Лекции по гауссовским процессам 978-5-8114-2025-4, 127-127-128-1

Citation preview

М. А. ЛИФШИЦ

ЛЕКЦИИ ПО ГАУССОВСКИМ ПРОЦЕССАМ Учебное пособие

САНКТПЕТЕРБУРГ•МОСКВА•КРАСНОДАР 2016

ББК 22.171я73 Л 64 Л 64

Лифшиц М. А. Лекции по гауссовским процессам: Учебное пособие. — СПб.: Издательство «Лань», 2016. — 192 c. — (Учебники для вузов. Специальная литература). ISBN 9785811420254 Цель этих лекций — представить быстрое и содержательное изложение ключевых аспектов теории гауссовских процессов, которые читателю необходимо понять и освоить для творческого овладения материалов. В первых главах рассматриваются основ5 ные понятия классической теории гауссовских процессов и мер. Ключевыми понятиями здесь являются ядро меры, интегральное представление процесса, изопериметрическое неравенство, прин5 цип больших уклонений. Далее в лекциях отражён прогресс, достигнутый за последнее десятилетие и ещё недостаточно осве5 щённый в литературе. Сюда можно отнести оценки вероятностей малых уклонений, разложения гауссовских векторов и задачи их бесконечномерного квантования. Книга предназначена для студентов и аспирантов, обучаю5 щихся по направлениям «Математика» и «Прикладная матема5 тика», специализирующихся в области теории вероятностей, математической статистики, функционального анализа. ББК 22.171я73

Рецензент И. А. ИБРАГИМОВ — академик РАН, зав. лабораторией статистических методов ПОМИ РАН; Я. Ю. НИКИТИН — доктор физико5математических наук, профессор, зав. кафедрой теории вероятностей и математической статистики математико5механического факультета СПбГУ.

Обложка © Издательство «Лань», 2016 Е. А. ВЛАСОВА © М. А. Лифшиц, 2016 © Издательство «Лань», художественное оформление, 2016

Îãëàâëåíèå Ïðåäèñëîâèå 1 Ãàóññîâñêèå âåêòîðû è ðàñïðåäåëåíèÿ 1.1 1.2 1.3

6 8

Îäíîìåðíûå îáúåêòû . . . . . . . . . . . . . . . 8 Ìíîãîìåðíûå îáúåêòû . . . . . . . . . . . . . . 10 Ãàóññîâñêèå îáúåêòû â ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâàõ 13

2 Ïðèìåðû ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ 3 Ãàóññîâñêèé áåëûé øóì

17 28

4 Èçìåðèìûå ôóíêöèîíàëû è ÿäðî

41

5 Òåîðåìà ÊàìåðîíàÌàðòèíà 6 Èçîïåðèìåòðè÷åñêèå íåðàâåíñòâà

57 64

3.1 3.2 4.1 4.2 4.3

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

Îïðåäåëåíèå áåëîãî øóìà è èíòåãðàëà ïî íåìó Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ . . . . . . . . . . Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . Òåîðåìà î ôàêòîðèçàöèè . . . . . . . . . . . . . Àëüòåðíàòèâíûå ïîäõîäû ê îïðåäåëåíèþ ÿäðà

Åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî . . . . . . . . Åâêëèäîâà ñôåðà . . . . . . . . . . . . Êîíñòðóêöèÿ Ïóàíêàðå . . . . . . . . . Åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî ñ ãàóññîâñêîé Îáùèé ñëó÷àé . . . . . . . . . . . . . . Ïðèíöèï êîíöåíòðàöèè . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . ìåðîé . . . . . . . .

. . . . . .

28 30

41 46 54

64 66 67 68 71 71

Îãëàâëåíèå

4

7 Âûïóêëîñòü ìåð è äðóãèå íåðàâåíñòâà 7.1 7.2 7.3 7.4

Âûïóêëîñòü ìåð . . . . . . . . . Ðàñòÿæåíèÿ . . . . . . . . . . . . Êîððåëÿöèîííàÿ ãèïîòåçà . . . Ýêñòðåìàëüíîå èçìåíåíèå ìåðû

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ïðè ñäâèãàõ

. . . .

8 Ïðèíöèï áîëüøèõ óêëîíåíèé 8.1 8.2 8.3

Îáùèé ïðèíöèï áîëüøèõ óêëîíåíèé . . . . . . Ãàóññîâñêèé ïðèíöèï áîëüøèõ óêëîíåíèé . . . Ñëåäñòâèÿ ïðèíöèïà áîëüøèõ óêëîíåíèé . . .

75 75 79 81 85

88 88 91 93

9 Ôóíêöèîíàëüíûé çàêîí ïîâòîðíîãî ëîãàðèôìà 97 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5

Êëàññè÷åñêèé ÇÏË . . . . . . . . . Ôóíêöèîíàëüíûé ÇÏË . . . . . . . Íåêîòîðûå óòî÷íåíèÿ è îáîáùåíèÿ Ñèëüíûé ïðèíöèï èíâàðèàíòíîñòè ÔÇÏË äëÿ ñëó÷àéíîãî áëóæäàíèÿ

. . . . . . . . . . ÔÇÏË . . . . . . . . . . .

. . . . .

. 97 . 98 . 108 . 111 . 112

10 Ìåòðè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ è ñâîéñòâà òðàåêòîðèé 115 10.1 10.2 10.3 10.4

Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ . . . . . . Âåðõíèå îöåíêè . . . . . . . . . . Íèæíèå îöåíêè . . . . . . . . . . GB -ìíîæåñòâà è GC -ìíîæåñòâà .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

Îïðåäåëåíèÿ è ïåðâûå ïðèìåðû . . . . . Ìàðêîâñêèé ñëó÷àé . . . . . . . . . . . . Ïðÿìîé ýíòðîïèéíûé ìåòîä . . . . . . . Äâîéñòâåííûé ýíòðîïèéíûé ìåòîä . . . Äâîéñòâåííîñòü ìåòðè÷åñêèõ ýíòðîïèé . Ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî . . . . . . . . Äðóãèå ðåçóëüòàòû . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

11 Ìàëûå óêëîíåíèÿ 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7

12 Ðàçëîæåíèÿ ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5

. . . .

. . . .

. . . .

115 117 122 125

127 127 128 130 137 142 144 145

148

Ïîñòàíîâêà çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Ðÿäû èç íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ . . 149 Ïîñòðîåíèå âåêòîðà ñ çàäàííûì ðàñïðåäåëåíèåì 153 Ðàçëîæåíèå çàäàííîãî âåêòîðà . . . . . . . . . 154 Ïðèìåðû ðàçëîæåíèé: âèíåðîâñêèé ïðîöåññ . . 155

Îãëàâëåíèå 12.6 Ëèíåéíûå îïåðàòîðû è ðàçëîæåíèÿ

5 . . . . . . 160

13 Êâàíòîâàíèå ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ

162

14 ×òî ÷èòàòü äàëüøå

168

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

170

Ëèòåðàòóðà

174

13.1 Ïîñòàíîâêà çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . 162 13.2 Êâàíòîâàíèå è ìàëûå óêëîíåíèÿ . . . . . . . . 163

Ïðåäèñëîâèå Ãàóññîâñêèå ïðîöåññû ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê äàëåêî èäóùåå áåñêîíå÷íîìåðíîå îáîáùåíèå êëàññè÷åñêèõ íîðìàëüíî ðàñïðåäåë¼ííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ èì òåîðèÿ ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç íàèáîëåå ïðîäâèíóòûõ îáëàñòåé âåðîÿòíîñòíîé íàóêè è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìîùíûé ñïåêòð èíñòðóìåíòîâ âåðîÿòíîñòíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ â ðàçëè÷íûõ òåîðåòè÷åñêèõ è ïðèêëàäíûõ ñôåðàõ, òàêèõ êàê ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà, ïðîãíîçèðîâàíèå, ôèíàíñû, ïåðåäà÷à èíôîðìàöèè, ìàøèííîå îáó÷åíèå, è ìíîãèõ äðóãèõ. Öåëü ýòèõ ëåêöèé - ïðåäñòàâèòü êîìïàêòíîå è ñîäåðæàòåëüíîå èçëîæåíèå êëþ÷åâûõ àñïåêòîâ òåîðèè ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ, êîòîðûå ÷èòàòåëþ íåîáõîäèìî ïîíÿòü è îñâîèòü äëÿ òâîð÷åñêîãî îâëàäåíèÿ ìàòåðèàëîì. Êíèãà ïðåäíàçíà÷åíà ïðåæäå âñåãî äëÿ ñòóäåíòîâ ñòàðøèõ êóðñîâ, àñïèðàíòîâ è íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ, çàíèìàþùèõñÿ òåîðåòè÷åñêîé èëè ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêîé.  ïåðâûõ ãëàâàõ ðàññìàòðèâàþòñÿ îñíîâíûå ïîíÿòèÿ êëàññè÷åñêîé òåîðèè ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ è ìåð. Êëþ÷åâûìè ïîíÿòèÿìè çäåñü ÿâëÿþòñÿ ãàóññîâñêàÿ ìåðà, å¼ ÿäðî, èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ïðîöåññà, èçîïåðèìåòðè÷åñêîå íåðàâåíñòâî, ïðèíöèï áîëüøèõ óêëîíåíèé. Âñå îíè ïîÿñíåíû è ïðîèëëþñòðèðîâàíû ìíîãî÷èñëåííûìè òùàòåëüíî ïîäîáðàííûìè ïðèìåðàìè. Ýòà ÷àñòü â îñíîâíîì ñëåäóåò ìîíîãðàôèè àâòîðà ”Ãàóññîâñêèå cëó÷àéíûå ôóíêöèè“ [19], íî ñòèëü èçëîæåíèÿ ñîâñåì èíîé. Ïîñêîëüêó êðàòêîñòü - ïðèîðèòåò äëÿ öåëåé èçó÷åíèÿ è îáó÷åíèÿ, íåêîòîðûå òåõíè÷åñêèå äåòàëè è äîêàçàòåëüñòâà îïóùåíû, òàê ÷òî ïðèíÿòûé ïîäõîä íåñêîëü-

Ïðåäèñëîâèå

7

êî ìåíåå ôîðìàëåí, ÷åì ýòî ïðèíÿòî â ó÷åáíèêàõ. Ðàçóìååòñÿ, â êíèãå îòðàæ¼í ïðîãðåññ, äîñòèãíóòûé â îáëàñòè ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ çà ïîñëåäíåå äåñÿòèëåòèå. Ñþäà ìîæíî îòíåñòè íåðàâåíñòâà, ñâÿçàííûå ñ êîððåëÿöèîííîé ãèïîòåçîé è äðóãèìè ýêñòðåìàëüíûìè çàäà÷àìè, ýíòðîïèéíûé ïîäõîä ê îöåíêàì âåðîÿòíîñòåé ìàëûõ óêëîíåíèé, ðàçëîæåíèÿ ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ, ñâÿçè ñ òåîðèåé ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ, çàäà÷è áåñêîíå÷íîìåðíîãî êâàíòîâàíèÿ (äèñêðåòèçàöèè) ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Ñòîëü êðàòêèé òåêñò íèêîèì îáðàçîì íå ïðåòåíäóåò íà òî, ÷òîáû äàòü ïîëíûé îáçîð îãðîìíîãî ïîëÿ íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé òåîðåòè÷åñêîãî è ïðèêëàäíîãî õàðàêòåðà, êàêèì ÿâëÿåòñÿ ñîâðåìåííàÿ òåîðèÿ ãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Íåêîòîðûå óêàçàíèÿ äëÿ äàëüíåéøåãî îçíàêîìëåíèÿ äàíû â ãëàâå ×òî ÷èòàòü äàëüøå“ . ”  óíèâåðñèòåòñêîé ñðåäå ýòè ëåêöèè ìîæíî ïîëîæèòü â îñíîâó ñåìåñòðîâîãî êóðñà äëÿ àñïèðàíòîâ è ñòàðøåêóðñíèêîâ. Çà ïîñëåäíèå ãîäû òàêèå êóðñû àâòîðó äîâåëîñü ÷èòàòü â Ðîññèè (Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò), Ãåðìàíèè (Òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò Äàðìøòàäòà), ÑØÀ (Òåõíîëîãè÷åñêèé èíñòèòóò Äæîðäæèè), Ôèíëÿíäèè (Òåõíîëîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåò Õåëüñèíêè), Ôðàíöèè (Óíèâåðñèòåò Ëèëëü-I) è Øâåöèè (Óíèâåðñèòåò Ëèí÷¼ïèíãà). Àâòîð ïðèçíàòåëåí ïåðå÷èñëåííûì ó÷åáíûì çàâåäåíèÿì çà âîçìîæíîñòü ïðåïîäàâàòü ëþáèìûé ïðåäìåò â èõ ñòåíàõ.

Ãëàâà 1

Ãàóññîâñêèå âåêòîðû è ðàñïðåäåëåíèÿ Ãàóññîâñêèå âåêòîðû è ãàóññîâñêèå ðàñïðåäåëåíèÿ â áåñêîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ ïîÿâèëèñü â ñâÿçè ñ íåîáõîäèìîñòüþ èíòåðïðåòàöèè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ â ðàìêàõ òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Ïî ñâîåé ïðîñòîòå, âàæíîñòè è ïðîäâèíóòîñòè ðåçóëüòàòîâ òåîðèÿ ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ çàíèìàåò åäâà ëè íå âåäóùåå ìåñòî âî âñåé òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ.

1.1 Îäíîìåðíûå îáúåêòû Âåùåñòâåííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåíà ñî ñðåäíèì a ∈ R è äèñïåðñèåé σ 2 > 0, åñëè å¼ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ìåðå Ëåáåãà èìååò âèä p(x) = √

1 exp 2πσ



−(x − a)2 2σ 2

 .

Ýòî ðàñïðåäåëåíèå ìû áóäåì îáîçíà÷àòü N (a, σ2 ) è ïèñàòü X ∼ N (a, σ 2 ). Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ íóëåâîé äèñïåðñèåé N (a, 0)  ýòî ðàñïðåäåëåíèå, ñîñðåäîòî÷åííîå â òî÷êå a.

1.1. Îäíîìåðíûå îáúåêòû

9

Åñëè X ∼ N (a, σ 2 ), òî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ è ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà âåëè÷èíû X çàïèñûâàþòñÿ â âèäå

 σ 2 t2 , exp iat − 2   σ 2 t2 . exp at + 2 

Ee

itX

=

EetX

=

Èç ôîðìóëû äëÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè ñëåäóåò ñâîéñòâî óñòîé÷èâîñòè: åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 ∼ N (a1 , σ12 ) è X2 ∼ N (a2 , σ22 ) íåçàâèñèìû, òî X1 +X2 ∼ N (a1 +a2 , σ12 +σ22 ). Ñåìåéñòâî íîðìàëüíûõ âåëè÷èí è ðàñïðåäåëåíèé òàêæå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé: åñëè X ∼ N (a, σ 2 ), òî

cX + d ∼ N (d + ca, c2 σ 2 ). Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ íîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñîâïàäàþò ñ ïàðàìåòðàìè å¼ ðàñïðåäåëåíèÿ: EX = a, DX = σ 2 . Ñðåäè íîðìàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé âûäåëÿþò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå N (0, 1), à åãî ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ îáîçíà÷àþò Φ(r). Èíûìè ñëîâàìè,

1 Φ(r) = √ 2π





r −∞

exp

−x2 2

 dx.

Îòìåòèì áûñòðîå óáûâàíèå õâîñòîâ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè:  2 1 −r Φ(−r) = 1 − Φ(r) ∼ √ ïðè r → ∞. exp 2 2πr Èç âåëè÷èíû X ñî ñòàíäàðòíûì íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì ïðåîáðàçîâàíèåì X → Y = σX + a ìîæíî ïîëó÷èòü âåëè÷èíó ñ ïðîèçâîëüíûì íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì N (a, σ 2 ).

10

Ãëàâà 1. Ãàóññîâñêèå âåêòîðû è ðàñïðåäåëåíèÿ

1.2 Ìíîãîìåðíûå îáúåêòû Ñëó÷àéíûé âåêòîð X = (Xj )nj=1 ∈ Rn íàçûâàåòñÿ ñòàíäàðòíûì ãàóññîâñêèì , åñëè åãî êîìïîíåíòû íåçàâèñèìû è èìåþò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ðàñïðåäåëåíèå X èìååò ïëîòíîñòü   1 −(x, x) p(x) = , x ∈ Rn . exp 2 (2π)n/2 Ìû ìîæåì äàòü äâà ýêâèâàëåíòíûõ îïðåäåëåíèÿ ãàóññîâñêîãî âåêòîðà îáùåãî âèäà â Rn .

Îïðåäåëåíèå 1.1

Ñëó÷àéíûé âåêòîð Y ∈ Rn íàçûâàåòñÿ ãàóññîâñêèì, åñëè îí ìîæåò áûòü çàïèñàí êàê Y = a + LX , ãäå X  ñòàíäàðòíûé ãàóññîâñêèé ñëó÷àéíûé âåêòîð, a ∈ Rn , è L : Rn → Rn  ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå.

Îïðåäåëåíèå 1.2

Ñëó÷àéíûé âåêòîð Y ∈ Rn íàçûâàåòñÿ ãàóññîâñêèì, åñëè (v, Y ) ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé ïðè âñåõ v ∈ Rn .

Èç îïðåäåëåíèÿ 1.1 ëåãêî ñëåäóåò îïðåäåëåíèå 1.2. Äåéñòâèòåëüíî,

(a + LX, y) = (a, y) + (X, L∗ y) = (a, y) +

n 

(L∗ y)j Xj

j=1

èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå â ñèëó óñòîé÷èâîñòè.  ìíîãîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå íå èìååò ñìûñëà äàâàòü îïðåäåëåíèå ãàóññîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÷åðåç ïëîòíîñòü, òàê êàê âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ (òåõ, ãäå îïåðàòîð L âûðîæäåí, ò.å. åãî îáðàç íå ñîâïàäàåò ñî âñåì ïðîñòðàíñòâîì Rn ) å¼ ïðîñòî íå ñóùåñòâóåò. Ìû áóäåì ïðèäåðæèâàòüñÿ îïðåäåëåíèÿ 1.2 êàê áîëåå óäîáíîãî äëÿ äàëüíåéøèõ îáîáùåíèé: â áîëüøèíñòâå èíòåðåñíûõ ïðîñòðàíñòâ ñòàíäàðòíîãî ãàóññîâñêîãî âåêòîðà X , íåîáõîäèìîãî â îïðåäåëåíèè 1.1, ïðîñòî íå ñóùåñòâóåò. Ïîäîáíî çàïèñè N (a, σ 2 ) â îäíîìåðíîì ñëó÷àå, ñåìåéñòâî n-ìåðíûõ ãàóññîâñêèõ ðàñïðåäåëåíèé òàêæå äîïóñêàåò ðàçóìíóþ ïàðàìåòðèçàöèþ. Íàïîìíèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà Z = (Zj ) ∈ Rn ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå

1.2. Ìíîãîìåðíûå îáúåêòû

11

ìîæåò ïîíèìàòüñÿ ïîêîîðäèíàòíî, ò.å. EZ = (EZj ), à êîâàðèàöèîííûé îïåðàòîð KZ : Rn → Rn îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì cov((v1 , Z), (v2 , Z)) = (v1 , KZ v2 ). Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå EZ è êîâàðèàöèîííûé îïåðàòîð KZ çàâåäîìî ñóùåñòâóþò, åñëè âñå êîîðäèíàòû âåêòîðà Z èìåþò êîíå÷íûå âòîðûå ìîìåíòû. Íà çíà÷åíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ íå íàêëàäûâàåòñÿ íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé, â òî âðåìÿ êàê êîâàðèàöèîííûé îïåðàòîð îáÿçàòåëüíî áóäåò íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåë¼ííûì è ñèììåòðè÷íûì. Èíûìè ñëîâàìè, â íåêîòîðîì îðòîíîðìàëüíîì áàçèñå (ej ) îí èìååò äèàãîíàëüíóþ ôîðìó KZ ej = λj ej , ïðè÷¼ì λj ≥ 0. Ìû ïèøåì Y ∼ N (a, K), åñëè Y  ãàóññîâñêèé âåêòîð ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì a è êîâàðèàöèîííûì îïåðàòîðîì K .  ÷àñòíîñòè, äëÿ ñòàíäàðòíîãî ãàóññîâñêîãî âåêòîðà âåðíî X ∼ N (0, En ), ãäå En : Rn → Rn  òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð. Ïðåäëîæåííàÿ çàïèñü ïîðîæäàåò åñòåñòâåííûå âîïðîñû:

• Ñóùåñòâóåò ëè N (a, K) äëÿ âñåõ a ∈ Rn è âñåõ ñèììåòðè÷íûõ íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåë¼ííûõ îïåðàòîðîâ K ? • Åäèíñòâåííî ëè ðàñïðåäåëåíèå N (a, K) ? • Âñå ëè ðàñïðåäåëåíèÿ ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ èìåþò ôîðìó N (a, K) ? Äàäèì ïîëîæèòåëüíûå îòâåòû íà âñå ýòè âîïðîñû. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü a ∈ Rn , à K  ñèììåòðè÷íûé íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåë¼ííûé îïåðàòîð. Ïðèâåä¼ì K ê äèàãîíàëüíîìó âèäó (ñì. âûøå) è îïðåäåëèì îïåðàòîð L = K 1/2 ñîîòíî1/2 øåíèÿìè Lej = λj ej . Ðàññìîòðèì âåêòîð Y = a + LX . Ìû óæå âèäåëè, ÷òî îí ãàóññîâñêèé. Ëåãêî òàêæå ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî îí èìååò ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå a è êîâàðèàöèîííûé îïåðàòîð K . Åäèíñòâåííîñòü N (a, K) ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ïàðà (a, K) îïðåäåëÿåò ðàñïðåäåëåíèå (v, Y ) êàê N ((v, a), (v, Kv)), îòêóäà ïî òåîðåìå ÊðàìåðàÂîëüäà îäíîçíà÷íî âîññòàíàâëèâàåò-

12

Ãëàâà 1. Ãàóññîâñêèå âåêòîðû è ðàñïðåäåëåíèÿ

ñÿ è âñ¼ ðàñïðåäåëåíèå âåêòîðà. Çàîäíî îïðåäåëÿåòñÿ è õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ   (v, Kv) i(v,Y ) . Ee = exp i(v, a) − 2 Íàêîíåö, âñå êîìïîíåíòû ãàóññîâñêîãî âåêòîðà áóäó÷è íîðìàëüíûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè èìåþò âòîðûå ìîìåíòû. Ïîýòîìó êàæäûé ãàóññîâñêèé âåêòîð èìååò ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è êîâàðèàöèîííûé îïåðàòîð, ò.å. ëþáîå ãàóññîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå N (a, K).

Óïðàæíåíèå 1.1

Ïóñòü ñëó÷àéíûé âåêòîð Y óäîâëåòâîðÿåò îïðåäåëåíèþ 1.2. Äîêàæèòå, ÷òî îí óäîâëåòâîðÿåò è îïðåäåëåíèþ 1.1.

Óïðàæíåíèå 1.2

Ïóñòü âñå êîîðäèíàòû ñëó÷àéíîãî âåêòîðà Y  íîðìàëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Ñëåäóåò ëè îòñþäà, ÷òî âåêòîð Y  ãàóññîâñêèé? Êàê è â îäíîìåðíîì ñëó÷àå, ãàóññîâîñòü ñîõðàíÿåòñÿ ïðè ñóììèðîâàíèè íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ (ñâîéñòâî óñòîé÷èâîñòè) è ïðè ëèíåéíîì ïðåîáðàçîâàíèè. Åñëè X1 ∼ N (a1 , K1 ) è X2 ∼ N (a2 , K2 ) íåçàâèñèìû, òî X1 +X2 ∼ N (a1 +a2 , K1 +K2 ). Åñëè L : Rn → Rn  ëèíåéíûé îïåðàòîð, âåêòîð h ∈ Rn , è X ∼ N (a, K), òî

LX + h ∼ N (h + La, LKL∗ ).

Ðàñïðåäåëåíèå íîðìû ãàóññîâñêîãî âåêòîðà Ïóñòü X = (Xj )nj=1 ∈ Rn ñòàíäàðòíûé ãàóññîâñêèé âåêòîð. Èç ôîðìóëû äëÿ åãî ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî  R P{||X|| ≤ R} = c rn−1 exp{−r2 /2}dr, 0

ñ íîðìèðîâêîé c = 2

1−n/2

Γ(n/2)−1 . Ìû òàêæå çíàåì, ÷òî

E||X||2 =

n  j=1

EXj2 = n.

1.3. Ãàóññîâñêèå îáúåêòû â ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâàõ

13

Áîëåå òîãî, îñíîâíàÿ ìàññà ñòàíäàðòíîãî ãàóññîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè áîëüøèõ n ëåæèò â ïîëîñå øèðèíû ïîðÿäêà √ êîíñòàíòû âîêðóã çíà÷åíèÿ n. Äåéñòâèòåëüíî, ê ñóììå

||X||2 =

n 

Xj2

j=1

ìîæíî ïðèìåíÿòü çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë è öåíòðàëüíóþ ïðåäåëüíóþ òåîðåìó, òàê ÷òî

1 2 X ⇒ 1, n j=1 j n

||X|| îòêóäà √ ⇒ 1. n

Áîëåå òîãî, äëÿ ïîëîñêè øèðèíû r

  √  P  ||X|| − n ≤ r  √

n √ 2 ( n + r)2 − n ( n − r)2 − n j=1 Xj − n √ √ √ ≤ ≤ = P n n n ⎛ ⎞ √  2r ⎠ − 1 = 2Φ → 2Φ ⎝  2 r − 1. D(Xj2 ) Ïðîäåëàííûå âûêëàäêè ïîêàçûâàþò, ÷òî â ïðîñòðàíñòâàõ áîëüøîé ðàçìåðíîñòè ñòàíäàðòíîå ãàóññîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå íàïîìèíàåò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà ñôåðå ñîîòâåòñòâóþùåãî ðàäèóñà.

1.3 Ãàóññîâñêèå îáúåêòû â ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâàõ Ïóñòü X  ëèíåéíîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (äîïîëíèòåëüíûå ñâîéñòâà êîòîðîãî áóäóò óòî÷íåíû íèæå). Îáîçíà÷èì X ∗ ïðîñòðàíñòâî ëèíåéíûõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèîíàëîâ íà X . Äâîéñòâåííîñòü ìåæäó ïðîñòðàíñòâàìè X è X ∗ , ò.å. çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà f ∈ X ∗ íà ýëåìåíòå x ∈ X , ìû áóäåì

14

Ãëàâà 1. Ãàóññîâñêèå âåêòîðû è ðàñïðåäåëåíèÿ

îáîçíà÷àòü (f, x), âìåñòî áîëåå òðàäèöèîííîãî f (x). Ñëó÷àéíûé âåêòîð X ñî çíà÷åíèÿìè â X ýòî èçìåðèìîå îòîáðàæåíèå X : (Ω, F, P) → X . Ïðè ýòîì σ -àëãåáðà, êîòîðàÿ ðàññìàòðèâàåòñÿ â X , äîëæíà áûòü äîñòàòî÷íî áîëüøîé, ÷òîáû îòíîñèòåëüíî íå¼ áûëè èçìåðèìû âñå ëèíåéíûå íåïðåðûâíûå ôóíêöèîíàëû. Âïîëíå àíàëîãè÷íî êîíå÷íîìåðíîìó ñëó÷àþ îïðåäåëÿþòñÿ ãàóññîâñêèå âåêòîðû, èõ ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è êîâàðèàöèîííûå îïåðàòîðû. Ñëó÷àéíûé âåêòîð X ∈ X íàçûâàåòñÿ ãàóññîâñêèì, åñëè (f, X) ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé ïðè âñåõ f ∈ X ∗. Âåêòîð a ∈ X íàçûâàåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ñëó÷àéíîãî âåêòîðà X ∈ X , åñëè E(f, X) = (f, a) ïðè âñåõ f ∈ X ∗ . Ìû ïèøåì â ýòîì ñëó÷àå a = EX . Ëèíåéíûé îïåðàòîð K : X ∗ → X íàçûâàåòñÿ êîâàðèàöèîííûì îïåðàòîðîì âåêòîðà X ∈ X , åñëè cov((f1 , X), (f2 , X)) = (f1 , Kf2 ) ïðè âñåõ f1 , f2 ∈ X ∗ . Ìû ïèøåì â ýòîì ñëó÷àå K = cov(X). Êîâàðèàöèîííûé îïåðàòîð íåîáõîäèìî áóäåò ñèììåòðè÷íûì, ò.å.

(f, Kg) = (g, Kf ),

∀f, g ∈ X ∗ ,

è íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåë¼ííûì, ò.å.

(f, Kf ) ≥ 0,

∀f ∈ X ∗ .

Êàê ÿñíî èç îïðåäåëåíèÿ ãàóññîâñêîãî âåêòîðà, îíî èìååò ñìûñë òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà çàïàñ íåïðåðûâíûõ ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ íà X äîñòàòî÷íî áîãàò. Åñëè, íàïðèìåð, X ∗ = {0}, òî òàêîìó îïðåäåëåíèþ óäîâëåòâîðÿåò ëþáîé ñëó÷àéíûé âåêòîð, ÷òî äåëàåò ïîíÿòèå ãàóññîâîñòè áåññìûñëåííûì. Îáû÷íî ðàññìàòðèâàåòñÿ êàêàÿ-òî èç òðåõ íèæåñëåäóþùèõ ñèòóàöèé âîçðàñòàþùåé ñòåïåíè îáùíîñòè: (1) X  ñåïàðàáåëüíîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, íàïðèìåð, C[0, 1], Lp [0, 1] è ò.ï. (2) X  ïîëíîå ñåïàðàáåëüíîå ëîêàëüíî âûïóêëîå ìåòðèçóåìîå ëèíåéíîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, íàïðèìåð, C[0, ∞), R∞ , è ò.ï.

1.3. Ãàóññîâñêèå îáúåêòû â ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâàõ

15

(3) X  ëîêàëüíî âûïóêëîå ëèíåéíîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, à âåêòîð X òàêîâ, ÷òî åãî ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ ðàäîíîâîé ìåðîé.  ïåðâûõ äâóõ ñëó÷àÿõ ëþáàÿ ìåðà ÿâëÿåòñÿ ðàäîíîâîé, òàê ÷òî ñëó÷àé (3) ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå îáùèì èç ïåðå÷èñëåííûõ.  äàëüíåéøåì íà ïðîòÿæåíèè âñåãî êóðñà ìû ìîë÷àëèâî ïðåäïîëàãàåì, ÷òî âûïîëíåíî îäíî èç ýòèõ óñëîâèé (ò.å. êàê ìèíèìóì  óñëîâèå (3)), è íàçûâàåì èõ îáû÷íûìè óñëîâèÿìè . Êàê è â êîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå, ìû ïèøåì, ÷òî âåêòîð X èìååò ðàñïðåäåëåíèå N (a, K), åñëè X  ãàóññîâñêèé âåêòîð ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì a è êîâàðèàöèîííûì îïåðàòîðîì K . Ñíîâà âîçíèêàþò âñ¼ òå æå òðè âîïðîñà:

• Ñóùåñòâóåò ëè N (a, K) äëÿ âñåõ a ∈ X è âñåõ ñèììåòðè÷íûõ íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåë¼ííûõ îïåðàòîðîâ K : X ∗ → X ? • Åäèíñòâåííî ëè ðàñïðåäåëåíèå N (a, K) ? • Âñå ëè ðàñïðåäåëåíèÿ ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ èìåþò ôîðìó N (a, K) ? Îòâåòû íà ýòè âîïðîñû íåñêîëüêî îòëè÷íû îò ïðèâåä¼ííûõ â ïðåäûäóùåì ïóíêòå. ×òî êàñàåòñÿ ïåðâîãî âîïðîñà, òî ñóùåñòâîâàíèå N (a, K) çàâèñèò òîëüêî îò K . Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ñëó÷àéíûé âåêòîð X èìååò ðàñïðåäåëåíèå N (a1 , K), òî âåêòîð X + a2 − a1 èìååò ðàñïðåäåëåíèå N (a2 , K). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñëåäóþùåå óïðàæíåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå äàëåêî íå âñÿêîìó ñèììåòðè÷íîìó íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåë¼ííîìó îïåðàòîðó K ñîîòâåòñòâóåò ðàñïðåäåëåíèå N (0, K).

Óïðàæíåíèå 1.3

Ïóñòü X  áåñêîíå÷íîìåðíîå ñåïàðàáåëüíîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî. Òîãäà X ∗ = X è òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð E : X → X ñèììåòðè÷åí è íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåë¼í. Äîêàæèòå, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå N (0, E) íå ñóùåñòâóåò. Ïîäñêàçêà: åñëè áû èìåëñÿ ñëó÷àéíûé âåêòîð X ñ

16

Ãëàâà 1. Ãàóññîâñêèå âåêòîðû è ðàñïðåäåëåíèÿ

ðàñïðåäåëåíèåì N (0, E), òî áûëî áû âåðíî àáñóðäíîå ðàâåíñòâî P(||X||2 = ∞) = 1. Ïîèñê êðèòåðèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ N (0, K) ÿâëÿåòñÿ ãëóáîêî íåòðèâèàëüíîé ïðîáëåìîé, à å¼ ðåøåíèå çàâèñèò îò ïðîñòðàíñòâà X . Çäåñü ýòîò âîïðîñ óìûøëåííî íå çàòðàãèâàåòñÿ (çà èñêëþ÷åíèåì ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ), òàê êàê ìû áîëüøå çàèíòåðåñîâàíû â èññëåäîâàíèè ñâîéñòâ çàâåäîìî ñóùåñòâóþùèõ îáúåêòîâ. Çàòî íà ïîñëåäíèå äâà âîïðîñà ïðè îáû÷íûõ óñëîâèÿõ ìû ìîæåì îòâåòèòü ïîëîæèòåëüíî. À èìåííî, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è êîâàðèàöèîííûé îïåðàòîð ñóùåñòâóþò ó ëþáîãî ãàóññîâñêîãî âåêòîðà (ñì. [19]). Ïîýòîìó åãî ðàñïðåäåëåíèå ïðèíàäëåæèò ñåìåéñòâó {N (a, K)}. Äàëåå, ïàðà (a, K) îïðåäåëÿåò ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èíû (f, X) êàê N ((f, a), (f, Kf )), îòêóäà îäíîçíà÷íî âîññòàíàâëèâàåòñÿ å¼ õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ   (f, Kf ) i(f,X) Ee . = exp i(f, a) − 2 Ðàäîíîâî ðàñïðåäåëåíèå â X âîññòàíàâëèâàåòñÿ ïî ñâîåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè îäíîçíà÷íî, ïîýòîìó ðàñïðåäåëåíèå N (a, K) åäèíñòâåííî.

Ãëàâà 2

Ïðèìåðû ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ Ïðèìåð 2.1 (Ñòàíäàðòíàÿ ãàóññîâñêàÿ ìåðà â

R∞ ). Ðàñïîñëåäîâàòåëüíîñòåé R∞ ñ òî-

ñìîòðèì ïðîñòðàíñòâî âñåõ ïîëîãèåé ïîêîîðäèíàòíîé ñõîäèìîñòè. Îíî ïðåâðàùàåòñÿ â ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ñåïàðàáåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ââåäåíèåì ïîäõîäÿùåé ìåòðèêè. Íàïðèìåð, â êà÷åñòâå òàêîé ìåòðèêè ìîæíî âçÿòü ρ(x, y) =

∞ 

2−j min{|xj − yj |, 1}.

j=1

Òàêèì îáðàçîì íàøè ”îáû÷íûå óñëîâèÿ“ âûïîëíåíû. Íàïîìíèì, ÷òî ñîïðÿæ¼ííîå ïðîñòðàíñòâî X ∗ = c0 - ïðîñòðàíñòâî âñåõ ôèíèòíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, à äâîéñòâåííîñòü èìååò âèä (f, x) =

∞ 

f j xj ,

j=1

ïðè÷¼ì çäåñü ñóììà íà ñàìîì äåëå êîíå÷íà.  êà÷åñòâå âåêòîðà X ∈ X âîçüì¼ì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ N (0, 1)ðàñïðåäåë¼ííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Òîãäà â ñèëó óñòîé÷èâî-

Ãëàâà 2. Ïðèìåðû ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ

18

ñòè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ëþáîãî f ∈ X ∗ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò ðàñïðåäåëåíèå N (0, σ 2 ) ñ äèñïåð ∞(f, X) 2 2 ñèåé σ = j=1 fj . Òàêèì îáðàçîì, âåêòîð X  ãàóññîâñêèé. Î÷åâèäíî, ÷òî EX = 0. Êîâàðèàöèîííûì îïåðàòîðîì äëÿ X áóäåò îïåðàòîð âëîæåíèÿ K : c0 → R∞ . Äåéñòâèòåëüíî,

cov((f, X)(g, X))

= =

E(f, X)(g, X) ⎞⎛ ⎞ ⎛ ∞ ∞   fj Xj ⎠ ⎝ g j Xj ⎠ E⎝ j=1

= =

∞  ∞ 

j=1

fj1 gj2 E (Xj1 Xj2 )

j1 =1 j2 =1 ∞ 

fj gj = (f, Kg).

j=1

Ðàñïðåäåëåíèå âåêòîðà X ìû áóäåì íàçûâàòü ñòàíäàðòíîé ãàóññîâñêîé ìåðîé â R∞ .

Ïðèìåð 2.2 (Ãàóññîâñêèå âåêòîðû â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàí-

ñòâå.) Ïóñòü X  ñåïàðàáåëüíîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (·, ·). Òîãäà X ∗ ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ X . Îáû÷íûå óñëîâèÿ“ î÷åâèäíûì îáðàçîì âûïîëíå” íû. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãàóññîâñêîãî âåêòîðà â X íàì ïîòðåáóþòñÿ: îðòîíîðìàëüíûé áàçèñ (ej ) â X , ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ N (0, 1)-ðàñïðåäåë¼ííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ξj ) è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë (σj ), óäîâëåòâî ∞ ðÿþùàÿ óñëîâèþ j=1 σj2 < ∞. Òîãäà X ìîæíî îïðåäåëèòü ôîðìóëîé ∞  X= σj ξ j e j , (2.1) j=1

ïðè÷¼ì ðÿä áóäåò ñõîäèòüñÿ ïî÷òè íàâåðíîå ïî ãèëüáåðòîâîé íîðìå X . Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå íàçûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåì Êàðõóíåíà Ëîýâà  . 

K. Karhunen, M. Loeve.

Ãëàâà 2. Ïðèìåðû ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ Äëÿ ëþáîãî f = âåëè÷èíû

j

19

fj ej ∈ X ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé ∞ 

(f, X) =

σj f j ξ j

j=1

áóäåò ñ íóëåâûì ñðåäíèì è äèñïåðñèåé, ðàâíîé

∞ íîðìàëüíûì 2 2 j=1 σj fj . Ïîýòîìó X  ãàóññîâñêèé ñëó÷àéíûé âåêòîð è EX = 0. ×òîáû íàéòè êîâàðèàöèîííûé îïåðàòîð, âû÷èñëèì

cov((f, X)(g, X))

E(f, X)(g, X) ⎞⎛ ⎞ ⎛ ∞ ∞   = E⎝ σj f j ξ j ⎠ ⎝ σj g j ξ j ⎠

=

j=1

= =

∞ 

j=1

∞ 

fj1 σj1 gj2 σj2 E (ξj1 ξj2 ) j1 =1 j2 =1 ∞  σj2 fj gj . j=1

Òàêèì îáðàçîì,

(f, Kg) =

∞ 

σj2 fj gj .

j=1

Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà ýëåìåíòû áàçèñà, íàõîäèì, ÷òî

K : g →

∞ 

σj2 gj ej .

j=1

Èíà÷å ãîâîðÿ, K  äèàãîíàëüíûé îïåðàòîð â áàçèñå ej c ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè σj2 . Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ëþáîé ãàóññîâñêèé âåêòîð â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå äîïóñêàåò ïðåäñòàâëåíèå (2.1), ñì. [27]. Èíûìè ñëîâàìè, ãàóññîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñ êîâàðèàöèîííûì îïåðàòîðîì K ñóùåñòâóåò â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà îí èìååò â íåêîòîðîì áàçèñå äèàãîíàëüíóþ ôîðìó ñ íåîòðèöàòåëüíûìè ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè, è ñóììà ýòèõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë êîíå÷íà.

20

Ãëàâà 2. Ïðèìåðû ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ

Óïðàæíåíèå 2.1

Äîêàæèòå ñõîäèìîñòü ðÿäà (2.1), îïðåäå-

ëÿþùåãî âåêòîð X .

Äàëüíåéøèå ïðèìåðû ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ è ðàñïðåäåëåíèé ñâÿçàíû ñ ïîíÿòèåì ãàóññîâñêîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà. Íàïîìíèì, ÷òî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ X ñ ïàðàìåòðè÷åñêèì ìíîæåñòâîì T  ýòî ñåìåéñòâî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X(t, ω), t ∈ T , çàäàííûõ íà îäíîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå (Ω, F, P). Ïðîöåññ X íàçûâàåòñÿ ãàóññîâñêèì, åñëè äëÿ ëþáûõ òî÷åê t1 , . . . , tn ∈ T ðàñïðåäåëåíèå (X(t1 ), . . . , X(tn ))  ãàóññîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå â Rn . Ñâîéñòâà ãàóññîâñêîãî ïðîöåññà ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì EX(t), t ∈ T , è êîâàðèàöèåé cov(X(s), X(t)), s, t ∈ T . Åñëè T  òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, òî ãîâîðÿò, ÷òî ïðîöåññ X èìååò íåïðåðûâíûå òðàåêòîðèè, åñëè ïðè P-ïî÷òè âñåõ ω ∈ Ω ôóíêöèÿ X(·, ω) íåïðåðûâíà íà T .

Ïðèìåð 2.3

(Âèíåðîâñêèé ïðîöåññ). Ïóñòü X = C[0, 1]  áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà îòðåçêå [0, 1] c ñóïðåìóì-íîðìîé

||x|| = max |x(t)| t∈[0,1]

è ñîîòâåòñòâóþùåé òîïîëîãèåé ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè. Ñîïðÿæ¼ííûì çäåñü áóäåò ïðîñòðàíñòâî X ∗ = M[0, 1]  ïðîñòðàíñòâî çàðÿäîâ (çíàêîïåðåìåííûõ ìåð) êîíå÷íîé âàðèàöèè íà îòðåçêå [0, 1]. Äâîéñòâåííîñòü çàäà¼òñÿ ñîîòíîøåíèåì  (μ, f ) = f dμ, μ ∈ M[0, 1], f ∈ C[0, 1]. [0,1]

 êà÷åñòâå ãàóññîâñêîãî âåêòîðà âîçüì¼ì òðàåêòîðèè âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà W = W (t), 0 ≤ t ≤ 1, ò.å. ïðîöåññà, óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèÿì

EW (t) = 0,

EW (s)W (t) = min{s, t}.

Íàéä¼ì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è êîâàðèàöèîííûé îïåðàòîð âåêòîðà W . Ïîñêîëüêó   E(μ, W ) = E W dμ = EW (t)μ(dt) = 0, [0,1]

[0,1]

Ãëàâà 2. Ïðèìåðû ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ

21

òî EW = 0. Äàëåå,

E(μ, W )(ν, W )   = E W dμ W dν [0,1] [0,1]  = E W (s)W (t)μ(ds)ν(dt) [0,1]2  EW (s)W (t) μ(ds)ν(dt) = [0,1]2  = min{s, t} μ(ds)ν(dt).

cov((μ, W ), (ν, W ))

=

[0,1]2

Òàêèì îáðàçîì,

(μ, Kν) =

 [0,1]2

è ìû íàõîäèì, ÷òî

min{s, t} μ(ds)ν(dt),

 min{s, t} ν(dt).

(Kν)(s) = [0,1]

Íàïîìíèì îñíîâíûå ñâîéñòâà âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà.

• Îí ñàìîïîäîáåí ñ ïîêàçàòåëåì 1/2, ò.å. äëÿ ëþáîãî c > 0 ñëó÷àéíûé ïðîöåññ Y (t) := W√(ct) òàêæå áóäåò âèíåðîâc ñêèì; • Îí èìååò ñòàöèîíàðíûå ïðèðàùåíèÿ; • Îí èìååò íåçàâèñèìûå ïðèðàùåíèÿ; • Îí ÿâëÿåòñÿ ìàðêîâñêèì; • Îí äîïóñêàåò èíâåðñèþ âðåìåíè: ïðîöåññ Z(t) := t W ( 1t ) òàêæå áóäåò âèíåðîâñêèì. Íàêîíåö, âàæíîñòü âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà îáúÿñíÿåòñÿ åãî ôóíäàìåíòàëüíîé ðîëüþ â ñòîõàñòè÷åñêîì èñ÷èñëåíèè è ïðåäåëüíûõ òåîðåìàõ äëÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ (ïðèíöèï èíâàðèàíòíîñòè).

Ãëàâà 2. Ïðèìåðû ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ

22

Âíèìàòåëüíûé ÷èòàòåëü çàìåòèò, ÷òî íèêàêèõ ñïåöèàëüíûõ ñâîéñòâ âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà, çà èñêëþ÷åíèåì íåïðåðûâíîñòè òðàåêòîðèé, ò.å. ñâîéñòâà W ∈ C[0, 1], ïðè âû÷èñëåíèè åãî êîâàðèàöèè ìû íå èñïîëüçîâàëè. Ïîýòîìó àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ìû èìååì áîëåå îáùèé ïðèìåð.

Ïðèìåð 2.4 (Ïðîèçâîëüíûé íåïðåðûâíûé ãàóññîâñêèé ïðî-

Ïóñòü T  ïðîèçâîëüíîå êîìïàêòíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, X = C(T )  áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà T c ñóïðåìóì-íîðìîé ||x|| = maxt∈T |x(t)| è ñîîòâåòñòâóþùåé òîïîëîãèåé ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè. Ñîïðÿæ¼ííûì çäåñü áóäåò ïðîñòðàíñòâî X ∗ = M(T )  ïðîñòðàíñòâî çàðÿäîâ (çíàêîïåðåìåííûõ ìåð) êîíå÷íîé âàðèàöèè íà T . Äâîéñòâåííîñòü çàäà¼òñÿ ñîîòíîøåíèåì  (μ, f ) = f dμ, μ ∈ M(T ), f ∈ C(T ). öåññ).

T

Ïóñòü X(t), t ∈ T ,  ãàóññîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñ ïàðàìåòðè÷åñêèì ìíîæåñòâîì T , èìåþùèé ï.í. íåïðåðûâíûå òðàåêòîðèè. Îí ïîëíîñòüþ õàðàêòåðèçóåòñÿ ôóíêöèÿìè

a(t) := EX(t),

K(s, t) := cov(X(s), X(t)).

Òîãäà X ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñëó÷àéíûé ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà X , ïðè÷¼ì åãî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è êîâàðèàöèîííûé îïåðàòîð K íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëàì EX = a è  (Kν)(s) = K(s, t) ν(dt). (2.2) T

Äàëåå áóäóò ïðèâåäåíû íåñêîëüêî íàèáîëåå èíòåðåñíûõ ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ, óêëàäûâàþùèõñÿ â ýòó ñõåìó.

Ïðèìåð 2.5 (Äðîáíîå áðîóíîâñêîå äâèæåíèå ). Ïóñòü α ∈ (0, 2]. Ãàóññîâñêèé ïðîöåññ W (α) (t), t ∈ R, íàçûâàåòñÿ äðîáíûì áðîóíîâñêèì äâèæåíèåì (ÄÁÄ) ñ ïàðàìåòðîì α, åñëè EW (α) (t) = 0,

EW (α) (s)W (α) (t) =

Fractional Brownian motion.

1 (|s|α + |t|α − |s − t|α ) . 2

Ãëàâà 2. Ïðèìåðû ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ

23

Âûáîð êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè ìîæåò ïîêàçàòüñÿ ñòðàííûì, íî åñòü áîëåå åñòåñòâåííîå ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå

EW (α) (t) = 0, W (α) (0) = 0, 2    E W (α) (s) − W (α) (t) = |s − t|α .

(2.3)

Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ïðè α = 1 ïîëó÷àåòñÿ êëàññè÷åñêèé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ. Åñëè α = 2, òî ìû ïîëó÷àåì äîâîëüíî âûðîæäåííûé ïðîöåññ, â êîòîðîì òðàåêòîðèÿ ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ îäíèì çíà÷åíèåì: W (2) (t) = tW (2) (1). Íàïîìíèì îñíîâíûå ñâîéñòâà äðîáíîãî áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ, êîòîðûå ëåãêî óñìîòðåòü èç (2.3).

• Îíî ÿâëÿåòñÿ H -ñàìîïîäîáíûì ïðîöåññîì ïðè H = (α)

α 2,

òî åñòü äëÿ ëþáîãî c > 0 ïðîöåññ Y (t) := W cH(ct) òàêæå áóäåò äðîáíûì áðîóíîâñêèì äâèæåíèåì ñ ïàðàìåòðîì α;

• Îíî èìååò ñòàöèîíàðíûå ïðèðàùåíèÿ; • Åãî ïðèðàùåíèÿ çàâèñèìû (êðîìå âèíåðîâñêîãî ñëó÷àÿ α = 1); • Îíî íå ÿâëÿåòñÿ ìàðêîâñêèì (êðîìå âèíåðîâñêîãî ñëó÷àÿ α = 1); • Ïðè α ∈ (1, 2] îíî èìååò ñâîéñòâà ñèëüíîé çàâèñèìîñòè ! . Ýòè ñâîéñòâà ìû íå áóäåì çäåñü îáñóæäàòü. Êàê è âèíåðîâñêèé ïðîöåññ, ÄÁÄ èãðàåò âàæíóþ ðîëü â ïðåäåëüíûõ òåîðåìàõ äëÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ (îñîáåííî â ñëó÷àå ñèëüíîé çàâèñèìîñòè).

Óïðàæíåíèå 2.2

Ïðîâåðüòå ýêâèâàëåíòíîñòü äâóõ îïðåäåëåíèé äðîáíîãî áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ.

Óïðàæíåíèå 2.3

Íàéäèòå ïðåäåë êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè äðîáíîãî áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ ïðè α → 0. Êàê ïîñòðîèòü ïðîöåññ ñ ïðåäåëüíîé êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèåé? ! Long

range dependence.

Ãëàâà 2. Ïðèìåðû ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ

24

Ïðèìåð 2.6 (Ãàóññîâñêèå ìàðêîâñêèå ïðîöåññû). Èçâåñòíî, ÷òî êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ ãàóññîâñêîãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà èìååò âèä

K(s, t) = A(min{s, t}) B(max{s, t}).

(2.4)

Ïðîöåññû ñ òàêèìè êîâàðèàöèîííûìè ôóíêöèÿìè ìîæíî ëåãêî ïîëó÷èòü ïðåîáðàçîâàíèåì âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà. Ïîëîæèì

X(t) = f (t)W (g(t)),

Òîãäà

ãäå

g(·)

 âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ.

