Математика : учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования [7 ed.] 9785446892426

Учебник разработан с учетом требований федеральных государственных образовательных стандартов среднего общего и среднего

290 74 9MB

Russian Pages 256 [254] Year 2020

Report DMCA / Copyright

DOWNLOAD FILE

Математика : учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования [7 ed.]
 9785446892426

Table of contents :
Основные обозначения ..................3
Предисловие....................4
Глава 1. РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕ............ 7
Занятие 1. Целые и рациональные числа............ 7
Занятие 2. Действительные числа.............. 11
Занятие 3. Приближенные вычисления.............15
Занятие 4. Комплексные числа...............18
Беседа. Числа и корни уравнений.............. 22
Глава 2. КОРНИ, СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ...........26
Занятие 1. Повторение пройденного..............26
Занятие 2. Корень n-й степени................29
Занятие 3. Степени...................33
Занятие 4. Логарифмы................. 37
Занятие 5. Показательные и логарифмические функции.........40
Занятие 6 . Показательные и логарифмические уравнения и неравенства....46
Беседа. Вычисление степеней и логарифмов.............49
Глава 3. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ .........52
Занятие 1. Взаимное расположение прямых и плоскостей........52
Занятие 2. Параллельность прямых и плоскостей......... 56
Занятие 3. Углы между прямыми и плоскостями.........58
Беседа. Геометрия Евклида...............61
Глава 4. КОМБИНАТОРИКА...............6 6
Занятие 1. Комбинаторные конструкции............6 6
Занятие 2. Правила комбинаторики..............69
Занятие 3. Число орбит.................. 72
Беседа. Из истории комбинаторики..............77
Глава 5. КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ.............. 79
Занятие 1. Повторение пройденного..............79
Занятие 2. Координаты и векторы в пространстве......... 83
Занятие 3. Скалярное произведение..............85
Занятие 4. Перпендикулярность прямых и плоскостей..........8 8
Беседа. Векторное пространство...............90
Глава 6 . ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ.............. 93
Занятие 1. Углы и вращательное движение............ 93
Занятие 2. Тригонометрические операции............. 98
Занятие 3. Преобразование тригонометрических выражений...... 103
Занятие 4. Тригонометрические функции............. 109
Занятие 5. Тригонометрические уравнения............ 114
Беседа. Из истории тригонометрии.............. 120
Глава 7. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ.............. 122
Занятие 1. Обзор общих понятий.............. 122
Занятие 2. Схема исследования функции............. 127
Занятие 3. Преобразования функций и действия над ними....... 131
Занятие 4. Симметрия функций и преобразование их графиков...... 135
Занятие 5. Непрерывность функции............. 139
Беседа. Развитие понятия функции.............. 141
Глава 8 . МНОГОГРАННИКИ И КРУГЛЫЕ ТЕЛА.......... 143
Занятие 1. Словарь геометрии............... 143
Занятие 2. Параллелепипеды и призмы ............ 145
Занятие 3. Пирамиды.................. 148
Занятие 4. Круглые тела ............... 151
Занятие 5. Правильные многогранники ............ 154
Беседа. Платоновы тела................ 157
Глава 9. НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ........ 159
Занятие 1. Процесс и его моделирование............ 159
Занятие 2. Последовательности............... 165
Занятие 3. Понятие производной.............. 171
Занятие 4. Формулы дифференцирования............. 176
Занятие 5. Производные элементарных функций......... 180
Занятие 6 . Применение производной к исследованию функций ....... 183
Занятие 7. Прикладные задачи.............. 187
Занятие 8 . Первообразная................ 193
Беседа. Формула Тейлора ................ 195
Глава 10. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ.......... 198
Занятие 1. Площади плоских фигур............. 198
Занятие 2. Теорема Ньютона — Лейбница............. 201
Занятие 3. Пространственные тел а ............. 207
Беседа. Интегральные величины.............. 213
Глава 11. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ.......... 219
Занятие 1. Вероятность и ее свойства............. 219
Занятие 2. Повторные испытания.............. 222
Занятие 3. Случайная величина............... 225
Беседа. Происхождение теории вероятностей............ 228
Глава 12. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА............ 230
Занятие 1. Равносильность уравнений............ 230
Занятие 2. Основные приемы решения уравнений.......... 233
Занятие 3. Системы уравнений.............. 238
Занятие 4. Решение неравенств............... 242
Беседа. Разрешимость алгебраических уравнений.......... 247
Ответы ...................... 249

Citation preview

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАНИЕ

М. И. Башмаков

МАТЕМАТИКА Учебник Рекомендовано Федеральным государственным бюджетным учреждением «Федеральный институт развития образования»[ФГБУ кФИРО») в качестве учебника для использования в образовательном процессе образовательных организаций СПО на базе основного общего образования с получением среднего общего образования Регистрационный номер рецензии 67 от 17 апреля 2018 г. ФГБУ «ФИРО»

7-е издание, стереотипное

ACADEMA

Москва Издательский центр «Академия» 2020

УДК 5 1 (0 7 5 .3 2 ) ББК 2 2 .1 я 7 2 3 я 7 2 2 Б 336

Р ец ен зен т — зам. директора по УМР ГБОУ СПО «Колледж легкой промышленности № 5», г. Москва С.В.Могуева

Б 33 6

Баш маков М.И. М атематика : учеб. для студ. учреж дений сред. проф. образования / М .И .Б аш м ак ов . — 7-е и зд ., стер. — М. : И здательский центр «А каде­ мия», 20 20 . — 256 с. ISBN 9 7 8 -5 -4 4 6 8 -9 2 4 2 -6 Учебник разработан с учетом требований федеральных государственных образо­ вательных стандартов среднего общего и среднего профессионального образования, а также профиля профессионального образования. Написан в соответствии с программой изучения математики в учреждениях сред­ него профессионального образования и охватывает все основные темы: теория чисел, корни, степени, логарифмы, прямые и плоскости, пространственные тела, а также основы тригонометрии, анализа, комбинаторики и теории вероятностей. Для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности среднего профессионального образования.

УДК 5 1 (0 7 5 .3 2 ) ББК 2 2 .1 я 7 2 3 я 7 2 2

Оригинал макет данного издания является собственностью Издательского центра «Академия» , и его воспроизведение любым способом без согласия правообладателя запрещается

ISBN 978-5-4468-9242-6

© Баш маков М .И ., 2016 © О бразовательно-издательский центр « А к ад ем и я », 2 0 1 6 © Оформление. И здательский центр «А к адем и я», 2016

Основные обозначения

Общематематические символы |а|

— абсолютное значение (модуль) числа а [а] — целая часть числа а = — равно » — приближ енно равно > — больше < — меньше уГ

— корень квадратный

— корень га-й степени => — следовательно — равносильно, тогда и только тогда, когда Комбинаторика га! А™ С™ Рп

— — — —

га факториал число размещ ений из га по гаг число сочетаний из га по гаг число перестановок из га элементов

Множества 0 — N — Z — Q — R — С — A{JB — АЛ-В — аеА — аёА — g °f

пустое множ ество натуральные числа целы е числа рациональные числа действительные числа комплексны е числа объединение множеств пересечение множ еств а принадлеж ит множ еству А о не принадлеж ит м н ож е­ ству А — композиция отображений f n g

Комплексные числа 1

— мнимая единица — комплексное число, сопряж ен­ ное к z \г\ — абсолютное значение (модуль) комплексного числа z

2

Геометрия А (х; у) — точка А с координатами х и у а, b — прямые а, р — плоскости а 11b — прямая а параллельна пря­ мой b а-Ъ — п р я м а я а с к р е щ и в а е т ся с прямой Ъ a lb — прямая а перпендикуляр­ на прямой b a n а = Р — п р я м ая а п е р е сек а ет плоскость а в точке Р а || Р — плоскость а параллельна ПЛОСКОСТИ Р a J-P — плоскость а п ер п ен д и к у ­ лярна плоскости р а, А В — вектор Последовательность и функции последовательность приращ ение ф ункции f дифференциал функции f п р ои зв одн ая ф ун к ц и и f в точке х \ f(x ) d ,x — м н о ж ест в о п е р в о о б р а з­ ны х, или неопределен­ ный интеграл ф ункции f b

К } Ы df fix )

]У(х)о!х

оп р едел ен н ы й интеграл ф ункции / от а до Ъ

Предисловие

М атематика за 2 500 лет своего сущ ествования накопила богатейш ий инструменттарий для исследования окруж аю щ его нас мира. Однако, как зам е­ тил вы даю щ ийся русский математик и кораблестроитель академик А . Н. Кры­ лов, человек обращ ается к математике «не затем, чтобы любоваться неисчис­ лимы ми сокровищ ами». Ему, пр еж де всего, нуж н о ознакомиться со «столе­ тиями испы танными инструментами и научиться ими правильно и искусно владеть». Д анная книга научит вас обращаться с такими математическими инструм ентами, как ф ункции и их графики, геометрические фигуры , векторы и координаты , производная и интеграл. Несмотря на то что первое знакомство с больш инством из этих понятий состоялось у вас раньш е, книга представляет их заново. Это удобно для тех, кто немного забыл изучавш ийся ранее матери­ ал, и полезно всем, так как даж е в знаком ы х вещ ах обнаруж атся новые сторо­ ны и связи. Д ля облегчения работы с учебником самые важны е полож ения и ф орм ули­ ровки выделены. Больш ую роль играют иллюстрации, поэтому необходим о внимательно рассмотреть относящ ийся к тексту чертеж для лучш его поним а­ ния текста (ещ е в древности использовали этот способ изучения математики — рисовали чертеж и говорили: «Смотри!»). П омимо несом ненной практической ценности получаемы х математических знаний и зучен ие математики оставляет в душ е каж дого человека неизглади­ мый след. С математикой многие связывают объективность и честность, стрем­ ление к истине и торж еству разум а. У многих на всю ж и зн ь остается уверен­ ность в своих си лах, возникш ая при преодолении тех несомненны х трудно­ стей, которые встретились при изучении математики. Темы, которым посвящ ен учебник, — теория чисел, пространственные тела, основы математического анализа, начала теории вероятностей — имеют не только прикладное значение. Они содерж ат богатые идеи, ознаком ление с которыми необходим о каж дом у человеку. Учебник полностью соответствует ФГОС, а такж е программе общ еобразова­ тельной учебной дисциплины «Математика: алгебра и начала математическо­ го анализа. Геом етрия», одобренной Н аучно-методическим советом Центра профессионального образования ФГАУ «ФИРО» (протокол № 2 от 26 марта 2 0 1 5 г.). П остроение учебника, его стиль, набор учебны х заданий, позволяют учесть особенности преподавания математики в образовательных организаци­ я х начального и среднего профессионального образования. К аж дая тема, и з­ лож енн ая в учебнике, разбита на рубрики, отвечающ ие на прямо поставлен­ ные вопросы: что следует изучить (или повторить, вспомнить), зачем это н у ж ­ но, как м ож но на практике воспользоваться изученны м, почему все прои схо­ дит так или иначе.

4

Ответ на вопрос что компактно очерчивает основные полож ения изучаем ой темы, ответ на вопрос зач ем , как правило, объясняет общ ечеловеческое и культурное назначение постигаемы х знаний, сф еру их основны х при лож ен ий . Основные способы действий с изученны ми понятиям и приводятся в рубрике как, а рубрика почем у включает в работу важ нейш ий метод математики - обо­ снование и доказательство высказываемых утверж дений. Те из вас, кто намерен осваивать профессии и специальности СПО естествен­ нонаучного проф иля, специальности СПО гуманитарного проф иля, могут и зу ­ чать математику на базовом уровне ФГОС среднего общ его образования. Ц ел е­ вые особенности обучения математике по этом у профилю хорош о известны . На первый план выдвигаются задачи общ екультурного, интеллектуального р аз­ вития. Д ля реш ения этих задач в процессе обучения математике особое зн аче­ ние приобретает развитие визуального мы ш ления, образно-ассоциативны х представлений, включение содерж ания обучения в общ екультурны й контекст, усиление внимания к развитию логической и язы ковой культуры . В едущ им и познавательными стилями становятся визуальный и логико-дедуктивны й. Алгоритмический стиль отодвигается на задний план. Сущ ественное значение приобретает комбинаторный стиль, а такж е исследовательский стиль для со ­ хранивш их индивидуальны й интерес к математике независимо от сделанного профессионального выбора. Если ж е вы собираетесь осваивать проф ессии и специальности СПО технического и социально-эконом ического проф илей, то математику необходим о будет изучать более углубленно, как профильную учебную дисциплину, учитывая специф ику осваиваемых проф ессий или сп е­ циальностей. В этом случае к упомянуты м выше задачам нуж н о добавить у си ­ ление роли дедуктивного и исследовательского стилей, но главное, — расш и­ рение всего спектра используемы х стилей деятельности, часто связанное с н е­ обходимостью преодоления личны х предпочтений и трудностей. Как ж е м ож но один и тот ж е учебник приспособить к сп ециф ике каж дого из выбранных профилей? Д ля гуманитарного профиля надо сделать акцент на рубриках что и зач ем , для технического - на рубриках что, как и почему. Учебник позволяет реализовать различные учебные траектории, как и н ди­ видуальные, так и коллективны е. Усилить профессиональную направленность можно с помощью выбора при­ кладных задач, тем и сюжетов для проектных и исследовательских работ, поме­ щенных в учебном пособии «Математика. Сборник задач профильной направлен­ ности» , которое входит в состав учебно-методического комплекта вместе с настоя­ щим учебником, электронным учебником, учебными пособиями «Математика. Задачник» и «Математика. Контрольно-оценочные средства» (электронное посо­ бие) и методическим пособием «Математика. Книга для преподавателя». В последние десятилетия особенно активно развивается новая группа ре­ сурсов, называемых цифровыми образовательными ресурсам и. К ним м ож но присоединить понятие «сетевые ресурсы ». Учебно-методический комплект обеспечивает соединение традиционны х бум аж н ы х, текстовы х ресурсов и бо­ лее современны х цифровых и сетевых ресурсов, что способствует овладению приемами отбора, анализа и синтеза информации, проверки и самопроверки усвоения, навыками самостоятельной учебной деятельности, проф ессиональ­ ной терминологией; предоставляет возмож ность «расш ирения» инф орм аци­ онного поля за счет ссылок на внеш ние ресурсы .

5

Учебник не предполагает линейного, последовательного изучения — стра­ ница за страницей. Он представляет возмож ность по-разному чередовать учеб­ ные темы (главы учебника), варьировать порядок и степень внимания к р аз­ личным стилям учебной деятельности при прохож дении конкретной темы. Все три составляю щ ие математического образования — его вклад в и н ди ­ видуальное развитие личности, его воспитательный потенциал и практиче­ ское зн ачен ие — равноправны . Ц ель учебн ик а - дать достаточно богаты й, разносторонний и доступны й материал по всем направлениям, сохраняя зн а­ чимость и содерж ательность каж дого из них.

Занятие 1 Целые и рациональные числа Что мы знаем о числе? 1. Н а т у р а л ь н ы е числа. Натуральные чис­ ла строятся конструктивно, начиная с еди ни­ цы, прибавлением на каж дом шаге одной еди ­ ницы: 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, ... Запись натуральных чисел имеет длинную историю . Современное общ ество пользуется д е с я т и ч н о й с и с т е м о й , в которой введены 10 цифр: 1, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, ..., 9 = 8 + 1 и 0. Ч исло, следую щ ее за числом 9, записы ­ вается в виде 10. Д алее, считая десяткам и, сотнями (10 х 10), ты сячами и т .д ., каж дое натуральное число представляем в виде а0 + + щ • 10 + ... + oft-10* (о* Ф 0), где 0 < о, < 9, и запи­ сываем последовательностью цифр a ka k_x...a0. В информатике большую роль играет д в о ­ ичная си ст ем а , использую щ ая две цифры: 0 и 1 — и основанная на представлении числа в виде суммы степеней числа 2, которое в дво­ ичной системе имеет запись 10. 2. Ц е л ы е числа. П олучаются из натураль­ ных добавлением нуля и о т ри ц ат ел ьн ы х чи­ сел. М нож ество натуральны х чисел обознача­ ется б у к в о й N , ц ел ы х ч и сел — бук в ой Z. Ясно, что N с Z , т .е . это означает, что вся­ кое натуральное число одновременно есть ц е­ лое. 3. Р а ц и о н а л ь н ы е числа. П олож ительны е рациональные числа можно получить, считая

Год первого издания этого учебника по-разному запишется в разных системах счисления

• Десятичная система 2010

• Римская система

ммх • Иероглифическая система древних египтян (и 3000 г. до н.э.)

2010

=

2

х

1000

+

10

Вавилонская (шестидесяте­ ричная) система (и 3500 г. до н. э.)

v т хп 2п 3 = т 3п 2п х. Равенство целы х ч и сел т хп 2п 3 = т 3п 2п х п е р е п и ш ем в в и де п2( т хп 3 - т 3п х) = 0. Ч исло п 2 (знам енатель средней дроби) не м ож ет быть равно нулю . Однако, если произведение двух целы х чисел равно нулю , то хотя бы одно из них долж но быть нулем . П олучаем, что т хп 3 - т 3п х = 0, т.е. т хп3 = т 3п х, что и требовалось доказать.

Круговая диаграмма пока­ зывает распределение голосов в парламенте между тремя пар­ тиями — синими, серыми и бе­ лыми. Это распределение можно за­ писать дробями: 75 + 60 + 45 = 180 — общее число мест; 75 _ 5 60 1. 180 _ 1 2 ’ 180 _ 3 ’ 45 1 180 ” 4' В качестве общей доли мож-

Как выполняют арифметические действия над обыкновенными дробями? 1. С окращ ение дроби. 28 П р и м е р . Дробь — можно сократить. Это 60 мож но делать последовательно, обнаруж ивая общие множ ители у числителя и знаменателя и деля на них: 28 60

214 14 2 -7 7 2■ 30 ~ 30 ~ 2• 15 ~ 1 5 ’

Какая часть объема колбы заполнится при сливании жидкостей из двух таких же колб?

L—

^

«......... „

=

+ гттгиг;

9

Сложение

Ш1 + т2 _ т1п2 + ТП2П\ Щ. ^ 2 ЩЦ2 ЩрЦ.

_

а м ож но сделать сразу, разделив числитель и знаменатель на их наибольш ий общ ий дел и ­ тель (НОД): 28 60

+ тПуТЬ^

ЩЦ2

ТЬ^



^ з

TTZ-2

ТТЪ]Т12

Yth^T^y

7^2

rtj/l2

/lj/l2

-

7 l i 7 l2

Умножение _ m \m 2

772-2

Щ

Щ, Щ.Щ,

знаменатель — в за и м н о прост ы е числа. 2. Сложение (вы ч и т а н и е) дробей. П р и м е р . А + А . Д ля сл ож ен и я н уж н о

7712^

771!

привести дроби к общему зн а м ен а т е л ю . Д ля этого удобно разлож ить знаменатели на про­ стые м нож ители и взять их наименьш ее об­ щ ее к р а т н о е (Н О К ): 12 = 2 2- 3; 10 = 2 - 5 . Н О К(12; 10) = 2 2 3 5 = 60. A J L - 3 -6 12 + 10 ~ 60 + 60

Деление 772-1

Tl2

25 + 18 43 60 " 60'

3. Умножение (делен и е) дробей.

. 7712 _ 77l1 7 l2

T lj

7 15

7 Д робь — н е с о к р а т и м а . Ее числитель и

Вычитание TTlj

4 -7 415

2 12 5 : —. З а п и с ы в а е м р е25 63 7 зультат в виде одной дроби и сокращ аем ее:

7772,Л\

П рим ер.

12 5 -7 22 3 -5 - 7 2 2 2 5 -6 3 - 2 ~ 52 - З2 - 7 -2 _ 3 -5 _ 15

Вопросы и упражнения ■

1.

Какие из следующих выражений имеют значение, равное 1: 1)

. 1 1 1 А ——I 1— ; 2 3 6

2, Д . Г » Л 1 “ : 6

3)

4)

7

А = 2,36 - 1,12 - 0,88 + 0,64;

сх „ 95 5) А = (1 2 -7 )(1 2 + 7)

6 , A = 33Z- 32li 55

in 3 -Q3

7) А = — — — ?

3 4 5 1 2.

10

Стоимость товара в первый раз снизили на а %, во второй раз — на Ъ% от но­ вой цены. В каких случаях в результате стоимость товара составила 60 % ис­ ходной цены: 1) а = 20; Ь = 20;

3) а = 25; Ъ = 20;

2) а = 20; Ъ = 25;

4) а = 40; Ъ = 0;

5) а = 6 б |; Ъ = 10?

3. Вычислите с помощью калькулятора значения следующих числовых выраже­ ний: 1) количество «счастливых» автобусных билетов: 32 31 30 29 28 У Т Т Т ' 1

22 21 20 19 18 | 6 5 5 4 3 2 1 + 2

12 11 10 9 8 5 4 3 2 1’

2) вероятность того, что в классе из 30 человек есть совпадающие дни рож де­ ния: ( _ 3 6 5 364 3 6 3 . V 365 365 365

, 3 3 б 1 1 0 0 о/о. 365 J

J Л , 180 1,6 25 4. Оцените, к какому из указанных чисел ближе всего ч и с л о -----------------: 91 8000 1 )0 ,0 0 1 ; 2 )0 ,0 1 ; 3) 0,1; 4 )1 . 5. В таблице указаны точки плавления льда и кипения воды в четырех темпера­ турных шкалах — Цельсия (С), Фаренгейта (F), Кельвина (К) и Реомюра (R). Считая, что температура человеческого тела в градусах Цельсия равна 37, вы­ числите ее в других шкалах, если зависимость между шкалами линейная: Показатель Кипение воды Плавление льда

Шкала С

F

К

R

100

212

373

80

0

32

273

0

Занятие 2 Действительные числа Что понимается под действительным числом? 1. Д е й с т в и т е л ь н о е число. Рациональны х чисел оказалось недостаточно для реш ения задач изм ерения. Это было обнаруж ено более 2,5 тыс. лет назад древнегреческими матема­ ти кам и, которы е д о к а за л и , что ди агон ал ь квадр ата с ед и н и ч н о й ст ор он ой не м о ж ет быть изм ерена, если использовать только ра­ циональные числа, а другие тогда не были и з­ вестны. Как для задания натуральных чисел м ож ­ но использовать конкретны е объекты (паль­ цы, п а л о ч к и ), так и дл я задач и зм ер ен и я можно выбрать стандартную величину — дли­ ну отрезка — и задавать числа геом етриче­ ски — отрезкам и, а точнее их отнош ениями к выбранному единичном у отрезку (единице масштаба).

Общая мера

Е -\

1 1 4 В

11

А

4 В 9 Е~ 3’ Е~ 4’ 4 А з 4 -4 16. В ” 9 ~ 9 3 " 27’ 4

С=

— общ ая мера от­

резков A u В. А = 16С; В = 27С

Диагональ квадрата

d = V2 d = 1,41421356...

Золотое сечение

Рисунок Леонардо да Винчи (1492), изображающий идеаль­ ные пропорции человеческого тела. Ф — золотое число 1 + V5

Ф= ------2

Ф= 1,618033988749894848...

12

Если (вслед за древними греками) назвать числом отнош ение отрезка к единичном у, то возникнет задача за п и с и ч и с л а . У добна з а ­ пись числа в виде десятичной дроби, отраж а­ ющ ей некоторый процесс изм ерения. Н апри­ мер, измеряя диагональ квадрата со стороной 1, мы сначала отлож им целый единичный от­ резок и получим число 1. В остатке (он мень­ ше 1) будем откладывать десятую часть ед и ­ ничного отрезка. Она отлож ится 4 раза, и ос„ 1 танется отрезок длины , меньш ей — . Мы по­ лучили десятичную дробь 1 ,4 . Затем делим одну десятую снова на 10 частей, отклады ва­ ем новый отрезок в остатке и записываем р е­ зультат. Получим последовательность десяти­ чны х дробей с увеличиваю щ им ся кол и чест­ вом знаков после запятой: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; .... Эту последовательность удобно представ­ лять в виде одн ой бескон ечн ой деся ти ч н ой дроби 1 ,4 1 4 2 1 3 5 6 2 3 7 3 0 9 5 ..., которую и м о ж ­ но считать числом. И так, по определению Д ей ст в и т е л ь н о е число — это бесконечная десятичная дробь. 2. Конечная десят ичная дробь. Рациональ­ ное число, представленное дробью, в зн ам е­ нателе которой стоят только двойки и пятер­ ки, запиш ется конечной десятичной дробью, так как на каком-то шаге десятичный процесс измерения закончится — некоторая доля еди ­ ничного отрезка отлож ится в остатке целое число раз. 71 Н апример, ------ = 0 ,2 8 4 0 0 ... = 0 ,2 8 4 . 250 m Если у несократимой дроби — в знаменап теле есть простые числа, отличные от 2 и 5, то процесс десятичного изм ерения станет пе­ ри оди чески м , и цифры (одна или несколько) начнут периодически повторяться. Например, 35

37

— = 5 ,8 3 3 3 ..., — = 3 ,3 6 3 6 3 6 ... 6 11 3. И р р а ц и о н а л ь н ы е числа — это числа, не являю щ иеся рациональными. Они записы ва­ ются бесконечными непериодическим и деся-

тичными дробями. Примерами иррациональ­ ных чисел являю тся числа V2, пятнадцать знаков которого после запятой было приведе­ но выше, или число к (отнош ение длины ок ­ руж ности к диаметру): л = 3 ,1 4 1 5 9 2 6 5 3 6 ... . М н ож еств о в сех дей ст в и тел ь н ы х ч и сел обозначается буквой R: N с Z с= Q с R. Зачем понадобились действительные числа, и хватило ли их для решения задач? Как было отм ечено, добавление к р ац и о­ нальным числам новых, иррациональных чи ­ сел было вызвано необходим остью измерять длины лю бы х отрезков. С помощ ью так по­ строенны х д е й с т в и т е л ь н ы х чисел у ж е ока­ залось м ож но измерять многие другие вели­ чины, которые были названы с к а л я р н ы м и . П оявление новых задач потребовало даль­ нейшего развития понятия числа, которое мы обсудим позж е.

Различные способы записи действительных чисел

Десятичная дробь —= 0,142857142857... - = 1,70796267. 2

Непрерывная дробь

8=2 +- L 3 1+ ±

2

Ф= 11+ 1+

Ряд

. Почему диагональ квадрата со стороной, равной единице, нельзя измерить рациональным числом?

1 + ...

1 1 1

1~ 2 +¥ +¥ +-

в =1 + ¥ + ¥ + ¥ + В этом вопросе содер ж и тся ф орм ули ров­ ка знам енитой теоремы , док азанн ой в VI в. до н .э . Д о к а за т е л ь с т в о . П редполож им , что дл и ­ ну диагонали единичного квадрата м ож но за­

Круговая диаграмма

писать в виде дроби — , которую будем счип тать несократимой. По теореме Пифагора поz ^ \2 ( T7l\2 лучаем равенство I2 + 12 = — , т .е . — = 2 , \п ) \п ) или т 2 = 2 п 2. Так как справа стоит четное число, то и сле­ ва число т 2, а значит, и число т являю тся четными числами: т = 2k. П одставляя и со ­ кращ ая на 2, получаем: 2 k 2 = п 2. Таким ж е р ассуж ден и ем получаем , что теперь п тож е долж но быть четным числом. То, что у дроби

Точка на числовой оси В (-2 )

0

1

А (2,5)

13

Великие математики на оси времени

- 6 0 0 1►П иф агор

т — числитель и знаменатель оказались чет-

га

ными числами, противоречит условию несо­ кратимости дроби. Это противоречие док азы ­ вает теорему.

-4 0 0 Евклид А р хи м ед -200

200

Д иоф ант 400

600

800

А л ь-Х ор езм и

1000

1 2 0 0 ' *■Ф ибоначчи

1400

1600 Декарт Н ью тон, Л ей бни ц, 1800 - Эйлер, Гаусс Колмогоров

2000

Как работают с действительными числами? Бесконечная десятичная дробь — это после­ довательность при бли ж ени й конечны м и д е­ сятичными дробями к данному действитель­ ному числу. Для выполнения арифметических операций над бесконечными десятичными дро­ бями эти операции делаются над конечными десятичными дробями. Например, будем скла­ дывать V2 + л = 1,41421... + 3,14159... П олучаем: 1+3 =4 1,4 + 3 ,1 = 4 ,5 1,41 + 3 ,1 4 = 4 ,5 5 1 ,4 1 4 + 3 ,1 4 1 = 4 ,5 5 5 1,4 1 4 2 + 3 ,1 4 1 5 = 4 ,5 5 5 7 1 ,4 1 4 2 1 + 3 ,1 4 1 5 9 = 4 ,5 5 5 8 0 и т .д . А налогично л - V2 = 4 ,4 4 2 8 8 2 9 ... Разум еется, такие вычисления нуж н о вы­ полнять с пом ощ ью к ал ь к ул я тор а, но при этом следить, сколько цифр результата м о ж ­ но считать верными. Действительны е числа м ож но изобразить точками на числовой оси. Если два числа а и Ъ изображ ены точками А (а ) и В(Ь) на числовой оси , то р асстоян ие м еж ду точками А и В равно модулю разн о ст и чисел а и Ъ: \АВ\ = |Ь - а\. Д ля модуля выполняются два важ нейш их свойст ва: \аЪ\ = |а|-|Ь| и |а + Ъ\ < |а| + |б|.

Вопросы и упражнения ■

1. 2. 3. 4. 5.

14

Всякое ли целое число является рациональным? Является ли число V0,64 иррациональным? Всегда ли сумма рациональных чисел является рациональным числом? Может ли при сложении иррациональных чисел получиться рациональное число? Может ли частное от деления рационального числа на иррациональное быть ра­ циональным числом?

6. Всегда ли квадрат иррационального числа является рациональным числом? 7. Запишите следующие числа в виде периодических десятичных дробей: 1\ ^ . } 25’

о\ ^. }3 ’

оч } 7’

.. 5_ } 6’

_8__ } 15’

44 } 30'

8. Докажите иррациональность следующих чисел: 1)

0,101001000100001...;

2) 0,12345678910111213...

Занятие 3 Приближенные вычисления Что полезно знать о приближенных вычислениях?

Приближения к п

1. тс = 3

1. П р и б л и ж е н н о е з н а ч е н и е . П усть дан о число х. Ч исло а называется приближ енным зн а ч е ­ нием числа х , вы численны м с точностью до h > 0 , есл и вы п ол н я ется неравен ство \х - а\ < h. Р азность \х - а\ называют погреш ностью , a h — оценкой погреш ности приближ енного вычисления. 2. О т н о с и т е л ь н а я п о гр еш н о ст ь . П усть а явл яется п р и бли ж енн ы м значением вели­ чины х , вы чи сленн ы м с п огр еш н ость ю h, т .е . пусть \х - а\ = Л. О тнош ение погреш но­ сти к пр и бли ж енн ом у значению , т .е . число h \х-а\ г = —= L, называют от но сит ел ьной поа а греш ност ью вы числения. Так, если среднее р асстоян и е от Зем л и до С олнца вы числено при бли ж енн о как 1 ,4 9 6 - 108 км с погреш н о­ стью < 105 км, то относительная погрешность такого вычисления будет меньш е 0 ,0 0 0 7 , по105 том у что ------------- < 0 ,0 0 0 7 . Ч асто отн оси 1,496 Ю 8 тельную погреш ность (а точнее, оц ен к у для нее) указы ваю т в процентах. 3. С т а н д а р т н а я зап и с ь . П риближ енны е значения величины часто указывают в так на­ зы ваемой стандартной записи. П олож и тель­ ные числа в стандартной записи представляют

Такое приближение упоми­ нается в Библии (строительство храма Соломона).

Это приближ ение древнего Вавилона (2000 г. до н. э.).

15

3. ЯН ^ Т - З Д 6

в виде: а ■10*, где число а выбирают так, что­ бы оно л еж а л о в п р о м еж у т к е [1; 1 0 ), т .е . удовлетворяло неравенствам 1 < а < 10, и за­ писывалось десятичной дробью с нескольки­ ми знаками после запятой. Число а в стандар­ тной записи х называют м а н т и ссой числа х, а показатель k — его порядком. Зачем точные значения величины заменяют ее приближенным значением?

Это приближ ение взято из др ев н ееги п етск о го п ап и р уса (1650 г. до н .э.). 4. ли — = 3,14... 7 Это приближение Архимеда (250 г. до н.э.).

П реж де всего потому, что вычислить и за ­ писать точное значение величины не у да ет­ ся — всегда при измерении величины м ож но найти ее значение лиш ь с некоторой точно­ стью. Кроме того, точная информация бывает и з­ лиш ней — нам часто достаточно знать лишь порядок числа, степень его близости к д р у ­ гим, более просто записываемым числам.

Поразительная пропорция

Почему при вычислениях с приближенными значениями накапливается ошибка?

О Солнце человек

б?

атом водорода

Зная приближенные массы: Солнца — 1,9891 • Ю30 кг; человека — 60 кг; атом а водорода — 1 ,6 7 4 х X10-27 кг, оцените точность поразитель­ ной пропорции. Вычислите, какой надо при­ нять среднюю массу человека, чтобы пропорция была верной до второго знака.

16

1. П о гр еш н о ст ь су м м ы . Если \х - а\ < h x и \у - b\ < h2, то |(х + у) - (а + &)| < hx + h2. Д ействительно, запиш ем (х + у ) - (а + Ъ) как (х - а) + (у - Ъ) и применим неравенство для модуля суммы. П олученное неравенство означает, что при с л о ж е н и и п р и б л и ж е н н ы х зн а ч ен и й с к л а ­ ды ваю тся оц ен к и п огр еш н остей , и о ц ен к а погреш ности сум мы тем самы м увел ичи ва­ ется. 2. Погрешность произведения. Если а и Ъ — приближ енны е значения величин х и у и нам известны оц ен к и п огреш н остей \х — а\ < h 1 и \у - Ь\ < h2, то оценка погреш ности для про­ изведения не будет выражаться только через оценки h\ и h2, как это имеет место при сл о­ ж ен и и . Выполним преобразования: х у - ab = х у - Ьх + Ъх - ab = = х (у - Ъ) + Ь(х - а).

Получим, что |х у - аЪ\ < |х| \у - Ь\ + |&| \х - а \< < |&| hx + |x| h2. В идим , что оценки погреш ностей h x и h 2 приходится умнож ать на значения самой ве­ личины (или близкие к ней). Как можно описать точность вычислений? 1. « П л ю с - м и н у с » . Ч а ст о го в о р я т так : «Температура равна 16 плюс-минус один гра­ дус» и записывают: t = (16 + 1) °С. Это означа­ ет, что истинное значение температуры (в гра­ дусах Ц ельсия) отличается от 16 не более чем на еди ни цу. Эту ж е информацию м ож но з а ­ писать в виде неравенства 16 - 1 < £ < 16 + 1, или с помощью рассто­ яния: |£ - 1б| < 1. Здесь 16 — при бли ж енн ое значение тем ­ пературы , 1 — оц ен к а погреш н ости . О тно­ си тел ь н ая п огр еш н ость р авн а ^ = 0,0625, т .е. 6 ,2 5 % . 2. «С т очност ью до...». Если вы скаж ете, что площ адь комнаты равна 2 2 ,6 м2 с точнос­ тью до дв у х десяты х квадратного метра, то всем будет ясно, что площадь S л еж ит в про­ м еж утке 2 2 ,4 < S < 2 2 ,8 м 2, или иначе, что расстояние истинного значения площ ади до числа 2 2 ,6 меньш е 0 ,2 , т .е .

Кубик Рубика

Число различных конфигу­ раций кубика Рубика записы ­ вается 20-значным числом 43 252 003 274 489 856 000. Строя новую конфигурацию за одну секунду, за сколько ве­ ков можно перебрать все кон­ фигурации? Р ешение: 1) число секунд в одном годе: 60 х 60 х 24 х 365 » 3 107 с; 2) приближенное число кон­ фигураций: 4 3 -1 0 18; 3) число лет: 43 •1018 : 3 •107 = — •1011 ж

3

я 1,4 1012лет; 4) число веков: 1,4 1012 : 100 = 1 ,4 Ю 10« я 14 млрд веков. Туманность Андромеды

\S - 2 2 ,б| < 0 ,2 м2. В идим , что этот способ фактически совпа­ дает с первым, и м ож но с таким ж е успехом записать: S = 2 2 ,6 + 0 ,2 м2 и сказать, что пло­ щ адь в ы чи слена с оц ен к ой п огр еш н ости в 0 ,2 м2, что дает относительную погреш ность, равную

2 2

~q ~ 0>088, т .е . 9 %.

