Линейные дифференциальные операторы [3изд.] 978-5-9221-1259-8

Citation preview

УДК 517.9 ББК 517.2 Н 20 Н а й м а р к М. А. Линейные дифференциальные операторы. 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. — 528 с. — ISBN 978-5-9221-1259-8.

—

Книга посвящена основам теории обыкновенных линейных дифференциальных операторов и некоторым ее приложениям. Она состоит из двух частей. В более элементарной первой части изложены: основные понятия и основные задачи теории дифференциальных операторов, асимптотическое поведение собственных значений и собственных функций и теоремы о разложении по собственным и присоединенным функциям, обобщения этих результатов на дифференциальные операторы в пространстве вектор-функций. В основном здесь применяются классические методы, в частности, методы теории аналитических функций. Во второй части указанные методы сочетаются с методами функционального анализа. В ней изложены: необходимые сведения из теории линейных операторов в гильбертовом пространстве в удобной для дальнейшего форме, основные факты теории симметрических дифференциальных операторов и их расширений, спектральная теория самосопряженных операторов, различные теоремы об индексе дефекта и спектре этих операторов, решение обратной задачи спектрального анализа для операторов второго порядка. Во втором издании книги изложение во многих местах переработано и дополнено новыми результатами и многочисленными литературными указаниями о различных усилениях ряда теорем в основном тексте. Добавлен ряд новых примеров, значительно расширена библиография и включено добавление «Несамосопряженный дифференциальный оператор второго порядка на полуоси» о сингулярных несамоcопряженных операторах второго порядка. В книге 18 рис., библ. 384 названия.

c ФИЗМАТЛИТ, 2010 

ISBN 978-5-9221-1259-8

c М. А. Наймарк, 2010 

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ко второму изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Из предисловия к первому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Часть первая. Элементарная теория линейных дифференциальных операторов Г л а в а I. Основные понятия и предложения . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1. Определение и основные свойства линейного дифференциального оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Общее определение линейного пространства и линейного оператора (15). 2. Линейные дифференциальные выражения (17). 3. Краевые условия (17). 4. Однородная краевая задача (18). 5. Формула Лагранжа; сопряженное дифференциальное выражение (20). 6. Сопряженные краевые условия; сопряженный оператор (23). 7. Сопряженная краевая задача (25). § 2. Собственные значения и собственные функции дифференциального оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Определение собственного значения и собственной функции (27). 2. Различные обобщения задачи о собственных значениях (30). 3. Присоединенные функции (31). 4. Соотношение между собственными значениями и собственными функциями сопряженных операторов (34). 5. Собственные значения и собственные функции самосопряженного оператора (35). 6. Примеры задач на собственные значения (36). § 3. Функция Грина линейного дифференциального оператора. . . . . . . 1. Общее определение обратного оператора (41). 2. Задача обращения дифференциального оператора (42). 3. Построение функции Грина (43). 4. Обращение дифференциального оператора при помощи функции Грина (44). 5. Функция Грина сопряженного оператора (47). 6. Краевые задачи, содержащие параметр, и сведение их к интегральным уравнениям (48). 7. Функция Грина оператора L − λ1 (50). 8. Аналитическая природа функции Грина оператора L − λ1 (51). 9. Случай кратного полюса функции Грина (54).

15 15

27

41

6

Оглавление

Г л а в а II. Асимптотическое поведение собственных значений и собственных функций и разложение по собственным функциям дифференциального оператора . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Асимптотика собственных значений и собственных функций при больших значениях |λ| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Постановка задачи (56). 2. Области S и T (57). 3. Сведение уравнения l(y) + ρn y = 0 к интегро-дифференциальному уравнению (59). 4. Лемма о системе интегральных уравнений (60). 5. Асимптотические формулы для решений уравнения l(y) + ρn y = 0 (62). 6. Уточнение асимптотических формул (67). 7. Нормировка краевых условий (70). 8. Регулярные краевые условия (71). 9. Асимптотика собственных значений (78). 10. Асимптотика собственных функций (88). 11. Различные обобщения асимптотических формул (91). § 5. Разложение по собственным функциям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Задача обоснования метода Фурье (92). 2. Случай самосопряженного оператора (94). 3. Разложение по собственным функциям дифференциального оператора, порожденного регулярными краевыми условиями (96). 4. Разложение по собственным функциям в случае нерегулярных краевых условий (104). 5. Случай кратного полюса функции Грина; m-кратная полнота (106).

56 56

92

Г л а в а III. Дифференциальные операторы в пространстве векторфункций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 § 6. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 1. Линейные дифференциальные выражения в пространстве векторфункций (108). 2. Краевые условия (110). 3. Однородное операторное уравнение (110). 4. Однородная краевая задача (111). 5. Формула Лагранжа; сопряженное дифференциальное выражение (112). 6. Сопряженные краевые условия; сопряженный оператор (113). 7. Собственные значения и собственные функции дифференциального оператора (114). 8. Случай оператора первого порядка (116). § 7. Функция Грина дифференциального оператора . . . . . . . . . . . . . . 118 1. Обращение дифференциального оператора (118). 2. Функция Грина оператора L − λ1 (119). 3. Аналитическая природа функции Грина оператора L − λ1 (120). § 8. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора 121 1. Постановка задачи (121). 2. Асимптотика решений матричного уравнения l(Y ) + ρn Y = 0 при большом |ρ| (122). 3. Нормировка краевых условий (123). 4. Регулярные краевые условия (124). 5. Асимптотика собственных значений (125). § 9. Разложение по собственным функциям дифференциального оператора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 1. Случай самосопряженного дифференциального оператора (127). 2. Разложение по собственным функциям дифференциального оператора, порожденного регулярными краевыми условиями (128).

Оглавление

7

Часть вторая. Линейные дифференциальные операторы в гильбертовом пространстве Г л а в а IV. Некоторые сведения из общей теории линейных операторов в гильбертовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 10. Гильбертово пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Определение гильбертова пространства (137). 2. Линейные функционалы в H (141). 3. Ограниченные операторы (142). 4. Операторы проектирования (143). 5. Изометрические операторы (144). 6. Действия с произвольными операторами (144). § 11. Некоторые общие понятия и предложения теории линейных операторов в гильбертовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Прямая сумма гильбертовых пространств (144). 2. График оператора (145). 3. Замкнутые операторы; замыкание оператора (145). 4. Сопряженный оператор (146). § 12. Спектральный анализ самосопряженных операторов . . . . . . . . . . 1. Спектральная функция (149). 2. Интегралы по спектральной функции (150). 3. Основная спектральная теорема (152). 4. Приводимость (154). 5. Описание спектра самосопряженного оператора при помощи его спектральной функции (154). § 13. Вполне непрерывные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Компактные множества (157). 2. Критерий компактности (158). 3. Определение и основные свойства вполне непрерывного оператора (158). 4. Спектр эрмитова вполне непрерывного оператора (161). § 14. Расширения симметрического оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Постановка задачи (162). 2. Дефектные подпространства симметрического оператора (162). 3. Преобразование Кэли (163). 4. Область определения сопряженного оператора (165). 5. Формула фон Неймана (167). 6. Размерность по модулю (168). 7. Индекс дефекта (170). 8. Описание симметрических расширений данного симметрического оператора (170). 8а. Расширения с выходом из гильбертова пространства (173). 9. Спектры самосопряженных расширений симметрического оператора (175). 10. Раствор двух подпространств (177). 11. Расширения полуограниченного оператора (182). Г л а в а V. Симметрические дифференциальные операторы . . . . . . § 15. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Самосопряженные дифференциальные выражения (185). 2. Квазипроизводные (186). 3. Формула Лагранжа (187). § 16. Обобщенные линейные дифференциальные уравнения . . . . . . . . . 1. Уравнение первого порядка в пространстве вектор-функции (188). 2. Теорема существования и единственности решения уравнения l(y) = f (192). 3. Свойства решений однородного уравнения (193). 4. Решения неоднородного уравнения (196). § 17. Операторы, порожденные самосопряженными дифференциальными выражениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137 137

144

149

157

162

185 185

188

197

8

Оглавление

1. Оператор L (197). 2. Оператор L0 (197). 3. Оператор L0 в регулярном случае (199). 4. Оператор L0 в сингулярном случае (205). 5. Случай одного сингулярного конца (208). § 18. Самосопряженные расширения оператора L0 . . . . . . . . . . . . . . . 211 1. Описание самосопряженных расширений оператора L0 (211). 2. Краевые условия в случае регулярного дифференциального оператора (215). 3. Случай оператора с индексом дефекта (n, n) и с одним сингулярным концом (216). 4. Вещественные расширения (219). § 19. Резольвенты самосопряженных расширений оператора L0 . . . . . . . 220 1. Некоторые леммы (220). 2. Случай оператора с регулярным концом (222). 3. Случай оператора с двумя сингулярными концами (230). 4. Общие теоремы о спектре самосопряженных расширений оператора L0 (232). Г л а в а VI. Спектральный анализ дифференциальных операторов

236

§ 20. Кратность спектра самосопряженного оператора . . . . . . . . . . . . . 236 1. Операторы с простым спектром (236). 2. Пространство L2σ и оператор Λσ (237). 3. Каноническая форма самосопряженного оператора с простым спектром (240). 4. Операторы с конечнократным спектром (241). 5. Пространство L2σ и оператор Λσ , соответствующие матричной функции распределения (242). 6. Общая каноническая форма самосопряженного оператора с n-кратным спектром (243). 7. Несобственный порождающий базис (244). § 21. Разложение по собственным функциям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 1. Направляющие функционалы (247). 2. Формулы обращения (253). 3. Случай одного регулярного конца (273). 4. Формулы для спектральной функции распределения (278). 5. Примеры (284). Г л а в а VII. Исследование индекса дефекта и спектра дифференциальных операторов в зависимости от поведения их коэффициентов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 § 22. Асимптотика решений дифференциальных уравнений при больших значениях аргумента. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 1. Асимптотика решений системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка (290). 2. Асимптотика решений линейного дифференциального уравнения 2n-го порядка (314). § 23. Индекс дефекта дифференциального оператора . . . . . . . . . . . . . . 333 1. Изменение коэффициента pn на ограниченное слагаемое (334). 2. Применение теоремы 7 § 22 (334). 3. Применение теоремы 8 § 22 (335). 4. Применение теоремы 9 § 22 (337). 5. Применение теоремы 10 § 22 (346). 6. Индекс дефекта оператора второго порядка (347). § 24. Исследование спектра дифференциального оператора . . . . . . . . . . 351 1. Применение метода расщепления (351). 2. Случай суммируемых коэффициентов (357). 3. Случай pn (x) → +∞ (371). 4. Случай pn (x) → −∞ (373). 5. Критерий дискретности спектра диффе-

Оглавление

9

ренциального оператора второго порядка (384). квантовой механики (392).

6. Примеры из

Г л а в а VIII. Обратная задача Штурма–Лиувилля . . . . . . . . . . . . . 406 § 25. Ортогонализирующие ядра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 1. Определение ортогонализирующих ядер (406). 2. Нелинейное интегральное уравнение для функции K1 (x, t) (410). 3. Линейное интегральное уравнение для функции K(x, y) (413). § 26. Решение обратной задачи Штурма–Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . 417 1. Условия на спектральную функцию распределения (417). 2. Исследование линейного интегрального уравнения для ортогонализирующего ядра (418). 3. Функция ϕ(x, λ) и равенство Парсеваля для нее (422). 4. Дифференциальное уравнение для функции ϕ(x, λ) (426). 5. Основная теорема (432). 6. Случай чисто дискретного спектра (434). 7. Различные обобщения основной теоремы (434). Д о б а в л е н и е I. Несамосопряженный дифференциальный оператор второго порядка на полуоси (В. Э. Лянце) . . . . . . . . . . . . . . § 27. Некоторые решения уравнения l(y) = λy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Решения s(x, λ) и c(x, λ) (441). 2. Решение e(x, ρ) (442). 3. Решение e(x, ρ) (444). 4. Вронскиан решений e(x, ρ) и e(x, ρ) (446). § 28. Спектр и резольвента оператора L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Собственные значения оператора L (447). 2. Непрерывный спектр и резольвента оператора L (448). § 29. Разложение по главным функциям оператора L . . . . . . . . . . . . . 1. Дополнительное ограничение (451). 2. Сингулярные числа и спектральные особенности оператора L (452). 3. Главные функции оператора L (454). 4. Разложение ядра резольвенты по главным функциям (454). 5. Преобразование формулы разложения (458). 6. L-преобразование Фурье (460). 7. Разложение в пространстве H+ (462). 8. Разложение по главным функциям в пространстве L2 (0, ∞) (467). 9. Многообразие H; разложение, сходящееся по норме L2 (0, ∞) (471). 10. Обобщенное равенство Парсеваля (473). § 30. L-преобразование Фурье умеренно растущих функций. . . . . . . . . 1. Образ многообразия H при L-преобразовании Фурье (пространство G) (474). 2. Пространства основных функций (пространства H0 и G0 ) (477). 3. Умеренно растущие функции (480). 4. Распространение L-преобразования Фурье на умеренно растущие функции (482). 5. Некоторые другие результаты. Обобщения (486). Д о б а в л е н и е II. Формула обращения Стилтьеса . Цитированная литература . . . . . . . . . . . . . . Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . Го т и ч е с к и й а л ф а в и т . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

440 441

446

451

474

496 499 520 527

Предисловие ко второму изданию За 14 лет, прошедших после выхода в свет первого издания этой книги, излагаемая в ней теория обогатилась многими новыми достижениями. Автор стремился в какой-то мере отразить эти достижения во втором издании книги и в то же время сохранить элементарность и доступность изложения. Это последнее обстоятельство, а также ограничения на объем книги, заставили автора в большинстве случаев приводить формулировки новых результатов или краткие литературные указания. Автор полагает, что эти литературные указания, а также значительно расширенная библиография, дадут возможность читателю ориентироваться в современных вопросах теории. При подготовке второго издания во многих местах был улучшен или заменен другим первоначальный текст; при этом были учтены изменения и добавления, сделанные в немецком и американском изданиях книги. В работе над вторым изданием автору помогал В. Э. Лянце, и эта помощь вышла за рамки обычных обязанностей редактора; кроме того, В. Э. Лянце написал добавление I, в котором изложены результаты автора по спектральной теории несамосопряженных сингулярных дифференциальных операторов, дополненные исследованиями В. Э. Лянце, а также прореферированы некоторые результаты других авторов. За эту помощь и за тщательное редактирование рукописи автор приносит В. Э. Лянце глубокую благодарность. Автор искренне признателен всем коллегам, указавшим на содержащиеся в первом издании опечатки и неточности. Особенно автор признателен Г. М. Кесельману и Ф. С. Рофе-Бекетову за ценные советы. Москва, октябрь 1968 г.

М. А. Наймарк

Из предисловия к первому изданию Многие вопросы математической физики приводят к задаче определения собственных значений и собственных функций дифференциальных операторов и разложения произвольной функции в ряд (или интеграл) по собственным функциям. Так, например, к такого рода вопросам приходят всегда, применяя метод Фурье для нахождения решения дифференциального уравнения в частных производных, удовлетворяющего данным начальным и краевым условиям. Поэтому дифференциальные операторы привлекали и привлекают большое внимание и имеется много работ, им посвященных. Большинство из этих работ посвящено сформулированной выше основной проблеме — спектральному анализу дифференциальных операторов, т. е. исследованию спектра и разложению заданной функции по собственным функциям дифференциального оператора. Особенно возрос интерес к этой проблеме в последние десятилетия в связи с развитием квантовой механики. Спектральный анализ дифференциальных операторов является основным математическим аппаратом при решении многих задач квантовой механики. При этом запросы квантовой механики требуют детального исследования так называемых сингулярных дифференциальных операторов, например, операторов, заданных в бесконечном интервале. Такие операторы могут, вообще говоря, иметь не только дискретный, но и сплошной спектр, в связи с чем разложение по их собственным функциям в общем случае представляется в виде интеграла Стилтьеса. Следует отметить, что за последнее время наиболее существенные результаты в этих вопросах были получены советскими математиками. Такие результаты, как доказательство существования разложения по собственным функциям сингулярного самосопряженного оператора произвольного четного порядка, решение обратной задачи Штурма– Лиувилля (см. главу VIII), полнота собственных и присоединенных функций для широких классов несамосопряженных дифференциальных операторов и многие другие, полностью или почти полностью принадлежат советским математикам. Однако, несмотря на эти фундаментальные результаты, проблему спектрального разложения дифференциальных операторов еще нельзя считать исчерпанной. Здесь в первую очередь следует указать на задачу определения кратности спектра и индекса дефекта дифференциального оператора в зависимости от свойств его коэффициентов, на вопрос о правиле отбора и нормировки минимальной системы собственных функций в непрерывном спектре; особенно мало разработаны эти

Из предисловия к первому изданию

12

вопросы для случая оператора, порожденного системой дифференциальных выражений, т. е. дифференциального оператора в пространстве вектор-функций (см. главы V и VII). Не менее важна и интересна задача разложения по собственным функциям несамосопряженного дифференциального оператора; для случая регулярного дифференциального выражения (и вообще нерегулярных краевых условий) эта задача существенно продвинута в недавней работе М. В. Келдыша (см. Келдыш [1]), случай же несамосопряженного сингулярного дифференциального выражения до последнего времени не был предметом исследований. В настоящей книге излагается теория линейных обыкновенных дифференциальных операторов произвольного порядка. В книге широко используются идеи и результаты функционального анализа, главным образом, теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. Для удобства читателя все необходимые сведения из функционального анализа приводятся в самой книге, так что, как полагает автор, книга доступна широкому кругу читателей. Многие вопросы теории линейных дифференциальных операторов можно излагать и не пользуясь функциональным анализом. Однако автор не считает целесообразным такое изложение, ибо только при использовании идей и методов функционального анализа возможно глубокое понимание теории, а также получение наиболее общих результатов. Книга состоит из двух частей. В части первой, которую можно назвать элементарной теорией дифференциальных операторов, применение методов функционального анализа сведено к минимуму. В ней излагается теория дифференциальных операторов в конечном интервале, включая теорию несамосопряженных дифференциальных операторов, при условии достаточной гладкости их коэффициентов. Для ее понимания от читателя требуются лишь самые элементарные сведения из теории обыкновенных дифференциальных и интегральных уравнений и теории функций комплексного переменного. Вторая часть книги посвящена изложению теории дифференциальных операторов как операторов в гильбертовом пространстве. Здесь от читателя, в дополнение к указанному выше, требуется еще знание самых основных сведений из теории интеграла Лебега. Автор выражает благодарность М. И. Вишику, прочитавшему книгу в рукописи и сделавшему ряд ценных замечаний. Москва, июль 1952 г.

М. А. Наймарк

Часть I ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Глава I ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ

§ 1. Определение и основные свойства линейного дифференциального оператора 1. Общее определение линейного пространства и линейного оператора. Линейным пространством называется совокупность R элементов x, y , . . ., такая, что: 1◦ . В R определена сумма x + y любых двух элементов x, y ∈ R, обладающая следующими свойствами: a1 ) если x, y ∈ R, то x + y ∈ R; б1 ) x + y = y + x; в1 ) (x + y) + z = x + (y + z); г1 ) в R существует «нулевой» элемент 0, такой, что для всех x ∈ R x + 0 = x. 2◦ . В R определено произведение λx элемента x на число λ, обладающее следующими свойствами: а2 ) если x ∈ R, то λx ∈ R; б2 ) λ(μx) = (λμ)x; в 2 ) 1 · x = x; г2 ) 0 · x = 0 (слева — число 0, справа — нулевой элемент); д2 ) λ(x + y) = λx + λy ; е2 ) (λ + μ)x = λx + μx. При этом элемент (−1)x обозначается через −x. В силу свойств в2 ), е2 ) и г2 ) x + (−x) = (1 + (−1))x = 0x = 0. Элементы x, y , . . . пространства R называются его векторами. Отметим, что в этом определении совершенно безразлична природа элементов x, y , . . .; точно так же безразлично, как именно определить сумму x + y и произведение элемента x на число λ. Требуется только, чтобы зти понятия удовлетворяли всем перечисленным выше условиям. Поэтому каждый раз, когда встречаются две операции, удовлетворяющие этим условиям, мы вправе считать их операциями сложения и умножения на число, а совокупность элементов, для которых эти операции определены, линейным пространством. Если в пространстве R допускается умножение на любое действительное число, то R называется действительным пространством; если же допускается умножение на любое комплексное число, то R

16

Гл. I. Основные понятия и предложения

называется комплексным пространством. Если не сделано никаких оговорок, мы будем считать R комплексным пространством. Выражение вида λ1 x1 + λ2 x2 + . . . + λn xn называется линейной комбинацией векторов x1 , x2 , . . ., xn ; линейная комбинация называется тривиальной, если все числа λ1 , λ2 , . . ., λn равны нулю, и нетривиальной в противном случае. Векторы x1 , x2 , . . ., xn называются линейно зависимыми, если некоторая их нетривиальная линейная комбинация равна нулю, и линейно независимыми, если такой линейной комбинации не существует. Пространство R называется конечномерным и притом n-мерным, если в нем есть n и не более n линейно независимых векторов; такие n векторов называются тогда базисом в R. Если же в R есть сколько угодно линейно независимых векторов, то R называется бесконечномерным. Часть R пространства R называется его подпространством, если всякая линейная комбинация элементов из R есть также элемент из R . Пусть D — некоторое подмножество в линейном пространстве R. Всякая функция A, которая каждому элементу x из D ставит в соответствие некоторый элемент x = A(x) из R, называется оператором в пространстве R с областью определения D. Часто, когда это не может привести к недоразумению, вместо A(x) пишут Ax. Если надо будет подчеркнуть, что D есть область определения именно оператора A, то мы будем писать DA вместо D. Совокупность всех векторов Ax, x ∈ DA , называется областью значений оператора A и обозначается через RA или через ADA . Вообще, если — произвольное множество, то A обозначает совокупность всех векторов Ax, x ∈ , т. е. множество всех векторов, которые получаются при применении оператора A ко всем векторам множества . Оператор A называется линейным, если DA — подпространство и если для любых векторов x, y ∈ DA и для любого числа λ

A(λx) = λAx , A(x + y) = Ax + Ay. Два оператора A и B в пространстве R считаются совпадающими тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же область определения D и Ax = Bx для всех x ∈ D. Оператор A называют расширением оператора B и пишут A ⊃ B или B ⊂ A, если DA ⊃ DB и если на DB операторы A и B совпадают, т. е. Ax = Bx при любом x ∈ DB .

§ 1. Определение и основные свойства

17

В этом случае оператор B называется также сужением оператора A на DB . В дальнейшем мы будем рассматривать только линейные операторы и не будем этого оговаривать особо, так что термин «оператор» будет всегда означать «линейный оператор». 2. Линейные дифференциальные выражения. Линейным дифференциальным выражением называется выражение вида

l(y) = p0 (x)y (n) + p1 (x)y (n−1) + . . . + pn (x)y.

(1)

Функции p0 (x), p1 (x), . . ., pn (x) называются коэффициентами, а число n — порядком дифференциального выражения. 1 В этой главе мы будем предполагать, что функции , p1 (x), p0 (x)

p2 (x), . . ., pn (x) непрерывны в фиксированном конечном интервале [a, b], а в некоторых случаях будем накладывать на них еще дополнительные условия. Обозначим через C (n) совокупность всех функций y(x), имеющих непрерывные производные до n-го порядка включительно в фиксированном замкнутом конечном интервале [a, b]. Для любой функции y ∈ C (n) определено дифференциальное выражение l(y), являющееся непрерывной функцией на отрезке [a, b]. 3. Краевые условия. Обозначим через (n−1)

ya , ya , . . . , ya(n−1) ; yb , yb , . . . , yb

(2)

значения функции y и ее первых n − 1 производных в точках a и b соответственно. Далее, обозначим через U (y) линейную форму относительно переменных (2), так что U (y) имеет вид (n−1)

U (y) = α0 ya + α1 ya + . . . + αn−1 ya(n−1) + β0 yb + β1 yb + . . . + βn−1 yb

. (3) Если задано несколько таких форм Uν (y), ν = 1, 2, . . . , m, то равенства Uν (y) = 0, ν = 1, 2, . . . , m,

(4)

называются краевыми условиями. Обозначим через D совокупность всех функций y ∈ C (n) , удовлетворяющих краевым условиям вида (4). Очевидно, что D есть линейное подпространство в C (n) , причем D может совпадать с C (n) лишь тогда, когда условия (4) отсутствуют. Пусть задано некоторое дифференциальное выражение l(y) и некоторое многообразие D, определенное условиями вида (4). Каждой функции y ∈ D поставим в соответствие функцию u = l(y). Это соответствие есть линейный оператор с областью определения D. Обозначим его через L. Таким образом, если y ∈ D и если u = l(y), то, по определению оператора L, u = Ly.

18

Гл. I. Основные понятия и предложения

Оператор L называется дифференциальным оператором, порожденным дифференциальным выражением l(y) и краевыми условиями (4). Таким образом, и это в дальнейшем будет весьма существенно, одно и то же дифференциальное выражение может порождать различные дифференциальные операторы в зависимости от выбора краевых условий (4). Если, в частности, условия (4) отсутствуют, то получается дифференциальный оператор с областью определения D = C (n) , мы обозначим его через L1 . Он является, очевидно, расширением всех других операторов L, порожденных тем же дифференциальным выражением l(y). Оказывается, однако, что во многих вопросах удобно рассматривать не только этот наиболее широко определенный оператор L1 , но и операторы, описанные выше, которые являются сужением оператора L1 . Некоторые из форм Uν (y) могут оказаться линейными комбинациями остальных. Тогда соответствующее такой форме равенство Uν (y) = 0 является следствием остальных и может быть отброшено. Поэтому формы Uν (y) можно с самого начала считать линейно независимыми. Как известно, это означает, что ранг матрицы, составленной из коэффициентов этих форм, должен быть равен m. Если m = 2n, то равенства (4) возможны лишь тогда, когда (n−1)

ya = ya = . . . = ya(n−1) = yb = yb = . . . = yb

= 0.

Дифференциальный оператор, порожденный этими условиями, обозначим через L0 . Краевым условиям можно придать еще следующую геометрическую трактовку: будем кратко обозначать буквой η всю совокупность (2), так что (n−1) η = (ya , ya , . . . , ya(n−1) ; yb , yb , . . . , yb ). Очевидно, η можно рассматривать как вектор 2n-мерного пространства R2n . Условия (4) выделяют из этого пространства некоторое подпространство M размерности 2n − m. Эти условия означают, что вектор η , соответствующий функции y , должен принадлежать подпространству M. 4. Однородная краевая задача. Однородной краевой задачей называется задача определения функции y из C (n) , удовлетворяющей условиям:

l(y) = 0, Uν (y) = 0, ν = 1, 2, . . . , m.

(5) (6)

Пусть L — оператор, порожденный дифференциальным выражением l(y) и условиями (6); тогда однородная краевая задача сводится к нахождению в области определения D оператора L функции y , на которой этот оператор обращается в нуль.

§ 1. Определение и основные свойства

19

Очевидно, всякая однородная краевая задача имеет по крайней мере одно решение, именно y ≡ 0. Это решение называется тривиальным. Она может, однако, иметь еще другие «нетривиальные» решения, т. е. решения y ≡ 0. Выясним, при каких условиях однородная краевая задача имеет нетривиальные решения. Пусть y1 , y2 , . . ., yn — линейно независимые решения дифференциального уравнения l(y) = 0. Как известно из теории линейных дифференциальных уравнений (см., например, Степанов [1]), всякое решение уравнения l(y) = 0, в том числе решение краевой задачи, должно иметь вид

y = c1 y1 + c2 y2 + . . . + cn yn , где c1 , c2 , . . ., cn — некоторые постоянные. Подставляя это выражение для y в условия (6), получим систему линейных однородных уравнений

c1 U1 (y1 ) + c2 U1 (y2 ) + . . . + cn U1 (yn ) = 0, c1 U2 (y1 ) + c2 U2 (y2 ) + . . . + cn U2 (yn ) = 0, .......................................... c1 Um (y1 ) + c2 Um (y2 ) + . . . + cn Um (yn ) = 0

(7)

для определения постоянных c1 , c2 , . . ., cn . Обозначим через r ранг матрицы ⎛ ⎞ U1 (y1 ) U1 (y2 ) . . . U1 (yn ) ⎜ U (y ) U (y ) . . . U (y ) ⎟ 2 2 2 n ⎜ 2 1 ⎟ U =⎜ (8) ⎟. ⎝ ............................. ⎠ Um (y1 ) Um (y2 ) . . . Um (yn ) Тогда уравнения (7) имеют n − r независимых решений относительно c1 , c2 , . . ., cn , которым соответствуют n − r независимых решений y краевой задачи. Таким образом: I. Если ранг матрицы U равен r , то однородная краевая задача имеет в точности n − r независимых решений. В частности: II. а) Однородная краевая задача имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг r матрицы U меньше порядка n дифференциального оператора. б) Если m < n, то однородная краевая задача имеет нетривиальное решение. в) Если m = n, то однородная краевая задача имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель (в этом случае квадратной) матрицы U равен нулю.

