Методы моделирования и цифровая обработка сигналов в гироскопии 978-5-9221-0809-6

Citation preview

Басараб М.А. Кравченко В.Ф. Матвеев В.А.

Методы моделирования и цифровая обработка сигналов в гироскопии

МОСКВА ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 517.95: 531.383 ББК 22.193 Б 27 Б а с а р а б М. А., К р а в ч е н к о В. Ф., М а т в е е в В. А. Методы моделирования и цифровая обработка сигналов в гироскопии. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-9221-0809-6. Рассмотрены основные принципы функционирования современных чувствительных элементов инерциальных навигационных систем. Основное внимание уделено вопросам исследования и расчета характеристик волнового твердотельного гироскопа, а также некоторых типов микромеханических и динамически настраиваемых гироскопов как мехатронных чувствительных элементов нового поколения. В задачах моделирования физических процессов, идентификации погрешностей и обработки информации широко использованы современные численные методы аппроксимации на основе теорий -функций и атомарных функций, а также методы искусственного интеллекта (генетические алгоритмы, нейронные сети). Для научных работников, а также аспирантов и студентов старших курсов соответствующих специальностей.

Ê

Реце нз е н т :

ISBN 978-5-9221-0809-6

академик РАН В. И. Пустовойт

c ФИЗМАТЛИТ, 2008  c М. А. Басараб, В. Ф. Кравченко,  В. А. Матвеев, 2008

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Г л а в а 1. Особенности функционирования волнового твердотельного гироскопа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1. Принцип действия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2. Кольцевая модель резонатора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3. Оболочечная модель резонатора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.4. Дисковая модель ВТГ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.5. Системы возбуждения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Г л а в а 2. Атомарные функции и R-функции в задачах динамики ВТГ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1. Атомарные функции и методы аппроксимации . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2. Решение задач динамики упругого кольца с помощью атомарных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3. Обратная задача аналитической геометрии. R-функции . . . . . . .

46

2.4. Расчет функций Рэлея и нахождение коэффициента прецессии осесимметричных оболочек вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Г л а в а 3. Моделирование погрешностей и идентификация неоднородностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.1. Основные типы погрешностей ВТГ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

3.2. Идентификация осей жесткости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.3. Глобальные оптимизационные алгоритмы балансировки резонатора ВТГ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.4. Моделирование тепловых полей в резонаторе . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Г л а в а 4. Моделирование элементов микромеханических и динамически настраиваемых гироскопов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.1. Конструктивные схемы ММВГ и ДНГ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.2. Структуры решения краевых задач теории пластинок . . . . . . . . . 132 4.3. Моделирование кручения стержневых торсионов. . . . . . . . . . . . . . 136

4

ОГЛАВЛЕНИЕ

Г л а в а 5. Обработка сигналов в бескарданных инерциальных навигационных системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.1. Схема построения БИНС . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Навигационный алгоритм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Цифровые фильтры на основе АФ и R-функций . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Калмановская фильтрация на основе АФ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Обработка телеметрической информации с помощью кумулянтных кватернионных базисов на основе АФ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143 146 148 166 178

П р и л о ж е н и е 1. Метод Бубнова–Галеркина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 П р и л о ж е н и е 2. Уравнения общей теории оболочек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 П р и л о ж е н и е 3. Теорема Уиттекера–Котельникова–Шеннона и ее обобщения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 П р и л о ж е н и е 4. Основные атомарные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 П р и л о ж е н и е 5. Почти периодические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 П р и л о ж е н и е 6. Основные понятия теории кватернионов . . . . . . . . . . . . . . . 234 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

ПРЕДИСЛОВИЕ В настоящее время к чувствительным элементам навигационных систем предъявляются все более жесткие требования. Это требует постоянного совершенствования датчиков первичной информации (гироскопов, акселерометров) по таким параметрам как точность, ресурс работы, массогабаритные характеристики, стоимость и т. д. В связи с этим в отечественном и зарубежном приборостроении наряду с совершенствованием конструкций и технологий изготовления существующих гироскопов ведутся работы по созданию приборов, работающих на новых физических принципах. К одному из таких новых классов гироскопов относятся устройства, носящие обобщенное название “маятник Фуко”. Одним из наиболее современных и перспективных представителей приборов этого типа является волновой твердотельный гироскоп (ВТГ) [1–3], принцип действия которого основан на инертных свойствах стоячих упругих волн, возбужденных во вращающихся осесимметричных оболочках. Этот эффект был теоретически открыт и экспериментально подтвержден Г. Брайаном в 1890 г. при исследовании природы звуковых биений вибрирующей оболочки при вращении ее вокруг оси симметрии [4]. В результате действия сил Кориолиса происходит прецессия стоячих волн как относительно оболочки, так и в инерциальном пространстве. В некотором смысле ВТГ можно рассматривать как дальнейшее развитие осцилляторных гироскопов [5–7], наиболее ранней моделью которых является простейший камертонный гироскоп. Преимуществами ВТГ являются: высокая точность; малая чувствительность к линейным перегрузкам; малое время готовности, определяемое электроникой; устойчивость к воздействию радиационного излучения; отсутствие в конструкции вращающихся частей; малая потребляемая энергия; возможность работы с перерывами электропитания за счет большой постоянной времени. Спектр применения прибора чрезвычайно широк: от систем автоматического управления наземными объектами до бескарданных инерциальных систем (БИНС), используемых на летательных и космических аппаратах. В отечественной и зарубежной печати опубликованы десятки статей и ряд монографий, посвященных вопросам проектирования волновых твердотельных гироскопических систем. Помимо других проблем значительное внимание в них уделялось методам математического моделирования физических процессов, происходящих в зависимости от выбранной модели в упругом кольце или осесимметричной оболочке вращения. В качестве основного аппроксимативного аппарата,

6

ПРЕДИСЛОВИЕ

как правило, использовались варианты метода осреднения Крылова– Боголюбова–Митропольского [8, 9] в комбинации с методом Бубнова– Галеркина на основе тригонометрического базиса. Вместе с тем, для более полного исследования характеристик резонатора ВТГ указанных средств оказывается недостаточно. Так, при решении задач динамики упругого кольца или упругой оболочки с локальными неоднородностями более эффективным может оказаться применение базисов финитных функций, наиболее известными представителями которых являются полиномиальные B -сплайны Шенберга [10]. В опубликованных работах по ВТГ, как правило, рассматриваются чувствительные элементы классической геометрии: цилиндрические и полусферические. На практике интерес может представлять исследование ВТГ с резонаторами в виде оболочек вращения более сложной формы. Учет геометрии необходим также при расчете тепловых процессов в ВТГ, существенно влияющих на точностные характеристики прибора. Отдельный класс задач представляют собой проблемы обработки сигналов в инерциальных навигационных системах на основе ВТГ. Здесь в первую очередь следует отметить вопросы построения эффективных цифровых фильтров, в частности фильтров низких частот и дифференцирующих фильтров, задачи калмановской фильтрации, интерполяции и аппроксимации вращательного движения объектов. Разнообразие задач, возникающих при моделировании ВТГ, требует привлечения широкого набора средств современной теории аппроксимации и численного анализа. Одними из наиболее универсальных и активно развивающихся в последние годы направлений в данной области являются теории R-функций и атомарных функций (АФ) [3, 11–16], основы которых были разработаны в 60–70 гг. XX в. академиком В.Л. Рвачевым. Аппарат R-функций изначально был предназначен для конструирования удовлетворяющих граничным условиям систем базисных функций в вариационных и проекционных методах решения краевых задач в областях сложной формы. Построение данных систем (структур решения краевых задач) основывается на решении обратной задачи аналитической геометрии, т. е. нахождении единого аналитического выражения, описывающего геометрию заданной области. Атомарные функции, разрабатывавшиеся в рамках метода R-функций, в настоящее время представляют отдельное самостоятельное направление теории аппроксимации. Как финитные функции, АФ обладают рядом свойств, аналогичных B -сплайнам. Вместе с тем, АФ являются бесконечно дифференцируемыми решениями определенного класса функционально-дифференциальных уравнений, что выгодно отличает их с точки зрения аппроксимативных свойств и особенностей численной реализации. Помимо высоких точностных и надежностных характеристик современным и перспективным гироскопическим системам свойственна тенденция к миниатюризации за счет использования микро- и нанотехнологий. При этом осуществляется интеграция как единого целого механических, электрических, электронных и др. компонент системы,

ПРЕДИСЛОВИЕ

7

что делает целесообразным рассмотрение ее с общих позиций мехатроники как нового направления науки и техники [17]. В качестве одного из критериев мехатронных систем выступает новое качество, получаемое в результате данной интеграции и придающее устройствам высокую компактность, функциональную гибкость, повышенную надежность. Мехатронным устройствам свойственно синергетическое, т. е. самоорганизующееся, адаптивное по отношению к внешней среде и воздействиям объединение компонентов. При исследовании функционирования мехатронных объектов большое значение имеют проблемы их интеллектуализации с использованием новых технологий управления: экспертных систем, нейронных сетей, систем нечеткой логики. Эти технологии широко используются в задачах обработки информации в гироскопических комплексах ориентации и навигации подвижных объектов [18, 19]. При моделировании физических процессов в элементах мехатронных систем на первый план выходят глобальные методы оптимизации, в частности, на основе эволюционных (генетических) стратегий [20]. Настоящая монография состоит из пяти глав и посвящена использованию неклассических средств теории аппроксимации, а также методов искусственного интеллекта в задачах исследования физических процессов ВТГ и обработки информации БИНС. В главе 1 описаны принципы функционирования и некоторые особенности конструкции ВТГ. Основное внимание уделено математическим моделям колебаний резонатора: кольцевой и полусферической. Кратко описаны различные способы возбуждения резонатора. В главе 2 приведены сведения по АФ и R-функциям, а также рассмотрены вопросы исследования динамики резонатора ВТГ с их помощью. Предложены новые схемы и структуры реализации метода R-функций, включая нейросетевые алгоритмы. Метод R-функций дает возможность моделирования оболочек вращения с практически произвольной функцией образующей. Расчет коэффициента прецессии при этом сводится к нахождению функций Рэлея оболочки из краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Один из эффективных способов решения данной задачи основан на методе Бубнова–Галеркина с АФ в качестве базисных. Проблемы, связанные с погрешностями ВТГ и идентификацией его параметров, затронуты в главе 3. Внимание уделено решению обратной задачи расчета упругих волн и нахождению осей жесткости неидеального резонатора, плотность материала которого зависит от окружной координаты. Рассмотрены новые способы нахождения параметров балансировки резонатора на основе генетических алгоритмов и алгоритма имитации отжига. Построена математическая модель стационарных и нестационарных тепловых процессов полусферического резонатора ВТГ для вычисления тепловой постоянной времени и тепловой скорости дрейфа. Решение краевой задачи теплопереноса осуществляется методом R-функций. Математические модели сверхпроводящих гироскопов рассматриваются впервые.

8

ПРЕДИСЛОВИЕ

Возможные конструктивные схемы осцилляторных гироскопов с распределенными параметрами представлены в главе 4. В качестве чувствительного элемента использованы тонкие пластинки произвольного поперечного сечения, защемленные по контуру и совершающие колебания по основной форме. Для расчета собственных колебаний использованы структуры метода R-функций. Методом R-функций исследованы задачи кручения элементов подвеса (торсионов) микромеханических вибрационных гироскопов (ММВГ). Глава 5 посвящена некоторым аспектам построения БИНС на основе ВТГ и ММВГ. Рассмотрены две схемы аппаратной реализации БИНС: на основе датчиков угла и на основе интегрирующих гироскопов. Представлены новые алгоритмы синтеза аналоговых и цифровых плосковершинных фильтров низких частот и дифференцирующих фильтров, полученные с использованием R-функций и АФ. Исследуются вопросы калмановской фильтрации применительно к первичной обработке сигналов, методы и алгоритмы кватернионной аппроксимации и интерполяции. В приложениях П1–П6 приведены сведения об основных положениях теории упругости твердого тела, теории кватернионов, почти периодических функций, атомарных функций, дано краткое описание метода Бубнова–Галеркина и теоремы Уиттекера–Котельникова– Шеннона.

ГЛАВА 1

ОСОБЕННОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ВОЛНОВОГО ТВЕРДОТЕЛЬНОГО ГИРОСКОПА 1.1. Принцип действия В отличие от традиционных гироскопов, принцип работы которых основан на проявлении инертных свойств быстровращающегося ротора, в ВТГ используется новый физический принцип — инертные свойства упругих волн [1–4]. Чувствительным элементом ВТГ (рис. 1.1) является тонкостенный полусферический резонатор 1, выполненный, например, из кварца. С основанием прибора 3 резонатор жестко связан с помощью ножки 2.

Рис. 1.1. Общий вид (а) и осевое сечение (б) резонатора ВТГ: 1 — оболочка, 2 — ножка, 3 — основание

Для дальнейших рассуждений выделим из тела полусферического резонатора кольцо радиуса R с конечной площадью поперечного сечения. Будем считать, что центр этого кольца (кольцевого резонатора) вращается как жестко связанный с основанием с угловой скоростью Ω. Предположим, что при вращающемся основании в кольцевом резонаторе возбуждена упругая стоячая волна с номером формы колебания k. На рис. 1.2, а показана форма стоячей волны для k = 2, радиусы максимумов которой в системе координат корпуса прибора XOY расположены под углом ϕ0 . Оказывается, что если теперь корпус прибора начнет вращение с угловой скоростью Ω, то угол ориентации

10

Гл. 1. ОСОБЕННОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ВОЛНОВОГО ГИРОСКОПА

пучностей будет изменяться по закону 2 ϕ(t) = ϕ0 − 2 k +1

t Ω(τ ) dτ .

(1.1.1)

0

Из выражения (1.1.1) следует, что стоячая волна поворачивается в пространстве на угол, меньший, чем угол поворота корпуса прибора, t

равный Ω(τ ) dτ , и при известном ϕ0 (например, при ϕ0 = 0) угол ϕ(t) 0

служит мерой угла поворота основания: t 2 ϕ(t) = − 2 Ω(τ ) dτ . k +1

(1.1.2)

0

В аналогичных условиях твердое тело с вертикальной осью вращения без трения повернулось бы относительно основания на угол t ϕ(t) = − Ω(τ ) dτ. (1.1.3) 0

Формулы (1.1.2) и (1.1.3) отличаются лишь масштабными коэффициентами преобразования. Механизм возникновения прецессии разъясняет рис. 1.2, б. Пучности стоячей волны находятся в точках A, B , C , D. При вращении полусферы эти точки совершают сложное движение: относительное со скоростями VA , VB , VC , VD и переносное с угловой скоростью Ω. Появившееся кориолисово ускорение элементов массы в точках A, B , C , D обозначим WKA , WKB , WKC , WKD соответственно. Кориолисовы силы инерции PKA , PKB , PKC , PKD , приложенные в точках A, Y WKA A VA

j

0

W

W

WKD

PKB VD D

VB

PKC

X B

0

WKB

PKD

а)

PKA

C

VC

WKC

б)

Рис. 1.2. Принцип действия ВТГ: а — ориентация стоячей волны по второй форме; б — механизм образования прецессии

1.2. КОЛЬЦЕВАЯ МОДЕЛЬ РЕЗОНАТОРА

11

C и B , D, направлены в противоположные стороны и создают пары сил. Пары PKA , PKC и PKB , PKD противоположны по направлению и в сумме дают равнодействующую пару кориолисовых сил инерции, модуль которой пропорционален значению угловой скорости вращения основания. Эта пара сил вызывает прецессию волнового поля (стоячей волны) относительно резонатора и в инерциальном пространстве. В кольцевом резонаторе одновременно могут существовать несколько форм упругих колебаний, соответствующих k = 2, 3, 4, . . . При этом образуется несколько независимых каналов измерения вращения основания с формулами преобразования (1.1.2) и масштабным коэффициентом (коэффициентом прецессии) K=

k2

2 . +1

(1.1.4)

Вторая форма колебаний (k = 2) обычно используется в качестве рабочей, так как она является низшей собственной формой изгибных колебаний полусферического резонатора (рис. 1.3, в). Нулевая

Рис. 1.3. Низшие собственные формы колебаний резонатора: а — k = 0; б — k = 1; в — k = 2

форма (k = 0) соответствует колебаниям растяжения–сжатия и не учитывается при исследовании динамики ВТГ, поскольку деформации растяжения резонатора малы по сравнению с деформациями изгиба (рис. 1.3, а). Первая форма (k = 1) соответствует перемещению резонатора как твердого тела, ее необходимо учитывать при решении уравнений движения ВТГ с учетом деформации ножки резонатора (рис. 1.3, б).

1.2. Кольцевая модель резонатора Геометрия и кинематика кольцевого резонатора. Рассмотрим прежде всего основные геометрические соотношения для элементов кольцевого резонатора, образованных на малом угле Δϕ при произвольном угле ϕ [1, 2, 21].

12

Гл. 1. ОСОБЕННОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ВОЛНОВОГО ГИРОСКОПА

Рис. 1.4. Геометрия кольцевого резонатора

Пусть в недеформированном состоянии элемент резонатора представлен отрезком aa1 (рис. 1.4). Координаты начала и конца этого отрезка в системе координат корпуса XOY имеют значения x = R cos ϕ, y = R sin ϕ; (1.2.1) x1 = R cos(ϕ + Δϕ), y1 = R sin (ϕ + Δϕ). Длина малого отрезка осевой линии элемента aa1 вычисляется по формуле  Δs = (x1 − x)2 + (y1 − y)2 . (1.2.2) Подставляя в последнее уравнение значения координат (1.2.1) для малого угла Δϕ приближенно находим Δs ≈ RΔϕ. (1.2.3) При наличии деформаций резонатора его элемент aa1 примет положение aa1 . При этом начало отрезка имеет положительные перемещения деформации по касательной и нормали к осевой линии v и w, а конец — перемещения v + Δv и w + Δw. Координаты начала и конца отрезка aa1 и его длина вычисляются по формулам x = R cos ϕ − v sin ϕ − w cos ϕ, y = R sin ϕ + v cos ϕ − w sin ϕ,

x1 = R cos(ϕ + Δϕ) − (v + Δv) sin(ϕ + Δϕ) − − (w + Δw) cos(ϕ + Δϕ), y1 = R sin(ϕ + Δϕ) + (v + Δv) cos(ϕ + Δϕ) − − (w + Δw) sin(ϕ + Δϕ);  Δs = (x1 − x)2 + (y1 − y)2 .

(1.2.4)

(1.2.5)

Принимая во внимание, что при Δϕ → 0 Δv ≈ v  Δϕ, Δw ≈ w Δϕ, cos Δϕ ≈ 1, sin Δϕ ≈ Δϕ, из формул (1.2.4) находим  Δs ≈ Δϕ (R + v  − w)2 + (v + w )2 . (1.2.6)

1.2. КОЛЬЦЕВАЯ МОДЕЛЬ РЕЗОНАТОРА

13

В выражении (1.2.6) и везде далее штрихами обозначаются производные по углу ϕ, а координаты v и w принимаются за обобщенные координаты кольцевого резонатора. В дальнейшем будем исходить из гипотезы нерастяжимости средней линии резонатора при его деформации, что соответствует выполнению условия Δs = Δs (1.2.7) или, с учетом (1.2.3), (1.2.6),

(R + v  − w)2 + (v + w )2 = R2 .

(1.2.8)

Линеаризация условия нерастяжимости (1.2.7) приводит к соотношению v  = w. (1.2.9) При деформации резонатора, происходящей в плоскости окружности его средней линии, в каждой его точке происходит поворот касательной на угол ψ = ψ1 + ψ2 , (1.2.10) где угол ψ1 — поворот касательной из-за тангенциальной деформации, связанный с перемещением сечения на v ; угол ψ2 — поворот касательной из-за радиальной деформации, связанный с различием перемещения концов малого отрезка длины RΔϕ в радиальном направлении. Для малых значений углов ψ1 , ψ2 получаем

ψ1 ≈

v , R

ψ2 ≈

1  w. R

Тогда (1.2.10) примет вид 1 (1.2.11) (v + w ). R Именно этот угол поворота касательной является источником образования упругого момента в поперечном сечении кольца при его деформации стоячими волнами. Для дальнейшего исследования важно определить основные кинематические зависимости для произвольной точки на осевой средней линии кольцевого резонатора при его вращении с переносной скоростью Ω и относительных скоростях, вносимых деформацией v˙ , w˙ . Определяя тангенциальную v и радиальную v⊥ составляющие абсолютной точки на средней линии резонатора для малых значений v и w, получаем

ψ=

v = v˙ + Ω(R − w), v⊥ = w˙ + Ωv.

(1.2.12)

Динамика кольцевого резонатора. Для вывода уравнений динамики кольцевого резонатора воспользуемся методом Лагранжа. Поскольку обобщенные координаты резонатора v и w являются функциями двух независимых переменных t и ϕ, то необходимо прежде

14

Гл. 1. ОСОБЕННОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ВОЛНОВОГО ГИРОСКОПА

всего определить сами уравнения Лагранжа. Для этого рассмотрим структуру кинетической и потенциальной энергии кольца, плотности которых (значения на единицу угла) определяются выражениями

T =

  1 1 2 ρS(v2 + v⊥ ) = ρS (v˙ + ΩR − Ωw)2 + (w˙ + Ωv)2 , 2 2 EJ 2 Π= k , 2

(1.2.13)

где ρ — плотность материала кольца; S — площадь поперечного сечения кольца; R — радиус средней нейтральной линии кольца; E — модуль упругости материала; J — момент инерции поперечного сечения кольца относительно нейтральной оси; k — изменение кривизны нейтрального слоя кольца. С учетом (1.2.11) 1 1 k = ψ  = 2 (v  + w ), (1.2.14) R R

Π=

EJ  (v + w )2 . 2R4

(1.2.15)

Удельный лагранжиан системы представляется выражением  T −Π  = (v˙ + ΩR − Ωw)2 + (w˙ + Ωv)2 − κ2 (v  + w )2 , (1.2.16) L= ρS где

κ2 =

EJ . ρSR4

Из функции Лагранжа и уравнения связи (1.2.8) сформируем следующий двойной интеграл с фиксированными пределами: ϕ 2 t2

I=

[L(v , w, v˙ , w˙ , v  , w ) + λ(t, ϕ)f (v  , w)] dt dϕ,

(1.2.17)

ϕ1 t1

в котором λ(t, ϕ) — неопределенный множитель Лагранжа; f (v  , w) = = v  − w = 0 — уравнение связи (условие нерастяжимости средней линии кольца). В соответствии с принципом Гамильтона реальное движение системы из заданного начального состояния (ϕ1 , t1 ) в фиксированное конечное состояние (ϕ2 , t2 ) проходит таким образом, что интеграл (1.2.17) имеет минимальное значение. Обобщенными координатами системы являются перемещения v , w; поэтому минимум интеграла (1.2.17) по вариациям этих переменных соответствует условию

δI(δv , δw) = 0,

1.2. КОЛЬЦЕВАЯ МОДЕЛЬ РЕЗОНАТОРА

15

где δ — символ приращения функции или переменной. В развернутом виде из последнего выражения имеем ϕ 2 t2 

δI = ϕ1 t1

∂L ∂L ∂L ∂L ∂L ∂L δv + δw + δ v˙ + δ w˙ +  δv  + δw + ∂v ∂w ∂ v˙ ∂ w˙ ∂v ∂w  ∂f  ∂f + λ  δv + λ δw dt dϕ = 0. (1.2.18) ∂v ∂w

Преобразуя уравнение (1.2.18) с использованием правила интегрирования по частям и принимая во внимание, что вариации δv , δw в фиксированных начальной и конечной точках равны нулю, получаем ϕ 2 t2 

  d ∂L d ∂L ∂f d ∂L ∂f − − − λ  +λ δv + ∂v dt ∂ v˙ dϕ ∂v  dϕ ∂v ∂v

ϕ1 t1



 ∂L d ∂L d2 ∂L d ∂f ∂f + − + 2 − λ  δw dt dϕ = 0. +λ ∂w dt ∂ w˙ dϕ ∂w ∂w dϕ ∂w

Последнее условие выполняется тогда, когда выражения под интегралом, стоящие сомножителями при превращениях δv , δw, обращаются в нуль. В результате получаем следующие уравнения Лагранжа упругого кольцевого резонатора:

 d ∂L d ∂L ∂f d ∂f ∂L − − λ = 0, − +λ ∂v dt ∂ v˙ dϕ ∂v  dϕ ∂v  ∂v (1.2.19)

 ∂f ∂L ∂f d ∂L d2 ∂L d λ  = 0. +λ − + 2 − ∂w dt ∂ w˙ ∂w dϕ ∂w dϕ ∂w Подставляя в уравнения (1.2.19) функцию Лагранжа (1.2.16) и функцию связи (1.2.8), находим

v¨ − 2Ωw˙ + (R − w)Ω˙ − Ω2 v − κ2 (w + v  ) + d + [λ(R + v  − w)] − λ(w + v) = 0, dϕ ˙ + (R − w)Ω2 + κ2 (wIV + v  ) + w¨ + 2Ωv˙ + Ωv d [λ(v + w )] + λ(R + v  − w) = 0. dϕ (1.2.20) Здесь через ( ˙ ) обозначена производная по времени. Уравнения (1.2.20) совместно с уравнением связи (1.2.8) полностью описывают собственное движение кольцевого резонатора, вращающегося с абсолютной угловой скоростью Ω. Уравнения (1.2.20) являются нелинейными, однако основной характер движения кольцевого резонатора достаточно полно характеризуется их главными линейными +

16

Гл. 1. ОСОБЕННОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ВОЛНОВОГО ГИРОСКОПА

частями. Для линеаризации (1.2.20) представим множитель Лагранжа выражением λ = λ0 + λ1 , в котором λ0 не зависит от переменных v , w, а λ1 = λ1 (t, ϕ) → 0 при v , w → 0. Тогда из второго уравнения системы (1.2.20) находим v¨ − 2Ωw˙ + (R − w)Ω˙ − κ2 (w + v  ) + Rλ1 + Ω2 w = 0, (1.2.21) ˙ − 2Ω2 w + κ2 (wIV + v  ) + λ1 R − Ω2 w = 0. w¨ + 2Ωv˙ + Ωv Продифференцируем 2-е уравнение по ϕ и вычтем из 1-го. Эту разность продифференцируем еще раз по ϕ и исключим v с помощью условия связи (1.2.8). В итоге получим

˙  + κ2 (wV I + 2wIV + w ) − Ω2 (wIV + 3w ) = 0. w¨  − w¨ + 4Ωw˙  + 2Ωw (1.2.22) Таким образом, вместо системы уравнений (1.2.21) получили однородное дифференциальное уравнение относительно переменной w, характеризующей деформации упругого кольца в радиальном направлении. Для дальнейшего анализа движения кольцевого резонатора удобно перейти к безразмерному времени τ = κt и безразмерной угловой скорости вращения основания ω = Ω/κ: w¨  − w¨ + 4ω w˙  + 2ωw ˙  + wV I + 2wIV + w − ω 2 (wIV + 3w ) = 0, (1.2.23) где временные производные вычислены по безразмерному времени τ . Для однозначного решения уравнение (1.2.23) необходимо дополнить начальными условиями и условиями периодичности по окружному углу ϕ, например, w(ϕ, 0) = a0 , w(ϕ ˙ , 0) = 0; (1.2.24) w(n) (0, t) = w(n) (2π , t), n = 0, 5. Из уравнения (1.2.23) следует, что угловые скорость ω и ускорение ω˙ вращения основания входят в него в качестве переменных во времени коэффициентов. Поэтому само по себе вращение основания не может привести к образованию упругих колебаний кольцевого резонатора. Однако при возбуждении в резонаторе упругих волн какимлибо внешним воздействием их дальнейшая динамика оказывается зависимой от вращения основания, что и используется в данном типе инерциальных чувствительных элементов вращения. Далее будет рассматриваться случай, когда величины Ω2 , ω 2 , Ω˙ , ω˙ малы и в уравнениях (1.2.22), (1.2.23) ими можно пренебречь. Решение уравнения движения кольцевого резонатора. Решение уравнения (1.2.23) будем искать в форме, позволяющей установить параметры стоячей волны в кольцевом резонаторе. Такому решению соответствует совокупность независимых друг от друга функций типа w(ϕ, τ ) = a(τ ) cos [2(ϕ − ϕ0 ) + α(τ )], (1.2.25)

1.2. КОЛЬЦЕВАЯ МОДЕЛЬ РЕЗОНАТОРА

17

где a(τ ) — перемещение стоячей волны в радиальном направлении; α(τ ) — круговая эволюция стоячей волны в пространстве. Подставляя (1.2.25) в (1.2.23), получим   − 5a ¨ + (36 + 4ω 2 + 8ω α˙ − 5α˙ 2 )a cos β +

¨ − 4ω)a] ˙ sin β = 0, (1.2.26) + [(10α˙ − 8ω)a˙ + (5α где β = 2(ϕ − ϕ0 ) + α. Равенство (1.2.26) выполняется, когда

˙ 5α˙ − 4ω) + a(5α ¨ − 4ω) ˙ =0 2a( или 4 α(τ ) = 5

τ ω(s) ds.

(1.2.27)

0

Тогда амплитуда a(τ ) находится из решения уравнения

 36 2 ¨ + 36 + ω a = 0. 5a 5

(1.2.28)

Рассмотрим ряд частных случаев решения уравнения (1.2.28). При отсутствии вращения основания (ω = 0) получим уравнение с постоянными коэффициентами 5a ¨ + 36a = 0, (1.2.29) которое при начальных условиях

a(0) = a0 ,

a( ˙ 0) = 0

имеет решение 6 a(τ ) = a0 cos √ τ , 5

(1.2.30)

√ где μ0 = 6/ 5 — безразмерная частота собственных упругих колебаний невращающегося резонатора. В размерном виде частота колебаний стоячей волны определяется как

EJ ν0 = κμ0 = 6 . 5ρSR4 Подставляя формулы (1.2.27), (1.2.30) в выражение (1.2.25) и принимая для невращающегося основания α(τ ) = 0, получаем

w(ϕ, τ ) = a0 cos μ0 τ cos [2(ϕ − ϕ0 )].

(1.2.31)

Из решения (1.2.31) видно, что пучности стоячих волн имеют место при углах ϕп = ϕ0 + (m − 1)π , m = 1, 2, где ϕ0 — начальный угол, соответствующий направлению возбуждения исходных колебаний. 2 М. А. Басараб и др.

