Электротехника и основы электроники [8изд.] 978-5-8114-0523-7, 95-3825-335-3

Citation preview

И. И. ИВАНОВ, Г. И. СОЛОВЬЕВ, В. Я. ФРОЛОВ

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОНИКИ Издание восьмое, стереотипное

Рекомендовано Учебнометодическим объединением по университетскому политехническому образованию в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки и специальностям в области техники и технологии

СанктПетербург•Москва•Краснодар 2016

ББК 31.277.1 И 20 Иванов И. И., Соловьев Г. И., Фролов В. Я. И 20 Электротехника и основы электроники: Учеб ник. — 8е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2016. — 736 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специаль ная литература). ISBN 9785811405237 В книге изложены основы теории электрических, электронных и магнитных цепей, рассмотрены устройство, принцип действия и характеристики электрических машин, аппаратов, электроизме рительных приборов, электронных приборов и устройств, а также основы автоматического управления электроустановками, основы электроснабжения и др. 6е издание книги «Электротехника» ав торов И. И. Иванова и Г. И. Соловьева вышло в 2009 г. Учебник предназначен для студентов технических и техноло гических направлений подготовки.

ББК 31.277.1 Рецензенты: В. А. СКОРНЯКОВ — зав. кафедрой электротехники и электрообо рудования СПбГЛТА им. С. М. Кирова, кандидат технических наук; Ю. А. БЫСТРОВ — зав. кафедрой электронных приборов и устройств СПбГЭТУ «ЛЭТИ», доктор технических наук, профес сор; А. А. ЛИСЕНКОВ — ведущий научный сотрудник лаборато рии модифицирования поверхностей и материалов учреждения РАН «Институт проблем машиностроения РАН», доктор техничес ких наук, профессор.

Обложка Н. А. ГОНЧАРОВА Охраняется законом РФ об авторском праве. Воспроизведение всей книги или любой ее части запрещается без письменного разрешения издателя. Любые попытки нарушения закона будут преследоваться в судебном порядке. © Издательство «Лань», 2016 © И. И. Иванов, Г. И. Соловьев, В. Я. Фролов, 2016 © Издательство «Лань», художественное оформление, 2016

Ñâåòëîé ïàìÿòè ÐÀÂÄÎÍÈÊÀ Âëàäèìèðà Ñòàíèñëàâîâè÷à ïîñâÿùàåòñÿ

ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ

Ïðîøëî áîëåå 100 ëåò ñ òåõ ïîð, êàê íà÷àëîñü èñïîëüçîâàíèå ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè â æèçíåäåÿòåëüíîñòè ÷åëîâåêà (â ïðîìûøëåííîñòè, íà òðàíñïîðòå, â ñåëüñêîì õîçÿéñòâå, â áûòó è äðóãèõ íå ìåíåå âàæíûõ îáëàñòÿõ). Ïðåäñòàâèòåëè ðàçíûõ ñïåöèàëüíîñòåé â ñâîåé ðàáîòå èìåþò äåëî ñ ðàçëè÷íîãî ðîäà ýëåêòðîîáîðóäîâàíèåì. Ïîýòîìó ýëåêòðîòåõíè÷åñêàÿ ïîäãîòîâêà èíæåíåðîâ íåýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé äîëæíà âêëþ÷àòü äîñòàòî÷íî ïîäðîáíîå èçó÷åíèå âîïðîñîâ òåîðèè è ïðàêòèêè èñïîëüçîâàíèÿ ðàçëè÷íûõ ýëåêòðîóñòàíîâîê è ýëåêòðîííûõ ïðèáîðîâ. Èíæåíåð ëþáîé ñïåöèàëüíîñòè äîëæåí çíàòü óñòðîéñòâî, ïðèíöèï äåéñòâèÿ, õàðàêòåðèñòèêè è ýêñïëóàòàöèîííûå âîçìîæíîñòè ýëåêòðè÷åñêèõ ìàøèí, ýëåêòðîèçìåðèòåëüíûõ ïðèáîðîâ, àïïàðàòîâ è äðóãîãî ýëåêòðîîáîðóäîâàíèÿ, ñïîñîáû ðåãóëèðîâàíèÿ è óïðàâëåíèÿ èìè. Èçëîæåíèå ìàòåðèàëà áàçèðóåòñÿ íà çíàíèÿõ, ïîëó÷åííûõ ñòóäåíòàìè ïðè èçó÷åíèè êóðñîâ ìàòåìàòèêè è ôèçèêè (â îáëàñòè ýëåêòðè÷åñòâà, ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, ìåõàíèêè è äð.). Ñîäåðæàíèå è ìåòîäèêà èçëîæåíèÿ ìàòåðèàëà âî ìíîãîì îïðåäåëåíû ïðàêòèêîé ïðåïîäàâàíèÿ ýëåêòðîòåõíèêè â Ëåíèíãðàäñêîì ïîëèòåõíè÷åñêîì èíñòèòóòå èì. Ì. È. Êàëèíèíà (íûíå â Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîì ãîñóäàðñòâåííîì ïîëèòåõíè÷åñêîì óíèâåðñèòåòå), îñíîâû êîòîðîé áûëè çàëîæåíû ïåðâûì çàâåäóþùèì êàôåäðîé ýëåêòðîòåõíèêè, Ãåðîåì Ñîöèàëèñòè÷åñêîãî Òðóäà, ëàóðåàòîì Ãîñóäàðñòâåííîé ïðåìèè ïðîôåññîðîì Ì. À. Øàòåëåíîì (1866–1957). 3

Àâòîðû âûðàæàþò áëàãîäàðíîñòü ÷ëåíàì êàôåäðû «Ýëåêòðîòåõíèêè è ýëåêòðîòåõíîëîãèè» Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ïîëèòåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà (ÑÏáÃÏÓ), à òàêæå âñåì êîëëåãàì èç äðóãèõ âóçîâ, êîòîðûå â ñâîèõ óñòíûõ è ïèñüìåííûõ îòçûâàõ ñäåëàëè ïîëåçíûå çàìå÷àíèÿ è ïðåäëîæåíèÿ ê ïåðâîìó èçäàíèþ êíèãè «Ýëåêòðîòåõíèêà» (àâòîðû È. È. Èâàíîâ, Â. Ñ. Ðàâäîíèê), âûøåäøåé â 1984 ã. â èçäàòåëüñòâå «Âûñøàÿ øêîëà», è ê ïîñëåäóþùèì èçäàíèÿì (àâòîðû È. È. Èâàíîâ, Ã. È. Ñîëîâüåâ, Â. Ñ. Ðàâäîíèê), âûøåäøèì â èçäàòåëüñòâå «Ëàíü». Íàñòîÿùåå èçäàíèå âûõîäèò ïîä íàçâàíèåì «Ýëåêòðîòåõíèêà è îñíîâû ýëåêòðîíèêè» è ÿâëÿåòñÿ ïåðåðàáîòàííûì è äîïîëíåííûì â ÷àñòè «Ýëåêòðîòåõíèêà»; äîáàâëåíà ÷àñòü «Îñíîâû ýëåêòðîíèêè». Ñîäåðæàíèå êíèãè ñîîòâåòñòâóåò ãîñóäàðñòâåííûì îáðàçîâàòåëüíûì ñòàíäàðòàì âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ, â êîòîðûõ ó÷åáíàÿ äèñöèïëèíà äëÿ áîëüøèíñòâà íàïðàâëåíèé è ñïåöèàëüíîñòåé ïîäãîòîâêè èìååò íàçâàíèå «Ýëåêòðîòåõíèêà è îñíîâû ýëåêòðîíèêè» èëè «Ýëåêòðîòåõíèêà è ýëåêòðîíèêà». Ïåðåðàáîòêà è äîïîëíåíèÿ â ÷àñòè «Ýëåêòðîòåõíèêà» âûïîëíåíû ïðîôåññîðàìè È. È. Èâàíîâûì è Ã. È. Ñîëîâüåâûì, ÷àñòü «Îñíîâû ýëåêòðîíèêè» íàïèñàíà ïðîôåññîðîì Â. ß. Ôðîëîâûì. Îòçûâû î êíèãå ïðîñèì íàïðàâëÿòü ïî àäðåñó: 194251, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, óë. Ïîëèòåõíè÷åñêàÿ, 29, èëè â èçäàòåëüñòâî «Ëàíü» ïî àäðåñó: [email protected].

×ÀÑÒÜ ÏÅÐÂÀß

ÝËÅÊÒÐÎÒÅÕÍÈÊÀ

ÂÂÅÄÅÍÈÅ

Â.1. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÀß ÝÍÅÐÃÈß È ÅÅ ÏÐÈÌÅÍÅÍÈÅ Ðàçâèòèå íàó÷íîé ìûñëè ïðèâåëî â êîíöå XIX âåêà ê ïðàêòè÷åñêîìó èñïîëüçîâàíèþ ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè. Ýòî áûëî íà÷àëîì íàó÷íî-òåõíè÷åñêîé ðåâîëþöèè. Ðàçâèòèå ýëåêòðîýíåðãåòèêè è ñåãîäíÿ ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì óñëîâèåì íàó÷íî-òåõíè÷åñêîãî ïðîãðåññà è òåõíè÷åñêîãî ñîâåðøåíñòâîâàíèÿ ïðîèçâîäñòâà. Òàêàÿ âàæíåéøàÿ ðîëü ýëåêòðîýíåðãèè îáóñëîâëåíà ñëåäóþùèì: 1) â ýëåêòðè÷åñêóþ ýíåðãèþ ëåãêî ïðåîáðàçóþòñÿ ëþáûå âèäû ýíåðãèè (òåïëîâàÿ, àòîìíàÿ, ìåõàíè÷åñêàÿ, õèìè÷åñêàÿ, ëó÷èñòàÿ, ýíåðãèÿ âîäíîãî ïîòîêà), è íàîáîðîò, ýëåêòðè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ìîæåò áûòü ëåãêî ïðåîáðàçîâàíà â ëþáîé äðóãîé âèä ýíåðãèè; 2) ýëåêòðîýíåðãèþ ìîæíî ïåðåäàâàòü ïðàêòè÷åñêè íà ëþáîå ðàññòîÿíèå; 3) åå ìîæíî ëåãêî äðîáèòü íà ëþáûå ÷àñòè (ìîùíîñòü ýëåêòðîïðèåìíèêîâ ìîæåò áûòü îò äîëåé âàòòà äî òûñÿ÷ êèëîâàòò); 4) ïðîöåññû ïîëó÷åíèÿ, ïåðåäà÷è, ðàñïðåäåëåíèÿ è ïîòðåáëåíèÿ ìîæíî ïðîñòî è ýôôåêòèâíî àâòîìàòèçèðîâàòü; 5) óïðàâëåíèå ïðîöåññàìè, â êîòîðûõ èñïîëüçóþò ýëåêòðîýíåðãèþ, îáû÷íî î÷åíü ïðîñòîå (íàæàòèå êíîïêè óïðàâëåíèÿ, âûêëþ÷àòåëÿ è ò. ï.); 6) èñïîëüçîâàíèå ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè ñïîñîáñòâóåò ñîçäàíèþ êîìôîðòíûõ óñëîâèé òðóäà è áûòà. Åäèíñòâåííûì íåäîñòàòêîì ýëåêòðîýíåðãèè ÿâëÿåòñÿ îòñóòñòâèå «ñêëàäà ãîòîâîé ïðîäóêöèè». Çàïàñàòü ýëåêòðîýíåðãèþ è ñîõðàíÿòü ýòè çàïàñû â òå÷åíèå áîëüøèõ ñðîêîâ ÷åëîâå÷åñòâî åùå íå íàó÷èëîñü. Çàïàñû ýëåêòðîýíåðãèè â àêêóìóëÿòîðàõ, ãàëüâàíè÷åñêèõ ýëåìåíòàõ 6

è êîíäåíñàòîðàõ äîñòàòî÷íû ëèøü äëÿ ðàáîòû ñðàâíèòåëüíî ìàëîìîùíûõ óñòàíîâîê, ïðè÷åì ñðîêè õðàíåíèÿ ýòèõ çàïàñîâ îãðàíè÷åíû. Ïîýòîìó ýëåêòðîýíåðãèÿ äîëæíà áûòü ïðîèçâåäåíà òîãäà è â òàêîì êîëè÷åñòâå, êîãäà è â êàêîì êîëè÷åñòâå â íåé âîçíèêàåò ïîòðåáíîñòü. Ïðèìåíåíèå ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè ïîçâîëèëî ïîâûñèòü ïðîèçâîäèòåëüíîñòü òðóäà âî âñåõ îáëàñòÿõ äåÿòåëüíîñòè ÷åëîâåêà, âíåäðèòü è àâòîìàòèçèðîâàòü öåëûé ðÿä òåõíîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â ïðîìûøëåííîñòè, íà òðàíñïîðòå, â ñåëüñêîì õîçÿéñòâå è áûòó, îñíîâàííûõ íà íîâûõ ïðèíöèïàõ, óñêîðÿþùèõ, îáëåã÷àþùèõ è óäåøåâëÿþùèõ ïðîöåññ ïîëó÷åíèÿ îêîí÷àòåëüíîãî ïðîäóêòà, à òàêæå ñîçäàòü êîìôîðò â ïðîèçâîäñòâåííûõ, îáùåñòâåííûõ è æèëûõ ïîìåùåíèÿõ. Ïðåîáðàçîâàíèå ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè â ìåõàíè÷åñêóþ îñóùåñòâëÿåòñÿ ýëåêòðîäâèãàòåëÿìè, êîòîðûå èñïîëüçóþò äëÿ ïðèâîäà ñòàíêîâ è âðàùàþùèõñÿ ìàøèí â ðàçëè÷íûõ îòðàñëÿõ ïðîìûøëåííîñòè, ñåëüñêîãî õîçÿéñòâà, â ïîäúåìíî-òðàíñïîðòíûõ óñòðîéñòâàõ è ò. ä. Áëàãîäàðÿ ïðåèìóùåñòâàì ýëåêòðîäâèãàòåëåé ïåðåä äðóãèìè òèïàìè äâèãàòåëåé èõ ìîùíîñòü â ïðîìûøëåííîñòè ïî îòíîøåíèþ ê îáùåé ìîùíîñòè óñòàíîâëåííûõ äâèãàòåëåé â íàñòîÿùåå âðåìÿ ñîñòàâëÿåò ïî÷òè 100% (â 1890 ã. — 5%, â 1927 ã. — 75%). Ýëåêòðè÷åñêóþ ýíåðãèþ òàêæå øèðîêî èñïîëüçóþò â òåõíîëîãè÷åñêèõ óñòàíîâêàõ äëÿ íàãðåâà èçäåëèé, ïëàâëåíèÿ ìåòàëëîâ, ñâàðêè, ýëåêòðîëèçà, äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïëàçìû, íîâûõ ìàòåðèàëîâ ñ ïîìîùüþ ýëåêòðîõèìèè, äëÿ î÷èñòêè ìàòåðèàëîâ è ãàçîâ è ò. ä. Ðàáîòà ñîâðåìåííûõ ñðåäñòâ ñâÿçè (òåëåãðàôà, òåëåôîíà, ðàäèî, òåëåâèäåíèÿ) îñíîâàíà íà ïðèìåíåíèè ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè. Áåç íåå íåâîçìîæíî áûëî áû ðàçâèòèå êèáåðíåòèêè, âû÷èñëèòåëüíîé è êîñìè÷åñêîé òåõíèêè è ò. ä. Ýëåêòðè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÿâëÿåòñÿ ñåé÷àñ ïðàêòè÷åñêè åäèíñòâåííûì âèäîì ýíåðãèè äëÿ èñêóññòâåííîãî îñâåùåíèÿ. Ïðîäîëæàåòñÿ ðàñøèðåíèå îáëàñòè èñïîëüçîâàíèÿ ýëåêòðîýíåðãèè, è âìåñòå ñ ýòèì ïîâûøàåòñÿ ýëåêòðîâîîðóæåííîñòü òðóäà, çàâèñèìîñòü ïðîèçâîäñòâà îò êâàëèôèêàöèè ðàáîòíèêîâ, îò ñòåïåíè íàäåæíîñòè ýëåêòðîñíàáæåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, îáåñïå÷åíèå ýëåêòðîòåõíè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ âñåõ ñïåöèàëèñòîâ òåõíè÷åñêèõ è ýêîíîìè÷åñêèõ íàïðàâëåíèé ÿâëÿåòñÿ âàæíåéøåé çàäà÷åé âûñøåé øêîëû. 7

Â.2. ÝËÅÊÒÐÈÔÈÊÀÖÈß ÑÒÐÀÍÛ Â Ðîññèè ïåðâûå îïûòû ïåðåäà÷è ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè íà ðàññòîÿíèå áûëè ïðîèçâåäåíû â 1874 ã. Ìîùíîñòü ïåðåäà÷è ñîñòàâëÿëà âñåãî 6 ë. ñ., à äàëüíîñòü ïåðåäà÷蠗 ñíà÷àëà 200 ì, à çàòåì 1 êì. Òîëüêî ðàçðàáîòêà òðàíñôîðìàòîðà, ïîçâîëèâøåãî ïîâûñèòü íàïðÿæåíèå ïåðåäà÷è, è ðàçðàáîòêà ýëåìåíòîâ òðåõôàçíîé ñèñòåìû ðóññêèì ýëåêòðîòåõíèêîì Ì. Î. Äîëèâî-Äîáðîâîëüñêèì â êîíöå XIX âåêà ïîçâîëèëè ïîâûñèòü ìîùíîñòü è äàëüíîñòü ïåðåäà÷è. È âñå æå äî 1913 ã. áûëè òîëüêî çà÷àòêè ýëåêòðèôèêàöèè ñòðàíû. Ïî ïðåäëîæåíèþ Â. È. Ëåíèíà â 1920 ã. áûë ðàçðàáîòàí Ãîñóäàðñòâåííûé ïëàí ýëåêòðèôèêàöèè Ðîññèè (ÃÎÝËÐÎ).  ðàçðàáîòêå ïëàíà ïîä ðóêîâîäñòâîì êðóïíîãî ýíåðãåòèêà Ã. Ì. Êðæèæàíîâñêîãî ïðèíèìàëè ó÷àñòèå ïåðåäîâûå ó÷åíûå è èíæåíåðû Ðîññèè: Ê. À. Êðóã, Ð. Ý. Êëàññîí, Ì. À. Øàòåëåí, Ò. Ô. Ìàêàðüåâ è äð. Òûñÿ÷è ëþäåé áûëè óâëå÷åíû ýòèì ïëàíîì õîçÿéñòâåííîãî ïåðåóñòðîéñòâà. Ïðàêòè÷åñêè ïëàí ÃÎÝËÐÎ áûë ïåðâûì ïëàíîì ðàçâèòèÿ íàðîäíîãî õîçÿéñòâà ñòðàíû. Ïðåäïîëàãàëîñü çà 10–15 ëåò ïîñòðîèòü 30 ýëåêòðîñòàíöèé îáùåé ìîùíîñòüþ 1750 ÌÂò. Ýòî Êàøèðñêàÿ ÃÝÑ (1922 ã.), ÃÝÑ «Êðàñíûé Îêòÿáðü» ïîä Ëåíèíãðàäîì (1922 ã.), Øàòóðñêàÿ ÃÝÑ (1925 ã.), Âîëõîâñêàÿ ÃÝÑ (1925 ã.), êàñêàä Ñâèðñêèõ ÃÝÑ è äð. Ïëàíîì ÃÎÝËÐÎ ïðåäóñìàòðèâàëîñü òàêæå ñòðîèòåëüñòâî ëèíèé ýëåêòðîïåðåäà÷ âûñîêîãî íàïðÿæåíèÿ, ýëåêòðèôèêàöèÿ æåëåçíûõ äîðîã, ðàçâèòèå ýëåêòðèôèöèðîâàííûõ ïðîìûøëåííûõ êîìïëåêñîâ.  1931 ã. ïëàí ÃÎÝËÐÎ áûë âûïîëíåí ïî âñåì îñíîâíûì ïîêàçàòåëÿì.  ïëàíàõ äàëüíåéøåãî ðàçâèòèÿ íàðîäíîãî õîçÿéñòâà ïðåäóñìàòðèâàëèñü îïåðåæàþùèå òåìïû ðàçâèòèÿ ýëåêòðîýíåðãåòèêè. Âûðàáîòêà ýëåêòðîýíåðãèè óâåëè÷èâàëàñü ñ êàæäûì ãîäîì (òàáë. Â.1). Ê êîíöó 1980 ã. ìîùíîñòü âñåõ ýëåêòðîñòàíöèé ñòðàíû ñîñòàâëÿëà 350 ìëí êÂò. Ìîùíîñòü îòäåëüíûõ òåïëîâûõ ýëåêòðîñòàíöèé äîñòèãëà 3,0 ìëí êÂò, àòîìíûõ — 4,0 ìëí êÂò, ãèäðàâëè÷åñêèõ — 6,4 ìëí êÂò. Ìîùíîñòü îòäåëüíûõ ýíåðãîáëîêîâ ñîñòàâèëà 1200 ÌÂò (òóðáîãåíåðàòîð Êîñòðîìñêîé ÃÐÝÑ) è 640 ÌÂò (ãèäðîãåíåðàòîð 8

Ñàÿíî-Øóøåíñêîé ÃÝÑ). Äîëÿ àòîìíûõ ýëåêòðîñòàíöèé â âûðàáîòêå ýëåêòðîýíåðãèè äîñòèãëà ïðèìåðíî 13 ïðîöåíòîâ. Ïîñòåïåííî ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå ñòðóêòóðû ýíåðãåòè÷åñêèõ ðåñóðñîâ, èñïîëüçóåìûõ äëÿ ïðîèçâîäñòâà ýëåêòðîýíåðãèè. Êðîìå ýíåðãèè îðãàíè÷åñêîãî òîïëèâà, âîäû è àòîìà äëÿ ïðîèçâîäñòâà ýëåêòðîýíåðãèè ñåé÷àñ èñïîëüçóþò ýíåðãèþ òåðìàëüíûõ âîä, âåòðà, ïðèëèâîâ è îòëèâîâ îêåàíà è ñîëíå÷íóþ ýíåðãèþ. Îäíàêî ýòè èñòî÷íèêè åùå íå èãðàþò ñóùåñòâåííîé ðîëè â ðàçâèòèè áîëüøîé ýíåðãåòèêè. Ïåðñïåêòèâíûì âèäîì ýíåðãèè ÿâëÿåòñÿ òåðìîÿäåðíàÿ ýíåðãèÿ, ïîëó÷àåìàÿ ïðè ñèíòåçå ëåãêèõ ýëåìåíòîâ. Åå èñïîëüçîâàíèå ðåøèò ïðîáëåìó îáåñïå÷åíèÿ ÷åëîâå÷åñòâà ýíåðãèåé íà èñòîðè÷åñêè îáîçðèìîå âðåìÿ. Êàê èçâåñòíî, ýëåêòðîñòàíöèè îáúåäèíÿþò â ýíåðãîñèñòåìû äëÿ ñîâìåñòíîé ðàáîòû. Âñå ýëåêòðîñòàíöèè 1234567849  8736

3999

1 2 3 4 5 6 2 7 89 7

69

1234567849 398179

69

1234567849 398179

69

1234567849 398179

12134

564

12784

214

12974

18324

126 4

784

12774

1984

12 84

162 4

12364

1374

12 84

6264

12 74

17 74

12 84

 4

12 74

7894

12

4

19874

12 74

334

12984

9 84

12284

1 84

1

1 2 3 4 5 6 2 7 89 7

1234567849  8736

3996869  349

1

69

1234567849 3981719

69

1234567849 3981719

69

1234567849 3981719

12345

3465

12265

3785

944 5

2175

12365

2795

12275

385

94485

2 95

12335

14775

1225

3 85

94465

26 5

12245

14315

12235

395

94475

2 15

12215

14735

12225

3825

9445

14435

12295

14435

94445

335

94435

14

5

122 5

2675

94415

3215

94425

25

12285

35

94495

3215

5

5

9

Ñîâåòñêîãî Ñîþçà áûëè îáúåäèíåíû â 95 ýíåðãîñèñòåì, êîòîðûå âõîäèëè â 11 îáúåäèíåííûõ ýíåðãîñèñòåì (ÎÝÑ). ÎÝÑ Ñðåäíåé Àçèè è Âîñòîêà ðàáîòàëè èçîëèðîâàííî, à îñòàëüíûå ÎÝÑ, â êîòîðûõ ïàðàëëåëüíî ðàáîòàëè 79 ýíåðãîñèñòåì, âõîäèëè â ñîñòàâ Åäèíîé ýíåðãîñèñòåìû (ÅÝÑ) ÑÑÑÐ. Ðàñïàä ÑÑÑÐ â 1991 ã. íå ïîçâîëèë ïðîäîëæèòü ðàáîòó ïî âêëþ÷åíèþ â ÅÝÑ îáúåäèíåííûõ ýíåðãîñèñòåì Ñðåäíåé Àçèè è Âîñòîêà. Áûëè ïðåêðàùåíû ðàáîòû ïî ñòðîèòåëüñòâó ìîùíûõ ëèíèé ýëåêòðîïåðåäà÷ âûñîêîãî íàïðÿæåíèÿ (1150 ê ïåðåìåííîãî òîêà è 1500 ê ïîñòîÿííîãî òîêà) èç ðàéîíà Êàíñêî-À÷èíñêîãî òîïëèâíîýíåðãåòè÷åñêîãî êîìïëåêñà â åâðîïåéñêóþ ÷àñòü ñòðàíû.  òàáë. Â.2 ïðèâåäåíû äàííûå ïî âûðàáîòêå ýëåêòðîýíåðãèè ýëåêòðîñòàíöèÿìè Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè.  2009 ã. âûðàáîòêà ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè íà ÒÝÑ ñîñòàâèëà 66%, íà ÃÝÑ — 18,3% è íà ÀÝÑ — 15,7%.

ÃËÀÂÀ 1

ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÖÅÏÈ ÏÎÑÒÎßÍÍÎÃÎ ÒÎÊÀ

1.1. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß ÎÁ ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÖÅÏßÕ Ýëåêòðè÷åñêîé öåïüþ íàçûâàþò ñîâîêóïíîñòü óñòðîéñòâ è îáúåêòîâ, îáðàçóþùèõ ïóòü äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà, ýëåêòðîìàãíèòíûå ïðîöåññû â êîòîðûõ ìîãóò áûòü îïèñàíû ñ ïîìîùüþ ïîíÿòèé îá ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëå, òîêå è íàïðÿæåíèè.  ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ïîñòîÿííîãî òîêà ìîãóò äåéñòâîâàòü êàê ïîñòîÿííûå òîêè, çíà÷åíèå è íàïðàâëåíèå êîòîðûõ â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè (ðèñ. 1.1à), òàê è òîêè, íàïðàâëåíèå êîòîðûõ îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì, à çíà÷åíèå èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè ïðîèçâîëüíî (ðèñ. 1.1á) èëè ïî êàêîìó-ëèáî çàêîíó (ðèñ. 1.1â) (òàêèå òîêè, ñòðîãî ãîâîðÿ, íåëüçÿ íàçâàòü ïîñòîÿííûìè). Ïîä öåïÿìè ïîñòîÿííîãî òîêà â ñîâðåìåííîé òåõíèêå ïîäðàçóìåâàþò öåïè, â êîòîðûõ òîê íå ìåíÿåò ñâîåãî íàïðàâëåíèÿ, ò. å. ïîëÿðíîñòü èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ â íèõ ïîñòîÿííà. Ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü ñîñòîèò èç îòäåëüíûõ óñòðîéñòâ èëè ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïî íàçíà÷åíèþ ìîæíî ïîäðàçäåëèòü íà òðè ãðóïïû. Ïåðâàÿ ãðóïïࠗ ýëåìåíòû, ïðåäíàçíà÷åííûå äëÿ ãåíåðèðîâàíèÿ (âûðàáîòêè) ýëåêòðîýíåðãèè (èñòî÷íèêè ïèòàíèÿ èëè èñòî÷íèêè ÝÄÑ). Âòîðàÿ ãðóïïࠗ ýëåìåíòû, ïðåîáðàçóþùèå ýëåêòðîýíåðãèþ â äðóãèå âèäû ýíåðãèè (ìåõàíè÷åñêóþ, òåïëîâóþ, ñâåòîâóþ, õèìè÷åñêóþ è ò. ä.); ýòè ýëåìåíòû íàçûâàþò ïðèåìíèêàìè ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè èëè ýëåêòðîïðèåìíèêàìè. Òðåòüÿ ãðóïïࠗ ýòî ýëåìåíòû, ïðåäíàçíà÷åííûå äëÿ ïåðåäà÷è ýëåêòðîýíåðãèè îò èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ ê ýëåêòðîïðèåìíèêó (ïðîâîäà, óñòðîéñòâà, îáåñïå÷èâàþùèå óðîâåíü è êà÷åñòâî íàïðÿæåíèÿ, è äð.). 11

Èñòî÷íèêè ïèòàíèÿ (ðèñ. 1.2) öåïè ïîñòîÿííîãî òîêࠗ ýòî ãàëüâàíè÷åñêèå ýëåìåíòû, ýëåêòðè÷åñêèå àêêóìóëÿòîðû, ýëåêòðîìåõàíè÷åñêèå ãåíåðàòîðû, òåðìîýëåêòðè÷åñêèå ãåíåðàòîðû, ôîòîýëåìåíòû è äð. Âñå èñòî÷íèêè ïèòàíèÿ èìåþò âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå Râò, çíà÷åíèå êîòîðîãî íåâåëèêî ïî ñðàâíåíèþ ñ ñîïðîòèâëåíèåì äðóãèõ ýëåìåíòîâ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Ýëåêòðîïðèåìíèêàìè ïîñòîÿííîãî òîêà ÿâëÿþòñÿ ýëåêòðîäâèãàòåëè, ïðåîáðàçóþùèå ýëåêòðè÷åñêóþ ýíåðãèþ â ìåõàíè÷åñêóþ, íàãðåâàòåëüíûå è îñâåòèòåëüíûå ïðèáîðû, ýëåêòðîëèçíûå óñòàíîâêè è äð. Óñëîâíûå îáîçíà÷åíèÿ íåêîòîðûõ èç íèõ ïðèâåäåíû íà ðèñ. 1.3. Âñå ýëåêòðîïðèåìíèêè õàðàêòåðèçóþòñÿ ýëåêòðè÷åñêèìè ïàðàìåòðàìè, ñðåäè êîòîðûõ îñíîâíû堗 íàïðÿæåíèå è ìîùíîñòü. Äëÿ íîðìàëüíîé ðàáîòû ýëåêòðîïðèåìíèêà íà åãî çàæèìàõ íåîáõîäèìî ïîääåðæèâàòü íîìèíàëüíîå íàïðÿæåíèå Uíîì (äëÿ ïðèåìíèêîâ ïîñòîÿííîãî òîêà ïî ÃÎÑÒ 721 Uíîì = 27, 110, 220, 440 Â, à òàêæå 6, 12, 24, 36 Â). Ýëåìåíòû ýëåêòðè÷åñêîé öåïè äåëÿò íà àêòèâíûå è ïàññèâíûå. Ê àêòèâíûì ýëåìåíòàì îòíîñÿò òå, â êîòîðûõ èíäóöèðóåòñÿ ÝÄÑ (èñòî÷íèêè ÝÄÑ, ýëåêòðîäâèãàòåëè, àêêóìóëÿòîðû â ïðîöåññå çàðÿäêè è ò. ï.). Âñå ïðî÷èå ýëåêòðîïðèåìíèêè è ñîåäèíèòåëüíûå ïðîâîäà îòíîñÿò ê ïàññèâíûì ýëåìåíòàì. Ýëåìåíòû ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, îáëàäàþùèå ýëåêòðè÷åñêèì ñîïðîòèâëåíèåì R è íàçûâàåìûå ðåçèñòîðàìè, õàðàêòåðèçóþòñÿ òàê íàçûâàåìîé âîëüò-àìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêî頗 çàâèñèìîñòüþ íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõ ýëåìåíòà îò òîêà â íåì èëè çàâèñèìîñòüþ òîêà â ýëåìåíòå îò íàïðÿæåíèÿ íà åãî çàæèìàõ (ðèñ. 1.4). Ñîïðîòèâëåíèå R, à òàêæå ïðîâîäèìîñòü G (âåëè÷èíà, îáðàòíàÿ ñîïðîòèâëåíèþ R) ýëåìåíòࠗ ýòî ïàðàìåòðû ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Åñëè ñîïðîòèâëåíèå R ýëåìåíòà íå çàâèñèò îò òîêà â íåì, òî òàêîé ýëåìåíò íàçûâàþò ëèíåéíûì ýëåìåíòîì, à åãî âîëüò-àìïåðíàÿ õàðàêòåðèñòèêà U = RI èëè I = U/R ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿìóþ ëèíèþ.

Ðèñ. 1.1

Ïðèìåðû ãðàôèêîâ ïîñòîÿííîãî òîêà

12

Ðèñ. 1.2

Óñëîâíûå îáîçíà÷åíèÿ èñòî÷íèêîâ ïèòàíèÿ ïîñòîÿííîãî òîêà ࠗ ãàëüâàíè÷åñêèé è àêêóìóëÿòîðíûé ýëåìåíòû; ᠗ ýëåêòðîìåõàíè÷åñêèé ãåíåðàòîð, ⠗ òåðìîýëåêòðè÷åñêèé ãåíåðàòîð (òåðìîïàðà); 㠗 ôîòîýëåìåíò; 䠗 îáùåå îáîçíà÷åíèå èñòî÷íèêà ÝÄÑ ïîñòîÿííîãî òîêà. Ðèñ. 1.3

Óñëîâíûå îáîçíà÷åíèÿ ýëåêòðîïðèåìíèêîâ ïîñòîÿííîãî òîêà ࠗ ýëåêòðîäâèãàòåëü; ᠗ ðåçèñòîð; ⠗ íàãðåâàòåëüíûé ýëåìåíò; 㠗 ýëåêòðè÷åñêàÿ ïå÷ü íàãðåâà; 䠗 ëàìïà íàêàëèâàíèÿ.

Ðèñ. 1.4

Âîëüò-àìïåðíûå õàðàêòåðèñòèêè ýëåìåíòîâ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ࠗ ëèíåéíûé ýëåìåíò; ᠗ íåëèíåéíûé ýëåìåíò.

