Механика сплошных сред 978-5-4344-0023-7

Citation preview

А. Н. Папуша

МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

Допущено Учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации по образованию в области горного дела в качестве учебника для студентов, обучающихся по специальности «Физические процессы горного или нефтегазового производства» направления «Горное дело»

Москва  Ижевск 2011

УДК 622.27(075) ББК 33.361-1я73 П 179

Интернет-магазин

http://shop.rcd.ru

• • • •

физика математика биология нефтегазовые технологии

Папуша А. Н. Механика сплошных сред. — М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2011. — 688 с. Направленность учебника: вводный курс по применению методов символьной алгебры и компьютерных символьных вычислений в механике сплошных сред. Основное назначение: базовый компьютерный учебник по континуальной механике предназначен для студентов университетов и студентов технических специальностей ВУЗов, в которых механика сплошных сред является базовой дисциплиной специальных курсов. Практическая особенность: более 350 задач, решенных методами символьной алгебры, по различным разделам механики сплошных сред. Компьютерные коды: более 1000 компьютерных кодов для решения задач в среде Mathematica. Рецензенты: Институт проблем машиноведения РАН, г. Санкт-Петербург, директор института, чл.-корр. РАН, д. ф.-м. н., профессор Индейцев Д. А. Зав. кафедрой высшей математики РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина, д. ф.-м. н., профессор Калинин В. В.

ISBN 978-5-4344-0023-7 c А. Н. Папуша, 2011  http://shop.rcd.ru http://ics.org.ru

ББК 33.361-1я73

Оглавление

Абстракт . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Мотивация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Сотрудничество . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Методическое и компьютерное обеспечение . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Принцип построения учебника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ГЛАВА 1. Математический и компьютерный базис в механике сплошных сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.1. Тензоры в механике сплошных сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2. Компьютерные вычисления размерности тензоров. Ранг тензора. Декартова система координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3. Векторы и скаляры в компьютерной математике. Действия над векторами: сложение, умножение на скаляр, скалярное и векторные произведения. Двойственность и диады . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4. Системы координат. Базис и единичные векторы . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5. Линейные векторные функции. Диады как линейные векторные операции . . 32 1.6. Индексная запись. Ранг и суммирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.7. Символьное суммирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.8. Преобразование систем координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.9. Метрический тензор. Декартовы тензоры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.10. Законы преобразования для декартовых тензоров. Символ Кронеккера. Условие ортогональности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.11. Правило сложения тензоров. Умножение тензора на скаляр . . . . . . . . . . 47 1.12. Умножение тензоров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.13. Векторное произведение. Символ перестановки. Вектор как диада . . . . . . 52 1.14. Матрицы. Представление декартова тензора матрицей . . . . . . . . . . . . . 54 1.15. Симметричные диады. Симметричные матрицы и тензоры . . . . . . . . . . . 59 1.16. Главные значения и главные направления симметричного тензора второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.17. Степень тензора. Уравнение Гамильтона – Кэли . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1.18. Тензорные поля. Производная тензора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 1.19. Криволинейный интеграл. Теорема Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 1.20. Теорема Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Задачи и их решения по первому разделу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Алгебра векторов и диад . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Индексные вычисления декартовых тензоров . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4

О ГЛАВЛЕНИЕ Декартовы тензоры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

ГЛАВА 2. Теория напряжений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7.

Понятие непрерывного континуума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Физические свойства континуума: однородность, изотропность, плотность . 125 Массовая и поверхностная силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Напряжения. Принцип Коши. Вектор напряжений . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Напряжения в точке. Тензор напряжений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Напряжения по произвольной площадке в окрестности точки континуума . . 130 Уравнения равновесия элемента сплошной среды. Симметрия тензора напряжений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 2.8. Преобразование компонентов тензора напряжений при переходе к другой системе координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 2.9. Поверхность напряжений. Квадратичная форма напряжений Коши . . . . . . 136 2.10. Главные напряжения. Инварианты тензора напряжений. Эллипсоид напряжений137 2.11. Касательные напряжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 2.12. Круги Мора для напряжений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 2.13. Плоское напряженное состояние . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 2.14. Девиатор напряжений и сферический тензор напряжений . . . . . . . . . . . 149 Задачи и их решения по второму разделу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Напряженное состояние в точке. Вектор напряжений. Тензор напряжений . . 150 Уравнения равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Преобразование тензора напряжений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Поверхность напряжений Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Главные напряжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Круги Мора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Девиатор и сферический тензор напряжений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

ГЛАВА 3. Смещения и деформации континуума . . . . . . . . . . . . . . . 195 3.1. Частица сплошной среды. Точка в континууме . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Расчетная схема в механике сплошной среды. Понятие смещения и понятие течения континуума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Вектор положения частицы. Вектор смещения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Лагранжево и эйлерово описания деформирования сплошной среды . . . . . 3.5. Тензор градиента деформаций. Тензор градиента смещений . . . . . . . . . . 3.6. Тензор деформаций. Тензор конечных деформаций . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Теория малых деформаций. Тензор бесконечно малых деформаций . . . . . . 3.7.1. Тензор конечных деформаций в криволинейных координатах. Символьные вычисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Относительные смещения. Линейный тензор вращения. Вектор вращения . . 3.9. Механическое представление линейного тензора деформаций Лагранжа . . . 3.10. Относительное удлинение. Механический смысл конечных деформаций . . . 3.11. Тензор линейных деформаций (удлинений). Тензор вращения . . . . . . . . . 3.12. Свойства тензора деформаций при переходе к другой ортогональной системе координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

195 195 196 198 200 203 212 213 219 223 226 228 229

О ГЛАВЛЕНИЕ 3.13. Главные деформации. Инварианты тензора деформаций. Кубическая ция (расширение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14. Сферическая часть и девиатор тензора деформаций . . . . . . . . . . 3.15. Плоские деформации. Круги Мора для деформаций . . . . . . . . . . 3.16. Условия совместимости для малых деформаций . . . . . . . . . . . . Задачи и их решения по третьему разделу . . . . . . . . . . . . . . . . . . Смещения и деформации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Деформации. Тензор деформаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Удлинения и вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Преобразование тензора деформаций. Главные деформации . . . . . Плоские деформации. Условия совместимости деформаций . . . . . Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 дилата. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

234 236 238 241 243 243 255 267 272 283 289 304

ГЛАВА 4. Движения и потоки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

Движение. Течение. Материальная производная . . . . . . . . . . . . . . . . . Скорость. Ускорение. Поле мгновенных скоростей . . . . . . . . . . . . . . . Линия пути материальной частицы. Линия тока. Установившееся движение . Скорость деформации. Завихренность потока. Бесконечно малое приращение деформаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Физический смысл тензоров скоростей деформации и завихренности потока 4.6. Материальная производная объема, площади и линии . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Материальная производная объема, площади поверхности и линии в интегральном виде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задачи и их решения по четвертому разделу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Материальные производные. Скорость. Ускорение . . . . . . . . . . . . . . . . Тензор скоростей деформаций. Завихренность поля . . . . . . . . . . . . . . . Материальная производная по времени от объема, площади и линии. Производная от интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

308 311 314 314 316 319 321 323 323 338 351 353 359

ГЛАВА 5. Законы сохранения в механике сплошных сред . . . . . . . . . 362 5.1. Закон сохранения массы. Уравнение сохранения массы . . . . . . . . . . . . . 5.2. Закон сохранения количества движения. Уравнения движения сплошной среды. Уравнения равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Закон сохранения момента количества движения сплошной среды . . . . . . 5.4. Закон сохранения энергии. Первый закон термодинамики. Уравнение энергии 5.5. Уравнение состояния. Энтропия. Второй закон термодинамики . . . . . . . . 5.6. Неравенство Клазиуса – Дюгема. Диссипативная функция . . . . . . . . . . . 5.7. Базовая система уравнений. Термодинамический и механический континуум Задачи и их решения по пятому разделу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Уравнение неразрывности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Закон сохранения количества движения. Уравнения движения сплошной среды. Уравнения равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Энергия. Энтропия. Диссипативная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Физические уравнения состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

362 364 366 367 369 371 372 374 374 378 382 384 386 396

6

О ГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА 6. Линейная теория упругости

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7.

Обобщенный закон Гука. Функция энергии деформаций . . . . . . . . . . . . Изотропность. Анизотропность. Упругая симметрия сплошной среды . . . . Изотропность. Упругие постоянные для изотропных сред . . . . . . . . . . . Статические и динамические задачи линейной теории упругости . . . . . . . Принцип суперпозиции решений. Принцип Сент-Венана . . . . . . . . . . . Плоская задача теории упругости. Напряжения и деформации в плоскости . . Функция напряжений Айри. Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . 6.7.1. Вывод бигармонического уравнения для плоской задачи теории упругости компьютерными кодами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.2. Бигармоническое уравнение. Напряжения в плоскости . . . . . . . . . 6.7.3. Пример 1. Неравномерная нагрузка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.4. Визуализация полей напряжений плоской фигуры при неравномерной нагрузке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.5. Пример 2. Расчет плоского напряженного состояния с учетом массовой силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.6. Визуализация полей напряжений плоской фигуры при действии массовой силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8. Плоская задача в цилиндрических координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9. Гиперупругость и гипоупругость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10. Линейная задача термоупругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задачи и их решения по шестому разделу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Закон Гука. Энергия упругих деформаций. Изотропность . . . . . . . . . . . . Статические и динамические задачи теории упругости . . . . . . . . . . . . . Плоская задача линейной теории упругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Линейная задача термоупругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

398 400 402 404 407 407 410 411 413 413 417 421 423 426 426 427 431 431 445 455 462 464 476

ГЛАВА 7. Динамика жидкости и газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 7.1. Давление. Напряжения трения. Тензор вязких напряжений. Баротропное течение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Уравнения состояния. Флюид Стокса. Ньютоновские жидкости . . . . . . . . 7.3. Уравнения движения ньютоновской жидкости. Уравнения Навье – Стокса – Дюгема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Установившиеся течения. Гидростатика. Безвихревое течение . . . . . . . . . 7.5. Совершенные (идеальные) жидкости. Уравнение Бернулли. Циркуляция . . . 7.6. Потенциальные течения. Плоские потенциальные течения . . . . . . . . . . . Задачи и их решения по седьмому разделу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Течения неньютоновских флюидов. Ньютоновские жидкости . . . . . . . . . Гидростатика. Установившееся и безвихревое течения . . . . . . . . . . . . . Совершенные флюиды. Уравнение Бернулли. Циркуляция . . . . . . . . . . . Потенциальные течения. Плоские потенциальные течения . . . . . . . . . . . Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

480 481 483 485 487 489 490 490 503 513 517 528 534

О ГЛАВЛЕНИЕ

7

ГЛАВА 8. Теория пластичности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6.

Основные понятия и определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Идеальная пластичность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Условия текучести материала. Критерии Треска и фон Мизеса . . . . . . . . . Пространство напряжений. Π — плоскость. Плоскость текучести . . . . . . . Постпредельное состояние. Изотропное и кинематическое упрочнения . . . . Уравнения пластических соотношений «напряжения-деформации». Теория пластического потенциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7. Эквивалентные напряжения. Эквивалентные элементарные пластические деформации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8. Работа пластических деформаций. Гипотеза упрочнения деформаций . . . . . 8.9. Теория полных деформаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.10. Задачи упругопластичности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.11. Элементарная теория для плоских пластических деформаций . . . . . . . . . Задачи и их решения по восьмому разделу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Базовые соотношения. Явление предельных состояний (п. 8.1–8.4) . . . . . . Пластические деформации. Деформационное упрочнение . . . . . . . . . . . Общая теория деформаций (раздел 8.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Упругопластические задачи (раздел 8.10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Теория плоских пластических деформаций тонких пластинок (раздел 8.10) . Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

537 540 543 546 551 554 555 557 558 558 559 563 563 572 579 580 585 588 595

ГЛАВА 9. Линейная теория вязкоупругости . . . . . . . . . . . . . . . . . 598 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5.

Деформация вязкоупругих сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Простейшие вязкоупругие модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Обобщенные модели. Линейные дифференциальные операторы . . . . . . . . Ползучесть и ослабление напряжений (релаксация) . . . . . . . . . . . . . . . Функция ползучести. Функция ослабления напряжений (релаксации). Интеграл наследственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6. Комплексные модули и податливости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7. Трехмерная теория вязкоупругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.8. Вязкоупругие напряжения и их анализ. Принцип соответствия . . . . . . . . . Задачи и их решения по девятому разделу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Вязкоупругие модели (разделы 9.1–9.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ползучесть и релаксация (раздел 9.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Функции ползучести и релаксации. Интеграл наследственности . . . . . . . . Комплексные модули и податливости (раздел 9.6) . . . . . . . . . . . . . . . . Трехмерная теория вязкоупругости. Анализ вязкоупругих напряжений (раздел 9.7–9.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

598 598 601 602 606 610 612 614 616 616 619 627 632 636 643 658

8

О ГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА 10. Специальные разделы механики сплошных сред . . . . . . . . 662 10.1. Модель Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.1. Механическая схема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.2. Динамические уравнения вязкой жидкости . . . . . . . 10.1.3. Уравнения Буссинеска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.4. Маломодовое приближение . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.5. Применение символьной алгебры для преобразований уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.6. Вывод системы уравнений Лоренца . . . . . . . . . . . 10.1.7. Решение системы Лоренца. Странный аттрактор . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . динамических . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

662 662 663 664 666 670 672 674

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686

Абстракт

Основное содержание книги направлено на введение студентов университетов в курс механики сплошных сред посредством компьютерных технологий, базирующихся на методах символьной алгебры системы Mathematica. Кроме того, студенты технических университетов, специализирующиеся на продвижении морских нефтегазовых технологий в Северных морях России, которые зачастую напрямую используют методы континуальной механики для проектных расчетов различных и довольно сложных технических устройств, используемых в названных технологиях, например, при проектировании протяженных упругих конструкций (бурильная колонна, райзер и др.), используемых при разработке морских нефтяных, газовых и газоконденсатных месторождений. Поэтому использование компьютерных технологий в практических расчетах является как признаком высокой инженерной культуры проектанта, так и рациональным способом оптимизации получаемых решений. Современный взгляд на морские нефтегазовые технологии может быть выражен простой формулой (http://www.statoil.com)

Для студентов, аспирантов и преподавателей, которые находят новые символьные решения методами компьютерных технологий, и создавался настоящий электронный учебник.

Мотивация С треском лопнул кувшин: Ночью вода в нем замерзла. Я пробудился вдруг. Мацуо Бас¨е (1644–1694) Как ни странно, но механика сплошных сред как традиционно университетский курс механики не имеет такого же традиционного набора задач, скомпонованного в обычный текстовый сборник (такой, например, как сборник задач по теоретической механике И. В. Мещерского (первое литографическое издание И. В. Мещерский «Сборник задач, относящийся к курсу теоретической механики, читанному на II семестре Технических Отделений С.-Пб. Политехнического института». Часть I, С.-Петербург, литография Трофимова, 1907, IY+78 стр. Часть II, то же, 1908, IY+60 стр.), история создания которого связана с именами: И. Г. Бубнова, С. П. Тимошенко, И. В. Мещерского, К. Э. Рериха), который бы прояснил общую теорию, развитую в континуальной механике, начиная от ее зарождения в 18 веке и до наших дней. Поэтому одним из посылов и мотивов к написанию настоящей книги является создание базового электронного учебника по курсу механики сплошных сред, в котором присутствовала бы часть теории континуальной механики, имелся бы набор решенных задач и имелся бы набор задач для самостоятельного решения. Однако, искушенный читатель скажет, что по крайней мере один из таких учебников, имеющий обширный набор задач по курсу, уже имеется, например, это известное учебное пособие профессора Мичиганского университета George E. Mase Continuum Mechanics, McGraw Hill Companics, Inc. 1970. Это — справедливое замечание, и автор надеется, что после знакомства с настоящим учебником, оно будет справедливым только отчасти, поскольку и названный учебник, и ранее предлагаемые курсы [1–3] расчитаны были на «ручные» решения, т. е. на решения, добываемые путем традиционных аналитических вычислений, проводимых либо учителем, либо студентом по методу «лист+карандаш». Подобную технологию обучения механике на рубеже веков (конец XIX–начало XX века) практиковал кружок В. Л. Кирпичёва (1845–1913 гг.) (подробности см.: С. П. Тимошенко «Курс теории упругости», Изд. «Наукова думка», Киев, 1972, 501 с.; С. П. Тимошенко «Статические и динамические проблемы теории упругости», Изд. «Наукова думка», Киев, 1975, 562 с., а также небольшая брошюра «Кружок имени В. Л. Кирпичёва» [4], полный текст которой читатель найдет в книге С. П. Тимошенко «Прочность и колебания элементов конструкций», Изд. «Наука», Москва, 1975, 703 с.).

М ОТИВАЦИЯ

11

Их портреты, как одних из основателей отечественной школы обучения механике, внесены в текст книги методами компьютерной технологии внедрения графических объектов в среду Mathematica операторами, записанными ниже. pict1 = Show[Import["D:\\MathematicaBooks\\Kirpichev.jpg"], DisplayFunction → Identity]; pict2 =Show[Import["D:\\MathematicaBooks\\Timoshenko.jpg"], DisplayFunction → Identity]; Show[GraphicsRow[pict1, pict2], DisplayFunction → DisplayFunction]

..

Однако, возвращаясь к современности, следует отметить, что все изменилось в последнее десятилетие, когда в университетский класс пришли новые компьютерные технологии с мощными аналитическими процессорами для символьных вычислений, способные производить вычисления, которые были недоступны в конце XIX и начале XX веков и которые, несомненно, применимы в механике слошных сред в настоящее время. Сразу скажем, что современные компьютерные средства символьных вычислений предоставляют новые, зачастую неожиданные и более продуктивные средства тех же аналитических и символьных вычислений в механике, которые в корне меняют идеологию как обучения, так и решения традиционных задач механики сплошных сред. Новизна применяемых компьютерных технологий состоит в выводе новых символьных решений, а методика их овладением состоит в первую очередь в том, что учащийся имеет возможность сосредоточиться прежде всего на механической сути задачи, предоставляя компьютеру рутину вычислений (при этом ученику не надо заботиться о достоверности получаемых результатов — это всегда можно прове-

12

М ОТИВАЦИЯ

рить «вручную»). При этом напомним, что суть применения и овладения методами континуальной механики всегда одна — выявление механического смысла получаемых математических решений. И если компьютер помогает постичь эту зачастую простую механическую суть задачи, то задача учителя, который предоставил эту технологию добывания знания, считается выполненной. Все сказанное позволяет сформулировать основной мотив к написанию данной книги — это создание электронного учебника по механике сплошных сред, в котором бы вся теория и ее приложения были бы реализованы методами компьютерной алгебры в среде Mathematica. При этом реализуется основной метод обучения континуальной механике: все теоретические положения механики сплошных сред представлены как компьютерные технологии, а основной мотив символьных вычислений следующий: все, что Mathematica вывела, то затем и решено в Mathematica

Сотрудничество

Как и любая работа, проводимая в течение значительного промежутка времени, настоящая книга появилась вследствие взаимодействия и сотрудничества автора с коллегами из различных университетов и промышленных, в основном нефтегазовых компаний, как отечественных (Газпром, ГазФлот, Арктикморнефтегазразведка), так и зарубежных (Statoil, Hydro, Total), по вопросам обучения студентов по морским нефтегазовым технологиям, где вопросам проектирования морских нефтегазовых сооружений, содержащих протяженные конструкции, уделяется большое внимание. Кроме того, затронутые в книге вопросы изучения движения сплошной среды являются базой для исследования напряженно-деформированного состояния насыщенного нефтяного/газового пласта и флюидодинамики в нем. Поэтому здесь необходимо также сказать о том влиянии на автора, которое произвели коллеги из разных университетов и стран, общение с которыми и работа над совместными проектами способствовали продуктивности в решениях при работе над электронной книгой по механике сплошных сред. Обсуждение нетрадиционных разделов и задач по нелинейной механике сплошных сред с профессором Колумбийского университета Gautam Dasgupta (www.columbia.edu) во время симпозиумов и семинаров по Mathematica (IMS, IAS), подробную информацию о которых читатель найдет по адресам, содержащимся на сайте www.wolfram.com, и в соответствующих учебниках [2–7] и работах по применению методов механики сплошных сред, например в физике [11] и прикладной флюидодинамике насыщенного пласта [10], способствовало тому, что данный учебник появился в виде электронного учебного материала и фактического набора частей внешних программных модулей и пакетов среды Mathematica, применимых в континуальной механике. Кроме того, реализация учебного плана в Мурманском государственном техническом университете (МурГТУ) по специализации «Физические процессы шельфовых нефтегазовых технологий и производств» и сотрудничество с заведующим газовой кафедрой Российского государственного университета нефти и газа имени И. М. Губкина, профессором К. С. Басниевым способствовали написанию ряда компьютерных программ для моделирования флюидодинамики в нефтегазоносном пласте как практического приложения методов механики сплошных сред в прикладных и специальных курсах обучения по инженерныи и бакалаврским программам. Обсуждение с использованием компьютерных методов обучения в университетах нефтегазового профиля, как в России, так и в Норвегии, с профессором А. Б. Золотухиным (технический директор компании Statoil в России, профессор Университета в Ставангере) и некоторых нетрадиционных символьных решений с профессором Ove T. Gudmestad (Statoil, University of Stavanger, University of Trondheim) при-

14

С ОТРУДНИЧЕСТВО

вело к формулировке новых подходов в изучении традиционных учебных курсов, для специализаций по морским нефтегазовым технологиям. Постановка и решение ряда прикладных задач по механике твердого деформируемого тела в Институте проблем машиноведения РАН (г. Санкт-Петербург) и их анализ с профессором Д. А. Индейцевым всегда приводили к критическому осмыслению традиционных постановок задач и, как правило, к осторожному применению компьютерных методов исследования, до тех пор пока механическая постановка задачи не получала окончательной формулировки. Постоянные требования профессора Д. А. Индейцева в получении простой механической модели явления, всегда были главным в компьютерном решении, применяемом для описания наблюдаемых процессов. Реализация компьютерных методов обучения в МурГТУ (кафедра механики сплошных сред и морского нефтегазового дела, кафедра технической механики, кафедра высшей математики и программного обеспечения ЭВМ) по курсам • механика сплошных сред, подземная гидромеханика, гидромеханика, • математические методы в механике сплошных сред, • прикладная механика, несомненно, способствовали продвижению и применению методов символьной алгебры в континуальной механике при обучении студенов по различным специальностям в МурГТУ. Разнообразное сотрудничество со специалистами других кафедр оказалось плодотворным и полезным при чтении курсов и апробации настоящего электронного пособия в студенческой аудитории. Многолетнее сотрудничество с профессором А. И. Прыгуновым всегда способствовало критическому осмыслению методов дискретизации и критическому анализу численных методов в обработке динамических образов континуальных механических систем.

Введение Основная задача курса механики сплошных сред в университете (техническом университете) состоит в том, чтобы дать студентам надежный инструмент для изучения едиными методами движение и равновесие таких непохожих друг на друга физических сред (объектов), как: • твердое деформированное тело, • жидкость, • газ, • смеси жидкостей и газов, которые, несмотря на признанную всеми атомно-молекулярную структуру вещества, в континуальной механике все, т. е. названные объекты, по традиции, начиная с XVIII века, определяются и представляются, как непрерывные и весомые среды. Непрерывность здесь понимается как чисто математическое понятие, а весомость принимается для бесконечно малого объема среды и определяется как бесконечно малый объем вещества, имеющий конечный вес. Другими словами, точка в континуальном объеме представляется как бесконечно малый объем вещества в пространстве, имеющий конечный вес или массу. Данное определение позволяет сформулировать понятие плотности среды, как следующую величину: ρ = limΔV →0 Δm . ΔV

Следует отметить, что, несмотря на то, что имеется большое число хорошо известной отечественной и зарубежной литературы по механике сплошных сред, тем не менее методической литературы по применению компьютерных методов (особенно символьных вычислений) изучения в основаниях механики сплошных сред представлено, на наш взгляд, все же недостаточно. Это касается как традиционной печатной учебной литературы, так и ее новой электронной базы. Целью настоящей книги является описание внедрения методов символьной алгебры среды Mathematica в традиционный курс механики сплошных сред. Изложение настоящего материала, а в общем-то, электронного варианта курса, базируется в основанном на известном учебнике профессора Мичиганского университета George E. Mase Continnum Mechanics, McGraw Hill Companics, Inc. 1970. (http://scienceworld.wolfram.com/physics/) Основной задачей электронной книги автор считал преобразование базовых положений названного курса механики сплошных сред в достаточно простые и понятные коды компьютерных вычислений среды Mathematica, полагая, что применение

16

В ВЕДЕНИЕ

компьютерной алгебры в курсе для студенческой аудитории будет способствовать непосредственному овладеванию и пониманию (а в компьютерном классе и повторению!) основных положений механики, превращая традиционный курс механики сплошных сред в часть компьютерной технологии обучения механике. Как известно, в последнее время механика все больше превращается в часть компьютерных технологий, успешное освоение которой, с нашей точки зрения, базируется уже на двуединых началах: основах традиционных курсов математического анализа и физики и на современных методах компьютерной алгебры. В то время как традиционные курсы механики сплошных сред используют в основном достаточно хорошо разработанные и традиционные методы математического анализа, современный подход к изучению континуальной механики предполагает привлечение также и аналитических средств компьютерных технологий, таких, например, как используются в системе Mathematica.

Методическое и компьютерное обеспечение

Для работы с настоящей книгой и ее электронным вариантом необходимо иметь базовый учебник по механике сплошных сред [1–3] и компьютер со средой Mathematica. Учащийся может воспользоватся сайтом разработчика системы Mathematica (www.wolfram.com) для «скачивания» trial и демоверсий и свободно распространяемого продукта MathReader, как «читалки» файлов компьютерной среды Mathematica (*.nb) ее пакетов (*.m), а также и других полезных ресурсов. Собственно говоря, начинающий пользователь, для чтения электронной версии книги может начать ее изучение с помощью MathReader. Однако для повторения и выполнения предложенных программ и задач по курсу континуальной механики потребуется, конечно, полная версия среды Mathematica. Механика сплошных сред в сети Internet представлена на следующих сайтах (только незначительная часть!): http://scienceworld.wolfram.com/physics/topics/Mechanics.html

Принцип построения учебника

В основу построения электронной версии книги положены три главных принципа ее реализации. • Первый принцип — принцип трансформации, т. е. «ручное решение» трансформируется в «компьютерное» для всех видов доказательств и численных реализаций. • Второй принцип — принцип замкнутости, который заключается в реализации схемы решения: то, что Mathematica вывела, то затем и решено в Mathematica. • Третий принцип — принцип «дополнительности». Сформулированные принципы построения книги фактически сводятся к следующим заключениям: • теоретические положения континуальной механики, изложенные в [1–3] и которые практически полностью повторяются как текстовый материал изложения, затем трансформируется в компьютерные коды символьной алгебры, открывая учащемуся новые пути в доказательстве различных положений механики сплошных сред; • все разделы механики сплошных сред, включая и ее математические основы, подкреплены решенными задачами как в традиционном изложении, т. е. в «ручном» исполнении, так и в компьютерном виде, т. е. методами компьютерной алгебры; • учащемуся предоставляется возможность, кроме повторения предоставленных кодов, разработать свои собственные программные коды компьютерной алгебры, т. е. дополнить электронную книгу, с тем чтобы либо оптимизировать внешние пакеты и коды, разработанные в книге, либо перейти на новые версии системы Mathematica и трансформировать дополненные версии в Internetтехнологии. Автор полагает и, конечно, надеется, что три главных принципа реализации книги, трансформируются у студента в три главных достижения обучения: «знание», «умение», «польза». Такие же принципы могут быть положены практически во все электронные пособия различных университетских курсов, базирующиеся на рациональных методах исследования и постижения действительности, что фактически незримо и подразумевается в системе Mathematica.

ГЛАВА 1

Математический и компьютерный базис в механике сплошных сред

Настоящая глава является всего лишь вводной и предназначена для необходимого в дальнейшем применения основных положений математического анализа и методов компьютерной алгебры в раскрытии базовых положений механики сплошных сред.

1.1. Тензоры в механике сплошных сред Для описания текущего состояния сплошной среды используются специальные математические объекты, называемые тензорами, которые задаются в каждой точке пространства и меняются от точки к точке. Следовательно, эти объекты представляют собой функции точки, а роль «точки» могут играть элементы различной природы, определяемые, в свою очередь, системами чисел — координат этих точек. В механике сплошных сред предполагается, что каждый тензор может быть аналитически описан упорядоченной системой функций от координат точки, так называемых координат тензора. Эти функции могут выбираться по-разному, но так, чтобы введенные с их помощью математические операции между тензорами, вопервых, имели ясный физический смысл, а во-вторых, не зависели от конкретного выбора аналитической функциональной зависимости. В математическом описании тензоры определяются независимо от системы координат, в которой вычисляются компоненты тензора. Необходимо сразу сказать, что если компоненты тензора найдены в некоторой произвольной системе координат, то всегда имеется возможность найти компоненты этого же тензора в другой системе координат. Конечно, закон преобразования компонент тензора определяет и сам тензор. Определение в явном виде компонент и свойств различных тензоров, обладающих фактически различными свойствами и подчиняющихся различным законам, является основной задачей в механике сплошных сред. Конечно, в данном виде задача формулируется как чисто математическая. Однако в дальнейшем основное внимание будет уделено интерпретации математических решений с точки зрения их физического содержания. Продолжая, важно отметить, что знание компонент тензора в некоторой, т. е. исходной, введенной произвольно системе координат предполагает, что наблюдатель (в случае необходимости) способен определить компоненты тензора и в любой другой последующей, удобной для наблюдателя системе координат через закон преобразования физических величин.

20

ГЛАВА 1

Кроме того, необходимо иметь в виду, что физические законы (а фактически все законы природы в широком смысле этого слова!) механики сплошных сред выражаются через тензорные уравнения. Вследствие того что тензорные преобразования являются однородными и линейными, следует важное свойство, которое заключается в том, что если тензорные уравнения справедливы в одной системе координат, то они остаются справедливыми и в произвольной другой системе координат. Это свойство физических законов континуальной механики, которое выражается в виде тензорных уравнений, не зависящих от выбора системы наблюдателя, называется свойством инвариантности и является одним из важных свойств определяющих уравнений механики сплошных сред.

1.2. Компьютерные вычисления размерности тензоров. Ранг тензора. Декартова система координат Если рассматриваются преобразования различных систем координат путем их линейных трансформаций от одной произвольной криволинейной системы координат к другой, которые сохраняют тензорные свойства физических величин, то такие преобразования называются однородными. Оставаясь в рамках однородных преобразований систем координат, все тензоры, удовлетворяющие свойствам однородности, будем называть декартовыми тензорами. Как правило, в дальнейшем будет использоваться прямоугольная декартовая система координат. Так как теория механики сплошных сред может быть выражена в терминах декартовых тензоров, то в дальнейшем при использовании термина «тензор» всегда понимаем декартов тензор. В противном случае будут сделаны дополнительные уточнения. Тензоры характеризуются рангом, или порядком, тензора в соответствии с законом преобразования тензоров. Та же самая классификация соответствует числу компонент данного тензора, который определяется в n- мерном пространстве. Так, в 3-мерном евклидовом пространстве, которое традиционно (начиная с Р. Декарта) принимается для описания окружающего нас физического пространства и при решении инженерных задач, число компонент тензора равно T (d), вычисляемых по формуле (1.1) T (d) = 3d , где d — порядок тензора (ранг). Соответственно, тензор нулевого ранга есть скаляр. Простейший код для вычисления ранга тензора приведен ниже. T (d_) := 3d T (0) 1 Очевидно, что размерность скалярной величины равна 1, а ее вычисление дано соответствующим кодом. Физический параметр, имеющий единственную измеримую величину, называется скалярным параметром. Таким механическим параметром является, например, масса.

1.3. В ЕКТОРЫ И СКАЛЯРЫ В КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКЕ

21

Физический параметр, который представим как тензор первого порядка, имеет три независимых координаты. Вычисление размерности физического параметра (в 3-мерном пространстве) как тензора первого порядка представлено ниже. T (1) 1 В механике сплошных сред такой тензор носит название вектора. Очевидно, вектор скорости имеет три компоненты. В компьютерной математике размерность вектора определяется следующим оператором.   v = {a, b, c}; First Dimensions[ v ]



3 

Здесь v — трехмерный вектор. Физические параметры, которые принимают одновременно оба математических значения: величина и направление, представляются векторами. Тензоры второго порядка (второго ранга) соответствуют диадам. Определение диады как математического понятия будет дано ниже. Как будет показано ниже, некоторые важные понятия в механике сплошных сред определяются и вычисляются с помощью тензоров второго порядка. Тензоры третьего и четвертого порядков также используются при определении некоторых понятий в континуальной механике.

1.3. Векторы и скаляры в компьютерной математике. Действия над векторами: сложение, умножение на скаляр, скалярное и векторные произведения. Двойственность и диады В символьном виде (в обозначениях Гиббса) векторы обозначаем жирными буквами: • a , b, c, . . ., в то время как скалярные величины — простыми буквами • a, b, c, . . .. Единичные векторы обозначаем как •  a, b,  c, . . .. Величины c(·) будут обозначать также тензоры. Геометрически вектор изображается как направленный отрезок. Для векторов справедливо правило сложения векторов или правило параллелограмма. Сразу скажем, что математически вектор представляет собой тензор первого порядка.

22

ГЛАВА 1

Равенство двух векторов есть их равенство по величине и направлению. Нулевой вектор есть вектор, не имеющий длины. Отрицательный вектор есть вектор противоположного направления к заданному. Геометрическое представление векторов на плоскости в среде Mathematica имеет вид, представленный ниже. a = Arrow[{{0, 0}, {1, 6}}]; b = Arrow[{{0, 0}, {1, 1}}]; Здесь векторы заданы своими начальными и конечными точками как направленные отрезки, которые соединяют две точки. Ниже представлены два вектора, выходящих из одной точки.      gr1 = Show Graphics {a, b}, Text “ a ”, {0.6`, 3.2`} ,    , Text “ b ”, {0.6`, 0.3`}  AspectRatio → 1/1, Background → GrayLevel[1] ; Геометрическое правило сложения векторов (a + b), в котором показано правило покоординатного сложения, представлено ниже. c = Arrow[{{0, 0}, {1, 1}} + {{0, 0}, {1, 6}}];      gr2 = Show Graphics {a, b, c}, Text “ a ”, {0.6`, 3.2`} ,         Text “ b ”, {0.6`, 0.3`} , Text “ c = a + b ”, {1.1`, 3.1`} ,  AspectRatio → 1/1, Background → GrayLevel[1] ; Правило вычитания векторов (a + (−b)). b = Arrow[{{0, 0}, −{1, 1}}]; c = Arrow[{{0, 0}, −{1, 1}} + {{0, 0}, {1, 6}}];      gr3 = Show Graphics {a, b, c}, Text “ a ”, {0.6`, 3.2`} ,         , Text “ b ”, {−0.6, −0.3} , Text “ c = a + (− b )”, {−0.2, 3.1}  AspectRatio → 1/1, Background → GrayLevel[1] ; Единичный вектор  bτ =

b и исходный вектор b представлены ниже. Abs [b]

b = Arrow[{{0, 0}, {1, 1}}];

 bτ = Arrow {0, 0}, {1, 1}

1 (1 + 0)2 + (1 + 0)2

 ;

1.3. В ЕКТОРЫ И СКАЛЯРЫ В КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКЕ

23





   gr4 = Show Graphics {b, bτ } , Text “ b ”, {1.3, 1.4} ,   b , = Text  ”, {.3, .53} Abs b  AspectRatio → 1/1, Background → GrayLevel[1] ; 

 “bτ



Show[GraphicsArray[{{gr1, gr2}, {gr3, gr4}}]]

Алгебраические действия над векторами представлены ниже. Правило сложения векторов: • аддитивность сложения a + b = b + a = c; a + (−b) = −b + a = h ,

(1.2)

• ассоциативное сложение векторов a + b + c = a + (b + a ) = d .

(1.3)

24

ГЛАВА 1

Умножение вектора на число является ассоциативным и дистрибутивным, m(na ) = (mn)a = n(ma ); (m + n)a = ma + na = na + ma ; m(a + b) = ma + mb = m(b + a ).

(1.4)

Единичный вектор определяется следующим образом: = a

a = a . Abs[a ] |a|

(1.5)

Кроме операций сложения, вычитания и умножения вектора на число (операции, которые не изменяют принадлежность результата множеству векторов), в операциях над векторами в дальнейшем вводятся операции, которые изменяют принадлежность результата операции к исходным объектам действия. Рассмотрим некоторые из таких операций. Скалярное произведение векторов определяется следующим образом:   b = ab Cos θ, λ = ab Cos a, (1.6) здесь θ — угол между исходными векторами. В координатном виде скалярное произведение имеет вид λ = (a .b).

(1.7)

В кодах среды Mathematica скалярное произведение запишется следующим образом: • в символьном виде a = {x1 , x2 , x3 } ; b = {y1 , y2 , y3 } ; λ = a.b x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 • численное значение скалярного произведения a = {−1, 2, −7}; b = {3, 2, −1}; λ = a.b 8 Векторное произведение векторов определяет новый вектор по следующему правилу:    b e, c = a × b = −b × a = ab Sin a, (1.8) где e — единичный вектор нормали к плоскости, которую образуют векторы a, b. Результатом векторного произведения является вектор.

1.3. В ЕКТОРЫ И СКАЛЯРЫ В КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКЕ

25

Символьные вычисления векторного произведения представлены ниже. a = {x1 , x2 , x3 } ; b = {y1 , y2 , y3 } c = {z1 , z2 , z3 } = a × b {x2 y3 − x3 y2 , x3 y1 − x1 y3 , x1 y2 − x2 y1 } Здесь представлены компоненты вектора c {x2 y3 − x3 y2 , x3 y1 − x1 y3 , x1 y2 − x2 y1 } и составляющая вектора вдоль оси z1 z1 x2 y3 − x3 y2 Векторное произведение можно вычислить оператором Cross[. . . ]. c = {z1 , z2 , z3 } = Cross[a, b] {x2 y3 − x3 y2 , x3 y1 − x1 y3 , x1 y2 − x2 y1 } Ниже представлены численные расчеты. a = {−1, 2, −7}; b = {3, 2, −1}; c = {z1 , z2 , z3 } = a × b {12, −22, −8} c = {z1 , z2 , z3 } = Cross[a, b] {12, −22, −8} Смешанное произведение векторов вводится следующим образом: a .(b × c) = (a × b).c = a .b × c = λ. Это же произведение в символьном виде представлено ниже. a = {x1 , x2 , x3 } ; b = {y1 , y2 , y3 } ; c = {z1 , z2 , z3 } ; (a.(b × c) == (a × b).c == a.b × c)//Simplify True Очевидно, что равенство выполняется автоматически.

(1.9)

26

ГЛАВА 1

Тройное векторное произведение определяется следующим образом: a × (b × c) = (a .c) b − (a .b)c.

(1.10)

Компьютерное вычисление тройного векторного произведения имеет вид, приведенный ниже. a = {x1 , x2 , x3 } ; b = {y1 , y2 , y3 } ; c = {z1 , z2 , z3 } ; (a × (b × c) == (a.c) b − (a.b) c)//Simplify True Неопределенное (диадное) векторное произведение a и b, определяемое как последовательная запись векторов в непереставимом порядке, например ab, называется диадой. Предполагается, что диадное (неопределенное) произведение в общем случае некоммутативное, т. е. ab = ba. Первый вектор в диаде называется предшествующим, а второй называется последующим. Диадная форма D соответствует тензору второго порядка и может быть представлена в виде конечной суммы диад D = a1 b1 + a2 b2 + . . . + aN bN ,

(1.11)

которая является единственной формой представления. В компьютерной математике диада вычисляется как внешнее произведение векторов. Соответствующий оператор в среде Mathematica представлен ниже,     Outer Times, a , b . Пример вычисления диады двух векторов как внешнего произведения векторов дается ниже. a1 = {0, 1, −2}; b1 = {−1, 0, 3};   A = Outer Times, a1 , b1 ⎛ ⎞ 0 0 0 ⎝−1 0 3 ⎠ 2 0 −6 Очевидно, что внешнее произведение некоммутативно.   G = Outer Times, b1 , a1 ⎛ ⎞ 0 −1 2 ⎝0 0 0 ⎠ 0 3 −6

1.3. В ЕКТОРЫ И СКАЛЯРЫ В КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКЕ

27

A = G True Пример вычисления внешнего произведения для векторов разной размерности представлен ниже. c1 = {−1, 1}; d1 = {−2, 9, 4};   B = Outer Times, c1 , d1   2 −9 −4 −2 9 4   S = Outer Times, d1 , c1 ⎞ ⎛ 2 −2 ⎝−9 9 ⎠ −4 4 Здесь имеем равенство B == Transpose[S] True Если в каждой диаде (1.11) предшествующий и последующие векторы переставимы, то результирующая диада называется сопряженной диадой к D и записывается в виде Dc = b1 a1 + b2 a2 + . . . + bN aN ≡ a1 b1 + a2 b2 + . . . + aN bN .