Гл. I. Основные понятия и предложения

20

Отметим, что ранг матрицы U не зависит от выбора фундаментальной системы y1 , . . ., yn . Действительно, переход от одной такой системы y1 , . . ., yn к другой y1 , . . ., yn осуществляется линейным преобразованием

yi =

n

aij yj , i = 1, 2, . . . , n,

j=1

определитель которого отличен от нуля. Так как при этом переходе матрица U умножается на матрицу (aij ), i, j = 1, . . . , n, то ранг матрицы U не изменяется. Ранг матрицы U называется рангом краевой задачи. Однородная краевая задача допускает следующее обобщение. Пусть U1 (y), U2 (y), . . ., Un (y) — линейно независимые линейные непрерывные функционалы 1) в C (n) , и пусть l(y) — дифференциальное выражение n-го порядка. Обобщенной однородной краевой задачей будем называть задачу определения функции y , удовлетворяющей условиям

l(y) = 0, Uν (y) = 0, ν = 1, 2, . . . , n. Очевидно, что результаты этого пункта полностью переносятся на случай обобщенной краевой задачи. Некоторые частные случаи обобщенной краевой задачи рассмотрены в работах Тамаркина (см. Тамаркин [3]) и других авторов (см. Смогоржевский [1] и Камке [1]), ч. II, § 5, где приведена подробная литература), но в общей постановке она до сих пор не рассматривалась. 5. Формула Лагранжа; сопряженное дифференциальное выражение. Предположим теперь, что коэффициенты pk (x), k = 0, 1, 2, . . . . . . , n, дифференциального выражения

l(y) = p0 (x)

dn y dn−1 y + . . . + pn (x)y n + p1 (x) dx dxn−1

имеют в интервале [a, b] непрерывные производные до (n − k)-го порядка включительно. Пусть y и z — две произвольные функции из C (n) . Интегрируя k раз по частям, получим 2) 1)

В качестве нормы в C (n) можно взять |y| =

n

max |y (k) (x)|.

k=0 a x b

2) z обозначает комплексное число, сопряженное к z , или функцию, значения которой являются сопряженными к соответствующим значениям z(x).

§ 1. Определение и основные свойства b

21

 pn−k zy (k) dx = pn−k zy (k−1) − (pn−k z) y (k−2) + . . .

a

. . . + (−1)k−1 (pn−k z)(k−1) y

b

x=b

+ (−1)k y(pn−k z)(k) dx. (9) x=a a

Положим здесь k = n, n − 1, . . ., 0 и просуммируем полученные равенства; мы придем тогда к формуле b

b

l(y)z dx = P (η , ζ) + y l∗ (z) dx,

a

(10)

a

где

l∗ (z) = (−1)n (p0 z)(n) + (−1)n−1 (p1 z)(n−1) + + (−1)n−2 (p2 z)n−2 + . . . + pn z

(11)

и P (η , ζ) — некоторая билинейная форма относительно переменных (n−1)

η = (ya , ya , . . . , ya(n−1) , yb , yb , . . . , yb ζ = (za , za , . . . , za(n−1) , zb , zb , . . . ,

),

(n−1) zb ).

Дифференциальное выражение l∗ (z), определенное формулой (11), называется сопряженным к дифференциальному выражению l(y). Формула (10) называется формулой Лагранжа. Применяя предыдущие рассуждения к интегралу b

l∗ (z) · y dx,

a

мы придем к формуле вида b

b

l∗ (z) · y dx = Q(η , ζ) + z · l(y) dx.

a

a

Следовательно, дифференциальное выражение l(y) является сопряженным к l∗ (z): l∗∗ (y) = l(y). Другими словами, дифференциальные выражения l(y) и l∗ (y) сопряжены друг другу. Из определения (11) сопряженного выражения непосредственно видно, что (l1 + l2 )∗ = l1∗ + l2∗ , (12) и, если λ — число,

(λl)∗ = λl∗ .

(13)

Гл. I. Основные понятия и предложения

22

Дифференциальное выражение l(y) называется самосопряженным, если l∗ (y) = l(y). Из (12) и (13) следует III. а) Сумма самосопряженных дифференциальных выражений есть также самосопряженное дифференциальное выражение. б) Произведение самосопряженного дифференциального выражения на вещественное число есть также самосопряженное дифференциальное выражение. Найдем общий вид всех самосопряженных дифференциальных выражений. IV. Всякое самосопряженное дифференциальное выражение есть сумма дифференциальных выражений вида

l2ν (y) = (py (ν) )(ν) ; l2ν−1 (y) =

1 [(ipy (ν−1) )(ν) + (ipy (ν) )(ν−1) ], 2

где p — функция, принимающая только вещественные значения. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим интегралы b

b

l2ν (y)z dx, a

l2ν−1 (y)z dx, a

(n)

где y , z ∈ C ; интегрируя по частям, легко убедиться в том, что l2ν (y), l2ν−1 (y) — самосопряженные дифференциальные выражения. Поэтому сумма выражений вида l2ν (y) и l2ν−1 (y) есть также самосопряженное дифференциальное выражение. Пусть, обратно,

l(y) = p0 y (n) + p1 y (n−1) + . . . + pn y — самосопряженное дифференциальное выражение; докажем, что l(y) есть сумма выражений вида l2ν (y) и l2ν−1 (y). По определению, l(y) должно совпадать с сопряженным выражением

l∗ (y) = (−1)n (p0 y)(n) + (−1)n−1 (p1 y)(n−1) + . . . + pn y =

= (−1)n p0 y (n) + [(−1)n np0 + (−1)n−1 p1 ]y (n−1) + . . . .

Отсюда, в частности, следует, что

p0 = (−1)n p0 .

(14)

Пусть n четно, n = 2μ; тогда из (14) следует, что p0 = p0 , т. е. p0 принимает только вещественные значения. Вычитая из l(y) самосопряженное выражение

l2μ (y) = (p0 y (μ) )(μ) = p0 y (n) + μp0 y (n−1) + . . . , получим самосопряженное выражение l(y) − l2μ (y) порядка n − 1.

§ 1. Определение и основные свойства

23

Пусть n нечетно, n = 2μ − 1; тогда из (14) следует, что p0 = −p0 . Следовательно, p0 = ip, где p принимает только вещественные значения. Вычитая из l(y) самосопряженное выражение 1 [(ipy (μ−1) )(μ) + (ipy (μ) )(μ−1) ] = 2 1 1 = (ip)y (2μ−1) + nip y (2μ−2) + . . . = p0 y (n) + np0 y (n−1) + . . . , 2 2

l2μ−1 (y) =

получим самосопряженное выражение l(y) − l2μ−1 (y) порядка n − 1. Из этих рассуждений следует, что, вычитая последовательно из l(y) самосопряженные выражения вида l2ν (y) и l2ν−1 (y), можно в конце концов получить самосопряженное выражение нулевого порядка, совпадающее с l0 (y) = py , где p — вещественная функция. Предложение IV тем самым доказано. Если, в частности, l(y) — самосопряженное дифференциальное выражение с вещественными коэффициентами, то оно не может иметь слагаемых вида l2μ−1 (y). Следовательно, V. Всякое самосопряженное дифференциальное выражение с вещественными коэффициентами обязательно четного порядка и имеет вид

l(y) = (p0 y (μ) )(μ) + (p1 y (μ−1) )(μ−1) + . . . + (pμ−1 y  ) + pμ y , где p0 , p1 , . . ., pμ — вещественные функции. 6. Сопряженные краевые условия; сопряженный оператор. Пусть U1 , . . ., Um — линейно независимые формы переменных ya , ya , (n−1) (n−1) , yb , yb , . . ., yb ; дополним их при m < 2n какими-нибудь . . ., ya формами Um+1 , . . ., U2n до линейно независимой системы 2n форм U1 , U2 , . . ., U2n . В силу линейной независимости этих форм переменные (n−1) (n−1) ya , ya , . . ., ya , yb , yb , . . ., yb можно выразить в виде линейных комбинаций форм U1 , U2 , . . ., U2n . Подставим эти выражения в билинейную форму P (η , ζ) в формуле Лагранжа (см. формулу (10)). Тогда P (η , ζ) станет линейной однородной формой от переменных U1 , U2 , . . ., U2n . Коэффициенты при переменных U1 , U2 , . . ., U2n являются линейными однородными (n−1) (n−1) , zb , zb , . . ., zb . Обозначим формами от переменных za , za , . . ., za эти формы через V2n , V2n−1 , . . . , V1 соответственно. Тогда формула Лагранжа перепишется в виде b

b

l(y) · z dx = U1 V2n + U2 V2n−1 + . . . + U2n V1 + y l∗ (z) dx.

a

Формы V1 , V2 , . . ., V2n линейно независимы.

a

(15)

24

Гл. I. Основные понятия и предложения

Для доказательства этого утверждения заметим прежде всего, что форма P (η , ζ) получается в результате применения двойной подстановки, отвечающей значениям x = a и x = b. Следовательно, она имеет вид P (η , ζ) = Pb (η , ζ) − Pa (η , ζ), где Pa (η , ζ) и Pb (η , ζ) содержат значения функций y , y  , . . ., y (n−1) ; z , z  , . . ., z (n−1) только при x = a и только при x = b соответственно. Поэтому матрицей формы P (η , ζ) будет

 −Δa 0 , (16) 0 Δb где Δa и Δb — матрицы формы Pa (η , ζ) и Pb (η , ζ) соответственно, а 0 — нулевая матрица. Но из формулы (9) непосредственно видно, что каждая из матриц Δa , Δb имеет вид ⎛ ⎞ · · · · · (−1)n−1 p0 ⎜ ⎟ ⎜ · ⎟ · · · (−1)n−2 p0 0 ⎜ ⎟ ⎜ .................................... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .................................... ⎟, ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ · −p0 · · ⎠ 0 0 p0 0 · · 0 0 где p0 следует брать при x = a и x = b соответственно. Элементы этой матрицы, стоящие над диагональю, не выписаны, так как их значения сейчас не играют роли. Следовательно, определитель каждой из них отличен от нуля. В силу (16) отсюда заключаем, что определитель формы P (η , ζ) также отличен от нуля. (n−1) (n−1) , yb , yb , . . ., yb к переПереход от переменных ya , ya , . . ., ya менным U1 , U2 , . . ., U2n есть линейное преобразование с определителем, отличным от нуля. Поэтому определитель матрицы формы P в переменных

U1 , U2 , . . . , U2n

и

(n−1)

za , za , . . . , za(n−1) , zb , zb . . . , zb

также отличен от нуля. Но эта матрица есть одновременно матрица коэффициентов форм V2n , V2n−1 , . . ., V1 . Следовательно, эти формы линейно независимы. Краевые условия

V1 = 0, V2 = 0,

. . . , V2n−m = 0

(17)

(а также всякие краевые условия, им эквивалентные) называются сопряженными к краевым условиям

U1 = 0, U2 = 0,

... ,

Um = 0.

(18)

§ 1. Определение и основные свойства

25

Краевые условия называются самосопряженными, если они эквивалентны своим сопряженным условиям. Дифференциальный оператор, порожденный выражением l∗ (y) и краевыми условиями (17), называется сопряженным к оператору L, порожденному выражением l(y) и краевыми условиями (18). Оператор, сопряженный к L, обозначается через L∗ . Из формулы (15) и краевых условий (17) и (18) следует, что для операторов L и L∗ имеет место равенство b

b

Ly · z dx = y · L∗ z dx.

a

(19)

a

Введем сокращенное обозначение b

(y , z) = y(x)z(x) dx; a

тогда равенство (19) примет вид

(Ly , z) = (y , L∗ z).

(20)

Из определения сопряженного оператора следует, что оператор L является сопряженным к L∗ :

L∗∗ = L. Оператор L называется самосопряженным, если L∗ = L. Из определения оператора L∗ следует: Оператор L — самосопряженный тогда и только тогда, когда он порождается самосопряженным дифференциальным выражением и самосопряженными краевыми условиями. В случае самосопряженного оператора L формула (20) принимает вид (Ly , z) = (y , Lz). (21) 7. Сопряженная краевая задача. Если L∗ — оператор, сопряженный к L, то однородная краевая задача

L∗ z = 0

(22)

называется сопряженной к однородной краевой задаче

Ly = 0.

(23)

Более подробно краевая задача (22) записывается в виде

l∗ (z) = 0, Vν (z) = 0, ν = 1, 2, . . . , 2n − m,

(24) (25)

26

Гл. I. Основные понятия и предложения

где l∗ (z) — дифференциальное выражение, сопряженное к l(y), а (25) — краевые условия, сопряженные к условиям, порождающим оператор L. Найдем соотношение между рангом исходной и сопряженной задач. Пусть z1 , z2 , . . ., zn — линейно независимые решения уравнения l∗ (z) = 0 и пусть r  — ранг матрицы ⎛ ⎞ ... V1 (zn ) V1 (z1 ) ⎜ V (z ) ... V2 (zn ) ⎟ 2 1 ⎜ ⎟ (26) ⎜ ⎟. ⎝ .......................... ⎠ V2n−m (z1 ) . . . V2n−m (zn ) Тогда сопряженная краевая задача (24), (25) имеет в точности n − r  независимых решений. С другой стороны, если y — любое решение исходной краевой задачи (23), то при z = zν интегралы в формуле Лагранжа обращаются в нуль. Кроме того, U1 (y) = . . . = Um (y) = 0. Следовательно, в этом случае формула Лагранжа примет вид

Um+1 (y)V2n−m (zν ) + . . . + U2n (y)V1 (zν ) = 0. Полагая здесь ν = 1, 2, . . ., n, получим, что формы Um+1 (y), . . ., U2n (y) удовлетворяют системе уравнений

Um+1 (y)V2n−m (z1 ) + . . . + U2n (y)V1 (z1 ) = 0, Um+1 (y)V2n−m (z2 ) + . . . + U2n (y)V1 (z2 ) = 0, ............................................ Um+1 (y)V2n−m (zn ) + . . . + U2n (y)V1 (zn ) = 0.

(27)

Эта система имеет по крайней мере n − r независимых решений, именно: Um+1 (yj ), . . ., U2n (yj ), j = 1, 2, . . ., n − r , где y1 , . . ., yn−r — линейно независимые решения задачи (23). Следовательно, ранг матрицы системы (27)  2n − m − (n − r) = n − m + r. Но матрица системы (27) с точностью до порядка строк и столбцов совпадает с матрицей (26), так что r  n − m + r. (28) Докажем, что здесь имеет место знак равенства. Для этого заметим, что рассматриваемые две краевые задачи являются взаимно сопряженными друг к другу; поэтому их можно поменять ролями. При этом r и r меняются ролями, а m переходит в 2n − m; следовательно, r  n − (2n − m) + r  , т. е.

r  m − n + r .

(29)

Сравнивая (28) и (29), получим

r = n − m + r.

(30)

§ 2. Собственные значения и собственные функции

27

VI. Ранг r краевой задачи связан с рангом r  сопряженной задачи соотношением r  = n − m + r . Если, в частности, m = n, то из формулы (30) следует, что r  = r . Таким образом: VII. Если число независимых краевых условий равно порядку дифференциального выражения, то ранг краевой задачи совпадает с рангом сопряженной краевой задачи. В частности: VIII. Если число независимых краевых условий равно порядку дифференциального выражения и если соответствующая однородная краевая задача имеет лишь тривиальное решение, то сопряженная краевая задача также имеет лишь тривиальное решение. Некоторые дополнительные сведения по материалу этого параграфа можно найти в главе X книги Коддингтон и Левинсон [1]. Здесь мы рассмотрели задачу с краевыми условиями, которые задаются на концах интервала [a, b]. Представляют также интерес задачи с краевыми условиями в произвольных n точках интервала [a, b]. По поводу этих, так называемых n-точечных задач см., например, главу IV книги Сансоне [1]. Отметим, что n-точечная задача является частным случаем обобщенной краевой задачи, сформулированной в конце п. 4◦ .

§ 2. Собственные значения и собственные функции дифференциального оператора 1. Определение собственного значения и собственной функции. Число λ называется собственным значением оператора L, если в области определения D оператора L существует функция y ≡ 0, такая, что Ly = λy. (1) Эта функция y называется собственной функцией оператора L, соответствующей собственному значению λ. Пусть l(y) и U1 (y) = 0, . . . , Um (y) = 0 (2) — дифференциальное выражение и краевые условия, порождающие оператор L. Так как собственная функция y должна принадлежать области определения оператора L, то она должна удовлетворять условиям (2). Кроме того, Ly = l(y), следовательно, из (1) имеем

l(y) = λy.

(3)

Таким образом: Собственные значения оператора L суть те значения параметра λ, при которых однородная краевая задача

l(y) = λy , Uν (y) = 0, ν = 1, 2, . . . , m,

(4)

28

Гл. I. Основные понятия и предложения

имеет нетривиальные решения; эти нетривиальные решения являются соответствующими собственными функциями. Линейная комбинация собственных функций, соответствующих одному и тому же собственному значению λ, есть также собственная функция, соответствующая λ. Действительно, если

Ly1 = λy1 то также

и Ly2 = λy2 ,

L(c1 y1 + c2 y2 ) = λ(c1 y1 + c2 y2 )

при любых постоянных c1 , c2 . Так как однородное уравнение (3) при данном λ имеет не более n линейно независимых решений, то отсюда следует, что совокупность всех собственных функций, соответствующих одному и тому же собственному значению, есть конечномерное пространство размерности  n. Размерность этого пространства есть просто число линейно независимых решений краевой задачи (4) при данном собственном значении λ; это число называется кратностью собственного значения. Найдем условия, определяющие собственные значения. Обозначим через y1 (x, λ), y2 (x, λ), . . . , yn (x, λ) (5) фундаментальную систему решений дифференциального уравнения (3), определенную начальными условиями  0 при j = ν , (ν−1) yj (a, λ) = (6) 1 при j = ν , j , ν = 1, 2, . . . , n. Из общих теорем о решениях линейных дифференциальных уравнений вытекает, что для любого фиксированного значения x из [a, b] функции (5) будут целыми аналитическими функциями параметра λ. Согласно результатам п. 4 § 1 краевая задача (4) тогда и только тогда имеет нетривиальное решение, когда ранг r матрицы ⎞ ⎛ U1 (y1 ) . . . U1 (yn ) U = ⎝ .................... ⎠

Um (y1 ) . . . Um (yn ) меньше n. Если m < n, то и r < n; в этом случае краевая задача (4) имеет нетривиальное решение при любом значении λ. Следовательно, при m < n любое значение λ является собственным. Если m  n, то ранг матрицы U будет меньше n тогда и только тогда, когда все определители n-го порядка матрицы U равны нулю.

§ 2. Собственные значения и собственные функции

29

Но каждый из этих определителей есть целая аналитическая функция от λ. Поэтому возможны только следующие случаи: 1◦ . Все определители n-го порядка матрицы U тождественно равны нулю. В этом случае любое значение λ по-прежнему является собственным. 2◦ . Хотя бы один из определителей n-го порядка матрицы U не является тождественным нулем. В этом случае собственными значениями могут быть лишь нули этого определителя и притом те, для которых обращаются в нуль все остальные определители n-го порядка матрицы U. Но целая функция, не равная нулю, имеет не более счетного числа нулей (и может их вовсе не иметь), которые при этом не имеют конечной предельной точки. Следовательно, в случае 2◦ оператор L имеет не более счетного числа собственных значений (и может их вовсе не иметь), которые при этом не могут иметь конечной предельной точки. Объединяя все эти случаи, мы получаем следующую альтернативу: I. Для всякого дифференциального оператора L имеют место только следующие две возможности. 1◦ . Всякое число λ есть собственное значение оператора L. 2◦ . Множество собственных значений оператора L не более чем счетно (в частности, оно может быть пустым) и не имеет конечных предельных точек. Наибольший интерес представляет случай m = n. В дальнейшем, если это специально не оговорено, мы будем рассматривать только этот случай. Положим при m = n    U1 (y1 ) . . . U1 (yn )     ...................    Δ(λ) =  (7) .  ...................     Un (y1 ) . . . Un (yn )  В силу предыдущего Δ(λ) — целая аналитическая функция переменного λ. Она называется характеристическим определителем оператора L (а также краевой задачи Ly = 0). Предыдущие рассуждения приводят в этом случае к следующим предложениям: II. Собственные значения оператора L суть нули функции Δ(λ). Если функция Δ(λ) тождественно равна нулю, то всякое число λ есть собственное значение оператора L. Если функция Δ(λ) не обращается тождественно в нуль, то оператор L имеет не более счетного числа собственных значений, которые при этом не могут иметь конечной предельной точки. Если, в частности, функция Δ(λ) не имеет нулей, то оператор L не имеет собственных значений.

30

Гл. I. Основные понятия и предложения

Собственное значение λ может быть кратным нулем функции Δ(λ). III. Если λ0 есть нуль характеристического определителя Δ(λ) кратности ν , то кратность собственного значения λ0 не превосходит ν 1). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть r — ранг матрицы определителя Δ(λ0 ); тогда кратность собственного значения λ0 есть n − r . С другой стороны, из известного правила дифференцирования определителей вытекает, что при λ = λ0 все производные определителя Δ(λ) до (n − r − 1)-го порядка включительно обращаются в нуль. Так как λ0 — нуль кратности ν , то отсюда заключаем, что n − r − 1  ν − 1; следовательно, n − r  ν. Если, в частности, ν = 1, то n − r  1; с другой стороны, n − r  1, ибо Δ(λ0 ) = 0; следовательно, n − r = 1. Мы приходим к следующему результату: IV. Если λ0 есть простой нуль характеристического определителя Δ(λ), то кратность собственного значения λ0 оператора L равна единице. Собственное значение называется простым, если оно является простым нулем характеристического определителя Δ(λ). 2. Различные обобщения задачи о собственных значениях. В приложениях встречаются иногда более общие задачи о собственных значениях линейного дифференциального оператора. Рассмотрим, начример, следующий случай. Коэффициенты линейного дифференциального выражения l(y) и, возможно, краевых условий Uν (y) = 0, ν = 1, 2, . . ., n, зависят от некоторого комплексного параметра λ. Определить те значения λ, для которых краевая задача

l(y) = 0, Uν (y) = 0, ν = 1, 2, . . . , n,

(8)

имеет нетривиальное решение y . Эти значения параметра λ называются собственными значениями краевой задачи (8), а соответствующие нетривиальные решения y — ее собственными функциями. Рассуждая так же, как и в п. 1, строим характеристический определитель Δ(λ) по формуле (7); собственными значениями будут нули определителя Δ(λ). Если коэффициенты выражения l(y) и краевых условий будут аналитическими функциями параметра λ, регулярными в некоторой области E λ-плоскости, то и определитель Δ(λ) будет аналитической функцией λ, регулярной в области E. Поэтому имеют место следующие 1) Более точная спектральная характеристика числа ν дается в предложении VI п. 3 (см. с. 33).

§ 2. Собственные значения и собственные функции

31

две возможности: 1◦ . Δ(λ) ≡ 0 в области E; тогда каждое число λ ∈ E есть собственное значение. 2◦ . Δ(λ) ≡ 0; тогда в области E существует не более счетного числа собственных значений, не имеющих предельных точек внутри области E. Если, в частности, коэффициенты выражения l(y) и форм Uν (y) — целые аналитические функции λ, то и Δ(λ) — целая функция; следовательно, в этом случае остаются справедливыми предложения, сформулированные в конце п. 2. Наиболее часто встречается тот случай, когда l(y) = l1 (y) + λl2 (y), где l1 (y) и l2 (y), а также формы Uν (y) от λ не зависят. В этом случае коэффициенты выражения l(y) являются линейными (следовательно, целыми) функциями цараметра λ. Следовательно, и в этом случае справедливы предложения, сформулированные в п. 1. Отметим следующий важный частный случай обобщенной задачи о собственных значениях:

l1 (y) + λl2 (y) = 0,

Uν (y) = 0, ν = 1, 2, . . . , n,

где l1 , l2 — самосопряженные дифференциальные выражения, а Uν (y) = = 0, ν = 1, 2, . . ., n, — самосопряженные краевые условия по отношению к каждому из дифференциальных выражений l1 (y), l2 (y). Эту задачу подробно рассмотрел Э. Камке (см. Камке [1–3]). 3. Присоединенные функции. Рассмотрим обобщенную задачу на собственные значения

l(y) = 0, Uν (y) = 0, ν = 1, 2, . . . , n, в которой коэффициенты дифференциального выражения l(y) и форм Uν (y) являются аналитическими функциями параметра λ. Пусть λ0 — собственное значение, а ϕ(x) — соответствующая собственная функция этой задачи. Система функций ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . ., ϕk (x) называется цепочкой функций, присоединенных к собственной функции ϕ(x), если функции ϕ0 , ϕ1 , . . ., ϕk , где ϕ0 = ϕ, удовлетворяют при λ = λ0 дифференциальным уравнениям

l(ϕq ) +

1 ∂l 1 ∂ql (ϕq−1 ) + . . . + (ϕ0 ) = 0, 1! ∂λ q! ∂λq

q = 0, . . . , k,

(9)

и краевым условиям

Uν (ϕq ) +

1 ∂Uν 1 ∂ q Uν (ϕq−1 ) + . . . + (ϕ0 ) = 0, 1! ∂λ q! ∂λq

(10)

q = 0, . . . , k, ν = 1, . . . , n. q

∂ l

∂q U

ν Здесь q обозначает дифференциальное выражение, а обознача∂λ ∂λq ет краевую форму с коэффициентами, равными производным порядка q по переменной λ от соответствующих коэффициентов l и Uν .

32

Гл. I. Основные понятия и предложения

Л е м м а A. Пусть при a  x  b функция Φ(x, λ) разлагается в степенной ряд

Φ(x, λ) = ϕ0 (x) + ϕ1 (x)(λ − λ0 ) + ϕ2 (x)(λ − λ0 )2 + . . . ,

(11)

сходящийся в некоторой окрестности точки λ0 . Для того чтобы функции ϕ0 , ϕ1 , . . ., ϕk удовлетворяли уравнениям (9) и (10), необходимо и достаточно, чтобы λ0 было при a  x  b нулем кратности > k каждой из функций l(Φ) и U1 (Φ), . . ., Un (Φ). Д о к а з а т е л ь с т в о. Левая часть (9) равна коэффициенту при (λ − − λ0 )q в разложении l(Φ) по степеням λ − λ0 ; аналогично обстоит дело с левой частью (10). Л е м м а Б. Пусть функции ϕ0 , . . ., ϕk удовлетворяют уравнению (9), а функция Φ(x, λ) определяется формулой (11). Если y(x, λ) — решение уравнения l(y) = 0 (a  x  b), удовлетворяющее при x = a тем же начальным условиям, что и функция Φ(x, λ), то в разложениях функций y(x, λ) и Φ(x, λ) по степеням λ − λ0 первые k + 1 членов совпадают. Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию

l(y(x, λ)) = 0, y (q) (a, λ) = Φ(q) (a, λ), q = 0, . . . , n − 1. (q)

(12)

Так как Φ(q) (a, λ0 ) = ϕ0 (a), то в силу теоремы единственности для решений дифференциальных уравнений y(x, λ0 ) = ϕ0 (x). Совпадение следующих коэффициентов разложений доказывается аналогичным способом с помощью соотношений, получаемых из (12) дифференцированием по λ. С л е д с т в и е. Пусть функция y(x, λ) удовлетворяет условиям леммы Б и, кроме того, ϕ0 , ϕ1 , . . ., ϕk удовлетворяют условиям (9) и (10). Тогда λ0 является нулем кратности > k каждой из функций U1 (y), . . ., Un (y). Будем говорить, что собственная функция ϕ0 (x) имеет кратность m0 , если существует цепочка из присоединенных к ней функций, состоящая из m0 − 1 функций, но нет такой цепочки, состоящей из m0 функций. V. Если λ0 — нуль функции Δ(λ) кратности m, то кратность любой собственной функции, отвечающей λ0 , не превосходит m. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ϕ0 (x) — собственная функция (отвечающая λ0 ) кратности m0 , k = m0 − 1 и ϕ1 (x), . . ., ϕk (x) — соответствующая цепочка присоединенных функций. Положим y1 (x, λ) = y(x, λ), где y(x, λ) — функция, удовлетворяющая условиям леммы Б. Обозначим через y2 (x, λ), . . ., yn (x, λ), какие-либо функции, образующие вместе с y1 (x, λ) фундаментальную систему решений уравнения l(y) = 0 в окрестности точки λ = λ0 . В силу предыдущего следствия λ0 будет

§ 2. Собственные значения и собственные функции

33

нулем кратности > k соответствующего определителя Δ(λ) (см. (7)). Следовательно, k < m, т. е. m0  m. Пусть теперь ϕ1 — собственная функция максимальной кратности; ϕ2 — собственная функция максимальной кратности среди собственных функций, линейно независимых от ϕ1 ; вообще ϕj — собственная функция максимальной кратности среди собственных функций, линейно независимых от ϕ1 , ϕ2 , . . ., ϕj−1 . Очевидно, что общее число таких функций равно кратности p собственного значения λ0 . Обозначим через mj кратность собственной функции ϕj , а через

ϕ j 1 , ϕ j 2 , . . . , ϕ j , mj −1 — соответствующую цепочку присоединенных функций. Из самого определения чисел mj вытекает, что

m1  m2  . . .  mp . Полученная система функций

ϕj , ϕj 1 , ϕj 2 , . . . , ϕj , mj −1 , j = 1, 2, . . . , p, называется канонической системой собственных и присоединенных функций. VI. Сумма кратностей m1 + m2 + . . . + mp равна кратности нуля λ0 функции Δ(λ): m1 + m2 + . . . + mp = m. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть yi (x, λ) — решения уравнения l(y) = = 0, удовлетворяющие при x = a тем же начальным условиям, что и функция

ϕi (x) + ϕi1 (x)(λ − λ0 ) + . . . + ϕimi −1 (x)(λ − λ0 )mi −1 , i = 1, . . ., p, и пусть функции yp+1 (x, λ), . . ., yn (x, λ) образуют вместе с y1 (x, λ), . . ., yp (x, λ) фундаментальную систему решений уравнения l(y) = 0 в окрестности точки λ0 . При помощи функции y1 (x, λ), . . ., yn (x, λ) образуем определитель Δ(λ). Так как в силу следствия из лемм А и Б λ0 является нулем кратности  mi элементов i-го столбца определителя Δ(λ) при i = 1, . . ., p, то m  m1 + . . . + mp , где m — кратность λ0 как корня Δ(λ). Для доказательства обратного неравенства положим Δ(λ) = (λ − λ0 )m1 +...+mp Δ1 (λ) и предположим, что, вопреки нашему утверждению, Δ1 (λ0 ) = 0. Тогда существует такое j , что столбец с номером j определителя Δ1 (λ0 ) является линейной комбинацией столбцов с номером > j . Обозначим через αj+1 , . . ., αn соответствующие коэффициенты этой линейной комбинации и положим y(x, λ) = yj (x, λ) − αi yi (x, λ), i>j

2 Наймарк М. А.

