Table of contents :
序
目次
§1. 対称領域
§2. 対称領域とLie代数
§3. 問題の提示と主たる結果
§4. Clifford多元環とスピン表現
§5. IV型領域からIII型領域へのうめ込み
§6. モジュラー群
§7. モジュラーはめ込み
参考文献
[7]
[13]
[18]
Citation preview
東
大
数
学
教
室
セミナリー・ ノート， 23
対称領域の正則うめ込みについて
佐
武
一
郎
述
森
田
康
夫
記
Tokyo,
1 9 6 8
~..
;•·
, ., . ' ¥ ・ ' " . . . . . J 心i
． 、 孟 且 ｀ ・ ・ ‘ こ• 〗、茫パ勺こ竺＂ ざ ,J 逆 l 五笈沖 i、 P ～ 塁 { 1 . ゴ妥｀ , J 必’ · 一 C-s
ii
5"
誓ご吋邑ご！て＂忘
J Z 料 Lぷ
T"
＞ ヽ
t
. ,
パ~!,
. ; ; 1
/ ' , . . J , ・
盈 ゞ 芦 ’
‘ t f ¥ J 1
守g q - a Aこ透
{q
，
心 ＇ ，
紐苓喜ご f
99"
w"ta(t"．函 9即唸;[ニデ三 t l∼ ギ 琴
J 多、 ざ も J． .￠/ 1
/．
盈苫贔竺竺 ご 尺‘、︷こミ函苓ぎ意 g] “
ヽャ バ 9
-9
ヽ{ 榮
沖
介江
う ペ
"J
’
f決
J
ャ
[ f / I 7心 z , ' tT J . ' ' " l
~
∼咽炉d
サ吋'
心 訊 ; ; .
日目
炉
｀ ニ
••
r , -
~.JH
r f
庄 ( .
.... 呵
0
~ ＾
，
f
I
p
t凶
／‘ .c
ミ ‘ 1澪言 ？ご芯さ芦翠ご ー竺ごぷ E4L'f 、主こ溢予 "竺F g-2空こア一芯ぞ⇔↓
ご 二
! J . !
ざ 3脳品さ
T f l
湿 ロ ド ヽF ， , -
K T "
芦 1dエ
1 1
ご ；
t
団 ：
/ ; 5。竺晶二喜ン 雷号＂培 さ 芸 ︱
3
鵡9
迄謡：泣涵ごごご心
. . ! ,
l
ヽ
︺
f
~ヽ
穴 粁 ’ _ , 、
ゞA . : ; .
bu エ 、
ぷ 詑 古 fi7
l)
ごA こ喜ごゴこ "k-" 知︶炉°ニ F' Jグ ﹃ 3 p aご T凶可盃 t,5、百品 3婦‘→(a' // ， 如 —~ 、一 塁1 ’‘，
r . . .
' ; . . i " ' 、 , ' . f ，
岱 Td
囲心︸
fB-3
, 1 " , J
∼、睾こ茫＇卜
r/
ごご詈ミ認迄玉
1
︶
~!;.
q
やぐ9も ヽJヽ
竺 ？
I wざ 3z.'53.
r l
翠ニア
•ロ
ャ
1
・ 、
a t , ヤ 9・
．9 /
9'
f r "
ぃア
’ `
r t ` t J 7 i し、. . . . . . . ・ ・ ︵ 泊 ↓. ー
t
99
t.n-、ゞ 2 7ー 一 只 /5
且涅念玉＞
Y9
SllY年 ； ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・;
‘ ご 芦 3
. . .` ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
' , •••••
メ勺'¥嵌怪';:, , ＇ ： ，； 23 ． ． ． ． ． ，
••
L
J}
; ， . ； ， ． ． ． ••
K : T " ￠ 翌妍翠；：’・:・:'
••••••
N
c ) 0 . , 1 ' 1 トヽ
v ( J , り
冴1
謬 之 玉 ご lこ 竺 iグ
. . .
.