(1.12)

Если в каждой диаде в (1.11) ввести между векторами скалярное произведение, то результатом станет скаляр, известный как скалярная диада, которая запишется в виде (1.13) Ds = a1 .b1 + a2 .b2 + . . . + aN .bN . Если в каждой диаде в (1.11) ввести между векторами векторное произведение, то результатом станет вектор, известный как векторная диада, которая запишется в виде (1.14) Dv = a1 × b1 + a2 × b2 + . . . + aN × bN . Диадное (неопределенное) векторное произведение подчиняется дистрибутивному закону, т. е. справедливы равенства a (b + c) = ab + ac; (b + c)a = bc + ca; (a + b)(c + d ) = ac + ad + bc + bd,

(1.15)

кроме того, если λ и μ — произвольные скаляры, то (λ + μ)ab = λab + μab; (λa )b = a (λb) = b(λa ).

(1.16)

28

ГЛАВА 1

Если v есть произвольный вектор, то произведения v .D и D.v являются векторами, которые определяются следующим образом: v .D = (v .a1 ) b1 + (v .a2 ) b2 + . . . + (v .aN ) bN = U ; D.v = a1 (b1 .v ) + a2 (b2 .v ) + . . . + aN (bN .v ) = W .

(1.17)

В первом соотношении (1.17) D называется постфактором, а во втором — префактором. Две диадные формы называются эквивалентными, если v .D = v .E ; D.v = E .v .

(1.18)

Единичная диадная форма, или единичная диада, I есть диадная форма вида 1 e1 + e2 e2 + e3 e3 , I =e

(1.19)

где в (1.19) { ei } — ортонормальный базис трехмерного евклидового пространства. Символьное вычисление единичного тензора второго порядка представлено ниже. e1 = {1, 0, 0}; e2 = {0, 1, 0}; e3 = {0, 0, 1}; Sum[Outer[Times, ek, ek], {k, 3}] ⎛ ⎞ 100 ⎝0 1 0⎠ 001 Единичная диадная форма определяется следующим равенством: v .I = I .v = v ,

(1.20)

для произвольного вектора v . Векторное произведение v × D и D × v является диадной формой, определяемой следующими равенствами: v × D = (v × a1 ) b1 + (v × a2 ) b2 + . . . + (v × aN ) bN = K ; D × v = a1 (b1 × v ) + a2 (b2 × v ) + . . . + aN (bN × v ) = G.

(1.21)

Скалярное произведение двух диад есть также диада, которая определяется ниже: ab.cd = (b.c)ad.

(1.22)

Из (1.22) следует правило нахождения произведения двух диадных форм D и E: D.E = (a1 b1 + a2 b2 + . . . + aN bN ) . (c1 d1 + c2 d2 + . . . + cN dN ) = = (b1 .c1 ) a1 d1 + (b2 .c2 ) a2 d2 + . . . + (bN .cN ) aN dN = J .

(1.23)

1.3. В ЕКТОРЫ И СКАЛЯРЫ В КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКЕ

29

Две диадные формы называются обратными друг к другу, если D.E = E .D = I .

(1.24)

Для обратной диадной формы справедливо равенство E = D −1 ; D = E −1 .

(1.25)

Двойные скалярное и векторные произведение определяются следующим образом: .

ab . cd = (a .c)(b.d ) = λ(скаляр); ab ×. cd = (a × c)(b.d ) = u(вектор); . ab × cd = (a .c)(b × d ) = v (вектор);

(1.26)

ab × × cd = (a × c)(b × d ) = uv(диада). Приведенные формулы двойных операций позволяют ввести определение двойных произведений диадных форм. Заметим, что некоторые авторы используют горизонтальную символику для двойных произведений. Пример приведен ниже, ab . . cd = (a .c)(b.d ) = λ(скаляр).

(1.27)

Диадная форма называется самосопряженной (симметричной), если D = Dc ,

(1.28)

и антисамосопряженной (антисимметричной), если D = −Dc .

(1.29)

Каждую диадную форму можно выразить как сумму симметричной и антисимметричной диад. Такое представление символически можно записать в виде D = 1 (D + Dc ) + 1 (D − Dc ) . 2 2

(1.30)

Очевидно, что для симметричной части диады справедливо равенство Gc = 1 (Dc + (Dc )c ) = 1 (D + Dc ) (симметричная часть), 2 2

(1.31)

а для антисимметричной — Ac = 1 (Dc − (Dc )c ) = 1 (D − Dc ) 2 2

(антисимметричная часть).

(1.32)

Кроме того, справедливы следующие равенства: G ∗ + A∗ = G + A; G ∗ − A∗ = G − A.

(1.33)

30

ГЛАВА 1

Последовательно складывая и вычитая в (1.33), окончательно выводим G ∗ = G; A∗ = A.

(1.34)

Таким образом, в настоящем разделе сделано необходимое введение в математические основы, которые будут применяться в дальнейшем.

1.4. Системы координат. Базис и единичные векторы Вектор определяется в произвольной системе координат через соответствующие компоненты вектора. В механике выбор системы координат диктуется целесообразностью получаемых решений. Как правило (но далеко не всегда!), в качестве определяющей системы координат в механике сплошных сред выбирается прямоугольная декартова система координат. Рассматривая разложение произвольного вектора v в трехмерном пространстве, можно показать, что если произвольные три вектора a , b, c являются некомпланарными и ненулевыми одновременно, то для v справедливо разложение v = αa + βb + γc.

(1.35)

Система векторов a , b, c называется базисом пространства, а α, β, γ являются компонентами вектора v в этом базисе. Базисные векторы пространства являются линейно независимыми, если следующее равенство: 0 = αa + βb + γc, (1.36) справедливо только при {α, β, γ} = 0 одновременно. Тем не менее в декартовой системе координат наиболее употребимым является ортонормальный базис единичных векторов. Как правило, они обозначаются как    i,  j , k = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}}. (1.37) В Mathematica базис трехмерного декартового пространства представим этими векторами.   i,   = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}}; j, k i {1, 0, 0} Данная триада векторов образует правую тройку. Для базиса справедливы следующие равенства: Cross[i,  j] {0, 0, 1} т. е.  i × j = k .

1.4. С ИСТЕМЫ КООРДИНАТ. Б АЗИС И ЕДИНИЧНЫЕ ВЕКТОРЫ

31

Проверка очевидных векторных равенств представлена ниже.    Cross i,  j == k    == i Cross  j, k    i ==  Cross k, j True True True i.   == 0 j == k. j == i.k T rue i.i == i. k  == 1 j == k. T rue В базисе { i, j , k } произвольный вектор v представим в виде i + v2  j + v3 k , v = v1 причем для компонент вектора справедливы соотношения      i = v Cos v ,  i = v Cos α; v1 = v .       v2 = v .j = v Cos v , j = v Cos β;    v3 = (v .k ) = v Cos v , k = v Cos γ.

(1.38)

(1.39)

Углы α, β, γ не путать с компонентами вектора. Единичный вектор вдоль направления v можно представить в виде i + Cos β j + Cos γ k . ev = vv = Cos α

(1.40)

Так как вектор v произвольный, то произвольный единичный вектор можно задать своими направляющими косинусами в прямоугольной декартовой системе координат. Важно отметить, что символьная алгебра среды Mathematica позволяет находить декартовы компоненты диадных форм. Например, если заранее не вводить координаты единичных векторов { i, j , k }, то диаду ab можно представить в символьном виде следующим образом: Clear[i, i, k]

32

ГЛАВА 1

 b = y1 i + y2   a = x1i + x2  j + x3 k; j + y3 k;    2 → kk (ab//Expand)/. i2 → (ii),  j 2 → jj, k iix1 y1 + i jx2 y1 + i kx3 y1 + i jx1 y2 + jjx2 y2 +  j kx3 y2 + i kx1 y3 +  j kx2 y3 + kkx3 y3

Девять членов последнего выражения известны как нонионовая форма диады. Декартовы компоненты диады имеют вид    i + x2  j + x3 k y1 i + y2  j + y3 k = ab = x1 i i + x1 y2 i j + x1 y3 i k + x2 y1 j i + x2 y2 j j + x2 y3  j k + = x1 y1 i + x3 y2 k j + x3 y3 k k . + x3 y1 k

(1.41)

Декартовы компоненты диады можно представить в виде внешнего произведения.   Outer Times, {x1 , x2 , x3 } , {y1 , y2 , y3 } ⎞ ⎛ x1 y1 x1 y2 x1 y3 ⎝x2 y1 x2 y2 x2 y3 ⎠ x3 y1 x3 y2 x3 y3 Соответствующая единичная диада в декартовых компонентах имеет вид I = i i + j j + k k .

(1.42)

Следовательно, единичная диада (1.40) в компьютерной математике имеет вид     Outer Times, {1, 0, 0}, {1, 0, 0} + Outer Times, {0, 1, 0}, {0, 1, 0} +   Outer Times, {0, 0, 1}, {0, 0, 1} ⎛ ⎞ 100 ⎝0 1 0⎠ 001 Кроме декартовых координат, используются также и криволинейные координаты, например цилиндрические (с единичными векторами { er , eϕ , ez }) или сферические ({ er , eϕ , eθ }), однако, в отличие от декартовых, направления единичных векторов криволинейных координат изменяются от точки к точке в пространстве. Поэтому в общем случае единичные триады криволинейных координат являются функциями положения точки.

1.5. Линейные векторные функции. Диады как линейные векторные операции Вектор a называется функцией вектора b, если a определяется при любом заданном векторе b. Функциональная зависимость задается формально в виде a = f (b).

(1.43)

1.6. И НДЕКСНАЯ ЗАПИСЬ . РАНГ И СУММИРОВАНИЕ

33

Линейность функции f определяется следующими равенствами: f (b + c) = f (b) + f (c); f (λa ) = λf (a ),

(1.44)

для любых векторов a , b, c и произвольных скаляров λ. Из (1.44) следует, что f (λa + μb) = λf (a ) + μf (b), где λ, μ — скаляры. Представим равенство (1.43) через декартовы компоненты:   i + y2  j + y3 k = a = f y1       i + y2 f  j + y3 f k . = y1 f  Если ввести обозначения   f  i = u;

  f  j = v;

  f k = w ,

то тогда равенство (1.47) примет вид       a =u  i .b + v  j .b + w k .b =   = u i + v j + w k .b.

(1.45)

(1.46)

(1.47)

(1.48)

Из последнего равенства следует, что линейная векторная форма (1.48) может быть представлена в виде векторной диады, а именно a = D.b,

(1.49)

i + v j + w k . где в (1.49) D = u  Оператор D является линейным векторным оператором.

1.6. Индексная запись. Ранг и суммирование Компоненты тензора любого порядка можно представить достаточно просто в индексной форме записи. В этой форме записи верхние (∗)i или нижние (∗)i индексы являются привнесенными, генерирующими или ключевыми буквами, представляющими рассматриваемый тензор. Типичные записи тензоров представлены ниже, ai , bi , Tij , Fi,j , εijk , S mn .

(1.50)

В смешанном виде, где используются верхние и нижние индексы, запятая показывает, что j является вторым индексом.

34

ГЛАВА 1

В индексной записи одна и та же буква может иметь единичный или двойной индекс в обозначении. Если индекс неповторяемый, то это обозначает, что индекс принимает значения 1, 2, . . . N , где N является определяющим (в данном случае) числом, по которому находится ранг индекса. Неповторяемый индекс известен как свободный индекс. Ранг тензора данной величины равен числу свободных индексов, которые появляются при определении данной величины. Пример тензора первого ранга:   a = Table xi, {i, 3} {x1 , x2 , x3 } Очевидно, что тензор первого ранга — вектор, т. к. неповторяемый индекс здесь только один. Здесь это вектор a. Если индекс в некотором члене появляется дважды, то индекс понимается как пробегающий все промежуточные значения (в пределах своего изменения), и результатом является операция суммирования. Это так называемое правило тензорного суммирования, а повторяющийся индекс называется немым (спящим) индексом. Как правило, верхние и нижние индексы употребляются в тензорном исчислении при «ручных» вычислениях. В компьютерной математике такие вычисления, как правило, не производятся, а используются обычные правила суммирования. При «ручных» вычислениях, имеющих один свободный индекс, результат также понимается как тензор первого порядка. Так, например, величины dij bj ,

Tikk ,

n Rnm ,

εijk ui uk

(1.51)

при «ручных» вычислениях понимаются как векторы. В то же время эти вычисления в компьютерной математике можно представить следующими операторами.     c = Table Sum di,j bi, {i, 1, 4} , {j, 1, 3} {b1 d1,1 + b2 d2,1 + b3 d3,1 + b4 d4,1 , b1 d1,2 + b2 d2,2 + b3 d3,2 + b4 d4,2 , b1 d1,3 + b2 d2,3 + b3 d3,3 + b4 d4,3 } c//TableForm b1 d1,1 + b2 d2,1 + b3 d3,1 + b4 d4,1 b1 d1,2 + b2 d2,2 + b3 d3,2 + b4 d4,2 b1 d1,3 + b2 d2,3 + b3 d3,3 + b4 d4,3     s = Table Sum Ti,k,k, {k, 1, 3} , {i, 1, 4} {T1,1,1 + T1,2,2 + T1,3,3 , T2,1,1 + T2,2,2 + T2,3,3 , T3,1,1 + T3,2,2 + T3,3,3 , T4,1,1 + T4,2,2 + T4,3,3 }

1.6. И НДЕКСНАЯ ЗАПИСЬ . РАНГ И СУММИРОВАНИЕ

35

s//TableForm T1,1,1 + T1,2,2 + T1,3,3 T2,1,1 + T2,2,2 + T2,3,3 T3,1,1 + T3,2,2 + T3,3,3 T4,1,1 + T4,2,2 + T4,3,3     p = Table Sum εi,j,kuiuk, {i, 1, 3}, {k, 1, 3} , {j, 1, 4}  ε1,1,1 u21 + u2 ε1,1,2 u1 + u3 ε1,1,3 u1 + u2 ε2,1,1 u1 + u3 ε3,1,1 u1 + u22 ε2,1,2 + + u2 u3 ε2,1,3 + u2 u3 ε3,1,2 + u23 ε3,1,3 , ε1,2,1 u21 + u2 ε1,2,2 u1 + u3 ε1,2,3 u1 + + u2 ε2,2,1 u1 + u3 ε3,2,1 u1 + u22 ε2,2,2 + u2 u3 ε2,2,3 + u2 u3 ε3,2,2 + u23 ε3,2,3 , ε1,3,1 u21 + u2 ε1,3,2 u1 + u3 ε1,3,3 u1 + u2 ε2,3,1 u1 + u3 ε3,3,1 u1 + u22 ε2,3,2 + + u2 u3 ε2,3,3 + u2 u3 ε3,3,2 + u23 ε3,3,3 , ε1,4,1 u21 + u2 ε1,4,2 u1 + u3 ε1,4,3 u1 + + u2 ε2,4,1 u1 + u3 ε3,4,1 u1 + u22 ε2,4,2 + u2 u3 ε2,4,3 + u2 u3 ε3,4,2 + u23 ε3,4,3



p//TableForm ε1,1,1 u21 + u2 ε1,1,2 u1 + u3 ε1,1,3 u1 + u2 ε2,1,1 u1 + u3 ε3,1,1 u1 + ε1,2,1 u21

+ u22 ε2,1,2 + u2 u3 ε2,1,3 + u2 u3 ε3,1,2 + u23 ε3,1,3 + u2 ε1,2,2 u1 + u3 ε1,2,3 u1 + u2 ε2,2,1 u1 + u3 ε3,2,1 u1 +

+ u22 ε2,2,2 + u2 u3 ε2,2,3 + u2 u3 ε3,2,2 + u23 ε3,2,3 ε1,3,1 u21 + u2 ε1,3,2 u1 + u3 ε1,3,3 u1 + u2 ε2,3,1 u1 + u3 ε3,3,1 u1 + ε1,4,1 u21

+ u22 ε2,3,2 + u2 u3 ε2,3,3 + u2 u3 ε3,3,2 + u23 ε3,3,3 + u2 ε1,4,2 u1 + u3 ε1,4,3 u1 + u2 ε2,4,1 u1 + u3 ε3,4,1 u1 + + u22 ε2,4,2 + u2 u3 ε2,4,3 + u2 u3 ε3,4,2 + u23 ε3,4,3

Тензор второго ранга записывается как объект, имеющий два свободных индекса. Таким образом, диада может быть представлена в одной из форм (для различных «ручных» вычислений!): ij i Aij , A,j i , или A , A,j .

(1.52)

В смешанной форме запятая обозначает, что j является вторым индексом. Тензор второго ранга можно представить в другой форме. Например, используя операцию суммирования,     W = Table Sum Ai,j,i,k, {i, 1, 3} , {j, 1, 4}, {k, 1, 3} ⎛ A1,1,1,1 +A2,1,2,1 +A3,1,3,1 ⎜A1,2,1,1 +A2,2,2,1 +A3,2,3,1 ⎝A 1,3,1,1 +A2,3,2,1 +A3,3,3,1 A1,4,1,1 +A2,4,2,1 +A3,4,3,1

A1,1,1,2 +A2,1,2,2 +A3,1,3,2 A1,2,1,2 +A2,2,2,2 +A3,2,3,2 A1,3,1,2 +A2,3,2,2 +A3,3,3,2 A1,4,1,2 +A2,4,2,2 +A3,4,3,2

⎞

A1,1,1,3 +A2,1,2,3 +A3,1,3,3 A1,2,1,3 +A2,2,2,3 +A3,2,3,3 ⎟ A1,3,1,3 +A2,3,2,3 +A3,3,3,3 ⎠ A1,4,1,3 +A2,4,2,3 +A3,4,3,3

36

ГЛАВА 1

или в другой форме суммирования,     U = Table Sum i,j ukuk, {k, 1, 3} , {i, 1, 3}, {j, 1, 3} ⎞ ⎛ 1,1 u21 + u22 1,1 + u23 1,1 1,2 u21 + u22 1,2 + u23 1,2 1,3 u21 + u22 1,3 + u23 1,3 ⎝ 2,1 u21 + u22 2,1 + u23 2,1 2,2 u21 + u22 2,2 + u23 2,2 2,3 u21 + u22 2,3 + u23 2,3 ⎠ 3,1 u21 + u22 3,1 + u23 3,1 3,2 u21 + u22 3,2 + u23 3,2 3,3 u21 + u22 3,3 + u23 3,3 причем в данном случае легко, например, получить элемент U1,3 : U [[1, 3]] 1,3 u21 + u22 1,3 + u23 1,3 Далее, следуя логике (принятой в математической индукции), для продолжения обобщений можно сказать, что тензор третьего ранга — это объект с тремя свободными индексами. С другой стороны, скаляр как символ, не имеющий индекса, представляет собой тензор нулевого порядка. Если рассматривать физическое пространство с базисом, которым может быть любая тройка линейно независимых векторов, то в этом пространстве произвольный вектор полностью определяется тремя компонентами. Поэтому диапазон изменения индекса, который определяет вектор {ai } в трехмерном пространстве, есть 1, 2, 3. Тензор Aij в трехмерном пространстве обычно представим девятью компонентами, которые можно отразить в виде квадратной матрицы. В компьютерной математике тензор Aij имеет вид   M = Table Ai,j , {i, 3}, {j, 3} ⎞ ⎛ A1,1 A1,2 A1,3 ⎝A2,1 A2,2 A2,3 ⎠ A3,1 A3,2 A3,3 Соответственно, векторы представимы как матрица-столбец или матрица-строка:   a = Table xi, {i, 3} {x1 , x2 , x3 } a//MatrixForm ⎛ ⎞ x1 ⎝x2 ⎠ x3 Очевидно, что возможно обобщение на N -мерное векторное пространство.

1.7. С ИМВОЛЬНОЕ СУММИРОВАНИЕ

37

Соответственно, систему линейных уравнений можно представить в виде тензорного равенства. Пример системы линейных уравнений относительно неизвестных {x1 , x2 , x3 } приведен ниже, aij xi = bj .

(1.53)

В компьютерной записи система линейных уравнений имеет вид     system = Table Sum ai,j xi, {i, 3} == bj , {j, 3} {x1 a1,1 + x2 a2,1 + x3 a3,1 == b1 , x1 a1,2 + x2 a2,2 + x3 a3,2 == b2 , x1 a1,3 + x2 a2,3 + x3 a3,3 == b3 } system//TableForm x1 a1,1 + x2 a2,1 + x3 a3,1 == b1 x1 a1,2 + x2 a2,2 + x3 a3,2 == b2 x1 a1,3 + x2 a2,3 + x3 a3,3 == b3 Подобные символьные уравнения можно составить для систем двухиндексных уравнений. Пример двухиндексной системы уравнений представлен ниже (суммирование по повторяющимся индексам!), Tij = Aip Bjq Cpq .

(1.54)

Эта же система в компьютерной математике имеет вид     system1 = Table Sum Ai,pBj,qCp,q , {p, 2}, {q, 2} == Ti,j , {i, 2}, {j, 2} system1[[1]]//TableForm A1,1 B1,1 C1,1 + A1,1 B1,2 C1,2 + A1,2 B1,1 C2,1 + A1,2 B1,2 C2,2 == T1,1 A1,1 B2,1 C1,1 + A1,1 B2,2 C1,2 + A1,2 B2,1 C2,1 + A1,2 B2,2 C2,2 == T1,2 system1[[2]]//TableForm A2,1 B1,1 C1,1 + A2,1 B1,2 C1,2 + A2,2 B1,1 C2,1 + A2,2 B1,2 C2,2 == T2,1 A2,1 B2,1 C1,1 + A2,1 B2,2 C1,2 + A2,2 B2,1 C2,1 + A2,2 B2,2 C2,2 == T2,2

1.7. Символьное суммирование Напомним, что при «ручных» вычислениях часто используется тензорное правило суммирования по повторяющимся индексам. Пример такой записи для вектора в декартовой прямоугольной системе координат представлен ниже. (1.55) v = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 ,

38

ГЛАВА 1

или, в сокращенной записи (суммирование по индексу!), v = vi ei .

(1.56)

Это правило используется при символьных вычислениях без компьютера. Тензор второго порядка также можно представить в виде суммирования по свободным индексам. Диаду ab, дающую нонионную форму, можно записать в виде    (1.57) ab = ai ei bj ej = ai bj ei ej . Заметим, что порядок единичных векторов в (1.57) сохраняется. Подобная форма записи сохраняется для произвольной диады S : S = Sij ei ej .

(1.58)

1.8. Преобразование систем координат Пусть {xi } представляют произвольную систему координат {x1 , x2 , x3 } в трехмерном евклидовом пространстве, а {ϑi } — представляют другую систему координат в этом же пространстве. Уравнения преобразования одной системы координат в другую имеют вид ϑi = φi (x1 , x2 , x3 ); (i = 1, 2, 3).

(1.59)

Предполагается, что функции φi являются однозначными, непрерывными и дифференцируемыми. Определитель вида ⎞ ⎛ ∂φ1 ∂φ1 ∂x2 ∂φ2 ∂x2 3 ∂φ3 ∂x1 ∂x2

⎜ ∂x1 ⎜ ⎜ ∂φ J = Det ⎜ 2 ⎜ ∂x1 ⎝ ∂φ

∂φ1 ∂x3 ⎟ ⎟ ∂φ2 ⎟ ⎟ ∂x3 ⎟ ∂φ3 ⎠ ∂x3

называется якобианом преобразования (1.60). В индексном виде якобиан (1.60) запишется в виде  ∂φi . J = Det ∂xj

(1.60)

(1.61)

Если J = 0, то имеет место обратное преобразование от {ϑi } к координатам {xi }. В компьютерном виде якобиан преобразования представим в виде. Оператор для вычисления якобиана при символьном определении системы координат представлен ниже. jacobian[gg_, xx_]:=Outer[D, gg, xx]

1.8. П РЕОБРАЗОВАНИЕ СИСТЕМ КООРДИНАТ

39

jacobian[{f (x, y, z), g(x, y, z), h(x, y, z)}, {x, y, z}]//Transpose ⎞ ⎛ (1,0,0) (x, y, z) g(1,0,0) (x, y, z) h(1,0,0) (x, y, z) f ⎝f (0,1,0) (x, y, z) g(0,1,0) (x, y, z) h(0,1,0) (x, y, z)⎠ f (0,0,1) (x, y, z) g(0,0,1) (x, y, z) h(0,0,1) (x, y, z) В среде Mathematica имеются встроенные функции векторного анализа, пригодные для символьных вычислений при переходе от одной системы координат к другой. Примеры символьных вычислений в Mathematica приведены ниже. 0,

(5.38)

ds(i) = 0.

(5.39)

• для обратимых процессов

5.6. Н ЕРАВЕНСТВО К ЛАЗИУСА – Д ЮГЕМА . Д ИССИПАТИВНАЯ ФУНКЦИЯ

371

В случае обратимого процесса (ds(R) — обозначение энтропии от тепла, приходящегося на единицу массы) изменение ds(e) задается формулой ds(e) =

ds(R) = 0. T

(5.40)

5.6. Неравенство Клазиуса – Дюгема. Диссипативная функция В соответствии со вторым законом скорость изменения полной энтропии в континууме, занимающем объем V , не меньше, чем сумма энтропий: т. е. энтропии потока через поверхность континуума и энтропии, производимой внутри сплошной среды внутренними источниками тепла. Математическая формулировка принимает вид формулы Клазиуса – Дюгема ⎛ ⎞ $ $ $ d ⎝ ρs dV ⎠  ρe dV − ci ni dS, (5.41) T dt V

V

S

где e есть локальная энтропия источника на единицу массы континуума. В соотношении (5.41) неравенство соответствует необратимому процессу, а равенство — обратимому. Поступив так же, как и ранее, т. е. применив к последнему интегралу в (5.41) теорему Гаусса, все интегралы в неравенстве Клазиуса – Дюгема приведем к интегрированию по объему, а затем, введя γ — понятие скорости внутреннего производства энтропии, получим следующее дифференциальное неравенство:   ci 1 ds −e− ρ  0. (5.42) γ= T ,i dt Это неравенство удовлетворяется для всех процессов и для любых принятых переменных состояния. По этой причине оно играет важную роль в наложении ограничений на так называемые конституциональные (базовые) уравнения, которые подробно будут обсуждаться в следующей части. Далее, в большинстве задач механики сплошных сред зачастую можно положить, что тензор напряжений можно разложить на сумму двух слагаемых, σji = σji (c) + σji (d),

(5.43)

где в (5.43) обозначены: • σji (c) — консервативная часть тензора напряжений; • σji (d) — диссипативная часть тензора напряжений. Исходя из этого предположения, уравнение энергии (5.34) можно представить следующим образом: du = 1 σ (c) d ij + 1 σ (d) d ij + dq . ρ ji ρ ji dt dt dt dt

(5.44)

372

ГЛАВА 5 d ij

В (5.44) слагаемое ρ1 σji (d) есть скорость рассеивания механической энерdt dq

есть скорость потока тепла через гии в единице массы континуума, а слагаемое dt тот же элемент массы. Если сплошная среда является такой, что в ней возможны обратимые процессы, то

dq dq(R) = , что приводит (5.44) (с использованием соотношения (5.34)) к виду dt dt

du = 1 σ (c) d ij + T ds . ρ ji dt dt dt

(5.45)

Поэтому в необратимых процессах, описываемых формулой (5.40), скорость производства энтропии может быть представлена в виде ds = 1 du + 1 σ (d) d ij . T dt ρT ji dt dt

(5.46)

Скалярная функция вида λ = σji (d)

d ij dt

(5.47)

называется диссипативной функцией. Для необратимых процессов (адиабатических в том числе, т. е. когда dq = 0) имеем ds > 0, что показывает (см. (5.42)) положительную определенность диссиdt

пативной функции.

5.7. Базовая система уравнений. Термодинамический и механический континуум Как видно из предыдущих разделов настоящей главы, было выведено несколько видов дифференциальных уравнений, которые справедливы для любого термодинамического континуума. Здесь под термином термодинамический континуум понимается сплошная среда, находящаяся в температурном поле. Для описания взаимодействия движений континуума и потоков тепла составляем базовую систему дифференциальных уравнений взаимодействия, которая включает: • уравнение неразрывности (5.4) ∂ρ + (ρvk ),k = 0, ∂t или   ∂ρ + ∇. ρ v = 0, ∂t

(5.48)

5.7. Б АЗОВАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ

373

• уравнение движения (5.15) ρbi + σji,j = ρ

dvi , dt

или 

(5.49) 

 = ρ dv , ρ b + Div σ dt • уравнение энергии (5.34) du = 1 σ D − 1 c + z, ρ ij ij ρ i,i dt или

(5.50)

1 du = 1 σ . ρ  . D − ρ ∇.c + b.v + z. dt Полагая, что b — массовая сила и распределенные источники тепла z заранее известны, получаем, что уравнения (5.48)–(5.50) содержат пять независимых уравнений, которые содержат 14 неизвестных функций (6 компонент тензора напряжений σij , 3 компоненты скорости vi (или, как альтернатива, 3 компоненты смещения ui частицы среды), 3 компоненты вектора потока тепла ci , ρ — плотность и u — внутреннюю энергию). Кроме того, к названным уравнениям необходимо добавить неравенство Клазиуса – Дюгема   ds − e − 1 ci  0, (5.51) ρ T dt ,i которое описывает производство энтропии, что привносит еще две неизвестные s — плотность энтропии и T — абсолютную температуру. Следовательно, для разрешимости системы, составленной из 5-ти дифференциальных уравнений движения и состояния (включая одно неравенство), необходимо еще добавить 11 независимых уравнений. Сразу перечислим их и скажем, что 6 из них будут так называемыми конституциональными уравнениями, которые характеризуют физические свойства сплошной среды, которую изучаем в данной задаче. Оставшиеся 5 будут состоять из 3-х уравнений температуропроводности и 2-х уравнений термодинамического состояния. Например, калорического уравнения и уравнения энтропии. Подробно о них будут сказано ниже. Следует отметить, что функции, которые удовлетворяют базовой системе уравнений, устанавливают математические зависимости между механическими и термодинамическими переменными, которые описывают реакцию континуума на механические и термические воздействия. В то же время для того, чтобы охватить максимальное число различных задач о поведении континуума, который бы моделировал различные физические объекты, необходима определенная идеализация сред, как например, введение в расчет понятия твердого деформированного тела, которое

374

ГЛАВА 5

моделирует различные упругие, твердые конструкции из стали, как вязкоупругая жидкость, которая моделирует течение реальных углеводородных жидкостей в пористых средах и т. п. Такая идеализация континуума, или модель вещества, является весьма полезной для моделирования поведения континуума под воздействием механических и термических нагрузок. С другой стороны, имеется ряд задач, где взаимодействием между механическими и термическими процессами можно пренебречь. Такие задачи носят название несовместных задач термоупругости. В этом случае система базовых уравнений состоит из 4-х уравнений, содержащих 10 неизвестных. Такие задачи носят название изотермических и превращаются в чисто механическую проблему. Очевидно, что для изотермических задач требуется 6 дополнительных независимых уравнений, которые замыкали бы математическую формулировку задачи.

Задачи и их решения по пятому разделу Уравнение неразрывности Задача 5.1. Для безвихревого движения континуума, описанного в части 4, для которого вихрь тождественно равен нулю, определить форму уравнения неразрывности. Решение: Из (4.35) имеем q = ∇x × v . Тогда отсутствие вихря в потоке приводит к равенству (P.5.1) q = ∇x × v = 0, но из векторного равенства ∇x × (Grad φ) ≡ 0

(P.5.2)

v = Grad φ.

(P.5.3)

следует, что Подставляя последнее равенство в (5.4), находим dρ + ρφ,kk = 0, dt или

(P.5.4)

dρ + ρ∇2 φ = 0. dt Решение в кодах представлено ниже. Вычисления сделаны с использованием встроенного пакета Calculus`VectorAnalysis`. Yy, x3 –>Zz} , Cartesian[] //Simplify 0 Задача 5.5. Показать, что для поля скоростей vi =

xi (1 + t)

(P.5.11)

справедливо равенство ρx1 x2 x3 = ρ0 X1 X2 X3 . Решение: Используем соотношение (5.3), для чего сначала вычислим дивергенцию поля скоростей, а затем зависимость между плотностями.   xi , {i, 3} ; v = {v1 , v2 , v3 } = Table vi = (1 + t) Yy, x3 –>Zz} , Cartesian[] //Simplify 0 Визуализация потока представлена своим полем скоростей Needs[“VectorFieldPlots`”]; 64 VectorFieldPlot

5   A x21 − x22 A (2x1 x2 ) , /.A → .1, {x1 , −3, 3} , r4 r4

{x2 , −3, 3} , PlotPoints → 20, ScaleFunction → (0.15`#1 &), ScaleFactor → None, Background → GrayLevel[1]]

Задача 5.23. Показать, что поле скоростей задачи 5.22 является незавихренным. Решение: Продолжим вычисления, начатые в задаче 5.22. Покажем, что вектор вихря равен нулю. Для этого из (4.36) найдем Ω = 1 q = 1 ∇x × v , 2 2

(P.5.54)

388

ГЛАВА 5

что автоматически приводит к результату   Curl v /. {x1 –>Xx, x2 –>Yy, x3 –>Zz} , Cartesian[] //Simplify {0, 0, 0} т. е. Ω = 0. Задача 5.24. Для двумерного несжимаемого, установившегося потока с полем скоростей Ax (P.5.55) v1 = − 2 2 ; v2 =?, r где r 2 = x21 + x22 , A — постоянная величина, определить v2 = v2 (x1 , x2 ), если v2 = 0 при x1 = 0. Показать, что поток незавихренный, а линии тока — окружности. Решение: Составляем уравнение неразрывности потока в виде   x = {x1 , x2 } ; r = Sqrt x . x ;





   Ax2 eq1 = D − 2 , x1 + D v2 (x1 , x2 ) , x2 == 0 r 

2Ax1 x2 (0,1) 2 + v2 (x1 , x2 ) = 0 2 2 x1 + x2

Далее решаем полученное уравнение относительно v2 (x1 , x2 ).   sol = DSolve {eq1, v2 (x1 , 0) == 0} , v2 (x1 , x2 ) , x2 //Flatten Function::flpar : Parameter specification {x2 } in Function  Ax {x2 }, c1 + 2 1 2 should be a symbol or a list of symbols. >> x1 + x2 Function::flpar : Parameter specification {x2 } in Function



 Ax1 should be a symbol or a list of symbols. >> {x2 }, c1 + 2 x1 + x22

DSolve::bvnr : For some branches of the general solution, the given boundary conditions do not restrict the existing freedom in the general solution. >> DSolve::bvsing : Unable to resolve some of the arbitrary constants in the general solution using the given boundary conditions. It is possible that some

4

of the conditions have been specified at a singular point for the equation. >>

v2 (x1 , x2 ) →

c1 x21 + Ax1 + c1 x22 x21 + x22

5

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ПЯТОМУ РАЗДЕЛУ

389

Явный вид составляющей скорости представлен ниже. sol/.c1 → 0

v2 (x1 , x2 ) →

Ax1 2 x1 + x22

После того как поле скоростей получено, покажем, что завихренность потока равна нулю. Xx, x2 –>Yy, x3 –>Zz} , Cartesian[] //Simplify {0, 0, 0} Наконец, визуализируем поле скоростей для того, чтобы увидеть примерный вид линий тока. Needs[“VectorFieldPlots`”];



Ax2 Ax1 /.A → 1 , {x1 , −3, 3}, {x2 , −3, 3}, VectorFieldPlot Evaluate − 2 , 2 r r PlotPoints → 20, ScaleFunction → (.15#&), ScaleFactor → None, BackGround → GrayLevel[1]]

Очевидно, что линии тока есть концентричные окружности.

390

ГЛАВА 5

Задача 5.25. Для физических уравнений вида σji = (−p + λ1 Dkk ) δij + 2μDij

(P.5.56)

определить вид уравнений движения через составляющие скорости vi . Решение: Уравнения движения среды выведем с применением встроенного пакета Calculus`VectorAnalysis`. {x1 , x2 , x3 }]} //Flatten; Физические уравнения зависимости между напряжениями и скоростями деформаций представлены в виде тензора напряжений:  tensorStresses = − pressure+  λ1 Tr[tensorVelocityDeformation] IdentityMatrix[3]+  2μtensorVelocityDeformation //Simplify ⎞ ⎛ − p(x1 , x2 , x3 , t)+ ⎟ ⎜ + 2μu(1,0,0,0) (x , x , x , t)+  1 2 3 ⎟ ⎜ (0,1,0,0)  ⎟ ⎜ μ u (x1 , x2 , x3 , t)+ ⎟ ⎜ + λ w(0,0,1,0) (x , x , x , t)+ 1 1 2 3 ⎜  ... ⎟ ⎟ ⎜ +v (1,0,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) ⎟ ⎜ + v (0,1,0,0) (x , x , x , t)+ ⎟ ⎜ 1 2 3  ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ +u(1,0,0,0) (x , x , x , t) ⎟ 1 2 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − p (x , x , x , t) + 1 2 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ (0,1,0,0)  (x1 , x2 , x3 , t)+ + 2μv ⎟ ⎜  ⎟ ⎜ μ u(0,1,0,0) (x , x , x , t)+ 1 2 3 ⎟ ⎜ (0,0,1,0) (x , x , x , t)+ w + λ ⎜ 1 1 2 3  ... ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ +v (1,0,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) (0,1,0,0) (x1 , x2 , x3 , t)+ +v ⎟ ⎜ ⎟ ⎜  ⎟ ⎜ (1,0,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) +u ⎟ ⎜ ⎟ ⎜   ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ μ u(0,0,1,0) (x , x , x , t)+ μ v (0,0,1,0) (x1 , x2 , x3 , t)+ ⎟ ⎜ 1 2 3 ⎝   ... ⎠ +w(1,0,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) +w(0,1,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) Наконец используя (5.15) выводим уравнения движения континуума в виде  ∂#1 &, {Table[a, {3}], B} f [a_List, B_List]:=Transpose MapThread ∂#2



   eq3 = Thread Map Div, tensorStresses/. {x1 –>Xx, x2 –>Yy, x3 –>Zz} +        rhoB == rho ∂ v + v .Transpose f v /. Thread {x1 , x2 , x3 } → ∂t    Coordinates[] //Flatten, Coordinates[]) /.subs//Simplify    b1 ρ(x1 , x2 , x3 , t) + μ u(0,0,2,0) (x1 , x2 , x3 , t) + w(1,0,1,0) (x1 , x2 , x3 , t) +   +μ u(0,2,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) + v (1,1,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) + 2μu(2,0,0,0) (x1 , x2 , x3 , t)+   +λ1 w(1,0,1,0) (x1 , x2 , x3 , t) + v (1,1,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) + u(2,0,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) =

392

ГЛАВА 5

 = p(1,0,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) + ρ(x1 , x2 , x3 , t) u(0,0,0,1) (x1 , x2 , x3 , t)+ + w(x1 , x2 , x3 , t)u(0,0,1,0) (x1 , x2 , x3 , t) + v(x1 , x2 , x3 , t)u(0,1,0,0) (x1 , x2 , x3 , t)+  +u(x1 , x2 , x3 , t)u(1,0,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) ,   b2 ρ(x1 , x2 , x3 , t) + μ v (0,0,2,0) (x1 , x2 , x3 , t) + w(0,1,1,0) (x1 , x2 , x3 , t) +  +2μv (0,2,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) + λ1 w(0,1,1,0) (x1 , x2 , x3 , t) + v (0,2,0,0) (x1 , x2 , x3 , t)+    + u(1,1,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) + μ u(1,1,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) + v (2,0,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) =  = p(0,1,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) + ρ(x1 , x2 , x3 , t) v (0,0,0,1) (x1 , x2 , x3 , t)+ + w(x1 , x2 , x3 , t)v (0,0,1,0) (x1 , x2 , x3 , t) + v(x1 , x2 , x3 , t)v (0,1,0,0) (x1 , x2 , x3 , t)+  + u(x1 , x2 , x3 , t)v (1,0,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) ,  b3 ρ(x1 , x2 , x3 , t) + (2μ + λ1 )w(0,0,2,0) (x1 , x2 , x3 , t) + μ v (0,1,1,0) (x1 , x2 , x3 , t)+    +w(0,2,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) + λ1 v (0,1,1,0) (x1 , x2 , x3 , t) + u(1,0,1,0) (x1 , x2 , x3 , t) +   + μ u(1,0,1,0) (x1 , x2 , x3 , t) + w(2,0,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) =  = p(0,0,1,0) (x1 , x2 , x3 , t) + ρ(x1 , x2 , x3 , t) w(0,0,0,1) (x1 , x2 , x3 , t)+ + w(x1 , x2 , x3 , t)w(0,0,1,0) (x1 , x2 , x3 , t) + v(x1 , x2 , x3 , t)w(0,1,0,0) (x1 , x2 , x3 , t)+  +u(x1 , x2 , x3 , t)w(1,0,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) Задача 5.26. Если рассматривать движение сплошной среды в задаче 5.25 как несжимаемой, то показать, что дивергенция вихря равна нулю и найти форму уравнений движения в этом случае. Решение: Продолжим выполнение кодов программы задачи 5.25. По форму ле (4.35) имеем (Div [ q ] = 0),     Div Curl v /. {x1 –>Xx, x2 –>Yy, x3 –>Zz} , Cartesian[] , Cartesian[] 0 Тогда уравнения движения принимают форму уравнений Гиббса     ρ d v = ρ b − Grad[p] + μGrad Div v . dt В кодах уравнения Гибса имеют вид

(P.5.57)

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ПЯТОМУ РАЗДЕЛУ

393

  eqGibbs = Thread − Grad pressure/. {x1 –>Xx, x2 –>Yy, x3 –>Zz} ,Cartesian[]      + μGrad Div v /. Thread {x1 , x2 , x3 } → Coordinates[] //Flatten,         Cartesian[] + rho B == rho ∂ v + v .Transpose f v /. Thread ∂t   /.subs//Simplify {x1 , x2 , x3 } → Coordinates[] //Flatten, Coordinates[]

 b1 ρ(x1 , x2 , x3 , t) + μ w(1,0,1,0) (x1 , x2 , x3 , t) + v (1,1,0,0) (x1 , x2 , x3 , t)+  + u(2,0,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) = p(1,0,0,0) (x1 , x2 , x3 , t)+  + ρ(x1 , x2 , x3 , t) u(0,0,0,1) (x1 , x2 , x3 , t) + w(x1 , x2 , x3 , t)u(0,0,1,0)(x1 , x2 , x3 , t)+  + v(x1 , x2 , x3 , t)u(0,1,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) + u(x1 , x2 , x3 , t)u(1,0,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) ,  b2 ρ(x1 , x2 , x3 , t) + μ w(0,1,1,0) (x1 , x2 , x3 , t) + v (0,2,0,0) (x1 , x2 , x3 , t)+  + u(1,1,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) = p(0,1,0,0) (x1 , x2 , x3 , t)+  + ρ(x1 , x2 , x3 , t) v (0,0,0,1) (x1 , x2 , x3 , t) + w(x1 , x2 , x3 , t)v (0,0,1,0) (x1 , x2 , x3 , t)+  + v(x1 , x2 , x3 , t)v (0,1,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) + u(x1 , x2 , x3 , t)v (1,0,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) ,  b3 ρ(x1 , x2 , x3 , t) + μ w(0,0,2,0) (x1 , x2 , x3 , t) + v (0,1,1,0) (x1 , x2 , x3 , t)+  + u(1,0,1,0) (x1 , x2 , x3 , t) = p(0,0,1,0) (x1 , x2 , x3 , t) + ρ(x1 , x2 , x3 , t)×  × w(0,0,0,1) (x1 , x2 , x3 , t) + w(x1 , x2 , x3 , t)w(0,0,1,0) (x1 , x2 , x3 , t)+  + v(x1 , x2 , x3 , t)w(0,1,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) + u(x1 , x2 , x3 , t)w(1,0,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) 

Задача 5.27. Определить скорость изменения кинетической энергии континуума в заданном объеме V и результат представить в интегральном виде. Решение: Из уравнения (5.22) имеем $ dK = ρv dvi dV. i dt dt

(P.5.58)

V

Мощности энергии напряжений и поверхностных сил равны: • мощность напряжений: $

$ vi t dS = n ,i S

vi σij nj dS, S

(P.5.59)

394

ГЛАВА 5

которое в дивергентной форме принимает вид  $ $  $ dvi − bi vi dV. vi σij nj dS = vi,j σij dV + ρ vi dt S

V

(P.5.60)

V

В итоге скорость изменения кинетической энергии равна $ $ $ dK = ρb v dV − v σ dV + v t dS. i i i,j ij i n ,i dt V

V

(P.5.61)

S

Сумма интегралов в (P.5.61) есть мощность массовых сил, внутренних поверхповерхностных сил и внешних поверхностных сил соответственно. Задача 5.28. Безвихревой поток сплошной несжимаемой среды, описывается физическими уравнениями вида σji = λ1 Dkk δij + 2μDij ,

(P.5.62)

для которого скорость имеет потенциал 

v = Grad φ.