18

Гл. 1. ОСОБЕННОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ВОЛНОВОГО ГИРОСКОПА

При вращении основания с постоянной угловой скоростью ω = ω0 = = const решение (1.2.23) принимает вид   4 w(ϕ, τ ) = a(τ ) cos 2(ϕ − ϕ0 ) + ω0 τ , (1.2.32) 5 где a(τ ) = a0 cos μτ. Из (1.2.28) следует  36 2 μ = μ20 + ω . 25 0 Из решения (1.2.32) следует, что постоянная скорости вращения основания изменяет как собственную частоту колебаний основания μ, так и пространственное положение стоячей волны. Поэтому измерение частот спектра колебаний стоячих волн может дать информацию о вращении основания. Однако основным измерительным каналом следует считать измерение положения пучностей стоячей волны по отношению к корпусу прибора. Из (1.2.32) следует также, что пучности колебаний имеют место при   4 cos 2(ϕ − ϕ0 ) + ω0 τ = 1, 5 т. е. 2 ϕп = ϕ0 + (m − 1)π − ω0 τ , m = 1, 2. (1.2.33) 5 Измеряя в системе координат корпуса прибора угол ϕ, получаем информацию о скорости вращения основания ω0 или об угле поворота основания α0 = ω0 τ . Полезно отметить, что по отношению к инерциальному пространству стоячие волны поворачиваются со скоростями 2 3 ϕ˙п (τ ) = ω0 − ω0 = ω0 . (1.2.34) 5 5 Формула (1.2.34) отражает свойство инерционности стоячих волн в резонаторе, которые поворачиваются в инерциальном пространстве со скоростью, в 0,6 раз меньшей скорости поворота основания. При произвольном вращении основания (ω(τ ) = const) функция α(τ ), входящая в решение (1.2.25), определяется формулой (1.2.27). Таким образом, и в этом случае сохраняется возможность измерения вращения по положению стоячей волны по углу τ 2 ϕ(τ ) = ϕ0 + (m − 1)π − ω(s) ds. (1.2.35) 5 0

При этом характер функции α(τ ) определяется решением линейного нестационарного уравнения (1.2.23), многие частные случаи которого достаточно подробно рассмотрены в литературе [2]. Решение уравнений динамики методом Бубнова–Галеркина. Рассмотрим метод Бубнова–Галеркина (см. Приложение 1) применительно

1.2. КОЛЬЦЕВАЯ МОДЕЛЬ РЕЗОНАТОРА

19

к решению уравнения свободных колебаний идеального вращающегося нерастяжимого кольца

w¨  − w¨ + κ2 (wV I + 2wIV + w ) = 0. (1.2.36) Уравнение (1.2.36) — 6-го порядка относительно пространственных переменных и 2-го порядка относительно времени. Следовательно, необходимо задать 6 граничных условий и 2 начальных. Считаем, что фаза колебаний нас не интересует, поэтому зададимся лишь граничными условиями. Очевидно, что для случая кольца ими являются 6 условий периодичности (1.2.24). Как известно, этим условиям удовлетворяют функции тригонометрического базиса   1, cos ϕ, sin ϕ, cos 2ϕ, sin 2ϕ, . . . , cos nϕ, sin nϕ, . . . . (1.2.37) Рассмотрим колебания по второй (основной) форме. В этом случае в системе (1.2.37) следует оставить лишь две функции: cos 2ϕ и sin 2ϕ. Тогда разложение искомой функции w в ряд имеет вид

w(ϕ, t) = p(t) cos 2ϕ + q(t) sin 2ϕ,

(1.2.38)

где p(t), q(t) — неизвестные коэффициенты, зависящие от времени. Согласно методу Бубнова–Галеркина следует приравнять нулю скалярные произведения (1.2.38) на функции пространственного базиса cos 2ϕ и sin 2ϕ, т. е. 2π



 w¨  − w¨ + κ2 (wV I + 2wIV + w ) cos 2ϕ dϕ = 0,

0 2π



 + w ) sin 2ϕ dϕ = 0.

w¨  − w¨ + κ2 (wV I + 2wIV

(1.2.39)

0

Подставляя в (1.2.39) вместо w выражение (1.2.38), после несложных преобразований и интегрирования получаем систему ⎧ ⎪ 36κ2 ⎪ ⎨ p¨ + p = 0, 5 (1.2.40) 2 ⎪ 36κ ⎪ ⎩ q¨ + q = 0. 5 Данная система определяет два гармонических осциллятора с одинаковой собственной частотой √ ω0 = 6κ/ 5. Приближенное решение имеет вид

 6κ 6κ w(ϕ, t) = A2 sin √ t + B2 cos √ t sin 2ϕ + 5 5

 6κ 6κ + C2 sin √ t + D2 cos √ t cos 2ϕ. (1.2.41) 5 5 2*

20

Гл. 1. ОСОБЕННОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ВОЛНОВОГО ГИРОСКОПА

Выражение (1.2.41) имеет следующий физический смысл: колебание кольцевого резонатора представляется в виде суммы двух стоячих волн, ортогональных по окружному углу и фазе. Аналогично, для третьей формы колебаний имеем 24 ω0 = √ κ, 10

 24κ 24κ w(ϕ, t) = A3 sin √ t + B3 cos √ t sin 3ϕ + 10 10 

24κ 24κ + C3 sin √ t + D3 cos √ t cos 3ϕ. 10 10 Вообще, любое колебание кольцевого резонатора является суммой бесконечного числа собственных колебаний вида ∞  w(ϕ, t) = [pn (t) cos nϕ + qn (t) sin nϕ]. n=1

Решение уравнений динамики методом Фурье. Рассмотрим уравнение динамики с учетом вращения

w¨  − w¨ + 4Ωw˙  + κ2 (wVI + 2wIV + w ) = 0. Перейдем от оригинала w = w(ϕ, t) к фурье-образу W = W (s, t) относительно аргумента ϕ: 1 W (s, t) = √ 2π

2π

(1.2.42)

w(ϕ, t)e−iϕs dϕ.

0

Используя свойства преобразования Фурье, вместо дифференциального уравнения в частных производных (1.2.42) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение 2 2 2 s ˙ + κ2 (s − 1) s W = 0. W s2 + 1 s2 + 1 Соответствующее характеристическое уравнение

¨ − 4Ωi W

r2 − 4Ωi имеет дискриминант

D = −4Ωi

2 2 2 s 2 (s − 1) s r + κ =0 s2 + 1 s2 + 1

s s2 + 1

2 − 4κ2

(s2 − 1)2 s2 < 0. s2 + 1

(1.2.43)

1.2. КОЛЬЦЕВАЯ МОДЕЛЬ РЕЗОНАТОРА

21

Решение (1.2.43) представляется в виде ⎡ ⎛

⎞ 2 s ⎠+ W (s, t) = exp (−iβ t) ⎣C1 exp ⎝i t ω02 + 4Ω2 2 (s + 1)2 ⎛ ⎞⎤

2 s ⎠⎦ F (s), (1.2.44) + C2 exp ⎝−i t ω02 + 4Ω2 2 (s + 1)2 где

2s (s2 − 1)s ; ω0 = κ √ ; +1 s2 + 1 C1 , C2 — неопределенные коэффициенты; F (s) — неопределенная функция. Поскольку Ω2  1, приближенно имеем   W (s, t) = e−iβ t C1 ei tω0 + C2 e−i tω0 F (s). (1.2.45)

β = −Ω

s2

Для основной формы колебаний (s = 2), опуская множитель F (s), получаем   √ √ W (s, t) = e−iΩ(4/5) t C1 eit(6/ 5)κ + C2 e−it(6/ 5)κ . (1.2.46) Для оригинала имеем следующее разложение в ряд Фурье:  w(ϕ, t) = W (s, t)eiϕs .

(1.2.47)

s

Окончательно, для рабочей формы колебаний   √ √ w(ϕ, t) = eiΩ(4/5)t e2iϕ C1 eit(6/ 5)κ + C2 e−it(6/ 5)κ +   √ √ + e−iΩ(4/5)t e−2iϕ C1 e−it(6/ 5)κ + C2 eit(6/ 5)κ . (1.2.48) Влияние внутреннего трения и внешней нагрузки на динамику кольцевого резонатора. Деформация кольцевого резонатора упругими волнами неизбежно сопровождается потерями энергии на преодоление внутреннего трения. Наиболее распространенной моделью механизма внутренней диссипации является модель Кельвина–Фойгта [1, 2], обобщающая закон Гука на случай неупругих деформаций σ = E(ε + ξ ε) ˙, (1.2.49) где σ — функция напряжений; ε — деформация; ξ — безразмерная величина, характеризующая время затухания неупругих релаксаций. При наличии трения процедура составления уравнения динамики резонатора отличается лишь тем, что вместо функции Лагранжа (1.2.16) следует исходить из выражения   1 EJ ∂ ψ˙ L= T −Π−ξ . ρS R ∂ϕ

22

Гл. 1. ОСОБЕННОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ВОЛНОВОГО ГИРОСКОПА

Поэтому, опуская промежуточные выкладки, приведем окончательный вид уравнений динамики резонатора в размерной и безразмерной формах:

w¨  − w¨ + 4Ωw˙  + κ2 (wVI + 2wIV + w ) + κ2 ξ(w˙ VI + 2w˙ IV + w˙  ) = 0, (1.2.50)   VI IV  VI IV  w¨ − w¨ + 4ω w˙ + w + 2w + w + ξ(w˙ + 2w˙ + w˙ ) = 0. (1.2.51) Пусть ξ достаточно мало. Тогда внутреннее трение практически не сказывается на пространственном положении стоячих волн, а лишь приводит к их постепенному затуханию. Положим в уравнении (1.2.51) ω = 0 (свободные колебания): w¨  − w¨ + wV I + 2wIV + w + ξ(w˙ VI + 2w˙ IV + w˙  ) = 0. (1.2.52) Решение (1.2.52) опять будем искать в виде w(ϕ, τ ) = a(τ ) cos [2(ϕ − ϕ0 )]. (1.2.53) Подставляя (1.2.53) в уравнение (1.2.52), получим 36 36 a ¨ + ξ a˙ + a = 0. (1.2.54) 5 5 ˙ 0) = 0 является функция Решением уравнения (1.2.54) при a(0) = a0 , a( −δτ a(τ ) = a0 e cos μτ (1.2.55) (экспоненциально затухающая амплитуда), где

2 18 36 18 δ= ξ, μ = − ξ . 5 5 25 При этом решение (1.2.52) определяется формулой w(ϕ, τ ) = a0 e−δτ cos μτ cos [2(ϕ − ϕ0 )]. (1.2.56) Для постоянной угловой скорости вращения основания можно записать   4 −δτ w(ϕ, τ ) = a0 e cos μτ cos 2(ϕ − ϕ0 ) + ν0 τ , (1.2.57) 5 и измерение вращения основания можно, как и прежде, осуществлять по положению пучностей колебаний стоячих волн по отношению к корпусу прибора. Важной характеристикой резонатора является его добротность, определяемая формулой 1 Q= , (1.2.58) ν0 ξ где

EJ ν0 = κμ0 = 6 5ρSR4 — собственная частота упругих колебаний. Для плавленого кварца Q лежит в пределах 106 . . . 107 .

1.2. КОЛЬЦЕВАЯ МОДЕЛЬ РЕЗОНАТОРА

23

Внешняя нагрузка. Естественно, что слабое затухание стоячих волн, определяемое параметром δ , следует компенсировать внешней “подкачкой” энергии. Этого можно достичь под действием внешней распределенной нагрузки p(ϕ, t) с компонентами pv , pw . Выполняя анализ динамики кольцевого резонатора аналогично вышеприведенному, опустив промежуточные выкладки, получим в размерном виде

w¨  − w¨ + 4Ωw˙  + κ2 (wVI + 2wIV + w ) + 1 (p − pv ). (1.2.59) ρS w Уравнение (1.2.59) — это уравнение движения неидеально упругого нерастяжимого кольца, вращающегося в своей плоскости с угловой скоростью Ω вокруг оси симметрии и подверженного действию внешней распределенной нагрузки. Для свободных колебаний резонатора в отсутствие угловой скорости уравнение динамики можно записать в компактной операторной форме  ! "2 ! " 2 2 2 2 2 (1.2.60) κ ∂ϕ ∂ϕ + 1 (ξ∂t + 1) + ∂t ∂ϕ − 1 w = 0,

+ κ2 ξ(w˙ VI + 2w˙ IV + w˙  ) =

где ∂ϕ ≡ ∂/∂ϕ, ∂t ≡ ∂/∂t. Численное решение задач динамики упругого кольца методом конечных разностей. Рассмотрим уравнение свободных колебаний кольцевого резонатора в общем виде (1.2.59) без правой части: w¨  − w¨ + 4Ωw˙  + κ2 (wVI + 2wIV + w ) + κ2 ξ(w˙ VI + 2w˙ IV + w˙  ) = 0,

w(ϕ, 0) = a(ϕ),

w(ϕ ˙ , 0) = b(ϕ),

w(n) (0, t) = w(n) (2π , t),

n = 0, 5. (1.2.61) В общем случае полагаем, что Ω = Ω(t) (переменная угловая скорость вращения основания), а ξ = ξ(ϕ) (разнодобротность). Для численного решения данной задачи используем метод конечных разностей [22]. Введем сначала равномерную пространственновременную сетку 2π ϕj = jh, j = 0, 1, . . . , N − 1, h = ; N T . ti = iτ , i = 0, 1, . . . , M , τ= M Далее аппроксимируем четные производные по окружной координате в каждом узле ϕj центральными конечными разностями: n 1  k i w(n) (ϕj , ti ) ∼ Δnh wji = n Cn (−1)k wj+k−n/ (1.2.62) 2, h k=0

где Cnk — биномиальные коэффициенты, а wji ≡ w(ϕj , ti ). Нечетную производную представим в виде i i wj+ 1 − wj−1 w (ϕj , ti ) ∼ . 2h

24

Гл. 1. ОСОБЕННОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ВОЛНОВОГО ГИРОСКОПА

Погрешность таких аппроксимаций для каждой производной имеет порядок h2 . Аналогичным образом аппроксимируем с погрешностью порядка τ 2 производные по времени:

w(ϕ ˙ j , ti ) ∼

wji+1 − wji−1 , 2τ

w(ϕ ¨ j , ti ) ∼

wji+1 − 2wji + wji−1 . τ2

Обозначим дифференциальный оператор

Lw ≡ κ2 (wVI + 2wIV + w ). Тогда, при использовании (1.2.62), его конечноразностный аналог имеет вид # i $ $ 1 # i i 2 i Λwji = 6 wj− 3 + wj+3 + (2h − 6) wj−2 + wj+2 + h  # i $ i 4 2 + (h4 − 8h2 + 15) wj− 1 + wj+1 + 2(−h + 6h − 10) . Введем однопараметрическое семейство трехслойных схем

Δ2h wji+1 − 2Δ2h wji + Δ2h wji−1 wji+1 − 2wji + wji−1 − + τ2 τ2 $   1 # i+1 + ξj Λwj − Λwji−1 + Λ σwji+1 + (1 − 2σ)wji + σwji−1 + 2τ i+1 i+1 i−1 i−1 wj+ 1 − wj−1 − wj+1 + wj−1 = 0, + Ωi hτ j = 0, 1, . . . , N − 1, i = 1, 2, . . . , M , (1.2.63) где ξj ≡ ξ(ϕj ), Ωi ≡ Ω(ti ). Числовой параметр σ ∈ [0, 1] служит для обеспечения устойчивости схемы. При σ = 0 получаем чисто явную разностную схему, а при σ = 1 — неявную, более устойчивую к погрешностям вычислений. К системе уравнений (1.2.63) следует добавить начальные условия

wj0 = aj , wj1 = wj0 + τ bj , aj ≡ a(ϕj ), bj ≡ b(ϕj ), j = 0, 1, ..., N − 1 и условия периодичности ⎧ i ⎪ ⎨ wj , i i , wj = wj+N ⎪ ⎩ i wj−N ,

(1.2.64)

0  j  N − 1,

j < 0,

(1.2.65)

j > N − 1.

В силу (1.2.65) матрица системы (1.2.63) будет представлять собой семидиагональную матрицу-циркулянт.

1.3. ОБОЛОЧЕЧНАЯ МОДЕЛЬ РЕЗОНАТОРА

25

1.3. Оболочечная модель резонатора Выведем уравнения движения полусферического резонатора ВТГ [1–3, 23–26]. Резонатор представляет собой тонкостенную полусферическую оболочку, закрепленную на цилиндрической ножке в окрестности полюса. Предполагаем, что физические параметры резонатора не зависят от окружного угла и являются постоянными величинами. Математическая модель оболочки строится на основе гипотезы Кирхгофа–Лява [27, 28]. В общем случае деформация является суммой касательных напряжений u(α, β), v(α, β) точек средней поверхности и нормального перемещения w(α, β) этой же поверхности; здесь α и β — локальные координаты точки на средней поверхности оболочки (см. Приложение 2). Согласно гипотезе Кирхгофа–Лява компоненты тензоров напряжений (σ ) и деформаций (e) подчинены следующим условиям: eαγ = eβγ = eγγ = 0, σγγ = 0, где γ — нормальная координата точек, лежащих внутри оболочки. Тогда линейная связь тензоров напряжений и деформаций выражается с помощью закона Гука:

σα =

E (eαα + νeββ ), 1 − ν2 ταβ

σβ =

E (eββ + νeαα ), 1 − ν2

E eαβ , = 2(1 + ν)

(1.3.1)

где E — модуль Юнга; ν — коэффициент Пуассона материала оболочки. Разложим компоненты тензора деформаций по степеням координаты γ и оставим только линейные относительно γ слагаемые:

eαα = ε1 + κ1 γ + o(γ),

eββ = ε2 + κ2 γ + o(γ),

eαβ = ω + τ γ + o(γ).

(1.3.2)

Коэффициенты разложений (1.3.2) имеют следующий геометрический смысл: ε1 , ε2 — относительные удлинения координатных линий; ω характеризует изменение угла между координатными линиями (деформация сдвига); κ1 , κ2 характеризуют изменение главных кривизн средней поверхности при переходе в деформированное состояние (деформация изгиба); τ характеризует деформацию кручения средней поверхности. Для полусферической оболочки, если α = θ , β = ϕ — сферические координаты, R — радиус средней поверхности в недеформированном

26

Гл. 1. ОСОБЕННОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ВОЛНОВОГО ГИРОСКОПА

состоянии, будут справедливы равенства [28]:



 1 1 1 ∂v ∂u w+ w + u ctg θ + ε1 = , ε2 = , R ∂θ R sin θ ∂ϕ

 ∂v 1 1 ∂u ω= , −v ctg θ + + R sin θ ∂ϕ ∂θ

 ∂2w ∂w 1 − + ctg θ τ= 2 , R sin θ ∂θ∂ϕ ∂ϕ 



∂w 1 ∂2w 1 1 ∂2w . κ1 = − 2 w + 2 , κ2 = − 2 w + + ctg θ ∂θ R ∂θ R sin2 θ ∂ϕ2 (1.3.3) Примем гипотезу о нерастяжимости средней поверхности оболочки. Тогда уравнения, определяющие изгибания оболочки, получаются приравниванием нулю трех компонент тангенциальной деформации:

ε1 = ε2 = ω = 0.

(1.3.4)

Подставляя (1.3.2) в (1.3.1), получим

σα =

E E (κ1 + νκ2 )γ ; σβ = (κ2 + νκ1 )γ ; 1 − ν2 1 − ν2 E τ γ. ταβ = 2(1 + ν)

(1.3.5)

Запишем выражения для сил и моментов через составляющие деформации: нормальные силы N1 = N2 = 0; (1.3.6) сдвигающие силы

S1 = S2 = 0;

(1.3.7)

изгибающие моменты

M1 = −

Eh3 (κ1 + νκ2 ); 12(1 − ν 2 )

M2 = −

Eh3 (κ2 + νκ1 ); (1.3.8) 12(1 − ν 2 )

крутящие моменты

M12 = M21 = Здесь h — толщина оболочки.

Eh3 τ. 12(1 + ν)

(1.3.9)

1.3. ОБОЛОЧЕЧНАЯ МОДЕЛЬ РЕЗОНАТОРА

27

Согласно принципу Даламбера, после исключения перерезывающих сил уравнения равновесия элемента оболочки примут вид:

∂M1 1 ∂M21 + (M2 − M1 ) ctg θ + = −R2 X , ∂θ sin θ ∂ϕ ∂M12 1 ∂M2 + + 2M12 ctg θ = −R2 Y , − sin θ ∂ϕ ∂θ −

−

∂ 2 M1 ∂ 1 ∂ 2 M2 − + ctg θ (M2 − 2M1 ) + 2 ∂θ ∂θ sin2 θ ∂ϕ2 +

(1.3.10)

2 ∂ 2 M21 ctg θ ∂M12 +2 + M1 − M2 = −R2 Z. sin θ ∂θ∂ϕ sin θ ∂ϕ

Силы инерции имеют вид [1]

X = −ρh(utt − 2Ωvt cos θ),  Y = −ρh [vtt + 2Ω(wt sin θ + ut cos θ)] ,

Z=

 −ρh(wtt

−

(1.3.11)

2Ωvt sin θ),

где ρ — плотность материала оболочки; Ω — угловая скорость вращения оболочки. Далее, подставляя (1.3.6)–(1.3.9) и (1.3.11) в (1.3.10), получаем уравнения движения полусферического резонатора, вращающегося вокруг оси симметрии с угловой скоростью Ω:   D 1 ctg θ     2  − − w ctg θ + 2 + (ctg θ − 1 )w −w w w θθθ θϕϕ θθ ϕϕ θ = R2 sin2 θ sin2 θ = R2 ρh(utt − 2Ωvt cos θ),

D R2

 ctg θ  1 1 2    wθθϕ w w − − − − = w ϕϕϕ sin θ sin θ θϕ sin θ ϕ sin2 θ  = R2 ρh [vtt + 2Ω(wt sin θ + ut cos θ)] ,

 D 2 1 ctg θ  IV IV IV  wθθϕϕ wϕϕϕϕ − − − 2wθθθ ctg θ + 2 2 wθϕϕ + −wθθθθ R2 sin4 θ sin2 θ sin θ  

4 1  2  +wθθ ctg θ − wθ = wϕϕ − ctg θ 2 + sin4 θ sin2 θ  − 2Ωvt sin θ), = R2 ρh(wtt

где D = Eh3 /12(1 − ν 2 ) — цилиндрическая жесткость.

(1.3.12)

28

Гл. 1. ОСОБЕННОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ВОЛНОВОГО ГИРОСКОПА

Для получения решения системы уравнений (1.3.12) разложим перемещения точек резонатора по второй собственной форме колебаний нерастяжимой оболочки: u(θ, ϕ, t) = U (θ) [p(t) cos 2ϕ + q(t) sin 2ϕ] ,

v(θ, ϕ, t) = V (θ) [p(t) sin 2ϕ − q(t) cos 2ϕ] ,

(1.3.13)

w(θ, ϕ, t) = W (θ) [p(t) cos 2ϕ + q(t) sin 2ϕ] . Здесь U (θ), V (θ), W (θ) — функции Релея для сферической оболочки [29]; p(t), q(t) — неизвестные функции. Будем считать, что кромка резонатора определяется углом θ0 . Подставляя (1.3.13) в (1.3.12) и применяя метод Бубнова–Галеркина (см. Приложение 1) при составлении дифференциальных уравнений для функций p(t), q(t), получаем уравнения, описывающие динамику второй собственной формы колебаний идеального полусферического резонатора: % m0 ptt − 2Ωbqt + c0 p = 0, (1.3.14)  m0 qtt + 2Ωbpt + c0 q = 0, где θ 0 2 m0 = −R ρh (U 2 + V 2 + W 2 ) sin θ dθ , 0

θ 0

b = 2R2 ρh V (U cos θ + W sin θ) sin θ dθ , 0

c0 =

D R2

 3 + 2 cos2 θ  ctg θ W W U+ − 8 sin2 θ sin2 θ 

V 1 + cos2 θ   W + + 2W + 2W ctg θ − 4 2 sin θ sin θ  9 − sin2 θ  + −W IV − 2W  ctg θ + W − sin2 θ  & ctg θ 2  − (9 + 2 sin θ)W W sin θ dθ. sin2 θ

θ 0 

−W  − W  ctg θ +

0

Коэффициент прецессии стоячей волны в резонаторе выражается формулой [1]: θ0

b K= =−0 2m0

V (U cos θ + W sin θ) sin θ dθ θ0 0

. (U 2 + V 2 + W 2 ) sin θ dθ

(1.3.15)

29

1.4. ДИСКОВАЯ МОДЕЛЬ ВТГ

Функции Релея могут быть определены из решения системы дифференциальных уравнений (1.3.4), имеющей развернутый вид: ⎧ ⎪ ⎨ w + ∂u/∂θ = 0, w sin θ + u cos θ + ∂v/∂ϕ = 0, (1.3.16) ⎪ ⎩ −v cos θ + ∂u/∂ϕ + sin θ ∂v/∂θ = 0. После отделения окружного угла ϕ полученная система сводится к линейному дифференциальному уравнению второго порядка по углу θ :

V  sin2 θ − V  sin θ cos θ − 3V = 0.

(1.3.17)

Ее решением, голоморфным в вершине сферического купола, будет

V (θ) = sin θ tg2 (θ/2). Используя (1.3.16), легко найдем:

U (θ) = V (θ) = sin θ tg2 (θ/2);

W (θ) = −(2 + cos θ) tg2 (θ/2). (1.3.18)

Подстановка (1.3.18) в (1.3.15) для θ0 = π/2 дает следующее значение параметра прецессии: K ≈ 0,277. Оно совпадает со значением, полученным в [30].

1.4. Дисковая модель ВТГ Одной из простых в конструктивном плане является схема ВТГ с дисковым резонатором (рис. 1.5). Аналогично кольцу выведем уравнения динамики для такой модели. Положим

w ≡ ur ,

v ≡ uϕ .

Плотности кинетической и потенциальной энергий равны, соответственно,   w(t) = w 1 T = ρR2 (v˙ + ωr − ωw)2 + (w˙ + ωv)2 , 2 2

1◦ 1  1 M  Π = λ r wr + vϕ + w + 2 r r 2

r ◦ ◦ 1  1  2 μ μ + r (wr ) + r vϕ + w + O r r 

1◦ 1  1  R μ + w + vr − v , r 2 r ϕ r (1.4.1) ◦ ◦ μ где λ, — постоянные Ламе. Рис. 1.5. Дисковая модель Плотность лагранжиана равна

L = T − Π.

резонатора ВТГ

30

Гл. 1. ОСОБЕННОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ВОЛНОВОГО ГИРОСКОПА

Условие нерастяжимости имеет вид $ # $2 #  2 − r2 = 0. 2f ≡ r + vϕ − w + v + wϕ

(1.4.2)

Для минимальности действия по Гамильтону вариация интеграла должна быть равной нулю: ϕ 2 t2 r2

I= ϕ1 t1 r1

 L(v , w, v˙ , w˙ , vϕ , wϕ , vr , wr ) +  + η(t, ϕ, r)f (v , w, vϕ , wϕ ) dr dt dϕ = 0, (1.4.3)

где η(t, ϕ, r) — множитель Лагранжа. Из (1.4.3) получим ϕ 2 t2 r2 

ϕ1 t1 r1

∂L ∂L ∂L ∂L ∂L δv + δw + δ v˙ + δ w˙ +  δvϕ + ∂v ∂w ∂ v˙ ∂ w˙ ∂vϕ +

∂f ∂L ∂L ∂L ∂f δwϕ +  δvr + δwr + η δv + η δw + ∂wϕ ∂vr ∂wr ∂v ∂w  ∂f ∂f   +  δvϕ + δwϕ dr dt dϕ = 0. (1.4.4) ∂vϕ ∂wϕ

В соотношении (1.4.4)  1 L= (v˙ + ωr − ωw)2 + (w˙ + ωv)2 − 2

2 1 1  1 2  − λr wr + vϕ + w + μr (wr ) + 2 r r 2 



1  1 1 1  1  v + w + μr w + vr − v , + μr r ϕ r 2 r ϕ r где

◦

λ λ≡ , ρR2

◦

μ μ≡ . ρR2

Из (1.4.3) после стандартной процедуры интегрирования по частям получим (δv — произвольная вариация, а η выбирается из условия равенства нулю выражения при вариации δw) систему



  d ∂L ∂f ∂f d d ∂f d ∂L + η = 0, + + −η dt ∂ v˙ dϕ ∂vϕ dr ∂vr dϕ ∂vϕ ∂v (1.4.5)

 d ∂L d ∂f d ∂L ∂L d ∂L ∂f + + η  −η = 0. + − dt ∂ w˙ dϕ ∂wϕ dr ∂wr ∂w dϕ ∂wϕ ∂w

1.4. ДИСКОВАЯ МОДЕЛЬ ВТГ

31

В итоге уравнения (1.4.5) можно переписать в виде

λ + 2μ  λ + 2μ    vϕϕ + (λ + μ)wϕr wϕ − μrvrr v¨ − 2ω w˙ + ωr ˙ − ω w˙ + − − r r ! " μ μ d − ω2 − [η(r + vϕ − w)] − η(wϕ + v) = 0, v − μvr − wϕ + r r dϕ

 1  1   w + vrϕ − vϕ − w¨ − 2ω v˙ + ωv ˙ −μ r ϕϕ r   − 2μwr − (λ + 2μ)rwrr − λvrϕ − λwr + ω 2 r − ω 2 w +

+

d λ + 2μ  λ + 2μ vϕ − w+ [η(v + wϕ )] + η(r + vϕ − w) = 0. r r dϕ (1.4.6)

Множитель Лагранжа η представим в виде

η = η0 + η1 , в котором η0 не зависит от переменных v , w, а η1 = η1 (t, ϕ, r) → 0 при v , w → 0. Тогда из второго уравнения (1.4.6), полагая v = w = 0, находим η0 = −ω 2 . (1.4.7) После подстановки η = −ω 2 + η1 в систему (1.4.6) последняя примет вид

λ + 2μ   vϕϕ − (λ + μ)wrϕ + r μ + v − μvr − ω 2 r + η1 ϕ r + ω 2 wϕ = 0, r (1.4.8) μ  λ + 3μ   vϕ − (λ + 2μ)wr − w¨ + 2ω v˙ + ωv ˙ − wϕϕ − (λ + μ)vrϕ + r r λ + 2μ   w + η1 r − 2ω 2 w − ω 2 wϕϕ = 0. − (λ + 2μ)rwrr − r v¨ − 2ω w˙ + (r − w)ω˙ +

Продифференцируем 2-е уравнение по ϕ и вычтем из 1-го. Эту разность продифференцируем еще раз по ϕ и учтем условие нерастяжимости (1.4.2), которое в первом приближении имеет вид

w = vϕ . В итоге получим

! λ + 3μ  μ " IV  wϕϕ + 3ω 2 wϕϕ + ω2 + wϕϕϕϕ + r r μ  IV + (λ + 2μ)wrϕϕ + w − μwr + (λ + 2μ)rwrrϕϕ = 0. (1.4.9) r

 w¨ − w¨ϕϕ − 4ω w˙ ϕ − 2ω˙ wϕ −

32

Гл. 1. ОСОБЕННОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ВОЛНОВОГО ГИРОСКОПА

Рассмотрим случай ω = const. Решение уравнения (1.4.9) будем искать в виде

w(t, ϕ, r) = w0 (r) cos (αt + kϕ) cos βt,

(1.4.10)

где k ∈ Z, α, β — неизвестные постоянные. Подставляя (1.4.10) в (1.4.9) и приравнивая нулю множитель при sin(αt + kϕ) sin βt, получим 2αβ − 4βωk + 2αβk2 = 0, откуда находим

α=

2ωk . k2 + 1

(1.4.11)

Приравнивая нулю множитель при cos (αt + kϕ) cos βt, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:

w0 +

a  b c w0 − 2 w0 + w0 = 0, r r r

(1.4.12)

где

a=

(1 + 2k2 )μ + k2 λ > 0, k2 (λ + 2μ) c=

b=

(λ + 3μ)k2 + μ(1 + k4 ) > 0, k2 (λ + 2μ)

(k + 1)(α2 + β 2 ) − 4ωαk + k2 ω 2 (3 − k2 ) . k2 (λ + 2μ)

Постоянную β выберем из условия c = 0:

(k + 1)(α2 + β 2 ) = 4ωαk + k2 ω 2 (k2 − 3).

(1.4.13)

Тогда уравнение (1.4.12) является уравнением Эйлера

a  b w0 − 2 w0 = 0. r r Решение (1.4.14) ищем в виде w0 +

w0 = r δ .

(1.4.14)

(1.4.15)

Подставляя (1.4.15) в (1.4.14), получим для определения δ квадратное уравнение δ 2 + (a − 1)δ − b = 0, (1.4.16) корни которого

δ1,2 = −

a−1 ± 2

(a − 1)2 + b. 4

Один из этих корней (со знаком “+” перед корнем) δ1 > 0, а другой — δ2 > 0.

33

1.5. СИСТЕМЫ ВОЗБУЖДЕНИЯ

Так как w0 (0) = 0, то

w0 = r δ1 ,

где

a−1 δ1 = − + 2

(1.4.17)

(a − 1)2 + b > 0. 4

Решение уравнения (1.4.9) имеет вид

w(t, ϕ, r) = rδ1 cos (αt + kϕ) cos βt, где α, β определяются из условий (1.4.11), (1.4.13), а δ1 — из (1.4.17).

