. Тогда существуют конечное расширение l ′ поля l, гомоморфизм s : K → l ′ , специальный l ′ -эпиморфизм h : s G → H и гомоморфизм n : Λ → Z (H), такие что d (Λ) = n (l) · h (s0 (l))

∀ l ∈ Λ.

(∗)

§ 3. Гомоморфизмы S-арифметических подгрупп в алгебраические группы

323

(б) Пусть даны расширение l ′ поля l, гомоморфизм s : K → l ′ , специальный l ′ -эпиморфизм h : s G → H и гомоморфизм n : Λ → Z (H), для которых выполнено условие (∗). Предположим, что rankS G > 0, или, что равносильно, S 6⊂ T (G). Тогда s (K) ⊂ l и эпиморфизм h определен над l. При этом s, h и n|Λ∩G(K) однозначно определяются равенством (∗). Д о к а з а т е л ь с т в о. (а) Пусть G˜ — односвязная накрывающая группы G, а p : G˜ → G — центральная K -изогения (см. предложение I.1.4.11 (i)). Если группа H присоединенная, s : K → l ′ — гомоморфизм, h˜ : s G˜ → H — специальный l ′ -эпиморфизм, то существует такой специальный l ′ -эпиморфизм h : s G → H, что h˜ = s p ◦ h (см. предложения I.1.4.11 (iii) и I.1.4.14). Так ˜ Для любого как Λ ∈ ΩS (G), то в силу леммы 3.1 мы имеем p−1 (Λ) ∈ ΩS (G). ˜ v ∈ R группы G и G имеют одинаковый Kv -ранг, поэтому rankS G˜ = rankS G (см. следствие I.1.4.6). Так как центр присоединенной группы тривиален, ˜ Λ на p−1 (Λ) и d на p ◦ d, что группа G одноможно считать, заменив G на G, связна и в том случае, когда группа H присоединенная. Тогда G = RK ′ /K G′ , где K ′ — конечное сепарабельное расширение поля K , а G′ — односвязная абсолютно почти простая K ′ -группа (см. п. I.1.7). Пусть p : G → G′ — естественный K -эпиморфизм. По лемме I.3.1.4 можно заменить G, Λ и d соответственно на G′ , p (Λ) и d ◦ p −1 и считать, что группа G абсолютно почти проста. Выберем теперь такое конечное множество E ⊂ S, что rankE G > 2, E ⊃ R∞ − T и E ∩ T = ∅. Положим Γ = Λ ∩ G(K (E )) ⊂ Λ0 , Y GE = G(Kv).

Λ0 = Λ ∩ G(K),

v∈E

Отождествим группу G(K) с ее образом при диагональном вложении в GE . Согласно теореме I.3.2.5 подгруппа Γ является решеткой в GE . Легко видеть, что она неприводима (см. доказательство теоремы 2.6). Согласно теореме 3.3 подгруппа Γ конечно порождена. В силу леммы 2.1 мы имеем D (Λ) ⊂ Λ0 . Но d (Λ) = H и D (H) = H. Поэтому d (Λ0) = H, и, так как Λ0 ∈ ΩS , Λ0 ⊂ G(K) и группа H связна, по лемме 3.2 (ii) мы получаем, что d (Γ) = H. Реализуем H как l-подгруппу в GLn . Так как решетка Γ конечно порождена, согласно п. VII.6.4 существует такое конечно порожденное поле l0 ⊂ l, что d (Γ) ⊂ GLn (l0). Тогда группа H = d (Γ) определена над l0 . Отметим, что по лемме I.3.1.3 мы имеем Λ0 ⊂ G(K) ⊂ CommG Γ. Таким образом, имеются следующие объекты: 1) конечное множество E ⊂ R; 2) абсолютно почти простая односвязная K -группа G, имеющая E -ранг не ниже 2 и изотропная над Kv для всех v ∈ E ;

324

Глава VIII. Нормальные подгруппы и «абстрактные» гомоморфизмы

3) конечно порожденная неприводимая решетка Γ в GE =

Q

G(Kv);

v∈E

4) подгруппа Λ0 ⊂ CommG (Γ); 5) конечно порожденное поле l0 и его конечное расширение l; 6) некоммутативная абсолютно почти простая l0 -группа H и такой гомоморфизм d : Λ0 → H(l), что d (Γ) ⊂ H(l0) и подгруппа d (Γ) плотна по Зарисскому в H. Из теоремы VII.6.5 и замечания VII.6.7 вытекает, что существуют v ∈ E , гомоморфизм s поля Kv в расширение l ′ поля l, специальный l ′ -эпиморфизм h : s G → H и гомоморфизм n0 : Λ0 → Z (H), такие что d (l) = n0 (l) · h (s0 (l))

∀ l ∈ Λ0

(1)

(здесь Λ0 рассматривается как подгруппа в G(Kv)). Положим Λ1 = Ker n0 . Так как центр группы H конечен, конечен и индекс подгруппы Λ1 в Λ0 . Но по лемме 2.1 (i) подгруппа Λ0 нормальна в Λ. Поэтому Λ ⊂ CommG (Λ1). Ввиду равенства (1) гомоморфизмы d и h ◦ s0 совпадают на Λ1 . Так как подгруппа d (Λ0) ⊃ d (Γ) плотна по Зарисскому в H, Λ1 имеет конечный индекс в Λ0 и группа H связна и потому не содержит алгебраических подгрупп конечного индекса, то d (Λ1) = H. В силу леммы VII.5.1 (б) существует такой гомоморфизм n : Λ → Z (H), что d (l) = n (l) · h (s0 (l)) при всех l ∈ Λ. Утверждение (а) доказано. (б) Доказательство для случая ненулевой характеристики см. в пп. 3.14–3.27. Здесь мы предполагаем, что char K = 0. Тогда K является конечным расширением поля Q, и можно считать, что l ′ содержит алгебраическое замыкание Q¯ поля Q. Пусть {s1 = Id, s2 , . . . , sd } — множество всех ¯ Представим группу RK /Q G в виде различных вложений поля K в Q. RK /Q G = s1 G × . . . × sd G. Естественная проекция RK /Q G → si G, 1 6 i 6 d, ¯ сопоставим будет обозначаться pi . Каждой паре (s, h), где s = si : K → Q, l ′ -эпиморфизм as,h = pi ◦ h : RK /Q G → H. Очевидно, если (s, h) 6= (s˜ , h˜ ), то as,h 6= as˜ ,h˜ . Пусть даны два гомоморфизма s, s˜ : K → l ′ , а также такие l ′ -эпиморфизмы h : s G → H и h˜ : s˜ G → H и гомоморфизмы n, n˜ : Λ → Z (H), что n (l) · h (s0 (l)) = n (l) · h˜ (s˜ 0 (l)) ∀ l ∈ Λ. Положим Λ1 = G(K) ∩ Ker n ∩ Ker n˜ . Тогда h (s0 (l)) = h˜ (s˜ 0 (l))

∀ l ∈ Λ1 .

(2)

Так как Λ ∈ ΩS и группа Z (H) конечна, подгруппа Λ1 ∩ G(K (S)) имет конечный индекс в G(K (S)). Поэтому подгруппа RK0 /Q (Λ1) плотна по Зарисскому в RK /Q G (см. предложение I.3.2.10). Из определения гомоморфизмов RK0 /Q ,

§ 3. Гомоморфизмы S-арифметических подгрупп в алгебраические группы

325

as,h и as˜ ,h˜ вытекает, что h ◦ s0 = as,h ◦ RK0 /Q и h˜ ◦ s˜ 0 = as˜ ,h˜ ◦ RK0 /Q . Отсюда и из равенства (2) получаем, что рациональные эпиморфизмы as,h и as˜ ,h˜ совпадают на множестве RK0 /Q (Λ1), плотном по Зарисскому в RK /Q G. Значит, as,h = as˜ ,h˜ . Как следствие, s = s˜ , h = h˜ , откуда мы получаем, что n (l) = n˜ (l) для всех l ∈ Λ ∩ G(K). Таким образом, s, h и n|Λ∩G(K) однозначно определяются соотношением (∗). Пусть теперь соотношение (∗) выполнено для s, h, n и при этом s (K) 6⊂ l. Так как подгруппа Z (H) конечна, Ker n имеет конечный индекс в Λ. Поэтому, заменив Λ на Ker n, можно считать, что d = h ◦ s0 |Λ . Так как s (K) 6⊂ l, существует автоморфизм ϑ алгебраического замыкания поля l ′ , тождественный на l и не тождественный на s (K). Положим s˜ = ϑ ◦ s, h˜ = ϑ h. Очевидно, h˜ ◦ s˜ 0 = ϑ0 ◦ h ◦ s0 . Но так как (h ◦ s0) (Λ) = d (Λ) ⊂ H(l) и автоморфизм ϑ тождествен на l, мы получаем, что (ϑ0 ◦ h ◦ s0) (l) = (h ◦ s0) (l) для всех l ∈ Λ. Следовательно, h˜ ◦ s˜ 0 (l) = h (s (l)) при всех l ∈ Λ. Так как автоморфизм ϑ не тождествен на s (K), мы имеем s˜ 6= s. Это противоречит единственности гомоморфизмов s, h и n. Значит, s (K) ⊂ l. Осталось показать, что если соотношение (∗) выполнено для s, h и n, то эпиморфизм h определен над l. Как и выше, заменим Λ на Ker n и будем считать, что d = h ◦ s0 |Λ . Тогда h (s0 (Λ)) ⊂ H(l). С другой стороны, мы показали, что s (K) ⊂ l, откуда следует, что s0 (Λ ∩ G(K)) ⊂ s G(l). По предложению I.3.2.10 мы имеем Λ ∩ G(K) = G, и поэтому s0 (Λ ∩ G(K)) = s G. Следовательно, эпиморфизм h определен над l (см. п. I.0.11 (ii)). 3.5. Пусть l — поле; H — алгебраическая l-группа; Λ ∈ ΩS ; K ′ — такое расширение поля K , что Λ ⊂ G(K ′). Гомоморфизм t : Λ → H называется квазирегулярным, если существуют i ∈ N+ , гомоморфизмы s1 , . . . , si поля K в расширение l ′ поля l и l ′ -морфизм l ′ -групп f : s1 G × . . . × si G → H, такие что t (l) = f (s01 (l), . . . , s0i (l)) ∀ l ∈ Λ.

Если char K = char l = 0 (т. е. K ⊃ Q и l ⊃ Q) и Λ ⊂ G(K), то в силу определения функтора RK /Q и гомоморфизма RK0 /Q гомоморфизм t : Λ → H квазирегулярен в том и только том случае, когда существует такой морфизм алгебраических групп f : RK /Q G → H, что t (l) = f (RK0 /Q (l))

∀ l ∈ Λ.

3.6. Теорема. Пусть l — поле; Λ ∈ ΩS ; H — связная полупростая l-группа; d : Λ → H(l) — гомоморфизм, для которого d (Λ) = H. Предположим, что rankS G > 2 и либо G — односвязная, либо H — присоединенная группа. (i) Существуют квазирегулярный гомоморфизм t : Λ → H и гомоморфизм n : Λ → Z (H), такие что d (l) = n (l) · t (l) при всех l ∈ Λ.

326

Глава VIII. Нормальные подгруппы и «абстрактные» гомоморфизмы

(ii) Пусть char K = char l = 0 (т. е. K ⊃ Q и l ⊃ Q) и Λ ⊂ G(K). Тогда (а) существуют рациональный эпиморфизм алгебраических групп f : RK0 /Q G → H, а также гомоморфизм n : Λ → Z (H), такие что d (l) = n (l) · f (RK0 /Q (l))

∀ l ∈ Λ;

(∗)

(б) если для f и n выполнено соотношение (∗), то эпиморфизм f определен над l. При этом f и n определяются соотношением (∗) однозначно. Д о к а з а т е л ь с т в о. (i) Если H — присоединенная группа, то достаточно разложить ее в прямое произведение абсолютно почти простых групп H1 , . . . , Hi и применить теорему 3.4 (а) к гомоморфизмам p j ◦ d, 1 6 j 6 i, где p j : H → H j — естественная проекция. Пусть теперь группа G односвязна. Из доказанного выше вытекает, что гомоморфизм Ad ◦d : Λ → Ad H квазирегулярен. С другой стороны, так как группа G односвязна, в силу предложения I.1.4.11 для любого квазирегулярного гомоморфизма t′ : Λ → Ad H найдется такой квазирегулярный гомоморфизм t′′ : Λ → H, что Ad ◦t′′ = t′ . Следовательно, существует такой квазирегулярный гомоморфизм t : Λ → H, что Ad ◦t = Ad ◦d. Для l ∈ Λ определим n (l) посредством равенства d (l) = n (l) · t (l). Так как Ad ◦t = Ad ◦d и Ker Ad ⊂ Z (H), мы получаем, что n (l) ⊂ Z (H). Остается применить лемму VII.5.1 (а). (ii) Утверждение (а) вытекает из утверждения (i) и замечаний в п. 3.5. Докажем утверждение (б). Так как группа Z (H) конечна, Ker n имеет конечный индекс в Λ. Поэтому можно заменить Λ на Ker n и считать, что d = f ◦ RK0 /Q |Λ . В силу предложения I.3.2.10 подгруппа RK0 /Q (Λ) плотна по Зарисскому в RK /Q (G). Теперь осталось применить утверждение I.0.11 (II) и заметить, что морфизм алгебраических групп a : F → F′ однозначно определяется своими значениями на плотной по Зарисскому подгруппе A ⊂ F. 3.7. Лемма. Пусть l — поле, H — алгебраическая l-группа, F — периодическая подгруппа в H(l), причем порядки всех элементов в F ограничены в совокупности. Тогда (а) F содержит унипотентную подгруппу конечного индекса; (б) если char l = 0, то подгруппа F конечна. Д о к а з а т е л ь с т в о. (а) Можно считать, что H = F¯ . Так как группа H/H0 конечна, можно считать, заменив F на F ∩ H0 , что F¯ = H = H0 . Выберем число d ∈ N+ , для которого x d = e при всех x ∈ F . Так как F¯ = H и элементы порядка d образуют алгебраическое подмногообразие в H, мы имеем hd = e для всех h ∈ H. Предположим теперь, что связная группа H не унипотентна. Тогда она содержит тор T положительной размерности (см. п. I.0.22). Но число элементов порядка d в торе всегда конечно (см. п. I.0.22), тогда как hd = e для всех h ∈ H. Значит, H = H (u) , и поэтому группа F унипотентна, что и доказывает утверждение (а).

§ 3. Гомоморфизмы S-арифметических подгрупп в алгебраические группы

327

Утверждение (б) вытекает из утверждения (а) и того факта, что если char l = 0 и g ∈ H(l) (u) − {e}, то g имеет бесконечный порядок (см. п. I.0.20). 3.8. Теорема. Пусть l — поле; ∆ ∈ ΩS ; H — алгебраическая l-группа; d : Λ → H(l) — гомоморфизм. Предположим, что rankS G > 2 и char l 6= char K . (i) Группа d (Λ) периодическая, порядки ее элементов ограничены в совокупности, и она содержит унипотентную подгруппу конечного индекса. (ii) (а) Если группа G односвязна и Λ ∩ G(K) имеет конечный индекс в Λ, то подгруппа d (Λ) конечна. (б) Если множество S конечно и Λ является S-арифметической подгруппой в G, то подгруппа d (Λ) конечна. (в) Если char l = 0, то подгруппа d (Λ) конечна. Д о к а з а т е л ь с т в о. Вначале докажем утверждение (ii) (a). Как и при доказательстве теоремы 3.4, с помощью функтора ограничения скаляров можно перейти к случаю, когда группа G абсолютно почти проста. Выберем такое конечное подмножество E ⊂ S, что rankE G > 2, E ⊃ R∞ − R и Q E ∩ T = ∅. Положим Λ0 = Λ ∩ G(K), Γ = Λ ∩ G(K (E )) ⊂ Λ0 и GE = G(Kv). v∈E

Теперь отождествим группу Λ0 с ее образом при диагональном вложении в GE . Как и при доказательстве теоремы 3.4, можно проверить, что Γ — конечно порожденная неприводимая решетка в группе GE и Λ0 ⊂ CommGE (Γ). Из следствия VII.6.10 и леммы 3.2 (i) вытекает, что d (Λ0) содержит разрешимую подгруппу конечного индекса. Иначе говоря, заменив Λ подгруппой конечного индекса, можно считать, что группа d (Λ) def

разрешима, а тогда это верно и для F = d (Λ) (см. п. I.0.13). Группа F/F0 конечна, поэтому можно заменить Λ на d−1 (F0) и считать группу F связной. Тогда по лемме 3.2 (ii) мы имеем F = d (Γ). С другой стороны, в силу следствия 2.8 факторгруппа Γ/D (Γ), а тогда и d (Γ)/D (d (Γ)), конечна. Поэтому D (F) = D (F) имеет конечный индекс в F. Но группа F связна и разрешима, а связная алгебраическая группа не содержит собственных алгебраических подгрупп конечного индекса. Значит, F = {e}, и утверждение (ii) (a) доказано. (i) Пусть G˜ — односвязная накрывающая группы G, а p : G˜ → G — центральная K -изогения. Так как Λ ∈ ΩS (G), по лемме 3.1 мы имеем ˜ С другой стороны, так как при каждом v ∈ R группы G и p−1 (Λ) ∈ ΩS (G). ˜G имеют одинаковый Kv -ранг, то rankS G˜ = rankS G (см. следствие I.1.4.6). ˜ Λ на p−1 (Λ), d на d ◦ p и считать группу G Поэтому можно заменить G на G, односвязной. Тогда в силу утверждения (ii) (a) группа d (Λ ∩ G(K)) конечна. Но по лемме 2.1 (i) порядки всех элементов факторгруппы Λ/ (Λ ∩ G(K))

328

Глава VIII. Нормальные подгруппы и «абстрактные» гомоморфизмы

ограничены в совокупности, а тогда это верно и для d (Λ). Остается применить лемму 3.7(a). (ii) (б) Рассуждая как в начале доказательства теоремы 2.6 (i), можно перейти к случаю односвязной группы G. Но тогда конечность группы d (Λ) следует из утверждения (ii) (a) и того факта, что Λ ∩ G(K) ⊃ Λ ∩ G(K (S)) имеет конечный индекс в Λ. Утверждение (ii) (в) вытекает из утверждения (i) и леммы 3.7(б). 3.9. Лемма. Пусть Γ — некоторая S-арифметическая подгруппа в G; l — поле; H — алгебраическая l-группа; d : Γ → H(l) — гомоморфизм. Предположим, что rankS G > 2 и группа G односвязна. Тогда существует такая подгруппа Γ1 конечного индекса в Γ, что d (Γ1(u)) ⊂ H (u) . Д о к а з а т е л ь с т в о. Можно считать, что d (Γ) = H. Так как группа H/H0 конечна, можно считать, заменив Γ на d−1 (H0), группу H связной. Пусть p : H → H/Ru (H) — естественный эпиморфизм. Так как ядро Ker p унипотентно, в силу п. I.0.20 (v) мы имеем p−1 ((H/Ru (H)) (u)) = H (u) . Поэтому, заменив H на H/Ru (H) и d на p ◦ d, можно считать группу H редуктивной. Согласно следствию 2.8 факторгруппа Γ/D (Γ) конечна, а тогда это верно и для d (Γ)/D (d (Γ)). Но d (Γ) = H, коммутант является алгебраической подгруппой в группе H, и последняя, будучи связной, не содержит собственных алгебраических подгрупп конечного индекса. Значит, H = D (H). Так как при этом группа H связна и редуктивна, она полупроста. Тогда по теореме 3.6 (i) существуют квазирегулярный гомоморфизм t : Γ → H и гомоморфизм n : Γ → Z (H), такие что d (g) = n (g) · t (g) для каждого g ∈ Γ. Положим Γ1 = Ker n. Так как группа Z (H) конечна, Γ1 имеет конечный индекс в Γ. С другой стороны, d (g) = t (g) при всех g ∈ Γ1 , а в силу п. I.0.20 (ii) образ унипотентного элемента при квазирегулярном гомоморфизме унипотентен. Таким образом, Γ1 — искомая подгруппа. 3.10. Теорема. Пусть l — поле; Λ ∈ ΩS ; H — алгебраическая l-группа; d : Λ → H(l) — гомоморфизм. Предположим, что rankS G > 2 и char l = 0. Тогда l-группа d (Λ) полупроста. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если char K 6= 0, то в силу теоремы 3.8 (ii) (в) группа d (Λ) конечна. Поэтому можно считать, что char K = 0. Пусть G˜ — односвязная накрывающая группы G, а p : G˜ → G — центральная K -изо˜ гения. Как и при доказательстве теоремы 3.4 (а), можно заменить G на G, −1 Λ на p (Λ), d на d ◦ p и считать группу G полупростой. Затем, как и при доказательстве теоремы 3.4, с помощью функтора ограничения скаляров можно перейти к случаю, когда группа G абсолютно почти проста. Так как char K = 0, то R∞ 6= ∅. С другой стороны, rankS G > 2. Поэтому можно выбрать конечное множество E ⊂ S со следующим свойствами: (а) E 6⊂ T , E ⊃ R∞ − R и E ∩ T = ∅;

§ 3. Гомоморфизмы S-арифметических подгрупп в алгебраические группы

329

(б) если группа G изотропна над K , то E ⊃ R∞ . Положим Λ0 = Λ ∩ G(K),

Γ = Λ ∩ G(K (E )) ⊂ Λ0 ,

GE =

Y

G(Kv).

v∈E

Отождествим группу Λ0 с ее образом при диагональном вложении в GE . Как и при доказательстве теоремы 3.4, можно проверить, что Γ является конечно порожденной неприводимой решеткой в GE и Λ0 ⊂ CommGE (Γ). Покажем, что (∗) либо rankE G > 2, либо подгруппа Λ0 плотна в GE . Пусть rankE G > 2. Так как при этом rankS G > 2, мы имеем S − E 6⊂ T . Согласно сильной теореме об аппроксимации (см. замечание II.6.8.2) подгруппа G(K (S)) плотна в GE . Пусть F — замыкание подгруппы Λ0 в GE . Так как подгруппа G(K (S)) плотна в GE и Λ0 ∩ G(K (S)) имеет конечный индекс в G(K (S)) (поскольку Λ ∈ ΩS), подгруппа F имеет конечный индекс в GE . С другой стороны, так как E ∩ T = ∅ и группа G абсолютно почти проста и односвязна, в силу следствия I.2.3.2 (б) группа GE не содержит собственных подгрупп конечного индекса. Поэтому F = GE , и утверждение (∗) доказано. Теперь убедимся в следующем: (∗∗) любое представление T : Λ0 → GLn (k) группы Λ0 в конечномерном векторном пространстве над произвольным локальным полем k является Γ-интегрируемым. Если группа G анизотропна над K , то по теореме I.3.2.4(b) факторпространство Γ \ GE компактно, и утверждение (∗∗) вытекает из замечания в начале § 3 гл. V. Пусть группа G изотропна над K . Тогда из условия (б) следует, что E ⊂ R∞ . С другой стороны, так как rankS G > 2, группа G односвязна и Λ ∈ ΩS , по лемме 3.9 подгруппа Λ ∩ G(K (S)), содержащая Γ, содержит такую подгруппу Λ1 конечного индекса, что T (Λ1(u)) ⊂ GLn(u) . Поэтому представление T является Γ-интегрируемым (см. предложение 1.3). Итак, мы доказали утверждения (∗) и (∗∗). Теперь заметим, что для любой подгруппы конечного индекса Γ0 ⊂ Γ факторгруппа Γ0 /D (Γ0) конечна S (см. следствие 2.8), а подгруппа, натянутая на lΓ0 l−1 , имеет конечl∈Λ0

ный индекс в Λ0 (см. лемму 3.2 (ii)). Вспомним, далее, что Γ — конечно порожденная неприводимая решетка в GE , а группа G односвязна, абсолютно почти проста и изотропна над Kv для всех v ∈ E . Применив теорему VII.6.16, получаем, что группа d (Λ0) полупроста. Согласно лемме 2.1 (i) порядки всех элементов в факторгруппе Λ/Λ0 (а тогда и в d (Λ)/d (Λ0)) ограничены в совокупности. Так как char l = 0 и d (Λ)/d (Λ0) является l-группой, по лемме 3.7 эта группа конечна. Таким образом, группа d (Λ) содержит

330

Глава VIII. Нормальные подгруппы и «абстрактные» гомоморфизмы

полупростую алгебраическую подгруппу d (Λ0) конечного индекса и, как следствие, сама полупроста. 3.11. Теперь обратимся к теореме Б, сформулированной в начале главы. Утверждение (i) этой теоремы является частным случаем теоремы 3.8 (ii) (a), а утверждение (ii) — частный случай теоремы 3.10. Сформулируем и докажем незначительное обобщение теоремы (Б) (iii). 3.12. Теорема. Пусть l — поле; Λ ∈ ΩS ; H — алгебраическая l-группа; d : Λ → H(l) — гомоморфизм. Предположим, что char K = char l = 0 (т. е. K ⊃ Q и l ⊃ Q), Λ ⊂ G(K), группа G односвязна и rankS G > 2. Тогда (а) существуют (однозначно определенные) морфизм алгебраических групп f : RK /Q G → H и гомоморфизм n : Λ → H, такие что подгруппа n (Λ) конечна и коммутирует с f (RK /Q G) и при этом d (l) = n (l) · f (RK0 /Q (l))

∀ l ∈ Λ;

(∗)

(б) морфизм f из утверждения (а) определен над l. Д о к а з а т е л ь с т в о. Можно считать, что d (Λ) = H. Тогда по теореме 3.10 группа H полупроста. Положим Λ′ = d−1 (H0). Так как группа H/H0 конечна и Λ ∈ ΩS , мы имеем Λ′ ∈ ΩS . Поэтому существуют (однозначно определенные) морфизм алгебраических групп f : RK /Q G → H и гомоморфизм n′ : Λ′ → Z (H), такие что d (l) = n′ (l) · f (RK0 /Q (l)) для всех l ∈ Λ′ (см. теорему 3.6 (ii)). При этом морфизм f определен над l. Положим Λ′′ = Ker n′ . Тогда гомоморфизмы d и f ◦ RK0 /Q совпадают на Λ′′ . С другой стороны, так как d (Λ) = H, d (L′′) ⊂ H0 и Λ′′ имеет конечный индекс в Λ (поскольку группы H/H0 и Z (H0) конечны), мы имеем d (Λ′′) = H0 и Λ ⊂ CommG (Λ′′). Тогда в силу леммы VII.5.1 (б) существует гомоморфизм n : Λ → ZH (H0), для которого выполнено (∗). Остается заметить, что, так как H полупроста, подгруппа ZH (H0) конечна. 3.13. Замечания. (i) Так как множество T (G) конечно, часто упоминавшееся условие rankS G > 2 выполнено автоматически, если S бесконечно. (ii) Поскольку множество R бесконечно и K = K (R), ввиду замечания (i) группа Λ: = G(K) удовлетворяет условиям всех теорем этого параграфа. (iii) Пусть Λ ∈ ΩS . Если rankS G > 0, то в силу предложения I.3.2.10 мы имеем Λ¯ = G. Таким образом, в случае rankS G > 2 теоремы 3.4 и 3.6 дают описание всех автоморфизмов группы Λ. (iv) Многочисленные публикации посвящены изучению «абстрактных гомоморфизмов» (библиографию до 1979 г. см. в [Me 1] и [Me 2], а за последующий период — в [J—W—W] и [Weis 2]). Как правило, в этих публикациях применяются чисто алгебраические методы. Кратко говоря, они основаны на рассмотрении «геометрии» абстрактных алгебраических групп. Такие методы обеспечивают более или менее полное исследование

§ 3. Гомоморфизмы S-арифметических подгрупп в алгебраические группы

331

случая изотропных групп. Однако их крайне трудно применять к анизотропным группам. И они представляются совершенно неприменимыми к группам с бедной «геометрией» (в частности, к группам элементов с единичной нормой во многих телах). Отметим также следующее: 1) для автоморфизмов группы Λ = G(K) теоремы 3.4 и 3.6 были ранее доказаны алгебраическими методами для большинства классических K -изотропных групп, так же как и для многих K -анизотропных; 2) в случае, когда группа G является K -изотропной и подгруппы Λ содержат G(K) + , теоремы 3.4 и 3.6 по существу доказаны в [Bo–T 4]; 3) в случае, когда rankK G > 2 и группа G почти K -проста, теоремы этого параграфа по существу доказаны в [Rag 7]; 4) результаты этого параграфа выводятся посредством хорошо известной редукции из утверждения о конечности конгруэнц-ядра, которое доказано для всех K -изотропных и односвязных, а также для некоторых K -анизотропных групп G (см. п. 2.13); 5) в случае, когда d — автоморфизм, множество S конечно, а подгруппа Λ является S-арифметической, теорему 3.4 можно вывести из теоремы о сильной жесткости (см. § 7 гл. VII). 3.14. Оставшаяся часть этого параграфа посвящена доказательству теоремы 3.4 (б) для случая char K 6= 0. Сначала проведем несколько редукций. Так как Λ ⊂ Ψ и D (Ψ) ⊂ G(K) (см. лемму 2.1 (i)), мы имеем D (Λ) ⊂ G(K). Но d (D (Λ)) = D (d (Λ)) = D (H) = H. Поэтому можно заменить Λ на Λ ∩ G(K) и считать, что Λ ⊂ G(K). Так как подгруппа Z (H) конечна, Ker n имеет конечный индекс в Λ. Поэтому можно заменить Λ на Ker n и считать, что d = h ◦ s0 |Λ . Пусть даны два таких морфизма f, f′ : s G → H, что Ad ◦f = Ad ◦f′ . Тогда f = f′ , поскольку группа G связна и ядро морфизма Ad: H → Ad H конечно. С другой стороны, композиция центральной изогении и специального эпиморфизма является специальным эпиморфизмом (см. п. I.1.4.14). В силу предложения I.1.4.11 (iii),(iv) можно заменить H на Ad H и d на Ad ◦d и считать, что H — присоединенная группа. Можно также считать, что множество S конечно. Тогда из следствия I.3.2.9 и предложения I.1.4.11 (iv) вытекает, что подгруппы Ad(G(K (S))) и (Ad G) (K (S)) соизмеримы, откуда Ad Λ ∈ ΩS (Ad G). Так как H — присоединенная группа, специальному l ′ -эпиморфизму h : s G → H соответствует такой специальный l ′ -эпиморфизм h′ : s Ad G = Ad(s G) → H, что h = Ad ◦h′ (см. предложение I.1.4.11 и п. I.1.4.14). Так как при любом v ∈ R группы G и Ad G имеют одинаковый Kv -ранг, мы имеем rankS Ad G = rankS G (см. следствие I.1.4.6 и предложение I.14.11 (iv)). Следовательно, можно заменить G на Ad G, Λ на Ad Λ, d на d ◦ Ad−1 и считать, что G — присоединенная группа. Тогда G = RK ′ /K G′ , где K ′ — конечное сепарабельное расширение

332

Глава VIII. Нормальные подгруппы и «абстрактные» гомоморфизмы

поля K , а G′ — связная присоединенная абсолютно почти простая K ′ -группа (см. п. I.1.7). Пусть {s1 = Id, s2 , . . . , sd } — множество всех различных тождественных на K вложений поля K ′ в алгебраическое замыкание K¯ поля K . Представим группу G = RK ′ /K G′ в виде G = s1 G × . . . × sd G′ (см. I.1.7). Пусть pi : G → si G′ , 1 6 i 6 d, — естественная проекция. Так как группа H абсолютно почти проста, для любого рационального эпиморфизма f : s G → H существуют i, 1 6 i 6 d, и рациональный эпиморфизм fi : s◦si G′ → H, такой что f = fi ◦ s pi . Поэтому можно заменить G на G′ , Λ на (RK0 ′ /K ) −1 (Λ), d на d ◦ RK0 ′ /K и считать, что группа G абсолютно почти проста и потому h является изогенией. Положим Γ = Λ ∩ G(K (S)). Так как Λ ⊂ G(K), S 6⊂ T и d (Λ) = H = H0 = = D (H0), в силу леммы 3.2 (ii) мы имеем d (Γ) = H. Но поскольку Γ ⊂ Λ и d = h ◦ s0 |Λ , мы получаем, что d (Γ) = h (s0 (Γ)). Следовательно, h (s0 (Γ)) = H.

(1)

Ввиду леммы I.3.1.3 (б) мы имеем G(K) ⊂ CommG (Γ).

(2)

Так как d (Γ) ⊂ d (Λ) ⊂ H(l) и группа H присоединенная, из соотношений (1) и (2) вытекает с учетом леммы VII.6.2 (ii), что h (s0 (G(K))) ⊂ H(l). Пусть даны гомоморфизм s : K → l ′ и l ′ -морфизм h¯ : s¯ G → H, такие что h (s0 (g)) = h¯ (s¯ 0 (g)) для всех g ∈ Γ. Так как Z (H) = {e}, из соотношений (1), (2) и леммы VII.5.1 (б) вытекает, что h (s0 (g)) = h¯ (s¯ 0 (g)) при всех g ∈ G(K). Поэтому мы вправе заменить Λ на G(K), положив d (g) = h (s 0 (g)), g ∈ G(K). Итак, мы свели доказательство к случаю, когда G и H — абсолютно почти простые присоединенные группы и Λ = G(K), что и предполагается ниже. Согласно предложению I.3.2.10 мы имеем Λ¯ = G, откуда следует, что s0 (Λ) = s G. Но d (Λ) = h (s0 (Λ)) ⊂ H(l). Поэтому если s (K) ⊂ l, то изогения h определена над l (см. предложение I.0.11 (ii)). Так как при этом s0 (Λ) = s G, при фиксированном s изогения h однозначно определяется соотношением (∗). Поэтому достаточно показать, что если для гомоморфизма s : K → l ′ и l ′ -изогении h : s G → H выполнено равенство d (g) = h (s0 (g))

∀ g ∈ Λ = G(K),

то s (K) ⊂ l, причем s однозначно определяется этим равенством.

(∗∗)

§ 3. Гомоморфизмы S-арифметических подгрупп в алгебраические группы

333

3.15. Пусть F — связная некоммутативная абсолютно почти простая l-группа, T — максимальный тор в F. Как и в п. I.1.1, для произвольного b ∈ Φ(T, F) пусть Ub обозначает однопараметрическую корневую подгруппу, ассоциированную с b; положим также U− b = Lie(Ub) = {v ∈ Lie(F) | Ad t (v) = = b (t)v для всех t ∈ T}. Из хорошо известных результатов о полупростых алгебраических группах вытекает, что следующие условия равносильны (см. [Bo–T 4, 3.1–3.8], [Bo–T 3, предложение 2.13] и [Ste, лемма 15]): (i) любая специальная изогения b : F → F′ центральна; (ii) любое Ad F-инвариантное линейное подпространство алгебры Ли P Lie(F) либо содержит Ub , либо содержится в Z (Lie(F)) ⊂ Lie(T); b∈Φ(T,F)

(iii) если a, b ∈ Φ(T, F) и a + b ∈ Φ(T, F), то [Ua , Ub ] = Ua+b ; (iv) либо char l ∈ / {2, 3}, либо char l = 2 и F не принадлежит типам Bn , Cn и F4 , либо char l = 3 и F не принадлежит типу G2 . Группа F называется стандартной, если выполнены условия (i) — (iv), и нестандартной в противном случае. 3.16. Если Λ = G(K) и группа G является K -изотропной, то теорема 3.4 (б) непосредственно вытекает из теоремы I.1.8.1. Но если char K > 0 и группа G анизотропна над K , то группа G стандартна (см. [Har 5], следствие 1 из теоремы C). Поэтому достаточно рассмотреть случай стандартной группы G. Так как группа H связна, некоммутативна, почти проста и d (Λ) = H, то подгруппа d (Λ) = Λ/ Ker d не содержит нормальных подгрупп конечного индекса с конечным коммутантом. Поэтому Ker d ⊂ Z (G) = {e} (см. следствие 2.13), т. е. d является мономорфизмом. Но для ситуации, когда Λ = G(K), d является мономорфизмом, G и H — присоединенные группы и G принадлежит типу A1 , теорема 3.4 доказана Вейсфейлером (см. [Weis 1], теорема 4.1) и справедлива не только для глобальных, но для произвольных бесконечных полей K . Поэтому можно считать, что G не принадлежит типу A1 (в действительности это предположение потребуется лишь в случае char K = 2). 3.17. Пусть G — стандартная группа. Тогда специальная изогения h : s G → H центральна. Поэтому Tr Ad g = Tr Ad(h (g)) для всех g ∈ s G (см. следствие I.1.4.8). С другой стороны, Tr Ad(s0 (g)) = s0 (Tr Ad g) для всех g ∈ G(K). Из равенства (∗∗) вытекает, что Tr Ad(d (g)) = s0 (Tr Ad g)

∀ g ∈ Λ = G(K).

(1)

Пусть KG — подполе в K , порожденное множеством Tr Ad Λ = {Tr Ad g | g ∈ ∈ G(K)}. Из равенства (1) следует, что s|KG однозначно определяется условием (∗∗). Так как l-алгебра Lie(H) l является Ad(H(l))-инвариантной и d (Λ) ⊂ H(l), мы имеем Tr Ad(d (Λ)) ⊂ l (см. I.0.15). Таким образом, из ра-

334

Глава VIII. Нормальные подгруппы и «абстрактные» гомоморфизмы

венства (1) вытекает, что s (KG) ⊂ l. Поэтому мы получим теорему 3.4 (б), если будет доказана следующая 3.18. Лемма. Пусть k — бесконечное поле; F — связная некоммутативная абсолютно почти простая k-группа; kF — подполе в k, порожденное множеством {Tr Ad g | g ∈ F(k)}. Предположим, что группа F стандартная или присоединенная и при этом либо F не принадлежит типу A1 , либо char k 6= 2. Тогда kF = k. 3.19. Мы докажем лемму 3.18 в п. 3.23. Для этого нам потребуются некоторые результаты о полях определения линейных групп. Эти результаты используются также в гл. IX. Вначале введем необходимые определения. Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем k, ∆ — некоторое семейство его линейных преобразований. Подполе k0 ⊂ k называется полем определения семейства ∆, если в пространстве V имеется ∆-инвариантная k0 -структура, т. е. в некотором базисе можно записать все преобразования из ∆ как матрицы с элементами из k0 . В этом случае мы говорим также, что семейство ∆ определимо над k0 . Рациональное представление r алгебраической группы F называется почти точным, если ядро Ker r конечно, и сепарабельным, если морфизм F → r (F) сепарабелен. 3.20. Предложение. Пусть k — алгебраически замкнутое поле, k0 — его подполе, F — редуктивная k-группа, ∆ — плотная по Зарисскому подгруппа в F. Предположим, что для некоторого рационального почти точного сепарабельного абсолютно неприводимого представления r : F → GL(W ) группы F в конечномерном векторном пространстве W над k выполнено включение Tr r (∆) ⊂ k0 . Тогда группа Ad ∆ линейных преобразований пространства Lie(F) определима над k0 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть k-линейная (соответственно k0 -линейная) оболочка M множества r (∆) содержится в End(W) (соответственно M0 ⊂ End(W )). Иначе говоря, M (соответственно M0) состоит из линейных комбинаций векторов из r (∆) с коэффициентами в k (соответственно в k0). Так как представление r абсолютно неприводимо и подгруппа ∆ плотна по Зарисскому в F, ограничение представления r на ∆ также абсолютно неприводимо. Поэтому в силу теоремы Бернсайда (см. [Wae 2], § III]) мы имеем M = End(W). Пусть m = dim W ; (h1 , . . . , hm2) ⊂ r (∆) — базис в M = End(W); (e1 , . . . , em2) — двойственный базис в M = End(W ) относительно билинейной формы (x, y) → Tr xy. Так как базис (h1 , . . . , hm2) содержится в r (∆) и Tr hi h j ∈ Tr r (∆) ⊂ k0 , мы получаем (e1 , . . . , em2) ⊂ M0 .

(1)

§ 3. Гомоморфизмы S-арифметических подгрупп в алгебраические группы

Очевидно, что M0 ⊂

X

Tr(hi M0)ei .

335

(2)

16i6m2

Так как базис (h1 , . . . , hm2) содержится в подгруппе r (∆) и Tr r (∆) ⊂ k0 , мы имеем Tr(hi r (∆)) ⊂ k0 , и, значит, Tr(hi M0) ⊂ k0 для i = 1, . . . , m2 . Поэтому из включений (1) и (2) следует, что M0 является k0 -структурой в M = End(W ). Определим гомоморфизм f алгебры M в алгебру End(M), положив f (xy) = xy, x, y ∈ M. Так как M0 является k0 -линейной оболочкой подгруппы r (∆), мы имеем xy ∈ M0 для всех x ∈ r (∆) и y ∈ M0 . С другой стороны, M0 является k0 -структурой в M. Поэтому группа f (r (∆)) линейных преобразований пространства M определима над k0 . Положим F0 = f (r (∆)) и заметим, что, так как ∆¯ = F, выполнено равенство F0 = f (r (F)). Поскольку группа f (r (∆)) определима над k0 , согласно п. I.0.11 (i) можно считать, что F0 является k0 -подгруппой в GL(M) и f (r (∆)) ⊂ F0 (k0). Но k0 -структура Lie(F0) k0 является Ad(F0 (k0))-инвариантной (см. п. I.0.15). Поэтому группа (Ad ◦ f ◦ r) (∆) определима над k0 . Так как M = End(W ), для любого ненулевого x ∈ M найдется такое y ∈ M, что xy 6= 0. Следовательно, Ker f = {0}, т. е. f : M → f (M) — изоморфизм алгебр. Поэтому отображение f : r (F) → f (r (F)) = F0 является изоморфизмом алгебраических групп. Но изогения r : F → r (F) сепарабельна. Поэтому изогения f ◦ r : F → F0 также сепарабельна, т. е. дифференциал d (f ◦ r) : Lie(F) → Lie(F0) является изоморфизмом алгебр Ли. Отсюда и из определимости группы (Ad ◦ f ◦ r) (∆) над k0 мы получаем, что группа Ad ∆ определима над k0 . 3.21. Лемма. Пусть F, T и Ub таковы, как в п. 3.15; L — минимальное Ad F-инвариантное линейное подпространство алгебры Ли P Lie(F), содержащее Ub ; r — ограничение представления Ad на L b∈Φ(T,F)

(иначе говоря, r (h)x = Ad h(x), h ∈ F, x ∈ L). Предположим, что группа F стандартная и присоединенная. Тогда (i) представление r почти точное и абсолютно неприводимое; (ii) если F не принадлежит типу A1 или char l 6= 2, то r : F → r (F) — изоморфизм алгебраических групп, и поэтому представление r сепарабельно. Д о к а з а т е л ь с т в о. (i) Выберем b ∈ Φ(T, Φ). Так как Ub ⊂ L, r (t)x = = b (t)x для всех t ∈ T и x ∈ Ub , а b — нетривиальный характер тора T, мы имеем T 6⊂ Ker r. Так как при этом группа F полупроста, представление r почти точно. Далее, так как F — присоединенная группа (см. [Bo–T 3], 2.13 и 2.23(a)), мы имеем Z (Lie(F)) = {0}. Но так как F — стандартная группа, любое ненулевое r (F)-инвариантное линейное подпространство в L

336

содержит

Глава VIII. Нормальные подгруппы и «абстрактные» гомоморфизмы

P

Ub , а тогда и все L (см. условие (ii) в п. 3.15). Таким обра-

b∈Φ(T,F)

зом, представление r абсолютно неприводимо, и тем самым утверждение (i) доказано. (ii) Выберем b ∈ Φ(T, Φ). Если F не принадлежит типу A1 , то найдется такой корень a ∈ Φ(T, F), что a + b ∈ Φ(T, F) и потому [Ub , Ua ] 6= {0}. Если char l 6= 2, то [Ub , U−b ] 6= {0}, поскольку из результатов § 13 гл. IV в [Bo 6] вытекает, что Ub ∪ U−b порождает группу, изоморфную либо SL2 , def либо PGL2 = GL2 /Z (GL2). В обоих случаях (d r) (Ub) 6= 0, и потому изогения r : F → r (F) специальна. Но группа F стандартная и присоединенная. Следовательно, отображение r : F → r (F) является изоморфизмом алгебраических групп, что и доказывает утверждение (ii). 3.22. Предложение. Пусть k — алгебраически замкнутое поле; k0 — его подполе; F — связная некоммутативная абсолютно почти простая k-группа; ∆ — плотная по Зарисскому подгруппа в F. Предположим, что группа F стандартная и присоединенная и при этом либо F не принадлежит типу A1 , либо char k 6= 2. Тогда k0 является полем определения группы Ad ∆ в том и только том случае, когда k0 ⊃ 3Ad∆. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть T, Ub , L и r таковы, как в формулировке P леммы 3.21. Тогда Tr Ad t = Tr r (t) для всех t ∈ T, поскольку L ⊃ Ub . b∈Φ(T,bfF)

Множество полупростых элементов группы F плотно по Зарисскому S в F и совпадает с gT g −1 (см. пп. I.0.22 и I.0.24). Следовательно, g∈F

Tr Ad g = Tr r (g) при всех g ∈ F, и потому Tr Ad ∆ = Tr r (∆). Согласно лемме 3.21 представление r почти точно и сепарабельно. Поэтому если k0 ⊃ Tr Ad ∆ = Tr r (∆), то группа Ad ∆ определима над k0 (см. предложение 3.20). С другой стороны, если k0 — поле определения для Ad ∆, то k0 ⊃ Tr Ad ∆. 3.23. Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы 3.1 8. Так как F — присоединенная группа, в силу предложения I.1.4.11 (iv) отображение Ad: F → Ad F является k-изоморфизмом. Отождествим F и Ad F посредством Ad. Ввиду предложения 3.22 группа F(k) линейных преобразований пространства Lie(F) определима над kF . Но подгруппа F(k) плотна по Зарисскому в F (см. п. I.0.24). Можно считать, что F является kF -подгруппой в GL(Lie(F)) и F(k) = F(kF) (см. п. I.0.11 (i)). Тогда достаточно доказать следующее 3.24. Предложение. Пусть k — бесконечное поле; k0 — его подполе; F — связная не унипотентная k0 -группа. Если k0 6= k, то F(k0) 6= F(k). В доказательстве этого предложения потребуется лемма 3.26. Прежде чем ее формулировать, введем следующее

§ 3. Гомоморфизмы S-арифметических подгрупп в алгебраические группы

337

3.25. Определение. Рациональная функция R ∈ k(x1 , . . . , xn) от n переменных с коэффициентами в поле k называется сепарабельной, если выполнены следующие равносильные условия: p (а) R ∈ / k(x1 , . . . , xnp), где p = char k; ∂R

не является (б) для некоторого i, 1 6 i 6 n, рациональная функция ∂xi тождественным нулем. Равносильность условий (а) и (б) вытекает из следующих замечаний. (i) Пусть L — поле характеристики p; L0 — его подполе; Ω — множество всех таких дифференцирований D поля L, что D (L0) = 0 (напомним, что отображение D : L → L называется дифференцированием поля L, если D (x + y) = D (x) + D (y) и D (xy) = xD (y) + yD (x) для всех x, y ∈ L). Тогда множество {x ∈ L | D (x) = 0 для всех D ∈ Ω} совпадает с подполем в L, натянутым на L0 и множество {x p | x ∈ L} (см. [Z–S], гл. II, § 17, замечание после следствия 5). (ii) Подполе в k(x1 , . . . , xn), порожденное полем k и множеством {Q p | Q ∈ k(x1 , . . . , xn)}, совпадает с k(x1p , . . . , xnp). (iii) Любое дифференцирование D поля k(x1 , . . . , xn), отображающее k в нуль, может быть представлено в виде X ∂ D= Ri , где Ri ∈ k(x1 , . . . , xn). 16i6n

∂xi

Отметим также, что при char k = 0 сепарабельность функции R равносильна тому, что R не является константой. 3.26. Лемма. Пусть k — бесконечное поле; k¯ — его алгебраическое замыкание; n ∈ N+ ; V — собственное алгебраическое подмногообразие в k¯ n ; k0 — собственное подполе в k; R ∈ k0 (x1 , . . . , xn). Предположим, что функция R сепарабельна. Тогда R (kn − V) 6⊂ k0 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Если поле k0 конечно, то R (kn − V) 6⊂ k0 , поскольку поле k бесконечно. Поэтому можно считать k0 бесконечным. Пусть i — целое число, для которого ∂R /∂xi 6= 0. Тогда существуют такие x1 , . . . def . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn ∈ k0 , что рациональная функция Q (x) = R (x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn) сепарабельна и множество {x ∈ k | (x1 , . . . , xi−1 , x, xi+1 , . . . , xn) ∈ ∈ V} конечно. Поэтому можно ограничиться случаем n = 1, т. е. считать, что R — рациональная функция одного переменного y, а V конечно. Если k содержит элемент t, трансцендентный над k0 , то R (t + z) ∈ / k0 ∪ {∞} для всех z ∈ k0 , поэтому в бесконечном поле k0 найдется такой элемент z, что t +z ∈ / V, R (t + z) 6= ∞ и R (t + z) ∈ / k0 . Следовательно, поле k можно считать конечным расширением поля k0 , заменив его, если нужно, меньшим рас= 1, w2 , . . . , wd } — ширением. Пусть d — степень этого расширения и {w1P базис поля k над k0 . Представим y ∈ k в виде y = y j w j , y j ∈ k0 , и 16 j6d

338

Глава VIII. Нормальные подгруппы и «абстрактные» гомоморфизмы

отождествим y с (y1 , . . . , yd) ∈ kd0 . Тогда рациональную функцию R можно рассматривать как рациональное отображение пространства kd0 в себя: X R (y) = R j (y) w j , y = (y1 , . . . , yd) ∈ kd0 , 16 j6d

где R j — рациональная функция на kd0 , определенная над k0 . Пусть R ′ — производная от R, и пусть y = (y1 , . . . , yd) и t = (t1 , . . . , td) — два элемента из k = kd0 . Тогда R (y + t) = R (y) + R ′ (y)t + Qy (t)t 2 = = R (y) +

X

16 j6d

R ′ (y) w j t j + Qy (t)

X

w j wr t j tr ,

16 j,r6d

где Qy (t) — рациональная функция от t, Qy (0) 6= ∞. Как следствие, ∂R /∂y j = R ′ (y) для j = 1, . . . , d. Но R ′ 6= 0, поскольку функция R сепарабельна. Таким образом, ∂R /∂y j 6= 0, и потому R j 6= 0 при j = 1, . . . , d. Так как при этом поле k0 бесконечно, а V конечно, существует такой элемент y = (y1 , . . . , yd) ∈ k − V = kd0 − V, что Rd (y) 6= 0, ∞. Но d > 1 (поскольку k 6= k0) и w1 = 1, поэтому R (y) ∈ / k0 , что и доказывает лемму. 3.27. Д о к а з а т е л ь с т в о п р е д л о ж е н и я 3. 2 4. Так как k0 -группа F не унипотентна, ввиду п. I.0.22 она содержит тор положительной размерности, определенный над k0 . Известно, что группа T унирациональна над k0 (см. [Bo 6], гл. III, 8.13), т. е. поле k0 (T) рациональных функций на T, определенных над k0 , вкладывается в k0 (x1 , . . . , xn) при некотором n ∈ N+ . Пусть f1 , . . . , fi — система образующих алгебры k0 [T] ⊂ k0 (T) ⊂ k0 (x1 , . . . , xn). Можно считать, что хотя бы одна из рациональных функций сепарабельна (в противном случае посредством замены переменных x j → x jp , 1 6 j 6 n, p = char k, можно понизить в p раз степень числителя и знаменателя каждой из функций f1 , . . . , fi). Пусть функция f1 сепарабельна и алгебраическое многообразие V состоит из точек, в которых хотя бы одна из функций f1 , . . . , fi не определена или равна бесконечности. Тогда в силу леммы 3.26 существует x ∈ kn − V, для которого f1 (x) ∈ / k0 . Рассматривая теперь f1 (t), . . . , fi (t) как координаты точки t в аффинном многообразии T, мы видим, что точка (f1 (x), . . . , fi (x)) принадлежит T(k) − T(k0). Таким образом, T(k) 6= T(k0), и поэтому F(k0) 6= F(k). 3.28. Замечания. (i) Если k — конечное сепарабельное расширение поля k0 , то доказательство предложения 3.24 упрощается, благодаря тому что Rk0/k0 (T(k)) = (Rk/k0 T) (k0)). (ii) Немного изменив рассуждение, можно показать, что при условиях предложения 3.24 множество F(k) − F(k0) плотно по Зарисскому в F.