(P.5.63)

Определить диссипативную функцию λ.   d ij = Dij Решение: Из определения λ имеем напомним, что dt

d ij = (λ1 Dkk δij + 2μDij ) Dij = 2μDij Dij , (P.5.64) dt = 0 для несжимаемой жидкости. Для поля скоростей имеем равен-

λ = σji (d) т. к. Dkk = vk,k ство



v = Grad φ; vi = φ,i . Тогда произведение Dij Dij равно Dij Dij = φ,ij φ,ij .

(P.5.65)

(P.5.66)

В итоге получаем искомую функцию: λ = 2μφ,ij φ,ij .

(P.5.67)

Указание: Найти диссипативную функцию в кодах (см. задачу 5.1). Задача 5.29. Для сплошной среды с физическими уравнениями вида σij = −pδij

(P.5.68)

h = u + p/ρ

(P.5.69)

и функцией энтальпии вида показать, что уравнение энергии можно записать в виде dh = 1 dp + T ds . ρ dt dt dt

(P.5.70)

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ПЯТОМУ РАЗДЕЛУ

395

Решение: Из соотношения (5.41) выводим du = − 1 pδ D + T ds . ρ ij ij dt dt

(P.5.71)

Из результатов задачи 5.13 и определения функции энтальпии находим du = dh − 1 dp − 1 p dρ = ρ dt dt dt ρ2 dt dρ = − 12 p + T ds , dt ρ dt

(P.5.72)

которое после упрощения принимает вид dh = 1 dp + T ds . ρ dt dt dt

(P.5.73)

Задача 5.30. Для несжимаемого потока в отсутствии массовых сил и постоян ной плотности среды вывести уравнения движения в терминах q — завихренности потока. Решение: Для несжимаемого потока имеем 

Div v = 0.

(P.5.74)

Тогда в отсутствие массовых сил уравнения движения (см. задачу 5.25) сводятся к следующим: dv (P.5.75) ρ i = −p,i + μvi,jj . dt Выполнив операцию ротора, от обеих частей равенства получим pqi

dvi,q 1 p + μ v =ρ pqi ,iq ρ pqi i,jjq , dt

(P.5.76)

но pqi p,iq = 0, а из определения (4.35) находим, что

или, в векторном виде,

dqp μ = ρ q,jj , dt

(P.5.77)

μ  dq = ρ ∇2 q . dt

(P.5.78)



Указание: Сравнить выведенное уравнение с уравнением пьезопроводности для плоского напорного течения фильтрации [9, 10, (см. стр.134)].

396

ГЛАВА 5

Задачи для самостоятельного решения 

Задача 5.31. Показать, что скорость изменения вектора вращения Ω равна  d Ω   p v = Ω.∇ (P.5.79) p . dt Задача 5.32. Показать, что течение, заданное полем скоростей вида   A x21 − x22 x3 2x1 x2 x3 x ; v2 = ; v3 = 22 , v1 = − 4 4 r r r

(P.5.80)

где r 2 = x21 + x22 , удовлетворяет условиям несжимаемости поля. Является ли это течение вихревым? Задача 5.33. Найти уравнение неразрывности в цилиндрических координатах. Указание: Используйте встроенный пакет Calculus`VectorAnalysis`. Задача 5.34. Показать, что течение в цилиндрических координатах     1 − r 2 cos θ 1 + r 2 sin θ ; vθ = ; vz = 0 (P.5.81) vr = r2 r2 удовлетворяет уравнению неразрывности в цилиндрических координатах при постоянной плотности потока. 

Задача 5.35. Если Pij... ( x , t) — произвольная скалярная, векторная, тензорная функции, то  $  $       dvp − bp Pij... x , t σpq nq dS = σpq Pij...,q x, t + ρPij... x, t dV. dt S

V

(P.5.82) 

Задача 5.36. Если континуум подвержен, кроме массовой силы b , воздействию 

распределенного на единицу массы момента h и внутренних остаточных напряже, то уравнение изменения момента количества движения для элемента среды ний g n имеет вид ⎛ ⎞  $  $  $          d ⎝ ρ m  dS, + x × v dV ⎠ = h + x × b dV + + x × t g n n dt V

V

S

(P.5.83) где m есть момент количества движения, распределенный на единицу массы. Если  n.G = g , то показать, что дифференциальные уравнения движения имеют вид n 





. ρ dm = h + ∇.G + σ dt

(P.5.84)

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ПЯТОМУ РАЗДЕЛУ

397

Задача 5.37. Если физические уравнения для среды имеют вид σij = −pδij + βDij δij + αDik Dkj ,

(P.5.85)

σii = 3 (−p − 2α Inv2 / 3) .

(P.5.86)

то показать, что Положить, что среда несжимаемая. Задача 5.38. Для среды с физическими уравнениями вида σij = −pδij ,

(P.5.87)

du = T ds − p dV , dt dt dt

(P.5.88)

показать, что

где V = 1/ρ — функция удельного объема. Задача 5.39. Если

vi,i T ds = − ρ dt

(P.5.89)

и введена функция свободной энергии в виде ψ = u − sT,

(P.5.90)

то показать, что уравнение энергии можно записать как ρ

dψ + ρs dT = σij Dij . dt dt

(P.5.91)

Задача 5.40. Если для термодинамической среды физические уравнения имеют вид σij = λεkk δij + 2μεij − (3λ + 2μ)αδij (T − T0 ) ,

(P.5.92)

где T0 — начальная температура, то показать, что εkk = 3α (T − T0 ) , когда σij = sij = σij − σkk δij /3.

(P.5.93)

ГЛАВА 6

Линейная теория упругости

В шестом разделе рассматриваются вопросы линейной теории упругости, которая характеризуется процессом обратимости деформирования упругих тел. Кроме того, в линейной теории упругости принимается локальный закон изменения температуры и малость компонентов тензора деформаций при выполнении закона Гука как базового соотношения между напряжениями и деформациями.

6.1. Обобщенный закон Гука. Функция энергии деформаций В классической теории упругости принимается, что смещения частицы среды и градиенты смещений являются одновременно величинами малыми. Это приводит к тому, что нет различия в описании движения континуума, как при эйлеровом так и при лагранжевом подходах.  Исходя из этого, вектор смещения частицы u = {u1 , u2 , u3 } и линейный тензор деформаций дается в одной из представленных ниже форм:   ∂uj ∂ui + = lij = ij = 1 2 ∂Xj ∂Xi   ∂uj ∂ui 1 + ; = 2 ∂xj ∂xi (6.1)     L = E = 1 u ∇X + ∇X u = 2     = 1 u ∇x + ∇x u = 1 u ∇ + ∇ u . 2 2 Полагается, что процесс деформирования континуума является процессом адиабатическим (т. е. процессом без обмена теплом между средой и внешним миром) и изотермическим (процесс деформирования при постоянной температуре). Физические уравнения в линейной теории упругости принимаются линейными, т. е. зависимость между напряжениями и деформациями описываются соотношениями вида σij = Cijkm km , или (6.2)  . E, σ =C .

6.1. О БОБЩЕННЫЙ ЗАКОН Г УКА . ФУНКЦИЯ ЭНЕРГИИ ДЕФОРМАЦИЙ

399

известными как обобщенный закон Гука. В соотношении (6.2) тензор упругих постоянных Cijkm содержит 81 компоненту, однако в силу симметрии тензоров напряжений и деформаций только 36 из них являются независимыми. Если независимые компоненты тензоров напряжений и деформаций записать следующим образом: σ11 σ13 11 21

= σ1 ; σ22 = σ2 ; σ33 = σ3 ; = σ4 ; σ23 = σ5 ; σ21 = σ6 ; = 1 ; 22 = 2 ; 33 = 3 ; = 6 ; 13 = 4 ; 23 = 5 ,

(6.3)

т. е. перейти к одноиндексным обозначениям, то обобщенный закон Гука, используя компьютерные коды, можно записать в виде 



σ = {σ1 , σ2 , σ3 , σ4 , σ5 , σ6 } ;  = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } ;    = Table ci,j , {i, 6}, {j, 6} ; C     TableForm Thread σ == C.  ⎞ ⎛ σ1 == 1 c1,1 + 2 c1,2 + 3 c1,3 + 4 c1,4 + 5 c1,5 + 6 c1,6 ⎜σ2 == 1 c2,1 + 2 c2,2 + 3 c2,3 + 4 c2,4 + 5 c2,5 + 6 c2,6 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜σ3 == 1 c3,1 + 2 c3,2 + 3 c3,3 + 4 c3,4 + 5 c3,5 + 6 c3,6 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜σ4 == 1 c4,1 + 2 c4,2 + 3 c4,3 + 4 c4,4 + 5 c4,5 + 6 c4,6 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝σ5 == 1 c5,1 + 2 c5,2 + 3 c5,3 + 4 c5,4 + 5 c5,5 + 6 c5,6 ⎠ σ6 == 1 c6,1 + 2 c6,2 + 3 c6,3 + 4 c6,4 + 5 c6,5 + 6 c6,6 Здесь ci,j — упругие постоянные континуума. Как указывалось ранее, термомеханическими эффектами в линейной теории упругости обычно пренебрегают. Поэтому уравнение энергетического баланса (5.32) представим в виде du = 1 σ D = 1 σ d ij . ρ ij ij ρ ij dt dt

(6.4)

Таким образом, внутренняя энергия в этом случае есть чисто механическая энергия деформаций (на единицу массы), элемент которой из (6.4) принимает вид 1 σ d . du = ρ ij ij

(6.5)

Далее, если рассматривать внутреннюю энергию u как функцию компонент тензора деформаций ij , т. е. u = u( ij ), то полный дифференциал этой функции равен ∂u ( ij ) d ij . (6.6) du = ∂ ij

400

ГЛАВА 6

Сравнивая (6.5) и (6.6), выводим σij = ρ

∂u ( ij ) . ∂ ij

(6.7)

В итоге плотность энергии деформаций на единицу объема определяется как uv = ρu.

(6.8)

В большинстве задач линейной теории упругости плотность среды принимается постоянной величиной, поэтому можно определить напряжения в среде как σij =

∂uv . ∂ ij

(6.9)

Более того, в качестве нулевого состояния можно выбрать произвольное состояние. Далее, если напряжения исчезают в момент, когда исчезают и деформации, то простейшей формой функции энергии, которая приводит к такому положению, является квадратичная форма зависимости между напряжениями и деформациями, т. е. функцию энергии можно выбрать в виде uv = 1 Cijkm ij km , 2

(6.10)

uv = 1 σij ij , 2 или  . E. uv = 1 σ 2 .

(6.11)

которое можно переписать как

Вследствие симметрии тензора Cijkm количество независимых компонент уменьшается с 36 до 21 компоненты.

6.2. Изотропность. Анизотропность. Упругая симметрия сплошной среды Если упругие свойства континуума являются независимыми от выбора системы координат, которая выбрана для описания свойств среды, то материал называется упруго-изотропным. Материал, который не обладает подобными свойствами, называется анизотропным. В общем случае материал, упругие свойства которого следуют закону Гука, и который является анизотропным, имеет следующую матрицу коэффициентов упругих постоянных:  = Table [If [i == j, ci,i, ci,j = cj,i] , {i, 6}, {j, 6}] ; C

6.2. И ЗОТРОПНОСТЬ . А НИЗОТРОПНОСТЬ

 MatrixForm[C] ⎛ c1,1 c2,1 c3,1 c4,1 ⎜c2,1 c2,2 c3,2 c4,2 ⎜ ⎜c3,1 c3,2 c3,3 c4,3 ⎜ ⎜c4,1 c4,2 c4,3 c4,4 ⎜ ⎝c5,1 c5,2 c5,3 c5,4 c6,1 c6,2 c6,3 c6,4

c5,1 c5,2 c5,3 c5,4 c5,5 c6,5

401

⎞ c6,1 c6,2 ⎟ ⎟ c6,3 ⎟ ⎟ c6,4 ⎟ ⎟ c6,5 ⎠ c6,6

c1,2 == c2,1 True Упругая симметрия в плоскости существует в точке, где упругие постоянные имеют одинаковые величины для каждой пары систем координат, которые переходят друг в друга в этой же плоскости. Оси, в которых имеется указанное свойство, называются осями одинаковых упругих направлений. Если плоскость x1 x2 есть плоскость одинаковых упругих свойств симметрии, то постоянные ci,j являются инвариантными величинами по отношению к преобразованию x∗1 = x1 ;

x∗2 = x2 ;

x∗3 = −x3 ,

для которого матрица преобразования имеет вид ⎛ ⎞ 10 0 A = {ai,j } = ⎝0 1 0 ⎠. 0 0 −1

(6.12)

(6.13)

Подставляя матрицу преобразования (6.13) в законы преобразования (2.30) и (3.102) соответственно, находим матрицу упругих постоянных в виде ⎞ ⎛ c1,1 c1,2 c1,3 0 0 c1,6 ⎜c2,1 c2,2 c1,3 0 0 c2,6 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜  = ⎜c3,1 c3,2 c3,3 0 0 c3,6 ⎟. (6.14) C ⎜ 0 0 0 c4,4 c4,2 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 0 0 0 c5,4 c5,5 0 ⎠ c6,1 c6,2 c6,3 0 0 c6,6 В этом случае 20 независимых упругих постоянных в (6.14) уменьшается до 13. Как и ранее, полагается, что функция энергии (6.10) существует. Если материал обладает тремя независимыми плоскостями упругой симметрии, то такой материал называется ортотропным, для которого матрица упругих постоянных имеет вид ⎞ ⎛ c1,1 c1,2 c1,3 0 0 0 ⎜c2,1 c2,2 c1,3 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜c3,1 c3,2 c3,3 0 0 0 ⎟ ⎟ =⎜ (6.15) C ⎜ 0 0 0 c4,4 0 0 ⎟. ⎟ ⎜ ⎝ 0 0 0 0 c5,5 0 ⎠ 0 0 0 0 0 c6,6

402

ГЛАВА 6

В (6.15) 12 упругих постоянных сводятся к 9 независимым. Оси упругих постоянных имеют упругую симметрию порядка N , когда множество эквивалентных упругих направлений может быть получено одно из другого при вращении системы координат на угол 2π вокруг оси. Полученные случаи упругих состояний называN ются равнозначными.

6.3. Изотропность. Упругие постоянные для изотропных сред Тела (сплошные среды), которые имеют свойства упругости, одинаковые во всех направлениях, и являются полностью симметричными, называются изотропными. В этом случае каждая плоскость и каждая ось являются плоскостью (осью) упругой симметрии. Для изотропного упругого тела число независимых упругих постоянных уменьшается до 2. Как известно, такие упругие постоянные носят название постоянных Лямэ. В теории упругости их обозначения следующие: λ и μ. Матрица упругих постоянных для изотропного упругого тела имеет вид ⎛ λ + 2μ 0 0 ⎜ 0 λ + 2μ 0 ⎜ ⎜ 0 0 λ + 2μ =⎜ C ⎜ 0 0 0 ⎜ ⎝ 0 0 0 0 0 0

0 0 0 μ 0 0

0 0 0 0 μ 0

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟. 0⎟ ⎟ 0⎠ μ

(6.16)

Имея матрицу упругих постоянных для изотропного твердого тела (6.16), запишем закон Гука в виде σ  = λTr ( ) I + 2μ . (6.17) В кодах закон Гука (6.17), записанный как обратное выражение, т. е. как зависимость между деформациями и напряжениями, имеет вид  = Table [If [i == j, σi,i, σi,j = σj,i] , {i, 3}, {j, 3}] ; σ  = Table [If [i == j, i,i, i,j = j,i] , {i, 3}, {j, 3}] ;       == λTr  IdentityMatrix[3] + 2μ hookLaw = Solve Thread σ  ,  {1,1 , 2,2 , 3,3 , 2,1 , 3,1 , 3,2 } //Flatten

σ3,2 σ2,1 σ3,1 − 2λσ1,1 − 2μσ1,1 + λσ2,2 + λσ3,3 , 3,2 → , 2,1 → , 3,1 → , 1,1 → − 2μ 2μ 2μ 2μ(3λ + 2μ)

λσ1,1 − 2λσ2,2 − 2μσ2,2 + λσ3,3 λσ1,1 + λσ2,2 − 2λσ3,3 − 2μσ3,3 , 3,3 → − 2,2 → − 2μ(3λ + 2μ) 2μ(3λ + 2μ)

6.3. И ЗОТРОПНОСТЬ . У ПРУГИЕ ПОСТОЯННЫЕ ДЛЯ ИЗОТРОПНЫХ СРЕД

403

Явный вид зависимости между деформациями и напряжениями имеет вид {1,1 , 2,2 , 3,3 , 2,1 , 3,1 , 3,2 } /.hookLaw 4 − 2λσ1,1 − 2μσ1,1 + λσ2,2 + λσ3,3 λσ1,1 − 2λσ2,2 − 2μσ2,2 + λσ3,3 ,− , − 2μ(3λ + 2μ) 2μ(3λ + 2μ) 5 λσ1,1 + λσ2,2 − 2λσ3,3 − 2μσ3,3 σ2,1 σ3,1 σ3,2 , , , − 2μ 2μ 2μ 2μ(3λ + 2μ) В инженерных приложениях закон Гука выражают через два технических модуля: Y — модуль Юнга, ν — коэффициент Пуассона. Так, например, при одноосной деформации вдоль оси x1 закон Гука имеет вид σ11 = Y 11 , а соотношение между продольной и поперечной деформациями следующее: 22 = 33 = −ν 11 . Обобщенный закон Гука в терминах модулей Y и ν записывается следующим образом:   ν Tr ( ) I +  . (6.18) σ = Y 1 + ν 1 − 2ν Выражение деформаций через напряжения, модуль Юнга и коэффициент Пуассона имеет вид hookLawYoung =  == Solve Thread σ

 ν TrIdentityMatrix[3] +  , 1 − 2ν  {1,1 , 2,2 , 3,3 , 2,1 , 3,1 , 3,2 } //Flatten

4 2,1 →

Y 1+ν



(ν + 1)σ2,1 (ν + 1)σ3,1 (ν + 1)σ3,2 , 3,1 → , 3,2 → , Y Y Y

− σ1,1 + νσ2,2 + νσ3,3 νσ1,1 − σ2,2 + νσ3,3 , 2,2 → − , Y Y

νσ1,1 + νσ2,2 − σ3,3 →− Y

1,1 → − 3,3

Из рассмотрения однородной всесторонней деформации вследствие гидростатического давления находим понятия модуля всестороннего растяжения/сжатия (модуль объемного расширения) в виде K=

Y , 3(1 − 2ν) или

(6.19)

3λ + 2μ , 3 которые выводятся из определения давления при кубическом расширении твердого тела. Для так называемого деформированного состояния типа чистого сдвига вводитK=

404

ГЛАВА 6

ся понятие модуля сдвига G, равного μ=G=

Y , 2(1 + ν)

(6.20)

который выводится из предыдущих кодов следующим образом: Solve[hookLawYoung[[1, 2]] == hookLaw[[2, 2]], μ]



Y μ→ 2(ν + 1) что совпадает с (6.20).

6.4. Статические и динамические задачи линейной теории упругости Сформулируем простейшую статическую задачу линейной теории упругости для однородного и изотропного твердого тела, физические уравнения для которого удовлетворяют закону Гука. Соответствующие уравнения, описывающие равновесие деформированного тела, представляют собой • уравнения равновесия, σji,j + ρbi = 0, или

(6.21)



Div ( σ ) + ρ b = 0. (в компьютерных кодах уравнения равновесия (6.21) приведены в п. 2.12); • закон Гука, σij = λδij kk + 2μ ij , или σ  = λTr ( ) I + 2μ ; • тензор деформаций,

 ij = 1 2

(6.22)

∂uj ∂ui + , ∂xj ∂xi

(6.23) или    E = 1 u ∇ + ∇u , 2 которые удовлетворяются во всех точках твердого деформированного тела. Кроме того, сформулированные условия (6.21)–(6.23) должны удовлетворяться на границе твердого тела. Таким образом, задача о равновесии упругого твердого тела сводится к краевой задаче, которая обычно формулируется для следующих граничных условий: • на границе заданы смещения для всех границ деформированного тела (1-я краевая задача);

6.4. С ТАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

405

• на границе заданы напряжения (поверхостные силы сцепления) для всех границ деформированного тела (2-я краевая задача); • на границе заданы смещения для части границ деформированного тела, а для оставшейся части заданы напряжения (3-я краевая задача). Во всех случаях граничных условий массовые силы считаем заданными. Для первой краевой задачи считаем, что заданы смещения на границе твердого тела в виде известных функций вида  ui = gi X , или     u =g X .

(6.24)



Очевидно, что, подставляя (6.23) в закон Гука (6.22), а затем полученное соотношение в (6.21), выводим уравнения равновесия в смещениях следующего вида: μui,jj + (λ + μ)uj,ji + ρbi = 0, или 

2

(6.25)



μ∇ u + (λ + μ)∇∇.u + ρ b = 0, которые называются уравнениями Коши – Навье. Таким образом первая краевая задача соотношениями (6.24), (6.25) решается в замкнутом виде. Для решения второй краевой задачи, т. е. задачи сформулированной в напряжениях на границе, граничные условия заданы в виде = σij ni , t n ,i или 

(6.26) 

t =σ  .n , n

однако уравнения закона Гука (6.22) подставляются в уравнения совместности (3.131) или (3.132), а затем полученные соотношения — в уравнения равновесия (6.21). В результате выводим 1 σ + ρ (bi,j + bj,i ) + ν δij ρbk,k = 0; 1 + ν kk,ij 1−ν или    σ )) + ρ b ∇ + ∇ b + ν ρ∇. b = 0,  + 1 ∇∇ (Tr ( μ∇2 σ 1+ν 1−ν σij,kk +

(6.27)

т. е. уравнения совместности, которые называются уравнениями Бельтами – Митчела. Решение (6.27) совместно с (6.26) дает решение краевой задачи в напряжениях. Для решения третьей краевой задачи (задачи со смешанными граничными условиями) используется исходная система уравнений (6.21)–(6.23). Решение динамических задач линейной теории упругости сводится к следующим уравнениям:

406

ГЛАВА 6

• уравнениям движения (5.15) ρbi + σji,j = ρ

dvi , dt

или

(6.28) 



 = ρ dv , ρ b + Div σ dt 

 причем имеем очевидное кинематическое равенство: v = d u ;

dt

• уравнениям закона Гука σij = λδij kk + 2μ ij , или σ  = λTr ( ) I + 2μ ; • тензору деформаций

 ij = 1 2

(6.29)

∂uj ∂ui + , ∂xj ∂xi

(6.30) или    E = 1 u ∇ + ∇u , 2 которые должны быть дополнены начальными и граничными условиями. Начальные условия формулируются следующим образом:   u0,i = ui x, 0 ;   dui x, t |t=0 , v0,i = dt а граничные как   ui = gi x, t , или   u = g x .t ,



(6.31)

(6.32)





причем функции gi ( x, t) известны. Уравнения движения однородной и изотропной среды тела после соответствующих упрощений приводятся к виду μui,jj + (λ + μ)uj,ji + ρbi = ρ

d2 ui , dt2

или

(6.33) 

2

. μ∇2 u + (λ + μ)∇∇.u + ρ b = ρ d u dt2 



6.5. П РИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ РЕШЕНИЙ . П РИНЦИП С ЕНТ -В ЕНАНА

407

В случае решения третьей краевой задачи граничные условия (6.32) дополняются следующими:   = σ t ij x , t ni , n ,i 

t n

или     = σ x .t .n .

(6.34)

6.5. Принцип суперпозиции решений. Принцип Сент-Венана Вследствие линейности уравнений равновесия (движения), закона Гука и компонент тензора деформаций можно сформулировать принцип суперпозиции решений линейной задачи теории упругости, который заключается в следующем: если известны два разных решения уравнений линейной теории упругости, которые получены при двух разных нагрузках, то новое решение задачи получается путем их линейной комбинации. Так, если σ1ij , u1,i представляют собой решение уравнений (6.21)–(6.23) при массовой нагрузке b1,i , а σ2ij , u2,i — это решение уравнений (6.21)–(6.23) при массовой нагрузке b2,i , то новое решение вида σij = σ1ij + σ2ij , ui = u1,i + u2,i представляет собой решение задачи при массовой нагрузке, равной bi = b1,i + b2,i . Единственность решений уравнений линейной теории упругости доказывается путем использования принципа суперпозиции решений и закона сохранения механической энергии. Это доказательство будет приведено ниже, как решение прикладной задачи, сопутствующей данному разделу книги. Применение точного решения задачи, получаемого при определенных условиях на границе твердого деформируемого тела для приближенной оценки напряжений, при несколько измененных условиях производится на основании принципа СентВенана. Согласно этому принципу система взаимно уравновешивающих сил, распределенных на малой части поверхности деформируемого тела, вызывает напряжения, быстро убывающие по мере удаления от места приложения сил. В точках, удаленных от места приложения указанных выше систем сил на большие расстояния (имеются в виду расстояния, большие по сравнению с линейными размерами той части поверхности, по которой распределены силы), действия указанных систем сил практически эквивалентны. Другими словами, принцип Сент-Венана утверждает, что напряжения в деформируемом теле, соответствующие двум статически эквивалентным нагрузкам, будут отличаться друг от друга только в непосредственной близости от места действия этих сил. Несмотря на то что принцип Сент-Венана не имеет исчерпывающего теоретического обоснования, его практическое применение безусловно принято в линейной теории упругости.

6.6. Плоская задача теории упругости. Напряжения и деформации в плоскости Многие задачи теории упругости получают удовлетворительное решение и дают важные практические результаты как двумерные задачи линейной теории упру-

408

ГЛАВА 6

гости, т. е. задачи, определяющие напряженно-деформированное состояние всего деформируемого тела только в одной плоскости. Такие задачи носят название плоской задачи теории упругости. Несмотря на то что подобные постановки, в принципе, возможны как формальные процедуры, тем не менее в большинстве практически важных случаев их введение в расчет обосновано физически. Так, при введении плоского напряженного состояния важно то, что геометрические размеры тела в третьем измерении намного меньше, чем размеры тела в плоскости измеримых напряжений. Пример геометрической фигуры, для которой реализуется плоское напряженное состояние, приведен ниже. Пример плоской фигуры представлен ниже.

При решении задачи, которая описывает плоское напряженное состояние, важным является свойство однородности приложенных по периметру нагрузок, действующих на плоскую фигуру. При определении плоского деформированного состояния главным является то, что призматический цилиндр, вырезанный из тела, имеет высоту h, которая намного меньше линейных размеров в плоскости геометрической фигуры. Далее, перейдем к описанию компонент напряжений и деформаций в плоскости x1 x2 . Здесь и в дальнейшем принимаем, что компоненты тензора напряжений имеют вид ⎞ ⎛ σ11 (x1 , x2 ) σ12 (x1 , x2 ) 0 (6.35) σ  = ⎝σ21 (x1 , x2 ) σ22 (x1 , x2 ) 0⎠, 0 0 0 а тензор деформаций следующий: ⎞ ⎛ 0 11 (x1 , x2 ) 12 (x1 , x2 ) 0 ⎠.  = ⎝ 21 (x1 , x2 ) 22 (x1 , x2 ) 0 0 33 (x3 )

(6.36)

Величины компонент тензора напряжений рассчитываются как средние по формулам $h 1 σij (x1 , x2 , x3 ) dx3 , (6.37) σij (x1 , x2 ) = 2h −h

где в (6.37) h — полутолщина призматического цилиндра, о котором говорилось выше. Подробное описание процедуры приведения объемного напряженнодеформированного состояния к плоскому для тонкого призматического цилиндра

6.6. П ЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

409

читатель найдет в [7, (см. стр 75)]. Далее сформулируем статическую задачу линейной теории упругости для плоского напряженно-деформированного состояния. Соответствующие уравнения имеют вид: • уравнения равновесия



Div ( σ ) + ρ b = 0, • закон Гука σ = Y 1+ν



 ν Tr (  ) I +  , 1 − 2ν

(6.38)

(6.39)

• тензор деформаций

   (6.40)  = 1 u ∇ + ∇u , 2 где в (6.38)–(6.40) тензоры σ -напряжений и  -деформаций задаются формулами (6.35), (6.36). Соответствующие уравнения совместности деформаций (3.133) имеют вид ∂ 2 12 ∂ 2 11 ∂ 2 22 + = 2 . ∂x1 ∂x2 ∂x22 ∂x21

(6.41)

Уравнения плоского равновесия в терминах плоских смещений ui = ui (x1 , x2 ) имеют вид Y Y ui,jj + uj,ji + ρbi = 0, 2(1 + ν) 2(1 − ν) или (6.42)    Y Y ∇2 u + ∇∇.u + ρ b = 0, 2(1 + ν) 2(1 − ν) 2 2  где в (6.42) обозначено ∇2 = ∂ 2 + ∂ 2 , u = {u1 , u2 }.

∂x1

∂x2

С другой стороны, для изучения плоского напряженного состояния, представленного на рисунке, смещения u3 можно положить равным нулю. Тогда оставшиеся компоненты смещения равны ui = ui (x1 , x2 ). В этом случае уравнения равновесия принимают нижеследующий вид: • уравнения равновесия



Div ( σ ) + ρ b = 0;

(6.43)

σij = λδij kk + 2μ ij , или σ  = λTr ( ) I + 2μ ,

(6.44)

• закон Гука

σ33 = νσ11 + νσ22 =

λ (σ11 + σ22 ) ; 2(λ + μ)

410

ГЛАВА 6

• тензор деформаций

   =1  u ∇ + ∇u , E 2

(6.45)

 где в (6.43)–(6.45) тензоры σ -напряжений и E-деформаций задаются формулами ⎞ ⎛ 0 σ11 (x1 , x2 ) σ12 (x1 , x2 ) ⎠; ⎝ 0 (6.46) σ  = σ21 (x1 , x2 ) σ22 (x1 , x2 ) 0 0 σ33 (x1 , x2 ) ⎞ ⎛ 11 (x1 , x2 ) 12 (x1 , x2 ) 0  = ⎝ 21 (x1 , x2 ) 22 (x1 , x2 ) 0⎠. (6.47) E 0 0 0 Соответствующие уравнения совместности деформаций (3.133) сохраняются. Кроме того, соответствующие уравнения Коши – Навье имеют вид μui,jj + (λ + μ)uj,ji + ρbi = 0; или 2



(6.48)



μ∇ u + (λ + μ)∇∇.u + ρ b = 0. Как и в случае (6.35), (6.36) уравнения совместности деформаций приводятся к одному уравнению (6.41). Если система сил, приложенная к ребру пластины, не является однородной вдоль толщины пластины, но является симметричной по толщине, то говорят, что в этом случае в плоскости пластины реализуется обобщенное плоское состояние. В этом случае плоское напряженно-деформированное состояние реализуется относительно усредненных величин напряжений и деформаций. Пример усреднения приведен в (6.37). Кроме того, для обобщенного плоского напряженно-деформированного состояния вводится усредненная величина λm , которая равна λm =

2λμ = νY 2 . λ + 2μ 1−ν

(6.49)

В случае плоского деформированного состояния в литературе по линейной теории упругости иногда полагают, что 33 — постоянная величина (или равна нулю).

6.7. Функция напряжений Айри. Примеры решения задач Если массовые силы отсутствуют или равны постоянной величине, то решение плоской задачи линейной теории упругости можно получить в функциях напряжений Айри. Однако даже в случае, когда массовые силы должны быть приняты в расчет, исходя из принципа суперпозиции решений их вклад в напряженно-деформированное состояние, например, пластины учитывается частным интегралом уравнений равновесия.

6.7. ФУНКЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ А ЙРИ . П РИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

411

Очевидно, что в случае отсутствия массовых сил уравнения равновесия континуума (6.38) сводятся к следующему: Div ( σ ) = 0,

(6.50)

а уравнение совместности деформаций (6.41) приводится к виду ∇2 (σ11 + σ22 ) = 0;

(6.51)

поэтому если ввести функцию ϕ = ϕ(x1 , x2 ), которая в механике твердого деформируемого тела называется функцией напряжений Айри, такую, что напряжения будут определяться через ϕ = ϕ(x1 , x2 ) как σ11 =

∂2ϕ , ∂x22

σ22 =

∂2ϕ , ∂x21

σ12 = σ21 = −

(6.52)

∂2ϕ , ∂x1 ∂x2

то уравнения равновесия (6.50) будут удовлетворяться соотношениями (6.52) автоматически, а уравнение совместности деформаций сведется к уравнению   ∂4ϕ ∂4ϕ ∂4ϕ + 2 + = 0, ∇2 ∇ 2 ϕ = ∇ 4 ϕ = ∂x41 ∂x21 ∂x22 ∂x42

(6.53)

которое называется бигармоническим уравнением. Функция Айри, удовлетворяющая уравнению (6.53), т. е. дифференциальному уравнению в частных производных четвертого порядка (6.53), называется бигармонической функцией. Бигармоническая функция, удовлетворяющая уравнению (6.53), может быть найдена путем численных решений, конечно, при задании соответствующих граничных условий. В дальнейшем соответствующие решения будут найдены в множестве функций целых полиномов как наиболее распространенном методе решения практических задач. Применение метода решения плоской задачи теории упругости целыми полиномами представлено ниже. 6.7.1. Вывод бигармонического уравнения для плоской задачи теории упругости компьютерными кодами Для применения метода целых полиномов в плоской задаче теории упругости выведем бигармоническое уравнение (6.53) методами компьютерной алгебры. С этой целью составим тензоры деформаций и напряжений в виде функций плоских декартовых координат.

412

ГЛАВА 6

Тензор напряжений запишем в виде следующего оператора:   {{1,1 , 1,2 } , {1,2 , 2,2 }} = Table εi,j @@{x, y}, {i, 2}, {j, 2}   ε1,1 (x, y) ε1,2 (x, y) ε2,1 (x, y) ε2,2 (x, y) а тензор напряжений в виде   {{σ1,1 , σ1,2 } , {σ1,2 , σ2,2 }} = Table ti,j @@{x, y}, {i, 2}, {j, 2}   t1,1 (x, y) t1,2 (x, y) t2,1 (x, y) t2,2 (x, y) Тогда согласно (6.52) имеем следующие равенства: σ1,1 = σ2,2 =

∂ 2 Φ(x, y) ∂y 2 ∂ 2 Φ(x, y)

σ1,2 = −

∂x2

; ;

∂ 2 Φ(x, y) ; ∂x∂y

Уравнения закона Гука принимают вид (1 + ν) (σ1,1 − ν (σ1,1 + σ2,2 )) ; Y (1 + ν) (σ2,2 − ν (σ1,1 + σ2,2 )) ; = Y 2(1 + ν) σ1,2 ; = Y

1,1 = 2,2 1,2

а единственное независимое уравнение совместности деформаций (3.133) приводится к виду 

∂ 2 1,2 //Simplify ∂x∂y ∂y 2 ∂x2    2 ν − 1 Φ(0,4) (x, y) + 2Φ(2,2) (x, y) + Φ(4,0) (x, y) == 0 Y

eqDeformations =

∂ 2 1,1

+

∂ 2 2,2

==

которое по сути  бигармоническое уравнение, домноженное на постоянный  и есть ν2 − 1 . коэффициент Y

6.7. ФУНКЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ А ЙРИ . П РИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

413

Поэтому, чтобы получить классическое бигармоническое уравнение (6.53), выполним элементарное преобразование в кодах, явный вид которого представлен ниже. 

−1  2 ∂ 2 2,2 ∂ 1,1 ν2 − 1 biharmonic = + Y ∂y 2 ∂x2  −1  2 ∂ 1,2 ν2 − 1 //Simplify Y ∂x∂y

==

Φ(0,4) (x, y) + 2Φ(2,2) (x, y) + Φ(4,0) (x, y) == 0 В итоге компьютерными кодами получаем искомый вид бигармонического уравнения (6.53), которое ранее было выведено «вручную». 6.7.2. Бигармоническое уравнение. Напряжения в плоскости Очевидно, что для дальнейших решений бигармоническое уравнение можно задать в виде главной части внешнего модуля. Такая часть представлена ниже. ΔΔΦ[x_, y_] := ∂x,x,x,xΦ[x, y] + 2∂x,x,y,y Φ[x, y] + ∂y,y,y,y Φ[x, y] == 0 Указание: Составьте внешний пакет среды Mathematica для бигармонического оператора/уравнения и поместите его в текущую папку рабочих пакетов для пользовательских целей. Соответствующие выражения для расчета компонент тензора напряжений, которые также можно использовать при составлении пользовательского пакета, записаны ниже. σ1,1 = ∂y,y Φ[x, y] Φ(0,2) (x, y) σ1,2 = −∂x,y Φ[x, y] −Φ(1,1) (x, y) σ2,2 = ∂x,xΦ[x, y] Φ(2,0) (x, y) 6.7.3. Пример 1. Неравномерная нагрузка В качестве конкретного примера решения плоской задачи теории упругости в поле целых полиномов рассмотрим решение задачи, механическая схема которой изображена ниже.

414

ГЛАВА 6

Show[Import[”C:\\temp\\1\1.bmp”]]

Согласно методу Сен-Венана считается, что функция напряжений для данной задачи известна заранее. Полагаем, что функция напряжений имеет вид Φ(x, y) = b2 xy +

a3 3 b4 3 d d d x + x y + 6 x3 y 3 − 6 xy 5 + 4 xy 3 . 6 6 6 10 6

Здесь неизвестные коэффициенты {b2 , a3 , b4 , d4 , d6 } подлежат определению. Их определение основано на составлении алгебраических уравнений, получаемых из механического содержания задачи, т. е. из краевых условий. Методика составления уравнений для нахождения {b2 , a3 , b4 , d4 , d6 } будет изложена ниже. Для начала выполним проверку условия того, что функция Φ(x, y) является бигармонической. В компьютерных кодах функция напряжений Φ(x, y) имеет вид Φ[x, y] = b2 xy +

a3 3 b d d d x + 4 x3 y + 6 x3 y 3 − 6 xy 5 + 4 xy 3 6 6 6 10 6

x3 a3 − 1 xd6 y 5 + 1 xd4 y 3 + 1 x3 d6 y 3 + xb2 y + 1 x3 b4 y + 10 6 6 6 6 а проверка выполнения условия ΔΔΦ[x, y] для функции напряжений представлена ниже, ΔΔΦ[x, y] True Вторым шагом в решении задачи является определение условий и расчет неизвестных, которые удовлетворяют граничным условиям. Рассмотрим выполнение граничных условий на левом конце пластины. • Нормальные напряжения вдоль оси x на свободном конце равны нулю. Это условие записывается в виде σx,x |x=0 = 0.

