偏微分方程选讲

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偏微分方程选讲

Table of contents :
《偏微分方程选讲》
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序言
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正文
第一章 Green函数
1.一维问题
2.位势方程
3.Green函数的方法
4.热传导方程
第二章 变分方法
1.Hilbert空间与Sobolev空间
2.变分原理
3.变分问题的几种近似解法
4.发展方程的变分方法
第三章 分离变量法
1.方法概述
2.Sturm-Liouville问题
3.Sturm-Liouville问题的推广
4.应用实例
第四章 连续介质力学的数学模型
1.预备知识
2.应变矩阵
3.应力矩阵
4.守恒律
5.相容性定律和数学模型(流体情形)
6.相容性定律和数学模型(固体情形)
7.相似解(量纲分析)
第五章 非线性波和特征线方法
1.一阶线性偏微分方程的数学理论
2.一阶非线性方程和交通流问题
3.一维气体动力学
4.平面定常流动
第六章 孤立波和行波解
1.孤立波的发现和发展
2.KdV方程
3.三次Schrodinger方程
4.Sine-Gordon方程
封底页

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高等学校教学参考书

偏微分方程 讲 选 姜礼尚 孙和生 陈志浩 管楚洽

高等教育出版社

(京)112号 本书是作者们在为讲授数学物理方程课的教师举办的暑期研讨班讲课 的讲稿基础上写成的其中有些内容,作者曾给研究生`高年级大学生讲过多 次,全书共分六章,其主线是对数学物理方程的常见方法加以总结,并沿若应 用的方向把内容从理论上深人一步.各章内容相对独立,自成体系,以此书作 为教材的教师可根据需要,任选几章独立安排教学. “

本书可供应用数学、计算数学专业作为选修课}理工类研究生 数学物理 ”“







方程 数学物理方法 课以及数学专业 数学物理方程 课作为参考书或教材 图书在版编目 (CIP)数 据 偏 微分方程选讲/姜礼尚等编著.-北京:高等教育出版

社, 1997

ISBN 7 - 04-006910- X l 偏... lI 姜... 皿偏微分议程-教材IV.0175.2



中国版本图书馆CIP数据核字(97)第01021号 高等教育出版社出版 北京沙滩后街55 号 邮政编码: 100009

传真, 64014048

电话: 64054588

新华书店总店北京发行所发行 北京市朝阳区北苑印刷厂印装



开本850X!l68 1/32 印张9,375 字数240000 1997年7月第1版 1997年7月第1次印刷 印数0001-1542 定价9-30元 凡附买高等教育出版社的图书,如有缺页、倒页、脱页等 质量问题者,请与当地图书销售邮门联系调换 版权所有,不得翻印

序·



数学物理方程作为一门大学基础课,无论对于数学类专业还 是非数学的理工类专业都是十分重要的它是以建立模型.求解问 题理论分析和解释现象为内容的课程,通过对典型问题的深入探 讨,揭示偏微分方程的一些带有普遍性的思想方法、求解过程和理 论结论因此,我们通过多年的教学实践,深深体会到要教好这门 课,一定要针对这门课的特点,联系实际,讲出从特殊到一般的结 合,使内容不断更新,以适应实际的需要但必须看到,由于这门课 的教学时数(特别对于非数学类专业)是比较少的,要做到这一点并 不容易.因此,以分离变量法贯串数学物理方程全课程的作法在一 些非数学类专业中频为常见如何在原有数学物理方程课程的基 础上沿着应用的方向,把大学数学物理方程课程的内容再深入一 步.这是一个大家关心的问题,亦是编写本书的一个指导思想 1986年以来, 一 部分在高等工科院校长期讲授数学物理方法 课的教师出于提高教学质量和进一步提高自身学术水平和教学水 平的需要,自发地组织了一个数学物理方法研讨会. 他们每年或隔 年利用暑期召开研讨会议,会上邀请一些专家作系统讲演 . 到1995 年底,这样的研讨会已经相继举行了九次,每次都有40-50人参 加,效果是比较好的我有幸被邀请担任这个研讨会的顾问,并在 前三次暑期研讨会上担任主讲工作 . 在脊岛召开的第三次研讨会 “ 上,孙和生、管楚洽同志被邀请主讲 非线性波·. 会后,很多同志希 望把讲课内容编写成书,以便他们进行教学时参考.在编写过程 中,陈志浩同志作出了意要的贡献,没有他的支持和协助,本书是 不可能按期完成的高等教育出版社编审郭思旭同志对本书的编 写起到了直接的推动作用本书就是在这样的背景下完成的 本书是以应用数学、计算数学专业选修课,特别是非数学的理

.,.