3. «Леж ит м еж ду». Ф раза «скорость ав­ томобиля л еж ит м еж ду 50 и 60 километрами в час» сразу определяет пром еж уток, где на­ х о д и тся зн а ч ен и е ск ор ости о: 50 < и < 6 0 . М ожно, конечно, взять середину этого проме­ ж утка и перейти к .о^у>ндавйпшс5Г ранее епо; собам записи:

Скорость света: с я 299 792,458 к м /с. Туманность Андромеды от­ стоит от Земли на 2 300 000 све­ товых лет (2,3 • 10е св. лет). Най­ ти приближенное расстояние от Земли до туманности Андроме­ ды в километрах.

17

Решение: 1) число секунд в одном годе: 60 х 60 х 24 х 365 « 3 107 с; 2) приближенное число ки­ лометров в одном световом годе (с ~ 3 -105 км/с): 3 1 0 5 х 3 1 0 7 = 9 1012; 3) р асстояни е (1 св. год = = 9 1012 км): 2,3 10® х 9 1 0 12 я 2 • 1019 км.

v = 55 ± 5 (к м /ч ), |и - 55| < 5 к м /ч . В еличина 5 к м /ч , равная разности (6 0 - 5) = 5 к м /ч , дает оценку погреш ности при­ б л и ж ен н ого вы числения ск орости , а число 5 — s 0 ,0 9 , т .е . отношение погрешности к при55 ближ енному значению, — оценку относитель­ ной погреш ности.

Вопросы и упражнения ■

1. Изобразите на числовой оси следующие числа: 1 )3 ,5 ;

2) -2 ,2 ;

3)V3 ;

4 )^ ;

5 ) |;

6) - Ц - .

2. Изобразите на числовой оси следующие промежутки: 1) (0, 2];

2) (-о о , - 3 ];

3) < х < 4;

4) х > 3^2.

3. Под знаком корня записано число с 40 девятками после запятой ^0,99.. .9 . Вы­ числите корень с 40 знаками после запятой. 4. Проверьте, что округление следующих чисел с точностью до второго знака по­ сле запятой сделано правильно: 1) а = 1,1683, а я 0,17;

3) -Л *1,41;

2) а = 0 ,2 3 0 9 , а я 0,23;

4 ) ^ - я 0,86;

5) тс2 « 9,86.

5. Верно ли, что относительная погрешность произведенного вычисления менее 1%: 1) тс я 3,16; 2) 2 10 я 1000;

3) площадь круга радиуса 3 -103 примерно равна 3 ■107;

4) %/Ю000 я 21; 5) 9 11 я 3 • Ю10?

Занятие 4 Комплексные числа Графическое изображение комплексных чисел

Что такое комплексное число и как выполняются арифметические действия с комплексными числами? 1. К о м п л е к сн ы е числа.

г = а + bi ■ М (а; Ь)

18

К о м п л е к с н ы м ч и сло м назы в ается чи сл о вида a + bi, где a mb — действительные чис­ ла, a i — символ, называемый мнимой еди ­ ницей.

М ножество комплексны х чисел обознача­ ют буквой С. Д ей ств и тел ьн ое чи сл о а отож деств л я ю т с комплексным числом a + 0-i . Тем самым мы расш иряем цепочк у вклю чений различн ы х числовых множеств: N c Z c Q c R c C . К аж дое комплексное число z — это некото­ рый символ вида а + bi. Ч исло а называется действительной частью числа г, а число Ь — его м ним ой частью. О пр еделени е сл о ж ен и я пок азы вает, что при сл ож ен ии ком плексны х чисел отдельно складываются их действительные и мнимые части. 2. П р а в и л а слож ения и ум н ож ен ия к о м ­ плексн ы х чисел. Комплексные числа склады­ вают по следую щ ем у правилу:

е2 + i I I

_____ I 1

2

*

(а 1 + bi i) + (п2 + b2i) = a x + a 2+ (bx + b2)i. Вещ ественная ось

По правилу умнож ения i ■i = (0 + i) ■(0 + i) = = - 1 , т .е . к в а д р а т м н и м о й е д и н и ц ы р а в е н дейст ви т ел ьн ом у ч ислу - 1 . П ри ум нож ении комплексных чисел просто раскрывают скоб­ ки по обычным правилам и зам ен яю т t2 на

Сопряженные числа

- 1:

(ах + bxi)(a2 + b2i) = а ха 2 - ЪХЪ2 + (a xb2 + a 2bx)i. Обратим внимание на то, что не только i2 = = - 1 , но и (-£)2 = - 1 . 3. Сопряженные ком п лексны е числа. Ком­ плексные числа а + bi и а - bi называют со­ пряженными друг с другом. И х произведение равно действительному полож ительному чис­ лу а 2 + Ь2. Если z = а + bi ф 0, то а 2 + Ь2 ф 0 и (a + b i ) ( a - b i ) * можно записать тождество: = 1. а +Ьг a Отсюда ясно, что число — а +Ь

z = а + bi z = а - bi

bi ; ^ являа 2 + Ъ2

ется обратным для числа а + bi. Умея вычис­ лять обратное число, м ож н о поделить одно ком плек сн ое чи сл о на др угое (отли чное от нуля). 4. И зо б ра ж ен и е к о м п л е к с н ы х чисел. Ч и сл о z = а + bi м ож н о и зобр ази т ь точ­ кой плоскости с координатам и (а, Ь) (н апр и­ мер, М ( а , Ь)). П ри таком и зобр аж ен и и сл о ­ ж е н и е к о м п л ек сн ы х ч и сел со о т в е т ст в у е т

М

z

N = \ом\ М одуль комплексного числа

19

+ z2

Сложение комплексных чисел

сл ож ен и ю р ади усов-в ек тор ов. Г еом етр и ч е­ ская интерп ретац ия у м н ож ен и я к ом п л ек с­ ны х чисел будет рассм отрена в главе, посвя­ щ ен н ой вращ ен и ю и тр и гон ом етр и ч еск и м ф ун кц иям . Сопряженны е числа z = а + Ы и z = а - Ы изображ аю тся точками, симметричны ми от­ носительно оси абсцисс. Ч исло \1а2 + Ь2, яв­ ляю щ ееся расстоянием от точки, изображ аю ­ щ ей число z (говорят просто — от точки г), до начала к оор ди н ат, назы вается м одул ем комплексного числа и обозначается \z\. Отметим простые тождества: 1) И = |z|; 2) z - z = \z\2 = а 2 + b2; 3) |z1z 2| = \zi\ ■\z2\; 4) z = z о действительное число.

Противоположное комплексное число

Вычитание ком плексны х чисел

Ы= 2

20

Зачем понадобились комплексные числа? С и спользован ием к ом пл ек сн ы х чи сел у математиков появились новые возмож ности. П риведем некоторые из них. 1. Стало возмож ны м находить корни л ю ­ бых алгебраических уравнений. Теорема Га­ усса, которую называют основной теорем ой алгебры , гласит, что всякое алгебраическое уравнение имеет хотя бы один комплексны й корень. 2. П реобразования плоскости (параллель­ ный перенос, поворот, гомотетия, осевая сим ­ метрия и их комбинации) записываются как некоторы е простые операции над ком плекс­ ными числами. 3 . К олебател ьн ы е п р оц ессы в м е х а н и к е и ф и зи к е (расп ространение звуковы х и св е­ тов ы х в о л н , э л ек т р о м а г н и т н ы е я в л е н и я , свойства переменного тока) изучаю тся гораз­ до прощ е с использованием комплексны х чи­ сел. Л ю бом у и н ж ен ер у представляется весь­ ма осм ы сленной следую щ ая фраза: «Рассм о­ трим проводник, по котором у течет ток с и ­ лой I = / 0(cosd)f + i sin со t) А (ам п ер )», хотя на первый взгляд появление «мнимого» тока не м ож ет иметь ф изического смы сла.

Почему с помощью комплексных чисел удобно задавать геометрические фигуры на плоскости? В основе этого л еж и т следую щ ее простое правило. Т еорем а. М одуль разности двух ком плекс­ ных чисел равен расстоянию м еж ду точками, изображ аю щ ими эти числа. На рисунке видно, что векторы, соединяю ­ щие точку z 2 с точкой Zj, и начало координат с точкой Zj + (—z2), равны м еж ду собой. П оэ­ тому число |zj - z 2\, равное расстоянию от точ­ ки + (—z 2) до начала координат, равно рас­ стоянию м еж ду точками z x и z 2, что и требо­ валось доказать.

\z i - 2г1 - \М ,М 2\ М одуль разност и д в у х комплексных чисел

Как производятся вычисления с комплексными числами? 1. А р и ф м ет и ч ески е действия:

• (3 - 4 0 + (-5 + 70 = - 2 + 3i; • (3 - 4 0 ( - 5 + 70 = 3• (-5 ) - (-4 ) ■7 + (3• 7 + + (—4) (—5))/ = 13 + 410 - 5 + 7 i _ ( - 5 + 7i)(3 + 4i) - 4 3 + 1 3 - 4; ~ ( з - 4 ; ) ( з + 4;) 25 43 1 . —------- 1 i\ 25 25

• (1 + о 4 = (1 + 0 2(1 + о 2 = (1 + 2;

1)2 =

= (2 0 2 = - 4 . 2. З ап и сь ур а в н ен и й р а з л и ч н ы х к р и в ы х с и сп ользо ва н и ем геом ет рич еско й и н т ер п р е­ т ации м о д у л я р а з н о с т и д в у х к о м п л ек с н ы х ч исел: 1) окруж ность радиуса R с центром в н а­ чале координат: |z| = R; 2) окруж ность радиуса R с центром в точ­ ке 2 0: |z - z0| = R; 3) эллипс определяется как геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний ко­ торых до двух точек плоскости постоянна: + z

г 21= а.

|M F X\ + \MF2\ = 4 \z + 1| + |z - 1| = 4 Эллипс с фокусами F ,( - l; 0) и F2( 1; 0)

21

Вопросы и упражнения ■

1. Вычислите: 1) (3 + 2г) + 3(-1 + 30;

3) (2 + 0 ( - 1 + 50;

2) i - 2 - (6 - 50;

4) (1 + 0 (1 - 0;

5) г3;

7)

6) (1 - о 4;

8)

i

l-t

2. Разложите на линейные множители: 1) а 2 + 4 Ь2;

3) х 2 + 1;

5) х 4 - 4;

7) X е - 64;

2) а4 - &4;

4) х 2 - 2х + 2;

6) х 3 + 8;

8) х 4 + 4.

3. Изобразите на плоскости множество комплексных чисел, удовлетворяющих следующим условиям: 1) N = 3;

3) \г - 2 + i| < 3;

5) \2г - г| = 4;

7) \г - i| = \г - 1|;

2) |г + г| = 2;

4) |г + 1 + 2i| > 1;

6) \iz - 1| < 1;

8) \z - i| + \z + i| = 2.

4. Вычислите: 1)

г13; г100; i1993; 3) o = - i + ^ i . Найдите a4, a 11, a 1992;

2)

( l + O10;

,

5.

4)

.\1 9 9 3

1+ t

. Д -г у

Верны ли следующие высказывания: 1) 2) 3) 4)

число %/б является комплексным; число а такое, что а 2 = - 4 является действительным; число а такое, что a4 = 1 является действительным; многочлен х 2 + 4 можно разложить на линейные множители с комплексны­ ми коэффициентами; 5) точки плоскости, удовлетворяющие условию \г - 1| = 2, лежат на окружно­ сти радиуса 1; 6) если комплексное число равно своему сопряженному, то оно является дейст­ вительным; 7) если z = -г, то действительная часть числа z равна нулю.

Щ

БЕСЕДА

Числа и корни уравнений Конструкции

Немецкий математик JI. Кронекер однажды сказал фразу, которая ста­ ла очень знаменитой: «Бог создал натуральные числа. Все другие — дело рук человека». Действительно, мы воспринимаем натуральные числа 1, 2, 3, ... как нечто данное. Конструирование новых чисел на основе нату­ ральных можно связывать с различными задачами — например, строить числа, пригодные для записи реш ений уравнений. У равнение вида х + а = Ь, где а и & — натуральные числа, не имеет реш ений в натуральны х числах, если а > Ъ. Строя реш ения этого урав-

22

нения при л ю б ы х натуральных числах а и Ь, получим отрицательные целы е числа (и нуль). Уравнение вида а х = Ъ, где а и Ъ — целы е числа, причем а ф 0 , так­ ж е не всегда имеет целые реш ения. Вводя рациональные числа, мы по­ лучаем возмож ность записать реш ения этого уравнения при лю бы х ц е­ лы х а и b (с тем ж е ограничением а ф 0 ). Н еразреш имость в рациональны х числах уравнения х 2 = 2 вызвала появление действительных чисел, которые мы сейчас представляем себе в виде бесконечны х десятичны х дробей. Среди ни х выделились пр еж де всего те, которые выражались через радикалы , т .е . через корни урав­ нений вида х п = а (а > 0). Эти числа мы будем более подробно рассм а­ тривать в гл. 2. Р азум еется, с помощью квадратных корней удалось и с­ следовать вопрос о реш ении квадратных уравнений. Метод Аль-Хорезми

нахождения положительного корня квадратного уравнения

х 2 + 10* = 39 (х + 5)2 = 64 * +5=8

* =3

К убическое уравнение было реш ено с помощью радикалов итальян­ скими математиками в XVI в. Решение кубического уравнения

х3 = 1 (* - 1)(х2 + * + 1) = 0 *! = 1 *2 + * + 1 = 0 -1 + 1л/3 Хо 9 — 2,3

2

Алгебраическая запись комплексных корней квадратного уравнения

Геометрическое изображение корней уравнения х 3 = 1

Замечательно, что в случае, когда уравнение имеет три действитель­ ных корня, под квадратным радикалом будет стоять отрицательное чис­ ло и действительный корень запиш ется как сум м а соп ряж ен ны х ком ­ плексны х чисел. Так, ещ е в XVI в. математики приш ли к н еобходим о­ сти введения «мнимых» чисел. Уравнение четвертой степени итальянцы быстро свели к кубическо­ му — метод его реш ения, предлож енны й JI. Ф еррари, был опубликован Д .К ар дан о в 1545 г. в его знаменитой книге «Ars M agna».

23

Д. Кардано (1501 — 1576)

Н .Х . Абель (1802 — 1829)

Э. Галуа (1811 — 1832)

Формула Кардано

нахождения корней уравнения х 3 + р х + q = 0:

Д ля следую щ его ш ага потребовалось почти триста лет, когда нор­ в е ж с к и й м атем ат и к Н . Х ен р и к А бел ь (п ар ал л ел ьн о с и т ал ь я н ц ем П .Р уф ф и н и ) доказал, что не сущ ествует общ ей формулы для реш ения уравнения пятой степени. П олное описание уравнений, корни которых м ож но выразить через и х коэффициенты с помощью ариф метических действий и извлечения корней, дал примерно в это ж е время замечательны й французский м а­ тематик Э .Г алуа. Он прож ил всего 21 год и погиб на дуэли в 1832 г., однако именно с его именем связывается р ож дение современной алге­ бры. Глубокие работы Галуа были поняты только к концу X IX в. Итак, мы кратко проследили одну линию нахож дения корней много­ члена — выражение корней уравнения через его коэффициенты с помо­ щью арифметически действий. Другая линия связана в большей степени с математическим анализом. Вопрос об обращении в нуль функции, зада­ ваемой многочленом, — это типичный вопрос учения о функциях. То, что действительных чисел недостаточно для описания корней многочлена, стало ясно ещ е после работ итальянцев в XVI в. Естественный вопрос — достаточно ли комплексных чисел для нахож дения корня любого мно­ гочлена, не нуж но ли добавлять к комплексным числам еще какие-нибудь новые числа — был решен немецким математиком К .Ф .Гауссом и опу­ бликован в конце XVIII в. Он доказал, что любое уравнение (даж е с ком­ плексными коэффициентами) имеет комплексный корень. Аксиомы

Описанный нами конструктивный путь ответа на вопрос: «Что такое ч и сл о?» не является единственны м. Современная математика предла­ гает вместо ответа на этот вопрос более точно сформулировать, каковы

24

ж е свойства чисел, какие операции м ож но с ними выполнять. Разны е числовые системы обладают разны ми свойствами этих операций. Н аи ­ более богатой системой является поле. Система чисел образует поле, если обе операции (слож ен ие и ум н ож ен и е) позволяю т соверш ать об­ ратные действия (вычитание и деление). Любая числовая система, обладающ ая двумя операциям и, для кото­ рых выполняются девять аксиом , называется полем. М нож ества Q — рациональных чисел, R — действительны х чисел являю тся полями. М нож ества натуральны х чисел N , целы х чисел Z, полож ительны х чисел R+ не являются полями. А ксиом ы поля не описывают полностью всех н уж н ы х нам свойств действительны х чисел. Они говорят только об ариф м етических опера­ ци я х над ними. И меется ещ е обш ирная группа свойств, связанны х с понятиями неравенства и расстояния м еж ду числами. К этим свойствам мы вернем ся при и зуч ен и и начал м атем атического ан ал и за (см . гл. 9). Кроме «стандартных» полей Q и R сущ ествует много др уги х полей. Особенно важными среди них являются так называемые конечные поля, т.е. системы , состоящ ие из конечного числа элементов и являю щ иеся в то ж е время полями. Если взять одно произвольное простое число р и рассмотреть остатки от деления другого произвольного целого числа на р (их будет ровно р: 0, 1, 2, ..., р - 1 ), то м ож но так естественно опре­ делить сл ож ен ие и ум н ож ен и е остатков, что они будут образовывать поле. Д ля этого надо совершать над остатками обычные операции как над целы ми числами, а получивш ееся число заменять остатком от д е ­ ления на р (говорят: вычислять по модулю р). Н апример, над остатками от деления на 5 м ож но совершать все оп е­ рации: 3 + 4 = 2; 3 - 4 = 4; 3 -2 = 1, т .е . - 3 = 2, а - 2 = 3 и т .д . Аксиомы

1. Слож ение и ум н ож ен ие — к о м м у т а т и в н о и а с с о ц и а т и в н о , т .е . выполняются тождества: 1) а + Ъ = b + а; 2) ab = Ьа; 3) (а + Ъ) + с = а + (Ь + с); 4) (аЬ)с = а(Ьс). 2. Сложение и умножение обладают нейтральными элементами (нуль для сложения и единица для умножения): 5) а + 0 = а; 6) 1 а = а. 3. Выполнимы обратные операции: 7) для каждого числа а существует противоположное число (-а ), т .е . а + + (~а) = 0; 8) для каждого числа а Ф 0 существует обратное число а 1, т .е. а а 1 = 1. 4. Дистрибутивный закон: 9) а(Ь + с) = аЪ + ас.

ГЛАВА

2

Корни, степени и логарифмы v

уГ-

Занятие 1 Повторение пройденного Что мы знаем о степенях?

ах = а

1. Ст епень числа с н а т у р а л ь н ы м п о к а з а ­ телем. Пусть п > 1 — натуральное число; а — произвольное число. Тогда а п — произведение га м н ож ителей, каж ды й из которых равен а: а 2 = а - а — квадрат числа а; а 3 = а а - а — куб числа а.

га -2



1 4

-1

1 2

26

0

1

1

2

2

4

3

8

4

16

5

32

6

64

7

128

8

256

Натуральные числа определяются последо­ ва т ельн о, начиная с единицы (N = 1, 2, 3...). Если нам известно некоторое число га, то сл е­ дую щ им числом будет га + 1. Точно так ж е по­ следовательно м ож но определить степени с натуральным показателем: считаем, что а 1 = а; зная а", полагаем а п+1 = а п ■а. 2. Обобщение п онят ия ст еп ен и на п роиз­ вольны е целые п о к а за т ел и . Для любого числа а

ф0

определяем а~п = — , ап где га — натуральное число. Добавим определение степени с н у л е в ы м показателем: а о = а п~п = — = 1, а ап

ф

0.

3. С во й с т в а ст еп ен ей с ц ел ы м и п о к а з а ­ телями: • умнож ение: а т а п = а т+п; • деление: а т : а п = а п п-, • возведение в степень: (а т)п = а тп. 4. Геом ет ри ческая прогрессия. Геометри­ ческая прогрессия — это последовательность, задаваем ая первым членом а 1 и р ек ур р ен т­ ным соотнош ением а п+1 = a n q, позволяющ им вычислить любой ее член, зная преды дущ ий. П остоянное число q назы вается з н а м е н а т е ­ лем прогрессии. Ф ормула общ его члена: а п = а х qn~1. q n —1 Сумма п членов: Sn = ах , (q ф 1).

Прямая пропорциональная зависимость

Обратная пропорциональная зависимость

1 и 2* > 0 при любом ц е­ лом k, то 2 •2k > 2k => 2*+1 > 2* при любом ц е­ лом /г. Следовательно, располагаем показате­ ли степени в порядке возрастания: - 3 < - 2 < 0 < 4 < 6, и степени в соответствии с показателями: 2“3 < 2~2 < 2° < 24 < 26, т. е. 8"1 < 2“2 < 1 —1 < 4 2 < ^ 4) 1,2

Наибольшее значение функции у = ^ на [-2; -1]

3. О п р е д е л и т ь п а р а м е т р ы п р о гр е с с и и . В геометрической прогрессии а 2 = 3, а 5 = 81. Найти сум м у ее первых десяти членов. В ы числим зн ам енатель прогрессии: а 5 = = a 4-q = a 3 q2 = o 2 g3; 81 = 3 q3, g3 = 27 => q = 3. Определим первый член из формулы а 2 = —a x q, 3 = a i ■3, а^ = 1. с , 310- 1 5 9 0 4 9 -1 о п со . Сумма S 10 = 1 • ——— = ------ —----- = 29 524. 4. Н а й т и по граф ику наибольшее значение М ф ункции у = — на пром еж утке [-2 ; -1 ] . х Н а графике видно, что на указанном про­ м е ж у т к е ф ун к ц и я у убы вает. П оэтом у н а ­ ибольшее значение М она принимает на левом 1 1 конце промеж утка: М = — = .

Сумма вклада

28

п

1,1"

2

1,21

3

1,33

4

1,46

5

1,61

6

1,77

7

1,95

8

2,14

5. О пределит ь с у м м у в к л а д а . Банк начис­ ляет по вкладу еж егодн о х %. В конце года процент добавляется к вкладу. Каков будет вклад через п лет? Обозначим исходны й вклад через А . В конX ( це года он станет равным А + А ------- = А 1 +

100

I

х ^ +— . Таким образом , вклад через год пол учается у м н ож ен и ем на число ^

1+ ^ qq х -

Г еом етр и ч еск ая п р огр есси я А , A g , A g 2, ... дает последовательность вкладов на каж ды й год.

Формула сложных процентов

Ф ормула для вклада А„ через п лет А п = называется формулой слож ных

= А\ 1 +

100 процентов.

Вопросы и упражнения ■

1.

Вычислите:

1)

210;

2) 1~5 ;

3) f |

б)

4 2- у

4)

6)

(53Г 2.(0 ,1)-6 - ( 4 - 3) 1.

5°;

+ 2-3;

2. Упростите:

1)

Т:f—

— Ъ2 )

а

2)

(а 4

V2

3. Какое из чисел больше: 1) 2434 или З20;

3) 5013 - З993 или (501 - 399)3;

2) 6 6 15 или 102112;

4) 9 2 или f i j

?

3)

4)

4. Найдите х из уравнения:

1) 2 * = — ; 16

2)

102х3 = !;

1

=81;



=А .

5. Первый член геометрической прогрессии (ап) равен 1, а знаменатель q = 1,1. При каком наименьшем п член ап станет больше двух? 6. Определите по графику, для каких х значения функции у = 2 х 2 больше или равны значениям функции у = х 3. 7. Каково множество значений функций у = х к при k = -1 ; 1; 2; 3? 8. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = х~2 на промежутке [-3; -2 ].

Занятие 2 Корень п-й степени Что такое корень n-й степени и каковы его свойства?

а >0 х 2 = а, х > 0 х = Va

1. О пределение. Пусть п > 1 — натураль­ ное число; а — произвольное число. Корнем п-й ст епени из числа а называется число b такое, что Ъп = а.

'Jo2 = |a| yjan = а при а > 0 myjan = л/a при а > 0

29

п

%/п

2

1,41

3

1,73

4

2

5

2,24

6

2,45

7

2,65

8

2,83

9

3

10

3,16

Ребро куба

Н априм ер, число 3 является корнем 4-й степени из числа 8 1 , так как З4 = 8 1 . Число - 3 такж е является корнем 4-й степени из чис­ ла 8 1 , так как (- 3 )4 тож е равно 81. На язы ке уравнений м ож но сказать, что Корень п-й степени из числа а — это корень уравнения х п = о. 2. С ущ ест вован и е. При а > 0 для любого натурального п > 1 сущ ествует е д и н с т в е н ­ ный полож ит ельны й корень n -й степени из числа а. Он обозначается с помощ ью зн ака радикала: при а > 0 %/а — это такое число Ь, что Ь > 0 и Ьп = а. Обозначение %/а распространяется на а = 0: л/о = 0 и на а < 0 (при н е ч ет н ы х п): если п = = 2k + 1, то %/—а = —%/а.

а V = а3 а = yfv Диагональ квадрата

Н апример, у/- 2 7 = -^ 2 7 = - 3 . 3. К о л и ч ест в о корней. У равнение х п = а (п > 1, натуральное число) имеет следую щ ее количество корней: 1) п — четно: • нет корней при а < 0; • один корень х = 0 при а = 0; • два корня х = у/а и х = -%/а при а > 0; 2) п — нечетно: один корень %/а при лю ­ бом а. 4. С войст ва ра ди кал о в: 1) 2)

Диагональ куба

=!&■!&; а , Ъ > 0;

П

=$ ; ф,

а > 0, Ъ > 0;

3) VVa = mVa; а > 0; 4) 0 < а < Ь => ^ W - i > o .

Таким образом:

V l- 2 ^ 3 + ^9 =

q = V2 . • У прост ит ь выражение:

= >/(1 -^ /з)2 = W -1 ;

У зб-^О О

1 4/2 —1 "

W -V s

Домножим числитель и зна­ менатель на неполный квадрат суммы чисел \[2 и 1 (^2 4- 1) и получим

Разлож им числа, стоящие под знаком ради­ кала, по степеням простых чисел и воспользуемся свойствами радикалов

4/22 . з 2 . з^22 ■53 л/2 • л/3

1 J [ i +^2+l ^ /2-1 ' 2 -1

%[2?

л/2 • л/3 • л/22 ■5

у/2 ■л/з

= ^4+^2+1.

=

к

е

W

V2

= 2 - 5 = 10.

Вопросы и упражнения ■

1. Какие из следующих чисел являются рациональными:

1) (l + л/2)2; V

'

2) W5;

3)

. ^ л/ l

+^

;

ООО + л/10 ООО

4) Ш * ? V

У

2. Всегда ли верны равенства 1)

л/a® = а 3;

2) л/а3= а 4?

3. Вычислите: 1)

32

л/б-л/ТО-л/15;

2) л/б •л/125 - л/216;

3)

V 125

4) л/9-4л/5.

4. Какие из чисел больше: 1) л/0,999 или 0,999;

3) JlO ООО или 21;

2) V 2007+V 2009 или 2^2008;

4) 1 + или 2х /2 -3 ? 1 —V2

5. Упростите выражение: Jab

1)

# +^ +2 Ja +Jb vfr Vo

2)

х/5 2 -JE '

3)

4)

l-x /2 ’

J2 + J 3 +J E '

Занятие 3 Степени Что понимается под степенью с произвольным показателем? 1. С т еп ен и а х при р а з л и ч н ы х з а д а н и я х числа х. Пусть дано полож ительное число а. Как возвести его в степень х? Ответ зависит от того, как задано число х: 1) х — целое число. Как определяется сте­ пень с произвольным целым показателем, мы повторили ранее; 2) х — рац ион альн о е число, записанное в k виде х = —, где к — целое число; п — натуп ральное. По оп р едел ен и ю а -п = Jгa -k . Ч и сл о а к нам известно (см. занятие 1). Оно полож ительно и для него однозначно определен полож итель­ ный корень п-й степени; 3) х — п роизвольное дейст ви т ел ьн ое чис­ ло, заданное последовательностью рациональ­ ных приближ ений х 0> х х, х 2, ..., х П, ... Числа х, рациональны. И х можно записать k-

в виде обы кновенны х дробей x t = — . Тогда Щ

становятся однозначно определенными числа h.

yt = a x‘ = a n‘. П осл едовател ьн ость у 0, у г, ..., у к, ... является последовательностью прибли­ ж ений к некоторому числу у , которое и при­ нимается за степень а х. 2. С в о й с т в а ст еп ен ей . На степени с лю ­ быми показателями переносятся свойства сте­ пеней с целыми показателями:

Историческая справка

Положительные дробные по­ казатели первым использовал ф ранцузский ученый Н. Орем (1323 — 1382). Нулевой и целые отрицатель­ ные показатели появились бо­ лее чем через 100 лет и также во Франции (Н. Шюке). Графики степенных функций с положительными дробными показателями

П ример Для вычисления степени 2" представим число л в виде бес­ конечной десятичной дроби п = 3,1415926... Запишем последовательность десятичных приближений к чис­ лу л в виде __

_31

Хг\ — О « Хл —

1 10

* Хп —

314

2

100



3141 Хо = и т.д. 3 1000

33

Затем рассмотрим числа

• ум нож ение: а т а п = а т+Л; • деление: а т: а п = а п ~п; • возведение в степень: (а т )п = а тп.

2*° = 8, 2*i = 4 /2 ^ = 8,574, 2*2 = 10^2Н1 = 8,815 и т.д . Данная последовательность определяет некоторое число г/, которое и является степенью числа 2я. Первые десятичны е знаки числа 2я таковы: 2я = 8,825... .

Свойства степеней

(ab)n = а пЪп

\ь )

аГ_ Ъп ъп П римеры

(а2Ь)3 = авЬ3 а*2 'I4 а8

ь12 — при возведении в степень по­ казатели степени перем нож а­ ются;

. з2-з3= з2+3 = з5 — при умножении показатели степени складываются.

*L г г = п п1 =

Действительно,если г ■ к k rti = — , то k 1n2 = k2n1.

п2

С одной стороны, а Г = а п' =

*2 = Va*1, а с другой — а г = а Пг =

= "л/а*2". Однако = "‘"л/а 2Л> = "Vo*2".

34

= п' Ч а ^ =

Зачем вводятся степени с произвольным показателем? 1. С помощ ью степеней с рациональны м показателем мож но свободнее выполнять пре­ образования. 2. Есть много величин, зависящ их от вре­ мени t, значения которых при t = 0, 1, 2, 3, п, ... составляют геометрическую прогрессию со знаменателем q > 0: а 0, a 0q, a 0q2, ... В фор­ муле а п = a 0qn число га является натуральным числом . Однако часто оказы вается так, что данная величина a = a(t) меняется непрерывно со временем и ее зависимость от времени вы­ раж ается аналогичной формулой a(t ) = a 0qf, где время t приним ает не только натураль­ ные, но любые действительные значения. Почему данные нами определения степени имеют смысл и как доказать свойства степеней? 1. О п р еде л е н и е степени с рациональны м показателем внеш не зависит от записи числа в виде дроби г = —. Эта запись неоднозначна л 9 3 (например, — = —), однако значение а г от этой записи не зависит. 2. О с м ы слен н ост ь (или, как говорят м а­ тем атики, корр е к т н о с т ь ) определени я сте­ пени с произвольным вещ ественны м пок аза­ телем проверить непросто. Обратим вни м а­ н и е лиш ь на два вопроса, н у ж д а ю щ и еся в проверке: 1) если х 0, х 1у х 2, ... — последовательность р ациональны х п р и бл и ж ен и й к н екотором у числу, то будет ли последовательность а х° , а х' , а*2, ... вообще приближ аться к какому-либо числу? Д ля этого достаточно проверить, что эти числа сближ аю тся м еж ду собой, т.е. что разность а Хп" - а Хп будет сколь угодно малой;

Неравенство Бернулли 2) если изменить последовательность раци­ ональных приближ ений к одном у и тому ж е При сравнении степеней час­ числу, то будут ли соответствующ ие последо­ то п р и ходи т ся п ользоваться вательности степеней приближаться к одному различны м и н еравен ствам и. и тому ж е числу? Докажем полезное неравенство 3. С в о й с т в а ст еп ен ей с рациональны ми (частный случай знаменитого неравенства Бернулли): пусть показателями доказываются на основе свойств х > 0, п > 1, тогда радикалов, а затем переносятся на произволь­ ные показатели. (1 + х)п > 1 + пх;

1 х (1 + х )п

, л/81 в виде

степеней числа 3 с рациональным п ок азате­ лем: 1

1

2

93 = ( з 2)з = 33, 27 1 = (З3)”1 = З 3, з i j 4 = (З-1)- * = 34, ^/81 = $ 3 * = Зз. 3. П реоб р азо ва н и е выражений: 4

4

х з ~уЗ

~

/

2

2

\/

2

2

\

[х 3 - у 3Д х 3 + у 3)

Г=

I

х3 + у3

I

х 3 + г/3

1

Д оказат ельст во. Заметим, что второе неравенство вытека­ ет из первого. Подставим в пер­ вое неравенство вместо х число х — и извлечем корень л-и степ пени. Для доказательства первого неравенства применяем индук­ ционное рассуждение:

> (1 + пх) (1 + х); 1 + (п + 1)х + пх2 > > 1 + (п + 1)х. О сталось проверить н ер а ­ венство при п = 2. На самом деле неравенство Бернулли верно не только для х > 0, но и для -1 < х < 0. Оно обобщается для произвольного показателя г. С п ом ощ ью н е р а в е н ст в а Бернулли можно сделать про­ верку того, что а г близко к а 8, если показатели г и s близки между собой. Пусть s > г и а > 1. as - ar = ar (as r- 1) и s - r < —.

1

1

X3 + у 3

п

Тогда a s r < а п. Запишем а в виде а = 1 + х, где х > 0. Получим 1

х

a s~r - 1 < (1 + х )п - 1 < - .

4. Реш ение прост ейш их уравнений: 3

1) х 4

4

=2=> 2

х =

2 3; з

2 )( х - 1 ) з = 3 => д: - 1 = 3 2 => х = 1 + 3



п

х

Окончательно: а 3 - а г < а г —. п Ясно, что за счет выбора боль­ шого п разность а3 - а г может быть сколь угодно малой.

35

Вопросы и упражнения ■

1. Запишите в виде степени с рациональным показателем:

1) V2;

3)

^

2)

4 ) л/25;

5, Г-

6) 50,5;

1

9) 22-55;

-1 Ю)

3. Выполните действия:

i l l 1) 2 22 24 28; / 2)

3)

V5W ^27 ; 2

2

5) [(«■)! J ;

5

4) а 3а 4

23

6)

3 15

5

1 1 33 .73

а 2а 3

v4 6 у

4. Расположите числа в порядке возрастания:

1) 2 4; 2; - ; 23; 2 з; 1 1) 2

2)

3 1V2 ; 9 3; З4; | -

4) З3; (—2)3;

; 8

;2-

5. Докажите неравенство:

1

11 М

457

1

1

3) 20032 +20052 4 4 > 5 5 ;

4) 2Ю0 + Ю 1 1 >1.

6. Решите уравнения, построив графики степенных функций (или их комбина­ ций), стоящих в его левой и правой частях:

_ \2

36

1) х 3 = 2 - х;

3) Зл:3 = |jc - 4|;

5) 1 = | | * + Д | ;

2 ) 2л:3 =

4) х 4 = 5 х + 6;

6) Л = х - 1 .

— х

2

+15;

Занятие 4 Логарифмы Историческая справка

Что такое логарифм? 1. Определение. Логариф мом числа с по основанию а назы ­ вается такое число Ь, что а ь = с, т .е . пока­ затель степ ен и , в которую надо возвести основание, чтобы получить с: Ъ = logac. Основание и число, стоящ ее под знаком ло­ гариф м а, до л ж н ы быть п ол ож и т ел ь н ы м и . Кроме того, предполагается, что а Ф 1. Если основание а = 10, то такой логарифм числа с называется деся т ич ны м и обознача­ ется lg c , т .е . lg c = lo g 10c. 2. С войст ва логариф мов. Свойства степе­ ней и логарифмов связаны м еж ду собой: Свойства степеней =

ab,+b2

Первые таблицы логарифмов были фактически построены не­ мецким математиком М .Ш тифелем (1 4 8 7 — 1567). Ш отл ан дск и й м атем ати к Д ж . Непер в работе «Описание уди ви тельн ой таблицы л ога­ рифмов» (1614) изложил свойс­ тва логарифмов, правила поль­ зования таблицей и привел при­ меры вычислений. С тех пор долгое время л о­ гарифмы называли «неперовы­ ми».