6.7. ФУНКЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ А ЙРИ . П РИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

415

Это же условие, но записанное в кодах символьных вычислений, имеет вид (σ1,1 = ∂y,y Φ[x, y]/.x → 0) == 0 True То же самое можно сказать и о напряжениях вдоль y. (σ2,2 = ∂x,xΦ[x, y]/.x → 0) == 0 True Таким образом, первые два условия удовлетворяются тождественно. Для касательных напряжений на левом конце пластины сформулируем граничное условие в интегральном виде, т. к. касательные напряжения на свободном конце зависят от координаты y. Последнее заключение следует из кода, записанного ниже. −∂x,y Φ[x, y]/.x → 0 d6 y 4 d4 y 2 − − b2 2 2 Для того чтобы удовлетворить граничное условие при x = 0, а именно отсутствие перерезывающей силы на свободном конце, необходимо для перерезывающей силы сформулировать условие в интегральном виде. • Граничное условие на свободной поверхности грани при x = 0, которое показывает, что Qx = 0, записывается следующим образом: $e¨ (σx,y ) |x=0 dy = Qx = 0. −¨ e

В компьютерных кодах последнее равенство имеет вид $ c  eq1 = (−∂x,y Φ[x, y]/.x → 0) dy//Factor == 0 −c

1 c 3d c4 − 5d c2 − 30b  = 0 6 4 2 15 Далее, рассмотрим выполнение граничных условий на правом конце пластины. На правом конце пластины граничное условие для сил следует из уравнения статики N 3 Fiy = 0. i=1

1 • Из уравнения N i=1 Fiy = 0 следует, что перерезывающая сила уравновешивается внешней силой от распределенной нагрузки qx (x). В развернутом виде уравнение для сил принимает вид $e¨ $L (σx,y ) |x=L dy = qx (x) dx. −¨ e

0

416

ГЛАВА 6

В кодах это равенство записывается следующим образом: $ c $ L eq2 = (−∂x,y Φ[x, y]/.x → L) dy == q0 x dx L −c 0 Lq0 d6 c5 d4 c3 − − L2 d6 c3 − 2b2 c − L2 b4 c = 5 3 2 Второе уравнение статики имеет вид уравнения моментов N 3

Mii = 0.

i=1

• Изгибающий момент уравновешивается моментом внешних сил: Mx = M (x), $e¨ $L − (σy,y |x=L ) y dy = qx (x)x dx. $ eq3 = −

−¨ e c −c

0

$

(∂y,y Φ[x, y]/.x → L) y dy ==

L 0

q0 x L

 x dx

2 4 Ld c5 − 2 Ld c3 − 2 L3 d c3 = L q0 6 4 6 5 3 3 3 • Распределенная внешняя нагрузка уравновешивается нормальными напряжениями на верхней площадке пластины:

σy,y |y=c = qx (x)|y=c . eq4 = (∂x,xΦ[x, y]/.y → c) == q0 x L xq xd6 c3 + xb4 c + xa3 = 0 L • Распределенная внешняя нагрузка уравновешивается нормальными напряжениями на нижней площадке пластины: $e¨

$L (σx,x |y=−c ) dx =

−¨ e

q1,x (x)|y=−c dx, 0

q1,x (x) = 0, оставшееся граничное условие принимает вид $ eq5 =

L

(∂y,y Φ[x, y]/.y → −c) dx == 0

0

− 1 cd6 L4 − 1 cd4 L2 + c3 d6 L2 = 0 4 2 Граничные условия формируют алгебраические уравнения для нахождения неизвестных, входящих в функцию напряжений Φ(x, y).

6.7. ФУНКЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ А ЙРИ . П РИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

417

Нахождение неизвестных параметров, входящих в функцию напряжений {b2 , a3 , b4 , d4 , d6 }, находим из оператора   sol = Solve {eq1, eq2, eq3, eq4, q5}, {b2 , a3 , b4 , d4 , d6 } // Simplify//Flatten 4  2    5L − 8c2 q0 L 14c2 − 5L2 q0 3q0  , b2 → , ,b →  a3 → 2L 4 96c3 + 60L2 c 2 8Lc3 + 5L3 c 5   5L L2 − 4c2 q0 5Lq0 d4 → 3  2  , d6 → − 5 8c + 5L2 c3 2c 8c + 5L2 Функция напряжений после подстановки неизвестных постоянных {b2 , a3 , b4 , d4 , d6 } принимает вид явной функции от переменных x, y, что полностью решает поставленную задачу. Φ[x, y]/.sol//Simplify   2  4 1 2 5 2 x 24x c + 2 7L − 4x yc + 15L2 x2 c3 − 5 3 3 96Lc + 60L c     −5L2 y L2 − x2 + 4y 2 c2 + L2 y 3 5L2 − 10x2 + 6y 2 q0 Напряжения в плоской фигуре вычисляются следующим образом: σ1,1 = ∂y,y Φ[x, y]/.sol

  5L L2 − 4c2 yq0 x 10Ly 3 q0 x 5Lyq0 x3 + +   − 5 8c + 5L2 c3 8c5 + 5L2 c3 2c3 8c2 + 5L2 σ1,2 = −∂x,y Φ[x, y]/.sol

  5L L2 − 4c2 q0 y 2 15Lx2 q0 y 2 5Lq0 y 4 −  5 +  5 −   − 2 8c + 5L2 c3 2 8c + 5L2 c3 4c3 8c2 + 5L2     2 5L − 8c2 x2 q0 L 14c2 − 5L2 q0  − −  96c3 + 60L2 c 4 8Lc3 + 5L3 c σ2,2 = ∂x,xΦ[x, y]/.sol  2  5L − 8c2 xq0 y 3xq0 5Lxq0 y 3 +  − 5  + 2L 8c + 5L2 c3 2 8Lc3 + 5L3 c 6.7.4. Визуализация полей напряжений плоской фигуры при неравномерной нагрузке Численные значения параметров имеют вид L = 10; c = 2; q0 = 105 ;

418

ГЛАВА 6

Поле нормальных напряжений вдоль оси x-напряжения σx,x имеет вид gr1 = ContourPlot [Evaluate [σ1,1 ] , {x, 0, 10}, {y, −2, 2}, ColorFunction → Hue, AspectRatio → 2/5, Background → GrayLevel[1]]

Поле нормальных напряжений σy,y имеет вид gr2 = ContourPlot [Evaluate [σ2,2 ] , {x, 0, 10}, {y, −2, 2}, ColorFunction → Hue, AspectRatio → 2/5, Background → GrayLevel[1]]

Поле касательных напряжений σx,y представлено ниже. gr3 = ContourPlot [Evaluate [σ1,2 ] , {x, 0, 10}, {y, −2, 2}, ColorFunction → Hue, AspectRatio → 2/5, Background → GrayLevel[1]]

6.7. ФУНКЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ А ЙРИ . П РИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

419

Из функции напряжений и выражений для компонент тензора напряжений можно получить графические представления для градиентов напряжений. Градиенты полей напряжений имеют следующий вид: • поле градиентов нормальных напряжений σ1,1 представлено ниже, gr4 = (Needs[“VectorFieldPlots`”]; GradientFieldPlot [Evaluate [σ1,1 ] , {x, 0, 10}, {y, −2, 2}, AspectRatio → 2/5, Frame → True, Background → GrayLevel[1]])

• поле градиента нормальных напряжений σ2,2 , которые неопределимы в курсе сопротивления материалов, имеет вид gr5 = GradientFieldPlot [Evaluate [σ2,2 ] , {x, 0, 10}, {y, −2, 2}, AspectRatio → 2/5, Frame → True, Background → GrayLevel[1]]

так же как и σ1,2 -поле касательных напряжений, которое представлено ниже,

420

ГЛАВА 6

gr6 = GradientFieldPlot [Evaluate [σ1,2 ] , {x, 0, 10}, {y, −2, 2}, AspectRatio → 2/5, Frame → True, Background → GrayLevel[1]]

Кроме того, графические средства среды Mathematica позволяют наглядно представить геометрические места точек на пластине, где отсутствуют напряжения. Так, визуализация линий, где нормальные напряжения σ1,1 равны нулю, представлена ниже. gr7 = ContourPlot [Evaluate [σ1,1 ] == 0, {x, 0, 10}, {y, −2, 2}, AspectRatio → 2/5, Frame → True, Background → GrayLevel[1]]

Подобные картины для σ2,2 -нормальных gr8 = ContourPlot [Evaluate [σ2,2 ] == 0, {x, 0, 10}, {y, −2, 2}, AspectRatio → 2/5, Frame → True, Background → GrayLevel[1]]

6.7. ФУНКЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ А ЙРИ . П РИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

421

и σ1,2 -касательных напряжений gr9 = ContourPlot [Evaluate [σ1,2 ] == 0, {x, 0, 10}, {y, −2, 2}, AspectRatio → 2/5, Frame → True, Background → GrayLevel[1]]

частично повторяют картины распределения напряжений, которые представлены выше и являются дополнительным средством проверки правильности аналитического решения. 6.7.5. Пример 2. Расчет плоского напряженного состояния с учетом массовой силы В качестве примера расчета плоского напряженного состояния рассмотрим задачу, схема которой приведена ниже. Пример: Расчет плоского напряженного состояния. Схема представлена на рисунке (см. рисунок ниже) Show[Import[“C:\\temp\\1\2.bmp”

Метод решения: полуобратный метод Сен-Венана. Как и в предыдущей задаче, считается, что функция напряжений для данной задачи известна заранее. Функция напряжений имеет вид   d3 3 d5 2 3 y 5 b3 2 x y − . Φ(x, y) = x y + y + 2 6 6 5

422

ГЛАВА 6

Здесь в Φ(x, y) неизвестные коэффициенты {b3 , d3 , d5 } подлежат определению. Для начала выполним проверку условия того, что Φ(x, y) является бигармонической функцией. В компьютерных кодах функция напряжений Φ(x, y) имеет вид   y5 b3 2 d d x y + 3 y 3 + 5 x2 y 3 − 2 6 6 5   y5 d3 y 3 1 2 + x b3 y + 1 x2 y 3 − d5 6 2 6 5

Φ[x, y] =

а проверка выполнения условия бигармоничности для функции напряжений Φ(x, y) представлена ниже, ΔΔΦ[x, y] True Таким образом, функция напряжений Φ(x, y) тождественно удовлетворяет бигармоническому уравнению ΔΔΦ[x, y]. Вторым шагом в решении задачи является определение условий и расчет неизвестных {b3 , d3 , d5 }, которые удовлетворяют граничным условиям. Рассмотрим выполнение граничных условий на левом конце пластины. • Касательные напряжения вдоль оси y на левом конце пластины уравновешиваются внешней силой (2cρL). Это условие записывается в интегральном виде как $e¨ (σx,y |x=L ) dy = 2cρL. −¨ e

Это же условие, но записанное в кодах символьных вычислений, имеет вид $ eq1 =

c

−c

 (−∂x,y Φ[x, y]/.x–>L) dy == −2cρL //Factor//Simplify

3ρ = 3b3 + 4d5 • Изгибающий момент уравновешивается моментом внешних сил: Mx = M (x), $e¨ − −¨ e

$

c

eq2 = −c

$L (σx,x |x=L ) y dy =

qx (x)x dx. 0

(∂y,y Φ[x, y]/.x → L) y dy == 0//Simplify

5d3 + 492d5 = 0

6.7. ФУНКЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ А ЙРИ . П РИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

423

• Граничные условия на верхней и нижней площадках. Касательные напряжения на площадках равны нулю, eq3 = (σx,y = −∂x,y Φ[x, y]/.y → c) == 0//Simplify x (b3 + 4d5 ) = 0 Граничные условия формируют алгебраические уравнения для нахождения неизвестных {b3 , d3 , d5 }, входящих в функцию напряжений Φ(x, y). Нахождение неизвестных параметров, входящих в функцию напряжений {b3 , d3 , d5 }, находим из оператора   sol = Solve {eq1, eq2, eq3}, {b3 , d3 , d5 } //Simplify//Flatten

369ρ 3ρ 3ρ , b3 → , d5 → − d3 → 10 2 8 Функция напряжений после подстановки неизвестных постоянных {b3 , d3 , d5 } принимает вид явной функции от переменных x, y, что полностью решает поставленную задачу. Φ[x, y]/.sol 123ρy 3 3 2 + x ρy − 1 20 4 16

 x2 y 3 −

y5 5

ρ

Напряжения в плоской фигуре вычисляются следующим образом: σ1,1 = ∂y,y Φ[x, y]/.sol   369yρ 1 2 3 − 6x y − 4y ρ 10 16 σ1,2 = −∂x,y Φ[x, y]/.sol 3 xy 2 ρ − 3xρ 8 2 σ2,2 = ∂x,xΦ[x, y]/.sol 3yρ y 3 ρ − 2 8 6.7.6. Визуализация полей напряжений плоской фигуры при действии массовой силы Численные значения параметров имеют вид L = 10; c = 2; ρ = 7.8 103 ;

424

ГЛАВА 6

Поле нормальных напряжений вдоль оси x-напряжения σx,x имеет вид gr11 = ContourPlot [Evaluate [σ1,1 ] , {x, −10, 10}, {y, −2, 2}, ColorFunction → Hue, AspectRatio → 2/5, Background → GrayLevel[1]]

Поле нормальных напряжений σy,y имеет вид gr12 = ContourPlot [Evaluate [σ2,2 ] , {x, −10, 10}, {y, −2, 2}, ColorFunction → Hue, AspectRatio → 2/5, Background → GrayLevel[1]]

Поле касательных напряжений σx,y имеет вид gr13 = ContourPlot [Evaluate [σ1,2 ] , {x, −10, 10}, {y, −2, 2}, ColorFunction → Hue, AspectRatio → 2/5, Background → GrayLevel[1]]

6.7. ФУНКЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ А ЙРИ . П РИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Градиенты полей напряжений имеют вид gr14 = (Needs[“VectorFieldPlots`”]; GradientFieldPlot [Evaluate [σ1,1 ] , {x, −10, 10}, {y, −2, 2}, AspectRatio → 2/5, Frame → True, Background → GrayLevel[1]])

gr15 = GradientFieldPlot [Evaluate [σ2,2 ] , {x, −10, 10}, {y, −2, 2}, AspectRatio → 2/5, Frame → True, Background → GrayLevel[1]]

gr16 = GradientFieldPlot [Evaluate [σ1,2 ] , {x, −10, 10}, {y, −2, 2}, AspectRatio → 2/5, Frame → True, Background → GrayLevel[1]]

425

426

ГЛАВА 6

6.8. Плоская задача в цилиндрических координатах Иногда геометрические формы плоской фигуры обладают осевой симметрией, такой, что плоскость напряженно-деформированного состояния тела удобно рассчитывать в полярных координатах (r, θ). Как известно, переход к полярным координатам производится по формулам x1 = r Cos θ;

x2 = r Sin θ.

(6.54)

При этом уравнения равновесия элемента среды (6.38) принимают вид (6.54): σ −σ ∂σ ∂σrr + 1r rθ + rr r θθ + R = 0; ∂r ∂θ 1 ∂σθθ + ∂σrθ + 2σrθ + Q = 0. r ∂θ r ∂r

(6.55)

Здесь R, Q — компоненты массовой силы, а компоненты тензоров напряжений и деформаций следующие: ⎞ ⎛ σrr (r, θ) σrθ (r, θ) 0 (6.56) σ  = ⎝σθr (r, θ) σθθ (r, θ) 0⎠; 0 0 0 ⎞ ⎛ 0 rr (r, θ) rθ (r, θ)  = ⎝ θr (r, θ) θθ (r, θ) 0 ⎠. (6.57) E 0 0 33 (x3 ) Принимая функцию напряжений Айри в виде ϕ = ϕ(r, θ), находим компоненты тензора напряжений следующим образом: ∂ϕ(r, θ) ∂ 2 ϕ(r, θ) + 12 ; σrr (r, θ) = 1r ∂r r ∂θ 2 σθθ (r, θ) =

∂ 2 ϕ(r, θ) 

σrθ (r, θ) = ∂ ∂r

∂r 2

;

(6.58)

1 ∂ϕ(r, θ) . r ∂θ

Соответственно, уравнение совместности деформаций принимает вид   ∇2 ∇2 ϕ = 0,

(6.59)

2 2 где ∇2 = ∂ 2 + 1r ∂ + 12 ∂ 2 — оператор Лапласа в полярных координатах. ∂r ∂r r ∂θ

6.9. Гиперупругость и гипоупругость Современные представления о материалах и о решении задачи по определению напряженно-деформированного состояния в твердом деформируемом теле приводят

6.10. Л ИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕРМОУПРУГОСТИ

427

к формулировке физических уравнений состояния, которые трактуют упругость материала в отличном от традиционного определении упругости и понимают упругость в определенном смысле. Так, например, говорят, что материал является гиперупругим, если он обладает U — функцией энергии деформаций, такой, что материальная производная от этой функции равна мощности напряжений, вычисленной в единице объема среды. Тогда уравнение состояния гиперупругого материала имеет вид  d ij dU = 1 σ D = 1 σ . (6.60) ij ij ij ρ ρ dt dt Здесь в (6.60) Dij обозначен тензор скорости деформации среды. Другая формулировка относится к понятию гипоупругости материала. В этом случае материал называется гипоупругим, если скорость изменения напряжений является линейной однородной функцией скорости деформаций. Для гипоупругого материала уравнение состояния имеет вид V = Kijkm Dkm , (6.61) σij в котором скорость изменения напряжений представлена в виде V = σij

dσij − σiq Vqj − σjq Vqi , dt

(6.62)

где в (6.62) Vij — тензор завихренности потока.

6.10. Линейная задача термоупругости Если для расчета напряженно-деформированного состояния среды необходимо принимать во внимание температурные эффекты, то тензор деформаций среды принимается в виде (6.63) ij = sij + Tij , где sij — вклад в общую деформацию элемента среды от напряжений, а Tij — деформации от температурного поля. Компоненты тензора деформаций, которые обусловлены изменением температуры, начиная от T0 — заданной температуры, для нестесненного связями изотропного деформируемого тела, имеют вид Tij = α (T − T0 ) δij ,

(6.64)

где в (6.64) величина α — коэффициент температурного расширения материала. При использовании (6.63) и (6.64) закон Гука (6.18) для задачи термоупру гости принимает вид   λ δij σkk + α (T − T0 ) δij , (6.65) ij = 1 σij − 2μ 3λ + 2μ который известен как соотношения Дюамеля – Неймана. Обратное преобразование (6.65) соотношений Дюамеля – Неймана, выраженное через модуль Юнга и коэффициент Пуассона, представимо в кодах

428

ГЛАВА 6

 = Table [If [i == j, σi,i, σi,j = σj,i] , {i, 3}, {j, 3}] ; σ  = Table [If [i == j, i,i, i,j = j,i] , {i, 3}, {j, 3}] ;    ν  == Y (Tr[ ]+ lawDuhamelNeumann = Solve Thread σ 1 + ν 1 − 2ν   α (T − T0 )) IdentityMatrix[3] +  , {1,1 , 2,2 , 3,3 , 2,1 , 3,1 , 3,2 } 4

//Flatten//Simplify

2,1 →

(ν + 1)σ2,1 (ν + 1)σ3,1 (ν + 1)σ3,2 , 3,1 → , 3,2 → , Y Y Y

1,1 →

Y ανT0 + (ν + 1)σ1,1 − ν (T Y α + (ν + 1)σ2,2 + (ν + 1)σ3,3 ) , Y (ν + 1)

− σ3,3 ν 2 − T Y αν + Y αT0 ν − (ν + 1)σ1,1 ν + σ2,2 ν − σ3,3 ν + σ2,2 , Y (ν + 1) 5 − σ2,2 ν 2 − T Y αν + Y αT0 ν − (ν + 1)σ1,1 ν − σ2,2 ν + σ3,3 ν + σ3,3 → Y (ν + 1)

2,2 → 3,3

Соотношения Дюамеля – Неймана, выраженные через постоянные Лямэ, принимают вид (6.66) σij = λδij σkk + 2μ ij − (3λ + 2μ)α (T − T0 ) δij , что немедленно выражается в кодах следующим образом:    − lawDuhamelNeumannLame = Solve Thread  == 1 σ 2μ     λ  + α (T − T0 ) IdentityMatrix[3] , IdentityMatrix[3]Tr σ 3λ + 2μ  {1,1 , 2,2 , 3,3 , 2,1 , 3,1 , 3,2 } //Flatten//Simplify 4

σ1,1 −

1,1 → α (T − T0 ) +

2μ σ2,2 −

2,2 → α (T − T0 ) +

2,1 →

λ (σ1,1 + σ2,2 + σ3,3 ) 3λ + 2μ

2μ σ3,3 −

3,3 → α (T − T0 ) +

λ (σ1,1 + σ2,2 + σ3,3 ) 3λ + 2μ

λ (σ1,1 + σ2,2 + σ3,3 ) 3λ + 2μ

2μ

σ2,1 σ3,1 σ3,2 , 3,1 → , 3,2 → 2μ 2μ 2μ

5

,

,

,

6.10. Л ИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕРМОУПРУГОСТИ

429

Обратные соотношения Дюамеля – Неймана, выраженные через постоянные Лямэ, записываются следующим образом:    1 − σ lawDuhamelNeumannLameInverse = Solve Thread  == 2μ     λ  + α (T − T0 ) IdentityMatrix[3] , IdentityMatrix[3]Tr σ 3λ + 2μ  {σ1,1 , σ2,2 , σ3,3 , σ2,1 , σ3,1 , σ3,2 } //Flatten//Simplify { σ3,2 → 2μ 3,2 , σ2,1 → 2μ 2,1 , σ3,1 → 2μ 3,1 , σ1,1 → −3T αλ + 2,2 λ + 3,3 λ − 2T αμ + α(3λ + 2μ)T0 + (λ + 2μ) 1,1 , σ2,2 → −3T αλ + 1,1 λ + 2,2 λ + 3,3 λ − 2T αμ + α(3λ + 2μ)T0 + 2μ 2,2 , σ3,3 → −3T αλ + 1,1 λ + 2,2 λ + 3,3 λ − 2T αμ + α(3λ + 2μ)T0 + 2μ 3,3 } Из сделанных выше определений следует, что для решения задачи термоупругости необходимо знать распределение температурного поля в изотропном упругом теле. Для этого воспользуемся законом Фурье, который устанавливает зависимость между градиентом температуры и потоком теплоты сквозь выделенный элемент среды. Закон Фурье имеет вид ei = −kT,i ≡ −k ∂T , ∂xi

(6.67)

где k — скалярный коэффициент температуропроводности. Полагая, что поток тепла проходит в условиях постоянных механических деформаций, вводим в расчет величину cv изменения энтропии следующего вида: ei,i = −ρcv dT , dt

(6.68)

а внутренняя энергия предполагается функционально зависящей от компонент тензора деформаций ij , температуры T . Тогда уравнение энергии (5.45) принимает вид d ij kT,ii = ρcv dT + (3λ + 2μ)αT0 dt dt

(6.69)

известно как совместное уравнение температуропроводности в деформируемой среде. Система определяющих уравнений термоупругости для изотропного тела принимает вид: • уравнения движения ρbi + σji,j = ρ

d2 ui , dt2

или 

(6.70) 2

=ρd u ; ρ b + Div σ dt2

430

ГЛАВА 6

• соотношения термоупругости σij = λδij σkk + 2μ ij − (3λ + 2μ)α (T − T0 ) δij , или  σ  = λTr [ σ ] I + 2μ − (3λ + 2μ)α (T − T0 ) I; • тензора деформаций

 ij = 1 2

(6.71)

∂uj ∂ui + , ∂xj ∂xi

или     = 1 u ∇ + ∇u , 2

(6.72)

• совместного уравнения температуропроводности d ij , kT,ii = ρcv dT + (3λ + 2μ)αT0 dt dt или

(6.73)

. k∇2 T = ρcv dT + (3λ + 2μ)αT0 d dt dt Кроме того, система (6.70)–(6.73) замыкается уравнениями совместности упругих деформаций. Таким образом, составленная система уравнений термоупругости должна быть решена относительно напряжений, смещений и температуры в изотропном теле при соответствующих краевых и начальных условиях. Вместе с тем имеется большое число задач в которых инерционными составляющими сил и эффектами совместного влияния температуры и смещения можно пренебречь. В этом случае совместная задача термоупругости распадается на две независимые задачи: • сначала решается задача о распределении температуры в теле на основании решения задачи теплопроводности kT,ii = ρcv dT , dt или

(6.74)

k∇2 T = ρcv dT , dt в результате которой находится температурное поле T = T (x, y, z, t) в теле, •• а затем решается статическая задача линейной теории упругости вида ρbi + σji,j = 0, или 

 = 0; ρ b + Div σ

(6.75)

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ШЕСТОМУ РАЗДЕЛУ

431

•• соотношения термоупругости σij = λδij σkk + 2μ ij − (3λ + 2μ)α (T − T0 ) δij , или  σ  = λTr [ σ ] I + 2μ − (3λ + 2μ)α (T − T0 ) I; •• тензор деформаций

 ij = 1 2

(6.76)

∂uj ∂ui + , ∂xj ∂xi (6.77)

или

    = 1 u ∇ + ∇u . 2 Таким образом, вопрос о совместной задаче термоупругости в линейном приближении решается описанной выше методикой.

Задачи и их решения по шестому разделу Закон Гука. Энергия упругих деформаций. Изотропность Задача 6.1. Показать, что плотность энергии упругих деформаций u∗ для изотропной среды, подчиняющейся закону Гука, может быть выражена в терминах тензора деформаций в виде : . )2 2 + μ    , (P.6.1) u∗ = λ Tr ( . или, в терминах тензора напряжений,   .  − νTr ( σ σ σ )2 . u∗ = 1 (1 + ν) . 2Y

(P.6.2)

Решение: Подставляя (6.17) в (6.11), находим )2 u∗ = (λδij kk + 2μ ij ) ij / 2 = λ Tr (

:

. 2 + μ   , .

в кодах проверка равенства имеет вид  = Table [If [i == j, σi,i, σi,j = σj,i] , {i, 3}, {j, 3}] ; σ  = Table [If [i == j, i,i, i,j = j,i] , {i, 3}, {j, 3}] ;     # energySymbolic1 = λ Sum [[i, i]], {i, 3} Sum [[j, j]], {j, 3} 2+   Sum μ [[i, j]] [[i, j]], {i, 3}, {j, 3} //Simplify μ 21,1 + 2μ 22,1 + μ 22,2 + 2μ 23,1 + 2μ 23,2 + μ 23,3 + 1 λ ( 1,1 + 2,2 + 3,3 )2 2

(P.6.3)

432

ГЛАВА 6

 : energySymbolic2 = λ Tr ( )2 2+   Sum μ [[i, j]] [[i, j]], {i, 3}, {j, 3} //Simplify μ 21,1 + 2μ 22,1 + μ 22,2 + 2μ 23,1 + 2μ 23,2 + μ 23,3 + 1 λ ( 1,1 + 2,2 + 3,3 )2 2 energySymbolic1 == energySymbolic2 True Следовательно, первое равенство, записанное через компоненты тензора деформаций, выполняется точно. Далее, выполняя такие же действия для тензора напряжений, получим выполнение второго равенства. Указание: Составить и выполнить коды для второго равенства. Задача 6.2. Разложить тензоры напряжений и деформаций на сферический и девиатор, а затем выразить плотность упругой энергии u∗ как us — энергию дилатации (расширения) и ud — энергию дисторции (сдвига). Решение: Составим коды для сферической части и девиатора тензоров напряжений и деформаций.  = Table [If [i == j, σi,i, σi,j = σj,i] , {i, 3}, {j, 3}] ; σ  = Table [If [i == j, i,i, i,j = j,i] , {i, 3}, {j, 3}] ; sphDeformation = 1/3Tr ( ) IdentityMatrix[3] ⎞ ⎛ 1 ( + + ) 0 0 1,1 2,2 3,3 ⎟ ⎜3 ⎟ ⎜ 1 ( + + ) 0 0 ⎟ ⎜ 1,1 2,2 3,3 3 ⎠ ⎝ 1 ( + + ) 0 0 1,1 2,2 3,3 3

deviatorDeformation = (  − 1/3Tr ( ) IdentityMatrix[3]) //Simplify ⎞ ⎛ 1 (2 − − ) 2,1 3,1 1,1 2,2 3,3 ⎟ ⎜3 ⎟ ⎜ 1 (− + 2 − ) 2,1 3,2 ⎟ ⎜ 1,1 2,2 3,3 3 ⎠ ⎝ 1 (− − + 2 ) 3,1 3,2 1,1 2,2 3,3 3

sphStresses = 1/3Tr ( σ ) IdentityMatrix[3] ⎞ ⎛ 1 (σ + σ + σ ) 0 0 1,1 2,2 3,3 ⎟ ⎜3 ⎟ ⎜ 1 (σ + σ + σ ) 0 0 ⎟ ⎜ 2,2 3,3 3 1,1 ⎠ ⎝ 1 (σ1,1 + σ2,2 + σ3,3 ) 0 0 3

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ШЕСТОМУ РАЗДЕЛУ

433

deviatorStresses = ( σ − 1/3Tr ( σ ) IdentityMatrix[3]) //Simplify ⎞ ⎛ 1 (2σ − σ − σ ) σ2,1 σ3,1 1,1 2,2 3,3 ⎟ ⎜3 ⎟ ⎜ 1 (−σ + 2σ − σ ) σ2,1 σ3,2 ⎟ ⎜ 1,1 2,2 3,3 3 ⎠ ⎝ 1 (−σ − σ + 2σ ) σ3,1 σ3,2 1,1 2,2 3,3 3

Подставляя полученные соотношения в (6.11), последовательно находим: • упругую энергию дилатации,  energyStrainDilatation = 1/2 Sum sphDeformation[[i, j]]  sphStresses[[i, j]], {i, 3}, {j, 3} 1 ( + + ) (σ + σ + σ ) 2,2 3,3 1,1 2,2 3,3 6 1,1 • упругую энергию сдвига,  energyStrainDeviator = 1/2 Sum deviatorDeformation[[i, j]]  deviatorStresses[[i, j]], {i, 3}, {j, 3} //Simplify 1  − σ + 6 σ − σ + 6 σ + 6 σ + 3,3 1,1 2,1 2,1 3,3 2,2 3,1 3,1 3,2 3,2 6  + 1,1 (2σ1,1 − σ2,2 − σ3,3 ) + 2 3,3 σ3,3 − 2,2 (σ1,1 − 2σ2,2 + σ3,3 ) Далее находим упругую энергию деформации элемента среды:    [[i, j]] energyStrain = 1/2 Sum σ [[i, j]], {i, 3}, {j, 3} //Simplify 1 ( σ + 2 σ + σ + 2 σ + 2 σ + σ ) 2,1 2,1 2,2 2,2 3,1 3,1 3,2 3,2 3,3 3,3 2 1,1 1,1 и, наконец, выполняем проверку ((energyStrainDilatation + energyStrainDeviator)//Simplify) == energyStrain True Очевидно, что упругая энергия деформации равна упругой энергии расширения и упругой энергии сдвига. Задача 6.3. Полагая, что однородное сжатие определяется тензором напряжений σij = −pδij ,

(P.6.4)

найти формулу для коэффициента всестороннего сжатия (как отношение изменения давления к изменению объема), заданного в (6.19). Решение: Поскольку σij = −pδij , то обращенное соотношение (6.18) для данного случая примет вид ij = ((1 + ν) (−pδij ) + νδij (3p))/ Y.

(P.6.5)

434

ГЛАВА 6

Отсюда имеем ii = (−3p(1 + ν) (δij ) + 9pν)/ Y.

(P.6.6)

Таким образом, K = −p / ii =

Y . 3(1 − 2ν)

(P.6.7)

В кодах вывод формулы для K приведен ниже. Тензор напряжений для однородного сжатия имеет вид  = Table [If [i == j, σi,j = −pKroneckerDelta[i, j], 0], {i, 3}, {j, 3}]; σ  σ ⎛ ⎞ −p 0 0 ⎝ 0 −p 0 ⎠ 0 0 −p Тензор деформаций представлен ниже,  = Table [If [i == j, i,i, i,j = j,i] , {i, 3}, {j, 3}] ; а обращенное равенство (6.18) имеет вид deformationTensor = = ( ((1 + ν) σ + ν(3p)IdentityMatrix[3])/ Y ) //Simplify ⎞ ⎛ p(2ν − 1) 0 0 ⎟ ⎜ Y ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ p(2ν − 1) ⎟ ⎜ 0 0 ⎟ ⎜ Y ⎝ p(2ν − 1) ⎠ 0 0 Y

Отсюда коэффициент всестороннего сжатия записывается как отношение давления к объему (см. 3.120). K = −p/Tr(deformationTensor) −

Y 3(2ν − 1)

Задача 6.4. Выразить энергии дилатации и сдвига в терминах инженерных модулей K — модуля объемного расширения и G — модуля сдвига и компонент тензора деформаций. Решение: Из решения задачи 6.3 имеем σii = 3K ii ,

(P.6.8)

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ШЕСТОМУ РАЗДЕЛУ

435

таким образом, энергия дилатации равна us = 1 σii jj = 1 K ii jj = 1 K (Inv1 )2 . 6 2 2

(P.6.9)

Из (6.17), которое записывается как σ  = λTr ( )I + 2μ , и (2.56), явный вид которого есть σij = δij σkk /3 + sij , находим σij = λδij kk / 3 + 2μ ij = sij + δij σkk / 3,

(P.6.10)

σii = (3λ + 2μ) ii ,

(P.6.11)

и т. к. то из последнего соотношения следует, что sij = 2μ ( ij − kk δij / 3) .

(P.6.12)

Тогда энергия дисторции (сдвига) равна ud = 2μ ( ij − kk δij / 3) ( ij − pp δij / 3)/ 2 = μ ( ij ij − ii jj / 3) .

(P.6.13)

Очевидно, что обе плотности энергий пропорциональны K и μ = G. Указание: Выполнить преобразования в компьютерных кодах. Задача 6.5. В общем случае плотность упругой энергии деформаций можно выразить квадратичной формой вида u = CKM K M ,

(P.6.14)

где CKM — матрица не обязательно симметричная. Показать, что плотность энергии может быть записана в виде (6.11), и что ∂u = σK . ∂ K

Решение: Запишем квадратичную форму в виде u = 1 CKM K M + 1 CKM K M = 2 2 = 1 CKM K M + 1 CP N N P = 2 2  , = 1 (CKM + CM K ) K M = 1 C 2 2 KM K M

(P.6.15)

M K . Далее, дифференцируя квадратичную форму, находим KM = C где C ∂u = 1 C + 1C = 2 KM K,R M 2 KM K M,R ∂ R = 1 CKM K,R M + 1 CP N N P,R = 2 2 1  =σ R . = (CKM,M + CM K,R ) = 1 C 2 2 RM,M

(P.6.16)

436

ГЛАВА 6

Задача 6.6. Показать, что для ортотропного упругого континуума (три ортогональные плоскости упругой среды являются плоскостями симметрии) упругие по задаются матрицей (6.15). стоянные коэффициенты матрицы C Решение: Пусть в системах координат {x1 , x2 , x3 } и {y1 , y2 , y3 } плоскость {x1 = y1 , x2 = y2 } является плоскостью упругой симметрии, а x3 = −y3 . Тогда матрица преобразования между системами координат имеет вид A = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, −1}} ⎛ ⎞ 10 0 ⎝0 1 0 ⎠ 0 0 −1 Матрица упругих постоянных имеет вид  = Table [If [i == j, ci,i, ci,j = cj,i] , {i, 6}, {j, 6}] ; C    MatrixForm C ⎛ c1,1 c2,1 c3,1 c4,1 ⎜c2,1 c2,2 c3,2 c4,2 ⎜ ⎜c3,1 c3,2 c3,3 c4,3 ⎜ ⎜c4,1 c4,2 c4,3 c4,4 ⎜ ⎝c5,1 c5,2 c5,3 c5,4 c6,1 c6,2 c6,3 c6,4

c5,1 c5,2 c5,3 c5,4 c5,5 c6,5

⎞ c6,1 c6,2 ⎟ ⎟ c6,3 ⎟ ⎟ c6,4 ⎟ ⎟ c6,5 ⎠ c6,6

Тензоры напряжений и деформаций в системе {x1 , x2 , x3 } представлены ниже,  = Table [If [i == j, σi,i, σi,j = σj,i] , {i, 3}, {j, 3}] ; σ  = Table [If [i == j, i,i, i,j = j,i] , {i, 3}, {j, 3}] ; а соответствующие тензоры в системе {y1 , y2 , y3 } имеют вид  1 = A. σ .AT σ ⎛ ⎞ σ1,1 σ2,1 −σ3,1 ⎝ σ2,1 σ2,2 −σ3,2 ⎠ −σ3,1 −σ3,2 σ3,3 .AT 1 = A. ⎛ ⎞ 1,1 2,1 − 3,1 ⎝ 2,1 2,2 − 3,2 ⎠ − 3,1 − 3,2 3,3

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ШЕСТОМУ РАЗДЕЛУ

437

Представляя независимые компоненты введенных тензоров в виде 6-мерных векторов 



σ = {σ1,1, σ2,2 , σ3,3 , σ3,1 , σ3,2 , σ2,1 } ;  = {1,1 , 2,2 , 3,3 , 3,1 , 3,2 , 2,1 } ;



σ 1 = {σ1,1 , σ2,2 , σ3,3 , −σ3,1 , −σ3,2 , σ2,1 } ;



 1 = {1,1 , 2,2 , 3,3 , −3,1 , −3,2 , 2,1 } ;

запишем закон Гука через компоненты тензоров напряжений и деформаций с системе {x1 , x2 , x3 }:     sys1 = TableForm Thread σ == C.  ⎞ ⎛ σ1,1 == c1,1 1,1 + c6,1 2,1 + c2,1 2,2 + c4,1 3,1 + c5,1 3,2 + c3,1 3,3 ⎜σ2,2 == c2,1 1,1 + c6,2 2,1 + c2,2 2,2 + c4,2 3,1 + c5,2 3,2 + c3,2 3,3 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜σ3,3 == c3,1 1,1 + c6,3 2,1 + c3,2 2,2 + c4,3 3,1 + c5,3 3,2 + c3,3 3,3 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜σ3,1 == c4,1 1,1 + c6,4 2,1 + c4,2 2,2 + c4,4 3,1 + c5,4 3,2 + c4,3 3,3 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝σ3,2 == c5,1 1,1 + c6,5 2,1 + c5,2 2,2 + c5,4 3,1 + c5,5 3,2 + c5,3 3,3 ⎠ σ2,1 == c6,1 1,1 + c6,6 2,1 + c6,2 2,2 + c6,4 3,1 + c6,5 3,2 + c6,3 3,3 и тот же самый закон Гука в системе {y1 , y2 , y3 }:     sys2 = TableForm Thread σ 1 == C. 1 ⎞ ⎛ σ1,1 == c1,1 1,1 + c6,1 2,1 + c2,1 2,2 − c4,1 3,1 − c5,1 3,2 + c3,1 3,3 ⎜ σ2,2 == c2,1 1,1 + c6,2 2,1 + c2,2 2,2 − c4,2 3,1 − c5,2 3,2 + c3,2 3,3 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ σ3,3 == c3,1 1,1 + c6,3 2,1 + c3,2 2,2 − c4,3 3,1 − c5,3 3,2 + c3,3 3,3 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜−σ3,1 == c4,1 1,1 + c6,4 2,1 + c4,2 2,2 − c4,4 3,1 − c5,4 3,2 + c4,3 3,3 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝−σ3,2 == c5,1 1,1 + c6,5 2,1 + c5,2 2,2 − c5,4 3,1 − c5,5 3,2 + c5,3 3,3 ⎠ σ2,1 == c6,1 1,1 + c6,6 2,1 + c6,2 2,2 − c6,4 3,1 − c6,5 3,2 + c6,3 3,3 Далее, составляя равенства вида σ1,1 ({x1 , x2 , x3 }) = σ1,1 ({y1 , y2 , y3 }) ,

(P.6.17)

т. е. сравнивая напряжения в разных системах координат, находим условия, при которых эти напряжения равны. Соответствующий код для получения равенства σ1,1 ({x1 , x2 , x3 }) = σ1,1 ({y1 , y2 , y3 }) в кодах имеет вид ((sys1[[1, 1, 2]] − sys2[[1, 1, 2]])/. {c4,1 → 0, c5,1 → 0}) == 0 True Из последнего выражения следует, что равенство выполняется при {c4,1 → → 0, c5,1 → 0}. Таким образом, находим условия, налагаемые на упругие постоянные в мат которые справедливы для ортотропного материала. Очевидные системы рице C,

438

ГЛАВА 6

уравнений для последующих напряжений приведены ниже, но без подробных пояснений. ((sys1[[1, 2, 2]] − sys2[[1, 2, 2]])/. {c4,2 → 0, c5,2 → 0}) == 0 True ((sys1[[1, 3, 2]] − sys2[[1, 3, 2]])/. {c4,3 → 0, c5,3 → 0}) == 0 True ((sys1[[1, 4, 2]] + sys2[[1, 4, 2]])/. {c4,3 → 0, c5,3 → 0, c4,1 → 0, c5,1 → 0, c4,2 → 0, c5,2 → 0} /.c6,4 → 0) == 0 True ((sys1[[1, 5, 2]] + sys2[[1, 5, 2]])/. {c4,3 → 0, c5,3 → 0, c4,1 → 0, c5,1 → 0, c4,2 → 0, c5,2 → 0} /.c6,5 → 0) == 0 True ((sys1[[1, 6, 2]] − sys2[[1, 6, 2]])/. {c4,3 → 0, c5,3 → 0, c4,1 → 0, c5,1 → 0, c4,2 → 0, c5,2 → 0, c6,4 → 0, c6,5 → 0}) == 0 True  упругих постоянных при найденных условиях на ее коэфВ итоге матрица C фициенты для случая плоской симметрии {x1 = y1 , x2 = y2 } имеет вид   {c4,3 → 0, c5,3 → 0, c4,1 → 0, c5,1 → 0, c4,2 → 0, MatrixForm C/.  c5,2 → 0, c6,4 → 0, c6,5 → 0} ⎞ ⎛ c1,1 c2,1 c3,1 0

0 c6,1

⎜c2,1 c2,2 c3,2 0 0 c6,2 ⎟ ⎜c3,1 c3,2 c3,3 0 0 c6,3 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 c4,4 c5,4 0 ⎟ ⎠ ⎝ 0 0 0 c5,4 c5,5 0 c6,1 c6,2 c6,3 0 0 c6,6

Указание: Сравните полученный результат с формулой (6.14).  состоит в том, Следующий шаг в нахождении окончательного вида матрицы C что полагаем наличие упругой симметрии для плоскости {x2 = z2 , x3 = z3 }. Очевидно, что матрица преобразования от системы {x1 , x2 , x3 } к системе {z1 , z2 , z3 } имеет вид B = {{−1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}} ⎛ ⎞ −1 0 0 ⎝ 0 1 0⎠ 0 01

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ШЕСТОМУ РАЗДЕЛУ

439

а соответствующие тензоры в системе {z1 , z2 , z3 } имеют вид  2 = B. σ .B T σ ⎛ ⎞ σ1,1 −σ2,1 −σ3,1 ⎝−σ2,1 σ2,2 σ3,2 ⎠ −σ3,1 σ3,2 σ3,3 .B T 2 = B. ⎛ ⎞ 1,1 − 2,1 − 3,1 ⎝− 2,1 2,2 3,2 ⎠ − 3,1 3,2 3,3 Представляем независимые компоненты введенных тензоров в виде 6-мерных векторов:  σ2  2

= {σ1,1 , σ2,2 , σ3,3 , −σ3,1 , σ3,2 , −σ2,1 } ; = {1,1 , 2,2 , 3,3 , −3,1 , 3,2 , −2,1 } ;

и тот же самый закон Гука в системе {z1 , z2 , z3 }.     2 sys3 = TableForm Thread σ 2 == C. ⎞ ⎛ σ1,1 == c1,1 1,1 − c6,1 2,1 + c2,1 2,2 − c4,1 3,1 + c5,1 3,2 + c3,1 3,3 ⎜ σ2,2 == c2,1 1,1 − c6,2 2,1 + c2,2 2,2 − c4,2 3,1 + c5,2 3,2 + c3,2 3,3 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ σ3,3 == c3,1 1,1 − c6,3 2,1 + c3,2 2,2 − c4,3 3,1 + c5,3 3,2 + c3,3 3,3 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜−σ3,1 == c4,1 1,1 − c6,4 2,1 + c4,2 2,2 − c4,4 3,1 + c5,4 3,2 + c4,3 3,3 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ σ3,2 == c5,1 1,1 − c6,5 2,1 + c5,2 2,2 − c5,4 3,1 + c5,5 3,2 + c5,3 3,3 ⎠ −σ2,1 == c6,1 1,1 − c6,6 2,1 + c6,2 2,2 − c6,4 3,1 + c6,5 3,2 + c6,3 3,3 Далее, составляя равенства вида σ1,1 ({x1 , x2 , x3 }) = σ1,1 ({z1 , z2 , z3 }) ,

(P.6.18)

т. е. сравнивая напряжения в разных системах координат, находим условия, при которых эти напряжения равны. Соответствующий код для получения равенства σ1,1 ({x1 , x2 , x3 }) = σ1,1 ({z1 , z2 , z3 }) в кодах имеет вид ((sys1[[1, 1, 2]] − sys3[[1, 1, 2]])/. {c6,1 → 0, c4,1 → 0}) == 0 True Из последнего выражения следует, что равенство выполняется при {c4,1 → → 0, c6,1 → 0}. Таким образом, находим условия, налагаемые на упругие посто которые справедливы для ортотропного материала с другой янные в матрице C, плоскостью упругой симметрии. Другие системы алгебраических уравнений для напряжений приведены ниже (без подробных пояснений).

