解析的数論―加法的理論―, 4000051776

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解析的数論―加法的理論―,
 4000051776

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まえがき
目次
第1章 イデアル上の関数
§1.1 諸概念と記号
§1.2 ノルムがxをこえないイデアルの個数
§1.3 イデアル上の関数
§1.4 Möbiusの関数
§1.5 Mangoldtの関数
§1.6 約数関数
第2章 量指標をもつζ関数
§2.1 数の量指標
§2.2 イデアル数
§2.3 イデアルの量指標
§2.4 θ公式
§2.5 量指標をもつζ関数
第3章 代数体の索数定理
§3.1 ζ(s, χλ) の評価
§3.2 ζ(s, χλ) が零点をもたない領域
§3.3 Siegelの零点定理
§3.4 指標和と素イデアル定理
§3.5 代数体の素数定理 (I)
§3.6 代数体の素数定理 (II)
第4章 三角和と平均値定理
§4.1 予備定理
§4.2 SiegelのFarey分割
§4.3 Weyl和の基本定理
§4.4 ある不定方程式の解
§4.5 平均値定理
§4.6 三角積分
第5章 Waringの問題
§5.1 特異級数
§5.2 生成関数の評価
§5.3 種々の巾和
§5.4 ある三角和の評価
§5.5 主要定理
第6章 Goldbachの問題
§6.1 Goldbachの問題
§6.2 生成関数の評価
§6.3 Vaughanの方法
§6.4 T₁の評価
§6.5 T₂の評価
§6.6 T₃の評価
§6.7 漸近公式
第7章 分割問題
§7.1 分割関数と生成関数
§7.2 Hecke-Rademacherの変換公式
§7.3 基本評価式
§7.4 関数論的補助定理
§7.5 生成関数の評価 (I)
§7.6 生成関数の評価 (II)
§7.7 分割関数の漸近式
参考文献
[26]
[45]
[67]
[86]
索引

Citation preview

4 / 2 . , 3

Ml叶 O lり ]

解析的数論 ――加法的理論_

三井孝美著

岩波書店

訊 →

( I l l

V

まえがき

解析的数論は,数論の問題を解析の方法により研究する分野であるといわ

i r i c h l e tによる L関数の導入であり,その後, れる.そのはじまりは, D Riemannによる g関数の研究を経て, Hadamard,del aV a l l e e P o u s s i nの 素数定理の証明から L a n d a u ,Heckeによる研究の頃まで,

g関数, L関数を

中心に,複素関数論的な色彩が強いものであった.このような素数あるいは 代数体へ拡張して素イデアルなどの性質を対象とする分野の問題は,素因数 分解でわかるように,いわば乗法的な原理にもとづいており,最近は乗法的 数論という名前まで使われている. これに対し,加法的数論も,古くから様々な形の問題が考えられてきた.

aringの問題, Goldbachの問題,分割 実際,代表的な問題として知られる W 数の問題などは,いずれ忍 1 8世紀にその根元を有するものである.しかし その後しばらくはこれらの発展は遅々として進まず,理論的にまとまった形

0世紀に入ってからであった.これに大き で捉えられるようになったのは 2

a r d y ,Ramanujan,L i t t l e w o o dなどであるが,それでも理 く貢献したのは H 論的な完成というには遠く,数論的,解析的,代数的な種々の問題を提供し 続けているのが現状である. 本書の目的は,加法的数論を代数体で一貫して取扱うために必要な理論と, 代数体における具体的な加法的問題とを紹介することである.第 1章から第

4章までは第 1部であり,解析的数論の立場から代数体における加法的問題 を考えるための基礎的な諸結果を述べる.まず第 1章は,導入部分としてむ しろ初等的な方法で問題を取扱う.数論的関数あるいはイデアル上の関数に

h a n d r a s e k h a ran[ 3 Jなどを参考にした.第 2章 ついての議論の進め方は, C ecke[43]に従い,量指標と量指標をもつ は , H

g関数とについて述べる.こ

eckeの L関数を特別な場合として含むことをわかりやすくす の g関数が H るために, D i r i c h l e t型の指標 xを明示する方法は, Rademacherに負うも

i e g e lの零点定理や素数 のである.第 3章では,有理数体で知られている S

v i

ま え が き

定理を代数体に拡張した結果を述べる.前者の証明は Chowlaの方法により 得られ,後者の証明では,量指標の具体的な形を利用するところが大切であ

6 3 ]にもとづくが,その証明の中で F o u r i e r級数展開を利用す る.これは [ るところは,ここでは簡易化されている.第 4章では三角和をとり上げる. 前章までの関数論的な対象とは異なり,有限和の変形・評価等が主な問題に なる.内容は 2つにわかれて,第 1は,二重三角和を考えるための Weyl和

6 5 ]に従って述べられる.第 2は,いわゆ の評価である.これは主として [ る平均値の定理で,三角和自身というより三角和の積分の評価である.方法 は , B o m b i e r iのアイデアをとり入れた上, V i n o g r a d o v ,K o r n e r ,江 田 に 従 ったが,代数体では,・単項イデア)レを取って考えなければならないことは注 意すべきであろう. 第 5章から第 7章までは,いわば第 2部であって,先に名をあげた 3つの 問題を各章で扱う.まず第 5章は, Waringの問題で,整数を整数の K乗の s個の和として表わすときの

S

を小さくするという問題を考察する.方法は

Vinogradovの三角和の方法に負うところが大きく,江田 [ 3 0 ]の貢献もある. 第 6章,第 7章は,いずれもある値の漸近式を求めることを目的としている.

oldbachの問題で, [ 6 5 ]で展開された方法が基本であるが, 第 6章は G

さら

に最近の Vaughanのアイデアによる和の変形方法をとり入れた.代数体で

Vaughanの方法を利用したのはこれが最初であろう.最後の第 7章では分 6 7 ]に従っている.ただし [ 6 7 ]では,少し一 割関数を考える.内容は殆ど [ 般的にして,ある合同条件をみたす k乗数による分割関数を考察したのであ るが,本書では複雑になりすぎることを避けるため, k=lとして最も簡単な

oldbachの問題では,生成 場合の分割関数だけを対象とした. Waringや G 関数が三角和のような形をしているので三角和の方法が重要なことは当然で あるが,分割関数の問題でも,別な形でやはり三角和が利用される.

しかも

これは本質的な寄与であって,三角和がなければ結果への到達がむずかしい ということは注意してもよいであろう. 以上を通じて,出てくる数学者の名前からも推測されるように,本書の方

3 0 ] ,[ 6 3 ] ,[ 6 5 ] , 法はむしろ古典的な線に沿っている.その内容,結果は, [ [ 6 7 ]等に殆ど述べられているといってよい. しかし本書はこれらの論文の o r n e r ,B o m b i e r i ,Vaughanのアイデアをと 単なる紹介ではない.最近の K

ま え が き

..

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り入れたための変更は勿論であるが,その他にも,特に,第 4章以下で,証 明方法や補助的手段等にさらに工夫を加え,細かい点まで改良に意をつくし たつもりである. 勿論そうはいっても,本書の形態が最終的であるというわけではなく,問 題意識をもって読まれれば,読者は至るところに大小種々の問題を見出すで あろう.それはまた著者が読者に期待したいことである. 本書ははじめから代数体における扱いを考えたため,特に代数的整数論の 基礎的な事柄は既知とした.これらについては,多数の良書が知られており, 文献にもあげておいたので参照されたい.さらに,関数論の諸結果や特殊関 数に関することも引用にたよったところが多い.

r u n ,Rademacherによ なお,最近の加法的数論について論じるならば, B e l b e r g以後目覚しく発展してきている s i e v emethod( ふ ってはじめられ, S るい法.飾分法ともいう)の解説も当然考えるべきところであるが,そこま で含めようとすると本書の枠をはるかに越えるおそれがあるので,本書では 全く触れなかった. 元来本書はもっと早く書かれるべきものであったが,構想がなかなかまと まらず,その間に新しい結果を導入する問題が生じたりして,予想以上に日 時を要した.完成にあたりここであらためて,本書のようなむしろ特殊な専 門分野の書物の執筆をおすすめ頂いた恩師の東京大学名誉教授蒲永昌吉先生 に心から感謝を捧げる.

さらに,長年にわたりお世話頂いた岩波書店の荒井

秀男氏にお礼を申し上げる. 1 9 8 9年 6月

著者

i x

目 次

まえがき

第 1章

イデア Jレ 上 の 関 数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .

1

§1.1 諸 概 念 と 記 号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §1.2 ノ Jレムが X をこえないイデア Jレの個数 ……………………… 3 §1.3 イ デ ア ル 上 の 関 数 ・ ・ ・ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 § 1 .4 Mobiusの 関 数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 2

angoldtの 関 数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 6 § 1 .5 M §1.6 約 数 関 数 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 1

第 2章

量指標を もつ ; 関 数 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ 2 4

§2.1 数 の 量 指 標 ・ ・ ・ ・ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 4 § 2 .2 イ デ ア ル 数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 6 § 2 .3 イデア Jレ の 量 指 標 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ 28 § 2 .4 f J公 式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 § 2 .5 量指標をもつ

第 3章

t関数

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ 37

代 数 体 の 素 数 定 理 ・・・・・・・・、・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・• … . . . .… . . .47

§3.1 s(s,x11) の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 7 1 1 )が零点をもたなしヽ領域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 § 3 .2 s(s,x

§ 3 .3 S i e g e lの零点定理

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ 55

§ 3 .4 指 標 和 と 素 イ デ ア ル 定 理 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ 60 § 3 .5 代数体の素数定理 ( I ) ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ 6 8 § 3 .6 代数体の素数定理 ( I I ) ・・ ・ ・ ・ ・・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・・ ・・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・・ ・ ・ ・・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・・ ・ ・ ・74

第 4章

三角和と平均値定理• …• ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・・・•• … . .・・・・・・・・• …• ••… . . . .81

§ 4 . 1 予 備 定 理 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 § 4 .2 S i e g e lの Farey分 割 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 6

x

目 次

§ 4 .3 Weyl和の基本定理

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ . .

§ 4 .4 ある不定方程式の解 § 4 .5 平均値定理 § 4 .6 三角積分

第 5章

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ . .・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・1 0 0

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・1 0 5 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・1 11

Waringの問題 •・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 117

§5 . 1 特異級数

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ 118

§ 5 .2 生成関数の評価

§5 .3 種々の巾和

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・1 2 2

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・1 2 6

§ 5 .4 ある三角和の評価

§5 .5 主要定理

第 6章

90

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・1 3 2

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・1 4 0

Goldbachの問題

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・1 4 6

§ 6 .1 Goldbachの問題

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ 147

§ 6 .2 生成関数の評価

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・1 4 9

§ 6 .3 Vaughanの方法

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・1 5 2

§ 6 .4 れ の 評 価 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ 1 5 4 § 6 .5 冗 の 評 価 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ 1 5 6 § 6 .6 冗 の 評 価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ・ ・ ・ ・ ・ ・ 158 § 6 .7 漸近公式

第 7章

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 6 3

分割問題

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ 168

§ 7 .1 分割関数と生成関数

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・1 6 9

§ 7 .2 Hecke-Rademacherの変換公式 § 7 .3 基本評価式

・・・・・・・・・・•

…• ・・・・・・• •• …•・ …・・・・ 173

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・1 82

§ 7 .4 関数論的補助定理

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・1 8 9

§ 7 .5 生成関数の評価 ( I ) ・ ・・ ・ ・ ・ ・ ;・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・・ ・・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・・ ・ ・ ・ ・・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・・ ・ ・・ ・・ ・ ・ ・ 1 9 2 § 7 .6 生成関数の評価 ( I I ) ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ 1 9 6 § 7 .7 分割関数の漸近式

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・1 9 9

参 考 文 献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・2 0 5

索 弓I ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ 2 1 1

第 1章

イデアル上の関数

はじめに,本書を通じて使用される記号や諸概念を簡単に説明した後,ぃ くつかの数論的関数の問題を考える.ただし,代数体では,有理整数上の関

(n)よりも,イデア Jレaの関数 / ( a )あるいは aのノ Jレムの関数 J(N(a)) 数f を考える方が自然であり,章題をイデア Jレ上の関数としたのはそのためであ る . まず,ノ Jレムが x をこえないようなイデア Jレaの個数の漸近式を求める

( § 1 .2 ) . これは, n次元空間内の領域に含まれる格子点の個数を求めるとい う幾何学的な問題でもあり,結局は積分の計算になる.似たような問題は第

3章,第 4章にも出てくる.次に, § 1 .3では,イデアル上の関数 f( N ( a ) )に よる和~! ( N(a))を扱う.はじめの,和を積分におきかえる定理

1 .3 . 1は ,

よく知られた定理である.関数としては対数関数程度を扱うが,後のためを

1 .4以下では,数論的な面 考えて,やや詳しい結果を導いたところがある. § obiusの関数, Mangoldtの関数,約数関数を をもつ代表的な関数として, M とり上げる.いずれも後章で利用されることになるが, § 1.5の後半では,後 の利用ということをはなれて,素イデア Jレ分布の問題の考察に現れるような 結果をあげておいた.特に定理 1 .5 .4は , S e l b e r gの公式といわれて,素イ デア Jレ定理の初等的証明の問題につながる定理であるが, ここではそこまで

u l e rの関 は述べない.なお,数論的関数の 1つで,やはりよく利用される E 数については,

ごく必要な程度にとどめた.