EX(s)X(t) = f (s)f (t) min{g(s), g(t)}

èìååò âèä (2.4) ïðè

A, B

A = f g, B = f . Îáðàòíî, ïðè çàäàííûõ f = B , g = A/B . Ïðèìåðàìè êîâàðèàâèäà (2.4) ÿâëÿþòñÿ: min{s, t} (îòâå÷àåò

ìîæíî ïîëîæèòü

öèîííûõ ôóíêöèé

âèíåðîâñêîìó ïðîöåññó),

min{s, t} − st = min{s, t}(1 − max{s, t}) (îòâå÷àåò

áðîóíîâñêîìó ìîñòó ) è

e−|s−t|/2 = emin{s,t}/2 e− max{s,t}/2 (îòâå÷àåò

ïðîöåññó ÎðíøòåéíàÓëåíáåêà ). Ïîñëåäíèé ïðî-

öåññ ÿâëÿåòñÿ ïðèìåðîì ãàóññîâñêîãî ñòàöèîíàðíîãî ïðîöåññà è èìååò î÷åíü êîðîòêóþ ïàìÿòü â òîì ñìûñëå, ÷òî îí ìîæåò áûòü çàïèñàí â âèäå

X(t) = e−t/2 X(0) + V (t), ãäå

t ≥ 0,

V (t) íå çàâèñèò îò ïðîøëîãî {X(s), s ≤ 0}. Ñïåêòðàëüíîå

ïðåäñòàâëåíèå åãî êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè âêëþ÷àåò ìåðó Êîøè è èìååò âèä

e

−|t|/2

2 = π



∞ −∞

eitv

dv . 1 + 4v 2

Ïðèìåð 2.7 (Áðîóíîâñêèé ëèñò" èëè ñëó÷àéíîå ïîëå Âèíåðà

×åíöîâà). Ãàóññîâñêèé ïðîöåññ W (t), t ∈ Rd+ , íàçûâàåòñÿ áðî"

Brownian sheet.

Ãëàâà 2. Ïðèìåðû ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ

25

óíîâñêèì ëèñòîì èëè ñëó÷àéíûì ïîëåì Âèíåðà×åíöîâà , åñëè EW (t) = 0,

EW (s)W (t) =

d 

min{sl , tl }.

(2.5)

l=1

Ïðè d = 1 ïîëó÷àåòñÿ êëàññè÷åñêèé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ. Êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ áðîóíîâñêîãî ëèñòà èìååò êðàñèâóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ. Ñâÿæåì ñ ëþáîé òî÷êîé t ∈ Rd+ ïàðàëëåëåïèïåä

[0, t] := {s ∈ Rd : 0 ≤ sl ≤ tl , 1 ≤ l ≤ d}. Òîãäà

d 

min{sl , tl } = λd ([0, s] ∩ [0, t]) ,

l=1

ãäå λ  ìåðà Ëåáåãà â Rd+ . Èç (2.5) ëåãêî óñìîòðåòü, ÷òî W (t) ÿâëÿåòñÿ H -ñàìîïîäîáíûì ïðîöåññîì ïðè H = d2 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî c > 0 ïðîöåññ Y (t) := Wc(ct) òàêæå áóäåò áðîóíîâñêèì ëèñòîì. H d

Áðîóíîâñêèé ëèñò îáëàäàåò, ïîäîáíî âèíåðîâñêîìó ïðîöåññó, îïðåäåë¼ííîé íåçàâèñèìîñòüþ ïðèðàùåíèé“ , êîòîðóþ ” ìû íå áóäåì çäåñü îïðåäåëÿòü. Áðîóíîâñêèé ëèñò ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ, ò.å. ñëó÷àéíûì ïîëåì ñ êîâàðèàöèåé d  K(s, t) = Kl (sl , tl ), l=1

ãäå Kl (·, ·)  êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè îäíîìåðíûõ ïðîöåññîâ. Îíè ìîãóò íå ñîâïàäàòü ìåæäó ñîáîé. Íàïðèìåð, èçâåñòíîå ïîëå Êèôåðà ÿâëÿåòñÿ òåíçîðíûì ïðîèçâåäåíèåì âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà è áðîóíîâñêîãî ìîñòà, ò.å. èìååò êîâàðèàöèþ K(s, t) = min{s1 , t1 } · (min{s2 , t2 } − s2 t2 )

Ãëàâà 2. Ïðèìåðû ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ

26

ïðè s1 , t1 ≥ 0, 0 ≤ s2 , t2 ≤ 1. Ïîëå Êèôåðà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì èç âàðèàíòà ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ó÷èòûâàþùåãî âðåìåíí
óþ ñîñòàâëÿþùóþ, Íàïîìíèì, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà âûáîðêîé {Xi , 1 ≤ i ≤ n} íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåë¼ííûõ íà èíòåðâàëå [0, 1], ïî ôîðìóëå

#{i : Xi ≤ r, i ≤ tn} . n √ Ïðè n → ∞ ñëó÷àéíûå ïîëÿ n (Fn (t, r) − tr) ñõîäÿòñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ ê ïîëþ Êèôåðà. Fn (t, r) =

Ïðèìåð 2.8 (Áðîóíîâñêàÿ ôóíêöèÿ Ëåâè#).

Ãàóññîâñêèé ïðîöåññ W L (t), t ∈ Rd , íàçûâàåòñÿ áðîóíîâñêîé ôóíêöèåé Ëåâè èëè ïîëåì Ëåâè , åñëè EW L (t) = 0 è

EW L (s)W L (t) =

1 (||s|| + ||t|| − ||s − t||) . 2

(2.6)

Çäåñü || · ||  îáû÷íàÿ åâêëèäîâà íîðìà â Rd . Ïðè d = 1 áðîóíîâñêàÿ ôóíêöèÿ Ëåâè äà¼ò ïàðó íåçàâèñèìûõ êëàññè÷åñêèõ âèíåðîâñêèõ ïðîöåññîâ (ïðè t ≥ 0 è ïðè t ≤ 0). Êàê è â îäíîìåðíîì ñëó÷àå, ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå èìååò âèä  2 EW L (t) = 0, W L (0) = 0, E W L (s) − W L (t) = ||s − t||. (2.7) Èç (2.6) ëåãêî óñìîòðåòü, ÷òî W L (t) ÿâëÿåòñÿ H -ñàìîïîäîáíûì ïðîöåññîì ïðè H = 12 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî c > 0 ïðîöåññ Y (t) := ôóíêöèåé Ëåâè.

W L (ct) c1/2

òàêæå áóäåò áðîóíîâñêîé

Óïðàæíåíèå 2.4 Ïðèìåðû 2.7 è 2.8 îáîáùàþò ïîíÿòèå âè-

íåðîâñêîãî ïðîöåññà íà ñëó÷àé d-ïàðàìåòðè÷åñêèõ ñëó÷àéíûõ ïîëåé. Ñôîðìóëèðóéòå àíàëîãè÷íûå îáîáùåíèÿ äëÿ äðîáíîãî áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ ñ ïðîèçâîëüíûì ïîêàçàòåëåì α ∈ (0, 2). Íàéäèòå ñîîòâåòñòâóþùèå ïîêàçàòåëè ñàìîïîäîáèÿ. # L
evy's

Brownian function, [16].

Ãëàâà 2. Ïðèìåðû ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ

27

Ïðèìåð 2.9

((α, K)-äðîáíîå áðîóíîâñêîå äâèæåíèå [106]). Íàçîâ¼ì ãàóññîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ W α,K (t), t ∈ R+ , (α, K)-äðîáíûì áðîóíîâñêèì äâèæåíèåì , åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ EW α,K (t) = 0

è

EW α,K (s)W α,K (t) =

 1  α (t + sα )K − |t − s|αK , t, s ≥ 0. K 2

Ïðè K = 1 ïîëó÷àåòñÿ îáû÷íîå äðîáíîå áðîóíîâñêîå äâèæåíèå W α . Ïðîöåññ W α,K ñóùåñòâóåò ïðè çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ 0 < α ≤ 2, 0 < K ≤ 2, è αK ≤ 2.  ñëåäóþùåé ãëàâå ïîÿñíÿåòñÿ òåñíàÿ ñâÿçü ýòîãî ïðîöåññà ñ îáû÷íûì äðîáíûì áðîóíîâñêèì äâèæåíèåì W αK/2 , ñì. óïðàæíåíèå 3.2.

Ãëàâà 3

Ãàóññîâñêèé áåëûé øóì 3.1 Îïðåäåëåíèå áåëîãî øóìà è èíòåãðàëà ïî íåìó

Ìíîãèå ãàóññîâñêèå ñëó÷àéíûå ôóíêöèè óäîáíî âûðàçèòü èëè îïðåäåëèòü ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà ïî áåëîìó øóìó. Ïóñòü (R, A, ν)  èçìåðèìîå ïðîñòðàíñòâî ñ ìåðîé. Ïîëîæèì A0 = {A ∈ A : ν(A) < ∞}.

Ãàóññîâñêàÿ ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ {W(A), A ∈ A } íàçûâàåòñÿ ãàóññîâñêèì áåëûì øóìîì ñ ìåðîé êîíòðîëÿ ν , åñëè EW(A) = 0 è EW(A)W(B) = ν(A ∩ B). Îñíîâíûå ñâîéñòâà ãàóññîâñêîãî áåëîãî øóìà: • DW(A) = ν(A); • Åñëè ìíîæåñòâà A , . . . , A íå ïåðåñåêàþòñÿ, òî ñîîòâåòñòâóþùèå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû W(A ), . . . , W(A ) íåçàâèñèìû; 0

1

n

1

n

3.1. Îïðåäåëåíèå áåëîãî øóìà è èíòåãðàëà ïî íåìó

29

• Åñëè ìíîæåñòâà A1 , . . . , An íå ïåðåñåêàþòñÿ, òî ⎞ ⎛ n n   W(Aj ) = W ⎝ Aj ⎠ ï.í. j=1

j=1

Óïðàæíåíèå 3.1

Âûâåäèòå ýòè ñâîéñòâà èç îïðåäåëåíèÿ.  Èíòåãðàë ïî áåëîìó øóìó R f dW ìîæåò áûòü îïðåäåëåí äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f ∈ L2 (R, A, ν). Ñíà÷àëà îïðåäåëÿåòñÿ èíòåãðàë îò ñòóïåí÷àòîé ôóíêöèè ⎛ ⎞    ⎝ cj 1Aj ⎠ dW := cj W(Aj ), cj ∈ R, Aj ∈ A0 , R

j

j

è ïðîâåðÿåòñÿ êîððåêòíîñòü ýòîãî îïðåäåëåíèÿ, ò.å.     cj 1Aj = b i 1Bi  cj W(Aj ) = bi W(Bi ). j

i

j

i

Çàòåì â êëàññå ñòóïåí÷àòûõ ôóíêöèé óñòàíàâëèâàþòñÿ ëèíåéíîñòü      (cf )dW = c f dW; (f + g)dW = f dW + gdW R

R

R

R

R

è èçîìåòðè÷åñêîå ñâîéñòâî     f dW · gdW = f gdν, E R

R

R

èç êîòîðîãî, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò   f dW = |f |2 dν = ||f ||22 . D R

R

Ðàçóìååòñÿ,

 E

R

f dW = 0.

Äàëåå âîñïîëüçóåìñÿ ïëîòíîñòüþ êëàññà ñòóïåí÷àòûõ ôóíêöèé â L2 (R, A, ν). Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f ∈ L2 (R, A, ν) ìîæåì îïðåäåëèòü èíòåãðàë êàê ïðåäåë â ïðîñòðàíñòâå L2 :   f dW := lim fn dW, R

n→∞

R

Ãëàâà 3. Ãàóññîâñêèé áåëûé øóì

30

ãäå (fn )  ëþáàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñõîäÿùàÿñÿ ê f â L2 . Áëàãîäàðÿ èçîìåòðè÷íîñòè òàêèå ïðåäåëû ñóùåñòâóþò è íå çàâèñÿò îò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (fn ). Óïîìÿíóòûå âûøå ñâîéñòâà èíòåãðàëà áåç òðóäà ïåðåíîñÿòñÿ ñ êëàññà ñòóïåí÷àòûõ ôóíêöèé íà âñ¼ ïðîñòðàíñòâî L2 .

Êîìïëåêñíûé ãàóññîâñêèé áåëûé øóì è èíòåãðàë ïî íåìó Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó îïðåäåëÿåòñÿ ãàóññîâñêèé êîìïëåêñíûé áåëûé øóì è èíòåãðàë ïî íåìó. Êîâàðèàöèÿ êîìïëåêñíîãî øóìà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé

EW(A)W(B) = ν(A ∩ B). Çäåñü âåëè÷èíû W(A) ∈ C è èíòåãðèðóþòñÿ êîìïëåêñíîçíà÷íûå ôóíêöèè f ∈ L2,C (R, A, ν). Ñâîéñòâî èçîìåòðè÷íîñòè èìååò âèä     E f dW · gdW = f g dν. R

R

R

Êîìïëåêñíàÿ êîíñòðóêöèÿ íåîáõîäèìà äëÿ ñïåêòðàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñòàöèîíàðíîãî ïðîöåññà  ∞ X(t) = eitu dW(u), −∞

ïðè÷¼ì ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìåðà êîíòðîëÿ ν  ýòî ñïåêòðàëüíàÿ ìåðà ïðîöåññà X . Äàæå åñëè X  âåùåñòâåííûé ïðîöåññ, ñîîòâåòñòâóþùèé øóì W áóäåò êîìïëåêñíûì.

3.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ Ìû çíàåì, ÷òî ñâîéñòâà ëþáîãî öåíòðèðîâàííîãî ãàóññîâñêîãî ïðîöåññà X(t), t ∈ T , ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþòñÿ åãî êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèåé K(s, t) = EX(s)X(t). ×òîáû ïîñòðîèòü òàêîé ïðîöåññ, äîñòàòî÷íî ðàñïîëàãàòü ãàóññîâñêèì áåëûì øóìîì W íà íåêîòîðîì ïðîñòðàíñòâå (R, A, ν) è òàêîé

3.2. Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ

31

ñèñòåìîé ôóíêöèé {mt , t ∈ T } ⊂ L2 (R, A, ν), ÷òî  ms (u)mt (u) dν(u) = K(s, t), s, t ∈ T. (ms , mt )2 = R

 ýòîì ñëó÷àå ïðîöåññ



˜ X(t) =

R

mt dW,

t ∈ T,

(3.1)

áóäåò èìåòü íóæíóþ êîâàðèàöèîííóþ ôóíêöèþ K(s, t). Âûðàæåíèå (3.1) áóäåì íàçûâàòü èíòåãðàëüíûì ïðåäñòàâëåíèåì ïðîöåññà X .

Ïðèìåð 3.1 (Âèíåðîâñêèé ïðîöåññ).

Çäåñü äîñòàòî÷íî ïîëîæèòü (R, A, ν) = (R+ , B, λ), ãäå B  áîðåëåâñêàÿ σ -àëãåáðà, λ  ìåðà Ëåáåãà, è

mt (u) = 1[0,t] (u). Î÷åâèäíî, ÷òî

(3.2)



˜ X(t) =

1[0,t] (u) dW(u) = W([0, t])

áóäåò âèíåðîâñêèì ïðîöåññîì.

Ïðèìåð 3.2 (Áðîóíîâñêèé ìîñò). Äëÿ áðîóíîâñêîãî ìîñòà

W 0 ìîæíî ïðåäëîæèòü äâà ïðåäñòàâëåíèÿ. Îäíî ñòðîèòñÿ èñõîäÿ èç ïðåäñòàâëåíèÿ âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà è ëèíåéíîãî ñîîòíîøåíèÿ W 0 (t) = W (t) − tW (1). (3.3) Î÷åâèäíî, ôóíêöèè

m0t (u) = (mt − tm1 )(u) = (1 − t)1[0,t] (u) − t 1(t,1] (u) îáåñïå÷èâàþò èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ W 0 . Àëüòåðíàòèâíîå ïðåäñòàâëåíèå ñòðîèòñÿ íà êâàäðàòå [0, 1]2 ñ äâóìåðíîé ìåðîé Ëåáåãà. Çäåñü ìîæíî ïîëîæèòü

m ˜ 0t (u) = 1[0,t]×[0,1−t] (u).

Ãëàâà 3. Ãàóññîâñêèé áåëûé øóì

32

Òîãäà (íàðèñóéòå êàðòèíêó!)    ˜ t )2 = λ2 [0, s] × [0, 1 − s] [0, t] × [0, 1 − t] (m ˜ s, m

= = =

min(s, t) · min(1 − s, 1 − t) min(s, t) · (1 − max(s, t)) min(s, t) − st,

êàê è òðåáóåòñÿ äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ W 0 .

Ïðèìåð 3.3 (Äðîáíîå áðîóíîâñêîå äâèæåíèå).

Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå äðîáíîãî áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ W (α) (t) ñòðîèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì [148]. Ïîëîæèì R = R, ïóñòü ν = λ  ìåðà Ëåáåãà è W  ñîîòâåòñòâóþùèé áåëûé øóì. Òîãäà ðàññìîòðèì ïðîöåññ

=

W (α) (t)    α−1 α−1 cα (t − u) 2 1u≤t − (−u) 2 1u≤0 dW(u). (3.4)

Èíòåãðàë êîððåêòíî îïðåäåëåí èìåííî ïðè 0 < α < 2. Ïðè ïîäõîäÿùåé íîðìèðîâêå cα ýòî äåéñòâèòåëüíî áóäåò äðîáíîå áðîóíîâñêîå äâèæåíèå, òàê êàê äëÿ âñåõ t ≥ s

=

 2 E W (α) (t) − W (α) (s)   2 α−1 α−1 2 (t − u) 2 1u≤t − (s − u) 2 1u≤s du cα   2 α−1 α−1 (t − s − v) 2 1v≤t−s − (−v) 2 1v≤0 dv c2α   2 α−1 α−1 2 α (1 − w) 2 1w≤1 − (−w) 2 1w≤0 dw cα (t − s)

=

const · (t − s)α .

= =

Âû÷èñëÿÿ èíòåãðàë, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî íóæíîå ñîîòíîøåíèå 2  E W (α) (t) − W (α) (s) = (t − s)α

3.2. Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ

33

äîñòèãàåòñÿ ïðè



sin( πα 2 )Γ(α + 1) cα = Γ( α+1 2 )

1/2 (3.5)

.

Óïðàæíåíèå 3.2

(ñì. [50, 127]) Äîêàæèòå ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó äðîáíûìè áðîóíîâñêèìè äâèæåíèÿìè ñ îäíèì è äâóìÿ ïàðàìåòðàìè W (αK/2) è W α,K .  ∞ K+1 α W (αK/2) (t) = c1 W α,K (t) + c2 (1 − e−ut )u− 2 dW(u) 0

ïðè 0 < K < 1, 0 < α < 2 è

W

α,K

(t) = c1 W

(αK/2)



∞

(t) + c2

(1 − e−ut )u− α

K+1 2

dW(u)

0 2 , ãäå c1 è c2 íåêîòîðûå ïîëîæèïðè 1 < K < 2, 0 < α < K òåëüíûå êîíñòàíòû, çàâèñÿùèå îò α, K , à W  ñòàíäàðòíûé áåëûé øóì; ñëàãàåìûå â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâ íåçàâèñèìû.

Ïðèìåð 3.4

(Ïðîöåññû è îïåðàòîðû ÐèìàíàËèóâèëëÿ  ).

 îòëè÷èå îò ïðåäûäóùèõ è ïîñëåäóþùèõ ïðèìåðîâ, ïðîöåññû ÐèìàíàËèóâèëëÿ ïðèíÿòî îïðåäåëÿòü èìåííî ÷åðåç èõ èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå, à íå ÷åðåç êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè. Íàïîìíèì, ÷òî îïåðàòîð äðîáíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ÐèìàíàËèóâèëëÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì  t 1 Rα f (t) = (t − u)α−1 f (u)du, α > 0. (3.6) Γ(α) 0

Ïðè ýòîì

Rα : L2 [0, 1] →

Lp [0, 1], C[0, 1],

α> α>

1 2 1 2

− .

1 p

,

Ïðè α = 1 ìû ïîëó÷àåì îáû÷íûé îïåðàòîð èíòåãðèðîâàíèÿ. Çàìå÷àòåëüíûì ñâîéñòâîì îïåðàòîðà ÐèìàíàËèóâèëëÿ ÿâëÿåòñÿ ïîëóãðóïïîâîå ñâîéñòâî âèäà Rα Rβ = Rα+β . 

RiemannLiouville processes.

Ãëàâà 3. Ãàóññîâñêèé áåëûé øóì

34

Ïî àíàëîãèè ñ (3.6) ïðîöåññ ÐèìàíàËèóâèëëÿ ïîðÿäêà α îïðåäåëÿåòñÿ êàê èíòåãðàë ïî áåëîìó øóìó íà ïðÿìîé (ñ ìåðîé Ëåáåãà â êà÷åñòâå ìåðû êîíòðîëÿ)

1 R (t) = Γ(α)



t

(t − u)α−1 dW(u),

α

α > 1/2.

0

Ïðè α = 1 îí ñîâïàäàåò ñ âèíåðîâñêèì ïðîöåññîì. Îãðàíè÷åíèå α > 1/2 òðåáóåòñÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû ÿäðî èíòåãðèðîâàíèÿ (t − ·)α−1 ïðèíàäëåæàëî ïðîñòðàíñòâó L2 [0, t], ò.å. ÷òîáû èíòåãðàë ïî áåëîìó øóìó áûë êîððåêòíî îïðåäåëåí. Ïðîöåññ Rα ÿâëÿåòñÿ H -ñàìîïîäîáíûì ñ èíäåêñîì ñàìîïîäîáèÿ H = 2α − 1. Ïîëóãðóïïîâîå ñâîéñòâî äà¼ò Rα Rβ = Rα+β . Êàê ìîæíî óñìîòðåòü èç (3.4), ïðè α ∈ (1/2, 3/2) ïðîöåññ ÐèìàíàËèóâèëëÿ ïîðÿäêà α ïî ñâîèì ëîêàëüíûì ñâîéñòâàì áëèçîê ê äðîáíîìó áðîóíîâñêîìó äâèæåíèþ ñ ïîêàçàòåëåì α = 2α − 1. Çàìåòèì, îäíàêî, ÷òî â îòëè÷èå îò ÄÁÄ ñåìåéñòâî ïðîöåññîâ ÐèìàíàËèóâèëëÿ íå èìååò îãðàíè÷åíèé ïî ãëàäêîñòè òðàåêòîðèé, ò.å. íåò ãðàíèöû ñâåðõó äëÿ èíäåêñà α. Åù¼ îäíî îòëè÷èå îò ÄÁÄ ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðîöåññ Rα íå èìååò ñòàöèîíàðíûõ ïðèðàùåíèé, íî âçàìåí îí îáëàäàåò ñâîéñòâîì îäíîðîäíîñòè îøèáêè ïðîãíîçà [140]:    Rα (t0 + ·) − E Rα (t0 + ·)Ft0 = Rα (·), ∀t0 ≥ 0, ïî ðàñïðåäåëåíèþ. Çäåñü Ft0 îáîçíà÷àåò σ -àëãåáðó ïðîøëîãî äëÿ èñõîäíîãî áåëîãî øóìà W äî ìîìåíòà t0 , ò.å.

Ft0 = σ{W(A), A ⊂ [0, t0 ]}.

Çàìå÷àíèå 3.1

 ýêîíîìåòðè÷åñêîé ëèòåðàòóðå, ãäå ïðîöåññ ÐèìàíàËèóâèëëÿ âîçíèêàåò êàê ïðåäåë äèñêðåòíûõ ñõåì, åãî ÷àñòî íàçûâàþò äðîáíûì áðîóíîâñêèì äâèæåíèåì“ , îò” êðûâàÿ âîçìîæíîñòü ïóòàíèöû ñ íàñòîÿùèì“ ÄÁÄ èç ïðè” ìåðà 2.5. Î äàëüíåéøåì ñîïîñòàâëåíèè ýòèõ äâóõ ïðîöåññîâ ñì. [150].

3.2. Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ

35

Ïðèìåð 3.5 (Áðîóíîâñêèé ëèñò). Ýòîò ïðèìåð âïîëíå àíà-

ëîãè÷åí ïðèìåðó 3.1 è ñëóæèò åãî îáîáùåíèåì íà ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé. Çäåñü íóæíî ïîëîæèòü (R, A, ν) = (Rd+ , B d , λd ), ãäå B d  áîðåëåâñêàÿ σ -àëãåáðà â Rd , λd  d-ìåðíàÿ ìåðà Ëåáåãà, è îïðåäåëèòü ïðÿìîóãîëüíèêè“ ”

[0, t] := {u ∈ R : 0 ≤ uj ≤ tj , 1 ≤ j ≤ d}. Òîãäà ïåðåñå÷åíèå ïðÿìîóãîëüíèêîâ òîæå áóäåò ïðÿìîóãîëüíèêîì (íàðèñóéòå êàðòèíêó):

[0, s] ∩ [0, t] = {u ∈ R : 0 ≤ uj ≤ min(sj , tj ), 1 ≤ j ≤ d}. Ïîýòîìó ôóíêöèè

mt (u) = 1[0,t] (u) îáëàäàþò ñâîéñòâîì

(ms , mt )2 = λ ([0, s] ∩ [0, t]) = d

d 

min(sj , tj ),

j=1

è ïîýòîìó

 ˜ X(t) =

1[0,t] (u)dW(u) = W([0, t])

áóäåò áðîóíîâñêèì ëèñòîì.

Ïðèìåð 3.6 (Áðîóíîâñêàÿ ôóíêöèÿ Ëåâè íà R ). Íàïîìíèì, d

÷òî ÁÔË íà R îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (2.7). Ïîñòðîèì å¼ ïðåäñòàâëåíèå ÷åðåç áåëûé øóì, íàçûâàåìîå èíòåãðàëüíîãåîìåòðè÷åñêîé êîíñòðóêöèåé ×åíöîâà [40]. Ïóñòü R  ïðîñòðàíñòâî âñåõ ãèïåðïëîñêîñòåé â Rd . Íà R ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ñ òî÷íîñòüþ äî êîíñòàíòû ìåðà ν , èíâàðèàíòíàÿ îòíîñèòåëüíî âñåõ óíèòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé Rd . Äëÿ t ∈ Rd îáîçíà÷èì At ìíîæåñòâî âñåõ ãèïåðïëîñêîñòåé, ïåðåñåêàþùèõ îòðåçîê 0, t := {rt, 0 ≤ r ≤ 1}. Ìåðà ýòîãî ìíîæåñòâà, êàê ëåãêî ïîíÿòü, ïðîïîðöèîíàëüíà d

Ãëàâà 3. Ãàóññîâñêèé áåëûé øóì

36

äëèíå îòðåçêà 0, t. Îòíîðìèðóåì ìåðó ν òàê, ÷òîáû áûëî âåðíî ν(At ) = ||t||. Ïóñòü òåïåðü W  áåëûé øóì íà R ñ ìåðîé êîíòðîëÿ ν . Òîãäà  1At dW, t ∈ Rd , W L (t) := W(At ) = R

áóäåò ÁÔË íà R . Äåéñòâèòåëüíî ñîîòíîøåíèÿ EW L (t) = 0 è W L (0) = 0 î÷åâèäíû. Êðîìå òîãî, äëÿ ëþáûõ s, t ∈ Rd ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü As ΔAt ñîñòîèò â òî÷íîñòè èç òåõ ãèïåðïëîñêîñòåé, êîòîðûå ïðåñåêàþò îòðåçîê d

s, t := {s + r(t − s), 0 ≤ r ≤ 1} (ìû èãíîðèðóåì ìíîæåñòâî ν -ìåðû íóëü ãèïåðïëîñêîñòåé, ïðîõîäÿùèõ íåïîñðåäñòâåííî ÷åðåç îäíó èç òî÷åê 0, s, t). Ïîýòîìó

E(W L (s) − W L (t))2

= =

E(W(As ) − W(At ))2 ν(As ΔAt ) = ||s − t||,

÷òî è òðåáîâàëîñü. Èíòåãðàëüíî-ãåîìåòðè÷åñêóþ êîíñòðóêöèþ ìîæíî óïà” êîâàòü“ â ñàìî ïðîñòðàíñòâî Rd , ïðè÷¼ì îíà ñòàíåò áîëåå ýëåìåíòàðíîé, íî ãîðàçäî ìåíåå ïîíÿòíîé. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü R0  ìíîæåñòâî ãèïåðïëîñêîñòåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç íîëü. Òîãäà ìåæäó ìíîæåñòâàìè R\R0 è Rd \{0} ñóùåñòâóåò åñòåñòâåííàÿ áèåêöèÿ: êàæäîé ãèïåðïëîñêîñòè ñîîòâåòñòâóåò å¼ òî÷êà, áëèæàéøàÿ ê íà÷àëó êîîðäèíàò. Ïðè òàêîé áèåêöèè ìíîæåñòâî At ïåðåéäåò â øàð A˜t ðàäèóñà ||t||/2 ñ öåíòðîì â 2t (ò.å. â øàð, ïîñòðîåííûé íà îòðåçêå 0, t êàê íà äèàìåòðå; ïðîâåðüòå ýòî!). Ìåðà ν ïåðåéäåò â ñôåðè÷åñêè èíâàðèàíòíóþ ìåðó ν˜ = drμ(dθ), ãäå μ(dθ)  ïîäõîäÿùèì îáðàçîì íîðìèðîâàííàÿ ðàâíîìåðíàÿ ìåðà íà åäèíè÷íîé ñôåðå (äîêàæèòå!). ˜  Î÷åâèäíî, ìåðà ν˜ îòëè÷íà îò ìåðû Ëåáåãà â Rd . Åñëè W ˜ A˜t ) òàêæå áóäåò áåëûé øóì íà Rd ñ ìåðîé êîíòðîëÿ ν˜, òî W( ÁÔË. Èíòåãðàëüíî-ãåîìåòðè÷åñêóþ êîíñòðóêöèþ ÁÔË, àíàëîãè÷íóþ êîíñòðóêöèè ×åíöîâà, ìîæíî ðåàëèçîâàòü íà ñôåðå ,

Âìåñòî ãèïåðïëîñêîñòåé çäåñü íóæíî èñïîëüçîâàòü êðóãè ìàêñèìàëüíîãî ðàäèóñà.

3.2. Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ

37

â ãèïåðáîëè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå è íåêîòîðûõ äðóãèõ ñëó÷àÿõ.

Ïðèìåð 3.7 (Áðîóíîâñêàÿ ôóíêöèÿ Ëåâè íà L , [20]). Áðî1

(ÁÔË) íà ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå (T, ρ) ñ îòìå÷åííîé òî÷êîé ϑ íàçûâàåòñÿ öåíòðèðîâàííàÿ ãàóññîâñêàÿ ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ {W L (t), t ∈ T }, äëÿ êîòîðîé W L (ϑ) = 0 è óíîâñêîé ôóíêöèåé Ëåâè

E(W L (t) − W L (s))2 = ρ(s, t),

s, t ∈ T.

Îäíèì èç íàèáîëåå èíòåðåñíûõ êëàññîâ ïðîñòðàíñòâ, íà êîòîðûõ ÁÔË ñóùåñòâóþò, ÿâëÿþòñÿ ïðîñòðàíñòâà

T = L1 (U, U , μ) ñ îòìå÷åííîé òî÷êîé ϑ = 0, T çàäàíî L1 -ìåòðèêîé  |f (u) − g(u)|μ(du). ρ(f, g) =

ïóñòü íèå â

L1 .

Èòàê,

è ðàññòîÿ-

U Ïîëîæèì íà

R

R = U × R, ν = μ × λ è ðàññìîòðèì áåëûé øóì W ν . Äëÿ ôóíêöèè f ∈ T îïðåäåëèì å¼

ñ ìåðîé êîíòðîëÿ

ïîäãðàôèê

Af = {(u, r) : |r| ≤ |f (u)|, rf (u) ≥ 0, u ∈ U, r ∈ R} ⊂ R. Òîãäà

 W L (f ) := W(Af ) =

R

1Af dW,

f ∈ T,

ÿâëÿåòñÿ ÁÔË. Äåéñòâèòåëüíî,

 E(WfL

−

WgL )2

= 

R



U

(1Af − 1Ag )2 dν = ν(Af ΔAg ) μ(du)λ ((Af ΔAg ) ∩ (u × R))

=

μ(du)|f (u) − g(u)|

= U

=

||f − g||1 = ρ(f, g).

Ãëàâà 3. Ãàóññîâñêèé áåëûé øóì

38

Óïðàæíåíèå 3.3

Ïóñòü S  åäèíè÷íàÿ ñôåðà â Rd è μ  ðàâíîìåðíàÿ ìåðà íà S , íîðìèðîâàííàÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî x ∈ Rd áûëî âåðíî  |(x, u)|μ(du). ||x|| = S

Òîãäà Rd èçîìåòðè÷åñêè âêëàäûâåòñÿ â L1 (S, μ) ïî ïðàâèëó

x → fx (·) := (x, ·). Óñòàíîâèòå ïðè ïîìîùè ýòîãî âëîæåíèÿ ñâÿçü ìåæäó èíòåãðàëüíûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè ÁÔË íà Rd è íà L1 -ïðîñòðàíñòâàõ, îïèñàííûìè â ïðèìåðàõ 3.6 è 3.7.

Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü âåùåñòâåííûé ñòàöèîíàðíûé ãàóññîâñêèé öåíòðèðîâàííûé ïðîöåññ X(t), t ∈ R.  ñèëó ñòàöèîíàðíîñòè åãî êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ èìååò âèä EX(t)X(s) = K(t − s), ïðè÷¼ì ôóíêöèÿ K ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâåííîé è íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåë¼ííîé. Ïîýòîìó îíà äîïóñêàåò ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå !  ∞ K(τ ) = eiτ u ν(du), τ ∈ R, −∞

ãäå ν  êîíå÷íàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ìåðà íà R.  ÷àñòíîñòè, âåðíî DX(t) = ν(R) ïðè âñåõ t. Ñàì ïðîöåññ X òàêæå äîïóñêàåò ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå âèäà  ∞ X(t) = eitu W(du), t ∈ R, (3.7) −∞

ãäå W - êîìïëåêñíûé ãàóññîâñêèé øóì ñ íåêîððåëèðîâàííûìè, íî çàâèñèìûìè çíà÷åíèÿìè. Ïðîöåññ X ìîæåò áûòü âûðàæåí ÷åðåç îáû÷íûé âåùåñòâåííûé ãàóññîâñêèé áåëûé øóì ! Çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îñíîâû ñïåêòðàëüíîé òåîðèè ñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ ÷èòàòåëþ èçâåñòíû; ïîäðîáíîñòè ñì. â ó÷åáíèêå [10].

3.2. Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ

39

ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü W (re) , W (im)  äâå íåçàâèñèìûõ êîïèè âåùåñòâåííîãî ãàóññîâñêîãî áåëîãî øóìà íà (0, ∞) ñ ìåðîé êîíòðîëÿ ν/2, è ïóñòü W0  íåçàâèñèìàÿ ñ W (re) , W (im) íîðìàëüíàÿ öåíòðèðîâàííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ ðàñïðåäåëåíèåì N (0, ν({0})). Òîãäà W({0}) = W0 è A ⊂ (0, ∞), W (re) (A) + iW (im) (A), W(A) = (re) (im) W (−A) − iW (−A), A ⊂ (−∞, 0). Çäåñü, êîíå÷íî, èìååòñÿ çàâèñèìîñòü âèäà W(−A) = W(A), êîòîðàÿ è îáåñïå÷èâàåò âåùåñòâåííîñòü X â èíòåãðàëå (3.7).  ýòîì ñëó÷àå íàø ïðîöåññ çàïèñûâàåòñÿ â âèäå ñóììû íåçàâèñèìûõ ñëàãàåìûõ  ∞  ∞ X(t) = W0 + 2 cos(tu)W (re) (du) + 2 sin(tu)W (im) (du). 0

0

Ïðèâåä¼ííàÿ êîíñòðóêöèÿ ìîæåò áûòü ðàñïðîñòðàíåíà íà ñëó÷àé ñëó÷àéíûõ ïîëåé (t, u ∈ Rd ), ñëó÷àéíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé (t ∈ Z, u ∈ S1 ), à òàêæå ïåðèîäè÷åñêèõ ïðîöåññîâ (t ∈ S1 , u ∈ Z). ż òàêæå ìîæíî ðåàëèçîâàòü äëÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ è ïîëåé ñî ñòàöèîíàðíûìè ïðèðàùåíèÿìè. Ðàññìîòðèì òåïåðü åù¼ äâà ïðåäñòàâëåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñïåêòðàëüíàÿ ìåðà ν èìååò ïëîòíîñòü f è âîçüì¼ì ïðîèçâîëüíóþ èçìåðèìóþ ôóíêöèþ θ : R → S1 . Îïðåäåëèì ñ å¼ ïîìîùüþ ñåìåéñòâî ôóíêöèé {mt , t ∈ R} ⊂ L2,C (R) ôîðìóëîé  u ∈ R. mt (u) := θ(u)eitu f (u), Î÷åâèäíî,

 (mt , ms )2

= 

R



R

= = =

mt (u)ms (u)du |θ(u)|2 ei(t−s)u f (u)du ei(t−s)u ν(du)

R

K(t, s) = EX(t)X(s).

Ãëàâà 3. Ãàóññîâñêèé áåëûé øóì

40

Äðóãîå, áîëåå íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå, ìîæíî ïîëó÷èòü èç (mt ), èñïîëüçóÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå

F : L2,C (R) → L2,C (R).    Îáîçíà÷èì h = F θ(·) f (·) è ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî m ˜ t (·) = F(mt )(·) = h(· − t).  ñèëó èçîìåòðè÷íîñòè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ìû èìååì

˜ s )2 = (mt , ms )2 = EX(t)X(s). (m ˜ t, m Åñëè âñïîìîãàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ θ óäà÷íî ïîäîáðàíà òàê, ÷òî h(·) âåùåñòâåííà, òî ìû ïîëó÷àåì ñäâèãîâîå ïðåäñòàâëåíèå ïðîöåññà X ÷åðåç áåëûé øóì ñ ëåáåãîâîé ìåðîé êîíòðîëÿ  X(t) = h(u − t)W(du). R

Ïðèìåð 3.8 (Ïðîöåññ ÎðíøòåéíàÓëåíáåêà).

Ìû îïðåäåëèëè ïðîöåññ ÎðíøòåéíàÓëåíáåêà â ïðèìåðå 2.6. Îí èìååò êîâàðèàöèîííóþ ôóíêöèþ  2du −|τ |/2 K(τ ) = e = eiτ u . π(1 + 4u2 ) R Ïîýòîìó ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü èìååò âèä f (u) = 1+2iu Ïîëàãàÿ θ(u) = (1+4u 2 )1/2 , íàéä¼ì

2 π(1+4u2 )

.

1/2 1 + 2iu 2 2 π(1 + 4u ) (1 + 4u2 )1/2 1 (2π)−1/2 ( − iu)−1 2

 mt (u) = = è

e

itu

eitu

h(v) = (Fm0 )(v) = e−v/2 1v>0 .

Òàêèì îáðàçîì, ñäâèãîâîå ïðåäñòàâëåíèå ïðîöåññà Îðíøòåéíà Óëåíáåêà èìååò âèä  ∞ e−(v−t)/2 W(dv). X(t) = t

Ãëàâà 4

Èçìåðèìûå ôóíêöèîíàëû è ÿäðî 4.1 Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ Ïîñëå òîãî, êàê ìû çàïàñëèñü èçðÿäíûì êîëè÷åñòâîì ïðèìåðîâ, ìîæíî ïðîäîëæèòü ïîñòðîåíèå îáùåé òåîðèè, íà÷àòîå â ãëàâå 1. Ìû ïî-ïðåæíåìó ðàññìàòðèâàåì ãàóññîâñêèé âåêòîð X ñî çíà÷åíèÿìè â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå X , óäîâëåòâîðÿþùåì îáû÷íûì óñëîâèÿì. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü EX = 0 è îáîçíà÷àòü K : X ∗ → X êîâàðèàöèîííûé îïåðàòîð X , à P = N (0, K)  ðàñïðåäåëåíèå X â X . Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë f ∈ X ∗ . Ïîñêîëüêó ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (f, X) èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, òî å¼ âòîðîé ìîìåíò êîíå÷åí,  E(f, X)2 =

X

|f |2 dP < ∞.

Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëåíî êàíîíè÷åñêîå âëîæåíèå I ∗ ïðîñòðàíñòâà X ∗ â ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî L2 (X , P ). Çàìûêàíèå îáðàçà I ∗ (X ∗ ) â L2 (X , P ) íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì èçìåðèìûõ ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ è îáîçíà÷àåòñÿ XP∗ . Îíî

Ãëàâà 4. Èçìåðèìûå ôóíêöèîíàëû è ÿäðî

42

íàñëåäóåò èç L2 (X , P ) ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå  (z1 , z2 )XP∗ = (z1 , z2 )2 = z1 z2 dP = E(z1 (X) z2 (X)). X

 ÷àñòíîñòè,

||z||2XP∗ = E z(X)2 .

Êàæäûé èçìåðèìûé ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì, â ñìûñëå ïðîñòðàíñòâà L2 (X, P ) è P -ïî÷òè íàâåðíîå, ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ëèíåéíûõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèîíàëîâ.  äàëüíåéøåì íàì áóäåò óäîáíåå ðàññìàòðèâàòü I ∗ èìåííî êàê âëîæåíèå I ∗ : X ∗ → XP∗ . Ñîïðÿæ¼ííûé îïåðàòîð I : XP∗ → X îïðåäåëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì ñîîòíîøåíèåì

(f, Iz) = (I ∗ f, z)XP∗ = E(f, X)z(X),

∀f ∈ X ∗ , z ∈ XP∗ .

Ñóùåñòâîâàíèå ñîïðÿæ¼ííîãî îïåðàòîðà íå î÷åâèäíî, òàê êàê ìû íè÷åãî íå ñêàçàëè çäåñü î íåïðåðûâíîñòè èñõîäíîãî îïåðàòîðà I ∗ . Îäíàêî ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ïðè îáû÷íûõ óñëîâèÿõ, ñôîðìóëèðîâàííûõ â ãëàâå 1, îí äåéñòâèòåëüíî ñóùåñòâóåò. Îïåðàòîð I ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì è âçàèìíî-îäíîçíà÷íûì. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïðè íåêîòîðîì z ∈ XP∗ âåðíî Iz = 0, òî äëÿ ëþáîãî f ∈ X ∗ èìååì

(I ∗ f, z) = (f, Iz) = 0. Ðàññìàòðèâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü I ∗ fn , ñõîäÿùóþñÿ ê z , ïîëó÷èì ||z||XP∗ = 0, ò.å. z = 0. Åù¼ íàì âàæíî îòìåòèòü, ÷òî êîâàðèàöèîííûé îïåðàòîð äîïóñêàåò ôàêòîðèçàöèþ

K = II ∗ .

(4.1)

Äåéñòâèòåëüíî,

(f, II ∗ g) = (I ∗ f, I ∗ g) = E(f, X)(g, X) = (f, Kg)

∀f, g ∈ X ∗ .

4.1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ

43

Òåïåðü ìîæíî äàòü ôóíäàìåíòàëüíîå îïðåäåëåíèå: ìíîæåñòâî HP := I(XP∗ ) ⊂ X , ñíàáæ¼ííîå ñòðóêòóðîé ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ   (h1 , h2 )HP := I −1 h1 , I −1 h2 X ∗ , h1 , h 2 ∈ H P , P

è ñîîòâåòñòâóþùåé íîðìîé

|h|2HP := (h, h)HP ,

h ∈ HP ,

íàçûâàåòñÿ ÿäðîì ðàñïðåäåëåíèÿ P . Åäèíè÷íûé øàð {h ∈ HP : |h|HP ≤ 1} èíîãäà íàçûâàþò ýëëèïñîèäîì ðàññåÿíèÿ ìåðû P . Êîððåêòíîñòü îïðåäåëåíèÿ ãàðàíòèðóåòñÿ âçàèìíîé îäíîçíà÷íîñòüþ îïåðàòîðà I . Ìîæíî òàêæå ãîâîðèòü îá HP êàê î ÿäðå âåêòîðà X , íî â ýòîì ñëó÷àå ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî ÿäðî ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì ýòîãî âåêòîðà. Âñ¼ äàëüíåéøåå èçëîæåíèå ïîêàæåò, ÷òî ÿäðî ñîäåðæèò âñþ âàæíóþ èíôîðìàöèþ î P è X ; ðåøåíèå ëþáîé âàæíîé çàäà÷è âûðàæàåòñÿ â òåðìèíàõ ÿäðà. Ïîêà ÷òî óïîìÿíåì íåêîòîðûå ïðîñòûå ñâîéñòâà ÿäðà.

•  ñèëó (4.1) èìååì K(X ∗ ) ⊂ HP ⊂ X . Åñëè HP êîíå÷íîìåðíî, òî â íåâûðîæäåííîì ñëó÷àå âñå òðè ïðîñòðàíñòâà ñîâïàäàþò.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå âñå îíè ðàçëè÷íû. • Åñëè HP áåñêîíå÷íîìåðíî, òî P (HP ) = 0 (íåñìîòðÿ íà âñþ âàæíîñòü HP äëÿ îïèñàíèÿ P !). • Òîïîëîãè÷åñêèé íîñèòåëü ìåðû P ñîâïàäàåò ñ çàìûêàíèåì HP â X . • Ïðîñòðàíñòâî HP ñåïàðàáåëüíî. • Øàðû {h ∈ HP : |h|HP ≤ r} ÿâëÿþòñÿ êîìïàêòíûìè ïîäìíîæåñòâàìè X .

Ïðèìåð 4.1 (Ñòàíäàðòíàÿ ãàóññîâñêàÿ ìåðà â

R∞ ). Ðàññìîòðèì ñòàíäàðòíûé ãàóññîâñêèé âåêòîð X , îïðåäåë¼ííûé

44

Ãëàâà 4. Èçìåðèìûå ôóíêöèîíàëû è ÿäðî

â ïðèìåðå 2.1. Äëÿ ëþáûõ f, g ∈ c0 = X ∗ èìååì ⎞⎛ ⎞ ⎛ ∞ ∞ ∞    f j Xj ⎠ ⎝ g j Xj ⎠ = fj gj = (f, g)2 . (I ∗ f, I ∗ g)XP∗ = E ⎝ j=1

j=1

j=1

Îòñþäà ëåãêî âûâîäèòñÿ, ÷òî ëèíåéíûå èçìåðèìûå ôóíêöèîíàëû z ∈ XP∗ èìåþò âèä

z(x) =

∞ 

zj x j ,

(zj ) ∈ 2 .

j=1

Äàëåå, èñïîëüçóÿ êîîðäèíàòíûå ôóíêöèîíàëû δk , íàéä¼ì ⎞⎤ ⎡ ⎛ ∞  zj Xj ⎠⎦ = zk . (Iz)k = (δk , Iz) = (I ∗ δk , z)XP∗ = E ⎣Xk ⎝ j=1

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî HP = 2 , (h1 , h2 )HP = (h1 , h2 )2 è, â ÷àñòíîñòè, |h|HP = ||h||2 .

Ïðèìåð 4.2 (Ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî). Ãàóññîâñêèé âåêòîð X â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå áûë îïðåäåë¼í â ïðèìåðå 2.2. Äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ f, g ∈ X = X ∗ èìååì ⎞⎛ ⎞ ⎛ ∞ ∞ ∞    fj σj ξj ⎠ ⎝ g j σj ξ j ⎠ = fj gj σj2 . (I ∗ f, I ∗ g)XP∗ = E ⎝ j=1

j=1

Îòñþäà ëåãêî âûâîäèòñÿ, ÷òî ⎧ ∞ ⎨  zj xj , XP∗ = z : z(x) = ⎩ j=1

||z||2XP∗ =

∞  j=1

zj2 σj2 ,

j=1

∞  j=1

⎫ ⎬ zj2 σj2 < ∞ , ⎭

z ∈ XP∗ .

4.1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ

45

Ñíîâà ïðèáåãàÿ ê êîîðäèíàòíûì ôóíêöèîíàëàì, íàéä¼ì ⎛ ⎞⎞ ⎛ ∞  (ek , Iz) = (I ∗ ek , z) = E ⎝σk ξk ⎝ zj σj ξj ⎠⎠ = σk2 zk , j=1

ò.å.

Iz =

∞ 

σj2 zj ej .

j=1

Åñëè h = Iz ∈ HP , òî

||h||2HP = ||z||2XP =

∞ 

zj2 σj2 =

j=1

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî

∞  h2j . σ2 j=1 j

⎧ ⎨

⎫ ∞ ⎬  h2j < ∞ HP = h ∈ X : ⎩ ⎭ σ2 j=1 j

è

(h1 , h2 )HP =

∞  (h1 )j (h2 )j

σj2

j=1

,

ãäå hj = (h, ej )  êîîðäèíàòû h â áàçèñå (ej ).

Ïðèìåð 4.3 (Êîíå÷íîìåðíûé ãàóññîâñêèé âåêòîð).

Ïóñòü X = Rn è âåêòîð X èìååò ãàóññîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå P = N (0, K), ïðè÷¼ì åãî êîâàðèàöèîííûé îïåðàòîð K : Rn → Rn íåâûðîæäåí, ò.å. K(Rn ) = Rn . Òîãäà â íåêîòîðîì áàçèñå K èìååò äèàãîíàëüíóþ ôîðìó ⎛ ⎞ n n   K⎝ xj e j ⎠ = σj2 xj ej , j=1

j=1

ïðè÷¼ì âñå σj > 0. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî X çàïèñûâàåòñÿ â n âèäå X = j=1 σj ξj ej èç ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà. Ïðèìåíÿÿ ïîëó÷åííûå òàì ðåçóëüòàòû, âèäèì, ÷òî HP = Rn è

(h1 , h2 )HP =

∞  (h1 )j (h2 )j j=1

σj2

= (K −1 h1 , h2 ),

Ãëàâà 4. Èçìåðèìûå ôóíêöèîíàëû è ÿäðî

46 è â ÷àñòíîñòè,

|h|2HP = (K −1 h, h) = ||K −1/2 h||2 .

4.2 Òåîðåìà î ôàêòîðèçàöèè  áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ íå ñóùåñòâóåò ýëåìåíòàðíûõ ðàññóæäåíèé, ïîäîáíûõ îïèñàííûì âûøå, ïîçâîëÿþùèõ ìãíîâåííî íàõîäèòü ÿäðî ãàóññîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Çäåñü áóäåò ïîëåçíûì ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò:

Òåîðåìà 4.1

(òåîðåìà î ôàêòîðèçàöèè). Ïóñòü H  íåêîòîðîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, è J : H → X âçàèìíîîäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå, äëÿ êîòîðîãî âåðíî

K = JJ ∗ . Òîãäà ÿäðî ðàñïðåäåëåíèÿ P íàõîäèòñÿ êàê HP = J(H), à ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è íîðìà â HP âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì

(h1 , h2 )HP = (J −1 h1 , J −1 h2 )H , |h|HP = ||J −1 h||H ,

∀h1 , h2 ∈ HP , ∀h ∈ HP .

(4.2)

Çàìå÷àíèå 4.1

Åñëè îïåðàòîð J íå ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî-îäíîçíà÷íûì, òî ðàâåíñòâî HP = J(H) âñ¼ æå èìååò ìåñòî, íî âìåñòî (4.2) áóäåò âåðíî

|h|HP = inf {|| ||H },

Çàìå÷àíèå 4.2

:J=h

∀h ∈ HP .

Ìû óæå âèäåëè, ÷òî îïåðàòîð I ïîðîæäàåò íóæíóþ ôàêòîðèçàöèþ, òàê ÷òî îí ôîðìàëüíî ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ â ðàìêàõ òåîðåìû. Îäíàêî å¼ ñóòü êàê ðàç çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ìû ìîæåì âûáèðàòü H è J ïî ñâîåìó óñìîòðåíèþ äëÿ óäîáñòâà âû÷èñëåíèé.

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.

Îïðåäåëèì ëèíåéíóþ èçîìåòðèþ U ìåæäó ïðîñòðàíñòâàìè I ∗ (X ∗ ) ⊂ XP∗ è J ∗ (X ∗ ) ⊂ H ñîîòíîøåíèåì

U I ∗ f := J ∗ f,

f ∈ X ∗.