440

ГЛАВА 6

((sys1[[1, 2, 2]] − sys3[[1, 2, 2]])/. {c6,2 → 0, c4,2 → 0}) == 0 True ((sys1[[1, 3, 2]] − sys3[[1, 3, 2]])/. {c6,3 → 0, c4,3 → 0}) == 0 True ((sys1[[1, 4, 2]] + sys3[[1, 4, 2]])/. {c6,1 → 0, c4,1 → 0, c6,2 → 0, c4,2 → 0, c6,3 → 0, c4,3 → 0} /.c5,4 → 0) == 0 True ((sys1[[1, 5, 2]] − sys3[[1, 5, 2]])/. {c4,3 → 0, c5,3 → 0, c4,1 → 0, c5,1 → 0, c4,2 → 0, c5,2 → 0, c5,4 → 0, c6,5 → 0}) == 0 True ((sys1[[1, 6, 2]] + sys3[[1, 6, 2]])/. {c4,3 → 0, c5,3 → 0, c4,1 → 0, c5,1 → 0, c4,2 → 0, c5,2 → 0, c6,4 → 0, c6,5 → 0, c6,1 → 0, c6,2 → 0, c6,3 → 0}) == 0 True  упругих постоянных при найденных условиях на ее коэфВ итоге матрица C фициенты для случая плоской симметрии в плоскостях {x2 = z2 , x3 = z3 } имеет вид   {c4,3 → 0, c5,3 → 0, c4,1 → 0, c5,1 → 0, c4,2 → 0, c5,2 → 0, MatrixForm C/.

⎛

c6,4 → 0, c6,5 → 0} /. {c4,3 → 0, c5,3 → 0, c5,4 → 0, c4,1 → 0, c5,1 → 0,  c4,2 → 0, c5,2 → 0, c6,4 → 0, c6,5 → 0, c6,1 → 0, c6,2 → 0, c6,3 → 0}

c1,1 ⎜c2,1 ⎜c3,1 ⎜ ⎜ 0 ⎝ 0 0

c2,1 c2,2 c3,2 0 0 0

c3,1 c3,2 c3,3 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

c4,4 0 c5,5 0 0 c6,6

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

В результате получена матрица формулы (6.15). Задача 6.7. Приведите детали сведения матрицы (6.15) к матрице (6.16). Решение: Изотропность упругих свойств состоит в их симметрии по отношению ко всем декартовыми осям системы координат {x1 , x2 , x3 }. Например, при вращении системы относительно оси x1 и применении процедуры, приведенной в предыдущей задаче 6.6, выведенная матрица ⎞ ⎛ c1,1 c2,1 c3,1 0 0 0 ⎜c2,1 c2,2 c3,2 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜c3,1 c3,2 c3,3 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ (P.6.19) ⎜ 0 0 0 c4,4 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 0 0 0 0 c5,5 0 ⎠ 0 0 0 0 0 c6,6

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ШЕСТОМУ РАЗДЕЛУ

441

упрощается, т. к. условия осевой симметрии приводят к следующим равенствам: c1,1 = c2,2 = c3,3 ; c4,4 = c5,5 = c6,6 ; ci,j = cj,i (i, i = 1, 2, 3).

(P.6.20)

Наконец, для оси z3 , которая получается при повороте вокруг оси x3 на угол π , 4 получаем матрицу поворота #√ ⎞ ⎛ #√ 1 #√2 1 #√2 0 ⎝−1 (P.6.21) 2 1 2 0⎠, 0 0 1 для которой зависимость между напряжениями σ6,6 имеет вид σ6 (z1 , z2 , z3 ) = (σ2 − σ1 )/ 2 = (c1,1 − c1,2 ) ( 2 − 1 )/ 2; 6 (z1 , z2 , z3 ) = 2 − 1 .

(P.6.22)

Но из равенства σ6 (z1 , z2 , z3 ) = c4,4 6 (z1 , z2 , z3 )

(P.6.23)

следует, что 2c4,4 = (c1,1 − c1,2 ). Поэтому, определяя μ = c4,4 ; λ = c1,2 ,

(P.6.24)

получаем искомую матрицу (6.16). Задача 6.8. Обратным преобразованием получить из (6.17) тензор деформаций. Решение: Коды приведены в разделе (6.3). Задача 6.9. Выразить модуль Юнга и коэффициент Пуассона через параметры Лямэ. Решение: Из (6.19), (6.20) составляем систему для нахождения модулей 4 sys =

5 3λ + 2μ Y Y == , μ == 3 3(1 − 2ν) 2(1 + ν)

;

modules = Solve[sys, {Y, ν}]//Flatten//Simplify 5 4 μ(3λ + 2μ) λ ,ν → Y → λ+μ 2(λ + μ)  для сплошной среды, Задача 6.10. Определить упругие постоянные матрицы C  симметимеющей упругую симметрию N = 4 порядка. Полагаем, что матрица C ричная.

442

ГЛАВА 6

Решение: Пусть x3 ось упругой симметрии. Тогда поворот системы на угол θ == 2π = π вокруг оси x3 приводит к матрице поворота вида N =4

2

A = {{0, 1, 0}, {−1, 0, 0}, {0, 0, 1}} ⎛ ⎞ 0 10 ⎝−1 0 0⎠ 0 01 Матрица упругих постоянных имеет вид  = Table [If [i == j, ci,i, ci,j = cj,i] , {i, 6}, {j, 6}] ; C    MatrixForm C ⎛ c1,1 c2,1 c3,1 c4,1 ⎜c2,1 c2,2 c3,2 c4,2 ⎜ ⎜c3,1 c3,2 c3,3 c4,3 ⎜ ⎜c4,1 c4,2 c4,3 c4,4 ⎜ ⎝c5,1 c5,2 c5,3 c5,4 c6,1 c6,2 c6,3 c6,4

c5,1 c5,2 c5,3 c5,4 c5,5 c6,5

⎞ c6,1 c6,2 ⎟ ⎟ c6,3 ⎟ ⎟ c6,4 ⎟ ⎟ c6,5 ⎠ c6,6

Тензоры напряжений и деформаций в системе {x1 , x2 , x3 } представлены ниже,      = Table If i == j, σi,i, σi,j = σj,i , {i, 3}, {j, 3} ; σ      = Table If i == j, i,i, i,j = j,i , {i, 3}, {j, 3} ; а соответствующие тензоры в системе {y1 , y2 , y3 } имеют вид  1 = A. σ .AT σ ⎛ ⎞ σ2,2 −σ2,1 σ3,2 ⎝−σ2,1 σ1,1 −σ3,1 ⎠ σ3,2 −σ3,1 σ3,3 .AT 1 = A. ⎛ ⎞ 2,2 − 2,1 3,2 ⎝− 2,1 1,1 − 3,1 ⎠ 3,2 − 3,1 3,3 Представляя независимые компоненты введенных тензоров в виде 6-мерных векторов, 



σ = {σ1,1, σ2,2 , σ3,3 , σ3,1 , σ3,2 , σ2,1 } ;  = {1,1 , 2,2 , 3,3 , 3,1 , 3,2 , 2,1 } ;



σ 1 = {σ1,1 , σ2,2 , σ3,3 , −σ3,1 , σ3,2 , −σ2,1 } ;



 1 = {1,1 , 2,2 , 3,3 , −3,1 , 3,2 , −2,1 } ;

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ШЕСТОМУ РАЗДЕЛУ

443

запишем закон Гука через компоненты тензоров напряжений и деформаций в системе {x1 , x2 , x3 }:     sys1 = TableForm Thread σ == C.  ⎞ ⎛ σ1,1 == c1,1 1,1 + c6,1 2,1 + c2,1 2,2 + c4,1 3,1 + c5,1 3,2 + c3,1 3,3 ⎜σ2,2 == c2,1 1,1 + c6,2 2,1 + c2,2 2,2 + c4,2 3,1 + c5,2 3,2 + c3,2 3,3 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜σ3,3 == c3,1 1,1 + c6,3 2,1 + c3,2 2,2 + c4,3 3,1 + c5,3 3,2 + c3,3 3,3 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜σ3,1 == c4,1 1,1 + c6,4 2,1 + c4,2 2,2 + c4,4 3,1 + c5,4 3,2 + c4,3 3,3 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝σ3,2 == c5,1 1,1 + c6,5 2,1 + c5,2 2,2 + c5,4 3,1 + c5,5 3,2 + c5,3 3,3 ⎠ σ2,1 == c6,1 1,1 + c6,6 2,1 + c6,2 2,2 + c6,4 3,1 + c6,5 3,2 + c6,3 3,3 и тот же самый закон Гука в системе {y1 , y2 , y3 }:     sys2 = TableForm Thread σ 1 == C. 1 ⎞ ⎛ σ1,1 == c1,1 1,1 − c6,1 2,1 + c2,1 2,2 − c4,1 3,1 + c5,1 3,2 + c3,1 3,3 ⎜ σ2,2 == c2,1 1,1 − c6,2 2,1 + c2,2 2,2 − c4,2 3,1 + c5,2 3,2 + c3,2 3,3 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ σ3,3 == c3,1 1,1 − c6,3 2,1 + c3,2 2,2 − c4,3 3,1 + c5,3 3,2 + c3,3 3,3 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜−σ3,1 == c4,1 1,1 − c6,4 2,1 + c4,2 2,2 − c4,4 3,1 + c5,4 3,2 + c4,3 3,3 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ σ3,2 == c5,1 1,1 − c6,5 2,1 + c5,2 2,2 − c5,4 3,1 + c5,5 3,2 + c5,3 3,3 ⎠ −σ2,1 == c6,1 1,1 − c6,6 2,1 + c6,2 2,2 − c6,4 3,1 + c6,5 3,2 + c6,3 3,3 Далее, составляя равенства вида σ1,1 ({x1 , x2 , x3 }) = σ1,1 ({y1 , y2 , y3 }) ,

(P.6.25)

т. е. сравнивая напряжения в разных системах координат, находим условия, при которых эти напряжения равны. Соответствующий код для получения равенства σ1,1 ({x1 , x2 , x3 }) = σ1,1 ({y1 , y2 , y3 }) в кодах имеет вид eq1 = (sys1[[1, 1, 2]] − sys2[[1, 1, 2]]) == 0 2c6,1 2,1 + 2c4,1 3,1 == 0 eq1/. {c6,1 → 0, c4,1 → 0} True Из последнего выражения следует, что равенство выполняется при {c4,1 → → 0, c6,1 → 0}. Таким образом, находим условия, налагаемые на упругие постоянные в матри которые справедливы для ортотропного материала. це C, Очевидные системы уравнений для последующих напряжений приведены ниже, но без подробных пояснений. eq2 = (sys1[[1, 2, 2]] − sys2[[1, 2, 2]]) == 0 2c6,2 2,1 + 2c4,2 3,1 == 0

444

ГЛАВА 6

eq2/. {c6,2 → 0, c4,2 → 0} True eq3 = (sys1[[1, 3, 2]] − sys2[[1, 3, 2]]) == 0 2c6,3 2,1 + 2c4,3 3,1 == 0 eq3/. {c6,3 → 0, c4,3 → 0} True eq4 = (sys1[[1, 4, 2]] + sys2[[1, 4, 2]]) == 0 2c4,1 1,1 + 2c4,2 2,2 + 2c5,4 3,2 + 2c4,3 3,3 == 0 eq4/. {c6,1 → 0, c4,1 → 0} /. {c6,2 → 0, c4,2 → 0} /. {c6,3 → 0, c4,3 → 0} /. {c5,4 → 0} True eq5 = (sys1[[1, 5, 2]] − sys2[[1, 5, 2]]) == 0 2c6,5 2,1 + 2c5,4 3,1 == 0 eq5/. {c6,5 → 0, c5,4 → 0} True eq6 = (sys1[[1, 6, 2]] + sys2[[1, 6, 2]]) == 0 2c6,1 1,1 + 2c6,2 2,2 + 2c6,5 3,2 + 2c6,3 3,3 == 0 eq6/. {c6,5 → 0, c5,4 → 0} /. {c6,3 → 0, c4,3 → 0} /. {c6,2 → 0, c4,2 → 0} /. {c6,1 → 0, c4,1 → 0} True  упругих постоянных при найденных условиях на ее коэфВ итоге матрица C фициенты для случая плоской симметрии {x1 = y1 , x2 = y2 } имеет вид   {c6,5 → 0, c5,4 → 0} /. {c6,3 → 0, c4,3 → 0} /. MatrixForm C/.  {c6,2 → 0, c4,2 → 0} /. {c6,1 → 0, c4,1 → 0}

⎛

c1,1 ⎜c2,1 ⎜c3,1 ⎜ ⎜ 0 ⎝ c5,1 0

c2,1 c2,2 c3,2 0 c5,2 0

c3,1 c3,2 c3,3 0 c5,3 0

0 c5,1 0 c5,2 0 c5,3 c4,4 0 0 c5,5 c6,4 0

⎞

0 0 ⎟ 0 ⎟ ⎟

c6,4 ⎟ ⎠ 0 c6,6

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ШЕСТОМУ РАЗДЕЛУ

445

Статические и динамические задачи теории упругости Задача 6.11. Вывести уравнения Навье – Коши (6.25). Решение: Для вывода уравнений равновесия в форме Навье – Коши вводим: • вектор упругого смещения, плотность и массовую силу в виде 

u = {u1 (x1 , x2 , x3 ) , u2 (x1 , x2 , x3 ) , u3 (x1 , x2 , x3 )} ; rho = ρ (x1 , x2 , x3 ) ; B = {b1 , b2 , b3 } ; • тензор напряжений (вычисления проводим с использованием встроенного пакета) {x1 , x2 , x3 }]} //Flatten; subsInverse = {Thread [{x1 , x2 , x3 } → Coordinates[]]} //Flatten; Вектор смещения в декартовых компьютерных координатах имеет вид 

u/.subsInverse

{u1 (Xx, Yy, Zz), u2 (Xx, Yy, Zz), u3 (Xx, Yy, Zz)} Соответственно, линейный тензор деформаций представлен ниже.   F = Grad u /.subsInverse, Cartesian[] ;    = 1/2 F + F T ⎛

  ⎞ 1 u(0,1,0) (Xx, Yy, Zz)+ 1 u(0,0,1) (Xx, Yy, Zz)+ 1 1 2  2  ⎟

⎜ u(1,0,0) (Xx, Yy, Zz) 1 ⎟ ⎜ (1,0,0) (1,0,0) +u2 +u3 (Xx, Yy, Zz) (Xx, Yy, Zz) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜   ⎜ 1 u(0,1,0) (Xx, Yy, Zz)+ 1 u(0,0,1) (Xx, Yy, Zz)+ ⎟ ⎟ ⎜2 1 2 (0,1,0) 2 ⎜ (Xx, Yy, Zz) u2  ⎟ ⎟ ⎜ (0,1,0) ⎜ +u(1,0,0) +u3 (Xx, Yy, Zz) (Xx, Yy, Zz) ⎟ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜   ⎟ ⎜ 1 (0,0,1) (0,0,1) (Xx, Yy, Zz)+ 1 u2 (Xx, Yy, Zz)+ u1 ⎟ ⎜ (0,0,1) 2 ⎝2 (Xx, Yy, Zz) ⎠ u   (1,0,0)

+u3

(Xx, Yy, Zz)

(0,1,0)

+u3

3

(Xx, Yy, Zz)

446

ГЛАВА 6

Закон Гука имеет вид    tens = Table Thread T [[i]]–> (λTr ( ) IdentityMatrix[3] + 2μ ) [[i]] ,  {i, 3} //Flatten  (1,0,0) (Xx, Yy, Zz)+ σ1,1 (Xx, Yy, Zz) → 2μu1   (0,0,1) (0,1,0) (1,0,0) (Xx, Yy, Zz) + 2 (Xx, Yy, Zz) + u1 (Xx, Yy, Zz) , + λ u3   (0,1,0) (1,0,0) (Xx, Yy, Zz) + u2 (Xx, Yy, Zz) , σ2,1 (Xx, Yy, Zz) → μ u1   (0,0,1) (1,0,0) (Xx, Yy, Zz) + u3 (Xx, Yy, Zz) , σ3,1 (Xx, Yy, Zz) → μ u1   (0,1,0) (1,0,0) (Xx, Yy, Zz) + u2 (Xx, Yy, Zz) , σ2,1 (Xx, Yy, Zz) → μ u1 (0,1,0)

(Xx, Yy, Zz)+ σ2,2 (Xx, Yy, Zz) → 2μu2   (0,0,1) (0,1,0) (1,0,0) (Xx, Yy, Zz) + u2 (Xx, Yy, Zz) + u1 (Xx, Yy, Zz) , + λ u3   (0,0,1) (0,1,0) (Xx, Yy, Zz) + u3 (Xx, Yy, Zz) , σ3,2 (Xx, Yy, Zz) → μ u2   (0,0,1) (1,0,0) (Xx, Yy, Zz) + u3 (Xx, Yy, Zz) , σ3,1 (Xx, Yy, Zz) → μ u1   (0,0,1) (0,1,0) (Xx, Yy, Zz) + u3 (Xx, Yy, Zz) , σ3,2 (Xx, Yy, Zz) → μ u2 (0,0,1)

(Xx, Yy, Zz)+ σ3,3 (Xx, Yy, Zz) → 2μu3   (0,0,1) (0,1,0) (1,0,0) (Xx, Yy, Zz) + u2 (Xx, Yy, Zz) + u1 (Xx, Yy, Zz) +λ u3 Вид уравнений Навье – Коши, который выведен через тензор напряжений и закон Гука, представлен ниже. eqNavier = (Thread[(Map[Div, T /.tens]/.subs//Simplify) + rhoB == {0, 0, 0}])

  (0,0,2) (1,0,1) (x1 , x2 , x3 ) + u3 (x1 , x2 , x3 ) + b1 ρ(x1 , x2 , x3 ) + μ u1   (0,2,0) (1,1,0) (2,0,0) (x1 , x2 , x3 ) + u2 (x1 , x2 , x3 ) + 2μu1 (x1 , x2 , x3 )+ + μ u1   (1,0,1) (1,1,0) (2,0,0) (x1 , x2 , x3 ) + u2 (x1 , x2 , x3 ) + u1 (x1 , x2 , x3 ) == 0, + λ u3



(0,0,2)

b2 ρ(x1 , x2 , x3 ) + μu2 (0,2,0)

(x1 , x2 , x3 ) + 2μu2

(1,1,0)

(x1 , x2 , x3 ) + μu2

+ λu2

+ μu1

(0,0,2)

× u3

(0,1,1)

(x1 , x2 , x3 ) + (λ + μ)u3 (0,2,0)

(2,0,0)

(x1 , x2 , x3 )+

(1,1,0)

(x1 , x2 , x3 ) + λu1

(x1 , x2 , x3 )+

(x1 , x2 , x3 ) == 0, b3 ρ(x1 , x2 , x3 ) + (λ + 2μ)

(0,1,1)

(x1 , x2 , x3 ) + (λ + μ)u2

(0,2,0)

(x1 , x2 , x3 ) + μu3

(x1 , x2 , x3 )+  (1,0,1) (1,0,1) (2,0,0) (x1 , x2 , x3 ) +μu1 (x1 , x2 , x3 ) + μu3 (x1 , x2 , x3 ) == 0 + λu1

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ШЕСТОМУ РАЗДЕЛУ

447

eqNavier[[1]]//Factor   (0,0,2) (1,0,1) (x1 , x2 , x3 ) + u3 (x1 , x2 , x3 ) + b1 ρ (x1 , x2 , x3 ) + μ u1   (0,2,0) (1,1,0) (2,0,0) (x1 , x2 , x3 ) + u2 (x1 , x2 , x3 ) + 2μu1 (x1 , x2 , x3 ) + + μ u1   (1,0,1) (1,1,0) (2,0,0) (x1 , x2 , x3 ) + u2 (x1 , x2 , x3 ) + u1 (x1 , x2 , x3 ) == 0 + λ u3 Уравнения Навье – Коши, которые выводятся через их окончательную форму (6.25), представлены ниже.      eqNavierNew = Thread (λ + μ)Grad Div u /.subsInverse, Cartesian[] ,    Cartesian[] + μLaplacian u /.subsInverse, Cartesian[] + rhoB ==   {0, 0, 0} /.subs //Simplify   (0,0,2) (0,2,0) (x1 , x2 , x3 ) + u1 (x1 , x2 , x3 )+ b1 ρ(x1 , x2 , x3 ) + μ u1   (2,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (x1 , x2 , x3 ) + (λ + μ) u3 (x1 , x2 , x3 ) + u2 (x1 , x2 , x3 )+ + u1  (2,0,0) (x1 , x2 , x3 ) == 0, + u1 b2 ρ(x1 , x2 , x3 )+   (0,1,1) (0,2,0) (1,1,0) (x1 , x2 , x3 ) + u2 (x1 , x2 , x3 ) + u1 (x1 , x2 , x3 ) + + (λ + μ) u3   (0,0,2) (0,2,0) (2,0,0) (x1 , x2 , x3 ) + u2 (x1 , x2 , x3 ) + u2 (x1 , x2 , x3 ) == 0, + μ u2 b3 ρ(x1 , x2 , x3 )+   (0,0,2) (0,1,1) (1,0,1) (x1 , x2 , x3 ) + u2 (x1 , x2 , x3 ) + u1 (x1 , x2 , x3 ) + + (λ + μ) u3    (0,0,2) (0,2,0) (2,0,0) (x1 , x2 , x3 ) + u3 (x1 , x2 , x3 ) + u3 (x1 , x2 , x3 ) == 0 + μ u3 Очевидно, что оба вывода уравнений равновесия совпадают. (eqNavierNew[[1]] == eqNavier[[1]])//Simplify True Задача 6.12. Показать, что при нулевой массовой силе и если выполняются равенства вида (P.6.26) ∇4 Fi = 0, то смещения, заданные как ui = (λ + 2μ) Fi,jj / μ(λ + μ) − Fi,ji / μ, есть решения уравнений Навье (6.25).

(P.6.27)

448

ГЛАВА 6

Решение: Используем встроенный пакет Calculus`VectorAnalysis` {x1 , x2 , x3 }]} //Flatten; subsInverse = {Thread [{x1 , x2 , x3 } → Coordinates[]]} //Flatten; ΔΔΦ[S_] := Sum [D [S, {xi, 2} , {xj , 2}] , {i, 3}, {j, 3}] 

S = F /.subs; Бигармоническое трехмерное уравнение имеет вид eq1 = Thread[ΔΔΦ[S] == {0, 0, 0}]  (0,0,4) (0,2,2) (0,4,0) (x1 , x2 , x3 ) + 2F1 (x1 , x2 , x3 ) + F1 (x1 , x2 , x3 ) + F1 (2,0,2)

+ 2F1

(2,2,0)

(x1 , x2 , x3 ) + 2F1

(4,0,0)

(x1 , x2 , x3 ) + F1

(x1 , x2 , x3 ) == 0,

(0,0,4) (0,2,2) (0,4,0) (x1 , x2 , x3 ) + 2F2 (x1 , x2 , x3 ) + F2 (x1 , x2 , x3 ) + F2 (2,0,2) (2,2,0) (4,0,0) (x1 , x2 , x3 ) + 2F2 (x1 , x2 , x3 ) + F2 (x1 , x2 , x3 ) + 2F2 (0,0,4)

F3

(0,2,2)

(x1 , x2 , x3 ) + 2F3

(2,0,2)

+ 2F3

(0,4,0)

(x1 , x2 , x3 ) + F3

(2,2,0)

(x1 , x2 , x3 ) + 2F3

== 0,

(x1 , x2 , x3 ) +

(4,0,0)

(x1 , x2 , x3 ) + F3

 (x1 , x2 , x3 ) == 0 

Вектор смещения, записанный через введенную функцию F , которая записывается в декартовых координатах, имеет вид     u = (λ + 2μ)/(μ(λ + μ))Sum D F /.subs, {xj , 2} , {j, 3} −        1/μTable Sum D F /.subs [[j]], {xj , 1} , {xi, 1} , {j, 3} , {i, 3}   4 (0,0,2) (0,2,0) (2,0,0) (x1 , x2 , x3 ) + F1 (x1 , x2 , x3 ) + F1 (x1 , x2 , x3 ) (λ + 2μ) F1 

μ(λ + μ) (1,0,1)

−

F3

(1,1,0)

(x1 , x2 , x3 ) + F2

(2,0,0)

(x1 , x2 , x3 ) + F1 μ

(x1 , x2 , x3 )

,

−

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ШЕСТОМУ РАЗДЕЛУ

449

  (0,0,2) (0,2,0) (2,0,0) (λ + 2μ) F2 (x1 , x2 , x3 ) + F2 (x1 , x2 , x3 ) + F2 (x1 , x2 , x3 ) μ(λ + μ) (0,1,1)

−

F3



(0,2,0)

(1,1,0)

(x1 , x2 , x3 ) + F2

(x1 , x2 , x3 ) + F1 μ

(x1 , x2 , x3 )

(0,0,2)

(0,2,0)

(2,0,0)

(λ + 2μ) F3

(x1 , x2 , x3 ) + F3

(x1 , x2 , x3 ) + F3

(0,0,2)

−

F3

(0,1,1)

(x1 , x2 , x3 ) + F2

(1,0,1)

(x1 , x2 , x3 ) + F1 μ

,

 (x1 , x2 , x3 )

μ(λ + μ) (x1 , x2 , x3 )

−

−

5

Тензор напряжений (вычисления проводим с использованием встроенного пакета) имеет вид T = Table [If [i == j, σi,j , σi,j = σj,i]@@Coordinates[], {i, 3}, {j, 3}]; а соответственно, линейный тензор деформаций, который вычисляется через функ

цию F , представлен ниже.   D0 = Grad u /.subsInverse, Cartesian[] ;    = 1/2 D0 + D0T ; Закон Гука в компьютерных кодах представлен далее. tens = Table[Thread[T [[i]]–>(λTr( )IdentityMatrix[3] + 2μ )[[i]]], {i, 3}]//Flatten; Проверка решения уравнений Навье – Коши (уравнения равновесия выводятся через тензор напряжений и закон Гука), которая производится через введенную вы ше функцию смещений u, приведена ниже. eqNavier = (Thread[(Map[Div, T /.tens]/.subs//Simplify) == {0, 0, 0}])/.{Thread[ΔΔΦ[S]–>{0, 0, 0}] (True

True True)

Задача 6.13. Если массовая сила равна нулю, то показать, что уравнения движения (6.33) удовлетворяются вектором смещения ui = φ,i + ijk ψk,j , если обе функции φ, ψi удовлетворяют трехмерным волновым уравнениям.

(P.6.28)

450

ГЛАВА 6

Решение: Используем встроенный пакет Calculus`VectorAnalysis`: (λTr ( ) IdentityMatrix[3] + 2μ ) [[i]] ,  {i, 3} //Flatten//Simplify  σ1,1 (Xx, Yy, Zz, t) → λφ(0,0,2,0) (Xx, Yy, Zz, t) + λφ(0,2,0,0) (Xx, Yy, Zz, t)− (1,0,1,0)

− 2μψ2

(1,1,0,0)

(Xx, Yy, Zz, t) + 2μψ3

(Xx, Yy, Zz, t)+

+ λφ(2,0,0,0) (Xx, Yy, Zz, t) + 2μφ(2,0,0,0) (Xx, Yy, Zz, t),  (0,1,1,0) (0,2,0,0) (Xx, Yy, Zz, t) + ψ3 (Xx, Yy, Zz, t)+ σ2,1 (Xx, Yy, Zz, t) → μ −ψ2

 (2,0,0,0) (Xx, Yy, Zz, t) + 2φ(1,1,0,0) (Xx, Yy, Zz, t) − ψ3 (Xx, Yy, Zz, t) ,  (0,0,2,0) (0,1,1,0) (Xx, Yy, Zz, t) + ψ3 (Xx, Yy, Zz, t)+ σ3,1 (Xx, Yy, Zz, t) → μ −ψ2  (1,1,0,0) (2,0,0,0) (Xx, Yy, Zz, t) + ψ2 (Xx, Yy, Zz, t) , +2φ(1,0,1,0) (Xx, Yy, Zz, t) − ψ1  (0,1,1,0) (0,2,0,0) (Xx, Yy, Zz, t) + ψ3 (Xx, Yy, Zz, t)+ σ2,1 (Xx, Yy, Zz, t) → μ −ψ2  (1,0,1,0) (2,0,0,0) (Xx, Yy, Zz, t) + 2φ(1,1,0,0) (Xx, Yy, Zz, t) − ψ3 (Xx, Yy, Zz, t) , +ψ1 (1,0,1,0)

+ψ1

(0,1,1,0)

σ2,2 (Xx, Yy, Zz, t) → λφ(0,0,2,0) (Xx, Yy, Zz, t) + 2μψ1

(Xx, Yy, Zz, t)+

+ λφ(0,2,0,0) (Xx, Yy, Zz, t) + 2μφ(0,2,0,0) (Xx, Yy, Zz, t)− (1,1,0,0)

− 2μψ3

(Xx, Yy, Zz, t) + λφ(2,0,0,0) (Xx, Yy, Zz, t),  (0,0,2,0) (Xx, Yy, Zz, t) + 2φ(0,1,1,0) (Xx, Yy, Zz, t)− σ3,2 (Xx, Yy, Zz, t) → μ ψ1

 (1,0,1,0) (1,1,0,0) (Xx, Yy, Zz, t) − ψ3 (Xx, Yy, Zz, t) + ψ2 (Xx, Yy, Zz, t) ,  (0,0,2,0) (0,1,1,0) (Xx, Yy, Zz, t) + ψ3 (Xx, Yy, Zz, t)+ σ3,1 (Xx, Yy, Zz, t) → μ −ψ2  (1,1,0,0) (2,0,0,0) (Xx, Yy, Zz, t) + ψ2 (Xx, Yy, Zz, t) , +2φ(1,0,1,0) (Xx, Yy, Zz, t) − ψ1  (0,0,2,0) (Xx, Yy, Zz, t) + 2φ(0,1,1,0) (Xx, Yy, Zz, t)− σ3,2 (Xx, Yy, Zz, t) → μ ψ1  (0,2,0,0) (1,0,1,0) (1,1,0,0) (Xx, Yy, Zz, t) − ψ3 (Xx, Yy, Zz, t) + ψ2 (Xx, Yy, Zz, t) , −ψ1 (0,2,0,0)

−ψ1

σ3,3 (Xx, Yy, Zz, t) → (λ + 2μ)φ(0,0,2,0) (Xx, Yy, Zz, t)− (0,1,1,0)

− 2μψ1

(Xx, Yy, Zz, t) + λφ(0,2,0,0) (Xx, Yy, Zz, t)+  (1,0,1,0) (Xx, Yy, Zz, t) + λφ(2,0,0,0) (Xx, Yy, Zz, t) +2μψ2

Вид уравнений движения, который выведен через тензор напряжений и закон Гука, представлен ниже.

452

ГЛАВА 6

eqWave =      Thread (Map[Div, T /.tens]) − ρD u , {t, 2} == {0, 0, 0} /.subs    (0,0,1,2) (0,1,0,2) (x1 , x2 , x3 , t) + ψ3 (x1 , x2 , x3 , t) + φ(1,0,0,2)(x1 , x2 , x3 , t) + −ρ −ψ2 (2,0,1,0)

+ λφ(1,0,2,0) (x1 , x2 , x3 , t) + λφ(1,2,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) − 2μψ2  (0,0,3,0) (0,1,2,0) (x1 , x2 , x3 , t) + ψ3 (x1 , x2 , x3 , t)+ + μ −ψ2

(x1 , x2 , x3 , t)+

 (1,1,1,0) (2,0,1,0) (x1 , x2 , x3 , t) + ψ2 (x1 , x2 , x3 , t) + +2φ(1,0,2,0) (x1 , x2 , x3 , t) − ψ1  (0,2,1,0) (0,3,0,0) (1,1,1,0) (x1 , x2 , x3 , t) + ψ3 (x1 , x2 , x3 , t) + ψ1 (x1 , x2 , x3 , t)+ + μ −ψ2  (2,1,0,0) (2,1,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) + 2μψ3 (x1 , x2 , x3 , t)+ + 2φ(1,2,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) −ψ3 + λφ(3,0,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) + 2μφ(3,0,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) == 0, (0,2,1,0)

(x1 , x2 , x3 , t) + λφ(0,3,0,0) (x1 , x2 , x3 , t)+ λφ(0,1,2,0) (x1 , x2 , x3 , t) + 2μψ1  (0,0,1,2) (x1 , x2 , x3 , t) + φ(0,1,0,2) (x1 , x2 , x3 , t)− + 2μφ(0,3,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) − ρ ψ1   (1,0,0,2) (0,0,3,0) (x1 , x2 , x3 , t) + μ ψ1 (x1 , x2 , x3 , t) + 2φ(0,1,2,0) (x1 , x2 , x3 , t)− −ψ3  (0,2,1,0) (1,0,2,0) (1,1,1,0) (x1 , x2 , x3 , t) − ψ3 (x1 , x2 , x3 , t) + ψ2 (x1 , x2 , x3 , t) − −ψ1 (1,2,0,0)

(x1 , x2 , x3 , t) + λφ(2,1,0,0) (x1 , x2 , x3 , t)+ − 2μψ3  (1,1,1,0) (1,2,0,0) (2,0,1,0) (x1 , x2 , x3 , t) + ψ3 (x1 , x2 , x3 , t) + ψ1 (x1 , x2 , x3 , t)+ + μ −ψ2  (3,0,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) == 0, +2φ(2,1,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) − ψ3 (0,1,2,0)

(x1 , x2 , x3 , t)+ (λ + 2μ)φ(0,0,3,0) (x1 , x2 , x3 , t) − 2μψ1  (0,1,0,2) (x1 , x2 , x3 , t)+ + λφ(0,2,1,0) (x1 , x2 , x3 , t) − ρ φ(0,0,1,2) (x1 , x2 , x3 , t) − ψ1   (1,0,0,2) (1,0,2,0) (0,1,2,0) (x1 , x2 , x3 , t) + 2μψ2 (x1 , x2 , x3 , t) + μ ψ1 (x1 , x2 , x3 , t)+ +ψ2 (0,3,0,0)

(1,1,1,0)

(x1 , x2 , x3 , t) − ψ3 (x1 , x2 , x3 , t)+ + 2φ(0,2,1,0) (x1 , x2 , x3 , t) − ψ1  (1,2,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) + λφ(2,0,1,0) (x1 , x2 , x3 , t)+ +ψ2  (1,0,2,0) (1,1,1,0) (x1 , x2 , x3 , t)+ ψ3 (x1 , x2 , x3 , t) + 2φ(2,0,1,0) (x1 , x2 , x3 , t)− +μ −ψ2   (2,1,0,0) (3,0,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) + ψ2 (x1 , x2 , x3 , t) == 0 −ψ1

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ШЕСТОМУ РАЗДЕЛУ

453

Составляем операторные выражения от правых частей операторов Лапласа для потенциальных функций: expr = (Grad[ΔΔΦ[Φ, (λ + 2μ), ρ], Cartesian[]]/.subs)+       Curl ΔΔΦ Ψ, μ, ρ , Cartesian[] /.subs  (0,0,1,2) (0,1,0,2) ρψ2 (x1 , x2 , x3 , t) − ρψ3 (x1 , x2 , x3 , t) − ρφ(1,0,0,2) (x1 , x2 , x3 , t)−   (0,0,3,0) (0,2,1,0) (2,0,1,0) − μ ψ2 (x1 , x2 , x3 , t) + ψ2 (x1 , x2 , x3 , t) + ψ2 (x1 , x2 , x3 , t) +   (0,1,2,0) (0,3,0,0) (2,1,0,0) + μ ψ3 (x1 , x2 , x3 , t) + ψ3 (x1 , x2 , x3 , t) + ψ3 (x1 , x2 , x3 , t) +   + (λ + 2μ) φ(1,0,2,0)(x1 , x2 , x3 , t) + φ(1,2,0,0)(x1 , x2 , x3 , t) +φ(3,0,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) , (0,0,1,2)

(1,0,0,2)

(x1 , x2 , x3 , t) − ρφ(0,1,0,2) (x1 , x2 , x3 , t) + ρψ3 (x1 , x2 , x3 , t)+ − ρψ1   (0,0,3,0) (0,2,1,0) (2,0,1,0) + μ ψ1 (x1 , x2 , x3 , t) + ψ1 (x1 , x2 , x3 , t) + ψ1 (x1 , x2 , x3 , t) +   + (λ + 2μ) φ(0,1,2,0) (x1 , x2 , x3 , t) + φ(0,3,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) + φ(2,1,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) −   (1,0,2,0) (1,2,0,0) (3,0,0,0) − μ ψ3 (x1 , x2 , x3 , t) + ψ3 (x1 , x2 , x3 , t) + ψ3 (x1 , x2 , x3 , t) , (0,1,0,2)

(1,0,0,2)

(x1 , x2 , x3 , t) − ρψ2 (x1 , x2 , x3 , t)+ − ρφ(0,0,1,2) (x1 , x2 , x3 , t) + ρψ1   + (λ + 2μ) φ(0,0,3,0) (x1 , x2 , x3 , t) + φ(0,2,1,0) (x1 , x2 , x3 , t) + φ(2,0,1,0) (x1 , x2 , x3 , t) −   (0,1,2,0) (0,3,0,0) (2,1,0,0) − μ ψ1 (x1 , x2 , x3 , t) + ψ1 (x1 , x2 , x3 , t) + ψ1 (x1 , x2 , x3 , t) +   (1,0,2,0) (1,2,0,0) (3,0,0,0) +μ ψ2 (x1 , x2 , x3 , t)+ ψ2 (x1 , x2 , x3 , t) + ψ2 (x1 , x2 , x3 , t)

Здесь неявно принимается, что выполняются очевидные равенства 7 6 ∂2φ 2 == 0, ∇ α∇ φ − β 2 ∂ t 6 7  2 ∇ × α∇2 Ψ − β ∂ 2Ψ == 0. ∂ t

(P.6.29)

Правая часть уравнений движения упругого континуума имеет вид     eqWave = (Map[Div, T /.tens]) − ρD u , {t, 2} /.subs //Simplify  (0,0,1,2) (0,0,3,0) (0,1,0,2) (x1 , x2 , x3 , t) − μψ2 (x1 , x2 , x3 , t) − ρψ3 (x1 , x2 , x3 , t)+ ρψ2 (0,1,2,0)

+ μψ3 − ρφ

(1,0,0,2)

(0,2,1,0)

(x1 , x2 , x3 , t) − μψ2

(1,0,2,0)

(x1 , x2 , x3 , t) + λφ

(0,3,0,0)

(x1 , x2 , x3 , t) + μψ3

(x1 , x2 , x3 , t)−

(1,0,2,0)

(x1 , x2 , x3 , t) + 2μφ

(x1 , x2 , x3 , t)+

(2,0,1,0) (x1 , x2 , x3 , t) + 2μφ (x1 , x2 , x3 , t) − μψ2 (x1 , x2 , x3 , t)+ + λφ (2,1,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) + λφ(3,0,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) + 2μφ(3,0,0,0) (x1 , x2 , x3 , t), + μψ3 (1,2,0,0)

(1,2,0,0)

454

ГЛАВА 6 (0,0,1,2)

− ρψ1

(0,0,3,0)

(x1 , x2 , x3 , t) + μψ1

(x1 , x2 , x3 , t) − ρφ(0,1,0,2) (x1 , x2 , x3 , t)+ (0,2,1,0)

+ λφ(0,1,2,0) (x1 , x2 , x3 , t) + 2μφ(0,1,2,0) (x1 , x2 , x3 , t) + μψ1

(x1 , x2 , x3 , t)+

(1,0,0,2) (x1 , x2 , x3 , t) + 2μφ (x1 , x2 , x3 , t) + ρψ3 (x1 , x2 , x3 , t)− + λφ (1,0,2,0) (1,2,0,0) (2,0,1,0) (x1 , x2 , x3 , t) − μψ3 (x1 , x2 , x3 , t) + μψ1 (x1 , x2 , x3 , t)+ − μψ3 (0,3,0,0)

(0,3,0,0)

(3,0,0,0)

+ λφ(2,1,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) + 2μφ(2,1,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) − μψ3

(x1 , x2 , x3 , t),

− ρφ(0,0,1,2) (x1 , x2 , x3 , t) + (λ + 2μ)φ(0,0,3,0) (x1 , x2 , x3 , t)+ (0,1,0,2)

+ ρψ1

(0,1,2,0)

(x1 , x2 , x3 , t) − μψ1

(x1 , x2 , x3 , t) + λφ(0,2,1,0) (x1 , x2 , x3 , t)+

(0,3,0,0)

+ 2μφ(0,2,1,0) (x1 , x2 , x3 , t) − μψ1

(1,0,0,2)

(x1 , x2 , x3 , t) − ρψ2

(x1 , x2 , x3 , t)+

(1,0,2,0) (x1 , x2 , x3 , t) + μψ2

(1,2,0,0) + μψ2 (x1 , x2 , x3 , t) + λφ(2,0,1,0) (x1 , x2 , x3 , t)+  (2,1,0,0) (3,0,0,0) (x1 , x2 , x3 , t) + μψ2 (x1 , x2 , x3 , t) + 2μφ(2,0,1,0) (x1 , x2 , x3 , t) − μψ1

Разность между соответствующими частями уравнений движения и волновых уравнений представлена ниже, Table[(((eqWave[[i]]) − (expr[[i]])) == 0)//Simplify, {i, 3}] {True, True, True} Очевидно, что равенства выполняются точно. Задача 6.14. Вводя обозначение c2 =

λ + 2μ ρ

(P.6.30)

и записывая волновое уравнение для потенциала смещения φ в виде c2 ∇2 φ −

∂2φ = 0, ∂2t

(P.6.31)

показать, что его решение есть φ=

f (r + ct) + g(r − ct) , r

(P.6.32)

где f , g — произвольные дифференцируемые (нужное число раз!) функции, а r = = x21 + x22 + x23 . Решение: Коды для решения (без подробных пояснений) приведены ниже. Transpose[A].r] 5 4 ) X − Y + Z , σ → X − Y + Z , σ → 2Y + Z σ1 → − √ √ √ √ √ √ √ 2 3 3 2 6 3 2 6 3 3

568

ГЛАВА 8

Далее подставляя значения напряжений в условия фон Мизеса находим    eqMises = (σ1 − σ3 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ1 − σ2 )2 == 2CY2 /.expr //Simplify  3 X 2 + Y 2 = 2CY2 

grMises = ContourPlot [Evaluate [eqMises/.CY → 1] , {X, −1, 1}, {Y, −1, 1}, AxesLabel → {“X”, “Y”}, Axes → True, AxesOrigin → {0, 0}, Background → GrayLevel[1]]

Очевидно, что образ предельной поверхности на Π-плоскости есть окружность. Задача 8.7. Используя преобразование из задачи 8.6, показать, что выражение σ1 + σ2 + σ3 = 0 есть уравнение плоскости Z = 0. Решение: Продолжим выполнение кода предыдущей задачи и найдем (((σ1 + σ2 + σ3 ) /.expr) == 0) //Simplify Z == 0 которое представляет уравнение Π-плоскости.