 îáùåì ñëó÷àå ñîïðîòèâëåíèå R ýëåìåíòà çàâèñèò êàê îò òîêà â íåì, òàê è îò íàïðÿæåíèÿ. Îäíà èç ïðè÷èí ýòîãî ñîñòîèò â èçìåíåíèè ñîïðîòèâëåíèÿ ïðîâîäíèêà âñëåäñòâèå åãî íàãðåâà òîêîì. Ïðè ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäíèêà 1 3 11 12 4 5 1 6 7 61 2 2 3

(1.1)

ãäå R0 — ñîïðîòèâëåíèå ïðè òåìïåðàòóðå îêðóæàþùåé ñðåäû t0 (îáû÷íî t0 = 20°Ñ); a — òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò; t — òåìïåðàòóðà ïðîâîäíèêà. Íî òàê êàê âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ýòà çàâèñèìîñòü íåçíà÷èòåëüíà, ýëåìåíò ñ÷èòàþò ëèíåéíûì (R = const). Ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü, ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå ó÷àñòêîâ êîòîðîé íå çàâèñèò îò çíà÷åíèé è íàïðàâëåíèé òîêîâ è íàïðÿæåíèé â öåïè, íàçûâàþò ëèíåéíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïüþ. Òàêàÿ öåïü ñîñòîèò òîëüêî èç ëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ, à åå ñîñòîÿíèå ìîæåò áûòü îïèñàíî ëèíåéíûìè àëãåáðàè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè. Åñëè ñîïðîòèâëåíèå ýëåìåíòà öåïè ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò òîêà èëè íàïðÿæåíèÿ, òî âîëüò-àìïåðíàÿ 13

õàðàêòåðèñòèêà íîñèò íåëèíåéíûé õàðàêòåð (ðèñ. 1.4á), à òàêîé ýëåìåíò íàçûâàþò íåëèíåéíûì ýëåìåíòîì. Ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü, ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå õîòÿ áû îäíîãî èç ó÷àñòêîâ êîòîðîé çàâèñèò îò çíà÷åíèé èëè îò íàïðàâëåíèé òîêîâ è íàïðÿæåíèé â ýòîì ó÷àñòêå öåïè, íàçûâàþò íåëèíåéíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïüþ. Òàêàÿ öåïü ñîäåðæèò õîòÿ áû îäèí íåëèíåéíûé ýëåìåíò. Äëÿ ðàñ÷åòà è àíàëèçà ðàáîòû ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ñîñòîÿùåé èç ëþáîãî êîëè÷åñòâà ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ, óäîáíî ýòó öåïü ïðåäñòàâèòü ãðàôè÷åñêè. Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ñîäåðæàùåå óñëîâíûå îáîçíà÷åíèÿ åå ýëåìåíòîâ è ïîêàçûâàþùåå ñîåäèíåíèÿ ýòèõ ýëåìåíòîâ, íàçûâàþò ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìîé öåïè. Ïðîñòåéøàÿ ñõåìà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ñîñòîÿùàÿ èç èñòî÷íèêà ÝÄÑ E è ðåçèñòîðà ñ ñîïðîòèâëåíèåì R, èçîáðàæåíà íà ðèñ. 1.5. Ó÷àñòîê ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, âî âñåõ ýëåìåíòàõ êîòîðîãî ñóùåñòâóåò îäèí è òîò æå òîê, íàçûâàþò âåòâüþ. Ìåñòî ñîåäèíåíèÿ âåòâåé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè íàçûâàþò óçëîì. Íà ýëåêòðè÷åñêèõ ñõåìàõ óçåë îáîçíà÷àþò òî÷êîé (ðèñ. 1.6). Èíîãäà íåñêîëüêî ãåîìåòðè÷åñêèõ òî÷åê, ñîåäèíåííûõ ïðîâîäíèêàìè, ñîïðîòèâëåíèå êîòîðûõ ïðèíèìàþò ðàâíûìè íóëþ, îáðàçóþò îäèí óçåë (ðèñ. 1.6, óçåë a). Òàêèì îáðàçîì, êàæäàÿ âåòâü ñîåäèíÿåò äâà ñîñåäíèõ óçëà ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû. ×èñëî âåòâåé ñõåìû ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü áóêâîé p, à ÷èñëî óçëî⠗ q. Ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü, èçîáðàæåííàÿ íà ñõåìå ðèñ. 1.6, èìåÐèñ. 1.5 Ïðîñòåéøàÿ ñõåìà åò ÷èñëî âåòâåé p = 5 è ÷èñëî ýëåêòðè÷åñêîé öåïè óçëîâ q = 3 (a, b, c). Ëþáîé çàìêíóòûé ïóòü, ïðîõîäÿùèé ïî íåñêîëüêèì âåòâÿì, íàçûâàþò êîíòóðîì ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Ïðîñòåéøàÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü èìååò îäíîêîíòóðíóþ ñõåìó (ðèñ. 1.5), ñëîæíûå ýëåêòðèÐèñ. 1.6 ÷åñêèå öåï蠗 íåñêîëüêî êîíÑõåìà ìíîãîêîíòóðíîé ýëåêòóðîâ (ðèñ. 1.6). òðè÷åñêîé öåïè (p = 5, q = 3) 14

1.2. ÓÑËÎÂÍÛÅ ÏÎËÎÆÈÒÅËÜÍÛÅ ÍÀÏÐÀÂËÅÍÈß ÝÄÑ, ÒÎÊÀ  ÝËÅÌÅÍÒÀÕ ÖÅÏÈ È ÍÀÏÐßÆÅÍÈß ÍÀ ÇÀÆÈÌÀÕ ÝËÅÌÅÍÒΠÖÅÏÈ ×òîáû ïðàâèëüíî çàïèñàòü óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ïðîöåññû â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ, è ïðîèçâåñòè àíàëèç ýòèõ ïðîöåññîâ, íåîáõîäèìî çàäàòü óñëîâíûå ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ ÝÄÑ èñòî÷íèêîâ ïèòàíèÿ, òîêîâ â ýëåìåíòàõ èëè âåòâÿõ öåïè è íàïðÿæåíèé íà çàæèìàõ ýëåìåíòîâ öåïè èëè ìåæäó óçëàìè öåïè. Âíóòðè èñòî÷íèêà ÝÄÑ ïîñòîÿííîãî òîêà ïîëîæèòåëüíûì ÿâëÿåòñÿ íàïðàâëåíèå ÝÄÑ îò îòðèöàòåëüíîãî ïîëþñà ê ïîëîæèòåëüíîìó, ò. å. îò ïîëþñà ñ íèçøèì ïîòåíöèàëîì ê ïîëþñó ñ âûñøèì ïîòåíöèàëîì (ñì. ðèñ. 1.5). Ýòî ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåíèþ ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëû êàê âåëè÷èíû, õàðàêòåðèçóþùåé ñïîñîáíîñòü ñòîðîííåãî ïîëÿ è èíäóöèðîâàííîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âûçûâàòü ýëåêòðè÷åñêèé òîê. Ïî îòíîøåíèþ ê èñòî÷íèêó ÝÄÑ âñå ýëåìåíòû, âõîäÿùèå â ñîñòàâ öåïè, ñîñòàâëÿþò âíåøíèé ó÷àñòîê öåïè. Çà ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå òîêà â öåïè ïðèíèìàþò íàïðàâëåíèå, ñîâïàäàþùåå ñ íàïðàâëåíèåì ÝÄÑ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî âî âíåøíåé öåïè ïîëîæèòåëüíûì ÿâëÿåòñÿ íàïðàâëåíèå îò ïîëîæèòåëüíîãî ïîëþñà èñòî÷íèêà ÝÄÑ ê îòðèöàòåëüíîìó, ò. å. íàïðàâëåíèå, ñîâïàäàþùåå ñ íàïðàâëåíèåì äâèæåíèÿ ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûõ ÷àñòèö. Óñëîâíûì ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ, èëè ïðîñòî íàïðÿæåíèÿ, íà ýëåìåíòå öåïè èëè ìåæäó äâóìÿ óçëàìè öåïè ïðèíèìàþò íàïðàâëåíèå, ñîâïàäàþùåå ñ óñëîâíûì ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì òîêà â ýòîì ýëåìåíòå èëè â ýòîé âåòâè. Äåéñòâèòåëüíî, ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ UR íà ðåçèñòîðå R (ñì. ðèñ. 1.5) îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì UR = RI. Òàê êàê R > 0, òî ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ UR è òîê I èìåþò îäèíàêîâûå çíàêè. Íàïðÿæåíèå UR, êàê ýòî âèäíî èç ðèñ. 1.5, ÿâëÿåòñÿ íàïðÿæåíèåì U íà çàæèìàõ èñòî÷íèêà ÝÄÑ. Òàêèì îáðàçîì, ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõ èñòî÷íèêà ÝÄÑ âñåãäà ïðîòèâîïîëîæíî ïîëîæèòåëüíîìó íàïðàâëåíèþ ÝÄÑ èñòî÷íèêà. Óñëîâíûå ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ (èëè ïðîñòî ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ) òîêà, ÝÄÑ è íàïðÿæåíèÿ ïîêàçûâàþò íà ýëåêòðè÷åñêèõ ñõåìàõ ñòðåëêàìè. 15

Äåéñòâèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ âåëè÷èí, îïðåäåëÿåìûå ðàñ÷åòîì, ìîãóò ñîâïàäàòü èëè íå ñîâïàäàòü ñ óñëîâíûìè. Åñëè ðàñ÷åòîì èëè êàêèì-ëèáî èíûì îáðàçîì îïðåäåëåíî, ÷òî òîê, ÝÄÑ è íàïðÿæåíèå ïîëîæèòåëüíû, òî èõ äåéñòâèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ ñîâïàäàþò ñ óñëîâíî ïðèíÿòûìè ïîëîæèòåëüíûìè íàïðàâëåíèÿìè, è íàîáîðîò. 1.3. ÇÀÊÎÍÛ ÊÈÐÕÃÎÔÀ Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó òîêàìè è ÝÄÑ â âåòâÿõ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè è íàïðÿæåíèÿìè íà ýëåìåíòàõ öåïè, ïîçâîëÿþùèå ïðîèçâåñòè ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, îïðåäåëÿþòñÿ äâóìÿ çàêîíàìè Êèðõãîôà. Ïåðâûé çàêîí Êèðõãîôà îòðàæàåò ïðèíöèï íåïðåðûâíîñòè äâèæåíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ, èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè êîëè÷åñòâî ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ, íàïðàâëåííûõ ê óçëó, ðàâíî êîëè÷åñòâó çàðÿäîâ, íàïðàâëåííûõ îò óçëà, ò. å., ÷òî ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä â óçëå íå íàêàïëèâàåòñÿ. Ïîýòîìó àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà òîêîâ â âåòâÿõ, ñõîäÿùèõñÿ â óçëå ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ðàâíà íóëþ: 1

2 32 1 23

(1.2)

2 11

ãäå n — ÷èñëî âåòâåé, ñõîäÿùèõñÿ â óçëå. Äî íàïèñàíèÿ óðàâíåíèÿ (1.2) íåîáõîäèìî çàäàòü óñëîâíûå ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ òîêîâ â âåòâÿõ, îáîçíà÷èâ ýòè íàïðàâëåíèÿ íà ñõåìå ñòðåëêàìè.  óðàâíåíèè (1.2) òîêè, íàïðàâëåííûå ê óçëó, çàïèñûâàþò ñ îäíèì çíàêîì (íàïðèìåð, ñ ïëþñîì), à òîêè, íàïðàâëåííûå îò óçëà, — ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì (ñ ìèíóñîì). Òàêèì îáðàçîì, äëÿ óçëà b ñõåìû (ðèñ. 1.6) óðàâíåíèå ïî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà áóäåò èìåòü âèä I1 – I3 – I5 = 0. Ïåðâûé çàêîí Êèðõãîôà ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàí èíà÷å: ñóììà òîêîâ, íàïðàâëåííûõ ê óçëó, ðàâíà ñóììå òîêîâ, íàïðàâëåííûõ îò óçëà. Òîãäà óðàâíåíèå äëÿ óçëà b (ðèñ. 1.6) áóäåò çàïèñàíî òàê: I1 = I3 + I5. 16

Âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà îòðàæàåò ôèçè÷åñêîå ïîëîæåíèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî èçìåíåíèå ïîòåíöèàëà âî âñåõ ýëåìåíòàõ êîíòóðà â ñóììå ðàâíî íóëþ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ïðè îáõîäå êîíòóðà abcda ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ïîêàçàííîé íà Ðèñ. 1.7 Ñõåìà îäíîãî êîíòóðà ìíîãîðèñ. 1.7, â ñèëó òîãî, ÷òî êîíòóðíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ïîòåíöèàë òî÷êè a îäèí è òîò æå, îáùåå èçìåíåíèå ïîòåíöèàëà â êîíòóðå ðàâíî íóëþ. Èç ýòîãî ñëåäóåò òàêàÿ ôîðìóëèðîâêà âòîðîãî çàêîíà Êèðõãîôà: â ëþáîì êîíòóðå ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ïîñòîÿííîãî òîêà àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà ÝÄÑ ðàâíà àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ïàäåíèé íàïðÿæåíèé íà âñåõ ýëåìåíòàõ ýòîãî êîíòóðà: 1 2 (1.3) 2 43 1 2 53 63 2 3 11

3 11

ãäå n — ÷èñëî ÝÄÑ â êîíòóðå; m — ÷èñëî ýëåìåíòîâ ñ ñîïðîòèâëåíèåì Rk â êîíòóðå. Ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé ïî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà ïðåäâàðèòåëüíî çàäàþò óñëîâíûå ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ òîêîâ âî âñåõ âåòâÿõ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè è äëÿ êàæäîãî êîíòóðà âûáèðàþò íàïðàâëåíèå îáõîäà. Åñëè ïðè ýòîì íàïðàâëåíèå ÝÄÑ ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì îáõîäà êîíòóðà, òî òàêóþ ÝÄÑ áåðóò ñî çíàêîì ïëþñ, åñëè íå ñîâïàäàåò — ñî çíàêîì ìèíóñ. Ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèé â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (1.3) áåðóò ñî çíàêîì ïëþñ, åñëè ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå òîêà â äàííîì ýëåìåíòå öåïè ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì îáõîäà êîíòóðà, åñëè íå ñîâïàäàåò — ñî çíàêîì ìèíóñ. Âíóòðåííèå ñîïðîòèâëåíèÿ Râò èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ íà ýëåêòðè÷åñêèõ ñõåìàõ ìîãóò áûòü èçîáðàæåíû ïî- ÑïîñîáûÐèñ. 1.8 îòîáðàæåíèÿ íà ýëåêòðè÷åñêèõ ðàçíîìó (ðèñ. 1.8). ñõåìàõ íàëè÷èÿ Äëÿ êîíòóðà abcda (ðèñ. 1.7), âíóòðåííåãî ñîïðîòèâñîïðîòèâëåíèÿ âåòâåé êîòîðîãî ëåíèÿ èñòî÷íèêà ÝÄÑ 17

âêëþ÷àþò â ñåáÿ è âíóòðåííèå ñîïðîòèâëåíèÿ èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ, óðàâíåíèå (1.3) ïðèíèìàåò âèä E1 – E2 + E3 = R1I1 – R2I2 + R3I3 – R4I4. Ðàññìîòðèì òåïåðü êîíòóð abca (ðèñ. 1.7), ñîñòîÿùèé èç âåòâåé ab, bc è ca. Âåòâü ca, çàìûêàþùàÿ êîíòóð, ïðîõîäèò â ïðîñòðàíñòâå, â êîòîðîì îòñóòñòâóþò èñòî÷íèêè ÝÄÑ. Ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ íà íåé ðàâíî íàïðÿæåíèþ Uca ìåæäó òî÷êàìè c è a (óñëîâíîå ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå íàïðÿæåíèÿ Uca ïðèíÿòî îò òî÷êè c ê òî÷êå a). Ïî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà äëÿ ýòîãî êîíòóðà ìîæíî íàïèñàòü óðàâíåíèå E1 – E2 = R1I1 – R2I2 + Uca, îòêóäà íàïðÿæåíèå ìåæäó òî÷êàìè c è a Uca = E1 – E2 – R1I1 + R2I2. Åñëè íàïðÿæåíèå Uca ïîëîæèòåëüíî, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîòåíöèàë òî÷êè c âûøå ïîòåíöèàëà òî÷êè a, è íàîáîðîò. Òàêèì îáðàçîì, èñïîëüçóÿ âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà, ìîæíî îïðåäåëÿòü ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ (íàïðÿæåíèå) ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ òî÷êàìè ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Äëÿ îäíîêîíòóðíîé ñõåìû (ñì. ðèñ. 1.5) â ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâíåíèåì (1.3) ìîæíî çàïèñàòü: E = RI = UR. Íî âìåñòî ÝÄÑ E ïðè îáõîäå êîíòóðà ïî íàïðàâëåíèþ òîêà ìîæíî âçÿòü íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ èñòî÷íèêà ÝÄÑ, êîòîðîå íàïðàâëåíî ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíèþ îáõîäà êîíòóðà, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì UR – U = 0 èëè U = UR. Ñëåäîâàòåëüíî, âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü â òàêîì âèäå: ñóììà íàïðÿæåíèé íà âñåõ ýëåìåíòàõ êîíòóðà, âêëþ÷àÿ èñòî÷íèêè ÝÄÑ, ðàâíà íóëþ:

2 21 1 12 1

Åñëè â âåòâè èìååòñÿ n ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ýëåìåíòîâ ñ ñîïðîòèâëåíèåì k-ãî ýëåìåíòà Rk, òî 31

1

2 32 2

2 11

ãäå Uk = RkIk, ò. å. ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ íà ó÷àñòêå öåïè èëè íàïðÿæåíèå ìåæäó çàæèìàìè âåòâè, ñîñòîÿùåé èç ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ýëåìåíòîâ, ðàâíî ñóììå ïàäåíèé íàïðÿæåíèé íà ýòèõ ýëåìåíòàõ. 18

1.4. ÐÅÆÈÌÛ ÐÀÁÎÒÛ ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÎÉ ÖÅÏÈ Ýëåìåíòàìè ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ÿâëÿþòñÿ êîíêðåòíûå ýëåêòðîòåõíè÷åñêèå óñòðîéñòâà, êîòîðûå ìîãóò ðàáîòàòü â ðàçëè÷íûõ ðåæèìàõ. Ðåæèìû ðàáîòû êàê îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ, òàê è âñåé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè õàðàêòåðèçóþòñÿ çíà÷åíèÿìè òîêà è íàïðÿæåíèÿ. Ïîñêîëüêó òîê è íàïðÿæåíèå â îáùåì ñëó÷àå ìîãóò ïðèíèìàòü ëþáûå çíà÷åíèÿ, òî ðåæèìîâ ìîæåò áûòü áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî. Ðàññìîòðèì íàèáîëåå õàðàêòåðíûå ðåæèìû ðàáîòû ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ñ èñòî÷íèêîì ÝÄÑ, ê êîòîðîìó ïîäêëþ÷åí ýëåêòðîïðèåìíèê ñ ðåãóëèðóåìûì ñîïðîòèâëåíèåì R (ðèñ. 1.9). Ïóñòü ÝÄÑ E èñòî÷íèêà è åãî âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå Râò îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè. Òîê â öåïè èçìåíÿåòñÿ ïðè èçìåíåíèè ñîïðîòèâëåíèÿ R ýëåêòðîïðèåìíèêà, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ýëåìåíòîì. Äëÿ ñõåìû (ðèñ. 1.9) ïî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà ìîæíî çàïèñàòü: E = RI + RâòI,

Ðèñ. 1.9

Ñõåìà ïðîñòåéøåé öåïè ïîñòîÿííîãî òîêà ñ ïåðåìåííûì ñîïðîòèâëåíèåì ýëåêòðîïðèåìíèêà

(1.4)

ãäå RI = U — íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ ïðèåìíèêà, ò. å. íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ âíåøíåé öåïè; R âòI — ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ âíóòðè èñòî÷íèêà ÝÄÑ. Òàê êàê ïðèåìíèê ïðèñîåäèíåí íåïîñðåäñòâåííî ê çàæèìàì èñòî÷íèêà ÝÄÑ, òî íàïðÿæåíèå U îäíîâðåìåííî ÿâëÿåòñÿ íàïðÿæåíèåì è íà åãî çàæèìàõ. Èç óðàâíåíèÿ (1.4) ñëåäóåò U = E – RâòI.

(1.5)

Ýòî óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå çàâèñèìîñòü íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõ èñòî÷íèêà ÝÄÑ îò òîêà â öåïè, ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì âíåøíåé õàðàêòåðèñòèêè èñòî÷íèêà ÝÄÑ (ðèñ. 1.10). Ïðè óñëîâèè, ÷òî E = const è Râò = const, çàâèñèìîñòü U(I) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé. Ðèñ. 1.10 Õàðàêòåðíûå ðåæèìû óäîáíåå Âíåøíÿÿ âñåãî ðàññìàòðèâàòü, ïîëüçóÿñü õàðàêòåðèñòèêà èñòî÷íèêà ÝÄÑ âíåøíåé õàðàêòåðèñòèêîé. Ðåæèì õîëîñòîãî õîäࠗ ýòî ðåæèì, ïðè êîòîðîì òîê â öåïè I = 0, ÷òî èìååò ìåñòî ïðè ðàçðûâå öåïè. Êàê ñëåäóåò èç 19

óðàâíåíèÿ (1.5), ïðè õîëîñòîì õîäå íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ èñòî÷íèêà ÝÄÑ U = E, ïîýòîìó âîëüòìåòð (ïðèáîð ñ î÷åíü áîëüøèì âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì), áóäó÷è âêëþ÷åí â òàêóþ öåïü, èçìåðÿåò ÝÄÑ èñòî÷íèêà. Íà âíåøíåé õàðàêòåðèñòèêå òî÷êà õîëîñòîãî õîäà îáîçíà÷åíà õ. Íîìèíàëüíûé ðåæèì èìååò ìåñòî òîãäà, êîãäà èñòî÷íèê ÝÄÑ èëè ëþáîé äðóãîé ýëåìåíò öåïè ðàáîòàåò ïðè çíà÷åíèÿõ òîêà, íàïðÿæåíèÿ è ìîùíîñòè, óêàçàííûõ â ïàñïîðòå äàííîãî ýëåêòðîòåõíè÷åñêîãî óñòðîéñòâà. Íîìèíàëüíûå çíà÷åíèÿ òîêà Iíîì, íàïðÿæåíèÿ Uíîì è ìîùíîñòè Píîì ñîîòâåòñòâóþò íàèáîëåå âûãîäíûì óñëîâèÿì ðàáîòû óñòðîéñòâà ñ òî÷êè çðåíèÿ ýêîíîìè÷íîñòè, íàäåæíîñòè, äîëãîâå÷íîñòè è ò. ï. Íà âíåøíåé õàðàêòåðèñòèêå òî÷êà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ íîìèíàëüíîìó ðåæèìó, îáîçíà÷åíà í. Ðåæèì êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ — ýòî ðåæèì, êîãäà ñîïðîòèâëåíèå ïðèåìíèêà ðàâíî íóëþ, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ñîåäèíåíèþ çàæèìîâ èñòî÷íèêà ÝÄÑ ìåæäó ñîáîé. Èç óðàâíåíèÿ (1.4) ñëåäóåò, ÷òî òîê â öåïè â ëþáîì èç ðåæèìîâ 1 21 3 (1.6) 3 2 312 Ïðè êîðîòêîì çàìûêàíèè öåïè, êîãäà R = 0, òîê äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ Iê = E/Râò, îãðàíè÷åííîãî âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì Râò èñòî÷íèêà ÝÄÑ, à íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ èñòî÷íèêà ÝÄÑ U = RI = 0. Çíà÷åíèþ òîêà Iê è íàïðÿæåíèþ U = 0 ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà ê íà âíåøíåé õàðàêòåðèñòèêå èñòî÷íèêà ÝÄÑ. Òîê êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ ìîæåò äîñòèãàòü áîëüøèõ çíà÷åíèé, âî ìíîãî ðàç ïðåâûøàþùèõ íîìèíàëüíûé òîê. Ïîýòîìó ðåæèì êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ äëÿ áîëüøèíñòâà ýëåêòðîóñòàíîâîê ÿâëÿåòñÿ àâàðèéíûì ðåæèìîì. Ñîãëàñîâàííûé ðåæèì èñòî÷íèêà ÝÄÑ è âíåøíåé öåïè èìååò ìåñòî, êîãäà ñîïðîòèâëåíèå âíåøíåé öåïè R = Râò.  ñîãëàñîâàííîì ðåæèìå òîê â öåïè 1 21 1 1 56722 6 (1.7) 8334 ò. å. â äâà ðàçà ìåíüøå òîêà êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ. ÝÄÑ E èñòî÷íèêà óðàâíîâåøèâàåòñÿ äâóìÿ ðàâíûìè ïî çíà÷åíèþ ïàäåíèÿìè íàïðÿæåíèÿ, îáóñëîâëåííûìè ñîïðîòèâëåíèåì âíåøíåé öåïè è âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì, ò. å. U = 0,5E. Òî÷êà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñîãëàñîâàííîìó ðåæèìó, íà âíåøíåé õàðàêòåðèñòèêå îáîçíà÷åíà ñ. 20

1.5. ÝÍÅÐÃÅÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÎÎÒÍÎØÅÍÈß Â ÖÅÏßÕ ÏÎÑÒÎßÍÍÎÃÎ ÒÎÊÀ Äëÿ ñõåìû (ñì. ðèñ. 1.9) óðàâíåíèå (1.4) èìååò âèä E = U + RâòI. Ïîñëå óìíîæåíèÿ âñåõ ÷ëåíîâ ýòîãî óðàâíåíèÿ íà òîê I ïîëó÷èì EI = UI + RâòI2, èëè P1 = P2 + Pï, (1.8) ãäå P1 = EI — ìîùíîñòü èñòî÷íèêà ÝÄÑ (èñòî÷íèêà ýëåêòðîýíåðãèè); P2 = UI — ìîùíîñòü ýíåðãèè, ïîòðåáëÿåìîé ýëåêòðîïðèåìíèêîì; Pï = RâòI2 — ìîùíîñòü ïîòåðü ýíåðãèè â èñòî÷íèêå ÝÄÑ. Óðàâíåíèå (1.8) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì áàëàíñà ìîùíîñòåé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Çàïèñàâ âûðàæåíèå äëÿ ìîùíîñòè P2 ýëåêòðîïðèåìíèêà ñ ó÷åòîì (1.6), ïîëó÷èì çàâèñèìîñòü ìîùíîñòè ïðèåìíèêà îò åãî ñîïðîòèâëåíèÿ R ïðè E = const è Râò = const:

31 3 45 3 25 1 3

11 2 1

1 2 4 223 2

4

(1.9)

Ìîùíîñòü P2 â ðåæèìå õîëîñòîãî õîäà, êîãäà I = 0, è â ðåæèìå êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ, êîãäà U = 0, ðàâíà íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî, çàâèñèìîñòü P2(I) ïðè èçìåíåíèè òîêà I îò 0 äî Iê èìååò ìàêñèìóì. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ óñëîâèé, ïðè êîòîðûõ ýòà ìîùíîñòü áóäåò íàèáîëüøåé (P2 = P2max), âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì (1.8): P2 = P1 – Pï = EI – RâòI2. Ïðèðàâíÿâ ê íóëþ ïðîèçâîäíóþ dP2/dI, ò. å. 121 1 3 2 1423 5 1 45 15 ñ ó÷åòîì (1.7) ïîëó÷èì 1 21 1 21 1 56722 8 9334 Òàêèì îáðàçîì, ìàêñèìàëüíàÿ ìîùíîñòü ïîòðåáëÿåìîé ýëåêòðîýíåðãèè èìååò ìåñòî ïðè ñîãëàñîâàííîì ðåæèìå, êîãäà R = Râò. Ñ ó÷åòîì ýòîãî ðàâåíñòâà èç ôîðìóëû (1.9) îïðåäåëèì çíà÷åíèå ìîùíîñòè P2max èëè ìîùíîñòè P2ñ ïðè ñîãëàñîâàííîì ðåæèìå: 11 223 11 31 456 3 317 3 3 8 1 11223 2 9223 21

Ìîùíîñòü P1ñ èñòî÷íèêà ýëåêòðîýíåðãèè â ñîãëàñîâàííîì ðåæèìå, åñëè ó÷åñòü (1.7),

223 1 133 1

11 6 1445

Íàèáîëüøóþ ìîùíîñòü èñòî÷íèê ýëåêòðîýíåðãèè ðàçâèâàåò ïðè êîðîòêîì çàìûêàíèè, êîãäà òîê äîñòèãàåò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå P1max = EIê = E2/Râò. Ìîùíîñòü èñòî÷íèêà â ñîãëàñîâàííîì ðåæèìå â äâà ðàçà ìåíüøå åãî ìàêñèìàëüíîé ìîùíîñòè. Êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ (ÊÏÄ) èñòî÷íèêà ýëåêòðîýíåðãèè â ñîãëàñîâàííîì ðåæèìå hñ = P2ñ/P1ñ = 0,5. Èç-çà òàêîãî íèçêîãî çíà÷åíèÿ ÊÏÄ, îáóñëîâëåííîãî áîëüøèìè ïîòåðÿìè ìîùíîñòè è ýíåðãèè â èñòî÷íèêå ïèòàíèÿ è ñåòÿõ, ñîãëàñîâàííûé ðåæèì â ïðîìûøëåííûõ óñòàíîâêàõ íå ïðèìåíÿþò. Îäíàêî ýòîò ðåæèì èìååò ïðåèìóùåñòâî ïåðåä äðóãèìè ðåæèìàìè, çàêëþ÷àþùååñÿ â òîì, ÷òî ïðè E = const ìîùíîñòü ïðèåìíèêà äîñòèãàåò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ. Ïîýòîìó ñîãëàñîâàííûé ðåæèì ïðèìåíÿþò â öåïÿõ ñ ìàëûìè òîêàìè (ñõåìû àâòîìàòèêè, ýëåêòðè÷åñêèõ èçìåðåíèé, ñâÿçè è ò. ä.), â êîòîðûõ ÊÏÄ íå èìååò ðåøàþùåãî çíà÷åíèÿ. Çàâèñèìîñòè P1, P2, Pï è h îò òîêà â öåïè ïîêàçàíû íà ðèñ. 1.11. Ïðè èõ ïîñòðîåíèè ïðèíèìàëîñü âî âíèìàíèå, ÷òî E = const è Râò = const. Çàâèñèìîñòü P1(I) = EI èìååò ëèíåéíûé õàðàêòåð. Ìîùíîñòü ïîòåðü ýíåðãèè â èñòî÷íèêå ïàðàáîëè÷åñêè çàâèñèò îò òîêà, ïðè÷åì ïðè òîêå êîÐèñ. 1.11 ðîòêîãî çàìûêàíèÿ îíà èìåÝíåðãåòè÷åñêèå çàâèñèìîñòè åò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå: â öåïÿõ ïîñòîÿííîãî òîêà 1

1 1 2 11 22 3 3 334 4 3 26789

5 3 334 6 334 7 Ìîùíîñòü ýëåêòðîïðèåìíèêà P2max èìååò íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ïðè ñîãëàñîâàííîì ðåæèìå, ò. å. ïðè I = 0,5Iê. Òàê êàê äëÿ ÊÏÄ ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî: 334 451

22

23

11 12 1 13 2 31 3 3 3 2 1 45 3 2 1 7 12 12 43 36

òî çàâèñèìîñòü h(I) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé. Ïðè íîìèíàëüíîì ðåæèìå ÊÏÄ ìíîãî âûøå, ÷åì ïðè ñîãëàñîâàííîì ðåæèìå. Äëÿ áîëüøèíñòâà ïðîìûøëåííûõ èñòî÷íèêîâ ýëåêòðîýíåðãèè ïðè íîìèíàëüíîì ðåæèìå h = 0,8…0,9. Ñëåäîâàòåëüíî, Iíîì = (0,1…0,2)Iê, ò. å. íîìèíàëüíûé òîê âî ìíîãî ðàç ìåíüøå òîêà êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ. 1.6. ÍÅÐÀÇÂÅÒÂËÅÍÍÛÅ È ÐÀÇÂÅÒÂËÅÍÍÛÅ ËÈÍÅÉÍÛÅ ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÖÅÏÈ Ñ ÎÄÍÈÌ ÈÑÒÎ×ÍÈÊÎÌ ÏÈÒÀÍÈß Åñëè áîëüøîå ÷èñëî ïàññèâíûõ ýëåìåíòîâ âìåñòå ñ èñòî÷íèêîì ÝÄÑ îáðàçóþò ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü, òî èõ âçàèìíîå ñîåäèíåíèå ìîæåò áûòü âûïîëíåíî ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè. Ñóùåñòâóþò ñëåäóþùèå õàðàêòåðíûå ñïîñîáû òàêèõ ñîåäèíåíèé. Ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå ýëåìåíòî⠗ ýòî ñàìîå ïðîñòîå ñîåäèíåíèå. Ïðè òàêîì ñîåäèíåíèè âî âñåõ ýëåìåíòàõ öåïè òîê èìååò îäíî è òî æå çíà÷åíèå. Òàêèì ñïîñîáîì ìîãóò áûòü ñîåäèíåíû èëè âñå ïàññèâíûå ýëåìåíòû öåïè, è òîãäà öåïü áóäåò îäíîêîíòóðíîé íåðàçâåòâëåííîé (ðèñ. 1.12à), èëè ìîæåò áûòü ñîåäèíåíà òîëüêî ÷àñòü ýëåìåíòîâ ìíîãîêîíòóðíîé öåïè. Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè n ýëåìåíòîâ íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ öåïè áóäåò ðàâíî ñóììå ïàäåíèé íàïðÿæåíèÿ íà n ïîñëåäîâàòåëüíî âêëþ÷åííûõ ýëåìåíòàõ, ò. å. U = U1 + U2 + U3 + ... + Un, èëè U = R1I + R2I + R3I + ... + RnI = = (R1 + R2 + R3 + ... + Rn)I = RýêI, (1.10) ãäå 312 1

1

2 32  — ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè.

2 13

Ðèñ. 1.12

Ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå ëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ ࠗ îáùàÿ ñõåìà; ᠗ ýêâèâàëåíòíàÿ ñõåìà.

23

Òàêèì îáðàçîì, ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ïàññèâíûõ ýëåìåíòîâ ðàâíî ñóììå ñîïðîòèâëåíèé ýòèõ ýëåìåíòîâ. Ñõåìà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè (ðèñ. 1.12à) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ýêâèâàëåíòíîé ñõåìîé (ðèñ. 1.12á), ñîñòîÿùåé èç îäíîãî ýëåìåíòà ñ ýêâèâàëåíòíûì ñîïðîòèâëåíèåì Rýê. Äëÿ òàêîé ñõåìû U = RýêI, ÷òî ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì (1.10). Ïðè ðàñ÷åòå öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì ýëåìåíòîâ ïðè çàäàííûõ íàïðÿæåíèè èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ è ñîïðîòèâëåíèÿõ ýëåìåíòîâ òîê â öåïè ðàññ÷èòûâàþò ïî çàêîíó Îìà: I = U/Rýê. Ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ íà k-ì ýëåìåíòå 31 1 21 4 1

21 3 212

çàâèñèò íå òîëüêî îò ñîïðîòèâëåíèÿ ýòîãî ýëåìåíòà Rk, íî è îò ýêâèâàëåíòíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ Rýê, ò. å. îò ñîïðîòèâëåíèÿ äðóãèõ ýëåìåíòîâ öåïè.  ýòîì çàêëþ÷àåòñÿ ñóùåñòâåííûé íåäîñòàòîê ïîñëåäîâàòåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ ýëåìåíòîâ.  ïðåäåëüíîì ñëó÷àå, êîãäà ñîïðîòèâëåíèå êàêîãî-ëèáî ýëåìåíòà öåïè ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì áåñêîíå÷íîñòè (ðàçðûâ öåïè), òîê âî âñåõ ýëåìåíòàõ öåïè ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì íóëþ. Òàê êàê ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè òîê âî âñåõ ýëåìåíòàõ öåïè îäèí è òîò æå, òî îòíîøåíèå ïàäåíèé íàïðÿæåíèÿ íà ýëåìåíòàõ ðàâíî îòíîøåíèþ ñîïðîòèâëåíèé ýòèõ ýëåìåíòîâ: 31 4 1 11 32 42 Ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå ýëåìåíòî⠗ ýòî òàêîå ñîåäèíåíèå, ïðè êîòîðîì êî âñåì ýëåìåíòàì öåïè ïðèëîæåíî îäíî è òî æå íàïðÿæåíèå. Ïî ñõåìå ïàðàëëåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ ìîãóò áûòü ñîåäèíåíû èëè âñå ïàññèâíûå ýëåìåíòû öåïè (ðèñ. 1.13à), èëè òîëüêî ÷àñòü èõ. Êàæäûé

Ðèñ. 1.13

Ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå ëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ ࠗ îáùàÿ ñõåìà; ᠗ ýêâèâàëåíòíàÿ ñõåìà.

24

ïàðàëëåëüíî âêëþ÷åííûé ýëåìåíò îáðàçóåò îòäåëüíóþ âåòâü. Ïîýòîìó öåïü ñ ïàðàëëåëüíûì ñîåäèíåíèåì ýëåìåíòîâ, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 1.13à, õîòÿ è ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîé öåïüþ (òàê êàê ñîäåðæèò òîëüêî äâà óçëà), â òî æå âðåìÿ ðàçâåòâëåííàÿ.  êàæäîé ïàðàëëåëüíîé âåòâè òîê 31 1

2 1 4121 51

(1.11)

ãäå Gk = 1/Rk — ïðîâîäèìîñòü k-é âåòâè. Ïî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà I = I1 + I2 + I3 + ... + In, èëè

ãäå 312 1

I = G1U + G2U + G3U + ... + GnU = = (G1 + G2 + G3 + ... + Gn)U = GýêU, 1

2 32 — ýêâèâàëåíòíàÿ ïðîâîäèìîñòü öåïè.

2 13

Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè ïàññèâíûõ ýëåìåíòîâ èõ ýêâèâàëåíòíàÿ ïðîâîäèìîñòü ðàâíà ñóììå ïðîâîäèìîñòåé ýòèõ ýëåìåíòîâ. Ýêâèâàëåíòíàÿ ïðîâîäèìîñòü âñåãäà áîëüøå ïðîâîäèìîñòè ëþáîé ÷àñòè ïàðàëëåëüíûõ âåòâåé. Ýêâèâàëåíòíîé ïðîâîäèìîñòè Gýê ñîîòâåòñòâóåò ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå Rýê = 1/Gýê. Òîãäà ýêâèâàëåíòíàÿ ñõåìà öåïè, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 1.13à, áóäåò èìåòü âèä, ïðåäñòàâëåííûé íà ðèñ. 1.13á. Òîê â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè öåïè ñ ïàðàëëåëüíûì ñîåäèíåíèåì ýëåìåíòîâ ìîæåò áûòü îïðåäåëåí èç ýòîé ñõåìû ïî çàêîíó Îìà: 1 21 1 31213 412 Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè íàïðÿæåíèå èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ ïîñòîÿííî, òî ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà ïàðàëëåëüíî âêëþ÷åííûõ ýëåìåíòîâ (÷òî ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ ýêâèâàëåíòíîé ïðîâîäèìîñòè) òîê â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè öåïè (òîê èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ) óâåëè÷èâàåòñÿ. Èç ôîðìóëû (1.11) âèäíî, ÷òî òîê â êàæäîé âåòâè çàâèñèò òîëüêî îò ïðîâîäèìîñòè äàííîé âåòâè è íå çàâèñèò îò ïðîâîäèìîñòåé äðóãèõ âåòâåé. Íåçàâèñèìîñòü ðåæèìîâ ïàðàëëåëüíûõ âåòâåé äðóã îò äðóãࠗ âàæíîå ïðåèìóùåñòâî ïàðàëëåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ ïàññèâíûõ ýëåìåíòîâ.  ïðîìûøëåííûõ óñòàíîâêàõ ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå ýëåêòðîïðèåìíèêîâ ïðèìåíÿþò â áîëüøèíñòâå 25

ñëó÷àåâ. Ñàìûì íàãëÿäíûì ïðèìåðîì ÿâëÿåòñÿ âêëþ÷åíèå ýëåêòðè÷åñêèõ îñâåòèòåëüíûõ ëàìï. Òàê êàê ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè êî âñåì ýëåìåíòàì ïðèëîæåíî îäíî è òî æå íàïðÿæåíèå, à òîê â êàæäîé âåòâè ïðîïîðöèîíàëåí ïðîâîäèìîñòè ýòîé âåòâè, òî îòíîøåíèå òîêîâ â ïàðàëëåëüíûõ âåòâÿõ ðàâíî îòíîøåíèþ ïðîâîäèìîñòåé ýòèõ âåòâåé èëè îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî îòíîøåíèþ èõ ñîïðîòèâëåíèé: 31 4 5 1 1 1 21 32 42 51 Ñìåøàííîå ñîåäèíåíèå ýëåìåíòîâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñî÷åòàíèå ïîñëåäîâàòåëüíîãî è ïàðàëëåëüíîãî ñîåäèíåíèé. Òàêàÿ öåïü ìîæåò èìåòü ðàçëè÷íîå ÷èñëî óçëîâ è âåòâåé. Ïðèìåð ñìåøàííîãî ñîåäèíåíèÿ ïðèâåäåí íà ñõåìå (ðèñ. 1.14à). Äëÿ ðàñ÷åòà òàêîé öåïè íåîáõîäèìî ïîñëåäîâàòåëüíî îïðåäåëÿòü ýêâèâàëåíòíûå ñîïðîòèâëåíèÿ äëÿ òåõ ÷àñòåé ñõåìû, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé òîëüêî ïîñëåäîâàòåëüíîå èëè òîëüêî ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå.  ðàññìàòðèâàåìîé ñõåìå èìååòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå ýëåìåíòîâ ñ ñîïðîòèâëåíèÿìè R1 è R2 è ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå ýëåìåíòîâ ñ ñîïðîòèâëåíèÿìè R3 è R4. Èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå ðàíåå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ïàðàìåòðàìè ýëåìåíòîâ öåïè ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì è ïàðàëëåëüíîì èõ ñîåäèíåíèè, ðåàëüíóþ ñõåìó öåïè ìîæíî ïîñëåäîâàòåëüíî çàìåíèòü ýêâèâàëåíòíûìè ñõåìàìè. Ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ýëåìåíòîâ R12 = R1 + R2. Ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ ýëåìåíòîâ R3 è R4 11 12 3 3 3 1 1 1 4 112 1 212 21 2 22 35 11 2 35 12 11 2 12 Ýêâèâàëåíòíàÿ ñõåìà ñ ñîïðîòèâëåíèÿìè ýëåìåíòîâ R12 è R34 èçîáðàæåíà íà ðèñ. 1.14á. Äëÿ ýòîé ñõåìû ïîñëåäî-

Ðèñ. 1.14

Ñìåøàííîå ñîåäèíåíèå ëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ ࠗ îáùàÿ ñõåìà; á, ⠗ ýêâèâàëåíòíûå ñõåìû.