1.5. Системы возбуждения Идеальная работа ВТГ требует существования в резонаторе незатухающих упругих волн. Для этого тело резонатора должно быть расположено в абсолютном вакууме, а материал, из которого он изготовлен, не должен обладать внутренним трением при его изгибной деформации. На практике конечные потери энергии колебаний резонатора компенсируются приложением к нему внешних переменных электрических сил на частоте требуемой формы колебаний. По принципу действия и способу применения в БИНС ВТГ подразделяются на гироскопы, работающие в режимах датчика угловой скорости (ВТГ-ДУС) и интегрирующего гироскопа (ВТГ-ИГ) [1]. Позиционное возбуждение резонатора (ВТГ-ДУС). В режиме ДУС в ВТГ реализуется система позиционного возбуждения резонатора (рис. 1.6, а). На пару противоположных электродов подается

Рис. 1.6. Схемы позиционного (а) и параметрического (б) возбуждения 3 М. А. Басараб и др.

34

Гл. 1. ОСОБЕННОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ВОЛНОВОГО ГИРОСКОПА

переменное электрическое напряжение с частотой, в 2 раза меньшей, чем собственная частота основной формы: ⎧ 0, при 0,5ϕэл < ϕ < π − 0,5ϕэл , ⎪ ⎪ ⎨ ω (1.5.1) V (ϕ, t) = V0 cos 0 t, при 0  ϕ < 0,5ϕэл ⎪ 2 ⎪ ⎩ и π − 0,5ϕэл < ϕ < π + 0,5ϕэл , где V0 — амплитуда напряжения; ϕэл — угловой размер электрода; ω0 — собственная частота колебаний резонатора. Поверхности резонатора и электродов покрыты тонким электропроводящим слоем, являясь при этом в какой-то степени обкладками цилиндрического конденсатора. При малых угловых размерах электрода такой конденсатор может рассматриваться как плоский. Со стороны электродов на резонатор действуют силы электрического притяжения. Ориентация стоячей волны относительно резонатора определяется углом ϑ: Ω ϑ = ϑ0 − 2K 2 , (1.5.2) ω0 ξ где ϑ0 — начальная ориентация стоячей волны (ориентация электродов возбуждения); K ≈ 0,4 — масштабный коэффициент резонатора; ξ — коэффициент затухания (демпфирования) материала резонатора; Ω — угловая скорость поворота основания. Так как угол отставания стоячей волны пропорционален входной угловой скорости, такой режим работы ВТГ является режимом датчика угловой скорости (ВТГ-ДУС). Формула (1.5.2) справедлива и в случае, когда угловая скорость Ω не является постоянной [1]. Параметрическое возбуждение (ВТГ-ИГ). На выходе интегрирующих гироскопов снимается информация о приращении угла поворота основания. ВТГ-ИГ является более перспективным чувствительным элементом БИНС ЛА и КА по сравнению с ВТГ-ДУС, так как имеет более высокую точность (случайная составляющая скорости ухода — 10−4 град/ч против 10−2 град/ч). Впервые конкурентоспособный ВТГ-ИГ удалось создать специалистам американской фирмы Delco Electronics в середине 80-х гг. XX века благодаря выбору высокодобротного материала полусферического резонатора и замене позиционного возбуждения параметрическим. Схема параметрического возбуждения резонатора представлена на рис. 1.6, б. Возбуждение осуществляется с помощью кольцевого электрода 2, окружающего кромку резонатора 1. Поверхности резонатора и кольцевого электрода можно рассматривать как обкладки цилиндрического конденсатора, к которым приложено напряжение, не за-

35

1.5. СИСТЕМЫ ВОЗБУЖДЕНИЯ

висящее от окружного угла, с амплитудой V0 и частотой λ, близкой к собственной частоте резонатора. Назначение системы параметрического возбуждения — компенсация энергетических потерь резонатора, определяемых, главным образом, внутренней диссипацией его материала и влиянием остаточного газа в приборе. Система позиционного возбуждения для этих целей не подходит, т. к. стоячая волна будет “затягиваться” к электродам возбуждения. Процесс параметрического возбуждения показан на рис. 1.7. Когда резонатор не деформирован, электрические силы уравновешены внутренними напряжениями. Когда резонатор деформируется, то притягивающая сила в области меньшего зазора увеличивается, а сила в области большего зазора уменьшается, т. к. эта сила обратно пропорциональна квадрату величины зазора между кольцевым электродом и резонатором. Результирующая сила приводит к еще большей деформации резонатора и действует в направлении пучностей стоячей волны. При изменении напряжения с частотой, равной собственной частоте основной формы колебаний резонатора, происходит параметрическое возбуждение резонатора.

а)

б)

в)

г)

Рис. 1.7. Процесс параметрического возбуждения: а, в — напряжение питания включено; б, г — напряжение питания отключено (движение по инерции)

Примерные технические характеристики ВТГ-ИГ приведены в табл. 1.1 [1]. Ориентация стоячей волны относительно резонатора определяется углом ϑ, пропорциональным углу поворота корпуса ВТГ:

t ϑ = ϑ0 − K Ω(τ ) dτ .

(1.5.3)

0

Здесь ϑ0 — начальная ориентация стоячей волны; K — масштабный коэффициент; t — время; Ω — угловая скорость поворота основания. 3*

36

Гл. 1. ОСОБЕННОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ВОЛНОВОГО ГИРОСКОПА

Т а б л и ц а 1.1 Напряжение питания датчиков перемещения, В Чувствительность по углу, угл.с Точность преобразования фазы, град Напряжение системы возбуждения, В Частота системы возбуждения, Гц Дискретность изменения частоты системы возбуждения, Гц Выходное напряжение системы управления жесткостью (электрическая коррекция), В Средние рабочие зазоры, мкм, по внутреннему и наружному корпусу: первая гармоника разложения вторая гармоника разложения третья гармоника разложения четвертая гармоника разложения Добротность резонатора Расщепление собственной частоты после механической балансировки, Гц Расщепление резонансной частоты после электрической балансировки, Гц

40 3 0,07 400 3000 5 · 10−5 400

200. . . 300 3. . . 7 4. . . 6 1. . . 4 (3...5) · 106 (2...3) · 10−3 0,001. . . 0,0015

ГЛАВА 2

АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ И R-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ВТГ 2.1. Атомарные функции и методы аппроксимации Атомарные функции up(x) и fupn (x). Атомарные функции, подобно финитным полиномиальным сплайнам, являются удобным аппаратом аппроксимации при решении широкого класса задач численного анализа, в том числе краевых задач математической физики [11–16]. Атомарные функции представляют собой финитные решения функционально-дифференциальных уравнений вида N 

dn y

(n)

(x) =

n=1

M 

cm y(ax − bm ),

(2.1.1)

m=1

где a, dn , cm , bm — числовые параметры и |a| > 1. Наиболее простой и в то же время фундаментальной в классе АФ является функция up(x) с носителем [−1, 1], удовлетворяющая уравнению

up (x) = 2 [up (2x + 1) − up (2x − 1)] .

(2.1.2)

Графики АФ up(x) и ее производной приведены на рис. 2.1. 2

up'(t)

1

up(t) t

-1

0

1

-1 -2 Рис. 2.1. Атомарная функция up(t) и ее первая производная

Преобразование Фурье up(x) имеет вид

F' (p) =

∞ ( k=1

где

sinc(x) ≡

sinc

p , 2k

sin x . x

(2.1.3)

38

Гл. 2. АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ И R-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ВТГ

Функция up(x) четная, up(0) = 1 и

1

up(x) dx = 1. Она возрас-

−1

тает на интервале [−1, 0], убывает на интервале [0, 1], и up (1 − x) = = 1 − up(x) при x ∈ [0, 1]. Производные n-го порядка функции up(x) вычисляются по формуле n

up(n) (x) = 2n(n+1)/2

2 

δk up (2n x + 2n + 1 − 2k),

(2.1.4)

k=1

где рекуррентная последовательность

δ2k = −δk ,

δ1 = 1,

δ2k−1 = δk ,

k = 1, 2, . . .

Целое семейство АФ fupn (x) получается с помощью рекуррентных соотношений, аналогичных уравнениям для B -сплайнов Шенберга [10]

fupn (x) = K · fupn−1 (x) ∗ B0 (x), fup0 (x) ≡ up(x), где “∗” — символ свертки,



B0 (x) =

1, 0,

|x|  1/2, |x| > 1/2,

а K — нормирующий множитель, определяемый, как правило, одним из следующих условий: 1. fupn (0) = 1; ) 2. k fupn (x − k) ≡ 1 (разложение единицы); 3.

∞ 

fupn (x) dx = 1.

−∞

В частном случае, для АФ fup0 (x) все три условия удовлетворяются одновременно. Функции fupn (x) финитны с носителем

 n+2 n+2 , supp fupn (x) = − , 2 2 а их фурье-образы имеют вид ∞ p p( p sinc k = K sincn · F' (p) . F'n (p) = K sincn 2 2 2 k=1

Атомарные функции fupn (x) дифференциальным уравнениям

fupn (x) = 2

n+ 2 k=0

удовлетворяют

функционально-

  # k $ n+2 k−1 . Cn+1 − Cn+ fup 2 x − k + n 1 2

39

2.1. АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ И МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ

1 0,5

-2

-1,5

-0,5

-1

0,5

0

1

1,5

2

Рис. 2.2. Функции up(x) (сплошная линия), fup1 (x) (пунктирная линия) и fup2 (x) (штрихпунктирная линия)

На рис. 2.2 представлены графики функций up(x), fup1 (x) и fup2 (x), нормированных на значение в нуле. Алгоритмы расчета АФ up(x). Для вычисления АФ up (x) используется тот факт, что ее моменты 1 an = xn up(x) dx, −1

(2.1.5)

1

bn = xn+1 up(x) dx 0

известны и выражаются с помощью следующих рекуррентных соотношений: a0 = 1, a2n = (−1)n c2n (2n)!, a2n−1 = 0,

b0 =

1 , 2

b2n =

a2n , 2

b2n−1 =

1

n )

n22n+1

k=0

C22nj a2n ,

n = 1, 2, . . . , (2.1.6)

где

c0 = 1,

c2n =

n−1 1  (−1)n−j c2j , 4n − 1 (2n − 2j + 1)!

n = 1, 2, . . .

(2.1.7)

j=0

В двоично-рациональных точках вида k2−n функция up(x) есть многочлен степени n, а ее значения в этих точках — рациональные числа: 2

up (k2−n ) = 1 −

2(−n

+n+1)/2

n!

k  j=1

n/2

δj



Cn2l (k − j + 2−1 )n−2l a2l 2−2l ,

l=0

(2.1.8) bn−1 . up (2 ) = 1 − n(n−1)/2 2 (n − 1)! Все АФ — бесконечно дифференцируемые, но не аналитические, т. е. для вычисления значений АФ нельзя использовать разложение в ряд Тейлора, так как он либо имеет нулевой радиус сходимости, либо представляется алгебраическим многочленом и к финитной функции не −n

40

Гл. 2. АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ И R-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ВТГ

сходится. Для нахождения up(x) через свои моменты в произвольной точке носителя используется быстросходящийся ряд вида

up(x) = 1 +

∞ k  (−1)sk pk  k=1

2k(k−1)/2

j=0

# * +$j bk−j−1 |x| · 2k − |x| · 2k ; (k − j − 1)!j! (2.1.9)

0  x < 1, где

b−1 = 1,

sk =

k 

pj ,

* + pk = |x| · 2k mod 2.

j=1

Функцию up(x) можно также разложить в ряд по нормированным многочленам Лежандра LN (x):  j  ∞   up(x) = z2j ,k a2j−2k L2j (x), (2.1.10) j=0

где

zj ,k = (−1)

k=0

,

k

(2j − 2k)! Cjk j+1/2

2j + 1 , j!(j − 2k)!

2



[n/2]

(2k  j),

Ln (x) =

zn,k xn−2k ,

k=0

или, используя свойство четности, в ряд Фурье по косинусам: ∞  ∞ π(2j − 1) 1  ( cos π(2j − 1)x. up(x) = + sinc (2.1.11) 2 2k j=1

k=1

Еще один способ вычисления АФ up(x) через свои значения в двоично-рациональных точках (2.1.8) основан на ее интерполяции с помощью некоторой базисной системы функций. Чтобы сохранить одно из основных свойств АФ — бесконечную дифференцируемость, можно, например, воспользоваться разложением в ряд Уиттекера– Котельникова–Шеннона (УКШ) (см. Приложение 3):

 2n −1 ) k up(x) ≈ up n sinc [π(2n x − k)], 2 (2.1.12) k=−2n +1

(−1  x  1). Несмотря на то, что АФ up(x) не является целой функцией и имеет бесконечный спектр, разложение (2.1.12) тем не менее обеспечивает удовлетворительное качество аппроксимации на интервале [−1, 1]. Эффективным может также оказаться разложение up(x) в ряд по полиномам Бернштейна

 2n ) k n up(x) ≈ Bn (up; x) = up n C2kn xk (1 − x)2 −k , 2 (2.1.13) k=0

(0  x  1), обеспечивающее равномерную сходимость на интервале [0, 1].

2.1. АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ И МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ

41

Функция fupn (x) выражается через up(x) следующим образом: m+ " 1 (m)  1 ! m fupn (x) = αi up m x − 2m + +1−i , (2.1.14) 2 2 i=0

где (m)

α0

= 1,

(m)

αi

i = (−1)i Cm+ 1−

i−1 

(m)

αj

δi−j+1 .

j=0

Атомарные функции fupn (x) также можно вычислять посредством разложения в ряд Фурье. В Приложении 4 приведены некоторые основные классы АФ и их свойства. Аппроксимация атомарными функциями. С помощью сдвигов функции up(x) можно представить любой алгебраический многочлен, а именно, для любого n  0 существуют коэффициенты ck такие, что выполняется равенство

 ∞  k xn = ck up x − n . (2.1.15) 2 k=−∞

Это означает, что среди линейных комбинаций сдвигов функции up(x) с шагом k · 2−n содержатся все многочлены степени не больше n, причем каждому фиксированному x соответствует конечное число членов, отличных от нуля. Среди всех финитных функций ϕ(x) с носителем [−1, 1], для которых выполняется свойство (2.1.15), АФ up(x) является простейшей: либо ϕ(x) пропорциональна up(x), либо ее производные растут быстрее, чем производные up(x): - (n) -ϕ -C[−1,1] = ∞; lim n→∞ -up(n) C[−1,1] для up(x)

- (n) -up -

C[−1,1]

= 2n(n+1)/2 .

Если обозначить через U Pn пространство линейных комбинаций сдвигов функции up(x) на k2−n

 ∞  k ck up x − n , 2 k=−∞

то

1) пространства U Pn являются согласованными: U Pn ⊂ U Pn+1 ; 2) пространства U Pn являются минимально возможным видоизменением пространств сплайнов, обладающих бесконечной гладкостью; 3) в пространствах U Pn имеются базисы, состоящие из целочисленных сдвигов АФ fupn (x);

42

Гл. 2. АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ И R-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ВТГ

4) пространства U Pn наряду с многочленами и сплайнами являются экстремальными или асимптотически экстремальными - для- классов   r функций конечной гладкости, таких как WX = f (x) : -f (r) -X  1 . Рассмотрим приближение функции f (t) ∈ C r+1 [0, 1], заданной на равномерной сетке

1 , i = 0, N , N с помощью элементов U Pn,r — пространства линейных комбинаций сдвигов сжатий функции up(x)  ! "  1 x −k . ck up r 2 h

ΔN : ti = ih,

h=

k

Предположим, что r — четное, а значения функции f (t) известны в точках r r τk = kh, k = − , N + . 2 2 Пространство U Pn,r имеет базис, состоящий из сдвигов–сжатий функции fupr (x). Одномерная атомарная аппроксимация с помощью АФ fupn (x) имеет вид N+M 

ΦN , r (f ; t) =

ck ϕr,k (t),

(2.1.16)

k=−M

где при четном r

r M= , 2

ϕr,k (t) ≡ fupr

 t+T −k , h

h=

2T . N

На рис. 2.3 приведены графики пяти соседних базисных функций разложения (2.1.16) при r = 2, h = 1. Видно, что кратность покрытия 1

0,5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Рис. 2.3. Соседние базисные функции разложения (2.1.16) (сдвиги АФ fup2 (x))

интервала с помощью базиса АФ fupr (x) равна r + 2 и соответствует кратности покрытия базисом, составленным из B -сплайнов Шенберга (r + 1)-го порядка.

43

2.1. АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ И МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ

Доказано [11], что для любого h > 0 существуют ck в (2.1.16) такие, что

f (x) − ΦN ,r (f ; x) C l [0;1]  Kr hr−l ωr (f ; h),

(2.1.17)

где ωr (f ; h) — модуль непрерывности функции f (r) (x), Kr не зависит от h (но зависит от r ). Рассмотрим интерполяцию периодической функции

f (t) ∈ C r+1 [−π ; π], заданной на равномерной сетке

ΔN : ti = ih, h = π/N , i = −N , N , с помощью элементов пространства U PN ,r [15]. Предположим, что значения функции f (t) известны в точках 4k − 1 + (−1)r π. (2.1.18) 4N Атомарная интерполяция r -го порядка функции f (t) осуществляется с помощью выражения   N+M  r+1 ΦN , r (f ; t) = ck ϕr,k (t), M = , (2.1.19) 2

τk = τk ,r =

k=−N−M

где

ϕr,k (t) ≡ fupr

 1 − (−1)r t+π h , −k+ h 4

ΦN , r (f ; τj ) = f (τj ).

При подходящей нормировке последовательность функций ϕr,k (t) образует разложение единицы. Из условий интерполяции получаем алгебраическую систему для нахождения неопределенных компонент разложения r c−N−j = cN−j , j = 0, . . . , , 2 M ) (2.1.20) b|k| cj+k = fj , j = −N , N , k=−M

c−N+j = cN+j ,

j = 1, . . . ,

r

, 2 где fj ≡ f (τj ), bk ≡ ϕr,0 (kh). Эта система имеет доминирующую главную диагональ, причем

f (x) − ΦN ,r (f ; x) C[−π;π]  (1 + (r + 1)[K + ξ(N )]) η(x) C[−π;π] , (2.1.21)

44

Гл. 2. АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ И R-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ВТГ

где

η(x) = f (x) − Φ∗N ,r (f ; x),

а

Φ∗N ,r (f ; t) =

N+M 

c∗k ϕr,k (t)

k=−N−M

— элемент наилучшего приближения, для которого справедлива оценка (2.1.17). В (2.1.21) константа K не зависит от N , а lim ξ(N ) = 0. N→∞

В случае приближения непериодической функции можно, как и для сплайнов, определенным образом задать дополнительные граничные условия на старшие производные интерполянта, что может привести к потере точности. Ситуация упрощается, если значения приближаемой функции известны за пределами исходного интервала. Здесь также можно воспользоваться способом, указанным в [10]. Суть его заключается в продолжении приближаемой функции с помощью интерполяционных многочленов Лагранжа на всю ось и последующем построении атомарного интерполянта для продолженной функции. Тогда вместо (2.1.20) получим систему M 

b|k| cj+k = fj ,

j = −N − M , N + M ,

(2.1.22)

k=−M

где c|k| = 0 при k > N + M . Справедлива Теорема 2.1 [15]. Пусть f (x) ∈ C r+1 (R). Тогда для приближения (2.1.19) с коэффициентами, определяемыми из решения (2.1.22), верна оценка

 1

f (x) − ΦN ,r (f ; x) C[−π;π]  1 + (2.1.23)

η(x) C[−π;π] . q

2.2. Решение задачи динамики упругого кольца с помощью атомарных функций Рассмотрим возможности атомарной аппроксимации при решении уравнения колебаний свободного идеального вращающегося нерастяжимого кольца

w¨  − w¨ + κ2 (wVI + 2wIV + w ) = 0,

(2.2.1)

где w = w(ϕ) — радиальное перемещение частиц кольца в зависимости от окружного угла. Введем равномерное разбиение

ϕi = ih,

i = 0, 1, . . . , N ,

h=

2π . N

2.2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ УПРУГОГО КОЛЬЦА С ПОМОЩЬЮ АФ

45

Рис. 2.4. Относительные деформации δw(ϕ) и прогибы w(ϕ) для первой (а), второй (б), третьей (в) и четвертой (г) собственных форм колебаний резонатора

46

Гл. 2. АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ И R-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ВТГ

Так как уравнение (2.2.1) — шестого порядка, то приближенное решение будем искать в виде

w∗ (z) =

N+ 3

dj+3 ψj (z),

(2.2.2)

j=−3

где

ψj (ϕ) = fup6

!ϕ

" −j .

h Неопределенные коэффициенты di (i = 0, 1, . . . , N + 6) находятся из решения обобщенной задачи на собственные значения 1 Ad = 2 Bd, κ где компоненты матриц A и B определяются из условий коллокации в узлах ϕi :   VI IV  Ai,j = κ2 ψj− 3 (ϕi ) + 2ψj−3 (ϕi ) + ψj−3 (ϕi ) ;  Bi,j = ψj−3 (ϕi ) − ψj− 3 (ϕi ),

(i = 0, 1, . . . , N ; j = 0, 1, . . . , N + 6), а также краевых условий периодичности (q)

(q)

AN+q,j = ψj−3 (ϕN ) − ψj−3 (ϕ0 );

BN+q,j = 0,

(q = 0, 1, . . . , 5; j = 0, 1, . . . , N + 6). На рис. 2.4 представлены результаты моделирования некоторых собственных форм колебаний кольца при N = 8.

2.3. Обратная задача аналитической геометрии. R-функции Основные понятия теории множеств и булевой алгебры. Пусть X1 и X2 — два подмножества некоторого множества E . Множество, состоящее из точек, общих для этих двух множеств, называется пересечением и обозначается X1 ∩ X2 . Множество, состоящее из точек, вошедших хотя бы в одно из множеств X1 или X2 , называется их объединением и обозначается X1 ∪ X2 . Множество, дополняющее X до всего E , называется дополнением множества X и обозначается X . Характеристической функцией (ХФ) подмножества X множества E называется функция χ(x) (двузначный предикат множества X ): 1, если x ∈ X , χ(x) = / X. 0, если x ∈ Рассмотрим множество B2 , состоящее из двух элементов: 0 (ложь) и 1 (истина). Булевой функцией (БФ) n аргументов называется отображение вида F : B2n → B2 , т. е. Y = F (X1 , X2 , . . . , Xn ), где X1 , . . . , Xn ,

2.3. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. R-ФУНКЦИИ

47

Y ∈ B2 . Всего БФ двух переменных 16. Рассмотрим лишь некоторые из них, необходимые в дальнейшем. Булеву функцию, соответствующую пересечению двух множеств X1 ∩ X2 , называют конъюнкцией и обозначают Y = X1 ∧ X2 . Эту функцию называют также логическим умножением: Y — истина тогда и только тогда, когда X1 — истина и X2 — истина. Булеву функцию, соответствующую объединению двух множеств ω(x, y) = 0, называют дизъюнкцией: Y = X1 ∨ X2 . Эту функцию называют логическим сложением: Y — истина тогда и только тогда, когда X1 — истина или X2 — истина. Дополнению X 1 соответствует БФ Y = ¬X1 , которую называют отрицанием X1 : Y — истина, если X1 — ложь, и наоборот. Существуют такие независимые БФ, через которые можно выразить остальные. В частности, через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание выражаются все остальные БФ. Решение обратной задачи аналитической геометрии. Пусть в R2 задана область Ω с кусочно-гладкой границей ∂Ω и необходимо построить функцию ω(x, y), положительную внутри Ω, отрицательную вне Ω и равную нулю на ∂Ω. Уравнение ω(x, y) = 0 будет в неявной форме определять геометрическое место точек, представляющих границу области. Пусть χ = (ω(x, y)  0) — ХФ области Ω. Располагая некоторой системой ХФ χi = (ωi (x, y)  0) и БФ Y = F (X1 , . . . , Xm ), можно построить предикат χ = F (χ1 , . . . , χm ) = F [(ω1  0), . . . , (ωm  0)], определяющий область Ω, сконструированную из вспомогательных областей Ω1 , . . . , Ωm по логическим правилам, определяемым БФ F . Предположим, что область Ω образована из исходных областей Ω1 , . . . , Ωm с помощью теоретико-множественных операций пересечения “∩”, объединения “∪” и дополнения “¬”. Формально запишем это так: # $ Ω = F {Ω1 , . . . , Ωm }, {∩, ∪, ¬} . (2.3.1) Пусть исходные области имеют более простую форму, чем Ω, и для каждой из них известно уравнение ее границы ωi (x, y) = = 0 (i = 1, . . . , m). Метод R-функций [3, 11–16] позволяет на основе теоретико-множественного описания области Ω получить в аналитическом виде уравнение ее границы ω(x, y) = 0. R-функцией (функцией В.Л. Рвачева), соответствующей разбиению числовой оси на интервалы (−∞, 0) и [0, ∞), называется такая функция, знак которой вполне определяется знаками ее аргументов (во избежание использования трехзначной логики ноль условно отнесен

48

Гл. 2. АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ И R-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ВТГ

к положительным числам). При этом одновременно с R-функцией оказывается заданной некоторая сопровождающая БФ с тем же числом аргументов. Поэтому можно сказать также, что функция z = f (x, y) называется R-функцией, если существует такая БФ Φ, что S[z(x, y)] = Φ[S(x), S(y)], где двузначный предикат 0, x < 0, S(x) = 1, x  0. Каждой R-функции соответствует единственная сопровождающая БФ. Обратное неверно, и одной и той же БФ соответствует бесконечное множество (ветвь) R-функций. Система функций H , составленная из R-функций, достаточно полная, если множество всех суперпозиций элементов H имеет непустое пересечение с каждой ветвью множества R-функций. Достаточным условием полноты системы H является полнота системы соответствующих сопровождающих БФ. Конъюнкции основных достаточно полных систем R-функций приведены в табл. 2.1. Т а б л и ц а 2.1 Обозначение

Выражение для R-конъюнкции

0

" , 1 ! x + y − x2 + y 2 − 2αxy , (−1 < α(x, y)  1) 1+α , x ∧0 y ≡ x + y − x2 + y 2

1

x ∧1 y ≡

α

m α  p

0

 n

m spl

x ∧α y ≡

1 (x + y − |x − y|) ≡ min(x, y) 2 ! " , x ∧m x + y − x2 + y 2 (x2 + y 2 )m/2 0 y ≡

x ∧ y ≡ x + y − (|x|p + |y|p )1/p , (p > 1) p ⎧ ⎪ xy(xn + y n )−1/n , x > 0, y > 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x, ⎨ x  0, y  0, 0 x∧y ≡ (n  2) n ⎪ ⎪ ⎪ y, x  0, y  0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ (−1)n+1 (xn + y n )1/n , x < 0, y < 0  1  m m+1 x ∧m − (x − y)m sign(x − y)m , spl y ≡ m (x + y) sign(x + y) 2 (m  1)

2.3. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. R-ФУНКЦИИ

49

Осуществим в (2.3.1) формальную замену Ω на ω(x, y), Ωi на ωi (x, y) (i = 1, . . . , m), а символов {∩, ∪, ¬} — на символы R-операций {∧, ∨, } соответственно. Получим в итоге аналитическое выражение, определяющее в элементарных функциях требуемое уравнение ∂Ω, ω(x, y) = 0. (2.3.2) При этом для внутренних точек области ω > 0, а для внешних ω < 0. Нормализованные уравнения границ. Дифференциальные операторы. Уравнение области ωm = 0 называется нормализованным до m-го порядка, если . . ∂ωm .. ∂ k ωm .. ωm |∂Ω = 0, = −1, = 0, k = 2, . . . , m, (2.3.3) ∂n .∂Ω ∂nk .∂Ω где n — вектор внешней нормали к границе, определенный в ее регулярных точках. В случае, когда выполняются лишь первые два условия (2.3.3), удовлетворяющая им функция ω1 называется просто нормализованной. Например, нормализованным уравнением прямой является ее обычное нормальное уравнение x cos α + y sin α − p = 0, где p — полярное расстояние, α — полярный угол. . . Если ω ∈ C n (R2 ) удовлетворяет условиям ω .∂Ω = 0 и ∂ω/∂n.∂Ω > > 0, то выражение ω ω1 ≡ , + ω 2 Φ ∈ C n−1 (R2 ), (2.3.4) 2 2 f ω + |∇ω| где

2 2 ∂ω ∂ω |∇ω| ≡ + , ∂x ∂y

Φ, f ∈ C n (R2 ), Φ, f > 0 при (x, y) ∈ Ω, . определяет пучок функций, удовлетворяющих условиям ω1 .∂Ω = 0, . ∂ω1 /∂n.∂Ω = −1 во всех регулярных точках границы ∂Ω. В частном случае, в (2.3.4) удобно взять f = const > 0, Φ = 0. В конструктивном плане нормализация уравнения области приводит к усложнению алгебраического выражения в левой части (2.3.2). На практике процесс построения нормализованных уравнений для широкого класса областей можно упростить, так как функция ω , образованная из нормализованных функций ωi , с помощью R-операций систем α , 0

,  будет также нормализована в регулярных точках границы, если p

n

∂Ωi ∩ ∂Ωj = ∅ при i = j . Используя этот факт, известные нормализованные уравнения границ некоторых геометрических объектов в R2 , а также преобразования переноса и поворота координат, можно автоматически получать уравнения более сложных областей, нормализованные в регулярных точках 4 М. А. Басараб и др.

50

Гл. 2. АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ И R-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ВТГ

границы. Так, нормализованное уравнение прямоугольника с длинами сторон 2a и 2b имеет вид 1 2 1 2 (a − x2 ) ∧ (b − y 2 ) = 0, 2a 2b 0

где ∧ — R-конъюнкция одной из систем: α ,  или . p

n

Кроме выражения в знаменателе (2.3.4) можно применять другие не обращающиеся в нуль функции, совпадающие на границе с ∂ω/∂n. Простейшей формулой нормализации функции ω является ω ω1 ≡ . (2.3.5) |∇ω|∂Ω Так, нормализованное уравнение прямой ax + by + c = 0 имеет вид 1 √ (ax + by + c) = 0, 2 a + b2 а нормализованное уравнение окружности: 1 (R2 − x2 − y 2 ) = 0. 2R С помощью нормализованного уравнения можно строить пучки функций, нормальная или тангенциальная производная которых, либо произвольная линейная комбинация указанных производных и самой функции на границе области принимает заданные значения. Для этого вводятся следующие линейные дифференциальные операторы с переменными коэффициентами, зависящими от формы области:

D≡

∂ω ∂ ∂ω ∂ + , ∂x ∂x ∂y ∂y

T ≡−

∂ω ∂ ∂ω ∂ , + ∂x ∂y ∂y ∂x

(2.3.6)

(2.3.7)

где ω — нормализованная функция границы области. При этом для произвольной достаточно гладкой функции f на ∂Ω будет иметь место . . ∂f .. ∂f .. Df |∂Ω = − . , T f |∂Ω = , (2.3.8) ∂n ∂Ω ∂t .∂Ω где t — вектор касательной к границе. Аналоги операторов D и T , соответствующие участкам ∂Ωi границы ∂Ω, будем обозначать соответственно через

D(i) ≡

∂ωi ∂ ∂ωi ∂ + , ∂x ∂x ∂y ∂y

T (i) ≡ −

∂ωi ∂ ∂ωi ∂ + , ∂x ∂y ∂y ∂x

где ωi — нормализованные функции сегментов ∂Ωi .