§1.1 諸概念と記号 K

は有理数体 Q 上 n次の代数的数体で,

役体,

K(l>,K,…,K を K

の実共

Kにおけるμ の共役を μ U > と記せば, μ < l ) ,… ,μ < r i > は実数で, μ < P + r 2 )=μ

(p=Yi+1 ,… , ri+r2)は複素共役の乃個の組である. これらによる Rrixc r2の元

( μ < l ) ,. . .,μ < r 1 + r 2 > ) をμ で表わすことにするが, μ < P + r 2 )=μ

(p=r i+1 ,… , ri+r2)であるから

< n ) )が自動的にきまり,これもμ で表わすことにしてよい. (砂,…, μ

もう

少し一般に, Rrixc r2の元を ~ = ( ら ,・ ,

ごr 1 ,~r1+1, ・ ・ ・ ,~ri+r2)

とし,この 5 に対しては ~ri+ 乃+1, …,名を

~P+r2

=互

(p=r1+l,… , r 1+r 2 )

となるようにさだめて(ふ,…,名)を同時に考え,同じ

Eの集合を

る.この意味の

5を表わすものとす

Rrixc r 2の代りに E r 1 , r 2と記す.

ての成分が 0でない合=(ふ,…,名)

EE r 1 , r 2の集合を

さらに,すべ

( E r 1 , r 2戸とする.

E r i , r 23~ に対し n

S(~) =~ ら, j=l

とおいて, さらに

これらをそれぞれ

N(~)

=如 j=l

5のトレース (trace), ノルム (norm)という.

5に対し,

F : : ; ;: ! : c e . J , cこ~: i;~:\m c e . l (p=r1+l,… ,r 1+r z )

§1.2 ノ Jレムが xをこえないイデア Jレの個数 として,

n 次元実ベクト Jレ x(~) を

x(~) = (X雌),ふ(~)'…, X虞)) により定義する. x(~) は, 5 を Rn の点とみて幾何学的な考察をする場合な どに便利である.

K の 数 rがァ< q >>O( q=l,… ,r 1 )を み た す と き , ァ は 総 正 ( t o t a l l yp o s i t i v e )であるといい, r>Oと記す. もし r1=0ならば,ァキ 0なる rを総正と いう. ~ に対しても総正であることを同じように定義する. ~. 7 /E ETt,T2 に対して|ら I~Ir;」 (j=l, … ,n )となるとき,

まとめて

l~I~lr;I と記す.

2つの実数あるいは複素数 X,Yがあり, Y>Oかつ適当な正数 aによっ てI X I釦 aYとなるとき

X = O(Y) または

X~Y

と記す.これらはそれぞれ Landauの記号, V inogradovの記号といわれる. cは正の定数を意味する.ただし,一定の値を示すものではない.区別す る必要があるときは 実 数 xに対し

C 1 ,C z ,…とする.

l l x l lにより xに最忍近い有理整数と xの距離を表わす .x

をこえない最大の有理整数を [ x ]と記す (Gaussの記号).

Sの元の個数)を I S iで表わす. 有限集合 S に対しその位数 (

§ 1 .2 ノルムが xをこえないイデアルの個数 K の単数群を U, modmの単数の群を U(m) とする. modmの単数と は,刀 =1( modm)かつ総正であるような単数刀のことである. U(m)に含 まれる 1の 根 の 個 数 を w(m) とすると, p=ezi/w(m) と U(m)の中の r= 冗

I ,… , s rによって, U(m)の任意の単数りは r1+r2-l個の適当な単数 S 刀 =p芍叫•• Srmr

の形に一意的に表わされる.ここで m 1 ,…,mr は有理整数, O~a l + l o gBj-logAjI~kc。 i = I

I ここで

州 窟 lloglc;(j)I1).

c o= m

(j=l, … , r+l).

§1.2 ノ Jレムが

X を こ え な い イ デ ア Jレの個数

したがって

e —kcoAj~Bj

r

I Tlc/J>ik[ わl~eke凶

(j=l,

i=l

であるから c=ijc 阿とすればよい.

… , r+l)

I

注 意 系 に お い て eを U(m)の単数とすることもできる.その場合には,

U(m)の基本単数をとって同様な式を考えればよい. ( E r 1 , r 2 )xぅE に対し

Aj= l~jl, Bj= IN(~) l l / n

( j = l ,… , r+l)

とおくと ( 2 .1) がみたされる.このときの h を 5 の関数として ti(~) ( i = l ,

…,r) と記す.

c 2 .3)

ti(~) は

( j = l ,… , r+l)

I らI= I N ( t )l l / n八厨叫叫)

の式でさだまるものである.

( E r 1 , r がの次のような部分集合

F ={~I 0~t;(~) O, 和 F(x)} として

CJ(F(x))= 2万 ( F o ( x ) ) . さらに, F戸

5に対しても符号を変えたものを考えて, F 1 , o= {eI む>O, 和 F1}

とすれば

C J ( F 1 )= 2 r 1 C J ( F 1 , o ) . この F 1 , oは

( 2 .1 2 )

{~Ip(~, Fo(x))~d}

に等しいことに注意する. a( F 1 , o ) を求めるために,

{名 ~u,

(q=l,・ ・ ・ ,r 1 ) ,

ご p = Upe沖 p とし,

(p=r げ 1 ,… ,r 1+rz)

さらに

{to~N ( ! ; ) ,



U i= t1 / n lc / i > It i . ・ ・ Ic r u >朽 により,

ex雌),ふ(~), … ,

(j=l,… , r+l)

X虞))から ( t o ,t 1 ,… , t r ,( f ) r i+ l ,… , ( f ) r 1+ r 2 )に変

数変換をする.このとき変換の行列式は

Ia c x ⑮),…, X虞))

I

R

= o ( t o ,・ ・ ・ ,t r ,( f ) r i + l ,・ ・ ・ ,( f ) n + r 2) 2 戊

となるから,

( 2 .1 2 )と( 2 .9 ) ,( 2 .1 0 ) ,( 2 .1 1 )に注意すれば

8

第 1章

a ( F 1 , o )= f

イデアル上の関数

訟(~)… dふ(~)

F 1 . o

= 虚・・ ff d t o d t 1 ・・ ・ d t r』三..『 d ( ( ) r 1 + 1…d



R f

=戸 =冗

+ r 2

。f

x + O ( x l l l n ) r l + O ( t 0 l l n ) d t i I T t i O ( x 1 1 1 n ) i = lO ( t 0 I m ) d

r2Rx+O(ぷ ー1 / n ) .

ゆえに

6(F1)= 2 巧 戸 Rx+O( ぷ ーl l n ) . 同様にして

o ( F 2 )= 2 巧 戸 Rx+0( x 1 1 1 n ) も得られる.一方で P。の体積は ( 2 .7 )により

o ( P o )=

fふ(!)… Po

d

dX 虞)

= 』1・・・11I acx1 闘 位 : : : : 訂 ( ! ) )Idt1・..dtn =2―nN(b)/D. したがって

o(F 虚 ( P o )= z r 1 + r 2 炉 R

X +0( ぉ1 1 / n ) .

N(b)/D

( }( F 2 )/ ( } ( P o )に 対 し て も 同 様 な 式 が 成 り た ち , ( 2 .8 )に 入 れ て か ら

Xを

xN(b)にかえて ( 2 .6 )により I(x,C)=zr1+r2



r2R x+O(x1-11n).

w/D

ゆえに ( 2 .5 )から

I(x) = 11x+0(ぶ ー1 / n ) を得る.

I

§ 1 .3 イデアル上の関数 次の定理からはじめる. 定理 1 .3 . 1 数列 a 1 ,a 2 ,… ,a n ,… に 対 し て

S(x)

= 品 伽 ,

S(O) =0

とおく. ¢(x) は x~l で定義された関数で, ¢'(x) が連続であるとすると



§1.3 イデアル上の関数

2 疇 ( n )= S( x )< f ; ( x )-fxS( t ) ¢ ' ( t )d t . n ; : . x l 証明

[ X ]

[ X ]

n = l

n = l

~aゆ (n) =~aゆ (n) =~(S(n)-S(n-1))¢(n)

n~x

[x]-1

=~S(n)(¢(n)-¢(n-l))+S([x])¢([x]) n = l

p( [ x ] )-f r x JS( t ) ¢ ' ( t )d t = S( [ x ] )< 1





=宮 S(n) ¢ ' ( t )d t+S( [ x ] ) ¢ ( [ x ] ) n = l n + l = S(x)Oに対して

r(a)~N(a)c が成り立つ.

証明

自然数 m, 素 イ デ ア ル pの組で

1+ m>N(p)m" となるものの個数は有限個であるから a = p 1 a 1…P m a mに対して

となり

r(a)~C"N(a)". s )( s>1 )から得られる次の式をあげておく: 最後に, 品 (

品~s) = リ( 1 -N贔 ) =~t~『 r ( a )

品 (s 戸=~ a N (a)s

ご(s)=—吝は畠s これらの証明は容易であるから省略する.



f t

r ( a ) = 1+az < C" N(a)" i=1N( 防)叩=

2 4

第 2章 量 指 標 を も つ

g関数

代数体における加法的な問題に重要な役割を演じる量指標と,量指標をも

っt 関数について, H eckeが導入した方法にしたがって述べる. まず § 2 .1で,基本単数によって,数に対する量指標の形を具体的にさだ める.次に,イデア Jレに対する量指標を定義するために,やはり H eckeが 導入したイデアル数を定義し,その基本的な性質を述べる.イデアル数につ いては,その構造などの代数的な問題もあるが,ここではそれには触れず, 構成的にイデアル数を考えることにする.なお,イデアルを法とする量指標 を導くためにイデアル数の合同類別を考えて,さらに G aussの和に関する定 理をここに入れておく.

t関数を定義し,その性質,特に関数等式

次に,イデア Jレの量指標をもつ

を導く.そのために,量指標をもつ 9級数を考えてその変換公式を求める

t関数の関数等式を導く方法は,

( § 2 .4 ) . これを利用して

Riemann以来良

く知られたものである.

§ 2 .1 数の量指標 fを整イデア)レ, U(f)の基本単数を H 1 ,… , Hrとし, U (f)に含まれる 1の

1 ,…,Hrから次のような r+l次の 根の群の生成元を S=e2i/w(f) とする. H 冗

││+

`‘,’、~

1 2、 し ( 、し

, . . . . . .

