自动控制原理与应用

Table of contents :
目　　录
前　　言
第１章　自动控制系统概述
１．１　自动控制系统基础知识
１．２　自动控制的基本方式
１．３　自动控制系统的组成和分类
１．４　自动控制系统的性能要求
小　　结
习　　题
第２章　自动控制系统的数学模型
２．１　拉普拉斯变换及其运用
２．２　自动控制系统数学模型的建立
小　　结
习　　题
第３章　Ｍ ＡＴＬＡＢ 与ＳＩＭ ＵＬＩＮＫ 简介
３．１　ＭＡＴＬＡＢ语言
３．２　ＳＩＭＵＬＩＮＫ 建模与仿真
３．３　仿真实例
小　　结
习　　题
第４章　控制系统的时域分析
４．１　一阶系统的时域分析
４．２　二阶系统的时域分析
４．３　控制系统稳定性分析
４．４　ＭＡＴＬＡＢ在时域分析中的运用
４．５　根轨迹分析法
小　　结
习　　题
第５章　控制系统的频率分析
５．１　频率特性的基本概念
５．２　典型环节的频率特性
５．３　控制系统的开环频率特性
５．４　控制系统的稳定判据
５．５　系统的稳定裕量
小　　结
习　　题
第６章　自动控制系统的性能分析
６．１　自动控制系统的稳态性能分析
６．２　控制系统的动态性能分析
６．３　利用频率特性分析系统性能
小　　结
习　　题
第７章　自动控制系统控制器及其校正与设计
７．１　校正用的控制器
７．２　校正的基本规律
７．３　复合补偿
７．４　其他控制器
小　　结
习　　题
附录１　ＳＩＭ ＵＬＩＮＫ 基本模块介绍
附录２　ＭＡＴＬＡＢ控制系统工具箱函数介绍
参考文献

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高等 职 业 学 校 电子 信息 类、 电 气 控制 类专 业系 列 教 材

自动控制原理与应用 焦　斌　编著

高等教育出版社

内容 简介 本 书是高 等职业 学校 “自动控制原 理” 课程的 规划 教材。本着 “必需 、够 用 ” 的 原则， 教 材 从工程 技 术 应用的 角度， 全面系 统地介 绍了 自动控 制理论 基本 分析和 研究 方 法。 内容 包 括： 自动 控 制的 基 本 概念， 自 动 控制的 数学模 型，ＭＡＴＬＡＢ仿真 软件， 时域 分析法 ，频域 分析法 ，自 动 控制 系 统 性能 分析以 及控 制 系统 的 校 正等。 全书将 ＭＡＴＬＡＢ仿真软 件应用 于自 动控制 理论 分析，提高了 学生对 控制 理论的 理解， 增 强 了高等 职 业 学校学 生分析 问题、 解决问 题的 能力。 本 书可作 为高等 职业 学校自 动化技 术、机 电一 体化技 术、计 算 机 及应 用、应 用电 子技术 等专 业 的教 学 用 书，也 适用于 职工大 学、函 授大 学的相 近专业 ，并可 供从 事自动 化技 术的工 程技术 人员参 考。

　图 书在 版编 目 （ＣＩ Ｐ） 数据 　自 动控 制原 理 与应 用 ／ 焦 斌编 著． — 北京 ：高 等 教育 出版 社，２ ０ ０４ ．７ 　Ｉ Ｓ ＢＮ７－０４－０１ ４ ９ ３ ５－４ 　Ⅰ．自… 　 Ⅱ．焦 … 　Ⅲ．自动 控 制理 论 －高 等学 校： 技术 学校 －教 材 　Ⅳ．Ｔ Ｐ１ ３ 　中 国版 本图 书 馆 ＣＩ Ｐ数 据核 字 （２ ００ ４） 第 ０ ６ ２１ ７ ０号

策划 编辑 　韦 晓 阳　 　责 任 编辑 　李 葛 平　 　封 面设 计 　于 　涛 　 　责 任绘 图 　朱 　静 版式 设计 　王 艳 红　 　责 任 校对 　朱 惠 芳　 　责 任印 制　 出版发 行　高 等教育 出版 社　　 　　　 　　　 　　 　　　　　　 购书 热线　０ １０－６４ ０５４ ５８８ 社　　 址　北 京市西 城区 德外大 街 ４号

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目　　录 第 １章　 自动 控 制系 统概 述 … ……… …… （１）

３．１ ．４　ＭＡＴＬＡＢ 指令窗简介 … ………… （４５）

　１ ． １　 自动 控 制系 统基 础 知识 ……… …… （１）

３．１ ．５　ＭＡＴＬＡＢ 在仿真中的应 用 ……… （４６）

　１ ． ２　 自动 控 制的 基本 方 式 … ……… …… （１）

３．１ ．６　ＭＡＴＬＡＢ 的基本规定 … ………… （４７）

１． ２．１　开环 控制系 统 … ……… ……… …… （２） １． ２．２　闭环 控制系 统 … ……… ……… …… （２） 　１ ． ３　 自动 控 制系 统的 组 成和 分类 …… （４） １． ３．１　自动 控制系 统的组 成 … ……… …… （４） １． ３．２　自动 控制系 统的分 类 … ……… …… （８） 　１ ． ４　 自动 控 制系 统的 性 能要 求 … …… （９） 　小结 …… ……… …… ……… ……… ……… （１２） 　习题 …… ……… …… ……… ……… ……… （１２）

第 ２章　 自动 控 制系 统的 数学 模 型 …… （１４） ． １　 拉普 拉 斯变 换及 其 运用 … ……… （１４） 　２ ２． １．１　拉普 拉斯变 换的定 义 …… ……… （１４） ２． １．２　拉普 拉斯变 换运算 定理 … ……… （１６）

３．１ ．７　ＭＡＴＬＡＢ 图形绘制 …… ………… （４８） ３．１ ．８　ＭＡＴＬＡＢ 语言在控制系 统分 析 中的 应用 … ……… …… ………… （５０） 　３ ． ２　 Ｓ Ｉ ＭＵＬＩ ＮＫ建 模 与仿 真

………… （５１）

３．２ ．１　ＳＩ ＭＵＬＩ ＮＫ简 介 … …… ………… （５１） ３．２ ．２　ＳＩ ＭＵＬＩ ＮＫ模 块库 的分类 及其 用途 ……… ……… …… ………… （５３） ３．２ ．３　用 ＳＩ ＭＵＬＩ ＮＫ建 立系统 模型 及 仿真 ……… ……… …… ………… （５３） 　３ ． ３　 仿 真实 例 …… ……… …… ………… （５５） 　 小 结 … ……… ……… ……… …… ………… （５６） 　 习 题 … ……… ……… ……… …… ………… （５６）

２． １．３　拉普 拉斯逆 变换 … ……… ……… （１９）

第 ４章　 控 制系 统的 时 域分 析 ………… （５８）

２． １．４　拉普 拉斯变 换应用 举例 … ……… （２０）

　４ ． １　 一 阶系 统的 时域 分 析 … ………… （５８）

　２ ． ２　 自动控制系统 数学模型的建 立 … （２１）

４．１ ．１　一阶 系统 的数学描述 … ………… （５８）

２． ２．１　动态 微分方 程 …… ……… ……… （２２）

４．１ ．２　一阶 系统 的单位阶跃响 应 ……… （５８）

２． ２．２　传递 函数 … ……… ……… ……… （２５）

４．１ ．３　一阶 系统 的单位斜坡响 应 ……… （６０）

２． ２．３　典型 环节的 传递函 数 …… ……… （２６）

４．１ ．４　一阶 系统 的单位脉冲响 应 ……… （６１）

２． ２．４　系统 结构框 图 …… ……… ……… （３２）

４．１ ．５　三种 典型 输入信号作用 于一阶

２． ２．５　结构 框图的 变换法 则 …… ……… （３４） ２． ２．６　系统 结构框 图化简 及系 统传递

系统 的响 应比较 … …… ………… （６１） 　４ ． ２　 二 阶系 统的 时域 分 析 … ………… （６２）

函数 的求取 ……… ……… ……… （３７）

４．２ ．１　二阶 系统 的数学模型 … ………… （６２）

　小结 …… ……… …… ……… ……… ……… （４０）

４．２ ．２　二阶 系统 的闭环极点 … ………… （６３）

　习题 …… ……… …… ……… ……… ……… （４１）

４．２ ．３　二阶 系统 的单位阶跃响 应 ……… （６４）

第 ３章　 ＭＡＴＬＡＢ与 ＳＩ ＭＵＬＩ ＮＫ

４．２ ．４　二阶 系统 的单位脉冲响 应 ……… （６７）

简介 …… …… ……… ……… ……… （４３）

　４ ． ３　 控 制系 统稳 定性 分 析 … ………… （６７）

　３ ． １　 ＭＡＴＬＡＢ语 言 ……… ……… ……… （４３）

４．３ ．１　稳定 性的 基本概念 …… ………… （６７）

３． １．１　ＭＡＴＬＡＢ语 言简 述 ……… ……… （４３）

４．３ ．２　系统 稳定 的充要条件 … ………… （６８）

３． １．２　ＭＡＴＬＡＢ６．Ｘ版 对外部 系统的 要求 … …… ……… ……… ……… （４３） ３． １．３　ＭＡＴＬＡＢ的 安装 及启动 … ……… （４４）

４．３ ．３　劳思 稳定 判据 …… …… ………… （６９） 　４ ． ４　 ＭＡＴＬＡＢ在 时 域分 析中 的

运 用 … ……… ……… …… ………… （７０） ・ Ⅰ・

４． ４．１　系统 零极点 分布 … ……… ……… （７０）

　６ ． ２　 控 制系 统的 动态 性 能分 析

…… （１０３）

４． ４．２　系统 单位阶 跃响应 的仿 真 ……… （７１）

６．２ ．１　典型 二阶 系统单位阶跃 响应 …… （１０３）

　４ ． ５　 根轨 迹 分析 法 ……… ……… ……… （７２）

６．２ ．２　二阶 系统 的动态性能指 标 … …… （１０３）

４． ５．１　根轨 迹的基 本概念 ……… ……… （７２）

６．２ ．３　二阶 系统 动态性能分析 …… …… （１０５）

４． ５．２　利用 ＭＡＴＬＡＢ进行根 轨迹

６．２ ．４　利用 ＭＡＴＬＡＢ进行 系统动 态

绘制 … …… ……… ……… ……… （７４）

性能 分析 ……… …… ……… …… （１０８）

４． ５．３　控制 系统的 根轨迹 分析 … ……… （７４）

　６ ． ３　 利 用频 率特 性分析系统性能 …… （１０８）

　小结 …… ……… …… ……… ……… ……… （７５） 　习题 …… ……… …… ……… ……… ……… （７６）

第 ５章　 控制 系 统的 频率 分析 … ……… （７８）

６．３ ．１　用开 环频 率特性分析系 统的 性能 …… ……… …… ……… …… （１０８） ６．３ ．２　闭环 频率 特性与系统阶 跃响应

　５ ． １　 频率 特 性的 基本 概 念 …… ……… （７８）

的关 系 … ……… …… ……… …… （１１２）

５． １．１　频率 特性的 基本概 念 …… ……… （７８）

　 小 结 … …… ……… ……… …… ……… …… （１１３）

５． １．２　频率 特性与 传递函 数的 关系 …… （７９）

　 习 题 … …… ……… ……… …… ……… …… （１１４）

５． １．３　频率 特性的 几何表 示法 … ……… （７９）

第 ７章　 自 动控 制系 统 控制 器及 其校

　５ ． ２　 典型 环 节的 频率 特 性 …… ……… （８１）

正 与设 计 ……… …… ……… …… （１１６）

５． ２．１　比例 环节 … ……… ……… ……… （８１）

　７ ． １　 校 正用 的控 制器 …… ……… …… （１１６）

５． ２．２　积分 环节 … ……… ……… ……… （８１）

　７ ． ２　 校 正的 基本 规律 …… ……… …… （１１９）

５． ２．３　微分 环节 … ……… ……… ……… （８２）

７．２ ．１　无源 校正 ……… …… ……… …… （１１９）

５． ２．４　惯性 环节 … ……… ……… ……… （８２）

７．２ ．２　比例 （Ｐ） 控 制器 校正 …… …… （１２１）

５． ２．５　一阶 微分环 节 …… ……… ……… （８３）

７．２ ．３　积分 控制 器 （Ｉ ） 校 正 …… …… （１２５）

５． ２．６　振荡 环节 … ……… ……… ……… （８４）

７．２ ．４　比例 积分 （ＰＩ ） 校正 ……… …… （１２９）

　５ ． ３　 控制 系 统的 开环 频 率特 性 ……… （８５）

７．２ ．５　比例 微分 （ＰＤ） 校正 …… …… （１３６）

５． ３．１　控制 系统的 型别 … ……… ……… （８５）

７．２ ．６　比例 积分 微分 （ＰＩ Ｄ） 校 正 …… （１４２）

５． ３．２　控制 系统的 开环伯 德图 … ……… （８６）

７．２ ．７　反馈 校正 ……… …… ……… …… （１４８）

　５ ． ４　 控制 系 统的 稳定 判 据 …… ……… （８８）

　７ ． ３　 复 合补 偿 … ……… …… ……… …… （１５４）

　５ ． ５　 系统 的 稳定 裕量 …… ……… ……… （９０）

７．３ ．１　按扰 动补 偿的复合校正 …… …… （１５４）

　５ ． ６　 ＭＡＴＬＡＢ绘 制系 统 的频 率特

性图 …… …… ……… ……… ……… （９２） 　小结 …… ……… …… ……… ……… ……… （９４） 　习题 …… ……… …… ……… ……… ……… （９５）

第 ６章　 自动 控制 系统 的性能 分析 …… （９８） 　６ ． １　 自动控制系统 的稳态性能分 析 … （９８） ６． １．１　系统 稳态误 差的概 念 …… ……… （９８） ６． １．２　系统 稳态误 差与系 统型 别、 开环 增益间 的关系 …… ……… … （１ ００） ６． １．３　系统 稳态误 差与输 入信 号间的 关系 ……… …… ……… ……… … （１ ０１） ６． １．４　系统 稳态性 能分析 综述 ……… … （１ ０２）

・ Ⅱ・

７．３ ．２　按输 入补 偿的复合校正 …… …… （１５６） 　７ ． ４　 其 他控 制器

…… …… ……… …… （１５８）

７．４ ．１　开关 量控 制器 … …… ……… …… （１５８） ７．４ ．２　数字 控制 器 …… …… ……… …… （１６１） 　 小 结 … …… ……… ……… …… ……… …… （１６４） 　 习 题 … …… ……… ……… …… ……… …… （１６５）

附录 １　 Ｓ Ｉ ＭＵＬＩ ＮＫ 基 本模 块介 绍 …… ……… ……… …… ……… …… （１６７）

附录 ２　 ＭＡＴＬＡＢ 控 制系 统工 具箱 函数 介绍 ……… …… ……… …… （１７９） 参考 文献 … …… …… … …… …… … … （１８３）

前　　言 ２ ０世纪 后期 ， 自动 控制 理论 得 到 了 不 断的 完 善与 发展 ， 各 种 先 进 控 制 算法 也逐 步 应 用 于 实际 工程 。 “自动 控 制 理 论与 应用 ” 作为 一 门专 业 基础 课 程 ， 不仅 对工 程 技 术 有 着 指 导 作用 ， 而且 对培 养学 生 的思 维能 力 及综 合分 析 问题 的能 力具 有 重要 的作 用 。 高等 职业 教 育作 为高 等 教育 的一 个 重要 组成 部分 ， 在培 养学 生 逻辑 思维 能 力的 同时 ，重 点 在于 培养 学生 的 实际 应用 能 力。 本书 就 是本 着 “必 需 、 够 用 ” 的 原 则， 以 工程 技术 应 用 能 力 的培 养为 主线 组 织教 学内 容 ，突 出实 际 应用 ，突 出 工程 概 念 。 全书 注入 了 编 著 者 的 大 量 心血 ， 总结 了编 著者 多 年在 科研 和 教学 上的 经 验， 书中 很多 应 用实 例来 自 于作 者的 科 研成 果， 力争 做 到重 点突 出， 强 化工 程应 用 ，减 少繁 琐 的数 学推 演， 同 时注 意到 科 研水 平的 发 展， 将现 在非 常 流行 的 ＭＡＴＬＡＢ软 件的 仿 真贯 穿于 书 中的 每 一 重 要 知 识 点， 使 学 生 对 所 学 知识 建 立 起 一个 先 进的 、全 面的 工 程理 念。 全书 共分 七 章。 第 １章介 绍 了自 动控 制 的基 本概 念 ，给 出了 自动 控 制系 统中 常 用的 术语 及 性能 指标 。学 生 学完 本章 后 应具 有自 动 控制 系统 的整 体 概念 。 第 ２章讲 述 了自 动控 制系 统 数学 模型 的 建立 ，给 出 了结 构框 图、 拉 普拉 斯变 换 及传 递函 数 的概 念， 讨论 了 典型 环节 的 传递 函数 。 学生 学完 本章 后 应学 会控 制 系统 数学 模 型的 建立 ，并 能 够运 用拉 普拉 斯 变换 将微 分 量转 变为 复 数域 的数 学模 型 。 第 ３章介 绍 了仿 真软 件 ＭＡＴＬＡＢ 的基 本组 成 及运 用， 给出 了 运用 ＭＡＴＬ ＡＢ 来建 立 结构 框 图和 仿真 结果 输 出的 方法 。 学生 学完 本 章后 应能 运用 ＭＡＴＬＡＢ 对 系统 进行 建 模和 仿真 输 出。 第 ４章介 绍 了自 动控 制系 统 的时 域分 析 方法 和根 轨 迹分 析方 法， 给 出了 典型 输 入函 数在 系 统中 的时 域响 应 分析 ，讨 论 了系 统稳 定 性 的 判 别方 法， 最 后 给 出 了运 用 ＭＡＴＬＡＢ进 行 仿真 输 出的 结果 。学 生 学完 本章 应 具有 自动 控 制 系 统 时域 分 析 的 能力 ， 并能 运 用 ＭＡＴＬＡＢ 对 系统 进 行时 域仿 真分 析 。 第 ５章自 动 控制 系统 的频 域 分析 是工 程 上重 点应 用 的方 法， 本章 重 点介 绍了 典 型环 节的 频 域特 性和 稳定 性 分析 ，给 出了 ＭＡＴＬＡＢ仿 真 结 果 。学 生学 完 本 章 后 应 具 有 自动 控 制 系 统的 频 域分 析和 运用 ＭＡＴＬ ＡＢ 进 行仿 真的 能 力。 第 ６章全 面 介绍 了自 动控 制 系统 的性 能 指标 ，并 详 细分 析了 稳态 误 差及 动态 指 标对 系统 的 影响 。学 生学 完 本章 后应 能 正确 评价 自 动控 制系 统的 性 能。 第 ７章介 绍 了自 动控 制系 统 中常 用的 控 制器 ，重 点 介绍 了工 程中 常 用的 校正 控 制器 ，并 运 用 ＭＡＴ ＬＡＢ对校 正 结果 进行 仿真 。 学生 学完 本 章后 应能 正 确运 用常 用校 正 控制 器。 本教 材由 上 海电 机技 术高 等 专科 学校 焦 斌主 编， 焦 斌编 写第 ３、６ 、７章 及附 录 ；四 川省 职 业技 术学 院郑 辉 编写 第 １、２章 ；上 海 电机 技术 高 等专 科学 校 刘军 编写 第 ４、５章 。 全书 由上 海 理工 大学 孔 凡才 教授 审 阅， 上海 电机 技 术高 等专 科 学校 苏中 义 教授 也对 本书 提 出了 许多 宝贵 意 见， 在此 一 并表 示衷 心 的感 谢！ ・ Ⅰ・

由于 编写 时 间仓 促， 编 者水 平有 限 ，书 中难 免有 缺 点和 不妥 之 处， 恳请 读 者批 评指 正。 编 　者 ２００ ４年 ３月

・ Ⅱ・

第 １章 　 自 动 控 制 系 统 概 述

在科学 和技术 的发展 过程中 ，自动 控制 技术起 着极其 重 要 的作用 。本章 主 要 介绍自 动控 制的基 本 概念 ，开环 、闭环 控制系 统的控 制特点 ，重 点讨论 自动控 制 理 论研究 的对 象和任 务，并 给出 从系统 结 构到 系统方 框图的 定性分 析方法 。 　

１．１　自 动控制系统基础知识 自动 控制 技 术从 ２０世 纪中 叶以 来 逐渐 在工 农 业 生 产 、交 通运 输 、国 防 和宇 航 等 领 域发 挥 越来 越大 的作 用 。例 如温 室 的温 度和 湿 度能 自动 保持 恒 定、 导弹 能 够准 确地 命 中目 标、 人造 卫 星能 按预 定的 轨 道运 行并 返 回地 面、 宇 宙飞 船能 准确 地 在月 球着 陆 并重 返地 球 等， 都是 自动 控 制技 术迅 速发 展 的结 果。 再 如在 工业 生 产过 程中 ，对 诸 如压 力、 流 量、 频率 、 速度 、物 位、 成 分等 方面 的控 制 ，也 都离 不 开自 动控 制 技术 。可 以说 自 动控 制技 术 已渗 透到 生 产、 生活 的各 个 领域 。 所谓 自动 控 制， 是指 在 没有 人直 接 干预 的情 况下 ， 利用 物理 装 置对 生产 设 备和 工艺 过程 进 行合 理的 控制 ， 使被 控制 的 物理 量保 持 恒定 ，或 者按 照 一定 的规 律 变化 。例 如 要使 一台 发电 机 正常 运行 ，工 程 师就 要采 取 某种 措施 ， 比如 负载 变化 时 就要 改变 磁 场以 保持 发 电机 的输 出电 压 不变 ，这 种工 作 可以 人工 进 行， 但如 果 通过 一定 的装 置 来完 成这 一 工作 过程 ， 就不 需要 人的 参 与， 这种 控制 就 是自 动控 制 。 自动 控制 系 统是 为实 现 某一 控制 目 标所 需要 的各 种 物理 部件 的 有机 组合 体 。它 一般 包括 控 制器 和被 控制 对 象两 大部 分 。被 控 制 对 象 （简 称被 控 对 象 ） 是 指 要 求 实 现 自动 控制 的 生 产 设 备或 工艺 过程 ； 控制 器则 是 指对 被控 对 象起 控制 作用 的 设备 。系 统 中被 控制 的 物理 量称 为被 控 量或 输出 量； 决 定被 控量 的 物理 量称 为 控制 量或 给定 量 ；妨 碍控 制 量对 被控 量 进行 正常 控制 的 所有 因素 称为 扰 动量 。给 定 量和 扰动 量 都是 自动 控制 系 统的 输入 量 。扰 动量 按 其来 源可 分为 内 部扰 动和 外部 扰 动。 自动 控 制 的 任 务实 际 上就 是克 服 扰 动 量 的 影 响 ， 使 系 统按 所要 求 的 规 律 运行 。

１．２　自动控制 的基本 方式 自动 控制 系 统有 两种 最 基本 的形 式 ，即 开环 控制 和 闭环 控制 。

・ １・

１ ．２ ． １　开环 控制系统 开环 控制 系 统是 一种 最 简单 的控 制 系统 。下 面举 例 说明 其结 构 特点 和工 作 原理 。 图 １． １所 示 是一 个电 阻炉 温 度控 制 系 统 ，希 望 电阻 炉 的 温 度 Ｔｃ保持 在 允 许 范 围 内 。在 该 系统 中， 可以 通 过调 整自 耦 变压 器滑 动 端的 位置 来改 变 电阻 炉的 温 度， 并使 其 保持 在允 许范 围 内。 因而 被控 对 象就 是电 阻 炉， 被控 量 就是 电阻 炉的 温 度。 自耦 变 压器 滑动 端 的位 置对 应了 一 个电 压值 ｕｃ，也 就 对应 了一 个电 阻 炉的 温度 Ｔｃ， 改变 ｕ ｃ 也 就改 变了 Ｔ ｃ。 在 这 个 控 制 系 统中 ， 没有 对电 阻炉 的 实际 温度 进 行测 量， 就 是 说 ， 实 际 温度 Ｔｃ是 多少 不 得而 知 。当 系统 中 出 现 外 部扰 动 （如 炉门 开关 频 繁变 化） 或 内部 扰 动 （如 电 源 电 压 波动 ） 时， Ｔｃ将偏 离 ｕｃ所 对 应的 数 值， 结果 温度 可 能比 希望 值 偏高 或偏 低 。 图 １． ２表 明 了该 系统 的输 入 量和 输出 量 之间 的作 用 关系 。

图 １．１　 温度控 制系 统

图 １．２　 开环 控制系 统框图

１—自 耦变压 器　２—电 阻炉

在图 １． ２中 表示 了系 统信 号 的流 动， 这 种图 称为 方 框图 ，箭 头表 示 信号 流动 的 方向 。从 图 中可 以看 出， 这 种系 统只 有 输入 量经 过 一定 方式 影响 输 出量 ，而 对 输出 量不 进 行测 量， 也不 知 它和 输入 量的 要 求究 竟差 多 少， 即输 出 量没 有参 与对 系 统的 控制 ， 所以 这种 系 统称 为开 环控 制 系统 。当 出现 扰 动时 ，给 定 量与 输 出 量 之间 的 对应 关 系 将 改 变， 也 即 系 统 的 输 出量 （实 际 输 出） 将偏 离 给定 量所 要 求的 数值 （理想 输出 ）。显 然 ，图 １ ．１所 示系 统实 现 不了 保持 温 度恒 定 的控 制目 标。 开 环控 制的 特 点决 定了 它 不具 备抗 干扰 的 能力 。因 此 ，这 类开 环 控制 系统 只能 用 于输 出量 和输 入 量之 间的 关 系固 定且 内 部或 外部 扰动 影 响不 大、 控 制精 度要 求 不高 的场 合。

１ ．２ ． ２　闭环 控制系统 为了 解决 抗 干扰 问题 ， 必须 采用 闭 环控 制。 闭环 控 制是 由在 开 环控 制基 础 上引 入人 工干 预 过程 演变 而来 的 。 例如 ，在 图 １． １中， 如果 要 实现 有无 扰 动都 要保 持 炉温 恒定 ，可 以 让操 作者 参 与对 被控 制 量的 控制 ，那 么 操作 者如 何 来保 持炉 温 恒定 呢？ 首先 ，操 作 人员 必须 要 测量 炉子 的 实际 温度 ，然 后 与工 艺所 要 求的 温度 进 行比 较， 再根 据 二者 之间 的差 值 （又 称 为偏 差 ） 调 整自 耦 变压 器 的 滑 动 端 位 置， 来 减少 甚 至 消 除 偏 差 ，从 而 保持 炉温 的恒 定 。从 这里 可 以看 出， 操 作者 的关 键作 用 是使 系统 输 出量 参与 了 系统 的控 制， 系 统一 旦受 到扰 动 的作 用产 生 偏差 ，就 及 时调 整控 制量 ， 从而 保持 输 出量 的恒 定 。如 果用 物理 装 置来 取代 操作 者 的上 述功 能 ，就 构成 了 闭环 控制 系统 。 ・ ２・

图 １． ３就 是 用一 系列 装置 来 实现 对炉 温 的闭 环控 制 的。 在这 里， 给 定量 由给 定 电位 器滑 动 端所 对应 的电 压 值 ＵｓＴ给出 ， 炉 内 的实 际 温 度 由 热 电 偶 检测 ， 并 将 其转 换 成 电 压 ＵｆＴ， 其 与 实 际炉 温成 正比 例 ，然 后反 馈 到输 入端 与 给定 电压 ＵｓＴ 相比 较 （通 过 二 者 极 性 反 接 实现 ）。两 者 的差 值 ΔＵ称 为偏 差电 压 （ΔＵ＝ＵｓＴ －ＵｆＴ）。 此 偏 差电 压 作为 控制 电 压， 经 电压 放 大 和 功率 放 大后 ，去 驱动 直 流伺 服电 动 机， 电动 机 经减 速器 带动 自 耦变 压器 的 滑动 端， 改 变电 压来 调节 炉 温。

图１ ．３　炉温 闭环 控制系 统

该系 统的 结 构框 图如 图 １． ４所示 。

图 １．４　 闭 环控制 系统 框图 １—控 制器 　２—执行 机 构 　３— 被控 对象 　４— 检测 装置

炉温 控制 过 程如 图 １ ． ５所 示 。

图 １． ５　炉 温闭环 控制 系统调 节过程

・ ３・

下面 对该 系 统的 控制 过 程做 一 简 单 分 析 。 当炉 温由 于 扰动 作 用 而 偏 低时 ， ＵｓＴ ＞ ＵｆＴ，ΔＵ ＝ （ＵｓＴ －ＵｆＴ） ＞０， 此时 偏差 电 压 极 性 为正 ， 此偏 差电 压 经 放 大 后， 产 生 电 压 Ｕｔ （设 Ｕｔ ＞ ０）， 供给 电 动机 电枢 ， 使电 动机 正转 ， 带 动 变 压 器 滑 动 端 右 移， 从 而使 电 炉供 电 压 增 加， 炉 温上 升， 直到 炉 温升 至给 定 值， 达到 ＵｆＴ ＝ＵｓＴ， 即 ΔＵ ＝０为 止。 这 样炉 温 能够 自动 回 升， 并 保持 恒定 。 反之 ，当 温 炉偏 高时 ， 则 ＵｆＴ ＞ ＵｓＴ，ΔＵ 为 负， 经放 大 后使 电动 机 反转 ，变 压器 滑 动端 左 移， 供电 压减 小 ，炉 温降 低 至给 定值 。 当炉 温处 于给 定 值时 ，ΔＵ＝０，电 动 机停 转。 这种 系统 是 把输 出量 直 接或 间接 地 反馈 到输 入 端形 成 闭 环 ，使 输出 量 参 与 了 系 统 的 控制 ， 所以 称为 闭环 控 制系 统。 由 于闭 环系 统 是根 据负 反馈 原 理按 偏差 进 行控 制的 ， 因此 也称 为反 馈 控制 系统 或偏 差 控制 系统 。 在工 业生 产 中， 按照 偏 差控 制的 闭 环系 统种 类繁 多 ，尽 管它 们 完成 的控 制 任务 不同 ，具 体 结构 可能 不一 样 ，但 是从 检 测偏 差、 利 用偏 差信 号对 被 控对 象进 行 控制 以减 少 或消 除输 出量 的 偏差 这一 控制 过 程却 是相 同 的。 通过 这 种反 馈控 制， 使 控制 系统 的 性能 得到 显 著的 改善 。 现将 开环 系 统和 闭环 系 统的 特点 归 纳如 下： １ ．在开 环系 统 中， 只有 输入 量 对输 出 量产 生 控制 作 用 。 从 结 构 上看 ， 只有 从输 入 端 到 输 出端 的信 号传 递 通道 （该通 道 称 为 正 向 通 道）， 没 有反 馈 。 所 以 系 统 结 构 简 单 ，系 统 稳 定 性 好， 成本 也低 ， 这是 开环 控 制的 优点 。 因为 没有 反馈 ， 系统 不具 备 抗干 扰能 力 ，这 是开 环控 制 系统 的缺 点。 所 以开 环系 统 只能 用在 输 入量 与输 出量 之 间关 系固 定 ，且 内部 或 外部 扰动 不大 或 这些 扰动 因素 可 以预 计确 定 并能 进行 补 偿的 场合 。 ２ ．在闭 环控 制 系统 中， 除输 入 量对 输 出量 产 生控 制 作 用 外， 输 出量 也 参 与 系 统 控 制。 从 结构 上看 ，除 正 向通 道外 ， 还必 须有 从 输出 端到 输入 端 的信 号传 递 通道 ，使 输 出也 参与 控制 作 用， 该通 道称 为 反馈 通道 。 闭环 系统 就 是由 正向 通道 和 反向 通道 组 成的 。因 为 有了 反馈 ，闭 环 系统 具有 抗干 扰 能力 ，这 是 闭环 控制 系 统最 突出 的优 点 。同 时， 由 于有 了反 馈 ，就 必须 要检 测 偏差 ，所 以闭 环 系统 必须 有 检测 环节 来 直接 或间 接检 测 出输 出量 ， 并将 其转 换 为与 输入 量相 同 的物 理量 ，再 与 给定 量比 较 得出 偏差 信 号。 因此 闭环 系 统结 构相 对 复杂 ，成 本 较高 ，而 且使 系 统稳 定性 变差 ， 这是 闭环 系 统的 缺点 。

１．３　自动 控制系统的组成和分类 １ ．３ ． １　自动 控制系统的 组成 根据 控制 对 象和 使用 元 件的 不同 ， 自动 控制 系统 有 各种 不同 的 形式 ，但 是 概括 起来 一般 均 由六 个基 本环 节 组成 。下 面 以图 １． ３和图 １ ．４所 示系 统 为例 来说 明系 统 的组 成和 相 关术 语。 图 １． ６就 是 图 １ ．３所 示系 统 的方 框图 ， 它只 把系 统 各个 环节 用框 图 表示 出来 ， 并用 箭头 标 明各 作用 量的 传 递情 况， 能 简单 明了 地 表达 系统 的组 成 ，而 不必 画 出具 体线 路 。 从图 １． ６中 可以 看出 一般 自 动控 制系 统 的组 成如 下 ： １ ．给定 元件 是设 定被 控 制量 的给 定 值的 装置 。 由它 调节 给定 量 ，以 调节 输 出量 的大 小 。在 此系 统中 是 ・ ４・

图 １．６　 温度闭 环控 制系统 框图

给定 电位 器。 给 定元 件的 精 度对 控制 精 度有 较大 影响 ， 在控 制精 度 要求 较高 时 ，常 采用 数字 给 定装 置。 ２ ．比较 环节 比较 环节 将 所检 测的 被 控量 与给 定 量进 行比 较， 确 定两 者之 间 的偏 差量 。 在此 处反 馈信 号 与给 定信 号进 行 叠加 。 ３ ．中间 环节 将偏 差信 号 变换 成适 于 控制 执行 机 构工 作的 信号 。 根据 控制 要 求， 中间 环 节可 以是 一个 简 单的 环节 ，如 电 压放 大器 或 功率 放大 器 。除 此之 外， 还 希望 中间 环 节能 按某 种 规律 对偏 差信 号 进行 运算 ，用 运 算结 果控 制 执行 机构 ， 以改 善被 控制 量 的稳 态和 动 态性 能， 这 种中 间环 节常 称 为校 正环 节。 此 系统 中为 晶 体管 放大 器 或集 成运 算放 大 器构 成的 调 节器 。 ４ ．执行 元件 直接 作用 于 控制 对象 ， 完成 对控 制 对象 的驱 动， 使 被控 制量 达 到所 要求 的 数值 。此 系统 中 为伺 服电 动机 、 减速 器和 调 压器 。 ５ ．控制 对象 又称 为被 调 对象 ，是 指 要进 行控 制 的设 备或 过程 。 在此 系统 中 是电 炉。 ６ ．检测 元件 该装 置用 来 检测 被控 制 量， 并将 其 转换 成与 给定 量 相同 的物 理 量。检 测 元件 的精 度 和特 性 直接 影响 控制 系 统的 控制 品 质， 它是 构 成自 动控 制系 统 的关 键部 件 。在 此系 统 中是 热电 偶。 由图 １． ６可 见， 系统 中作 用 量的 被控 制 量如 下： 给定 量： 又 称为 控制 量 或参 考输 入 量。 它通 常由 给 定信 号电 压 构成 ，或 通 过检 测元 件将 非 电量 转换 成电 压 信号 。如 图 １． ６中的 给定 电 压 ＵｓＴ。 输出 量： 又 称为 被控 制 量， 它是 控 制 对 象 的 输 出 ， 是 自 动 控 制 的 目 标 。如 图 １ ． ６中 的 炉 温 Ｔ 。 反馈 量： 是 通过 检测 元件 将 输出 量转 换 成与 给定 量 性质 相 同且 数量 级 相同 的 信 号 。图 １ ． ６ 中的 反馈 量是 由 热电 偶将 炉 温转 换来 的 信号 电压 ＵｆＴ。 扰动 量： 它 通常 指妨 碍 控制 量对 被 控制 量进 行正 常 控制 的所 有 因素 ，来 自 系统 内部 的称 为 内部 扰动 ，例 如 系统 元件 参 数的 变化 、 放大 器零 点漂 移 等。 来自 系 统外 部的 称 为外 部扰 动， 例 如电 网电 压波 动 、负 载改 变、 外 部环 境改 变 等。 在图 １． ６所 示系 统中 ， 开门 的频 度 、工 件的 增 减等 都是 外部 扰 动。 中间 变量 ： 是系 统中 各 环节 之间 的 作用 量， 它既 是 前一 环节 的 输出 量， 又 是后 一环 节的 输 ・ ５・

入量 。如 １． ６图 中的 偏差 电压 ΔＵ。 根据 以上 分 析可 知， 要 了解 一个 实 际的 自动 控制 系 统的 组成 ， 画出 系统 框 图， 必须 明确 以 下问 题： （１ ） 系 统的 控制 目 标是 什 么 ？ 被控 制 量 是 什 么？ 被 控 制 对 象 是 哪个 ？ 影响 被控 制 量 的 扰 动量 有哪 些？ （２ ） 什 么元 件实 现 对控 制对 象 的驱 动？ 它 就是 执行 元件 。 （３ ） 哪 个元 件实 现 对被 控量 的 测量 ？它 就 是检 测元 件。 它 的信 号是 如 何反 馈的 ？ （４ ） 输 入量 由哪 个 元件 给定 ？ 反馈 量如 何 与给 定量 进行 比 较？ （５ ） 系 统还 有哪 些 元件 ，他 们 在系 统中 起 什么 作用 ？ 对系 统组 成 的分 析和 绘 制系 统的 框 图是 分 析和 研究 自动 控制 系统 的 基础 ，必 须 认真 掌 握 。 下面 通 过两 个实 际系 统的 例子 来 说明 如何 分 析系 统 的 组 成及 绘 制系 统框 图的 方法 。 【例 １． １】 试绘 制 图 １ ．７所 示 直 流 调 速 系 统 的 结 构 框图 。 解： （１） 系 统组 成 分析 由图 １． ７可 见， 系统 的控 制 目 标 是 保持 直 流电 动机

图 １．７　 直流调 速系统 示意 图

的转 速稳 定， 系 统的 被控 制 量 就 是 电动 机 的 转 速 ｎ，而 系统 的控 制对 象 就是 产生 转 矩的 直流 电 动机 。使 转速 变 化的 原 因是 受到 内 部 或 外 部 扰 动 作用 ， 例如 负载 的变 化 等。 对转 速 进行 调节 是 通过 调 整 晶 闸管 整 流输 出电 压 Ｕｄ的 大小 来实 现 的， 晶 闸管 整流 电路 在 这里 既是 执 行单 元， 又 是功 率放 大 元件 。而 电 压放 大器 对 偏 差 电 压 进 行 放大 ， 它是 中间 环节 。 而放 大器 的 输入 电压 为 给定 电压 与反 馈 电 压 比 较 后 的 偏差 电压 ΔＵ＝Ｕｇ －Ｕｆｎ， 其中 Ｕｇ是由 给 定电 位器 给 定的 ，Ｕｆｎ是 由测 速 发电 机 ＴＧ 输 出 电压 经电 位 器分 压 获得 的， Ｕｆｎ的 大小 取决 于转 速 的高 低。 因 此， 测速 发 电机 和电 位器 构 成检 测元 件 和反 馈单 元 。由 于 Ｕｇ 和 Ｕｆｎ 极性 相反 ，所 以 构成 负反 馈 。 根据 以上 分 析， 便可 绘 出系 统的 框 图， 如图 １． ８所 示。

图 １． ８　 直流调 速系统 结构框图

图１ ．９　直流 调速系 统调 节过程

（２ ） 工 作原 理 当系 统处 于 稳态 时， 电 位器 滑动 端 处于 某一 位置 ， 电动 机就 以 一个 指定 速 度运 行。 如果 由 于受 到扰 动的 影 响， 例如 由 于负 载突 然 增加 ，使 转 速降 低， 那 么测 速发 电 机 输 出 电 压 也 减小 ， 反馈 电压 Ｕｆｎ也 减小 ， 使偏 差电 压 ΔＵ 增大 ， 经电 压放 大和 功 率放 大后 ， 使晶 闸管 输 出电 压 Ｕｄ ・ ６・

增大 ，而 使电 动 机转 速提 高 ，从 而减 小 电动 机的 转速 偏 差。 其自 动 调节 过程 如 图 １． ９所 示。 【例 １． ２】 试绘 制图 １ ． １０所 示位 置随 动系 统 的结 构框 图 。

图 １．１０　 位置 随动系 统示意 图

解： （１） 系 统组 成 图 １． １０所 示是 一位 置 随动 系统 的 示意 图。 由 图 中 可 以看 出， 系 统 的 控 制目 标 是 让 雷达 天 线跟 随手 轮的 转 动而 转动 ， 那么 被控 制 量就 是 雷 达 天 线 转 动的 角 位 移 θ 。 控制 对象 为 雷 达 天 ｃ 线的 位移 。而 驱 动雷 达天 线 转动 的是 永 磁式 伺服 电动 机 ，因 此， 永 磁式 直流 伺 服电 动机 Ｓ Ｍ及 减速 器是 执行 元 件。 为电 动 机提 供电 能 的可 逆直 流 调压 电 路为 功率 放 大 器 。 图中 的 Ａ２ 为由 运 算放 大器 构成 的 反相 加法 器 ，它 在系 统 中 起 比 较器 和 电压 放大 作 用 （在 其 输入 端给 定 量 和 反 馈量 进行 比较 叠 加）。 该 系 统 的 给 定 指令 θ 由 手 轮 转 动给 出 ，它 通过 与 之 联 动 的 给 定 电 位 器 ｉ ＲＰ１转为 电压 信号 Ｕｉ， 因此 ， ＲＰ１是给 定元 件。 图 中电 位器 ＲＰ２与雷 达天 线 联动 ，将 被 控量 θｃ 转 换成 与之 成比 例 的反 馈电 压 信号 Ｕｆθ， 所以 电 位器 ＲＰ２是 检 测 元 件 。图 中 Ａ１是 反 相器 ， 它的 作 用是 将反 馈电 压 变成 与给 定 电压 极性 相 反的 电压 信号 ， 以构 成负 反 馈。 根据 以 上分 析就 可绘 出 如图 １． １１所示 的位 置随 动 系统 的框 图。

图 １． １１　位置 随动 系统结 构框图

（２ ） 工 作原 理 系统 稳定 时 ，θ ｉ ＝θ ｃ， 即 Ｕ ｉ ＝Ｕｆ θ。 当 手 轮 逆 时针 转动 时 ，设 θ ｉ增加 ， 此 时 ，通 过 电 位 器

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转换 成的 给定 电 压 Ｕｉ减 小， 则 偏 差 电 压 ΔＵ ＝（Ｕｉ －Ｕｆθ）必 然 小 于 零 。由 于 Ａ２为 反 相 输 入 ， 其输 出 ＵＫ →Ｕｃ将为 正 值， 从而 使 Ｕｄ为正 ，设 此 时电 动机 带 动雷 达天 线 作逆 时钟 转 动。 这一 过 程一 直持 续到 θ Ｕ＝０，ＵＫ ＝０，Ｕｄ ＝０， 电动 机 停转 为止 。其 控 制过 程如 图 １ ． １２所示 。 ｉ ＝θ ｃ，Δ

图 １． １２　位置 随动 系统调 节过程

１ ．３ ． ２　自动 控制系统的 分类 由于 自动 控 制系 统广 泛 应用 于各 个 领域 ，系 统要 执 行各 种各 样 的控 制任 务 ，因 此自 动控 制 系统 的类 型很 多 。为 分析 和 研究 方便 ， 需要 从不 同的 角 度对 自动 控 制系 统进 行 分类 。 １ ．按输 入量 的 变化 规律 分类 ① 恒值 控 制系 统 恒值 控制 系 统的 特点 是 ：系 统的 控 制目 标是 保持 输 出量 恒定 。 换句 话说 ， 就是 系统 的输 入 量是 恒量 ，并 且 要求 系统 的 输出 量也 保 持恒 定。 恒值 控制 系 统是 生产 中 最常 见的 一 种控 制系 统， 如 自动 调速 系 统、 恒温 控 制系 统、 恒张 力 控制 系统 等。 只 要是 保持 某 一物 理量 稳 定不 变的 控制 系 统， 一般 都 是恒 值控 制 系统 ，如 前面 介 绍的 图 １． ３所 示 的炉 温控 制系 统 和图 １ ．７所 示的 直流 调 速系 统。 ② 随动 系 统 随动 系统 的 特点 是： 输 入 量 是 一 随 时 间变 化的 量 。随 动 系 统 的 控 制 目 标， 是 在 各 种 情 况 下， 保证 输出 量 能快 速、 准 确地 跟随 输 入量 的变 化。 这种 控制 系 统的 最大 优 点是 ：可 以 用功 率很 小的 输 入信 号去 操 纵功 率较 大 的工 作机 械， 并 可以 进行 远距 离 控制 。 随动 控制 系 统在 工业 生产 和 国防 中有 着 广泛 的 应用 ， 例 如 刀架 跟 随系 统、 火 炮 控 制 系统 、 自动 跟踪 卫星 的 雷达 天线 控 制系 统、 工 业自 动化 仪表 中 的显 示记 录 系统 等。 ２ ．按传 输信 号 对时 间的 关系 分 类 ① 连续 控 制系 统 连续 控制 系 统的 特点 是 系统 中各 元 件之 间传 递的 信 号都 是连 续 量或 模拟 量 ，所 以它 又称 为 模拟 控制 系统 。 连续 系统 的 运动 规律 通 常用 微分 方程 来 描述 。目 前 大部 分控 制 系统 都是 连续 控 制系 统。 ② 离散 控 制系 统 控制 系统 在 某处 或几 处 传递 的信 号 是以 脉冲 系列 或 数字 形式 表 示的 系统 ， 称为 离散 控制 系 统。 离散 控制 系 统的 特点 是 在系 统中 采 用取 样开 关， 将 连续 信号 转 换成 离散 信 号。 离散 信号 取 脉冲 形式 的系 统 ，称 为脉 冲 控制 系统 ； 而采 用数 字计 算 机或 数字 控 制器 控制 ， 其离 散信 号以 数 字编 码形 式传 递 的系 统， 则 称为 取样 数 字控 制系 统。

①

系统 稳定 时 ΔＵ＝０。

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３ ．按系 统输 出 量和 输入 量的 关 系分 类 ① 线性 控 制系 统 线性 控制 系 统的 特点 是 系统 中各 元 件的 输入 输出 特 性都 是线 性 的， 控制 系 统的 输出 量与 输 入量 之间 的关 系 可以 用线 性 微分 （或 差 分） 方 程 来描 述。 系 统 最 重 要 的 特 性是 可以 应 用 叠 加 原理 。当 系统 存 在几 个输 入 量时 ，系 统 的输 出量 等于 各 个输 入量 分 别作 用于 系 统时 产生 的输 出 量的 叠加 。 ② 非线 性 控制 系统 非线 性控 制 系统 的特 点 是系 统中 有 一个 或几 个非 线 性元 件， 系 统只 能应 用 非线 性方 程来 描 述。 非线 性系 统 不能 应用 叠 加原 理。 常 见的 非线 性元 件 有饱 和非 线 性、 死区 非 线性 、磁 滞非 线 性、 继电 器非 线 性等 元件 。 ４ ．按系 统中 的 参数 对时 间的 变 化情 况分 类 ① 定常 系 统 定常 系统 又 称时 不变 系 统， 它的 特 点是 系统 所有 参 数不 随时 间 的变 化而 变 化， 实际 中所 遇 到的 系统 大多 属 于这 一类 。 ② 时变 系 统 时变 系统 的 特点 是系 统 中有 的参 数 是时 间的 函数 ， 它会 随着 时 间的 变化 而 变化 。例 如我 国 的运 载火 箭控 制 系统 就是 时 变控 制系 统 的一 个例 子， 在 飞行 的过 程 中， 火箭 内 燃料 的质 量、 火 箭所 受到 的重 力 都随 时间 在 发生 变化 。

１．４　自动控制系 统的性 能要求 当自 动控 制 系统 受到 各 种扰 动或 给 定量 改变 时， 被 控量 就会 偏 离原 来的 值 而产 生偏 差。 通 过自 动控 制系 统 的作 用， 并 经过 短暂 的 过渡 过程 ，被 控 制量 又趋 近 或恢 复到 原 来的 稳态 值， 或 按照 新的 给定 量 要求 而稳 定 下来 ，这 时 系统 从原 来的 平 衡状 态过 渡 到新 的平 衡 状态 。把 被控 量 处于 变化 状态 的 过程 称为 动 态过 程或 暂 态过 程， 而把 被 控量 处于 相 对稳 定的 状 态称 为稳 态或 静 态。 自动 控制 系 统动 态品 质 和稳 态性 能 可用 相应 的技 术 指标 来衡 量 。 自动 控制 系 统的 技术 指 标通 常是 指 系统 的稳 定性 、 稳态 性能 和 动态 性能 。 现分 述如 下。 １ ．系统 的稳 定 性 当有 扰动 作 用 （或 给定 量发 生 变化 ） 时， 输出 量 将 偏 离 原 来 的 稳定 值 ，这 时由 于 反 馈 的 作用 ，通 过系 统 内部 的 自动 调节 ， 系统 可 能 回 到 （或 接 近） 原 来 的 稳 定 值 （或跟 随 给定 量 ） 稳定 下来 ，如 图 １ ． １３ （ａ ）所 示。 但 也 可 能 由于 系统 内部 的相 互 作 用， 使 系 统 输 出 出 现 发 散 而 处于 不稳 定 状态 ， 如图 １ ． １３ （ｂ） 所 示。 显 然 ， 不稳 定系 统是 无 法正 常工 作 的。 因此 ， 对任 何自 动控 制系 统， 首 要条 件便 是 系统 能稳 定 正常 地运 行。 对系 统的 稳 定性 分析 将 在第 ４章 中介 绍 。 ２ ．稳态 性能 指 标 当系 统从 一 个稳 态过 渡 到新 的稳 态 ，或 系统

图 １．１３　稳定 与不稳定系 统 （ａ ） 稳 定系统 　 （ｂ） 不稳 定系 统

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受到 扰动 作用 又 重新 平衡 后 ，系 统可 能 会出 现偏 差 ，这 种偏 差 称为 稳 态 误 差 （ｅ 。 一 个控 制 ｓｓ） 系统 的稳 态性 用 稳态 误差 来 表示 ，系 统 稳态 误差 的大 小 反映 了系 统 的稳 态精 度 ，它 也表 明了 系 统控 制的 准确 度 。稳 态误 差 越小 ，系 统 的稳 态精 度越 高 。若 稳态 误 差为 零， 则 系统 称为 无静 差 系统 ，如 图 １ ． １ ４ （ｂ）所 示 ； 若 稳 态 误 差 不 为 零 ，则 系统 称 为有 静 差系 统 ， 如 图 １． １ ４ （ａ ）。 对一 个恒 值系 统 来说 ，稳 态 误差 是指 在 扰动 作用 下被 控 量在 稳态 下 的变 化量 ； 对一 个跟 随系 统 来说 ，稳 态误 差 是指 在稳 定 跟随 过程 中 输出 量偏 离给 定 量的 大小 。

图１ ．１４　 有静 差与无 静差系 统 （ａ） 有静 差 系 统　 （ｂ） 无 静差系 统

３ ．动态 性能 指 标 由于 系统 的 对象 和元 件通 常 都有 一定 的 惯性 （如机 械惯 性 、电 磁 惯 性 、热 惯 性 等 ），并 且 由于 能源 功率 的 限制 ，系 统 中各 种 变量 （如速 度 、加 速度 、 位移 、 电压 、 温 度 等） 的 变 化 不 可能 是突 变的 。 因此 ，系 统 从一 个稳 态 到新 的稳 态都 需 要经 历一 段 时间 ，也 就 是要 经历 一个 过 渡过 程。 表征 这 个过 渡过 程 的性 能指 标 称为 动态 性能 指 标。 对于 一 般控 制系 统 ，在 给定 量或 扰 动量 变化 时， 输 出量 的动 态 过程 有以 下 几种 情况 。 ① 单调 过 程。 输出 量 单调 衰减 变 化， 缓慢 达 到新 的稳 态 值。 这 种过 程 具有 较长 的 过 渡 时 间， 如图 １ ． １５（ａ ） 所示 。 ② 衰减 振 荡过 程。 输 出量 变化 很快 ， 经过 几次 振 荡后 ，达 到 新的 稳态 值， 如 图 １． １ ５ （ｂ） 所示 。 ③ 持续 振 荡过 程。 输 出量 持续 振荡 ， 始终 达 不 到 新 的 稳 定 工 作 状 态， 如 图 １ ．１ ５ （ｃ ）所 示。 这种 系统 是 不稳 定的 。 ④ 发散 振 荡过 程。 输 出量 发散 振 荡， 不能 达 到 所 要 求的 稳 定 状 态。 这 种 情 况 下 ， 系 统 不 但不 能减 小偏 差 ，反 而使 偏 差越 来越 大 ，如 图 １ ． １５ （ｄ ）所 示。 这种 系统 同 样不 稳定 。 一般 来说 ， 在正 常情 况 下， 系统 的 动态 过程 多属 于 第二 种情 况 。现 以系 统 对突 加给 定信 号 （ 阶 跃 信号 ） 的动 态响 应来 说 明系 统的 动 态性 能指 标 。 一个 稳定 系 统的 单位 阶 跃响 应主 要 有衰 减振 荡和 单 调变 化两 种 ，如 图 １ ． １６所 示。 系统 的性 能 指标 主要 有 ： ① 上升 时 间 ｔ ｒ 对于 衰减 振 荡系 统， 指 响应 从零 值 第一 次上 升到 稳 态值 所需 的 时间 。对 单 调上 升系 统， 响 应从 稳态 值的 １ ０％ 上 升到 稳 态值 的 ９０ ％ 所需 用的 时间 。 ② 峰值 时 间 ｔ ｐ 指输 出响 应 超过 稳态 值 到达 第一 个 峰值 即 Ｃｍａｘ所 需 的时 间。 ・１ ０・

图 １． １５　自动 控制 系统动 态过程 （ａ ） 单 调 过程　 （ｂ） 衰减振 荡 过 程　 （ｃ ） 持 续振 荡过程 　 （ｄ）发 散振 荡 过程

图 １． １６　稳定 系统 的单位 阶跃响 应曲线 （ａ ）衰减 振 荡的 响应 曲 线　 （ｂ）单 调上 升的响 应曲 线

③ 调节 时 间 （或称 过 渡过 程时 间 ） ｔ ｓ 指响 应输 出 ｃ （ｔ ）与 稳态 值 ｃ （∞）之 间的 误差 达 到规 定允 许 值［±５ ％ｃ （∞）或 ±２％ ｃ （∞ ）］， 且以 后不 再超 出 此范 围的 最 短时 间。 ④ 最大 超 调量 σｐ 指系 统响 应 最大 值超 过 稳态 值的 百 分比 。 Ｃｍａｘ －ｃ （∞） σｐ ＝ ×１ ００％ ｃ （∞ ）

（１ ． １）

⑤ 稳态 误 差 ｅ ｓｓ 当时 间 ｔ趋 于 ∞ 时， 系 统响 应的 期望 值 与实 际值 之 差。 对于 单 位负 反馈 系统 ， ｅ ＝ｃ －ｃ （∞ ） ｓｓ 理想

（１ ． ２）

⑥ 振荡 次 数 Ｎ 振荡 次数 是 指在 调整 时 间内 ，输 出 量在 稳态 值 上下 波 动 的 次数 。它 也 反 映 系 统 的 平 稳性 ， 振荡 次数 Ｎ 越 小， 说明 系 统越 平稳 。 在上 述各 项 性能 指标 中， ｔ ｒ、 ｔ ｐ 表征 了 系统 响应 的快 速 性； ｔ ｓ表示 了 系统 过渡 过程 的 持续 时 间，从总 体上 反 映了 系统 的 快速 性 ；σｐ、Ｎ 反 映了 系 统 动 态 过 程 的 平稳 性 ；稳 态误 差 反 映 了 系统 稳态 工作 时 的抗 干扰 能 力及 控制 精 度， 表征 系 统稳 态 性 能 。通 常用 σｐ、 ｔ 及 ｅ 这 三项 指 ｓ ｓｓ 标来 评价 系统 的 暂态 响应 和 稳态 响应 的 性能 指标 。 ・ １１・

小　　结 开环 控制 系 统结 构简 单 ，成 本低 ， 稳定 性好 ，但 不 能对 扰动 引 起的 误差 进 行自 动补 偿。 在 系统 扰动 量产 生 的误 差可 以 预先 进行 补 偿或 影响 不大 的 情况 下， 宜 采用 开环 控 制。 当扰 动量 无 法预 计或 控制 系 统的 控制 精 度达 不到 期 望值 时， 则要 采 用闭 环控 制 。 闭环 控制 系 统具 有负 反 馈控 制环 节 ，依 靠反 馈环 节 进行 自动 调 节， 可以 补 偿扰 动对 系统 的 不利 影响 。闭 环 控制 提高 了 系统 的控 制 精度 ，但 使系 统 的稳 定性 变 差。 自动 控制 系 统一 般由 给 定元 件、 比 较环 节、 中间 环 节、 执行 元 件、 控制 对 象和 检测 元件 组 成。 系统 中的 作 用量 有： 输 入量 、输 出 量、 扰动 量、 反 馈量 和中 间 变量 。 自动 控制 系 统从 不同 的 角度 可分 为 多种 类型 ，最 常 用的 是按 输 入量 的变 化 规律 分为 恒值 控 制系 统和 随动 控 制系 统。 恒 值控 制系 统 的特 点是 ：输 入 量恒 定， 要 求输 出量 也 保持 恒定 。随 动 控制 系统 的特 点 是： 输入 量 是变 化的 ， 要求 输出 量跟 随 输入 量的 变 化而 变化 。 对自 动控 制 系统 性能 指 标的 要求 主 要是 ： 稳定 性— —— 由最 大超 调 量 （σｐ） 和 振荡 次 数 （Ｎ） 来表 征 ； 准确 性— —— 由稳 态误 差 （ｅ ） 来 表 征； ｓｓ 快速 性— —— 由调 整时 间 （ｔ ｓ） 来 表征 。

习　　题 １． １　 分析比 较开环 控制和 闭环 控制的 特征、优缺 点和应 用场合 。 １． ２　 自动控 制系统 主要由 哪些 环节构 成？它们各 有什么 作用？ １． ３　 图 １．１ ７所 示为一 直流发 电机 电压自 动控制 系统 。图中 ，１为发 电机 ，２为减 速器， ３为执行 机构 ，４ 为比例 放大器 ，５为可 调电 位器。 （１） 该 系统由 哪些环 节组 成？各 起什么 作用？ （２） 绘 出系统 的框图 ，说明 当负 载变化 时，系 统如何 保持 发电机 电压恒 定。

图 １． １７　直流发电 机电 压自动 控制系 统示意 图

图 １．１８　 仓库大 门自 动控制 系统示 意图

１． ４　 图 １．１ ８所 示为仓 库大门 自动 控制系 统。试 说明 自 动控 制 大 门开 启和关 闭的 工 作原 理。 如 果大 门 不 能全关 或全开 ，则怎 样进行 调整 ？ １． ５　 图 １．１ ９所 示为一 直流调 速系统 。图 中 ＴＧ 为测速 发电机 ，Ｍ 为工作 电 动 机，ＳＭ 为伺服 电动 机，伺

・１ ２・

服电动 机驱动 电位器 ＲＰ２上下 移动 。试绘 出系统 框图， 写出 系统在 负载增 大时的 自动 调节过 程。

图 １．１９　 直流 调速系 统示意 图 １． ６　 图 １．２ ０所 示为一 位置随 动系 统，输 入量为 给定 转角 θ ，输 出量为 随动 转角 θｃ，ＲＰ为 环 形伺服 电 位 ｒ 器，ＫＳ为 功率放 大器。 试说 明： （１） 该 系统由 哪些环 节组 成？并 绘出系 统的结 构框图 。 （２） 说 明输入 转角 θ 变化 时，输 出转角 θｃ的 跟随 过程。 ｒ

图 １． ２０　某位 置随 动系统 示意图

・ １３・

第 ２章 　 自 动 控 制 系 统 的 数 学 模 型

控制系统的数 学描述方 法是进行控制 理论研究与分 析的基础。 本章重 点讨论控制系 统数学 模型 的建 立方法 ，指 明常用的 三种数学模型 （微 分方程、 传递函数和系 统框图） 的 意义、相 互关系及应用 场合。 　

２．１　拉 普拉斯变换及其运用 拉普 拉斯 变 换 （Ｌａ ｐ ｌ ａ ｃ ｅＴｒ ａ ｎｓ ｆ ｏ ｒ ｍ），简 称拉 氏变 换 ，是 一种 函 数的 变换 ， 其目 的是 将微 分 方程 变换 成为 代 数方 程， 从 而使 得系 统 性能 的分 析大 为 简化 。

２ ．１ ． １　拉普 拉斯变换的 定义 将实 变量 ｔ的 函数 ｆ （ｔ ）乘 以指 数 函数 ｅ－ ｓｔ （其 中 ｓ＝σ＋ｊ ω，是 一个 复 变 量 ），再 在 ０到 ∞ 之间 进行 积分 ， 就 得 到 一 个 新 的 函 数 Ｆ（ｓ ）。 Ｆ（ｓ ）称 为 ｆ （ｔ ）的 拉 普 拉 斯 变 换 式， 并 用 符 号 Ｌ ［ｆ （ｔ ）］表 示。 ∞

Ｆ（ｓ ）＝Ｌ ［ｆ （ｔ ）］ ＝

∫ ｆ（ｔ）ｅ ｄｔ －ｓｔ

（２ ． １）

０

式 （２ ． １） 为 拉普 拉斯 变 换的 定义 式， 符 号 Ｌ ［ｆ （ｔ ）］ 表 示 对函 数 ｆ （ｔ ）进行 拉普 拉 斯变 换 后的 函数 。拉 氏 变换 实质 是 一种 函 数 变 换， 将 原 来 的 实变 量函 数 ｆ （ｔ ）转 化 为 变 换 函 数 Ｆ（ｓ ）。 为了 保证 式中 左 边 Ｆ（ｓ ）存 在， 等式 右 边的 积分 必 须收 敛， 则 ｆ （ｔ ）要满 足下 列 条件 ： （１ ） 当 ｔ＜０时 ，ｆ （ｔ ）＝０ ； （２ ） 当 ｔ＞０时 ，ｆ （ｔ ）分 段连 续 ； （３ ）当 ｔ →∞ 时，ｆ （ｔ ）上升 较 ｅ－ｓｔ慢 。 拉氏 变换 是 一种 单值 变 换。 Ｆ（ｓ ）和 ｆ （ｔ ）之 间具 有一 一对 应 关系 。通 常 称 ｆ （ｔ ）为原 函数 ， Ｆ （ ｓ ）为 象函 数。 下面 通过 几 个例 子来 了 解如 何由 拉 氏变 换来 求取 已 知原 函数 的 象函 数。 【例 ２． １】 求单 位阶 跃 函数 １（ｔ ）的 象函 数 。 解： 在自 动 控制 系统 中 ，单 位阶 跃 函数 相当 于一 个 突加 作用 信 号， 常常 用 来描 述恒 值控 制 系统 的给 定量 或 固定 作用 的 扰动 量。 ０　 （ｔ＜０） 设函 数 １ε（ｔ ）＝

１ 　 （０≤ｔ ≤ε） ε １　 （ｔ＞ε）

・１ ４・

如图 ２． １ （ａ ） 所示 。 单位 阶跃 函数 １（ｔ ）定义 式为 １ （ｔ ）＝ｌ ｉ ｍ １ε（ｔ ） ε→ ０

１ （ｔ ）＝

０　 （ｔ＜０ ） １　 （ｔ ≥０ ）

如图 ２． １ （ｂ） 所示 。 所以 ，由 拉 氏变 换定 义 式 （２． １） 有 ∞

Ｆ（ｓ ） ＝ Ｌ ［１（ｔ ）］ ＝

ｅ ∫ １×ｅ ｄｔ＝－ １ ｓ －ｓｔ

０

∞

－ｓｔ

＝ ０

１ ｓ

（２ ． ２）

【例 ２． ２】 求单 位脉 冲 函数 δ（ｔ ）的 象函 数 。 解： 在自 动 控制 系统 中 ，单 位脉 冲 函数 是一 个瞬 时作 用的 冲 击信 号， 常 常用 来描 述 短时 冲击 作用 的扰 动量 。 ０　 （ｔ＜０） 设函 数 δε（ｔ ）＝

１ 　 （０＜ｔ＜ε） ε

图２ ．１　单位 阶跃 函数

１　 （ｔ＞ε）

（ａ）１ε（ｔ ） （ｂ）１（ｔ ）

如图 ２． ２ （ａ ） 所示 。 δ （ｔ ）函 数 的特 点是 ε ∞

∫ δ（ｔ）ｄｔ＝１ ε

０

单位 脉冲 函 数 δ （ｔ ）定义 式为 δ （ｔ ）＝ｌ ｉ ｍ δε（ｔ ） ε→ ０

如图 ２． ２ （ｂ ） 所示 。 δ （ｔ ）在 ｔ ＜０和 ｔ＞０时 都等 于 ０，在 ｔ＝０时 ， δ （ｔ ） 由 ０→∞ ，又 由 ∞→０ ， 但 对时 间的 积 分等 于 １ 。 对其 进行 拉 氏变 换有 ∞

Ｆ（ｓ ）

Ｌ ［δ（ｔ ）］ ＝

∫ δ（ｔ）ｅ ｄｔ －ｓｔ

０

＝ｌ ｉ ｍ ε→ ０

＝ｌ ｉ ｍ ε→ ０

ε

∞

∫δ（ｔ）ｅ ｄｔ＋∫ δ（ｔ）ｅ ｄｔ －ｓｔ

－ｓｔ

ε

ε

０

ε

ε

１

ε

∫δ（ｔ）е ｄｔ＝ ｌｉｍ ∫ εｅ ｄｔ －ｓｔ

ε

ε→ ０

０

１ ＝ｌ ｉ ｍ － ｅ－ｓｔ ε→ ０ εｓ

∞

ε

－ｓｔ

０

１－ｅ－εｓ ＝ｌ ｉ ｍ ＝１ ε→ ０ εｓ （２． ３ ）

图 ２．２　 单位脉冲函数 （ａ ）δε（ｔ ）　 （ｂ）δ（ｔ ）

【例 ２． ３】 求单 位斜 坡 函数 的象 函 数。 解： 在自 动 控制 系统 中 ，单 位斜 坡 函数 是一 个随 时 间作 均匀 变 化的 信号 ， 是最 简单 的一 种 随时 间变 化信 号 ，常 常用 作 随动 系统 的 典型 输入 信号 。 单位 斜坡 函 数的 定义 式 为 ｒ （ ｔ ）＝