26

âàòåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ R12 è R34 ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå Rýê = R12 + R34, à ñîîòâåòñòâóþùàÿ ýêâèâàëåíòíàÿ ñõåìà ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 1.14â. Íàéäåì òîê â ýòîé öåïè: 21

1 3 312

Ýòî òîê èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ è òîê â ýëåìåíòàõ R1 è R2 ðåàëüíîé öåïè. Äëÿ ðàñ÷åòà òîêîâ I3 è I4 îïðåäåëÿþò íàïðÿæåíèå íà ó÷àñòêå öåïè ñ ñîïðîòèâëåíèåì R34 (ðèñ. 1.14á): 1 112 1 212 3 1 212 5 234 Òîãäà òîêè I3 è I4 ìîæíî íàéòè ïî çàêîíó Îìà: 112 1 34422 1 12 4544 31 32 Ïîäîáíûì îáðàçîì ìîæíî ðàññ÷èòàòü è ðÿä äðóãèõ ñõåì ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ñî ñìåøàííûì ñîåäèíåíèåì ïàññèâíûõ ýëåìåíòîâ. Äëÿ ñëîæíûõ ñõåì ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì êîíòóðîâ è èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ íå âñåãäà ìîæåò áûòü ïðîâåäåíî òàêîå ýêâèâàëåíòíîå ïðåîáðàçîâàíèå. Èõ ðàñ÷åò âåäåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì äðóãèõ ìåòîäîâ, êîòîðûå èçëîæåíû â ãë. 3. 21 1

1.7. ÍÅËÈÍÅÉÍÛÅ ÝËÅÌÅÍÒÛ ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÎÉ ÖÅÏÈ ÏÎÑÒÎßÍÍÎÃÎ ÒÎÊÀ Ïî âèäó âîëüò-àìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêè ðàçëè÷àþò íåëèíåéíûå ýëåìåíòû ñ ñèììåòðè÷íîé è íåñèììåòðè÷íîé õàðàêòåðèñòèêàìè (ïî îòíîøåíèþ ê íà÷àëó êîîðäèíàò). Çíà÷åíèå òîêà â íåëèíåéíîì ýëåìåíòå ñ ñèììåòðè÷íîé õàðàêòåðèñòèêîé íå çàâèñèò îò ïîëÿðíîñòè ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ (ðèñ. 1.15à), à ñîïðîòèâëåíèå ýòîãî ýëåìåíòà íå çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ òîêà â íåì.  íåëèíåéíîì ýëåìåíòå ñ íåñèììåòðè÷íîé õàðàêòåðèñòèêîé çíà÷åíèå òîêà çàâèñèò îò ïîëÿðíîñòè Ðèñ. 1.15 ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ Âîëüò-àìïåðíûå õàðàêòåðèñòèêè (ðèñ. 1.15á), à ñîïðîòèâëåíèå íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ ýëåìåíòà çàâèñèò îò íàïðàâࠗ ñèììåòðè÷íàÿ; ᠗ íåñèììåòëåíèÿ òîêà â íåì. ðè÷íàÿ. 27

Ðèñ. 1.16

Âîëüò-àìïåðíûå õàðàêòåðèñòèêè ëàìï íàêàëèâàíèÿ 1 — ñ âîëüôðàìîâîé íèòüþ; 2 — ñ óãîëüíîé íèòüþ.

Ðèñ. 1.17

Áàðåòòåð ࠗ âîëüò-àìïåðíàÿ õàðàêòåðèñòèêà; ᠗ óñëîâíîå îáîçíà÷åíèå íà ýëåêòðè÷åñêèõ ñõåìàõ.

Ê íåëèíåéíûì ýëåìåíòàì ñ ñèììåòðè÷íîé õàðàêòåðèñòèêîé îòíîñÿòñÿ ëàìïû íàêàëèâàíèÿ, òåðìîðåçèñòîðû, òèðèòîâûå è âèëèòîâûå ýëåìåíòû, áàðåòòåðû, ëàìïû ñ òëåþùèì ðàçðÿäîì, ýëåêòðè÷åñêàÿ äóãà ìåæäó îäèíàêîâûìè ýëåêòðîäàìè è äð. Íåëèíåéíîñòü õàðàêòåðèñòèê ëàìï íàêàëèâàíèÿ îáóñëîâëåíà òåì, ÷òî, íàïðèìåð, âîëüôðàìîâàÿ íèòü èìååò ïîëîæèòåëüíûé òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ è â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (1.1) ïðè ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû (ñ óâåëè÷åíèåì òîêà) åå ñîïðîòèâëåíèå óâåëè÷èâàåòñÿ è âîçðàñòàíèå òîêà çàìåäëÿåòñÿ (1 íà ðèñ. 1.16). Óãîëüíàÿ æå íèòü èìååò îòðèöàòåëüíûé òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ, è ïîýòîìó çàâèñèìîñòü 2 èìååò âîãíóòûé õàðàêòåð. Òåðìîðåçèñòîð èìååò âîëüò-àìïåðíóþ õàðàêòåðèñòèêó, àíàëîãè÷íóþ õàðàêòåðèñòèêå óãîëüíîé íèòè. Ñ óâåëè÷åíèåì òîêà åãî ñîïðîòèâëåíèå óìåíüøàåòñÿ. Òåðìîðåçèñòîðû ïðèìåíÿþò äëÿ êîìïåíñàöèè èçìåíåíèé ñîïðîòèâëåíèÿ ýëåìåíòîâ, èçãîòîâëåííûõ èç ìåòàëëè÷åñêèõ ïðîâîäíèêîâ, ñîïðîòèâëåíèå êîòîðûõ óâåëè÷èâàåòñÿ ñ óâåëè÷åíèåì òîêà â öåïè. Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì âêëþ÷åíèè òàêîãî ýëåìåíòà è òåðìîðåçèñòîðà îáùåå ñîïðîòèâëåíèå öåïè îñòàåòñÿ íåèçìåííûì ïðè ëþáîì çíà÷åíèè òîêà. Áàðåòòåð ïî âíåøíåìó âèäó íàïîìèíàåò ëàìïó íàêàëèâàíèÿ.  ñòåêëÿííîì áàëëîíå, çàïîëíåííîì âîäîðîäîì, ïîìåùàåòñÿ ñòàëüíàÿ íèòü. Íà âîëüò-àìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêå (ðèñ. 1.17) èìååòñÿ ó÷àñòîê AB, íà ïðîòÿæåíèè êîòîðîãî ñ óâåëè÷åíèåì íàïðÿæåíèÿ ñîïðîòèâëåíèå íèòè óâåëè÷èâàåòñÿ òàê, ÷òî òîê îñòàåòñÿ ïî÷òè ïîñòîÿííûì. Áàðåòòåð âêëþ÷àþò ïîñëåäîâàòåëüíî â òó öåïü, â êîòîðîé 28

íàäî ïîääåðæàòü òîê ïîñòîÿííûì. Òîãäà âñå èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèÿ ±DU èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ ïðèíèìàåò íà ñåáÿ áàðåòòåð, à íàïðÿæåíèå íà ïðèåìíèêå è, ñëåäîâàòåëüíî, òîê â íåì íå èçìåíÿþòñÿ. Òèðèòîâûå è âèëèòîâûå ýëåìåíòû èçãîòîâëÿþò èç êàðáîðóíÐèñ. 1.18 äà. Îíè èìåþò âîëüò-àìïåðíóþ õàÂîëüò-àìïåðíàÿ ðàêòåðèñòèêó, èçîáðàæåííóþ íà õàðàêòåðèñòèêà òèðèòîâîãî ýëåìåíòà ðèñ. 1.18. Èç íåå âèäíî, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì íàïðÿæåíèÿ ïðîâîäèìîñòü ýëåìåíòà óâåëè÷èâàåòñÿ. Èç òèðèòîâûõ äèñêîâ âûïîëíÿþò ðàçðÿäíèêè, ïðåäíàçíà÷åííûå äëÿ çàùèòû óñòàíîâîê âûñîêîãî íàïðÿæåíèÿ (ïîäñòàíöèé, ëèíèé ýëåêòðîïåðåäà÷è) îò ïåðåíàïðÿæåíèé. Ïðè âîçðàñòàíèè íàïðÿæåíèÿ â Ðèñ. 1.19 äâà ðàçà ïðîâîäèìîñòü òèðèòîâîãî Âîëüò-àìïåðíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ýëåìåíòà óâåëè÷èâàåòñÿ ïðèìåðíî â ýëåêòðè÷åñêîé äóãè äåñÿòü ðàç. Ê íåëèíåéíûì ýëåìåíòàì ñ ñèììåòðè÷íîé õàðàêòåðèñòèêîé îòíîñèòñÿ òàêæå ýëåêòðè÷åñêàÿ äóãà, âîçíèêàþùàÿ ìåæäó îäèíàêîâûìè ýëåêòðîäàìè è ÿâëÿþùàÿñÿ ýëåìåíòîì öåïè ýëåêòðîñâàðî÷íûõ óñòàíîâîê, ýëåêòðîïëàâèëüíûõ ïå÷åé, ïðîæåêòîðîâ, ïðîåêöèîííûõ àïïàðàòîâ è ò. ä. Âîëüò-àìïåðíàÿ õàðàêòåðèñòèêà äóãè ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 1.19. Ñ óâåëè÷åíèåì òîêà äóãè ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ íà íåé óìåíüøàåòñÿ, ÷òî îáóñëîâëåíî ðåçêèì óâåëè÷åíèåì åå ïðîâîäèìîñòè. Ó ëàìï ñ òëåþùèì ðàçðÿäîì ñòåêëÿííûé áàëëîí çàïîëíÿþò èíåðòíûì ãàçîì (íåîíîâûå ëàìïû). Ïðè óâåëè÷åíèè íàïðÿæåíèÿ òîê â ãàçå ìåæäó ýëåêòðîäàìè ñíà÷àëà óâåëè÷èâàåòñÿ î÷åíü ìåäëåííî (ñì. ðèñ. 1.20). Êîãäà íàïðÿæåíèå äîñòèãàåò íåêîòîðîãî çíà÷åíèÿ U0, ìåæäó ýëåêòðîäàìè âîçíèêàåò òëåþùèé ðàçðÿä, ãàç èîíèçèðóåòñÿ, ïðîâîäèìîñòü ëàìïû ðåçêî âîçðàñòàåò è òîê ïðîäîëæàåò óâåëè÷èâàòüñÿ äàæå ïðè óìåíüøåíèè íàïðÿæåíèÿ. Ïîñòîÿíñòâî íàïðÿæåíèÿ â íåêîòîðîì äèàïàçîíå èçìåíåíèÿ òîêà (ó÷àñòîê AB) ïîçâîëÿåò èñïîëü29

Ðèñ. 1.20

Âîëüò-àìïåðíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ëàìïû ñ òëåþùèì ðàçðÿäîì

Ðèñ. 1.21

Òåðìèñòîð ࠗ âîëüò-àìïåðíàÿ õàðàêòåðèñòèêà; ᠗ óñëîâíîå îáîçíà÷åíèå íà ýëåêòðè÷åñêèõ ñõåìàõ.

Ðèñ. 1.22

Âîëüò-àìïåðíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ýëåêòðîííîé ëàìïû (äèîäà)

30

çîâàòü ëàìïû ñ òëåþùèì ðàçðÿäîì äëÿ ñòàáèëèçàöèè íàïðÿæåíèÿ. Ê íåëèíåéíûì ýëåìåíòàì ñ íåñèììåòðè÷íîé âîëüò-àìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêîé îòíîñÿòñÿ ýëåêòðîííûå ëàìïû, ðòóòíûå âåíòèëè, ïîëóïðîâîäíèêîâûå äèîäû è òðèîäû, ýëåêòðè÷åñêàÿ äóãà ïðè íåîäíîðîäíûõ ýëåêòðîäàõ è äð.  îñíîâíîì èõ èñïîëüçóþò äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåìåííîãî òîêà â ïîñòîÿííûé òîê. Íà ðèñ. 1.21 èçîáðàæåíà âîëüòàìïåðíàÿ õàðàêòåðèñòèêà òåðìèñòîðࠗ òåðìîðåçèñòîðà èç ïîëóïðîâîäíèêîâîãî ìàòåðèàëà. Çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü õàðàêòåðèñòèêè òåðìèñòîðà èìååò ïàäàþùèé õàðàêòåð, ÷òî îáóñëîâëåíî åãî âûñîêèì îòðèöàòåëüíûì òåìïåðàòóðíûì êîýôôèöèåíòîì â ýòîé ÷àñòè õàðàêòåðèñòèêè. Òåðìèñòîðû ïðèìåíÿþò â èçìåðèòåëüíûõ óñòðîéñòâàõ, â òåõíèêå âûñîêîé ÷àñòîòû è ò. ï. Ýëåêòðîííàÿ ëàìïà (äèîä) ïðîâîäèò ýëåêòðè÷åñêèé òîê, åñëè àíîä èìååò ïîëîæèòåëüíûé ïîòåíöèàë, à êàòî䠗 îòðèöàòåëüíûé. Ïðè îáðàòíîé ïîëÿðíîñòè ýëåêòðîäîâ òîê, çàìûêàþùèéñÿ ÷åðåç ëàìïó, ïðàêòè÷åñêè ðàâåí íóëþ (ðèñ. 1.22). Õàðàêòåðèñòèêè òâåðäîòåëüíûõ ïîëóïðîâîäíèêîâûõ äèîäîâ (ñåëåíîâûõ, êðåìíèåâûõ, ãåðìàíèåâûõ è äð.) àíàëîãè÷íû (ðèñ. 1.23). Íåëèíåéíûå ýëåìåíòû õàðàêòåðèçóþòñÿ äâóìÿ ïàðàìåòðàìè: ñòàòè÷åñêèì RÑÒ è äèôôåðåíöèàëüíûì Räèô ñîïðîòèâëåíèÿìè.

Ýòè ñîïðîòèâëåíèÿ èçìåíÿþòñÿ îò òî÷êè ê òî÷êå âîëüò-àìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêè. Ñòàòè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà îïðåäåëÿåòñÿ îòíîøåíèåì íàïðÿæåíèÿ â äàííîé òî÷êå âîëüò-àìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêè ê òîêó â ýòîé æå òî÷êå. Äëÿ òî÷êè A õàðàêòåðèñòèêè (ðèñ. 1.24à, á) ñòàòè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå 1 41 56 212 1 1 1 42 3425 3 43 67

Ðèñ. 1.23

Âîëüò-àìïåðíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ïîëóïðîâîäíèêîâîãî äèîäà

ãäå mU, mI, mR — ìàñøòàáíûå êîýôôèöèåíòû äëÿ íàïðÿæåíèÿ, òîêà è ñîïðîòèâëåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî. Ñòàòè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà â ëþáîé òî÷êå õàðàêòåðèñòèêè ïðîïîðöèîíàëüíî òàíãåíñó óãëà íàêëîíà ëèíèè, ïðîâåäåííîé èç íà÷àëà êîîðäèíàò ÷åðåç ýòó òî÷êó, ê îñè òîêà. Ñ óâåëè÷åíèåì íàïðÿæåíèÿ ñòàòè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå Rñò äëÿ ýëåìåíòà ñ âûïóêëîé õàðàêòåðèñòèêîé óâåëè÷èâàåòñÿ (ðèñ. 1.24à), à ñ âîãíóòîé õàðàêòåðèñòèêî頗 óìåíüøàåòñÿ (ðèñ. 1.24á). Ïîä äèôôåðåíöèàëüíûì ñîïðîòèâëåíèåì ïîíèìàþò ïðåäåë îòíîøåíèÿ ïðèðàùåíèÿ íàïðÿæåíèÿ â äàííîé òî÷êå âîëüò-àìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêè ê ïðèðàùåíèþ ìåäëåííî èçìåíÿþùåãîñÿ òîêà, êîãäà ýòî ïðèðàùåíèå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.

Ðèñ. 1.24

Îïðåäåëåíèå ñòàòè÷åñêîãî è äèôôåðåíöèàëüíîãî ñîïðîòèâëåíèé íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ ñ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé çàâèñèìîñòüþ ìåæäó íàïðÿæåíèåì è òîêîì ࠗ ñ âûïóêëîé âîëüò-àìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêîé; ᠗ ñ âîãíóòîé âîëüò-àìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêîé.

31

Äëÿ òî÷êè A õàðàêòåðèñòèêè (ðèñ. 1.24à, á) äèôôåðåíöèàëüíîå ñîïðîòèâëåíèå 78 41 56 3123 1 1 1 4 4526 (1.12) 3 79 42 6

Äèôôåðåíöèàëüíîå ñîïðîòèâëåíèå íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà â ëþáîé òî÷êå õàðàêòåðèñòèêè ïðîïîðöèîíàëüíî òàíãåíñó óãëà íàêëîíà êàñàòåëüíîé ëèíèè, ïðîâåäåííîé ÷åðåç ýòó òî÷êó, ê îñè òîêà. Ñ óâåëè÷åíèåì íàïðÿæåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîå ñîïðîòèâëåíèå Räèô ýëåìåíòà ñ âûïóêëîé õàðàêòåðèñòèêîé óâåëè÷èâàåòñÿ (ðèñ. 1.24à), à ýëåìåíòà ñ âîãíóòîé õàðàêòåðèñòèêî頗 óìåíüøàåòñÿ (ðèñ. 1.24á). Ïðè ýòîì â ïåðâîì ñëó÷àå Räèô > Rñò, à âî âòîðî젗 Räèô  Rñò, òî ñ óâåëè÷åíèåì íàïðÿæåíèÿ èëè òîêà ñîïðîòèâëåíèå íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà óâåëè÷èâàåòñÿ, è íàîáîðîò. Äëÿ íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà ñ îáðàòíîé çàâèñèìîñòüþ ìåæäó íàïðÿæåíèåì è òîêîì (ðèñ. 1.25) óãîë b > 90° è, ñëåäîâàòåëüíî, äèôôåðåíöèàëüíîå ñîïðîòèâëåíèå òàêîãî ýëåìåíòà îòðèöàòåëüíî. Íà ãîðèçîíòàëüíîì ó÷àñòêå AB õàðàêòåðèñòèêè áàðåòòåðà (ñì. ðèñ. 1.17) Räèô ® ¥, à íà âåðòèêàëüíîì ó÷àñòêå AB õàðàêòåðèñòèêè ëàìïû ñ òëåþùèì ðàçðÿäîì (ñì. ðèñ. 1.20) Räèô ® 0. Ýòî ïîêàçûâàåò, ÷òî åñëè ñòàòè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå âñåãäà ïîëîæèòåëüíî, òî äèôôåðåíöèàëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ìîæåò áûòü îòðèöàòåëüíûì è ïîëîæèòåëüíûì, ðàâíûì íóëþ è ñòðåìèòüñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. ×åì áîëüøå ðàçíèöà ìåæäó ñòàòè÷åñêèì è äèôôåðåíöèàëüíûì ñîïðîòèâëåíèÿìè, òåì ñèëüíåå ïðîÿâëÿåòñÿ íåëèíåéíîñòü äàííîãî ýëåìåíòà.

Ðèñ. 1.25

Îïðåäåëåíèå ñòàòè÷åñêîãî è äèôôåðåíöèàëüíîãî ñîïðîòèâëåíèé íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ ñ îáðàòíîé çàâèñèìîñòüþ ìåæäó íàïðÿæåíèåì è òîêîì

32

1.8. ÌÅÒÎÄÛ ÐÀÑ×ÅÒÀ ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÖÅÏÅÉ Ñ ÍÅËÈÍÅÉÍÛÌÈ ÝËÅÌÅÍÒÀÌÈ Âñå ìåòîäû îñíîâàíû íà èñïîëüçîâàíèè çàêîíîâ Êèðõãîôà, êîòîðûå ñïðàâåäëèâû äëÿ ðàñ÷åòà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé è ñ íåëèíåéíûìè ýëåìåíòàìè. Ãðàôè÷åñêèé ìåòîä ðàñ÷åòà. Íåëèíåéíûå ýëåìåíòû, ïîäîáíî ëèíåéíûì, ìîãóò áûòü ñîåäèíåíû ìåæäó ñîáîé ïî ñõåìàì ïîñëåäîâàòåëüíîãî, ïàðàëëåëüíîãî è ñìåøàííîãî ñîåäèíåíèé. Ïðè ãðàôè÷åñêîì ìåòîäå ðàñ÷åòà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé âîëüò-àìïåðíûå õàðàêòåðèñòèêè íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ äîëæíû áûòü çàäàíû â ãðàôè÷åñêîé èëè òàáëè÷íîé ôîðìå. Ãðàôè÷åñêèé ðàñ÷åò èìååò öåëüþ ïîñòðîåíèå âîëüò-àìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêè âñåé íåëèíåéíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè èëè åå ÷àñòè. Íà ðèñ. 1.26à èçîáðàæåíà ñõåìà ïîñëåäîâàòåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ äâóõ íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ (ÍÝ 1 è ÍÝ 2), âîëüò-àìïåðíûå õàðàêòåðèñòèêè êîòîðûõ I1(U1) è I2(U2) ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 1.26á. Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè òîê âî âñåõ ýëåìåíòàõ îäèí è òîò æå, ò. å. I1 = I2 = I, à íàïðÿæåíèå èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ U = U1 + U2. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ âîëüò-àìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêè âñåé öåïè íåîáõîäèìî çàäàòüñÿ íåêîòîðûìè çíà÷åíèÿìè òîêà â íåé, ïî õàðàêòåðèñòèêàì îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ îïðåäåëèòü íàïðÿæåíèÿ U1 è U2 íà ýòèõ ýëåìåíòàõ ïðè çàäàííûõ çíà÷åíèÿõ òîêà è ñëîæèòü ýòè íàïðÿæåíèÿ. Íàïðèìåð, çàäàâàÿñü òîêîì I = |Oa| (ðèñ. 1.26á), ïðîâîäèì ÷åðåç òî÷êó a ãîðèçîíòàëüíóþ øòðèõîâóþ ëèíèþ, ïåðåñå÷åíèå êîòîðîé ñ õàðàêòåðèñòèêàìè I1(U1) è I2(U2) â òî÷êàõ b è c äàåò çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèé U1 = |ab| è U2 = |ac|. Ñêëàäûâàÿ àáñöèññû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ, ïîëó÷àåì àáñöèññó òî÷êè d, ïðèíàäëåæàùåé õàðàêòåðèñòèêå I(U) âñåé öåïè.

Ðèñ. 1.26

Ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ ࠗ ñõåìà; ᠗ âîëüòàìïåðíûå õàðàêòåðèñòèêè ýëåìåíòîâ è öåïè.

33

Ðèñ. 1.27

Ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå íåëèíåéíîãî è ëèíåéíîãî ýëåìåíòîâ ࠗ ñõåìà; ᠗ âîëüò-àìïåðíûå õàðàêòåðèñòèêè ýëåìåíòîâ è öåïè.

Íàéäÿ òàêèì îáðàçîì ñåìåéñòâî òî÷åê d, ïðîâîäèì ÷åðåç íèõ èñêîìóþ õàðàêòåðèñòèêó I(U). Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåíî íåñêîëüêî íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ, òî õàðàêòåðèñòèêó âñåé öåïè íàõîäÿò àíàëîãè÷íî. Ïðè íàëè÷èè â öåïè ëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ ìåòîäèêà ãðàôè÷åñêîãî ðàñ÷åòà â îáùåì íå èçìåíÿåòñÿ. Îäíàêî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ (ïðè ïîñòîÿíñòâå íàïðÿæåíèÿ èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ, ïðè íàëè÷èè ëèíåéíîãî ýëåìåíòà â öåïè è äð.) óäîáíåå ïðèìåíèòü äðóãîé ãðàôè÷åñêèé ìåòîä. Îí òàêæå îñíîâàí íà óñëîâèÿõ, ÷òî ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè I1 = I2 = I è U = U1 + U2. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ýòîãî ìåòîäà õàðàêòåðèñòèêó îäíîãî èç ýëåìåíòîâ ñòðîÿò èç íà÷àëà êîîðäèíàò, à äëÿ âòîðîãî ñòðîÿò òàê íàçûâàåìóþ îïðîêèíóòóþ õàðàêòåðèñòèêó. Ðàññìîòðèì ýòîò ìåòîä íà ïðèìåðå ïîñëåäîâàòåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà ÍÝ 1 è ëèíåéíîãî ýëåìåíòà R2 (ðèñ. 1.27à). Õàðàêòåðèñòèêó íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà I1(U1) ñòðîÿò îáû÷íûì îáðàçîì. Íàïðÿæåíèå íà âòîðîì, ëèíåéíîì, ýëåìåíòå U2 = U – U1. Ïîýòîìó ïðè çàäàííîì íàïðÿæåíèè U èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ äëÿ õàðàêòåðèñòèêè I2(U2) âòîðîãî ýëåìåíòà çà íà÷àëî êîîðäèíàò ìîæíî âçÿòü òî÷êó O¢ è âñþ õàðàêòåðèñòèêó ñòðîèòü âëåâî. Ïîñòðîåííóþ òàêèì îáðàçîì õàðàêòåðèñòèêó è íàçûâàþò îïðîêèíóòîé. Îïðîêèíóòàÿ õàðàêòåðèñòèêà ëèíåéíîãî ýëåìåíòà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé ïðÿìóþ ëèíèþ, ìîæåò áûòü ïîñòðîåíà ïî äâóì òî÷êàì. Åñëè U2 = 0, òî õàðàêòåðèñòèêå I2(U2) ïðèíàäëåæèò òî÷êà O¢; åñëè U1 = 0, òî õàðàêòåðèñòèêà I2(U2) ïåðåñåêàåò îñü îðäèíàò â òî÷êå B¢, îïðåäåëÿåìîé ñîîòíîøåíèåì I2 = U/R2. 34

Ðèñ. 1.28

Ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ ࠗ ñõåìà; ᠗ âîëüò-àìïåðíûå õàðàêòåðèñòèêè ýëåìåíòîâ è öåïè.

Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ õàðàêòåðèñòèê (òî÷êà A¢) îïðåäåëÿåò òîê I â öåïè è íàïðÿæåíèÿ U1 è U2 íà ýëåìåíòàõ ïðè çàäàííîì íàïðÿæåíèè U èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ. Ïðè óâåëè÷åíèè ýòîãî íàïðÿæåíèÿ íà DU õàðàêòåðèñòèêà ëèíåéíîãî ýëåìåíòà ïåðåìåùàåòñÿ âïðàâî íà DU è ðàáî÷åé ñòàíîâèòñÿ òî÷êà A². Ïðè íàïðÿæåíèè U = const, íî èçìåíåíèè ñîïðîòèâëåíèÿ R2 èçìåíÿåòñÿ ïîëîæåíèå òî÷êè B¢ (òî÷êà B¢¢¢ ïðè óâåëè÷åíèè R2). Ðàáî÷àÿ òî÷êà ïðè ýòîì A¢¢¢. Ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ (ðèñ. 1.28à) íàïðÿæåíèå íà íèõ U1 = U2 = U, à òîê â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè öåïè I = I1 + I2. Èñïîëüçóÿ âîëüò-àìïåðíûå õàðàêòåðèñòèêè íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ (ðèñ. 1.28á) è çàäàâàÿñü íåêîòîðûìè çíà÷åíèÿìè íàïðÿæåíèÿ, ñêëàäûâàþò îðäèíàòû, ñîîòâåòñòâóþùèå òîêàì â íåëèíåéíûõ ýëåìåíòàõ, è íàõîäÿò òîê âî âñåé öåïè, íàïðèìåð, |ab| + |ac| = |ad|. Ïî íåñêîëüêèì òî÷êàì ïðîâîäÿò èñêîìóþ õàðàêòåðèñòèêó âñåé öåïè. Ïðè ñìåøàííîì ñîåäèíåíèè ýëåìåíòîâ çàäà÷à ðåøàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî. Äëÿ ñõåìû, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 1.29à, ñíà÷àëà íàõîäÿò õàðàêòåðèñòèêó ÷àñòè öåïè, ñîñòîÿùåé èç ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà ÍÝ 2 è ëèíåéíîãî ýëåìåíòà R3. Ýòà õàðàêòåðèñòèêà íà ðèñ. 1.29á îáîçíà÷åíà I2(U). Çàòåì íàõîäÿò õàðàêòåðèñòèêó âñåé öåïè I(U), ðàññìàòðèâàÿ ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå äâóõ ýëåìåíòîâ ñ õàðàêòåðèñòèêàìè I1(U) è I2(U). Èìåÿ õàðàêòåðèñòèêè, ïðåäñòàâëåííûå íà ðèñ. 1.29á, äîñòàòî÷íî çíàòü îäíî èç íàïðÿæåíèé (U2, U3, U) èëè îäèí èç òîêîâ (I1, I2, I), ÷òîáû îïðåäåëèòü âñå îñòàëüíûå íàïðÿæåíèÿ è òîêè. Äîïóñòèì, ÷òî çàäàíî íàïðÿæåíèå U3. Òîãäà ïî õàðàêòåðèñòèêå I2(U3) îïðåäåëÿþò òîê I2, çàòåì ïî õàðàêòåðèñòèêàì I2(U2) è I2(U) íàõîäÿò íàïðÿæåíèÿ U2 è U, ñîîòâåòñòâóþùèå òîêó I2, è, íàêîíåö, ïî 35

íàïðÿæåíèþ U è õàðàêòåðèñòèêàì I1(U) è I(U) îïðåäåëÿþò òîêè I1 è I. Åñëè òåïåðü â öåïü ñ íåëèíåéíûì ýëåìåíòîì ïîñëåäîâàòåëüíî âêëþ÷èòü èñòî÷íèê ÝÄÑ E (ðèñ. 1.30à), òî åå âîëüò-àìïåðíàÿ õàðàêòåðèñòèêà íåñêîëüêî èçìåíèòñÿ. Èçâåñòíûìè ÿâëÿþòñÿ âîëüò-àìïåðíàÿ õàðàêòåðèñòèêà íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà I(Uab) (ðèñ. 1.30á), à òàêæå çíà÷åíèå è íàïðàâëåíèå ÝÄÑ. Äëÿ ðàñ÷åòà öåïè íåîáõîäèìî íàéòè õàðàêòåðèñòèêó âñåé öåïè, ò. å. I(Uac). Ïî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà èìååì E = Uab – Uac, èëè Uac = Uab – E.

(1.13)

Èç ôîðìóëû (1.13) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ïîñòðîåíèÿ õàðàêòåðèñòèêè I(Uac) íåîáõîäèìî ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ òîêà

Ðèñ. 1.29

Ñìåøàííîå ñîåäèíåíèå íåëèíåéíûõ è ëèíåéíîãî ýëåìåíòîâ ࠗ ñõåìà; ᠗ âîëüò-àìïåðíûå õàðàêòåðèñòèêè ýëåìåíòîâ è öåïè.

Ðèñ. 1.30

Ïîñëåäîâàòåëüíîå âêëþ÷åíèå íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà è èñòî÷íèêà ÝÄÑ à — ñõåìà; ᠗ âîëüò-àìïåðíûå õàðàêòåðèñòèêè ïðè ñîãëàñíîì íàïðàâëåíèè ÝÄÑ è òîêà; ⠗ òî æå ïðè âñòðå÷íîì íàïðàâëåíèè ÝÄÑ è òîêà.

36

õàðàêòåðèñòèêè I(Uab) èç íàïðÿæåíèÿ Uab âû÷åñòü ÝÄÑ E. Ýòî ðàâíîñèëüíî ñäâèãó õàðàêòåðèñòèêè íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà âëåâî íà çíà÷åíèå ÝÄÑ (ðèñ. 1.30á). Åñëè ÝÄÑ íàïðàâëåíà íàâñòðå÷ó òîêó â öåïè, òî äëÿ Uac ïîëó÷èì Uac = Uab + E. Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå õàðàêòåðèñòèêà âñåé öåïè áóäåò ñäâèíóòà âïðàâî íà çíà÷åíèå ÝÄÑ (ðèñ. 1.30â). Ïîëó÷åííûå âûâîäû ïîäòâåðæäàþò èçâåñòíîå ïîëîæåíèå, ÷òî åñëè ÝÄÑ è òîê â öåïè ñîâïàäàþò ïî íàïðàâëåíèþ, òî äëÿ ïîääåðæàíèÿ êàêîãî-òî çíà÷åíèÿ òîêà òðåáóåòñÿ ìåíüøåå íàïðÿæåíèå Uac âíåøíåãî èñòî÷íèêà, è íàîáîðîò.  ñëó÷àå ñìåøàííîãî ñîåäèíåíèÿ âåòâü, ñîäåðæàùàÿ íåëèíåéíûé ýëåìåíò è èñòî÷íèê ÝÄÑ, ïðè ãðàôè÷åñêîì ðàñ÷åòå ó÷èòûâàåòñÿ âîëüò-àìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêîé I(Uac), ïðèâåäåííîé íà ðèñ. 1.30á, â. Ãðàôè÷åñêèé ìåòî䠗 íàèáîëåå ïðîñòîé ìåòîä ðàñ÷åòà äëÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé. Îí ïðèìåíèì âî âñåõ ñëó÷àÿõ, òàê êàê õàðàêòåðèñòèêè íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ âñåãäà áûâàþò çàäàíû ãðàôè÷åñêè. Àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä ðàñ÷åòà. Ïðè ãðàôè÷åñêîì ìåòîäå ðàñ÷åòà íåâîçìîæíî ïðîâåñòè îáùèé àíàëèç ïðîöåññîâ, ïðîòåêàþùèõ â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Åñëè æå âûðàçèòü õàðàêòåðèñòèêè íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ àíàëèòè÷åñêè, òî ïî çàêîíàì Êèðõãîôà äëÿ ëþáîé íåëèíåéíîé öåïè ìîæíî íàïèñàòü ñèñòåìó íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé, â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ êîòîðîé ìîæíî ïîëó÷èòü âñå èíòåðåñóþùèå çàâèñèìîñòè òîêîâ â âåòâÿõ îò ÝÄÑ è ïàðàìåòðîâ âåòâåé. Îäíàêî õàðàêòåðèñòèêè íåêîòîðûõ íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ çàòðóäíèòåëüíî èëè äàæå íåâîçìîæíî âûðàçèòü àíàëèòè÷åñêè, à ðåøåíèå ñèñòåìû íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé äàæå ïðè èñïîëüçîâàíèè ïðèáëèæåííûõ ìåòîäîâ çàòðóäíåíî. Ðàññìîòðèì ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ àíàëèòè÷åñêîãî ìåòîäà.  òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ðåæèì íåëèíåéíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè èçìåíÿåòñÿ â íåáîëüøèõ ïðåäåëàõ, íåáîëüøîé ó÷àñòîê õàðàêòåðèñòèêè ìîæíî çàìåíèòü ïðÿìîé ëèíèåé, êàñàòåëüíîé ê ñåðåäèíå ýòîãî ó÷àñòêà, èëè íåêîòîðûå ó÷àñòêè õàðàêòåðèñòèêè ìîæíî ñ÷èòàòü ïðÿìîëèíåéíûìè. Ïîýòîìó íà ðèñ. 1.31 ó÷àñòîê ab õàðàêòåðèñòèêè 37

çàìåíÿþò ïðÿìîé ëèíèåé. Íàïðÿæåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå òî÷êå A âîëüò-àìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêè, ðàâíî UA = –U0 + mU|dc|, ãäå U0 — íàïðÿæåíèå, èçìåðÿåìîå îòðåçêîì îñè àáñöèññ ìåæäó íà÷àëîì êîîðäèíàò è òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ ëèíèè dA ñ îñüþ àáñöèññ: |dc| = |cA|tgb = (IA/mI)tgb. Òîãäà íàïðÿæåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå òî÷êå A, ðàâíî 6 1 1 261 3 72

51 234 1 261 3 73 5 1 2344 74

Ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (1.12) ïîëó÷èì UA = –U0 + RäèôIA.