Свойства логарифмов l o g a ( c 1C2) = l o g a C! + l o g a c 2

a 6* к . — = a 6l" b2 a *2

lo g a — = lo g a c1 - l o g a c2

(ab)k = a bk

l o g a c* = f t l o g ac

C2

b

y[a* = a n

l o g a y /c = •—l o g a с Tl

3. Основное логарифмическое тождество. Равенства а ь = с и b = log ac выражают одну и ту ж е связь м еж ду числами а, b и с. П одставл яя в равенство а ь - с п р едстав ­ ление числа Ъ в виде логариф м а, получаем основное логариф мическое т ож дест во: а}°*°с = с. П одставляя в равенство Ъ = logac представ­ ление с в виде степени , получаем ещ е одно тождество: lo g aa 6 = Ъ.

Д ж . Непер (1 5 5 0 — 1617) Независимо от Д ж . Непера швейцарский математик, астро­ ном и часовой мастер И.Бюрги (1552 — 1632), работавший с ве­ ликим И. Кеплером, опублико­ вал в 1620 г. аналогичные, хотя и менее совершенные, логариф­ мические таблицы.

4. П ер ех о д к новом у основанию. Л огариф­ мы чисел по разным основаниям пропорцио­ нальны друг другу:

Основное логарифмическое тождество

lo gax = k lo g bx.

alog-c = с

37

Приложения логарифмов

1. П олет ракет ы перемен­ ной массы. Формула Циолковского свя­ зывает скорость ракеты и с ее массой т: v = kv^ g^ -, т где и1 — скорость вылетающих газов; т0 — стартовая масса ра­ кеты; k — коэффициент. Скорость истечения газов щ при сгорании топлива невелика (в настоящее время она меньше или равна 2 км /с). Логарифм растет очень мед­ ленно, и для того чтобы достичь космической скорости, необхо­ димо сделать большим отноше­ но , т.е. почти всю стартоние —т вую массу отдать под топливо. 2. Звукоизоляция стен. К оэф ф ициент зв у к о и зо л я ­ ции стен измеряется по следу­ ющей формуле: В = Alg^o,

Р где р 0 — давление звука до пог­ лощения; р — давление звука, прошедшего через стену; А — некоторая константа, которая в расчетах принимается равной 20 дБ. Если коэффициент звукоизо­ ляции D х 20 дБ, то lg — = 1 и Р р 0 = Юр, т.е. стена снижает дав­ ление звука в 10 раз (такую зву­ коизоляцию имеет деревянная дверь). Применение свойств логарифмов

1. Вычисление логарифмов. • log2256 = loga28 = 8; • lg0,001 = lglO 3 = -3;

• lg^/lO = ilg lO = ^.

38

К оэф ф иц иент пропорциональности k вы­ числ яется сл едую щ им образом: k = — -— или k = lo g аЪ. log a Его назы ваю т м о д у л е м п ер ехо д а от одн о­ го основания логариф м а к др угом у. В частности, logaX = l o g j - , - X

так как logax = lo g 1x / l o g 1a = - l o g 1x = lo g ! —. a

a

a

a X

Зачем нужны логарифмы? Однажды на такой вопрос ответил П . Л ап­ лас, которы й ск азал , что изобретен ие л ога­ рифмов удл и н и л о ж и зн ь астроном ов. Д е й ­ ствительно, первое назначени е логарифм ов состояло в упрощ ении слож ны х вычислений, при котором ум нож ение с помощью логариф­ мов заменялось сложением. Еще недавно к аж ­ дый инж енер носил в кармане логарифм иче­ ск ую л и н ей к у , с пом ощ ью которой м ож н о было выполнять разны е подсчеты, выполня­ емые сейчас на калькуляторе. С помощью логарифмов м ож но решать за ­ дачи , обратны е возведению в степень: если а х = Ъ, то неизвестное х м ож н о записать как lo g ab. П ри этом важ н а не сама возм ож н ость зап и си , а то, что, м еняя Ъ, т .е . р ассм атр и ­ вая х = lo g ab как ф ун кц ию от Ь, мы обн ар у­ ж и в аем новы й ха р а к тер ф у н к ц и о н а л ь н о й зависим ости . Л огариф м ическ ие ф ун к ц и и значительно пополнили зап ас зав и си м остей , доступ н ы х сравнительно простому изучению . Почему логарифмы обладают такими удобными свойствами? 1. Д о к а з а т е л ь с т в о п равил логариф м иро­ вания. Все правила логарифмирования док а­ зываются с применением свойств степени. Д окаж ем , например, правило логарифм и­ рования произведения: логарифм произведе­ ния равен сумме логарифмов.

2.

Обозначим logac x = Ъх, logac2 = b2. По основ­ ному л о га р и ф м и ч еск ом у т о ж д ест в у им еем а6* =Сц а®2 = с 2. П ерем нож им эти равенства:

Логарифмирование.

Д а н о : А = (l0 0 a 3i>) . Н а й ­ ти: IgA. Р е ш е н и е . IgA = з [ lglOO +

О61 О*2 =С!С2.

2, + —lg a + lgbj = 6 + 21ga + 31gb.

По св о й ств у ст еп е н е й a^a*2 = a bl+b2, т .е . схс2 = а 61"1"62. П о определению логарифма Ьх + + &2 = loga(c!C2), тогда

3. Потенцирование (нахож ­ дение выражения по его лога­ рифму). log2A = -1 + 2 log2a - 3 log2b =>

lo g a(c1c2) = logac x + logac2, что и требовалось доказать. 2. Д о к а з а т е л ь с т в о ф о рм ул ы дл я м о д у л я перехода. П рологарифмируем основное л ога­ рифмическое тож дество а 1ое“х = х по основа­ нию Ь:

=> log2 А = log2 i + log2 a 2 -log2b3 = lo g 2 = > A =

2

: 63 = 4

)

.

2b

4. Переход к одному основа­ нию. Дано: А = l o g x а - l o g ^ a +

откуда logax

l a

(2

lo g ax ■log„a = \o g bx,

2 b3

iQgftX

log ba ' Эту формулу часто читают следую щ им об­ разом: логарифм числа по новому основанию равен л огариф м у числа по старом у осн ова­ нию, деленном у на логарифм нового основа­ ния по старому основанию. Коэффициент пропорциональности мож но записать в виде

+ 21og8 a. 4 Перейти к основанию 2. Р е ш е н и е . З а м е т и м , что log22* = k — это поможет устно находить модуль перехода. 1 = log2a log2 1 4

log2a | 2 log2 V2

log2a _ log2 8

' 1_ = log2a| — +- |= -2 1/2 3

k = lo g afe, так как logab ■log6a = 1 (полож ите в формуле х = Ъ).

= log2a| - i - 2 + |

= - ^ l o g 2a.

Вопросы и упражнения ■

1. Вычислите: 1) logaa, logal , log„a5, logu , loga Va, log„ Va3;

1

a

V2

2) l o g , - , lo g x2, lo g j l, lo g x 8, logi V2, l o g ,— ; 2

2

2

3) log327, log3i , log9^ ,

2

log2V2,

2

2

loSv2 4’ logV5 ^ ® -

2. Прологарифмируйте данное выражение по основанию a: 1)

А = л:4;

3 )А = ^

3V3d ’

_

2)

А = 2а2х 3у*;

4) А = — ; ab

5) А = “ 2- \ -± ’

a 3t>4c 2

6) А = a 3(a - 2)(a - 5).

39

3. Найдите выражение А по логарифму: 1) logаА = 3 + 21ogab; 2) InA = In sin д: - In cos д: (In — логарифм с основанием е (е ~ 2,71828), называ­ емый натуральным логарифмом); 3) IgA = - l + ^ lg ( * :- l) - 3 1 g x . 4. Определите, какое из чисел больше: 1) log32 или 0; 5) log34 или 1;

9) log, 7 или log, 10;

3 2) lo g , 3 или 0;

6) log, —или 1;

3

10) lo g ! - И

Л И

i5

7 8

3) log5—или 0;

7) log23 или log25;

4) logj —или 0;

8) log27 или log2—;

lo g ! —.

57

5. Замените логарифмы log, a, log8a, log, a, log^ a, log3a логарифмами по осно­ ванию 2. 2 4 6. Найдите: 1) log89, если log1218 = a;

3) log2501 20, logg20 = a, lg2 = b.

2) logg15, если l o g ^ 25 = a;

Занятие

5

Показательные и логарифмические функции Семь арифметических операций

Что нового дают степени и логарифмы для изучения функций? 1. О д н а з а в и с и м о с т ь — т ри ф у н к ц и и . Рассмотрим три переменны е х , у и г , связан­ ные зависимостью z x = у. Заф иксируем значение переменной z = а, потребовав, чтобы выполнялись условия а > 0, а Ф 1. М ож но зап исать связь м е ж д у двум я остальными переменны ми в виде у = а х. М е­ няя произвольно х , получим п о к а за т ел ь н ую ф ун кц и ю , или э к сп о н ен т у . Вы разим из этого ж е соотнош ения у = а х перем енную х как ф ункцию от у: х = log ay. М еняя у в качестве аргумента, получим л о г а ­ ри ф м и ческую ф ункцию . Если в том ж е соотнош ении z x = у заф ик­ сировать показатель х = k, то получим у ж е зн ак ом ую степ ен н ую ф ун к ц и ю у = z k. Ещ е

40

одну степенную функцию получим, выражая 1 г через у: г = у к. Р азум еется , во всех эти х п ер еходах надо следить за ограничениями, которые наклады­ ваются на переменны е. Мы у ж е это сделали для показательной ф ункции у = а х, считая, что а > 0 , а Ф 1. Д ля логариф м ической ф ункции х = lo g ay необходимо дополнительно потребовать, что­ бы у был п о л о ж и тел ь н ы м , так как а х > О, и для определения х из соотнош ения а х = у нуж но, чтобы у был больше 0. П одумайте самостоятельно, какие ограни­ чения н уж н о н ал ож ить на перем енны е для рассмотрения степенны х ф ункций. 2. С во й ст ва и гр а ф и к п о к а за т е л ь н о й ф ун кц ии у - а х: • область о п р ед ел ен и я : м н ож еств о в сех действительных чисел R; • монотонность: при а > 1 ф ункция у = а х возрастает, при 0 < а < 1 — убывает; • положительность: значения функции у = = а х положительны; • область зн ачен ий : все пол ож и тел ьн ы е числа, т .е . интервал (0, + 0; • пром еж утки постоянного знака: - при а > 1 у = 0 при х = 1; у < 0 при 0 < х < 1; у > 0 при х > 1; - при 0 < о < 1 у < 0 при х > 1; у > 0 при 0 < х < 1; • м он отон ность: ф ун к ц и я у = lo g ax при а > 1 возрастает на всей области определения, при 0 < a < 1 — убывает; • область значений: м нож ество всех д е й ­ ствительных чисел R.

Графики показательных функций

у = ах, а>1

у=ах, 0 1. Д окаж ем , что < х 2 => а х‘ < а Хг. Сначала заметим, что ах > 1 при х > 0 (подумайте, почему). Далее выполним преобразование: а*2 - а*1 = = a*1{a X2~Xl - 1). Оба множ ителя в этом произ­ ведении полож ительны , поэтому а Х2 > a Xl. Зам еняя а на —, получим доказательство а того, что у = а х при 0 < а < 1 убывает на всей числовой оси. 2. М онот он ност ь логарифмической ф у н к ­ ции. Пусть а > 1. Д ок аж ем , что 0 < х х < х 2 => loga*! < \ogax 2. Сначала зам етим, что logax > 0 при х > 1 (по­ дум айте, почему). Выполним преобразование: lo g a х2 - lo g a х х = = lo g a — > 0, так как 0 < *i

< х 2 => — > 1. *i

- l o g j *! = lo g j — = lo g a — < 0, так как — < 1 . а Х1

*2

Монотонность показательной и логарифмической функций

5 х 2, а > 1) • а*1 < а*2 (х х > х 2, а < 1) Нахождение области определения функции

• у = lg(x2 - 4х), D: х € ( - о с ; 0) и (4;

+оо)

Нахождение области значений (03) функции, заданной на промежутке

• у = log2(x - 3), х е [4; 11] 0 3 : [0; 3]

1. С равнение зн ачен и й числовы х вы раж е­ ний. Что больше: 1) 1012 или 1013? Ответ очевиден: 1013 = 1012 • 101 — при ум ­ нож ен и и 1 0 1 2 на 101 число ув ел и чи вается . Рассмотрим 1 0 1 2 и 1013 как значения п ок а­ зательной ф ункции у = 101* при х = 2 и х = 3 с основанием 101 > 1. Ф ункция возрастает на всей числовой оси, поэтому для любых чисел х г и х 2 таких, что х г < х 2, справедливо нера­ венство 101*1 < 101*2; 2) 2 6 4 или 58? Число 26 близко к 25 = 52 и 2 6 4 близко к (5 2)4 = 58. Однако 26 > 25 => 2 6 4 > 2 5 4 = 58. Мы использовали монотонность степенной ф ун к­ ции у = х 4 при х > 0: для любых 0 < х г < х 2 верно неравенство x f < х 2; 3) lo g 23 + lo g 25 или 4? Выполним преобразование: lo g 23 + lo g 25 = = log215. Выразим 4 через логарифм: 4 = log224 = = lo g 216. Ф ункция у = lo g 2x возрастает при х > 0. П оэтом у 15 < 16 => lo g 215 < lo g 216 = 4. 2. Н ахож дение области определения ф у н к ­ ции: 1) у = lg (х 2 - 4х). Область определения D этой функции — числа х, удовлетворяющие неравенству х 2 - 4 х > 0; х 2 - 4 х = х (х - 4). О т в е т : х < 0 и х > 4 , или х е (-оо; 0) и и (4; +оо). 2) у = lg х + lg (х - 4). Теперь необходим о вы полнение одноврем енно дв ух неравенств Гх > 0;

1

1 х - 4 >0,

44

т .е . D : x > 4.

Ответ: х > 4, или х е (4; +оо). 3. Н ахож дение области значений (0 3 ) функции, за д а н н о й на п ро м еж ут ке: 1 ) у = 2 * Л х е [0; 2], 2х1

=

2-

2 1 = - - 2 х

2

Ф ункция I/ = —■2х возрастает на всей чис­

Основные формулы и соотношения

У= а

а > 0, а * 1; а > 1, < х 2 => о*1 < а*2; О < а < 1, д?! < х 2 => а*1 > я*2

ловой оси. Ее наименьш ее значение на проме­ жутке достигается на левом конце, т .е . при

г/ = logax дс > 0, а > 0, а Ф 1;

х = 0 (п ри этом у = i ) ; н аи бол ьш ее зн а ч е ­

а > 1 , 0 < д с 1 < х 2 =>

ние — на правом конце х = 2 => у = 2. При и з­ менении х от 0 до 2 значения ф ункции у за­

=> l o g ^ < logax 2; О < а < 1, 0 < х х < х2 => l o g a ^ ! > l o g aX 2 .

полняют пром еж уток от ^ до 2. О т вет : — < у < 2, или

2

[2

• Olog-X= X

2

2) у = lo g 2(x - 3), х е [4; 11]. Ф ункция определена и возрастает на этом промежутке. Ее наименьш ее значение дости­ гается на левом конце: х = 4 , у = lo g 2l = О, наибольшее значение принимается при х = 11, у = lo g 28 = 3. Область значений: 0 < у < 3, или

loga X =

log»* log» a

loga X —log i - X

[0 ; 3 ].

Вопросы и упражнения ■

1. Укажите, какие из следующих показательных функций возрастают, а какие убывают на всей числовой оси: 1) У = 5";

3)

y =f |j ;

2) у = 3х-1;

4)г/ = у

;

5) у = 2 - ; 6)у =—

.

2. Постройте графики следующих функций: 1) У = 2"*; у = З х+Х;

2)

3) у = 2 • 10*; 4) у = 2 х + 2 х"1;

5) у = - 3 “*; 6) у = 4 х"2.

3. Найдите наименьшее и наибольшее значения функций, заданных на промежутке: 1) у = 2Х+2, [-1; 1]; 2)

у = 2 • 3 2 х , [ - 2 ; 1];

3) г / = ( 1 ]

’ [0; 1];

4) у = 2 х + 3 х, [ - 2 ; - 1 ] .

45

4. Найдите области определения следующих функций: 1) У = log2(* - 3);

3) у = l o g a ^ s 2 -х 4) у = lg (х + 2) + lg (х - 1).

2 ) у = log2( l - х 2);

5. Найдите области значений функций, заданных на промежутке: 1 ) у = log2(x + 3), [-1; б]; 2) у = 2 - log2(3x - 1), [3; 11];

3) у = 1 - lg х, [0,01; 10]; 4) у = lg х + log2x , [1; 2].

Занятие 6 Показательные и логарифмические уравнения и неравенства П римеры 1. Решение простейших по­ казат ельн ы х уравнений:

• 10х = 1000; 1000 = 103; 10х = 103

* = 3.

• 10х = 2 х = lg 2. 2. Решение простейших ло­ гарифмических уравнений: • log2x = 3 х = 23 = 8. 3. Решение простейших по­ казат ельны х неравенств: • 3х < - ; —= 3“!; 3

Что полезно помнить при решении уравнений и неравенств, содержащих показательные и логарифмические функции? 1. Реш ени е прост ейшего п о ка зат ел ьн ого уравнения: (а > 0, а

ф

1), ах = а к о х = k

— сравниваем степени с одинаковым основа­ нием. (а > 0, а Ф 1, Ъ > 0), а х = Ъ 2; 2 = IQ1®2;

10х > 10lg 2 о х > lg 2. 4. Решение простейших ло­ гарифмических неравенств: • log2x > -1; х > i . ОДЗ: х > 0; 1 < х < 10.

2. Реш ение простейшего л огариф м и ческо­ го уравн ен ия: (о > 0, a * 1), logax = \ogak х = k; logax = b x = a b. 3. Реш ени е простейшего п о казат ел ь н ого неравенст ва:

• lg(x - 1) < 1.

(a > 1), а х > ak х > k;

ОДЗ: х > 1; х - 1 < 10,

(0 < a < 1), ax > a k x < k;

х >1

1 < х < 11.

х > -1 0 Д З :х > 0;

lo g , 2

0 < х < 2. l o g 2( x 2

о

46

+ Зх) < 2

(a > 1, b > 0), a x > b x > lo g ab; (0 < a < 1, b > 0), a x > b x < lo g ab; {b < 0), a x > b

x — любое число.

Гх2 + Зх < 4,

4. Реш ение простейшего л огариф м и ческо­ го неравен ст ва:

х 2 + Зх > 0.

(а > 1, k > 0), lo g ax > lo g a& х > k;

(а > 1), lo gax > b x > а ь; (a > 1), logax < b

0 < x < a b.

При решении логарифмических неравенств полезно указывать область допустим ы х зн а­ чений (ОДЗ). Если используются логарифмы по основа­ ниям, меньшим 1, то надо помнить, что соот­ ветствующая функция является убывающей. Основой решения показательных и логариф­ мических неравенств является то, что функции вида у = А а кх и у = В logax монотонны на всей области определения. К аж дое свое значение с они принимаю т ровно один раз, например в точке х 0. По одну сторону от этой точки значе­ ния функции больше с, по другую — меньше. Как сводить уравнения к простейшим? П оказатель является ф ункцией от х. 1. 2 1х = 8 2 1х = 2 3 о 1 - х = 3х = - 2 . 2. 2 1"* = 5 21"* = 2 log25 1 - х = lo g 25 о х = 1 - lo g 25. Вместо записи 5 = 21о8г5 мож но логарифми­ ровать обе части уравнения по основанию 2: 1 - х = lo g 25. 3. 5х1 + 5Х + 5X+ 1 = 31. Слагаемые лиш ь постоянны м и м н ож и те­ лями отличаются от 5 х:

Решаем два квадратных не­ равенства и находим общие ре­ шения: х 2 + Зх < 4 х 2 + + Зх-4 множ ества). / V \ С одной стороны, это число равно 2" — для / V V \ каж дого элемента есть две возм ож ности, по­ / V V V \ пасть или не попасть в выбираемое подм но­ < V V V V > жество, причем для каж дого элемента эти воз­ \ / \/ V \/ \ / м ож н ости вы бираю тся н езав и си м о др уг от друга. Это ж е число мож но получить иначе — сначала зафиксировать число ft элементов в п о д м н о ж еств е. П олуч и м чи сл о С*, а затем с\ \ i слож им по всем ft, чтобы найти общ ее число АТ0 \т1 \т2 вариантов. С2 V2 /2 А Т 0 \т1 \т2 \тЗ 3. Р е к у р р е н т н ы е соот ношения. >3 >3 >3 >3 4 1) Представим себе, что к п элементам дан­ C0Z U \/-т1 / \/~1^ / \/То3 Z \ /тЧ 4 > 4 > 4 > 4 > 4 ного множ ества мы добавили ещ е один и из \Z \Z ^ \Z

75

П ример Возьмем 10 объектов одного сорта, например кружков. Поставим их в ряд и помес­ тим м еж д у ними две п ер его­ родки:

o o o lo o o o lo o o Перегородки разделят число 10 на 3 слагаемых: 10 = 3 + 4 + 3. П ерегородки могут стоять рядом, тогда слагаемые будут нулями:

oool lo o o o o o o 10 = 3 + 0 + 7;

оооооооооо! I 10 = 10 + О + 0. Теперь у нас 12 мест и мы должны указать два из них, где будут стоять перегородки. Это м ож но сделать числом способов, равным

Сй, = 1 2 1 1 = 6 6 . 12

2

Формулу легко обобщить: для разбиения числа п на k слагаемы х понадобится k - 1 перегородка, т .е. r \k - 1 _ гм1 '^ n + k - l rt+fe—1 •

Ответ: Cf2 = 66.

полученного множ ества хотим выбрать п од­ множество из к + 1 элемента. По определению это число равно Все эти выборки р азо­ бьем на два сорта — те, которы е содер ж ат один добавленный элемент, и те, которые его не содерж ат. Первых будет С* ш тук (один эле­ мент у ж е взят, а из остальных надо взять еще к), а вторых — С*+1 (все к + 1 элементов берут­ ся из исходного множ ества). Тем самым С* + С*+1 = С*#. 2) Реш им двумя способами следую щ ую за­ дачу: из группы в га человек надо выбрать ко­ манду в к человек и среди них назначить ка­ питана команды. Сначала м ож но выбрать всю ком анду (чис­ ло способов С*) и и з нее выбрать кап итана (k способов). Всего получится feC* способов. М ож но сн ачала из всей группы выбрать капитана (га способов), а затем из оставш ихся выбрать к - 1 рядовых членов команды (С*!*) — всего nC*z\ способов. Результат: кС* = пС*:\, т .е . С* = ^ С ^ 1. к 4. Число одночленов данной конст рукции. Как подсчитать число одночленов 10-й степе­ ни с тремя буквами а, Ь и с? К аж ды й такой одночлен имеет вид а нЪ1ст, где k + I + т = 10. Эта задача равносильна та­ кой: каким числом способов м ож но предста­ вить число 10 в виде упорядоченной суммы трех неотрицательных целы х чисел: 10 = 10 + 0 + 0 = 9 + 1 + 0 = 9 + 0 + 1 = = 8 + 2 + 0 = 8 + 0 + 2 = 8 + 1 + 1 = ... и т .д .

Вопросы и упражнения ■

1. Каким числом способов можно выбрать двух человек из ста? ■2. Каким числом способов можно выбрать 98 человек из 100? 3. Какие формулы для вычисления числа сочетаний вы знаете? 4. Во сколько раз число анаграмм слова А Н А Г Р А М М А меньше числа перестано­ вок девяти различных букв? 5. Сколько раз встретится одночлен а3Ь7 при возведении а + Ь в десятую степень без приведения подобных членов? 6. Чему равна сумма коэффициентов в разложении (а + Ь)9? 76

7. Чему равна сумма коэффициентов в разложении (2а + Ь)9? 8. Каков самый большой коэффициент в разложении (а + Ъ)7? 9. Каким числом способов можно разложить 10 одинаковых монет в 3 кармана? 10. Каким числом способов можно разложить 10 разных монет в 3 кармана?

Из истории комбинаторики Самая древняя игральная кость, т. е. кубик с нанесенны ми на грани шестью различными знакам и, была найдена при раскопках в северном И раке. Ее возраст составил около 5 тыс. лет. К ом бинации, возникаю ­ щ ие при бросании игральной кости и в других играх, всегда привлека­ ли лю дей, никак не связанны х с математикой, потому что наименова­ ние наш его вида, homo sapiens (человек мы слящ ий), у ж е давно (по мере разочарования в мы слительных способностях человека) стало ставить­ ся рядом с наим енованиям и hom o fab er (человек делаю щ ий ) и hom o ludens (человек играю щ ий). Различны е игры (например, кости, карты, лото, дом ино) ставят п е­ ред человеком вопросы, требую щ ие тщательного анализа и применения серьезной математической техни ки . П остепенно выяснилось, что ана­ логичны е вопросы возникаю т не только в играх, но и в сам ы х р азн о­ образны х и внешне далеких друг от друга сферах человеческой деятель­ ности — экономике и планировании, лингвистике и криптограф ии, те­ ории стрельбы и организации движ ения транспорта. С помощ ью ком ­ бинаторики и тесно связанны х с ней таких разделов м атематики, как статистика и теория вероятностей, удалось найти строгие зак оном ер ­ ности там, где и х не долж н о было бы быть по сам ому смы слу — в мире случайны х явлений, среди хаоса и беспорядка. С реди р одон ач ал ьн и к ов к о м би н а тор и к и и теор и и в ер о я т н о стей надо назвать знакомы е им ена — Б. П аскаля и П. Ф ерма, Я. Б ернулли и П . Л апласа и, разум еется, Л . Эйлера. Согласно легенде, 29 ию ля 1654 г. П аскаль написал письмо Ф ерма, в котором рассказал о «скандале в дом е м атем атики», обнаруж енном ф ранцузским аристократом, страстным игроком и достаточно образо­ ванным человеком де Мере. Вопрос состоял в следую щ ем . Сколько раз надо подряд бросить игральную кость, чтобы шансы того, что хоть раз выпадет ш естерка, превысили половину? Н а этот легкий вопрос де Мере знал правильный ответ — четыре. (Как само собой разум ею щ ееся, П а­ скаль в письме к Ферма называет количество комбинаций — при четы ­ р ех бросаниях кости в 6 2 5 случаях ни р азу не выпадет ш естерка и в 671 случае она выпадет хотя бы один раз.) Более распространенной была игра с одновременным бросанием пары костей. Как нечто очевидное, де Мере считал, что отнош ение 4 : 6 (числа необходим ы х бросаний к чи с­ лу возмож ны х исходов) сохранится и при бросании пары костей. Общее число исходов в этом случае равно 62 = 36 и, следовательно, н уж н о про­ извести 24 бросания пары костей (24 : 36 = 4 : 6), чтобы шансы на вы-

77

падение двух ш естерок превысили половину. Однако его опыт игрока свидетельствовал о том, что это не так и необходим о не 24, а 25 броса­ ний. Эта задача де Мере (а он является автором ещ е нескольких важ ны х и более трудн ы х вопросов) будет нам вполне по силам . Общее число комбинаций сейчас у ж е велико, но точные вычисления П аскаля пока­ зали, что доля успеш ны х вариантов при 24 бросаниях равна приблизи­ тельно 0 ,4 9 1 4 и лиш ь при 25 бросаниях чуть превосходит половину — 0 ,5 0 5 5 . Н адо было долго играть в кости, чтобы почувствовать разницу м еж ду этими двумя дробями. Несмотря на то что комбинаторика является столь древним разделом математики, в ш коле ее изучали мало. П роизош едш ий в последние д е­ сятилетия взрыв интереса к комбинаторике во многом объясняется на­ ступл ен ием ком пью терной эры и повы ш ением роли так назы ваем ой дискретной математики, имеющ ей дело преж де всего с конечными мно­ ж ествам и. Н аш ей задачей является ознакомление с методами комбина­ торики, которые позволят выработать общ ие принципы реш ения р аз­ личны х интересны х задач и подготовиться к восприятию идей теории вероятностей.

< со < f:

^

Координаты и векторы

Занятие

1

Повторение пройденного Что нам известно о координатах и векторах на плоскости? 1. Д е к а р т о в а система координат на плос­ кост и. П роведем на плоскости две взаим но­ перпендикулярны е коо рд ин ат н ы е прямы е с общим началом О. На каж дой из этих прямых выбрано направление и указан масштаб. Обоз­ начим построенны е оси О х и О у . Т очки на о ся х оп р ед ел я ю т ся своим и к оор ди н атам и . Возьмем произвольную точку Р на плоскости и спроектируем ее на оси координат. Получим точки Р х и Р у с координатами на осях х и у соответственно. П ара чисел (х; у) называется координатами точки Р в построенной системе координат. 2. В ект оры на плоскости. Вектор на плос­ кости изображ ается направленным отрезком и обозначается либо а, либо А В , где А — на­ чало вектора; В — его конец. П ри этом соб­ людаются следую щ ие правила: • одн о р о д н о с т ь. От лю бой точки м ож н о отложить направленный отрезок, изображ аю ­ щ ий данный вектор, или иначе: вектор м ож ­ но отлож ить от любой точки; • условие р а в ен ст в а . Направленные отрез­ ки изображ аю т один и тот ж е вектор в том и только в том случае, когда отрезки равны по длине, параллельны и одинаково направлены; • п равило т р ех т очек. Если отрезок А В изображает вектор а, отрезок ВС — вектор Ь,

Координаты

Векторы

А В = DF = СЕ = Е К

79

в

то отрезок АС и зображ ает сум м у векторов

а + Ь; • раст яж ен ие. Если отрезок А В изобра­ ж ает вектор а, то вектор Ха м ож но изобразить

A C = X •а, X > О а А

В

С

АС = X•а, X < О а_ "с *

Л

а В

-а С

А

как отр езок А С , л еж а щ и й на пр я м ой А В , длиной |АС| = |Х||АВ| и с направлением, совпа­ даю щ им с нап равл ен ием отр езк а А В , если X > 0, и противоположным ем у, если X < 0; • правило параллелограмма. Пусть ОА х = а ~> — > и ОА2 = Ь. Тогда диагональ О А 3 параллело­ грамма О А1А 3А 2 с о сторонами О А х и О А 2 и зо­ бражает сум м у векторов а и Ь; • изображение противополож ного в е к т о ­ р а . П усть А В = а и точка С симм етрична В относительно А . Тогда отрезок АС = В А и зо­ бражает вектор - а , противоположны й векто­ ру а; • изображение нулевого вект ора. Нулевой вектор 0 изображ ается точкой, т. е. отрезком, у которого начало и конец совпадают; • п равило м н ого угол ьн и ка. Если несколь­ ко векторов изображ ены так, что начало вто­ рого есть конец первого, начало третьего — конец второго и так далее, то отрезок, соеди­ няющ ий начало первого вектора с концом по­ следнего, изображ ает сум м у этих векторов; • изображение р а зн о с т и . Если два векто­ ра а и b отлож ены от одной точки О: О А = а, ОВ = Ь, то их разность b - а изображ ается от­

к А К = А В + В С + CD + +D E+EF+FK А

резком А В , соединяю щ им концы векторов. П олезно такж е запомнить, что диагонали па­ раллелограмма изображают векторную сумму и разность сторон параллелограмма. 3. Связь меж ду к оо рдин ат ам и и в е к т о р а ­ ми. Если вектор а изображ ается направлен­ ным отрезком А В , а декартовы координаты точек А и В известн ы , наприм ер А ( х j, у х), В ( х 2, у 2), то вектор а однозначно задается па­ рой чисел ( х 2 - х х, у 2 - у^), т .е . разностям и координат конца и начала отрезка А В . Пусть Х а = х 2 - Х и Уа = У2 - Уй U j — в Д И " ничные векторы (орты) координатны х осей. Тогда а = x ai + y j . Это равенство называется р а зл о ж е н и е м в ек тор а а по к оор ди н атн ы м

80

в

осям , а числа (х а, у а) называются координа­ тами вектора а. П ри сл о ж ен и и векторов и х координаты склады ваю тся, а при ум н ож ени и вектора на число координаты вектора умножаются на это число.

с

А С = А В +A D

Как с помощью координат можно задавать множества точек на плоскости? 1. У р а в н е н и е п р я м о й . О бщ ее ур авн ен и е прямой имеет вид а х + Ьу + с = 0. П рямая, па­ раллельная оси Оу, задается уравнением вида х = с. П рямую, не параллельную оси Оу, м ож ­ но задать уравнением с угловым коэф ф ици­ ентом k: у = k x + Ъ. 2. У равн ени е окруж ност и. Общее уравне­ ние окруж ности с центром С(а; Ь) и радиусом R м ож но задать в виде (х - а )2 + (у - Ъ)2 = R 2. В частности, единичная окруж ность с ц ент­ ром в начале координат задается уравнением х 2 + у 2 —1. 3. У равн ени е произвольной кривой С м ож ­ но записать в виде f(x, у) = 0, где f(x, у) — не­ которое выражение с буквами (переменными) х и у. К огда говорят, что некоторое соотнош ение м еж ду координатами есть уравнение кривой С, то это означает, что: • координаты любой точки кривой С свя­ заны данным уравнением; • всякая точка плоскости, координаты ко­ торой удовлетворяю т уравнению , л еж и т на кривой С. Как можно использовать координаты и векторы при решении геометрических задач? 1. А гА 2

С е р е д и н а о т р е з к а . Е сли дан отр езок и зв е ст н ы к о о р д и н а т ы его к о н ц о в А ^ а ^ , & х) и А 2(о 2; Ь 2 ) , т о координаты точки В (о; Ь) — середины отрезка А ХА 2 — вычисляа, + а2 , Ъл+Ъ2 _ ются по формулам а - — ; о = ---------. В век-

B D =A D - A B

Связь координат с векторами

А В = а(х2 - х 1; у2 - У\ )

Координаты суммы векторов и произведения вектора на число (а +Ь)(ха +х ь; уа +у ь) k a( kxa; kya)

Уравнение прямой У

и

о

с

х

81

Уравнение прямой

торной форме м ож н о записать соотнош ение ов

=|(

о а 1+ о а 2).

2. Д оказать, что середины сторон п р ои з­ вольного четы рехугольника образуют парал­ лелограмм. Д ан четы рехугольник A B C D и отмечены середины его сторон М , N , Р , Q. Векторное равенство M N = Q P будет означать, что две противополож ны е стороны M N и P Q четы ­ рехугольника M N P Q равны и параллельны. Этого достаточно для реш ения задачи. Выра­ зим векторы M N и Q P через векторы ОА, ОВ, ОС и O D : Уравнение окружности

M N = O N - О М = | ( о В + О с) - 1 ( ОА+ О В ) = = - ( о С - О А ); 2 ’ Q P = O P - OQ = ^ (о С + о Ъ ) - | ( о А + о Ь ) = = - ( о с - о а ).

2

П олучим, что

= QP.

Вопросы и упражнения ■

1. Какие правила изображения векторов на плоскости вам известны? 2. В чем состоит правило параллелограмма? 3. В чем состоит правило многоугольника? 4. Как вычисляются координаты вектора? 5. Какова связь между координатами точек и векторами? 6. Как записывается уравнение прямой? 7. Как записывается уравнение окружности? 8. Как записывается уравнение произвольной кривой? 9. Определите координаты середины отрезка, если известны координаты его концов.