Глава IX

Арифметичность

В этой главе мы сформулируем и докажем теоремы арифметичности (см. §§ 1,2). Из них мы выведем целый ряд следствий, в частности покажем, как с помощью этих теорем можно усилить ряд результатов гл. IV и VII (§§ 4,5). В § 3 доказаны некоторые утверждения о конечной порождаемости решеток, использованные в § 1. Параграфы 6 и 7 в основном посвящены переформулировке некоторых результатов этой и предыдущих глав в терминах групп Ли, симметрических пространств и комплексных многообразий. Напомним (см. начало гл. VIII), что если даны l-группа F, гомоморфизм полей s : l → l ′ и l-морфизм p : F → F′ , то им соответствуют l ′ -группа s F, гомоморфизм s0 : F(l) → s F(l ′) и l ′ -морфизм s p : s F → s F′ (см. пп. I.1.7 и I.1.8).

§ 1. Формулировка теорем арифметичности Пусть A — непустое конечное множество. Каждому элементу a ∈ A поставим в соответствие локальное поле ka и связную нетривиальную полупростую ka -группу Ga . Пусть Gisa ⊂ Ga — (почти прямое) Q произведение ka -изотропных множителей группы Ga . Положим G = Ga (ka) и a∈A Q G is = Gisa (ka) ⊂ G. Отметим, что факторгруппы Ga (ka) /Gisa (ka) компактны a∈A

is (см. предложение I.2.3.8), поэтому P компактна и факторгруппа G /G . Как и в § 5 гл. VII, rank G = rankka Ga обозначает ранг группы G.

a∈A

Пусть k — локальное поле; F — связная полупростая k-группа; F˜ — ее односвязная накрывающая; p : F˜ → F — центральная k-изогения. Положим ˜ F(k) 0 = p (F(k)). Из теоремы I.2.3.1 (а′), предложения I.1.5.4 (iv) и предложения I.1.5.5 вытекает, что F(k) 0 ∩ Fis (k) = F(k) + , где Fis ⊂ F обозначает

340

Глава IX. Арифметичность

произведение k-изотропных множителей группы F. В частности, если F не имеет k-анизотропных множителей, то F(k) 0 = F(k) + . Если k = C, то F(k) 0 = F(k), поскольку группа C-рациональных точек любой связной C-группы связна. При k = R подгруппа F(k) 0 совпадает с компонентой единицы группы Ли F(k), поскольку группа R-рациональных точек любой связной односвязной полупростой R-группы связна (см. замечание 2 из I.2.3.1). Из предложения I.2.3.4 (i) вытекает, что подгруппа F(k) 0 ⊂ F(k) замкнута и нормальна, а факторгруппа F(k) /F(k) 0 компактна, коммутативна и периодична. Если при этом char k = 0, то подгруппа F(k) 0 открыта и имеет конечный индекс в F(k). ˜ плотна по ЗаПоскольку p является k-изогенией и подгруппа F(k) ˜ рисскому в F (см. предложение I.2.5.3.(ii)), подгруппа F(k) 0 плотна по Зарисскому в F(k). Как следствие, если F 6= {e}, или, что равносильно, dim F > 0, то подгруппа F(k) 0 бесконечна. Пусть k — конечное сепарабельное расширение локального поля l. Тогда из свойств функтора ограничения скаляров (см. п. I.1.7) вытекает, что Rk0/l (F(k) 0) = (Rk/l F) (l) 0 . 1.1. Положим Y G0 = Ga (ka) 0 ⊂ G. a∈A

Из отмеченного в п. 1.1 вытекают следующие утверждения. Q (а) Пусть G + обозначает подгруппу Ga (ka) + ⊂ G. Тогда G 0 ∩ G is = a∈A

= G + . В частности, если все группы Ga , a ∈ A, не имеют ka -анизотропных множителей, то G 0 = G + . (б) Если ka при любом a ∈ A равно R или C, то G 0 совпадает с компонентой единицы группы Ли G. (в) Подгруппа G 0 ⊂ G замкнута и нормальна, а факторгруппа G /G 0 компактна. (г) Если char ka = 0 при всех a ∈ A, то подгруппа G 0 открыта и имеет конечный индекс в G. (д) Пусть при любом a ∈ A существует центральная ka -изогения полуQ def pa . Тогда p (G 0) = G ′0 = простых ka -групп pa : Ga → Ga′ . Положим p = a∈A def Q = G′a (ka) 0 . a∈A

(е) Подгруппа G 0 бесконечна. (ж) Пусть при любом a ∈ A поле ka является конечным сепарабельным расширением локального поля la . Положим Da = Rka /la Ga . Изоморфизмы def Q Rk0a /la : Ga (ka) → Da (la) индуцируют изоморфизм R 0 : G → D = Da (la). Тоa∈A

§ 1. Формулировка теорем арифметичности def

гда R 0 (G 0) = D 0 =

Q

a∈A

341

Da (la) 0 , и в этом смысле подгруппа G 0 инвариантна

относительно функтора ограничения скаляров при его действии на группы Ga . 1.2. Определение. Пусть F — подгруппа группы G. Обозначим через G is · F замыкание подгруппы G is · F в G. Будем говорить, что F обладает свойством (QD) в группе G, если подгруппа G 0 ∩ G is · F имеет конечный индекс в G 0 . Замечания. (i) Ясно, что если при всех a ∈ A группы Ga не имеют ka -анизотропных множителей, то любая подгруппа группы G обладает в ней свойством (QD). (ii) Как отмечено в начале параграфа, факторгруппа G /G is компактна. Поэтому если подгруппа G is · F открыта в G, то она имеет конечный индекс и, как следствие, F обладает свойством (QD) в G. (iii) Ясно, что если F1 и F2 — две соизмеримые подгруппы в G, то подгруппы G is · F1 и G is · F2 соизмеримы. Поэтому F1 обладает свойством (QD) в группе G, если и только если это верно для F2 . (iv) Пусть для каждого a ∈ A заданы ka -группа G′a и центральная Q ′ ka -изогения pa : Ga → G′a . Положим G′ = Ga (ka). Изогении pa индуa∈A

цируют непрерывный гомоморфизм p : G → G ′ . Тогда подгруппа F ⊂ G обладает свойством (QD) в группе G, если и только если подгруппа p (F) обладает этим свойством в G ′ . Это вытекает из утверждения (д), конечности ядра Ker p и следующих фактов: 1) в силу предложения I.2.3.4 (ii) отображение p собственное и, следовательно, переводит замкнутые множества в замкнутые; 2) ввиду следствия I.1.4.6 (в) подгруппа pa (Gisa) совпадает с произведением ka -изотропных множителей группы G′a . (v) Так как G 0 ∩ G is = G + , подгруппа G 0 замкнута в G. В силу предложения I.2.3.1 (б) факторгруппа G /G + компактна. Как следствие, компактен образ подгруппы G 0 при естественном эпиморфизме G → G /G is . Но в компактной группе замкнутые подгруппы конечного индекса — это то же самое, что открытые подгруппы. Поэтому для любой замкнутой подгруппы H ⊂ G, содержащей G is , следующие утверждения равносильны: (1) подгруппа G 0 ∩ H имеет конечный индекс в G 0 ; (2) подгруппа G 0 ∩ H открыта в G 0 . Следовательно, подгруппа F ⊂ G обладает свойством (QD) в G, если и только если подгруппа G 0 ∩ G is · F открыта в G 0 . (vi) Из утверждения (г) и замечания (v) вытекает, что если char ka = 0 при всех a ∈ A, то подгруппа F ⊂ G обладает свойством (QD) в G тогда и только тогда, когда замыкание подгруппы G is · F открыто в G. (vii) Используя теорему об алгебраичности компактной вещественной линейной группы (см. п. I.0.31), легко показать, что если ka при любом

342

Глава IX. Арифметичность

a ∈ A равно R или C, то факторгруппа G /G is связна. Из утверждения (б) вытекает, что в этом случае следующие утверждения равносильны: (1) подгруппа F ⊂ G обладает свойством (QD) в G; (2) подгруппа G is · F плотна в G. (viii) Из утверждения (е) вытекает, что если rank G = 0, или, что равносильно, G is = {e}, то любая подгруппа в G со свойством (QD) бесконечна. (ix) Свойство (QD) инвариантно относительно применения функтора ограничения скаляров к группам Ga . Точнее, пусть D и R 0 : G → D таковы, как в утверждении (ж). Тогда подгруппа F ⊂ G обладает свойством (QD), если и только если подгруппа R 0 (F) обладает свойством (QD) в D. 1.3. Как и в гл. VIII, пусть K — глобальное поле, R — множество всех его (неэквивалентных) нормирований, R∞ ⊂ R — множество архимедовых нормирований. Как и выше, |x|v будет обозначать значение нормирования v ∈ R на элементе x ∈ K , а Kv — пополнение поля K относительно нормирования v ∈ R. Разложим группу Ga в почти прямое произведение связных некоммутативных почти ka -простых подгрупп Gai , i ∈ Ia . Пусть H — связная некоммутативная абсолютно почти простая K -группа. Пусть также даны v ∈ R, a ∈ A, i ∈ Ia и непрерывный гомоморфизм f : H(Kv) → Gai (ka). Мы говорим, что гомоморфизм f принадлежит классу Ψ0 , если существуют замкнутое подполе Kv′ ⊂ Kv , бинепрерывный изоморфизм w : Kv′ → ka и (после отождествления полей Kv′ и ka посредством w) центральная ka -изогения t : RKv /Kv′ H → Gai , такие что Kv является конечным сепарабельным расширением поля Kv′ и f = t ◦ RK0 v /Kv′ . Отметим, что если группа Gai абсолютно почти проста, то Kv′ = Kv . Таким образом, в случае абсолютно почти простой группы Gai гомоморфизм f принадлежит классу Ψ0 , если существуют непрерывный изоморфизм w : Kv → ka и центральная ka -изогения t : w H → Gai , такие что f (h) = t (w0 (h)) для всех h ∈ H(Kv). Пусть B — конечное подмножество в R. Будем говорить, что непрерывdef Q ный гомоморфизм f : HB = H(Kv) → G принадлежит классу Ψ, если v∈B

def

существуют отображение d : B → A, биекция n : B → I =

S

a∈A

Ia и непрерыв-

ные гомоморфизмы fv : H (Kv) → Gd (v) n (v) (kd (v)), такие что n (v) ∈ Id (v) , гомоQ морфизмы fv принадлежат классу Ψ0 и f = fv . v∈S

Замечания. (i) В случае, когда группы Ga абсолютно почти просты, гомоморфизм f : HB → G принадлежит классу Ψ, если существуют биекция d : B → A, непрерывные гомоморфизмы w Qv : Kv →0kd (v) и центральные (tv ◦ wv). kd (v) -изогении tv : wv H → Gd (v) , такие что f = v∈B

§ 1. Формулировка теорем арифметичности

343

(ii) Из определения класса Ψ и предложения I.2.3.4 вытекает, что для любого непрерывного гомоморфизма f : HB → G, принадлежащего классу Ψ, ядро Ker f конечно, подгруппа f (HB) ⊂ G замкнута и нормальна, факторгруппа G /f (HB) компактна и отображение HB / Ker f → f (HB) является изоморфизмом топологических групп. С помощью результатов из пп. 1.8, 1.5 и 2.3 гл. I можно показать, что обратное также верно, если группы Ga при всех a ∈ A не имеют ka -анизотропных множителей: в этом случае класс Ψ состоит из всех непрерывных гомоморфизмов f : HB → G с конечным ядром, подгруппа f (HB) замкнута и нормальна в G, а факторгруппа G /f (HB) компактна. Если при любом a ∈ A поле ka равно R или C, то непрерывный гомоморфизм f : HB → G принадлежит классу Ψ тогда и только тогда, когда ядро Ker f конечно и f (HB) содержит компоненту единицы группы Ли G. (Этот факт легко вытекает из регулярности непрерывных гомоморфизмов связных полупростых вещественных групп Ли, а также из предложения I.1.4.13.) (iii) Предположим, что либо группа H присоединенная, либо при всех a ∈ A группы Ga односвязны. Тогда верны следующие утверждения: (а) если f : HB → G принадлежит классу Ψ, то f является изоморфизмом топологических групп (это непосредственно следует из определений); (б) если при всех a ∈ A группы Ga не имеют ka -анизотропных множителей, то гомоморфизм f : HB → F принадлежит классу Ψ тогда и только тогда, когда он является изоморфизмом топологических групп (это вытекает из описания класса Ψ в замечании (ii)). (iv) Пусть G′a , pa , G ′ и p таковы, как в замечании (v) п. 1.2. Тогда верны следующие утверждения: (а) если гомоморфизм f : HB → G принадлежит классу Ψ, то это верно и для гомоморфизма p ◦ f : HB → G ′ ; (б) если гомоморфизм f′ : HB → G ′ принадлежит классу Ψ и группа H односвязна, то в классе Ψ имеется такой гомоморфизм f : HB → G, что f′ = p ◦ f. Утверждение (а) легко вытекает из того факта, что композиция центральных изогений редуктивных групп центральна (см. п. I.1.4.7). Утверждение (б) доказывается с помощью предложения I.1.4.11 (ii). Дальнейшие подробности обоих доказательств предоставляются в качестве элементарного упражнения. (v) Пусть p : H˜ → H — центральная K -изогения связных K -групп. Она def Q ˜ v) → HB . Если гоH(K индуцирует непрерывный гомоморфизм pB : H˜ B = v∈B

моморфизм f : HB → G принадлежит классу Ψ, то это верно и для гомоморфизма f ◦ pB : H˜ B → G.

344

Глава IX. Арифметичность

(vi) Пусть D и R 0 : G → D таковы, как в утверждении (ж) п. 1.2. Тогда гомоморфизм f : HB → G принадлежит классу Ψ, если и только если это верно для R 0 ◦ f : HB → D. (vii) ЕслиPв классе Ψ имеется непрерывный гомоморфизм f : HB → G, то rank G = rankKv H. Это вытекает из следующих равенств: v∈B

rank G =

X a∈A

rankka Ga =

XX a∈A

rankka Gai ,

i∈Ia

rankKv H = rankKv′ RKv /Kv′ H = rankkd (v) Gd (v) n (v) (см. следствие I.1.4.6 (а) и п. I.1.7). 1.4. Пусть K , R, R∞ , |x|v , Kv и H таковы, как в п. 1.3. Положим T = T (H) = {v ∈ R | группа H анизотропна над Kv или, что равносильно, группа H(Kv) компактна}. Рассмотрим такое конечное множество S ⊂ R, что S ⊃ R∞ − T . Как и в п. I.0.32, положим K (S) = {x ∈ K | |x|v 6 1 для всех v ∈ R − R∞ − S}, т. е. K (S) — кольцо S-целых элементов поля Q K. Пусть группа H(K (S)) такова, как в п. I.3.1. Положим HS = H(Kv) v∈S

и отождествим группу H(K (S)) с ее образом при диагональном вложении в HS . В силу теоремы I.3.2.5 группа H(K (S)) является решеткой в HS . Эта решетка неприводима, поскольку группа H абсолютно почти проста. Пусть дан гомоморфизм f : HS → G, принадлежащий классу Ψ. Так как H(K (S)) — неприводимая решетка в HS и ядро Ker f конечно (см. замечание (ii) в п. 1.3), подгруппа f (HS) ⊂ G замкнута и нормальна, факторгруппа G /f (HS) компактна, а отображение HS / Ker f → f (HS) является изоморфизмом топологических групп, подгруппа f (H(K (S))) является неприводимой решеткой в G. Введем теперь определение арифметической решетки. Определение. Неприводимая решетка Γ ⊂ G называется арифметической, если существуют такие K , H, S, как выше, и такой непрерывный Q гомоморфизм f : H(Kv) → G, принадлежащий классу Ψ, что подгруппа v∈S

f (H(K (S))) соизмерима с Γ. Отметим, что арифметические решетки иногда называются S-арифметическими. 1.5. Для случая R-групп приведем еще одно определение арифметической решетки (о равносильности этого определения предыдущему (п. 1.4) см. замечание (ii) в п. 1.6). Определение. Пусть G — связная полупростая R-группа; Gis ⊂ G — (почти прямое) произведение R-изотропных множителей группы G; Γ0 — неприводимая решетка в группе G(R), причем подгруппа Gis · Γ0 плотна в G(R). Назовем решетку Γ0 арифметической, если существуют связная некоммутативная почти Q-простая Q-группа F и R-эпиморфизм t : F → G,

§ 1. Формулировка теорем арифметичности

345

такие что группа Ли (Ker t) (R) компактна, а подгруппы t (F(Z)) и Γ0 соизмеримы. Для случая, когда все поля ka архимедовы, мы дадим еще одно описание арифметических решеток. Пусть K ⊂ C — конечное расширение поля Q. Вложение s : K → C называется вещественным, если s (K) ⊂ R, и мнимым в противном случае. Два вложения s, s′ : K → C называются эквивалентными, если s′ (x) = s (x), где черта означает комплексное сопряжение. Выберем по представителю в каждом классе эквивалентности ′ вложений поля K в C. Пусть R∞ = {s1 = Id, . . . , si } — множество таких ′ и ks = C для представителей. Положим ks = R для вещественных s ∈ R∞ мнимых. Тогда (s, ks) — пополнение поля K . Как отмечено в п. I.0.32, множества классов эквивалентности нормирований и пополнений поля K ′ естественно отождествляются. Поэтому можно отождествить R∞ с множеством R∞ архимедовых нормирований поля K . Если нормирование v ∈ R∞ ′ при этом соответствует вложению s ∈ R∞ , то s продолжается до непрерывного изоморфизма поля Kv на поле ks . Пусть теперь H — связная некоммутативная почти K -простая K -груп′ па. Положим T ′ = {s ∈ R∞ | s вещественно, группа s H(R) компактна}. ′ ′ ПустьQдано такое подмножество S ⊂ R∞ , что S ⊃ R∞ − T ′ . Положим s HS = H(ks). Обозначим через J кольцо целых элементов поля K и s∈S Q 0 отождествим группу H(J) с ее образом при вложении s : H(J) → HS . s∈S Тогда справедливо следующее утверждение. (∗) Пусть при любом a ∈ A поле ka архимедово; отображение f : HS → G — непрерывный гомоморфизм с конечным ядром Ker f; подгруппа f (HS) содержит компоненту единицы группы Ли G. Тогда а) f (H(J)) — неприводимая решетка в G; б) для любой неприводимой арифметической решетки Γ ⊂ G существуют такие H, S и f с указанными выше свойствами, что решетка Γ соизмерима с f (H(J)). При этом можно выбрать группу H абсолютно почти простой. Утверждение (∗) легко выводится из равенства J = K (R∞) и естествен′ ного соответствия между R∞ и R∞ , указанного выше. Отметим, что в п. (а) переход к случаю абсолютно почти простой группы H осуществляется с помощью функтора ограничения скаляров. При этом нужно использовать лемму I.3.1.4 и рассуждения из замечаний (i) и (ii) п. 1.6 (см. ниже). Кроме того, в п. (б) нужно использовать описание класса Ψ из замечания (ii) п. 1.3. Частным случаем утверждения (∗) является следующее утверждение. (∗∗) Пусть поле k равно R или C; G — связная абсолютно почти простая k-изотропная k-группа; Γ0 — решетка в G(k). Тогда следующие утверждения равносильны:

346

Глава IX. Арифметичность

(а) решетка Γ0 арифметическая; (б) существуют конечное расширение K ⊂ k поля Q, связная некоммутативная абсолютно почти простая K -группа H и непрерывный гомоморфизм f : H(k) → G(k), такие что 1) K плотно в k; 2) s (K) ⊂ R и группа s H(R) компактна для всех вложений s : K → C, не эквивалентных тождественному; 3) ядро Ker s конечно и f (H(k)) содержит компоненту единицы группы Ли G; 4) подгруппа Γ0 соизмерима с f (H(J)), где J — кольцо целых элементов поля K . 1.6. Замечания. (i) Группу H в определении 1.4 можно считать односвязной. В самом деле, пусть H˜ — ее односвязная накрывающая; Q p : H˜ → H — центральная K -изогения; f : H(Kv) → G — такой гомоv∈S

морфизм из класса Ψ, что f (H (K (S))) соизмерима с Γ. Тогда Q подгруппа ˜ v) → G принадлежит классу Ψ; здесь отоб1) гомоморфизм f ◦ pS : H(K v∈S Q ˜ Q ражение pS : H(Kv) → H(Kv) индуцировано отображением p (см. v∈S

v∈S

˜ замечание (v) в п. 1.3); 2) так как подгруппы p (H(K (S))) и H(K (S)) со˜ измеримы (см. следствие I.3.2.9), подгруппа (f ◦ pS) (H(K (S))) соизмерима с Γ. Точно так же и группу F в определении 1.5 можно считать односвязной. (ii) Определения 1.4 и 1.5 эквивалентны в следующем смысле. Пусть ka при любом a ∈ A равно R или C. Положим Gˆ a = Ga , если ka = R, и Q ˆ Gˆ a = RC/R Ga , если ka = C. Пусть G обозначает R-группу Ga . Отождеa∈A

ствим группы G и G(R) посредством RC0 /R . Тогда неприводимая решетка Γ ⊂ G арифметична в смысле определения 1.4, если и только если она арифметична в смысле определения 1.5. Эту эквивалентность легко вывести из леммы I.3.1.4, если предположить Q-группу F односвязной и представить ее в виде RK /Q H, где K — конечное расширение поля Q, а H — связная некоммутативная абсолютно почти простая K -группа. (iii) Если в определении 1.5 решетка Γ0 не кокомпактна, то группа G не имеет R-анизотропных множителей (т. е. G = Gis) и эпиморфизм t является изогенией. Действительно, пусть решетка Γ0 не кокомпактна. Тогда, поскольку t (F(Z)) и Γ0 соизмеримы, факторпространство F(Z) \ F(R) некомпактно. Следовательно, группа F изотропна над Q (см. теорему I.3.2.8 (б)). Так как при этом группа F почти Q-проста, легко показать следующее: 1) группа F, а тогда и G, не имеет R-анизотропных множителей; 2) любая бесконечная нормальная R-подгруппа группы F изотропна над R.

§ 1. Формулировка теорем арифметичности

347

С другой стороны, подгруппа Ker t определена над R и нормальна в F. Поэтому она либо конечна, либо изотропна над R. Но в последнем случае группа (Ker t) (R) была бы некомпактна, что неверно. Значит, ядро Ker t конечно, т. е. t является изогенией. (iv) Если rank G > 0 и неприводимая решетка Γ ⊂ G арифметична, то Γ обладает свойством (QD) в группе G. Действительно, согласно замечанию (i) можно считать, что группа H в определении из п. 1.4 односвязна. Тогда из теоремы о сильной аппроксимации (см. п. II.6.8) вытекает, что Q при диагональном вложении в H(Kv) подгруппа H(K (S)) плотна, если v∈T

def

S 6⊂ T = {v ∈ R | группа H анизотропна над Kv }. С учетом замечания (ii) Q п. 1.2 подгруппа H(K (S)) обладает свойством (QD) в H(Kv). Остается v∈S

использовать замечания (iii) и (iv) п. 1.2. (v) Пусть G′a , pa , G ′ и p таковы, как в замечании (iv) в п. 1.2. Тогда следующие условия равносильны: (1) Γ является арифметической решеткой в группе G; (2) p (Γ) является арифметической решеткой в группе G ′ . Импликация (1) ⇒ (2) непосредственно следует из замечания (iv) (a) п. 1.3; импликация (2) ⇒ (1) вытекает из замечания (iv) (b) п. 1.3 и того факта, что в определении из п. 1.4 можно считать группу H односвязной (см. замечание (i)). (vi) Арифметичность решетки Γ инвариантна относительно применения функтора ограничения скаляров к группам Ga . Точнее, если D и R 0 : G → D таковы, как в утверждении (ж) п. 1.2, то Γ является арифметической решеткой в G, если и только если R 0 (Γ) является арифметической решеткой в D. (vii) Ввиду замечания (ii) п. 1.3 любой гомоморфизм из класса Ψ переводит кокомпактные решетки в кокомпактные, а некокомпактные в некокомпактные. Но в обозначениях п. 1.4 решетка H(K (S)) ⊂ HS кокомпактна, если и только если группа H изотропна над K (см. теорему I.3.2.4 (б)). Таким образом, решетка Γ в определении из п. 1.4 кокомпактна, если и только если группа H анизотропна над K . (viii) Известно (см. [Har 5], § 3, следствие 1), что только группы типа A имеют анизотропные формы над глобальными полями положительной характеристики. Отсюда и из замечания (vii) вытекает, что в случае непустоты множества {a ∈ A | char ka > 0 и какой-либо почти простой множитель группы Ga не принадлежит типу A} в группе G нет кокомпактных неприводимых арифметических решеток. 1.7. Примеры арифметических решеток. (i) Группа SLn (Z) является некокомпактной арифметической решеткой в группе SLn (R).

348

Глава IX. Арифметичность

(ii) Пусть p — простое число, n ∈ N+ , n > 2. Далее, пусть Z [1/ p] обозначает подкольцо поля Q, порожденное элементом 1/ p. Отождествим группу Γ = SLn (Z [1/ p]) с ее образом при диагональном вложении в G = SLn (R) × SLn (Q p). Тогда Γ является неприводимой некокомпактной арифметической решеткой в G. (iii) Обобщим пример (ii). Пусть B = {p1 , . . . , pi } — конечное множество простых чисел, n ∈ N+ , n > 2. Обозначим через Q(B) подкольцо поля Q, порожденное элементами 1/ p1 , . . . , 1/ pi . Отождествим группу Γ = SLn (Q(B)) с ее образом при диагональном вложении в группу G = SLn (R) × SLn (Q p1 ) × . . . × SLn (Q pi ). Тогда Γ является неприводимой некокомпактной арифметической решеткой в группе G. (iv) Пусть Fq ((t)) обозначает поле формальных степенных рядов от одного переменного t над конечным полем Fq , а Fq [t −1 ] ⊂ Fq ((t)) — кольцо многочленов от переменного t −1 . Тогда SLn (Fq [t −1 ]) — некокомпактная арифметическая решетка в группе SLn (Fq ((t −1))). (v) Пусть K — конечное расширение поля Q; J — кольцо целых элемен′ тов поля K ; n ∈ N+ , n > 2; R∞ и ks таковы, как в п. 1.5. Отождествим группу Q Γ = SLn (J) с ее образом при диагональном вложении в G = SLn (ks). s∈R′∞

Тогда Γ является неприводимой некокомпактной арифметической решеткой в G. В частности: √ (а) если K = Q( −d), d ∈ N+ , — квадратичное расширение поля Q, то SLn (J) — некокомпактная арифметическая решетка в SLn (C); √ (б) если K = Q( d), d ∈ N+ , — вещественное квадратичное расширение поля Q, то SLn (J) — неприводимая некокомпактная арифметическая решетка в SLn (R) × SLn (R); (в) если K — кубическое расширение поля Q с√одним вещественным и 3 одним мнимым вложением в C, например K = Q( 2), то SLn (J) — неприводимая некокомпактная арифметическая решетка в SLn (R) × SLn (C). P (vi) Пусть n > 3, Φ = ai j xi x j — невырожденная квадратичная 16i, j6n

форма от n переменных с коэффициентами в K (как обычно, ai j = a ji), ′ где K ⊂ C — конечное расширение поля Q. P Пусть R∞ и ks таковы, как ′ s в п. 1.5. Для s ∈ R∞ положим Φ = s (ai)xi x j . Далее, положим 16i, j6n

′ T ′ = {s ∈ R∞ | ks = R и форма s Φ либо положительно определенна, либо ′ отрицательно определенна} и выберем такое подмножество S ⊂ R∞ , что ′ ′ S ⊃ R∞ − T . Обозначим через SOΦ группу унимодулярных матриц, сохраняющих форму Φ. Это K -подгруппа в SLn . Обозначим через J кольцо целых элементов поля K и отождествим группу SOΦ (J) с ее образом при влоQ 0 def Q s : SOΦ (J) → SOΦ,S = жении SOsΦ (ks). Предположим следующее:

s∈S

s∈S

§ 1. Формулировка теорем арифметичности

349

′ 1) T ′ 6= R∞ ; 2) группа SOΦ почти K -проста (как известно, последнее условие равносильно следующему: либо n 6= 4, либо n = 4 и дискриминант формы Φ не является квадратом в K). Тогда SOΦ (J) — неприводимая арифметическая решетка в SOΦ,S . Эта решетка некокомпактна, если форма Φ представляет 0 над K , и кокомпактна в противном случае. Приведем теперь некоторые примеры, которые возникают как частные случаи описанных выше конструкций. Во всех этих примерах предполагается, что n > 3; Q(b) обозначает расширение поля Q, порожденное (иррациональным) числом b. 2 (1) Пусть Φ = x12 + . . . + xn−1 − xn2 . Тогда SOΦ (Z) является некокомпактной арифметической решеткой в SOΦ (R). √ 2 (2) Пусть Φ = x12 + . . . + xn−1 + 2xn2 , n > 4, и k = Q( −d), d ∈ N+ , — мнимое квадратичное расширение поля Q. Тогда SOΦ (J) — неприводимая некокомпактная арифметическая решетка в SOΦ (C). √ 2 (3) Пусть Φ = x12 + . . . + xn−1 − xn2 . Далее, пусть k = Q( d), d ∈ N+ , — вещественное квадратичное расширение поля Q. Тогда SOΦ (J) — неприводимая некокомпактная арифметическая в SOΦ (R) × SOΦ (R). √ решетка √ 2 (4) Пусть Φ = x12 + . . . + xn−1 − 2xn2 , K = Q( 2). Тогда SOΦ (J) — кокомпактная арифметическая решетка в SOΦ (R). (5) Пусть P — неприводимый многочлен степени 3 над Q с одним отрицательным и двумя положительными корнями d и d′ ; K = Q(d) — кубическое расширение поля Q; s : K → R — гомоморфизм, причем s (d) = d′ . Рассмот2 рим форму Φ = x12 + . . . + xn−1 − dxn2 . Так как d и s (d) имеют одинаковый s знак, формы Φ и Φ эквивалентны над R. Поэтому можно отождествить SOΦ (R) и SOsΦ (R). Следовательно, SOΦ (J) — неприводимая кокомпактная арифметическая решетка в SOΦ (R) × SOΦ (R). 2 (6) Пусть Φ = x12 + . . . + xn−1 − xn2 , K — кубическое расширение поля Q с √ одним вещественным и одним мнимым вложением в C (например, 3 K = Q( 2)). Тогда SOΦ (J) является неприводимой некокомпактной арифметической решеткой в SOΦ (R) × SOΦ (C). (vii) Пусть n > 3, Φ — положительно определенная квадратичная форма от n переменных с коэффициентами в Q. Как и в примере (iii), рассмотрим конечное множество простых чисел B = {p1 , . . . , pi } и подкольцо Q(B) поля Q, порожденное элементами 1/ p1 , . . . , 1/ pi . Отождествим группу Γ = SOΦ (Q(B)) с ее образом при диагональном вложении в G = SOΦ (Q p1 ) × . . . × SOΦ (Q pi ). Предположим следующее: 1) при некотором j, 1 6 j 6 i, форма Φ представляет 0 над Q p j ; 2) группа SOΦ почти Q-проста. Тогда Γ является неприводимой кокомпактной арифметической решет2 кой в G. Например, если Φ = x12 + . . . + xn−1 + 2xn2 , то SOΦ (Z [1/3]) — кокомпактная арифметическая решетка в SOΦ (Q3).

350

Глава IX. Арифметичность

(viii) В обозначениях примера (iv) положим K = Fq ((t)), J = Fq [t −1 ]. Пусть K ⊂ k — поле рациональных функций от одного переменного t; K является полем частных кольца J. Пусть m > 5, Φ — невырожденная квадратичная форма от m переменных с коэффициентами из J. Предположим, что char k 6= 2, иными словами, q не является степенью двойки. Тогда группа SOΦ ⊂ GLn определена над K и абсолютно почти проста, а SOΦ (J) является некокомпактной арифметической решеткой в SOΦ (k). 1.8. Пусть F — связная некоммутативная абсолютно почти простая l-группа. Напомним (см. п. VIII.3.15), что группа F называется стандартной, если любая специальная изогения b : F → F′ центральна. Будем говорить, что группа F допустима, если она стандартна и либо не принадлежит типу A1 , либо char l 6= 2. С учетом описания стандартных групп в п. VIII.3.15 допустимость группы F равносильна следующему условию: (∗) либо char l ∈ / {2; 3}, либо char l = 2 и F не принадлежит типам A1 , Bn , Cn , F4 , либо char l = 3 и F не принадлежит типу G2 . Можно переформулировать предложение VIII.3.22 следующим образом. а) Пусть F — допустимая присоединенная группа, ∆ — ее плотная по Зарисскому подгруппа. Тогда группа Ad ∆ определима над полем, которое порождено множеством Tr Ad ∆. Будем называть связную полупростую алгебраическую группу G допустимой, если каждый почти простой множитель группы Ad G допустим. Так как допустимость группы F равносильна условию (∗), то из утверждения (а) вытекает следующее утверждение. б) Если G — связная полупростая l-группа и char l ∈ / {2; 3}, то группа G допустима. 1.9. Теперь сформулируем две теоремы об арифметичности решеток. Теорема А. Пусть Γ — неприводимая решетка в группе G. Предположим, что rank G > 2, группа Γ конечно порождена и обладает свойством (QD) в группе G. Тогда решетка Γ арифметична. Теорема Б. Пусть Γ — неприводимая решетка в группе G. Предположим, что группа Γ имеет бесконечный индекс в CommG (Γ), конечно порождена и обладает свойством (QD) в G. Тогда решетка Γ арифметична. Доказательства теорем А и Б основаны на теоремах сверхжесткости. Для случая, когда при любом a ∈ A группа Ga допустима, эти доказательства приведены в § 2 (а именно в п. 2.11). О случае недопустимых групп см. [Ve]. Замечания. 1. Если rank G = 0, то ввиду предложения I.2.3.6 группа G компактна и потому решетка Γ ⊂ G конечна. С учетом замечания (viii)

§ 1. Формулировка теорем арифметичности

351

п. 1.2 получаем, что если rank G = 0, то группа G не содержит решеток со свойством (QD). Поэтому в формулировке теоремы Б можно считать, что rank G > 0. Но случай rank G > 2 уже охвачен теоремой А. Таким образом, с учетом теоремы А теорема Б интересна лишь в случае rank G = 1. 2. Как отмечено ниже в п. 3.10, если rank G > 2, то любая неприводимая решетка Γ ⊂ G со свойством (QD) конечно порождена. Поэтому в теореме A условие конечной порожденности группы Γ излишне. 1.10. Согласно замечанию (ii) п. 1.2, если замыкание подгруппы G is · F в группе G открыто, то F обладает свойством (QD) в G. Поэтому из теорем А и Б и замечания 2 п. 1.9 вытекает Теорема. Пусть Γ — неприводимая решетка, замыкание подгруппы G is · F в группе G открыто и либо rank G > 2, либо группа Γ конечно порождена и имеет бесконечный индекс в CommG (Γ). Тогда решетка Γ арифметична. Частными случаями этой теоремы являются следующие теоремы 1.11 и 1.12. 1.11. Теорема. Пусть rank G > 2 и при любом a ∈ A группа Ga не имеет ka -анизотропных множителей. Тогда любая неприводимая решетка Γ ⊂ G арифметична. 1.12. Теорема. Пусть при любом a ∈ A группа Ga не имеет ka -анизотропных множителей. Тогда любая неприводимая конечно порожденная решетка Γ ⊂ G, имеющая бесконечный индекс в CommG (Γ), арифметична. 1.13. Весьма вероятно, что в теореме Б п. 1.9, а тогда и в теоремах 1.10 и 1.12, условие конечной порожденности группы Γ излишне. Однако в общем случае нам не удалось его устранить. Тем не менее это можно сделать почти во всех частных случаях. А именно, из теоремы Б и приведенных ниже результатов о конечной порожденности решеток (см. п. 3.1 (v), теоремы 3.2 и 3.10(∗)) без труда выводится Теорема. Пусть Γ ⊂ G — неприводимая решетка со свойством (QD) в G, имеющая бесконечный индекс в CommG (Γ). Пусть также выполнено какое-либо из следующих равносильных условий: а) решетка Γ кокомпактна; б) char ka = 0 при некотором a ∈ A; в) rank G > 2. Тогда решетка Γ арифметична. 1.14. Как было отмечено в пп. 1.2 и 1.10, если замыкание подгруппы G is · F в группе G открыто, то F обладает свойством (QD) в G. Поэтому из теоремы 1.13 вытекает следующая Теорема. Пусть Γ ⊂ G — неприводимая решетка, замыкание подгруппы G is · Γ в группе G открыто и Γ имеет бесконечный индекс

352

Глава IX. Арифметичность

в CommG (Γ). Пусть также выполнено какое-либо из условий (a), (b), (c) в формулировке теоремы 1.13. Тогда решетка Γ арифметична. 1.15. Частным случаем теорем 1.10 и 1.14 является следующая Теорема. Пусть Γ ⊂ G — неприводимая решетка, замыкание подгруппы G is · Γ в группе G открыто и либо rank G > 2, либо Γ имеет бесконечный индекс в CommG (Γ). Если char ka = 0 при всех a ∈ A, то решетка Γ арифметична. 1.16. В свою очередь, частным случаем теоремы 1.15 является Теорема. Пусть G — связная полупростая R-группа; Gis ⊂ G — почти прямое произведение R-изотропных множителей группы G; Γ0 — неприводимая решетка в G(R), причем подгруппа Gis (R) · Γ0 плотна в G(R). Предположим, что либо rankR G > 2, либо Γ0 имеет бесконечный индекс в CommG(R) (Γ0). Тогда решетка Γ0 арифметична.

§ 2. Доказательство теорем арифметичности В этом параграфе мы докажем теоремы А и Б п. 1.9 для случая допустимых групп. Пусть A, ka , Ga , Gais , G, G is и rank G таковы, как в § 1. Положим, как и в § 3 гл. II, Y Y GB = Ga (ka), GB+ = Ga (ka) + , a∈B

a∈B

+ A

где B ⊂ A и G = G . Естественные проекции G → GB и G → Ga (ka), где B ⊂ A и a ∈ A, будут обозначаться соответственно prB и pra . Как и в § 6 гл. II, положим A0 = {a ∈ A | группа Ga изотропна над ka или, что равносильно, группа Ga (ka) некомпактна}. Отметим, что группа GA−A0 компактна. Если k — локальное поле и F — связная полупростая k-группа, то F(k) 0 обозначает ту же подгруппу, что и в п. 1.1. Замыкание по Зарисскому подмножества M алгебраического многооб¯ разия будет обозначаться M. На протяжении этого параграфа Γ обозначает решетку в группе G. Доказательства теорем А и Б приведены в п. 2.11. Вначале мы докажем ряд вспомогательных утверждений. 2.1. Лемма. Пусть Γ обладает свойством (QD) в группе G. Тогда (i) для любого a ∈ A подгруппа pra (Γ) плотна по Зарисскому в Ga ; (ii) если k — локальное поле, B ⊂ A и для каждого  Qa ∈ B  задан непрерывный гомоморфизм ϑa : ka → k, то подгруппа ϑ0a (prB (Γ)) a∈B Q ϑa плотна по Зарисскому в k-группе Ga ; +

a∈B

(iii) если для некоторого a ∈ A поле ka является конечным сепарабельным расширением локального поля k′a , то подгруппа pra (Γ) плот-

§ 2. Доказательство теорем арифметичности

353

на по Зарисскому в Rka /k′a Ga . (Здесь группа Ga (ka) отождествлена с (Rka /k′a Ga) (k′a) посредством Rk0a /k′a .) Д о к а з а т е л ь с т в о. (i) Так как Γ — решетка в группе G, в силу лемм II.2.3 и II.2.4 подгруппа pra (Γ) обладает свойством (S) в Ga (ka). Поэтому по теореме Бореля—Вана о плотности (см. следствие II.4.4) pra (Γ) ⊃ Gisa .

(1)

Обозначим через Ta замыкание подгруппы pra (Γ) · Gisa (ka) в группе Ga (ka). Так как Γ обладает свойством (QD) в G, подгруппа Ga (ka) 0 ∩ Ta имеет конечный индекс в Ga (ka) 0 . Но последняя подгруппа плотна по Зарисскому в Ga (см. п. 1.1), а группа Ga связна и потому не содержит алгебраических подгрупп конечного индекса. Следовательно, подгруппа Ta , а тогда и pra (Γ) · Gisa (ka), плотна по Зарисскому в Ga . Отсюда и из включения (1) непосредственно следует утверждение (i). Чтобы доказать утверждение (ii), отождествим Qka , a ∈ B, с k посредством ϑa , положим kb = k, обозначим kb -группу Ga через Gb , заменим a∈B

A на (A − B) ∪ {b} и применим утверждение (i) к prb (Γ) = prB (Γ). Наконец, чтобы вывести (iii) из (i), достаточно заменить ka на k′a и Ga на Rka /ka′ Ga (учтя замечание (ix) в п. 1.2). 2.2. Пусть F — некоторая группа. Будем говорить, что она разложима, если существуют две такие бесконечные нормальные подгруппы F1 , F2 ⊂ F , что подгруппа F1 ∩ F2 конечна, а подгруппа F1 · F2 имеет конечный индекс в F ; в противном случае будем называть группу F неразложимой. Легко проверить следующие утверждения. (а) Если F ′ — подгруппа конечного индекса в F , то разложимость F равносильна разложимости F ′ . (б) Если N — конечная нормальная подгруппа в F , то разложимость группы F равносильна разложимости факторгруппы F /N . 2.3. Лемма. Пусть при всех a ∈ A группы Ga почти ka -просты. Тогда (i) если решетка Γ неприводима и обладает свойством (QD) в G, то она неразложима; (ii) если A = A0 , то неприводимость решетки Γ равносильна ее неразложимости. Д о к а з а т е л ь с т в о. (i) Пусть решетка Γ разложима. Тогда, заменив Γ ее подгруппой конечного индекса, можно считать, что Γ = Γ1 · Γ2 , где Γ1 и Γ2 — бесконечные нормальные подгруппы в Γ с конечным пересечением. При i = 1, 2 положим Ai = {a ∈ A | pra (Γi) ⊂ Z (Ga)}.