(1.14)

Ïîñòîÿííîå ïî çíà÷åíèþ íàïðÿæåíèå –U0 ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî èñòî÷íèêîì ÝÄÑ E, çíà÷åíèå êîòîðîé ðàâíî U0, à íàïðàâëåíèå ïðîòèâîïîëîæíî, ò. å. ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì òîêà â öåïè. Òîãäà óðàâíåíèå (1.14), ñïðàâåäëèâîå äëÿ ó÷àñòêà ab õàðàêòåðèñòèêè, ïðèìåò âèä U = E + RäèôI, êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 1.31â.

Ðèñ. 1.31

Ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ âîëüò-àìïåðíûõ õàðàêòåðèñòèê äëÿ àíàëèòè÷åñêîãî ðàñ÷åòà íåëèíåéíîé öåïè è ïîñòðîåíèÿ ñõåì çàìåùåíèÿ íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà à, ⠗ ñ âûïóêëîé õàðàêòåðèñòèêîé; á, 㠗 ñ âîãíóòîé õàðàêòåðèñòèêîé.

38

Òàêèì îáðàçîì, íåëèíåéíûé ýëåìåíò ñ âûïóêëîé âîëüò-àìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêîé ïðè ðàáîòå åãî íà ó÷àñòêå ab õàðàêòåðèñòèêè ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí ñõåìîé, ñîñòîÿùåé èç ïîñëåäîâàòåëüíî âêëþ÷åííûõ ëèíåéíîãî ýëåìåíòà, ñîïðîòèâëåíèå êîòîðîãî ðàâíî äèôôåðåíöèàëüíîìó ñîïðîòèâëåíèþ íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà íà ó÷àñòêå ab, è èñòî÷íèêà ÝÄÑ E = U0, íàïðàâëåíèå êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì òîêà â öåïè.  ñëó÷àå âîãíóòîé âîëüò-àìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêè (ðèñ. 1.31á) íàïðÿæåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå òî÷êå A, îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì UA = U0 + mU|dc|. Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì UA = U0 + RäèôIA. Çàìåíÿÿ íàïðÿæåíèå U0 íà ÝÄÑ E, íàïðàâëåííóþ ïðîòèâ òîêà â öåïè, ïîëó÷èì äëÿ ó÷àñòêà ab õàðàêòåðèñòèêè U = –E + RäèôI, ÷åìó ñîîòâåòñòâóåò ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü, ïðåäñòàâëåííàÿ íà ðèñ. 1.31ã. Íåëèíåéíûé ýëåìåíò ñ âîãíóòîé âîëüò-àìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêîé çàìåíÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíûì âêëþ÷åíèåì ëèíåéíîãî ýëåìåíòà ñ äèôôåðåíöèàëüíûì ñîïðîòèâëåíèåì Räèô, ñîîòâåòñòâóþùåãî ó÷àñòêó ab õàðàêòåðèñòèêè, è ÝÄÑ E = U0, íàïðàâëåíèå êîòîðîé ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíèþ òîêà â öåïè. Çàìåùåíèå íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ ëèíåéíîé ýêâèâàëåíòíîé öåïüþ ïîçâîëÿåò äàëåå ïðîèçâîäèòü èõ ðàñ÷åò ëþáûì èç ðàññìîòðåííûõ â ãë. 3 ñïîñîáîâ. Íî ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû áóäóò ñïðàâåäëèâû òîëüêî äëÿ ó÷àñòêîâ ab âîëüò-àìïåðíûõ õàðàêòåðèñòèê íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ. Åñëè â ðåçóëüòàòå ðàñ÷åòà ðàáî÷àÿ òî÷êà A õàðàêòåðèñòèêè, îïðåäåëÿåìàÿ íàïðÿæåíèåì U íà íåëèíåéíîì ýëåìåíòå è òîêîì I â íåì, îêàæåòñÿ çà ïðåäåëàìè ó÷àñòêà ab, òî íóæíî ïåðåéòè ê íîâîìó ó÷àñòêó, íàéòè äëÿ íåãî çíà÷åíèÿ Räèô è E è ïðîâåñòè íîâûé ðàñ÷åò.

ÃËÀÂÀ 2

ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÎÄÍÎÔÀÇÍÛÅ ÖÅÏÈ ÑÈÍÓÑÎÈÄÀËÜÍÎÃÎ ÒÎÊÀ

2.1. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß È ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈß Øèðîêîå ïðèìåíåíèå â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ýëåêòðî-, ðàäèî- è äðóãèõ óñòàíîâîê íàõîäÿò ïåðèîäè÷åñêèå ÝÄÑ, íàïðÿæåíèÿ è òîêè. Ïåðèîäè÷åñêèå âåëè÷èíû èçìåíÿþòñÿ âî âðåìåíè ïî çíà÷åíèþ è íàïðàâëåíèþ, ïðè÷åì ýòè èçìåíåíèÿ ïîâòîðÿþòñÿ ÷åðåç íåêîòîðûå ðàâíûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè T (ðèñ. 2.1), íàçûâàåìûå ïåðèîäîì. Íà ïðàêòèêå âñå èñòî÷íèêè ýíåðãèè ïåðåìåííîãî òîêà (ãåíåðàòîðû ýëåêòðîñòàíöèé) ñîçäàþò ÝÄÑ, èçìåíÿþùóþñÿ ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó (ðèñ. 2.1ä).

Ðèñ. 2.1

Ïåðåìåííûå ïåðèîäè÷åñêèå ÝÄÑ ðàçëè÷íîé ôîðìû ࠗ ïðÿìîóãîëüíîé; ᠗ òðàïåöåèäàëüíîé; ⠗ òðåóãîëüíîé; 㠗 ïðîèçâîëüíîé; 䠗 ñèíóñîèäàëüíîé.

Îñíîâíîå ïðåèìóùåñòâî òàêîãî çàêîíà èçìåíåíèÿ ÝÄÑ è íàïðÿæåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî â ïðîöåññå ïåðåäà÷è ýëåêòðîýíåðãèè íà áîëüøèå ðàññòîÿíèÿ (ñîòíè è äàæå òûñÿ÷è êèëîìåòðîâ) îò èñòî÷íèêà äî ïîòðåáèòåëÿ ïðè ìíîãîêðàòíîé òðàíñôîðìàöèè (èçìåíåíèè) íàïðÿæåíèÿ âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü íàïðÿæåíèÿ îñòàåòñÿ íåèçìåííîé, ò. å. ñèíóñîèäàëüíîé. Ñèíóñîèäàëüíûå ÝÄÑ, íàïðÿæåíèÿ è òîêè íà÷àëè øèðîêî ïðèìåíÿòü â ýëåêòðîòåõíèêå âî âòîðîé ïîëîâèíå XIX âåêà.  íàñòîÿùåå âðåìÿ ïðàêòè÷åñêè âñÿ âûðàáàòûâàåìàÿ ýëåêòðîýíåðãèÿ ÿâëÿåòñÿ ýíåðãèåé ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà. Ëèøü íåêîòîðóþ äîëþ ýòîé ýëåêòðîýíåðãèè ïðè èñïîëüçîâàíèè ïðåîáðàçóþò â ýíåðãèþ ïîñòîÿííîãî òîêà. Ëþáàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ âåëè÷èíà èìååò ðÿä õàðàêòåðíûõ çíà÷åíèé. Ìàêñèìàëüíûå çíà÷åíèÿ, èëè àìïëèòóäû, ÝÄÑ, íàïðÿæåíèÿ è òîêà îáîçíà÷àþò ñîîòâåòñòâåííî Em, Um, Im (ðèñ. 2.1ä). Çíà÷åíèå ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþùåéñÿ âåëè÷èíû â ðàññìàòðèâàåìûé ìîìåíò âðåìåíè íàçûâàþò ìãíîâåííûì åå çíà÷åíèåì è îáîçíà÷àþò e, u, i — ÝÄÑ, íàïðÿæåíèå è òîê ñîîòâåòñòâåííî. Ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíè堗 ÷àñòíûé ñëó÷àé ìãíîâåííîãî çíà÷åíèÿ. Âåëè÷èíó, îáðàòíóþ ïåðèîäó è ðàâíóþ ÷èñëó ïîëíûõ èçìåíåíèé ïåðèîäè÷åñêîé âåëè÷èíû çà 1 ñ, íàçûâàþò ÷àñòîòîé: f = 1/T.

(2.1)

 êà÷åñòâå åäèíèöû èçìåðåíèÿ ÷àñòîòû ïðèíÿò ãåðö (Ãö). Âî âñåõ ýíåðãîñèñòåìàõ íàøåé ñòðàíû è äðóãèõ åâðîïåéñêèõ ñòðàí â êà÷åñòâå ñòàíäàðòíîé ïðîìûøëåííîé ÷àñòîòû ïðèíÿòà ÷àñòîòà f = 50 Ãö, â ÑØÀ è ßïîíèè f = 60 Ãö. Ýòî îáåñïå÷èâàåò ïîëó÷åíèå îïòèìàëüíûõ ÷àñòîò âðàùåíèÿ ýëåêòðîäâèãàòåëåé ïåðåìåííîãî òîêà è îòñóòñòâèå çàìåòíîãî äëÿ ãëàçà ìèãàíèÿ îñâåòèòåëüíûõ ëàìï íàêàëèâàíèÿ. Íåêîòîðûå ýëåêòðîòåõíè÷åñêèå óñòðîéñòâà ðàáîòàþò ïðè áîëåå âûñîêîé ÷àñòîòå. Ïîâûøåííàÿ ÷àñòîòà (îáû÷íî 175–200 Ãö) ïîçâîëÿåò ñíèçèòü âåñ ýëåêòðîäâèãàòåëåé, ïðèìåíÿåìûõ äëÿ ïðèâîäà ýëåêòðîèíñòðóìåíòà è ñðåäñòâ àâòîìàòèêè.  óñòàíîâêàõ ñêâîçíîãî íàãðåâà ìåòàëëîâ äëÿ ãîðÿ÷åé øòàìïîâêè è êîâêè ïðèìåíÿþò ÷àñòîòó îò 500 äî 10 000 Ãö, à â óñòàíîâêàõ ïîâåðõíîñòíîãî 41

íàãðåâà ìåòàëëî⠗ îò 2000 äî 106 Ãö.  ðàäèîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâàõ ïðèìåíÿþò ÷àñòîòû îò 105 äî 3×1010 Ãö. Íàõîäÿò ïðèìåíåíèå òàêæå ñèíóñîèäàëüíûå òîêè ïîíèæåííîé ÷àñòîòû. ×àñòîòó f = 5…10 Ãö ïðèìåíÿþò â ìåòàëëóðãè÷åñêîé ïðîìûøëåííîñòè.  íåêîòîðûõ ñòðàíàõ äëÿ ýëåêòðîòÿãè íà æåëåçíûõ äîðîãàõ ïðèìåíÿþò ÷àñòîòó 162/3 Ãö. Ýëåêòðè÷åñêèå öåïè, â êîòîðûõ äåéñòâóþò ñèíóñîèäàëüíûå ÝÄÑ è òîêè, íàçûâàþò ýëåêòðè÷åñêèìè öåïÿìè ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà. Ê íèì îòíîñÿòñÿ ïîíÿòèÿ ñõåìû öåïè, êîíòóðà, âåòâè è óçëà, êîòîðûå áûëè äàíû ðàíåå äëÿ öåïåé ïîñòîÿííîãî òîêà. 2.2. ÏÎËÓ×ÅÍÈÅ ÑÈÍÓÑÎÈÄÀËÜÍÎÉ ÝÄÑ Ïîìåñòèì ïðÿìîóãîëüíóþ ðàìêó â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ñ ìàãíèòíîé èíäóêöèåé B = const (ðèñ. 2.2à). Ïëîùàäü ðàìêè Sm = bl, ãäå b — åå øèðèíà, à l — äëèíà. Ïðè âðàùåíèè ðàìêè ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ w ñöåïëåííûé ñ íåþ ìàãíèòíûé ïîòîê F áóäåò èçìåíÿòüñÿ â çàâèñèìîñòè îò óãëà ïîâîðîòà a = wt ðàìêè ïî çàêîíó (ðèñ. 2.2á): F = BSa = BSmcosa = Fmcoswt,

(2.2)

ãäå Sa = Smcosa — ïëîùàäü ðàìêè, ñöåïëåííàÿ ñ ìàãíèòíûì ïîòîêîì, Fm = BSm — ìàêñèìàëüíûé ìàãíèòíûé ïîòîê ðàìêè, êîãäà îíà çàíèìàåò ãîðèçîíòàëüíîå ïîëîæåíèå.

Ðèñ. 2.2

Ê ïðèíöèïó ïîëó÷åíèÿ ñèíóñîèäàëüíîé ÝÄÑ

42

Ñîãëàñíî çàêîíó ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè â ðàìêå áóäåò èíäóöèðîâàòüñÿ ÝÄÑ, èçìåíÿþùàÿñÿ ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó: 323

21 2 2 3 111 234 445 2 411 467 44 2 51 467 448 24 24

(2.3)

ãäå Em = wFm — àìïëèòóäíîå (ìàêñèìàëüíîå) çíà÷åíèå ÝÄÑ. Íàïðàâëåíèå ÝÄÑ â ïðîâîäíèêàõ îïðåäåëÿþò ïî ïðàâèëó ïðàâîé ðóêè.  ïðîñòåéøåì ãåíåðàòîðå êîíöû âèòêà ïðèñîåäèíÿþò ê âðàùàþùèìñÿ âìåñòå ñ íèì êîëüöàì 1 è 2, ïî êîòîðûì ñêîëüçÿò íåïîäâèæíûå ùåòêè 1¢ è 2¢. Îò ùåòîê îòõîäÿò ïðîâîäíèêè ê çàæèìàì ùèòêà ãåíåðàòîðà. Âðåìÿ îäíîãî îáîðîòà âèòêà ñîîòâåòñòâóåò ïåðèîäó T, à óãîë ïîâîðîòà ðàâåí wT. Ïðè ÷èñëå ïàð ïîëþñîâ p = 1 óãëîâàÿ ÷àñòîòà w èçìåíåíèÿ ñèíóñîèäàëüíîé ÝÄÑ ðàâíà óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ âèòêà. Ïðè áîëüøåì ÷èñëå ïàð ïîëþñîâ çà îäèí îáîðîò âèòêà ñèíóñîèäàëüíàÿ ÝÄÑ ñäåëàåò áîëüøåå ÷èñëî ïîëíûõ èçìåíåíèé, ò. å. ïåðèîä T áóäåò ìåíüøå âðåìåíè, íåîáõîäèìîãî äëÿ îäíîãî îáîðîòà âèòêà. Íà ðèñ. 2.3 ïîêàçàíû äâå ïàðû ïîëþñîâ (p = 2).  ýòîì ñëó÷àå óãëîâàÿ ÷àñòîòà â äâà ðàçà áîëüøå óãëîâîé ñêîðîñòè.  îáùåì ñëó÷àå w = 2pnp/60, ãäå 2pï/60 — óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ;  óãëîâàÿ ÷àñòîòà âðàùåíèÿ, îá/ìèí. Íà îñíîâàíèè ðàâåíñòâà wT = 2p (ñì. ðèñ. 2.1ä) è ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (2.1) ìîæíî ïîëó÷èòü ñîîòíîøåíèå ìåæäó óãëîâîé ñêîðîñòüþ w è ÷àñòîòîé f: w = 2p/T = 2pf,

(2.4)

ïðè÷åì f = pn/60. Ó ñîâðåìåííûõ ãåíåðàòîðîâ ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà îáìîòêà ñîñòîèò èç áîëüøîãî ÷èñëà ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ âèòêîâ.  êàæäîì èç íèõ èíäóöèðóþòñÿ ñèíóñîè-

Ðèñ. 2.3

Ïðèíöèïèàëüíàÿ ñõåìà ïðîñòåéøåãî ãåíåðàòîðà ñèíóñîèäàëüíîé ÝÄÑ ñ äâóìÿ ïàðàìè ïîëþñîâ

43

äàëüíûå ÝÄÑ, êîòîðûå, ñêëàäûâàÿñü, îáðàçóþò òàêæå ñèíóñîèäàëüíóþ ÝÄÑ, îïðåäåëÿåìóþ âûðàæåíèåì (2.3). Îáû÷íî îáìîòêà ðàñïîëîæåíà íà íåïîäâèæíîé ÷àñòè ãåíåðàòîðࠗ ñòàòîðå, à âðàùàþùèåñÿ ìàãíèòíûå ïîëþñû âìåñòå ñ îáìîòêîé âîçáóæäåíèÿ, ïèòàåìîé îò èñòî÷íèêà ïîñòîÿíÐèñ. 2.4 íîãî òîêà, ÿâëÿþòñÿ ðîòîðîì Ïðèíöèïèàëüíàÿ ñõåìà (ðèñ. 2.4). Ïîñòîÿííûé ïî îòïðîñòåéøåãî ãåíåðàòîðà ñèíóñîèäàëüíîé ÝÄÑ ñ íîøåíèþ ê ðîòîðó ìàãíèòíûé âðàùàþùèìèñÿ ïîëþñàìè ïîòîê âðàùàåòñÿ âìåñòå ñ íèì. Ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ â âîçäóøíîì çàçîðå ìåæäó ñòàòîðîì è ðîòîðîì íåîäèíàêîâà: îíà ìàêñèìàëüíà ïî îñè ïîëþñîâ, à ê èõ êðàÿì óìåíüøàåòñÿ ïî çàêîíó êîñèíóñà B = Bmcosa (óãîë a îòñ÷èòûâàþò îò îñåâîé ëèíèè ïîëþñîâ ðîòîðà). Ìàãíèòíûé ïîòîê, à ñëåäîâàòåëüíî, è ïîòîêîñöåïëåíèå ñ ëþáûì âèòêîì, èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè ïî çàêîíó F = Fmcoswt. ÝÄÑ, èíäóöèðóåìàÿ â âèòêå 21 323 2 411 123 44 2 51 123 444 24 ãäå Em = wFm. Òàêèì îáðàçîì, ÝÄÑ ãåíåðàòîðà òàêæå èçìåíÿåòñÿ ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó. 2.3. ÄÅÉÑÒÂÓÞÙÈÅ È ÑÐÅÄÍÈÅ ÇÍÀ×ÅÍÈß ÑÈÍÓÑÎÈÄÀËÜÍÛÕ ÝÄÑ, ÍÀÏÐßÆÅÍÈß È ÒÎÊÀ Êàê ïîñòîÿííûé, òàê è ñèíóñîèäàëüíûé òîêè èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ñîâåðøåíèÿ êàêîé-ëèáî ðàáîòû, â ïðîöåññå êîòîðîé ýëåêòðîýíåðãèÿ ïðåîáðàçóåòñÿ â äðóãèå âèäû ýíåðãèè (òåïëîâóþ, ìåõàíè÷åñêóþ è ò. ä.). Äëÿ êîëè÷åñòâåííîé îöåíêè ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà (ÝÄÑ è íàïðÿæåíèÿ), êîòîðûé â òå÷åíèå âðåìåíè íåïðåðûâíî ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿåòñÿ, èñïîëüçóþò çíà÷åíèå ïîñòîÿííîãî òîêà, ýêâèâàëåíòíîå çíà÷åíèþ ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà ïî ñîâåðøàåìîé ðàáîòå. Òàêîå çíà÷åíèå áóäåò äåéñòâóþùèì äëÿ ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà. 44

Äåéñòâóþùèì çíà÷åíèåì ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà íàçûâàþò òàêîå çíà÷åíèå ïîñòîÿííîãî òîêà, ïðè êîòîðîì â îäíîì è òîì æå ðåçèñòîðå ñ ñîïðîòèâëåíèåì R çà âðåìÿ îäíîãî ïåðèîäà T âûäåëÿåòñÿ ñòîëüêî æå òåïëîòû, ñêîëüêî è ïðè ñèíóñîèäàëüíîì òîêå. Ïðè ñèíóñîèäàëüíîì òîêå i = Imsinwt êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q~, âûäåëÿåìîå â ðåçèñòîðå R çà âðåìÿ T, 1

22 1 2 31 4564 3

à ïðè ïîñòîÿííîì òîêå

Q– = RI2T. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, Q– = Q~, òîãäà 21

1

3 1 3 454 1 22

(2.5)

Òàêèì îáðàçîì, äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà ÿâëÿåòñÿ åãî ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì çíà÷åíèåì çà âðåìÿ, ðàâíîå îäíîìó ïåðèîäó. ×òîáû íàéòè ñîîòíîøåíèå ìåæäó ìàêñèìàëüíûì è äåéñòâóþùèì çíà÷åíèÿìè ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà, íàäî âû÷èñëèòü èíòåãðàë â (2.5): 1

1

1

2

Òàê êàê

1

1

34 345 114 3 621 4 348 1 1 2 2

1 1 1 1 4 5 34 2 62 4 567 1434 2 62 4 2

3 234 511232 2 161 ïîëó÷àåì 1 1 32 321 1 1 4 56 1 56 1 3 2 1 2 1 2

2

Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â ôîðìóëó (2.5), ïîëó÷èì 2 2 1 1 1 1231321 4 (2.6) 5 Àíàëîãè÷íî, äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ÝÄÑ è íàïðÿæåíèé ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî

21 21

21 4 21 5

1 1231321 2

(2.7)

1 1231321 4

(2.8) 45

Äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ñèíóñîèäàëüíûõ âåëè÷èí â 1 ðàç ìåíüøå èõ àìïëèòóäíûõ çíà÷åíèé. Äëÿ ïåðèîäè÷åñêèõ âåëè÷èí, èçìåíÿþùèõñÿ ïî äðóãîìó çàêîíó, ýòî ñîîòíîøåíèå áóäåò äðóãèì. Äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà, ÝÄÑ è íàïðÿæåíèÿ îáîçíà÷àþò ïðîïèñíîé áóêâîé áåç èíäåêñîâ, êàê ïîñòîÿííûå òîê, ÝÄÑ è íàïðÿæåíèå.  áîëüøèíñòâå ýëåêòðîèçìåðèòåëüíûõ ïðèáîðîâ, èçìåðÿþùèõ òîê è íàïðÿæåíèå, èñïîëüçóåòñÿ ïðèíöèï òåïëîâîãî èëè ýëåêòðîäèíàìè÷åñêîãî ýôôåêòà. Ïîýòîìó îíè âñåãäà ïîêàçûâàþò äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå, çíàÿ êîòîðîå ìîæíî âû÷èñëèòü àìïëèòóäó ïî ôîðìóëàì (2.6)–(2.8). Òàê, íàïðèìåð, åñëè âîëüòìåòð ïîêàçûâàåò 220 Â ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ, òî àìïëèòóäà ýòîãî íàïðÿæåíèÿ ðàâíà 1 × 220 = 311 Â. Ïîä ñðåäíèì çíà÷åíèåì ñèíóñîèäàëüíîé âåëè÷èíû ïîíèìàþò åå ñðåäíåàðèôìåòè÷åñêîå çíà÷åíèå. Åñëè îïðåäåëÿòü ñðåäíåå çíà÷åíèå ñèíóñîèäàëüíûõ âåëè÷èí çà ïåðèîä, òî îíî áóäåò ðàâíî íóëþ, òàê êàê ïîëîæèòåëüíàÿ è îòðèöàòåëüíàÿ ïîëóâîëíû ñèíóñîèäàëüíûõ êðèâûõ ñîâïàäàþò ïî ôîðìå. Ïîýòîìó ñðåäíåå çíà÷åíèå ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà, ÝÄÑ è íàïðÿæåíèÿ îïðåäåëÿþò çà ïîëïåðèîäà. Çà ñðåäíåå çíà÷åíèå ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà ïðèíèìàþò òàêîå çíà÷åíèå ïîñòîÿííîãî òîêà, ïðè êîòîðîì çà ïîëïåðèîäà ïåðåíîñèòñÿ òàêîé æå ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä, ÷òî è ïðè ñèíóñîèäàëüíîì òîêå. Ñîãëàñíî ýòîìó ìîæíî íàïèñàòü 234

1 1 2

1 12

2 5

3456

(2.9)

ãäå Iñ𠗠ñðåäíåå çíà÷åíèå òîêà. Äëÿ ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà i = Imsinwt ñ ó÷åòîì (2.4) ïîëó÷èì 1 12 1 12 32 1 456 1 3 7 2 4 456 2 656 1 4 3 3 3 Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â (2.9), èìååì 3 212 1 21 1 4567821 9 2 Àíàëîãè÷íî, äëÿ ÝÄÑ è íàïðÿæåíèÿ 3 3 212 1 21 1 45678 21 9 312 1 31 1 4567831

2 2 46

Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, ñðåäíåå çíà÷åíèå ìåíüøå äåéñòâóþùåãî. Îòíîøåíèå äåéñòâóþùåãî çíà÷åíèÿ ê ñðåäíåìó íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì ôîðìû ïåðèîäè÷åñêîé êðèâîé. Äëÿ ñèíóñîèäàëüíîé êðèâîé êîýôôèöèåíò ôîðìû 21 1

1 2 45446 123

Äëÿ ïåðèîäè÷åñêîé êðèâîé, èìåþùåé ïðÿìîóãîëüíóþ ôîðìó (ñì. ðèñ. 2.1à), I = Iñð = Im è kô = 1. ×åì áîëüøå êîýôôèöèåíò ôîðìû êðèâîé îòëè÷àåòñÿ îò åäèíèöû, òåì áîëüøå êðèâàÿ îòëè÷àåòñÿ îò ïðÿìîóãîëüíîé ôîðìû, ò. å. èìååò áîëåå «ïèêîâûé» õàðàêòåð. 2.4. ÈÇÎÁÐÀÆÅÍÈÅ ÑÈÍÓÑÎÈÄÀËÜÍÛÕ ÝÄÑ, ÍÀÏÐßÆÅÍÈÉ È ÒÎÊΠ ÏÐßÌÎÓÃÎËÜÍÛÕ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒÀÕ Â îáùåì ñëó÷àå àðãóìåíò ñèíóñîèäàëüíîé ôóíêöèè, íàçûâàåìûé ôàçîâûì óãëîì èëè ïðîñòî ôàçîé, ðàâíûé wt + y èëè wt – y, ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îò íóëÿ ïðè t = 0. Òîãäà ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ ìîæíî çàïèñàòü òàê: e = Emsin(wt ± ye); u = Umsin(wt ± yu); i = Imsin(wt ± yi).

(2.10)

Çíà÷åíèå ôàçîâîãî óãëà ïðè t = 0 íàçûâàþò íà÷àëüíîé ôàçîé (ye, yu, yi). Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ñèíóñîèäàëüíîé ÝÄÑ â ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàòàõ áûëî ïîêàçàíî ðàíåå (ñì. ðèñ. 2.1ä). Àíàëîãè÷íî ýòîìó èçîáðàæàþò íàïðÿæåíèå è òîê, çàïèñûâàåìûå óðàâíåíèÿìè (2.10), êîãäà íà÷àëüíûå ôàçû ðàâíû íóëþ (ðèñ. 2.5).  ýòîì ñëó÷àå ñèíóñîèäàëüíûå âåëè÷èíû îäíîâðåìåííî ïðèíèìàþò íóëåâûå èëè ìàêñèìàëüíûå çíà÷åíèÿ. Πòàêèõ âåëè÷èíàõ ãîâîðÿò, ÷òî îíè ñîâïàäàþò ïî ôàçå. Ñèíóñîèäàëüíûå âåëè÷èíû áóäóò òàêæå ñîâïàäàòü ïî ôàçå, åñëè èõ íà÷àëüíûå ôàçû ðàâíû. Ðèñ. 2.5 Åñëè äâå ñèíóñîèäàëüíûå âå- Ñèíóñîèäàëüíûå íàïðÿæåíèå ëè÷èíû îäíîâðåìåííî ïðîõîäÿò è òîê, ñîâïàäàþùèå ïî ôàçå 47

Ðèñ. 2.6

Ñèíóñîèäàëüíûå ÝÄÑ è íàïðÿæåíèå, íàõîäÿùèåñÿ â ïðîòèâîôàçå

Ðèñ. 2.7

Ñèíóñîèäàëüíûå ÝÄÑ, íå ñîâïàäàþùèå ïî ôàçå

÷åðåç íóëåâûå çíà÷åíèÿ è îäíîâðåìåííî ïðèíèìàþò ìàêñèìàëüíûå çíà÷åíèÿ ïðîòèâîïîëîæíûõ çíàêîâ, òî òàêèå âåëè÷èíû íàõîäÿòñÿ â ïðîòèâîôàçå èëè ñäâèíóòû ïî ôàçå íà óãîë p (ðèñ. 2.6). Íà ïðàêòèêå ÷àùå âñåãî èìåþò ìåñòî ñëó÷àè, êîãäà ÝÄÑ, íàïðÿæåíèÿ è òîêè íå ñîâïàäàþò ïî ôàçå, ò. å. ÷åðåç íóëåâûå çíà÷åíèÿ ïðîõîäÿò íå îäíîâðåìåííî (ðèñ. 2.7). Åñëè òàêèå ÝÄÑ îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè

1

2

21 3 311 345 44 5 6 21 6

1

2

22 3 321 345 44 5 6 22 7

òî ïðè 1 11 2 1 12 ÝÄÑ e2 îïåðåæàåò ïî ôàçå ÝÄÑ e1, èëè ÝÄÑ e1 îòñòàåò ïî ôàçå îò ÝÄÑ e2. Ðàçíîñòü ôàçîâûõ óãëîâ, ðàâíóþ ðàçíîñòè íà÷àëüíûõ ôàç

1 1 2 1 11 3 1 12 1

(2.11)

íàçûâàþò ðàçíîñòüþ èëè ñäâèãîì ôàç. Ñ ïîìîùüþ ãðàôè÷åñêîãî èçîáðàæåíèÿ â ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàòàõ ìîæíî íàõîäèòü îïåðåæàþùóþ è îòñòàþùóþ ñèíóñîèäàëüíûå âåëè÷èíû. Ïðè ýòîì ïîëüçóþòñÿ òàêèì ïðàâèëîì. Îòñòàåò ïî ôàçå òà èç äâóõ ñèíóñîèäàëüíûõ âåëè÷èí, êîòîðàÿ ïðè ïåðåõîäå îò îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé ê ïîëîæèòåëüíûì ïîçæå (ïðàâåå) ïåðåñåêàåò îñü àáñöèññ. Íà ðèñ. 2.7 ÝÄÑ e1 îòñòàåò ïî ôàçå îò ÝÄÑ e2. Ôàçîâûé óãîë, îïðåäåëÿåìûé îòðåçêîì îñè àáñöèññ, çàêëþ÷åííûì ìåæäó òî÷êàìè ïåðåñå÷åíèÿ åå ñèíóñîèäàëüíûìè êðèâûìè, ÿâëÿåòñÿ óãëîì ñäâèãà ïî ôàçå (óãîë ye). Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä: åñëè ñèíóñîèäàëüíàÿ âåëè÷èíà ïðè ïåðåõîäå îò îòðèöàòåëüíûõ çíà÷å48

íèé ê ïîëîæèòåëüíûì ïåðåñåêàåò îñü àáñöèññ ëåâåå îñè îðäèíàò, òî îíà èìååò ïîëîæèòåëüíóþ íà÷àëüíóþ ôàçó, à åñëè ïðàâå堗 òî îòðèöàòåëüíóþ. Íàïðèìåð, ÝÄÑ, èçîáðàæåííûå íà ðèñ. 2.8, îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè 21 3 311 345 4 4 5 6 21 6

1 2 22 3 321 345 1 4 4 7 6 2 2 7 2

Îñîáîå çíà÷åíèå â ýëåêòðîòåõíèêå è ýëåêòðîýíåðãåòèêå èìååò ñäâèã ïî ôàçå j ìåæäó íàïðÿæåíèåì è òîêîì.  ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (2.11)

Ðèñ. 2.8

Ñèíóñîèäàëüíûå ÝÄÑ ñ ïîëîæèòåëüíîé è îòðèöàòåëüíîé íà÷àëüíûìè ôàçàìè

j = yu – yi, ãäå yu è yi — íà÷àëüíûå ôàçû íàïðÿæåíèÿ è òîêà. Åñëè íà÷àëüíóþ ôàçó òîêà âûðàçèòü ÷åðåç íà÷àëüíóþ ôàçó íàïðÿæåíèÿ: yi = yu – j, òî íàïðÿæåíèå è òîê áóäóò îïèñûâàòüñÿ óðàâíåíèÿìè

Ðèñ. 2.9

u = Umsin(wt + yu); i = Imsin(wt + yu – j).

Ñèíóñîèäàëüíûå íàïðÿæåíèå è òîê, ñäâèíóòûå ïî ôàçå íà j

Åñëè yu = 0, òî u = Umsinwt; i = Imsin(wt – j). Ýòè óðàâíåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî åñëè óãîë j ïîëîæèòåëüíûé, òî òîê îòñòàåò ïî ôàçå îò íàïðÿæåíèÿ íà ýòîò óãîë (ðèñ. 2.9), è íàîáîðîò. Ïðè ñëîæåíèè ñèíóñîèäàëüíûõ âåëè÷èí, èçîáðàæåííûõ â ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàòàõ, íàäî ñëîæèòü îðäèíàòû äëÿ ðÿäà çíà÷åíèé óãëà wt è ïî òî÷êàì ïîñòðîèòü ñèíóñîèäó ñóììàðíîé âåëè÷èíû. ×åì áîëüøå

Ãðàôè÷åñêîå ñëîæåíèå ñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ

Ðèñ. 2.10

49

òî÷åê áåðóò äëÿ ïîñòðîåíèÿ, òåì òî÷íåå ñëîæåíèå. Íà ðèñ. 2.10 ïîêàçàíî ñëîæåíèå äâóõ òîêîâ i1 è i2. Ñóììàðíûé òîê i = Imsin(wt + yi), ïðè÷åì Im ¹ I1m + I2m, à yi ¹ yi2 – yi1. 2.5. ÂÅÊÒÎÐÍÎÅ ÈÇÎÁÐÀÆÅÍÈÅ ÑÈÍÓÑÎÈÄÀËÜÍÛÕ ÝÄÑ, ÍÀÏÐßÆÅÍÈÉ È ÒÎÊΠÃðàôè÷åñêîå ïîñòðîåíèå ñèíóñîèäàëüíûõ âåëè÷èí â ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàòàõ ÿâëÿåòñÿ äîâîëüíî òðóäîåìêîé îïåðàöèåé. Ãðàôè÷åñêîå ñëîæåíèå äâóõ (èëè áîëåå) òàêèõ âåëè÷èí òðåáóåò áîëüøèõ çàòðàò âðåìåíè, à õîðîøàÿ òî÷íîñòü ïðè îïðåäåëåíèè àìïëèòóäû ñóììàðíîé âåëè÷èíû è åå íà÷àëüíîé ôàçû ìîæåò áûòü äîñòèãíóòà ëèøü ïóòåì ñëîæåíèÿ î÷åíü áîëüøîãî ÷èñëà ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé ñëàãàåìûõ. Çíà÷èòåëüíî ïðîùå ñêëàäûâàòü äâå ñèíóñîèäàëüíûå âåëè÷èíû, èçìåíÿþùèåñÿ ñ îäèíàêîâîé ÷àñòîòîé, ïðåäñòàâèâ èõ âðàùàþùèìèñÿ âåêòîðàìè.  ïëîñêîñòè ñ îñÿìè êîîðäèíàò OX è OY (ðèñ. 2.11à) ðàññìîòðèì âðàùàþùèéñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ, ðàâíîé óãëîâîé ÷àñòîòå w, âåêòîð OA, äëèíà êîòîðîãî ðàâíà àìïëèòóäå ñèíóñîèäàëüíîé ÝÄÑ e = Emsin(wt + ye), ò. å. |OA| = Em. Çà ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå âðàùåíèÿ âåêòîðà OA ïðèíèìàåì íàïðàâëåíèå, ïðîòèâîïîëîæíîå âðàùåíèþ ÷àñîâîé ñòðåëêè, à óãîë ïîâîðîòà âåêòîðà îòñ÷èòûâàåì îò а

б

Ðèñ. 2.11

Âåêòîðíîå èçîáðàæåíèå ñèíóñîèäàëüíûõ ÝÄÑ à — âðàùàþùèéñÿ âåêòîð; ᠗ êðèâàÿ èçìåíåíèÿ åãî ïðîåêöèè íà îñü OY.