82

Занятие

2

Координаты и векторы в пространстве Что меняется при переходе от плоскости к пространству? 1. Д е к а р т о в а си ст ем а коор д ин ат в про­ ст ран ст ве. В пространстве через любую точ­ ку О м ож но провести три взаим но-перпенди­ кулярны е прямы е. Взяв точку О в качестве общего начала, выбрав на каж дой прямой на­ правление и масш таб, мы превратим их в ко­ ординатные прямые — числовые оси О х , Оу и Oz. Л ю б у ю т о ч к у Р в п р о ст р а н ст в е м о ж н о спроектировать на построенные оси, проведя через нее плоскости, перпендикулярны е этим осям . К оординаты п р оек ци й Р х, Р у и Р г на осях О х, О у и O z составят тройку координат точки Р (х , у , г). 2. В ек т о р ы в п рост ранст ве. Так ж е как и на плоскости, векторы в пространстве изоб­ раж аю тся направленны ми отрезкам и. К д е ­ вяти сформулированны м в занятии 1 прави­ лам изображ ения векторов, которые сохраня­ ются и для пространства, полезно добавить еще одно:

Координаты

Векторы

П р а в и л о п а р а л л ел еп и п ед а . Если ОА2 = а, ОА2 = b и ОА3 = с, то диагональ О А парал­ лелепипеда со сторонами О А2, О А 2, О А 3 изоб­ ражает сум м у векторов а + b + с. Ч то ж е все-таки м ен я ется в и счислени и векторов при п ер еходе от плоскости к пр о­ странству? Меняются не отдельно взятые век­ торы, а свойства их совокупности. Возьмем ненулевой вектор А В . Любой вектор Ь, л еж а­ щ ий на п р я м ой А В , м о ж н о п р едстав и ть в виде: b = а - А В . Такие векторы называются к о л л и н е а р н ы м и (л еж ащ и м и на одн ой п р я ­ мой). П ерейдем к плоскости. Возьмем на ней два н ек ол ли н еарн ы х вектора а и Ь. Л ю бой вектор с на этой плоскости м ож но разлож ить по этим векторам: с = а а + Pb. Такие три век­ тора называются ком планарны м и (лежащ ими в одной пл оск ости). В пространстве м ож н о найти три некомпланарны х вектора а, b и с.

ОА = ОА2+ ОА2+ ОА3 ОА = а + b + с

Теперь любой вектор d м ож но разлож ить по этим векторам: d = аа + Pb + ус. 3. С вязь меж ду коорд ин ат а м и и в е к т о р а ­ ми. П ри переходе к пространству вид связи сохраняется. Теперь выбираем тройку ортов координатных осей i, j, к. Если проекции точ­ ки Р(х; у; г) на координатные оси обозначены

D

через Р х, Р у и Р г, то вектор О Р равен сумме ОРх + ОРу + ОРг = x i + у) + zk. К оординаты л ю ­ бого вектора а, заданного направленным от­ резком А 1А 2, м о ж н о выразить через коорди­ наты его концов Axixx; у ц z j , А 2(х 2; у 2; z 2):

а = А ХА 2 = О А 2- ОА х = = (ж2 “ * i )»+ (*/2 - J/1) j + (г 2 - Zi )k. Как можно использовать координаты и векторы в пространстве?

А, А2 = ОА2- ОА х

У

а || гО у

1. К акие точки пространства описываются уравнениями вида х = 2, у = - 1 , г = О? К огда одна координата точки постоянна, а остальные произвольны, точка л еж ит в пло­ скости, перпендикулярной той оси , которая соответствует постоянной координате, т .е . эта плоскость параллельна координатной плоско­ сти, где л еж ат две другие оси. 2. Где в пространстве леж ат точки, коорди­ наты которых удовлетворяют условию у = х ! На координатной плоскости х О у условие у - х задает и звестн ую п р я м ую . В се точки пространства, проектирую щ иеся на эту пря­ м ую , б у д у т им еть к оор ди н ат ы , св я зан н ы е этим условием (и только они). П оэтом у отве­ том будет плоскость, перпендикулярная пло­ скости х О у (или иначе, содерж ащ ая ось Ог) и проходящ ая через прямую у - х этой пло­ скости. 3. В пространстве даны три точки с коор­ динатами А (1; -1 ; 2), В(3; 0; - 1 ) и С (-2; 4; -3 ). К ак построить точку D , если четы ре точки A B C D (в указанном порядке) образуют парал­ лелограмм? В ерш ину D м ож но определить из вектор­ ного равенства B A + B C = B D . Н айдем коор­ динаты векторов В А , В С и их суммы:

84

B A = О A - OB = - 2 i - j + 3k; BC = O C - O B = - 5i + 4 j - 2 k ; B D = B A + B C = - 7i + 3j + k. Обозначим неизвестные координаты точки D через (х; у; г). Имеем: B D = O D - O B . OD = B D + ОВ = - 7 i + 3j + k + 3 i - k = = - 4 i + 3 j = x i + yj + 2 k. П олучаем x = -4 ; у = 3; z = 0.

fy

Вопросы и упражнения



1. В чем состоит правило параллелепипеда? 2. Какие векторы называются коллинеарными? 3. Какие векторы называются компланарными? 4. Как вычисляются координаты вектора в пространстве?

Занятие

3

Скалярное произведение Примеры .

Как вычисляется скалярное произведение векторов?

a = (А В ; сЪ )

1. Ф ормулы. Известны следую щ ие форм у­ лы для вычисления скалярного произведения векторов на плоскости: • форм ула через длины и угол: A B CD = = \АВ\ ■ICDlcosa, где |АВ|, \CD\ — длины отрез­ ков, а a — угол м еж ду ними; • формула в координатах: а 1 а2 = х ,х 2 + уху2, где (х г; у г) и (х 2; у 2) — координаты векторов &х и а 2. Эти способы вы числения сохр ан я ю тся и для пространства. В первой формуле ничего менять не надо, она не зависит от того, где л еж ат два направ­ ленны х отрезка А В и CD. Во второй формуле необходим о учесть тре­ тью координату: а г а 2 = х хх 2 + У\У2 + z xz 2, где (Xj; ух', 2 j) и (х 2; у 2; z 2) — пространственные координаты векторов а г и а 2.

А

A

В D C a = 180°

D А В ■D A = 0

85

к

i = i к = О

j к = к

j = О

П ример AB C D — ромб со стороной а и острым углом 60°. В

а

с

Вычислите: 1)

ВААС +ВСАС: В А - А С + ВС ■АС = = { в А + В с ) •АС = =

2) |А С

BD ■А С = 0; |:

| А С |2=| A B + A D \2=

2. О р т огон альност ь. Два вектора а х и а2 назы ваю тся о р т о го н а л ь н ы м и (п ер п ен ди к у­ лярны ми), если и х скалярное произведение равно нулю. Обозначение: a j ± a 2. Если хотя бы один из векторов нулевой, то считаем, что скалярное произведение равно нулю . Если ж е оба вектора ненулевы е, то из первой ф ормулы сл едует, что косин ус угла м е ж д у ор то го н а л ь н ы м и в ек т о р а м и р авен нулю , т.е. сам угол прямой. Это и оправдыва­ ет название: направленные отрезки, изобра­ ж аю щ ие два ортогональных вектора, перпен­ дикулярны друг другу. Зам етим, что орты координатны х осей i, j и к попарно ортогональны друг другу. 3. С войст ва ск аля рного п ро и зведен и я : 1) а b = Ь а — коммутативность; 2) (а + Ь) с = а с + Ь с — дистрибутивны й закон; 3) а а = |а|2 — длина вектора; 4) a l b о a b = 0 — условие ортогональ­ ности (перпендикулярности) ненулевы х век­ торов. Зам етим, что из дистрибутивного (распре­ дел и тел ьн ого) зак он а сл едует ф орм ула для скалярного произведения в координатах: a r a 2 = (Xji + г/J + z xk ) ( x 2i + у 2j + z 2k). В ы раж ения в скобках надо перем нож ить почленно и учесть, что i i = j j = k k = 1, a i -j = = i k = j k = 0. 4. Р а сс т о я н и е. Расстояние м еж ду двумя точками А х и А 2 в пространстве мож но вычис­ лить с пом ощ ью ск алярного произведения: I .2 |-Ai-A-2| = А хА 2•А хА 2 . З ап и ш ем ск аля р н ы й квадрат в к о о р д и ­ натах:

= (А В + A D )[ a B + A D ) = = A B A B +2A B A D +

А ,А 2 • А хА 2 = (х2 - х хf + (у 2 - i/i )2+ +(z2 -Z i f .

+ A D ■A D

= a2+

2a2 x П олучаем формулу

y.—+ a 2 = 3a2. 2

| A C |= aV3.

Ответ: 1) 0; 2) aV3.

86

|Aj А21= у1(х2 - x xf + (у 2 - У\)2 + (z 2 - zxf , которая обобщает теорему Пифагора для про­ странства.

Зачем переводят геометрические понятия на язык координат и векторов? Это делается для того, чтобы построить вы­ числительны е алгоритмы для реш ения гео­ м етрических задач. Основой для этого явля­ ю тся у р а в н ен и я р а зл и ч н ы х ф и гур в п р о ­ странстве и, п р еж де всего, уравнения п л ос­ кости и сферы (поверхности шара). 1. У равн ени е плоскости. П лоскость м ож н о задать одной со д е р ж а ­ щ ейся в ней точкой Р 0(х0; у 0; z0) и вектором п, перпендикулярны м этой плоскости (его на­ зывают вектором норм али к плоскости). Н е­ обходимым и достаточным условием того, что точка Р(х; у; z) принадлеж ит плоскости, яв­ ляется следую щ ее: [ о Р - ОР0) 1 п или в виде равенства РР0 п = 0. Задав координаты нор­ мали п(А ; В; С), получим уравнение плоскос­ ти в координатной форме: А (х - х 0) + В (у - г/о) + C (z -

2

Формула скалярного произведения в координатах

аг а2 = х гх 2 + У1У2 + 2 ^ 2 Уравнение плоскости

1» ро

PP0 L п А х + B y + Cz + D = 0

Составить уравнение плос­ кости при следующих услови­ ях: п(1; 2; 3), Р0(1; 0; 0). Реш ение: Р0Р { (х -1 );у ;г )

РоР 1 п

0) = 0.

Раскрыв скобки и обозначив число (А х0 + + В у 0 + Cz0) чер ез D , получи м стандартное уравнение плоскости в виде А х + B y + Cz + D = = 0. Оно является аналогом известного урав­ нения прямой на плоскости. Зам етим, что вектор нормали п определен неоднозначно — его м ож но умнож ать на лю ­ бое число. 2. У равн ени е сферы. Точка Р(х; у; г) находится на сфере с ц ен ­ тром С(а; Ь; с) и радиусом R , если выполнено условие |РС|2 = R 2. Это условие легко перепи­ сать в координатах: (х - а)2 + (у - Ь)2 + (z - с)2 = = R 2. Д анное уравнение обобщает уравнение ок­ руж ности в плоскости.

Р

Р0Р- п = (х -1 ) + 2у + 3z = 0.

Уравнение плоскости имеет вид: х + 2у + 3z - 1 = 0. Уравнение сферы

(х - а)2 + (у - Ь)2 + (г - с)2 = R 2

Вопросы и упражнения ■

1. Как определяется скалярное произведение векторов? 2. Как вычисляется скалярное произведение в координатах? 3. Каковы основные свойства скалярного произведения?

87

4. Как вычисляется расстояние между двумя точками в пространстве с помощью координат? 5. Запишите уравнение плоскости. 6. Запишите уравнение сферы.

Занятие

4

Перпендикулярность прямых и плоскостей Признаки перпендикулярности:

• прямой и плоскости

двух плоскостей

двух прямых

1Х— проекция I на а => 1г _Lт

88

Как можно проверить перпендикулярность прямых и плоскостей, используя координаты и векторы? 1. П е р п ен д и к ул я р н о ст ь прямой и п лоско ­ ст и. По определению прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. Проверить такое утверж дение трудно, так как в плоскости м ож но провести бесконечное множ ество прямы х. О казы вается, что достаточ н о проверить перпендикулярность лиш ь двум пересек аю ­ щ имся прямым. Теорема (т е о р е м а о д в у х п е р п е н д и к у ­ л я р а х ) . Если прямая перпендикулярна двум пересекаю щ имся прямым некоторой плоско­ сти, то она перп ен дик улярна лю бой другой прямой этой плоскости, а значит, перпенди­ кулярна самой плоскости. 2. П е р п е н д и к у л я р н о с т ь д в у х п л о с к о ­ ст ей. Теорема. Если плоскость п роходи т через п ер п ен ди к ул я р к др угой п л оск ости , то эти плоскости перпендикулярны . 3. П ер п ен д и к ул я р н о ст ь д в у х п рям ы х. Теорема (т е о р е м а о т р е х п е р п е н д и к у ­ л я р а х ) . Если прямая, не леж ащ ая в плоско­ сти, перпендикулярна некоторой прямой, л е­ ж ащ ей в плоскости, то этой прямой перпен­ дикулярна и проекция исходной прямой на плоскость. Обратно: если проекция прямой на плос­ кость перп ен дик уляр на некоторой прям ой, леж ащ ей в плоскости, то этой прямой перпен­ дикулярна и исходная прямая.

Почему верны сформулированные признаки перпендикулярности прямых и плоскостей? П ризнаки перпендикулярности м ож но д о ­ казывать обычными геометрическими м ето­ дами, используя различные построения и при­ меняя теоремы планиметрии (например, ра­ венство треугольников). Более простые и ко­ роткие док азател ь ств а, вскры ваю щ ие суть дела, использую т векторное задание прямых и плоскостей. 1. Т еорема о д в у х п е р п е н д и к у л я р а х . Н а­ правление прямой м ож но задать вектором — направленны м отр езком , л еж ащ и м на этой прямой. Такой вектор так и называют — н а ­ п равля ю щ и м вект ором прямой. Д ана прямая I. Выберем на ней направля­ ющ ий вектор п. В плоскости даны три п р я­ мые: li, 12 и 13. Выберем на них направляющие векторы аг, а2, а3. Дано, что прямые 1Хи 12 пе­ ресекаю тся. Это означает, что векторы а х и а2 не коллинеарны и м ож но разлож ить по ним вектор а3, л еж ащ и й в одной плоскости с а х и а2: а3 = а 1а 1 + а 2а 2. П о условию I i. l u I 1 12. Требуется доказать, что I 1 13. П ер п ен ди к у­ лярность прям ы х означает ортогональность л еж ащ и х на них векторов: I 1 1г n-aj. = 0;

Теорема 0 двух перпендикулярах

Дано: 1 _L Zj, I _L Z2, 1\ С) l2 - 0, lx e a , Z2 g a , Z3 e a. Д оказат ь: 1 1 a.

Признак перпендикулярности плоскостей

Дано: I g

(3, a n p = m, 1 1 a.

Д оказат ь: a _L p.

; i l 2 o n a 2 = 0 ; Ш 3 о п - а 3 = 0. П ров оди м вы чи сл ени я: п а 3 = п •( а ^ +

+ а 2а2) = а щ -а ! + а 2п а 2 = 0 + 0 = 0 . Теорема доказана. 2. П р и з н а к п ерп ендикулярн ост и плоскос­ тей. Если прямая I перпендикулярна плос­ кости а , то она перпендикулярна любой пря­ мой в этой плоскости, в частности, той, к о­ торая перп ен дик уляр на линии пересечения плоскостей. Так как эта прямая вместе с и с­ ходн ой образую т линейны й угол , и зм ер я ю ­ щ ий угол м еж ду плоскостям и, то тем самым доказано, что этот угол прямой, т.е. плоскос­ ти перпендикулярны . 3. Теорема о т рех п ер п ен д и к ул я р а х . Вы­ берем на I направляю щ ий вектор а, сп роек­ тируем его на плоскость а , получим некото­ рый вектор а1; который является направляю­ щим вектором прямой 1Х. Разность векторов а —а х = п ортогональна плоскости а. Возьмем

Теорема 0 трех перпендикулярах

Дано: 1 е а, т g a , Z1 т, 1г — проекция прямой Z на плоскость а. Д оказат ь: lx ± т.

89

/

прямую т в плоскости а и выберем ее направ­ ляю щ ий вектор Ь. Вычислим скалярное про­ изведен ие векторов а и b: a b = (а х + n) b = = а х b + и Ъ; n b = 0, так как b л еж ит в плос­ кости а , а п — нормаль к этой плоскости. В и ­ дим , что a b = а х Ь. Если одна часть этого ра­ венства равна нулю, то и другая такж е равна нулю. Это означает, что условия I ± т и Д 1 т равносильны, что и требовалось доказать.

Вопросы и упражнения ■

1. Сформулируйте теорему о двух перпендикулярах. 2. Каков признак перпендикулярности двух плоскостей? 3. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах. 4. Как в векторной форме сформулировать условие перпендикулярности: - двух прямых; - прямой и плоскости; - двух плоскостей?

векторное пространство Новые примеры векторных величин

Д о сих пор мы рассматривали вектор как направленный отрезок, т. е. задавали его длиной и направлением . В ведение координат позволяет задавать векторы наборами чисел. Так, вектор плоскости определяется парой чисел, вектор пространства — тройкой чисел. Д ля того чтобы не противопоставлять скалярны е величины векторным, м ож н о считать, что скалярны е величины изображ аю тся на прямой и задаю тся модулем (абсолютны м значением ) и направлением (знаком ). Задание векторов наборами чисел позволяет получать новые векторные величины. Рассмотрим множ ество квадратных трехчленов а х 2 + Ъх + с, где а, Ь, с — произвольные действительны е числа (мы допускаем обращ ение в нуль любого из коэффициентов а, Ъ, с). Н апример, тройка чисел (1, О, 0) задает трехчлен вида х 2 + О х + 0 = х 2, а тройка чисел (2, - 1 , - 1 ) — трехчлен 2 х 2 - х - 1. Квадратный трехчлен мож но такж е рассматривать как вектор. Векторное пространство

К ак ж е вы делить общ и е свойства векторн ы х величин? В аж н ы м свойством, объединяю щ им все векторные величины, является возмож -

90

ность соверш ать с ними две операции: сл ож ен и е и ум н ож ен и е на ч и с­ ло. Сложение параллельных переносов и ум нож ение их на число извест­ но из геометрии, слож ение сил — из механики. Если рассматривать строки из четырех чисел (о х, а 2, а 3, а 4), задаю ­ щ и х выпуск фиксированны х четырех видов продукции, то естественно складывать их следую щ им образом: ( а и а 2, а 3, о 4) + (Ъи Ь2, Ь3, 64) = (а 4 + Ьх, а 2 + Ь2, а 3 + Ь3, а 4 + Ь4). Это делается при сум мировании вы пуска продук ци и за несколько месяцев или определении выпуска продукции несколькими предприя­ тиям и, имею щ ими одинаковый ассортимент изделий. Допустим, цех выпускает изделия четырех наименований. Выпуск продук­ ции за месяц можно охарактеризовать строчкой из четырех чисел: (пj, а2, я3, я4), где а 4 — число выпускаемых изделий первого вида; а2, а3, а4 — аналогичные числа для изделий остальных видов. Полностью определить выпуск продукции с помощью одного числа невоз­ можно. Строчка (о4, а 2, а3, а4), характеризующая выпуск продукции по ассор­ тименту, является векторной величиной.

Аналогично складываются и умнож аю тся на число квадратные тр ех­ члены. Примером /г-мерного пространства при любом п является множество строчек длины п: R" = {(о4; а 2; ...; а п)}. Сложение строчек и умножение их на число производится по следующим правилам: (d4, U2, Q.3, d4, ..., ип~) + (б4, Ъ2, б3, б4, ..., бп) — = (щ + &!, а 2 + Ь2, ..., а„ + Ьп);

^-(щ, а2,

dn) = (Хщ, Xu2, ..., Xd„).

Обратим внимание на важ ную особенность приведенны х примеров. Рассматривая квадратные трехчлены, мы не фиксировали внимание на каком-то одном из них, а брали сразу множ ество всех квадратных тр ех­ членов. При изучении параллельны х переносов полезно рассматривать все параллельные переносы; лишь тогда м ож но складывать их и ум н о­ ж ать на число. Таким образом, мы каж ды й раз имеем дело с множ еством значений векторной величины, причем эти значения м ож но складывать и ум н о­ ж ать на число. В примерах эти две операции удовлетворяют всем зак о­ нам векторной алгебры. Эти правила мы у ж е фактически использовали в доказательствах, но не обращали на это внимания. В математике множество объектов, которые мож но складывать и ум ­ ножать на число, называют в ек т о рн ы м п рост ранст вом , если для этих операций выполнены законы векторной алгебры.

91

Размерность

И зучение векторов мы начали с того, что указали величины, кото­ рые нельзя задавать одним числом. Оказалось возмож ны м задавать эти величины несколькими числами, их координатами. Так, си лу, действую щ ую на точку в пространстве, м ож но задавать тремя числами — проекциями силы на оси координат. Вы пуск продук­ ции ц ехом , изготовляю щ им четыре вида издел ий , задается четырьмя числам и — количеством вы пускаемы х и здел и й по к аж дом у виду от­ дельно. Квадратный трехчлен а х 2 + Ьх + с задается тремя числами — коэф ф ициентами а , Ъ и с. Таким образом, векторные величины разли­ чаю тся тем, сколько чисел требуется определить для их задания (ко­ нечно, речь идет о наименьш ем количестве чисел, нуж н ы х для вычис­ лений векторной величины). Если для задания векторной величины требуется п чисел, то говорят, что она является га-мерной векторной величиной, а про векторное про­ странство, образованное значениям и этой величины, говорят, что оно имеет размерность п, или л-мерно. Так, сила, действую щ ая в пространстве, есть трехмерная векторная величина, размерность пространства параллельных переносов в плоско­ сти равна двум, квадратные трехчлены заполняют трехмерное простран­ ство, а выпуск продукции четырех видов изображ ается элементом та­ кого пространства, для которого п = 4. Скалярные величины задаю тся одним числом. И х м ож но рассматривать как одномерные векторные ве­ личины . Разм ерность векторной величины является ее основной характери­ стикой. Все векторные величины одной и той ж е размерности похож и друг на друга, например, тем, что каж дую из них мож но задавать строч­ кой из такого ж е количества чисел. Это сходство проявляется и в гео­ метрическом изображ ении векторов. Одномерны е векторные величины — скаляры — изображ аю тся на числовой прямой; двумерны е — на плоскости; трехм ерны е — в пр о­ странстве. М ногие теоретические и прикладны е дисциплины (ф изик а, эконо­ мика, радиотехника и др.) использую т n -мерные векторные простран­ ства с п > 3.

Занятие

1

Углы и вращательное движение Измерение углов

Что такое угол и как он измеряется?

в градусах

1. И зм ер е н и е угл о в . В планиметрии углом н азы в аю т ч асть п л о ск о ст и , за к л ю ч ен н у ю м еж ду двумя лучами с общ ей верш иной. Та­ кие углы м ож но назвать п лоским и. П лоские углы м ож но изм ерять как доли полного у гл а . При измерении в г р а д у с а х пол­ ный угол принимается за 360 градусов (360°). Одну ш естидесятую долю градуса называют (угловой) минутой, а одну ш естидесятую долю минуты — секундой. Запись Z.A = 100°12'23" означает, что угол ,6 0 ) (6 0 А имеет меру 100 градусов, 12 минут и 23 се ­ радианах кунды. П ри измерении углов в р а д и а н а х поступа­ ют сл ед у ю щ и м обр азом . П роводят о к р у ж ­ ность единичного радиуса с центром в верш и­ не угла. Угол изм еряется длиной стягиваю ­ щей его дуги этой окруж ности. Полный угол будет иметь радианную м еру, равную длине окруж ности радиуса 1, т .е . 2л « 6 ,2 8 . Число л (радианная мера развернутого угла) часто используется в качестве самостоятельной еди­ ницы, и углы измеряю тся в долях л. НаприС = 2nR К мер, угол 30° имеет меру —. При R = 1 длина окружности 6 С = 2л. Стягиваемый ею полный Ф ормулы п ер ехода от градусн ой меры к угол равен 360°. радианной и обратно таковы: 1° * 0 ,0 1 7 ; k° = — * 0,017fe; 1 рад 180

57 , 296 °.

30 °

=

12

360 °

— •2л = — 12

6

93

Угол поворота

PoPl - +| U Р0Р j| P qP 2 = ~IU-P0-P2I

П римеры

P0P2 = \u P 0P2\ = -120° =

a smct = — с

b с

cos a = —

Зачем обобщается понятие угла?

a tg a = -

Одной из важ нейш их идей развития мате­ матики и ее прилож ений является переход от постоянны х величин к переменны м. Вы чис­

b

94

П олезн о запом нить, что часто встречаю ­ щ ийся угол 60° чуть больш е одного радиана 60° « 1 ,0 7 . 2. В ращ ат ельное движение. Помимо пло­ ск их углов в геометрии рассматривают углы м еж ду прямыми и плоскостями, двугранные и многогранные углы, углы м еж ду векторами и т. п. Понятие угла возникает такж е в ф изи­ ке при изучен ии различны х колебательны х процессов, простейшие из которых можно опи­ сать с помощью вращ ат ельного движения. Возьмем окруж ность радиуса 1 с центром в точке О. Проведем луч О х с центром в точ­ ке О. Этот луч будем называть неподвиж ны м. Возьмем другой экзем пляр такого ж е луча и начнем его поворачивать вокруг точки О. Этот подвиж ны й луч обозначим через O t. Д в и ж е­ ние подвиж ного луча м ож но описать, введя понятие у го л поворот а. Т очку пересечения неподвижного луча с единичной окружностью обозначим через Р 0, а подвиж ного — через Р. Поворот подвижного луча м ож но задать, рас­ сматривая движ ение точки Р по окруж ности. Угол поворота подвиж ного луча м ож но опре­ делить как длину пути, пройденного точкой Р от начального полож ения Р 0. Так как вращение луча может происходить в двух различных направлениях, то одно из них считаем положительным (традиционно поло­ жительным направлением считается вращение против часовой стрелки), а противоположное — отрицательным. С учетом направления враще­ ния углу приписывается знак «+» или « -» . И так, поворот м ож н о изм ерить дей стви ­ тельным числом t, равным длине пути, кото­ рый прош ла точка Р, с определенным знаком в зависимости от направления поворота. Обратно: каж дом у действительному числу t м ож но сопоставить поворот луча O t, двигая точку Р по окруж ности, заставляя ее пройти путь, равный |t| в направлении, определяемом знаком числа t.

ления для конкретного геометрического тре­ угол ьн и к а вы полняю тся с испол ьзован ием стандартны х операций (наприм ер, вычисле­ ние синуса и косинуса) над углами этого тре­ угольника. И зучение движ ен ий , которые за ­ даются переменны ми величинами, и преж де всего временем t, потребовало умения вычис­ лять эти стандартны е операц ии для лю бы х значений t. П роизвольному числу t мы умеем сопоставлять угол с помощью вращательного д в и ж ен и я . М ож н о н агл я дн о п р едстав ля ть себе, что мы наматываем числовую ось на ба­ рабан. Чтобы вычислить зн ачен ие тригоно­ метрической ф ун кц ии для числа t, сначала сопоставляем числу t некоторый угол, а затем применяем тригонометрию — вычисляем зна­ чение ф ункции от этого угла.

Свойства вращательного движения

Свойство 1

eZ

Почему вращательное движение удобно для описания свойств тригонометрических функций? Т ри гон ом етри чески е ф ун кц ии нуж ны преж де всего для изучения колебательных пе­ риодических процессов. Эти ф ункции будут определены с помощ ью вращ ательного дв и ­ ж ения. Такое движ ение прощ е всего описать, рассматривая дв и ж ен и е точки Р по еди ни ч­ ной окруж ности в зависимости от времени t. Мы у ж е и зл о ж и л и , как м ож н о сопоставить произвольном у чи сл у t некоторую точку на единичной окруж ности , которую обозначим через P t. Точка Р 0 — это точка пересечения н еп одв и ж н ого луча с ок р уж н ость ю . Точка P t — это точка пересечения с этой окр уж но­ стью п одви ж н ого луча, повернувш егося на угол поворота t. Теперь м ож но записать гео­ метрически очевидные связи м еж ду точками P t при различны х значениях t. Д ля этого поместим окруж ность в прям о­ угольную систему координат так, чтобы центр окруж ности совпадал с началом системы ко­ ординат и точка Р 0 имела координаты (1; 0). С войст ва вра щ ат ел ьн о го движения. 1. Д ля всякого целого числа k точка P t сов­ падает с точкой P t+2nk.

Свойство 2

Свойство 3

Свойство 4

Свойство 5

2. Если Pti = Pt2, то найдется такое целое число k, что П = t 2 + 2nk. 3. Для всякого значения t точки P t и Р г+„ диаметрально противоположны . 4. Д ля всякого значения t точки P t и P_t симметричны друг другу относительно оси абс­ цисс. 5. Д ля всякого значения t точки P t и P.„i+n симметричны относительно оси ординат. 6. Д ля всякого значения t точки Р , и Р„ 2~г симм етричны др уг др угу относительно би с­ сектрисы первого и третьего координатны х углов. Как используется обобщение понятия угла при решении задач?

Свойство 6

1. П ерево д градусн ой меры изм ерени я у г ­ ло в в р а д и а н н у ю и обрат но. Один и тот ж е угол м ож но записать в градусах и радианах. При этом величину угла в радианах часто м ож ­ но записать как рациональную долю угла к. Это м ож но делать для углов, соизм ерим ы х с развернутым: 120° = —л « 2,09; 3

Основные соотношения единиц измерения углов поворота К

рад

=

180°

ГШП 1 рад = 1 л ) 1° = — 180

1000° = ^ ^ л = — л * 17,453; 180 9 - М л = - М . И Ю ° = -L 5 1 5 ° *

12

I 12

* -—

12

)

■3,14 * -2 6 ,4 3 ;

3 = 1 - 1 8 0 I * 1 7 2 °. 2. О п ределени е ч ет верт и , в кот орой л е ­ жит угол. Координатные оси разбивают плос­ кость на четыре четверти. При сопоставлении числу t точки Р , на единичной окруж ности часто п олезно сначала определить, в какой четверти будет леж ать эта точка (или, как ча­ сто говорят, в какой четверти (I, II, III, IV) будет леж ать данный угол t).

При реш ении этой задачи надо учесть з н а к числа t (это определит направление д в и ж е­ ния) и сопоставить м еру угла (градусную , радианную , в долях л) с соответствующей мерой одной четверти (прямого угла) — 90°, ~ 1 ,5 7 , л 2' О дноврем енно м ож н о реш ать задач у п о­ строения точки P t на единичной окруж ности для заданного значения t. На рисунке выполнено это построение для следую щ их значений t: 1) t = 100°;

3) t = 4;

13л 2) t = —

4) t = - 1 2 .

6 ;

= 7Г 270°= ^ ®4,71

П ри задании t в радианах полезно прибли­ зительно представить t в виде суммы целого 71

„—

кратного —« 1 ,5 7 и числа, по модулю меньп шего —.

2

Так, 4 = л + а , где а * 0 ,8 6 , и, следователь­ но, угол t = 4 попадает в третью четверть. А н алогичн о, - 1 2 = -4 л + а, где а « 0 ,5 7 , и угол попадает в первую четверть.

^

Вопросы и упражнения



1.

Проверьте верность следующих утверждений: 1) точки Р 0 и Рп диаметрально противоположны; 2

2) точки Рп и Р Зл совпадают; 2

Y

3) точки Р 0, Р2п и Р 2п — вершины правильного треугольника; Т



4) точки Р3п и Рп симметричны относительно оси абсцисс; Т

4

5) точки Р9п и Р3п симметричны относительно оси ординат; Т

4

6) абсциссы точек

и Р7п совпадают;

I

~8~

7) среди точек вида Pkn (k — целое) ровно четыре различные; Т

8) если точка P t лежит во второй четверти, то точка Р

— в четвертой;

9) если точка P t лежит в первой четверти, то и точка Рп верти; 2 10) точки Р, и P t+з всегда лежат в соседних четвертях.

лежит в первой чет­

97

2. Выразите углы в долях л: 1 )1 3 5 °;

2 )-2 0 0 ° ;

3) 1200°;

4) -330°.

3. Переведите углы в градусную меру: 2)

15

3) Юл; '

4) '

" Л 25

4. Определите, в какой четверти лежит данный угол: 1) 500°;

2 )-1 2 9 0 ° ;

3)

19л ~3~



4)

100л

5) 2,5;

6) -7 .

Занятие 2 Тригонометрические операции Положение точки в декартовой системе координат

1. О пределения. П олож ение движ ущ ейся точки удобно опи­ сывать в декартовых координатах. С вяж ем с вращ ением точки по о к р у ж н о ­ сти стандартную декартову си стем у к оор ди ­ нат. П ереход от угла поворота точки к ее дек а­ ртовым координатам задает основные триго­ н ом ет р и ч еск и е оп ер ац и и — си н ус и к о с и ­ нус. Р ассм отри м вращ ение по еди н и ч н ой о к ­ руж ности с центром О точки Р с начальным полож ением Р 0. Выберем декартову систему хО у, взяв в ка­ честве полож ительного луча оси абсцисс Ох луч О Р 0, а в качестве оси ординат О у ось, по­

Координаты точек границ четвертей

У

.гVX

Что составляет основу тригонометрии?

Рп

]Р 2 п

2

P o d ; 0)

Р я (-П 0)

Р Л 0; И 2

Х ( 0 ; -1 ) 2

р

98

2я ( П 0 )

вернутую от О х на угол ^ в выбранном поло­

Х

ж ительном направлении вращ ения. При повороте на угол t точка Р 0 переходит в точку P t. К о с и н у с о м , числа t назы вается абсцисса точки P t (t — произвольное действительное число). С и н у с о м числа t называется ордината точ­ ки P t (t — пр ои звольное дей стви тел ьн ое число).

Таким образом, координаты точки P t в оп­ ределенной выше системе координат равны по определению косинусу и синусу #. В обычных обозначениях: P t(x; у), где х = cos #, у = sin t. 2. Д о п о л н и т ел ь н ы е операции. Вместе с операциями синус и косинус м ож ­ но определить ещ е две операции — тангенс и котангенс: tg#-

П римеры sinO° _ 0 _ cosO° 1

• tgO°:

е ctg0o = ^ ! =i sinO°

О

не суще-

ствует.

co st sin# ; ctg# - . . sin# cos#

Р азум еется, операции нахож дения танген­ са и котангенса определены не для всех углов #, а только для тех, при которых знаменатели дробей не обращ аются в нуль. 3. С во й ст ва си н уса и косинуса: 1) операции нахож дени я синуса и косин у­ са числа (угла) # определены при любом дей ­ ствительном #; 2) при вычислении синуса и косинуса на­ блюдается периодичность — значения синуса и косинуса для двух значений #, отличающ их­ ся на 2л, равны: sin (г + 2л) = sin# и cos(t + 2л) = = cos # при любом значении #; 3) в каж дой четверти как синус, так и ко­ синус сохраняют пост оянный зн а к . Под этим понимается, что знаки sin# и cos# зависят от того, в какую четверть попадает точка Р,. В тех точках, где синус (косинус) меняет знак, он обращ ается в нуль. 4. Ф орм улы приведения:

Знаки синуса

Знаки косинуса

s in ( - t ) = - s in # , c o s (-t) = cos#; sin(# + л) = - s in # , cos(# + л) = - c o s t ; s i n ( - f + л) = sin #, c o s(-# + л) = - c o s t ; sm | — 71 t = cos#, ' cosi f —- # ) = sin#. ,2 J v2 Зачем вводятся тригонометрические функции?

Знаки тангенса и котангенса

Первоначально тригонометрические ф унк­ ции использовались для геометрических вы­ числений, в астрономии, картографии и др у­ ги х естеств ен н ы х н а у к а х , где н у ж н о было «решать треугольники», т. е. вычислять дл и ­ ны отрезков и р асстоян ия м е ж д у точкам и, зная различные углы м еж ду направлениями.

99

Колебания упругой пружины

X



Уииииииииши ш ш ш ш '•'ХХХХХХХ

0

IV-/ ”

—р

х = Asin(co# + (x), где ю — коэффициент, характе­ ризующий упругость пружины; А — расстояние, на которое от­ тянута пружина в момент вре­ мени # (амплитуда колебаний); а — начальное отклонение.

При переходе к «математике переменны х величин» появилась н еобходи м ость опи сы ­ вать периодические процессы — от астроно­ м и чески х наблю дений за дв и ж ен и ем небес­ ны х тел до гармонических колебаний, зн аче­ ние которы х резко возросло в связи с разви­ тием теории электричества. С помощью тригонометрических операций с отдельными числами можно определить три­ гонометрические ф ункции, которые и стали основой ряда разделов математики. Обратим внимание на то, что для вычисле­ ний хватило бы одной тригоном етрической операции, например синуса. Остальные операции м ож но выразить ч е­ рез синус:

П римеры • cos 60° = sin 30° = 0,5; • cos 120° = co s(1 8 0 ° - 60°) = = - cos 60° = - s in 30° = - 0 ,5 ; • cos 240° = co s(1 8 0 ° + 60°) = = -c o s 60° = - s in 30° = - 0 ,5 ; , _„0 sin 50° sin50° • tg 5 0 = --------- = ---------- . cos50° sin 40°

Центральная симметрия

у

Симметрия относительно прямой у = х

И меются ещ е две операции — секанс и ко­ секанс: 1 1 sec t = -------, cosec t = ------ . cos# sin# И так, изучен ие тригонометрии будет вес­ тись в следую щ ей последовательности: преоб­ разование вы ражений, содерж ащ их тригоно­ метрические операции; изучение функций, за­ даваемы х этими операциями; реш ение урав­ нений, в которые входят тригонометрические функции. Почему выполняются важнейшие свойства тригонометрических операций? О сновные свойства тр и гон ом етр и ч еск и х операций отражают их связь с вращательным движ ен ием , которое в свою очередь обладает разнообразной сим м етрией.