4.2. Òåîðåìà î ôàêòîðèçàöèè

47

Èìååì

(U I ∗ f, U I ∗ g)H

= (J ∗ f, J ∗ g)H = (f, JJ ∗ g) = (f, Kg) = (f, II ∗ g) = (I ∗ f, I ∗ g)XP∗ ,

òàê ÷òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (à çíà÷èò, íîðìû è ðàññòîÿíèÿ) ñîõðàíÿåòñÿ. Î÷åâèäíî, èçîìåòðèÿ U ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíà äî ñîîòâåòñòâóþùèõ çàìûêàíèé. Ïî îïðåäåëåíèþ, çàìûêàíèåì I ∗ (X ∗ ) ñëóæèò âñ¼ ïðîñòðàíñòâî XP∗ . Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî çàìûêàíèåì J ∗ (X ∗ ) ÿâëÿåòñÿ âñ¼ ïðîñòðàíñòâî H. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ýëåìåíò ∈ H îðòîãîíàëåí J ∗ (X ∗ ), òî ïðè âñåõ f ∈ X ∗

0 = (J ∗ f, )H = (f, J ). Îòñþäà ñëåäóåò J = 0 è èç âçàèìíîé îäíîçíà÷íîñòè J ïîëó÷àåì = 0. Èòàê, ïðîäîëæåíèå U áóäåò èçîìåòðèåé ïðîñòðàíñòâ XP∗ è H. Íàì îñòà¼òñÿ ïðîâåðèòü îïåðàòîðíîå òîæäåñòâî I = JU. (4.3)  ýòîì ñëó÷àå áóäåì èìåòü

HP = I(XP∗ ) = JU (XP∗ ) = J(H), |h|HP = ||I −1 h||XP∗ = ||U −1 J −1 h||XP∗ = ||J −1 h||H . Èòàê, îáðàòèìñÿ ê (4.3). Äëÿ ëþáûõ z ∈ XP∗ , f ∈ X ∗ èìååì

(f, JU z) = (J ∗ f, U z)H = (U −1 J ∗ f, z)XP∗ = (I ∗ f, z) = (f, Iz). Îòñþäà ñëåäóåò (JU )z = Iz . 

Ïðèìåð 4.4 (Âèíåðîâñêèé ïðîöåññ). Íàéä¼ì ÿäðî ðàñïðåäåëåíèÿ âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà, îïðåäåë¼ííîãî â ïðèìåðå 2.3. Ïóñòü X = C[0, 1], X = W , H = L2 [0, 1]. Îïåðàòîð J : H →  X îïðåäåëèì êàê îïåðàòîð èíòåãðèðîâàíèÿ

 (J )(t) =

t

(s)ds. 0

Ãëàâà 4. Èçìåðèìûå ôóíêöèîíàëû è ÿäðî

48

Íàïîìíèì, ÷òî X ∗ = M[0, 1]  ïðîñòðàíñòâî çàðÿäîâ êîíå÷íîé âàðèàöèè (çíàêîïåðåìåííûõ ìåð) íà [0, 1]. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî J ∗ : M[0, 1] → H çàäà¼òñÿ ôîðìóëîé

(J ∗ μ)(s) = μ[s, 1]. Îòñþäà

(JJ ∗ μ)(t)



t

= 

0



0

(J ∗ μ)(s)ds =

t

μ[s, 1]ds 0



1



1

=

1s≤t 1s≤u μ(du)ds

0 1

min{t, u}μ(du) = Kμ(t).

= 0

Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå ôàêòîðèçàöèè âûïîëíåíî. Êðîìå òîãî, îïåðàòîð J âçàèìíî-îäíîçíà÷åí. Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó 4.1, ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî ÿäðî âèíåðîâñêîé ìåðû èìååò âèä    t HP = h : h(t) =

(s)ds, ∈ L2 [0, 1] 0

=

{h : h ∈ AC[0, 1], h(0) = 0, h ∈ L2 [0, 1]} . (4.4)

Çäåñü AC[0, 1]  êëàññ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé. Íîðìà è ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â HP çàäàþòñÿ ôîðìóëàìè

 |h|2HP =

1

h (s)2 ds,

0



1

(h1 , h2 )HP = 0

h1 (s)h2 (s)ds.

Ôàêòè÷åñêè ýòî ñîáîëåâñêîå ïðîñòðàíñòâî òèïà W21 ñ îäíîñòîðîííèì êðàåâûì óñëîâèåì. ßäðî âèíåðîâñêîé ìåðû ïîÿâèëîñü â ðàáîòàõ Êàìåðîíà è Ìàðòèíà [66] è áûëî ïåðâûì ñðåäè èçó÷åííûõ ÿäåð. Ïîýòîìó èíîãäà åãî è äàæå ÿäðà äðóãèõ ãàóññîâñêèõ ðàñïðåäåëåíèé íàçûâàþò ïðîñòðàíñòâîì ÊàìåðîíàÌàðòèíà .

4.2. Òåîðåìà î ôàêòîðèçàöèè

49

Çàìå÷àíèå 4.3

ßäðî (êàê ìíîæåñòâî è êàê ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî) íà ñàìîì äåëå íå çàâèñèò îò òîãî, â êàêîì ïðîñòðàíñòâå ìû ðàññìàòðèâàåì ãàóññîâñêèé âåêòîð. Íàïðèìåð, åñëè ðàññìàòðèâàòü âèíåðîâñêèé ïðîöåññ êàê ñëó÷àéíûé ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà X˜ = L2 [0, 1], ÿäðî îêàæåòñÿ òåì æå ñàìûì ïðîñòðàíñòâîì ÊàìåðîíàÌàðòèíà.

Ïðèìåð 4.5

(ßäðî ïðîöåññà ñ èíòåãðàëüíûì ïðåäñòàâëå-

íèåì).

Ðàññìîòðèì ãàóññîâñêèé ïðîöåññ X(t), t ∈ T , äîïóñêàþùèé èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ïî áåëîìó øóìó íà íåêîòîðîì ïðîñòðàíñòâå (R, A, ν),

 X(t) =

R

mt (u) W(du),

t ∈ T, mt ∈ L2 (R, A, ν),

÷òî ðàâíîñèëüíî âîçìîæíîñòè ïðåäñòàâèòü êîâàðèàöèîííóþ ôóíêöèþ X â âèäå

 K(s, t) := EX(s)X(t) =

R

ms mt dν,

s, t ∈ T.

×òîáû èçáåæàòü òîïîëîãè÷åñêèõ òîíêîñòåé, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî T  êîìïàêòíîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî è ÷òî òðàåêòîðèè X íåïðåðûâíû íà T . Òîãäà ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî X  ñëó÷àéíûé âåêòîð â X = C(T ) ñ èíòåãðàëüíûì êîâàðèàöèîííûì îïåðàòîðîì (ñì. (2.2), ïðèìåð 2.4). Ïîëîæèì H = L2 (R, A, ν) è îïðåäåëèì ôàêòîðèçóþùèé îïåðàòîð J : H → X ôîðìóëîé

 (J )(t) := ( , mt )H =

R

mt dν,

t ∈ T.

Ñîïðÿæ¼ííûé îïåðàòîð J ∗ : M(T ) → H äåéñòâóåò ïî ôîðìóëå  ∗ (J μ)(u) = ms (u)μ(ds) T

Ãëàâà 4. Èçìåðèìûå ôóíêöèîíàëû è ÿäðî

50 è ìû ïîëó÷àåì

(JJ ∗ μ)(t)



= = = =

(J ∗ μ)(u)mt (u)ν(du)   ms (u)μ(ds)mt (u)ν(du) R  T ms (u)mt (u)ν(du)μ(ds) T R  K(s, t)μ(ds) = (Kμ)(t). R

T

Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå ôàêòîðèçàöèè âûïîëíåíî. Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó 4.1, ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî    HP = h : h(t) =

(u)mt (u)ν(du), ∈ L2 (R, A, ν) . (4.5) R

Åñëè îïåðàòîð J åù¼ è âçàèìíî-îäíîçíà÷åí, òî ìîæíî íàéòè è íîðìó  |h|2P = l(u)2 ν(du), è ñîîòâåòñòâóþùåå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå. ßäðî âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà (4.4), êîíå÷íî, ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé ýòîé êîíñòðóêöèè ñ ïîìîùüþ ïðåäñòàâëåíèÿ (3.2). Ïðèâåä¼ì åù¼ äâà ïðèìåðà.

Ïðèìåð 4.6 (ßäðî äðîáíîãî áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ [12]).

Íàïîìíèì, ÷òî ïðîöåññ äðîáíîãî áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ W (α) (t), t ∈ R, áûë îïðåäåëåí â ïðèìåðå 2.5, à åãî èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå íàéäåíî â ïðèìåðå 3.3. Ïîäñòàâëÿÿ ýòî ïðåäñòàâëåíèå â (4.5), íàéä¼ì, ÷òî ÿäðî èìååò âèä    ∞   α−1 α−1 2 2 h : h(t) = cα (t − u) 1u≤t − (−u) 1u≤0 (u)du , −∞

∈ L2 (R). Èíûìè ñëîâàìè, ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæèò ÿäðó ÄÁÄ, åñëè å¼ äðîáíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïîðÿäêà α+1 êâàäðàòè÷íî èí2 òåãðèðóåìà.

4.2. Òåîðåìà î ôàêòîðèçàöèè

51

Óïðàæíåíèå 4.1

Íàéäèòå ÿäðî ïðîöåññà ÐèìàíàËèóâèëëÿ, îïðåäåë¼ííîãî â ïðèìåðå 3.4.

Ïðèìåð 4.7

(ßäðî áðîóíîâñêîãî ëèñòà). Íàïîìíèì, ÷òî áðîóíîâñêèé ëèñò W (t), t ∈ Rd+ , áûë îïðåäåëåí â ïðèìåðå 2.7, à åãî èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå íàéäåíî â ïðèìåðå 3.5. Ïîäñòàâëÿÿ ýòî ïðåäñòàâëåíèå â (4.5), íàéä¼ì, ÷òî ÿäðî èìååò âèä   d d h : h(t) =

(u)λ (du), ∈ L2 (R+ ) . [0,t]

Èíûìè ñëîâàìè, ôóíêöèÿ h : Rd+ → R ïðèíàäëåæèò ÿäðó d áðîóíîâñêîãî ëèñòà, åñëè å¼ ñìåøàííàÿ ïðîèçâîäíàÿ ∂t1∂...∂td h êâàäðàòè÷íî èíòåãðèðóåìà. Ïîëåçíî áóäåò óçíàòü, êàê âåä¼ò ñåáÿ ÿäðî ïðè ëèíåéíîì ïðåîáðàçîâàíèè ãàóññîâñêîãî âåêòîðà. Èòàê, ïóñòü X ∈ X  öåíòðèðîâàííûé ãàóññîâñêèé âåêòîð ñ êîâàðèàöèîííûì îïåðàòîðîì KX è ðàñïðåäåëåíèåì P = N (0, KX ), à L : X → Y  íåïðåðûâíîå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå. Ðàññìîòðèì Y := LX  îáðàç X ïîä äåéñòâèåì L. Î÷åâèäíî, Y  ãàóññîâñêèé âåêòîð â Y ñ êîâàðèàöèîííûì îïåðàòîðîì KY = LKX L∗ è ðàñïðåäåëåíèåì Q := P L−1 .

Ïðåäëîæåíèå 4.1

Âåðíî ðàâåíñòâî

HQ = L(HP ) è

|v|HQ =

inf

h∈L−1 v

|h|HP ,

∀v ∈ HQ .

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü I, I ∗  êàíîíè÷åñêèå îïåðàòîðû,

ñâÿçàííûå ñ âåêòîðîì X . Òîãäà ìû íàõîäèì ôàêòîðèçàöèþ

KY = LKX L∗ = LII ∗ L∗ = (LI)(LI)∗ . Ïî òåîðåìå 4.1 èìååì HQ = (LI)(XP∗ ) = L(HP ), à òàêæå äëÿ ëþáîãî v ∈ HQ

|v|HQ =

inf

z∈(LI)−1 v

||z||XP∗ =

inf

z∈(LI)−1 v

|Iz|HP =

inf

h∈L−1 v

|h|HP .



Ãëàâà 4. Èçìåðèìûå ôóíêöèîíàëû è ÿäðî

52

Ïðîèëëþñòðèðóåì äåéñòâèå ýòîãî ïðåäëîæåíèÿ äâóìÿ ïðèìåðàìè.

Ïðèìåð 4.8 (ßäðî ïðîöåññà ÎðíøòåéíàÓëåíáåêà). Íàïîìíèì, ÷òî ïðîöåññ ÎðíøòåéíàÓëåíáåêà áûë îïðåäåëåí â ïðèìåðå 2.6 èìåííî êàê ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà, X(t) = e−t/2 W (et ). Ïîëîæèì X = C[0, e], Y = C[0, 1], à îïåðàòîð L çàäàäèì êàê (Lw)(t) = e−t/2 w(et ). Ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 4.1, äîñòàòî÷íî íàéòè îáðàç âèíåðîâñêîãî ÿäðà (4.4) ïðè îòîáðàæåíèè L. Ïóñòü v = Lh. Òîãäà h ìîæíî ÷àñòè÷íî âûðàçèòü ÷åðåç v ïî ôîðìóëå √ h(s) = s v(ln s), 1 ≤ s ≤ e. Îòñþäà h(1) = v(0) è 2 √   e  e sv (ln s) v(ln s) √ + h (s)2 ds = ds s 2 s 1 1 2  e ds v(ln s)  = + v (ln s) 2 s 1 2  1 v(t) = + v  (t) dt 2 0   1  1 1 1 v(t)2 dt + v(t)v  (t)dt + v  (t)2 dt = 4 0 0 0   1 2 2 − v(0) v(1) 1 1 v(t)2 dt + v  (t)2 dt. = + 4 0 2 0 Ôóíêöèÿ h íå îïðåäåëåíà óñëîâèåì Lh = v íà èíòåðâàëå [0, 1] îäíîçíà÷íî; èçâåñòíî ëèøü, ÷òî h(0) = 0 è h(1) = v(0). Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ ìèíèìóì èíòåãðàëà êâàäðàòà ïðîèçâîäíîé äîñòèãàåòñÿ íà ëèíåéíîé ôóíêöèè è ðàâåí v(0)2 , ïîñêîëüêó



1 0

h (s)2 ds ≥



1

h (s)ds

2 2

= (h(1) − h(0)) = h(1)2 = v(0)2 .

0

Ïîëó÷àåì, ÷òî ÿäðî H U ïðîöåññà ÎðíøòåéíàÓëåíáåêà â C[0, 1] èìååò âèä

H U = {v : v ∈ AC[0, 1], v  ∈ L2 [0, 1]}

4.2. Òåîðåìà î ôàêòîðèçàöèè è

|v|2H U =

v(1)2 + v(0)2 1 + 2 4



1

53



1

v(t)2 dt+

0

v  (t)2 dt,

v ∈ HU .

0

Ñòàöèîíàðíîñòü ïðîöåññà âûðàæàåòñÿ â òîì, ÷òî âñå ìîìåíòû âðåìåíè âõîäÿò â èíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå äëÿ íîðìû ðàâíîïðàâíî è èìååòñÿ ñèììåòðèÿ ïî îòíîøåíèþ ê èíâåðñèè âðåìåíè.

Óïðàæíåíèå 4.2

Íàéäèòå ÿäðî ïðîöåññà ÎðíøòåéíàÓëåíáåêà â C[a, b] äëÿ ïðîèçâîëüíîãî èíòåðâàëà [a, b] ⊂ R. Ðåøèòå àíàëîãè÷íóþ çàäà÷ó äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ãàóññîâñêîãî ïðîöåññà X ñ êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèåé íåñêîëüêî áîëåå îáùåãî âèäà EX(s)X(t) = αe−β|s−t| .

Ïðèìåð 4.9

(ßäðî áðîóíîâñêîãî ìîñòà). Íàïîìíèì, ÷òî îäíî èç âîçìîæíûõ îïðåäåëåíèé áðîóíîâñêîãî ìîñòà èìååò âèä

W 0 (t) = W (t) − tW (1),

0 ≤ t ≤ 1,

ãäå W  âèíåðîâñêèé ïðîöåññ. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî W 0 = LW , ãäå ëèíåéíûé îïåðàòîð L : C[0, 1] → C[0, 1] çàäàí ñîîòíîøåíèåì (Lw)(t) = w(t) − tw(1). Ñëåäîâàòåëüíî, ÿäðî áðîóíîâñêîãî ìîñòà H 0 ïîëó÷àåòñÿ èç ÿäðà âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà (4.4) ïðèìåíåíèåì L. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî

H 0 = {v : v ∈ AC[0, 1], v(0) = v(1) = 0, v  ∈ L2 [0, 1]} . Äåéñòâèòåëüíî, ëþáàÿ ôóíêöèÿ èç ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà ïðèíàäëåæèò âèíåðîâñêîìó ÿäðó è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Lh = h. Ïîýòîìó îíà ïðèíàäëåæèò H 0 . Îáðàòíî, åñëè ôóíêöèÿ h ïðèíàäëåæèò îáðàçó ÿäðà âèíåðîâñêîé ìåðû, òî îíà óäîâëåòâîðÿåò âñåì óñëîâèÿì èç ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà. Îñòà¼òñÿ íàéòè ãèëüáåðòîâó ñòðóêòóðó â íàéäåííîì ÿäðå. Ïóñòü v ∈ H 0 è Lh = v . Òîãäà h(t) = v(t) + th(1), îòêóäà h (t) = v  (t) + h(1) è  1  1  1 2  2  2 2 |h| = h (t) dt = v (t) dt + h(1) + 2h(1) v  (t)dt 0

 =

0

0 1

v  (t)2 dt + h(1)2 ,

0

Ãëàâà 4. Èçìåðèìûå ôóíêöèîíàëû è ÿäðî

54 ïîñêîëüêó



1

v  (t)dt = v(1) − v(0) = 0.

0

Ìèíèìóì óêàçàííîãî âûðàæåíèÿ ïî h ∈ L v äîñòèãàåòñÿ, î÷åâèäíî, ïðè h(1) = 0, ò.å. ïðè h = v. Ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî  −1

1

|v|2H 0 =

v  (t)2 dt,

0

ò.å. íîðìà è ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â H  òå æå ñàìûå, ÷òî â ÿäðå âèíåðîâñêîé ìåðû. 0

4.3 Àëüòåðíàòèâíûå ïîäõîäû ê îïðåäåëåíèþ ÿäðà

Âîñïðîèçâîäÿùåå ÿäðî (RKHS) Îäíèì èç ðàñïðîñòðàíåííûõ ïîäõîäîâ ê ïîñòðîåíèþ ÿäðà ÿâëÿåòñÿ êîíöåïöèÿ âîñïðîèçâîäÿùåãî ÿäðà [45]. Ïóñòü T  ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî, è K : T × T → R  íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåë¼ííàÿ ôóíêöèÿ (ÿäðî). Ïðîñòðàíñòâî H , âîñïðîèçâîäÿùåå ÿäðî K , ñîñòîèò èç ôóíêöèé f : T → R. Îíî ñòðîèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Áåðåòñÿ ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ôóíêöèé K(t, ·), t ∈ T ; â íåé ââîäèòñÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå èñõîäÿ èç ñîîòíîøåíèÿ K(s, ·), K(t, ·) := K(s, t),

s, t ∈ T.

ïîëó÷àåòñÿ êàê ïîïîëíåíèå ýòîé îáîëî÷êè îòíîñèòåëüíî ãèëüáåðòîâà ðàññòîÿíèÿ. Óñòàíîâèì ñâÿçü ýòîé êîíñòðóêöèè ñ íàøèì ïîíÿòèåì ÿäðà. Ïóñòü T  ìåòðè÷åñêèé êîìïàêò, X ∈ C(T )  öåíòðèðîâàííûé ãàóññîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñ íåïðåðûâíûìè òðàåêòîðèÿìè è êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèåé K(s, t). Äëÿ ëþáîãî t ∈ T ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàë (δ , x) := x(t) è ïîëîæèì h := II δ . Òîãäà H

∗

t

t

t

ht (s) = (δs , II ∗ δt ) = (I ∗ δs , I ∗ δt )XP∗ = EX(s)X(t) = K(s, t), 

Reproducing kernel Hilbert space, RKHS.

4.3. Àëüòåðíàòèâíûå ïîäõîäû ê îïðåäåëåíèþ ÿäðà

55

ò.å. ht = K(·, t). Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íàõîäèòñÿ ïî çíàêîìîé ôîðìóëå

(hs , ht )HP = (II ∗ δs , II ∗ δt )HP = (I ∗ δs , I ∗ δt )XP∗ = K(s, t). Òàêèì îáðàçîì, âîñïðîèçâîäÿùåå ÿäðî ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì ïîäïðîñòðàíñòâîì HP . Ïðèáëèæàÿ ïðîèçâîëüíûå ëèíåéíûå ôóíêöèîíàëû ëèíåéíûìè êîìáèíàöèÿìè δ -ôóíêöèîíàëîâ, íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî îáà ïðîñòðàíñòâà â äåéñòâèòåëüíîñòè ñîâïàäàþò.

Âåêòîðíûå èíòåãðàëû Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî íàì óäàëîñü êîððåêòíî îïðåäåëèòü âåêòîðíîçíà÷íûå èíòåãðàëû, à èìåííî, â îáû÷íûõ îáîçíà÷åíèÿõ,  E [z(X) X] = z(x)xP (dx), z ∈ XP∗ . X

Òîãäà ïðè âñåõ z ∈ XP∗ , f ∈ X ∗ âåðíî

(f, Ez(X)X) = Ez(X)(f, X) = (z, I ∗ f )XP∗ = (f, Iz). Ïîëó÷àåì ïðåäñòàâëåíèå ÿäðà ìåðû P ÷åðåç âåêòîðíûå èíòåãðàëû [61, 124]   HP = {Iz, z ∈ XP∗ } = z(x)xP (dx), z ∈ XP∗ . X

Ïîëÿðíîå ïðåäñòàâëåíèå Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî ëèíåéíûõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèîíàëîâ    ∗ 2 2 ∗ 2 B = f ∈ X : E(f, X) = (f, x) P (dx) = ||I f ||XP∗ ≤ 1 . X

Äëÿ ëþáîãî h = Iz ∈ HP èìååì

sup |(f, h)| = sup |(f, Iz)| = sup |(I ∗ f, z)XP∗ | ≤ ||z||XP∗ = |h|HP .

f ∈B

f ∈B

f ∈B

56

Ãëàâà 4. Èçìåðèìûå ôóíêöèîíàëû è ÿäðî

Ïðèáëèæàÿ z íåïðåðûâíûìè ôóíêöèîíàëàìè, íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî çäåñü èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî è 

HP =

h ∈ X : sup |(f, h)| < ∞ . f ∈B

Ãëàâà 5

Òåîðåìà ÊàìåðîíàÌàðòèíà Ïóñòü X  ñëó÷àéíûé âåêòîð â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå X , à h  âåêòîð â X . Îáîçíà÷èì ÷åðåç P ðàñïðåäåëåíèå X . Òîãäà ðàñïðåäåëåíèå Ph âåêòîðà X + h îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé Ph (A) = P (A − h)

íà âñåõ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâàõ A ⊂ X è íàçûâàåòñÿ ñäâèãîì íà âåêòîð h. Íàñ èíòåðåñóåò âîïðîñ îá àáñîëþòíîé íåïðåðûâíîñòè Ph îòíîñèòåëüíî P . Íàïîìíèì, ÷òî ìåðà Q àáñîëþòíî íåïðåðûâíà îòíîñèòåëüíî P (çàïèñûâàåòñÿ Q  P ), åñëè P (A) = 0 âëå÷¼ò Q(A) = 0. Ýêâèâàëåíòíîå ñâîéñòâî: ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïëîòíîñòü g := dQ ∈ L (X , P ) , ÷òî äëÿ âñåõ 1 dP èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ A ⊂ X âåðíî P



Q(A) =

gdP. A

Åñëè Ph  P , òî h íàçûâàåòñÿ äîïóñòèìûì ñäâèãîì äëÿ P . Åñëè ch  äîïóñòèìûé ñäâèã äëÿ P ïðè âñåõ c ∈ R, òî ãîâîðÿò, ÷òî h îïðåäåëÿåò äîïóñòèìîå íàïðàâëåíèå äëÿ P . Íàñ èíòåðåñóåò ñëó÷àé ãàóññîâñêèõ ìåð, ò.å. P = N (a, K) è Ph = N (a + h, K).

Ãëàâà 5. Òåîðåìà ÊàìåðîíàÌàðòèíà

58

Ñóòü ïðîèñõîäÿùåãî ìîæíî óñìîòðåòü óæå â îäíîìåðíîì ñëó÷àå.

Ïðèìåð 5.1

Ïóñòü X = R è P = N (0, 1), h ∈ R. Òîãäà ïëîòíîñòü ìåðû P îòíîñèòåëüíî ìåðû Ëåáåãà åñòü

1 p(x) = √ exp{−x2 /2}, 2π à äëÿ ìåðû Ph = N (h, 1) èìååì ïëîòíîñòü

1 ph (x) = √ exp{−(x − h)2 /2}. 2π Ïîýòîìó Ph  P è

  dPh ph (x) h2 . (x) = = exp hx − dP p(x) 2

 îáùåì ñëó÷àå íå êàæäûé ñäâèã áóäåò äîïóñòèìûì, íî äëÿ äîïóñòèìûõ ñäâèãîâ ôîðìà ïëîòíîñòè áóäåò èìåííî òàêîé: ýêñïîíåíòà îò ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà ñ íîðìèðóþùåé êîíñòàíòîé êâàäðàòè÷íîãî âèäà.

Òåîðåìà 5.1 (Òåîðåìà ÊàìåðîíàÌàðòèíà.) Ïóñòü P  öåíòðèðîâàííàÿ ãàóññîâñêàÿ ìåðà â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå X . Òîãäà Ph  P â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà âåðíî h h ∈ HP . Åñëè h ∈ HP , òî ïëîòíîñòü dP dP èìååò âèä

  |h|2HP dPh , (x) = exp z(x) − dP 2

(5.1)

z ∈ XP∗  òàêîé ëèíåéíûé èçìåðèìûé ôóíêöèîíàë, ÷òî Iz = h.

ãäå

Èç òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ëþáîé äîïóñòèìûé ñäâèã ãàóññîâñêîé ìåðû îïðåäåëÿåò äîïóñòèìîå íàïðàâëåíèå. Ôîðìóëà äëÿ ïëîòíîñòè (5.1) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé ÊàìåðîíàÌàðòèíà . Ñîáñòâåííî ãîâîðÿ, àìåðèêàíñêèå ìàòåìàòèêè Êàìåðîí è Ìàðòèí â 40-õ ãîäàõ ÕÕ âåêà ðàññìàòðèâàëè íå îáùèé ñëó÷àé, à òîëüêî âèíåðîâñêèé ïðîöåññ, äëÿ êîòîðîãî ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ñëåäñòâèå. Ïóñòü X = C[0, 1], X = W  âèíåðîâñêèé ïðîöåññ, P è HP  ñîîòâåòñòâåííî åãî ðàñïðåäåëåíèå

Ãëàâà 5. Òåîðåìà ÊàìåðîíàÌàðòèíà

59

(âèíåðîâñêàÿ ìåðà) è ÿäðî. Íàïîìíèì, ÷òî

HP = {h ∈ AC[0, 1], h(0) = 0, h ∈ L2 [0, 1]},

 |h|2HP

1

=

h (s)2 ds,

h ∈ HP .

0

×òî êàñàåòñÿ ôóíêöèîíàëà z , àññîöèèðîâàííîãî ñ âåêòîðîì h ôîðìóëîé Iz = h, òî íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî îí èìååò âèä âèíåðîâñêîãî èíòåãðàëà



1

z(w) =

h (s)dw(s).

0

Äåéñòâèòåëüíî, ñ ó÷¼òîì èçîìåòðè÷åñêîãî ñâîéñòâà âèíåðîâñêèõ èíòåãðàëîâ äëÿ ëþáîãî t ∈ [0, 1] íàéä¼ì

Iz(t)

= =

δt (Iz) = (I ∗ δt , z) = EW (t)z(W )  1   1  E 1[0,t] (s)dw(s) · h (s)dw(s) 0



t

=

0

h (s)ds = h(t).

0

Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëà ÊàìåðîíàÌàðòèíà äëÿ âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà èìååò âèä

dPh (w) = exp dP

 0

1

h (s)dw(s) −

1 2



1 0

 h (s)2 ds .

Ãëàâà 5. Òåîðåìà ÊàìåðîíàÌàðòèíà

60

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ÊàìåðîíàÌàðòèíà . 1)

Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü h ∈ HP . Ðàññìîòðèì ìåðó   |h|2 P (dx). Q(dx) = exp z(x) − HP 2

Íàì äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî Q = Ph . Äëÿ ýòîãî ìû ïðîâåðèì ñîâïàäåíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé. Ïóñòü f ∈ X ∗ . Òîãäà  ei(f,x) Ph (dx) = Eei(f,X+h) = ei(f,h)−(f,Kf )/2 , X

ãäå X  âåêòîð ñ ðàñïðåäåëåíèåì P . Ñ äðóãîé ñòîðîíû,     |h|2HP i(f,x) P (dx) e Q(dx) = exp i(f, x) + z(x) − 2 X X   |h|2 E exp {i(f, X) + z(X)} . = exp − HP 2 Çàìåòèì, ÷òî äâóìåðíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð Y = ((f, X), z(X)) ÿâëÿåòñÿ öåíòðèðîâàííûì ãàóññîâñêèì ñ êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöåé   (f, Kf ) (f, h) Y K = . (f, h) |h|2HP Äåéñòâèòåëüíî, E(f, X)2 = (f, Kf ) ïî îïðåäåëåíèþ êîâàðèàöèîííîãî îïåðàòîðà,

E(f, X)z(X) = (I ∗ f, z)XP∗ = (f, Iz) = (f, h) è

Ez(X)2 = ||z||2XP∗ = |h|2HP .

Ïî èçâåñòíîé ôîðìóëå äëÿ êîíå÷íîìåðíûõ ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ âåðíî ( K Y v 2 + 2K Y v v + K Y v 2 ) 11 1 12 1 2 22 2 . Eev1 Y1 +v2 Y2 = exp 2 Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà v1 = i, v2 = 1, ïîëó÷èì   −(f, Kf ) + 2i(f, h) + |h|2HP . E exp {i(f, X) + z(X)} = exp 2

Ãëàâà 5. Òåîðåìà ÊàìåðîíàÌàðòèíà Îòñþäà



 X

ei(f,x) Q(dx) = exp

−(f, Kf ) + 2i(f, h) 2

61

 ,

è ñîâïàäåíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé ïðîâåðåíî. 2) Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü h  äîïóñòèìûé ñäâèã, ïîêàæåì, ÷òî h ∈ HP . Äëÿ ýòîãî ìû äîëæíû íàéòè òàêîé ëèíåéíûé èçìåðèìûé ôóíêöèîíàë z ∈ XP∗ , ÷òî h = Iz . Äëÿ êàæäîãî f ∈ X ∗ îáîçíà÷èì μf è νf ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (f, X) è (f, X + h). Îáà îíè ÿâëÿþòñÿ íîðìàëüíûìè: åñëè P = N (0, K), òî μf = N (0, (f, Kf )) è νf = N ((f, h), (f, Kf )). Òàê êàê Ph  P , òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ òàêîå δ > 0, ÷òî äëÿ èçìåðèìîãî A ⊂ X èç P (A) ≤ δ âûòåêàåò Ph (A) ≤ ε.  ÷àñòíîñòè, äëÿ ëþáîãî áîðåëåâñêîãî ìíîæåñòâà B ⊂ R èç μf (B) ≤ δ âûòåêàåò νf (B) ≤ ε. Ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, âîçìîæíî òîëüêî åñëè ðàçíîñòü áàðèöåíòðîâ ðàñïðåäåëåíèé μf è νf ñîèçìåðèìà ñ èõ îáùèì ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì óêëîíåíèåì (f, Kf )−1/2 :

sup

f ∈X ∗ ,f =0

|(f, h)| < ∞. (f, Kf )1/2

(5.2)

Äåéñòâèòåëüíî, ïîëîæèì ε = 1/2 è âûáåðåì ñîîòâåòñòâóþùåå δ . Âîçüì¼ì

B = {r ∈ R : |r| ≤ Φ−1 (1 − δ/2) (f, Kf )1/2 }. Òîãäà μf (R\B) = δ , îòêóäà νf (R\B) ≤ 1/2 è νf (B) ≥ 1/2. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîëàãàÿ

B  = {r ∈ R : |r − (f, h)| ≤ 2(f, Kf )1/2 )}, èìååì νf (B  ) > 1/2. Ïîýòîìó ìíîæåñòâà B è B  èìåþò íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå, ò.å.   |(f, h)| ≤ 2 + Φ−1 (1 − δ/2) (f, Kf )1/2 , ÷òî è ïîäòâåðæäàåò (5.2). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî (f, Kf ) = |I ∗ f |2 , ïîëó÷èì èç (5.2)

sup

f ∈X ∗ ,f =0

|(f, h)| < ∞. |I ∗ f |

Ãëàâà 5. Òåîðåìà ÊàìåðîíàÌàðòèíà

62

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë A, çàäàííûé ñîîòíîøåíèåì A(I ∗ f ) = (f, h), íà ïëîòíîì ïîäïðîñòðàíñòâå I ∗ X ∗ ⊂ XP∗ äîïóñêàåò ïðîäîëæåíèå äî ëèíåéíîãî íåïðåðûâíîãî ôóíêöèîíàëà íà XP∗ . Ïî òåîðåìå Ðèññà îá îáùåé ôîðìå ëèíåéíîãî íåïðåðûâíîãî ôóíêöèîíàëà íà ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå, íàéä¼òñÿ òàêîé ýëåìåíò z ∈ XP∗ , ÷òî

(f, h) = A(I ∗ f ) = (I ∗ f, z) = (f, Iz),

f ∈ X ∗.

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî h = Iz .  Èíòåðåñíîé èëëþñòðàöèåé ïîëåçíîñòè òåîðåìû Êàìåðîíà Ìàðòèíà ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ îöåíêà ìåðû ìíîæåñòâà ñäâèíóòîé ìåðû, ïðèíàäëåæàùàÿ øâåäñêîìó ìàòåìàòèêó Ê. Áîðåëëþ .

Ïðåäëîæåíèå 5.1 Íåðàâåíñòâî Áîðåëëÿ äëÿ ñäâèíóòûõ

ìíîæåñòâ [62]. Ïóñòü P  öåíòðèðîâàííàÿ ãàóññîâñêàÿ ìåðà íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå X . Ïóñòü A ⊂ X  ñèììåòðè÷íîå ìíîæåñòâî, ò.å. A = −A. Òîãäà äëÿ ëþáîãî h ∈ HP âåðíî  2  P (A + h) ≥ P (A) exp −

|h|HP 2

.

(5.3)

Ýòà îöåíêà çàìå÷àòåëüíà ñâîåé ïðîñòîòîé è îñîáåííî îáùíîñòüþ.

Äîêàçàòåëüñòâî ïðåäëîæåíèÿ 5.1.

 ñèëó ñèììåòðèè P è A ìû èìååì P (A + h) = P (−A + h) = P (A − h). Ïîýòîìó

P (A + h)



1 (P (A + h) + P (A − h)) 2 1 (P−h (A) + Ph (A)) = 2   −z(x)  |h|2 e + ez(x) = exp − HP P (dx) 2 2 A   |h|2 P (A).  ≥ exp − HP 2 =

Christer Borell.

Ãëàâà 5. Òåîðåìà ÊàìåðîíàÌàðòèíà

$!

Çàìå÷àíèå 5.1 Ïîçäíåå ìû ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ñèììåòðè÷-

íûõ âûïóêëûõ ìíîæåñòâ âåðíî ïðîòèâîïîëîæíîå íåðàâåíñòâî P (A) ≥ P (A + h).

Ãëàâà 6

Èçîïåðèìåòðè÷åñêèå íåðàâåíñòâà 6.1 Åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî Èçîïåðèìåòðè÷åñêèå çàäà÷è çíàêîìû íàì èç øêîëüíûõ êóðñîâ ãåîìåòðèè èëè ôèçèêè â ñëåäóþùåé ôîðìå: ”ñðåäè âñåõ òåë çàäàííîãî îáú¼ìà íàéòè òî, êîòîðîå èìååò íàèìåíüøóþ ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè“ èëè ”ñðåäè âñåõ òåë çàäàííîé ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè íàéòè òî, êîòîðîå èìååò íàèáîëüøèé îáú¼ì“ .  ñëó÷àå åâêëèäîâà îáú¼ìà ðåøåíèåì îáåèõ çàäà÷ ÿâëÿåòñÿ øàð. Ñîîòâåòñòâóþùåå èçîïåðèìåòðè÷åñêîå íåðàâåíñòâî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè A ⊂ Rn  ãëàäêîå“ ìíîæåñòâî è B - øàð â Rn , òî ” λn (A) = λn (B)  |∂A| ≥ |∂B|,

ãäå â ïðàâîé ÷àñòè ñèìâîë ∂ îáîçíà÷àåò ãðàíèöó ìíîæåñòâà, à | · |  ïîâåðõíîñòíóþ ìåðó. Ýòà ôîðìóëèðîâêà íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ óäîáíîé äëÿ ïåðåõîäà ê áåñêîíå÷íîìåðíûì ïðîñòðàíñòâàì  ñëèøêîì ”õðóïêî“ ïîíÿòèå ïîâåðõíîñòíîé ìåðû. Ïîýòîìó ïåðåïèøåì èçîïåðèìåòðè÷åñêîå íåðàâåíñòâî â íåñêîëüêî èíîì âèäå. Ïóñòü Br  çàìêíóòûé øàð ðàäèóñà r ñ öåíòðîì

6.1. Åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî

65

â íóëå. Îïðåäåëèì r-ðàñøèðåíèå ìíîæåñòâà A ôîðìóëîé

Ar := A + Br . Çàìåíÿÿ ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè íà îáú¼ì ìàëåíüêîé r-ïîëîñêè âîêðóã ìíîæåñòâà, ïîëó÷èì íîâóþ ôîðìóëèðîâêó èçîïåðèìåòðè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà

λn (A) = λn (B)  λn (Ar \A) ≥ λn (B r \B), ÷òî ðàâíîñèëüíî ñîîòíîøåíèþ

λn (A) = λn (B)  λn (Ar ) ≥ λn (B r ). Çàìå÷àòåëüíî, ÷òî ýòî âåðíî ìàëûõ.

äëÿ âñåõ

(6.1)

r > 0, à íå òîëüêî äëÿ

Çàìå÷àíèå 6.1

Èçîïåðèìåòðè÷åñêîå íåðàâåíñòâî â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå èçâåñòíî ñ àíòè÷íûõ âðåì¼í. Ïåðâûå äîêàçàòåëüñòâà íà ïðèåìëåìîì äëÿ ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè óðîâíå ñòðîãîñòè âîñõîäÿò ê ß. Øòåéíåðó [165]. Ïîäðîáíîå èçëîæåíèå ñì. â [8]. Ãåîìåòðè÷åñêóþ ôîðìóëèðîâêó (6.1) ìîæíî ëåãêî ïðåâðàòèòü â àëãåáðàè÷åñêóþ, ãäå øàð âîîáùå íå áóäåò óïîìèíàòüñÿ. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî îáú¼ì åâêëèäîâà øàðà âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

λn (BR ) = cn Rn ,

cn =

π n/2 , Γ( n2 + 1)

ìû âèäèì, ÷òî ðàäèóñ øàðà B , ðàâíîâåëèêîãî ìíîæåñòâó A,  n 1/n  n 1/n , à ðàäèóñ øàðà B r ðàâåí λ c(A) + r. ðàâåí λ c(A) n n Ñîîòâåòñòâåííî ïîëó÷àåì * +n 1/n λn (A) n r λ (A ) ≥ cn +r , cn ÷òî ðàâíîñèëüíî 1/n  n r 1/n  n λ (A) λ (A ) ≥ + r. cn cn

66

Ãëàâà 6. Èçîïåðèìåòðè÷åñêèå íåðàâåíñòâà

Ôóíêöèþ ϕ(v) :=



v cn

1/n

ìîæíî íàçâàòü èçîïåðèìåòðè÷å-

ñêîé ôóíêöèåé ïðîñòðàíñòâà (Rn , λn ).

6.2 Åâêëèäîâà ñôåðà Ñëåäóþùèì âàæíûì ïðèìåðîì ïðîñòðàíñòâà ñ èçîïåðèìåòðè÷åñêèì ñâîéñòâîì ÿâëÿåòñÿ åâêëèäîâà ñôåðà Sn . Êàê èçâåñòíî, íà íåé îïðåäåëåíû åñòåñòâåííîå (ãåîäåçè÷åñêîå) ðàññòîÿíèå ρn (·, ·) è åäèíñòâåííàÿ êîíå÷íàÿ ìåðà σ n , èíâàðèàíòíàÿ îòíîñèòåëüíî âñåõ âðàùåíèé ñôåðû. Ïîñêîëüêó ñôåðà íå ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì, ðàñøèðåíèå ìíîæåñòâà A ⊂ Sn ñëåäóåò ïîíèìàòü êàê

Ar := {x ∈ Sn : inf ρ(x, y) ≤ r} y∈A

(â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå òàêîå îïðåäåëåíèå ðàâíîñèëüíî ïðèâåä¼ííîìó âûøå). Èçîïåðèìåòðè÷åñêîå íåðàâåíñòâî, äîêàçàííîå Ï. Ëåâè, óòâåðæäàåò (ñì. [8]), ÷òî, ïîäîáíî åâêëèäîâîìó ñëó÷àþ, ðåøåíèåì èçîïåðèìåòðè÷åñêîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ øàð B , ò.å.

σ n (A) = σ n (B)  σ n (Ar ) ≥ σ n (B r ). Ïîñêîëüêó ðàñøèðåíèåì øàðà íà ñôåðå ÿâëÿåòñÿ øàð, òî èçîïåðèìåòðè÷åñêîìó íåðàâåíñòâó íà ñôåðå òàêæå ìîæíî ïðèäàòü àëãåáðàè÷åñêóþ ôîðìó âèäà ϕ(σ , n (Ar )) ≥ ϕ(σ , n (A)) + r ñ ïîäõîäÿùåé èçîïåðèìåòðè÷åñêîé ôóíêöèåé ϕ ,. n Î÷åíü âàæíî çàìåòèòü, ÷òî øàðàìè â S ÿâëÿþòñÿ øà” ïî÷êè“ , êîòîðûå ìîæíî ïîëó÷èòü êàê ïåðåñå÷åíèÿ Sn ñ åâêëèäîâûìè ïîëóïðîñòðàíñòâàìè.  äàëüíåéøåì ìû ðàññìîòðèì ïðåäåëüíûé ïåðåõîä îò (Sn , σ n ) ê ãàóññîâñêèì ðàñïðåäåëåíèÿì, è íå òàê óæ óäèâèòåëüíî, ÷òî ðåøåíèåì èçîïåðèìåòðè÷åñêîé çàäà÷è â ãàóññîâñêîì ñëó÷àå îêàæåòñÿ ïîëóïðîñòðàíñòâî.

6.3. Êîíñòðóêöèÿ Ïóàíêàðå

67

6.3 Êîíñòðóêöèÿ Ïóàíêàðå Òåïåðü ìû ïîêàæåì, êàê ìîæíî ïåðåéòè îò ðàâíîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé íà ïîäõîäÿùèì îáðàçîì âûáðàííûõ ñôåðàõ ê ñòàíäàðòíîìó ãàóññîâñêîìó ðàñïðåäåëåíèþ â Rn (ýòó êîíñòðóêöèþ ïðèïèñûâàþò âåëèêîìó ôðàíöóçñêîìó ìàòåìàòèêó À. Ïóàíêàðå ).  ÷àñòíîñòè, óäà¼òñÿ ïåðåíåñòè íà ãàóññîâñêèé ñëó÷àé èçîïåðèìåòðè÷åñêîå íåðàâåíñòâî. Ïóñòü m ≥ n. Îáîçíà÷èì πm,n åñòåñòâåííóþ ïðîåêöèþ Rm → Rn , ò.å.

πm,n (x1 , . . . , xm ) = (x1 , . . . , xn ). Sm ðàÏóñòü √ σ m  åäèíè÷íàÿ èíâàðèàíòíàÿ ìåðà íà ñôåðå , m äèóñà m ñ öåíòðîì â íóëå â ïðîñòðàíñòâå R . Îïðåäåëèì −1 ïðîåêöèþ νm,n = σ m πm,n ìåðû σ m íà ïðîñòðàíñòâî Rn ñîîòíîøåíèåì   −1 νm,n (A) = σ m πm,n (A) .

Ïðåäëîæåíèå 6.1 (Ëåììà Ïóàíêàðå). Ïðè m → ∞ ìåðû νm,n ñëàáî ñõîäÿòñÿ â Rn ê ñòàíäàðòíîìó ãàóññîâñêîìó ðàñïðåäåëåíèþ N (0, En ).

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïóñòü X1 , . . . , Xn , . . . , Xm  íåçàâèñèìûå ñòàíäàðòíûå íîðìàëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, îáðàm çóþùèå âåêòîð Xm = (X1 , . . . , Xm ) ∈ Òîãäà σ m áóäåò  R√ .  X

m

j ðàñïðåäåëåíèåì ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ||X â Rm , à m || 1≤j≤m  √  Xj m â Rn . Îñòà¼òñÿ νm,n  ðàñïðåäåëåíèåì âåêòîðà ||X m ||

1≤j≤n

çàìåòèòü, ÷òî âåêòîð (Xj )1≤j≤n èìååò íóæíîå ðàñïðåäåëåíèå N (0, En ), à ïîïðàâî÷íûé ìíîæèòåëü ïî çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë ñõîäèòñÿ ê åäèíèöå:

√

m = ||Xm || 

H. Poincar
e.

X12

m ⇒ 1. 2 + · · · + Xm



68

Ãëàâà 6. Èçîïåðèìåòðè÷åñêèå íåðàâåíñòâà

6.4 Åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî ñ ãàóññîâñêîé ìåðîé Ðàññìîòðèì òåïåðü èçîïåðèìåòðè÷åñêóþ çàäà÷ó â ïðîñòðàíñòâå Rn ñî ñòàíäàðòíîé ãàóññîâñêîé ìåðîé P = N (0, En ). Ïîíÿòèå r-ðàñøèðåíèÿ ìíîæåñòâà îñòà¼òñÿ òàêèì æå, êàê â ñëó÷àå ëåáåãîâîé ìåðû. Êàê íåçàâèñèìî (è ïî÷òè îäíîâðåìåííî) ïîêàçàëè Ê. Áîðåëëü [59] è Â.Í. Ñóäàêîâ ñ Á.Ñ. Öèðåëüñîíîì [31], ðåøåíèåì èçîïåðèìåòðè÷åñêîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ ïîëóïðîñòðàíñòâî Π, ò.å.

P (A) = P (Π)  P (Ar ) ≥ P (Πr ).

(6.2)

Ïðèäàäèì ýòîìó íåðàâåíñòâó àëãåáðàè÷åñêóþ ôîðìó. Ïîëóïðîñòðàíñòâî Π ìîæíî âûáðàòü â âèäå   Π = x ∈ Rn : x1 ≤ Φ−1 (P (A)) , ãäå Φ−1 (·)  ôóíêöèÿ, îáðàòíàÿ ê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî çàêîíà Φ(·). Î÷åâèäíî,   Πr = x ∈ Rn : x1 ≤ Φ−1 (P (A)) + r ,   îòêóäà P (Πr ) = Φ Φ−1 (P (A)) + r , è ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü (6.2) â âèäå

Φ−1 (P (Ar )) ≥ Φ−1 (P (A)) + r.

(6.3)

Âèäèì, ÷òî èçîïåðèìåòðè÷åñêîé ôóíêöèåé äëÿ ñòàíäàðòíîé ãàóññîâñêîé ìåðû ÿâëÿåòñÿ Φ−1 (·).

Äîêàçàòåëüñòâî èçîïåðèìåòðè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà .

(6.3) Âîñïîëüçóåìñÿ êîíñòðóêöèåé Ïóàíêàðå è ñîîòâåòñòâóþùèìè îáîçíà÷åíèÿìè. Ïóñòü A ⊂ Rn è

Πq˜ = {x ∈ Rn : x1 ≤ q˜}  ñåìåéñòâî ïîëóïðîñòðàíñòâ. Âûáèðàÿ çíà÷åíèå ïàðàìåòðà Sm ìû q = Φ−1 (P (A)), ïîëó÷èì P (Πq ) = P (A). Íà ñôåðå , −1 ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî Am = πm,n (A) è øàïî÷êè“ (øàðû) ” Bm,˜q = {x ∈ , Sm : x1 ≤ q˜} = π −1 (Πq˜), m,n

6.4. Åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî ñ ãàóññîâñêîé ìåðîé

69

ñðåäè êîòîðûõ âûäåëèì

Bm := {x ∈ , Sm : x1 ≤ qm }, ïðè÷¼ì ïàðàìåòð qm âûáèðàåì òàê, ÷òîáû σ m (Bm ) = σ m (Am ). Ïî ëåììå Ïóàíêàðå èìååì

q ) < P (A), lim σ m (Bm,˜q ) = Φ(˜

m→∞

∀˜ q < q.

Ñðàâíèâàÿ ýòî ñ ñîîòíîøåíèåì

  −1 (A) = P (A), lim σ m (Bm ) = lim σ m (Am ) = lim σ m πm,n

m→∞

m→∞

m→∞

âèäèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî q˜ < q ïðè áîëüøèõ m âåðíî

Bm ⊃ Bm,˜q .

(6.4)

Íàø ñëåäóþùèé àðãóìåíò  ñæàòèå ðàññòîÿíèé ïðè ïðîåêöèè. Îáîçíà÷àÿ ρm (·, ·) ãåîäåçè÷åñêîå ðàññòîÿíèå íà ñôåðå , Sm , ìû èìååì

ρm (x, y) ≥ ||x − y|| ≥ ||πm,n x − πm,n y||,

∀x, y ∈ , Sm .

Îòñþäà ñëåäóåò ñîîòíîøåíèå ìåæäó ðàñøèðåíèÿìè ìíîæåñòâ −1 (Ar ) . (Am )r ⊂ πm,n

(6.5)

Ïîñëåäîâàòåëüíî èñïîëüçóÿ ëåììó Ïóàíêàðå, âêëþ÷åíèå (6.5), èçîïåðèìåòðè÷åñêîå íåðàâåíñòâî Ëåâè è (6.4), ïîëó÷èì

P (Ar )

= ≥

−1 lim σ m πm,n (Ar ) ≥ lim inf σ m ((Am )r )

m→∞

m→∞

lim inf σ m ((Bm )r ) ≥ lim inf σ m ((Bm,˜q )r ) . m→∞

m→∞

Âîñïîëüçóåìñÿ åù¼ òàêèì ñâîéñòâîì (ñôåðà áîëüøîãî ðàäèóñà ëîêàëüíî ïëîñêàÿ): äëÿ ëþáûõ r, ε > 0 è q˜ ∈ R ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ m âåðíî

(Bm,˜q )r ⊃ Bm,˜q+r−ε .