50

îñè OX.  íà÷àëüíîì ïîëîæåíèè (ïðè t = 0) âåêòîð OA ïîâåðíóò ïî îòíîøåíèþ ê îñè OX íà óãîë ye. Ïîñòðîèì ïðîåêöèè âåêòîðà OA íà îñü OY (ðèñ. 2.11á), êîòîðûå èçìåíÿþòñÿ ïî ìåðå ïîâîðîòà âåêòîðà íà óãîë wt ïî îòíîøåíèþ ê íà÷àëüíîìó ïîëîæåíèþ.  íà÷àëüíîì ïîëîæåíèè ïðîåêöèÿ OA0 = OAsinye = Emsin ye = e0, ò. å. ðàâíà ìãíîâåííîìó çíà÷åíèþ ÝÄÑ ïðè t = 0. ×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ âåêòîð OA ïîâåðíåòñÿ íà óãîë wt1 è áóäåò ñîñòàâëÿòü ñ îñüþ OX óãîë wt1 + ye. Ïðîåêöèÿ åãî íà îñü OY: OA1 = OA sin(wt + ye) = Emsin(wt1 + ye) = e1, ò. å. ðàâíà ìãíîâåííîìó çíà÷åíèþ ÝÄÑ ïðè t = t1. Ïðè t = t2 âåêòîð OA íàïðàâëåí ïî îñè OY è åãî ïðîåêöèÿ OA = Em = e2. Ïðè äàëüíåéøåì âðàùåíèè âåêòîðà OA åãî ïðîåêöèè íà îñü OY íà÷íóò óìåíüøàòüñÿ, çàòåì ñòàíóò îòðèöàòåëüíûìè è ò. ä. Òàêèì îáðàçîì, ïðîåêöèè íà îñü OY âåêòîðà, âðàùàþùåãîñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ w è èìåþùåãî äëèíó, ðàâíóþ àìïëèòóäå ÝÄÑ, èçìåíÿþòñÿ ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó, ò. å. ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ ñèíóñîèäàëüíîé ÝÄÑ. Ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå: ëþáóþ ñèíóñîèäàëüíî èçìåíÿþùóþñÿ âî âðåìåíè âåëè÷èíó ìîæíî èçîáðàæàòü âðàùàþùèìñÿ âåêòîðîì, äëèíà êîòîðîãî ðàâíà àìïëèòóäå, à óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ — óãëîâîé ÷àñòîòå ýòîé ñèíóñîèäàëüíîé âåëè÷èíû. Íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå âðàùàþùåãîñÿ âåêòîðà îïðåäåëÿåòñÿ óãëîì, ðàâíûì íà÷àëüíîé ôàçå ñèíóñîèäàëüíîé âåëè÷èíû è îòêëàäûâàåìûì îò ïîëîæèòåëüíîãî íàïðàâëåíèÿ îñè OX â ñòîðîíó, ïðîòèâîïîëîæíóþ âðàùåíèþ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Âåêòîðàìè ìîæíî èçîáðàæàòü ñèíóñîèäàëüíûå ÝÄÑ, íàïðÿæåíèÿ, ïîòåíöèàëû è òîêè.  îäíèõ è òåõ æå êîîðäèíàòàõ OX è OY ìîæíî ïðåäñòàâèòü âåêòîðû âñåõ ÝÄÑ, äåéñòâóþùèõ â äàííîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, íàïðÿæåíèé íà âñåõ ó÷àñòêàõ ýòîé öåïè è òîêîâ âî âñåõ åå âåòâÿõ. Òàê êàê âñå ÝÄÑ, íàïðÿæåíèÿ è òîêè èìåþò îäèíàêîâóþ ÷àñòîòó, òî èçîáðàæàþùèå èõ âåêòîðû âðàùàþòñÿ ñ îäèíàêîâîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ. Èõ âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå íà ïëîñêîñòè îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì. Ïîýòîìó âåêòîðû íà ïðàêòèêå íå âðàùàþò, à ñòðîÿò èõ, ñîáëþäàÿ óãëû ìåæäó âåêòîðàìè, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé óãëû ñäâèãà ôàç. Îòêàçàâøèñü îò âðàùåíèÿ âåêòîðîâ, ìîæíî ñòðîèòü âåêòîðû íå òîëüêî ìàêñèìàëüíûõ, íî è äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé. Íàéäåì ñóììó äâóõ ÝÄÑ, èìåþùèõ ðàçíûå àìïëèòóäû è íà÷àëüíûå ôàçû (ðèñ. 2.12à): 51

1

2

1

2

21 3 311345 44 5 6 21 6 22 3 321 345 44 5 6 22 7 Ïðîåêöèè ñëàãàåìûõ âåêòîðîâ íà îñü OY ðàâíû ìãíîâåííûì çíà÷åíèÿì e1 è e2 ñëàãàåìûõ ÝÄÑ. Ìãíîâåííîå çíà÷åíèå ñóììàðíîé ÝÄÑ e = e1 + e2, ò. å. ðàâíî ñóììå ïðîåêöèé ñëàãàåìûõ âåêòîðîâ íà îñü OY. Êàê èçâåñòíî, ñóììà ïðîåêöèé âåêòîðîâ íà êàêóþ-ëèáî èç îñåé ðàâíà ïðîåêöèè èõ ãåîìåòðè÷åñêîé ñóììû íà ýòó æå îñü. Ñëåäîâàòåëüíî, íàäî ñëîæèòü ãåîìåòðè÷åñêè (ïî ïðàâèëó ïàðàëëåëîãðàììà) âåêòîðû ñëàãàåìûõ ÝÄÑ E1m è E2m è íàéòè âåêòîð ñóììàðíîé ÝÄÑ Em = E1m + E2m. Äëèíà ýòîãî âåêòîðà ðàâíà àìïëèòóäå èñêîìîé ÝÄÑ, à óãîë ye ìåæäó íèì è îñüþ OX ðàâåí åå íà÷àëüíîé ôàçå. Îïðåäåëèâ àìïëèòóäó è íà÷àëüíóþ ôàçó, íàõîäèì ñóììàðíóþ ÝÄÑ: e = Emsin(wt + ye). Òàê êàê ñëàãàåìûå ÝÄÑ èìåþò îäèíàêîâóþ ÷àñòîòó w, òî òàêóþ æå ÷àñòîòó áóäåò èìåòü è ñóììàðíàÿ ÝÄÑ. Ãåîìåòðè÷åñêîå ñëîæåíèå âåêòîðîâ äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé E1 è E2 òåõ æå ÝÄÑ ïîêàçàíî íà ðèñ. 2.12á.  ñâÿçè ñ îòñóòñòâèåì íåîáõîäèìîñòè âðàùåíèÿ âåêòîðîâ îòïàäàåò íåîáõîäèìîñòü â èçîáðàæåíèè îñåé êîîðäèíàò. Èíòåðåñóÿñü òîëüêî âçàèìíûì ðàñïîëîæåíèåì âåêòîðîâ, îäèí èç íèõ ìîæíî ïðîâîäèòü â ëþáîì íàïðàâëåíèè. Îáû÷íî íà÷àëüíûé âåêòîð äëÿ óäîáñòâà ðàñïîëàãàþò ãîðèçîíòàëüíî (ðèñ. 2.12â) èëè âåðòèêàëüíî. Ïðè ïîñòðîåE Y

а

б

Y

E

E

E E

E

X

X

E

E

E

Ðèñ. 2.12

Ãåîìåòðè÷åñêîå ñëîæåíèå âðàùàþùèõñÿ âåêòîðîâ ࠗ ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèé ÝÄÑ; ᠗ äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé ÝÄÑ ïðè ïðîèçâîëüíîì ðàñïîëîæåíèè âåêòîðîâ; ⠗ äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé ÝÄÑ ïðè ðàñïîëîæåíèè íà÷àëüíîãî âåêòîðà E1 ïî ãîðèçîíòàëüíîé ëèíèè.

52

íèè îñòàëüíûõ âåêòîðîâ ñîáëþäàþò èõ ïðà- U âèëüíîå âçàèìíîå ïîëîæåíèå. Ñîâîêóïíîñòü âåêòîðîâ ÝÄÑ, íàïðÿæåíèé è òîêîâ, ÿâëÿþùèõñÿ èçîáðàæåíèÿìè ÝÄÑ, íàïðÿæåíèé è òîêîâ îäèíàêîâîé ÷àñI òîòû, äåéñòâóþùèõ â êàêîé-òî ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ïîñòðîåííûõ ñ ó÷åòîì èõ ïðàâèëüíîãî âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ íà ïëîñêîñòè, íàçûâàþò âåêòîðíîé äèàãðàììîé. Äëÿ ïðîñòåéøåé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, Ðèñ. 2.13 ñîñòîÿùåé èç îäíîãî ýëåìåíòà, íà çàæèÂåêòîðíàÿ ìàõ êîòîðîãî äåéñòâóåò íàïðÿæåíèå u = äèàãðàììà = Umsin(wt + yu) è òîê â êîòîðîì i = Imsin(wt + ïðîñòåéøåé ýëåêòðè÷åñ+ yi) = Imsin(wt + yu – j) îòñòàåò ïî ôàçå íà êîé öåïè óãîë j îò íàïðÿæåíèÿ, âåêòîðíàÿ äèàãðàììà èìååò âèä, ïðåäñòàâëåííûé íà ðèñ. 2.13. Íà÷àëüíûå ôàçû íàïðÿæåíèÿ (yu) è òîêà (yi) íà âåêòîðíîé äèàãðàììå íèêàê íå èçîáðàæàþòñÿ, òàê êàê âçàèìíîå ïîëîæåíèå âåêòîðîâ ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ðàçíîñòüþ ôàç j = yu – yi. 2.6. ÊÎÌÏËÅÊÑÍÛÉ ÌÅÒÎÄ ÐÀÑ×ÅÒÀ Ñèíóñîèäàëüíûå ôóíêöèè (òîê, íàïðÿæåíèå, ÝÄÑ) î÷åíü ïðîñòû, íî èõ ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå è îïåðàöèè ñ íèìè òðóäîåìêè è íåäîñòàòî÷íî òî÷íû. Ýòè îïåðàöèè ìîæíî ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü, åñëè ñèíóñîèäàëüíûå ôóíêöèè âðåìåíè èçîáðàçèòü êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè. Èç êóðñà ìàòåìàòèêè èçâåñòíî, ÷òî ëþáîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî A ìîæíî ïðåäñòàâèòü: 4 123431567891 7 397 2 6 25 7 1255 8 823439 679 7 397 2 6 2 1  3 7 1  3 2 9 (2.12) 13 8 42343 11753973 2 6 23 

62 47 9313 57 35   39 3 !"2#

ãäå j =  11  — ìíèìàÿ åäèíèöà, A¢ = Âe(A) = Acosa — ðåàëüíàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà A (ïðîåêöèÿ âåêòîðà OA íà îñü âåùåñòâåííûõ); A¢¢ = = Ám(A) = Asina — ìíèìàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà A (ïðîåêöèÿ âåêòîðà OA íà îñü ìíèìûõ); 1 2 1 2

1 11 3 1 111  — ìîäóëü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà; 53

ìíîæèòåëü eja = cosa + jsina íàçûâàþò ôîðìóëîé Ýéëåðà; a = = arg(A) — ãëàâíîå çíà÷åíèå àðãóìåíòà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà, ïðè÷åì

Ðèñ. 2.14

Èçîáðàæåíèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè

2 412345 567 412345 

1 11 6 11 1 11 8 96 11

1 1 3 76 1 1 78

(2.13)

Óãîë a îòñ÷èòûâàþò îò ïîëîæèòåëüíîãî íàïðàâëåíèÿ îñè âåùåñòâåííûõ (îñü Âe). Ïîëîæèòåëüíûé óãîë îòñ÷èòûâàþò â íàïðàâëåíèè, ïðîòèâîïîëîæíîì äâèæåíèþ ÷àñîâîé ñòðåëêè, îòðèöàòåëüíû頗 â íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Ìíîæèòåëü eja íàçûâàþò òàêæå îïåðàòîðîì ïîâîðîòà. Óìíîæåíèå ëþáîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà íà eja ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ åãî àðãóìåíòà íà óãîë a è ïîâîðîòó âåêòîðà, ñîîòâåòñòâóþùåãî ýòîìó ÷èñëó, íà òîò æå óãîë â ïîëîæèòåëüíîì èëè îòðèöàòåëüíîì íàïðàâëåíèè îòíîñèòåëüíî ïîëîæèòåëüíîãî íàïðàâëåíèÿ îñè âåùåñòâåííûõ. Ïîñêîëüêó e±jp/2 = ±j, òî óìíîæåíèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà A íà j ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ åãî àðãóìåíòà íà p/2 è ïîâîðîòó âåêòîðà, èçîáðàæàþùåãî êîìïëåêñíîå ÷èñëî A, íà óãîë p/2 â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè, à óìíîæåíèå íà -j — ê óìåíüøåíèþ àðãóìåíòà íà p/2 è ïîâîðîòó âåêòîðà íà òîò æå óãîë â îòðèöàòåëüíîì íàïðàâëåíèè (ðèñ. 2.14). Äâà êîìïëåêñíûõ ÷èñëà, èìåþùèå ðàâíûå ìîäóëè è ðàâíûå, íî ïðîòèâîïîëîæíûå ïî çíàêó àðãóìåíòû, íàçûâàþò ñîïðÿæåííûìè. Äëÿ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà A = A¢ + + jA¢¢ = Aeja ñîïðÿæåííûì ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëî A* = A¢ – jA¢¢ = Ae–ja, ïðè÷åì AA* = A2. Ðàññìîòðèì ñèíóñîèäàëüíûé òîê i = Imsin(wt + yi) è êîìïëåêñíîå ÷èñëî Ðèñ. 2.15 Èçîáðàæåíèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà âðàùàþùèìñÿ âåêòîðîì íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè

54

43 5

1 1 3 2 45 1 2

6 43 5 15 5 132 6 43 5 132 1 1

ìîäóëü è àðãóìåíò êîòîðîãî ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû àìïëèòóäå è ôàçå ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà.

Ñ îäíîé ñòîðîíû, äàííîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî ïðåäñòàâëÿåò àíàëèòè÷åñêóþ çàïèñü âåêòîðà ñ ìîäóëåì Im, âðàùàþùåãîñÿ â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ w, ðàâíîé óãëîâîé ÷àñòîòå ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà, â íàïðàâëåíèè, ïðîòèâîïîëîæíîì äâèæåíèþ ÷àñîâîé ñòðåëêè (ðèñ. 2.15). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äàííîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî, ñîãëàñíî ôîðìóëå Ýéëåðà, ìîæíî ïðåäñòàâèòü â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå:

53 6

1 1 32 451 2

6 53 123 1 32 4 54 2 4 153 345 1 32 4 54 2 6

Ñðàâíèâàÿ ïîñëåäíåå ñ ôîðìóëîé äëÿ òîêà i  = = Imsin(wt + yi), âèäíî, ÷òî

1

4 6 71 53 6

1 1 3 2 45 1 2

2 6 71 1 5 6 2 2 3

13 2

ò. å. ñèíóñîèäàëüíûé òîê ðàâåí ïðîåêöèè íà îñü ìíèìûõ âðàùàþùåãîñÿ âåêòîðà, èçîáðàæàþùåãî êîìïëåêñíîå ÷èñëî. Òàêèì îáðàçîì, ñèíóñîèäàëüíîìó òîêó i (îðèãèíàëó) ìîæåò áûòü ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå êîìïëåêñíîå ÷èñëî (èçîáðàæåíèå) Imejwt. Óñëîâíàÿ çàïèñü òàêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ èìååò âèä (2.14) 4 2 5 3 6 1 12 1 Àíàëîãè÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìîãóò áûòü âûïîëíåíû äëÿ ñèíóñîèäàëüíûõ íàïðÿæåíèé è ÝÄÑ:

4 2 5 3 6 112 1 26 2 73 6 112 3

(2.14à)

Íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, èçîáðàæàþùèìè ñèíóñîèäàëüíûå ÝÄÑ, íàïðÿæåíèÿ è òîêè, ìîæíî ïðîèçâîäèòü âñå àëãåáðàè÷åñêèå äåéñòâèÿ. Ïðè ñëîæåíèè è âû÷èòàíèè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë óäîáíåå ïîëüçîâàòüñÿ àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìîé çàïèñè, à ïðè óìíîæåíèè, äåëåíèè, âîçâåäåíèè â ñòåïåíü è èçâëå÷åíèè êîðíå頗 ïîêàçàòåëüíîé ôîðìîé çàïèñè â ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâíåíèÿìè (2.12). Êîìïëåêñíîå ÷èñëî 4 2 3 42 5 11 3 42 1231 3 4 142 3451 3 3 422 4 14222 6 1

(2.15)

ìîäóëü è àðãóìåíò êîòîðîãî ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû àìïëèòóäå è íà÷àëüíîé ôàçå ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà, íàçûâàþò êîìïëåêñíîé àìïëèòóäîé òîêà. Êîìïëåêñíûì äåéñòâóþùèì òîêîì (êîìïëåêñíûì òîêîì) íàçûâàþò êîìïëåêñíîå ÷èñëî 55

43

42

3 45 11 3 412313 4 1434513 3 4 2 4 14 226 (2.15à) 1

7 Àíàëîãè÷íî êîìïëåêñíûå àìïëèòóäû è êîìïëåêñíûå äåéñòâóþùèå íàïðÿæåíèÿ è ÝÄÑ ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû 3 2 3 32 4 111 1 23 3 34 111 124 (2.15á) 5 52 3 52 4 112 1 2 5 3 54 112 3 46 Òàêèì îáðàçîì, ïðè èçîáðàæåíèè ñèíóñîèäàëüíûõ âåëè÷èí êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè â ïîêàçàòåëüíîé ôîðìå çàïèñè â êà÷åñòâå ìîäóëÿ ñëåäóåò áðàòü àìïëèòóäó (èëè äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå) ñèíóñîèäàëüíîé âåëè÷èíû, à â êà÷åñòâå àðãóìåíòࠗ åå íà÷àëüíóþ ôàçó. Ðåæèì ðàáîòû ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ïåðåìåííîãî òîêà, êàê ïðàâèëî, îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé ñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ, íàïðÿæåíèé è ÝÄÑ, ÷ëåíàìè êîòîðûõ ìîãóò áûòü ïðîèçâîäíûå ëþáîãî ïîðÿäêà è èíòåãðàëû îò ñèíóñîèäàëüíûõ ôóíêöèé âðåìåíè. Ïîñêîëüêó ïðîèçâîäíûå ëþáîãî ïîðÿäêà è èíòåãðàëû îò ñèíóñîèäàëüíûõ ôóíêöèé òàêæå ÿâëÿþòñÿ ñèíóñîèäàëüíûìè ôóíêöèÿìè, òî èì, êàê è ñèíóñîèäàëüíûì òîêàì, íàïðÿæåíèÿì è ÝÄÑ, ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå êîìïëåêñíûå ÷èñëà, ÿâëÿþùèåñÿ èçîáðàæåíèÿìè ýòèõ âåëè÷èí. Òàê, äëÿ ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà, äëÿ êîòîðîãî èìååì 4 2 5 3 6 112 1 ïîëó÷èì 56 51 6 1 1 74 8 233 4 (2.16) 4 2374 8 233 233 1 4 1 23 2 74 8 233 233 5 653 4 53 23 53 Òàêèì îáðàçîì, ïðîèçâîäíîé îò ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå êîìïëåêñíîå ÷èñëî, èçîáðàæàþùåå ýòîò ñèíóñîèäàëüíûé òîê, óìíîæåííîå íà jw, à èíòåãðàëó îò ñèíóñîèäàëüíîãî òîêࠗ êîìïëåêñíîå ÷èñëî, èçîáðàæàþùåå ñèíóñîèäàëüíûé òîê, äåëåííîå íà jw. Àíàëîãè÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìîãóò áûòü âûïîëíåíû è äëÿ ñèíóñîèäàëüíûõ íàïðÿæåíèé è ÝÄÑ. Êîìïëåêñíûé ìåòîä ðàñ÷åòà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà ïðèìåíèì òîëüêî ïðè óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìàõ ðàáîòû öåïåé è îñíîâàí íà èñïîëüçîâàíèè ïðåîáðàçîâàíèé (2.14)–(2.16). Ñóùíîñòü åãî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî, èñïîëüçóÿ óêàçàííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ ôóíêöèé âðåìåíè ìîæíî çàìåíèòü ñèñòåìîé àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ êîìïëåêñíûìè òîêàìè, íàïðÿæåíèÿìè è ÝÄÑ. 56

Ïåðåõîä îò äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ê àëãåáðàè÷åñêèì óðàâíåíèÿì ñ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè îñóùåñòâëÿþò çàìåíîé â íèõ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé òîêà i, íàïðÿæåíèÿ u è ÝÄÑ e êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè â ñîîòâåòñòâèè ñ (2.14) è (2.14à), à ïðîèçâîäíûõ è èíòåãðàëîâ îò íèõ — êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè â ñîîòâåòñòâèè ñ (2.16). Òàê êàê êîìïëåêñíûå àìïëèòóäû òîêà, íàïðÿæåíèÿ è ÝÄÑ è êîìïëåêñíûå äåéñòâóþùèå òîêè, íàïðÿæåíèÿ è ÝÄÑ ìîæíî èçîáðàæàòü âåêòîðàìè íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, òî ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïîëåçíî ñîïðîâîæäàòü ïîñòðîåíèåì âåêòîðíûõ äèàãðàìì, ïîä êîòîðûìè ïîíèìàþò ñîâîêóïíîñòü âåêòîðîâ íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, èçîáðàæàþùèõ ñèíóñîèäàëüíî èçìåíÿþùèåñÿ ôóíêöèè âðåìåíè îäíîé è òîé æå ÷àñòîòû è ïîñòðîåííûõ ñ ñîáëþäåíèåì ïðàâèëüíîé èõ îðèåíòàöèè îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà ïî ôàçå, ÷òî â ðÿäå ñëó÷àåâ ïîçâîëÿåò âûÿâèòü îøèáêè ðàñ÷åòà. Íà âåêòîðíûõ äèàãðàììàõ ïðèíÿòî èçîáðàæàòü âåêòîðû êîìïëåêñíûõ òîêîâ, íàïðÿæåíèé è ÝÄÑ èëè êîìïëåêñíûå àìïëèòóäû ýòèõ âåëè÷èí äëÿ ìîìåíòà âðåìåíè t = 0.  îòëè÷èå îò ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, òàêèõ êàê òîê, íàïðÿæåíèå, ÝÄÑ, êîìïëåêñíûå òîê I, íàïðÿæåíèå U, ÝÄÑ E è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðîèçâîäíûå îò íèõ, à òàêæå êîìïëåêñíûå ñîïðîòèâëåíèå Z, ïðîâîäèìîñòü  Y è äð. íå ÿâëÿþòñÿ ôèçè÷åñêèìè âåëè÷èíàìè è ïîýòîìó íå èìåþò íèêàêîãî ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà, à çíà÷èò, è åäèíèö èçìåðåíèÿ.  òî æå âðåìÿ çàìåíà ñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ, íàïðÿæåíèé è ÝÄÑ ñîîòâåòñòâóþùèìè èì êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ è ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâàõ ïåðåìåííîãî òîêà â óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìàõ. 2.7. ÇÀÊÎÍÛ ÊÈÐÕÃÎÔÀ ÄËß ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÎÉ ÖÅÏÈ ÑÈÍÓÑÎÈÄÀËÜÍÎÃÎ ÒÎÊÀ Äëÿ öåïåé ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà òàêæå ñïðàâåäëèâû çàêîíû Êèðõãîôà, ñôîðìóëèðîâàííûå ðàíåå äëÿ öåïåé ïîñòîÿííîãî òîêà. Íî òàê êàê ñèíóñîèäàëüíûå âåëè÷èíû (ÝÄÑ, íàïðÿæåíèå, òîê) õàðàêòåðèçóþòñÿ ìãíîâåííûìè, 57

ìàêñèìàëüíûìè è äåéñòâóþùèìè çíà÷åíèÿìè, òî äëÿ êàæäîãî èç íèõ ñóùåñòâóþò ñâîè ôîðìóëèðîâêè çàêîíîâ Êèðõãîôà. Äëÿ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé çàêîíû Êèðõãîôà ñïðàâåäëèâû â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå. Ïåðâûé çàêîí Êèðõãîôà (äëÿ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé). Àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé òîêîâ â 1 óçëå ðàâíà íóëþ: 2 32 1 23 2 11

ãäå n — êîëè÷åñòâî âåòâåé, ïîäêëþ÷åííûõ ê óçëó. Âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà (äëÿ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé). Àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà ÝÄÑ â êîíòóðå ðàâíà àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ïàäåíèé íàïðÿæåíèé â ýòîì êîíòóðå: 1

2

3 11

3 11

2 43 1 2 53 2

ãäå n — êîëè÷åñòâî èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ â êîíòóðå, à m — êîëè÷åñòâî ïàññèâíûõ ýëåìåíòîâ â ýòîì æå êîíòóðå. Äëÿ ìàêñèìàëüíûõ è äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé çàêîíû Êèðõãîôà ñïðàâåäëèâû òîëüêî â âåêòîðíîé èëè êîìïëåêñíîé ôîðìå. Ïåðâûé çàêîí Êèðõãîôà (â êîìïëåêñíîé ôîðìå). Ñóììà êîìïëåêñíûõ òîêîâ â óçëå ðàâíà íóëþ: 1

2 3 2 1 23

(2.17à)

2 11

Âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà (â êîìïëåêñíîé ôîðìå). Ñóììà êîìïëåêñíûõ ÝÄÑ â êîíòóðå ðàâíà ñóììå êîìïëåêñíûõ ïàäåíèé íàïðÿæåíèÿ â ýòîì êîíòóðå: 1

2

3 11

3 11

2 43 1 2 5 3 2

(2.17á)

Âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà (àëüòåðíàòèâíàÿ ôîðìóëèðîâêà). Ñóììà ìãíîâåííûõ èëè êîìïëåêñíûõ çíà÷åíèé íàïðÿæåíèé íà âñåõ ýëåìåíòàõ êîíòóðà, âêëþ÷àÿ èñòî÷íèêè ÝÄÑ, ðàâíà íóëþ: 1

1

2 11

2 11

2 32 1 2 343 2 4 2 1 25

58

(2.18)

Ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé ïî çàêîíàì Êèðõãîôà â öåïÿõ ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà íåîáõîäèìî óêàçàòü óñëîâíîå ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå ÝÄÑ, çàäàòü óñëîâíîå ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå òîêîâ â âåòâÿõ è ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå ïàäåíèé íàïðÿæåíèé íà ó÷àñòêàõ öåïè, ñîâïàäàþùåå ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì òîêà. Çíàê ñëàãàåìûõ â óðàâíåíèÿõ îïðåäåëÿåòñÿ òàê æå, êàê â öåïÿõ ïîñòîÿííîãî òîêà. Ýòî îòíîñèòñÿ êàê ê ìãíîâåííûì çíà÷åíèÿì ñèíóñîèäàëüíûõ âåëè÷èí, òàê è ê êîìïëåêñíûì. 2.8. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÀß ÖÅÏÜ Ñ ÐÅÇÈÑÒÎÐÎÌ Ýëåêòðè÷åñêèé òîê ïðîâîäèìîñòè â ìåòàëëàõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íàïðàâëåííîå äâèæåíèå ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ, ñêîðîñòü è íàïðàâëåíèå êîòîðîãî îïðåäåëÿþòñÿ çíà÷åíèåì è ïîëÿðíîñòüþ ïðèëîæåííîãî ê ïðîâîäíèêó íàïðÿæåíèÿ. Ïðè äâèæåíèè ýëåêòðîíû ñòàëêèâàþòñÿ ñ àòîìàìè ïðîâîäÿùåãî âåùåñòâà, è êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíîâ, çàïàñåííàÿ èìè ïðè óñêîðåíèè, ïðåâðàùàåòñÿ â òåïëîâóþ ýíåðãèþ, çàòðà÷èâàåìóþ íà íàãðåâ ïðîâîäíèêà è ðàññåèâàåìóþ â îêðóæàþùóþ ñðåäó. Ýòî íåîáðàòèìûé àêòèâíûé ïðîöåññ ïðåîáðàçîâàíèÿ ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè, êîòîðûé êîëè÷åñòâåííî îïðåäåëÿåòñÿ ñîïðîòèâëåíèåì R. Ïîòîìó åãî íàçûâàþò àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì. Àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì îáëàäàþò ïðàêòè÷åñêè âñå ìàòåðèàëû, ïðîâîäÿùèå ýëåêòðè÷åñêèé òîê (ìåòàëëû, óãîëü, ýëåêòðîëèòû). Òàêèì îáðàçîì, âñå ïðîâîäà, îáìîòêè, ðåîñòàòû è äðóãèå ýëåìåíòû öåïè îáëàäàþò àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì. Ýëåìåíòû ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, îáëàäàþùèå òîëüêî àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì R, íàçûâàþò ðåçèñòîðàìè. Ïðè ðàññìîòðåíèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïîñòîÿííîãî òîêà ñîïðîòèâëåíèå R íàçûâàëè ïðîñòî ñîïðîòèâëåíèåì.  òåîðèè öåïåé ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà åãî íàçûâàþò àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì. Ñ îäíîé ñòîðîíû, ýòî âûçâàíî òåì, ÷òî íåîáõîäèìî ïðèâåñòè íàçâàíèå ýòîãî ñîïðîòèâëåíèÿ â ñîîòâåòñòâèå ñ íàçâàíèÿìè äðóãèõ ïî õàðàêòåðó ñîïðîòèâëåíèé (èíäóêòèâíîå, åìêîñòíîå, ðåàêòèâíîå, ïîëíîå), õàðàêòåðèçóþùèõ öåïü ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà, ñ äðóãîé ñòîðîíû — òåì, ÷òî îäèí è òîò æå ïðîâîäíèê îêàçûâàåò áîëüøåå ñîïðîòèâëåíèå äâèæåíèþ ýëåêòðîíîâ ïðè ñèíóñîèäàëüíîì òîêå, ÷åì ïðè ïîñòîÿííîì (ýòî áóäåò 59

Ðèñ. 2.16

Ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü ñ ðåçèñòîðîì R ࠗ ñõåìà; ᠗ èçìåíåíèå ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé òîêà è íàïðÿæåíèÿ; ⠗ âåêòîðíàÿ äèàãðàììà.

ïîêàçàíî äàëåå), ò. å. àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå ðåçèñòîðà áîëüøå åãî ñîïðîòèâëåíèÿ ïîñòîÿííîìó òîêó. Ïóñòü ê çàæèìàì öåïè ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì R (ðèñ. 2.16à) ïðèëîæåíî íàïðÿæåíèå èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ u = Umsinwt. Äëÿ ïðîñòîòû ïðèíèìàåì, ÷òî íà÷àëüíàÿ ôàçà íàïðÿæåíèÿ ðàâíà íóëþ, òàê êàê äëÿ óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà íà÷àëüíàÿ ôàçà íå èìååò íèêàêîãî çíà÷åíèÿ.  ñîîòâåòñòâèè ñî âòîðûì çàêîíîì Êèðõãîôà äëÿ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé íàïðÿæåíèÿ èìååì u = Ri. Ðåøàÿ ýòî óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî òîêà i è çàìåíÿÿ u íà Umsinwt, ïîëó÷àåì 2 3 1 1 12324 1 51 123244 (2.19) 6 ïðè÷åì àìïëèòóäà òîêà â öåïè Im = Um/R.

(2.20)

Èç óðàâíåíèÿ (2.19) âèäíî, ÷òî òîê â ýëåìåíòå ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì ñîâïàäàåò ïî ôàçå ñ íàïðÿæåíèåì íà ýòîì ýëåìåíòå (ðèñ. 2.16á). Òàê êàê äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ è òîêà â 1 ðàç ìåíüøå èõ ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèé, òî àíàëîãè÷íî (2.20) ìîæíî çàïèñàòü I = U/R, ò. å. äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ñèíóñîèäàëüíûõ íàïðÿæåíèé è òîêà ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé çàêîíîì Îìà òàê æå, êàê ïîñòîÿííûå íàïðÿæåíèå è òîê. Íà âåêòîðíîé äèàãðàììå (ðèñ. 2.16â) êîìïëåêñíûå íàïðÿæåíèå U è òîê I â öåïè ïðåäñòàâëåíû âåêòîðàìè íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Íà÷àëà âåêòîðîâ ñîâìåùåíû ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò, äëèíû âåêòîðîâ â ñîîòâåòñòâóþùåì ìàñøòàáå ðàâíû äåéñòâóþùèì çíà÷åíèÿì íàïðÿæåíèÿ è òîêà. Çà íà÷àëüíûé âåêòîð ïðèíèìàåì âåêòîð íàïðÿæåíèÿ è ñîâìåùàåì åãî ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè âåùåñòâåííûõ íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Äëÿ öåïè ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì âåêòîðû íàïðÿæåíèÿ U è òîêà I ñîâïàäàþò ïî íàïðàâëåíèþ. 60

2.9. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÀß ÖÅÏÜ Ñ ÈÍÄÓÊÒÈÂÍÛÌ ÝËÅÌÅÍÒÎÌ Èíäóêòèâíîñòüþ L òåîðåòè÷åñêè îáëàäàþò âñå ïðîâîäíèêè ñ òîêîì. Íî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ýòà èíäóêòèâíîñòü òàê ìàëà, ÷òî åþ âïîëíå ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Çíà÷èòåëüíà èíäóêòèâíîñòü ó îáìîòîê èëè êàòóøåê, ñîñòîÿùèõ èç áîëüøîãî ÷èñëà âèòêîâ ïðîâîäà. Èíäóêòèâíîñòü âîçðàñòàåò, åñëè ñîçäàííûé òîêîì îáìîòêè ìàãíèòíûé ïîòîê çàìûêàåòñÿ ïî ïóòè ñ ìàëûì ìàãíèòíûì ñîïðîòèâëåíèåì (íàïðèìåð, ïî ñòàëüíîìó ñåðäå÷íèêó), âñëåäñòâèå ÷åãî ìàãíèòíûé ïîòîê óâåëè÷èâàåòñÿ. Ðàññìîòðèì èäåàëüíóþ êàòóøêó ñ ïîñòîÿííîé èíäóêòèâíîñòüþ L, ò. å. òàêóþ êàòóøêó, àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå êîòîðîé ðàâíî íóëþ. Ïóñòü ê öåïè ñ èíäóêòèâíîñòüþ L (ðèñ. 2.17à) ïðèëîæåíî ñèíóñîèäàëüíîå íàïðÿæåíèå u = Umsinwt. Ïîä äåéñòâèåì ýòîãî íàïðÿæåíèÿ â öåïè èíäóêòèâíîé êàòóøêè âîçíèêàåò òîê i. Ýòîò òîê ñîçäàåò ìàãíèòíûé ïîòîê F, êîòîðûé ñîãëàñíî çàêîíó ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè èíäóöèðóåò â êàòóøêå ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè: 21 23 (2.21) 2 31 1 26 26 ãäå w — ÷èñëî âèòêîâ êàòóøêè. Çíàê ìèíóñ ñîãëàñíî ïðèíöèïó ýëåêòðîìàãíèòíîé èíåðöèè, ñôîðìóëèðîâàííîìó Ý. Õ. Ëåíöåì, óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè eL âñåãäà èìååò òàêîå íàïðàâëåíèå, ïðè êîòîðîì îíà ïðåïÿòñòâóåò èçìåíåíèþ ìàãíèòíîãî ïîòîêà èëè òîêà â öåïè. 41 2 35

Ðèñ. 2.17

Ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü ñ èíäóêòèâíîñòüþ L ࠗ ñõåìà; ᠗ èçìåíåíèå ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè, íàïðÿæåíèÿ è òîêà; ⠗ âåêòîðíàÿ äèàãðàììà.

61

Íà ðèñ. 2.17à ïîêàçàíû óñëîâíûå ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ òîêà i â öåïè è ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ uL íà ýëåìåíòå ñ èíäóêòèâíîñòüþ L. Óñëîâíîå ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå ÝÄÑ eL âûáèðàþò èç óñëîâèÿ, ÷òî åå äåéñòâèòåëüíîå íàïðàâëåíèå â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíèþ uL (uL = –eL). Ïî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà (2.18) èìååì u – uL = 0, à ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî uL = –eL, ïîëó÷àåì u + eL = 0.

(2.22)

×òîáû ïîëó÷èòü ýòî óðàâíåíèå íà îñíîâàíèè (2.17á), óñëîâíîå ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå eL ñëåäóåò âñåãäà ïðèíèìàòü ñîâïàäàþùèì ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì òîêà. Òàê êàê u = Umsinwt, à eL îïðåäåëÿåòñÿ èç (2.21), óðàâíåíèå (2.22) ïðèíèìàåò âèä 21 123 15 2 6

34 34 21 3 45 676 3 123 158 35 35 6

Ðåøàÿ ýòî óðàâíåíèå, ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ òîêà â öåïè (òàê êàê äî âêëþ÷åíèÿ öåïè ïðè t = 0 òîê â öåïè îòñóòñòâîâàë, òî ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ðàâíà íóëþ): 21 2 2 13 2 123 5454 4 6 1 451 5 4 4 1 123 7 54 6 8 6 6  56 56 7 9

Òàê êàê àìïëèòóäà òîêà 2 31 1 1 1 (2.23) 24 òî îêîí÷àòåëüíîå âûðàæåíèå äëÿ òîêà èìååò âèä 34

i = Imsin(wt – p/2). Âèäíî, ÷òî â öåïè ñ èíäóêòèâíîñòüþ òîê òàêæå èçìåíÿåòñÿ ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó è îòñòàåò ïî ôàçå îò íàïðÿæåíèÿ íà p/2 (ðèñ. 2.17á). Âåëè÷èíó wL â ôîðìóëå (2.23), èìåþùóþ ðàçìåðíîñòü ñîïðîòèâëåíèÿ, îáîçíà÷àþò XL è íàçûâàþò èíäóêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì: XL = wL = 2pfL.