•`

HTHr

~~~



l;•: —

,J 9-

_





r



H r

ヽ~



ー・・

gg . _g 00 l0l l . . '. ,. .,

、,``·~

ヽ~ヽ~

H i

9 .

ー ー_"ーー" ..トr 12 ︵

. . .1 _ 1 ・

.•

HiHi

999

万 ノ



行 逆





り 作 を

I9.-l を"u

. ,

•.

ggg 00 l0l l 111

f

行列

.

§ 2 . 1 数の量指標

e 1 ,

e 2 ,

n

n

25

. ., er+l n

E / 1 > , E 2 ( 1 > ,

E r + / 1 >

,E r + l ( r ) E 1 < r > ,E 2 < r > ,… とする. ~E ( £ r i , r 2 )x に対して次のような関数

r + l W賢) =~E/q> l o gl~PI P = l

(q=l,… , r )

を定義し

1( t )=几 esqWq(~)P=Q+l( 贔:

( 1 .1 )

, r p

とおく.ここで S 1 ,… ,S rは複素数で, a r 1 + 1 ,…,a r 1 + r 2は有理整数とする.

1( t )は 5について 1価であり, 1( 的 )= ' 1 ( t ) ' 1 ( r ; ) となる. x/lxl=( x / 1副)ー1 であるから, a p(P=r げ 1 ,… ,n )は

( 1 .2 )

a p・ a p + r 2= 0 ,

a p ,ap+r2~0

(p=Yi+1 ,… ,r i + r 2 )

をみたすものとしてよい. さらに, 入(H)=1

(HEU( f ) )

となるように入 ( t ) の形をさだめる.そのためには, '1(Hk)=l(k=l,… ,r ) および ' 1 ( E )=lとなればよい.

まず

1(Hk)= 1

(k=l,… ,r )

となるためには,有理整数 m 1 ,… , mrがあって

( 1 .3 )

s叶

となればよい.

i

f

a p E J k( P )= 2 1 r i 加 P = r 1 + l

(k=l,… , r )

ここで

0k < P >= a rgH k < P >

(k=l,… , r; P=r1+l,… ,n )



である.次に入 (E)=lであるためには

( 1 .4 )

I n ~ap a r g日(P)E Z 2冗 p= r 1 + 1

となることが必要十分である. ( 1 .4 )は次式が成り立つことと同等である:

( 1 .5 )

n

I I (s

)ap = l . P = r i + l

( 1 .1 )の中の S kを ( 1 .3 )の式でおきかえて

第 2章 量 指 標 を も つ

26

( 1 .6 ) とおけば,

t関数

応ぶP))

V q=芦Eq(j)(踪mj ― p~

(q=l,… , r+l)

11(~) は次の形になる:

( 1 .7)

入(~)

=

r + l

I

ap

1 1l~qliVq (~p) q = l P = n + 1 l~PI·

ここでさらに a r 1 + l ,… ,a nは有理整数で条件 ( 1 .2 )と( 1 .5 )をみたすとすれば, この入は U (f)上 で は 値 が 1で あ る . こ の よ う な 入 を

Tを 法 と す る 量 指 標

(Grossencharakter)という. さらに少し一般に,~=(ら,…, ~r1+rJ でふ,…,合が複素数の場合にも 11(~) を同じように定義する.

5に対して ( 1 .8)

砧(~)

6f 研 j = l

= _L{arg

2冗

W鵡) }

(p=r 1+1 ,… ,n )

とすると ( 1 .7 )は

( 1 .9 )

11(~) = exp

と表わされるが,

ド咲叩q 肌(~) +2Jrip翌iaふ叫

さらに

/p=ap-ap+r2

(P=ri+l,… , r 1+rz)

とおくと, [ pは有理整数であり,逆に有理整数 / p(P=r1+1 ,… , r 1+r 2 )から

ap=

l l p l+l p

2 ,

a p + r 2=

l l p l l p

2

(p=r 叶 1 ,… , r げ r 2 )

として, ( 1 .2 )をみたすような a p ,a p + r zがきめられる. ( 1 .9 )はこのとき

( 1 .1 0 )

A(~)

ド嘔叩q w . 虞) +2王屡:i1ぶ(~)}

=exp

の形になる.ただし ( 1 .5 )の代りに

r 1 + r 2

r rc s < P > )l p= 1

P = r i + I

が成り立つものとする.このように,入は, m 1 ,…,mr,l r 1 + l ,… , l r 1 + r 2できま ると考えてよい.

§ 2 .2 イデアル数 K のイデアル類群を巡回群の直積として表わし,その巡回群の生成元(類) 1 ,… , Csとする. Ciの位数を h i(i=l,… ,s )とすれば, h=h1・・・hsであ をC

§ 2 .2 イ デ ア ル 数

27

り , C ;からイデア Jレb ;( i = l ,… ,s )をとるとき,任意のイデア Jレaは

a= p b 1 a 1.・ b / s

( 2 .1 )

(pEK, O~a;a ぃ• S s ( j ) a sの集合を zu>とし Z の共役

j / P十 戊 ) =/]炉 (p=r げ 1 ,… , r 1+r z )となるようにきめて という.ただし, / おく

.zぅ dの共役砂)の定義は明らかであろう.瓦の共役瓦・o>,…,ふ

の積は

( / j / 1 )… 瓦< n > )= (NC瓦)) = N((船) 1 1 h i= N(bi) となるから, a =(ci)ならば

IN(a)I= i a < l )… 的 I=N(a) である.

( i = l ,… ,s )

(n)

第 2章 量 指 標 を も つ

28

t関数

イデアル類 C iに属するイデアルに対応するすべてのイデアル数の集合を

ziとすれば, Z = Z1UZ 心 … uzh である. i i ,/ Jが同じ z iの元であるとき,同じ類の i i ,/ J ということにする.

ziについて,次の性質をあげておこう: ( 1 ) Z点 a ,/ Jなら d土§ が定義されて d士 / JEZiで あ る . 異 な る 乙 の 間では加法は考えない.

( 2 ) z iは,あるイデアル 6 'E Ciによって

Z戸

K/J

( ' 6 = ( / J ) )

となるから, z iぅ fl=p i i( pEK)に対して ( f l )が 整 イ デ ア ル で あ る こ と と

pEa―1(a=(ii))であることが同値である. ( 3 ) a 1の基底を a 1 ,… ,a nとすると, a1の元は m心 1+… +mnan(m心 ー

z( i = l ,… ,n ))と表わされるから, fl=m1a 直+…十 m碑 n i i となり,

凡 =. a 直

( 2 .3 )

(j=l,・ ・ ・ ,n )

として z iの整な元は

m1和+…十 mnYn

(miEz (i=l,… , n ))

の形である.これは和,…,ア n が z iの基底であることを示している. ( 2 .3 ) の基底の共役からなる行列の行列式を求めると

c r

I < l e t ? l )I= I < l e tC a / i la u ) )I= I a ( l )…a < n )< l e tC a / i l )I =I N ( i i )I⑳ N ( a ) 1 != JD となる.

§ 2 .3 イデアルの量指標 イデアル数の間に,イデアルによる合同関係を定義しよう.

fを整イデアル, f=( i p ) とする . zの元 fi,f jをとるとき, f i ,f jが同じ類 の元で ( fi-f j )l i f tが整なイデアル数ならば

f i=f j (modi p )

(または modf )

と記し, d と § は i p(または f )を法として合同であるという.これは同値関

§ 2 .3 イデアルの量指標

29

係 で あ り , 各 み は こ の 関 係 に よ っ て IN(?)l=N(f)個の類にわけられる.

i i ,( i i )=aとするとき, p i i / f pが整であることと pE f a 1である 実 際 , み =K こととが同値だから,みの modf pによる合同類の個数は, a ―1 の元を mod

f a 1で考えた合同類の個数に等しく,それは N(f)に等しい.

c a ,f )=Iとなる dの集合 Z ( f )に限って考

この合同関係において,特に

(f) と記す. えることにすると,この類は乗法群を作る.この群を G さらに,

i i ,/ JE Z ( f )に対して

a=f ]

( 3 .1 )

(modf ) '

扉>〇

となるとき i i " ' ! Jと す る 類 別 に よ り 乗 法 群 G(了)が得られる.この条件

( 3 .1 )を

a=f ] (modf )

) 「

と記すことにする(これはいわゆる合同類別である(高木 [ 1 8 ] ) ) .G ( f ) ,G( の位数はそれぞれ

z r ihrp(f)

h r p( f ) , である.

次に,有限アーベル群の指標の理論(末綱 [ 1 7 ] , 三井 [ 1 2 ]等)による G ( f ) ,

G( 了)の指標を考える. X を G( 了)の指標とするとき,

a =1 (modf ) となる aに対し

i = l T a l l i f ) ri

I X( a )= T

a < i l

a ;

となる ai=Oまたは 1( i = l ,… , r i )がさだまる(末綱 [ 1 7 ] ,p .6 4 ) . これによ り釦

Z ( f )に対して a < n

i = lはu>1) Tl

ゆC a )= x ( a )T I

-a;

とおくと,ゆは G( f ) の指標である.なぜなら

< P Ca/ J )=ゆ c a ) ¢ ( / J ) ,

c a , f )= C / J , f )=I

は明らか. i i=! J(modf )な ら ば i i =p / J , p=l(modf )となるからゆ ( p )

=1に注意すれば ゆ( i i )=ゆ ( p )ゆ( / J )=ゆ ( / J ) . ゆえに指標の特性によりゆは G ( f )の指標である.したがって, G( 了)の指

第 2章 量 指 標 を も つ

30



t関 数

xは X( i i )= V( i i )ゆ( i i )

( 3 .2 )

と表わされることがわかる.ここで

r 1 a < i ) v(a)= I I 砂

a ,

i = l ( i) 1

であり, v を符号指標という. さて,

Tを 法 と す る 量 指 標 Aと G(了)の指標 xの 積 x 入を考える.がは

U(f)上で 1となるから, U/U(f)の代表元釘,…,

Em (m=(U:U ( f ) ) )を群

と考えてがはその指標とみなすことができて

窟が Cc,)~{ 。

x A ( c 1 )=・・・=XA(cm)=1のとき, その他のとき

m

A(s) となることがわかる.この第 1の場合には,すべての単数 cに対して X

zC f )3 aに対する値が(&)はイデアル(&)だけによって きまる.ゆえにこの場合の x 入を T を法とするイデアルの量指標といい,

=1となるから,

XA( (a))=XA(a) としてがはイデアル(&)上の関数とみなされる.特に A=lの 場 合 の 沿 =

xは Tを法とするイデアル類群の指標にほかならない.さらにこのとき xの oで表わす. とる値がつねに 1ならば単位指標といい X

xを (3.2)のように x=v・ゅと表わしたときにきまる

a 1 ,…,a r i と入の中

r 1 + I ,…,a nを ま と め て 沿 の 指 数 系 と い う . XAの 複 素 共 役 x ; 1もイデア のa ;レの量指標であり

x f , v

冠 =i 1汀 =

( 3 .3 )

と し て 炉 が G(l)の 指 標 と み な さ れ る こ と に 注 意 す れ ば , が の 指 数 系 a i ' ,

・ ・ ・ ,a n 'は aq'=a q ap'=a p + r 2 ,

(q=l,… , r i ) ,

ap+rz'=ap

(p=r 1+ l ,… ,r 1+r 2 )

で与えられることがわかる. ここで次の定理を引用する:

.3.1 ゆが G(f)の指標のとき,次の (1),(2)は同値である. 定理 2 ( 1 ) f i l f( f 庁 f ) となる h と hを 法 と す る G(f1) の 指 標 ゆ1が存在して,

§ 2 .3 イデア Jレの量指標

3 1

c a ,f )=Iならばゆ Ca)=ゆ1 c a )が成り立つ. ( 2 ) f i l f( f i封 ) と な る f iが 存 在 し て , (/J,f)=(ふ ,f )=1か つ f j=! J i (modf 1 )ならばゆ傾)=ゆ(ふ)が成り立つ. この ( 1 )または ( 2 )が 成 り 立 つ ゆ を 非 原 始 指 標 と い い , そ う で な い ゆ を 原 始指標という.ゆが非原始指標ならゅは卜で定義されるといい,また,ゆ1 を ゆから導かれる指標という.それらの中で法のノ)レムが最小のものは原始指 標であり,¢ から導かれる原始指標という. 入に対しては, イデア)レの量指標 x

xの分解 (3.2)のゆが原始指標であると