354

Глава IX. Арифметичность

Так как подгруппы Z (Ga) конечны, а группы Γi бесконечны, при i = 1, 2 выполняется равенство Ai 6= A

или, что равносильно, A − Ai 6= ∅,

(1)

Пусть a ∈ A, i = 1, 2. Так как подгруппа Γi нормальна в Γ и по лемме 2.1 (i) выполняется равенство pra (Γ) = Ga , то подгруппа pra (Γi) нормальна в Ga . Но эта подгруппа определена над ka (поскольку pra (Γ) ⊂ Ga (ka)), а группа Ga почти ka -проста. Следовательно, либо pra (Γi) = Ga , либо pra (Γi) ⊂ Z (Ga).

(2)

Так как подгруппы Γ1 и Γ2 нормальны в группе Γ и имеют конечное пересечение, их взаимный коммутант конечен. Поэтому конечен и взаимный коммутант подгрупп pra (Γ1) и pra (Γ2), а тогда это верно для pra (Γ1) и pra (Γ2). Отсюда, из условия (2) и из равенства D (Ga) = Ga вытекает, что либо pra (Γ1) ⊂ Z (Ga), либо pra (Γ2) ⊂ Z (Ga). Следовательно, A = A1 ∪ A2 , т. е. (A − A1) ∩ (A − A2) = ∅. (3) Так как подгруппы Z (Ga) конечны, то GA−Ai ∩ Γi имеет конечный индекс в Γi , а тогда подгруппа (GA−A1 ∩ Γ) · (GA−A2 ∩ Γ) имеет конечный индекс в Γ = Γ1 · Γ2 . Но ввиду (1) и (3) это противоречит неприводимости решетки Γ, и тем самым утверждение (i) доказано. (ii) Если решетка Γ неприводима, то в силу утверждения (i) она неразложима. Пусть теперь решетка Γ приводима, т. е. подгруппа (GB ∩ Γ) × × (GA−B ∩ Γ) имеет конечный индекс в Γ для некоторого B ⊂ A, B 6= ∅, B 6= A. Так как Γ — решетка в G, то GB ∩ Γ — решетка в GB , а GA−B ∩ Γ — решетка в GA−B . Но так как A = A0 , B 6= ∅ и B 6= A, то подгруппы GB и GA−B некомпактны и потому не содержат конечных решеток. Следовательно, группы GB ∩ Γ и GA−B ∩ Γ бесконечны. В итоге мы получаем, что Γ содержит подгруппу конечного индекса (GB ∩ Γ) · (GA−B ∩ Γ), представимую в виде прямого произведения бесконечных подгрупп (GB ∩ Γ) и (GA−B ∩ Γ). Таким образом, если решетка Γ приводима, то она разложима, и утверждение (ii) доказано. 2.4. Лемма. (i) Если A ⊃ B ⊃ A0 , то подгруппа Γ ∩ GA−B конечна и prB (Γ) является решеткой в GB . (ii) Предположим, что при любом a ∈ A группа Ga почти ka -проста. Если решетка Γ неприводима и обладает свойством (QD) в G, то prA0 (Γ) является неприводимой решеткой в GA0 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение (i) следует из компактности группы GA−B ⊂GA−A0 , поскольку Γ — решетка в G. Чтобы доказать (ii), заметим, что согласно лемме 2.3 (i) группа Γ неразложима. Но prA0 (Γ) = Γ/ (Γ ∩ GA−A0 ), и

§ 2. Доказательство теорем арифметичности

355

подгруппа Γ ∩ GA−A0 конечна (см. утверждение (i)). Следовательно, группа prA0 (Γ) неразложима (см. п. 2.2 (б)), и потому решетка prA0 (Γ) ⊂ GA0 неприводима (см. лемму 2.3 (ii)). 2.5. Лемма. Пусть группа Γ обладает свойством (QD) в G. Тогда (i) если C ⊂ A и подгруппа Γ ∩ GC конечна, то CommG (Γ) ∩ GC ⊂ ⊂ Z (G); (ii) подгруппа CommG (Γ) ∩ GA−A0 содержится в Z (G) и потому конечна; (iii) если Γ имеет бесконечный индекс в CommG (Γ), то prA0 (Γ) имеет бесконечный индекс в prA0 (CommG (Γ)). Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем g ∈ CommG (Γ) ∩ GC и a ∈ A. Положим ga = pra (g) ∈ Ga (ka). Так как g ∈ CommG (Γ) ∩ GC и подгруппа GC нормальна в G, существует такая подгруппа конечного индекса Γ g ⊂ Γ, что {g g g −1 g−1 | g ∈ Γ g } ⊂ Γ ∩ GC . Следовательно, {ga h ga−1 h−1 | h ∈ pra (Γ g)} ⊂ pra (Γ ∩ GC).

(1)

Для h∈Ga положим f (h) = ga h ga h . Так как отображение f : Ga →Ga регулярно, выполнено включение f (pra (Γ g)) ⊂ f (pra (Γ g)). В то же время: (a) так как подгруппа Γ ∩ GC конечна, в силу включения (1) конечно и множество f (pra (Γ g)), а тогда и f (pra (Γ g)); (б) так как pra (Γ) = Ga (см. лемму 2.1), Γ g имеет конечный индекс в Γ и группа Ga связна, мы имеем pra (Γ g) = Ga . Таким образом, множество f (Ga) конечно, а так как f регулярно, группа Ga связна и f (e) = e, мы получаем, что f (Ga) = {e}. Но это равносильно тому, что pra (g) = ga ∈ Z (Ga). Таким образом, pra (CommG (Γ) ∩ GC) ⊂ ⊂ Z (Ga) при всех a ∈ A, откуда следует, что CommG (Γ) ∩ GC ⊂ Z (G), и тем самым утверждение (i) доказано. Так как подгруппа Γ ∩ GA−A0 конечна, утверждение (ii) следует из утверждения (i) (см. лемму 2.4 (i)). Наконец, так как GA−A0 совпадает с ядром гомоморфизма prA0 , утверждение (iii) следует из утверждения (ii). 2.6. Лемма. Пусть B ⊂ A, B 6= ∅ и при любом a ∈ A группа Ga почти ka -проста. Далее, пусть решетка Γ неприводима и обладает свойством (QD) в G. Тогда (i) CommG (Γ) ∩ GA−B ⊂ Z (G); (ii) если при любом a группа Ga присоединенная, то CommG (Γ) ∩ ∩ GA−B = {e}, и поэтому отображение prB : CommG (Γ) → prB (CommG (Γ)) является изоморфизмом. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если при любом a ∈ A группа Ga присоединенная, то Z (G) = {e}. Поэтому утверждение (ii) следует из утверждения (i). Чтобы доказать утверждение (i), вспомним, что prA0 (Γ) является неприводимой решеткой в GA0 (см. лемму 2.4 (ii)). Тогда по теореме II.6.7 (в) −1

−1

356

Глава IX. Арифметичность

Γ ∩ GA−B ⊂ GA−A0 · Z (G). Но так как подгруппы Z (G) и Γ ∩ GA−A0 конечны (см. лемму 2.4 (i)), подгруппа Γ ∩ (GA−A0 · Z (G)) также конечна. Поэтому конечна и подгруппа Γ ∩ GA−B . Остается применить лемму 2.5 (i). 2.7. Лемма. Пусть D обозначает замыкание подгруппы CommG (Γ) в G; решетка Γ неприводима и обладает свойством (QD) в G; при любом a ∈ A группа Ga почти ka -проста. Если при этом Γ имеет бесконечный индекс в CommG (Γ), то D ⊃ G + . Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как на факторпространстве Γ \ G существует конечная G-инвариантная мера и замкнутая подгруппа D содержит Γ, факторпространство D \ G также обладает конечной G-инвариантной мерой (см. п. I.0.36). С учетом теоремы II.6.2 (a) существует такое подмножество B ⊂ A0 , что D ⊃ GB+ и prA0 −B (D) является решеткой в GA0 −B . Далее, подгруппа D не дискретна в G, поскольку Γ является решеткой в G и имеет бесконечный индекс в D. При этом подгруппа CommG (Γ) плотна в D, а подгруппа CommG (Γ) ∩ GA−A0 согласно лемме 2.5 (ii) конечна. Следовательно, подгруппа prA0 (D) не дискретна в GA0 , и потому B 6= ∅. С другой стороны, решетка Γ неприводима и обладает свойством (QD) в G, и по лемме 2.4 (ii) подгруппа prA0 (Γ) является неприводимой решеткой в GA0 . Применив теорему II.6.2 (a), получаем, что замыкание подгруппы Γ · GB+ в G содержит G + . Но подгруппа D замкнута и содержит как Γ, так и GB+ . Значит, D ⊃ G + . 2.8. Пусть k — локальное поле. В нем можно естественным образом определить абсолютную величину, которая будет обозначаться | |k . Если поле k архимедово, т. е. равно R или C, то в качестве | |k возьмем обычную абсолютную величину. Если поле k неархимедово, то положим | |k = modk , где, как и в п. I.0.31, modk (x) обозначает модуль автоморфизма y 7→ yx аддитивной группы поля k. Легко видеть, что справедливы следующие утверждения. (а) Если f : k → k′ — непрерывный изоморфизм локальных полей, то |f (x)|k′ = |x|k для всех x ∈ k. (б) Пусть k′ — конечное расширение поля k и x ∈ k. Тогда |x|k′ = |x|nk , где n = 1, если поле k архимедово, а в противном случае n равно степени расширения k′ над k. Как следствие, если |x|k > 1, то |x|k′ > |x|k . 2.9. Лемма. Пусть l — бесконечное конечно порожденное поле; l0 — его простое подполе; n — степень трансцендентности поля l над l0 . Пусть l не является глобальным полем, т. е. n > 0 при char l = 0 и n > 1 при char l > 0. Тогда для любого элемента u ∈ l, трансцендентного над l0 , и любого c > 0 существуют локальное поле k и гомоморфизм s : l → k, такие что множество s (l) плотно в k и |s (u)|k > c. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим два случая: (i) char l = 0; (ii) char l > 0.

§ 2. Доказательство теорем арифметичности

357

(i) Так как элемент x трансцендентен над l0 = Q, поле l конечно порождено, а поле C алгебраически замкнуто и имеет бесконечную степень трансцендентности над Q, то для любого трансцендентного числа y ∈ C − R существует такой гомоморфизм sy : l → C, что множество sy (l) плотно в C и sy (u) = y. Но множество {y ∈ C − R | y трансцендентно } плотно в C. Поэтому существует такой гомоморфизм s : l → C, что s (l) плотно в C и |s (u)| > c. (ii) Выберем базис трансцендентности B поля l над l0 , содержащий u. Так как n = card B > 2, найдется v ∈ B, v 6= u. Пусть l ′ ⊂ l — подполе, порожденное множеством B; k′ = l0 ((x)) — (локальное) поле формальных степенных рядов от одного переменного x над конечным полем l0 ; Ω = {y ∈ k′ | элементы y и x алгебраически независимы над l0 }. Так как k′ имеет бесконечную степень трансцендентности над l0 , а множество B конечно, для каждого y ∈ Ω существует такой гомоморфизм sy : l ′ → k′ , что sy (v) = x и sy (u) = y. Но множество k′ − Ω счетно, и потому множество Ω плотно в k′ . Значит, существует такой гомоморфизм s′ : l ′ → k′ , что |s′ (u)|k′ > c + 1 и s′ (v) = x. Так как x порождает плотное подполе в k′ , множество s′ (l ′) плотно в k′ . Поскольку поле l конечно порождено, его степень над l ′ конечна, и потому гомоморфизм s′ : l ′ → k′ продолжается до гомоморфизма s : l → k, где k — локальное конечное расширение поля k′ . Теперь остается заметить следующее: 1) так как s′ (l ′) плотно в k′ , можно считать, что s (l) плотно в k; 2) так как |s′ (u)|k > c + 1 и s — продолжение гомоморфизма s′ , ввиду п. 2.8 (б) выполняется неравенство |s (u)|k > c + 1. 2.10. Следующая лемма играет ключевую роль в доказательстве теорем А и Б п. 1.9. Она будет выведена из теорем сверхжесткости (гл. VII). Лемма. Положим Γ0 = prA0 (Γ), Λ0 = prA0 (CommG (Γ)). Пусть k — локальное поле, H — связная нетривиальная присоединенная абсолютно простая k-группа, t : Λ0 → H(k) — такой гомоморфизм, что t (Γ0) плотно по Зарисскому в H. Предположим, что при любом a ∈ A группа Ga абсолютно почти проста, а решетка Γ неприводима и обладает свойством (QD) в G. Предположим также, что либо rank G > 2, либо Γ имеет бесконечный индекс в CommG (Γ). Тогда либо подгруппа t (Γ0) относительно компактна в H(k), либо существуют a ∈ A0 , непрерывный гомоморфизм ϑ: ka → k и специальная k-изогения h : ϑ Ga → H, такие что t (l) = h (ϑ0 (pra (l))) при всех l ∈ Λ0 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно лемме 2.4 (ii) группа Γ0 является неприводимой решеткой в GA0 . Так как при любом a ∈ A0 группа Ga почти ka -проста и ka -изотропна, по следствию VII.6.3 группа CommGA0 (Γ0) счетна. Поэтому счетна и ее подгруппа Λ0 . Если Γ имеет бесконечный индекс в CommG (Γ), то по лемме 2.7 замыкание подгруппы CommG (Γ) в G содержит G + , а тогда замыкание подгруппы Λ0 в GA0 содержит G + = GA+0 . Далее,

358

Глава IX. Арифметичность

так как при любом a ∈ A − A0 группа Ga анизотропна над ka , мы имеем X def rankGA0 = rankka Ga = rank G. a∈A0

Теперь остается использовать теорему VII.5.4 (а) (если Γ имеет бесконечный индекс в CommG (Γ)), теорему VII.5.6 (а) (если rank G > 2) и тот факт, что любой рациональный эпиморфизм абсолютно почти простой группы на связную нетривиальную алгебраическую группу является изогенией. 2.11. Теперь мы докажем теоремы А и Б п. 1.9 для случая, когда группы Ga допустимы. Проведем доказательство для обеих теорем параллельно, разбив его на ряд шагов. Ш а г 1. Редукция к случаю, когда группы Ga присоединенные и абсолютно простые. Пусть G′a — присоединенная Q группа для Ga и pa : Ga → G′a — централь′ ная ka -изогения. Положим G = G′a (ka). Изогении pa индуцируют непреa∈A

рывный гомоморфизм p : G → G ′ . Как и в доказательстве теоремы III.5.9 (см. п. III.6.9), p (Γ) является неприводимой решеткой в G. Согласно следствию I.1.4.6 (а) мы имеем rankka Ga′ = rankka Ga . Поэтому если rank G > 2, def P то rank G ′ = rankka Ga′ > 2. Так как p (CommG (Γ)) ⊂ CommG ′ (p (Γ)) и a∈A

ядро гомоморфизма p конечно, то p (Γ) имеет бесконечный индекс в Comm′G (p (Γ)), если Γ имеет бесконечный индекс в CommG (Γ). Из описания допустимых групп в п. 1.8 следует, что допустимость группы Ga равносильна допустимости группы Ga′ . Так как решетка Γ конечно порождена и обладает свойством (QD) в G, решетка p (Γ) также конечно порождена и обладает свойством (QD) в G ′ (см. замечание 1.2 (iv)). Согласно замечанию 1.6 (v), подгруппа Γ является S-арифметической решеткой в G, если и только если p (Γ) является S-арифметической решеткой в G ′ . Таким образом, можно заменить Ga на G′a , Γ на p (Γ) и считать группу Ga присоединенной. Тогда ее можно представить в виде Y Ga = Rkai /ka (Fai), i∈Ia

где kai — конечное сепарабельное расширение поля ka , а Fai — присоединенная абсолютно простая kai -группа (см. предложение I.1.4.10 и п. I.1.7). Поэтому мы можем (и будем) считать, что при любом a ∈ A группа Ga присоединенная и абсолютно простая (здесь мы используем утверждение 1.2 (г) и замечание 1.6 (vi)). Ш а г 2. Положим Γa = pra (Γ) и обозначим через La ⊂ ka поле, порожденное множеством Tr Ad Γa . Проведем редукцию к случаю, когда Ga

§ 2. Доказательство теорем арифметичности

359

является La -группой и Γa ⊂ Ga (La) при всех a ∈ A. Группа Ga является присоединенной, абсолютно простой и допустимой. При этом подгруппа Γa плотна по Зарисскому в Ga (см. лемму 2.1 (i)). В силу утверждения 1.8 (а) подгруппа Ad Γa определима над La . Поэтому в алгебре Ли Lie(Ga) можно выбрать базис x a = (x1a , . . . , xma a ), ma = dim Ga , в котором преобразования из Ad Γa записываются как матрицы с элементами из La . Определим рациональный гомоморфизм fa : Ga → GLma , отобразив каждый элемент g ∈ Ga в матрицу fa (g) преобразования Ad g в базисе x a . Положим Ha = fa (Ga). Так как Γa = Ga , мы имеем fa (Γa) = Ha . Но Γa ⊂ Ga (ka), и в силу определения базиса x a и гомоморфизма fa выполнено включение fa (Γa) ⊂ GLma (La). Таким образом, Ha является La -подгруппой в GLma , и морфизм fa : Ga → Ha определен над ka (см. п. I.0.11). Так как группа Ga присоединенная, а изогения Ad : Ga → Ad Ga центральная (см. предложение I.1.4.11 (iv)), морфизм fa : Ga → Ha является изоморфизмом алгебраических групп. Поэтому можно отождествить Ga и Ha посредством fa и считать, что группа Ga определена над La и Γa = pra (Γ) ⊂ Ga (La). Ш а г 3. Гомоморфизмы s0 ◦ pra . Пусть s : La → l — гомоморфизм полей. Так как pra (Γ) ⊂ Ga (La), определен гомоморфизм s0 ◦ pra : Γ → s Ga (l). Лемма 1. Пусть a ∈ A; k — локальное поле; s : La0 → k — гомоморфизм, причем s (La0 ) плотно в k. Тогда либо подгруппа s0 (pra0 (Γ)) относительно компактна в s Ga0 (k), либо существуют a0 ∈ A0 , непрерывный изоморфизм ϑs : kas → k и k-изоморфизм hs : ϑs Gas → s Ga0 , такие что s0 (pra0 (g)) = hs (ϑ0s (pras (g))) ∀ g ∈ Γ. (1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Группа Ga0 (а тогда и s Ga0) связная, присоединенная и абсолютно простая. Так как Ga0 — присоединенная группа, pra (CommG (Γ)) ⊂ CommGa0 (pra0 (Γ)), подгруппа pra0 (Γ) содержится в Ga0 (La0 ) и плотна по Зарисскому в Ga0 (см. лемму 2.1), то по лемме VII.6.2 (ii) мы имеем pra (CommG (Γ)) ⊂ Ga0 (La0). Поэтому гомоморфизм s0 ◦ pra0 корректно определен на подгруппе CommG (Γ). Согласно лемме 2.6 (ii), отображение prA0 : CommG (Γ) → prA0 (CommG (Γ)) является изоморфизмом. Поэтому существует такой гомоморфизм t : prA0 (CommG (Γ)) → → s Ga0 (k), что s0 ◦ pra0 = t ◦ prA0 . Так как подгруппа pra0 (Γ) плотна по Зарисскому в Ga0 (см. лемму 2.1), подгруппа t (Γ0) = s0 (pra0 (Γ)) плотна по Зарисскому в s Ga0 . Предположим, что подгруппа s0 (pra0 (Γ)) = t (prA0 (Γ)) не является относительно компактной в s Ga0 (k). Тогда ввиду леммы 2.10 существуют as ∈ A0 , непрерывный гомоморфизм ϑs : kas → K и специальная k-изогения hs : ϑs Gas → s Ga0 , такие что t (h) = hs (ϑs0 (pras (h)))

360

Глава IX. Арифметичность

для всех h ∈ prA0 (Γ). Но s0 ◦ pra0 = t ◦ prA0 и pras ◦ prA0 = pras . Таким образом, для as , ϑs , hs и всех g ∈ Γ выполнено равенство (1). Так как группа Gas (а следовательно, и ϑs Gas) абсолютно простая, присоединенная и допустимая, то специальная k-изогения hs является k-изоморфизмом. Отсюда и из равенства (1) вытекает, что s (Tr Ad pra0 (g)) = ϑs (Tr Ad pras (g))

∀g ∈ Γ.

(2)

Поскольку Tr Ad pra0 (Γ) порождает La0 , в силу равенства (2) мы имеем ϑs (kas ) ⊃ s (La0 ). Но s (La0) плотно в k. Значит, непрерывный гомоморфизм ϑs : kas → k является изоморфизмом (см. п. I.0.31), и лемма доказана. Как отмечено выше, из равенства (1) следует соотношение (2). Поэтому из леммы 1 вытекает Лемма 2. Пусть a0 , k и s таковы, как в лемме 1. Тогда либо подгруппа s0 (pra0 (Γ)) относительно компактна в s Ga0 (k), либо существуют as ∈ A0 и непрерывный изоморфизм ϑs : kas → k, такие что равенство (2) выполнено для всех g ∈ Γ. Легко видеть, что если n ∈ N+ , k — локальное поле, h ∈ GLn (k) и подгруппа {hm | m ∈ Z} относительно компактна в GLn (k), то абсолютная величина любого собственного значения матрицы h равна 1, откуда | Tr h|k 6 n (абсолютная величина | |k в поле k, допускающая продолжение на любое его расширение, была определена в п. 2.8). Поэтому из леммы 2 и утверждения 2.8 (а) вытекает Лемма 3. Возьмем g ∈ Γ и положим c (g) = max{max dim Ga , max | Tr Ad pra (g)|k }. a∈A

a∈A

Пусть a0 , k и s таковы, как в лемме 1. Тогда |s (Tr Ad pra0 (g))|k 6 c (g).

(3)

Ш а г 4. Глобальность полей La . Как отмечено выше (шаг 2), в алгебре Ли Lie(Ga) существует базис x a , в котором преобразования из группы Ad pra (Γ) записываются как матрицы с элементами в La . Пусть L′a — поле, порожденное элементами этих матриц. Очевидно, L′a ⊂ La . Но множество Tr Ad pra (Γ) содержится в L′a и порождает La , откуда следует, что la ⊂ L′a . Значит, La = L′a . Это поле конечно порождено, поскольку группа Γ конечно порождена, а элементы произведения матриц являются многочленами с целыми коэффициентами от элементов множителей. Покажем, что La — глобальное поле. Предположим противное. Так как Tr Ad pra (Γ) порождает La , а это поле конечно порождено и не глобально,

§ 2. Доказательство теорем арифметичности

361

то существует такое g ∈ Γ, что элемент Tr Ad pra (g) трансцендентен над простым подполем в La . Тогда по лемме 2.9 существуют локальное поле k и гомоморфизм s : La → k, такие что s (La) плотно в k и |s (Tr Ad pra (g))|k > c (g), где c (g) таково, как в лемме 3. Но это противоречит неравенству (3). Ш а г 5. Поле K , группа H и множество S. Пусть a0 ∈ A, K = La . Обозначим K -группу Ga0 через H и заметим, что pra0 (Γ) ⊂ H(K). Пусть R — множество всех (неэквивалентных) нормирований глобального поля K , а R∞ ⊂ R — множество его архимедовых нормирований. Будем пользоваться стандартными обозначениями |xv |, Kv и K (S), определенными в пп. 1.3 и 1.4. Положим S = {v ∈ R | существуют d (v) ∈ A, непрерывный изоморфизм wv : Kv → kd (v) и kd (v) -изоморфизм tv : wv H → Gd (v) , такие что prd (v) (g) = tv (w0v (pra0 (g)))

(4)

при всех g ∈ Γ}. ϑv −1 Положив ϑv = w−1 tv , получаем следующее утверждение: v , hv = (∗) S = {v ∈ R | существуют d (v) ∈ A, непрерывный изоморфизм ϑv : kd (v) → Kv и Kv -изоморфизм hv : ϑv Gd (v) → H, такие что hv (ϑ0v (prd (v) (g))) = pra0 (g)

(5)

при всех g ∈ Γ}. Так как hv является Kv -изоморфизмом, ввиду (4) мы имеем Tr Ad prd (v) (g) = wv (Tr Ad pra0 (g))

(6)

при всех g ∈ Γ. Пусть v, v ′ ∈ S и d (v) = d (v ′). Тогда в силу равенства (6) мы получаем wv (x) = wv ′ (x) для любого x ∈ Tr Ad pra0 (Γ). Но множество Tr Ad pra0 (Γ) порождает K = La0 . Поэтому непрерывный изоморфизм ′ w−1 v ◦ wv ′ : Kv ′ → Kv тождествен на K . Значит, нормирования v и v экви′ валентны, т. е. v = v . Таким образом, отображение d : S → d (S) взаимно однозначно. Пусть (d (v), ϑv , tv) и (d˜ (v), ϑ˜ v , t˜ v) — два набора, для которых выполнено равенство (5), и d (v) 6= d˜ (v). Положим Φ = pr{d (v),d˜ (v)} (Γ) и Φ′ = (ϑ0v × ϑ˜ 0v) (Φ) ⊂ ˜ ⊂ ϑv Gd (v) × ϑv Gd˜ (v) . Тогда справедливо следующее: 1) (hv × h˜ v) (Φ′) ⊂ {(h, h) | h ∈ H}, поэтому подгруппа Φ′ не плотна по ˜ Зарисскому в Kv -группе ϑv Gd (v) × ϑv Gd˜ (v) ; 2) ввиду леммы 2.1 (ii) подгруппа Φ′ плотна по Зарисскому в этой Kv -группе. Полученное противоречие показывает, что v ∈ S однозначно определяет d (v).

362

Глава IX. Арифметичность

Как и в п. 1.4, положим HS =

Q

v∈S

H(Kv) и T = {v ∈ R | группа H ани-

зотропна над Kv или, что равносильно, группа H(Kv) компактна}. Так как отображение d : S → d (S) взаимно однозначно, можно определить изоморфизм Y f= (tv ◦ w0v) : HS → Gd (S) . v∈S

Обозначим через diagS диагональное вложение группы H(K) в HS . Тогда ввиду равенства (4) мы имеем prd (S) (g) = f (diagS (pra0 (g))) для всех g ∈ Γ, откуда следует, что

prd (S) (Γ) = f (diagS (pra0 (Γ))).

(7)

С другой стороны, замечание (i) в п. 1.3 показывает, что гомоморфизм f принадлежит классу Ψ. Поэтому арифметичность решетки Γ будет установлена, если мы докажем следующие три утверждения: (а) S ⊃ R∞ − T ; (б) подгруппа pra0 (Γ) соизмерима с H(K (S)); (в) d (S) = A. Ш а г 6. Множество S0 . Положим S0 = {v ∈ R | подгруппа pra0 (Γ) не является относительно компактной в H(Kv)}. Если v ∈ S0 , то из утверждения (∗) и леммы 1, примененной к вложению s : La0 = K → Kv , получаем, что v ∈ S. Следовательно, S0 ⊂ S.

(8)

pra0 (Γ) ⊂ H(K (S)).

(9)

Рассмотрим H как K -подгруппу в GLn и для v ∈ R − R∞ положим H(Ov) = H ∩ GLn (Ov), где Ov — кольцо целых элементов поля Kv . Так как подгруппа H(Ov) открыта в H(Kv), подгруппа pra0 (Γ) ∩ H(Ov) имеет конеч˜ = {h ∈ H(K) | ный индекс в pra0 (Γ) при любом v ∈ R − R∞ − S0 . Но H(K (S)) ˜ ˜ h ∈ H(Ov) при всех v ∈ R − R∞ − S} для любого S ⊂ R. Поэтому если S˜ ⊂ R конечно, то подгруппа pra0 (Γ) ∩ H(K (S0)) имеет конечный ин˜ декс в pra0 (Γ) ∩ H(K (S0 ∪ S)). С другой стороны, группа Γ (а тогда и pra0 (Γ) ⊂ H(K)) конечно порождена, и H(K) является объединени˜ ем подгрупп H(K (S)), где S˜ пробегает все конечные подмножества в R. Поэтому существует конечное подмножество S ′ ⊂ R, для которого pra0 (Γ) ⊂ H(K (S ′)). Заменим Γ подгруппой конечного индекса в Γ (S-арифметичность при этом сохраняется). Теперь pra0 (Γ) ⊂ H(K (S0)). С учетом включения (8) получаем

§ 2. Доказательство теорем арифметичности

363

Ш а г 7. Доказательство утверждений (а) и (б). Пусть w ∈ R∞ − T . Тогда группа RK0 w /R (pra0 (Γ)) плотна по Зарисскому в R-группе RKw /R H. По теореме об алгебраичности вещественной компактной линейной группы w ∈ S0 (см. п. I.0.31). Таким образом, S0 ⊃ R∞ − T , и с учетом включения (8) утверждение (а) доказано. В силу утверждения (а) мы имеем S ⊃ R∞ − T . Поэтому diagS (H(K (S))) является решеткой в HS (см. теорему I.3.2.5). Так как f : HS → Gd (S) — изоморфизм топологических групп, f (diagS (H(K (S)))) является решеткой в Gd (S) . Отсюда и из соотношений (7) и (9) мы получаем, что подгруппа prd (S) (Γ) дискретна в Gd (S) . С другой стороны, prA0 (Γ) — неприводимая решетка в GA0 (см. лемму 2.4 (ii)), и по лемме II.6.4 подгруппа prB (Γ) не дискретна в GB ни при каком непустом B ⊃ A, B 6⊃ A0 . Следовательно, d (S) ⊃ A0 .

(10)

В силу соотношений (7), (10) и леммы 2.4 (i) подгруппа f (diagS (pra0 (Γ))) является решеткой в Gd (S) . В то же время, 1) ввиду включения (9) подгруппа f (diagS (pra0 (Γ))) содержится в подгруппе f (diagS (H(K (S)))), которая, как отмечено выше, является решеткой в Gd (S) ; 2) любая решетка имеет конечный индекс в любой содержащей ее дискретной подгруппе. Значит, f (diagS (pra0 (Γ))) имеет конечный индекс в f (diagS (H(K (S)))), а так как f — изоморфизм, то pra0 (Γ) имеет конечный индекс в H(K (S)). Утверждение (б) доказано. Чтобы получить теоремы А и Б п. 1.9, осталось доказать утверждение (в). Отметим, что если при любом a ∈ A группа Ga не имеет ka -анизотропных множителей, то утверждение (в) следует из включения (10). Ш а г 8. Доказательство утверждения (в). Ввиду включения (10) достаточно показать, что d (S) ⊃ A − A0 . Пусть a ∈ A − A0 . Так как поле La конечно порождено , а подгруппа pra (Γ) ⊂ Ga (La) плотна по Зарисскому в Ga (см. лемму 2.1 (i)), то в силу леммы VII.6.1 и замечания (ii) из п. VII.6.23 существует такое локальное поле k, что La содержится в нем как плотное подполе и подгруппа pra (Γ) не является относительно компактной в Ga (ka). Применив лемму 1 к естественному вложению s : La → k, получаем, что существуют a′ ∈ A0 , непрерывный изоморфизм ϑ : ka′ → k и k-изоморфизм h : ϑ Ga′ → Ga , такие что pra (g) = h (ϑ0 (pra′ (g)))

(11)

для всех g ∈ Γ. Так как a ∈ A0 , ввиду включения (10) мы имеем a = d (v ′) для некоторого v ′ ∈ S. В силу равенств (4) и (11) мы получаем ′

pra (g) = (h ◦ ϑ0 ◦ tv ′ ◦ w0v ′) (pra0 (g))

′

∀ g ∈ Γ.

364

Глава IX. Арифметичность

Так как при этом ϑ0 ◦ tv ′ = ϑ tv ′ ◦ ϑ0 , мы имеем

pra (g) = (t ◦ w0a) (pra0 (g))

(12) wa H → G

при всех g ∈ Γ; здесь изоморфизм wa : Kv ′ → k и k-изоморфизм ta : a определяются равенствами wa = t ◦ wv ′ и ta = h ◦ ϑ tv ′ . Так как ta является k-изоморфизмом, ввиду равенства (12) мы имеем Tr Ad pra (g) = wa (Tr Ad pra0 (g)) для всех g ∈ Γ. С другой стороны, множества Tr Ad pra (Γ) и Tr Ad pra0 (Γ) порождают соответственно La и K = La0 . Следовательно, wa (K) = La .

(13)

Пусть ka′ обозначает замыкание подполя La в ka . Тогда (wa |K , k′a) является пополнением поля K ввиду равенства (13). Поэтому существует такое нормирование v ∈ R, что wa|K продолжается до непрерывного изоморфизма wv : Kv → k′a . Покажем, что d (v) = a (откуда следует (в)). Так как waK = wv|K , можно записать равенство (12) в виде pra (g) = ta (w0v (pra0 (g)),

g ∈ Γ.

(14)

Вспомнив, как определено отображение d, мы видим, что равенство d (v) = a следует из равенства (14) и следующих двух утверждений: (U) морфизм ta определен над La , а тогда и над ka ; (V) k′a = ka . Вначале докажем утверждение (U). Так как wa (K) = La , а подгруппа pra0 (Γ) содержится в H(K) и плотна по Зарисскому в H = Ga0 (см. лемму 2.1 (i)), то подгруппа w0a (pra0 (Γ)) содержится в (wa H) (La) и плотна по Зарисскому в wa H. С другой стороны, 1) ввиду равенства (12) мы имеем ta (w0a (pra0 (Γ))) = pra (Γ) ⊂ Ga (La);

2) если f : M → M′ — морфизм l-многообразий, B ⊂ M(l), B¯ = M и f (B) ⊂ M′ (l), то морфизм f определен над l (см. п. I.0.11 (ii)). Таким образом, изоморфизм ta определен над La . Теперь докажем утверждение (V). Пусть G˜ a — односвязная накрывающая группы Ga , а p : G˜ a → Ga — центральная изогения. Выполнены включения pra (Γ) ⊂ Ga (La) ⊂ Ga (k′a), подгруппа Γ (а тогда и pra (Γ)) конечно порождена, а подгруппа p (G˜ a (k′a)) замкнута и нормальна в Ga (k′a) (см. предложение I.2.3.4 (i)). При этом факторгруппа Ga (k′a) /p (G˜ a (k′a)) коммутативна и периодична. Следовательно, подгруппа Fa ∩ p (G˜ a (k′a)) имеет конечный индекс в Fa , где Fa обозначает замыкание подгруппы pra (Γ) в

§ 3. Конечная порождаемость решеток

365

Ga (ka). Но так как a ∈ A − A0 и Γ обладает свойством (QD) в G, подгруппа Fa ∩ p (G˜ a (ka)) имеет конечный индекс в p (G˜ a (ka)). Поэтому p (G˜ a (k′a)) имеет конечный индекс в p (G˜ a (ka)), и, так как Ker p конечно, G˜ a (k′a) имеет конечный индекс в G˜ a (ka). Отсюда и из замкнутости подполя k′a ⊂ ka получаем, что ka′ = ka (см. предложение I.2.5.5). 2.12. Замечание. Как отмечено выше, теоремы А и Б п. 1.9 были доказаны в полной общности в работе [Ve]. Отметим, какие изменения нужно внести в изложенные доказательства в случае непустоты множества def Aadm = {a ∈ A | хотя бы один из почти ka -простых множителей группы Ga допустим}. Эти изменения следующие: 1) на шагах 2 и 4 следует предположить, что a ∈ Aadm ; 2) в леммах 1, 2 и 3 на шаге 3 нужно наложить дополнительное условие, что либо a0 ∈ Aadm , либо A0 ⊂ Aadm ; 3) на шаге 5 в качестве a0 нужно взять элемент из Aadm ; 4) на шаге 8 нужно заметить, что ввиду включения (10) мы имеем A0 ⊂ Aadm , и потому из существования элемента a′ ∈ A0 ⊂ Aadm и k-изоморфизма h : ϑ Ga′ → Ga вытекает, что a ∈ Aadm . При этом на шаге 8 перед доказательством включения a ∈ Aadm (т. е. перед равенством (11)) вместо La нужно рассмотреть поле, порожденное элементами матриц, представляющих элементы алгебры Ad pra (Γ) в некотором базисе алгебры Ли Lie(Ga) ka .

§ 3. Конечная порождаемость решеток В этом параграфе обозначения A, ka , Ga , G, rank G, GB , GB+ , prB , pra , A0 имеют тот же смысл, что в §§ 1 и 2. 3.1. Напомним некоторые результаты о конечной порождаемости решеток. (i) Если H — компактно порожденная локально компактная группа и Λ — кокомпактная решетка в ней, то Λ конечно порождена (см. п. I.0.40). (ii) Если H — связная группа Ли и Λ — произвольная решетка в ней, то Λ конечно порождена (см. [Rag 5], 6.18). (iii) Пусть ka -ранг любого почти ka -простого множителя группы Ga не равен 1 для любого a ∈ A. Тогда любая решетка Γ ⊂ G конечно порождена (см. теорему III.5.7.(в)). (iv) Пусть множество {a ∈ A | ka -ранг хотя бы одного почти ka -простого множителя группы Ga превосходит 1} непусто и при любом a ∈ A группа Ga не имеет ka -анизотропных множителей. Тогда любая неприводимая решетка Γ ⊂ G конечно порождена (см. теорему Б(в) в п. III.5.9).

366

Глава IX. Арифметичность

Так как группы Ga (ka) компактно порождены (см. следствие I.2.3.5), это верно и для G. Поэтому из (i) следует (v) Если Γ — кокомпактная решетка в G, то Γ конечно порождена. Если при любом a ∈ A поле ka изоморфно R или C, то группы Ли Ga (ka) имеют лишь конечное число связных компонент (см. п. I.0.31). Поэтому и группа Ли G имеет лишь конечное число связных компонент. С другой стороны, если группа Ли H имеет конечное число связных компонент и Λ — решетка в ней, то ввиду (ii) Λ конечно порождена. Поэтому верно следующее. (vi) Пусть при любом a ∈ A поле ka изоморфно R или C. Тогда любая решетка Γ ⊂ G конечно порождена. 3.2. В § 1 при редукции теоремы 1.13 к теоремам А и Б п. 1.9 использовалась следующая Теорема. Пусть Γ ⊂ G — неприводимая решетка со свойством (QD) в G. Предположим, что выполнено хотя бы одно из следующих двух условий: (i) существует такое a ∈ A, что char ka = 0; (ii) существует такое a ∈ A, что ka -ранг хотя бы одного из почти ka -простых множителей группы Ga превосходит 1. Тогда решетка Γ конечно порождена. Доказательство этой теоремы приведено ниже в п. 3.8. Предварительно мы докажем ряд вспомогательных утверждений. 3.3. Лемма. Пусть H — топологическая группа, ∆ — плотная подгруппа, W ⊂ H — открытое подмножество. Если W порождает H , то W ∩ ∆ порождает ∆. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть h ∈ ∆. Так как подмножество W открыто и порождает H , а подгруппа ∆ плотна в H , W ∩ ∆ порождает плотную подгруппу в H . Поэтому существуют такие w1 , . . . , wm ∈ (W ∩ ∆) ∪ (W ∩ ∆) −1 , что w1 · . . . · wm ∈ hW . Иначе говоря, w1 · . . . · wm = hw, где w ∈ W . Но wi , h ∈ ∆. Поэтому w = h−1 · w1 · . . . · wm ∈ ∆. Таким образом, w ∈ W ∩ ∆−1 , и потому элемент h = w1 · . . . · wm · w −1 принадлежит подгруппе, которую порождает W ∩ ∆. 3.4. Предложение. Пусть H и F — локально компактные группы; Ω — подгруппа в H × F ; pH — естественная проекция H × F → H ; pH (Ω) — замыкание подгруппы pH (Ω) в H . Далее, пусть выполнены следующие условия: (i) группа pH (Ω) компактно порождена; (ii) существует такая открытая подгруппа U ⊂ H , что подгруппа (U × F) ∩ Ω конечно порождена. Тогда подгруппа Ω конечно порождена.

§ 3. Конечная порождаемость решеток

367

Д о к а з а т е л ь с т в о. Вначале отметим, что, заменив H на pH (Ω), можно ограничиться случаем, когда подгруппа pH (Ω) плотна в H . Так как подгруппа U открыта в H , а группа H = pH (Ω) компактно порождена, суdef ществует такое конечное множество Y ⊂ H , что W = U · Y порождает H . Подмножество W открыто в H и порождает H , а подгруппа pH (Ω) плотна в H . Тогда по лемме 3.3 подмножество W ∩ pH (Ω) порождает pH (Ω), и потому (W × F) ∩ Ω порождает Ω. Чтобы завершить доказательство, остается заметить, что W состоит из конечного числа смежных классов по модулю U и потому (W × F) ∩ Ω состоит из конечного числа смежных классов по модулю (U × F) ∩ Ω. 3.5. Лемма. Пусть k — локальное поле характеристики 0, H — алгебраическая k-группа. Тогда (i) существует окрестность W единицы e в группе H(k), не содержащая нетривиальных конечных подгрупп группы H(k); (ii) если поле k неархимедово, то существует такая открытая окрестность единицы U ⊂ H(k), что каждый элемент h ∈ U − {e} порождает недискретную подгруппу. Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение (i) является частным случаем следствия 1 из § 4 гл. III в [Bou 5]. Докажем утверждение (ii). Так как k — неархимедово локальное поле, оно вполне несвязно. Поэтому и группа H(k) вполне несвязна. Следовательно, окрестность W из утверждения (i) содержит открытую компактную подгруппу U . Пусть h ∈ U − {e}. Тогда подгруппа {hm | m ∈ Z} ⊂ U бесконечна (поскольку U ⊂ W) и относительно компактна, а потому недискретна. Таким образом, U — искомая окрестность. 3.6. Лемма (см. [Rag 5], теорема 1.12). Пусть H — локально компактная группа со второй аксиомой счетности, Λ — некокомпактная решетка в H . Тогда существуют такие последовательности {hn }n∈N+ в H и {gn }n∈N+ в Λ − {e}, что limn→∞ hn gn h−1 n = e. 3.7. Предложение. Пусть при любом a ∈ A поле ka неархимедово и char ka = 0. Тогда любая решетка Γ ⊂ G кокомпактна. Д о к а з а т е л ь с т в о. По лемме 3.5 (ii) существует такая окрестность единицы U ⊂ G, что любой элемент g ∈ G − {e} порождает недискретную подгруппу в G. Так как подгруппа gΓ g −1 дискретна, мы имеем U ∩ (gΓ g −1) = {e} для любого g ∈ G. С учетом леммы 3.6 получаем, что решетка Γ кокомпактна. 3.8. Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 3 . 2. Рассуждая как при доказательстве теоремы III.5.9 (см. п. III.6.9) и используя замечание (iv) п. 1.2, мы приходим к случаю, когда группы Ga , a ∈ A, почти ka -просты. Так как решетка Γ неприводима и обладает свойством (QD) в G, по лемме 2.4 (ii) подгруппа prA0 (Γ) является неприводимой решеткой в GA0 . С дру-

368

Глава IX. Арифметичность

гой стороны, так как подгруппа Γ ∩ GA−A0 конечна (см. лемму 2.4 (i)), то решетка Γ конечно порождена, если и только если это верно для prA0 (Γ). Поэтому, заменив G и Γ на GA0 и prA0 (Γ), можно считать, что при любом a ∈ A почти ka -простая группа Ga изотропна над ka . Следовательно, если выполнено условие (ii), то с учетом утверждения (iv) п. 3.1 решетка Γ конечно порождена. def Предположим теперь, что условие (i) выполнено. Положим AR = {a∈A | ka изоморфно R или C}, B = AR при непустом AR и B = {a ∈ A | char ka = 0} при пустом AR . При любом a ∈ A − B поле ka вполне несвязно. Поэтому и группа GA−B вполне несвязна, а тогда она содержит открытую компактную подгруппу F . Положим ΓF = Γ ∩ (GB · F). Так как Γ — решетка в G, мы получаем, что prB (ΓF ) — решетка в GB и подгруппа ΓF ∩ Ker prB = Γ ∩ F конечна. С другой стороны, из утверждений (v), (vi) п. 3.1 и предложения 3.7 вытекает, что любая решетка в GB конечно порождена. Значит, группа ΓF = Γ ∩ (GB · F) конечно порождена. С учетом предложения 3.4 осталось показать, что группа prA−B (Γ) (замыкание подгруппы prA−B (Γ) в GA−B) компактно порождена. Но это вытекает из следующих двух фактов. (1) Так как множество B непусто в силу условия (i), решетка Γ неприводима и при любом a ∈ A группа Ga почти ka -проста и ka -изотропна, то + по теореме II.6.7(a) подгруппа prA−B (Γ) содержит GA−B . + (ii) При любом C ⊂ A группа GC компактно порождена (ввиду следствия I.2.3.5), а факторгруппа GC /GC+ компактна (по теореме I.2.3.1 (б)), поэтому любая подгруппа в GC , содержащая GC+ , компактно порождена. 3.9. Теорема. Пусть char ka = 0 при любом a ∈ A. Тогда любая решетка Γ ⊂ G конечно порождена. Д о к а з а т е л ь с т в о. Как и в доказательстве теоремы 3.2, можно считать, что при любом a ∈ A группа Ga почти ka -проста и ka -изотропна. Разобьем множество A на такие подмножества A1 , . . . , An , что GAi ∩ Γ — неприводимые решетки в GAi , 1 6 i 6 n, а подгруппа (GA1 ∩ Γ) · . . . · (GAn ∩ Γ) имеет конечный индекс в Γ. В силу теоремы 3.2 и замечания (i) п. 1.2 группы GAi ∩ Γ конечно порождены. Таким образом, конечно порожденная подгруппа (GA1 ∩ Γ) · . . . · (GAn ∩ Γ) имеет конечный индекс в Γ. Но тогда Γ конечно порождена. 3.10. Зафиксируем конечное поле Fq и положим, как в п. 1.7 (iv), k = = Fq ((t)), M = Fq [t −1 ]. Группа SL2 (M) не является конечно порожденной. Более того, ее факторгруппа по коммутанту содержит бесконечномерное векторное пространство над полем из p = char Fq элементов (см. [Ser 1], теорема 6). Но, как отмечено в п. 1.7 (iv), SL2 (M) является некокомпактной решеткой в SL2 (k). Таким образом, мы нашли пример некокомпактной решетки в SL2 (k), которая не является конечно порожденной группой. Аналогичные примеры можно построить для любой связной некоммутативной

§ 4. Следствия из теорем арифметичности. I

369

почти k-простой k-группы k-ранга 1 (см. [Be 4]). Более того, если G — такая k-группа, то любая некокомпактная решетка в G(k) не является конечно порожденной (см. [Lu 2]). С другой стороны, справедливо следующее утверждение: (∗) если rank G > 2, то любая неприводимая решетка Γ ⊂ G со свойством (QD) конечно порождена. Ввиду теоремы 3.2 и утверждения (v) п. 3.1 достаточно проверить этот факт для случая, когда char ka 6= 0, rankka Ga 6 1 при всех a ∈ A и решетка Γ некокомпактна. Рассуждая как при доказательстве теоремы 3.2 (см. п. 3.8), приходим к случаю, когда группы Ga , a ∈ A, почти ka -просты и имеют ka -ранг 1. Но для этой ситуации утверждение (∗) в 1989 г. доказано Рагунатаном (см. [Rag 13]).