Гл. I. Основные понятия и предложения

34

где

yi (x, λ) = (λ − λ0 )mj −mi yi (x, λ), i > j ;

при этом мы считаем, что mi = 0 для i > p. При таком определении функции i(x, λ) число λ0 является нулем любой кратности функции i(y(x, λ)) (эта функция тождественно равна нулю) и корнем кратности  mj + 1 функции Uν (y), ν = 1, . . ., n. Следовательно, в силу леммы A y(x, λ0 ) является собственной функцией кратности  mj + 1. При j  p это противоречит тому, что собственные функции, линейно независимые от ϕ1 , . . ., ϕj−1 , имеют кратность  mj . При j > p это означает, что имеется собственная функция, линейно независимая от ϕ1 , . . ., ϕp , что тоже невозможно. Предложение VI означает, что каноническая система собственных и присоединенных функций порождает подпространство, размерность которого равна кратности корня λ0 определителя Δ(λ) (ибо легко видеть, что собственные и присоединенные функции канонической системы линейно независимы), так что присоединенные функции дополняют множество собственных функций до пространства нужной размерности. Теория присоединенных функций является аналогом теории элементарных делителей линейных операторов в конечномерном пространстве (см. Гельфанд [1]). Приведенная здесь теория присоединенных функций принадлежит М. В. Келдышу (см. Келдыш [1]). 4. Соотношение между собственными значениями и собственными функциями сопряженных операторов 1). Т е о р е м а 1. Если λ — собственное значение оператора L кратности p, то λ — собственное значение сопряженного оператора L∗ той же кратности p. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть оператор L порождается дифференциальным выражением l(y) и условиями

Uν (y) = 0, ν = 1, 2, . . . , m, а оператор L∗ — выражением l∗ (y) и условиями

Vν (y) = 0, ν = 1, 2, . . . , n. Положим тогда

1)

l1 (y) = l(y) − λy ; l1∗ (y) = l∗ (y) − λy.

Напоминаем, что теперь рассматривается только случай m = n.

§ 2. Собственные значения и собственные функции

35

Если λ — собственное значение оператора L кратности p, то краевая задача l1 (y) = 0, Uν (y) = 0, ν = 1, 2, . . . , n, имеет p линейно независимых решений. В силу результатов п. 7 § 1 (предложение VII) отсюда следует, что сопряженная краевая задача

l1∗ (y) = 0, V (y) = 0, ν = 1, 2, . . . , n, также имеет p линейно независимых решений. Это означает, что λ есть собственное значение оператора L∗ кратности p. Две функции (x) и z(x) называются ортогональными, если 1) (y , z) = 0. Т е о р е м а 2. Собственные функции операторов L и L∗ , соответствующие собственным значениям λ и μ соответственно, ортогональны, если λ = μ. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть y — собственная функция оператора L, соответствующая собственному значению λ, а z — собственная функция оператора L∗ , соответствующая собственному значению μ. Это значит, что Ly = λy и

L∗ z = μz.

Отсюда

(Ly , z) = (λy , z) = λ(y , z), (y , L∗ z) = (y , μz) = μ(y , z). Но (Ly , z) = (y , L∗ z) (см. (20) п. 6 § 1); поэтому, вычитая почленно предыдущие два равенства, получим

(λ − μ)(y , z) = 0. При λ = μ отсюда следует, что (y , z) = 0, т. е. функции y и z ортогональны. 5. Собственные значения и собственные функции самосопряженного оператора. Т е о р е м а 3. Все собственные значения самосопряженного оператора действительны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если L — самосопряженный оператор, то (Ly , z) = (y , Lz); в частности,

(Ly , y) = (y , Ly). 1)

2*

Напоминаем, что (y , z) обозначает интеграл

b a

y(x)z(x) dx.

Гл. I. Основные понятия и предложения

36

С другой стороны, (y , Ly) = (Ly , y); следовательно, (Ly , y) есть действительное число. Пусть теперь λ — собственное значение оператора L, а y — соответствующая собственная функция. Тогда из равенства Ly = λy следует, что (Ly , y) = λ(y , y). Так как (y , y) > 0, а (Ly , y) — действительное число, то и (Ly , y) λ= (y , y)

— действительное число. Из теорем 2 и 3 получаем С л е д с т в и е. Собственные функции самосопряженного оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению, можно также выбрать взаимно ортогональными. Для этого достаточно в подпространстве всех собственных функций, соответствующих одному и тому же собственному значению, выбрать ортогональный базис. В результате мы получим ортогональную систему собственных функций оператора L. 6. Примеры задач на собственные значения. 1)

−y  = λy ; y(0) = y(1); y  (0) = y  (1).

(13)

Общее решение дифференциального уравнения: √ √ y = A cos λ x + B sin λ x. Подставляя в краевые условия, легко найдем, что собственными значениями будут

λn = (2nπ)2 , n = 0, 1, 2, 3, . . . . При n = 0 собственному значению λn отвечают две линейно независимые собственные функции:

cos(2nπx),

sin(2nπx);

следовательно, λn при n = 0 есть двукратное собственное значение. При n = 0 собственному значению λ0 = 0 отвечает с точностью до постоянного множителя только одна собственная функция y ≡ 1; следовательно, это собственное значение однократно. 2) П р о д о л ь н ы й и з г и б с т е р ж н я Рис. 1 с о д н и м з а ж а т ы м и в т о р ы м с в о б о дн ы м к о н ц о м. Рассмотрим стержень длины l, один конец которого x = l (рис. 1) зажат, а второй x = 0 свободен. К свободному концу x = 0 приложена сжимающая сила P , направленная вдоль оси стержня.

§ 2. Собственные значения и собственные функции

37

Известно, что при достаточно малых значениях P прямолинейная форма стержня является устойчивой. Однако существует такое критическое значение P0 силы P , что при P > P0 прямолинейная форма стержня неустойчива и стержень изгибается. Рассмотрим начало этого изгиба; другими словами, рассмотрим положение равновесия, мало отличающееся от прямолинейного (рис. 2). Тогда уравнение изогнутой оси стержня y = = y(x) имеет вид

P y = −EIy  ,

(14)

где I — аксиальный момент сечения стержня, E — модуль Юнга. Действительно, левая и правая части уравРис. 2 нения представляют изгибающий момент в сечении стержня на расстоянии x от начала (см., например, Тимошенко [1]). Рассмотрим наиболее простой случай однородного стержня постоP янного сечения; тогда EI = const. Полагая λ = , получим уравнение EI

−y  = λy.

(15)

Из чертежа видно, что функция y(x) удовлетворяет условиям

y(0) = 0, y  (l) = 0.

(16)

Мы приходим к задаче (15), (16) о собственных значениях. Подставляя в условия (16) общее решение √ y = A cos λ x + B sin λ x √ уравнения (15), найдем, что A = 0, cos λ l = 0. Отсюда  2 2n − 1 λ= π , n = 1, 2, 3, . . . . 2l

Эти собственные значения простые и им соответствуют собственные функции 2n − 1 y(x) = B sin πx. 2l

Собственным значениям соответствуют критические нагрузки   2n − 1 2 Pn = EI , 2l

а собственные функции определяют с точностью до множителя соответствующие формы равновесия стержня (рис. 3).

Гл. I. Основные понятия и предложения

38

Рис. 3

В случае стержня с переменным сечением (или неоднородного стержня) EI есть функция от x. Полагая 1/(EI) = ρ(x), придем к следующей задаче о собственных значениях:

−y  P ρ(x)y , y(0) = 0, y  (l) = 0. В общем случае произвольной функции ρ(x) возможно только приближенное вычисление собственных значений и собственных функций. 3) П р о д о л ь н ы й и з г и б с т е р ж н я с о дн и м з а ж а т ы м и в т о р ы м ш а р н и р н о з ак р е п л е н н ы м к о н ц а м и. В этом случае в точке x = 0 появляется горизонтальная сила реакции H (рис. 4). Поэтому изгибающий момент M = P y − Hx = −EIy  . Дифференцируя два раза это равенство, получаем

(EIy  ) = −P y  .

(17)

При этом функция y(x) должна удовлетворять краевым условиям

y(0) = 0, y  (0) = 0, y(l) = 0, y  (l) = 0. (18) Действительно, первое и третье условия очевидны; второе означает, что в точке x = 0 изгибающий момент равен нулю, ибо закрепление в этой точке шарнирно; последнее условие следует из того, что конец x = l зажат, следовательно, касательная совпадает с осью Ox. Мы приходим к обобщенной задаче (17), (18) о собственных значениях. Пусть, например, EI = const; положим P : EI = k2 ; кроме того, положим для простоты l = 1. Тогда уравнение (17) перепишется в виде Рис. 4

y IV = −k2 y  .

(19)

§ 2. Собственные значения и собственные функции

39

Его общий интеграл при k = 0 имеет вид

y = A + Bx + C cos kx + D sin kx.

(20)

Из краевых условий (18) легко следует, что A = C = 0 и что собственные значения суть корни уравнения

tg k = k. Они определяются как абсциссы точек пересечения кривых (рис. 5)

y = tg x и y = x.

Рис. 5

Эти собственные значения простые; им соответствуют собственные функции y = sin kx − x sin k. При k = 0 общим интегралом дифференциального уравнения будет

y = A + Bx + Cx2 + Dx3 .

(21)

Легко видеть, что краевые условия (18) удовлетворяются лишь при A = B = C = D = 0; следовательно, k = 0 не является собственным значением. 4)

y IV = −k2 y  ; y  (0) = y  (0) = y(1) = y  (1) + 0.

Если k = 0, то общий интеграл (21) дифференциального уравнения удовлетворяет этим краевым условиям лишь при A = B = C = D = 0. Если k = 0, то общий интеграл (20) дифференциального уравнения

Гл. I. Основные понятия и предложения

40

также удовлетворяет этим краевым условиям лишь при A = B = C = = D = 0. Следовательно, рассматриваемая задача не имеет собственных значений.

y IV = −k2 y  ; y(0) = y (0) = y  (0) = y(1) = 0.

5)



Как и выше, убеждаемся в том, что k = 0 не является собственным значением. Подставляя при k = 0 общий интеграл (20) дифференциального уравнения в краевые условия, получим

sin k = k. Это уравнение имеет только комплексные корни, отличные от k = 0. Следовательно, рассматриваемая задача имеет только комплексные собственные значения. 6) С о б с т в е н н ы е к о л е б а н и я з а к р е п л е н н о й с т р у н ы. Уравнение свободных малых поперечных колебаний струны имеет вид ∂2u ∂2u = a2 2 , 2 ∂t ∂x

(22)

где u = u(x, t) — смещение точки струны с абсциссой x в момент t и a — некоторая константа. Собственными колебаниями струны называются решения уравнения (22) вида u = u(x, t) = y(x) sin(aωt + ϕ). (23) Подставляя в (22), получим, что функция y(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению

y  + ω 2 y = 0.

(24)

Если длина струны равна единице, то (рис. 6) условие закрепления на концах запишется в виде

y(0) = y(1) = 0.

(25)

Мы приходим к задаче (24), (25) о собственных значениях. Подставляя в краевые условия (25) общий интеграл Рис. 6

y = A cos ωx + B sin ωx уравнения (24), получим A = 0, sin ω = 0. Отсюда

ω = nπ , n = 1, 2, 3, . . . . Таким образом, собственными значениями будут

ωn2 = (nπ)2 , n = 1, 2, 3, . . . .

§ 3. Функция Грина линейного дифференциального оператора

41

Эти собственные значения простые и им соответствуют собственные функции yn (x) = Bn sin nπx. В рассматриваемом случае собственные значения и собственные функции имеют простое механическое значение. С точностью до постоянного множителя собственные значения суть квадраты частот, а собственные функции — амплитудные функции собственных колебаний. Одним из главных источников задач на собственные значения являются смешанные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных (см. гл. II, § 5, п. 1). Если такая смешанная задача допускает «отделение переменных», то ей может быть поставлена в соответствие «спектральная» задача на собственные значения. В частности, если дифференциальное уравнение и краевые условия смешанной задачи содержат дифференцирование не только по пространственной координате, но и по времени t, то соответствующая спектральная задача будет о б о б щ е н н о й задачей на собственные значения в смысле пп. 2 и 3. По поводу общих принципов построения спектральных задач см., например, Расулов [1].

§ 3. Функция Грина линейного дифференциального оператора 1. Общее определение обратного оператора. Оператор B называется обратным по отношению к оператору 1) A, если область определения DB оператора B совпадает с областью значений RA оператора A и если для всех x ∈ DA B(Ax) = x. Обратный оператор обозначается через A−1 . Следовательно, для любого x ∈ DA A−1 (Ax) = x. (1) I. Если оператор A имеет обратный, то и оператор A−1 имеет обратный, причем (A−1 )−1 = A. Действительно, равенство (1) показывает, что область значений RA−1 оператора A−1 совпадает с областью определения DA оператора A. Далее, применяя оператор A к обеим частям (1) и полагая y = Ax, получаем AA−1 y = y (2) для всех y ∈ RA = DA−1 . Это как раз и означает, что A обратен к A−1 . II. Если оператор A линеен и A−1 существует, то A−1 линеен. 1)

A и B здесь не предполагаются линейными.

42

Гл. I. Основные понятия и предложения

Действительно, если y1 , y2 ∈ DA−1 = RA , то

A(α1 A−1 y1 + α2 A−1 y2 ) = α1 AA−1 y1 + α2 AA−1 y2 = α1 y1 + α2 y2 ; поэтому α1 A−1 y1 + α2 A−1 y2 = A−1 (α1 y1 + α2 y2 ). III. Оператор A имеет обратный тогда и только тогда, когда уравнение Ax = 0 (3) имеет единственное «тривиальное» решение x = 0. Пусть оператор A имеет обратный A−1 . Применяя A−1 к обеим частям (3), получим x = 0; следовательно, условие необходимо. Пусть, обратно, оно выполнено. Тогда при любом y ∈ RA уравнение

Ax = y

(4)

имеет единственное решение x ∈ DA . Действительно, в силу условия y ∈ RA такое решение существует. Оно единственно, ибо если также Ax = y , то A(x − x ) = 0. По условию последнее равенство возможно лишь при x − x = 0, т. е. при x = x . Каждому элементу y ∈ RA поставим в соответствие решение x уравнения (4). Легко видеть, что это соответствие есть оператор, обратный к оператору A. 2. Задача обращения дифференциального оператора. Пусть L — дифференциальный оператор, порожденный дифференциальным выражением dn y dn−1 y l(y) = p0 (x) n + p1 (x) n−1 + . . . + pn (x)y dx

dx

и краевыми условиями

Uν (y) = 0, ν = 1, 2, . . . , n. Предположим, что соответствующая однородная краевая задача Ly = 0 имеет только тривиальное решение y = 0. Это означает, что для любой фундаментальной системы решений y1 , y2 , . . ., yn уравнения l(y) = 0 ранг матрицы ⎛ ⎞ U1 (y1 ) U1 (y2 ) . . . U1 (yn ) ⎜ U (y ) U (y ) . . . U (y ) ⎟ 2 2 2 n ⎟ ⎜ 2 1 ⎜ ⎟ ⎝ ............................ ⎠ Un (y1 ) Un (y2 ) . . . Un (yn ) равен n, следовательно,

det Ui (yj )i, j=1, 2, ..., n = 0.

(5) −1

Тогда в силу III п. 1 оператор L имеет обратный L , область определения которого совпадает с областью значений оператора L. Наша задача — найти явный вид оператора L−1 . Мы увидим, что L−1 есть интегральный оператор с непрерывным ядром; это ядро называется функцией Грина оператора L. Ниже будет дано явное выражение для функции Грина.

§ 3. Функция Грина линейного дифференциального оператора

43

3. Построение функции Грина. Функцией Грина оператора L называется функция G(x, ξ), удовлетворяющая следующим условиям: 1◦ . G(x, ξ) непрерывна и имеет непрерывные производные по x до (n − 2)-го порядка включительно для всех значений x и ξ из интервала [a, b]. 2◦ . При любом фиксированном ξ из интервала [a, b] функция G(x, ξ) имеет непрерывные производные (n − 1)-го и n-го порядков по x в каждом из интервалов [a, ξ) и (ξ , b], причем производная

(n − 1)-го порядка имеет при x = ξ скачок

1 : p0 (ξ)

∂ n−1 ∂ n−1 1 G(ξ + 0, ξ) − G(ξ − 0, ξ) = . n−1 n−1 p 0 (ξ) ∂x ∂x

3◦ . В каждом из интервалов [a, ξ) и (ξ , b] функция G(x, ξ), рассматриваемая как функция от x, удовлетворяет уравнению l(G) = 0 и краевым условиям Uν (G) = 0, ν = 1, 2, . . . , n. Т е о р е м а 1. Если краевая задача Ly = 0 имеет лишь тривиальное решение, то оператор L имеет одну и только одну функцию Грина. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть y1 , . . ., yn — линейно независимые решения уравнения l(y) = 0. Так как в интервале [a, ξ) функция G удовлетворяет этому же уравнению, то должно быть

G(x, ξ) = a1 y1 (x) + . . . + an yn (x) при a  x < ξ , где a1 , a2 , . . ., an — некоторые функции от ξ , аналогично

G(x, ξ) = b1 y1 (x) + . . . + bn yn (x) при ξ < x  b. Условия непрерывности функции G(x, ξ) и ее первых n − 2 производных при x = ξ дают

[a1 y1 (ξ) + . . . + an yn (ξ)] − [b1 y1 (ξ) + . . . + bn yn (ξ)] = 0, [a1 y1 (ξ) + . . . + an yn (ξ)] − [b1 y1 (ξ) + . . . + bn yn (ξ)] = 0, .................................................................... (n−2)

[a1 y1

(n−2)

(ξ) + . . . + an yn(n−2) (ξ)] − [b1 y1 ∂ n−1

(ξ) + . . . + bn yn(n−2) (ξ)] = 0,

∂ n−1

1

а условие G(ξ + 0, ξ) − n−1 G(ξ − 0, ξ) = запишется p0 (ξ) ∂xn−1 ∂x в виде (n−1)

[a1 y1

(n−1)

(ξ) + . . . + an yn(n−1) (ξ)] − [b1 y1

(ξ) + . . . + bn yn(n−1) (ξ)] = =−

Положим

cν = bν − aν ; ν = 1, 2, . . . , n;

1 . p0 (ξ)

44

Гл. I. Основные понятия и предложения

тогда эти условия запишутся в виде системы уравнений

c1 y1 (ξ) + . . . + cn yn (ξ) = 0, c1 y1 (ξ) + . . . + cn yn (ξ) = 0, .......................... (n−2)

(ξ) + . . . + cn yn(n−2) (ξ) = 0,

(n−1)

(ξ) + . . . + cn yn(n−1) (ξ) =

c1 y1 c1 y1

(6)

1 , p0 (ξ)

определитель которой есть вронскиан фундаментальной системы y1 , . . ., yn при x = ξ и, следовательно, отличен от нуля. Поэтому система (6) однозначно определяет функции cν . Для определения функций aν и bν воспользуемся краевыми условиями; запишем форму Uν (y) в виде

Uν (y) = Uνa (y) + Uνb (y),

(7) (n−1)

где Uνa (y) — сумма всех слагаемых, содержащих ya , ya , . . ., ya , (n−1) . Тогда а Uνb (y) — сумма всех слагаемых, содержащих yb , yb , . . ., yb

Uν (G) = a1 Uνa (y1 ) + . . . + an Uνa (yn ) + b1 Uνb (y1 ) + . . . + bn Uνb (yn ) = 0. Подставляя сюда вместо ak их выражения ak = bk − ck , получим

b1 Uνb (y1 ) + . . . + bn Uνb (yn ) + + (b1 − c1 )Uνa (y1 ) + . . . + (bn − cn )Uνa (yn ) = 0. Отсюда в силу (7)

b1 Uν (y1 ) + . . . + bn Uν (yn ) = c1 Uνa (y1 ) + . . . + cn Uνa (yn ).

(8)

При ν = 1, 2, . . ., n равенство (8) представляет собой систему уравнений относительно b1 , . . ., bn , определитель которой отличен от нуля согласно условию (5). Следовательно, система уравнений (8) имеет единственное решение относительно b1 , b2 , . . ., bn . Но тогда формулы aν = bν − cν однозначно определяют функции aν . Тем самым существование и единственность функции Грина доказаны. 4. Обращение дифференциального оператора при помощи функции Грина. Пусть уравнение Ly = 0 имеет только тривиальное решение y = 0, так что существует обратный оператор L−1 (см. п. 1). Если L−1 f = y , то Ly = f. (9) Это означает, что функция y есть решение уравнения

l(y) = f ,

(10)

Uν (y) = 0, ν = 1, 2, . . . , n.

(11)

удовлетворяющее условиям

§ 3. Функция Грина линейного дифференциального оператора

45

Докажем, что это решение существует для любой функции f (x), непрерывной в интервале [a, b], и определяется при помощи функции Грина. Именно, имеет место следующая теорема: Т е о р е м а 2. Если уравнение Ly = 0 имеет только тривиальное решение, то для любой функции f (x), непрерывной в интервале [a, b], существует решение уравнения Ly = f . Это решение задается формулой b

y(x) = G(x, ξ)f (ξ) dξ ,

(12)

a

где G(x, ξ) — функция Грина оператора L. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть y(x) — функция, определенная формулой (12). Докажем, что эта функция y(x) удовлетворяет условиям (10) и (11), следовательно, есть решение уравнения Ly = f . Так как функция G(x, ξ) имеет непрерывные производные до (n − 2)-го порядка включительно, то в формуле (12) можно n − 2 раза дифференцировать по x под знаком интеграла. Таким образом,

y (ν) (x) =

b

∂ ν G(x, ξ) f (ξ) dξ , ∂xν

ν = 1, 2, . . . , n − 2,

(13)

a

причем функция y(x) и ее производные y (ν) (x) до (n − 2)-го порядка включительно непрерывны в интервале [a, b]. Функция

∂ n−1 G имеет ∂xn−1

разрыв при x = ξ . Поэтому для нахождения производных y (n−1) (x) и y (n) (x) нельзя уже без всяких оговорок дифференцировать под знаком интеграла. Запишем поэтому формулу (13) при k = n − 2 в виде

y

(n−2)

x (x) = a

∂ n−2 G(x, ξ) f (ξ) dξ + ∂xn−2

b x

∂ n−2 G(x, ξ) f (ξ) dξ. ∂xn−2

В каждом из интервалов (a, x) и (x, b) подынтегральная функция и ее производная по x непрерывны; поэтому, дифференцируя по x под знаком интеграла и по верхнему (соответственно нижнему) пределу x, получим

y

(n−1)

x (x) = a



∂ n−1 G(x, ξ) ∂ n−2 G(x, ξ) f (ξ) dξ + n−1 ∂x ∂xn−2

b + x



 f (x) + ξ=x−0

∂ n−1 G(x, ξ) ∂ n−2 G(x, ξ) f (ξ) dξ − n−1 ∂x ∂xn−2

 f (x). (14) ξ=x+0

Гл. I. Основные понятия и предложения

46

∂ n−2 G

В силу непрерывности производной при ξ = x внеинтегральные ∂xn−2 члены взаимно уничтожаются и

y

(n−1)

x (x) = a

∂ n−1 G(x, ξ) f (ξ) dξ + ∂xn−1

т. е.

y

(n−1)

b (x) = a

b x

∂ n−1 G(x, ξ) f (ξ) dξ , ∂xn−1

∂ n−1 G(x, ξ) f (ξ) dξ. ∂xn−1

(15)

(16)

Дифференцируя формулу (15) еще раз, аналогично предыдущему найдем

y

(n)

x (x) = a



∂ n G(x, ξ) ∂ n−1 G(x, ξ) f (ξ) dξ + n ∂x ∂xn−1

b + x

 f (x) + ξ=x−0



∂ n G(x, ξ) ∂ n−1 G(x, ξ) f (ξ) dξ − n ∂x ∂xn−1

 f (x). (17) ξ=x+0

В силу условия 2◦ в определении функции Грина  n−1    n−1 ∂ G(x, ξ) ∂ G(x, ξ) − = n−1 n−1 ∂x

∂x

ξ=x−0

ξ=x+0

1 ; p0 (x)

поэтому формулу (17) можно переписать в виде

y

(n)

b (x) =

∂ n G(x, ξ) 1 f (ξ) dξ + f (x). ∂xn p0 (x)

(18)

a

Формы Uν (y) содержат только значения функции y(x) и ее производных до (n − 1)-го порядка включительно при x = a и x = b; поэтому из (12), (13) и (16) следует, что b

Uν (y) = Uν (G)f (ξ) dξ = 0, a

ибо по определению функции Грина Uν (G) = 0. Тем самым доказано, что функция y(x) удовлетворяет краевым условиям (11). Докажем, что она удовлетворяет также уравнению l(y) = f . Подставляя в l(y) выражения (12), (13), (16) и (18) для функции y(x) и ее производных, найдем, что b

l(y) = l(G)f (ξ) dξ + f (x). a

§ 3. Функция Грина линейного дифференциального оператора

47

Но интеграл в этой последней формуле равен нулю, ибо по условию функция G(x, ξ), рассматриваемая как функция от x, удовлетворяет однородному уравнению l(y) = 0 в каждом из интервалов (a, ξ) и (ξ , b). Тем самым теорема 2 доказана. Оператор A, определенный равенством b

Af (x) = K(x, ξ)f (ξ) dξ , a

называется интегральным оператором с ядром K(x, ξ). Теорема 2 означает, что оператор L−1 есть интегральный оператор с ядром G(x, y). 5. Функция Грина сопряженного оператора. Если оператор L имеет обратный, то в силу VIII п. 7 § 1 сопряженный оператор L∗ также имеет обратный. Поэтому оператор L∗ также имеет функцию Грина; обозначим ее через H(x, ξ). Найдем соотношение между функциями Грина G(x, ξ) и H(x, ξ) операторов L и L∗ . Положим L−1 f = ϕ, L∗−1 g = ψ . Тогда f = Lϕ, g = L∗ ψ , и равенство 1) (ϕ, L∗ ψ) = (Lϕ, ψ) перепишется в виде

(L−1 f , g ) = (f , L∗−1 g ). Это означает, что b b

b b

G(x, ξ)f (ξ)g (x) dx dξ = aa

f (ξ)H(ξ , x)g (x) dx dξ aa

для произвольных непрерывных функций f (x) и g (x). Отсюда следует, что G(x, ξ) = H(ξ , x). (19) Ядра G и H , связанные соотношением (19), называются сопряженными. Таким образом: III. Сопряженным друг другу дифференциальным операторам соответствуют сопряженные функции Грина. Если, в частности, оператор L самосопряженный, то L∗ = L; следовательно, H(x, ξ) = G(x, ξ). Поэтому соотношение (19) перепишется в виде

G(x, ξ) = G(ξ , x).