工类专业等的 数理方程 研究生课和大学 数理方程 和 数理方 “

法 基础课为对象编写的教学参考书全书共分六章,各章内容相 对独立,自成体系,主讲教师完全可以根据需要,任选几章独立安 排教学本书所用到的一些近代数学工具的概念,如Hilbert空间, Sobolev空间和嵌入定理、广义函数等都有专门的介绍,内容力求 简明扼要,把基本概念交待清楚,主要着眼于它们的应用对于非 “ ” 数学专业的学生,无疑是打开了一个 窗口 ,展示了现代数学的意 义和作用对于本书着重介绍的几种常用求懈方法: Green函数法 (第一章) , 变分方法(第二章),分离变量法(第三章)以及特征线 法(第五章)等,力求在理论上讲得透彻完整,在应用上讲得深入`全 面,希望作到严密性与直观性的统一,科学性与可读性的统一 .本 书第四章讲授的连续介质力学的数学模型和第五,六章介绍的非 线性波(激波与孤立波)都是从数学的角度来阐述力学的模型和概 念,在弄清楚各种不同力学假设的前提下,数学的推演力求统一完 整,严密清晰,尽量不涉及深奥的力学概念和专门知识,使非力学 专业的学生易于接受和掌握当然限于作者的水平,肯定还有不少 不尽完善的地方,恳请读者惠予指正 本书1-4章由荽礼尚负责编写,其中1-3章是与陈志浩合作 完成的,5,6章是由管楚诠、孙和生负责编写的.本书曾多次被高等 学校理科数学与力学教学指导委员会微分方程教材建设组推荐m 入出版计划,在此我们对微分方程教材建设组的专家和高等教育 出版社郭思旭同志的一贯支持和鼓励表示深切的谢意.

姜礼尚 1996年11月于苏州大学

·u·

目 第一章 §1.



Green 函数································ ················(!)

一维问题································································(!)

§2. 位势方程······························································ (17) §3 .

G芘en 函数的求法···················································(26)

§4. 热传导方程··························································· (37)

第二章

变分方法·…..............…...... …····························(60)

Hilbert空间与 Sobolev空间 ·····································(60) §2. 变分原理 ······························································(70) §3 变分问题的儿种近似解 法… ·· ····································(85) §1.

§4. 发展方程的变分方法 ··············································(100) 第三章 分离变量法··········································· … ······(112) §1.

方法概述····························································(112 )

§2. Sturm - Liouvill,问题 ··········································(114 )

§3.

Sturm - Liouvill,问题的推广····· ······················…···(137)

§4. 应用实例................. . .........................................··(143)

第四章 连续介质力学的数学模型... …· ….. … ········(165) §1. 预备知识 ·····························································(156) §2. 应变矩阵 ·····························································(158 ) §3 . 应力矩阵 ·····························································(165) §4 . 守恒律································································(169 )

相容性定律和数学模型(流体情形)······ … ···················(11'1/ §6. 相容性定律和数学模型(固体情形)·····························(196) § 7. 相似解 (量纲分析).........................................·....... (210) §5

第五章非线性波和特征线方法 ···································(217) §1. 一阶线性偏微分方程的数学理论·······························(217) '1

一阶非线性方程和交通流问题·················· … ···········(230) §3. 一维气体动力学 ················································· ··· (241)

§2.

§4.

平面定常流动 ·············································· ········· (268 )

第六章孤立波和行波解 ·············································· (268) §1. 孤立波的发现和发展… ······· ····································(268) §2. KdV方程 ····························································(2 69) §3.