(2.24)

Èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíî ÷àñòîòå è èíäóêòèâíîñòè. Ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (2.23) ïîëó÷àåì 62

Im = Um/XL. Äëÿ äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé íàïðÿæåíèÿ è òîêà I = U/XL.

(2.25)

Òàê êàê ñîãëàñíî (2.22) ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè ÷èñëåííî ðàâíà íàïðÿæåíèþ íà ýëåìåíòå ñ èíäóêòèâíîñòüþ, òî, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2.25), èìååì XLI = U = EL.

(2.26)

Âèäíî, ÷òî èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå ÿâëÿåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ìåæäó òîêîì è ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè. Êàê áûëî ïîêàçàíî â § 2.6, â îáùåì ñëó÷àå íàïðÿæåíèþ u è ïðîèçâîäíîé di/dt îò ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà ñîîòâåòñòâóþò êîìïëåêñíûå ÷èñëà 45 1 32 451 2 1 32 45 2 2 6 6 73 8 1 7 7 3 8 1 32 1 6 1393 8 1 7 1 3 9 3 8 132 2 42

Ïîäñòàâèâ ïîñëåäíèå âûðàæåíèÿ â óðàâíåíèå 41 1 251 1 1

23 26

è ñîêðàòèâ âñå åãî ÷ëåíû íà 13 1122 ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ ñâÿçè äëÿ êîìïëåêñíûõ íàïðÿæåíèÿ UL è òîêà I, íàçûâàåìûå çàêîíîì Îìà â êîìïëåêñíîé ôîðìå: 21 1 3214 1 351 41 4 1

2 1 3 36121 351

(2.27)

ãäå BL = 1/XL = 1/wL — ðåàêòèâíàÿ èíäóêòèâíàÿ ïðîâîäèìîñòü. Åñëè ïðèíÿòü íà÷àëüíóþ ôàçó íàïðÿæåíèÿ yu = 0, òî U = U è êîìïëåêñíûé òîê ñ ó÷åòîì óðàâíåíèé (2.25) 1 è (2.27) 21 3 43 3 2 14 3 45 1 2 162 Íà âåêòîðíîé äèàãðàììå (ðèñ. 2.17â) âåêòîð íàïðÿæåíèÿ, èìåþùèé íà÷àëüíóþ ôàçó, ðàâíóþ íóëþ, îòëîæåí ïî âåùåñòâåííîé îñè, à âåêòîð òîêà, èìåþùèé íà÷àëüíóþ ôàçó yi = –p/2, — â îòðèöàòåëüíîì íàïðàâëåíèè ìíèìîé îñè. Ñäâèã ôàç ìåæäó íàïðÿæåíèåì è òîêîì â öåïè ñ èíäóêòèâíîñòüþ j = p/2. 63

2.10. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÀß ÖÅÏÜ Ñ ÅÌÊÎÑÒÍÛÌ ÝËÅÌÅÍÒÎÌ Ýëåìåíòîì ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, îáëàäàþùèì çíà÷èòåëüíîé åìêîñòüþ, ÿâëÿåòñÿ êîíäåíñàòîð. Êîíñòðóêòèâíî êîíäåíñàòîð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâå ïëàñòèíû ñ áîëüøîé ïîâåðõíîñòüþ, âûïîëíåííûå èç ïðîâîäÿùåãî ìàòåðèàëà è ðàçäåëåííûå äèýëåêòðèêîì. Åìêîñòü C êîíäåíñàòîðà îïðåäåëÿåò òîò ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä, êîòîðûé íàêàïëèâàåòñÿ íà ïëàñòèíàõ ïðè ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ ìåæäó íèìè â 1 Â. Õîòÿ ïëàñòèíû êîíäåíñàòîðà è ðàçäåëåíû äèýëåêòðèêîì, ïðè ïåðåìåííîì íàïðÿæåíèè òîê â öåïè ñ êîíäåíñàòîðîì ñóùåñòâóåò. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ñèíóñîèäàëüíîå íàïðÿæåíèå íåïðåðûâíî ìåíÿåòñÿ ïî çíà÷åíèþ è íàïðàâëåíèþ, à ñëåäîâàòåëüíî, è çàðÿä íà ïëàñòèíàõ êîíäåíñàòîðà íåïðåðûâíî ìåíÿåòñÿ. Ýòî èçìåíåíèå çàðÿäà è ñâÿçàííîå ñ íèì äâèæåíèå ýëåêòðîíîâ è åñòü ýëåêòðè÷åñêèé òîê â öåïè. Åìêîñòüþ îáëàäàþò ëþáûå äâà ïðîâîäíèêà, ðàñïîëîæåííûå íåäàëåêî äðóã îò äðóãà. Íî ïðè ìàëîé ïîâåðõíîñòè èõ åìêîñòü íåâåëèêà è åþ îáû÷íî ïðåíåáðåãàþò. Ðàññìîòðèì ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü, ñîñòîÿùóþ èç èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ è êîíäåíñàòîðà åìêîñòüþ C (ðèñ. 2.18à). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êîíäåíñàòîð èìååò èäåàëüíûé äèýëåêòðèê, ò. å. åãî àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå ðàâíî íóëþ. Ê öåïè ñ êîíäåíñàòîðîì ïîäâåäåíî ñèíóñîèäàëüíîå íàïðÿæåíèå u = Umsinwt, ïîä äåéñòâèåì êîòîðîãî â öåïè âîçíèêàåò òîê i è íà êàæäîé ïëàñòèíå êîíäåíñàòîðà ñêàïëèâàåòñÿ çàðÿä Q = CuC, ãäå èC — íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå. Ïî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà äëÿ äàííîé öåïè èìååì u = uC. Òîãäà çàðÿä íà êîíäåíñàòîðå Q = Cu = CUmsinwt. Òîê â öåïè, ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé èçìåíåíèå çàðÿäà âî âðåìåíè, 23 13 2 4 5561 123 5 7 4 5 561 345 7 57 6 8 6 44 7

27 9 èëè i = Imsin(wt + p/2), (2.28) ãäå àìïëèòóäà òîêà 21 1 31 1 2421 1 (2.29) 23 24 64

Ðèñ. 2.18

Ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü ñ åìêîñòüþ C ࠗ ñõåìà; ᠗ èçìåíåíèå íàïðÿæåíèÿ è òîêà; ⠗ âåêòîðíàÿ äèàãðàììà.

Ðèñ. 2.19

Îïðåäåëåíèå ôàçû òîêà â öåïè ñ åìêîñòüþ ࠗ èçìåíåíèå íàïðÿæåíèÿ è òîêà; ᠗ íàïðàâëåíèå òîêà â ïåðâóþ ÷åòâåðòü ïåðèîäà; ⠗ íàïðàâëåíèå òîêà âî âòîðóþ ÷åòâåðòü ïåðèîäà.

Èç ôîðìóëû (2.28) âèäíî, ÷òî òîê â öåïè ñ åìêîñòüþ ÿâëÿåòñÿ ñèíóñîèäàëüíûì è îïåðåæàåò íàïðÿæåíèå ïî ôàçå íà p/2 (ðèñ. 2.18á). Ðàññìîòðèì ïðîöåññ âîçíèêíîâåíèÿ òîêà â öåïè ñ åìêîñòüþ ïîäðîáíåå. Ïîä äåéñòâèåì ïðèëîæåííîãî ê êîíäåíñàòîðó íàïðÿæåíèÿ ïðîèñõîäèò ïîëÿðèçàöèÿ äèýëåêòðèêà, ò. å. ñìåùåíèå çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, âõîäÿùèõ â ñîñòàâ ìîëåêóë åãî âåùåñòâà, â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ. Ýëåêòðè÷åñêè íåéòðàëüíûå ïðè îòñóòñòâèè âíåøíåãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ìîëåêóëû äèýëåêòðèêà ïðåâðàùàþòñÿ â ýëåêòðè÷åñêèå äèïîëè, ò. å. ñèñòåìû äâóõ ïðîòèâîïîëîæíûõ ïî çíàêó òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ.  ïðîöåññå ïîëÿðèçàöèè â äèýëåêòðèêå ïðîèñõîäèò äâèæåíèå ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö â ïðåäåëàõ ìîëåêóëû, îáðàçóþùåå òîê ïîëÿðèçàöèè, èëè òîê ñìåùåíèÿ. Íà ðèñ. 2.19á, â ïîêàçàíû äåéñòâèòåëüíûå ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ ïîòåíöèàëîâ òî÷åê a è d.  ïåðâóþ ÷åòâåðòü ïåðèîäà (0  XC; ᠗ ïðè XL  0, à â öåïè ñ åìêîñòüþ QC  QC, è îòðèöàòåëüíà, åñëè QC > QL. Ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïîëíîé, àêòèâíîé è ðåàêòèâíîé ìîùíîñòÿìè ìîæíî ïîëó÷èòü, âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëàìè (2.47), (2.49) è (2.50): 83

P2 + Q2 = (UI)2(cos2j + sin2j) = (UI)2 = S2, èëè 1 1 2 1 2 31 2 Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëíàÿ ìîùíîñòü ðàâíà êîðíþ êâàäðàòíîìó èç ñóììû êâàäðàòîâ àêòèâíîé è ðåàêòèâíîé ìîùíîñòåé. Êðîìå òîãî, P = Scosj = UIcosj = UàI = UIà; (2.51) Q = Ssinj = UIsinj = UðI = UIð.

(2.52)

Ðàññìàòðèâàÿ âûðàæåíèÿ (2.51) è (2.52) è òðåóãîëüíèê íàïðÿæåíèé (ñì. ðèñ. 2.21á), ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî àêòèâíàÿ ìîùíîñòü îïðåäåëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ñîñòàâëÿþùèõ íàïðÿæåíèÿ è òîêà, ñîâïàäàþùèõ ïî ôàçå, à ðåàêòèâíàÿ ìîùíîñòü — ïðîèçâåäåíèåì ñîñòàâëÿþùèõ íàïðÿæåíèÿ è òîêà, íàõîäÿùèõñÿ â êâàäðàòóðå (ñäâèíóòûõ ïî ôàçå íà p/2). Ìîùíîñòü öåïè ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà â êîìïëåêñíîé ôîðìå ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ êîìïëåêñíîãî íàïðÿæåíèÿ íà ñîïðÿæåííûé êîìïëåêñíûé òîê: 2 4 3 41 4 35 111 45 2 112 4 345 13 4 25 13 2

ãäå I* — ñîïðÿæåííûé êîìïëåêñíûé òîê. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Ýéëåðà, ïîëó÷èì S = UI(cosj + jsinj) = P + jQ. Òàêèì îáðàçîì, âåùåñòâåííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ êîìïëåêñíîé ìîùíîñòè S ÿâëÿåòñÿ àêòèâíîé, à ìíèìàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ — ðåàêòèâíîé ìîùíîñòüþ öåïè. Åñëè â öåïè ïðåîáëàäàåò èíäóêòèâíîñòü (j > 0), òî S = P + jQ = P + jQL, à åñëè ïðåîáëàäàåò åìêîñòü (j  IC, òî Ið îòñòàåò ïî ôàçå îò íàïðÿæåíèÿ íà p/2 (ñì. ðèñ. 2.29â), à òîê â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè öåïè I îòñòàåò ïî ôàçå îò íàïðÿæåíèÿ (j > 0). Åñëè IL  w0) ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè òàêæå ñòàíîâèòñÿ áîëüøå íóëÿ è òîê íà÷èíàåò óìåíüøàòüñÿ. Ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ íà 95

Ðèñ. 2.37

Çàâèñèìîñòü íàïðÿæåíèé è òîêà îò ÷àñòîòû

2 3 41

ýëåìåíòå ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì UR = RI èçìåíÿåòñÿ òàê æå, êàê òîê â öåïè, òàê êàê R = const. Ïðè w = w0 íàïðÿæåíèå íà ðåçèñòîðå UR ðàâíî íàïðÿæåíèþ U, ïîäâåäåííîìó ê öåïè. Ïðè ðåçîíàíñå äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèé UL è UC ðàâíû. Íî ñâîèõ ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèé îíè äîñòèãàþò ïðè ÷àñòîòàõ, îòëè÷íûõ îò ðåçîíàíñíîé. Íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå

3

3

2 1 1 1 3 6 5 3 14 51 4 7 4 8 1 2 41 4 7 9 45 8

41  Íàïðÿæåíèå UC ìàêñèìàëüíî òîãäà, êîãäà ôóíêöèÿ ïîä êâàäðàòíûì êîðíåì èìååò ìèíèìóì. Âçÿâ ïåðâóþ ïðîèçâîäíóþ îò ýòîé ôóíêöèè ïî w è ïðèðàâíÿâ åå íóëþ, íàéäåì åå ìèíèìóì (òàê êàê ìàêñèìóì èìååò ìåñòî ïðè w = ¥). ×àñòîòà, ïðè êîòîðîé íàïðÿæåíèå ìàêñèìàëüíî, 31 3

1

1

3

1

2

1

2 2 31 4 312 5 16 7 3 39 1 8 ò. å. wC  w0. ßâëåíèå ðåçîíàíñà øèðîêî èñïîëüçóþò â óñòðîéñòâàõ ðàäèîòåõíèêè, òåëåâèäåíèÿ, àâòîìàòèêè è äðóãèõ óñòðîéñòâàõ. Èçìåíÿÿ èíäóêòèâíîñòü L èëè åìêîñòü C, ìîæíî íàñòðàèâàòü êîíòóð íà òó èëè èíóþ ðåçîíàíñíóþ ÷àñòîòó 11 2 11

11 2

2 12

è óñèëèâàòü â öåïè íàïðÿæåíèÿ íà ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòàõ. Ïîñêîëüêó ðåçîíàíñíûå ÿâëåíèÿ ñâÿçàíû ñî çíà÷èòåëüíûì óâåëè÷åíèåì íàïðÿæåíèÿ íà ýëåìåíòàõ ñ èíäóê96

òèâíîñòüþ è åìêîñòüþ, òî ýòî ìîæåò ïðèâåñòè ê ïðîáîþ èçîëÿöèè ýòèõ ýëåìåíòîâ. Ðåçîíàíñ òîêîâ.  ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè âåòâåé ñ R (G), L (BL) è C (BC) (ñì. ðèñ. 2.29à) òîê îïðåäåëÿþò ïî ôîðìóëå (2.54). Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ñëó÷àé, êîãäà èíäóêòèâíàÿ è åìêîñòíàÿ ðåàêòèâíûå ïðîâîäèìîñòè ðàâíû äðóã äðóãó. Òîãäà ïîëíàÿ ïðîâîäèìîñòü öåïè Y = G, òàê êàê B = BL – BC = 0, à òîê â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè öåïè I = GU èìååò ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå è òîëüêî àêòèâíóþ ñîñòàâëÿþùóþ I = Ià. Ñëåäîâàòåëüíî, cosj = 1. Òîêè â âåòâÿõ ñ ïðîâîäèìîñòÿìè BL è BC ñ ó÷åòîì (2.56) 41 1 315 1

31 3 41 2242 1 325 1 2 41 6 6

ò. å. ðàâíû ïî çíà÷åíèþ (IL = IC) è ìîãóò ïðåâûøàòü òîê I â öåïè â BL/G ðàç, åñëè BL = BC > G. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà òîêîâ äëÿ ðàññìîòðåííîãî ñëó÷àÿ ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 2.38. Ðåæèì öåïè ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè ýëåìåíòîâ ñ R, L è C, êîãäà BL = BC, à òîêè IL è IC â âåòâÿõ ñ ðåàêòèâíûìè ïðîâîäèìîñòÿìè ðàâíû ïî çíà÷åíèþ è ìîãóò ïðåâûøàòü òîê I öåïè, íàçûâàþò ðåçîíàíñîì òîêîâ. Äëÿ ýòîãî ðåæèìà õàðàêòåðíî: IL = IC > I, åñëè BL = = BC > G; I = Imin; j = 0, cosj = 1; P = UIcosj = UI = S, QL = BLU2 > 0, QC = BCU2 > 0, Q = QL – QC = 0. Ïðè ðåçîíàíñå òîêîâ ðàññìàòðèâàåìàÿ öåïü âåäåò ñåáÿ ïî îòíîøåíèþ ê èñòî÷íèêó ïèòàíèÿ òàê, êàê áóäòî îíà ñîñòîèò òîëüêî èç ýëåìåíòîâ ñ àêòèâíîé ïðîâîäèìîñòüþ.  äåéñòâèòåëüíîñòè òîêè â ïàðàëëåëüíûõ âåòâÿõ ñ L è C ìîãóò ïðåâûøàòü òîê â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè öåïè. Ýòè òîêè âñåãäà ïðîòèâîïîëîæíû ïî ôàçå äðóã äðóãó (ðèñ. 2.38). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ÷åðåç êàæäóþ ÷åòâåðòü ïåðèîäà ïðîèñõîäèò îáìåí ýíåðãèÿìè ìåæäó ìàãíèòíûì ïîëåì èíäóêòèâíîé êàòóøêè è ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì êîíäåíñàòîðà, êîòîðûé ïîäÐèñ. 2.38 äåðæèâàåòñÿ íàïðÿæåíèåì Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà äëÿ U èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ. ðåæèìà ðåçîíàíñà òîêîâ 97

Ðèñ. 2.39

Ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå èíäóêòèâíîé êàòóøêè è êîíäåíñàòîðà ࠗ ñõåìà; ᠗ âåêòîðíàÿ äèàãðàììà òîêîâ.

 ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà àêòèâíàÿ ïðîâîäèìîñòü G = 0, òîê I = GU = 0.  çàìêíóòîì LC-êîíòóðå òîê IL = IC = = BCU > 0. Òàê êàê ðåàëüíûå èíäóêòèâíàÿ êàòóøêà è êîíäåíñàòîð îáëàäàþò è àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì, ñõåìó öåïè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå, ïîêàçàííîì íà ðèñ. 2.39à. Ðåçîíàíñ òîêîâ â òàêîé öåïè èìååò ìåñòî, åñëè BL = BC, ãäå 3 3 3 3 3341 1 11 1 1 1 1 4 42 1 12 1 1 2 1 5 52 62 2 31 51 61 2 32 Òàê êàê ïðè ðåçîíàíñå òîêîâ BL = BC, òî ðåàêòèâíûå ñîñòàâëÿþùèå òîêîâ I1 è I2 ðàâíû ïî çíà÷åíèþ è ïðîòèâîïîëîæíû ïî çíàêó. Ïîýòîìó Ið = IL + IC = 0. Òàêèì îáðàçîì, òîê I èìååò òîëüêî àêòèâíóþ ñîñòàâëÿþùóþ, êàê è ïðè ðåçîíàíñå òîêîâ â öåïè ñ èäåàëüíûìè èíäóêòèâíîé êàòóøêîé è êîíäåíñàòîðîì. Ýòî âèäíî èç âåêòîðíîé äèàãðàììû òîêîâ (ðèñ. 2.39á): I1 + I2 = Ià1 + Ià2 = Ià = I. 2.19. ÏÎÂÛØÅÍÈÅ ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÀ ÌÎÙÍÎÑÒÈ Èòàê, òîëüêî àêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà îïðåäåëÿåò ïðåîáðàçîâàíèå ýëåêòðîýíåðãèè â äðóãèå âèäû ýíåðãèè, ò. å. ïîçâîëÿåò êîëè÷åñòâåííî îöåíèòü ñîâåðøàåìóþ ðàáîòó. Ðåàêòèâíàÿ æå ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà íèêàêîé ðàáîòû íå ïðîèçâîäèò. Îäíàêî ïðè åå íàëè÷èè óâåëè÷èâàåòñÿ ïîëíûé òîê. Ïðåäñòàâèì ýëåêòðîïðèåìíèê, òîê êîòîðîãî èìååò àêòèâíóþ è èíäóêòèâíóþ ñîñòàâëÿþùèå, ñõåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ ýëåìåíòîâ Rïð è XLïð (ðèñ. 2.40à). Íà âåêòîðíîé äèàãðàììå (ðèñ. 2.40á) âåêòîð òîêà ïðèåìíèêà Iïð ñîñòàâëÿåò ñ âåêòîðîì íàïðÿæåíèÿ U óãîë jïð, ïðè÷åì 98

3412 1

2112 3 4 3212 1 56789

512 612

Ñõåìà íà ðèñ. 2.40à ïðåäóñìàòðèâàåò âêëþ÷åíèå êîíäåíñàòîðà C ïàðàëëåëüíî ñ ýëåêòðîïðèåìíèêîì.  èñõîäíîì ðåæèìå, êîãäà êîíäåíñàòîð îòêëþ÷åí, òîê Ië1 â ëèíèè ïåðåäà÷è ðàâåí òîêó Iïð ïðèåìíèêà. Ïðè íàëè÷èè òîêà Ië â ïðîâîäàõ ëèíèè ïåðåäà÷è, ñîïðîòèâëåíèå êîòîðûõ R, ìîùíîñòü ïîòåðü ýíåðãèè â íèõ Pïë = RIë2. Òàê êàê â äàííîì ñëó÷àå 112 5 234 1 212 1 3 678 212 òî ïðè ìîùíîñòè ïðèåìíèêà Pïð = const è U = const ñ óìåíüøåíèåì êîýôôèöèåíòà ìîùíîñòè cosjïð óâåëè÷èâàþòñÿ òîê â ëèíèè, à ñëåäîâàòåëüíî, è ìîùíîñòü ïîòåðü 1 ýíåðãèè â íåé: 123 2 6 1245 3 1 13 789 423 2 Òàêèì îáðàçîì, äëÿ óìåíüøåíèÿ ìîùíîñòè ïîòåðü ýíåðãèè â ïåðåäàþùèõ óñòðîéñòâàõ íåîáõîäèìî óâåëè÷èâàòü êîýôôèöèåíò ìîùíîñòè ïðèåìíèêîâ ýëåêòðîýíåðãèè. Êàæäîìó ïðîìûøëåííîìó ïðåäïðèÿòèþ çàäàþò òî ñðåäíåâçâåøåííîå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà ìîùíîñòè (ðåàêòèâíîé ìîùíîñòè), êîòîðîå äîëæíî áûòü îáåñïå÷åíî. Ïîëó÷åíèþ çàäàííîãî êîýôôèöèåíòà ìîùíîñòè ñïîñîáñòâóåò ïðàâèëüíûé âûáîð ýëåêòðîîáîðóäîâàíèÿ. Îäíàêî ïðè ýòîì âñåãäà íåîáõîäèìî ïðèíèìàòü äîïîëíèòåëüíûå ìåðû, íàïðèìåð èñïîëüçîâàòü áàòàðåè êîíäåíñàòîðîâ è ò. ä. Êîíäåíñàòîðû åìêîñòüþ C âêëþ÷àþò ïàðàëëåëüíî ýëåêòðîïðèåìíèêó (ðèñ. 2.40à). Òîê IC êîíäåíñàòîðà ÿâëÿåòñÿ ïðàêòè÷åñêè ÷èñòî ðåàêòèâíûì, îïåðåæàþùèì

Ðèñ. 2.40

Ïîâûøåíèå êîýôôèöèåíòà ìîùíîñòè ñ ïîìîùüþ êîíäåíñàòîðà ࠗ ñõåìà; ᠗ âåêòîðíàÿ äèàãðàììà òîêîâ.

99

íàïðÿæåíèå íà óãîë p/2 (ñì. ðèñ. 2.40á). Ýòîò òîê êîìïåíñèðóåò ðåàêòèâíóþ èíäóêòèâíóþ ñîñòàâëÿþùóþ òîêà ïðèåìíèêà, â ðåçóëüòàòå ÷åãî îáùàÿ ðåàêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà óìåíüøàåòñÿ. Ïðè åìêîñòè êîíäåíñàòîðà, ðàâíîé C2, è òîêå IC2 òîê â ëèíèè Ië2 = Iïð + IC2, èëè 321 1

1 33456 2 7 3156 3 321 81 4 356 4

Ñäâèã ïî ôàçå j2 ìåæäó íàïðÿæåíèåì U è òîêîì Ië2 óìåíüøèëñÿ, à êîýôôèöèåíò ìîùíîñòè óâåëè÷èëñÿ (cosj2 > > cosjïð = cosj1). Ñ óâåëè÷åíèåì åìêîñòè êîíäåíñàòîðà òîê IC = BCU = = wCU óâåëè÷èâàåòñÿ òàê, ÷òî ïðè íåêîòîðîì çíà÷åíèè åìêîñòè C3 ìîæíî ïîëó÷èòü ðàâåíñòâî IC3 = ILïð (ðåæèì ðåçîíàíñà òîêîâ).  ýòîì ñëó÷àå ðåàêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà ïðèåìíèêà ILïð ïîëíîñòüþ êîìïåíñèðóåòñÿ è òîê â ëèíèè äîñòèãàåò ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ, ðàâíîãî àêòèâíîé ñîñòàâëÿþùåé òîêà ïðèåìíèêà Ià.ïð (ðèñ. 2.40á). Ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè åìêîñòè êîíäåíñàòîðîâ IC > ILïð è ðåàêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà â ëèíèè, à ñëåäîâàòåëüíî, è ïîëíûé òîê â íåé óâåëè÷èâàþòñÿ. Íàñòóïàåò ðåæèì ïåðåêîìïåíñàöèè, êîãäà ðåàêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà â ëèíèè íîñèò åìêîñòíûé õàðàêòåð. Íà ðèñ. 2.41 ïîêàçàíî, êàê èçìåíÿåòñÿ òîê Ië ïðè èçìåíåíèè åìêîñòè C êîíäåíñàòîðà ïðè Pïð = const è U = const. Ñíà÷àëà ñ ðîñòîì åìêîñòè C òîê Ië óìåíüøàåòñÿ, äîñòèãàåò ìèíèìóìà â ðåæèìå ðåçîíàíñà òîêîâ, à çàòåì ñíîâà íà÷èíàåò óâåëè÷èâàòüñÿ. Êîýôôèöèåíò ìîùíîñòè èçìåíÿåòñÿ â îáðàòíîì ïîðÿäêå, äîñòèãàÿ ìàêñèìóìà ïðè ïîëíîé êîìïåíñàöèè (cosj = 1 ïðè IC3 = ILïð). Ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî ïðè ïîäêëþ÷åíèè êîíäåíñàòîðîâ ðåàêòèâíàÿ èíäóêòèâíàÿ ìîùíîñòü ýëåêòðîïðèåìíèêà îñòàåòñÿ íåèçìåííîé, íî åå èñòî÷íèêîì ñòàíîâèòñÿ áàòàðåÿ êîíäåíñàÐèñ. 2.41 òîðîâ, óñòàíîâëåííàÿ âáëèçè Çàâèñèìîñòü òîêà â ëèíèè è êîýôôèöèåíòà ìîùíîñòè ïðèåìíèêà.  ðåçóëüòàòå â îò åìêîñòè êîíäåíñàòîðîâ ëèíèè ïåðåäà÷è ðåàêòèâíûå I — îáëàñòü íåäîêîìïåíñàöèè; II — òîêè óìåíüøàþòñÿ. îáëàñòü ïåðåêîìïåíñàöèè. 100

Äëÿ îáåñïå÷åíèÿ çàäàííîãî çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòà ìîùíîñòè ïðåäïðèÿòèÿ íåîáõîäèìî óñòàíàâëèâàòü êîíäåíñàòîðû îïðåäåëåííîé ìîùíîñòè èëè åìêîñòè. Åñëè ýëåêòðîïðèåìíèêè èìåþò ìîùíîñòü P = const è cosj1, òî èõ ðåàêòèâíàÿ èíäóêòèâíàÿ ìîùíîñòü Q1 = Ptgj1. Ïðè çàäàííîì çíà÷åíèè cosj2, êîòîðîå äîëæíî îáåñïå÷èòü ïðåäïðèÿòèå (cosj2 > cosj1), ðåàêòèâíàÿ ìîùíîñòü ýëåêòðîïðèåìíèêîâ, îáåñïå÷èâàåìàÿ èñòî÷íèêîì ïèòàíèÿ, Q2 = Ptgj2. Ðàçíîñòü ðåàêòèâíûõ ìîùíîñòåé Q1 – Q2 êîìïåíñèðóåòñÿ åìêîñòíîé ðåàêòèâíîé ìîùíîñòüþ êîíäåíñàòîðîâ QC = Q1 – Q2 = P(tgj1 – tgj2).

(2.64)

Ðåàêòèâíóþ ìîùíîñòü êîíäåíñàòîðîâ ìîæíî òàêæå îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëå QC = BCU2 = wCU2.

(2.65)

Ïðèðàâíèâàÿ ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé (2.64) è (2.65), ïîëó÷èì 1 1 34 31 4 34 32 2 25 5 2634 2 Ïðè ýòîì åìêîñòü èçìåðÿåòñÿ â ôàðàäàõ, åñëè ìîùíîñòü èçìåðåíà â âàòòàõ, à íàïðÿæåíè堗 â âîëüòàõ. Äëÿ ïîëíîé êîìïåíñàöèè (j2 = 0) íåîáõîäèìî, ÷òîáû 1 34 11 5 22 2334 2 2.20. ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÍÛÉ ÝÔÔÅÊÒ Â ÏÐÎÂÎÄÍÈÊÀÕ Ïåðåìåííûé òîê i â ïðîâîäíèêå ñîçäàåò ïåðåìåííûé ìàãíèòíûé ïîòîê F (ñì. ðèñ. 2.42à), êîòîðûé èíäóöèðóåò â ïðîâîäíèêå ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè eL = –dF/dt. ×åì áëèæå ê öåíòðó ïðîâîäíèêà ðàññìàòðèâàåìûé ó÷àñòîê, òåì áîëüøàÿ ÝÄÑ â íåì èíäóöèðóåòñÿ, ÷òî îáóñëîâëåíî óâåëè÷åíèåì ïîòîêîñöåïëåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, óâåëè÷èâàþòñÿ èíäóêòèâíîå è ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèÿ ýëåìåíòàðíûõ ó÷àñòêîâ ïðîâîäíèêà, ðàñïîëîæåííûõ áëèæå ê åãî öåíòðó. Ïî çàêîíó Îìà ïëîòíîñòü òîêà d â öåíòðå ïðîâîäíèêà áóäåò ìåíüøå, ÷åì ó åãî ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 2.42á). ßâëåíèå âûòåñíåíèÿ ïåðåìåííîãî òîêà ê ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêà íàçûâàþò ïîâåðõíîñòíûì ýôôåêòîì, êîòîðûé ïðîÿâëÿåòñÿ òåì áîëåå çàìåòíî, ÷åì âûøå ÷àñòîòà ïåðåìåííîãî òîêà è áîëüøå äèàìåòð ïðîâîäíèêà. Ïîâåðõíîñòíûé 101

Ðèñ. 2.42

Ïðîâîäíèê ñ òîêîì ࠗ ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå è ëèíèè ìàãíèòíîãî ïîòîêà; ᠗ ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè òîêà.

ýôôåêò ïðîÿâëÿåòñÿ î÷åíü ñèëüíî â ñòàëüíûõ ïðîâîäíèêàõ, ìàòåðèàë êîòîðûõ èìååò íåáîëüøîå ìàãíèòíîå ñîïðîòèâëåíèå è, ñëåäîâàòåëüíî, çíà÷èòåëüíûé âíóòðåííèé ìàãíèòíûé ïîòîê. Ïðè ÷àñòîòàõ, èçìåðÿåìûõ êèëî- è ìåãàãåðöàìè, òîê â öåíòðå ïðîâîäíèêîâ ïðàêòè÷åñêè ðàâåí íóëþ. Îñíîâàííûé íà ýòîì âûñîêî÷àñòîòíûé íàãðåâ ïðèìåíÿþò ïðè ïîâåðõíîñòíîé çàêàëêå ìåòàëëîâ. Óìåíüøåíèå ïëîòíîñòè òîêà â öåíòðå ïðîâîäíèêà ýêâèâàëåíòíî óìåíüøåíèþ ñå÷åíèÿ ïðîâîäíèêà (q¢  I1. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî òîê â öåïè èçìåíÿåòñÿ ìãíîâåííî îò I1 äî I2, òî ýòî áóäåò îçíà÷àòü, ÷òî â èíäóêòèâíîé êàòóøêå â ýòîò ìîìåíò âðåìåíè èíäóöèðóåòñÿ ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè: 41 3 1 1

2 1 22 23 3 11 1 3 43 25 4

Íî ëþáàÿ ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè ïðåïÿòñòâóåò èçìåíåíèþ òîêà â öåïè. Ïîýòîìó ïðåäïîëîæåíèå î ìãíîâåííîì èçìåíåíèè òîêà â öåïè íåâåðíî. Òîëüêî â èäåàëüíîì ñëó÷àå, êîãäà L = 0, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü èçìåíåíèå òîêà êàê ìãíîâåííîå.  ýòîì çàêëþ÷àåòñÿ ïåðâûé çàêîí êîììóòàöèè: òîê â öåïè ñ èíäóêòèâíîñòüþ íå ìîæåò èçìåíèòüñÿ ñêà÷êîì. Ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó êîììóòàöèè, íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà èëè äðóãîãî åìêîñòíîãî ýëåìåíòà íå ìîæåò èçìåíèòüñÿ ñêà÷êîì. Èíäóêòèâíûå è åìêîñòíûå ýëåìåíòû ÿâëÿþòñÿ èíåðöèîííûìè, âñëåäñòâèå ÷åãî äëÿ èçìåíåíèÿ ýíåðãåòè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè òðåáóåòñÿ íåêîòîðûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, â òå÷åíèå êîòîðîãî ïðîèñõîäèò ïåðåõîäíûé ïðîöåññ. Äëèòåëüíîñòü ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà, êàê áóäåò ïîêàçàíî äàëåå, çàâèñèò îò ïàðàìåòðîâ öåïè. Õîòÿ òàêîé ïðîöåññ îáû÷íî äëèòñÿ íåñêîëüêî ñåêóíä èëè äàæå äîëè ñåêóíäû, òîêè è íàïðÿæåíèÿ â ýòî âðåìÿ íà îòäåëüíûõ ó÷àñòêàõ öåïè ìîãóò äîñòèãàòü áîëüøèõ çíà÷åíèé, èíîãäà îïàñíûõ äëÿ ýëåêòðîóñòàíîâîê. Ïîýòîìó íóæíî óìåòü ðàññ÷èòûâàòü òîêè è íàïðÿæåíèÿ ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ è íà îñíîâàíèè ýòèõ ðàñ÷åòîâ ðàçðàáàòûâàòü ìåðû çàùèòû ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. 145

Êàê è ëþáîé äèíàìè÷åñêèé ïðîöåññ â ìàòåðèàëüíûõ ñèñòåìàõ, ïåðåõîäíûé ïðîöåññ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ îïèñûâàþò äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè. Ðåæèì ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ñ ïîñòîÿííûìè ïàðàìåòðàìè R, L è C îïèñûâàåòñÿ ëèíåéíûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Òàê, ðåæèì öåïè ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè R, L è C è íàïðÿæåíèè èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ u = Umsinwt îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì

43 1 5

23 1 1 326 2 71 234 365 26 8 4

Ïîëíîå ðåøåíèå òàêîãî íåîäíîðîäíîãî ëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè èùóò â âèäå i = i¢ + i², ãäå i¢ — ÷àñòíîå ðåøåíèå äàííîãî íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ; i² — îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Òîê i¢ ïîääåðæèâàåòñÿ â öåïè íàïðÿæåíèåì èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ è ÿâëÿåòñÿ óñòàíîâèâøèìñÿ òîêîì. Òîê i² íàõîäÿò ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèé áåç ñâîáîäíîãî ÷ëåíà. Ôèçè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðèëîæåííîå ê öåïè íàïðÿæåíèå ðàâíî íóëþ, ò. å. öåïü ïðåäñòàâëÿåò çàìêíóòûé êîíòóð, ñîñòîÿùèé èç ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ R, L è C. Òîê â òàêîé öåïè ìîæåò ïîääåðæèâàòüñÿ òîëüêî çà ñ÷åò çàïàñîâ ýíåðãèè â ìàãíèòíîì ïîëå èíäóêòèâíîé êàòóøêè èëè â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå êîíäåíñàòîðà. Òàê êàê ýòè çàïàñû îãðàíè÷åíû è ïðè íàëè÷èè òîêà i² â ýëåìåíòàõ ñ ñîïðîòèâëåíèåì R ïðîèñõîäèò ðàññåÿíèå ýíåðãèè â âèäå òåïëîòû, òî ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ýòîò òîê ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì íóëþ. Òîê i² íàçûâàþò ñâîáîäíûì, òàê êàê åãî îïðåäåëÿþò â ñâîáîäíîì ðåæèìå öåïè. Òàêèì îáðàçîì, ïîëíîå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü òîê i â öåïè â ïåðåõîäíîì ðåæèìå èëè íàïðÿæåíèå íà ýëåìåíòàõ öåïè u = u¢ + u². 146

5.2. ÏÅÐÅÕÎÄÍÛÅ ÏÐÎÖÅÑÑÛ Â ÖÅÏÈ Ñ ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÛÌ ÑÎÅÄÈÍÅÍÈÅÌ ÝËÅÌÅÍÒÎÂ Ñ R È L ÏÐÈ ÏÎÄÊËÞ×ÅÍÈÈ ÅÅ Ê ÈÑÒÎ×ÍÈÊÓ ÏÎÑÒÎßÍÍÎÃÎ ÍÀÏÐßÆÅÍÈß Âñå êàòóøêè è îáìîòêè ýëåêòðè÷åñêèõ àïïàðàòîâ è ìàøèí èìåþò ñîïðîòèâëåíèå R è èíäóêòèâíîñòü L. Ïîýòîìó èññëåäóåìóþ ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 5.2, ìîæíî ñ÷èòàòü ýêâèâàëåíòíîé ñõåìîé èíäóêòèâíîé êàòóøêè èëè îáìîòêè, âêëþ÷àåìîé íà ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå. Ðèñ. 5.2