入を原始指標ということにする. X入が きx

Tを法とする非原始指標ならば,

1 )の よ う に ゆ か ら 導 か れ る ゆ1とその法 定理の (

hに対し x1=vゆ1は f 1を法

とする指標であり, c a ,f )=Iならば x 1C a )=xC a )となる.さらにこの d に 対 し , か 弓9(mod了 1 )ならば x(a)= x 1 C / J )である.特にり

E

U ( f i )をと

modf1)だから るとり =1( x(刀 )=X i( 1 )=1 がわかる.一方で,

x 入はイデア)レの量指標だから 1= x l 1 (り ) = x(り)入(り)=入(り).

これは入が了1 を法とする量指標であることを示す.入の代りにふと記せば,

x 凶は[を法とするイデア)レの量指標となり x入( ( c i ) )= X iふc ca ) ) , この

C ca ) ,f )= 1 .

x 凶を x 入から導かれた量指標という.

i を整なイデア)レ数とし, f=( f p ) , とする.

b=(§)

pを fp8加 と 同 じ 類 に 属 す る 整 な イ デ ア ル 数 と す れ ば E(iJp/蒻)

の値は iJpmodfだけによりきまる. pが上記の条件の下でさらに modfの 完全剰余系をわたるとき,次のように定義される和

G( i J ,ゆ ) =~ ゆ( p)E(iJp/蒻) p

をG aussの和という.この値は込ゆによりきまる.さらに,

定理 2 .3 .2

( 1 ) i J戸 込 (modf ) ならば

G( D 1 ,¢ )= G( 込 ,< p )•

第 2章

32

( 2 ) ( i i ,f )=l ならば

量指標をもつ

t関 数

G ( f i i J ,ゆ)=屈 (a)G( i J ,ゆ ) .

( 3 ) ゆが原始指標ならば

G(D,ゆ)=屈 (D)G(l,ゆ ) . 証明

( 1 )は明らか. ( 2 )を示そう. まず ゆ( f i )G(年,ゆ)=四(咋) E(i7咋 I 註). p

0をわたる.

J8/(p8EK. = 咋 と す る と , こ れ も modfの完全剰余系をわたりかつ f

( 6 し

/屈和 K となるような modfの完全剰余系 ここで和は i幻p たがって

i i )C( i ii J ,) ゆ =G(fJ,¢) ゆ( となり ( 2 )を得る. ( f J , f ) = lならば ( 3 )は ( 2 )から得られる.

もし ( D , f )キ 1

ならば G(fJ,f)=Oである.なぜならば, ( f J ' f )= f iキ 1として, ii=l(mod

( f/ f i ) ),( i i ,f )=1なる丘に対し i i広三り (modf )だから G(肛,¢)= 屈 ( i i )C( f J ,) ゆ =G ( f J ,ゆ ) となり

G ( i J ,) ゆ (1-ゆ(ii))=0 . ここでゆ ( i i )キ 1となる i iが存在する.もしそうでなければ, ゆが f / f iで 定義されることになりゆが原始指標であるとの仮定に反する. ゆ え に

G ( i J ,) ゆ =0であり,砂 ( i J )=0だから ( 3 )は成り立つ. I これから後は, f=( ( f t ) を法とする原始指標ゆに対して

C( , ゆ( f8 )= G(l,ゆ ) と記すことにする.

§ 2 .4 f J 公式 はじめに次の形の 9公式を引用する.記号として,ベクト Iレの記法王=

( x i ,…,ふ)を使用する.特に塑=(mi,…,叩n )は有理整数を成分とするべ クトルである. 定理 2 . 4 . 1 Q を n次の正値定符号の行列として

8 ( Q ,丑 i )=~exp{ —辺[竺+叫 +2 が(塑,£)+が(王,紗} 竺

とするとき((竺' i )は内積で, 2次形式 Q(xi,… ,X n ) を Q[王]と略記する),

8 ( Q ,笠辺―) = I Q l 1 , 2 8CQ古―払'£)



§ 2 .4





33

が成り立つ(末綱 [ 1 7 ] ,p .7 1 ) . 定理2 .4 .2 t はすべての成分が正であるような Er1,r2 の元とし, ~E Er1,r2 とイデア Jレ a をとるとき

~exp{ —お Clµ 十 ~l2t)}

μEa

= 証明

翌 exp{ ― 冗s(-t) 間+2がS(叫

1

,l~

b

aの基底を a 1 ,… ,a nとすれば

応血 +t)「

S(tlμ+t ) ド = s(tI

( 4 .1 )

である. 1 / a bの 基 底 P i ,… , Pnを S(p 氾1 )=8 i i(Kroneckerのデルタ) ( i ,j= 1 ,…,n )となるようにとり, Yi=S (p 応 )

( j = l ,・ ・ ・ ,n)

とおくと

~=立むYi i=l となるから ( 4 .1 )は



)「

s(tIa i ( m i + Y i ) に等しく,



) 「

Q[叫 =Q(m1,… ,m n)= s(tIa i m i を 塑 の 2次形式とみれば, Q は正値定符号であり

S(tlµ+~ 『 )= Q伍+り となるから定理 2 . 4 .1によって

( 4 .2 )

~exp{ 一冗S(tlµ 十 秤)}

μea

=~exp { ― 冗Q伍+叫} 竺

=

1

~exp{ 一冗Q-1[ 叫― 2 が(匹紗}

閲竺

Q=( a i k )i , kとすると n

a i k=~t紅iu> a 尺 =S(ta ふ ) j=l

だから

( i ,k=l,・ ・ ・ ,n)

第 2章 量 指 標 を も つ

34

旦 = i-.ppU)p/j)= s(-½

Apq

t関数

釦p q )

( p ,q=l,… , n )

とおけば,これを要素とする行列が Q の逆行列となり

s ( + I糾 ) 「

( 4 .3 )

Q打 叫 =

mi

である.さらに

s (虚Pimi),

(匹紗=

( 4 .4 )

I Q I= < l e t ( 孟tjaiUlakul)= t1・・・tnldet(a/kl)l2

C 4 .5 )

=t 1…ゎ N(a)2D. ( 4 .3 ) ,( 4 .4 ) ,( 4 .5 )を ( 4 .2 )に入れて定理の式が得られる.

K の数 pと , 成 分 が す べ て 実 数 で あ る よ う な UE Er1,r2

I により ~=p+u

とおいて,定理の式の代りに

( 4 .6)~exp{ —恣 Ctlµ+p+u 『)} μE(l

=底 il~翠exp{―冗s(-½11112) +2がS((p+u叫 ab

を考える.

fを法とするイデア)レの量指標沿をとり,その指数系を a 1 ,…,

i ' ,…, an' とする.これらによって, ~E 伽,沿の指数系を a n

P ( ! )=PI I 釘, =I

Er1,r2 に対し

P C ! )=Pf r 釘' =l

と定義する. ( 4 .6 )を U pで a/回微分してから Up=Oとおく操作を各 P=l,

2 ,…,nについて行えば P(-2 吋) ~P(µ+ p )e x p {― 岱 (lμ+p『t ) } μECI

n

I I(2が ) ap' =

P=I

翌J 5( 1 1 )exp{― 冗s() 『+2がS(初 ) }

,i~

b

ここで

P(-2吋 ) = P(-2冗t ) ,

P(JI+p)= P(μ+p )

であるから

( 4 .7 )

P(t)~P(µ+p) e x p {一 冗S(lμ+p『t ) } μECI

(-i )q ' " ' 2 = ぶJ 5( , , 1 )e xp{― 冗s(t)+2がS(} ) 初



§ 2 .4





3 5

n

ここで q=~ap とした.

となる.

P=l

再びイデアル数を考えることとし

f=

( f p ) '

b= (§),

a=(a)

とする. μEaに対し

i J= (μ+p )( p / c i ,

f 5= p e p / a

とおくと

fl=p (modf ) . 逆に fl=綽 / aが fl=p(modf )ならば ~=p

(moda )

4 .7 )の左辺の和で である. ゆえに (

μ+p= 韓 j ( p とおいて,この和を, ( p / c iと同じ類に属して iJ=p(modf )であるような整 なイデアル数りについての和とみることができる. ( 4 .7 )の右辺の入につい ての和も, ;t=え/釦§ とおいて,釦§ と 同 じ 類 の 整 な イ デ ア ル 数 え に つ い て の和とみなし得る.

さらに ( 4 .7 )で tの代りに

i ti i / IB a 2 I を入れて, ( 4 .7 )の左辺は

p ( i 1 ! 1 1 ) D苔 P ( D f p a )exp{―冗s ( i ' % JIt)}. < f )



( 4 .7 )の右辺は

瓜応N( 『:~1)1/凶(&えi) exp{ ―冗s( 『~~t) +2がs (げ ) } . ゆえに

し 『 ] 『cp)J5

P

苔< r )P( i J )e xp{― 冗s (鳳 誓 ) }

( ( 1 § )D

=闊如½-ap平J5( え) exp{―冗s( 『~~t)+2がs( げ)}. ここで

P ( l r f l a / l B a 昨) P C註) = v(註) 2 P ( I恥f l / r fa ) であるから結局

( 4 .8 )

p c: : 『 ) か 苔

8 )

V( ? i

2

s (『 f 1t ) }

mP(D)exp{― 冗

第 2章

36

= (-i)q

量指標をもつ

t関数

心 JJitパ-ap~p (え) exp{ n

s ( i註IXl2I t )

―冗

s (闘 ) } .

+2が

ここまでの x 入をこれから原始指標として, ( 3 .2 )のように

( 4 .8 )にゆ ( i J )=ゆ (p) を乗じて,さらに

x=v ゆとする.

iを modfの 完 全 剰 余 系 を う ご か

. 3 . 2を使えば, f p / i iを含む類を C , ii8を含む類を して和をつくり,定理 2 C 'として

s ( ¥ :胃 ) }

v(fi8)2p(1:il)o~cP(iJ) ゆ (iJ) exp{

( 4 .9 )

―冗



(-i)q

n

I Ttp —½-ap C( ゆ ,

/NIDP=l

( fB)~PC え)屈(え) えEC'

s (│え│註12I t ) } .

Xexp{― 冗

さらに次の定理が得られる:

.4 .3 定理 2

8C t ,C ,沿,註) = D翌 ゆ (fJ)P( f J_ exp 五 S lffll)

I D『t

I (紅 1 ) }

{

(和は C に属する整なイデアル数 gの上をわたる)とするとき,

( 4 .1 0 )

f J( t ,C ,が,屈§)=闘二翡且/P―½-apa(+, C ' ,涵,註)

が成り立つ. ここで C 'は CC'ぅ恥§ となる類であり,

( 4 .1 1 )

W ( x i l )は

A( ( p8)v( ( p8) wC x ! l )= C -z ) 17¥T/r¥ C(ゆ,祠) • q

で定義され,その絶対値は 1である.

証明

はじめに ( 4 . 1 1 )の右辺が XAだけによってきまることに注意する.

E r p(cE U)をとれば c ( p8)v( c ( f8)C( ゆ ,E r p8)= A(c)v(c)ゆ(c)tt((p8)v((p8)C(, ゆ( p 8 ) 入(

実際,右辺で¢ の代りに

となり, 1( c )v( c )ゆ( c )=XA( c )=lであるからこの値は変らず,ゆと によってさだまる.

fだけ

( x 1 1 ) と記してよい. ( 4 .9 )の右 したがって,これを W

辺で,えと a8は同じ類のイデア Jレ数であるから v(え ) 2=V( i i8)2となるこ とと,

x Xの分解 (3.3)に注意して,

( 4 .9 )から

§ 2 .5 量指標をもつ

( 4 .1 2 )

r J ( t ,C ,X A ,( p 8 )=

(-i)q

t関数

37

C( , ゆ( p 8 ) P ( f p 8 / l ( f t 8 1 )

” n

tpサ—→(上一^ t ' C ' ,屈 , ( f t o )

XI T P=I

を得る. ここで, 一般に

P(a)= 1C a )v( a ) = 1c a )v( a ) Ca l )vl Ca l ) 1l Ca l ) I a l 1l であるから, ( 4 .1 1 )と( 4 .1 2 )により ( 4 .1 0 )が得られる.

さらに, 8 ( t ,…)宇 0

4 .1 0 )の式をくり返して であるから, (

W ( x 1 1 )W( 奴 )

( 4 .1 3 )

=1 .

一方で,

W ( x 1 1 ) =ゆ (-1)(-1戸W( 冠)

=t 1(-1)ゆ(-1)V (_:_1 )W ( 冠 )

= W(冠). 4 .1 3 )から I W ( x 1 1 )l = lが導かれる. ゆえに (

I

§ 2 .5 量 指 標 を も つ g関数 x 入を T を法とするイデア Jレの量指標とする. sを 複 素 変 数 と し s=CJ十 i t ( C J = R e ( s ) ,t=Im(s))と記して, CJ>lのとき 妙(亙)

s ( s ,x , 1 ) =~

I N(fi)s I

( i i )

で定義される sの関数 s ( s ,x , 1 ) を,量指標 x入をもつ

t関数という.この和

は , 0でない整イデア Jレ( f i ) についての和である.これをイデア Jレaで書い て