(P.8.7)

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ВОСЬМОМУ РАЗДЕЛУ

569

Задача 8.8. Для плоского напряженного состояния при σ2 = 0 определить геометрическое место точек для критериев фон Мизеса и Треска и сравнить их σ σ  с двумерными кривыми этих критериев в пространстве σY1 , σY3 . Решение: Из (8.12) находим условия фон Мизеса 2 eq1 = (σ1 − σ3 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ1 − σ2 )2 == 2σY ;

(eq1/.σ2 → 0) //Simplify σ12 + σ32 = σY2 + σ1 σ3 eq2 = ((eq1/.σ2 → 0) /. {σ1 → XσY , σ3 → ZσY }) //Simplify   2 X − ZX + Z 2 − 1 σY = 0 Геометрическое место точек условия фон Мизеса имеет вид gr2 = ContourPlot [Evaluate [{eq2}/.σY → 1] , {X, −2, 2}, {Z, −2, 2}, AxesLabel → {“X = σ1 /σY ”, “Z = σ3 /σY ”} , Axes → True, AxesOrigin → {0, 0}, ContourStyle → {GrayLevel[0], Dashing[{0.02}]}, Background → GrayLevel[1]]

Далее, находим геометрическое место точек условия Треска sys = {σ3 − σ1 == σY , σ2 − σ1 == σY } {σ3 − σ1 = σY , σ2 − σ1 = σY }

570

ГЛАВА 8

((sys/.σ2 → 0) /. {σ1 → XσY , σ3 → ZσY }) //Simplify {(X − Z + 1)σY = 0, (X + 1)σY = 0} sys3 = {X − Z + 1 == 0, X − Z − 1 == 0}; gr3 = ContourPlot [Evaluate[sys3], {X, −1, 1}, {Z, −1, 1}, AxesLabel → {“X = σ1 /σY ”, “Z = σ3 /σY ”} , Axes → True, AxesOrigin → {0, 0}, Background → GrayLevel[1]]

  σ σ  gr4 = Plot 1, {X, 0, 1}, AxesLabel → “X = σ 1 ”, “Z = σ 3 ” , Y Y Axes → True, AxesOrigin → {0, 0}, DisplayFunction → Identity] ;   σ σ  gr6 = Plot −1, {X, 0, −1}, AxesLabel → “X = σ 1 ”, “Z= σ 3 ” , Y

Y

Axes → True, AxesOrigin → {0, 0}, DisplayFunction → Identity] ; gr5 = ParametricPlot [{1, X}, {X, 0, 1}, AxesLabel →  σ  σ “X = σ 1 ”, “Z = σ 3 ” , Axes → True, AxesOrigin → {0, 0}, Y

Y

DisplayFunction → Identity] ;

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ВОСЬМОМУ РАЗДЕЛУ

571

gr7 = ParametricPlot [{−1, X}, {X, 0, −1}, AxesLabel →  σ  σ “X = σ 1 ”, “Z = σ 3 ” , Axes → True, AxesOrigin → {0, 0}, Y

Y

DisplayFunction → Identity] ; Совмещенные графики условий фон Мизеса и Треска представлены ниже. Show[gr2, gr3, gr4, gr5, gr6, gr7, DisplayFunction → $DisplayFunction, Background → GrayLevel[1]]

Задача 8.9. Условия фон Мизеса, как было показано в разделе 8.3, базируются на энергетической теории дисторции. Показать, что если энергия дисторции на единицу объема uD равна предельной постоянной CY , то в результате приходим к критерию (8.12) фон Мизеса. Решение: Из задачи 6.26 для энергии дисторции имеем uD

(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ1 − σ3 )2 ; = 12G

Для одноосного предельного состояния находим uD /. {σ1 → σY , σ2 → 0, σ3 → 0} σY2 6G

572

ГЛАВА 8

Тогда CY =

σY2 , а условия фон Мизеса принимают вид (8.12). 6G

Пластические деформации. Деформационное упрочнение Задача 8.10. Показать, что уравнения Прандля – Реусса (8.21) содержат в себе условия того, что оси пластических бесконечно малых деформаций соосны с главными осями тензора напряжений, и выразить эти уравнения в терминах главных напряжений. Решение: Из формулы (8.21) видно, что в системе координат, в которой равны нулю касательные напряжения, отсутствуют также и приращения пластической деформации сдвига. Вид уравнений (8.21) в главных осях следующий: d P2 d P3 d P1 = = s1 s2 s3 = dλ. Тогда находим

(P.8.8)

d P1 (σ1 − σM ) = dλ; d P2 (σ2 − σM ) = dλ;

(P.8.9)

d P3 (σ3 − σM ) = dλ, откуда выводим искомые соотношения d P − d P3 d P − d P1 d P1 − d P2 = 2 = 3 = dλ. σ1 − σ2 σ2 − σ3 σ3 − σ1

(P.8.10)

Задача 8.11. Для плоских пластических деформаций вида 23 = 0; d 23 = 0; σ22 = 0

(P.8.11)

показать, что уравнения Леви – Мизеса (8.19) приводят к заключению, что предельные условия Треска и фон Мизеса (когда рассматриваются только касательные напряжения k) являются идентичными. Решение: Условия (8.19) принимают вид d 11 = (σ11 − σ33 ) dλ/3; d 22 = − (σ11 + σ33 ) dλ/3; 0 = 2σ33 − σ11 .

(P.8.12)

Тогда в случае отсутствия касательных напряжений имеем σ1 = σ11 ; σ2 = σ33 = σ11 / 2; σ3 = 0 = σ22 .

(P.8.13)

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ВОСЬМОМУ РАЗДЕЛУ

573

Из условий (8.9) находим условия Треска в виде σ1 − σ3 = σ11 = 2k,

(P.8.14)

( σ11 / 2)2 + ( −σ11 / 2)2 + (σ11 )2 = 6k2 ,

(P.8.15)

из (8.11) находим которое после элементарных преобразований принимает вид σ11 = 2k.

(P.8.16)

Указание: Выполнить преобразования в кодах. Задача 8.12. Показать, что уравнения Прандля – Реусса содержат в себе уравнение Лодэ с переменной μ (см. задачу 8.3), и что выполняется равенство   P 2d 2 − d P1 − d P3 . (P.8.17) ν= d P1 − d P3 Решение: Из (8.21) находим d Pij = sij dλ.

(P.8.18)

В кодах выводим искомое равенство следующим образом: σM = Sum [ σk/ 3, {k, 3}] //Simplify; expr = Table [sk = σk − σM , {k, 3}] //Simplify; expr2 = Table [dP,k = skdλ, {k, 3}] ;

ν=

(2dP,2 − dP,1 − dP,3 ) //Simplify dP,1 − dP,3

σ1 − 2σ2 + σ3 σ3 − σ1 μ = (2σ2 − σ1 − σ3 ) / (σ1 − σ3 ) ; (ν == μ)//Simplify True Задача 8.13. Записывая второй инвариант в виде (Inv (TD ))2 = 1 (sij sij ), 2

(P.8.19)

∂ (Inv (TD ))2 = sij . ∂σij

(P.8.20)

показать, что

574

ГЛАВА 8

Решение: T = Table [If [i == j, σi,i, σi,j = σj,i] , {i, 3}, {j, 3}] ;    TD = Table If i == j, si,i = σi,i − 1/3Tr(T ), σi,j = σj,i ,  {i, 3}, {j, 3} //Simplify ⎞ ⎛ 1 (2σ − σ − σ ) σ2,1 σ3,1 1,1 2,2 3,3 ⎟ ⎜3 ⎟ ⎜ 1 (−σ + 2σ − σ ) σ2,1 σ3,2 ⎟ ⎜ 1,1 2,2 3,3 3 ⎠ ⎝ 1 (−σ − σ + 2σ ) σ3,1 σ3,2 1,1 2,2 3,3 3

  inv2 = Sum 1/2TD [[i, j]]TD [[i, j]], {i, 3}, {j, 3} //Simplify 1 σ 2 − (σ + σ ) σ + 3σ 2 + σ 2 + 3σ 2 + 3σ 2 + σ 2 − σ σ  2,2 3,3 1,1 2,2 3,3 2,1 2,2 3,1 3,2 3,3 3 1,1        S = Table If i == j, D inv2, σi,j , 1/2D inv2, σi,j , {i, 3}, {j, 3} // Simplify ⎞ ⎛ 1 (2σ − σ − σ ) σ2,1 σ3,1 1,1 2,2 3,3 ⎟ ⎜3 ⎟ ⎜ 1 (−σ + 2σ − σ ) σ2,1 σ3,2 ⎟ ⎜ 1,1 2,2 3,3 3 ⎠ ⎝ 1 (−σ − σ + 2σ ) σ3,1 σ3,2 1,1 2,2 3,3 3

(S == TD ) //Simplify True Задача 8.14. Показать, что когда потенциальная функция пластических деформаций имеет следующий вид: g (σij ) = (Inv (TD ))2 ,

(P.8.21)

то уравнения функции пластического потенциала (8.22) становятся уравнениями Прандля – Реусса. Решение: Результат напрямую следует из предыдущей задачи, т. к. ∂g (σij ) = sij , ∂σij

(P.8.22)

что немедленно сводит (8.22) к (8.21). Задача 8.15. Разложить соотношение (8.24) и показать, что эквивалентные напряжения σEQ можно записать в виде (8.23).

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ВОСЬМОМУ РАЗДЕЛУ

575

Решение: Имеем следующие коды для решения поставленной задачи: T = Table [If [i == j, σi,i, σi,j = σj,i] , {i, 3}, {j, 3}] ; • девиатор тензора напряжений S = T − Tr(T )/3IdentityMatrix(3) ⎛ 1 ⎜ σ1,1 + 3 (−σ1,1 − σ2,1 ⎜ ⎜ − σ ) −σ 2,2 3,3 ⎜ ⎜ σ2,2 + 1 (−σ1,1 − ⎜ 3 σ2,1 ⎜ ⎜ −σ ⎜ 2,2 − σ3,3 ) ⎜ ⎜ ⎝ σ3,1 σ3,2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ σ3,2 ⎟ ⎟ ⎟ 1 (−σ − σ −⎟ ⎟ 1,1 2,2 ⎠ 3 −σ3,3 ) + σ3,3 σ3,1

2 = 3 s s = 3Inv , • эквивалентные напряжения, которые определяются как σEQ ij ij 2

2

sqrσ EQ = Sqrt[Sum[3S[[i, j]](S[[i, j]]/2), {i, 3}, {j, 3}]]2 //Simplify 2 2 2 2 2 2 − (σ2,2 + σ3,3 ) σ1,1 + 3σ2,1 + σ2,2 + 3σ3,1 + 3σ3,2 + σ3,3 − σ2,2 σ3,3 σ1,1

 expr = 1/2 (σ1,1 − σ2,2 )2 + (σ3,3 − σ2,2 )2 + (σ1,1 − σ3,3 )2 +   2 2 2 + σ2,3 + σ1,3 ; 6 σ1,2 

 sqrσ EQ == expr //Simplify

True Последнее выражение подтверждает условие (8.23). Задача 8.16. В теории потенциальных пластических деформаций вектор бесконечно малых пластических деформаций перпендикулярен к предельной поверхности нагрузок в каждой регулярной точке. Если {n1 , n2 , n3 } — вектор направления нормали к предельной поверхности f1 (σij ), то показать, что d P2 d P3 d P1 = = s1 s2 s3

(P.8.23)

при условия фон Мизеса и законе течения. Решение: Условие перпендикулярности выражается в виде (уравнение предельной поверхности выражено в главных координатах) 

n = Gradf1 (σ1 , σ2 , σ3 ) ,

(P.8.24)

576

ГЛАВА 8

которое в кодах имеет вид dP 1 2 3 4     P   3DifferentialD P 2 3DifferentialD 1 == − == − − 2σ1 + σ2 + σ3 σ1 − 2σ2 + σ3    5 3DifferentialD P 3 == − σ1 + σ2 − 2σ3

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ВОСЬМОМУ РАЗДЕЛУ

577

Задача 8.17. Определить бесконечно малые пластические деформации в случаях: • простого растяжения σ1 = σY , • двухосного напряженного состояния √ √ σ11 = −σY / 3; σ22 = σY / 3; σ33 = σ12 = σ21 = σ23 = 0, • чистого сдвига

√ σ12 = σY / 3.

(P.8.25)

(P.8.26)

(P.8.27)

Решение: Для простого растяжения имеем σ11 = σ1 = σY ; σ2 = σ3 = 0.

(P.8.28)

σ1,1 = σ1 = σY ; σ2 = σ3 = 0;     sys = Table sk = σk − 1/3Sum σi, {i, 3} , {k, 3} //Simplify

σY σY 2σY ,− ,− 3 3 3 

n = {n1 , n2 , n3 }; expr = {1/3σY n1 /s1 == 1/3σY n2 /s2 == 1/3σY n3 /s3 } /.    P P //Simplify Thread n –> dP 1 , d2 , d3

1 DifferentialD  P   == −DifferentialD  P   == 1 2 2  P   == −DifferentialD 3 Указание: Составить коды для реализации двух других напряженных состоя-

ний. Задача 8.18. Определить работу пластических деформаций dWp и эквивалентные бесконечно малые пластические деформации d PEQ для двухосного напряженного состояния √ √ (P.8.29) σ11 = −σY / 3; σ22 = σY / 3; σ33 = σ12 = σ21 = σ23 = 0, если пластические деформациии «находятся под контролем», т. е. d P1 = const = c0 Решение: В главных осях работа главных напряжений на пластических деформациях равна 3 3 σi d P,i . (P.8.30) dW P = i=1

578

ГЛАВА 8

Из решения задачи 8.17 имеем d P,1 = −d P,3; d P,2 = 0.

(P.8.31)

Далее найдем решение в кодах √ √ σ1,1 = σ1 = −σY / 3; σ2,2 = σ2 = σY / 3; σ3,3 = σ3 = σ1,2 = σ3,1 = σ2,3 = 0; dP,1 = −dP,3 ; dP,2 = 0; dWP =

3 3

σidP,i

i=1

σY d P,3 √ 3 dWP /. {dP,1 –>c0 , dP,3 → −c0 } //Simplify c0 σY − √ 3 Из (8.25)

)

 формула расчета имеет вид

d PEQ

=

 2 d P d P 3 ij ij

находим эквива-

лентные пластические деформации    dEQ = Sqrt 2/3Sum dP,idP,i, {i, 3} /. {dP,1 –>c0 , dP,3 → −c0 , dP,2 –>0} //PowerExpand//Simplify 2c0 √ 3 Задача 8.19. Проверить (8.32), показав, что для материала, подчиняющегося условиям Прандля – Реусса, работа на бесконечно малых пластических деформациях равна (P.8.32) dW P = σEQ d PEQ , что совпадает с (8.31) Решение: Из (8.30) имеем dW P = sij sij dλ

(P.8.33)

для материала Прандля – Реусса, удовлетворяющего условиям (8.21). Но из (8.27) находим d PEQ (P.8.34) dλ = 2 σ 3 EQ

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ВОСЬМОМУ РАЗДЕЛУ

579

и после сопоставления имеем P

dW

P

d EQ = sij sij 2 σ , 3 EQ

(P.8.35)

которое с использованием определения (8.24) приводит к равенству dW P = σEQ d PEQ .

(P.8.36)

Указание: Выполнить вывод в кодах. Задача 8.20. Для материала, подчиняющегося предельным условиям Мизеса, эквивалентные напряжения σEQ , взятые как предельная функция в условиях упрочнения (8.34) и (8.36). Показать, что в этом случае , σEQ dF = dH dσij d PEQ

(P.8.37)

где F  и H  есть производные функций упрочнения по соответствующим аргументам. Решение: Здесь из (8.34) находим   σEQ = F W P ,

(P.8.38)

  dσEQ = F  W P dW P .

(P.8.39)

а дифференциал имеет вид

Аналогично из (8.36) находим   σEQ = H PEQ ;   dσEQ = H  W P d PEQ . Сравнивая дифференциалы функций, находим     H  W P d PEQ = F  W P dW P , а используя равенство dW P = σEQ d PEQ , окончательно выводим     H  W P = F  W P σEQ .

(P.8.40)

(P.8.41)

(P.8.42)

Общая теория деформаций (раздел 8.5) Задача 8.21. Общая теория деформаций Генки может быть представлена следующими уравнениями: P ij = E ij + ij ;

# E E ij = eij + δij kk 3 = ( sij / 2G) + δij (1 − 2ν) σkk / 3Y,

(P.8.43)

580

ГЛАВА 8

которые замыкаются уравнениями вида Pij = φsij .

(P.8.44)

Показать, что эти уравнения эквивалентны уравнениям (8.37). Решение: Уравнения вида ij = φsij содержат, в частности, соотношения Pii = P = 0, так что выполняется равенство ii = ij = φsij . Из равенства ij = E ij + ij следует, что здесь ij = E ij . Из этих же уравнений следует: # E ij + δij kk / 3 = E ij + δij ij 3,

(P.8.45)

P ij = E ij + ij = (φ + 1/(2G))sij ,

(P.8.46)

которые затем сводятся к

т. е. к (8.37). Также из ij = E ij ; ij = (1 − 2ν)σkk /Y

(P.8.47)

следует (8.38) Указание: Выполнить преобразования в кодах. Задача 8.22. Проверить, что параметр Генки может быть выражен как (8.39) Решение: Возводя в квадрат и прибавляя компоненты в уравнение ij = Pij

(P.8.48)

Pij Pij = φ2 sij sij .

(P.8.49)

из задачи 8.21, получаем Соответственно выводим 2 φ=3

2 Pij Pij 3

@ 2σEQ

3 PEQ = . 2σEQ

(P.8.50)

Указание: Выполнить преобразование в кодах. Упругопластические задачи (раздел 8.10) Задача 8.23. Пусть упруго-совершенная и пластически деформированная балка прямоугольного сечения (формула для изгибающего момента в балке см. [8]) находится в равновесии в условиях чистого изгиба. Используя элементарную теорию изгиба, определить момент M , при котором остающиеся упругие напряжения составляют середину от −a до a, как показано на схеме.

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ВОСЬМОМУ РАЗДЕЛУ

581

y[x_/; −1 < x < 1] := x; y[x_/; 1 < x] := 1; y[x_/; −1 > x] := −1 gr1 = ParametricPlot [{y[x], x}, {x, −2, 2}, AspectRatio → 1/1, AxesLabel → {“σ11 ”, “x1 ”} , Ticks → None, DisplayFunction → Identity] ;  grPoints = Graphics {PointSize[0.02], Point[{1, 1}], Text [“σY,a”, {0.81, 1.09}]} , {PointSize[0.02], Point[{−1, −1}], Text [“ − σY,−a”, {−0.81, −1.09}]} , {PointSize[0.02], Point[{1, 2}], Text [“σY,c”, {0.81`, 1.95`}]} ,  {PointSize[0.02], Point[{−1, −2}], Text [“ − σY,−”, {−0.81, −1.95}]} ; Show[gr1, grPoints, DisplayFunction → $DisplayFunction, Background → GrayLevel[1]]

Решение: Здесь ненулевые только напряжения изгиба σ11 . В упругой зоне имеем x (P.8.51) σ11 = Y 11 = Y 1 ; −a < x1 < a, R где R — радиус кривизны изогнутой балки. В пластической зоне имеем σ11 = σY . Тогда изгибающий момент равен

582

ГЛАВА 8



 x  Integrate Y 1 x1 b, {x1 , −a, a} + R   //Simplify 2Integrate x1 σY b, {x1 , a, c}

M =

2bY a3 + b c2 − a2  σ Y 3R (M/.R → (Y c) /σY ) //Simplify   b 2a3 − 3ca2 + 3c3 σY 3c Для полностью упругой балки имеем значение изгибающего момента (M/.{a → c}/.R → (Y c) /σY ) //Simplify 2 bc2 σ Y 3 Для полностью пластичной балки находим (M/.{a → 0}/.R → (Y c) /σY ) //Simplify bc2 σY Задача 8.24. Определить изгибающий момент для балки, нагруженной так же, как и в предыдущей задаче 8.23, если материал является линейно-упрочненным, для которого (P.8.52) σ11 = σT + A ( 11 − σT / Y ) после достижения предельных напряжений. Эпюра кусочно-линейных напряжений представлена ниже. y[x_/; −1 < x < 1] := 2x; y[x_/; 1 < x] := x + 1; y[x_/; −1 > x] := x − 1 gr1 = ParametricPlot [{y[x], x}, {x, −2, 2}, AspectRatio → 1/1, AxesLabel→ {“σ11 ”, “x1 ”}, Ticks→None, DisplayFunction → Identity];  grPoints = Graphics {PointSize[0.02], Point[{2, 1}], Text [“σY,a”, {2.31, 0.9}]} , {PointSize[0.02], Point[{−2, −1}], Text [“ − σY,−a”, {−2.61, −0.9}]} , {PointSize[0.02], Point[{3, 2}], Text [“σ11,c”, {2.31, 1.9}]} ,  {PointSize[0.02], Point[{−3, −2}], Text [“ − σ11,−c”,{−2.31, −1.9}]} ;

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ВОСЬМОМУ РАЗДЕЛУ

583

Show[gr1, grPoints, DisplayFunction → $DisplayFunction, Background → GrayLevel[1]]

Решение: Пусть, как и ранее, 11 =

x1 . Тогда для момента находим R



 x  2Integrate Y 1 x1 b, {x1 , 0, a} + R   //Simplify 2Integrate (σT + A ( x1 / R − σY / Y )) x1 b, {x1 , a, c}         b 2Y (Y − A)a3 + Ac3 + 3 c2 − a2 RY σT + 3A a2 − c2 RσY 3RY M =

(M/.R → (Y a) /σY ) //Simplify       b 3a c2 − a2 Y σT + (A + 2Y )a3 − 3Ac2 a + 2Ac3 σY 3aY (M/.σY → (Y a)/R) //Simplify     b (A + 2Y )a3 − 3Ac2 a + 2Ac3 + 3 c2 − a2 RσT 3R Задача 8.25. Совершенный упруго-пластический вал радиуса c вращается под действием момента T . Определить момент T , если внутренняя сердцевина вала радиуса a остается упругой.

584

ГЛАВА 8

Show[Import[“C:\\temp\\1\3.bmp”]]

Решение: Касательные напряжения σ12 равны σ12 = kr/a; (0  r < a), σ12 = k; (a  r  c),

(P.8.53)

где k — предельные напряжения материала вала. Тогда крутящий момент равен    r rr, {r, 0, a} + 2πIntegrate[krr, {r, a, c}] // 2πIntegrate k a Simplify   − 1 a3 − 4c3 kπ 6 

T =

Для полностью упругого вала имеем (T /.a → c)//Simplify 1 c3 kπ 2 для полностью пластического вала имеем (T /.a → 0)//Simplify 2 c3 kπ 3 Задача 8.26. Шар, выполненный как тонкая оболочка, находится под внутренним давлением p0 . Используя условия фон Мизеса, определить давления, при которых достигается первое предельное напряженное состояние.

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ВОСЬМОМУ РАЗДЕЛУ

585

Решение: Поскольку задача полностью симметричная, то главные напряжения равны σθθ = σ1 = σ2 ; (P.8.54) σrr = σ3 . Тогда условия фон Мизеса (8.12) имеют вид σθθ − σrr = σY . Компоненты упругих напряжений равны   3 3 b /r + 1 σθθ = σφφ = p0  3 3 ; b /a − 1   3 3 b /r − 1 σrr = −p0  3 3 ; b /a − 1

σθθ

σrr

(P.8.55)

(P.8.56)

  3 3 b /r + 1 = σφφ = p0  3 3 ; b /a − 1   3 3 b /r − 1 = −p0  3 3 ; b /a − 1

eq1 = σθθ − σrr == σY ;   sol = Solve eq1, σY //Flatten//Simplify 5 4 2a3 b3 p0  σY → −  3 a − b3 r 3   sol1 = Solve eq1, p0 //Flatten//Simplify 5 4  3  a − b3 r 3 σY p0 → − 2a3 b3 Теория плоских пластических деформаций тонких пластинок (раздел 8.10) Задача 8.27. Проверить прямым вычислением величины главных напряжений (8.44) для тензора напряжений (8.40) при σ33 = (σ11 + σ22 )/ 2, как было дано в (8.43).

(P.8.57)

586

ГЛАВА 8

Решение: Тензор напряжений имеет вид T = {{σ1,1 , σ1,2 , 0} , {σ1,2 , σ2,2 , 0} , {0, 0, (σ1,1 + σ2,2 )/ 2}} ; Главные напряжения равны sol = Eigenvalues[T ]//Simplify

"   1 (σ + σ ) , 1 σ + σ − σ 2 − 2σ σ + 4σ 2 + σ 2 , 2,2 2,2 2,2 1,1 1,1 1,2 2,2 2 1,1 2 1,1

"   1 σ + σ + σ 2 − 2σ σ + 4σ 2 + σ 2 1,1 2,2 2,2 1,1 1,1 1,2 2,2 2 а их вид через давление следующий. sol/. {σ1,1 + σ2,2 → p}

"  p 1 2 − 2σ σ 2 2 , p − σ1,1 2,2 1,1 + 4σ1,2 + σ2,2 , 2 2 "   1 p + σ 2 − 2σ σ + 4σ 2 + σ 2 2,2 1,1 1,1 1,2 2,2 2 Задача 8.28. Используя условия того, что предельные касательные напряжения k являются постоянными, сопоставляя (8.45) с уравнениями равновесия и интегрируя последние, докажите (8.46). Решение: Уравнения равновесия имеют вид (6.38). Сначала введем компоненты тензора напряжений и неизвестные p и ϕ. p = P (x1 , x2 ) ; ϕ = Φ (x1 , x2 ) ; σ1,1 = −p − kSin(2ϕ); σ2,2 = −p + kSin(2ϕ); σ1,2 = σ2,1 = kCos(2ϕ); Уравнения равновесия принимают вид      sys = D σ1,1 , x1 + D σ1,2 , x2 == 0,      D σ2,1 , x2 + D σ2,2 , x2 == 0  −2k sin (2Φ (x1 , x2 )) Φ(0,1) (x1 , x2 ) − P (1,0) (x1 , x2 ) − − 2k cos (2Φ (x1 , x2 )) Φ(1,0) (x1 , x2 ) == 0, − P (0,1) (x1 , x2 ) + 2k cos (2Φ (x1 , x2 )) Φ(0,1) (x1 , x2 ) −  −2k sin (2Φ (x1 , x2 )) Φ(0,1) (x1 , x2 ) == 0

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ВОСЬМОМУ РАЗДЕЛУ

587

Уравнения равновесия вдоль линий α и β, где ϕ = 0, принимают вид sys2 = (sys/.ϕ → 0)//Simplify  P (1,0) (x1 , x2 ) + 2kΦ(1,0) (x1 , x2 ) == 0,  P (0,1) (x1 , x2 ) == 2kΦ(0,1) (x1 , x2 ) Далее находим интегралы уравнений равновесия:   DSolve sys2[[1]], p, {x1 , x2 } //Flatten//Simplify {P (x1 , x2 ) → c1 [x2 ] − 2kΦ (x1 , x2 )}   DSolve sys2[[2]], p, {x1 , x2 } //Flatten//Simplify {P (x1 , x2 ) → 2kΦ (x1 , x2 ) + c1 [x1 ]} которые совпадают с ранее сформулированными соотношениями (8.46). Задача 8.29. В случае безфрикционного протягивания через квадратный пуансон теряется 50 % первоначального материала, сосредоточенного в центре, движение которого описывается радиальными линиями β и центральными линиями α, как показано на рисунке ниже. Определить компоненты скорости вдоль этих линий в терминах U — средней скорости протягивания, в полярных координатах r и θ. Show[Import[“C:\\temp\\1\4.bmp”]]

Решение: Вдоль прямой β имеем dϕ = 0,

(P.8.58)

а из (8.49) следует, что dv2 = 0, т. е. v2 = const. Отсюда выводим, что нормальная скорость к окружности равна v2 = U Cos θ. Вдоль окружности, т. е. вдоль линии α,

588

ГЛАВА 8

имеем dϕ = dθ. Из (8.49) находим v1 = Integrate[U Cos(θ), {θ, −Pi/4, ϑ}]//Simplify  U sin(ϑ) + √1 2 Смешанные задачи Задача 8.30. Показать, что условие предельных состояний фон Мизеса может быть выражено в терминах октаэдральных касательных напряжений σOCT (см. задачу 2.22), где σOCT =

√ 2σY . 3

Решение: В терминах главных напряжений имеем (из задачи 2.22) √ σOCT = 1 (σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ1 − σ3 )2 , 3

(P.8.59)

а из (8.12) находим (σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ1 − σ3 )2 = 2σY2 ,

(P.8.60)

что приводит к искомому результату. Указание: Выполнить преобразование в кодах. Задача 8.31. Показать, что уравнение (8.13) предельных состояний фон Мизеса может быть записано в виде s21 + s22 + s23 = 3k2 .

(P.8.61)

Решение: Имеем следующие равенства: expr = Table [σk = sk + σM , {k, 3}] //Simplify; Условие фон Мизеса принимает вид   expr2 = (σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ1 − σ3 )2 == 6k2 //Simplify 3k2 + s2 s3 + s1 (s2 + s3 ) == s21 + s22 + s23 Второй инвариант, записанный через компоненты девиатора напряжений, выглядит следующим образом:     inv2 = Sum If i == j, 0, 1/2si sj , {i, 3}, {j, 3} s1 s2 + s3 s2 + s1 s3

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ВОСЬМОМУ РАЗДЕЛУ

589

Используя условие того, что второй инвариант равен нулю, т. е. inv2 → 0, окончательно выводим ExpandAll[expr2]/.inv2 → 0 3k2 == s21 + s22 + s23 Задача 8.32. Какая величина параметра Лодэ μ=

(2σ2 − σ1 − σ3 ) σ1 − σ3

(P.8.62)

является условиями предельных состояний Треска или фон Мизеса. Решение: Из определения параметра μ находим   (2σ2 − σ1 − σ3 ) sol = Solve μ == , σ2 //Flatten//Simplify σ1 − σ3

1 σ2 → ((μ + 1)σ1 − (μ − 1)σ3 ) 2 Подстановка в (8.12) дает 2 expr = (σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ1 − σ3 )2 == 2σY ;

expr2 = (expr/.sol)//Simplify 1 μ2 + 3 (σ − σ )2 == 2σ 2 1 3 Y 2 Полагая μ = 1, находим (Sqrt[(expr2[[1]]/.μ→1)]==Sqrt[expr2[[2]]])//PowerExpand//Simplify σ1 == σ3 + σY что совпадает с условием Треска. Задача 8.33. Для напряженного состояния вида ⎛ ⎞ σ τ 0 σ  = ⎝τ σ 0 ⎠ 0 0 σ определить условия предельных состояний Треска и фон Мизеса. Решение: ⎛ σ τ  = ⎝τ σ σ 0 0

Найдем главные напряжения ⎞ 0 0 ⎠; σ

(P.8.63)

590

ГЛАВА 8

   stresses = Eigenvalues σ {σ, σ − τ, σ + τ } {σ1 , σ2 , σ3 } = {stresses[[3]], stresses[[1]], stresses[[2]]} {σ + τ, σ, σ − τ } Условия Треска принимают вид (σ1 − σ3 == σY ) //Simplify 2τ == σY а условия фон Мизеса следующие:   2 (σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ1 − σ3 )2 == 2σY //Simplify 3τ 2 == σY2 Заметим, что оба условия зависят только от касательных напряжений, т. е. предельные состояния не зависят от гидростатического давления. Задача 8.34. Показать, что уравнения Прандля – Реусса содержат в себе условия несжимаемых пластических деформаций и записать эти уравнения в терминах действительных напряжений. Решение: Из (8.21) имеем d Pii = sii dλ d Pii = sii dλ = 0,

(P.8.64)

т. к. Inv1 = σii = 0. Поэтому условие несжимаемости имеет вид d Pii = 0. Уравнения Прандля – Реусса в терминах действительных напряжений имеют вид d Pij = (σij − δij σkk / 3) dλ.

(P.8.65)

Задача 8.35. Используя условия фон Мизеса, показать, что в Π-плоскости компоненты девиатора напряжений для предельных состояний следующие:   2σY Cos θ − π 6 ; s1 = 3   2σY Cos θ + π (P.8.66) 6 ; s2 = 3 2σ Sin θ , s3 = Y 3 где θ = Tan−1 Y — обозначение, принятое в задаче 8.6. X

Решение: Радиус предельной окружности для условия фон Мизеса равен ) (P.8.67) r = 2 σY , 3

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ВОСЬМОМУ РАЗДЕЛУ

так что определение координат для предельных состояний следующее: ) X = 2 σY Cos θ; 3 ) Y = 2 σY Sin θ. 3

591

(P.8.68)

Из таблицы преобразования систем координат (см. задачу 8.6) и из зависимостей вида σ1 = s1 + σM и т. д., а также уравнений √ s1 − s2 = − 2X = √2 σY Cos θ; 3 (P.8.69) √ s1 + s2 − 2s3 = − 6Y = 2σY Sin θ. выводим уравнение Π-плоскости. Уравнение Π-плоскости имеет вид s1 + s2 + s3 = 0. Составляем систему  sys = s1 − s2 == √2 σY Cos(θ), s1 + s2 − 2s3 == 2σY Sin(θ), 3  s1 + s2 + s3 == 0 ; и находим решение для s1 , s2 , s3 :     sol = TableForm Solve sys, {s1 , s2 , s3 } //Flatten//Simplify √  3 cos(θ) + sin(θ) σY s1 → 1 3 √  s2 → − 1 3 cos(θ) − sin(θ) σY 3 s3 → − 2 sin(θ)σY 3 Очевидно, что выведенные соотношения совпадают с искомыми. Указание: Проверить совпадение результатов в кодах. Задача 8.36. Совершенный, пластичный, несжимаемый материал нагружен двумя жесткими плитами, так что в нем реализуется плоское деформированное состояние, т. е. выполняются условия σ22 = 0, 33 = 0. Используя условие предельных состояний фон Мизеса, определить напряжения σ11 и соответствующие деформации 11 для первого предельного состояния. Решение: Для упругих деформаций имеем уравнение Y 33 = σ33 − ν (σ11 + σ22 ) ,

(P.8.70)

которое сводится к следующему: σ33 = νσ22 .

(P.8.71)

592

ГЛАВА 8

Далее, главные напряжения имеют вид σ1 = 0; σ2 = −νσ11 ; σ3 = −σ11 .