§ 4. Следствия из теорем арифметичности. I В этом параграфе обозначения A, ka , Ga , G, rank G имеют тот же смысл, что и в § 1. 4.1. Пусть Gai , i ∈ Ia , — (абсолютно) почти простые множители группы Ga . Будем говорить, что группа G изотипна, если выполнены следующие условия: (i) char ka = char kb при всех a, b ∈ A; (ii) при всех a, b ∈ A, i ∈ Ia , j ∈ Ib группы Gai и Gb j строго изогенны или, что равносильно, имеют одинаковый тип (в смысле п. I.0.27). Пусть K , H и Q S таковы, как в п. 1.4. Если существует непрерывный гомоморфизм f : H(Kv) → G, принадлежащий классу Ψ, то группа G v∈S

изотипна. Это легко вытекает из определения класса Ψ. С учетом теоремы A п. 1.8, утверждения (∗) п. 3.10 и определения арифметической решетки получаем 4.2. Следствие. Пусть rank G > 2 и группа G не является изотипной. Тогда G не содержит неприводимых решеток со свойством (QD) в G. 4.3. Если G — связная некоммутативная почти k-простая k-группа, то все ее абсолютно почти простые множители имеют одинаковый тип. Поэтому если группа G не является изотипной и при любом a ∈ A группа Ga не имеет ka -анизотропных множителей, то rank G > 2. Отсюда, из замечания 1.2 (i) и следствия 4.2 вытекает 4.4. Следствие. Пусть группа G не является изотипной и при любом a ∈ A группа Ga не имеет ka -анизотропных множителей. Тогда G не содержит неприводимых решеток. 4.5. Частным случаем следствия 4.4 является

370

Глава IX. Арифметичность

Следствие. Пусть k — локальное поле, G — связная полупростая k-группа без k-анизотропных множителей, имеющая два не изогенных абсолютно почти простых множителя. Тогда G(k) не содержит неприводимых решеток. 4.6. Следующие утверждения (i) — (iii) являются частными случаями следствия 4.4. (i) Пусть n, m ∈ N+ , n > m > 2. Тогда для любых локальных полей k и k′ группа SLn (k) × SLm (k′) не содержит неприводимых решеток. В частности, группы SLn (R) × SLm (R), SLn (R) × SLm (C) и SLn (R) × SLm (Q p) не содержат неприводимых решеток. Отметим, что при любом n > 2 группы SLn (R) × SLn (R), SLn (R) × SLn (C) и SLn (R) × SLn (Q p) содержат неприводимые решетки (см. примеры (ii) и (v) (b) в п. 1.7). (ii) Пусть k, k′ — локальные поля, char k 6= char k′ , n ∈ N+ , n > 2. Тогда группа SLn (k) × SLn (k′) не содержит неприводимых решеток. (iii) Пусть SOn,1 обозначает группу линейных преобразований с определителем 1, сохраняющих квадратичную форму x12 + . . . + xn2 − 2 − xn+1 . Пусть n, m ∈ N+ , n > m > 2, причем если m = 2, то n > 4. Тогда группа SOn,1 (R) × SOm,1 (R) не содержит неприводимых решеток. Замечание. В свете примеров (vi) (3) и (vi) (5) п. 1.7 группа SOn,1 (R) × × SOn,1 (R) при любом n ∈ N+ содержит неприводимые решетки (и компактные, и некокомпактные). Группа SO2,1 (R) × SO3,1 (R) также содержит неприводимые решетки, поскольку группа SO3,1 R-изогенна группе RC/R SO2,1 , а согласно примеру (vi) (6) п. 1.7 группа SO2,1 (R) × SO2,1 (C) содержит неприводимые решетки. 4.7. В работе [Bo—Hard] доказана следующая Теорема А. Пусть k — локальное поле характеристики 0, F — редуктивная k-группа. Тогда F(k) содержит кокомпактные решетки. В доказательстве теоремы А ключевую роль играет Теорема Б. Пусть K — глобальное поле характеристики 0; S — конечное множество его неэквивалентных нормирований; для каждого v ∈ S задана связная некоммутативная абсолютно почти простая Kv -группа Hv ; при любом v ∈ S группа Hv либо односвязная, либо присоединенная; при всех v, v ′ ∈ S группы Hv и Hv ′ изоморфны или, что равносильно, имеют одинаковый тип. Тогда существует K -группа H, которая Kv -изоморфна Hv при всех v ∈ S. Из теоремы Б нетрудно вывести следующие результаты. Теорема В. Пусть группа G изотипна и char ka = 0 при всех a ∈ A. Тогда G содержит кокомпактные неприводимые арифметические решетки.

§ 4. Следствия из теорем арифметичности. I

371

Представляется весьма правдоподобным, что аналогичными методами можно доказать следующее: (i) если группа G изотипна, то она содержит неприводимую арифметическую решетку и в случае char ka > 0; (ii) если группа G изотипна и все почти простые множители группы Ga принадлежат типу A, то G содержит кокомпактные неприводимые арифметические решетки. Отметим, что если не все почти простые множители групп Ga принадлежат типу A, то решетка из утверждения (i) не кокомпактна (см. замечание (viii) в п. 1.6). В связи с утверждением (ii) сформулируем еще одну теорему, доказанную в упоминавшейся работе [Bo—Hard]. Теорема Г. Пусть k — локальное поле (не обязательно характеристики 0), F — связная редуктивная k-группа и все почти простые множители ее коммутанта D (F) принадлежат типу A. Тогда F(k) содержит кокомпактные решетки. 4.8. Теперь приведем результат, который показывает, что если char ka > > 0, то, как правило, группа G не содержит кокомпактных решеток. Следствие. (i) Пусть rank G > 2 и множество {a ∈ A | char ka > 0 и хотя бы один из почти простых множителей группы Ga не принадлежит типу A} непусто. Тогда G не содержит неприводимых кокомпактных решеток со свойством (QD) в G. (ii) Пусть rank G > 2, при любом a ∈ A группа Ga не имеет ka -анизотропных множителей и множество {a ∈ A | char ka > 0 и хотя бы один из почти простых множителей группы Ga не принадлежит типу A} непусто. Тогда G не содержит неприводимых кокомпактных решеток. (iii) Пусть для некоторого a ∈ A существует такой почти ka -простой множитель Gai группы Ga , что char ka > 0, rankka Gai > 2 и Gai не принадлежит типу A. Тогда G не содержит кокомпактных решеток. (iv) Пусть k — локальное поле положительной характеристики; F — связная некоммутативная почти k-простая k-группа, не принадлежащая типу A; rankk F > 2. Тогда F(k) не содержит кокомпактных решеток. Утверждение (i) вытекает из теоремы A п. 1.9 и замечания (viii) п. 1.6. В силу замечания (i) п. 1.2 утверждения (ii) и (iv) являются частными случаями утверждения (i). Покажем, что (iii) вытекает из (ii). Если Γ — кокомпактная решетка в группе G, то можно разбить множество A на такие подмножества A1 , . . . , An , что GAi ∩ Γ является неприводимой кокомпактной решеткой в GAi при 1 6 i 6 n. Поэтому нам достаточно провести редукцию к случаю, когда при любом a ∈ A группа Ga почти ka -проста

372

Глава IX. Арифметичность

и ka -изотропна. Это можно сделать, рассуждая как при доказательстве теоремы 3.2. 4.9. Замечания. (i) Следствие 4.3 показывает, что при card A > 2 группа G, как правило, не содержит неприводимых решеток. (ii) Пусть n > 3; k — локальное поле характеристики, большей чем 2; Φ — квадратичная форма x1 x2 + x3 x4 + . . . + x2n−1 x2n над k. Как и выше, пусть SOΦ обозначает k-подгруппу в GL2n , которая состоит из унимодулярных матриц, сохраняющих Φ. Группа SOΦ абсолютно почти проста и принадлежит типу Dn . С другой стороны, индекс Витта формы Φ равен n, и потому rankk SOΦ = n > 3. Согласно следствию 4.8 (iv) группа SOΦ (k) не содержит кокомпактных решеток. Но она содержит некокомпактные решетки (см. пример (viii) в п. 1.7). Таким образом, мы построили локально компактную группу, содержащую некокомпактные решетки, но не содержащую кокомпактных. Похоже, что это первый пример такого рода. 4.10. Прежде чем переходить к следующей серии следствий, введем некоторые обозначения и одно определение. Как и в п. I.2.6, пусть B обозначает множество простых чисел с добавлением ∞. Для произвольного локального поля k характеристики 0 определим p (k) ∈ B посредством следующего условия: k изоморфно конечному расширению поля Q p (k) (как и выше, Q∞ = R). Множество B естественно отождествляется с множеством нормирований поля Q. Для произвольного S ⊂ B пусть Q(S) обозначает кольцо S-целых элементов поля Q (см. п. I.0.32). Если S ⊂ B, K — алгебраическое расширение поля Q и x ∈ K , то без труда проверяется равносильность следующих условий: (а) элемент x является целым над кольцом Q(S); (б) x = tz, где t ∈ Q(S) и z — целое алгебраическое число. Если условия (а) и (б) выполнены для некоторого x ∈ K , то элемент x называется S-целым. Множество S-целых элементов поля K составляет в нем подкольцо, которое будет обозначаться K (S). Пусть S ′ — множество нормирований поля K , которые являются продолжениями нормирований в Q, принадлежащих множеству S. Легко проверить, что если K — конечное расширение поля Q, то K (S) = K (S ′). 4.11. Следствие. Пусть Γ — решетка в G; a0 ∈ A; K — алгебраическое расширение поля Q, содержащееся в ka0 ; H — алгебраическая K -группа; f : Ga0 → H — такой ka0 -морфизм ka0 -групп, что f (pra0 (Γ)) ⊂ H(K); SA = {p (ka) | a ∈ A, char ka = 0}. Пусть rank G > 2 и решетка Γ неприводима и обладает свойством (QD) в G. Тогда подгруппа f (pra0 (Γ)) ∩ H(K (SA)) имеет конечный индекс в f (pra0 (Γ)) — иначе говоря, существует подгруппа Γ1 ⊂ Γ, имеющая конечный индекс и такая, что f (pra0 (Γ1)) ⊂ H(K (SA)).

§ 4. Следствия из теорем арифметичности. I

373

Д о к а з а т е л ь с т в о. Нетрудно вывести это следствие из теоремы 1.13, используя замечание 2.12. Но его можно вывести и непосредственно из теорем сверхжесткости, тем самым избавляясь от длинной редукции теорем арифметичности к результатам о сверхжесткости. Приведем это доказательство для случая, когда при любом a ∈ A группа Ga не имеет ka -анизотропных множителей (относительно общего случая см. замечание 4.12 (ii)). Так как множество {a ∈ A | char ka = 0} содержит a0 и, следовательно, непусто, по теореме 3.2 группа Γ (а тогда и группа f (pra0 (Γ)) ⊂ H(K)) конечно порождена. С другой стороны, так как K — алгебраическое расширение поля Q, K является объединением его конечных расширений. Поэтому можно считать само поле K конечным расширением поля Q. Пусть R — множество всех (неэквивалентных) нормирований поля K , а R∞ ⊂ R — множество его архимедовых нормирований. Так как группа f (pra0 (Γ)) ⊂ H(K) конечно порождена и H(K) является объединением под˜ групп H(K (S)), где S˜ ⊂ R пробегает все конечные подмножества в R, то для некоторого конечного подмножества S0 ⊂ R выполняется включение f (pra0 (Γ)) ⊂ H(K (S0)).

(1)

Так как подгруппа pra0 (Γ) плотна по Зарисскому в Ga0 (см. лемму 2.1 (i)), можно заменить H на f (Ga0) и считать, что группа H полупроста, а подгруппа f (pra0 (Γ)) плотна по Зарисскому в H. Обозначим через S ′ множество тех нормирований поля K , которые являются продолжениями нормирований из SA . Пусть v ∈ R − R∞ − S ′ . Тогда для любого a ∈A поля ka и Kv имеют разный тип (в смысле п. I.0.31). В силу следствия VII.5.16 подгруппа f (pra (Γ)) относительно компактна в H(Kv). Рассмотрим H как K -подгруппу в GLn и положим H(Ov) = H ∩ GLn (Ov), где Ov — кольцо целых элементов поля Kv . Так как подгруппа H(Ov) открыта в H(Kv), а подгруппа pra0 (Γ)) относительно компактна в H(Kv), то подгруппа f (pra0 (Γ)) ∩ H(Ov) имеет конечный индекс в f (pra0 (Γ)) при всех ˜ ={h∈H(K) | h∈H(Ov) для всех v ∈R −R∞ − S} ˜ v ∈R −R∞ −S ′ . Но H(K (S)) ˜ при любом S ⊂ R. Поэтому из включения (1) и конечности множества S0 вытекает, что f (pra0 (Γ)) ∩ H(K (S ′)) имеет конечный индекс в f (pra0 (Γ)). Теперь остается заметить, что K (SA) = K (S ′) (см. п. 4.10). 4.12. (i) В ходе доказательства следствия 4.11 мы в действительности повторили некоторые рассуждения из шага 6 доказательства теорем А и Б п. 1.9 (см. п. 2.11). (ii) Нетрудно показать с помощью леммы 2.4 (ii), что в формулировке следствия VII.5.16 и некоторых других результатов § 5 гл. VII условие «при любом a ∈ A группа Ga не имеет ka -анизотропных множителей» можно заменить условием «Γ обладает свойством (QD) в G». Сделав это, можно

374

Глава IX. Арифметичность

непосредственно распространить доказательство, приведенное в п. 4.11, на общий случай. 4.13. Частным случаем следствия 4.11 является Следствие. Пусть G — связная полупростая R-группа; Γ0 — решетка в G(R); K — алгебраическое расширение поля Q, K ⊂ R; H — алгебраическая K -группа; f : G → H — некоторый R-морфизм R-групп; L — кольцо целых алгебраических элементов поля K ; Gis ⊂ G — почти прямое произведение R-изотропных множителей группы G. Предположим, что rankR G > 2, решетка G0 неприводима и подгруппа Gis (R) · Γ0 плотна в G(R). Если f (Γ0) ⊂ H(K), то подгруппа f (Γ0) ∩ H(L) имеет конечный индекс в f (Γ0). Как следствие, если группа G определена над Q и Γ0 ⊂ G(Q), то подгруппа Γ0 ∩ G(Z) имеет конечный индекс в Γ0 . 4.14. Группа SLn (Z) является решеткой в SLn (R) (см. теорему I.3.2.8). Следовательно, если Γ — решетка в SLn (R) и подгруппа Γ ∩ SLn (Z) имеет конечный индекс в Γ, то подгруппы Γ и SLn (Z) соизмеримы. Отсюда и из следствия 4.13 вытекает следующий факт. (i) Если n > 3, то любая решетка в SLn (R), содержащаяся в SLn (Q), соизмерима с SLn (Z). Аналогично из теоремы I.3.2.7 и следствия 4.11 вытекает следующее утверждение. (ii) Пусть p — простое число, n ∈ N+ , n > 2. Если подгруппа Γ ⊂ def ⊂ SLn (Q) при диагональном вложении в H = SLn (R) × SLn (Q p) является решеткой в H , то подгруппы Γ и SLn (Z [1/ p]) соизмеримы. Здесь Z [1/ p], как обычно, обозначает подкольцо в Q, порожденное числом 1/ p. Следующее далее утверждение (iii) является частным случаем следствия 4.15 (см. ниже). Отметим, что нетрудно вывести утверждение (iii) из следствий 4.11, VII.5.16, II.4.4 (теоремы Бореля—Вана о плотности) и леммы II.2.3. (iii) Если p — простое число и n > 3, то никакая решетка из SLn (Q p) не содержится в SLn (Q). 4.15. Теперь сформулируем результат, который обобщает предыдущие утверждения (i) — (iii). Следствие. Пусть K — глобальное поле; H — связная некоммутативная почти K -простая K -группа; обозначения R, R∞ , T = T (H) и Kv имеют тот же смысл, что в пп. 1.3 и 1.4; S — такое конечное подмножество в R, что X v∈S

rankKv H > 2.

§ 4. Следствия из теорем арифметичности. I

375 def

Если подгруппа Γ ⊂ H(K) является решеткой в HS =

Q

H(Kv) при диа-

v∈S

гональном вложении в HS , то S ⊂ R∞ − T и подгруппы Γ и H(K (S)) соизмеримы. Мы не приводим подробного доказательства этого факта. Отметим, однако, что его нетрудно вывести либо из теоремы 1.11, либо, для допустимых групп H, из теоремы VII.5.6 и предложения VIII.3.22 (в обоих случаях необходимо вначале провести редукцию к случаю, когда группа H абсолютно почти проста). 4.16. Следствие. Пусть при любом a ∈ A поле ka является конечным расширением поля Q p (ka) и p (ka) ∈ B. Положим SA = {p (ka | a ∈ A}. Пусть rank G > 2 и Γ ⊂ G — неприводимая решетка со свойством (QD) в G. Тогда (i) при любом a ∈ A группа Ad pra (Γ) линейных преобразований алгебры Ли Lie(Ga) ka определима (в смысле п. VIII.3.19) над конечным расширением поля Q, содержащимся в ka ; (ii) существует такая подгруппа конечного индекса Γ1 ⊂ Γ, что при любом a ∈ A группа Ad pra (Γ1) записывается в некотором базисе алгебры Ли Lie(Ga) ka посредством матриц с SA -целыми алгебраическими элементами; (iii) при любых a ∈ A и g ∈ Γ собственные значения преобразования Ad pra (g) являются SA -целыми алгебраическими числами. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a ∈ A; K — конечное расширение поля Q; обозначения H, R, Ia , Gai имеют тот же смысл, что в п. 1.3; v ∈ R, i ∈ Ia ; f : H(Kv) → Gai (ka) — непрерывный гомоморфизм из класса Ψ0 , определенный в п. 1.3. Тогда группа Ad f (H(K)) определена над некоторым конечным расширением поля Kai ⊂ ka поля Q. Но так как char ka = 0, алгебра Lie(Ga) является прямой суммой алгебр Ли Lie(Gai), i ∈ Ia . Если теперь B — конечQ ное подмножество в R и f : H(Kv) → G — непрерывный гомоморфизм из v∈B

класса Ψ, то группа Ad pra (f (H(K))) определима над некоторым конечным расширением поля Q. Чтобы доказать утверждение (i), теперь достаточно заметить следующее: (а) в силу теоремы A п. 1.9 решетка Γ арифметична, и потому существуют конечное расширение K поля Q, связная некоммутативная абсолютно почти простая K -группа H, конечное множество S нормирований поля K и Q непрерывный гомоморфизм f : H(Kv) из класса Ψ, такие что подгруппа v∈S

f (H(K (S))) соизмерима с Γ. (б) В силу леммы 2.1 (i) подгруппа pra (Γ) плотна по Зарисскому в Ga .

376

Глава IX. Арифметичность

(в) Пусть F — связная полупростая алгебраическая группа; l — поле; Λ ⊂ F — плотная по Зарисскому подгруппа; Λ1 ⊂ Λ — подгруппа конечного индекса; группа Ad Λ1 записывается в некотором базисе алгебры Ли Lie(F) посредством матриц с элементами из l. Тогда, как легко вытекает из леммы VII.6.2 (ii), группа Ad Λ также записывается в этом базисе посредством матриц с элементами из l. Утверждение (ii) вытекает из утверждения (i) и следствия 4.11. Утверждение (iii) вытекает из утверждения (ii) и следующих фактов: 1) так как Γ1 имеет конечный индекс в Γ, существует такое n ∈ N+ , что n g ∈ Γ1 для всех g ∈ Γ1 ; 2) собственные значения преобразования Ad pra (g) являются корнями n-й степени из собственных значений преобразования Ad pra (gn). Отметим также, что нетрудно вывести утверждение (ii) непосредственно из теоремы A п. 1.9. 4.17. Для случая R-групп можно сформулировать следствие 4.16 иначе. Следствие. Пусть G, Γ0 , Gis таковы, как в следствии 4.13; rankR G > > 2; решетка Γ0 неприводима; подгруппа Gis (R) · Γ0 плотна в G(R). Тогда (i) группа Ad Γ0 линейных преобразований алгебры Ли Lie(G) R определима над некоторым расширением поля Q, содержащимся в R; (ii) существует такая подгруппа конечного индекса Γ1 ⊂ Γ0 , что группа Ad Γ1 записывается в некотором базисе алгебры Ли Lie(G) R посредством матриц, элементы которых являются целыми алгебраическими числами; (iii) для любого g ∈ Γ собственные значения преобразования Ad g являются целыми алгебраическими числами. 4.18. В качестве примера отметим, что в силу следствия 4.17 матрица ! 1/2 0 0 0 1 0 0 0 2

не принадлежит никакой решетке в SL3 (R).

4.19. Под Z-решеткой в конечномерном векторном пространстве W над полем характеристики 0 мы понимаем Z-модуль L ⊂ W , порожденный некоторым базисом пространства W . Мы говорим, что подгруппа Λ ⊂ ⊂ GL(W ) определима над Z, если Λ оставляет инвариантной некоторую Zрешетку. Следующая лемма является частным случаем теоремы 3 из [Vi 4]. Лемма. Пусть l — поле характеристики 0; H — полупростая l-группа (не обязательно связная); Λ ⊂ H — плотная по Зарисскому подгруппа; Λ1 ⊂ Λ — подгруппа конечного индекса. Тогда если группа Ad Λ1 определима над Z, то этот факт верен и для Ad Λ. 4.20. Выведем теперь из теоремы 1.16

§ 4. Следствия из теорем арифметичности. I

377

Следствие. Пусть G — связная полупростая R-группа без R-анизотропных множителей, Γ0 — неприводимая некокомпактная решетка в G(R). Предположим, что либо rankR G > 2, либо Γ0 имеет бесконечный индекс в CommG(R) (Γ0). Тогда группа Ad Γ0 линейных преобразований пространства Lie(G) определима над Z, и как следствие при любом g ∈ Γ0 преобразование Ad g0 имеет характеристический многочлен с целыми коэффициентами. Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно теореме 1.16 решетка Γ0 арифметична. Поэтому существуют связная некоммутативная почти Q-простая Q-группа F и R-изогения t : F → G, такие что подгруппы t (F(Z)) и Γ0 соизмеримы (см. определение 1.5 и замечание (iii) в п. 1.6). Ввиду леммы I.3.1.1 существует такая подгруппа D конечного индекса в F(Z), что Ad D ⊂ (Ad H) (Z) и как следствие группа Ad D определима над Z. С другой стороны, так как t — изогения алгебраических групп над полем характеристики 0, дифференциал d t : Lie(F) → Lie(G) является изоморфизмом. Значит, Γ0 содержит такую подгруппу t (D) конечного индекса, что группа Ad t (D) определима над Z. Остается применить лемму 4.19 и заметить, что решетка Γ0 плотна по Зарисскому в G (см. лемму 2.1). 4.21. Из следствия 4.20 легко выводится следующее утверждение. А. Пусть G — связная полупростая R-группа без R-анизотропных множителей, причем rankR G > 2. Тогда существует такая окрестность единицы W ⊂ G(R), что для любой неприводимой некокомпактной решетки Γ0 ⊂ G(R) пересечение W ∩ Γ0 состоит из унипотентных элементов. Утверждение А допускает следующее обобщение, которое в действительности легко из него выводится. А′ . Пусть rank G > 2, char ka = 0 при любом a ∈ A и Ga не имеет ka -анизотропных множителей. Тогда существует такая окрестность единицы W ⊂ G, что если Γ ⊂ G — неприводимая некокомпактная решетка и g ∈ W ∩ Γ, то для любого a ∈ A элемент pra (g) унипотентен. Весьма вероятно, что и для кокомпактных решеток справедливо утверждение, аналогичное утверждению А. А именно, выглядит правдоподобной следующая гипотеза. Б. Пусть G — связная полупростая R-группа, причем rankR G > 2. Тогда существует такая окрестность единицы U ⊂ G(R), что для любой неприводимой кокомпактной решетки Γ0 ⊂ G(R) пересечение U ∩ Γ0 состоит из элементов конечного порядка. С этой гипотезой связан ряд интересных теоретико-числовых вопросов. В частности, можно легко вывести утверждение Б из теоремы 1.16, если доказать следующий факт:

378

Глава IX. Арифметичность

(∗) пусть P = x n + an−1 x n−1 + . . . + a0 — неприводимый многочлен с целыми коэффициентами; b1 (P), . . . , bn (P) — его корни; m(P) — количество таких i, что 1 6 i 6 n и |bi (P)| 6= 1; тогда Y def M(P) = max{1, |bi (P)|} > d, 16i6n

где константа d > 1 зависит только от m(P) (но не от n). Ж.-П. Серр сообщил автору следующий результат М. Лорана: M(P) > c r

2

/n ln(1+n/r)

,

где c > 1 — абсолютная константа, r — количество вещественных корней многочлена P. 4.22. Следующее утверждение по существу является переформулировкой теоремы Б п. 1.9. Предложение. Пусть Γ ⊂ G — конечно порожденная неприводимая неарифметическая решетка со свойством (QD) в G. Тогда существует дискретная подгруппа Λ ⊂ G, содержащая Γ и все соизмеримые с Γ подгруппы в G. Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме Б п. 1.9 решетка Γ имеет конечный индекс в подгруппе CommG (Γ). Поэтому последняя дискретна. С другой стороны, очевидно, что CommG (Γ) содержит любую подгруппу в G, соизмеримую с Γ. Значит, Λ = CommG (Γ) является искомой подгруппой. 4.23. Из предложения 4.22 с учетом теоремы 3.2 (i) и замечания (i) п. 1.2 вытекает следующее Предложение. Пусть Γ ⊂ G — неприводимая неарифметическая решетка. Далее, пусть char ka = 0 и Ga не имеет ka -анизотропных множителей при любом a ∈ A. Тогда существует дискретная подгруппа Λ ⊂ G, содержащая Γ и все соизеримые с Γ подгруппы в G. 4.24. Теорема. Пусть Γ — решетка в группе G. Пусть также верно следующее: (а) char ka = 0 при всех a ∈ A; (б) при любом a ∈ A группа Ga не имеет ka -анизотропных множителей. Тогда существует такое c > 0, что для любой подгруппы Γ1 ⊂ G, соизмеримой с Γ, число c mG (Γ1 \ G) целое (здесь mG — мера Хаара на G). Эта теорема была доказана в статье [Bo 12] при условии, что все группы Ga изогенны группе SL2 , и в работе [Ma—R] для общего случая. Доказательство строится по следующей схеме. Вначале проводится редукция к случаю, когда решетка Γ неприводима. Если она неарифметична, то после этого достаточно применить предложение 4.22 (c −1 = mG (Λ \ G)). Ес-

§ 5. Следствия из теорем арифметичности. II

379

ли же решетка Γ арифметична, то используется описание максимальных арифметических подгрупп. 4.25. Замечание. В теореме 4.24 условие (а), скорее всего, избыточно, а условие (б), напротив, существенно. Действительно, пусть G — связная R-анизотропная полупростая R-группа. Тогда любая конечная подгруппа Λ ⊂ G(R) является решеткой в компактной группе Ли G(R). Но G(R) содержит конечные подгруппы произвольно большого порядка.

§ 5. Следствия из теорем арифметичности. II В этом параграфе с помощью теорем арифметичности мы усилим некоторые результаты гл. IV и VII. Пусть обозначения A, ka , Ga , G, rank G имеют тот же смысл, что в § 1. Если M — подмножество алгебраического многообразия, то его замыкание ¯ по Зарисскому обозначается M. Будем говорить, что группа Λ квазипроста, если любая ее нормальная подгруппа либо конечна, либо имеет конечный индекс в Λ. 5.1. Лемма. Пусть f : Λ → Λ′ — гомоморфизм групп. Тогда (i) если группа Λ квазипроста и f (Λ) имеет конечный индекс в Λ′ , то группа Λ′ квазипроста; (ii) если группа Λ′ квазипроста, f (Λ) = Λ′ и Ker f конечно, то группа Λ квазипроста. Д о к а з а т е л ь с т в о. (i) Пусть N ′ — бесконечная нормальная подгруппа в Λ′ . Так как f (Λ) имеет конечный индекс в Λ′ , нормальная подгруппа f −1 (N ′) группы Λ бесконечна. Поскольку группа Λ квазипроста, f −1 (N ′) имеет в ней конечный индекс, а так как f (Λ) имеет конечный индекс в Λ′ , это верно и для N ′ , что и доказывает утверждение (i). (ii) Пусть N — бесконечная нормальная подгруппа в Λ. Так как Ker f конечно, нормальная подгруппа f (N) группы f (Λ) = Λ′ бесконечна. Поскольку группа Λ′ квазипроста, f (N) имеет конечный индекс в Λ′ , и так как Ker f конечно, N имеет конечный индекс в Λ, и утверждение (ii) доказано. 5.2. Лемма. Пусть Γ ⊂ G — решетка со свойством (QD) в G. (i) Если N — конечная нормальная подгруппа в Γ, то N ⊂ Z (G). (ii) Следующие условия равносильны: (а) решетка Γ квазипроста; (б) если N — нормальная подгруппа в Γ, то либо N ⊂ Z (G), либо факторгруппа Γ/N конечна. (iii) Если решетка Γ квазипроста, то ее факторгруппа Γ/D (Γ) по коммутанту конечна. Д о к а з а т е л ь с т в о. (i) Так как подгруппа N конечна и нормальна в Γ и pra (Γ) = Ga (см. лемму 2.1 (i)), для любого a ∈ A алгебраическая

380

Глава IX. Арифметичность

подгруппа ZGa (pra (N)) имеет конечный индекс в Ga . Поскольку группа Ga связна, ZGa (pra (N)) = Ga , откуда следует, что N ⊂ Z (G). Утверждение (ii) вытекает из (i) и конечности центра Z (G). Так как группа Ga полупроста, мы имеем D (Ga) = Ga . С другой стороны, pra (Γ) = Ga (см. лемму 2.1 (i)). Таким образом, Γ имеет бесконечный коммутант, что доказывает утверждение (iii). 5.3. Предложение. Пусть Γ — неприводимая арифметическая решетка в G и rank G > 2. Тогда (i) если N — нормальная подгруппа в Γ, то либо N ⊂ Z (G), либо факторгруппа Γ/N конечна; (ii) факторгруппа Γ/D (Γ) конечна. Д о к а з а т е л ь с т в о. Арифметичность решетки Γ согласно определению 1.4 означает, что существуют глобальное поле K , связная некоммутативная абсолютно почти простая K -группа H, конечное Q множество S нормирований поля K и непрерывный гомоморфизм f : H(Kv) → G v∈S

из класса Ψ, такие что подгруппа f (H(K (S))) соизмерима с Γ. Положим Λ = f−1 (Γ) ∩ H(K (S)). Так как подгруппы f (H(K (S))) и Γ соизмеримы, то Λ является S-арифметической подгруппой в H(K) и f (Λ) имеет конечный индекс в Γ. В силу замечания (vii) п. 1.3 мы имеем X def rankS H = rankKv H = rank G > 2. v∈S

Ввиду теоремы А, сформулированной в начале гл. VIII, группа Λ квазипроста. Но f (Λ) имеет конечный индекс в Γ, и потому группа Γ квазипроста (см. лемму 5.1). Осталось применить лемму 5.2 (i) и замечание (iv) п. 1.6. С учетом замечания 2 п. 1.9 из теоремы A п. 1.9 и предложения 5.3 вытекает следующая 5.4. Теорема. Пусть Γ ⊂ G — неприводимая решетка со свойством (QD) в G и rank G > 2. Тогда (i) если N — нормальная подгруппа в Γ, то либо N ⊂ Z (G), либо факторгруппа Γ/N конечна; (ii) факторгруппа Γ/D (Γ) конечна. 5.5. Сформулируем утверждение теоремы 5.4 для случая R-групп. Теорема. Пусть G — связная полупростая R-группа; Γ0 — решетка в G(R); Gis ⊂ G — (почти прямое) произведение всех R-изотропных множителей группы G. Далее, пусть rankR G > 2; решетка Γ0 неприводима; подгруппа Gis (R) · Γ0 плотна в G(R). Тогда (i) если N — нормальная подгруппа в Γ0 , то либо N ⊂ Z (G), либо факторгруппа Γ0 /N конечна; (ii) факторгруппа Γ0 /D (Γ0) конечна.

§ 5. Следствия из теорем арифметичности. II

381

5.6. Частным случаем теоремы 5.5 является следующая Теорема. Пусть Γ — неприводимая решетка в G; rank G > 2; при любом a ∈ A группа Ga не имеет ka -анизотропных множителей. Тогда (i) если N — нормальная подгруппа в Γ, то либо N ⊂ Z (G), либо факторгруппа Γ/N конечна; (ii) факторгруппа Γ/D (Γ) конечна. 5.7. Предложение. Пусть Γ — неприводимая арифметическая решетка в G; l — поле; F — алгебраическая l-группа; d : Γ → F(l) — гомоморфизм. Предположим, что rank G > 2. Тогда (i) если char l = 0, то l-группа d (Γ) полупроста; (ii) если char l 6= char ka при некотором (а тогда при всех) a ∈ A, то группа d (Γ) конечна. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть K , H, S, f, Λ, rankS H таковы, как в доказательстве предложения 5.3. Как было там отмечено, Λ является S-арифметической подгруппой в H(K) и rankS H > 2. Следовательно, 1) если char l=0, то l-группа d (f (Λ)) полупроста (см. теорему VIII.3.10); 2) если char l 6= char K , то группа d (f (Λ)) конечна (см. главу VIII, теорему VIII.3.8 (ii) (b)). Теперь осталось заметить, что char K =char ka при любом a∈A, и так как f (Λ) имеет конечный индекс в Γ (см. п. 5.3), d (f (Λ)) имеет конечный индекс в d (Γ). Как следствие, d (f (Λ)) имеет конечный индекс в d (Γ). (Здесь уместно напомнить, что если алгебраическая группа содержит полупростую алгебраическую подгруппу конечного индекса, то она сама полупроста.) С учетом замечания 2 п. 1.9 из теоремы A п. 1.9 и предложения 5.7 вытекает 5.8. Теорема. Пусть Γ ⊂ G — неприводимая решетка со свойством (QD) в G; l — некоторое поле; F — алгебраическая l-группа; d : Γ → F(l) — гомоморфизм. Предположим, что rank G > 2. Тогда (i) если char l = 0, то l-группа d (Γ) полупроста; (ii) если char l 6= char ka при всех a ∈ A, то группа d (Γ) конечна. 5.9. С учетом леммы VII.5.22 из теоремы 5.8 (i) вытекает Следствие. Пусть Γ ⊂ G — неприводимая решетка со свойством (QD) в G. Предположим, что rank G > 2. Тогда H 1 (Γ, r) = 0 для любого представления r группы Γ в конечномерном векторном пространстве над полем характеристики 0. 5.10. В случае R-групп можно сформулировать теорему 5.8 и следствие 5.9 в следующем виде. Теорема. Пусть G, Γ0 , Gis таковы, как в формулировке теоремы 5.5. Далее, пусть rankR G > 2, решетка Γ0 неприводима, а подгруппа Gis (R) · Γ0 плотна в G(R).

382

Глава IX. Арифметичность

(i) Пусть l — поле, F — алгебраическая l-группа, d : Γ0 → F(l) — гомоморфизм. Тогда: (а) если char l = 0, то l-группа d (Γ0) полупроста; (б) если char l 6= 0, то группа d (Γ0) конечна. (ii) Для любого представления r группы Γ0 в конечномерном векторном пространстве над полем характеристики 0 справедливо равенство H 1 (Γ, r) = 0. 5.11. Как обычно, H q (Λ, r) обозначает q-ю группу когомологий группы Λ с коэффициентами в r. Справедлива следующая Теорема (см. [Bo—W], глава XIII, предложения 3.6 и 3.7, лемма 3.2). Пусть Γ — неприводимая кокомпактная решетка в G, а r — ее представление в конечномерном векторном пространстве над полем k характеристики 0. Предположим, что при любом a ∈ A группа Ga не имеет ka -анизотропных множителей. (i) Пусть k = C и представление r унитарно. Тогда: (а) если 0 < q < rank G, то H q (Γ, r) = 0; (б) если при любом a ∈ A поле ka неархимедово, то H q (Γ, r) = 0 при q 6= 0, rank G. (iii) Пусть rank G > 2 и при любом a ∈ A поле ka неархимедово. Тогда H q (Γ, r) = 0 при всех q 6= 0, rank G. (Здесь представление r не предполагается унитарным.) Замечания. (i) В работе [Bo—W] утверждение (ii) выведено из утверждения (i) (б) с помощью теоремы сверхжесткости (а именно теоремы VII.5.6). При этом предполагалось, что char ka = 0 при всех a ∈ A. Но это ограничение было вызвано лишь тем, что к моменту написания книги [Bo—W] теорема сверхжесткости была известна только для этого случая. Кроме того, в [Bo—W] предполагалось, что если хотя бы одно из полей ka архимедово, то char ka = 0 при всех a ∈ A. Но ввиду теоремы 1.11 это ограничение также можно снять. (ii) Результаты о когомологиях дискретных и арифметических подгрупп можно найти, кроме [Bo—W], в следующих источниках: [B—K], [Bo 8], [Bo 9], [Bo 10], [Bo 11], [Bo—Se 2], [Ga 1], [Ga 2], [G—S 1], [G—S 2], [G—S 23], [Har 4], [Har 6], [Har 7], [Kaz 4], [L—S], [Mills 1], [Mills 3], [Mi—R], [Rag 3], [Rag 4], [Rag 5], [Rohlf], [R—S], [Schwe 1], [Schwe 2], [Ser 2], [So], [Stu]. (Приведенный список далеко не полон.) 5.12. Теорема. Пусть Γ ⊂ G — неприводимая решетка со свойством (QD) в G; k — локальное поле характеристики 0; F — алгебраическая k-группа; d : Γ → F(k) — гомоморфизм. Предположим, что rank G > 2. (i) Если при любом a ∈ A поля ka и k имеют разный тип (в смысле п. I.0.31), то подгруппа d (Γ) относительно компактна в F(k).

§ 5. Следствия из теорем арифметичности. II

383

(ii) Пусть при любом a ∈ A группа Ga односвязна. Тогда d почти продолжается (в смысле определения V.3.5) до непрерывного гомоморфизма d˜ : G → F(k). Иначе говоря, существуют непрерывный гомоморфизм d˜ : G → F(k) и гомоморфизм f : Γ → F(k), такие что d (g) = d˜ (g) · f (g) для всех g ∈ Γ и подгруппа f (Γ) относительно компактна в F(k) и коммутирует с d˜ (Γ). Мы не приводим подробного доказательства этой теоремы. Отметим лишь, что леммы VII.5.1 и 2.4 позволяют провести редукцию к случаю, когда группа d (Γ) связна, а группа Ga при любом a ∈ A не имеет ka -анизотропных множителей. Но в этом случае достаточно применить следствие VII.5.16, теорему VII.5.13 (б) и теорему 5.8 (i). 5.13. Представляется весьма правдоподобной следующая Гипотеза. Пусть Γ — неприводимая арифметическая решетка в G; k — локальное поле; F — алгебраическая k-группа; d : Γ → F(k) — гомоморфизм. Предположим, что rank G > 2 и при любом a ∈ A группа Ga односвязна. Тогда (i) существует такая подгруппа конечного индекса Γ0 ⊂ Γ (зависящая от d), что ограничение гомоморфизма d на Γ0 продолжается до непрерывного гомоморфизма d˜ : G → F(k); (ii) существуют непрерывный гомоморфизм d˜ : G → F(k) и гомоморфизм f : Γ → F(k), такие что d (g) = d˜ (g) · f (g) для всех g ∈ Γ, а подгруппа f (Γ) конечна и коммутирует с d˜ (Γ). 5.14. Замечания к гипотезе 5.13. (i) Утверждение (ii) легко выводится из утверждения (i) с помощью леммы VII.5.1. (ii) Если при любом a ∈ A группа Ga не имеет ka -анизотропных множителей, то из леммы II.2.3 и предложения II.4.6 (б) вытекает, что гомоморфизм d˜ определен однозначно. (iii) Применив теоремы Б и В, сформулированные в начале гл. VIII, а также предложение 5.3 (ii), нетрудно доказать гипотезу 5.13 в любом из следующих случаев: (а) char ka = 0 при некотором (а тогда и при всех) a ∈ A; (б) char k 6= char ka ; (в) k-группа d (Γ) редуктивна. Таким образом, остается рассмотреть следующий случай: (г) char k = char ka 6= 0 и k-группа d (Γ) не редуктивна. Есть надежда, что случай (г) можно свести к случаю (в), применив теорему VII.5.19, следствие VIII.5.21, предложение 5.3 (ii) и результаты Прасада и Рагунатана о вторых когомологиях полупростых групп над локальными полями (см. [Pr—R 3]). 5.15. В связи с теоремой 5.12 отметим следующее. В случае, когда группа d (Γ) связна и полупроста, эта теорема на самом деле утверждает,

384

Глава IX. Арифметичность

что в теореме VII.5.13 (б) условие «при любом a ∈ A группа Ga не имеет ka -анизотропных множителей» можно заменить более слабым: «Γ обладает свойством (QD) в G». Нетрудно показать (применив леммы VII.5.1 и 2.4), что можно сделать аналогичную замену в формулировках других результатов §§ 5 и 6 гл. VII. Кроме того, если мы рассматриваем решетку Γ0 в G(R), где G — связная полупростая R-группа, то условие «G не имеет R-анизотропных множителей» нужно заменить следующим: «подгруппа Gis (R) · Γ0 плотна в G(R)», где, как и выше, Gis обозначает произведение R-анизотропных множителей группы G.

§ 6. Арифметичность, объем факторпространств, конечность факторгрупп и сверхжесткость решеток в полупростых группах Ли Если F — некоторая R-группа, то F(R) 0 будет обозначать компоненту единицы группы Ли F(R). Как и в § 5, M¯ обозначает замыкание по Зарисскому подмножества M алгебраического многообразия. На протяжении этого параграфа H обозначает связную полупростую группу Ли. Положим G = Ad H, где Ad, как обычно, — присоединенное представление. Как известно, G является связной полупростой присоединенной R-группой, Ad H = G(R) 0 , Ker Ad = Z (H), а изоморфизм H /Z (H) → Ad H является изоморфизмом топологических групп. Пусть Gis ⊂ G обозначает почти прямое произведение R-изотропных почти R-простых множителей группы G, а H is ⊂ H — компоненту единицы группы Ли Ad−1 (Gis (R)). Подгруппу H is можно охарактеризовать как минимальный элемент в классе таких связных нормальных подгрупп F ⊂ H , что факторгруппа H /F компактна. Отметим, что группа H является почти прямым произведением подгруппы H is и максимальной связной компактной нормальной подгруппы. Положим rank H = rankR G и назовем это число рангом группы H . Легко проверить, что rank H совпадает с размерностью максимального R-расщепимого тора в H (связная коммутативная подгруппа T ⊂ H называется R-расщепимым тором, если при любом x ∈ T преобразование Ad x полупросто и все его собственные значения вещественны). Ранг группы H равен 0, если и только если H is = {e}. 6.1. Лемма. Пусть Γ — решетка в группе H . (а) Следующие условия равносильны: (i) Z (H) · Γ является решеткой в H ; (ii) подгруппа Z (H) · Γ дискретна в H ; (iii) подгруппа Z (H) ∩ Γ имеет конечный индекс в Z (H); (iv) Ad Γ является решеткой в G(R);

§ 6. Арифметичность в полупростых группах Ли

385

(v) подгруппа Ad Γ дискретна в G(R). (б) Если подгруппа H is · Γ плотна в H , то Z (H) · Γ является решеткой в H (см. [Rag 5], следствие 5.17). Докажем утверждение (а). Условия (i) и (ii) равносильны, поскольку любая дискретная подгруппа, содержащая решетку, сама является решеткой. Условие (iii) выполнено, если и только если Γ имеет конечный индекс в Z (H) · Γ. Поэтому эквивалентность (i)⇔(iii) вытекает из следующего факта: подгруппа Γ′ ⊂ H , содержащая решетку Γ, является решеткой, если и только если Γ имеет конечный индекс в Γ′ . Наконец, эквивалентности (i)⇔(iv) и (ii)⇔(v) выполнены, поскольку подгруппы Ker Ad = Z (H) и Ad H = G(R) 0 имеют конечный индекс в G(R). 6.2. Определение. Мы говорим, что решетка Γ ⊂ H приводима, если существуют такие бесконечные связные нормальные подгруппы H ′ , H ′′ ⊂ H , что H ′ ∩ H ′′ ⊂ Z (H), H ′ · H ′′ = H и подгруппа (Γ ∩ H ′) · (Γ ∩ H ′′) имеет конечный индекс в Γ; в противном случае решетка Γ называется неприводимой. Если Ad Γ является решеткой в G(R), то, как легко показать, неприводимость решетки Γ ⊂ H равносильна неприводимости решетки Ad Γ в смысле п. III.5.9. 6.3. Определение. Мы говорим, что неприводимая решетка Γ ⊂ H арифметична, если выполнены следующие условия: (i) Ad Γ является арифметической решеткой в G(R) (в смысле определений из § 1); (ii) подгруппа Z (H) ∩ Γ имеет конечный индекс в Z (H). 6.4. Замечания. (i) Пусть Γ — решетка в группе H и Ad Γ — арифметическая решетка в G(R). Согласно замечаниям (vii) п. 1.2 и (iv) п. 1.6 подгруппа Gis (R) · Ad Γ плотна в G(R). Поэтому подгруппа H is · Γ плотна в H . Отсюда и из леммы 6.1 вытекает, что условие (ii) в определении 6.3 следует из (i). (ii) Пусть f : H → H ′ — непрерывный эпиморфизм групп Ли и Ker f ⊂ ⊂ Z (H). Тогда арифметичность решетки Γ ⊂ H равносильна арифметичности решетки f (Γ) ⊂ H ′ . 6.5. Теорема. Пусть Γ — неприводимая решетка в группе H и подгруппа H is · Γ плотна в H . Пусть при этом либо rank H > 2, либо Γ имеет бесконечный индекс в CommH (Γ). Тогда решетка Γ арифметична. Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу леммы 6.1 подгруппа Z (H) ∩ Γ имеет конечный индекс в Z (H) и Ad Γ является решеткой в G(R). Так как решетка Γ неприводима, это верно и для Ad Γ (см. п. 6.2). Далее, так как подгруппа H is · Γ плотна в H и факторгруппа G(R) /Gis (R) связна (см. замечание (vii) п. 1.2), подгруппа Gis (R) · Ad Γ плотна в G(R). Так как

386

Глава IX. Арифметичность

подгруппа Z (H) ∩ Γ имеет конечный индекс в Z (H) = Ker Ad, решетка Γ имеет бесконечный индекс в CommH (Γ) в том и только том случае, когда Ad Γ имеет бесконечный индекс в CommG(R) (Ad Γ). Теперь остается применить теорему 1.16. 6.6. Следствия 6.7—6.12 выводятся с помощью леммы 6.1 из результатов § 4, указанных в скобках. 6.7. Следствие (см. следствие 4.5). Пусть комплексификация алгебры Lie(H) имеет две неизоморфные простые компоненты, а H не имеет нетривиальных компактных множителей. Тогда H не содержит неприводимых решеток. 6.8. Следствие (см. следствие 4.17). Пусть Γ — неприводимая решетка в группе H , причем подгруппа H is · Γ плотна в H и rank H > 2. Тогда существует такая подгруппа конечного индекса Γ1 ⊂ Γ, что в некотором базисе алгебры Lie(H) группа Ad Γ1 состоит из матриц, элементы которых являются целыми алгебраическими числами. 6.9. Следствие (см. следствие 4.20). Пусть Γ — неприводимая некокомпактная решетка в группе H . Предположим, что либо rank H > 2, либо Γ имеет конечный индекс в CommH (Γ). Кроме того, пусть H не имеет нетривиальных компактных факторгрупп. Тогда группа Ad Γ линейных преобразований алгебры Lie(H) определима над Z, и как следствие при любом g ∈ Γ характеристический многочлен преобразования Ad g имеет целые коэффициенты. 6.10. Следствие (см. утверждение 4.21(A)). Пусть rank H > 2 и H не имеет нетривиальных компактных факторгрупп. Тогда существует такая окрестность единицы W ⊂ H , что ее пересечение W ∩ Γ с любой неприводимой некокомпактной решеткой Γ ⊂ H состоит из унипотентных элементов, т. е. из элементов вида exp x, где x — нильпотентный элемент алгебры Lie(H). 6.11. Следствие (см. предложение 4.23). Пусть Γ ⊂ H — неприводимая неарифметическая решетка. Предположим, что H не имеет нетривиальных компактных факторгрупп. Тогда существует дискретная подгруппа Λ ⊂ H , содержащая решетку Γ и все соизмеримые с ней подгруппы в H . 6.12. Следствие (см. теорему 4.24). Пусть Γ — решетка в группе H . Предположим, что H не имеет нетривиальных компактных факторгрупп. Тогда существует такое c > 0, что cmH (Γ1 \ H) является целым числом для любой подгруппы Γ1 ⊂ H , соизмеримой с Γ. 6.13. Замечания к следствию 6.12. (i) Предположим, что группа Ad H содержит компактную картановскую подгруппу и не имеет нетривиальных компактных множителей. Тогда из результатов статьи [Har 3] вытекает следующее:

§ 6. Арифметичность в полупростых группах Ли

387

(а) существует такое c > 0, что cmH (Γ \ H) — целое число для любой свободной от кручения решетки Γ ⊂ H ; (б) для любых двух решеток Γ1 , Γ2 ⊂ H число mH (Γ1 \ H) /mH (Γ2 \ H) рационально. Отметим, что утверждение (б) выводится из (а). Для этого нужно применить лемму 6.1, утверждение 3.1 (ii) и тот факт, что любая конечно порожденная подгруппа в GLn (C) содержит свободную от кручения подгруппу конечного индекса (см. [Rag 5], теорема 6.11). (ii) Неясно, выполняется ли утверждение (i) (б) для произвольной группы H . Это вызывает сомнение даже для H = SL2 (C). Дальнейшие подробности см. в [Bo 12], 7.7, где, в частности, указана связь этого утверждения с некоторыми теоретико-числовыми проблемами. (iii) Пусть W (H) (соответственно War (J)) — множество чисел вида mH (Γ \ H), где Γ — решетка (соответственно арифметическая решетка) в группе H . Тогда (1) множество W (H) дискретно, если и только если H не имеет множителей, локально изоморфных SL2 (R) или SL2 (C) (см. [Bo 12], 8.3, [Th], гл. V, и [WH 2]); (2) множество War (H) дискретно (это вытекает из теоремы 8.2 в [Bo 12] и утверждения (1).) Отметим, что в случае H = SL2 (R) множество W (H) недискретно только в силу наличия решеток с кручением (в противном случае возникло бы противоречие с замечанием (i) (a)). В случае H = SL2 (C) множество {mH (Γ \ H) | Γ — свободная от кручения решетка в H } недискретно. 6.14. Теорема. Пусть Γ — неприводимая решетка в H и подгруппа H is · Γ плотна в H . Предположим, что rank H > 2 и центр Z (H) группы H конечен. Тогда (i) если N ⊂ Γ — нормальная подгруппа, то либо N ⊂ Z (H), либо факторгруппа Γ/N конечна; (ii) факторгруппа Γ/D (Γ) конечна. Д о к а з а т е л ь с т в о. Как и в доказательстве теоремы 6.5, можно проверить, что Ad Γ — неприводимая решетка в G(R) и подгруппа Gis (R) · Ad Γ плотна в G(R). С другой стороны, Z (G) = {e} и Ker Ad = Z (H) конечно. С учетом теоремы 5.5 получаем: (i) если N — нормальная подгруппа в Γ, то либо Ad N = {e} и тогда N ⊂ Z (H), либо факторгруппа Ad Γ/ Ad N (а тогда и Γ/N) конечна; (ii) факторгруппа Ad Γ/D (Ad Γ) (а тогда и Γ/D (Γ)) конечна. 6.15. Теорема. Пусть Γ — неприводимая решетка в H и подгруппа H is · Γ плотна в H . Предположим, что rank H > 2 и центр Z (H) группы H конечен.