s ( s ,X A )=~ a

沿( a )

N ( a ) s

s ) と同様に s ( s ,が)も無限積の形になることがわかる: としてもよい. 品 ( s ( s ,が)

がC w )

1

が(~)

-1

T 1=< I T 1w ) ( I N ( w ) l s ) =I j:)(N(~)s)· ー

この積は素イデア Jレ Cw)=~ の上をわたる.なお,単項イデア Jレ( w)が素イ

デア Jレとなる数

( J )

を素数といぅことにす五がが非原始指標ないま, X Aか

ら導かれる原始指標を

x 心とするとき,

t関数

第 2章 量 指 標 を 硲 つ

38

? ; ( s ,が ) =s ( s ,X 1ん ) g(1-

翌闊~)

となる. さらに次の式が成り立つことも容易にわかる:

1 μ ( a )が ( a ) N(a)8 ? ; ( s ,が ) =~ a

( 5 .1 )

(6>1 ) ,

A(a)が ( a ) ぐ (s,X入)=ーこ ? ; a N(a)8

( 5 .2 )

定理 2 . 5 . 1 X入を

( c J >1 ) .

Tを法とするイデアルの量指標とし,原始指標と仮定す

る . 屈 = 綽vの分解において入を ( 1 .7 )の形として

{Zq~s+aq-iVq ( 5 .3 )

とおき,

(q=l,・ ・ ・ ,r 1 ) ,



Z p= 2(s+ap+ P+r2)-i V p

(p=ri+1 ,… ,r 1+r 2 )

さらに r+l

r1+r2

i=l

P=r1+l

( 5 .4 )

r(x ) 入 =I TI ぷ匠=

( 5 .5 )

A( f )= ( DN(f)/ が )1 / 22 五

( 5 .6 )

I ' ( s; x 1 t )= I TI'(zj/2)

I T 2ivp12,

r+l

j=l

とするとき

s r(s;x11)t(s,x11)

~Cs, 屈 ) = rCが )A( f ) は ,

S の関数として,

x 入が単位指標でなければ sの整関数であり,店が単位

指標のときは s=O,1で 1位の極をもち,その他の sでは正則な関数である. さらに,

~(s,x11) は次の関数等式をみたす:

~(1-s, 冠) = W (x11)~(s, が ) .

証明

はじめに s>lと仮定する. ~E

(Er1,r2戸 に 対 し ( 5 .3 )を使って次の

形の積 入(~) V (~)

( 5 .7 )

IN(~) I s

n r+l =PII6apIII ら|—ぁ =l i=l

まず I '積 分

を考える.

r ( ) 予

l~P1-zp

を応用して

=

J o oe — ゜

tpl~Pl2

t p芽 ―1 d t p

(p=l,… , r+l)

§ 2 .5 量指標をもつ

t関数

39

r + l

町信) l~P1-zp

( 5 .8 )

r + l

r + l

=1 …』 exp( —芦 tp I 譴 凰 虐ld t 1 ・・ ・ d t r + 1 . oo

c o

U(f) の基本単数 H 1 ,… , Hrをとって

芦 叩 logIH/Pll)

(p=l,… , r+l)

t p= uexp(2 により変数変換をすれば,

Iact1,・・・.tr+1)

( 5 .9 ) であり,

r ) o ( u ,X i ,…,X

=t 1 ・ . .t r + 1 z r 1 lnR(f) U

( 5 .8 )の 積 分 の 中 で

( 5 .1 0 )

r + l名

几 わ 2=u

応 + が

r r + l 1 ) 1 2exp{苫 窄Z pl o gI H q < P > j }

翌 a p( l o gI H q < P > j+i 幻 ) ) } .

=u < z0 0 + Z r + 1 ) / 2exp{ Xq(-2冗imq 叶

n

芦 さらに,

z 1 +…+ z r + i ) / 2= un s / 2 + q / 2 u(

( 5 .1 1 ) である.一方で,

( 5 .7 )において ー(P) μ

~p

= 心

I 心嘉咽向I

( p = l ,・ ・ ・ ,n )

とおけば ( 5 .4 ) ,( 5 .5 )により

( 5 .1 2 )

n

r + l

n

r + l

I I 6a pI I I ら│丑 = I I I 亨 l a pi I I I 亨 1 z ; P = l i = l P = l = l j

x; 1 ( 1 k 1 ) v ( 1 k 1 )I N ( 1 k 1 ) r s ( f l , )V( f l , ) = r(x!l)A(f)sAI C I J i a l ) . N(μ)I sX したがって ( 5 .6 ) ,( 5 .8 ) ,( 5 .9 ) ,( 5 .1 0 ) ,( 5 .1 1 ) ,( 5 .1 2 )により

( 5 .1 3 )

n 入(μ)V(μ)え(似詞) I I T C心)ーa p I ' C s; x ! l )r( が ) A(f)s IN( f l , )I s P = l r + l =P C P / I J i a l )I TI ら│ーザ ( s ;が ) j=l

t関数

第 2章 量 指 標 を も つ

40

f "ff "

= zr1-~nR ( f )

0

du

F(u,f i . ,x 1 ,… ,X r )



00

-00

-00

Xu 炉+f—1dx1· ・ ・ d x r . ここで

( 5 .1 4 )

F(u,f l ,x i ,… ,X r )

~P(1Ja1)exp{ ―冗s( 『』]) —臣[2冗imq —芦lap(log IHq

l+i幻 ) ] } とした.

この F は次の性質をもつ:

F ( u , f l . 凡, X 1 ,… ,X r )= F(u,f l . ,X 1 ,… , X圧 1 ,… ,X r ) , F(u,f ] . E ,x 1 ,… ,X r )= F(u,f l . ,X 1 ,…,X r ) . ゆえに ( 5 .1 3 )の最後の F の X 1 ,… ,X rについての積分は次のような級数の形 になる:

( 5 . 1 5 )

1:… 1:F(u,f l . ,x 1 ,… ,X r )d x 1 ・ ・ ・ d x r =

1

1 / 2 1 / 2 … F( u ,r ; f ] . ,X 1 ,… ,X r )d x 1 ・ ・ ・ d x r . 1 / 2 1 / 2

w(f)~f f 7 /EU(f)

( 5 .14) からわかるように, 1 叫 ~1/2 ( i = l ,… , r )とするとき ( 5 .16)

F~P C lf l . I )exp{―冗s(

と評価されるから,

『;~)}~P C lf l . I )exp{-cuSl Cf l .『 ) }

1 叫 ~1/2 C i = l ,… , r )で

~FCu, 祁,ぷ,…, X r )

7 /EU(f)

は絶対かつ一様に収束する.

したがって, C 5 .1 5 )の右辺で和と積分の順序を

かえることができて, C 5 .1 5 )は

( 5 .1 7 )

W

1 J l / 2…Jl/2 ~F(u, f i 7 J ,X 1 ,… ,X r )d x 1 ・ . .dxr ( f )1 / 2 1 / 27JEU(f)

に等しい. 次に,

U/U(f) の代表元を €1, …,cm(m=(U:U ( f ) ) )とすると 頭

( 7 }E U ( f ) , i=l,… , m)

が U のすべての元になる.一方で

( 5 .1 8 )

が( f l ) =, 1 ( f l ) v ( f l )ゆ( f l ) 1 m A ( c i f l ) v ( c i f l )ゆ( c i f l ) =一—こ I N ( j l )I s I N ( f J . ) 1 8 mi = l IN( c i f l )I s

§ 2 .5 量指標をもつい関数

であるから, ( 5 . 1 3 )に < p( f l . ) を乗じ, ( 5 .1 7 )で

41

f J .を c i / J .におきかえた式を考

えて ( 5 .1 8 )により s

( 5 .1 9 ) r( x , 1 )I ' ( s;x , 1 )A( f )

X A( f ] . ) n XCI~由) PI T C亨)ー ap IN( f l . )I s =I

=M ( f )f f 0duf豆 ··fl/2~ ゆ(研) F ( u ,c i f l . T J ,x 1 ,… ,X r ) 1 / 2 1 / 2r;EU(f) i = lO Xu炉哨— 1dx1···dxr. ここで

M(f)=

2n-1nR(f) w(f)m

とした.ゆ切) =1(店 U ( f ) )であるから ( 5 .1 9 )の右辺は

( 5 .2 0 )

M( f )/ 0 0duf112 … /1/2~ ゅ(紐) F(u,c / 1 ,x 1 ,… ,X r ) 1 / 2

0

1 / 2EEU

Xu炉咽— 1dX1···dxr に等しい. さて,イデアル数の類

C をとり ( 5 . 1 9 )の j 1を Cに属する整なイデア)レ数

として, ( 5 .1 9 )を互に同伴でないような j 1に つ い て 加 え る . こ の と き の 和 を



( / 1 ) '且E C

と表わして,

s ( s ,X t t ;C) =~

( f l )

f i EC

X t t( f i ) I N ( f i ) l s

および

~(s, が ; C)=r(店 )I ' ( s ;屈 ) A( f ) 8t ( s ,妙 ; C) とおけば,

( 5 .2 1 )

( 5 .1 9 ) ,( 5 .2 0 )により ~(s, 沿 ; C)XC l / ; t l )I IC 心)ー ap n

P=l

=M (f)~Joo duf112… /1/2~ ゆ( c f i )F(u,c f i ,x 1 ,… ,X r ) ( f l ) '且E C

O

1 / 2

1 / 2cE U

Xu炉咽— 1dx1···dxr となる. ここで ~

~ ゆ(年) F(u,c f l ,X 1 ,…,X r )

(ji),jiECEEU

は , C の 0でないすべての整イデアル数についての和

2

ゆ( fi)F(u,f i ,ぷ,…, X r )

C 3j i = l = O

第 2章 量 指 標 を も つ

4 2

に等しく, F の評価(~.

t関数

1 6 )により

( 5 .2 2 ) ~ ゆ( j l ) F ( u ,f l ,x 1 ,… , Xr)U炉+ f 1 C3 f lキ 0

~

~P(l/11) exp{-cuS(I加)} u i s + f 1

C"j i = l = O

となる評価が得られるから, ( 5 .22) の左辺の級数は lxil~l/2 ( i = l ,…,r ) ' O I+i Xexp{—臣[欧加—孟ap (

Xd x 1 ・ . .d x r となる.ここで

叫 ) = { ;

f = l ,a 1=… =an=Oのとき,

E

その他のとき

. 4 . 3により である.定理 2 ( 5 .2 4 )

( )C t ,C,が, (p8)-Eパが) =

W ( x ' 1 )

rrn わ―½-ap a(-½, C ' ,屈,祠)—凡(屈)

入l C( pB l )P = l

( 1 -~

心 叫

= W( x A )p : it I T p-½-ap { ) (t'C',が, (po)-E 入C l ?B l )

沿 ) n +入W( ~IT t パ 凡 (x'1)-E心 A) l C( p o) IP = l

§ 2 .5 量指標をもつ

t関数

43

となるから, ( 5 .23) の u についての積分を u=I でわけて, O~u~I の部分 に

( 5 .2 4 )を入れれば

( 5 .2 5 )

』 idu1□ ・・1:;)au,c ,屈,註)ー凡(屈) }u炉+条 1 f

x exp{―塁 [ 2冗imq- a p ( l o gI H q < P > i +i 幻)J }d x 1.•dxT q = l P = l

=〗[冒()』idu 1□ ··1:::)Jltp―½-ap杯(-½, C',沿,蒻)

心 叫 u炉+f-1

-E

H / P > i +沿 / P l )J } c 1 x 1.・ d x r x exp{―臣 [2冗imq —芦ap(log I +f1du/ 1 1 2…f1 1 2{W Cx~) I nt T p訊I ( x A )-E心叫 u炉—1 0 1 / 2 1 / 2¥ /C l< pO) IP = l xexp{―芦Xq•2冗imq } d x 1.・ d x r .

i

tp=unであり, ( 5 .2 5 )の右辺の最後の積分で, X 1 ,… ,X rについての積分 P = l ・ は , m1=… =mr=Oのときのみ 0ではないから,

沿 ) = { ;

Eo(

が =1のとき, 沿キ 1のとき

として ( 5 .2 5 )の最後の項は 1 2 1 Eo(屈 ) {W(l)j u f < s I l 1 d u j 1 u f s I d u = E。(以)一 。 。 } n s( s 1 ) ・

( 5 .2 5 )の右辺の第 1の積分で t p →t 戸とする.即ち, X q→ -xq,

t p→ t p1 ,

u→

U―1

, r; , p = l ,… , n )と変換すると, ( 5 .2 5 )の右辺の第 1項は, (q=l,…

( 5 .2 6 )

入 閃 : 翡J o odu1口 ・・1:)au,c ' ,頑 , 恥8)-E1(が ) }u永1-s)咽—1