(20)

Ядро, удовлетворяющее условию (20), называется эрмитовым. Таким образом: IV. Функция Грина самосопряженного дифференциального оператора является эрмитовым ядром. 1)

См. (20), п. 6 § 1.

48

Гл. I. Основные понятия и предложения

6. Краевые задачи, содержащие параметр, и сведение их к интегральным уравнениям. Во многих вопросах приходится рассматривать краевую задачу вида

l(y) = λy + f (x), Uν (y) = 0, ν = 1, 2, . . . , n,

(21) (22)

где λ — некоторый параметр, а f (x) — заданная непрерывная функция от x. Если L — оператор, порожденный дифференциальным выражением l(y) и краевыми условиями (22), то эту задачу можно записать в виде Ly = λy + f. (23) В частности, при f = 0 это уравнение принимает вид

Ly = λy.

(24)

Оно эквивалентно однородной краевой задаче

l(y) = λy ; Uν (y) = 0, ν = 1, 2, . . . , n.

(25)

Значения λ, для которых уравнение (24) имеет нетривиальное решение y , являются собственными значениями оператора L (или краевой задачи (25)), а эти нетривиальные решения — соответствующими собственными функциями. Предположим, что оператор L имеет обратный L−1 ; пусть G(x, ξ) — соответствующая функция Грина. Применяя оператор L−1 к обеим частям (23), получим y = λL−1 y + g , (26) где g = L−1 f . Равенство (26) означает, что b

y(x) = λ G(x, ξ)y(ξ) dξ + g (x),

(27)

a

следовательно: V. Если дифференциальное выражение l(y) имеет при краевых условиях Uν (y) = 0, ν = 1, 2, . . . , n, функцию Грина G(x, ξ), то краевая задача l(y) = λy + f (x), Uν (y) = 0 эквивалентна интегральному уравнению b

y(x) = λ G(x, ξ)y(ξ) dξ + g (x), a

где

b

g (x) = G(x, ξ)f (ξ) dξ. a

§ 3. Функция Грина линейного дифференциального оператора

49

В частности, однородная краевая задача

l(y) = λy , Ui (y) = 0, i = 1, 2, . . . , n, эквивалентна однородному интегральному уравнению b

y(x) = λ G(x, ξ)y(ξ) dξ.

(28)

a

Так как G(x, ξ) — непрерывное ядро, то к интегральному уравнению применима теория Фредгольма (см., например, Петровский [1]). Поэтому однородное интегральное уравнение (28) имеет не более счетного числа собственных значений λ1 , λ1 , λ3 , . . ., не имеющих конечной предельной точки. Для всех значений λ, отличных от собственных значений, неоднородное уравнение (27) имеет решение при любой непрерывной правой части g (x). Это решение задается формулой b

y(x) = λ Γ(x, ξ , λ)g (ξ) dξ + g (x),

(29)

a

где Γ(x, ξ , λ) — резольвента ядра G(x, ξ). При этом для любых фиксированных значений x и ξ из интервала [a, b] Γ(x, ξ , λ) является мероморфной функцией от λ, полюсами которой могут быть лишь собственные значения однородного интегрального уравнения. Переходя от интегральных уравнений к соответствующим краевым задачам, мы приходим к следующим результатам: VI. Если дифференциальное уравнение l(y) = 0 имеет при краевых условиях Uν (y) = 0, ν = 1, 2, . . . , n, лишь тривиальное решение, то: а) Однородная краевая задача

l(y) = λy ; Uν (y) = 0, ν = 1, 2, . . . , n, имеет не более счетного множества собственных значений

λ1 , λ2 , λ3 , . . . , не имеющих конечной предельной точки. б) Для всех значений λ, отличных от собственных значений, неоднородная краевая задача

l(y) = λy + f , Uν (y) = 0, ν = 1, 2, . . . , n, имеет решение при любой непрерывной функции f (x). Впрочем, предложение VI, а) было нами получено в п. 1 § 2 без помощи интегральных уравнений; применяя рассуждения п. 1 § 2, можно также получить предложение VI, б).

Гл. I. Основные понятия и предложения

50

7. Функция Грина оператора L − λ1. Пусть по-прежнему L — оператор, порожденный выражением l(y) и условиями Uν (y) = 0, ν = 1, 2, . . ., n. Найдем выражение для функции Грина оператора L − λ1; другими словами, обратим оператор L − λ1. Обозначим через yν = yν (x, λ), ν = 1, 2, . . ., n, систему решений уравнения l(y) = λy , удовлетворяющую начальным условиям  0 при j = ν , y (ν−1) (a, λ) = 1 при j = ν. Применяя к уравнению

l(y) = λy − f

метод вариации произвольных постоянных, получим  n  x n Wν (ξ)  y(x) = Cν yν (x) + f (ξ) yν (x) dξ , ν=1

a

ν=1

b

 n

W (ξ)

(30a)

а также

y(x) =

n

Cν yν (x)

− f (ξ)

ν=1

x

C1 ,

Здесь функций

ν=1

. . ., Cn , C1 , y1 , . . ., yn :

C2 ,

 W (ξ) yν (x) ν W (ξ)

dξ.

(30б)

. . ., Cn — постоянные, W — вронскиан

 . . . yn(n−1)   (n−2) (n−2) y1 y2 . . . yn(n−2)  ,  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   y1 y2 . . . yn

     W =   

(n−1)

y1

(n−1)

y2

а W1 , W2 , . . ., Wn — алгебраические дополнения элементов его первой строки. Взяв полусумму левых и правых частей в (30a) и (30б), получим b n y(x) = Cν yν (x) + g (x, ξ)f (ξ) dξ , (31) ν=1

где Cν — постоянные, а     1  g (x, ξ) = ±  2W (ξ)   

a

    (n−2) (n−2) (n−2) y1 (ξ) y2 (ξ) . . . yn (ξ)  , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   y1 (ξ) y2 (ξ) . . . yn (ξ) y1 (x)

y2 (x)

. . . yn (x)

(32)

§ 3. Функция Грина линейного дифференциального оператора

51

причем знак «+» берется при x > ξ , а «−» при x < ξ . Потребуем теперь, чтобы функция y в (31) удовлетворяла краевым условиям Uν (y) = 0, ν = 1, 2, . . ., n, т. е. была решением краевой задачи

l(y) = λy + f , Uν (y) = 0, ν = 1, 2, . . . , n. Это означает, что n

b Cj Uν (yj ) + f (ξ)Uν (g ) dξ = 0;

j=1

a

решая эти уравнения относительно Cj и подставляя в (31), получим b

y(x) = G(x, ξ , λ)f (ξ) dξ ,

(33)

a

где

G(x, ξ , λ) = а

и

     Δ(λ) =    

(−1)n H(x, ξ , λ), Δ(λ)

U1 (y1 ) U1 (y2 ) . . . U1 (yn ) U2 (y1 ) U2 (y2 ) . . . U2 (yn ) ............................ Un (y1 ) Un (y2 ) . . . Un (yn )

     H(x, ξ , λ) =    

(34)

        

y1 (x) . . . yn (x) g (x, ξ) U1 (y1 ) . . . U1 (yn ) U1 (g ) ............................ Un (y1 ) . . . Un (yn ) Un (g )

(35)

     .   

(36)

Если λ не является собственным значением оператора L, то Δ(λ) = = 0 и формулы (33), (34) имеют смысл. Формула (33) показывает, что G(x, ξ , λ) есть функция Грина оператора L − λ1. Таким образом: VII. Функция Грина G(x, ξ , λ) оператора L − λ1 определяется формулами (32), (34), (35), (36). 8. Аналитическая природа функции Грина оператора L − λ1. Функции Δ(λ) и H(x, ξ , λ) в формулах (35), (36) являются, очевидно, целыми аналитическими функциями параметра λ. Поэтому из (34) следует: VIII. Функция Грина G(x, ξ , λ) оператора L − λ1 есть мероморфная функция параметра λ; ее полюсами могут быть лишь собственные значения оператора L.

52

Гл. I. Основные понятия и предложения

Пусть λ0 — простой нуль функции Δ(λ). Тогда λ0 может быть только простым полюсом функции G(x, ξ , λ), так что

G(x, ξ , λ) =

R(x, ξ) + G1 (x, ξ , λ), λ − λ0

(37)

где G1 (x, ξ , λ) регулярна в окрестности точки λ0 . Если λ0 вообще не особая точка функции G(x, ξ , λ), то следует считать R(x, ξ) = 0. Согласно известной формуле теории вычетов

R(x, ξ) = (−1)n

H(x, ξ , λ0 ) . Δ (λ0 )

Но в разложении определителя H(x, ξ , λ) по элементам первой строки коэффициент при g (x, ξ) есть Δ(λ0 ) = 0; следовательно, функция R(x, ξ) и ее первые n производных непрерывны по совокупности переменных x, ξ в квадрате a  x, ξ  b. Далее, из (36) вытекает, что R(x, ξ) есть линейная комбинация функций y1 (x), . . ., yn (x); следовательно, при фиксированном ξ она удовлетворяет уравнению

l(R) − λ0 R = 0. Из формулы (36) видно также, что H(x, ξ , λ), а потому и R(x, ξ) при фиксированном ξ удовлетворяет краевым условиям. Таким образом, R(x, ξ) есть собственная функция оператора L, соответствующая собственному значению λ0 . Но так как λ0 — простой нуль функции Δ(λ), то ему отвечает с точностью до множителя, не зависящего от x, только одна собственная функция y0 (x) оператора L. Поэтому должно быть

R(x, ξ) = a(ξ)y0 (x).

(38)

Положим теперь G∗ (x, ξ , λ) = G(ξ , x, λ); тогда G∗ (x, ξ , λ) — функция Грина оператора L∗ − λ1. С другой стороны, из равенства (37) заключаем, что

G∗ (x, ξ , λ) =

R(ξ , x) + G1 (ξ , x, λ). λ − λ0

Поэтому R(ξ , x) при фиксированном ξ есть собственная функция оператора L∗ , соответствующая собственному значению λ0 . Следовательно, обозначая через z0 (x) одну из таких функций, имеем

R(ξ , x) = b(ξ)z0 (x). Отсюда

R(x, ξ) = b(x)z0 (ξ).

Сравнивая эту формулу с (38), получаем

R(x, ξ) = cy0 (x)z0 (ξ).

(39)

§ 3. Функция Грина линейного дифференциального оператора

53

Остается определить постоянную c. Из (37) и (39) следует, что b

(λ − λ0 ) G(x, ξ , λ)y0 (ξ) dξ = a

b

b

a

a

= cy0 (x) y0 (ξ)z0 (ξ) dξ + (λ − λ0 ) G1 (x, ξ , λ)y0 (ξ) dξ. (40) Интеграл в последнем слагаемом есть регулярная функция параметра λ в окрестности точки λ0 ; следовательно, из (40) заключаем, что b

b

a

a

lim (λ − λ0 ) G(x, ξ , λ)y0 (ξ) dξ = cy0 (x) y0 (ξ)z0 (ξ) dξ.

λ→λ0

С другой стороны,

(41)

(L − λ1)y0 = (λ0 − λ)y0 ,

откуда

(L − λ1)−1 y0 =

1 y . λ0 − λ 0

Так как G(x, ξ , λ) есть функция Грина оператора L − λ1, то последнее равенство можно переписать в виде

b G(x, ξ , λ)y0 (ξ) dξ =

1 y (x). λ0 − λ 0

a

Подставляя в (41), получим, что b

−y0 (x) = cy0 (x) y0 (ξ)z0 (ξ) dξ ; a

отсюда

1

c = −b 

,

y0 (ξ)z0 (ξ) dξ a

следовательно,

R(x, ξ) = − b

y0 (x)z0 (ξ)



y0 (ξ)z0 (ξ) dξ a

.

Гл. I. Основные понятия и предложения

54

Отсюда и из (37) следует IX. Если λ0 — простой нуль функции Δ(λ), то y0 (x)z0 (ξ)

G(x, ξ , λ) = −

b

+ G1 (x, ξ , λ),

(42)

(λ − λ0 ) y0 (ξ)z0 (ξ) dξ a

где G1 (x, ξ , λ) регулярна в окрестности точки λ0 . Наиболее просто эта формула выглядит, если функции y0 (x) и z0 (x) пронормировать так, что b

y0 (ξ)z0 (ξ) dξ = 1. a

Тогда

G(x, ξ , λ) = −

y0 (x)z0 (ξ) + G1 (x, ξ , λ). λ − λ0

(43)

9. Случай кратного полюса функции Грина. Предыдущие результаты можно обобщить на случай кратного нуля λ0 функции Δ(λ); в этом случае λ0 есть, вообще говоря, кратный полюс функции Грина G(x, ξ , λ). Мы будем теперь считать, что G(x, ξ , λ) есть функция Грина краевой задачи

l(y) = 0, Uν (y) = 0, ν = 1, 2, . . . , n,

(44)

в которой коэффициенты дифференциального выражения l(y) и форм Uν (y) суть целые аналитические функции параметра λ; функция Грина оператора L − λ1 является, очевидно, частным случаем такой функции G(x, ξ , λ). Отметим, что все результаты пп. 7–8 полностью переносятся на этот более общий случай; при этом под y1 (x, λ), y2 (x, λ), . . ., yn (x, λ) следует теперь понимать фундаментальную систему решений уравнения l(y) = 0, удовлетворяющих тем же начальным условиям  1 при k = ν , (ν−1) yk (a, λ) = 0 при k = ν. Итак, пусть λ0 — полюс ν -го порядка функции Грина G(x, ξ , λ) краевой задачи (44); следовательно,

G(x, ξ , λ) =

R(x, ξ) R1 (x, ξ) R (x, ξ) + + ... + ν + G1 (x, ξ , λ), (45) ν−1 (λ − λ0 )ν λ − λ0 (λ − λ0 )

где функция G1 (x, ξ , λ) регулярна в окрестности точки λ0 . При фиксированном ξ функция G(x, ξ , λ) удовлетворяет уравнению l(G) = 0 в каждом из интервалов [a, ξ) и (ξ , b]. Подставляя вместо

§ 3. Функция Грина линейного дифференциального оператора

55

функции G ее выражение из (45), получим, что при λ = λ0

l(R) = 0, 1 ∂l l(R1 ) + (R) = 0, 1! ∂λ

(46)

..................................................... ν−1

l(Rν−1 ) +

1 ∂l 1 l ∂ (Rν−2 ) + . . . + (R) = 0. 1! ∂λ (ν − 1)! ∂λν−1

Кроме того, из формул (34) и (36) вытекает, что при фиксированном ξ функции R(x, ξ), R1 (x, ξ), . . ., Rν−1 (x, ξ) удовлетворяют краевым условиям μ 1 ∂pU p=0

p! ∂λp

(Rμ−p ) = 0, R0 = R, μ = 0, 1, . . . , ν − 1, q = 1, 2, . . . , n,

(47) при λ = λ0 . Пользуясь соотношениями (46) и (47) и определением канонической системы собственных и присоединенных функций (п. 3 § 2), можно убедиться в справедливости следующего предложения, которое мы приводим без доказательства (см. Келдыш [1]). X. Главная часть функции Грина в окрестности нуля λ0 функции Δ(λ) имеет вид p  zj (ξ)yj (x) zj (ξ)yj 1 (x) + zj 1 (ξ)yj (x) + ... mj + mj − 1 j=1

(λ − λ0 )

... + где

(λ − λ0 )

zj (ξ)yj , mj −1 (x) + zj 1 (ξ)yj , mj −2 (x) + . . . + zj , mj −1 (ξ)yj (x) λ − λ0

 , (48)

yj , yj 1 , . . . , yj , mj −1 , j = 1, 2, . . . , p,

— произвольная каноническая система собственных и присоединенных функций рассматриваемой краевой задачи, а

zj , zj 1 , . . . , zj , mj −1 , j = 1, 2, . . . , p, — надлежащим образом нормированная каноническая система собственных и присоединенных функций сопряженной краевой задачи.

Г л а в а II АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ И РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

§ 4. Асимптотика собственных значений и собственных функций при больших значениях |λ| 1. Постановка задачи. При больших значениях |λ| можно дать приближенные (именно, асимптотические) формулы для собственных значений и собственных функций дифференциального оператора. Эти формулы не только представляют интерес сами по себе, но и применяются также в различных вопросах теории дифференциальных операторов. Оказывается, что при большом |λ| поведение собственных значений и собственных функций в первом приближении такое же, как и в случае весьма простого оператора, порожденного дифференциальным выdn y ражением l(y) = n . dx Для вывода асимптотических формул мы сначала обратимся к асимптотическому поведению при больших |λ| решений уравнения l(y) = λy . Подставляя затем асимптотические выражения для этих решений в уравнение Δ(λ) = 0 (см. п. 1 § 2), мы найдем асимптотические выражения для собственных значений. Положим λ = −ρn ; тогда уравнение l(y) = λy запишется в виде

l(y) + ρn y = 0

(1)

dn y dn−1 y + . . . + pn (x)y + ρn y = 0. n + p1 (x) dx dxn−1

(2)

или, подробнее, 1)

1) Для простоты мы полагаем здесь p0 (x) ≡ 1; по поводу случая p0 (x) ≡ 1 см. п. 11, б).

§ 4. Асимптотика при больших значениях λ

57

Не нарушая общности, можно считать, что p1 (x) ≡ 0. Действительно, если p1 (x) = 0, то, полагая 

1

−n

y=e

p1 (x) dx

· y,

мы приведем уравнение (2) к виду dn y dn−2 y 2 (x) n−2 + . . . + pn (x) y + ρn y = 0 n +p dx dx

с тем же значением ρ. При этом p2 (x), . . ., pn (x) — также непрерывные функции от x в интервале [a, b]. Далее, не нарушая общности, можно считать, что интервал [a, b] есть [ 0, 1]. Общий случай легко сводится к этому подстановкой x = a + (b − a)t. Асимптотическое поведение решений уравнения l(y) + ρn y = 0 зависит от того, в какой части комплексной плоскости находится точка ρ. 2. Области S и T . Разобьем всю комплексную ρ-плоскость на 2n секторов Sν , ν = 0, 1, 2, . . ., 2n − 1, определяемых неравенством (рис. 7) νπ (ν + 1)π  arg ρ  . n n

(3)

Ниже мы увидим, что асимптотические формулы для решений y уравнения (2) существенно зависят от того, в каком именно из секторов Sν находится ρ. Обозначим через

ω1 , ω2 , ω3 , . . . , ωn все различные корни n-й степени из −1. В дальнейшем нам понадобится следующее свойство секторов Sν :

Рис. 7

I. Для каждого сектора Sν существует такое расположение чисел ω1 , ω2 , . . ., ωn , что для всех ρ ∈ Sν выполняются неравенства 1)

R(ρ ω1 )  R(ρ ω2 )  . . .  R(ρ ωn ).

(4)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Неравенства (4) достаточно доказать только для каких-нибудь двух соседних секторов. Действительно, обозначим через ε какой-нибудь корень n-й степени из единицы:

ε=e 1)

2lπi n

.

R(z) обозначает действительную часть комплексного числа z .

Гл. II. Асимптотическое поведение собственных значений

58

Умножение на ε переводит сектор Sν в другой сектор, повернутый на 2πl угол . Далее, числа n

ε−1 ω1 , ε−1 ω2 , . . . , ε−1 ωn отличаются от чисел ω1 , ω2 , . . ., ωn только порядком. Если поэтому неравенства (4) имеют место для некоторого сектора Sν , то, записав их в виде

R(ρ ε · ε−1 ω1 )  R(ρ ε · ε−1 ω2 )  ·  R(ρ ε · ε−1 ωn ), получаем аналогичные неравенства для другого сектора, повернутого 2lπ на угол . n Итак, достаточно доказать наше утверждение для двух соседних секторов, например для S2n−1 и S0 . Пусть, например, n нечетно: n = = 2μ − 1. Перенумеруем числа ωk так, что

arg ω1 = π , 2π , n 4π arg ω5 = π − , n

arg ω3 = π −

2π , n 4π arg ω4 = π + , n π . . . , arg ωn = , n

arg ω2 = π +

и умножим какое-нибудь число ρ ∈ ∈ S2n−1 последовательно на ω1 , ω2 , . . ., ωn ; тогда полученные точки ρ1 , ρ2 , . . ., ρn расположатся так, как показано на Рис. 8 рис. 8. Поэтому неравенства (4) для области S2n−1 геометрически совершенно очевидны 1). Аналогично они доказываются для области S0 и аналогично рассматривается случай четного n. В дальнейшем нам удобно будет рассматривать области более общего вида, которые получаются из сектора Sν сдвигом ρ → ρ + c, где c — фиксированное комплексное число. Эти новые секторы (с вершиной в точке ρ = −c) мы будем обозначать через Tν . 1) Нетрудно также и аналитически проверить справедливость неравенств (4). Полагая ρ = reiϕ , имеем, например, при ρ ∈ S2n−1   2π R(ρ ω1 ) − R(ρ ω2 ) = r cos(ϕ + π) − r cos ϕ + π + = n   π π  0, = 2r sin sin ϕ + π + n n  π π  0. Мы предоставляем  ϕ  2π , и потому sin ϕ + π + ибо 2π − n n читателю аналогичную проверку остальных неравенств (4).

§ 4. Асимптотика при больших значениях λ

59

Так как переход от Sν к Tν осуществляется сдвигом ρ → ρ + c, то для этих новых секторов T неравенства (4) перепишутся в виде

R((ρ + c)ω1 )  R((ρ + c)ω2 )  . . .  R((ρ + c)ωn ).

(5)

В дальнейшем мы будем считать, что ρ находится в некоторой фиксированной области Tν и что числа ωp занумерованы так, чтобы во всей области Tν выполнялись неравенства (5). Области Sν и Tν мы будем просто называть областями S и T . 3. Сведение уравнения l(y) + ρn y = 0 к интегро-дифференциальному уравнению. Вывод асимптотических формул основан на сведении уравнения l(y) + ρn y = 0 (6) к некоторому эквивалентному интегро-дифференциальному уравнению, которое получается следующим образом: положим

m(y) = p2 y (n−2) + . . . + pn y ;

(7)

тогда уравнение (6) можно будет переписать в виде

y (n) + ρn y = −m(y).

(8)

Однородное уравнение y (n) + ρn y = 0 имеет фундаментальную систему решений eρ ω1 x , eρ ω2 x , . . . , eρ ωn x ; поэтому, рассматривая (8) как неоднородное уравнение с правой частью m(y) и применяя метод вариации произвольных постоянных, получим уравнение

y = c1 eρ ω1 x + . . . + cn eρ ωn x + x ω1 eρ ω1 (x−ξ) + . . . + ωn eρ ωn (x−ξ) + mξ (y) dξ , (9) n−1 0

nρ

эквивалентное уравнению (8). При этом c1 , . . ., cn — произвольные постоянные, которые могут зависеть от ρ, а mξ (y) обозначает значение m(y) при x = ξ . Положим для некоторого фиксированного k, k = 1, 2, . . ., n, ⎧ cj при j = 1, 2, . . . , k, ⎪ ⎪ ⎨ 1  cj = (10) ωj e−ρ ωj ξ ⎪ cj − mξ (y) dξ при j = k + 1, . . . , n. ⎪ n−1 ⎩ nρ 0

Гл. II. Асимптотическое поведение собственных значений

60

Тогда уравнение (9) перепишется в виде

y = c1 eρ ω1 x + . . . + cn eρ ωn x + x 1 + n−1 K1 (x, ξ , ρ)mξ (y) dξ − nρ

0

1 nρn−1

1 K2 (x, ξ , ρ)mξ (y) dξ , (11) x

где

K1 (x, ξ , ρ) =

k

ρ ωα (x−ξ)

ωα e

,

n

K2 (x, ξ , ρ) =

α=1

ωα eρ ωα (x−ξ) . (12)

α=k+1

Уравнение (11) является, очевидно, интегро-дифференциальным уравнением относительно y ; из него и будут получены асимптотические формулы. 4. Лемма о системе интегральных уравнений. Л е м м а 1. Пусть дана система интегральных уравнений r 

b

yi (x) = fi (x) +

Aij (x, ξ , λ)yj (ξ) dξ , i = 1, 2, . . . , r,

(13)

j=1 a

где: 1) функции fi (x) непрерывны в интервале [a, b]; 2) при каждом фиксированном λ функции Aij (x, ξ , λ) непрерывны при a  x < ξ и ξ < x  b; 3) при фиксированных x и ξ (a  x, ξ  b) Aij (x, ξ , λ) — регулярные аналитические функции параметра λ; 4) существуют постоянные R и C , такие, что при |λ| > R

|Aij (x, ξ , λ)| 

C |λ|

во всем квадрате a  x, ξ  b. Тогда при достаточно большом R0 и |λ| > R0 система (13) имеет одно и только одно решение yi (x) = yi (x, λ); при этом yi (x, λ) являются аналитическими функциями параметра λ, регулярными при |λ| > R0 , и 1)   1 yi (x, λ) = fi (x) + O при λ → ∞. (14) λ

1)

Выражение O

 1  λk

обозначает функцию вида

f (x, λ) , где |f (x, λ)|  C λk

при a  x  b, |λ|  R0 и некоторых постоянных C и R0 .

§ 4. Асимптотика при больших значениях λ

61

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если система (13) имеет решение yi (x), i = 1, 2, . . . , r, то, применяя метод последовательных подстановок, получим r 

b

yi (x) = fi (x) +

+

j=1 a b b r

Aij (x, ξ , λ)fj (ξ) dξ +

Aij1 (x, ξ1 , λ)Aj1 j2 (ξ1 , ξ2 , λ)yj2 (ξ2 ) dξ1 dξ2 =

j1 , j2 = 1 a a

...................................................... r b = fi (x) + Aij (x, ξ , λ)fj (ξ) dξ + . . . j=1 a

... +

b

r

b . . . Aij1 (x, ξ1 , λ) · . . . · Ajn−1 jn (ξn−1 , ξn , λ) ×

j1 , ..., jn =1 a

+

a

× fjn (ξn ) dξ1 · . . . · dξn + b b . . . Aij1 (x, ξ1 , λ) · . . . · Ajn jn+1 (ξn , ξn+1 , λ) ×

r

j1 , ..., jn+1 =1 a

a

× yjn+1 (ξn+1 ) dξ1 · . . . · dξn+1 .

Положим B = max |yi (x)|, a  x  b, i = 1, 2, . . ., r . При |λ|  R последнее слагаемое по модулю не превосходит 1 [(b − a)Cr]n+1 B |λ|n+1

и, следовательно, стремится к 0 при n → ∞, если |λ| > R0 , где

R0 = max{R, (b − a)Cr}. Поэтому функция yi (x) = yi (x, λ) есть сумма ряда r 

b

yi (x, λ) = fi (x) +

Aij (x, ξ1 , λ)fj (ξ) dξ +

j=1 a

+

b b r

Aij1 (x, ξ1 , λ)Aj1 j2 (ξ1 , ξ2 , λ)fj2 (ξ2 ) dξ1 dξ2 + . . . .

j1 , j2 = 1 a a

Обратно, легко видеть, что в каждой области |λ|  R1 > R0 , a  x  b, этот ряд сходится равномерно и представляет собой решение

62

Гл. II. Асимптотическое поведение собственных значений

системы (13). Отсюда вытекает формула (14) и регулярность функций yi (x, λ) при |λ| > R0 . 5. Асимптотические формулы для решений уравнения l(y) + ρn y = 0. Прежде всего нам понадобятся оценки для ядер K1 и K2 в уравнениях (11) и их производных. Л е м м а 2. Существует константа C , такая, что для всех ρ ∈ T имеют место неравенства   ν  ∂ (15a)  ν K1 (x, ξ , ρ)  C|ρ|ν k|eρ ωk (x−ξ) | при 0  ξ  x  1, ∂x   ν  ∂  ν K2 (x, ξ , ρ)  C|ρ|ν (n − k)|eρ ωk (x−ξ) | при 0  x  ξ  1, ∂x (15б) ν = 0, 1, 2, 3, . . . . Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем константу C так, чтобы

|ec(ωj −ωk )(x−ξ) |  C

(16)

для всех j , k = 1, . . ., n и всех x и ξ из интервала [ 0, 1]; это возможно, ибо левая часть (16) есть непрерывная функция переменных x и ξ . Если ρ ∈ T , то из неравенств (5) следует, что при a  k

R(ρ ωα )  R(ρ ωα + (ρ + c)(ωk − ωα )); отсюда заключаем, что при 0  ξ  x  1

|eρ ωα (x−ξ) |  |e[ρωα +(ρ+c)(ωk −ωα )](x−ξ) |  C|eρ ωk (x−ξ) |. Поэтому (см. (12))

  k    ν    ∂ ν ν+1 ρ ωα (x−ξ)  ρ ωα e  ν K1 (x, ξ , ρ) =    Ck|ρ|ν |eρ ωk (x−ξ) |, ∂x   α=1

так что неравенство (15а) доказано. Аналогично доказывается неравенство (15б). Т е о р е м а 1. Если функции p2 , . . ., pn непрерывны 1) в интервале [ 0, 1], то во всякой области T комплексной ρ-плоскости уравнение

y (n) + p2 y (n−2) + . . . + pn−1 y  + pn y + ρn y = 0 1) В действительности, как видно из излагаемого ниже доказательства, заключение теоремы остается верным для произвольных функций p2 , . . ., pn , суммируемых в интервале [ 0, 1].