＇
＇
＇
:
．
ヤ
•.
ぎ予 l l J l Vぷ
,'•,
“ゞ c ミ °Tミ勾晶 “ ‘
/7
•••••••••••••••
三忍了茄 ぷ．， ． ． ． ． ． ．， ＇． ． ． ． ．；
v ・ r
57
ご宴拿
~1
5L
, ' ' 1
VO つ
江 口
~¼(f;J,';溢遠沿溢! ' i , 謳茄ぶ『心i~~面砧祇渾~i'.'it1置苓い品ニぷ函迫~心函紙砥函涵紐ぶ函丞母窃丞~涵ぷ祇む占ぶ心示~函玄喧屹ぷわ炉，ぶ至—~心;,;.;,.;;,;;,,,...,,;;,,;.~..,:;如 ; ; . _ ; ; , ; . ; : . ふ；やぷ今年，，，，—： ,;.~↓ふ~-·-'····"""如ン亨生石琴，，，↓呼切▼ー砥忍呼._,,._,,,__._,年四函--ぷ-"'-""
§3
り ヽ 戸
il
1f
: 3 3 ；
3/
仝f
冷澪竺宍
I~ h-"
-
玉
J ` r
も
匈塁
7一曲 7
l
︳ふそ主羞ぞざ＂
t
ゞ
SE/;
ぷ ‘
今、 ,1~ :Ets て塁こ／¢.いりN~ 1 ix 費 J 3 . 1⇔
XKs,
1
ミヽ︸曲冨塁＂ UY
沿ぞ
q
bTJ:i.
こ＾．
翠吟芯芯苓心翠ふぷ竺
T 嘉 13 翌 立 、 )メ
こ )
ご
sue
(I
s r n
臼
二ぃ図沖翌＇閤虞長 Gi[K
澤 竺 - こ E.Gt
a、
j7
臼 ず
芦 ︱
E
zJ"~
︶
；
s ( ) c t ,
f
，
ぃ
(12"1} ︳︳そ了菜
K?i
" T幻 心
＂
3
予ーま些
二昇唸卵 q [r ｀ 雹 貪 ︶p 合 ︶
f / , : ' ∼ ! j . , j:
t
••
k nK
>zif);(&
5*
A ) ︵ ｀ ざg
の i
＾書—ー●
． ︳ ︳ ー ・
ヘ
‘ r2
企 gli
{ ＂ o
︷ら’
へ
ot) ふ‘吋
バ？ご侭 ←
0 竺ハ o (
翠 竺 ふ こ ︱ へ ︵ 一 b
`E
ゃ1
L-
、
虻吟太
6/
唸が窯太ピ‘
↑﹀
l
V\、C c 翠怨犀太。 そ 9竺ごぃ＿こ閃 — ) 3 さ霞ミ竺ゞノ ヽ‘り竺惚ふ E予 ；？菜↑苓 n認ゾ ﹀やジ ←︱ f S ) Oc 9 竺 ． 9こ丁ヱ i
( 、 竺盆。ご ぷ 二 ゜ぇニミ
l
J t < -
/ n 6 9 b占
／．
二ここ
11"L/f
X惚
＾
鼻 ←
太 ミ ＼ ／ n} 占 竺 ﹀
0次 'SE.
L疇べ
l 9• , b I$ t }
︵ 一 悩 L
ー . , i
笛采 8ジこ詈戸 A 団二竺
— 、 ド や i
‘ ヽ
,J ヽ
p ， ャー
・‘ 4
蛉
ゞ六
＼ 、
、｀
ミ
● ●、 一
( / ) C
ぃ
. .、,
企ー・
ゞ ’ ‘ r t伶 込
コ•
I ヽ
，
n堡
/ I
~
C " " ?
ぃ
ゃ
一忍 ご匹l
. .