三次Sch心dinga,方程···········································(278)

§4. Sine - Go,don方程 ········································ ··· ····(281)

·2·

第一章

Green





Green函数在求解常微分方程边值问题和偏微分方程边值问 题以及初边值问题中有着特殊重要的地位.Green函数法的优越性 在于把具有任意非齐次项和任意边值的定解问题归结为求解一个 特定的边值问题,它仅依赖于微分算子、边界条件的形式和区域的 积犬一旦求得了相应的Green函数.就可以通过叠加原理给出原 定解问题的斛. 在本章中.我们就一维问题和多维问题分别给出Green函数 的定义和物理意义 . 并介绍几种求Green函数的方法 扣. I.I

一维问题

问题的提出

我们先考虑简单的物理模刮.设有 一 根拉紧的均匀If.柔软的 轻弦.长度1�1两端固定.在垂灶外力作用下当弦达到平衡时,讨 论弦的形状 如图1-1钮立坐杯系,把不受外力作用时弦的平衡位悝取为 Ox轴,并以f(x),y(x)分别表刀、弦士横坐标为x的点处所受的外力密 度(单位N/m)和位移(单位: m)由于此时惯件力为零.有·微小位 移的情况下.弦的平衡方程为

一点 T(x喘]�f(x)

其中T(x)为弦」横坐标为x的点所受张力的入小,为讨论简单起 见不妨设T(x)�l十是问题简化为求解常微分方程边值问题 ·1

y f(z)

' � 图,_,

{

-1;,-=f(x)

(OO. 点凡(x。, y,)映射成门平面上的占心,再作映射w�---=-. ,-心 将L平平面lm(()>O映射成wf面上的单位圆lwlO, tr,-oo 一-, 则厅(!l)嵌人 2

C'(Q)且存在常数M, 使得

iiullc-'", D使对一 切ueH'(Q)有 o(lulf +lf(u)I')"'< Hull, , i,n-0 (i-1,2, ... ,N)的基函数 . 在SN中寻求变分形式(4.4) 、 (4.5)的近似 解u., 一、

uN(x.y,t)-I u, (t),p, (x,y), 』-, 代入(4.4),(4.5), rl 取0,3N, 当n>N时,有 (2.45) d,J[y.. ],d+, y .. � .. y IIY--11, 从而有

dO),

(-Llu,u),沪 y勺lullt'

C

故算子A--�在乳上是正定的 .

对于 般的符了方程的特征值问题.在算子A的定义域乳上

需引进新的内积

[u,v]

和模

一(Au,v)

(3.23)

f乙三』五百

伈IIH尸 (3.24) 其完备化后的空间记作H,, 它是 一 个Hilbert空间这样可以得到 关于 一 般弈子方程特征值问题的下述结论: 基本定理3

对于笲子方程的特征俏问题

-o,

Au-心止

(3.17)

若A是其定义域乳上的线性对称正定箕子,且假定乡A 在Hilbert 空间凡中稠密,又若嵌入算子J:H,�L, 是紧算子,则其特征值和

特征函数具有下述性质

·140·

(i)所有的特征值都是正实数,即入>O (i=l,2,···); (ii)所有的特征值组成一个单调非减的、并以无穷远点为凝 聚点的序列,即 入·"'心....... 入, ._ ... 且

lim 久"�+ao; 几一。

(iii)不同的特征值)所所对应的特征函数u在区域Q上互相正 交,即当儿#入.时 , 相应的特征函数u, 和u, 有关系式 (3.25) (u, ,u,)-0 U#k); (iv)所有的特征函数u.(n-1,2;")构成空间L,(!l)的一组完 全正交基 , 即对任意的函数作L,(!l), 可按特征 函 数系 也) (n-1,2;··)展成广义的Fourier级数

r-Ic.u.,

(3.26)

凡一1

其中

c九



I 凡 d!J

『。四

(n=l,2,---),

(3.27)

亦即

迎11r-1c. u. llr., -o

(3.28)

3.3奇异Sturm -Liouville问题 考虑圆域上轴对称热传导方程混合问题

譬-a'(号飞譬)

OO,

(3.31)

u-q,(r),

OO及s(r)>O的条件,因而 这是一个奇异的Sturm - L;ouville方程对于这种情形.我们所关 心的是相应的特征值问题,其特征伯和特征函数是否还具有 Sturm-L10uvme问题基本定理中的四条重要性质? 从§2中的论证可知.具有基本定理中性质(i)(iri)的关键是要 相应的Green公式 J (vLu-uLv)心-o