ｔ 　　 ｔ ≥０ ０　 　ｔ＜０

对其 进行 拉 氏变 换有 ・ １５・

∞

　　 　　 　 　　 　　 Ｆ（ｓ ）

Ｌ ［ｔ ］＝

∫ ｔｅ ｄｔ －ｓｔ

０

－ｓｔ

ｅ ∞ １ ＝ｔ ＋ －ｓ ０ ｓ ＝

∞

∫ ｅ ｄｔ －ｓ ｔ

０

１ －１ ∞ －ｓｔ －ｓｔ １ ｅ ｄｅ ＝ ２ ｓ ｓ ０ ｓ

∫

（２ ． ４）

－αｔ

【例 ２． ４】 求指 数函 数 ｅ 的象 函数 。 解： 由拉 氏 变换 定义 式 有 ∞

∫ｅ

－αｔ －ｓｔ

　　 　　 　 　　 　　 　 　Ｆ（ｓ ）

ｅ ｄｔ

０

∞

＝

∫ｅ

－（ｓ＋α）ｔ

ｄｔ＝

０

＝

－１ －（ｓ＋α）ｔ ｅ ｓ＋α

∞

０

１ ｓ＋α

（２ ． ５）

【例 ２． ５】 求余 弦函 数 ｃ ｏ ｓωｔ 的 象 函数 。 解： 由拉 氏 变换 定义 式 有 ∞

∞

∫ ｃｏｓωｔｅ ｄｔ＝ ∫ －ｓｔ

　　 　　 　 　　 　　 　 Ｆ（ｓ ）

０

＝ ＝

１ ２

０

∞

∞

１ ｊωｔ （ｅ ＋ｅ－ｊωｔ）ｅ－ｓｔｄ ｔ ２

∫ ｅ ｅ ｄｔ＋∫ ｅ ｊωｔ －ｓｔ

０

－ｊωｔ －ｓｔ

ｅ ｄ ｔ

０

１ ｓ １ １ ＝ ２ ＋ ２ ２ ｓ＋ｊ ω ｓ－ｊ ω ｓ ＋ω

（２ ． ６）

在实 际工 程 中， 一般 是 把常 用函 数 的原 函数 和象 函 数列 成对 照 表的 形式 ， 通过 查表 ，就 能 获得 原函 数或 象 函数 。常 用 函数 的拉 氏 变换 对照 表见 表 ２． １。

２ ．１ ． ２　拉普 拉斯变换运 算定理 在实 际工 作 中， 一般 很 少直 接使 用 定义 式来 进行 拉 氏变 换， 常 常用 拉氏 变 换运 算定 理进 行 拉氏 变换 。这 些 定理 都可 经 过定 义式 加 以严 格证 明 ，现 分别 将 结论 叙述 如 下。 表 ２．１　常用 函数拉 氏变 换对照 表 序号

原 函数 ｆ （ｔ ）

象函数 Ｆ（ｓ ）

１

δ（ｔ ）

１

２

１（ｔ ）

１ ｓ

３

ｅ－αｔ

１ ｓ＋α

４

ｎ ｔ

ｎ ！ ｎ＋１ ｓ

①

证明 参见 参考文 献 １。

・１ ６・

５

ｔ ｅ－αｔ

１ （ｓ＋α）２

・ １７・

续表 序号

原 函数 ｆ （ｔ ）

象函数 Ｆ（ｓ ） ｎ ！ （ｓ＋α）ｎ＋１

６

ｎ －αｔ ｔ ｅ

７

ｓ ｉ ｎωｔ

ω ２ ｓ ＋ω２

８

ｃ ｏ ｓ ωｔ

ｓ ２ ｓ ＋ω２

９

１ （ｅ－αｔ －ｅ－βｔ） β－α

１ （ｓ＋α） （ｓ＋β）

１０

１ （βｅ－βｔ－αｅ－αｔ） β－α

ｓ （ｓ＋α） （ｓ＋β）

１１

１ （１－ｅ－αｔ） α

１ ｓ（ｓ＋α）

１ １ １＋ （βｅ－αｔ－αｅ－βｔ） α－β αβ

１２

１ ｓ（ｓ＋α） （ｓ＋β）

１３

ｅ－αｔｓ ｉ ｎωｔ

ω （ｓ＋α）２ ＋ω２

１４

ｅ－αｔｃｏ ｓωｔ

ｓ＋α （ｓ＋α）２ ＋ω２

１５

１ （ｅ－αｔ ＋αｔ－１） α２

１ ２ ｓ （ｓ＋α）

ωｎ

ｅ－ζωｎｔｓ ｉ ｎωｎ １－ζ

１６

ω２ ｎ

１－ζ２ｔ

２

－１ －ζωｎｔ ｅ ｓ ｉ ｎ（ωｎ ２ １－ζ

１７

１８

ｓ （０＜ζ＜１） ２ ｓ ＋２ζ ωｎｓ＋ω２ｎ

１９

１－ζ ζ

ω２ ｎ

１

ｅ－ζωｎｔｓ ｉ ｎ（ωｎ １－ζ２ｔ＋φ） ２ １－ζ １ １ ＋ ｅ－αｔｓ ｉ ｎ（ωｔ－φ） α２ ＋ω２ α２ ＋ω２

１－

（０＜ζ＜１）

２ １－ζ ｔ－φ）

２

φ＝ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ

２

ｓ ＋２ζ ωｎｓ＋ωｎ

２

ｓ（ｓ ＋２ζωｎｓ＋ω２ ） ｎ

ω φ＝ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ －α

２

（０＜ζ＜１）

１ ｓ［ （ｓ＋α）２ ＋ω２］

１ ．叠加 定理 几个 函数 的 代数 和的 拉 氏变 换等 于 几个 函数 拉氏 变 换的 代数 和 ，即 Ｌ ［ｆ ｔ ）±ｆ ｔ ）±ｆ ｔ ）］＝Ｌ ［ｆ ｔ ）］±Ｌ ［ｆ ｔ ）］±Ｌ ［ｆ ｔ ）］ １（ ２（ ３（ １（ ２（ ３（

（２ ． ７）

２ ．比例 定理 Ｋ倍 原函 数的 拉 氏变 换等 于 原函 数拉 氏变 换 的 Ｋ倍 ，即 Ｌ ［Ｋｆ （ｔ ）］ ＝ＫＬ ［ｆ（ｔ ）］

（２ ． ８）

Ｌ ［ｆ ′ （ｔ ）］ ＝ｓ Ｆ（ｓ ） －ｆ（０）

（２ ． ９）

３ ．微分 定理 在零 初始 条 件下 ・１ ８・

ｎ

ｎ

Ｌ ［ｆ（ｔ ）］＝ｓＦ（ｓ ） ｎ 上式 表明 ， 在零 初始 条 件下 ，原 函 数的 ｎ阶 导数 的 拉氏 变换 等 于其 象函 数 乘以 ｓ 。 微分 定

理可 以将 复杂 的 微分 运算 转 换成 代数 运 算， 因而 微分 定 理是 一个 十 分重 要的 运 算定 理。 ４ ．积分 定理 ｆ （ｔ ） ｄｔ ∫ Ｆ（ｓ ） ＋ ｆ （ｔ ）ｄｔ ＝ ∫ ｓ ｓ

Ｌ

ｔ＝０

（ ２． １ ０）

在零 初始 条 件下 Ｌ

∫ …∫ ｆ （ｔ ）（ｄ ｔ ）ｎ ｎ

Ｆ（ｓ ） ＝ ｎ ｓ ｎ

上式 表明 ， 在零 初始 条 件下 ，原 函 数的 ｎ重 积分 的 拉氏 变换 等 于其 象函 数 除以 ｓ。 积分 定 理可 以将 复杂 的 积分 运算 转 换成 代数 运 算， 它是 微分 运 算的 逆运 算 ，与 微分 定 理一 样， 是十 分 重要 的运 算定 理 。 ５ ．位移 定理 － αｔ

Ｌ ［ｅ ｆ （ｔ ）］＝Ｆ（ｓ＋α ）

（ ２． １ １）

－αｔ

上式 表明 ， 原函 数 ｆ （ｔ ） 乘 以因 子 ｅ 的象 函数 是 将 Ｆ（ｓ ） 在 ｓ平面 移位 α， 即只 需 将Ｆ（ｓ ） 中的 ｓ用 ｓ＋α代 替 。 ６ ．延迟 定理 －ｓ τ

Ｌ ［ｆ （ｔ－τ ）］＝ｅ Ｆ（ｓ ） ｆ （ｔ－τ） 是原 函数 ｆ （ｔ ） 在 时间 上延 迟 τ的 延迟 函 数， ｆ （ｔ－τ ）与 ｆ （ｔ ） 的关 系 如图 ２． ３所 示。 上式 表明 ， 当原 函数 ｆ （ｔ ）延 迟时 间 τ ，成 为 ｆ （ｔ－τ）时 ， 相 应 的 －ｓτ

象函 数是 将 ｆ （ｔ ）的象 函数 Ｆ（ｓ ）乘以 因 子 ｅ 。 ７ ．相似 定理 Ｌ ｆ

ｔ α

＝αＦ（ｓ ）

（２ ．１ ２）

上式 表明 ， 当原 函数 ｆ （ｔ ） 的自 变 量 ｔ变化 为

ｔ 时， 则 它 所 对 应 α

图２ ．３　延迟 函数

的象 函数 Ｆ（ｓ ） 及 变 量 ｓ都将 成比 例 地变 化 α倍 。 ８ ．初值 定理 ｌ ｉ ｍｆ （ｔ ） ＝ｌ ｉ ｍｓ Ｆ（ｓ ） ｔ →０

（ ２． １ ３）

ｓ→ ∞

原函 数 ｆ （ｔ ） 在 ｔ＝０时的 数 值即 初 始值 ，可 以 通过 象 函数 乘以 ｓ后 ， 再 取 ｓ → ∞ 的 极限 来 求取 。 ９ ．终值 定理 ｌ ｉ ｍｆ （ｔ ） ＝ｌ ｉ ｍｓ Ｆ（ｓ ） ｔ→ ∞

（ ２． １ ４）

ｓ→ ０

原函 数 ｆ （ｔ ）在 ｔ → ∞时 的数 值即 终 值或 稳 态值 ，可 以 通 过 象 函数 Ｆ（ｓ ） 乘 以 ｓ后 ， 再 取 ｓ →０的 极限 来 求取 。 由于 终值 定 理不 需要 知 道 ｆ （ｔ ） 的 具体 形 式， 只要 有 其象 函数 就 能求 取 其 稳 态值 ， 在分 析 ・ １９・

系统 的稳 态性 能 时有 很多 应 用， 因此 ， 终值 定理 也是 一 个常 用的 运 算定 理。 拉氏 变换 定 理使 拉氏 变 换应 用更 为 方便 。表 ２． ２是 拉氏 变换 的主 要 运算 定理 一 览表 。 表 ２．２　拉 普拉斯 变换 主要运 算定理 名　 　称

公　　 式

１

叠 加定 理

Ｌ ［ｆ （ｔ ）±ｆ （ｔ ）±ｆ （ｔ ）］＝Ｌ ［ｆ （ｔ ）］±Ｌ ［ｆ （ｔ ）］±Ｌ ［ｆ （ｔ ）］ １ ２ ３ １ ２ ３

２

比 例定 理

Ｌ ［Ｋｆ （ｔ ）］ ＝ＫＬ ［ｆ （ｔ ）］

３

微 分定 理

ｎ ｎ Ｌ ［ｆ （ｔ ）］ ＝ｓ Ｆ（ｓ ）

４

积 分定 理

Ｌ

…∫ ｆ （ｔ ）（ｄｔ ） ∫

ｎ

＝

Ｆ（ｓ ） ｎ ｓ

ｎ

５

位 移定 理

Ｌ ［ｅ－αｔｆ（ｔ ）］ ＝Ｆ（ｓ＋α）

６

延 迟定 理

Ｌ ［ｆ（ｔ－τ）］ ＝ｅ－ｓτＦ （ｓ ）

７

相 似定 理

８

初 值定 理

９

终 值定 理

Ｌ

ｆ

ｔ α

＝αＦ（ｓ ）

ｌ ｉ ｍｆ （ｔ ） ＝ｌ ｉ ｍｓ Ｆ（ｓ ） ｔ→ ０

ｓ→ ∞

ｌ ｉ ｍｆ （ｔ ） ＝ｌ ｉ ｍｓ Ｆ（ｓ ） ｔ →∞

ｓ →０

２ ．１ ． ３　拉普 拉斯逆变换 在实 际中 常 常需 要由 象 函数 Ｆ（ｓ ） 去 求取 原 函数 ｆ （ｔ ）， 这种 运算 是 拉氏 变换 的 逆运 算， 称 为拉 氏逆 变换 。 拉氏 逆变 换 可表 示为 －１

ｆ （ｔ ）＝Ｌ ［Ｆ（ｓ ）］ 由于 原函 数 和象 函数 是 一一 对 应 的 ，所 以 拉 氏 变 换 和 逆 变换 也 是 一 一 对 应 的。 实 际 应 用 中， 一般 不通 过 运算 式来 进 行逆 变换 ， 而是 通过 查表 来 求原 函数 。 在实 际系 统 中常 遇到 的象 函 数是 形如 下式 的 ｓ的有 理 分式 ｍ ｍ －１ ｓ ＋ｂ ｓ ＋… ＋ｂ ｓ＋ｂ Ｂ（ｓ ） ｂ ｍ ｍ －１ １ ０ Ｆ（ｓ ）＝ ＝ ｎ ｎ －１ Ａ（ｓ ） ｓ ＋ａｎ－１ｓ ＋… ＋ａ ｓ ＋ａ １ ０

这种 形式 的原 函 数不 能直 接由 拉 氏变 换对 照 表中 查出 ， 因此 ，需 要将 Ｆ（ ｓ ） 分解 成一 些 简单 分 式之 和， 而这 些 分 式 的 原 函 数 可 以 直 接 由查 表 得 到 ， 所 求 原 函 数 就 等 于 各 简 单 分 式 原 函 数 之和 。 分解 方法 一 般采 用部 分 分式 展开 法 ，首 先求 出分 母 Ａ（ｓ ）＝０的 根 ｐ ，ｐ ，… ， ｐ 。则 １ ２ ｎ 可以 写成 如下 形 式 Ｂ（ｓ ） Ｂ（ｓ ） Ｆ（ｓ ）＝ ＝ Ａ（ｓ ） （ｓ－ｐ ） （ ｓ － ｐ … （ｓ－ｐ １ ２） ｎ） ・２ ０・

Ｂ（ｓ ） Ａ（ｓ ）

上式 展开 为 部分 分式 ｃ ｃ ｃ Ｂ（ｓ ） １ ２ ｎ Ｆ（ｓ ）＝ ＝ ＋ ＋… ＋ Ａ（ｓ ） ｓ－ｐ ｓ － ｐ ｓ －ｐ １ ２ ｎ 式中 ，ｃ ，ｃ ， …， ｃ 为待 定系 数 。求 出待 定 系 数 ，就 得 到 一 些简 单 分式 ， 查表 就 能 求 出原 函 １ ２ ｎ 数。 对于 低阶 系 统， 可以 直 接用 通分 的 方法 来求 待定 系 数。

２ ．１ ． ４　拉普 拉斯变换应 用举例 拉氏 变换 主 要 运 用 于 对 系 统 进 行 具 体 时 域 分 析 。 下 面 通 过 几 个 例 子 来 介 绍 拉 氏 变 换 的 应用 。 【例 ２． ６】 求典 型一 阶 系统 的单 位 阶跃 响应 。 典型 一阶 系 统的 微分 方 程如 下： ｄｃ （ｔ ） Ｔ ＋ｃ （ｔ ）＝ｒ （ｔ ） ｄｔ

（ ２． １ ５）

上式 中， ｒ （ｔ ） 是系 统的 输 入信 号， ｃ （ ｔ ） 是系 统的 输 出信 号， Ｔ是 时间 常 数， 设初 始条 件 为零 。 解： 对微 分 方程 两边 进 行拉 氏变 换 得 Ｔ ｓ Ｃ（ｓ ）＋Ｃ（ｓ ）＝Ｒ（ｓ ） Ｒ（ｓ ） Ｃ（ｓ ）＝ Ｔｓ＋１ １ 由于 输入 为 单位 阶跃 信 号， 即 ｒ （ｔ ）＝１（ｔ ），则 Ｒ（ｓ ）＝ ，代入 上式 得 ｓ １ １ Ｃ（ｓ ） ＝ Ｔｓ＋１ｓ 将其 分解 为 部分 分式 之 和 ｃ ｃ １ ２ Ｃ（ｓ ） ＝ ＋ ｓ Ｔｓ＋１ 用待 定系 数 法求 出 ｃ ＝１， ｃ ＝－Ｔ， 代入 上 式得 １ ２ １ Ｔ １ １ Ｃ（ｓ ） ＝ － ＝ － ｓ Ｔｓ＋１ ｓ １ ｓ＋ Ｔ 对上 式进 行 拉氏 逆变 换 ，查 表可 得 －

ｔ

ｃ （ｔ ） ＝１－ｅ Ｔ

（ ２． １ ６）

【例 ２． ７】 求典 型一 阶 系统 的单 位 斜坡 响应 。 典型 一阶 系 统的 微分 方 程是 ： ｄ ｃ （ｔ ） Ｔ ＋ｃ （ｔ ） ＝ｒ （ｔ ） ｄｔ

（ ２． １ ７）

解： 对上 式 进行 拉氏 变 换得 Ｔｓ Ｃ（ｓ ） ＋Ｃ（ｓ ） ＝Ｒ（ｓ ） Ｒ（ｓ ） Ｃ（ｓ ） ＝ Ｔｓ＋１ ・ ２１・

１ 由于 输入 是 单位 斜坡 信 号， 即 ｒ （ｔ ） ＝ｔ ， 则 Ｒ（ｓ ） ＝ ２， 将 它代 入上 式 得 ｓ １ １ Ｃ（ｓ ）＝ ２ Ｔ ｓ＋１ ｓ 按部 分分 式 展开 有 ｃ ｃ １ １ ｃ １ ２ ３ Ｃ（ｓ ）＝ ＝２ ＋ ＋ ２ Ｔｓ＋１ ｓ ｓ＋１ ｓ ｓ Ｔ 应用 待定 系 数法 ，可 求 得待 定系 数 ｃ ＝１ ，ｃ ＝－Ｔ， ｃ ＝Ｔ２。 １ ２ ３ 将待 定系 数 代入 上式 中 得 ２

１ －Ｔ Ｔ Ｃ（ｓ ）＝ ２ ＋ ＋ ｓ Ｔｓ＋１ ｓ 对上 式进 行 拉氏 逆变 换 ，查 表可 得 ｔ

ｃ （ｔ ）＝ｔ－Ｔ＋Ｔｅ－ Ｔ

（ ２． １ ８）

【例 ２． ８】 求二 阶系 统 的单 位阶 跃 响应 （设 ０＜ξ＜１）。 设二 阶系 统 的微 分方 程 如下 ： ２

Ｔ

２ ｄ ｃ （ｔ ） ｄ ｃ （ｔ ） ＋２Ｔξ ＋ｃ （ｔ ）＝ｒ （ｔ ） ２ ｄｔ ｄ ｔ

（ ２． １ ９）

解： 对上 式 进行 拉氏 变 换得 ２ ２

ＴｓＣ（ｓ ） ＋２Ｔξ ｓ Ｃ（ｓ ） ＋Ｃ（ｓ ） ＝Ｒ（ｓ ） １ 并将 输入 Ｒ（ｓ ） ＝ 代入 上 式得 ｓ １ ２ ２ ＴｓＣ（ｓ ） ＋２Ｔξ ｓ Ｃ（ｓ ） ＋Ｃ（ｓ ） ＝ ｓ 则 ω２ｎ １ １ １ Ｃ（ｓ ） ＝ ２ ２ ＝２ ２ Ｔ ｓ＋２ Ｔξ ｓ＋１ ｓ ｓ ＋２ξ ωｎｓ＋ωｎ ｓ

（ ２． ２ ０）

上式 中 １ ωｎ ＝ Ｔ 查表 可得 －ξωｎｔ

　　 　　 ｃ （ｔ ） ＝１－ｅ

ｃ ｏ ｓ ωｄｔ－

－ξω ｔ ｎ

ｅ

－ ξω ｎｔ

ｅ ２ １－ξ

＝１－ｅ－ξωｎｔ （ｃ ｏ ｓ ωｄｔ＋ ＝１－

ξ

ｓ ｉ ｎωｄｔ

ξ ｓ ｉ ｎωｄｔ ） ２ １－ξ ２

１－ξ ｓ ｉ ｎ ωｄｔ ＋ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ξ １－ξ ２

（ ２． ２ １）

上面 三个 例 子 中 ， 对 典 型 一 阶 和 二 阶 系 统 所 进 行 的 分 析 方 法 对 一 般 的 系 统 也 具 有 普 遍 意义 。 ・２ ２・

２．２　自动控制系统 数学模 型的建立 分析 研究 一 个自 动控 制 系统 ，除 了 对系 统进 行定 性 分析 外， 还 必须 进行 定 量分 析， 进而 找 出改 善系 统稳 态 和动 态性 能 的具 体方 法 。自 动控 制理 论 在方 法上 是 先把 具体 的 系统 抽象 成数 学 模型 ，然 后以 数 学模 型为 对 象， 应用 控 制理 论所 提供 的 方法 去分 析 它的 性能 和 研究 改进 性能 的 途径 。在 这个 基 础上 ，应 用 所得 结论 去 指导 对实 际系 统 的分 析和 改 进。 因此 ， 建立 数学 模型 是 分析 和研 究自 动 控制 系统 的 基础 。 自动 控制 系 统的 数学 模 型是 根据 系 统的 动态 特性 ， 即通 过决 定 系统 特征 的 物理 定律 ，如 机 械、 电气 、热 力 、液 压、 气 动等 方面 的 基本 定律 而写 成 的， 它代 表 系统 在运 动 过程 中各 变量 之 间的 相互 关系 ， 既定 性又 定 量地 描述 了 整个 系统 的动 态 过程 。经 典 控制 理论 中 常用 的数 学模 型 是动 态微 分方 程 、传 递函 数 和系 统方 框 图。

２ ．２ ． １　动态 微分方程 建立 数学 模 型的 目的 在 于确 定输 出 量与 输入 量之 间 的函 数关 系 ，而 描述 系 统输 出和 输入 之 间关 系的 最直 接 的数 学方 法 就是 列写 系 统的 动态 微分 方 程。 微分 方 程是 连续 系 统最 基本 的数 学 模型 。 建立 系统 微 分方 程的 方 法有 两种 ： 一种 是机 理分 析 法， 这种 方 法是 根据 各 环节 所遵 循的 物 理规 律 （如 力学 、运 动 学、 电磁 学 、热 学等 ） 来 编写 ； 另 一 种 是 实 验辨 识 法， 这种 方 法 是 根 据实 验数 据进 行 整理 编写 。 在实 际工 作 中， 这两 种方 法 是相 辅相 成 的。 一般 来 说， 对于 简单 的 环节 或装 置， 多 用理 论 推导 ；而 对 于 复 杂 的 装 置， 往 往 因 涉 及的 因 素 较 多 ，而 采 用 实 验 辨 识 法。 由于 机理 分 析法 是基 本 的、 常用 的 方法 ，所 以本 书 主要 讨论 这 种方 法。 应用 机理 分 析法 建立 微 分方 程的 一 般步 骤是 ： ① 对系 统 进行 定性 分 析， 确定 系统 的 输入 量和 输 出量 。 ② 从输 入 量开 始， 根 据各 元件 或环 节 所遵 循的 物 理规 律， 列 写它 们原 始的 微 分方 程。 ③ 消去 中 间变 量， 求 取一 个只 含有 系 统输 入量 和 输出 量的 系 统微 分方 程。 ④ 整理 方 程成 为标 准 形式 ，即 将与 输 入量 相 关 各 项 放在 等 号 右 边， 与 输 出 量 相 关 各 项 放 在等 号左 边， 各 导数 项按 降 幂排 列， 并 将方 程中 的系 数 化成 具有 一 定物 理意 义 的表 示形 式。 下面 通过 几 个例 子进 一 步说 明建 立 系统 微分 方程 的 步骤 。 【例 ２． ９】 列写 图 ２ ． ４所示 ＲＬ Ｃ串 联电 路 的微 分方 程 。 解： （１） 确 定输 入 和输 出量 。 网络 的输 入 量为 电压 ｕｒ（ｔ ），输 出 量为 电压 ｕＣ （ｔ ） （２ ） 根 据电 路理 论 ，列 出原 始 微分 方程 。 ｄｉ （ｔ ） ｕｒ（ｔ ）＝Ｌ ＋ｕ ｔ ）＋Ｒｉ （ｔ ） Ｃ（ ｄｔ

（２ ． ２ ２）

ｄｕＣ（ｔ ） ｉ （ｔ ） ＝Ｃ ｄｔ

（２ ． ２ ３）

（３ ） 将 式 （２ ． ２３） 代入 式 （２ ．２ ２ ）得

图 ２． ４　ＲＬＣ串联 电路

・ ２３・

２

ｄｕＣ（ｔ ） ｄｕＣ （ｔ ） ｕｒ（ｔ ）＝Ｌ Ｃ ＋ｕ （ｔ ） ＋ＲＣ Ｃ ｄｔ ｄ２ｔ （４ ） 整 理为 标准 形 式。 ２ ｄ ｕＣ（ｔ ） ｄ ｕＣ （ｔ ） Ｌ Ｃ ＋ＲＣ ＋ｕＣ （ｔ ） ＝ｕｒ（ｔ ） ２ ｄ ｔ ｄｔ

（ ２． ２ ４）

这就 是图 ２． ４所 示 ＲＬ Ｃ串联 电 路的 数学 模 型。 【例 ２． １ ０】 列 写 直流 调速 系 统中 直流 电动 机 所满 足的 微 分方 程。 解： 电枢 控 制的 直流 电 动 机 是 控 制 系 统 中 常 用 的 执 行 机 构 或控 制对 象， 当 电枢 电 压 变 化 时 ， 其 转 速 以 及 角 位 移 也 产 生 相 应的 变化 。 （１ ） 确 定输 入量 和 输出 量。 直流 电动 机 的输 入 量是 电枢 电 压 ｕａ， 输 出 量 是 电 动 机的 转 速 ｎ。 （２ ） 列 写原 始微 分 方程 。 电动 机的 动 态 方 程 由 电 枢 回路 的 动态 方程 和转 动 部分 的机 械 动态 方程 所 决定 。 电枢 回路 的 微分 方程 ： 由图 ２． ５可写 出 电枢 电压 平 衡方 程 ｕａ ＝ｉ ａＲ ａ ＋Ｌ ａ 式中 ，

ａ

ｄｉ ａ ＋ｅ ａ ｄ ｔ

（ ２ ． ２５）

图 ２．５　直 流电动机 调 速系统 示意图

为电 动机 电 枢回 路电 流 ，单 位 Ａ；

Ｒａ 为 电动 机 电枢 回路 电阻 ， 单位 Ω； Ｌａ 为 电动 机电 枢 回路 电感 ，单 位 Ｈ； ｅ ａ 为电 动 机电 枢反 电 动势 ，单 位 Ｖ。 因为 电枢 回 路的 反电 动 势与 电动 机 的转 速成 正比 ， 因而 ｅ ＝Ｃｅｎ ａ

（ ２． ２ ６）

－１

式中 ，

ｅ

为 电动 机 电势 常数 ，单 位 Ｖ／ ｒ ・ ｍｉ ｎ ；

ｎ为 电 动机 转速 ， 单位 ｒ ／ ｍｉ ｎ。 因此 式 （２ ．２ ５） 可 改写 为 ｕ ＝ｉ Ｒ ＋Ｌａ ａ ａ ａ

ｄ ｉ ａ ＋Ｃ ｎ ｄ ｔ ｅ

（ ２． ２ ７）

电动 机的 机 械动 态方 程 Ｔｅ －ＴＬ ＝ＪＧ 式中 ，

ｅ

ｄｎ ｄ ｔ

（ ２． ２ ８）

为 电动 机的 电 磁转 矩， 单 位 Ｎ・ｍ；

ＴＬ 为 电动 机 的负 载力 矩， 单 位 Ｎ・ｍ； Ｊ 为 电动 机转 速 惯量 ，单 位 Ｎ・ ｍ２。 Ｇ 由于 电动 机 的电 磁转 矩 与电 枢电 流 成正 比， 因而 Ｔｅ ＝ＣＴｉ ａ 式中 ，ＣＴ 为 电动 机 转矩 常数 ， 单位 Ｎ・ ｍ／ Ａ。 ・２ ４・

（ ２． ２ ９）

（３ ） 消 去中 间变 量 ，得 Ｔｍ Ｔａ

２ Ｒａ ｄＴＬ ｄ ｎ ｄｎ １ ＋Ｔｍ ＋ｎ＝ ｕａ － Ｔ ＋Ｔ ２ ｄｔ Ｃｅ ＣｅＣＴ ａ ｄｔ Ｌ ｄ ｔ

（ ２． ３ ０）

式中 ，Ｔｍ 为 电动 机 的机 电时 间 常数 ＪＧＲａ Ｔｍ ＝ ＣｅＣＴ 　Ｔａ 为 电枢 回路 的 电磁 时间 常 数 Ｌａ Ｔａ ＝ Ｒａ 若上 式中 ， 不考 虑电 动 机的 负载 转 矩， 即 ＴＬ ＝０，可 简化 成 ２

Ｔｍ Ｔａ

ｄｎ ｄｎ １ ＋Ｔｍ ＋ｎ＝ ｕａ ２ ｄｔ Ｃｅ ｄ ｔ

（ ２． ３ １）

这就 是直 流 调速 系统 中 直流 电动 机 的转 速与 电枢 电 压之 间应 满 足的 微分 方 程。 实际 应用 中 ，由 于直 流 电动 机的 电 枢电 感一 般较 小 ，当 系统 要 求不 高时 ， 为了 简化 系统 分 析， 可认 为 Ｌａ≈ ０，则 Ｔａ≈０。 此时 ，直 流 电动 机的 微分 方 程可 简化 为 Ｔｍ

ｄｎ １ ＋ｎ＝ ｕａ ｄｔ Ｃｅ

（ ２． ３ ２）

【例 ２ ．１ １】 图 ２ ．６所 示为 一具 有 质量 、弹 簧 、阻 尼器 的 机械 位移 系统 。 试写 出质 量 体 ｍ 在 外力 Ｆ（ｔ ） 作 用下 ，位 移 ｘ （ｔ ） 的 运动 方程。 ２ ２ 解： 质量 体 ｍ 的加 速度 为 ｄ ｘ （ｔ ）／ ｄｔ ， 由牛 顿第 二 运动 定律 有 ２

ｄｘ （ｔ ） ｍ ＝Ｆ（ｔ ）－Ｆ１（ｔ ）－Ｆ２（ｔ ） ２ ｄｔ

（２ ． ３３）

式中 ，Ｆ１（ｔ ） 是 阻尼 器 的 阻 尼 力 ， 其 方 向 与 运 动 方向 相 反， 大 小 与 运 动 速 度

ｄ ｘ （ｔ ） 和 阻尼 器的 阻 尼系 数 ｆ成正 比， 即 ｄｔ ｄｘ （ｔ ） Ｆ１（ｔ ）＝ｆ ｄｔ

（２ ． ３４）

Ｆ２（ｔ ） 为 弹簧 的 弹 性 力 ，其 方 向 也 与运 动 方 向 相 反， 大 小 与 运 动 的 位 移 和 弹簧 的弹 性系 数 Ｋ成 正 比， 即 Ｆ２（ｔ ）＝Ｋｘ （ｔ ）

（２ ． ３５）

将 Ｆ１（ｔ ） 和 Ｆ２（ｔ ） 代 入式 （２． ３ ３ ） 并 整理 成 标准 形 式， 即得 该 系 统 微分 方

图 ２．６　机械 位移 系统示 意图

程为 ｍ

ｄ２ｘ （ｔ ） ｄｘ （ｔ ） ＋ｆ ＋Ｋｘ （ｔ ）＝Ｆ（ｔ ） ２ ｄｔ ｄｔ

（ ２． ３ ６）

【例 ２． １ ２】 写 出 图 ２ ．７所 示 直流 调速 系统 的 微分 方程 。 解： 通过 分 析系 统， 确定 系 统的 输入 量 是给 定电 压 ｕｇ， 输 出量 是电 动机 的 转速 ｎ， 系统 可 分为 比较 环节 、 比例 放大 环 节、 功率 放 大环 节、 控制 对 象和 反馈 环 节。 各环 节的 微 分方 程如 下 ： （１ ） 比 较环 节和 放 大环 节由 比 例调 节器 组 成。 在 Ｒ０１ ＝Ｒ０２时 ， 输入 量与 输 出量 的关 系如 下 ・ ２５・

图 ２． ７　直 流调速 系统 示意图

ｕＫ ＝Ｋ１ （ｕｇ －ｕｆ）

（ ２． ３ ７）

式中 ，Ｋ１ 是 比例 调 节器 的比 例系 数 ，Ｋ１ ＝Ｒ１２ ／ Ｒ０１。 （２ ） 功 率放 大环 节 是晶 闸管 整 流装 置， 输 入量 是控 制 电压 ｕＫ ， 输出 量 是 整 流电 压 ｕｄ。 当 不考 虑可 控整 流 电路 的时 间 滞后 和非 线 性因 素时 ，其 关 系为 ｕｄ ＝ＫＳｕＫ

（ ２． ３ ８）

式中 ，ＫＳ 是 整流 电 路的 放大 系 数。 （３ ） 控 制对 象是 直 流电 动机 。 输入 量 是电 枢电 压 也是 整 流 电 压 ｕｄ， 输 出量 是 电 动 机的 转 速 ｎ， 其关 系 为 ２

Ｔｍ Ｔａ

ｄｎ ｄｎ １ ＋Ｔｍ ＋ｎ＝ ｕｄ ２ ｄｔ Ｃｅ ｄ ｔ

（４ ） 反 馈环 节是 直 流测 速发 电 机和 电位 器 ，其 输入 量是 电 动机 的转 速 ｎ，输 出 量是 反馈 电 压 ｕｆ，关 系如 下 ｕｆ＝αｎ

（ ２． ３ ９）

式中 ，α是反 馈电 压与 转 速之 间的 比 例系 数。 以上 各式 消 去中 间变 量， 并 整 理 成 标 准 形 式， 调 速 系 统以 ｕｇ 为 输 入量 ， ｎ为输 出 量 的 微 分方 程为 Ｔｍ Ｔａ 若令

２ Ｋ１ＫＳ Ｋ１ＫＳα ｄ ｎ ｄｎ ＋Ｔｍ ＋ １＋ ｎ＝ ｕ ２ ｄｔ Ｃｅ ｇ Ｃｅ ｄ ｔ

Ｋ１ＫＳα ＝Ｋ，代 入上 式得 Ｃｅ Ｔｍ Ｔａ

２ ｄ ｎ ｄｎ １ ＋Ｔｍ ＋（１＋Ｋ）ｎ＝ Ｋｕｇ ２ ｄ ｔ α ｄ ｔ

（ ２． ４ ０）

２ ．２ ． ２　传递 函数 建立 数学 模 型的 目的 是 为了 对系 统 进行 性能 分析 。 分析 自动 控 制系 统最 直 接的 方法 是求 解 微分 方程 ，求 得 被控 量在 动 态过 程中 的 时间 函数 ，然 后 根据 时间 函 数的 曲线 对 系统 性能 进行 分 析。 求解 的方 法 有经 典法 、 拉氏 变换 法 等。 拉氏 变换 法 是求 解微 分 方程 的简 便 方法 ，当 采用 这 一方 法时 ， 微分 方程 的 求解 就成 为象 函 ・２ ６・

数的 代数 方程 和 查表 求解 ， 使计 算大 为 简化 。更 重要 的 是， 采用 拉 氏变 换法 能 把以 线性 微分 方 程描 述的 数学 模 型转 换成 复 数域 中代 数 形式 的数 学模 型 — —— 传递 函 数。 传递 函 数不 仅可 以表 征 系统 的性 能， 而 且可 以用 来 分析 系统 的 结构 和参 数变 化 对系 统性 能 的影 响。 经 典控 制理 论中 应 用最 广泛 的频 率 特性 法和 根 轨迹 法就 是 以传 递函 数为 基 础建 立起 来 的， 传递 函 数是 经典 控制 理 论中 最基 本最 重 要的 概念 。 １ ．传递 函数 的 定义 在零 初始 条 件下 ，系 统 的输 出量 的 拉氏 变换 式与 输 入量 的拉 氏 变换 式之 比 ，即 输 出量 的拉 氏 变换 Ｃ（ｓ ） 传 递函 数 Ｇ（ｓ ）＝ ＝ 输 入量 的拉 氏 变换 Ｒ（ｓ ）

（ ２． ４ １）

如果 系统 的 输入 量为 ｒ （ｔ ）， 输出 量 为 ｃ （ｔ ），由 下述 微 分方 程描 述 ｎ

ａ ｎ

ｎ－１

ｄ ｄ ｄ ｃ （ｔ ）＋ａｎ－１ ｎ－１ｃ （ｔ ）＋… ＋ａ ｃ （ｔ ）＋ａ ｃ （ｔ ） ｎ １ ０ ｄｔ ｄｔ ｄ ｔ ｍ

＝ｂ ｍ

ｍ －１

ｄ ｄ ｄ ｒ （ｔ ）＋ｂ ｒ （ｔ ）＋… ＋ｂ ｒ （ｔ ）＋ｂ ｒ （ｔ ） ｍ －１ １ ０ ｍ ｍ －１ ｄ ｔ ｄｔ ｄ ｔ

在零 初始 条 件下 ，对 上 式两 边进 行 拉氏 变换 ，得 ｎ

ｎ－１

　　 　　 　 　　 （ａ ｎ ｓ＋ａ ｎ－１ｓ

＋… ＋ａ１ｓ＋ａ （ｓ ） ０） Ｃ

ｍ ｍ －１ 　　 　　 　 　 ＝ （ｂ ｓ ＋ｂｍ －１ｓ ＋… ＋ｂ ｓ＋ｂ ） Ｒ（ｓ ） ｍ １ ０

于是 ，由 传 递函 数的 定 义有 ｍ ｍ －１ ｓ ＋ｂ ｓ ＋… ＋ｂ ＋ｂ Ｃ（ｓ ） ｂ ｍ ｍ －１ １ ０ Ｇ（ｓ ）＝ ＝ ｎ ｎ －１ Ｒ（ｓ ） ａｎｓ ＋ａ ｓ ＋… ＋ａ ｓ ＋ ａ ｎ －１ １ ０

（ ２． ４ ２）

２ ．传递 函数 的 性质 ① 传递 函 数与 微分 方 程具 有相 通 性， 只要 把 系统 或元 件 微 分 方 程 中 各 阶导 数 用 相 应阶 次 的复 变量 ｓ替 代， 就很 容 易求 得系 统 或元 件的 传 递函 数。 同 时， 传递 函数 与 微分 方程 具 有一 一 对应 关系 ，确 定 的微 分方 程 只有 惟一 的 传递 函数 和它 对 应。 ② 传递 函数 是 复变 量 ｓ的有 理真 分 式， 具有 复 变函 数的 所 有性 质。 式 （２ ． ４ ２） 中 ，ｍ≤ ｎ， 系数 均为 实数 ， 它们 是由 组 成系 统的 元 件或 参数 构成 ， 而传 递函 数 完全 取决 于 其系 数， 所以 传 递函 数只 与系 统 本身 内部 结 构和 参数 有 关， 而与 输入 量 、扰 动量 等 外部 因素 无 关， 它代 表了 系 统的 固有 特性 ， 是一 种用 系 统参 数来 表 示输 入输 出之 间 关系 的数 学 模型 ，称 为 系统 的复 数域 模 型。 ③ 传递 函 数是 一种 运 算函 数。 由 传递 函 数 定 义 式 变 换 可得 ， Ｃ（ｓ ）＝Ｒ（ｓ ）Ｇ（ｓ ）， 此 式 表 明，只要 已知 一 个系 统的 传递 函 数 Ｇ（ｓ ）， 则对 任 意一 个输 入量 ｒ （ｔ ）， 只 要用 其象 函数 Ｒ（ｓ ）乘 以 Ｇ（ｓ ）， 就可 得输 出量 的 象函 数 Ｃ（ｓ ）， 再经 拉 氏逆 变换 ， 即可 得输 出量 ｃ （ｔ ）。

２ ．２ ． ３　典型 环节的传递 函数 一个 系统 是 由许 多环 节 组合 而成 的 ，虽 然各 种环 节 具体 结构 的 作用 原理 是 多种 多样 的， 但 是抛 开其 具体 结 构和 物理 特 点， 许多 环 节的 动态 特性 和 传递 函数 是 具有 共性 的 。现 按照 环节 传 递函 数的 异同 ， 归纳 为几 种 典型 环节 。 掌握 这些 典型 环 节的 特点 ， 可以 更方 便 地分 析复 杂系 统 内部 各环 节间 的 联系 。这 些 典型 环节 是 ：比 例环 节、 积 分环 节、 微 分环 节、 惯 性环 节、 振荡 环 ・ ２７・

节和 延迟 环节 。 现分 别介 绍 如下 。 １ ．比例 环节 比例 环节 的 特点 是： 输 出量 与输 入 量之 间的 关系 是 一种 固定 的 比例 关系 ， 也就 是输 出量 能 无失 真、 无滞 后 地按 一定 比 例复 现输 入 量。 比例 环节 的 微分 方程 是 ｃ （ｔ ）＝Ｋｒ （ｔ ）

（ ２． ４ ３）

比例 环节 的 传递 函数 是 Ｇ（ ｓ ）＝Ｋ

（ ２ ． ４４）

比例 环节 的 单位 阶跃 响 应： 当ｒ （ｔ ）＝１时 ， ｃ （ｔ ）＝Ｋ， 如图 ２ ．８所 示。 比例 环节 是 自动 控 制系 统 中 使 用 最 多 的 一 种 ， 例 如 电 子 放 大器 、 齿 轮 减 速 器、 杠 杆、 弹 簧、 电 阻 、 质 量 等， 如 图 ２ ．９ 图 ２．８　比 例环节的

所示 。 这一 环节 的 输入 量和 输 出量 的关 系 可以 用 图 ２ ．１ ０所 示的 方

单位 阶跃响 应

框图 来表 示。 方 框图 两端 的 箭头 表示 输 入量 和输 出量 ， 方框 中表 明 了该 环节 的 传递 函数 Ｋ。

图 ２． ９　比 例环 节实例

２ ．积分 环节 积分 环节 的 特点 是： 输 出量 与输 入 量 的 积 分 成 正 比 例 ， 即 输 出量 取决 于输 入量 对 时间 的积 累 过程 。 图 ２．１ ０　比 例环节

积分 环节 的 微分 方程 是 ｃ （ｔ ）＝

１ １ ｒ （ｔ ）ｄｔ＝ Ｋ ｒ （ｔ ）ｄｔ 　　 Ｋ ＝ Ｔ Ｔ

∫

∫

功能框 图

（２． ４５）

积分 环节 的 传递 函数 是 １ Ｋ Ｇ（ｓ ）＝ ＝ Ｔｓ ｓ 积分 环节 的 单位 阶跃 响 应： ・２ ８・

（ ２． ４ ６）

１ 当ｒ （ｔ ）＝１时 ，ｃ （ｔ ）＝ ｔ ，如 图 ２． １１所 示。 Ｔ 积分 环节 也 是自 动控 制 系统 中最 常 见的 环节 之一 ， 凡是 输出 量 对输 入量 具 有贮 存和 积累 特 点的 元件 一般 都 含有 积分 环 节， 例如 机 械运 动中 位移 与 转速 、转 速 与转 矩、 速 度与 加速 度、 电 容的 电压 与电 流 、水 箱的 水 位与 水流 量 等。 下面 介绍 几 个常 见的 积 分环 节。 （１ ） 电 动机 电动 机转 速 和转 矩、 角 位移 和转 速 都是 积分 关系 。 当不 考虑 负 载转 矩时 ， 电动 机的 转 矩与 转速 的关 系如 下 ｄω（ｔ ） ｄ ｎ（ｔ ） Ｔ（ｔ ）＝Ｊ ＝Ｊ Ｇ ｄ ｔ ｄｔ

（２ ． ４ ７）

图 ２． １１　积分 环节 的单位 阶跃响 应

对上 式进 行 拉氏 变换 得 Ｎ（ｓ ） １ ＝ Ｔ（ｓ ） Ｊ Ｇ ｓ 而电 动机 的 角位 移与 转 速关 系如 下 ｄ θ （ｔ ） ２π ＝ω（ｔ ）＝ ｎ （ｔ ） ｄ ｔ ６ ０

（ ２． ４ ８）

对上 式进 行 拉氏 变换 可 得 θ （ｓ ） ２π１ ＝ Ｎ（ｓ ） ６ ０ｓ （２ ） 电 容电 路 电容 两端 的 电压 和电 流 是积 分关 系 。 电容 的电 量

∫

ｑ （ｔ ） ＝ ＣｕＣ（ｔ ）＝ ｉ ｄｔ

对上 式进 行 拉氏 变换 可 得 ＵＣ （ｓ ） １ ＝ Ｉ （ｓ ） Ｃｓ （３ ） 积 分电 路 输出 电压 和 输入 电压 是 积分 关系 。 由电 子学 知 识可 知 ｕ （ｔ ）＝ Ｏ

－１ ｕ（ｔ ）ｄｔ ＲＣ ｉ

∫

对上 式进 行 拉氏 变换 得 Ｕｏ（ｓ ） －１ １ ＝ ＝－ Ｕｉ（ｓ ） ＲＣｓ Ｔｓ 式中 ，Ｔ为积 分时 间常 数 ，Ｔ＝ＲＣ。 ３ ．微分 环节 微分 环节 的 特点 是： 输 出量 与输 入 量的 微分 成正 比 例， 即输 出 量与 输入 量 无关 而与 输入 量 的变 化率 正比 例 。 ・ ２９・

图２ ．１２　 积分 环节实 例

微分 环节 的 微分 方程 ｄｒ （ｔ ） ｃ （ｔ ） ＝τ ｄｔ

（ ２． ４ ９）

Ｇ（ｓ ） ＝τ ｓ

（ ２． ５ ０）

微分 环节 的 传递 函数 微分 环节 的 单位 阶跃 响 应： ｄｒ （ｔ ） 当输 入 ｒ （ｔ ） ＝１时 ，ｃ （ｔ ） ＝τ ＝τ δ（ｔ ）， 如图 ２ ．１ ３所 示。 ｄｔ

图 ２．１ ３　微 分环 节的单 位阶跃 响应

微分 环节 输 入量 与输 出 量的 关系 与 积分 环节 恰恰 相 反， 将积 分 环节 的输 入 与输 出相 对换 就 是微 分环 节， 例 如速 度与 加 速度 、位 移 与速 度等 。下 面 通过 两个 实 例来 加以 说 明。 （１ ） 齿 条齿 轮传 动 齿轮 的角 速 度与 齿条 的 位移 是微 分 关系 。以 齿条 的 直线 位移 为 输入 ，齿 轮 的角 速度 为输 出 时有 ｄ ｘ （ｔ ）１ ω（ｔ ）＝ ｄｔ ｒ

（ ２． ５ １）

Ω（ｓ ） １ ＝ ｓ Ｘ（ｓ ） ｒ

（ ２． ５ ２）

对上 式进 行 拉氏 变换 可 得

（２ ） 测 速发 电机 输出 电压 与 转轴 转角 是 微分 关系 。 测速 发 电机 的输 出 电压 为 ｕｃ（ｔ ），转 轴 角速 度 为 ω（ｔ ）， ｄθ （ｔ ） 而 ω（ｔ ） ＝ 可得 ｄ ｔ ・３ ０・

ｄθ （ｔ ） ｕｃ（ｔ ） ＝Ｋω（ｔ ） ＝Ｋ ｄｔ

（ ２． ５ ３）

Ｕｃ（ｓ ） ＝Ｋｓ θ （ｓ ）

（ ２． ５ ４）

对上 式进 行 拉氏 变换 可 得

４ ．惯性 环节 惯性 环 节 的 特 点： 当 输 入 量 突 变 时 ， 输 出 量 不 会 突 变， 只能 按指 数 规律 逐渐 变 化， 即具 有 惯性 。 惯性 环节 的 微分 方程 ｄｃ （ｔ ） Ｔ ＋ｃ （ｔ ） ＝ｒ （ｔ ） ｄｔ

（２ ．５ ５）

式中 ，Ｔ为惯 性时 间常 数 。 图 ２．１４　微分 环节实 例

惯性 环节 的 传递 函数 １ Ｇ（ｓ ） ＝ １＋Ｔｓ

（ ２． ５ ６）

惯性 环节 的 单位 阶跃 响 应： 当ｒ （ｔ ）＝１时 ｃ （ｔ ） ＝１－ｅ－ｔ／Ｔ 自动 控制 系 统中 经常 含 有这 种环 节 ，这 种环 节含 有 一个 储 能 元 件 （如 储 存 磁 场 能 的 电感 、 储存 电场 能的 电 容、 储存 弹 性势 能 的 弹 簧 和 储 存动 能的 机 械负 载 等 ） 和 一 个 耗 能元 件 （如 电 阻、 阻尼 器等 ）。下 面 通过 两个 实 例来 加以 说 明。 （１ ） 电 阻、 电容 电 路 如图 ２． １５所示 。由 基 尔霍 夫定 律 有 ｕ１（ｔ ）＝Ｒｉ （ｔ ）＋ｕ ｔ ） ２（

（ ２ ．５ ７）

ｄｕ２（ｔ ） 将电 容的 电 流 ｉ （ｔ ）＝Ｃ 代 入上 式得 ｄｔ ｄｕ２（ｔ ） ｕ１（ｔ ）＝ＲＣ ＋ｕ （ｔ ） ２ ｄ ｔ

（ ２ ．５ ８）

图２ ．１５　 电阻、 电容 电路

对上 式进 行 拉氏 变换 ， 并整 理得 Ｕ２（ ｓ ） １ １ ＝ ＝ （Ｔ＝ＲＣ） Ｕ１（ ｓ ） ＲＣｓ＋１ Ｔｓ＋１

（ ２． ５ ９）

・ ３１・

（ ２） 弹簧 －阻尼 系统 如图 ２． １６所示 。弹 簧 力 与 弹 簧 的 形 变 成 正 比， 即 弹 簧 力 ｆ＝Ｋ［ｘ （ｔ ）－ｘ ｉ ｏ （ ｔ ）］，Ｋ为弹 簧 的弹 性系 数。 ｄ ｘｏ（ｔ ） 阻尼 器的 阻 力与 相对 速 度成 正比 ， 即阻 尼 力 ｆ＝Ｂ ， Ｂ为 粘 性阻 尼 系 ｄ ｔ 数。 ｄｘ （ｔ ） ｏ 由于 两力 相 等， 有 Ｋ ［ｘ （ｔ ） －ｘ （ｔ ）］ ＝Ｂ ｉ ｏ ｄｔ 对上 式进 行 拉氏 变换 ， 并整 理得

图 ２． １６　弹簧 －

Ｘｏ（ｓ ） Ｋ １ Ｂ ＝ ＝ 　 Ｔ＝ Ｋ Ｘｉ （ｓ ） Ｂｓ＋Ｋ Ｔｓ＋１

（２ ．６ ０）

阻尼系 统

５ ．延迟 环节 延迟 环节 的 特点 是： 输 出量 与输 入 量变 化形 式完 全 相同 ，但 在 时间 上有 一 定的 滞后 。 延迟 环节 的 微分 方程 ｃ （ｔ ）＝ｒ （ｔ－τ） 延迟 环节 的 传递 函数 １ Ｇ（ｓ ）＝ｅ－τｓ ＝ τｓ ｅ

（ ２． ６ １）

对于 延迟 时 间很 小的 延 迟环 节， 常 常将 它按 泰勒 级 数展 开， 并 略去 高次 项 ，得 如下 简化 的 传递 函数 １ １ Ｇ（ｓ ）＝ ≈ ２ ３ ｓ τ ２ τ ３ １＋τ １＋τ ｓ＋ ｓ ＋ ｓ ２！ ３！

（ ２． ６ ２）

上式 表明 ， 在延 迟时 间 很小 的情 况 下， 延迟 环节 可 近似 为一 个 小惯 性环 节 。 延迟 环节 的 单位 阶跃 响 应如 图 ２ ． １７所 示。 延迟 环节 在 工作 中 是经 常 遇 到 的， 例如 晶 闸 管 整流 电 路 中 ，控 制 电 压 与 整 流 输 出 有 时 间 上 的 延 迟； 工件 传 送 过 程 会 造 成 时 间 上 的 延 迟； 在 加 工 中， 加工 点和 检 测点 不在 一 处也 会 产 生 时间 上 的 延 迟。 下面 以轧 钢 机的 厚度 检 测环 节 为 例 来说 明 延 迟 时间 的产 生。 图 ２． １ ８所 示为 轧钢 机 厚度 检测 环 节， 带钢 在 Ａ 点轧 出时 ，厚 度 偏差 为 Δｈｂ，这 一厚 度 偏 差 在 到 达

图 ２． １７　延迟 环节 的单位 阶跃响 应

Ｂ点后 才 为测 厚仪 检 测到 。若 Ａ点和 Ｂ点距 离 为 ｌ ， 带钢 运动 速 度为 ｖ ，则 延迟 时 间为 τ＝

１ ｖ

而测 厚信 号 Δｈｃ 与厚 差信 号 Δｈｂ 之 间关 系为 Δｈｃ ＝Δｈ ｔ－τ ） ｂ（ ６ ．振荡 环节 ・３ ２・

图２ ．１８　 延迟 环节实 例

振荡 环节 的 微分 方程 ２

Ｔ２

ｄｃ （ｔ ） ｄ ｃ （ｔ ） ＋２Ｔ ξ ＋ｃ （ｔ ） ＝ｒ （ｔ ） ２ ｄ ｔ ｄｔ

振荡 环节 的 传递 函数 ω２ｎ １ Ｇ（ｓ ） ＝ ２ ２ ＝２ ２ Ｔ ｓ ＋２Ｔ ξ ｓ＋１ ｓ ＋２ξ ωｎｓ＋ωｎ

（ ２． ６ ３）

１ 式中 ，ωｎ ＝ 。 Ｔ 振荡 环节 的 单位 阶跃 响 应： 当 ξ＝０时 ，ｃ （ｔ ） ＝１－ｃ ｏ ｓ ωｎｔ ， 即为 等幅 正 弦波 振荡 。 当 ０＜ξ＜１时， ｃ （ｔ ） 为 减 幅振 荡。 ｃ （ｔ ） ＝１－ 式中 ，ωｄ ＝ωｎ

ｅ－ξωｎｔ

ｓ ｉ ｎ ωｄｔ ＋ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ２ １－ξ

２ １－ξ ξ

２

１－ξ称为 阻 尼振 荡频 率。

振荡 环节 的 单位 阶跃 响 应曲 线如 图 ２． １９所 示 。

图 ２．１ ９　振 荡环 节的单 位阶跃 响应

在自 动控 制 系统 中， 若 系统 中具 有 两个 不同 形式 的 储能 元件 ， 而两 种元 件 中的 能量 又能 相 互交 换， 就可 能 在交 换和 储 存过 程中 出 现振 荡， 形成 振 荡环 节。 例如 ，前 面 介绍 的例 ２． ９中 的机 械平 移 系统 中含 有 储存 弹性 势能 的 弹簧 和储 存 动能 的机 械 负载 ，而 这两 种 能量 能相 互 交 换 ， 所 以 在 ｆ＜２ Ｋｍ时 ，就 会 产 生 振 荡。 同 样 ， 例 ２ ．１ １中 的 ＲＬ Ｃ串联 网络 ， 由于 含有 储 存 磁 场 能的 电感 和 储 存 电 场 能 的 电容 ， 而这 两种 能 量 也 能 相 互 交 换， 所以 在 Ｒ＜２

Ｌ 时， 就 会产 生振 荡。 Ｃ

２ ．２ ． ４　系统 结构框图 一个 控制 系 统总 是由 很 多环 节组 合 而成 的。 从信 号 传递 的角 度 去看 ，可 以 把一 个系 统分 成 ・ ３３・

若干 个环 节， 每 一个 环节 都 有对 应的 输 入量 、输 出量 以 及它 们的 传 递函 数。 为 了表 明每 一个 环 节在 系统 中的 作 用和 功能 ， 在控 制工 程 中常 常采 用结 构 框图 。结 构 框图 是控 制 系统 数学 模型 的 图形 表示 方法 ， 它可 以形 象 地描 述自 动 控制 系统 各环 节 之间 和各 作 用量 之间 的 相互 联系 ，具 有 简明 直观 、运 算 方便 的优 点 ，是 分析 控 制系 统的 一种 常 用方 法。 结构 框图 由 信号 线、 引出 点 、比 较点 和 功 能 框 组 成 ，它 们 的 形 状 如 图 ２． ２ ０所示 。 现分 别 介绍 如下 。 １ ．信号 线 信号 线是 带 有 箭 头 的 直 线 ，箭 头 表 示 信 号 的 流 向 ，在 直 线 旁 标 记 信 号 的 象 函 数 ，如 图 ２ ． ２０（ａ ） 所示 。 ２ ．引出 点 引出 点表 示 信号 引出 或 测量 的位 置 。从 同一 位置 引 出的 信号 在 数值 和性 质 上完 全相 同， 如 图 ２． ２０（ｂ） 所示 。 ３ ．比较 点 比较 点表 示 多个 信号 在 此处 叠加 ， 输出 量等 于输 入 量的 代数 和 。因 此在 信 号输 入处 要标 明 信号 的极 性， 如 图 ２． ２０（ｃ ） 所示 。 ４ ．功能 框 功能 框表 示 一个 相对 独 立的 环节 对 信号 的影 响。 框 左边 的箭 头 处标 以输 入 量的 象函 数， 框 右边 的箭 头处 标 以输 出量 的 象函 数， 框 内为 这一 单元 的 传递 函数 。 输出 量等 于 输入 量与 传递 函 数的 乘积 ，即 Ｃ（ｓ ）＝Ｒ（ｓ ）Ｇ（ｓ ） 绘制 系统 结 构框 图时 ， 首先 对系 统 进行 定性 分析 ， 确定 系统 中 含有 的独 立 环节 或单 元， 分 别列 写各 环节 或 单元 的传 递 函数 ，并 将 其用 功能 框表 示 ；然 后按 照 信号 的传 递 方向 用信 号线 将 各功 能框 连接 起 来就 得到 系 统的 结构 框 图。

图 ２．２０　框 图的图 形符号 （ａ） 信 号线

（ｂ） 引 出点

（ｃ） 比 较 点

（ｄ ） 功能 框

现以 直流 电 动机 为例 来 说明 系统 结 构框 图的 绘制 方 法。 直流 电动 机 的各 物理 量 之 间 的关 系 在 公 式 （２． ２ ５） ～ （２ ． ３２） 已给 出 ，现 根据 这 些 关 系 式来 绘制 它的 结 构框 图。 （１ ） 电 枢回 路

・３ ４・

ｕａ ＝ｉ Ｒ ＋Ｌａ ａ ａ

ｄｉ ａ ＋ｅ ｄｔ ａ

对上 式进 行 拉氏 变换 得 Ｕａ（ｓ ）＝Ｉ ｓ ） Ｒａ ＋Ｌａｓ Ｉ ｓ ）＋Ｅａ（ｓ ） ａ（ ａ（ 经整 理得 １ １ Ｉ ｓ ） Ｒａ Ｒａ １ ａ（ ＝ ＝ ＝ Ｕａ（ｓ ）－Ｅａ（ｓ ） Ｌａｓ＋Ｒａ Ｌａ Ｔａｓ＋１ ｓ＋１ Ｒａ

（ ２． ６ ４）

式中 ，Ｔａ 称 为电 磁时 间 常数 ，Ｔａ ＝Ｌａ ／ Ｒａ。 （２ ） 电 磁转 矩 Ｔｅ ＝ＣＴｉ ａ 对上 式进 行 拉氏 变换 得 Ｔｅ（ｓ ） ＝ＣＴ Ｉ （ｓ ） ａ

（ ２． ６ ５）

（３ ） 转 速与 转矩 Ｔｅ －ＴＬ ＝ＪＧ

ｄｎ ｄ ｔ

对上 式进 行 拉氏 变换 并 整理 得 Ｎ（ｓ ） １ ＝ Ｔｅ（ｓ ）－ＴＬ（ｓ ） Ｊ ｓ Ｇ

（ ２． ６ ６）

（４ ） 反 电动 势 ｅ ＝Ｃｅｎ ａ 对上 式进 行 拉氏 变换 得 Ｎ（ｓ ） １ ＝ Ｅａ（ｓ ） Ｃｅ

（ ２． ６ ７）

根据 各量 之 间的 传递 关 系， 用信 号 线将 上述 四个 环 节连 接起 来 就得 电动 机 的结 构框 图， 如 图 ２． ２１所 示。

图 ２．２１　 直流 电动机 结构框 图

２ ．２ ． ５　结构 框图的变换 法则 要利 用系 统 结构 框图 来 求系 统的 传 递函 数， 需要 将 复杂 的结 构 框图 进行 等 效变 换， 求其 等 效结 构框 图， 以 便简 化系 统 传递 函数 的 计算 。结 构框 图 等效 变换 的 原则 是变 换 后与 变换 前的 输 ・ ３５・

入量 和输 出量 都 保持 不变 。 下面 介绍 结 构框 图变 换的 基 本法 则。 １ ．串联 变换 法 则 环节 的串 联 是最 常见 的 一种 结构 形 式， 其特 点是 ： 前一 个环 节 的输 出量 是 后一 个环 节的 输 入量 ，如 图 ２． ２２所 示。

图 ２． ２２　串 联变换

由图 ２． ２２得 Ｃ（ｓ ）＝Ｒ（ｓ ）Ｇ１（ｓ ）Ｇ２（ｓ ） 即 Ｃ（ｓ ） Ｇ（ｓ ）＝ ＝Ｇ１（ｓ ）Ｇ２（ｓ ） Ｒ（ｓ ）

（ ２． ６ ８）

由此 可知 ， 两个 串联 的 环节 ，可 以 用一 个等 效环 节 去等 效， 等 效环 节的 传 递函 数为 各环 节 传递 函数 之积 。 这个 结论 可 以推 广到 ｎ个环 节的 情况 。 ２ ．并联 变换 法 则 环节 并联 的 特点 是： 各 环节 的输 入 量 相 同 ，输 出 量 相 叠 加 （极 性相 同 相加 ， 极 性 相 反 相 减）， 如图 ２． ２ ３所示。

图 ２． ２３　并 联变换

由图 ２． ２３有 Ｃ（ｓ ）＝Ｒ（ｓ ） ［Ｇ１（ｓ ）＋Ｇ２（ｓ ）］ 即 Ｃ（ｓ ） Ｇ（ｓ ）＝ ＝Ｇ （ｓ ）＋Ｇ２（ｓ ） Ｒ（ｓ ） １

（ ２． ６ ９）

由此 可知 ， 两个 并联 的 环节 ，可 以 用一 个环 节去 等 效， 等效 环 节的 传递 函 数为 各个 环节 传 递函 数之 代数 和 。这 个结 论 同样 可以 推 广到 ｎ个 环节 并 联的 情况 。 ３ ．反馈 连接 变 换法 则 若输 出量 通 过一 个环 节 返回 到输 入 端形 成闭 环， 这 种连 接称 为 反馈 连接 ， 如图 ２． ２ ４所示 。 这种 闭环 反 馈系 统结 构 框图 按信 号 的传 递方 向， 可 将闭 环回 路 分为 前向 通 道和 反馈 通道 两 条通 道。 信号 由 输入 向输 出 传递 的通 道 称为 前向 通道 ， 通道 中的 传 递函 数称 为 前向 通道 传递 函 数，如图 ２． ２ ４中的 Ｇ（ｓ ）。信 号 由输 出向 输入 传 递的 通道 称 为反 馈通 道 ，通 道中 的传 递 函数 称 为反 馈通 道传 递 函数 ，如 图 ２． ２４中 的 Ｈ（ｓ ） 。 当 Ｈ（ｓ ） ＝１时 称为 单 位反 馈。 由图 ２． ２４可知 Ｃ（ｓ ）＝Ｅ（ｓ ）Ｇ（ｓ ） ・３ ６・

图 ２． ２４　反 馈变换

Ｅ（ｓ ）＝Ｒ（ｓ ）±Ｂ（ｓ ） Ｂ（ｓ ）＝Ｃ（ｓ ）Ｈ（ ｓ ） 消去 中间 变量 Ｅ（ｓ ）、Ｂ（ｓ ） 可得 Ｃ（ｓ ）＝Ｇ（ｓ ）［Ｒ（ｓ ）±Ｈ（ｓ ）Ｃ（ｓ ）］ 整理 后得 Ｇ（ｓ ） Ｃ（ｓ ）＝ Ｒ（ｓ ） １ê Ｇ（ｓ ）Ｈ（ｓ ）

（ ２． ７ ０）

Ｃ（ｓ ） Ｇ（ｓ ） Φ（ｓ ）＝ ＝ Ｒ（ｓ ） １ê Ｇ（ｓ ）Ｈ（ｓ ）

（ ２． ７ １）

即

Ｇ（ｓ ） 式中 ，Φ（ｓ ）＝ 称为 闭 环 传 递 函数 ，是 反 馈 连 接 的 等 效 传递 函 数。 负号 对 应 正 反 １êＧ（ｓ ）Ｈ（ｓ ） 馈， 正号 对应 负 反馈 。式 中 Ｇ（ｓ ）Ｈ（ｓ ）称为 闭 环系 统 的开 环传 递 函数 ，简 称 开环 传 递函 数， 它 表示 的物 理意 义 是： 若将 图 ２． ２ ４中 的 反馈 环 节 输 出端 断 开， 则 断 开 处 的 作 用量 与 输 入 量的 传 递关 系如 图 ２． ２５所 示。 开 环传 递 函 数 是 后面 用 频 率 法和 根 轨迹 法分 析系 统 的 主 要 数学 模 型。 但 应注 意 不 要 和 开 环 系 统的 传递 函数 相 混淆 。 ４ ．引出 点和 比 较点 的移 动 法则 在系 统结 构 框 图 简 化 过 程 中， 有 时 为 了 便 于 进 行 框 图 的串 联、 并联 和 反 馈 连 接 的 运 算， 常 常 需 要 移 动 引 出 点 和

图 ２．２ ５　开 环传递函数的 意义

比较 点的 位置 。 见 表 ２ ．３。引 出 点和 比 较 点 的 移 动 原则 是 ： 移动 前后 输出 量 应不 变， 而 且引 出点 和 比较 点一 般不 宜 交换 位置 。 表 ２．３　 引出点 和比 较点的 移动 原　框　 图

等　效 　框 　图

引出 点前移

・ ３７・

引出 点后移

比较 点前移

比较 点后移

① 引出 点前 移 移动 前： Ｙ（ｓ ）＝Ｘ（ｓ ）Ｇ（ｓ ） 移动 后： Ｙ（ｓ ）＝Ｘ（ｓ ）Ｇ（ｓ ） 两者 输出 量 完全 相同 ， 所以 两者 等 效。 ② 引出 点 后移 移动 前： 引 出量 等于 Ｘ（ｓ ）

图 ２．２６　多 回环控 制系统

・３ ８・

移动 后： 引 出量 等于 Ｙ（ｓ ）／ Ｇ（ｓ ）＝Ｘ（ｓ ） 两者 完全 相 同， 所以 两 者等 效。 ③ 比较 点 前移 移动 前： Ｙ（ｓ ）＝Ｇ（ｓ ）Ｘ１（ｓ ）－Ｘ２（ｓ ） 移动 后： Ｙ（ｓ ）＝Ｇ（ｓ ）［Ｘ１（ｓ ）－Ｘ２（ｓ ）／ Ｇ（ｓ ）］＝Ｇ（ｓ ）Ｘ１（ｓ ）－Ｘ２（ｓ ） 移动 前后 输 出量 完全 相 同， 所以 两 者等 效。 ④比 较点 后 移 移动 前： Ｙ（ｓ ）＝［Ｘ１（ｓ ）－Ｘ２（ｓ ）］Ｇ（ｓ ） 移动 后： Ｙ（ｓ ）＝Ｘ１（ｓ ）Ｇ（ｓ ）－Ｘ２（ｓ ）Ｇ（ｓ ）＝［Ｘ１（ｓ ）－Ｘ２（ｓ ）］Ｇ（ｓ ） 移动 前后 输 出量 完全 相 同， 所以 两 者等 效。