Ñõåìà ïîäêëþ÷åíèÿ öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì ýëåìåíòîâ ñ R è L ê èñòî÷íèêó ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ

 íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè òîêà â öåïè íåò è ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ èíäóêòèâíîé êàòóøêè ðàâíà íóëþ. Ïîñëå ïîäêëþ÷åíèÿ öåïè ê èñòî÷íèêó ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ U â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå â íåé ñóùåñòâóåò òîê I è ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ LI2/2 > 0. Ñëåäîâàòåëüíî, â òî âðåìÿ, êîãäà ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ èíäóêòèâíîé êàòóøêè (îò 0 äî LI2/2), â öåïè èìååò ìåñòî ïåðåõîäíûé ïðîöåññ è ñóùåñòâóåò ïåðåìåííûé òîê i. Ïåðåõîäíûé ïðîöåññ â òàêîé öåïè îïèñûâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì (ïî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà)

3

12 1 42 2 51 16

Òîê â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå i¢ = I = U/R. Ñâîáîäíûé òîê i² íàõîäÿò, ðåøàÿ îäíîðîäíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå 1211 3 2 4211 3 12 (5.1) 15 Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ èùóò â âèäå i² = Aept, ãäå êîýôôèöèåíò p — êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ Lp + R = 0. 147

Òàêèì îáðàçîì, p = –R/L, à òîê â ïåðåõîäíîì ðåæèìå 52

1

1 2 4 3 67 3 1 1

(5.2)

Ïîñòîÿííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ A îïðåäåëÿåì ñ ó÷åòîì ïåðâîãî çàêîíà êîììóòàöèè èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé: ïðè t = 0 òîê â öåïè ðàâåí íóëþ. Ïîëó÷àåì A = –U/R.  ðåçóëüòàòå

1

2

3 5 4 2 3 5 31 1 4 5

1

2

2 2 3 531 1 4 3 6

(5.3)

Âåëè÷èíà t = L/R èìååò ðàçìåðíîñòü âðåìåíè. Åå íàçûâàþò ïîñòîÿííîé âðåìåíè öåïè. Îíà õàðàêòåðèçóåò ñêîðîñòü ïðîòåêàíèÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà. ×åì áîëüøå t (áîëüøå L), òåì äîëüøå ñóùåñòâóåò òîê i² è òåì äëèòåëüíåå ïåðåõîäíûé ïðîöåññ. Êàê âèäíî èç ðèñ. 5.3, ñâîáîäíûé òîê i² ïðè t = 0 ðàâåí ïî çíà÷åíèþ óñòàíîâèâøåìóñÿ òîêó I, íî èìååò îáðàòíîå íàïðàâëåíèå. Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ýòîò òîê óìåíüøàåòñÿ äî íóëÿ. Îáùèé òîê â öåïè èçìåíÿåòñÿ îò íóëÿ äî óñòàíîâèâøåãîñÿ çíà÷åíèÿ ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó. Ïðè t = t òîê i² = –Ie–1. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîñòîÐèñ. 5.3 ÿííàÿ âðåìåíè öåïè ðàâíà òàÈçìåíåíèå òîêîâ â öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåêîìó ïðîìåæóòêó âðåìåíè, íèåì ýëåìåíòîâ ñ R è L ïðè â òå÷åíèå êîòîðîãî ñâîáîäíûé âêëþ÷åíèè íà ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå òîê óìåíüøàåòñÿ â e ðàç.  ìîìåíòû âðåìåíè t = kt çíà÷åíèÿ ñâîáîäíîãî òîêà i² = = Ie–k è ïî îòíîøåíèþ ê çíà÷åíèþ óñòàíîâèâøåãîñÿ òîêà ñîîòâåòñòâåííî ñîñòàâëÿþò (%): 36,00 (ïðè t = t); 13,50 (ïðè t = 2t); 5,00 (3t); 1,80 Ðèñ. 5.4 Èçìåíåíèå íàïðÿæåíèÿ íà (4t); 0,67 (5t); 0,25 (6t). ðåçèñòîðå è èíäóêòèâíîé Èç ýòèõ äàííûõ ñëåäóåò, êàòóøêå ïðè âêëþ÷åíèè öåïè ÷òî óæå ïðè t = 5t òîê â öåïè íà ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå 148

îòëè÷àåòñÿ îò òîêà I ìåíåå ÷åì íà 1%, ïîýòîìó åãî ìîæíî ñ÷èòàòü óñòàíîâèâøèìñÿ. Ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ íà ðåçèñòîðå uR = Ri èçìåíÿåòñÿ ïî òàêîìó æå çàêîíó, ÷òî è òîê. Ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ íà èíäóêòèâíîé êàòóøêå 723 2

34 5 56 11 1 2 8 3 2 8 11 1 2 3 2 3 98 1 1 1 2 2 31 2 2

(5.4)

ò. å. óáûâàåò ñ òå÷åíèåì âðåìåíè îò çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ äî íóëÿ (ðèñ. 5.4). 5.3. ÏÅÐÅÕÎÄÍÛÅ ÏÐÎÖÅÑÑÛ Â ÖÅÏÈ ÏÐÈ ÇÀÐßÄÊÅ È ÐÀÇÐßÄÊÅ ÊÎÍÄÅÍÑÀÒÎÐÀ Ðàññìîòðèì ñõåìó (ðèñ. 5.5), â êîòîðîé ïóòåì âêëþ÷åíèÿ ïåðåêëþ÷àòåëÿ S â ïîëîæåíèå 1 ê êîíäåíñàòîðó åìêîñòüþ C ïîäâîäÿò íàïðÿæåíèå îò èñòî÷íèêà ïîñòîÿííîãî òîêà, ïðè÷åì â ìîìåíò âêëþ÷åíèÿ íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå UC = 0. Íà îáêëàäêàõ êîíäåíñàòîðà íà÷èíàþò ñêàïëèâàòüñÿ çàðÿäû, è íàïðÿæåíèå uC óâåëè÷èâàåòñÿ äî çíà÷åíèÿ, ðàâíîãî U. Ýòî ïðîöåññ çàðÿäêè êîíäåíñàòîðࠗ ïðîöåññ óâåëè÷åíèÿ ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ êîíäåíñàòîðà, êîòîðàÿ â êîíöå ïðîöåññà äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ CU2/2. ×òîáû çàðÿäèòü êîíäåíñàòîð äî íàïðÿæåíèÿ uC = U, åìó íàäî ñîîáùèòü çàðÿä Q = CU. Ýòîò çàðÿä íå ìîæåò áûòü ñîîáùåí ìãíîâåííî, òàê êàê äëÿ ýòîãî ïîòðåáîâàëñÿ áû òîê i = dQ/dt = Q/0 = ¥.  äåéñòâèòåëüíîñòè çàðÿäíûé òîê â öåïè îãðàíè÷åí ñîïðîòèâëåíèåì R è â ïåðâûé ìîìåíò íå ìîæåò áûòü áîëüøå U/R. Ïîýòîìó ïðîöåññ çàðÿäêè êîíäåíñàòîðà ðàñòÿíóò âî âðåìåíè, è íàïðÿæåíèå uC íà êîíäåíñàòîðå íàðàñòàåò ïîñòåïåííî. Äëÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà çàðÿäêè êîíäåíñàòîðà, âêëþ÷åííîãî ïî ðàññìàòðèâàÐèñ. 5.5 åìîé ñõåìå, ìîæíî çàïèñàòü Ri + uC = U.

(5.5)

Ñõåìà äëÿ àíàëèçà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ ïðè çàðÿäêå è ðàçðÿäêå êîíäåíñàòîðà

149

Òîê â òàêîé öåïè

21131 2 23 11 13 (5.6) 25 25 Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå (5.6) â ôîðìóëó (5.5), ïîëó÷èì 41

41

231 1 31 2 51 26

Ðåøåíèå ýòîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ èùåì â âèäå: uC = uC¢ + uC². Ñâîáîäíîå íàïðÿæåíèå uC² íàõîäÿò, ðåøàÿ îäíîðîäíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå 41

23111 2 3111 3 12 25

(5.7)

êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå 1 2 Òîãäà ñâîáîäíîå íàïðÿRCp + 1 = 0, îòêóäà 1 1 2 23 æåíèå uC² = Aept = Ae–t/(RC) = Ae–t/t, ãäå t = RC — ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè öåïè. Òàêèì îáðàçîì, íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå â ïåðåõîäíîì ðåæèìå uC = uC¢ + Ae–t/t, (5.8) à òîê 2 (5.9) 3 4 33 5 333 4 33 1 4 11 2 1 5 34 3 34 33 5 ãäå 63 4 2 2 2 633 4 2 2 4 1 7 1 1 1 2 3 31 31 8  óðàâíåíèÿõ (5.8) è (5.9) ïîñòîÿííóþ A íàõîäÿò ñ ó÷åòîì âòîðîãî çàêîíà êîììóòàöèè èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé ðåæèìà ðàáîòû öåïè, êîòîðûå ðàçëè÷íû äëÿ ïðîöåññîâ çàðÿäêè è ðàçðÿäêè êîíäåíñàòîðà. Çàðÿäêà êîíäåíñàòîðà. Ðàññìîòðèì êîíäåíñàòîð, êîòîðûé äî âêëþ÷åíèÿ ïåðåêëþ÷àòåëÿ S â ïîëîæåíèå 1 (ðèñ. 5.5) íå áûë çàðÿæåí. Ïî îêîí÷àíèè ïðîöåññà çàðÿäêè íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå ðàâíî íàïðÿæåíèþ U èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ, ÷òî ñëåäóåò èç óðàâíåíèÿ (5.5), åñëè ó÷åñòü, ÷òî â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå i = i¢ = 0. Òàêèì îáðàçîì, óñòàíîâèâøååñÿ íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå uC¢ = U. Ïîñòîÿííóþ A â óðàâíåíèè (5.8) îïðåäåëÿþò, ïîëàãàÿ, ÷òî ïðè t = 0 íàïðÿæåíèå uC = 0. Òîãäà A = –U. 150

Èòàê, íàïðÿæåíèå â ïåðåõîäíîì ðåæèìå ïðè çàðÿäêå êîíäåíñàòîðà èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó uC = U(1 – e–t/t).

(5.10)

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ òîêà â öåïè â (5.9) íåîáõîäèìî ïðèíÿòü i¢ = 0 è A = –U, ïîñëå ÷åãî ïîëó÷èì 33

2 11 2 4 1 5

(5.11)

Íà ðèñ. 5.6 ïîêàçàíî èçìåíåíèå òîêà â öåïè è íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå ïðè åãî çàðÿäêå.  íà÷àëüíûé ìîìåíò ïðîöåññà çàðÿäêè òîê â öåïè îãðàíè÷åí òîëüêî ñîïðîòèâëåíèåì è ïðè ìàëîì çíà÷åíèè R ìîæåò äîñòèãàòü Ðèñ. 5.6 Èçìåíåíèå íàïðÿæåíèÿ íà áîëüøèõ çíà÷åíèé I0 = U/R. êîíäåíñàòîðå è òîêà â öåïè Ïåðåõîäíûé ïðîöåññ, ïðîòåïðè çàðÿäêå êîíäåíñàòîðà êàþùèé ïðè çàðÿäêå êîíäåíñàòîðà, èñïîëüçóþò â ðàçëè÷íûõ óñòðîéñòâàõ àâòîìàòèêè, íàïðèìåð â ýëåêòðîííûõ ðåëå âðåìåíè. Ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè t = RC õàðàêòåðèçóåò ñêîðîñòü çàðÿäêè êîíäåíñàòîðà. ×åì ìåíüøå R è C, òåì áûñòðåå çàðÿæàåòñÿ êîíäåíñàòîð. Íàïðèìåð, åñëè åìêîñòü êîíäåíñàòîðà C = 10 ìêÔ, à ñîïðîòèâëåíèå öåïè R = 100 Îì, òî t = 10 × 10–6 × 100 = 0,001 ñ; åñëè óâåëè÷èòü R äî 106 Îì, òî t = 10 × 10–6 × 106 = 10 ñ. Ðàçðÿäêà êîíäåíñàòîðà. Åñëè ïåðåêëþ÷àòåëü S âêëþ÷èòü â ïîëîæåíèå 2 (ñì. ðèñ. 5.5), òî êîíäåíñàòîð, çàðÿæåííûé äî íàïðÿæåíèÿ UC, íà÷íåò ðàçðÿæàòüñÿ ÷åðåç ðåçèñòîð R. Ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ êîíäåíñàòîðà áóäåò ïîñòåïåííî ðàñõîäîâàòüñÿ íà íàãðåâàíèå ðåçèñòîðà è îêðóæàþùåé ñðåäû. Ïî èñòå÷åíèè íåêîòîðîãî âðåìåíè óñòàíîâèòñÿ ðåæèì, ïðè êîòîðîì íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå áóäåò ðàâíî íóëþ (êîíäåíñàòîð ïîëíîñòüþ ðàçðÿæåí), à òîêà â öåïè íå áóäåò. Èç óðàâíåíèé (5.8) è (5.9) ñëåäóåò, ÷òî ïðè ðàçðÿäêå êîíäåíñàòîðà íàïðÿæåíèå UC íà íåì è òîê â öåïè áóäóò èçìåíÿòüñÿ âî âðåìåíè ñëåäóþùèì îáðàçîì: 3 42 3 32 5 11 2 1 6 3 1 2 5 11 2 2 7 151

òàê êàê â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå uC¢ = 0, i¢ = 0, à îïðåäåëÿåìàÿ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé (ïðè t = 0 uC = UC) ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ A = UC. Èòàê, íàïðÿæåíèå è òîê óáûâàþò ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó (ðèñ. 5.7). Òîê Ðèñ. 5.7 â öåïè îòðèöàòåëüíûé, ò. å. Èçìåíåíèå íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå íàïðàâëåí ïðîòèâîïîëîæíî è òîêà â öåïè ïðè òîêó âî âðåìÿ ïðîöåññà çàðàçðÿäêå êîíäåíñàòîðà ðÿäêè. Ñêîðîñòü ðàçðÿäêè êîíäåíñàòîðà îïðåäåëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé âðåìåíè t = RC.  íà÷àëüíûé ìîìåíò òîê ðàçðÿäêè I0 = UC/R. Åñëè áû òîê îñòàâàëñÿ ïîñòîÿííûì, òî êîíäåíñàòîð ïîëíîñòüþ ðàçðÿäèëñÿ áû ÷åðåç ïðîìåæóòîê âðåìåíè 41231 1

121 3 1 1 51 1 25 64 21 5

Ïîýòîìó ïîñòîÿííóþ âðåìåíè ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ïðîìåæóòîê âðåìåíè, â òå÷åíèå êîòîðîãî êîíäåíñàòîð ïîëíîñòüþ çàðÿäèëñÿ (èëè ðàçðÿäèëñÿ) áû, åñëè áû òîê çàðÿäêè (èëè ðàçðÿäêè) îñòàâàëñÿ ïîñòîÿííûì è ðàâíûì íà÷àëüíîìó çíà÷åíèþ U/R (èëè UC/R). 5.4. ÏÅÐÅÕÎÄÍÛÅ ÏÐÎÖÅÑÑÛ Â ÖÅÏÈ Ñ ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÛÌ ÑÎÅÄÈÍÅÍÈÅÌ ÝËÅÌÅÍÒΠѠR È L ÏÐÈ ÏÎÄÊËÞ×ÅÍÈÈ ÅÅ Ê ÈÑÒÎ×ÍÈÊÓ ÑÈÍÓÑÎÈÄÀËÜÍÎÃÎ ÍÀÏÐßÆÅÍÈß Ðàññìîòðèì ïðîöåññû, ïðîòåêàþùèå â öåïè (ñì. ðèñ. 5.2) ïðè ïîäêëþ÷åíèè åå ê èñòî÷íèêó ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ.  ìîìåíò âêëþ÷åíèÿ ìãíîâåííîå çíà÷åíèå ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ u = Umsin(wt + y). Òîãäà ðåæèì öåïè îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì 23 4 3 53 4 61 123 1 57 3 6 2 4 (5.12) 27 Òîê ïåðåõîäíîãî ðåæèìà i = i¢ + i². Ïðè ýòîì óñòàíîâèâøååñÿ çíà÷åíèå òîêà, íàéäåííîå êàê ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5.12), 152

i¢ = Imsin(wt + y – j),

(5.13)

1

ãäå Iò = Um/Z; 1 3 2 1 4 1 53 2 2 j = arctg(wL/R). Ñâîáîäíûé òîê i² íàõîäÿò, ðåøàÿ îäíîðîäíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (5.1): i² = Ae–t/t. Ñëåäîâàòåëüíî, i = Imsin(wt + y – j) + Ae–t/t.

(5.14)

Ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè t íå çàâèñèò îò íàïðÿæåíèÿ èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ è îïðåäåëÿåòñÿ ïàðàìåòðàìè öåïè.  äàííîì ñëó÷àå t = L/R. Äî âêëþ÷åíèÿ öåïè òîê â íåé áûë ðàâåí íóëþ, ïîýòîìó äëÿ t = 0 óðàâíåíèå (5.14) ïðèíèìàåò âèä îòêóäà

Imsin(y – j) + A = 0, A = –Imsin(y – j).

Òàêèì îáðàçîì, òîê â öåïè â ïåðåõîäíîì ðåæèìå èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó i = Imsin(wt + y – j) – Imsin(y – j)e–t/t.

(5.15)

Óñòàíîâèâøèéñÿ òîê èçìåíÿåòñÿ ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó, à ñâîáîäíûé òîê óìåíüøàåòñÿ äî íóëÿ ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó (ðèñ. 5.8).  ìîìåíò âêëþ÷åíèÿ öåïè ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ òîêîâ i¢ è i² ðàâíû ïî çíà÷åíèþ, íî ïðîòèâîïîëîæíû ïî çíàêó.  ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà òîêè i¢ è i² ñîâïàäàþò ïî íàïðàâëåíèþ, ìãíîâåííîå çíà÷åíèå òîêà â öåïè i ïðåâîñõîäèò àìïëèòóäó óñòàíîâèâøåãîñÿ òîêà Im. Êàê âèäíî èç ôîðìóëû (5.15), íà÷àëüíîå çíà÷åíèå ñâîáîäíîãî òîêà çàâèñèò îò íà÷àëüíîé ôàçû y íàïðÿæåíèÿ. Åñëè âêëþ÷åíèå öåïè ïðîèñõîäèò â ìîìåíò, êîãäà íà÷àëüíàÿ ôàçà íàïðÿÐèñ. 5.8 Èçìåíåíèå òîêîâ â öåïè æåíèÿ y = j ± p/2, òî íàñ ïîñëåäîâàòåëüíûì âêëþ÷åíèåì ÷àëüíîå çíà÷åíèå ñâîáîäíî- ýëåìåíòîâ ñ R è L ïðè âêëþ÷åíèè ãî òîêà ðàâíî àìïëèòóäå íà ñèíóñîèäàëüíîå íàïðÿæåíèå 153

óñòàíîâèâøåãîñÿ òîêà, ò. å. èìååò íàèáîëüøåå èç âîçìîæíûõ çíà÷åíèé. Òîê â öåïè â êîíöå ïåðâîãî ïîëóïåðèîäà äîñòèãíåò çíà÷åíèÿ, ïðåâûøàþùåãî àìïëèòóäó óñòàíîâèâøåãîñÿ òîêà ïî÷òè â äâà ðàçà. Ïðè âêëþ÷åíèè öåïè â ìîìåíò, êîãäà y = j èëè y = j ± p, ñâîáîäíûé òîê ðàâåí íóëþ, è â öåïè ñðàçó æå óñòàíàâëèâàåòñÿ óñòàíîâèâøèéñÿ ðåæèì. Òàêèì îáðàçîì, çíà÷åíèå òîêà â ïåðåõîäíîì ðåæèìå çàâèñèò íå òîëüêî îò ïàðàìåòðîâ öåïè R è L, íî è îò íà÷àëüíîé ôàçû íàïðÿæåíèÿ èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ. Íî â ëþáîì ñëó÷àå òîê i â öåïè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ðàâåí íóëþ. Äëèòåëüíîñòü ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà îïðåäåëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé âðåìåíè t = L/R. ×åì áîëüøå t, òåì äëèòåëüíåå ïåðåõîäíûé ïðîöåññ, òåì áîëüøå çíà÷åíèå òîêà i â êîíöå ïåðâîãî ïîëóïåðèîäà. 5.5. ÏÅÐÅÕÎÄÍÛÅ ÏÐÎÖÅÑÑÛ Â ÖÅÏÈ Ñ ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÛÌ ÑÎÅÄÈÍÅÍÈÅÌ ÝËÅÌÅÍÒÎÂ Ñ R È C ÏÐÈ ÏÎÄÊËÞ×ÅÍÈÈ ÅÅ Ê ÈÑÒÎ×ÍÈÊÓ ÑÈÍÓÑÎÈÄÀËÜÍÎÃÎ ÍÀÏÐßÆÅÍÈß Ïóñòü ê ýëåêòðè÷åñêîé öåïè (ðèñ. 5.9) ïîäâåäåíî ñèíóñîèäàëüíîå íàïðÿæåíèå, ìãíîâåííîå çíà÷åíèå êîòîðîãî u = Umsin(wt + y), ïðè÷åì â ìîìåíò âêëþ÷åíèÿ íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå uC = 0. Ïî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà äëÿ äàííîé öåïè ìîæíî çàïèñàòü Ri + uC = u, ãäå èC — íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî ìãíîâåííîå çíà÷åíèå òîêà â öåïè 23 24 51 11 11 26 26 èìååì 34 51 1 3 41 4 62 123 1 57 3 6 2 4 37 Ïîñêîëüêó âî âðåìÿ ïåðåõîäíîãî ðåæèìà íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå uC = uC¢ + uC², à ñâîáîäíîå íàïðÿæåíèå íàõîäÿò ïðè ðåøåíèè îäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëüÐèñ. 5.9

Ñõåìà öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì ýëåìåíòîâ ñ R è C, ïîäêëþ÷åííîé ê èñòî÷íèêó ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ

154

íîãî óðàâíåíèÿ (5.7) êàê uC² = Ae–t/t, ãäå t = RC — ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè öåïè, ïîëó÷àåì uC = uC¢ + Ae–t/t.

(5.16)

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ óñòàíîâèâøåãîñÿ íàïðÿæåíèÿ uC¢ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ âûðàæåíèåì (5.13) äëÿ óñòàíîâèâøåãîñÿ òîêà â öåïè ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè ýëåìåíòîâ ñ R è L, â êîòîðîì 1

2 2 3 3 6 4 45678 12 9 1 Im = Um/Z; 1 4 2 5 7 8 932

93  Òîãäà 3 1 (5.17) 423 4 5367 4 5 1 234 1 6 7 7 8 5 9 2 5 2 62

Òàê êàê äî âêëþ÷åíèÿ öåïè êîíäåíñàòîð íå áûë çàðÿæåí (uC = 0 ïðè t = 0), òî èç (5.16) è (5.17) 2 3 3 1 123 1 4 5 6 2 4 74 Ñëåäîâàòåëüíî, 4 5355 6 2 234 1 7 3 8 2 6 3 1 1 4 5 93 à íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå â ïåðåõîäíîì ðåæèìå 4 4 53 5 3 2 234 1 61 7 8 3 9 2 7 2 234 1 8 3 9 2 6 3 1 1 4 5 67 67 Íà ðèñ. 5.10 ïîêàçàí õàðàêòåð èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèé íà êîíäåíñàòîðå, ñîîòâåòñòâóþùèé ðàññìîòðåííîìó ñëó÷àþ.  ìîìåíò âêëþ÷åíèÿ 3 4233 4 1 123 1 5 6 7 2 4 6423 4 82 ïîýòîìó íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå ïðè âêëþ÷åíèè öåïè ðàâíî íóëþ. Ñêîðîñòü ïðîòåêàíèÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà îïðåäåëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé âðåìåíè t = RC. Èçìåíåíèå íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå çàâèñèò îò Ðèñ. 5.10 Èçìåíåíèå íàïðÿæåíèé íà÷àëüíîé ôàçû y. Åñëè â ìîíà êîíäåíñàòîðå ìåíò âêëþ÷åíèÿ y = j ± p/2, ïðè âêëþ÷åíèè öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì òî uC = 0 è íà çàæèìàõ êîíñîåäèíåíèåì ýëåìåíòîâ ñ R äåíñàòîðà ñðàçó æå óñòàíàâè C íà ñèíóñîèäàëüíîå ëèâàåòñÿ óñòàíîâèâøèéñÿ íàïðÿæåíèå 155

ðåæèì. Ïðè y = j èëè y = j ± p íà÷àëüíîå çíà÷åíèå uC² ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíûì è â êîíöå ïåðâîãî ïîëóïåðèîäà ïðè áîëüøèõ t áëèçêî ê äâîéíîìó àìïëèòóäíîìó çíà÷åíèþ óñòàíîâèâøåãîñÿ íàïðÿæåíèÿ. Ñâîáîäíûé òîê 4 56 55 755 6 3 3 6 3 2 123 1 7 3 8 2 8 31 4 4 51 939 3 à òîê 4 5 32 123 1 61 7 8 3 9 2 3 2 451 1 8 3 9 2 5 31 4 6 667  ìîìåíò âêëþ÷åíèÿ óñòàíîâèâøèéñÿ òîê i¢ = Imsin(y – 2 – j) íå ðàâåí ñâîáîäíîìó òîêó 333 4 5 1 123 1 6 5 7 2 íè ïî 8 45 çíà÷åíèþ, íè ïî íàïðàâëåíèþ. Ïðè íà÷àëüíîé ôàçå y = j ± p/2 ñâîáîäíûé òîê â ìîìåíò âêëþ÷åíèÿ öåïè, êàê è ñâîáîäíîå íàïðÿæåíèå, ðàâåí íóëþ è â öåïè ñðàçó âîçíèêàåò óñòàíîâèâøèéñÿ òîê, ìãíîâåííîå çíà÷åíèå êîòîðîãî ðàâíî àìïëèòóäíîìó çíà÷åíèþ. Òàêèì îáðàçîì, â îòëè÷èå îò öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì R è L, â öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì R è C â íà÷àëüíûé ìîìåíò òîê ìîæåò èìåòü ëþáîå êîíå÷íîå çíà÷åíèå, è òîëüêî â ÷àñòíîì Ðèñ. 5.11 Èçìåíåíèå òîêà â öåïè ñëó÷àå, êîãäà 1/(wCR) = 1 è ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì y – j = p/4 ± p, sin(y – j) = ñîåäèíåíèåì ýëåìåíòîâ ñ R è C ïðè âêëþ÷åíèè íà = cos(y – j) è òîê i = i¢ + i² = 0. ñèíóñîèäàëüíîå íàïðÿæåíèå Åñëè â ìîìåíò âêëþ÷åíèÿ öåïè y = j (ðèñ. 5.11) èëè y = j ± p, òî óñòàíîâèâøèéñÿ òîê íà÷èíàåò èçìåíÿòüñÿ îò íóëÿ, à ñâîáîäíûé òîê èìååò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå Im/(wCR) = UCm/R. Àìïëèòóäà óñòàíîâèâøåãîñÿ â öåïè òîêà Im = UCm/XC = wCUCm. Ïîýòîìó, åñëè XC > R, íà÷àëüíîå çíà÷åíèå ñâîáîäíîãî òîêà ìîæåò ïðåâûøàòü àìïëèòóäíîå â XC/R = 1/(wCR) ðàç. Ýòî èìååò ìåñòî òîëüêî ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ C, ò. å. ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ïîñòîÿííîé âðåìåíè. Âñëåäñòâèå ýòîãî áîëüøîé ñâîáîäíûé òîê ìîæåò ñóùåñòâîâàòü â öåïè â òå÷åíèå êîðîòêîãî âðåìåíè, çíà÷èòåëüíî ìåíüøåãî ïåðèîäà T. 156

ÃËÀÂÀ 6

ÏÅÐÈÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÍÅÑÈÍÓÑÎÈÄÀËÜÍÛÅ ÒÎÊÈ Â ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÖÅÏßÕ 6.1. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß Î ÍÅÑÈÍÓÑÎÈÄÀËÜÍÛÕ ÝÄÑ, ÍÀÏÐßÆÅÍÈßÕ, ÒÎÊÀÕ È ÌÅÒÎÄÀÕ ÈÕ ÀÍÀËÈÇÀ Äëÿ áîëüøèíñòâà ýëåêòðîïðèåìíèêîâ íîðìàëüíûé ðåæèì ðàáîòû îáåñïå÷èâàåòñÿ ïîäà÷åé ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ.  ñâÿçè ñ ýòèì ÃÎÑÒ 13109 óñòàíîâëåíû íîðìû äîïóñòèìîãî îòêëîíåíèÿ ïåðèîäè÷åñêèõ ÝÄÑ, íàïðÿæåíèÿ è òîêà îò ñèíóñîèäàëüíîé ôîðìû. Åñëè ýòè îòêëîíåíèÿ íåçíà÷èòåëüíû, òî äëÿ òàêèõ öåïåé ïðèìåíèìû ìåòîäû àíàëèçà, ðàññìîòðåííûå â ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ.  ðåàëüíûõ óñëîâèÿõ â ýëåêòðîóñòàíîâêàõ ðàçëè÷íîãî íàçíà÷åíèÿ ìîãóò âîçíèêàòü íåñèíóñîèäàëüíûå òîêè. Ýòî ìîæåò èìåòü ìåñòî äàæå ïðè ïîäà÷å â öåïü ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ. Íàïðèìåð, âêëþ÷åíèå â öåïü íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ, ñîïðîòèâëåíèå êîòîðûõ çàâèñèò îò íàïðÿæåíèÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, èçìåíÿåòñÿ â òå÷åíèå îäíîãî ïåðèîäà T, ìîæåò ÿâèòüñÿ ïðè÷èíîé íåñèíóñîèäàëüíîñòè òîêîâ â öåïè. Êðîìå òîãî, ïðèíöèï ðàáîòû öåëîãî ðÿäà ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâ (ýëåêòðîñâÿçè, ýëåêòðîííûõ è ïîëóïðîâîäíèêîâûõ ïðèáîðîâ è äð.) îñíîâàí íà èñïîëüçîâàíèè íåñèíóñîèäàëüíûõ íàïðÿæåíèé ñïåöèàëüíîé ôîðìû (ñì. ðèñ. 2.1). Ýòè íàïðÿæåíèÿ ñîçäàþòñÿ ñïåöèàëüíûìè ãåíåðàòîðàìè. Òîêè â öåïÿõ, îáóñëîâëåííûå òàêèìè íåñèíóñîèäàëüíûìè íàïðÿæåíèÿìè, áóäóò òàêæå íåñèíóñîèäàëüíûìè, ïðè÷åì èõ èçìåíåíèå âî âðåìåíè ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îò èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, çíàíèå ìåòîäîâ ðàñ÷åòà è àíàëèçà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ñ ïåðèîäè÷åñêèìè íåñèíóñîèäàëüíûìè ÝÄÑ, íàïðÿæåíèÿìè è òîêàìè íåîáõîäèìî íå òîëüêî ïðè ðàáîòå ñ öåïÿìè, â êîòîðûõ ñóùåñòâóþò âûíóæäåííûå íåñèíóñîèäàëüíûå ïðîöåññû, íî è äëÿ ïîíèìàíèÿ ïðèíöèïà äåéñòâèÿ è îáëàñòåé ïðèìåíåíèÿ ðàçëè÷íûõ 157

óñòðîéñòâ àâòîìàòèêè, ïðîìûøëåííîé ýëåêòðîíèêè è äðóãèõ óñòðîéñòâ íîâîé òåõíèêè.  ðåàëüíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ôóíêöèè, îïèñûâàþùèå íåñèíóñîèäàëüíûå ÝÄÑ, íàïðÿæåíèÿ è òîêè, âñåãäà óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì Äèðèõëå, ò. å. çà ïîëíûé ïåðèîä èìåþò êîíå÷íîå ÷èñëî ðàçðûâîâ ïåðâîãî ðîäà è êîíå÷íîå ÷èñëî ìàêñèìóìîâ è ìèíèìóìîâ. Êàê èçâåñòíî, òàêóþ ôóíêöèþ ìîæíî ðàçëîæèòü â ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå. Ïðåäñòàâèâ ïåðèîäè÷åñêèå íåñèíóñîèäàëüíûå ÝÄÑ, íàïðÿæåíèÿ èëè òîêè â âèäå ñóììû áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ñèíóñîèäàëüíûõ ÝÄÑ, íàïðÿæåíèé èëè òîêîâ ðàçëè÷íîé ÷àñòîòû, ìîæíî ñâåñòè èçó÷åíèå ïðîöåññîâ â öåïÿõ ñ íåñèíóñîèäàëüíûìè âåëè÷èíàìè ê èçó÷åíèþ ïðîöåññîâ â öåïÿõ ñ ñèíóñîèäàëüíûìè âåëè÷èíàìè. Ïðè ðàçëîæåíèè â ðÿä Ôóðüå ïåðèîäè÷åñêàÿ íåñèíóñîèäàëüíàÿ ÝÄÑ â îáùåì ñëó÷àå èìååò âèä e(wt) = E0 + E1msin(wt + y1) + E2msin(2wt + y2) +  + E3msin(3wt + y3) + … + Ekmsin(kwt + yk) + … (6.1) èëè

3

335 44 4 51 6 8 512 567 1 154 6 7 1 2 8 1 42

ãäå e(wt) — çíà÷åíèå íåñèíóñîèäàëüíîé ÝÄÑ â ìîìåíò âðåìåíè t; E0 — ïîñòîÿííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ÝÄÑ; E1msin(wt + + y1) — îñíîâíàÿ, èëè ïåðâàÿ, ãàðìîíèêà, èìåþùàÿ òó æå ÷àñòîòó, ÷òî è íåñèíóñîèäàëüíàÿ ÝÄÑ; Ekmsin(kwt + yk) — ãàðìîíèêà âûñøåãî ïîðÿäêà (k-ÿ ãàðìîíèêà), èìåþùàÿ ÷àñòîòó â k ðàç áîëüøóþ, ÷åì îñíîâíàÿ ãàðìîíèêà; E 1m , E2m, E3m, …, Ekm — àìïëèòóäû ãàðìîíèê ïåðâîãî, âòîðîãî, òðåòüåãî,…, k-ãî ïîðÿäêîâ; 11 — óãëîâàÿ ÷àñòîòà îñ23 1 íîâíîé ãàðìîíèêè; y1, y2, y3, …, yk, … — íà÷àëüíûå ôàçû ãàðìîíèê. Àìïëèòóäû ãàðìîíèê ðàçíîãî ïîðÿäêà çàâèñÿò òîëüêî Ðèñ. 6.1 Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå îò ôîðìû íåñèíóñîèäàëüíîé ïåðâîé è òðåòüåé ãàðìîíèê êðèâîé, à íà÷àëüíûå ôàçû èçÝÄÑ ïðè íà÷àëüíûõ ôàçàõ, ìåíÿþòñÿ ïðè èçìåíåíèè íàðàâíûõ íóëþ, è èõ ñóììû 158

÷àëà îòñ÷åòà âðåìåíè. Íà ðèñ. 6.1 èçîáðàæåíû îñíîâíàÿ è òðåòüÿ ãàðìîíèêè ÝÄÑ äëÿ óñëîâèé, êîãäà íà÷àëüíûå ôàçû ðàâíû íóëþ (y1 = y3 = 0). Äëÿ îïðåäåëåíèÿ àìïëèòóä ãàðìîíèê öåëåñîîáðàçíî êàæäóþ èç íèõ ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû äâóõ ãàðìîíèê, íà÷àëüíûå ôàçû êîòîðûõ ðàâíû íóëþ: Ekmsin(kwt + yk) = Ekmcosyk sinkwt + Ekmsinyk coskwt = = Bksinkwt + Ckcoskwt, (6.2) ãäå Bk = Ekmcosyk, Ck = Ekmsinyk. Àìïëèòóäû ãàðìîíè÷åñêèõ ñîñòàâëÿþùèõ (êîýôôèöèåíòû Bk è Ck) çàâèñÿò îò íà÷àëüíûõ ôàç è ïîýòîìó èçìåíÿþòñÿ ïðè èçìåíåíèè íà÷àëà îòñ÷åòà âðåìåíè. Ñ ó÷åòîì (6.2) äëÿ îãðàíè÷åííîãî ÷èñëà n ÷ëåíîâ ðÿäà ôîðìóëà (6.1) ïðèìåò âèä 1

Çäåñü

1

33244 1 51 3 4 62 567 224 3 4 72 895 224

2 12

31 1

1

2 12

1

2 3 44255656 77772 1 3 44255 89 225656 777 1 31 11

1 (6.3) 3 44255  8 225656 777 3 11 ãäå e(wt) — àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå äëÿ íåñèíóñîèäàëüíîé ÝÄÑ. Çíàÿ àìïëèòóäû äâóõ ñëàãàåìûõ k-é ãàðìîíèêè, ìîæíî íàéòè ïîëíóþ àìïëèòóäó ýòîé ãàðìîíèêè è åå íà÷àëüíóþ ôàçó: 3 412 1 511 2 311 2 3 1 41 34567 1 844 (6.4) 51 Êàê âèäíî èç âûðàæåíèÿ (6.3), ïîñòîÿííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ÝÄÑ E0 ÿâëÿåòñÿ ñðåäíèì çíà÷åíèåì ïåðèîäè÷åñêîé íåñèíóñîèäàëüíîé ÝÄÑ. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïðåäñòàâèòü ðÿäîì Ôóðüå è îïðåäåëèòü àìïëèòóäû è íà÷àëüíûå ôàçû ãàðìîíèê íåñèíóñîèäàëüíûõ íàïðÿæåíèé è òîêîâ.  ïðàêòèêå ðàñ÷åòà íåñèíóñîèäàëüíûõ ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî ñ óñëîâèÿìè, êîãäà íåñèíóñîèäàëüíûå âåëè÷èíû çàäàíû ãðàôè÷åñêè. Òîãäà êîýôôèöèåíòû (6.3) ðÿäà îïðåäåëÿþò òàêæå ãðàôè÷åñêè, ïðè ýòîì èíòåãðèðîâàíèå çàìåíÿþò ñóììèðîâàíèåì çàäàííîãî ÷èñëà ñëàãàåìûõ.

