Геометрия. 9-11 классы: От учебной задачи - к творческой

Citation preview

СМОТРЕТЬЕЩЕ НЕ ЗНАЧИТ ВИДЕТЬ!

|Ч,ьзНиа лиь^не ян нШа -члааюиэ

З а д а ч н и к и

«Дрофы»

И. Ф. Ш а р ы г и н

Геометрия К Л А С С Ы

9 -П От учебной задачи к творческой Учебное п особие

4 Москва Издательский дом «Дрофа»

1996

УДК 373:514 ББК 22.151я721 Ш26

Серия «Задачники «Дрофы» основана в 1996 г.

Ш26

Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задали к творчес­ кой: Учеб. пособие. — М.: Дрофа, 1996. — 400 с.: ил. — (Задачники «Дрофы»). 18ВМ 5—7107—0763—5 В пособии собраны и систематизированы более 1000 задач по пла­ ниметрии с решениями, большинство которых являются авторскими. Книга адресована учащимся физико-математических классов и школ, слушателям и преподават елям подготовительных отделений вузов, а также читателям, занимающимся самообразованием и готовя­ щимся к поступлению в вуз.

УДК 373:514 ББК 22.151я721 18ВЫ 5—7107—0763—5

© «Дрофа», 1996

Неизвестному любителю геометрии посвящается

ПРЕДИСЛОВИЕ Есть такой обычай на Руси — вечерами заниматься геометрией.

, Фольклор

Откуда берутся геометрические задачи? Кто автор геометри­ ческих шедевров, безымянно кочуюйщх по различным сборни­ кам? К сожалению, во многих случаях установить авторство практически невозможно. Часто составители сборников геоме­ трических задач не сообщают никаких имен, делая редкие ис­ ключения для великих и далеких. Возможно, впрочем, что в большинстве подобных случаев мы имеем дело с приписывае­ мым, а не реальным авторством. Много лет тому назад — много по меркам одной человече­ ской жизни— просматривал автор этой книги комплекты жур­ нала «Вестник опытной физики и элементарной математики», издававшегося в России в конце XIX века. Помню, что много прекрасных геометрических задач составил один читатель. В память врезалось название «Егорьевские золотые прииски» — место, где он жил и работал. Одну из его задач я нашел за­ тем в журнале «МаЪЬетаёса! МопЪЫу», вышедшем значительно позднее и, естественно, под другой фамилией. Впрочем, история человечества полна несправедливостей, на фоне которых проблемы авторства геометрических задач выгля­ дят поистине пустяками. Что касается данного сборника, то в нем достаточно большое число оригинальных задач. Из этого, конечно, не следует, что все неподписанные задачи составлены автором. С другой стороны, практически все решения являются авторскими, хотя наверняка далеко не все они являются самыми красивыми и короткими. Сборник состоит из трех частей. Первые две—это несколько переработанный сборник «Задачи по геометрии. Планиметрия» (М., Наука, 1982. Библиотечка «Квант». Вып. 17). Третья часть содержит 380 задач, объединенных в группы по 10 задач. Не­ которые из них публиковались в разделе «Задачй» журнала «Математика в школе» в 1986 — 1994 годах. Кому адресована эта книга? Как ею пользоваться? Во-первых, опытный учитель сможет найти в этой книге за­ дачи, которые можно использовать в школьной практике, тео­ ремы, дополняющие школьный курс геометрии, и просто полез­ ные идеи. 3

Во-вторых, эта книга может помочь подготовиться к конкурс­ ному экзамену, к его геометрической части. Большая часть пер­ вого раздела имеет конкурсную направленность. Если вы осво­ или первые 150 — 200 задач, справились с первыми двумя-тремя задачами каждого десятка третьего раздела, то вы готовы к экзамену на хорошем университетском уровне. В-третьих, математические олимпиады. Среди 1000 с лиш­ ним задач, имеющихся в книге, очень много таких, которые по содержанию, уровню сложности соответствуют задачам матема­ тических олимпиад различных категорий. В-четвертых, в книге есть задачи и более высокого уровня, назовем этот уровень творческим. Чтобы справиться с этими за­ дачами, даже очень сильному геометру придется изрядно по­ трудиться, возможно, несколько дней и даже больше, хотя для решения любой из них никаких знаний, выходящих за рамки школьной программы, не требуется. Подобные задачи-проблемы могут быть использованы в работе математического кружка. И наконец, в-пятых. Если у вас плохое настроение, вы устали, возьмите интересную геометрическую задачу, сделайте большой и красивый чертеж и ... Поверьте, хорошая геометри­ ческая задача может прекрасно заменить самого лучшего пси­ хотерапевта. Но не только. Не исключено, что терапевтические возможности геометрии выходят далеко за рамки «психо», и врачи зря не обращают на нее внимания. А пока— занимайтесь геометрией и будьте здоровы! Р.8 . А все же, отуда берутся геометрические задачи? Общий и полный ответ здесь вряд ли возможен. А в частности... В част­ ности, очень много новых задач содержится в этой книге. Надо только суметь их извлечь. Наверное, каждая содержательная геометрическая задача может быть источником целого ряда но­ вых. Для этого с ней надо некоторое время «повозиться», по­ смотреть с разных сторон, попробовать перефразировать, обоб­ щить. В результате удивительным образом может возникнуть новая, совершенно не похожая на «родителя» задача. Например, возьмем ту же задачу № 255... Автор