２ ．２ ． ６　系统 结构框图化 简及系统 传递函数的 求取 一个 实际 的 自动 控制 系 统结 构框 图 ，其 功能 框之 间 的连 接必 然 是错 综复 杂 的， 为了 便于 分 析和 计算 ，需 要 将其 中的 一 些功 能框 基 于 “等 效” 的 原 则 进 行 重 新 排列 和 整 理 ，使 复 杂 的 结 构框 图得 以简 化 。由 于功 能 框间 的基 本 连接 方式 只有 串 联、 并联 和 反馈 连接 三 种， 因此 ，简 化 的方 法是 移动 引 出点 或比 较 点， 将串 联 、并 联和 反馈 连 接的 功能 框 合并 。在 简 化过 程中 应遵 循 变换 前后 输入 量 和输 出量 保 持 不 变 的原 则。 下 面 通 过 几个 例 子 来 说 明 系 统 结构 框图 的 化 简 方 法。 【例 ２． １ ３】 化 简 图 ２ ．２ ６所 示的 多回 环 系统 。 解： 由于 此 系统 有相 互 交叉 的反 馈 回环 ，不 能直 接 化简 ，先 要 通过 引出 点 或比 较点 的移 动 来消 除交 叉。 例 如将 回环 Ⅰ 的引 出 点 后 移 到 Ｄ环 节后 ，比 较 点 移 动 到 Ａ环 节 比 较 点 之 前， 就 能消 除交 叉， 然 后利 用串 联 和反 馈变 换 法则 进行 化简 。 其步 骤如 图 ２． ２６所 示 。 【例 ２． １ ４】 图 ２ ．２ ７所 示是 一个 多回 环 交叉 反馈 系 统， 化简 并 求闭 环传 递函 数 。 解： 由图 可 见该 系统 的 三个 反馈 回 环是 相互 关联 的 ，没 有独 立 的反 馈回 环 。化 简的 方法 同 上例 一样 ，要 通 过引 出点 或 比较 点的 移 动来 消除 交叉 ， 步骤 如图 ２． ２７所示 。 由此 可得 系 统总 的闭 环 传递 函数 为 Ｇ１（ｓ ）Ｇ２（ｓ ）Ｇ３（ｓ ）Ｇ４（ｓ ） Φ（ｓ ）＝ １＋Ｇ２（ｓ ）Ｇ３（ｓ ）Ｇ６（ｓ ）＋Ｇ３（ｓ ）Ｇ４（ｓ ）Ｇ５（ｓ ）＋Ｇ１（ｓ ）Ｇ２（ｓ ）Ｇ３（ｓ ）Ｇ４（ｓ ）Ｇ７（ｓ ） 由以 上 这 个 例 子可 以 推 出 一 般不 含 有 独 立 反馈 回 环 的 多 回 环 系 统 的 闭 环 传 递 函 数 求 取 公式 ： 前 向通 道 总的 传递 函数 Φ（ｓ ）＝ ｎ １＋∑ （每一 个反 馈回 环 的开 环传 递 函数 ）

（２ ． ７ ２）

ｉ＝１

式中 ，ｎ为 系 统反 馈回 环 个数 。 但是 ，如 果 系统 有独 立 的反 馈回 环 就不 能使 用这 一 公式 。如 上 例中 回环 Ⅱ 和回 环Ⅲ 是两 个 相互 独立 的反 馈 回环 ，就 不 能使 用这 一 公式 ，只 能通 过 引出 点或 比 较点 移动 的 方法 来化 简。 【例 ２． １ ５】 求 图 ２ ．２ ８所示 在输 入和 扰 动共 同作 用 下控 制系 统 的输 出量 。

・ ３９・

图 ２．２ ７　多 回环 交叉反 馈控制 系统

解： 该系 统 同 时 受 到 输 入 和 扰 动 的 共 同 作 用 ， 对于 线性 系 统可 以 利 用 叠 加 的 方 法 ， 即 总 的 输 出量 等于 各输 入 量单 独 作 用于 系 统 的 输 出 量 的 叠加 。 （１ ） 在 输入 量 Ｒ（ｓ ） 作用下的 系统闭 环传 递函 数和 输出 量 单独 考 虑 输 入 量 Ｒ（ｓ ） 对系 统 的 作用 时，

图 ２．２８　 输入 与扰动 共同作 用的控 制系 统

可认 为扰 动 量 Ｄ（ｓ ） 为 零。 此 时 系 统 的 闭 环 传 递函 数为 Ｇ１（ｓ ）Ｇ２（ ｓ ） Φｒ（ｓ ）＝ １＋Ｇ１（ｓ ）Ｇ２（ｓ ）Ｈ（ｓ ） 系统 的输 出 量 Ｃｒ（ｓ ）为

・４ ０・

（ ２． ７ ３）

Ｇ１（ｓ ）Ｇ２（ｓ ） Ｃｒ（ｓ ）＝Ｒ（ｓ ）Φｒ（ｓ ）＝ Ｒ（ｓ ） １＋Ｇ１（ｓ ）Ｇ２（ｓ ）Ｈ（ｓ ）

（ ２． ７ ４）

（２ ） 在 扰动 作用 量 Ｄ（ｓ ） 作 用 下的 系统 闭 环传 递函 数和 输 出量 单独 考虑 扰 动量 Ｄ（ｓ ） 对 系 统作 用时 ， 可认 为输 入 量 Ｒ（ｓ ） 为零 ，此 时 系统 变换 为 图 ２． ２ ９ 的形 式 （虽 然反 馈位 置 变了 ，要 注意 反 馈的 极性 保 持不 变）。 此时 系 统的 闭环 传 递函 数为 Ｇ２（ｓ ） Φｄ（ｓ ）＝ １＋Ｇ１（ｓ ）Ｇ２（ｓ ）Ｈ（ｓ ）

（ ２． ７ ５）

Ｇ２（ｓ ） Ｃｄ（ｓ ）＝Ｄ（ｓ ）Φｄ（ｓ ）＝ Ｄ（ｓ ） １＋Ｇ１（ｓ ）Ｇ２（ｓ ）Ｈ（ｓ ）

（ ２． ７ ６）

系统 的输 出 量 Ｃｄ（ｓ ）为

（ａ） 　 　　 　 　　 　　 　 　　　 　 　 　 （ｂ）

图 ２． ２９　输入与扰 动分 别作用 的结构 框图 （ａ ） 输 入作 用

（ｂ） 扰 动 作 用

系统 总的 输 出量 Ｃ（ｓ ）为 Ｃ（ｓ ）＝Ｃｒ（ｓ ）＋Ｃｄ（ｓ ） Ｇ１（ｓ ）Ｇ２（ｓ ） Ｇ２（ｓ ） ＝ Ｒ（ ｓ ）＋ Ｄ（ｓ ） １＋Ｇ１（ ｓ ）Ｇ２（ｓ ）Ｈ（ｓ ） １＋Ｇ１（ｓ ）Ｇ２（ｓ ）Ｈ（ｓ ）

小　　结 拉普 拉斯 变 换定 义式 ： ① 当 ｔ＜０时 ，ｆ（ｔ ） ＝０； ② 当 ｔ＞０时 ，ｆ（ｔ ） 分段 连续 ； ｓｔ

③ 当ｔ → ∞时 ，ｆ（ｔ ） 上升 较 ｅ慢 。 拉氏 变换 式 为 ∞

Ｆ（ｓ ） ＝ Ｌ ［ｆ （ｔ ）］ ＝

∫ ｆ（ｔ）ｅ ｄｔ －ｓｔ

０

常用 的典 型 输入 信号 的 拉氏 变换 为 １ １ Ｌ ［１ （ｔ ）］＝ ， Ｌ ［δ （ｔ ）］＝１， Ｌ ［ｔ ］＝ ２ ｓ ｓ 常用 的拉 氏 变换 运算 定 理有 ：叠 加 定理 、比 例定 理 、微 分定 理 、积 分定 理 、位 移定 理、 延 迟定 理、 相似 定 理、 初值 定 理、 终值 定 理等 。 运用 拉氏 变 换求 解系 统 的微 分方 程 ，求 解的 方法 和 步骤 是： ① 建立 系 统微 分方 程 ； ・ ４１・

② 对方 程 两边 进行 拉 氏变 换； ③ 求输 出 量的 象函 数 ； ④ 将输 出 量的 象函 数 分解 为部 分分 式 ； ⑤ 求待 定 系数 ； ⑥ 分项 查 拉氏 变换 表 ； ⑦ 得输 出 量的 原函 数 。 自动 控制 系 统常 用的 数 学模 型有 ： ① 微分 方 程是 系统 的 时间 域模 型， 也 是最 基本 的 数学 模型 。 ② 传递 函 数是 系统 的 复数 域模 型， 也 是系 统 最 常 用 的数 学 模 型 。 它 是 系 统 在 零 初 始 条 件 下输 出量 的象 函 数和 输入 量 的象 函数 之 比。 传递 函数 只 与系 统本 身 的结 构、 参 数有 关， 而与 给 定量 、扰 动量 等 外部 因素 无 关， 它代 表 系统 的固 有特 性 。 ③ 系统 结 构框 图是 传 递函 数的 一 种图 形表 示 方法 ， 是一 种 图 形 化的 数 学模 型， 它 清 楚 地 表明 了系 统各 环 节之 间的 相 互联 系， 直 观地 显示 了系 统 的结 构特 点 、各 参变 量 和作 用量 在系 统 中的 作用 和地 位 ，因 此它 是 分析 系统 的 重要 方法 。 自动 控制 系 统中 的典 型 环节 有： ① 比例 环 节 Ｇ（ｓ ） ＝Ｋ １ Ｋ ② 积分 环 节 Ｇ（ｓ ） ＝ ＝ Ｔ ｓ ｓ ③ 微分 环 节 Ｇ（ｓ ） ＝τ ｓ １ ④ 惯性 环 节 Ｇ（ｓ ） ＝ １＋Ｔｓ １ －τｓ ⑤ 延迟 环 节 Ｇ（ｓ ） ＝ｅ ＝ τｓ ｅ ２

ωｎ １ ⑥ 振荡 环 节 Ｇ（ｓ ） ＝ ２ ２ ＝２ ２ Ｔｓ ＋２ Ｔξ ｓ＋１ ｓ＋２ξ ωｎｓ＋ωｎ 自动 控制 系 统结 构框 图 化简 有以 下 变换 原则 ： ① 串联 变 换原 则。 串 联环 节的 等效 传 递函 数等 于 各环 节传 递 函数 之积 。 ② 并联 变 换原 则。 并 联环 节的 等效 传 递函 数等 于 各环 节传 递 函数 叠加 。 ③ 反馈 变 换原 则。 反 馈连 接时 闭环 传 递函 数的 求 取公 式为 Ｇ（ｓ ） Φ（ｓ ） ＝ １＋Ｇ（ｓ ） Ｈ（ｓ ） ④ 引出 点 和比 较点 的 移动 原则 。对 于 复杂 的 系统 框图 可 以 通 过 引 出 点 和比 较 点 的 移动 来 化简 ，移 动的 原 则是 移动 前 后输 入量 和 输出 量不 变。

习　　题 ２ ２． １　 求 ｆ （ｔ ）＝ｔ ／ ２的象函 数。

２． ２　 求 ｆ （ｔ ）＝ｓ ｉ ｎωｔ的 象函数 。

・４ ２・

１０ ２． ３　 求 Ｆ（ｓ ）＝ 的 原函数 。 ｓ （ｓ＋２） １ ２． ４　 求 Ｆ（ｓ ）＝ ２ 的原函 数。 ｓ（ｓ＋５） ２． ５　 求下列 象函数 的原函 数 ｆ（ｔ ） 的 稳态值 ： ４ （１） Ｆ（ｓ ）＝ （ｓ＋２）（ｓ＋３） ３ （２） Ｆ（ｓ ）＝ ｓ （ｓ＋１）（ｓ＋５） ２（ｓ＋５） （３） Ｆ（ｓ ）＝ ２ ｓ（ｓ＋２） ｓ （ｓ＋３） （４） Ｆ（ｓ ）＝ （ｓ＋４）２ ２． ６　 求图 ２．３０中四个 部件的 传递 函数。 图中角 标 ｉ代 表输入 ，ｏ代表 输出。

图 ２．３ ０　 习题 ２．６图

・ ４３・

２． ７　 图 ２．３ １是 由运算 放大器 组成 的控制 系统模 拟电 路，试 求其传 递函数 。

图 ２．３ １　 习题 ２．７图 ２． ８　 试化简 下列系 统结构 框图 ，并求 出相应的传 递函数 。

图 ２．３ ２　 习题 ２．８图

・４ ４・

第 ３章 　 Ｍ ＡＴＬＡＢ 与 ＳＩ Ｍ ＵＬＩ ＮＫ 简 介

本章主 要讲述 ＭＡＴＬＡＢ 正常运 行所 必须具 备的基 本条 件，介 绍 ＭＡＴＬＡＢ和 ＳＩ ＭＵＬＩ ＮＫ 的 基础 知 识， 并介绍 利用 ＳＩ ＭＵＬＩ ＮＫ进 行动态建模、 仿真的 方法。 　

３．１　ＭＡＴＬＡＢ语言 ３ ．１ ． １　ＭＡＴＬＡＢ语言 简述 ＭＡＴＬＡＢ是 Ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ ｌ ａ ｂ ｏ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ ｙ（矩 阵实 验室 ） 的英 文 缩写 ， 是美 国 Ｍａ ｔ ｈＷｏ ｒ ｋｓ公 司 的 软 件 产品 。ＭＡＴ ＬＡＢ 语言 是 基于 Ｃ语言 基础 上 开 发 出 来 的 一 个高 级数 学 分析 与 运算 软件 ， 所以 又 可以 称它 为 ＭＡＴＬＡＢ软 件 （下 面简 称 ＭＡＴＬＡＢ）。 它符 合 科技 人员 对 数学 表达 式 的书 写 格式 ， 有利 于非 计算 机 专业 的 科技 人员 使 用， 加 上 ＭＡＴＬＡＢ语 言 具 有 移 植 性 好 、 扩 展 性 强 的 特 点 ， 因而 获得 了广 泛 应用 。 ＭＡＴＬＡＢ拥 有 ６ ００多 个 工程 中要 用 到的 数学 运算 函 数， 可以 方 便地 实现 用 户所 需的 各种 计 算功 能。 ＭＡＴＬＡＢ函 数 所能 解决 的 问题 包 括矩 阵运 算 和 线 性 方 程 组 的求 解 、微 分方 程 及 偏 微 分方 程组 的求 解 、符 号运 算 、傅 里叶 变 换和 数据 的统 计 分析 、工 程 中的 优化 问 题、 复数 的各 种 运算 、三 角函 数 和其 他初 等 数学 运 算 等 。 ＭＡＴ ＬＡＢ 语言 具 有较 高 的 运算 精 度， 在 矩 阵 类 运 算 －１５

中可 达到 １０ 数量 级的 精 度， 符合 一 般科 学与 工 程运 算的 要求 。 除了 ＭＡＴ ＬＡＢ 强大 的 数值 分析 功 能外 ，ＭＡＴ ＬＡＢ 语言 受 到 工 程 技 术 人 员广 泛 接 受 与使 用 的另 一个 重要 原 因是 因为 它 提供 了较 方 便的 绘图 功能 ， 用户 只需 指 定绘 图方 式 ，并 提供 充足 的 绘图 数据 ，即 可 以得 出所 需 的图 形。 ＭＡＴＬＡＢ 还 对 绘出 的 图形 提 供 了各 种 修饰 方 法 ， 使 绘 出 的图 形更 美观 。 使用 ＭＡＴ ＬＡＢ 可以 绘 制二 维图 形 、三 维图 形， 还 可在 图形 上 添加 文字 标 注。 ＭＡＴＬＡＢ对 许多 专 业领 域都 开发 了 功能 强大 的 工 具 箱或 模 块 集 ， 如数 据采 集 、概 率 统计 、 偏微 分方 程求 解 、信 号处 理 、图 像处 理 、反 馈控 制系 统 分析 与设 计 、最 优控 制 问题 求解 、机 器 人、 系统 辨识 等 工具 箱。

３ ．１ ． ２　ＭＡＴＬＡＢ　６ ．Ｘ 版对外部 系统的要 求 ＭＡＴＬＡＢ只 有在 适当 的 外 部 环 境 中 才 能 正 常 运 行， 因 此， 恰 当 地 配 置 外 部 系 统 是 保 证 ＭＡＴＬ ＡＢ 运 行良 好的 先 决条 件。 ＭＡＴＬＡＢ本 身可 适 应于 许多 机 种和 系统 ，如 Ｉ ＢＭ －ＰＣ，Ｍａ ｃ ｉ ｎ－ ｔ ｏ ｓ ｈ和 ＵＮＩ Ｘ 工作 站 等。 本节 只 针对 我国 使用 最 广的 ＰＣ机系 统给 予 介绍 。 １ ．硬件 要求 ・ ４５・

？ 基于 Ｉ ＢＭ －ＰＣ的 ４ ８６ＤＸ 或奔 腾 以上 的各 种 机型 ； ？ 至少 ８ＭＢ的 系 统内 存， 推荐 使 用 １ ６ＭＢ 以上 ； ？ ８位 以上 的图 形 适配 器和 彩显 ； ？ 光盘 驱 动器 ； ？ 鼠标 ； ？ 对于 ６４ＫＢ簇分 区 的硬 盘而 言， 若 不安 装 ＰＤＦ、ＨＴＭＬ写的 帮 助文 件， 仅 需 ２ ０ ０ＭＢ以 上； 若安 装 Ｔｏ ｏ ｌ Ｂｏ ｘ中 的 其他 工具 包 ，则 需要 的 硬盘 空间 要 １ＧＢ以上 ； ？ 声卡 （有极 少量 指 令需 要）。 ２ ．软件 要求 ？ Ｍｉ ｃ ｒ ｏ ｓ ｏ ｆ ｔＷｉ ｎｄ ｏ ｗｓ９ ５，９ ８或 以上 的中 英 文版 本； ？ 当使 用 Ｎｏ ｔ ｅ ｂｏ ｏ ｋ时 ， 需要 ＭＳ－Ｗｏ ｒ ｄ７ ． ０，９ ７或以 上的 中 英文 版本 ； ？ 为阅 读 ＨＴＭＬ写 的 帮助 文件 ， 需要 安装 Ｎｅ ｔ ｓ ｃ ａ ｐ ｅＮａ ｖ ｉ ｇ ａ ｔ ｏ ｒ或 Ｍｉ ｃ ｒ ｏ ｓ ｏ ｆ ｔＩ ｎ ｔ ｅ ｒ ｎ ｅ ｔＥｘ ｐｌ ｏ ｒ ｅ ｒ ； ？ 为阅 读 ＰＤＦ文 件 ，需 要安 装 Ａｃ ｒ ｏ ｂａ ｔＲｅ ａ ｄ ｅ ｒ ； ？ ＭＡＴＬＡＢ还 可以 与 Ｍｉ ｃ ｒ ｏ ｓ ｏ ｆ ｔＣ／ Ｃ＋＋， Ｖｏ ｒ ｌ ａ ｎ ｄＣ／ Ｃ＋＋配 用 ； ？ ＭＡＴＬＡＢ可 以与 Ｅｘ ｃ ｅ ｌ配用 。

３ ．１ ． ３　ＭＡＴＬＡＢ的安 装及启动 １ ．ＭＡＴＬＡＢ的 安装 对在 ＰＣ机上 使用 ＭＡＴＬＡＢ的 用 户 来 说， 需要 自 己 安 装 ＭＡＴＬＡＢ。 下 面介 绍从 光 盘 上 安 装 ＭＡＴＬＡＢ的 方法 。 一般 说来 ， 当 ＭＡＴＬＡＢ光 盘插 入 光驱 后 ，会 自 动 启 动 “安 装 向 导 ”。假 如 自 启 动 没 有 实 现， 那么 可以 在 ＜我 的电 脑 ＞或 ＜资 源 管理 器 ＞中 双 击 ｓ ｅ ｔ ｕｐ ．ｅ ｘ ｅ应 用 程 序 ， 使 “安 装 向 导 ” 启动 。然 后， 按 照屏 幕提 示 操作 ，如 输 入用 户名 、单 位 名、 口令 等 。 在安 装过 程 中， 要注 意 以下 选择 ： ① 假如 不 对版 本进 行 选择 操作 ，那 么 默认 选择 ５．Ｘ版 。 ② 假如 不 对 ＭＡＴＬＡＢ的 安装 位 置 和 文 件 夹 名 称加 以选 择 ，ＭＡＴ ＬＡＢ５ ．３版 将默 认 安 装 为 Ｃ： ＼ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ Ｒ１１ ， 其 他 ＭＡＴＬＡＢ５ ．Ｘ 版则 默 认安 装为 Ｃ： ＼ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ 。 假若 需 要装 在其 他 盘、 其 他文 件夹 上， 需 要用 别的 名 称， 那么 要 按动 提示 图形 界 面上 的 ＜Ｂｒ ｏ ｗｓ ｅ＞按 键， 然后 根 据出 现 的提 示逐 步进 行 。 ③ 除 ＭＡＴＬＡＢ５ ．３版外 ，其 他 所有 ５ ．Ｘ版 安装 过 程中 还会 请 用户 决定 是 否选 择安 装 Ｎｏ ｔ ｅ － ｂ ｏ ｏ ｋ 。 ２ ．ＭＡＴＬＡＢ的 启动 这里 介绍 ＭＡＴＬ ＡＢ 装 入硬 盘后 ， 如何 创建 ＭＡＴＬ ＡＢ的 工作 环境 。 方法 一 ＭＡＴＬＡＢ的 工作 环 境由 ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ ．ｅ ｘ ｅ创建 ， 该 程 序 驻留 在文 件 夹 ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ＼ｂ ｉ ｎ＼中 。 它 的 图 标是

ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ。只 要从 ＜我的 电脑 ＞或 ＜资 源管 理 器 ＞中去 找 这个 程序 ，然 后 双击 此 图标 ，

就会 自动 创建 如 图 ３． １所 示的 ＭＡＴＬＡＢ５ ． ３版 的命 令 窗 （Ｃｏ ｍｍａ ｎ ｄＷｉ ｎ ｄｏ ｗ）。 ・４ ６・

图３ ．１　在英 文 Ｗｉ ｎｄ ｏｗｓ平台 上的 ＭＡＴＬＡＢ５．３命令 窗

方法 二 假如 经常 使 用 ＭＡＴＬＡＢ，则 可以 在 Ｗｉ ｎ ｄｏ ｗｓ桌 面 上创 建一 个 ＭＡＴＬＡＢ 快捷 方式 图 标。 具 体办 法有 两个 ： ① 把 ＜我的 电 脑 ＞中的

ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ图 标 用鼠 标 点亮 ，然 后 直 接 把 此图 标 拖到 Ｗｉ ｎ ｄ ｏ ｗｓ 桌

面上 即可 。 ② 用鼠 标 右键 点 ＜资 源管 理 器 ＞中的

ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ图 标 ，出 现下 拉 菜 单 ，从 中 选择 创建 快

捷方 式栏 后， 在 ＜资 源 管 理 器 ＞窗 口 中 会 出 现 一 个 相 应 的 快 捷 图 标 ， 然 后 把 此 图 标 拖 到 Ｗｉ ｎｄ ｏ ｗｓ桌面 。 此后 ，直 接 双击 Ｗｉ ｎｄ ｏ ｗｓ桌 面上 的

ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ图 标， 就可 建 立图 ３ ．１所 示 的 ＭＡＴＬ ＡＢ 工

作环 境。

３ ．１ ． ４　ＭＡＴＬＡＢ指令窗简 介 在 ＭＡＴＬＡＢ指 令窗 里 ，有 许多 工 具和 操作 选 项供 用户 使 用， 其中 有 些 是 Ｗｉ ｎ ｄｏ ｗｓ平台 上 常见 的， 有些 则 是 ＭＡＴＬＡＢ所 专有 的 。下 面做 简 单介 绍。 １ ．工具 条 ＭＡＴＬＡＢ常 用工 具如 图 ３ ． ２所示 。

图３ ．２　在英 文 Ｗｉ ｎｄ ｏｗｓ平台 上的 ＭＡＴＬＡＢ５．３指令 窗

・４ ８・

　　２ ．菜单 选项 ＭＡＴＬＡＢ工 作窗 具 有标 准的 Ｗｉ ｎ ｄｏ ｗｓ界面 ，因 此 ，可 以 通 过 工 作 菜 单 中的 各种 选 项 来 实 现对 工作 窗中 内 容的 操作 。 ① 基本 文 件操 作 【Ｆｉ ｌ ｅ 】 选项 Ｎｅ ｗ

打 开编 辑 ／ 调 试器 、 新图 形窗 、 Ｓ Ｉ ＭＵＬＩ ＮＫ 用 的 ＭＤＬ文 件

Ｏｐ ｅ ｎ

通 过已 有 Ｍ 文件 打开 编 辑 ／ 调 试器

Ｏｐ ｅ ｎＳ ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ

打 开指 令窗 中 指定 的 Ｍ 文 件

Ｒｕ ｎＳｃ ｒ ｉ ｐｔ

运 行已 有的 脚 本 Ｍ 文 件

Ｌｏ ａ ｄＷｏ ｒ ｋ ｓ ｐ ａ ｃ ｅ

向 ＭＡＴＬＡＢ 工作 空间 装 载 ＭＡＴ文 件 中的 变量 数 据

Ｓ ａ ｖ ｅＷｏ ｒ ｋ ｓ ｐ ａ ｃ ｅＡｓ

将 ＭＡＴＬＡＢ 工作 空间 中 的所 有变 量 存为 ＭＡＴ文 件

Ｓ ｈ ｏ ｗＷｏ ｒ ｋ ｓ ｐａ ｃ ｅ

调 用工 作空 间 浏览 器

Ｓ ｈ ｏ ｗＧｒ ａ ｐ ｈ ｉ ｃ ｓＰ ｒ ｏ ｐ ｅ ｒ ｔ ｙＥｄ ｉ ｔ ｏ ｒ

调 用图 形对 象 属性 编辑 器

Ｓ ｈ ｏ ｗＧＵＩＬ ａ ｙ ｏ ｕ ｔＴｏ ｏ ｌ

调 用图 形用 户 界面 制作 工 具

Ｓ ｅ ｔＰａ ｔ ｈ

调 用路 径浏 览 器

Ｐｒ ｅ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ

调 用 ＭＡＴＬＡＢ指 令窗 环 境设 置卡

Ｐｒ ｉ ｎｔＳｅ ｔ ｕｐ

打 印设 置

Ｐｒ ｉ ｎｔ

打 印工 作窗 中 的内 容

Ｐｒ ｉ ｎｔＳｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ

打 印指 令窗 中 所选 定的 内 容

Ｅｘ ｉ ｔＭＡＴＬＡＢ

退 出 ＭＡＴＬＡＢ

② 编辑 操 作 【Ｅｄ ｉ ｔ 】选项 Ｃｕ ｔ

剪切

Ｃｏ ｐ ｙ

复制

Ｐａ ｓ ｔ ｅ

粘贴

Ｃｌ ｅ ａ ｒＳ ｅ ｓ ｓ ｉ ｏ ｎ

清 除命 令 窗 里 的显 示 内容 ， 但 它 不 清 除 工 作 内 存 中 的 变

量 ③ ＭＡＴＬＡＢ环 境下 工 作窗 管理 【Ｗｉ ｎｄ ｏ ｗｓ 】 选项 如果 没有 图 形的 话 ，则 只 有 一 个 【１ ．ＭＡＴＬ ＡＢ Ｃｏ ｍｍａ ｎ ｄＷｉ ｎ ｄ ｏ ｗ】 选 项 ； 如 果 有 图 形 的 话， 则会 有相 应 的图 形窗 选 项。 ④ 帮助 【Ｈｅ ｌ ｐ】 选 项 Ｈｅ ｌ ｐＷｉ ｎｄ ｏ ｗｓ

打 开分 类帮 助 窗

Ｈｅ ｌ ｐＴｉ ｐ ｓ

打 开函 数文 件 指令 名帮 助 窗

Ｈｅ ｌ ｐＤｅ ｓ ｋ

打 开以 ｈｔ ｍｌ超文 本形 式 存储 的帮 助 文件 主页

Ｅｘ ａ ｍｐｌ ｅ ｓａ ｎ ｄＤｅ ｍｏ ｓ

打 开 ＭＡＴＬＡＢ演 示窗 主 页

Ａｂ ｏ ｕｔＭＡＴＬＡＢ

ＭＡＴＬＡＢ 注册 图标 、 版本 、制 造商 和 用户 信息

Ｓ ｕ ｂｓ ｃ ｒ ｉ ｂ ｅ

打 开 ＭＡＴＬＡＢ制 造商 、 销售 商的 用 户联 络登 记 表

３ ．１ ． ５　ＭＡＴＬＡＢ在仿 真中的应用 下面 通过 几 个例 子来 介 绍 ＭＡＴＬＡＢ的 简单 应 用。 ・ ４９・

最简 单的 计 算器 使用 方 法： 【例 ３ ． １】 求 ［１８＋４× （７－３ ）］ ÷５２ 的运 算结 果 。 解： （１） 用 键盘 在 ＭＡＴＬＡＢ指 令 窗中 输入 以 下内 容： ［１ ８＋４＊ （７－３）］ ／ ５＾ ２ （２ ） 按 【Ｅｎ ｔ ｅ ｒ 】 键， 该指 令就 被 执行 。 （３ ）ｃ ｏ ｍｍｏ ｎ ｄｗｉ ｎ ｄｏ ｗ 窗口 中显 示 如下 结果 ： ａ ｎ ｓ ＝　　 　 １ ． ３６ ０ ０ 其中 “ａ ｎｓ ”是 ａ ｎ ｓ ｗｅ ｒ的 缩写 。 【例 ３ ． ２】 矩 阵的 输 入及 运算 。 ８　１　６ 矩阵 Ａ ＝ ３　５　７ ， 求该 矩 阵的 行列 式 值及 逆矩 阵。 ４　９　２ 解： （１） 在 键盘 上 输入 下列 内 容： Ａ＝ ［８，１，６，３， ５ ，７，４， ９，２］ （２ ） 按 【Ｅｎ ｔ ｅ ｒ 】 键， 指令 被执 行 。 （３ ） 在 指令 被执 行 后， ｃ ｏ ｍｍａ ｎ ｄｗｉ ｎ ｄｏ ｗ窗 中 显示 以下 结 果： Ａ＝ ８　１　６ 　　 ３　５　７ ４　９　２ （４ ） 输 入下 列命 令 ，按 【Ｅｎ ｔ ｅ ｒ 】 键， 指令 被 执行 ，ｃ ｏ ｍｍａ ｎ ｄｗｉ ｎ ｄｏ ｗ 窗 中显 示以 下 内容 ： ｍ ｄ ｅ ｔ（Ａ） 　ａ ｎ ｓ＝ 　　 －３ ６ ０ （５ ） 输 入下 列命 令 ，按 【Ｅｎ ｔ ｅ ｒ 】 键， 指令 被 执行 ，ｃ ｏ ｍｍａ ｎ ｄｗｉ ｎ ｄｏ ｗ 窗 中显 示以 下 内容 ： ｍ ｉ ｎ ｖ（Ａ） ａ ｎ ｓ＝ 　　 　０ ． １４ ７２　 －０ ．１ ４ ４４　 　０ ．０ ６ ３９ 　　 －０ ． ０６ １１　 　０ ．０ ２ ２２　 　０ ．１ ０ ５６ 　　 －０ ． ０１ ９４　 　０ ．１ ８ ８９　 －０ ．１ ０ ２８

３ ．１ ． ６　ＭＡＴＬＡＢ的基本规 定 １ ．数值 的表 示 ＭＡＴＬＡＢ的 数值 采 用十 进制 ，可 以 带小 数点 或 负号 。以 下 表示 都合 法。 ０ 　 －１ ００　０． ０ ０８ 　１ ２． ７ ５２　１ ．８ｅ－６　８ ． ２ｅ ５ ２ ２ ．变量 命名 规 定 （ １） 变 量名 、函 数 名： 字母 大 小写 表示 不 同的 变量 名。 如 Ａ 和 ａ表 示 不同 的变 量 名； ｓ ｉ ｎ 是 ＭＡＴＬＡＢ定 义的 正弦 函 数， 而 Ｓ ｉ ｎ、 Ｓ Ｉ Ｎ等 都 不是 。 ・５ ０・

（ ２） 变 量名 的第 一 个字 母必 须 是英 文字 母 ，最 多可 包含 ３１个 字 符 （英 文、 数字 和 下连 字 符）。 如 Ａ２ １是合 法的 变 量名 ，而 ３Ａ２１是 不合 法 的变 量名 。 （３ ） 变 量名 中不 得 包含 空格 、 标点 ， 但可 以 有 下 连字 符 。如 变 量名 Ａ －ｂ ２ １是 合 法 变 量 名， 而 Ａ，２ １是 不 合法 的。 ３ ．基本 运算 符 ＭＡＴＬＡＢ表 达式 的 基本 运算 符见 表 ３ ．１ 。 表３ ．１　ＭＡＴＬＡＢ 表达式 的基本 运算 符

加

数 学表达 式

ＭＡＴＬＡＢ运算 符

ＭＡＴＬＡＢ表达式

ａ＋ ｂ

＋

ａ＋ｂ

减

ａ－ｂ

乘

ａ×ｂ

＊

－

ａ ＊ｂ

ａ－ｂ

除

ａ÷ｂ

／ 或＼

ａ／ ｂ或 ａ＼ｂ

幂

ａｂ

＾

ａ＾ ｂ

［说明 ］ ＭＡＴＬＡＢ用左 斜杠或 右斜杠 分别 表示 “左除 ” 或 “右除 ” 运算 。对 标量而 言， 这两者 的作 用 没有 区 别；对 矩阵来 说， “左 除” 和 “右 除” 将产生 不同 的结果 。

　　４ ．ＭＡＴＬＡＢ默 认的 预 定义 变量 在 ＭＡＴＬＡＢ中 有一 些 预定 义变 量 （ｐ ｒ ｅ ｄ ｅ ｆ ｉ ｎ ｅ ｄｖ ａ ｒ ｉ ａ ｂ ｌ ｅ ）。 每当 ＭＡＴＬ ＡＢ启 动， 这些 变量 就 被产 生。 用户 在 定义 变量 时 ，应 尽量 避 开表 ３． ２所列 的 预定 义变 量名 ， 以免 产生 混 淆。 表 ３－２　 ＭＡＴＬＡＢ的预 定义变 量 预定 义变量

含义

ａ ｎｓ

计算结 果的缺省变量 名

ｅ ｐｓ

机器 零阈值

ｆ ｌ ｏ ｐｓ

浮 点运算次数

Ｉ ｎｆ或 ｉ ｎ ｆ ｉ或 ｊ ｐ ｉ

无穷 大，如 １／ ０ 虚单元 ｉ＝ｊ＝

－１

圆周率 π

预定 义变 量

含义

ＮａＮ或 ｎａ ｎ

未 定式 ，如 ０／ ０

ｎ ａｒ ｇ ｉ ｎ

函 数输 入宗量 数目

ｎａ ｒ ｇｏ ｕｔ

函 数输 出宗量 数目

ｒ ｅ ａｌ ｍａｘ

最大正 实数

ｒ ｅａ ｌ ｍｉ ｎ

最小正 实数

　　５ ．表达 式 ＭＡＴＬＡＢ书 写表 达 式的 规则 与 “手 写算 式 ” 几 乎完 全 相同 。 （１ ） 表 达式 由变 量 名、 运算 符 和函 数名 组 成。 （２ ） 表 达式 将按 常 规相 同的 优 先级 自左 至 右执 行运 算。 （３ ） 优 先级 的规 定 为： 指数 运 算级 别最 高 ，乘 除运 算次 之 ，加 减运 算 级别 最低 。 （４ ） 括 号可 以改 变 运算 的次 序 。

３ ．１ ． ７　ＭＡＴＬＡＢ图形绘制 １ ．二维 曲线 的 绘制 ・ ５１・

在二 维曲 线 绘制 中， 最 基本 的指 令 是 ｐｌ ｏ ｔ（　） 函数 。 如果 用户 将 ｘ和 ｙ两 组数 据 分别 在 向量 ｘ和 ｙ中 存储 ， 且它 们的 长 度相 同， 调用 该 函数 的格 式 为 ｐ ｌ ｏ ｔ（ｘ ，ｙ ） 这时 将在 一个 图 形窗 口上 绘 出所 需要 的 二维 图形 。 【例 ３． ３】 绘制 一个 周 期内 的正 弦 曲线 。 解： （１） 先 产生 自 变量 ｔ向 量。 （２ ） 由 给出 的自 变 量向 量求 取 其正 弦函 数 值向 量。 （３ ） 调用 ｐ ｌ ｏ ｔ（　） 函 数绘 制曲 线 。 输入 ｔ＝０：１ ： ２＊ｐ ｉ ；ｙ＝ｓ ｉ ｎ（ｔ ）；ｐ ｌ ｏ ｔ（ｔ ，ｙ ） 按 【Ｅｎ ｔ ｅ ｒ 】 键 ，显 示 结果 如图 ３． ３所 示。

图３ ．３　正 弦曲线

图 ３． ４　正 弦和 余弦曲 线

如要 在一 个 绘图 窗口 上 同时 绘制 多 条曲 线， 可用 如 下 ＭＡＴＬＡＢ语 言命 令 ： ｔ＝０：１：２ ＊ ｐｉ ； ｙ＝ ［ｓ ｉ ｎ （ｔ ）； ｃ ｏ ｓ（ｔ ）］；ｐｌ ｏ ｔ（ｔ ，ｙ ） 执行 后结 果如 图 ３． ４所示 。 ２ ．三维 曲线 的 绘制 在三 维曲 线 绘制 中， 最 基本 的指 令 是 ｐｌ ｏ ｔ３ （　） 函 数。 它 使用 的格 式 与 ｐ ｌ ｏ ｔ（　 ） 十 分 相似 。该 函数 的 调用 格式 为 ｐ ｌ ｏ ｔ３ （ｘ ，ｙ ，ｚ ， 选 项） 其中 ｘ ，ｙ ， ｚ分别 为维 数 相同 的向 量 ，分 别存 储 曲线 的三 个 坐标 的值 ；选 项 可以 定义 曲 线的 线 型、 颜色 等信 息 。 【例 ３ ． ４】假 设 有一 个时 间 向量 ｔ ，对 该向 量 进行 下列 运 算可 以构 成 三个 坐标 的值 向 量 ｘ＝ｓ ｉ ｎ （ｔ ）， ｙ＝ｃ ｏ ｓ（ｔ ）， ｚ＝ｔ 如果 用粗 实 线绘 制该 曲 线， 可键 入 下面 的程 序段 ｍ ｔ＝０： ｐ ｉ ／ ５ ０： ２＊ｐ ｉ ； －

　ｘ＝ｓ ｉ ｎ（ｔ ）；ｙ＝ｃ ｏ ｓ（ｔ ）；ｚ＝ｔ ； ｈ＝ｐｌ ｏ ｔ ３（ｘ ，ｙ ，ｚ ， ′ ｇ′ ） －

“ｇ ” 中 ，“ｇ ” 表示 绿色 ， “－” 表示 转 型。 执行 指令 后 ，三 维曲 线 如图 ３． ５所示 。 也可 以键 入 下面 的语 句 直接 绘制 ： ・５ ２・

ｅ ｚ ｐ ｌ ｏ ｔ３ （′ ｓ ｉ ｎ（ｔ ）′ ，′ ｃ ｏ ｓ（ｔ ）′ ，′ ｔ ′ ， ［０ ，２＊ｐ ｉ ］）

・ ５３・

图 ３．５　 一般 三维曲 线

图 ３．６　ｅ ｚ ｐｌ ｏ ｔ３（　） 绘制 的三维 曲线

指令 执行 后， 得 到相 同的 曲 线， 如图 ３． ６所 示。

３ ．１ ． ８　ＭＡＴＬＡＢ语言在控 制系统分 析中的应用 线性 系统 的 传递 函数 一 般可 以表 示 成复 数变 量 ｓ的有 理 函数 形式 ｍ ｍ －１ ｂ ｓ ＋ｂ ｓ ＋Λ＋ｂ ｓ＋ｂ ｍ ｍ －１ １ ０ Ｇ （ｓ ） ＝ ｎ ｎ－１ ａｎｓ ＋ａｎ－１ｓ ＋Λ ＋ａ１ｓ＋ａ ０

（３ ． １）

采用 下列 命令 格 式可 以方 便 地把 传递 函 数模 型输 入到 ＭＡＴＬＡＢ 环 境中 ｎ ｕ ｍ ＝ ［ｂｍ， ｂｍ －１，Λ，ｂ１，ｂ ］； ０ ｄ ｅ ｎ＝ ［ａ ，ａ ， Λ， ａ ，ａ ］； ｎ ｎ－ １ １ ０ 将系 统的 分子 和 分母 多项 式 的系 数按 降 幂排 列输 入给 两 个向 量 ｎｕ ｍ 和 ｄｅ ｎ。 若要 在 ＭＡＴＬＡＢ环 境 下得 到传 递 函 数 的 形式 ，可 以 调用 ｔ ｆ（　） 函 数 。该 函数 的 调 用 格 式为 Ｇ＝ｔ ｆ（ｎ ｕ ｍ， ｄｅ ｎ）； 其中 ｎｕ ｍ、ｄ ｅ ｎ分 别为 系统 传 递 函 数 的分 子 和分 母 多项 式 系数 向 量， 返 回 的 Ｇ 为 传 递 函 数 形 式。 【例 ３． ５】设 系 统传 递函 数 ３

２

ｓ ＋５ｓ ＋３ ｓ＋２ Ｇ＝ ４ ３ ２ ｓ ＋２ｓ ＋４ｓ ＋３ｓ＋１ 输入 下面 的 命令 ｎ ｕ ｍ ＝ ［１，５，３，２］；ｄ ｅ ｎ ＝ ［１，２，４，３ ，１］； Ｇ＝ｔ ｆ（ｎｕ ｍ，ｄ ｅ ｎ） 执行 后， 在 ｃ ｏ ｍｍａ ｎｄｗｉ ｎｄ ｏ ｗ窗口 中显 示 Ｔｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｅ ｒｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ： ｓ ＾ ３＋５ｓ ＾ ２＋３ｓ＋２ ｓ ＾ ４＋５ ｓ ＾ ３＋３ｓ ＾ ２＋３ｓ＋１ 以多 项式 形 式表 示的 传 递函 数还 可 以在 ＭＡＴＬＡＢ 中转 换为 零 极点 形式 。 调用 函数 格 式为 Ｇ１ ＝ｚ ｐ ｋ （Ｇ） ・５ ４・

【例 ３ ． ６】 把 【例 ３． ５ 】 中 的传 递 函数 Ｇ转 换 成零 极点 形 式的 传递 函 数 Ｇ１。 键入 Ｇ１ ＝ｚ ｐ ｋ（Ｇ） 执行 命令 后 ，得 到如 下 结果 ： Ｚｅ ｒ ｏ／ Ｐｌ ｏ ｅ／ ｇ ａ ｉ ｎ ： （ｓ＋４ ． ４２ ４） （ｓ ＾ ２＋０ ． ５７ ５ ９ｓ＋０ ． ４５ ２ １） （ｓ ＾ ２＋ｓ＋０ ． ３８ ２） （ｓ ＾ ２＋ｓ＋２ ． ６ １ ８） 在系 统的 零 极 点 模 型 中 若 出 现 复 数 值， 则 在 显 示 时 将 以 二 阶 形 式 来 表 示 相 应 的 共 轭 复 数对 。 键入 Ｇ１．ｐ ｛１｝ 执行 命令 后 ，可 得下 列 形式 的系 统 极点 ： ａ ｎ ｓ＝ 　　 －０ ． ５０ ００＋１ ．５ ３ ８８ ｉ 　　 －０ ． ５０ ００－１ ．５ ３ ８８ ｉ 　　 －０ ． ５０ ００＋０ ．３ ６ ３３ ｉ 　　 －０ ． ５０ ００－０ ．３ ６ ３３ ｉ 键如 Ｚ＝ｔ ｚ ｅ ｒ ｏ（Ｇ１） 执行 命令 后 ，可 得下 列 形式 的系 统 零点 Ｚ＝ 　　 －４ ． ４２ ４ 　　 －０ ． ２８ ８０＋０ ．６ ０ ７６ ｉ 　　 －０ ． ２８ ８０－０ ．６ ０ ７６ ｉ

３．２　ＳＩ ＭＵＬＩ ＮＫ 建模 与仿真 ３ ．２ ． １　ＳＩ ＭＵＬＩ ＮＫ 简介 Ｓ Ｉ ＭＵＬＩ ＮＫ是 ＭＡＴＬＡＢ里的 工具 箱 之一 ，主 要功 能 是实 现动 态 系统 建模 、 仿真 与分 析， 从 而可 以在 实际 系 统制 作出 来 之前 ，预 先 对系 统进 行仿 真 与分 析， 并 可以 对系 统 做适 当的 修正 或 者按 照仿 真的 最 佳效 果来 调 试及 整定 控 制系 统的 参数 ， 以提 高系 统 的性 能， 减 少设 计系 统过 程 中反 复修 改的 时 间， 实 现 高 效率 地 开 发系 统 的目 标。 ＳＩ ＭＵＬ Ｉ ＮＫ 提 供 了 一 种 图 形化 的 交 互 环 境， 只需 用鼠 标 拖动 的方 法 便能 迅速 地 建立 起系 统框 图 模型 ，甚 至 不需 要编 写 一行 代码 。使 用 Ｓ Ｉ ＭＵＬＩ ＮＫ 可 以方 便地 进 行控 制系 统 、通 信系 统以 及 其他 系统 的 仿真 分析 和 原型 设计 。 要启 动 ＳＩ ＭＵＬ Ｉ ＮＫ， 先要 启 动 ＭＡＴＬＡＢ。在 ＭＡＴＬ ＡＢ 窗 口 中 单 击 按 钮

，如 图 ３． ７所

示， 或在 命令 窗 口中 输 入 命 令 ｓ ｉ ｍｕｌ ｉ ｎ ｋ， 将 会 进 入 Ｓ Ｉ ＭＵＬＩ ＮＫ 库 模 块 浏 览 界面 ， 如 图 ３ ． ８所 示。 单击 窗口 左 上方 的新 建 按钮 ，Ｓ Ｉ ＭＵＬＩ ＮＫ 会打 开 一个 名为 ｕ ｎ ｔ ｉ ｔ ｌ ｅ ｄ（无 标题 ） 的模 型 窗口 ， 如图 ３． ９所示 。 随后 ，按 用户 要 求可 以在 此 模型 窗口 中 创建 模型 及进 行 仿真 运行 。

・ ５５・

图３ ．７　启动 ＳＩ ＭＵＬＩ ＮＫ

图３ ．８　ＳＩ ＭＵＬＩ ＮＫ 的主界 面—— — 库模 块浏览 器

图 ３． ９　空 的模 块窗口

・５ ６・

３ ．２ ． ２　ＳＩ ＭＵＬＩ ＮＫ 模块库的 分类及其 用途 Ｓ Ｉ ＭＵＬＩ ＮＫ提 供了 ９类 基 本模 块库 ： 连续 系统 模 块库 （Ｃｏ ｎ ｔ ｉ ｎ ｏ ｕ ｓ ）、 离 散系 统模 块 库 （Ｄｉ ｓ － ｃ ｒ ｅ ｔ ｅ ）、 函 数与 表 模 块 库 （Ｆｕ ｎｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ＆Ｔａ ｂｌ ｅ ｓ ）、 数 学 运 算 模 块 库 （Ｍａ ｔ ｈ ）、 非 线 性 系 统 模 块 库 （ Ｎｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ）、 信 号 与 系 统 模 块 库 （Ｓ ｉ ｇ ｎ ａ ｌ ｓ ＆Ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ）、 输 出 模 块 库 （Ｓ ｉ ｎ ｋ）、 输 入 源 模 块 库 （ Ｓｏ ｕｒ ｓ ｅ ｓ ）、 子系 统模 块 库 （Ｓ ｕ ｂ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍｓ ） 等基 本模 块 库。 各基 本 模块 库的 功 能介 绍见 附录 。 除了 公共 模 块库 之外 ， Ｓ Ｉ ＭＵＬＩ ＮＫ中 还集 成了 许 多面 向不 同 专 业 领域 的 专业 模 块库 ，普 通 用户 一般 很少 用 到其 中的 模 块。 因此 ， 在介 绍 Ｓ Ｉ ＭＵＬＩ ＮＫ的 专业 模块 库 时， 仅对 模块 库 的总 体 功能 做简 单的 概 述。 如果 用 户需 要的 话 ，可 以在 ＳＩ ＭＵＬＩ ＮＫ中的 模块 描 述栏 了解 其主 要 功能 。 除了 基本 模 块 库 外 ， Ｓ Ｉ ＭＵＬＩ ＮＫ 还 提 供 许 多 面 向 各 专 业 领 域 的 专 业 模 块 子 集： ＤＳＰ模 块 集、 定点 运算 模 块集 、非 线 性控 制设 计 模块 集、 电源 系 统模 块集 等 。

３ ．２ ． ３　用 ＳＩ ＭＵＬＩ ＮＫ 建立 系统模型及 仿真 进入 如图 ３． ８所 示的 Ｓ Ｉ ＭＵＬＩ ＮＫ模块 库浏 览 器， 单击 窗 口左 上方 Ｆｉ ｌ ｅ → Ｎｅ ｗ→ Ｍｏ ｄ ｅ ｌ ，将 会 出现 一个 名为 ｕｎ ｔ ｉ ｔ ｌ ｅ ｄ的空 模块 窗口 ， 如图 ３ ．９所 示。 可以 在 此窗 口中 创 建 Ｓ Ｉ ＭＵＬＩ ＮＫ模型 。 步骤 一： 添 加模 块 单击 ＳＩ ＭＵＬＩ ＮＫ模块 库浏 览 器窗 口中 的源 模 块库 （Ｓ ｏ ｕｒ ｃ ｅ ｓ ）， 如 图 ３． １０所 示。

图３ ．１０　 打开 源模块 库

从源 模块 库 （Ｓｏ ｕｒ ｃ ｅ ｓ ） 中 把正 弦 波模 块 （Ｓｉ ｎ ｅＷａ ｖ ｅ ） 拖 曳到 ｕ ｎｔ ｉ ｔ ｌ ｅ ｄ＊ 模 型 窗 口 ， 按 图 ３ ． １１所 示放 置， 则 此模 块的 一个 复 制 模 块 被放 到 模型 窗中 。 打开 连 续 模 块 库 （Ｃｏ ｎ ｔ ｉ ｎ ｏ ｕ ｓ ）并 拖曳 一个 积分 模 块 （Ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ ） 到 模 型 窗中 ， 如图 ３ ．１ ２所示 。 打 开 输 出 显 示 模块 库 （Ｓｉ ｎ ｋ ｓ ） 并拖 曳示 波器 模 块 （Ｓ ｃ ｏ ｐｅ ） 到 模型 窗 中， 如图 ３ ．１ ３所 示。 ・５ ８・

图 ３．１ １　添 加正 弦波模 块

图 ３．１ ２　添 加积分模块

图 ３．１３　添 加示波 器模块

　　 步骤 二： 连 接模 块 把鼠 标指 针 放到 正 弦 波 模 块 的 输 出 口 处 （即 模 块 右 边 的 “＞” 处 ）， 鼠 标 指 针 即 变 为 “ ？ ” 字形 ， 如图 ３ ．１ ４所示 。 拖曳 鼠 标 从 输 出 口 到 积分 模块 的 输 入 口 （即 模 块左 端 的 “＞” 处）。 拖曳 的时 候， 鼠 标指 针保 持 “ ？ ” 字形 ， 如图 ３ ． １ ５所示 。

图 ３．１ ４　连 接模 块操作 Ａ

图３ ．１５　 连接模块操 作 Ｂ

当放 开鼠 标 按键 后， 信号 线 就变 成了 如 图 ３ ． １ ６所 示 的带 有信 号 传输 方 向的 有向 箭 头。 运 用同 样的 方法 完 成另 一根 信 号线 ，并 完 成整 个模 型， 如 图 ３． １７所 示。 ・ ５９・

图 ３．１ ７　完 成的模型图

图 ３．１ ６　连 接模 块操作 Ｃ

步骤 三： 运 行仿 真 双击 示波 器 模块 ，打 开 Ｓｃ ｏ ｐ ｅ窗 口。 在 ｕ ｎｔ ｉ ｔ ｌ ｅ ｄ＊ 模 型窗 口菜 单 中依 次选 择 【Ｓ ｉ ｍｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ＞

∫

Ｓ ｔ ａ ｒ ｔ 】 选 项， 仿真 将 执行 ，结 果 在示 波器 窗口 中 显示 ，如 图 ３ ．１ ８所示 （ ｓ ｉ ｎαｄ ｔ＝ｃ ｏ ｓ α）。

图３ ．１８　 仿真 结果显 示

３．３　仿 真 实 例 本节 中采 用 举例 方式 来 说明 Ｓ Ｉ ＭＵＬＩ ＮＫ 的应 用 【例 ３． ７】 积分 环节 。 图 ３． １ ９ （ａ ） 所示 为 积分 环节 结 构图 ，输 入 为一 阶跃 信 号。 为了 清楚 起 见， 阶跃 输 入信 号 延迟 了 １ｓ ，这 样输 出 信号 也相 应地 延 迟 １ｓ ，如 图 ３ ． １９ （ｂ ） 所 示。 输出 信 号线 性上 升 。 【例 ３． ８】 二阶 环节 。 图 ３． ２０ （ａ ） 所示 为 二阶 环 节结 构 图 ， 输 入 为一 阶 跃 信 号 ，延 迟 ０． ５ｓ 。在 图中 所 示 的 参 数下 ，输 出具 有 振荡 形式 ， 如图 ３． ２ ０ （ｂ） 所 示 。改 变图 中 的参 数， 可 得不 同的 输出 形 式。 ・６ ０・

２

该环 节的 特 征 方 程 为 ｓ ＋０ ． ２ｓ＋０ ． ４＝０， 两 个 特 征 根 分 别 为 ｓ ． １＋ｊ ０ ． ６２及 ｓ １ ＝ －０ ２ ＝ －０ ． １－ｊ ０． ６ ２， 两 个 根为 具有 负实 部 的共 轭 复 根 ，故 输 出波 形 为衰 减的 正 弦 波 （这些 将 在 下 一 章中 作详 细分 析 ） 。 仿 真输 出验 证 了这 一结 论。

图 ３．１ ９　积 分环 节仿真 图

图３ ．２０　 二阶 环节仿 真图

小　　结 ＭＡＴＬＡＢ和 ＳＩ ＭＵＬ Ｉ ＮＫ是 分 析和 自动 控制 系 统的 有力 工 具。 本章 主 要从 基本 操作 入 手介 绍 了 ＭＡＴ ＬＡＢ基本 指 令及 简单 的编 程 。而 ＳＩ ＭＵＬＩ ＮＫ是用 于 ＭＡＴＬＡＢ下 建立 框 图和 仿真 的 环境 。 本章 中简 单介 绍 了 Ｓ Ｉ ＭＵＬＩ ＮＫ中 基本 模块 库及 其 应用 ，如 模 块的 连接 及 参数 修改 ，搭 建 起来 的 Ｓ Ｉ ＭＵＬＩ ＮＫ模型 的 仿真 方法 。

习　　题 ３． １　 复数矩 阵的生 成及运 算 Ａ＝ Ｂ＝

１－５ｉ 　　３－８ｉ ２－６ｉ 　　４－９ｉ １＋５ｉ 　 　２＋６ｉ ３＋８ｉ 　 　４＋９ｉ

求 Ｃ＝Ａ×Ｂ。 ３． ２　 给定矩 阵 １　　５　 　８ Ａ＝ ２　　３　 　６ ４　　１　 　７

・ ６１・

３

求 Ａ。 ３． ３　 解线性 方阵 ５ ７

６

５ １

２４　　 ９ ６

７ １０ ８

７ ２

３４　　 １ ３６

６ ８ １ ０ ９ ３ Ｘ＝ ３６　　 １ ４４ ５ ７

９ １ ０ ４

３５　　 １ ４０

１ ２

３

１５　　 ６ ０

４ ５

３． ４　 选择适 合的步 距绘制 下面 的图形 ： （１） ｓ ｉ ｎ（１／ ｔ ），其中 ｔ ∈ （－１，１） （２） ｓ ｉ ｎ（ｔ ａ ｎｔ ） －ｔ ａ ｎ（ｓ ｉ ｎｔ ），其 中 ｔ ∈ （－π，π） １ ００ ３． ５　 给定受 控对象 模型为 Ｇ（ｓ ）＝ ｅ－１０ｓ，用 Ｓ Ｉ ＭＵＬＩ ＮＫ进行 仿真 。 ｓ （ｓ＋１ ０）（ｓ＋２０）（ｓ＋３０）

・６ ２・

第 ４章 　 控 制 系 统 的 时 域 分 析

数学模 型的建 立是对 控制系 统进行 分析 、研究 的基 础， 一 旦控制 系统 的数学 模型 确立， 就可以 利 用各 种分析 方法来 分析控 制系统 的性能 ，包 括系统 的稳定 性、 稳态性 能和 动态性 能等。 本章 将主要 讨 论时 域分析 法和根 轨迹法 。时域 分析法 就是 根据控 制系统 的时 间响 应，来 分析系 统的 稳定性 、快速 性 和准 确性， 它是一 种直接 在时间 域内对 系统 进行分 析 的 方法， 具有直 观、 准确 等 优点 ，在一 阶、二 阶 系统 的性能 分析中 ，常采 用此方 法。而 对于 高阶系 统，由 于 微 分方程 根的 不易求 解等 原因， 常采用 根 轨迹 法、频 域法等 图解方 法来分 析系统 的性 能。 　

４．１　一阶系统 的时域 分析 可以 用一 阶 线性 常微 分 方程 来描 述 的系 统称 为一 阶 系统 。在 实 际应 用中 ， 有许 多控 制系 统 如 ＲＣ滤波 电 路、 浮球 式 水位 控制 系 统、 直流 电动 机 电压 与转 矩 的关 系等 均 属于 一阶 系统 。

４ ．１ ． １　一阶 系统的数学 描述 图 ４． １所 示 为 ＲＣ滤波 电 路， 其数 学 描述 微分 方 程为 ｄ ｕｏ（ｔ ） ＲＣ ＋ｕｏ（ｔ ）＝ｕ （ｔ ） ｉ ｄｔ

（４ ． １ ）

对上 式进 行 拉氏 变换 ， 经整 理后 得 Ｕｏ（ｓ ） １ ＝ Ｕｉ（ｓ ） Ｔｓ＋１

（４ ． ２ ）

式中 ，Ｔ＝ＲＣ。

图 ４．１　 ＲＣ滤 波器

由此 可见 ， 该电 路是 一 个典 型的 一 阶惯 性环 节， 其 传递 函数 为 Ｃ（ｓ ） １ Ｇ（ｓ ）＝ ＝ Ｒ（ｓ ） Ｔｓ＋１ 系统 方框 图如 图 ４． ２所示

图４ ．２　一阶 系统方 框图

４ ．１ ． ２　一阶 系统的单位 阶跃响应 １ ．单位 阶跃 响 应 １ 对一 阶系 统 ，若 输入 信 号为 单位 阶 跃信 号， 即 ｒ （ｔ ）＝１（ｔ ），其拉 氏 变换 Ｒ（ｓ ）＝ ，则 有 ｓ

・ ６３・

１ １ １ １ Ｃ（ｓ ）＝Ｒ（ｓ ）Ｇ（ｓ ）＝ ・ ＝ － ｓ Ｔｓ＋１ ｓ １ ｓ＋ Ｔ

（４ ． ３）

取拉 氏反 变 换， 求得 单 位阶 跃响 应 ｃ （ｔ ）＝１－ｅ－ｔ／Ｔ　（ｔ ≥０）

（４ ． ４）

ｔ － Ｔ

其中 稳态 分 量为 １， 暂态 分量 为 ｅ ， 说 明系 统在 ｔ →∞ 时， 系统 输 出量 就等 于输 入 量。 ２ ．ＭＡＴＬＡＢ仿真 （１ ） 一 阶系 统的 建 模 在利 用 ＭＡＴＬＡＢ进 行仿 真时 ， 首先 要 建 立 仿真 的 数 学 模 型。 此 处 以 一 阶惯 性环 节 为 例 来 说明 建模 的步 骤 。在 ＭＡＴＬ ＡＢ中， 可 以 用 Ｓ Ｉ ＭＵＬＩ ＮＫ来 建 模， 也 可 用 编 程 方 式 来 进 行 建 模 。 利用 ＳＩ ＭＵＬ Ｉ ＮＫ进 行 建模 ，其 操 作步 骤如 下： ① 启动 ＭＡＴ ＬＡＢ软件 ，打 开 “Ｖｉ ｅ ｗ” 菜 单， 选 择 ｌ ａ ｕｎ ｃ ｈｐａ ｄ选 项。 ② 在 “ｆ ｉ ｌ ｅ ” 菜单 中 ，选 择 “ｎ ｅ ｗ”，建 立 Ｍｏ ｄ ｅ ｌ文 件。 ③ 在ｌ ａ ｕ ｎ ｃ ｈｐ ａ ｄ窗 口中 ， 选择 Ｓ Ｉ ＭＵＬＩ ＮＫ选 项 ， 双击 展 开 文 件夹 ， 选择 ｌ ｉ ｂｒ ａ ｒ ｙｂｒ ｏ ｗｓ ｅ ｒ并 双击 得到 ＳＩ ＭＵＬＩ ＮＫ库文 件。 如 果所 分析 的系 统 为连 续系 统 ， 可 在 Ｓ Ｉ ＭＵＬＩ ＮＫ库 文 件中 ，选 择 Ｃｏ ｎ ｔ ｉ ｎ ｏ ｕｓ选 项并 单击 ， 从中 选 择 传 递函 数 （Ｔｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｅ ｒＦｃ ｎ） 并 用 拖 曳 的 方式 拖 至新 建 的 Ｍｏ ｄ ｅ ｌ 文件 中 （即 建模 窗口 中 ）。 ④ 在建模窗口中，双击传 递 函数 （Ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｅ ｒＦｃ ｎ） 得到 Ｂｌ ｏ ｃ ｋｐ ａ ｒ ａ ｍｅ ｔ ｅ ｒ ｓ对 话框，在 Ｎｕ ｍｅ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ （ 传递函数的分子项系数） 输入传递 函数的分子项系 数，本例取参数为 ［ １］；在 Ｄｅ ｎ ｏ ｍｉ ｎ ａ ｔ ｅ中，取 １ 参数为 ［ ０ ． ８ 　１ ］（设 置分母项系数 ）；从而在建模窗口中得到传递函数 Ｇ （ｓ ） ＝ 。 ０ ． ８ｓ＋１ ⑤ 在 ＳＩ ＭＵＬＩ ＮＫ的 库函 数中 选 Ｓ ｏ ｕ ｒ ｃ ｅ ｓ选 项， 再 选择 输入 函 数阶 跃 信号 Ｓｔ ｅ ｐ，并 用 拖曳 的 方式 ，将 Ｓｔ ｅ ｐ输 入 信号 拖曳 至建 模 窗口 传 递函 数的 左 边。 在 建模 窗口 ， 双击 Ｓｔ ｅ ｐ信 号 ，修 改 Ｓ ｔ ｅ ｐ信号 的幅 值 、作 用时 间。 ⑥ 在 ＳＩ ＭＵＬＩ ＮＫ库 函数 中选 Ｓ ｉ ｎｋ ｓ选 项， 再 在此 库 文件 中， 选 Ｓ ｃ ｏ ｐｅ（示波 器 ） 并 拖曳 至 建模 窗口 中传 递 函数 的右 边。 ⑦ 连接 输 入信 号 Ｓｔ ｅ ｐ 、 传 递函 数及 输 出示 波 器 （Ｓ ｃ ｏ ｐｅ ） 三个 环节 ，从 而完 成 了一 阶系 统的 建 模。 连接 方 法为 用鼠 标 左键 点 住环 节之 输出 箭头 的 位置 ，用 拖曳 的 方式 拖曳 至 想要 连接 的 元件 之 输入 箭头 即可 ，如 图 ４． ３所示 。

图４ ．３　一阶 系统的 建模

（２ ） 一 阶系 统的 仿 真 首先 在 ＳＩ ＭＵＬＩ ＮＫ菜 单中 选 择 Ｐ ａ ｒ ａ ｍｅ ｔ ｅ ｒ ｓ选项 进 行输 入信 号参 数 的设 置， 其 次使 用 Ｓ ｉ ｍｕ ｌ ａ － ｔ ｉ ｏ ｎ菜 单中 的 ｓ ｔ ａ ｒ ｔ即 可进 行仿 真 。仿 真结 束 后， 双击 示 波 器 图 标 （Ｓ ｃ ｏ ｐ ｅ） 即可 观 看 到 仿真 结 果， 如图 ４． ４所 示。 ３ ．结论 分析 ① 从仿 真 结果 可看 出 ，在 单位 阶跃 函 数作 用下 ， 一阶 是 稳定 而 且 无 振荡 ，即 σｐ、 ｔ ｐ 均不 存在 。 ② 上升 时 间 ｔ ２． １ Ｔ＝１ ． ７ｍｓ （Ｔ＝０ ． ８ｍｓ ）。 ［以 ｃ （ｔ ）＝９０％ ｃ （∞ ）计算 ｔ ｒ＝ ｒ］ ・６ ４・

图 ４．４　一阶 系统的 单位 阶跃响 应

③ 系统 经 ｔ ３～４）Ｔ后达 到 稳定 ，且稳 定误 差 小于 ５％ ～２％ｃ （ｔ ）。 ｓ ＝（ ｄｕｏ（ｔ ） ④ 响应 曲 线的 初始 斜 率 Ｋ＝ ｄｔ

１ －ｔ 　 　＝ ｅ Ｔ Ｔ ｔ＝０

ｔ＝０

１ ＝ 。 时 间 常 数 Ｔ反 应 了 系 统的 惯 Ｔ

性， Ｔ越 小， 惯性 越小 ， 上升 斜率 越 大， 系统 响 应也 越快 。

４ ．１ ． ３　一阶 系统的单位 斜坡响应 １ ．单位 斜坡 响 应 对于 图 ４． ２所示 的一 阶惯 性 环节 ，若 输 入为 单位 斜 坡函 数， 即 ｒ （ｔ ）＝ｔ （ｔ ），则 有 １ Ｒ（ｓ ）＝ ２ ｓ 系统 输出 １ １ １ Ｔ Ｔ Ｃ（ｓ ）＝Ｇ（ｓ ）Ｒ（ｓ ）＝ ・ ２＝２－ ＋ Ｔｓ＋１ ｓ ｓ ｓ ｓ＋ １ Ｔ ｔ

Ｃ（ｔ ）＝（ ｔ－Ｔ ）＋Ｔｅ－ Ｔ

（４ ． ５）

（４ ． ６）

从式 （ ４ ．６） 可以 看出 ， 单位 斜坡 函数 响 应的 稳态 分 量为 ｔ－Ｔ， 它由 两 部分 组 成， 第一 部 分 ｔ是 信号 跟 踪项 ，反 映 了输 出跟 踪 输入 的情 况； 第 二部 分 Ｔ为 常数 ，反 映 了跟 踪 误差 。暂 态 －