(2.3.9)

2.3. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. R-ФУНКЦИИ

51

Операторы (2.3.6), (2.3.7) являются частными случаями операторов m

m−i i

m  ∂n ∂ω ∂ ∂ω ∂ ∂ω ∂ω i + Dm ≡ Cm = , ∂x ∂y ∂xm−i ∂y i ∂x ∂x ∂y ∂y i=0 (2.3.10)

i m−i m m  ∂ω ∂ω ∂ i Tm ≡ (−1)i Cm , (2.3.11) ∂x ∂y ∂xm−i ∂y i i=0

совпадающих на ∂Ω с производными порядка m по внутренней нормали и касательной соответственно. Таким образом, D ≡ D1 , T ≡ T1 . Если функция ω1 (x), где x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , нормализована до первого порядка, то функция ωm (x), определяемая как 1 m ω Dm ωm−1 , m = 2, 3, . . . , ωm = ωm−1 − (2.3.12) m! 1 удовлетворяет условиям нормализованности до m-го порядка (2.3.3) включительно [12]. Вместо операторов Dm можно использовать операторы разностного типа, более устойчивые с точки зрения численной реализации:

(Qh − 1)k f (x) = (−1)k ω1k (x)Dk f (x) + O[ω1k+1 (x)],

(2.3.13)

где

Qih f (x) ≡ f (x + ih), h = (h1 , ..., hn ), hi = −ω1 (xi+ ) + ω1 (xi− ),



  ω1 (x) ω1 (x) i i , ..., xn , x− = x1 , ..., xi − , ..., xn . x+ = x1 , ..., xi + 2 2 Обобщенная формула Тейлора и алгоритм нормализации. Располагая нормализованной до m-го порядка функцией ωm , можно для всякой функции f ∈ C m (Rn ) получить ее нормализанту по ωm : f ∗ (x) ≡ f (x − ωm ∇ωm ), (2.3.14) которая на границе ∂Ω совпадает с f и имеет нулевые нормальные производные до порядка m: . . . ∂ k f ∗ .. ∗. . f ∂Ω = f ∂Ω , = 0 при k = 1, m. (2.3.15) ∂nk . ∂Ω

Рассмотрим задачу о разложении функции f в окрестности границы ∂Ω области Ω, которая описывается нормализованным до mго порядка уравнением ωm = 0. Пусть fi (x), i = 0, m — известные функции, и на ∂Ω выполняются условия . ∂ i f .. = fi . (2.3.16) ∂ni .∂Ω Если fi (x), ωm (x) ∈ C m+1 (Ω ∪ ∂Ω) и ωm удовлетворяет условиям нормализованности (2.3.3) до (m + 1)-го порядка, то функция m  1 ∗ k f (x)ωm Pm (x) = (x), (2.3.17) k! k k=0

4*

52

Гл. 2. АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ И R-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ВТГ

где fk∗ (x) — нормализанты fk по функции ωm , удовлетворяет условиям . ∂ k Pm .. = fk при k = 0, m. (2.3.18) ∂nk .∂Ω Имеет также место формула

f (x) = Pm (x) + O(ω m+1 ), (2.3.19) называемая обобщенной формулой Тейлора (ОФТ) [12]. Выражение (2.3.19) является аналогом полинома Тейлора Pm (x), совпадающего в заданной точке с функцией f и ее производными до некоторого порядка. Однако Pm (x) является в общем случае не полиномом, а имеет вид некоторой функции, реализуемой, например, с помощью R-операций, в частности, элементарной. Обычный полином Тейлора для одномерного случая можно получить из формулы (2.3.19), если принять ω ≡ x − x0 . В ОФТ информация о функции и ее производных задается не в отдельных точках, а на некоторых линиях, поверхностях или гиперповерхностях (в зависимости от размерности пространства). Основная сложность заключается в построении нормализованного до m-го порядка уравнения ∂Ω, поскольку на практике формула (2.3.12) может привести к чрезмерно громоздким выражениям. Докажем теорему, обосновывающую более простой метод построения нормализованных до m-го порядка уравнений границ [31]. Теорема 2.2. Пусть ω1 (x) ∈ C 2m+1 (Ω) и удовлетворяет условиям нормализованности (2.3.3) до первого порядка. Тогда функция ! " 1 ωm = (2.3.20) ωm−1 2m + 1 − [∇ωm−1 ]2 , m = 2, 3, . . . 2m принадлежит классу C m (Ω) и удовлетворяет условиям нормализованности до m-го порядка. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция ωm−1 (m  2) удовлетворяет условиям нормализованности до (m − 1)-го порядка. Очевидно, при произвольном выборе параметров a, b выражение ! " ωm = ωm−1 a + b[∇ωm−1 ]2 (2.3.21) будет обращаться в ноль на границе ∂Ω. Из условий нормализованности получим . ∂ωm .. = a + b, ∂n .∂Ω следовательно, должно выполняться соотношение

a + b = −1. Непосредственной проверкой можно убедиться также, что . ∂ k ωm .. = 0, k = 2, m − 1. ∂nk .∂Ω

(2.3.22)

(2.3.23)

53

2.3. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. R-ФУНКЦИИ

Выражение

∇m ωm =

m 

! " j Cm ∇j ωm−1 ∇m−j a + b [∇ωm−1 ]2

j=0

на ∂Ω превращается в m-ю производную по нормали: ⎧ ⎫  . 2 ⎬  m ⎨ m j m−j  . ∂ωm−1 ∂ ωm . j ∂ ωm−1 ∂ = Cm a+b ⎭ ∂nm .∂Ω ⎩ ∂nj ∂nm−j ∂n j=0

. ∂Ω

С учетом свойств функции ωm−1 имеем . . ∂ m ωm .. ∂ m ωm−1 .. = ( 2 mb + 1 ) . ∂nm .∂Ω ∂nm .∂Ω Следовательно, . ∂ m ωm .. 1 = 0 при b = − . . m ∂n 2n ∂Ω Подставляя найденное значение b в (2.3.21) и учитывая (2.3.22), получим (2.3.20). Теорема доказана. З а м е ч а н и е. Для того, чтобы функция ωm действительно описывала границу ∂Ω, необходимо также потребовать, чтобы выражение в круглых скобках в (2.3.20) не обращалось в нуль во внутренних точках области Ω. Для широкого класса односвязных областей можно построить нормализованную функцию ω1 такую, что [∇ω1 ]2  1 в Ω. При этом вторые частные производные от ω1 в Ω будут не положительны. Строгое обоснование этого факта в ряде частных случаев можно реализовать с помощью неравенств типа Маркова–Бернштейна для функций многих переменных [32, 33]. Формула (2.3.20) проще в численной реализации, чем (2.3.12), так как не требует применения громоздкого оператора Dm (2.3.10). Если ω1 представляет собой полином степени p, то функция ωm , вычисленная по формуле (2.3.12), имеет степень (m2 + m − 1)(p − 1) + 1, а выражение для ωm , полученное согласно (2.3.20), имеет степень 3m−1 (p − 1) + 1. Значения сомножителей (m2 + m − 1) и 3m−1 в зависимости от m приведены в табл. 2.2. Т а б л и ц а 2.2

m

1

2

3

4

5

6

7

3m−1

1

3

9

27

81

243

729

m2 + m − 1

1

5

11

19

29

41

55

Анализ табл. 2.2 показывает, что при m  4 окончательные выражения для ωm , полученные по формуле (2.3.12), проще (имеют более низкую степень), чем полученные согласно (2.3.20). Поэтому, если необходимо провести нормализацию высокого порядка, то следует

54

Гл. 2. АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ И R-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ВТГ

вначале вычислить ω2 или ω3 по рекуррентному алгоритму (2.3.20), а далее перейти к использованию формулы (2.3.12). Используя (2.3.13), можно также из (2.3.12), (2.3.20) получить разностные или дифференциально-разностные (на основе нормализанты) рекуррентные соотношения. R-функции в полярных координатах. Пусть Ω ⊂ R2 — звездная относительно начала координат область (не обязательно выпуклая). Считаем, что методом R-функций в неявном виде получено уравнение (нормализованное или ненормализованное) ее границы ∂Ω (2.3.2). Для выпуклых областей уравнение (2.3.2) может быть получено и без использования R-операций, путем обычного перемножения функций, описывающих элементарные участки ∂Ω. Учитывая звездность области, осуществим переход к полярным координатам r , ϕ по формулам x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. (2.3.24) В итоге (2.3.2) запишется в виде

ω(r cos ϕ, r sin ϕ) = 0.

(2.3.25)

Из (2.3.25) путем эквивалентных преобразований необходимо выразить r через ϕ, т. е. получить зависимость

r = r(ϕ).

(2.3.26)

В силу громоздкости выражения для ω переход от неявного уравнения границы к параметрическому заданию труднореализуем или вообще невозможен для областей произвольного вида, особенно несимметричных относительно координатных осей. Поэтому целесообразно воспользоваться следующим приемом [34]. Пусть r = r1 (ϕ) и r = r2 (ϕ) — уравнения в полярных координатах границ ∂Ω1 , ∂Ω2 ограниченных областей Ω1 , Ω2 , звездных относительно начала координат. Очевидно,

r1 (ϕ) − r > 0 и r2 (ϕ) − r > 0 внутри Ω1 и Ω2 соответственно. Аналогично, за пределами Ω1 , Ω2 выполняются неравенства

r1 (ϕ) − r < 0 и r2 (ϕ) − r < 0. Если сложная область Ω (звездная) образована путем пересечения или объединения Ω1 , Ω2 , т. е. Ω = Ω1 ∩ Ω2 или Ω = Ω1 ∪ Ω2 , то уравнение границы ∂Ω в неявной форме может быть записано с помощью R-операций конъюнкции и дизъюнкции соответственно:

[r1 (ϕ) − r] ∧ [r2 (ϕ) − r] = 0,

(2.3.27)

[r1 (ϕ) − r] ∨ [r2 (ϕ) − r] = 0.

(2.3.28)

Пусть ∧, ∨ — символы R-операций системы α (−1 < α  1). Тогда, выполнив преобразования, можно из (2.3.27), (2.3.28) получить

2.3. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. R-ФУНКЦИИ

55

следующие выражения: 1 [r1 (ϕ) + r2 (ϕ) − |r1 (ϕ) − r2 (ϕ)|] ≡ min{r1 (ϕ), r2 (ϕ)}, 2 (2.3.29) 1 r = r1 ∨r r2 ≡ [r1 (ϕ) + r2 (ϕ) + |r1 (ϕ) − r2 (ϕ)|] ≡ max{r1 (ϕ), r2 (ϕ)}, 2 (2.3.30) определяющие границу ∂Ω в полярных координатах. Если, вводя малый параметр ε > 0, воспользоваться почти R-операциями, то вместо (2.3.39), (2.3.30) получим    1 ε 2 2 r1 (ϕ) + r2 (ϕ) − [r1 (ϕ) − r2 (ϕ)] + 2ε − ε, r = r1 ∧ r r2 ≡ 2 (2.3.31)    1 r = r1 ∨εr r2 ≡ r1 (ϕ) + r2 (ϕ) + [r1 (ϕ) − r2 (ϕ)]2 + 2ε2 − ε. 2 (2.3.32) Уравнения (2.3.31), (2.3.32) определяют границу вспомогательного внутреннего контура ∂Ω− . Из условия r  0 следует 

 2 2 ε  min r1 (ϕ) + r2 (ϕ) − r1 (ϕ) + r2 (ϕ) . (2.3.33)

r = r1 ∧ r r2 ≡

ϕ

П р и м е р 2.1. Для прямоугольной области [−a, a] × [−b, b] имеем a b . r(ϕ) = r1 ∧r r2 , r1 (ϕ) = , r2 (ϕ) = | cos ϕ| | sin ϕ| В (2.3.31), (2.3.32) полагалось ε > 0, что соответствует случаю деформации исходного замкнутого контура ∂Ω внутрь области Ω (при соблюдении условия (2.3.33)). Можно также выбрать параметр ε < 0. Контур ∂Ω будет тогда деформироваться (расширяться) внутрь области R2 \Ω, внешней к Ω. Вспомогательный контур ∂Ω+ будет внешним по отношению к ∂Ω. В этом случае все вышеприведенные формулы остаются справедливыми, однако условие (2.3.33) излишне. + При ε → −∞ внешние контуры ∂Ω+ ∧ , ∂Ω∨ , образованные операциями √ ( 1 − 2/2)|ε| (2.3.31), (2.3.32), приближаются к окружностям радиусов √ и (1 + 2/2)|ε| соответственно. Если уравнение r = r(ϕ) границы ∂Ω получено путем применения выражений (2.3.39), (2.3.30) к гладким функциям r1 (ϕ), r2 (ϕ), то, очевидно, оно не дифференцируемо при r1 (ϕ) = r2 (ϕ). Формулы (2.3.31), (2.3.32) приводят к функциям, описывающим гладкие контуры и не имеющим особенностей (аналитическим) в угловых точках сопряжения участков границы. Используя уравнения границ гладких контуров ∂Ω− , ∂Ω+ ,

r = r− (ϕ),

r = r+ (ϕ),

56

Гл. 2. АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ И R-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ВТГ

2 , близкого к ∂Ω, можно построить уравнение сглаженного контура ∂Ω следующим образом: r− (ϕ) + r+ (ϕ) r(ϕ) = . 2 |ε| −|ε| Например, в случаях, когда r− = r1 ∧r r2 , r+ = r1 ∧r r2 или |ε| −|ε| r− = r1 ∨r r2 , r+ = r1 ∨r r2 , имеем    1 2 2 r(ϕ) = (2.3.34) r1 (ϕ) + r2 (ϕ) ∓ [r1 (ϕ) − r2 (ϕ)] + 2ε . 2 Уравнения составных поверхностей в криволинейных координатах. Аналогично двумерному случаю рассмотрим алгоритм построения уравнения поверхности в сферической системе координат (r , θ , ϕ) [35]. Пусть сложная область Ω ⊂ R3 образована путем теоретикомножественного пересечения или объединения двух более простых областей Ω1 , Ω2 , уравнения границ которых известны: r = r1 (θ, ϕ), r = r2 (θ, ϕ). (2.3.35) Тогда уравнение границы ∂Ω (при ε = 0) и вспомогательных сглаженных поверхностей (при ε = 0) можно получить с помощью алгебрологических операций (почти-) конъюнкции и (почти-) дизъюнкции [15] соответственно:    1 ε 2 2 r1 (θ, ϕ) + r2 (θ, ϕ) − [r1 (θ, ϕ) − r2 (θ, ϕ)] + 2ε − ε, r = r1 ∧ r2 ≡ 2 (2.3.36)    1 ε 2 2 r = r 1 ∨ r2 ≡ r1 (θ, ϕ) + r2 (θ, ϕ) + [r1 (θ, ϕ) − r2 (θ, ϕ)] + 2ε − ε. 2 (2.3.37) Уравнение близкой к ∂Ω гладкой поверхности задается в виде    1 2 2 r(θ , ϕ) = r1 (θ, ϕ) + r2 (θ, ϕ) ∓ [r1 (θ, ϕ) − r2 (θ, ϕ)] + 2ε . 2 (2.3.38) П р и м е р 2.2. Пусть область Ω является объединением параллелепипеда с центром в начале координат, размерами 2a × 2b × 2c, и усеченного кругового цилиндра радиуса R, длины 2h и образующей, направленной вдоль оси z (R > max {a, b}, h > c). В сферических координатах уравнение параллелепипеда строится с помощью конъюнкции трех слоев, параллельных координатным плоскостям: 

a c b r = r1 (θ, ϕ) = , ∧ ∧ | cos ϕ|| sin θ| | sin ϕ|| sin θ| | cos θ| а уравнение усеченного цилиндра имеет вид h R ∧ . r = r2 (θ, ϕ) = | sin θ| | cos θ|

2.3. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. R-ФУНКЦИИ

57

Окончательно, уравнение ∂Ω выражается через дизъюнкцию

r = r1 (θ, ϕ) ∨ r2 (θ, ϕ). Трехмерный график построенной поверхности показан на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Составная поверхность (пример 2.2)

В случае необходимости переход к декартовым координатам выполняется по формулам ⎧ ⎨ x = r(θ, ϕ) sin θ cos ϕ, y = r(θ, ϕ) sin θ sin ϕ, (2.3.39) ⎩ x = r(θ, ϕ) cos θ. Уравнения составных гиперповерхностей. Приведенная выше процедура естественным образом переносится на n-мерное пространство. Пусть явные уравнения двух гиперповерхностей Γ1 , Γ2 в Rn имеют соответственно вид

Γ1 : Γ2 :

xn = f1 (x1 , x2 , ..., xn−1 ), xn = f2 (x1 , x2 , ..., xn−1 ).

(2.3.40)

Рассмотрим выражения σ1 = f1 − xn и σ2 = f2 − xn . В зависимости от знаков σ1 , σ2 каждая гиперповерхность разбивает Rn на две − + − части Ω+ 1 (σ1 > 0), Ω1 (σ1 < 0) и Ω2 (σ2 > 0), Ω2 (σ2 < 0) соответственно. Сложная область Ω может быть образована пересечением или объединением этих частей с помощью приведенных выше операций ∧, ∨ с учетом того, что

min{σ1 , σ2 } ≡ (σ1 + σ2 − |σ1 − σ2 |), max{σ1 , σ2 } ≡ (σ1 + σ2 + |σ1 − σ2 |).

(2.3.41)

При этом соответствие между знаками σ1 , σ2 и знаками операций (2.3.41) задается табл. 2.3.

58

Гл. 2. АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ И R-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ВТГ

Т а б л и ц а 2.3 Функция

Ω+ 1

Знак

σ1

+

+

–

–

σ2

+

−

+

−

min{σ1 , σ2 }

+

−

−

−

max{σ1 , σ2 }

+

+

+

−

+ В частности, нетрудно убедиться, что границы областей Ω+ 1 ∩ Ω2 , + ∪ Ω2 описываются уравнениями

xn =

1 (f1 + f2 − |f1 − f2 |), 2

xn =

1 (f1 + f2 + |f1 − f2 |). 2

(2.3.42)

Структуры решения краевых задач. В большинстве случаев математические модели физических полей имеют вид краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Задача расчета поля сводится к отысканию в некоторой области Ω решения u уравнения Au = f (2.3.43) при следующих условиях на границе ∂Ω области Ω: Li u = ϕi , i = 1, . . . , m, (2.3.44) где A и Li — заданные дифференциальные операторы; f и ϕi — функции, определенные соответственно внутри области Ω и на участках ∂Ωi ее границы. Участки ∂Ωi не обязательно все различные и могут совпадать со всей границей ∂Ω. Приведенные в постановках краевых задач функции u, f , ϕi и операторы A и Li называются аналитическими компонентами краевой задачи; область Ω, ее граница ∂Ω, участки границы ∂Ωi — геометрическими компонентами. Особый интерес представляют краевые задачи расчета полей, зависящих от двух и более координат. Характерная особенность таких задач — зависимость поля от геометрических форм, имеющих в реальных объектах весьма сложную конфигурацию. Это может быть форма области Ω, участков ∂Ωi , границы ∂Ω, линий или поверхностей разрыва аналитических компонент и др. В случае краевых задач для кусочно-однородных сред сами операторы A и Li могут иметь различный вид в разных подобластях Ωj ⊂ Ω и на участках ∂Ωi ⊂ ∂Ω. Существование двух разнородных видов информации (аналитической и геометрической) является серьезным препятствием при отыскании решения краевой задачи. При исследовании и решении краевых задач необходимо не только учитывать вид формул, входящих в постановку задачи, но и приводить геометрическую информацию к аналитическому виду, позволяющему включать ее в разрешающий алгоритм.

2.3. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. R-ФУНКЦИИ

59

Определить u из (2.3.43), (2.3.44) в элементарных функциях удается лишь для узкого класса канонических областей. Обычно это области с границей, образованной координатными линиями (поверхностями) одной из систем координат, в которых переменные разделяются. В остальных случаях для решения граничной задачи применяются приближенные методы, а решение ищется в виде ряда с неизвестными коэффициентами по некоторой системе базисных функций {ϕk }∞ k=1 : N  (N) u≈ ck ϕ k . (2.3.45) k=1

При этом целесообразно вначале свести неоднородную задачу (2.3.43), (2.3.44) к граничной задаче с однородными граничными условиями и неоднородным уравнением Au = F , x ∈ Ω, . (2.3.46) Li u. = 0, i = 1, . . . , m. ∂Ωi

∞ Если в качестве системы {ϕk }∞ k=1 взять систему функций {ωχk }k=1 , где {χk }∞ — полная в Ω система, а функция ω с непрерывными k=1 первыми производными удовлетворяет условиям ω > 0 в Ω, . Li ω . = 0, i = 1, . . . , m, ∂Ωi

то для некоторых частных случаев можно показать, что система {ωχk }∞ k=1 полна. При тождественных операторах Li f ≡ f функция ω для круга и выпуклого многоугольника выписывается явно [36], что дает возможность заботиться лишь об удовлетворении основного уравнения Au = f , не учитывая граничных условий. Более общий метод построения функции ω основан на использовании теории R-функций. Общей структурой решения краевой задачи называется выражение # $ N u = B Φ, ω , {ωi }N (2.3.47) i=1 , {ϕi }i=1 , которое при любом выборе неопределенной компоненты Ф точно удовлетворяет краевым условиям. Здесь B — оператор, зависящий от геометрии области Ω и участков ∂Ωi ее границы, а также операторов краевых условий, но не зависящий от вида оператора A и функции f . Соответственно, частная структура решения есть выражение вида u = Bi (Φ, ω , ωi , ϕi ), (2.3.48) при любом выборе неопределенной компоненты точно удовлетворяющее лишь граничному условию на i-м участке ∂Ω. Таким образом, структура решения осуществляет продолжение граничных условий внутрь области. Метод R-функций применительно к решению краевых задач часто называют также структурным методом R-функций. Основные типы краевых условий для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка (Лапласа, Пуассона, Гельмгольца) и структуры решения соответствующих краевых

60

Гл. 2. АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ И R-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ВТГ

Т а б л и ц а 2.4 Краевые условия

Структуры решения

1-го рода (Дирихле):

u = ωΦ + ϕ (структура Канторовича)

u|∂Ω = ϕ 2-го рода (Неймана):

u = (1 − ωD)Φ − ωϕ

∂u/∂n|∂Ω = ϕ 3-го рода (Ньютона):

. . ∂u + hu .. = ϕ ∂n ∂Ω ⎧ . Смешанное: ⎪ . ⎪ ⎨ u ∂Ω1 = ϕ1 , .

. ∂u ⎪ . + hu = ϕ2 ⎪ ⎩ ∂n . ∂Ω

u = [1 + ω(h − D)] Φ − ωϕ   ω1 ω2 u= 1+ (h − D(2) ) (ω1 Φ + ϕ1 ) − ω1 + ω2 ω1 ω2 ϕ2 − ω1 + ω2

2

задач приведены в табл. 2.4 (в структурах решений для краевых условий дифференциального типа функции ω(x, y) и ω2 (x, y) — нормализованные, а n — внешняя нормаль к границе). Задача построения уравнения сложного геометрического объекта является частным случаем более общей проблемы, когда искомая функция ϕ принимает на различных участках ∂Ωi границы области Ω заданные значения ϕi , т. е.

ϕ = ϕi

на

∂Ωi ,

i = 1, . . . , m.

(2.3.49)

Для простоты будем считать, что ϕi — элементарные функции, определенные везде в области Ω ∪ ∂Ω. Функция m ϕ ) i i=1 ωi ϕ= ) m 1 , i=1 ωi

(2.3.50)

где ωi = 0 — уравнение участка ∂Ωi границы ∂Ω, причем ωi > 0 вне ∂Ωi , удовлетворяет условиям (2.3.41) и определена везде в области, за исключением точек, общих для различных участков. При приближении к участку ∂Ωi функция ωi → 0 и предельные значения функции ϕ совпадают с соответствующими значениями ϕi . Отличие обобщенной формулы Лагранжа (2.3.50) от классической интерполяционной формулы Лагранжа заключается в том, что в обычной задаче интерполяции заданы значения функции в точках x0 , x1 , . . . , xm , в то время как в формуле (2.3.50) предполагаются известными значения функции на участках ∂Ωi границы сложного геометрического объекта Ω.

61

2.3. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. R-ФУНКЦИИ

Неопределенная компонента Φ в приведенных выражениях обычно аппроксимируется рядом

Φ(x, y) =

K 

ck ψk (x, y),

(2.3.51)

k=0

где ψk — элементы полной системы базисных функций, а ck — неизвестные коэффициенты, находящиеся с помощью одного из вариационных или проекционных методов (Ритца, Бубнова–Галеркина, коллокации, наименьших квадратов и др.). Гибридные структуры решений. К недостаткам структурного метода R-функций можно отнести сложность структурных формул для произвольных областей, а также в ряде случаев недостаточно хорошие аппроксимативные свойства этих структур. Эффективность метода R-функций можно повысить, если учесть тот факт, что, как правило, исходная область представляет собой комбинацию некоторых более простых областей, для каждой из которых можно построить свою координатную последовательность. В частности, эта идея развита в регионально-структурном методе [12], а также в гибридном алгоритме альтернирующего метода Шварца и метода R-функций [14, 15]. Рассмотрим подход, позволяющий существенно упростить вид структурных выражений, а также повысить их гибкость в численной реализации [3, 37–39]. Задача Дирихле для уравнения Гельмгольца. Гибридные структуры Фурье–Канторовича. Пусть Ω ⊂ R2 — ограниченная область с кусочно-гладкой липшицевой границей ∂Ω. Требуется в Ω найти решение задачи на собственные значения (СЗ) для двумерного оператора Лапласа Δu = λu (2.3.52) с краевыми условиями Дирихле . u.∂Ω = 0. (2.3.53) Предположим, что область Ω представима в виде теоретикомножественного пересечения некоторой канонической области Ω∗ с другой областью Ω0 (Ω = Ω∗ ∩ Ω0 ), т. е. Ω ⊂ Ω∗ , а СЗ λ∗k и соответствующие собственные функции (СФ) u∗k (k = 1, 2, . . . ) краевой задачи (2.3.52), (2.3.53) в области Ω∗ известны: Δu∗k = λ∗k u∗k в Ω∗ , . (2.3.54) u∗k . ∗ = 0. ∂Ω

∗

Известно, что всякая непрерывная в замкнутой области Ω = = Ω∗ ∪ ∂Ω∗ функция g , обращающаяся в нуль на границе ∂Ω∗ , разлагается в ряд Фурье по СФ u∗k краевой задачи (2.3.52), (2.3.53) (теорема разложимости Стеклова). Следующая теорема доказывает полноту системы функций вида . {ω(x, y)xm y n }, где ω ∈ C(Ω), ω > 0 внутри Ω, ω .∂Ω = 0, и существуют ограниченные и непрерывные производные ∂ω/∂x и ∂ω/∂y .

62

Гл. 2. АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ И R-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ВТГ

Теорема 2.3 (обобщенная теорема Вейерштрасса) [36]. Если функция g(x, y) непрерывна в замкнутой ограниченной области Ω вместе с частными производными ∂g/∂x и ∂g/∂y , то при произвольном ε > 0 найдется алгебраический полином P (x, y) такой, что при всех (x, y) ∈ Ω будут выполнены неравенства . . . . . ∂g ∂P . . . . < ε, . ∂g − ∂P . < ε. (2.3.55) |g(x, y) − P (x, y)| < ε, .. − . . ∂x ∂x ∂y ∂y . С помощью преобразования координат обобщенную теорему Вейерштрасса можно доказать также для тригонометрических полиномов. Из теоремы Стеклова аналогично теореме 2.3 следует возможность при любом ε > 0 разложения всякой функции g , непрерывной вместе с ∗ производными в Ω и обращающейся в нуль на ∂Ω∗ , в конечный ряд ∗ Фурье TN по СФ u∗k краевой задачи (2.3.44), (2.3.45), такой, что . . . . ∗ . . ∂g ∂TN∗ . . . < ε, . ∂g − ∂TN . < ε, |g(x, y) − TN∗ (x, y)| < ε, .. − . ∂y ∂x ∂x . ∂y . (2.3.56) где N  TN∗ = ck u∗k . (2.3.57) k=1

Пусть известна функция ω0 (x, y) границы ∂Ω0 области Ω0 , причем ω0 > 0 в Ω0 (а также ω0 > 0 внутри Ω), ω0 < 0 в R2 \Ω0 , ω0 = 0 и |∇ω0 |2 = 0 на ∂Ω0 . Для произвольных областей выражение для ω0 строится с помощью теории R-функций. При этом возможно получение функции ω0 , обладающей достаточно высокой степенью гладкости на всей числовой плоскости за исключением, быть может, конечного числа нерегулярных точек границы ∂Ω0 . Составим далее систему функций ϕk = ω0 u∗k , k = 1, 2, . . . (2.3.58) Очевидно, . ϕk .∂Ω = 0. (2.3.59) Теорема 2.4. Система функций (2.3.58) полна в энергетическом пространстве HA невырождающегося положительно определенного эллиптического оператора:

 2  . ∂ ∂u Au = − (2.3.60) ajk + bu, u.∂Ω = 0. ∂xj ∂xk j ,k=1

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть u(x, y) — непрерывная в Ω функция, равная нулю на ∂Ω, производные которой непрерывны внутри Ω, и такая, что интеграл  3 2 2 & ∂u ∂u dx dy + ∂x ∂y Ω

2.3. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. R-ФУНКЦИИ

63

конечен. На основании существования последнего интеграла контур ∂Ω и линии внутри Ω, на которых u = 0, можно заключить в такую открытую область Ω1 , что  3 2 2 & ∂u ∂u dx dy < ε. + ∂x ∂y Ω1

Обозначим через δ > 0 минимум |u(x, y)| в Ω2 = Ω\Ω1 . Выберем достаточно малые δ1 , δ2 такие, что 0 < δ1 < δ2 и δ2 < δ , δ2 < ε. Тогда можно построить непрерывную вместе с производной функцию M (u), удовлетворяющую условиям 1. M (u) = 0 при |u|  δ1 ; 2. M (u) = u при |u|  δ2 ; 3. |M  (u)| < 1 + ε. Положим u(x, y) ≡ M [u(x, y)]. Согласно условию 2 очевидно, что u = u в Ω2 . Поэтому 2

2 

 ∂u ∂u ∂u  2 dx dy = [M (u) − 1] dx dy < − ∂x ∂x ∂x Ω

Ω



< (2 + ε)2

∂u ∂x

2 dx dy < (2 + ε)2 ε.