100

Периодич­ ность Централь­ ная сим­ метрия

и ^0

Запиш ем в таблицу сравнение свойств вра­ щ ения точки Р и ее координат P,(cos#; sin#) при повороте на угол #: cos (# + 2л) = cos#; sin(# + 2л) = sin#

П римеры sin 250° + cos250° = 1; sin2l + cos2l = 1; sin 20 + cos20 = 1.

cos(# + л) = -cos#; P t и P t+n сим­ метричны отно­ sin(# + л) = -sin # сительно центра поворота

A C = —A B 2

BC2 = A B 2 - A C 2 Осевая симметрия

c o s(-f + л) = - cos#; P t и Р_1+„ симметричны отно­ sin (-# + л) = -sin # сительно оси ор­ динат P t и Р ., симметричны относительно оси абсцисс

Симметрия Р. и Р„ сим--t относитель­ 1 2 но прямой метричны отно­ у =X сительно пря­ мой у = X

B c -iS *

cos(-#) = cos#; s in (-f) = -sin# AC = BC A B 2 = A C 2 + BC2 A B = ACV2 cos —- t = sin#;

U

J

sin — # = cost

U

П римеры

J

К числу в аж н ей ш и х свойств тригоном ет­ р и ч еск и х оп ер ац и й сл едует отн ести так ж е основное т ригономет рическое тождество: sin 2# + cos2# = 1. Оно является следствием теоремы П и ф а­ гора.

. 3 | i L 9 4 • sin# = —: cos# = 1 ----- = —; 5 1 1 V 25 5 M

=|;

Если дополнительно извест­ но, что # лежит во второй чет­ верти, то cos# = ——; tg t = - —; 4 5 4 ctg# = - - ; tg#

Как используются свойства тригонометрических операций при первичном знакомстве с ними? 1. В ы чи сл ен ие зн ачени й. 1) П р еж де всего п олезно пом нить зн ач е­ ния си нуса, косинуса, тангенса и котангенса для «зн ам ени ты х» углов (0°, 30°, 4 5 °, 60°, 90°), т. е. для некоторы х частны х значений аргум ента #. Эти зн ач ен и я н аход я тся с п о­ мощ ью и зв естн ы х п р осты х теорем п л а н и ­ метрии.

|ctgf| = | .

tg 2# =

12

1 - cos2# cos2#

- -1 , откуда

cos t -

1 + tg 2 # tg 2# sin t = 1 + tg 2# cos#| =

sin,2. z< cos2#

Аналогично

12

25 1+ 144

1#| = ^1

13’

144 5 169 ” 13' 101

Если известно, что t е я;



то можно уточнить знаки: cos t = 12 . 5 = ----- ; sin f = ------ . 13 13

Приведем таблицу значений синуса, коси­ нуса, тангенса и котангенса для углов, наибо­ лее часто встречаю щ ихся в заданиях: Значение Функ­ ция

П римеры • sin 280° : 280° — IV четверть; sin280° < 0; f 13 ) 13 • cos n : ----- 7t — I чет-

l

7 J

• tg3: 3 — II четверть; tg 3 < 0; • c tg (- 1 0 0 ° ) — III четверть; ctg(-100°) > 0.

П римеры sin330° = sin(360° -3 0 ° ) =

• cos|

1 2’

= c o sf-5 л + —1 = 4 J I 4)

к

t=-

t =-

t =-

sin t

0

1 2

V2 2

л/3

cost

1

s 2

2

tgt

0

ctgf

He суще­ ствует

6

4

3

2 1 2

1

3

s s

1



3

\[2

= - c o s —= ------ ;

1

0 He сущ е­ ствует

0

2) Зн ач ен и я тр и гон ом етр и ч еск и х оп ер а­ ций для остальных углов находят с помощью калькулятора (например, s in l = 0,8415; c o s l = = 0 ,5 4 0 3 ; t g l = 1,5574; ctg 1 = 0 ,6 4 2 1 ). 3) Зная значение одной из четырех триго­ ном етрических операций, м ож но найти зн а­ чения остальных с т очност ью до зн а к а . Для уточнения знака нуж н а дополнитель­ ная информация (например, достаточно знать, в какой четверти находится угол). 2. О пределение зн а к а . Сначала определяем четверть, в которой находится угол ( I ... IV), и затем — знак, и с­ пользуя таблицу или с помощью тригономе­ трического круга. 3. Сведение к у г л у I чет верт и. Симметрия значений тригонометрических операций позволяет сводить их вычисление к н ахож ден и ю углов I четверти. Соответствующ ие правила называют фор­ м у л а м и приведен ия. Н априм ер, к ф ормулам приведения м о ж ­ но отнести следую щ ие:

t g | . t g ( 2 „ - l j =-tgI = -V5;

sin t = cos —- f ;

ctg 1000° = ctg(900° + 90° + + 10°) = ctg (90°+ 1 0 °)= -tg l0 °.

cost = sin —- f .

1 02

t=2

7

13 ) . верть; cos I ——л I> 0; f

= -sin 3 0 ° =

t=0

U

{2

J

J

fy

Вопросы и упражнения

■ 1. В каких четвертях косинус отрицателен? 2. В каких четвертях тангенс положителен? 3. Как меняются координаты точки при симметрии относительно начала координат? 4. Как меняются координаты точки при осевых симметриях относительно осей координат? 5. Определите знак числа: 1) sin 160°;

4) ctg(-400°);

2) c o s200°;

5) sinI -

3) tg310°;

6) cos

7) tg|



8) ctg

11

31л 5 ;

|; 22л 11

9) sin 2,5;

10) cos(-3); 11)tgV 2; 12) ctg 11.

6. Вычислите: 1) sin 225°;

3) tg390°;

5) sin

2) cos 570°;

4) ctg 765°

6) cos

21л 31л

7) tg

17л

8) ctg|

|.

7. Зная значение одной из тригонометрических функций, найдите значения ос­ тальных: 1) sin t = — — 0.

3

Преобразование тригонометрических выражений Что полезно знать для преобразования тригонометрических выражений?

Основное тригонометрическое тождество

sin2t + cos2f = 1

1. Основное т ригономет рическое тожде­ ст во и следствия из него: sin2t + cos2t = 1

sin 2t

cost

П римеры Формулы приведения

|sint| = V l- c o s 2t sint tg t = cost cost sint tg 2t sin2t = l + tg 2t c tg t =

1 + tg 2t =

cos 2t

1 + ctg 2t = — sin2f cos 2t

tg 2t 1 + tg 2t

tc tg t = 1

s in 3 7 0 ° = sin (1 0 ° + 360°) = = sin 10°; cos 190° = cos(10° + 180°) = = -c o s 10°; 9л , ( n \ л

,g=i" =4 i +*J=tgI :

s in 8 0 ° = sin < 9 0 ° - 1 0 °) = cos 10°.

103

Формулы сложения

c o s l0 5 ° = c o s (6 0 ° + 4 5 °) = = cos 60° cos 45° - sin 60° sin 45° =

_ 72

7 5 -7 2

” 22

22

7 2 (1 -7 5 ). 4

sin20°cos40° + cos20°sin40° =

2. Ф ормулы п р и веден и я : • sin (# + 2л&) = sin #; cos(# + 2л/г) = cos t, k e Z; • sin(# + л) = -s in # ; cos(# + л) = -co s# ; • sin (-# ) = -sin # ; co s(-# ) = cos#; • sin (л - #) = sin#; cos (л - #) = -co s# ; • s i n ^ - #j = cos#; c o s ^ - #j = sin#;

= sin60° = — ; 2

tg75° = tg(45° + 30°) = 1+

tg45° + tg30° 1 -tg 4 5 ° tg 3 0 °

75 _75

, Л ± 1 . № ± 1 # . 2 +Л

75-1

2

Формулы удвоения

0 . а

а

е s in a = 2 s in —c o s—;

2



cos

2

„а а = c o s '2 —

. „а

s i n -1— ;

2

П римеры 1 -c o s3 0 °

/2 -7з v 4

2

2

1 I4-275 i (Тз-i)^ 2

~2\

2

72 (73-l);

cos 15° = co s(45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =

_ 75 75 72 l ”

2

2

# ( l + 75); 4

104

tg a -tg p 1 + tg a t g P

Зачем преобразуют тригонометрические выражения?

=-^ 2 -7 5

272

sinp; sinP; co sa ; cosa;

,



75-1

- s in a + s in a + sin p - sin p

4. Ф ормулы у д в о е н и я : • s in 2 a = 2 s in a c o s a ; c o s 2 a = 1 - 2 s in 2a; • cos 2 a = cos2a - s in 2a; cos 2 a = 2cos2a - 1; 2 tg a tg 2 a : l - t g 2a

2

2V

3. Ф ормулы сложения: • cos (a + (3) = c o s a cosp • cos (a - P) = c o sa cosp • sin (a + p) = s in a cosp • sin (a - P) = s in a cosp t g a + tgp tg (a + P) = 1 -tg a tg P tg (a -P ) =

cosa = 1 - 2 s i n —.

i

• t g ( ^ - # j = ctg#; c t g ( | - # ) = tg#.

2

• c o sa = 2 cos2— -1 ;

• sin 15° =

• tg(# + /гл) = tg#; ctg(# + /гл) = ctg#; k e Z; • tg (-# ) = -t g # ; c t g (—f ) = -c tg # ; • tg(n - #) = tg (-# ) = -tg # ; ctg (л - f) = -c tg # ;

2

2

Один известны й математик задал вопрос: «Кому н уж ен весь этот калейдоскоп формул тригонометрии? ». Он ж е ответил на этот воп­ рос так: «П редставителям д в у х почтенны х профессий — геодезистам и составителям тек­ стов выпускных и вступительных экзаменов». На самом деле это не совсем так — преобра­ зование тригонометрических вы ражений по­ мимо приобретения опыта мож ет иметь доста­ точно ясные цели, например: • научиться выражать одни операции ч е­ рез другие (это бывает полезно при вычисле­ нии и сравнении их значений);

• сводить вычисления к нахож дению зн а­ чений тригонометрических операций для ост­ рых углов; • при изучении вращ ательного движ ения приходится складывать, последовательно вы­ полнять повороты (для этого полезно исполь­ зовать формулы слож ения). Почему верны приведенные формулы тригонометрии и можно ли расширить их перечень при необходимости? К ак отм ечалось, основное тригоном етри­ ческое тож деств о док азы вается с помощ ью теоремы Пифагора. Ф ормулы приведения яв­ ляются следствием симметрии вращательного движ ения. Самые трудные для доказательства — фор­ мулы сл ож ен ия. Зам етим, что достаточно до­ казать одну из них — другие сведутся к ней с помощью формул приведения. П риведем доказательство формулы cos (а - Р) = cos а cosp + sin а sin р. Р ассм отр и м на тр и гон ом етр и ч еск ой о к ­ р у ж н о ст и точ к и P a(c o s a ; s i n a ) и P p(co sp ;

sinl5° cos!5°

• tg!5°

: 2 ^ i1 = 1 (V 3 -i)2 = V 5 -i. V 3+1 2 V >

Доказательство формулы cos (a - P) = cos a cosp + + sina sinp

Доказательство формулы cos 2a = cos2a - sin2a

cos 2a = cos (a + a) = cos a cos a

sinP). Векторы ОРа и ОРр имеют единичную длину, и угол м еж ду ними равен a - р. Вы ­ числим скалярное произведение эти х векто­ ров по определению и с помощью координат­ ной формулы:

П рим еры • cos22jc = i ( l

+ cos4x);

ОР„ ОРГ1 = \ОРа |OPp|-c o s ( a ~ p ) = = cos a cosp + s in a sinp, что и требовалось доказать. Ф орм улы у дв о ен и я являю тся частны м и случаями формул слож ения. И з основных формул мож но вывести много новых. У каж ем наиболее употребительны е. 1. Ф орм улы половинного у гл а . И з формул двойных углов мож но получить формулы для синуса и косинуса половинного угла. Сначала запиш ем: cos2 a : i ( l + cos2 a ); sin 2 a = ^ (1 - co s2 a ).

1

• sin2— = —( l- c o s x ) ; 2

2

• sin 5a + sin 3a = 2 sin — x

2

■- x

5 a -3 a _ . , cos ------------- = 2 sin 4 a cos a; 2

• sin 72° - sin 12° = „ . 72°-12° 72412° = 2 sin ------------- cos2 2 = 2sin30° co s42° = co s42°; • sin20° + sin40° = „ . 20°+ 40° 4 0 ° -2 0 ° = 2 sin ---------------cos-----------

; 2 •—c o s l0 ° = cos 10°;

2

105

cos 34° + cos 26° = . 34”+26° 3 4 °-2 6 ° = 2 cos--------------cos2 2 = 2 cos 30° cos 4° = x/З cos4°; • co s8 x - co s4 x = _ . 8x + 4x . 8 x - 4 x = -2 sin ------------s in ----------- : 2

Затем в этих формулах подставим — вмес­ то а . П олучим ^ cos2 — = —(1 + co sa ); sin 2 — = —(1 - c o sa ). 2 2 2 2 И звлекая корень, имеем;

2

11 - c o s a . a s in — = . ----------- ;

= - 2 s in 6л: sin 2л:;

2

V

2

a 11 + co sa c o s— = J ----------2

V

2

• sin За cos a = i(s in (3 a + a)-

Д л я того чтобы раскры ть м о д у л и , надо a знать, в какой четверти л еж и т угол —.

+ s in ( 2 a - a ) ) = = ^ (sin 4 a + sin 2a); • cos 3x cos x = ^ (c o s (3 x -x ) + + cos(3x + x)) = = —(cos2x + cos4x);

2. Выраж ение операций через т а н ген с по­ ловинного у гл а . Оказывается, что все триго­ нометрические ф ункции от аргумента х (и от п х при целом п) вы раж аю тся через тангенс х „ угла — рационально, без квадратных корней. Выведем эти полезны е формулы. Н апиш ем формулы двойного угла для ис­

• sin28°sin32° =

ходного угла —:

= ^ (co s(3 2°-28°)-cos(32° + 28°)) =

„ . х х 9х s in x = 2 s m —c o s—; c o sx = c o s

2

= i(c o s 4 ° - cos60°) =

= ife o s 4 ° -i) = ^ £ z l ; 2\

2)

4

. 9х s in -.

2

2

П редставим число 1 в виде sin 2 ^ + cos2 ^ и поделим на это выражение правые части по­ следних формул:

• 3 sin t + 4cos t =

„х

2 s in —c o s—

= 51 —sint + —cost I= .5

2

5

sm x =

= 5 (cos a sin t + sin a cost) =

2

2

. оX оX ’ sin —+ cos —

2

= 5sin(t + а), где cos a = —,

5

4 sina = —; 5

cos^ созл: = s in '

2

2 2

hcos —

2



2

х

sm — каж дой дроби на cos2 — и зам еним

на cos2 — 2

2 х t g 2-

и S*n J2 на t g х- : cos-

• s in x =

2tgf 1+tg2f

106

2

П оделим теперь числитель и знаменатель

3sin f + 4cos t = = 5| —sint + —cost I= V5 5 J = 5 (sin у sin t + cosy cost) = 3 = 5cos(t - у), где sin у = —, 5 4 cosy = —.

. 9х sin z —

l-tg :

X

. c o sx = -

1 + t g 2-

3. П р ео б р а зо в а н и е с у м м ы в п ро изведен ие и об р а т н о . П усть тр ебуется преобразовать сум м у s i n a + sin|3 в п р ои зв еден и е. П р и м е­ ним с л е д у ю щ и й и с к у сст в ен н ы й п р и ем — a +В a - В воспользуем ся тож деств ам и a = ——— + — —

П ример Доказать, что для углов тре­ угольника вы полняется т о ж ­ д ес т в о s i n a + s in p + s in y = . a р у = 4 cos—cos—cos—.

_ a+P a -p и Р= — -----^J~, а такж е формулами для си ­

Сначала сложим sin a + sinp = . a+p a -p = 2 sin -co s — и зам еним 2 2 a + P на л - у (сумма углов тре­ угольника равна л):

нусов суммы и разности: . ( a +Р а - р ) • s in a + sum = s m \-------- +

2 J

I 2

2

2 2

. f a + P a - P) . a+P a -B +sm —— ----- — I= s in —r-^cos - + 2 V 2 2 a -p a+P . a -p . a +P + sm -c o s -sin +COS 2 2 2 a -p _ a+P . a -p -sin = 2 s in -c o s -c o s

o • a+P

• s in a + sinp = 2 sin a —- c o s ——- .

H

2

2

Аналогично выводятся ещ е три формулы: a -p a+P • s in a - su m = 2 s in ------ - c o s ------ ; 2 2 a+P a -p • c o s a + cosP = 2 c o s------- c o s------ ; H 2 2 • c o sa - cosp = - 2 sin a + ^s in ———.

H

2

2

a + р + у = 180° sin a + sin р = . л -у a -p ; 2 sin Lcos : 2 c o s -c o s ———.

В ы п иш ем п о д р я д четы ре ф орм улы сл о ­ ж ен ия:

Раскроем sin y по ф ормуле удвоения:

sin (a + Р) = sinacosp + cosasin p,

siny = sin (л - a - P) = sin (a + P) =

sin (a - P) = sinacosp - cosasin p,

. a+p a+p = 2 sin ------ c o s = 2

cos(a + P) = cosacosp - sin asin p , cos(a - P) = cosacosp + sin asin p . Вычитая почленно из четвертого равенства третье, получим • s in a s in p = ^ ( c o s ( a - P ) - c o s ( a + P)). Сложив третье и четвертое равенства, имеем • co sa c o sp = ^ ( c o s ( a - р ) + cos(a + Р)). Слож ив затем два первы х равенства, п о­ лучим • s in a cosp = ^ (sin (a + Р) + sin (a - Р)).

2

= 2 cos—c o sa + ^. 2

2

Сложим все вместе: sin a + sinp + siny = „ у a -p n у a+ P = 2 cos—cos + 2 cos—cos -

2

y[ a -p сa + p - + cos= 2 cos— cos

2v

2

= 2 cos—•2cos—•cos—=

y

a

p

= 4 cos—cos—cos—, 2 2 2 что и требовалось доказать.

107

Введение вспомогательного угла

Это п р еобразован и е часто применяют при изучении гармо­ нических колебаний, т. е. про­ цессов, которые можно описать функцией у = A sin (сох + а), А > О или у = A cos (ом: + а), А > 0. В такой записи А называют амплитудой колебаний, со — уг­ ловой скоростью, а — началь­ ной фазой. Вместо угловой ско­ рости со обычно рассматривают m 2л число Т = — , называемое пе­ со риодом колебаний. Равенство a c o sx + b s in x = = A sin (сох + а) можно прочесть так: Сумма двух гармонических колебаний с одинаковой часто­ той есть гармоническое колеба­ ние с той ж е частотой.

Как выполняются преобразования тригонометрических выражений? Рассм отренны е тож дества, связы ваю щ ие т р и г о н о м ет р и ч еск и е ф у н к ц и и , зап ом н и т ь трудно и приходится обращаться к таблицам и справочникам . Н еобходи м о ум еть пр и м е­ нять и х, знать, какие функции они м еж ду со­ бой связы ваю т и что с их пом ощ ью м ож н о получить. К ак п р е о б р а з о в а т ь в ы р а ж е н и е sin # + + VScos#? Сначала ум нож им и разделим на 2, а затем применим форм улу слож ения: sin# + л/Зсо s# = 2 I

71

1 . ,

— S i n # -I v2

л/3

I

К

#

COS#

2 (

К

= 2 co s—sin# + s in —cos# = 2 sin t + — 3 3 3

I

J

I

Эти преобразования м ож н о вы полнить в общ ем виде: a sin# + bo o st = f

'a2 + b2

П ример 3 cos лх + 4sinTtx = J 3 . 4 . ) = 5 —sin лх + —sin тех = V5 5 J = 5sin(itx + a). З д есь А = 5, со = тс, a .3 4 3 =arcsin—= arccos—= arctg—. 5 5 4

lv

а

. . rSint +

Ь

^cos# л/а2 +Ь‘‘

— угол, b s in a =

Va2 + Ь2

Такой угол всегда м ож но найти.

Вопросы и упражнения

■ 1.

108

Вычислите: 1) sin 2° cos 28° + sin 28° cos 2°;

6) cos 170° s in 35° - cos 35° sin 170°;

2) cos73° cos 13° + sin 73° sin 13°;

—. ол . л Зл 7) cos'5—+ sin —cos— ;

3) sin 50° sin 5° + cos 50° cos 5°;

8) sin 105° sin 75° + sin 15° cos 105°;

Зл . 5л 5л . Зл 4) cos— sin ------ cos— sin — ; 8 24 24 8

9) c o s20° cos 25° - cos 70° sin 25°;

5) cos 100° sin 10° - sin 100°cos 10°;

10) cos43° cos 17° - cos47° co s(- 73°).

8

8

8

2.

Докажите тождества: 1)



2sin| - - a |sin a = sin 2а;

2) sin4a - cos4a = -c o s 2a; 3) sin 4 a + cos4 a = 4) 5)

1

1 + cos2 2a

I sin —- c o s — = 1 -s in a ; 2 2) 2cos4a + sin 22a + 2sin4a = 2;

Занятие

6)

1 + sin a = 2 c o s 14

2 1

;

7) 1 - s in a = 2cos2|-^ + ^J; 8) sin 3a = 3sin a - 4 sin 3a; 9) sin a + cosa = V2[ a + 10) ctg a - tg a = 2ctg 2 a .

4

Тригонометрические функции Что изучает теория тригонометрических функций? Тригонометрические операции позволяют для каж дого числа х вычислить значения си ­ нуса и косинуса: s in x и co sx . С помощью этих операций м ож н о определить основные триго­ нометрические функции:

Свойства функций у = sinx и у = cosx

Свойство 4 у = sinx на [0; 2л)

у = sin x ; у = c o s х. О с н о в н ы е с в о й с т в а ф у н к ц и й s in x и cosx.

1. Област ь оп р еделен и я : R, т .е . ф ункции определены на всей числовой оси. 2. П ериодичност ь: эти функции периодич­ ны с основным периодом 2л. 3. С и м м е т р и я : s in ( - x ) = - s in x ; c o s ( -x ) = = cosx. 4. Обращение в нуль: в пределах основного периода каж дая из этих ф ункций дваж ды об­ ращ ается в нуль. Н априм ер, в п р ом еж утк е [0; 2л) синус обращ ается в нуль при х = 0 и л Зл х = л, а косинус — при х ■ — И X = — . 2 2 5. Сохранение з н а к а : в пределах основно­ го периода каж дая из этих ф ункций сохраня­ ет постоянный знак м еж ду точками обращ е­ ния в нуль. Н апр им ер , при х е (0; л) си нус п о л о ж и т ел ен , при х е (л; 2л) — о тр и ц ате­ л ен. Д ля к оси н уса удобн ее взять п р о м еж у ­ ток длиной 2л с концами в н ул ях этой функл Зл' Д ля ц и и , нап р им ер п р о м еж уток ;—

109

Свойства 6 и 8 у = sinx

у = cosx гм

этого пром еж утка косинус полож ителен при л л) f л Зл ) х е — ; — и отрицателен при х е —; — . 2 2J х2 2 у 6. Н а и б о л ь ш е е и н а и м е н ь ш е е з н а ч е н и я : в пределах основного периода синус и к оси ­ нус по одному разу принимают свое наимень­ ш ее и наибольш ее значения, равные соответ­ ственно - 1 и +1. На промеж утке [0; 2л) имеем: л 1 . Зл Л s in —= 1; s in — = -1; cos 0 = 1 ; cos л = - 1 . 2 2 7. П р о м еж у т к и монот онност и: точки, в к от ор ы х си н у с и к о с и н у с п р и н и м а ю т н а ­ именьш ее и наибольш ее значения, делят об­ ласть определения на пром еж утки, в каж дом из которы х эти функции строго монотонны. Н ап р и м ер , на п р о м еж у тк е

л Зл )

2

2

си н ус

л_ Зл' л л и убывает на 2 ’ 2 , „ 2 ’ 2_ А налогично косинус убывает на пром еж утке [0; л] и возрастает на пром еж утке [л; 2л). 8. О бласт ь значений: пром еж уток м еж ду наименьш им и наибольшим значениями, т .е. отрезок [-1 ; 1]. 9. Г раф ики синуса и косинуса: возрастает на

Свойство 7 у = sinx гм

у = s in х

^

Г Х /-2 7 1

V - 71

/ 0

7 t\

, . /2 т г X

-1

У\

y = co sx

-2 ti

\- л

1

/

0

\

7t J



х

-1

Зачем исследуетсяя периодяМность тригонометрическ их функций? Ф ункции у = s in x и у = c o s x относятся к важ ному классу периодических ф ун кц и й . Об­ судим это понятие в общ ем виде и применим

результаты этого о б су ж д ен и я к уточнению свойств синуса и косинуса. К огда говорят, что ф ункция у = / ( х) пери­ одична с периодом Т Ф 0, то под этим понима­ ют следую щ ее: ^ 1) ее область определения «периодична», т .е . вместе с к аж дой точкой х = а эта ф унк­ ция определена при х = а - Т и при х = а + Т. Тем самым она определена при всех х - а + кТ, где k е Z, т .е . k — любое целое число; 2) дл я к аж дого зн ачен ия о , входящ его в область определения, выполняется равенство: Д о ) = Д а + Т). Тем самым равны м еж ду собой значения функции во всех точках вида а + kT, где k е Z. Если число Т является периодом функции / , то и числа - Г , 2 Т, k T при любом k е Z так­ ж е являю тся ее периодами. Так как мы предполож или, что вместе с х точки вида х + k T при всех целы х значениях k входят в область определения ф ункции, то значения ф ункции во всех этих точках равны м еж ду собой:

Периодическая функция

График функции у = {х}

У 1

-/ = {*}

77777777.

-2

-1

5

О

х

Наименьший положитель­ ный период Т = 1. Числа Т = 2, Т = -1 , Т = 3 и т.д. также являются периода­ ми этой функции, поэтому, на­ пример, /(0,5) = /(1,5) = /(-0,5) = = /(2,5) и т.д. В общем виде: {х} = {х + 1} = = {х - 1} = {х + 2} и т.д. Нули функций у = sinx и у = cosx

sin х = 0 о х = kn, k е Z; c o s x = 0 х = ^(2& + 1), k е Z.

f i x - Т) = f(x - Т + Т) = fix); f ix + 2 Т) = f i x + Т + Т) = f ix + Т) = fix ) и т .п . Тем самым, если у ф ункции есть хотя бы один ненулевой период, то имеется и полож и­ тельный период. Как правило, среди полож и­ тельны х периодов ф ун к ц и и м ож н о указать н аи м еньш ее число, которое часто называют о сн овны м периодом. Ч исло 2л является полож ительны м пери­ одом синуса и косинуса (это следствие пери­ одичности вращ ательного дв и ж ен и я ) и при­ том н аи м еньш и м полож ительны м периодом. Д ей ств и тел ьн о, если бы число Т 0 < Т < 2п было бы периодом си нуса или к оси н уса, то мы бы и м ел и : s in —= sin \ —+ Т = 1 . О днак о

2

{2

)

л 1 после точки — синус принимает значение 1 только в точке

5л л m л „ 5л А — ,а —+ Т < —+ 2л = — . Ана-

2

2

2

2

логичное р ассуж дение м ож но провести и для косинуса — свое наименьш ее (или наиболь-

Наибольшее и наименьшее значения функций у = sinx и у = cosx

1 Зл s in x = - 1 х = — + 2kn 2 (или х = ——+ 2kn ), k е Z; 2 s in x = 1 x = —+ 2kn; k e Z; 2 cosx = -1 о x = л + 2kn, k e Z; cosx = 1 о x = 0 + 2kn, k e Z. Функция у = sin2x

• нули функции: sin 2x = 0 2x = kn, k e Z, x = —kn, k e Z;

2

точки, в которых функция принимает наибольшее и наи­ меньшее значения: sin2x = 1

111

2х = —+ 2Ал, A e Z;

2 rt

x = —+ Ал, k e Z; 4 или

7t(l +4/e) 2x =

, k e Z; sin 2x = -1 ; ь2Ал, A e Z;

2

x

hАл, A e Z;

4

x = —(4 A -1 ), A e Z.

4

Промежутки монотонности функций у = sinx и у = cosx

ш ее) зн ач ен и е си н ус и к оси н ус приним аю т в точках, отстоящ их друг от друга на 2л. П о­ этому полож ительны й период не м ож ет быть меньш е этого числа. Если ф ункция у = f(x) периодична с основ­ ным периодом Т, то для ее исследования д о ­ статочно рассмотреть любой пром еж уток дл и ­ ны Т. П ри этом один и з д в у х концов этого промеж утка следует исключить, чтобы не рас­ сматривать дваж ды зн ач ен и я ф ун к ц и и , с о ­ впадаю щ ие на его концах. Если определены нули синуса и косинуса на пр ом еж утке [0; 2л), то этого достаточно, чтобы указать в с е их нули: sin х = 0х = 0 + 2Ал; х = л + 2Ал, А е Z;

Синус возрастает на проме­ жутках

2

+ 2Ал; —+ 2Ал

co sx = 0 х = —+ 2Ал; х = — + 2kn, k е Z. 2 2

2

и убывает на промежутках —+ 2Ал; — + 2Ал), А е Z. 2

2

)

• Косинус возрастает на про­ межутках [л + 2Ал; 2л + 2Ая) и убывает на промежутках [2Ал; л + 2Ал), А е Z. На практике промежутки знакопостоянства и монотонности синуса и косинуса указывают по четвертям.

П рим еры • у = sin3x. Наименьший положительный гр 2л период Т = — . Действительно, sin3^x ± ^

j = sin (3x ± 2 л) =

= sin 3x для любого значения х; • У = cos|^2x-—J. Наименьший положительный „ 2л период Т = — = л. Действительно, cos 2 ( х ± л ) - —

112

J ± 2лj= cos|^2x -

Основные свойства синуса и косинуса яв­ ляются непосредственны ми следствиями вра­ щ ательного дв и ж ен и я точки. Все они легко объясняю тся с помощью тригоном етрическо­ го круга. И з стандар тн ы х ф ун к ц и й у = s in x и у = = cosx м ож но строить новые тригонометриче­ ские функции и исследовать и х свойства, сле­ дя за тем, как м еняю тся свойства си н уса и косинуса при выполняемых преобразованиях. Отметим важ нейш ие среди них. 1. П е р ех о д к к р а т н о м у а р гу м е н т у . Рассмотрим ф ункции у = sin Ах и у = cosAx (А — любое полож ительное число). П ри этом преобразовании м еняется основной п е р и о * ( 2л' Так как sin (Ах + 2л) = sin Ах, то sin А х + = sin Ах. Отсюда следует, что основной период эт ой ф у н к ц и и равен — . В частности, основА н о й п е р и о д ф у н к ц и и у = s in 2 х р а в ен л,

з |( 2 х + 2 л ) " 1 = =cos| | 2 х -

Почему выполняются указанные свойства синуса и косинуса и какие новые следствия можно вывести из них?

J.

а функции у = s in —

4л.

А налогичное р ассуж дение верно и для ко­ синуса. 2. Д ел ен и е — переход к т ангенсу и ко т а н ­ генсу. Ф ункции у = t g * и у = c t g * получаю т­ ся из синуса и косинуса.

График функции у = tgx

О с н о в н ы е с в о й с т в а ф у н к ц и й tg* и ctg*.

1. О бласт ь определения: х

ф

^(2А + 1) для

тангенса; х Ф kn для котангенса. 2. П е р и о д и ч н о ст ь : ф ункции периодичны с основным периодом Т = п. 3. С им м ет рия: t g ( - * ) = tg * ; c t g (-x ) = = -c tg * . 4. О бращ ение в нуль: тангенс обращ ается в н у л ь п р и * = Ате; к о т а н г е н с — п р и * =

= —(2А + 1).

2 5. С охранение зн а к а : полож ительны в I и III четвертях; отрицательны во II и IV четвер­ тях. 6. Н аим еньш ее и наибольшее значения: не имеют. 7. П р о м е ж у т к и м о н от он ност и: тангенс ( к

График функции у = ctgx

тс Л

возрастает на промеж утке I ——; — \, котангенс убывает на пром еж утке (0; п) и далее по пе­ риодичности. 8. Област ь значений: область действитель­ ны х чисел R.

Вопросы и упражнения

■ 1. Как получить свойства косинуса, зная свойства синуса и пользуясь соотноше­ нием

.

f 7t

C O S *: = s R imnl

У2

** I? ?

J

2. Почему для записи промежутков знакопостоянства и промежутков монотонно­ сти синуса и косинуса удобнее выбирать разные промежутки основного пери­ ода? 3. Как обосновать возрастание функции у = tg * на промежутке

0; —J, используя

определение этой функции и свойства синуса и косинуса? 4. Как доказать, что основной период тангенса и котангенса вдвое меньше основ­ ного периода синуса и косинуса?

113

5. Сколько раз принимает каждое свое значение тангенс или котангенс в преде­ лах основного периода? 6. Проведите полное исследование и постройте графики следующих функций:

1) у = sin4x;

3) у = sinx + cosx;

( 7[Л 5) у = 2cosl 2 * - - l ;

\ X 7) у = - c t g —;

2) у = cos^;

4) у = sin2*;

6) у = -tg2x;

8) у = 1 + tg2*.

Занятие

5

Тригонометрические уравнения

• sin 2* =

П рим еры 1

Что полезно иметь в виду при решении тригонометрических уравнений?

Основной период Т = 71. Обозначим 2* = t, тогда sin t = — н а п р о м е ж у т к е 2 [ 0 ; 2 тс),

6

(2 = | Ь .

6

„ п 5л Ответ: х, = — , * , = — ; 12

2

12

• 2 (sin * - 2) = 5 s in * - 3. П роводим алгебраические преобразован и я: 2 s in * - 4 = = 5 sin * - 3; получим sin * = ---- .

3

Н аименьш ий полож итель­ ный период Т для sin* равен 2л. Решаем уравнение на проме­ жутке [0; 2л): *! = arcsin

1) = -a r c sin . — 1;

*о = л + arcsinОтвет:

1

-arcsin—+ 2 nk;

+ .

3

arcsin—+ л(1 + 2п), e Z;

114

1. В т ригоном ет рическое у р а в н е н и е в х о ­ дят периодические ф ун к ц и и . П оэтом у перед реш ением уравнения полезно определить об­ щий период всех входящ их в уравнение функ­ ций и затем искать корни на промеж утке дли­ ной, равной периоду. Н айдя эти корни и зн ая период Т, ответ м ож но записать в виде х = x t + k T , где х г — корни ур авн ен ия на п р ом еж утк е длины Т; k — произвольное целое число. 2. Реш ени е у р а в н е н и я обычно состоит из двух частей — алгебраических преобразова­ ний, приводящ их уравнения к стандартным, и записи реш ений стандартны х уравнений. П од стан дар тн ы м тр и го н о м етр и ч еск и м ур авн ен и ем п он и м ается ур ав н ен и е вида f(kx) = а, где f — одна из основны х тригоно­ м етрических ф ункций (син ус, косин ус, тан­ генс или котангенс). 3. З а п и с ь р е ш е н и я с т а н д а р т н о г о у р а в ­ нения. 1) sin x = a; co sx = а. Областью значений синуса и косинуса яв­ ляется промежуток [-1 ; 1], поэтому при |о| > 1 данны е уравнения реш ений не имеют. Д алее полезно помнить корни при а = 0;

k e Z,

Ж-Ж.