Ãëàâà 6. Èçîïåðèìåòðè÷åñêèå íåðàâåíñòâà

70 Îòñþäà

lim inf σ m ((Bm,˜q )r ) m→∞

≥

lim inf σ m (Bm,˜q+r−ε )

=

−1 lim inf σ m πm,n (Πq˜+r−ε )

=

q + r − ε). P (Πq˜+r−ε ) = Φ(˜

m→∞ m→∞

Òàêèì îáðàçîì,

P (Ar ) ≥ Φ(˜ q + r − ε). Óñòðåìëÿÿ ε → 0, q˜ → q , ïîëó÷èì (6.3).  Ïóñòü òåïåðü P = N (0, K)  ïðîèçâîëüíàÿ ãàóññîâñêàÿ ìåðà â Rn . Áóäåì ñ÷èòàòü îïåðàòîð K íåâûðîæäåííûì. Ïðîÿâèì çäîðîâûé êîíôîðìèçì“ è âìåñòî òîãî, ÷òîáû äîêàçû” âàòü ÷òî-òî íîâîå, âèäîèçìåíèì ïîíÿòèÿ òàê, ÷òîáû âîñïîëüçîâàòüñÿ ðåçóëüòàòîì äëÿ ñòàíäàðòíîé ìåðû. Íàïîìíèì, ÷òî âåêòîð ñ ðàñïðåäåëåíèåì N (0, K) ìîæíî ïîëó÷èòü ïðåîáðàçîâàíèåì Y = LX èç âåêòîðà X ñî ñòàíäàðòíûì ãàóññîâñêèì ðàñïðåäåëåíèåì, èñïîëüçóÿ îïåðàòîð L = K 1/2 . Îáîçíà÷èì D = {x ∈ Rn : ||L−1 x|| ≤ 1}  L-îáðàç åäèíè÷íîãî åâêëèäîâà øàðà. Íàïîìíèì òàêæå, ÷òî D ñîâïàäàåò ñ åäèíè÷íûì øàðîì ÿäðà (ýëëèïñîèäîì ðàññåÿíèÿ) ìåðû N (0, K) (ñì. ïðèìåð 4.3). Ïåðåîïðåäåëèì òåïåðü ïîíÿòèå r-ðàñøèðåíèÿ, ñîîáðàçíî ñèòóàöèè, êàê Ar := A + rD. Äîêàæåì, ÷òî ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè íåðàâåíñòâî (6.3) îñòà¼òñÿ âåðíûì áåç èçìåíåíèé. Äåéñòâèòåëüíî,

Φ−1 (P (Ar )) = Φ−1 (P(Y ∈ Ar )) = Φ−1 (P(LX ∈ Ar )) = = =

Φ−1 (P(X ∈ L−1 (Ar ))) Φ−1 (P(X ∈ L−1 (A) + L−1 (rD))) Φ−1 (P(X ∈ L−1 (A) + Br )) = Φ−1 (P(X ∈ (L−1 (A))r ))

≥ Φ−1 (P(X ∈ (L−1 (A)))) + r = Φ−1 (P(Y = LX ∈ A)) + r = Φ−1 (P (A)) + r.

6.6. Ïðèíöèï êîíöåíòðàöèè

71

6.5 Îáùèé ñëó÷àé Ïóñòü òåïåðü X ∈ X  ïðîèçâîëüíûé öåíòðèðîâàííûé ãàóññîâñêèé âåêòîð â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå ñ ðàñïðåäåëåíèåì P è ÿäðîì HP . Ïóñòü D = {h ∈ H : h|HP ≤ 1}  åäèíè÷íûé øàð ÿäðà. Îïðåäåëèì ðàñøèðåíèå ìíîæåñòâà A ⊂ X ôîðìóëîé Ar := A + rD . Ìû ìîæåì â ýòîé îáùåé ñèòóàöèè âîñïðîèçâåñòè ðåçóëüòàò, ïîëó÷åííûé ðàíåå äëÿ X = Rn .

Òåîðåìà 6.1

Ãàóññîâñêîå èçîïåðèìåòðè÷åñêîå íåðàâåíñòâî. Äëÿ ëþáîãî èçìåðèìîãî A ⊂ X âåðíî Φ−1 (P∗ (Ar )) ≥ Φ−1 (P (A)) + r,

ãäå âíóòðåííÿÿ ìåðà ôîðìóëîé

P∗ (C)

P∗ (C) :=

Ðàâåíñòâî â

(6.6)

îïðåäåëÿåòñÿ äëÿ ëþáîãî sup

B⊂C, B êîìïàêòíî

(6.6)

C⊂X

P (B).

(6.7)

äîñòèãàåòñÿ íà ïîëóïðîñòðàíñòâàõ.

Çàìå÷àíèå 6.2

Ìîæíî èçáàâèòüñÿ îò âíóòðåííåé ìåðû, çàïèñàâ, ÷òî äëÿ ëþáîãî èçìåðèìîãî B âåðíî   . Φ−1 (P (A)) + r , B ∩ Ar = ∅  P (B) ≤ Φ (6.8)

. = 1 − Φ(·)  õâîñò ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàíäàðòíîãî íîðãäå Φ(·) ìàëüíîãî çàêîíà.

6.6 Ïðèíöèï êîíöåíòðàöèè Îäíî èç çàìå÷àòåëüíûõ ñëåäñòâèé èçîïåðèìåòðè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà  ïðèíöèï êîíöåíòðàöèè , óòâåðæäàþùèé, ÷òî ëèïøèöåâû ôóíêöèîíàëû îò ãàóññîâñêîãî âåêòîðà èìåþò ðàñïðåäåëåíèÿ, ÷üÿ êîíöåíòðàöèÿ íå óñòóïàåò ãàóññîâñêîé. Ôóíêöèîíàë f : X → R íàçûâàåòñÿ HP -ëèïøèöåâûì ñ êîíñòàíòîé σ (çàïèñûâàåì f ∈ LipHP (σ)), åñëè

|f (x + h) − f (x)| ≤ σ|h|HP ,

∀x ∈ X , h ∈ HP .

72

Ãëàâà 6. Èçîïåðèìåòðè÷åñêèå íåðàâåíñòâà

Ïðèìåð 6.1 (Ñóïðåìóì êàê ëèïøèöåâ ôóíêöèîíàë). Ïóñòü X = C(T ) è X = (X(t))t∈T ∈ X  öåíòðèðîâàííûé ãàóññîâñêèé ïðîöåññ. Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàë f (x) = sup x(t). t∈T

Òîãäà äëÿ ëþáûõ x ∈ X , h = Iz ∈ HP âåðíî      |f (x + h) − f (x)| = sup x(t) − sup(x(t) + h(t)) ≤ sup |h(t)| t∈T

=

ãäå

t∈T

t∈T

sup |(δt , Iz)| = sup |(I ∗ δt , z)XP∗ | t∈T

t∈T

∗

≤

sup ||I δt ||

=

sup ||I ∗ δt ||XP∗ |h|HP = σ|h|HP ,

t∈T

XP∗

||z||XP∗

t∈T

σ 2 = sup ||I ∗ δt ||2XP∗ = sup EX(t)2 . t∈T

t∈T

Óïðàæíåíèå 6.1 Ïóñòü X  öåíòðèðîâàííûé ãàóññîâñêèé

âåêòîð â ñåïàðàáåëüíîì áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå (X , || · ||), à K : X ∗ → X  êîâàðèàöèîííûé îïåðàòîð X . Äîêàæèòå,  ÷òî  ôóíêöèîíàë f (x) = ||x|| ïðèíàäëåæèò êëàññó LipHP ||K|| . Íàïîìíèì, ÷òî ÷èñëî m íàçûâàåòñÿ ìåäèàíîé ðàñïðåäåëåíèÿ ôóíêöèîíàëà f , åñëè

P(f (X) ≤ m) ≥

1 1 è P(f (X) ≥ m) ≥ . 2 2

Ìåäèàíà ìîæåò áûòü íå åäèíñòâåííîé, íî ýòî íå ñêàçûâàåòñÿ íà ñëåäóþùåé îöåíêå.

Òåîðåìà 6.2 (Ïðèíöèï êîíöåíòðàöèè). Åñëè f ∈ Lip

(σ) HP m  ìåäèàíà ôóíêöèîíàëà f , òî äëÿ ëþáîãî r > 0 âåðíî   . r , P(f (X) ≥ m + r) ≤ Φ (6.9) σ   . r . P(f (X) ≤ m − r) ≤ Φ (6.10) σ Ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ, åñëè f  ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë. è

6.6. Ïðèíöèï êîíöåíòðàöèè

73

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïîëîæèì A = {x ∈ X : f (x) ≤ m} è ïîäñòàâèì ñîîòíîøåíèå P (A) ≥ 12 â èçîïåðèìåòðè÷åñêîå íåðàâåíñòâî (6.6). Ïîëó÷èì

Φ−1 (P∗ (A σ )) ≥ Φ−1 (P (A)) + r

r r ≥ . σ σ

(6.11)

r

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äëÿ ëþáîãî y ∈ A σ èìååòñÿ ïðåäñòàâëåíèå y = x + h ïðè x ∈ A, |h|HP ≤ σr . Ïîýòîìó âåðíî

f (y) ≤ f (x) + σ|h|HP ≤ m + r. Ýòî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå r

{x ∈ X : f (x) > m + r} ∩ A σ = ∅, îòêóäà â ñèëó (6.11)

  r  r . r . P(f (X) > m + r) ≤ 1 − P∗ A σ ≤ 1 − Φ =Φ σ σ

Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà (6.10) äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü (6.9) ê ôóíêöèîíàëó −f .  Òåîðåìà 6.2 ïîêàçûâàåò, ÷òî ðàñïðåäåëåíèÿ ôóíêöèîíàëîâ ìîæíî êîíòðîëèðîâàòü ñ ïîìîùüþ âñåãî ëèøü äâóõ ÷èñëîâûõ ïàðàìåòðîâ, m è σ . Èìåÿ îöåíêè âåðîÿòíîñòåé óêëîíåíèé, íåòðóäíî îöåíèòü è ìîìåíòíûå õàðàêòåðèñòèêè ôóíêöèîíàëà. Ïðèâåä¼ì òîëüêî äâà ïðîñòûõ ïðèìåðà.

Ñëåäñòâèå 6.1 Åñëè f ∈ Lip

HP

(σ),

E exp{α|f (X)|2 } < ∞,

Ñëåäñòâèå 6.2 Åñëè f ∈ Lip

HP

òî 0≤α
0}. Íà èíòåðâàëå (r∗ , ∞) ìåðà Q èìååò ïëîòíîñòü, íåïðåðûâíóþ âñþäó, êðîìå íå áîëåå ÷åì ñ÷¼òíîãî ÷èñëà òî÷åê, ãäå îíà èìååò ñêà÷êè âíèç.

Ñëåäñòâèå 7.2 Ïóñòü m - ìåäèàíà ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ϕ(X). Òîãäà

Äîêàçàòåëüñòâî.

m ≤ E ϕ(X).

(7.4)

Áóäåì äëÿ ïðîñòîòû ñ÷èòàòü, ÷òî àòîìà â ðàñïðåäåëåíèè ϕ(X) íåò. Òîãäà F (m) = 12 è âåëè÷èíà F (ϕ(X)) ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà   íà îòðåçêå [0, 1]. Ïî îïðåäåëåíèþ, Φ−1 (F (m)) = Φ−1 12 = 0. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èñïîëüçóÿ âûïóêëîñòü ôóíêöèè Φ−1 (F (·)) è íåðàâåíñòâî Éåíñåíà, ïîëó÷èì  1 −1 −1 Φ (F (Eϕ(X))) ≥ EΦ (F (ϕ(X))) = Φ−1 (p)dp = 0. 0

Óòâåðæäåíèå ñëåäñòâèÿ âûòåêàåò èç ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè Φ−1 (F (·)). 

7.2 Ðàñòÿæåíèÿ Áîëüøîå ÷èñëî ãàóññîâñêèõ íåðàâåíñòâ ïîñâÿùåíî ñðàâíåíèþ ãàóññîâñêèõ ìåð ìíîæåñòâ A è rA, ãäå A - öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîå âûïóêëîå ìíîæåñòâî. Íàèáîëåå èçâåñòíî çäåñü òàê

Ãëàâà 7. Âûïóêëîñòü ìåð è äðóãèå íåðàâåíñòâà

80

íàçûâàåìîå S -ñâîéñòâî, êîòîðîå ñôîðìóëèðîâàëè êàê ãèïîòåçó Êâàïåíü è Ñàâà [120], à ïîçäíåå äîêàçàëè Ëàòàëà è Îëåøêåâè÷ [123]! . Îíî ãîâîðèò îá ýêñòðåìàëüíîì ñâîéñòâå ïîëîñ âèäà

Sr,f := {x ∈ X : |(f, x)| ≤ r},

r > 0, f ∈ X ∗ .

Ïóñòü P  ðàñïðåäåëåíèå öåíòðèðîâàííîãî ãàóññîâñêîãî âåêòîðà X . Íå òåðÿÿ îáùíîñòè, ìû ìîæåì ïðåäïîëîæèòü, ÷òî E(f, X)2 = 1. Òîãäà

P (Sr,f ) = 2Φ(r) − 1 := G(r). S -ñâîéñòâî óòâåðæäàåò, ÷òî ñðåäè öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íûõ âûïóêëûõ ìíîæåñòâ ïîëîñà íàèáîëåå ìåäëåííî òåðÿåò ìàññó ïðè ñæàòèè è íàèáîëåå ìåäëåííî óâåëè÷èâàåò å¼ ïðè ðàñòÿæåíèè. Àíàëèòè÷åñêè ýòî âûðàæàåòñÿ íåðàâåíñòâàìè P (A) = G(ρ)  P (rA) ≥ G(rρ),

r ≥ 1;

P (A) = G(ρ)  P (rA) ≤ G(rρ),

r ≤ 1.

Ñâîéñòâà òàêîãî òèïà øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ â ãåîìåòðè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, îäíàêî äëÿ òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ îíè ïîêà íå èñïîëüçóþòñÿ, ïîòîìó ÷òî îöåíêà G(rρ) óáûâàåò ïðè r → 0 ñòåïåííûì îáðàçîì, â òî âðåìÿ êàê äëÿ òèïè÷íûõ ìíîæåñòâ A, ñâÿçàííûõ ñ ïðîöåññàìè, P (rA) ïðè r → 0 óáûâàåò ýêñïîíåíöèàëüíî. Óïîìÿíåì, íàêîíåö, áîëåå ñïåöèàëüíîå ñâîéñòâî  B -âûââåä¼ííîå êàê ãèïîòåçà Â. Áàíàùèêîì è îêîí÷àòåëüíî îáîñíîâàííîå ïîçäíåå Ä. Êîðäåðî-Ýðîñêèíîì, Ì. Ôðàäåëèçè è Á. Ìîðý" . Ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàññìîòðåííûìè âûøå âèäàìè âûïóêëîñòè îíî îòíîñèòñÿ ê áîëåå óçêîìó êëàññó ìíîæåñòâ è ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíî ñëåäóþùèì îáðàçîì. ïóêëîñòü,

Òåîðåìà 7.1 ïðåäåëåíèå â

S -conjecture.

Ïóñòü

X,

! S. Kwapie
n è J. " W. Banaszczyk;

è

A

P

 öåíòðèðîâàííîå ãàóññîâñêîå ðàñ-

öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîå âûïóêëîå

Sawa; R. Latala è K. Oleszkiewicz. D. Cordero-Erausquin, M. Fradelizi, B. Maurey [71].

7.3. Êîððåëÿöèîííàÿ ãèïîòåçà

81

ïîäìíîæåñòâî X . Òîãäà ôóíêöèÿ t → ln P (et A)

âûïóêëà ââåðõ ïðè t ∈ (0, ∞). Èç ýòîé òåîðåìû ñëåäóåò, íàïðèìåð, ÷òî  t1 +t2   1/2  t2 1/2 P e A . P e 2 A ≥ P et1 A Ïîëàãàÿ c1 = et1 , c2 = et2 , ïîëó÷èì

√ 1/2 1/2 P ( c1 c2 A) ≥ P (c1 A) P (c2 A) , â òî âðåìÿ êàê îáû÷íàÿ ëîãàðèôìè÷åñêàÿ âûïóêëîñòü (7.2) äà¼ò áîëåå ñëàáîå íåðàâåíñòâî     1 c 1 + c2 1 P A = P (c1 A) + (c2 A) 2 2 2

≥

P (c1 A)

1/2

P (c2 A)

1/2

.

7.3 Êîððåëÿöèîííàÿ ãèïîòåçà Åñëè X1 è X2  äâà íåçàâèñèìûõ âåêòîðà â ïðîñòðàíñòâå X , òî äëÿ ëþáûõ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ A1 , A2 ⊂ X âåðíî

P(X1 ∈ A1 , X2 ∈ A2 ) = P(X1 ∈ A1 ) P(X2 ∈ A2 ). Èìåÿ äåëî ñ çàâèñèìûìè ãàóññîâñêèìè âåêòîðàìè, ìû âñ¼ æå ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî äëÿ ìíîæåñòâ A1 , A2 èç íåêîòîðîãî êëàññà âåðíî

P(X1 ∈ A1 , X2 ∈ A2 ) ≥ P(X1 ∈ A1 ) P(X2 ∈ A2 ).

(7.5)

Çíàìåíèòàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ãèïîòåçà , åäâà ëè íå ñàìàÿ ïðèâëåêàòåëüíàÿ îòêðûòàÿ ïðîáëåìà òåîðèè ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ, óòâåðæäàåò, ÷òî (7.5) âåðíî, åñëè X1 , X2  öåíòðèðîâàííûå ãàóññîâñêèå âåêòîðû, à A1 , A2  ñèììåòðè÷íûå âûïóêëûå ìíîæåñòâà. Î å¼ èñòîðèè è ðàçëè÷íûõ ôîðìóëèðîâêàõ ñì. [162].

Ãëàâà 7. Âûïóêëîñòü ìåð è äðóãèå íåðàâåíñòâà

82

Êîððåëÿöèîííóþ ãèïîòåçó ìîæíî çàïèñàòü è â íåñêîëüêî èíîì âèäå. Ïóñòü X  öåíòðèðîâàííûé ãàóññîâñêèé âåêòîð, à A1 , A2  ñèììåòðè÷íûå âûïóêëûå ìíîæåñòâà. Òîãäà

P(X ∈ A1 ∩ A2 ) ≥ P(X ∈ A1 ) P(X ∈ A2 ),

(7.6)

÷òî ñ ïåðâîãî âçãëÿäà âûãëÿäèò êàê ïàðàäîêñàëüíàÿ íåçàâè” ñèìîñòü X îò ñàìîãî ñåáÿ“ . Ñâÿçü ìåæäó äâóìÿ âèäàìè íåðàâåíñòâ ïðîÿñíÿåòñÿ, åñëè ïîëîæèòü X = (X1 , X2 ) ∈ X × X è îïðåäåëèòü ñèììåòðè÷íûå âûïóêëûå ìíîæåñòâà ôîðìóëàìè

A1 A2

= =

{(x1 , x2 ) ∈ X × X : x1 ∈ A1 }, {(x1 , x2 ) ∈ X × X : x2 ∈ A2 }.

Òîãäà (7.6) ïåðåõîäèò â (7.5). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîëàãàÿ X = X1 = X2 â (7.5), ïîëó÷èì (7.6). Êîððåëÿöèîííàÿ ãèïîòåçà (7.6) äîêàçàíà â íåêîòîðûõ âàæíûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ:

• äëÿ X = R2 (Ë. Ïèòò [159]). • â ñëó÷àå, êîãäà îäíî èç ìíîæåñòâ A1 èëè A2 ÿâëÿåòñÿ ïîëîñîé, íàïðèìåð, A2 = {x ∈ X : |(f, x)| ≤ r},

r ≥ 0, f ∈ X ∗

(ðåçóëüòàò ïîëó÷åí íåçàâèñèìî ×.Ã. Êõàòðè è Ç. Øèäàêîì [111, 164]).

• â ñëó÷àå, êîãäà îäíî èç ìíîæåñòâ A1 èëè A2 ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íûì ýëëèïñîèäîì (Æ. Àðæå [103]). • â íåêîòîðûõ äðóãèõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ ... (ñì. ññûëêè â [122]). Èñïîëüçóÿ óòâåðæäåíèå äëÿ ïîëîñû øàã çà øàãîì, ïîëó÷èì äëÿ ïîëîñ âèäà Aj = {x ∈ X : |(fj , x)| ≤ rj }, j = 2, 3, . . .

P(X ∈ A1 ∩ (A2 ∩ A3 )) ≥ P (X ∈ (A1 ∩ A2 )) P (X ∈ A3 ) ≥

P (X ∈ A1 ) P (X ∈ A2 ) P (X ∈ A3 ) ,

7.3. Êîððåëÿöèîííàÿ ãèïîòåçà

83

è, ïðîäîëæàÿ â òîì æå äóõå, ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó íåðàâåíñòâó

⎛



P ⎝X ∈ A 1

⎛ ⎝

n 

⎞⎞ Aj ⎠⎠ ≥ P (X ∈ (A1 ))

j=2

n 

P(X ∈ Aj ).

j=2

 ÷àñòíîñòè, ïðè A1 = X íàõîäèì

⎛ P ⎝X ∈

n  j=2

⎞ Aj ⎠ ≥

n 

P (X ∈ Aj ) .

(7.7)

j=2

Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå èçâåñòíî êàê íåðàâåíñòâî Êõàòðè Øèäàêà [111, 164]# . Îíî, ðàçóìååòñÿ, âåðíî è äëÿ ïåðåñå÷åíèÿ ñ÷¼òíîãî ÷èñëà ïîëîñ. Õîòÿ â ïîëíîì îáú¼ìå êîððåëÿöèîííàÿ ãèïîòåçà íå äîêàçàíà, î÷åíü ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íûì ñëåäóþùèé áîëåå ñëàáûé âàðèàíò, àâòîðàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ Ã. Øåõòìàí,  Ò. Øëóìïðåõò è Äæ. Çèíí [162] (äëÿ ñëó÷àÿ 1 − ε = Âåíáî Ëè [129] (äëÿ ïðîèçâîëüíîãî

ε) $ .

1 2)

è

Òåîðåìà 7.2

(Ñëàáîå êîððåëÿöèîííîå íåðàâåíñòâî). Äëÿ ëþáîãî ε ∈ (0, 1) ñóùåñòâóåò òàêîå Kε > 0, ÷òî äëÿ âñåõ öåíòðèðîâàííûõ ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ X è âñåõ ñèììåòðè÷íûõ âûïóêëûõ A1 , A2 âåðíî 

A2 P (X ∈ A1 ∩ A2 ) ≥ P (X ∈ (1 − ε)A1 ) P X ∈ Kε

 .

(7.8)

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 7.2 . Ïóñòü X˜  âåêòîð, èìåþ-

ùèé òî æå ðàñïðåäåëåíèå, ÷òî X , è íåçàâèñèìûé ñ X . Íåòðóä˜ è íî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî a > 0 âåêòîðû X − aX −1 ˜ X + a X íåçàâèñèìû. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî çíà÷åíèÿ ëþáûõ ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ îò ýòèõ âåêòîðîâ # $

C. KhatriZ. Sid
ak inequality. G. Schechtman, T. Schlumprecht, J. Zinn, Wenbo V. Li.

Ãëàâà 7. Âûïóêëîñòü ìåð è äðóãèå íåðàâåíñòâà

84

íåêîððåëèðîâàíû, à ìû äåéñòâèòåëüíî èìååì

˜ ˜ E(f, X − aX)(g, X + a−1 X) ˜ E(f, X)(g, X) + a−1 E(f, X)(g, X) ˜ ˜ ˜ −a E(f, X)(g, X) − E(f, X)(g, X) −1 ˜ = E(f, X)(g, X) + a E(f, X)E(g, X) ˜ ˜ ˜ −a E(f, X)E(g, X) − E(f, X)(g, X)

=

=

0.

Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó óñòîé÷èâîñòè ãàóññîâñêèõ ðàñïðåäåëåíèé ˜ ðàâíîðàñïðåäåëåí ñ (1 + a2 )1/2 X , à âåêòîð âåêòîð X − aX −1 ˜ X + a X ðàâíîðàñïðåäåëåí ñ âåêòîðîì (1 + a−2 )1/2 X . Äàëåå, èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî Àíäåðñîíà ïðèìåíèòåëüíî ê âåêòîðó (X, X) ∈ X × X , ìíîæåñòâó A1 × A2 ⊂ X × X è ˜ −a−1 X) ˜ ∈ X × X , íàéä¼ì ñëó÷àéíîìó ñäâèãó (aX,

P(X ∈ A1 , X ∈ A2 )  ≥ P(X ∈ A1 + ah, X ∈ A2 − a−1 h)P (dh) X

˜ ∈ A1 , X + a−1 X ˜ ∈ A2 ) P(X − aX ˜ ∈ A2 ) ˜ ∈ A1 ) P(X + a−1 X = P(X − aX 2 1/2 = P((1 + a ) X ∈ A1 ) P((1 + a−2 )1/2 X ∈ A2 ).

=

Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà a = Kε = (2ε − ε2 )1/2 . 

(2ε−ε2 )1/2 , 1−ε

ïîëó÷èì (7.8) ñ êîíñòàíòîé

Ïðèâåä¼ì òèïè÷íîå ïðèëîæåíèå ñëàáîãî êîððåëÿöèîííîãî íåðàâåíñòâà  ê òåîðèè ìàëûõ óêëîíåíèé. Ïóñòü X  öåíòðèðîâàííûé ãàóññîâñêèé âåêòîð â íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå (X , || · ||), äîïóñêàþùèé ïðåäñòàâëåíèå â âèäå ñóììû X = X1 + X2 , ãäå X1 , X2  ãàóññîâñêèå, âîçìîæíî çàâèñèìûå, ïðè÷¼ì X1 õîðîøî èçó÷åí, à X2 ñðàâíèòåëüíî ìàë. Òîãäà, èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà è (7.8), ìîæåì ïîëó÷èòü

P(||X|| ≤ r) = P(||X1 + X2 || ≤ r) ≥ ≥

P(||X1 || ≤ (1 − ε)r, ||X2 || ≤ εr)     εr 2 . P ||X1 || ≤ (1 − ε) r P ||X2 || ≤ Kε

(7.9)

7.4. Ýêñòðåìàëüíîå èçìåíåíèå ìåðû ïðè ñäâèãàõ

85

Åñëè âåêòîð X2 ñóùåñòâåííî ìåíüøå, ÷åì X1 , òî âòîðîé ìíîæèòåëü áóäåò ìåíåå ñóùåñòâåííûì, ÷åì ïåðâûé, äëÿ àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ âåðîÿòíîñòè ïðè r → 0, è ìàëûå óêëîíåíèÿ ñóììû ñâîäÿòñÿ ê ìàëûì óêëîíåíèÿì îäíîãî èç ñëàãàåìûõ. Èç íàéäåííîé îöåíêè ñíèçó ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ è îöåíêà ñâåðõó. Çàïèñûâàÿ X1 = (X1 + X2 ) + (−X2 ) è çàìåíÿÿ r íà (1 − ε)−2 r, ïîëó÷èì

≥

P(||X1 || ≤ (1 − ε)−2 r)   ε(1 − ε)−2 r , P (||X1 + X2 || ≤ r) P ||X2 || ≤ Kε

ò.å.

P (||X|| ≤ r) ≤

P(||X1 || ≤ (1 − ε)−2 r)  .  −2 r P ||X2 || ≤ ε(1−ε) Kε

(7.10)

7.4 Ýêñòðåìàëüíîå èçìåíåíèå ìåðû ïðè ñäâèãàõ Èçîïåðèìåòðè÷åñêîå íåðàâåíñòâî ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü, íàñêîëüêî ìîæåò óâåëè÷èòüñÿ ìåðà ìíîæåñòâà ïðè ïåðåõîäå ê åãî ε-ðàñøèðåíèþ.  ýòîì ïàðàãðàôå ìû ïîñìîòðèì, íàñêîëüêî ìîæåò èçìåíèòüñÿ ìåðà ìíîæåñòâà ïðè åãî ñäâèãå. Ýòî îêàçûâàåòñÿ ñðàâíèòåëüíî ïðîñòîé çàäà÷åé. Îíà ðåøåíà Äæ. Êýëáñîì è Âåíáî Ëè % â [117].

Òåîðåìà 7.3

Ïóñòü X  öåíòðèðîâàííûé ãàóññîâñêèé âåêòîð â X ñ ðàñïðåäåëåíèåì P . Òîãäà äëÿ ëþáîãî èçìåðèìîãî A ⊂ X è äëÿ ëþáîãî h ∈ HP âåðíî

Φ−1 (P (A)) − |h|HP ≤ Φ−1 (P (A + h)) ≤ Φ−1 (P (A)) + |h|HP . Ðàâåíñòâî â îáîèõ íåðàâåíñòâàõ äîñòèãàåòñÿ íà ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîëóïðîñòðàíñòâàõ.

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 7.3.

×òîáû íå ïîãðÿçíóòü â äåòàëÿõ, ðàññìîòðèì òîëüêî ñëó÷àé X = Rn , P = N (0, E) è |h|HP = 1. Áóäåì äîêàçûâàòü òîëüêî îöåíêó ñâåðõó. % J. Kuelbs, Wenbo V. Li.

Ãëàâà 7. Âûïóêëîñòü ìåð è äðóãèå íåðàâåíñòâà

86

Ðàññìîòðèì ïîëóïðîñòðàíñòâî

Π = {x ∈ Rn : (h, x) ≤ r},

ãäå r = Φ−1 (P (A)).

Òîãäà P (Π) = P((h, X) ≤ r) = Φ(r) = P (A) è

Π + h = {x ∈ Rn : (h, x) ≤ r + 1}. Ìû ïðîâåðèì, ÷òî

P (A + h) ≤ P (Π + h).

(7.11)

Òîãäà ïîëó÷èòñÿ òðåáóåìîå

Φ−1 (P (A + h))

≤

Φ−1 (P (Π + h))

= Φ−1 (P((h, X) ≤ r + 1)) = r + 1 = Φ−1 (P (A)) + 1 = Φ−1 (P (A)) + |h|HP . Ïî ôîðìóëå ÊàìåðîíàÌàðòèíà, ìû èìååì  1 P (A + h) = P−h (A) = e− 2 −(h,x) P (dx) A   1 − 12 −(h,x) e P (dx) + e− 2 −(h,x) P (dx) = A∩Π

è

P (Π + h)

= =

A\Π

 1 e− 2 −(h,x) P (dx) P−h (Π) = Π   1 1 − 2 −(h,x) e P (dx) + e− 2 −(h,x) P (dx). Π\A

A∩Π

Ïåðâûå ñëàãàåìûå äâóõ âûðàæåíèé ñîâïàäàþò, à äëÿ âòîðûõ, ó÷èòûâàÿ

P (A\Π) = P (A) − P (A ∩ Π) = P (Π) − P (A ∩ Π) = P (Π\A) è îïðåäåëåíèå Π, ìû íàõîäèì íóæíîå íåðàâåíñòâî  e−(h,x) P (dx) ≤ e−r P (A\Π) A\Π  −r = e P (Π\A) ≤ e−(h,x) P (dx). Π\A

Îòñþäà ñëåäóåò (7.11). 

7.4. Ýêñòðåìàëüíîå èçìåíåíèå ìåðû ïðè ñäâèãàõ

87

Óïðàæíåíèå 7.1

Ïîâòîðèòå äîêàçàòåëüñòâî äëÿ h ∈ Rn ñ ïðîèçâîëüíîé íîðìîé. Çàòåì âûâåäèòå òåîðåìó äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ãàóññîâñêîãî âåêòîðà â Rn . Äàëüíåéøóþ èíôîðìàöèþ î ãàóññîâñêèõ è ñâÿçàííûõ ñ íèìè íåðàâåíñòâàõ ìîæíî íàéòè â îáçîðàõ [51, 122].

Ãëàâà 8

Ïðèíöèï áîëüøèõ óêëîíåíèé 8.1 Îáùèé ïðèíöèï áîëüøèõ óêëîíåíèé  ýòîé ãëàâå ðàññìàòðèâàåòñÿ âåðñèÿ ïðèíöèïà áîëüøèõ óêëîíåíèé ïðèìåíèòåëüíî ê ãàóññîâñêèì ðàñïðåäåëåíèÿì.  ïîëíîé îáùíîñòè ïðèíöèï áîëüøèõ óêëîíåíèé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìåòîäèêó îöåíèâàíèÿ âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî ñëó÷àéíûé îáúåêò íàõîäèòñÿ âäàëè îò ñâîåãî ”òèïè÷íîãî ïîëîæåíèÿ“ . Îí ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ â ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå äëÿ ñîïîñòàâëåíèÿ òåîðåòè÷åñêèõ ìîäåëåé è ïðàêòè÷åñêèõ äàííûõ, â ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêå è ò.ä. Íàèáîëåå ïðîñòûì è òèïè÷íûì ïðèìåðîì ïðèíöèïà áîëüøèõ óêëîíåíèé ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.

Òåîðåìà 8.1

(Òåîðåìà Êðàìåðà×åðíîâà [69, 72]). Ïóñòü X1 , X2 . . .  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåë¼ííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ

E exp{γXj } < ∞,

|γ| < γ0

n ïðè íåêîòîðîì γ0 > 0. Îáîçíà÷èì Sn = j=1 Xj . Òîãäà äëÿ

8.1. Îáùèé ïðèíöèï áîëüøèõ óêëîíåíèé

ëþáîãî r > EX1 âåðíî lim

ln P

 Sn n

 = −I(r),

n

n→∞

ãäå ôóíêöèÿ

≥r

89

I(r) = sup{γr − ln EeγX1 } γ

íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé óêëîíåíèé. Âåðõíÿÿ îöåíêà â òåîðåìå Êðàìåðà×åðíîâà ïîëó÷àåòñÿ ïðîñòûì ïðèìåíåíèåì íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà   Sn EeγSn P ≥r = P {Sn ≥ rn} ≤ γrn n e  γX n    Ee 1 ≤ = exp −n γr − ln EeγX1 , γrn e ñ ïîñëåäóþùåé îïòèìèçàöèåé ïî ïàðàìåòðó γ . Îäíàêî íèæíÿÿ îöåíêà òðåáóåò áîëåå òîíêèõ è àñèìïòîòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèé. Ïðè ïîïûòêå îáîáùèòü òåîðåìó Êðàìåðà×åðíîâà íà ñëó÷àéíûå âåêòîðà ðåçóëüòàò íåñêîëüêî óñëîæíÿåòñÿ.

Òåîðåìà 8.2

(Ïðèíöèï áîëüøèõ óêëîíåíèé â Rn ). Ïóñòü X1 , X2 , ... ∈ R  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåë¼ííûõ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ n

E exp{(γ, Xj )} < ∞,

γ ∈ Rn , |γ| < γ0

ïðè íåêîòîðîì γ0 > 0. Îáîçíà÷èì Sn = nj=1 Xj . Òîãäà äëÿ ëþáîãî îòêðûòîãî ìíîæåñòâà G ⊂ Rn âåðíî   ln P Snn ∈ G lim inf ≥ −J(G), n→∞ n

à äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî ìíîæåñòâà F ⊂ Rn âåðíî lim sup n→∞

ln P

S

n

n

n

∈F



≤ −J(F ),

Ãëàâà 8. Ïðèíöèï áîëüøèõ óêëîíåíèé

90

ãäå J(A) = inf A I(·), à ôóíêöèÿ I : Rn → [0, ∞] îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé

I(h) = sup {(γ, h) − ln Ee(γ,X1 ) } γ∈Rn

è íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé óêëîíåíèé.

Ïîäñòàâèì ñþäà âåêòîðû ñî ñòàíäàðòíûì ãàóññîâñêèì ðàñïðåäåëåíèåì. Î÷åâèäíî, ln Ee(γ,X1 ) = (γ,γ) 2 , îòêóäà ëåãêî ñëå2

äóåò I(h) = |h|2 . X1 ïî Çàìåòèì òàêæå, ÷òî â ãàóññîâñêîì ñëó÷àå Snn = √ n ðàñïðåäåëåíèþ, ïîýòîìó ðåçóëüòàò ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ïðÿìî â òåðìèíàõ X1 . Äàëåå, ïîñëå òîãî, êàê ìû èçáàâèëèñü îò ñóìì, ìîæíî √ çàìåíèòü íàòóðàëüíûé ïàðàìåòð n íà âåùåñòâåííûé R = n. Ïîëó÷èòñÿ, ÷òî äëÿ ëþáîãî îòêðûòîãî G ⊂ Rn âåðíî

lim inf R→∞

ln P {X ∈ RG} ≥ −J(G), R2

à äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî F ⊂ Rn âåðíî

lim sup R→∞

ln P {X ∈ RF } ≤ −J(F ) R2

2

ïðè J(A) = inf h∈A |h|2 . Íàêîíåö, çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A ⊂ Rn âåðíî inf I(·) ≤ inf I(·) ≤ inf I(·). Cl(A)

A

Int(A)

Åñëè æå

inf I(·) = inf I(·) = inf I(·),

Cl(A)

A

Int(A)

òî ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíûì.  óñëîâèÿõ òåîðåìû 8.2 äëÿ ðåãóëÿðíîãî ìíîæåñòâà ìû èìååì   ln P Snn ∈ A lim = −J(A), n→∞ n à äëÿ ãàóññîâñêîãî ñëó÷àÿ

ln P {X ∈ RA} = −J(A). R→∞ R2 lim

8.2. Ãàóññîâñêèé ïðèíöèï áîëüøèõ óêëîíåíèé

91

Ïîñëå çíàêîìñòâà ñ òåîðåìîé 8.2 âûãëÿäèò åñòåñòâåííûì òàêîå îïðåäåëåíèå [180]: ãîâîðÿò, ÷òî ñåìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèé (Pn ) â òîïîëîãè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå X óäîâëåòâîðÿåò ïðèíöèïó áîëüøèõ óêëîíåíèé ñî ñêîðîñòüþ vn è ôóíêöèåé óêëîíåíèé I : X → [0, ∞], åñëè äëÿ ëþáîãî îòêðûòîãî ìíîæåñòâà G ⊂ X âåðíî

lim inf n→∞

ln Pn (G) ≥ −J(G), vn

à äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî ìíîæåñòâà F ⊂ X âåðíî

lim sup n→∞

ln Pn (F ) ≤ −J(F ), vn

ãäå J(A) = inf A I(·). Îáùóþ òåîðèþ áîëüøèõ óêëîíåíèé ìîæíî èçó÷àòü ïî êíèãå [77].

8.2 Ãàóññîâñêèé ïðèíöèï áîëüøèõ óêëî íåíèé Ïóñòü òåïåðü X  öåíòðèðîâàííûé ãàóññîâñêèé âåêòîð ñ ðàñïðåäåëåíèåì P â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå X . Îïðåäåëèì ôóíêöèþ óêëîíåíèé ôîðìóëîé, àíàëîãè÷íîé êîíå÷íîìåðíîìó ñëó÷àþ: |h|2 HP 2 , h ∈ HP , I(h) = +∞, h ∈ HP . Òîãäà âåðíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:

Òåîðåìà 8.3

(Ãàóññîâñêèé ïðèíöèï áîëüøèõ óêëîíåíèé). Äëÿ ëþáîãî îòêðûòîãî ìíîæåñòâà G ⊂ X âåðíî lim inf R→∞

ln P {X ∈ RG} ≥ −J(G), R2

(8.1)

à äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî F ⊂ X âåðíî lim sup R→∞

ln P {X ∈ RF } ≤ −J(F ), R2

(8.2)

Ãëàâà 8. Ïðèíöèï áîëüøèõ óêëîíåíèé

92 ãäå J(A) = inf A I(·).

Ìíîæåñòâî A ⊂ X íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíûì, åñëè

inf I(·) = inf I(·) = inf I(·). A

Cl(A)

Int(A)

Èç òåîðåìû 8.3 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ òàêèõ ìíîæåñòâ âåðíî

lim

R→∞

ln P {X ∈ RA} = −J(A). R2

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 8.3.

Íèæíÿÿ îöåíêà . Ïóñòü G  îòêðûòîå ìíîæåñòâî è âåêòîð h ïðèíàäëåæèò G ∩ HP . Òîãäà íàéä¼òñÿ òàêàÿ ñèììåòðè÷íàÿ îêðåñòíîñòü íóëÿ V , ÷òî h + V ⊂ G. Èñïîëüçóÿ ïðåäëîæåíèå 5.1, ïîëó÷èì

P (RG) ≥ P (Rh + RV ) ≥ P (RV ) exp{−R2 |h|2HP /2}, ïðè÷¼ì

lim P (RV ) = P (X ) = 1.

R→∞

(8.3)

Îòñþäà

−|h|2HP ln P {X ∈ RG} ≥ . 2 R→∞ R 2 Ìàêñèìèçèðóÿ ïðàâóþ ÷àñòü ïî h, ïîëó÷èì (8.1). Âåðõíÿÿ îöåíêà . Ïóñòü F  çàìêíóòîå ìíîæåñòâî. Ôèêñèðóåì ρ < inf h∈F |h|HP . Òîãäà øàð B := {h ∈ HP : |h|HP ≤ ρ} è ìíîæåñòâî F íå ïåðåñåêàþòñÿ. Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî øàð B êîìïàêòåí. Ïîñêîëüêó F çàìêíóòî, òî äëÿ êàæäîé òî÷êè h ∈ B íàéä¼òñÿ òàêàÿ âûïóêëàÿ îêðåñòíîñòü íóëÿ Vh , ÷òî h + Vh ∩ F = ∅ . Âûäåëèì èç ïîêðûòèÿ {h + Vh /2} ìíîæåñòâà B êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå {hi + Vhi /2} è ïîëîæèì  (Vhi ) /2 . V = lim inf

i

Òîãäà

(B + V ) ∩ F = ∅.

(8.4)

8.3. Ñëåäñòâèÿ ïðèíöèïà áîëüøèõ óêëîíåíèé

93

Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ëþáîãî h ∈ B íàéä¼òñÿ òàêîå i, ÷òî âåðíî h ∈ hi + Vhi /2. Ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî v ∈ V èìååì

h + v ∈ hi + Vhi /2 + V ⊂ hi + Vhi /2 + Vhi /2 = hi + Vhi . Ñëåäîâàòåëüíî, h+v ∈ F è (8.4) äîêàçàíî. Èç íåãî, ïðèìåíÿÿ èçîïåðèìåòðè÷åñêîå íåðàâåíñòâî, íàõîäèì   P (RF ) ≤ P (X \(RB + RV )) ≤ 1 − Φ Φ−1 (P (RV )) + Rρ . Èç (8.3) íàõîäèì, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ R âåðíî

Φ−1 (P (RV )) ≥ Φ−1 (1/2) = 0, îòêóäà

P (RF ) ≤ 1 − Φ (Rρ) .

Ñëåäîâàòåëüíî,

lim sup R→∞

ln P {X ∈ RF } ln (1 − Φ (Rρ)) −ρ2 ≤ lim sup = . 2 2 R R 2 R→∞

Îñòà¼òñÿ ïåðåéòè ê ïðåäåëó ρ  inf h∈F |h|HP , ÷òî ðàâíîñèëü2 íî ρ2  J(F ), è (8.2) äîêàçàíî. 

Çàìå÷àíèå 8.1

Ãàóññîâñêàÿ âåðñèÿ ïðèíöèïà áîëüøèõ óêëîíåíèé áûëà íåçàâèñèìî óñòàíîâëåíà Âåíòöåëåì è Ôðåéäëèíûì [9, 38] äëÿ ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà. Åù¼ ðàíüøå ÷àñòíûé ñëó÷àé âèíåðîâñêîé ìåðû áûë ðàññìîòðåí Øèëüäåðîì [163].

8.3 Ñëåäñòâèÿ ïðèíöèïà áîëüøèõ óêëîíåíèé Ïðèìåð 8.1

(Áîëüøèå óêëîíåíèÿ ìàêñèìóìà ãàóññîâñêîãî

Ïóñòü X(t), t ∈ T ,  öåíòðèðîâàííûé ãàóññîâñêèé ïðîöåññ ñ íåïðåðûâíûìè òðàåêòîðèÿìè íà êîìïàêòå T . Òîãäà ïðîöåññà).

ln P (maxT X ≥ R) −1 = , 2 R→∞ R 2σ 2 lim

(8.5)

Ãëàâà 8. Ïðèíöèï áîëüøèõ óêëîíåíèé

94

lim

R→∞

ãäå

ln P (maxT |X| ≥ R) −1 = , R2 2σ 2

(8.6)

σ 2 = max E X(t)2 . T

Ïðèìåíèì ïðèíöèï áîëüøèõ óêëîíåíèé ê âåêòîðó X = (X(t)) â ïðîñòðàíñòâå C(T ) è ìíîæåñòâó A = {x : maxT x ≥ 1}. Çàìåòèì, ÷òî A  ðåãóëÿðíîå ìíîæåñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, A  çàìêíóòîå ìíîæåñòâî, ïîýòîìó J(A) = J(Cl(A)). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, Int(A) = {x : maxT x > 1}. Ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî h ∈ A è ëþáîãî ε > 0 èìååì (1 + ε)h ∈ Int(A) è

I(h) = lim (1 + ε)2 I(h) = lim I((1 + ε)h) ≥ J(Int(A)). ε→0

ε→0

Ñëåäîâàòåëüíî,

J(A) = inf I(h) ≥ J(Int(A)). h∈A

Îáðàòíîå íåðàâåíñòâî J(A) ≤ J(Int(A)) î÷åâèäíî, è ðåãóëÿðíîñòü A äîêàçàíà. Çíà÷èò, ïðåäåë â (8.5) ñóùåñòâóåò è ðàâåí −J(A). Âû÷èñëèì åãî. Äëÿ ëþáîãî t ∈ T ïîëîæèì σt2 = EX(t)2 , δt x = x(t), è

ht = σt−2 Kδt = σt−2 II ∗ δt . Òîãäà

|ht |2HP = σt−4 ||I ∗ δt ||2XP∗ = σt−4 σt2 = σt−2

è

ht (t) = (δt , h) = (δt , σt−2 II ∗ δt ) = σt−2 (I ∗ δt , I ∗ δt ) = 1. Ïîýòîìó ht ∈ A è

J(A) = inf I(h) ≤ inf I(ht ) = inf h∈A

t∈T

t∈T

|ht |2HP σ −2 1 . = inf t = t∈T 2 2 2σ 2

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïóñòü h = Iz ∈ A. Òîãäà ïðè íåêîòîðîì t∈T

1 ≤ h(t) = (δt , h) = (δt , Iz) = (I ∗ δt , z) ≤ σt ||z||XP∗ .

8.3. Ñëåäñòâèÿ ïðèíöèïà áîëüøèõ óêëîíåíèé Ïîýòîìó

95

|h|HP = ||z||XP∗ ≥ inf σt−1 = σ −1 . t∈T

Çíà÷èò, J(A) ≥

1 2σ 2 .

Óïðàæíåíèå 8.1 íèåì.

Ïîëó÷àåì J(A) =

1 2σ 2 ,

è (8.5) äîêàçàíî.

Äîêàæèòå (8.6) àíàëîãè÷íûì ðàññóæäå-

Óïðàæíåíèå 8.2

Äëÿ ôóíêöèè f ∈ C[0, 1] îïðåäåëèì å¼ ìîäóëü íåïðåðûâíîñòè

ω(f, u) := sup |f (s) − f (t)|. |s−t|≤u

Ïóñòü W  âèíåðîâñêèé ïðîöåññ. Äîêàæèòå, ÷òî

lim

R→∞

ln P (ω(W, u) ≥ R) −1 = , 2 R 2u

Ïðèìåð 8.2

0 < u ≤ 1.

(8.7)

(Ðàñïðåäåëåíèå íîðìû ãàóññîâñêîãî âåêòîðà).

Ïóñòü X  öåíòðèðîâàííûé ãàóññîâñêèé âåêòîð â ñåïàðàáåëüíîì áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå (X , || · ||). Ïóñòü P  ðàñïðåäåëåíèå X , à K : X ∗ → X  êîâàðèàöèîííûé îïåðàòîð X . Òîãäà

lim

R→∞

ln P (||X|| ≥ R) −1 = . R2 2||K||

(8.8)

Êàê èçâåñòíî, íîðìà âåêòîðà â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå çàïèñûâàåòñÿ â âèäå

||x|| = sup (f, x), f ∈S ∗

x ∈ X,

(8.9)

ãäå S ∗  åäèíè÷íàÿ ñôåðà â ñîïðÿæ¼ííîì ïðîñòðàíñòâå. Ïîýòîìó ìû èìååì ||X|| = sup (f, X), f ∈S ∗

è ìîæíî ïðèìåíÿòü ðàññóæäåíèÿ èç ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà ñ ôóíêöèîíàëàìè f ∈ S ∗ âìåñòî ìîìåíòîâ âðåìåíè t ∈ T . Ïîëó÷èì ln P (||X|| ≥ R) −1 lim = , 2 R→∞ R 2σ 2

Ãëàâà 8. Ïðèíöèï áîëüøèõ óêëîíåíèé

96 ãäå

σ 2 = sup E(f, X)2 = sup (f, Kf ). f ∈S ∗

f ∈S ∗

Î÷åâèäíî, ÷òî

σ 2 ≤ sup ||f || ||Kf || ≤ ||K||. f ∈S ∗

Ñ äðóãîé ñòîðîíû,

||K||

=

sup ||Kf || = sup (g, Kf ) = sup E(f, X)(g, X)

f ∈S ∗



≤

f,g∈S ∗

f,g∈S ∗

1/2

sup E(f, X)2 sup E(g, X)2

f ∈S ∗

g∈S ∗

= σ2 .

Òàêèì îáðàçîì, σ 2 = ||K||, è (8.8) äîêàçàíî.

Óïðàæíåíèå 8.3

(Ýêâèâàëåíòíîñòü ìîìåíòîâ íîðìû ãàóññîâñêîãî âåêòîðà.) Èñïîëüçóÿ ïðèíöèï êîíöåíòðàöèè (ïðèìåíèòåëüíî ê ñóïðåìóì-ôóíêöèîíàëó, ñì. ïðåäñòàâëåíèå (8.9) è ïðèìåð 6.1), à òàêæå íåðàâåíñòâî (7.4), äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî p ≥ 1 íàéä¼òñÿ òàêàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà cp , ÷òî äëÿ ëþáîãî öåíòðèðîâàííîãî ãàóññîâñêîãî âåêòîðà â íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå âåðíî

E||X|| ≤ (E||X||p )

1/p

≤ cp E||X||.

(8.10)

Ãëàâà 9

Ôóíêöèîíàëüíûé çàêîí ïîâòîðíîãî ëîãàðèôìà 9.1 Êëàññè÷åñêèé ÇÏË Íàïîìíèì äâå êëàññè÷åñêèå ôîðìû çàêîíà ïîâòîðíîãî ëîãàðèôìà (ÇÏË): • äëÿ ñóìì íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí . Ïóñòü (Xj )  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öåíòðèðîâàííûõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ åäèíè÷íîé äèñïåðñèåé. Ïîëîæèì n Sn =



Xj .

j=1

Òîãäà ÇÏË ÕàðòìàíàÂèíòíåðà [104]  óòâåðæäàåò, ÷òî ïî÷òè íàâåðíîå lim supn→∞ √2nSlnn ln n lim inf n→∞ √2nSlnn ln n  P.

Hartmann, A. Wintner.

= =

1, −1.

(9.1)

98

Ãëàâà 9. Ôóíêöèîíàëüíûé çàêîí ïîâòîðíîãî ëîãàðèôìà •

äëÿ âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà . æäàåò, ÷òî ïî÷òè íàâåðíîå

ÇÏË Õèí÷èíà [7, 39] óòâåð-

W (T ) 2T ln ln T T →∞ W (T ) lim inf √ T →∞ 2T ln ln T

lim sup √

=

1,

=

−1.

Ñõîäñòâî ôîðìóëèðîâîê îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ïðè T = n ìîæíî ïðåäñòàâèòü W (T ) â âèäå ñóììû íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåë¼ííûõ ïðèðàùåíèé W (j) − W (j − 1). Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ÇÏË ÿâëÿåòñÿ ôîðìîé èçó÷åíèÿ áîëüøèõ óêëîíåíèé ôèãóðèðóþùèõ â í¼ì âåëè÷èí. Íàïðèìåð, òèïè÷íîå çíà÷åíèå Sn√ñîãëàñíî öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìå èìååò ïîðÿäîê n, â òî âðåìÿ êàê ÇÏË èìååò äåëî ñ √ âåëè÷èíàìè áîëüøåãî ïîðÿäêà n ln ln n. Òî æå ñàìîå ìîæíî ñêàçàòü è î ÇÏË äëÿ âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà. Çàêîí ïîâòîðíîãî ëîãàðèôìà áûë îòêðûò Õèí÷èíûì [112] äëÿ ÷èñëà óñïåõîâ â ñõåìå Áåðíóëëè. Âàæíûé ðåçóëüòàò Êîëìîãîðîâà äà¼ò ÇÏË äëÿ ñóìì íå îäèíàêîâî ðàñïðåäåë¼ííûõ îãðàíè÷åííûõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïîñëåäóþùàÿ èñòîðèÿ ÇÏË, îòìå÷åííàÿ ðàáîòàìè Êîëìîãîðîâà, Ëåâè, Ýðä¼øà, Ôåëëåðà, Ïåòðîâà, Ëåäó è äð., è ëèòåðàòóðà ïî ýòîé òåìå î÷åíü îáøèðíû, ñì. [91, 56, 126, 24] è äàëüíåéøèå ññûëêè â ýòèõ ðàáîòàõ.