§ 4. Асимптотика при больших значениях λ

63

имеет n линейно-независимых решений y1 , y2 , . . ., yn , регулярных относительно ρ ∈ T при |ρ| достаточно большом и удовлетворяющих соотношениям    1 yk = eρ ωk x 1 + O , ρ    dyk 1 = ρeρ ωk x ωk + O , dx ρ (17) .....................................    dn−1 yk 1 = ρn−1 eρ ωk x ωkn−1 + O . n−1 ρ

dx

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что уравнение (6) имеет решение yk , такое, что

cν = 0 при ν = k, ck = 1. Таким образом, ρ ωk x

yk = e

1 + n−1 nρ

x K1 (x, ξ , ρ)mξ (yk ) dξ − 0

1 − n−1 nρ

1 K2 (x, ξ , ρ)mξ (yk ) dξ. (18a) x

Дифференцируя это равенство n − 1 раз, получим вместе с исходным равенством систему 1) dν yk 1 = ρν ωkν eρ ωk x + n−1 dxν nρ

x

∂ ν K1 (x, ξ , ρ) mξ (yk ) dξ − ∂xν

0

1 − n−1 nρ

1

∂ ν K2 (x, ξ , ρ) mξ (yk ) dξ , ∂xν

(18б)

x

ν = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Положим в (18б)

dν yk = ρν eρ ωk x zkν ; dxν

(19)

1) Результат дифференцирования по верхнему и нижнему пределам в сумме дает нуль; это видно, если дифференцировать по верхнему пределу интеграл в (9), ибо ω1ν + . . . + ωnν = 0 при ν = 1, 2, . . ., n − 1.

64

Гл. II. Асимптотическое поведение собственных значений

тогда для функций zkν = zkν (x, ρ) мы получим систему уравнений

zkν (x, ρ) = ωkν +

1 nρ

x

e−ρ ωk (x−ξ) ρ−ν

∂ ν K1 (x, ξ , ρ) [p2 (ξ)zk, n−2 (ξ , ρ) + ∂xν

0

1 1 + p3 (ξ)zk, m−3 (ξ , ρ) + . . . + n−2 pn (ξ)zk0 (ξ , ρ)] dξ − ρ ρ 1 − nρ

1

e−ρ ωk (x−ξ) ρ−ν



∂ ν K2 (x, ξ , ρ) p2 (ξ)zk, n−2 (ξ , ρ) + ∂xν

x

+



1 1 p (ξ)zk, n−3 (ξ , ρ) + . . . + n−2 pn (ξ)zk0 (ξ , ρ) dξ. ρ 3 ρ

(20)

Положим, далее, ⎧ 1 ν −ρ ωk (x−ξ) −ν−α+2 ∂ K1 (x, ξ , ρ) ⎪ ρ pα (ξ) при ξ < x, ⎨ ne ∂xν Kkνα (x, ξ , ρ) = ν ⎪ ⎩ 1 e−ρ ωk (x−ξ) ρ−ν−α+2 ∂ K2 (x, ξ , ρ) p (ξ) при ξ > x; α ν n

∂x

k = 1, 2, . . . , n; ν = 0, 1, 2, . . . , n − 1; α = 2, 3, . . . , n; тогда система (20) перепишется в виде n  1 + Kkνα (x, ξ , ρ)zkα (ξ , ρ) dξ. ρ 1

zkν (x, ρ) =

ωkν

(21)

α=2 0

При фиксированном k и ν = 0, 1, 2, . . ., n − 1 она является системой интегральных уравнений относительно функций zkν (x, ρ), ν = 0, 1, 2, . . ., n − 1. Из предыдущей леммы вытекает, что все функции Kkνα (x, ξ , ρ) ограничены. Поэтому к системе (21) применима лемма 1 п. 4. На основании этой леммы система (21) имеет одно и только одно решение zkν = zkν (x, ρ), аналитическое относительно ρ, причем   1 zkν (x, ρ) = ωkν + O (22) . ρ

Отсюда и из (19) непосредственно следуют соотношения (17). Из этих соотношений вытекает, что функции yk , k = 1, 2, . . ., n, линейно независимы. Остается доказать, что существует решение yk (x, λ) уравнения (6), удовлетворяющее уравнению (18а); для этого достаточно показать, что, каковы бы ни были постоянные (т. е. не зависящие от ρ) cν , существует решение y уравнения (6), удовлетворяющее (11) при этих значениях cν .

§ 4. Асимптотика при больших значениях λ

65

Равенства (10) представляют собой линейное преобразование от cj к cj (заметим, что y , а следовательно, и выражение mξ (y) в правой части (10) линейно зависит 1) от c1 , . . ., cn ). Очевидно, достаточно доказать, что определитель преобразования (10) при достаточно большом |ρ|, ρ ∈ T , отличен от нуля; в таком случае уравнения (10) можно решить относительно cj при произвольно заданных cj . Решение y уравнения (6), или, что то же, уравнения (9), соответствующее этим значениям cj , будет тогда искомым. Но если определитель преобразования (10) равен нулю для сколь угодно больших |ρ|, ρ ∈ T , то для этих значений ρ уравнения (10) имеют нетривиальные решения относительно cj при c1 = c2 = . . . = cn = 0. Соответствующая функция y будет, следовательно, нетривиальным решением уравнения 1 y = n−1 nρ

x 0

1 K1 (x, ξ , ρ)mξ (y) dξ − n−1 nρ

1 K2 (x, ξ , ρ)mξ (y) dξ ,

(23)

x

которое получается из (11) при c1 = c2 = . . . = cn = 0. Докажем, что это невозможно. Дифференцируя (23) n − 1 раз и полагая dν y ν ρ ωk x zν , ν = 0, 1, . . . , n − 1, (24) ν = ρ e dx

получим для функций zν систему уравнений 1 zν (x, ρ) = n−1 nρ

x

ρ−ν e−ρ ωk (x−ξ)

∂ ν K1 (x, ξ , ρ) × ∂xν

0

× {ρn−2 p2 (ξ)zn−2 (ξ , ρ) + . . . + pn (ξ , ρ)z0 (ξ , ρ)} dξ − 1 1 ∂ ν K2 (x, ξ , ρ) × − n−1 ρ−ν e−ρ ωk (x−ξ) ν nρ

× {ρ

∂x

x n−2

p2 (ξ)zn−2 (ξ , ρ) + . . . + pn (ξ)z0 (ξ , ρ)} dξ.

(25)

Пусть

m(ρ) = max |zν (x, ρ)|, 0x1

ν = 0, . . . , n − 1; 1)

Это следует из того, что интеграл в правой части (9) и его производные до (n − 1)-го порядка включительно обращаются в нуль при x = 0 и потому c1 , . . ., cn связаны линейными соотношениями с y(0), . . ., y (n−1) (0), от которых зависит в свою очередь линейно каждое решение уравнения (6). 3 Наймарк М. А.

66

Гл. II. Асимптотическое поведение собственных значений

применяя лемму 2 к правой части (25), получим оценку

 |zν (x, ρ)| 

1 Ck n|ρ|

 1 |pn | |p2 | + . . . + n− dξ + 2 |ρ|

0

1 + C(n − k) n|ρ|

1 0

|pn | |p2 | + . . . + n− |ρ| 2



 dξ m(ρ).

Так как левая часть достигает своего максимума m(ρ), то отсюда следует, что C m(ρ)  m(ρ) |ρ|

 1 |pn | C |p2 | + . . . + n−2 dξ  m(ρ) 1 , |ρ|

|ρ|

0

где C1 — некоторая константа. При больших |ρ| это неравенство возможно, только если m(ρ) = = 0; следовательно, zν (x, ρ) = 0. Отсюда в силу (24) y ≡ 0 при ν = 0, и теорема полностью доказана. З а м е ч а н и е. Уравнение

U (n) + ρn U = 0 имеет фундаментальную систему решений

Uk = eρ ωk x , k = 1, 2, . . . , n. Формулы (17) показывают, что решения yk в теореме 1 аппроксимируются этими функциями Uk . Другими словами, для больших |ρ| в уравнении

y (n) + p2 y (n−2) + . . . + pn y + ρn y = 0 существенную роль играют только первое и последнее слагаемые. Рис. 9 В случае уравнения второго порядка y  + p(x)y + ρ2 y = 0 имеются четыре области S (рис. 9); в силу доказанной теоремы в каждой из них есть линейно независимые решения y1 , y2 , которые можно асимптотически представить в виде    1 y1 = eiρx 1 + O , ρ    1 y2 = e−iρx 1 + O . ρ

§ 4. Асимптотика при больших значениях λ

67

Если ρ вещественно и положительно, то эти решения можно заменить их линейными комбинациями   y1 + y2 1 = cos(ρx) + O , 2 ρ   y1 − y2 1 = sin(ρx) + O . ρ

2

6. Уточнение асимптотических формул. Если коэффициенты p2 , . . . , pn дифференциального выражения не только непрерывны, но имеют также непрерывные производные до некоторого порядка m, то полученные асимптотические формулы можно уточнить. Пусть, например, коэффициент p2 (ξ) имеет непрерывную первую производную p2 (ξ). Подставим в правую часть (18а) вместо функции yk и ее производных выражения из (17). Тогда, применяя оценки (15а) и (15б) при ν = 0, получим ρ ωk x

yk = e

1 + nρ

x K1 (x, ξ , ρ)eρ ωk ξ ωkn−2 p2 (ξ) dξ − 0

−

1 nρ

1 K2 (x, ξ , ρ)eρ ωk ξ ωkn−2 p2 (ξ) dξ + O x

1



ρ2

eρ ωk x . (26)

Но в силу (12) x

K1 (x, ξ , ρ)eρ ωk ξ p2 (ξ) dξ =

0

ρ ωk x

=e

k−1 α=1

x

−ρ(ωk −ωα )(x−ξ)

ωα e

x p2 (ξ) dξ + ωk

0

 p2 (ξ) dξ ,

0

причем, интегрируя по частям и принимая во внимание неравенства   1 (5), легко убедиться в том, что первое слагаемое в скобках есть O . ρ Таким образом,



x ρ ωk ξ

K1 (x, ξ , ρ)e 0

ρ ωk x

p2 (ξ) dξ = e

 

x ωk p2 (ξ) dξ + O 0

и, аналогично,

1 K2 (x, ξ , ρ)eρ ωk ξ p2 (ξ) dξ = eρ ωk x O x 3*

 

1 . ρ

1 ρ

Гл. II. Асимптотическое поведение собственных значений

68

Подставляя эти выражения в (26), получим 

 y (x) 1 yk = eρ ωk x 1 + k0 +O 2 , ρ

где 1 yk0 (x) = − nωk

(27)

ρ

x p2 (ξ) dξ.

(28)

0

Аналогично, подставляя выражения (17) в правую часть (18), получим 

 dν yk ykν (x) 1 ν ν ρ ωk x = ρ ω e 1 + + O , ν = 0, 1, . . . , n − 1; (29) ν k 2 dx

ρ

ρ

при этом легко проверить, что первые два слагаемых в скобках в формуле (29) получатся, если ν раз продифференцировать выражение   y (x) eρ ωk x 1 + k0 ρ

ν ν ρ ωk x в (27) и после отбросить все члены

вынесения за скобку ρ ωk e 1 порядка O . 2

ρ

Если p2 и p3 имеют непрерывные производные до второго и первого порядков соответственно, то, подставляя выражения (29) в правую часть (18а) и (18б) аналогично предыдущему, получим 

 dν yk ykν 1 (x) ykν 2 (x) 1 ν ν ρ ωk x . 1+ + +O 3 (30) ν = ρ ωk e 2 dx

ρ

ρ

ρ

Повторяя эти рассуждения, приходим к следующему результату. С л е д с т в и е. Если функции p2 , p3 , . . ., pn имеют в интервале [ 0, 1] непрерывные производные до m-го, (m − 1)-го, (m − 2)-го, . . . порядков соответственно, то для решений y1 , y2 , . . ., yn , построенных в теореме 1, имеют место асимптотические формулы  

y (x) y (x) y (x) 1 yk = eρ ωk x 1 + k01 + k022 + . . . + k0mm + O m+1 , ρ

ρ

ρ

ρ

(31a)  

d yk ykν 1 (x) ykν 2 (x) ykνm (x) 1 ν ν ρ ωk x 1+ + + ... + + O m+1 , ν = ρ ωk e m 2 ν

dx

ρ

ρ

ρ

ρ

(31б) где ykν 1 (x), ykν 2 (x), . . ., ykνm (x) — непрерывные функции в интервале [ 0, 1].

§ 4. Асимптотика при больших значениях λ

69

З а м е ч а н и е 1. Формулы (31б) получаются из (31а) почленным ν ν ρ ωk x дифференцированием, вынесением

за скобку множителя ρ ωk e и объединением в скобках в O содержат

1 при k > m. ρk

1 ρm+1

всех тех слагаемых, которые

В этом легко убедиться, если вспомнить, что O есть выражение вида

x

1

ρm+1

1

ρm+1

 в (31а)

e−ρ ωk (x−ξ) K1 (x, ξ , ρ)ϕ(ξ , ρ) dξ −

0

1

−ρ ωk (x−ξ)

− e

 K2 (x, ξ , ρ)ϕ(ξ , ρ) dξ ,

x

где ϕ(ξ , ρ) — некоторая ограниченная функция; из леммы п. 5 тогда следует, что ν -я  производная этого выражения по x (ν = 1, 2, . . . , n) будет O

1 ρm+1−ν

.

Согласно замечанию 1 функции ykνj (x) выражаются через функции yk0μ (x). З а м е ч а н и е 2. Функции yk0μ (x) можно определить с точностью до постоянных слагаемых, подставляя выражения (31а), (31б) в уравнение l(y) + ρn (y) = 0 и сравнивая после сокращения на ρn eρ ωk x члены 1 1 при одинаковых степенях до m включительно. В результате полуρ ρ чается система рекуррентных дифференциальных уравнений первого порядка, из которых последовательно определяются функции yk0μ (x) с точностью до постоянных слагаемых. Действительно, после указанных подстановок и сокращения дифференциальное уравнение примет вид 

A1 A2 Am 1 + 2 + . . . + m + O m+1 = 0, (32) ρ

где

ρ

ρ

ρ

Aν 1 обозначает сумму всех членов уравнения, содержащих ν . ρν ρ

Очевидно, равенство (32) возможно только тогда, когда

A1 = 0, A2 = 0, . . . , Am = 0.

(33)

Если фактически вычислить выражения для A1 , A2 , . . ., Am , то из уравнений (33) получаются следующие выражения для функций yk0ν :

70

Гл. II. Асимптотическое поведение собственных значений

yk01 yk0ν = αν −

1 n

1 = α1 − nωk

ν−1 ν−α− 1 α=0

β=0

x

x p2 (ξ) dξ ,

(34a)

0

(β)

ωkα−ν pν+1−α−β (ξ)yk0α (ξ) dξ ,

(34б)

0

ν = 2, 3, 4, . . . , m. Постоянные αν , ν = 1, 2, 3, . . ., можно уже определить только из уравнений (18). Так, например, выше мы видели, что α1 = 0. Аналогично можно определить остальные постоянные αν . Асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений при больших значениях параметра исследуется во многих работах. Дополнительные сведения и литературу можно найти, например, в книгах: Стеклов [2], Коддингтон и Левинсон [1], Расулов [1], Сансоне [1], Трикоми [1], Чезаро [1]. 7. Нормировка краевых условий. Рассмотрим линейные формы Uν (y), ν = 1, 2, . . . , n, определяющие данный дифференциальный оператор. Число k назовем порядком формы U (y), если эта форма (k) (k) (ν) (ν) содержит y0 или y1 , но не содержит переменных y0 или y1 при ν > k. Рассмотрим формы Uν (y) порядка n − 1, если таковые имеются. Заменяя их, если надо, линейными комбинациями, можно добиться того, что максимальное число форм порядка n − 1 будет  2. Остальные формы имеют порядок  n − 2; применяя к формам порядка n − 2 тот же прием, сведем их число к минимуму, и т. д. Описанные операции называются нормировкой краевых условий, а полученные в результате краевые условия называются нормированными. Из способа их построения следует, что нормированные краевые условия должны иметь вид

Uν (y) ≡ Uν 0 (y) + Uν 1 (y) = 0,

(35)

где

Uν 0 (y) =

(k ) αν y0 ν

+

k ν −1

(j)

ανj y0 ,

(36)

j=0

Uν 1 (y) =

(k ) βν y1 ν

+

k ν −1

(j)

βνj y1 ,

(37)

j=0

n − 1  k1  k2  . . .  kn  0, kν+2 < kν , причем для каждого значения индекса ν хотя бы одно из чисел αν , βν отлично от нуля.

§ 4. Асимптотика при больших значениях λ

71

8. Регулярные краевые условия. Рассмотрим фиксированную область Sν ; и как выше, занумеруем ω1 , ω2 , . . ., ωn так, что при ρ ∈ Sν

R(ρ ω1 )  R(ρ ω2 )  . . .  R(ρ ωn ). В дальнейшем нам удобно будет выделить класс краевых условий, которые называются регулярными. Этот класс определяется различным образом в зависимости от того, будет ли n нечетным или четным: а) n н е ч е т н о; n = 2μ − 1. Нормированные краевые условия (35) называются регулярными, если числа θ0 и θ1 , определенные равенством   k1 k1   α1 ω k1 . . . α1 ω k1 (α1 + sβ1 )ωμk1 β1 ωμ+ 1 μ−1 1 . . . β1 ωn    k2 k2 k2   α2 ω1k2 . . . α2 ωμ− (α2 + sβ2 )ωμk2 β2 ωμ+ 1 1 . . . β2 ωn  θ0 + θ1 s =  ,  .........................................................     αn ω kn . . . αn ω kn (αn + sβn )ωμkn βn ω kn . . . βn ωnkn  1

μ−1

μ+1

(38) отличны от нуля. б) n ч е т н о; n = 2μ. Нормированные краевые условия (35) называются регулярными, если числа θ−1 , θ0 и θ1 , определенные равенством θ −1 + θ0 + θ1 s = s

     α ω k1 . . . α ω k1 (α + sβ )ω k1 α + 1 β ω k1 β ω k1 . . . β ω k1  1 μ−1 1 1 1 1 1 1   1 1 μ n μ+2 s  μ+1     1 k2 k2 k2 k2 k2   α2 ω1k2 . . . α2 ωμ− ( α + sβ )ω + β β ω . . . β ω α ω 2 2 2 2 n  μ 1 s 2 μ+1 2 μ+2 =  ,  ................................................................       1 kn kn kn kn kn  αn ω1kn . . . αn ωμ− ( α + sβ )ω + β β ω . . . β ω α ω n n n n n n μ n 1 μ+1 μ+2 s

(39)

отличны от нуля. Это определение регулярности не зависит от выбора области S , при помощи которой были занумерованы числа ωk . Для того чтобы это показать, вернемся к п. 2 и вспомним, что расположения чисел ων , отвечающие различным областям Sν , могут быть получены умножением на корень степени n из единицы из двух основных расположений, отвечающих, например, областям S0 и S2n−1 . Но если в соотношениях (38) или (39) все ων умножить на общий множитель, равный по модуле единице, то и числа θ умножатся на один и тот же множитель, равный по модулю единице. В частности, сохраняет свое значение отношение θ0 : θ1 , соответственно θ0 : θ1 : θ−1 , а поэтому останутся без изменения корни уравнения θ1 ξ + θ0 = 0,

72

Гл. II. Асимптотическое поведение собственных значений

или соответственно θ1 ξ 2 + θ0 ξ + θ−1 = 0; этим мы воспользуемся еще в дальнейшем. Таким образом, остается проследить, как меняются числа θ при переходе от какой-нибудь одной области Sν с четным ν к какой-нибудь другой области Sν  с нечетным ν  . Отметим, что хотя при этом переходе по-прежнему каждое из чисел θ умножается на определенное число, равное по модулю единице, однако теперь, вообще говоря, не все θ умножаются на один и тот же множитель. Рассмотрим сначала случай нечетного n. 2kπi При n = 2μ − 1 числа ψl = eiπ+ n , k = 0, ±1, . . ., ±(μ − 1), являются всеми корнями степени n из −1. В случае области S2n−1 неравенства (4) будут выполняться, если в качестве чисел ω1 , . . ., ωn принять числа ψk со следующим расположением индекса: 0, +1, −1, +2, −2, . . . , +(μ − 1), −(μ − 1), а в случае области S0 — 0, −1, +1, −2, +2, . . . , −(μ − 1), +(μ − 1). В силу (38)

 k1 k1  α1 ω1k1 . . . α1 ωμk1 β1 ωμ+ 1 . . . β1 ωn   θ0 =  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   αn ω kn . . . αn ω kn βn ω kn . . . βn ω kn μ n 1 μ+1

    ;  

так же выглядит определитель для θ1 , с той лишь разницей, что в μ-м столбце следует заменить αk на βk . Пусть числа θ0 и θ1 вычислены для области S2n−1 ; соответствующие числа, найденные для области S0 , обозначим через θ0 и θ1 . Очевидно, что θ0 и θ1 можно получить из θ0 и θ1 , переставляя в соответствующих определителях числа ωk соответственно во втором и третьем столбцах, в четвертом и в пятом столбцах и т. д. Соответствующее изменение чисел θ0 и θ1 легко выяснить путем рассмотрения следующих схем: a1 ) μ ч е т н о, n = 4q − 1:

θ0 α α α α α α β ... β β 0, 1, −1, . . . q − 1, −(q − 1), q , −q , . . . , 2q − 1, −(2q − 1) θ1 α α α α α β β ... β β а2 ) μ н е ч е т н о, μ = 2q + 1, n = 4q + 1:

θ0 α α α . . . α α β β ... β β 0, 1, −1, . . . q , −q , q + 1, −(q + 1), . . . , 2q , −2q θ1 α α α . . . α β β β ... β β Здесь, с одной стороны, указано расположение ψ -индексов для чисел ω1 , . . ., ωn в столбцах определителя θ, с другой стороны, с помощью букв α или β указано, на какое из соответствующих чисел α1 , . . ., αn

§ 4. Асимптотика при больших значениях λ

73

или β1 , . . ., βn умножается данное ωjkij . При переходе от S2n−1 к S0 следует строку индексов (0, 1, −1, . . .) заменить строкой (0, −1, +1, . . .) и оставить без изменения «(α, β)-распределение». Поскольку в случае а1 ) это приводит попросту к перестановке столбцов в θ1 , а в случае а2 ) — к перестановке столбцов в θ0 , то

θ1 = −θ1 θ0 = θ0

при

n = 4q − 1,

при

n = 4q + 1.

Для нахождения остальных соотношений будем рассуждать следующим образом. 2πil При умножении на ε = e n система чисел ω1 , . . ., ωn переходит сама в себя, причем происходит такая перестановка этих чисел, что к каждому ψ -индексу k добавляется l и к k + l добавляется некоторое число, кратное n, если |k + l| оказывается  μ − 1. Таким образом (при l = −1 и n = 4q − 1), из строки индексов ... α α β β ... 0, 1, −1, . . . , q − 1, −(q − 1), q , −q , q + 1, . . . , −(2q − 1) получается строка ... α α α β β ... − 1, 0, −2, 1, −3, . . . , q − 2, −q , q − 1, −(q + 1), q , . . . , (2q − 2), 2q − 1. Последняя строка может быть приведена к виду ... α α α β ... 0, −1, 1, −2, +2, . . . , −(q − 1), q − 1, −q , q , . . . , −(2q − 1), 2q − 1, отвечающему θ0 , θ1 с помощью перестановок первых 2q − 1 пар чисел. Отсюда вытекает, что

θ0 = −e−

2πi n

(k1 +...+kn )

θ0

при

n = 4q − 1

и аналогично

θ1 = e−

2πi n

(k1 +...+kn )

θ1

при n = 4q + 1.

Теперь ясно, что определение регулярности не зависит от выбора области. Кроме того, оказывается, что: I. Корни уравнения θ1 ξ + θ0 = 0 не меняются при переходе от Sν к Sν  при ν = ν  (mod 2); при переходе от S2l+1 к S2l они умножаются 2πi на e∓ n (k1 +...+kn ) , причем знак + (−) соответствует n = 4q + 1 (n = 4q − 1). Обозначая через ξ (1) и ξ (2) корни, отвечающие Sν с ν соответственно нечетным и четным, мы имеем

ξ (2) = e∓

2πi n

(k1 +...+kn ) (1)

ξ

при n = 4q ± 1.

74

Гл. II. Асимптотическое поведение собственных значений

В случае четного n, n = 2μ, имеется более удобный путь, приводящий kπi к цели. Теперь все корни степени n из −1 имеют вид ψk = eiπ+ n , k = ±1, ± 3, . . . , ± (n − 1), и мы по-прежнему можем охарактеризовать каждое расположение чисел ω1 , . . ., ωn , а следовательно, и выбор области Sν , сортветствующей строкой ψ -индексов. В результате для областей S2n−1 , S0 , S1 мы получим следующие строки: 3, −3, . . . , n − 1, −(n − 1), 1, −1, − 1, 1, −3, 3, . . . , −(n − 1), n − 1, − 1, −3, 1, −5, 3, −7, 5, . . . , −(n − 1), n − 3, n − 1. Будем различать два случая: б1 ) μ = 2q , n = 4q . Строка для S1 может быть получена из строки для S0 , если поменять местами второй и третий, четвертый и пятый, . . ., (n − 2)-й и (n − 1)-й элементы. Если поэтому в определителе (39), составленном для S0 , переставить соответственно столбцы и, кроме того, заменить 1 s на , то получим определитель (39), составленный для области s S1 . Ввиду того,  что число таких перестановок (2q − 1) нечетно, то 1 D1 (s) = −D0 , где Dν (s) — определитель (39), составленный для s области Sν . б2 ) μ = 2q + 1, n = 4q + 2. В этом случае аналогичным способом находим

D2n−1 (s) = −D0

 

1 . s

Таким образом, и в случае четного n определение регулярности не зависит от выбора области Sν . Кроме того, отметим следующее. II. При изменении ν на четное слагаемое корни ξ  и ξ  квадратного уравнения Dν (s) = 0 (отвечающего регулярным краевым условиям) не меняются; при переходе от четного ν к нечетному 1 1 они переходят в  ,  . ξ

ξ

И, наконец, еще одно замечание. Если все числа α1 , . . ., αn , β1 , . . ., βn действительны, то при переходе от S2n−1 к S0 числа θ переходят в комплексно сопряженные. Следовательно, в этом случае независимость определения регулярности от выбора Sν усматривается непосредственно. Рассмотрим некоторые примеры регулярных краевых условий. а) Ус л о в и я т и п а Ш т у р м а п р и ч е т н о м n (n = 2μ). Так называются краевые условия вида

§ 4. Асимптотика при больших значениях λ (kj )

Uj 0 ≡ y0 Uj 1 (y) ≡

(k ) y1 j

k j −1

+



ν=1 kj −1

+



75

(ν)

αjν y0 = 0, (ν) βjν yj

(40)

= 0,

ν=1

j = 1, 2, . . . , μ, где

n − 1  k1 > k2 > . . . > kμ  0; n − 1  k1 > k2 > . . . > k + μ  0; здесь половина условий содержит значения функции y и ее производных только в точке x = 0, а половина — только в точке x = 1. В этом случае 1)   k k1  ω 1 . . . ω k1 ωμk1 ωμ+ 0 . . . 0   1 μ−1 1    ..............................................    kμ   ω kμ . . . ω kμ kμ ω ω 0 . . . 0   1 μ μ−1 μ+1 θ −1   + θ0 + θ1 s = ±  1 k1 k1 k1 k1  ; s  0 ... 0 sωμ ωμ+1 ωμ+2 . . . ωn    s    ..............................................        k kμ kμ  1 kμ  0 sωμμ ωμ+1 ωμ+  0 ... 2 . . . ωn  s

следовательно,

θ0 = 0,

  k1  k1 k1 k1 k1 k1   ωμ ωμ+  ω1 . . . ωμ− . . . ω ω n 1 μ+ 1 2     θ1 = ±  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   kμ    kμ kμ   kμ kμ kμ ω . . . ωμ− ωμ+ 1 1 ωμ+1  ωμ 2 . . . ωn     k1 k1  k1   ω k1  ω . . . ω . . . ω n   μ μ+ 1   1  . . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . . . .  θ− 1 = ±   .   kμ    kμ kμ   kμ ω . . . ωμ  ωμ+1 . . . ωn  1

    ,   

(41)

(42)

Все определители в формулах (41) и (42) отличны от нуля; следовательно, условия типа Штурма регулярны 2). Докажем, например 1) Знак ± получается потому, что строки здесь расположены не в таком порядке, как в формуле (39). 2) В первом издании этой книги содержалось более слабое утверждение. На возможность приведенного здесь уточнения автору любезно указал Г. М. Кесельман.