(P.8.72)

Условия (8.12) в кодах принимают вид σ1 = 0; σ2 = −νσ1,1 ; σ3 = −σ1,1 ;   2 2 2 2 eqMisez = (σ1 − σ3 ) + (σ2 − σ3 ) + (σ1 − σ2 ) == 2σY //Simplify   2 == 0 σY2 + −ν 2 + ν − 1 σ1,1 Напряжение для первых предельных состояний равно     sol = Part Solve eqMisez, σ1,1 //Flatten//Simplify, 1 i σY σ1,1 → − √ 2 −ν + ν − 1 Для деформаций имеем eqStrain = Y 1,1 == σ1,1 − ν (σ3,3 + σ2,2 ) ;   sol2 = Solve eqStrain/. {σ2,2 → 0, σ3,3 → νσ1,1 }/.sol, 1,1 //Flatten// Simplify 5 4   i ν 2 − 1 σY 1,1 → √ Y −ν 2 + ν − 1 Задача 8.37. Для совершенного, упругого, пластичного материала балки, находящейся в состоянии чистого изгиба, нагруженной до состояния полных пластических деформаций, определить разность напряжений в балке для момента разгрузки M . Решение: Для условий полных пластических деформаций изгибающий момент равен (P.8.73) M = bc2 σY . Момент для упругих напряжений позволяет записать σ = Mc, J0

(P.8.74)

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ВОСЬМОМУ РАЗДЕЛУ

593

где осевой момент инерции равен 3 J0 = 2bc . 3

(P.8.75)

Изобразим графически разность напряжений. fullyPlastic[x_/; 0  x  1] = σY ; fullyPlastic[x_/; −1  x  0] = −σY ; elastic[x_/; 0  x  1] = 3/2σY x; elastic[x_/; −1  x  0] = 3/2σY x;  grPoints = Graphics {PointSize[0.02], Point[{1, 0}], Text [“σY ”, {0.5, −0.09}]} , {PointSize[0.02], Point[{−0.5, 1}], Text [“σY /2”, {−0.25, 0.99}]}

 ;

gr1 = ParametricPlot [{fullyPlastic[x], x}/.σY → 1, {x, −1, 1}, AspectRatio → 1/1, PlotLabel → “Пластические\n деформации”, Ticks → None, AxesLabel → {“σ”, “x1 ”} , DisplayFunction → Identity]; gr2 = ParametricPlot [{elastic[x], x}/.σY → 1, {x, −1, 1}, AspectRatio → 1/1, PlotLabel → “Упругие\n деформации”, Ticks → None, AxesLabel → {“σ”, “x1 ”} , DisplayFunction → Identity] ; gr3 = ParametricPlot [{−(−fullyPlastic[x] + elastic[x])/.σY → 1, x} , {x, −1, 1}, AspectRatio → 1/1, Ticks → None, AxesLabel → {“σ”, “x1 ”} , PlotLabel → “Эпюра разности\n напряжений”, DisplayFunction → Identity] ; gr4 = Show[gr3, grPoints, DisplayFunction → Identity]; Show[GraphicsRow[{gr1, gr2, gr4}], DisplayFunction → $DisplayFunction, Background → GrayLevel[1]]

594

ГЛАВА 8

Задача 8.38. Тонкостенная цилиндрическая оболочка подвержена внутреннему давлению p0 . Определить величину p0 при достижении первого предельного состояния: • по условиям фон Мизеса, • по условиям Треска. Решение: Компоненты напряжений по цилиндрическим координатам имеют вид σrr = − σθθ = σzz

  p0 b2 /r 2 − 1

b2 /a2 − 1   p0 b2 /r 2 + 1

b2 /a2 − 1 p0 . = 2 2 b /a − 1

;

;

(P.8.76)

Здесь a — радиус внутренней поверхности, b — радиус наружной окружности, a  r  b — текущий радиус. В кодах компоненты напряжений по цилиндрическим координатам имеют вид σ1 = −

σ2 =

  p0 b2 /r 2 − 1 b2 /a2 − 1

  p0 b2 /r 2 + 1

b2 /a2 − 1 p0 ; σ3 = 2 2 b /a − 1

;

;

В кодах условия фон Мизеса запишутся следующим образом: eqMisez =   2 //Simplify = (σ1 − σ3 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ1 − σ2 )2 == 2σY 6a4 b4 p20 2  2 2 4 == 2σY 2 a −b r Тогда предельные напряжения по условиям фон Мизеса равны     solMisez = Part Solve eqMisez, p0 //PowerExpand//Flatten//Simplify, 2  2  a − b2 r 2 σY p0 → √ 2 2 3a b

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ВОСЬМОМУ РАЗДЕЛУ

595

а максимальные напряжения на поверхности цилиндра следующие: p0 /.solMisez/.r → a   2 a − b2 σY √ 2 3b Условия Треска запишутся в виде eqTreska = (σ2 − σ1 == σY ) //Simplify 2a2 b2 p0 − 2  == σY a − b2 r 2 Откуда предельные напряжения по условиям Треска запишутся в виде   solTreska = Solve eqTreska, p0 //PowerExpand//Flatten//Simplify 5 4  2  a − b2 r 2 σY p0 → − 2a2 b2 Соответственно, максимальные напряжения по условиям Треска равны p0 /.solTreska/.r → a   2 a − b2 σY − 2b2 Задачи для самостоятельного решения Задача 8.39. Одномерный закон состояния «напряжения-деформации» имеет вид σ = K n ,

(P.8.77)

где K и n —- постоянные величины, а — истинные деформации. Показать, что максимальные нагрузки имеют место при n = . Задача 8.40. Перерешить задачу 8.4, используя в качестве предельных напряжений касательные напряжения k вместо предельных напряжений σY в условиях фон Мизеса и Треска. 2     2  2 2 σ + τ = 1, Треска — σ + τ = 1. Ответ: Мизес — √ k 3

k

2k

k

Задача 8.41. Используя свойства материала, представленного в задаче 8.6, проверить геометрические свойства предельных состояний, представленных в разделе 8.4 (последний график).

596

ГЛАВА 8

Задача 8.42. Из определения параметра Лодэ μ (см. задачу 8.3) и условия фон σ Мизеса, показать, что σ1 − σ3 = 2 Y . 3 + μ2

Задача 8.43. В Π--плоскости, где обозначено   Y , −1 θ = Tan X причем X и Y определены, как в задаче 8.6, показать, что √ μ = − 3 Tan θ.

(P.8.78)

(P.8.79)

Задача 8.44. Показать, что инварианты девиатора тензора напряжений Inv2 (d) = 1/2sij sij ; Inv3 (d) = 1/3sij sjk ski

(P.8.80)

  Inv2 (d) = 1/2 s21 + s22 + s23 ;   Inv3 (d) = 1/3 s31 + s32 + s33 .

(P.8.81)

могут быть записаны в виде

Задача 8.45. Показать, что условия предельных состояний фон Мизеса могут быть записаны в виде  2  2 2 + σ13 + σ23 = 6k2 . (P.8.82) (σ11 − σ22 )2 + (σ11 − σ33 )2 + (σ11 − σ33 )2 + 6 σ12 Задача 8.46. Следуя методу, предложенному в задаче 8.17, определить отношение бесконечно малых пластических деформаций для • плоского напряженного состояния σ11 = σ22 = σY , • сложного напряженного состояния «растяжения + кручения» σ11 = σY /2, σ12 = σY /2. Задача 8.47. Проверить следующие эквивалентные выражения для эффективных бесконечно малых пластических деформаций d PEQ и показать, что в каждом случае d PEQ = d P11 для одноосного и однородного растяжения σ11 : )

 2 ; d P 2 + d P 2 + d P 2 + 11 22 33 3   2  2  2 1/2 ; +2 d P12 + d P13 + d P23 )   2  2 2. d PEQ = 2 d P11 − d P22 + d P22 − d P33 + 3   2  2  2 1/2  P 2 . + d 11 − d P33 + 6 d P12 + d P13 + d P23 1.

d PEQ

=

(P.8.83)

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ВОСЬМОМУ РАЗДЕЛУ

597

Задача 8.48. Пусть тонкостенная совершенно-упругая пластичная труба находится в сложном напряженном состоянии «растяжения + кручения». Аксиальные напряжения σ = σY /2 достигают первого предельного состояния и остаются постоянными до тех пор, пока τ — касательные напряжения, увеличиваются от нуля до предельных. Какой величина τ станет при достижении первого предельного состояния по условиям фон Мизеса? Ответ: τ = σY /2. Задача 8.49. Балка треугольного сечения подвержена чистому изгибу. Определить положение нейтральной оси (величину расстояния b от вершины) когда балка перейдет в пластическое состояние. √ Ответ: b = h/ 2. Задача 8.50. Показать, что тензор напряжений (8.40) становится тензором вида ⎛ ⎞ −p k 0 (P.8.84) σij = ⎝ k −p 0 ⎠, 0 0 −p когда соответствующие оси повернуты вокруг оси x3 на угол θ на рисунке, изображенном ниже.

ГЛАВА 9

Линейная теория вязкоупругости

К содержанию!

В разделе 9 рассматриваются понятие вязкоупругого поведения сплошной среды и различные модели вязкоупругих сред.

9.1. Деформация вязкоупругих сред Как следует из предыдущих разделов, упругие тела и вязкие жидкости достаточно существенно отличаются с точки зрения их деформационных характеристик. Так, наиболее существенное отличие состоит в том, что упругие тела возвращаются в свое исходное (недеформированное) состояние при снятии нагрузок. В тоже время вязкие флюиды никогда не возвращаются в недеформированное состояние. Кроме того, упругие напряжения напрямую зависят от деформаций, в то время как напряжения в вязких средах (кроме гидростатических составляющих) зависят от скоростей деформаций. Тем не менее материалы, которые соединяют в своем деформационном поведении обе названные характеристики «упругость + вязкость», называются вязкоупругими. Так, упругое поведение (следование материала закону Гука) и вязкое поведение (следование закону Ньютона для жидкостей) фактически суть две крайности, наблюдаемые в действительном поведении реальных материалов, при различных по своим физическим свойствами времени действия нагрузкам. Хотя вязкоупругие материалы чувствительны к температуре, дальнейшее изучение ограничится изотермическими условиями, т. е. температура будет входить, например, в уравнения состояния как параметр.

9.2. Простейшие вязкоупругие модели Модель линейной вязкоупругой среды может быть введена наиболее удобным образом из одномерной механической модели, которая по сути является портретом многих вязкоупругих материалов. Механическими элементами таких моделей являются безмассовые упругие пружины (упругая постоянная равна G) и демпферы с вязкой постоянной, равной η. Как показано на рисунках ниже, зависимость между упругими напряжениями и удлинением дается формулой σ = G , (9.1)

9.2. П РОСТЕЙШИЕ ВЯЗКОУПРУГИЕ МОДЕЛИ

599

а аналогичное уравнение для демпфера представлено ниже: σ = η  ,

(9.2)

где штрихом обозначена производная по времени, т. е.  = d . dt

y[x_] = x; z[x_] = 2x; grSpring = Plot[y[x], {x, 0, 1}, Ticks → None, AxesLabel → {“”, “σ”}, DisplayFunction → Identity]; grDashpot = Plot [z[x], {x, 0, 1}, Ticks → None,



d AxesLabel → “ ”, “σ” , DisplayFunction → Identity ; dt Show[GraphicsRow[{grSpring, grDashpot}], DisplayFunction → $DisplayFunction, Background → GrayLevel[1]]

Как правило, модельные зависимости задаются в общем виде так, чтобы эффекты масштаба и т. п. были бы пренебрежимо малы в зависимостях (σ, ). В модели Максвелла вязкоупругого тела свойства вязкоупругости среды рассматриваются как комбинация (последовательное соединение элементов) упругих и вязких свойств среды. Математическая запись вязкоупругой среды Максвелла имеет вид 1 dσ + 1 σ = d . (9.3) η G dt dt Механическая модель Максвелла представлена ниже.

В модели Кельвина (или Фойгхта) модель вязкоупругой среды есть параллельное соединение упругого и вязкого элементов. Математическая запись вязкоупругой среды Кельвина запишется в виде σ = G + η d . dt

(9.4)

600

ГЛАВА 9

Механическая модель Кельвина представлена ниже.

Уравнения (9.3) и (9.4) являются одномерными уравнениями состояния вязкоупругих сред. Их обобщение позволяет записать операторные соотношения для уравнений состояния следующим образом: • для вязкоупругой среды Максвелла   ∂t 1 + σ = ∂t , (9.5) G η • для вязкоупругой среды Кельвина σ = (G + η∂t ) .

(9.6)

Тем не менее обе предложенные модели — и Максвелла, и Кельвина — в общемто не соответствуют сложным свойствам реальных материалов. Более сложные модели с точки зрения наполнения их простыми элементами вносят значительную гибкость в отображение реальных вязкоупругих свойств материалов. Трехпараметрическая модель, построенная по принципу две пружины и один демпфер (пружина и демпфер, соединенные параллельно + пружина к ним последовательно), известна как стандартная вязкоупругая линейная модель твердого тела. Стандартная линейная модель твердого тела как набор механических элементов имеет вид, данный ниже.

Трехпараметрическая модель вязкого твердого тела представлена ниже.

Четырехпараметрическая модель состоит из двух пружин и двух демпферов, похожих как на модель Максвелла, так и модель Кельвина. Существует несколько независимых и эквивалентных форм таких моделей.

9.3. О БОБЩЕННЫЕ МОДЕЛИ . Л ИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

601

Четырехпараметрическая модель способна описывать все три базовые вязкоупругие свойства материалов. Так эта модель включает «немедленный упругий ответ» на единичное воздействие.

Уравнение состояния для произвольной 3- или 4-параметрических моделей имеет вид 2 dσ + p σ = q d2 + q d + q , + p (9.7) p2 d σ 1 0 2 2 1 0 dt dt dt2 dt где pi и qi есть коэффициенты, которые по сути являются комбинацией параметров Gi -«пружины» и ηi -«демпфера». В операторной форме уравнение (9.7) принимает вид     (9.8) p2 ∂t2 + p1 ∂t + p0 σ = q2 ∂t2 + q1 ∂t + q0 .

9.3. Обобщенные модели. Линейные дифференциальные операторы Обобщенная модель Кельвина состоит из последовательности элементарных ячеек Кельвина для вязкой среды. Ее вид представлен ниже на механической схеме.

Очевидно, что общая деформация для обобщенной модели Кельвина равна сумме деформаций от каждой элементарной ячейки. Соответственно, оператор для обобщенной модели имеет вид =

σ σ σ + + ... + . G1 + η1 ∂t G2 + η2 ∂t Gn + ηn ∂t

Обобщенная модель Максвелла представлена ниже.

(9.9)

602

ГЛАВА 9

В отличие от модели Кельвина, здесь суммарное напряжение есть сумма напряжений от каждого элемента. В итоге в операторной форме модель Максвелла принимает вид σ=

d dt ∂t + η11 G1

+

d dt ∂t + η12 G2

+ ... +

d dt ∂t + η1n Gn

.

(9.10)

Для произвольных вязкоупругих моделей типа (9.9) и (9.10) имеем 2 2 + . . . = q0 + q1 d + q2 d 2 + . . . . p0 σ + p1 dσ + p2 d σ 2 dt dt dt dt

(9.11)

которые можно записать более компактно, а именно следующим образом: M 3

i

pi d σi = dt i=0

M 3

i

qi d i . dt i=0

(9.12)

Соотношение (9.12) в операторном виде представлено ниже  Pσ = Q ,

(9.13)

 имеют вид где операторы P и Q P = = Q

M 3 i=0 M 3

pi ∂tii ; (9.14) qi ∂tii .

i=0

9.4. Ползучесть и ослабление напряжений (релаксация) Два важных эксперимента в вязкоупругости являются определяющими для понимания сути механических явлений в вязкоупругих материалах: • это эксперимент по описанию ползучести • и эксперимент по определению ослабления напряжений, или релаксации. Эти эксперименты легко осуществить при одноосном испытании материала, например, в опыте по «растяжению-сжатию» материала. Конечно, подобные явления можно наблюдать и при опытах по кручению образцов. Эксперимент по определению ползучести состоит в том, что постоянно действующая нагрузка, создающая напряжение σ0 , вызывает измеримые изменения деформаций в образце без изменения напряжений σ0 , причем эти деформации можно зафиксировать или записать как функцию времени.

9.4. П ОЛЗУЧЕСТЬ И ОСЛАБЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ ( РЕЛАКСАЦИЯ )

603

В эксперименте по определению ослабления напряжений (явление релаксации), наоборот, 0 деформации в образце не изменяются во времени, т. е. они остаются фиксированными, но в то же время наблюдаемые напряжения уменьшаются по величине и со временем могут даже исчезнуть вовсе. Математически оба этих явления: ползучести и релаксации, выражаются через единичную функцию Хевисайда. Функция Хевисайда определяется следующим образом:

1, t > tt . (9.15) U (t − t0 ) = 0, t < t1 Пример построения функции Хевисайда в кодах представлен ниже. u(t_) = UnitStep[t − 1]; gr1 = Plot[u[t], {t, 0, 4}, AxesLabel → {“t”, “U(t)”}, PlotRange → All, PlotStyle → {Thickness[.01]}, Background → GrayLevel[1]]

Здесь t1 = 1. Для нагрузки ползучести имеем σ = σ0 U (t).

(9.16)

Соответствующее уравнение для нахождения деформации ползучести как функции времени, например, для материала Кельвина, имеет вид σ0 U (t) = G + η d . dt

(9.17)

Если уравнение (9.17) переписать в виде σ0 U (t)/G = τ + d , то величина dt η называется временем запаздывания, или временем задержки. τ= G

604

ГЛАВА 9

Для произвольной непрерывной функции f (t) справедливо равенство $t

$t f (η)U (η − t1 ) dη = U (t − t1 )

−∞

f (η) dη,

(9.18)

t1

которое будет использовано в дальнейшем при решении задач. Интегральное равенство (9.18), которое будет применяться ниже, в кодах имеет вид eq[f_, u_] := (Integrate [f (ζ)u (ζ − t1 ) , {ζ, −∞, t}] == u (t − t1 ) Integrate [f (ζ), {ζ, t1 , t}]) //Simplify Пример применения кода для функции tCos(t) приведен ниже. eq[Cos, UnitStep] If [t ∈ R, (sin(t) − sin (t1 )) θ (t − t1 ) , Integrate [cos(ζ)θ (ζ − t1 ) , {ζ, −∞, t}, Assumptions → Im(t) < 0 ∨ Im(t) > 0]] = (sin(t) − sin (t1 )) θ (t − t1 ) Далее найдем решение уравнения (9.17), используя символьное решение. u(t_) = UnitStep[t]; eq[_] := σ0 u(t) == G + η d dt  = ε(t); eq[] σ0 θ(t) = Gε(t) + ηε (t) Решение уравнения (9.17) в символьном виде представлено ниже. sol = DSolve[{eq[], ε(0) == 0}, , t]//Flatten//Simplify  4 ε(t) →

Gt − η

1−e

σ0 θ(t) 5

G

Далее представим графики соответствующих решений. gr2 = Plot [ε(t)/.sol/.{G → .2, η → 1, σ0 → 1} , {t, 0, 10}, AxesLabel → {“t”, “”}, PlotStyle → {Thickness[.01]}, DisplayFunction → Identity] ; gr3 = Plot [(σ0 u(t)) /.σ0 → 1, {t, 0, 10}, AxesLabel → {“t”, “σ”}, PlotStyle → {Thickness[.01]}, DisplayFunction → Identity] ; Совместный график нагрузки и график ползучести материала представлены ниже.

9.4. П ОЛЗУЧЕСТЬ И ОСЛАБЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ ( РЕЛАКСАЦИЯ )

605

Show[GraphicsRow[{gr3, gr2}], DisplayFunction → $DisplayFunction, Background → GrayLevel[1]]

Напряжения релаксации, которые имеют место в материале Максвелла, в случае деформаций вида (9.19) = 0 U (t) для материала Максвелла дифференциальное уравнение принимает вид 1 dσ + 1 σ = d . η G dt dt

(9.20)

Отметим, что между функцией Хевисайда и функцией Дирака выполняется равенство вида d = δ(t). Здесь обозначено δ(t) функция Дирака. Справедливость dt d = δ(t) приведена ниже. равенства dt

D[UnitStep[t], t] − δ(t) + θ(−t) + θ(t) − 1 1 − δ(t) Далее выполним решение уравнения (9.20) в кодах u(t_) = UnitStep[t]; 1σ eq[σ_] := 0 DiracDelta[t] == 1 dσ + η G dt σ = s(t); eq[σ] s(t) s (t) δ(t) 0 = η + G

606

ГЛАВА 9

Решение уравнения (9.20) в кодах представлено ниже.   sol = DSolve {eq[σ], s(0) == G0 } , σ, t //Flatten//Simplify

Gt − η Gθ(t) 0 s(t) → e Далее представим графики для деформации и напряжения релаксации. gr2 = Plot [s(t)/.sol/. {G → 2, η → 1, S0 → 1, 0 → .1} , {t, 0, 2}, AxesLabel → {“t”, “σ”}, DisplayFunction → Identity] ; gr3 = Plot [(0 u(t)) /.0 → 1, {t, 0, 10}, AxesLabel → {”t”, ””}, DisplayFunction → Identity] ; Совместный график деформации и график релаксации напряжений в материале Максвелла представлены ниже. Show[GraphicsRow[{gr3, gr2}], DisplayFunction → $DisplayFunction, Background → GrayLevel[1]]

Для напряжений релаксации в материал Кельвина имеем stress = G0 u(t) + η0 D[u(t), t] G 0 θ(t) +

η 0 (−δ(t) + θ(−t) + θ(t) − 1) 1 − δ(t)

Очевидно, что в материале Кельвина релаксации напряжений не происходит.

9.5. Функция ползучести. Функция ослабления напряжений (релаксации). Интеграл наследственности Ползучесть как ответ материала (модели материала) на воздействие вида σ0 = = σ0 U (t) в общем случае можно записать в виде (t) = Ψ(t)σ0 ,

(9.21)

9.5. ФУНКЦИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ . ФУНКЦИЯ ОСЛАБЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ

607

gr4 = Plot [Evaluate [stress/. {G → 2, η → 1, 0 → 0.1}] , {t, 0, 2}, Background → GrayLevel[1]]

где функция Ψ(t) называется функцией ползучести материала. Например, функция ползучести для обобщенного материала Кельвина в модели раздела 9.3 определяется из решения дифференциального уравнения (см. решение раздела 9.4) и может быть представлена в виде  M t 3 − Ji 1 − e τi U (t), (9.22) Ψ(t) = i=1

где Ji = 1/Gi называются коэффициентами податливости материала. Если число элементов модели Кельвина стремится к бесконечности, т. е. M → ∞, таким образом, что вместо множества коэффициентов (τi .Ji ) можно записать непрерывные функции податливости J(t), то функцию ползучести для непрерывной модели Кельвина можно представить в виде $∞



t −τ

J(τ ) 1 − e

Ψ(t) =

dτ.

(9.23)

0

Функция J(t) соответствует распределенной функции времени задержки, или спектру задержки. По аналогии с функцией ползучести материала, функция ослабления напряжений (функция релаксации) для произвольной модели материала с внутренней деформацией вида = 0 u(t) может быть записана в виде σ(t) = Φ(t) 0 ,

(9.24)

где Φ(t) называется функцией ослабления напряжений (функцией релаксации).

608

ГЛАВА 9

Для обобщенной модели Максвелла функция релаксации определяется как Φ(t) =

M 3

Gi e

t −τ

i

U (t).

(9.25)

i=1

При M → ∞ функция релаксации определяется следующим образом: $∞ G(τ )e

Φ(t) =

t −τ

dτ.

(9.26)

0

Функция G(τ ) называется распределенной функцией времени релаксации, или спектром релаксации. В линейной теории вязкоупругости справедлив принцип суперпозиции. Суть этого принципа состоит в том, что суммарный эффект от отдельных составляющих равен сумме эффектов от каждого влияния. Соответственно, если история нагружения материала носит ступенчатый характер для каждой функции ползучести, то полная функция ползучести равна (t) = Ψ(t)σ0 + Ψ (t − t1 ) σ1 + Ψ (t − t2 ) σ2 + . . . + Ψ (t − tM ) σM = =

M 3

Ψ (t − tn ) σn .

(9.27)

i=0

Примерный вид ступенчатой функции представлен ниже. u(t_) = UnitStep[t];  gr1 = Plot u[t] + 1 u[t − 1] + 2 u[t − 2] + 3 u[t − 3] + 1 u[t − 5]+ 2 3 4 4  1 u[t − 7], {t, 0, 10}, PlotRange → All, Background → GrayLevel[1] 6

9.5. ФУНКЦИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ . ФУНКЦИЯ ОСЛАБЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ

609

С другой стороны, если история нагружения носит непрерывный характер, т. е. σ = σ(t), то непрерывную зависимость можно представить как ступенчатую, но с бесконечно малой величиной ступеньки dσ. В этом случае функция ползучести принимает вид $t dσ(ζ) Ψ(t − ζ) dζ. (9.28) (t) = dζ −∞

Последний интеграл называется интегралом наследственности, т. к. деформация в этом случае зависит от предыдущей истории нагружения. Для «мертвого» материала, т. е. материала, полностью свободного от внутренних напряжений и деформаций в начальный момент времени, интеграл наследственности запишется следующим образом: $t (t) =

dσ(ζ) Ψ(t − ζ) dζ. dζ

(9.29)

0

Более того, если напряжения в начальный момент времени получают начальный импульс величины σ0 , то интеграл (9.28) принимает вид $t (t) = σ0 Ψ(t) +

dσ(ζ) Ψ(t − ζ) dζ. dζ

(9.30)

0

Следуя вышеприведенным определениям, напряжения как функцию времени можно представить как суперпозицию интегралов, как это было сделано для деформаций, можно ввести понятие функции релаксации. По аналогии с (9.27) напряжения равны $t d (ζ) Φ(t − ζ) dζ, (9.31) σ(t) = dζ −∞

а для «мертвого» материала имеем $t σ(t) =

d (ζ) Φ(t − ζ) dζ. dζ

(9.32)

0

Соответствующие напряжения при начальной деформации из (9.31) выводим в виде $t d (ζ) Φ(t − ζ) dζ. (9.33) σ(t) = 0 Φ(t) + dζ 0

Поскольку интеграл ползучести (9.28) и интеграл релаксации (9.31) могут быть использованы для описания вязкоупругих свойств одного и того же материала,

610

ГЛАВА 9

то из этого следует, что между соответствующими функциями должна существовать некоторая зависимость. Другими словами, между функцией ползучести Ψ(t) и функцией релаксации Φ(t) существует функциональная зависимость. Такую зависимость нелегко определить заранее, но, используя преобразование Лапласа по времени f(s) =

$∞

f (t)e −st dt,

(9.34)

0

  возможно показать, что между образами Ψ(s) и Φ(s) имеется зависимость:  Ψ(s)  Φ(s) = 12 . s

(9.35)

9.6. Комплексные модули и податливости Если образец, изготовленный из вязкоупругого материала, повергнуть испытанию, например, растяжению-сжатию или кручению, так что напряжения будут изменяться по закону синуса, т. е. σ = σ0 Sin (ωt), то в результате в образце установятся деформации вида = 0 Sin (ωt − δ). Ответная реакция образца на воздействие будет той же частоты, что и воздействие, но фаза напряжений и деформаций будет иметь постоянный сдвиг на угол δ. Графики гармонических напряжений и деформаций как функции времени представлены ниже.   gr = Plot Evaluate {σ0 Sin[ωt], 0 Sin[ωt − δ]} /.   σ0 → 1, ω → π, 0 → 0.7`, δ → 2π , {t, 0, 6}, PlotStyle → 3  {Dashing[{0}], Dashing[{0.012}]}, Background → GrayLevel[1]

9.6. КОМПЛЕКСНЫЕ МОДУЛИ И ПОДАТЛИВОСТИ



σ



611

Отношение амплитуд напряжений и деформаций определяют 00 — абсолют  ный динамический модуль, а обратная величина σ00 — абсолютную динамическую податливость. Графики зависимостей напряжений и деформаций как функции времени можно получить, если векторы σ и вращать с угловой скоростью ω на фазовой плоскости. Схематически это изображено на графике ниже. η1 η2 ∂t,tσ(t), rσG1 η2 - >G1 η2 ∂tσ(t), rση1 G2 –>η1 G2 ∂tσ(t), σG1 G2 –>G1 G2 σ(t), f G1 G2 η1 –>G1 G2 η1 ∂t(t), f rG1 η2 η1 –>G1 η2 η1 ∂t,t(t),  f rG2 η2 η1 –>G2 η2 η1 ∂t,t(t), f G1 G2 η2 –>G1 G2 η2 ∂t(t) G1 G2 σ(t) + G2 η1 σ  (t) + G1 η2 σ  (t) + η1 η2 σ  (t) == == G1 G2 η1  (t) + G1 G2 η2  (t) + G1 η1 η2  (t) + G2 η1 η2  (t) После компьютерного упрощения закон состояния имеет вид eq3//Simplify      G1 G2 σ(t) − (η1 + η2 )  (t) + η2 σ  (t) − η1  (t) +     + η1 G2 σ  (t) − η2  (t) + η2 σ  (t) == 0 Задача 9.5. Модель вязкоупругого тела имеет вид,

который может рассматриваться как обобщенная модель Максвелла для случая M = = 3 при условии η1 → ∞, G1 → ∞. Используя эти условия в (9.10), вывести уравнение состояния вязкоупругого тела.

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ДЕВЯТОМУ РАЗДЕЛУ

619

Решение: Используем в (9.10) замену вида r = ∂t ; (P.9.15)

f = d . dt Уравнение (9.10) при M = 3 принимает вид eq = σ ==

f r + 1 η1 G1

+

f r + 1 η2 G2

+

f r + 1 η3 G3

;

Выполним предельный переход в правой части равенства и получим     eq1 = Limit Limit eq[[2]], η2 → ∞ , G1 → ∞ f (G2 (G3 + rη3 ) + r (rη1 η3 + G3 (η1 + η3 ))) r (G3 + rη3 ) После приведения имеем следующее равенство: eq2 = (σr (G3 + rη3 ) //Expand) == ((f (G2 (G3 + rη3 ) + r (rη1 η3 + G3 (η1 + η3 )))) //Expand) ση3 r 2 + σG3 r == f η1 η3 r 2 + f G3 η1 r + f G2 η3 r + f G3 η3 r + f G2 G3 Заменим алгебраические выражения на дифференциальные операторы и найдем закон состояния вязкоупругого тела.  eq3 = eq2/. ση3 r 2 –>η3 ∂t,tσ(t), σG3 r–>G3 ∂tσ(t), f η1 η3 r 2 –>η1 η3 ∂t,t,t(t), f G3 η1 r–>G3 η1 ∂t,t(t), f G2 η3 r–>G2 η3 ∂t,t(t), f G3 η3 r–>G3 η3 ∂t,t(t),  f G2 G3 –>∂t(t) G3 σ  (t) + η3 σ  (t) ==  (t) + G3 η1  (t) + G2 η3  (t) + G3 η3  (t) + η1 η3 (3) (t) После компьютерного упрощения закон состояния запишется следующим образом: eq3//Simplify    (t) + G3 (η1 + η3 )  (t) − σ  (t) + η3 (G2  (t) − σ  (t) + η1 (3) (t)) == 0 Ползучесть и релаксация (раздел 9.4) Задача 9.6. Определить уравнение ползучести для моделей Кельвина и Максвелла прямым интегрированием дифференциальных уравнений (9.17) и (9.19).

620

ГЛАВА 9 t

Решение: Используя интегрирующий множитель e τ , уравнение (9.17) принимает вид $t η t σ 0 e τ θ(η) dη. (P.9.16) e τ = η 0

После применения формулы (9.18) получим искомое выражение. Решения в кодах приведены выше в разделе 9.4 и здесь их просто повторяем. u(t_) = UnitStep[t]; eq[_] := σ0 u(t) == G + η d dt  = ε(t); eq[] σ0 θ(t) == Gε(t) + ηε (t) Закон ползучести для материала Кельвина имеет вид. sol = DSolve[{eq[], ε(0) == 0}, , t]//Flatten//Simplify 4 ε(t) →



Gt  − η

1−e

σ0 θ(t)

5

G

Решение уравнения (9.17) в символьном виде, которое представлено выше, полностью совпадает с «ручным» решением из [1, см. с. 207]. Задача 9.7. Определить реакцию ползучести для стандартного твердого тела (см. раздел 9.2). Решение: Из задачи 9.2 используем закон состояния в виде σ , = σ + G1 (G2 + η2 ∂t )

(P.9.17)

составляем следующие коды для решения: u(t_) = UnitStep[t]; σ = s(t);  = e0 u(t); eq[σ_] := G1 G2  + G1 η2 ∂t == σG2 + G1 σ + η2 ∂tσ eq[σ] e0 G1 G2 θ(t) +

e0 G1 η2 (−δ(t) + θ(−t) + θ(t) − 1) == s(t)G1 + s(t)G2 + η2 s (t) 1 − δ(t)

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ДЕВЯТОМУ РАЗДЕЛУ

621

  sol = DSolve {eq[σ], s(0) == G1 e0 } , σ, t //Flatten//Simplify Power::infy : Infinite expression 1 encountered.  0 ∞::indet : Indeterminate expression 0 ComplexInfinity e0 G1 η2 encountered.    t(G1 +G2 )  t(G1 +G2 ) −

4

e

η2

e0 G1 G1 + G2

s(t) →

−1+e

η2

θ(t) + 1

5

G1 + G2

Далее, представим графики для деформации и напряжения релаксации в стандартном твердом теле.  gr2 = Plot s(t)/.sol/. {G1 → 2, G2 → .2, η2 → 1, e0 → .1} ,

 {t, 0, 2}, AxesLabel → {“t”, “σ”}, DisplayFunction → Identity ;

 gr3 = Plot (0 u(t)) /.0 → 1, {t, 0, 10}, AxesLabel → {“t”,  “”}, DisplayFunction → Identity ; Совместный график деформации и график релаксации напряжений в стандартном твердом теле представлен ниже. Show[GraphicsRow[{gr3, gr2}], DisplayFunction → $DisplayFunction, Background → GrayLevel[1]]

Реакция ползучести в стандартном твердом теле, выраженная через деформацию, имеет вид Quit[]; u(t_) = UnitStep[t]; σ = S0 u(t);  = e(t); eq[_] := G1 G2  + G1 η2 ∂t == σG2 + G1 σ + η2 ∂tσ

622

ГЛАВА 9

eq[] S0 η2 (−δ(t) + θ(−t) + θ(t) − 1) 1 − δ(t)   sol = DSolve {eq[], e(0) == S0 /G1 } , , t //Flatten//Simplify 1 Power::infy : Infinite expression encountered.  0 ∞::indet : Indeterminate expression 0 ComplexInfinity S0 η2 encountered.  ⎧ tG2 ⎪ ⎪ − η ⎪ 2 ⎪ S0 e ⎪ ⎪ 4 t 2τ2 реакция твердого тела описывается уравнение вида η2 d + G2 = 0. dt

(P.9.19)

u(t_) = UnitStep[t];  = e(t); eq[_] := η2 d + G2  == 0; eq[] dt e(t)G2 + η2 e (t) == 0 sol = DSolve[eq[], , t]//Flatten//Simplify

tG2 − η e(t) → e 2 c1 При t = 2τ2 имеем e(0) = c1 , т. е. c1 = S0 /G2 (1 − e −2 ), которое затем используем при нахождении частного решения. В итоге решение при t > 2τ2 имеет вид sol1 = DSolve 4 e(t) →

    eq[], e(0) == S0 /G2 1 − e−2 , , t //Flatten//Simplify

tG2 − η −2  2

e

 5 − 1 + e2 S0 G2

Задача 9.9. Специальная модель, представленная ниже на диаграмме,

деформируется с постоянной скоростью, как показано на графике Quit[]; s(t_/; 0 < t < 2) := 0 t/2; s(t_/; 2 < t < ∞) := 0; gr2 = Plot [s(t)/. {0 → 2} , {t, 0, 5}, PlotRange → All, AxesLabel → {“t”, “”}, Ticks → None, DisplayFunction → Identity];

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ДЕВЯТОМУ РАЗДЕЛУ

625

grPoints = Graphics [{ {PointSize[0.02], Point[{2, 0}], Text [“T1 ”, {2, −0.25}]} , {PointSize[0.02], Point[{2, 2}], Text [“0 ”, {2.2, 2.1}]}}] ; Show[{gr2, grPoints}, DisplayFunction → $DisplayFunction, Background → GrayLevel[1]]

Определить напряжения в специальной модели при данном законе деформирования. Решение: Из задачи 9.5 закон состояния специальной модели принимает вид Quit[] eq[σ_] = G3 σ (t) + η3 σ (t) == (t) + G3 η1  (t) + G2 η3  (t) + G3 η3  (t) + η1 η3 (3) (t) G3 σ  (t) + η3 σ  (t) =  (t) + G3 η1  (t) + G2 η3  (t) + G3 η3  (t) + η1 η3 (3) (t) eq1 = eq[σ]/. {G2 → G, G3 → G, η1 → η, η2 → η, η3 → η} //Simplify    (t) + η 3G  (t) − σ  (t) + η (3) (t) = Gσ  (t) (t) = 0 /T1 ;       sol = DSolve eq1/.  (t) → D  (t), t , (3) (t) → D (t), t, t ,   σ(0) == −η0 /T1 , σ (0) == 0 , σ(t), t //Flatten//Simplify 4 σ(t) →



 −

ηG2

+ tG +

Gt  − η

−1+e

G2 T1



η 0 5

626

ГЛАВА 9

Задача 9.10. Определить прямым интегрированием закон состояния напряжений релаксации для стандартного линейного твердого тела, если деформации равны = 0 U (t).

(P.9.20)

Решение: Из задачи 9.2 используем закон состояния в виде σ , = σ + G1 (G2 + η2 ∂t )

(P.9.21)

а затем составляем следующие коды для решения: Quit[] u(t_) = UnitStep[t]; σ = s(t);  = e0 u(t); eq[σ_] := G1 G2  + G1 η2 ∂t == σG2 + G1 σ + η2 ∂tσ; eq[σ] e0 G1 G2 θ(t) +

e0 G1 η2 (−δ(t) + θ(−t) + θ(t) − 1) = s(t)G1 + s(t)G2 + η2 s (t) 1 − δ(t)

Закон ослабления напряжений для стандартного линейного твердого тела находим из следующего кода:   sol = DSolve {eq[σ], s(0) == G1 e0 } , σ, t //Flatten//Simplify Power::infy : Infinite expression 1 encountered.  0 ∞::indet : Indeterminate expression 0 ComplexInfinity e0 G1 η2 encountered.     t(G1 +G2 )  t(G1 +G2 ) 4 s(t) →

−

e

η2

e0 G1 G1 + G2

−1+e

η2

θ(t) + 1

5

G1 + G2

Далее представим совместные графики для деформации и напряжения релаксации в стандартном твердом теле.  gr2 = Plot s(t)/. sol/. {G1 → 2, G2 → .2, η2 → 1, e0 → .1} , {t, 0, 2},  AxesLabel → {“t”, “σ”}, DisplayFunction → Identity ;  gr3 = Plot (0 u(t)) /. 0 → 1, {t, 0, 10}, AxesLabel → {“t”, “”},  DisplayFunction → Identity ;

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ДЕВЯТОМУ РАЗДЕЛУ

627

Show[GraphicsRow[{gr3, gr2}], DisplayFunction → $DisplayFunction, Background → GrayLevel[1]]

Функции ползучести и релаксации. Интеграл наследственности Задача 9.11. Определить φ(t) — функцию релаксации для трехпараметрической модели, показанной ниже на диаграмме.