Ω1

Аналогичное неравенство выполняется и для частных производных по y . В соответствии с условием 1 функция u = 0 вблизи контура ∂Ω, поэтому, так как ω0 > 0 внутри Ω, функция v ≡ u/ω0 непрерывна вместе с частными производными в области Ω. Эти обстоятельства не нарушатся, если положить v ≡ 0 в области Ω∗ \Ω. Тогда v будет непрерывна вместе с частными производными в области Ω∗ . Согласно вышесказанному можно подобрать такой полином (2.3.49), где u∗k — собственные функции области Ω∗ , что будут выполняться неравенства (2.3.56). Для функции π = ω0 TN∗ справедливы неравенства

|u − π| = |ω0 ||v − TN∗ | < Kε; . . . . . ∂u ∂π . . ∂v . ∂TN∗ ∂ω0 ∗ ∂ω0 . . . . . ∂x − ∂x . = .ω0 ∂x + v ∂x − ω0 ∂x − TN ∂x . < K1 ε, . . . ∂u ∂π . . < K2 ε. . − . ∂y ∂y . Отсюда

|u − π|  |u − u| + |u − π| < (2 + ε)δ2 + Kε + K  ε,

64



Гл. 2. АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ И R-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ВТГ

∂u ∂π − ∂x ∂x

2

Ω



dx dy  2 

+2 Ω

Ω

∂u ∂π − ∂x ∂x 

∂u ∂u − ∂x ∂x

2

2 dx dy +

 dx dy < ε(2 + ε)2 + 2K12 ε2 dx dy < K  ε;

∂u ∂π − ∂y ∂y

2

Ω

dx dy < K  ε,

Ω

что доказывает полноту системы функций вида (2.3.58) в пространстве HΔ , а следовательно и в пространстве HA , так как эти пространства состоят из одних и тех же элементов. В качестве HA могут, в частности, выступать пространства W21 (Ω) либо L2 (Ω). Ранее аналогичная теорема была доказана [36] для случая аппроксимации с помощью системы функций

ψk = ωχk ,

k = 1, 2, . . . ,

(2.3.61)

где χk — элементы некоторой полной в Ω функциональной системы, а ω — функция области Ω. Общая структура решения краевой задачи, образованная базисом вида (2.3.58), называется структурой Фурье–Канторовича (FK-структурой) в отличие от обычной структуры Канторовича (K-структуры) (2.3.61). Частные разновидности структур Канторовича и Фурье–Канторовича, полученные с помощью R-функций, называются структурами Канторовича–Рвачева и Фурье–Канторовича– Рвачева соответственно (KR- и FKR-структуры). Преимущество системы (2.3.58) перед системой (2.3.61) заключается в том, что выражение для функции ω0 существенно проще, чем для ω , так как граница области Ω, как правило, образована меньшим числом элементарных кривых. Это приводит к уменьшению времени счета и повышению точности вычислений. К сожалению, указанный подход неприменим в случае краевых условий Неймана или 3-го рода. Гибридные структуры решений на основе обобщенной формулы Лагранжа. Уравнение Гельмгольца. Рассмотрим другой вариант построения гибридных структур решения краевых задач. Начнем с задачи Дирихле (2.3.52), (2.3.53). Очевидно, что базисные функции ω ∗ ψk + ω0 u∗k ϕk = , (2.3.62) ω ∗ + ω0 построенные на основе обобщенной интерполяционной формулы Лагранжа, будут удовлетворять однородным краевым условиям (2.3.53) на всей границе ∂Ω, если функции дополнительной координатной системы {ψk } удовлетворяют условию . ψk . = 0. (2.3.63) ∂Ω0

65

2.3. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. R-ФУНКЦИИ

Этого можно добиться с помощью частной K - или KR-структуры

ψk = ω0 χk ,

(2.3.64)

где {χk } — произвольная полная в Ω (или в Ω∗ ) система функций. Подставив (2.3.64) в (2.3.62), получим ω0 ϕk = ∗ (ω ∗ χk + u∗k ). (2.3.65) ω + ω0 В частном случае, в силу полноты системы {u∗k }, можно положить χk ≡ u∗k , тогда формула (2.3.65) примет вид

ω0 (ω ∗ + 1) ∗ uk , (2.3.66) ω ∗ + ω0 и имеем следующую структуру решения краевой задачи 1-го рода:  ω0 (ω ∗ + 1)  u≈ ck ϕ k = ck u∗k . (2.3.67) ω ∗ + ω0 ϕk =

k

k

Функции (2.3.66) будут по-прежнему удовлетворять условиям Дирихле (2.3.53), если домножить ω ∗ на весовой параметр σ > 0:

ω0 (σω ∗ + 1) ∗ uk . (2.3.68) σω ∗ + ω0 При σ → ∞ получаем систему функций FKR-структуры (2.3.58), а при малых σ имеем ϕk → u∗k , т. е. нарушается выполнение граничного условия вида (2.3.53). Выбор параметра σ позволяет более гибко учесть вклад “нерегулярного” участка границы ∂Ω0 : чем ближе ∂Ω0 к ∂Ω∗ , тем меньшим следует взять σ и наоборот. Обобщенная формула Лагранжа позволяет строить гибридные структуры решения и для краевых условий дифференциального типа. Пусть, например, вместо (2.3.53) на границе ∂Ω заданы условия 3-го рода 

∂u + hu = 0, (2.3.69) ∂n ∂Ω ϕk =

где n — вектор внешней нормали к границе ∂Ω (как частный случай, при h = 0 получаем краевые условия Неймана). Допустим также, что известны наборы СЗ и СФ третьей краевой задачи в канонической области Ω∗ : Δu∗k = λ∗k u∗k в Ω∗ , (2.3.70)

∗  ∂u + hu∗ = 0. (2.3.71) ∂n ∂Ω∗ Непосредственной проверкой можно убедиться, что базисные функции в виде следующей формулы Лагранжа

ϕk = 5 М. А. Басараб и др.

ω ∗2 ψk + ω02 u∗k ω ∗2 + ω02

(2.3.72)

66

Гл. 2. АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ И R-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ВТГ

будут удовлетворять однородным краевым условиям (2.3.71), когда

 ∂ψk + hψk = 0. (2.3.73) ∂n ∂Ω0 Условие (2.3.73) выполняется, если воспользоваться структурой решения для краевых условий 3-го рода:   ψk = 1 + ω0 (h − D(0) ) χk . (2.3.74) Здесь функция ω0 нормализована (∂ω0 /∂n|∂Ω0 = −1), а D(0) ≡ ≡ ∇ω0 ∇ — рассмотренный выше дифференциальный оператор, .на ∂Ω обращающийся в оператор дифференцирования по нормали (D(0) .∂Ω = 0 . = ∂/∂n.∂Ω ). Подставим (2.3.74) в (2.3.72): 0

  ω ∗2 1 + ω0 (h − D(0) ) χk + ω02 u∗k ϕk = . ω ∗2 + ω02

(2.3.75)

Если опять выбрать χk ≡ u∗k и ввести весовой параметр δ > 0, то вместо (2.3.75) имеем

ϕk = u∗k −

(σω ∗ )2 ω0 (D(0) − h)u∗k , (σω ∗ )2 + ω02

а гибридная структура решения примет вид

  (σω ∗ )2 ω0 (0) u≈ ck ϕ k = 1 − (D − h) ck u∗k . ∗ )2 + ω 2 (σω 0 k k

(2.3.76)

(2.3.77)

При σ → 0 получим ϕk = u∗k , т. е. набор координатных функций, удовлетворяющих лишь краевым условиям на “регулярной” части границы ∂Ω∗ . Такой набор допустим, так как условия (2.3.71) являются естественными и априори им удовлетворять необязательно. Если же σ → ∞, приходим к частной структуре    u≈ ck 1 − ω0 (D(0) − h) u∗k , (2.3.78) k

удовлетворяющей граничным условиям на участке ∂Ω0 . Для краевых условий дифференциального типа вместо (2.3.66) можно воспользоваться дифференциально-разностной 

∂ω0 ∂ω0 + ω0 h ψk = χk x − ω0 , y − ω0 (2.3.79) ∂x ∂y

2.3. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. R-ФУНКЦИИ

67

или разностной

! " (0) (0) ψk = χk x + H1 , y + H2 + ω0 h,

   ω0 (x, y) ω0 (x, y) , y − ω0 x + , y , = ω0 x − (2.3.80) 2 2     ω0 (x, y) ω0 (x, y) (0) − ω0 x, y + H2 (x, y) = ω0 x, y − 2 2 системами базисных функций, удовлетворяющих условию (2.3.73). При численной реализации выражения (2.3.79), (2.3.80) более устойчивы к погрешностям вычислений. Можно показать, что аналогично (2.3.76) функции   ∂ω0 ∂ω0 ∗ + ω0 h ϕk = uk x − f ω0 , y − f ω0 (2.3.81) ∂x ∂y и   (0) (0) ϕk = u∗k x + f H1 , y + f H2 + ω0 h, (2.3.82) 

(0) H1 (x, y)

где

σω ∗2 , σω ∗2 + ω02 будут удовлетворять краевым условиям (2.3.69). Строго говоря, для краевых условий дифференциального типа вместо рассмотренных выше структур вида  u≈ ck ϕ k (2.3.83) f (x, y) =

k

более корректно использовать структуры   u≈ ck ϕ k + ω 2 bm gm ,

(2.3.84)

m

k

где {gm } — произвольный базис в Ω. Однако, практика показывает, что отбрасывание второго слагаемого в (2.3.84) несущественно влияет на точность вычислений [12]. Гибридные структуры решений для уравнения Пуассона. Рассмотрим теперь случай, когда вместо задачи на СЗ (2.3.52) необходимо решить уравнение Δu = f (2.3.85) с известной правой частью f и однородными краевыми условиями (2.3.53) или (2.3.69) (уравнение Пуассона). Алгоритм решения следующий. Сначала по указанной методике находятся СФ u∗k для уравнения Гельмгольца (2.3.52). Искомое решение снова ищется в виде разложения (2.3.57) N  ∗ TN = ck u∗k , k=1 5*

68

Гл. 2. АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ И R-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ВТГ

подстановка которого в (2.3.85) после применения метода Бубнова– Галеркина приводит к следующей системе алгебраических уравнений: N  ck (Δu∗k , u∗l ) = (f , u∗l ) , l = 1, N . (2.3.86) k=1

Из (2.3.86) находим неопределенные коэффициенты ck , а значит и приближенное решение (2.3.85). Методы нахождения неопределенных компонент структур решений. Пусть в результате подстановки неопределенной компоненты K  Φ= ck ψk (2.3.87) k=1

в структуру решения

# $ N u = B Φ, ω , {ωi }N i=1 , {ϕi }i=1 в силу линейности краевых условий получаем разложение u=

K 

c k χk .

(2.3.88)

(2.3.89)

k=0

Приведем краткие сведения о некоторых основных методах нахождения неопределенных компонент ck . Методы минимизации невязки. Пусть функция (2.3.89) удовлетворяет всем краевым условиям задачи. Подставив ее в уравнение Au − f = 0, (2.3.90) найдем невязку

δ(x; c1 , ..., cK ) =

K 

ck Aχk (x) − f (x),

x ∈ Ω.

(2.3.91)

k=1

Необходимо выбрать набор ck так, чтобы получить невязку, наименее уклоняющуюся от нуля. Метод коллокации. Выберем в области Ω K точек {xj }K j=1 и потребуем, чтобы в этих точках невязка была равна нулю:

δ(xj ; c1 , . . . , cK ) = 0, j = 1, K. (2.3.92) Считая краевые условия задачи и оператор A линейными, получаем в результате систему K линейных алгебраических уравнений с K неизвестными. Решив ее, находим приближенное решение (2.3.90). Метод коллокации привлекателен простотой вычислений, а также тем, что на практике после вычисления постоянных ck обычно нетрудно проследить характер невязки вне точек xj и сделать заключение о погрешности решения. К недостаткам метода можно отнести сложность выбора узлов коллокации xj . Эта проблема эффективно решается при использовании в качестве базиса {ψk }K k=1 финитных функций, например, B -сплайнов или АФ.

2.3. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. R-ФУНКЦИИ

69

Метод коллокации допускает различные модификации. Одна из них состоит в том, что выбирается N > K точек коллокации xj , а постоянные ck находятся по методу наименьших квадратов, т. е. из условия минимума функции

Q(c1 , . . . , cK ) =

N 

δ 2 (xj ; c1 , . . . , cK ).

(2.3.93)

j=1

Если краевая задача линейна, то соответствующая система уравнений N  ∂δ(xj ; c1 , . . . , cK ) ∂Q =2 δ(xj ; c1 , . . . , cK ) = 0, ∂ck ∂ck j=1

k = 1, K (2.3.94)

также является линейной. Другой вариант метода коллокации получим, если потребуем, чтобы в точках xj были равны невязка и ее производные до некоторого порядка. Метод наименьших квадратов. Потребуем, чтобы квадрат нормы невязки 

I(c1 , . . . , cK ) = δ(x; c1 , . . . , cK ) 2L2 = δ 2 (x; c1 , . . . , cK )dx

(2.3.95)

Ω

был минимален в пространстве L2 (Ω). Соответствующая система уравнений для отыскания ck имеет вид  ∂I ∂δ(x; c1 , . . . , cK ) = 2 δ(x; c1 , . . . , cK ) dx = 0, k = 1, K. (2.3.96) ∂ck ∂ck Ω

Если для вычисления интегралов прибегнуть к квадратурной формуле  N  f (x)dx ≈ αj f (xj ) j=1

Ω

с весами αj , то придем к системе N  j=1

αj δ(xj ; c1 , . . . , cK )

∂δ(xj ; c1 , . . . , cK ) = 0, ∂ck

k = 1, K ,

(2.3.97)

с точностью до весовых коэффициентов совпадающей с системой (2.3.94) обобщенного метода коллокации. Метод Бубнова–Галеркина. Этот метод (см. также Приложение 1) определяется условием ортогональности невязки системе функций {χk }K k=1 из (2.3.89):  (δ(x; c1 , . . . , cK ), χk (x)) = δ(x; c1 , . . . , cK )χk (x)dx = 0, k = 1, K. Ω

(2.3.98) Если уравнение Au = f линейное, то (2.3.98) является системой линейных алгебраических уравнений.

70

Гл. 2. АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ И R-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ВТГ

Модификация метода Бубнова–Галеркина (метод Петрова) состоит в замене системы {χk }K k=1 некоторой другой полной в L2 (Ω) системой функций {ψk }K k=1 . В частности, в качестве функций4ψk удобно взять K характеристические функции областей Ωk таких, что k=1 Ωk = Ω (или финитные функции ϕk (x)  0 с носителями Ωk ). В этом случае система уравнений принимает вид  ϕk (x)δ(xj ; c1 , . . . , cK )dx = 0, k = 1, K (2.3.99) Ω

и после применения теоремы о среднем оказывается эквивалентной системе (2.3.92) метода коллокации. Применение описанных методов обеспечивает сходимость в среднем, а в некоторых случаях — равномерную сходимость к решению краевой задачи. Для улучшения типа сходимости можно вместо скалярного произведения (и соответствующей нормы) в L2 (Ω) воспользоваться скалярным произведением пространства Соболева H s (Ω) = W2s (Ω), что усложняет вычислительную сторону дела. Энергетические методы. Часто краевую задачу сводят к вариационной задаче о минимуме функционала J(u), руководствуясь тем или иным энергетическим принципом, характеризующим данное физическое поле. Если краевые условия линейны и однородны, то множество функций, удовлетворяющих им, образует линейное пространство X(Ω). Предположим, что оператор A положителен на X(Ω): (Au, u) > 0 ∀ u ∈ X(Ω), u = 0. Величина (Au, u) в этом случае часто оказывается пропорциональной энергии, необходимой для возбуждения поля u(x). Поле, соответствующее уравнению Au = f , сообщает минимум функционалу

J(u) = (Au, u) − 2(u, f ) = u 2A − 2(u, f ). Подставив (2.3.89) в (2.3.110), получим -2 - K  -K J(c1 , . . . , cK ) = c χ − 2 cj (χj , f ). j j- j=1 j=1

(2.3.100)

(2.3.101)

A

Приравняв нулю частные производные ∂J/∂ck , получим систему алгебраических уравнений K  (Aχj , χk )cj = (χk , f ), k = 1, K , (2.3.102) j=1

называемую системой Ритца. Определитель этой системы — определитель Грама — отличен от нуля, если система {χk }K k=1 линейно незаполна в X(Ω) по норме · A висима. Если к тому же система {χk }K k=1 и выполняется условие

(Au, u)  γ u 2 ,

γ = const > 0

2.3. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. R-ФУНКЦИИ

71

(т. е. оператор A является положительно определенным на X(Ω)), то существует единственное решение u0 краевой задачи и -K - c j χ j − u0 - → 0 (2.3.103) j=1

при K → ∞. Нетрудно заметить, что система Ритца (2.3.102) эквивалентна системе, используемой в методе Бубнова–Галеркина. Преимущество системы Ритца состоит в том, что в этом случае из условия симметричности (Au, v) = (u, Av) оператора A следует возможность преобразовать коэффициенты (Aχj , χk ) к симметричному виду [χj , χk ] с понижением порядка дифференцирования функций χj . Метод Ритца, определяемый формулой (2.3.110), можно рассматривать как частный случай метода Куранта, который позволяет получать более сильную сходимость. При этом минимизируется функционал

G(u) = (Au, u) − 2(u, f ) + Au − f 2H s (Ω) , где

u 2H s (Ω) =



(2.3.104)

(Dq u, Dq u)L2 (Ω) .

|q|s

Если краевая задача линейна, то метод Куранта также приводит к линейной системе алгебраических уравнений. Разностно-аналитический метод. Возьмем некоторую систему

Ajh = f j , j = 1, N , N > K конечно-разностных уравнений, аппроксимирующих уравнение Au = f . Подставим в эту систему структуру (2.3.88) и получим систему N уравнений относительно постоянных cj : Ajh B1 (x; c1 , . . . , cK ) = f j , j = 1, N , (2.3.105) которую решим методом наименьших квадратов. Перечисленные методы могут сочетаться с различными итерационными методами, методами оптимизации (градиентного типа, случайного поиска), сводиться к задачам линейного или нелинейного программирования и т. п. Для некоторых классов задач весьма эффективным является метод Л. В. Канторовича, с помощью которого краевая задача приводится к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Трефтца. Предположим, что u = B(Φ) — полная структура, удовлетворяющая лишь основному уравнению Au = f . Формулу такого вида принято называть общим решением краевой задачи. В этом случае (2.3.89) при любом выборе постоянных cj удовлетворяет уравнению Au = f и, следовательно, остается так выбрать эти постоянные, чтобы наилучшим образом удовлетворить граничным условиям. Для этой цели пригодны различные из вышеприведенных методов. На практике удобно применять тот или иной вариант метода коллокации, требуя,

72

Гл. 2. АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ И R-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ВТГ

чтобы граничные условия удовлетворялись на некоторой системе точек границы рассматриваемой области. Эффективность использования структурных формул в сочетании с приведенными методами существенно зависит от выбора аппроксимирующих полиномов ψk в (2.3.87). Оператор B структуры, воздействуя на эти полиномы, деформирует их в последовательность {χk }K k=1 в (2.3.89), и поэтому от аппроксимативных свойств функций χk существенно зависит характер приближения к решению краевой задачи. От последовательности {χk }K k=1 зависит также обусловленность и некоторые другие характеристики матрицы системы алгебраических уравнений для определения постоянных cj . Многие из упомянутых методов предполагают многократное вычисление интегралов (или сумм с большим числом слагаемых) по области Ω. Вычислительные трудности можно значительно уменьшить, если в качестве функций ψk выбирать финитные функции с носителями малого диаметра. Тогда улучшится обусловленность матрицы системы алгебраических уравнений и, кроме того, вычисление каждого ее коэффициента состоит в вычислении интеграла не по всей области Ω, а только по пересечениям носителей функций ψk и ψj . Среди финитных функций хорошими аппроксимативными свойствами обладают, в частности, B -сплайны Шенберга, а также многие АФ. Выбор неопределенной компоненты структуры. В зависимости от типа носителя можно выделить два основных класса базисных функций ψk в (2.3.51): глобальные (алгебраические и тригонометрические полиномы, специальные функции) и финитные (B -сплайны, вейвлеты, АФ и др.). Очевидно, это свойство инвариантно относительно трансформации функций ψk с помощью структурных формул. Построение многомерных систем базисных функций обычно осуществляется путем тензорного произведения функций, одномерных по каждой координате. Глобальный базис. Выбор глобальных базисных функций в качестве координатных удобен тем, что позволяет достаточно просто учесть симметрию аппроксимируемой функции. Пусть, например, искомое решение уравнения Лапласа u удовлетворяет однородным условиям Дирихле на границе ∂Ω симметричной относительно оси ординат двумерной области Ω, и, кроме того, известно, что u(x, y) = u(−x, y). Очевидно, что в случае гладкого решения ∂u/∂x = 0 при x = 0. Данный факт дает возможность существенно сократить количество арифметических операций при численной реализации одного из приближенных методов. При этом вместо всей области Ω следует рассматривать лишь ее половину, лежащую в левой или правой полуплоскости относительно оси ординат. Искомое решение ищется в виде структуры Дирихле, а в выражении для неопределенной компоненты структуры (2.3.51) остаются лишь члены, симметричные (четные) относительно оси ординат. При практическом применении многомерных полиномов возникают некоторые сложности вычислительного характера, связанные с проблемой их упорядочения. Рассмотрим алгебраический полиномиальный

73

2.3. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. R-ФУНКЦИИ

базис {ψk } = {xi y j }, i, j  0, i + j  L, где L — степень пространства полиномов. Для L  3 набор таких функций показан в табл. 2.5. Т а б л и ц а 2.5

i 3 2 1 0

y3 y2 y 1 0

xy 2 xy x 1

x2 y x2 2

x3 3

j

Выглядит естественным ввести упорядочение членов последовательности {xi y j } по диагоналям таблицы, вдоль которых i + j = const, т. е. 1, x, y , x2 , xy , y 2 , x3 , x2 y , xy 2 , y 3 , . . . (Здесь использовано упорядочение с приоритетом по x.) Используя такой прием, можно повысить степень пространства полиномов на 1 путем простого добавления к исходной последовательности L + 2 членов, стоящих на диагонали L + 1. При этом данная процедура не нарушает предыдущего упорядочения. Таким образом, номер любого элемента (функция расстановки) последовательности {ψk }K k=0 выражается через индексы i и j следующим образом: (i + j)(i + j + 1) k(i, j) = + j, (2.3.106) 2 а K = (L2 + 3L)/2. Рассмотрим другую проблему: для любого целого k найти показатели степеней (индексы) i и j . Наиболее простой, но неэкономичный по времени подход заключается в организации цикла по i и j , внутри которого происходит проверка условия (2.3.106). Возможен также вариант решения этой задачи с помощью хранящейся в памяти матрицы, задающей взаимно однозначное соответствие между порядковой переменной k и множеством упорядоченных пар (i, j) согласно формуле (2.3.106). Пример такой матрицы при L = 3 приведен в табл. 2.6. Т а б л и ц а 2.6 Индексы

(i, j)

k 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

(0,0) (1,0) (0,1) (2,0) (1,1) (0,2) (3,0) (2,1) (1,2) (0,3)

При больших L данный подход не является экономичным. Выведем аналитическую зависимость между k и парами (i, j), т. е. обратный аналог формулы (2.3.106). Предлагаемый способ состоит из 3-х этапов:

74

Гл. 2. АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ И R-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ВТГ

1) нахождение номера диагонали: l = i + j ; 2) нахождение индекса j : j = k − l(l + 1)/2; 3) нахождение индекса i: i = l − j . Последние два этапа очевидны. Остановимся подробнее на процедуре вычисления номера диагонали l, соответствующей номеру k. Легко заметить, что

(l − 1)2 + 3(l − 1) l2 + 3l l2 + l − 2 = 0 вне Γs . Уточнение параметров RBF можно выполнять с помощью алгоритма самоорганизации. При этом обучающие данные автоматически разделяют пространство на области Вороного (карты Кохонена), определяющие различающиеся группы данных. Данные, сгруппированные внутри кластера, представляются центральной точкой, определяющей среднее значение всех его элементов (алгоритм K -средних). Центр кластера в дальнейшем отождествляется с центром соответствующей RBF. Следовательно, количество таких функций равно количеству кластеров и корректируется алгоритмом самоорганизации. y1 y2 x

w1 w2

y3

w3

. .

wN

S

uD

yN Рис. 2.6. Структура нейронной сети RBF

Алгоритм настройки параметров нейронной сети RBF (рис. 2.6) состоит из следующих шагов. 1. Задать требуемое количество RBF mes Ω N ∼ 2/p , ε где mes Ω — площадь области Ω ⊂ R2 , ε — требуемая погрешность, p — параметр аппроксимации (рекомендуемые значения p = 1 или 2).

78

Гл. 2. АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ И R-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ВТГ

2. Инициализировать случайным образом центры cj = (xj , yj ) (j = 1, N ) RBF в области Ω. 3. Разбить Ω на кластеры (области Вороного) в соответствии с разбиением cj с использованием слоя Кохонена с выходным нейроном WTA (Winner Takes All). 4. Подать M векторы xm (M  N ) на вход сети RBF в накопительной (оффлайн) версии. 5. Для каждого кластера определить новый центр cj соответствующей RBF: Mj 1  cj (k + 1) = xm (k), Mj m=1

где Mj — количество входных векторов, приписанных в k-м цикле к j -му центру. 6. Если k < K , выполнить пп. 4–6, иначе 7. 7. Определить ширины RBF σj одним из следующих методов: а) σj = min cj − cn (расстояние до ближайшего соседа); 1nN

P 1 ) б) σj =

cj − cn 2 , где P — количество ближайших сосеP n=1 дей j -й RBF (обычно выбирается P ∼ 3 . . . 5). 8. Определить веса wj RBF методом коллокации с использованием общих структур решения метода R-функций и одним из алгоритмов оптимизации (например, по правилу Видроу–Хоффа). 9. Конец алгоритма. Алгоритм определения весов RBF методом R-функций с помощью правила Видроу–Хоффа заключается в следующем. 1. Задать количество эпох обучения K , количество пробных точек M на каждой эпохе, коэффициент обучения η . Произвольным (0) (0) образом инициализировать веса wj (можно положить wj = 0). 2. Для каждой эпохи k задать набор M случайных пробных (k) точек {xi }i=1,M ⊂ Ω. (k) 3. В каждой пробной точке вычислить лапласиан Δu(xi ) =   N ) (k) (k) (k) wj Δ ω(xi )ψj (xi ) . Для вычисления оператора Лапласа = j=1

можно воспользоваться его дискретным аналогом на регулярном шаблоне “крест”. (k) (k) (k) 4. Вычислить невязку δi = f (xi ) − Δu(xi ). 5. Произвести M раз коррекцию весов по правилу Видроу– Хоффа:   (k+1)

wj

(k)

= wj

(k)

+ η · δi

(k)

(k)

· Δ ω(xi )ψj (xi ) .

6. Если k < K , положить k = k + 1 и перейти к шагу (2). 7. Конец алгоритма.

79

2.4. ФУНКЦИИ РЭЛЕЯ И КОЭФФИЦИЕНТ ПРЕЦЕССИИ

2.4. Расчет функций Рэлея и нахождение коэффициента прецессии осесимметричных оболочек вращения Постановка задачи. Рассмотрим оболочку вращения, ограниченную двумя параллелями или имеющую куполообразную форму. Предположим, что условия на краях оболочки линейные и однородные. Введем ортогональную систему координат, связанную с меридианами и параллелями срединной поверхности. В качестве криволинейных координат примем длину дуги образующей s (0 < s1 < s < s2 ) и окружной угол ϕ (0 < ϕ < 2π ). Пусть B(s) — расстояние до оси вращения, а θ — угол между внутренней нормалью к оболочке и осью вращения (θ1 < θ < θ2 ) (см. рис. 2.7).

f

z

z

Z

Z

s2 B(s) q

s

q r(z)

ur

uf uz

s1

z0 0

(s,q,j)

z0

r

0

r

(ur ,uz ,u j)

(r,z,j) Рис. 2.7. Геометрия оболочки вращения

Как известно, при вращении осесимметричных оболочек в результате действия кориолисовых сил происходит расщепление собственных форм изгибных колебаний, что приводит к эффекту прецессии стоячих волн. Коэффициент прецессии стоячей волны вращающейся оболочки при дополнительном предположении о нерастяжимости параллели выражается формулой [30] s2

K=−

V (U cos θ + W sin θ)B(s) ds

s1 s2 s1

,

(U 2 + V 2 + W 2 )B(s) ds

(2.4.1)

80

Гл. 2. АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ И R-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ВТГ

где U (θ), V (θ), W (θ) — функции Рэлея [29], определяемые формой оболочки, граничными условиями и номером формы колебаний n (количество волн по параллели). Непосредственное использование формулы (2.4.1) неудобно на практике, за исключением узкого класса осесимметричных оболочек канонических форм, для которых можно подобрать удобную систему криволинейных координат. Функции Рэлея при этом, как правило, находятся аналитически. Введем дополнительно цилиндрическую систему координат (r , z , ϕ), направив ось z вдоль оси симметрии. Для компонент перемещений ur , uz , uϕ верны следующие выражения: ur = U cos θ + W sin θ , uz = −U sin θ + W cos θ , (2.4.2) V uϕ = . r При выполнении условий нерастяжимости срединной поверхности U cos θ + W sin θ = nV. В новых обозначениях выражение (2.4.1) примет вид [50, 51] Z  , n u2ϕ r3 1 + (r )2 dz

K = −Z 

z0

  , r2 (n2 + 1)u2ϕ + u2z r 1 + (r )2 dz

,

(2.4.3)

z0

где z0 = z(s1 ); Z = z(s2 ). Согласно Рэлею [29] система для определения функций ur , uz , uϕ нерастяжимой оболочки следующая:  1 2   2 r uϕ = 0, (r u ) + n ϕ r r2 (2.4.4) ur = nruϕ , ! " r uz = −r nr  uϕ + uϕ . n Обозначим y(z) = ruϕ (z). Предположим, что y(z0 ) = 0 (жесткое закрепление), а край z = Z свободен. В силу того, что функции Рэлея определяются с точностью до постоянного множителя, не равного нулю, можно положить y(Z) = C , где C — произвольная, не равная нулю константа. Пусть C = 1. Тогда функция y(z) будет решением краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка r y = 0, y  + (n2 − 1) (2.4.5) r y(z0 ) = 0, y(Z) = 1. Заменой y(z) = u(z) + u0 (z), где u0 (z) = (z − z0 )/(Z − z0 ), задачу (2.4.5) можно свести к эквивалентной задаче с однородными краевыми

2.4. ФУНКЦИИ РЭЛЕЯ И КОЭФФИЦИЕНТ ПРЕЦЕССИИ

условиями

u + t(z)u = f (z), u(z0 ) = 0, u(Z) = 0,

81

(2.4.6)

где

r , f (z) = −t(z)u0 . r Для произвольной оболочки с образующей, описываемой выражением r = r(z), задачу (2.4.6) можно решить только численно. Из (2.4.4) следует, что нахождение компоненты перемещения uz требует знания первой производной решения задачи (2.4.6) в произвольных точках. Если решение находить методом конечных разностей, то потребуется дополнительная аппроксимация функции y(z) в промежутках между узлами сетки. Чтобы избежать этого, целесообразно сразу искать решение (2.4.6) в классе непрерывно дифференцируемых функций. Воспользуемся одним из проекционно-сеточных методов с подходящими функциями в качестве базисных. Наиболее простым в численной реализации методом является метод коллокации. Он дает хорошие результаты, если в качестве базиса выбраны финитные функции, в частности, бесконечно-дифференцируемые АФ. Метод решения. Введем равномерное разбиение Z − z0 . zi = z0 + ih; i = 0, 1, . . . , N ; h = (2.4.7) N Обозначим t(z) = (n2 − 1)

ti = t(zi ),

fi = f (zi ),

ui = u(zi ).

Приближенное решение задачи (2.4.6) u∗ (z) будем искать в виде линейной комбинации сдвигов-сжатий АФ fup2 (x), удовлетворяющей отмеченным выше требованиям

u∗ (z) =

N+ 1

dj+1 ψj (z),

(2.4.8)

j=−1

где

ψj (z) = fup2

 z − z0 −j , h

∞ 

ψj (z) ≡ 1.

(2.4.9)

j=−∞

Неопределенные коэффициенты di (i = 0, 1, . . . , N + 2) находятся из решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Ad = b.

(2.4.10)

Коэффициенты матрицы A и вектора b определяются из условий коллокации в узлах zi :  ai+1,j = ψj− bi+1 = fi , 1 (zi ) + ti ψj−1 (zi ); (i = 1, 2, . . . , N ; j = 0, 1, . . . , N + 2), 6 М. А. Басараб и др.

82

Гл. 2. АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ И R-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ВТГ

краевых условий

a0,j = ψj−1 (z0 ), aN+2,j = ψj−1 (Z), (j = 0, 1, . . . , N + 2), b0 = bN+2 = 0, а также одного (достаточно произвольного) дополнительного условия для атомарного интерполянта, например,  a1,j = ψj− 1 (z0 ),

(j = 0, 1, . . . , N + 2);

b1 = 0.

Теорема 2.5 [50, 51]. Если u(z) ∈ C 4 [z0 ; Z] — точное решение задачи (2.4.6), то для погрешности приближенного решения (2.4.8) верна оценка . . IV . u (z) . h2 ..

u − u∗ C[z0 ;Z]  max .. (2.4.11) 12 z∈[z0 ;Z] t(z) . Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть

u(z) =

N+ 1

dj+1 ψj (z)

(2.4.12)

j=−1

интерполирует точное решение (2.4.6) в узлах zi . Тогда

u − u∗ C[z0 ;Z]  u − u C[z0 ;Z] + u − u∗ C[z0 ;Z] .

(2.4.13)

Первое слагаемое в правой части (2.4.13) представляет собой погрешность интерполяции и имеет порядок h3 [10]. Для второго слагаемого согласно (2.4.9) имеем - N+ . . " 1 ! . .

u − u∗ C[z0 ;Z] = − d  max − d d ψ d . j+1 j+1 jj+1 j+1 . . j -j=−1 C[z0 ;Z]

(2.4.14) Из условий интерполяции и коллокации следует N+ 1

dj+1 ψj (zi ) + ti

j=−1

N+ 1 j=−1

N+ 1 j=−1

N+ 1

dj+1 ψj (zi ) =

dj+1 ψj (zi ) + ti

dj+1 ψj (zi ) + ti ui ,

j=−1 N+ 1

dj+1 ψj (zi ) = fi .

j=−1

Вычитая второе равенство из первого, получим N+ 1 j=−1

(dj+1 − dj+1 )[ψj (zi ) + ti ψj (zi )] =

N+ 1 j=−1

dj+1 ψj (zi ) − ui .