9.2 Ôóíêöèîíàëüíûé ÇÏË Òåïåðü ìû ïåðåõîäèì ê èçó÷åíèþ ôóíêöèîíàëüíîãî ÇÏË (äàëåå îáîçíà÷àåìîãî ÔÇÏË) äëÿ âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà.  îòëè÷èå îò êëàññè÷åñêîãî ÇÏË ôóíêöèîíàëüíûé çàêîí ïðèíèìàåò âî âíèìàíèå íå òîëüêî çíà÷åíèå W (T ), íî è âñþ òðàåêòîðèþ W (t), 0 ≤ t ≤ T . Äëÿ êàæäîãî T > 3 îïðåäåëèì ñëó÷àéíûå ýëåìåíòû ïðîñòðàíñòâà C[0, 1] ôîðìóëàìè

XT (s) =

W (sT ) √ , T

0 ≤ s ≤ 1,

9.2. Ôóíêöèîíàëüíûé ÇÏË

99

W (sT ) XT (s) =√ , 0 ≤ s ≤ 1. (9.2) 2T ln ln T 2 ln ln T Çàìåòèì, ÷òî îáå ýòè ôóíêöèè ñîäåðæàò â ñæàòîì âèäå âñþ òðàåêòîðèþ ïðîöåññà W (t), 0 ≤ t ≤ T . Êðîìå òîãî, YT (s) = √

YT (1) = √

W (T ) , 2T ln ln T

òàê ÷òî èçó÷àòü ïðåäåëüíîå ïîâåäåíèå Y (·)  åñòåñòâåííàÿ çàäà÷à â ñâåòå ÇÏË Õèí÷èíà. Îòìåòèì íà áóäóùåå, ÷òî â ñèëó ñàìîïîäîáèÿ âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà ïðîöåññ XT ïðè ëþáîì T ñàì ÿâëÿåòñÿ âèíåðîâñêèì. Äàëüøå ïîéäåò ðå÷ü î ñõîäèìîñòè ê ìíîæåñòâó , à íå ê ïðåäåëüíîé òî÷êå. Ïîýòîìó èìååò ñìûñë íàïîìíèòü ñîîòâåòñòâóþùåå îïðåäåëåíèå. Ïóñòü (YT )T ≥T0  ñåìåéñòâî ýëåìåíòîâ íåêîòîðîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà (X , ρ). Ãîâîðÿò, ÷òî êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî K ⊂ X ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíûì äëÿ YT ïðè T → ∞ è ïèøóò YT → K , åñëè âûïîëíåíû äâà óñëîâèÿ 1. limT →∞ inf h∈K ρ(YT , h) = 0. 2. äëÿ ëþáîãî h ∈ K âåðíî lim inf T →∞ ρ(YT , h) = 0. Ïåðâîå óñëîâèå ãîâîðèò, ÷òî ïðè áîëüøèõ T ýëåìåíò YT áëèçîê ê íåêîòîðîìó ýëåìåíòó êîìïàêòà K . Âòîðîå óñëîâèå ãîâîðèò, ÷òî ëþáàÿ îêðåñòíîñòü ëþáîãî ýëåìåíòà K ïîñåùàåòñÿ ñåìåéñòâîì (YT ) ïðè ñêîëü óãîäíî áîëüøèõ T . Ñîëü ïðèâåä¼ííîãî îïðåäåëåíèÿ â òîì, ÷òî èç YT → K äëÿ ëþáîãî íåïðåðûâíîãî ôóíêöèîíàëà g : X → R , ñëåäóåò

lim sup g(YT ) = sup g(h), T →∞

h∈K

lim inf g(YT ) = inf g(h). (9.3) T →∞

h∈K

Òàêèì îáðàçîì, àíàëèç ïðåäåëüíîãî ïîâåäåíèÿ ôóíêöèîíàëà ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ýêñòðåìàëüíîé çàäà÷è íà ïðåäåëüíîì êîìïàêòå. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà (9.3) çàìåòèì, ÷òî èç âòîðîãî ñâîéñòâà ñõîäèìîñòè è íåïðåðûâíîñòè g ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî h ∈ K

L := lim sup g(YT ) ≥ g(h), T →∞

100

Ãëàâà 9. Ôóíêöèîíàëüíûé çàêîí ïîâòîðíîãî ëîãàðèôìà

è, îïòèìèçèðóÿ ïî h, íàõîäèì

L ≥ sup g(h). h∈K

Îáðàòíî, âûäåëèì òàêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Tn → ∞, ÷òî

lim g(YTn ) = L.

n→∞

Ïî ïåðâîìó ñâîéñòâó ñõîäèìîñòè, íàéä¼òñÿ òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü hn ∈ K , ÷òî

lim ρ(YTn , hn ) = 0.

n→∞

Ïîëüçóÿñü êîìïàêòíîñòüþ K , ìîæíî âûäåëèòü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü hnj → h ∈ K . Òîãäà YTnj → h è

L = lim g(YTnj ) = g(h), j→∞

îòêóäà ñëåäóåò L ≤ suph∈K g(h). Ïåðâîå óòâåðæäåíèå â (9.3) äîêàçàíî. Âòîðîå ïîëó÷àåòñÿ èç ïåðâîãî çàìåíîé g íà −g .   êà÷åñòâå ïðåäåëüíîãî êîìïàêòà â ÔÇÏË áóäåò âûñòóïàòü åäèíè÷íûé øàð ÿäðà (ýëëèïñîèä ðàññåÿíèÿ) âèíåðîâñêîé ìåðû, ò.å. ìíîæåñòâî

K

{h : |h|HP ≤ 1}   = h ∈ AC[0, 1] : h(0) = 0,

=

1

 h (s)2 ds ≤ 1 . (9.4)

0

 êîíòåêñòå ÔÇÏË K ÷àñòî íàçûâàþò

øàðîì Øòðàññåíà.

Òåîðåìà 9.1 (Ôóíêöèîíàëüíûé çàêîí ïîâòîðíîãî ëîãàðèôìà (çàêîí Øòðàññåíà ) äëÿ âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà). Ïóñòü

ñåìåéñòâî (YT )T ≥3 çàäàíî ôîðìóëîé (9.2), à øàð ìóëîé (9.4). Òîãäà ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà âåðíî

YT → K.

V. Strassen [168].

K  ôîð-

9.2. Ôóíêöèîíàëüíûé ÇÏË

101

Äîêàçàòåëüñòâî

òåîðåìû 9.1 äîñòàòî÷íî òåõíè÷åñêîå, íî î÷åíü ïîó÷èòåëüíîå.  åãî îñíîâå ëåæèò èäåÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî áëîêèðîâàíèÿ: ìû áóäåì ãëàâíûì îáðàçîì ñëåäèòü çà ïîâåäåíèåì YT âäîëü ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñòóùèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé Tn = γ n , ïðè÷¼ì ïàðàìåòð γ > 1 áóäåò âàðüèðîâàòüñÿ â çàâèñèìîñòè îò ïîñòàâëåííîé öåëè. Ââåä¼ì ïîäõîäÿùèå îáîçíà÷åíèÿ. Ïóñòü γ > 1. Ïðåäñòàâèì YT â âèäå YT = Y.T + YT0 ,   ãäå Y.T (s) := YT min(s, γ −1 )  ýòî ôóíêöèÿ YT (·), îñòàíîâëåííàÿ â ìîìåíò âðåìåíè γ −1 < 1. Ñîîòâåòñòâåííî îïðåäåëÿåòñÿ YT0 := YT − Y.T . Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ôóíêöèÿ

YT0 (s)

0,   = (2T ln ln T )−1/2 W (sT ) − W (γ −1 T ) ,

0 ≤ s ≤ γ −1 , γ −1 ≤ s ≤ 1,

ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ïðèðàùåíèÿìè ïðîöåññà W íà èíòåðâàëå [γ −1 T, T ]. Ïîýòîìó, êîãäà ìû ðàññìàòðèâàåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìîìåíòîâ Tn = γ n , ñëó÷àéíûå ôóíêöèè YT0n áóäóò íåçàâèñèìû. Îáîçíà÷èì ρ(x, y) = ||x − y|| ðàâíîìåðíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó ôóíêöèÿìè. Òåõíè÷åñêàÿ ÷àñòü äîêàçàòåëüñòâà ñîñòîèò â îáîñíîâàíèè ÷åòûðåõ óòâåðæäåíèé î ñõîäèìîñòè ðÿäîâ. 1. Äëÿ ëþáûõ γ > 1 è ε > 0 âåðíî

  ∞  P inf ρ(YTn , h) > ε < ∞. n=1

h∈K

(9.5)

2. Äëÿ ëþáîãî γ > 1 ìîæíî íàéòè òàêîå ε1 = ε1 (γ) > 0, ÷òî + * ∞  (9.6) P sup ρ(YT , YTn ) > ε1 < ∞ n=1

Tn ≤T ≤Tn+1

è limγ 0 ε1 (γ) = 0.

102

Ãëàâà 9. Ôóíêöèîíàëüíûé çàêîí ïîâòîðíîãî ëîãàðèôìà

3. Äëÿ ëþáûõ h ∈ K , γ > 1 è ε > 0 âåðíî ∞ 

P (ρ(YTn , h) < ε) = ∞.

(9.7)

n=1

4. Äëÿ ëþáîãî γ > 1 ìîæíî ÷òî ∞ /  / P /Y.T

íàéòè òàêîå ε2 = ε2 (γ) > 0,

/  / > ε / 2 1 lim sup inf ρ(YTn , h) = 0, n→∞ h∈K

à èç (9.6) ñëåäóåò, ÷òî

lim sup

sup

n→∞ Tn ≤T ≤Tn+1

ρ(YT , YTn ) ≤ ε1 .

Ïî íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà

inf ρ(YT , h) ≤ inf ρ(YTn , h) + ρ(YT , YTn ),

h∈K

h∈K

îòêóäà

lim sup inf ρ(YT , h) ≤ ε1 . T →∞ h∈K

Íàêîíåö, óñòðåìëÿÿ γ  1, ïîëó÷èì

lim sup inf ρ(YT , h) ≤ lim ε1 (γ) = 0. T →∞ h∈K

γ 1

! Çäåñü è äàëåå óòâåðæäåíèÿ ïî õîäó äîêàçàòåëüñòâà ñïðàâåäëèâû ñ ” âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà“ .

9.2. Ôóíêöèîíàëüíûé ÇÏË

103

Çàôèêñèðóåì h ∈ K è γ > 1. Âû÷èòàÿ èç ðàñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà ñõîäÿùèéñÿ, ìû ïîëó÷àåì ðàñõîäÿùèéñÿ ðÿä. Ïîýòîìó èç (9.7) è (9.8) ñëåäóåò ∞ / /    / / P ρ(YTn , h) ≤ ε, /Y.Tn / ≤ ε2

≥

n=1 ∞  

/  / / / P (ρ(YTn , h) ≤ ε) − P /Y.Tn / > ε2 = ∞.

n=1

Ïîëîæèì çäåñü/ ε =/ε2 è, ïðåäïîëàãàÿ âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâ / / ρ(YTn , h) < ε2 , /Y.Tn / ≤ ε2 , âûâåäåì èç íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà / / / / ρ(YT0n , h) ≤ ρ(YTn , h) + ρ(YT0n , YTn ) = ρ(YTn , h) + /Y.Tn / ≤ 2ε2 . Òàêèì îáðàçîì, ∞    P ρ(YT0n , h) ≤ 2ε2 = ∞. n=1

Ïîñêîëüêó ýëåìåíòû YT0n íåçàâèñèìû, èç ëåììû ÁîðåëÿÊàíòåëëè ñëåäóåò lim inf ρ(Y 0 Tn , h) ≤ 2ε2 . n→∞

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç (9.8) ïî òîé æå ëåììå ÁîðåëÿÊàíòåëëè ìû ïîëó÷àåì / / / / lim sup /Y.Tn / ≤ ε2 . n→∞

Ïî íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà

ρ(YTn , h) ≤ ρ(YT0n , h) + ρ(YT0n , YTn ), ïîýòîìó

/ / / / lim inf ρ(YTn , h) ≤ lim inf ρ(YT0n , h) + lim sup /Y.Tn / ≤ 3ε2 . n→∞

n→∞

n→∞

Íàêîíåö,

lim inf ρ(YT , h) ≤ lim inf ρ(YTn , h) ≤ 3ε2 T →∞

n→∞

104

Ãëàâà 9. Ôóíêöèîíàëüíûé çàêîí ïîâòîðíîãî ëîãàðèôìà

è, óñòðåìëÿÿ γ → ∞, ïîëó÷èì

lim inf ρ(YT , h) ≤ 3 lim ε2 (γ) = 0. T →∞

γ→∞

Îñòà¼òñÿ ïðîâåðèòü, ÷òî ñïðàâåäëèâû óòâåðæäåíèÿ î ðÿäàõ (9.5)  (9.8). Äîêàæåì (9.5). Ïîëîæèì LT = 2 ln ln T . Îáîçíà÷èì

U := {x ∈ C[0, 1] : ||x|| ≤ 1}  åäèíè÷íûé øàð â C[0, 1]. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

lim P(W ∈ rU) = 1

r→∞

(9.9)

è ïîëüçóÿñü èçîïåðèìåòðè÷åñêèì íåðàâåíñòâîì (6.8), íàéä¼ì ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n



 inf ρ(YTn , h) > ε = P (YTn ∈ K + εU) h∈K * + W = P  ∈ K + εU LTn     = P W ∈ LTn K + ε LTn U       . Φ−1 P(W ∈ ε LT U) + LT ≤ Φ n n    . 1 + LT ≤ Φ n   2  − 1 + LT n ≤ exp 2   −LTn  ≤ exp − LT n . 2 P

Èñïîëüçóÿ ãðóáóþ îöåíêó exp(−x) ≤ cx−4 ïðèìåíèòåëüíî ê

9.2. Ôóíêöèîíàëüíûé ÇÏË

x=

105

 LTn , ïîëó÷èì  P

 inf ρ(YTn , h) > ε

h∈K

 −LTn  exp − LT n 2   −LTn −2 c LTn exp 2 1 c (2(ln ln γ + ln n))2 ln Tn 1 c , (2(ln ln γ + ln n))2 n ln γ 

≤ ≤ = =

è ýòî ïðèâîäèò ê ñõîäÿùåìóñÿ ðÿäó. Ñîîòíîøåíèå (9.5) äîêàçàíî. Äîêàæåì (9.7). Ïóñòü ε > 0 è h ∈ K . Èñïîëüçóÿ (9.9) è íåðàâåíñòâî Áîðåëëÿ äëÿ ñäâèãîâ (5.3)), ïîëó÷èì ïðè áîëüøèõ n

P (ρ(YTn , h) ≤ ε)

P (YTn ∈ h + εU) + * W ∈ h + εU = P  LTn     = P W ∈ h LTn + ε LTn U      L2 |h|2 ≥ exp − Tn HP P W ∈ ε LTn U 2 2 1 −|h|H 1 −|h|2H P P . ≥ (ln(Tn )) = (n ln γ) 2 2 =

Ïîñêîëüêó |h|HP ≤ 1, òî ðÿä èç ïîñëåäíèõ âûðàæåíèé ðàñõîäèòñÿ è îöåíêà (9.7) äîêàçàíà. Äîêàæåì (9.8). Ïóñòü ε > 0 è γ > 1. Èñïîëüçóÿ ñàìîïîäî-

106

Ãëàâà 9. Ôóíêöèîíàëüíûé çàêîí ïîâòîðíîãî ëîãàðèôìà

áèå âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà, íàéä¼ì

/ /  / / P /Y.Tn / > ε = = = =

*/ + / /W (min(·, γ −1 ))/  P >ε LTn    P max−1 |W (s)| > ε LTn 0≤s≤γ    P γ −1/2 max |W (s)| > ε LTn 0≤s≤1    P max |W (s)| > ε γLTn . 0≤s≤1

Ïðèìåíÿÿ ïðèíöèï áîëüøèõ óêëîíåíèé äëÿ ìàêñèìóìîâ (8.6), íàéä¼ì ïðè áîëüøèõ n

 P =

max |W (s)| > ε

0≤s≤1

(ln(Tn ))−2ε

2

γ/3





= (n ln γ)−2ε

 ≤ exp

γLTn 2

γ/3

−ε2 γLTn 3



.

Ðÿä èç òàêèõ âåëè÷èí áóäåò ñõîäèòüñÿ, åñëè ìû âûáåðåì ε := ε2 (γ) = 2γ −1/2 . Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè òàêîì âûáîðå âåðíî è óñëîâèå (9.8), è òðåáóåìîå ñîîòíîøåíèå limγ→∞ ε2 (γ) = 0. Äîêàæåì (9.6). Ïóñòü ε > 0, γ > 1 è T ∈ [Tn , Tn+1 ]. Èç îïðåäåëåíèÿ YT ñëåäóåò

   Tn+1 sT W (sT ) . = √ XTn+1 YT (s) = √ Tn+1 T LT T LT Ïîýòîìó

= ≤ ãäå

ρ(YT , YTn+1 )      T  sT 1 n+1   − sup  √ XTn+1 XTn+1 (s)   T T LT LTn+1 n+1 0≤s≤1 sup Δ1 (s) + sup Δ2 (s),

0≤s≤1

0≤s≤1

9.2. Ôóíêöèîíàëüíûé ÇÏË

107



Δ1 (s)

=

Δ2 (s)

=

     Tn+1  sT √ XTn+1 − XTn+1 (s) ;  Tn+1 TL   T    T  1 n+1    −  · XTn+1 (s) . √   T LT LTn+1

Äëÿ ïåðâîãî ñëàãàåìîãî âîñïîëüçóåìñÿ îöåíêîé áîëüøèõ óêëîíåíèé ìîäóëÿ íåïðåðûâíîñòè âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà (8.7). Ïîëó÷èì, ÷òî ïðè áîëüøèõ n âåðíî   P sup Δ1 (s) ≥ ε 0≤s≤1

       Tn+1 sT   − W (s) ≥ ε sup W P √ Tn+1 T LT 0≤s≤1   √  ε T LT  −1 ≥  P ω W, 1 − γ Tn+1    ε LT n  −1 ≥ √ P ω W, 1 − γ γ   2  ε LT n  −1 −1 exp − 1−γ 3γ 

= ≤ = ≤

2

=

−1

−1 2ε (n ln γ)− 3γ (1−γ ) .

Ñîîòâåòñòâóþùèé ðÿä ñõîäèòñÿ, åñëè ε ≥ 2(γ − 1)1/2 . Àíàëîãè÷íî, íî äàæå ïðîùå, ðàññìàòðèâàåòñÿ è âòîðîå ñëàãàåìîå. Äëÿ íåãî ïîëó÷àåì îöåíêó âèäà     cε LTn P sup Δ2 (s) ≥ ε ≤ P ||W || ≥ 1 − γ −1 0≤s≤1   2 2   c ε −1 −2 ≤ exp − LTn 1 − γ 3 2c2 ε2 3

−2

(1− γ1 ) .   Ñîîòâåòñòâóþùèé ðÿä ñõîäèòñÿ, åñëè ε ≥ 2c−1 1 − γ −1 . Îñòà=

(n ln γ)−

108

Ãëàâà 9. Ôóíêöèîíàëüíûé çàêîí ïîâòîðíîãî ëîãàðèôìà

¼òñÿ âûáðàòü

(  ) ε1 (γ) = 2 max 2(γ − 1)1/2 ; 2c−1 1 − γ −1 ,

è (9.6) äîêàçàíî ïðè îäíîâðåìåííîì âûïîëíåíèè òðåáîâàíèÿ limγ 1 ε1 (γ) = 0. 

Óïðàæíåíèå 9.1

Ïóñòü W  âèíåðîâñêèé ïðîöåññ. Äîêàæèòå, ÷òî âåðõíèé ïðåäåë T W (s)2 ds lim sup 0 2 T ln ln T T →∞ íå ñëó÷àåí (ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà) è íàéäèòå åãî.

9.3 Íåêîòîðûå óòî÷íåíèÿ è îáîáùåíèÿ ÔÇÏË

Ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè

Èíòåðåñíî óçíàòü, íàñêîëüêî áûñòðà ñõîäèìîñòü â ÔÇÏË. Ïîñêîëüêó ÔÇÏË ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïàðó óòâåðæäåíèé, òî è ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè íóæíî âû÷èñëÿòü äëÿ êàæäîãî èç íèõ. ×òî êàñàåòñÿ ñáëèæåíèÿ YT ñ ìíîæåñòâîì K , òî Ê. Ãðèëë è Ì. Òàëàãðàí" íåçàâèñèìî äîêàçàëè, ÷òî äëÿ íåêîòîðûõ c1 , c2 ïî÷òè íàâåðíîå ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n

c1 c2 ≤ inf ρ(YT , h) ≤ . 2/3 h∈K (ln ln T ) (ln ln T )2/3 Î ñáëèæåíèè ñ êîíêðåòíûì ýëåìåíòîì h ∈ K ìîæíî ñêàçàòü ñëåäóþùåå. Åñëè h íàõîäèòñÿ âíóòðè K , ò.å. |h|HP < 1, òî ñêîðîñòü ñáëèæåíèÿ èìååò ïîðÿäîê (ln ln T )−1 . Òî÷íåå èç ðåçóëüòàòîâ À. äå Àêîñòà è Ý.×àêè # ñëåäóåò, ÷òî

π . lim inf (||YT − h|| ln ln T ) =  T →∞ 4 1 − |h|2HP " #

K. Grill, M. Talagrand [102, 170]. A. de Acosta, E. Cs
aki [74, 73].

9.3. Íåêîòîðûå óòî÷íåíèÿ è îáîáùåíèÿ ÔÇÏË

109

Äëÿ ïîãðàíè÷íûõ ýëåìåíòîâ h ñ åäèíè÷íîé íîðìîé ïîðÿäîê ñêîðîñòè ñáëèæåíèÿ çàâèñèò îò h. Ñêîðîñòü âñåãäà ìåäëåííåå (ln ln T )−1 , íî íå õóæå, ÷åì (ln ln T )−2/3 .

Óïðàæíåíèå 9.2 âåðíîå

 lim inf T →∞

Âûâåäèòå èç ñêàçàííîãî, ÷òî ïî÷òè íà-

ln ln T T

1/2

π sup |W (t)| = √ . 8 0≤t≤T

Ýòî  çàêîí ïîâòîðíîãî ëîãàðèôìà â ôîðìå ×æóíà$ .

Äðóãèå íîðìû Ïðîñòðàíñòâî C[0, 1] ìîæíî çàìåíèòü íà äðóãèå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðûå ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ïîïàäàþò òðàåêòîðèè âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà, íàïðèìåð, ïðîñòðàíñòâî Lp [0, 1] èëè ïðîñòðàíñòâî α-ã¼ëüäåðîâñêèõ ôóíêöèé ñ íîðìîé

||x||α = sup s,t∈[0,1] s=t

|x(s) − x(t)| , |s − t|α

0 3, s ∈ [0, 1]d ,

â ïðîñòðàíñòâå C([0, 1]d ) è äîêàçàòü, ÷òî ïðåäåëüíûì ìíîæåñòâîì äëÿ íèõ áóäåò åäèíè÷íûé øàð ÿäðà ðàñïðåäåëåíèÿ W , íàéäåííîãî â ïðèìåðå 4.7, ñì. [53, 154].

Äðîáíîå áðîóíîâñêîå äâèæåíèå Ïóñòü W (α) (t)  äðîáíîå áðîóíîâñêîå äâèæåíèå ñ ïîêàçàòåëåì α ∈ (0, 2). Ñàìîïîäîáèå W (α) îçíà÷àåò, ÷òî ïðîöåññ

XT (s) =

W (α) (sT ) T α/2

òàêæå áóäåò äðîáíûì áðîóíîâñêèì äâèæåíèåì. Ñîîòâåòñòâåííî, â ÔÇÏË áóäåò ôèãóðèðîâàòü

W (α) (sT ) XT (s) =√ , YT (s) = √ α 2T ln ln T 2 ln ln T

0 ≤ s ≤ 1.

ÔÇÏË â ýòîì ñëó÷àå óòâåðæäàåò, ÷òî YT → K (α) , ãäå ïðåäåëüíîå ìíîæåñòâî K (α) áóäåò åäèíè÷íûì øàðîì ÿäðà ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîöåññà W (α) , íàéäåííîãî â ïðèìåðå 4.6.

9.4. Ñèëüíûé ïðèíöèï èíâàðèàíòíîñòè

111

9.4 Ñèëüíûé ïðèíöèï èíâàðèàíòíîñòè Äëÿ òîãî, ÷òîáû äîêàçàòü ÔÇÏË äëÿ ñëó÷àéíûõ áëóæäàíèé, ñîäåðæàùèé òåîðåìó ÕàðòìàíàÂèíòíåðà, äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî çíà÷åíèÿ áëóæäàíèÿ áëèçêè ê çíà÷åíèÿì âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà. Òàêîé òèï ðåçóëüòàòîâ íàçûâàåòñÿ ñèëüíûì ïðèíöèïîì èíâàðèàíòíîñòè (ÑÏÈ). Ìû ïðèâåä¼ì çäåñü íåñêîëüêî íàèáîëåå çíà÷èìûõ ðåçóëüòàòîâ. Îáùàÿ ñõåìà òàêîâà. Ïóñòü (Xj )  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåë¼ííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ åäèíè÷íîé äèñïåðñèåé, çàäàííûõ íà íåêîòîðîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà íåêîòîðîì äðóãîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå ñîâìåñòíî ïîñòðîåíû ïîñëåäî,j ), îäèíàêîâî ðàñïðåäåë¼ííàÿ ñ (Xj ), âàòåëüíîñòü âåëè÷èí (X è âèíåðîâñêèé ïðîöåññ W . Ïîëîæèì

S,k =

k 

,j X

j=1

è

Δn = max |S,k − W (k)|. 1≤k≤n

ÑÏÈ óòâåðæäàåò, ÷òî ïðè îïðåäåë¼ííûõ ìîìåíòíûõ îãðàíè÷åíèÿõ íà îáùåå ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èí (Xj ) âîçìîæíî ïîñòðîåíèå ñ îïðåäåë¼ííûì îáðàçîì óáûâàþùèìè ðàçíîñòÿìè Δn . Ïðèâåä¼ì íåñêîëüêî ðåçóëüòàòîâ, äâèãàÿñü îò áîëåå ñèëüíûõ ïðåäïîëîæåíèé ê áîëåå ñëàáûì.

• ÑÏÈ ÊîìëîøàÌàéîðàÒóøíàäè (èçâåñòíûé êàê ÊÌÒêîíñòðóêöèÿ% ). Åñëè äëÿ íåêîòîðîãî c > 0 êîíå÷åí ýêñïîíåíöèàëüíûé ìîìåíò: E exp(c|Xj |) < ∞, òî ïî÷òè íàâåðíîå Δn lim sup < ∞. ln n n→∞ • ÑÏÈ Ñàõàíåíêî [26]. Åñëè E|Xj |p < ∞ äëÿ íåêîòîðîãî p > 2, òî ïî÷òè íàâåðíîå lim

n→∞

Δn = 0. n1/p

% J. Koml
os, P. Major, G. Tusn
ady [115, 116].

112

Ãëàâà 9. Ôóíêöèîíàëüíûé çàêîí ïîâòîðíîãî ëîãàðèôìà • ÑÏÈ Øòðàññåíà [168]. Èç îäíîãî (óæå ñäåëàííîãî ðàíåå) ïðåäïîëîæåíèÿ E|Xj |2 = 1 ñëåäóåò, ÷òî ïî÷òè íàâåðíîå Δn lim = 0. (9.10) n→∞ (n ln ln n)1/2 Ýòó îöåíêó íåâîçìîæíî óëó÷øèòü áåç äàëüíåéøèõ ìîìåíòíûõ ïðåäïîëîæåíèé. Îäíàêî ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò ïîêàçûâàåò, êàê ÷óòü ëó÷øóþ ñêîðîñòü àïïðîêñèìàöèè ìîæíî ïîëó÷èòü, åñëè ñëåãêà èçìåíèòü ñïîñîá àïïðîêñèìàöèè.

• ÑÏÈ Ìàéîðà [146]. Â òåõ æå óñëîâèÿõ èìååì ïî÷òè íàâåðíîå ,n Δ lim = 0, n→∞ n1/2 ãäå , n = max |S,k − W (, k)|, Δ 1≤k≤n

à

, k=

k 

  D Xj · 1|Xj |≤j

j=1

óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèÿì , k≤k è

, k = 1. k→∞ k lim

9.5 ÔÇÏË äëÿ ñëó÷àéíîãî áëóæäàíèÿ Ïóñòü (Xj ) è Sk  òàêèå æå, êàê â òåîðåìå ÕàðòìàíàÂèíòíåðà (9.1). Íîðìèðîâàííûå òðàåêòîðèè ñëó÷àéíîãî áëóæäàíèÿ Zn (s), 0 ≤ s ≤ 1, îïðåäåëèì ôîðìóëàìè   0, k = 0, k = (9.11) Zn Sk √ n , 1 ≤ k ≤ n, 2n ln ln n è ëèíåéíîé èíòåðïîëÿöèåé ìåæäó òî÷êàìè âèäà

k n.

9.5. ÔÇÏË äëÿ ñëó÷àéíîãî áëóæäàíèÿ

113

Òåîðåìà 9.2

(Ôóíêöèîíàëüíûé çàêîí ïîâòîðíîãî ëîãàðèôìà (çàêîí Øòðàññåíà) äëÿ ñëó÷àéíûõ áëóæäàíèé [168].)

Ïóñòü ñåìåéñòâî (Zn )n≥3 çàäàíî ôîðìóëîé (9.11), à ìíîæåñòâî K  ôîðìóëîé (9.4). Òîãäà ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà âåðíî

Zn → K.

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 9.2.

,j ), îäèíàêîâî Ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåëè÷èí (X ðàñïðåäåë¼ííóþ ñ (Xj ), è âèíåðîâñêèé ïðîöåññ W , î êîòî,n  ïîñëåäîâàðûõ ãîâîðèòñÿ â ÑÏÈ Øòðàññåíà. Ïóñòü Z ,j ). Èç òåëüíîñòü, ïîñòðîåííàÿ àíàëîãè÷íî Zn , íî èñõîäÿ èç (X ,j ) ñëåäóåò, ÷òî ïðåîäèíàêîâîé ðàñïðåäåë¼ííîñòè (Xj ) è (X , äåëüíûå ìíîæåñòâà ó (Zn ) è (Zn ) îäèíàêîâû. Ïîýòîìó íàì ,n → K . Ïóñòü Yn  íîðìèðîâàíäîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî Z íûå òðàåêòîðèè ïðîöåññà W , ïîñòðîåííûå ïî (9.2) ïðè T = n, à Y,n  èõ ëèíåéíûå èíòåðïîëÿöèè ïî òî÷êàì nk , 0 ≤ k ≤ n. Òîãäà ρ(Z,n , Y,n )

= = =

k k max |Z,n (s) − Y,n (s)| = max |Z,n ( ) − Y,n ( )| 0≤s≤1 0≤k≤n n n , |Sk − W (k)| k k max |Z,n ( ) − Yn ( )| = max √ 0≤k≤n 0≤k≤n n n 2n ln ln n Δn √ . 2n ln ln n

,n , Y,n ) = 0. Ñ äðóãîé ñòîðîÈç (9.10) ñëåäóåò, ÷òî limn→∞ ρ(Z íû, ïðèãëÿäåâøèñü ê ïðîöåññó Yn − Y,n (îøèáêå èíòåðïîëÿöèè), ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî íà êàæäîì îòðåçêå âèäà [ nk , k+1 n ] îí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íîðìèðîâàííóþ êîïèþ áðîóíîâñêîãî ìîñòà, ê òîìó æå ýòè êîïèè íåçàâèñèìû ìåæäó ñîáîé. Îòñþäà ëåãêî çàêëþ÷èòü, ÷òî limn→∞ ρ(Yn , Y,n ) = 0. Ïî íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà èìååì lim ρ(Yn , Z,n ) = 0.

n→∞

,n → K .  Ñëåäîâàòåëüíî, èç Yn → K ñëåäóåò Z

114

Ãëàâà 9. Ôóíêöèîíàëüíûé çàêîí ïîâòîðíîãî ëîãàðèôìà

Çàìå÷àíèå 9.1

ÇÏË ÕàðòìàíàÂèíòíåðà (9.1) ïîëó÷àåòñÿ èç òåîðåìû 9.2 ïðèìåíåíèåì (9.3) ê ôóíêöèîíàëó g(x) = x(1).

Ãëàâà 10

Ìåòðè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ è ñâîéñòâà òðàåêòîðèé 10.1 Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ Ïóñòü (T, ρ)  ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Îïðåäåëèì ýíòðîïèéíîå ÷èñëî N (ε) êàê ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ìíîæåñòâ äèàìåòðà íå áîëåå ε, äîñòàòî÷íîå, ÷òîáû ïîêðûòü T . Òîãäà N (·)  íåâîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ è N (0+) < ∞ â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà T  êîíå÷íîå ìíîæåñòâî è N (ε) < ∞ ïðè âñåõ ε > 0 â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà T îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíî. Âåëè÷èíà H(ε) = ln N (ε) íàçûâàåòñÿ ìåòðè÷åñêîé ýíòðîïèåé ïðîñòðàíñòâà T . Îïðåäåëèì ¼ìêîñòíîå ÷èñëî M (ε) êàê ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå êîëè÷åñòâî òî÷åê, êîòîðûå ìîæíî òàê ðàçìåñòèòü â T , ÷òîáû âñå ïîïàðíûå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè áûëè áîëüøå ε. Òîãäà M (·)  íåâîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ è M (0+) < ∞ â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà T  êîíå÷íîå ìíîæåñòâî è M (ε) < ∞ ïðè âñåõ ε > 0 â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà T îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíî. Âåëè÷èíà C(ε) = ln M (ε) íàçûâàåòñÿ ìåòðè÷åñêîé ¼ìêîñòüþ ïðîñòðàíñòâà T . 

Covering number. Packing number.

116 Ãëàâà

10. Ìåòðè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ è ñâîéñòâà òðàåêòîðèé

Ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî N è M â îáùåìòî îïèñûâàþò îäíî è òî æå ñâîéñòâî.

Ïðåäëîæåíèå 10.1 Äëÿ ëþáîãî ïðîñòðàíñòâà (T, ρ) è ëþáîãî ε > 0 âåðíû îöåíêè è

N (2ε) ≤ M (ε) ≤ N (ε)

(10.1)

H(2ε) ≤ C(ε) ≤ H(ε).

(10.2)

Äîêàçàòåëüñòâî.

Âîçüì¼ì òàêóþ êîíôèãóðàöèþ èç M (ε) òî÷åê, ÷òî âñå ïîïàðíûå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè áîëüøå ε. Î÷åâèäíî, ê íåé íåëüçÿ äîáàâèòü íè îäíîé òî÷êè ñ ñîõðàíåíèåì ýòîãî ñâîéñòâà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî øàðû ðàäèóñà ε ñ öåíòðàìè â òî÷êàõ êîíôèãóðàöèè îáðàçóþò ïîêðûòèå T . Ïîñêîëüêó äèàìåòð êàæäîãî øàðà íå ïðåâîñõîäèò 2ε, ìû ïîëó÷àåì, ÷òî N (2ε) ≤ M (ε). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ðàññìîòðèì ïîêðûòèå T , ñîñòîÿùåå èç N (ε) ìíîæåñòâ äèàìåòðà íå áîëåå ε è òàêóþ ñèñòåìó òî÷åê, ÷òî âñå ïîïàðíûå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè áîëüøå ε. Î÷åâèäíî, ëþáîé ýëåìåíò ïîêðûòèÿ ñîäåðæèò íå áîëåå îäíîé òî÷êè ñèñòåìû. Ïîýòîìó ÷èñëî òî÷åê â ñèñòåìå íå ïðåâîñõîäèò N (ε). Òàêèì îáðàçîì, M (ε) ≤ N (ε). Íåðàâåíñòâî (10.1) äîêàçàíî. Íåðàâåíñòâî (10.2) ïîëó÷àåòñÿ ëîãàðèôìèðîâàíèåì íåðàâåíñòâà (10.1).  Ïóñòü òåïåðü X(t), t ∈ T,  ãàóññîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ. Òîãäà íà T ìîæíî ââåñòè åñòåñòâåííîå ðàññòîÿíèå“ , ” ïîðîæä¼ííîå ïðîöåññîì X ,

ρ(s, t)2 := E|X(s) − X(t)|2 . Ñòðîãî ãîâîðÿ, ρ íå ÿâëÿåòñÿ ðàññòîÿíèåì â òîì ñìûñëå, ÷òî äëÿ íåêîòîðûõ s = t âîçìîæíî ρ(s, t) = 0. Îäíàêî ýòî îáñòîÿòåëüñòâî íèêàê íå ñêàçûâàåòñÿ íà äàííûõ âûøå îïðåäåëåíèÿõ è ñâîéñòâàõ ââåä¼ííûõ ïîíÿòèé. Ëþáèòåëü ñòðîãîñòè ìîæåò ñâåñòè äåëî ê íàñòîÿùåìó ìåòðè÷åñêîìó ïðîñòðàíñòâó, îòîæäåñòâëÿÿ òî÷êè, íàõîäÿùèåñÿ íà íóëåâîì ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà.  äàëüíåéøåì N, M, H, C îáîçíà÷àþò ñîîòâåòñòâóþùèå ïîíÿòèÿ, îòíîñÿùèåñÿ ê ïðîñòðàíñòâó (T, ρ). Ñ èõ ïîìîùüþ ìû áóäåì èçó÷àòü ñâîéñòâà ïðîöåññà X .

10.2. Âåðõíèå îöåíêè

117

10.2 Âåðõíèå îöåíêè Îñíîâíîé îöåíêå ïðåäïîøë¼ì âàæíûé òåõíè÷åñêèé ðåçóëüòàò.

Ëåììà 10.1 Ïóñòü (Xj )1≤j≤N  öåíòðèðîâàííûå íîðìàëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è maxj≤N EXj2 ≤ σ2 . Òîãäà E max Xj ≤ 1≤j≤N

√

(10.3)

2 ln N σ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Îöåíèì ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà: äëÿ

ëþáîãî λ âåðíî



⎛



E exp λ max Xj 1≤j≤N

≤



E⎝

⎞ exp {λXj }⎠

1≤j≤N

≤



  exp λ2 (EXj2 )/2

1≤j≤N

≤

  N exp λ2 σ 2 /2 .

Ïî íåðàâåíñòâó Éåíñåíà

  λ E max Xj ≤ ln E exp λ max Xj ≤ ln N + λ2 σ 2 /2. 1≤j≤N

1≤j≤N

Ïîëàãàÿ çäåñü λ =

√

2 ln N σ −1 , ïîëó÷èì (10.3). 

Èíòåãðàëîì Äàäëè ïðîöåññà X íàçîâåì èíòåãðàë, ïîñòðîåííûé ïî åãî ìåòðè÷åñêîé ýíòðîïèè,  u D(u) = H(ε) dε. 0

Òåîðåìà 10.1 (Âåðõíÿÿ îöåíêà ïî Äàäëè!). Äëÿ ëþáîãî öåíòðèðîâàííîãî ãàóññîâñêîãî ïðîöåññà X(t), t ∈ T , âåðíà îöåíêà √ E sup X(t) ≤ 4 2D(σ/2), t∈T

ãäå σ2 = supt∈T EX(t)2 . !

R. Dudley, [82].

118 Ãëàâà

10. Ìåòðè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ è ñâîéñòâà òðàåêòîðèé

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ñëåäóþùèå ðàññóæäåíèÿ ÷àñòî íàçûâàþòñÿ öåïíûì ìåòîäîì îöåíèâàíèÿ. Ïîëîæèì

εj = σ · 2−j ,

j = 1, 2, . . .

Äëÿ êàæäîãî εj âûáåðåì ìèíèìàëüíîå ïîêðûòèå T ìíîæåñòâàìè äèàìåòðà, íå ïðåâîñõîäÿùåãî εj .  êàæäîì èç ýëåìåíòîâ ïîêðûòèÿ âûáåðåì ïî îäíîé òî÷êå. Ïîëó÷åííîå ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç N (εj ) òî÷åê, îáîçíà÷èì Sj . Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå πj : T → Sj òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü

ρ(x, πj (x)) ≤ εj ,

∀x ∈ T.

Òîãäà ñïðàâåäëèâî

sup X(t) ≤ sup X(t) + sup (X(t) − X(πj−1 (t))).

t∈Sj

t∈Sj−1

t∈Sj

Ïåðåõîäÿ ê ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèÿì è ïðèìåíÿÿ ê ïîñëåäíåìó ñëàãàåìîìó ëåììó 10.1, ïîëó÷èì  E sup X(t) ≤ E sup X(t) + 2H(εj ) εj−1 . t∈Sj

t∈Sj−1

Êðîìå òîãî, ïî òîé æå ëåììå äëÿ èñõîäíîãî ñëàãàåìîãî âåðíî  E sup X(t) ≤ 2H(ε1 ) σ. t∈S1

Ðàññóæäàÿ ïî èíäóêöèè è èñïîëüçóÿ ìîíîòîííîñòü ôóíêöèè H(·), âèäèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî j ≥ 1 âåðíî

E sup X(t) t∈Sj

≤

j    2H(ε1 ) σ + 2H(εk ) εk−1 k=2

=

j    2 2H(ε1 ) ε1 + 2 2H(εk ) εk k=2

=

j 

 2 2H(εk ) εk

k=1

≤

j  √  4 2

≤

√  4 2

εk

k=1 εk+1 ε1 

 H(ε) dε

√ H(ε) dε = 4 2D(σ/2).

0

10.2. Âåðõíèå îöåíêè

119

Îñòà¼òñÿ ïåðåéòè îò Sj êî âñåìó ïðîñòðàíñòâó T . Ýòî äåëàåòñÿ â íåñêîëüêî ýòàïîâ. 1. Åñëè T  êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, òî ïðè íåêîòîðîì j áóäåò âåðíî T = Sj è óòâåðæäåíèå òåîðåìû óæå äîêàçàíî. 2. Åñëè T = {ti }∞ i=1  áåñêîíå÷íîå ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâî, òî ìîæíî ïðèìåíèòü äîêàçàííîå ê êîíå÷íûì ìíîæåñòâàì Tn = {ti }ni=1 è âîñïîëüçîâàòüñÿ òåì, ÷òî

E sup X(t)  E sup X(t), t∈Tn

t∈T

à òàêæå òåì, ÷òî âñå ýíòðîïèéíûå õàðàêòåðèñòèêè ïðîñòðàíñòâà (Tn , ρ) íå ïðåâîñõîäÿò ñîîòâåòñòâóþùèõ õàðàêòåðèñòèê (T, ρ). 3. Åñëè T  ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî, òî â í¼ì ìîæíî âûäåëèòü ñ÷¼òíîå âñþäó ïëîòíîå ìíîæåñòâî T# (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå èíòåãðàë Äàäëè áåñêîíå÷åí è íàì íå÷åãî äîêàçûâàòü). Ïðèìåíèì äîêàçàííîå ê T# è ðàññìîòðèì âåðñèþ ïðîöåññà, äëÿ êîòîðîé supT X = supT# X . Äëÿ íå¼ óòâåðæäåíèå òåîðåìû áóäåò âûïîëíåíî.



Çàìå÷àíèå 10.1

Ñîãëàñíî (7.4) ìåäèàíà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû supT X ìàæîðèðóåòñÿ å¼ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì. Ïîýòîìó îöåíêó Äàäëè ìîæíî èñïîëüçîâàòü è äëÿ îöåíêè ìåäèàíû, íàïðèìåð, êîìáèíèðîâàòü å¼ ñ ïðèíöèïîì êîíöåíòðàöèè (6.9).

Óïðàæíåíèå 10.1

(Òåîðåìà Ïèçüå" ). Ïóñòü X(t), t ∈ T ,  öåíòðèðîâàííûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ (íåîáÿçàòåëüíî ãàóññîâñêèé), äëÿ êîòîðîãî âåðíî σ 2 = supt∈T EX(t)2 < ∞. Äîêàæèòå, ÷òî  σ E sup X(t) ≤ 4 N (ε) dε. t∈T

"

G. Pisier, [157].

0

120 Ãëàâà

10. Ìåòðè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ è ñâîéñòâà òðàåêòîðèé

×àñòî ïðèõîäèòñÿ îöåíèâàòü ìàêñèìóì àáñîëþòíûõ âåëè÷èí çíà÷åíèé ïðîöåññà. Îäíàêî ýòî íå òðåáóåò íîâûõ îöåíîê áëàãîäàðÿ ñëåäóþùåìó ðåçóëüòàòó.

Ïðåäëîæåíèå 10.2

Äëÿ ëþáîãî öåíòðèðîâàííîãî ãàóññîâñêîãî ïðîöåññà X(t), t ∈ T , âåðíà îöåíêà   1/2 E sup |X(t)| ≤ 2 E sup X(t) + inf (DX(t)) . (10.4) t∈T

t∈T

t∈T

Äîêàçàòåëüñòâî ïðåäëîæåíèÿ 10.2. áóäåì èñïîëüçî-

âàòü ñòàíäàðòíûå îáîçíà÷åíèÿ

x+ = max{x, 0},

x− = max{−x, 0}.

Òîãäà âåðíî |x| = x+ + x− , (−x)− = x+ . Ñðàçó çàìåòèì, ÷òî

E sup(X(t))−

=

E sup(−X(t))− = E sup(X(t))+ ,

E sup |X(t)|

=

E sup((X(t))+ + (X(t))− )

≤

E sup(X(t))+ + E sup(X(t))−

=

2 E sup(X(t))+ .

t∈T

t∈T

t∈T

t∈T

t∈T t∈T

t∈T

t∈T

(10.5)

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âñåãäà âåðíî

sup(X(t))+ ≤ sup X(t) + inf |X(t)|. t∈T

t∈T

t∈T

(10.6)

Äåéñòâèòåëüíî, åñëè supt∈T X(t) ≥ 0, òî

sup(X(t))+ = sup X(t) t∈T

t∈T

è íåðàâåíñòâî (10.6) î÷åâèäíî, à åñëè supt∈T X(t) < 0, òî è ëåâàÿ è ïðàâàÿ ÷àñòü (10.6) ðàâíû íóëþ. Èç (10.6) íàõîäèì, ÷òî

E sup(X(t))+ t∈T

≤

E sup X(t) + inf E|X(t)|

≤

E sup X(t) + inf (DX(t))1/2 .

t∈T t∈T

t∈T t∈T

Êîìáèíèðóÿ ýòî íåðàâåíñòâî ñ (10.5), ïîëó÷èì (10.4). 

10.2. Âåðõíèå îöåíêè

121

Çàìå÷àíèå 10.2

Âòîðîå ñëàãàåìîå â îöåíêå (10.4) íåîáõîäèìî: ðàññìîòðèì îäíîòî÷å÷íîå ìíîæåñòâî T = {t}. Òîãäà E supT X = EX(t) = 0, è ïåðâîãî ñëàãàåìîãî íåäîñòàòî÷íî äëÿ êîððåêòíîé îöåíêè.

Ïðåäëîæåíèå 10.3

(Äîñòàòî÷íîå ýíòðîïèéíîå óñëîâèå íåïðåðûâíîñòè). Ïóñòü X(t), t ∈ T ,  òàêîé öåíòðèðîâàííûé ãàóññîâñêèé ïðîöåññ, ÷òî D(u) < ∞ ïðè u > 0. Òîãäà äëÿ ëþáîãî t ∈ T ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ïðîöåññ X íåïðåðûâåí â t, ò.å.

lim

ρ(s,t)→0

X(s) = X(t).

(10.7)

Çàìå÷àíèå 10.3

Ìîæíî äîêàçàòü è íå÷òî áîëüøåå: åñëè âåðíî D(u) < ∞, òî ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà (10.7) ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ t ∈ T îäíîâðåìåííî.

Äîêàçàòåëüñòâî ïðåäëîæåíèÿ 10.3. Çàôèêñèðóåì òî÷êó t ∈ T è ïîëîæèì Tn = {s ∈ T : ρ(s, t) ≤ n1 }. Ïóñòü Hn (·), Dn (·)  ìåòðè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ è èíòåãðàë Äàäëè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà {X(s)−X(t), s ∈ Tn }. Îáîçíà÷èì Sn = sups∈Tn (X(s) − X(t)). Î÷åâèäíî, ÷òî Hn (ε) ≤ H(ε). Ïîýòîìó èç òåîðåìû 10.1 ñëåäóåò îöåíêà √  √    ESn ≤ 4 2Dn n−1 ≤ 4 2D n−1 . Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Sn íåîòðèöàòåëüíà è ìîíîòîííî óáûâàåò ê íåêîòîðîìó ïðåäåëó S . Ïî ëåììå Ôàòó ES ≤ limn ESn = 0. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïî÷òè íàâåðíîå S = 0.  Îòäåëüíî ñòîèò óïîìÿíóòü î ðåãóëÿðíîñòè ñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ. Çäåñü åñòü äâà êðàñèâûõ ðåçóëüòàòà. Ïåðâûé èç íèõ ïîêàçûâàåò, ÷òî ñòàöèîíàðíûé ãàóññîâñêèé ïðîöåññ ëèáî íåïðåðûâåí, ëèáî êàòàñòðîôè÷åñêè ðàçðûâåí.

Òåîðåìà 10.2

(Àëüòåðíàòèâà Áåëÿåâà [3]). Äëÿ ëþáîãî ñòàöèîíàðíîãî ãàóññîâñêîãî ïðîöåññà X(t), t ∈ R, âåðíî îäíî èç äâóõ óòâåðæäåíèé à) Ïðîöåññ X èìååò íåïðåðûâíûå òðàåêòîðèè.

122 Ãëàâà

10. Ìåòðè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ è ñâîéñòâà òðàåêòîðèé

á) Äëÿ ëþáîãî íåâûðîæäåííîãî èíòåðâàëà T ⊂ R ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà âåðíî

sup X(t) = ∞. t∈T

Âòîðîé ðåçóëüòàò äà¼ò íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå íåïðåðûâíîñòè ñòàöèîíàðíîãî ïðîöåññà.

Òåîðåìà 10.3

(Êðèòåðèé Ôåðíèêà # ). Ïóñòü X(t), t ∈ R,  ñòàöèîíàðíûé ãàóññîâñêèé ïðîöåññ. Òîãäà X èìååò íåïðåðûâíûå òðàåêòîðèè (îòíîñèòåëüíî åñòåñòâåííîé ìåòðèêè ρ) â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà åãî èíòåãðàë Äàäëè êîíå÷åí.