{翫[踪加+Pf a p( l o gI H q < P > i -i 犀 ) ] } 心 … dxr = I

x exp

に等しい.ここで sの関数

g ( s ,店; C)= f00duf巴・ ・ / 1 / 2位 ( t ,C ,が,註)―凡(が) Ju炉+ f 1 1 1 / 2 1 / 2

第 2章 量 指 標 を も つ

44

t関数

X

exp{ —臣[欧加—孟ap (logI H / P > i+i 幻 ) ] }

X

d x 1 ・ ・ ・ d x r

を定義すると, ( 5 .2 6 )は

W ( x 1 1 )

g(l-s,冠; C ' )

1 1 c 1 r p a l ) に等しい.

したがって n

I ICふ玩)ー a pえCl/ 祠賢 Cs,沿; C) P=l x ' 1 )M ( f ) ; 入 C)+W ( g(l-s,冠; C ' ) = M(f)g(s,X 1C lr p引 )

2

1

+品 (x'1)M(l)n s( s 1 ) ・ または

( 5 .2 7 )

n

I IC 亨)ー ap~(s, XA;C)

P=l

=M(f)入C lぷ 訂) g(s,XA;C)+W (xtt)M ( f 汀C lふ託

2

1

Xg(l-s,XA;C ' )+品 (xtt)M(l) n s( s 1 ) ・ ここまでは s>lと仮定してきたが,先の ( 5 .2 2 )から得られる g ( s ,XA;C) の評価を考えて, sを複素変数としても

( 5 .2 8 )

g ( s ,XA;C) i ,1 ) l~i・ ~r+I

I~q~r

とおく.

§3.1 s ( s ,x 1 1 )の 評 価

定理 3 . 1 .4 び が

49

Tを法とするイデアルの量指標のとき,

S 平面の帯状領

域ー 1/2~(5~3/2 において

s ( s ,が )( s-1)E(xA)~N ( f )zl l 1 1 1 i 2 n( 1+I t i )n + 1 . ’ │ l v . 1 J

ヽ~



E

入 x ︵

lo

ここで

がが単位指標のとき, がが単位指標でないとき

とする. はじめに x 入を原始指標と仮定する.直線 ( 5 = 3 / 2の上では

証明

s ( s ,が ) (s-l ) E < x ) 入

( 1 .1 )

O)として A を小さくとる. もし /3~1- A i / l o g(N( f )1 1 1 1 1 1( r+2 ) ) ならば,この

Bについて定理は成り立っているから

§ 3 .2

t C s ,x 1 1 )が零点をもたない領域

5 3

/ 3>1-Ai/log(N( f )l l . . 1 1 1Cr+2 ) )

( 2 .9 )

を仮定する. § 2 .5 ,( 5 .1 )から

1

~ I s( s o ,x l 1 )I

ls-s に 1/2において

C

a o 1 ・

s ( s ,が) ( s l ) E o(Eo=E(屈))は正則で, 、

さらに定理

3 . 1 .4によりそこで

I s C s ,炒 ) (s-l ) E o

(NC f )1 1 1 1 1 1Cr+2))c ~A-2(N(f) 1 1 1 1 1 1Cr+2))c. ( a o 1 ) 2

) (so-l)Eol~c ? ; ( s o ,沿

f]+ir は ls-sol~l/4 なる円の左半分にあるとしてよいから,定理 3.1.1 に

より

( 2 .1 0 )

1 s ' -Re-( (Jo+i r ,x t l )-E。 Re so-1

s

xs ds

(x>O, C J > O )

(右辺は複素積分である)によって

f

( 3 . 2 )

G(x)= 1 I ' ( s ) F ( s ) x s d s 2 ; r i (3)

と表わされる.ー 1/2~CJ~3,

I tに2では定理 3 . 1 .4と( 1 .3 ) ,( 1 .4 )により

I'(s)F(s)x-s~e ―祖 tl(l + l t l ) C N ( f 訳

( 3 .3 )

X―< 5

となるから, ( 3 .2 )の積分路を ( J =-1/2の直線に移すことができる.このと

/2 1-

L* 、 〈 柘 )

1

7 1 . T

いま,単位指標でない実の原始指標で法が

C 1

A(s-1)

+万 ― ・

Tのタイプである xをもつすべて

のL ( s ,x ) を考えるとき, c>Oに対して次の 2つの場合が生じ得る:

( 1 ) 区間

( 3 .9 )

(l-c/2A,1 )

の中に零点をもつ L ( s ,x)がある場合.

( 2 ) そのような L ( s ,x)がない場合.

( 1 )の場合には,零点をもつ L ( s ,x )の 1つを L ( s ,x i ) とし, X iの 法 を 孔 零点の 1つを S 1とする. ( 2 )の場合には, 1つの L ( s , x 1 ) をとり, X iの法を

§ 3 .3 S i e g e lの零点定理

59

孔 区 間( 3 .9 )の中の任意の点を S 1とする.この L ( s ,x 1 ) とは別に, L ( s ,x ) を考えてその法を

T でN (f)>N(f1)な る も の と す る . こ れ ら の L ( s ,か と

L ( s ,x )から F(s)を作ると, ( 1 )の場合には F ( s 1 )=0であり, ( 2 )の場合に はF ( s 1 )Oに対して B (c)を適当にとれば実軸上の区間

1-B(c)N(f 戸 Oをとっても,あるイデ ア)レ

Bを法とする実の原始指標 xをもつ L(s,x )が存在して, L ( s ,x )は区

間 ( l-bN( ' 6 ) " 0 ,1 )の 中 に 零 点 S oを も つ . 定 理 3 . 3 .1と Cauchyの 不 等 式 により

I L ' ( s , x ) I< c l o g 2 ( N ( ' 6 ) + 2 ) が , l -A3/2Jog(N('6)+2); ; ; : ; ; s; ; ; : ; ; 1に対して成り立つ ( bを小さくとってよい から, l-A3/2l o g(N( ' 6 )+2 )(Bぷ ( ' 6 )co/2)

( 3 . 1 1 )



1 .

ゆえに ( 3 .1 0 ) ,( 3 .1 1 )から

N( ' 6 )E o / 2Yq~Jog 凡十 a}.

77

( k = l ,…, ・r+l)

ここで

r i (芦1lhqkl))

0 =+(-¼ 十 四

とした.一方で, BCDとなる B の和集合は,次のような

Q を含む:

旦~{ ( y o ,…, y,)½logY, 十 鱈 芦 h.,y,;i;logY,-8} , r +l) ( k = l ,…

.5 . 1 , 系を B としては, BclJとなる B だけを考えればよいから,定理 3 応用して

( 6 .6 )

l f ( B ) I= wg)~rrf ( f ) p + l ~arg r h ( f ) /P = r叶 1 2 ガq = l

( P ) H q )

f e x p ( ( i o + l ) / l ) du +0( Y e c e x p ( i o / ) l l o gu = 詞} r ( 8+o(+))1::o+l)/lfdy+oC Ye-c& り X

ふ戸)

(Y=Y i…Y n , 8=8 r i + 1 " ' 8 r 1 + r zとした).同様に ( 6 . 7 )

l[(B)I=

詞+ ( 8+o(+))1::o+l)/lfdy

+O(Ye-cぷ戸) が得られる.ゆえに ( 6 .4 ) ,( 6 .6 ) ,( 6 .7 )により

( 6 .8 )

り)月(り)j

I I( B )I =w i o + l ) / l e Y 炉 O l ( d y+O(Ye-cjfc;g り h ( f )『 z o / l Y

= 詞 (a+o(t))1。::o+l)ll-f,dyo X1 : : i + l ) / ldY1"'1:~+1)/l d y r+0( Y e c三 巧

= 詞 (a+o(+))1f a -

如 …d yr+O(Ye-c&Y).

Dの体積は

o ) )

o ( R ( f )1 I l 1( l o gY i十 = oC( l o gY)r + l ) i = l であるから, BnDキ ¢ となるような B の個数は ー

第 3章 代 数 体 の 素 数 定 理

78

ocr+l(logY)r+1) であり,

( 6 .8 )を加えて

Bn翌キ )I(B)J~:c胃 (a+ o ( + ) )l~o dyo…dyr +oc z r + l( l o gY)r + lYe-cふ戸). さらに

l-12dy。… dyr~o (logY)r + 1 , eYojy。 ~y

であるから,

( 6 .9 ) ~ J I ( B ) J~ BnD=l= A ︱Apg( .,

1 -︱︱ )
1 1 . j E ] J U J zj E ! z これと

V

rぺ—-N(t) i t n

( iE] 1 ) ,

巧< ( l a U > j

( jEh)

H

に注意すれば,

Z z~

~1 < t :vn

{Uk}キ{ O } μ E a0-1 X(μ)EM

だから

( 3 .5 0 )

Z 2< t :N ( t )1 1 n H v n 1l o gH.

( 3 .4 9 ) ,( 3 .5 0 )をあわせて

§ 4 .3 Weyl和の基本定理

( 3 .5 1 )

99

乃炉+N(t)11;logH).

Zぺ VnUN(t)(

したがって ( 3 .4 6 )と( 3 .5 1 )により

Z*=Z叶 Zべ

1 1 Hl o gH N ( t ) 1 1 nl o gH vnuN(t)(—+—+ T V VU + U).

この U を U N ( t ) 1 1 nにおきかえてから全体に N( t ) 1 1 nを乗じて ( 3 .3 )の式が 得られる. 以上で定理は証明された.

I

定理4 .3 .2 イ デ ア ル a o ,t ,a o tの基底り1, …,りn, 領 域 M, zEE0を 定 理

4 . 3 .1のようにとる. さらに ( 3 .1 )を仮定する . Mは

{ ( x 1 ,…,X n )1lxil~V/2 ( j = l ,… , n ) } に含まれるものとし,

( 3 .5 2 )

T

vn
~k!N(1:J)2s-2k+½k(k-I) (coQりK X( c kmax( 1 ,Q/N( 1 : J )k i n ) )n k J( 2 Q 1 ,s-k )

が得られた.

( 4 .2 )で 切 = … = 以 =0とした式 ( 5 .9 )

ふj十・・・十ふj =μ/十・・・十μヽ;

(j=l,・ ・ ・ ,k )

において,ふ,…,ふが少なくとも K個の m o d l : Jで異なる数を含み, μ 1 ,… ,μ s が少なくとも K個の m o d l : Jで 異 な る 数 を 含 む よ う な 解 の 個 数 を MP, ふ,…, ふが m o d l : Jで高々 k-1個 の 異 な る 数 し か 含 ま な い よ う な 解 の 個 数 を Npと すれば,

J= J(Q,s)~ 払 +2NP, したがって

1

Mp~ ー]

3

または

1

Np~ ー]

3

が成り立つ.この Mpに対しては ( 5 .8 )から

( 5 . 1 0 )

MP~k!(kYN(p)2s-2k+½kN ( 叫 > … >N(p砂 >(2Q)n / k

となる場合は,

>-︱

M p i

( 5 .1 2 )

j 1-3

として,上記の pの代りに防 ( i = l ,… , b )をとって考える.ある p ;に対して

この 1 : Jiに対して ( 5 .1 0 )を適用する.このとき,

m = max( 1 ,Q/N( 1 : J i )k i n )= 1 , Qi=

1 Q + c 3 N ( 1 : i i ) 1 1 n< l _ _ Q l 1 / k Ql-1/k十旦;£;_ C1N( 1 : J Jl / n = C 1 C 1 C 1

としてよいから

) じ

2Nに )2 s 2 k + t k ( k l )( c 心) K

( 5 .1 3 ) ½ J ; £ ;M知;£; k !

s k ) .

X e町 ( { Q 1 l f k ,

次に,

どの 1 : Jiに対しても ( 5 .1 2 )が成り立たないとすると,

, 1

R出 こ 一J

(j=l,・ ・ ・ ,b )

が成り立つ.この R出を得るときの,対応する解の集合を S iとし, bを

b~18k のようにとると,

まず

§ 4 .5 平 均 値 定 理 b

( 5 .1 4 )

b

~R知 i = l

109

b

=~IS;I~-J i = l 9 ・

各S iを ふ =SilUS i 2とわける. S i lは , S 1 ,…,ふの中の高々 k-l個に含ま れるようなふの元の集合, S i 2は S 1 ,…,Sbの少なくとも K個に含まれるよ うな S の元の集合とする. { S n ,… , S叫の中でどの元も高々 k-l回重複す るから

( 5 .1 5 ) 一方で

~1Si1I~kf. i = l

5;2 の元は

( 1 ,…,b )から K個の ( i 1 ,…,な)をとっての次のような集合

U ( S ; 1n…ns心

( れ , . . . , な )

に含まれるから,

~1si2I~b~1si1n … nsは i = l ( れ , ・ ・ ・ ,i k )

( 5 .1 6 )