±1. 2’ 2 ’ 2 ’ На пром еж утке [0; 2л) реш ения уравнений при этих значениях параметра хорош о изве­ стны:

sinx

Xi

*2

cosx

0

0

Tl

0

л 2

Зл ~2~

1 2

IC 6

5tc 6

1 2

л 3

5л 3

V2 2

n 4

Зтс 4

V2 2

n 4

7л 4

V3 2

Tt 3

2л 3

s 2

л 6

11л 6

1

Tl 2

1

x2

0

П ри реш ении уравнений с отрицательным значением параметра м ож но применять сооб­ раж ения симметрии: если х — реш ение урав­ нения sin х = а, то - х — реш ение уравнения sin х = - а ; а н ал оги ч н о, есл и х — р еш ен и е уравнения cos х = а, то л - х — реш ение урав­ нения cos х = - а . Если а не соответствует ни одному из «зна­ мениты х» углов, то вводят обозначение для одного из реш ений уравнения sin х = а или cos х = а. П усть |а| < 1. Т огда ур авн ен и е sin х = а им еет еди нственн ое реш ени е в п р ом еж утк е ^ . Его обозначают через arcsin а (арк­ синус а). А налогично для косинуса выбирают про­ м еж уток [0; л] и обозначают единственное ре­ ш ение уравнения cos х = а в этом промеж утке через arccos а (арккосинус о). С помощ ью аркф ункций м ож н о записать о б щ и й в и д р еш е н и й у р а в н е н и й s in х = а и c o s x = а. Традиционно это делают в сл еду­ ю щ ей компактной форме:

sinx = 0,1 х = (-1)* х arcsin0,1 + kn, k e Z. cosx = — 4 x = + n —arccos— - 2kn, 4 k e Z. • tgx = — 2

x = arctg—+ kn, 2 k e Z. • ctgx = 0,2 x = arcctg0,2 + kn, k e Z.

Арксинус а (при |o| < 1) — это число (угол), лежащее в про7Т_ П

межутке

торого равен а.

Арккосинус а (при |а| < 1) — это число (угол), лежащее в промежутке [0; тс], косинус которого равен а.

Значения арксинусов и арккосинусов

• arcsin 0 = 0; • arcsin 1 = —;

2

. 1 тс • arcsin —= —; 2

s in x = а х = (-1)* arcsin а + kn, k е Z; c o s x = а х = ± arccoso + 2 kn, k e Z.

синус ко-

2’ 2.

6

• a rcsin (-l) = - —; • arccosO = —; 2

2) tg x = a, c tg x = a. Тангенс и котангенс могут принимать лю ­ бые зн ач ен и я и в пр едел ах основного п ер и ­ ода при ни м аю т так ое зн ач ен и е ровно один

• arccos1 = 0; • a rcco s(-l) = тс; 1 )

• arccos | —

2)

2

tc

=— .

3

115

Значения tgx и ctgx для «знаменитых» углов

раз. Выберем в качестве основного пром еж ул_ я' ток I ; — I для тангенса и (0; л) для котан­

2’ 2,

X 0

tgx

л 6 л 4 л 3 л 2

V3 3

генса. Значения тангенса и котангенса для «зна­ м ени ты х» углов и звестн ы , п оэтом у м ож н о легко записать реш ения этих уравнений при

1

а = 0; ± — ; ±1; ±л/3. В общ ем виде вводят обо­

V3

значения arctga и arcctga (арктангенс и арк­ котангенс) для чисел, л еж ащ и х в пром еж ут­

X 0 л 6 л 4 л 3 л 2

0



ках

ctgx —

7з 1

Vs/з 0

Примеры тригонометрических неравенств

и (0; л) соответственно, тангенс

или котангенс которы х равен а. Окончательно общ ий вид реш ений мож но записать так: t g x = а о х = a r c tg a + kn, k е Z; c t g x = a x = a rc ctg a + kn, k e Z. 4. А лге б р а и ч ес к и е п реобразовани я триго­ ном етрических уравнений, приводящ ие и х к стандартны м, мы обсудим на при м ерах, по­ казывая, как решаются уравнения некоторых типов. 5. Т р и го н о м ет р и ч ес к и е н е р а в ен ст в а встречаю тся достаточно р едк о. И х надо р е­ шать в пределах основного периода, исполь­ зуя график или тригоном етрический круг и записывая затем (при необходим ости) общ ий вид реш ений.

• sinx > 0; 1 • cosx < — ; 2 • tg2x > 1; • ctgx = -1 . П рим еры 1. 2sinx + cosx = 2. Если в этом уравнении заме­ нить косинус на синус или на­ оборот, то получим уравнение с радикалами. Чтобы избеж ать этого, используем формулы, вы­ ражающие синус и косинус че­ рез тангенс половинного угла:

116

Как решаются основные типы тригонометрических уравнений и неравенств? 1. Уравнения, алгебраические от носи­ т ельно одной из т ригоном ет ри ческих ф у н к ­ ций: 1) 2 sin 2x + 3 sin x - 2 = 0. Это уравнение является квадратным отно­ сительно sin х . Его корни: s in x =

s in x = -2 .

Второе из полученных простейш их уравнений не имеет реш ений, так как |sin х| < 1, реше-

2tgl

ния первого м ож но записать так: х = —+ 2kn, тт



6

6

х = я — + 2nk = ---- ь2nk, k е Z.

^

1 + tg 2 *

Если в уравнении встречаются разные три­ гонометрические функции, то надо попытать­ ся привести их к одной, используя тригоно­ метрические тождества;

1 -tg 2 и cosx = 1 + tg 2 Выполнив замену, получим

2) 2 s in 2x - 5 c o s x - 5 = 0. Так как квадрат синуса легко выражается через косинус, то, заменив sin 2x на 1 - cos2x и приводя уравнение к квадратному относи­ тельно co sx , получим 2(1 - cos2x) - 5 c o sx - 5 = = 0, т .е. квадратное уравнение 2cos2x + 5 co sx + 3 + 3 = 0, корни которого cos х = - 1 , c o sx = — .

уравнение относительно t g —: 4 tg —+1 - tg 2 - = 2^1 + tg 2 2 Квадратное уравнение 3 tg 2 —- 4 tg ^ + 1 = 0 имеет корни t g ^ =

Уравнение c o s x ■

реш ений не им еет. Р е­ = 1, t g ^ = i , откуда ^ = j + kn,

ш ения уравнения cos х = - 1 запиш ем в виде х = л + 2kn, k е Z.

x = —+ 2kn, — = a r c t g i + kn, x = 2 2 3

2. П ониж ение порядка ур авн ен ия. Ф орму­ = 2 a rc tg ^ + 2лй, k e Z. лы удвоения позволяют квадраты синуса, ко­ Исходное уравнение можно синуса и и х произведения заменять линейны ­ решить другим способом. Вве­ ми ф ункциям и от синуса и косинуса двойно­ дем вспомогательный угол: го угла и таким образом пониж ать порядок 2 sin х + cos х = уравнения: g 1 2 1) co s2 x + cos2 х = —. = V5| —;=sin x + —;= cosx 4 Vs' vr М ож но заменить cos2x на 2cos2x - 1 и по­ П усть a = arccos— Тогда лучить квадратное уравнение относительно

Vs

cos х , но проще заменить cos2x на ^(1 + co s2 x ) и получить линейное уравнение относительно co s2 x ; 65 2) sin 4 х + cos4 х = — . 81 Подставляя вместо sin 2x , cos2x их вы раже­ ния через cos 2 х , получаем —(1 - co s2 x )2 + —(1 + cos2x)2 = — ; 4 4 81 1 - 2 c o s2 x + cos2 2x + 1 + 2 co s2 x + cos2 2 x = 4 • 2о о 65 Л 2o 49 cos 2 x = 2 --------1, cos 2 x = — ; 81 81

можно продолжить преобразова­ ние: 2 sin x + cosx = V 5sin(x + a). Получаем простейш ее уравне­ ние V 5sin(x + a) = 2, т.е. sin (x +

.

2 Vs

+ a) = —j=, откуда

2

x + a = arcsin —j= + 2kn,

Vs

x + a = л - arcsin— + 2kn. 65

81;

Vs

Ответ получился в другом виде, однако можно проверить, что решения на самом деле сов­ падают. 2. t g x + 3 ctg x = 4.

117

и приtg x ведя выражение к общему зна­ менателю, получим квадратное уравнение

7 7 c o s2 x = ± —, 2x = ± arccos—+ &л, 9 9

tg 2x - 4 tg x + 3 = 0,

3. И с п о л ь з о в а н и е т р и г о н о м е т р и ч е с к и х ф ормул слож ения и сл едст ви й из них. И ног­ да в уравнениях встречаются тригоном етри­ ческие ф ункции кратных углов. В таких сл у­ ч ая х н у ж н о использовать ф орм улы с л о ж е ­ ния: 1) s in x + s in 2 x + s in 3 x = 0. О бъ един им к р ай н и е сл агаем ы е: ( s i n x + + s in 3 x ) + s i n 2 x = 0 , отк уда 2 s i n 2 х c o s x + + s in 2 x = 0, s in 2 x ( 2 c o sx + 1) = 0. Тогда s in 2 x =

Заменив ctgx на

корни которого t g x = 1, tg x = 3, Л

откуда х = — hkn, х = arctg3 + 4 + kn, k e Z. 3. 5 sin 2x + 3 s in x c o sx = 4.

Заменив 4 на 4(sin2x + cos2x), получим sin2x + 3 s in x co sx - 4 c o s 2x = 0.

x1 7 йл . _ x = ± —arccos—+ — , k e Z. 2 9 2

tg 2x + 3 t g x - 4 = 0, t g x = 1, t g x = -4 ,

= 0 , 2 x = kn, x = —kn и л и 2 cos x = - 1 , x = 2 2 = ± —n + 2kn, k e Z; 3 2) s in 3 x s in 5 x = s in x s in 7 x . П реобразуем произведение синусов в сум ­

x = —+ kn x = -a r c tg 4 + kn,

му: ^ (c o s2 x - co sS x ) = -i(c o s6 x - co sS x ), откуда

После почленного деления на cos2x имеем:

4

k e Z. 1 2

4. sin x > —.

Отмечаем углы на окруж ­ ности:

Для х е [0; 2л] имеем л 6

5л 6

—< х < — . О т вет :

—+ 2kn;— + 2kn 6

k е Z. 5.

118

c o s x > —.

3

6

c o s 2 x = c o s6 x . П олученное уравнение м ож но реш ить, например, преобразованием c o s 6 x - c o s 2 x в произведение. У добнее воспользо­ ваться условием равенства косинусов двух уг­ лов 2 х и 6х: 6 х = ± 2 х + 2nk, k е Z. П олучаем дв а у р а в н е н и я : 6 х = 2 х + 2 n k , 4 х = 2 n k , х = —kn или 6 х = - 2 х + 2kn, 8 х = 2kn, х = —kn. 2 4 П роверьте, что реш ения второй серии со­ держ ат в себе все реш ения первой серии. Учи­ ты вая эт о , ответ м о ж н о за п и са т ь к ор оче: kn х = — , k е Z. 4 4 . О д н о р о д н ы е у р а в н е н и я . Р а ссм отр и м ур авн ен и е s in 2x - 5 s in x c o s x + 6 c o s 2x = 0. Если считать, что s in x и c o s x — члены пер­ вой степени, то каж дое слагаемое имеет сте­ пень 2. У р ав н ен и е, в котором к а ж д о е сл агаем ое и м еет о дн у и ту ж е степ ен ь , назы вается однородны м .

Его м ож но реш ить, выполнив деление на старш ую степень синуса (или косинуса). Д е­ лим уравнение почленно на cos2x (з а м е т и м : если в данное уравнение подставить cos х = О, то получим sin х = 0, что невозмож но, значит, в результате деления на cos2x не будет потери корней) и находим:

Отмечаем углы на окруж ­ ности:

sin 2x s in x „ _ (- о —О, 5----- 5 cos х co sx tg 2x - 5 t g x + 6 = 0 , t g x = 2, t g x = 3, x = a r c tg 2 + kn, x = a r c tg 3 + kn, k e Z. Постоянные слагаемые можно считать чле­ н ам и в тор ой ст е п е н и , так как 1 = s in 2x + + C O S2X .

1 1 -arccos—< х < arccos—. 3 3 Ответ: -arccos—+ 2kn; 3

5. П рост ей ш и е т риго н ом ет р и ч еск и е не­ arccos—+ 2kn , k e Z. р а в е н с т в а . С помощью введенных обозначе­ 3 ний arcsin a , arccos а, arctg а легко записать 6. tg x < -2 . решения простейших тригонометрических нера­ tg x = -2 , x e ^ - | ; ^jx = венств, т. е. неравенств вида s in x < a, c o sx < а, t g x < о и им подобны х. = - arctg 2. Д ля реш ения таких неравенств необходи­ Для x e ; — имеем мо выделить на тригонометрической о к р уж ­ I 2 2) ности полож ения точек Р х, соответствующ их < x < -a rctg 2. данном у неравенству, а затем записать нера­ венства, которым удовлетворяют получивш и­ Ответ-. - + kn; -arctg2 + еся углы. При этом надо следить, чтобы в за­ писи левый конец интервала был меньше пра­ + kn , k € Z, вого.

Вопросы и упражнения

■ 1. Что такое arcsin а? 2. Какие тождества для арксинуса вам известны? 3. При каких а определен arcsin а? 4. Какие значения может принимать arcsin а? 5. Сформулируйте вопросы, аналогичные вопросам 1—4, для arccos а и arctg а и дайте на них ответы. 6. Сколько решений имеют простейшие уравнения типа sin x = a, cosx = a, tg x = а, ctg x = а? 7. Как, зная одно решение простейшего тригонометрического уравнения, найти все его решения?

119

8. Какими формулами выгоднее пользоваться при решении тригонометрических уравнений и почему? 9. Придумайте несколько различных способов решения уравнения sin2* + cos2* = 1. 10. Решите уравнения: 1) sin 2 * = - i ; 2 * л/2 2) cos— = — ; 2 2 3) tg 3 * = -1; 4) cos2* = sin2*;

Щ

5) tg2* V

* = 3°;

6) sin 22* = sin2*;

О • * + cos 2* = — 5; 9)Л sin 4 im sin • x cosx = — V2 . 10) 4

7) (sin * + cos*)2 = 2; 8) s in * + s in 2* = 0;

БЕСЕДА

Из истории тригонометрии Тригонометрия возникла и развивалась как часть астрономии. Поэтому ис­ торию тригонометрии проследить до истоков невозможно, ведь за движением небесных тел люди наблюдали всегда. Как с имени Евклида можно начать от­ счет развития геометрии, так и исходную точку в описании астрономии и три­ гонометрии разумно связать с именем Птолемея (ок. 90 — ок. 160). Клавдий Птолемей был одним из блестящих древнегреческих мыслителей. Его описание Солнечной системы в течение четырнадцати веков, вплоть до от­ крытий Коперника, было общепринятой системой устройства Вселенной. Как «Начала» Евклида заключали в себе свод математических знаний, приобретен­ ных человечеством, так и «Альмагест» Птолемея представлял собой исходную энциклопедию астрономии. Астрономические таблицы Птолемея, сохранившиеся до нашего времени, равнозначны тригонометрическим таблицам, позволяющим вычислять синусы с шагом 0,25° с пятью верными десятичными знаками. Для построения таблиц Птолемею пришлось не только применить сложившуюся к тому времени евк­ лидову геометрию, но и доказать много новых фактов. Если с именем Декарта мы связываем включение геометрии евклидовых «Начал» в общий контекст математики, то аналогичную роль для тригономет­ рии птолемеева «Альмагеста» сыграл немецкий математик и астроном И. Мюл­ лер (1436 — 1476), более известный под именем Региомонтан. Его труд «О тре­ угольниках всех видов» содержал таблицы синусов с шагом 1' с точностью до семи десятичных знаков.

Тригонометрические функции

Корни, степени и логарифмы, до тех пор пока они служат для формул, пре­ образований и вычислений, мы относим к алгебре. Точно так ж е синусы и ко­ синусы со всем калейдоскопом тригонометрических формул можно отнести к этому разделу математики. Новый этап в развитии и применении всех этих по­ нятий наступает тогда, когда мы изучаем изменение их значений при измене­ нии аргумента (числа или угла). Зная, как вычисляют синус, косинус, тангенс, котангенс для произвольного числа, можно построить соответствующие функ12 0

ции и изучать их свойства по общим правилам исследования функций. Так ж е и в истории тригонометрии на смену алгебре тригонометрических формул и преобразований пришел математический анализ тригонометрических функций. Начиная с основополагающих работ И. Ньютона, Г. Лейбница и И. Бернулли, выполненных к началу XVIII в., роль тригонометрии в общей теории функции была прояснена в начале XIX в. французским математиком Ж . Фурье, теория которого лежит в основе принципов передачи сигналов (звука, изображения и т .п .) вплоть до наших дней. Современный вид учение о тригонометрических функциях приняло в рабо­ тах Леонарда Эйлера.

I

Функции и графики

Занятие

1

Обзор общих понятий П рим еры 1. у = 'J l-X 2

D = [-1; 1] £ = [0; 1] 2. у = М

В =R

£ = [0: +оо)

В =R

£ = (—со; 0] 12 2

Что включает в себя понятие функции? 1. З а д а н и е ф у н к ц и и . Д ля того чтобы за ­ дать функцию , нуж н о указать: 1) м н ож ество всех в озм ож н ы х зн ачен ий переменной х. Это множество обозначают бук­ вой D и называют областью определения ф ун ­ кции-, 2) правило, по которому к аж дом у числу х из множ ества D сопоставляется число у , оп­ ределяем ое числом х. Это число у называется зн ачени ем ф ун кц и и в т очке х. 2. Ф ункциональны е обозначения. Функция обы чно обозн ачается одн ой бук в ой , нап р и ­ мер /. Значение функции f в точке х обозна­ чается f(x). И так, если задан а ф ун к ц и я f, то задано м нож ество чисел D и к аж дом у числу х е D сопоставлено число у = f(x). Область опреде­ ления ф ункции f будем обозначать D(f). Переменную х называют аргум ент ом , D — множеством возмож ны х значений аргумента. П усть задан а ф ун кц ия у = f(x) с областью опр едел ени я D (f). М нож ество зн ач ен и й , ко­ торые приним ает перем енная у, так и назы ­ вают — м н ож ест во зн а ч е н и й ф у н к ц и и . Это м н ож ество будем обозначать E (f) или прос­ то Е. М ожно сказать, что число а входит в мно­ ж ество зн ачен ий ф ун кц ии f, если найдется

число х из области определения ф ункции та­ кое, что а = f(x). Обратим внимание на то, что если для зн а­ чен ия аргум ента х и з области опр едел ени я соответствую щ ее значение ф ункции у = f(x) находится однозначно, т. е. единственным об­ разом, то для значения аргумента у из м но­ ж ества значений соответствующ ее значение х долж н о сущ ествовать, но оно не обязательно является единственным. 3. Г р аф и к ф ун к ц и и . Графиком ф ункции f называется множ ество точек плоскости с ко­ ординатами (х , f(x)), где х пробегает область определения ф ункции f. Зам ети м , что понятие граф ика ф ун кц ии тесно связано с понятием системы координат. Одна и та ж е ф ункция в разны х систем ах ко­ ординат будет иметь разны е графики. 4. Способы за д а н и я ф ун к ц и и . Как задает­ ся правило вычисления значений функции? 1) А н а л и т и ч е с к и й способ. П ри аналити­ ческом способе задания функции правило вы­ числения задается явной формулой, содерж а­ щ ей определенны е операции. Если ф ункция задана формулой и не ук а­ заны ни как ие ограни чен ия, то ее областью определения считается множество всех значе­ ний аргумента, при которы х выполнимы все операции, участвую щ ие в формуле. Это м но­ ж ество называют естественной областью оп ­ ределения данной ф ункции. 2) Т абличны й способ. В таблице мож но не­ посредственно указать значения функции, од­ нако лиш ь дл я конечного набора зн ачен ий аргумента. В ы ч и сл ен и е зн а ч ен и й ф у н к ц и и м о ж ет быть запрограммировано в калькуляторе. Вы­ числительное устройство мож ет служ ить спо­ собом задания новой ф ункции. Современные вы числительны е маш ины снабж ены клави­ ш ами, позволяющ ими немедленно вычислить значения многих ф ункций. 3) Графический способ. По графику можно н аходи ть (хотя бы п р и бл и ж ен н о) зн ачен ия ф ункции. Графический способ прим еняется преж де всего для качественного, наглядного представления характера изм енения изуч ае­ мой ф ункции.

4 -1 / =

sinx

5. у = 2,og2X У

0

Z.

X

D: х > О Е = (О; +со)

6. у = [х] [х] — целая часть числа х

D=R Е =2

123

7. График изменения курса доллара

8. Астроида М 3 + Ы 3=1

9. Гипербола

х2 - у 2 = 1

124

Аналитический, табличный и графический способы задания ф ункции, разумеется, не ис­ черпы ваю т все в озм ож н ы е п ути оп и сан и я ф ункции. Задание правила, по которому происходит вы числение значений ф ун кц ии , м ож ет быть вы пол нено с и сп ол ь зов ан и ем л ю бого я зы ­ ка — обычного словесного, сим волического, ком пью терного. П ри этом н еобходи м о сл е­ дить за тем , чтобы это опи сан ие позволяло точно для каж дого допустимого значения ар­ гумента однозначно находить сопоставляемые им зн ачен ия зависим ой перем енной (ф ун к ­ ции). 5. Общ ее п о н я т и е з а в и с и м о с т и . Ф у н к ­ ц и я — это оп р едел ен н ы й тип зав и си м ости м еж ду переменными, который так часто и на­ зывают ф ун кц и о н а льн ой зависим ост ью . Т ерм ин «п е р е м е н н а я » п р и м ен я ется для обозначения различны х м еняю щ ихся вели­ чин. З а в и с и м о с т ь м еж ду переменны ми м ож ет быть выражена разными способами, лиш ь бы д л я л ю бого н абор а зн а ч ен и й п е р ем ен н ы х м ож но было бы ответить на вопрос: связаны ли эти зн ачен ия дан ной зависим остью или нет? Часто встречается зависим ость в форме уравнения, связывающ ая вы раж ения с пере­ менны ми. Пусть дана некоторая зависимость м еж ду переменны ми х н у . Будем говорить, что у есть ф ункция от х, если для каж дого допустимого значения х за­ висимость позволяет однозначно определить связанное с ним значение у. Если зависимость задана в форме уравне­ ния, связывающ его вы ражения с переменны ­ ми, то говорят о неявном задании функции. В отдельных случаях возмож ен переход от не­ явного задания ф ункции к явному. Зав и си м ость м е ж д у п ерем енны м и х н у и зобр аж ается на коорди натной плоскости с пом ощ ью некоторой кривой — граф ика за ­ виси м ости. Д ля того чтобы эта зависим ость неявно задавала у как ф ун к ц и ю от х , н у ж ­ но, чтобы всякая прям ая, параллельная оси у , пересек ал а график не более чем в одной точке.

Как были заданы функции, которые встречались ранее?

Линейные функции

у = kx + b

кФ 0 1. Л и н е й н ы е ф ун кц и и . Эти ф ункции задаю тся формулой у = k x + + b, где k и Ъ — определенны е числа. Обычно считают, что k Ф 0. При k = 0 ф ункция у = Ь является постоян­ ной. Областью определения ф ункции у = k x + b считается вся числовая ось: D = R (если не налож ено специальны х ограничений на зн а­ чение аргумента л;). 2. М н о го ч л ен н ы е ф ун кц и и . Эти ф ункции задаю тся следую щ им и м но­ гочленами: у = = а пх п + а п _ гх п " 1 + ... + а хх + + а 0, а п Ф 0. Л и н ей н ы е ф ун к ц и и в ходя т в этот класс функций. М ногочленные ф ункции м ож но различать по степени многочлена: квадратичные (п = 2), кубические (п = 3) и т. д. Естественной областью определения м но­ гочленны х ф ункций считается вся числовая ось: D = R. 3. Р а ц и о н а л ь н ы е ф ун кц ии . Эти ф ункции задаю тся отнош ениями двух Р(х) многочленов: у = ------- , где Р(х) и Q(x) — мноQ(x) гочлены. М н о го ч л ен н ы е ф у н к ц и и в х о д я т в этот класс ф у н к ц и й , так как в виде Q (x) м ож н о взять постоянную Q(x) = 1. Область определения рациональной ф ун к­ ции — множ ество всех чисел х, за исклю че­ нием тех, при которы х знаменатель Q(x) об­ ращ ается в нуль: D = {лс е R | Q(x) Ф 0}. 4. С т еп енн ы е ф ун кц и и с дробным п о к а за ­ телем. Эти ф ункции задаю тся формулой вида у = = х г, где г — некоторое число, отличное от нуля. Ясно, что если г — натуральное число, то п ол уч ается частны й сл уч ай м н огочл ен н ой функции; если г — целое отрицательное чис­ ло, то им еем частны й случай рациональной функции.

D =R

Многочленные функции

квадратичные (га = 2) у = а 2х 2 + а хх + а0 D =R кубические (га = 3) у = а3х 3 + а 2х 2 + а хх + а0 D =R

Рациональные функции

у-^ 1 , Q(x) где Р(х); Q(x) — многочлены. D = {х е R | Q(x) ф 0}

Степенные функции с дробным показателем

у = хг г Ф 0

Ч а с т н ы е случаи-. г = N — м ногочленная функ. ция; г е Ъ — рациональная ф унк­ ция

125

Если г — дробное число, то м ож н о вычис­ лить зн ач ен и е степ ен и х г при лю бом п о л о ­ ж и тел ь н ом зн ач ен и и х , что п озвол я ет р а с­ смотреть степенны е ф ункции не только с ц е­ лы м, но и любым действительны м пок азате­ лем г ф 0. 5. О с н овн ы е т р и го н о м е т р и ч еск и е ф у н к ­ ции. Это ф ункции у = s in x и у = c o s x , опр еде­ ленные при всех значениях аргумента х . 6. П оказат ельные и логарифмические ф ун к­ ции. П ри фиксированном основании а (а > 0; а Ф 1) эти функции задаются формулами у = а х и у = lo g ax . П оказательны е ф ункции определены при всех значениях х, а логарифмические — толь­ ко при х > 0.

Тригонометрические функции

у = sinx, у = cosх D=R

Показательные функции

у = ах а > О; а * 1

Логарифмические функции

У = logax а > О; a * 1

Вопросы и упражнения

■ 1. Какие вам известны способы задания функции?

2. Что такое область определения функции? 3. Как находится область определения функции, заданной формулой? 4. Как вычисляются значения функции, заданной графиком?

5. Какие классы функций вам известны? 6. Что такое неявное задание функции? 7. Всегда ли зависимость между двумя переменными позволяет выразить одну из них как функцию другой? 8. Как по графику зависимости определить, можно ли из этой зависимости выра­ зить одну переменную как функцию от другой? 9. Приведите пример функции, естественной областью определения которой было бы следующее числовое множество: 1) х * ±1;

4 ) (-оо;

2) х > 1;

5) (-оо; -1 ] u [1; +оо);

3) [-2; 2];

6) [-1; 0) и (1; 2].

1);

10. Верны ли следующие утверждения: 1) соотношения у 2 = х 2, у > 0 и у = |х| определяют одну и ту ж е зависимость; 2) соотношение у 2 = х определяет ровно две функции вида у = /(х).

126

Занятие

2

Схема исследования функции Что входит в схему исследования функции? Способ представления функции Символический

У = Ах) Область определения:

D = D(f) D(f) = [а; Ь]

Нули функции:

Ах) = о Множество нулей:

{*!, Х2> ЛГ3}

Словесный Область определения функ­ ции — множество значений ар­ гумента, при которых функция задана, определена. Геометри­ чески — это проекция графика функции на ось х Нули функции — точки, в ко­ торых функция обращается в нуль. Эти точки являются ре­ шениями уравнения f(x) = 0. Геометрически — это абсциссы точек пересечения графика функции с осью X

Промежутки постоянно­ Промежутки постоянного зна­ го знака: ка — множества решений нера­ Ах) > 0 и f(x) < 0 венств f(x) > 0 и Ах) < 0. Гео­ Ах) > 0: [а; х х) и (х2; х3) метрически — это интервалы Ах) < 0: (хх; х 2) и (х3; Ь] оси х, соответствующие точкам графика, лежащим выше (или ниже) этой оси Промежутки монотон­ ности: Ах) Т или f(x) 4 Ах) t: [тга,; т2] и [т3; Ъ] Ах) 4: [о; т{\ и [т2; т3]

Точки экстремума: Х щ а х И Xmin Хщ ах' ^ 2

xmin: т х, т3

Промежутки монотонности — промежутки оси х, на которых функция возрастает (проме­ жутки возрастания) или убыва­ ет (промежутки убывания). Геометрически — это интерва­ лы оси х, где график функции идет вверх или вниз Точки экстремума — точки, лежащие внутри области опре­ деления, в которых функция принимает самое большое (мак­ симум) или самое малое (мини­ мум) значения по сравнению со значениями в близких точках. Геометрически — около точек экстремума график функции выгибается выпуклостью вверх или вниз

Графический

У

J

а ЧУо L V

x

У

- 4 *2/ X j\jO

V 3

\

x

У

\ ГХ * 2 / a x{\Jo

\*з

ь X

У

^ а

тх1

^ rn3

b x

2

У

--- тх \ m 3 a \ i / rri2

b

x

127

Окончание табл. Способ представления функции Символический

Графический

Словесный Обычно точки экстремума раз­ деляют промежутки монотон­ ности

Наибольшее и наимень­ шее значения: Ун аи б Ч У н а и м = м при х = т 2 Ун а и м = пг при х = т3 i/н а и б

Область значений: Е = E(f) £ ( /) = [ш; М]

Говорят, что в точке х 0 функ­ ция f принимает наибольшее (наименьшее) значение, если /(х 0) > f(x) (/(х„) ^ /(*)) Для лю­ бого значения х. Само число f(x0) и называется наибольшим (наименьшим) значением функ­ ции. Геометрически — это ор­ динаты самой высокой (самой низкой) точки графика

У м

J

пАт3 Х 7т \

—— х

*/

Область значений функции — множество чисел, состоящее из всех значений функции. Гео­ метрически — это проекция графика функции на ось у

м

J \У

т

\

— х

Почему нужно быть внимательным при исследовании функции? 1. Связь м еж ду нулями ф ункции и проме­ ж уткам и постоянного знака не всегда бывает такой простой, как на приведенном графике (в р а ссм о тр ен н ом п р и м ер е н ул и ф ун кц ии разделяли пром еж утки постоянного знака). Ф ункция м ож ет обратиться в нуль, но иметь оди н ак овы й зн ак сл ева и справа от корня (рис. а). Н е в сегда верно и обр атн ое — граница двух соседних промеж утков постоянного зна­ ка не обязательно является корнем функции. Однако в этом случае график ф ун кц ии дол­ ж ен иметь р а з р ы в (рис. б) 2. Мы применяем термин «монотонность» (возрастание, убывание) только по отношению к промежуткам, целиком входящ им в область определения функции.

128

Так, функция на рисунке б убывает на каж ­ дом п р о м еж у т к е, не содер ж ащ ем н у л я , но нельзя сказать, что она убывает везде (на всей области определения). 3. Точка экстремума (максимума, миниму­ ма) долж на леж ать в н у т р и области определе­ ния ф ункции (чтобы м ож но было сравнивать зн а ч ен и я ф у н к ц и и сл ев а и сп рав а от н ее, рис. в). Точка, в которой функция принимает наи­ большее (наименьш ее) значение, мож ет н ахо­ диться где угодно. Как правило, это либо одна из точек эк с­ трем ум а, либо одна из граничны х точек об­ ласти определения (рис. г). З а м еч ан и е. Точек экстремума м ож ет быть сколько угодно. Н аибольш ее (наименьш ее) значение ф унк­ ции, если оно сущ ествует, всегда единствен­ но, однако оно мож ет приниматься в несколь­ к и х р азл и ч н ы х точ к ах. К огда мы говорим «т о ч к а э к с т р е м у м а » или «т оч ка, в ко т о ­ рой ф у н к ц и я п р и н и м а ет наибольш ее з н а ч е ­ н и е », то имеем в виду точки, располож енны е на оси х , а не точки граф ика. Н аибольш ее (наим еньш ее) значение — это точка, распо­ л ож енн ая на оси у. 4. В рассмотренном примере областью зн а­ чений ф ун кц ии был отрезок [тп; М \ , концы которого — наименьш ее и наибольш ее зн аче­ ния ф ункции. Так бывает не всегда. Во-первы х, часто у ф ункции нет наиболь­ шего или наименьш его значения (рис. д). Во-вторых, если ф ункция достигает своих наибольшего и наименьшего значений, но яв­ ляется ра зр ы вн о й , то некоторые пром еж уточ­ ные точки м еж ду т и М могут пропускаться, т .е . не входить в область значений функции (рис. е).

д

У У= 1 0

X

Как на практике используется схема исследования функции? И сследование ф ункций, заданны х анали­ тически, м ож но свести к исследованию стан­ дартных ф ункций, зная, как меняются свой­ ства при преобразовании функций и операци­ ях над ними.

129

П реобразования ф ун к ц и й будут изучены на отдельном занятии (см. занятие 3), а сей ­ час повторим основные свойства простейш их ф ункций с помощью их графиков. 1. у = 1 — постоянн ая ф ун к ц и я . Ее гра­ фик — прямая, параллельная оси х. 2. у = х — линейная ф ун кц ия. Ее графи­ ком будет биссектриса первого и третьего ко­ ординатны х углов. 3. у = — — обратно пропорциональная завих симость м еж ду значениями ф ункции и значе­ ниями аргумента. 4. у = х 2 — квадратичная функция. Ее гра­ фиком будет парабола с вершиной в начале ко­ ординат, симметричная относительно оси у. 1 5. у = х 2 — ст еп е н н а я ф у н к ц и я . Ее гр а ­ фик — ветвь параболы. 6. у = 2х; у = lo g 2x — показательная и ло­ г а р и ф м и ч е с к а я ф у н к ц и и . О ни в за и м н о обратны (см. занятие 3). 7. у = s in x ; у = c o s х — основные тригоно­ метрические ф ункции. И х графики — си н у­ соиды , различаю щ иеся на л /2 .

^

Вопросы и упражнения

■ 1. М ожет ли функция у = f(x) быть монотонной, а при этом уравнение f(x) = 1 иметь два корня? 2. Может ли функция принимать каждое свое значение ровно два раза? 3. Может ли функция иметь два максимума и ни одного минимума? 4. Может ли функция возрастать на всей числовой оси и удовлетворять неравен­ ству \f(x)\ < 1 ? 5. Может ли функция иметь максимум, но не иметь наибольшего значения? 6. Может ли значение функции в точке максимума быть меньше значения в точ­ ке минимума? 7. Могут ли совпадать наибольшее и наименьшее значения функции?

130

8. Может ли функция принимать свое наибольшее значение в двух разных точ­ ках? 9. Верны ли следующие утверждения: 1) график функции у = (х + I)2 - х 2 — прямая; 2) график функции у = (я + I)2 - 1 — гипербола; 3) график функции у = х 2 + (х + I)2 — парабола?

Занятие 3 Преобразования функций и действия над ними Что можно получить из стандартных функций, применяя действия над ними? 1. У м е н ь ш е н и е о б л а с т и о п р е д е л е н и я ф у н к ц и и (огр а н и ч ен и е). У ф ункции у = f(x) с областью определения D м ож но уменьш ить область опр едел ени я, сохранив правило вы­ числения ее значений. Т а к а я о п е р а ц и я н а зы в а ет с я о г р а н и ч е ­ нием. Т ак, ф ун к ц и ю у = х 2, задан н ую на всей числовой оси, м ож но рассмотреть только для неотрицательных значений аргумента и запи­ сать у = х 2, х > О. Если А с D , то ограничение ф ункции f с областью определения D на подмнож ество А иногда обозначают так: f \А. / 2. Ариф м ет ически е операции над ф ун к ц и ­ ями. Ф ункции с одной и той ж е областью оп­ ределения м ож н о складывать, перемнож ать и делить друг на друга по следую щ им прави­ лам: • ( / + g)(x) = f(x) + g(x);

Ограничение У = х

х>0

Сложение функций

у = х + sin х

Взаимно-обратные функции

• (fg )(x ) = f(x)g(x); (x) =

f(x )

g(x)' При слож ении и ум нож ении ф ункций об­ ласть определения сохраняется. При делении из нее выбрасываются точки, в которы х зн а­ менатель обращ ается в нуль. 3. П о ст роен ие сложной ф ун к ц и и ( ком п о­ зиции ф ункции).

у = -Jx + 1 и у = х 2 - 1; х>0

131

Арифметические действия над функциями

П римеры, l . i / = -/£ -— . Эта функция по­ лг -1 л учена из простейших с помо­ щью ари ф м ети ч еск и х оп ера­ ций. Ее область определения — все числа, кроме тех, для кото­ рых х 2 - 1 = 0. Для краткости область определения можно за­ писать так: D = {л: е R | х * ±1} или проще D: х * ±1.