Äëÿ íåñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ èíòåãðàë Äàäëè íå äà¼ò êðèòåðèÿ íåïðåðûâíîñòè: ñóùåñòâóþò íåïðåðûâíûå ïðîöåññû ñ áåñêîíå÷íûì èíòåãðàëîì Äàäëè. Áîëåå òîãî, èçâåñòíî, ÷òî íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè èëè îãðàíè÷åííîñòè ãàóññîâñêîãî ïðîöåññà íå ìîãóò áûòü ñôîðìóëèðîâàíû â ýíòðîïèéíûõ òåðìèíàõ. Äëÿ ôîðìóëèðîâêè òàêèõ óñëîâèé íóæíû áîëåå òîíêèå ñðåäñòâà, íàïðèìåð, ìàæîðèðóþùèå ìåðû [19, 92, 93, 126, 182] èëè óñîâåðøåíñòâîâàííûé öåïíîé ìåòîä $ [176, 177]. Äàëüíåéøèå èñòîðè÷åñêèå êîììåíòàðèè è áèáëèîãðàôèÿ ïî ýíòðîïèéíûì ìåòîäàì ïðèâåäåíû â [19]. Èíòåðåñíûå ïðèëîæåíèÿ ýíòðîïèéíîãî ìåòîäà ê íåãàóññîâñêèì ïðîöåññàì, à òàêæå çàäà÷àì àíàëèçà è ýðãîäè÷åñêîé òåîðèè ìîæíî íàéòè â [181, 182].

10.3 Íèæíèå îöåíêè  îñíîâå íèæíèõ ýíòðîïèéíûõ îöåíîê ëåæèò ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò, êîòîðûé ìû ïðèâåä¼ì çäåñü áåç äîêàçàòåëüñòâà.

Òåîðåìà 10.4

(Òåîðåìà ñðàâíåíèÿ ÑóäàêîâàÔåðíèêà [28, 29, 30, 92]). Ïóñòü X(t), Y (t)  äâà öåíòðèðîâàííûõ ãàóññîâñêèõ # $

X. Fernique, [92]. Generic chaining.

10.3. Íèæíèå îöåíêè

123

ïðîöåññà, çàäàííûõ íà îäíîì è òîì æå ïàðàìåòðè÷åñêîì ìíîæåñòâå T . Ïóñòü E(X(t) − X(s))2 ≥ E(Y (t) − Y (s))2

Òîãäà

∀s, t ∈ T.

E sup X(t) ≥ E sup Y (t). t∈T

t∈T

Èíûìè ñëîâàìè, ïðîöåññ ñ á
îëüøèìè ðàçáðîñàìè çíà÷åíèé èìååò á
îëüøåå îæèäàíèå ìàêñèìóìà. Òåîðåìó ñðàâíåíèÿ óäîáíî êîìáèíèðîâàòü ñî ñëåäóþùåé ýëåìåíòàðíîé îöåíêîé, ïðîòèâîïîëîæíîé ëåììå 10.1. Âàæíîå îòëè÷èå ñîñòîèò â ïðåäïîëîæåíèè íåçàâèñèìîñòè âåëè÷èí.

Ëåììà 10.2

Ïóñòü (Xj )1≤j≤N  íåçàâèñèìûå öåíòðèðîâàííûå íîðìàëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è minj≤N EXj2 ≥ σ 2 . Òîãäà ïðè c∗ = 0.64 âåðíî √ E max Xj ≥ c∗ ln N σ.

(10.8)

1≤j≤N

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü c < √2. Ïîêàæåì, ÷òî 

lim P

N →∞

√ max Xj ≤ c ln N σ

1≤j≤N



= 0.

Äåéñòâèòåëüíî,

 P

√ max Xj ≤ c ln N σ

1≤j≤N

 =

N ( )  √ P Xj ≤ c ln N σ j=1

≤ ≤

N   √ . c ln N 1−Φ (  √ ) . c ln N exp −N Φ ,

.  õâîñò ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî çàêîíà. Âîñïîëüçóãäå Φ åìñÿ íåðàâåíñòâîì   2 1 1 1 . Φ(u) ≥ √ − 3 e−u /2 . u u 2π

124 Ãëàâà

10. Ìåòðè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ è ñâîéñòâà òðàåêòîðèé

√ Ïðè áîëüøèõ u = c ln N ïîëó÷àåì   √ −c2 /2 . c ln N ≥ N√ , Φ 3c ln N îòêóäà ïðè N → ∞    2 √ N 1−c /2 P max Xj ≤ c ln N σ ≤ exp − √ → 0. 1≤j≤N 3c ln N Çíà÷èò, ïðè √áîëüøèõ N ìåäèàíà âåëè÷èíû max1≤j≤N Xj ïðåâîñõîäèò c ln N σ . Ïðè áîëüøèõ N íåðàâåíñòâî (7.4) äà¼ò √ E max Xj ≥ c ln N σ. 1≤j≤N

Íåñêîëüêî ïåðâûõ çíà÷åíèé N ìîãóò òîëüêî ïîâëèÿòü íà êîíñòàíòó â (10.8).  êîíå÷íîì ñ÷¼òå, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî çíà÷åíèå c∗ = 0.64 äîñòàòî÷íî äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè (10.8). 

Òåîðåìà 10.5

(Íèæíÿÿ îöåíêà ïî Ñóäàêîâó). Äëÿ ëþáîãî öåíòðèðîâàííîãî ãàóññîâñêîãî ïðîöåññà X(t), t ∈ T è äëÿ ëþáîãî ε > 0 âåðíà îöåíêà

c∗  E sup X(t) ≥ √ C(ε) ε. 2 t∈T

(10.9)

Äîêàçàòåëüñòâî. Çàôèêñèðóåì ε > 0. Âûáåðåì òî÷êè {t1 , . . . , tm } â T òàê, ÷òî m = M (ε) è ρ2 (ti , tj ) = E|X(ti ) − X(tj )|2 > ε2 ,

i = j.

Ïóñòü Y1 , . . . , Ym  íåçàâèñèìûå âåëè÷èíû ñ îäèíàêîâûì íîð2 ìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì N (0, ε2 ). Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó ñðàâíåíèÿ 10.4 ê âåëè÷èíàì (X(tj ))j≤m è (Yj )j≤m , íàõîäèì

E sup X(t) ≥ E sup X(tj ) ≥ E sup Yj . t∈T

j≤m

j≤m

Íî ïî ëåììå 10.2 âåðíî

√ c∗  ε E max Yj ≥ c∗ ln m √ = √ C(ε) ε. 1≤j≤m 2 2

Êîìáèíèðóÿ äâå îöåíêè, ïîëó÷èì (10.9). 

10.4. GB -ìíîæåñòâà è GC -ìíîæåñòâà

125

Óïðàæíåíèå 10.2

Ïóñòü X(t), t ∈ T,  öåíòðèðîâàííûé ãàóññîâñêèé ïðîöåññ è ñâÿçàííîå ñ íèì ïðîñòðàíñòâî (T, ρ) êîìïàêòíî. Ïóñòü c > 0, ε0 > 0 è δ ∈ (0, 2). Äîêàæèòå ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:   à) Åñëè N (ε) ≤ exp −c ε−(2−δ) ïðè ε ∈ (0, ε0 ), òî ïðîöåññ X ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà íåïðåðûâåí íà (T, ρ).   −(2+δ) á) Åñëè N (ε) ≥ exp −c ε ïðè ε ∈ (0, ε0 ), òî ïðîöåññ X ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà íå îãðàíè÷åí (è ñëåäîâàòåëüíî, ðàçðûâåí) íà (T, ρ).

Óïðàæíåíèå 10.3

Ïóñòü X(t), t ∈ R,  ñòàöèîíàðíûé ãàóññîâñêèé ïðîöåññ ñî ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ

f (u) = |u|−1 (ln |u|)−1−β ,

β > 0, |u| > 2.

Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà β ïðîöåññ X áóäåò íåïðåðûâíûì?

Óïðàæíåíèå 10.4

Ïóñòü X(t), t ∈ [0, 1],  äðîáíîå áðîóíîâñêîå äâèæåíèå, îïðåäåë¼ííîå â ïðèìåðå 2.5. Íàéäèòå òàêèå ÷èñëà C1 è C2 , çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà α, ÷òî

C1 ≤ E sup X(t) ≤ C2 . t∈[0,1]

10.4 GB -ìíîæåñòâà è GC -ìíîæåñòâà Ñîäåðæèìîå äàííîé ãëàâû ìîæåò áûòü âûðàæåíî è íà ÷èñòî ãåîìåòðè÷åñêîì ÿçûêå. Ïóñòü H  ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî; îáîçíà÷èì (·, ·) è || · || ñîîòâåòñòâóþùåå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è íîðìó. Öåíòðèðîâàííàÿ ãàóññîâñêàÿ ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ X(h), h ∈ H, íàçûâàåòñÿ èçîíîðìàëüíîé, åñëè

cov(X(h), X(h )) = (h, h ),

h, h ∈ H.

Çàìåòèì, ÷òî åñòåñòâåííîå ðàññòîÿíèå, ïîðîæä¼ííîå X , ñîâïàäàåò ñ ãèëüáåðòîâîé ìåòðèêîé,

ρ(h, h ) = ||h − h ||,

h, h ∈ H.

(10.10)

126 Ãëàâà

10. Ìåòðè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ è ñâîéñòâà òðàåêòîðèé

Ïóñòü T ⊂ H. Íàçîâ¼ì T GB -ìíîæåñòâîì (ñîîòâåòñòâåííî, GC -ìíîæåñòâîì), åñëè ñóæåíèå èçîíîðìàëüíîé ôóíêöèè X(h), h ∈ T , èìååò îãðàíè÷åííóþ (ñîîòâåòñòâåííî, íåïðåðûâíóþ) âåðñèþ. Âñå GC -ìíîæåñòâà ÿâëÿþòñÿ GB -ìíîæåñòâàìè, à âñå GB ìíîæåñòâà âïîëíå îãðàíè÷åíû (äîêàæèòå, ÷òî îáà ïðîòèâîïîëîæíûõ óòâåðæäåíèÿ íå âåðíû!). Ïîýòîìó êëàññû çàìêíóòûõ GB - è GC -ìíîæåñòâ ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè ïîäêëàññàìè êëàññà êîìïàêòîâ. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî GB è GC êëàññû èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ñäâèãîâ è óíèòàðíûõ âðàùåíèé H.  ñèëó (10.10) ìîæíî çàáûòü î ïðîöåññå X è ôîðìóëèðîâàòü ðåçóëüòàòû ýòîé ãëàâû, ðàññìàòðèâàÿ T êàê ìåòðè÷åñêîå ïîäïðîñòðàíñòâî H è èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèÿ HT (·) è CT (·) äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ìåòðè÷åñêîé ýíòðîïèè è ìåòðè÷åñêîé ¼ìêîñòè.  ÷àñòíîñòè, ïî òåîðåìå 10.5 íåîáõîäèìîå óñëîâèå sup CT (ε) ε2 < ∞ ε>0

âûïîëíåíî äëÿ ëþáîãî GB -ìíîæåñòâà T , à ïî òåîðåìå 10.1 äîñòàòî÷íîå óñëîâèå  ∞ HT (ε) dε < ∞ 0

îáåñïå÷èâàåò ïðèíàäëåæíîñòü T êëàññó GC -ìíîæåñòâ.

Ãëàâà 11

Ìàëûå óêëîíåíèÿ 11.1 Îïðåäåëåíèÿ è ïåðâûå ïðèìåðû  ýòîé ãëàâå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî çàäàí öåíòðèðîâàííûé ãàóññîâñêèé X -çíà÷íûé ñëó÷àéíûé âåêòîð êàê èçìåðèìîå îòîáðàæåíèå X : (Ω, P) → X ñî çíà÷åíèÿìè â ñåïàðàáåëüíîì áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå (X , || · ||). Êàê îáû÷íî, îáîçíà÷àåì ÷åðåç P ðàñïðåäåëåíèå âåêòîðà X . Ñîîòâåòñòâåííî, ïðîñòðàíñòâî HP  ýòî ÿäðî ìåðû P , à D := {h ∈ HP : |h|H ≤ 1}  ýëëèïñîèä ðàññåÿíèÿ. Îïðåäåëèì åù¼ åäèíè÷íûé øàð ïðîñòðàíñòâà X , P

U := {x ∈ X : ||x|| ≤ 1}.

Çàäà÷à î âåðîÿòíîñòÿõ ìàëûõ óêëîíåíèé (âåðîÿòíîñòÿõ ìàëûõ øàðîâ) ñîñòîèò â èññëåäîâàíèè ïîâåäåíèÿ P (||X|| ≤ ε) = P (εU ) ,

ε → 0.

Òèïè÷íûì ÿâëÿåòñÿ îòâåò âèäà P (||X|| ≤ ε) ∼ c1 εa exp{−c2 ε−b },

ε → 0.

(11.1)

Íàçîâåì b ïîðÿäêîì ìàëûõ óêëîíåíèé  , à c2  ïîñòîÿííîé ìàëûõ óêëîíåíèé. Íàéòè îòâåò òèïà (11.1) óäà¼òñÿ ëèøü â  Small

deviation rate.

Ãëàâà 11. Ìàëûå óêëîíåíèÿ

128

íåáîëüøîì ÷èñëå ñëó÷àåâ, ãëàâíûì îáðàçîì äëÿ ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ òèïà âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà èëè áðîóíîâñêîãî ìîñòà. Íàïðèìåð, äëÿ âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà [68, 156]   4 π2 P sup |W (t)| ≤ ε ∼ ε → 0, (11.2) exp{− ε−2 } , π 8 0≤t≤1 è [67]  P

1

 |W (t)| dt ≤ ε 2

2

0

1 4ε ∼ √ exp{− ε−2 } , ε → 0, (11.3) 8 π

à äëÿ áðîóíîâñêîãî ìîñòà [114]  √  2π π2 0 P sup |W (t)| ≤ ε ∼ exp{− ε−2 } , ε 8 0≤t≤1 è [44]  P

1

 |W (t)| dt ≤ ε 0

2

2

0

√ 8 1 ∼ √ exp{− ε−2 } , 8 π

ε → 0,

ε → 0.

Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî ìàëåíüêîå îòëè÷èå (ïðîöåññ ðàíãà 1) ìåæäó âèíåðîâñêèì ïðîöåññîì è áðîóíîâñêèì ìîñòîì âëèÿåò íà ñòåïåííîé ÷ëåí àñèìïòîòèêè, íî íå íà ýêñïîíåíöèàëüíûé.

11.2 Ìàðêîâñêèé ñëó÷àé Ïðîèëëþñòðèðóåì ïîäõîä ê ìàëûì óêëîíåíèÿì äëÿ ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ íà ïðèìåðå àñèìïòîòèêè (11.2). Âîñïîëüçóåìñÿ ñàìîïîäîáèåì âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà, ÷òîáû çàïèñàòü     P sup |W (t)| ≤ ε = P sup |εW (ε−2 t)| ≤ ε 0≤t≤1

0≤t≤1

+

* P

= ãäå

 f (x, T ) := P

sup

0≤t≤ε−2

|W (t)| ≤ 1

 sup |x + W (t)| ≤ 1 .

0≤t≤T

= f (0, ε−2 ),

11.2. Ìàðêîâñêèé ñëó÷àé

129

Åñëè p(·)  ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî çàêîíà N (0, 1), òî ìàðêîâñêîå ñâîéñòâî âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà è ðàçëîæåíèå Òåéëîðà äàþò, áåç ïðåòåíçèè íà ñòðîãîñòü, äëÿ ìàëûõ δ  x+1 √ √ δ f (x, T ) = o(δ) + f (x + δy, T − δ)p(y)dy

 ≈

∞



−∞

f+

fx

√

x−1 √ δ

 1  2  δy + fxx δy − fT δ p(y)dy 2

1  f (x, T ) + fxx (x, T )δ − fT (x, T )δ. 2 Ïîñëå ñîêðàùåíèÿ ïîëó÷èì êëàññè÷åñêîå óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè 1  f (x, T ) = fT (x, T ) 2 xx c ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè =

f (1, T ) = f (−1, T ) = 0, f (x, 0) ≡ 1. Ðåøåíèÿ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè ýòîãî óðàâíåíèÿ èìåþò ôîðìó fk (x, T ) = gk (x)e−λk T , ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè gk (±1) = 0. Ïîäñòàâëÿÿ â óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè, ïðèäåì ê îáûêíîâåííîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ gk (x) + 2λk gk (x) = 0, |x| < 1, gk (±1) = 0, îòêóäà gk (x) = cos(π(k + 1)/2)x) è 2λk = π 2 (k + 1/2)2 ïðè k = 0, 1, 2, . . . . Ïîýòîìó èñêîìîå ðåøåíèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ðÿäà

f (x, T ) =

∞ 

ck cos(π(k + 1/2)x) exp{−π 2 (k + 1/2)2 T /2},

k=0

à êîýôôèöèåíòû ck ïîäîáðàòü äëÿ âûïîëíåíèÿ ïîñëåäíåãî êðàåâîãî óñëîâèÿ f (x, 0) ≡ 1, ò.å. (ñ ó÷¼òîì îðòîãîíàëüíîñòè êîñèíóñîâ) 1 cos(π(k + 1/2)x)dx 2(−1)k ck =  1−1 = . π(k + 1/2) cos2 (π(k + 1/2)x)dx −1

Ãëàâà 11. Ìàëûå óêëîíåíèÿ

130

Íà àñèìïòîòèêó ðåøåíèÿ ïðè T → ∞ âëèÿåò òîëüêî ïåðâûé ÷ëåí ðÿäà,

f (x, T ) ∼ c0 cos(πx/2) exp{−π 2 T /8},

T → ∞.

Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà x = 0, T = ε−2 , ïðèäåì ê (11.2). Àíàëèç ìàëûõ óêëîíåíèé àääèòèâíûõ íîðì òèïà (11.3) ïðîèçâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî, íî âìåñòî óðàâíåíèÿ äëÿ âåðîÿòíîñòåé f (x, T ) âûâîäèòñÿ óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà [6], íàïðèìåð,   T 2 , f (x, T ) := E exp − |x + W (t)| dt . 0

C íåêîòîðîé ïîòåðåé òî÷íîñòè ôîðìóëû (11.2), (11.3) ìîãóò áûòü ðàñïðîñòðàíåíû íà Lq -íîðìû ñ âåñîì, íàïðèìåð,   π2 ε → 0, ln P sup |ρ(t)W (t)| ≤ ε ∼ − ||ρ||2L2 [0,1] ε−2 , 8 0≤t≤1 åñëè ôóíêöèÿ ρ2 èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó, è  1  q q ln P |ρ(t)W (t)| dt ≤ ε ∼ −c(q) ||ρ||2Lm [0,1] ε−2 , ε → 0, 0

åñëè 1 ≤ q < ∞, m = Ðèìàíó [130, 131, 137].

2q q+2

è ôóíêöèÿ ρm èíòåãðèðóåìà ïî

11.3 Ïðÿìîé ýíòðîïèéíûé ìåòîä  ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà X  ýòî ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, à ||·||  ñóïðåìóì-íîðìà, ìîæíî ïîëó÷èòü ñîäåðæàòåëüíûå îöåíêè ìàëûõ óêëîíåíèé â òåðìèíàõ ýíòðîïèéíûõ õàðàêòåðèñòèê èç ãëàâû 10. Èòàê, ïóñòü X(t), t ∈ T ,  öåíòðèðîâàííûé ãàóññîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, à N (ε)  åãî ýíòðîïèéíûå ÷èñëà. Îáîçíà÷èì, êàê è ðàíåå, σ 2 := supT EX(t)2 è

ρ2 (s, t) := E(X(s) − X(t))2 .

11.3. Ïðÿìîé ýíòðîïèéíûé ìåòîä

Òåîðåìà 11.1

[48]

131

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî

N (ε) ≤ Ψ(ε),

∀ε > 0,

(11.4)

ïðè÷¼ì ìàæîðàíòà Ψ íåïðåðûâíà, íå âîçðàñòàåò è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ðåãóëÿðíîñòè Ψ(ε/2) ≤ C Ψ(ε),

Òîãäà äëÿ âñåõ 0 < ε < σ/2 âåðíî 

ln P

sup |X(s) − X(t)| ≤ C0 ε

s,t∈T



∀ ε > 0.

(11.5)

, ≥ −C1 Ψ(ε),

(11.6)

ãäå C0  àáñîëþòíàÿ ïîñòîÿííàÿ, C1 = C1 (C) è , Ψ(ε) =

Çàìå÷àíèå 11.1



σ ε

Ψ(u) du, u

0 < ε < σ/2.

Óñëîâèå ðåãóëÿðíîñòè çàïðåùàåò èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå ìàæîðàíòû ýêñïîíåíöèàëüíûå ôóíêöèè, íî äîïóñêàåò ñòåïåííûå è ëîãàðèôìè÷åñêèå.

Çàìå÷àíèå 11.2

Ôîðìóëà (11.6) îöåíèâàåò ìàëûå óêëîíåíèÿ äëÿ íåñêîëüêî íåîáû÷íîé íîðìû sups,t∈T |X(s) − X(t)|, íàçûâàåìîé ðàçìàõîì ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà X . Îäíàêî èç íå¼ íåñëîæíî âûâåñòè îöåíêó è äëÿ êëàññè÷åñêîé ñóïðåìóì-íîðìû. Âîñïîëüçîâàâøèñü ñëàáûì êîððåëÿöèîííûì íåðàâåíñòâîì (7.8), íàéä¼ì, ÷òî äëÿ ëþáîãî t ∈ T è ëþáîãî δ ∈ (0, 1) âåðíî   P sup |X(s)| ≤ ε s∈T   ≥ P sup |X(s) − X(t)| ≤ (1 − δ)ε; |X(t)| ≤ δε s∈T     δε 2 . ≥ P sup |X(s) − X(t)| ≤ (1 − δ) ε P |X(t)| ≤ Kδ s∈T Âòîðîé ìíîæèòåëü èìååò ïîðÿäîê ε è ïðàêòè÷åñêè íèêîãäà íå ñêàçûâàåòñÿ íà ëîãàðèôìè÷åñêîé àñèìïòîòèêå ìàëûõ óêëîíåíèé, ò.å. ñ ó÷¼òîì (11.6) è (11.5)   , , ln P sup |X(s)| ≤ ε  −Ψ(ε/C (11.7) 0 ) ≈ −Ψ(ε). s∈T

Ãëàâà 11. Ìàëûå óêëîíåíèÿ

132

Çàìå÷àíèå 11.3

Åñëè óñëîâèå (11.5) çàìåíèòü íà áîëåå ñèëüíîå äâóñòîðîííåå óñëîâèå

C  Ψ(ε) ≤ Ψ(ε/2) ≤ C Ψ(ε) ñ íåêîòîðûì C  > 1 (ýòî èñêëþ÷àåò ëîãàðèôìè÷åñêèå ìàæîðàíòû è ôàêòè÷åñêè îçíà÷àåò, ÷òî Ψ  ýòî ôóíêöèÿ, ïîõîæàÿ íà ðåãóëÿðíî ìåíÿþùóþñÿ ôóíêöèþ ñ îòðèöàòåëüíûì  2 , èíäåêñîì), òî íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî Ψ(ε) ≤ CC ln −1 Ψ(ε), è ìû ïðèõîäèì ê îöåíêå Òàëàãðàíà äëÿ âåðîÿòíîñòåé ìàëûõ óêëîíåíèé   ln P sup |X(s) − X(t)| ≤ C0 ε ≥ −C1 Ψ(ε), (11.8) s,t∈T

ïðè 0 < ε < σ/2. Íàïðèìåð, åñëè T = [0, 1] è X = W (α)  äðîáíîå áðîóíîâñêîå äâèæåíèå ñ ïîêàçàòåëåì α, òî N (ε) ∼ ε−2/α è èç îöåíêè Òàëàãðàíà ñëåäóåò   (α) ln P sup |W (t)| ≤ ε ≥ −c(α)ε−2/α . (11.9) 0≤t≤1

, Âïðî÷åì, ñëåäóþùèé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî ôóíêöèþ Ψ íå âñåãäà ìîæíî çàìåíèòü íà Ψ êàê â (11.8).

Ïðèìåð 11.1 Ïóñòü T = N è X(s), s ∈ N,  öåíòðèðîâàííûå íåçàâèñèìûå íîðìàëüíûå âåëè÷èíû ñ äèñïåðñèÿìè σs2 = e−2s . Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî N (ε) ≈ | ln ε|, ò.å. äîïóñòèìà ìàæîðàíòà , Ψ(ε)  | ln ε|. Ïðè ýòîì Ψ(ε)  | ln ε|2 è îöåíêà (11.7) äà¼ò   ln P sup |X(s)| ≤ ε  −| ln ε|2 . s∈N

Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòà îöåíêà òî÷íà ïî ïîðÿäêó, ò.å.   (11.10) ln P sup |X(s)| ≤ ε  −| ln ε|2 . s∈N

M. Talagrand, [124, 172].

11.3. Ïðÿìîé ýíòðîïèéíûé ìåòîä

Óïðàæíåíèå 11.1 êå.

133

Äîêàæèòå îöåíêó (11.10).

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 11.1 îñíîâàíî íà ñëåäóþùåé îöåí-

Ëåììà 11.1 Ïóñòü (εk )k≥0  óáûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëü-

íîñòü ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë, ïðè÷¼ì âåðíî ε0 ≥ σ. Ïóñòü  ñóììèðóåìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë è b = k≥0 bk . Òîãäà

(bk )k≥0  P

  ∞ sup |X(s) − X(t)| ≤ 2b ≥ P{εk |ξ| ≤ bk }N (εk+1 ) ,

s,t∈T

k=0

ãäå ξ  ñòàíäàðòíàÿ íîðìàëüíàÿ âåëè÷èíà.

(11.11)

Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 11.1.

Âîñïîëüçóåìñÿ öåïíûì ìåòîäîì îöåíèâàíèÿ èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 10.1. Äëÿ êàæäîãî εk âûáåðåì ìèíèìàëüíîå ïîêðûòèå T ìíîæåñòâàìè, äèàìåòðû êîòîðûõ íå ïðåâîñõîäÿò εk .  êàæäîì èç ýëåìåíòîâ ïîêðûòèÿ âûáåðåì ïî îäíîé òî÷êå. Ïîëó÷åííîå ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç N (εk ) òî÷åê, îáîçíà÷èì Sk . Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå πk : T → Sk òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü

ρ(x, πk (x)) ≤ εk ,

∀x ∈ T.

Çàìåòèì, ÷òî ïðè k = 0 âåðíî N (ε0 ) = 1, ò.å. ìíîæåñòâî S0 ñîñòîèò èç åäèíñòâåííîãî ýëåìåíòà è

sup |X(s) − X(t)| = 0.

s,t∈S0

Äàëåå, çàïèøåì îöåíêó

|X(s) − X(t)| ≤ |X(s) − X(πk (s))| +|X(πk (s)) − X(πk (t))| + |X(πk (t)) − X(t)|, èç êîòîðîé ñëåäóåò

sup

s,t∈Sk+1

≤

|X(s) − X(t)|

sup |X(s) − X(t)| + 2 sup |X(t) − X(πk (t))|.

s,t∈Sk

t∈Sk+1

Ãëàâà 11. Ìàëûå óêëîíåíèÿ

134 Ïî èíäóêöèè ïîëó÷àåì

sup

s,t∈Sn+1

|X(s) − X(t)| ≤ 2

n  k=0

sup |X(t) − X(πk (t))|.

t∈Sk+1

Êëþ÷åâîé øàã äîêàçàòåëüñòâà  èñïîëüçîâàíèå íåðàâåíñòâà ÊõàòðèØèäàêà (7.7), êîòîðîå äà¼ò 

P

sup

≥

s,t∈Sn+1 n 

P

k=0

= ≥

P

⎧ n ⎨ ⎩

n 

|X(s) − X(t)| ≤ 2b





sup |X(t) − X(πk (t))| ≤ bk

t∈Sk+1



{|X(t) − X(πk (t))| ≤ bk }

k=0 t∈Sk+1

⎫ ⎬ ⎭

P{εk |ξ| ≤ bk }N (εk+1 ) .

k=0

Çàìåíÿÿ â ïðàâîé ÷àñòè êîíå÷íîå ïðîèçâåäåíèå íà áåñêîíå÷íîå, ïîëó÷àåì îöåíêó, íå çàâèñÿùóþ îò n. Ïåðåõîä îò ìíîæåñòâ Sn ê ìíîæåñòâó T ïîâòîðÿåò ôîðìàëüíûå ðàññóæäåíèÿ èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 10.1. 

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 11.1.

Ïóñòü ε ∈ (0, σ/2). ×òîáû âîñïîëüçîâàòüñÿ îöåíêîé (11.11), ìû äîëæíû ïîñòðîèòü ïîäõîäÿùèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (εk ) è (bk ). Ïîñòðîåíèå ïðîâåä¼ì îòäåëüíî äëÿ εk ≤ ε è εk ≥ ε. Ôèêñèðóåì íåêîòîðîå r ∈ ( 12 , 1), çíà÷åíèå êîòîðîãî ñêàæåòñÿ òîëüêî íà âîçíèêàþùèõ êîíñòàíòàõ. Íà÷íåì ñ çîíû εk ≤ ε. Ïîëîæèì εk = 2−k ε, bk = rk ε, k = 0, 1, . . . . Î÷åâèäíî,

b :=

∞  k=0

bk =

ε 1−r

ÿâëÿåòñÿ ïîäõîäÿùåé îöåíêîé. Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå (11.4) è èòåðèðóÿ óñëîâèå (11.5), ïîëó÷èì

N (εk+1 ) = N (2−k−1 ε) ≤ Ψ(2−k−1 ε) ≤ C k+1 Ψ(ε).

11.3. Ïðÿìîé ýíòðîïèéíûé ìåòîä

135

Ïîñêîëüêó 2r > 1, òî â ñèëó ñòàíäàðòíûõ îöåíîê õâîñòîâ íîðìàëüíîãî çàêîíà

P{εk |ξ| ≤ bk }

= ≥ ≥

P{|ξ| ≤ (2r)k } = 1 − P{|ξ| ≥ (2r)k }   exp −2P{|ξ| ≥ (2r)k }   exp −4 exp[−(2r)2k /2] .

Òàêèì îáðàçîì, ∞ 

≥

k=0 ∞  k=0

=

P{εk |ξ| ≤ bk }N (εk+1 ) exp{−4 exp[−(2r)2k /2]C k+1 Ψ(ε)} (

exp

−4

∞ 

exp[−(2r)2k /2]C k+1 Ψ(ε)

)

k=0

:= exp{−c(r)Ψ(ε)}. Ó÷èòûâàÿ ìîíîòîííîñòü ôóíêöèè Ψ è óñëîâèå ε < σ/2, ìû èìååì  2ε Ψ(u) ln 2 , Ψ(ε) ≥ du ≥ ln 2 · Ψ(2ε) ≥ Ψ(ε), (11.12) u C ε òàê ÷òî ìû ïîëó÷àåì íåîáõîäèìóþ îöåíêó   ∞  c(r)C , N (εk+1 ) P{εk |ξ| ≤ bk } ≥ exp − Ψ(ε) . ln 2 k=0

Òåïåðü ðàññìîòðèì çîíó εk ≥ ε. Çäåñü ìû ïîñòðîèì êîíå÷íóþ ñèñòåìó óðîâíåé. Âûáåðåì n = n(ε) èç ñîîòíîøåíèÿ

rn Ψ(ε) ≤ Ψ(σ) < rn−1 Ψ(ε). Ïîëîæèì ε0 = σ , à äàëåå âûáåðåì εk èç ñîîòíîøåíèÿ

Ψ(εk ) = rn−k Ψ(ε),  ÷àñòíîñòè, εn = ε.

1 ≤ k ≤ n.

Ãëàâà 11. Ìàëûå óêëîíåíèÿ

136

Ïðè ëþáîì k ≥ 1 ìû èìååì Ψ(εk ) ≤ r−1 Ψ(εk−1 ). Çàìåòèì, ÷òî    εk−1 εk−1 du −1 ln Ψ(εk ) ≤ r Ψ(εk−1 ) εk u εk  εk−1 Ψ(u)du ≤ r−1 . (11.13) u εk Íàêîíåö, íàçíà÷èì

bk = rn−k ε,

0 ≤ k < n.

Òàê êàê

εn bk rn−k ε = = rn−k ≤ 1, εk εk εk òî ïðè îöåíêå âåðîÿòíîñòåé áóäåì èñõîäèòü èç ïðîñòåéøåé îöåíêè bk rn−k εn P (εk |ξ| ≤ bk ) ≥ c =c , εk εk ãäå c = (2/π)1/2 . Îòñþäà n−1 

P (εk |ξ| ≤ bk )

k=0

Ψ(εk+1 )

≥

n−1  k=0

rn−k εn c εk

Ψ(εk+1 ) := Π1 · Π2 ,

ãäå

Π1 :=

n−1 



cr

 n−k Ψ(εk+1 )

k=0

,

Π2 :=

n−1  k=0

εn εk

Ψ(εk+1 ) .

Äëÿ Π1 ìû ëåãêî ïîëó÷àåì

| ln Π1 | ≤

n−1 

(| ln c| + | ln r|(n − k)) rn−k−1 Ψ(ε) ≤ c(r)Ψ(ε),

k=0

à ýòà âåëè÷èíà óæå áûëà îöåíåíà â (11.12). Äëÿ Π2 äåëàåì

11.4. Äâîéñòâåííûé ýíòðîïèéíûé ìåòîä

137

ñóììèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì è ñ ó÷¼òîì (11.13) ïðèõîäèì ê

| ln Π2 |

≤ ≤ ≤

 εl−1 Ψ(εk+1 ) εl k=0 l=k+1   n  εl−1 −1 Ψ(εl ) ln (1 − r) εl l=1  ε0 Ψ(u)du −1 , r = r−1 Ψ(ε). u εn

n−1 

n 



ln

Îñòà¼òñÿ ñîåäèíèòü äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè εk , ïåðåíóìåðîâàòü èõ è ïðèìåíèòü ëåììó 11.1.  Îöåíêè, ïîëó÷àåìûå ïðÿìûì ýíòðîïèéíûì ìåòîäîì ïðîñòû â ïðèìåíåíèè è ÷àñòî, õîòÿ è íå âñåãäà, äîñòàòî÷íî ýôôåêòèâíû. Îäíàêî èì íå õâàòàåò îáùíîñòè â òîì, ÷òî êàñàåòñÿ ðàññìàòðèâàåìûõ íîðì, îíè íå ïîçâîëÿþò îöåíèâàòü âåðîÿòíîñòè ìàëûõ óêëîíåíèé ñâåðõó è äàþò íåäîñòàòî÷íî òî÷íûå ðåçóëüòàòû â áîëåå ñëîæíûõ ñèòóàöèÿõ. Ïîýòîìó ìû ñåé÷àñ ïåðåéä¼ì ê ìåíåå ýëåìåíòàðíîìó, íî ãîðàçäî áîëåå îáùåìó äâîéñòâåííîìó ýíòðîïèéíîìó ìåòîäó.

11.4 Äâîéñòâåííûé ýíòðîïèéíûé ìåòîä Ïóñòü X  öåíòðèðîâàííûé ãàóññîâñêèé âåêòîð ñî çíà÷åíèÿìè â ñåïàðàáåëüíîì áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå (X , || · ||).  îòñóòñòâèå ìàðêîâñêîãî ñâîéñòâà, êàê ïðàâèëî, óäà¼òñÿ íàéòè òîëüêî ïîðÿäîê ìàëûõ óêëîíåíèé. Ïîýòîìó ìû ñîñðåäîòî÷èìñÿ íà èçó÷åíèè ôóíêöèè ìàëûõ óêëîíåíèé

φ(ε) := − ln P(||X|| ≤ ε), êîòîðàÿ ïðè ε → 0 äëÿ ìíîãèõ âåêòîðîâ óäîâëåòâîðÿåò àñèìïòîòè÷åñêîìó ñîîòíîøåíèþ φ(ε)  ε−b . Ñëåäóÿ Äæ. Êýëáñó è Âåíáî Ëè, àâòîðàì äâîéñòâåííîãî ýíòðîïèéíîãî ìåòîäà [118, 133], ðàññìîòðèì MD (ε)  ¼ìêîñòíûå ÷èñëà ýëëèïñîèäà ðàññåÿíèÿ D îòíîñèòåëüíî ðàñ-

Ãëàâà 11. Ìàëûå óêëîíåíèÿ

138

ñòîÿíèÿ, çàäàííîãî íîðìîé || · ||, è CD (ε) = ln MD (ε)  ñîîòâåòñòâóþùóþ ìåòðè÷åñêóþ ¼ìêîñòü. Ñëîâî äâîéñòâåííûé“ ” â çàãîëîâêå ïîä÷åðêèâàåò, ÷òî ðå÷ü èäåò î õàðàêòåðèñòèêàõ ýíòðîïèéíîé ïðèðîäû, íå ñîâïàäàþùèõ ñ òåìè, ÷òî ðàññìàòðèâàëèñü â ãëàâå 10. Î ñîîòíîøåíèè ìåæäó äâóìÿ âèäàìè ýíòðîïèè áóäåò ñêàçàíî â ï. 11.5. Âåðõíÿÿ îöåíêà âåðîÿòíîñòåé ìàëûõ óêëîíåíèé (îíà æå áóäåò íèæíåé îöåíêîé ôóíêöèè ìàëûõ óêëîíåíèé) âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì.

Ïðåäëîæåíèå 11.1

Äëÿ ëþáûõ r > 0, λ > 0 âåðíî 

φ(r) ≥ CD

2r λ

 −

λ2 . 2

Äîêàçàòåëüñòâî

(11.14)

. Ïóñòü U := {x ∈ X : ||x|| ≤ 1} è P  ðàñïðåäåëåíèå âåêòîðà X â X . Ïóñòü ε > 0. Ïîëîæèì n = MD (ε). Ðàññìîòðèì êîíôèãóðàöèþ òî÷åê {hj , 1 ≤ j ≤ n} ⊂ D òàêóþ, ÷òî ||hi −hj || > ε ïðè j = i. Òîãäà âñå øàðû âèäà hj + 2ε U íå ïåðåñåêàþòñÿ, è òî æå ñàìîå âåðíî äëÿ ðàñòÿíóòûõ øàðîâ λ(hj + 2ε U ) = λhj + λε 2 U . Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî Áîðåëëÿ äëÿ ñäâèíóòûõ ìíîæåñòâ (5.3), ïîëó÷èì

1



 λε U 2 j=1     2 λ |hj |2HP λε U exp − ≥ n min P 1≤j≤n 2 2    2 λε λ . ≥ nP U exp − 2 2 ≥

n 

Îòñþäà

P

 P

λhj +

λε U 2

è

 ln P



 ≤ exp

λε U 2

 ≤

λ2 2



n−1

λ2 − ln n. 2

11.4. Äâîéñòâåííûé ýíòðîïèéíûé ìåòîä

139

Íàêîíåö, ñìåíèì îáîçíà÷åíèÿ, ïîëîæèâ r := λε 2 , òîãäà ε = è ïîëó÷èì   2r λ2 , ln P (rU ) ≤ − ln MD 2 λ ÷òî ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó (11.14). 

2r λ,

Ñëåäñòâèå 11.1 Ïóñòü ïðè íåêîòîðûõ β ∈ (0, 2), c > 0 ïðè

ìàëûõ ε > 0 âåðíî CD (ε) ≥ c ε−β . Òîãäà ïðè íåêîòîðîì ,c > 0 ïðè ìàëûõ r > 0 âåðíî φ(r) ≥ ,c r− . 2β 2−β

Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäñòâèÿ.

Ôèêñèðóåì δ > 0. Ïîäñòàβ âèì â (11.14) çíà÷åíèå λ := δ r− 2−β . Ïîëó÷èì

ln P (rU )

≤ ≤ =

+ β 2r · r 2−β , − CD 2β δ 2r 2−β +−β * 2 2r 2−β δ2 −c 2β δ 2r 2−β   2 −2β −2β δ c r 2−β , − c 2−β δ β r 2−β := −, 2 δ2

*

ïðè÷¼ì , c > 0, åñëè δ äîñòàòî÷íî ìàëî. 

Óïðàæíåíèå 11.2

Âûâåäèòå ñ ïîìîùüþ îöåíêè (11.14), ÷òî äëÿ ëþáîãî ãàóññîâñêîãî âåêòîðà â ñåïàðàáåëüíîì áàíàõîâîì  ïðîñòðàíñòâå âåðíî ñîîòíîøåíèå CD (ε) = o ε−2 . Ïîýòîìó çíà÷åíèå ïàðàìåòðà β ≥ 2 â ñëåäñòâèè 11.1 íåâîçìîæíî. Ïåðåéä¼ì ê ïðîòèâîïîëîæíûì îöåíêàì. Ïóñòü ND (ε)  ýíòðîïèéíûå ÷èñëà ýëëèïñîèäà ðàññåÿíèÿ D îòíîñèòåëüíî ðàññòîÿíèÿ, çàäàííîãî íîðìîé || · ||, è HD (ε) = ln ND (ε)  ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìåòðè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ. Íèæíÿÿ îöåíêà âåðîÿòíîñòåé ìàëûõ óêëîíåíèé (îíà æå áóäåò âåðõíåé îöåíêîé ôóíêöèè ìàëûõ óêëîíåíèé) âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì.

Ïðåäëîæåíèå 11.2 Äëÿ ëþáîãî r > 0 âåðíî *

φ(2r) ≤ ln 2 + HD

r

 2φ(r)

+

.

(11.15)

Ãëàâà 11. Ìàëûå óêëîíåíèÿ

140

  Ïóñòü r, λ > 0 è n = ND λr . Ïîêðîåì ýëëèïñîèä D ìèíèìàëüíûì ÷èñëîì ìíîæåñòâ äèàìåòðà íå áîëåå λε , à çàòåì âïèøåì êàæäîå èç ýòèõ ìíîæåñòâ â øàð òîãî æå ðàäèóñà. Ïîëó÷èòñÿ ïîêðûòèå

Äîêàçàòåëüñòâî.

D⊂

n ( 

hj +

j=1

r ) U . λ

Óìíîæàÿ íà λ, ïîëó÷èì n 

λD ⊂

{λhj + r U }.

j=1

Îòñþäà ñëåäóåò

λD + rU ⊂

n 

{λhj + 2r U }

j=1

è ïî íåðàâåíñòâó Àíäåðñîíà

P (λD + rU ) ≤

n 

P (λhj + 2r U ) ≤ n P (2rU ).

j=1

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èçîïåðèìåòðè÷åñêîå íåðàâåíñòâî äà¼ò   P (λD + rU ) ≥ Φ Φ−1 (P (rU )) + λ . Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííûå îöåíêè, íàõîäèì   Φ Φ−1 (P (rU )) + λ ≤ n P (2rU ).  ×òîáû óïðîñòèòü ëåâóþ ÷àñòü, ïîëîæèì λ = 2φ(r). Òîãäà

Φ(−λ) ≤ exp{−λ2 /2} = exp{−φ(r)} = P (rU ), îòêóäà

−λ ≤ Φ−1 (P (rU )) ,

è ìû ïðèõîäèì ê îöåíêå

n P (2rU ) ≥ Φ(0) =

1 . 2

11.4. Äâîéñòâåííûé ýíòðîïèéíûé ìåòîä

141

Ëîãàðèôìèðóåì è íàõîäèì

ln P (2rU ) ≥ − ln 2 − ln n, ÷òî ðàâíîñèëüíî èñêîìîé îöåíêå (11.15). 

Çàìå÷àíèå 11.4

Íåäîñòàòêîì íåðàâåíñòâà (11.15) ÿâëÿåòñÿ, êîíå÷íî, åãî èòåðàòèâíîñòü - ôóíêöèÿ φ(·) ïðèñóòñòâóåò è â ëåâîé, è â ïðàâîé ÷àñòè. Îäíàêî äëÿ ïðàêòè÷åñêè èíòåðåñíûõ ïðèìåðîâ φ(·) âõîäèò â ïðàâóþ ÷àñòü â ìåíüøåé ” ñòåïåíè“ , ÷òî è îáåñïå÷èâàåò ðåàëüíóþ ïîëåçíîñòü (11.15).  ÷àñòíîñòè, óäà¼òñÿ äîêàçàòü îöåíêè, ïðîòèâîïîëîæíûå ïîëó÷åííûì âûøå.

Ñëåäñòâèå 11.2 Ïóñòü ïðè íåêîòîðûõ β ∈ (0, 2), c > 0 ïðè

ìàëûõ ε > 0 âåðíî ND (ε) ≤ c ε−β . Òîãäà ïðè íåêîòîðîì ,c > 0 ïðè ìàëûõ r > 0 âåðíî íåðàâåíñòâî φ(r) ≤ ,c r− . 2β 2−β

Ê ñîæàëåíèþ, èçâåñòíîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà [133], õîòÿ è îñíîâàíî íà (11.15), íî òàêæå âêëþ÷àåò ññûëêè íà ïîíÿòèÿ è ðåçóëüòàòû, íå ðàññìàòðèâàåìûå â ýòîì êóðñå. Áûëî áû î÷åíü èíòåðåñíî íàéòè êîðîòêîå ñàìîäîñòàòî÷íîå“ äîêà” çàòåëüñòâî.

Ïðèìåð 11.2

âèëëÿ [132]).

(Ìàëûå óêëîíåíèÿ ïðîöåññà ÐèìàíàËèó-

Äëÿ ïðîöåññà ÐèìàíàËèóâèëëÿ, îïðåäåë¼ííîãî â ïðèìåðå 3.4, ñîãëàñíî (4.5) ýëëèïñîèä ðàññåÿíèÿ èìååò âèä

 D=

h(t) =

1 Γ(α)



t 0

 (t − s)α−1 (s)ds, || ||L2 [0,1] ≤ 1 .

Ýíòðîïèéíûå õàðàêòåðèñòèêè ýòîãî êëàññà ôóíêöèé â C[0, 1] äîñòàòî÷íî õîðîøî èçó÷åíû: èçâåñòíî, ÷òî HD (ε) ≈ ε−1/α . 2 Îòñþäà íàõîäèì φ(r) ≈ r− 2α−1 . Ìîæíî äàæå ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ íåêîòîðîé êîíñòàíòû Q(α) âåðíî áîëåå òî÷íîå óòâåðæäå2 íèå φ(r) ∼ Q(α) r− 2α−1 .

Ãëàâà 11. Ìàëûå óêëîíåíèÿ

142

Ïðèìåð 11.3 (Ìàëûå óêëîíåíèÿ äðîáíîãî áðîóíîâñêîãî äâè-

[132]). Ñðàâíèâàÿ èìåþùèåñÿ èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ äëÿ äðîáíîãî áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ ñ ïîêàçàòåëåì α è ïðîöåññà ÐèìàíàËèóâèëëÿ c ïîêàçàòåëåì α+1 , ñì. (3.4) è (3.6), 2 ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî ðàçíèöà ìåæäó íèìè (ñ òî÷íîñòüþ äî íîðìèðóþùèõ êîíñòàíò) åñòü ãëàäêèé ïðîöåññ ñî ñðàâíèòåëüíî áîëüøèìè âåðîÿòíîñòÿìè ìàëûõ óêëîíåíèé. Èñïîëüçóÿ îöåíêè ñðàâíåíèÿ (7.9), ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèè ìàëûõ óêëîíåíèé äâóõ ïðîöåññîâ ýêâèâàëåíòíû. Ñ ó÷¼òîì ðåçóëüòàòîâ ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà, íàõîäèì, ÷òî äëÿ ÄÁÄ ñ ïîêàçàòåëåì α âåðíî    −2/α α+1 r φ(r) ∼ Q , 2 cα Γ( α+1 2 ) æåíèÿ

ãäå cα  êîíñòàíòà èç ôîðìóëû (3.5). Ýòî ñîãëàñóåòñÿ ñ îäíîñòîðîííåé îöåíêîé (11.9), ïîëó÷åííîé ñîâñåì äðóãèì ìåòîäîì.

11.5 Äâîéñòâåííîñòü ìåòðè÷åñêèõ ýíòðîïèé Ñ ïåðâîãî âçãëÿäà ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî äâå ýíòðîïèè (ïàðàìåòðè÷åñêîãî ìíîæåñòâà ïðîöåññà â åãî åñòåñòâåííîé ìåòðèêå è ýëëèïñîèäà ðàññåÿíèÿ ãàóññîâñêîãî âåêòîðà â íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå), ðàññìîòðåííûå â ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ, íå èìåþò íè÷åãî îáùåãî ìåæäó ñîáîé. Íà ñàìîì æå äåëå ìåæäó íèìè åñòü ãëóáîêàÿ ñâÿçü, èäóùàÿ îò ãèïîòåçû äâîéñòâåííîñòè ! èç òåîðèè ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ. Çàáóäåì íà êîðîòêîå âðåìÿ î òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàëûõ óêëîíåíèÿõ è ðàññìîòðèì ïðîáëåìó íà ÿçûêå ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ. Ïóñòü V : (X1 , || · ||1 ) → (X2 , || · ||2 )  êîìïàêòíûé ëèíåéíûé îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé èç îäíîãî áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà â äðóãîå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç

B1 = {x ∈ X1 : ||x||1 ≤ 1}, !

Duality conjecture.

B2 = {x ∈ X2 : ||x||2 ≤ 1}

11.5. Äâîéñòâåííîñòü ìåòðè÷åñêèõ ýíòðîïèé

143

ñîîòâåòñòâóþùèå åäèíè÷íûå øàðû. Êîìïàêòíîñòü V îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâî V (B1 ) êîìïàêòíî â X2 . Ñëåäîâàòåëüíî, ìû ìîæåì ðàññìîòðåòü ýíòðîïèéíûå ÷èñëà NV (B1 ) (ε) ýòîãî ìíîæåñòâà â ìåòðèêå ïðîñòðàíñòâà X2 è íàçâàòü èõ ýíòðîïèéíûìè ÷èñëàìè îïåðàòîðà V ,

NV (ε) := NV (B1 ) (ε). Ôóíêöèÿ NV (·) õàðàêòåðèçóåò ñëîæíîñòü óñòðîéñòâà îïåðàòîðà V . Íàðÿäó ñ îïåðàòîðîì V ðàññìîòðèì ñîïðÿæ¼ííûé (äâîéñòâåííûé) îïåðàòîð

V ∗ : (X2∗ , || · ||∗,2 ) → (X1∗ , || · ||∗,1 ). Ñâîéñòâà îïåðàòîðîâ V è V ∗ òåñíî ñâÿçàíû: èõ íîðìû ðàâíû, è åñëè V êîìïàêòåí, òî è V ∗ êîìïàêòåí. Ïîýòîìó âîçíèêàåò åñòåñòâåííûé âîïðîñ: êàê ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ýíòðîïèéíûå ÷èñëà îïåðàòîðîâ V è V ∗ ? Åù¼ â 1972 ã. À. Ïè÷" âûñêàçàë ãèïîòåçó äâîéñòâåííîñòè äëÿ ýíòðîïèéíûõ ÷èñåë, êîòîðàÿ â ïîëíîì îáú¼ìå âñ¼ åù¼ íå äîêàçàíà (õîòÿ, êîíå÷íî, è íå îïðîâåðãíóòà). Ýòà ãèïîòåçà óòâåðæäàåò, ÷òî ñóùåñòâóþò äâå òàêèå óíèâåðñàëüíûå êîíñòàíòû a è b, ÷òî äëÿ ëþáîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà V è âñåõ ε > 0 âåðíî

b−1 ln NV ∗ (aε) ≤ ln NV (ε) ≤ b ln NV ∗ (a−1 ε). Ñóòü óòâåðæäåíèÿ çàêëþ÷åíà óæå â ïåðâîì íåðàâåíñòâå; âòîðîå ñëåäóåò àâòîìàòè÷åñêè ïðèìåíåíèåì ïåðâîãî ê V ∗ . Ãèïîòåçà äâîéñòâåííîñòè äîêàçàíà äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà õîòÿ áû îäíî èç ïðîñòðàíñòâ ÿâëÿåòñÿ ãèëüáåðòîâûì [46]. Âåðíåìñÿ ê èíòåðåñóþùåé íàñ ñèòóàöèè ñ ãàóññîâñêèì âåêòîðîì X ∈ X . Ðàññìîòðèì êàíîíè÷åñêèå îïåðàòîðû âëîæåíèÿ I ∗ : X ∗ → XP∗ è I : XP∗ → X . Îáðàç åäèíè÷íîãî øàðà ïîä äåéñòâèåì îïåðàòîðà I ýòî â òî÷íîñòè ýëëèïñîèä ðàññåÿíèÿ. Ïîýòîìó ýíòðîïèéíûå ÷èñëà NI (ε)  òå ñàìûå, íà êîòîðûõ îñíîâàí äâîéñòâåííûé ýíòðîïèéíûé ïîäõîä ê ìàëûì óêëîíåíèÿì. Çàïèøåì íîðìó âåêòîðà X â âèäå ñóïðåìóìà,

||X|| = sup (f, X), f ∈B ∗

"

A. Pietsch.

Ãëàâà 11. Ìàëûå óêëîíåíèÿ

144

ãäå B ∗  åäèíè÷íûé øàð ïðîñòðàíñòâà X ∗ . Ïðèìåíÿÿ ê ìíî, ) := (X, f ) òåõíèæåñòâó T = B ∗ è ñëó÷àéíîìó ïðîöåññó X(f êó ïðÿìîãî ýíòðîïèéíîãî ïîäõîäà, ìû ñòàëêèâàåìñÿ ñ íåîáõîäèìîñòüþ èçó÷àòü ýíòðîïèþ ìíîæåñòâà B ∗ ñ ìåòðèêîé 2 , ) − X(g)) , ρ(f, g)2 = E(X(f = E(f − g, X)2 = ||I ∗ f − I ∗ g||2XP∗ .