合
S
' ( / )
~
祁 「
゜
如
6
． ．
ャ>IS)= 、S
Il( A ) サ
写 、 16)0で；ご V) 箋 ‘。^︵ t) 。こ文認ぃ︳笠賓さ芝 べ︳︶ 0、(-﹁︶ごミ︶︸羹ここ︶唸
(I>-(Sl)4.(
EL0^
1
︵
ヽ
l(S
トや
9
~
\\~
< : ; " '
、
, . . , . . . . .
c,_~
. .
l f )
D ( c : a
二~,.,.-,,
' " ' ( ' J
. C)
: Vo . . . . (文 Q 、 )
')'-―.-,/
c 袋 裳亨 ご
。
ヽ／
~
千縣:
゜ 〖寄豪-
t
ノ
ー ロ → ← ー
•I ヽ‘ •一
[.1 Il{rx.h'i
a J0 9’”i •へ ?Jaこ+J 返)ご⇒ご捉ば a ︿
ャ > -s
わ て
:1 み ，
＋ ゞ
( a尽 四 ︶ i>
ぐ⑫
s
^
｀ ニ ・ い 二
、
o v ' i >-(¥一の
^ 0
{べ的∼ぎ森
9三
(％>
1 1 1 A
ふ亡ぶぃ一芝翌言竺ミ•一
Cxi
もこ 3 トニ思窄認安 ︶ w t了 (S A)0 一 芦 へ
SIigst1i
ぷ︸憂ぐ．如唸忍 r
(A)
N)
( 3 )
c v d"K)
c s ,S 1>~= f ec s 1s , )
V違 を 紅 ｝ か え t 気 句 ll可火 1 : r月n :l ”t1 F : 苓炉〖咲ミ 貰芯江竺『｀ェ王臼竺茫 ヽ
(︱こ菜．怠ザ
A
＂
＞
'.4 : )
t ; ; .
·~;~?'•·.\t。
, . ・ ・ ・ . ,...•• ・ 、 、 し c,''・.
，ふi し
0) ∼りり
db
︵ 江 ︶
M -｀9
エ i
． 世淑 t姿 st￡ ふ3さ5
ヽ
ー・
`t翌零炉 t 心 ぶ
.
T " t , 7ベ t
: 1T
1 1 W、
M、
Cr~
5 3に
一
、 ー 。 3-A‘IW
m 9 f、(＜
>
ベ ,l [ P、, 晨•翠tv〈 弓蕊芯、W 0S 一 片一＂益f ミ8 afS 、
べぎザ
l
ヽ ヱ
I
I、 .
六
rf l
~
‘ ．
1 ;
ご ヽ
i"5
A・-,,
T"99JT"t
z,,
~.
芦
• •
日ご巳；‘,、5 翌乙 · H [竺，デ igWh、 ‘こん迄{ Eょ l·3 ぷ~ lC↑
bV71
5[c
、 ヱ
k : 3ゥ
呼迄 [5凡べこ"” ‘ B:] 尺ご︶き戸さt ,
1
3
戸□はド
~
~
~
・ ~
・ ‘
, . _ ,
. .・ 、 .,.,
. , . - . ざ
、 . ,
ゃ
~.,
A E 1 1巨 2 国直ぷ翌予 " Jク ：y
l"J/9zt
； ｀
｀ ニ
芸
， う
s t f
紐 dItt・L-Vil]1 ﹁
ttv 、
ぶ
-z了
昏•{q ぉ ‘ りウょ /0-
l↑fS 。こ鸞こ召忠歪零ご途こ三て 5"主•”> v r [ ) el-:..J`GC 、 こ i 2 平芯図i ぷ.Lotsk
念∼ィフーYi
如虞 3﹄
て:万ぶ ・ミ遵ご︶念ぎぞ↑弓竺ご︶ f
↑ ご
安竺傘ミ品
3§3)
(x)
苔竺乞全∼ 零 ~f1~/Q ぷC 苓1 ぞ―jp° ミ tL 2 5盆∼l7ふ二f25i g 9.w