2.4. ФУНКЦИИ РЭЛЕЯ И КОЭФФИЦИЕНТ ПРЕЦЕССИИ

83

В силу финитности базисных функций в узлах интерполяции имеем

ui = fup2 (−1)di + fup2 (0)di+1 + fup2 (1)di+2 = 5 26 5 = di + di+1 + di+2 . (2.4.15) 36 36 36 Продолжим функцию u за пределы интервала [z0 , Z]. Нетрудно убедиться, что для коэффициентов атомарного интерполянта (2.4.12) будет верно соотношение [52, 53] k ∞

 5 Δ2k uj , (2.4.16) − dj+1 = 36 k=0

2k

где Δ того,

— центральные разделенные разности четного порядка. Кроме N+ 1

dj+1 ψj (zi ) =

j=−1

1 2 Δ di+1 . h2

С учетом (2.4.16) и свойств конечных разностей для ξi ∈ [zi−1 ; zi+1 ] получаем N+ 1

dj+1 ψj (zi ) =

j=−1

h2 IV 1 2 5 Δ ui − Δ4 ui + . . . = ui + u (ξi ) + O(h2 ). 2 2 12 h 36h

Следовательно, N+ 1

(dj+1 − dj+1 )[ψj (zi ) + ti ψj (zi )] =

j=−1

h2 IV u (ξi ) + O(h2 ). 12

В итоге имеем следующую СЛАУ:

A(d − d) = g; 2

h IV u (ξi ) + O(h2 ), i = 0, 1, . . . , N. 12 Так как A — матрица с доминирующей главной диагональю, то верно неравенство [10] -d − d-  -A−1 -∞ g ∞ . gi =

∞

Учитывая (2.4.15) и результаты [54], имеем - −1 1 -A -  . ∞ min |t(z)| z∈[z0 ;Z]

Последовательно подставляя последние оценки в (2.4.14), (2.4.13) и отбросив слагаемое порядка h3 , получим искомое соотношение (2.4.11). Теорема доказана. 6*

84

Гл. 2. АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ И R-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ВТГ

Численный эксперимент. Оболочки вращения второго порядка. Предложенный метод позволяет провести расчет коэффициента прецессии K для различных типов оболочек, как канонического профиля (эллипсоид вращения, двуполостный гиперболоид, параболоид вращения [55]), так и более сложной геометрии. Для куполообразных оболочек вращения второго порядка использование сетки с параметром N = 8 дает хорошее совпадение с результатами, полученными аналитическим подходом [55] (абсолютная погрешность ∼ 10−4 ). Однако, в обоих случаях не учитывалась толщина ножки, при помощи которой сегмент прикрепляется к основанию (θ1 = 0). В [25] для случая, когда θ1 > 0, предложено использовать метод последовательного интегрирования [56], что существенно осложняет задачу, приводя к громоздким вычислениям. В нашем случае при θ1 > 0 в силу граничных условий оказываются равными нулю следующие компоненты деформации: ur , uϕ , V . На рис. 2.8 показан вид функций Рэлея при θ1 = 30◦ , θ2 = 80◦ , а в табл. 2.7 представлены расчетные значения коэффициента 2

2

ur(z)

U(Q)

1 uj (z) 0,13

V(Q)

z 0,83

0,48

-1

1

0,52

uz(z)

W(Q)

0,96

Q 1,4

-1

-2 а)

б) ◦

◦

Рис. 2.8. Графики функций Рэлея при θ1 = 30 , θ2 = 80 : а) ur (z), uϕ (z), uz (z); б) U (θ), V (θ), W (θ)

прецессии для некоторых наборов величин θ1 , θ2 . Для сравнения, в табл. 2.8 приведены аналогичные величины, взятые из [25]. Т а б л и ц а 2.7

θ1 = 0 ◦

15◦

30◦

45◦

θ2 = 80◦

0,7631

0,7634

0,7675

0,7881

90◦

0,7230

0,7231

0,7254

0,7371

0,6868

0,6868

0,6880

0,6943

100

◦

85

2.4. ФУНКЦИИ РЭЛЕЯ И КОЭФФИЦИЕНТ ПРЕЦЕССИИ

Т а б л и ц а 2.8

θ1 = 0 ◦

15◦

30◦

45◦

θ2 = 80◦

0,7632

0,7632

0,7635

0,7681

90◦

0,7230

0,7230

0,7231

0,7254

0,6867

0,6867

0,6867

0,6878

100

◦

На основании полученных результатов можно сделать вывод о том, что ножка оказывает заметное влияние только при достаточно больших значениях θ1 (∼ 30◦ . . . 45◦ ). Это объясняется тем, что в колебаниях оболочки задействована в основном лишь ее часть, близкая к свободному краю. При этом происходит незначительное увеличение скорости прецессии стоячей волны колебаний, обусловленное ростом ее связи с основанием. Гораздо большее влияние на прецессию оказывает изменение угла θ2 . Результаты качественно и количественно согласуются с приведенными в [25, 55]. Оболочки нулевой кривизны. Рассмотрим оболочки цилиндрической и конической формы. В этом случае, так как t(z) = f (z) = 0, то решение системы (2.4.6) упрощается: u(z) = u0 (z). Выполнив преобразования, получим для цилиндра (r = a) (рис. 2.9, a) −n K= (2.4.17)

2 . a 3 2 n +1+ 2 n Z − z0 В пределе при Z → ∞ K → −0, 4. Такое же значение масштабного коэффициента дает кольцевая модель резонатора ВТГ [1]. В случае z

z Z

z

Z

Z

c

a O а)

r

a O

r

б)

a O

r

в)

Рис. 2.9. Профили оболочек вращения

конуса (r = λz ) имеем следующее выражение для коэффициента прецессии (рис. 2.9, б): −n K= 2 . (2.4.18) n + 1 + n 2 λ2

86

Гл. 2. АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ И R-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ВТГ

Согласно [55] масштабный коэффициент для цилиндрической оболочки должен иметь вид −2 K= (2.4.19)

2 , 3 a 2 n +1+ 2 n Z − z0 а для конической: −2 K= 2 . (2.4.20) n + 1 + n 2 λ2 Для интересующей нас рабочей формы колебаний (n = 2) формулы (2.4.17), (2.4.18) и (2.4.19), (2.4.20) совпадают. Следует отметить, что для оболочек нулевой кривизны растяжения срединной поверхности более существенны, чем для оболочек положительной. Полученные результаты, не учитывающие эти растяжения, могут рассматриваться только как качественные [55]. Оболочки сложного типа. Особый интерес представляет случай, когда образующая оболочки является кусочно-непрерывной функцией. При этом решение задачи (2.4.6) следует искать в классе обобщенных функций [57]. П р и м е р 2.3. Рассмотрим оболочку, представляющую собой сочленение в плоскости z = c конуса с вершиной в начале координат и цилиндра радиуса a, длиной l = Z − c (рис. 2.9, в) a r(z) = zη(c − z) + aη(z − c), (2.4.21) c где η(z) — единичная функция Хевисайда: 0, z < 0; η(z) = (2.4.22) 1, z  0. Известно, что η  (z) = δ(z), где δ(z) — дельта-функция Дирака, обладающая следующими свойствами: 1 δ(−z) = δ(z), δ  (z) = − δ(z), z δ  (−z) = −δ  (z), zδ(z) = 0, ∞  f (z)δ(z − z0 )dz = f (z0 ), −∞ ∞ 

f (z)δ  (z − z0 )dz = −f  (z0 ).

−∞

Нетрудно показать, что −δ(z − c) r = . r z + (c − z)η(z − c)

(2.4.23)

87

2.4. ФУНКЦИИ РЭЛЕЯ И КОЭФФИЦИЕНТ ПРЕЦЕССИИ

Коэффициенты разложения (2.4.8) найдем методом Бубнова– Галеркина. Приближенное решение будем искать в виде одномерной структуры решения

u∗ (z) = ω(z)

N+ 1

dj+1 ψj (z).

(2.4.24)

j=−1

Здесь ω(z) = z(Z − z) — функция, удовлетворяющая однородным краевым условиям. Согласно методу Бубнова–Галеркина, с учетом свойств дельта-функции элементы матрицы A и вектора правой части b находятся следующим образом: Z   Aij = [ω(z) ψi−1 (z)] + t(z) ω(z) ψi−1 (z) ω(z) ψj−1 (z) dz = 0

Z =

[ω(z)ψi−1 (z)] ω(z) ψj−1 (z) dz −

0

n2 − 1 2 ω (c) ψi−1 (c) ψj−1 (c); c Z  n2 − 1 ω(c)ψj−1 (c); bj = f (z) ω(z) ψj−1 (z) dz = cZ −

0

(i, j = 0, 1, . . . , N + 2). (2.4.25) При нахождении коэффициента K по формуле (2.4.3) следует учесть, что a r = η(c − z). (2.4.26) c Варьируя параметром c от нуля до Z , можно показать, что K изменяется от максимального значения (цилиндр) до минимального (конус) соответственно. Указанные выкладки даже для случая профиля, образованного двумя сегментами, носят достаточно громоздкий характер. Кроме того, на практике стык двух или более сегментов оболочки может оказаться сглаженным. Преодолеть эти трудности можно, обобщая введенное в п. 2.3 понятие R-функций в полярных координатах. Тогда, применительно к рассмотренному выше примеру (см. рис. 2.7) уравнение сложного профиля запишется в виде .a ." :a ; !a " 1 !a . . z, a = z ∧ a= z + a − . z − a. = r(z) = min c c 2 c c a (z + c − |z − c| ) . (2.4.27) = 2c С вычислительной точки зрения выражение (2.4.27) эквивалентно формуле (2.4.21) и его использование приводит к системе уравнений с компонентами (2.4.25). В то же время получить функцию

88

Гл. 2. АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ И R-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ВТГ

вида (2.4.27) значительно легче, в особенности если профиль оболочки будет иметь более сложную форму. Еще одной полезной особенностью последнего подхода является возможность скругления угловых точек контура с помощью использования сглаживающих R-операций. В рассматриваемом случае вместо (2.4.27) следует записать   ! "2 !a " a 1 a 2 z ∧ε a = z+a− z−a +ε , r(z) = (2.4.28) c 2 c c где ε — параметр сглаживания. Выражение (2.4.28) — бесконечно дифференцируемое. Первая и вторая производные соответственно равны ⎡ ⎤ a z−a ⎥ a ⎢ ⎢1 −  c ⎥, r (z) = ⎦ "2 !a 2c ⎣ z − a + ε2 (2.4.29) c  −3/2 "2 a2 ε2 ! a  2 z−a +ε r (z) = − 2 . 2c c

ГЛАВА 3

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ 3.1. Основные типы погрешностей ВТГ Основной причиной погрешности ВТГ являются технологические дефекты резонатора. Наиболее существенное влияние на поведение стоячих волн в резонаторе оказывает четвертая гармоника разложения Фурье неоднородностей таких параметров, как плотность, модуль Юнга, толщина оболочки. Наличие четвертой гармоники дефекта приводит к появлению в резонаторе системы двух собственных осей, развернутых между собой на 45◦ , таких, что собственные частоты колебаний резонатора вдоль каждой из этих осей достигают наибольшего и наименьшего значений (рис. 3.1). Разность максимальной и минимальной частот называется расщеплением собственной частоты: Δ = ω2 − ω1 . (3.1.1) Собственная ось, относительно кото- Рис. 3.1. Собственные оси рой собственная частота колебаний мень- колебаний: AA — “тяжеше, называется “тяжелой” (ось меньшей лая”; BB — “легкая”; ω1 , жесткости); ось с большей собственной ω2 — собственные частоты частотой называется “легкой” (ось больколебаний резонатора шей жесткости). Рассмотрим далее различные типы погрешностей резонатора ВТГ [1–3]. Погрешности, вызванные неоднородностью распределения массы резонатора. Четвертая гармоника распределения массы по кромке резонатора дает следующее значение расщепления частоты: 1 Δ = εω0 , (3.1.2) 2 где ω0 — невозмущенная частота собственных колебаний; ε — относительная величина дефекта по четвертой гармонике. Пусть начальное распределение колебаний имеет вид w(ϕ, t) = A cos 2(ϕ − ϕ0 ) cos ωt. (3.1.3) Угол ϕ0 определяет ориентацию волны относительно тяжелой собственной оси.

90

Гл. 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ

В этом случае скорость прецессии стоячей волны относительно резонатора определяется выражением 1 (3.1.4) ϑ˙ = − tΔ2 sin 8ϕ0 8 и является скоростью ухода ВТГ вследствие расщепления Δ собственной частоты по четвертой гармонике неоднородности распределения массы резонатора. На основании (3.1.4) можно сделать вывод, что для компенсации скорости ухода ВТГ необходимо проводить балансировку резонатора по четвертой гармонике дефекта с целью уменьшения величины Δ расщепления собственной частоты. Оценим расщепление собственной частоты, даваемое второй гармоникой дефекта плотности:

ρ = ρ0 (1 + ε2 cos 2ϕ).

(3.1.5)

При этом уравнение движения свободного резонатора в форме, учитывающей переменную плотность, имеет вид   EI EIρ (ρw) ¨  − w¨ + (wVI + 2wIV + w )− 2 4 (wV + 2w + w ) = 0. 4 ρ ρSR ρ SR (3.1.6) Показано [1, 2], что разность собственных частот в данном случае приближенно равна 8 Δ = ε22 ω0 , (3.1.7) 5 т. е. имеет порядок квадрата величины дефекта по второй гармонике. Аналогично, расщепление частоты, вызванное первой и третьей гармониками дефекта, также пропорционально квадратам величин соответствующих дефектов. Таким образом, при балансировке резонатора основное внимание следует уделять четвертой гармонике дефекта, поскольку она вызывает расщепление частоты на порядок больше, чем остальные гармоники. Погрешности, вызываемые вибрациями основания. При наличии первой, второй и третьей гармоник распределения массы резонатора по окружному углу волновая картина имеет паразитную составляющую, которая искажает полезный сигнал. Это объясняется тем, что помимо основной формы колебаний в резонаторе возбуждается ряд побочных форм, вызывающих погрешность прибора. Балансировка резонатора по первым трем гармоникам дефекта плотности дает возможность применять гироскоп в жестких условиях воздействия вибраций. Рассмотрим влияние продольной и поперечной вибраций основания на невращающийся резонатор. Продольная вибрация. Пусть резонатор движется вдоль оси симметрии по закону z = z0 cos λt, (3.1.8)

3.1. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ПОГРЕШНОСТЕЙ ВТГ

91

где z0 и λ — амплитуда и частота вибрации соответственно. Неоднородность распределения массы представим в виде ρ = ρ0 [1 + ε1 cos(ϕ − ϕ1 ) + ε2 cos 2(ϕ − ϕ2 ) + ε3 cos 3(ϕ − ϕ3 )] . (3.1.9) Тогда в резонансном случае (λ = ω0 ) угол ориентации стоячей волны определится выражением tg 2ϑ = tg 2ϕ2 , (3.1.10) т. е. стоячая волна “привязывается” к ориентации второй гармоники дефекта. Воздействие продольной вибрации эквивалентно действию некоторого позиционного возбуждения вдоль оси дефекта по второй гармонике. Поперечная вибрация. В этом случае, аналогично (3.1.8), резонатор движется следующим образом: x = x0 cos λt, (3.1.11) y = y0 cos λt. В резонансном случае угол θ ориентации пучности стоячей волны определяется формулой (A + B + C)ε1 sin ϕ1 + (A − B + C)ε3 sin 3ϕ3 tg θ = . (3.1.12) (A + B + C)ε1 cos ϕ1 + (A − B + C)ε3 cos 3ϕ3 Очевидно, что в случае наличия дефекта плотности по первой и третьей гармоникам ориентация стоячей волны определяется углами ϕ1 , ϕ3 , т. е. поперечная вибрация привязывает стоячую волну к первой и третьей гармоникам дефекта массы. На основе данных закономерностей может быть предложен следующий способ идентификации первой и третьей гармоник дефекта массы с целью проведения балансировки. В различных точках резонатора и при различных его ориентациях относительно направлений вибраций измеряется величина прогиба. Если произвести два поворота резонатора и при каждом из них сделать два измерения, то можно получить систему четырех уравнений для нахождения четырех параметров дефектов. Схема идентификации второй гармоники аналогична, только при этом необходимо использовать продольную вибрацию. Погрешности, вызываемые разнодобротностью резонатора. Наличие диссипации энергии в резонаторе ВТГ приводит к затуханию амплитуды колебаний при условии однородности диссипативных свойств по окружному углу. Если добротность резонатора зависит от окружного угла, появляется скорость ухода стоячей волны. Для описания затухающих колебаний упругих тел используется модель Кельвина–Фойгта (см. п. 1.2): σ = E(ε + ξ ε) ˙, (3.1.13) где σ — тензор напряжений; ε — тензор деформации; ξ — величина, характеризующая время затухания неупругих релаксаций. Если ξ — постоянная, то колебания резонатора затухают по экспоненциальному закону, при этом свойства колебаний не изменяются. Зависимость величины ξ от окружного угла приводит к тому, что

92

Гл. 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ

постоянная времени (добротность) зависит от ориентации волновой картины. Это явление называется разнодобротностью резонатора по окружному углу. Представим неоднородность величины ξ(ϕ) рядом Фурье 3 &  ξ(ϕ) = ξ0 1 + ξk cos k(ϕ − ϕk ) , (3.1.14) k

где ξ0 — номинальное значение; ξk , ϕk — величины и ориентации относительных дефектов соответственно. Наиболее существенное влияние на динамику резонатора оказывает четвертая гармоника дефекта в разложении (3.1.14). Выражение, определяющее скорость прецессии (ухода) стоячей волны: 1 (3.1.15) ϑ˙ = −KΩ + ω02 ξ0 ξ4 sin 4(ϑ − ϕ4 ), 4 где K — масштабный коэффициент ВТГ. Если входная угловая скорость Ω удовлетворяет условию 1 2 ω ξ0 ξ4 , (3.1.16) 4K 0 то интегрирующий эффект гироскопа отсутствует. Если выполнено условие |Ω| > Ω∗ , (3.1.17)

|Ω| < Ω∗ =

то интегрирующий эффект сохраняется с некоторой систематической погрешностью. Область от 0 до Ω∗ называют зоной “захвата” стоячей волны. Наличие четвертой гармоники дефекта диссипации приводит к появлению в резонаторе системы двух осей, развернутых на 45◦ , называемых собственными осями вязкости. Постоянные времени колебаний вдоль каждой из этих осей достигают наименьшего и наибольшего значений. Универсального способа определения собственных осей вязкости в настоящее время не существует, поэтому механическая компенсация скорости ухода (3.1.15) затруднена. Компенсация скорости ухода, вызываемого разнодобротностью, осложняется еще тем, что добротность (или постоянная времени) является нестабильной величиной. Известно, что при напылении на поверхность резонатора проводящего слоя добротность резко падает. Это объясняется тем, что в напыленном слое и на его границе с плавленым кварцем резонатора возникает дополнительное демпфирование. Погрешности, связанные с дефектами систем возбуждения резонатора. Идеальный резонатор имеет скорость ухода, если система его возбуждения неидеальна (нестабильность напряжения питания или некруглость кольцевого электрода). Нестабильность напряжения питания кольцевого электрода. Пусть амплитуда напряжения питания кольцевого электрода имеет

3.2. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОСЕЙ ЖЕСТКОСТИ

93

четвертую гармонику по окружному углу: V = (V0 + v cos 4ϕ) cos λt, (3.1.18) причем v  V0 . Тогда скорость ухода стоячей волны выражается так: 1 ε0 V0 vL sin 4ϑ, (3.1.19) ϑ˙ = −KΩ − 40 ω0 ρSd30 где K — коэффициент прецессии; ε0 = 8,85 · 10−12 Ф/м — диэлектрическая постоянная; L — высота электрода; d0 — зазор между электродом и резонатором (см. п. 1.4, рис. 1.5). Размер области захвата, в которой отсутствует интегрирующий эффект, равен 1 ε0 V0 vL Ω∗ = (3.1.20) 16 ω0 ρSd30 или, через добротность Q, 5 ω0 v Ω∗ = . (3.1.21) 16 QV0 Некруглость кольцевого электрода по четвертой гармонике. Пусть величина зазора между кольцевым электродом и резонатором имеет четвертую гармонику по окружному углу: d = d0 + e cos 4ϕ + w(ϕ, t), (3.1.22) где e — эксцентриситет. Выражение для скорости ухода стоячей волны имеет вид 3ε0 V02 eL (3.1.23) ϑ˙ = −KΩ + sin 4ϑ. 40ω0 ρd40 S Область захвата равна 15 ω0 e Ω∗ = . (3.1.24) 16 Q d0 Помимо рассмотренных типов дефектов возможны и другие источники погрешностей: комбинации дефектов, погрешности выставки электродов съема ДУС, неперпендикулярность оси резонатора к плоскости закрепления, нелинейные деформации и др. [1–3, 30, 58, 59].

3.2. Идентификация осей жесткости Исходные соотношения. Как было показано в п. 1.2, уравнения колебаний свободного идеального вращающегося нерастяжимого кольца имеют вид w¨  − w¨ + κ2 (wVI + 2wIV + w ) = 0, (3.2.1) где w = w(ϕ, t) — нормальное перемещение частиц кольца в зависимости от окружного угла и времени (точкой обозначается производная по времени, а штрихом – по окружному углу); κ2 = EI/(ρSR4 ),

94

Гл. 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ

ρ — плотность материала кольца, S — площадь поперечного сечения кольца, E — модуль Юнга, I — момент инерции поперечного сечения относительно оси изгиба, R — радиус недеформируемого кольца. В системе, описываемой уравнением (3.2.1), возможно существова√ ние стоячих волн с частотами ωk = κk(k2 − 1)/ k2 + 1, k = 2, 3, . . . Практически важным является случай возбуждения колебаний по второй форме, когда стоячая волна описывается в виде w(ϕ, t) = A(cos 2ϕ0 cos 2ϕ + sin 2ϕ0 sin 2ϕ) cos ω0 t, (3.2.2) где A — амплитуда, ϕ0 — угол ориентации волны, а собственная частота 6 ω0 = √ κ. (3.2.3) 5 Однако, реальный интерес представляют неидеальные системы, в которых один или несколько параметров неоднородны. Рассмотрим случай, когда плотность материала зависит от окружного угла, т.е. ρ = ρ(ϕ). Уравнение движения свободного резонатора с переменной плотностью записывается в виде   (ρw) ¨  EI EIρ VI IV  − w¨ + (w + 2 w + w )− (wV + 2w + w ) = 0. ρ ρSR4 ρ2 SR4 (3.2.4) В [1, 2] проведено исследование (3.2.4) методом осреднения в комбинации с методом Бубнова–Галеркина. При этом рассматривались случаи, когда плотность представима в виде ρ = ρ0 [1 + εk cos k(ϕ − θk )], k = 1, 2, 3, 4, (3.2.5) где ρ0 = const, а εk , θk определяют величину и ориентацию дефекта плотности по k-й гармонике. В общем случае, вследствие возникновения расщепления частоты колебаний Δk , в такой системе уже невозможно существование стоячих волн. Было установлено, что в квадратичном приближении расщепление частоты, вызванное четвертой гармоникой дефекта, пропорционально величине дефекта, а первой, второй и третьей гармониками — квадратам величин соответствующих дефектов. Таким образом, при балансировке резонатора основное внимание должно быть уделено четвертой гармонике дефекта. В этом случае, изначально возбужденная стоячая волна (3.2.2) разрушается, и колебательный процесс представляется в виде суммы двух гармонических колебаний с различными частотами: w(ϕ, t) = A(cos 2ϕ0 cos 2ϕ cos ω1 t + sin 2ϕ0 sin 2ϕ cos ω2 t). (3.2.6) В резонаторе образуется система двух собственных осей (“легкой” и “тяжелой”), развернутых между собой на угол π/4, таких, что собственные частоты колебаний резонатора вдоль каждой из них достигают наибольшего и наименьшего значений. В (3.2.6) угол ϕ0 определяет ориентацию начальной волны относительно тяжелой собственной оси, а угол ϕ отсчитывается от этой оси по ходу часовой

3.2. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОСЕЙ ЖЕСТКОСТИ

95

стрелки. Расщепление частоты 1 ε4 ω0 . (3.2.7) 2 Определение дисбаланса, вызванного четвертой гармоникой распределения плотности резонатора, осуществляется измерением: — собственных частот при совпадении оси возбуждения с каждой из осей жесткости резонатора; — амплитудно- и фазочастотных характеристик; — фазоугловых характеристик. Дисбалансы от 1, 2 и 3-й гармоник дефекта плотности измеряются с помощью: — наблюдения за эволюцией волновой картины при внешней вибрации; — определения реакций в опоре резонатора, вызванных колебаниями последнего по основной форме; — идентификации гармоник дефекта с учетом побочных форм колебаний. Способы определения дисбалансов, возникающих от наличия 1, 2, 3 и 4-й гармоник распределения погрешности резонатора, недостаточно исследованы теоретически и экспериментально. Кроме того, в общем виде дефекты в реальном резонаторе имеют более сложный вид, отличный от (3.2.5), а разложение плотности в ряд Фурье содержит достаточно большое число членов. Поэтому возникает необходимость разработки комплексных методов и алгоритмов идентификации, позволяющих учитывать вклад высших гармоник дефекта. Решение прямой задачи расчета упругих колебаний. Перепишем (3.2.4) в следующем виде:

Δ4 = ω2 − ω1 ≈

w¨  − w¨ + w¨  η + wη ¨  + κ2 (wVI + 2wIV + w )− κ2 η(wV + 2w + w ) = 0, (3.2.8) где η(ϕ) = ρ /ρ. Для однозначного решения (3.2.8) следует определить начальные и граничные условия. Как функция окружного угла, w должна удовлетворять условиям периодичности w(k) (0, t) = w(k) (2π , t), k = 0, 5. (3.2.9) Начальные условия зададим в виде w(ϕ, 0) = a(ϕ), w(ϕ ˙ , 0) = 0. (3.2.10) Воспользуемся методом Фурье (разделения переменных) и представим искомое решение в виде произведения двух функций: w(ϕ, t) = Φ(ϕ)Ψ(t). (3.2.11) Подставив (3.2.11) в (3.2.8), после разделения получим ¨ η(ΦV + 2Φ + Φ ) − (ΦVI + 2ΦIV + Φ ) Ψ = κ2 . (3.2.12) Ψ Φ + ηΦ + (η  − 1)Φ Выражение в левой части (3.2.12) зависит только от времени, а в правой — только от окружного угла. Следовательно, обе части (3.2.12)

96

Гл. 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ

равны постоянной, и для функции Φ имеем задачу на собственные значения   κ2 η(ΦV + 2Φ + Φ ) − (ΦVI + 2ΦIV + Φ ) = = −λ [Φ + ηΦ + (η  − 1)Φ] , (3.2.13)

Φ(k) (0) = Φ(k) (2π),

k = 0, 5.

Будем предполагать, что при определенных допущениях эта задача имеет вещественный бесконечный дискретный спектр λm аналогично задаче Штурма–Лиувилля. Каждому собственному числу соответствует собственная функция Φm (или несколько взаимно ортогональных собственных функций в случае вырожденности). Тогда функция Ψ удовлетворяет уравнениям

¨ + λm Ψ = 0, Ψ решения которых имеют вид

Ψm = Am cos

(3.2.14)

, , λm t + Bm sin λm t

(3.2.15)

и зависят от неизвестных постоянных Am , Bm . Общее решение (3.2.8) представляется в виде ряда

w(ϕ, t) =

∞  m=1

Φm Ψm =

∞ 

Φm (Am cos

, , λm t + Bm sin λm t).

m=1

(3.2.16) Коэффициенты Am , Bm находятся из условия удовлетворения начальным условиям (3.2.10):

w(ϕ, 0) =

∞ 

Am Φm = a(ϕ),

(3.2.17)

m=1

w(ϕ ˙ , 0) =

∞ ,  λm Bm Φm = 0.

(3.2.18)

m=1

Учитывая ортогональность собственных функций, из (3.2.17), (3.2.18) имеем (a, Φ∗m ) Am = , Bm = 0, m = 1, 2, . . . (3.2.19)

Φm 2 Здесь звездочкой обозначено комплексное сопряжение, а ( · , · ), 22 (0, 2π)

· — скалярное произведение и норма в пространстве L периодических с периодом 2π функций, интегрируемых с квадратом на интервале [0, 2π]. √ Обозначим ωm ≡ λm . Тогда ∞  (a, Φ∗m ) w(ϕ, t) = Φm cos ωm t (3.2.20) 2 m=1 Φm

3.2. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОСЕЙ ЖЕСТКОСТИ

или, в случае ортонормированного базиса, ∞  w(ϕ, t) = (a, Φ∗m )Φm cos ωm t.

97

(3.2.21)

m=1

Следует отметить, что в случае, когда какое-либо λm < 0, расщепление частот становится слишком велико и периодический процесс в системе невозможен, так как вместо тригонометрических функций по времени в (3.2.20), (3.2.21) будут фигурировать гиперболические функции. Такая ситуация возникает при задании больших величин дефектов плотности εk . Можно видеть, что основная сложность заключается в нахождении последовательности собственных значений λm и соответствующих им собственных функций Φm задачи (3.2.13). Будем искать Φm в виде ряда по полной системе координатных функций ψk (необязательно ортогональных): ∞  (m) Φm (ϕ) = Ck ψk (ϕ). (3.2.22) k=1

В качестве базисных функций могут использоваться алгебраические или тригонометрические полиномы, сплайны, АФ и др. Подставив (3.2.22) в (3.2.13) и воспользовавшись методом Бубнова– Галеркина, можно получить обобщенную алгебраическую задачу на собственные значения ∞ ∞   (m) (m) αkn Ck = −λ βkn Ck , n = 1, 2, . . . , (3.2.23) k=1

k=1

где 2π

αkn =

  η(ψkV + 2ψk + ψk ) − (ψkVI + 2ψkIV + ψk ) ψn∗ dϕ,

(3.2.24)

0 2π

βkn =

κ−2 [ψk + ηψk + (η  − 1)ψk ] ψn∗ dϕ.

(3.2.25)

0

К системе (3.2.23) следует также добавить 6 уравнений ∞ ∞   (m) (l) (m) (l) Ck ψk (0) = Ck ψk (2π), l = 0, 5. k=1

(3.2.26)

k=1

Решив (3.2.23), (3.2.26), определим неопределенные коэффициен(m) ты Ck и спектр λm . На практике вместо бесконечного ряда (3.2.22) используется усеченное разложение

Φm (ϕ) =

N  k=1

7 М. А. Басараб и др.