Ïîýòîìó â ïðÿìîì ïîäõîäå íàì íóæíà èìåííî ýíòðîïèÿ îïåðàòîðà I ∗ . Ìû ïðèøëè ê âûâîäó, ÷òî ýíòðîïèéíûå ÷èñëà äâóõ íàøèõ ïîäõîäîâ ê ìàëûì óêëîíåíèÿì îòíîñÿòñÿ ê ñîïðÿæ¼ííûì îïåðàòîðàì! Ïîñêîëüêó ïðîñòðàíñòâî XP∗ ÿâëÿåòñÿ ãèëüáåðòîâûì, òî â èíòåðåñóþùåì íàñ ñëó÷àå íåðàâåíñòâà äâîéñòâåííîñòè èìåþò ìåñòî è ìû ìîæåì ïðè íåîáõîäèìîñòè çàìåíÿòü îäíó ýíòðîïèþ íà äðóãóþ.

11.6 Ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî Åñëè X  ñåïàðàáåëüíîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, òî çàäà÷ó ìàëûõ óêëîíåíèé óäà¼òñÿ ðåøèòü çíà÷èòåëüíî òî÷íåå, ÷åì â îáùåì ñëó÷àå. Çíàÿ ðàçëîæåíèå ÊàðõóíåíàËîýâà (2.1), ìîæíî çàïèñàòü íîðìó öåíòðèðîâàííîãî ãàóññîâñêîãî âåêòîðà â âèäå ∞  ||X||2 = σj2 ξj2 (11.16) j=1

(âñïîìíèì, ÷òî çäåñü ξj  íåçàâèñèìûå ñòàíäàðòíûå íîðìàëüíûå âåëè÷èíû), òàê ÷òî ïðîáëåìà ìàëûõ óêëîíåíèé ñâîäèòñÿ ê èçó÷åíèþ ñóììû íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Èç (11.16) ñëåäóåò ÿâíàÿ ôîðìóëà äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà,

E exp{−γ||X||2 } =

∞ 

(1 + 2γσj2 )−1/2 .

j=1

Ïîñêîëüêó ïîâåäåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìû îêîëî íóëÿ (ìàëûå óêëîíåíèÿ) ñâÿçàíî ñ ïîâåäåíèåì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà ïðè áîëüøèõ γ , òî â äàííîì ñëó÷àå âñ¼ îïðåäåëÿåòñÿ àñèìïòîòèêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (σj ). Àêêóðàòíûìè âû÷èñëåíèÿìè, ñì. [110], ìîæíî ïîëó÷èòü, íàïðèìåð, òàêîé ðåçóëüòàò.

11.7. Äðóãèå ðåçóëüòàòû

Ïðåäëîæåíèå 11.3 1

φ(ε) ∼ C α−1



145

Åñëè α > 1, θ ∈ R, è σj2 ∼ C (lnj j) , òî θ

α

α−1 2

θ 1− α−1

α

θ

−2

β α−1 | ln ε| α−1 ε α−1 ,

π ãäå β := α sin(π/α) . Åñëè æå èçâåñòíà áîëåå òî÷íàÿ (äâó÷ëåííàÿ) àñèìïòîòèêà,

−α   , σj2 = C j + δ + O j −1

òî

 P (||X|| ≤ ε) ∼ M ε exp − C γ

1 α−1

−2 α α − 1 α−1 ε α−1 β 2

 ,

ãäå γ = 2−α−2δα 2(α−1) , à ïîñòîÿííàÿ M çàâèñèò îò âñåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (σj ). Ïðîáëåìà îäíàêî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ãàóññîâñêèé âåêòîð â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå îáû÷íî çàäàí íå â ôîðìå (2.1), à èíà÷å, íàïðèìåð, X = L2 (T, μ) è èçâåñòíà êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ K(s, t) = EX(s)X(t).  ýòîì ñëó÷àå, ïðåæäå, ÷åì ïðèìåíÿòü ïðåäëîæåíèå 11.3, íóæíî èññëåäîâàòü àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå íåèçâåñòíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (σj ).  ýòîì íàïðàâëåíèè íåäàâíî ïîÿâèëîñü ìíîæåñòâî ðåçóëüòàòîâ è èíòåðåñíûõ ïðèìåðîâ, ñì. [94, 95, 96, 97, 110, 152], [2, 21, 22, 23, 98], [33, 151]. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé ìàëûõ óêëîíåíèé â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå äîïóñêàåò äâà ñîâåðøåííî ðàçëè÷íûõ åñòåñòâåííûõ îáîáùåíèÿ: íà ñëó÷àé ñóìì âçâåøåííûõ íåçàâèñèìûõ âåëè÷èí [47, 65, 86, 135] è íà ñëó÷àé Lp -ïðîñòðàíñòâ ñ ïðîèçâîëüíûì êîíå÷íûì p, ñì. [34]-[37], [47], [131, 137, 138, 139].

11.7 Äðóãèå ðåçóëüòàòû  ñëåäñòâèÿõ 11.1 è 11.2 ðàññìîòðåíû êðèòåðèè ñòåïåííîãî ïîâåäåíèÿ ôóíêöèè ìàëûõ óêëîíåíèé. Îäíàêî â íåêîòîðûõ âàæíûõ ñëó÷àÿõ ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî è ñ ëîãàðèôìè÷åñêèìè ìíîæèòåëÿìè. Ïîýòîìó ïîëåçíî òàêîå óòî÷íåíèå [118, 133].

146

Ãëàâà 11. Ìàëûå óêëîíåíèÿ

Ïðåäëîæåíèå 11.4 Ïóñòü β ∈ (0, 2), γ ∈ R. Òîãäà ñîîòíîøåíèÿ HD (ε) ≈ ε−β | ln ε|γ è φ(r) ≈ r− íû.

2β 2−β

2γ

| ln r| 2−β

ðàâíîñèëü-

Íàïðèìåð, èç ðåçóëüòàòîâ îá ýíòðîïèè êëàññîâ ãëàäêèõ ôóíêöèé [32, 54] ñ ïîìîùüþ ïðåäëîæåíèÿ 11.4 ìîæíî âûâåñòè òàêîé ðåçóëüòàò. Ðàññìîòðèì d-ïàðàìåòðè÷åñêèé áðîóíîâñêèé ëèñò X = W êàê ñëó÷àéíûé ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà Lp [0, 1]d , 1 ≤ p < ∞. Òîãäà HD (ε) ≈ ε−1 | ln ε|d−1 è φ(r) ≈ r−2 | ln r|2d−2 . Ïîâåäåíèå ìàëûõ óêëîíåíèé áðîóíîâñêîãî ëèñòà â ðàâíîìåðíîé íîðìå (ñëó÷àé p = ∞) ÿâëÿåòñÿ òðóäíîé è èíòåðåñíîé íåðåøåííîé çàäà÷åé. Çäåñü èçâåñòíî, ÷òî ⎧ π2 −2 ∼ 8 r , d = 1, ⎪ ⎪ ⎪ ⎨≈ r−2 | ln r|3 , d = 2, [173], φ(r) −2 2d−1 ⎪  r | ln r| d > 2, [85], ⎪ ⎪ ⎩ −2 2d−2+q  r | ln r| , ïðè íåêîòîðîì q = q(d), d > 2, [55]. Ïðè d > 2 ìåæäó âåðõíåé è íèæíåé îöåíêàìè âèäåí ëîãàðèôìè÷åñêèé çàçîð. Äëÿ î÷åíü ãëàäêèõ ïðîöåññîâ ôóíêöèÿ ìàëûõ óêëîíåíèé ìîæåò âîîáùå èìåòü ëîãàðèôìè÷åñêîå ïîâåäåíèå.  òàêèõ ñëó÷àÿõ ïîëåçåí äðóãîé ðåçóëüòàò [1].

Ïðåäëîæåíèå 11.5 Ïóñòü γ > 0, ζ ∈ R. Òîãäà ðàâíîñèëüíû

ñîîòíîøåíèÿ HD (ε) ≈ | ln ε|γ ln | ln ε|ζ è φ(r) ≈ | ln r|γ ln | ln ε|ζ .  áàéåñîâñêîé ñòàòèñòèêå äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíûõ ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ ñòàöèîíàðíûé ãàóññîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñ íîðìàëüíîé ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ f (u) = exp(−u2 ), è äëÿ àíàëèçà ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè áàéåñîâñêèõ îöåíîê îêàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêè âàæíî çíàòü ïîâåäåíèå åãî âåðîÿòíîñòåé ìàëûõ óêëîíåíèé [178]. Ðàññìîòðèì ýòîò ïðîöåññ êàê ýëåìåíò ñåìåéñòâà ïðîöåññîâ Xν ñî ñïåêòðàëüíûìè ïëîòíîñòÿìè exp(−|u|ν ), 0 < ν < ∞, fν (u) = 1[−1,1] (u), ν = ∞.

11.7. Äðóãèå ðåçóëüòàòû

147

Òîãäà äëÿ ïðîöåññà Xν ñ ïîìîùüþ ðåçóëüòàòîâ îá ýíòðîïèè êëàññîâ àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé [15] è ïðåäëîæåíèÿ 11.5 ìîæíî (ñì. [1]) âûâåñòè, ÷òî

φ(r) ≈ HD (r) ≈

⎧ | ln r|2 ⎪ ⎨ ln | ln r| , ⎪ ⎩

1

| ln r|1+ ν ,

1 < ν ≤ ∞, 0 < ν ≤ 1.

Âñå ïðèâåä¼ííûå ïðèìåðû óêàçûâàþò íà îáùåå ïðàâèëî: ÷åì

ãëàæå òðàåêòîðèè ïðîöåññà, òåì áîëüøå âåðîÿòíîñòè ìàëûõ óêëîíåíèé, ò.å. ìåíüøå ôóíêöèÿ ìàëûõ óêëîíåíèé.

Ìíîãî äîïîëíèòåëüíîé èíôîðìàöèè î òåîðèè ìàëûõ óêëîíåíèé ìîæíî íàéòè â îáçîðàõ [134, 136], à àêòóàëüíóþ ëèòåðàòóðó ïî òåìå  â èíòåðíåò-áèáëèîãðàôèè [18].

Ãëàâà 12

Ðàçëîæåíèÿ ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ 12.1 Ïîñòàíîâêà çàäà÷è Çàäà÷ó î ðàçëîæåíèè ãàóññîâñêîãî âåêòîðà â ðÿä ìîæíî ñòàâèòü äâóìÿ ñïîñîáàìè. Ñèëüíàÿ ôîðìà. Çàäàí ãàóññîâñêèé X -çíà÷íûé ñëó÷àéíûé âåêòîð êàê èçìåðèìîå îòîáðàæåíèå X : (Ω, P) → X . Íàéòè ðàçëîæåíèå âèäà X(ω) =

∞ 

ξj (ω)xj ,

j=1

êîòîðîå ñïðàâåäëèâî P-ïî÷òè íàâåðíîå, ïðè÷¼ì ξj  íåçàâèñèìûå íîðìàëüíûå âåëè÷èíû, çàäàííûå íà (Ω, P) è (xj )  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ â X . Ñëàáàÿ ôîðìà. Çàäàíà ãàóññîâñêàÿ ìåðà P íà X . Ïîñòðîèòü òàêîé ñëó÷àéíûé âåêòîð X âèäà X(ω) =

∞ 

ξj (ω)xj ,

j=1

÷òî X èìååò ðàñïðåäåëåíèå P , à ξj  íåçàâèñèìûå íîðìàëüíûå âåëè÷èíû è ðÿä ñõîäèòñÿ P-ïî÷òè íàâåðíîå.

12.2. Ðÿäû èç íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ

149

12.2 Ðÿäû èç íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ Äëÿ ïðîñòîòû èçëîæåíèÿ ïðåäïîëîæèì äàëåå, ÷òî íà X çàäàíà íîðìà || · || è (X , || · ||)  ñåïàðàáåëüíîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî. Ðàññìîòðèì ðÿä èç ÷àñòíûõ ñóìì

Sn =

n 

Xj ,

j=1

ãäå Xj ∈ X  íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåêòîðû, çàäàííûå íà îáùåì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå (Ω, P). Ìîæíî ðàññìîòðåòü òðè òèïà ñõîäèìîñòè Sn :

• ðàñïðåäåëåíèÿ Sn ñëàáî ñõîäÿòñÿ ê íåêîòîðîìó ðàñïðåäåëåíèþ P íà X . • Ñóùåñòâóåò ïðåäåëüíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð S ∈ X , òàP êîé, ÷òî Sn ⇒ S , òî åñòü lim P{||Sn − S|| > ε}

∀ε > 0.

n→∞

• Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî lim Sn = S

n→∞

P-ïî÷òè íàâåðíîå.

(12.1)

Èç îáùåé òåîðèè ñõîäèìîñòè èçâåñòíî, ÷òî èç òðåòüåãî ñâîéñòâà ñëåäóåò âòîðîå, à èç âòîðîãî  ïåðâîå. Îäíàêî â ñëó÷àå íåçàâèñèìûõ ñëàãàåìûõ âñå òðè ñâîéñòâà ýêâèâàëåíòíû.

Òåîðåìà 12.1 Åñëè âåêòîðû Xj  öåíòðèðîâàííûå ãàóññîâñêèå, òî èç ñõîäèìîñòè ðàñïðåäåëåíèé

Çàìå÷àíèå 12.1

Sn

ñëåäóåò

(12.1).

Ãàóññîâîñòü â ýòîé òåîðåìå íå òàê âàæíà êàê íåçàâèñèìîñòü. Óòâåðæäåíèå îñòà¼òñÿ âåðíûì, íàïðèìåð, äëÿ ðÿäîâ, ñîñòàâëåííûõ èç ñèììåòðè÷íî ðàñïðåäåë¼ííûõ íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ.

Ãëàâà 12. Ðàçëîæåíèÿ ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ

150

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 12.1.

Ìû ïðîâåä¼ì åãî â íåñêîëüêî ýòàïîâ, ïîñòåïåííî ðàñøèðÿÿ êëàññ ðàññìàòðèâàåìûõ ïðîñòðàíñòâ. Ýòàï 1. X = R1 . Çäåñü Xj  îáûêíîâåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Ïóñòü σj2 = DXj . Òîãäà Sn èìååò ðàñïðåäåëåíèå  

n N 0, j=1 σj2 . Èç ñõîäèìîñòè ðàñïðåäåëåíèé Sn ñëåäóåò, ÷òî

∞ 2 j=1 σj < ∞. Ïîñêîëüêó ñõîäèìîñòü ðÿäîâ, ñîñòàâëåííûõ èç ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé è äèñïåðñèé, ãàðàíòèðóåò ñõîäèìîñòü ïî÷òè íàâåðíîå ðÿäà èç íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (êëàññè÷åñêàÿ òåîðåìà î äâóõ ðÿäàõ“ Êîëìîãîðîâà ” Õèí÷èíà), òî (12.1) èìååò ìåñòî. Ýòàï 2. X = Rn . Óòâåðæäåíèå ïîëó÷àåòñÿ ïðèìåíåíèåì ðåçóëüòàòà ýòàïà 1 ê êîîðäèíàòàì âåêòîðîâ Xj . Íàïîìíèì, ÷òî îíè òîæå íåçàâèñèìû, öåíòðèðîâàíû è äëÿ êàæäîé êîîðäèíàòû ðàñïðåäåëåíèÿ ñóìì ñõîäÿòñÿ ê ðàñïðåäåëåíèþ ýòîé êîîðäèíàòû îòíîñèòåëüíî ïðåäåëüíîãî çàêîíà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, î÷åâèäíî, ÷òî åñëè îòäåëüíûå êîîðäèíàòû ñóìì Sn ñõîäÿòñÿ ïî÷òè íàâåðíîå, òî è âåêòîðû Sn òîæå èìåþò ýòî ñâîéñòâî. Ýòàï 3. X  ïðîèçâîëüíîå êîíå÷íîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî. Óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç äîêàçàííîãî íà ïðåäûäóùåì ýòàïå è ñóùåñòâîâàíèÿ ëèíåéíîãî èçîìîðôèçìà ìåæäó X è ñîîòâåòñòâóþùèì Rn , ïðè÷¼ì ýòîò èçîìîðôèçì è îáðàòíîå ê íåìó îòîáðàæåíèå ÿâëÿþòñÿ îãðàíè÷åííûìè îïåðàòîðàìè. Ýòàï 4. X  ïðîèçâîëüíîå ñåïàðàáåëüíîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî. Ñíà÷àëà ïåðåôîðìóëèðóåì ïîíÿòèå ñõîäèìîñòè ïî÷òè íàâåðíîå â òåðìèíàõ, áëèçêèõ ê ñõîäèìîñòè ïî âåðîÿòíîñòè. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ ýëåìåíòîâ Sn íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà X ôóíäàìåíòàëüíà ïî âåðîÿòíîñòè, åñëè

 lim P

n→∞

 sup ||Sn1 − Sn2 || ≥ ε

n1 ,n2 ≥n

= 0,

∀ε > 0.

Ïîêàæåì, ÷òî åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Sn ôóíäàìåíòàëüíà ïî âåðîÿòíîñòè è ïðîñòðàíñòâî X ïîëíî, òî íàéä¼òñÿ ïðåäåëüíûé ñëó÷àéíûé ýëåìåíò S ∈ X , äëÿ êîòîðîãî limn Sn = S

12.2. Ðÿäû èç íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ

151

ïî÷òè íàâåðíîå. Äåéñòâèòåëüíî, ïîëîæèì

Mn =

sup ||Sn1 − Sn2 ||.

n1 ,n2 ≥n

Ïîñêîëüêó Mn  óáûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òî ñóùåñòâóåò ïðåäåë M = limn Mn . Äëÿ ëþáûõ n ≥ 1, ε > 0 èìååì {M ≥ ε} ⊂ {Mn ≥ ε}. Îòñþäà ïîëó÷àåì

P{M ≥ ε} ≤ lim P{Mn ≥ ε} = 0. n→∞

Ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè ε âèäèì, ÷òî M = 0 ïî÷òè íàâåðíîå. Òàêèì îáðàçîì, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Sn ôóíäàìåíòàëüíà è ïðåäåë S ñóùåñòâóåò. Âåðíåìñÿ ê ðÿäàì. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòíûõ ñóìì ñõîäèòñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ. Ïîêàæåì, ÷òî îíà ôóíäàìåíòàëüíà ïî âåðîÿòíîñòè. Ïóñòü P  ïðåäåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Sn . Ôèêñèðóåì ìàëûå ÷èñëà ε, δ > 0. Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ëþáàÿ êîíå÷íàÿ ìåðà â ñåïàðàáåëüíîì áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå ïëîòíà, ò.å. íàéä¼òñÿ êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî K ⊂ X , äëÿ êîòîðîãî P (K) ≥ 1 − δ . Âûáåðåì â K êîíå÷íóþ ε-ñåòü x1 , . . . , xm . Ïóñòü X,  ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ýòîé ñåòè. Êàê îáû÷íî, ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êîé è ìíîæåñòâîì îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé

ρ(x, A) = inf ||x − y||,

x ∈ X,A ⊂ X.

y∈A

Òîãäà

sup ρ(x, X,) ≤ sup

x∈K

inf ||x − xj || ≤ ε.

x∈K 1≤j≤m

Ïîýòîìó èç îïðåäåëåíèÿ ñõîäèìîñòè ðàñïðåäåëåíèé

lim sup P{ρ(Sn , X,) ≥ 2ε} n→∞

≤

P {x : ρ(x, X,) > 2ε}

≤

P (X \K) ≤ δ.

Èòàê, äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n âåðíî

P{ρ(Sn , X,) ≥ 2ε} ≤ 2δ.

Ãëàâà 12. Ðàçëîæåíèÿ ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ

152

Èç ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà èçâåñòíî, ÷òî ñóùåñòâóåò ëèíåéíûé ïðîåêòîð L : X → X,, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ ||L|| ≤ 2. Çàïèøåì

Sn = (Sn − LSn ) + LSn := Sn + S,n . Âûâåäåì òåïåðü îöåíêè, ïîçâîëÿþùèå ñâåñòè äåëî ê êîíå÷íîìåðíîìó ñëó÷àþ. Íàéä¼ì ýëåìåíò yn ∈ X,, ðåàëèçóþùèé ìèíèìóì ||Sn − yn || = ρ(Sn , X,). Òîãäà

||Sn ||

=

||Sn − LSn ||

≤

||Sn − yn || + ||yn − Lyn || + ||Lyn − LSn || (1 + ||L||) ||Sn − yn || ≤ 3ρ(Sn , X,).

≤

Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðàâíîìåðíîé îöåíêè âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùåé ëåììîé.

Ëåììà 12.1 (Íåðàâåíñòâî Ëåâè). Åñëè ñëó÷àéíûå âåêòîðû

Xj íåçàâèñèìû è ñèììåòðè÷íî ðàñïðåäåëåíû, òî äëÿ ëþáîãî r > 0 èõ ñóììû äîïóñêàþò îöåíêó   P max ||Sk || ≥ r ≤ 2 P {||Sn || ≥ r} . (12.2) k≤n

Ïðèìåíÿÿ (12.2) ê ñóììàì Sn , íàéä¼ì   P max ||Sk || ≥ 6ε ≤ 2P {||Sn || ≥ 6ε} k≤n ( ) ≤ 2P ρ(Sn , X,) ≥ 2ε ≤ 2δ. Ñëåäîâàòåëüíî,       P max ||Sk || ≥ 6ε = lim P max ||Sk || ≥ 6ε ≤ 2δ. k

n→∞

k≤n

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êîíå÷íîìåðíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü S,n ñõîäèòñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ, áóäó÷è ëèíåéíîé ïðîåêöèåé ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Sn .  ñèëó ðåçóëüòàòà ýòàïà 3 ñóììû S,n áóäóò ôóíäàìåíòàëüíû ïî âåðîÿòíîñòè. Ïîýòîìó ïðè

12.3. Ïîñòðîåíèå âåêòîðà ñ çàäàííûì ðàñïðåäåëåíèåì

153

áîëüøèõ n ìû ïîëó÷èì   P sup ||Sn1 − Sn2 || ≥ 13ε n1 ,n2 ≥n

≤

P{ sup ||Sn 1 − Sn 2 || ≥ 12ε} n1 ,n2 ≥n

+P{ sup ||S,n1 − S,n2 || ≥ ε} ≤

n1 ,n2 ≥n P{sup ||Sk || k

≥ 6ε} + δ ≤ 3δ.

Ïîñêîëüêó δ ïðîèçâîëüíî, ìû ïðîâåðèëè ôóíäàìåíòàëüíîñòü ïî âåðîÿòíîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Sn , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. 

12.3 Ïîñòðîåíèå âåêòîðà ñ çàäàííûì ðàñïðåäåëåíèåì Ïóñòü â X çàäàíî öåíòðèðîâàííîå ãàóññîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå P = N (0, K) è ïóñòü HP  ñîîòâåòñòâóþùåå ÿäðî. Äàëåå, ïóñòü (ξj )  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ N (0, 1)-ðàñïðåäåë¼ííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, à (hj )  îðòîíîðìàëüíûé áàçèñ â XP∗ . Òîãäà (hj ) = (Izj )  îðòîíîðìàëüíûé áàçèñ â HP . (Çäåñü I  êàíîíè÷åñêèé èçîìîðôèçì ïðîñòðàíñòâ XP∗ è HP , ñì. ãëàâó 4.) Ïîêàæåì, ÷òî ðÿä

X(ω) =

∞ 

ξj (ω)hj

j=1

ñõîäèòñÿ è ÷òî ðàñïðåäåëåíèå ñóììû X ñîâïàäàåò ñ P , [161]. Â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé

n 12.1 äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî ÷àñòíûå ñóììû Sn = j=1 ξj (ω)hj ñõîäÿòñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ ê P . Ïðîâåðèì ñõîäèìîñòü õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ f ∈ X ∗ èìååì

(f, Sn ) =

n  j=1

ξj (ω)(f, hj ) =

n  j=1

ξj (ω)(I ∗ f, zj ),

(12.3)

Ãëàâà 12. Ðàçëîæåíèÿ ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ

154

Eei(f,Sn )

⎧ ⎫ n ⎨  ⎬ = E exp i ξj (ω)(I ∗ f, zj ) ⎩ ⎭ j=1 ⎧ ⎫ n ⎨ 1 ⎬ = exp − (I ∗ f, zj )2 ⎩ 2 ⎭ j=1 ⎧ ⎫ ∞ ⎨ 1 ⎬ → exp − (I ∗ f, zj )2 ⎩ 2 ⎭ j=1    1 = exp − ||I ∗ f ||22 = ei(f,x) P (dx).  2 X

12.4 Ðàçëîæåíèå çàäàííîãî âåêòîðà Òåïåðü ðåøèì çàäà÷ó î ðàçëîæåíèè â ñèëüíîé ôîðìå. Ïóñòü çàäàí âåêòîð X ñ ðàñïðåäåëåíèåì P . Âîñïîëüçóåìñÿ ïðåäûäóùåé êîíñòðóêöèåé, íî óòî÷íèì âûáîð ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ξj ), âûáèðàÿ ξj = zj (X). Íàïîìíèì, ÷òî ëèíåéíûå èçìåðèìûå ôóíêöèîíàëû îáðàçóþò áàçèñ â XP∗ , ïîýòîìó  0, i = j, Ezi (X)zj (X) = zi zj dP = 1, i = j. X Ìû óæå çíàåì, ÷òî ñóììà

Y =

∞ 

zj (X)hj

j=1

îïðåäåëåíà P-ïî÷òè íàâåðíîå. Îñòà¼òñÿ äîêàçàòü, ÷òî Y = X ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Äëÿ ëþáîãî ôóíêöèîíàëà f ∈ X ∗ èìååì P-ïî÷òè íàâåðíîå â ñèëó (12.3)

(f, Y ) = lim

n→∞

n 

zj (X)(I ∗ f, zj )

j=1

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ïðîñòðàíñòâå XP∗ ⊂ L2 (X , P )

lim

n→∞

n  j=1

zj (·)(I ∗ f, zj ) = (I ∗ f )(·),

12.5. Ïðèìåðû ðàçëîæåíèé: âèíåðîâñêèé ïðîöåññ òî åñòü

155

 2  n    E  zj (X)(I ∗ f, zj ) − (f, X) = 0.  j=1 

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî (f, X) = (f, Y ) ïî÷òè íàâåðíîå. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî f ∈ X ∗ èìååì Eei(f,X−Y ) = 1 è X = Y ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. 

12.5 Ïðèìåðû ðàçëîæåíèé: âèíåðîâñêèé ïðîöåññ Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ ðàçëîæåíèé, âçÿâ â êà÷åñòâå ãàóññîâñêîãî âåêòîðà âèíåðîâñêèé ïðîöåññ W , à â êà÷åñòâå ïðîñòðàíñòâà C[0, 1]. Íàïîìíèì, ÷òî èíòåãðèðîâàíèåì ëþáîãî áàçèñà â L2 [0, 1] ìîæíî ïîëó÷èòü íåêîòîðûé áàçèñ â ÿäðå HP äëÿ âèíåðîâñêîé ìåðû.

Ïðèìåð 12.1 (Áàçèñ êîñèíóñîâ). Âîçüì¼ì â L [0, 1] áàçèñ 2



ϕ0 (s) = 1, √ ϕj (s) = 2 cos(πjs),

j ≥ 1.

Èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷èì áàçèñ â ÿäðå

h0 (t) = t, √ hj (t) = 2

sin(πjt) , πj

j ≥ 1.

Ïðèõîäèì ê ðàçëîæåíèþ W (t) = ξ0 t +

∞ √  sin(πjt) 2 ξj . πj j=1

Çàìåòèì, ÷òî W (1) = ξ0 , è âîñïîëüçóåìñÿ ïðåäñòàâëåíèåì (3.3) äëÿ áðîóíîâñêîãî ìîñòà. Âèäèì, ÷òî åñëè îòáðîñèòü ïåðâîå (ëèíåéíîå) ñëàãàåìîå, òî îñòàâøàÿñÿ ñóììà äàñò ðàçëîæåíèå áðîóíîâñêîãî ìîñòà.

Ãëàâà 12. Ðàçëîæåíèÿ ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ

156

Ïðèìåð 12.2 (Áàçèñ ñèíóñîâ). Âîçüì¼ì â L [0, 1] áàçèñ 2

√

ϕj (s) =

2 sin(πjs),

j ≥ 1.

Èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷èì áàçèñ â ÿäðå

hj (t) =

√ 1 − cos(πjt) 2 , πj

j ≥ 1.

Ïðèõîäèì ê ðàçëîæåíèþ

W (t) =

∞ √  1 − cos(πjt) 2 ξj . πj j=1

Ýòî ðàçëîæåíèå ôèãóðèðîâàëî åù¼ â ðàáîòàõ ñàìîãî Í. Âèíåðà.

Ïðèìåð 12.3 (ðàçëîæåíèå ÊàðõóíåíàËîýâà) . Âûáåðåì â L2 [0, 1] áàçèñ

ϕj (s) =

√

2 cos(π(j − 1/2)s),

j ≥ 1.

Èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷èì áàçèñ â ÿäðå

hj (t) =

√ sin(π(j − 12 )t) , 2 π(j − 12 )

j ≥ 1.

Ïðèõîäèì ê ðàçëîæåíèþ

W (t) =

∞ √  sin(π(j − 12 )t) . 2 ξj π(j − 12 ) j=1

Ýòî ðàçëîæåíèå èíòåðåñíî òåì, ÷òî ôóíêöèè hj ñàìè îðòîãîíàëüíû â L2 [0, 1]. Åñëè ðàññìîòðåòü W êàê ýëåìåíò L2 [0, 1], à íå C[0, 1], òî (hj ) áóäåò îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìîé ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé êîâàðèàöèîííîãî îïåðàòîðà âèíåðîâñêîé ìåðû â L2 [0, 1]. 

K. Karhunen, M. Loeve.

12.5. Ïðèìåðû ðàçëîæåíèé: âèíåðîâñêèé ïðîöåññ

157

Ïðèìåð 12.4 (Ðàçëîæåíèå ÏýëèÂèíåðà ). Âûáåðåì â ïðîñòðàíñòâå L2 [0, 1] áàçèñ

⎧ ⎪ ⎨ϕ0 (s) = 1,√ ϕ2j (s) = 2 cos(2πjs), j ≥ 1, ⎪ √ ⎩ ϕ2j−1 (s) = 2 sin(2πjs), j ≥ 1. Èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷èì áàçèñ â ÿäðå

⎧ ⎪ ⎨h0 (t) = t, √ h2j (t) = sin(2πjt) , 2πj ⎪ ⎩ (1−cos(2πjt)) √ , h2j−1 (t) = 2πj

j ≥ 1, j ≥ 1.

Ïðèõîäèì ê ðàçëîæåíèþ

W (t) = ξ0 t +

∞  j=1

∞

ξ2j

sin(2πjt)  (1 − cos(2πjt)) √ √ + . ξ2j−1 2πj 2πj j=1

Ïðèìåð 12.5 (Ðàçëîæåíèå ÕààðàØàóäåðà!). Îáîçíà÷èì ⎧ ⎪ 0 ≤ s ≤ 1/2, ⎨1, ψ(s) = −1, 1/2 < s ≤ 1, ⎪ ⎩ 0, s < 0 èëè s > 1,

è

 h(t) = 0

t

⎧ ⎪ 0 ≤ t ≤ 12 , ⎨t, ψ(s)ds = 1 − t, 12 ≤ t ≤ 1, ⎪ ⎩ 0, t < 0 èëè t > 1.

Âîçüì¼ì â L2 [0, 1] áàçèñ Õààðà ϕ0 (s) = 1,   ϕj,k (s) = 2j/2 ψ 2j (t − 2kj ) , !

R. E. A. C. Paley, N. Wiener, [153]. A. Haar, Yu. Schauder.

j ≥ 0,

0 ≤ k ≤ 2j − 1.

158

Ãëàâà 12. Ðàçëîæåíèÿ ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ

Èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷èì áàçèñ â ÿäðå h0 (t) = t,   hj,k (t) = 2−j/2 h 2j (t − 2kj ) , j ≥ 0, Òðåóãîëüíûå“ ôóíêöèè hj,k íàçûâàþòñÿ ” óäåðà. Ïðèõîäèì ê ðàçëîæåíèþ ∞ 2 −1 

0 ≤ k ≤ 2j − 1.

ôóíêöèÿìè Øà-

j

W (t) = ξ0 t +

ξj,k hj,k (t) .

(12.4)

j=0 k=0

Ïðåäñòàâëåíèå âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà (12.4) ÷àñòî íàçûâàþò êîíñòðóêöèåé Ëåâè, [16]. Àíàëîãè÷íûå ïðåäñòàâëåíèÿ âîçìîæíû è ñ èñïîëüçîâàíèåì äðóãèõ âåéâëåò-áàçèñîâ â L2 [0, 1]. Ðàçëîæåíèÿ ñ ïîìîùüþ áàçèñà Øàóäåðà, ïîäîáíûå êîíñòðóêöèè Ëåâè, ìîæíî ñòðîèòü äëÿ ïðàêòè÷åñêè ïðîèçâîëüíûõ ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ [70]. Îíè îêàçàëèñü î÷åíü óäîáíûì èíñòðóìåíòîì äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ ïðîöåññîâ, â òîì ÷èñëå äëÿ îöåíîê âåðîÿòíîñòåé ìàëûõ óêëîíåíèé [166, 167]. Èíòåðåñíî, ÷òî àíàëîãè÷íîå ðàçëîæåíèå W íà ïîëóîñè [0, ∞) áóäåò âûãëÿäåòü áîëåå îäíîðîäíî:

W (t) =

∞ 

∞ 

ξj,k hj,k (t) .

j=−∞ k=−∞

Íà èíòåðâàëå [0, 1] âñå ñëàãàåìûå ñ îòðèöàòåëüíûìè èíäåêñàìè j áóäóò ëèíåéíûìè ôóíêöèÿìè. Â ñóììå îíè äàþò ïåðâîå ñëàãàåìîå èç (12.4).

Ïðèìåð 12.6 (Ðàçëîæåíèå êîìïëåêñíîãî âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà, [153]). Ðàññìîòðèì êîìïëåêñíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ

W (t) = W1 (t) + iW2 (t), ãäå W1 , W2  íåçàâèñèìûå âåùåñòâåííûå âèíåðîâñêèå ïðîöåññû. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü W êàê ãàóññîâñêèé âåêòîð ñî çíà÷åíèÿìè â ïðîñòðàíñòâå êîìïëåêñíûõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé CC ([0, 1]). Âîçüì¼ì â L2,C [0, 1] áàçèñ ϕj (s) = exp{2πijs},

j ∈ Z.

12.5. Ïðèìåðû ðàçëîæåíèé: âèíåðîâñêèé ïðîöåññ

159

Èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷èì áàçèñ â ÿäðå

hj (s) =

exp{2πijt} − 1 , 2πij

j ∈ Z.

Ïðèõîäèì ê ðàçëîæåíèþ ∞ 

W (t) =

j=−∞

ξj

exp{2πijt} − 1 , 2πij

(12.5)

ãäå (ξj )  íåçàâèñèìûå êîìïëåêñíûå ñòàíäàðòíûå ãàóññîâñêèå âåëè÷èíû.

Ïðèìåð 12.7 (Ðàçëîæåíèå êîìïëåêñíîãî äðîáíîãî áðîóíîâ-

ñêîãî äâèæåíèÿ). Ïðåäûäóùèé ïðèìåð ìîæíî îáîáùèòü íà ñëó÷àé êîìïëåêñíîãî äðîáíîãî áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ, ò.å. (α) (α) (α) (α) ïðîöåññà W (α) (t) = W1 (t) + iW2 (t), ãäå W1 , W2  íåçàâèñèìûå âåùåñòâåííûå ÄÁÄ (ñì. ïðèìåð 2.5). Ïî àíàëîãèè ñ ðàçëîæåíèåì (12.5) Ê. Äæàïàðèäçå è Õ. âàí Çàíòåí " íàøëè ðàçëîæåíèå [87] ∞ 

W (α) (t) =

σj ξj

j=−∞

exp{2iωj t} − 1 , 2iωj

(12.6)

ãäå (ξj )  ñíîâà íåçàâèñèìûå êîìïëåêñíûå ñòàíäàðòíûå ãàóññîâñêèå âåëè÷èíû, ωj  âåùåñòâåííûå íóëè ôóíêöèè Áåññåëÿ J1−α/2 (·), à äèñïåðñèè êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì  −1 σj2 = (2 − α)Γ(1 − α/2)2 (ωj /2)α J−α/2 (ωj )V ,

V =

Γ( 3−α 2 ) . α+1 αΓ( 2 )Γ(3 − α)

Çàìåòèì, ÷òî ïðè α = 1 âåðíî J1/2 (z) = (2π/z)1/2 sin z . Ïîýòîìó ωj = πj è (12.6) ïðåâðàùàåòñÿ â (12.5). Âàðèàíòû ðàçëîæåíèÿ (12.6) äëÿ äðóãèõ ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ è ïîëåé ìîæíî íàéòè â [87, 88, 147]. "

K. Dzhaparidze, J. H. van Zanten.

160

Ãëàâà 12. Ðàçëîæåíèÿ ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ

Óïðàæíåíèå 12.1

Ðàññìîòðèì áðîóíîâñêèé ëèñò (îí æå  ïîëå Âèíåðà×åíöîâà) W íà êâàäðàòå [0, 1]2 , îïðåäåë¼ííûé â ïðèìåðå 2.7, êàê ñëó÷àéíûé ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà C([0, 1]2 ). Ïóñòü H  ÿäðî ðàñïðåäåëåíèÿ W . Ïîñòðîéòå îðòîíîðìàëüíûé áàçèñ â H è ðàçëîæåíèå W â ðÿä ïî îáðàçöó âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà.

12.6 Ëèíåéíûå îïåðàòîðû è ðàçëîæåíèÿ Ïóñòü X  ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, óäîâëåòâîðÿþùåå îáû÷íûì óñëîâèÿì, H  íåêîòîðîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî è J :H→  X  ëèíåéíûé îïåðàòîð. Ëþáîìó îðòîíîðìèðîâàííîìó áàçèñó (ej ) â H ìû ìîæåì ñîïîñòàâèòü ôîðìàëüíûé ðÿä ∞  X= ξj Jej , (12.7) j=1

ãäå (ξj )  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ N (0, 1)-ðàñïðåäåë¼ííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ðÿä (12.7) ñõîäèòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà èëè ðàñõîäèòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà, ïðè÷¼ì ñàì ôàêò ñõîäèìîñòè íå çàâèñèò îò âûáîðà áàçèñà (ej ).  äàëüíåéøåì áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ðÿä (12.7) ñõîäèòñÿ. Òîãäà X áóäåò ãàóññîâñêèì âåêòîðîì ñ íóëåâûì ñðåäíèì è êîâàðèàöèîííûì îïåðàòîðîì K = JJ ∗ . Ïîýòîìó ðàñïðåäåëåíèå P = N (0, JJ ∗ ) âåêòîðà X íå çàâèñèò îò âûáîðà áàçèñà â H. Áîëåå òîãî, ïî òåîðåìå î ôàêòîðèçàöèè ÿäðî HP ìåðû P ñîâïàäàåò ñ J(H). Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ãàóññîâñêèé ñëó÷àéíûé âåêòîð X è ìåðà P àññîöèèðîâàíû ñ îïåðàòîðîì J . Åñëè (X , || · ||)  íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî, òî â òåðìèíàõ X ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü âàæíûå õàðàêòåðèñòèêè êîìïàêòíîñòè îïåðàòîðà J . Òàê, -íîðìîé îïåðàòîðà J íàçûâàåòñÿ (ñì. [17, 158]) âåëè÷èíà

1/2  ||J|| := E||X||2 .

12.6. Ëèíåéíûå îïåðàòîðû è ðàçëîæåíèÿ

161

Âûáîð âòîðîãî ìîìåíòà äëÿ îïðåäåëåíèÿ íîðìû çäåñü íå âàæåí, òàê êàê ñîãëàñíî (8.10) âñå ìîìåíòû íîðìû ãàóññîâñêîãî âåêòîðà ýêâèâàëåíòíû. Ñòîõàñòè÷åñêèå àïïðîêñèìàöèîííûå ÷èñëà n (J) õàðàêòåðèçóþò êà÷åñòâî âîçìîæíîé àïïðîêñèìàöèè îïåðàòîðà J îïåðàòîðàìè êîíå÷íîãî ðàíãà [133, 158]:

n (J) = inf {||J − F || ; F : H → X , rank(F ) < n} . Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî n (J) ýêâèâàëåíòíû êà÷åñòâó àïïðîêñèìàöèè àññîöèèðîâàííîãî âåêòîðà ãàóññîâñêèìè ñëó÷àéíûìè âåêòîðàìè êîíå÷íîãî ðàíãà:  n−1 / /2  / / 2

n (J) = x ,...,x E/X − inf ξ j xj / . 1 n−1 ξ1 ,...,ξn−1

j=1

Çàìåòèì, ÷òî ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ðÿäà (12.7) ìîæåò, âîîáùå ãîâîðÿ, çàâèñåòü îò âûáîðà áàçèñà (ej ). Îäíàêî áàçèñ ñ ïðàâèëüíûì ïîðÿäêîì ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè âñåãäà ñóùåñòâóåò [119]:

Óïðàæíåíèå 12.2

Ïóñòü α > 0, β ∈ R. Äîêàæèòå, ÷òî íàéä¼òñÿ òàêàÿ êîíñòàíòà Cα,β , ÷òî äëÿ ëþáîãî îïåðàòîðà J è àññîöèèðîâàííîãî ñ íèì ãàóññîâñêîãî âåêòîðà X â íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå èç

n (J)2 ≤ n−α (1 + ln n)β ,

n ≥ 1,

ñëåäóåò, ÷òî íàéä¼òñÿ òàêîé áàçèñ (ej ), äëÿ êîòîðîãî âåðíî n−1 /2 /  / / ξj Jej / ≤ Cα,β n−α (1 + ln n)β , E/X − j=1

n ≥ 1.

Ãëàâà 13

Êâàíòîâàíèå ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ 13.1 Ïîñòàíîâêà çàäà÷è Çàäà÷à êâàíòîâàíèÿ (äèñêðåòèçàöèè)  ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ ïðîèñõîäèò èç òåîðèè ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè. Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî ïî êàíàëó ñâÿçè äîëæåí áûòü ïåðåäàí íåêîòîðûé ñèãíàë (êàðòèíêà, çàïèñü çâóêà è ò.ä.). Ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ ñèãíàëîâ îáðàçóåò ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (X , ρ). Îäíà èç âîçìîæíûõ èäåé îðãàíèçàöèè ïåðåäà÷è ñîñòîèò â èñïîëüçîâàíèè ”ñëîâàðåé“ . Ñëîâàðü Y = {yj }1≤j≤n  ýòî êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà X . Êàê óçåë ïðèåìà, òàê è óçåë ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè ðàñïîëàãàþò êîïèåé ñëîâàðÿ. Êîãäà íóæíî ïåðåäàòü ñèãíàë x ∈ X , òî óçåë ïåðåäà÷è îïðåäåëÿåò áëèæàéøèé ê x ýëåìåíò ñëîâàðÿ yj è ïåðåäà¼ò ïî êàíàëó íîìåð j àïïðîêñèìèðóþùåãî ýëåìåíòà. Óçåë ïðèåìà ïî ñëîâàðþ âîññòàíàâëèâàåò çíà÷åíèå yj . Ðàçóìååòñÿ, ïåðåäà÷à íîìåðà ïðîèñõîäèò ãîðàçäî áûñòðåå, ÷åì ïåðåäà÷à âñåãî ñèãíàëà. Çà óñêîðåíèå ïåðåäà÷è ìû ïëàòèì îøèáêîé, òàê êàê íà âûõîäå ïðîöåäóðû âìåñòî ñèãíàëà x îêàçûâàåòñÿ åãî àïïðîêñèìàöèÿ yj . 

Quantization.

13.2. Êâàíòîâàíèå è ìàëûå óêëîíåíèÿ

163

Ê àíàëèçó îïèñàííîé ïðîöåäóðû ïðèì
åíèì áàéåñîâñêèé ïîäõîä, òî åñòü áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà X çàäàíà âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà P , õàðàêòåðèçóþùàÿ ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî ïîòðåáóåòñÿ ïåðåäàâàòü ñèãíàë x. Ïóñòü X  ñëó÷àéíûé ýëåìåíò X ñ ðàñïðåäåëåíèåì P . Òîãäà ñðåäíèå îøèáêè êâàíòîâàíèÿ ïî ñëîâàðþ Y ìîæíî îïðåäåëèòü ôîðìóëîé  1/p p d(Y, p) = E min ρ(X, yj ) . 1≤j≤n

Îáû÷íî èçó÷àåòñÿ êâàíòîâàíèå âûñîêîé ðàçðåøèìîñòè , ò.å. àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ïðîöåäóðû ïðè ðàçìåðå ñëîâàðÿ, ñòðåìÿùåìñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Íî êàê ïîñòðîèòü ðàçóìíûé ñëîâàðü áîëüøîãî ðàçìåðà â ñëîæíîì ïðîñòðàíñòâå ñèãíàëîâ? Îäèí èç âàðèàíòîâ  ðàññìîòðåòü ñëó÷àéíûé ñëîâàðü, ýëåìåíòû êîòîðîãî Yj  íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå ýëåìåíòû ñ òåì æå ðàñïðåäåëåíèåì P , ÷òî ó ïåðåäàâàåìîãî ñèãíàëà. Ýòó ñõåìó ìû è áóäåì èçó÷àòü. Ñäåëàâ ýêñïîíåíöèàëüíóþ çàìåíó ïåðåìåííîé n = eλ , ÷òîáû ðàáîòàòü ñî ñòåïåííûìè ôóíêöèÿìè, ïðèä¼ì ê âûðàæåíèþ äëÿ îøèáêè êâàíòîâàíèÿ  1/p D(λ, p) = E min ρ(X, Yj )p . 1≤j≤eλ

 äàëüíåéøåì, ñëåäóÿ îáøèðíîé ëèòåðàòóðå, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî (X , ||·||)  íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî, ñîîòâåòñòâóþùåå ðàññòîÿíèå ρ(x, y) = ||x − y||, à îáùåå ðàñïðåäåëåíèå P âñåõ âåêòîðîâ  öåíòðèðîâàííîå ãàóññîâñêîå.

13.2 Êâàíòîâàíèå è ìàëûå óêëîíåíèÿ Ïðè ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îêàçûâàåòñÿ, ÷òî îøèáêè êâàíòîâàíèÿ ãàóññîâñêîãî âåêòîðà òåñíî ñâÿçàíû ñ ïîâåäåíèåì åãî âåðîÿòíîñòåé ìàëûõ óêëîíåíèé, ñì. [79, 90]. Íàïîìíèì, ÷òî ôóíêöèÿ ìàëûõ óêëîíåíèé ñëó÷àéíîãî âåêòîðà X îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì

φ(ε) := − ln P(||X|| ≤ ε).

High resolution.

Ãëàâà 13. Êâàíòîâàíèå ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ

164

 êà÷åñòâå íàèáîëåå íàãëÿäíîãî ïðèìåðà ïðèâåä¼ì ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.

Òåîðåìà 13.1 Ïóñòü Mλ = minj≤e

||Yj − X||.  lim P Mλ ≥ 2φ−1 (λ/6) = 0. λ



Òîãäà

λ→∞

Ïðè ìèíèìàëüíûõ äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ ìîæíî îöåíèòü è ìîìåíòû óêëîíåíèé D(λ, p) = (EMλp )1/p .

Òåîðåìà 13.2 Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ ìàëûõ óêëîíåíèé âåêòîðà X óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ðåãóëÿðíîñòè: ïðè íåêîòîðîì c > 0 φ(c r) ≥ 2 φ(r),

r < r0 .

(13.1)

Òîãäà äëÿ ëþáîãî p > 0 âåðíî lim sup λ→∞

D(λ, p) ≤ 2. φ−1 (λ/2)

Ïî ïîâîäó ïîñëåäíåé òåîðåìû çàìåòèì, ÷òî áëàãîäàðÿ âûñîêîé êîíöåíòðàöèè ãàóññîâñêèõ ðàñïðåäåëåíèé çíà÷åíèå àíàëèçèðóåìîãî ìîìåíòà p íå èãðàåò îñîáîé ðîëè. Ñóòü îáåèõ òåîðåì â òîì, ÷òî åñëè âåðîÿòíîñòè ìàëûõ óêëîíåíèé íå ñëèøêîì ìàëû, òî åñòü ôóíêöèè φ, φ−1 îöåíèâàþòñÿ ñâåðõó, òî ìîæíî îöåíèòü è îøèáêó êâàíòîâàíèÿ.

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 13.1. Äëÿ x ∈ X , r > 0 îáî-

çíà÷èì

ν(x, r) = inf{|h|HP , ||h − x|| ≤ r}.

Òîãäà âåðíî

P (||Y − x|| ≤ 2r) ≥ exp(−φ(r) − ν(x, r)2 /2).

(13.2)

Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ëþáîãî h, òàêîãî, ÷òî ||x − h|| ≤ r, èìååì âêëþ÷åíèå

{y : ||y − x|| ≤ 2r} ⊃ {y : ||y − h|| ≤ r}.

13.2. Êâàíòîâàíèå è ìàëûå óêëîíåíèÿ

165

Ïî íåðàâåíñòâó Áîðåëëÿ äëÿ ñäâèíóòûõ ìíîæåñòâ (5.3) èìååì

P (||Y − x|| ≤ 2r)

≥

P (||Y − h|| ≤ r)

≥

P (||Y || ≤ r) exp(−|h|2HP /2)

=

exp(−φ(r) − |h|2HP /2).

Ìèíèìèçèðóÿ ïî h, ïðèõîäèì ê (13.2). Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî δ > 0 ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ r âåðíî íåðàâåíñòâî    P ν(X, r) ≥ 2 (2 + δ)φ(r) ≤ exp(−φ(r)). (13.3) Ïóñòü D = {h : |h|HP ≤ 1}  ýëëèïñîèä ðàññåÿíèÿ ìåðû P , à U = {x : ||x|| ≤ 1}  åäèíè÷íûé øàð ïðîñòðàíñòâà X . Òîãäà èçîïåðèìåòðè÷åñêîå íåðàâåíñòâî äëÿ ëþáîãî u > 0 äà¼ò

P (ν(X, r) ≥ u)

= = ≤ =

P ((X + rU ) ∩ uD = ∅) P (X ∈ rU + uD)   . Φ−1 (P (rU )) + u Φ   . Φ−1 (exp(−φ(r)) + u . Φ

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ p > 0 âåðíî  Φ−1 (p) ≥ − (2 + δ)| ln p|, ïîëó÷àåì

   . − (2 + δ)φ(r) + u . P (ν(X, r) ≥ u) ≤ Φ  Ïîëàãàÿ u = 2 (2 + δ)φ(r), èìååì    P ν(X, r) ≥ 2 (2 + δ)φ(r) ≤

. Φ

  (2 + δ)φ(r)

≤ exp (−(2 + δ)φ(r)/2) ≤ exp(−φ(r)), òàê ÷òî ìû â êîíöå êîíöîâ ïðèõîäèì ê (13.3).