(3.40)

成守在特征值问题(3.35)—(3.37)中,条件(3.37)保证了义系 式(3.40)的成汀 , 于是仿照§2中性质(i)和(iii)的证明,可知其所有 的特征值都是止数 . 且特征函数系在区间[O,l]上带权s(r)-r正交 午于性质(ii)和(iv), 由于p(x)退化为p(x);.o. 所以§2中的定理 6(即关于Sobolev空间的嵌人定理)就不能直接得到需要建汀关 ·142·

于带退化权模的Sobolev空间嵌人定理. 对于这个问题我们在这里

不打算再作进一步的深入讨论但是,值得指出的是对具有奇性

的Bessel方程的特征值问题(3.35)----{3.37), 可以通过适当的变换, 化为圆域D, x'+y'O), 此时方程(4.5)的通解为 X(x)-Acosµx+Bsinµx, X'(x)--µAsinµ艾十 µBcos 肛 由边界条件(4.6)、(4.7), 得 一 µB+A=O,

一 µAsinµ叶 µBeesµ叶 Acosµ叶 Bsinµ

于是推得µ应适合的超越方程 (1 一 矿)sinµ叶 2µcosµ亢=O, 即 ·144·



=O.

µ'一1 -cotµ兀 Zµ

(4.8)

2一1 利用图解法 , 把上述方程的解看成是曲线y- .l!.一一 与y2µ ,otµn在µ >O时的交点从图3-1可看出此超越方程有无穷多个正 根µ, (i-1.2. ··), 且 OO(n-1.2, ···), 具体解 得特征值为 (n-1.2,--·).

正·( ""

相应特征函数

1)

。(µ;- r)

(n-1,2, ···),

R.(r)-J

其中µ.(n-1,2,···)是零阶Bessel函数J。(x)的正零点 将(4.32)代入方程(4.29),可解得 一心, (n-1.2,·--), T.(t)-c.e r 从而可得原定解问题(4.21H4.23 )的解

(4.32)

(4.33)

(4.34)

u(r,t)- u, + L凡(r)T,(t) ""'

-

_,耸

-u叶圣c.e'J

。(于),

其中系数c九可根据基本定理的性质(iii)和(iv)求得: c. 这里 ·148·



�r rdr 『[ q,(r)-u, J J,Cl

I J。行,) II'

I J,(1T-,)



曰. 气rdr

(4.35) (4.36)

寸 [J心) ]'.

J,(x)为一阶Bessel函数 , 而µ,(n-1,2,·")是J心)的正零点 例3 讨论高维波动方程棍合问题 { :·

,t), �u-f(x � �

u 1,-,-O. XEaQ,t;,,Q, 立Q

(4.37)

(4.38) (4.39) (4.40)

的共振问题,其中x = (x,_x,. ···,x.) 解先考虑方程(4.38)相应齐次方程的特征值问题 (4.41) -,IX(x)-).X(x)=O, xe!J, { xeo!J. X(x)=O , (4.42) 根据多维Sturm-Liouville问题的基本定理知,存在无穷多 个正的特征值儿(n = l.2, ···),有 O< 小x!.,'. 要唯 一 确定



个解还必须要求 q,,(0)-h,(O).

当仍eC[O,IJ,h,eC(R')且上述条件也满足时,分量u在Q中是连续 的若要求解是古典解,则就还需要进 一步的条件,即要求

1

伦 ;(o)-- 了h;(O), 人i

q,,EC'[O,/], h,eC'(R勹

对十分量u,, 左边部分的边界条件的情况和u,在右边界上的情况是类 似的而对于分肤u,. 显然除初始条件外不能指定任何边界条件 ·225·

对于一般情形 , 边界条件的给法是取决于在边界上特征方向 的走向的如果对某个分量u, (x,t)在边界上的特征方向是指向定 解区域内部的 , 那么在此边界上就要给u, 的值,否则就不能给.因 此,在边界上有儿个特征方向是指向定解区域内部的,就要给几个 边界条件说得更具体些 , 如果定解区域是Q-{OO)的Euler方程为