Гл. II. Асимптотическое поведение собственных значений

76

(считая для определенности ν = 2n − 1), что не равен нулю определитель   k1 k1 k1   ω1 . . . ωμ− 1 ωμ+1    .....................  α= ;   kμ kμ kμ  ω ... ω ω 1

μ−1

μ+1

для остальных определителей доказательство проводится аналогично. Прежде всего заметим, что точки ω1 , . . ., ωμ−1 , ωμ+1 лежат на одной полуокружности (радиуса единица, с центром в точке нуль). Это вытекает непосредственно из их определения (см. (4) в п. 2). Поэтому, с точностью до порядка следования элементов, последовательность (ω1 , . . . , ωμ−1 , ωμ+1 ) совпадает с последовательностью 2π

2π

(p, pei n , . . . , pei n (μ−1) ), где p — некоторое число, равное по модулю 2π единице. Следовательно, полагая ei n kj = αj , мы имеем    1 α1 . . . αμ−1    1   α = ±pk1 +...+kμ  . . . . . . . . . . . . . . . .  .    1 αμ . . . αμμ−1  Так как все kj различны и 0  kj  n − 1, то среди чисел α1 , . . ., αμ нет одинаковых, а поэтому α = 0. Заметим еще, что поскольку θ0 = 0, то условия Штурма усиленно регулярны в том смысле, что θ02 − 4θ1 θ−1 = 0. б) Ус л о в и я п е р и о д и ч е с к о г о т и п а. Так называются условия вида (ν) (ν) Uν (y) ≡ y0 − y1 = 0, ν = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Условия периодического типа регулярны. Действительно, при n четном (n = 2μ) θ −1 + θ0 + θ1 s = s

  1  1 ... 1 1−s 1− 1 ... 1   s      1  ω1 . . . ωμ−1 ωμ (1 − s) ωμ+1 1 − ωμ+2 . . . ωn  s = ±  =  ............................................................       n−1 1 n−1 n−1 n−1 n−1 n−1   ω1 . . . ωμ−1 ωμ (1 − s) ωμ+1 1 − ωμ+2 . . . ωn s   1 , = C(1 − s) 1 − s

где C — определитель Вандермонда чисел ω1 , . . ., ωn , и следовательно, C = 0.

§ 4. Асимптотика при больших значениях λ

Отсюда

77

θ0 = ±2C ; θ1 = θ−1 = ±C = 0;

т. е. условия регулярны. При n нечетном (n = 2μ − 1)

θ 0 + θ1 s =   1 ... 1 1−s 1 ... 1   ω1 . . . ωμ−1 (1 − s)ωμ ω . . . ω μ+ 1 n  = ±  ...............................................  n−1 n−1 n−1 n−1 n−1 ω . . . ωμ− ωμ+ 1 1 (1 − s)ωμ 1 . . . ωn

      = ±C(1 − s).   

Отсюда видно, что и в этом случае условия регулярны. в) К р а е в ы е у с л о в и я п р и n = 2. Наиболее общие краевые условия при n = 2 имеют вид

a1 y0 + b1 y1 + a0 y0 + b0 y1 = 0, c1 y0 + d1 y1 + c0 y0 + d0 y1 = 0.

(43)

Рассмотрим следующие случаи: 1) a1 d1 − b1 c1 = 0. Решая (43) относительно y0 и y1 , можно привести условия к виду

y0 + α11 y0 + α12 y1 = 0, y1 + α21 y0 + α22 y2 = 0. В этом случае

  ω

θ −1  1 + θ0 + θ1 s =  s  sω1

следовательно,

 ω2  1   = − s, 1 ω2  s s

θ0 = 0, θ1 = −1, θ−1 = 1,

т. е. условия регулярны. 2) a1 d1 − b1 c1 = 0, |a1 | + |b1 | > 0. В этом случае условия (43) можно привести к виду

a1 y0 + b1 y1 + a0 y0 + b0 y1 = 0, c0 y0 + d0 y1 = 0,      (a + sb )ω − a + 1 b ω  1 1 1 1 1 1   θ −1 s = + θ0 + θ1 s =   1 s   c0 + sd0 c0 + d0 s   1 + 2(a1 c0 + b1 d0 )ω1 ; = ω1 (b1 c0 + a1 d0 ) s + s

таким образом, условия регулярны, если

b1 c0 + a1 d0 = 0.

Гл. II. Асимптотическое поведение собственных значений

78

3) a1 = b1 = c1 = d1 = 0. Так как формы (43) должны быть независимыми, то в этом случае a0 d0 − b0 c0 = 0; следовательно, условия (43) эквивалентны условиям

y0 = 0, y1 = 0. Отсюда

  1 1   1 1  = s − s, 

θ −1  + t0 + θ 1 s =  s  s

s

т. е. условия регулярны. Итак, при n = 2 условия (43) регулярны в следующих случаях: 1) a1 d1 − b1 c1 = 0; 2) a1 d1 − b1 c1 = 0, |a1 | + |b1 | > 0, b1 c0 + a1 d0 = 0; 3) a1 = b1 = c1 = d1 = 0, a0 d0 − b0 c0 = 0. 9. Асимптотика собственных значений. Результаты п. 5 дают возможность установить существование бесчисленного множества собственных значений дифференциального оператора, порожденного регулярными краевыми условиями, и получить асимптотические выражения для этих собственных значений при больших значениях их модуля. Оказывается, что главные члены этих выражений не зависят от вида дифференциального выражения и краевых условий, порождающих дифференциальный оператор. При этом существенную роль играют только числа θ0 , θ1 и θ0 , θ1 , θ−1 , определенные при данных краевых условиях формулами (38) и (39) для нечетного и четного n соответственно. В теореме 2 ниже мы предполагаем (и для краткости не оговариваем этого в условии теоремы), что коэффициенты рассматриваемого дифференциального выражения непрерывны в интервале [ 0, 1]. Заметим, однако, что фактически все результаты этого пункта остаются верными и тогда, когда коэффициенты дифференциального выражения — произвольные функции, суммируемые в интервале [ 0, 1]. Т е о р е м а 2. Собственные значения дифференциального оператора n-го порядка в интервале [ 0, 1], порожденного регулярными краевыми условиями, образуют две бесконечные последовательности λk , λk (k = N , N + 1, N + 2, . . .), где N — некоторое целое число. При нечетном 1) n, n = 4q − 1,    n ln0 ξ (1) 1 λk = (−2kπi)n 1 − +O 2 , (44a) 2kπi k    n ln0 ξ (2) 1 λk = (2kπi)n 1 + +O 2 , (44б) 2kπi

k

1) Здесь ln0 ξ обозначает какое-нибудь фиксированное значение натурального логарифма.

§ 4. Асимптотика при больших значениях λ

79

а для нечетного n, n = 4q + 1,    n ln0 ξ (1) 1  n λk = (2kπi) 1 + +O 2 , 2kπi k    n ln0 ξ (2) 1  n λk = (−2kπi) 1 − +O 2 ;

(44a )

2kπi

k

(44б )

где ξ (1) и ξ (2) — определенные ранее корни уравнения θ1 ξ + θ0 = 0, отвечающего области Sν с ν , соответственно нечетным и четным. При четном n, n = 2μ, и θ02 − 2θ−1 θ1 = 0    μ ln0 ξ  1 λk = (−1)μ (2kπ)n 1 ∓ +O 2 , (45a) kπi k     μ ln0 ξ  1 λk = (−1)μ (2kπ)n 1 ∓ +O 2 , (45б) kπi



k



где ξ и ξ — корни уравнения

θ1 ξ 2 + θ0 ξ + θ−1 = 0,

(46)

отвечающего области S0 , причем верхний знак в формулах (45) соответствует четному, а нижний — нечетному μ. Наконец, при четном n, n = 2μ, и θ02 − 4θ−1 θ1 = 0    μ ln0 ξ 1 λk = (−1)μ (2kπ)n 1 ∓ + O 3/ 2 , (47a) kπi  k   μ ln0 ξ 1 λk = (−1)μ (2kπ)n 1 ∓ + O 3/ 2 , (47б) kπi

k

где ξ — (двойной) корень уравнения (46), отвечающего области S0 , а выбор верхнего или нижнего знака в формулах (47) следует производить по такому же правилу, как в (45). В первых трех случаях все собственные значения, начиная с некоторого, простые, а в четвертом, — начиная с некоторого, простые или двукратные. Д о к а з а т е л ь с т в о. Разберем сначала случай нечетного n; пусть n = 2μ − 1. Рассмотрим фиксированную область T ; пусть числа ωk занумерованы так, что при ρ ∈ T

Положим

R((ρ + c)ω1 )  R((ρ + c)ω2 )  . . .  R((ρ + c)ωn ).

(48)

ρk = (ρ + c)ω , k = 1, 2, . . . , n.

(49)

Точки ρ1 , ρ2 , . . ., ρn лежат на окружности радиуса |ρ + c| на одинако2π

2π

вом угловом расстоянии = друг от друга; поэтому на праn 2μ − 1 вой замкнутой полуокружности их не больше, чем μ. Действительно,

80

Гл. II. Асимптотическое поведение собственных значений

если их там было бы по меньшей мере μ + 1, то мы пришли бы к противоречивому неравенству (рис. 10)

π

2π μ > π, 2μ − 1

ибо угловая мера полуокружности есть π . Отсюда и из неравенств (48) следует, что по крайней мере первые μ − 1 точек ρ1 , ρ2 , . . ., ρμ−1 должны находиться в левой открытой полуплоскости, аналогично последние μ − 1 Рис. 10 точек ρμ+1 , ρμ+2 , . . ., ρ2μ−1 должны находиться в правой открытой полуплоскости. Другими словами,

R( ρ1 ) < 0, R( ρ2 ) < 0, . . . , R( ρμ − 1) < 0, R( ρμ+1 ) > 0, R( ρμ+2 ) > 0, . . . , R( ρ2μ−1 ) > 0.

(50a) (50б)

Если ρ → ∞, оставаясь в области T , то левые части (50а) и (50б) стремятся к −∞ и +∞ соответственно. Действительно, R( ρμ−1 ), например, не будет стремиться к −∞ лишь тогда, когда угловое расстояние между ρμ−1 и отрицательной или положительной мнимой полуосью стремится к нулю, но тогда при достаточно большом |ρ| на дуге π π − ε  arg ρ  + ε 2 2

разместится μ + 1 точка ρμ−1 , ρμ , . . ., ρn . Отсюда следует, что

π + 2ε 

2πμ 2μ − 1

при сколь угодно малом ε > 0, что невозможно. Из доказанного нами утверждения вытекает, что при ρ → ∞, ρ ∈ T , а) eρj экспоненциально стремится к нулю, если j < μ; б) eρj экспоненциально стремится к бесконечности, если j > μ. Согласно теореме 1 п. 5 в области T имеется n независимых решений y1 , y2 , . . ., yn уравнения l(y) + ρn y = 0, таких, что    1 yk =eρ ωk x 1 + O , ρ    1 yk =ρeρ ωk x ωk + O , ρ (51) ....................................    1 (n−1) =ρn−1 eρ ωk x ωkn−1 + O . yk ρ

§ 4. Асимптотика при больших значениях λ

81

Составим при помощи этих решений определитель Δ(λ) = = det(Uν (yj )); по доказанному в п. 1 § 2 собственные значения суть нули этого определителя. Поэтому займемся определителем Δ(λ). Для краткости введем обозначение   1 [a] = a + O . ρ

Подставляя выражения (51) в нормированные формы Uν (y), имеем    1 Uν 0 (yj ) = (ρ ωj )kν αν + O = (ρ ωj )kν [αν ], ρ    1 Uν 1 (yj ) = (ρ ωj )kν eρ ωj βν + O = (ρ ωj )kν eρ ωj [βν ], ρ

откуда

Uν (yj ) = Uν 0 (yj ) + Uν 1 (yj ) = (ρ ωj )kν {[αν ] + eρ ωj [βν ]}. Но если j < μ, то функция

eρ ωj = e−cωj eρj экспоненциально убывает при ρ → ∞, ρ ∈ T ; следовательно,

Uν (yj ) = (ρ ωj )kν [αν ] при j < μ.

(52a)

Uν (yj ) = (ρ ωj )kν eρ ωj [βν ] при j > μ.

(52б)

Uν (yμ ) = (ρ ωμ )kν {[αν ] + eρ ωμ [βν ]}.

(52в)

Аналогично Наконец,

Подставим все зти выражения в уравнение

Δ = det(U − ν(yj )) = 0 k1

k2

kn

(53) ρ ωμ+1

ρ ωμ+2

и сократим на общие множители ρ , ρ , . . ., ρ строк и e ,e , . . ., eρ ωn последних столбцов определителя Δ(λ). Тогда уравнение запишется в виде Δ0 = 0, где

   [α1 ]ω k1 . . . [α1 ]ω k1 ([α1 ] + eρ ωμ [β1 ])ω k1 [β1 ]ω k1 . . . [β1 ]ω k1  μ n  1 μ−1 μ+1   k2 k2 ρ ωμ k2   [α2 ]ω1k2 . . . [α2 ]ωμ− [β2 ])ωμk2 [β2 ]ωμ+ 1 ([α2 ] + e 1 . . . [β2 ]ωn   Δ0 =  .  .............................................................     [αn ]ω kn . . . [αn ]ω kn ([αn ] + eρ ωμ [βn ])ωμkn [βn ]ω kn . . . [βn ]ωnkn  1 μ−1 μ+1 (54) Согласно определению чисел θ0 и θ1 (см. (38) п. 8) из формулы (54) вытекает, что Δ0 = [θ0 ] + eρ ωμ [θ1 ].

Гл. II. Асимптотическое поведение собственных значений

82

Если ρ есть корень уравнения Δ0 = 0, то

eρ ωμ = − т. е.

[θ0 ] , [θ1 ]



eρ ωμ = −

θ0 + O θ1 + O

1 ρ

 =− 1 ρ

θ0 θ1

 

 1+O

1 ρ

   1 , =ξ 1+O ρ

(55)

ибо в силу регулярности краевых условий θ0 = 0, θ1 = 0. Поэтому    1 1 ρ= , k = 0, ± 1, ± 2, . . . . (56) ln0 ξ + 2kπi + O ωμ

ρ

Докажем теперь, что действительно существуют нули функции Δ, определяемые формулой (56). Положим 1 ρk = (2kπi + ln0 ξ); (57) ωμ

тогда соотношение (56) перепишется в виде   1 ρ = ρk + O , k = 1, 2, . . . . ρ

(58)

Очевидно, что числа ρk расположены параллельно биссектрисе области T , и потому возможен только один выбор знака целого числа k, так что для данной области T числа k либо только положительны, либо только отрицательны. Более точно: а). При n = 4q − 1: для области T с четным индексом следует брать k > 0, а для области T с нечетным индексом k < 0. а1 ). При n = 4q + 1: для области T с четным индексом следует брать k < 0, а для области T с нечетным индексом k > 0. Опишем теперь около каждой точки ρk окружность Γk одного и того же радиуса r . В силу только что сказанного при k достаточно большом эти окружности будут целиком находиться в области T . Уравнение (53) эквивалентно уравнению (55); так как ξ = eρk ωμ , то это последнее можно переписать в виде   1 eωμ (ρ−ρk ) − 1 − O (59) = 0. ρ

Вне окружностей Γk функция

f = eωμ (ρ−ρk ) − 1 = eωμ (ρ−ρ0 ) − 1 ограничена снизу положительным числом. Действительно, введем новую переменную ζ , полагая

ωμ (ρ − ρ0 ) = ζ.

§ 4. Асимптотика при больших значениях λ

Тогда

83

f = eζ − 1

и окружности Γk перейдут в окружности Γk того же радиуса r вокруг точек ζk = 2kπi. Так как f = f (ζ) — периодическая функция с периодом Рис. 11 2πi, то достаточно доказать ее ограниченность снизу в области D, ограниченной прямыми Iζ = ±π и окружностью Γ0 (рис. 11). Но в этой области функция f (ζ) не обращается в нуль, и при |Rζ| достаточно большом (|Rζ| > N ) функция f (ζ) ограничена снизу, ибо

lim

|f (ζ)| = ∞,

lim

|f (ζ)| = 1.

Rζ→+∞ Rζ→−∞

Отсюда следует наше утверждение. Из него заключаем, что при достаточно большом |ρ| функция Δ не имеет нулей вне окружностей Γk . Пусть m — минимум функции |eωμ (ρ−ρk ) − 1| на Γk ; так как на iθ Γ  k ρ −  ρk = re , то m не зависит от k. На этой же окружности 1    < m при достаточно большом |ρ|. В силу известной теоремы O ρ

Руше (см., например, Привалов [1]), отсюда следует, что уравнение (59) имеет внутри Γk столько же корней, сколько их там имеет уравнение eωμ (ρ−ρk ) − 1 = 0, т. е. точно один корень, который обозначим через ρk . В силу (56) 

 1 1 ρk = 2kπi + ln0 ξ + O ;  ωμ

ρk

с другой стороны, в силу этой же формулы

   1 1 O  =O . ρk

Поэтому

или

k

 



ρk =

1 ωμ

ρk =

2kπi ωμ

2kπi + ln0 ξ + O



 1+

1 k

ln0 ξ 1 +O 2 2kπi k

,

 .

(60)

Если теперь применить формулу (60) к каждой из областей T и учесть высказанные ранее соображения относительно выбора знака k, то после возведения в n-ю степень получатся в точности формулы (44).

84

Гл. II. Асимптотическое поведение собственных значений

Простота этих собственных значений при достаточно большом |k| вытекает из того, что, по доказанному выше, они являются простыми нулями определителя Δ(λ). Перейдем теперь к случаю четного n; пусть n = 2μ. Рассмотрим снова фиксированную область T , для которой имеют место неравенства (48). Рассуждая так же, как и в случае нечетного n, придем к выводу, что

R(ρ1 ) < 0, R(ρ2 ) < 0 , R(ρμ+2 ) > 0, R(ρμ+3 ) > 0,

... , ... ,

R(ρμ−1 ) < 0, R(ρn ) > 0,

(61) (62)

причем левые части неравенств (61) и (62) стремятся соответственно к −∞ и +∞ когда ρ → ∞, оставаясь в данной области T . Отсюда, как и в случае нечетного n, заключаем, что в области T

Uν (yj ) = (ρ ωj )kν [αν ] при j  μ − 1, k ν ρ ωj Uν (yj ) = (ρ ωj ) e [βν ] при j  μ + 2

(63)

и, кроме того,

Uν (yμ ) = (ρ ωμ )kν {[αν ] + eρ ωμ [βν ]}, Uν (yμ+1 ) = (ρ ωμ+1 )kν {[αν ] + eρ ωμ+1 [βν ]}.

(64a) (64б)

Уравнение четной степени ω n + 1 = 0 вместе с корнем ωk содержит также корень −ωk , отсюда и из неравенств (48) следует, что

R( ρμ )  0, R( ρμ+1 )  0 и

ω1 = −ωn , ω2 = −ωn−1 ,

. . . , ωμ = −ωμ+1 .

Поэтому (64б) можно переписать в виде

Uν (yμ+1 ) = (ρ ωμ+1 )kν {[αν ] + e−ρ ωμ [βν ]}.

(64б )

Подставляя в уравнение Δ = 0 выражения (63), (64) для Uν (yj ) и произведя сокращения, получим уравнение вида

Δ0 = 0,

(65)

§ 4. Асимптотика при больших значениях λ

85

где

⎛

Δ0 = det(A, B), k1 [α1 ω1k1 ] . . . [α1 ωμ− 1]

(66)

ωμk1 {[α1 ] + eρ ωμ [β1 ]}

⎞

⎟ ⎜ k2 ⎜ [α2 ω1k2 ] . . . [α2 ωμ− ωμk2 {[α2 ] + eρ ωμ [β2 ]} ⎟ 1] ⎟, ⎜ A=⎜ ⎟ ⎝ ............................................. ⎠ kn kn ρ ωμ [αn ω1kn ] . . . [αn ωμ− [βn ]} 1 ] ωμ {[αn ] + e ⎞ ⎛ k1 k1 k1 ωμ+1 {[α1 ] + e−ρ ωμ [β1 ]} [β1 ωμ+ 2 ] . . . [β1 ωn ] ⎜ k2 k2 k2 ⎟ ⎟ ⎜ ωμ+1 {[α2 ] + e−ρ ωμ [β2 ]} [β2 ωμ+ 2 ] . . . [β2 ωn ] ⎟ ⎜ B=⎜ ⎟. ⎝ ............................................... ⎠ kn kn −ρ ωμ kn ωμ+ [βn ]} [βn ωμ+ 1 {[αn ] + e 2 ] . . . [βn ωn ] По определению чисел θ0 , θ1 , θ−1 (см. (39) п. 8)

Δ0 = [θ0 ] + [θ1 ]eρ ωμ + [θ−1 ]e−ρ ωμ , следовательно,

eρ ωμ Δ0 = [θ1 ]e2ρ ωμ + [θ0 ]eρ ωμ + [θ−1 ] = θ1 e2ρ ωμ + θ0 eρ ωμ + θ−1 + O

 

1 , ρ

(67)

ибо в силу соотношения R( ρμ )  0

|eρ ωμ | = |eρμ ||e−cωμ |  |e−cωμ |, т. е. функция eρ ωμ ограничена в области T . Рассмотрим квадратное уравнение

θ1 ξ 2 + θ0 ξ + θ−1 = 0; 

(68)



пусть ξ и ξ — его корни, так что

θ1 ξ 2 + θ0 ξ + θ−1 = θ1 (ξ − ξ  )(ξ − ξ  ). Тогда (67) перепишется в виде

eρ ωμ Δ0 = θ1 (eρ ωμ − ξ  )(eρ ωμ − ξ  ) + O Уравнения

 

1 . ρ

(69)

eρ ωμ − ξ  = 0, eρ ωμ − ξ  = 0

имеют соответственно корни

ρ k =

1 (ln0 ξ  + 2kπi), ωμ

ρ k =

1 (ln0 ξ  + 2kπi), ωμ

k = 0, ± 1, ± 2, ± 3, . . . .

(70)

86

Гл. II. Асимптотическое поведение собственных значений

Для нас интерес представляют только те из них, которые лежат внутри области T . Отметим, что эти корни располагаются на прямой, параллельной стороне сектора S (рис. 12). Действительно, будем для

Рис. 12

определенности предполагать, что рассматриваемым сектором является область S0 . Тогда iπ

ωμ = −ie− n ωμ = i

при при

n = 4q , n = 4q + 2.

Следовательно, iπ

iπ

ρ k = e n (i ln0 ξ  − 2kπ), ρ k = e n (i ln0 ξ  − 2kπ) при n = 4q и

ρ k = −i ln0 ξ  + 2kπ ,

ρ k = −i ln0 ξ  + 2kπ

при n = 4q + 2.

Отсюда также вытекает, что при n = 4q все корни с k < 0, а при n = = 4q + 2 все корни с k > 0, лежат внутри области T0 на положительном расстоянии от ее границы, если только надлежащим образом выбрать вершину ρ = −c этой области. В первом из этих случаев мы заменим k на −k; в результате получим последовательности

ρk =

1 (ln0 ξ  ∓ 2kπi), ωμ

ρk =

1 (ln0 ξ  ∓ 2kπi), ωμ

k = 1, 2, . . . , (70a)

принадлежащие области T0 при условии, что в случае n = 4q берется верхний знак, а в случае n = 4q + 2 — нижний. Используя ρk , ρk и принимая во внимание (69), можно преобразовать уравнение Δ0 = 0 к виду     1 [eωμ (ρ−ρk ) − 1][eωμ (ρ−ρk ) − 1] + O (71) = 0. ρ

ρk ,

ρk

(k = 1, 2, . . .) опишем окружность Около каждой из точек соответственно Γk и Γk одного и того же радиуса. При достаточно малом r эти окружности будут содержаться целиком в области T0 . Применяя, как и в случае нечетного n, теорему Руше, при достаточно большом |ρ|, ρ ∈ T , заключаем, что при достаточно большом |ρ|

§ 4. Асимптотика при больших значениях λ

87

уравнение Δ0 = 0 может иметь нули только внутри Γk и Γk и притом иметь их столько, сколько их там имеет уравнение 



[eωμ (ρ−ρk ) − 1][eωμ (ρ−ρk ) − 1] = 0.

(72)

Пусть теперь θ02 − 4θ1 θ−1 = 0; тогда ξ  = ξ  ; следовательно, числа и ρk , а потому и круги Γk и Γk отличны друг от друга. В каждом из этих кругов уравнение (72), а значит, и уравнение Δ0 = 0, имеет в точности один корень; обозначим эти корни через ρ k и ρ k соответственно.  В круге Γk множитель eωμ (ρ−ρk ) − 1 ограничен снизу; в силу (71) отсюда следует, что в круге Γk уравнение Δ = 0 эквивалентно уравне  нию  1 eωμ (ρ−ρk ) − 1 = O .

ρk

ρ

Поэтому и аналогично

ρ k = ρk + O ρ k = ρk + O

 

1 ; ρ

 

1 . ρ

Отсюда, как и в случае нечетного n, получается    2kπi ln0 ξ  1  ρ k = ∓ 1∓ +O 2 ; ωμ

2kπi

k

аналогичная формула имеет место для ρ k . Возводя теперь в n-ю степень, приходим к формулам (45). Следует подчеркнуть, что рассмотрение области Tk с нечетным индексом k не приведет к новой последовательности собственных значений. Действительно, если при n = 4q вместо области T0 рассматривать 1 1 подходящую область T1 , то ξ  и ξ  перейдут в  и  , а их логарифмы ξ

ξ

перейдут в − ln0 ξ  и − ln0 ξ  с точностью до слагаемого вида 2kπi. С другой стороны, как вытекает из рассмотрений п. 8, одновременно 1 ωμ заменяется на −ωμ . Теперь точки (ln0 ξ  + 2kπi) принадлежат ωμ

области T1 лишь при k > 0, а это означает, что при μ = 4ν в формулах (70) следует взять знак плюс. Поэтому ρk , а также ρk , остаются без изменения. Поскольку в это же время уравнение (71) умножается лишь на некоторое число, то ρ k , ρ k сохраняют прежние значения. Нечто подобное происходит при n = 4q + 2, когда мы переходим от области T0 к области T2n−1 . Таким образом, для больших |ρ| числа (45) являются единственными собственными значениями оператора L. Пусть теперь θ02 − 4θ1 θ−1 = 0. Тогда ξ  = ξ  ; следовательно, ρ k = = ρ k и круги Γk , Γk совпадают. Поэтому уравнение Δ0 = 0 имеет в каждом таком круге в точности два корня, которые в отдельных частных случаях могут слиться в один двойной корень.

Гл. II. Асимптотическое поведение собственных значений

88

Пусть ρk — один из этих двух корней. Уравнение (71) принимает в данном случае вид    1 [eωμ (ρ−ρk ) − 1]2 + O = 0. ρ

Отсюда ωμ (ρ−ρk )

e

−1+O

следовательно,

ρk = ρk + O

1 ! |ρ|

1 ! |ρ|

 = 0,

 .

Возводя обе части этого соотношения в n-ю степень, приходим к формулам (47). З а м е ч а н и е. Если коэффициенты p2 (x), . . ., pn (x) имеют непрерывные производные до некоторого порядка, то можно получить более точные асимптотические формулы, содержащие более высокие степени 1 (см., например, Биркгоф [2], Лангер [1–10], Тамаркин [1–3]). ρ

10. Асимптотика собственных функций. Применим теперь результаты пп. 5 и 9 к нахождению асимптотических формул для собственных функций при больших по модулю собственных значениях. При этом мы снова предполагаем, что L — дифференциальный оператор в интервале [ 0, 1], порожденный дифференциальным выражением с непрерывными коэффициентами и регулярными краевыми условиями. Пусть y1 , y2 , . . ., yn — линейно независимые решения уравнения l(y) + ρn y = 0, удовлетворяющие соотношениям (17) в некоторой области T (см. п. 5, теорема 1); собственная функция y , соответствующая данному значению λ = −ρn , должна быть линейной комбинацией функций y1 , y2 , . . ., yn :

y = c1 y1 + c2 y2 + . . . + cn yn , коэффициенты которой суть нетривиальные решения однородной системы

Uν (y1 )c1 + Uν (y2 )c2 + . . . + Uν (yn )cn = 0, ν = 1, 2, . . . , n. Следовательно, они пропорциональны алгебраическим дополнениям какой-нибудь строки определителя этой системы 1). Поэтому 1) Ради простоты мы рассматриваем лишь простые собственные значения: для них ранг матрицы (ui (yj )) равен n − 1.