ｔ

分量 为 Ｔｅ Ｔ ， 它为 一个 指 数衰 减项 ， 随时 间的 增 长而 逐渐 衰减 为 ０。 ２ ．ＭＡＴＬＡＢ仿 真 （１ ） 一 阶系 统的 建 模 建模 方法 同 阶跃 响应 时 一样 ， 在 此 不 再 重 复。 但输 入 信 号 需 在 Ｓ Ｉ ＭＵＬＩ ＮＫ的 Ｓ ｏ ｕ ｒ ｃ ｅ ｓ库 文 件中 选择 斜坡 函 数 Ｒａ ｍｐ， 同时 在 ｓ ｉ ｇ ｎ ａ ｌｒ ｏ ｕ ｔ ｉ ｎｇ中选 择 Ｍｕ ｘ ，以 便在 Ｓ ｃ ｏ ｐｅ中 同 时观 察输 入和 输 出信 号， 如图 ４． ５所 示。 （２ ） 一 阶系 统的 仿 真 建模 完成 后 ，便 可对 系 统 进 行 仿 真 。 在 Ｓ Ｉ ＭＵＬＩ ＮＫ 菜 单 中 ， 选 择 Ｓ ｔ ａ ｒ ｔ进 行 仿真 。 仿 真 结 束， 双击 Ｓｃ ｏ ｐ ｅ可 以看 到 仿真 结果 ， 如图 ４ ． ６所示 。 ・ ６５・

图 ４．５　 一阶系 统的 建模

图 ４．６　一阶 系统的 单位 斜坡响 应

３ ．结论 分析 从仿 真结 果 可以 看出 ， 一阶 惯性 环 节的 单位 斜坡 响 应的 稳 态误 差为 Ｔ， Ｔ越 小， 系 统响 应 误差 也越 小。

４ ．１ ． ４　一阶 系统的单位 脉冲响应 单位 脉冲 函 数 ｒ （ｔ ）＝δ（ｔ ）， ［Ｒ（ｓ ）＝１］， 当 它 作用 于一 阶 惯性 环节 时 ， 输出 Ｃ（ｓ ）＝Ｇ（ｓ ）Ｒ（ｓ ）＝

１ Ｔｓ＋１

（４ ． ７）

系统 的单 位 脉冲 响应 为 １ ｔ ｃ （ｔ ）＝ ｅ－ Ｔ Ｔ

（４ ． ８）

利用 ＭＡＴＬＡＢ仿真 ，可 得如 图 ４． ７所示 的 输出 曲线 。 从式 （ ４ ．８） 和图 ４． ７可 看出 ， 一阶 系 统 的 单 位 脉 冲 响 应 是 一 个 单 调 衰 减 函 数 ，且 ｔ＝０ １ 时， ｃ （ｔ ）有最 大 值，Ｃｍａｘ ＝ 。 当 ｔ → ∞ 时， ｃ （ｔ ）→０， 说 明一 阶系 统 对于 脉冲 扰 动信 号具 有 自动 调 Ｔ 节能 力， 经过 一 定时 间后 ， 可使 脉冲 振 动对 系统 的影 响 衰减 到允 许 的误 差之 内 。

４ ．１ ． ５　三种 典型输入信 号作用于 一阶系统的 响应比较 三种 典型 输 入信 号作 用 于一 阶惯 性 环节 的响 应情 况 见表 ４． １ 。 ・６ ６・

图 ４．７　一阶 系统的 单位 脉冲响 应 表４ ．１　一阶 系统对 典型输 入信 号的响 应关系 式 输入 信号

输出 响应 （ｔ ≥０）

１ （ｔ ）

１－ｅ－ Ｔ １ －ｔ ｅＴ Ｔ

ｔ

δ（ｔ ）

ｔ

ｔ（ｔ ）

ｔ－Ｔ＋Ｔｅ－ Ｔ

　　 从表 中比 较 可以 看出 ： ① 一阶 系统 只 有一 个特 征 参数 Ｔ， 在一 定的 输 入信 号作 用 下， 其响 应 ｃ （ ｔ ）由其 时 间常 数 Ｔ 惟一 确定 。 ② 单位 脉冲 函 数 δ（ｔ ）和单 位 斜坡 函数 ｔ （ｔ ）分 别是 单 位阶 跃函 数 １（ｔ ）对 时 间 ｔ 的 一 阶微 分 和积 分， 而系 统 的单 位脉 冲 响应 和单 位 斜坡 响应 也分 别 是系 统单 位 阶跃 响应 对 时间 ｔ的 一阶 微 分和 积分 。这 一 关系 表明 ， 系统 对输 入 信号 导数 的响 应 就等 于 系统 对该 输 入 信 号 响 应 的 导数 ； 系统 对输 入信 号 积分 的响 应 就等 于系 统 对该 输入 信号 响 应的 积分 。 将这 一结 论 推广 至一 般线 性 连续 控制 系统 同 样适 用。

４．２　二阶系统 的时域 分析 以二 阶线 性 常微 分方 程 描述 的控 制 系统 称为 二阶 系 统。 典型 二 阶系 统的 微 分方 程为 ２

Ｔ２

ｄｃ （ｔ ） ｄ ｃ （ｔ ） ＋２ξ Ｔ ＋ｃ （ｔ ）＝０ ２ ｄｔ ｄ ｔ

（４ ． ９）

由于 在实 际 工程 中二 阶 系统 应 用 十 分 广 泛 ，因 此 ，分 析 研究 二 阶系 统的 性 质 是 十 分 必 要 的。

４ ．２ ． １　二阶 系统的数学 模型 图 ４． ８所 示 为 ＲＬ Ｃ串联 电路 。 输入 、输 出 之间 的二 阶 微分 方程 为 ２

ｄｕｏ（ｔ ） ｄｕｏ（ｔ ） Ｌ Ｃ ＋ＲＣ ＋ｕｏ（ｔ ）＝ｕｉ（ｔ ） ２ ｄ ｔ ｄ ｔ

（ ４． １ ０）

当取 Ｔ＝ Ｌ Ｃ— —— 二阶 系统 的 时间 常数 ， 单位 为 ｓ ； ・ ６７・

Ｒ ξ＝ ２

Ｃ —— — 二阶 系 统的 阻尼 系 数（阻 尼比 ）， 无量 纲。 Ｌ

式（４ ． １ ０）就 变成 了 和微 分方 程 式（４ ．９ ）一 样 的形 式。 对式 （４ ． ９）进 行拉 氏变 换 ， 得 二 阶系 统的 传 递函 数为 １ Φ（ｓ ）＝ ２ ２ Ｔ ｓ ＋２ξ Ｔｓ＋１

（４ ．１ １）

图 ４．８　 ＲＬＣ串 联电路

１ 取 ωｎ ＝ 二 阶 系统 的无 阻 尼振 荡频 率 ，则 有 Ｔ ２

ωｎ Φ（ｓ ）＝ ２ ２ ｓ ＋２ ξ ωｎｓ＋ωｎ

（ ４． １ ２）

式 （４ ． １ ２） 为典 型 二阶 系统 的 传递 函数 ， 所对 应的 单位 负 反馈 二阶 系 统如 图 ４ ． ９所 示 。

图 ４． ９　典 型二阶 系统 结构图

４ ．２ ． ２　二阶 系统的闭环 极点 二阶 系统 闭 环传 递函 数 的分 母多 项 式为 ２

２

Ｄ（ｓ ）＝ｓ ＋２ξ ωｎｓ＋ωｎ

（ ４． １ ３）

称为 闭环 特征 多 项式 。多 项 式等 于 ０时所 对 应的 方程 称 为系 统的 闭环 特 征方 程， 即 为 ２

２

ｓ ＋２ ξ ωｎｓ＋ωｎ ＝０

（ ４． １ ４）

闭环 特征 方 程的 两个 根 称为 系统 的 两个 特征 根， 如 式 （４ ． １ ５） 所示 。 ｓ ωｎ ±ωｎ １，２ ＝ －ξ

２

ξ －１

（ ４． １ ５）

从特 征根 可 以得 知， 随着 阻 尼比 ξ的 不 同， 特征 根 ｓ 、ｓ 有 着不 同 类型 的值 。具 体 分布 如 １ ２ 图 ４． １０所 示。 １ ．欠阻 尼 （０＜ξ＜１） 当 ０＜ξ＜１时， 特征 方程 有 一对 具有 负 实部 的共 轭 复根 ｓ ＝ －ξ ωｎ ±ｊ ωｎ １，２

２

１－ξ

如图 ４． １０ （ａ ） 所 示。 ２ ．临界 阻尼 （ξ＝１） 当 ξ＝１时 ，特 征方 程 有一 对相 等 的负 实根 ｓ １，２ ＝ －ω ｎ 如图 ４． １０ （ｂ） 所 示 。 ３ ．过阻 尼 （ξ＞１） 当 ξ＞１时 ，特 征方 程 有一 对不 相 等的 负实 根 ｓ ＝ －ξ ωｎ ±ωｎ １，２ 如图 ４． １０ （ｃ ） 所 示。 ・６ ８・

２ ξ －１

４ ．无阻 尼 （ξ＝０） 当 ξ＝０时 ，特 征方 程 有一 对共 轭 虚根 ｓ ωｎ １，２ ＝±ｊ 如图 ４． １０ （ｄ） 所 示 。

图 ４． １０　典型 二阶 系统的 闭环极 点分布 （ａ） ０＜ξ＜１　 （ｂ） ξ＝１　 （ｃ） ξ＞１　 （ｄ） ξ＝ ０

４ ．２ ． ３　二阶 系统的单位 阶跃响应 １ 二阶 系统 主 要分 析研 究 单位 阶跃 响 应。 对任 一二 阶 系统 ，当 输 入 Ｒ（ｓ ）＝ 时 ， ｓ 则输 出为 ２

ωｎ １ Ｃ（ｓ ）＝Ｒ（ｓ ）Ｇ（ｓ ）＝ ・ ２ ｓ ｓ ＋２ξ ωｓ＋１ ２

ωｎ Ｃ（ｓ ）＝ ｓ （ｓ－ｓ ）（ｓ－ｓ ） １ ２

（ ４． １ ６）

１ ．欠阻 尼二 阶 系统 的单 位阶 跃 响应 欠阻 尼时 ０＜ξ＜１，二 阶 系统 有一 对 共轭 复根 ， 即 ｓ ωｎ ±ｊ ωｎ １，２ ＝ －ξ

２

１－ξ。

２

将这 对复 根 代入 式 （４ ．１ ３）， 并令 ωｄ ＝ωｎ

１－ξ，ωｄ 称为 阻尼 振荡 频 率， 则 ２ ｎ

ω １ Ｃ（ｓ ）＝ × （ｓ＋ξ ωｎ ＋ｊ ωｄ）（ｓ＋ξ ωｎ －ｊ ωｄ） ｓ

（ ４． １ ７）

两边 取拉 氏反 变 换并 整理 得 二阶 系统 欠 阻尼 时的 单位 阶 跃响 应 ｃ （ｔ ）＝１－

１

－ξω ｎｔ

ｅ ２ １－ξ

ｓ ｉ ｎ（ωｄｔ＋β ）

（ ４． １ ８）

２

１－ξ 。 ξ 响应 曲线 如 图 ４ ．１ １所 示 。ｃ （ｔ ）为 一 衰 减 的 正 弦 振 荡 曲 线 ， 其 衰 减 速 度 取 决 于 ξ ωｎ 值 的

２ 其中 ｓ ｉ ｎβ＝ １－ξ ，ｃ ｏ ｓ β＝ξ ， β＝ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ

・ ６９・

大小 。 ２ ．临界 阻尼 二 阶系 统的 单位 阶 跃响 应 临界 阻尼 时 ξ＝１， ｓ １，２ ＝ －ω ｎ 则 ２

ωｎ １ Ｃ（ｓ ）＝ ・ （ｓ＋ωｎ）２ ｓ

（４ ．１ ９ ）

单位 阶跃 响 应为

图 ４．１ １　二 阶系统 欠阻 尼单位

ｃ （ｔ ）＝１－ｅ－ωｎｔ（１＋ωｎｔ ）

阶跃响 应曲线

（４ ． ２ ０）

系统 的响 应曲 线 如图 ４． １ ２所示 。它 是 单调 上升 的 指数 曲线 。 ３ ．过阻 尼二 阶 系统 的单 位阶 跃 响应 ２

过阻 尼时 ξ＞１ ， 系 统有 二个 负 实根 ｓ ωｎ ±ωｎ １，２ ＝－ξ

ξ －１，取

等效 时间 常数 １ Ｔ１ ＝ ２ ωｎ （ξ－ ξ －１）

图 ４．１２　二 阶系统临界阻 尼

１ Ｔ２ ＝ ２ ωｎ （ξ＋ ξ －１）

单 位阶跃 响应 曲线

则系 统输 出 Ｃ（ｓ ）＝

ω２ｎ １ ｓ＋ Ｔ１

×

１ ｓ＋ Ｔ２

１ ｓ

（ ４． ２ １）

两边 取拉 氏 反变 换， 得 到系 统单 位 阶跃 响应 为 －

ｔ

－

ｔ

ｅ Ｔ１ ｅ Ｔ２ ｃ （ｔ ）＝１＋ ＋ Ｔ２ Ｔ １ －１ Ｔ１ Ｔ ２

（ ４． ２ ２）

从式 （４ ． ２２）可以 看 出， 二 阶系 统过 阻尼 响 应包 含 二个 按指 数 规 律 衰减 的 暂态 分 量。 响应 曲 线与 临界 阻尼 时 一样 ， 也是 按指 数规 律 单调 增加 的 ， 但 上 升速 度更 慢 ， 如图 ４ ． １ ３所 示 。 ４ ．无阻 尼二 阶 系统 的单 位阶 跃 响应 无阻 尼时 ξ＝０ ，系 统有 一 对纯 虚根 ｓ ωｎ １，２ ＝ ±ｊ 系统 的输 出 为 ２

２

ωｎ ωｎ １ １ Ｃ（ｓ ）＝ ・ ＝２ × （ｓ－ｊ ωｎ）（ｓ＋ｊ ωｎ） ｓ ｓ＋ω２ｎ ｓ

（４． ２ ３ ） 图４ ．１３　 二阶系 统过 阻

系统 单位 阶 跃响 应为

尼 单位阶 跃响应

ｃ （ ｔ ）＝１－ｃ ｏ ｓ ωｎｔ

・７ ０・

（４． ２ ４ ）

从式 （ ４ ．２ ４） 可 以 看出 ， 二阶 系 统在 无阻 尼 情况 下 ， 系 统 是 一个 无暂 态过 程 且稳 态 分 量 为 ０的 等幅 振 荡， 振 荡 频 率 为 系 统 的 自然 振荡 频率 ωｎ， 如图 ４ ．１ ４所示 。 二阶 系统 单 位阶 跃响 应 小结 ： 图 ４． １５所 示为 二阶 系 统在 不 同 阻 尼 比 情 况下 的 单位 阶跃 响 应 的曲 线族 。 表４ ． ２给 出了 不 同 ξ值时 二阶 系 统的 特征 及 响应 曲线 。 从表 中 可以 看出 ：

图 ４． １４　二阶 系统 无阻尼 单位 阶跃响 应

（１ ） ξ＜０时， 响应 发 散， 系统 不能 正 常工 作。 （ ２） ξ＞１时， 按指 数 规律 响应 为单 调 上 升 ， 没有 超 调 ， 但 调 节 速度 较 慢， 需较 长 时 间 进 入稳 态。 （３ ） ξ＝０时， 响应 曲 线为 等幅 振荡 ， 系统 不能 正 常工 作。

图 ４． １５　二阶 振荡 环节的 单位阶 跃响应 表４ ．２　不同 ξ值时 二阶系 统的 特征及 响应曲 线 阻 尼系数

ξ＝０ （无阻 尼）

特征 方程根

根 在复平面上的 位置

单 位阶 跃响应

ｓ ＝ ±ｊ ωｎ １，２

・ ７１・

０＜ξ＜１ （欠阻 尼）

・７ ２・

ｓ ωｎ ±ｊ ωｎ １，２ ＝ －ξ

２ １－ξ

续表 阻 尼系数

ξ＝１ （临 界阻尼 ）

ξ＞１ （过阻 尼）

特征 方程根

根 在复平面上的 位置

单 位阶 跃响应

ｓ ＝ －ωｎ １，２

ｓ ＝ －ξ ωｎ ±ωｎ １，２

ξ２ －１

　　 （４） ０＜ξ＜１时， 响 应 有 超 调 ， 但 上 升 速 度 较 快， 调 节时 间较 短 。当 合 理选 择 阻 尼 比 ξ 的值 时， 可使 系 统获 得较 为 满意 的响 应 ，通 常工 程 上 把 阻尼 比 ξ＝０． ７ ０７时 的二 阶 系 统 称为 二 阶最 优系 统。

４ ．２ ． ４　二阶 系统的单位 脉冲响应 二阶 系统 在 理想 单位 脉 冲作 用下 的 输出 称为 单位 脉 冲响 应。 由 于 Ｒ（ｓ ）＝１，因此 ２

ωｎ Ｃ（ｓ ）＝Ｇ（ｓ ）・Ｒ（ｓ ）＝ ２ ２ ｓ ＋２ξ ωｎｓ＋ωｎ 对于 二阶 系统 的 单位 脉冲 响 应， 这里 主 要讨 论欠 阻尼 情 况。 欠阻 尼时 ， 单位 脉冲 响 应 ｃ （ｔ ）＝

ωｎ

－ξω ｔ ｎ

ｅ １－ξ ２

∑ωｎ

２

１－ξｔ

（４ ．２ ５）

图 ４．１ ６　二 阶系 统欠阻 尼 单位脉冲 响应

响应 曲线 如图 ４． １６所示 。

从曲 线可 以 看出 ，欠 阻 尼 时 ，单 位 脉冲 响 应是 稳 定 值 为 零的 具 有超 调衰 减 过 程 的 响 应 曲 线， 这说 明， 当 将扰 动作 用 于二 阶系 统 时， 若扰 动量 最 终值 为零 ， 则二 阶系 统 具有 较好 的抗 扰 动性 能。

４．３　控制系统 稳定性 分析 系统 的稳 定 是控 制系 统 的基 本要 求 ，若 系统 不稳 定 ，也 就是 系 统不 具备 调 节能 力， 则在 实 际应 用中 系统 是 不能 正常 工 作的 。

４ ．３ ． １　稳定 性的基本概 念 假设 有一 个 处于 平衡 状 态的 系统 ， 由于 扰动 的作 用 ，系 统偏 离 了原 来的 平 衡状 态， 而当 扰 动消 失后 ，经 过 一段 时间 ， 如 果 系 统 又 能 恢复 到原 来 的 平 衡 状 态 ， 则 称 这 样的 系统 为 稳 定 系 统； 否则 ，称 为 不稳 定系 统 。如 单摆 运 动就 是一 个稳 定 系统 。某 些 具有 正反 馈 量作 用的 系统 就 ・ ７３・

是不 稳定 系统 。 需要 说明 的 是， 稳定 性 是系 统自 身 的固 有特 性， 它 体现 了系 统 固有 的调 节 能力 ，而 且仅 仅 取决 于系 统的 结 构及 其参 数 。

４ ．３ ． ２　系统 稳定的充要 条件 根据 二阶 系 统单 位阶 跃 响应 的分 析 可知 ，影 响系 统 输出 量随 时 间变 化的 是 暂态 分量 ，而 暂 态分 量是 否衰 减 只取 决于 系 统特 征根 的 情况 。如 果系 统 闭环 极 点 （即特 征 根） 都 具有 负 实部 ， 则系 统的 暂态 分 量一 定会 衰 减为 零， 这 时系 统是 稳定 的 。若 系统 有 一个 或一 个 以上 实部 为正 的 极点 ，则 该极 点 所对 应的 暂 态分 量将 随 时间 的增 大而 发 散， 这时 系 统是 不稳 定 的。 系统 稳定 性 和特 征方 程的 关 系见 表 ４ ． ３。 表４ ．３　系统 稳定性 和特 征方程 根的关系 根的 性质

根在复 平面上 的位 置 （×—根 ）

系 统运动 过程

系统的 稳定性

实 根 ａ＜０

稳　定 复 根

实 根 ａ＝０

临界 稳定 复 根 实 根

ａ＞０

不 稳 定 复 根

　　 综上 所述 ， 线性 系统 稳 定的 充要 条 件是 ：系 统的 特 征根 均具 有 负实 部， 或 者说 系统 的全 部 闭环 极点 均位 于 ｓ左半 平 面。 ・７ ４・

４ ．３ ． ３　劳思 稳定判据 根据 系统 稳 定的 充要 条 件可 知， 要 想判 断一 个系 统 是否 稳定 ， 必须 先求 解 出系 统特 征方 程 的全 部根 。然 而 对于 高阶 （三阶 或 三 阶 以 上） 系 统， 解 出 其 特 征 根 是 一 件 工 作 量 很 大 的 事 ， 必须 采用 一种 不 需求 解特 征 根、 一种 间 接的 方法 来判 断 系统 的稳 定 性。 劳思 稳 定判 据就 是这 样 一种 用来 判定 系 统稳 定性 的 方法 。 设某 一系 统 的特 征方 程 为 ｎ ｎ－１ ｎ－２ ａ０ｓ ＋ａ ｓ ＋ａ ｓ ＋… ＋ａｎ－１ｓ＋ａｎ ＝０ １ ２

应用 劳思 判 据判 定系 统 稳定 性的 步 骤如 下： （１ ） 闭 环特 征方 程 各项 同号 且 没有 缺项 。 （２ ） 根 据特 征方 程 各项 的系 数 构造 劳思 表 ，见 表 ４ ．４。 运算 中出 现 的空 位均 以 ０替 代。 表 ４． ４　劳 思表及 其列 写规律 ｎ ｓ

ａ０

ａ ２

ａ４

…

ｎ－１ ｓ

ａ１

ａ ３

ａ５

…

ｎ－２ ｓ

ａ・ａ２ －ａ ・ａ３ ０ ｂ１ ＝ １ ａ１

ａ・ ａ －ａ０・ａ５ ４ ｂ ＝ １ ２ ａ１

ｂ ３

…

ｎ－３

ｂ ・ａ３ －ｂ ・ａ１ １ ２ ｃ １ ＝ ｂ１

ｂ１・ ａ５ －ｂ３・ ａ ３ ｃ ２ ＝ ｂ１

ｃ ３

…

…

…

…

…

…

０

ａｎ

ｓ

ｓ

（３ ） 根 据劳 思表 中 各行 第一 列 元 素 符 号 变 化 的 次 数 ，确 定 特 征 方 程 中 含 有 正 根 的 次 数 ， 其关 系为 特征 根 中具 有正 实 部根 的个 数 就等 于劳 思表 中 各行 第一 列 元素 符号 变 化的 次数 。 （４ ） 系 统稳 定的 充 要条 件为 ： 闭环 特 征方 程各 项 同 号 且 没 有 缺 项， 劳 思表 中各 行 第 一 列 元素 符号 不发 生 变化 。 【例 ４． １】 设某 一线 性 系统 的闭 环 特征 方程 为 ４

３

２

ｓ ＋２ｓ ＋３ｓ ＋４ｓ＋５＝０ 试用 劳思 判据 判 别系 统的 稳 定性 。 解： 根据 表 ４． ４可知 劳思 表 为 ｓ

４

１

３ ５

３

２

４ ０

１

５ ０

ｓ ２

ｓ １ ｓ ０ ｓ

－６ ０ ０ ５

０ ０

从劳 思表 中 可以 看出 第 一列 元 素 的 符 号 变 化 了二 次， 系 统有 两 个 正 实 部 根 ，因 此 系 统 不 稳定 。 【例 ４． ２】 已知 系统 的 结构 框图 如 图 ４ ． １７所 示， 试确 定 若使 系统 稳 定 Ｋ的 取值 范围 。 ・ ７５・

图 ４． １７　例 ４ ．２图

　　 解： 由图 ４． １７可知 特 征方 程为 ３ ｓ ＋６ｓ＋５ ｓ＋Ｋ＝０

劳思 表为 ３

ｓ　　 　 　　 　１　 　　 　　 　 ２

ｓ

６

Ｋ

１

ｓ　 （６×５－１×Ｋ） ／ ６ ０ ｓ

０

Ｋ

从劳 思表 中可 以 看出 ，系 统稳 定 的条 件为 Ｋ＞０， 且 （３ ０－Ｋ）／ ６＞０ 。 所 以 当 ０＜Ｋ＜３０时， 系 统稳 定。

４．４　ＭＡＴＬＡＢ在时域分析中的运 用 利用 ＭＡＴＬＡＢ可以 方便 地对 控 制 系 统 进 行 时 域分 析。 本 节 就 是 通 过 实 例来 说明 怎 样 利 用 ＭＡＴＬ ＡＢ软件 来 绘 制 控 制 系 统 的 零 极 点 分 布 图 以 判 断 系 统 的 稳 定 性， 同 时 给 出 了 利 用 ＭＡＴＬ ＡＢ软件 来 仿真 二阶 系 统的 单位 阶 跃响 应与 求解 时 域动 态指 标 的方 法。 前面 介绍 了 在 ＭＡＴＬＡＢ中 利用 ＳＩ ＭＵＬＩ ＮＫ进 行 系统 仿 真的 方 法， 本节 将介 绍 怎 样 在 ＭＡＴ－ Ｌ ＡＢ中采 用 编写 程序 的 方法 来进 行系 统 的仿 真， 其 操作 方法 如 下： （１ ） 在 ＭＡＴＬＡＢ中 ， 新建 Ｍ －ｆ ｉ ｌ ｅ文 件 ，文 件后 缀 名为 ｍ （如 ＊・ ｍ）。 （２ ） 在 Ｅｄ ｉ ｔ窗 口中 输 入程 序， 并由 Ｄｅ ｂ ｕ ｇ调试 至 程序 无错 误 。 （３ ） 在 “Ｄｅ ｂ ｕｇ ” 菜 单中 选 择 “ＲＵＮ”， 即可 得到 仿真 结 果。

４ ．４ ． １　系统 零极点分布 在 ＭＡＴＬＡＢ中 ，可 以 利 用 多 种 方 法 来 绘 制 连 续 系 统 的 零、 极 点图 ， 如 利 用 ｐ ｚ ｍａ ｐ、ｔ ｆ ２ｚ ｐ 等函 数求 解系 统 的零 、极 点 ，也 可以 利 用 ｒ ｏ ｏ ｔ函数 求 分 母 多 项 式 的 根来 确 定 系 统 的 极 点， 从 而确 定系 统的 稳 定性 。 求解 连续 系 统 ４

３

２

５ｓ ＋３ｓ ＋４ ｓ ＋６ｓ＋９ Φ（ｓ ）＝ ６ ５ ４ ３ ２ ７ｓ＋４ｓ ＋８ｓ ＋３ ｓ ＋７ｓ ＋５ ｓ＋８ 的零 、极 点及 增 益， 并绘 出 其零 、极 点 图。 本例 利用 ｔ ｆ ２ｚ ｐ函数 求 解。 执行 如下 程 序： ＭＡＴＬＡＢＰｒ ｏ ｇ ｒ ａ ｍ４－１ ．ｍ ％Ｔｈ ｉ ｓｐ ｒ ｏ ｇ ｒ ａ ｍｃ ｒ ｅ ａ ｔ ｅａｔ ｒ ａ ｎｓ ｆ ｅ ｒｆ ｕｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎａ ｎｄｔ ｈ ｅ ｎｄ ｉ ｓ ｐ ｌ ａ ｙ ｓｉ ｔ ｓｚ ｅ ｒ ｏ ｓ、ｐ ｏ ｌ ｅ ｓ ＆ｇ ａ ｉ ｎ， ｐ ｌ ｏ ｔｉ ｔ ｓｚ ｅ ｒ ｏ －ｐ ｏ ｌ ｅｍａ ｐ ・７ ６・

ｎ ｕ ｍ ＝ ［５ 　３　４　６　９］； ｄ ｅ ｎ＝ ［７　４ 　８　３　７ 　 ５　８］； ［ｚ ， ｐ，ｋ］ ＝ｔ ｆ ２ｚ ｐ（ｎ ｕｍ， ｄ ｅ ｎ）； ｐ ｚ ｍａ ｐ（ｎ ｕ ｍ， ｄ ｅ ｎ）； ｔ ｉ ｔ ｌ ｅ（′ Ｚｅ ｒ ｏ －Ｐ ｏ ｌ ｅＭａ ｐ′ ）． 则屏 幕显 示系 统 的零 、极 点 及增 益如 下 ： ｚ＝ ． ５５ ４ ９ ＋１ ．０ ８ ６０ｉ

ｐ＝ ． ６７ ９ ３ ＋０ ． ７５ ４ ５ｉ

０ ． ５５ ４ ９ －１ ．０ ８ ６０ｉ

０． ６７ ９ ３ －０ ． ７５ ４ ５ｉ

－０ ． ８５ ４ ９ ＋０ ．６ ９ ２ ３ｉ

－０． ７６ ２ ０＋０ ． ６ １ ３ ４ｉ

－０ ． ８５ ４ ９ －０ ．６ ９ ２ ３ｉ

－０． ７６ ２ ０－０ ． ６ １ ３ ４ｉ －０． ２０ ３ １＋１ ． ０ ５ ７ １ｉ

ｋ ＝０． ７１ ４ ３

－０． ２０ ３ １－１ ． ０ ５ ７ １ｉ

　　 系统 的零 、 极点 分布 如 图 ４． １８所 示。

图４ ．１８　程序 Ｐｒ ｏ ｇ ｒ ａ ｍ４－１运 行结果 — ——系 统的零 、极点 分布

４ ．４ ． ２　系统 单位阶跃响 应的仿真 设有 二阶 系 统， 其传 递 函数 为 Ｃ（ ｓ ） ２ ０ Φ（ｓ ）＝ ＝２ Ｒ（ ｓ ） ｓ ＋５ｓ＋２ ０

（ ４． ２ ６）

试求 该系 统的 单 位阶 跃响 应 。 程序 ＭＡＴ ＬＡＢ Ｐｒ ｏ ｇ ｒ ａ ｍ４－２将 给出 该系 统 的单 位阶 跃 响应 曲线 ，如 图 ４ ． １９所示 。 ＭＡＴＬＡＢＰｒ ｏ ｇ ｒ ａ ｍ ４－２ ．ｍ ％

Ｕｎ ｉ ｔ －ｓ ｔ ｅ ｐｒ ｅ ｓ ｐ ｏ ｎｓ ｅ

％＊ ＊＊ ＊ ＊Ｅｎ ｔ ｅ ｒｔ ｈ ｅｎ ｕｍｅ ｒ ａ ｔ ｏ ｒａ ｎ ｄｄ ｅ ｎ ｏ ｍｉ ｎａ ｔ ｏ ｒｏ ｆｔ ｒ ａ ｎｓ ｆ ｅ ｒｆ ｕ ｎｃ ｔ ｉ ｏ ｎ＊ ＊ ＊＊ ＊＊ ＊＊ ＊ ｎ ｕ ｍ ＝ ［０ 　０　２ ０］ ｄ ｅ ｎ＝ ［１　５ 　２０］ ・ ７７・

％＊ ＊＊ ＊ ＊Ｅｎ ｔ ｅ ｒｔ ｈ ｅｆ ｏ ｌ ｌ ｏ ｗｉ ｎ ｇｓ ｔ ｅ ｐ －ｒ ｅ ｓ ｐｏ ｎｓ ｅｃ ｏ ｍｍａ ｎ ｄ＊＊ ＊＊ ＊＊ ＊ ｓ ｔ ｅ ｐ （ｎ ｕｍ，ｄ ｅ ｎ） ％＊ ＊＊ ＊ ＊Ｅｎ ｔ ｅ ｒｇ ｒ ｉ ｄａ ｎｄｔ ｉ ｔ ｌ ｅｏ ｆｔ ｈ ｅｐ ｌ ｏ ｔ ＊ ＊ ＊＊ ＊＊ ＊ ＊＊ ＊ ｇ ｒ ｉ ｄ ２

ｔ ｉ ｔ ｌ ｅ（′ Ｕｎ ｉ ｔ －Ｓ ｔ ｅ ｐＲｅ ｓ ｐ ｏ ｎ ｓ ｅｏ ｆＧ （ｓ ） ＝２０／ ｓ ＋５ ｓ＋２ ０′ ）

图４ ．１９　程序 Ｐｒ ｏ ｇ ｒ ａ ｍ４－２运 行结果 — ——系 统的单位阶跃 响应

４．５　根轨迹分析法 通过 前面 分 析可 知， 一 个控 制系 统 的基 本特 征主 要 由系 统的 闭 环零 、极 点 决定 ，并 且闭 环 零、 极点 在 ｓ平面 上的 分 布影 响着 系 统的 稳定 性 及动 态性 能 指标 。对 于二 阶 系统 ，由 传 递函 数 较容 易求 出闭 环 零、 极点 ， 但对 于高 阶 系统 ，求 解高 阶 特征 方程 通 常都 较复 杂 。劳 思判 据虽 然 解决 了高 阶系 统 稳定 性的 判 断， 但并 没 有 分 析 系 统 的 性 能 。１ ９ ４８年 尹 文 思 提出 了直 接 由 系 统 的开 环传 递函 数 来确 定系 统 闭环 特征 根 的图 解方 法， 即 在工 程上 广 泛使 用的 根 轨迹 法。

４ ．５ ． １　根轨 迹的基本概 念 根轨 迹是 指 系统 中某 一参 数 （如 开 环增 益 Ｋ） 由 ０～∞ 变 化时 ，系 统的 闭 环极 点在 ｓ平 面 上移 动的 轨迹 。 其基 本思 路 是在 已知 开 环零 、极 点分 布 的基 础上 ， 画出 系统 闭 环极 点的 根轨 迹 图， 再根 据根 轨 迹对 系统 阶 跃响 应定 性 分析 和定 量估 算 。 １ ．根轨 迹 Ｋ 设有 一单 位 负反 馈二 阶 系统 ， 开 环 传递 函 数 Ｇ（ｓ ）＝ 则 它 的 二 个 开环 极 点 ｐ１ ＝０， ｓ （ｓ＋２） ｐ ＝ －２。 ２ ２ 而系 统的 闭 环极 点可 由 特征 方程 ｓ ＋２ｓ＋Ｋ＝０求得

ｓ ＝ －１＋ １－Ｋ １，２ 当 Ｋ从 ０变 化到 ∞时 ， 由式 （ ４ ．２ ７） 得 到 的根 的轨 迹如 图 ４． ２０所示 。 ・７ ８・

（ ４． ２ ７）

通过 根轨 迹 可对 系统 进 行分 析， 发 现

・ ７９・

图 ４．２０　二 阶系统 根轨迹

（１ ） 当 ０＜Ｋ＜１时 ，系 统 特 征 根均 为 负 实 根 ，系 统表 现 为过 阻 尼 状 态 ，阶 跃响 应 为 单 调 上升 过程 。 （２ ） 当 Ｋ＝１时， ｓ ＝ｓ ＝ －１， 系统 有二 个相 等 的负 实根 ， 表现 为临 界 阻尼 。 １ ２ （３ ） 当 １＜Ｋ＜∞ 时， ｓ １、 ｓ ２ 为 实部 为 －１的 一对 共 轭复 根， 系 统表 现为 欠 阻尼 状态 ，阶 跃 响应 为衰 减振 荡 过程 。 （４ ） 当 Ｋ 由 ０→ ∞ 时 ， 系 统 根 轨 迹 均 在 ｓ单 向 的 左 半 部 ，因 此 系 统 对 所有 Ｋ 值 均 是 稳 定的 。 ２ ．根轨 迹方 程 对任 一控 制 系统 ，其 开 环传 递函 数 总有 如下 形式 ｍ

Ｋｇ∏ （ｓ－ｚ ） ｊ ｊ＝１

Ｇ（ｓ ）Ｈ（ｓ ）＝

（４ ． ２ ８）

ｎ

∏ （ｓ－ｐｉ） ｉ＝１

式中 ，Ｋｇ 为 根轨 迹 增益 ，它 与开 环 增益 成正 比 ； ｚ 为系 统开 环传 递 函数 的零 点 ； ｊ ｐ ｉ 为系 统 开环 传递 函数 的 极点 。 由于 系统 的 闭环 特征 方 程为 １＋Ｇ（ｓ ）Ｈ（ｓ ）＝０，因 此可 得根 轨 迹方 程为 ｍ

Ｋｇ∏ （ｓ－ｚ ） ｊ ｊ＝１

＝－１

ｎ

（ ４． ２ ９）

∏ （ｓ－ｐｉ） ｉ＝１

式 （４ ．２ ９） 为一 个向 量 方程 ，应 用 不很 方 便。 根据 向 量 相 等 原 则 ， 它 们 幅 值与 相角 分 别 相 等 的条 件可 得 ｍ

Ｋｇ∏ （ｓ－ｚ ｊ） 幅值 方程

ｊ＝１

＝１

ｎ

（ ４． ３ ０）

∏ （ｓ－ｐ） ｉ

ｉＸ ＝１ ｍ

幅值 方程

∑ ｊ＝ １

ｎ

／（ｓ－ｚ ｊ） － ∑ ／（ｓ－ｐｉ） ＝ （２ｋ＋１）Π　 　　 ｉ＝１

（４ ． ３ １） 从式 （４ ．３ ０ ）和 （ ４． ３ １） 可 以 看出 ， 幅 值 条 件 与 Ｋｇ 有 关， 而 相角 条 件 与 Ｋｇ 无 关， 说 明 根 据 ・８ ０・

满足 相角 条件 的 ｓ值代 入 幅值 方 程后 ， 一 定 可 以 求 得一 个 对 应 的 Ｋｇ 值。 因 此， 可 以 认 为相 角 条件 是决 定根 轨 迹的 充分 必 要条 件， 而 幅值 条件 主要 用 来确 定根 轨 迹各 点对 应 的根 轨迹 放大 倍 数 Ｋｇ 值 ， 即得 到系 统 的开 环放 大系 数 Ｋ的 值 。

４ ．５ ． ２　利用 ＭＡＴＬＡＢ进行 根轨迹绘 制 系统 根轨 迹 的绘 制方 法 是十 分繁 琐 的， 而且 分析 也 只能 做粗 略 的估 算。 ＭＡＴＬＡＢ软 件作 为 一种 优秀 的数 学 工具 软件 ， 绘制 控制 系 统的 根轨 迹是 十 分方 便的 。 设有 一控 制 系统 的开 环 传递 函数 为 Ｋ Ｇ（ｓ ）Ｈ（ｓ ）＝ ２ ｓ （ｓ ＋４ ｓ＋１ ６） Ｋ Ｇ（ｓ ）Ｈ（ｓ ）＝ ２ ｓ （ｓ ＋４ ｓ＋１ ６）

即为

利用 ＭＡＴＬＡＢ绘 制 该 控 制 系 统 的 根 轨 迹 时 ， 只需 在 ＭＡＴＬＡＢ软 件中 运 行程 序 ｐ ｒ ｏ ｇ ｒ ａ ｍ４－４ ． ｍ 即可 得到 图 ４． ２１。 从图 上 可 以 看出 系 统稳 定的 条 件是 ２３ ．３＜Ｋ＜３５ ． ７。 Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂｐ ｒ ｏ ｇ ｒ ａ ｍ ４－４ ．ｍ ％ …… … Ｒｏ ｏ ｔ —ｌ ｏ ｃ ｕ ｓｐｌ ｏ ｔ… …… ｎ ｕ ｍ ＝ ［１ ］； ｄ ｅ ｎ＝ ［１　４ 　１６　０］； ｒ ｌ ｏ ｃ ｕｓ（ｎｕ ｍ，ｄｅ ｎ ） ｔ ｉ ｔ ｌ ｅ （′ Ｒｏ ｏ ｔ －ｃ ｏ ｃ ｕｓｐ ｌ ｏ ｔｏ ｆＧ（ｓ ）Ｈ（ｓ ）＝Ｋ／ ［ｓ （ｓ ＾ ２ ＋４ｓ＋１ ６）］′ ）； 图 ４．２１　 ＭＡＴＬＡＢ绘图 的根轨 迹图

ｅ ｎ ｄ

４ ．５ ． ３　控制 系统的根轨 迹分析 １ ．闭环 零、 极 点对 系统 性能 的 影响 当根 据系 统 结构 和参 数 绘制 出闭 环 系统 的根 轨迹 图 后， 就可 以 利用 根轨 迹 图来 分析 系统 的 稳定 性和 估算 系 统的 性能 指 标。 设某 一控 制 系统 的闭 环 传递 函数 为 ｍ

Ｇ（ｓ ）＝

Ｃ（ｓ ） ＝ Ｒ（ｓ ）

Ｋｇ∏ （ｓ－ｚ ｊ） ｊ＝１

ｎ

∏ （ｓ－ｓ） ｉ

ｉ＝１

１ 若 Ｒ（ｓ ）＝ ， 即输 入 为阶 跃函 数 时，系 统的 单位 阶 跃响 应为 ｓ ｎ ｓｋｔ ｃ （ｔ ） ＝Ａ０ ＋∑ Ａｋｅ

（ ４． ３ ２）

ｋ＝１

・ ８１・

其中 Ａ０、 Ａｋ 为 待定 系数 ， 大小 取决 于系 统 闭环 零、 极 点的 分布 。 ｓ ｋ 为 闭环 极点 。 从前 面分 析 并结 合式 （４ ．３ ２） 可知 ，系 统 闭环 零极 点对 系 统性 能的 影 响主 要表 现 为： （１ ） 稳 定性 。系 统 要想 稳定 ， 则必 须使 系 统的 闭环 极点 都 位于 平面 的 左半 部。 （２ ） 快 速性 。要 使 系统 具有 较 好的 快 速 性 ，就 必 须 使 响 应 的 各 暂态 分 量 迅 速 衰 减 ，则 要 求闭 环极 点远 离 虚轴 ，并 且 Ａｋ 也尽 可 能地 小。 （３ ） 平 稳性 。系 统 响应 的平 稳 性主 要 由 系 统 的超 调 量 决 定。 因 此， 欲 使系 统具 有 良 好 的 平稳 性， 并且 兼 顾快 速性 ， 闭环 极点 最 好在 最佳 阻尼 线 （与 负 实轴 成 ±４ ５° 的 夹角 线） 附 近。 （４ ） 偶 极子 与主 导 极点 。如 果 系统 的 某 一 闭 环零 极 点 靠 得很 近 ，就 称 为 一 个 偶 极 子。 通 常， 若偶 极子 不 十分 接近 坐 标原 点， 则 可以 认为 偶极 子 中的 闭环 零 、极 点对 系 统响 应的 影响 可 相互 抵消 。而 距 离虚 轴最 近 、附 近又 没 有零 点的 闭环 极 点， 通常 叫 做主 导极 点 ，系 统的 动态 响 应主 要由 它来 决 定。 工程 中， 人 们常 使用 上 述结 论来 分 析高 阶系 统的 动 态性 能。 【例 ４． ３】已 知 系统 的闭 环传 递 函数 为 （ ０． ５ ９ｓ＋１） Ｇ（ｓ ）＝ ２ （０ ． ６ ７ｓ＋１）（ ０ ．０ １ｓ ＋０． ０８ｓ＋１ ） 试估 算系 统的 性 能指 标。 解：系统 有三 个闭 环 极点 ｓ ＝－１ ．５， ｓ ＝ －４±ｊ ９． ２， 一个 闭环 零 点 ｚ ＝ －１ ． ７， 由 于 ｓ 、 １ ２，３ １ １ ｚ在 ｓ平 面 上距 离较 近， 因 此可 以认 为 极点 ｓ 和零 点 ｚ 构成 偶 极 子 ，主 导 极点 为 ｓ ， 则系 统 １ １ ２，３ 近似 为二 阶系 统 ，即 １ Ｇ（ｓ ）＝ ２ ０ ． ０１ｓ ＋０ ．０ ８ｓ＋１ －１

从而 近似 得到 系 统的 性能 指 标为 ξ＝０． ４，ωｎ ＝１ ０ｓ σｐ ＝ｅ

－ξ π ２

×１ ０ ０％ ＝２ ５％

１－ξ

３ ｔ ＝ ＝０ ． ７ ５ｓ ｓ ξ ωｎ ２ ．根轨 迹对 系 统性 能的 影响 根据 根轨 迹 可以 得到 闭 环系 统零 极 点的 分布 ，再 对 系统 进行 定 性的 分析 与 定量 的估 算。 系 统的 闭环 零点 由 系统 的开 环 传 递 函 数直 接 给出 ， 系 统 的闭 环 极 点 则 需 根 据 根轨 迹进 行 试 探 确 定。 由于 系统 的 根轨 迹形 状 取决 于开 环 零极 点在 ｓ平 面上 的 分布 ，因 此有 目 的地 附加 开 环零 极 点就 可以 改变 根 轨迹 的形 状 ，使 系统 达 到满 意的 性能 指 标。 通过 分析 可 知， 增加 开 环实 极点 ， 将使 系统 的根 轨 迹向 右偏 移 ，降 低了 系 统的 稳定 性； 而 增加 一个 开环 实 零点 ，将 使 系统 的根 轨 迹向 左偏 移， 提 高了 系统 的 稳定 性。 工 程中 常加 入适 当 的零 点， 即加 入 微分 环节 ， 以改 善系 统 的性 能。

小　　结 时域 分析 法 是通 过求 解 系统 在典 型 输入 信号 作用 下 的时 间响 应 来分 析控 制 系统 的稳 定性 和 ・８ ２・

性能 指标 的一 种 方法 。工 程上 常 以阶 跃响 应 的超 调 量 σｐ、 调 整时 间 ｔ ｓ 和 系 统稳 定 误 差 作为 性 能评 价指 标。 由 于时 域分 析 法具 有准 确 、直 观、 物理 概 念清 楚等 特 点， 因此 该 分析 方法 是自 动 控制 系统 中最 基 本的 一种 分 析方 法。 一阶 和二 阶 控制 系统 是 高阶 系统 分 析的 基础 ，因 此 ，分 析研 究 一阶 、二 阶 系统 的方 法和 手 段是 自动 控制 系 统的 根 本。 时 域 分 析 的 基 本 方 法 是 拉 氏 变换 ， 即 由 结 构 图 → Ｇ（ｓ ）→ Ｃ（ｓ ）＝ Ｇ（ｓ ）Ｒ（ｓ ）→ Ｃ（ｔ ）＝Ｌ －１［Ｃ（ｓ ）］。对 于一 阶 系统 ，其 动 态 特性 用 一 阶 微分 方 程描 述， 其 结构 参 数只 有一 个时 间 参数 Ｔ， 它反 应了 一 阶系 统的 惯 性或 阻尼 程 度。 对于 二阶 系 统， 其动 态 特性 用 二阶 微分 方程 描 述， 它有 两 个结 构参 数 ， 即 阻尼 比 ξ和 无 振 荡 频 率 ωｎ。 阻 尼 比 ξ决 定 了 二 阶 系统 的响 应形 式 。ξ＝０时 ，系 统 响 应 为 无 阻 尼 响 应； ξ＝１时， 系 统 响 应 为 临 界 阻 尼 响 应 ； ξ＞１时，系 统 响应 为阻 尼响 应 ；０＜ξ＜１时 ，系 统表 现 为欠 阻尼 响 应。 工程 上 常取 ξ＝０． ７０ ７。ωｎ 主要 影响 系统 的 调 整 时 间 ｔ ｓ。 二 阶 系统 的主 要 动 态 指 标 有 σ ｐ、 ｔ ｒ、ｔ ｐ、 ｔ ｓ， 它 们 均 可 根 据 ξ与 ωｎ 求出 。 系统 的稳 定 是系 统正 常 工 作 的 必 要 条 件， 线 性 系 统的 稳 定 主 要 取 决 于 系统 内部 的 结 构 参 数， 而与 初始 条 件与 输入 信 号无 关。 线 性系 统稳 定的 充 要条 件是 ： 系统 的所 有 特征 根必 须分 布 在 ｓ左 半 平面 。劳 思判 据 是判 断系 统 稳定 最常 用 的一 种方 法 。 根轨 迹是 一 种分 析和 设 计控 制系 统 的图 解方 法， 常 用于 分析 研 究高 阶多 回 路系 统。 ＭＡＴＬＡＢ作 为一 种功 能 强大 的仿 真 软件 ，具 有使 用 方便 、仿 真 效果 良好 等 特点 ，越 来越 受 到重 视。 无论 是 利用 ＳＩ ＭＵＬＩ ＮＫ还是 利用 编程 进 行仿 真 都 是 十 分 简 便 的 。 Ｓ Ｉ ＭＵＬＩ ＮＫ仿 真主 要 有两 步， 第一 步 为仿 真数 学 模型 的建 立 ，第 二步 为输 入 函数 的仿 真 。对 参数 不 确定 和复 杂的 系 统采 用编 程较 为 适用 。

习　　题 ４． １　 已知系 统的单 位阶跃 响应 为 ｃ （ｔ ）＝１－１． ８ｅ－４ｔ ＋０ ．８ｅ－９ｔ 试求： １） 系统的 闭环传 递函数 ； （２） 系统的 阻尼比 ξ和自然振荡 频率 ωｎ。 ４． ２　 试用劳 思判据 确定具 有下 列特性 方程式 的系统的稳 定性。 ３ ２ （１） ｓ ＋２０ｓ ＋９ｓ＋２ ００＝０ ４ ３ ２ （２） ｓ ＋８ｓ ＋１ ８ｓ ＋１６ｓ＋５＝０ ５ ４ ３ ２ （３） ｓ ＋ｓ ＋３ｓ ＋９ｓ ＋６ｓ＋１０＝０

４． ３　 设单位 负反馈 系统的 开环 传递函 数为 Ｋ （１） Ｇ（ｓ ）＝ ｓ （０．１ｓ＋１）（０ ．２ｓ＋１） Ｋ（０． ５ｓ＋１） （２） Ｇ（ｓ ）＝ ２ ｓ （ｓ＋１）（０． ５ｓ ＋ｓ＋１） 试确定 系统稳 定时 Ｋ的取 值范围 。 ４． ４　 试判断 图 ４．２ ２所 示系统 的稳 定性。 ４． ５　 试用 ＭＡＴＬＡＢ仿 真软件 求解下 列系统 的单 位阶跃 响应。

・ ８３・

图 ４．２２　控 制系统 方框图 ２０ （１） Φ（ｓ ）＝ ｓ＋１２ １０ （２） Φ（ｓ ）＝ ２ ｓ ＋２ｓ＋１ ０ ８ （３） Φ（ｓ ）＝ ｓ （０． １ｓ＋１）（０． ２ｓ＋１）＋８ ４． ６　 试用 ＭＡＴＬＡＢ仿 真软件 求解下 列系统 的零 、极点 及增量 ，并绘 出其零 、极 点图。 ３ｓ＋１ （１） Φ（ｓ ）＝ ２ ｓ （３０ ０ｓ ＋６００ｓ＋５０） ２ ５ｓ ＋４ｓ＋６ （２） Φ（ｓ ）＝ ４ ３ ２ ３ｓ ＋４ｓ ＋２ｓ ＋７ｓ＋２

４． ７　 系统如 图 ４．２ ３所 示，试 用 ＭＡＴＬＡＢ仿真软 件绘 制 Ｋ由 ０→∞ 变动时 的根轨 迹。

图 ４．２３　控 制系统 方框图 ４． ８　 设控制 系统的 特征方 程式 为 ４ ３ ｓ ＋３ｓ ＋１２ｓ＋（Ｋ＋１６ｓ ）＋Ｋ＝０

（１） 试 用 ＭＡＴＬＡＢ仿真软 件绘制 根轨 迹图； （２） 确 定系统 稳定时 Ｋ的 取值范 围。

・８ ４・

第 ５章 　 控 制 系 统 的 频 率 分 析

对于高 阶系统 ，由于 求解其 特征方 程的 根较为 困难， 因 此， 在 工 程上多 采 用 图解分 析法 来研究 控 制系 统的性 能。频 率分析 法作为 一种常 用的 图解分 析法， 由于 具有 物 理意 义明 确，作 图简单 ，并可 通 过实 验方法 来获取 一些结 构参数 不易确 定的 控制系 统的频 率特 性等特 点，成 为 自 动控制 系统 中非常 重 要的 分析方 法之一 ，也是 工程上 应用最 为广 泛的分 析方法之一。 　

５．１　频率特性 的基本 概念 ５ ．１ ． １　频率 特性的基本 概念 图 ５． １所 示 ＲＣ 滤波 电路 ， 其数 学描 述微 分 方程 为 ｄ ｕｏ（ｔ ） Ｔ ＋ｕｏ（ｔ ）＝ｕｉ（ｔ ） ｄｔ

（５ ． １）

式中 ，Ｔ＝ＲＣ，为 时间 常 数。 系统 的传 递 函数 １ Ｇ（ｓ ）＝ Ｔｓ＋１

图 ５．１　 ＲＣ滤波电 路

若输 入 ｕｉ为 正弦 信号 ， 即 ｕ ｔ ）＝Ｕｉｍ ｓ ｉ ｎωｔ ，则 ｉ（ Ｕ（ ｓ ）＝Ｕｉｍ ・

ω ２ ２ ｓ ＋ω

Ｕｉｍω １ Ｕｏ（ｓ ）＝Ｇ（ｓ ）・ Ｕｉ（ｓ ）＝ ・ ２ Ｔｓ＋１ ｓ ＋ω２

（５ ． ２）

两边 取拉 氏反 变 换， 则系 统 输出 为 Ｕｉｍ ωＴ － ｔ Ｕｉｍ ｕｏ（ｔ ）＝ ｅＴ＋ ｓ ｉ ｎ （ωｔ－ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎωＴ） １＋ω２Ｔ２ １＋Ｔ２ω２

（５ ． ３）

Ｕｉｍ ωＴ － ｔ 从式 （５ ．３） 可 以 看出 ，系 统 的输 出 包 含 二部 分 ， ｅ Ｔ 为暂 态分 量 ， 随 时 间 ｔ → ∞， 该 ２ ２ １＋ω Ｔ 分量 趋于 ０； 而

Ｕｉｍ ２

ｓ ｉ ｎ（ωｔ－ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎωＴ）为稳 态 分量 。 当 控 制 系 统 输 入 为 一 正 弦 信 号 时 ，

２

１＋Ｔ ω

输出 的稳 态响 应 仍是 一个 和 输 入 信 号 同 频 率的 正 弦 信 号， 且 幅 值 为 输 入 信 号 的

１ ２

２

倍，

１＋Ｔω

・ ８５・

相位 滞后 ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎωＴ。 观察 分析 发 现， 输出 响 应衰 减的 幅 值、 滞后 的相 位 均为 频率 的 函数 ，也 就 １ 是矢 量 的 幅值 和相 角 ，即 １＋ｊ ωＴ １ Ｇ（ｊ ω）＝ １＋ｊ ωＴ Ａ（ω）＝

１ １ ＝ ２ ２ １＋ｊ ωＴ １＋ω Ｔ

φ（ω）＝

＝ －ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ωＴ

（５ ． ４） （５ ． ５） （５ ． ６）

线性 控制 系 统对 正弦 输 入信 号的 稳 态响 应称 为频 率 响应 ；系 统 输出 稳态 分 量与 输入 的复 数 比为 频率 特性 ， 记作 Ｇ（ｊ ω）；输 出与 输 入信 号的 振 幅比 称为 系 统的 幅频 特性 ， 记作 Ａ（ω）； 输 出与 输入 信号 的 相位 差称 为 系统 的相 频 特性 ，记 作 φ（ω）。幅 频 特 性 、相 频 特性 总称 为 频率 特 性。 幅频 特性 表 征系 统输 出 对不 同频 率 正弦 输入 信号 幅 度衰 减或 放 大的 特性 ； 相频 特性 描述 系 统输 出对 不同 频 率正 弦输 入 信号 相位 的 超前 或滞 后的 特 性。 而频 率 特性 反映 了 系统 输出 对正 弦 输入 信号 的同 频 、变 幅、 移 相特 性。

５ ．１ ． ２　频率 特性与传递 函数的关 系 １ 图 ５． １所 示 的 ＲＣ滤 波电 路的 传 递函 数为 Ｇ（ｓ ）＝ ， 由于 在 复平 面内 ｓ＝σ＋ｊ ω，若 令 １＋ｓ Ｔ １ 复平 面内 复变 量 ｓ的 实部 σ＝０，则 ｓ＝ｊ ω。 此时 ，Ｇ（ｊ ω）＝ 。 因此 可 将频 率特 性 Ｇ（ｊ ω） １＋ｊ ωＴ 理解 为传 递函 数 Ｇ（ｓ ）的特 殊情 况。 即 Ｇ（ｊ ω）＝Ｇ（ｓ ）｜ ｓ＝ｊω

（５ ． ７）

综上 所述 ， 求解 系统 频 率特 性主 要 有三 种方 法： （１ ） 根 据系 统的 微 分方 程求 解 稳态 解 。通 过求 解 正弦 输 入 信 号 的 稳 态 输出 分量 与 输 入 信 号的 复数 比得 到 系统 的频 率 特性 。 （２ ） 由 于系 统的 频 率特 性是 传 递函 数 的 特 殊 情况 ， 以 ｓ＝ｊ ω 代 入传 递 函 数 ，即 得 系 统 的 频率 特性 。 （３ ） 通 过实 验方 法 测定 。对 于 线性 稳 定 系 统， 当 输 入 正 弦 信 号 的频 率 不 断 变 化 时 ，记 录 相应 的输 出， 绘 出系 统的 幅 频特 性与 相 频特 性， 即得 到 系统 的频 率 特性 。 注意 ：频 率 特性 同传 递 函数 一样 ， 也是 一种 数学 模 型， 它也 包 含了 系统 的 结构 与参 数， 反 映了 系统 的结 构 性能 。

５ ．１ ． ３　频率 特性的几何 表示法 在实 际工 程 中， 为分 析 方便 ，常 将 频率 特性 画成 曲 线， 利用 这 些曲 线对 系 统进 行分 析与 研 究。 常见 的图 示 法主 要有 极 坐标 图与 对 数频 率特 性图 两 种。 １ ．极坐 标图 极坐 标 图 又 称 为 幅 相 频 率 特 性 曲 线， 其 特 点 是 将 ω 作 为 参 变 量， 当 ω 从 ０→ ∞ 时 ， Ｇ（ｊ ω）＝｜ Ｇ（ｊ ω）｜ ・８ ６・

在 复平 面上 的 轨迹 就是 频 率特 性 Ｇ（ｊ ω）的 极 坐标 图 。其 特 点 是 在复 平

面上 同时 表示 幅 频特 性和 相 频特 性。 对于 ＲＣ滤波 电 路， 其频 率 特性 １ １ Ｇ（ｊ ω）＝ ＝ （５ ． ８） ２ ２ １＋ｊ ω １＋Ｔ ω 在绘 制极 坐标 图 时， 通常 先 求出 一些 特 殊点 。 当 ω＝０时， Ａ（ω）＝１， φ（ω）＝０° 。 １ １ 当 ω＝ 时， Ａ（ω）＝ ， φ（ω）＝ －４ ５° Ｔ ２ 当 ω→∞ 时 ， Ａ（ω）＝０，φ（ω）＝－９ ０° 在这 些特 殊 点间 适 当 地 取 一些 点 ， 逐 点 连接 成 一 条 平 滑 曲 线 ， 就得 到了 系统 的 极坐 标 图， 如图 ５ ． ２所 示 。在 作 图 时 ，规 定 逆 时 针 方向 为正 角度 ， 顺时 针方 向 为负 角度 。 Ｇ（ｊ ω）的 极坐 标 图 由 于 在 绘 制 时 需 要 逐 点 作出 ， 因此 不 便 于 徒 手作 图。 通常 只 是徒 手 绘制 出极 坐 标 的 草 图， 作 分 析 图。 若 要 精 确 作图 ，可 借助 于 计算 机， 如利 用 ＭＡＴ ＬＡＢ 来完 成 Ｇ（ｊ ω）的 极 坐标 图 的绘 制。 ２ ．伯德 图 图 ５． ２　ＲＣ电 路的 极坐标 图 伯德 图又 称 为对 数 频 率 特 性 曲 线， 它 包括 对数 幅 频 曲 线 和 对 数 相频 曲线 两种 。 对 数 频 率 特 性 曲 线 的 横 坐 标 是 频 率 ω， 并 按 对 数 进 行 分 度， 单 位 为 弧 度 ／ 秒 （ ｒ ａ ｄ／ ｓ ）。 φ（ω） 定义 对数 频 率特 性为 （５ ． ９） Ｌ（ω）＝２ ０ｌ ｇ Ａ（ω） 对数 幅频 特 性曲 线的 纵 坐标 表 示 幅 频的 对 数值 ， 均 匀 分 度 ， 单 位 为分 贝 （ｄ Ｂ） 。 对数相 频 特性 曲线 的纵 坐 标表 示相 频 特性 的相 角 值， 线性 分度 ， 单位 是度 （° ）。当 横坐 标 ω从 １变化 到 １ ０时 ， 相应 的对 数 分度 Ｌ（ω）的变 化 见表 ５ ．１。 表 ５．１　ω在 １～１ ０变 化时 的对数 分度 ω

１

２

３

４

５

６

７

８

９

０

ｌ ｇω

０

０．３ ０１

０． ４７７

０． ６０２

０ ．６９ ９

０ ．７ ７８

０．８ ４５

０．９ ０９

０． ９５４

１

　　 根据 表 ５． １可以 得到 伯德 图 的坐 标， 如 图 ５ ．３所 示。

图 ５．３　 伯德图 的坐 标图

・ ８７・

　　 通常 称 图 ５． ３所 示的 坐 标系 为半 对 数坐 标， 其 主要 优点 为： （１ ） 横 轴按 频率 的 对数 ｌ ｇ ω标 尺刻 度 ，但 标 出 的 是频 率 ω本 身 的数 值 ， 因 此， 横 轴 的 刻 度是 不均 匀的 。 （２ ） 横 轴压 缩了 高 频段 ，扩 展 了低 频段 。 （３ ） 在 ω轴上 ，对 应 于 频 率 每 变 化 一 倍 ， 称 为 一 倍 频程 ，例 如 ω从 １到 ２， 从 ２到 ４， 从 １ ０到 ２０等， 其 长 度均 相等 。对 应 于频 率每 增大 十 倍的 频率 范 围， 称 为 十 倍 频程 （ｄ ｅ ｃ ），例 如 ω从 １到 １ ０，从 ２到 ２ ０， 从 １０到 １０ ０ 等， 所有 十倍 频 程在 ω轴上 的长 度 均相 等。 （４ ） 可 以将 幅值 的 乘除 运算 化 为加 减运 算 。 （５ ） 可以采用 分段线 性的方 法绘 制近似 的 对数幅 频 曲线 ，从 而使 得 频率 特性 的 绘制 大为 简 化。 图 ５． ４是 ＲＣ 滤 波电 路当 Ｔ取 ０． ５时 的系 统 伯德 图。

图 ５．４　 ＬＣ滤波电路伯德 图

５．２　典型环节 的频率 特性 从前 面的 分 析可 知， 控 制系 统的 开 环传 递函 数 总可 以 分 解 为一 些 典型 环节 的 乘积 。 因此 ， 分析 与研 究典 型 环节 的频 率 特性 是频 域 分析 法的 基础 。

５ ．２ ． １　比例 环节 比例 环节 传 递函 数为 Ｇ（ｓ ）＝Ｋ， 则 频率 特性 为 Ｇ（ｊ ω）＝Ｋ

（ ５． １ ０）

根据 系统 对数 频 率特 性的 定 义可 得对 数 幅频 特性 为 Ｌ（ω）＝２０ｌ ｇ Ｋ

（ ５． １ １）

φ（ω）＝０°

（ ５． １ ２）

对数 相频 特性 为 比例 环节 的 伯德 图如 图 ５． ５所示 。 从系 统的 伯 德图 可以 看出 ， 比例 环 节只 有幅 值 放 大 Ｋ 倍的 功能 ，它 能 既无 超前 又 无滞 后地 复 现输 入信 号。

５ ．２ ． ２　积分 环节 积分 环节 的 传递 函数 为 １ Ｇ（ｓ ）＝ ｓ

图５ ．５　比例 环节的 伯德图

频率 特性 为 １ １ Ｇ（ｊ ω）＝ ＝ ｊ ω ω 根据 系统 的对 数 频率 特性 的 定义 可得 ・８ ８・

（ ５． １ ３）

对数 幅频 特 性为 Ｌ（ω）＝２ ０ｌ ｇ Ａ（ω）＝ －２ ０ｌ ｇ ω

（５ ．１ ４）

对数 相频 特 性为 φ（ω）＝ －９ ０°

（５ ．１ ５）

因此 ， 系 统 的 对 数 幅 频 特 性 是 一 条 斜 率 为 －２ ０ｄＢ／ ｄ ｅ ｃ的 直 线， 而对 数 相频 特性 是一 条 平行 于 实 轴且 相角 为 －９ ０° 的 直线 ， 如图 ５ ．６所 示。 从系 统的 伯 德图 可 看 出 ，积 分 环 节 具 有输 出 信 号 幅值 按 －２ ０ｄＢ／ ｄ ｅ ｃ斜 率衰 减 输入 信号 幅值 的 特 性 ， 而 输出 信号 的相 位 永远 滞后 于 输入 信号 ９０°

图５ ．６　积分 环节的伯德图

５ ．２ ． ３　微分 环节 微分 环节 的 传递 函数 为 Ｇ（ｓ ）＝ｓ 频率 特性 为 Ｇ（ｊ ω）＝ｊ ω＝ω

（ ５． １ ６）

根据 系统 的对 数 频率 特性 的 定义 可得 ， 对数 幅频 特 性为 Ｌ （ω）＝２０ｌ ｇ Ａ （ω）＝２ ０ｌ ｇ ω

（ ５． １ ７）

对数 相频 特 性为 φ（ω）＝９ ０°

（５ ． １８）

系统 伯德 图 如图 ５ ．７所 示。 从 图中 可 以 看 出 ，系 统的 对 数 幅 频 特 性 是 一 条 斜 线 为 ２ ０ｄＢ／ ｄ ｅ ｃ的 直 线 ， 它具 有对 输入 信 号 幅 值 按 斜 率 为 ２ ０ｄ Ｂ／ ｄｅ ｃ增 加的 特 性； 而对 数相 频 特性 是 一 条 平 行 于 实 轴 且 相 角 为 ９ ０° 的直 线， 它使 输 出 信 号 超 前 输 入 信 号 ９ ０° 。通 过分 析 可知 微分 环节 是 积分 环 节的 逆运 算 ，它 们 镜像 对称 于 ω轴。 图 ５．７　 微分环 节的 伯德图

５ ．２ ． ４　惯性 环节 惯性 环节 的 传递 函数 为 １ Ｇ（ｓ ）＝ Ｔｓ＋１ 频率 特性 为 １ １ Ｇ（ｊ ω）＝ ＝ ｊ ωＴ＋１ （ωＴ）２ ＋１