切, ' — i!u, + —— 1 op 一 F;, +Iu,,

228

2,

,-,

,.x,

p i!x,

}-1,2,3, (1.28)

立心 u, 立-+p± 竺-�o ,_, ox, 祝 ,_, ax,

(J 29)

(在第四章中已推导了此方程组,在本章§3中还将详细地讨论) 若在(1.29)中把p视为u,, 于是(1.26)为

(av心立-u凇+ 上p'(p卢-h,-0, 祝



'ax,

ox,

p

心::. 九十(詈 +t,

当且仅当

j-1,2,3,

u, ::.)h,-0

(1.30) (1.31)

(譬+沪瓷丁{ (��+江会)'-p'(p心(瓷丁}

-o

(1.32)

讨方程组(1.30) 、 (1.31)有非平凡解我们定义波的速褽为特征面的 传播速度V。和流体质点的法向速度u, (v为特征面上的单位法向 。 一 ... 速度V,的大小IIV。II可用以下方法定出我们 量)之差: 在t和t+At时刻固定两个特征面,在第一个面上任取 一点P, 过P点 引此面的法线,交第二个面于点Q. 速度 的大小就规定为IIV,11

v-v

v.

�Jim乌 显然有Q-P+sgrad., v(P,t)及v(Q,t+At)-0因此 护

o

At

效分上关系式得到

v(P+sgrad, v, t+At)-0.

s[lgrad v(P,t)II'+ 工

彻(P,t)

因为liPQ[l-[s[[lgrad, v(P,t)[I, 我们有

a,

At-o.

。 叶詈 I / IIgrad., v II ,

[IV 1

而且II•, [1-lu·grad., vl/[lgrad vi[. 考虑到 相关方向,我们得到 工

(1.33)

v•.•. 和v的所有可能的 ·229·

IIVII-匠切grad,

1/

[lgrad. vi[.

(1.34)

返回到(1.32), 我们看出,它等价于 l[Vl['-0, [IVll'-p'(p). 第 一式决定一 个驻定波,而第二式定义了声速传播速度

IIVII- 石石 一

显见,对Euler方程的任意 个解止p不可能显式地定出函数v. 1.5

附录

R'x[t 。心o)是包含整个平面 ,-,. 的 一 个区域.令G-(G,,···,G,),G, -G,( x,t,u)e 改进的隐函数定理

C'(Q, XR'),,{1-(归

设Q,



,,{1.),,/J, -也(x)eC'(R'切-1, ···,s而且

对xeR'有G(x,t们心 (x))-0及 det

("G 言(x,t,, 如))) 一迁 0, 丿M

于是存在一 个包含整个平面,-,. 的区域Q;cQ, 及存在一分量属 于C'(Q;)的向量函数u(x,t)使得u(x,t,)-材(x),xeR'且 G(x,t,u(x,t))-0,

一阶非线性方程和交通流问题

§2. 2.1

在Q冲 .

交通流方程,守恒律和弱解

许多物理规律都可以用守恒律形式表示,最一般地,用微分方程 .,十/J'(•)).-0

r

给出,这里•-(u., 心)是x,t的向量值函数,xeR",F(u)是u的矩 “



阵值函数我们用 守恒 这 一 词是因为如果lxl-=时,F(u)- 0, 那 么

udx是与t无关的常量即这些积分是守恒的

·230·

最简单的情况是具有两个变量t和 x的单个守恒方程,这时”和 F都是标量我们用p.q(p)代替它们; p, +q(p) -o, 一=([p, -pW'(,,))l(i'-'(T,)一T,))'凡, 则为两个激波 初值问题的解对 一般的初值问题,Godunov最先提出用 下列 方法求解:将初值近似地看成分段常数,然后求解一 组Riemann 问题,每个这样的Riemann问题的解称为 一个扇形解 . 例如我们将 x轴分成长为h的 一 系列区间[ih,(叶l)h归

-o, 土1, 士2, ···,将每

个区间上的初值近似地当作常数. 于是,对每个相邻的两区间,可 一 解-Riemann问题,这个解可以 直推进到时刻At.At满足条件 M/hLMl和MOB.f为椭圆型,K(a)