ф

ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФАКТЫ И ТЕОРЕМЫ. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ

Все незначительное нужно, Чтобы значительному быть.

И. Северянин

1. Доказать, что медианы в треугольнике пересекаются в одной точке й делятся ею в отношении 1 : 2 . 2. Доказать, что медианы делят треугольник на шесть рав­ новеликих частей. 3. Доказать, что диаметр окружности, описанной около тре­ угольника, равен отношению его стороны к синусу противоле­ жащего угла. 4. Пусть вершина угла находится вне круга и стороны угла пересекают окружность. Доказать, что величина угла измеря­ ется полуразностью дуг, высекаемых его сторонами на окруж­ ности и расположенных внутри угла. 5. Пусть вершина угла находится внутри круга. Доказать, что величина угла измеряется полусуммой дуг, заключенных между его сторонами и их продолжениями за вершину угла. 6 . Пусть АВ — хорда окружности, I — касательная к ок­ ружности (А — точка касания). Доказать, что каждый из двух углов между АВ и I измеряется половиной дуги окружности, заключенной внутри рассматриваемого угла. 7. Через точку М, находящуюся на расстоянии а от цен­ тра окружности радиуса К (а > Я), проведена секущая, пере­ секающая окружность в точках А и В. Доказать, что М А-М В постоянно для всех секущих и равно о2 —Я 2 (квадрату длины касательной). 8 . В окружности радиуса Я через точку М, находящуюся на расстоянии а от ее центра (а г) с общим центром О. Третья окружность касается их обеих. Найти тангенс угла между касательными к третьей окружности, зыходящими из точки О. 106. В параллелограмме АВСБ известно: АВ = а, АО = Ь (Ь>а), /В А Б = а ( а — ш щ г

ч ^ 2Л. ж) х у + у г + г х ^ — ( « « + « « 1 Ч-и/и). Г 676. В данном треугольнике проведем медиану к большей сто­ роне. Эта медиана разбивает треугольник на два. В каждом из получившихся треугольников также проведем медиану к боль­ шей стороне и т. д. Доказать, что все получающиеся треуголь­ ники можно разбить на конечное число классов таким обра­ зом, что все треугольники, принадлежащие одному классу, по­ добны между собой. Доказать также, что любой угол любого получающегося при этом треугольника не меньше половины наименьшего угла исходного треугольника. 677. Найти треугольник наименьшей площади, которым можно покрыть треугольник со сторонами, не превосходя­ щими 1 .

РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ

Другие по живому следу Пройдут твой путь за пядью пядь. Но пораженья и победы Ты сам обязан различать.

По В . Пастернаку

678. В параллелограмме АВСВ угол АВВ равен 40°. Найти угол ИВС, если известно, что центры окружностей, описанных около треугольников АВС и СИА, лежат на диагонали ВВ. 679. Биссектрисы углов трапеции делят каждое из ее осно­ ваний на три равные части. Найти площадь трапеции, если ее высота равна 1 . 680. Дан квадрат АВСВ, М — середина СО. На отрезке АС взята точка Р так, что I.АВР = ЛСРМ—а. Найти величину а и отношение, в котором Р. делит АС. 681. В выпуклом четырехугольнике АВСВ точка Е — пересе­ чение диагоналей. Известно, что площади треугольников АВЕ и СВЕ равны между собой, диагональ АС является биссектрисой угла А, АВ = 4. Найти ВС. 682. Найти углы треугольника, если квадрат, построенный на одной из его сторон, равновелик полукругу, построенному на другой и правильному треугольнику, построенному на третьей. 683. Две окружности с радиусами г и К (г < В) внешним обрат зом касаются друг друга. Прямая касается этих окружностей в точках АГ и АГ. В точках А л В окружности касаются внеш­ ним образом третьей окружности. Прямые АВ и АГАТ пересека­ ются в точке С. Из точки С проведена касательная к третьей окружности, В —точка касания. Найти длину отрезка СВ. 684. На основании АС равнобедренного треугольника АВС взята точка В так, что радиус окружности, вписанной в тре­ угольник АВВ, равен радиусу окружности, касающейся отрезка СВ и продолжений отрезков В В и ВС. Доказать, что радиус ка­ ждой из этих окружностей равен 1/4 высоты треугольника АВС, произведенной к боковой стороне. 86