（ ５． １ ９）

系统 的对 数 幅频 特性 为 ・ ８９・

１ ２ ＝－２０ｌ ｇ （Ｔω） ＋１ ２ （ωＴ） ＋１

Ｌ （ω）＝２０ｌ ｇ

（ ５． ２ ０）

对数 相频 特 性为 φ（ω）＝－ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎωＴ

（ ５． ２ １）

（１ ） 对 数幅 频特 性 的绘 制 系统 的对 数 幅频 特性 需 逐点 计 算 绘 制 ，较 为 繁 琐 。工 程 上常 用 渐近 线与 线 段 近 似 绘 制 的 方法 。 １ ① 低频 段 ：当 ω＜ ＜ ， Ｌ（ω）＝２ ０ｌ ｇ １＝０，即 表 示系 统 低 频 时， 系统 的 幅频 极性 可 用零 分 Ｔ 贝线 近似 。 １ ② 高频 段： 当 ω＞ ＞ ，Ｌ（ω）＝ －２ ０ｌ ｇ ωＴ， 表示 高 频时 ，系 统 的幅 频特 性 可以 用斜 率为 － Ｔ １ ２ ０ｄ Ｂ／ ｄ ｅ ｃ的直 线 近似 ，与 零 分贝 线交 于 ω＝ 处 。 Ｔ ③ 交接 频 率： 交接 频 率又 称为 转折 频 率， 是系 统 低频 段与 高 频段 相交 的点 。 系统 的对 数 幅频 特性 如 图 ５． ８ （ａ ） 所 示。 由于 利 用渐 近线 来 表示 Ｌ（ω），因 此 ，幅 频特 性 的最 大误 差出 现 在转 折频 率 处， 即 ΔＬ（ω）＝ －２ ０ｌ ｇ Ｌ＋１＝－３ｄ Ｂ。 （２ ） 对 数相 频特 性 的绘 制 １ 低频 段： ω＜＜ ， φ（ω）＝０° Ｔ １ 高频 段： ω＞＞ ， φ（ω）＝－９ ０° Ｔ １ 交接 频率 ： ω＝ ，φ（ω）＝－４５° Ｔ 惯性 环节 的 对数 相频 特性 如 图 ５ ． ８ （ｂ） 所 示 。从 曲线 可 看 出 相 频 特 性 是单 调 并 且 以交 接 频率 为中 心而 斜 对称 的。

图５ ．８　惯性 环节 的伯德 图

５ ．２ ． ５　一阶 微分环节 一阶 微分 环 节的 传递 函 数为 Ｇ（ｓ ）＝１＋Ｔｓ 频率 特性 为 Ｇ（ ｊ ω）＝１＋ｊ ωＴ＝ １＋（ωＴ）２ ・９ ０・

（ ５． ２ ２）

对数 幅频 特 性为 Ｌ（ω）＝２ ０ｌ ｇ Ａ（ω）＝２ ０ｌ ｇ １＋（ωＴ）２

（ ５． ２ ３）

φ（ω）＝ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎωＴ

（ ５． ２ ４）

对数 相频 特 性为 一阶 微分 环 节的 伯德 图 如图 ５． ９所示 。 系统 的两 条 渐近 线为 ０分 贝 线和 斜率 为 ２０ｄ Ｂ／ ｄｅ ｃ的 渐 近线 。

图５ ．９　微分 环节 的伯德 图

５ ．２ ． ６　振荡 环节 振荡 环节 的 传递 函数 为 ２

ωｎ Ｇ（ｓ ）＝ ２ ２ ｓ ＋２ξ ωｎｓ＋ωｎ 式中 ，ξ为 阻 尼比 ；ωｎ 为 无 阻尼 振荡 频 率。 系统 的频 率 特性 为 ω２ｎ １ Ｇ（ｓ ）＝ ＝ ２ ２ ２ （ｊ ω） ＋２ξ ωｎ・ ｓ＋ωｎ ω ω １－ ＋ｊ ２ξ ωｎ ωｎ

（ ５． ２ ５）

振荡 环节 的 对数 幅频 特 性为 １

Ｌ （ω）＝２ ０ｌ ｇ Ａ（ω）＝２ ０ｌ ｇ

２

ω １－ ２ ωｎ

２

（ ５． ２ ６） ω２ ＋４ξ ２ ωｎ ２

对数 相频 特 性为 ω ２ξ ωｎ φ（ω）＝－ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ω２ １－ ２ ωｎ

（ ５． ２ ７）

（１ ） 对 数幅 频特 性 的绘 制 低频 段： ω＜＜ωｎ， Ｌ （ω）＝０，得 到 零分 贝渐 近线 。 ２

２

高频 段： ω＞＞ωｎ， Ｌ （ω）＝－２０ｌ ｇ ω／ ωｎ， 得到 一条 斜率 为 －４ ０ｄＢ／ ｄｅ ｃ的渐 近线 。 交接 频率 ： ω＝ωｎ 从而 得到 系 统对 数幅 频 特性 ，如 图 ５． １０ （ａ ） 所 示。 （２ ）对数 相 频特 性的 绘 制 低频 段： ω＜＜ωｎ， φ（ω）＝０ ・ ９１・

高频 段： ω＞＞ωｎ， φ（ω）＝ －１ ８ ０° 交接 频率 ： ω＝ωｎ，φ（ω）＝－９ ０° 从而 得到 系 统的 对数 相 频特 性， 如 图 ５． １０（ｂ） 所示 。

图 ５．１ ０　振 荡环 节的伯 德图

图 ５． １１为 振荡 环节 随 阻尼 ξ变 化 的伯 德图 。

图 ５． １１　不同 ξ时振 荡环 节的频 率特性

５．３　控制系统的 开环频 率特性 一个 控制 系 统总 是由 若 干个 典型 环 节组 成的 ，当 掌 握了 典型 环 节的 频率 特 性后 ，就 很容 易 求得 系统 的开 环 频率 特性 ， 进而 利用 开 环频 率特 性来 对 系统 进行 分 析与 研究 。 设有 一控 制 系统 ，其 开 环传 递函 数 Ｇ （ｓ ） 等 于回 路中 各串 联 环节 传递 函 数之 和， 即 有 ｎ

Ｇ（ｓ ） ＝ Ｇ１（ｓ ）Ｇ２（ｓ ）…Ｇｎ（ｓ ） ＝ ∏ Ｇｉ（ｓ ）

（５ ． ２ ８）

ｉ＝１

频率 特性 为 ｎ

Ｇ（ｊ ω） ＝Ｇ１（ｊ ω）Ｇ２（ｊ ω）… Ｇｎ（ｊ ω） ＝ ∏ Ｇｉ（ｊ ω） ｉ＝１

５ ．３ ． １　控制 系统的型别 对于 一控 制 系统 ，可 将 它的 开环 传 递函 数按 分子 、 分母 多项 式 来表 示， ・９ ２・

（５ ． ２ ９）

ｍ１

Ｇ（ｓ ）＝

Ｋ ・ ν ｓ

ｍ２

∏ （τｋｓ＋１）∏ （Ｔ２ｌｓ２ ＋２ξｌτｌｓ＋１） ｋ＝ １

ｌ＝１

ｎ１

ｎ２

（５ ． ３ ０）

∏ （τｓ＋１）∏ （Ｔｓ ＋２ξτｓ＋１） ２ ２ ｊ

ｉ

ｉ＝ １

ｊ ｊ

ｊ＝１

其中 ν是系 统开 环 传递 函数 中 串联 积分 环 节的 个数 ，常 称 为系 统的 型 数。 ν＝０时 ，称 系 统为 ０型 系统 （又称 零 阶无 静差 系统 ） ν＝１时 ，称 系 统为 Ｉ型 系统 （又称 一阶 无 静差 系统 ） ν＝２时 ，称 系 统为 Ｉ Ｉ型系 统 （又 称二 阶无 静 差系 统） 系统 的型 别 越高 ，表 明 系统 跟踪 典 型指 令信 号的 消 差能 力越 强 。实 际工 业 控 制 系统 中 ， Ｉ 、 Ｉ Ｉ型采 用 较多 ，而 高 于 Ｉ Ｉ型 的系 统由 于 稳定 性差 而 较少 采用 。

５ ．３ ． ２　控制 系统的开环 伯德图 根据 式 （５ ．２ ９）， 可得 系 统的 开环 对数 幅 频特 性为 ｎ

ｎ

ｎ

Ｌ （ω） ＝２ ０ｌ ｇ Ａ（ω） ＝２ ０ｌ ｇ ｇ Ａｉ（ω） ＝ ∑ Ｌｉ（ω） ∏ Ａｉ（ω） ＝ ∑ ２０ｌ ｉ＝１

ｉ＝１

（５ ． ３ １）

ｉ＝１

系统 的开 环 相频 特性 为 ｎ

φ（ω） ＝ ∑ φｉ（ ω）

（５ ． ３ ２）

ｉ＝１

式 （５ ． ３ １） 说明 ， 对数 幅频 特 性可 以 将幅 值的 乘 积 运 算 转 换 成 加法 运 算， 大大 简 化 了 绘 制开 环对 数幅 频 特性 的方 法 。由 于系 统 的开 环传 递 函数 均 可 看 成是 各 典型 环节 的 组成 ， 因此 ， 在绘 制伯 德图 时 ，可 先画 出 各个 环节 的 伯德 图， 然后 再 将这 些曲 线 叠加 即可 得 到系 统的 开环 伯 德图 。 【例 ５． １】 已知 单位 反 馈控 制系 统 的开 环传 递 函数 为 １ ０ Ｇ（ｓ ）＝ ｓ （０ ． ２ｓ＋１ ） 试绘 制系 统 的开 环伯 德 图。 １ ０ 解： 由传 递 函数 Ｇ（ｓ ）＝ 可 知 ， 该 系 统 主 要 由 比例 环 节 （Ｋ＝１ ０）、 积 分 环 节 ｓ （０ ． ２ ｓ＋１ ） （ １／ ｓ ） 以 及惯 性 环节 （０ ． ２ｓ＋１） 组 成 。 三个 典型 环 节的 对数 频 率特 性曲 线 如图 ５． １ ２曲线 ① 、② 、 ③ 所 示， 将 三个 典 型 环 节的 对 数频 率特 性进 行 叠加 ，即 可 得到 如图 ５． １２曲线 ④ 所示 的系 统开 环 伯德 图。 分析 图 ５． １２可 知： （１ ）系统 开 环伯 德图 前 后端 直线 的 斜率 为 －２ ０ｄＢ／ ｄ ｅ ｃ ，完 全 由 Ｇ （ｓ ） 中含 有的 积 分环 节 数 ν决定 。 （２ ）在 ω＝１时， 曲 线的 伯德 图 幅值 为 ２ ０ｌ ｇ Ｋ， 决定 于比 例 系数 的大 小 。 （３ ）在惯 性 环节 的交 接 频率 ω＝５处 ，曲 线 斜率 由 －２ ０ｄ Ｂ／ ｄ ｅ ｃ变 为 －４ ０ｄＢ／ ｄ ｅ ｃ 。 总结 出近 似 绘制 对数 幅 频特 性曲 线 的步 骤如 下： （１ ）根据 开 环传 递函 数 ，求 出各 典 型环 节的 交接 频 率。 （２ ）最左 端 直线 斜率 为 －２ ０νｄ Ｂ／ ｄ ｅ ｃ ，其 中 ν是 积 分环 节的 个数 。 ・ ９３・

图 ５． １２　例 ５ ．１的 伯德图

（３ ）当 ω＝１时， 最左 端 直线 或其 延长 线 的分 贝值 等 于 ２ ０ｌ ｇ Ｋ。 （４ ）在交 接 频 率 处 ， 曲 线 斜 率 的 变 化 取 决 于 典 型 环 节 的 种 类， 如 惯 性 环 节， 斜 率 减 少 ２ ０ｄＢ／ ｄ ｅ ｃ ；一 阶 微分 环节 ，斜 率 增加 ２０ｄ Ｂ／ ｄｅ ｃ ， 振荡 环节 ， 斜率 则减 少 ４ ０ｄＢ／ ｄ ｅ ｃ 。 绘制 对数 相 频特 性时 ， 首先 绘制 低 频段 的相 位角 ， 每经 过一 个 交接 频率 ， 相应 的相 角就 改 变成 ９０° 或１ ８ ０° 。 其中 称 Ｌ（ω）与 ω轴相 交处 的 频率 ωｃ为 穿越 频率 。 【例 ５． ２】 已知 单位 反 馈系 统的 开 环传 递函 数 为 １ ０（０ ． ５ｓ＋１） Ｇ（ｓ ）＝ ｓ （ｓ＋１ ）（０ ． ０ ５ｓ＋１） 试绘 制出 系 统的 伯德 图 。 解：由开 环 传递 函数 可知 ， 系统 由一 个 比例 环节 、 １个微 分 环 节 、一 个 积 分 环节 和 ２个 惯 性环 节组 成。 （１ ）交接 频 率： （ｓ＋１） → ω１ ＝１（ 惯 性 环节 ） 　　 　 　 （０ ．０ ５ｓ＋１） → ω２ ＝２０ （惯 性 环节 ） 　　 　　 　 （０ ．５ｓ＋１） → ω３ ＝２ （一阶 微 分环 节） （２ ）低频 段 （最 左 端） 直线 斜 率为 －２ ０ν ｄＢ／ ｄ ｅ ｃ＝ －２ ０ｄＢ／ ｄ ｅ ｃ （ν＝１） （３ ）ω＝１时， Ｌ（ω） ＝２ ０ｌ ｇ Ｋ＝２０ｌ ｇ１ ０＝２ ０ｄ Ｂ （４ ）由低 频 段向 高频 段 延 伸 ， 每 经 过 一 个 交 接频 率， 斜 率 改 变 一次 。 因此 ， 当 低 频 段 ω 逐渐 增加 到 ω＝１时遇 到 一个 惯性 环 节， 所以 曲线 斜 率由 －２ ０ｄ Ｂ／ ｄｅ ｃ增 加到 －４０ｄ Ｂ／ ｄｅ ｃ ；当 ω＝２时 ， 系统 遇到 微分 环 节， 斜 率 又 减 小 到 －２０ｄ Ｂ／ ｄｅ ｃ ；当 ω＝２ ０时 ，系 统 又遇 到 惯 性 环 节， 斜率 又变 为 －４ ０ｄＢ／ ｄ ｅ ｃ ， 如图 ５． １ ３所示 。 同理 ，系 统 的相 频特 性 为 φ（ ω）＝ －９ ０°－ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎω＋ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ （０ ．５ω）－ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ（０ ．０ ５ω） 绘制 的对 数相 频 特性 曲线 如 图 ５． １３所 示。

・９ ４・

图５ ．１３　 例 ５．２系统 的伯德 图

５．４　控制系统 的稳定 判据 利用 控制 系 统的 开环 频 率特 性判 断 闭环 系统 的稳 定 性是 一种 较 为实 用的 方 法， 尤其 是对 一 些不 知道 系统 的 开环 传递 函 数的 系统 来 说尤 为 重要 （因 为 频 率 特 性 可用 实 验 的 方 法 绘 出， 而 根轨 迹法 等在 不 知道 开环 传 递函 数时 就 无法 利用 ）。 在频 域系 统 中， 奈奎 斯 特判 据 （简 称奈 氏 判 据 ） 是最 常 用 的 判 断 系 统 稳定 与否 的 一 个 重 要准 则， 而且 该 判据 加以 推 广后 还可 以 应用 于一 些非 线 性系 统中 。 １ ．奈奎 斯特 稳 定判 据 奈奎 斯特 稳 定判 据是 建 立在 复平 面 上根 据幅 角变 化 的基 本规 律 利用 开环 频 率特 性曲 线来 判 断闭 环系 统稳 定 性的 一 种判 据， 由 于该 方 法简 单 、实 用， 因 此 在 实 际 工 程 中得 到了 广 泛 的 应 用。 奈奎 斯特 稳 定判 据内 容 如下 ： 如果 系统 在 开环 状态 下 是稳 定的 ， 闭环 系统 稳定 的 充要 条件 是 ：它 的开 环 幅相 频率 特性 曲 线不 包围 （－１，ｊ ０） 点 。 反之 ，若 曲 线包 围 （－１ ，ｊ ０） 点 ，则 闭环 系 统将 是不 稳 定的 。若 曲 线通 过 （－１， ｊ ０） 点， 则 闭环 系统 处 于稳 定边 界 。 图 ５． １４表 示了 系统 开 环幅 相频 率 特性 的三 种 情况 。

・ ９５・

图５ ．１４　系统开 环幅 相频率 特性曲 线 （ａ）稳 定状 态 　（ｂ）临界 稳定 状 态　（ｃ ）不 稳定状 态

・９ ６・

　　２ ．伯德 图上 的 稳定 判据 极坐 标图 上 的奈 奎斯 特 判据 虽然 应 用简 单， 判断 闭 环系 统的 稳 定性 较为 方 便， 但前 提是 首 先要 画出 开环 系 统的 幅相 频 率特 性曲 线 。由 于该 曲线 作 图并 不方 便 ，因 此， 有 必要 研究 作图 方 便的 伯德 图上 的 奈奎 斯特 判 据。 对数 坐标 图 与极 坐标 图 有下 列对 应 关系 ，参 见图 ５． １５。

图 ５．１５　频 率稳 定判据 在极 坐标图 和对数 坐标图 上的 对照 （ａ）奈 氏 判据 　（ｂ）对 数频 率判据

（１ ） 极 坐标 图 上 以 原 点 为 圆 心 的 单 位 圆 对 应 于 对 数 坐 标 图 上 的 ０ ｄ Ｂ线 〔Ａ（ω）＝１时 ， Ｌ （ω）＝２ ０ｌ ｇ１＝０〕。Ｌ（ω）在 ωｃ 处 穿越 ０ｄ Ｂ线， 因此 又 称 ωｃ 为增 益穿 越 频率 。 （ ２） 极 坐标 图上 的 负实 轴对 应 于对 数坐 标 图上 的 φ（ω）＝ －１８ ０° 线， 这 样， 极坐 标 图上 的 （－１，ｊ ０） 一 个 点和 对数 坐标 图 上 ０ｄ Ｂ线 及 －１ ８ ０° 两 条 线对 应起 来 。 某 系 统的 开 环 频 率特 性 的极 坐标 图和 对 数坐 标图 的 对照 如图 ５． １５所 示。 伯德 图上 的 奈奎 斯特 稳 定判 据可 表 达为 ： 若系 统开 环 是稳 定的 ，则 闭 环系 统稳 定 的充 要条 件 是， 当 Ｌ（ω）线过 ０ｄ Ｂ线时 ，φ（ωｃ）在 －π线 上 方或 当 φ（ω）线到 达 －π时， Ｌ（ωｇ）在 ０ｄ Ｂ线下 方。 【例 ５ ． ３】 已 知 一 反 馈 控 制 系 统 其 开 环 传 递 函 数 Ｋ Ｇ（ｓ ）Ｈ（ｓ ）＝ ２ ，试 用 对数 稳 定判 据 判 断 系统 的 ｓ（Ｔｓ＋１） 稳定 性。 解： （１） 由 开环 传 递函 数知 系 统开 环极 点 ｐ＝０。 （２ ） 做 系统 的 开 环 对 数 频 率 特 性 曲 线 ， 如 图 ５ ． １６ 所示 。 （３ ） 稳 定判 据。 开 环传 递函 数 Ｇ（ｓ ）Ｈ（ｓ ）有 两 个 积 分环 节， ν＝２， 则在 对数 相 频曲 线 ω为 ０＋ 处 ， 补画 从 －ν ９ ０° 到 ０° 的 虚 线 作 为 相 频 特 性 曲 线 的 一 部 分 ，如 图

图 ５．１６　 例 ５．３系统 的伯德 图

５ ． １６所 示。 由图 可 知， Ｌ（ ω）线 过 ０ｄＢ线时 ，φ（ωｃ）在 －π线 下 方， 所以 系 统不 稳定 。

・ ９７・

５．５　系统的 稳定裕 量 一个 正常 工 作的 系统 必 须 是 一 个 稳 定 的系 统， 但 不同 稳 定 系 统 的 相 对 稳定 性并 不 完 全 相 同， 也就 是它 的 稳定 裕量 不 同。 稳定 裕 量是 控制 系统 中 必须 考虑 的 一个 问题 ， 因为 系统 的稳 定 度与 系统 的暂 态 响应 有着 密 切的 关系 。 控制 系统 中表 征 系统 稳定 程 度的 指标 常 用相 角裕 量和 幅 值裕 量来 表示 ， 如图 ５． １ ７所示 。 根据 奈氏 判 据可 知， 系 统开 环 幅相 曲线 临 界 点 附近 的形 状对 闭 环稳 定 性影 响 很 大 ， 曲 线越 是 接 近 临界 点， 系统 的 稳定 程度 就 越 差 。当 系 统 穿 越 临 界 点时 ，系 统处 于 临界 稳定 状 态。 １ ．幅值 裕量 ｋ ｇ 定义 幅 值 裕 量 为 ： 频 率 为 ωｇ 时 对 应 的 幅 值 Ｌ （ωｇ）的 倒 数 ｋ ｇ ＝

１ 。 其 中 ωｇ 为 相 角 等 于 Ｌ （ωｇ）

－１ ８ ０° 时 所对 应的 频 率， 称为 相 角穿 越频 率 ωｇ。或 ２０ｌ ｇ ｋ ＝ －２ ０ｌ ｇＬ（ωｇ） ｇ

（５ ． ３３）

图 ５．１７　相 角裕 量和幅 值裕量

幅值 裕量 ｋ ｇ具有 如 下含 义： 如 果系 统是 稳 定的 ，那 么系 统 的开 环增 益 增大 到 原来 的 ｋ ｇ倍 ， 则原 来的 系统 就 处于 临界 稳 定 状 态， 在 伯 德 图 上 表 现 为开 环 对 数 幅 频 特 性 再向 上移 动 多 少 分 贝， 系统 就不 稳 定了 。如 果 系统 是不 稳 定系 统， 与上 述 描述 相反 。 ２ ．相角 裕量 设幅 频特 性 过零 分贝 时 的频 率为 ωｃ （幅值 穿 越频 率）， 则定 义 相角 裕量 γ为 γ＝１ ８０°＋φ（ωｃ）

（ ５． ３ ４）

相角 裕量 γ指 明了 如果 系统 是 不 稳 定 系统 ，那 么 系 统 的 开 环 相 频 特 性 还需 要改 善 多 少 量 就成 为稳 定的 了 。如 果系 统 是不 稳定 的 ，与 上述 描述 相 反。 对于 某一 控 制系 统， 若 相角 裕量 γ大 于零 ， 幅值 裕 量 ｋ ， 则 系统 稳定 ， 并且 γ和 ｇ大 于 １ ｋ ，则 系统 不 稳定 。 ｇ的值 越 大， 系统 稳定 程 度越 好； 若 γ小于 零， ｋ ｇ小 于 １ 一阶 、二 阶 系统 的 γ总 是大 于 零， 而 ｋ ｇ无 穷大 。 因此 ，理 论 上讲 系统 不 会不 稳定 。 但是 ， 某些 一阶 和二 阶 系统 的数 学 模型 是在 忽 略了 一些 次 要因 素 后 建 立的 ，实 际 系 统 常 常 是 高 阶的 ， 其幅 值裕 度不 可 能无 穷大 。 因此 ，开 环 增益 太大 ，系 统 仍可 能不 稳 定。 γ和 ｋ 可 以 用来 作为 控 制系 统的 开 环频 域性 能指 标 。在 分析 设 计一 个控 制 系统 时， 系统 的 ｇ 性能 常用 γ与 ｋ 的 定量 值 来描 述。 ｇ 在使 用时 ， γ和 ｋ 通 常 是成 对 使 用 的， 但 有 时 也 使 用 一 个 裕 量指 标 ，如 用相 角 裕量 γ来 ｇ 分析 控制 系统 的 性能 指标 。 这时 对于 系 统的 绝对 稳定 性 的分 析没 有 什么 影 响， 但是 在 γ较大 ， 而 ｋ ｇ较小 的 情况 下， 对 于系 统动 态 性能 的影 响 是很 大的 。 １０ ０ ０（ｓ＋１） 【例 ５． ４】 已知 某单 位 负反 馈控 制 系统 的开 环 传递 函数 为 Ｇ（ｓ ）＝ ２ ，试 判 断该 闭 ｓ（ｓ＋１０ ０） 环系 统的 稳定 性 ，并 计算 稳 定裕 量。 ・９ ８・

解： （１）判 断系 统的 稳 定性 将原 开环 传 递函 数写 成 标准 形式 如 下 １ ０（ｓ＋１） Ｇ（ｓ ）＝ ２ ｓ（０ ．０ １ｓ＋１） 画出 该开 环 系统 的伯 德 图。 先画 积 分环 节， 再画 比 例微 分和 惯 性环 节。 其参 数为 ： 当 ω＝１时， Ｌ（ω）＝２ ０ｌ ｇ Ｋ＝２ ０ｌ ｇ １ ０ｄ Ｂ＝２ ０ｄ Ｂ＝２ ０ｄＢ １ １ ω１ ＝ ＝ ｒ ａ ｄ／ ｓ＝１ｒ ａ ｄ／ ｓ Ｔ１ １ １ １ ω２ ＝ ＝ ｒ ａ ｄ／ ｓ＝１ ０ ０ｒ ａ ｄ／ ｓ Ｔ ０ ． ０１ ２ Ｇ（ｊ ω）的 伯德 图如 图 ５ ． １ ８所 示 。 从伯 德图 中 可以 看出 ， 在 Ｌ（ω）＞０ｄ Ｂ的 范 围 内， φ（ ω）曲线 在 －１８ ０°线 上 方 ， 所 以 闭 环系 统稳 定。 （２ ）求相 角 裕量 γ和幅 值裕 量 ｋ ｇ 当 ω ＝ ωｃ 时 ， 有 Ｌ（ωｃ ） ＝ ０ ｄ Ｂ， 即 ｜ Ｇ（ｊ ωｃ）｜＝１ 。 从图 中可 以 看出 ，ωｃ ＞ω１ 且 ωｃ ＜ω２。 根据 伯德 图 的近 似 画 法 （渐 近 线 ），可 认 为 ：ωｃ ＞＞ ω１； ωｃ ＜ω２。取 渐近 模 值方 程为 ｜ Ｇ（ｊ ωｃ）｜＝ ２ ωｃ

１ ０ ω２ｃ ＋１

１０（ωｃ ＋０） ≈ ２ ＝１ ） （０． ０ １ωｃ） ＋１ ωｃ（０＋１ ２

图 ５．１８　例 ５ ．４系 统的伯 德图

解之 得 　　 　　 １０ｒ ａ ｄ／ ｓ ）＝ －２×９０°＋ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎωｃ －ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ０ ． ０ １ωｃ

ｃ

８ ０°＋φ（ωｃ）＝ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ１０－ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ（０． ０ １×１ ０）＝７８ ． ６° 又因 为 φ（ω）位 于 －１ ８ ０°线 上 方 ， 与 －１ ８０ ° 线 无 交 点 。可 理 解 为 当 ω→ ∞ 时， φ（ω）与 －１ ８ ０° 线 相交 ，所 以 ｋｇ→∞ 。 可见 ，此 系 统不 但稳 定 ，而 且稳 定 裕量 足够 大。 通过 例题 分 析可 知： （１ ） 对 于最 小相 位 系统 （即开 环 传 递 函数 无 右极 点的 系 统）， 若 ωｃ ＝ωｇ， 则闭 环 系 统 临 界稳 定。 （２ ） 若 ωｃ ＜ωｇ， 则闭 环系 统 稳定 。 （３ ） 若 ωｃ ＞ωｇ， 则闭 环系 统 不稳 定。 ・ ９９・

通常 ，对 一 个控 制系 统 的稳 定裕 度 要求 为 γ＞４ ０°～６０° ｋｇ ＞２～３或 ２ ０ｌ ｇｋ ６～１０ｄ Ｂ ｇ ＞

５．６　ＭＡＴＬＡＢ绘制系统的频率特性图 利用 ＭＡＴ ＬＡＢ 绘制 系 统的 频率 特 性图 ，是 指 绘 制 伯 德 图 、奈 奎 斯特 曲 线 等 ，所 用 的函 数 主要 是 Ｃｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌＳｙ ｓ ｔ ｅ ｍ Ｔｏ ｏ ｌ ｂｏ ｘ中 的 ｂｏ ｄｅ 、ｎｙ ｑｕ ｉ ｓ ｔ等 函 数。 命令 ｎ ｙ ｑｕ ｉ ｓ ｔ可 以 计算 连续 时间 、 线性 定常 系 统的 频率 响 应。 当命 令 中不 包含 左端 变 量时 ， ｎ ｙ ｑｕ ｉ ｓ ｔ仅 在 屏幕 上产 生 奈奎 斯特 图 。 命令 ｎ ｙ ｑｕ ｉ ｓ ｔ（ｎ ｕｍ ，ｄｅ ｎ）将 在屏 幕 上画 出下 列 传递 函数 的奈 奎 斯特 图 ｎ ｕ ｍ（ｓ ） Ｇ（ｓ ）＝ ｄ ｅ ｎ （ｓ ） 式中 ，ｎ ｕ ｍ （ｓ ）和 ｄ ｅ ｎ（ｓ ） 分 别 为以 ｓ的 降 幂排 列的 分 子、 分母 多 项式 系数 向量 。 命令 ｎ ｙ ｑ ｕ ｉ ｓ ｔ（ｎ ｕ ｍ ，ｄ ｅ ｎ，ω）利 用 了用 户指 定 的频 率矢 量 ω。 矢量 ω 指出 了 以 ｒ ａ ｄ／ ｓ表 示 的诸 频率 点， 在 这些 频率 点 上， 将对 系 统的 频率 响应 进 行计 算。 当命 令中 包 含左 端变 量 时， 即 ［ｒ ｅ，ｉ ｍ ，ω］ ＝ｎ ｙ ｑ ｕｉ ｓ ｔ（ｎ ｕ ｍ，ｄ ｅ ｎ ） 或 ［ｒ ｅ， ｉ ｍ ，ω］ ＝ｎ ｙ ｑ ｕｉ ｓ ｔ（ｎ ｕ ｍ ，ｄｅ ｎ， ω） ＭＡＴＬ ＡＢ 将 把系 统的 频 率响 应表 示成 矩 阵 ｒ ｅ ，ｉ ｍ 和 ω，在屏 幕上 不产 生 图形 。矩 阵 ｒ ｅ和 ｉ ｍ包 含系 统频 率响 应 的实 部和 虚 部， 它们 都 是 在 矢 量 ω 中 指 定点 的频 率 点上 计 算得 到的 。 应当 指 出， 矩阵 ｒ ｅ和 ｉ ｍ 包 含 的列 数与 输出 量 的数 目 相同 ，而 ω 中 的每 一 个元 素与 ｒ ｅ和 ｉ ｍ 中的 一 行相 对应 。 命令 ｂ ｏ ｄｅ可以 计 算线 性连 续 定常 系统 频 率响 应的 幅值 和 相角 。当 不 带左 端变 量 时， ＭＡＴ－ Ｌ ＡＢ 可以 在 屏幕 上产 生 伯德 图。 当包 含左 端 变量 时， 即 ［ｍａ ｇ ，ｐ ｈａ ｓ ｅ ，ω］ ＝ｂ ｏ ｄ ｅ（ｎ ｕｍ，ｄ ｅ ｎ，ω） 命令 ｂ ｏ ｄ ｅ将把 系统 的 频率 响应 转 变成 ｍａ ｇ ，ｐ ｈ ａ ｓ ｅ和 ω 矩阵 ， 这 时 在 屏 幕 上不 显 示 频 率响 应 图。 矩阵 ｍａ ｇ和 ｐｈ ａ ｓ ｅ包 含 系统 频率 响 应的 幅值 和相 角 ，这 些幅 值 和相 角值 是 在用 户指 定的 频 率点 上计 算得 到 的。 相角 以 度来 表示 ， 表达 式 ｍａ ｇ ｄ Ｂ＝２ ０＊ ｌ ｏ ｇ １ ０（ｍａ ｇ ） 可 以把 幅 值 转 变成 分 贝。 为了 指明 频 率范 围， 采 用命 令 ｌ ｏ ｇ ｓ ｐ ａ ｃ ｅ（ｄ １，ｄ ２） 或 ｌ ｏ ｇ ｓ ｐ ａ ｃ ｅ（ｄ １，ｄ ２，ｎ）。ｌ ｏ ｇ ｓ ｐ ａ ｃ ｅ（ｄ １， ｄ２ ｄ ２） 在两 个 十进 制数 １ ０ｄ１和 １０ 之间 产生 一个 由 ５ ０个 点组 成的 矢 量， 这 ５ ０个点 彼此 在 对数 上

有相 等的 距离 。 这就 是说 ， 在 ０． １ｒ ａ ｄ／ ｓ与 １ ００ｒ ａ ｄ／ ｓ之 间将 产 生 ５０个点 。为 此输 入 命令 ω＝ｌ ｏ ｇ ｓ ｐ ａ ｃ ｅ（－１ ，２ ） ｌ ｏ ｇ ｓ ｐａ ｃ ｅ（ｄ １，ｄ ２，ｎ ） 在十 进制 数 １ ０ｄ１和 １０ｄ２之 间产 生 ｎ个在 对数 上 相等 距 离 的 点。 例 如为 了 在 １ｒ ａ ｄ／ ｓ与 １ ００ ０ｒ ａ ｄ／ ｓ之 间产 生 １ ０ ０个点 ，输 入 下列 命令 ・１ ０ ０・

ω＝ｌ ｏ ｇ ｓ ｐ ａ ｃ ｅ（０，３，１ ００） 当画 伯德 图时 ， 为了 将这 些 频率 包括 进 去， 采用 命令 ｂ ｏ ｄｅ（ｎ ｕ ｍ，ｄ ｅ ｎ ，ω）。现 举例 说 明。 【例 ５． ５】已 知 典型 二阶 系统 ２

ωｎ Ｇ（ｓ ）＝ ２ ２ ｓ ＋２ξ ωｎｓ＋ωｎ 试绘 制不 同 ξ时 的伯 德图 。 解： 假设 ωｎ ＝５ ， ξ取 ［０ ． ２ ，０ ． ４，０ ． ５ ，０ ． ６，０ ． ７ ，０ ． ８，１ ． ０］ 时， 程序 ｐ ｒ ｏ ｇ ｒ ａ ｍ５－１ ． ｍ可 得到 系统 的伯 德 图， 如图 ５． １９所示 。

图 ５． １９　典型 二阶 系统的 伯德图

％ｐ ｒ ｏ ｇ ｒ ａ ｍ５－１ ．ｍ； ωｎ ＝５； ｋ ｏ ｓ ｉ＝ ［ ０ ．２，０ ．４，０． ５，０． ６，０． ７，０． ８ ，１． ０ ］； ω＝ｌ ｏ ｇ ｓ ｐａ ｃ ｅ（－１，１，１ ００）； ｆ ｉ ｇ ｕ ｒ ｅ （１） ｎ ｕ ｍ ＝ ［ωｎ＾ ２］ ｆ ｏ ｒｋｏ ｓ＝ｋ ｏ ｓ ｉ ｄ ｅ ｎ＝ ［１，２＊ ｋ ｏ ｓ ＊ωｎ，ωｎ＾ ２ ］； ［ｍａ ｇ ， ｐｈ ａ ， ωｌ］ ＝ｂ ｏ ｄ ｅ（ｎｕ ｍ，ｄ ｅ ｎ，ω）； ｓ ｕ ｂｐ ｌ ｏ ｔ（２，１，１）；ｈ ｏ ｌ ｄｏ ｎ ｓ ｅ ｍｉ ｌ ｏ ｇ ｘ （ωｌ，２ ０＊ ｌ ｏ ｇ （ｍａ ｇ ））； ｓ ｕ ｂｐ ｌ ｏ ｔ（２，１，２）；ｈ ｏ ｌ ｄｏ ｎ ｓ ｅ ｍｉ ｌ ｏ ｇ ｘ （ωｌ， ｐ ｈ ａ ）； ｅ ｎ ｄ ・１ ０１・

ｓ ｕ ｂｐ ｌ ｏ ｔ（２，１，１）；ｇ ｒ ｉ ｄｏ ｎ ｔ ｉ ｔ ｌ ｅ（′ Ｂｏ ｄ ｅｐ ｌ ｏ ｔ ′ ）； ｘ ｌ ａ ｂ ｅ ｌ（′ Ｆ ｒ ｅ ｑ ｕｅ ｎ ｃ ｙ（ｒ ａ ｄ／ ｓ ｅ ｃ ）′ ）； ｙ ｌ ａ ｂ ｅ ｌ（′ Ｇａ ｉ ｎｄＢ′ ）； ｓ ｕ ｂｐ ｌ ｏ ｔ（２，１，２）； ｇ ｒ ｉ ｄｏ ｎ ｘ ｌ ａ ｂ ｅ ｌ（′ Ｆ ｒ ｅ ｑ ｕｅ ｎ ｃ ｙ（ｒ ａ ｄ／ ｓ ｅ ｃ ）′ ）； ｙ ｌ ａ ｂ ｅ ｌ（′ Ｐ ｈａ ｓ ｅｄ ｅ ｇ ′ ）； ｈ ｏ ｌ ｄｏ ｆ ｆ －１

１

其中 函数 ｌ ｏ ｇ ｓ ｐａ ｃ ｅ（－１，１，１ ０ ０） 是 产 生 由 １ ０ 到１ ０ 对数 分 度 的 １ ０ ０值 的 矢 量 ；函 数 ｓ ｅ ｍｉ ｌ ｏ ｇ ｘ则 绘 制横 坐标 是对 数 分度 、纵 坐 标是 线性 分 度的 半对 数坐 标 曲线 。 【例 ５． ６】设 某 系统 的开 环传 递 函数 为 ４ Ｇ（ｓ ）＝ ２ ｓ ＋１ ． ２ｓ＋４ 试绘 制系 统的 奈 奎斯 特曲 线 。 解： 利用 ＭＡＴＬ ＡＢ 的 Ｎｙ ｑ ｕｉ ｓ ｔ函 数 绘 制 系 统 的 奈奎 斯特 曲线 ， 如图 ５ ． ２ ０所示 。程 序 为 ｐｒ ｏ ｇ ｒ ａ ｍ５－ ２ ．ｍ。 ％ｐ ｒ ｏ ｇ ｒ ａ ｍ －２． ｍ ［ｎ ｕ ｍ］ ＝４ ； ［ｄ ｅ ｎ］ ＝ ［１１． ２４］； ｎ ｙ ｑｕ ｉ ｓ ｔ（ｎ ｕ ｍ，ｄｅ ｎ）； 图 ５．２０　二 阶系统 的奈 奎斯特 曲线

ｔ ｉ ｔ ｌ ｅ（′ Ｎｙ ｑｕ ｉ ｓ ｔＰ ｌ ｏ ｔ ′ ）；

小　　结 频率 分析 法 是自 动控 制 系统 中非 常 重要 的分 析方 法 之一 ，也 是 工程 上应 用 最为 广泛 的分 析 方法 。频 率特 性 是线 性系 统 在正 弦函 数 输入 下， 稳态 输 出与 输入 之 比对 频率 的 关系 ，它 具有 同 频、 变幅 与相 移 的性 质； 频 率特 性是 传 递函 数的 一种 特 殊形 式， 将 传递 函数 中 的 ｓ换成 纯虚 数 ｊ ω 就可 以得 到该 系 统的 频率 特 性； 频率 特 性也 可 以 通 过实 验 的 方 法 确定 ， 这 对 于不 易 写 出 数 学模 型的 系统 非 常有 用。 系统 的频 率 特性 包括 幅 频特 性和 相 频特 性。 由于 系 统的 开环 频 率特 性可 以 写成 因式 乘积 的 形式 ，而 这些 因 式就 是典 型 环节 的频 率 特性 ，因 此研 究 典型 环节 的 频率 特性 是 对系 统进 行频 率 分析 的基 础。 常 用的 典 型环 节有 ： 比例 环 节、 积分 环 节、 微 分 环 节 、惯 性 环节 、 一 阶 微 分 环 节、 振荡 环节 等 。 系统 开环 频 率特 性的 几 何表 示法 主 要有 开环 极坐 标 图和 开环 伯 德图 。开 环 极坐 标图 由于 绘 制较 为繁 琐， 在 实际 应用 中 较少 使用 。 开环 伯德 图由 于 手工 绘制 草 图较 为简 便 ，在 工程 中应 用 较为 广泛 。绘 制 开环 伯德 图 幅频 特 性 的 方法 为 ： （１） 将 开环 传递 函 数化 简 为标 准形 式 ，计 算 每一 典型 环节 所 对应 的转 折频 率 并标 在 ω 轴上 ；（２） 确定 低 频 段 的斜 率 和位 置； （３） 绘制 系 ・１ ０ ２・

统开 环频 率伯 德 图， 由低 频 段向 高频 段 延伸 ，每 经过 一 个转 折频 率 ，斜 率作 相 应改 变。 绘制 开 环伯 德图 相频 特 性的 方法 为 ：确 定 ω＝０、 转折 频 率 ωｃ及 ω＝∞ 时 的相 角， 再 根据 典型 环节 相 频特 性连 接成 光 滑曲 线即 可 。 系统 的稳 定 是进 行分 析 与研 究的 基 础。 利用 频率 特 性判 断系 统 是否 稳定 的 判据 主要 有奈 奎 斯特 稳定 判据 。 它有 两种 描 述， 一种 针 对开 环极 坐标 图 ，其 内容 为 ：如 果系 统 在开 环状 态下 是 稳定 的， 闭环 系 统稳 定的 充 要条 件是 ： 它的 开环 幅 相频 率特 性 曲线 不 包 围 （－１， ｊ ０） 点。 反 之， 若曲 线包 围 （－１，ｊ ０） 点 ，则 闭 环系 统将 是 不稳 定的 。若 曲 线通 过 （－１，ｊ ０ ） 点 ，则 闭 环系 统处 于稳 定 边界 。另 一 种针 对开 环 伯德 图， 其内 容 为： 若系 统 开环 是稳 定 的， 则闭 环系 统 稳定 的充 要条 件 是： 当 Ｌ（ω）线过 ０ｄＢ线时 ，φ（ωｃ）在 －π 线上 方或 当 φ（ω）线到 达 －π 时， Ｌ （ ωｇ）在 ０ｄ Ｂ线 下 方。 利用 频率 特 性进 行系 统 性能 分析 的 主要 指 标有 相角 裕 量 γ和 幅值 裕 量 ｋｇ。 对于 某 一 控 制 系统 ，若 相角 裕 量 γ大 于零 ，幅 值 裕量 ｋ 大于 １， 则 系 统 稳定 ，并 且 γ和 ｋｇ的 值越 大 ，系 统 ｇ 稳定 程度 越好 ； 若 γ小 于零 ，ｋ ， 则系 统不 稳 定。 在使 用时 ， γ和 ｋｇ通 常是 成对 使 用的 ， ｇ小于 １ 但有 时也 使用 一 个裕 量指 标 ，如 用相 角 裕 量 γ来 分 析 控制 系 统 的 性 能指 标 。这 时对 于 系 统 的 绝对 稳定 性的 分 析没 有什 么 影响 ，但 是 在 γ较 大 而 ｋ ｇ较 小的 情况 下 ， 对 于 系统 动 态 性 能的 影 响较 大。 通常 ， 对一 个控 制 系统 的稳 定 裕量 要求 为 γ＞４ ０°～６０° ｋ ＞３或 ２ ０ｌ ｇｋ ＞１ ０ｄ Ｂ ｇ ｇ

习　　题 ５． １　 设系统 的开环 传递函 数如 下，试 画出系统的 开环对 数频率 特性 曲线。 １０ （１）Ｇ（ｓ ）＝ ２ｓ＋１ １０ （２）Ｇ（ｓ ）＝ （２ｓ＋１）（８ｓ＋１） １ ０ （３）Ｇ（ｓ ）＝ ２ ｓ（ｓ＋１）（１０ｓ＋１） ５． ２　 已知最 小相位 系统的 开环 对数幅 频渐近 线如图 ５． ２１所 示，试 写出其 对应 的开环 传递函 数。

・１ ０３・

图 ５． ２１　控制 系统 的开环 对数幅 频特性

・１ ０ ４・

　　５． ３　 某最小 相位系 统的开 环对 数幅频 特性如 图 ５．２ ２所示， 试写出 系统的 开环 传递函 数。

图 ５．２ ２　系 统的 开环对 数幅频 特性 ５． ４　 某最小 相位如 图 ５．２３所 示，要 求： （１） 试 写出系 统的开 环传 递函数 。 （２） 利 用相位 裕度判 断系 统稳定 性。 （３） 将 其对数 幅频特 性向 右平移 十倍频 程，试 讨论对 系统 性能的 影响。

图 ５． ２３　系统 开环 对数频 率特性 ５． ５　 已知单 位反馈 系统的 开环 传递函 数为 ｓ ＋１ ２ Ｇ（ｓ ）＝ ｓ ｓ ＋１ ＋１ ｓ （ｓ＋１） １０ ２０ １００

试求系 统的相 角裕度 和幅 值裕度 。 ５． ６　 设单位 反馈控 制系统 的开 环传递 函数为 Ｋ Ｇ（ｓ ）＝ （０．０ １ｓ＋１）３ 试确定 它的相 角稳定 裕量 为 ４５° 时 ，Ｋ的取 值。 ５． ７　 设最小 相位系 统的开 环频 率特性 曲线如 图 ５ ．２４所示， 试 求 其开 环传递 函数 ，并绘 制出 对 应的 相 频 特性曲 线，再 判断其 闭环系 统的 稳定性 。

图 ５．２４　 系统 的开环 频率特 性

・１ ０５・

　 　５． ８　已 知某控 制系统 的开 环对数 幅频特 性如 图 ５．２ ５所示， 试写 出该系 统的 开 环传 递 函 数，并 求 其 相位稳 定裕度 。

图 ５．２ ５　系 统的 开环对 数幅频 特性 ５． ９　 已知典 型Ⅱ型 系统的 开环 对数幅 频特性 如图 ５． ２６所示 ，试 求该系 统 的相 位 稳 定裕 度 γ为多 少？若 要求此 系统的 相位稳 定 裕 度 γ为 最 大， 则 其开 环 增 益 Ｋ值 应 为 多 少？ 此 时 的 γｍａｘ又 为 多 少？ （已 知 ω１ ＝ ６ｒ ａｄ／ ｓ ，ω２ ＝１５０ｒ ａｄ／ ｓ 。 ）

图 ５．２ ６　系 统的 开环对 数幅频 特性 ５． １０　试 用 ＭＡＴＬＡＢ绘制 题 ５．１各系 统的开 环对数 频率特 性曲 线。

・１ ０ ６・

第 ６章 　 自 动 控 制 系 统 的 性 能 分 析

自动控 制系统 设计的 主要任 务是： （１） 根据 控制要 求建立数学模 型。（２） 分 析控 制系统 的性能 指 标， 包括系 统的稳 定性分 析、稳 态性能 分析 和动态 性能分析。 （３） 利 用调 节器或 各种 算法对 控制系 统 进行 校正和 最优化 设计。 前面几 章已讨 论了系 统稳定 性分析 的各 种方法，本章 将 主 要研究 系统 稳态、 动态性 能指 标及这 些 指标 对系统 性能的 影响。 　

６．１　自动控制系统 的稳态 性能分析 自动 控制 系 统的 输出 量 一般 包含 两 个分 量， 一个 是 稳态 分量 ， 另一 个是 暂 态分 量。 暂态 分量 反 映了 控制 系 统的 动态 性 能。 对于 稳定 的 系统 ，暂 态 分量 随着 时 间的 推移 将逐 渐 减少 并最 终趋 向 于零 。稳 态 分量 反映 系 统的 稳态 性能 ， 它反 映控 制 系统 跟随 给 定量 和抑 制扰 动 量的 能力 和准 确 度。 稳态 性 能的 好坏 一 般以 稳态 误差 的 大小 来度 量 。

６ ．１ ． １　系统 稳态误差的 概念 １ ．系统 误差 ｅ （ｔ ） 图６ ．１是 一 个典 型控 制系 统 ，其 中输 入 为 Ｒ（ｓ ）， 扰动 为 Ｄ（ｓ ）， 输 出为 Ｃ（ｓ ）。系 统误 差 ｅ （ ｔ ） 的定 义为 ， 理论 值 ｃｒ（ｔ ） 与 实际 值 ｃ （ｔ ） 之差 ， 即 ｅ （ｔ ） ＝ｃ （ｔ ）－ｃ （ｔ ） ｒ

图６ ．１　典型 控制 系统框 图

在 ｓ平面 ，系 统 误差 可表 示 为 Ｅ（ｓ ） ＝Ｃｒ（ｓ ） －Ｃ（ｓ ）

（６ ． １）

对于 输出 理论 值 ，通 常以 偏 差信 号 Ｅ（ｓ ） 为 零来 确定 理 论值 ，即 Ｅ（ｓ ） ＝ Ｒ（ｓ ）－Ｈ（ｓ ）Ｃｒ（ｓ ） ＝０ 因此 ，输 出理 论 值 ・１ ０７・

Ｃｒ（ｓ ）＝

Ｒ（ｓ ） Ｈ（ｓ ）

代入 式 （６ ． １）， 系统 的 误差 为 Ｅ（ｓ ）＝

Ｒ（ｓ ） －Ｃ（ｓ ） Ｈ（ｓ ）

（６ ． ２）

系统 的实 际输 出 量由 图 ６ ． １可 得 Ｇ１（ｓ ）Ｇ２（ｓ ） Ｇ２（ｓ ） Ｃ（ｓ ）＝ Ｒ（ｓ ）＋ ［－Ｄ（ｓ ）］ １＋Ｇ１（ｓ ）Ｇ２（ｓ ）Ｈ（ｓ ） １＋Ｇ１（ ｓ ）Ｇ２（ｓ ）Ｈ（ｓ ）

（６ ． ３）

将 Ｃｒ （ｓ ） 及 Ｃ （ｓ ） 的 值代 入 式 （６ ． ２） 可 得系 统误 差 Ｅ （ｓ ） Ｅ（ｓ ）＝Ｃｒ（ｓ ）－Ｃ（ｓ ） Ｇ１（ｓ ）Ｇ２（ｓ ） Ｇ２（ｓ ） Ｒ（ｓ ） ＝ － Ｒ（ｓ ）－ Ｄ（ｓ ）］ Ｈ（ｓ ） １＋Ｇ１（ｓ ）Ｇ２（ｓ ）Ｈ（ｓ ） １＋Ｇ１（ｓ ）Ｇ２（ｓ ）Ｈ（ｓ ） Ｇ２（ｓ ） １ ＝ Ｒ（ｓ ）＋ Ｄ（ｓ ） ［１＋Ｇ１（ ｓ ）Ｇ２（ｓ ）Ｈ（ｓ ）］Ｈ（ｓ ） １＋Ｇ１（ｓ ） Ｇ２（ｓ ）Ｈ（ｓ ） ＝Ｅｒ（ｓ ）＋Ｅｄ（ｓ ）

（６ ． ４）

式中 ，Ｅｒ （ｓ ） 为输 入量 产 生的 误差 （又称 跟 随误 差）。 Ｅｒ（ｓ ）＝

１ Ｒ（ｓ ） ［ １＋Ｇ１（ｓ ）Ｇ２（ｓ ）Ｈ（ｓ ）］Ｈ（ｓ ）

（６ ． ５）

Ｅｄ （ｓ ） 为 扰动 量产 生 的误 差 Ｇ２（ｓ ） Ｅｄ（ｓ ）＝ Ｄ（ｓ ） １＋Ｇ１（ｓ ）Ｇ２（ｓ ）Ｈ（ｓ ）

（６ ． ６）

对 Ｅｒ （ｓ ）进 行拉 氏逆 变 换， 即可 得 ｅ ｔ ），ｅ ｔ ） 为 跟 随动 态误 差。 ｒ（ ｒ（ 对 Ｅｄ （ｓ ）进 行拉 氏逆 变 换， 即可 得 ｅｄ（ｔ ），ｅ ｔ ） 为扰 动 动态 误差 。 ｄ（ 两者 之和 即 为系 统动 态 误差 ： ｅ （ｔ ）＝ ｅ ｔ ）＋ｅ ｔ ） ｒ（ ｄ（

（６ ． ７）

上式 表明 ， 系统 的误 差 ｅ（ｔ ）为 时 间 的 函 数 ， 是 一 个 动 态 变 化 量， 它 是 跟 随 动 态 误 差 ｅ ｔ ） 和扰 动 动态 误差 ｅ ｔ ） 的代 数 和。 ｒ（ ｄ（ ２ ．系统 稳态 误 差 ｅ ｓｓ 对于 稳定 的 系统 ，当 ｔ→ ∞ 时， ｅ（ｔ ） 的 极限 值 为稳 态误 差 ｅ ，即 ｓｓ ｅ ｉ ｍｅ （ｔ ） ｓｓ ＝ｌ

（６ ． ８）

ｅ ＝ｌ ｉ ｍｅ （ｔ ）＝ｌ ｉ ｍｓ Ｅ（ｓ ） ｓｓ

（６ ． ９）

ｔ → ∞

根据 拉氏 变换 终 值定 理， 可 得 ｔ→ ∞

ｓ→ ０

由式 （ ６ ．５）、（６ ．６） 得 ： （１ ） 输 入稳 态误 差 （跟 随 稳态 误差 ） ｅ ＝ｌ ｉ ｍｓ Ｅｒ（ｓ ）＝ｌ ｉ ｍ ｓｓｒ ｓ→ ０

ｓ→ ０

ｓ Ｒ（ｓ ） ［１＋Ｇ１（ｓ ）Ｇ２（ｓ ）Ｈ（ｓ ）］Ｈ（ｓ ）

（ ６． １ ０）

（２ ） 扰 动稳 态误 差 ｓ Ｇ２（ｓ ）Ｄ（ｓ ） ｅ ＝ｌ ｉ ｍｓ Ｅｄ（ｓ ）＝ｌ ｉ ｍ ｓｓｄ ｓ→ ０ ｓ→ ０ １＋Ｇ （ ｓ ） Ｇ （ ｓ ） Ｈ（ｓ ） １ ２ ・１ ０ ８・

（ ６． １ １）

因此 系统 的 稳态 误差 为 ｅ ＝ｅ ＋ｅ ｓｓ ｓｓｒ ｓｓｄ ＝ｌ ｉ ｍ ｓ→ ０

ｓ Ｇ２（ｓ ）Ｄ（ｓ ） ｓ Ｒ（ｓ ） ＋ｌ ｉ ｍ ［１＋Ｇ１（ｓ ）Ｇ２（ｓ ）Ｈ（ｓ ）］Ｈ（ｓ ） ｓ→ ０ １＋Ｇ１（ｓ ）Ｇ２（ｓ ）Ｈ（ｓ ）

（ ６． １ ２）

６ ．１ ． ２　系统 稳态误差与 系统型别 、开环增益 间的关系 一个 控制 系 统总 可以 分 解为 一些 典 型的 环节 。设 控 制系 统的 传 递函 数为 ２ ＫΠ （τ ｓ＋１） （ ｂ ｓ ＋ｂ ｓ＋１） ２ １ Ｇ（ｓ ） ＝ν ２ ｓΠ （Ｔｓ＋１） （ａ ｓ ＋ａ ｓ＋１） ２ １

（ ６． １ ３）

ν

在这 些典 型环 节 中， 当 ｓ →０时 ，Ｇ（ｓ ） 中 除 Ｋ和 ｓ外， 其 他各 项均 趋 于 １。这 样， 系 统的 稳 态误 差将 主要 取 决于 系统 中 的比 例和 积 分环 节， 这是 一 个十 分重 要 的结 论。 １ ．跟随 稳态 误 差 ｅ ｓｓｒ 在图 ６． １所 示的 典型 系统 中 ，设 Ｇ１（ｓ ） 中 包含 ν 个 积分 环 节 （ν 为扰 动 作用 点前 的积 分 １ １ 环节 个数 ），其 增益 为 Ｋ１，于 是 ｌ ｉ ｍＧ１（ｓ ） ＝ｌ ｉ ｍ ｓ → ０

ｓ→ ０

Ｋ１ ν１ ｓ

（ ６． １ ４）

设 Ｇ２（ｓ ） 中包 含 ν ν ， 其增 益 为 Ｋ２， 于 ２ 个积 分环 节 （ ２ 为 扰动 作用 点 后的 积分 环 节个 数） 是 ｌ ｉ ｍＧ２（ｓ ）＝ｌ ｉ ｍ ｓ→ ０

ｓ → ０

Ｋ２

（ ６． １ ５）

ν２ ｓ

设 Ｈ（ｓ ） 中 不包 含积 分 环节 ，其 增 益为 α， 于是 ｌ ｉ ｍＨ（ｓ ）＝α

（ ６． １ ６）

ｓ → ０

将式 （６ ．１ ４ ）、 （６． １ ５） 及式 （６ ． １６） 代入 式 （６ ． １ ０） 有 　　 　　 ｅ ＝ｌ ｉ ｍ ｓｓｒ ｓ→ ０

＝ｌ ｉ ｍ ｓ→ ０

ｓ Ｒ（ｓ ） ［１＋Ｇ１（ｓ ）Ｇ２（ｓ ）Ｈ（ｓ ）］Ｈ（ｓ ） ｓ Ｒ （ｓ ） ｓ Ｒ （ｓ ） ＝ｌ ｉ ｍ ｓ→ ０ Ｋ１Ｋ２α Ｋ １＋ ν α １＋ （ν ＋ν ） α ｓ ｓ１ ２

（ ６． １ ７）

式中 ，Ｋ１Ｋ２α＝Ｋ （开环 增益 ）， ν 前 向通 路积 分 环节 个数 ）。 １ ＋ν ２ ＝ν （ 此外 ，当 Ｋ＞ ＞１时 ，特 别 是当 ｓ→ ０时， １＋

Ｋ Ｋ ６ ． １ ７）， 于是 ν ≈ ν ，代 入 式 （ ｓ ｓ （ν＋１）

ｅ ＝ｌ ｉ ｍ ｓｓｒ ｓ→ ０

ｓ Ｒ（ｓ ） ｓ Ｒ（ｓ ） ｓ ≈ｌ ｉ ｍ ＝ｌ ｉ ｍ Ｒ（ｓ ） ｓ→ ０ ｓ→ ０ Ｋ αＫ αＫ １＋ ν α ν ｓ ｓ

（ ６． １ ８）

结论 ：跟 随 稳态 误差 ｅ 与 前向 通 路积 分 个 数 ν和 开 环 增益 Ｋ 有 关 ， ν愈 多，Ｋ愈 大， 则 ｓｓｒ 跟随 稳态 精度 愈 高。 此外 ， 跟随 稳态 误 差 ｅ （ｓ ） 有关 。 ｓｓｒ还 与 给定 信号 Ｒ ２ ．扰动 稳态 误 差 ｅ ｓｓｄ ｓ Ｇ２（ｓ ）Ｄ（ｓ ） 　　 　　 　 ｅ ＝ｌ ｉ ｍ ｓｓｄ ｓ→ ０ １＋Ｇ （ ｓ ） Ｇ （ ｓ ） Ｈ（ｓ ） １ ２ ・１ ０９・

ｓ Ｋ２ Ｄ（ｓ ） ν２ （ν１ ＋１） ｓ ｓ ＝ｌ ｉ ｍ ≈ｌ ｉ ｍ Ｄ（ｓ ） ｓ→ ０ Ｋ１Ｋ２α ｓ→ ０ αＫ１ １＋ （ν１＋ ν２） ｓ

（ ６． １ ９）

由式 （ ６ ．１ ９） 可 见 ：扰 动稳 态 误差 ｅ ｓｓｄ与 扰 动量 作 用 点 前 的前 向 通 路 的积 分 个 数 ν １ 和增 益 Ｋ１ 有关 ，ν１愈多 ，Ｋ１愈 大， 则对 该 扰动 信号 的 稳态 精度 愈高 。 此外 ，扰 动 稳态 误差 ｅｓｓｄ还 与 扰动 量 Ｄ（ｓ ）和扰 动 量的 作用 点 有关 。

６ ．１ ． ３　系统 稳态误差与 输入信号 间的关系 １ ．典型 输入 信 号 根据 前面 的 分析 可以 看 出， 对变 化 规律 不同 的 输入 信 号 ， 系统 的稳 态 误 差 也 将 是 不 同的 。 在实 用上 ，常 用 三种 典型 输 入信 号来 进 行分 析， 它们 是 １ （１ ） 阶 跃信 号　 　 　　 　　 　 　　 　　 　 　　 ｒ （ｔ ）＝１（ｔ ），　 Ｒ（ｓ ）＝ ｓ （２ ） 等 速信 号 （斜 坡信 号 ） 　 　　 　 　　 　　ｒ （ｔ ）＝ｔ ，　

１ Ｒ（ｓ ）＝ ２ ｓ

１２ １ ｒ （ｔ ）＝ ｔ 　 Ｒ（ｓ ）＝ ３ ２ ｓ

（３ ） 等 加速 度信 号 （抛 物 线信 号） 　 　

２ ．系统 跟随 稳 态误 差与 系统 型 别、 输入 信 号的 关系 （１ ） ０型 系统 ， ν＝０，并 以 Ｒ（ｓ ） 代 入式 （６． １７），得 ｅ ＝ｌ ｉ ｍ ｓｓｒ ｓ→ ０

ｓ Ｒ（ｓ ） （１＋Ｋ）α

１ １／ α 当 Ｒ（ｓ ） ＝ 　 　　 → 　　 　　 则 有　 　ｅ ＝ ｓｓｒ ｓ １＋Ｋ １ 当 Ｒ（ｓ ） ＝ ２ 　 　　 → 　　 　　 则 有　 　ｅ → ∞ ｓｓｒ ｓ

（ ６． ２ ０）

１ 当 Ｒ（ｓ ） ＝ ３ 　 　　 → 　　 　　 则 有　 　ｅ ｓｓｒ→ ∞ ｓ （２ ） Ⅰ 型系 统， ν＝１， 并以 Ｒ（ｓ ） 代入 式 （６． １ ７）， 得 ２

ｓ Ｒ（ｓ ） ｓ→ ０ α Ｋ

ｅ ＝ｌ ｉ ｍ ｓｓｒ

１ 当 Ｒ（ｓ ） ＝ 　 　　 → 　　 　　 则 有 　　 ｅ ＝０ ｓｓｒ ｓ １ １／ α 当 Ｒ（ｓ ） ＝ ２ 　 　　 → 　　 　　 则 有　 　ｅ ＝ ｓｓｒ Ｋ ｓ １ 当 Ｒ（ｓ ） ＝ ３ 　 　　 → 　　 　　 则 有　 　ｅ ｓｓｒ→ ∞ ｓ （３ ） Ⅱ 型系 统， ν＝２， 并以 Ｒ（ｓ ） 代入 式 （６． １ ７）， 得 ３

ｅ ＝ｌ ｉ ｍ ｓｓｒ ｓ→ ０

・１ １ ０・

ｓ Ｒ（ｓ ） αＫ

（ ６． ２ １）

１ 当 Ｒ（ｓ ） ＝ 　 　　 → 　　 　　 则 有 　　 ｅ ＝０ ｓｓｒ ｓ １ 当 Ｒ（ｓ ） ＝ ２ 　 　　 → 　　 　　 则 有　 　ｅ ＝０ ｓｓｒ ｓ

（ ６． ２ ２）

１ １／ α 当 Ｒ（ｓ ） ＝ ３ 　 　　 → 　　 　　 则 有　 　ｅ ＝ ｓｓｒ Ｋ ｓ ３ ．系统 跟随 稳 态误 差分 析 对位 置随 动 系统 ，由 以 上分 析可 知 ： （ １） 输 入为 阶跃 信 号 （输入 为 一确 定的 位 移量 ）：若 系 统前 向通 路不 含 积分 环 节， 则其 稳 １ 态误 差 ｅ ＝ ； 系统 开 环增 益 Ｋ 愈大 ，ｅｓｓｒ愈 小， 系 统 稳 态 精度 愈 高。 若系 统 含 有 积 ｓｓｒ α （１＋Ｋ） 分环 节， 便能 实 现无 静差 （ｅ ０），系 统 最后 无偏 差地 定 位到 所需 位 置。 ｓｓｒ ＝ （ ２） 输 入为 斜坡 信 号 （参考 输 入位 移作 匀 速变 化）： 这 时若 系统 不含 积 分环 节， 则 系统 将 １ 无法 进行 跟随 （ｅ →∞ ）。若 含一 个 积分 环节 ， 则 ｅ ＝ ， 增益 Ｋ愈 大， 稳态 精 度愈 高。 若 ｓｓｒ ｓｓｒ αＫ 要实 现无 偏差 地 跟随 做匀 速 运动 ，则 要 求系 统含 有二 个 积分 环节 。 （ ３） 输 入为 抛物 线 信号 （ 参 考 输入 位移 做 匀加 速运 动 ）：这 时系 统至 少 要含 有二 个 积分 环 节才 能实 现有 一 定误 差的 跟 随运 动。 若 要求 系统 无误 差 地跟 随， 则 需含 三个 积 分环 节。 由以 上分 析 可知 ：系 统 含有 的积 分 环节 个数 （ν ） 愈 多， 开环 放 大倍 数 Ｋ愈 大， 则 系统 的 ０

稳态 性能 愈好 。 同时 也可 看出 ， 作用 信号 对 时间 ｔ的 幂次 愈高 （阶跃 信 号为 １ （ｔ ） ＝ｔ，斜 坡 １ ２ 信号 为 ｔ ，匀 加速 信 号为 ｔ ）， 即随 时 间变 化愈 快 ，则 该信 号 产生 的 稳 态 误 差愈 大 （由 无静 差

变为 有静 差， 或 由有 静差 变 为发 散等 ）。 对扰 动稳 态 误差 ，同 样 可得 到上 述 结论 。只 要将 ν 取代 ν ， Ｋ１取代 Ｋ即可 。 １

６ ．１ ． ４　系统 稳态性能分 析综述 （１ ） 系 统的 稳态 误 差由 跟随 稳 态误 差 和 扰 动 稳态 误 差 两 部 分 组 成， 它 们不 仅和 系 统 的 结 构、 参数 有关 ， 而且 还和 作 用量 （输 入 量和 扰动 量 ） 的 大小 、 变化 规律 和 作用 点有 关 。 跟随 稳态 误 差 ｅ ： 系 统开 环传 递 函数 中所 含 积分 环节 个 数 （ν ） 愈 多 ，开 环 增益 Ｋ愈大 ， ｓｓｒ 则系 统的 稳态 性 能愈 好。 扰动 稳态 误 差 ｅ ：扰 动作 用 点前 ，前 向 通路 中所 含的 积 分环 节 个数 ν１愈多 ，作 用 点前 的 ｓｓｄ 增益 Ｋ１愈大 ， 则系 统抗 扰 稳态 性能 愈好 。 （２ ） 作 用量 随时 间 变化 得愈 快 ，作 用量 产 生的 误差 也愈 大 。 （３ ） 对 同一 个系 统 ，由 于作 用 量和 作 用 点 不 同， 一 般 说 来， 其 跟 随 稳 态误 差和 扰 动 稳 态 误差 是不 同的 。 对随 动系 统 来说 ，前 者 是 主 要 的； 对 恒 值 控 制 系 统， 则 后 者 是 主 要 的 （对 动 态误 差也 大致 如 此）。 （４ ） 如 上所 述， 多 ν 、Ｋ大将 使 系统 的稳 态 性能 改 善， 但 前 面 的分 析 也 表 明， 多 ν 、 Ｋ大 会使 系统 的稳 定 性变 差。 由 此可 见， 对 自动 控制 系统 ， 其稳 态性 能 的改 善和 稳 定性 的改 善往 往 是相 矛盾 的。 在 对实 际系 统 进行 设计 和 调试 时， 往往 在 系统 的相 对 稳定 性和 稳 态性 能之 间作 某 种折 中的 选择 ， 以满 足用 户 对系 统性 能 指标 的要 求。 ・１ １１・

６．２　控制系统的 动态性 能分析 对一 个已 经 满足 了稳 定 性要 求 的 系 统 ，除 了 要 求 有 较 好 的稳 态 性 能 外 ，对 要 求 较 高 的 系 统， 还要 求有 较 好的 动态 性 能， 亦即 希 望系 统的 最 大 动 态误 差 （ΔＣｍａｘ） 小 一 些 ，过 渡 过程 时 间 （ｔ ） 短一 些， 振荡 次 数 （Ｎ） 少一 些 。 ｓ 研究 系统 动 态性 能， 通 常以 二阶 系 统的 单位 阶跃 响 应为 代表 。 这是 由于 二 阶系 统的 阶跃 响 应比 较典 型， 数 学分 析也 比 较容 易。 许 多高 阶系 统的 动 态过 程常 可 用二 阶系 统 来近 似处 理。 现 以典 型二 阶系 统 的单 位阶 跃 响应 为例 来 介绍 动态 指标 的 求取 和系 统 动态 性能 的 分析 。