i
そ 1 1 U笠怠蕊虔
、 →￨￨の tL足 芯 " [ こ i零 宮
￨l
へ[→
三
II
U
ハ ・
デ 学
3 0
り ノ ∼り 巴 ー ご ご 言 rにて｀斉と ﹄ l
`L→ ー1
こと 3 心竺竺 ご︱こ j
ぷ ﹀ こ こ こ ↑ ，
拿笠亡ミ支 1
二索侭
c t ザ ミi
b"[J(O
5"G`¥A) らに
{ P l `﹀ ] 、
:5 翌 ふ 宝 さ c1 rIJ
ノ
U
1拿盃喋ぶノ上女さ忠蒟
きご
3京苓磁
z ↑ゃ い 二
ijp
ご にぷ
"{u
詑 b窓 l よ侶立、ぷ↑— 4笠
. ” 卜
寄炉？旦 :c：ぐ芝 5菜悶 5“母ご︸‘ヽ亡 ぶノ；勾芝？1f2~霊ふ ニ玄
{iミご
c
[1 L竺翠 そ
° ?1 f ここ 3§ ゃr9i)
喜竺盆王□口
忍や
C， ぶ K点 詈 1W g{ l) （メ冦手万 g忍介 3 ミ：S 、7こ I`”二品 (-— f 裔幸， 誌 色 諜 ︸ c kヘロー竺埒 こ号色竺ここん￠∼そ贔 r/
言芦
i:
＇
>f
i[
恣？ Lt グ炉‘喫ご菜乏
嶽 g
•I
‘
•E
85
(-l)
︵ 邑
︵唸天︶出
9-l
ごさり
2)t
"文
。Jf-
ニーニ函こ‘、ぞ
︵ ご
︸ 了h t ↑9 舌 ﹃
2
w二 上遮 l
)f
r r " t
芯
. . ~
・ "
T2,N品こ／
こ 、 a。
，
9
吟 言 ，
。
ayXT-d{C>
3.
︶こ
H -
K5”
︵
(H 。 ) ＂ ︸ 一 [
G、
( v)A、) 3 t 零 令 } 燐
J I Sp
、
t ノ5
' ( '
・ " ' ' : ' -
心し1
．
国日 1 ふ•會＂苓ぞ f
5 .
︶
‘
N
炉し
叉
9l)[i
字
TSj
LZ
3
-1} 匈 9T
｀・
(H-
512.,∼ 梵 ぷ
拿一菜謀︶ yi.G ー・'￨←
ゞ ”
J 3
. . ﹃
．
﹁ 111tq
心⑲
‘ ら t;‘捻 ⇔‘、 二
1~ ,
d
エ ︵
今ヽ
5
こ ● 紐 1g守孟知ぎ蕊杜、
ミ / ご 予 ︱ 2)
855
t TJ:~
ナィ， p4t]
袋 ミ
夕
合S
ヽ . , . . , ,
3,2
¥ . . . ,
1 1
L" ﹁t v>
盗ぶ
ぐ
、
ご ︶
゜
こ亡
﹃([
ヽ ソ
d
i
(H{)
(Ho)
︶
︵き︶●
t2 ぃ
＊ . . _ .
ミ ゜こ
t
S ' : l . . .
︶ ︶
。
ヽ ヽ
N.2-tt7r
{j
(H
、. , .
，
) 。 ビ l1、
＂ ︵ 瓦
4(l-﹄ - ] )
2)df
. . L . . 0, ヽ
こ ヽ
︶
鴫盲●~ · 如
J1-
r-
心？
昌 ぃ
a
i
’
' sご 1
J1-
り こ 類斎ぎそ手竺竺
、 ぎ 砂 a31
~
“字／‘
‘
SpCV A
ア ， 工 学 命 s嘉翌 4ご
ご ∼ ー 茫 ︸ ︸
、)
J哭 ︶
了悶謬翠吟も
'T> ． ， ベ
きご g・・j p } l
s占 q{i
13
﹄}
TJ t;
¥ . l l )
か じ 2舷惰） 1-=:-~こ［『口鱈 こ内戌今!::.( c l .
r-Gr は,
!