ゆえに ( 5 .1 4 ) ,( 5 .1 5 ) ,( 5 .1 6 )により

知 ~k] +b(i1翌jSi1n…nsikl となり,適当な ( i 1 ,…,な)をとれば

1 S i 1 n…nsikl~(%)ー1如

( 5 .1 7 ) が成り立つ.

この S i1n… nsねに属する解の 1つを(ふ,…,ふ, μ 1 ,… ,μ s ) とする.この んは mod肛,…, mod砂 の K個の剰余類により一意的にきまる.実際,忍し 入iキぷで入 i =ぷ (mod+ J砂( l=l,… ,k ) と仮定すると,んぷ E Do(Q)である から

IN(んーぷ) I~C2Q)n. 一方でん三ぷ (modP i 1…p心であるから ( 5 .1 1 )を考慮すれば

IN(かぷ) l~N 伽… p 心> (2Q)n で矛盾となる.

したがって,(ふ,…,ふ, μ 1 ,…,μりのとり得る個数 (mod如 ,

…,mod血で考えて)は,

(k~1Yk (N(p心… N 伽)) 2 k 2 をこえず,

これは

第 4章 三 角 和 と 平 均 値 定 理

110

くい)

2 k N( t , 1 )邸 ( k 1 )0 , 仇…, B

0 p= 0 p + r 2 0max(Hl r l ,y-1)~n112n,

(p=Yi+1 ,… , r 1+r 2 ) ,

N(0)= /l5N(a).

Minkowskiの定理によって, この 0に対し QbE a,

0 くに I~e

となるような⑩が存在する. a u a―1 = ' 6とおけば, bは整イデア Jレで, N ( ' 6 )= N(au)N(a)-1~N(B)N(a)-1=/l5 であるから,このような b は K のみに

よってきまるものとしてよい . ' 6―1の基底を瓜…:・,品 と す れ ば aj=a u / 3 j( j

=I,… ,n )は aの基底であり aj=0(0)( j = l ,… , n )となっている. ( 2 .2 )の

第 5章

124

Waringの 問 題

和の入を入 =~m 心と表わすとき合=区 t心 (mi~ti~m 叶 1 ( i = l ,…,n ) ) ならば ~-t1=0(0) であり

(~+µ)kr-(t1+µ)kr

5の集合である: n

~=tl+~t叫,

(i=l,… ,n ) .

O~ti )I~X1 i a < j ) l 1

/E] 1に対しては次のように考える.

(j=l,・ ・ ・ ,n ) .

( 4 .7 )により

砧ー ( J ) /= ( ( J )一 ( J ) i ) ( ( J ) k 1 +…+ ( J )戸) = s8s1a で, ( J ) ,( J ) 1EP(X1,C o ) であるから,条件 ( 4 .3 )に注意すれば

§ 5 .4 ある三角和の評価

lwk-1+ …+w/-11~

135

長(fx1y-1.

ゆえに

( 4 .1 1 )

I v (wu:~>w1戸 ) . lE]i

これで定理は証明された.

}E]2

I

定理5 .4.3 ( 4 . 2 )の (H,T)による Farey分 割 の 第 2領 域 E0(H,T)の

点 zをとり,次のような和

R(z)=

~E(µw笈)

-~

μEQ(S1ぷ" 1 )WEP(X1,Co)

を定義して,

r=2r o=4r 1 ,

ri。 ~so+

r s o

とするとき

R (z)~(Yi···Ys1X『X『. ここに p=

2~。 {(k-½) 炉+がso+l)(l —土)て (1- 炉) ( k -り 心}

= 2し {w 十 (k-½)n-f} である.

証明

( 4 .2 )の ( H o ,T o )による Farey分割を同時に考え, 2つの場合にわ

けて定理を証明する.

(i)

が:

E0(H,T)nE0(Ho,T o )の場合.

Holderの不等式によって ( 4 .1 2 )

IR( z )l r o=IR( z )l 2 r 1=I

I :

~ E (μw笈 )J 2 n

μEQ(S1ぷ 1 )WEP(X1,co)

~(~l)2r1-1~I~E(µwkz) 1 2 n WEP

WEPμEQ

~x/ro-1>n~I~E ( μ w k z )1 2 r 1 uJμ

~X1(ro-l)n~I~E(z砧(µ 一 μ'))t 1= x / r o 1 > nV . Wμ,μ'EQ

第 5章

136

Waringの 問 題

ここで

V = V( z )= ~ I ~ E ( z砧(μ 一μ'))1 r 1 WEPμ,μ'EQ

=~ ~ ~E(z砧 (µ1+ … +µr1 ―µ{-… -µr/)). WEP{μq}{μq'}

さらに

( 4 . 1 3 ) X =μげ … 十 μr1-μi'-…-μパ ( μ ,μ'EQ( s 1 ,X 1 ) ) とおいて, xに対し L I ( x )を ( 4 .1 3 )の解 ( μ 1 ,…,μ r 1 ,μ { ,… ,μ r i ' )の 個 数 と す るとき

V =~~Ll(x)E(zwkx) =~Ll(x)~E(zw 勺). W

X

X

W

これに S chwarzの不等式を応用して

( 4 . 1 4 )

V2~IV 2 1= I~LJ(x)~E(z砧x) 1 2 X

W

~ ~LJ(x)2~I~E(zw勺) 1 2 X

X

= L~

W

~E(zx(wk-wり).

1 x 1 ; ; ; c X 1 k l / 2

W,WoEP

ここで

L =~Ll(x)2 X

とした.

( 4 .1 4 )の右辺の最後の和に定理 4 .1 .4を適用して, ( 4 .1 5 )

V2~LX1(k-l/Z){n-l)~min ( x / 1 1 2 ,I I S( z 叫 砧 ー w/))l l 1 ) W,WoEp l ; a : ; j ; ; ; n = LX/k-lf2)X ゃ— (k-112)

戸 x1b-

=S け 5 2 . IPl~X内 log X1だから,

( 4 . 1 7 )

まず 51~X1n+k-112-b.

ふの評価のために,定理 5 . 4 . 2を

( 4 .1 8 )

( J ) i= X1b < k i t z )

( i=1 ,… ,n )

§ 5 .4 ある三角和の評価

とおいた形で応用する. ( 4 .4 )をみたす の個数を Z1 とするとき,

137

tが 存 在 す る よ う な g=(g1,…, g心

A の定義により iE]1 に対する gi は ~1. さらに,

la叫 ~x/-112-b となる i の集合を h として (hC]z)

Z1~1 + I I(la叫Xib-). iE]a

ゆえに ( 4 .1 8 )の下で定理 5.4.2から S2~x/-1 呟 maxZ(g;X1 か (k-1/2)) g

~x/-1/2H(l + I I(la叫x/-)) iE}a

X (l+X1nI T(Rぷ ?--k)I Ilau>戸 ) iEfl

iE]2

~x/-1/2H+ X1炉 l/2H(R ぷj _ b ( k 1 / 2 ) )n +xt+k-1/ZHI ICR ぷj _ b ( k 1 1 2 > k )I Ildi)l-1 iEfl

iE]2

且(x/-(k-1/2)1a叫)月1CRぷ 1b-(k-1/2)-k)」 i りaOと

~1~C I Q o ( S z ,N )ド(Yi…Ysぷ)刃 logX1 < p によって

( 5 . 1 0 )

R心

fが L(

rEI',P(E ガ

V(が R(z)E(一 v o z )dx( z )

>cIQo(s2,N )ドN(s-k)n( Y i ・ . .y ; 凶)刃 l o gX 1 . 一方で

f

L(z)8V(z 戸R(z)E(一 v o z )dx( z )

¢ , ( E D )

臼咽 (IL(z)sR(z)I )j < E > IV( z )l 2 d x( z ) ∼

= supC lL(z)8R(z)l)IQo(s2,N)I. zeEO

定理 5 . 4 . 3によって,

これからさらに

§ 5 .5 主 要 定 理

143

f~Nsn I Q o ( s 2 ,N)I ( Y i…Y心 ) nx 化 rp(EO) 一方で定理 5 . 3 . 4によって,

ゆ( s 2 ,N)I~cNnk-nk(I-Itk)l

( l=[ s 2 / n ] )

であるから,

=p+2nk(1-1 / k )z

< J

とおいて

( 5 .1 1 )

f~NU のとき),

叫a ) =~ μ ( b )l o gN(m), bm=a N廷 V

叫a )=~A(m)µ(o), bmla

Nm~U,N 廷 V

叫a ) =~A(m) bm=a N m >U ,Nb>V

因 µ(b).

b i b N b ; a , ;V

一方で ( 3 .2 )の左辺は

一 互 (s) =~ 品

a

A(a) N(a)s

であるから

A(a)= a o ( a )+a1(a)-a2(a)-a3(a) が成り立ち,

( 3 .1 )の右辺の A ((μ))をおきかえて

したがって,

T(z;A )= To+T1-T2-T ふ

五叫 (μ))E(μz)

Ti=

(i=O,1 ,2 ,3 )

となる.ここで特に

U =炉 ( l o gN)丸

V= ( l o gN)v

とさだめれば,μ豆訳ならば N(μ)>Uとなって

T(z;; 1 )= T1-T2-T3

( 3 .3 ) となり,

T 0は生じないから

この右辺の各項は

( 3 .4 )

T 1= ~ ( ~ μ ( f : > )l o gN(m))E(zμ),

( 3 .5 )

T ,

( 3 .6)

冗 =~(~A(m)~ μEWI mE1=(μ) b i b

μE刃1 mE1=(μ) NE,幻 V



~ 芦珈 Nm~~土 /Cm)μ(b))E(zμ), μ

Nm>U,NE1>V

これからこの和を順に評価していく.

§ 6 .4 Ti の 評 価 zE E0ならば

定理6 .4 . 1

Nn

T1~ ( l o gN)び・



μ ( b ) E(zμ).

N迄 V

§ 6 .4 れ の 評 価

155

6は( 1 .3 )でさだめられた数である.

証明

( 3 .4 )の和の順序をかえれば T1= 溢 vµ(B)~E(zµ) l o gN ( ( μ ) / ' 6 ) μE叩 μEr,

となるから IT叶~

( 4 .1 )

~

~E(zµ) l o gN((μ))

N廷 V μ EWI

且 舟

E(zμ) I

+Jog;:

I

この右辺の第 2の和の中の和を

I(b)=~E(zµ) μE叩 μEf ,

と記して,さらにイデア)レ類 C をとって I( ' 6 )( ' 6EC)を考える

.cに属する

6E Cは' 6 = / 3恥 ( / 3EJ f ご)と表わされる. 固定されたイデア)レ玩をとれば, ' ここで

Bは (j=l,… , n)

Co~l/3 叫 ~cN('6)11n

となるとしてよい. P i ,… ,Pnを 恥 の 基 底 で

( j ,k=l,… , n)

IP/k)I~C

となるものとすれば, f 3 p 1 ,…,f 3 P nは bの基底で

( 4 .2 )

if3p/k>I~cN('6)11n

( j ,k=l,… , n)

をみたす.定理 4 . 1 .4を I( ' 6 ) に応用して

I('6)~Nn-I min(N,I I S(恥) 1 1 1 ) .

( 4 .3 )

l~j~n

これを bEC かつ N(b)~V となる b について加えて,

(4.

2 )に注意して

~II ( ' 6 )I~Nn-i~min (N,I I S( / 3 p i z )l l 1 ) . /JEbo-1 l ; ; ,廷 n c ; ; ,ぼ1 ; ; ; c 1v 1 m

Nb釘 , bEC

Q

を適当にとれば § 4 .3 ,( 3 .5 2 )が成り立ち,この右辺の和に定理 4 . 3 . 2を応

用できる.対応するものは

a 。→恥,

t→ 1 ,

V→ C( l o gN)v f n ,

V o→ c ,

u→ N

等で,その結果

logN 1 ~II(b)I い N只log N ) v(l ( V o g1 N)C f 1+ ( l o gN)C f 1 l + V / n+ N ) .

N廷 如

C

第 6章

156

したがって,

Goldbachの 問 題

さらにこれを C について加えて ( 1 .3 )を考慮すれば

Nn ( 4 .4 ) ~ I I( ' 6 )I < f( Nb釘 l o gN)I(logN)u'I1J1u>アou>I(logN)u) (j=l,・・・,n).

mい の 基 底 を P 1 ,… ,Pnとして,定理 4 . 3 .2を ( 6 .1 9 )の 最 後 の 和 に 応 用 す れ ば ,

( 6 .2 0 )

芹*E(za(IJ一 IJ')アo) ~uz1-i1nmin c u z 1 1 n ,I I S ( ( I J一 ッ')pガo z )l l 1 ) . l~j~n

( 6 .1 7 )により, I J e l < {U2であるから, ( 6 .2 0 )を ( 6 . 1 9 )に入れて,

第 6章

162

( 6 .2 1 )

Goldbachの 問 題

S 1炉… (H 阿) U r i



― {嵐

xi ー : ・ ・ 『 冗exp ip : 1h p c p p r 1 + r 2 JI U p l[ ( H / P >圧 … ( H r ( P )戸 e沖 p +2が 2 P = r i + l 凸) U r e―i < p p ]}d 砂 ° 1 +・ ・ d c p r 1+ r 2 d U 1 ・・ ・ d U r . +( H / P > )u 1…(H この中の