,

sin*



2 . у = t g x = -------. Т ан ген с cosx получается делением синуса на косин ус. Его область оп реде­ ления — все числа, кроме тех, для которых cos х = 0;

D = 1 х еК |л :^ —+ kn, k € Z I 2 3. Если необходимо выпол­ нять арифметические операции над функциями, имеющими раз­ ные области определения, то бе­ рут общую часть областей опре­ деления. Функцию вида у = —+ \Jx + 1

х

можно считать суммой функций у = — и у = Vx~+T. Общей обла-

х

стью определения будет множе­ ство D = {х ^ 0, х > - 1 , k е Z}. Композиция двух функций

П римеры

1. Пусть Дх) = х2, g(x) = sin х. ( / о g)(x) = /(sin x) = sin2x, (g ° /)(x) = sin x 2. 2. у = \ l l - x 2. Ф ун к ц и ю у можно представить в виде ком­ позиции функций: g(x) = 1 - х 2 и / ( х ) = у/х, у = ( / ° g)(x)=f(g(x)) = = V1 - х 2. Для нахождения об­ ласти определения нужно взять значения х, для которых 1 - х2 > > 0, т .е. D = [-1; 1].

132

К ом п о зи ц и я — это последовательное при­ менение двух или нескольких ф ункций. К ом позиция ф ункций f и g часто обозн а­ чается f ° g . Она осущ ествляется по сл едую ­ щ ему правилу: ( / ° £)(*) = f(g(x)), т .е . к значению аргумента х сначала приме­ няют функцию g, а затем к ее значению g(x) применяю т функцию /. О бласть о п р ед ел ен и я к о м п о зи ц и и f o g ф ункций f u g находят так: берут те числа х из област и определения ф ункции g, для ко­ торых значения g(x) попадают в область оп­ ределения ф ункции /. ^ / 4 . П о ст роен ие обрат ной ф ун к ц и и . Пусть дана функция у = Д х). Если из этого равенства м ож н о однозначно вы разить х чер ез у: (х = = g(y))> то получим новую ф ункцию , которая н а зы в ается о б р а т н о й к ф у н к ц и и f . П ару функций у - Д х) и х = g(y) называют взаимно­ обратными ф ункциям и. Имеют место тож де­ ства f(g(y)) = у и g(f(x)) = х. Заметим, что зависимости у = Д х) и х = g(y) эквивалентны , выражают одну и ту ж е связь м еж ду переменны ми х и у. П оэтому графики этих зависимостей в сис­ теме координат х О у будут совпадать. Однако, если мы функцию g захотим запи­ сать в обычном виде у = g(x) и построить ее график в той ж е си стем е коорди нат, то мы перейдем от точки (х; у ) к точке (у; х ). Точки (х; у) и (у; х ) симметричны друг другу отно­ сительно прямой у = х. П оэтому графики вза­ имно-обратных ф ункций у = Д х) и у = g(x) в одной и той ж е системе координат х О у будут симметричны относительно этой прямой. Н е дл я всяк ой ф у н к ц и и у = Д х ) м ож н о построить обратную . Н апр им ер , стандартны е ф ун к ц и и у = х 2 или у = sin х не им ею т обратны х. О днак о д л я к а ж д о й и з н и х м о ж н о так ум еньш и ть область оп р ед ел ен и я , чтобы на ней вы полнялось условие однозначности ре­ ш ения уравнения у = Д х ) при задан ном зн а­ чен ии у из области зн ачен ий ф ун к ц и и /.

Например, функция у = %/х является обрат­ ной к функции у = х 2, определенной при х > 0; функция у = arcsin х является обратной к функ­ ции у = sin х , определенной на пром еж утке 7Т_ Л

Заметим, что (g ° f)(x) = 1 (Vx) = 1 —х. Теперь D = [0; +со). 3. Пусть f(x) = s in x , g(x) arcsin х. (f о g)(x) = sin arcsin x = x D =R (g ° f)(x) = arcsin (sin x)

~ 2 ’ 2_Г 5. С кл еи ва н и е ф ун кц и й . Часто встречают­ ся ф ун кц ии , заданны е разны ми формулами на р азны х частях области определ ени я. И х м ож но представлять составленными (склеен­ ными) из различны х ф ункций. Н а п р и м ер , ф у н к ц и я у = |х| с к л е е н а и з функции у = х , взятой при х > 0 и у = - х при / х < 0. З а м е ч а н и е . Ч асто ф ун кц ии , получаемы е из простейш их стандартных функций с помо­ n. n На отрезке ф ункщью рассмотренных выше операций, называ­ 2’ 2 ют э л е м ен т а р н ы м и ф ун кц ия м и . ция arcsin x является обратной Почему полезно представлять функцию как результат действий над простейшими функциями? Если научиться следить за тем, как м еня­ ются свойства ф ун к ц и й при тех или ины х действиях над ними, то это м ож ет облегчить исследование ф ункций. Обсудим, например, монот онност ь ф у н к ­ ций. Сформулируем несколько правил. 1. Если каж дая из двух функций возраста­ ет на некотором пром еж утке, то и сумма этих функций возрастает на этом пром еж утке. 2. Если функция f возрастает на некотором пром еж утке, то ф ункция - f убывает на этом пром еж утке. 3. Если каж дая из двух функций возраста­ ет на некотором промеж утке и положительна, то и произведение этих ф ункций возрастает на этом пром еж утке. 4. Если функция f возрастает на некотором пром еж утке и строго сохраняет на нем посто­ янный знак (не обращ аясь в нуль), то ф ун к­ ция — убывает на этом пром еж утке.

к ф унк ц ии s in x . На отр езк е [-1; 1] функция s in x является обратной к функции arcsin х. Склеивание функций

1, х < 1, X, X > 1. Монотонность функций

1. Ф ун к ц и я у = —

х

будет

возрастающей на промеж утке (0 ; +оо),

так как функция у

=



х

является убывающ ей на этом промежутке. 2. Функция у = 2 х явля-

X

ется возрастаю щ ей на пром е­ жутке (-со ; 0), так как получена как сумма двух функций у = 2х

1 X

и у = — , к аж дая из которы х возрастает на этом промежутке. 3. Функция у = tg x является возрастающей на промеж утке

133

5. Если каж дая из двух ф ункций является возрастающ ей, то и их композиция будет воз­ растающ ей. изведением функций у = s in * 1 П ри и сп ол ьзован и и этого свойства надо и у = ------- , каждая из которых cos* следить за областями определения и теми про­ возрастает на этом промежутке. меж утками, на которых исследуется монотон­ ность. Для функции у = —-— примеcos * 6. Если ф ункция возрастает на некотором нено правило 4. пр ом еж утке, то и обратная к ней так ж е бу­ Функция у = - t g * будет убыдет возрастать на том пр ом еж утке, который Г„ 71 вающеи на промежутке 0; — является областью зн ачен ий и сходн ой ф ун ­ кции. Функция у = tg * на промежут7. Если функция склеена из двух функций, ке | 0 является возрастаю­ возрастающ их на пром еж утках, имею щ их об­ щей. Применив правило 7, по­ щ ую точ к у, то она будет возр астаю щ ей на лучим, что тангенс возрастает объединенном пром еж утке. 7t. 7t) Все правила приведены для возрастающ их на всем промежутке 2’ 2/ ф ункций. 4. Функция у = arcsin* воз­ Случай убывающих функций рассматрива­ растает на всей области опре­ ется аналогично. деления (промежуток [-1 ; 1]), Сформулированные правила доказываются так как является обратной к воз­ с использован ием ар и ф м ети ч еск и х свойств растающей функции у = s in * , неравенств. 7t_ П 0; —j , так как она является про­

2 ’ 2_

Вопросы и упражнения

1. Докажите сформулированные правила о сохранении монотонности функций при операциях над ними. 2. Что такое композиция функций? 3. Как найти естественную область определения сложной функции? 4. Какие две функции называются взаимно-обратными? 5. При каком условии функция имеет обратную? 6. Является ли монотонность функции необходимым условием существования об­ ратной функции? 7. Как связаны между собой свойства взаимно-обратных функций? 8. Как выразить через арксинус функцию, обратную к функции у = sin * , задан­ ной при х е —• — ? 1 2 '

2 J

9. Даны две функции f u g . Постройте их композиции u = f ° g a v = g ° f :

1) /(*) = - ; §(х) = * 2 + 1; х

2) f(x ) = | ° при х ~ ° ’ [ * п р и * > О;

8(х) = х 2 - 1.

10. Докажите равенство ( / ° g) ° h = f ° (g ° h).

134 I

Занятие

4

Симметрия функций и преобразование их графиков Какие свойства симметрии возникают у функций и как они проявляются на графиках? 1. О севая си м м ет ри я . Чет ны е ф ун кц и и . Рассм отрим простейш ий случай, когда гра­ фик ф ун к ц и и у = Д х ) сим м етричен отн оси ­ тельно оси ординат. Это означает, что ее об­ ласть о п р ед ел ен и я D сим м етр ич на о тн о си ­ тельно начала координат (точки х и - х одно­ временно принадлеж ат или не принадлеж ат D) и что Д -х ) = Д х ), т. е. точки (х , Д х)) и ( - х , Д -х )) симметричны относительно оси у. Ф ункции с такой симметрией графика на­ зы ваются чет ны м и ф ун кц и я м и . 2. Ц е н т р а л ь н а я си м м е т р и я . Н е ч е т н ы е ф у н к ц и и . Р ассм отри м простейш ий сл учай , когда график ф ункции у = Д х) симметричен относительно начала координат. Это означа­ ет, что ее область определения D симметрич­ на относительно начала координат (точки х и - х одновременно принадлеж ат или не при­ надлеж ат D) и что Д - х ) = - Д х ), т .е . точки (х, Д х)) и ( - х , Д -х )) симметричны относительно точки 0. Ф ункции с такой симметрией графика на­ зываются неч ет ны м и ф ун кц ия м и . Четность и нечетность ф ункции м ож ет со­ храняться при ариф метических операциях: 1) сум ма четны х (нечетны х) функций б у ­ дет четной (нечетной) функцией; 2) произведение двух четны х или двух не­ четны х ф ункций будет четной ф ункцией. 3. П роизведение четной функции на нечет­ ную будет нечетной ф ункцией.

Четная функция

Примеры

1. у = с (постоянная функ­ ция). 2. у = х 2. 3. у = cosx.

Примеры

1. у = X.

П рим еры 1. у = х 4 - 2 х 2 + 1 — четная ф ункция как сум ма трех четны х функций; 2. у = х + sin x — нечетная функция; о sinx , 3. у = -----------четная функция как произве­

У



;

о

д ен и е д в у х н еч ет н ы х ф у н к ц и й у = s i n x и 1

2. у = sinx.

У = —■

135

Взаимно-обратные функции (симметрия относительно прямой у = х)

Периодичность функций

Примеры,

1 ■у = sin*, у = c o s х (Т = 2л) 2. у = tg x , у = c tg * (Г = л). 3. у = * - [ * ] (Г = 1).

4. у = arcsin(sin*) (71 = 2л).

Параллельный перенос графика функции

г/ = /(* ) -> у = f(x - а)

y = f(x)



136

*о+а

y - f(x -a )

О

3. Симметрия относительно прямой у = х. Граф ики взаи м но -обрат н ы х ф ун кц ий . Пусть задана ф ункция у = f(x), имею щ ая обратную. Н ап ом н и м , это озн ач ает , что и з равенства у = f(x) м ож но * однозначно выразить через у: х = g(y), где g будет ф ункцией, обратной к функции /. 4. Периодичность ф ункции. Самосовмегцение при параллельном переносе. О периодиче­ ск их ф ун кц иях мы говорили в гл. 6 (см. за­ нятие 4) при рассмотрении тригоном етриче­ ск их ф ункций. Н апомним определение и ос­ новны е свойства п е р и о д и ч еск и х ф ун к ц и й . Ф ункция у = /(* ) называется периодической, если сущ ествует число Т > 0 такое, что вы­ полняется равенство f(x) = f(x + Т), верное при всех *. П ри этом предполагается, что при всяком допустимом значении * точки х ± Т такж е вхо­ дят в область определения ф ункции. Это, в частности, означает, что если Т — пери од ф ун к ц и и / , то и чи сл а п Т (п — на­ тур ал ьн ое чи сл о) я в л я ю тся ее п ер и одам и . Обычно м ож но выделить наименьш ий (поло­ ж ительны й по оп р едел ен и ю ) пери од ф у н к ­ ции, который называют главным, или основ­ ным, периодом. П ериодическую функцию до­ статочно исследовать в пределах одного пери­ ода. Д алее ее свойства будут пери оди ческ и повторяться. График периодической функции не меняется при параллельном переносе вдоль оси х: х -> х + Т. Если Т — общ ий период двух ф ункций, то Т остается периодом суммы , произведения и частного этих ф ункций. Сумма пери оди чес­ к и х ф ун к ц и й с разны м и пери одам и м ож ет быть как периодической, так и не быть тако­ вой. 5. П а р а л л е л ь н ы й перенос граф и ка. Пусть известен график ф ункции у = /(* ). Н еобходи­ мо в этой ж е системе координат х О у постро­ ить график ф ункции у = g (* ), где g(x) = f(x - а) + b. Сделаем параллельны й перенос си ­ стемы координат хО у. Если перенести начало отсчета О в точку 0 ’(а; Ъ), то новые координаты (*'; у') п р ои з­ вольной точки Р будут связаны с преж ним и ее координатами (*; у) формулами:

х' = х - а

х = х' + а

У'= У - Ъ

у = у' + ъ

Параллельный перенос графика функции

У = f(x) —> у = f(x) + Ь

Чтобы не ош ибиться в зн аках, подставьте координаты точки О'. Ее преж ние координа­ ты (х; у ) долж ны быть (о; Ь), а новые ( х 1; у') = = (0; 0). П одставим в запись ф ункции g новые пе­ ременные х' и у', т .е . заменим х = х' + а, у = = у' + Ъ. П олучим у' = f(x'). Это означает, что график ф ункции у = g(x) в системе координат х О у совпадает с графиком функции у' = f(x') в системе координат х'О'у'. Это подсказывает сп о со б п о с т р о е н и я гр а ф и к а ф у н к ц и и у = = g(x ) — нуж но выполнить параллельный пе­ ренос системы координат и в новой системе постр оить и звестн ы й граф ик ф ун к ц и и у = = /(*)• В частны х сл уч ая х, когда а или b равно н у л ю , п р о и с х о д и т п е р е м е щ е н и е гр а ф и к а вдоль осей координат. 6. Раст яж ение граф и ка. Пусть нам извес­ тен график функции у = fix ), а мы хотим по­ строить график ф ункции у = g (x ), где g (x ) =

Параллельный перенос графика функции

У = f(x) -> у = f (x - а) + Ь

= kf[^y j , где k > 0, I > 0 — заданны е числа.

, X х =— 1

X = 1х'

п

Это преобразование связано с изменением масш таба, выбранного для осей координат. Введем новые координаты.

У = ky' Растяжение графика

Как и в преды дущ ем случае, видим , что функция у = g (x ) при изм енении переменны х станет функцией у' = f(x'). Таким образом, для построения графика ф ункции у =



у = f(x)

—> у =

• У = fix) -* у = / ( 2х).

надо

изменить масштаб по осям х и у и построить в новой системе координат график ф ункции У = fix). В частны х случаях, когда k или I равно 1, происходит растяж ение (сж атие) вдоль одной из координатны х осей.

137

Симметрия относительно координатных осей

• симметрия относительно оси Ох у = Д х) -> у = -Д х); • симметрия относительно оси Оу у = Д х) -> у = Д -х ).

7. С им м ет рия от носит ельно коо р д и н а т ­ н ы х осей. П ереход от ф ункции у = Д х ) к ф ун­ кции у = Д - х ) соответствует симметричному отраж ению графика относительно оси орди­ нат. Зам етим , что ф ун кц ия у = / ( - х) м ож ет иметь иную область определения, чем ф унк­ ция у = Д х ), если область определения ф унк­ ции f не сим м етрична относительно начала координат. А налогично переход от ф ун к ц и и у = f(x) к функции у = - f ( x ) соответствует симметрич­ ном у отраж ен ию графика относительно оси абсцисс, потому что так симметрично распо­ лож ены точки (х; у) и (х; - у ) . П ользуясь тремя типам и преобразования графиков — параллельным переносом, растя­ ж ен и ем (сж ат и ем ) вдоль осей к оор ди н ат и осевой симм етрией, м ож но, исходя из графи­ ка ф ункции у = Д х ), построить график ф унк­ ции у = kf(l(x - а)) + Ъ при любых значениях параметров а, Ъ, k и I.

Вопросы и упражнения

■ 1. Что такое четная функция? 2. При каком условии функция, заданная многочленом, является нечетной? 3. Какое требование предъявляется к области определения четной и нечетной функций? 4. Какая функция является периодической? 5. Приведите пример периодической функции. 6. Как будет перемещаться график функции у = Дх - а) при изменении параметра а?

7. Как будет перемещаться график функции у = f(x) + Ь при изменении параме­ тра Ь? 8. Как будет перемещаться график функции у = Д х - а) + Ь при изменении параметров а и Ь? 9. Как связаны между собой графики функций у = Дх), у = Д -х) и у = -Дх)? 10. Как связаны между собой области определения функций у = Дх), у = Дх - а), у = Дх) + Ь, у = Д -х) и у = -Дх)? 11. Как будет меняться график функции у = f(kx) при изменении параметра ft? От­ ветьте на такой же вопрос для функции у = ft/(x).

138

Занятие

5

Непрерывность функции Какие особенности функции могут встретиться при ее исследовании? 1. Т о ч к а р а з р ы в а ф у н к ц и и — это точка, около которой значения ф ункции совершают ск а чо к . Точнее, точка дг0 называется точкой р а з р ы в а ф ункции, если м ож но указать такое расстояние d , что сколь угодно близко к х 0 всегда найдутся точки, в которы х значения ф ункции располож ены друг от друга на рас­ стоянии, больш ем, чем d. В первом примере скачок функции в точке разры ва б еск он е ч е н , во втором — ко н еч ен . Р(х) Рациональные функции вида у = ------ , где Р(х) Q(x) и Q (x) — многочлены, имеют разрывы с бес­ конечным скачком в корнях знаменателя. 2. Н еп р ер ы в н о с т ь ф ун к ц и и на п ром е­ ж ут ке. Ф ункция называется непрерывной на некотором промеж утке, если у нее нет на этом пром еж утке точек разрыва. П онятие непрерывности функции соответс­ твует представлению о непрерывности движ е­ ния карандаша при изображ ении ее графика. Рациональная функция непрерывна на лю ­ бом п р ом еж утк е, не содерж ащ ем корней ее знам енателя. В частности, график ф ункции f = Р (х ), где Р (х ) — многочлен, непрерывен на всей числовой оси. Ф ункция называется гл а дкой , если в к а ж ­ дой точке ее графика м ож но однозначно про­ вести кас а т е л ь н ую . 3. Угловы е т очки. Точки, в которых нару­ ш ается гладкость, распознаю тся на графике легко — это, р азум еется, ее точки разрыва, а такж е угл о в ы е т очки, типичным примером которы х является точка х = 0 для ф ункции у = |х|. В школьной практике угловые точки связа­ ны исклю чительно с вычислением модуля и появляются при построении графиков функций типа у = |/(дс)|. В угловой точке сама функция остается непрерывной, однако нарушается не-

П рим еры Точка разрыва функции

1. Функция у = — имеет раз­ ят рыв в точке х = 0:

2. Функция у = sin я: = -1 при х < 0; = \ 0 при х = 0; 1 при х >0 имеет разрыв в точке х = 0: У

1

Непрерывность функции на промежутке У

Гладкая функция

139

Угловые точки

прерывность изменения касательной к графи­ ку. М ожно сказать точнее, что в угловой точке угол наклона касательной имеет скачок. 4. В ы п у к л о с т ь ф у н к ц и и . Н аглядны м свойством граф и ка ф ун к ц и и на некотором пр ом еж утке является его в ы п у к л о с т ь . Она мож ет быть направлена как вверх (например, у ф ункции у = - х 2), так и вниз (у = х 2). Точка, в которой меняется характер выпуклости, на­ зывается т очкой перегиба ф ункции. В близи нее граф ик ф ун к ц и и п ер еги бается . Е сли в этой точке м ож но провести касательную , то видно, что по одн у сторону от точки п ереги­ ба график ф ункции начинает уходи ть выше к асател ь н ой (в эту ст ор он у гр аф и к ст а н о ­ вится выпуклым вни з), а по другую сторону график уходи т вниз (становится выпуклым вверх). 5. А си м п т от а графика функции. Асимпто­ той графика ф ункции называется прямая, к которой неограниченно приближ аю тся точки графика функции при их удалении от начала координат. Асимптоты бывают вертикальные и наклонны е. Вертикальны е асимптоты м о­ гут появиться только тогда, когда ф ункция имеет бесконечный разрыв, т. е. скачок ф унк­ ции в точке разрыва бесконечен. Н аклонны е асимптоты могут быть только в том случае, если область определения ф ункции бесконеч­ на.

Вопросы и упражнения

■ Функция у = f{x) задана графиком а, а функция у = g(x) — графиком б.

а

б

Ответьте по графику, верны ли для этих функций следующие утверждения. 1. 2. 3. 4.

140

Функция Функция Функция Функция

непрерывна на всей области определения. имеет одну точку разрыва. является гладкой при х > 1. является гладкой на промежутке (1; +оо).

5. Функция имеет одну точку, в которой она определена и при этом нарушается ее гладкость. 6. Функция имеет одну угловую точку. 7. Функция имеет ровно один нуль. 8. График функции не имеет асимптот. 9. Касательную можно провести в любой точке графика. 10. Ровно в двух точках графика касательная параллельна оси х. 11. На промежутке (0; 1) функция является выпуклой вверх. 12. При х > 1 функция является выпуклой вниз. 13. Неравенство f(x) < 0 верно на всей области определения. 14. Функция не имеет точек перегиба. 15. Функция имеет одну точку перегиба. 16. Функция не имеет наибольшего значения. 17. Функция не имеет наименьшего значения. 18. Функция имеет ровно один максимум. 19. Функция имеет ровно один минимум. 20. Существует только одно число а такое, что уравнение f(x) = а имеет ровно один корень. 21. Не существует таких чисел а, для которых уравнение f(x) = а имеет ровно три корня. 22. При каждом значении к уравнение f(x) = kx имеет ровно два корня. 23. Существует бесконечно много значений к, при которых уравнение f(x) = kx име­ ет ровно два корня. 24. Существует такое число а, что уравнение f(x) = ах2 имеет ровно один корень.

Развитие понятия функции «Поворотным пунктом в математике была декартова переменная в е­ л и ч и н а ». Эти слова немецкого философа Ф .Энгельса кратко отражают важнейш ее изменение в развитии математики, произош едш ее в XVII в., и называют первого ученого, с именем которого это изменение связано. В еликий французский философ Рене Декарт в центр своей философ ­ ской системы поставил понятие движ ения. В математике он рассматри­ вает л ин ии, которы е «описаны непрерывны м дв и ж ен и ем или ж е н е­ скольким и таким и последовательны ми дв и ж ен и я м и , и з которы х п о ­ сл едую щ и е вполне определяю тся им предш ествую щ им и —- ибо этим путем всегда м ож но точно узнать им м еру». Декарт осущ ествил давно назревш ее в математике слияние алгебры с геометрией, соединив оп е­ рации над постоянными числами и построения геометрических линий в одн у н аук у, центром которой стало представление геометрического объекта уравнением , связывающ им различные переменны е величины. В словах Декарта о необходим ости рассматривать одни переменны е величины как вполне определяемы е им предш ествую щ ими у ж е за л о ­ ж ен а центральная идея функциональной зависимости. Однако понятию

141

Рене Декарт (1596 — 1650) Французский философ и математик, физик и физиолог; автор работы «Рассуждение о методе» (1637 г.). В геометрическом приложении к этой работе он обосновывает геометрический метод ре­ шения уравнений с помощью системы координат, которая с тех пор носит его имя. Заложил основы современного научного мышления.

функции предстоял ещ е долгий путь развития, пока он не привел к тому, которым пользуются сейчас в математике и ее при лож ен иях. В 1718 г. блестящ ий ученик Г. Л ейбница И о­ ганн Бернулли дал следую щ ее определение: «Ф ункцией переменной ве­ личины называют количество, образованное к а к и м угодно способом из этой перем енной величины и постоянны х». Весь XVIII в. проходил в я в н о м и н е я в н о м с п о р е в ы д а ю щ и х с я м а т е м а т и к о в (Д . Э й л е р а , Ж . Д ’Аламбера, Ж . Ф урье и др .) о том, что следует понимать под ф ун к­ цией. Этот спор не был схоластически м . Он возник из различны х р е­ ш ений важной практической задачи о форме колебаний струны и в кон­ це концов значительно расширил понятие функции, привел к открытию новых важ ны х способов ее задания (например, в виде налож ения бес­ конечного количества колебаний). В 1855 г. великий русский математик Н. И . Л обачевский дал вполне современное определение ф ункции, которое в формулировке немецкого математика Л. Дирихле звучит так: «Переменная у есть функция перемен­ ной х, если каж дом у значению х соответствует совершенно определенное значение у, причем безразлично, каким образом установлено это соответ­ ствие — аналитической формулой, графиком, таблицей либо даж е просто словами». В данном курсе мы фактически следуем этому определению. Д альнейш ее развитие математики показало, что нельзя ограничить­ ся лиш ь какими-то «просто» описываемыми способами задания ф ун к­ ций, гораздо полезнее допустить любой мыслимый способ соответствия м еж д у переменны ми. Это привело в начале X X в. к отчетливым ф ор­ м улировкам понятия ф ун к ц и и как отобр аж ен и я , которое позволяет каж дом у элементу данного числового множ ества однозначно поставить в соответствие другое число. Такое поним ание ф ункции, распространенное к тому ж е не только на числа, но и на множ ества произвольных объектов, сильно обогатило возм ож ности математики. Развитие вычислительной техники и ее математического обеспече­ ния привело к изм енению взгляда на ф ункцию в другом направлении. М аш ина м ож ет иметь дело с ф ункцией лиш ь тогда, когда способ вы­ числения ее значений задан точным предписанием , алгоритмом. Н ако­ нец, источником развития понятия ф ункции явилась (и продолж ает оставаться до сих пор) физика, которая потребовала от математиков су ­ щ ественного обобщ ения понятия ф ункции.

г < со < с:

^

Многогранники и круглые тела

Занятие

1

Словарь геометрии Какие геометрические понятия нам знакомы? 1. П р о с т р а н с т в о . Ч еловек представляет себя и все, что его окруж ает, помещ енным в п рост ран ст во. Это пространство наполнено т ел а м и . Д ля описания располож ения и вза­ имодействия тел в пространстве математика создала упрощ енную модель — геом ет р ич е­ ское п рост ранст во, придумала способы, как разм ещ ать в этом простран стве различны е тела (ф игуры ), как и х передвигать и совер­ шать с ними другие преобразования. У нас им ею тся интуитивны е представле­ ния о р а зм е р н о с т и — числе изм ерений, на­ правлений, необходим ы х для описания гео­ м етрических объектов. П рямая считается од­ номерной, обладающ ей единственным «изм е­ р е н и е м » , к от о р ое м о ж н о н азв ать д л и н о й . П лоскость дв ум ер н а . Ф игуры, составляющ ие части плоскости, м ож но измерять в двух на­ правлениях, которые условно м ож но назвать д л и н о й и ш и р и н о й . Г ео м ет р и ч еск о е п р о ­ странство считается т рехмерны м (длина, ш и­ рина, высота). Размерность часто приписывают не только прямой, плоскости, пространству, но и н ахо­ дящ имся в них фигурам. Естественно считать линию (ок руж н ость, параболу, спираль, л о­ маную и т. п .) одномерной; плоскую или кри­ вую поверхность (многоугольник, сферу как

Шар

Цилиндр

143

Конус

Куб

Тетраэдр

144

поверхность ш ара, поверхность куба и т .п .) двумерной, а сам куб или шар трехмерны ми. 2. П р о ст р а н с т ве н н ы е т ела. Термин «фи­ гура*> им еет общ ий характер и м ож ет отно­ ситься к самым разны м объектам , располо­ ж енны м как на плоскости, так и в простран­ стве. Трехмерные фигуры часто называют т е­ л а м и . П ри этом тело счи тается огр ан и чен ­ ным, расположенным в ограниченной, конеч­ ной части пространства. Читателю уж е хорошо знакомы такие тела, как ш ар, куб, п а р а л л е л е п и п е д , п р и зм а , п и ­ р а м и д а , кон ус, цилиндр. У в сех тел есть г р а н и ц а и в н у т р ен н я я часть. Граница куба, параллелепипеда, при­ змы , пирамиды состоит из многоугольников. Вообщ е фигура, ограниченная многоугольни­ кам и, называется м н ого гра н н и ком . К уб, па­ раллелепипед, призма, тетраэдр, пирамида — это частные виды многогранников. М ногоугольники, составляю щ ие границу многогранника, называются его гранями. Смеж­ ные (соседние) грани соприкасаются по ребрам, а ребра сходятся в верш инах. Разумеется, эта терминология хорошо знакома читателю. Ш ар, цилиндр и конус являются круглы ­ ми телами. И х граница не состоит из плоских областей. Она мож ет быть описана с помощью вращ ения. Если вращать какую -либо кривую в плоскости вокруг оси , л еж ащ ей в той ж е плоскости, то получается поверхность вращ е­ ния. П оверхности шара, цилиндра и конуса образую тся при вращ ении простейш их кри­ вых — окруж ности и прямой. Н етрудно себе представить, что сф ера (п оверхн ость шара) п олучается при вращ ении пол уок руж ности вокруг ее диаметра, боковая поверхность ци­ линдра — при вращ ении отрезка вокруг па­ раллельной ей оси, а боковая поверхность ко­ нуса — при вращ ении отр езк а вокруг оси , проходящ ей через одну его верш ину. Таким образом, шар, цилиндр и конус при­ надлеж ат к другому, неж ели многогранники, обш ирному классу фигур — ф игур (или тел) вращ ен и я. П риведем примеры окруж аю щ их нас тел, которые в первом приближ ении м ож но счи­ тать фигурами вращения:

• купола православных церквей; • накачанная автомобильная камера («ба­ ранка»), им ею щ ая форму фигуры вращ ения, близк ую к той, которая получается при вра­ щ ен и и к р у га в ок р у г н еп е р е сек а ю щ е й его оси . В м атем атике такую ф и гур у называют т ором; • многие предметы домаш ней утвари (гор­ ш к и , м иски и т. п .), часто изготовляем ы е с помощ ью гончарного круга; • природные явления — водовороты, смер­ чи и т. п. Важны м свойством многих фигур и тел яв­ ляется и х в ы п у к л о с т ь . Ф игура назы вается в ы п у к л о й , есл и л ю бы е две точ к и ф и гуры м ож но соединить отрезком , целиком прина­ длеж ащ им этой фигуре. Понятие выпуклости относится как к двумерны м, так и трехм ер­ ным фигурам.

Тор

Вопросы и упражнения

■ 1. Приведите примеры одномерных, двумерных и трехмерных фигур. 2. Какие виды многогранников вам известны? 3. Как получить тело вращения? 4. Какая фигура называется выпуклой?

Занятие

2

Параллелепипеды и призмы Как можно уточнить знакомые понятия параллелепипеда и призмы?

Призма

1. Определения. П р и з м а — это многогран­ ник, у которого выделены две грани (основа­ ния призмы), леж ащ ие в параллельных плос­ костях, являющ иеся равными и параллельно расположенными многоугольниками (т. е. одно основание призмы получается параллельным переносом другого). Боковые ребра призмы соединяют соответ­ ствующ ие вершины оснований. Они равны и параллельны друг другу.

145

Покровская церковь в Кижах

Здание Министерства обороны США

Боковые грани призмы представляют собой параллелограммы. П ризм а называется прямой, если ее боко­ вые ребра перпендикулярны основаниям (бо­ ковые грани при этом такж е перпендикуляр­ ны плоскостям оснований.) П рям ая призм а назы вается п р а ви л ь н о й , если ее основаниям и являю тся правильные многоугольники. Четы рехугольная призма, в основании ко­ торой леж ит параллелограмм, называется п а ­ ра л лел еп и п е д о м . 2. П рим еры . Почти каж дое архитектурное сооруж ение имеет в своей структуре коробки в виде призм: • П окровская церковь в К и ж ах представ­ ляет собой восьмерик — правильную восьми­ угольную призму; • в основе Пентагона — здания М инистер­ ства обороны СШ А — л еж и т пятиугольная призма. 3. Свойство диагоналей параллелепипеда.

Теорема о диагоналях параллелепипеда.

Параллелепипед

146

Четыре диагонали параллелепипеда п ересе­ каются в одной точке и делятся в этой точке пополам. Д о к а з а т е л ь с т в о . В п ар ал лелеп и п еде ABCDA'B'C'D' диагоналями являются отрез­ ки AC', А'С, BD' и B'D. Возьмем любую пару из ни х, например, АС' и А'С. И х м ож но рас­ сматривать как диагонали четырехугольника АА'С'С. Этот четы рехугольник является па­ раллелограммом (так как две его противопо­ л ож н ы е стороны А А ' и СС' равны и парал­ лельны), а в параллелограмме диагонали пе­ ресекаю тся в точке, являю щ ейся и х середи­ ной. П усть точка О является, наприм ер, сере­ диной диагонали АС'. Мы доказали, что эта ж е точка — середина диагонали СС'. Вместо диагонали СС' м ож но взять любую другую из оставш ихся диагоналей (B D ' и B'D) и точно так ж е получить, что точка О — их середина, т .е . середины всех диагоналей совпадают. Точка О является центром симметрии па­ раллелепипеда. 4. П ост роен ие сечений. В качестве приме­ ра пр оведем сеч ен и е в п р авил ьн ой ш ести-

угольной призм е, проходящ ее через одну из сторон основания и точку на боковом ребре. Реш ени е. Рассмотрим диагональное сече­ ние призмы CC'F'F. Оно параллельно ребру А В , так как А В || FC. Следовательно, искомое сечение пересечет диагональное по отрезку, параллельному FC. Проведем в диагональном сечении через точку К отрезок K L , параллель­ ный CF. Мы получили ещ е одну точку сече­ ния — точку L. Чтобы продолж ить построе­ ние сечения, рассмотрим в призме осевое се­ чение через середины G и Н сторон А В и DE соответственно перп ен дик улярно плоскости осн ован ия. Это сечен и е пр оходи т чер ез ось призмы и, следовательно, через точку М — середину отрезка K L . И скомое сечение содер­ ж ит точки G и М и, значит, отрезок G M . Про­ долж ив отрезок G M в плоскости осевого сече­ ния, получим точку N , л еж ащ ую либо в гра­ ни D D ' E ' E , л и б о в п л о ск о ст и о сн о в а н и я . В лю бом и з эти х случаев плоскость сечения пересечет соответствующ ую грань по прямой, параллельной А В (так как А В параллельна как одной, так и другой грани). Теперь оста­ лось провести через точку N отрезок, парал­ лельный А В (или, что то ж е самое, параллель­ ный D'E'), и получить две недостающ ие точки сечения.

Построение сечений

Дано: ABCDEFA'B'C'D'E'F' — правильная призма. Построить сечение, прохо­ дящее через ребро А В и точку К , лежащую на ребре СС'.

Полученное сечение ALQPKB

Вопросы и упражнения

■ 1. Нарисуйте: 1) различные по форме сечения треугольной призмы; 2) различные по форме сечения параллелепипеда; 3) многогранник, получающийся при пересечении двух правильных треуголь­ ных пирамид, расположенных симметрично друг другу относительно сере­ дины высоты пирамиды. Докажите, что он является параллелепипедом; 4) сечение прямоугольного параллелепипеда с разными ребрами, которое име­ ло бы форму квадрата. 2. Для параллелепипеда, все грани которого являются одинаковыми ромбами: 1) докажите, что одно из диагональных сечений перпендикулярно плоскости основания, а другое является прямоугольником; 2) нарисуйте проекцию верхнего основания на нижнее; 3) докажите, что можно так соединить одну из вершин параллелепипеда с тре­ мя ближайш ими вершинами, что получится правильный тетраэдр (пусть острый угол ромба равен 60°). Выразите высоту параллелепипеда через его сторону.

147

3. Вычислите для правильной треугольной призмы: 1) площадь сечения, проходящего через сторону нижнего основания и противо­ лежащую вершину верхнего основания (сторона основания равна 2, боковое ребро — 1); 2) расстояние между серединами непараллельных сторон оснований (сторона основания равна 6, боковая сторона — 4). 4. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, диагонали трех граней которого равны k, I и т.