§ 4. Асимптотика при больших значениях λ

  y1 y2 ... yn   U (y ) U (y ) . . . U (y ) 2 2 2 n  2 1 y=  ............................   Un (y1 ) Un (y2 ) . . . Un (yn )

89

     ,   

(73)

если не все миноры элементов первой строки этого определителя равны нулю. (В противном случае y1 , y2 , . . ., yn следует поместить в той строке, не все миноры элементов которой равны нулю.) Рассмотрим отдельно случаи нечетного и четного n. а) n н е ч е т н о; n = 2μ − 1. Подставляя в (73) вместо yj , Uν (yj ) их выражения из (17) и (52) и разделив полученное выражение на несущественные множители ρk2 , ρk3 , . . ., ρkn , eρ ωμ+1 , . . ., eρ ωn , получим (ненормированную) собственную функцию y0 :

y0 = det(X1 , X2 ), где

(74)

⎛ eρ ω1 x [1] . . . eρ ωμ−1 x [1] eρ ωμ x [1] ⎜ [α2 ]ω k2 . . . [α2 ]ω k2 ([α2 ] + eρ ωμ [β2 ])ωμk2 ⎜ 1 μ−1 X1 = ⎜ ⎝ .............................................. ⎛ ⎜ ⎜ X2 = ⎜ ⎜ ⎝

[αn ]ω1kn . . .

⎞ ⎟ ⎟ ⎟, ⎠

kn [αn ]ωμ− 1

([αn ] + eρ ωμ [βn ])ωμkn ⎞ eρ ωμ+1 (x−1) [1] . . . eρ ωn (x−1) [1] ⎟ k2 ⎟ ... [β2 ]ωnk2 [β2 ]ωμ+ 1 ⎟. ............................... ⎟ ⎠ kn kn [βn ]ωμ+1 ... [βn ]ωn

Для достаточно больших |λ| число ρ должно совпадать с одним из чисел ρ k или ρ k , лежащих в области T . Таким образом, для области T с нечетным индексом    1 1 ρ = ρ k = , ∓2kπi + ln0 ξ (1) + O ωμ

k

а для области T с четным индексом —    1 1 ρ = ρ k = ∓2kπi + ln0 ξ (2) + O ωμ

k

для всех натуральных k, начиная с некоторого, причем верхний знак соответствует n = 4q − 1, а нижний соответствует n = 4q + 1. Полагая # # 1 " 1 " (1) (2) ∓2kπi + ln0 ξ (1) , ρk = ∓2kπi + ln0 ξ (2) , ρk = ωμ

имеем

ωμ

(1)

ρ k = ρk + O

  1 k

(2)

, ρ k = ρk + O

 

1 . k

90

Гл. II. Асимптотическое поведение собственных значений

Очевидно,

(1)



eρ ων x = eρk ων x = eρk

ων x

[1],

ибо   1 O k e

  =1+O

1 k

    2 1 1 + ... = 1 + O + o = [1]. k

k

В частности, eρ ωμ = e±2kπi+ln0 ξ [1] = ξ[1]. Подставляя эти выражения в (74), получим следующую формулу (σ) для соответствующих собственных функций y = yk , σ = 1, 2, отвечающих собственным значениям λk , λk определяемым формулами (44): (σ)

yk где

⎛ (σ) X1k

(σ)

X2k

(σ)

eω1 ρk

x

(σ)

(σ)

= det(X1k , X2k ), (σ)

[1] . . . eωμ−1 ρk

x

[1]

(75)

(σ)

eωμ ρk

x

[1]

⎜ k2 ⎜ [α2 ]ω1k2 . . . [α2 ]ωμ− [α2 + ξβ2 ]ωμk2 1 =⎜ ⎜ ⎝ ........................................... kn [αn ]ω1kn . . . [αn ]ωμ− [αn + ξβn ]ωμkn 1 ⎞ ⎛ (σ) (σ) eωμ+1 ρk (x−1) [1] . . . eωn ρk (x−1) [1] ⎟ ⎜ k2 ⎟ ⎜ ... [β2 ]ωnk2 [β2 ]ωμ+ 1 ⎟, =⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ................................... ⎠ kn [βn ]ωμ+ ... [βn ]ωnkn 1

⎞ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎠

k = N , N + 1, . . .; N — достаточно большое натуральное число, а σ = 1, 2. б) n ч е т н о; n = 2μ. Повторяя предыдущие рассуждения, получим две последовательности собственных функций, соответствующих собственным значениям λk и λk . Собственному значению λk отвечает собственная функция yk = det(X1k , X2k ), где

X1k

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ =⎜ ⎜ ⎜ ⎝

(76)

⎞  e−ωμ ρk x [1]   ⎟ 1 ⎟ k2 k2  k2 [α2 ]ω1k2 . . . [α2 ]ωμ− α ω [α + ξ β ]ω + β 2 2 μ 2 2 1 μ+1 ⎟ ξ ⎟ ⎟, ........................................................ ⎟ ⎟   ⎠ 1 k2 kn kn  kn [αn ]ω1 . . . [αn ]ωμ−1 [αn + ξ βn ]ωμ αn +  βn ωμ+1 



eω1 ρk x [1] . . . eωμ−1 ρk x [1]



eωμ ρk x [1]

ξ

§ 4. Асимптотика при больших значениях λ

⎛ X2k





eωμ+2 ρk (x−1) [1] . . . eωn ρk (x−1) [1]

⎜ k2 ⎜ ... [β2 ]ωnk2 [β2 ]ωμ+ 2 =⎜ ⎜ ................................ ⎝ kn [βn ]ωμ+ ... [βn ]ωnkn 2

91

⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠

Формула для собственной функции yk2 , соответствующей λk , получается, если в (76) вместо ρk и ξ  подставить ρk и ξ  . Особенно просто выглядят эти формулы при n = 2. Если, например, областью T является первый квадрант ρ-плоскости, то ωμ = i; ωμ+1 = = −i, и формула (76) в этом случае имеет вид

yk1 = k2 iρk x

= (−i) e

      1 1 1 α2 +  β2 + O − (i)k2 e−iρk x α2 ξ  + β2 + O . k

ξ

k

Результаты, изложенные в этом параграфе, принадлежат в основном Биркгофу (см. Биркгоф [1–3]); метод доказательства теоремы 1 принадлежит Стоуну (см. Стоун [1]). Теорема 1 доказана Биркгофом при более общих предположениях; именно, коэффициенты pk , k = 2, 3, . . ., n, могут быть аналитическими функциями параметра ρ, допускающими разложение

pk (x, ρ) =

∞

akν (x)ρ−ν

ν=0

в окрестности бесконечно удаленной точки (можно предположить даже, что это разложение имеет место в асимптотическом смысле). При этом понятие областей S и T обобщается, а вместо формул (17) получаются формулы вида x ρ wk (t) dt 

yk = e

0

uk (x) + O

  1 ρ

,

где w1 (x), . . ., wn (x) — корни уравнения

wn + an−1, 0 (x)wn−1 + . . . + a00 (x) = 0, а uk (x) — некоторые функции от x, определяемые формальной подстановкой yk в дифференциальное уравнение. 11. Различные обобщения асимптотических формул. а). С л уч а й п р о и з в о л ь н о г о и н т е р в а л а. Этот случай сводится к предыдущему подстановкой x = a + t(b − a), 0  t  1. Соответственно этоx−a му в формулах (17) и (75)–(78) следует вместо x подставить , b−a а в формулах (44)–(47) для собственных значений вместо π подставить π . b−a

92

Гл. II. Асимптотическое поведение собственных значений

б). К р а е в а я з а д а ч а L(y) = λρy . Пусть функция ρ(x) непрерывна и сохраняет знак в интервале [a, b]; не нарушая общности, можно считать, что ρ(x) > 0. В противном случае можно заменить λ и ρ на −λ и −ρ. Введем новую переменную t, полагая x 1 ! n ρ(ξ) dξ , (77) t= h

a

где

b

h=

! n ρ(x) dx.

(78)

a

В переменной t краевая задача Ly = λρy запишется в виде L1 y = λy , где L1 — оператор в интервале 0  t  1, который получается переходом к переменной t и делением на ρ(x). К этому оператору L1 применимы формулы (17), (75), (76). Подставляя в них вместо t его выражение (77), получим соответствующие формулы для рассматриваемой краевой задачи. Формулы для собственных значений получаются π при этом, если в (44)–(47) вместо π подставить b .  ! n

ρ(x) dx

a

Значительные осложнения представляет тот случай, когда функция ρ(x) может обращаться в нуль в некоторых точках интервала (a, b). Этот случай и различные его обобщения были предметом многочисленных исследований Р. Лангера (см. Лангер [1–10]) и других авторов (см. обзорную статью Лангер [4]), посвященную случаю n = 2). Наиболее общие результаты в этом направлении получены В. С. Пугачевым (см. Пугачев [1]). в). Я. Д. Тамаркин (см. Тамаркин [1–3]) получил асимптотические выражения для собственных значений обобщенной краевой задачи

y (n) + p1 (x, λ)y n−1 + . . . + pn (x, λ)y = 0; Uν (y) = 0, ν = 1, 2, . . . , n, где pk (x, λ) — многочлен относительно λ степени k, а коэффициенты форм Uν (y) суть многочлены относительно λ степени n. Еще более общие результаты (и притом также для дифференциальных операторов в частных производных) получены М. В. Келдышем (см. Келдыш [1]).

§ 5. Разложение по собственным функциям 1. Задача обоснования метода Фурье. Решение уравнений в частных производных по методу Фурье приводит к важной задаче: разложению заданной функции по собственным функциям дифференциальных операторов.

§ 5. Разложение по собственным функциям

93

Пусть, например, требуется найти решение уравнения ∂2u ∂nu ∂ n−1 u = n + p1 (x) n−1 + . . . + pn (x)u, 2 ∂x ∂x ∂t

удовлетворяющее начальным условиям  ∂u  u|t=0 = f (x);  ∂t

t=0

a  x  b,

(1)

= ϕ(x)

(2)

= 0, j = 1, 2, . . . , n.

(3)

и краевым условиям n− 1 ν=0

 αjν

∂ν u ∂xν

 x=a

+

n− 1

 βjν

ν=0

∂ν u ∂xν

 x=b

Будем искать решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям (3), в виде

u = y(x)(A cos pt + B sin pt).

(4)

Подставляя в (1) и (3), получим, что функция y(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению

L(y) ≡

dn y dn−1 y + . . . + pn (x)y = −p2 y n + p1 (x) dx dxn−1

(5)

и краевым условиям

Uj (y) ≡

n− 1

αjν ya(ν) +

ν=0

n− 1

(ν)

βjν yb

= 0.

(6)

ν=0

Если, следовательно, y ≡ 0, то y есть собственная функция краевой задачи (5), (6), соответствующая собственному значению −p2 . Пусть −p21 , −p22 , −p23 , . . . — все собственные значения этой задачи, а

y1 (x), y2 (x), y3 (x), . . . — соответствующие собственные функции; при этом каждое собственное значение повторяется столько раз, сколько ему соответствует линейно независимых собственных функций. Тогда бесконечный ряд

u=

∞

yn (x)(An cos pn t + Bn sin pn t)

n=1

по крайней мере формально удовлетворяет уравнению (1) и краевым условиям (3). Остается удовлетворить начальным условиям. Подстановка в первое начальное условие дает

f (x) =

∞ n=1

An yn (x);

(7)

Гл. II. Асимптотическое поведение собственных значений

94

это последнее равенство представляет собой разложение заданной функции f (x) в ряд по собственным функциям краевой задачи. Таким образом, вопросы обоснования метода Фурье непосредственно приводят к следующей проблеме: при каких условиях заданная функция f (x) разлагается в ряд по собственным функциям данной краевой задачи. Наиболее просто эта проблема решается в случае самосопряженной краевой задачи, т. е. в случае, когда выражение l(y) и краевые условия Uj (y) = 0, j = 1, 2, . . ., n, порождают самосопряженный дифференциальный оператор. 2. Случай самосопряженного оператора. Пусть L — самосопряженный дифференциальный оператор, порожденный дифференциальным выражением l(y) и краевыми условиями Uj (y) = 0, j = 1, 2, . . . , n. Не нарушая общности, можно считать, что Ly = 0 лишь при y = 0, т. е. что краевая задача

l(y) = 0, Uj (y) = 0, j = 1, 2, . . . , n,

(8)

имеет лишь тривиальное решение y ≡ 0. Действительно, в противном случае достаточно заменить l(y) выражением l(y) − cy , где c — любое число, отличное от всех собственных значений оператора L. Такое число заведомо существует, ибо самосопряженный оператор имеет не более счетного множества собственных значений. Но если краевая задача (8) имеет лишь тривиальные решения, то оператор L имеет функцию Грина 1) G(x, ξ), которая является эрмитовым ядром. Рассмотрим произвольную функцию f (x) из области определения оператора L; это означает, что функция f (x) имеет непрерывные производные до n-го порядка включительно и удовлетворяет краевым условиям (6). Положим

Lf = h, тогда

b

f (x) = G(x, ξ)h(ξ) dξ , a

т. е. функция f (x) представляется «истокообразно» при помощи непрерывного ядра G(x, ξ). На основании теоремы Гильберта–Шмидта из теории интегральных уравнений (см., например, Петровский [1]) функцию f (x) можно разложить в равномерно сходящийся ряд по собственным функциям ядра G(x, ξ). Но, как мы видели (см. п. 6 § 3), ядро G(x, ξ) и оператор L имеют одни и те же собственные функции. Тем самым доказана следующая теорема. 1)

См. § 3, пп. 1–6.

§ 5. Разложение по собственным функциям

95

Т е о р е м а 1. Всякая функция из области определения самосопряженного дифференциального оператора разлагается в равномерно сходящийся обобщенный ряд Фурье по собственным функциям этого оператора. Напомним, что область определения дифференциального оператора n-го порядка состоит из всех функций, которые имеют в данном интервале непрерывные производные до n-го порядка включительно и удовлетворяют краевым условиям, порождающим данный оператор. Следовательно, в предыдущей теореме речь идет именно о таких функциях. Так как область определения оператора L плотна в L2 (a, b), то из теоремы 1 непосредственно получаем С л е д с т в и е. Собственные функции самосопряженного дифференциального оператора образуют полную систему в L2 (a, b). Если собственные функции y1 (x), y2 (x), . . . выбраны так, что они образуют ортонормальную систему, то коэффициенты An в (7) определяются по формулам b

An = (f , yn ) = f (x)yn (x) dx, n = 1, 2, 3, . . . , a

и имеет место равенство Парсеваля

b |f (x)|2 dx =

∞

|An |2 .

n=1

a

Теорема 1 остается верной в случае более общей самосопряженной краевой задачи

l(y) − λρ(x)y = 0, Uν (y) = 0, ν = 1, 2, . . . , n, если функция ρ(x) непрерывна и положительна в интервале [a, b], ибо в этом случае функция Грина G(x, ξ) есть эрмитов оператор в пространстве R функции f (x) со скалярным произведением b

(f1 , f2 ) = f1 (x)f2 (x)ρ(x) dx

(9)

a

(т. е. является так называемым симметризируемым ядром). При этом для коэффициентов Фурье An получаются формулы b

An = (f , yn ) = f (x)yn (x)ρ(x) dx, a

где y1 (x), y2 (x), . . . — полная система собственных функций оператора L, ортонормальная в смысле скалярного произведения (9).

96

Гл. II. Асимптотическое поведение собственных значений

Е. Камке ослабил условие ρ(x) > 0, заменив его условием ρ(x)  0 и, кроме того, еще одним ограничением. Е. Камке обобщил также теорему 1 на случай самосопряженной краевой задачи l1 (y) + λl2 (y) = 0, Uν (y) = 0, ν = 1, 2, . . ., n, при некоторых дополнительных предположениях относительно дифференциального выражения l2 (y) и рассматриваемых краевых условий (см. Камке [1]). 3. Разложение по собственным функциям дифференциального оператора, порожденного регулярными краевыми условиями. Рассуждения в п. 2 неприменимы, если оператор L не является самосопряженным. Поэтому мы применим теперь другой метод, основанный на аналитических свойствах функции Грина оператора L − λ1 и на асимптотических формулах, полученных в § 4. При этом мы будем предполагать, что L — оператор, порожденный регулярными краевыми условиями; кроме того, как и в п. 2, мы будем предполагать 1), что λ = 0 не является собственным значением оператора L, следовательно, оператор L имеет функцию Грина G(x, ξ). Рассмотрим в комплексной λ-плоскости последовательность окружностей Γk k = 1, 2, . . ., с общим центром в начале координат, обладающих следующими свойствами: 1◦ . Радиус Rk окружности Γk неограниченно возрастает при k → ∞. 2◦ . Существует положительное число δ , такое, что прообразы ρk в S0 ∪ S1 собственных значений оператора L при отображении λ = −ρn находятся для достаточно больших k на расстоянии  δ от прообразов каждой из окружностей Γk . В силу доказанных в п. 9 § 4 асимптотических свойств собственных значений такие окружности Γk существуют. Пусть G(x, s, λ) — функция Грина оператора L − λ1; в частности G(x, s, 0) = G(x, s) есть функция Грина оператора L.  1 G(x, s, λ) dλ ; применяя к нему теоРассмотрим интеграл Ik = рему о вычетах, получаем

2πi

λ

Γk

Ik = G(x, s) +

mk Hν (x, s) ν=1

λν

,

(10)

где Hν (x, s) — вычет функции G(x, s, λ) относительно ее полюса λν (который мы предполагаем здесь простым), а mk — число этих полюсов в круге Γk . Докажем, что

lim Ik = 0,

k→∞

lim

k→∞

Hk (x, s) =0 λk

(11)

1) Из рассуждения в начале п. 2 и из асимптотических формул для собственных значений следует, что это предположение не нарушает общности.

§ 5. Разложение по собственным функциям

97

и притом равномерно относительно x и s из интервала [a, b]. В силу (10) отсюда будет следовать, что имеет место разложение

G(x, s) = −

∞ Hν (x, s)

λν

ν=1

в ряд, равномерно сходящийся относительно x и s из интервала [a, b]. Действительно, из асимптотических формул для собственных значений вытекает, что круги Γk можно выбрать таким образом, что 2  mk+1 − mk  4. Доказательство первого соотношения (11) основано на следующей лемме. Л е м м а 1. На окружностях Γk функция G(x, s, λ) удовлетворяет неравенству M |G(x, s, λ)|  , (12) n−1 |λ|

n

где M — некоторая постоянная. Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим λ = −ρn ; тогда при надлежащем выборе arg ρ окружность Γk перейдет в дугу γk окружности с центром 2π

в начале координат и с центральным углом , проходящую в двух n соседних областях S0 , S1 комплексной ρ-плоскости. Для доказательства неравенства (12) применим формулы (32)–(34) п. 7 § 3; при этом удобно будет рассмотреть отдельно случаи четного и нечетного n. а) n н е ч е т н о; n = 2μ − 1. Пусть числа ω1 , ω2 , . . ., ωn занумерованы так, что для ρ ∈ S0

R(ρ ω1 )  R(ρ ω2 )  . . .  R(ρ ωn ). Тогда при ρ ∈ S0

R(ρ ω1 )  0, . . . , R(ρ ωμ−1 )  0, R(ρ ωμ+1 )  0, . . . , R(ρ ωn )  0. (13) Пусть γk та часть дуги γk , которая Рис. 13 находится в области S0 и на которой R(ρ ωμ )  0, а γk — та ее часть, которая также находится в области S0 и на которой R(ρ ωμ )  0 (рис. 13). Оценим функцию G(x, ξ , λ) на дуге γk , для чего воспользуемся формулами (32)–(36) п. 7 § 3. Обозначим через Wν алгебраическое дополнение (n−1) в определителе элемента yν 4 Наймарк М. А.

Гл. II. Асимптотическое поведение собственных значений

98

 (n−1) (n−1) y (ξ) y2 (ξ) . . . yn(n−1) (ξ)  1  (n−2) (n−2)  (ξ) y2 (ξ) . . . yn(n−2) (ξ) W =  y1  ..................................   y (ξ) y2 (ξ) ... yn (ξ) 1 и положим

zν (ξ) =

        

Wν (ξ) . W (ξ)

(14)

Тогда формула (32) п. 7 § 3 перепишется в виде

g (x, ξ) = ±

n 1 yν (x)zν (ξ). 2

(15)

ν=1

Согласно теореме 1 п. 5 § 4 при ρ ∈ S0 (ν)

yj

= eρ ωj ξ ρν [ωjν ], j = 1, 2, . . . , n; ν = 0, 1, 2, . . . , n − 1;

подставим эти выражения в (14) и сократим числитель и знаменатель на ρ, ρ2 , . . ., ρn−2 , eρ ω1 x , eρ ω2 x , . . ., eρ ωn x . Мы получим   1 β zν (ξ) = e−ρ ων ξ n−1 ν , (16) ρ

β

 n−1 n−1  ω1 ω2 . . . ωnn−1   n−2 n−2 ω2 . . . ωnn−2 ω β= 1  ......................   1 1 ... 1

где

     ,   

а βν — алгебраическое дополнение элемента ωνn−1 в этом определителе. Поэтому  n 0 при j = 0, 1, 2, . . . , n − 2, j βν ων = (17) β 1 при j = n − 1. ν=1

Система (17) имеет единственное решение; с другой стороны, она β ω удовлетворяется при ν = − ν , ибо ωνn = −1. Следовательно, (16) β n принимает вид

zν (ξ) = e−ρ ων ξ

1 [−ων ], nρn−1

ν = 1, 2, . . . , n.

(18)

Из формулы (15) и формулы (32) § 3 следует, что

Uν (g ) = −

n n 1 1 Uν 0 (yj )zj (ξ) + Uν 1 (yj )zj (ξ). 2 2 j=1

j=1

(19)

§ 5. Разложение по собственным функциям

99

Рассмотрим функцию G(x, ξ , λ) при x > ξ (в случае x < ξ рассуждения аналогичны); тогда в формуле (15) следует взять знак «+». Умножим 1-й, 2-й, . . ., μ-й столбцы определителя H(x, ξ , λ), фигурирующего

1 1 1 z1 (ξ), z2 (ξ), . . ., zμ (ξ), 2 2 2 1 1 а (μ + 1)-й, (μ + 2)-й, . . ., n-й столбцы — на − zμ+1 (ξ), − zμ+2 (ξ), 2 2 1 . . ., − zn (ξ) соответственно и прибавим к последнему столбцу. Тогда 2

в числителе формулы (34) п. 7 § 3, на

элементами последнего столбца будут μ

μ

Uν 1 (yj )zj (ξ) −

j=1

yj (x)zj (ξ),

j=1 n

Uν 0 (yj )zj (ξ), ν = 1, 2, . . . , n.

j=μ+1

В силу формул (17) и (52) § 4 и формулы (18) эти элементы можно переписать в виде

ρkν Pν = nρn−1 1 = − n−1 nρ

μ 1 1 ρ ων (x−ξ) P = − e [ων ], 0 nρn−1 nρn−1 ν=1

$

μ

ρ ωj (1−ξ) kν

e

j=1

ρ

[−βν ωjkν +1 ]

+

n

% −ρ ωj ξ kν

e

ρ

[αν ωjkν +1 ]

.

j=μ+1

Кроме того, как было показано в пп. 5 и 9 § 4, имеют место асимптотические формулы

y = eρ ων x [1], ν = 1, 2, . . . , n, ⎧ kν kν при j = 1, 2, . . . , μ − 1, ⎪ ⎨ ρ [αν ωj ] kν kν ρ ωμ kν Uν (yj ) = ρ ([αν ωμ ] + e [βν ωμ ]) при j = μ, ⎪ ⎩ k ν ρ ωj kν ρ e [βν ωj ] при j = μ + 1, μ + 2, . . . , n n & & Δ(λ) = ρk ν eρ ωj ([θ0 ] + eρ ωμ [θ1 ]). ν=1

j=μ+1

Подставим эти выражения в формулу (34) § 3, в которой изменен указанным выше способом последний столбец в определителе H(x, ξ , λ), и распределим множители знаменателя Δ(λ) следующим образом. На ρkν разделим (ν + 1)-ю строку, на eρ ωj разделим j -й столбец (j = μ + 1, μ + 2, . . ., n), на 1 — последний столбец и на [θ0 ] + eρ ωμ [θ1 ] — μ-й столбец. Тогда формула (34) § 3 примет вид 4*

100

Гл. II. Асимптотическое поведение собственных значений

G(x, ξ , λ) =       1  = − n−1  nρ     

 . . . eρ ωn (x−1) [1] P0     [α1 ω1k1 ] . . . ... [β1 ωnk1 ] P1  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   ω kn ([αn ] + eρ ωμ [βn ])  [αn ω1kn ] . . . μ ... [βn ωnk1 ] Pn  ρ ωμ

eρ ω1 x [1] . . .

eρ ωμ x [1] [θ0 ] + eρ ωμ [θ1 ] k1 ωμ ([α1 ] + eρ ωμ [β1 ]) [θ0 ] + eρ ωμ [θ1 ]

[θ0 ] + e

[θ1 ]

В силу условий (13) все экспоненты в последнем определителе имеют на дуге γk не положительную действительную часть; кроме того, из результатов п. 9 § 4 (стр. 82) следует, что знаменатель [θ0 ] + eρ ωμ [θ1 ] на дугах γk ограничен снизу одним и тем же числом. Отсюда следует, что все элементы этого определителя ограничены на дугах γk , следовательно, и весь определитель ограничен на этих дугах. Таким образом, на дугах γk

|G(x, ξ , λ)| 

M , |ρ|n−1

(20)

где M — некоторая константа. Докажем теперь, что такое же неравенство имеет место на дугах γk . Для этого достаточно в определителе H(x, ξ , λ) элементы первых 1 1 1 μ − 1 столбцов умножить на z1 (ξ), z2 (ξ), . . ., zμ−1 (ξ), а μ-го, 1

2

1

2

2

1

(μ + 1)-го, . . ., n-го — на − zμ (ξ), − zμ+1 (ξ), . . ., − zn (ξ) соответ2 2 2 ственно и прибавить к последнему столбцу. Повторяя предыдущие рассуждения, легко убедиться в справедливости неравенства (20) также и на дугах γk . Тем самым (20) доказано на части γk + γk дуги γk , лежащей в области S0 . Но предыдущие рассуждения применимы, очевидно, к любой из областей Sν ; следовательно, (20) имеет место также на части дуги γk , лежащей в области S1 , и тем самым на всей дуге γk . Переходя от ρ к λ, получаем неравенство (12), и лемма в случае нечетного n доказана. б) n ч е т н о; n = 2μ. Этот случай отличается от предыдущего лишь тем, что в двух столбцах, μ-м и (μ + 1)-м, появляются знаменатели [1]eρ ωμ − [ξ  ] и eρ ωμ [1] − [ξ  ], ограниченные снизу на дуге γk ; поэтому неравенство (12) имеет место на дуге γk . Аналогично оно доказывается на дуге γk . З а м е ч а н и е. Из доказательства леммы 1 видно, что оценка (12) имеет место при достаточно больших |λ| в области Qδ , полученной из λ-плоскости выбрасыванием образов кругов |ρ − ρk | < δ при отображении λ = −ρ .

§ 5. Разложение по собственным функциям

101

Пользуясь доказанной леммой и этим замечанием, мы получим оценки

|Ik | <     Hk (x, s)   1  = λk

1 2π

2πλk

M

· 2πRk =

n−1 Rk n Rk



nρ

n−1

|ρ−ρk |=δ

M n−1 Rk n

,

  nM δ G(x, s, −ρ ) dρ  , |λk | n

из которых непосредственно следует (11). Тем самым (см. с. 96–97) доказана Т е о р е м а 2. Функция Грина G(x, ξ) дифференциального оператора L, порожденного регулярными краевыми условиями, разлагается в равномерно сходящийся ряд

G(x, s) = −

∞ Hν (x, ξ) ν=1

λν

.

(21)

Напомним, что Hν (x, ξ) обозначает вычет функций G(x, ξ , λ) относительно ее полюса λν и что все полюсы λν предполагаются простыми. Если все собственные значения оператора L — простые нули функции Δ(λ), то (см. п. 8 § 3) −Hν (x, ξ) = yν (x)zν (ξ), где yν (x), zν (x) — собственные функции от операторов L и L∗ , соответствующие собственным значениям λν и λν и пронормированные так, что 1) 1 yν (x)zν (x) dx = 1. 0

Применяя к этому случаю теорему 2, получаем: Т е о р е м а 3. Если все собственные значения оператора L, порожденного регулярными краевыми условиями, суть простые нули функции Δ, то для его функции Грина имеет место разложение в равномерно сходящийся ряд

G(x, ξ) =

∞ yν (x)zν (ξ) ν=1

λν

.

(22)

Из зтой теоремы легко теперь получить теорему о разложении заданной функции f (x). Т е о р е м а 4. Пусть L — оператор, порожденный регулярными краевыми условиями. Пусть все его собственные значения суть простые нули функции Δ. Тогда всякая функция f (x) из области определения оператора L разлагается в равномерно сходящийся ряд 1) В нижеследующих теоремах 3 и 4 это условие нормировки считается выполненным.