６ ．２ ． １　典型 二阶系统单 位阶跃响 应 典型 二阶 系 统单 位阶 跃 响应 在第 ４章 已 做过 分析 ， 现简 述如 下。 系统 的闭 环 传递 函数 为 ω２ｎ Ｇ（ｓ ）＝ ２ ２ ｓ ＋２ξ ωｎｓ＋ωｎ 当 ０＜ξ＜１时， 系统 的单 位 阶跃 响应 为 ｃ （ｔ ）＝１－

１

ｅ－ξωｎｔｓ ｉ ｎ（ωｄｔ＋β ） １－ξ ２

其中 　ωｄ ＝ωｎ

２

１－ξ　　 　 β＝ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ

１－ξ２ ξ

系统 单位 阶 跃响 应如 图 ６． ２所示 。

图 ６． ２　二 阶系统 阶跃响 应曲 线及动 态指标 ｔ ｒ— 上 升 时间　 ｔ ｐ— 峰值 时间　 ｔ ｓ— 调整 时间　 Ｔ ｄ—振荡 时 间 ΔＣｍａｘ—最大 峰值 　Ｎ—振荡 次数

・１ １ ２・

（ ６． ２ ３）

６ ．２ ． ２　二阶 系统的动态 性能指标 １ ．上升 时间 ｔ ｒ 根据 定义 ， 可知 当 ｔ＝ｔ （ｔ ） ＝１， 代入 式 （６． ２３ ）有 ｒ时， ｃ １

ｅ－ξωｎｔｓ ｉ ｎ（ωｄｔ＋β） ｜ｔ＝ｔｒ＝１ １－ξ

ｃ （ｔ ） ＝１－ ｒ

２

－ξω ｔ

因为 指数 项 ｅ ｎｒ≠０ 所以 ｓ ｉ ｎ （ωｄｔ＋β） 必 定为 ０， 即有 ωｄｔ ＋β＝π ｒ π－β π－ａ ｒ ｃ ｃ ｏ ｓ ξ 从而 求得 上 升时 间 ｔ ＝ ｒ＝ ２ ωｄ ω １－ξ

（ ６． ２ ４）

ｎ

从上 式可 见 ，若 ωｎ 一 定时 ， ξ越大 ，ｔ 也越 长 ；若 ξ一 定， 则 ωｎ 增 大， ｔ 将 变小 。 ｒ ｒ ２ ．峰值 时间 ｔ ｐ 根据 定义 可 知， 在峰 值 时间 时，

ｄ ｃ （ｔ ） ｜ｔ＝ｔｐ ＝０代 入式 （６ ． ２３） 并 整 理后 得 ｔ ωｎ

ｅ－ξωｎｔｐｓ ｉ ｎωｄｔ ＝０ ｐ ２ １－ξ 即 ｓ ｉ ｎωｄｔ ０，　 　也 就 是要 求 ωｄｔ ｐ ＝ ｐ ＝π π ｔ ＝ ＝ ｐ ωｄ ω

得到

ｎ

π

（ ６． ２ ５） ２

１－ξ

上式 表明 ， 当阻 尼比 ξ一 定 时， ωｎ 越大 ， ｔ ｐ 越 短。 ３ ．超调 量 σｐ ｃ （ｔ （∞ ） ｐ ）－ｃ σｐ ＝ ×１ ０ ０ ％ ｃ （∞ ） 考虑 到 ｃ （∞ ） ＝１并将 式 （６． ２ ３） 代入 得 σｐ ＝ －

１

ｅ－ξωｎｔｐｓ ｉ ｎ （ωｄｔ ＋β ） ｐ １－ξ ２

将式 （ ６ ．２ ５） 代 入 并整 理得 －

ξπ １－ξ２

σｐ ＝ｅ ×１ ０ ０％ 上式 表明 ， 超调 量 σｐ 仅与 ξ有 关 ，阻 尼比 ξ越大 ，超 调量 σｐ 越小 。

（ ６． ２ ６）

４ ．调整 时间 ｔ ｓ 调整 时间 是 从给 定量 作 用于 系 统 开 始， 到 输出 量 进入 并保 持 在 允 许 的 误 差 带 （误 差 带 是 指离 稳态 值 ｃ （ ∞ ）偏 离 ±δ ｃ （∞ ） 的 区 域 ） 内 所经 历 的 时 间 。 δ通 常 分为 ５％ （要求 较 低 ） 和 ２％ （要求 较高 ） 两种 。 由于 输出 量 ｃ （ｔ ）通常 为阻 尼 振荡 曲线 ，ｃ （ｔ ） 进 入 误 差带 的 情 况 比 较复 杂，所 以 通 常以 输 出量 的包 络线 ｂ （ｔ ）进 入误 差 带来 近似 求取 调 整时 间 ｔ ｓ。 ｃ （ｔ ）的包 络线 ｂ （ｔ ）＝１±

ｅ－ ξωｎｔ ２

（ ６． ２ ７）

１－ξ ・１ １３・

上半 部分 的 包络 线为 １＋

－ξω ｔ ｎ

ｅ

２

１－ξ 下半 部分 的 包络 线为 １－

－ξωｎｔ

ｅ

２

１－ξ 误差 带为 ±δ ｃ （∞ ）， δ通常 取 ２％或 ５％ 。 当 ｂ（ｔ ）进入 离稳 态输出 量 ±δ ｃ （∞） 的 误差 带内时 ，对 应的 时间即为调整 时间 ｔ ，即 有 ｓ ｂ （ｔ ）－ｃ （∞ ）＝ ±δ ｃ （∞ ） ｓ １ 将ｃ （∞ ） ＝１及 ξ ωｎ ＝ 代 入可 得 ２Ｔ 当 δ＝５％时 ，

ｔ ｓ≈

３ ＝６Ｔ ξ ωｎ

当 δ＝２％时 ，

ｔ ｓ≈

４ ＝８Ｔ ξ ωｎ

（ ６． ２ ８）

由此 可见 ， 系统 中惯 性 环节 的时 间 常数 Ｔ愈大 ，则 过 渡过 程将 愈慢 ， 调整 时间 ｔ 将愈 长。 ｓ ５ ．振荡 次数 Ｎ 二阶 系统 ｃ （ｔ ） 的 阻尼 振 荡周 期 ２ π Ｔｄ ＝ ωｄ 振荡 次数 Ｎ≈

２ ｔ ｓ （ １ ．５～２） １－ξ ≈ Ｔｄ πξ

（ ６． ２ ９）

式 （６ ． ２ ９） 中系 数 １ ． ５对应 δ取 ５％ ，系 数 ２对 应 δ取 ２％。 从式 （ ６ ．２ ９） 可 见 ，ξ小 →Ｎ大 ，也 就是 说阻 尼 比 ξ愈小 ， 则振 荡次 数 Ｎ愈 多， 而 且系 统 的超 调量 σｐ 愈 大。

６ ．２ ． ３　二阶 系统动态性 能分析 二阶 系统 的 动态 性能 与 系统 参数 的 关系 如表 ６． １所 示。 表 ６． １　 典型二 阶系统 的动态 性能 指标与 系统参数间的 关系 系统 参数 ＫＴ

０ ．２５

０ ．３１

０．３９

０．５ ０

０．６ ９

１ ．０

阻 尼系 数 ξ

１．０

０． ９

０．８

０． ７０ ７

０ ．６

０ ．５

超 调量 （σ％）

０

０ ．１５

１．５

４ ．３

９ ．５

１６． ３

６．７Ｔ

４． ７Ｔ

３． ３Ｔ

２． ４Ｔ

上 升时间 ｔ ｒ 调整 时间

δ＝５％

９．４Ｔ

７ ．２Ｔ

６Ｔ左右

ｔ ｓ

δ＝２％

１ １Ｔ

８ ．５Ｔ

８Ｔ左右

从表 中可 以 看出 ： ・１ １ ４・

（１ ） 表 中 Ｔ一 般为 系统 的固 有 惯性 参数 ， ξ的 通 常 取 值 范 围为 ０ ． ５～０． ８ ， 此时 ｔ ６～ ｓ≈ （ ８） Ｔ，意 味 着 Ｔ愈 大， 系统 的调 整 时间 ｔ 愈 长， 即 系统 的快 速 性愈 差。 此外 ， Ｔ愈 大， 对应 的 ｓ 阻尼 比 ξ愈小 ， 系统 的超 调量 σｐ 增 加 ，系 统的 相 对 稳 定性 愈 差， 参 见 图 ４ ．１ ５。 因 此， 惯性 环 节的 时间 常数 Ｔ太大 ， 对系 统的 快速 性 和稳 定性 都 是不 利的 。 （ ２） 系 统的 开环 增 益 Ｋ增 大 （Ｋ一 般 是可 以调 整的 ， Ｋ大 ，则 ξ小 ）， 系统 的最 大 超调 量 σｐ将 增加 。同 时 ，上 升时 间 ｔ 将 减 小， 亦 即系 统 的增 益 加 大 ， 则 系 统的 快 速 性 改 善 ， 但 系 统 ｒ 的相 对稳 定性 变 差。 综上 所述 ： （１ ） 平 稳性 从上 述分 析 及图 ４． １ ５所示 的典 线 族可 看出 ， 系统 的平 稳 性主 要 由阻 尼 比 ξ决定 。 ξ越大 ， 超调 量 σｐ 越小 ，系 统 响应 的振 荡 越少 ，平 稳 性越 好； 反 之， ξ越 小， 振 荡越 强， σｐ 越 大， 系 统平 衡性 越差 。 而在 ξ一 定时 ， ωｎ 值越 大， 振 荡频 率 （ωｎ

２ １－ξ ） 越 高， 系 统响 应的 平稳 性

也越 差。 一般 从 平稳 性角 度 考虑 希望 ξ大 、 ωｎ 小。 （２ ） 快 速性 从二 阶系 统 曲线 簇 （图 ４ ．１ ５） 可 看 出 ， 阻 尼 比 ξ过 大 ，系 统 响 应 迟 钝， 调 节 时 间 越 长 ， 快速 性亦 越差 ； 当 ξ过小 时， 响 应的 初始 段 较快 ，但 由 于振 荡强 烈， 衰 减缓 慢， 调 节时 间也 越 长，快速 性就 较 差。 实践 证明 ， 当 ξ取 ０ ． ７０ ７时 ，系 统性 能 最好 。另 外 ，当 ξ一 定 时， 系统 的 快速 性随 着 ωｎ 的增 加 而变 好。 系统 的快 速 性和 稳定 性 往往 也是 矛 盾的 。为 了兼 顾 两方 面的 要 求， 通常 取 １ １ ξ＝ ＝０ ． ７０ ７ 即取 Ｋ＝ ２Ｔ ２ 此时 有　 　 　

σｐ ＝４ ．３％ ｔ ＝４． ７Ｔ ｒ ｔ ８． ７Ｔ　 （对 应 δ＝２％ ） ｓ＝

此时 ，系 统 的稳 定性 和 快速 性都 比 较好 。在 工程 上 常称 取 ξ＝０． ７ ０７的 系统 为 “二 阶最 佳 系统 ”。 以上 的分 析 虽然 是对 二 阶系 统的 ， 但对 高阶 系统 ， 如果 能 以系 统的 主 导极 点 （共 轭极 点 ） 来估 算系 统的 性 能， 即只 要 能将 它近 似 成一 个二 阶系 统 ，就 可以 用 二阶 系统 的 分析 方法 和有 关 结论 对三 阶及 三 阶以 上的 高 阶系 统进 行 性能 分析 。 【例 ６． １】 某控 制系 统 结构 如图 ６ ． ３所 示， 其中 Ｋ＝８，Ｔ＝０． ２５。 （１ ） 输 入信 号 ｒ （ｔ ）＝１（ｔ ）， 求 系统 的响 应 ； （２ ） 计 算系 统的 性 能指 标 ｔ ２％ ），σｐ； ｒ，ｔ ｐ，ｔ ｓ （ （３ ） 若 要求 将系 统 设计 成 二 阶 最 佳 ξ＝０． ７ ０７，应 如 何 改 变 Ｋ值？ 解： 系统 的 闭环 传递 函 数为

图 ６． ３　例 ６． １的 图

・１ １５・

Ｋ ２× Ｋ ２Ｔ Ｇ（ｓ ）＝ ２ ＝ Ｋ Ｔｓ ＋ｓ＋０． ５Ｋ ２ １ ｓ ＋ ｓ＋ Ｔ ２ Ｔ Ｋ＝８， Ｔ＝０ ．２ ５时，

Ｋ １ ＝４， ξ＝ ＝０ ． ５ ２Ｔ ２ＫＴ

ωｎ ＝

（１ ）系统 的 响应 ｃ （ｔ ）＝２× １－

１ －ξω ｔ ｅ ｎｓ ｉ ｎ（ωｎ ２ １－ξ

２

１－ξｔ＋β）

π 以 ξ＝０ ． ５， ωｎ ＝４，β＝ａ ｒ ｃ ｃ ｏ ｓ０ ．５＝ 代入 ，则 ３ ｃ （ｔ ）＝２－２×１． １ ５ｅ－２ｔｓ ｉ ｎ３ ． ４６ｔ ＋

π ３

（２ ） 系 统的 性能 指 标为 ｔ ｒ＝ ωｎ

π－β

ｔ ＝ ｐ ωｎ

２ １－ξ

π

＝０ ． ６１ｓ ＝０ ．９ １ｓ

２ １－ξ

４ ｔ ＝ ＝２ｓ ｓ ξ ωｎ －ξ π σｐ ＝ｅ ×１０ ０％ ＝１ ６ ．３％ ２ ｅ １－ξ （３ ） 若 取 ξ＝０ ． ７ ０ ７＝

１

，则 Ｋ＝４ 。 ２×０ ．２ ５Ｋ

从以 上计 算 可以 看到 放 大倍 数 Ｋ和 Ｔ对 系 统动 态响 应 的 影 响 。Ｔ一 定 时， Ｋ增 大 ，ξ将 减 小， 超调 量增 加 ；Ｋ减小 时， ξ增 大， Ｋ过 小时 ， ξ甚至 会超 过 １，成 为 过阻 尼情 况。 如 果 Ｋ一 定，Ｔ增 大， 不但 使 ξ减 小， 超调 量 增加 ，同 时还 将 引起 ωｎ 减 小， 调 节时 间 将 增 大。 可 见， Ｔ 的增 大对 动态 性 能的 影响 更 不利 。 【例 ６． ２】 二阶 控制 系 统的 单位 阶 跃响 应曲 线 如图 ６ ． ４所示 。 试确 定系 统的 传 递函 数。 解： 由图 可 知， 在 单 位 阶 跃 作 用 下 响 应 的 稳 态 值 为 ３， 故此 系统 的增 益 不是 １， 而是 ３。系 统 模型 为 ２

３ ωｎ Ｇ（ｓ ）＝ ２ ２ ｓ ＋２ξ ωｎｓ＋ωｎ 然后 由响 应 的 σｐ、 ｔ 及 相应 公式 ， 即可 换算 出 ξ 、ωｎ。 ｐ ｃ （ｔ （∞ ） ４－３ ｐ）－ｃ σｐ ＝ ＝ ＝３３％ ｃ （∞） ３ ｔ ＝０． １ｓ ｐ 由公 式得 ・１ １ ６・

图 ６．４　 二阶控 制系 统的单 位阶跃 响应

１－ξ２

－ πξ

σｐ ＝ｅ

ｔ ｐ ＝ ωｎ

＝３ ３％

π

＝０ ．１

２ １－ξ

换算 求解 得 ：ξ＝０ ． ３３，ωｎ ＝３ ３ ．２。

６ ．２ ． ４　利用 ＭＡＴＬＡＢ进 行系统动 态性能分析 ２

ωｎ 对于 Ｇ（ｓ ） ＝２ 表示 的 二阶 系统 ，当 输 入单 位阶 跃 信号 时， 下 列程 序 ２ ｓ ＋２ξ ωｎｓ＋ωｎ 给出 了系 统动 态 性能 。 ＭＡＴＬＡＢＰｒ ｏ ｇ ｒ ａ ｍ ６－１ ．ｍ ％ＭＡＴ ＬＡＢ Ｐｒ ｏ ｇ ｒ ａ ｍ４－３ ．ｍ ％Ｔｈ ｉ ｓｐ ｒ ｏ ｇ ｒ ａ ｍｃ ｒ ｅ ａ ｔ ｅｉ ｓａｓ ｉ ｍｐ ｌ ｅｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｅ ｒｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎａ ｎ ｄｐ ｅ ｒ ｆ ｏ ｒ ｍｓａ ｎａ ｎａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓｏ ｆｉ ｔ ｓｓ ｔ ｅ ｐｒ ｅ ｓ ｐｏ ｎｓ ｅ ［ｎｕ ｍ ］ ＝ ［２ ０］； ［ｄ ｅ ｎ］ ＝ ［１５２０］） ｆ ｉ ｎ ａ ｌ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ＝ｐ ｏ ｌ ｙ ｖ ａ ｌ（ｎ ｕ ｍ， ０ ） ／（ｐ ｏ ｌ ｙ ｖ ａ ｌ（ｄ ｅ ｎ ，０） ［ｙ ，ｘ ，ｔ］ ＝ｓ ｔ ｅ ｐ（ｎ ｕｍ， ｄ ｅ ｎ ）； ［Ｙ，ｋ］ ＝ｍａ ｘ（ｙ）； ｔ ｉ ｍｅ ｔ ｏ ｐｅ ａ ｋ＝ｔ（ｋ） ｐ ｅ ｒ ｃ ｅ ｎｔ ｏ ｖ ｅ ｒ ｓ ｈ ｏ ｏ ｔ ＝１ ０ ０＊ （Ｙ－ｆ ｉ ｎａ ｌ ｖ ａ ｌ ｕｅ ）／ ｆ ｉ ｎ ａ ｌ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ％Ｃｏ ｍｐ ｕ ｔ ｅｒ ｉ ｓ ｅｔ ｉ ｍｅ ｎ＝１； ｗｈ ｉ ｌ ｅｙ（ｎ） ＜ ｆ ｉ ｎａ ｌ ｖ ａ ｌ ｕｅ ，ｎ＝ｎ＋１； ｅ ｎｄ ｒ ｉ ｓ ｅ ｔ ｉ ｍｅ＝ｔ（ｎ） ％Ｃｏ ｍｐ ｕ ｔ ｅ ｒｓ ｅ ｔ ｔ ｉ ｎｇｔ ｉ ｍｅ ｌ＝ｌ ｅ ｎ ｇ ｔ ｈ （ｔ ）； ＊

＊

ｗｈ ｉ ｌ ｅ（ｙ（１） ＞０ ．９ ８ｆ ｉ ｎ ａ ｌ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ＆ （ｙ（ １） ＜１ ．０ ２ｆ ｉ ｎ ａ ｌ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ） ｌ＝ｌ－１； ｅ ｎ ｄ ｓ ｅ ｔ ｔ ｌ ｉ ｎ ｇ ｔ ｉ ｍｅ＝ｔ（ｌ ） 运行 上述 程 序， 得到 如 下结 果： Ｆｉ ｎ ａ ｌｖ ａ ｌ ｕ ｅ ＝ １　 　　 　 Ｔ ｉ ｍｅｔ ｏｐｅ ａ ｋ ＝０ ． ８３ ９ ３　 　　 　 Ｐ ｅ ｒ ｃ ｅ ｎ ｔｏ ｖ ｅ ｒ ｓ ｈ ｏ ｏ ｔ＝１ ２． ０ １８ ７ Ｒｉ ｓ ｔｔ ｉ ｍｅ ＝ ０ ．５ ９ ６３　　 　ｓ ｅ ｔ ｔ ｌ ｉ ｎｇｔ ｉ ｍｅ ＝ ２． ４ ９５ ７

６．３　利用 频率特性分析系统性能 ６ ．３ ． １　用开 环频率特性 分析系统 的性能 １ ．系统 稳态 误 差和 开环 频率 特 性的 关系 ・１ １７・

系统 开环 传 递函 数中 含 积分 环节 的 数 目 （系统 类 型） 确 定 了 开 环 对 数 幅频 特性 低 频 渐 近 线的 斜率 ，而 低 频渐 近线 的 高度 ，则 决 定于 开环 放大 系 数的 大小 。 所以 ，控 制 系统 对给 定信 号 是否 引起 稳态 误 差， 以及 稳 态误 差的 大 小， 都可 以由 对 数幅 频特 性 的低 频渐 近 线观 察确 定。 低频 段通 常 是指 Ｌ（ω） 的渐 近 线在 第 一个 转折 频 率 以 前 的 区 段 。 设 低 频段 对应 的 传 递 函 数为 Ｋ Ｇｄ（ｓ ）＝ ν ｓ Ｋ Ｌｄ（ω）＝２ ０ｌ ｇ ν ＝２ ０ｌ ｇＫ－ν２０ｌ ｇω ω

（ ６． ３ ０）

ν为不 同值 ， 低 频 段 对 数 幅 频 曲 线 的 形 状 如 图 ６． ５所 示， 为 斜 率 不 等 的 一 些 直 线 ， 斜 率 为 －２ ０ν ｄＢ／ ｄ ｅ ｃ 。

图 ６． ５　低 频段对 数幅 频曲线

开环 增益 Ｋ和低 频 段高 度的 关 系可 用 多种 方法 确 定。 例 如 将 低 频 段 对 数幅 频的 延 长 线 交 于 ０ｄ Ｂ线 ，则 Ｋ＝ων。 可以 看出 ， 低频 段的 斜 率愈 小， 位 置愈 高， 对应 于 系统 积分 环 节的 数目 愈 多， 开环 增益 愈 大。 故闭 环系 统 在满 足稳 定 的条 件下 ， 其稳 态误 差愈 小 。 ２ ．暂态 性能 和 开环 频率 特性 的 关系 用开 环频 率 特性 分析 系 统的 暂态 性 能时 ，通 常 用 开 环 频 率 特 性相 角裕 度 γ和幅 值 穿 越 频 率 ωｃ来 表示 。 由于 系统 的 暂态 性能 由超 调 量 σｐ和 调 节时 间 ｔ 来 描 述 ，并 且 具有 直观 和 准确 的 ｓ 优点 ，故 用开 环 频率 特性 评 价系 统的 动 态性 能时 ，就 必 须找 出 开 环 频域 指 标 γ和 ωｃ与 时域 指 标 σｐ和 ｔ 的 关 系。 ｓ （１ ） 二 阶系 统 典型 二阶 系 统的 开环 传 递函 数为 ２

ωｎ Ｇ（ｓ ）＝ 　 　 　（０＜ξ＜１） ｓ （ｓ＋２ξ ωｎ）

（ ６． ３ １）

ω２ｎ Ｇ（ｊ ω）＝ ｊ ω（ｊ ω＋２ξ ωｎ）

（ ６． ３ ２）

① γ与 σｐ之 间的 关系 二阶 系统 的 频率 特性 为

由 Ｌ（ωｃ） ＝１， 计算 开环 穿越 频 率 ωｃ ２

ωｎ ωｃ・ 求得 ωｃ 为 ・１ １ ８・

ω２ｃ ＋ （２ξ ωｎ）２

＝１

４ ２ １＋４ξ －２ξ

ωｃ ＝ωｎ・

（ ６． ３ ３）

则相 角裕 量 γ为 ２ξ ωｎ γ＝１８ ０°＋φ（ωｃ） ＝１ ８ ０°－９０°－ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ＝ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ωｃ

２ξ ２

（ ６． ３ ４） ４

－２ξ ＋ １＋４ξ

从而 得到 γ和 ξ的关 系曲 线 ，如 图 ６ ． ６所 示 。 从时 域分 析 中可 知 πξ

σｐ％ ＝ｅ １－ξ２ ×１ ００％

（ ６． ３ ５）

为便 于分 析 比较 ，把 σｐ％ 与 ξ之间 的关 系 也绘 于图 ６． ６中 。 由图 ６． ６可 看出 ，γ越小 ，σｐ％ 越大 ；γ越大 ，σｐ％ 越 小 。 为使 二 阶 系 统具 有较 好 的动 态 性能 ，一 般希 望 ３ ０° ≤γ ≤６５° ② γ、ωｃ 与 ｔ 之间 的关 系 ｓ 从时 域分 析 中可 知 ｔ ｓ≈

３ ξ ωｎ

（ ６． ３ ６）

根据 式 （６ ．３ ４）、 （６ ． ３ ３）、（６ ． ３６ ） 得到 ３ ωｃ・ ｔ ＝ ｓ ξ

６ ２ ４ －２ξ ＋ １＋４ξ ＝ ｔ ａ ｎγ

（ ６． ３ ７）

γ与 ｔ ω 的 关系 曲线 如 图 ６ ．７所 示 。从 图中 可以 看 出， 调节 时 间与 相角 裕 度和 幅值 穿越 频 ｓ ｃ 率都 有关 系。 如 果两 个二 阶 系统 的 γ相 同， 则 它们 的超 调 量也 相 同 ， 这时 ωｃ 比 较大 的 系统 调 节时 间 ｔ 较 短。 ｓ

图 ６． ６　 二阶系统 σｐ％、γ

图６ ．７　二阶 系统 ωｃ ｔ ｓ

与 ξ的 关系曲 线

与 γ的关系 曲线

【例 ６． ３】 某一 单位 反 馈控 制系 统 ，其 开环 传 递函 数 ７ Ｇ（ｓ ）＝ ｓ （０． ０ ８ ７ｓ＋１） 试用 相角 裕度 估 算过 渡过 程 指标 σｐ％与 ｔ ｓ。 解： 根据 开 环传 递函 数 Ｇ（ｓ ） 可 画得 系统 开 环伯 德图 ， 如图 ６． ８所 示。 ・１ １９・

从系 统的 开 环传 递 函数 Ｇ（ｓ ） 可 知 ，系 统 有 一 个积 分环 节， 开 环增 益 Ｋ＝７， 从而 得到 ωｃ ＝７ ， 由 图可 得， γ＝５８ ．７° 。 根据 γ＝５ ８． ７° ，可 得 ξ＝０． ５５， 则 σｐ％ ＝１２ ． ６％ ｔ ＝０． ５ ５ｓ ｓ （２ ） 高 阶系 统 对于 高阶 系 统， 开环 频 域指 标 与时 域指 标 之 间 没有 准确 的关 系 式。 但是 大 多 数 实 际 系 统， 开 环 频 域 γ与 ωｃ 能反 映 暂态 过 程的 基 本 功 能 。其 近 似 的 关系 式为 σｐ ＝０ ．１ ６＋０． ４

１ －１ 　 　　 （３ ５° ≤γ≤９０ ° ） ｓ ｉ ｎγ

图 ６．８　例 ６ ．３系 统的伯 德图

（６ ． ３８） 和 ｋ π ｔ ｓ＝ ωｃ 其中

ｋ＝２＋１． ５

（ ６． ３ ９）

２ １ １ －１ ＋２ ． ５ －１ ｓ ｉ ｎγ ｓ ｉ ｎγ

　 　　 （ ３ ５° ≤γ≤ ９ ０ ° ）

（ ６． ４ ０）

上式 表明 ， 高阶 系统 的 σｐ 随 着 γ的增 大 而减 小， 调 节时 间 ｔ ｓ 随 γ的 增 大也 减小 ，且 随 ω ｃ 增大 而减 小。 由上 面对 二 阶系 统和 高 阶系 统的 分 析可 知， 系统 的 开环 频率 特 性反 映了 系 统的 闭环 响应 特 性。 对于 最小 相 位系 统， 由 于开 环幅 频 特性 与相 频特 性 有确 定的 关 系， 因此 相 角裕 度取 决于 系 统开 环对 数幅 频 特性 的形 状 ，但 开环 对 数幅 频特 性中 频 段 （零 分 贝 频率 附 近的 区 段） 的 形状 ， 对相 角裕 量影 响 最大 ，所 以 闭环 系统 的 动态 性能 主要 取 决于 开环 对 数幅 频特 性 的中 频段 。 ３ ．开环 频率 特 性的 高频 段对 系 统性 能的 影 响 高频 段特 性 是由 小时 间 常数 的环 节 决 定 的 ，由 于其 转 折频 率 远 离 ωｃ， 所以 对系 统 动 态 影 响不 大， 然而 从 系统 抗干 扰 的角 度看 ， 高频 段特 性是 很 有意 义的 。 对于 单位 反 馈系 统， 开 环和 闭环 传 递函 数的 关系 为 Ｇ（ｓ ） Φ（ｓ ）＝ １＋Ｇ（ｓ ）

（ ６． ４ １）

Ｇ（ｊ ω） Φ（ｊ ω）＝ １＋Ｇ（ｊ ω）

（ ６． ４ ２）

则频 率特 性之 间 的关 系为

由于 在高 频段 ， 一般 ｜２ ０ｌ ｇ Ｇ（ｊ ω） ｜＜＜０， 即 ｜Ｇ（ｊ ω） ｜ ＜ ＜１，故 有 ｜Φ（ｊ ω） ｜ ＝ 即闭 环幅 频近 似 等于 开环 幅 频。 ・１ ２ ０・

｜Ｇ （ｊ ω） ｜ ≈ ｜Ｇ（ｊ ω） ｜ ｜１＋Ｇ（ｊ ω） ｜

（ ６． ４ ３）

因此 ，开 环 对数 幅频 特 性高 频段 的 幅值 直接 反映 了 系统 对输 入 端高 频信 号 的抑 制能 力， 高 频段 分贝 值越 低 ，系 统抗 干 扰能 力越 强 。 综上 所述 ， 对于 最小 相 位系 统， 开 环系 统的 对数 幅 频特 性曲 线 直接 反映 了 系统 的动 态和 稳 态性 能。 三频 段 的概 念为 设 计一 个合 理 的控 制系 统提 出 了要 求： （１ ） 低 频段 的斜 率 要陡 ，增 益 要大 ，则 系 统的 稳态 精 度高 。如 系 统要 达到 二 阶无 静 差度 ， 则 Ｌ（ω） 线 低频 段斜 率 要 －４ ０ｄ Ｂ／ ｄｅ ｃ 。 （２ ） 中 频段 以斜 率 －２０ｄ Ｂ／ ｄｅ ｃ穿越 ０ｄ Ｂ线， 且具 有一 定 中频 带宽 时 ，系 统动 态 性能 好。 （３ ） 要 提高 系统 的 快速 性， 则 需提 高穿 越 频率 ωｃ。 （４ ） 高 频段 的斜率要比低频 段的斜率陡， 其分 贝数 要小 ， 以提 高系 统抑制高频 干扰 的能力。

６ ．３ ． ２　闭环 频率特性与 系统阶跃 响应的关系 １ ．闭环 频率 特 性的 频域 指标 典型 控制 系 统的 闭环 幅频 特 性曲 线如 图 ６． ９所示 ， 它可 以由 开环 对 数幅 频特 性 曲线 转换 而 来。 为了 描述 该 曲线 的特 点 ，表 征 闭 环 系统 的 性能 ， 常采 用下 列 频 域 指 标 （特 性指 标 对 系 统 性能 的影 响详 见 参考 文献 １）。 （１ ） 零 频幅 值 Ｍ０：当 ω＝０时 的闭 环 幅频 值， 它反 映 了系 统的 稳定 性 能。 （２ ） 谐 振 峰 值 Ｍｒ： 即 最 大 值 与 零 频 幅 值 之 比， 即 Ｍｍ Ｍｒ ＝ ， 它反 映了 系 统的 相对 稳 定性 ，简 称峰 值 。 Ｍ０ （３ ） 谐 振频 率 ωｒ： 出 现 最 大值 Ｍｍ 时的 频 率， 它 反 映 了系 统的 动态 快 速性 能， ωｒ 越大 ， 响应 越快 。

图 ６．９　 典型 系统的 闭环幅 频特性 曲线

（４ ） 频 带 ωｂ： 当 ω增 加 时， ＭＢ （ω） 下 降 到 ０ ． ７ ０７Ｍ０ 时 的 频率 ， 它 也 反映 了系 统 的响 应 速度 ，ωｂ 越 大， 表 明能 通过 较 高频 率的 信 号， 系统 响应 速 度越 快。 ２ ．利用 频域 指 标估 算时 域指 标 对于 典型 二 阶系 统， 其 闭环 传递 函 数为 ω２ｎ Φ（ｓ ）＝ ２ 　　 　（０＜ξ＜１） ２ ｓ ＋２ξ ωｎｓ＋ωｎ 其闭 环频 率特 性 为 ω２ｎ Φ（ｊ ω） ＝ ２ ２ （ｊ ω） ＋２ξ ωｎ（ｊ ω）＋ωｎ

１ ２ ω ω １－ ２ ＋ｊ ２ξ ωｎ ωｎ

（ ６． ４ ４）

（１ ） Ｍｒ 与 σｐ 的 关 系 根据 Ｍｒ 的 定义 可 求得 二阶 系 统阻 尼比 ξ与谐 振峰 值 Ｍｒ 的 关系 为 １ １－ １－ ２ Ｍｒ ξ＝ 　 　 　 （Ｍｒ≥１） ２

（ ６． ４ ５）

从而 可得 到 Ｍｒ 与 σｐ 的 关系 为 ・１ ２１・

－π

σｐ ＝ｅ

Ｍｒ － Ｍ２ｒ －１ 　 　 （Ｍｒ≥１） ２ Ｍｒ ＋ Ｍｒ －１

（ ６． ４ ６）

上式 表明 ， 对于 二阶 系 统， 在 ０≤ξ ≤０ ． ７０ ７时， 频 率特 性出 现 谐振 峰 值 Ｍｒ。 Ｍｒ 可 表征 阻 ≈ 尼系 数 ξ ， 反 映系 统的 稳定 性 ，也 能反 映 系统 的快 速 性 ｔ ｓ

３ 。 ξ ωｎ

二阶 系统 闭 环频 率指 标 Ｍｒ 对 其时 域指 标 σｐ 和 ｔ ｓ 的 影 响为 Ｍｒ↑ → ξ ↓ →σｐ↑ →稳 定性 ↓ （ｔ ｓ↑ 快 速性 ↓） （２ ） ωｂ 与 ｔ ｓ的关系 根据 ｔ ｓ≈

３ 可 求得 Ｍｒ、 ωｂ 与 ｔ ｓ 的 关系 式为 ξ ωｎ ２

ωｂｔ ２ ｓ ＝３

２

Ｍｒ －１＋ ２Ｍｒ －１ Ｍｒ － Ｍｒ －１

可见 ，当 Ｍｒ 一 定 时， ｔ 与 ωｂ 成 反 比关 系。 系统 频 带越 宽， 则 系统 的动 态 反映 越迅 速， 系 ｓ 统的 快速 性越 好 ，即 ωｂ↑ → ｔ 快 速性 ↓） ｓ↓ （ ３ ．闭环 频域 指 标与 开环 频域 指 标的 关系 （１ ） Ｍｒ 与 γ的 关 系 由前 面分 析 已知 ，谐 振 峰值 Ｍｒ 反 映了 系 统的 超调 量 σ， 而 相 位 稳定 裕 度 γ也 反 映 了系 统 的超 调量 σ。 因此 ， Ｍｒ 与 γ都 反映 了系 统 的稳 定程 度。 （２ ） ωｂ 与 ωｃ 的 关系 频带 宽度 ωｂ 和 穿 越频 率 ωｃ 都反 映 了系 统的 快 速性 能。

小　　结 自动 控制 系 统性 能的 分 析主 要包 括 稳态 性 能 分 析和 动 态 性 能 分析 。系 统 的 稳 态 误差 ｅ 标 ｓｓ 志着 系统 最终 可 能达 到的 控 制精 度， 它 包括 跟随 稳态 误 差 ｅ 和 扰 动稳 态误 差 ｅ 。 跟随 误差 与 ｓｓｒ ｓｓｄ 系统 的前 向通 路 的积 分环 节个 数 ν 、开 环 增 益 Ｋ有关 。 ν愈多 ， Ｋ愈 大， 则 系统 的 稳 态 精度 愈 高。 扰动 稳态 误 差与 扰动 量 作用 点前 的 前向 道路 的 积 分 环节 个 数 ν１ 和增 益 Ｋ１ 有 关， ν １ 愈多 ， Ｋ１ 愈 大 ，则 系统 的 稳态 精度 愈 高。 对 于 随 动控 制 系统 ，主 要 考 虑 跟 随稳 态 误 差 ；而 对 于 恒 值 控制 系统 ，主 要 考虑 扰动 稳 态误 差。 系统 的动 态 性能 指标 主 要有 上升 时 间 ｔ 、 峰 值时 间 ｔ 、超 调量 σｐ、 调整 时间 ｔ 和振 荡次 数 ｒ ｐ ｓ Ｎ。ξ越 大， 超 调量 σｐ 越 小 ，系 统 响 应 的 振 荡 越 弱。 平稳 性 越 好。 在 ξ一 定时 ， ωｎ 值 越 大 ， 振荡 频率 ωｎ

２ 越高 ， 系统 响 应的 平 稳 性 越 差。 一 般 从 平 稳 性 角 度 考 虑 希 望 ξ大， ωｎ １－ξ

小。 另外 ，当 ξ一定 时， 系统 的 快速 性随 着 ωｎ 的 增加 而 变好 。 系 统 的 快 速 性和 稳 定 性 往往 也 是矛 盾的 。为 了 兼顾 两方 面 的要 求， 通 常取 ξ＝

１ １ ＝０ ． ７０ ７ （即 取 Ｋ＝ ）。 此 时， 系统 的稳 定 ２Ｔ ２

性和 快速 性都 比 较好 。在 工 程上 常称 ξ＝０． ７ ０７时 的系 统处 于 “二 阶最 佳 系统 ”。 ・１ ２ ２・

开环 频域 指 标 γ、 ωｃ 或 闭环 频域 指 标 Ｍｒ、 ωｂ 都 反映 了系 统 的 动 态性 能 ，它 们和 时 域指 标 之间 有一 定的 对 应关 系。 γ、Ｍｒ 反映 了系 统的 平 稳性 ， γ越 大， Ｍｒ 越 小， 系 统 的 平 稳 性 越好 ； ωｃ、 ωｂ 反映 了系 统 的快 速性 ， ωｃ、 ωｂ 越大 ， 系统 的响 应 速度 越快 。 系统 开环 对 数幅 频的 三 频段 对系 统 的分 析和 设计 都 有着 比较 重 要的 作用 。 低频 段的 斜 率为 －４ ０ν ｄＢ／ ｄ ｅ ｃ ， 而且 曲线 要 保持 足够 的 高度 ，以 满足 系 统的 稳态 精 度。 中频 段的 截 止频 率不 能 过低 ，而 且 附近 应有 －２ ０ｄ Ｂ／ ｄ ｅ ｃ斜率 段 ，以 满 足系 统 快 速 性和 平 稳性 。 －２ ０ｄＢ／ ｄ ｅ ｃ斜 率段 所占 频 程越 宽， 则 稳定 裕量 越大 。 高频 段的 幅 频特 性应 尽 量低 ，以 保 证系 统的 抗干 扰 性。 改善 系统 性 能的 途径 主 要有 两条 ， 一条 是调 整系 统 的参 数 （如 改 变开 环增 益 Ｋ）， 另一 条 是改 变系 统的 结 构 （如 加校 正环 节）。

习　　题 ６． １　 已知二 阶系统 的单 位 阶跃 响 应 曲 线 如 图 ６ ．１０所 示， 试 确 定 系统 的 传 递 函数 （设 系 统为 单位 负 反 馈）。 ω２ ｎ ６． ２　 设有一 系统的 闭环传 递函 数为　 　Φ（ｓ ） ＝２ ｓ ＋ξ ωｎｓ＋ω２ｎ 为了使 系统对 阶跃输 入的 过渡过 程有约 ５％的超 调 量 和 ２ｓ的 过渡 过程 时 间， 试求 ξ和 ωｎ 的值 。 Ｋ ６． ３　 已知单 位反馈 系统开 环传 递 函数 　 Ｇ（ｓ ）＝ ，当 要求 σｐ≤ ｓ （ｓ τ＋１） １６％， ｔ ＝６ｓ（５％） 时 ，试确 定 ＫＴ的 值。 ｓ

图 ６．１０　 二阶 系统的 单位

６． ４　 闭环系 统结构 如图 ６ ．１１所示 。

阶跃 响应

１６ （１） Ｇ（ｓ ） ＝ ， 试分 析加入 速 度 负反 馈 对系 统动态 性能 有 何影 ｓ（ｓ＋１） 响？若 要系统 ξ＝０．７，则 参数 τ值应选 多大 ？ Ｋ （２） Ｇ（ｓ ） ＝ ２ ，则 σｐ≤１ ５％， ｔ （５％） ＝２ｓ时的 参数 Ｋ、τ值应 选多大 ？ ｓ ｓ

图６ ．１１ 　 闭环 系统结 构框图

图 ６．１ ２　控 制系 统框图

６． ５　 设控制 系统如 图 ６．１２所 示，控 制信 号为单 位阶 跃函 数 ｒ （ｔ ） ＝１（ｔ ）， 试 分 别确 定当 Ｋｍ ＝１和 Ｋｍ ＝ ０．１时，函 数输 出量的 稳态 误差。 Ｋ ６． ６　 某单位 反馈系 统的开 环传 递函数 Ｇ（ｓ ） ＝ ，当 ｘ （ｔ ） ＝１＋ｔ时要 求 系统 的 稳 ｉ ｓ（０． ０１ｓ＋１） （ｓ＋１） 态误差 ｅ ＜０ ．０５， 试确定 Ｋ值 条件。 ｓｓ ６． ７　 控制系 统方框 图如图 ６． １３所 示，已 知控 制 信号 ｒ （ｔ ） ＝ｔ ， 干扰 信 号 ｆ （ｔ ） ＝ｔ ，试 求 系 统的 稳 态 误

・１ ２３・

差。

图 ６．１３　控 制系统 方框图 ６． ８　 已知单 位反馈 系统的 开环 传递函 数为 ４８（ｓ＋１） Ｇ（ｓ ）＝ ｓ（８ｓ＋１） （０． ０５ｓ＋１） 试 按 γ和 ωｃ 估算 系统时 域指标 σｐ 和 ｔ 。 ｓ ６． ９　 设单位 反馈系 统的开 环传 递函数 为 Ｋｖ Ｇ（ｓ ）＝ 　　 Ｋｖ＝１００ ｓ（Ｔ１ｓ＋１） 求当系 统的相 角裕量 γ＝３６° 时 的 Ｔ１ 值， 并求出对应的 Ｍｒ 及 σｐ 与 ｔ 。 ｓ ６． １０　典 型二阶 系统的 开环 传递函 数为 ω２ ｎ Ｇ（ｓ ） ＝ ｓ（ｓ＋２ξωｎ） 若已知 １ ０％ ≤σｐ≤３ ０％， 试确 定相角 裕量 γ的范 围。若 给定 ωｎ ＝１０，试 确定系 统带宽 ωｂ 的范 围。

・１ ２ ４・

第 ７章 　 自 动 控 制 系 统 控 制 器 及 其 校 正 与 设 计

本章主 要讲述 自动控 制系统 中常用 的控 制器及 其校正。 在 对自动 控制 系统分 析后， 发现 系统不 能 满足 性能指 标的要 求，需 要对系 统进行 改进 ，在原 有的系 统中 ，有目 的地 增添一 些装 置和元 件，人 为 地改 变系统 的结构 和性能 ，使之 满足所 要求 的性能 指标，这 种 方法就 称为 校正。 常用的 校正 方法有 串 联校 正、反 馈校正 和顺馈 补偿。 同时， 本章 还简要 叙述常用的工 程上的 设计 方法。 　

７．１　校正用 的控制 器 控制 器是 自 动控 制系 统 中的 关键 部 分。 通常 闭环 控 制系 统中 控 制器 以误 差 信号 为输 入， 控 制器 产生 的输 出 使被 控对 象 达到 所期 望 的状 态。 一个 控 制器 可以 是 简单 的机 械 或电 气装 置， 也 可以 是复 杂的 实 时计 算机 系 统。 带有 控 制器 的系 统结 构 如图 ７． １所示 。

图 ７．１　 比例控 制结 构图

根据 电气 的 校正 装置 是 否接 电源 ， 控制 器分 为有 源 的和 无源 的 校正 装置 两 种。 １ ．无源 校正 装 置 ＲＣ校 正网 络是 常 见的 无源 校 正装 置， 这 种校 正装 置 结 构 简 单， 成本 低 廉， 但 会 使 信号 在 变换 过程 中产 生 幅值 衰减 ， 且输 入阻 抗 较低 ，输 出阻 抗 较高 ，因 此 常常 需要 附 加放 大器 ，以 补 偿其 幅值 衰减 ， 并进 行阻 抗 匹配 。为 了 避免 功率 损耗 ， 无源 校正 装 置通 常安 置 在前 向通 路中 能 量较 低的 部位 上 。表 ７． １中列 出 了有 关的 无 源校 正网 络 、传 递函 数和 频 率特 性 （伯 德图 ）。 ２ ．有源 校正 装 置 有源 校正 通 常是 指由 运 算放 大器 和 电阻 、电 容所 组 成的 各种 控 制器 ，这 类 校正 装置 一般 不 存在 与系 统中 其 他部 件的 阻抗 匹 配问 题， 应 用起 来将 更 为方 便。 表 ７． ２列出 了有 关 的有 源校 正 装置 的线 路、 传 递函 数和 频 率特 性 （伯 德图 ）。

・１ ２５・

表 ７．１　几种 典型的 无源 校正装 置 相 位滞后 校正 装置

相 位超 前校正装置

相位 滞后 －超前 校正装 置

ＲＣ 网 络 线 路

传

Ｕ （ｓ ） Ｔ１ｓ＋１ Ｇ（ｓ ）＝ ｏ ＝ Ｕｉ（ｓ ） Ｔ２ｓ＋１

递

式中

函

　　 Ｔ１ ＝Ｒ２Ｃ２

数

　　 Ｔ２ ＝（Ｒ１ ＋Ｒ２）Ｃ２ 　　 Ｔ１≤Ｔ２

Ｕ （ｓ ） Ｋ（Ｔ１ｓ＋１） Ｇ（ｓ ）＝ ｏ ＝ Ｕｉ（ｓ ） Ｔ２ｓ＋１

Ｕ （ｓ ） Ｇ（ｓ ）＝ ｏ Ｕｉ（ｓ ） （Ｔ ｓ＋１）（Ｔ２ｓ＋１） １ ＝ （Ｔ１ｓ＋１）（Ｔ２ｓ＋１）＋Ｒ１Ｃ２ｓ

式中 Ｒ２ 　 　Ｋ＝ Ｒ１ ＋Ｒ２ 　 　Ｔ１ ＝Ｒ１Ｃ１ ＲＲ 　 　Ｔ２ ＝ １ ２ Ｃ１ Ｒ１ ＋Ｒ２ 　 　Ｔ１≥ Ｔ２

（Ｔ ｓ＋１）（Ｔ２ｓ＋１） ＝ １ （Ｔ′ ｓ＋１）（Ｔ′ ｓ＋１） １ ２ 式中 　　Ｔ１ ＝Ｒ１Ｃ１ 　　Ｔ２ ＝Ｒ２Ｃ２ 　　Ｔ１ ＜Ｔ２

伯 德 图

表 ７．２　几种 典型的 有源 校正装 置 比例 －积分 （ＰＩ ） 调节器

校 正 装 置

・１ ２ ６・

比例 －微分 （ＰＤ） 调 节器

续表

传 递 函 数

比例 －积分 （ＰＩ ） 调节器

比例 －微分 （ＰＤ） 调 节器

Ｕｏ（ｓ ） Ｋ（Ｔ１ｓ＋１） １ ＝－ ＝－ Ｋ＋ Ｕｉ（ｓ ） Ｔ１ｓ Ｔ２ｓ

Ｕｏ（ｓ ） ＝－Ｋ（Ｔ１ｓ＋１）＝－（Ｔ２ｓ＋Ｋ） Ｕｉ（ｓ ）

Ｒ Ｋ＝ １　　　 　Ｔ１ ＝Ｒ１Ｃ１ Ｒ２

Ｒ Ｔ１ ＝Ｒ０Ｃ０　 　　 　Ｋ＝ １ Ｒ２

Ｔ２ ＝Ｒ０Ｃ１

Ｔ２ ＝Ｒ１Ｃ０

伯 德 图

校 正 装 置

　　 　 传 递 函 数

Ｕｏ（ｓ ） Ｋ（Ｔ１ｓ＋１）（Ｔ２ｓ＋１） ＝－ Ｕｉ（ｓ ） Ｔ１ｓ １ ＝－ Ｋ′＋ ＋Ｔ′ｓ Ｔ′ ｓ ２ １

　　 　Ｔ１ ＝Ｒ１Ｃ１， 　 Ｔ２ ＝Ｒ０Ｃ０ Ｒ１ 　　 　Ｔ′ ＝Ｒ０Ｃ１，　Ｋ＝ １ Ｒ０ 　　 　Ｔ′ ＝Ｒ１Ｃ０，　Ｋ′＝ ２

Ｒ１ Ｃ０ ＋ Ｒ０ Ｃ１

Ｕｏ（ｓ ） Ｋ（Ｔ２ｓ＋１）（Ｔ３ｓ＋１） ＝－ Ｕｉ（ｓ ） （Ｔ１ｓ＋１）（Ｔ４ｓ＋１） Ｒ ＋Ｒ２ ＋Ｒ３ Ｋ＝ １ Ｒ０ ＲＲ Ｔ１ ＝Ｒ２Ｃ１，　Ｔ２ ＝ １ ２ Ｃ１ Ｒ１ ＋Ｒ２ Ｔ３ ＝（Ｒ３ ＋Ｒ４）Ｃ２，　Ｔ４ ＝Ｒ４Ｃ２ （Ｒ０ｍ Ｒ３）

・１ ２７・

续表 比例 －积分 （ＰＩ ） 调节器

比例 －微分 （ＰＤ） 调 节器

伯 德 图

７．２　校正的 基本规 律 ７ ．２ ． １无源 校正 （１ ）无源 超 前校 正网 络 图 ７． ２是 无 源超 前校 正网 络 的电 路图 及 其零 极点 分 布图 ，其 中复 阻 抗 Ｚ１和 Ｚ２分 别为 Ｒ１ Ｚ１ ＝ １＋Ｒ１Ｃｓ Ｚ２ ＝Ｒ２ 则装 置的 传递 函 数为 Ｚ２ １ １＋αＴ ｓ Ｇ（ｓ ） ＝ ＝ × Ｚ１ ＋Ｚ２ α １＋Ｔｓ

（７ ． １）

Ｒ１Ｒ２ Ｒ１ ＋Ｒ２ 式中 　Ｔ＝ Ｃ１， α＝ ＞１ 。 Ｒ１ ＋Ｒ２ Ｒ２ 由式 （ ７ ． １ ） 可 见，采 用无 源超 前网络进行串 联校 正，整个系 统的 开环 增 益要 下降 α倍， 因 此需 要给 无源 校正装置接一 放大系数为 α的比 例放 大器 ，放大倍数 Ｋ＝α。 则 传递 函数 可写 成 １＋αＴｓ Ｇ（ｓ ） ＝ １＋Ｔｓ

（７ ． ２）

１＋αＴｊ ω Ｇ（ｊ ω） ＝ １＋Ｔｊ ω

（７ ． ３）

根据 式 （７ ． ２）， 其频 率 特性 为

根据 式 （７ ．３ ） 画 出无 源 超前 网络 Ｇ（ｓ ）的对 数频 率 特 性 ， 如图 ７ ．３所 示。 由图 可 见， 输 出信 号相 位比 输 入信 号 相位 超前 ， 故称 超 前 网 络。 由 图 ７ ．３可 知 ，在 最 大 超 前 角 频 率 ωｍ 处 ， 具有 最大 超前 角 φｍ ，且 ωｍ 正 好 处于 频率 １／ αＴ和 １／ Ｔ的几 何中 心。 ・１ ２ ８・

无源 超前 网络 的 最大 超前 角 为

・１ ２９・

图 ７．３　无 源超前 校正网 络

图 ７．２　 无源 超前校 正网络

α－１ φｍ ＝ａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｎ α＋１

１＋αＴｓ 的伯 德图 １＋Ｔｓ

（７ ． ４）

可见 ，φｍ 的 大小 取决 于 α值的 大小 ，当 α→∞ 时 ，φｍ → ９ ０° 。 最大 超前 角 对应 的频 率 ωｍ 为 １ ωｍ ＝ Ｔ α

（７ ． ５）

（２ ） 无 源滞 后校 正 网络 如图 ７． ４所 示无 源滞 后校 正 网络 ，其 中 复阻 抗分 别 为 １ Ｚ１ ＝Ｒ１，Ｚ２ ＝Ｒ２ ＋ Ｃｓ 滞后 校正 的传 递 函数 为 Ｚ２ １＋Ｒ２Ｃｓ １＋ｂ Ｔｓ Ｇ（ｓ ） ＝ ＝ ＝ Ｚ１ ＋Ｚ２ １＋ （Ｒ１ ＋Ｒ２） Ｃｓ １＋Ｔｓ

（７ ． ６）

Ｒ２ Ｔ＝（Ｒ１ ＋Ｒ２） Ｃ， ｂ＝ ＜１ Ｒ１ ＋Ｒ２

式中 滞后 装置 的频 率 特性 为

１＋ｊ ｂ ωＴ Ｇ（ｊ ω） ＝ １＋ｊ ωＴ

（７ ． ７）

　　无 源 滞后 网 络 的 对 数频 率 特性 如 图７．５所示 。 由图 可 见 ， 输 出 信 号 相 位 滞 后 输 入 信 号 相

图７ ．４　无源 滞后校 正网 络及零 极点分 布图

・１ ３ ０・

图 ７．５　无源滞后 网络 的频率 特性

位， 故称 滞后 网 络。 与超 前 网络 类似 ， 最大 滞后 角 φｍ 发 生在 最 大 滞 后角 频 率 ωｍ 处， 且 ωｍ 正 好是 １／ Ｔ与 １／ ｂ Ｔ的 几何 中心 。 计算 ωｍ 及 φｍ 的 公式 分别 为 １ ωｍ ＝ Ｔｂ

（７ ． ８）

１－ｂ φｍ ＝ａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｎ １＋ｂ

（７ ． ９）

（３ ）无源 滞 后 －超前 校 正网 络 如图 ７ ． ６所 示 为无 源滞 后 －超 前校 正 网络 。 复阻 抗 Ｚ１、Ｚ２分别 为 Ｚ１ ＝

１ ＋Ｃ１ｓ Ｒ１

－１

Ｒ１ ＝ １＋Ｒ１Ｃ１ｓ

１ １＋Ｒ２Ｃ２ｓ Ｚ２ ＝Ｒ２ ＋ ＝ Ｃ２ｓ Ｃ２ｓ 滞后 －超 前 网络 的传 递 函数 为 图７ ．６　无 源滞后 －超前 网络

Ｚ２ Ｇ（ｓ ） ＝ 　 　 　　 　　 　 　　 Ｚ１ ＋Ｚ２ １＋Ｒ２Ｃ２ｓ Ｃ２ｓ ＝ Ｒ１ １＋Ｒ２Ｃ２ｓ ＋ １＋Ｒ１Ｃ１ｓ Ｃ２ｓ

（ ７． １ ０）

（１＋Ｒ１Ｃ１ｓ ） （１＋Ｒ２Ｃ２ｓ ） ＝ ２ Ｒ１Ｃ１Ｒ２Ｃ２ｓ＋ （Ｒ１Ｃ１ ＋Ｒ２Ｃ２ ＋Ｒ１Ｃ２） ｓ＋１ 令 ａ＞１，ｂ＜１ ，且 ａ ｂ ＝１ ｂ Ｔ１ ＝Ｒ１Ｃ１， 　ａ Ｔ２ ＝Ｒ２Ｃ２，　 Ｒ１Ｃ１ ＋Ｒ２Ｃ２ ＋Ｒ１Ｃ２ ＝Ｔ１ ＋Ｔ２ 式 （７ ．１ ０） 可写 成 １＋ｂ Ｔ１ｓ １＋ａ Ｔ２ｓ 　　 ■Ｇ（ｓ ） ＝ ・ １＋Ｔ１ｓ １＋Ｔ２ｓ

（７． １ １）

（滞 后） （超前 ） 与前 面所 述的 滞 后传 递 函数 和 超前 传 递 函 数 相比 有相 同形 式， 故 称为 滞后 －超前 网络 。 当 ｂ Ｔ１ ＞ａ Ｔ２时， 滞 后 －超 前网 络 的 频 率 特性 如图 ７． ７所 示 。 最大 滞 后 相 位 角和 超 前 相 位 角以 及它 们所 对应 的 频率 值 的计 算 与前 所 述 的 有 关公 式相 同。 ω０是 由 滞后 作 用过 渡 到超 前 作 用 的 临界 频率 ， ω０ ＝

・１ ３ ２・

１ Ｔ１Ｔ２

（７． １ ２）

图 ７． ７　滞 后 －超 前网 络的伯 德图

７ ．２ ． ２　比例 （Ｐ） 控制器 校正 １ ．比例 控制 器 在一 个比 例 控制 器 中， 比 例 控 制器 的 输出 正 比 于 输入 ， 如 图 ７． ８ 所示 。控 制器 的 输入 为误 差 信号 ，即 参 考输 入与 反馈 信 号的 差 ｅ＝ｕｉ －ｕ ｆ

图 ７． ８　比 例控制 器

ｕｏ ＝ＫＰｅ

（７． １ ３）

式中 ，ｅ为 误差 信 号； ｕｏ 为控 制器 输 出； ＫＰ 为控 制 器增 益。 【例 ７． １】 一个 比例 控 制器 （如 电 压放 大 器） 的 增 益 为 １ ０，若 控制 器 的输 入 为 ｅ＝５ｍＶ， 则输 出为 多少 单 位？ 解： ｕｏ ＝ＫＰ ×ｅ ＝１ ０×５ｍＶ ＝５ ０ｍＶ ２ ．比例 控制 器 的传 输特 性 比例 控制 器 的 传 输 特 性 ： 由 式 （７ ． １３） 可 见 比 例 控 制 器 的 输 入输 出之 间的 关 系可 用线 性方 程 表示 ，但 输 出并 不能 随 着输 入 增加 而无 限增 长。 不 管是 机械 机构 的 位移 还是 电 子线 路的 输 出都 有 一个 极限 ，比 如运 算 放大 器的 饱 和作 用。 图 ７． ９所示 为比 例 放大 器 的传 输特 性。 ３ ．应用 实例 图７ ．９　比例放大器的 传输特性

（１ ）比例 控 制器 的实 用 控制 线路

图 ７． １０所 示为 比例 控 制器 的实 用 线路 ，电 路 中运 算 放 大 器可 选 择四 运 放 ＬＭ３ ２ ４。 比例 控 制器 工作 可分 成 两部 分： 误 差运 算及 比 例运 算 。放 大 器 Ｕ１Ａ 构 成 误 差 运 算 ，ｕｉ为给 定 信号 ， ｕｆ 为反 馈信 号， 误 差 ｅ＝ｕｉ －ｕｆ 放大 器 Ｕ１Ｂ 和 Ｕ１Ｃ构 成了 比 例运 算。 两 个放 大器 均 构 成 了 反 相 放 大 器 ， 因 而误 差 ｅ被 反 相了 两 次，输出 与误 差 ｅ有 着相 同 极性 。Ｕ１Ｂ构 成 了比 例 运算 部分 ， 提高 所 需增 益 ＫＰ，而 Ｕ１Ｃ 构成 了 倒相 器， 增益 为 －１， 调节 电位 器 Ｒ２可得 到所 需 增益 。整 个 放大 器的 增益 为

图 ７．１０　 比例 控制器 应用线 路

・１ ３３・

Ｒ２ ＫＰ ＝ Ｒ５ （２ ）比例 控 制器 频率 响 应 对于 理想 放 大器 ，任 一 频率 下控 制 器增 益保 持不 变 ，输 出与 输 入间 无相 位 差。 Ｌ（ω） ＝２０ｌ ｇ（ＫＰ） φ（ω） ＝０° （３ ） 闭 环系 统的 比 例控 制 图７ ．１ １所 示为 闭环 系 统的 比例 控 制， 图中 ＧＰ为 控制 器的 传递 函数 ， Ｇ１为 被控 对 象的 传递 函 数，Ｈ为反 馈 传递 函数 。比 例控 制 器的 输入 误 差 为 ｅ＝ｕｉ －ｕｆ， 控 制 器 的输 出 ｕ 驱 使被 控 对 象 的 输出 达 到 期 望 值。 为 了 简 单 起 见 ， ｏ 假定 被控 对象 传 递 函 数 为 １ （Ｇ１ ＝１）。 系 统 的 闭 环 传递

图 ７．１ １　闭 环系 统的比 例控制

函数 ＧＰＧ１ ＧＰ Ｇｃ ＝ ＝ １＋ＧＰＧ１Ｈ １＋ＧＰＨ

（ ７． １ ４）

若控 制系 统为 单 位反 馈， Ｈ＝１ ， 且 比例 控制 器 传递 函数 为 ＫＰ，则 ＧＰ ＫＰ Ｇｃ ＝ ＝ １＋ＧＰ １＋ＫＰ

（ ７． １ ５）

ｕ ＫＰ ｏ ＝ ｕ １＋ ＫＰ ｉ

即 闭环 控制 系统 的 输出

ＫＰ ｕｏ ＝ ｕｉ １＋ＫＰ

（ ７． １ ６）

闭环 控制 系统 的 误差 ｅ＝ｕｉ －ｕｆ ＝ｕｉ －ｕｃ ＫＰ ＝ｕｉ － ｕ １＋ＫＰ ｉ

（ ７． １ ７）

１ ＝ ｕ １＋ＫＰ ｉ 式中 　ｕｆ ＝ｕｃ是因 为反 馈传 递 函数 Ｈ＝１。 由式 （ ７ ．１ ７） 可 见 ，ＫＰ愈大 ， 误差 愈 小。 但误 差 不 可 能 为 零 ， 一 方 面 是因 为比 例 控 制 器 的增 量 ＫＰ不 可 能是 无穷 大 ，另 一方 面， 控 制器 的输 出 ｕｏ与 误 差有 关， 即 ｕｏ ＝ＫＰｅ 若误 差 ｅ为 零， 则控 制 器的 输出 ｕｏ为零 ， 控制 器就 失去 了 控制 作用 。 （４ ） 应 用实 例 【例 ７ ． ２】 图 ７ ．１ １所 示闭 环 控制 系统 ， 确定 系统 输 出值 及误 差值 。 假定 Ｇ１ ＝２， Ｈ＝１ 。 （１ ）ｕｉ＝１Ｖ，ＫＰ ＝１ （２ ）ｕｉ＝１ ０Ｖ，ＫＰ ＝１ ・１ ３ ４・

解： 系统 闭 环传 递函 数 ＫＰＧ１ ２ＫＰ Ｇｃ ＝ ＝ １＋ＫＰＧ１ １＋２ＫＰ 系统 输出 ｕｏ ＝Ｇｃｕｉ 误差

ｅ＝ｕｉ －ｕｆ （１ ）

２ＫＰ

ｏ

２×１ ＝ ｕ＝ ×１Ｖ＝０ ．６ ６ ６７Ｖ １＋２ＫＰ ｉ １＋２×１

ｅ＝ｕｉ －ｕｆ ＝ （１－０ ． ６ ６ ６７）Ｖ＝０ ．３ ３ ３３Ｖ ２ＫＰ ２×１ （２ ） ｕｏ ＝ ｕｉ ＝ ×１０Ｖ＝６ ． ６ ６７Ｖ １＋２ＫＰ １＋２×１ ｅ＝ｕｉ －ｕｆ ＝ （１ ０－６ ． ６ ６ ７）Ｖ＝３ ． ３ ３ ３Ｖ 【例 ７． ３】 本例 采用 Ｓ Ｉ ＭＵＬＩ ＮＫ 来 说明 控制 器 的应 用。 图 ７． １ ２所 示系 统被 控 对象 为比 例 环节 ，现 加 比例 控制 器 进 行 控制 ， 比例 控制 器 增益 为 １， 阶跃 输入 为 １０ ， 系 统输 出仍 为 阶 跃 信 号， 但 输 出 信 号 幅 值 为 ９ ．０ ９ ０ ９， 不 等 于 输 入 信 号 幅 值 ， 见图 ７． １２ （ｂ）。若 增大 比 例控 制器 的 增益 ， 使其 为 １ ０ ， 输 出信 号 为 ９ ． ０９ １，虽 仍未 达 到 输 入 信号 １０，但 误差 已 很小 ，见 图 ７ ． １ ３。

图 ７．１ ２　比 例控制 器控 制 （１）

图７ ．１３　比例 控制器 控制 （２）

比例 控制 器 另一 作用 是 调整 系统 的 开环 放大 倍数 ， 加快 系统 的 响应 速度 。 考虑 图 ７． １４所 示 带有 比例 控 制器 校正 的 控制 系统 ，系 统 的闭 环传 递 函数 为 ＫＰ Ｇ（ｓ ） ＝ Ｔｓ＋１＋ＫＰ

・１ ３５・

＝ １ Ｔ ｓ＋１ １＋ＫＰ

・１ ３ ６・

ＫＰ ・ １＋ＫＰ

图 ７． １４　比例 控制 器校正 的控 制系统

Ｔ 可见 ，ＫＰ愈大 ， 稳态 精度 愈 高， 系统 的 时间 常数 τ＝ 愈 小 ，则 系统 响 应速 度愈 快。 １＋ＫＰ 【例 ７． ４】被 控 对象 为一 阶惯 性 的比 例控 制 器控 制时 ＳＩ ＭＵＬＩ ＮＫ 仿 真 如图 ７． １ ５所示 ， 一 阶 惯 性环 节 为

１ ０ ， 比 例 控 制 器增 益为 １时， 系 统输 出 为 指 数上 升 ５ ｓ＋１

形式 。 如图 ７． １６所示 ，被 控 对象 不变 ， 比例 控制 器 增益 为 １ ０ ， 系 统 输 出仍 为 指数 上 升形 式， 输 出与 输入 不相 等 ，仍 为有 差 系统 ，但 误 差减 小， 且响 应 速度 加快 ， 读者 可计 算 验证 。

图 ７．１ ５　比 例控制 器控 制 （３）

图７ ．１６　比例 控制器 控制 （４）

再考 虑图 ７． １７所示 的 高阶 控制 系 统， 用 比 例 控 制器 进 行校 正， 比 例系 数 为 ＫＰ。其 中 Ｋ１ ＝３ ５，Ｔ１ ＝０ ． ２ｓ ，Ｔ２ ＝０． ０ １ｓ 。 画出 校 正 前 系统 的 对数 频率 特性 ， 可得 穿 越 频 率 ωｃ ＝１ ３ ． ５ｒ ａ ｄ／ ｓ ，相 位裕 量为 γ＝１ ２． ３° ， 系统 的 稳 定 性 较差 ， 超 调 量 比较 大， 振荡 次 数较 多 。 图 ７． １８所 示 仿 真 结 果 证 实了 这个 结论 。

图 ７． １７　比 例校正 的高阶 系统

・１ ３７・

图７ ．１８　 校正 前高阶 系统仿 真

采用 比例 控 制 器 校 正， 适当 降 低系 统 的增 益 ， 比如 ＫＰ ＝ ０． ５， 画出 校 正后 的对 数 频 率特 性， 此 时 ω＝９ ． ２ｒ ａ ｄ／ ｓ ， 求得 稳 定裕 量 γ＝２ ３ ． ３° 。 比较 校正 前后 系 统的 性能 ， 校正 后系 统 的稳 定性 有所 提 高， 超调 量 下降 ，振 荡 次数 减少 ，但 响 应速 度变 慢。 校 正前 后的 对 数频 率特 性 如图 ７． １ ９所示 。 Ｓ Ｉ ＭＵＬＩ ＮＫ仿 真结 果 如图 ７ ． ２ ０所示 ，输 出 波形 虽有 振 荡， 但超 调 量减 小， 振 荡次 数 减少 ， 系统 响应 得到 了 改善 。