Ãëàâà 13. Êâàíòîâàíèå ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ

166

Ïðèñòóïèì òåïåðü ê îöåíêå âåðîÿòíîñòåé. Äëÿ ëþáûõ ïîëîæèòåëüíûõ λ, r è ëþáîãî x ∈ X â ñèëó (13.2) èìååì îöåíêó   [eλ ] P min ||Yj − x|| ≥ 2r = P (||Y − x|| ≥ 2r) j≤eλ

[eλ ]

(1 − P (||Y − x|| ≤ 2r))   ≤ exp −P (||Y − x|| ≤ 2r) [eλ ]   ≤ exp − exp(−φ(r) − ν(x, r)2 /2)[eλ ] . =

Âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâîì (13.3) è ïîëó÷èì   P (Mλ ≥ 2r) ≤ exp − exp(−φ(r) − 2(2 + δ)φ(r))[eλ ]

+ exp(−φ(r)). Ïîëàãàÿ â ýòîì íåðàâåíñòâå δ = 1/3 è r = φ−1 (λ/6), ïðèõîäèì ê   P Mλ ≥ 2φ−1 (λ/6) → 0 ïðè λ → ∞.  Åùå áîëåå òåñíîé îêàçûâàåòñÿ ñâÿçü ìåæäó îøèáêîé êâàíòîâàíèÿ è âåðîÿòíîñòÿìè ìàëûõ óêëîíåíèé ñî ñëó÷àéíûìè öåíòðàìè, ñì. [78, 80, 81]. Ïîñëåäíåå ïîíÿòèå îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü X  ãàóññîâñêèé âåêòîð ñ ðàñïðåäåëåíèåì P . Îïðåäåëèì ôóíêöèþ ìàëûõ óêëîíåíèé ñî ñëó÷àéíûìè öåíòðàìè ôîðìóëîé

ψ(ω, r) = − ln P {x : ||x − X(ω)|| ≤ r}. Èíûìè ñëîâàìè, ìû âûáèðàåì ñëó÷àéíûé öåíòð øàðà ïî ðàñïðåäåëåíèþ P , à çàòåì èçìåðÿåì óêëîíåíèÿ îòíîñèòåëüíî ýòîãî öåíòðà. Ïî íåðàâåíñòâó Àíäåðñîíà âåðíî

P {x : ||x − X(ω)|| ≤ r} ≤ P {x : ||x|| ≤ r}. Ïîýòîìó

ψ(ω, r) ≥ φ(r).

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè ïî÷òè âñåõ ω âåðíî ψ(ω, r) lim ≤ 1. r→0 2φ(r/2)

13.2. Êâàíòîâàíèå è ìàëûå óêëîíåíèÿ

167

Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè åñòåñòâåííîãî óñëîâèÿ ðåãóëÿðíîñòè φ(r/2) ≤ Cφ(r) äëÿ âåðîÿòíîñòåé ìàëûõ óêëîíåíèé ñî ñëó÷àéíûìè öåíòðàìè èìååòñÿ äåòåðìèíèðîâàííûé ýêâèâàëåíò, ò.å. ñóùåñòâóåò òàêàÿ íåâîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ φ∗ (r), ÷òî

lim

r→0

ψ(ω, r) =1 φ∗ (r)

ïî âåðîÿòíîñòè.

Èç ñêàçàííîãî ÿñíî, ÷òî ôóíêöèè φ(r) è φ∗ (r), êàê ïðàâèëî, èìåþò îäèíàêîâûé ïîðÿäîê ðîñòà ïðè r  0. Òåì íå ìåíåå, òî÷íîå ñîîòíîøåíèå ìåæäó íèìè íåèçâåñòíî. Äàæå äëÿ âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà â ïðîñòðàíñòâå C[0, 1] ìû íå çíàåì ïîñòîÿííóþ a â ôîðìóëå φ∗ (r) ∼ a r−2 . Èçâåñòíî ëèøü, ÷òî òàêîå 2 a ñóùåñòâóåò è π4 ≤ a ≤ π 2 . Êëþ÷åâàÿ ðîëü ôóíêöèè φ∗ (r) â òåîðèè êâàíòîâàíèÿ ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ âèäíà èç ñëåäóþùåé òåîðåìû [80].

Òåîðåìà 13.3 Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ φ∗ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (13.1). Òîãäà äëÿ ëþáîãî p > 0 âåðíî D(λ, p) = 1. λ→∞ φ−1 ∗ (λ) lim

Çàèíòåðåñîâàííûé ÷èòàòåëü íàéä¼ò ìíîãî äðóãèõ èíòåðåñíûõ ðåçóëüòàòîâ è àëãîðèòìîâ êâàíòîâàíèÿ ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ â ðàáîòàõ Ç. Ãðàôà, Ã. Ëóøãè è Æ. Ïàæåñà, ñì. [101], [141][145] è äð.

Ãëàâà 14

×òî ÷èòàòü äàëüøå Ýòîò êðàòêèé êóðñ íèêîèì îáðàçîì íå ïðåòåíäóåò íà òî, ÷òîáû äàòü ïîëíîå ïðåäñòàâëåíèå îá îãðîìíîì ïîëå èññëåäîâàíèé â ÷èñòîé è ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêå, ñâÿçàííûõ ñ ãàóññîâñêèìè ïðîöåññàìè, íî îí äîëæåí ïîìî÷ü âîéòè â ýòîò èíòåðåñíûé ìèð. Ñðåäè òåîðåòè÷åñêèõ îáúåêòîâ äëÿ äàëüíåéøåãî èçó÷åíèÿ â ïåðâóþ î÷åðåäü ñòîèò óïîìÿíóòü ìàæîðèðóþùèå ìåðû è óñîâåðøåíñòâîâàííûé öåïíîé ìåòîä  , ìîùíûé èíñòðóìåíò, ðàçðàáîòàííûé Ôåðíèêîì è Òàëàãðàíîì äëÿ îïèñàíèÿ óñëîâèé îãðàíè÷åííîñòè è íåïðåðûâíîñòè òðàåêòîðèé ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ. Ýòà òåõíèêà âïå÷àòëÿåò ñâîåé ñïîñîáíîñòüþ ðàçðåøàòü êðèòè÷åñêè ñëîæíûå ñëó÷àè. Îñíîâàííàÿ íà íåÿâíûõ õàðàêòåðèñòèêàõ, îíà äîëãî ñ÷èòàëàñü òðóäíîé è ñëîæíîé äëÿ ïîíèìàíèÿ, íî â êîíå÷íîì ñ÷¼òå áûëè íàéäåíû áîëåå äîñòóïíûå ñïîñîáû èçëîæåíèÿ. Íà ýòó òåìó åñòü îáøèðíàÿ ëèòåðàòóðà ”èç ïåðâûõ ðóê“ [92, 93], [171, 176, 177]. Ñì. òàêæå [19] è îñîáåííî [124, Ãëàâà 6]. Áîëüøàÿ è âàæíàÿ ëèòåðàòóðà ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ ôóíêöèîíàëîâ îò ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ, â òîì ÷èñëå äèôôåðåíöèàëüíîìó èñ÷èñëåíèþ (èñ÷èñëåíèå Ìàëëÿâýíà) [4, 5], [13], è ïîëèíîìèàëüíûì ðàçëîæåíèÿì (âèíåðîâñêèé õàîñ), ñì. [126], [124, Ãëàâà 5], [155]. 

Majorizing measures, generic chaining.

Ãëàâà 14. ×òî ÷èòàòü äàëüøå

169

Ìîíîãðàôèè Àäëåðà è Òåéëîðà [42] è Êîøíåâèçàíà [113] ìîæíî ïîðåêîìåíäîâàòü òåì, êîãî èíòåðåñóþò ãåîìåòðèÿ è äðóãèå ñâîéñòâà ñëó÷àéíûõ ïîëåé. Î ðàçíîîáðàçíûõ íîâåéøèõ ïðèëîæåíèÿõ ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ ìîæíî óçíàòü èç êíèã è îáçîðíûõ ñòàòåé Ìàíäüåñà [149], Âèëëèíäæåðà è äð. [183] (ìîäåëè êîììóíèêàöèîííûõ ñåòåé), Ðàñìóññåíà è Âèëüÿìñà [160] (ìàøèííîå îáó÷åíèå), âàí äåð Âààðòà è âàí Çàíòåíà [179] (ìîäåëè àïðèîðíûõ ðàñïðåäåëåíèé â áàéåñîâñêîé ñòàòèñòèêå). Ñðåäè èçäàíèé íà áëèçêóþ òåìó íà ðóññêîì ÿçûêå óêàæåì ìîíîãðàôèè Áîãà÷¼âà [4], Ãî [11], Ëèôøèöà [19], Ðîçàíîâà [25], à ñðåäè çàðóáåæíîé ëèòåðàòóðû  êóðñû ëåêöèé Àäëåðà [41], Ëåäó [124] è ìîíîãðàôèþ Ôåðíèêà [93].  áîëåå ñïåöèàëüíîé ëèòåðàòóðå áëèçêèå òåìû çàòðàãèâàþòñÿ â êíèãàõ Àäëåðà è Òåéëîðà [42], Èáðàãèìîâà è Ðîçàíîâà [14], Õèäà è Õèòñóäà [105], ßíñîíà [109].

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü (α, K)-äðîáíîå áðîóíîâñêîå äâèæåíèå, 27, 33

B -âûïóêëîñòü, 80 GB -ìíîæåñòâî, 126 GC -ìíîæåñòâî, 126 S -ñâîéñòâî, 80

-íîðìà, 161 àáñîëþòíàÿ íåïðåðûâíîñòü, 57

êîíñòðóêöèÿ Ëåâè, 158 ìàëûå óêëîíåíèÿ, 128 ðàçëîæåíèÿ â ðÿä, 155 ÿäðî, 47 âûïóêëîñòü ìåðû Ëåáåãà â

Rn ,

75

ëîãàðèôìè÷åñêàÿ, 76 ïî Ýðõàðäó, 76

àëüòåðíàòèâà Áåëÿåâà, 122

äîïóñòèìûé ñäâèã, 57

áðîóíîâñêàÿ ôóíêöèÿ Ëåâè,

äîïóñòèìîå íàïðàâëåíèå, 57

26, 37

äðîáíîå áðîóíîâñêîå äâèæåíèå, 22, 26, 33, 110,

èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëå-

160

íèå, 35, 37 áðîóíîâñêèé ëèñò, 24, 110, 160

èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå, 32

èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå, 34 ìàëûå óêëîíåíèÿ, 146 ÿäðî, 51 áðîóíîâñêèé ìîñò, 24, 25, 155 èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå, 31 ìàëûå óêëîíåíèÿ, 128

ìàëûå óêëîíåíèÿ, 132, 141 ðàçëîæåíèå â ðÿä, 159 ÿäðî, 50 ãàóññîâñêèé áåëûé øóì, 28 êîìïëåêñíûé, 30 ãàóññîâñêèé âåêòîð àññîöèèðîâàííûé ñ îïåðàòîðîì, 160

ÿäðî, 53 âèíåðîâñêèé ïðîöåññ, 20, 21, 2326, 34, 48, 52, 53, 58, 95, 98101, 109 èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå, 31 êîìïëåêñíûé, 158

â

Rn ,

10

ñòàíäàðòíûé, 10, 12 ÿäðî, 45 â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå, 18 ÿäðî, 44

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü ðàçëîæåíèå â ðÿä, 148 ãàóññîâñêèé ïðîöåññ, 20, 22, 31 áîëüøèå óêëîíåíèÿ, 93 åñòåñòâåííîå ðàññòîÿíèå, 116 ìàðêîâñêèé, 24, 128 ñòàöèîíàðíûé, 38, 121, 125, 146 ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå, 38 ÿäðî, 49 ãèïîòåçà äâîéñòâåííîñòè, 142, 143 åñòåñòâåííîå ðàññòîÿíèå, 116 ¼ìêîñòíîå ÷èñëî, 115, 138 çàêîí ïîâòîðíîãî ëîãàðèôìà äëÿ âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà, 98 äëÿ ñóìì, 97 èçìåðèìûé ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë, 41 èçîíîðìàëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ, 125 èçîïåðèìåòðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, 66 èçîïåðèìåòðè÷åñêîå íåðàâåíñòâî â Rn (ãàóññîâñêàÿ ìåðà), 68, 70 â Rn (ìåðà Ëåáåãà), 65 â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå (ãàóññîâñêàÿ ìåðà), 71, 73, 74, 93, 104, 140, 165 íà åâêëèäîâîé ñôåðå, 66 èíòåãðàë Äàäëè, 117, 121 èíòåãðàë ïî áåëîìó øóìó, 29

171 èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå, 31 êâàíòîâàíèå, 162 âûñîêîé ðàçðåøèìîñòè, 163 êîíñòðóêöèÿ ×åíöîâà, 35 Ïóàíêàðå, 67 êîððåëÿöèîííàÿ ãèïîòåçà, 81 êðèòåðèé Ôåðíèêà, 122 ëèïøèöåâ ôóíêöèîíàë, 71 ìàëûå óêëîíåíèÿ, 127, 146 â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå, 144 îöåíêà Òàëàãðàíà, 132 ïîðÿäîê, 128 ïîñòîÿííàÿ, 128 ìåäèàíà, 72, 79, 119, 124 ìåòðè÷åñêàÿ ¼ìêîñòü, 115, 138 ìåòðè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ, 115, 139 íåðàâåíñòâî Àíäåðñîíà, 77, 78, 84, 140, 166 Áîðåëëÿ äëÿ ñäâèíóòûõ ìíîæåñòâ, 62, 92, 105, 138, 165 ÁðóííàÌèíêîâñêîãî, 75 ÊõàòðèØèäàêà, 83, 134 Ëåâè, 152 ñëàáîå êîððåëÿöèîííîå, 83, 131 Ýðõàðäà, 76, 79 íîðìàëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, 8 íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå â R, 8 ñòàíäàðòíîå, 9

172

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

Øòðàññåíà, 112 óñòîé÷èâîñòü, 9 ñëîâàðü, 162 îáû÷íûå óñëîâèÿ, 15 ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå, 113 îöåíêà Ñóäàêîâà, 124 ñëó÷àéíûé âåòîð, 14 ïîëå Âèíåðà×åíöîâà, 24 ãàóññîâñêèé, 14 ïîëå Êèôåðà, 26 êâàíòîâàíèå, 162 ïðåäåëüíîå ìîæåñòâî, 99 êîâàðèàöèîííûé îïåðàïðèíöèï òîð, 11, 14 áîëüøèõ óêëîíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàãàóññîâñêèé, 92 íèå, 10, 14 êîíå÷íîìåðíûé, 89 ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, 20 îáùèé, 91 ñòàíäàðòíàÿ ãàóññîâñêàÿ ìåêîíöåíòðàöèè, 72 ðà â R∞ , 17, 18 ïðîñòðàíñòâî ÊàìåðîíàÌàðÿäðî, 43 òèíà, 48 ïðîöåññ ÎðíøòåéíàÓëåíáåêà, ñòîõàñòè÷åñêèå àïïðîêñèìàöèîííûå ÷èñëà, 161 24 ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëå- òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå, 25 òåîðåìà íèå, 40 Äàäëè, 118, 121 ÿäðî, 52 ÊàìåðîíàÌàðòèíà, 58 ïðîöåññ ÐèìàíàËèóâèëëÿ, 33, 51 Êðàìåðà×åðíîâà ìàëûå óêëîíåíèÿ, 141 âåêòîðíàÿ, 90 ðàçëîæåíèå ñêàëÿðíàÿ, 89 ÊàðõóíåíàËîýâà, 18, 144, î ôàêòîðèçàöèè, 46 156 Ïèçüå, 119 ÏýëèÂèíåðà, 156 ñðàâíåíèÿ, 123 ÕààðàØàóäåðà, 157 Õàðòìàíà-Âèíòíåðà, 97 ðàñøèðåíèå, 65, 66, 68, 70, 71 ôîðìóëà ÊàìåðîíàÌàðòèíà, ðåãóëÿðíîå ìíîæåñòâî, 90, 92 58, 86 ñàìîïîäîáèå, 21, 23, 25, 26, ôóíêöèîíàëüíûé çàêîí ïî34, 99, 106, 110, 128 âòîðíîãî ëîãàðèôìà ñäâèã ìåðû, 57 â ôîðìå ×æóíà, 109 ñèëüíûé ïðèíöèï èíâàðèàíòäëÿ áðîóíîâñêîãî ëèñòà, íîñòè, 111 110 ÊîìëîøàÌàéîðàÒóøíàäè, äëÿ âèíåðîâñêîãî ïðîöåñ111 ñà, 101 Ìàéîðà, 112 äëÿ äðîáíîãî áðîóíîâñêîÑàõàíåíêî, 112 ãî äâèæåíèÿ, 110

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü äëÿ ñëó÷àéíûõ áëóæäàíèé, 113 ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè, 109 ôóíêöèÿ ìàëûõ óêëîíåíèé, 137, 164, 166, 167 ôóíêöèÿ óêëîíåíèé, 91 ãàóññîâñêàÿ, 91 äëÿ âåêòîðíûõ ñóìì, 90 äëÿ ÷èñëîâûõ ñóìì, 89 öåïíîé ìåòîä, 118, 133 øàð Øòðàññåíà, 100 ýëëèïñîèä ðàññåÿíèÿ, 43, 70, 100, 127, 138143, 165 ýíòðîïèéíîå ÷èñëî, 115, 130, 139, 143 ÿäðî âîñïðîèçâîäÿùåå, 54 ãàóññîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, 43 ïîëÿðíîå ïðåäñòàâëåíèå, 55

173

Ëèòåðàòóðà [1] Àóðçàäà Ô., Èáðàãèìîâ È. À., Ëèôøèö Ì.À., âàí Çàíòåí Õ. Ìàëûå óêëîíåíèÿ ãëàäêèõ ñòàöèîíàðíûõ ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ. Òåîð. âåðîÿòí. è å¼ ïðèìåí.,

#!

(2008), 788

798. [2] Áåãèí Ë., Íèêèòèí ß. Þ., Îðñèíãåð Å. Òî÷íûå êîíñòàíòû â îöåíêàõ âåðîÿòíîñòåé ìàëûõ òîðûõ ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ. ÏÎÌÈ,

'& (2003), 521.

L2 -øàðîâ

äëÿ íåêî-

Çàïèñêè íàó÷í. ñåìèí.

[3] Áåëÿåâ Þ. Ê. Ëîêàëüíûå ñâîéñòâà âûáîðî÷íûõ ôóíêöèé ãàóññîâñêèõ ñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ. Òåîð. âåðîÿòí. è å¼ ïðèìåí., [4] Áîãà÷¼â

# (1960), 128131. Â.

È.

Ãàóññîâñêèå

ìåðû.

Íàóêà-Ôèçìàòëèò,

Ìîñêâà, 1997. [5] Áîãà÷¼â Â. È. Äèôôåðåíöèðóåìûå ìåðû è èñ÷èñëåíèå Ìàëëÿâýíà. ÍÈÖ Ðåãóëÿðíàÿ è Õàîòè÷åñêàÿ Äèíàìèêà, Ìîñêâà  Èæåâñê, 2008. [6] Áîðîâêîâ A. A., Ìîãóëüñêèé A. A. Î âåðîÿòíîñòÿõ ìàëûõ óêëîíåíèé äëÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Òðóäû Èíñòèòóòà Ìàòåìàòèêè ÑÎ ÀÍ ÑÑÑÐ,

! (1989), 147168.

[7] Áóëèíñêèé À. Â., Øèðÿåâ À. Í. Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Ôèçìàòëèò, Ìîñêâà, 2003. [8] Áóðàãî Þ. Ä., Çàëãàëëåð Â. À. Ãåîìåòðè÷åñêèå íåðàâåíñòâà. Íàóêà, Ìîñêâà, 1980.

Ëèòåðàòóðà

175

[9] Âåíòöåëü À. Ä. Òåîðåìû, êàñàþùèåñÿ ôóíêöèîíàëà äåéñòâèÿ äëÿ ãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. Òåîð. âåðîÿòí. è å¼ ïðèìåí., % (1972), 542544. [10] Âåíòöåëü À. Ä. Êóðñ òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Íàóêà, Ìîñêâà, 1975. [11] Ãî, Õ.-Ñ. Ãàóññîâñêèå ìåðû â áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ. Ìèð, Ìîñêâà, 1979. [12] Ãîëîñîâ Þ. Í., Ìîë÷àí Ã. Ì. Ãàóññîâñêèå ñòàöèîíàðíûå ïðîöåññû ñ àñèìïòîòè÷åñêè ñòåïåííûì ñïåêòðîì. Äîêëàäû ÀÍ ÑÑÑÐ, &" (1969), 546549. [13] Äàâûäîâ Þ.À., Ëèôøèö Ì.À., Ñìîðîäèíà Í.Â. Ðàñïðåäåëåíèÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ ôóíêöèîíàëîâ. Íàóêà, Ìîñêâà, 1995. [14] Èáðàãèìîâ È. À., Ðîçàíîâ Þ. À. Ãàóññîâñêèå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû. Íàóêà, Ìîñêâà, 1970. [15] Êîëìîãîðîâ À. Í., Òèõîìèðîâ Â. Ì. ε-ýíòðîïèÿ è ε¼ìêîñòü ìíîæåñòâ â ôóíêöèîíàëüíûõ ïðîñòðàíñòâàõ. Óñïåõè ìàòåì. íàóê, " (1959), 386; ñì. òàêæå â êí.: Êîëìîãîðîâ À. Í. Òåîðèÿ èíôîðìàöèè è òåîðèÿ àëãîðèòìîâ. Íàóêà, Ìîñêâà, 1987, 119198. [16] Ëåâè Ï. Ñòîõàñòè÷åñêèå ïðîöåññû è áðîóíîâñêîå äâèæåíèå. Íàóêà, Ìîñêâà, 1972. [17] Ëèíäå Â., Ïè÷ À. Îòîáðàæåíèÿ ãàóññîâñêèõ öèëëèíäðè÷åñêèõ ìåð â áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ. Òåîð. âåðîÿòí. è å¼ ïðèìåí., ' (1974), 472487. [18] Ëèôøèö Ì. À. Áèáëèîãðàôèÿ ïî âåðîÿòíîñòÿì ìàëûõ óêëîíåíèé. www.proba.jussieu.fr/pageperso/

smalldev/biblio.html [19] Ëèôøèö Ì. À. Ãàóññîâñêèå ñëó÷àéíûå ôóíêöèè. Èçäàòåëüñòâî ÒÂèÌÑ, Êèåâ, 1995. [20] Ëèôøèö Ì. À. Î ïðåäñòàâëåíèè ïîëåé Ëåâè èíäèêàòîðàìè. Òåîð. âåðîÿòí. è å¼ ïðèìåí., ' (1979), 624628. [21] Íàçàðîâ À. È. Î òî÷íîé êîíñòàíòå â àñèìïòîòèêå ìàëûõ óêëîíåíèé â L2 -íîðìå íåêîòîðûõ ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ.  ñá.: Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ è ìàòåìàòè÷åñêèé

176

Ëèòåðàòóðà àíàëèç (ñåð. Ïðîáëåìû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, âûï. 26 (2003)), 179214.

[22] Íàçàðîâ À. È., Íèêèòèí ß. Þ. Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ àñèìïòîòèêà ìàëûõ øàðîâ â L2 -íîðìå äëÿ íåêîòîðûõ äðîáíûõ ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ. Òåîð. âåðîÿòí. è å¼ ïðèìåí., "' (2004), 695711. [23] Íàçàðîâ À. È., Ïóñåâ Ð. Ñ. Òî÷íàÿ àñèìïòîòèêà ìàëûõ óêëîíåíèé â L2 -íîðìå äëÿ íåêîòîðûõ âçâåøåííûõ ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ. Çàïèñêè íàó÷í. ñåìèí. ÏÎÌÈ, !$" (2009), 166199. [24] Ïåòðîâ Â. Â. Ïðåäåëüíûå òåîðåìû äëÿ ñóìì íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Íàóêà, Ìîñêâà, 1987. [25] Ðîçàíîâ Þ. À. Ãàóññîâñêèå áåñêîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ. Òðóäû ìàòåìàòè÷åñêîãî èíñòèòóòà èì. Â.À. Ñòåêëîâà, & (1968), Íàóêà, Ìîñêâà. [26] Ñàõàíåíêî À. È. Ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè â ïðèíöèïå èíâàðèàíòíîñòè äëÿ ðàçíîðàñïðåäåë¼ííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ ýêñïîíåíöèàëüíûìè ìîìåíòàìè. Òðóäû èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè ÑÎ ÀÍ ÑÑÑÐ, ! (1984), 449. [27] Ñêîðîõîä À. Â. Èíòåãðèðîâàíèå â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå. Íàóêà, Ìîñêâà, 1975. [28] Ñóäàêîâ Â. Í. Ìåðû Ãàóññà, Êîøè è -ýíòðîïèÿ. Äîêëàäû ÀÍ ÑÑÑÐ, &# (1969), 5153. [29] Ñóäàêîâ Â. Í. Ãàóññîâñêèå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû è ìåðû òåëåñíûõ óãëîâ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå, Äîêëàäû ÀÍ ÑÑÑÐ, '% (1971), 4345. [30] Ñóäàêîâ Â. Í. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðîáëåìû òåîðèè áåñêîíå÷íîìåðíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Òðóäû ìàòåìàòè÷åñêîãî èíñòèòóòà ÀÍ ÑÑÑÐ èì. Â.À. Ñòåêëîâà, " (1976), Íàóêà, Ëåíèíãðàä. [31] Ñóäàêîâ Â. Í., Öèðåëüñîí Á. Ñ. Ýêñòðåìàëüíûå ñâîéñòâà ïîëóïðîñòðàíñòâ äëÿ ñôåðè÷åñêè èíâàðèàíòíûõ ìåð. Çàïèñêè íàó÷í. ñåìèí. ËÎÌÈ, " (1974), 1441. [32] Òåìëÿêîâ Â. Í. Îöåíêè àñèìïòîòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê êëàññîâ ôóíêöèé ñ îãðàíè÷åííîé ñìåøàííîé ïðîèçâîä-

Ëèòåðàòóðà

177

íîé èëè ðàçíîñòüþ. Òðóäû ìàòåìàòè÷åñêîãî èíñòèòóòà ÀÍ ÑÑÑÐ èì Â. À. Ñòåêëîâà, &' (1989), 138167. [33] Ôàòàëîâ Â. Ð. Êîíñòàíòû â àñèìïòîòèêàõ âåðîÿòíîñòåé ìàëûõ óêëîíåíèé äëÿ ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ è ïîëåé. Óñïåõè ìàòåì. íàóê, #& (2003), 89134. [34] Ôàòàëîâ Â. Ð. Âðåìåíà ïðåáûâàíèÿ è òî÷íûå àñèìïòîòèêè ìàëûõ óêëîíåíèé áåññåëåâñêèõ ïðîöåññîâ äëÿ Lp íîðì, p > 0. Èçâåñòèÿ ÐÀÍ. Ñåð. ìàòåì., %, âûï. 4 (2007), 69102. [35] Ôàòàëîâ Â. Ð. Òî÷íàÿ àñèìïòîòèêà ìàëûõ óêëîíåíèé äëÿ íåñòàöèîíàðíîãî ïðîöåññà ÎðíøòåéíàÓëåíáåêà â Lp -íîðìå, p ≥ 2. Âåñòíèê ÌÃÓ. Ñåð. ìàòåì. ìåõ., $ (2007), 38. [36] Ôàòàëîâ Â.Ð. Òî÷íûå àñèìïòîòèêè ìàëûõ óêëîíåíèé äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ïðîöåññà ÎðíøòåéíàÓëåíáåêà è íåêîòîðûõ ãàóññîâñêèõ äèôôóçèé â Lp -íîðìå, 2 ≤ p ≤ ∞. Ïðîáëåìû ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè, "", âûï. 2 (2008), 7595. [37] Ôàòàëîâ Â. Ð. Ìàëûå óêëîíåíèÿ äëÿ äâóõ êëàññîâ ãàóññîâñêèõ ñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ è Lp -ôóíêöèîíàëîâ, 0 < p ≤ ∞. Ïðîáëåìû ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè, "$ (2010), 6893. [38] Ôðåéäëèí Ì. È. Ôóíêöèîíàë äåéñòâèÿ äëÿ îäíîãî êëàññà ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Òåîð. âåðîÿòí. è å¼ ïðèìåí., % (1972), 536541. [39] Õèí÷èí À. ß. Àñèìïòîòè÷åñêèå çàêîíû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. ÎÍÒÈ, Mîñêâà  Ëåíèíãðàä, 1936. [40] ×åíöîâ Í. Í. Ìíîãîïàðàìåòðè÷åñêîå áðîóíîâñêîå äâèæåíèå è îáîáù¼ííûé áåëûé øóì. Òåîð. âåðîÿòí. è å¼ ïðèìåí., (1957), 281282. [41] Adler R. J. An Introduction to Continuity, Extrema and Related Topics for General Gaussian Processes. Lect. Notes Inst. Math. Stat.,  , IMS, Hayword, 1990. [42] Adler R. J., Tailor J. E. Random Fields and Their Geometry. Springer, New York, 2007.

178

Ëèòåðàòóðà

[43] Anderson T. W. The integral of symmetric unimodal function. Proc. Amer. Math. Soc., $ (1955), 170176. [44] Anderson T. W., Darling D. A. Asymptotic theory of certain goodness of t criteria based on stochastic processes. Ann. Math. Stat., ! (1952), 193212. [45] Aronszajn N. Theory of reproducing kernels. Trans. Amer. Math. Soc., $& (1950), 337404. [46] Artstein S., Milman V. D., Szarek S. J. Duality of metric entropy. Ann. Math., #' (2004), 13131328. [47] Aurzada F. Lower tail probabilities of some random sequences in lp . J. Theor. Probab.,  (2007), 843858. [48] Aurzada F., Lifshits M. A. Small deviations of Gaussian processes via chaining. Stoch. Proc. Appl., & (2008), 23442368. [49] Baldi P., Ben Arous G., Kerkacharian G. Large deviations and Strassen theorem in H older norm. Stoch. Proc. Appl., " (1992), 171180. [50] Bardina X., Es-Sebaiy K. An extension of bifractional Brownian motion. Commun. Stochast. Analysis, # (2011), 333340. [51] Barthe F. The BrunnMinkowskii theorem and related geometric and functional inequalities, in: Proc. Intern. Congr. Math. Madrid, 2006, 11, Eur. Math. Soc., Z urich, 2006, 15291546. [52] Barthe F., Huet N. On Gaussian BrunnMinkowskii inequalities. Studia Math., ' (2009), 283304. [53] Bass R. F., Pyke R. Functional law of the iterated logarithm and uniform central limit theorem for processes indexed by sets. Ann. Probab.,  (1984), 1334. [54] Belinsky E. S. Estimates of entropy numbers and Gaussian measures for classes of functions with bounded mixed derivative. J. Approx. Theory, '! (1998), 114127. [55] Bilyk D., Lacey M., Vagarshakyan A. On the small ball inequality in all dimensions. J. Funct. Anal., #" (2008), 24702502.

Ëèòåðàòóðà

179

[56] Bingham N. H. Variants on the law of the iterated logarithm. Bull. Lond. Math. Soc., & (1986), 433467. [57] Bobkov S. G. Extremal properties of half-spaces for logconcave distributions. Ann. Probab., " (1996), 3548. [58] Bobkov S. G. A functional form of isoperimetric inequality for the Gaussian measure. J. Funct. Anal., !# (1996), 39 49. [59] Borell C. The BrunnMinkowski inequality in Gauss space. Invent. Math., ! (1975), 207216. [60] Borell C. Convex measures on locally convex spaces. Ark. Mat.,  (1974), 239252. [61] Borell C. Gaussian Radon measures on locally convex spaces. Math. Scand., !& (1976), 265284. [62] Borell C. A note on Gaussian measures which agree on small balls. Ann. Inst. H. Poincar
e, Ser. B, ! (1977), 231238. [63] Borell C. The Ehrhard inequality. Comptes Rendus Math. Acad. Sci. Paris, !!% (2003), 663666. [64] Borell C. Inequalities of the BrunnMinkowski type for Gaussian measure. Probab. Theory Rel. Fields, " (2008), 195205. [65] Borovkov A. A., Ruzankin P. S. On small deviations of series of weighted random variables. J. Theor. Probab.,  (2008), 628649. [66] Cameron R. H., Martin W. T. Transformations of Wiener integrals under translations. Ann. Math., "# (1944), 386 396. [67] Cameron R. H., Martin W. T. The Wiener measure of Hilbert neighborhoods in the space of real continuous functions. J. Math. Phys., ! (1944), 195209. [68] Chung K. L. On maximum of partial sums of sequences of independent random variables. Trans. Amer. Math. Soc., $" (1948), 205233. [69] Cherno H. A measure of asymptotic eciency for tests of hypothesis based on sums of observations. Ann. Math. Stat., ! (1952), 493507.

180

Ëèòåðàòóðà

[70] Ciesielski Z., Kerkyacharian G., Roynette B. Quelques espaces fonctionnels associ
es a des processus gaussiens. Studia Math., % (1993), 173203. [71] Cordero-Erausquin D., Fradelizi M., Maurey B. The B conjecture for the Gaussian measure of dilates of symmetric convex sets and related problems. J. Funct. Anal., "" (2004), 410427. [72] Cram
er H. Sur un nouveau th
eoreme-limite de la th
eorie de probabilit
es. Act. Sci. Indust., %!$ (1938), 523. [73] Cs
aki E. A relation between Chung's and Strassen's law of the iterated logarithm. Z. Wahrsch. verw. Geb., #" (1980), 287301. [74] de Acosta A. Small deviations in the functional central limit theorem with applications to functional laws of the iterated logarithm. Ann. Probab.,  (1983), 78101. [75] Deheuvels P., Lifshits M. A. Strassen-type functional laws for strong topologies. Probab. Theory Rel. Fields, '% (1993), 151167. [76] Deheuvels P., Lifshits M. A. Necessary and sucient condition for the Strassen law of the iterated logarithm in non-uniform topologies. Ann. Probab., (1994), 1838 1856. [77] Dembo A., Zeitouni O. Large Deviation Techniques and Applications (2-nd edition). Springer, New York, 1998. [78] Dereich S. Small ball probabilities around random centers of Gaussian measures and applications to quantization. J. Theor. Probab., $ (2003), 427449. [79] Dereich S., Fehringer F., Matoussi A., Scheutzow M. On the link between small ball probabilities and the quantization problem for Gaussian measures on Banach spaces. J. Theor. Probab., $ (2003), 249265. [80] Dereich S., Lifshits M. A. Probabilities of randomly centered small balls and quantization in Banach spaces. Ann. Probab., !! (2005), 13971421.

Ëèòåðàòóðà

181

[81] Dereich S., Scheutzow M. High-resolution quantization and entropy coding for fractional Brownian motion. Electron. J. Probab.,  (2006), No. 28, 700722. [82] Dudley R. M. The sizes of compact subsets of Hilbert space and continuity of Gaussian processes. J. Funct. Anal.,  (1967), 290330. [83] Dudley R. M. Sample functions of Gaussian processes. Ann. Probab.,  (1973), 66103. [84] Dudley R. M., Feldman J., Le Cam, L. On seminorms, and probabilities, and abstract Wiener spaces. Ann. Math., '! (1971), 390408. [85] Dunker T., K uhn T., Lifshits M. A., Linde W. Metric entropy of integration operators and small ball probabilities for the Brownian sheet. J. Approx. Theory,  (1999), 63 77. [86] Dunker T., Lifshits M. A., Linde W. Small deviations of sums of independent variables, in: High Dimensional Probability, Ser. Progress in Probability, "!, Birkh auser, Basel, 1998, 5974. [87] Dzhaparidze K., van Zanten J. H. Krein's spectral theory and the PaleyWiener expansion for fractional Brownian motion. Ann. Probab., !! (2005), 620644. [88] Dzhaparidze K., van Zanten J. H., Zareba P. Representations of isotropic Gaussian random elds with homogeneous increments. J. Appl. Math. Stoch. Anal., %%! (2006), 125. [89] Ehrhard A. Symetrisation dans l'espace de Gauss. Math. Scand., #! (1983), 281301. [90] Fehringer, F. Kodierung von Gau ßmassen. Ph.D. Thesis. TU Berlin, Berlin, 2001. [91] Feller W. The general form of the so-called law of the iterated logarithm. Trans. Amer. Math. Soc., #" (1943), 373402. [92] Fernique X. R
egularit
e des trajectoires des fonctions
e de Probabilit
es de al
eatoires gaussiennes, in: Ecole d' Et


182

Ëèòåðàòóðà Saint-Flour, IV-1974. Lect. Notes Math., "&, Springer, Berlin, 1975, 196.

[93] Fernique X. Fonctions Al
eatoires Gaussiennes. Vecteurs Al
eatoirs Gaussiens. CRM, Montreal, 1997. [94] Fill J. A., Torcaso F. Asymptotic analysis via Mellin transforms for small deviations in L2 -norm of integrated Brownian sheets. Probab. Theory Rel. Fields, ! (2003), 259288. [95] Gao F., Hannig J., Lee T.-Y., Torcaso F. Laplace transforms via Hadamard factorization with applications to small ball probabilities. Electron. J. Probab., & (2003), No. 13, 120. [96] Gao F., Hannig J., Torcaso F. Integrated Brownian motions and exact l2 -small balls, Ann. Probab., ! (2003), 1320 1337. [97] Gao F., Hannig J., Lee T.-Y., Torcaso F. Exact L2 -small balls of Gaussian processes. J. Theor. Probab., % (2004), 503520. [98] Gao F., Li W. V. Small ball probabilities for the Slepian Gaussian elds. Trans. Amer. Math. Soc., !#' (2005), 1339 1350. [99] Gardner R. J. The BrunnMinkowskii inequality. Bull. Amer. Math. Soc., !' (2002), 355405. [100] Gardner R. J., Zvavitch A. Gaussian BrunnMinkowskii inequalities. Trans. Amer. Math. Soc., !$ (2010), 5333 5353. [101] Graf S., Luschgy H. Foundations of Quantization for Probability Distributions. Lect. Notes Math., %!, Springer, Berlin, 2000. [102] Grill K. Exact rate of convergence in Strassen's law of iterated logarithm. J. Theor. Probab., # (1992), 197205. [103] Harg
e G. A particular case of correlation inequality for the Gaussian measure. Ann. Probab., % (1999), 19391951. [104] Hartman P., Wintner A. On the law of the iterated logarithm. Amer. J. Math., $! (1941), 169176.

Ëèòåðàòóðà

183

[105] Hida T., Hitsuda M. Gaussian Processes. AMS, Providence, 1993. [106] Houdr
e C., Villa J. An example of innite dimensional quasi-helix, in: Contemporary Mathematics, !!$, AMS, Providence, 2003, 195201. [107] Jain N. C., Pruitt W. E. Maximum of partial sums of independent random variables. Z. Wahrsch. verw. Geb., % (1973), 141151. [108] Jain N. C., Pruitt W. E. The other law of the iterated logarithm. Ann. Probab., ! (1975), 10461049. [109] Janson S. Gaussian Hilbert Spaces. Cambridge University Press, Cambridge, 1997. [110] Karol' A., Nazarov A., Nikitin Ya. Small ball probabilities for Gaussian random elds and tenzor products of compact operators. Trans. Amer. Math. Soc., !$ (2008), 14431474. [111] Khatri C. G. On certain inequalities for normal distributions and their applications to simultaneous condence bounds. Ann. Math. Stat., !& (1967), 18531867.  [112] Khintchine A. Uber einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Fund. Math., $ (1924), 912. [113] Khoshnevisan D. Multiparameter Processes: an Introduction to Random Fields. Springer, New York, 2002. [114] Kolmogorov A. N. Sulla determinazione empirica di una legge di distribuzione. G. Inst. Ital. Attuari, " (1933), 83 91. [115] Koml
os J., Major P., Tusn
ady G. An approximation of partial sums of independent RV'-s and the sample DF. I. Z. Wahrsch. verw. Geb., ! (1975), 111131. [116] Koml
os J., Major P., Tusn
ady G. An approximation of partial sums of independent RV'-s and the sample DF. II. Z. Wahrsch. verw. Geb., !" (1976), 3458. [117] Kuelbs J., Li W. V. Some shift inequalities for Gaussian measures, in: High Dimensional Probability. Proceedings of the conference, Oberwolfach, Germany, August 1996. Ser.

184

Ëèòåðàòóðà Progress in Probability, "!. Birkh auser, Basel, 1998, 233 243.

[118] Kuelbs J., Li W. V. Metric entropy and the small ball problem for Gaussian measures. J. Funct. Anal., $ (1993), 133157. [119] K uhn T., Linde W. Optimal series representation of fractional Brownian sheet. Bernoulli, & (2002), 669696. [120] Kwapie
n S., Sawa J. On some conjecture concerning Gaussian measures of dilatations of convex symmetric sets. Studia Math., # (1993), 173187. [121] Latala R. A note on Ehrhard inequality. Studia Math., & (1996), 169174. [122] Latala R. On some inequalities for Gaussian measures, in: Proc. Intern. Congr. Math. Beijing, 11. Higher Education Press, 2002, 813821. [123] Latala R., Oleszkiewitcz K. Gaussian measures of dilatations of convex symmetric sets. Ann. Probab., % (1999), 19221938. [124] Ledoux M. Isoperimetry and Gaussian Analysis. Lect. Notes Math., $"&, Springer, Berlin, 1996, 165294. [125] Ledoux M. Concentration of Measure Phenomenon. Ser. Math. Surveys and Monographs, &' AMS, Providence, 2001. [126] Ledoux M., Talagrand M. Probability in Banach Spaces, Springer, Berlin, 1991. [127] Lei P., Nualart D. A decomposition of the bifractional Brownian motion and some applications, Statist. Probab. Letters, %' (2009), 619624. [128] L
evy P. Problemes Concrets d'Analyse Fonctionnelle. Gautier-Villars, Paris, 1951. [129] Li W. V. A Gaussian correlation inequality and its applications to small ball probabilities. Electron. Commun. Probab., " (1999), 111118. [130] Li W. V. Small deviations for Gaussian Markov processes under the sup-norm. J. Theor. Probab.,  (1999), 971984.

Ëèòåðàòóðà

185

[131] Li W. V. Small ball probabilities for Gaussian Markov processes under the Lp -norm. Stoch. Proc. Appl., ' (2001), 87102. [132] Li W. V., Linde W. Existence of small ball constants for fractional Brownian motions, Comptes Rendus Math. Acad. Sci. Paris, ! $ (1998), 13291334. [133] Li W. V., Linde W. Approximation, metric entropy and small ball estimates for Gaussian measures. Ann. Probab., % (1999), 15561578. [134] Li W. V., Shao Q.-M. Gaussian processes: inequalities, small ball probabilities and applications, in: Stochastic Processes: Theory and Methods, Handbook of Statistics, '. North-Holland/Elsevier, Amsterdam, 2001, 533597. [135] Lifshits M. A. On the lower tail probabilities of some random series. Ann. Probab., # (1997), 424442. [136] Lifshits M. A. Asymptotic behavior of small ball probabilities, in: Probab. Theory and Math. Statist. Proc. VII International Vilnius Conference, VSP/TEV, Vilnius, 1999, 453468. [137] Lifshits M. A., Linde W. Approximation and entropy numbers of Volterra operators with application to Brownian Motion. Mem. Amer. Math. Soc., #%, No. 745 (2002), 187. [138] Lifshits M. A., Linde W., Shi Z. Small deviations of RiemannLiouville processes in Lq -norms with respect to fractal measures. Proc. Lond. Math. Soc., ' (2006), 224 250. [139] Lifshits M. A., Linde W., Shi Z. Small deviations of Gaussian random elds in Lq -spaces. Electron. J. Probab., , No. 46 (2006), 12041223. [140] Lifshits M. A., Simon T. Small deviations for fractional stable processes. Ann. Inst. H. Poincar
e, Ser. B, " (2005), 725752. [141] Luschgy H., Pages G. Functional quantization of Gaussian processes. J. Funct. Anal., '$ (2002), 486531.

186

Ëèòåðàòóðà

[142] Luschgy H., Pages G. Sharp asymptotics of the functional quantization problem for Gaussian processes. Ann. Probab., ! (2004), 15741599. [143] Luschgy H., Pages G. High-resolution product quantization for Gaussian processes under sup-norm distortion. Bernoulli, ! (2007), 653671. [144] Luschgy H., Pages G. Expansion for Gaussian processes and Parseval schemes. Electron. J. Probab., " (2009), 11981221. [145] Luschgy H., Pages G., Wilbertz B. Asymptotically optimal quantization schemes for Gaussian processes. ESAIM: Probab. Stat., " (2010), 93116. [146] Major P. An improvement of Strassen's invariance principle. Ann. Probab., % (1979), 5561. [147] Malyarenko A. An optimal series expansion of the multiparameter fractional Brownian motion. J. Theor. Probab.,  (2008), 459475. [148] Mandelbrot B.B.,van Ness J. Fractional Brownian motions, fractional noises and applications. SIAM Rev.,  (1968), 422437. [149] Mandjes M. Large Deviations for Gaussian Queues: Modelling Communication Networks. Wiley, Chichester, 2007. [150] Marinucci D., Robinson P. M. Alternative forms of fractional Brownian motion. J. Stat. Plan. Infer., & (1999), 111122. [151] Nazarov A. I. Exact L2 -small ball asymptotics of Gaussian processes and the spectrum of boundary-value problems. J. Theor. Probab., (2009), 640665. [152] Nazarov A. I., Nikitin Ya. Yu. Exact L2 -small ball behavior of integrated Gaussian processes and spectral asymptotics of boundary value problems. Probab. Theory Rel. Fields,  ' (2004), 469494. [153] Paley R. E. A. C., Wiener N. Fourier Transforms in the Complex Domain. Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., ', AMS, New York, 1934. Reprint: AMS, Providence, 1987.

Ëèòåðàòóðà

187

[154] Park W. J. On Strassen version of the law of the iterated logarithm for two-parameter Gaussian processes. J. Multivariate Anal., " (1974), 479485. [155] Peccati G., Taqqu M. S. Wiener Chaos: Moments, Cumulants and Diagrams. Springer, Milano, 2011.  [156] Petrovskii I. G. Uber das Irrfahrtproblem. Math. Ann., ' (1934), 425444. [157] Pisier G. Conditions d'entropie assurant la continuit
e de certains processus et applications a l'analyse harmonique. Seminaires d'analyse fonctionnelle, Exp. 1314 (1980), 1 43. [158] Pisier G. The Volume of Convex Bodies and Banach Space Geometry. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. [159] Pitt L. A Gaussian correlation inequality for symmetric convex sets. Ann. Probab., # (1977), 470474. [160] Rasmussen C. E., Williams C. K. I. Gaussian Processes for Machine Learning. MIT Press, Cambridge, MA, 2006. [161] Sato H. Souslin support and Fourier expansion of a Gaussian Radon measure, in: Probability in Banach Spaces III. Proc. Intern. Conf., Medford, USA, 1980. Lect. Notes Math., &$, Springer, Berlin, 1981, 299313. [162] Schechtman G., Schlumprecht T., Zinn J. On the Gaussian measure of intersection. Ann. Probab., $ (1998), 346357. [163] Schilder M. Some asymptotic formulas for Wiener integrals. Trans. Amer. Math. Soc.,  # (1966), 6385.  ak Z. Rectangular condence regions for the means of [164] Sid
multivariate normal distributions. J. Amer. Statist. Assoc., $ (1967), 626633. [165] Steiner J. Einfacher Beweis der isoperimetrischen Haupts atze. J. Reine Angew. Math., & (1838), 281296. [166] Stolz W. Une m
ethode
el
ementaire pour l'
evaluation des petites boules browniennes. Comptes Rendus Math. Acad. Sci. Paris, !$ (1993), 12171220.

188

Ëèòåðàòóðà

[167] Stolz W. Small ball probabilities for Gaussian processes under non-uniform norms. J. Theor. Probab., ' (1996), 613 630. [168] Strassen V. An invariance principle for the law of the iterated logarithm. Z. Wahrsch. verv. Geb., ! (1964), 211 226. [169] Talagrand M. Regularity of Gaussian processes. Acta Math., #' (1987), 99149. [170] Talagrand M. On the rate of clustering in Strassen's law of the iterated logarithm for Brownian motion, in: Probability in Banach space. VIII. Ser. Progress in Probability, !. Birkh auser, Basel, 1992, 339347. [171] Talagrand M. Simple proof of the majorizing measure theorem. Geom. Funct. Anal., (1992), 118125. [172] Talagrand M. New Gaussian estimates for enlarged balls. Geom. Funct. Anal., ! (1993), 502526. [173] Talagrand M. The small ball problem for the Brownian sheet. Ann. Probab., (1994), 13311354. [174] Talagrand M. Concentration of measure and isoperimetric inequalities in product spaces. Publ. Math. de l'I.H.E.S., & (1995), 73205. [175] Talagrand M. A new look at independence. Ann. Probab., " (1996), 134. [176] Talagrand M. Majorizing measures: the generic chaining. Ann. Probab., " (1996), 10491103. [177] Talagrand M. The Generic Chaining: Upper and Lower Bounds for Stochastic Processes, Springer, Berlin, 2005. [178] van der Vaart A. W., van Zanten J. H. Rates of contraction of posterior distributions based on Gaussian process priors. Ann. Statist., !$ (2008), 14351463. [179] van der Vaart A. W., van Zanten J. H. Bayesian inference with rescaled Gaussian process priors. Electron. J. Statist.,  (2007), 433448. [180] Varadhan S. R. S. Asymptotic probabilities and dierential equations. Comm. Pure Appl. Math., ' (1966), 261286.

Ëèòåðàòóðà

189

[181] Weber M. Entropie M
etrique et Convergence Presque Partout. Ser. Travaux en Cours. #&, Hermann, Paris, 1998. [182] Weber M. Dynamical Systems and Processes. Ser. IRMA Lect. in Math. and Theor. Phys., ", EMS, Z urich, 2009. [183] Willinger W., Paxson V., Riedli R. H., Taqqu M. S . Long range dependence and data network trac, in: Theory and Applications of Long Range Dependence, Birkh auser, Basel, 2003, 373408.

Михаил Анатольевич ЛИФШИЦ

ЛЕКЦИИ ПО ГАУССОВСКИМ ПРОЦЕССАМ Учебное пособие

Зав. редакцией физикоматематической литературы Н. Р. Крамор Выпускающие Т. С. Симонова, Н. А. Крылова

ЛР № 065466 от 21.10.97 Гигиенический сертификат 78.01.07.953.П.007216.04.10 от 21.04.2010 г., выдан ЦГСЭН в СПб Издательство «ЛАНЬ» [email protected]; www.lanbook.com 196105, СанктПетербург, пр. Ю. Гагарина, д. 1, лит. А. Тел./факс: (812) 3362509, 4129272. Бесплатный звонок по России: 88007004071

Подписано в печать 12.11.15. Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Формат 84×108 1/32. Печать офсетная. Усл. п. л. 10,08. Тираж 100 экз. Заказ №

.

Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленного оригиналмакета в ПАО «Т8 Издательские Технологии». 109316, г. Москва, Волгоградский пр., д. 42, к. 5.