388

Глава IX. Арифметичность

(i) Пусть l — некоторое поле, F — алгебраическая l-группа, d : Γ → → F(l) — гомоморфизм. Тогда (а) если char l = 0, то l-группа d (Γ) полупроста; (б) если char l 6= 0, то группа d (Γ) конечна. (ii) Для любого представления r группы Γ в конечномерном векторном пространстве над полем характеристики 0 выполнено равенство H 1 (Γ, r) = 0. Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу леммы VII.5.22 утверждение (ii) следует из def (i) (а). Докажем (i). Можно считать, что F = d (Γ). Тогда B = d (Γ ∩ Z (H)) ⊂ ⊂ Z (F), поэтому подгруппа B нормальна в F. Пусть p : F → F/B — естественный эпиморфизм. Ясно, что (p ◦ d) (Γ ∩ Z (H)) = {e}. Так как центр Z (H) конечен, конечна и подгруппа B ⊂ F(l). Следовательно, (i) B (а тогда и F/B) является l-группой; (ii) если группа F/B полупроста, то и группа F полупроста; (iii) если группа (p ◦ d) (Γ) конечна, то и группа d (Γ) конечна. Отсюда видно, что можно заменить F на F/B, d на p ◦ d и считать, что d (Γ ∩ Z (H)) = {e}. Так как Ker Ad = Z (H), корректно определен гомоморфизм d′ : Ad Γ → F(l), для которого d = d′ ◦ Ad. Ясно, что d (Γ) = d′ (Ad Γ). Остается применить теорему 5.10 (i), заметив, что Ad Γ — неприводимая решетка в G(R) и подгруппа Gis (R) · Ad Γ плотна в G(R) (см. доказательство теоремы 6.5). 6.16. Теорема. Пусть Γ ⊂ H — некоторая решетка; Λ — счетная подгруппа в CommH (Γ), содержащая Γ; k — локальное поле; F — связная полупростая k-группа; d : Λ → F(k) — такой гомоморфизм, что подгруппа d (Γ) плотна по Зарисскому в F. Предположим, что подгруппа H is · Γ плотна в H и либо rank H > 2 и решетка Γ неприводима, либо подгруппа Λ плотна в H . Тогда (а) если поле k не равно R или C, т. е. неархимедово, то подгруппа d (Γ) относительно компактна в F(k); (б) если поле k архимедово, подгруппа d (Γ) не является относительно компактной в F(k), а группа F присоединенная и k-простая, то d однозначно продолжается до непрерывного гомоморфизма d˜ : H → F(k); (в) если k = R, а группа F присоединенная и не имеет R-анизотропных множителей, то d однозначно продолжается до непрерывного гомоморфизма d˜ : H → F(R). Д о к а з а т е л ь с т в о. Как и при доказательстве теорем 6.5 и 6.14, заметим, что Ad Γ — неприводимая решетка в G(R), а подгруппа Gis (R) · Ad Γ плотна в G(R). Далее, так как d (Γ) = F и Z (F) = {e}, мы имеем d (Γ ∩ Z (H)) = {e}. Поскольку Ker Ad = Z (H), корректно определен гомоморфизм d′ : Ad Λ → F(k), для которого d = d′ ◦ Ad. Чтобы доказать

§ 6. Арифметичность в полупростых группах Ли

389

утверждения (а) и (б), теперь достаточно применить к гомоморфизму d ′ следствие VII.5.16 и теорему VII.5.9, сделав в их формулировках изменения, указанные в п. 5.15. Единственность гомоморфизма d˜ вытекает из того, что d˜ (Z (H)) = {e} (поскольку d (Γ) = F и Z (F) = {e}). Утверждение (в) вытекает из утверждения (б), примененного к гомоморфизму вида p ◦ d, где p — естественная проекция группы F на ее R-простой множитель. Здесь следует заметить, что если D — некоторая R-изотропная R-простая группа, то подгруппа B ⊂ D(R), плотная по Зарисскому в D, не может быть относительно компактной в D(R). Этот факт вытекает из некомпактности группы D(R) и теоремы об алгебраичности компактной вещественной линейной группы (см. п. I.0.31). 6.17. Замечания. (i) В силу теоремы 6.15 можно не предполагать k-группу F в теореме 6.16(a) связной и полупростой. (ii) Если B — алгебраическая R-группа, а D ⊂ B(R) — связная полупростая подгруппа, плотная по Зарисскому в B, то D = B(R) 0 (см. [V—O], гл. III, § 7, теорема 3). Как следствие, в теореме 6.16 (в) мы имеем d˜ (H) = F(R) 0 . (iii) Пусть H — группа с тривиальным центром, не имеющая нетривиальных компактных факторгрупп. Далее, пусть Γ — неприводимая решетка в H . Если B ⊂ H — нетривиальная собственная нормальная подгруппа, p : H → H /B — естественный эпиморфизм, то подгруппа p (Γ) недискретна в H /B (см. [Rag 5], следствие 5.21). Если при этом подгруппа d (Γ) дискретна в F(R) и отлична от {e}, то ввиду замечания (ii) гомоморфизм d˜ в теореме 6.16 является изоморфизмом групп H и F(R) 0 . 6.18. Справедливо следующее утверждение. А. Пусть Λ ⊂ H — некоторая подгруппа и Ad Λ — неприводимая решетка в H(R). Предположим, что rank H > 2 и H не имеет нетривиальных компактных факторгрупп. Тогда подгруппа Λ ∩ Z (H) имеет конечный индекс в Z (H). Для случая кокомпактной решетки Ad Λ утверждение А было доказано в [Rag 10] в ходе доказательства предложения 2.12. В этой ситуации условие rank H > 2 излишне. Если же решетка Ad Λ не кокомпактна, то утверждение А можно вывести из результатов работ [De] и [Rag 10] (см. [Rag 10], теоремы 1.4 и 2.1) и центральности конгруэнц-ядра (см. п. VIII.2.16), предварительно заметив, что по теореме 1.16 решетка Ad Λ арифметична. Отметим, что ввиду леммы 6.1, теоремы 6.14 (ii) и равенства D (Λ · Z (H)) = D (Λ) утверждение А равносильно следующему. Б Пусть Γ — неприводимая решетка в H , rank H > 2 и H не имеет нетривиальных компактных факторгрупп. Тогда факторгруппа Γ/D (Γ) конечна. В связи с утверждением Б сформулируем

390

Глава IX. Арифметичность

6.19. Предложение. Пусть группа G не имеет почти R-простых множителей R-ранга 1. Тогда (i) H обладает свойством (T); (ii) если Γ — решетка в H , то Γ обладает свойством (T); (iii) если Γ — решетка в H , то факторгруппа Γ/D (Γ) конечна. Утверждение (iii) вытекает из теоремы III.2.5 и утверждения (ii). В свою очередь, утверждение (ii) вытекает из теоремы III.2.12 и утверждения (i). Доказательство утверждения (i) мы опустим, однако отметим, что оно основано на методах, изложенных в гл. III, и во многих отношениях напоминает доказательство теоремы III.5.3. 6.20. Замечания. (i) С помощью утверждения А п. 6.18 нетрудно показать, что в формулировках теорем 6.14 и 6.15 можно опустить условие конечности центра Z (H). (ii) Пусть T (H) — пересечение всех неприводимых решеток, содержащихся в H . Легко проверить, что T (H) ⊂ Z (H). С другой стороны, правдоподобно выглядит следующее утверждение: если rank H > 2 и H не имеет нетривиальных компактных факторгрупп, то T (H) имеет конечный индекс в Z (H). О дальнейших результатах в этом направлении см. [De] и [Rag 10].

§ 7. Приложения к теории симметрических пространств и теории комплексных многообразий В этом параграфе компонента единицы группы Ли F обозначается F 0 . 7.1. Пусть X — односвязное риманово симметрическое пространство неположительной кривизны (определения и основные результаты теории симметрических пространств см. в [He]). Группу его изометрий обозначим H (X). Отметим, что H (X) 0 имеет конечный индекс в H (X). Если пространство X нельзя разложить в прямое произведение симметрических пространств положительной размерности, то оно называется неприводимым. Пространство X всегда разлагается в прямое произведение неприводимых симметрических пространств X1 , . . . , Xn , которые называются его неприводимыми компонентами. Если среди них нет одномерных, то H (X) 0 является связной полупростой группой Ли с тривиальным центром и распадается в прямое произведение связных некомпактных простых групп Ли H (Xi) 0 . Пространство X можно представить в виде X ′ × X ′′ , где X ′ — евклидово пространство, а X ′′ не имеет одномерных неприводимых компонент. При этом H (X) 0 = H (X ′) 0 × H (X ′′) 0 . Поэтому можно считать, что H (X) 0 = GX (R) 0 , где GX — связная R-группа. Справедливы следующие утверждения: 1) GX = GX ′ × GX ′′ ;

§ 7. Симметрические пространства и комплексные многообразия

391

2) если X не имеет одномерных неприводимых компонент, то GX — связная полупростая присоединенная R-группа без R-анизотропных множителей; 3) если X — n-мерное евклидово пространство, то GX является полупрямым произведением специальной ортогональной группы SOn и аддитивной группы n-мерного вещественного векторного пространства. Отметим, что группы H (X) 0 и GX полупросты, если и только если X не имеет одномерных неприводимых компонент. Будем говорить, что пространство X изотипно, если все простые компоненты комплексификации алгебры Lie(H (X)) изоморфны. Если X не имеет одномерных неприводимых компонент, то его типовая однородность равносильна тому, что все абсолютно простые множители полупростой R-группы GX имеют одинаковый тип (в смысле п. I.0.27). Пусть Γ — дискретная группа изометрий пространства X и выполнены следующие равносильные условия: 1) объем факторпространства Γ \ X конечен; 2) Γ является решеткой в H (X). Мы говорим, что группа Γ неприводима, если X нельзя разложить в прямое произведение симметрических пространств X ′ и X ′′ меньшей размерности таким образом, чтобы группа Γ была соизмерима с прямым произведением некоторых дискретных подгрупп Γ′ ⊂ H (X ′) и Γ′′ ⊂ H (X ′′). Если группа H (X) полупроста, т. е. X не имеет одномерных неприводимых компонент, то неприводимость группы Γ равносильна тому, что Γ ∩ H (X) 0 является неприводимой (в смысле определения 6.2) решеткой в H (X) 0 . Рассмотрим теперь связное полное локально симметрическое риманово пространство M конечного объема и неположительной кривизны, его фун˜ Можно считать, даментальную группу p1 (M) и односвязное накрытие M. ˜ ˜ что M = p1 (M) \ M, где p1 (M) действует на M изометриями. Будем говорить, что пространство M приводимо, если некоторое его конечное накрытие является прямым произведением (как риманово многообразие) локально симметрических пространств положительной размерности; в противном случае пространство M называется неприводимым. Легко проверить, что неприводимость пространства M равносильна неприводимости группы ˜ изометрий p1 (M) ⊂ H (M). 7.2. Из рассмотрений п. 7.1 и следствия 6.7 вытекает Следствие. (i) Пусть X — односвязное симметрическое риманово пространство неположительной кривизны. Предположим, что пространство X не имеет одномерных неприводимых компонент и не является изотипным. Тогда оно не имеет неприводимой дискретной группы изометрий с факторпространством конечного объема.

392

Глава IX. Арифметичность

(ii) Пусть M — связное полное локально симметрическое риманово пространство конечного объема и неположительной кривизны. Предположим, что его односвязное накрытие M˜ не имеет одномерных неприводимых компонент и не является изотипным. Тогда M приводимо. 7.3. Пусть Ln и B n соответственно обозначают n-мерное пространство Лобачевского и n-мерный комплексный шар, снабженный метрикой Бергмана. Оба эти пространства — неприводимые симметрические пространства ранга 1. Группы H (Ln) и H (B n) локально изоморфны соответственно группам SOn,1 (R) и SUn,1 (R) (обозначения SOn,1 и SUn,1 введены в п. III.5.5 (б) (ii)). Напомним некоторые хорошо известные свойства групп SOn,1 (R) и SUn,1 (R). Пусть n, m ∈ N+ , n > 2. Тогда 1) группа SOn,1 абсолютно почти проста при n 6= 3; 2) группа SO3,1 R-изогенна группе RC/R SO2,1 ; 3) группа SUm,1 абсолютно почти проста; 4) группы SOn,1 и SUm,1 не изогенны; 5) группы SUn,1 и SUm,1 не изогенны при n 6= m; 6) группы SOn,1 и SOm,1 не изогенны при n 6= m. Отсюда, из рассмотрений п. 7.1 и из утверждения (i) п. 4.6 вытекают приведенные ниже утверждения (а) и (б). Их можно рассматривать как частные случаи следствия 7.2. (а) Пространство X не имеет неприводимой дискретной группы изометрий с факторпространством конечного объема, если и только если выполнено какое-либо из следующих условий: 1) X = Ln × Lm , n > m > 2, n > 4; 2) X = Ln × B m , n > 2, m > 1; 3) X = B n × B m , n > 1, m > 1, n 6= m. (б) Пусть M — связное полное локально симметрическое риманово многообразие конечного объема, локально изометричное прямому произведению симметрических пространств X1 и X2 . Пусть выполнено какое-либо из следующих условий: 1) X1 = Ln , X2 = Lm , n > m > 2, n > 4; 2) X1 = Ln , X2 = B m , n > 2, m > 1; 3) X1 = B n , X2 = B m , n > 1, m > 1, n 6= m. Тогда некоторое конечное накрытие пространства M является (как риманово многообразие) прямым произведением двух пространств, локально изоморфных соответственно пространствам X1 и X2 . Замечание. Предположим, что либо X = Ln × Ln , n > 2, либо X = L3 × L2 , либо X = B n × B n , n > 1. Тогда существует неприводимая дискретная группа Γ изометрий пространства X, для которой факторпространство Γ \ X

§ 7. Симметрические пространства и комплексные многообразия

393

компактно. Это следует из теоремы В п. 4.7 (для случаев X = Ln × Ln и X = L3 × L2 см. также замечания в конце п. 4.6). Далее, так как группа Γ конечно порождена и имеет точное конечномерное линейное представление, она содержит подгруппу конечного индекса Γ1 , свободную от кручения (см. [Rag 5], следствие 6.13). Положим M = Γ1 \ X. Тогда 1) M является компактным римановым многообразием и локально изометрично пространству X; 2) если M′ — произвольное конечное накрытие пространства M, то M′ не является прямым произведением локально симметрических пространств положительной размерности. (На самом деле M даже как топологическое пространство не является прямым произведением многообразий положительной размерности. Нетрудно доказать это, используя чисто топологические рассуждения и неразложимость группы Γ в смысле п. 2.2.) 7.4. Пусть M — связное комплексное многообразие, p1 (M) — его фундаментальная группа, M˜ — его односвязное накрытие. Можно считать, что ˜ где p1 (M) действует на M˜ биголоморфными преобразоваM = p1 (M) \ M, ниями. Предположим, что M — ограниченная область в Cn . Обозначим ˜ Эта метрика инвариантна относительчерез r метрику Бергмана на M. но биголоморфных преобразований и, в частности, относительно p1 (M). Поэтому r индуцирует на M метрику, которая также будет называться метрикой Бергмана. Теперь мы можем сформулировать в ином виде утверждение (б) п. 7.3 для случая X1 = B n , X2 = B m . 7.5. Предложение. Пусть M — связное комплексное многообразие, n > m > 1. Предположим, что односвязное накрытие многообразия M как комплексное многообразие изоморфно B n × B m и M имеет конечный объем в метрике Бергмана. Тогда некоторое его конечное накрытие M′ можно представить в виде M′ = M1 × M2 , где M1 (соответственно M2) имеет односвязное накрытие, которое изоморфно B n (соответственно B m) как комплексное многообразие. Замечание 1. Ясно, что в случае компактного многообразия M верно следующее: 1) M автоматически имеет конечный объем в метрике Бергмана; 2) многообразия M1 и M2 компактны. 7.6. Как и в п. 7.4, пусть M — связное комплексное многообразие, p1 (M) — его фундаментальная группа, M˜ — односвязное накрытие. Обо˜ группу биголоморфных преобразований многообразначим через F (M) ˜ ˜ и M = p1 (M) \ M. ˜ зия M. Можно считать, что p1 (M) ⊂ F (M) Проекции произведения M × M на первый и второй множитель будут обозначаться соответственно p1 и p2 . Под неособым соответствием на M мы понимаем такое (неособое) комплексное многообразие Y ⊂ M × M, что ограничения проекций p1 , p2 на Y являются конечными накрытия-

394

Глава IX. Арифметичность

ми многообразия M. Так как M˜ односвязно, неособые соответствия на ˜ С другой стороM — это в точности графики преобразований из F (M). ны, если Y — неособое соответствие на M, а f — естественная проекция M˜ × M˜ → M × M, то связные компоненты многообразия f−1 (Y) являются ˜ Поэтому любое неособое соответствие неособыми соответствиями на M. на M — это множество вида def ˜ Ω g = {(p (x), p (gx)) | x ∈ M},

˜ а p : M˜ → M — естественная проекция. Так как отображения где g ∈ F (M), p1|Ω g и p2|Ω g конечнолистны, мы имеем g ∈ CommF (M)˜ (p1 (M)). Обратно, если g ∈ CommF (M)˜ (p1 (M)), то Ω g — неособое соответствие на M. Ясно, что Ω g = Ω g ′ , если и только если g ∈ p1 (M) g ′ . Таким образом, следующие условия равносильны: (i) существует бесконечно много неособых соответствий на M; (ii) p1 (M) имеет бесконечный индекс в CommF (M)˜ (p1 (M)). Предположим теперь, что M˜ — ограниченная симметрическая область ˜ — полупростая группа Ли с конечным числом связных в Cn . Тогда F (M) ˜ 0 не имеет компактных множитекомпонент и ее компонента единицы F (M) ˜ лей (см. [He], гл. VIII). При этом M обладает метрикой Бергмана как эрмитово симметрическое пространство неположительной кривизны, а группа ˜ 0 совпадает с компонентой единицы группы изометрий пространства F (M) ˜M. Будем говорить, что M является арифметическим многообразием, ˜ 0 является арифметической решеткой в F (M) ˜ 0 . Если M если p1 (M) ∩ F (M) ˜ имеет конечный объем в метрике Бергмана, то p1 (M) ∩ F (M) 0 является ˜ 0 . Назовем многообразие M неприводимым, если эта решеткой в F (M) решетка неприводима. Следующее предложение непосредственно вытекает из теоремы 6.5 и равносильности вышеприведенных условий (i) и (ii). 7.7. Предложение. Пусть M — связное комплексное многообразие, на котором существует бесконечно много неособых соответствий; его односвязное накрытие является ограниченной симметрической областью в Cn ; M неприводимо и имеет конечный объем в метрике Бергмана. Тогда M является арифметическим многообразием. 7.8. Пусть M — компактная риманова поверхность рода g > 1. Тогда ее односвязное накрытие как комплексное многообразие изоморфно единичному кругу {z ∈ C | |z| < 1}. Из предложения 7.7 вытекает Следствие. Пусть M — компактная риманова поверхность рода g > 2 и на M имеется бесконечно много неособых соответствий. Тогда M является арифметическим многообразием. 7.9. Замечание. Следствие 7.8 допускает обобщение. Пусть M — риманова поверхность, полученная из компактной римановой поверхности рода

§ 7. Симметрические пространства и комплексные многообразия

395

g удалением конечного множества из p точек. Предположим, что на M существует бесконечно много неособых соответствий. Предположим также, что либо g > 2, либо g = 1 и p > 1, либо g = 0 и p > 3. Тогда M является арифметическим многообразием. 7.10. Пусть X — риманово симметрическое пространство неположительной кривизны. Обозначения H (X) и GX в дальнейшем имеют тот же смысл, что в п. 7.1. Под топологией Зарисского на H (X) 0 = GX (R) 0 мы понимаем топологию, индуцированную топологией Зарисского на GX . Вплоть до конца параграфа X будет обозначать односвязное риманово симметрическое пространство неположительной кривизны без одномерных неприводимых компонент. Напомним, что H (X) 0 не имеет компактных множителей и является связной полупростой группой Ли с тривиальным центром, а GX является связной присоединенной полупростой R-группой без R-анизотропных множителей. Пусть rank X обозначает размерность максимального плоского вполне геодезического подмногообразия в X (риманово многообразие называется плоским, если его тензор кривизны равен 0). Как известно, rank X = = rank H (X) 0 = rankR GX . 7.11. Если Γ ⊂ H (X) — некоторая решетка, то v (Γ \ X) будет обозначать объем факторпространства Γ \ X. Легко проверить, что отношение mH (X) (Γ \ H (X)) /v (Γ \ X)

не зависит от решетки Γ ⊂ H (X). Поэтому из следствия 6.12 вытекает Следствие. Пусть Γ ⊂ H (X) — дискретная подгруппа и v (Γ \ X) < < ∞. Тогда существует такое c > 0, что число c · v (Γ1 \ X) является целым для любой подгруппы Γ1 ⊂ H (X), соизмеримой с Γ. 7.12. Лемма. Любая решетка Γ ⊂ H (X) 0 = GX (R) 0 плотна по Зарисскому в GX , а потому и в H (X) 0 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как GX (R) 0 имеет конечный индекс в GX (R), группа Γ является решеткой в GX (R), и поэтому она плотна по Зарисскому в GX (см. следствие II.4.4). 7.13. Лемма. Пусть Γ ⊂ H (X) 0 — подгруппа, плотная по Зарисскому в H (X) 0 . Тогда (i) если f — непрерывный автоморфизм группы H (X) 0 и f (g) = g для всех g ∈ Γ, то f (h) = h для всех h ∈ H (X) 0 ; (ii) ZH (X) (Γ) = {e}, и как следствие Z (Γ) = {e}; (iii) если N — конечная подгруппа в H (X) и Γ нормализует N , то N = {e}; (iv) если Γ нормализует подгруппу N ⊂ H (X) и N ∩ H (X) 0 = {e}, то N = {e}.

396

Глава IX. Арифметичность

Д о к а з а т е л ь с т в о. (i), (ii). Так как GX — связная полупростая присоединенная R-группа, в силу предложения I.2.6.5 любой непрерывный автоморфизм группы H (X) 0 = GX (R) 0 рационален (т. е. продолжается до R-автоморфизма группы GX ). Поэтому множество {h ∈ H (X) 0 | f (h) = h} замкнуто в H (X) 0 в топологии Зарисского. Этим доказано утверждение (i). Из теории симметрических пространств известно, что централизатор ZH (X) (H (X) 0) тривиален. Применив теперь утверждение (i) к автоморфизмам вида Int h|H (X) 0 , h ∈ H (X), получаем утверждение (ii). (iii) Положим ΓN = Γ ∩ ZH (X) (N). Так как N конечно и Γ нормализует N , подгруппа ΓN имеет конечный индекс в Γ. Но подгруппа Γ плотна по Зарисскому в GX . Отсюда и из утверждения (ii) вытекает, что N ⊂ ZH (X) (ΓN ) = {e}.

Утверждение (iv) вытекает из утверждения (iii) и того факта, что H (X) 0 имеет конечный индекс в H (X). 7.14. Теорема. Пусть Γ — дискретная группа изометрий пространства X и факторпространство Γ \ X имеет конечный объем (т. е. Γ является решеткой в H (X)). Предположим, что rank X > 2 и решетка Γ неприводима. Тогда (i) если N — нормальная подгруппа в Γ, то либо N = {e}, либо факторгруппа Γ/N конечна; (ii) факторгруппа Γ/D (Γ) конечна. Д о к а з а т е л ь с т в о. (i) Положим Γ0 = Γ ∩ H (X) 0 и N0 = N ∩ H (X) 0 . Так как решетка Γ неприводима, Γ0 является неприводимой решеткой в H (X) 0 . Так как ее центр тривиален, по теореме 6.14 (i) либо N0 = {e}, либо факторгруппа Γ0 /N0 конечна (см. лемму 7.12 и лемму 7.13 (ii)). Теперь утверждение (i) вытекает из следующих фактов: 1) если N0 = {e}, то по лемме 7.12 и лемме 7.13 (iv) мы имеем N = {e}; 2) подгруппа H (X) 0 имеет конечный индекс в H (X), поэтому если факторгруппа Γ0 /N0 конечна, то это верно и для Γ/N . (ii) В силу теоремы 6.14 (ii) факторгруппа Γ0 /D (Γ0) конечна. С другой стороны, так как подгруппа H (X) 0 имеет конечный индекс в H (X), подгруппа Γ0 имеет конечный индекс в Γ. Как следствие, факторгруппа Γ/D (Γ) конечна. 7.15. Следствие. Пусть M — связное полное локально симметрическое пространство неположительной кривизны и конечного объема, p1 (M) — его фундаментальная группа, M˜ — его односвязное накрытие. Предположим, что M неприводимо, M˜ не имеет одномерных неприводимых компонент и rank M˜ > 2. Тогда верно следующее: (i) если N — нормальная подгруппа в p1 (M), то либо N = {e}, либо факторгруппа p1 (M) /N конечна;

§ 7. Симметрические пространства и комплексные многообразия

397

(ii) факторгруппа p1 (M) /D (p1 (M)) конечна; (iii) группа когомологий H 1 (M, Z) конечна, и потому H 1 (M, R) = 0. Утверждения (i) и (ii) вытекают из теоремы 7.14 и последнего абзаца п. 7.1. Как известно, для любого линейно связного пространства Y группа H 1 (Y , Z) естественно изоморфна p1 (Y) /D (p1 (Y)). Поэтому утверждение (iii) следует из утверждения (ii). 7.16. Замечания. (i) Если rank X = 1 и Γ — решетка в H (X), то существует подгруппа конечного индекса Γ′ ⊂ Γ, содержащая свободную некоммутативную нормальную (в Γ′) подгруппу бесконечного индекса. Это утверждение нетрудно вывести из результатов п. 6.5 в [Gro]. (ii) Пусть Ln и B n таковы, как в п. 7.3. Тогда при любом n > 2 группы H (Ln) и H (B n−1) содержат решетки с бесконечными факторгруппами по коммутанту (см. [Mills 1] и [Kaz 4]). С другой стороны, если X не имеет неприводимых компонент, изометричных Ln или B n , а Γ — решетка в H (X), то Γ обладает свойством (T) и потому факторгруппа Γ/D (Γ) конечна (см. теорему III.2.5). Это вытекает из теорем III.5.6 и III.2.12 и описания групп H (B n) и H (Ln) в п. 7.3. 7.17. Пусть X1 , . . . , Xn — неприводимые компоненты пространства X. Умножая расстояния в Xi , 1 6 i 6 n, на константы ci > 0, мы получаем другую метрику на X. Она H (X) 0 -инвариантна, и относительно этой метрики X является симметрическим пространством (поскольку H (X) 0 = H (X1) 0 × . . . × H (Xn) 0). Такую процедуру изменения метрики на X назовем ренормализацией. Если X неприводимо, то ренормализация сводится к умножению расстояний на константу. Отметим, что все H (X) 0 -инвариантные римановы метрики на X можно получить из исходной метрики посредством ренормализации. Любая изометрия h ∈ H (X) определяется изометриями hi : Xi → Xsh (i) , 1 6 i 6 n, где sh — перестановка на множестве {1, . . . , n}. Ренормализация, заданная константами c1 , . . . , cn , называется h-инвариантной, если выполнены следующие равносильные условия: 1) ренормализованная метрика h-инвариантна; 2) csh (i) = ci при всех i, 1 6 i 6 n. Отметим, что если sh = Id, т. е. h ∈ H (X) 0 , то любая ренормализованная метрика h-инвариантна. Пусть Γ ⊂ H (X) — дискретная группа изометрий пространства X. Назовем ренормализацию Γ-инвариантной, если она h-инвариантна при любом h ∈ Γ. Любая Γ-инвариантная ренормализация метрики на X индуцирует ренормализацию метрики на Γ \ X. Если группа Γ свободна от кручения, то множество ренормализованных метрик на Γ \ X совпадает с множеством римановых метрик, инвариантных относительно локально геодезических симметрий пространства Γ \ X. (Напомним, что ло-

398

Глава IX. Арифметичность

кально геодезическая симметрия относительно точки p — это отображение exp ty 7→ exp(−ty) некоторого шара с центром в p, где t 7→ exp ty — геодезическая с касательным вектором y, проходящая через p.) Пусть теперь M — связное полное локально симметрическое пространство неположительной кривизны, причем его односвязное накрытие M˜ не имеет одномерных неприводимых компонент. Представив M в виде ˜ можно определить ренормализацию метрики на M по аналогии p1 (M) \ M, с описанной выше. 7.18. Пусть Y , Y ′ — два связных римановых многообразия, f : Y → → Y ′ — дифференцируемое отображение. Напомним, что f называется изометрическим погружением, если оно сохраняет риманову метрику. Изометрическое погружение f называется изометрическим вложением, если отображение f : Y → f (Y) взаимно однозначно. Будем говорить, что f является строго изометрическим погружением (соответственно строго изометрическим вложением), если выполнены следующие условия: (а) f — изометрическое погружение (соответственно изометрическое вложение); (б) f переводит геодезические в геодезические. Отметим, что для изометрического вложения f условие (б) равносильно следующему: (б′) f (Y) — вполне геодезическое подмногообразие в Y . Легко видеть, что f является строго изометрическим погружением, если и только если выполнено следующее: (в) для любой точки y ∈ Y существует такая ее окрестность Uy ⊂ Y , что для любых u, v ∈ U расстояние между u и v равно расстоянию между f (u) и f (v). Пусть теперь Y — одно из римановых многообразий, рассмотренных в п. 7.17, т. е. X или M. Мы говорим, что отображение f : Y → Y ′ является r-изометрией (соответственно строго r-изометрическим погружением, строго r-изометрическим вложением), если некоторая ренормализация метрики на Y превращает f в изометрию (соответственно строго изометрическое погружение, строго изометрическое вложение). 7.19. Пусть дан гомоморфизм ϑ подгруппы Γ ⊂ H (X) в группу изометрий метрического пространства Y . Назовем отображение f : X → Y Γ-эквивариантным, если f (gx) = ϑ(g) f (x) для всех g ∈ Γ и x ∈ X. 7.20. Теорема. Пусть Γ ⊂ H (X) — дискретная группа изометрий пространства X и факторпространство Γ \ X имеет конечный объем. Далее, пусть X ′ — односвязное симметрическое пространство неположительной кривизны и ϑ : Γ → H (X ′) — такой гомоморфизм, что подгруппа ϑ(Γ) дискретна в H (X ′) и бесконечна. Предположим, что rank X > 2 и группа Γ неприводима. Тогда верно следующее.

§ 7. Симметрические пространства и комплексные многообразия

399

(а) Существует Γ-эквивариантное строго r-изометрическое вложение f : X → X ′ . (б) Если подгруппа ϑ(Γ) ∩ H (X ′) 0 плотна по Зарисскому в GX ′ , то существует Γ-эквивариантная r-изометрия пространства X на X ′ . При доказательстве потребуется следующая 7.21. Лемма. Пусть Y — односвязное симметрическое пространство неположительной кривизны; F ⊂ H (Y) — замкнутая подгруппа группы его изометрий; F — полупростая группа Ли с конечным числом компонент связности. Тогда верно следующее. (i) Существует такая точка y ∈ Y , что орбита Fy является связным вполне геодезическим подмногообразием в Y (см. [Kar], [Most 2]). (ii) Если F действует на Y транзитивно, то F 0 = H (Y) 0 . Докажем утверждение (ii). Пусть K — максимальная компактная подгруппа в F 0 . Если факторпространство K \ F 0 снабжено F 0 -инвариантной метрикой и F 0 действует на K \ F 0 эффективно, то F 0 совпадает с компонентой единицы в группе изометрий пространства K \ F 0 (см. теорему 4.1 гл. V и теорему 1.1 в [He], гл. VI). С другой стороны, так как F действует на Y транзитивно, Y связно и F 0 имеет конечный индекс в F , группа F 0 действует на Y транзитивно. Значит, достаточно показать, что K совпадает со стабилизатором {g ∈ F 0 | gy = y} некоторой точки y ∈ Y . Но это вытекает из теоремы Картана о существовании неподвижной точки компактной группы изометрий односвязного полного риманова многообразия неположительной кривизны (см. [He], теорема 13.5 гл. I) и того факта, что для любой точки y ∈ Y ее стабилизатор {h ∈ H (Y) | hy = y} компактен. 7.22. Доказательство теоремы 7.20. Вначале докажем утверждение (б). Положим Γ0 = {g ∈ Γ ∩ H (X) 0 | ϑ(y) ∈ H (X ′) 0 }. Так как H (X ′) 0 имеет конечный индекс в H (X ′), подгруппа Γ0 имеет конечный индекс в Γ, и потому ϑ(Γ0) имеет конечный индекс в ϑ(Γ). С другой стороны, Γ ∩ H (X) 0 является неприводимой решеткой в H (X) 0 , подгруппа ϑ(Γ) ∩ H (X ′) 0 плотна по Зарисскому в GX ′ , и R-группа GX ′ связна. Поэтому Γ0 является неприводимой решеткой в H (X) 0 и подгруппа ϑ(Γ0) плотна по Зарисскому в GX ′ . Ввиду теоремы 6.15 (i) группа GX ′ полупроста, и поэтому X ′ не имеет одномерных неприводимых компонент. С учетом теоремы 6.16 (в) и замечания (iii) п. 6.17 получаем, что ϑ|Γ0 продолжается до непрерывного изоморфизма ϑ˜ группы H (X) 0 на группу H (X ′) 0 = GX ′ (R) 0 . Из теории симметрических пространств известно, что пространство X (соответственно X ′) можно представить в виде факторпространства группы H (X) 0 (соответственно H (X ′) 0) по максимальной компактной подгруппе и

400

Глава IX. Арифметичность

что все максимальные компактные подгруппы в группах H (X) 0 и H (X ′) 0 сопряжены. Поэтому изоморфизм ϑ˜ индуцирует H (X) 0 -эквивариантный диффеоморфизм f : X → X ′ . Так как все H (X) 0 -инвариантные римановы метрики на X можно получить ренормализацией исходной метрики, f является r-изометрией. Покажем, что f является Γ-эквивариантной r-изометрией. Выберем g ∈ Γ и g0 ∈ Γ0 . Так как подгруппы H (X) 0 и H (X ′) 0 нормальны в H (X) и H (X ′), то подгруппа Γ0 нормальна в Γ и потому gg0 g−1 ∈ Γ0 . С другой стороны, так как f является H (X) 0 -эквивариантной, а тогда и Γ0 -эквивариантной r-изометрией, мы имеем fg′ f−1 = ϑ(g′) при всех g′ ∈ Γ0 . Таким образом, (fgf−1)ϑ(g0) (fgf−1) −1 = fg (f−1 ϑ(g0) f) g−1 f−1 = = fgg0 g−1 f−1 = ϑ(gg0 g−1).

(1)

Так как ϑ является гомоморфизмом, мы получаем ϑ(g)ϑ(g0)ϑ(g) −1 = ϑ(gg0 g−1).

(2)

Из (1) и (2) следует, что элемент (fgf−1)ϑ(g) −1 принадлежит централизатору ZH (X ′) (ϑ(Γ0)). Но подгруппа ϑ(Γ0) плотна по Зарисскому в H (X ′) 0 , пространство X ′ не имеет одномерных неприводимых компонент, и в силу леммы 7.13 мы имеем ZH (X ′) (ϑ(Γ0)) = {e}. Значит, (fgf−1)ϑ(g) −1 = e, откуда fgf−1 = ϑ(g), что доказывает Γ-эквивариантность r-изометрии ϑ. Теперь докажем утверждение (а). Вложив X ′ в большее симметрическое пространство, можно считать, что X ′ не имеет одномерных неприводимых компонент и потому GX ′ — связная полупростая присоединенная R-группа. Тогда любой непрерывный автоморфизм группы H (X ′) 0 = GX ′ (R) 0 рационален (см. предложение I.2.6.5). В частности, для любого h ∈ H (X ′) автоморфизм h0 7→ hh0 h−1 , h0 ∈ H (X ′) 0 , непрерывен в топологии Зарисского, и, следовательно, для произвольной подгруппы Λ ⊂ H (X ′) 0 имеем ¯ NH (X ′) (Λ) ⊂ NH (X ′) (Λ),

(3)

где Λ¯ обозначает замыкание подгруппы Λ в H (X ′) 0 в топологии Зарисского. Пусть B — замыкание по Зарисскому подгруппы ϑ(Γ0) в GX ′ . Так как подгруппа ϑ(Γ0) нормальна в ϑ(Γ), в силу включения (3) группа ϑ(Γ) норdef мализует B(R) 0 . Значит, F = ϑ(Γ) · B(R) 0 является подгруппой. Так как ϑ(Γ0) имеет конечный индекс в ϑ(Γ), а B(R) 0 — в B(R), то B(R) 0 имеет конечный индекс в F . С другой стороны, так как rank X > 2 и Γ0 — неприводимая решетка в H (X) 0 , по теореме 6.15 (i) R-группа B полупроста. Значит, F является полупростой группой Ли с конечным числом связных компонент. Поэтому существует такая точка x ∈ X ′ , что Fx является связным вполне

§ 7. Симметрические пространства и комплексные многообразия

401

геодезическим подмногообразием в X ′ (см. лемму 7.21 (i)). Поскольку X ′ является односвязным симметрическим пространством неположительной кривизны, для Fx это тоже верно. Определим непрерывный гомоморфизм q : F → H (Fx) посредством равенства q (h)y = hy,

h ∈ F,

y ∈ Fx.

(4)

Так как для любой точки z ∈ X стабилизатор {h ∈ H (X ) | hz = z} компактен, ядро Ker q компактно. Отсюда и из того факта, что подгруппа ϑ(Γ) дискретна и бесконечна, мы получаем, что подгруппа q (ϑ(Γ)) дискретна в H (Fx) и бесконечна. С учетом утверждения (б) и равенства (4) теперь достаточно показать, что подгруппа q (ϑ(Γ)) ∩ H (Fx) 0 плотна по Зарисскому в GFx . Так как F действует на Fx транзитивно и F 0 = B(R) 0 , по лемме 7.21 (ii) мы получаем q (B(R) 0) = H (Fx) 0 = GFx (R) 0 . (5) ′

′

Пусть B0 — компонента единицы в B. Так как группа B полупроста, ввиду равенств (5) и предложения I.2.6.5 ограничение гомоморфизма q на B(R) 0 = B0 (R) 0 продолжается до R-эпиморфизма q˜ : B0 → GFx . С другой стороны, так как ϑ(Γ) ⊃ ϑ(Γ0), B является замыканием по Зарисскому подгруппы ϑ(Γ0) ⊂ B(R) и B(R) 0 имеет конечный индекс в B(R), то подгруппа ϑ(Γ) ∩ B(R) 0 плотна по Зарисскому в B0 . Следовательно, подгруппа q (ϑ(Γ) ∩ B(R) 0) ⊂ q (ϑ(Γ)) ∩ H (Fx) 0

плотна по Зарисскому в GFx . Теорема 7.20 доказана. 7.23. Теорема. Пусть M, M′ — связные полные локально симметрические римановы многообразия неположительной кривизны; ˜ M˜ ′ — их Γ = p1 (M), Γ′ = p1 (M′) — их фундаментальные группы; M, ′ односвязные накрытия; f : M → M — непрерывное отображение; ϑ : Γ → Γ′ — индуцированный им гомоморфизм фундаментальных групп (определенный с точностью до внутреннего автоморфизма группы Γ). Предположим следующее: (а) пространство M неприводимо и имеет конечный объем; (б) rank M˜ > 2 и M˜ не имеет одномерных неприводимых компонент (на M˜ ′ подобные ограничения не наложены); (в) отображение f не гомотопно отображению в точку или, что равносильно, гомоморфизм ϑ нетривиален. Тогда справедливы следующие утверждения. (i) Отображение f гомотопно строго r-изометрическому погружению f : M → M′ . Если при этом ϑ(Γ) = Γ′ , то f является вложением. (ii) Если M′ имеет конечный объем и ϑ является изоморфизмом, то f гомотопно r-изометрии f : M → M′ или, что равносильно, изоморфизм ϑ индуцирован r-изометрией пространств M и M′ .