( j ) p についての積分は,

Up=( H 1 ( P )圧 … ( H r ( P )戸

(p=r げ 1 ,… , r 1+r 2 )

とおいて,次のようになる .

( 2 .9 )f e xp{-ih 呼 p+2 冗i I U p l (広e沖 p+U p e i < p p ) } d c p p 冗

一冗

= fexp{-ih 呼 p+4 冗i I Up釦 c o s ( c p p + a r gぬ } d c p p 冗

一冗

= 戸 exp( i h p 芦硫/P>).z 冗l h p ( 4冗 I U p ( H 1 ( P )臼… ( H r < P > )吋 ) . ここで

0炉 =argH. 炉

( j = l ,… , r ;P=ri+l,… , r 1+r 2 ) ,

ム(x)は Bessel関数で,その積分表示の公式を利用した. ( 2 .9 )を ( 2 .8 )に 入れ, r

t q=~uj l o gI H / q l l j = l として

( 2 .10)

(q=l,… , r+l)

い 窟

0 0

母A(hr1+1,…, hn+r2)exp o o o

1 h p ( f ) p ) r + l

= { 叫 …100exp{― 2心 j = lm氾j-~Wqetq q = l OO

§ 7 .2

r 1 + r 2 +ip~

H e c k e R a d e m a c h e rの変換公式 r U J @ / P > }

177

翌心

r i + n x I Ii h p e i h p q , p f h p ( 4叫U p l e t p )duc・dur. P = r 1 + l ここで

i h p e i h p r p p f h p ( 4叫U p l e t p )= i h pe i h p ( { ) p i l h p l h p ! 1 h p l( 4叶U p J e t p )

( 2 . 1 1 )

= ( 『:1)(lhpl+hp)/2( 『::~21) (lhpl-hp)/2flhPI(4叫叫砂) となるから

a p=

l h p l + h p , 2

a p + r 2=

l h p l h p 2

とおけば, a p ,ap+r2~0 かつ ap ・ ap+r2=0 となり lh』 =ap+ap+r2, hp=ap-

a p + r 2である. ( 2 .5 ) ,( 2 .1 0 ) ,( 2 .1 1 )により o o r + l ( 2 .1 2 ) ~ e x p {— ~I ( H / q ) )圧 ・・(H 阿) b r l w q b 1 ,…,br= — q = l r 1 + r 2 +21rip~苫 +1( H / P > )圧..( H r ( P ) )b r

00



o o

o o

oo

r + l

= { 且 苔: 1 0 0…1 0 0 exp{ ―芦訊etq

臣2 ( z- 氣 硫 い ) }

-i



p~

i U pa pr i + r 2 』 +llhpl(4叫Upletp)du1・・・dur.

n

XP I T = r 1 + lI U P I )

さらに

= 芦E/j>(2

V q

丸硫'./P>)

j-p~

冗叩

とおく.これは § 2 .1 ,( 1 .6 )の数であり,

C 2 .l 3 )

(q=l,… , r+l)

( 2 .1 2 )の各項は

: 『 t ・i rpi : …J_:exp(—苫 Wqetq_ i 苫 叫q)

P=U+l

r 1 + r 2

xP I If l h p l( 4叫U p l e t p )d u 1 ・ ・ ・ d u r . = r 1 + l この積分を求めるために,

l p= a p + a P + r 2 , とおいて

Zp= 2叫U P I

(p=r 1+1 ,… , r1+h)

第 7章 分 割 問 題

178

J:.・J:exp(—苫 Wqetq —偉: V札qt頂:1几 (2Zp砂) d u 1 ・ ・ ・ d u r の形とし,次の公式を利用する:



J o oe―w x x s 1 d x= I ' ( s )

w s

(Res,ReW>O),

/ 0 0e-ax]v(bx)xμ-ldx= がI'(μ+v ) 。 2 1 1 I ' ( v + l ) ( a 叶が)伊十

! 1 ) / 2

b 2 X Fい))十μ)上 (l+v一 μ),v+l・ 2 '2 'が十 b z ) (Re(μ+v )>O, Re(a土 i b )>O). これらにより

( 2 .1 4 )

1 0 0…looexp(—図 Wqxq) り:Xqeqs-ivq-lp寛 : 1 几( 2 Z p X p ) Xd x 1 0 0 ・ d x r + 1 n I'(s —加)

r i + r 2

=q I I I I = l W q s i v qP = r 1 + l, -

n

X

. .

Z比 ヽ" ,



n

n-

,..

,n

I ' ( l p+2 s-i v p ) I ' ( l p +1 )

xF(lp+2s-ivp lp+l-2s+ivp,lp+l・4Z/ 2 ' 2 ' 町 +4Z/). この積分変数を

Xq= U 1 1 n e t q

, r+l) (q=l,…

と変換すれば ( 2 .1 4 )の左辺は

0 0

Ri

o

o

r + l

r + l

が又£du1 0 0…looexp(— ulln芦 Wqetq_ i芦~v山)

( 2 .1 5 )

r 1 + r 2 Tf t p( 2 Z p u l l n e t p )U 8 1 d u 1.・ d u r X I P = r t + l

0 0) [ ((u)U8-1du, =f ( 2 .1 6 )

゜「

r + l R1 o r + lW ( [ )( u )= y z_ 0…Jo o o exp(-u l f n芦 q e t q→芦叫q ) r 1 + r 2 X I If t p( 2 Z p u 1 1 n砂) d u 1 ・ ・ ・ d u r P = r 1 + l

となる.いま,

w qは l a r gW q l; ;ゆ<冗/ 2

(q=l,… , r+I)

§ 7 .2 Hecke-Rademacherの変換公式

179

であるとし,このゆに対してゅ *>Oを ゅ+ゅ*<対 2 となるようにさだめる. uが複素変数で,

1 largul~ ゅ * n

( 2 .1 7 ) をみたすとすると,

( 2 .1 8 )

I J z P( 2 Z p u 1 1 n砂) I~exp(2Zplul1'n砂 sin ゅ*)

は容易にわかる.さらに,

I exp(— ulln 臼 wq的—ぷ信柘

( 2 .1 9 )

(— 1:~:,. 苫 :IWq;::,colI ( ゆ+ゅ*))

; e :exp であるから

-WPc o s (ゆ+ゅ*)+2Zps i nゅ*= r pO)

の評価をしよう.

t i ,…,

tr ョの中の l 個が ~o で他の r+l-l 個が ~o となる領域を考える.

その 1つとして, t i ,…, tz~O, t z + 1 ,…, tr+i~O で定義される Dz で (2. 2 0 )の積

r + l

分を評価すればよい. ~eq 柘 =0 であるから l~l~r であり積分変数を ti, q=l

…,t rに変換することができる.さらに, Dzでは -e必 ~e山十…十 e山 ~2(t1 + … +t z )

となっているから

f~~f

翫 )du1・・・dur

exp(-A

(j=l+l,…,r )

第 7章

180









~100…』00exp(-A(et1+…+炉)) If・・!dtz+1…dtrldt1・・・dtz 0 0 0 0 ~1 …』 exp(-A(妙+…十 e り) Ct1+… +t z )r l d t 1 ・ ・ ・ d t z l

~{Joo e―Ae¥l+t)r-ldt}.



ここで

f " ° e A e t ( l+t )m d t= f"°e―A x( l+l o gX)m 生 o

X

1

f


~:.

e-Axxa-Idx
Oは任意に小さくとれる. したがって

( l ) ( u )12(u+ du ( ] ) 2 o

= 1+/ J

2 (1)(l+Hl)/2 C 1 1 ( ] l+6+l (]+l~l+l 万 (1 +/ 3 )l / 2

~

次に u~l ならば

C 1 l+lJ r 三

1 ( 1+/ 3 )l / 2 .

( / J :yl+l5-1)/2~/3 『 ~l+(] U

だから

( 3 .1 3 )

1 0 0 ( y ,z ;x)~ ~IT x { 1 }P = r 1 + l P = r 1 + 1 これで定理が証明された.

I

この定理により, ( 3 .2 )の和の順序を入れかえることができ,さらに和苔: と積分の順序を入れかえることもできる.その結果,

f

y ,z;x )=炉 W1~1 n ( ( 3 .2 0 ) ( [ )( I I 2 J r i 均 )a p R1 ¥ ,2 J r i ・ (5/4)P = r 1 + 1 r 1 I'(s-i 恥 ) r 1 + r 2 YP2+ 4冗 2I ZpI り I I X I I q = l(yq-2冗迄) s i V qP = r 1 + l( l p / 2 s + i V p

Xc(2s2 i V p ,/ p ,

正JzpJ2)~' 屈 (D)

炉 +4がJ z p l 2 ( D ) 1IN(D)Jsds

となる. この最後の和

が (D)

区 ( i 7 ) 1IN( D )I s

(6>1)

を考える. m =(U:仏)として U /仏 の 代 表 元 を c 1 ,…,Em とすれば

第 7章

188

( 3 .2 1 )

~'-

(0)1









屈( i J ) m XA( i J ) =~' s~ 沿 ( c i ) IN( i J )I s (D) IN( i J )Ii=l

この右辺で~/は 0 でないイデアル (iJ) についての和である.右辺の内部の ( i l )

和は,

x 入( c ; )=l( i = l ,… , m)の場合に

m に等しく,このときは

x 入はイデ

アルの量指標となり,そうでなければ m

=O

~xtl(ci)

i = l

である. ゆえに

( 3 .2 2 )

屈)~{ l,'(s,が)

l , ' * ( s ,



と定義して ( 3 .2 1 )は

沿 が イ デ ア Jレの量指標のとき, その他のとき

XA( f l ) wR1 区 = s ,X A ) ( i 7 ) 1I N ( f l ) l s W1R (

s *

と表わされる.

さらに

2r2w 1

( s ,が ) Zパ s )= R 2 r 1 h~?;* X

( 3 .2 3 ) とおき

( 3 .2 4 )

n

I T

I'(s-iVq) - .、-, , ,

Pパ s;Y ,z ) =P=I I( 2 7 r i 否 ) apq=l(yq r1+l ri+r2

xI I (y/+4臼祠)一 lp/2-s+iVp P=ri+l

Xc(2s-2iVp,l p ,

として,

4 臼Z p l 2

y芦十 4 がl z P l 2 )

( 3 .2 0 ) ,( 2 .2 )に よ り 次 の 基 本 的 な 式

= 苓 此il / 4 ) 凡C s;y ,z )Z , i( s )d s

g(y;z ) および

( 3 .2 5 ) が得られる.

= 苓 心l / 4 )凡 (s;Y,z)?;(1+ns)Z,;(s)ds

l o gf(y;z )

ここで s ( s )は R iemannの

t関数である.

なお, 以後は

1 / f ; . ( s ;Y ,z )= 凡 ( s ;Y ,z )s ( l+ns)Z パs) と記すことにする.

§ 7 .4 関数論的補助定理

189

§ 7 .4 関数論的補助定理 ( 3 .2 3 )で定義された Z入( s )は , ( 3 . 2 2 )からわかるように入キ 1ならば sの 整関数, 1 1 = 1のときは s=lで 1位の極をむち,その留数は

ResZ 1( s )=

z2r2冗 r 2

S=l

l l 5・

また, P , , ( s ;Y ,z) は,ー 1/4~6~5/4 で定義される S 平面の帯状領域におい て , < J = Oの直線上にある有限個の点で極をもつほかは正則である.

したが

って, s=lにおいては入キ 1の と き 凡z , ,は正則で, ;t=lのとき P1Z1は s=l で 1位の極をもち

( 4 .1 )

Res{ P 1( s; y ,z )Z 1( s ) } s=l

z2r2冗 r 2r 1

= l l 5 qT I ( y q 2 冗均)ー 1 =l ー

xP〗(/止+4己Zpド)ーi c ( 2 ,0,YP2 4 : : 1 計: p 1 2 ) . 特に z 1=…=zn=Oのときは,

( 3 .5 )から G ( s ,0 ,0 )=2-sr(s) となるから,

( 1 .8 )により

( 4 .2 )



Res{ P 1 ( s ;Y ,O ) Z 1 ( s ) }= -(y1.・ Y n戸 =

l l 5

s=l

M s ( l+n)

である.

定理 7 . 4 . 1

し l / 4 ) 凡C s ;Y ,z)Z パs )d s

2

=

z k fP,,(s;y,z)Z,,(s)ds Res{P,,Cs;y,z)z,,Cs)} 十

(-1/4)

S=l

+~Res { P , , C s ;Y ,z)Z パs )} .