685. Внутри треугольника АВС взята точка М. Прямая, про­ ходящая через В параллельно МС, пересекает прямую АМ в точке Ах, прямая, проходящая через С параллельно АМ, пе­ ресекает В М в точке Вх, и, наконец, прямая, проходящая че­ рез А параллельно ВМ , пересекает СМ в точке С\. Доказать, что сумма площадей треугольников МВА\, МСВ\ и М АСх не меньше площади треугольника АВС. Для какой точки М эта сумма равна площади треугольника АВС? 6 8 6 . Доказать, что в правильном 54-угольнике можно вы­ брать 4 диагонали, не проходящие через его центр, пересекаг ющиеся в одной точке (С . И . Т о к а р е в ) . 687. Медианой пятиугольника будем называть отрезок, со­ единяющий его вершину с. серединой противоположной стороны. Доказать, что если 4 из 5 медиан выпуклого пятиугольника пе­ ресекаются в одной точке, то и 5 -я медиана также проходит через ту же точку. / * * * 6 8 8 . Около окружности описана равнобокая трапеция АВСБ. Боковые стороны трапеции АВ и СИ касаются окружности со­ ответственно в точках М и К, а основание АО — в точке Р. В каком отношении прямая СР делит отрезок МК? 689. В прямоугольном треугольнике АВС один из острых углов равен 30°, М — середина гипотенузы АВ, О — центр впи­ санной окружности. Чему равен угол ОМС? 690. На плоскости даны две пересекающиеся прямые 1\ и /гНайти геометрическое место таких точек М плоскости, для ко­ торых расстояние между основаниями перпендикуляров, прове­ денных из точки М на прямые 1х и /г> равно заданной величине о. 691. В треугольнике АВС угол В равен 36°, угол С равен 42°. На стороне В С взята точка М так, что В М = К , где В — радиус окружности, описанной около треугольника АВС. Найти угол МАС. 692. На плоскости отмечены две точки А и В. Найти геоме­ трическое место точек С плоскости таких, что медиана к стороне ВС перпендикулярна стороне АС. 693. Площадь прямоугольного треугольника равна 5. Найти площадь треугольника с вершинами в основаниях перпендику­ ляров, проведенных из тощей пересечения медиан данного тре­ угольника на катеты и гипотенузу. >

87

694. В окружность к вписан треугольник АВС такой, что ААСВ = 30°. Окружность к\, центр которой лежит на окруж­ ности к, проходит через А и С и пересекает прямую АВ в точке Б такой, что А лежйт между И и В и ИВ = \/ЪАВ. Определить: а) углы треугольника АВС\ б) площадь треугольника А В С , если известно, что биссектриса угла АСВ равна I. 695. Через вершину С квадрата АВСБ проведена прямая, пе­ ресекающая диагональ В Б в точке К, а срединный перпендику­ ляр к стороне АВ в точке М. Найти ЛБСК, если лАКВ = а АМВ. 696. На одной стороне угла дана точка А. Произвольная ок­ ружность, проходящая через А и касающаяся в этой точке сто­ роны угла, пересекает другую сторону в точках В и С. Найти геометрическое место центров окружностей, вписанных в тре­ угольник АВС. 697. Найти геометрическое место точек М внутри правиль­ ного пятиугольника, каждая из которых является серединой не менее чем трех отрезков с койцами на различных сторонах этого пятиугольника. *

*

*

698. Окружность касается прямых АВ и В С соответственно в точках Б и Е. Точка А лежит между точками В а Б, &точка С — между точками В и Е. Найти площадь треугольника АВС, если длины сторон АВ и АС соответственно равны 13 и 1 , а точки А, Б , Е и С лежат на одной окружности. 699. В трапеции КРМ Н длина боковой стороны МН равна 7 \ / 2 . Окружность, проходящая через точки К, Р, М, пересекает прямую К Н в точке Е. Длина отрезка РЕ равна 14, а угол РЕ К равен 45°. Найти длину основания КН. 700. Внутри правильного треугольника АВС взята точка О так, что А О :В О :СО = а:Ь:с, где а 2 + Ь2 =