402

Глава IX. Арифметичность

Д о к а з а т е л ь с т в о. (i) Можно считать, что M = Γ \ M˜ и M′ = Γ′ \ M˜ ′ , где Γ и G ′ действуют соответственно на M˜ и M˜ ′ изометриями. Пусть p : M˜ → M, p ′ : M˜ ′ → M′ — естественные проекции. Легко видеть, что существует такое Γ-эквивариантное непрерывное отображение f˜ : M˜ → M˜ ′ , что ˜ Согласно теореме Картана о неподвижной точке (которая быf ◦ p = p ′ ◦ f. ла применена при доказательстве леммы 7.21) любая конечная группа изометрий пространства M˜ ′ имеет неподвижную точку. Но ϑ(Γ) 6= {e} и gx 6= x для всех x ∈ M˜ ′ и g ∈ Γ′ , g 6= e. Значит, дискретная подгруппа ϑ(Γ) бесконечна. По теореме 7.20 (а) существует Γ-эквивариантное строго r-изометрическое вложение f˜ : M˜ → M˜ ′ . Можно определить строго r-изометрическое погружение f : M → M′ , положив f = p ′ ◦ f˜ ◦ p −1 . Если ϑ(Γ) = Γ′ , то под˜ является Γ-инвариантным и, следовательно, f — вломногообразие f˜ (M) ˜ жение. Так как M′ — полное односвязное многообразие неположительной кривизны, любые две его точки соединяются ровно одной геодезической. Поэтому Γ-эквивариантные отображения f˜ и f˜ гомотопны в классе непрерывных Γ-эквивариантных отображений. Как следствие, f и f гомотопны. ˜ является вполне геодезическим в M˜ ′ и (ii) Подмногообразие f˜ (M) ϑ(Γ)-инвариантным. С другой стороны, если Y , Y ′ — связные римановы многообразия, f : Y → Y ′ — изометрическое вложение и f (Y) = Y ′ , то f является изометрией. Потому достаточно показать, что если M′ = Γ′ \ M˜ ′ имеет конечный объем, то любое Γ′ -инвариантное вполне геодезическое подмногообразие L ⊂ M˜ ′ совпадает с M˜ ′ . Предоставляем читателю доказательство этого факта в качестве легкого упражнения. (Подсказка: рассмотрите отображение p : M˜ ′ → L, переводящее точку x ∈ M˜ ′ в основание перпендикуляра, опущенного из x на L.) 7.24. Утверждение (ii) теоремы 7.23 — это слабый вариант следующей теоремы о сильной жесткости для локально симметрических пространств. 7.25. Теорема (см. [Most 7], §§ 1 и 24). Пусть M, M′ — связные полные локально симметрические римановы многообразия конечного объема и неположительной кривизны; M˜ — односвязное накрытие многообразия M; p : M˜ → M — естественная проекция. Предположим, что выполнены следующие условия. (а) Пространство M˜ не имеет одномерных неприводимых компонент. (б) Для любой двумерной неприводимой компоненты Y пространства M˜ и любой точки x ∈ M множество pY (p −1 (x)) не дискретно в Y (здесь pY : M˜ → Y — естественная проекция) или, что равносильно, многообразие M не содержит двумерных вполне геодезических подмногообразий, локально являющихся его компонентами. Тогда любой изоморфизм фундаментальных групп ϑ : p1 (M) → → p1 (M′) индуцирован некоторой r-изометрией f. Как следствие,

§ 7. Симметрические пространства и комплексные многообразия

403

если группы p1 (M) и p1 (M′) изоморфны, то многообразия M и M′ становятся изометричными после ренормализации метрики на M. 7.26. Напомним, что PSL2 (R) обозначает факторгруппу группы SL2 (R) по ее центру. Приведем теорему, которая является переформулировкой теоремы 7.24 в терминах теории групп Ли. 7.27. Теорема (см. [Most 7], теорема 24.2). Пусть H , H ′ — связные полупростые группы Ли с тривиальным центром, не имеющие компактных имножителей; Γ и Γ′ — решетки в H и H ′ соответственно. Предположим, что для любого непрерывного эпиморфизма p : H → PSL2 (R) подгруппа p (Γ) не дискретна. Тогда любой изоморфизм ϑ : Γ → Γ′ продолжается до непрерывного изоморфизма ϑ˜ : H → H ′ . 7.28. Замечания. (i) Нетрудно доказать единственность r-изометрии f в теоремах 7.20 (б), 7.23 (ii) и 7.24, а также единственность продолжения ϑ˜ в теореме 7.25. В теореме 7.20 (а) вложение f в общем случае не определено однозначно. Однако если f1 , f2 : X → X ′ — два Γ-эквивариантных строго r-изометрических вложения, то существует такая изометрия h пространства X ′ , что f1 = hf2 и h ∈ ZH (X ′) (ϑ(Γ)). Аналогично, пусть M, M′ , Γ, Γ′ и ϑ таковы, как в формулировке теоремы 7.23. Предположим, что ϑ(Γ) = Γ′ . Тогда если f1 , f2 : M → M′ — гомотопные строго r-изометрические вложения, то существует такая изометрия w пространства M′ , что f1 = w ◦ f2 . (ii) При доказательстве теоремы 7.24 легко проводится редукция к случаю неприводимого многообразия M. Поэтому разница между теоремами 7.24 и 7.23 (ii) сводится к тому, что в теореме 7.24 добавлен случай rank M = 1 (в теореме 7.25 это отвечает случаю rank H = 1). Доказательство для этого случая основано на тонких и глубоких рассуждениях (см. [Most 7], §§ 19—23). В частности, при этом используются методы теории квазиконформных отображений (не только в обычном смысле, но и квазиконформных отображений над K , где K — алгебра с делением над R). В случае, когда M имеет постоянную отрицательную кривизну, Громов предложил другой подход (см. [Th], 6.3); см. об этом случае также [Mar 1]. (iii) В формулировке теоремы 7.24 условие "для любого непрерывного гомоморфизма p : H → PSL2 (R) подгруппа p (Γ) не дискретна" является необходимым (то же верно для условия (б) в теореме 7.24). В самом деле, если H = PSL2 (R), то, как известно, H содержит непрерывное семейство изоморфных решеток Γt , 0 6 t 6 1, которые не сопряжены в H посредством автоморфизмов. (iv) Утверждение (ii) теоремы 7.23 можно также легко вывести из теоремы VII.7.5.

Дополнения § A. Доказательство мультипликативной эргодической теоремы Обозначения k, n, W , kwk (w ∈ W ), kBk (B ∈ End(W )) имеют тот же смысл, что в гл. V. Кроме того, используются обозначения и определения, введенные в § V.20. A.1. Когомологии Ляпунова и класс Ω Измеримая функция A на пространстве с мерой (X, m), принимающая значения в группе GL(W ), называется функцией Ляпунова (относительно динамической системы {Lm }), если lim (1/m) ln kA(Lm x)k = lim (1/m) ln kA(Lm x) −1 k = 0

n→±∞

m→±∞

(1)

почти для всех x ∈ X (по мере m). Два коцикла u, u˜ называются когомологичными, если на пространстве X существует измеримая функция C, принимающая значения в GL(W ) и такая, что ˜ C (Lm x) −1 u(m, x)C (x) = u(m, x)

(2)

для всех m ∈ Z и почти всех x ∈ X. Отметим, что ввиду равенств (2) п. V.2.0 условие (2) равносильно следующему: C (Lx) −1 w (x)C (x) = w˜ (x),

(3)

где w (x) = u(1, x), w˜ (x) = u(1, x). В этом случае мы говорим, что функция C реализует когомологию ˜ Когомология, реализованная функцией Ляпунова, называкоциклов u и u. ется когомологией Ляпунова; в этом случае коциклы u и u˜ называются L -когомологичными. В дальнейшем автоморфизм L предполагается эргодичным. Пусть Ω — множество борелевских (не обязательно интегрируемых) коциклов u, удовлетворяющих утверждениям (i) и (ii) мультипликативной эргодической теоремы. Простое, но важное наблюдение состоит в том, что если коцикл u˜

§ A. Доказательство мультипликативной эргодической теоремы

405

L -когомологичен коциклу u ∈ Ω, то u˜ ∈ Ω. Доказательство предоставляем читателю. Отметим лишь следующее: (а) L -когомологичные коциклы имеют одинаковые характеристические показатели; (б) если два коцикла u, u˜ удовлетворяют условию (2), то yi (x) = = C (x) y˜ i (x) почти для всех x ∈ X, где yi (соотв. y˜ i) — характеристическое ˜ и характеристическим отображение, определяемое коциклом u (соотв. u) показателем qi . A.2. Редукция к случаю треугольного коцикла u Зафиксируем базис в пространстве W и отождествим GL(W ) с GLn (k). Коцикл u называется (нижним) треугольным, если матрица u(m, x) нижняя треугольная при всех m ∈ Z и x ∈ X. Пусть теперь u — произвольный интегрируемый коцикл. Для проведения требуемой редукции достаточно найти интегрируемый треугольный коцикл, L -когомологичный коциклу u, поскольку класс Ω инвариантен относительно когомологий Ляпунова. Но произвольный коцикл не обязательно L -когомологичен треугольному. Мы покажем, однако, что над некоторым расширением динамической системы {Lm } существует треугольный коцикл, L -когомологичный данному. Пусть B ⊂ GL(W ) = GLn (k) — группа нижних треугольных матриц. Положим D = GLn (k) /B, Xˆ = X × D. Определим группу {Lˆ m } борелевских авˆ положив томорфизмов пространства X, Lˆ m (x, d) = (Lm x, u(m, x)d),

(1)

где u(m, x)d — сдвиг элемента d под действием u(m, x) (поскольку u — коцикл, {Lm } действительно является группой). Отметим, что в силу разложения Ивасавы группа D компактна (см. теорему I.2.2.1). Рассмотрим ˆ множество F таких (регулярных борелевских) мер mˆ на пространстве X, что mˆ (A × D) = m (A) для любого борелевского множества A ⊂ X. Иначе гоˆ | при естественной проекции Xˆ → X мера mˆ переходит в воря, F = {mˆ ∈ M (X) ˆ ˆ mˆ )) (A) = mˆ (L(A)). ˆ m}. Автоморфизм L действует на меры по формуле (L( Так как множество F выпукло и компактно в слабой *-топологии (поскольку ˆ D компактно), L(F) = F и Lˆ действует на пространстве мер непрерывно (в слабой *-топологии), то по теореме Тихонова о неподвижной точке сущеˆ ствует L-инвариантная эргодическая мера mˆ ∈ F . В общем случае автоморˆ физм L не эргодичен по мере mˆ . Но он эргодичен, если взять в качестве mˆ ˆ m′) = m′ }. (Действителькрайнюю точку выпуклого компакта F0 = {m′ ∈ F | L( но, в противном случае можно представить mˆ как сумму двух непропорциˆ ональных L-инвариантных мер m1 и m2 . Поскольку автоморфизм L эргодичен, образы мер m1 и m2 при естественной проекции X × D → X пропорци-

406

Дополнения

ональны. Поэтому F0 содержит меры c1 m2 и c2 m2 , где c1 = m (X) /m1 (X × D), c2 = m (X) /m2 (X × D). Но это невозможно, поскольку мера mˆ = m1 + m2 является крайней точкой в множестве F0 и меры m1 , m2 непропорциональны.) Положим теперь ˆ u(m, x, d) = u(m, x), (2) m ∈ Z, x ∈ X, d ∈ D. Так как u — коцикл относительно {Lm }, то uˆ — коцикл относительно {Lˆ m }. Поскольку коцикл u интегрируем, коцикл uˆ тоже ˆ интегрируем. Коцикл u(m, x, d) не зависит от d. Значит, если uˆ ∈ Ω, то q+ (w, x, s) и q− (w, x, d) не зависят от d, а тогда u ∈ Ω. Но класс Ω инвариантен относительно когомологий Ляпунова (см. п. А.1). Значит, мы проведем требуемую редукцию, если докажем L -когомологичность коцикла uˆ некоторому интегрируемому треугольному коциклу. Так как пространство D = GLn (k) /B компактно, по теореме I.4.4.1 (о существовании борелевских сечений) существует такое борелевское отображение f : D → GLn (k), что множество f (D) относительно компактно в GLn (k) и p (f (d)) = d при всех d ∈ D, где p : GLn (k) → D — естественная проекция. Как следствие получаем: (а) f (gd) −1 g f (d) ∈ B при всех g ∈ GLn (k) и d ∈ D; (б) sup k g ±1 k < ∞. g∈ f (D)

С учетом равенств (4) и (5) функция C (x, d) = f (d) реализует искомую когомологию. A.3. Классы Ψ и Ψ0 Пусть uts (m, x) (соотв. uts (x)) — элемент матрицы u(m, x) (соотв. w (x)), стоящий на пересечении t-й строки и s-го столбца. Обозначим через Ψ множество измеримых треугольных коциклов u со следующими свойствами: (а) w (x) = u(1, x) — функция Ляпунова; (б) ln |wtt | ∈ L1 (x, m) при всех t, 1 6 t 6 n. Если f ∈ L1 (X, m), то f является функцией Ляпунова в силу индивидуальной эргодической теоремы Биркгофа (см. теорему I.4.6.5), примененной к функции f (x) − f (Lx). Отсюда легко следует, что любой интегрируемый треугольный коцикл принадлежит классу Ψ. Ввиду редукции, проведенной в п. A.2, достаточно показать, что Ψ ⊂ Ω.

(1)

Пусть u ∈ Ψ. Так как автоморфизм L эргодичен, из индивидуальной эргодической теоремы Биркгофа (см. теорему I.4.6.5), треугольности коцикла

§ A. Доказательство мультипликативной эргодической теоремы

407

u и равенств (2) п. V.2.0 следует, что при любом t, 1 6 t 6 n, существует такое lt (u), что lim (1/m) ln |utt (m, x)| = lt (u) (2) m→±∞

почти для всех x ∈ X. Положим Ψ0 = {u ∈ Ψ | uts (m, x) ≡ 0 при 1 6 s < t 6 n, lt (u) 6= ls (u)}. Покажем, что Ψ0 ⊂ Ω. (3)

Пусть u ∈ Ψ0 . Выразим элементы матриц u(m, x) = w (Lm−1 x)u(m − 1, x) и u(−m, x) = w (L−m x) −1 u(−m + 1, x) через элементы матриц w (Lm−1 x), u(m − 1, x), w (L−m x) −1 , u(−m + 1, x). Поскольку w — функция Ляпунова, индукцией по t − s можно показать, что при всех t и s, 1 6 s < t 6 n, и почти при всех x ∈ X значения |uts (m, x) /utt (m, x)| (а тогда и значения |uts (m, x) /uss (m, x)|) возрастают как функции от m при m → ±∞ медленнее, чем любая экспонента exp c|m|, c > 0. Отсюда и из равенства (7) вытекает, что u ∈ Ω. При этом характеристические показатели коцикла u равны l1 (u), . . . , ln (u), а значения характеристических отображений в любой точке наиболее просто описываются как характеристические подпространства линейного преобразования с диагональной матрицей   l˜ 1 (u)  l˜ 2 (u) 0   ,   0 ... ˜ln (u) где l˜ i (u) ∈ k и l˜ i (u) 6= l˜ j (u), если и только если li (u) 6= l j (u), 1 6 i, j 6 n. Тем самым установлено включение (8). С другой стороны (см. A.1), если коцикл L -когомологичен коциклу из Ω, то он сам принадлежит Ω. Поэтому включение (6) будет доказано, если мы покажем, что любой коцикл из Ψ L -когомологичен коциклу из Ψ0 . В пп. A.4 и A.5 будет доказано чуть более сильное утверждение, а именно следующее: (∗) для любого коцикла u ∈ Ψ существуют коцикл u˜ ∈ Ψ0 и функция Ляпунова C, такие что: ˜ (а) C реализует когомологию коциклов u и u; (б) матрицы C (x) нижние треугольные с единицами на диагонали. A.4. Доказательство утверждения (∗) для n = 2 Если l1 (u) = l2 (u), то u ∈ Ψ0 . Поэтому можно считать, что l1 (u) 6= l2 (u). Заменив, если нужно, L на L−1 , можно считать, что l1 (u) < l2 (u). Так как u(m + 1, x) = w (Lm x)u(m, x), мы получаем u21 (m + 1, x) w (Lm x) u (m, x) u (m, x) = 21 m · 11 + 21 . u22 (m + 1, x) w22 (L x) u22 (m, x) u22 (m, x)

(1)

408

Дополнения

Так как w — функция Ляпунова, принимающая значения в группе треугольных матриц, ввиду (7) и (9) почти для всех x ∈ X мы имеем u (m, x) 1 u (m + 1, x) − 21 (2) lim sup ln 21 6 l1 (u) − l2 (u). u22 (m + 1, x)

m

m→+∞

u22 (m, x)

Поскольку l1 (u) < l2 (u), отсюда вытекает, что почти при всех x ∈ X существует следующий предел: def

c (x) = lim (u21 (m, x) /u22 (m, x)).

(3)

m→+∞

При этом lim sup

m→+∞





1 u21 (m, x) ln − c (x) 6 l1 (u) − l2 (u). m u22 (m, x)

(4)

Пусть yx обозначает вектор (1, −c (x)). Тогда почти для всех x ∈ X в силу соотношений (7) и (12) выполняется равенство lim (1/m) ln ku(m, x)yx k = l1 (u).

(5)

m→+∞

Положим Yx = {ayx | a ∈ k}. Так как l2 (u) > l1 (u), почти для всех x ∈ X в силу равенства (13) мы имеем Yx = {0} ∪ {y ∈ k2 − {0} | lim (1/m) ln ku(m, x)yk = l1 (u)}. m→+∞

Отсюда и из равенства u(m + r, x) = u(m, Lr x)u(r, x) мы получаем, что u(r, x)Yx = YLr x для любого r ∈ Z и почти всех x ∈ X. Положим C (x) =



(6)  0 . Ввиду

1 −c (x) 1

равенства (14) функция C реализует когомологию коциклов u и u˜ ∈ Ψ0 , где   u (m, x) 0 ˜ u(m, x) = 11 . Покажем, что C — функция Ляпунова. Это 0

u22 (m, x)

равносильно условию, что почти для всех x ∈ X выполняется равенство lim (1/r) ln+ |c (Lr x)| = 0.

r→+∞

(7)

Так как w — функция Ляпунова, принимающая значения в группе треугольных матриц, в силу соотношений (7) и (9) почти для всех x ∈ X мы имеем 1 u (m, x) u (m + 1, x) lim sup ln 21 − 21 6 l2 (u) − l1 (u), m→−∞

|m|

u22 (m + 1, x)

u22 (m, x)

§ A. Доказательство мультипликативной эргодической теоремы

409

откуда следует, что lim sup

m→−∞





1 u (m, x) ln 21 6 l2 (u) − l1 (u). |m| u22 (m, x)

(8)

Поскольку Yx = {ayx | a ∈ k}, yx = (1, −c (x)) и u — треугольный коцикл, ввиду равенства (14) почти при всех X и любом r ∈ Z мы имеем   u (r, x) u (r, x) c (Lr x) = c (x) − 21 · 22 . u22 (r, x)

u11 (r, x)

(9)

Как следствие, равенство (15) при r → +∞ вытекает из соотношений (7) и (12), а при r → −∞ — из соотношений (7) и (16). A.5. Доказательство утверждения (∗) для произвольного n Функцию A = (ai j) на пространстве X, принимающую значения в GLn (k), будем называть (t, s)-элементарной, где 1 6 t 6 n, 1 6 s 6 n, t 6= s, если выполнено следующее: 1) aii (x) ≡ 1 при любом i, 1 6 i 6 n; 2) a(i j (x) ≡ 0, если i 6= j и (упорядоченная) пара (i, j) отлична от (t, s). Когомология, реализованная (t, s)-элементарной функцией, будет называться (t, s)-элементарной. Пусть i ∈ N+ . Положим Φi = {u ∈ Ψ | uts (m, x) ≡ 0,

если

1 6 s < t 6 n, t − s < i, lt (u) 6= ls (u)}.

Ясно, что Φ1 = Ψ и Φn = Ψ0 . Положим Uts (m, x) =





uss (m, x) 0 ∈ GL2 (k), uts (m, x) utt (m, x)

где m ∈ N+ , x ∈ X, 1 6 s < t 6 n. Положим u ∈ Φi , 1 6 s < t 6 n, t − s = i и lt (u) 6= ls (u). Тогда при s < q < t либо uqs (m, x) ≡ 0, либо utq (m, x) ≡ 0. Так как u — треугольный цикл, отсюда вытекает, что Uts является коциклом. Но для n = 2 утверждение (∗) уже доказано. Поэтому существует (t, s)элементарная когомология Ляпунова, после действия которой мы получаем uts (m, x) ≡ 0. С другой стороны, u — треугольный цикл, поэтому указанная когомология может лишь переставлять элементы utr и uqs , где r 6 s и q > t. Следовательно, применяя (t, s)-элементарные когомологии Ляпунова (1 6 s < t 6 n, t − s = i, lt (u) 6= ls (u)) к циклу u ∈ Φi , можно получить включение u ∈ Φi+1 . Проведя индукцию по n − i, мы докажем утверждение (∗) для любого коцикла u ∈ Φi . Теперь осталось учесть, что Φ1 = Ψ.

410

Дополнения

§ B. Свободные дискретные подгруппы линейных групп В этом дополнении мы докажем теорему V.5.6, используя методы из статьи [Ti 3]. Как и в § 3 гл. VI, k обозначает локальное поле, W — конечномерное векторное пространство над k, а p : W − {0} → P(W ) — естественную проекцию. Будем считать, что GL(W ) действует на P(W ) естественным образом, а именно gx = p (g p−1 (x)), g ∈ GL(W ), x ∈ P(W ). Пусть X — подмножество алгебраического многообразия M. Топология Зарисского на M индуцирует топологию на X, которая будет называться топологией Зарисского на X. B.1. Выберем g ∈ GL(W ). Пусть Ω(g) — множество характеристических показателей преобразования g, а Wa (g) ⊂ W — характеристическое подпространство этого преобразования, отвечающее показателю a ∈ Ω(g) (определения см. в § II.1). Пусть a0 = max{a | a ∈ Ω(g)} — максимальный характеристический показатель преобразования g. Положим  M  Wa (g) . A(g) = p (Wa0 (g)), A′ (g) = p a∈Ω(g)−{a0 }

Из предложения II.1.2 вытекает Лемма 1. Преобразование g притягивает P(W ) − A′ (g) к A(g), т. е. для любого открытого подмножества U ⊂ P(W ) и любого компакта K ⊂ P(W ) − A′ (g) существует такое m = m(g, U , K) ∈ N+ , что g r K ⊂ U при всех r > m. Как и в п. VI.3.5, мы называем преобразование g проксимальным, если линейное подпространство Wa0 (g) одномерно, или, что равносильно, если A(g) состоит из одной точки. Лемма 2 (см. [Ti 3], лемма 3.11.1). Пусть F — подгруппа в GL(W ), связная в топологии Зарисского и не оставляющая инвариантным никакое собственное нетривиальное линейное подпространство в W . Предположим, что F содержит полупростой проксимальный элемент g0 . Тогда множество X = {x ∈ F | x и x −1 проксимальны} плотно по Зарисскому в F . Замечание. Немного изменив доказательство леммы 2, содержащееся в [Ti 3], можно показать, что условие полупростоты преобразования g0 излишне. B.2. Предположим, что в поле k определена абсолютная величина, которую можно продолжить на любое его конечное расширение. Лемма 3. Пусть F — подгруппа в GL(W ), а X — открытое и плотное по Зарисскому подмножество в F . Предположим, что F порождает линейное пространство End(W ) и не является относительно

§ B. Свободные дискретные подгруппы линейных групп

411

компактной подгруппой в GL(W ). Тогда множество следов {Tr X} не является относительно компактным в k, и поэтому для некоторого преобразования x ∈ X хотя бы одно из его собственных значений превосходит 1 по абсолютной величине. Лемма 3 является частным случаем леммы 2.6 из [Ti 3]. Лемма 4. Пусть H — связная полупростая k-группа, F — подгруппа в H(k), плотная по Зарисскому в H и не относительно компактная в топологии на H(k), которая индуцирована топологией поля k. Тогда существуют x ∈ F , r > 1 и рациональное k-неприводимое rмерное представление r группы H, определенное над k, такие что преобразование r (x) полупросто и проксимально. Лемма 4 усиливает лемму VI.4.5, поскольку утверждает, что представление r (x) не только проксимально, но и полупросто. Лемму 4 можно вывести из леммы 3 тем же способом, каким лемма VI.4.5 выведена из леммы VI.4.4. Для этого достаточно заметить, что в любой полупростой алгебраической группе G множество полупростых элементов содержит подмножество, открытое и плотное по Зарисскому в G. Нам потребуется следующая Лемма 5 (см. [Ti 3], лемма 3.11). Пусть F ⊂ GL(W ) — подгруппа, не оставляющая инвариантным никакое собственное нетривиальное линейное подпространство в W . Далее, пусть W1 , W2 — линейные подпространства в W , причем W1 6= {0}, W2 6= W . Тогда множество {g ∈ F | gW1 6⊂ W2 } непусто и открыто по Зарисскому в F . B.3. Теперь докажем теорему V.5.6. Пусть H0 — связная по Зарисскому компонента единицы в группе H. Так как факторгруппа H/H0 конечна, можно считать группу H связной, заменив H на H0 и Λ на Λ ∩ H0 . Тогда по лемме 4 существуют l ∈ Λ, r > 1 и рациональное k-неприводимое r-мерное представление r группы H, определенное над k, такие что преобразование r (l) полупросто и проксимально. С помощью леммы 2 получаем, что мноdef

жество X = {x ∈ r (Λ) | x и x −1 проксимальны} плотно по Зарисскому в r (Λ). Для x ∈ X положим B (x) = A(x) ∪ A(x −1), B ′ (x) = A′ (x) ∪ A′ (x −1) и обозначим через W ≃ kr пространство представления r. Легко видеть, что B ′ (x) 6= P(W ). С другой стороны, x ∈ X, r > 1 и группа H (а тогда и Λ) связна в топологии Зарисского. Согласно лемме 5 существует такое h ∈ r (Λ), что B (x) ∩ hB ′ (x) = B ′ (x) ∩ hB (x) = ∅. (1) Положим g1 = x, g2 = hxh−1 . Легко видеть, что A(g2) = hA(x) и A′ (g2) = = hA′ (x). С учетом равенства (1) при i = 1, 2 получаем −1 (A(gi) ∪ A(gi−1)) ∩ (A′ (g3−i) ∪ A′ (g3−i )) = ∅.

412

Дополнения

Поэтому существуют окрестности U1 , U1′ , U2 , U2′ точек A(g1), A(g1−1), A(g2), A(g2−1), а также точка p ∈ P(W ), такие что −1 (U¯ i ∪ U¯ i′) ∩ (A′ (g3−i) ∪ A′ (g3−i )) = ∅, i = 1, 2, [ U¯ i ∪ U¯ i′ ∪ A′ (gi) ∪ A′ (gi−1), p∈ /

(2) (3)

i=1,2

где U¯ i и U¯ i′ — замыкания окрестностей Ui и Ui′ соответственно в топологии, которая индуцирована топологией поля k. По лемме 1 найдется такое m ∈ N+ , что при i = 1, 2 и всех r ∈ Z, |r| > m выполняется включение ′ gir (U¯ 3−i ∪ U¯ 3−i ∪ {p}) ⊂ Ui ∪ Ui′ .

(4)

Положим g˜ i = gim . Индукцией по s получаем из включения (4), что r

s−1 g˜ irss · g˜ is−1 · . . . · g˜ ir11 (p) ∈ Uis ∪ Ui′s

при всех s ∈ N+ , il = 1, 2, il 6= il−1 , rl ∈ Z − {0}. Отсюда и из соотношения (3) получаем, что g˜ 1 и g˜ 2 порождают свободную подгруппу. Но g˜ 1 , g˜ 2 ∈ r (Λ). Значит, Λ содержит свободную дискретную подгруппу.

§ C. Примеры неарифметических решеток Хорошо известно, что группа SL2 (R) содержит неарифметические решетки. Действительно, существует лишь счетное множество взаимно не сопряженных арифметических решеток. С другой стороны, в группе SL2 (R) имеются непрерывные семейства {Γt } взаимно не сопряженных решеток. Таким образом, наличие неарифметических решеток вызвано тем, что в группе SL2 (R) есть решетки, не являющиеся локально жесткими. В связи с этим некоторое время казалось, что любая локально жесткая решетка в связной полупростой группе Ли должна быть арифметической. Но согласно теореме Сельберга—Вейля о локальной жесткости (см. [Rag 5], теорема 6.7 и следствие 7.66), если G — связная полупростая группа Ли без компактных множителей, не изоморфная локально группе SL2 (R), то любая неприводимая кокомпактная решетка Γ ⊂ G является локально жесткой. (Отметим, что если при этом группа G не изоморфна локально группе SL2 (C), то аналогичное утверждение верно и для некокомпактных решеток.) В результате возникло предположение, что если G — связная полупростая группа Ли без компактных множителей, не изоморфная локально группе SL2 (R), то любая неприводимая решетка Γ ⊂ G арифметична. Теорема IX.6.5 утверждает, что это предположение верно "почти всегда", а именно при rank G > 1. Однако существуют простые группы Ли ранга 1,

§ C. Примеры неарифметических решеток

413

которые не изоморфны локально группе SL2 (R), но содержат неарифметические решетки. Первые примеры такого рода построены Макаровым и Винбергом. Они показали (см. [Mak 2] и [Vi 1]), что существуют неарифметические решетки — как кокомпактные, так и некокомпактные — в группах движений пространств Лобачевского размерности 3, 4 и 5 (здесь и далее под арифметической решеткой в полупростой группе Ли с конечным числом связных компонент мы понимаем решетку, пересечение которой с компонентой единицы является арифметической решеткой в смысле определения IX.6.3). В 1988 г. Громов и Пятецкий-Шапиро [Gro-P], используя гибриды гиперболических многообразий, построили неарифметические решетки в n-мерном пространстве Лобачевского с произвольным n > 3. Следует заметить, что, как показал в 1989 г. Любоцкий [Lu 2], если k — неархимедово локальное поле и G — связная почти k-простая k-группа kранга 1, то G(k) содержит несчетное множество классов сопряженности кокомпактных решеток, в том числе неарифметических. При char k > 0 то же верно для некокомпактных неарифметических решеток. В §§ 1 и 2 этого дополнения мы вкратце изложим статьи [Vi 1] и [Gro—P], упомянутые выше. В § 3 приведены некоторые результаты о дискретных подгруппах группы SUn,1 (R), порожденных комплексными отражениями. (Обозначение SUn,1 введено в п. III.5.5; напомним, что группа SUn,1 (R) локально изоморфна группе движений n-мерного комплексного шара, снабженного метрикой Бергмана.) C.1. Дискретные группы, порожденные отражениями в пространствах Лобачевского 1.1. Фундаментальный многогранник дискретной группы, порожденной отражениями. Пусть S обозначает либо n-мерное евклидово пространство E n , либо n-мерное пространство Лобачевского Λn . Под выпуклым многогранником в S мы понимаем пересечение конечного числа замкнутых полупространств, имеющее непустую внутренность, а отражение означает отражение относительно гиперплоскости. Пусть Γ — дискретная группа движений пространства S, порожденная конечным числом отражений. Гиперплоскости всех отражений из Γ разбивают S на выпуклые многогранники, которые называются Γ-камерами. Каждая Γ-камера является фундаментальной областью для Γ, а отражения относительно ее граней порождают Γ. Выпуклый многогранник P является Γ-клеткой для группы Γ рассматриваемого типа, если и только если все его двугранные углы имеют вид p/n, где n целое. Такие выпуклые многогранники называются многогранниками Кокстера. Ясно, что Γ-камера компактна (соотв. некомпактна, но имеет конечный объем), если и только

414

Дополнения

если Γ является кокомпактной (соотв. некокомпактной) решеткой в группе движений пространства S. 1.2. О C-многогранниках в евклидовом пространстве. Выпуклый многранник P ⊂ E n можно описать с помощью единичных векторов ei , ортогональных его граничным плоскостям Hi и направленных вовне. Матрица Грама (ai j = hei , e j i) системы векторов {ei } далее называется матрицей Грама многогранника P. Многогранник P называется разложимым, если пространство E n можно разложить в прямое произведение E1 × . . . × Ek евклидовых пространств Ei таким образом, что P = P1 × . . . × Pk , где Pi — выпуклый многогранник в пространстве Ei . В этом случае матрица Грама A для P является прямой суммой матриц Грама Ai для Pi . Многогранник P называется C-многогранником, если все углы между его граничными гиперплоскостями не превосходят p/2 и P не содержит прямой линии. В случае C-многогранника в пространстве E n матрица Грама A является неотрицательно определенной симметричной матрицей ранга n, причем aii = 1 и ai j 6 0 (i 6= j). Матрицы с такими свойствами далее называются Cматрицами. Как известно (см. [Cox]), C-матрицы ранга n, неразложимые в прямую сумму, бывают следующих двух типов. (а) Неразложимые C + -матрицы. Это положительно определенные матрицы порядка n. Каждая из них является матрицей Грама единственного (с точностью до изометрии) выпуклого многогранника в пространстве E n , который является симплициальным конусом. (б) Неразложимые C 0 -матрицы. Это неотрицательно определенные матрицы порядка n + 1. Каждая из них является матрицей Грама единственного (с точностью до подобия) выпуклого многогранника в E n , который является симплексом. Под C + -матрицами (соотв. C 0 -матрицами) мы понимаем C-матрицы, разложимые в прямую сумму неразложимых C + - (соотв. C 0 -) матриц, т. е. матрицы Грама симплициальных конусов (соотв. прямых произведений симплексов). 1.3. О C− -многогранниках в пространстве Лобачевского. Пусть n,1 E обозначает (n + 1)-мерное векторное пространство над R, наделенное невырожденной билинейной симметрической формой h , i с отрицательным индексом инерции 1. Рассмотрим множество V = {x ∈ E n,1 | hx, xi < 0}.

Оно состоит из двух связных компонент, которые будут обозначаться V+ и V− . Можно отождествить точки n-мерного пространства Лобачевского Λn с лучами (из начала координат) в пространстве E n , лежащими в кону-

§ C. Примеры неарифметических решеток

415

се V+ . Движения пространства Λn в этой модели — это преобразования, индуцированные теми линейными преобразованиями пространства E n,1 , которые оставляют инвариантными форму h , i и множество V+ . Линейное подпространство в E n,1 называется гиперболическим, если форма h , i индуцирует на нем невырожденную знаконеопределенную форму. Любой s-мерной плоскости Π ⊂ Λn отвечает (s + 1)-мерное гипербоˆ Любому лическое подпространство в E n+1 , которое будет обозначаться Π. n n,1 полупространству в Λ отвечает полупространство в E , ограниченное гиперболическим подпространством коразмерности 1. Выпуклый многогранник P ⊂ Λn — это по определению пересечение нескольких полупространств в Λn . Обозначим через Pˆ пересечение соответствующих полупространств в E n,1 . Это многогранный конус с вершиной в начале координат. Будем ˆ Многогранник P восстасчитать, что начало координат удалено из P. ˆ навливается по P однозначно как объединение лучей, лежащих в Pˆ ∩ V+ . Ограниченность многогранника P в Λn равносильна включению Pˆ ⊂ V+ , а конечность его объема — включению Pˆ ⊂ V¯ + , где V¯ + обозначает замыкание множества V+ . Отметим, что в последнем случае граница множества V+ ˆ а именно отвечающие так назысодержит лишь некоторые ребра угла P, ваемым «бесконечно удаленным вершинам» многогранника P. Пусть векторы ei в пространстве E n,1 перпендикулярны гиперплоскоˆ и направлены вовне. Норстям Hˆ i , содержащим n-мерные грани угла P, мируем их условием hei , ei i = 1; это возможно, поскольку Hˆ i — гиперболические подпространства и, значит, hei , ei i > 0. Матрица Грама A = (ai j = hei , e j i) системы векторов {ei } называется матрицей Грама многогранника P. Легко показать, что если гиперплоскости Hi и H j двух граней многогранника P образуют угол a, то ai j = − cos a, а если они не пересекаются, то ai j 6 −1. Поэтому если все углы между граничными гиперплоскостями многогранника P не превосходят p/2, то все недиагональные элементы матрицы A неположительны. Выпуклый многогранник P ⊂ Λn называется C − -многогранником, если он имеет конечный объем и все углы между его граничными гиперплоскостями не превосходят p/2. Матрица Грама любого C − -многогранника неразложима и имеет ранг n + 1 (см. [Vi 1], леммы 1 и 2). Легко видеть, что если матрица Грама системы векторов в E n,1 имеет ранг n + 1, то ее отрицательный индекс инерции равен 1. Из рассмотрений этого и предыдущих параграфов вытекает, что матрица Грама A = (ai j) любого C − многогранника P ⊂ Λn удовлетворяет следующим условиям: (L1) ранг матрицы A равен n + 1, а ее отрицательный индекс инерции равен 1; (L2) aii = 1, ai j 6 0 (i 6= j); (L3) матрица A неразложима.

416

Дополнения

Пусть A — симметрическая матрица, удовлетворяющая условиям (L1) — (L3). Тогда (см. [Vi 1], лемма 4 или [Vi 12], теорема 2.5) A является матрицей Грама некоторого выпуклого многогранника P ⊂ Λn . Сформулируем теперь условия, при которых матрица A является матрицей Грама некоторого C − -многогранника. Напомним, что подматрица, симметричная относительно главной диагонали матрицы, называется ее главной подматрицей. Теорема 1 (см. [Vi 1], теорема 1). Симметрическая матрица A = (ai j) является матрицей Грама некоторого C − -многогранника P ⊂ Λn , если и только если A удовлетворяет условиям (L1) — (L3), а также следующим условиям: (L4) хотя бы одна главная подматрица в A является либо C + матрицей ранга n, либо C 0 -матрицей ранга n − 1 (такие подматрицы далее называются узловыми); (L5) для любой узловой подматрицы B1 ⊂ A и любой C + -подматрицы B ⊂ B1 ранга n − 1 существует узловая подматрица B2 ⊂ A, содержащая B и отличная от B1 . Поясним смысл условий (L4) и (L5). Пусть P ⊂ Λn — выпуклый многогранник, A — его матрица Грама. Тогда существует естественное отображение F 7→ A(F) множества всех граней многогранника P (включая бесконечно удаленные вершины) в множество главных подматриц матрицы A (грани A соответствует матрица A(F) системы векторов ei , ортогональных к F). При этом справедливо следующее (см. [Vi 1], леммы 3 и 5). 1. Если A1 — главная C + -подматрица в A ранга n − s, то A1 = A(F), где F — обычная s-мерная грань многогранника P. 2. Если A — главная C 0 -подматрица в A ранга n − 1, то A1 = A(F), где F — бесконечно удаленная вершина. 3. Если P является C − -многогранником и грань F не совпадает с P, то A(F) — либо C + -матрица, либо C 0 -матрица. Таким образом, свойство (L4) означает, что P имеет вершины (возможно, бесконечно удаленные), а свойство (L5) означает, что любое ребро, выходящее из одной вершины, заканчивается в другой вершине. Отметим также, что C − -многогранник P ограничен, если и только если A не содержит главных C 0 -подматриц. Симметрические матрицы, удовлетворяющие условиям (L1) — (L5), называются C − -матрицами. 1.4. Схемы Кокстера. Как отмечено в п. 1.1, выпуклый многогранник P является Γ-клеткой для некоторой группы Γ, порожденной отражениями, если и только если P является многогранником Кокстера, т. е. все его двугранные углы имеют вид p/n, где n целое. Следовательно, мы сможем определить все (с точностью до сопряженности) дискретные группы

§ C. Примеры неарифметических решеток

417

движений евклидова пространства, порожденные отражениями, если рассмотрим все C-матрицы (см. п. 1.2), недиагональные элементы которых имеют вид (1) ai j = − cos(p/mi j), где mi j пробегает значения 2, 3, . . . , ∞. Это сделано Кокстером в статье [Cox]. Он предложил описывать такие матрицы схемами, которые строятся следующим образом: берем вершины, число которых равно порядку матрицы, и соединяем вершины vi и v j либо mi j − 2 ребрами, либо одним ребром с индексом mi j . В такой символике неразложимые C + -матрицы, удовлетворяющие условию (1), описываются следующими схемами (нижний индекс равен рангу матрицы): An Bn

(n ≥ 2)

Dn

(n ≥ 4)

En

(n = 6, 7, 8)

Fn G2 (m)

m

(6)

(G2

= G2 )

H3 H4

Неразложимые C 0 -матрицы, удовлетворяющие условию (1), описываются следующими схемами (нижний индекс равен рангу матрицы): ˜n A

(n ≥ 2)

˜n B

(n ≥ 3)

˜n C

(n ≥ 2)

˜n D

(n ≥ 4)

˜n E

418

Дополнения ˜7 E ˜8 E ˜4 F 6

˜2 G ˜I

∞

Аналогично, чтобы найти все дискретные группы движений пространства Лобачевского, порожденные конечным числом отражений с конечным объемом фундаментальной области, достаточно выбрать среди C − -матриц (см. п. 1.3) те, которые имеют недиагональные элементы вида ai j = − cos(p/mi j)

или ai j < −1.

(2)

В этом случае узловые подматрицы являются матрицами Кокстера, и условия (L4) и (L5) проверяются без вычислений. Достаточно использовать вышеприведенные таблицы и заметить, что схема Кокстера прямой суммы C-матриц является дизъюнктным объединением схем Кокстера слагаемых. Для описания C − -матриц, удовлетворяющих условию (2), мы применим схемы Кокстера с дополнительным соглашением, что при ai j < −1 вершины vi и v j соединяются пунктирной линией с индексом −ai j . Под схемой Кокстера некоторого многогранника Кокстера и решетки, порожденной отражениями, мы понимаем схему Кокстера соответствующей C − - матрицы. 1.5. Критерий арифметичности для решеток, порожденных отражениями. Теорема 2 (см. [Vi 1], теорема 2). Пусть Γ — решетка в группе движений n-мерного пространства Лобачевского Λn , порожденная конечным числом отражений. Возьмем Γ-клетку P ⊂ Λn . Пусть A = (ai j) — матрица Грама многогранника P; K˜ — поле, порожденное элементами ai j ; K — поле, порожденное числами вида 2m ai1 i2 ai2 i3 · . . . · aim−1 im aim i1 .

(1)

Для арифметичности решетки Γ необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий: (а) K˜ является вполне вещественным полем алгебраических чисел, и для каждого морфизма s : K˜ → R, нетождественного на K , матрица s A = (s (ai j)) неотрицательно определенна; (б) алгебраические числа (1) являются целыми алгебраическими. Отметим (см. [Vi 1], § 6, замечание 1), что если решетка Γ некокомпактна, то ее арифметичность равносильна условию, что числа (1) — целые рациональные.

§ C. Примеры неарифметических решеток

419

1.6. Примеры (см. [Vi 1], III). В этом пункте приводятся некоторые примеры неарифметических решеток в группах движений пространств Лобачевского Λn . При этом некокомпактные решетки строятся в размерностях 3, 4, 5, а кокомпактные — в размерностях 3 и 4. Мы рассматриваем лишь случай, когда решетка Γ порождена конечным числом отражений относительно граней фундаментального многогранника P ⊂ Λn . С учетом теорем 1 и 2 доказательства сводятся к элементарным вычислениям. а) Проще всего строится группа Γ с симплексом в качестве фундаментального многогранника. Для этого достаточно начертить любую связную схему, удовлетворяющую следующим условиям: 1) число вершин равно n + 1; 2) схема не содержится в таблицах Кокстера, приведенных в п. 1.4; 3) любая подсхема с n вершинами либо является дизъюнктным объединением нескольких схем из первой таблицы Кокстера, либо содержится во второй таблице. Подсхемам первого типа из условия 3) отвечают обычные вершины фундаментального симплекса P, а подсхемам второго типа — бесконечно удаленные вершины. Группы Γ, которым соответствует ограниченный симплекс P, существуют лишь при n 6 4. В пространстве Λ3 таких групп 9, в пространстве Λ4 — 5. Среди них при n > 2 имеется лишь одна неарифметическая, со следующей схемой:

Имеется лишь небольшое число групп с бесконечным симплексом в качестве фундаментальной области. Такие группы существуют лишь при n 6 9. Среди них при n > 2 имеется ровно 7 неарифметических, а именно 6 в пространстве Λ3 и одна в пространстве Λ5 . Им соответствуют следующие схемы: 5 6 6

6

6 5

Отметим, что симплекс со схемой 6

5

5

420

Дополнения

является фундаментальной областью (конечной) группы движений правильного двенадцатигранника с бесконечно удаленными вершинами в трехмерном пространстве Лобачевского. б) Первый пример неарифметической решетки в простой некомпактной группе Ли, не изоморфной локально группе SL2 (R), принадлежит Макарову (см. [Mak 2]). Он рассматривал ситуацию, когда n = 3 и фундаментальный многогранник P ⊂ Λ3 имеет комбинаторный тип треугольной призмы, которому отвечает схема c

m

  cos(p/m) m > 5, c = p . cos(2p/m)

Как показано в работе [Mak 2], при достаточно больших m соответствующая группа Γm не арифметична. Доказательство, содержащееся в этой работе, основано на том, что в простой некомпактной группе Ли G порядки элементов кручения, принадлежащих некокомпактным арифметическим решеткам Γ ⊂ G, ограничены константой, зависящей только от G. В силу теоремы 2 группа Γm не арифметична при всех m 6= 6. В работе [Mak 1] рассмотрены аналогичные, но ограниченные многогранники в Λ3 (вопрос об арифметичности в этой работе не ставился). Приведем схемы одной из серий таких многогранников: c

m

r   3 cos(2p/m) − 1 . m > 7, c = 4 cos(2p/m) − 2

Соответствующие группы арифметичны при m = 7, 8, 9, 10, 14 и неарифметичны при остальных значениях m. в) Приведем два примера неарифметических решеток в группе движений пространства Λ4 . Эти решетки соответствуют многогранникам с схемами 5

и Такие многогранники имеют комбинаторный тип четырехмерной призмы с тетраэдром в основании. Первый из них неограничен, а второй ограничен. 1.7. Замечания. (i) Примеры кокомпактных решеток, порожденных отражениями, в группах движений пространств Λ6 и Λ7 построены в работе [Bu]. Открыт вопрос о том, существуют ли ограниченные многогранники

§ C. Примеры неарифметических решеток

421

Кокстера в пространствах Лобачевского размерности 8 и выше1 . Но они отсутствуют в пространствах Λn при n > 30 (см. [Vi 10]). (ii) Имеются примеры неограниченных многогранников Кокстера, которые являются Γ-камерами арифметических решеток Γ в пространствах Λn , n 6 19 (см. [Vi 6], [Vi 9] и [V—K]) 2 . Простейший пример такого многогранника в пространстве Лобачевского высокой размерности — это многогранник в пространстве Λ17 со схемой

Его пополнение бесконечно удаленными вершинами комбинаторно эквивалентно пирамиде над прямым произведением двух восьмимерных симплексов. Отметим также следующее: а) не существует многогранников Кокстера конечного объема в пространствах Лобачевского размерности выше 995 (см. [Hov] и [Pro]); б) не существует арифметических решеток, порожденных отражениями, в группе движений пространства Λn при n > 30 (см. [Vi 10]). (iii) О приложениях теории дискретных групп, порожденных отражениями, в алгебраической геометрии см. [N 4] и [Vi 9]. (iv) В статьях [An 1] и [An 2] получена почти исчерпывающая классификация решеток, порожденных отражениями в группе движений пространства Λ3 . А именно, в этих статьях даны простые необходимые и достаточные условия существования в пространстве Λ3 выпуклого многогранника конечного объема и заданного комбинаторного типа с двугранными углами, не превосходящими p/2 (например, имеющими вид p/n, где n целое). (v) Существование неарифметических решеток в группе движений пространства Λ3 вытекает также из утверждений (1) и (2) в замечании IX.6.13(iii) (об объемах факторпространств).

1 В более поздней работе V. O. Bugaenko «Arithmetic crystallographic groups generated by reflections, and reflective hyperbolic lattices», Adv. Sov. Math., 1992, vol. 8 (E. B. Vinberg, ed.), 33—56 построен пример ограниченного многогранника Кокстера в пространстве Λ8 . — Прим. ред. 2 В работе R.Borcherds «Automorphism groups of Lorentzian lattices», J. Algebra 111 (1987), 133—153 построен пример неограниченного многогранника Кокстера конечного объема в пространстве Λ21 . — Прим. ред.