７ ．２ ． ３　积分 控制器 （Ｉ ） 校正 １ ．积分 控制 器 图 ７． ２１所 示为 积分 控 制器 的框 图 ，输 入为 误 差 ｅ ， 输出 为 Ｔ

ｕｏ ＝ＫＩ

∫ ｅｄｔ ０

・１ ３ ８・

图 ７．１ ９　 比例校 正前 后高阶 系统的 频率特 性

图 ７． ２０　比例 校正 后的系 统仿真

・１ ３９・

式中 ，ＫＩ 为 积分 常 数。 积分 器的 输 出实 际上 是 误差 曲线 与 横坐 标 ｔ所围 的 面积 ，如 图 ７ ． ２ ２所 示 。 积分 器的 传 递函 数为 Ｕｏ（ｓ ） ＫＩ ＝ Ｅ（ｓ ） ｓ

（ ７． １ ８）

【例 ７． ５】 计算 图 ７． ２３所 示误 差 输入 下积 分 器 ０～１ ０ｓ的 输 出， 其中 积 分器 的积 分 常数 为 １ ． ５ｓ 。 解： 积分 器 输出

∫

ｕｏ ＝ＫＩ ｅ ｄｔ 误差 曲线 可 分成 三段 ： ０～３ｓ ：ｅ （ｔ ） ＝ ０Ｖ ３～８ｓ ：ｅ （ｔ ） ＝ ２Ｖ ８～１ ０ｓ ：ｅ （ｔ ） ＝ ０Ｖ 相应 地输 出方 程 为 ３

８

１０

∫ ｅｄｔ＋∫ｅｄｔ＋∫ ｅｄｔ

ｕ ＝ＫＩ ｏ

０

３

８

把各 段的 误差 值 代入 上式 ， ３

ｕｏ ＝１． ５

８

１０

∫０ｄｔ＋∫２ｄｔ＋∫ ０ｄｔ Ｖ ０

３

８

８

＝１． ５

∫２ｄｔ Ｖ ３

８

＝１． ５×２ｔ Ｖ ３

＝３× （ ８－３）Ｖ ＝１５Ｖ 图 ７． ２４所 示为 积分 器 输出 曲线 。

图 ７．２４　 积分 器输出 曲线

图 ７． ２５　例 ７．６输入 误差 曲线

【例 ７． ６】 积分 器的 输 入曲 线如 图 ７ ．２ ５所示 。 积分 器的 输 出 负 限 幅 为 －１ ０Ｖ， 正 限 幅 为 １ ０Ｖ，确 定积 分 器的 输出 ，其 中 积分 常数 ＫＩ ＝０ ． １。 解： 此处 采 用图 解法 ， 读者 可用 数 值解 法来 验证 。 ｔ时刻 控制 器输 出 ＝ＫＩ × （０～ｔ ） 间误 差曲 线 与横 坐标 ｔ所 围 面积 。 ・１ ４ ０・

分析 图 ７． ２５所 示误 差曲 线 ，可 分成 ６段： ｕｏ （ｔ＝８ｓ ） ＝ＫＩ × （ ０～２ｓ ） 间误 差曲 线所 围 面积 ＋ ＫＩ × （ ２～３ｓ ） 间误 差曲 线 所围 面积 ＋ ＫＩ × （ ３～４ｓ ） 间误 差曲 线 所围 面积 ＋ ＫＩ × （ ４～６ｓ ） 间误 差曲 线 所围 面积 ＋ ＫＩ × （ ６～７ｓ ） 间误 差曲 线 所围 面积 ＋ ＫＩ × （ ７～８ｓ ） 间误 差曲 线 所围 面积 ０～２ｓ ：ｕ ＝０ ． １×０Ｖ ＝ ０Ｖ ｏ１ ２～３ｓ ：ｕ ． １×１Ｖ ＝０． １Ｖ ｏ２ ＝ ０ ３～４ｓ ：ｕ ＝０ ． １×０Ｖ ＝０Ｖ ｏ３ ４～６ｓ ：ｕ ． １× （－０ ． ５Ｖ×２） ＝ －０ ． １Ｖ ｏ４ ＝ ０ ６～７ｓ ：ｕ ＝０ ． １× －０ ． ５Ｖ× ｏ５ １ ７～８ｓ ：ｕ ＝０ ． １× ０ ． ５Ｖ× ｏ６ ２

１ ２

＝－０． ０２ ５Ｖ

＝ ０． ０２ ５Ｖ

ｔ＝８ｓ时 刻 ｕｏ ＝ ｕｏ１ ＋ｕｏ２ ＋ｕ ｏ３ ＋ｕ ｏ４ ＋ｕ ｏ５ ＋ｕ ｏ６ ＝ ［０＋０ ．１＋０＋ （－０ ． １） ＋ （－０ ． ０２ ５） ＋ ０ ．０ ２ ５ ］Ｖ ＝ ０Ｖ 积分 器输 出曲 线 如图 ７． ２ ６所示 。 ２ ．应用 实例 （１ ） 积 分器 实用 线 路 图 ７． ２７所 示为 积分 器 实 用线 路。 运 放 Ｕ１Ａ 构 成 了积 分 器， 其 输 出 极 性 与 输 入 极 性 相 反 。 运放 Ｕ１Ｂ构 成 了反 相比 例 器， Ｕ１Ａ 与 Ｕ１Ｂ一 起构 成 的放 大器 ， 其输 出与 输 入有 相同 的 极性 ，即 输 入误 差为 正时 输 出也 为正 。

图 ７．２６　 积分 控制器输出曲 线

图 ７．２７　积 分控制 器实 用线路

积分 器积 分 时间 常数 １ ＫＩ ＝ Ｒ１Ｃ１ 在自 动控 制 系统 中， 当 系统 要求 完 全消 除稳 态的 误 差时 ，常 采 用积 分环 节 。这 是因 为采 用 了积 分环 节后 ， 若以 误差 信 号作 为输 入 量， 当 误 差 ｅ不 等 于 零 时 ， 其 积 分 过程 将一 直 继 续 下 ・１ ４１・

去， 输出 量不 断 变化 ，直 到 误差 消除 为 止。 （２ ） 积 分器 的频 率 响应 理想 积分 器 的相 位差 为 －９ ０° ， 积 分常 数 ＫＩ即 为 穿越 频率 。 Ｌ（ω） ＝２０ｌ ｇ（ ＫＩ／ ω） φ（ω） ＝ －９ ０° Ｌ （ω） 为 对数 幅频 特性 。 （３ ） 应 用实 例 【例 ７． ７】 被控 对象 为 一阶 惯性 的 积分 控制 器 校正 时 Ｓ Ｉ ＭＵＬＩ ＮＫ仿 真 。 如图 ７． ２ ８所示 ，一 阶 惯性 环节 为 加入 积分 控制 器

１ ０ ，阶 跃 输入 时， 系 统输 出为 有差 （见图 ７． １ ５）， 现 ５ｓ＋１

１ ０ ． ０ ２ ＝ ， 系统 输出 变 为无 差。 ５ ０ｓ ｓ

图 ７．２８　积 分控制 器控制

７ ．２ ． ４　比例 积分 （ＰＩ ） 校正 １ ．比例 积分 控 制器 比例 控制 器 的输 出信 号 能立 即响 应 输入 信号 ，也 就 是 误 差 信号 ｅ一 经 输 入 到 比 例 控 制器 ， 控制 器立 即输 出 信号 幅值 正 比于 输入 误 差的 信号 。 但前 面 已 指 出， 比例 控 制 器 无 法 消 除 误差 ， 而积 分控 制器 可 以通 过不 断 积 分 的 累积 过 程最 后消 除 误 差 ， 但 积 分 控 制 器 的输 出从 零 开 始 增 长， 经过 一段 时 间的 积累 才 消除 误差 。 因此 ，为 了兼 顾 比例 控 制器 和积 分 控 制 器 二 者 的 优点 ， 通常 采用 图 ７． ２９所 示的 比 例积 分控 制 器。 ・１ ４ ２・

比例 积分 控制 器 输出

∫

ｕｏ ＝ＫＰｅ＋ＫＩ ｅ ｄｔ

（７ ． １ ９）

对式 （７ ．１ ９ ） 两 边取 拉 氏变 换， 得 ＫＩＥ（ｓ ） ｕｏ （ｓ ） ＝ＫＰＥ（ｓ ） ＋ ｓ

图７ ．２ ９　 比例 ＋积分控 制器

ＫＰｓ＋ＫＩ ＝ Ｅ（ｓ ） ｓ 比例 积分 控制 器 的传 递函 数 为 ｕ ｓ ） ＫＰｓ＋ＫＩ ｏ（ ＝ Ｅ（ｓ ） ｓ 或 ｕｏ（ｓ ） ＝ Ｅ（ｓ ）

ＫＩ

ＫＰ ｓ＋１ ＫＩ ｓ

ＫＰ ｓ＋１ ＫＩ ＝ １ ｓ ＫＩ

（ ７． ２ ０）

τ ＋１ １ｓ ＝ τ ｓ ２ 式 （７ ．２ ０） 表明 了比 例 积分 控制 器 是两 部并 联 组成 ：积 分及 一 阶超 前环 节 。 【例 ７． ８】 在图 ７ ． ３０所示 误 差信 号作 用下 ， 确定 比例 积 分控 制器 的 输出 。控 制器 输 出初 始 状态 为零 ，ＫＰ ＝ １０，ＫＩ ＝ ２。 解： 比例 积 分控 制器 的 输出 ＝比 例 控制 器的 输出 ＋积分 控制 器 的输 出。

∫

即

ｕｏ ＝ＫＰｅ＋ＫＩ ｅ ｄｔ 比例 控制 器 输出 ｕＰｏ ＝ＫＰｅ ＝１ ０×２Ｖ ＝２ ０Ｖ 积分 控制 器 输出

∫

ｕＩｏ ＝ＫＩ ｅ ｄｔ ｔ ＝２ｓ时， ｕＩｏ ＝０ １０

∫ ｅｄｔ

ｔ ＝１０ｓ时， ｕＩ１ ＝２

０

２

１０

∫ ｅｄｔ＋２∫ ｅｄｔ

＝２

０

２

２

１０

∫０ｄｔ＋２∫ ２ｄｔ

＝２

０

２

・１ ４３・

＝ （０＋３ ２）Ｖ ＝３ ２Ｖ 因此 ｔ＝１０ｓ时， 控制 器总 的 输出 为 ｕｏ ＝ｕＰｏ ＋ｕＩｏ ＝ （２０＋３ ２）Ｖ ＝５ ２Ｖ 由图 ７． ３０可见 ， 比例 积 分控 制 器的 输 出 由 两 部 分 组 成 ， 第一 部分 是比 例 部分 ， 它立 即响 应 输 入 量 的 变 化 ；第 二 部 分 是积 分部 分， 它 是 输 入 量对 时间 的 积累 过 程。 因 此， 比 例 积 分控 制器 兼有 比 例 控 制 器 和 积 分控 制器 两 者 的 优 点， 所 以 在 自动 控制 系统 中 得到 了广 泛 的应 用。 （１ ） ＰＩ控 制器 应用 线 路 图 ７． ３１所 示为 比 例 积 分 控 制 器 应 用 线 路 （也 可 采 用 表 ７ ． ２中 的应 用 线路 ）。运 放 Ｕ１Ａ组 成了 比 例 控 制 器， Ｕ１Ｃ 组 成 了 积分 控制 器， Ｕ１Ｂ组 成了 加 法器 并反 相 。误 差 信 号 ｅ同 时 输 入 到比 例及 积分 控 制 器 。 采 用 比 例 控 制 器 与 积分 控 制 器 分 离 的 形式 ，便 于独 立 调整 比例 系 数和 积分 常 数。 比例 控制 器 放大 倍数 可 通过 电 位 器 Ｒ２调 节， 积分 控 制 器 积分 常数 可通 过 电位 器 Ｒ３调节 ，即

图 ７．３ １　比 例积 分控制 器实用 线路

Ｒ２ ＫＰ ＝ Ｒ１ ・１ ４ ４・

图 ７． ３０　例 ７ ．７积分 控制器 的 输入 与输出 信号

１ ＫＩ ＝ Ｒ３Ｃ１ （２ ） ＰＩ控 制器 的频 率 响应 ＰＩ控制 器具 有 积分 控制 器与 比 例控 制 器频 率 特 性 的 特 征 。 在 低 频段 ， 控制 器基 本 上 呈 现 积分 器的 特征 ， 而在 高频 段 主要 呈现 比 例控 制器 的特 征 ，控 制器 所 具有 的特 征 如下 ： ① 转折 频 率 ωｂ ＝１／ τ （即 ＫＩ／ ＫＰ） ｒ ａ ｄ／ ｓ 。 ② 低频 段 （ω＜ＫＩ／ ＫＰ） 增益 为 －２０ｄ Ｂ／ 十 倍频 。 ③ 大于 转 折频 率的 稳 态增 益为 ２０ｌ ｇ ＫＰ （ｄ Ｂ）。 ④ 转折 频 率处 的相 位 差为 －４ ５° 。 ⑤ 低频 段 相位 差趋 近 －９ ０° 。 ⑥ 高频 段 相位 差趋 近 ０° 。 ２ ．比例 积分 器 校正 性能 分析 积分 控 制 器 （Ｉ ） 的 输出 反 映 的是 对 输入 信 号 的积 累， 因此 当输 入 信号 （如 误 差 信 号 ） 为零 时 ，积 分 控制 仍然 可以 有 不 为 零 的 输 出 ， 正 是 由 于 这 一 独 特 的 作 用 ， 它可 以用 来 消 除 稳 态 误 差 。 然 而 ， 积 分 控 制 器 的 加 入 ， 图 ７．３２　 加积分 控制 器校正 的控制 系统 常会 影响 系统 的 稳定 性。 图 ７． ３ ２所示 系统 ， 由于 加 入了 ２ ３ ２ 积分 控制 器， 闭 环系 统的 特 征方 程由 原 先的 Ｔｓ ＋ｓ＋Ｋ＝０变 成 ＴＩＴｓ ＋ＴＩｓ ＋Ｋ＝０ ， 可 验证 此

时系 统变 成不 稳 定了 。在 这 类系 统中 ， 通常 要采 用比 例 加积 分校 正 才能 达到 即 可保 持系 统稳 定 又能 提高 系统 型 别的 目的 。 【例 ７． ９】 积 分控 制 器校 正的 控 制系 统 ＳＩ ＭＵＬＩ ＮＫ 仿 真 ，令 Ｋ＝１，ＴＩ ＝１， τ＝１， 校正 前 如图 ７． ３３所示 ，校 正后 如 图 ７ ． ３ ４所 示。

・１ ４５・

图 ７．３ ３　例 ７．９系统校 正前

・１ ４ ６・

对图 ７． ３５所示 系统 进 行 ＰＩ校 正 。 原 系 统具 有 两 个 惯性 环节 ，不 含 积分 环 节， 为 了 实 现无 静 差， 在 前 向通 道串 接比 例 积分 控制 器 。 原系 统传 递 函数 Ｇ（ｓ ） ＝Ｋ１ ／（Ｔ１ｓ＋１） （Ｔ２ｓ＋

图 ７． ３５　比例 积分 控制器 校正的 控制系 统

１）， 设 Ｋ１ ＝ ３２， Ｔ１ ＝ ０ ． ３３ｓ ，Ｔ ． ０ ０ ３６ｓ ，Ｔ ２ ＝０ １ ｍ Ｔ２。系 统不 含 积分 环节 ，是 一 有差 系统 。 为消 除静 差 ，采 用比 例积 分 控制 器， 其 传递 函数 为 Ｇ（ｓ ） ＝Ｋ（τ ｓ＋１） ／ τ ｓ 。取 τ＝Ｔ１， 使比 例 积 分 控 制 器 的 分子 与原 系 统的 大 惯性 环节 对 消。 令 Ｋ＝１． ３ ， 画 出校 正前 后 的对 数频 率特 性 进行 比较 ， 如图 ７ ．３ ６所示 。

图 ７．３６　 比例 积分 （ＰＩ ） 校正前 后系统 对数频 率特 性

由图 ７． ３６可见 ，校 正 前原 系统 是 ０型 系 统 （无 积 分器 ），是 有 静差 系 统。 校正 后 系 统 成 为 Ｉ型系 统 （含 有一 个 积分 器）， 在阶 跃 输入 下能 实 现 无 静差 ， 改 善 了系 统 的稳 态 性能 。校 正 前原 系统 相位 裕 量 γ＝８ ８° ， 校 正后 相位 裕 量 γ＝６ ５° ，相 位 裕 量 是减 小的 ， 意味 着系 统 的超 调 量将 增加 ，降 低 了系 统的 稳 定性 。总 之 ，采 用 ＰＩ校 正 ， 能改 善系 统 的稳 态 性 能 ，而 动 态性 能 可能 受到 一定 的 影响 。 由图 ７． ３６还可 见， ＰＩ校 正环 节的 相 位差 总是 滞 后的 ，是 一种 滞 后校 正。 【例 ７． １ ０】 比 例 积分 控制 校 正的 控 制 系 统 ＳＩ ＭＵＬ Ｉ ＮＫ 仿真 ， 校 正 前 如 图 ７ ． ３７所 示 ，输 出 结果 为有 差， 且 有振 荡。 加 ＰＩ校 正后 的系 统 仿真 如图 ７ ．３ ８所示 ， 输出 结果 为 无差 ，且 系统 的 响应 得到 了改 善 。 ・１ ４７・

图 ７．３７　校 正前系 统仿真

图 ７． ３８　加比 例积 分校正 后的系 统仿真

・１ ４ ８・

７ ．２ ． ５　比例 微分 （ＰＤ） 校正 １ ．微分 控制 器 采用 微分 控 制器 的优 点 ，是 它能 反 映误 差信 号 的变 化速 度 ，并 且 在作 用误 差的 值 变得 很大 之 前， 产生 一 个有 效的 修 正。 因此 微 分环 节 的输 出可 以迅 速 反映 误差 信 号的 变化 ， 从而 使误 差的 变 化得 到 及时 而 有效 的抑 制， 有 助于 增 进 系 统 的 稳 定性 。 图 ７ ． ３ ９所 示 为 微 分 控 制 器

图 ７．３ ９　微 分控 制器

的方 框图 。 微分 控制 器 的输 入为 误 差信 号 ｅ ，输 出为 ｕｏ ＝ＫＤ

ｄｅ ｄｔ

（ ７． ２ １）

式中 ，ＫＤ 为 微 分常 数。 式 （７ ． ２１ ） 两 边取 拉氏 变 换， 得到 微 分控 制器 的 传递 函数 Ｕｏ（ｓ ） ＝ＫＤ ｓ Ｅ（ｓ ）

（ ７． ２ ２）

因为 微分 控 制的 工作 是 基于 误差 变 化的 速度 ，而 不 是基 于误 差 本身 ，因 此 这种 方法 不能 单 独使 用， 它总 是 与比 例控 制 作用 或比 例 ＋积 分控 制作 用 组合 在一 起 应用 。 【例 ７． １ １】 图 ７ ．４ ０所 示误 差信 号 作用 于 微 分 控制 器 ，确 定 微 分 控制 器 的输 出。 假 定 控 制 器初 始输 出为 零 ，微 分常 数 ＫＤ ＝２。 解： 控制 器 输出 ｕｏ ＝ＫＤ ＝２

ｄｅ ｄ ｔ

ｄｅ ｄｔ

微分 控制 器 工作 可分 成 三个 时间 段 ： ｔ＝０～３ｓ ，控 制器 输 出为 ｕ ２ ｏ ＝

ｄｅ ｄｔ

图 ７．４ ０　例 ７． １１微分 控制器

由于 此阶 段 误差 为零 ， 因此

输 入输出 波形

ｄ ｅ ＝０ ｄ ｔ ｕ ＝０ ｏ ｔ＝３～８ｓ ， ｔ＝３ｓ时 ，误 差值 瞬间 从 ０上 升到 ２， 误差 值 对时 间的 导数 趋 近于 无穷 大 ， ｄ ｅ ２ ｕ ＝ →∞ ｏ ＝ ｄｔ ０ 因此 控制 器输 出 ｄｅ ｕｏ ＝ ２ → ∞ ｄｔ 过了 ｔ＝３ｓ时 刻， 其后 时 间内 误差 为常 数 ２，误 差 的变 化率 从 无穷 大变 为 ０，从 而使 控 制器 的 输出 回到 零。 ・１ ４９・

ｔ＝８ｓ时， 误差 值 瞬间 从 ２降到 零 ，误 差值 对 时间 的导 数 趋近 于负 无穷 大 ， ｄｅ －２ ｕｏ ＝ ＝ → －∞ ｄ ｔ ０ 因此 控制 器的 输 出 ｄｅ ｕｏ ＝ ２ → －∞ ｄ ｔ ｔ＝８ｓ后， 误差 值 保持 ０值 ， ｄｅ ＝０ ｄ ｔ 控制 器输 出 ｕｏ ＝０ 由图 ７． ４０可见 ，在 ｔ＝３ｓ时 刻， 微分 控 制 器 输 出一 正脉 冲， 在 ｔ＝８ｓ时 刻 ， 控制 器输 出 一负 脉冲 。 ２ ．微分 控制 器 应用 线路 图 ７． ４１所 示为 微分 控 制器 应 用 线路 ， 运 放 Ｕ１Ａ 组 成 了 微分 控 制 器 ， Ｕ１Ｂ 组 成 了 反 相 比 例 器， 使输 出与 输 入信 号同 相 ，微 分时 间 常数 ＫＤ ＝Ｒ１Ｃ１。

图７ ．４１　 微分 控制器 应用线 路

微分 控制 器 频率 响应 ： 理想 微分 控 制器 相位 差为 ＋９ ０° ， 幅频 曲线 为 ＋２ ０ｄ Ｂ／ 十倍 频 ，微 分 常 数 ＫＤ 决定 了 穿越 频 率。 Ｌ（ω） ＝２０ｌ ｇ ＫＤ ω φ（ω） ＝ ＋９ ０° ３ ．比例 微分 控 制器 在自 动控 制 系 统 中 ，一 般 都包 含 有 惯 性 环 节 和 积 分 环 节， 它们 使信 号 产生 时间 上 的 滞 后， 使 系统 的 快 速 性 变差 ， 也使 系统 的 稳定 性 变差 ， 甚 至 造 成 不 稳 定 。 当 然 有 时 可 以 通过 调节 增益 来 作 某 种 折中 的 选择 。 但调 节 增 益 通 常 都 会 带来 副作 用， 而 且有 时 即使 大 幅度 降 低增 益 也 不 能 使 系 统 稳定 （如 含 有两 个积 分 的系 统）。 这时 若 在系 统的 前 向通 路 上串 联比 例 －微 分 （ＰＤ） 校 正 装 置， 将可 使 相 位 超 前， 以 ・１ ５ ０・

图７ ．４２　比例微 分控制 器方 框图

抵消 惯性 环节 和 积分 环节 使 相位 滞后 而 产生 的不 良 后果 。如 图 ７． ４ ２所示 方 框 图 ，比 例 微分 控 制器 由比 例控 制 器及 微分 控 制器 两部 分 构成 。 由控 制器 输 出 ＝比例 控 制器 输出 ＋微分 控制 器输 出 ，得 ｕｏ ＝ＫＰｅ＋ＫＤ

ｄｅ ｄｔ

（ ７． ２ ３）

对式 （７ ．２ ３ ） 两 边取 拉 氏变 换， 得 ｕ （ｓ ） ＝ＫＰＥ（ｓ ） ＋ｓ ＫＤ Ｅ（ｓ ） ｏ ｕ （ｓ ） ｏ ＝ｓ ＫＤ ＋ＫＰ Ｅ（ｓ ）

（ ７． ２ ４）

上式 写成 ｕｏ（ｓ ） ＫＤ ＝ＫＰ ｓ＋１ Ｅ（ｓ ） ＫＰ

（ ７． ２ ５）

由式 （ ７ ．２ ５） 可 见 ，控 制器 由 比例 环节 及 一阶 超前 环节 组 成。 【例 ７． １ ２】 图 ７ ．４ ３所 示误 差作 用下 ， 确定 ＰＤ 控制 器 的 输 出 。假 设控 制 器初 始 输 出 为 ０， 比例 常数 ＫＰ ＝１０， 微分 常 数 ＫＤ ＝１。 解： 控制 器 输出 为 ｕｏ ＝ 比例 控 制器 输出 ＋微分 控制 器输 出 ＝ＫＰｅ＋ＫＤ

ｄｅ ｄｔ

比例 控制 器 输出 为 ｕＰ ＝ＫＰｅ ＝１０×２ ＝２０ 微分 控制 器 输出 为 ｕＤ ＝ＫＤ

ｄｅ ｄ ｔ

ｔ＝２ｓ时 刻， 误差 值 瞬间 从 ０变 到 ２，斜 率趋 近 于正 无穷 大 ， 因而 微分 控制 器 输 出 趋 近 于 正 无 穷 大 。而 ｔ＝２ｓ后 误 差 值 为 恒 值， 斜率 为零 ， 微分 控制 器 输出 由 ２变 为零 ， 结 果 ＰＤ 控 制 器 在 ｔ ＝２ｓ时 刻输 出一 正脉 冲 。

图７ ．４３　 例 ７ ．１１ＰＤ 控制 器 输入 与输出 波形

同样 地， ｔ＝１ ０ｓ时 刻 ，ＰＤ 控制 器 输 出 一 负 脉 冲， 除 了 这 两 个时 刻以 外， ＰＤ控 制 器的 输出 与 比例 控制 器 的输 出相 同。 ４ ．应用 实例 （１ ） 比 例微 分控 制 器应 用线 路 图 ７． ４４所 示为 比例 微 分控 制器 应 用线 路， Ｕ１Ａ构 成 比例 控制 器 ，Ｕ１Ｃ构 成 微分 控 制器 ，Ｕ１Ｂ 构成 反相 加法 器 。误 差信 号 同时 作用 于 Ｕ１Ａ 和 Ｕ１Ｃ。 比例 控制 部 分增 益可 通 过电 位器 Ｒ２调 整 Ｒ２ ＫＰ ＝ Ｒ１ ・１ ５１・

图 ７．４ ４　比 例微 分控制 器应用 线路

微分 时间 常 数可 通过 电 位器 Ｒ３调整 ＫＤ ＝Ｒ３Ｃ１ 【例 ７． １ ３】 选 择 元件 值， 使 微分 常数 ＫＤ ＝０ ．０ ５，比 例 放大 倍数 ＫＰ ＝７ ．５。 解： 参见 图 ７． ４４。 比例 放大 倍 数 Ｒ２ ＫＰ ＝ Ｒ１ Ｒ２ ＝７． ５　 　 Ｒ１

即

Ｒ２ ＝７ ． ５Ｒ１ 如选 Ｒ１ ＝１ ０Ω，则 Ｒ２ ＝７ ５Ω。 微分 时间 常 数 ＫＤ ＝Ｒ３Ｃ１ 即

Ｒ３Ｃ１ ＝０ ． ０ ５

如选 Ｃ１ ＝１μＦ ， ０． ０５ Ｒ３ ＝ １×１ ０－６

则

＝５０ｋ Ω （２ ）比例 微 分控 制器 的 频率 响应 。 由于 ＰＤ 控制 器 的传 递函 数 是由 比例 环节 串 联一 阶超 前 环节 组成 的 ，因 而具 有两 个 环节 的 特点 。在 低频 段 ，控 制器 基 本 上 呈 现 比 例 环节 的特 点 ，而 在 高 频 段 则 呈 现 一阶 超前 环 节 的 特 点。 所具 有的 特 征如 下： ・１ ５ ２・

① 转折 频 率 ωｂ ＝ＫＰ ／ ＫＤ （ｒ ａ ｄ／ ｓ ）。 ② 高频 段 （ω＞ωｂ） 幅 频曲 线 ，斜 率为 ＋２ ０ｄ Ｂ／ 十 倍频 。 ③ 低频 段 （ωｎ ωｂ） 幅 值趋 近 ２ ０ｌ ｇＫＰ （ｄＢ）。 ④ 转折 频 率处 相位 差 为 ＋４ ５° 。 ⑤ 低频 段 相位 差趋 向 ０° 。 ⑥ 高频 段 相位 差趋 向 ＋９ ０° 。 图 ７． ４５所 示为 具有 ＰＤ校 正的 系统 框 图。 假定 原 系统 传 递 函 数 的 参 数 为 Ｋ１ ＝３５，Ｔ１ ＝

图 ７．４５　具 有比例 微分 （ＰＤ） 校正 的系 统框图

０ ． ２ｓ ，Ｔ ０ ．０ １ｓ ，选 择 τ＝０． ２ｓ ， Ｋ＝１， 即校 正 部 分 的 （τ ｓ＋１） 与 原 系 统 的 １／（Ｔ１ｓ＋１） ２ ＝ 对消 ，校 正后 的 传递 函数 为 Ｇ０ ＝Ｋ１ ／ ｓ （Ｔ２ｓ＋１）。 图 ７ ． ４ ６所 示 为校 正前 后 的系 统对 数频 率 特性 。

图７ ．４ ６　 比例微 分校 正前后 系统的 频率特 性

由图 ７． ４６可见 ，校 正 前穿 越频 率 ωｃ ＝１３ ． ５ｒ ａ ｄ／ ｓ ， 相 位裕 量 γ＝１ ２ ．３° ，校 正 后 穿 越频 率 ω′ ＝３ ５ｒ ａ ｄ／ ｓ ，穿 越频 率 提高 ，意 味 着调 整时 间 减少 ，改 善 了系 统的 快速 性 。相 位裕 量 增大 到 ｃ γ＝７ ０ ． ７° ，则 系 统的 稳定 性大 大 提高 ，超 调 量下 降， 振 荡次 数减 少。 但 要注 意， 校 正后 的对 数 频率 特性 的高 频 段增 益提 高 会使 抗干 扰 能力 下降 。 （３ ） 应 用实 例 （系 统仿 真 ） 图 ７． ４７为 图 ７ ． ４ ５系 统加 ＰＤ控制 器 校正 前的 输 出， 由图 可 见， 系统 输 出超 调 量大 ，振 荡 厉害 。图 ７． ４８为加 ＰＤ 控 制器 校正 后 系统 的输 出 ，由 图 可见 ，系 统 输 出 超 调 量 减 小 ， 振 荡 也 消除 ，且 响应 速 度也 提高 了 。 比例 微分 （ＰＤ） 校 正 环节 的相 位 差是 超前 的 ，因 此也 是超 前 校正 。

・１ ５３・

图 ７．４７　 ＰＤ控制 器校正 前

图７ ．４８　 加 ＰＤ 控制 器校正后

・１ ５ ４・

７ ．２ ． ６　比例 积分微分 （ＰＩ Ｄ） 校正 １ ．比例 积分 微 分 （ＰＩ Ｄ） 控 制器 比例 控制 作 用、 积分 控 制 作 用和 微 分 控 制 作 用 的 组 合 叫 做 比例 ＋积 分 ＋微 分控 制作 用 ，如 图 ７ ． ４９所 示。 这 种组 合作 用 具 有 ３种单 独控 制 作用 各自 的优 点 。 ＰＩ Ｄ控 制 器的 输出 为 输出 ＝比 例 控制 器输 出 ＋积 分控 制 器输 出 ＋微分 控 制器 输出

∫

即

ｕ ＝ＫＰｅ＋ＫＩ ｅ ｄｔ＋ＫＤ ｏ

ｄｅ ｄｔ

（７ ． ２ ６）

图 ７．４ ９　ＰＩ Ｄ控制 器

对式 （７ ．２ ６ ） 两 边进 行 拉氏 变换 得 ＫＩＥ（ｓ ） Ｕｏ（ｓ ） ＝ＫＰＥ（ｓ ） ＋ ＋ｓ ＫＤ Ｅ（ｓ ） ｓ Ｋ ＝ ＫＰ ＋ Ｉ ＋ｓ ） ＫＤ Ｅ（ｓ ｓ

（ ７． ２ ７）

则 Ｐ Ｉ Ｄ 控制 器的 传 递函 数为 ２ Ｕｏ（ｓ ） ＫＤ ｓ ＋ＫＰｓ＋ＫＩ ＝ Ｅ（ｓ ） ｓ

或写 成 Ｕ（ｓ ） ＝ Ｅ（ｓ ）

ＫＩ

ＫＤ ２ ＫＰ ｓ＋ ｓ＋１ ＫＩ ＫＩ ｓ

ＫＤ ２ ＫＰ ｓ ＋ ｓ＋１ ＫＩ ＫＩ ＝ １ ｓ ＫＩ

（ ７． ２ ８）

２

Ａ２ｓ ＋Ａ１ｓ＋１ ＝ τ ｓ 式中 ，

２

ＫＤ １ ＝ ＝ ２ ＫＰ ωｎ

ＫＰ ２ξ Ａ１ ＝ ＝ ＫＩ ωｎ １ ωｎ 为自 然振 荡频 率 ；ξ为 阻 尼比 ；τ为积 分时 间常 数 ＝ 。 ＫＩ 由式 （ ７ ．２ ８） 可 见 ，ＰＩ Ｄ控 制器 可 看作 一个 积分 环 节与 一个 二 阶超 前环 节 的串 联。 【例 ７． １ ４】ＰＩ Ｄ 控 制器 的输 入 信号 如图 ７． ５ ０ （ａ ） 所示 ，确 定 ＰＩ Ｄ控 制器 的输 出 ，假 定 ＫＰ ＝２ ０，ＫＩ ＝１， ＫＤ ＝２。 解：

控制 器输 出 ｕｏ ＝ｕＰ （比例 控制 器输 出 ） ＋ｕＩ （积分 控制 器输 出 ） 　 ＋ｕＤ （微 分控 制 器输 出） ・１ ５５・

（１ ）比例 控 制器 输出 正 比于 输入 误 差信 号 ｕＰ ＝ＫＰｅ＝１０ｅ ｔ＝ ０～２ｓ ｕＰ ＝１ ０×０ｍＶ＝０Ｖ ｔ＝ ２～３ｓ ， 此阶 段输 入 误差 信号 是 恒值 ｕＰ ＝１０×１ ０ｍＶ＝１ ０ ０ｍＶ ｔ＝３～５ｓ ， 此 阶 段 误 差 信 号 线 性 变 化 ， 输 出 正 比于 输入 ，输 出也 为 线性 变化 。 ｔ＝ ３ｓ ｕＰ ＝１０ ０ｍＶ， ｔ＝ ５ｓ ｕＰ ＝１０×（－１ ０ｍＶ） ＝ －１０ ０ｍＶ ｔ＝ ５～７ｓ ， 此阶 段误 差 为恒 值 －１ ０ｍＶ ｕＰ ＝１０×（－１ ０ｍＶ） ＝ －１０ ０ｍＶ ｔ＝ ７～８ｓ ， 比 例 部 分 输 出 为 从 －１ ００ｍＶ （ｔ＝７ｓ 时） 线性 变 化到 ０Ｖ （ｔ＝ ８ｓ时 ）。 图 ７． ５０ （ｂ） 所 示为 比例 控 制部 分输 出波 形 。 （２ ） 积 分部 分输 出

∫

ｕＩ ＝ＫＩ ｅ ｄｔ ｔ＝ ０～２ｓ ， 误差 信号 曲 线包 围的 面 积为 ０， 所以 ｕＩ ＝０ｍＶ ｔ＝ ２～３ｓ ， 误差 信号 是 常数 ，误 差 信号 包围 的 面积 线性 增加 ，则 输 出从 零线 性 增加 。 ｔ＝ ３ｓ时 　ｕＩ ＝１×误差 曲 线所 围面 积 （０～３ｓ ） ＝１×１ ０×１ｍＶ ＝１０ｍＶ ｔ＝３～４ｓ ， 此阶 段误 差 降到 ０， 控制 器输 出将 以 非线 性形 式增 加。

图７ ．５０　 例 ７．１ ４ＰＩ Ｄ控 制器

ｔ＝４ｓ时　 ｕＩ ＝１×误 差 曲线 所围 面积 （０～４ｓ ）

输入 、输出 波形

１ ＝１× １０×１＋１ ０× ｍＶ ２ ＝１５ｍＶ ｔ＝ ４～５ｓ ， 此阶 段误 差 值反 向增 加 ，误 差曲 线 所围 的面 积 为 负 ，控 制 器输 出将 以 非线 性 形式 减少 。 ｔ＝ ５ｓ时 ・１ ５ ６・

ｕＩ ＝１×误 差曲 线所 围 面积 （０～５ｓ ）

＝１× １ ０×１＋１ ０×

１ １ －１ ０× ｍＶ ２ ２

＝１０ｍＶ ｔ＝ ５～７ｓ ， 误差 值为 恒 定的 负值 ， 则此 阶段 误 差曲 线所 围 面 积 为负 ， 控制 器输 出 线性 下 降。 （ｔ＝ ７ｓ时 ）

ｕＩ ＝１×误 差曲 线所 围 面积 （０～７ｓ ） ＝１× １ ０×１＋１ ０×

１ １ －１ ０× －１０×２ ｍＶ ２ ２

＝ －１０ｍＶ ｔ＝ ７～８ｓ ， 控制 器输 出 以非 线性 形 式下 降。 （ｔ＝ ８ｓ时 ）

ｕＩ ＝１×误 差曲 线所 围 面积 （０～８ｓ ） ０×１＋１ ０× ＝１× １

１ １ １ －１ ０× －１０×２－１ ０× ｍＶ ２ ２ ２

＝ －１５ｍＶ ｔ＝ ８ｓ后 ，因 误差 为 零， 误差 曲 线所 围 面 积 不 再 变 化， 所 以 积 分 环 节 输出 将 保 持 为 －１ ５ ｍＶ。 图 ７． ５０ （ｃ ） 所示 为 积分 环节 输 出波 形图 。 （３ ） 微 分环 节输 出 ｕ ＝ＫＤ Ｄ

ｄｅ ｄｔ

ｔ＝ ０～２ｓ ， 误差 为零 ， 则斜 率为 零 。 ｕＤ ＝２×误差 曲线 斜 率 ＝２×０＝０ ｔ＝２ｓ时 ，误 差从 ０瞬间 升到 １ ０ｍＶ，则 斜率 为 正无 穷大 。 ｕＤ ＝２×误差 曲 线斜 率 ＝２×∞ → ∞ 控制 器输 出 为一 正脉 冲 。 ｔ＝３～５ｓ ，误 差值 以 恒定 斜率 下降 。 ｕＤ ＝２×误 差曲 线 斜率 （ｔ＝５ｓ时误 差 －ｔ＝３ｓ时 误 差） ＝２× （ ５－３） （－１０－１ ０） ＝２× ２ ＝－２ ０ｍＶ ｔ＝５～７ｓ ，此 阶段 误 差值 为恒 定值 ， 斜率 为零 。 ｕＤ ＝２×误差 曲线 斜 率 ＝２×０＝０ ｔ＝７～８ｓ ，误 差向 正 向变 化， 斜率 为 恒值 。 ｕＤ ＝２×误 差曲 线 斜率 （ｔ＝８ｓ时误 差 －ｔ＝７ｓ时 误 差） ＝２× １ ＝２×（０－（－１０））ｍＶ ・１ ５７・

＝２ ０ｍＶ ｔ＝ ８ｓ后 ，因 误差 为 零， 误差 曲 线斜 率为 零 ，微 分环 节输 出 也为 零。 图 ７． ５０ （ｄ） 所 示为 微分 环 节输 出波 形。 （４ ） ＰＩ Ｄ 控 制器 的输 出 为三 个环 节 的输 出按 各个 阶 段的 代数 和 ， ｕｏ ＝ｕＰ ＋ｕＩ ＋ｕＤ ｔ＝０～２ｓ ，

ｕｏ ＝０＋０＋０＝０

ｔ＝２ｓ时，

ｕｏ ＝０＋∞ ＋０＝∞ （正 脉 冲）

ｔ＝ ３－ ｓ ， （３ｓ前 ）

ｕｏ ＝ （１ ０ ０＋１ ０＋０）ｍＶ＝１１ ０ｍＶ

＋

ｔ＝ ３ ｓ ， （３ｓ后 ）

ｕｏ ＝ （１ ０ ０＋１ ０－２０）ｍＶ＝９ ０ｍＶ

ｔ＝４ｓ时，

ｕｏ ＝ （０＋１ ５－２０）ｍＶ＝ －５ｍＶ

－

ｕｏ ＝ （－１ ００＋１ ０－２ ０）ｍＶ＝－１ １０ｍＶ

＋

ｕｏ ＝ （－１０ ０＋１０－０）ｍＶ＝－９ ０ｍＶ

－

ｕｏ ＝ （－１ ０ ０－１ ０－０）ｍＶ＝ －１１ ０ｍＶ

＋

ｕｏ ＝ （－１ ０ ０－１ ０＋２０）ｍＶ＝ －９ ０ｍＶ

－

ｕ ＝ （０－１ ５＋２ ０）ｍＶ＝５ｍＶ ｏ

＋

ｕｏ ＝ （０－１ ５＋０）ｍＶ＝ －１５ｍＶ

ｔ＝５ ｓ ， ｔ＝５ ｓ ， ｔ＝７ ｓ ， ｔ＝７ ｓ ， ｔ＝８ ｓ ， ｔ＝８ ｓ ，

ｔ＝ ８ｓ后 ，ＰＩ Ｄ控 制器 输 出保 持 －１５ｍＶ， 图 ７． ５０ （ｅ ） 所 示为 ＰＩ Ｄ 控 制 器输 出波 形 。 ２ ．应用 实例 （１ ） ＰＩ Ｄ 控 制器 应用 线 路 图 ７． ５１所 示 为 Ｐ Ｉ Ｄ 控 制 器 应 用 线 路， 运 放 Ｕ１Ａ 构 成 了 比 例 控 制 器， Ｕ１Ｂ 构 成了 积 分 控 制 器， Ｕ１Ｄ 构 成了 微 分 控 制 器 ， 误 差 信 号 同 时 作 用 于 Ｕ１Ａ 、 Ｕ１Ｂ 和 Ｕ１Ｄ， Ｕ１Ｃ 构 成 了 反 相 加 法 器 ， Ｕ１Ｃ 使 Ｕ１Ａ 、 Ｕ１Ｂ及 Ｕ１Ｄ的 输 出相 加后 输出 ， 即 ＰＩ Ｄ控制 器的 输 出。 比例 常数 ＫＰ 可 通 过电 阻 Ｒ１ 及电 位 器 Ｒ２ 调整 ， Ｒ２ ＫＰ ＝ Ｒ１ 积分 常数 ＫＩ 可 通过 电 容 Ｃ１ 及电 位器 Ｒ３ 调 整 ， １ ＫＩ ＝ Ｒ３Ｃ１ 微分 常数 ＫＤ 可通 电容 Ｃ２ 及 电位 器 Ｒ４ 调 整， ＫＤ ＝Ｒ４Ｃ１ 图 ７． ５１中 Ｊ Ｐ１、 Ｊ Ｐ 和 Ｊ Ｐ３为 短路 排 ，可 通过 Ｊ Ｐ１、Ｊ Ｐ２和 Ｊ Ｐ３的不 同连 接 而实 现不 同 的控 制 ２ 器运 行， 如 Ｐ、ＰＩ 、ＰＤ、 ＰＩ Ｄ 等。 （２ ） ＰＩ Ｄ 控 制器 的频 率 响应 由 ＰＩ Ｄ 控制 器 的传 递函 数可 知 ＰＩ Ｄ控 制器 可 看作 一个 积分 环 节与 一个 二 阶超 前环 节 串联 ， Ｐ Ｉ Ｄ 控 制 器的 频率 响 应具 有如 下 特征 ： ① 转折 频 率 ａ ．有两 个转 折 频率 ：ωａ 和 ωｂ。 ｂ ．低频 转 折频 率： ωａ ＝ＫＩ／ ＫＰ （ｒ ａ ｄ／ ｓ ）。 ・１ ５ ８・

图７ ．５１　 ＰＩ Ｄ控 制器 应用线 路

ｃ ．高频 转折 频 率： ωｂ ＝ＫＰ ／ ＫＤ （ｒ ａ ｄ／ ｓ ）。 ② 幅值 ａ ．低频 段 （ωｎ ωａ） 中 频曲 线 为 －２ ０ｄＢ／ 十 倍 频。 ｂ ．高频 段 （ωｍ ωｂ） 为 ＋２０ｄ Ｂ／ 十 倍频 。 ｃ ．中频 段 （ωａｎ ωｎ ωｂ） 幅 频 曲线 为 ２ ０ｌ ｇＫＰ （ｄ Ｂ）。 ③ 相位 差 ａ ．中频 段 （ωａ ＜ω＜ωｂ） 相 位 差从 －４ ５° 到 ＋４ ５° 。 ｂ ．低频 段 （ωｎ ωａ） 相 位差 趋 向 －９ ０° 。 ｃ ．高频 段 （ωｍ ωｂ） 相 位差 趋 向 ＋９ ０° 。

图７ ．５ ２　 比例 －积分 －微分 校正的 控制系 统

假定 原系 统 含有 一个 积分 环 节， 一个 大 惯 性 环 节及 两 个 小 惯性 环 节， 如 图 ７． ５ ２所 示， Ｔｍ ・１ ５９・

＝０ ． ２ｓ ，Ｔｘ ＝０ ． ０ １ｓ ，τ ０． ０ ０５ｓ ， Ｋ１ ＝３ ５。 采 用 ＰＩ Ｄ 校 正， 并 令 Ｔ１ ＝Ｔｍ ，即 对消 一 个 大 惯 ０ ＝ 性环 节， Ｔ２ ＝０ ． １ｓ ， Ｋ＝２， 画 出校 正 前 后 的系 统 对 数 频 率 特 性， 如 图 ７ ． ５３所 示 。由 图 可 见 ， 校正 前系 统穿 越 频率 ωｃ ＝１ ４ｒ ａ ｄ／ ｓ ， 校正 后穿 越 频率 ω′ ５ｒ ａ ｄ／ ｓ ，穿 越频 率 提高 ，系 统快 速 ｃ ＝３ 性可 以改 善。 再 看相 位裕 量 ，校 正前 γ＝７ ． ７° ， 校正 后 γ′＝４ ５° ， 则 意味 着 超调 量减 小 ，振 荡 次数 减少 ，改 善 了动 态性 能 。另 外， 低 频段 的 频 率 特性 校 正 前 为 －２ ０ｄＢ／ ｄ ｅ ｃ ， 校正 后 变 为 － ４ ０ｄ Ｂ／ ｄｅ ｃ ， 系统 由 Ⅰ 型 系统 变 为 Ⅱ 型系 统 ，改 善了 系 统的 稳态 性 能 （快 速输 入下 也 能实 现 无静 差）。 但要 注意 ， 高频 段增 益 有所 增加 ， 可能 会影 响抗 干 扰能 力。 ＰＩ Ｄ 校正 使系 统在 低 频段 相位 后 移， 而在 中 、高 频段 相 位前 移， 因此 Ｐ Ｉ Ｄ 校正 也是 相位 滞 后 －超前 校正。

图７ ．５３　 ＰＩ Ｄ校 正前后 的系统 对数 幅频特性

（３ ） 应 用实 例 对 ＰＩ Ｄ 控制 器 形式 改变 一下 ， 以便 于 Ｓ Ｉ ＭＵＬＩ ＮＫ进 行 仿真 ，即 ２ （Ｔ１ｓ＋１） （Ｔ２ｓ＋１） ［Ｔ１Ｔ２ｓ ＋ （Ｔ１ ＋Ｔ２） ｓ＋１］ Ｋ ＝Ｋ Ｔ１ｓ Ｔ１

（Ｔ ＋Ｔ２） １ ＝Ｋ Ｔ２ｓ＋ １ ＋ Ｔ１ Ｔ１ｓ ・１ ６ ０・

图 ７． ５ ４所 示为 图 ７ ． ５２系 统 加 Ｐ Ｉ Ｄ 控制 器校 正前 的 仿真 结果 。 由图 可见 ， 输出 振荡 大， 超 调量 大。 图 ７． ５５所 示为 加 ＰＩ Ｄ 控 制器 校 正后 的仿 真 结果 。由 图 可见 ，输 出 超调 量减 小 ，响 应 速度 加快 。

图 ７．５ ４　加 ＰＩ Ｄ 控制器 校正前 仿真

７ ．２ ． ７　反馈 校正 在控 制系 统 中， 除了 用 串联 校正 来 改善 系统 的 性能 外， 利 用不 同的 反 馈 元 件 和 反 馈 方式 ， 对环 节和 元件 进 行局 部反 馈 ，可 以使 原 环节 的性 质和 特 性发 生变 化 ，从 而改 善 环节 以至 系统 的 性能 。下 面举 一 些简 单的 应 用来 说明 反 馈校 正的 作用 。 【例 ７． １ ５】 惯 性 环节 加比 例 负反 馈， 如图 ７ ．５ ６所 示。 惯性 环节 校 正前 的传 递 函数 Ｋ Ｇ１（ｓ ）＝ Ｔｓ＋１ Ｔ为惯 性 时间 常数 ， 现加 上负 反 馈， 反馈 环节 为 Ｈ （ｓ ），校 正后 系统 的 传递 函数 为 Ｇ１（ｓ ） Ｇｃ（ｓ ）＝ １＋Ｇ１（ｓ ）Ｈ（ｓ ） 令 Ｈ（ｓ ） ＝ Ｋ１， 则

・１ ６１・

图 ７．５ ５　加 ＰＩ Ｄ 控制器 校正后 仿真

Ｋ Ｋ Ｇ１（ｓ ） １＋ＫＫ１ Ｔ ｓ＋１ Ｋ Ｇｃ（ｓ ）＝ ＝ ＝ ＝ １＋Ｇ１（ｓ ）Ｋ ＫＫ１ Ｔ ｓ＋１＋ＫＫ１ Ｔ ｓ＋１ １＋ １＋ＫＫ１ Ｔｓ＋１ Ｋ′ ＝ Ｔ′ ｓ＋１ Ｋ Ｔ 其中 ，Ｋ′＝ 为 校 正后 系统 的开 环 放大 倍数 ， Ｔ′＝ 为 校 正后 系 统 的 惯 性 时 间 常数 ， １＋ＫＫ１ １＋ＫＫ１ 只要 选择 １＋ＫＫ１ ＞１，则 Ｔ′＜Ｔ， 即惯 性 环节 的时 间 常数 减小 ， 系统 的响 应 加快 。 当然 ，此 时 Ｋ′＜Ｋ，即 系统 的开 环 放大 倍数 下 降， 只要 在 前向 通道 中串 联 一个 比例 放 大器 即可 解 决问 题。 如图 ７． ５７所示 ，系 统 加上 负反 馈 后可 以减 小 环节 参数 变化 对 系统 输出 的 影响 。 校正 前系 统 输出 Ｃ（ｓ ）＝Ｇ（ｓ ）Ｒ（ｓ ） 假定 输入 不变 ， 原系 统 传递 函数 的参 数 发生 变化 ，即 Ｇ（ｓ ） 变 化 为 Ｇ（ｓ ）＋ΔＧ（ｓ ）， 输 出 也发 生 变化 ，其 变化 量 为 ・１ ６ ２・

ΔＣ（ｓ ）＝ΔＧ（ｓ ）・ Ｒ（ｓ ） 加上 单位 负反 馈 校正 后， 输 出为 Ｇ（ｓ ） Ｃ（ｓ ）＝ ・ Ｒ（ｓ ） １＋Ｇ（ｓ ） 若 Ｇ （ｓ ） 因参 数变 化 而变 成 Ｇ（ｓ ）＋ΔＧ（ｓ ）， 输 入不 变 时， 输 出变 为

图 ７．５ ６　 惯性环 节加

Ｇ（ｓ ）＋ΔＧ（ｓ ） Ｃ（ ｓ ）＋ΔＣ（ｓ ）＝ ・Ｒ（ｓ ） １＋Ｇ（ｓ ）＋ΔＧ（ｓ ） ≈

比例负 反馈

Ｇ（ｓ ） ΔＧ（ｓ ） ・ Ｒ（ｓ ）＋ ・ Ｒ（ｓ ） １＋Ｇ（ｓ ） １＋Ｇ（ｓ ）

即输 出的 变化 量 为 ΔＧ（ｓ ） ΔＣ（ｓ ）＝ ・ Ｒｓ ） １＋Ｇ（ｓ ） 反馈 校正 将 环节 参数 变 化对 输出 的 影响 减小 到 １／ （１＋Ｇ（ｓ ））。

图 ７．５ ８　负 反馈降 低不希 望环 节的作 用

图 ７．５ ７　负 反馈 对系统 的影响

【例 ７． １ ６】 采 用 负反 馈来 降 低不 希望 环节 的 作用 ，如 图 ７ ．５ ８所示 。 解：假定 Ｇ１（ｓ ）是 不 希望 有的 环 节， 今采 用反 馈 环节 Ｈ（ｓ ） 进行 局部 反 馈， 反馈 校 正后 的 局部 传递 函数 为 Ｇ１（ｓ ） Ｇ′ ｓ ）＝ １（ １＋Ｇ１（ｓ ）Ｈ（ｓ ） 适当 选择 Ｈ（ ｓ ）使 系统 在工 作 频率 范围 内 有 Ｇ１（ｊ ω）Ｈ（ｊ ω） ｍ １， 则校 正 后的 局部 传 递函 数 为 Ｇ１（ｓ ） １ Ｇ′ ＝ ＝ １ Ｇ１（ｓ ）Ｈ（ｓ ） Ｈ（ｓ ） 经局 部反 馈 后消 除了 不 希望 有的 环 节 Ｇ１（ｓ ） 。 表 ７． ３为 常 用负 反馈 校正 对 典型 环节 性 能的 影响 。 表７ ．３　反馈 校正对 典型 环节性 能的影响 校正方 比 式

框　 　　图

校正后的 传递 函数

校 正 效 果

例 环

硬

节

反

的

馈

反

（ａ 软

馈 校 正

反 馈 （ｂ ）

仍为比 例环 节 αＫ

Ｋ αＫｓ＋１

Ｋ 但放大 倍数 减为 １＋αＫ 变为惯 性环 节 放大倍 数仍 为 Ｋ 惯性时 间常 数为 αＫ

・１ ６３・

续表 校正方 式

惯 性 环 节

框　 　　图

校正后的 传递 函数 Ｋ １＋αＫ＋Ｔｓ

硬 反 馈 （ｃ ）

Ｋ １＋αＫ 或 Ｔ ｓ＋１ １＋αＫ

的 反 馈 校 正

典 型 Ⅰ 型 系

软 反 馈

Ｋ （Ｔ＋αＫ） ｓ＋１

（ｄ ）

Ｋ ｓ＋αＫ

硬 反

１／ α 或 １ ｓ＋１ αＫ

馈 （ｅ ）

校 正 效 果 仍为惯 性环 节 １ 但放大 倍数 减为 １＋αＫ １ 时间常 数减 为 １＋αＫ 可提高 系统 的稳定 性和快速性

仍为惯 性环 节 放大倍 数不 变 时间常 数增 加为 （Ｔ＋αＫ）

变为惯 性环 节 （变 为有 静差） 放大倍 数为 １／ α 惯性时 间常 数为

１ αＫ

有利于 系统 的稳定 性

统 的 反 馈 校 正

Ｋ ｓ＋αＫ

软 反

Ｋ １＋αＫ 或 ｓ

馈 （ｆ ）

Ｋ ２ Ｔｓ ＋ｓ＋αＫ

硬 积 分 环

反 馈 （ｅ ）

或

１／ α Ｔ２ １ ｓ＋ ｓ＋１ αＫ αＫ

仍为积 分环 节 １ 但放大 倍数 减为 １＋αＫ

系统由 无静 差变为 有静差 放大倍 数变 为 １／ α 时间常 数也 小

节 仍为典 型 Ｉ型系统

的 反 馈 校 正

软 反 馈 （ｆ ）

Ｋ ２ Ｔｓ ＋ｓ＋αＫｓ Ｋ １＋αＫ 或 Ｔ ｓ＋１ ｓ １＋αＫ

１ 但放大 倍数 减为 Ｋ １＋αＫ １ 时间常 数减 为 Ｔ １＋αＫ 阻尼比 为 （１＋αＫ） ξ 使系 统 稳 定 性 和 快 速 性 改 善 ， 但稳态 精度 下降

【例 ７． １ ７】 图 ７ ．５ ９ （ａ ） 所示 为 具有 位置 负反 馈 和转 速负 反 馈的 随 动系 统框 图 。图 中， 检 测电 位器 常数 Ｋ１ ＝０ ． １Ｖ／（° ）。 ・１ ６ ４・

图 ７．５９　 具有 位置负反馈和 转速 负反馈 环节的 随动系 统框 图 －１

功放 及电 动 机转 速总 增 益 Ｋ２ ＝４ ０ ０ｒ ・ ｍｉ ｎ ／ Ｖ 电动 机机 电 时间 常数 Ｔｍ ＝０ ． ２ｓ －１

电动 机及 齿 轮箱 的转 速 －位 移常 数 Ｋ３ ＝０ ． ５°／ ［（ｒ ・ ｍｉ ｎ ）ｓ ］ 转速 反馈 系 数 α＝０． ０ ０５Ｖ／ （ｒ ・ ｍｉ ｎ－１） 试分 析增 设 转速 负反 馈 （反 馈校 正 ） 对 系 统性 能的 影响 。 解：（ １） 若 系统 未设 转 速负 反馈 环 节， 由图 ７ ． ５９（ａ ） 可 见， 系 统的 开环 传 递函 数 Ｋ１Ｋ２Ｋ３ ω２ｎ Ｋ Ｇ１（ｓ ）＝ ＝ ＝ ｓ （Ｔｍｓ＋１ ） ｓ （Ｔｍ ｓ＋１） ｓ （ｓ＋２ξ ωｎ） 式中 ，Ｋ＝Ｋ１Ｋ２Ｋ３ ＝０ ． １×４ ０ ０×０ ． ５＝２ ０ Ｔｍ ＝０ ． ２ｓ 　 　 　　 　　 　　 　 ωｎ ＝

Ｋ ２ ０ ＝ ＝１ ０ｒ ａ ｄ／ ｓ Ｔｍ ０． ２

１ １ ξ＝ ＝ ＝０ ． ２ ５ ２ Ｔｍ Ｋ ２ ０ ． ２×２０ 根据 二阶 系统 性 能指 标计 算 方法 －

由 σ＝ｅ

ξπ １－ξ２

　 　　 　　 　 　　 可得 σ＝４ ５％

π 由ｔ ＝ ｐ ＝ ωｄ ω

ｎ

π ２ １－ξ

４ 由 ｔ （δ＝２％） ｓ ＝ ξ ωｎ

可得 ｔ ０ ．３ ２ｓ ｐ ＝ 可得 ｔ １ ． ６ｓ ｓ ＝

此时 系统 的 阶跃 响应 如 图 ７． ６０曲 线Ⅰ 所示 。 （２ ）当系 统 增设 转速 负反 馈 环节 后， 系 统的 结构 图 可简 化成 图 ７． ５９ （ｂ）。 对 照图 （ａ ）和 图 （ｂ） 不 难 发现 ，系 统为 二 阶系 统， 但 系统 的开 环 增益 变为 Ｋ Ｋ′＝ 　 　 ［为 原来 的 １／（１＋α Ｋ２）］ １＋αＫ２ ・１ ６５・

系统 中的 惯 性环 节时 间 常数 变为 Ｔｍ Ｔｍ ＝ 　　 ［为原 来的 １／（ １＋αＫ２）］ １＋αＫ２ 系统 的阻 尼 比变 为 ξ ′＝ （１＋αＫ２） ξ 　 　 ［为 原来 的 １／（１＋αＫ２）］ 系统 的自 然 振荡 频率 ω′ ｎ ＝

Ｋ′ Ｋ ＝ ＝ωｎ　　 （未变 ） Ｔ′ Ｔｍ ｍ

以上 各式 中，１／（１＋αＫ２） ＝ １＋０． ０ ０ ５×４ ００ ＝ ３ ，因此

图 ７． ６０　转速 负反馈 对随 动系统 动态 性能的 影响

有 Ｋ′＝Ｋ／ ３＝２ ０／ ３，Ｔ′ ＝Ｔｍ ／ ３＝０ ．２ｓ／ ３ ，ξ ′＝３×０． ２ ５＝ ｍ ０ ． ７５，可 计算 得 σ′＝３％， 　ｔ ′ ＝０． ４７ｓ ，　 ｔ ′ ＝０． ５ ３ｓ ｐ ｓ 校正 后的 系 统的 阶跃 响 应 曲 线 如图 ７ ．６ ０中的 曲 线 Ⅱ 所 示。 比 较曲 线 Ⅰ 和 Ⅱ ，显 然 可 见 ， 增设 转速 负反 馈 环节 后， 将 使系 统 的 位 置 超 调 量 σ 显 著 下 降 ，调 整 时间 ｔ 也 明 显 减 小 ，系 统 ｓ 的动 态性 能得 到 了显 著的 改 善。 因此 转 速负 反馈 在随 动 系统 中得 到 普遍 应用 。 当然 ，系 统的 增益下 降会 影响系统的稳态性 能。由于此 为Ⅰ 型系 统，对 阶跃 信号其稳 态误 差 仍为 零， 而对 速 度输 入信 号其 稳 态误 差将 会 增加 。但 这 可通 过提 高放 大 器增 益 Ｋ２来进 行 补偿 ， 同时 相应 减少 反 馈系 数 α，仍 可 使 ξ ′保 持 在 ０ ．７左 右 ，使 系统 具 有较 好的 动、 静 态特 性。 图７ ． ６１所 示为 图 ７ ．５ ９系 统加 转 速反 馈前 的 仿真 结果 。 由图 可见 ，系 统 输出 结果 与 图 ７． ６ ０ 分析 相吻 合。 图 ７． ６２所 示 为加 转速 反 馈后 的仿 真 结果 。由 图可 见 ，系 统输 出 也与 图 ７ ． ６ ０分 析 相吻 合。

图 ７． ６１　转速 负反 馈校正 前的系 统仿真

・１ ６ ６・

图 ７． ６２　转速 负反 馈校正 后的系 统仿真

７．３　复 合 补 偿 ７ ．３ ． １　按扰 动补偿的复 合校正 任何 控制 系 统或 多或 少 都会 受 到 扰 动 的 影 响， 从 而 影 响 到输 出 。可 以采 用 按 扰 动 补 偿 的 复合 控制 方式 来 改善 性 能。 按 扰 动 补 偿 的 控 制 系 统 框 图 如 图 ７ ． ６ ３所 示 。 Ｇ１ （ｓ ） 为 固 有系 统 传递 函数 ；Ｇ（ｓ ） 为 串 联 校 正 装 置 ； Ｇｆ（ｓ ） 为 扰 动 与 输 出 间 的 传 递 函 数 ； Ｇｎ（ｓ ） 为 扰动 补 偿器 。　 　

图 ７．６ ３　按 扰动 补偿控 制系统 框图

・１ ６７・

当输 入 Ｒ（ｓ ） ＝０时 ，扰 动 Ｎ（ｓ ）所 造成 的误 差 即为 输出 ＣＮ （ｓ ） ＥＮ（ｓ ）＝ＣＮ （ｓ ） 加了 补偿 控制 ， 根据 叠加 定 理有 ＣＮ（ｓ ）＝ＣＮ１（ｓ ）＋ＣＮ２（ｓ ） 其中 ＣＮ１（ｓ ） 为扰 动作 用时 的 系统 输出 Ｇｆ（ｓ ） ＣＮ１（ｓ ）＝ ・Ｎ（ｓ ） １＋Ｇｃ（ｓ ）Ｇ１（ｓ ） ＣＮ２（ｓ ） 为 补偿 控制 作 用时 的系 统 输出 Ｇｎ（ｓ ）Ｇｃ（ｓ ）Ｇ１（ｓ ） ＣＮ２（ｓ ）＝ ・Ｎ（ｓ ） １＋Ｇｃ（ｓ ）Ｇ１（ｓ ） 因此 Ｇｆ（ｓ ） Ｇｎ（ｓ ）Ｇｃ（ｓ ）Ｇ１（ｓ ） ＣＮ （ｓ ）＝ ・ Ｎ（ｓ ）＋ ・ Ｎ（ｓ ） １＋Ｇｃ（ｓ ）Ｇ１（ｓ ） １＋Ｇｃ（ｓ ）Ｇ１（ｓ ） Ｇｆ（ｓ ）＋Ｇｎ（ｓ ）Ｇｃ（ｓ ）Ｇ１（ｓ ） ＝ ・ Ｎ（ｓ ） １＋Ｇｃ（ｓ ）Ｇ１（ｓ ） 若要 使扰 动引 起 的误 差为 零 ，即 　　 　　 ＥＮ （ｓ ）＝－ＣＮ （ｓ ） Ｇｆ（ｓ ）＋ＧＮ （ｓ ）Ｇｃ（ｓ ）Ｇ１（ｓ ） ＝－ ・ Ｎ（ｓ ）＝０ １＋Ｇｃ（ｓ ）Ｇ１（ｓ ） 应有 Ｇｆ（ｓ ）＋Ｇｎ（ｓ ）Ｇｃ（ｓ ）＋Ｇ１（ｓ ）＝０ 得到 扰动 补偿 控 制的 传递 函 数 Ｇｆ（ｓ ） Ｇｎ（ｓ ）＝－ Ｇｃ（ｓ ）Ｇ１（ｓ ） 【例 ７． １ ８】 随 动 控制 系统 如 图 ７． ６ ４所 示， 拟 采用 扰 动 补 偿 法来 克 服负 载力 矩 ＴＬ 的 干 扰 ， 试设 计扰 动补 偿 器及 其实 现。

图７ ．６４　按扰动补偿 的复 合校正 控制系 统框图

解： 按上 述 补偿 控制 方 法有 Ｋｆ Ｇｆ（ｓ ）＝ 　 　 　　 　 ｓ （ＴＭｓ＋１ ） ・１ ６ ８・

ＫＫＤ Ｇｃ（ｓ ）Ｇ１（ｓ ）＝ ｓ （Ｔ１ｓ＋１）（ＴＭ ｓ＋１） 所以 ，补 偿器 为 Ｇｆ（ｓ ） Ｋｆ ｓ （Ｔ１ｓ＋１）（ＴＭ ｓ＋１ ） Ｇｎ（ｓ ）＝ － ＝－ ・ Ｇｃ（ｓ ）Ｇ１（ｓ ） ｓ （ＴＭ ｓ＋１ ） ＫＫＤ Ｋｆ ＝ ・ （Ｔ ｓ＋１） １ ＫＫＤ 如此 ，系 统输 出 可不 受负 载 转矩 扰动 的 影响 。 设计 所得 的 全补 偿器 是 一个 比例 微 分环 节， 由于 微 分作 用对 于 噪声 较为 敏 感， 无论 是模 拟 微分 方法 还是 数 字微 分方 法 ，均 对系 统 的控 制不 利， 可 以在 全补 偿 器的 基础 上 再增 加一 个高 频 抑制 环节 ［小惯 性环 节 （如 ＲＣ滤波 电路 ）］，实 现 近似 补偿 作 用， 得到 近似 补 偿器 为 Ｋｆ Ｔ ｓ＋１ １ Ｇｎ（ｓ ）＝ － ・ ，　 Ｔ ＜ ＜Ｔ１ Ｈ ＫＫＤ ＴＨ ｓ＋１