ぷ 令 su(仏 IJK I F , )
J
I
ヽ う
1
Iぜ 1訊 SU{V./ 佗 ， F i )J I型 J
皿翌喜冴 S p( V , / f i 尺I A , )へ9叫）；塙
T = i fJ/:4- 既的 T~ 猜 l 恥『， h, ミ t ' ,bI ,T I ,直翌はいう， I 1 . ．
這9 ・ C 可/ =Sp(V, 1 が）へ q 且 」 こ ［ ふ ＝ 彗 且 旦tq合荻 tL之
，
吋( i ? j恥 償ぅ iヽ~.
・z
こ ： 、自然 TJ租l 司翌）いうも a
s P ( v ,/ lI)~ 与え？古く． J
を＂珂丁宕脊 1 1各，？観哨 L之丙 、 :
疇 一
r﹂
CF 2• 1 f"
l F 9 心ミ寄翠＼；← ぎ怠吋 竃
-I
盆 r ‘ーー K ｀ g-
{:q
9,1
函 贔 ＼ 悶二旦食亨予 D
~
5
心
︵ 葛 ︶
＾
＾ 亨
. ()
“
ヽ
疇
" ' Z S
ーぷ｀ 1 f
q. ． ． 9-•
[il)
u言ベ
3:•こa))
•9-——
`• • •
ここ
•n- —-
/ ーさ︶ 9ぐ
(i
＼ーーー＞＞ Aいー ' 1 i _
ーぶ心～玲ご〗ゞ
i : ｀ヽヽ {sQJ ．＂3ヘIニ¥'全 3 3 沿だ茫足こふ斎含がこ ns
ぎ
‘ 込
~
祗勺
ざ
N
. . . . ゃ
s t_J+'J
dキ :
I||l
! . ! . .
介什孔v
ヘ
こ 溢
︺
‘ 、 }{fSi qぅふ；二 } 尋 P ↑ 心竺 1
U 忍竺睾
cf
q1'
． ．
／
！□ i ー一予]. 〗]
ゞ・
・19t,1
ヽヽ
16
こ玉胃嘉ぞ
枷 冷 Pi
/ : W 冨勾 `
如 {U
十
ヘ w. 〗〖亨/ ゃ3 孟-
．f
迄令~ぐ . . . . . .︱
ー・・—
品 ぎ ;t
1
+u
囚
3
••.
ぐ
忘{、
や ( 品 t涎ここ；ぷ T
ぷ 炉 索 n,E6f ぃ
N
u13⋮
べ ．
~-
ペ︶ベ
！ ！
ヽ
u
. . .-9
00,ffL c>g
gl
怜
l
〇"1
1 _ 1 : 9 , V ) 1 J囚
( a芯 ﹃
b芝 恕 ッ
I l
又 ）
(Jr
‘ t
ヽ w ` {． ． ．
~. .
fl
/
＂
~
1 p :
3¥A
ぐJ:•i1
．
ヽ
>r1
奮
，
..
I Iに
ート
0
~
f .
(tt)
; 1，・ ぎ f} ‘ , ' 池 言 言 . 、 ． し ’
•.
.•.
•\•9 、“
” . 希
笠
し
，ヽず 囀 •V 沿ィ・
•9.fl:
3 ` .