(m)

Ck ψk (ϕ),

(3.2.27)

98

Гл. 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ

система (3.2.23), (3.2.26) является конечной и может быть эффективно решена одним из разработанных алгоритмов [60–62]. Наиболее естественным является тригонометрический базис, функции которого удовлетворяют условиям периодичности:  (m) Φm (ϕ) = Ck eikϕ . (3.2.28) 1 0, qi−1 qi > 0, i = 1, N . (5.5.35) s=0

Один из способов реализации гладкого приближения основан на s аппроксимации компонентов кватерниона qi (s = 0, 1, 2, 3) по отдельности традиционными методами сплайн-аппроксимации с последующей нормализацией результирующего кватерниона к единичной норме. Так, в [139, 140] при обработке данных для определения компонент микроускорений сегмента Международной космической станции (МКС) использованы кубические сплайны, обладающие непрерывными первой и второй производными. Недостатки данного подхода следующие. 1. Для определения коэффициентов разложения необходимо решить 4 системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для каждого компонента кватернионной функции при сферической интерполяции. Процесс еще более усложняется в реальном масштабе времени, когда на каждом шаге требуется решать новую СЛАУ. Если N — количество узлов интерполяции, то для построения интерполяционного сплайна порядка 2n количество арифметических операций пропорционально величине nN 2 . 2. Нелокальность аппроксимации, т. е. зависимость поведения интерполирующей функции в произвольной точке от возмущений значений аппроксимируемой функции в достаточно удаленных узлах, в том числе и на концах рассматриваемого интервала. 3. Конечная дифференцируемость. Для увеличения гладкости аппроксимации требуются сплайны высоких степеней, что существенно усложняет численную реализацию. 4. Использование сплайнов различных порядков для аппроксимации функции и ее производных (неуниверсальность аппроксимации). Обойти первые две сложности можно, используя явные (локальные) методы аппроксимации с помощью B -сплайнов Шенберга. При этом коэффициенты каждого B -сплайна вычисляются по явным формулам через значения приближаемой функции лишь в определенной степени близких узлах. Однако полностью исключить указанные выше недостатки позволяет использование финитных бесконечно дифференцируемых АФ. Исследуем возможности атомарной квазиинтерполяции [52,53] применительно к аппроксимации кватернионной функции на сфере. Данный алгоритм для случая B -сплайнов был рассмотрен в [141].

192

Гл. 5. ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ В БИНС

Требуется интерполировать функцию f (t) ∈ Wpr (a, b) на равномерной сетке b−a ΔN : ti = ih, h = , i = 0, N . (5.5.36) N В пространстве Wpr (a, b) выберем базис сдвигов-сжатий некоторой финитной функции Fr (t) с носителем supp Fr (t) = (−M , M ), где M = = [(r + 1)/2], а [ · ] — целая часть числа. В качестве Fr (t), в частности, можно выбрать сплайны Шенберга Br (t) ∈ C r−1 или АФ fupr−1 (t) ∈ ∈ C ∞. Интерполяцию r -го порядка функции f на сетке ΔN осуществим с помощью разложения (см. гл. 2)

ΦN , r (f ; t) =

N+M 

cj ϕr,j (t),

(5.5.37)

j=−N−M

так, что

ΦN , r (f ; ti ) = f (ti ). Здесь

(5.5.38)

 t 1 + (−1)r −j+ ϕr,j (t) ≡ Fr h , h 4 а носитель ϕr,j определяется неравенством |t − tj |  (r + 1)h/2. Считаем, что базисные функции ϕr,j образуют разбиение единицы:  ϕr,j (t) ≡ 1. (5.5.39)

k

Точное выражение для коэффициентов ΦN ,r имеет вид  M s ∞   s 2m cj = (−1) am Δ fj , j = 0, N , s=0

(5.5.40)

m=1

где Δ2m — центральная разделенная разность порядка 2m: m  l Δ2m ci = Cm (−1)l ci+l .

(5.5.41)

l=−m

Из (5.5.40) следует необходимость определения f за пределами интервала (a, b). Это можно осуществить, например, с помощью численной экстраполяции [10]. Далее обозначим через ΦN ,r,k (f ; t) квазиинтерполянт, соответствующий коэффициентам, определяемым конечным числом членов ряда в (5.5.40):  M s k   cj , k = (−1)s am Δ2m fj , j = 0, N . (5.5.42) s=0

m=1

Норма результирующего кватерниона, который образован сплайнами либо АФ, сглаживающими компоненты кватернионов (5.5.34), уже не равна единице, но будет мало отличаться от нее. Полученная

5.5. ОБРАБОТКА ТЕЛЕМЕТРИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ

193

кватернионная функция в итоге будет служить аппроксимацией вращения системы Oy1 y2 y3 относительно системы EY1 Y2 Y3 на интервале t0  t  tN . Проекции абсолютной угловой скорости ω системы Oy1 y2 y3 на ее собственные оси находятся с помощью производной этой функции и кинематических уравнений 

1 0 2 3 0 dq 1 dq 3 dq 2 dq −q +q −q ω1 = 2 q , dt dt dt dt 

dq 2 dq 0 dq 3 dq 1 (5.5.43) ω2 = 2 q 0 , − q 2 + q 1 − q 3 dt dt dt dt 

dq 3 dq 0 dq 1 dq 2 ω3 = 2 q 0 ; − q 3 + q 2 − q 1 dt dt dt dt компоненты угловых ускорений имеют вид

 2 1 2 0 2 2 2 3 dω1 0 d q 1 d q 3 d q 2 d q =2 q −q +q −q , dt dt2 dt2 dt2 dt2

 2 0 2 3 2 1 dω2 d2 q 2 2 d q 1 d q 3 d q = 2 q 0 − q + q − q , dt dt2 dt2 dt2 dt2

 dω3 d2 q 3 d2 q 0 d2 q 1 d2 q 2 = 2 q 0 − q 3 + q 2 − q 1 . 2 2 2 dt dt dt dt dt2

(5.5.44)

П р и м е р 5.12. В качестве модельной рассмотрим задачу определения квазистатических компонент угловых скоростей и ускорений российского сегмента международной космической станции (МКС) весной–летом 2001 г. по данным [139]. Полет МКС после пристыковки к ней служебного модуля практически неизменно проходил в ориентированном состоянии. В основном поддерживалась неизменная ориентация станции либо в орбитальной системе координат, либо в абсолютном пространстве. Система управления ориентацией работала непрерывно, в БЦВМ имелась полная информация о вращательном движении станции. Несколько раз в сутки часть этой информации передавалась на Землю. Используемая телеметрическая информация представляла собой значения в дискретные моменты времени кватерниона ориентации, вектора угловой скорости станции, а также моменты включения и продолжительность работы реактивных двигателей системы управления ориентацией. При пролете станции вблизи одного из наземных приемных пунктов указанные значения получались с шагом около 1 с в течение не более 10 мин (режим непосредственного сброса информации). Измерительная информация также записывалась в течение продолжительного времени (обычно около витка) в специальное запоминающее устройство и потом в удобной ситуации сбрасывалась на Землю. При этом шаг по времени перечисленных выше величин составлял 1,5–2 мин. Значения кватерниона являлись наиболее точными данными и были достаточны, в частности, для расчета квазистатической составляющей микроускорений служебного модуля. 13 М. А. Басараб и др.

194

Гл. 5. ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ В БИНС

0,895

-0,3

0,89 0,35 0,885

5

0

10

15

20

25

30

5

0

10

а)

15

20

25

30

20

25

30

б)

-0,05

0,32

0,3 -0,1 0,28 5

0

10

15

20

25

30

5

0

10

15

г)

в)

Рис. 5.22. Измеренные значения компонент кватерниона q 0 (а), q 1 (б), q 2 (в), q 3 (г) (маркеры) и квазиинтерполяция 0-го (пунктир), 1-го порядков (сплошная линия) 5 10-4

-6

5 10

0 0 -6

-5 10 0

10

w1

20

30

0

10

0

10

0

10

-5

dw1/dt

20

30

20

30

20

30

1,5 10

0 -6

-2,5 10 -0,001

-5

0

10

-4

w2

20

30

-2 10

dw2/dt

2 10

-6

2 10

-4

1 10

0

0

-6

-4

-1 10

0

10

w3

20

30

-2 10

dw3/dt

Рис. 5.23. Рассчитанные значения компонент угловых скоростей (с−1 ) и ускорений (с−2 ) (квазиинтерполяция базисом АФ fup2 (t))

195

5.5. ОБРАБОТКА ТЕЛЕМЕТРИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ -4

5 10

-6

5 10

0 0 -6

-5 10 0

10

w1

20

30

0

10

0

10

0

10

-5

dw1/dt

20

30

20

30

20

30

1,5 10 0

-6

-2,5 10 -0,001

-5

0

10

-4

w2

20

30

-2 10

dw2/dt

2 10

-6

2 10

-4

1 10

0

0

-6

-4

-1 10

0

10

w3

20

30

-2 10

dw3/dt

Рис. 5.24. Рассчитанные значения компонент угловых скоростей (с−1 ) и ускорений (с−2 ) (квазиинтерполяция базисом кубических B -сплайнов)

На рис. 5.22 маркерами обозначены значения компонент кватерниона ориентации (5.5.34), близкие к данным [139]. Постоянный шаг между последовательными измерениями h = 2 мин, общий интервал измерений T = 30 мин. Квазиинтерполяция каждой компоненты кватерниона выполнялась с помощью базиса сдвигов сжатий АФ fup2 (t): 

N+ 1 (s) t − j , (s = 0, 1, 2, 3). ΦN ,3,k (qs ; t) = cj ,k fup2 h j=−1

На рис. 5.22 пунктирными линиями обозначена квазиинтерполяция нулевого порядка cj ,0 = fj , а сплошной линией — квазиинтерполяция 1-го порядка: 5 23 5 (fj−1 − 2fj + fj+1 ) = fj − (fj−1 + fj+1 ) . 36 18 36 Для удовлетворения результирующего кватерниона условию нормировки применялся следующий подход. Интерполяция применялась только к компонентам кватерниона,q 1 , q 2 , q 3 , а компонента q 0 вычислялась из соотношения q 0 = 1 − (q 1 )2 − (q 2 )2 − (q 3 )2 .

cj ,1 = fj −

13*

196

Гл. 5. ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ В БИНС

На рис. 5.23 приведены соответствующие графики угловых скоростей и ускорений, рассчитанные по формулам (5.5.43), (5.5.44). Для сравнения, на рис. 5.24 показаны аналогичные зависимости, полученные с использованием кубических B -сплайнов. При этом реализовался итерационный алгоритм квазиинтерполяции 1-го порядка [141]. Коэффициенты квазиинтерполяции имеют вид m k

 1 cj , k = Δ2m fj . − 6 m=0

Основное отличие полученных результатов заключается в аппроксимации второй производной, которая в случае сплайнов представляется ломаными, а в случае АФ fup2 (t) принадлежит классу C ∞ . Кроме того, для вычисления угловых скоростей и ускорений необходимо было прибегать к сплайнам 1-го и 2-го порядка, в то время как производные АФ fup2 (t) выражаются через саму функцию. В целом алгоритм квазиинтерполяции (как атомарными функциями, так и B -сплайнами) позволяет реализовать эффективный процесс приближения и сглаживания экспериментальной телеметрической информации с высокой точностью и быстродействием. Среди преимуществ нового подхода следует отметить следующие. 1) Применение явного алгоритма атомарной квазиинтерполяции позволяет существенно повысить быстродействие сферической аппроксимации кватерниона ориентации, в частности, реализовать эффективное восстановление значений кватерниона в реальном масштабе времени. При этом нет необходимости решения СЛАУ на каждом временном шаге. 2) Точность аппроксимации компонент кватерниона ориентации зависит от порядка квазиинтерполяции АФ fupn (t) и достигает величины O(hn+1 ), где h — шаг дискретизации по времени; точность приближения компонент угловой скорости ω и углового ускорения dω/dt достигает величин O(hn ) и O(hn−1 ) соответственно. 3) За счет локальности процесса квазиинтерполяции возникновение единичных случайных сбоев в последовательности данных не влечет за собой искажений значений результирующего кватерниона в целом на всем интервале аппроксимации. 4) Выбор порядка квазиинтерполяции позволяет управлять степенью сглаживания полученных данных из условия подавления широкополосных помех. П р и м е р 5.13. Рассмотрим применение кумулянтных базисов для интерполяции телеметрических данных из предыдущего примера. На рис. 5.25 приведены результаты интерполяции на основе базисов УКШ и ЗКБ. Очевидно, что в первом случае качество приближения неудовлетворительно. Видимо поэтому базис сдвигов сжатий функций sinc не рассматривается авторами [125, 126]. Что касается функций ' ha , то в рассматриваемом примере наилучшее качество аппроксимации достигается при значениях параметра a ≈ 2. На рис. 5.26 приведены проекции

197

5.5. ОБРАБОТКА ТЕЛЕМЕТРИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ 0,895 -0,3

0,89 0,35 0,885

5

10

-0,05

15

а)

20

25

30

5

10

15

20

25

30

5

10

15

20

25

30

б)

0,32

0,3 -0,1 0,28 5

10

15

в)

20

25

30

г)

Рис. 5.25. Интерполяция компонент кватерниона q 0 (а), q 1 (б), q 2 (в), q 3 (г) с помощью кумулянтного базиса на основе функций ' h2 (сплошная линия) и sinc (пунктирная линия)

Рис. 5.26. Проекции интерполяционных кривых на сферу в R3 , построенных с помощью кумулянтного базиса на основе функций ' h2 (а) и sinc (б)

198

Гл. 5. ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ В БИНС

1

0,5

0

5

10

15

20

25

30

Рис. 5.27. Относительная угловая скорость при интерполяции кумулянтным базисом на основе функций ' h2 (сплошная линия) и sinc (пунктирная линия)

соответствующих кватернионных кривых на единичную сферу в R3 , а рис. 5.27 иллюстрирует поведение угловых скоростей при обоих видах аппроксимации. Аппроксимация телеметрической информации с использованием дискретного фильтра Калмана. Рассмотрим дискретную модель динамической системы вида [96] xk+1 = Ak xk + uk , (5.5.45) где x — вектор состояния размерности (n × 1); A — матрица системы (n × n); u — шум (n × 1); индекс k соответствует определенному моменту времени tk . Предположим, что величины xk измеряются не непосредственно, а через вспомогательные переменные zk : zk = Hk xk + vk , (5.5.46) где H — матрица измерения (n × n); v — шум (ошибка измерения) (n × 1). Считаем, что uk и vk — последовательности независимых случайных векторов с нулевым математическим ожиданием и ковариационными матрицами Qk и Rk соответственно. Оптимальная в смысле минимума среднеквадратичного отклонения оценка xk по переменным zk реализуется при выполнении следующего алгоритма линейного дискретного фильтра Калмана (ЛДФК). Алгоритм ЛДФК. 1. Выбрать начальные оценки вектора состояния x0 и матрицы ковариации ошибок аппроксимации P0 . 2. Вычислить матрицу усиления фильтра Калмана Gk = ! "−1 = Pk HTk Rk + Hk Pk HTk . 'k = xk + Gk (zk − Hk xk ). 3. Корректировать текущую оценку x 'k . 4. Вычислить прогноз xk+1 = Ak x 5. Корректировать матрицу ковариации ошибок Pk+1 = = Ak (E − Gk Hk ) Pk ATk + Qk . 6. Пункты 2–5 повторить для нового наблюдения.

5.5. ОБРАБОТКА ТЕЛЕМЕТРИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ

199

Линейный дискретный фильтр Калмана целесообразно использовать при обработке зашумленных данных телеметрической информации с помощью АФ и сплайнов описанными выше методами. При этом сам алгоритм фильтрации примет следующий упрощенный вид [142, 143]. Рассмотрим сплайн- или атомарную аппроксимацию сигнала f (t) n  S(f ; t) = xj (f )hj (t), (5.5.47) j=1

где xj (f ) — коэффициенты разложения, представляющие собой некоторый функционал от дискретных значений функции fj ≡ f (tj ); hj (t) — базисные функции (например, рассмотренные выше сдвиги-сжатия B -сплайнов или АФ). Допустим также, что в процессе измерения вместо (5.5.47) наблюдается следующий сигнал

z(f ; t) = S(f ; t) + v(t) =

N 

xj (f )hj (t) + v(t).

(5.5.48)

j=1

Здесь v(t) — шум (скалярная функция). Тогда вместо (5.5.45), (5.5.46) имеем xk+1 = xk , (5.5.49) zk = hk xk + vk , где ⎡ ⎤ x1 (f ) . xk = ⎣ .. ⎦ , hk = [h1 (tk ) . . . hn (tk )] . xn (f ) В результате имеем следующий скалярный алгоритм ЛДФК. Алгоритм ЛДФКс. 1. Задать начальные оценки вектора состояния x0 и матрицы ковариации ошибок аппроксимации P0 . 2. Вычислить вектор усиления фильтра Калмана gk = ! "−1 , где r — дисперсия шума. = Pk hTk rk + hk Pk hTk 'k = xk + gk (zk − hk xk ). 3. Скорректировать текущую оценку x 'k . 4. Вычислить прогноз xk+1 = x 5. Скорректировать матрицу ковариации ошибок Pk+1 = = (1 − gk hk ) Pk . 6. Пункты 2–5 повторить для нового наблюдения. П р и м е р 5.14. Пусть исходный сигнал на интервале времени t ∈ [a, b] является гармоническим с частотой ω :

f (t) = sin ωt. Шум измерений v имеет нулевое среднее и −0,5d  v  0,5d. Дисперсия шума σv2 = d2 /12. Приближение f (t) осуществим с помощью

200

Гл. 5. ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ В БИНС

1

1 s(f,t) 0

s(f,t) 0

f(t) z(t)

-1 0

20

-1 40

60

80

100

0

z(t) 20

f(t) 40

60

80

100

Рис. 5.28. Квазиинтерполяция сигнала на основе АФ fup2 : а — без применения ЛДФК; б — с применением ЛДФК

алгоритма атомарной квазиинтерполяции 1-го порядка на равномерной сетке по времени tk = a + kh с шагом h = (b − a)/M : 

n+ 1 t −j , S(f ; t) = xj (f ) fup2 h j=−1

5 (fj−1 − 2fj + fj+1 ) . 36 На рис. 5.28 приведены результаты моделирования алгоритмом ЛДФКс при следующих параметрах задачи:

xj (f ) = fj −

a = 0, b = 100, ω = 0,1, d = 0,5, M = 256, N = 10. Среднеквадратичная погрешность аппроксимации при использовании ЛДФК уменьшилась почти в 5 раз. Следует отметить, что аналогичная квазиинтерполяция на основе кубических сплайнов Шенберга дает схожие результаты, однако аппроксимирующая кривая при этом не является бесконечно дифференцируемой. При аппроксимации кватерниона ориентации можно интерполировать каждую его компоненту отдельно с использованием ЛДФК и последующей нормировкой. Однако, предпочтительнее выглядит рассматриваемый ниже вариант использования нелинейной дискретной калмановской фильтрации с использованием кумулянтных базисов. Другие разновидности фильтрации кватернионных сигналов ранее рассматривались в работах [144, 145]. Пусть дискретная нелинейная динамическая система имеет вид xk+1 = ak (xk ) + uk , (5.5.50) zk = hk (xk ) + vk , где a, h — дискретные нелинейные операторы наблюдения и измерения, а остальные обозначения аналогичны обозначениям в выражениях (5.5.45), (5.5.46). Минимизирующая среднеквадратичное отклонение оценка xk по переменным zk реализуется при выполнении алгоритма нелинейного дискретного фильтра Калмана (НДФК) (в англоязычной терминологии Extended Kalman Filter — расширенный фильтр Калмана).

5.5. ОБРАБОТКА ТЕЛЕМЕТРИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ

201

Алгоритм НДФК. 1. Выбрать начальные оценки вектора состояния x0 и матрицы ковариации ошибок аппроксимации P0 . 2. Вычислить матрицу усиления фильтра Калмана

−1 ∂hk (xk ) ∂hTk (xk ) ∂hTk (xk ) Gk = Pk . Rk + Pk ∂x ∂x ∂x

'k = xk + Gk (zk − hk (xk )) . 3. Скорректировать текущую оценку x 4. Вычислить прогноз xk+1 = ak (' xk ). 5. Скорректировать матрицу ковариации ошибок

 ( ∂ak xk ) ∂hk (xk ) ∂aT (xk ) Pk+1 = E − Gk Pk k + Qk . ∂x ∂x ∂x 6. Пункты 2–5 повторить для нового наблюдения. Нелинейный фильтр Калмана можно применить при оценке параметров нелинейной регрессии (к которой относится и задача кватернионной интерполяции). Рассмотрим интерполяцию кумулянтным базисом вида (5.5.11) дискретной последовательности кватернионов qi (i = 0, N ): N ( # −1 $ϕi (t) ϕ (t) q(t) = q0 0 , qi−1 qi i=1

где

ϕi (t) =

N 

ϕj (t),

j=i

а ϕj — функции исходного базиса. Модель дискретной динамической системы будет иметь вид xk+1 = xk , (5.5.51) zk = hk (xk ) + vk , где ⎡ ⎤ q0 N ( # −1 $ϕi (tk ) ϕ (t ) qi−1 qi xk = ⎣ ... ⎦ , hk = q0 0 k . i= 1 qN Кватернионный алгоритм фильтрации запишем в следующем виде. Алгоритм НДФКк. 1. Задать начальные оценки вектора состояния x0 и матрицы ковариации ошибок аппроксимации P0 . 2. Вычислить вектор усиления фильтра Калмана

−1 ∂hTk (xk ) ∂hTk (xk ) ∂hk (xk ) Pk gk = Pk , rk + ∂x ∂x ∂x где r — дисперсия шума.

202

Гл. 5. ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ В БИНС

'k = xk + gk (zk − hk (xk )) . 3. Скорректировать текущую оценку x 'k . 4. Вычислить прогноз xk+1 = x 5. Выполнить нормировку каждой кватернионной компоненты вектора состояния xk+1 . 6. Cкорректировать матрицу ковариации ошибок Pk+1 = (1 − gk hk ) Pk . 7. Пункты 2–6 повторить для нового наблюдения. При реализации данного алгоритма следует учитывать особенности операций алгебры кватернионов (см. Приложение 7). Производная кумулянтного оператора hk по отдельным компонентам вектора xk вычисляется по формуле N m ( # −1 $ϕi (tk ) −1 ( # −1 $ϕi (tk ) ∂hk = [ϕm (tk ) − ϕm+1 (tk )] qm qi−1 qi qi−1 qi ∂xm i=1 i=m+1

(0 < m < N ), ∂hk = [ϕ0 (tk ) − ϕ1 (tk )] q0−1 q(tk ), ∂x0

∂hk −1 = ϕN (tk )q(tk )qN . ∂xN

П р и м е р 5.15. Пусть компоненты исходного единичного кватерниона ориентации имеют вид: √ √ √ √ √ √ 3 3 1 3 1 3 3 3 q0 (t) = sin t + cos t, q1 (t) = − cos t+ sin t, 6 4 2 4 2 4 2 4 √ √ √ √ √ √ 3 3 1 3 3 3 1 3 q2 (t) = sin t + cos t, q3 (t) = − sin t − cos t. 6 4 2 4 6 4 2 4 В качестве кумулянтного выберем базис ЗКБ (5.5.29). Интерполяцию осуществим на равномерной сетке:

b−a , N Фильтрацию выполним на сетке ti = a + i

i = 0, N .

b−a , j = 0, M . M Компоненты кватерниона шума измерений v имеют нулевое среднее и одинаковые амплитуды −d  v  d. Дисперсия шума σv2 = d2 /12. На рис. 5.29 приведены графики интерполяции зашумленного сигнала и интерполяции с использованием алгоритма НДФКк при значениях параметров tj = a + j

a = 0,

b = 10,

N = 10,

M = 256,

d = 0.2.

5.5. ОБРАБОТКА ТЕЛЕМЕТРИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ

203

Рис. 5.29. Интерполяция кумулянтным базисов ЗКБ зашумленного сигнала без фильтрации (а) и с фильтрацией по алгоритму НДФКк (б)

Полужирной линией с круглыми маркерами обозначен идеальный сигнал, а тонкой линией с квадратными маркерами — интерполирующий сигнал. Представленный алгоритм калмановской фильтрации может быть модифицирован для других моделей шума [132].

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

МЕТОД БУБНОВА–ГАЛЕРКИНА Краткие сведения из функционального анализа. Пусть L2 (a, b) — вещественное гильбертово пространство функций f (x), x ∈ (a, b) таких, что существует интеграл

b f 2 (x) dx < ∞. a

Тогда скалярное произведение функций f (x) и g(x) в L2 (a, b) определяется как b (f , g) = f (x)g(x) dx a

и обладает следующими свойствами: 1) (f , g) = (g , f ); 2) (f1 + f2 , g) = (f1 , g) + (f2 , g); 3) (λf , g) = λ(f , g), λ ∈ R; 4) (f , f )  0, (f , f ) = 0 ⇔ f ≡ 0. Норма функции в L2 (a, b) определяется через скалярное произведение: ,

f = (f , f ). Рассмотрим систему функций {ϕn (x)}∞ n=0 ∈ L2 (a, b). ма {ϕn } — линейно независимая, если ∞ 

an ϕn (x) = 0

⇒

an = 0 (n = 0, 1, ...).

n=0

Система {ϕn } — ортогональная, если



b (ϕn , ϕm ) = ϕn (x)ϕm (x)dx = a

ϕn , 0,

n = m, n = m.

Наконец, система {ϕn } — ортонормированная, если

(ϕn , ϕm ) = δnm ,

Систе-

205

МЕТОД БУБНОВА–ГАЛЕРКИНА

где

δnm =

n = m, n = m

1, 0,

— символ Кронекера, т. е. ϕn = 1

(n = 0, 1, . . . ).

П р и м е р П.1.1. Рассмотрим следующие системы функций: 1) система тригонометрических функций

{1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . , cos nx, sin nx, . . . } ортогональна в L2 (−π , π); 2) система 1 cos x sin x cos 2x sin 2x cos nx sin nx √ , √ , √ , √ , √ , ..., √ , √ , ... π π π π π π 2π ортонормирована в L2 (−π , π); 3) система : πnx ;∞ : πnx ;∞ sin ∪ cos l n=1 l n=0 ортогональна в L2 (0, l); 4) система полиномов Лежандра 3x2 − 1 5x3 − 3x 35x4 − 30x2 + 3 63x5 − 70x3 + 15x , , , , ... 1, x, 2 2 8 8 ортогональна в L2 (−1, 1). Система {ϕn }∞ n=0 называется базисом, если она ортонормирована, и, кроме того,

(ϕn , f ) = 0 (n = 0, 1, . . . ) ⇒ f = 0. Любую функцию f ∈ L2 (a, b) можно разложить в ряд по функциям базисной системы {ϕn }∞ n=0 в L2 (a, b): f (x) =

∞ 

cn ϕn (x).

n=0

Домножим скалярно обе части (П.1.1) на ϕm (m = 0, 1, . . . ): ∞  (f , ϕm ) = cn (ϕn , ϕm ). n=0

Пользуясь (П.1.1), получим

(f , ϕm ) =

∞ 

cn δnm = cm ,

n=0

следовательно,

f (x) =

∞  n=0

(f , ϕn )ϕn (x).

(П.1.1)

206

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Если {ϕn }∞ n=0 — не ортонормированна, но ортогональна в L2 (a, b), то

f (x) =

∞  (f , ϕn )

n=0

ϕm

ϕn (x).

Если {ϕn }∞ n=0 — не ортогональна, но линейно независима в L2 (a, b), то также возможно разложение (П.1.1), но коэффициенты cn находятся более сложным образом. Метод Бубнова–Галеркина (стационарные задачи). Пусть необходимо решить краевую задачу в области Ω = (a, b):

Du = f

(П.1.2)

с однородными краевыми условиями на границе ∂Ω = {a, b}

Bu = 0.

(П.1.3)

Здесь D — дифференциальный оператор; u(x) ∈ L2 (a, b) — неизвестная функция; f (x) ∈ L2 (a, b) — известная функция — правая часть; B — оператор граничных условий. П р и м е р П.1.2. Дифференциальное уравнение статического изгиба балки длины l имеет вид

EJ

d4 u = p, dx4

где E — модуль Юнга; J — момент инерции поперечного сечения; EJ — жесткость изгиба; u(x) — искомая функция поперечного смещения оси балки, x ∈ (0, l); p(x) — поперечная нагрузка, x ∈ (0, l). Таким образом, дифференциальный оператор

D = EJ

d4 ; dx4

функция правой части f = p; концевые точки a = 0, b = l. Типы краевых условий: 1) шарнирно-подвижное опирание (рис. П.1.1, а):

u(0) = u (0) = u(l) = u (l) = 0; 2) жесткая заделка (защемление) (рис. П.1.1, б):

u(0) = u (0) = u(l) = u (l) = 0; 3) свободные концы (рис. П.1.1, в)

u (0) = u (0) = u (l) = u (l) = 0;

МЕТОД БУБНОВА–ГАЛЕРКИНА

207

Рис. П.1.1. Различные варианты закрепления балки

4) произвольная комбинация краевых условий, например, для консольного закрепления (рис. П.1.1, г)

u(0) = u (0) = u (l) = u (l) = 0. Метод Бубнова–Галеркина решения задач вида (П.1.2)–(П.1.3) состоит в следующем. Искомую функцию u ищем в виде разложения (П.1.1) ∞  u(x) = cn ϕn (x), (П.1.4) n=0

208

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

где {ϕn }∞ n=0 — линейно независимая L2 (a, b) полная координатная система функций, удовлетворяющих однородным краевым условиям (П.1.3): Bϕn = 0. Тогда и u удовлетворяет (П.1.3), так как ∞ ∞   Bu = B cn ϕ n = cn Bϕn = 0. n=0

n=0

Подставим (П.1.4) в исходное дифференциальное уравнение (П.1.2): ∞ ∞   D cn ϕ n = cn Dϕn = f. n=0

n=0

Выражение

ε(x) =

∞ 

cn Dϕn − f

n=0

называется функцией невязки. В силу полноты координатной системы функций {ϕn }, если скалярное произведение в L2 (a, b)

b (ε, ϕm ) = ε(x)ϕm (x) dx = 0 (m = 0, 1, . . . ),

(П.1.5)

a

то невязка

b ε2 (x) dx = 0. a

Распишем (П.1.5): ∞   (ε, ϕm ) = cn Dϕn − f , ϕm = 0 (m = 0, 1, . . . ). n=0

В силу свойств скалярного произведения запишем последнее равенство так: ∞  cn (Dϕn , ϕm ) = (f , ϕm ) (m = 0, 1, . . . ). (П.1.6) n=0

Получили бесконечную систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): ∞  anm cn = bm (m = 0, 1, . . . ), (П.1.7) n=0

где

anm = (Dϕn , ϕm );

bm = (f , ϕm ) (n, m = 0, 1, . . . ).

МЕТОД БУБНОВА–ГАЛЕРКИНА

209

На практике невозможно решить бесконечную СЛАУ (П.1.7), поэтому ограничиваются конечным набором координатных функций {ϕn }N n=0 , где N < ∞. Тогда вместо (П.1.4) имеем

u(x) =

N 

cn ϕn (x)

(П.1.8)

n=0

и приходим к необходимости решения конечной СЛАУ N  anm cn = bm (m = 0, 1, . . . ).

(П.1.9)

n=0

В матричном виде (П.1.9) имеет вид AC = B , где матрица системы: ⎞ ⎛ a00 . . . a0N ⎟ ⎜ A = ⎝ ... ... ... ⎠; aN 0 . . . aNN

(П.1.10)

вектор-столбец неизвестных коэффициентов: C = (c0 , c1 , . . . , cN )T ; вектор-столбец правой части: B = (b0 , b1 , . . . , bN )T . Основная сложность метода Бубнова–Галеркина заключается в необходимости выбора системы координатных функций {ϕn }N n=0 , удовлетворяющих краевым условиям (П.1.3). Метод Бубнова–Галеркина для нестационарных задач. С помощью метода Бубнова–Галеркина можно решать не только задачи статики, но и динамические задачи. Возьмем однородное уравнение движения динамической системы в следующем виде: D(u, u˙ , u¨) = 0, (П.1.11) где D — дифференциальный оператор k-го порядка; u(x, t) — искомая вектор-функция обобщенных координат, x ∈ (a, b), t > 0; ( ˙ ) ≡ ∂/∂t — оператор дифференцирования по времени. Полагаем, что краевые условия аналогичны (П.1.3) и не зависят от времени: Bu = 0. Поскольку в (П.1.11) кроме пространственной координаты (координат) мы имеем дело с временным аргументом, в разложении неизвестной функции u в ряд, аналогичный (П.1.8), неопределенные коэффициенты cn должны зависеть от времени: N  u(x, t) = cn (t)ϕn (x). (П.1.12) n=0 14 М. А. Басараб и др.