７ ．３ ． ２　按输 入补偿的复 合校正 图 ７． ６５为 按输 入 补 偿 的 复 合 校 正 控 制 系 统 框 图， 图 中 Ｇ１ （ｓ ） 为 系 统开 环 传 递 函数， Ｇｒ（ｓ ） 为 前馈 补 偿装 置的 传递 函 数。 系统 的 输出 为 Ｃ（ｓ ）＝［Ｅ（ｓ ）＋Ｇｒ（ｓ ）Ｒ（ｓ ）］Ｇ１（ｓ ） 误差 传递 函数 为 Ｅ（ｓ ）＝Ｒ（ｓ ）－Ｃ（ｓ ） 则

［１＋Ｇｒ（ｓ ）］Ｇ１（ｓ ） Ｃ（ｓ ）＝ ・ Ｒ（ｓ ） １＋Ｇ１（ｓ ）

若选 择前 馈补 偿 装置 的传 递 函数 １ Ｇｒ（ｓ ）＝ Ｇ１（ｓ ） 则有

图 ７．６５　按 输入补 偿的 复合校 正控制 系统框 图

Ｃ（ｓ ）＝Ｒ（ｓ ） 此式 说明 ， 输出 信号 ｃ （ｔ ） 完 全复 现 了输 入信 号 ｒ （ｔ ）， 系统 不存 在 跟踪 误差 ，与 输 入信 号

的形 式无 关。 但 是实 际上 输出 ｃ （ｔ ） 完 全 复 现 输入 ｒ （ｔ ） 是做 不到 的 ， 这 是 因为 一 般 控 制系 统 的传 递函 数 Ｇ１（ｓ ） （一般 是 被控 对象 的 传递 函 数） 具 有比 较 复 杂 的 形式 ， Ｇ１ （ｓ ）的 分母阶 数 通常 比分 子阶 数 高， 而且 多 数情 况下 参 数是 变化 的。 因 而要 实现 Ｇｒ（ｓ ） ＝ １／ Ｇ１ （ｓ ） 的 全补 偿 是比 较困 难的 。 有时 前馈 补 偿信 号不 是 加在 系统 的 输入 端， 而是 加 在系 统 前向 通路 上 某 个 环 节 的 输 入端 ， 如图 ７． ６６所示 。控 制系 统 的输 出为 ［Ｇ１（ｓ ）＋Ｇｒ（ｓ ）］Ｇ２（ｓ ） Ｃ（ｓ ）＝ ・Ｒ（ｓ ） １＋Ｇ１（ｓ ）Ｇ２（ｓ ） 若选 择补 偿环 节 的传 递函 数 为 １ Ｇｒ（ｓ ）＝ Ｇ２（ｓ ） 则

Ｃ（ｓ ）＝Ｒ（ｓ ） ・１ ６９・

图７ ．６６　 前馈 补偿加 于某 环节输 入端的 控制系 统框 图

实现 了全 补偿 ， 输出 信号 完 全复 现输 入 信号 。 【例 ７． １ ９】 某 控 制系 统如 图 ７． ６ ７所示 ，试 设 计 输 入补 偿 器， 求 出理 想 补 偿 与近 似 补 偿 的 传递 函数 。

图 ７．６ ７　例 ７． １９控制 系统 框图

解： 系统 被 控对 象传 递 函数 为 ＫＩ Ｇ１（ｓ ）＝ ｓ （ＴＩｓ＋１） 由补 偿条 件得 ｓ （Ｔ１ｓ＋１） １ Ｇｒ（ｓ ）＝ ＝ Ｇ１（ｓ ） Ｋ１ Ｔ１ ２ １ ２ ＝ ｓ ＋ ｓ＝λ１ｓ ＋λ１ｓ Ｋ１ Ｋ１ 如果 λ２ ＝Ｔ Ｋ２， λ１ ＝１／ Ｋ２， 则 由输 入信 号的 一 阶微 分与 二 阶微 分构 成 完全 补偿 。 ２／ 如果 取 λ２ ＝０，λ１ ＝１／ Ｋ２，则 由 输入 信号 的 一阶 微分 构 成近 似补 偿。 此 时闭 环系 统 传递 函 数为 Ｇ１（ｓ ）Ｇ２（ｓ ）＋Ｇｒ（ｓ ）Ｇ２（ｓ ） Φ（ｓ ）＝ １＋Ｇ１（ｓ ）Ｇ２（ｓ ） 系统 等效 开环 传 递函 数为 Ｇｃ（ｓ ） Ｇ２（ｓ ）［Ｇ１（ｓ ）＋Ｇｒ（ｓ ）］ Ｇ（ｓ ）＝ ＝ １－Ｇ（ｓ ） １－Ｇｒ（ｓ ）Ｇ２（ｓ ） １ （Ｔ ｓ＋ｓ＋ｋ １ｋ ２） Ｔ２ １ ＝ ２ ｓ（Ｔ１ｓ＋１） 等效 开环 传递 函 数中 有两 个 积分 环节 ， 能实 现输 入斜 坡 信号 时无 误 差。 ・１ ７ ０・

７．４　其他 控制器 ７ ．４ ． １　开关 量控制器 尽管 开关 量 控制 不属 于 连续 控制 ， 然而 开关 量控 制 广泛 应用 于 家居 、商 业 及工 业等 。通 常 开关 量控 制可 用 来控 制炉 温 、冰 箱、 加 热 设 备 、冷 却设 备 、空 调 设 备等 ，当 误 差 由 正 变 负 时 ，开 关 量 控 制 器 输 出 发 生 突 变， 反 之 亦 然。如图 ７． ６ ８所示 ，误 差 为 负 时 控制 器 输 出 为零 ， 当误 差 为正 时， 控制 器输 出为 １０ ０％。 １ ．单极 性开 关 量控 制器 图 ７． ６９所 示是 由比 较 器组 成 的 开关 量 控 制 器， 给 定 值 ｕ 接到 ｉ 比较 器的 同相 端 。反 馈量 ｕ ｆ可如 图 接法 ，但 要 注意 极性 ， 应与 给 定

图 ７．６８　 开关 量控制

值 ｕ 极性 相 反。 ｕｆ也 可接 到比 较 器的 反 相 端 ，极 性 应 为 正 。如 果 ｕｆ小 于 ｕｉ，控 制器 输 出 高 电 ｉ 平， 如果 ｕｆ大于 ｕｉ，则 控制 器输 出 低电 平， 此 处为 ０Ｖ。 图 ７． ７０所 示为 炉温 控 制器 。ＬＭ３ ５为温 度 传 感 器， 输 出 电 压 信号 为 １ ０ｍＶ／ ℃ ， 运放 Ｕ１Ａ 构成 比例 放大 器 ，放 大倍 数 调整 为 １ ０。 电阻 Ｒ２可 用 来 调 整 放 大倍 数， 可以 调 整 增 益 以匹 配不 同 输 出 的 温 度 传 感器 。 运 放 Ｕ１Ｂ 构成 开 关量 控制 器， 输 出高 电平 为 １ ０ ．５Ｖ，低 电 平为 ０Ｖ。 大功 率晶 体管 ＶＴ提 供加 热器 所 需大 电流 。 通过 电 位 器 Ｒ７ 设 定炉 温。 电阻 Ｒ５和 Ｒ７ 确 定 了 炉 温 控 制 范 围， 设 与 最 高 温 度 Ｔ 对 应的 电压 为 Ｕｍａｘ， 与最 低 温 度 Ｔｍｉｎ对 应 的 电 压 为 Ｕｍｉｎ， ｍａｘ 则 Ｒ７ Ｕｍａｘ ＝ ×ＶＣＣ Ｒ５ ＋Ｒ６ ＋Ｒ７

图 ７．６ ９　 比较器 组成的 开关量 控制 器

Ｒ６ ＋Ｒ７ Ｕｍｉｎ ＝ ×ＶＣＣ Ｒ５ ＋Ｒ６ ＋Ｒ７ 【例 ７． ２ ０】 图 ７ ．７ ０所 示炉 温控 制器 ， 要求 炉温 设 定为 ４ ０～６ ０℃。 解： 炉温 传 感器 输出 １０ｍＶ／ ℃ ， 比例 放大 器 Ｕ１Ａ的 增益 为 １０，则 Ｕ１Ａ输 出 为 １０ ０ｍＶ／ ℃。 Ｔ＝４０℃　 　ＵＴ ＝４０×１ ０ ０ｍＶ＝４ Ｖ Ｔ＝６０℃　 　ＵＴ ＝６０×１ ０ ０ｍＶ＝６ Ｖ 若 ＶＣＣ ＝１２Ｖ， 则 Ｒ７ Ｕｍａｘ ＝ ×１２Ｖ＝４Ｖ Ｒ５ ＋Ｒ６ ＋Ｒ７ Ｒ６ ＋Ｒ７ Ｕｍｉｎ ＝ ×１ ２ Ｖ＝６Ｖ Ｒ５ ＋Ｒ６ ＋Ｒ７ 解方 程得 Ｒ５ ＝３ ０ｋΩ， Ｒ７ ＝２ ０ｋΩ ・１ ７１・

图 ７．７ ０　 炉温控 制器

２ ．差动 开关 量 控制 器 差动 开关 量 控制 器的 方 框图 如图 ７． ７１所示 。 在 转 换 发生 前， 作 用 误 差 信号 必 须 移 动的 范 围称 为差 动间 隙 （误 差 带）。 这种 差动 间 隙将 使 控制 器 的 输 出 ｕ（ｔ ） 得以 保持 其原 有 值， 直到 作用 误 差变 动 得稍 微 超 出 零 值 时 为 止 。 在 某些 情况 下， 差 动 间 隙 是 由 无 意 中 造 成 的 摩 擦 和 空 转 导 致 的 。 但 是，为了 防止 继 电器 型机 构动 作 过于 频 繁， 常 常人 为地 引 进差 动 间 隙 （误差 带 ）。 如 空 调 中 的 开 关 量 控 制 器 ， 空 调 工 作 于 制 冷 状 态，

图 ７．７１　 差动 开关量

当环 境温 度高 于 设定 温度 一 定值 时， 空 调压 缩 机 电 动 机 启 动， 空 调

控制器方 框图

制冷 ；当 环境 温 度 低 于 设 定 温 度 一 定 值 时， 空 调 压 缩 机 电 动 机 停 转， 空调 停止 制 冷。 若误 差 带太 小， 空 调压 缩机 电动 机 将频 繁起 、 制动 ，影 响 其工 作寿 命。 图 ７． ７２所 示为 带有 误 差带 的开 关 量控 制器 的 应用 线路 。运 放 Ｕ１Ａ构 成 误差 放大 器 ，误 差 ｅ＝ｕｉ －ｕｆ Ｕ１Ｂ 构成 带 有误 差带 的开 关 量控 制器 ， 误差 范围 由 电阻 Ｒ２和 Ｒ３产生 ，误 差正 限 为 Ｒ３ ｕ１ ＝ ｕ Ｒ２ ＋Ｒ３ 误差 负限 为 Ｒ２ ｕ （－ｕ ） ２ ＝ Ｒ２ ＋Ｒ３ 【例 ７． ２ １】 如 图 ７ ．７ ２所示 确定 误差 正 负限 ，假 定 Ｒ１ ＝１０ｋ Ω， Ｒ２ ＝１０ ０ｋΩ， Ｒ３ ＝２ ． ２ｋ Ω， Ｒ４ ～Ｒ７ ＝１ ０ｋ Ω， ｕ＝±１ ０Ｖ，并 确定 下 列输 入及 反 馈情 况下 的 输出 状态 。 （１ ） ｕｉ ＝５Ｖ，ｕｆ ＝４． ８５Ｖ （２ ） ｕｉ ＝２． ５Ｖ， ｕｆ ＝２． ６Ｖ （３ ） ｕｉ ＝５Ｖ，ｕｆ ＝４． ５Ｖ （４ ） ｕｉ ＝５Ｖ，ｕｆ ＝５． ４Ｖ 解： 误差 上 限 ・１ ７ ２・

图 ７．７ ２　带 误差 带的开 关量控 制器

Ｒ３ ｕ１ ＝ ｕ Ｒ２ ＋Ｒ３ ２． ２ ＝ ×１ ０Ｖ １ ０ ０＋２ ． ２ ＝０ ． ２１ ５Ｖ 误差 下限 Ｒ３ ｕ２ ＝ （－ｕ ） Ｒ２ ＋Ｒ３ ２ ．２ ＝ ×（－１ ０Ｖ） １０ ０＋２． ２ ＝ －０． ２ １５Ｖ （１ ）

ｅ＝ｕｉ －ｕｆ ＝５Ｖ－４ ． ８５Ｖ ＝０． １ ５Ｖ＜０ ．２ １ ５Ｖ

控制 器输 出 保持 原状 态 不变 。 （２ ）

ｅ＝ｕｉ －ｕｆ ＝２． ５Ｖ－２． ６Ｖ ＝ －０． １Ｖ＞ －０． ２１ ５Ｖ

控制 器输 出 保持 原状 态 不变 。 （３ ）

ｅ＝ｕｉ －ｕｆ ＝５Ｖ－４ ． ５Ｖ ・１ ７３・

＝０． ５Ｖ＞０． ２１ ５Ｖ 控制 器输 出 状态 翻转 。 （４ ）

ｅ＝ｕｉ －ｕｆ ＝５Ｖ－５ ． ４Ｖ ＝ －０． ４Ｖ

控制 器输 出 状态 翻转 。

７ ．４ ． ２　数字 控制器 由模 拟器 件 构成 的控 制 器称 为模 拟 控制 器， 如前 面 所述 的 ＰＩ Ｄ 控制 器 。模 拟控 制 器的 ＰＩ Ｄ 参数 在实 际运 行 过程 中一 般 不易 修改 ， 当被 控对 象参 数 发生 变化 ， 可能 影响 到 系统 运行 时， 模 拟控 制器 便可 能 无能 为力 （因模 拟控 制 器在 实际 运 行时 调 整 好 的 参 数就 固 定不 变 了）。 随着 计 算机 的发 展， 结 合自 动控 制 理论 ，可 以 构造 高性 能的 计 算机 控制 系 统。

图７ ．７３　计算机 控制 系统的 典型结 构

图 ７． ７３所 示为 计算 机 控制 系统 基 本框 图。 通 常 生 产 过程 各物 理 量都 是 模拟 量形 式 ，而 计 算机 采用 的是 数 字 信 号 ， 为 此， 两 者 之 间 须 采 用 模 ／ 数 （Ａ／ Ｄ） 和 数 ／ 模 （Ｄ／ Ａ） 转 换 器 实 现 两种 信号 间的 转 换。 １ ．差分 方程 在经 典控 制 理论 中， 连 续控 制系 统 的数 学模 型是 微 分方 程 和传 递 函 数 （及 系 统框 图）， 传 递函 数的 数学 基 础是 拉氏 变 换， 前面 各 章讨 论的 是由 线 性常 系数 微 分方 程描 述 的控 制系 统。 但 在计 算机 控制 系 统中 ，其 变 量是 离散 信 号 ｘ （ｋ Ｔ） （ｋ＝０， １ ，２，… ）， 对离 散信 号， 很 难再 用 它对 时间 的微 商 来描 述， 因 此也 不能 再 用微 分方 程来 描 述离 散系 统 。可 以想 象 ，离 散系 统的 数 学模 型应 该能 反 映系 统各 取 样时 刻的 输 出量 和输 入量 之 间的 关系 。 例如 ｃ （ｋ Ｔ）＋ｃ （ｋ Ｔ－Ｔ）＝ｒ （ｋ Ｔ）＋２ ｒ （ｋ Ｔ－２Ｔ） 这样 的方 程称 为 差分 方程 。 为了 便于 对 比， 下面 将 从 连 续 系统 的微 分 方 程 出 发， 通 过设 定 取样 开关 将 它 变 为 离 散 系 统， 并由 此得 出 对应 的差 分 方程 。

①

对连 续系 统，其 时间 的增 量 Δｔ可 以取得 任意 小，可 取 Δｔ → ０的极限 ，因 此 可采 用微 分 方 程来 建 立数 学 模型 。面 对

离散系 统，它 在时 间上的 最小 增量 便 是一 个取 样 周期 Ｔ，离 散 系统 中各 物 理量 的变 化 ，都是 一 份 一份的 ，因 此只能 引 入 “差 分” （而 不 是 微 分 ） 的 概 念 ， 以 差 分 方 程 来 描 述 各 取 样 时 刻 的 状 况 。 差 分 Δｘ（ｋＴ） ＝ｘ（ｋＴ＋Ｔ）－ｘ（ｋＴ）或 Δｘ（ｋＴ）＝ ｘ （ｋ Ｔ）－ｘ （ｋＴ－Ｔ）。

・１ ７ ４・

在图 ７ ．７ ４中 ， 设 连 续 系 统 的 传 递 函 数 Ｇ（ｓ ）＝Ｋ／ （ Ｔ０ｓ＋１），其 输 入量 为 ｒ （ｔ ），输 出量 为 ｃ （ｔ ）， 于 是其 对 应的 微分 方程 为 Ｔ０

ｄｃ （ｔ ） ＋ｃ （ｔ ）＝Ｋｒ （ ｔ ） ｄ ｔ

（７ ．２ ９ ） 图７ ．７４　 连续 系统在 各取 样

＊

＊ 现假 设输 入 量 ｒ （ｔ ）经 一取 样开 关 Ｓ 变为 ｒ （ｔ ）＝ｒ １ ＊

时刻的 输出 －输入 特性

＊

（ ｋ Ｔ），输 出 量 ｃ （ｔ ） 也经 一 取 样 开关 Ｓ２变 为 ｃ （ｔ ）＝ｃ

（ ｋ Ｔ），并 设 两个 取样 开 关同 步 ，取 样周 期 为 Ｔ， 且 Ｔ＜＜Ｔ０ （Ｔ０ 为系 统 惯 性 时 间 常 数 ）。 这 时 “ 微 分 ” 可 近 似用 “差 分 ” 来 代 替， 即 ｄ ｔ ≈ Δｔ ＝Ｔ ｄｃ （ｔ ）≈ Δｃ （ｔ ）＝ｃ （ｋ Ｔ＋Ｔ）－ｃ （ｋ Ｔ） 以上 两式 代入 式 （７ ．２ ９ ）有 Ｔ０

ｃ ［（ｋ＋１）Ｔ］－ｃ （ｋ Ｔ） ＋ｃ （ｋ Ｔ）＝Ｋｒ （ｋ Ｔ） Ｔ

整理 上式 可得 ｃ ［（ｋ＋１）Ｔ］＋

Ｔ ＫＴ －１ ｃ （ｋ Ｔ）＝ ｒ （ｋ Ｔ） Ｔ０ Ｔ０

Ｔ ＫＴ －１ ＝ａ０， ＝ｂ ０ Ｔ０ Ｔ ０

（ ７． ３ ０）

ｃ ［（ｋ＋１）Ｔ］＋ａ ｃ （ｋ Ｔ）＝ｂ ｒ （ｋ Ｔ） 　 　 （ｋ＝０， １， ２，…） ０ ０

（ ７． ３ １）

若令 则上 式可 写成

式 （７ ．３ １） 即为 离散 系 统的 差分 方 程， 其中 ｒ （ｋ Ｔ） 为 系 统输 入的 离 散 量 ， ｃ （ｋ Ｔ） 为 系 统输 出 的离 散量 。 在书 写差 分 方程 时， 为 简化 起见 ， 可不 将取 样周 期 Ｔ写 出 ，这 样式 （ ７ ．３ １） 可 写 成 ｃ （ｋ＋１）＋ａ０ｃ （ｋ ）＝ｂ ｒ （ｋ ） ０ 由式 （ ７ ．３ １） 和 式 （７． ３ ０） 可 以看 到 ，差 分 方程 的系 数 是取 样 周 期 Ｔ的函 数。 当 取 样 周 期改 变时 ，差 分 方程 的系 数 也将 改变 ， 不难 想像 ，系 统 的性 能也 将 改变 。 ２ ．位置 式 ＰＩ Ｄ 控制 算 法 ＰＩ Ｄ 控制 规律 的 离散 化及 位 置式 ＰＩ Ｄ控 制算 法 。 由式 （ ７ ．２ ６），ＰＩ Ｄ控 制规 律形 式 可写 成

∫

ｕｏ（ｔ ） ＝ＫＰｅ （ｔ ） ＋ＫＩ ｅ （ｔ ）ｄｔ＋ＫＤ

ｄｅ （ｔ ） ｄ ｔ

（ ７． ３ ２）

取 Ｔ为取 样 周期 ，ｋ为取 样信 号 ，ｋ＝０， １，２， …， ｋ 。以 一系 列 取样 时刻 点 ｋ Ｔ代 替连 续时 间 ｔ ， 因取 样周 期 Ｔ相 对 于信 号变 化周 期 是很 小的 ， 可以 增量 代 替微 分， 以 原式 代替 积分 ， 即 ｋ

ｔ

∫ｅ（ｔ）ｄｔ≈ Ｔ∑ ｅ（ｊＴ） ０

ｊ＝０

ｄｅ （ｔ ） ｅ （ｋ Ｔ）－ｅ ［（ｋ－１）Ｔ ］ ≈ ｄｔ Ｔ 则有 ・１ ７５・

ｋ

ＫＤ ＫＰｅ （ｋ Ｔ） ＋ＫＩＴ∑ ｅ （ｊ Ｔ）＋ ｛ｅ （ｋ Ｔ）－ｅ ［（ｋ－１）Ｔ］｝ Ｔ ｊ＝０

ｕ （ｋ ）

ｋ ＫＰ ＝ＫＰｅ （ｋ ）＋ＫＩ∑ ｅ （ｊ ） ＋ ［ｅ （ｋ ） －ｅ （ｋ－１）］ Ｔ ｊ＝０

（ ７． ３ ３）

式中 ，ｕ （ｋ ） 为取 样时 刻 ｋ时 的输 出值 ；ｅ （ｋ ） 为取 样时 刻的 偏 差值 ；ｅ （ｋ－１） 为取 样 时刻 ｋ－ １时的 偏 差值 。 在上 式中 ， 为了 书写 方 便， 将 ｅ （ｋ Ｔ） 简化 为 ｅ （ ｋ ）， 即省 去了 Ｔ。 由于 控制 器 输出 的 ｕ （ｋ ） 直 接去 控 制执 行 机 构 （如 阀 门 ）， ｕ（ｋ ） 的 值 和执 行 机 构 的位 置 （ 如 阀 门的 开度 ） 是一 一对 应 的， 故式 （７ ． ３ ０） 通常 称为 位 置式 ＰＩ Ｄ控 制算 法 。程 序流 程图 如 图 ７． ７５所 示。

图 ７． ７５　位置式 ＰＩ Ｄ控制 算法程 序流程 框图

３ ．增量 式 ＰＩ Ｄ 控制 算 法 位置 式 ＰＩ Ｄ 控 制算 法的 输出 不 仅与 本次 偏 差有 关， 还 与历 次 偏差 有 关 ， 计算 时要 对 ｅ （ｋ） 累加 ，计 算机 运 算量 大。 增 量式 ＰＩ Ｄ 控 制算 法 可克 服上 述 缺点 。 由式 （ ７ ．３ ０） 可 得 ｋ－１时刻 的控 制量 ｕ （ｋ－１） ｋ－１

ｕ（ｋ－１）

ＫＰｅ （ｋ－１）＋ＫＩ∑ ｅ （ｊ ）＋ＫＤ［ｅ （ｋ－１）－ｅ （ｋ－１）］ ｊ＝０

则　 　Δｕ （ｋ ）＝ｕ（ｋ ）－ｕ （ｋ－１） ＝ＫＰ［ｅ （ｋ ）－ｅ （ｋ－１）］＋ＫＩｅ （ｋ ） 　 ＋ＫＤ ［ｅ （ｋ ）－２ｅ （ｋ－１）－ｅ （ｋ－２）］ ・１ ７ ６・

（ ７． ３ ４）

由于 式 （７ ．３ １） 中 Δｕ（ｋ ） 为 第 ｋ次 相 对 于 第 ｋ－１次 的 控 制 量 的 增 益 ， 故 称 为 增 量 式 Ｐ Ｉ Ｄ 控 制 算法 。图 ７ ． ７６所 示为 增量 式 ＰＩ Ｄ 控 制算 法的 程序 流 程图 。

图 ７． ７６　增 量式 ＰＩ Ｄ控 制算法 程序 流程图

小　　结 本章 主要 介 绍了 自动 控 制系 统中 常 用 的 控 制器 与 校 正 方式 ， 用 ＭＡＴＬＡＢ工 具 进 行 仿真 验 证校 正前 后系 统 的动 静态 性 能。 系统 的 校正 是选 择合 适 的控 制器 与 原系 统连 接 ，使 系统 的性 能 指标 得到 改善 或 补偿 的过 程 。 系统 的校 正 用控 制器 大 多采 用电 气 的， 根据 是否 接 电源 ，可 将 校正 装置 分 为无 源校 正装 置 和有 源校 正装 置 。根 据校 正 装置 的频 率 特性 ，可 将校 正 分为 超前 校 正、 滞后 校 正和 滞后 －超 前 校正 等方 式。 按 校正 装置 与 系统 的连 接 形式 ，可 分为 串 联校 正、 反 馈校 正和 复 合校 正等 。可 根 据系 统性 能指 标 的要 求， 采 用不 同特 性 的校 正装 置和 连 接方 式。 无源 校正 装 置的 优点 是 结构 简单 ， 缺点 是它 本身 没 有增 益， 且 输入 阻抗 低 ，输 出阻 抗高 。 有源 校正 装 置的 优点 是 本身 有增 益 ，有 隔离 作用 （负载 效 应 小 ），且 输 入 阻 抗高 ， 输出 阻 抗低 ，参 数调 整 也方 便。 缺 点是 装置 较 复杂 ，且 必须 要 外加 电源 。 比例 （Ｐ ） 串 联 校 正 ， 若 降 低 增 益 ，可 提 高 系 统 的相 对 稳定 性 （使 最 大 超 调 量 σ 减 小 ， 振荡 次数 Ｎ 降 低）。 但 使 系 统 的 快 速 性 和 稳 态 精 度 变 差 （调 整时 间 ｔ加 大， 稳 态 误 差 ｅｓｓ增 加）。 增大 增益 ，则 与 上述 结果 相 反。 比例 －微 分 （ＰＤ） 串 联校 正， 使 中、 高频 段 φ（ω） 相位 的 滞后 减少 ， 减小 了系 统 惯性 带 ・１ ７７・

来的 消极 作用 ， 提高 了系 统 的相 对 稳 定 性 和 快 速性 。但 削 弱 了 系 统的 抗 高频 干扰 的 能 力 。 Ｐ Ｄ 校正 对系 统稳 态 性能 影响 不 大。 比例 －积 分 （ＰＩ ） 串联 校正 ，可 提 高 系 统 的 无 静 差 度 ，从 而 改 善了 系 统的 稳 态 性 能， 但 系统 的相 对稳 定 性变 差。 比例 －积 分 －微 分 （ＰＩ Ｄ） 串 联校 正 ，即 可改 善 系统 稳态 性能 ， 又能 减少 φ（ω） 在 中、 高 频段 的相 位滞 后 ，改 善系 统 的相 对稳 定 能和 快速 性， 兼 顾了 稳态 精 度和 稳定 性 的改 善， 因此 在 要求 较高 的系 统 中获 得广 泛 的应 用。 串联 校正 对 系统 结构 、 性能 的改 善 效果 明显 ，校 正 方法 直观 、 实用 。但 无 法克 服系 统中 元 件 （或部 件 ） 参 数变 化 对系 统性 能 的影 响。 反馈 校正 能 改变 被包 围 环节 的参 数 、性 能， 甚至 可 以改 变原 环 节的 性质 。 这一 特点 使反 馈 校正 能用 来抑 制 元件 （或部 件） 参 数 变 化 和内 部 扰动 对系 统 性 能 的 消极 影 响， 有时 甚 至 可 取 代局 部环 节。 由 于反 馈校 正 可能 会改 变 被包 围环 节的 性 质， 因此 也 可能 会带 来 副作 用， 例如 含 有积 分环 节的 单 元被 硬反 馈 包围 后， 便 不再 有积 分的 效 应， 因此 会 降低 系统 的 无静 差度 ，使 系 统稳 态性 能变 差 。 具有 顺馈 补 偿和 反馈 环 节的 复合 控 制 是 减 小 系 统 误 差 （包 括 稳 态 误 差 和 动 态误 差 ） 的 有 效途 径， 但补 偿 量要 适度 ， 过量 补偿 会 起反 作用 ，甚 至 引起 振荡 。 顺馈 补偿 量 要低 于但 可接 近 于全 补偿 条件 。

习　　题 ０．１ｓ＋０．０１ ７． １　 ＰＩ控 制器的 传递函 数 Ｇ（ｓ ）＝ ， ｓ （１） 确 定 ０ｄＢ处的 频率； （２） 确 定 ２０ｄ Ｂ处的频 率； （３） 输 入信号 为 ０．２ ５Ｖ， 输入 频率为 １００ｒ ａｄ／ ｓ，确定 输出信 号。 ７． ２　 ＰＩ Ｄ控制 器输 出为 ｄ ｅ ｕｏ ＝５ｅ＋１．２ ｅ ｄｔ＋４ ｄｔ

∫

画出 ＰＩ Ｄ控 制器的 伯德图 。 ７． ３　 考虑图 ７． ７７所示 的控制 系统 。 为 使系统 的相位 裕量 等于 ６ ０°，试确 定增益 Ｋ的 值。 ７． ４　 设单位 负反馈 控制系 统的 开环传 递函数 为 １ ０ Ｇ（ｓ ）＝ ｓ （１＋０．５ｓ ）（１＋０．１ｓ ） 绘 出系统 的伯德 图，并 求出 相角裕 量和 幅值裕 量。 若采用 传递函 数为 （１＋０．２３ｓ ） ／（１＋０ ．０２３ｓ ） 的串 联校 正 装 置，试

图 ７．７７　题 ７ ．３的 图

求校正 后系统 的幅值 和相 角裕度 ，并计 算校正 后系 统的性 能有何 改进 。 ７． ５　 设单位 负反馈 控制系 统的 开环传 递函数 为 ４０ Ｇ（ｓ ）Ｈ（ｓ ）＝ ｓ （１＋０．０ ６２５ｓ ）（１＋０．２ ５ｓ ） （１） 绘 出系统 的伯德 图，并 确定 系统的 相角裕 度和幅 值裕 度以及 系统的 稳定 性；

・１ ７ ８・

０．０ ５（ｓ＋０ ．２５） （２） 如 引入传 递函数 Ｇ（ｓ ）＝ 的 相位滞 后校 正装置 ，试 绘出校 正后 系 统的 伯 德 图，并 确 定 （ｓ＋０．０１ ２５） 校正后 系统的 相角裕 度和 幅值裕 度，分 析校正 对系 统的影 响。 ７． ６　 若对如 图 ７．７ ８所 示系统 中的 一个大 惯性环 节采 用微分 反馈校正 （软反馈 ），试分 析它对 系统性 能 的 影响。设 图中 Ｋ１ ＝０．２，Ｋ２ ＝１ ０００，Ｋ３ ＝０．４， Ｔ＝０． ８ｓ ，β＝０．０ １。求 ： （１） 未 设反馈 校正时 ，系统 的动 、静态 性能； （２） 增 设反馈 校正后 ，再求 校正 后系统 的动、 静态性 能。

图 ７．７ ８　 题 ７． ６的图

・１ ７９・

附 录 １　 ＳＩ Ｍ ＵＬＩ ＮＫ 基 本 模 块 介 绍 １ ．连续 系统 模 块库 （ Ｃｏ ｎ ｔ ｉ ｎｏ ｕｓ ） 连续 系统 模 块库 示意 图 以及 其中 各 模块 的功 能如 图 Ｆ． １及表 Ｆ． １所 示。

图 Ｆ．１　 连续 系统模 块库示 意图 表 Ｆ．１　连 续系统 模块功 能 模 　块　 名　 称

模　 块　功 　能

Ｄｅ ｒ ｉ ｖ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ

对输入 信号 进行微 分

Ｉ ｎｔ ｅｇ ｒ ａｔ ｏｒ

对输入 信号 进行积 分

Ｍｅｍｏ ｒ ｙ

输出本 模块 上一步 的输入 值

Ｓｔ ａ ｔ ｅ－Ｓｐ ａｃ ｅ

建立一 个线 性状态 空间模 型

Ｔｒ ａｎ ｓ ｆ ｅｒＦｃ ｎ

建立一 个线 性传递 函数模 型

Ｔｒ ａｎ ｓ ｐｏ ｒ ｔＤｅｌ ａｙ

对输入 信号 进行给 定的延 迟

Ｖａ ｒ ｉ ａ ｂｌ ｅＴｒ ａｎ ｓ ｐ ｏｒ ｔＤｅｌ ａｙ

对输入 信号 进行不 定量的 延迟

Ｚｅ ｒ ｏＰｏ ｌ ｅ

以零极 点形 式建立 一个传 递函数 模型

・１ ８ ０・

２ ．离散 系统 模 块库 （Ｄｉ ｓ ｃ ｒ ｅ ｔ ｅ ） 离散 系统 模 块库 示意 图 以及 其中 各 子模 块的 功能 如 图 Ｆ ． ２及 表 Ｆ． ２所示 。

图 Ｆ．２　 离散 系统模 块库示 意图

　 表 Ｆ．２　离 散系统 模块功 能 模 　块　 名　 称

模　 块　功 　能

Ｄｉ ｓ ｃ ｒ ｅ ｔ ｅＦｉ ｌ ｔ ｅ ｒ

建立离 散 （Ｉ Ｉ Ｒ和 ＦＩ Ｒ） 滤波 器

Ｄｉ ｓ ｃ ｒ ｅ ｔ ｅＳ ｔ ａ ｔ ｅ－Ｓｐａ ｃ ｅ

建立一 个离 散状态 空间模 型

Ｄｉ ｓ ｃ ｒ ｅ ｔ ｅＴｒ ａ ｎｓ ｆ ｅｒＦｃｎ

建立一 个离 散传递 函数

Ｄｉ ｓ ｃ ｒ ｅ ｔ ｅＺｅ ｒ ｏ－Ｐｏｌ ｅ

建立一 个零 极点形 式离散 传递函 数

Ｄｉ ｓ ｃ ｒ ｅ ｔ ｅ－Ｔｉ ｍｅＩ ｎｔ ｅ ｇ ｒ ａｔ ｏ ｒ

对一个 信号 进行离 散时间 积分

Ｆｉ ｒ ｓ ｔ－Ｏｒ ｄｅ ｒＨｏｌ ｄ

建立一 阶取 样保持 器

Ｕｎｉ ｔＤｅ ｌ ａ ｙ

对取样 信号 保持， 延迟一 个取样 周期

Ｚｅ ｒ ｏ－Ｏｒ ｄｅ ｒＨｏ ｌ ｄ

建立零 阶取 样保持 器

・１ ８１・

３ ．函数 与表 模 块库 （Ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ＆ Ｔａ ｂｌ ｅ ｓ ） 函数 与表 模 块库 示意 图 以及 其中 各 模块 的功 能如 图 Ｆ． ３及表 Ｆ． ３所 示。

图 Ｆ．３　 函数 与表模 块库示 意图 表 Ｆ．３　函 数与表 模块功 能 模 　块　 名　 称

模　 块　用 　途

　Ｄｉ ｒ ｅ ｃ ｔＬｏ ｏｋ－ＵｐＴａ ｂｌ ｅ（ｎ－Ｄ）

表数据选择 器 （从表中 选择数 据）

　Ｆｃｎ

求取输入信 号的 数学函 数值

　Ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｐ ｏｌ ａｔ ｉ ｏ ｎ（ｎ－Ｄ）ｕｓ ｉ ｎｇＰｒ ｅ Ｌｏｏ ｋ－Ｕｐ

对输入信号 进行 内插运 算

　Ｌｏｏ ｋ－ＵｐＴａｂ ｌ ｅ

输入信号的 一维 线性内 插

　Ｌｏｏ ｋ－ＵｐＴａｂ ｌ ｅ（２－Ｄ）

输入信号的 二维 线性内 插

　Ｌｏｏ ｋ－ＵｐＴａｂ ｌ ｅ（ｎ－Ｄ）

输入信号的 ｎ维 线性内 插

　ＭＡＴＬＡＢＦｃ ｎ

Ｍ函 数 （对输入 进行运 算输出 结果 ）

　Ｐｏｌ ｙ ｎｏｍｉ ａｌ

多项式求值

　Ｐｒ ｅＬｏ ｏ ｋ－ＵｐＩ ｎｄｅ ｘＳｅａ ｒ ｃ ｈ

查找输入信 号所 在范围

　Ｓ－Ｆｕｎ ｃｔ ｉ ｏ ｎ

Ｓ－函数 模块

　Ｓ－Ｆｕｎ ｃｔ ｉ ｏ ｎＢｕｉ ｌ ｄ ｅｒ

Ｓ－函数 生成器

・１ ８ ２・

４ ．数学 运算 模 块库 （ Ｍａ ｔ ｈ） 数学 运算 模 块库 示意 图 以及 其中 各 子模 块的 功能 如 图 Ｆ ． ４及 表 Ｆ． ４所示 。

图 Ｆ．４　 数学 运算模 块库示 意图

・１ ８３・

表 Ｆ．４　数 学运算 模块功 能 模 　块　 名　 称

模　 块　功 　能

Ａｂｓ

求绝对 值或 求模 （对复数 ）

Ａｌ ｇ ｅ ｂｒ ａ ｉ ｃＣｏｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎｔ

输出强 制系 统输入 为零的 代数状 态

Ｂｉ ｔ ｗｉ ｓ ｅＬｏ ｇｉ ｃ ａ ｌＯｐｅ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ

按位逻 辑运 算

Ｃｏ ｍｂｉ ｎｎａ ｔ ｏ ｒ ｒ ｉ ａｌＬｏ ｇ ｉ ｃ

逻辑真 值查 找

Ｃｏ ｍｐｌ ｅｘｔ ｏＭａｇ ｎｉ ｔ ｕ ｄｅ－Ａｎｇ ｌ ｅ

输出输 入复 数的幅 值与相 位

Ｃｏ ｍｐｌ ｅｘｔ ｏＲｅ ａｌ－Ｉ ｍａ ｇ

输出系 统输 入的实 部或虚 部

Ｄｏ ｔＰｒ ｏｄ ｕｃｔ

点乘运 算

Ｇａ ｉ ｎ

信号增 益

Ｌｏｇ ｉ ｃ ａｌＯｐｅ ｒ ａｔ ｏｒ

信号逻 辑运 算

Ｍａ ｇ ｎｉ ｔ ｕｄｅ－Ａｎｇｌ ｅｔ ｏＣｏ ｍｐｌ ｅｘ

幅值与 相位 转化为 复数形 式

Ｍａ ｔ ｈＦｕｎｃ ｔ ｉ ｏｎ

特定的 一些 数学函 数

Ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘＧａｉ ｎ

矩阵增 益

Ｍｉ ｎＭａ ｘ

求取输 入的 最小或 最大值

Ｐｒ ｏ ｄｕｃ ｔ

乘法或 除法 器

Ｒｅ ａｌ－Ｉ ｍａ ｇｔ ｏＣｏ ｍｐｌ ｅ ｘ

从输入 实部 与虚部 构造复 数

Ｒｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎａｌＯｐｅｒ ａ ｔ ｏ ｒ

关系运 算器

Ｒｏ ｕｎｄｉ ｎｇＦｕｎ ｃｔ ｉ ｏ ｎ

求整运 算器

Ｓｉ ｇ ｎ

符号运 算

Ｓｌ ｉ ｄｅ ｒＧａｉ ｎ

渐变增 益

Ｓｕｍ

对输入 求和 或差

Ｔｒ ｉ ｇ ｏ ｎｏｍｅ ｔ ｒ ｉ ｃＦｕｎ ｃｔ ｉ ｏ ｎ

三角与 双曲 函数

５ ．非线 性系 统 模块 库 （Ｎｏ ｎ ｌ ｉ ｎｅ ａ ｒ ） 非线 性系 统 模块 库示 意 图以 及其 中 各子 模块 的功 能 如图 Ｆ． ５及 表 Ｆ ． ５所 示 。 表 Ｆ．５　 非线性 系统模 块功能 模 　块　 名　 称

模　 块　功 　能

Ｂａ ｃｋ ｌ ａ ｓ ｈ

死区 间隙

Ｃｏ ｕｌ ｏｍｂ＆ Ｖｉ ｓ ｃ ｏ ｕｓ

库仑 粘滞 信号

Ｄｅ ａ ｄＺｏ ｎｅ

死区 信号

Ｍａ ｎｕａ ｌＳｗｉ ｔ ｃｈ

双输 出选 择器 （手动）

Ｍｕ ｌ ｔ ｉ ｐ ｏ ｒ ｔＳｗｉ ｔ ｃｈ

多端 口输 出选择 器

Ｑｕａ ｎ ｔ ｉ ｚ ｅ ｒ

量化 器

Ｒａ ｔ ｅＬ ｉ ｍｉ ｔ ｅ ｒ

信号 上升 、下降 速率控 制器

Ｒｅ ｌ ａｙ

信号 延迟 器

Ｓ ａｔ ｕｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ

饱和 信号

Ｓ ｗｉ ｔ ｃ ｈ

三路 选择 器 （根 据输入 ２控 制输出 ）

・１ ８５・

图 Ｆ ．５　非线 性系 统模块 库示意 图

６ ．信号 与系 统 模块 库 （Ｓｉ ｇ ｎａ ｌ ｓ＆ Ｓｙ ｓ ｔ ｅ ｍｓ ） 信号 与系 统 模块 库示 意 图以 及其 中 各子 模块 的功 能 如图 Ｆ． ６及 表 Ｆ ． ６所 示 。 表 Ｆ．６　 信号与 系统模 块功能 模 　块　 名　 称

模　 块　功 　能

Ａｓ ｓ ｉ ｇ ｎｍｅ ｎｔ

对信 号进 行分配

Ｂｕ ｓＣｒ ｅ ａ ｔ ｏ ｒ

由输 入产 生总线 信号

Ｂｕ ｓＳｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｏ ｒ

总线 信号 选择器

Ｄａ ｔ ｅＳｔ ｏ ｒ ｅＭｅｍｏ ｒ ｙ

用户 定义 的数据 存储区

Ｄａ ｔ ｅＳｔ ｏ ｒ ｅＲｅ ａｄ

从数 据存 储区中 读取数 据

Ｄａ ｔ ｅＳｔ ｏ ｒ ｅＷｒ ｉ ｔ ｅ

向数 据存 储区写 数据

Ｄａ ｔ ｅＴｙ ｐｅＣｏ ｎｖｅ ｒ ｓ ｉ ｏ ｎ

数据 类型 转换器

Ｄｅ ｍｕｘ

信号 分解 器

Ｆｒ ｏｍ

从 Ｇｏ ｔ ｏ模块中 获得信 号

Ｆｕ ｎｃ ｔ ｉ ｏｎ－Ｃａ ｌ ｌＧｅｎｅ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ

函数 调用 发生器

Ｇｏ ｔ ｏ

向 Ｇｏ ｔ ｏ模块传 递信号

Ｇｏ ｔ ｏＴａ ｇＶｉ ｓ ｉ ｂｉ ｌ ｉ ｔ ｙ

Ｇｏ ｔ ｏ模块 标记控 制器

Ｈｉ ｔＣｒ ｏ ｓ ｓ ｉ ｎｇ

将信 号与 特定的 偏移值 比较

Ｉ Ｃ

初始 化信 号

・１ ８ ６・

续表 模 　块　 名　 称

模　 块　功 　能

Ｍａｔ ｒ ｉ ｘＣｏ ｎｃ ａ ｔ ｅ ｎａ ｔ ｉ ｏｎ

矩阵 串联 器

Ｍｅｒ ｇ ｅ

合并 输入 信号为 一个输 出

Ｍｏｄ ｅ ｌＩ ｎｆ ｏ

模块 控制 信息

Ｍｕｘ

信号 组合 器

Ｆｒ ｏｂ ｅ

信号 探测 器

Ｒｅ ｓ ｈａ ｐｅ

信号 维数 改变器

Ｓｅ ｌ ｅ ｃｔ ｏｒ

选择 或重 组信号

Ｓｉ ｇ ｎａ ｌＳｐｅ ｃ ｉ ｆ ｉ ｃａ ｔ ｉ ｏｎ

信号 线属 性修改

Ｗｉ ｄ ｔ ｈ

输入 信号 宽度

图Ｆ ．６　信号 与系 统模块 库示意 图

・１ ８７・

７ ．系统 输出 模 块库 （ Ｓｉ ｎ ｋｓ ） 系统 输出 模 块库 示意 图 以及 其中 各 子模 块的 功能 如 图 Ｆ ． ７及 表 Ｆ． ７所示 。

图 Ｆ．７　 系统 输出模 块库示 意图

・１ ８９・

表 Ｆ．７　系 统输出 模块功 能 模 　块　 名　 称

模　 块　用 　途

Ｄｉ ｓ ｐｌ ａ ｙ

以数值 形式 显示输 入信号

Ｆｌ ｏ ａｔ ｉ ｎｇＳｃ ｏ ｐｅ

悬浮信 号显 示器

Ｏｕｔ １

为子系 统或 模型提 供输出 端口

Ｓｃｏ ｐｅ

信号显 示器

Ｓｔ ｏ ｐＳｉ ｍｕｌ ａ ｔ ｉ ｏｎ

当输入 非零 时停止 仿真

Ｔｅｒ ｍｉ ｎａ ｔ ｏ ｒ

中断输 出信 号

ＴｏＦｉ ｌ ｅ

将仿真 数据 写入 ．ｍａｔ文件

ＴｏＷｏｒ ｋｓ ｐａｃ ｅ

将仿真 数据 输出到 ＭＡＴＬＡＢ工作空间

ＸＹ Ｇｒ ａ ｐｈ

使用 ＭＡＴＬＡＢ图 形显示 数据

８ ．系统 输入 模 块库 （ Ｓｏ ｕｒ ｃ ｅ ｓ ） 系统 输入 模 块库 示意 图 以及 其中 各 子模 块的 功能 如 图 Ｆ ． ８及 表 Ｆ． ８所示 。 表 Ｆ．８　系 统输入 模块功 能 模 　块　 名　 称

模　 块　用 　途

　　 　　Ｂａ ｎｄ－Ｌｉ ｍｉ ｔ ｄｅＷｈｉ ｔ ｅＮｏ ｉ ｓ ｅ

　 　　　　有限 带宽 白噪声

　　 　　Ｃｈｉ ｒ ｐＳｉ ｇ ｎａｌ

　 　　　　输出 频率 随时间 线性变 换的正 弦信 号

　　 　　Ｃｌ ｏｃ ｋ

　 　　　　输出 当前 仿真时 间

　　 　　Ｃｏ ｎｓ ｔ ａ ｎｔ

　 　　　　常数 输入

　　 　　Ｄｉ ｇ ｉ ｔ ａ ｌＣｌ ｏｃ ｋ

　 　　　　以固 定速 率输出 当前仿 真时间

　　 　　Ｆｏｒ ｍＷｏ ｒ ｋ ｓ ｐａ ｃｅ

　 　　　　从 ＭＡＴＬＡＢ工 作空间 中输入数据

　　 　　Ｆｒ ｏｍＦｉ ｌ ｅ

　 　　　　从 ．ｍａ ｔ文件中 输入 数据

　　 　　Ｇｒ ｏ ｕｎｄ

　 　　　　接地 信号

　　 　　Ｉ ｎ １

　 　　　　为子 系统 或其他 模型提 供输入 端口

　　 　　Ｐｕｌ ｓ ｅＧｅ ｎｅ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ

　 　　　　输入 脉冲 信号

　　 　　Ｒａｍｐ

　 　　　　输入 斜坡 信号

　　 　　Ｒａｎ ｄｏ ｍ Ｎｕｍｂｅ ｒ

　 　　　　输入 服从 高斯分 布的随 机信号

　　 　　Ｒｅｐ ｅａ ｔ ｉ ｎｇＳｅ ｑｕｅ ｎｃ ｅ

　 　　　　输入 周期 信号

　　 　　Ｓｉ ｇ ｎａ ｌＧｅ ｎｅｒ ａｔ ｏｒ

　 　　　　信号 发生 器

　　 　　Ｓｉ ｎｅＷａｖ ｅ

　 　　　　正弦 信号 初始器

　　 　　Ｓｔ ｅ ｐ

　 　　　　输入 阶跃 信号

　　 　　Ｕｎｉ ｆ ｏ ｒ ｍ Ｒａｎ ｄｏ ｍ Ｎｕ ｍｂｅｒ

　 　　　　输入 服从 高斯分 布的随 机信号

・１ ９ ０・

图 Ｆ．８　 系统 输入模 块库示 意图

・１ ９１・

９ ．子系 统模 块 库 （Ｓｕ ｂ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍｓ ） 子系 统模 块 库示 意图 以 及其 中各 子 模块 的功 能如 图 Ｆ． ９及表 Ｆ． ９所 示。

图 Ｆ． ９　子 系统 模块库 示意图 表 Ｆ．９　系 统输出 模块功 能 模 　块　 名　 称

模　 块　用 　途

　　 　ｃｏ ｎｆ ｉ ｇ ｕｒ ａｂ ｌ ｅＳｕ ｂｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ

可配 置子 系统

　　 　Ａｔ ｏｍｉ ｃＳｕｂ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ

原子 子系 统

　　 　Ｅｎ ａｂｌ ｅｄＳ ｕｂｓ ｙｓ ｔ ｅ ｍ

使能 子系 统

　　 　Ｅｎ ａｂｌ ｅｄａ ｎｄＴｒ ｉ ｇ ｇ ｅｒ ｅ ｄＳ ｕｂｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ

使能 触发 子系统

　　 　Ｆｏ ｒＩ ｔ ｅｒ ａ ｔ ｏ ｒＳｕｂ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ

Ｆｏ ｒ循环 子系 统

　　 　Ｆｕ ｎｃ ｔ ｉ ｏｎ－Ｃａ ｌ ｌＳ ｕｂｓ ｙｓ ｔ ｅ ｍ

函数 调用 子系统

・１ ９ ２・

续表 模 　块　 名　 称

模　 块　用 　途

　　 　Ｉ ｆ

Ｉ ｆ 条 件子系 统

　　 　Ｉ ｆＡｃ ｔ ｉ ｏｎＳｕ ｂｓ ｙ ｓ ｔ ｅｍ

条件 执行 子系统

　　 　Ｓｕｂｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ

通用 子系 统

　　 　Ｓｕｂｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ Ｅｘ ａｍｐｌ ｅｓ

子系 统举 例

　　 　Ｓｗｉ ｔ ｃｈＣａ ｓ ｅ

Ｓｗｉ ｔ ｃｈ－Ｃａ ｓ ｅ子系统

　　 　Ｓｗｉ ｔ ｃｈＣａ ｓ ｅＡｃ ｔ ｉ ｏｎＳ ｕｂｓ ｙｓ ｔ ｅ ｍ

Ｓｗｉ ｔ ｃｈ－Ｃａ ｓ ｅ动作子 系统

　　 　Ｔｒ ｉ ｇ ｇｅ ｒ ｅ ｄＳｕｂ ｓ ｙ ｓ ｙｔ ｅｍ

触发 子系 统

　　 　Ｗｈｉ ｌ ｅＩ ｔ ｅｒ ａｔ ｏｒＳｕ ｂｓ ｙｓ ｔ ｅ ｍ

当型 循环 子系统

之所 以用 较 多的 篇幅 对 ＳＩ ＭＵＬＩ ＮＫ的 公共 模 块库 进行 比 较全 面的 介 绍， 是因 为ＳＩ ＭＵ－ ＬＩ ＮＫ 的公 共模 块库 中 提供 了大 量 内置 的系 统 模块 ，这 些系 统 模块 的用 途 非常 广泛 ， 并且 一般 的动 态 系统 模型 都可 以 使用 公共 模 块中 的模 块 来构 建。

・１ ９３・

附 录 ２　 ＭＡＴＬＡＢ控 制 系 统 工 具 箱 函 数 介 绍 Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ控 制 系统 工具 箱 （Ｖｅ ｒ ｓ ｉ ｏ ｎ ５ ． ０ （Ｒ１ ２） １－Ｓ ｅ ｐ－２ ００ ０） 包含 以下 常用 函 数： 线性 定常 （ＬＴ１） 模 型 （ｌ ｉ ｎｅ ａ ｒｔ ｉ ｍｅｉ ｎｖａ ｒ ｉ ａｎ ｔｍｏｄ ｅ ｌ ） 函数名

说　　 明

ｄ ｒ ｓ ｓ

产 生随机 离散 状态空间模型

ｄｓ ｓ

创 建描述 子状 态空间模型

ｆ ｉ ｌ ｔ

创 建具有 ＤＳＰ约定 的离散 滤波器

ｆ ｒ ｄ

创 建频率 响应 数据 （ＦＲＤ） 模型

ｆ ｒ ｄａ ｔ ａ

从 ＦＲＤ模型 中获取 数据

ｇｅ ｔ

查 询 ＬＴＩ模型特 性

ｒ ｓ ｓ

产 生随机 连续 状态空间模型

ｓ ｅｔ

设 置 ＬＴＩ模型特 性

ｓ ｓ

创 建状态 空间 模型

ｓ ｓ ｄ ｔ ａ ，ｄ ｓ ｓ ｄａｔ ａ ｔ ｆ ｔ ｆ ｄａ ｔ ａ ｔ ｏ ｔ ａ ｌ ａｅ ｌ ａ ｙ ｚ ｐｋ ｚ ｐｋｄ ａ ｔ ａ

从 状态空 间模 型中获取数据 创 建传递 函数 模型 从 传递函 数模 型中获取数据 提 供 ＬＴＩ模型的 总时 滞 创 建零极 点增 益模型 从 零极点 增益 模型中获取数 据

模型 特性 （Ｍｏ ｄｅ ｌＣｈａｒ ａｃ ｔ ｅ ｒ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｓ ） 函数名 ｃｌ ａｓ ｓ ｈａ ｓ ｄｅ ｌ ａ ｙ

显 示模型 类型 （ ‘ｔ ｆ ’，‘ｚ ｐ ｋ’，‘ｓ ｓ’，或 ‘ｆ ｒ ｄ’） 测 试 ＬＴＩ模型是 否具 有时滞

ｉ ｓ ａ

测 试 ＬＴＩ模型是 否为 特殊类 型

ｉ ｓ ｃ ｔ

测 试连续 模型 是否为真

ｉ ｓ ｄ ｔ

测 试离散 模型 是否为真

ｉ ｓ ｅ ｍｐｔ ｙ

测 试连续 模型 是否为空

ｉ ｓ ｐｒ ｏ ｐｅ ｒ

测 试真有 理 ＬＴＩ模型 是否为 真

ｉ ｓ ｓ ｉ ｓ ｏ ｎｄ ｉ ｍｓ ｓ ｉ ｚ ｅ

・１ ９ ４・

说　　 明

测 试 ＳＩ Ｓ Ｏ模 型是否为真 显 示模型 ／ 数 组维 数 显 示输出 ／ 输入 ／ 数组 维数

续表 模型 阶次化 简 （Ｍｏ ｄｅ ｌＯｒ ｄ ｅｒＲｅ ｄｕｃ ｔ ｉ ｏ ｎ） 函数名

说　　 明

ｂａ ｌ ｒ ｅ ａ ｌ

计 算 Ｉ／ Ｏ平衡 化实现

ｍｉ ｎｅ ｒ ａ ｌ

计 算零极 点对 消后的最小实 现

ｍｏ ｄｒ ｅ ｄ ｓ ｍｉ ｎｒ ｅ ａｌ

删 去 Ｉ／ Ｏ平衡 化实现中的状 态 计 算结构 化模 型化简

状态 空间实 现 （Ｓ ｔ ａ ｔ ｅ－Ｓｐａ ｃ ｅＲｅ ａ ｌ ｉ ｚ ａｔ ｉ ｏ ｎｓ ） 函数名 ｃ ａ ｎｏｎ

说　　 明 状 态空间 的规 范型实现

ｃ ｔ ｒ ｂ

求 可控性 矩阵

ｃ ｔ ｒ ｂｆ

求 可控标 准型

ｇｒ ａ ｍ

可 控性和 可观 性克来姆矩阵

ｏ ｂｓ ｖ

求 可观性 矩阵

ｏｂｓ ｖｆ

求 可观标 准型

ｓ ｓ ２ｓ ｓ

状 态坐标 相似 变换

ｓ ｓ ｂａ ｌ

状 态困难 关键 实现的对角平 衡

模型 动态特 性 （Ｍｏ ｄｅ ｌＣｙ ｎａ ｍｉ ｃ ｓ ） 函数名

说　　 明

ｄａｍｐ

计 算自然 频率 和阻尼

ｄｃ ｇ ａ ｉ ｎ

计 算低频 （ＤＣ） 增益

ｃｏ ｖａ ｒ

计 算白噪 声响 应的协方差

ｄｓ ｏ ｒ ｔ

按 大小给 离散 极点排序

ｅｓ ｏ ｒ ｔ

按 实部大 小给 连续极点排序

ｎｏｒ ｍ

计 算 ＬＴＩ模型的 范数 （Ｈ２ 和 Ｌ∞ ）

ｐｏｌ ｅ ，ｅ ｉ ｇ

计 算 ＬＴＩ模型的 极点

ｐｚ ｍａｐ

绘 制 ＬＴＩ模型的 零 ／ 极点 图

ｒ ｌ ｏｃ ｕｓ

计 算和绘 制根 轨迹

ｒ ｏ ｏｔ ｓ

计 算多项 式的 根

ｓ ｇｒ ｉ ｄ ，ｚ ｇ ｒ ｉ ｄ ｚ ｅｒ ｏ

给 ｓ平面 和 ｚ平面 的根 轨迹或 零极点 图加 网格线 计 算 ＬＴＩ模型的 零点

模型 互联 （Ｍｏ ｄｅ ｌＩ ｎｔ ｅｒ ｃｏ ｎｎｅ ｃｔ ｉ ｏ ｎｓ ） 函数名

说　　 明

ａ ｐｐｅ ｎｄ

追 加模型 于块 对角形式

ａ ｕｇ ｓ ｔ ａ ｔ ｅ

追 加状态 的扩 展输出

ｃ ｏ ｎｎ ｅ ｃ ｔ

根 据所选 择的 模式连接一个 块对 角子系 统

ｆ ｅ ｅｄｂ ａｃ ｋ ｌ ｆ ｔ

计 算反馈 连续 模型 形 成 ＬＦＴ内部 互联 （ｓ ｔ ａ ｒｐｒ ｏｄｕ ｃｔ ）

・１ ９５・

续表 模型 互联 （Ｍｏ ｄｅ ｌＩ ｎｔ ｅｒ ｃｏ ｎｎｅ ｃｔ ｉ ｏ ｎｓ ） 函数名 ｏ ｒ ｄ ２

说　　 明 产 生二阶 模型

ｐａ ｒ ａｌ ｌ ｅ ｌ

创 建广义 并联 模型

ｓ ｅ ｒ ｉ ｅｓ

创 建广义 串联 模型

ｓ ｔ ａ ｃ ｋ

将 ＬＴＩ模 型放入 模型 数组

时间 响应 （Ｔｉ ｍｅＲｅ ｓ ｐｏ ｎｓ ｅ） 函数名 ｇ ｅ ｎｓ ｉ ｇ

说　　 明 产 生输入 信号

ｉ ｍｐｕ ｌ ｓ ｅ

计 算和绘 制脉 冲响应

ｉ ｎ ｉ ｔ ｉ ａ ｌ

计 算和绘 制初 值响应

ｌ ｓ ｉ ｍ ｌ ｔ ｉ ｖｉ ｅｗ ｓ ｔ ｅ ｐ

仿 真任意 输入 时 ＬＴＩ模型响 应 打 开 ＬＴＩＶｉ ｅ ｗｅ ｒ用于 线性响 应分析 计 算阶跃 响应

时间 滞后 （Ｔｉ ｍｅＤｅ ｌ ａ ｙ ｓ ） 函数名 ｄｅ ｌ ａ ｙ ２ｚ ｐａ ｄ ｅ ｔ ｏ ｔ ａ ｌ ｄｅｌ ａｙ

说　　 明 转 换离散 时间 模型或 ＦＲＤ模型 中的时 滞 计 算滞后 的派 德近似 提 供 ＬＴＩ模型的 总时 滞

频率 响应 （Ｆｒ ｅｑ ｕｅ ｎｃｙＲｅ ｓ ｐ ｏ ｎｓ ｅ） 函数名 ａｌ ｌ ｍａ ｒ ｇ ｉ ｎ ｂｏ ｄ ｅ ｂｅ ｄ ｅｍａ ｇ

计 算所有 穿越 频率和相应的 增益 、相位 和滞后 裕量 计 算和绘 制伯 德响应 计 算和绘 制伯 德幅值图

ｅｖ ａｌ ｆ ｒ

评 估单一 复频 率点的响应

ｆ ｒ ｅ ｑｒ ｅ ｓ ｐ

评 估所选 复频 率点的响应

ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｐ

频 率点 ＦＲＤ模型的 插值

ｌ ｉ ｎｓ ｐａｃ ｅ

创 建相等 间隔 频率的向量

ｌ ｏ ｇｓ ｐ ａ ｃ ｅ

创 建对数 间隔 频率的向量

ｌ ｔ ｉ ｖｉ ｅｗ

ＬＴＩＶｉ ｅ ｗｅ ｒ用于 线性响 应分析

ｍａ ｒ ｇｉ ｎ

计 算增益 和相 位裕量

ｎｇ ｒ ｉ ｄ

给 尼科尔 斯图 加网格线

ｎｉ ｃ ｈｏｌ ｓ

计 算尼科 尔斯 图

ｎ ｙｑｕ ｉ ｓ ｔ

计 算奈奎 斯特 图

ｓ ｉ ｇｍａ

・１ ９ ６・

说　　 明

计 算奇异 值图

续表 ＳＩ ＳＯ系统 设计 （Ｓ Ｉ ＳＯＦｅ ｅ ｄｂ ａ ｃ ｋＤｅｓ ｉ ｇ ｎ） 函数名 ａ ｌ ｍａ ｒ ｇｉ ｎ

说　　 明 计 算所有 穿越 频率和响应的 增益 、相位 和滞后 裕量

ｍａ ｒ ｇｉ ｎ

计 算增益 和相 位裕量

ｒ ｌ ｏｃ ｕｓ

计 算和绘 制根 轨迹图

ｓ ｉ ｓ ｏｔ ｏｏ ｌ

打 开 ＳＩ Ｓ Ｏ设 计工具

极点 配置 （Ｐｏ ｌ ｅＰｌ ａ ｃｅ ｍｅｎｔ ） 函数名

说　　 明

ａ ｃ ｋｅｒ

计 算 ＳＩ Ｓ Ｏ系 统的极点配 置设计

ｐｌ ａ ｃｅ

计 算 ＭＩ ＭＯ系 统的极 点配置 设计

ｅｓ ｔ ｉ ｍ

形 成给定 增益 的状态估计器

ｒ ｅ ｇ

形 成给定 状态 反馈和估计器 增益 的输出 反馈补 偿器

ＬＱＣ设计 （ＬＱＣＤｅ ｓ ｉ ｇｎ） 函数名

说　　 明

ｌ ｑｒ

计 算连续 模型 的 ＬＱ最优增益

ｄ ｌ ｑ ｒ

计 算离散 模型 的 ＬＱ最优增益

ｌ ｑｒ ｙ

计 算输出 加权 的 ＬＱ最优增益

ｌ ｑｒ ｄ

计 算连续 模型 的 ＬＱ离散最优 增益

ｋ ａｌ ｍａｎ

计 算卡尔 曼估 计器

ｋａ ｌ ｍｄ

计 算连续 模型 的离散卡尔曼 估计 器

ｌ ｑｇ ｒ ｅｇ

计 算连续 模型 的离散卡尔曼 滤波 器的 ＬＱＧ调 节器

方程 求解 （Ｅｑ ｕａｔ ｉ ｏ ｎＳｏ ｌ ｖ ｅｒ ｓ ） 函数名

说　　 明

ｃ ａｒ ｅ

求 解连续 时间 的代数黎卡迪 方程

ｄ ａ ｒ ｅ

求 解离散 时间 的代数黎卡迪 方程

ｌ ｙａ ｐ

求 解连续 时间 的李雅普诺夫 方程

ｄｌ ｙａｐ

求 解离散 时间 的李雅普诺夫 方程

控制 系统分 析和设 计的 图形用 户界面 （ＧＵＩ ） 函数名

说　　 明

ｌ ｔ ｉ ｖｉ ｅｗ

打 开 ＬＴＩ Ｖｉ ｅ ｗｅｒ用 于线性 响应 分析

ｓ ｉ ｓ ｏｔ ｏｏ ｌ

打 开 ＳＩ Ｓ Ｏ设 计的 ＧＵＩ

・１ ９７・

参 考 文 献 １ ．孔 凡 才 ．自动 控 制原 理与 系统 （第二 版 ） ．北京 ：机 械工 业 出版 社，１ ９ ９ ９ ２ ．孔 凡 才 ．自动 控 制系 统： 工作 原 理、 性能 分 析与 系统 调 试 ．北京 ：机 械 工业 出版 社 ，２ ００ ３ ３ ．王 划 一 ．自动 控 制原 理 ．北京 ： 国防 工业 出 版社 ，２ ００ １ ４ ．孙 荣 林 ．自动 控 制原 理 ．上海 ： 上海 交通 大 学出 版社 ，２ ００ １ ５ ．刘 祖 润 ．自动 控 制原 理 ．北京 ： 机械 工业 出 版社 ，２ ００ ０ ６ ．郝 红 伟 ． ＭＡＴ ＬＡＢ６实例 教程 ．北京 ：中 国 电力 出版 社，２ ００ １ ７ ．邹 伯 敏 ．自动 控 制理 论． 第二 版 ．北 京： 化 学工 业出 版 社，２ ００ ２ ８ ．孙 德 宝 ．自动 控 制原 理 ．北京 ： 化学 工业 出 版社 ，２ ００ ２ ９ ．薛 定 宇， 陈阳 泉 ．基 于 ＭＡＴＬＡＢ／Ｓ Ｉ ＭＵＬ Ｉ ＮＫ的系 统仿 真 技术 与应 用 ．北 京： 清华 大 学出 版 社 ，２ ００ ２ １ ０ ．黄 忠霖 ．控制 系统 ＭＡＴ ＬＡＢ计算 机仿 真 ．北 京： 国 防工 业出 版社 ，２ ０ ０ １ １ １ ．刘 明俊 ．自动 控制 原理 ．长沙 ：国 防 科技 大学 出 版社 ，２０ ０ ０ １ ２ ．胡 寿松 ．自动 控制 原理 ．北京 ：科 学 出版 社，２０ ０ １ １ ３ ．王 智兴 ．自动 控制 原理 ．北京 ：机 械 工业 出版 社 ，１９ ８ ７ １ ４ ．孙 虎章 ．自动 控制 原理 ．北京 ：中 央 广播 电视 大 学出 版社 ，１９ ８ ４ １ ５ ．Ｊ ｏ ｈｎＪ ．Ｄ＇ ＡＺＺ Ｏ Ｃｏ ｎ ｓ ｔ ａ ｎｔ ｉ ｎ ｅＨ．Ｈｏ ｕ ｐ ｉ ｓＬｉ ｎ ｅ ａ ｒＣｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌＳ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ Ａｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓａ ｎ ｄＤｅ ｓ ｉ ｇ ｎ（Ｆｏ ｕ ｒ ｔ ｈＥｄｉ － ｔ ｉ ｏ ｎ）．北 京 ：清 华大 学 出版 社，２０ ０ ０

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