422

Дополнения

C.2. «Гибриды» гиперболических многообразий и примеры неарифметических решеток в пространствах Лобачевского В этом параграфе PO(n, 1) обозначает проективную ортогональную группу O (n, 1) /{+1, −1}. Напомним, что PO(n, 1) является группой изометрий пространства Лобачевского Λn . 2.1. «Гибриды» гиперболических многообразий. Пусть Γ1 , Γ2 — решетки в группе PO(n, 1), свободные от кручения. Тогда факторпространства Vi = Γi \ Λn являются гиперболическими многообразиями (т. е. полными римановыми многообразиями постоянной отрицательной кривизны) и Γi является фундаментальной группой многообразия Vi (i = 1, 2). Предположим, что имеются связные n-мерные подмногообразия V1+ ⊂ V1 и V2+ ⊂ V2 с краем ∂V1+ ⊂ V1+ и ∂V2+ ⊂ V2+ соответственно, которые обладают следующими свойствами. (а) Любая связная компонента M гиперповерхности ∂Vi+ ⊂ Vi вполне геодезична в Vi , i = 1, 2. Иначе говоря, универсальное накрытие для M — это гиперплоскость в универсальном накрытии Λn многообразия Vi . Как следствие, M является (n − 1)-мерным гиперболическим многообразием. (б) Многообразия ∂V1+ и ∂V2+ изометричны. Теперь построим гибридное многообразие V , склеив V1+ с V2+ посредством изометрии между ∂V1+ и ∂V2+ . Метрика на многообразиях V1 и V2 порождает на V естественную метрику постоянной отрицательной кривизны. Если V1 и V2 компактны, то V полно (поскольку в этом случае найдется такое ε, что для любой точки x ∈ V существует окрестность, изометричная ε-шару в пространстве Λn). Если n = 2 и многообразия V1 и V2 некомпактны, то V может не быть полным. Если n > 3 и ∂V1+ = ∂V2+ имеет конечный объем, то V всегда полно (см. 2.10 в работе [Gro—P]; на самом деле можно доказать, что при n > 3 условие конечности объема всегда выполнено). Далее предполагается, что многообразие V полно. Тогда его универсальное накрытие изоморфно Λn , а его фундаментальная группа Γ является решеткой в PO(n, 1). Отметим, что если подгруппы Γ1 и Γ2 кокомпактны (т. е. V1 и V2 компактны), то группа Γ также кокомпактна. При i = 1, 2 имеются естественные гомоморфизмы фундаментальных групп ai : p1 (Vi+) → p1 (Vi) = Γi , a′i : p1 (Vi+) → p1 (V) = Γ. Подмногообразие Vi+ имеет выпуклый (в действительности вполне геодезический) край, поэтому каждый класс из p1 (Vi+) содержит геодезическую петлю в Vi+ . Такая петля не стягивается в точку ни в многообразии V , ни

§ C. Примеры неарифметических решеток

423

в Vi , поскольку эти многообразия полны и имеют отрицательную кривизну. Это означает, что ai и a′i являются мономорфизмами. Зафиксируем гиперболическую гиперплоскость Λn−1 ⊂ Λn и связную компоненту M многообразия ∂V1+ = ∂V2+ . Тогда существуют дискретная подгруппа F в группе изометрий PO(n − 1, 1) пространства Λn и изоморфизм b : p1 (M) → F , который индуцирует изометрию между M и F \ Λn−1 . Можно считать, что ai и a′i совпадают на p1 (M) с b. Пусть V˜ i+ и M˜ ⊂ V˜ i+ — универсальные накрытия многообразий Vi+ и M соответственно. Если f1 , f2 : V˜ i+ → Λn — два изометрических погружения, которые совпадают на M˜ и отображают M˜ на Λn−1 , то f1 совпадает с f2 (с точностью до ортогонального отражения пространства Λn относительно Λn−1). Вместе с равенством ai |p1 (M) = a′i |p1 (M) это позволяет считать, что a′ = a′i . 2.2. Критерий плотности для гиперболических многообразий с краем. Пусть W + — связное n-мерное многообразие постоянной отрицательной кривизны с непустым вполне геодезическим краем ∂W + , состоящим из конечного числа связных компонент. Предположим, что W + полно как метрическое пространство и Vol W + < ∞. Лемма 1. Пусть образ фундаментальной группы каждой связной компоненты края ∂W + имеет конечный индекс в фундаментальной группе многообразия W + . Тогда n = 2 и W + односвязно. Как следствие, W + изометрично k-угольнику с бесконечно удаленными вершинами в пространстве Λ2 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Условие конечности индекса показывает, что универсальное накрытие W˜ + многообразия W + также имеет конечное число связных компонент. Поэтому без ограничения общности можно предположить, что группа скольжений отображает каждую компоненту в себя. Пусть ∂0 — одна из компонент края ∂ W˜ + , а ∂¯ i ⊂ ∂0 — нормальные проекции остальных компонент ∂i (i = 1, . . . , k) на ∂0 . Так как Vol W + < ∞, k S подмножество ∂¯ i ⊂ ∂0 имеет полную меру. Следовательно, n = 2, и дейi=1

ствие группы скольжений тривиально. Лемма 2. Если Vol ∂W + < ∞, то фундаментальная группа p1 (W +) плотна по Зарисскому в PO(n, 1) 0 (здесь и ниже F 0 обозначает связную компоненту единицы в группе F). Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как Vol ∂W + < ∞, замыкание по Зарисскому ¯Γ+ ⊂ PO(n, 1) группы Γ+ содержит PO(n − 1, 1) (теорема Бореля о плотности), где PO(n − 1, 1) ⊂ PO(n, 1) отождествляется с группой изометрий пространства Λn , служащего универсальным накрытием каждой компоненты края ∂W + . По лемме 1 мы имеем dim Γ¯ + > dim PO(n − 1, 1), поскольку алгебраическая группа Γ¯ + имеет конечное число связных компонент.

424

Дополнения

Следовательно, Γ¯ + = PO(n, 1) 0 , поскольку PO(n − 1, 1) 0 — максимальная связная подгруппа в PO(n, 1). 2.3. Арифметические подгруппы в O(n, 1). Пусть K ⊂ R — числовое поле; F — невырожденная квадратичная форма от n + 1 переменных с коэффициентами в K ; Γ(F) — группа F -ортогональных матриц с элементами из кольца целых элементов поля K . Предположим, что поле K вполне вещественно, а форма s F положительно определенна для любого нетривиального вложения s : K → R. Тогда Γ(F) является арифметической подгруппой в (группе, сопряженной) ортогональной группе O (n, 1). Возьмем простой идеал p в кольце целых элементов поля K и определим конгруэнц-подгруппу Γp (F) ⊂ Γ(F), положив Γp (F) = {g ∈ Γ(F) | g ≡ Id(mod p)}.

Если |K /p| достаточно велико, то Γp (F) не имеет кручения и действует на пространстве Λn свободно. 2.4. Примеры неарифметических решеток, соответствующих гибридам. Как и в п. 2.1, зафиксируем гиперболическую гиперплоскость Λn−1 ⊂ Λn . Пусть F0 — одна из следующих квадратичных форм: √ 2 2 x12 + . . . + xn−1 − xn2 , x12 + . . . + xn−1 − 2xn2 .

Рассмотрим формы F1 = x02 + F0 , F2 = 3x02 + F0 и конгруэнц-подгруппы Γp (F0), Γp (F1), Γp (F2). Для каждого k пусть p : O (k, 1) → PO(k, 1) — естественный эпиморфизм. Положим Γ′0 = p (Γp (F0)) ⊂ PO(n − 1, 1) = Iso(Λn−1), Γ′i = p (Γp (Fi)) ⊂ PO(n, 1) = Iso(Λn).

Легко показать следующее: (а) подгруппа в Γ′i (i = 1, 2), сохраняющая Λn−1 , индуцирует на Λn−1 группу Γ′0 ; (б) подгруппы Γ′1 и Γ′2 не соизмеримы. Можно показать (см. 2.8 в работе [Gro—P]), что при достаточно больших p верно следующее: def def (в) каноническое отображение fi : V0′ = Γ′0 \ Λn−1 → Vi′ = Γ′i \ Λn является собственным вложением, и fi (V0′) не является границей в Vi′ при i = 1, 2. Имеется очевидное двулистное накрытие Vi многообразия Vi′ , такое что подъем подмногообразия fi (V0′) состоит из двух непересекающихся экземпляров fi (V0), ограничивающих некоторое связное подмногообразие Vi+ ⊂ Vi . Иначе говоря, край ∂Vi+ состоит из двух экземпляров V0′ . Теперь мы можем рассмотреть «гибрид»V многообразий V1+ и V2+ . Многообразие V — это факторпространство Γ \ Λn , где Γ — решетка в PO(n, 1).

§ C. Примеры неарифметических решеток

425

Используя равенство a′ = a′i (см. конец п. 2.1), можно показать, что (после трансформирования решетки Γ элементом из PO(n, 1)) пересечение Γ ∩ Γi содержит подгруппу ai (p1 (∂Vi+)). Эта подгруппа согласно лемме 2 плотна по Зарисскому в PO(n, 1). Поэтому и подгруппа Γ ∩ Γi плотна по Зарисскому в PO(n, 1) 0 (i = 1, 2). С другой стороны, нетрудно доказать, что если пересечение двух арифметических подгрупп группы PO(n, 1) 0 плотно в ней по Зарисскому, то эти подгруппы соизмеримы. С учетом свойства (б) получаем, что решетка Γ не арифметична. 2 Замечание 1. Если F0 = x12 + . . . + xn−1 − xn2 , то решетка Γ не коком√ 2 2 2 пактна, а если F0 = x1 + . . . + xn−1 − 2xn , то она кокомпактна. C.3. Примеры неарифметических решеток в SUn,1 (R) 3.1. Комплексные отражения. Пусть V — n-мерное векторное пространство над C. Комплексное отражение (или C-отражение) в пространстве V — это линейное отображение R : V → V конечного порядка, для которого 1 является собственным значением кратности n − 1. Комплексное отражение можно записать в виде x 7→ x + b (x)e, где e ∈ V , b — линейная функция, а 1 + b (e) является корнем из 1 и не равно 1. Пусть H — невырожденная эрмитова форма на V , не обязательно положительно определенная. Если v, w ∈ V , то hv, wi будет обозначать значение H (v, w). Если p ∈ N+ и e ∈ V , he, ei = 1, то Re, p будет обозначать комплексное отражение x 7→ x + (x − 1)hx, eie,

x = exp(2pi / p).

Ясно, что Re, p сохраняет H , имеет порядок p и оставляет на месте точки def множества e ⊥ = {x ∈ V | hx, ei = 0}. 3.2. Группы, порожденные комплексными отражениями1 . Классификация конечных групп, порожденных комплексными отражениями, была получена Шепардом и Тоддом, а схемы для их описания введены Кокстером. Эти схемы столь же пригодны и в случае бесконечных групп, порожденных отражениями. Схема состоит из точек (вершин) и линий (ребер), которым приписаны натуральные числа. Для удобства будем вместо точки ставить кружок вокруг соответствующего натурального числа. Каждой схеме D описанным ниже способом сопоставим pi

qij

pj

семейство групп, порожденных комплексными отражениями в Cn . 1 См.

[Most 9] и [Most 10] , 2.2 и 2.3.

426

Дополнения

Пусть e1 , . . . , en — базис в Cn . Определим эрмитову форму H , положив где

hei , e j i = −ai j fi j , ai j =



i 6= j, hei , e j i = 1 ,

cos(p/ p1 − p/ p2) + cos 2p/qi j 2 sin p/ p1 · sin p/ p2

(1)

1/2

и |fi j | = 1. При каждом i от 1 до n можно определить комплексное отражение Ri = Rei , pi (см. п. 3.1). Группа Γi j , которую порождают Ri и R j , конечна в том и только том случае, когда выполнено следующее условие: (1/ pi) + (1/ p j) + (2/qi j) > 1 и

четно, если

qi j

pi 6= p j .

(2)

Далее предполагается, что соотношение (2) имеет место. В группе Γi j выполнено следующее соотношение: (Ri R j) qij /2 = (R j Ri) qij /2 . Если qi j нечетно, то это равенство означает, что Ri R j . . . Ri = R j Ri . . . R j (в каждой части этого равенства по qi j множителей). В свете сказанного в п. 3.1 отражение Ri имеет порядок pi . Пусть Γ — группа, порожденная отражениями Ri , 1 6 i 6 n. Она сохраняет форму H . Отметим, что Γ зависит не только от схемы D, но и от чисел fi j . С другой стороны, группа Γi j не зависит (с точностью до изоморфизма) от выбора чисел fi j . Это верно и для Γ, если граф схемы D является деревом. Для проверки достаточно заменить ei на fi ei , 1 6 i 6 n, |fi | = 1. Если же граф схемы D содержит цикл i1 i2 . . . ik , то произведение fi1 i2 · fi2 i3 · . . . · fik i1 инвариантно относительно указанной замены. Это означает, что две группы с одинаковыми схемами не обязательно изоморфны. Множество {fi j | i 6= j, 1 6 i, j 6 n} называется фазовым сдвигом формы H . Два фазовых сдвига определяют изоморфные группы Γ, если (но не только если) их произведения по всем замкнутым путям совпадают. 3.3. Группы Γ(p, t) 1 . Пусть p = 3, 4, 5 и t ∈ Q, |t| < 3((1/2) − (1/ p)). Рассмотрим схему p 3

p 1 См.

[Most 9] и [Most 10] .

3

3

p

§ C. Примеры неарифметических решеток

427

и определим фазовый сдвиг, положив fi j = f, 1 6 i, j 6 3, где f3 = exp pit. Соответствующую группу обозначим Γ(p, t). Непосредственно проверяется, что при указанных условиях на p и t эрмитова форма из п. 3.2 имеет сигнатуру (2,1). Поэтому можно считать Γ(p, t) подгруппой в SU2,1 (R). Эта подгруппа дискретна лишь для конечного набора значений параметров. Если она дискретна, то является решеткой в SU2,1 (R). Теорема 1 (см. [Most 10], теорема 17.3). В группе SU2,1 (R) имеются неарифметические решетки вида Γ(p, t). Существует лишь 7 таких решеток. Они отвечают следующим значениям параметров: (p, t) = (3, 5/42), (3, 1/12), (3, 1/30), (4, 3/20), (4, 1/12), (5, 1/5), (5, 11/30). Некокомпактные решетки вида Γ(p, t) являются арифметическими. Так как Γ(p, t) ⊂ SU2,1 (R), группа Γ(p, t) действует естественным образом на двумерном комплексном шаре Ch2 . Теорема 2 (см. [Most 20], § 19). Пусть |t| < (1/2) − (1/ p). Тогда существуют дискретное голоморфное действие группы Γ(p, t) на двумерном комплексном многообразии Y (p, t) и Γ(p, t)-инвариантное голоморфное отображение p : Y (p, t) → Ch2 . С помощью теоремы 2 в статье [M-S] были построены первые примеры компактных римановых многообразий M отрицательной кривизны, не диффеоморфных локально симметрическому пространству. В этих примерах M — алгебраическая поверхность, имеющая отрицательную кривизну относительно метрики Кэлера. 3.4. Замечания. (i) Главная трудность при доказательстве теоремы 1 заключается в проверке дискретности групп Γ(p, t) для указанных значений параметров. (ii) В статьях [Schw 2], [Schw 3] и [Hö] рассматриваются разветвленные накрытия двумерного комплексного проективного пространства и с их помощью строятся кокомпактные решетки в SU2,1 (R), порожденные комплексными отражениями. При этом используется критерий Яу, определяющий, в каких случаях универсальное накрытие двумерного кэлерова многообразия является комплексным шаром. (iii) В работах [Most 11] и [D—M] предложен другой подход к построению дискретных подгрупп, основанный на рассмотрении групп монодромии гипергеометрических уравнений. Он применяется к построению неарифметических решеток — кокомпактных и некокомпактных — в группах SU2,1 (R) и SU3,1 (R). 3.5. Нестандартные гомоморфизмы. Пусть G — связная абсолютно простая R-изотропная R-группа; Γ — решетка в G(R); k — локальное поле; H — абсолютно почти простая k-группа. Будем называть гомоморфизм

428

Дополнения

t : Γ → H(k) стандартным, если подгруппа t (Γ) плотна по Зарисскмоу в H и либо подгруппа t (Γ) относительно компактна в H(k), либо поле k архимедово и t продолжается до C-эпиморфизма t˜ : G → H. Обозначим через L поле, порожденное элементами матриц из Γ. Нетрудно показать, что решетка Γ арифметична, если и только если для любого вложения поля L в локальное поле l гомоморфизм s0 : Γ → s G(l) стандартен (это вытекает, например, из анализа доказательства теорем арифметичности в § IX.2). Таким образом, любая неарифметическая решетка в G(R) обладает нестандартными гомоморфизмами. Для неарифметических решеток из п. 3.3 справедливо несколько более сильное утверждение (см. [Most 10], § 22). Пусть Γ = Γ(p, t) — неарифметическая решетка в SU2,1 (R). Тогда существует такой автоморфизм s поля C, что гомоморфизм s0 : Ad Γ → s G(C), где G = Ad SU2,1 , не является стандартным. Существование нестандартных гомоморфизмов резко контрастирует с теоремой сверхжесткости для групп R-ранга выше 1 (см. теорему VII.5.9). Приведем еще один пример нестандартного гомоморфизма. Пусть Γ1 = Γ(5, −1/10), Γ2 = Γ(5, 7/10). Тогда (см. [Most 10], § 22) Γ1 и Γ2 являются арифметическими решетками в SU2,1 (R) и существует эпиморфизм r : Γ1 → Γ2 с бесконечным ядром. Построение такого эпиморфизма, приведенное в [Most 10], основано на рассмотрении образующих и определяющих соотношений групп Γ1 и Γ2 .

Исторические и библиографические замечания Теорема Бореля — Вана о плотности, приведенная в гл. II, была доказана Борелем в [Bo 1] для всех архимедовых полей k и Ваном в [WS 8] в общем случае. Сейчас известны различные обобщения и доказательства этой теоремы (см. [Da 3], [Fu 7], [Mosk] и [Rag 6]). Подход, на котором основаны доказательства теорем плотности в §§ 2 и 4 гл. II, близок к изложенному в [Da 3] и [Fu 7]. Лемма 3.2 главы II в действительности является модификацией леммы Маутнера, доказанной Прасадом (см. [Pr 2], лемма 2). В случае, когда поля ka архимедовы, предложение II.3.3 является частным случаем теоремы Мура — Маутнера (см. [Moo 1], теорема 1), а для card A = 1 оно фактически было получено Прасадом при доказательстве предложения 2 в [Pr 2]. Доказательство в этой книге является модификацией доказательств из [Moo 1] и [Pr 2]. Лемма II.3.4 принадлежит Кириллову (см. [D-K], доказательство леммы 5, или [G-G-P], доказательство леммы в § 2 дополнения к гл. II). Предложение II.3.9 и следствие II.3.10 были получены в § 2.3 статьи [Mar 8]. Теорема II.5.1 была доказана в [Mar 8] и [Pr 5] (в этой книге приведен вариант доказательства из [Mar 8]). О результатах § 6 гл. II см. [Mar 8], [Pr 5] и § 1 в [Pr 6] (о теореме о сильной аппроксимации из п. 6.8 см. также [Kn 3], [Pl 2], [Pl 3] и [Pl 4]). В случае, когда поля ka архимедовы, теорема II.7.2 в действительности является частным случаем теоремы Мостова—Мура—Маутнера (см. [Most 5], лемма 4), а в случае, когда card A = 1 и char ka = 0 при всех a ∈ A, она была по существу доказана Дани (см. [Da 1], следствие 3.2). Доказательство теоремы II.7.2 в этой книге — модификация доказательств в [Da 1] и [Most 5]. Читатель, который интересуется проблемой эргодичности потоков на однородных пространствах произвольных вещественных групп Ли, может обратиться к [B-M]. Вопросы, касающиеся взаимосвязи теории дискретных подгрупп и эргодической теории, изучались в [Da 1,2,4-8], [Rat 1-3], [Sul 1] и многих других публикациях.

430

Исторические и библиографические замечания

Как отмечено в начале гл. III, свойство (T) было введено Кажданом в [Kaz 1]. Там же содержатся основные результаты, касающиеся этого свойства, однако в очень сжатом изложении. Более подробно они изложены в [D-K] и [WS 4]. Случай полупростых алгебраических групп над полями характеристики 2 рассмотрен в [WS 18], где получено также несколько результатов о свойстве (T) в группах, не являющихся полупростыми. Импликация (ii)⇒(i) в теореме III.2.12 была установлена в [WS 11]. Доказательство теоремы Вататани в §3 гл. III (о том, что группы со свойством (T) не являются амальгамами) фактически такое же, как в [Wat]. В п. III.5.12 изложены результаты из [Mar 14] и [Sul 2]. Эти две работы различаются выбором плотных подгрупп со свойством (T). Следует отметить, что свойству [T] специально посвящена книга [HV]. В гл. IV представлено содержание статей [Mar 11] и [Mar 12]. Доказательство теоремы IV.1.3 является модификацией доказательства теоремы III.1.2.3 в [D-S]. Теорема IV.1.5 выводится из теоремы IV.1.3 таким же образом, как в § 7 книги [Br] стандартная теорема о точке плотности выводится из теоремы Витали о покрытии. Предложение IV.2.4 в действительности получено в [Li]. Метод доказательства существования эквивариантных измеримых отображений в гл. V, основанный на применении мультипликативной эргодической теоремы, был впервые предложен в [Mar 7]. Иной метод (основанный на теории границы), который представлен в гл. VI, был предложен Фюрстенбергом (см. [Fu 6] и [Fu 8]). О других подходах см. п. VII.5.26. Доказательство теоремы VII.5.9 для случая Λ′ = Γ′ было намечено в [Mar 7] и подробно изложено в [Mar 9]. Метод, разработанный в [Mar 7] и [Mar 9], допускает непосредственное применение в доказательстве теоремы VII.5.6 для случая, когда char ka = 0 при всех a ∈ A. Метод доказательства теорем сверхжесткости, изложенный в гл. VII, включает некоторые идеи и рассуждения, принадлежащие Е. Вишик. Повторяя сказанное в [Mar 7], автор хотел бы особенно подчеркнуть, что при доказательстве теорем сверхжесткости он находился под влиянием глубоких идей Мостова о продолжении изоморфизмов решеток на компактификации симметрических пространств. Теорема VII.7.5 для случая кокомпактной решетки Γ′ была впервые доказана Мостовым в [Most 1]. Развивая метод Мостова, Прасад доказал теорему VII.7.5 для некокомпактных решеток Γ′ , имеющих Q-ранг 1 (см. [Pr 1]), а теорему VII.7.1 — для кокомпактных решеток Γ′ (см. [Pr 6]). Теорема VII.7.5 для случая некокомпактных Γ′ была получена автором в [*Mar 2]. Доказательство в этой статье основано на рассмотрении уни-

Исторические и библиографические замечания

431

потентных элементов в решетках и потому не может быть перенесено на случай кокомпактной решетки Γ′ . Теорема VIII(А) впервые была доказана в п. 2.4 работы [Mar 12]. В этой же статье получено большинство результатов § VIII.2, хотя и в более слабом виде. Теорема VIII(Б) в несколько иной форме доказана в [Mar 7]. Предложения VIII.3.20 и VIII.3.22 для случая char k = 0 были доказаны в [Vi 4]; в этой же статье получен ряд других результатов о кольцах определения линейных групп. Основные результаты гл. IX (т. е. теоремы А и Б п. 1.9) для случая, когда char ka = 0 при всех a ∈ A и G = Gis , были получены (в несколько ином виде) в [Mar 7]. Теорема IX.1.16 при ограничении «rankR G > 2, G = Gis » была впервые доказана в [Mar 7] и [Mar 9]. Как предположение она формулировалась Сельбергом для случая некокомпактной решетки Γ0 (см. [Sel 2], [Sel 3]) и Пятецким-Шапиро для общего случая (см. [Pi 2], [Pi 3]). При попытках доказать это предположение оба автора получили целый ряд результатов, в основном для случая некокомпактных решеток (см. [Pi 1], [Pi 2], [Pi 3], [Sel 1], [Sel 3]). Для случая некокомпактной решетки Γ0 теорема IX.1.16 при указанном выше ограничении была доказана в [Mar 3] и [Mar 5] методом, основанном на рассмотрении унипотентных элементов в Γ0 и потому неприменимым к кокомпактным решеткам. Автором был опубликован несколько более слабый результат об арифметичности некокомпактных решеток в вещественных полупростых группах (см. [*Mar 3]). Дальнейший существенный прогресс в доказательстве теоремы IX.1.16 для некокомпактных решеток Γ0 был достигнут Рагунатаном (см. [Rag 6]). Его метод также основан на рассмотрении унипотентных элементов в Γ0 . Для некоторых групп G при условии, что char ka = 0 при всех a ∈ A, теорема A п. IX.1.9 была сформулирована как предположение ПятецкимШапиро, хотя не совсем точно (см. [Pi 2]). Теорема Б п. IX.1.9 для случая R-групп (по крайней мере ее суть) сформулирована как предположение в [P-S] и [Pi 2]. Это относится и к предложению IX.7.7. Каждан в [Kaz 2] доказал теорему Б п. IX.1.9 для некокомпактных решеток в SL2 (R), состоящих из матриц с целыми алгебраическими элементами. Следствие IX.4.17 для случая G = Gis в различных формах высказывалось как предположение Сельбергом (см. [Sel 1] и [Sel 3]). Следствие IX.7.2 дает положительный ответ на вопрос Сельберга, существуют ли симметрические пространства без неприводимых дискретных групп движений конечного кообъема.

Список литературы [A–M]

A l o n N., M i l m a n V. D. l1 , isoperimetric inequalities for graphs and superconcentrators // J. Combinatorial Theory Ser B. 1985. V. 38, № 1. P. 73—88.

[An 1]

А н д р е е в Е. М. О выпуклых многогранниках в пространствах Лобачевского // Матем. сб. 1970. Т. 81, № 3. С. 445—478.

[An 2]

А н д р е е в Е. М. О выпуклых многогранниках конечного объема в пространстве Лобачевского // Матем. сб. 1970. Т. 83, № 2. С. 256—260.

[A–W]

A k e m a n n C. A., W a l t e r M. E. Unbounded negative definite functions // Canad. J. Math. 1981. V. 33. P. 862—871.

[Be 1]

B e h r H. Zur starken Approximation in algebraischen Gruppen uber globalen Körpern // J. Reine Angew. Math. 1968. V. 229. P. 107—116.

[Be 2]

B e h r H. Endliche Erzeugbarkeit arithmetischer Gruppen über Funktionenkörpern // Invent. Math. 1969. V. 7. P. 1—32.

[Be 3]

B e h r H. Chevalley groups of rank 2 over Fq (t) are not finitely presentable // Homological group theory (Proc. Symp. «Homological and combinatorial techniques in group theory», Durham, 1977). Cambridge—New York: Cambridge Univ. Press. 1979. P. 213—224. (London Math. Soc. Lecture Note Ser., V. 36.)

[Be 4]

B e h r H. Finite presentability of arithmetic groups over global function fields // Proc. Edinburgh Math. Soc. 1987. V. 30. P. 23— 39.

[Bi]

B i l l i n g s l e y P. Ergodic theory and information. New York: Wiley. 1965.

[B–K]

Б е р н ш т е й н И. Н., К а ж д а н Д. А. Об одномерных когомологиях дискретных подгрупп // Функц. анализ и его прил. 1970. V. 4, № 1. P. 1—5.

Список литературы

[B–M]

433

B r e z i n J., M o o r e C. C. Flows on homogeneous spaces: a new look // Amer. J. Math. 1981. V. 103. P. 571—613.

[B–M–S] B a s s H., M i l n o r J., S e r r e J. - P. Solution of the congruence subgroup problem for SLn and Sp2n // Publ. Math. IHES. 1967. V. 33. P. 59—137. [Bo 1]

B o r e l A. Density properties for certain subgroups of semisimple groups without compact components // Ann. Math. 1960. V. 72. P. 179—188.

[Bo 2]

B o r e l A. Compact Clifford—Klein forms of symmetric spaces // Topology. 1963. V. 2. P. 111—122.

[Bo 3]

B o r e l A. Some finiteness properties of adèle groups over number fields // Publ. Math. IHES. 1963. V. 16. P. 1—30.

[Bo 4]

B o r e l A. Density and maximality of arithmetic subgroups // J. Reine Angew. Math. 1966. V. 224. P. 78—89.

[Bo 5]

Borel A. Ensembles fondamentaux pour les groups arithmétiques et formes. automorphes. Faculté des Sciences de Paris. Cours mimeographié. 1967.

[Bo 6]

B o r e l A. Linear algebraic groups. New York: Benjamin. 1969. [Перевод на рус. яз.: Б о р е л ь А. Линейные алгебраические группы. М.: Мир, 1972.]

[Bo 7]

B o r e l A. Some metric properties of arithmetic quotients of symmetric spaces and an extension theorem // J. Differential Geometry. 1972. V. 6. P. 543—560.

[Bo 8]

B o r e l A. Cohomologie de certains groupes discrets et laplacien p-adique // Seminaire Bourbaki. Exp. 437. (1973/1974). P. 12— 31. (Springer Lecture Notes. V. 431.)

[Bo 9]

B o r e l A. Cohomology of arithmetic groups // Proc. Int. Congress Math (Vancouver, 1974). 1975. V. 1. P. 435—142.

[Bo 10]

Borel A. Cohomologie de sous-groupes discrets et représentations de groupes semi-simples // Astérisque. 1976. № 32—33. P. 73—112.

[Bo 11]

B o r e l A. Stable and L2 -cohomology of arithmetic groups // Bull. Amer. Math. Soc., New Ser. 1980. V. 3. P. 1025—1027.

434

[Bo 12]

Список литературы

B o r e l A. Commensurability classes and volumes of hyperbolic 3-manifolds. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci (4). 1981. V. 8. P. 1—23.

[Bo–Hard] B o r e l A., H a r d e r G. Existence of discrete cocompact subgroups of reductive groups over local fields // J. Reine Angew. Math. 1978. V. 298. P. 53—64. [Bo–Hari] B o r e l A., H a r i s h - C h a n d r a. Arithmetic subgroups of algebraic groups // Ann. Math. 1962. V. 75. P. 485—535. [Boro 1] Б о р о в о й М. В. Абстрактная простота некоторых простых анизотропных алгебраических групп над числовыми полями // ДАН СССР. 1985. Т. 283, No 4. С. 794—797. [Boro 2] Б о р о в о й М. В. Абстрактная простота групп типа Dn над числовыми полями // Успехи матем. наук. 1988. Т. 43, вып. 5. С. 179—180. [Bo–Se 1] B o r e l A., S e r r e J. - P. Corners and arithmetic groups. Comment Math. Helv. 1973. V. 48. P. 436—491. [Bo–Se 2] B o r e l A., S e r r e J. - P. Cohomologie d’immeubles et de groupes S-arithmetiques // Topology. 1967. V. 15. P. 211—232. [Bo–Sp] B o r e l A., S p r i n g e r T. A. Rationality properties of linear algebraic groups II // Tohoku Math. J. 1968. V. 20. P. 443—497. [Bo–T 1] B o r e l A., T i t s J. Groupes réductifs // Publ. Math. IHES. 1965. V. 27. P. 55—150. [Bo–T 2] B o r e l A., T i t s J. Eléments unipotents et sous-groupes paraboliques de groupes réductifs. I // Invent. math. 1971. V. 12. P. 95—104. [Bo–T 3] B o r e l A., T i t s J. Compléments a l’article «Groups réductifs» // Publ. Math. IHES. 1972. V. 41. P. 253–276. [Bo–T 4] B o r e l A., T i t s J. Homomorphismes «abstraits» de groupes algébriques simples // Ann. Math. 1973. V. 97. P. 499—571. [Bou 1]

B o u r b a k i N. Topologie Generale. Hermann, Paris: Ch. I–II (1951), Ch. III–IV (1951), Ch. V–VIII (1955) [Перевод на рус. яз. Б у р б а к и Н. Общая топология. Основные структуры. М.: Наука, 1968. Использование вещественных чисел... М.: Наука, 1975. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства. М.: Наука, 1969.]

Список литературы

435

[Bou 2]

B o u r b a k i N. Espaces Vectorielles Topologiques. Hermann, Paris: Ch. I–II (1953), Ch. III–V (1955), Fascicule de resultats 1955. [Перевод на рус. яз. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. М.: ИЛ, 1959.]

[Bou 3]

B o u r b a k i N. Integration. Ch. VI–VIII, Hermann, Paris 1960. [Перевод на рус. яз. Б у р б а к и Н. Интегрирование. Меры, интегрирование мер. М.: Наука, 1967. Интегрирование. Векторное интегрирование... М.: Наука, 1970. Интегрирование... М.: Наука, 1977.]

[Bou 4]

B o u r b a k i N. Varietes Diflerentielles et Analytiques. Fascicule des resultats, Hermann, Paris: Paragr. 1–7 (1967), Paragr. 8–15 (1971). [Перевод на рус. яз. Б у р б а к и Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. М.: Мир, 1975.]

[Bou 5]

B o u r b a k i N. Groupes et Algebres de Lie. Hermann, Paris: Ch. I (1971), Ch. II–III (1972), Ch. IV–VI (1968). [Перевод на рус. яз. Б у р б а к и Н. Группы и алгебры Ли. Подалгебры Картана... М.: 1978. Группы Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир, 1976.]

[Bo–W] B o r e l A., W a l l a c h N. Continuous cohomology, discrete subgroups and representations of reductive groups // Ann. Math. Studies. № 94. Princeton: Princeton Univ. Press. 1980. [Br]

Б р у д н о А. Л. Теория функций действительного переменного. М.: Наука, 1971.

[B–T 1] B r u h a t F., T i t s J. Groupes réductifs sur un corps local, I // Publ. Math. IHES. 1972. V. 41. P. 5—252. [B–T 2] B r u h a t F., T i t s J. Groupes réductifs sur un corps local, II // Publ. Math. IHES. 1984. V. 60. P. 5—184. [B–T 3] B r u h a t F., T i t s J. Groupes algébriques simples sur un corps local: cohomologie galoisienne, décompositions d’Iwasawa et de Cartan // C. R. Acad. Sci. Paris. Série A. 1966. V. 263. P. 867— 869. [Bu]

Б у г а е н к о В. О. О группах автоморфизмов унимодулярных i h√ 5+1 гиперболических квадратичных форм над кольцом Z // 2 Вестник МГУ. Сер. матем. 1984. № 5. С. 6—12.

436

Список литературы

[C 1]

C h e v a l l e y C. Theory of Lie groups. V. I. Princeton, Princeton University Press, 1946. [Перевод на рус. яз. Ш е в а л л е К. Теория групп Ли. Т. 1. М.: ИЛ, 1948.]

[C 2]

C h e v a l l e y C. Théorie des groupes de Lie, V. II: groupes algébriques. Paris, Hermann. 1951. [Перевод на рус. яз. Ш е в а л л е К. Теория групп Ли. Т. 2. М.: ИЛ, 1958.]

[C 3]

C h e v a l l e y C. Théorie des groupes de Lie. V. III: théorèmes generaux sur les algébres de Lie. Paris, Hermann. 1955. [Перевод на рус. яз. Ш е в а л л е К. Теория групп Ли. Т. 3. М.: ИЛ, 1958.]

[Ch 1]

Ч е р н о у с о в В. И. О проективной простоте алгебраических групп, разложимых над квадратичным расширением числового поля // ДАН СССР. 1987. Т. 296, № 6. С. 1301—1305.

[Ch 2]

Ч е р н о у с о в В. И. О структуре групп рациональных точек типа Dn // ДАН СССР. 1987. Т. 31, № 7. С. 593—596.

[Ch 3]

Ч е р н о у с о в В. И. О проективной простоте некоторых групп рациональных точек над полями алгебраических чисел // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1989. Т. 53, № 2. С. 398—410.

[Ch–W] C h o d a M., W a t a t a n i Y. Fixed point algebra and property (T) // Math. Japonica. 1982. V. 27. P. 263—266. [Cox]

C o x e t e r H. S. M. Discrete groups generated by reflections // Ann. Math. 1934. V. 35. P. 588—621.

[Co–W] C o n n e s A., W e i s s B. Property (T) and asymptotically invariant sequences // Israel. J. Math. 1980. V. 37. P. 209—210. [Da 1]

D a n i S. G. Kolmogorov automorphisms on homogeneous spaces // Amer. J. Math. 1976. V. 98. P. 119—163.

[Da 2]

D a n i S. G. On invariant measures, minimal sets, and a lemma of Margulis // Invent. math. 1979. V. 51. P. 239—260.

[Da 3]

D a n i S. G. A simple proof of Borel’s density theorem // Math. Zeit. 1980. V. 174. P. 81—94.

[Da 4]

D a n i S. G. Invariant measures and minimal sets horospherical flows // Invent. math. 1981. V. 64. P. 357—385.

[Da 5]

D a n i S. G. Continuous equivariant images of lattice actions on boundaries // Ann. Math. 1984. V. 119. P. 111—119.

of

Список литературы

437

[Da 6]

D a n i S. G. On orbits of unipotent flows on homogeneous spaces // Ergod. Theor. and Dynam. Sys. 1984. V. 4. P. 25—34.

[Da 7]

D a n i S. G. On orbits of unipotent flows on homogeneous spaces. II // Ergod. Theor. and Dynam. Sys. 1986. V. 6. P. 167— 182.

[Da 8]

D a n i S. G. Orbits of horospherical flows // Duke Math. 1986. V. 53, № 1. P. 177—188.

[De]

D e l i g n e P. Extensions centrales non-résiduellement finies de groupes arithmétiques // C.R. Acad. Sci. Paris. Série A. 1978. V. 287. P. 203—208.

[Die]

D i e u d o n n é , J. La géometrie des groupes classiques. New York, Springer, 1971. [Перевод на рус. яз. Д ь е д о н н е Ж. Геометрия классических групп. М.: Мир, 1974.]

[Dix]

D i x m i e r J. Les C ∗ -algèbres et leurs représentations. Paris: Gauthier—Villars, 1969. [Перевод на рус. яз. Д и к с м ь е Ж. C ∗ -алгебры и их представления. М.: Наука, 1974.]

[D–K]

D e l a r o c h e C., K i r i l l o v A. Sur les relations entre l’espace dual d’un groupe et la structure de ses sous-groupes fermés // Séminaire Bourbaki. V. 1967/68, exposé 343. New York: Benjamin, 1969.

[D–M]

D e l i g n e P., M o s t o w G. D. Monodromy of hypergeometric functions and non-lattice integral monodromy // Publ. Math. IHES. 1986. V. 63. P. 5—89.

[Dr]

Д р и н ф е л ь д В. Г. Конечно-аддитивные меры на S 2 и S 3 , инвариантные относительно вращений // Функц. анализ и его прил. V. 18, вып. 3. 1984.

[D–R]

D e l J u n c o A., R o s e n b l a t t J. Counterexamples in ergodic theory and number theory // Math. Ann. 1979. V. 245. P. 185—197.

[D–S]

D u n f o r d N., S c h w a r t z T. Linear operators. Part I: general theory. New York, Interscience publishers, 1958. (Pure and applied mathematics, V. 7) [Перевод на рус. яз. Д а н ф о р д Н., Ш в а р ц Д ж. Т. Линейные операторы. Т. 1. М.: ИЛ, 1962. Т. 2. М.: Мир, 1966. Т. 3. М.: Мир, 1974.]

[Fa]

Ф а д д е е в Л. Д. Разложение по собственным функциям оператора Лапласа на фундаментальной области дискретной группы

438

Список литературы

на плоскости Лобачевского // Труды ММО. 1967. Т. 17. С. 323— 350. [Fe]

F e l l J. M. G. Weak containment and induced representations of groups // Can. J. Math. 1962. V. 14. P. 237—268.

[F–G]

F e l d m a n J., G r e e n l e a f P. P. Existence of Borel transversals in groups // Pacific J. Math. 1968. V. 25. P. 455—461.

[F–K]

F u r s t e n b e r g H., K e s t e n H. Products of random matrices // Ann. Math. Statistics. 1960. V. 31. P. 457—469.

[Fu 1]

F u r s t e n b e r g H. Non-commuting random products // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. V. 108. P. 377—428.

[Fu 2]

F u r s t e n b e r g H. Poisson boundaries and envelopes of discrete groups // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. V. 73. P. 350—356.

[Fu 3]

F u r s t e n b e r g H. The unique ergodicity of the horocycle flow // Recent advances in topological dynamics (Proc. Conf. Yale Univ., New Haven, Conn., in honor of Gustav Arnold Hedlund). Berlin: Springer, 1973. P. 95—155. (Lecture Notes in Math. V. 318.)

[Fu 4]

F u r s t e n b e r g H. Random walks and discrete subgroups of Lie groups // Advances in probability and related topics. V. 1. New York: Marcel Dekker, 1971. P. 1—63.

[Fu 5]

F u r s t e n b e r g H. Boundary theory and stochastic processes on homogeneous spaces // Harmonic analysis on homogeneous spaces (Symposia on Pure and Applied Math. Mass., Williamstown, 1972. V. 26). Providence: AMS, 1973. P. 193—229.

[Fu 6]

Furstenberg H. Equivariant measurable maps and representations of lattice subgroups. Jerusalem: Hebrew University, 1975. Preprint.

[Fu 7]

F u r s t e n b e r g H. A note on Borel’s density theorem // Proc. Amer. Math. Soc. 1976. V. 55. P. 209—212.

[Fu 8]

F u r s t e n b e r g H. Rigidity and cocycles for ergodic actions of semisimple groups (after G. A. Margulis and R. Zimmer) // Seminaire Bourbaki. 1979/80. № 559.

[Ga 1]

G a r l a n d H. p-adic curvature and the cohomology of discrete subgroups of p-adic groups // Ann. Math. (2). 1973. V. 97. P. 375— 423.

Список литературы

[Ga 2]

439

G a r l a n d H. On the cohomology of discrete subgroups of p-adic groups // Proc. In. Congress Math. (Vancouver, 1974). 1975. V. 1. P. 449—453.

[G–G–P] Ге л ь ф а н д И. М., Гр а е в М. И. П я т е ц к и й - Ш а п и р о И. И. Теория представлений и автоморфные функции. М.: Наука, 1966. [Go]

G o d e m e n t R. Les fonctions de type positif et la théorie des groupes // Trans. AMS. 1948. V. 63. P. 1—84.

[G–R]

G a r l a n d H., R a g h u n a t h a n M. S. Fundamental domains for lattices in R-rank 1 semisimple Lie groups // Ann. Math. 1970. V. 92. P. 279—326.

[Gre]

G r e e n l e a f F. Invariant means on topological groups. New York: van Nostrand Reinhold Co., 1969.

[Gro]

G r o m o v M. Hyperbolic manifolds, groups, and actions // Riemann surfaces and related topics (ed. I. Kra and B. Maskit) Princeton: Princeton University Press, 1981. (Annals of Math. Studies. V. 97.)

[Gro–P] G r o m o v M., P i a t e t s k i - S h a p i r o I. Non-arithmetic groups in Lobachevsky spaces. Publ. Math. IHES. 1988. [G–S 1] G r u n e w a l d F., S c h w e r m e r J. A non-vanishing theorem for the cuspidal cohomology of SL2 over imaginary quadratic integers // Math. Ann. 1981. V. 258. P. 183—200. [G–S 2] G r u n e w a l d F., S c h w e r m e r J. Free non-abelian quotients of SL2 over orders of imaginary quadratic number fields // J. Algebra. 1981. V. 69. P. 298—304. [G–S 3] G r u n e w a l d F., S c h w e r m e r J. Arithmetic quotients of hyperbolic 3-space, cusp forms and link complements // Duke Math. J. 1981. V. 48, № 2. P. 351—358. [Gu]

G u i v a r c ’ h Y. Quelques propriétés asymptotiques des produits de matrices aléatoires. Berlin: Springer, 1980. P. 178—250. (Lecture Notes in Math. V. 774.)

[G–V]

Ге л ь ф а н д И. М., В и л е н к и н Н. Я. Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства. М.: Физматгиз, 1961.

440

Список литературы

[Hal 1]

H a l m o s P. R. Measure Theory. New York 1950. [Первод на рус. яз.: Х а л м о ш П. Теория меры. М.: ИЛ, 1953. 2-е изд.: М.: Факториал Пресс, 2003.]

[Hal 2]

H a l m o s P. R. Lectures on ergodic theory. Tokyo, Math. Soc. of Japan, 1956. [Перевод на рус. яз.: Х а л м о ш П. Лекции по эргодической теориии. М.: ИЛ, 1959.]

[Har 1]

H a r d e r G. Eine Bemerkung zum schwachen Approximationsatz // Arch. d. Math. 1968. V. 19. P. 465—471.

[Har 2]

Harder G. Minkowskische Reduktionstheorie Funktionenkörpern // Invent. Math. 1969. V. 7. P. 33—54.

[Har 3]

H a r d e r G. A Gauss—Bonnet formula for discrete arithmetically defined groups // An. Sc. d. Ec. Norm. Sup. 4 Série. 1971. V. 4. P. 409—455.

[Har 4]

H a r d e r G. On the cohomology of discrete arithmetically defined groups // Proc. Int. Colloq. on discrete subgroups of Lie groups and applications to moduli (Bombay 1973). Oxford: Oxford University Press, 1975. P. 129—160.

[Har 5]

H a r d e r G. Über die Galoiskohomologie halbeinfacher algebraischer Gruppen, III // J. Reine Angew. Math. 1975. V. 274/275. P. 125—138.

[Har 6]

H a r d e r G. Die Kohomologie S-arithmetischer Gruppen über Funktionenkorpern // Invent. Math. 1977. V. 42. P. 135—175.

[Har 7]

H a r d e r G. Eisenstein cohomology of arithmetic groups. The case GL2 // Invent. Math. 1987. V. 89. P. 37—118.

[He]

H e l g a s o n S. Differential Geometry and Symmetric Spaces. New York, Academic Press, 1962. [Перевод на рус. яз. Х е л г а с о н С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964. 2-е изд.: М.: Факториал Прес, 2005.]

[Ho]

H o p f E. Ergodentheorie // Ergebnisse der Mathematik. V. 2. J. Berlin: Springer, 1937.

[Hov]

Х о в а н с к и й А. Г. Гиперплоские сечения многогранников, торические многообразия и дискретные подгруппы в пространстве Лобачевского // Функц. анализ и его прил. 1986. Т. 20, вып. 1. С. 50—61.

über

Список литературы

441

[Hö]

H o f e r T. Ballquotienten als verzweigte Überlegungen der projektiven Ebene. Diss. Universität Bonn. Bonn, 1985.

[Hul]

H u l a n i c k i A. Means and Folner conditions on locally compact groups. Studia Math. 1966. V. 27. P. 87—104.

[Hum 1] H u m p h r e y s J. E. Linear Algebraic Groups. New York, Springer, 1975. [Перевод на рус. яз.: Х а м ф р и Д ж. Е. Линейные алгебраические группы. М.: Наука, 1980.] [Hum 2] H u m p h r e y s J . E. Arithmetic groups. Berlin, Springer, 1980. (Lecture notes in mathemarics. V. 789.) [Перевод на рус. яз.: Х а м ф р и Д ж. Е. Арифметические группы. М.: Мир, 1973.] [H–V]

H a r p e P., Va l e t t e A. La propriété (T) de Kazhdan pour les groupes localement compacts (avec un appendice de Marc Burger). Paris: Soc. Math. de France, 1989. (Astérisque No. 175.)

[J–M]

J o n s o n D., M i l l s o n J. Deformation spaces associated to compact hyperbolic manifolds. Preprint.

[J–W–W] J a m e s D., W a t e r h o u s e W., W e i s f e i l e r B. Abstract homomorphisms of algebraic groups: problems and bibliography // Communications in Algebra. 1981. V. 9. P. 95—114. [Kar]

К а р п е л е в и ч Ф. И. Поверхности транзитивности полупростой подгруппы группы движений симметрического пространства // ДАН СССР. 1953. Т. 93. № 3. С. 401—404.

[Kaz 1]

К а ж д а н Д. А. О связи дуального пространства группы со строением ее замкнутых подгрупп // Функц. анализ и его прил. 1967. Т. 1, вып. 1. С. 71—74.

[Kaz 2]

К а ж д а н Д. А. Построение Γ-рациональных групп для некоторых дискретных подгрупп Γ группы SL(2, R) // Функц. анализ и его прил. 1968. Т. 2, вып. 1. С. 36—39.