r▲
、 ‘
ぶ讃 ｀ ・．．． ・ ・・ ≫ ， ．
＂＂
ヽ ，
、^ 5 9
( g )
t
心がメ 1
ふ
し ・"．災4A . ” ' ・ ぶ よ c•5ふ ． ． .﹄
T 幻5"kt/,bt
r
e
r t ニ翌芦 Ti5‘ . サ ，芯三〗｝t f ， ふ＜齊翌こ竺3C+ 因
ぷ翌ぷ
∼翌
ずか斤 s ぎゃ§塁 s舟べ‘応ヽ
ごご塁 翌 5 ご 、
j;
JT
迂 JS4 長 ｀ 1 1 . t r _ J I h i i l
S3[
3
’
竺ふ
A 1 1 H ] ︷ ∼
3 ,‘り
ぃ
弓判悶晶
ざ
唸こ咄ス
1 " 3 S B 吐o
ぎ二〗＼；ふ
ーぎ竺＂えt
十 ！
ヽ
i
︵ ミ
t{ 芝 でg
i2
令
ご品︱ 、1
4、( P
ぅ字改認斥令
斉心唸苓 C
-~)り•
S 贔 一
炉
l
、 -
か ’
辛
urJz
゜
~\
: : : . ¥ ¥ ヽ , : ; , . . n-
S J
翌
qoi
g ゞい姿云 K
｀ロニニ□ 1[[
＂ 芝 ご翌ご
笠
[ 文
g)
~vi'l"v_ ｀
-9-•9
•
O(V、 o ) 3 g7{9 し ロ
｀
ヽ
8 ぷ
-]c
ヽ点芯
之 、 今 ︳ ︱ F
x￨ ←
ミ ＂
! : ; )
t
- 9. . . . . . . . . , ＇ ﹄
T T i
． IV
戸
i-︶
￡ i ) ? .≪..fl
炉 ？
Z沿 デ ↓ ざ
1-
...............
＂ 一
、
? •
ヽi~
"[.3
こ ー て唸 C メー ー し ．．．．．．．． ！． C)-0
一
LXT
c l ,
志 llR さ C G11 } e C+ 、
~ •. t J " '
o
：
0 ' " " '
3~
芹 I . l ;It;’ l ．＂
ご と
2)
J_~I~-Jt.~~
Ti3
4,
：誓
芯 ︱ "}xT-い-穴)苓 3翌(﹃
T5 ダ
4(V) ミ
︾翌
, ' ぷ戸 が上ぞ 討百 が よぃミ響︱"︱こ言9 ＂ ∼)ヽぃ｀
Q
f
55e4
fb
2$
l
西 7t
"[a-吝‘ 1 、 ぎ虔盆べ言う：＇ ,こ
炉'
令
' ' " " ' 1
~-I
和 . . . , .
ぎ塁、
竺"7tふ 寄 ぎ
C+q
t:l"iom4t ぷ
ぶ
(Caf)
L
坤 翌べ芯遮 Lし油ぶt1a炉p}1 苫 ・ { d 冬qLが
¥T:~~JNus g
~
0
I T "
ー 火
I I —...
~Cy) ! ' . , . .(
文翌芦 x/rX110"
、VJC V}
[X
—"'"•
~
; t ¥
で
" l翠芦ベ ﹁
心
翌 [,
~i;-
t , 4 ¥ . ) , .
+
}e
S I
2ii 応一べぷ
u
＂
. . 9
冗汽ござ竺ご忘門＂戸
n
翌ぃ翌ぎ
姿 ¥ ¥ ¥ -
さ 9 二澤這芍菜‘ぐ一ご亨ご7} m ﹁7' 言 9
C
、i
ぷs
.1l~
IM}
ヽ
C4二 名 ぎ芯cffiLA 嬌ペ7 ，寸ふ、ぷ：了、こ沿沖ご応
吟;, ゞJ
心
, , , . . J
, 5芯"
5
( 2 1 )
予．
見
f
‘/
A
衷
~'"'ら’● , . : : . , _ ら ' , " , ;二
こ ． し ヽ
ス
ら
力 し
ヽ
こっぶ
し・
ヽ 3．． ．ゎ
jt
3 .
n
＼ ＼ っ、 “
っ . t ， わ
ャ｀ーと
｀ ﹂
-K . ｀
々 ざ
目 ∼
以下屯＝仮に行又 3。
生 3 もあ
+
9 .
5
棗 り
C ズ｀
づ
． , ( G
元
の
。ク小
h>
i
—牙召 P
しJ
︱ 乞 5 見 ぅ一ー
-i
考ぶ︱︱(
， ｀ ｀ 3
谷 CC+とか