Решение: Уравнение состояния для данной модели имеет вид u(t_) = UnitStep[t];  = e0 u(t); eq[σ_] = η2 σ (t) + G2 σ(t) == (G1 + G2 ) η2 D[, t] + G1 G2  G2 σ(t) + η2 σ  (t) == δ(t)e0 (G1 + G2 ) η2 + e0 G1 G2 θ(t)  sol = DSolve {eq[σ], σ(0) == e0 (G1 + G2 )} , σ(t), t]//Flatten//Simplify 5 4   tG 2

− η 2

σ(t) → e0 G1 + e

G2 θ(t)

Откуда находим φ(t_) := Part[sol, 1, 2, 2] что функция релаксации равна φ(t) tG2 − η 2

G1 + e

G2

628

ГЛАВА 9

Задача 9.12. Используя функцию релаксации φ(t) из задачи 9.11, определить ψ(t) — функцию ползучести из условия (9.35). Решение: Продолжим выполнение кодов предыдущей задачи. Найдем преобразование Лапласа функции релаксации.  φ(S_) = LaplaceTransform[φ(t), t, S]//Simplify G2 η2 G1 + S G2 + Sη2 Отсюда из формулы (9.35) преобразование Лапласа для функции ползучести  ψ(S) примет вид     ψ(S_) = 1/ S 2 φ(S) //Simplify  S2

1 G2 η2 G1 + S G2 + Sη2



Наконец, используя обратное преобразование, найдем ψ(t) — функцию ползучести в виде    ψ(t_) = InverseLaplaceTransform ψ(S), S, t //Simplify 

−

G1 + 1 − e

tG1 G2  (G1 +G2 )η2

G2

G1 (G1 + G2 ) Задача 9.13. Если напряжения ползучести следуют таким образом, что поддерживаются постоянными σ1 , как представлено на графике, Quit[] s(t_/; 0 < t < 2) := σ1 t/2; s(t_/; 2 < t < ∞) := σ1 ;  gr2 = Plot s(t)/. {σ1 → 2} , {t, 0, 5}, PlotRange → All,

 AxesLabel → {t, “σ”}, Ticks → None, DisplayFunction → Identity ;

 grPoints = Graphics   PointSize[0.02], Point[{2, 0}], Text [“t1 ”, {2, −0.25}] ,   ; PointSize[0.02], Point[{2, 2}], Text [“σ1 ”, {2.2, 2.1}]

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ДЕВЯТОМУ РАЗДЕЛУ

629

Show[{gr2, grPoints}, DisplayFunction → $DisplayFunction, Background → GrayLevel[1]]

и применяются к материалу Кельвина, то определить результирующие деформации. σ При расчете положить 1 = λ. t1

Решение: Напряжения можно выразить в виде σ = λt (U (t) − λ (t − t1 ) U (t − t1 )),

(P.9.22)

U (ζ_) := UnitStep[ζ] а примерный график функции напряжения представлен ниже. Plot [λζU [ζ] − λ (ζ − T1 ) U [ζ − T1 ] /. {λ → 1, T1 → 1} , {ζ, −1, 5}, PlotRange → All, Background → GrayLevel[1]]

630

ГЛАВА 9

После подстановки в (9.4) приводят к равенству ⎛ t ⎞ $ $t ζ ζ t ⎝ ζe τ U (ζ) dζ − (ζ − t1 ) e τ U (ζ − t1 ) dζ ⎠. e τ = λ η

(P.9.23)

t1

0

Непосредственное вычисление интеграла приведено ниже U (t_) = UnitStep[t]; int = λ η

 $ t

ζ  ζe τ U (ζ) dζ

$ −

0

t

ζ eτ

 (ζ − T1 ) U (ζ − T1 ) dζ //Simplify

T1

 T1     λ τ (et/τ (t − τ ) + τ )θ(t) − τ e τ τ − et/τ − t + τ + T1 θ(t − T1 ) η Составляем оператор для вычисления деформации в виде (t_) := λ/ηe−t/τ (Part[int, 3, 1, 2]U (t) + Part[int, 3, 2]) Деформация материала равна expr1 = ((t)/.τ → η/G)//Simplify  Gt   Gt 1 e− η λ G e η (Gt − η) + η θ(t)+ G2 η    GT1 Gt Gt η η η η + e (η − Gt) + e GT1 θ (t − T1 ) +η −e Задача 9.14. Используя интеграл ползучести (9.28) совместно с функцией ползучести для материала Кельвина, проверить результат задачи 9.13. Решение: Для материала Кельвина функция ползучести равна ψ(t_) = (1 − Exp[ − t/τ ])/G 1−e G

t −τ

Тогда уравнение (9.28) принимает вид    (t_) = Integrate λD ζU (ζ) − (ζ − T1 ) U (ζ − T1 ) , ζ ψ(t − ζ),  {ζ, −Infinity, t} //Simplify     T1 −t  t 1 λ t + − 1 + e − τ τ θ(t) + − t − e τ τ + τ θ (t − T ) + 1 G  + T1 (θ (−T1 ) + θ (T1 − tθ(−t), tθ(t) − T1 ))

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ДЕВЯТОМУ РАЗДЕЛУ

631

expr2 = ((t)/.τ → η/G)//Simplify  1λ G

t+



−1+e



Gt  − η

η

G

 Gt +

−1+e

θ(t) −

 η θ (t − T1 )

G(T1 −t)  η

G

+

+ T1 (θ (−T1 ) + θ (T1 − tθ(−t), tθ(t) − T1 )) Проверка полученных выражений для деформаций в задачах 9.13 и 9.14 приведена ниже. (expr2 == expr1)//Simplify λT1 (θ (t − T1 ) − θ (−T1 ) − θ (T1 − tθ(−t), tθ(t) − T1 )) = 0 Задача 9.15. Применяя напрямую принцип суперпозиции, определить реакцию материала Кельвина на нагрузку, напряжения от которой представлены на графике ниже. Quit[] U (t_) = UnitStep[t];  Plot λζU [ζ] − λ (ζ − T1 ) U [ζ − T1 ] − (λ (ζ − 2T1 ) U [ζ − 2T1 ] − 3) /. {λ → 1, T1 → 1} , {ζ, 0, 3}, PlotRange → All,  AxesLabel → {“t”, “σ”}, Background → GrayLevel[1]

632

ГЛАВА 9

Решение: Напряжения могут быть выражены как последовательность «склонов», вид которых представлен ниже f (x_/; 0 < x < 1) := x; f (x_/; 1 < x < 2) := −(x − 1); f (x_/; 2 < x < 3) := −(x − 2); f (x_/; 3 < x) := (x − 3); Plot[f [x], {x, 0, 4}, PlotRange → All, AxesLabel → {“t”, “σ”}, Background → GrayLevel[1]]

Из решения задачи 9.13 имеем = (λ/G)(t − τ (Exp(−t/τ ) − 1))U (t)

(P.9.24)

для нагрузки вида первого «склона». В данном случае имеем = (λ/G)(t − τ (Exp(−t/τ ) − 1))U (t)− − ((t − T1 ) + τ (Exp ( − (t − T1 )/ τ ) − 1)) U (t − T1 ) − − ((t − 2T1 ) + τ (Exp ( − (t − 2T1 )/ τ ) − 1)) U (t − 2T1 ) + + ((t − 3T1 ) + τ (Exp ( − (t − 3T1 )/ τ ) − 1)) U (t − 3T1 ).

(P.9.25)

Указание: Найти реакцию тела в кодах. Комплексные модули и податливости (раздел 9.6)  и δ — угол запаздывания (угол Задача 9.16. Определить комплексный модуль G задержки) для материала Максвелла (см. диаграмму ниже).

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ДЕВЯТОМУ РАЗДЕЛУ

633

Решение: Записывая уравнение (9.4) для модели Максвелла в виде dσ + σ/τ = G d dt dt

(P.9.26)

и подставляя (9.36), (9.37), получим eq[σ_, _] := D[σ, t] + σ/τ == GgD[, t]  −1 s0 /e0 eiδ ; σ = s0 eiωt;  = e0 ei(ωt−δ) ; Gg = GG  находим из решения алгебраического уравнения Комплексный модуль G    //Flatten//Simplify sol = Solve eq[σ, ], G

Gτ ω  G→ τω − i Для нахождения δ — угла запаздывания (задержки), найдем последовательно  действительную и мнимую части модуля G. • действительная часть      sol , 2 Part ComplexExpand G/. Gτ 2 ω 2 τ 2ω2 + 1 • мнимая часть       sol , 2, 1 Part Im ComplexExpand G/. Gτ ω τ 2ω2 + 1 Тогда для T an(δ) имеем выражение           sol , 2, 1 /Part ComplexExpand G/.  sol , 2 Part Im ComplexExpand G/. //Simplify 1 τω Задача 9.17. Показать, что результат задачи 9.16 можно получить простой заменой оператора ∂t (·) на i ω в уравнении (9.5), и определяя  σ/ = G.

(P.9.27)

634

ГЛАВА 9

Решение: Уравнение (9.5) записывается в виде   ∂t 1 + σ = ∂t . G η

(P.9.28)

Выполняя замену переменных, σ = s0 eiωt;  = e0 eiωt; eq[σ_, _] := 1/GD[σ, t] + σ/η == D[, t] и проводя решение алгебраического уравнения,    0, G  //Flatten//Simplify sol = Solve eq[σ, ]/. s0 → Ge

Gηω  G→ ηω − i G  находим значение комплексного модуля G:    sol/.η → Gτ //Simplify G/. Gτ ω τω − i что совпадает с предыдущим результатом. Задача 9.18. Используя уравнение (9.10) для обобщенной модели Максвелла, проиллюстрировать правило: «для параллельной модели комплексные модули складываются». Решение: Из решения задачи (9.17) имеем, что комплексный модуль для модели Максвелла равен  = Gτ ω . (P.9.29) G τω − i Тогда, записывая (9.10) в виде

σ=

d dt ∂t + η11 G1

=

G1 ∂t ∂t + τ11

+

+

d dt ∂t + η12 G2

G2 ∂t ∂t + τ12

+ ... +

+ ... +

d dt ∂t + η1n Gn

Gn ∂t ∂t + τ1n

= (P.9.30)

,

находим, что комплексный модуль равен 1 + G 2 + . . . + G n  = G1 τ1 ω + G2 τ2 ω + . . . + Gn τn ω = G σ/ = G τ1 ω − i τ2 ω − i τn ω − i Указание: Выполнить преобразования в кодах.

(P.9.31)

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ДЕВЯТОМУ РАЗДЕЛУ

635

Задача 9.19. Проверить соотношение зависимости между модулем накопленных деформаций и податливостью вида J1 =

G1



1 . 1 + Tan2 (δ)

(P.9.32)

Решение: Из (9.40) находим, что J = 1 .  G

(P.9.33)

Далее выполним преобразование в кодах  = G1 + iG2 ; J = J1 + iJ2 ; G eq = J == 1  G J1 + i J2 ==

1 G1 + i G2

ComplexExpand[eq] J1 + i J2 ==

G21

G1 iG − 2 2 2 2 + G2 G1 + G2

Зависимость между модулем накопленных деформаций и податливостью имеет вид ComplexExpand[eq][[1, 1]] → (ComplexExpand[eq][[2, 1]]/.G2 → G1 Tan(δ)) //Simplify J1 →

cos2 (δ) G1

Проверка эквивалентности полученного решения и решения, предложенного в условии задачи, представлена ниже.  cos2 (δ) 1 ==   //Simplify G1 G1 1 + (Tan(δ))2 True Задача 9.20. Показать, что диссипация энергии за цикл зависит от уменьшения модуля податливости J2 и вычисляется прямым интегрированием $ σ d (P.9.34) за цикл.

636

ГЛАВА 9

Решение: Для модуля податливости имеем следующее равенство:  

0 −iδ σ0 e



 //ExpToTrig == J1 − iJ2

i sin(δ) 0 cos(δ) 0 − == J1 − i J2 σ0 σ0 откуда можно получить, что 0 = J2 σ0 / Sin(δ), или 0 = J1 σ0 / Cos(δ).

(P.9.35)

Далее составим функцию для вычисления искомого интеграла, int[σ_, _] := Integrate[σD[, t], {t, 0, 2π/ω}] из которого вычислим диссипацию энергии.  Integrate      ComplexExpand s0 e i ωt [[1]]ComplexExpand D e0 e i (ωt−δ) , t [[2]],  {t, 0, 2π/ω} /.e0 → J2 s0 / Sin[δ] πJ2 s20 Трехмерная теория вязкоупругости. Анализ вязкоупругих напряжений (раздел 9.7–9.8) Задача 9.21. Из соотношений (9.44) вывести уравнения состояния для вязкоупругого материала в виде σij = δij {R} kk + {S} ij

(P.9.36)

и определить форму операторов {R}, {S}. Решение: Записывая (9.44) в виде {P } (σij − δij σkk / 3) = 2{Q} ( ij − δij kk / 3)

(P.9.37)

и подставляя вместо σkk его выражение через модуль объемного расширения, после упрощения получим {P }σij = δij {(3KP − 2Q)/3} kk + {2Q} ij . В операторном виде имеем

5 3KP − 2Q) ; {R} = 3P

2Q . {S} = P

(P.9.38)

4

(P.9.39)

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ДЕВЯТОМУ РАЗДЕЛУ

637

Задача 9.22. Кубик из материала Кельвина подвергается растяжению таким образом, что σ11 = σ0 U (t); σ22 = σ33 = 0; (P.9.40) σ12 = σ13 = σ23 = 0, где σ0 — постоянная величина. Определить деформацию 11 . Решение: Из второго равенства (9.44) имеем 3 11 = σ0 U (t)/K,

(P.9.41)

а из первого равенства (9.44) находим {P } (σ11 − σ11 / 3) = {2Q}( 11 − ii / 3).

(P.9.42)

Из (9.6) для вязкоупругой среды Кельвина (σ = (G+η∂t ) ) находим, что {P } = = 1, {Q} = (G + η∂t ). В итоге для материала Кельвина выводим уравнение состояния в виде (P.9.43) 2σ0 U (t)/3 = 2(G + η∂t )( 11 − σ0 U (t)/9K). Далее, решение выполним в кодах eq[_] := 2σ0 U (t)/3 == 2 (G + η∂t) − (2Gσ0 U (t)/(9K)) − 2η∂t (σ0 U (t)/(9K))  = e(t); U (t_) = UnitStep(t); eq[] 2 σ θ(t) == − 2ηδ(t)σ0 − 2Gθ(t)σ0 + 2 Ge(t) + ηe (t) 3 0 9K 9K sol = DSolve[{eq[], e(0) == σ0 / G}, , t]//Flatten//Simplify   Gt − η

4

e

σ0

−G + 9K +

e(t) →

e

Gt η

(G + 3K) − 3K

θ(t) 5

9GK

Выполним элементарные преобразования полученного решения, expr = (e(t)/. sol/.θ(t) → 1)//ExpandAll Gt − η

2e

σ0

3G

Gt − η

+

σ0 e σ σ0 − + 0 3G 9K 9K

Part[expr, {2, 4}] Gt − η

2e

3G

σ0

−

Gt − η

e

σ0 9K

638

ГЛАВА 9

11 = Limit[Part[expr, {2, 4}]/.{G → 1, η → 1}, t → Infinity] 0 а затем найдем предельное значение деформации 11 : 11 = Part[expr, {1, 3}]//Simplify (G + 3K)σ0 9GK Задача 9.23. Блок, изготовленный из материала Кельвина, содержится в контейнере с абсолютно твердыми 22 = 33 = 0. Блок подвержен напряжению сжатия по закону σ11 = −σ0 U (t). Определить 11 и удерживающие компоненты напряжений σ22 и σ33 для этого случая. Решение: Здесь ii = 11 и σ22 = σ22 . Тогда первое уравнение (9.44) принимает вид (P.9.44) σ11 + 2σ22 = 3K 11 , а второе (9.44) для материала Кельвина запишется в виде 2 (σ11 − σ22 )/ 3 = 2G (1 + τ ∂t ) (2 11 / 3).

(P.9.45)

Перечисленные выше уравнения позволяют составить соответствующие коды для решения.  sys[σ_, _] := σ1,1 == −σ0 U (t), σ1,1 + 2σ2,2 == 3K1,1 ,  2 (σ1,1 − σ2,2 )/ 3 == 2G (1,1 + τ ∂t1,1 ) (2/3) ; 1,1 = (t); σ1,1 = S(t); σ2,2 = s(t); U (t_) = UnitStep(t); sys[σ, ]  S(t) = −σ0 θ(t), 2s(t) + S(t) = 3K (t),  2 (S(t) − s(t)) = 4 G  (t) + τ  (t) 3 3 Общее решение для системы, состоящей из алгебраических и дифференциального уравнений, имеет вид sol = DSolve[sys[σ, ], {(t), s(t), S(t)}, t]//Flatten//Simplify 

4 s(t) → 1 2

(4G+3K)t 4Gτ G3 K

3e × (3K + 4G(τ + 1))3

 64c1 − ×

−

(4G+3K)t   (3K + 4G(τ + 1))3 σ0 θ(t)  3 − 1 + e 4Gτ

G3 (4G + 3K)τ 3

(3K + 4G(τ + 1))3

τ3 + σ0 θ(t) ,

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ДЕВЯТОМУ РАЗДЕЛУ −

639

(4G+3K)t 4Gτ G3 τ 3

S(t) → −σ0 θ(t), (t) → e × (3K + 4G(τ + 1))3  64c1 − ×

(4G+3K)t   (3K + 4G(τ + 1))3 σ0 θ(t)  3 − 1 + e 4Gτ

G3 (4G + 3K)τ 3

5

(3K + 4G(τ + 1))3

Если принять во внимание начальные условия, определенные для напряжений и деформаций, то соответствующие решения для определения напряжений и деформаций как функций времени для материала Кельвина, принимают вид   sol = DSolve Join sys[σ, ], {(0) == 0, s(0) == σ0 / 2,   S(0) == 0} , {(t), s(t), S(t)}, t //Flatten//Simplify ⎞ ⎛  (4G+3K)t  ⎝4G + − 6 + 9e − 4Gτ K ⎠ σ0 θ(t) 4 s(t) →

8G + 6K

, S(t) → −σ0 θ(t),

 (4G+3K)t  − 4Gτ σ0 θ(t) 5 3 −1+e (t) →

4G + 3K

Далее представим визуализацию полученных решений. gr1 = Plot [s(t)/. sol/. {G → 1, K → 1, σ0 → 1, τ → 1} , {t, 0, 2}, AxesLabel → {“t”, “σ22 ”} , DisplayFunction → Identity] ; gr11 = Plot [s(t)/. sol/. {G → 1, K → 1, σ0 → 1, τ → 1} , {t, 0, 2}, AxesLabel → {“t”, “σ33 ”} , DisplayFunction → Identity] ; gr2 = Plot [S(t)/. sol/. {G → 1, K → 1, σ0 → 1, τ → 1} , {t, 0, 2}, AxesLabel → {”t”, ”σ11 ”} , DisplayFunction → Identity] ; gr3 = Plot [(t)/. sol/. {G → 1, K → 1, σ0 → 1, τ → 1} , {t, 0, 2}, AxesLabel → {“t”, “11 ”} , DisplayFunction → Identity] ; Здесь при визуализации решений полагается, что σ22 = σ33 ,

640

ГЛАВА 9

Show[GraphicsArray[{{gr1, gr2}, {gr11, gr3}}], DisplayFunction → $DisplayFunction, Background → GrayLevel[1]]

а соответствующие два центральных графика представляют найденные напряжения σ22 и σ33 . Задача 9.24. Радиальная компонента напряжений в упругом полупространстве, находящемся под действием сосредоточенной силы P , может быть выражена в виде σrr = P ((1 − 2ν)α(r, z) − β(r, z)), 2π

(P.9.46)

где α и β — известные функции. Определить радиальные напряжения в полупространстве материала Кельвина под действием нагрузки P = P0 U (t).

(P.9.47)

Решение: Вязкоупругий оператор для члена (1 − 2ν) имеет вид 3Q , 3KP + Q

(P.9.48)

так что для материала Кельвина образ вязкоупругих напряжений имеет вид   G + ηS 3P α(r, z) − β(r, z) . (P.9.49) σ rr (S) = 2πS 3K + G + ηS Применяя обратное преобразование Лапласа находим σrr (t) — истинные напряжения в материале Кельвина, U (t_) = UnitStep(t); P = p0 U (t);

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ДЕВЯТОМУ РАЗДЕЛУ

641

  G + ηS 3P  r,r (S_) = α(r, z) − β(r, z) σ 2πS 3K + G + ηS   (G + Sη)α(r, z) − β(r, z) 3p0 θ(t) G + 3K + Sη

2πS которые имеют вид    r,r (S), S, t //Simplify σr,r = InverseLaplaceTransform σ ⎛⎛ ⎞ ⎞ 3p0 θ(t) ⎝⎝G + 3e

−

(G+3K)t η

K ⎠ α(r, z) − (G + 3K)β(r, z)⎠

2(G + 3K)π Задача 9.25. Соответствующий метод (см. задачу 9.24) может быть применен также и для определения смещений среды. Так, смещение поверхности упругого полупространства из предыдущей задачи определяется формулой   P 1−V2 . (P.9.50) wz=0 = Y πr Определить вязкоупругие смещения поверхности для вязкоупругого материала Кельвина. Решение: Вязкоупругий оператор, соответствующий члену (1 − V 2 )/Y , имеет вид 3K + 4Q , 4Q(3K + Q)

(P.9.51)

для которого преобразованные смещения материала Кельвина имеют вид w z=0 =

P0 (3K + 4(G + ηS))/(4(G + ηS)(3K + (G + ηS))). πrS

(P.9.52)

Истинные смещения находим путем обратного преобразования Лапласа выражения для образа:  z (S_) = w

3K + 4(G + ηS) P0 πrS 4(G + ηS)(3K + (G + ηS))

(3K + 4(G + Sη))P0 4πrS(G + Sη)(G + 3K + Sη) Явный вид смещения представлен ниже.

642

ГЛАВА 9

  z (S), S, t //Simplify wz = InverseLaplaceTransform w ⎞ ⎛ −

Gt

−

(G+3K)t

η η ⎜ 4G + 3K −e − 3e ⎝ 2 G G + 3K G + 3KG

⎟ ⎠ P0

4πr Очевидно, что в начальный момент времени смещения отсутствуют (wz /.t → 0) //Simplify 0 Задача 9.26. Пусть балка из материала Максвелла нагружена равномерной нагрузкой p. Определить напряжения изгиба σ11 и функцию прогиба w(x1 , t) балки, если нагрузка равна (P.9.53) p = P0 U (t). Решение: Напряжения изгиба для шарнирно закрепленной балки не зависят от свойств материала, поэтому упругие и вязкоупругие напряжения в такой балке равны друг другу. Упругий прогиб балки равен w (x1 ) =

P0 α (x1 ) , 24Y J0

(P.9.54)

где α(x1 ) — известная функция (с механической точки зрения — форма прогиба балки). Для материала Максвелла имеем

1 {P } = τ + ∂t (·) ; (P.9.55) {Q} = {G∂t (·)}, так что образ прогиба имеет вид P0 α (x1 ) w (x1 ) = 24J0



3K/τ + (3K + G)S 9KGS 2

.

(P.9.56)

Как и в предыдущих задачах, истинный прогиб получаем обратным преобразованием Лапласа:  P0 α (x1 ) 3K/τ + (3K + G)S w(S_) = ; 24J0 9KGS 2 w = InverseLaplaceTransform[w(S), S, t]//Simplify   3K(t + τ ) P0 α (x1 ) G+ τ 216GKJ0

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ДЕВЯТОМУ РАЗДЕЛУ

643

Прогиб в начальный момент равен (w/.t → 0)//Simplify (G + 3K)P0 α (x1 ) 216GKJ0 Задача 9.27. Показать, что при t → ∞ напряжения σ22 , найденные ранее в задаче 9.23, стремятся к σ0 (материал ведет себя как жидкость), если материал рассматривается несжимаемым (ν = 1/2). Решение: Из задачи 9.23 имеем (2G − 3K)σ0 , 4G + 3K которые можно переписать в терминах ν. Тогда имеем σ22 (t → ∞) =

σ22 =

− νσ0 . 1−ν

(P.9.57)

(P.9.58)

При (ν = 1/2) находим, что σ22 (ν → 1/2) = σ0 .

(P.9.59)

Смешанные задачи Задача 9.28. Найти определяющее уравнение для модели типа Максвелла – Кельвина, представленной на схеме, а затем из полученного результата вывести

модели Кельвина и Максвелла. Решение: Имеем равенство (P.9.60) σ = σM + σK =  / (∂t /G1 + 1 /η1 ) + (G2 + η2 ∂t ), которое после применения операторов по времени принимает вид (P.9.61) σ  + σ /τ1 = η2  + (G1 + G2 + η2 /τ1 )  + (G2 /τ1 ) , где штрихом обозначена производная по времени. В этой модели, если η2 = 0 (жесткость пружины, параллельной демпферу в модели Максвелла), получим σ  + σ /τ1 = (G1 + G2 )  + (G2 /τ1 ) .

(P.9.62)

Далее, если в полученном уравнении положим и G2 = 0, то приходим к модели Максвелла (P.9.63) σ  + σ /τ1 = G1  .

644

ГЛАВА 9

Подобный результат получим, если вначале примем, что G2 = 0: σ  + σ /τ1 = η2  + (G1 + η2 /τ1 )  ,

(P.9.64)

а затем, полагая η2 = 0, приходим к модели Максвелла σ  + σ /τ1 = G1  .

(P.9.65)

Наконец, если исходную 4-параметрическую модель переписать в виде η1 σ  + G1 σ = η1 η2  + (η1 G1 + η1 G2 + η2 G1 )  + (G1 G2 )

(P.9.66)

и положить η1 = 0, то приходим к модели Кельвина σ = η2  + G2 .

(P.9.67)

Соответственно, если в исходной модели положить G1 = 0, то также приходим к модели Кельвина. Указание: Выполнить преобразования в кодах. Задача 9.29. Используя принцип суперпозиции решений, получить реакцию ползучести для стандартной вязкоупругой модели тела (см. диаграмму раздела 9.2) и сравнить результат с результатом задачи 9.8. Решение: Напряжения нагрузки выражаются в виде σ = σ0 U (t) − σ0 U (t − 2τ2 ), график которой представлен ниже. Quit[] U (t_) = UnitStep[t]; Plot [Evaluate [{σ0 U [t], −σ0 U [t − 2τ2 ]} /. {σ0 → 1, τ2 → 1}] , {t, −1, 5}, AxesLabel → {“t”, “σ”}, PlotRange → All, Background → GrayLevel[1], PlotStyle → {Thickness[.01]}]

(P.9.68)

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ДЕВЯТОМУ РАЗДЕЛУ

645

Реакция ползучести в стандартном твердом теле, выраженная через деформацию, имеет вид: • сначала найдем реакцию для нагрузки σ0 U (t) (в кодах σ0 заменено на S0 ), σ = S0 U (t);  = e(t); eq[_] := G1 G2  + G1 η2 ∂t == σG2 + G1 σ + η2 ∂tσ eq[] e(t)G1 G2 + G1 η2 e (t) == δ(t)S0 η2 + G1 S0 θ(t) + G2 S0 θ(t)   sol = DSolve {eq[], e(0) == S0 /G1 }, , t //Flatten//Simplify ⎫ ⎧ ⎞ ⎛ tG2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎨ ⎟ ⎜ 1 − e − η2 1 ⎟ ⎜ + θ(t) S e(t) → ⎝ 0 G2 G1 ⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ • затем то же самое решение используем для нагрузки σ0 U (t−2τ2 ), вид которой представлен ниже. e(t)/. sol/.t → (t − 2τ2 ) ⎞ ⎛ G2 (t−2τ2 ) η2

⎜1 − e− ⎜ ⎝ G2

⎟ + 1 ⎟ S θ (t − 2τ2 ) G1 ⎠ 0

e(t)/. sol/.t → (t − 2τ2 ) /.θ (t − 2τ2 ) → 1 ⎞ ⎛ G2 (t−2τ2 ) η2

⎜1 − e− ⎜ ⎝ G2

⎟ + 1 ⎟ S G1 ⎠ 0

Используя принцип суперпозиции, реакция стандартного твердого тела при t > > 2τ2 принимает вид sol1 = ((e(t)/. sol/.θ(t) → 1) − (e(t)/. sol/.t → (t − 2τ2 ) /. θ (t − 2τ2 ) → 1)) //Simplify  tG 2G τ 2

e

− η 2

2 2

−1 + e G2

η2

S0

646

ГЛАВА 9

которое после упрощения в окончательном виде представлено ниже. sol1/. τ2 → η2 /G2 e

tG2 − η 2



 −1 + e 2 S0 G2

Задача 9.30. Определить напряжения в модели, принятой в задаче 9.9, когда история нагружения имеет вид, данный ниже.

Показать, что, возможно, «свободная» пружина в модели приводит к установлению полных, т. е. окончательных напряжений. Решение: Из задачи 9.9 и принципа суперпозиции следует, что напряжения в модели равны:  Gt    − η 1 2 η 0 U (t)− − ηG + tG + − 1 + e σ= 2 G T1 (P.9.69)  G(t−t1 )    − 1 2 η η 0 U (t − t1 ). − ηG + (t − t1 ) G + − 1 + e − 2 G T1 Для t > t1 имеем  Gt    − − ηG2 + tG + − 1 + e η η 0 U (t)− σ = 21 G T1  G(t−t1 )    − 1 2 η η 0 U (t − t1 ), − ηG + (t − t1 ) G + − 1 + e − 2 G T1 которое после упрощения (t1 ≡ T1 ) принимает вид ⎛  ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

−ηG2

+ tG +

−

−1 + e

G 2 T1

Gt η

η

0 −

(P.9.70)

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ДЕВЯТОМУ РАЗДЕЛУ

⎛

⎛

⎞ ⎞

G(t−T1 ) − η ⎠

⎝−ηG2 + (t − T1 ) G + ⎝−1 + e −

 GT1 − e

G 2 T1

Gt − η

 −1 + e

GT1 η

647

⎞

η ⎠ 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟//Simplify ⎟ ⎟ ⎠

η 0

G2 T1 0 . G

При t → ∞ имеем σ =

Задача 9.31. L — «логарифмический спектр запаздывания», определяется в терминах обычного спектра запаздывания J как L(log(ν)) = νJ(ν).

(P.9.71)

Из этого определения вывести функцию ползучести ψ(t) через L(log (t)). Решение: Пусть λ = Log (t), тогда τ = Exp(λ)

(P.9.72)

dτ = Exp(λ) = τ, dλ или dτ = τ d(Log(τ )).

(P.9.73)

и, соответственно,

Далее выразим (9.23) следующим образом: $∞ Ψ(t) = $∞ =

 t − J(τ ) 1 − e τ dτ =

0

 t − J(τ ) 1 − e τ τ d(Log(τ )) =

0

$∞ = 0

 t − L(Log(τ )) 1 − e τ d(Log(τ )) = $∞

= 0

 t −τ L(Log(τ )) 1 − e τ −1 dτ.

(P.9.74)

648

ГЛАВА 9

Пример вычисления логарифмического спектра: $

∞

Ψ(t_, L_) :=

 t − τ L(Log(τ )) 1 − e τ −1 dτ

0

Ψ(1, Exp)//N Integrate::idiv : Integral of 1 − e−1/τ does not converge on {0, ∞}.  NIntegrate::slwcon : Numerical integration converging too slowly; suspect one of the following: singularity, value of the integration is 0, highly oscillatory integrand, or WorkingPrecision too small.  NIntegrate::ncvb : NIntegrate failed to converge to prescribed accuracy after 9 recursive bisections in τ near{τ } = {6.13224 × 1028 }.NIntegrate obtained 23232.6 and 19751.1 for the integral and error estimates.  23232.6 Plot[Re[Ψ[t, Exp]], {t, 0, 2}, Background → GrayLevel[1]] Integrate::idiv : Integral of 1 − e−0.0000408571/τ does not converge on {0, ∞}.  NIntegrate::slwcon : Numerical integration converging too slowly; suspect one of the following: singularity, value of the integration is 0, highly oscillatory integrand, or WorkingPrecision too small.  NIntegrate::ncvb : NIntegrate failed to converge to prescribed accuracy after 9 recursive bisections in τ near {τ } = {6.13224 × 1028 }. NIntegrate obtained 0.949229 and 0.807007 for the integral and error estimates. 

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ДЕВЯТОМУ РАЗДЕЛУ

649

Задача 9.32. Для модели Максвелла (см. раздел 9.2) определить модули накопленных и потерянных деформаций G1 и G2 как функции Log (ωτ ) и представить наброски чертежей этих функций. Решение: Из задачи 9.16 находим, что  имеет вид • действительная часть комплексного модуля G 2 ω2 . G1 = Gτ 2 2 τ ω +1

(P.9.75)

Переходя к новой переменной λ, находим Quit[] 2 ω2 /. Solve[λ == Log[ωτ ], τ ]//Flatten G1 = Gτ 2 2 τ ω +1

e 2λ G 1 + e 2λ

График модуля накопленных деформаций представлен ниже. Plot [G1 /.G → 1, {λ, −5, 5}, AxesLabel → {“Log(ω τ )”, “G1 ”} , Background → GrayLevel[1]]

 имеет вид • мнимая часть комплексного модуля G G2 =

Gτ ω , +1

τ 2 ω2

а его выражение через новую переменную λ представлено ниже.

(P.9.76)

650

ГЛАВА 9

G2 =

Gτ ω /.Solve[λ == Log[ωτ ], τ ]//Flatten +1

τ 2 ω2

eλ G 1 + e2λ

График модуля G2 имеет вид Plot [G2 /.G → 1, {λ, −5, 5}, AxesLabel → {“Log(ω τ )”, “G2 ”} , Background → GrayLevel[1]]

Совместные графики модулей представлены ниже. Plot [Evaluate [{G1 , G2 } /.G → 1] , {λ, −5, 5}, AxesLabel → {“Log(ω τ )”, “G1 , G2 ”} , Background → GrayLevel[1]]

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ДЕВЯТОМУ РАЗДЕЛУ

651

Задача 9.33. Определить форму вязкоупругого оператора для упругой постоянной ν — постоянного коэффициента Пуассона, используя уравнения состояния (9.44). Решение: Здесь приведены необходимые выражения разложений девиаторов для тензоров напряжений и деформаций: σij = sij + δij σkk / 3; ij = eij + δij kk / 3,  ij , Psij = 2Qe

(P.9.77)

 ( ij − δij kk / 3). P (σij − δij σkk / 3) = 2Q При σ11 = σ0 , т. е. при односном растяжении, из второго равенства (9.44) имеем σii = σ0 = 3K ii , ii / 3 = σ0 / 9K,

(P.9.78)

а из первого равенства (9.44) при i = j = 1 выводим  11 − σ0 / 9K). P (σ0 − σ0 / 3) = 2Q(

(P.9.79)

Для деформации 11 имеем  (11 − σ0 / 9K) ; eq1 = P (σ0 − σ0 / 3) == 2Q   sol1 = Solve eq1, 11 //Flatten//Simplify ⎧   ⎫ ⎪  σ0 ⎪ ⎬ ⎨ 3P + K Q 11 → ⎪ ⎪  9Q ⎭ ⎩ а из первого равенства (9.44) при i = j = 2 выводим  (22 − σ0 / 9K) ; eq3 = P ( −σ0 / 3) == 2Q   sol2 = Solve eq3, 22 //Flatten//Simplify ⎧   ⎫ ⎪  − 3P σ0 ⎪ ⎬ ⎨ 2K Q 22 → ⎪ ⎪  18Q ⎭ ⎩ Откуда соотношение для коэффициента Пуассона в операторном виде запишется следующим образом: ν = − (22 /. sol2) / (11 /. sol1) //Simplify  3P − 2K Q  6P + 2K Q

652

ГЛАВА 9

Задача 9.34. Вязкоупругий цилиндр помещен в соответствующий размерам твердый контейнер. Беззазорное графическое изображение цилиндров представлено ниже, Quit[] Show[Graphics3D[{EdgeForm[Thick], Cylinder[]}], Boxed → False, Background → GrayLevel[1]]

а соответствующее изображение с зазором имеет вид ParametricPlot3D[Evaluate[{{1.5Sin[ϕ], 1.5Cos[ϕ], 0.7z}, {Sin[ϕ], Cos[ϕ], z}}], {ϕ, 0, 2π}, {z, 0, 2}, Axes → None, Boxed → False, Background → GrayLevel[1]]

так что rr = 0 (отсутствуют радиальные деформации). Тело является упругим при растяжении и имеет функцию ползучести вида ψz = A + Bt + Ceλt ,

(P.9.80)

где A, B, C — постоянные величины. Если (  )33 = (  )0 U (t), то определить напряжения σ33 (t). Штрихом обозначена производная по времени. Решение: Здесь имеем σii = 3K ii ,

(P.9.81)

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ДЕВЯТОМУ РАЗДЕЛУ

653

которое в силу симметрии задачи (σ11 = σ22 , ((11) → (rr)), (22) → (ϕϕ)) запишется в виде (P.9.82) 2σ22 + σ33 = 3K 33 . P0 представлен ниже. Далее, найдем величину первой критической силы Pcr . Под первой величиной критической силы здесь понимается Pcr , при которой балка теряет устойчивость   по низшей форме прогиба, для шарнирных опор — по закону w(x) = sin πx . L

eq2[W_] := Y J0 D[W, x, x] == (−Pcr W ) eq2[Sin[πx/L]]   π 2 Y sin πx J0   L πx P == − sin − cr 2 L L

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ДЕВЯТОМУ РАЗДЕЛУ

657

Plot [Evaluate [Table [θ[t]/.sol/. {P0 → 1, Pcr → 1.02 + 0.2i, Y → 1, η → 1} , {i, 6}]] , {t, 0, 10}, Background → GrayLevel[1]]

Решением выведенного уравнения является выражение для величины первой критической силы.   Solve eq2[Sin[πx/L]], Pcr //Flatten//Simplify 5 4 π 2 Y J0 Pcr → L2 Задача 9.36. Сформулировать задачу для определения установившихся колебаний вязкоупругой балки, полагая, что уравнение состояния для нее дается формулой (9.44). Решение: Уравнение свободных колебаний упругой балки описывается уравнением 4 2 = 0. (P.9.89) Y J0 ∂ w4 − ρA ∂ w ∂x ∂t2 Из (9.44) вязкоупругий оператор для Y принимает вид 9KQ . (3KP + Q)

(P.9.90)

Таким образом, если принять, что прогиб вязкоупругой балки представим в виде произведения w(x, t) = W (x)θ(t). (P.9.91)

658

ГЛАВА 9

то после подстановки решения w(x, t) для прогиба балки в исходное уравнение получим систему для нахождения неизвестных W (x) и θ(t): d4 W + k4 W = 0; dx4  d2 θ(t) k4 J0 (9KQ)θ(t) = 0. + (3KP + Q) 2 ρA dt

(P.9.92)

Решение уравнения по пространственной координате представимо в виде бесконечного множества функций Wi (x), определяемых граничными условиями, которые следуют из условий закрепления балки. Решение для θ(t) имеет вид θi (t) =

M 3

Aij e λij t ,

(P.9.93)

j=1

где M зависит от степени оператора. В итоге общее решение принимает вид ⎛ ⎞ ∞ M 3 3 ⎝ Wi (x)Aij e λij t ⎠, (P.9.94) w(x, t) = i=1

j=1

где λij — комплексные величины. Указание: Записать решение для установившихся колебаний балки в кодах. Задачи для самостоятельного решения Задача 9.37. Определить уравнение состояния для четырехпараметрической модели, схема которой изображена ниже.

Ответ: σ  +(G1 /η2 + G2 /η2 + G1 /η1 )σ  +(G1 G2 /η1 η2 )σ = G1  +(G1 G2 /η2 )  . Задача 9.38. Определить реакцию ползучести стандартного линейного тела прямым интегрированием уравнения (см. задачу 9.7)  + /τ2 = σ0 U (t) (G1 + G2 ) /G1 η2 + σ0 δ(t) /G1 .

(P.9.95)

Задача 9.39. Вывести уравнения состояния Кельвина и Максвелла из результатов задачи 9.5 для 4-параметрической модели.

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ДЕВЯТОМУ РАЗДЕЛУ

659

Задача 9.40. Используя уравнение (9.35), получить ψ(t), если φ(t) =

Ответ: ψ(t) =

a , m < 1. (bt)m

(P.9.96)

Sin(mτ )  t m . amτ b

Задача 9.41. Определить функции ползучести и релаксации для 3-параметрической модели, изображенной ниже.

−

G2 t (G1 +G2 )τ1

−

t

Ответ: ψ(t) = 1 /G2 − G1 e /G2 (G1 + G2 ); φ(t) = G2 + G1 e τ1 .  для 4-параметрической модели, показанной ниже. Задача 9.42. Определить G

= Ответ: G

  G1 1 + τ2 ω 2 + G2 ω 2 τ2 1 + ω 2 τ22

+i

   ω G2 τ2 + η3 1 + ω 2 τ22 1 + ω 2 τ22

.

Задача 9.43. Если в задаче 9.42 положить G1 = G2 = G; η2 = η3 = η,

(P.9.97)

то определить реакцию напряжений как функцию времени, если деформации изменялись по закону, представленному на графике ниже. f (x_/; 0 < x < 1) := x; f (x_/; 1 < x < 4) := 2x − 1; grPoints = Graphics [{ {PointSize[0.02], Point[{1, 0}], Text [”t1 ”, {1, −0.2}]} , {PointSize[0.02], Point[{2, 0}], Text [”2 t1 ”, {2, −0.2}]} , {PointSize[0.02], Point[{1, 1}], Text [”1 ”, {1.1, 1.1}]} , {PointSize[0.02], Point[{2, 3}], Text [”3 1 ”, {2.1, 3.1}]}}] ;

660

ГЛАВА 9

gr1 = Plot[f (x), {x, 0, 2}, PlotRange → All, AxesLabel → {”t”, ””}, Ticks → None, DisplayFunction → Identity]; Show[{gr1, grPoints}, DisplayFunction → $DisplayFunction, Background → GrayLevel[1]]







t1 

Ответ: σ(t) = 0 G (2t − t1 ) + η 4 − 1 + e τ t1

e

t −τ

 при t1 < t < 2t1 .

Задача 9.44. Для вязкоупругого кубика, имеющего уравнение состояния вида σ  + ασ = β  + γ ,

(P.9.98)

где α, β, γ — постоянные, напряжения на гранях равны σ11 = −σ0 U (t); σ33 = 0,

(P.9.99)

а деформация 33 = 0. Полагая, что σii = 3K ii , определить: σ33 (t), σ33 (0), σ33 (∞).     3αK − 2γ 3K − 2β 3αK − 2γ −λt + − × ×e , Ответ: σ33 = −σ0 2(3αK + γ)λ

2(3αK + γ)

2(3αK + γ)λ

3αK + γ . где λ = 3K + β

Задача 9.45. Вязкоупругая балка на шарнирных опорах (см. рисунок ниже), Quit[]

З АДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ ПО ДЕВЯТОМУ РАЗДЕЛУ

661

a = Arrow[{{4, 0}, {3, 0}}]; b = Arrow[{{−1, 0}, {0, 0}}];  Show Plot Sin πx /.L → 3, {x, 0, 3}, PlotRange → All, L AxesLabel → {“x”, “W”}, Ticks → None, DisplayFunction → Identity] , Graphics [{{a, b}, {Text [“P0 U(t)”, {3.5, −0.35}]} , Text [“P0 U(t)”, {−0.5, −0.35}] , Text[“L”, {1.7, 0.25}], Text [“w0 Sin(πx/L)”, {1.71, 1.2}]}] , AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunction, Background → GrayLevel[1]]

изготовленная из материала Максвелла с уравнением состояния вида σ  + σ/τ = Y  .

(9.53)

  Начальное состояние балки описывается уравнением w(x) = w0 sin πx , когда L

к ее концам была приложена нагрузка P0 U (t). Определить промежуточные прогибы балки w(x, t) как функцию нагрузки P0 — нагрузки для упругого прогиба балки. −

Ответ: w(x, t) = w0 Sin(πx/L)e

t Pcr 1− P0

 τ

.

ГЛАВА 10

Специальные разделы механики сплошных сред

В настоящем разделе приведены несколько примеров применения общих методов механики сплошных сред к изучению конкретных динамических систем.

10.1. Модель Лоренца Модель Лоренца является первой нелинейной моделью, в которой был обнаружен хаотический режим поведения динамической системы, обнаруженный при численном решении задачи. Хаос характеризуется сложным непериодическим изменением временных переменных динамической системы. 10.1.1. Механическая схема Выведем динамические уравнения Лоренца, которые описывают конвективные потоки флюида в задаче Релея о конвекции в подогреваемом снизу (температура подошвы T0 +ΔT0 и T0 температура покрышки слоя) горизонтальном слое толщины h, когда находящаяся и протекающая в слое вязкая, несжимаемая жидкость образует в движении конвективные ячейки. Схема ячеек и течения в них представлена ниже.