82 1

159

Îòðåçîê wT îñè àáñöèññ wt, ñîîòâåòñòâóþùèé îäíîìó ïåðèîäó (ðèñ. 6.2), ðàçáèâàþò íà p ðàâíûõ ïðîìåæóòêîâ. Êàæäîìó ïðîìåæóòêó ñîîòâåòñòâóåò ñâîÿ îðäèíàòà e(wtn): e(wt1), e(wt2), …, e(wtp). Ýòè îðäèíàòû óäîáíî îáîçíà÷èòü e1, e2, …, ep. Ðèñ. 6.2 Ïîñòîÿííàÿ ñîñòàâëÿþÃðàôè÷åñêèé ìåòîä îïðåäåëåíèÿ ãàðìîíèê ùàÿ E0 â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðíåñèíóñîèäàëüíîé ÝÄÑ ìóëîé (6.3) îïðåäåëèòñÿ êàê àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà îðäèíàò êðèâîé e(wt), äåëåííàÿ íà èõ ÷èñëî: 1 2 31 1 2 42 3 (6.5) 1 2 12 ãäå n = 1, 2, 3, …, p — íîìåð îðäèíàòû (ïðîìåæóòêà). Òàêèì îáðàçîì, äëÿ îïðåäåëåíèÿ E0 íåîáõîäèìî èçìåðèòü íà ãðàôèêå p îðäèíàò en è ïðîèçâåñòè âû÷èñëåíèå ïî ôîðìóëå (6.5). Ïðè îïðåäåëåíèè êîýôôèöèåíòîâ Bk è Ck àðãóìåíò ñèíóñà è êîñèíóñà â ôîðìóëàõ (6.2) è (6.3) â ñîîòâåòñòâèè ñ âûøåèçëîæåííûì ñëåäóåò ïðåäñòàâèòü â âèäå 11 213 2 24 1 5 Òîãäà 1 1 2 2 2 44 3 2 44 3 52 1 9 63 345 5 23 6 6 72 1 9 63 783 5 23 69 1 3 11 1 8 1 3 11 1 8 7 7 Àìïëèòóäó Ekm k-é ãàðìîíèêè ÝÄÑ è åå íà÷àëüíóþ ôàçó yk îïðåäåëÿþò ðàñ÷åòîì ïî ôîðìóëàì (6.4). Òî÷íîñòü ðàñ÷åòà çàâèñèò îò ÷èñëà ïðîìåæóòêîâ: ÷åì áîëüøå p, òåì òî÷íåå ðàñ÷åò. Êðîìå òîãî, äëÿ ðàçëîæåíèÿ ïåðèîäè÷åñêèõ íåñèíóñîèäàëüíûõ çàâèñèìîñòåé, çàäàííûõ ãðàôè÷åñêè, íà ãàðìîíè÷åñêèå ñîñòàâëÿþùèå ïðèìåíÿþò ñïåöèàëüíûå ìåõàíè÷åñêèå èëè ýëåêòðè÷åñêèå ïðèáîðû, íàçûâàåìûå ãàðìîíè÷åñêèìè àíàëèçàòîðàìè. Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé âñåãäà äîñòàòî÷íî áðàòü òîëüêî íåñêîëüêî ãàðìîíèê âûñøåãî ïîðÿäêà, ïðè÷åì íåñèíóñîèäàëüíóþ âåëè÷èíó ñ÷èòàþò ñèíóñîèäàëüíîé, åñëè âñå åå îðäèíàòû îòëè÷àþòñÿ îò ñîîòâåòñòâóþùèõ îðäèíàò ïåðâîé (îñíîâíîé) ãàðìîíèêè íå áîëåå ÷åì íà 5% åå 160

àìïëèòóäû. Ïðè ýòîì â ðàçëîæåíèè íåñèíóñîèäàëüíîé âåëè÷èíû ìîãóò ïîëíîñòüþ îòñóòñòâîâàòü îäíà èëè íåñêîëüêî ãàðìîíèê âûñøåãî ïîðÿäêà èëè öåëûé ðÿä ãàðìîíèê îáùåãî ñâîéñòâà (íàïðèìåð, ÷åòíûå). Åñëè íåñèíóñîèäàëüíàÿ âåëè÷èíà e(wt) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ e(wt) = –e(wt + p), èëè e(wt) + e(wt + p) = 0, (6.6)

Ðèñ. 6.3

Èçìåíåíèå íåñèíóñîèäàëüíîé ÝÄÑ, ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ

òî åå íàçûâàþò ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ èëè ïðîñòî ñèììåòðè÷íîé (ðèñ. 6.3). Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî êàæäîé ïîëîæèòåëüíîé îðäèíàòå ñîîòâåòñòâóåò îòðèöàòåëüíàÿ îðäèíàòà òîãî æå çíà÷åíèÿ, ñäâèíóòàÿ íà ïîëïåðèîäà ïî îòíîøåíèþ ê ïîëîæèòåëüíîé îðäèíàòå. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñòîÿííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ E0 â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (6.1) áóäåò ðàâíà íóëþ. Ñèììåòðè÷íàÿ íåñèíóñîèäàëüíàÿ âåëè÷èíà â òî÷êå wt îïèñûâàåòñÿ ðàâåíñòâîì e(wt) = E1msin(wt + y1) + E2msin(2wt + y2) + + E3msin(3wt + y3) + … , à â òî÷êå wt + p — ðàâåíñòâîì e(wt + p) = –E1msin(wt + y1) + + E2msin(2wt + y2) – E3msin(3wt + y3) + … . Èç óñëîâèÿ (6.6) (e(wt) + e(wt + p))/2 = E2msin(2wt + y2) + + E4msin(4wt + y4) + … º 0 äëÿ âñåõ wt èç ïðîìåæóòêà [0; wT]. Èç ýòîãî òîæäåñòâà ïîëó÷àåì B2sin2wt + C2cos2wt + B4sin4wt + C4cos4wt + … º 0,

2111 1 3111 2 411 ; n = 1, 2, 3, … . Íà îñíîâàíèè ïîñëåäíåãî òîæäåñòâà è ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè ñèñòåìû ôóíêöèé {sin2wt, cos2wt, sin4wt, cos4wt, …} çàêëþ÷àåì, ÷òî B2n = C2n = 0, à ñëåäîâàòåëüíî, E2ï = 0.

ãäå

161

Ðèñ. 6.4

Ãðàôèê èçìåíåíèÿ ÷åòíîé íåñèíóñîèäàëüíîé ÝÄÑ

Ðèñ. 6.5

Ãðàôèê èçìåíåíèÿ íå÷åòíîé íåñèíóñîèäàëüíîé ÝÄÑ

Òàêèì îáðàçîì, âñå ãàðìîíèêè ÷åòíîãî ïîðÿäêà ðàâíû íóëþ, ò. å. ñèììåòðè÷íóþ íåñèíóñîèäàëüíóþ âåëè÷èíó ìîæíî ðàçëîæèòü òîëüêî íà ãàðìîíèêè íå÷åòíîãî ïîðÿäêà: e(wt) = E1msin(wt + y1) + E3msin(3wt + y3) + … . Äëÿ ÷åòíîé íåñèíóñîèäàëüíîé êðèâîé, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ e(wt) = e(–wt) è ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî îñè îðäèíàò (ðèñ. 6.4), èç ôîðìóëû (6.3) ñëåäóåò, ÷òî âñå êîýôôèöèåíòû Bk ðàâíû íóëþ è ðÿä èìååò âèä e(wt) = E0 + C1coswt + C2cos2wt + C3cos3wt + … , ïðè÷åì ïîñòîÿííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ E0 îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïîëóñóììà íàèáîëüøåé è íàèìåíüøåé îðäèíàò. Äëÿ íå÷åòíîé ôóíêöèè, ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íåãî (ðèñ. 6.5), äëÿ êîòîðîé ñïðàâåäëèâî óñëîâèå e(wt) = –e(–wt), ïîñòîÿííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ E0 = 0, è èç ôîðìóëû (6.3) ñëåäóåò, ÷òî âñå êîýôôèöèåíòû Ck òàêæå ðàâíû íóëþ, è ðÿä çàïèñûâàþò â âèäå e(wt) = B1sinwt + B2sin2wt + B3sin3wt + … . 6.2. ÄÅÉÑÒÂÓÞÙÈÅ È ÑÐÅÄÍÈÅ ÇÍÀ×ÅÍÈß ÍÅÑÈÍÓÑÎÈÄÀËÜÍÛÕ ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÂÅËÈ×ÈÍ Ïðè ðàñ÷åòå ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé, â êîòîðûõ äåéñòâóþò íåñèíóñîèäàëüíûå ÝÄÑ, íàïðÿæåíèÿ è òîêè, ÷àùå èìåþò äåëî íå ñ ìãíîâåííûìè çíà÷åíèÿìè ýòèõ âåëè÷èí, à ñ èõ äåéñòâóþùèìè è ñðåäíèìè çíà÷åíèÿìè, òåì áîëåå 162

÷òî èçìåðèòåëüíûå ïðèáîðû òåïëîâîé, ýëåêòðîìàãíèòíîé, ýëåêòðîäèíàìè÷åñêîé è ýëåêòðîñòàòè÷åñêîé ñèñòåì, âêëþ÷åííûå â òàêèå ýëåêòðè÷åñêèå öåïè, ïîêàçûâàþò èìåííî äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ èçìåðÿåìûõ âåëè÷èí. Äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå íåñèíóñîèäàëüíîé ÝÄÑ (àíàëîãè÷íî, íàïðÿæåíèÿ è òîêà) ðàâíî ñðåäíåêâàäðàòè÷íîìó åå çíà÷åíèþ çà âðåìÿ, ðàâíîå ïåðèîäó, 1

3 (6.7) 3145 4 1 22 ãäå e — ìãíîâåííîå çíà÷åíèå íåñèíóñîèäàëüíîé ÝÄÑ. Ïðåäñòàâèâ íåñèíóñîèäàëüíóþ ÝÄÑ â âèäå ðÿäà Ôóðüå e = e0 + e1 + e2 + e3 + … + ek + … , ãäå ek = Ekmsin(kwt + yk), è ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â (6.7), ïîëó÷èì ôîðìóëó äëÿ êâàäðàòà äåéñòâóþùåãî çíà÷åíèÿ: 21

51 2

1

1

3 1 3 6 78 2 5 562 4 63 4 61 4 777 4 62 4 7776178 2 5 12 12 2

1

3

2 22

2

1

3

1

1

2

1

1

2

2 22

1

3 5 63 6478 2 3 2 24 4 2 2 1 2

6 1 5 62178 4 6 53 3 46

6 1 5 62178 2 6 521 2 521 4 531 4 511 4 777 4 521 4 777 4

2 22

òàê êàê ïðè q ¹ s

1

2 42 4356 1 12 1

Ïîýòîìó äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå íåñèíóñîèäàëüíîé ÝÄÑ 22

1

4 211

2

1 22

221 3 231 3 211 3 444 4

Àíàëîãè÷íî, äåéñòâóþùèå çíà÷åíèé íåñèíóñîèäàëüíûõ íàïðÿæåíèÿ è òîêà

22

1

4 211

1 22

32

1

4 311

1 22

2 221 3 231 3 211 3 444 5 2

321 3 331 3 311 3 444 4

(6.8)

Òàêèì îáðàçîì, äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå íåñèíóñîèäàëüíîé âåëè÷èíû ðàâíî êîðíþ êâàäðàòíîìó èç ñóììû êâàäðàòîâ ïîñòîÿííîé ñîñòàâëÿþùåé è äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé 163

âñåõ åå ãàðìîíèê. Ïðè ýòîì äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå ïîñòîÿííîé ñîñòàâëÿþùåé ðàâíî ñàìîé ïîñòîÿííîé ñîñòàâëÿþùåé, à äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå ãàðìîíè÷åñêèõ (ñèíóñîèäàëüíûõ) ñîñòàâëÿþùèõ â 1  ðàç ìåíüøå èõ àìïëèòóä. Íåðåäêî äëÿ óïðîùåíèÿ ðàñ÷åòîâ ïðè îòñóòñòâèè ïîñòîÿííûõ ñîñòàâëÿþùèõ íåñèíóñîèäàëüíóþ âåëè÷èíó çàìåíÿþò ýêâèâàëåíòíîé ñèíóñîèäàëüíîé. Ýêâèâàëåíòíîé ñèíóñîèäàëüíîé âåëè÷èíîé íàçûâàþò òàêóþ âåëè÷èíó, äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå êîòîðîé ðàâíî äåéñòâóþùåìó çíà÷åíèþ íåñèíóñîèäàëüíîé âåëè÷èíû. Àìïëèòóäà ýêâèâàëåíòíîé ñèíóñîèäàëüíîé ÝÄÑ 1

31 2 13 2 1 3 321 3 2 22

à ñðåäíåå çíà÷åíèå çà ïîëîâèíó ïåðèîäà 212 1 6.3. ÀÊÒÈÂÍÀß ÌÎÙÍÎÑÒÜ ÏÐÈ ÍÅÑÈÍÓÑÎÈÄÀËÜÍÛÕ ÍÀÏÐßÆÅÍÈÈ È ÒÎÊÅ

3 21 4 2

Àêòèâíóþ ìîùíîñòü öåïè îïðåäåëÿþò êàê ñðåäíþþ ìîùíîñòü çà ïåðèîä. Ïðè íåñèíóñîèäàëüíîì íàïðÿæåíèè u = u0 + u1 + u2 + … + uk + … è íåñèíóñîèäàëüíîì òîêå i = i0 + i1 + i2 + … + ik + … àêòèâíàÿ ìîùíîñòü 1

2 6789 2 1 51

52 2

1

2 561 4 62 4 63 4 777 4 62 4 7776571 4 72 4 73 4 777 4 72 4 777689 2 1 51 1 1 1 1 2 2 2 6 5 62 72 89 4 6 5 63 7489 87 2 21 1 1 3 2 14 4 2 1 1 1 53 3 46

1

2 42 5367 1 12

Êàê óæå èçâåñòíî, ïðè q ¹ s 32

Òàê êàê

1

2

ñëåäîâàòåëüíî,

1 1

3 1 4 4252673

2 21

1

1

2 42 52 67 1 21 åñòü àêòèâíàÿ ìîùíîñòü, ñîçäàâàåìàÿ íàïðÿæåíèåì è òîêîì k-é ãàðìîíèêè, òî äëÿ àêòèâíîé ìîùíîñòè ïðè íåñè32 1

164

íóñîèäàëüíîì íàïðÿæåíèè îêàçûâàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì óðàâíåíèå 1 22

4 21 2 21 3 22 3 23 3 444 3 21 3 444 4

1 21

Òàêèì îáðàçîì, àêòèâíàÿ ìîùíîñòü ïðè íåñèíóñîèäàëüíûõ íàïðÿæåíèè è òîêå ðàâíà ñóììå àêòèâíûõ ìîùíîñòåé ïîñòîÿííîé è âñåõ ãàðìîíè÷åñêèõ ñîñòàâëÿþùèõ íàïðÿæåíèÿ è òîêà. Âûðàæàÿ àêòèâíûå ìîùíîñòè ãàðìîíèê ÷åðåç äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ è òîêà è êîýôôèöèåíò ìîùíîñòè, ïîëó÷èì P = U0I0 + U1I1cosj1 + U2I2cosj2 + + … + UkIkcosjk + … . Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ôîðìû êðèâûõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ èçìåíåíèþ âî âðåìåíè íàïðÿæåíèÿ è òîêà, ìîãóò îòëè÷àòüñÿ äðóã îò äðóãà, à èíîãäà ñîñòàâëÿþùàÿ ãàðìîíèêà êàêîãî-ëèáî ïîðÿäêà ïîëíîñòüþ îòñóòñòâóåò òîëüêî â òîêå èëè òîëüêî â íàïðÿæåíèè. Òîãäà ñîñòàâëÿþùàÿ àêòèâíîé ìîùíîñòè ýòîé ãàðìîíèêè ðàâíà íóëþ. Ê ýëåêòðè÷åñêèì öåïÿì ñ íåñèíóñîèäàëüíûìè íàïðÿæåíèåì è òîêîì ïðèìåíèìî ïîíÿòèå ïîëíîé ìîùíîñòè, îïðåäåëÿåìîé ïðîèçâåäåíèåì äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé íàïðÿæåíèÿ è òîêà: S = UI. Îòíîøåíèå àêòèâíîé ìîùíîñòè ê ïîëíîé ìîùíîñòè íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì ìîùíîñòè: 1 1 12 2 1 2 34  îòëè÷èå îò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ñèíóñîèäàëüíîãî òîêà, ãäå êîýôôèöèåíò ìîùíîñòè öåïè ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì ðàâåí åäèíèöå, â öåïÿõ íåñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ è òîêà a  0, òî ÷àñòîòà âðàùåíèÿ âîçðàñòàåò, òàê êàê âðàùàþùèé ìîìåíò ïðåâûøàåò òîðìîçíîé ìîìåíò. È íàîáîðîò, ïðè Mj  Iâ0. Ðåãóëèðîâî÷íàÿ õàðàêòåðèñòèêà èìååò áîëüøîå ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå. Ðåãóëèðîâî÷íàÿ õàðàêòåðèñòèêà ãåíåðàòîðà íåçàâèñèìîãî âîçáóæäåíèÿ

11.9. ÃÅÍÅÐÀÒÎÐ ÏÀÐÀËËÅËÜÍÎÃÎ ÂÎÇÁÓÆÄÅÍÈß Ãåíåðàòîð ïàðàëëåëüíîãî âîçáóæäåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ãåíåðàòîðîì ñ ñàìîâîçáóæäåíèåì, åãî ñõåìà ïðèâåäåíà íà ðèñ. 11.23. Ïðîöåññ ñàìîâîçáóæäåíèÿ ãåíåðàòîðà îñíîâàí íà ÿâëåíèè îñòàòî÷íîãî íàìàãíè÷èâàíèÿ ôåððîìàãíèòíûõ ìàòåðèàëîâ, èç êîòîðûõ âûïîëíåíà ìàãíèòíàÿ öåïü ìàøèíû. Ïðè èçãîòîâëåíèè ãåíåðàòîðîâ ìàãíèòíûå ïîëþñû ñïåöèàëüíî íàìàãíè÷èâàþò, è â ìàøèíå âñåãäà ñóùåñòâóåò íåáîëüøîé îñòàòî÷íûé ìàãíèòíûé ïîòîê Fîñò, çíà÷åíèå êîòîðîãî ñîñòàâëÿåò 2…3% îò íîìèíàëüíîãî îñíîâíîãî ïîòîêà. Ñàìîâîçáóæäåíèå ãåíåðàòîðà îñóùåñòâëÿþò íà õîëîñòîì õîäó (âûêëþ÷àòåëü QF îòêëþ÷åí). Ïðè âûêëþ÷åííîì âûêëþ÷àòåëå S â îáìîòêå âðàùàþùåãîñÿ ÿêîðÿ ãåíåðàòîðà èíäóöèðóåòñÿ íåáîëüøàÿ îñòàòî÷íàÿ ÝÄÑ Eîñò = cånFîñò. Åñëè âêëþ÷èòü âûêëþ÷àòåëü S, òî ïîä äåéñòâèåì Eîñò â öåïè îáìîòêè âîçáóæäåíèÿ âîçíèêàåò òîê âîçáóæäåíèÿ 1123 (11.7) 8 245123 1 36 2 34 2 374 330

ãäå R⠗ ñîïðîòèâëåíèå îáìîòêè âîçáóæäåíèÿ. Òåïåðü îáìîòêà âîçáóæäåíèÿ ñîçäàåò äîïîëíèòåëüíûé ìàãíèòíûé ïîòîê ïîëþñîâ DF0. Åñëè ýòîò ïîòîê ñîâïàäàåò ïî íàïðàâëåíèþ ñ îñòàòî÷íûì, òî óâåëè÷èâàþòñÿ ðåçóëüòèðóþùèé ìàãíèòíûé ïîòîê è ñîîòâåòñòâåííî ÝÄÑ ÿêîðÿ. Âñëåäñòâèå ýòîãî âîçðàñòàþò òîê âîçáóæäåíèÿ (ñîãëàñíî ôîðìóëå (11.7)), äîïîëíèòåëüíûé ìàãíèòíûé è ñóììàðíûé ïîòîê, ÝÄÑ ÿêîðÿ è ò. ä. Ïîñêîëüêó çàâèñèìîñòü ÝÄÑ ÿêîðÿ îò òîêà âîçáóæäåíèÿ ïðè ïîñòîÿííîé ÷àñòîòå âðàùåíèÿ èìååò âèä õàÐèñ. 11.23 ðàêòåðèñòèêè íàìàãíè÷èâàíèÿ (1 íà Ñõåìà ãåíåðàòîðà ïàðàëëåëüíîãî ðèñ. 11.24), óâåëè÷åíèå ÝÄÑ ÿêîðÿ âîçáóæäåíèÿ â ïðîöåññå ñàìîâîçáóæäåíèÿ ïðîèñõîäèò àíàëîãè÷íî. Íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ öåïè âîçáóæäåíèÿ Uâ = (Râ + + Rðâ)Iâ ïðè Rðâ = const èçìåíÿåòñÿ ïî ëèíåéíîìó çàêîíó ïðè èçìåíåíèè òîêà âîçáóæäåíèÿ Iâ (ëèíèÿ 2 íà ðèñ. 11.24).  òî÷êå A ýòî íàïðÿæåíèå ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì ÝÄÑ ÿêîðÿ. Äàëüíåéøèé ðîñò ÝÄÑ ÿêîðÿ íåâîçìîæåí, òàê êàê ïðè óâåëè÷åíèè òîêà âîçáóæäåíèÿ ñâûøå IâA óðàâíåíèå íàïðÿæåíèÿ ãåíåðàòîðà (11.1) íå âûïîëíÿåòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, òî÷êà A ÿâëÿåòñÿ ãðàôè÷åñêèì ðåøåíèåì ñèñòåìû äâóõ óðàâíåíèé: Eÿ = f(Iâ) è Uâ = f(Iâ). ×òîáû ïðîèçîøëî ñàìîâîçáóæäåíèå ãåíåðàòîðà, â íåì äîëæåí áûòü îñòàòî÷íûé ìàãíèòíûé ïîòîê ïîëþñîâ Fîñò; äîïîëíèòåëüíûé ìàãíèòíûé ïîòîê ïîëþñîâ DF0, ñîçäàâàåìûé òîêîì âîçáóæäåíèÿ, äîëæåí ñîâïàäàòü ïî íàïðàâëåíèþ ñ ïîòîêîì Fîñò; ñîïðîòèâëåíèå öåïè âîçáóæäåíèÿ äîëæíî áûòü ìåíüøå êðèòè÷åñêîãî: Râ + Rðâ  I¢ÿ è n²  (M0 + M2) íà÷íåòñÿ ïîñòåïåííîå óâåëè÷åíèå ÷àñòîòû âðàùåíèÿ. Ñëåäñòâèåì ýòîãî ÿâëÿåòñÿ óâåëè÷åíèå ÝÄÑ ÿêîðÿ, óìåíüøåíèå òîêà ÿêîðÿ è âðàùàþùåãî ìîìåíòà. Íà÷èíàåòñÿ ïåðåõîäíûé ïðîöåññ, âî âðåìÿ êîòîðîãî èçìåíÿþòñÿ Iÿ, Eÿ, M è n (ðèñ. 11.30). Ïðè íåêîòîðîé ÷àñòîòå âðàùåíèÿ n¢ > n íàñòóïèò ðàâåíñòâî ìîìåíòîâ M = M0 + M2, êîòîðîìó áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü íîâûé óñòàíîâèâøèéñÿ ðåæèì. Òîê ÿêîðÿ â íîâîì ðåæèìå îñòàíåòñÿ ðàâíûì òîêó â èñõîäíîì ðåæèìå, òàê êàê M = const. Ïðè óìåíüøåíèè íàïðÿæåíèÿ ïåðåõîäíûé ðåæèì ïðîòåêàåò â îáðàòíîì ïîðÿäêå è ÷àñòîòà âðàùåíèÿ äâèãàòåëÿ óìåíüøàåòñÿ. Ýòîò ñïîñîá òðåáóåò íàëè÷èÿ ðåãóëèðóåìîãî èñòî÷íèêà ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ, â êà÷åñòâå êîòîðîãî ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí ãåíåðàòîð ïîñòîÿííîãî òîêà èëè ïîëóïðîâîäíèêîâûé óïðàâëÿåìûé âûïðÿìèòåëü, íàëè÷èå êîòîðûõ ïîçâîëÿåò íàðÿäó ñ ðåãóëèðîâàíèåì ÷àñòîòû âðàùåíèÿ îñóùåñòâëÿòü áåçðåîñòàòíûé ïóñê äâèãàòåëÿ. Ñïîñîá âòîðîé. Ïðè óâåëè÷åíèè òîêà âîçáóæäåíèÿ óâåëè÷èâàþòñÿ ìàãíèòíûé ïîòîê è ÝÄÑ ÿêîðÿ, à òîê ÿêîðÿ óìåíüøàåòñÿ (ðèñ. 11.31).

Ðèñ. 11.30

Ïåðåõîäíûé ïðîöåññ â äâèãàòåëå ïðè óâåëè÷åíèè íàïðÿæåíèÿ ñåòè (tDU — ìîìåíò óâåëè÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ)

Ðèñ. 11.31

Ïåðåõîäíûé ïðîöåññ â äâèãàòåëå ïðè óâåëè÷åíèè ìàãíèòíîãî ïîòîêà (tDF — ìîìåíò óâåëè÷åíèÿ ïîòîêà)

Ðèñ. 11.32

Èçìåíåíèå ÷àñòîòû âðàùåíèÿ äâèãàòåëÿ ïàðàëëåëüíîãî âîçáóæäåíèÿ â çàâèñèìîñòè îò òîêà âîçáóæäåíèÿ ïðè õîëîñòîì õîäå

341

Âðàùàþùèé ìîìåíò M òàêæå óìåíüøàåòñÿ, ïîñêîëüêó èçìåíåíèå òîêà ÿêîðÿ, îáóñëîâëåííîå èçìåíåíèåì ìàãíèòíîãî ïîòîêà, âñåãäà áîëåå çíà÷èòåëüíî, ÷åì èçìåíåíèå ìàãíèòíîãî ïîòîêà, òàê êàê U è Eÿ áëèçêè ïî çíà÷åíèþ. Ïîñêîëüêó âðàùàþùèé ìîìåíò ñòàíîâèòñÿ ìåíüøå òîðìîçíîãî, ÷àñòîòà âðàùåíèÿ íà÷èíàåò ïîñòåïåííî óìåíüøàòüñÿ. Êàê ñëåäñòâèå ýòîãî, óìåíüøàåòñÿ ÝÄÑ ÿêîðÿ, óâåëè÷èâàþòñÿ åãî òîê è âðàùàþùèé ìîìåíò. Êîãäà âðàùàþùèé ìîìåíò äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ òîðìîçíîãî ìîìåíòà, ò. å. ïðåæíåãî çíà÷åíèÿ, óñòàíàâëèâàþòñÿ íîâûå çíà÷åíèÿ ÷àñòîòû âðàùåíèÿ n¢  êàê è âðàùàþùèé ìîìåíò > Rðÿ1; 4 — Rðÿ3 > Rðÿ2. M = cMIÿF = c¢MIÿ. Òàêèì æå îáðàçîì èçìåíÿåòñÿ ïîäâîäèìàÿ ê äâèãàòåëþ èç ñåòè ýëåêòðè÷åñêàÿ ìîùíîñòü P1 = U(Iÿ + Iâ). ÊÏÄ äâèãàòåëÿ èçìåíÿåòñÿ òàê æå, êàê è ó âñåõ ýëåêòðè÷åñêèõ ìàøèí. Ìåõàíè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè äâèãàòåëÿ — ýòî çàâèñèìîñòü n = f(M) ïðè Uíîì = const, Iâ = const. Åñëè ïðè ïîñòîÿííûõ íàïðÿæåíèè U ñåòè è ìàãíèòíîì ïîòîêå F èçìåíÿòü òîðìîçíîé ìîìåíò M2, òî áóäóò èçìåíÿòüñÿ âðàùàþùèé ìîìåíò M è òîê ÿêîðÿ Iÿ, à çàâèñèìîñòü n = f(M) áóäåò ëèíåéíîé (ðèñ. 11.35). Äâèãàòåëü èìååò ñåìåéñòâî ìåõàíè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê. Õàðàêòåðèñòèêó 1 ïðè Rðÿ = 0 íàçûâàþò åñòåñòâåííîé, à âñå îñòàëüíû堗 èñêóññòâåííûìè. ×åì áîëüøå ñîïðîòèâëåíèå Rðÿ ðåãóëèðîâî÷íîãî ðåîñòàòà, òåì êðó÷å ìåõàíè÷åñêàÿ õàðàêòåðèñòèêà, òåì â áîëåå øèðîêèõ ïðåäåëàõ 344

èçìåíÿåòñÿ ÷àñòîòà âðàùåíèÿ äâèãàòåëÿ ïðè èçìåíåíèè íàãðóçêè. Ïðè Rðÿ = 0 èçìåíåíèå ìîìåíòà îò íóëÿ äî íîìèíàëüíîãî çíà÷åíèÿ ïðèâîäèò ê íåçíà÷èòåëüíîìó ñíèæåíèþ ÷àñòîòû âðàùåíèÿ (íà 3…8%). Òàêóþ õàðàêòåðèñòèêó íàçûâàþò æåñòêîé. 11.15. ÄÂÈÃÀÒÅËÜ ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÃÎ ÂÎÇÁÓÆÄÅÍÈß Ñõåìà òàêîãî äâèãàòåëÿ ïðèâåäåíà íà ðèñ. 11.36. Åãî îáìîòêà âîçáóæäåíèÿ âêëþ÷åíà ïîñëåäîâàòåëüíî ñ îáìîòêîé ÿêîðÿ, ïîýòîìó òîê âîçáóæäåíèÿ ðàâåí òîêó ÿêîðÿ (Iâ = Iÿ). Îáìîòêó âîçáóæäåíèÿ äåëàþò èç íåáîëüøîãî ÷èñëà âèòêîâ ïðîâîäà áîëüøîãî ñå÷åíèÿ, ÷òîáû åå ñîïðîòèâëåíèå áûëî íåáîëüøèì. Äëÿ äâèãàòåëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî âîçáóæäåíèÿ ðåæèì õîëîñòîãî õîäà íåäîïóñòèì, òàê êàê ïðè òîêå ÿêîðÿ, áëèçêîì ê íóëþ, òîê âîçáóæäåíèÿ è ìàãíèòíûé ïîòîê òàêæå áëèçêè ê íóëþ, ÷àñòîòà âðàùåíèÿ äâèãàòåëÿ óâåëè÷èâàåòñÿ â íåñêîëüêî ðàç ïî ñðàâíåíèþ ñ íîìèíàëüíîé, ÷òî ìîæåò ïðèâåñòè ê ìåõàíè÷åñêîìó ðàçðóøåíèþ ÿêîðÿ — ãîâîðÿò, ÷òî äâèãàòåëü «èäåò âðàçíîñ». Ïî òîé æå ïðè÷èíå äâèãàòåëü âñåãäà ïóñêàþò ïðè íàãðóçêå íå ìåíåå 25% îò íîìèíàëüíîãî çíà÷åíèÿ. Ñ èñïîëíèòåëüíûì ìåõàíèçìîì äâèãàòåëü äîëæåí èìåòü æåñòêîå ñîåäèíåíèå (ìóôòà, ðåäóêòîð), ðåÐèñ. 11.36 ìåííàÿ ïåðåäà÷à ñ òàêèì äâèãàòåëåì íå Ñõåìà äâèãàòåëÿ ïîñëåäîäîïóñêàåòñÿ. Åñëè äâèãàòåëü ïî êàêèìâàòåëüíîãî ëèáî ïðè÷èíàì îêàçûâàåòñÿ áåç íàãðóçâîçáóæäåíèÿ êè, òî åãî íóæíî îòêëþ÷èòü îò ñåòè, ÷òî îáåñïå÷èâàåòñÿ óñòðîéñòâàìè çàùèòû. Ðàáî÷èå õàðàêòåðèñòèêè äâèãàòåëÿ ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 11.37. Çàâèñèìîñòü h = f(P2) — òèïè÷íàÿ äëÿ ýëåêòðè÷åñêèõ ìàøèí.  ïðåäåëàõ 0,25P2íîì £ P2£ P2íîì ÊÏÄ èçìåíÿåòñÿ ìàëî. Ìîùíîñòü ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè, ïîòðåáëÿåìîé äâèãàòåëåì èç ñåòè, ðàâíà P1 = P2/h, ïîýòîìó ñ ó÷åòîì õàðàêòåðà èçìåíåíèÿ ÊÏÄ çàâèñèìîñòü P1 = f(P2) áëèçêà ê ëèíåéíîé (íåñêîëüêî âîãíóòà). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, P1 = UIÿ, 345

îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè U = const çàâèñèìîñòü Iÿ = = f(P2) èìååò òàêîé æå âèä, ÷òî è P1 = f(P2). Äëÿ äâèãàòåëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî âîçáóæäåíèÿ ôîðìóëà (11.11) ïðèíèìàåò âèä Ðèñ. 11.37

Ðàáî÷èå õàðàêòåðèñòèêè äâèãàòåëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî âîçáóæäåíèÿ

55

2 3 1 31 4 32 2 41

3 61 6 òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíî ñ îáìîòêîé ÿêîðÿ âêëþ÷åíà

îáìîòêà âîçáóæäåíèÿ. Ïðè ìàëûõ òîêàõ âîçáóæäåíèÿ ìàãíèòíûé ïîòîê ïðîïîðöèîíàëåí òîêó ÿêîðÿ (F = cFIÿ), òàê êàê Iâ = Iÿ. Òîãäà

2 3 1 31 4 32 2 41

3 4 32 5 (11.14) 5 3 3 1 4 51 7 41 516 2 c¢  = c c  — ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû. ãäå 31 2 2 e e F 31 31 65

Èç (11.14) ñëåäóåò, ÷òî ïðè íåíàñûùåííîì ìàãíèòîïðîâîäå çàâèñèìîñòü n = f(Iÿ) èìååò âèä ãèïåðáîëû. Ïðè áîëüøèõ òîêàõ ÿêîðÿ íàñòóïàåò íàñûùåíèå ìàãíèòîïðîâîäà, ìàãíèòíûé ïîòîê è ÷àñòîòà âðàùåíèÿ îñòàþòñÿ ïî÷òè ïîñòîÿííûìè. Òàê êàê ìåæäó òîêîì Iÿ è ìîùíîñòüþ P2 çàâèñèìîñòü áëèçêà ê ëèíåéíîé, òî ðàáî÷àÿ õàðàêòåðèñòèêà n = f(P2) èìååò âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 11.37 è îïèñàííûé ðàíåå. Äëÿ äâèãàòåëåé ïîñëåäîâàòåëüíîãî âîçáóæäåíèÿ õàðàêòåðíû çàìåòíîå ñíèæåíèå ÷àñòîòû âðàùåíèÿ ñ óâåëè÷åíèåì íàãðóçêè è âîçðàñòàíèå åå ïðè ìàëûõ íàãðóçêàõ. Âðàùàþùèé ìîìåíò äâèãàòåëÿ ïðè íåíàñûùåííîì ìàãíèòîïðîâîäå 1 1 31 2 2 3 22 3 (11.15) 1 431 4 31 1 5 2 6 4 11 5 1 6 4 1 4 31 5 8 79 85 9 Ïðèíèìàÿ ÊÏÄ ïîñòîÿííûì â ïðåäåëàõ 0,25P2íîì £ 3 21 33 4  — ïî£ P2 £ P2íîì, ïîëó÷àåì M = c²MP22, ãäå 21 1 352 1 ñòîÿííûé êîýôôèöèåíò.  óêàçàííûõ ïðåäåëàõ èçìåíåíèÿ ìîùíîñòè P2 çàâèñèìîñòü M = f(P2) èìååò âèä ïàðàáîëû. Ïðè áîëüøèõ 346

íàãðóçêàõ ñ ðîñòîì òîêà ÿêîðÿ íàñòóïàåò íàñûùåíèå ìàãíèòîïðîâîäà ìàøèíû è çàâèñèìîñòü M = f(P2) ïðèáëèæàåòñÿ ïîñòåïåííî ê ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè. Äâèãàòåëü íå ìîæåò ðàáîòàòü ïðè P2