210

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Координатные функции ϕn должны удовлетворять краевым условиям задачи. Таким образом, искомыми являются функции времени {cn (t)}N n=0 . Подставим ряд (П.1.12) в уравнение (П.1.11) и получим в результате невязку " ! N N ε(x, t) = D {ϕn , ϕn , . . . , ϕ(k) } , {c , c ˙ , c ¨ } (П.1.13) n n n n=0 , n n=0 не равную тождественно нулю. Далее, как и в обычном методе Бубнова–Галеркина, функцию невязки ε(x, t) ортогонализуют относительно всех функций ϕn . При этом приравниваются нулю скалярные произведения ε(x, t) на ϕn . В итоге вместо СЛАУ получается система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (СЛОДУ) относительно N + 1 неизвестной функции cn (t):

b ε(x, t)ϕ0 (x) dx = 0, a

b ε(x, t)ϕ1 (x) dx = 0,

(П.1.14)

a

..................... b ε(x, t)ϕN (x) dx = 0. a

П р и м е р П.1.3. Рассмотрим свободные колебания (p(x) ≡ 0) консольно закрепленной балки (стержня) постоянного поперечного

Рис. П.1.2. Свободные колебания консоли

сечения (см. Пример П.1.2, условия 4, рис. П.1.2). Дифференциальное уравнение нестационарного прогиба балки имеет вид

∂4u ∂2u + ρS 2 = 0, (П.1.15) 4 ∂x ∂t где ρ — плотность материала; S — площадь поперечного сечения; ρS = m0 — “погонная” масса балки. Краевые условия консольного закрепления: u(0) = u (0) = u (l) = u (l) = 0. (П.1.16) EJ

211

МЕТОД БУБНОВА–ГАЛЕРКИНА

Искомое приближенное решение будем искать в виде (П.1.12) с одним членом разложения (N = 0):

u(x, t) = c(t)ϕ(x),

(П.1.17)

где ϕ(x) должна удовлетворять однородным краевым условиям (П.1.16):

ϕ(0) = ϕ (0) = 0 (жесткое защемление на левом конце), ϕ (l) = ϕ (l) = 0 (свободный правый конец).

(П.1.18)

Из уравнения (П.1.15) следует, что решение u(x, t) определяется с точностью до произвольной постоянной. Кроме того, имеется 4 краевых условия (П.1.18). Поэтому ϕ(x) будем искать в виде полинома 4-й степени ϕ(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + b3 x3 + b4 x4 (П.1.19) с 5-ю неизвестными коэффициентами bi . Для их нахождения воспользуемся краевыми условиями (П.1.18):

ϕ(0) = b0 + b1 · 0 + b2 · 0 + b3 · 0 + b4 · 0 = 0, ϕ (0) = b1 + 2b2 · 0 + 3b3 · 0 + 4b4 · 0 = 0, ϕ (l) = 2b2 + 6b3 l + 12b4 l2 = 0, Отсюда следует, что

ϕ (l) = 6b3 + 24b4 l2 = 0.

⎧ ⎪ ⎨ b0 = b1 = 0, b2 + 3b3 l + 6b4 l2 = 0, ⎪ ⎩ b3 + 4b4 l2 = 0.

Решим данную систему с точностью до константы. Для этого положим b4 ≡ b = const. Далее,

⎧ ⎪ ⎨ b0 = b1 = 0, b2 = −3b3 l − 6bl2 = 6bl2 , ⎪ ⎩ b3 = −4bl2 .

Таким образом, подставляя найденные коэффициенты в формулу (П.1.19), получим

ϕ(x) = b(6l2 x2 − 4lx3 + x4 ).

(П.1.20)

Подставляя (П.1.20) в (П.1.17), а (П.1.17) — в исходное уравнение (П.1.15) и учитывая, что ∂ 4 ϕ/∂x4 ≡ 24, получим невязку

ε(x, t) = 24bEJc(t) − bρS¨ c(t)(6l2 x2 − 4lx3 + x4 ). 14*

212

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

В соответствии с идеей метода Бубнова–Галеркина, минимизируем невязку, приравнивая нулю ее скалярное произведение на пространственную координатную функцию ϕ(x) в гильбертовом пространстве L2 (0, l):

(ε, ϕ) = l   c(t)(6l2 x2 − 4lx3 + x4 ) (6l2 x2 − 4lx3 + x4 ) dx = 0. = b 24EJc(t) − ρS¨ 0

Раскрывая скобки в подынтегральном выражении и выполняя почленное интегрирование, получим в итоге следующее обыкновенное дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции c(t): 162EJ c¨ − c = 0. (П.1.21) 13ρSl4 Как известно, (П.1.21) есть уравнение колебаний гармонического осциллятора с собственной частотой

162EJ 3,53 EJ . ω0 = ≈ 2 13ρSl4 l ρS Функция c(t) имеет вид c(t) = A sin ω0 t + B cos ω0 t, где коэффициенты A, B определяют фазу колебаний и могут быть найдены из начальных условий задачи u(x, 0) = f1 (x), u (x, 0) = f2 (x). В итоге общее решение задачи свободных колебаний балки имеет вид

  162EJ 162EJ u(x, t) = A sin t + B cos t (6l2 x2 − 4lx3 + x4 ). 13ρSl4 13ρSl4

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

УРАВНЕНИЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК Определения и основные сведения о геометрических характеристиках. Оболочкой или тонкой оболочкой называется тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с другими размерами тела. Геометрическое место точек, равноудаленных от обеих поверхностей, называют срединной поверхностью оболочки. При этом подразумевается, что такую поверхность можно построить. Отрезок перпендикуляра к срединной поверхности называют толщиной оболочки и обозначают через h. Будем считать толщину оболочки переменной величиной, зависящей от криволинейных координат срединной поверхности. Если оболочка не имеет границ, кроме указанных выше двух поверхностей, она будет замкнутой. Если срединная поверхность ограничена каким-либо контуром, то получаем незамкнутую оболочку. Считаем, что граничная поверхность, проведенная вдоль этого контура, перпендикулярна к срединной. Геометрия оболочки полностью определена, если заданы ее срединная поверхность и закон изменения толщины. В теории оболочек трехмерная задача сводится к двумерной, т. е. трехмерному упругому телу ставится в соответствие срединная поверхность, обладающая в некотором смысле эквивалентными свойствами. Это достигается путем принятия гипотезы Кирхгофа–Лява (гипотезы недеформируемых нормалей), согласно которой: 1) прямолинейный нормальный к срединной поверхности элемент оболочки остается прямолинейным и нормальным к деформированной срединной поверхности, сохраняя при этом свою длину; 2) нормальными напряжениями на площадках, параллельных срединной поверхности, можно пренебречь по сравнению с аналогичными напряжениями на площадках, перпендикулярных срединной поверхности. Приведем геометрические характеристики оболочки. В криволинейной ортогональной системе координат α, β , γ отнесем срединную поверхность оболочки к координатной поверхности γ = 0 и будем считать координатные линии α и β совпадающими с линиями главных кривизн срединной поверхности, а координатную линию γ — прямолинейной. Толщина оболочки h отсчитывается от срединной поверхности в направлении координаты γ и является переменной, т. е.

h = h(α, β).

214

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

В выбранной системе координат параметры Ламе принимают значения:



  γ γ H1 = A 1 + , H2 = B 1 + , H3 = 1, (П.2.1) R1 R2 где R1 , R2 — радиусы главных кривизн; A = A(α, β), B = B(α, β) — коэффициенты первой квадратичной формы срединной поверхности

ds2 = A2 dα2 + B 2 dβ 2 ;



2 2 2 ∂y ∂z ∂x A= + + , ∂α ∂α ∂α



2 2 2 ∂y ∂z ∂x B= + + . ∂β ∂β ∂β

(П.2.2)

(П.2.3)

В формуле (П.2.2) ds — элемент длины дуги линии на срединной поверхности; Adα, Bdβ — соответственно длины дуг координатных линий α, β . В теории оболочек выполняются соотношения Гаусса–Кодацци



 B A ∂ 1 ∂B ∂ 1 ∂A , , = = ∂α R2 R1 ∂α ∂β R1 R2 ∂β (П.2.4)



 ∂ 1 ∂B 1 ∂A ∂ AB . + = ∂α A ∂α ∂β B ∂β R1 R2 Перемещения и деформации. Компоненты деформации eα , eβ , eγ , eαβ , eβγ , eγα связаны с перемещениями uα , uβ , uγ точки M срединной поверхности с помощью следующих соотношений:

eα = eβ =

1 ∂uα 1 ∂H1 1 ∂H1 + uβ + uγ , H1 ∂α H1 H2 ∂β H1 ∂γ

1 ∂uβ 1 ∂H2 1 ∂H2 + uα + uγ , H2 ∂β H1 H2 ∂α H2 ∂γ

eγ =

∂uγ , ∂γ

(П.2.5)



 uα uβ H1 ∂ H2 ∂ eαβ = , + H2 ∂β H1 H1 ∂α H2



 uβ ∂ 1 ∂uγ ∂ uα 1 ∂uγ . + + eβγ = H2 , eγα = H1 ∂γ H2 H2 ∂β ∂γ H1 H1 ∂α (П.2.6) В соответствии с принятой гипотезой Кирхгофа–Лява можно приближенно считать, что eγ = eβγ = eγα = 0.

(П.2.7)

УРАВНЕНИЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК

215

В силу (П.2.5) из (П.2.7) имеем

∂uγ = 0, ∂γ

uγ = w(α, β),

(П.2.8)

т. е. нормальное перемещение какой-либо точки оболочки не зависит от координаты γ и равно нормальному перемещению w соответствующей точки срединной поверхности. Учитывая (П.2.7) и (П.2.1), из (П.2.6) после интегрирования по γ получаем  



γ γ γ ∂w γ ∂w uα = 1 + , uβ = 1 + , (П.2.9) u− v− R1 A ∂α R2 B ∂β где u = u(α, β), v = v(α, β) — тангенциальные перемещения соответствующей точки срединной поверхности. Перемещения точки оболочки можно также записать в виде:

uα = u(α, β) + γϑ1 (α, β),

uβ = v(α, β) + γϑ2 (α, β),

uγ = w(α, β),

(П.2.10)

где ϑ1 , ϑ2 — углы поворота нормали к срединной поверхности оболочки соответственно в плоскостях β = const и α = const, которые определяются равенствами

ϑ1 = −

u 1 ∂w + , A ∂α R1

ϑ2 = −

v 1 ∂w + . B ∂β R2

(П.2.11)

Принимая во внимание (П.2.1), (П.2.8) и (П.2.9), деформации eα , eβ , eαβ из (П.2.5) и (П.2.6) могут быть представлены в виде разложений по степеням переменной γ и, ограничиваясь первыми двумя членами, их можно записать в виде

eα = ε1 + γκ1 ,

eβ = ε2 + γκ2 ,

(ε12 = ε21 ,

eαβ = ε12 + 2γκ12 ,

κ12 = κ21 ),

(П.2.12)

где ε1 , ε2 , ε12 и κ1 , κ2 , κ12 определяются выражениями

ε1 =

1 ∂u 1 ∂B w + u+ , B ∂β AB ∂α R2 A ∂ !u" B ∂ !v " = , + B ∂β A A ∂α B

ε2 = ε12

w 1 ∂u 1 ∂A + v+ , A ∂α AB ∂β R1 (П.2.13)

216

ПРИЛОЖЕНИЕ 2



−

1 ∂w u − A ∂α R1





 1 ∂w v , − B ∂β R2



  v u 1 ∂ 1 ∂w 1 ∂B 1 ∂w − − κ2 = − , − B ∂β B ∂β R2 AB ∂α A ∂α R1

2  ∂ w 1 1 ∂A ∂w 1 ∂B ∂w − − + κ12 = − AB ∂α∂β A ∂β ∂α B ∂α ∂β  



1 1 ∂u 1 ∂A 1 1 ∂v 1 ∂B + − u + − v . R1 B ∂β AB ∂β R2 A ∂α AB ∂α (П.2.14) Здесь ε1 , ε2 — нормальные деформации соответственно в направлениях α, β ; ε12 — сдвиг; κ1 , κ2 — изменения кривизн; κ12 — кручение срединной поверхности оболочки. Деформации ε1 , ε2 , ε12 являются компонентами тангенциальной деформации, а κ1 , κ2 , κ12 — изгибной. Компоненты деформации срединной поверхности ε1 , ε2 , ε12 , κ1 , κ2 , κ12 связаны следующими дифференциальными соотношениями: 

 ∂Bκ2 ∂B ∂ ε12 − κ1 + A −κ12 + + ∂α ∂α ∂β 2R1

 ε ζ ∂A −κ12 + 12 − AB 2 = 0, + ∂β 2R2 R1 

 ∂ ε ∂Aκ1 ∂A − κ2 + B −κ12 + 12 + ∂β ∂β ∂α 2R2

 ∂B ε12 ζ1 −κ12 + = 0, + + AB ∂α 2R1 R2 (П.2.15)

 κ2 ∂Bζ2 ∂Aζ1 κ1 1 + − − + = 0, ∂α ∂β AB R1 R2 1 ∂ κ1 = − A ∂α

1 ∂A − AB ∂β

∂A ε12 1 ∂Aε12 ∂Bε2 ∂B + ε1 + + + ABζ2 = 0, ∂α ∂α 2 ∂β ∂β 2

−

∂B ε12 ∂Aε1 ∂A 1 ∂Bε12 + ε2 + + − ABζ1 = 0 ∂β ∂β 2 ∂α ∂α 2 (−κ12 + κ21 ≡ 0).

Приведенные уравнения являются условиями сплошности срединной поверхности оболочки и называются уравнениями неразрывности или условиями совместности деформаций. Величины ζ1 , ζ2 определяются из четвертого и пятого соотношений, поэтому, исключив их, можно получить три уравнения неразрывности.

217

УРАВНЕНИЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК

Уравнения равновесия. С целью приведения трехмерной задачи к двумерной, что уже имеет место для деформаций и перемещений, в теории оболочек вместо напряжений вводятся их интегральные характеристики — усилия и моменты: h/ 2

N1 = −h/2 h/ 2

N12 = −h/2 h/ 2

Q1 = −h/2 h/ 2

M1 = −h/2 h/ 2

M12 = −h/2

 γ dγ , σα 1 + R2

 γ dγ ; σβ 1 + R1

h/ 2

N2 = −h/2

 γ ταβ 1 + dγ , R2

h/ 2

N21 = −h/2

 γ ταγ 1 + dγ , R2

h/ 2

Q2 = −h/2

 γ σα 1 + γdγ , R2

 γ τβγ 1 + dγ ; R1

h/ 2

M2 = −h/2

 γ ταβ 1 + γdγ , R2

 γ τβα 1 + dγ ; R1

 γ σβ 1 + γdγ ; R1

h/ 2

M21 = −h/2

 γ τβα 1 + γdγ , R1

(П.2.16) где N1 — нормальное тангенциальное усилие; N12 — сдвигающее усилие; Q1 — поперечное усилие; M1 , M12 — соответственно изгибающий и крутящий момент в сечении α = const; N2 , N21 , Q2 , M2 , M21 — аналогичные факторы в сечении β = const. Указанные усилия и моменты отнесены к единице длины дуги сечения оболочки. Рассмотрим равновесие бесконечно малого объемного элемента, ограниченного шестью координатами поверхностями: α = const, α + + dα = const, β = const, β + dβ = const, γ = const, γ + dγ = const. Обозначим векторы напряжений, приложенные по граням α = const, − → − → β = const, γ = const, через −− σ→ α , −σβ , −σγ , причем − σ→ = σ e + τ e + τ e , α

α α

βα β

γα γ

− σ→ β = ταβ eα + σβ eβ + τγβ eγ , − σ→ = τ e + τ e + σ e , γ

αγ α

βγ β

(П.2.17)

γ γ

eα , eβ , eγ — орты выбранной системы координат. Поверхностные силы, приложенные к указанным выше граням, будут равны −− σ→H dβ dγ , −− σ→H dα dγ , −− σ→H H dα dβ. α

2

β

1

γ

1

2

218

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Поверхностные силы, приложенные к трем остальным граням косоугольного параллелепипеда, составляют

∂ − − σ→ (σ→ α H2 dβ dγ + α H2 ) dα dβ dγ , ∂α ∂ − − (σ→ σ→ β H1 dα dγ + β H1 ) dα dβ dγ , ∂β ∂ − − (σ→ σ→γ H1 H2 dα dβ + γ H1 H2 ) dα dβ dγ. ∂γ Кроме того, на выделенный элемент будет действовать объемная сила, равная FH1 H2 dα dβ dγ. Исходя из этого легко находятся главный вектор

 ∂H2 − σ→ σ→ σ→γ ∂H1 − ∂H1 H2 − α β T= + + + H1 H2 F dα dβ dγ ∂α ∂β ∂γ

(П.2.18)

и главный момент сил относительно начала отсчета на срединной поверхности оболочки  ∂ ∂ (H2 R × − (H1 R × − M= σ→ σ→ α) + β) + ∂α ∂β  → − ∂ − → (H1 H2 R × σγ ) + H1 H2 R × F dαdβdγ , (П.2.19) + ∂γ где R = r + γ(α, β)eγ , r = r(α, β) — радиус-вектор срединной поверхности. Условия равновесия выделенного элемента запишутся в виде T = 0, M = 0, или

∂H1 − ∂H1 H2 − σ→ σ→ σ→γ ∂H2 − α β + + + H1 H2 F = 0, ∂α ∂β ∂γ ∂ ∂ σ→ σ→ (H2 R × − (H1 R × − α) + β) + ∂α ∂β ∂ + (H1 H2 R × − σ→γ ) + H1 H2 R × F = 0. ∂γ В соответствии с идеей приведения в теории оболочек необходимо − → − → σ→ в последние равенства вместо векторов напряжений − α , σβ , σγ и параметров Ламе H1 , H2 подставить их значения из (П.2.17) и (П.2.1) и проинтегрировать по γ от −h/2 до h/2.

219

УРАВНЕНИЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК

С учетом (П.2.16) получаем шесть скалярных равенств, которые и являются уравнениями равновесия элемента оболочки:

∂AN21 ∂A AB ∂BN1 ∂B − N2 + + N12 + Q1 = −ABq1 , ∂α ∂α ∂β ∂β R1 ∂BN12 ∂B AB ∂AN2 ∂A − N1 + + N21 + Q2 = −ABq2 , ∂β ∂β ∂α ∂α R2

 N1 N2 ∂BQ1 ∂AQ2 + − AB + = −ABqγ , ∂α ∂β R1 R2

(П.2.20)

∂AM21 ∂A ∂BM1 ∂B − M2 + + M12 − ABQ1 = −ABm1 , ∂α ∂α ∂β ∂β ∂BM12 ∂B ∂AM2 ∂A − M1 + + M21 − ABQ2 = −ABm2 , ∂β ∂β ∂α ∂α где qj =

qj+

−

qj−

h/ 2

+ −h/2

m1 =

q1+ γn

−



 γ γ Fj 1 + 1+ dγ , R1 R2

q1− γ0

h/ 2

+ −h/2

m2 =

q2+ γn

−

q2− γ0



 γ γ F1 1 + 1+ γ dγ , R1 R2

h/ 2

+

F2 −h/2

(j = 1, 2, 3);

γ 1+ R1



γ 1+ R2

 γ dγ.

Удобно принять

M21 M 1 = N21 − 12 , H = (M12 + M21 ). (П.2.21) R2 R1 2 Тогда уравнения (П.2.20) преобразуются к виду 

 H ∂BN1 ∂B ∂ A S+ + − N2 + ∂α ∂α ∂β R1

 H AB ∂A S+ + + Q1 = −ABq1 , ∂β R2 R1 

 H ∂AN2 ∂A ∂ − N1 + B S+ + ∂β ∂β ∂α R2

 ∂B H AB + S+ Q2 = −ABq2 , + ∂α R1 R2 S = N12 −

220

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

∂BQ1 ∂AQ2 + − AB ∂α ∂β



N1 N2 + R1 R2

 = −ABqγ ,

∂BM1 ∂B ∂AH ∂A − M2 + + H − ABQ1 = −ABm1 , ∂α ∂α ∂β ∂β ∂AM2 ∂A ∂BH ∂B − M1 + + H − ABQ2 = −ABm2 . ∂β ∂β ∂α ∂α (П.2.22) Из (П.2.22) можно исключить Q1 , Q2 и получить три уравнения. Соотношения упругости. Под соотношениями упругости в теории оболочек понимают уравнения, связывающие статические и геометрические факторы, т. е. внутренние усилия, моменты и компоненты полной деформации. Соотношения упругости в теории оболочек являются аналогом закона Гука в теории упругости. Из закона Гука после разрешения относительно напряжений, осреднения по толщине оболочки и линеаризации по γ можно получить

N1 = DN [ε1 + νε2 − (1 + ν)εT ] , N2 = DN [ε2 + νε1 − (1 + ν)εT ] ,

 h2 1−ν ε12 + N12 = DN κ12 , 2 6R2

 h2 1−ν N21 = DN κ12 ε12 + 2 6R1

(П.2.23)

M1 = DM [κ1 + νκ2 − (1 + ν)κT ] , M2 = DM [κ2 + νκ1 − (1 + ν)κT ] , M12 = M21 = DM (1 − ν)κ12 . Здесь DN , DM — жесткости соответственно при растяжении (сжатии) и изгибе: Eh Eh3 . DN = , D = (П.2.24) M 1 − ν2 12(1 − ν 2 ) Величины εT , κT являются интегральными характеристиками температурного поля T и равны 1 εT = h

h/ 2

αT T (α, β , γ) dγ , −h/2

12 κT = 3 h

h/ 2

αT T (α, β , γ)γ dγ. −h/2

(П.2.25)

УРАВНЕНИЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК

221

Учитывая (П.2.21), соотношения упругости (П.2.23) можно записать в виде N1 = DN [ε1 + νε2 − (1 + ν)εT ] ,

N2 = DN [ε2 + νε1 − (1 + ν)εT ] , 1−ν ε12 , 2 M1 = DM [κ1 + νκ2 − (1 + ν)κT ] ,

S = DN

(П.2.26)

M2 = DM [κ2 + νκ1 − (1 + ν)κT ] , H = DM (1 − ν)κ12 . Граничные условия. Для определения произволов, содержащихся в общем решении системы уравнений, описывающей напряженнодеформированное состояние оболочки, должны быть заданы граничные условия на контурах, ограничивающих оболочку. На каждом контуре оболочки должны быть заданы четыре граничных условия. Статические граничные условия могут быть сформулированы с помощью линейных комбинаций величин: на контуре α = const: H ' 1 = Q1 + 1 ∂H ; N1 , M1 , S'1 = S + 2 , Q (П.2.27) R2 B ∂β на контуре β = const: H ' 2 = Q2 + 1 ∂H . N2 , M2 , S'2 = S + 2 , Q (П.2.28) R1 A ∂α Граничные условия можно задать в деформациях через величины: на контуре α = const: ε 1 ∂ε12 ε2 , κ2 , κ '12 = κ12 − 12 , ζ'2 = ζ2 − ; (П.2.29) R2 2B ∂β на контуре β = const: 1 ∂ε12 ε12 ε1 , κ1 , κ '21 = κ21 − , ζ'1 = ζ1 − (П.2.30) . R1 2A ∂α Граничные условия можно также сформулировать в перемещениях с помощью величин: на контуре α = const: u, v , w, ϑ1 ; (П.2.31) на контуре β = const: u, v , w, ϑ2 . (П.2.32) Кроме того, граничные условия можно задавать в смешанном виде, т. е. в виде линейной комбинации усилий, моментов, деформаций и перемещений. '1 , S'2 , Q ' 2 имеют определенный физический смысл: Величины S'1 , Q '1 , Q ' 2 — приведенные S'1 , S'2 — приведенные сдвигающие усилия; Q поперечные усилия.

222

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Физический смысл величин κ '12 , ζ'2 , κ '21 , ζ'1 следующий: κ '12 , κ '21 — ' ' скручивания граничного элемента; ζ2 , ζ1 — искривления граничного элемента в тангенциальной плоскости. Примеры вариантов граничных условий при α = const: 1) свободный (ненагруженный) контур: ' 1 = 0; N1 = M1 = S'1 = Q (П.2.33) 2) шарнирно-закрепленный контур: M1 = u = v = w = 0; (П.2.34) 3) шарнирный, свободный в нормальном направлении контур: ' 1 = u = v = 0; M1 = Q (П.2.35) 4) шарнирный, свободный в тангенциальном направлении контур: N1 = M1 = w = v = 0; (П.2.36) 5) жестко закрепленный контур: u = v = w = ϑ1 = 0. (П.2.37) При определении напряжений пользуются формулами N1 12M1 E σ1 = γ+ + [εT + γκT − αT T ] , h h3 1−ν (П.2.38) N2 12M2 E σ2 = γ+ + [εT + γκT − αT T ] . h 1−ν h3 При линейном изменении температуры T по γ и αT = const имеем εT + γκT = αT T . Поэтому из (П.2.38) получаем N1 12M1 N2 12M2 + + σ1 = γ , σ2 = γ. (П.2.39) 3 h h h h3 Экстремальные напряжения на боковых поверхностях равны N1 6M1 N 6M ± 2 , σ2± = 2 ± 2 2 . σ1± = (П.2.40) h h h h

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

ТЕОРЕМА УИТТЕКЕРА–КОТЕЛЬНИКОВА–ШЕННОНА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ Классическая теорема отсчетов и ряд УКШ. В современных задачах цифровой обработки и передачи данных широко используются алгоритмы дискретизации аналоговой информации. При этом на практике целесообразно считать спектр функции f (x) финитным, так как реальные сигналы содержат полезную информацию в ограниченной полосе частот, вне которой значения спектра достаточно малы. Наиболее распространенным способом такой дискретизации является интерполяция сигнала по значениям своих отсчетов с помощью ряда Уиттекера–Котельникова–Шеннона (УКШ). Пусть ∞ ∞   1 f (x)e−iξx dx, f (x) = f'(ξ) = f'(ξ)eiξx dξ 2π −∞

−∞

определяют пару преобразований Фурье для функции f и ее изображения f'. Как известно, сигнал f (x), спектр которого f'(p) = 0 при |p| > Ω, может быть восстановлен по множеству своих отсчетов ∞  π  (x − kΔ) , f (x) = f (kΔ) sinc (П.3.1) Δ k=−∞

где 0 < Δ  π/Ω. Выражение в правой части (П.3.1) в отечественной литературе носит название ряда Котельникова. На практике необходимо ограничиться конечным числом его членов, причем оно должно быть достаточно велико, так как функция sinc (x) медленно убывает при x → ∞. Атомарные функции ha (x). Формула (П.3.1) лишь одна из возможных интерполяционных формул, используемых в теории целых функций. Для интерполяции сигналов с финитным спектром можно также использовать преобразования Фурье АФ. Это связано с тем, что нули этих преобразований расположены регулярным образом. Кроме того, спектры АФ стремятся к нулю на бесконечности значительно быстрее функции sinc (x), что позволяет ограничиться сравнительно небольшим числом членов интерполяционного ряда. На примере

224

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

АФ ha (x) рассмотрим вопросы сходимости этого ряда и установим класс функций, допускающих разложение в такой ряд. Функции ha (x) (a > 1) являются финитными решениями ФДУ

a2 [y(ax + 1) − y(ax − 1)] . (П.3.2) 2 Функция ha (x) при a = 2 тождественно равна АФ up(x). Перечислим основные свойства ha (x): 1) ha (x) = 0 при x  (a − 1)−1 . a−2 2) ha (x) = a/2 при x  , a  2. a(a − 1) 3) Преобразование Фурье ha (x) имеет вид ∞ ( p Fa (p) = sinc k (П.3.3) a k=1 y  (x) =

и обращается в нуль в точках aπn, n = 0. Если p невелико, на практике достаточно ограничиться небольшим числом членов произведения (П.3.3), так как они быстро стремятся к единице с ростом k. С помощью (П.3.3) можно записать разложение ha (x) в ряд Фурье на интервале |x|  (a − 1)−1 :   ∞  1   ha (x) = (a − 1) + Fa (a − 1)πk cos (a − 1)πkx . 2 k=1

4) Выражение вида (П.3.3) )∞является характеристической функцией случайной величины ξ(a) = j=1 a−j ξj , где {ξj } — последовательность независимых равномерно распределенных на отрезке [−1; 1] случайных величин. Функция ha (x) представляет собой бесконечнократную свертку характеристических функций интервалов [−a−k , a−k ] и является плотностью случайной величины ξ(a), следовательно,

∞ 

ha (x) dx = 1.

−∞

Длины характеристических интервалов подчиняются закону геометрической прогрессии с основанием a−1 < 1. 5) Между моментами ha (x) и значениями производных (П.3.3) в нуле существует следующая связь: ∞  x2k ha (x) dx = (−1)k Fa(2k) (0). −∞ (2k) Fa (0)

Кроме того, = (2k)!c2k (a), где величины c2k (a) вычисляются по простым рекуррентным формулам

 (−1)k−j c2j (a) 1 , a2k − 1 (2k − 2j + 1)! k−1

c0 (a) = 1,

c2k (a) =

j=0

k = 1, 2, . . .

ТЕОРЕМА УИТТЕКЕРА–КОТЕЛЬНИКОВА–ШЕННОНА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ

225

6) При a > 2 функция ha (x) представляет собой многочлен на множестве полной меры, а на оставшемся нигде не плотном множестве меры нуль является неаналитической (ряд Тейлора либо состоит из конечного числа членов и к ha (x) не сходится, либо имеет нулевой радиус сходимости). Функции ha (x) при a > 2 являются сплайнами класса C ∞ . 7) Производные ha (x) выражаются через сдвиги-сжатия самой функции рекуррентно с помощью соотношения (П.3.2), ⎛ ⎞ 2n n n(n + 3)   −n h(n) a 2 δk ha ⎝an x + aj−1 (−1)pj (k−1) ⎠ , a (x) = 2 k=1

j=1

где δ1 = 1, δ2k = −δk , δ2k−1 = δk , k = 1, 2, . . . , а pj (k) — число, стоящее в j -м разряде двоичного разложения числа k, т. е. pj (k) = [k2j ] mod 2. Ограничимся конечным числом M членов в произведении (П.3.3) и обозначим соответствующую функцию через ha,M (x). Учитывая свойства преобразования Фурье, получим следующее рекуррентное функционально-дифференциальное соотношение:

ha,M (x) =

a2 [ha,M −1 (ax + 1) − ha,M −1 (ax − 1)] , 2

которое в пределе, при M → ∞, переходит в (П.3.2). Функции ha,M (x) называются совершенными сплайнами. Обобщенные ряды УКШ на основе АФ ha (x). Впервые использовать преобразования Фурье АФ ha (x) для интерполяции сигналов было предложено В.Ф. Кравченко и В.А. Рвачевым. Более подробно вопросы такой аппроксимации на примере простейшей АФ up(x) рассмотрены Е.Г. Зелкиным и В.Ф. Кравченко. Для интерполяции функции f (x) в точках 2πn, где n — целое, ими было предложено разложение

f (x) =

∞  k=−∞

f (2πk)

∞ (

sinc

n=1

x − 2πk . 2n

(П.3.4)

Рассмотрим ряд более общего вида:

f (x) =

∞  k=−∞

f (kΔ)Fa

 aπ Δ

 (x − kΔ) ,

(П.3.5)

где a > 1, Δ > 0. Он сходится, если функция f (x) абсолютно интегрируема на всей числовой оси, т. е. f (x) ∈ L1 (−∞, ∞). В частном случае, при a = 2, Δ = 2π , ряд (П.3.5) совпадает с рядом Зелкина–Кравченко (П.3.4). 15 М. А. Басараб и др.

226

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Теорема П.3.1 (М.А. Басараб). Пусть функция f (x) имеет финитный спектр (supp f'(p) = [−Ω; Ω]). Тогда справедливо точное разложение ∞   aπ  f (x) = f (kΔ)Fa (П.3.6) (x − kΔ) , Δ k=−∞

где Fa (x) определяется выражением (П.3.3), и выполняются условия

a > 2,

Δ

π a−2 , · Ω a−1

(П.3.7)

π , Ω

a

2 − ΔΩ/π . 1 − ΔΩ/π

(П.3.8)

или

Δ