Занятие 3 Пирамиды Пирамида S

Гробницы фараонов (Египет)

148

Что нужно знать о пирамидах? 1. О п р ед е л е н и я . П и р а м и д а — это м н ого­ гр ан н и к , одн а из граней которого (осн ов а­ ни е) произвольны й м ногоугольник A B C D E , а остальны е грани — треугольни ки с общ ей верш иной S . П ри этом , р азум еется , п р ед п о­ л агается , что верш ина пирам иды и ее осн о­ вание не л еж ат в одной плоскости. В ерш ина пирам иды соеди н ен а ребрам и с верш инам и о с н о в а н и я . Б о к о в ы е гр а н и п и р а м и д ы — треугольни ки . П ирамида называется п равильной , если в ее основании леж ит правильный многоуголь­ ник, а верш ина проектируется в его центр. Ребра правильной пирамиды равны м еж ду со­ бой и образую т равные углы с плоскостью ос­ нования. Точно так ж е боковы е грани пра­ вильной пирамиды образую т равные углы с плоскостью основания. Если от пирамиды отсечь ее часть, содер­ ж ащ ую верш ину пирамиды, плоскостью, па­ раллельной основанию , то останется так на­ зываемая усеч ен н а я пирам и да. 2. П р и м е р ы . В а р х и т е к т у р е п и р ам и ды обычно заверш аю т п остр ойк и, в основании которы х л еж и т пр и зм а, однако известны и чисто пирамидальны е конструкции: • в Египте, в районе Гизы находится одно из чудес света — гробницы фараонов, постро­ енные 2500 лет до н. э. в форме четырехуголь­ ных пирамид;

• в П а р и ж е при р ек он стр ук ц и и в хода в музей-дворец Лувр использованы стеклянные тетраэдры (пирамиды Лувра); • шатры некоторы х церковны х построек выполнены в форме пирамид. 3. Теорема о пирам иде с р а в н ы м и боковы ­ м и ребрам и. Т еорем а. П роекция вершины пирамиды с равными боковыми ребрами на основание рав­ ноудалена от вершин основания. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть точка О является п р о ек ц и ей в ер ш и н ы S п и р ам и ды на п л о ­ ск о сть о сн о в а н и я . Д л я л ю бой верш ины А основания отрезок О А является проек ци ей ребра S A . И з равенства ребер следует равен­ ство и х п р оек ц и й . С ледовательно, точка О равноудалена от всех верш ин основания, что и требовалось доказать. Мы доказали, что у пирамиды с равными ребрами основанием является такой м ногоу­ гольник, для которого найдется точка, равно­ удаленная от всех его верш ин. Это означает, что около этого многоугольника м ож но оп и ­ сать окруж ность, а верш ина пирамиды про­ ектируется в центр этой окруж ности. 4. П ри м ер построения сечения пирамиды . В правильной четы рехугольной пирамиде че­ рез середины двух см еж ны х сторон основания провести сечение перпендикулярно противо­ л еж ащ ем у боковому ребру. Реш ени е. Д ана пирамида S A B C D , в осно­ вании которой л еж ит квадрат A B C D с цент­ ром О, причем S O — перпендикуляр к плос­ кости осн ован ия. П усть К и L — середины сторон А В и A D соответственно. Н уж но про­ вести сечение через К и L перпендикулярно ребру SC. Рассм отрим диагональное сечение A S C и л еж ащ ую в нем точку М — середину отрезка K L . Опустим в этом сечении из точки М пер­ пендикуляр на прямую S C. Рассмотрим сл у­ чай, когда он пересекает сам отрезок SC (а не его п р одо л ж ен и е). П усть N — построенная точка пересечения. П лоскость, проходящ ая через K L и M N , — иском ая. Она перп ен ди­ кулярна ребру S C , так как S C 1 M N по по­ строению и S C -L K L по теореме о трех пер­ пендикулярах.

Теорема о пирамиде с равными боковыми гранями

Усеченная пирамида

Построение сечений

Дано: SABCD — правильная пирамида. Построить сечение, прохо­ д я щ ее ч ер ез сер еди н ы д в у х смежных сторон основания пер­ пендикулярно противолежаще­ му боковому ребру. S

149

Решение: A K = КВ; A L = LQ. • A S C — диагональное сече­ ние; • M N -L SC — по построению; • SC ± K M — по теории о трех перпендикулярах; • S B D — диагональное сече­ ние; • QP || BD. Полученное сечение LQNPK

Осталось найти точки пересечения с ребра­ ми S B и S D . Д ля этого возьмем точку Е — точку пересечения M N с осью пирамиды — и проведем через нее в диагональном сечении S B D прямую , параллельную B D . Это и есть линия, по которой искомое сечение пересека­ ет S B D , так как сечение проходит через отре­ зок K L , который параллелен B D и, значит, параллелен плоскости S B D . Пусть теперь M N пересекает продолж ение S C (п р од ел ай те н еобходи м ы е п остр оен и я ). Т огда M N пересеч ет ребро A S в некоторой точке Р . Соединим точку Р с точками К и L, п ол учи м и ск ом ое сеч ен и е. Д ок азател ьств о того, что оно перпендикулярно ребру SC, по­ вторяется без изм енений.

Вопросы и упражнения

■ 1. Нарисуйте: 1) различные по форме сечения треугольной пирамиды; 2) различные по форме сечения четырехугольной пирамиды; 3) осевые сечения древней египетской пирамиды (они были ступенчатыми — представляли собой поставленные друг на друга усеченные четырехугольные пирамиды), а также ее проекцию на плоскость основания. 2. Докажите следующие утверждения: 1) в правильной треугольной пирамиде противоположны е ребра взаим но­ перпендикулярны ; 2) каждое из боковых ребер правильной шестиугольной пирамиды, у которой высота равна стороне основания, перпендикулярно двум сторонам основания и одному из боковых ребер; 3) одна из боковых граней треугольной пирамиды с равными боковыми реб­ рами и прямоугольным треугольником в основании перпендикулярна осно­ ванию. 3. В правильной пирамиде ABCD все ребра равны а. Вычислите: 1) высоту пирамиды; 2) площадь сечения, проходящего через высоту пирамиды и боковое ребро; 3) косинус угла наклона боковой грани к основанию. 4. Высота правильной усеченной четырехугольной пирамиды равна 7 см, стороны оснований 10 см и 2 см. Найдите: 1) длину бокового ребра; 2) площадь сечения, проходящего через середину высоты параллельно основа­ нию; 3) высоту полной пирамиды, из которой получилась данная усеченная пира­ мида.

150

Занятие

4

Круглые тела Какие круглые тела нам хорошо знакомы?

Сечения шара

1. Ш а р — это множ ество точек пространс­ тва, р а сст о я н и е к оторы х до дан н ой точки (цент ра шара) не превосходит данного числа (р а д и у с а шара). Г р аниц у ш ара назы ваю т сф ерой. Т очки сферы удалены от центра на одно и то ж е рас­ стояние, равное радиусу. Сечения ш ара плоскостям и — круги. Се­ чения шара плоскостями, проходящ ими через его центр, — круги, радиусы которых совпа­ дают с радиусом шара. Чем дальш е отходит плоскость сечения от центра шара, тем меньше становится радиус окруж ности в сечении. Если R — р ади ус ш ара; h — р асстоян ие плоскости сечения от центра шара; г — ради­ ус сечения, то R 2 = h2 + г2 и г = \Ir 2 - h 2. П ри h = 0 сеч ен и е пр оходи т через центр шара, г = R; при h, = R к г = 0 — случай каса­ ния — плоскость с шаром имеет одну общ ую точку, и сечение вы рождается в точку. К а с а т е л ь н а я п л о с к о с т ь — п л о ск о ст ь , имею щ ая с шаром одну общ ую точку. Р ади ус ш ара, проведенны й в точку каса­ ния, перп ен дик улярен касательной плоск о­ сти. 2. Ц и л и н д р . П ря м ой круговой ц илиндр — тело, получаемое вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Сторона прямоугольника, вокруг которой производилось вращение, называется осью ци­ линдра. Стороны прямоугольника, примыкающ ие к оси, описывают при вращ ении два равных круга — осн овани я цилиндра. Р адиус любого из этих кругов называется радиусом цилиндра. Он равен стороне вращ а­ ющегося прямоугольника, перпендикулярной оси вращ ения.

Сечения цилиндра

151

Конус

В

Сечения конуса

152

Р асстоя н и е м еж д у осн ован иям и ц и л и н д ­ ра назы вается его в ы сот ой . Я сно, что вы со­ та равна дл ин е той стороны пр я м оугол ь н и ­ ка, которая выбрана в качестве оси вращ е­ ния. Отрезок, параллельный оси цилиндра и со­ единяю щ ий граничные точки его оснований, называется образую щ ей цилиндра. Сторона п р я м оугольн и к а, параллельная оси, описывает боковую поверхност ь ци лин­ дра. Б ок ов ую п ов ер хн ость ц и л и н д р а м ож н о развернуть на плоскость. Эта развертка б у ­ дет представлять собой прямоугольник, одна из сторон которого равна высоте цилиндра, а другая — длине окр уж ности р адиуса, рав­ ного радиусу цилиндра. С ечения ц и л и н д р а п л оск ост я м и , п ар ал ­ лельными основаниям, — круги, равные осно­ ваниям. Д ругие сечения имеют форму эллипса или его частей, если плоскость сечения наклонена к основаниям. Если плоскость сечения перпендикулярна основаниям, то в сечении получается прям о­ угольник. Сечение, проходящ ее через ось цилиндра, называется осевым сечением. 3. К о н у с. П ря м ой круговой кон ус — тело, получаемое вращ ением прямоугольного тре­ угольника вокруг одного из его катетов. Пусть прямой круговой конус получен вра­ щ ением треугольника A B C вокруг его катета В С (С — верш ина прямого угла). П рямая ВС называется осью конуса; круг, получаемы й вращ ением катета А С , — осно­ в ан и ем конуса; точка В — верш иной конуса; любой отрезок, соединяю щ ий верш ину кону­ са с граничной точкой основания, — об р а зу­ ющей конуса. Высота конуса — это тот катет, вокруг ко­ торого производилось вращ ение прямоуголь­ ного треугольника, порождающ его конус. Его длина равна расстоянию от вершины конуса до его основания. В сеч ен и я х к он уса п л оск остя м и , п ар ал ­ лельными основанию образую тся круги.

Сечение конуса, проходящ ее через его ось, называется осевым сечением. Осевое сечение перпендикулярно основанию, так как прохо­ дит через ось, которая перпендикулярна осно­ ванию. Д ругие сечения конусов представляю т со ­ бой плоск ие ф игуры , границы которы х я в ­ ляю тся зам ечател ьны м и кривы ми (и ли их частям и). Сечения конусов могут быть элли псам и, параболам и, гиперболами. Как и в случае пирамиды, плоскость сече­ ния, параллельного основанию, разбивает ко­ нус на две части — верхню ю , являю щ ую ся к он усом , подобны м и сходн ом у, и ни ж ню ю , называемую усеч ен н ы м конусом.

Вопросы и упражнения ■

1. Нарисуйте: 1) сечения шара, проходящ ие через две заданные точки на его поверхности и имеющие самую маленькую и самую большую площадь; 2) два сечения шара, симметричные относительно его центра; 3) геометрическое место точек, удаленных от данного отрезка на расстояние R; 4) развертку усеченного конуса; 5) фигуру, которая получается при вращении прямоугольного треугольника во­ круг его гипотенузы; 6) фигуру, которая образуется при вращении прямоугольного треугольника во­ круг оси, параллельной одному из катетов; 7) фигуру, которая получается при вращении треугольника вокруг оси, прохо­ дящей через его вершину. 2. Вычислите: 1) радиус круга в сечении шара радиуса 5 см плоскостью, отстоящей на 3 см от его центра; 2) радиус окружности, получающейся при пересечении двух сфер радиуса 10 см, расположенных так, что расстояние между их центрами равно 12 см; 3) радиус шара, который положен в круглое отверстие радиуса 4 см и углублен в него на 2 см; 4) сторону куба, вписанного в шар радиуса R; 5) высоту цилиндра, в который вписан шар (касающийся обоих оснований ци­ линдра) радиуса R; 6) при каком отношении высоты цилиндра к его радиусу разверткой боковой поверхности цилиндра будет квадрат; 7) высоту конуса и его образующую, если она составляет с основанием угол 60°. Радиус основания конуса равен R; 8) высоту конуса и его образующую, если угол при вершине осевого сечения конуса прямой, а радиус основания конуса равен R.

153

Занятие 5 Правильные многогранники Древнегреческим философом П латон ом так описаны п р а ­ вильные многогранники: «Зем­ ле мы, конечно, припишем вид куба: ведь из всех четырех сущ ­ ностей наиболее неподвижна и при годн а к образованию тел именно Земля, а потому ей не­ обходимо иметь самые устойчи­ вые основания... Из всех тел на­ иболее п одвиж но по природе своей то, у которого наимень­ шее число оснований, ибо оно со всех сторон имеет режущие грани и колющие углы... Пусть ж е образ пирамиды , р ож д ен ­ ный объемным, и будет перво­ началом и семенем огня...»

Какие многогранники стали символом красоты и совершенства? П р а в и л ь н ы й м н о г о г р а н н и к — это вы­ пуклый многогранник, у которого все гра­ ни — одинаковые правильные многоуголь­ ники и в к аж дой верш ине сходи тся одно и то ж е число ребер. П риведем табл иц у, описы ваю щ ую к ол и ­ чественные характеристики правильных мно­ гогранников. В таблице: v — чи сл о верш ин м н огогран ни ка; е — число ребер; f — число граней.

Число М ного­ гранник

Тетраэдр

Куб (гек­ саэдр)

Октаэдр

154

верш ин v

4, в которых сходятся по 3 треугольника

ребер

граней f

е

4 треуголь­ ника

, в которых сходятся по 3 квадрата

6

квадратов

, в которых сходятся по 4 треугольника

8

треуголь­ ников

8

6

Ч исло пово­ ротов, сов­ мещ аю щ их тело с собой

12

Рисунок

Окончание таблицы Число Много­ гранник Икосаэдр

вершин v

ребер

, в которых сходятся по 5 треугольников

30

12

е

граней f 2 0 тре­ угольников

Число пово­ ротов, сов­ мещающих тело с собой

Рисунок

60

/

Доде­ каэдр

, в которых сходятся по 3 пятиугольника 2 0

30

1 2 пяти­ угольников

\ /

60

\ Л егко зам етить, что во всех случаях вы­ полняется соотнош ение: v + f = е + 2, т. е. что сумма числа вершин и числа граней на 2 боль­ ше числа ребер. Это наблю дение верно для любого вы пук­ лого многогранника и составляет содерж ание зн ам ен и то й теорем ы , док а за н н о й впервы е Л еонардом Эйлером. Теорема Эйлера. Пусть f обозначает число граней, е — число ребер, и — число вершин выпуклого многогранника. Тогда f + v = е + 2. П олное доказательство теоремы Эйлера до­ вольно трудоемко. Проверить ж е эту теорему для частны х случаев многогранников доста­ точно просто. Если соединим центры граней правильного м ногогранника, то получим снова правиль­ ный м ногогранник, назы ваемы й двойствен­ ным исходном у. Двойственны ми оказывают­ ся куб и октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Тет­ р аэдр ж е д в ой ств ен сам себе. К ром е того, шесть диагоналей боковых граней куба обра­ зую т тетраэдр, а среди 20 вершин додекаэдра м ож но выбирать восьмерки, которые образу-



у

Л. Эйлер (1707— 1783) Великий математик, физик и астроном. По происхождению швейцарец; работал в России и Германии; автор более 800 ра­ бот по математическому анали­ зу, теории чисел, дифференциональной геометрии, математи­ ческой физике (он написал пер-

155

вый в мире учебник по теорети­ ческой механике, курс матема­ тической навигации, трилогию об основах дифференциального и интегрального и счисления и др.).

ют кубы . Сущ ествует много др уги х построе­ ний, связывающ их м еж ду собой все пять пра­ вильных многогранников, назы ваемы х П л а ­ тоновыми телами.

Почему существует лишь пять правильных многогранников?

Теорема Эйлера

Платоновы тела

Пять правильных многогранников (см. таблицу)

Доказательство утверждения о существовании лишь пяти типов правильных многогранников

fn = 2е !=>!> + / = е + 2 пот = 2е е 2е h— = е + 2 о от п 2е 2 е о h— > е о

O’

2

от

га

1 1 1 о — + —> - .

от га 2 У полученного неравенства только пять решений, которые соответствуют известным пяти типам правильных многогран­ ников — правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и ико­ саэдр.

156

П риведем доказательство утв ер ж ден и я о том , что сущ ествует лиш ь пять типов п р а­ вильных многогранников. П у сть в к а ж д о й в ер ш и н е п р а в и л ь н о го м ногогранника сходя тся т ребер и к аж дая грань — м ногоугольник с п ребрами. Пусть у м ногогранника всего v верш ин, е ребер и f гр ан ей . П одсч и таем р азн ы м и сп особам и число ребер. Всего есть f граней, в каж дой — га ребер, итого fn ребер, но к аж дое сосчитано два раза, так как оно принадлеж ит двум гра­ ням . И так, fn = 2е. С другой стороны, есть всего v верш ин, в к аж дой сходи тся гаг ребер, но снова к аж дое ребро засчитано дваж ды , так как оно соеди­ няет две вершины. Итак, о гаг = 2е. П одставим в соотнош ение Эйлера f + v = е + + 2 вместо f и и их вы ражения через гаг, га и е: 2е 2е — + — = е + 2. гаг га 2е Н ам д о ст а т о ч н о д а ж е н ер а в ен ст в а — + т 2е „ 1 1 1 ч > е. Сократив его на 2е, п о л у ч и м ---- h — > — га гаг га 2 (гаг, га > 3). Ч исла гаг и га не могут быть больше 1 1 трех, так как у ж е — +1—=

и при гаг, га > 4,

1 1 1 т п о л у ч и м : ---- 1— < —. Е с т ь в о з м о ж н о с т и гаг га 2 m i = п \ = 3; гаг2 = 3 , га2 = 4; гаг3 = 4 , га3 = 3; гаг4 = 5, га4 = 3; гаг5 = 3, га5 = 5. Если ж е одно из чисел равно трем, а другое больше или равно ш ести, то 1_ гаг

1_ га

1 3

1 1 6 2

Вопросы и упражнения ■

1. Нарисуйте развертки правильного тетраэдра, куба и октаэдра. 2. Вычислите радиусы шаров, описанных вокруг правильного тетраэдра, куба и октаэдра, зная ребро правильного многогранника. 3. Сколько осей симметрии есть у куба, у правильного тетраэдра? 4. Как связаны между собой куб и октаэдр? 5. В чем состоит теорема Эйлера для многогранников?

Платоновы тела Почти две с половиной тысячи лет назад, а точнее, в 50 — 6 0 -х годах III в. до н .э . великий греческий философ П латон в диалоге «Тимей» описал систематическое построение космоса и представил все реально сущ ествую щ ее как совокупное взаимодействие косм ических идей и м а­ терии. Четырем главным земным сущ ностям — зем ле, огню, воде и в озду­ ху — П латон сопоставляет прекрасны е геометрические тела, построе­ ния которых он подробно описывает. Приведем несколько цитат из «Тимея». «Когда ж е четыре равносторонних треугольника окаж утся соедин ен­ ными в три двугранны х угла, они образуют один объемны й угол... З а ­ вершив построение четырех таких углов, мы получаем первый объ ем ­ ный вид, им ею щ ий свойство делить всю описанную около него сф еру на равные и подобные части. Второй вид строится из исходны х треугольников, соединивш ихся по восемь в равносторонний треугольник и образую щ их каж ды й раз из ч е­ тырех плоских углов по одному объемному; когда таких объемных углов шесть, второе тело получает заверш енность. Третий вид образуется из двенадцати объем ны х углов, каж ды й из которы х охвачен пятью равносторонними треугольникам и, так что все тело имеет двадцать граней...» Далее столь ж е образно Платон связывает воздух с октаэдром, а воду — с икосаэдром . Что ж е касается пятого правильного многогранника — додекаэдра, то П латон пиш ет, что у него «в запасе оставалось ещ е п я ­ тое многогранное построение: его Бог определил для В селенной и при­ бегнул к нем у, когда разрисовывал ее и украш ал». Пять правильных многогранников — куб, тетраэдр, октаэдр, ик оса­ эдр и додекаэдр — остаются символом глубины и стройности геометрии, образцом красоты и совершенства. Если в определении правильного многогранника не требовать, чтобы все грани были одинаковыми правильными многоугольниками (но со ­ хранить требование, чтобы грани в каж дой верш ине сходились оди на­ ковым образом), то, кроме пяти Платоновых тел, м ож но построить ещ е

157

Архимедовы тела

13 таких многогранников и две бесконечные их серии (призмы и анти­ призмы , в основаниях которы х находятся правильные га-угольники). Мы воспроизводим все эти многогранники с указанием того, какие пра­ вильные л-угольники сходятся в каж дой верш ине. Сложные названия эти х многогранников не приводим. Вместе их часто называют архим е­ довыми телам и. Обратите внимание, что среди них есть «усеченные» Платоновы тела. Н айдите их на рисунке. Платоновы и архимедовы тела имеют богатую симметрию . В приро­ де п охож ую симметрию имеют различные кристаллы . Атомы кристал­ ла располож ены в пространстве очень симметрично, т .е . их взаимное располож ение в пространстве мож ет неограниченно повторяться. Наука о кристаллах — кристаллограф ия — поставила перед м атематиками вопрос о том, какие вообще возможны типы симметрий кристаллов. Эта задача была успеш но реш ена к середине X X в. Больш ую роль при этом сыграл русский кристаллограф и математик Евграф Степанович Ф едо­ ров. О казалось, что сущ ествует ровно 230 типов сим м етрий, которые могут быть симметриями различны х кристаллов. Это позволило соста­ вить полный список всех возм ож ны х типов кристаллов и реализовать на практике их создание.

< Cd < F

9

Начала математического анализа

Занятие

1

Процесс и его моделирование Что изучает математический анализ?

Основоположники математического анализа

В основе математического анализа л еж ит идея движ ения, изменения процесса. Он пред­ лагает набор некоторых стандартных матема­ тических моделей, с помощью которы х м о ж ­ но описать различные процессы, разнообраз­ ные связи м еж ду меняющ имися величинами, п еременны ми. 1. Д и с к р е т н а я м одель — п осл едоват ел ь­ ность. Стандартный пример — банковский вклад. При начальном вкладе А 0, годовом проценте роста вклада р и при условии капитализации вклада (в конце годового срока накопленны й процент добавляется к вкладу и последующ ее Исаак Ньютон начисление производится с увеличенной сум ­ (1643 — 1727) мы) изм енения вклада происходят один раз в год. М оделью этого процесса является ч и с­ ловая последовательность А 0, А 1( А 2, ..., где Великий английский мате­ А п — сумма вклада через п лет (п — натураль­ м атик, м ехан и к , астроном и ное число). Я сно, что А .., = А„ 1 + —^— , так ^ +1 Ч 100/ как при переходе от га-го года к (га + 1)-му на­ копленный за га лет вклад А„ ум нож ается на число 1 + —^ - .

100

В этой модели время меняется скачками, т .е . дискретно; нас интересует только число полностью прош едш их лет, которое является натуральным числом.

ф изик; автор ф ун дам ен тал ь­ ного труда «М атем атические начала натуральной ф и л осо­ фии» (1687 г.). Одновременно с Г. Лейбницем создал основы математического анализа, и с­ ходя из задач механики и фи­ зики. Закон всемирного тяго­ тен и я, открытый Н ью тоном, п озв ол и л п остр ои ть теори ю движения небесных тел.

159

2. Н еп рер ы вная модель — ф ункция, за д а н ­ ная формулой. Стандартный пример — зак он дв и ж ен и я материальной точки под действием силы тя­ ж ести . По этом у закону полож ение г точки, дв и ж ущ ей ся в пространстве под дей стви ем силы т я ж ес т и в м ом ен т в рем ен и t , м о ж ет быть оп и сан о ф о р м у л о й г(7) = г0 + \ 0t +

Галилео Галилей (1564 — 1642)

Великий итальянский астро­ ном, физик и математик, один из основателей современного ес­ тествознания. Создатель науки о движении — кинематики.

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1 6 4 6 — 1716)

Великий немецкий философ, ф изик и математик. Одновре­ менно с Ньютоном создал диф­ ференциальное и интегральное исчисления, исходя из геомет­ рических задач. Лейбницу при­ надлежит большинство обозна­ чений и терминов математиче­ ского анализа, используемых в настоящее время.

160

где г0 — вектор начального полож ения точки (при t = 0); v 0 — вектор начальной скорости; g — некоторы й постоянны й вектор (ускор е­ ние свободного падения). В этой модели время — переменная t — ме­ няется непрерывно в течение некоторого про­ м еж утка. Модель позволяет вычислить поло­ ж ен и е точки в любой момент времени. 3. М о д е л ь в форме за в и си м о ст и — у р а в ­ нение. Стандартный пример — второй закон Нью­ тон а. М асса тела т , д ей ст в ую щ ая на него сила F и его ускорение а связаны за ви си м ос­ тью F = т а . Если нам явно заданы вы раж е­ ния для определения силы и массы, то н ахож ­ дение ускорения является задачей реш ения алгебраического у р а в н ен и я . Если при тех ж е данны х требуется найти закон движ ен ия, не­ обходимо не только определить ускорение, но и знать новый вид связи м еж ду полож ением точки г и ее ускорением а в момент времени t. М оделирование этого вида связи прои схо­ дит с помощью новой, не алгебраической, опе­ рации — дифференцирования, — а само урав­ нение (если понимать его как уравнение для н а х о ж д ен и я г) становится д и ф ф е р е н ц и а л ь ­ ны м уравн ен и ем . 4. И н т е г р а л ь н а я м одель — п л о т н о с т ь. С тандартны й прим ер — м асса тела с п ер е­ менной плотностью . В простей ш их случаях масса тела т пропорциональна его объем у V: т = pV, где р — некоторое постоянное число (плотность). Так, для ртути р = 1 3 6 0 0 к г /м 3 и банка ртути объемом 1 л = 1 дм 3 = 1 0 '3 м3 имеет массу т = 1 3 ,6 кг. Во многих случаях плотность вещества м ож ет меняться при пе­ реходе от одной точки к другой. Тогда удает­ ся записать лиш ь пр и бл и ж ен н ое равенство

т, « pV, которое верно только вблизи рассмат­ риваемой точки и при переходе от одной точ­ ки А данного тела к другой коэф ф ициент р будет меняться по закону: р = р(А). И сследо­ вание модели такого рода требует ещ е одной новой операции — и нт егри ровани я. Таким образом, математический анализ со­ здает м одели для описания различны х про­ цессов, исследование которых требует приме­ нения наряду с известными методами и новых операций — дифференцирования и интегри­ рования. Зачем понадобились новые методы, развитые математическим анализом? XVIII в. часто называют веком научной ре­ волю ции, определивш ей развитие общ ества вплоть до наш их дней. Наиболее ярко эта рево­ лю ция проявилась в замечательны х матема­ тических откры тиях, соверш енны х в XVII в. и осознанны х в последую щ ее столетие. «Нет ни одного объекта в материальном мире и ни одной мысли в области духа, на которы х не отразилось бы влияние научной револю ции XVIII в. Ни один из элементов современной ц и в и л и за ц и и не м ог бы сущ еств ов ать без принципов механики, без аналитической гео­ м етрии и ди ф ф ер ен ц и ал ьн ого и сч и сл ен и я. Нет ни одной отрасли в деятельности челове­ ка, которая не испытала бы на себе сильного влияния гения Галилея, Декарта, Ньютона и Л ейбница». Эти слова французского матема­ тика Э .Б ореля, произнесенны е им в 1914 г., остаются справедливыми и в настоящ ее вре­ мя. Рядом с названными четырьмя именами м ож н о поставить им ена и х предш ественн и­ ков, современников и последователей: П. Ф ер­ ма (1 6 0 1 — 1 6 6 5 ), Б. П аскаль (1 6 2 3 — 1 662), И. Кеплер (1571 — 1 630), X. Гюйгенс (1629 — 1695), И. Барроу (1 6 3 0 — 1677), братья Якоб и И оган н Б ер н у л л и (1 6 5 4 — 1 7 0 5 ; 1 6 6 7 — 1 7 4 8 ) и др. Что ж е нового внесли эти ученые в пони­ м ание и опи сан ие ок р уж аю щ его нас мира? Коротко м ож но было бы ответить так — в это описание вошло движ ен ие, изм енение, вари­ ативность, т .е . ж и зн ь с ее динамикой и раз-

Пьер Ферма (1601 — 1665)

Ф р ан ц узск и й м атем ати к . В теории чисел с его именем свя­ зывают две теоремы — великая и малая теоремы Ферма. Вели­ кая теорема о неразрешимости уравнения х" + у п = г п в нату­ ральных числах при п > 2 оста­ валась неприступной до недав­ них дней. Ферма принадлежит идея «получения максимумов и минимумов», которая является одной из центральных идей ма­ тематического анализа.

Блез Паскаль (1623 — 1662)

Французский математик, фи­ зик, философ и писатель. Труд­ но найти среди ученых XVII в.

161

столь ж е разносторонне одарен­ ную фигуру. Его «Мысли» явля­ ются одним из величайших фи­ лософских трактатов. С именем П аскаля связывают создание первой вычислительной маши­ ны и открытие важнейшего за­ кона гидромеханики. Геометри­ ческие исследования ученого легли в основание теории интег­ рирования. Формулы арифметической и геометрической прогрессий

ап = ах + d(n - 1) — арифметическая прогрессия;

ап = ai4n 1

витием, а не только статические слепки и од ­ номоментные фотографии ее состояний. С течен ием врем ени м атем ати ческ и е от­ крытия XVII — XVIII вв. выразились в таких пон я ти ях, как перем енная, ф ун к ц и я , к оор­ динаты , график, вектор, производная, инте­ грал, ряд, дифференциальное уравнение. Н е­ которые понятия в этом списке читателю зн а­ комы, другие предстоит узнать в этой книге. Е щ е недавно п он я ти я « д и ф ф е р е н ц и а л », «и н т е г р а л » казались слож ны ми и недоступ­ ными. Однако стоит вспомнить, что Паскаль, Декарт и Л ейбниц были не столько м атем а­ тиками, сколько философами. И менно общ е­ человеческий и философский смысл и х мате­ матических открытий составляет в настоящее время главную ценность и является н еобхо­ димым элементом общ ей культуры.

— геометрическая прогрессия;

Какие простые математические модели полезно повторить перед изучением математического анализа?

(O i+ ojn _ 2

_ (2at + d(n - 1 ))п 2

— частичная сумма арифмети­ ческой прогрессии;

1 —ап Sn=a1- r JL- A q * 1) 1-q — частичная сумма геометри­ ческой прогрессии. График линейной функции

X

у = Ах) Ах) = kx + ъ

P i ( x i; у i) Р 2( х 2-, У г)

ъ = ДО) Ах0) = о ъ

162

х2 - х 1

1. П рогресси и . А риф м етические и геом е­ трические прогрессии являются самыми про­ стыми и наиболее часто встречающимися при­ мерами числовы х последовательностей. Арифметическая прогрессия — последова­ тельность, задаваем ая рекуррентной ф орм у­ лой а п = a n_i + d , d — разность прогрессии. Геометрическая прогрессия — последова­ тельность, задаваемая рекуррентной формулой а п = q a n_1, q — знаменатель прогрессии. 2. Л и н е й н ы е ф ун кц ии . Л инейной ф ункци­ ей назы вается ф ун к ц и я , зн ач ен и я которой могут быть вычислены по формуле у = kx + Ъ. Область определения. Линейная функция, заданная формулой у = kx + Ь, имеет областью определения множ ество R всех действитель­ ных чисел. Обращение в нуль. Линейная функция при . „ „ Ъ k Ф 0 имеет единственный нуль: х0 = — . k П ром еж ут к и пост оянного з н а к а . Л иней­ ная ф ункция у = k x + Ъ, k 0 , сохраняет по­ стоянны й зн ак на к аж дом из пром еж утков

Движение снаряда

и I

k фициента k:

;+co | в зависим ости от коэф ­

k >0

Ь) -со; — k) -

k 0, и убывает на всей числовой оси, если k < 0. 3. В ект орн ое у р а в н ен и е движ ения. С дви­ ж ен и ем точки по некоторой кривой связан ряд векторных величин: г — радиус-вектор; характеризующ ий полож ение точки; v — ско­ рость точки; а — ускорение. Заф иксируем некоторую точку отсчета О и будем п о л о ж ен и е д в и ж у щ ей ся точки в м о­ мент времени t задавать радиусом-вектором относительно О. Если в моменты времени t x, t 2, t 3 точка заним ает полож ения А г, А 2, А 3,

Радиусы-векторы точек

то ее радиусы-векторы г(#,) = ОАг, г(t2) = ОА2, r(t3) = OA3. И так, мы получили первую векторную ве­ л и ч и н у , св я зан н ую с дв и ж ен и ем точк и, — радиус-вектор г, определяющ ий ее положение относительно некоторой точки отсчета О. В простейш ей ситуации, когда точка дви­ ж ется по прямой, ее полож ение определяется одним числом — координатой. Часто в м еханике важ но знать не пол ож е­ ние точки, а ее перемещ ение за интервал вре­ мени [Ч> t?\. П еремещ ение является вектором и изображ ается направленным отрезком, на­ чало и конец которого совпадают с п ол о ж е­ ниями точки в моменты и t 2. П еремещ ение обозначают Аг. Вектор Аг связан с радиусамивекторам и, хар ак тер и зую щ и м и п ол ож ен и е точки: A r = г(t2) - г(Ч). Про перемещение м ож ­ но ск азать, что оно является приращ ением вектора г за отрезок времени [fj, t 2]. В простейшем случае, когда точка движ ет­ ся по прям ой, скорость направлена по этой ж е прямой. В общем случае скорость направле­ на по касательной к траектории движ ения.

о

Направление скорости

Если равнодействую щ ая F всех си л, д ей ­ ствующ их на точку, равна нулю, то ускорение а так ж е равно нулю и точка движ ется с по­ стоянной скоростью v . В этом случае радиусвектор г точки линейно зависит от времени: г = г0 + \ t , где t — время и г0 — начальное по­ л ож ени е точки, т .е . г0 = г(0). Если на точку действует постоянная сила F , то ускорение а п остоянн о и точка соверш ает д в и ж ен и е по квадратичном у зак он у г = r0 + v 0# + ~ g * 2 (*), где v 0 — начальная скорость точки. Скорость точки в этом случае меняется линейно: V = V0 + g t .

Рассмотрим, например, движ ение снаряда, начальная скорость v 0 которого была направ­ лена под углом а к горизонту. Выберем в ка­ честве начальной точки О полож ение снаряда в момент времени t = 0, тогда получаем соот­ нош ение (*). (Здесь рассматривается идеаль­ ная ситуация, когда сила тяж ести, действую ­ щая на снаряд, постоянна и действием других сил пренебрегаем.) При реш ении задач от векторных уравне­ ний переходят к координатным. Выберем оси координат так, как показано на рисунке. Векторное равенство (*) запиш ем в проекциях на оси координат, т. е. в коорди­ натном виде. Сначала разлож им векторы v 0 и g по горизонтальном у и вертикальном у на­ правлениям . П роекц ия вектора v 0 на ось х равна v 0 c o s a , на ось у - v 0 s in a ; проекция ускорения на ось х равна нулю, а на ось у рав­ на - g . Таким образом, 1 „ rx = t v 0 co sa ; ry =х ‘i n + 2 га+ 1

4. с = --------

Зга+З-1 га+ 1

0

с„ = --------— = 3 - —

найти число С такое, что а п < С при всех п. Д ля ограниченности убы ваю щ ей последова­ тельности достаточно проверить неравенство вида а п > С, которое долж но выполняться для всех га. Таким образом, если для всех членов по­ следовательности вы полняется неравенство а п < С (ап > С), то говорят, что она ограничена сверху (снизу). Если мы говорим об ограни­ ченной последовательности, то ясно, что она ограничена как сверху, так и снизу. 6. П р ед е л п о следоват ельн ост и . Ч исло А называется пределом последовательности а ъ а 2, ..., если начиная с некоторого момента все члены этой последовательности будут сколь угодно мало отличаться от А . Обозначают предел последовательности ла­ тинскими буквами lim (лимит):

1 п+1

»О

В этих равенствах предполагается, что все последовательности являются сходящ им ися, т .е . написанные пределы сущ ествую т. 7. Б е с к о н е ч н о у б ы в а ю щ а я г е о м е т р и ч е ­ с к а я п рогресси я . Г еом етр ич еск ую п р огр ес­ сию называют бесконечно убы ваю щ ей, если ее знам енатель q по м одулю меньш е еди н и ­ цы: |