[Kaz 3]

K a z h d a n D. A. On arithmetic varieties // Proc. of the Summer School of the Bolyai Janos Math. Soc. on Lie groups and their representations (Budapest, 1971). Budapest: Akademia Kiado, 1975. P. 151—217.

[Kaz 4]

K a z h d a n D. A. Some applications of the Weil representation. Mimeographed notes.

[Ki]

К и р и л л о в А. А. Элементы теории представлений. М.: Наука, 1978.

442

Список литературы

[Kn 1]

Kneser M. Orthogonale Gruppen über algebraischen Zahlkörpern // J. Reine Angew. Math. 1956. V. 196. C. 213— 220.

[Kn 2]

K n e s e r M. Schwache Approximation in algebraischen Gruppen // Colloque sur la théorie des groupes algébriques. Brussels: CBRM, 1962. P. 41—52.

[Kn 3]

K n e s e r M. Strong approximation I, II // Proc. Symp. Pure Math. 1966. V. 9. P. 99—103; 187—196.

[Kn 4]

K n e s e r M. Normal subgroups of integral orthogonal groups // Algebraic K -theory and its geometric applications (Conf., Hull, 1969). Berlin: Springer, 1969. P. 67—71.

[Kn 5]

K n e s e r M. Normalteiler ganzzahliger Spingruppen // J. Reine Angew. Math. 1979. V. 311/312. P. 191—214.

[Ko]

K o s t a n t B. On the existence and irreducibility of certain series of representations // Bull. AMS. 1969. V. 75. P. 627—642.

[K–S–F] К о р н ф е л ь д И. П., С и н а й Я. Г., Ф о м и н С. В. Эргодическая теория. М.: Наука, 1980. [Ku]

К у р о ш А. Г. Теория групп. М.: Наука, 1967.

[La]

L a c h a u d G. Spectral analysis of automorphic forms on rank one groups by perturbation methods // Harmonic Analysis of Homogeneous spaces. (Proc. Symp. Pure Math. V. 26). Providence: Amer. Math. Soc., 1973. P. 441—450.

[Lan 1]

L a n g S. Algebra. Addison-Wesley Publ. Co., Inc., Reading, Mass., 1965. [Перевод на рус. яз.: Л е н г С. Алгебра. М.: Мир, 1968.]

[Lan 2]

L a n g S. SL2 (R). Addison-Wesley Publ. Co., Inc., Reading, Mass., 1975. [Перевод на рус. яз. Л е н г С. SL2 (R). М.: Мир, 1977.]

[Li]

L i n d D. A. Translation invariant sigma algebras of groups // Proc. AMS. 1974. V. 42. P. 218—221.

[Lo]

L o è v e M. Probability Theory. D. Van Nostrand Comp. Inc., Princeton, New Jersey, D. Van Nostrand Comp. Inc., 1960.

[L–R]

L o s e r t V., R i n d l e r H. Almost invariant sets // Bull. London Math. Soc. 1981. V. 13. P. 145—148.

Список литературы

443

[L–S]

L e e R., S c h w e r m e r J. Cohomology of arithmetic subgroups of SL3 at infinity // J. Reine Angew. Math. 1982. V. 330. P. 100— 131.

[Lu 1]

L u b o t z k y A. Group presentation, p-adic analytic groups and lattices in SL2 (C) // Ann. Math. (2). 1983. V. 118. P. 115—130.

[Lu 2]

L u b o t z k y A. Trees and discrete subgroups of Lie groups over local fields // Bull. AMS. 1989. V. 20. P. 23—30.

[Macd]

M a c d o n a l d I. G. Spherical functions on a group of p-adic type. India: Univ. of Madras, 1971.

[Mack]

M a c k e y G. W. Induced representations of locally compact groups. Ann. Math. 1952. V. 55. P. 101—139.

[Mak 1] М а к а р о в В. С. Об одном классе разбиений пространства Лобачевского // ДАН СССР. 1965. Т. 161, № 2. С. 277—278. [Mak 2] М а к а р о в В. С. Об одном классе дискретных групп пространства Лобачевского, имеющих бесконечную область конечной меры // ДАН СССР. 1966. Т. 167. № 1. P. 30—33. [Mak 3] М а к а р о в В. С. Об одном классе двумерных федоровских групп // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1967. Т. 31, вып. 3. С. 531— 542. [Mal]

М а л ь ц е в А. И. Об одном классе однородных пространств // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1949. Т. 13, вып. 1. С. 9—32.

[Mar 1]

М а р г у л и с Г. А. Изометричность замкнутых многообразий постоянной отрицательной кривизны с одинаковой фундаментальной группой // ДАН СССР. 1970. Т. 192, вып. 4. С. 736— 737.

[Mar 2]

М а р г у л и с Г. А. Явные конструкции расширителей // Проблемы передачи информации. 1973. Т. 9, вып. 4. С. 71—80.

[Mar 3]

М а р г у л и с Г. А. Арифметические свойства дискретных подгрупп // Успехи матем. наук. 1974. Т. 29, вып. 1. С. 49—98.

[Mar 4]

М а р г у л и с Г. А. Арифметичность и конечномерные представления равномерных решеток // Функц. анализ и его прил. 1974. Т. 8, вып. 3. С. 77—78.

[Mar 5]

М а р г у л и с Г. А. Арифметичность неравномерных решеток в слабо некомпактных группах // Функц. анализ и его прил. 1975. Т. 9, вып. 1. С. 35—44.

444

Список литературы

[Mar 6]

M a r g u l i s G. A. On the action of unipotent groups in the space of lattices // Lie groups and their representations (Proc. of the Summer School, Bolyai, Janos Math. Soc., Budapest 1971). New York, Halsted, 1975. P. 365—370.

[Mar 7]

М а р г у л и с Г. А. Дискретные группы движений многообразий неположительной кривизны // Proc. Int. Congress Math. (Vancouver 1974). 1975. V. 2. P. 21—34.

[Mar 8]

М а р г у л и с Г. А. Коограниченные подгруппы в алгебраических группах над локальными полями // Функц. анализ и его прил. 1977. Т. 11, вып. 2. С. 45—57.

[Mar 9]

М а р г у л и с Г. А. Арифметичность неприводимых решеток в полупростых группах ранга больше 1 // М . Р а г у н а т а н . Дискретные подгруппы групп Ли. М.: Мир, 1977.

[Mar 10] М а р г у л и с Г. А. Факторгруппы дискретных подгрупп // ДАН СССР. 1978. Т. 242, № 3. С. 533—536. [Mar 11] М а р г у л и с Г. А. факторгруппы дискретных подгрупп и теория меры // Функц. анализ и его прил. 1978. Т. 12, вып. 4. С. 64— 76. [Mar 12] М а р г у л и с Г. А. Конечность факторгрупп дискретных подгрупп // Функц. анализ и его прил. 1979. Т. 13. вып. 3. С. 28— 39. [Mar 13] М а р г у л и с Г. А. О мультипликативной группе алгебры кватернионов над глобальным полем // ДАН СССР. Т. 252, вып. 3. С. 542—546. [Mar 14] M a r g u l i s G. A. Some remarks on invariant means // Monatshefte für Math. 1980. V. 90. P. 233—235. [Mar 15] M a r g u l i s G. A. On the decomposition of discrete subgroups into amalgams // Selecta Mathematica Sovetica. 1981. V. 1. P. 197—213. [Mar 16] M a r g u l i s G. A. Finitely-additive invariant measures on Euclidean spaces // Ergod. Th. and Dynam. Sys. 1982. V. 2. P. 383—396. [Mar 17] М а р г у л и с Г. А. Свободные вполне разрывные группы аффинных преобразований // ДАН СССР. 1983. Т. 272, вып. 4. С. 785—786.

Список литературы

445

[Mar 18] М а р г у л и с Г. А. Полные аффинные локально плоские многообразия со свободной фундаментальной группой // Зап. науч. семинара Ленинградского отделения Матем. ин-та АН СССР. 1984. Т. 134. С. 190—205. [Ma–R] M a r g u l i s G. A., R o h l f s J. On the proportionality of covolumes of discrete subgroups // Math. Ann. 1986. V. 275. P. 197—205. [Mat]

M a t s u m o t o H. Sur les sous-groupes arithmétiques des groupes semi-simples deployés // Ann. Scient. E. Norm. Sup., 4-th Series. 1969. V. 2. P. 1—62.

[Me 1]

М е р з л я к о в Ю. И. Обзор новейших результатов об автоморфизмах классических групп // Автоморфизмы классических групп. М.: Мир, 1976. С. 250—259.

[Me 2]

М е р з л я к о в Ю. И. Теория изоморфизмов классических групп в 1976—1980 годах. Дополнение I. // Изоморфизмы классических групп над целостными кольцами. М.: Мир, 1980. С. 252—258.

[Milli]

М и л л и о н щ и к о в В. М. Критерий устойчивости вероятного спектра линейных систем дифференциальных уравнений с рекуррентными коэффициентами и критерий почти приводимости систем с почти периодическими коэффициентами // Матем. сб. 1969. Т. 78, вып. 2. С. 179—201.

[Mills 1] M i l l s o n J. On the first Betti number of a constant negatively curved manifold // Ann. Math. 1976. V. 104. P. 235—247. [Mills 2] M i l l s o n J. Real vector bundles with discrete structural group // Topology. 1979. V. 18. 83—89. [Mills 3] M i l l s o n J. Cycles and harmonic forms on locally symmetric spaces. Preprint. [Mi–R]

M i l l s o n J. R a g h u n a t h a n M. S. Geometric construction of cohomology for arithmetic groups. I // Geometry and analysis Bangalore: Indian Acad. Sci., 1980. P. 103—123.

[Moo 1] M o o r e C. C. Ergodicity of flows on homogeneous spaces // Amer. J. Math. V. 88. 1966. P. 154—178. [Moo 2] M o o r e C. C. The Mautner phenomenon for general unitary representations // Pacific J. Math. V. 86. 1980. P. 155—169.

446

[Mosk]

Список литературы

M o s k o w i t z M. On the density theorem of Borel and Furstenberg // Ark. Math. 1978. V. 16. P. 11—27.

[Most 1] M o s t o w G. D. Self-adjoint groups // Ann. Math. 1955. V. 62. P. 44—55. [Most 2] M o s t o w G. D. Some new decomposition theorems for semisimple groups // Memoirs AMS. 1955. V. 14. P. 31—54. [Most 3] M o s t o w G. D. Fundamental groups of homogeneous spaces // Ann. Math. 1957. V. 66. P. 249—255. [Most 4] M o s t o w G. D. Quasi-conformal mappings in n-space and the rigidity of hyperbolic space forms // Publ. Math. IHES. 1968. V. 34. P. 53—104. [Most 5] M o s t o w G. D. Intersections of discrete subgroups with Cartan subgroups // J. Indian Math. Soc. 1970. V. 34. P. 203—214. [Most 6] M o s t o w G. D. The rigidity of locally symmetric spaces // Proc. Int. Congr. Math. 1970. V. 2. P. 187—197. [Most 7] M o s t o w G. D. Strong rigidity of locally symmetric spaces. Princeton: Princeton University Press, 1973. (Ann. Math. Studies, V. 78.) [Most 8] M o s t o w G. D. Discrete subgroups of Lie groups // Adv. Math. 1975. V. 16. P. 112—123. [Most 9] M o s t o w G. D. Existence of a non-arithmetic lattice in SU(2, 1) // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1978. V. 75. P. 3029—3033. [Most 10] M o s t o w G. D. On a remarkable class of polyhedra in complex hyperbolic space // Pacific J. Math. 1980. V. 86. P. 171—276. [Most 11] M o s t o w G. D. Existence of nonarithmetic monodromy groups // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1981. V. 78. P. 5948—5950. [M–S]

M o s t o w G. D., S i u Y. T. A compact Kaehler surface of negative curvature not covered by the ball // Ann. Math. 1980. V. 112. P. 321—360.

[M–T]

M o s t o w G. D., Ta m a g a w a T. On the compactness of the arithmetically defined homogeneous spaces // Ann. Math. 1962. V. 76. P. 440—463.

[N 1]

Н и к у л и н В. В. О фактор-группах групп автоморфизмов гиперболических форм по подгруппам, порожденным 2отражениями // ДАН СССР. 1979. Т. 248, № 6. С. 1307—1309.

Список литературы

447

[N 2]

Н и к у л и н В. В. Об арифметических группах, порожденных отражениями в пространствах Лобачевского // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1980. Т. 44, вып. 3. С. 637—668.

[N 3]

Н и к у л и н В. В. О классификации арифметических групп, порожденных отражениями в пространствах Лобачевского // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1981. Т. 45, вып. 1. С. 113—141.

[N 4]

Н и к у л и н В. В. О факторгруппах групп автоморфизмов гиперболических форм по подгруппам, порожденным 2отражениями. Алгебро-геометрические приложения // Современные проблемы математики. Т. 18. (Итоги науки.) М.: ВИНИТИ, 1981. С. 3—114.

[O]

О с е л е д е ц В. И. Мультипликативная эргодическая теорема // Труды ММО. 1968. Т. 19. С. 113—178.

[Pi 1]

П я т е ц к и й-Ш а п и р о И. И. Дискретные подгруппы, группы аналитических автоморфизмов полицилиндра и автоморфные формы // ДАН СССР. 1959. Т. 124, вып. 4. С. 760—763.

[Pi 2]

П я т е ц к и й - Ш а п и р о И. И. Автоморные формы и арифметические группы // Труды Международного конгресса математиков (Москва, 1966). М.: Мир, 1968. С. 232—247.

[Pi 3]

П я т е ц к и й - Ш а п и р о И. И. Дискретные подгруппы групп Ли // Труды ММО. 1968. Т. 18. С. 3—18.

[Pl 1]

П л а т о н о в В. П. Теория линейных алгебраических групп и периодические группы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1966. Т. 30, вып. 3. С. 573—620.

[Pl 2]

П л а т о н о в В. П. Проблема сильной аппроксимации и гипотеза Кнезера—Титса для алгебраических групп // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1969. Т. 33, вып. 6. С. 1211—1219.

[Pl 3]

P l a t o n o v V. P. Arithmetic and structural problems in linear algebraic groups // Proc. Int. Congress Math. (Vancouver 1974). Providence: AMS, 1977.

[Pl 4]

П л а т о н о в В. П. Арифметическая теория алгебраических групп // Успехи матем. наук. 1982. Т. 37, вып. 3. С. 3—54.

[Pl–J]

П л а т о н о в В. П., Я н ч е в с к и й В. И. О гипотезе Хардера // ДАН СССР. 1975. Т. 221, вып. 4. С. 784—787.

448

Список литературы

[Pl–R 1] П л а т о н о в В. П., Р а п и н ч у к А. С. О группе рациональных точек трехмерных групп. ДАН СССР. 1979. Т. 247, вып. 2. С. 279—282. [Pl–R 2] П л а т о н о в В. П., Р а п и н ч у к А. С. Мультипликативная структура тел над числовыми полями и норменный принцип Хассе // Труды Матем. ин-та АН СССР. 1984. Т. 165. С. 171—187. [Pr 1]

P r a s a d G. Strong rigidity of Q-rank 1 lattices // Invent. math. 1973. V. 21. P. 255—286.

[Pr 2]

P r a s a d G. Triviality of certain automorphisms of semi-simple groups over local fields // Math. Ann. 1975. V. 218. P. 219—227.

[Pr 3]

P r a s a d G. Discrete subgroups isomorphic to lattices in Lie groups // Amer. J. Math. 1976. V. 98. P. 241—261; 853—863.

[Pr 4]

P r a s a d G. Non-vanishing of the first cohomology // Bull. Soc. Math. France. 1977. V. 105. 415—418.

[Pr 5]

P r a s a d G. Strong approximation for semi-simple groups over function fields // Ann. Math. 1977. V. 105. P. 553—572.

[Pr 6]

P r a s a d G. Lattices in semi-simple groups over local fields // Studies in algebra and number theory. New York: Academic Press, 1979. (Adv. Math. Suppl. Studies. V. 6).

[Pr 7]

P r a s a d G. Elementary proof of a theorem of Bruhat—Tits— Rousseau and a theorem of Tits // Bull. Soc. Math. France. 1982. V. 110. P. 197—202.

[Pro]

П р о х о р о в М. Н. Отсутствие дискретных групп отражений с некомпактным фундаментальным многогранником конечного объема в пространстве Лобачевского большой размерности // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. Т. 50, вып. 2. С. 413—424.

[Pr–R 1] P r a s a d G., R a g h u n a t h a n M. S. Cartan subgroups and lattices in semi-simple groups // Ann. Math. 1972. V. 96. P. 296— 317. [Pr–R 2] P r a s a d G., R a g h u n a t h a n M. S. On the congruence subgroup problem: determination of the «metaplectic kernel» // Invent. math. 1983. V. 71. P. 21—42. [Pr–R 3] P r a s a d G., R a g h u n a t h a n M. S. Topological central extension of semi-simple groups over local fields // Ann. Math. 1984. V. 119. P. 141—201, 203—268.

Список литературы

449

[Pr–R 4] P r a s a d G., R a g h u n a t h a n M. S. On the Kneser—Tits problem // Comment. Math. Helv. 1985. V. 60. P. 107—121. [P–S]

П я т е ц к и й - Ш а п и р о И. И., Ш а ф а р е в и ч И. Р. Теория Галуа трансцендентных расширений и униформизация // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1966. Т. 30, вып. 3. С. 676—704.

[Rag 1]

R a g h u n a t h a n M. S. On the first cohomology of discrete subgroups of semi-simple Lie groups // Amer. J. Math. 1965. V. 87. P. 102—139.

[Rag 2]

R a g h u n a t h a n M. S. Vanishing theorems for cohomology groups associated to discrete subgroups of semi-simple Lie groups // Osaka J. Math. V. 3. 1966. P. 243—256. Corrections // Osaka J. Math. 1979. V. 16. P. 295—299.

[Rag 3]

R a g h u n a t h a n M. S. Cohomology of arithmetic subgroups of algebraic groups. I // Ann. Math. 1967. V. 86. P. 409—424.

[Rag 4]

R a g h u n a t h a n M. S. Cohomology of arithmetic subgroups of algebraic groups. II // Ann. Math. 1968. V. 87. P. 279—304.

[Rag 5]

R a g h u n a t h a n M. S. Discrete subgroups of Lie groups. New York: Springer, 1972. [Перевод на рус. яз. Р а г у н а т а н М. Дискретные подгруппы групп Ли. М.: Мир, 1977.]

[Rag 6]

R a g h u n a t h a n M. S. Discrete groups and Q-structures on semisimple Lie groups // Discrete subgroups of Lie groups and applications to moduli. Bombay: Oxford University Press, 1975. P. 225—321.

[Rag 7]

R a g h u n a t h a n M. S. On the congruence subgroup problem // Publ. Math. IHES. 1976. V. 46. P. 107—161.

[Rag 8]

R a g h u n a t h a n M. S. A proof of Oseledec’s multiplicative ergodic theorem // Israel J. Math. 1979. V. 32. P. 356—362.

[Rag 9]

R a g h u n a t h a n M. S. Arithmetic lattices in semisimple groups // Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.). 1982. V. 91. P. 133—138.

[Rag 10] R a g h u n a t h a n M. S. Torsion in cocompact lattices in SO(2, n) // Math. Ann. 1984. V. 266. P. 403—419. [Rag 11] R a g h u n a t h a n M. S. On the group of norm 1 elements in a division algebra // Math. Ann. 1988. V. 279. P. 457—484. [Rag 12] R a g h u n a t h a n M. S. On the congruence subgroup problem. II // Invent. math. 1986. V. 85. P. 73—117.

450

Список литературы

[Rag 13] R a g h u n a t h a n M. S. Discrete subgroups of algebraic groups over local fields of positive characteristics // Proc. Ind. Acad. Sci. Math. 1989. V. 99, № 2. P. 127—146. [Rap 1]

Р а п и н ч у к А. С. Мультипликативная арифметика алгебр с делением над числовыми полями и метаплектическая проблема // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1987. Т. 51, вып. 5. С. 1033—1064.

[Rap 2]

Р а п и н ч у к А. С. Конгруэнц-проблема для алгебраических групп и сильная аппроксимация в аффинных многообразиях // ДАН БССР. 1988. Т. 32, вып. 7. С. 581—584.

[Rat 1]

R a t n e r M. Rigidity of horocycle flows // Ann. Math. 1983. V. 115. P. 597—614.

[Rat 2]

R a t n e r M. Horocycle flows, joinings, and rigidity of products // Ann. Math. 1983. V. 118. P. 277—313.

[Rat 3]

R a t n e r M. Ergodic theory in hyperbolic space. Preprint.

[Rohlf]

R o h l f s J. On the cuspidal cohomology of the Bianchi modular groups. Preprint.

[Rohlin 1] Р о х л и н В. А. Об основных понятиях теории меры // Матем. сб. Нов. сер. 1949. Т. 25, вып. 1. С. 107—105. [Rohlin 2] Р о х л и н В. А. Лекции по энтропийной теории преобразований с инвариантной мерой // Успехи матем. наук. 1967. Т. 22, вып. 5. С. 3—56. [Rosenb] R o s e n b l a t t J. Uniqueness of invariant means for measure preserving transformations // Trans. Amer. Math. Soc. 1981. V. 265. P. 623—636. [Rosenl] R o s e n l i c h t M. Questions of rationality for solvable algebraic groups over non-perfect fields // Annali di Mat. 1963. V. 4, № 61. P. 97—120. [R–S]

R o h l f s J., S p e h B. Representations with cohomology in the direct spectrum of subgroups of SO(n, 1) (Z) and Lefschetz numbers // Ann. Sci. Ècole Norm. Sup. (4). 1987. V. 20. P. 89—136.

[Ru]

R u e l l e D. Ergodic theory of differential dynamical systems. Preprint IHES. 1978.

[Schm]

S c h m i d t K. Amenability, Kazhdan’s property T , strong ergodicity and invariant means for ergodic group actions // Ergod. Theor. and Dynam. Syst. 1981. V. 1. P. 223—226.

Список литературы

[Scho]

451

S c h o e n b e r g I. J. Metric spaces and positive definite functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1938. V. 44. P. 522—536.

[Schw 1] Ш в а р ц м а н О. В. О дискретных арифметических подгруппах комплексных групп Ли // Матем. сб. Т. 77, вып. 4. 1968. С. 542—544. [Schw 2] Ш в а р ц м а н О. В. Дискретные группы отражений в комплексном шаре // Функц. анализ и его прил. 1984. Т. 18, вып. 1. С. 88—89. [Schw 3] Ш в а р ц м а н О. В. Дискретные группы отражений в комплексном шаре. II // Вопросы теории групп и гомологической алгебры. Ярославль: Яр ГУ, 1985. С. 61—77. [Schwe 1] S c h w e r m e r J. Sur la cohomologie de SLn (Z) a l’infini et les séries d’Eisenstein // C. R. Acad. Sci. Paris. 1979. V. 289. P. 413— 415. [Schwe 2] S c h w e r m e r J. Kohomologie arithmetisch definierter Gruppen und Eisensteinreihen. Berlin: Springer, 1983. (Lecture Notes in Math. V. 988.) [Sel 1]

S e l b e r g A. On discontinuous groups in higher dimensional symmetric spaces // Contributions to Function Theory (Internat. Colloq. Function Theory, Bombay, 1960). Bombey: Tata Inst. Fund. Res., 1960. P. 147—164.

[Sel 2]

S e l b e r g A. Discontinuous groups and harmonic analysis // Proc. Internat. Congr. Mathematicians (Stockholm 1962). Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, 1963. P. 177—189.

[Sel 3]

S e l b e r g A. Recent development in the theory of discontinuous groups of motions of symmetric spaces // Proc. 15th Scandinavian Math. Congr. (Oslo 1968). Berlin: Springer, 1970. P. 99—120. (Lecture Notes in Math. V. 118.)

[Ser 1]

S e r r e J. - P. Le problème de groupes de congruence pour SL2 // Ann. Math. 1970. V. 92. P. 489—527.

[Ser 2]

S e r r e J.-P. Cohomologie des groupes discrets // Prospects in Mathematics (Proc. Sympos., Princeton, 1970). Princeton: Princeton Univ. Press, 1971. P. 77—169. (Ann. of Math. Studies. V. 70.)

[Ser 3]

S e r r e J.-P. Arbres, amalgames, SL2 . Paris: Sociètè Mathèmatique de France, 1977. (Astérisque № 46.)

452

Список литературы

[Sha]

Ш а ф а р е в и ч И. Р. Основы алгебраической геометрии. М.: МЦНМО, 2007.

[Shil]

Ш и л о в Г. Е. Математический анализ. М.: Наука. Ч. 1—2, 1969; ч. 3, 1970. 2-е изд, 2002.

[Shir]

S h i r a k a w a H. An example of infinite measure preserving ergodic geodesic flow on a surface with constant negative curvature // Comment. Math. Univ. Santi Pauli. 1982. V. 31. P. 163—182.

[So]

S o u l é C. The cohomology of SL3 (Z) // Topology. 1978. V. 17. P. 1—22.

[Spa]

S p a t z i e r R. J. On lattices acting on boundaries of semisimple groups // Ergod. Theor. and Dynam. Sys. 1981. V. 1. P. 489—494.

[Spr]

S p r i n g e r T. A. Reductive groups // Automorphic forms, representations and L-functions (Proc. Symp. Pure Math., Oregon State Univ., Corvalis, Ore., 1977). Part 1.) Providence: Amer. Math. Soc., 1979. P. 3—27. (Proc. Sympos. Pure Math., V. 33.)

[Ste]

S t e i n b e r g R. Lectures on Chevalley groups. Notes prepared by John Faulkner and Robert Wilson. Yale University, 1967.

[Stu]

S t u h l e r U. Homological properties of certain arithmetic groups in function field case // Invent. math. 1980. V. 57. P. 269—281.

[Sul 1]

S u l l i v a n D. On the ergodic theory at infinity of an arbitrary discrete group of hyperbolic motions // Riemann surfaces and related topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference (State Univ. New York, Stony Brook, New York, 1978). Princeton: Princeton Univ. Press, 1981. P. 465—496. (Ann. of Math. Studies, V. 97).

[Sul 2]

S u l l i v a n D. For n > 3 there is only one finitely additive rotationally invariant measure on the n-sphere defined on all Lebesgue measurable subsets // Bull. Amer. Math. Soc. 1981. V. 4. P. 121—123.

[Sup]

С у п р у н е н к о Д. А. Группы матриц. М.: Наука, 1972.

[Th]

T h u r s t o n W. The geometry and topology of 3-manifolds. Mimeographed notes, Princeton University. [Перевод на рус. яз. Т ё р с т о н У. Трехмерная геометрия и топология. М.: МЦНМО, 2001.]

Список литературы

453

[Ti 1]

T i t s J. Algebraic and abstract simple groups // Ann. Math. 1964. V. 80. P. 313—329.

[Ti 2]

T i t s J. Classification of algebraic semisimple groups // Algebraic groups and discontinuous groups. (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965). Providence: Amer. Math. Soc., 1966. P. 33— 62.

[Ti 3]

T i t s J. Free subgroups in linear groups // J. Algebra. V. 20. 1972. P. 250—270.

[Ti 4]

T i t s J. Travaux de Margulis sur les sous-groupes discretes de groupes de Lie // Sèminaire Bourbaki 28ème annèe (1975/76). Exp № 482. Berlin, Springer, 1977. P. 174—190. (Lecture Notes in Math., V. 567.)

[To 1]

T o m a n o v G. M. Sur la structure des groupes algèbriques simples des type Dn definis sur des corps de nombres // C.R. Acad. Sci. Paris. 1988. V. 306. P. 647—650.

[To 2]

T o m a n o v G. M. On the congruence-subgroup problem for groups of type G2 // C.R. de l’Ac. Bulg. des Sciences. 1989. V. 42, № 6.

[To 3]

T o m a n o v G. M. Projective simplicity of groups of rational points of simply connected algebraic groups over number fields // Topics in Algebra, Part 2, (Warsaw, 1988). Warsaw: PWN, 1990. P. 455—466. (Banach Center Publ., V. 26).

[To 4]

T o m a n o v G. M. On the congruence-subgroup problem for some anisotropic algebraic groups over number fields // J. Reine Angew. Math. 1989. V. 402. P. 138—152.

[To 5]

T o m a n o v G. M. Remarques sur la structure des groupes algèbriques definis sur des corps de nombres // C.R. Acad. Sci. Paris. 1990. V. 310. P. 33—36.

[T–W]

T o n g G. L., W a n g S. P. Harmonic forms dual to geodesic cycles in quotients of SU(p, 1) // Math. Ann. 1982. V. 258. P. 289— 318.

[Va 1]

В а с с е р ш т е й н Л. Н. О группе SL2 над дедекиндовыми кольцами арифметического типа // Матем. сб. 1972. Т. 89, вып. 2. С. 313—322.

454

Список литературы

[Va 2]

В а с е р ш т е й н Л. Н. Строение классических арифметических групп ранга, большего 1 // Матем. сб. 1973. Т. 91, вып. 3. С. 445— 470.

[Ve]

Ve n k a t a r a m a n a T. N. On superrigidity and arithmeticity of lattices in semi-simple groups over local fields of arbitrary characteristic // Invent. Math. 1988. V. 92, № 2. P. 255—306.

[Vi 1]

В и н б е р г Э. Б. Дискретные группы, порожденные отражениями, в пространстве Лобачевского // Матем. сб. 1967. Т. 72, № 3. С. 471—488.

[Vi 2]

В и н б е р г Э. Б. Компактные группы Ли. М.: МГУ, 1967.

[Vi 3]

В и н б е р г Э. Б. Некоторые примеры кристаллографических групп в пространствах Лобачевского // Матем. сб. 1969. Т. 78, № 4. С. 633—639.

[Vi 4]

В и н б е р г Э. Б. Кольца определения плотных подгрупп полупростых линейных групп // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1971. Т. 35, вып. 1. С. 45—55.

[Vi 5]

В и н б е р г Э. Б. Дискретные линейные группы, порожденные отражениями // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1971. Т. 35, вып. 5. С. 1072—1112.

[Vi 6]

V i n b e r g E. B. Some arithmetic discrete groups in Lobachevsky spaces // Proc. Int. Coll. on Discrete subgrops of Lie groups and appl. to moduli (Bombay 1973). Oxford: Oxford University Press, 1975. P. 323—348.

[Vi 7]

В и н б е р г Э. Б. Некоторые свойства корневого разложения полупростой алгебры Ли над алгебраически незамкнутым полем // Функц. анализ и его прил. 1975. Т. 9, вып. 1. С. 20—24.

[Vi 8]

В и н б е р г Э. Б. Отсутствие кристаллографических групп отражений в пространствах Лобачевского большой размерности // Функц. анализ и его прил. 1981. Т. 15, вып. 2. С. 67—68.

[Vi 9]

V i n b e r g E. B. The two most algebraic K 3 surfaces // Math. Ann. 1983. V. 265. P. 1—21.

[Vi 10]

В и н б е р г Э. Б. Отсутствие кристаллографических групп отражений в пространствах Лобачевского большой размерности // Труды ММО. 1984. Т. 47. С. 68—102.

Список литературы

455

[Vi 11]

V i n b e r g E. B. Discrete groups of reflections in Lobachevsky spaces // Proc. Int. Congr. Math. Warsaw, 1983. P. 585—592.

[Vi 12]

В и н б е р г Э. Б. Гиперболические группы отражений // Успехи матем. наук. Т. 40, вып. 1. 1985. С. 29—66.

[V–K]

В и н б е р г Э. Б., К а п л и н с к а я И. М. О группах O18,1 (Z) и O19,1 (Z) // ДАН СССР. 1978. Т. 238, вып. 6. С. 1273—1275.

[V–O]

В и н б е р г Э. Б. О н и щ и к А. Л. Семинар по алгебраическим группам и группам Ли. 1967/1968. М.: МГУ, 1969.

[Wae 1]

v a n d e r W a e r d e n B. L. Algebra I. New York, Springer, 1971. [Перевод на рус. яз. В а р д е н Б. Л. в а н д е р. Алгебра. М.: Наука, 1976.]

[Wae 2]

v a n d e r W a e r d e n B. L. Algebra II. New York, Springer, 1967. [Перевод на рус. яз. В а р д е н Б. Л. в а н д е р. Алгебра. М.: Наука, 1976.]

[Wat]

W a t a t a n i Y. Property (T) of Kazhdan implies property (FA) of Serre // Math. Jap. 1982. V. 27. P. 97—103.

[Weil 1]

W e i l A. On discrete subgroups of Lie groups I, II // Ann. Math. (2). V. 27. 1960. P. 369—384. 1962. V. 75. P. 578—602.

[Weil 2]

W e i l A. Adeles and algebraic groups. Princeton: Inst. for Advanced Study, 1961.

[Weil 3]

W e i l A. Remarks on the cohomology of groups // Ann. Math. 1964. V. 80. P. 149—157.

[Weil 4]

W e i l A. Basic number theory. New York, Springer, 1967. [Перевод на рус. яз. В е й л ь А. Основы теории чисел. М.: Мир, 1972.]

[Weis 1] W e i s f e i l e r , B. On abstract monomorphisms of k-forms of PGL(2) // J. Algebra. 1979. V. 57. P. 522—543. [Weis 2] W e i s f e i l e r B. Abstract homomorphisms of big subgroups of algebraic groups // Notre Dame Math. Lect. University of Notre Dame Press. 1982. V. 10. P. 135—181. [Wh]

W h i t n e y H. Elementary structure of real algebraic varieties // Ann. Math. 1957. V. 66. P. 545—556.

[WH 1]

W a n g H. C. On a maximality property of discrete subgroups with fundamental domain of finite measure // Amer. J. Math. 1967. V. 89. P. 124—132.

456

Список литературы

[WH 2]

W a n g H. C. // Topics on totally discontinuous groups in symmetric spaces. W. Boothly (ed.). N. Y.: M. Dekker, 1972. P. 460—487.

[WS 1]

W a n g S. P. Limit of lattices in a Lie group // Trans. AMS. 1968. V. 133, № 2. P. 519—526.

[WS 2]

W a n g S. P. On a theorem of representation of lattices // Proc. Amer. Math. Soc. 1969. V. 23. P. 583—587.

[WS 3]

W a n g S. P. On a conjecture of Chabauty // Proc. Amer. Math. Soc. 1969. V. 23. P. 569—572.

[WS 4]

W a n g S. P. The dual space of semi-simple Lie groups // Amer. J. Math. 1969. V. 91. P. 921—937.

[WS 5]

W a n g S. P. On the centralizer of a lattice // Proc. Amer. Math. Soc. 1969. V. 21. P. 21—23.

[WS 6]

W a n g S. P. On the limit of subgroups in a group // Amer. J. Math. 1970. V. 92. P. 708—724.

[WS 7]

W a n g S. P. Some properties of lattices in a Lie group // Illinois J. Math. 1970. V. 14. P. 35—39.

[WS 8]

W a n g S. P. On density properties of S-subgroups of locally compact groups // Ann. Math. 1971. V. 94. P. 325—329.

[WS 9]

W a n g S. P. On a lemma of Mahler // Amer. J. Math. 1973. V. 95, № 4. P. 703—712.

[WS 10] W a n g S. P. On the first cohomology group of discrete groups with property (T) // Proc. Amer. Math. Soc. 1974. V. 42. P. 621— 624. [WS 11] W a n g S. P. On isolated points in the dual spaces of locally compact groups // Math. Ann. 1975. V. 218. P. 19—34. [WS 12] W a n g S. P. On subgroups with property (P) and maximal discrete subgroups // Amer. J. Math. 1975. V. 97. P. 404—414. [WS 13] W a n g S. P. Homogeneous spaces with finite invariant measure // Amer. J. Math. 1976. V. 98. P. 311—324. [WS 14] W a n g S. P. On density properties of certain subgroups of locally compact groups // Duke Math. J. 1976. V. 43. P. 561—578. Correction // Duke Math. J. 1978. V. 45. P. 953.

Список литературы

457

[WS 15] W a n g S. P. On L-subgroups of locally compact groups // Adv. Math. 1978. V. 28. P. 89—100. [WS 16] W a n g S. P. On density properties of certain subgroups with boundedness conditions // Monatsh. Math. 1980. V. 89. P. 141— 162. [WS 17] W a n g S. P. A note on free subgroups in linear groups // J. Algebra. 1981. V. 71. P. 232—234. [WS 18] W a n g S. P. On the Mautner phenomenon and groups with property (T) // Amer. J. Math. 1982. V. 104. P. 1191—1210. [Zi 1]

Z i m m e r R. L. Strong rigidity for ergodic actions of semisimple Lie groups // Annals of Math. 1980. V. 112. P. 511—529.

[Zi 2]

Z i m m e r R. L. Orbit equivalence and rigidity for ergodic actions of Lie groups // Ergod. Theor. and Dynam. Sys. 1981. V. 1. P. 237— 253.

[Zi 3]

Z i m m e r R. L. Equivariant images of projective space under the action of SL(n, Z) // Ergod. Theor. and Dynam. Sys. 1981. V. 1. P. 519—622.

[Zi 4]

Z i m m e r R. L. Ergodic theory, group representations, and rigidity. // Bull. Amer. Math. Soc. 1982. V. 6. P. 383—416.

[Zi 5]

Z i m m e r R. L. On the Mostow rigidity theorem and measurable foliations by hyperbolic space // Israel J. Math. 1982. V. 43. P. 281— 290.

[Zi 6]

Z i m m e r R. L. Volume preserving actions of lattices in semisimple groups on compact manifolds // Publ. Math. IHES. 1984. V. 59. P. 5—33.

[Zi 7]

Z i m m e r R. L. Kazhdan groups acting on compact manifolds // Invent. math. 1984. V. 75. P. 425—436.

[Zi 8]

Z i m m e r R. L. Ergodic theory and semisimple groups. Boston: Birkhäuser, 1985.

[Z–S]

Z a r i s k i O., S a m u e l P. Commutative Algebra I, II. Princeton: D. Van Nostrand Comp. Inc. 1958, 1960. [Перевод на рус. яз. З а р и с с к и й О., С а м ю э л ь П. Коммутативная алгебра. М.: ИЛ, 1963.

458

Список литературы

Добавлено при переводе [*Mar 1] М а р г у л и с Г. А. О действии унипотентных групп в пространстве решеток // Матем. сб. 1971. Т. 86, № 4. P. 552—556. [*Mar 2] M a r g u l i s G. A. Non-uniform lattices in semisimple algebraic groups // Proc. of the Summer School of the Bolyai Janos Math. Soc. on Lie groups and their representations (Budapest 1971. Akademia Kiado, Budapest, 1975). N.Y.: Halsted, 1975. P. 371— 553. [*Mar 3] М а р г у л и с Г. А. К проблеме арифметичности дискретных групп // ДАН СССР. 1969. Т. 187, вып. 3. С. 518—520.

Предметный указатель R-тор расщепимый, 11 b-расстояние, 174 — m-конечномерное, 177 G-граница универсальная, 235 k-подгруппа стандартная параболическая, 54 k-структуры эквивалентные, 19 абсолютное свойство (L), 292 автоморфизм борелевский, 204 — нерастягивающий, 49 — пространства с мерой, 44 — стягивающий, 49 — эргодический, 91 алгебра Ли группы, 25 амальгама, 149 базис системы корней, 35 бирегулярное отображение, 18 вектор циклический, 97 величина абсолютная, 39 вес тора в представлении, 37 вложение вещественное, 345 — изометрическое, 398 — мнимое, 345 — строго изометрическое, 398 вложения эквивалентные, 345 гиперплоскость отражения, 34 гипотеза Каждана, 162 гомеоморфизм возвратный, 49 гомоморфизм квазигеодезический, 228

— квазирегулярный, 325 — накрывающий, 51 — унипотентный, 84 группа S-арифметическая, 12 — аделей, 44 — алгебраическая, 22 — — аффинная, 24 — — линейная, 24 — — связная, 23 — аменабельная, 98 — Вейля группы, 37 — — системы корней, 34 — допустимая, 350 — единиц, 40 — изотипная, 369 — неприводимая, 391 — односвязная, 59 — — накрывающая, 60 — полупростая, 32 — почти простая, 32 — присоединенная, 59 — простая, 32 — редуктивная, 32 — стандартная, 333 — унимодулярная, 47 — унипотентная, 29 группы алгебраические изогенные, 58 — — строго изогенные, 58 действие группы, 46 — проксимальное, 233 — сильно эргодическое, 162

460

действие эргодическое, 90 действия изоморфные, 303 — траекторно эквивалентные, 302 дифференциал морфизма, 21 дифференцирование в точке, 21 замыкание множества по Зарисскому, 17 изогения, 27 изоморфизм борелевский регулярный, 89 интеграл представлений непрерывный, 94 камера Вейля, 35 класс мер канонический, 73 когомология Ляпунова, 404 кограница, 52 кольцо аделей, 43 коморфизм, 18 компоненты неприводимые, 17 конгруэнц-подгруппа, 79, 424 — главная, 79 конгруэнц-ядро, 317 корень неумножаемый, 35 — простой, 35 корни, 34 — группы, 37 коцикл, 51 — (нижний) треугольный, 405 — борелевский, 204 — интегрируемый, 204 — относительно компактный, 301 — плотный по Зарисскому, 301 — существенный, 205 коциклы когомологичные, 51, 300, 404 — эквивалентные, 51, 300 крест характеристический, 103 матрица Грама, 414, 415 мера, 44 — m-стационарная, 236

Предметный указатель

матрица борелевская, 45 — — регулярная, 45 — вероятностная, 44 — инвариантная, 47 — квазиинвариантная, 47 — нормализованная, 44 — Хаара, 47 меры эквивалентные, 45 многогранник выпуклый, 413 — Кокстера, 413 многообразие k-аналитическое, 72 — — чистое, 72 — алгебраическое неприводимое, 17 — арифметическое, 394 — гибридное, 422 — гладкое, 22 — касательное, 21 — нормальное, 22 множества малые почти M-инвариантные, 162 множество аффинное, 18 — борелевское квазиограниченное, 308 — главных аделей, 43 — квазигеодезическое, 228 — корней унипотентное, 53 — строго k-эффективное, 215 — стягиваемое, 233 модуль элемента, 39 морфизм алгебраических многообразий, 17 — доминантный, 22 — квазицентральный, 57 — сепарабельный, 22 — центральный, 57 неравенство ультраметрическое, 40 нормирование, 39 — архимедово, 42 — неархимедово, 42 нормирования эквивалентные, 41 носитель меры борелевской, 45 область (Γ, N)-допустимая, 193 — Зигеля, 309

Предметный указатель

область фундаментальная, 50 обобщенная лемма Маутнера, 110 образ меры, 45 оператор сплетающий, 258 отображение m-постоянное, 44 — борелевское, 39 — — регулярное, 89 — измеримое, 44, 254 — логарифмическое, 56 — ограничения, 51 — регулярное, 17 — собственное, 39 — строго H-эффективное, 216 — эквивариантное, 47 отображения характеристические, 205, 211 отражение относительно вектора, 34 пара существенная, 222 — эффективная, 216 первая группа когомологий, 52 погружение изометрическое, 398 — строго изометрическое, 398 подгруппа S-арифметическая, 305 — арифметическая, 80 — борелевская, 38 — инфинитезимально жесткая, 284 — кофинитная, 117 — Леви, 38 — локально жесткая, 284 — нормальная, 159 — параболическая, 38 — сильно k-плотная, 262 — слабо кокомпактная, 136 — соизмеримости, 16 подгруппы параболические противоположные, 38 — соизмеримые, 16 — стандартные дополнительные, 160 подмногообразие аналитическое, 72 подмножества измеримые, 44 подмножество борелевское, 39 — измеримое, 254 — квазизамкнутое, 52

461

подмножество конструктивное, 17 — локально замкнутое, 17 подпредставление, 48 подпространство характеристическое, 103 показатели характеристические коцикла, 205 — — пары, 211 покрытие в смысле Витали, 176 поле глобальное, 41 — локальное, 39 — — архимедово, 40 — — неархимедово, 40 пополнение поля, 41 пополнения эквивалентные, 42 Последовательность асимптотически M-инвариантная, 162 последовательность r (G)-равномерная, 190 — асимптотически r (G)-инвариантная, 190 — — r (H)-инвариантная, 133 — толерантная, 118 — тривиальная, 162 представление Γ-интегрируемое, 209 — абсолютно неприводимое, 25 — измеримое, 256 — квазирегулярное, 96 — кратное, 94 — непрерывное, 256 — неприводимое, 25, 48 — почти точное, 334 — присоединенное, 25 — рациональное, 24 — регулярное, 49 — сепарабельное, 334 — слабо содержится, 93 — унитарное, 48 — — p-факторизуемое, 165 p-факторизуемое, — — частично 165 представления эквивалентные, 48 преобразование проксимальное, 243, 410

462

принцип «сквозного индуцирования», 96 произведение мер, 236 — ограниченное топологическое, 43 — полупрямое, 28 — почти прямое, 28 — прямое, 28 пространство аделей, 43 — группы двойственное, 93 — изотипное, 391 — минимальное, 233 — неприводимое, 301 — — симметрическое, 390 — проксимальное, 233 — — в среднем, 237 радикал, 32 — унипотентный, 32 разложение жорданово, 29 — Ивасавы, 68 — Картана, 68 — Леви, 38 размерность многообразия, 72 рациональное действие группы, 26 ренормализация, 397, 398 решетка, 49 — арифметическая, 9, 344 — кокомпактная, 49 — неприводимая, 8, 160, 385 — приводимая, 11, 160, 385 — равномерная, 49 — слабо компактная, 224 риманово многообразие плоское, 395 свертка мер, 236 свойство (T), 14 — (FA), 149 — (L) над k, 218 — (R), 151 — универсальности, 64 система корней, 34 — — неприводимая, 35 — — приведенная, 35 спектр лебеговский, 111

Предметный указатель

сумма представлений непрерывная, 94 схема Дынкина группы, 37 — — системы корней, 36 — Кокстера, 418 сходимость по мере, 88 теорема Биркгофа индивидуальная эргодическая, 92 — Бореля—Вана о плотности, 116 — Вататани, 145 — Витали о покрытиях, 176 — мультипликативная эргодическая, 205 — о сильной аппроксимации, 128 — о слабой аппроксимации, 128 — о точке плотности, 177 — Пуанкаре о возвращении, 91 — эргодическая статистическая, 92 тип локального поля, 40 — неприводимой системы корней, 37 топология Зарисского, 17, 410 тор, 30 — расщепимый, 31 точка блуждающая, 49 — неблуждающая, 49 — нормальная, 22 — плотности, 177 — простая, 22 униформизатор, 40 факторморфизм, 27 функтор ограничения скаляров, 64 функция Ляпунова, 404 — отрицательно определенная, 145 — положительно определенная, 97 характер, 30 — рациональный, 30 — тора в представлении, 37 характеристический показатель преобразования, 102 централизатор подмножества, 26

463

Предметный указатель

часть эндоморфизма полупростая, 29 — — унипотентная, 29 число сплетения, 258 элемент S-целый, 42, 372

эндоморфизм нильпотентый, 28 — полупростой, 28 — унипотентый, 28 эпиморфизм специальный, 61

Григорий Александрович Маргулис Дискретные подгруппы полупростых групп Ли Подписано в печать 01.02.2007 г. Формат 60 × 90 1/16. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Печ. л. 29. Заказ № Издательство Московского центра непрерывного математического образования 119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типография „Наука“». 121099, Москва, Шубинский пер., д. 6. Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга», Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. 241 72 85. E-mail: [email protected]