Гл. II. Асимптотическое поведение собственных значений

102

по его собственным функциям

f (x) =

∞

αν yν (x),

ν=1

1

αν = f (ξ)zν (x) dξ , 0

где yν (x), zν (x) — собственные функции операторов L, L∗ , отвечающие собственным значениям λν , λν соответственно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим Lf = h, тогда 1

f (x) = G(x, ξ)h(ξ) dξ. 0

Подставим сюда вместо функции G(x, ξ) ее разложение (22). В силу равномерной сходимости последнего можно интегрировать почленно. Следовательно, ∞ f (x) = αν yν (x), ν=1

где 1 αν = λν

1 h(ξ)zν (ξ) dξ =

1 1 (h, zν ) = (Lf , zν ) = λν λν

0

=

1 1 (f , L∗ zν ) = (f , λν zν ) = (f , zν ). λν λν

Теорема 4 оставляет открытым вопрос о возможности разложения в ряд по собственным функциям оператора L функций, не принадлежащих области определения этого оператора. В случае самосопряженного оператора L, в соответствии о следствием из п. 2, каждая функция f ∈ L2 (a, b) разлагается в сходящийся в среднем квадратичном ряд по собственным функциям, причем в связи с ортогональностью собственных функций справедливо равенство Парсеваля. Для несамосопряженных операторов Г. М. Кесельманом [1] и В. П. Михайловым [1] был получен следующий результат. Если оператор L порождается регулярными краевыми условиями, причем в случае четного n выполняется дополнительно условие θ02 − 4θ1 · θ−1 = 0, то собственные и присоединенные функции этого оператора образуют базис Рисса в пространстве L2 (a, b) 1). 1) Напомним, что условие θ02 − 4θ1 · θ−1 = 0 выполняется, например, для краевых условий типа Штурма (см. п. 8 § 4).

§ 5. Разложение по собственным функциям

103

Понятие базиса Рисса было введено Н. К. Бари (см., например, Гохберг и Крейн [1]). Поясним, что базисом Рисса в L2 (a, b) называется такая полная в этом пространстве последовательность функций ϕ1 , ϕ2 , . . ., что для каждой функции f ∈ L2 (a, b)

2 ∞ b    f (x)ϕn (x) dx < ∞  

n=1 a

и для каждой последовательности чисел c1 , c2 , . . . такой, что

< ∞, существует такая функция f ∈ L2 (a, b), что

∞

n=1

|cn |2
x,

ν=1

1) При фиксированных x и ξ G(x, ξ)f (ξ) обозначает результат применения оператора G(x, ξ) к вектору f (ξ).

120

Гл. III. Операторы в пространстве вектор-функций

⎛

⎞ U1 (Y1 ) . . . U1 (Yn ) U = ⎝ .................... ⎠, Un (Y1 ) . . . Un (Yn ) ⎛ ⎞ W11 . . . W1n U −1 = ⎝ . . . . . . . . . . . . . . ⎠ , Wn1 . . . Wnn где Wjν — матрица m-го порядка. I. Функция Грина G(x, ξ , λ) оператора L − λ1 задается формулой

G(x, ξ , λ) = g (x, ξ , λ) −

n

Yj (x)Wjν Uν (g ).

(5)

j , ν=1

Доказательство формулы (5) аналогично доказательству формулы (34) п. 7 § 3. Применяя к уравнению l(y) − λy = f метод вариации произвольных постоянных, мы получим для его решения y формулу

y=

n

b Yν (x)cν + g (x, ξ , λ)f (ξ) dξ ,

ν=1

(6)

a

аналогичную формуле (31) п. 7 § 3, причем cν здесь постоянные векторы. Подставляя это выражение для y в краевые условия Uν (y) = 0, ν = 1, 2, . . ., n, мы найдем эти векторы cν ; подставляя затем в (6) выражения для cν , мы придем к формуле (5). Обозначим через Δ определитель матрицы U ; тогда

Wjν =

1 V , Δ jν

(7)

где Vjν — транспонированная к матрице m-го порядка, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы Uν (Yj ) в определителе Δ, матрица. Формула (5) перепишется в виде n 1 G(x, ξ , λ) = g (x, ξ , λ) − Yj (x)Vjν Uν (g ). Δ

(8)

j , ν=1

3. Аналитическая природа функции Грина оператора L − λ1. Функции Yμ (x), а следовательно, и g (x, ξ , λ), Vμν и Uν (g ), Δ, являются целыми аналитическими функциями параметра λ. Поэтому из (8) следует: II. Функция Грина оператора L − λ1 есть мероморфная матричная функция параметра λ; ее полюсами могут быть только собственные значения оператора L. Рассмотрим подробнее тот случай, когда λ0 — простой нуль функции Δ.

§ 8. Асимптотика собственных значений

121

Пусть z(x) — собственная функция сопряженного оператора L∗ , соответствующая собственному значению λ0 ; обозначим через y(x)z ∗ (ξ) матрицу с элементами yk (x)zj (ξ). Тогда, пользуясь результатами п. 2 и повторяя рассуждения п. 8 § 3, заключаем, что: III. Если λ0 — простой нуль функции Δ(λ), то y(x)z ∗ (ξ)

G(x, ξ , λ) = −

b

+ G1 (x, ξ , λ),

(9)

(λ − λ0 ) (y , z) dx a

где G1 (x, ξ , λ) регулярна в окрестности точки λ0 . Если, в частности, b

(y , z) dx = 1, a

то

G(x, ξ , λ) = −

y(x)z ∗ (ξ) + G1 (x, ξ , λ). λ − λ0

(10)

Функции Грина дифференциальных операторов первого порядка в пространстве вектор-функции изучались в работах: Буницкий [1, 2], Бохер [1], Биркгоф и Лангер [1], Блисс [1].

§ 8. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора 1. Постановка задачи. В § 4 было подробно изучено асимптотическое поведение собственных значений и собственных функций дифференциального оператора в пространстве скалярных функций. Полученные результаты были затем применены в § 5 для получения общих теорем о разложении по собственным функциям. В этом параграфе мы рассмотрим аналогичную задачу об асимптотическом поведении собственных значений и собственных функций дифференциального оператора в пространстве вектор-функций. Для решения этой задачи сначала изучается асимптотическое поведение решений матричного уравнения

l(Y ) + ρn Y = 0

(1)

при больших значениях |ρ|. При этом, как и в § 4, существенную роль играет разбиение комплексной ρ-плоскости на области Sν (или Tν ) (см. п. 2 § 4). Для простоты изложения мы рассмотрим случай P0 (x) = 1, так что

l(Y ) = Y (n) + P1 Y (n−1) + . . . + Pn Y.

(2)

Ниже будут указаны возможные обобщения полученных результатов при P0 (x) ≡ 1. Кроме того, не нарушая общности, можно считать,

122

Гл. III. Операторы в пространстве вектор-функций

что P1 ≡ 0. Действительно, в противном случае, можно в уравнении (1) сделать подстановку Y = U Y , где U — какое-нибудь решение матрич1 ного уравнения U  + P1 U = 0, удовлетворяющее условию n

det U = 0. l(Y ) + ρn Y = 0, в котором Тогда для Y получим уравнение вида  (n− 1 ) равен нулю. коэффициент при Y Наконец, можно считать, что a = 0, b = 1, т. е. что рассматриваемый интервал есть [ 0, 1] (см. п. 1 § 4). 2. Асимптотика решений матричного уравнения l(Y ) + ρn Y = 0 при большом |ρ|. Итак, пусть

l(Y ) = Y (n) + P2 Y (n−2) + . . . + Pn Y ;

(3)

рассмотрим матричное уравнение

l(Y ) + ρn Y = 0.

(4)

Применяя к этому уравнению по существу те же рассуждения, что и в п. 5 § 4, приходим к следующей теореме. Т е о р е м а 1. Если матричные функции P2 , . . ., Pn непрерывны 1) в интервале [ 0, 1], то матричное уравнение

Y (n) + P2 Y (n−2) + . . . + Pn Y + ρn Y = 0 во всякой области T комплексной ρ-плоскости имеет n линейно независимых решений Y1 , Y2 , . . ., Yn , аналитических относительно ρ ∈ T и удовлетворяющих при ρ ∈ T и |ρ| достаточно большом соотношениям 2)    1 Yk = eρ ωk x 1 + O , ρ    dYk 1 = ρeρ ωk x ωk 1 + O , dx ρ (5) .......................................    dn−1 Yk 1 = ρn−1 eρ ωk x ωkn−1 1 + O . n−1 dx

  1

ρ

A(x, ρ)

обозначает матрицу вида , где A(x, ρ) — При этом O ρ ρ матричная функция, все элементы которой удовлетворяют условиям вида |Aij (x, ρ)|  M при |ρ|  R, 0  x  1, 1) В действительности теорема остается верной для произвольных матричных функций P2 , . . ., Pn , суммируемых в интервале [ 0, 1]. 2) Здесь 1 обозначает единичную матрицу m-го порядка.

§ 8. Асимптотика собственных значений

123

а M и R — некоторые постоянные, не зависящие от x. Если функции Pk (x) не только непрерывны, но также достаточное число раз дифференцируемы, то асимптотические формулы (5) можно уточнить и получить формулы вида  

1 Yk2 (x) Ykν (x) 1 ρ ωk x Yk (x) = e 1+ ρ+ + ... + + O ν+1 ν 2 Yk1 (x)

ρ

ρ

ρ

(ν)

и аналогичные формулы для производных Yk , ν = 1, 2, . . . , n − 1 (подробнее см. п. 6 § 4). 3. Нормировка краевых условий. Пусть Uν (y) = 0, ν = 1, 2, . . . . . ., n, — краевые условия, определяющие данный дифференциальный оператор. Число k назовем порядком формы U (y), если эта форма содержит (k) (k) (ν) хотя бы один из векторов y0 и y1 , но не содержит векторов y0 (ν) и y1 при ν > k. Рассмотрим формы Uν (y) порядка n − 1, если таковые имеются; они имеют вид (n−1)

Uν (y) = Aν , n−1 y0

(n−1)

+ Bν , n−1 y1

+ ... .

Прямоугольная матрица (Aν , n−1 , Bν , n−1 ) имеет m строк и 2m столбцов. Но максимальное число линейно независимых строк из 2m элементов есть 2m; поэтому, заменяя, если нужно, строки в формах порядка n − 1 их линейными комбинациями, можно добиться того, что форм порядка n − 1 будет не больше двух. Применяя к оставшимся формам тот же прием, мы после конечного числа таких шагов приведем краевые условия к виду

Uν (y) = Uν 0 (y) + Uν 1 (y) = 0,

(6)

где (kν )

Uν 0 (y) = Aν y0

+

k ν −1

(j)

Aνj y0 ,

j=0

Uν 1 (y) =

(k ) Bν y1 ν

+

k ν −1

(7) (j) Bνj y1 ,

j=0

n − 1 > k1  k2  . . .  kn  0, kν+2 < kν , причем хотя бы одна из матриц Aν , Bν , ν = 1, 2, . . ., n, отлична от нулевой. Описанные операции называются нормировкой краевых условий, а полученные в результате краевые условия вида (7) — нормированными краевыми условиями.

124

Гл. III. Операторы в пространстве вектор-функций

4. Регулярные краевые условия. Рассмотрим фиксированную область Sk и занумеруем ω1 , ω2 , . . ., ωn так, чтобы при ρ ∈ Sk было

R)ρ ω1 )  R(ρ ω2 )  . . .  R(ρ ωn ). Дальнейшие асимптотические формулы будут выведены для класса краевых условий, которые назовем регулярными. Этот класс определяется различным образом в зависимости от того, будет ли n четным или нечетным: а) n н е ч е т н о; n = 2μ − 1. Нормированные краевые условия (6) называются регулярными, если числа θ0 и θm , определенные равенством

θ 0 + θ1 s + . . . + θm s m =   k1 k1   A1 ω k1 . . . A1 ω k1 (A1 + sB1 )ωμk1 B1 ωμ+ 1 μ−1 1 . . . B1 ωn    k2 k2 k2   A2 ω1k2 . . . A2 ωμ− (A2 + sB2 )ωμk2 B2 ωμ+ 1 1 . . . B2 ωn  =  ,  ...........................................................     An ω kn . . . An ω kn (An + sBn )ωμkn Bn ω kn . . . Bn ωnkn  1 μ−1 μ+1 (8a) отличны от нуля. б) n ч е т н о; n = 2μ. Нормированные краевые условия (6) называются регулярными, если числа θ−n и θn , определенные равенством θ−m s−m + θ−m+1 s−m+1 + . . . + θm sm = det(A, B), где

⎛

A1 ω1k1

k1 . . . A1 ωμ− 1

(A1 + sB1 )ωμk1

(8б)

⎞

⎟ ⎜ k2 ⎜ A2 ω1k2 . . . A2 ωμ− (A2 + sB2 )ωμk2 ⎟ 1 ⎟ A=⎜ ⎜ ..................................... ⎟, ⎠ ⎝ kn kn An ω1kn . . . An ωμ− ( A + sB )ω n n μ 1  ⎞ ⎛ k1 k1 1 B ω k1 + B ω . . . B ω A 1 1 1 1 n ⎟ μ+1 μ+2 s ⎜ ⎟ ⎜  ⎟ ⎜ k2 ⎜ A + 1 B ω k2 k2 ⎟ B ω . . . B ω ⎟ ⎜ 2 2 2 2 n μ+ 1 μ+2 s B=⎜ ⎟, ⎟ ⎜ ⎜ ......................................... ⎟ ⎟ ⎜  ⎠ ⎝ kn kn kn 1 An + s Bn ωμ+1 Bn ωμ+2 . . . Bn ωn отличны от нуля. Легко видеть, что это определение регулярности не зависит от выбора области Sk . Действительно, числа θ0 и θm (соответственно θ−m и θ+m ) являются определителями, которые получаются из определений для чисел θ , рассмотренных в § 4, заменой αk и βk матрицами Ak и Bk .

§ 8. Асимптотика собственных значений

125

Поэтому с изменением области Sk они преобразуются по прежним правилам. В частности, для нечетного n они умножаются на множитель, равный по модулю 1. Для четного n можно повторить без существенных изменений выкладки из п. 8 § 4. При этом оказывается, что при переходе от S0 к S1 (или S2n−1 ) корни уравнения

θ−m s−m + . . . + θm sm = 0 меняют свои значения на обратные. Для нечетного n мы имеем два класса уравнений θ 0 + θ1 s + . . . + θ m s m = 0 с соответственно равными корнями внутри каждого класса. Для Sk (1) (1) с нечетным k получающиеся корни обозначим через ξ1 , . . ., ξm , а для (2) (2) Sk с четным k — через ξ1 , . . ., ξm . 5. Асимптотика собственных значений. В вопросах асимптотического поведения собственных значений существенную роль играет уравнение θ 0 + θ1 s + . . . + θ m s m = 0 (9a) при n нечетном и

θ−m s−m + θ−m+1 s−m+1 + . . . + θm sm = 0

(9б)

при n четном, где числа θj были определены в п. 4. Если краевые условия регулярны, то все корни этих уравнений отличны от 0 и ∞. В следующей теореме мы предполагаем (и для краткости не оговариваем этого в условии теоремы), что коэффициенты рассматриваемого дифференциального выражения — непрерывные матричные функции в интервале [ 0, 1]. Заметим, однако, что фактически все результаты этого пункта остаются верными и тогда, когда коэффициенты дифференциального выражения — произвольные суммируемые функции в интервале [ 0, 1]. Т е о р е м а 2. Пусть L — дифференциальный оператор n-го порядка в интервале (0, 1), порожденный регулярными краевыми условиями. (1) При нечетном n каждому простому корню ξj , а также каждо(2) му простому корню ξj отвечает последовательность собственных (1) (2) значений соответственно λkj и λkj , причем  (1 )   n ln0 ξj 1 (1) λkj = (∓2kπi)n 1 ∓ +O 2 , 2kπi

(2) λkj

k

   n ln0 ξj(2) 1 n = (±2kπi) 1 ± +O 2 . 2kπi

(10a)

k

Здесь верхний знак соответствует n = 4q − 1, а нижний соответствует n = 4q + 1.

126

Гл. III. Операторы в пространстве вектор-функций (1)

(2)

В случае r -кратных корней ξj или ξj получается r последовательностей собственных значений, удовлетворяющих асимптотическим формулам    n ln0 ξj(1) 1 (1) n λkj = (∓2kπi) 1 ∓ + O 1+1/r , 2kπi

(2) λkj

  n ln0 ξj(1) = (±2kπi)n 1 ± +O 2kπi

k

1

k1+1/r

(11a)

 ,

j = j0 , j0 + 1, . . . , j0 + r − 1, причем предполагается, что (γ)

(ρ)

ξj0 = . . . = ξj0 +r−1 . Выбор знака в (11а) подчинен тому же правилу, что и в формуле (10а). При четном n каждому простому корню ξ уравнения (9б) для области S0 соответствует последовательность собственных значений    n ln0 ξ 1 λk = (2kπi)n λ ∓ +O 2 , (10б) 2kπi

k

где верхний знак соответствует n = 4q , а нижний соответствует n = 4q + 2. Каждому r-кратному корню ξ уравнения (9б) соответствует r последовательностей собственных значений    n ln0 ξ 1 λkj = (2kπi)n 1 ∓ + O 1+1/r , (11б) 2kπi

k

j = 1, . . . , r, с выбором знака по прежнему правилу. При кратном корне ξ некоторые из λkj , отвечающие этому ξ , могут совпасть, образуя одно кратное собственное значение. При |λ| достаточно большом оператор L не имеет никаких других собственных значений и кратность собственного значения λkj равна числу совпадающих с ним собственных значений в формулах (11а), (11б), следовательно, не превосходит кратности соответствующего корня ξ уравнения (9). Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим сначала случай нечетного n; пусть n = 2μ − 1. Рассмотрим фиксированную область T ; пусть числа ω1 , ω2 , . . ., ωn занумерованы так, что при ρ ∈ T

R((ρ + c)ω1 )  R((ρ + c)ω2 )  . . .  R((ρ + c)ωn ).

§ 9. Разложение по собственным функциям

127

Применяя формулы (5) п. 2 и повторяя рассуждения при доказательстве теоремы 2 п. 9 § 4, получим

Uν (Yj ) = (ρ ωj )kν [Aν ] при j < μ, k ν ρ ωj Uν (Yj ) = (ρ ωj ) e [Bν ] при j > μ, Uν (Yμ ) = (ρ ωμ )kν {[Aν ] + eρ ωμ [Bν ]}.

(12)

Подставим все эти выражения в уравнение Δ = 0; из определения (8а) чисел θk вытекает, что после сокращения на ρk1 , ρk2 , . . ., ρkn , eρ ωμ+1 , . . ., eρ ωn это уравнение примет вид

[θ0 ] + [θ1 ]eωμ ρ + [θ2 ]e2ωμ ρ + . . . + [θm ]emωμ ρ = 0. Отсюда и из рассуждений, аналогичных рассуждениям в доказательстве теоремы 2 п. 9 § 4, следуют все утверждения теоремы. Аналогично рассматривается случай четного n. Пользуясь теоремами 1 и 2, можно получить асимптотические формулы для собственных функций. Мы не будем подробно останавливаться на этом вопросе.

§ 9. Разложение по собственным функциям дифференциального оператора 1. Случай самосопряженного дифференциального оператора. Пусть L — самосопряженный дифференциальный оператор в пространстве вектор-функций. Повторяя рассуждения п. 2 § 5, приходим к следующей теореме. Т е о р е м а 1. Всякая вектор-функция из области определения самосопряженного оператора L разлагается в равномерно сходящийся обобщенный ряд Фурье по собственным функциям этого оператора. Если y1 (x), y2 (x), . . . — ортонормальная система собственных функций оператора L, отвечающих всем его собственным значениям, то это разложение имеет вид

f (x) =

∞

cn yn (x),

(1)

n=1

где

b

cn = (f (x), yn (x)) dx.

(2)

a

Напомним еще раз, что f (x) и yn (x) — вектор-функции; если, поэтому, положить

f (x) = {f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x)}, yn (x) = {yn1 (x), yn2 (x), . . . , ynm (x)}, n = 1, 2, 3, . . . ,

Гл. III. Операторы в пространстве вектор-функций

128

то разложение (1) эквивалентно системе разложений в равномерно сходящиеся ряды

fj (x) =

∞

cn ynj (x), j = 1, 2, . . . , m,

n=1

с одними и теми же коэффициентами cn . Из теоремы 1 следует, что функции y1 (x), y2 (x), y3 (x), . . . образуют полную ортонормальную систему в пространстве L2m (a, b) всех измеримых вектор-функций f (x), удовлетворяющих условию 1) b

|f (x)|2 dx < +∞.

a

Отсюда

b |f (x)|2 dx =

|cn |2 ,

(3)

n=1

a

где

∞

b

cn = (f (x), yn (x)) dx. a

Формулы разложения по собственным функциям в бесконечномерном пространстве вектор-функций с бесконечным числом компонент получены в работе Рофе-Бекетов [1]. Поскольку в этом случае набор собственных функций может оказаться не дискретным, а непрерывным, то в формуле, аналогичной (1), вместо суммы приходится писать интеграл. 2. Разложение по собственным функциям дифференциального оператора, порожденного регулярными краевыми условиями. Рассуждения в п. 1 неприменимы, если оператор L не является самосопряженным. Поэтому мы применим теперь другой метод, основанный на аналитических свойствах функции Грина оператора L − λ1 и на асимптотических формулах, полученных в § 8. При этом мы будем предполагать, что краевые условия, порождающие оператор L, регулярны; кроме того, можно, не нарушая общности, считать, что краевая задача Ly = 0 имеет только тривиальное решение y = 0. Тогда оператор L имеет функцию Грина G(x, ξ). Как и в п. 3 § 5, рассмотрим последовательность окружностей Γk , k = 1, 2, . . ., с центром в начале координат, обладающую теми же свойствами 1◦ , 2◦ , что и на с. 96. В силу доказанных в п. 5 § 8 асимптотических свойств этих собственных значений такие окружности существуют. 1)

Здесь |f (x)|2 обозначает скалярный квадрат вектора.

§ 9. Разложение по собственным функциям

129

Пусть G(x, ξ , λ) — функция Грина оператора L − λ1; в частности, G(x, ξ , 0) = G(x, ξ) есть функция Грина оператора L. Рассмотрим интеграл  G(x, ξ , λ) 1 Ik = dλ. (4) 2πi

λ

Γk

Л е м м а. На окружностях Γk функция G(x, ξ , λ) удовлетворяет неравенству M |Gjk (x, ξ , λ)|  , (5) n−1 |λ|

n

где M — некоторая постоянная. Д о к а з а т е л ь с т в о 1). Положим λ = −ρn ; тогда при надлежащем выборе arg ρ круг Γk перейдет в дугу γk окружности с центральным 2π углом , проходящую в двух соседних областях S1 и S2 комплексной n ρ-плоскости. Оценим функцию G(x, ξ , λ) на дуге ρk . Пусть числа ω1 , ω2 , . . ., ωn занумерованы так, что при ρ ∈ S1

R(ρ ω1 )  R(ρ ω2 )  . . .  R(ρ ωn ). Воспользуемся формулами п. 2 § 7 для G(x, ξ , λ) и подставим в эти формулы найденные в п. 2 § 8 асимптотические выражения для Yj (x, λ). Мы получим

Zν (ξ) = e−ρ ων ξ следовательно, в силу (4) п. 2 § 7,  1 g (x, ξ) = ∓ 2nρn−1

1 [−ων 1], nρn−1

n

(6)

 ρ ων (x−ξ)

e

ων

[1],

(7)

ν=1

причем знак «−» берется при ξ < x и «+» при ξ > x. Дальнейшую часть доказательства удобно вести отдельно для n четного и n нечетного. Пусть сначала n нечетно; n = 2μ − 1; тогда при ρ ∈ S1 будет

R(ρ ω1 )  0, . . . , R(ρ ωμ−1 )  0, R(ρ ωμ+1 )  0, . . . , R(ρ ωn )  0.

(8)

Обозначим через γk ту часть дуги γk , которая находится в области S1 и на которой R(ρ ωμ )  0, а через γk — ту ее часть, которая находится 1) Из этого доказательства видно, что оценка (5) имеет место для всех достаточно больших |λ| из областей Qδ (см. с. 96).

5 Наймарк М. А.

130

Гл. III. Операторы в пространстве вектор-функций

в S1 и на которой R(ρ ωμ )  0. Оценим функцию G(x, ξ , λ) на дуге γk . Пользуясь формулами (12) п. 5 § 8, легко показать, что 

1 Yj (x)Wjν = O kν на γk . (9) ρ

Для получения оценки на γk функции G(x, ξ , λ) преобразуем сначала ее выражение в формуле (5) п. 2 § 7. В силу формулы (4) п. 2 § 7 для g (x, ξ) n 1 g (0, ξ) = − Yα (0)Zα (ξ), 2 α=1

n 1 g (1, ξ) = Yα (1)Zα (ξ); 2 α=1

следовательно,

Uν (g ) =

n 1 [Uν 1 (Yα ) − Uν 0 (Yα )]Zα (ξ). 2 α=1

Перепишем это выражение в виде μ 1 Uν (g ) = [−Uν (Yα ) + 2Uν 1 (Yα )]Zα (ξ) + 2 α=1

+

n 1 [Uν (Yα ) − 2Uν 0 (Yα )]Zα (ξ) = 2 α=μ+1

=−

μ 1

2

Uν (Yα )Zα (ξ) +

α=1

+

μ

Uν 1 (Yα )Zα (ξ) +

α=1

n n 1 Uν (Yα )Zα (ξ) − Uν 0 (Yα )Zα (ξ). 2 α=μ+1

α=μ+1

Но в силу (6) при α  μ

Uν 1 (Yα )Zα (ξ) = −

ρkν ωαkν +1 eρ ωμ (1−ξ) [Bν ]; nρn−1

отсюда и из (8) вытекает, что

Uν 1 (Yα )Zα (ξ) = O Аналогично при α > μ

Uν 0 (Yα )Zα (ξ) = O

1

 .

ρn−kν −1

1

ρn−kν −1

 ;

(10)

§ 9. Разложение по собственным функциям

131

поэтому (10) перепишется в виде

Uν (g ) = −

μ 1 Uν (Yα )Zα (ξ) + 2 α=1

+

n 1 Uν (Yα )Zα (ξ) + O 2

α=μ+1



1

ρn−kν −1

. (11)

Подставляя это выражение в формулу (5) п. 2 § 7 для G(x, ξ , λ), получим

G(x, ξ , λ) = g (x, ξ , λ) + 

μ n 1 1 1 Yj (x)Zj (ξ) − Yj (x)Zj (ξ) + O n−1 , (12) + 2

2

j=0

ρ

j=μ+1

ибо по определению обратной матрицы n

Wjν Uν (Yα ) = δjα 1

ν=1

и, кроме того, в силу (9)

Yj (x)Wjν · O

1

ρn−kν −1



=O

1



ρn−1

.

Комбинируя (12) с (4) п. 2 § 7, придем к формулам ⎧ 

μ ⎪ 1 ⎪ ⎪ Yj (x)Zj (ξ) + O n−1 при ξ < x; ⎪ ⎪ ⎨ ρ j=1 G(x, ξ , λ) = 

n ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ − Y (x)Z (ξ) + O при ξ > x. j j ⎪ ⎩ ρn−1

(13)

j=μ+1

Но в силу (8) и асимптотических формул для Yj (x) и Zj (ξ) на дуге γk при ξ < x 

μ n 1 1 Yj (x)Zj (ξ) = − n−1 [ωj ]eρ ωj (x−ξ) = O n−1 , j=1

и при ξ > x n Yj (x)Zj (ξ) = − j=μ+1

nρ

ρ

j=1

1 n[ωj ]eρ ωj (x−ξ) = O n−1 nρ j=μ+1

В соединении с (13) это даст требуемое соотношение 

1 G(x, ξ , λ) = O n−1 на дуге γk . 5*

ρ

1

ρn−1

 .

132

Гл. III. Операторы в пространстве вектор-функций

Аналогично это соотношение доказывается на дуге γk и на той части дуги γk , которая находится в области S2 . Тем самым в случае нечетного n лемма доказана. В случае четного n она доказывается совершенно аналогично. При помощи этой леммы точно так же, как и в п. 3 § 5, доказываются следующие теоремы. Т е о р е м а 2. Функция Грина G(x, ξ) дифференциального оператора, порожденного регулярными краевыми условиями, разлагается в ряд ∞ Hν (x, ξ) G(x, ξ) = − , λν

ν=1

равномерно сходящийся по крайней мере при некоторой группировке его членов. При этом Hν (x, ξ) обозначает вычет функции G(x, ξ , λ) относительно полюса λν . Т е о р е м а 3. Если все собственные значения оператора L, порожденного регулярными краевыми условиями, суть простые нули функции Δ(λ), то его функция Грина G(x, ξ) разлагается в ряд

G(x, ξ) =

∞ yν (x)z ∗ (ξ) ν

ν=1

λν

,

равномерно сходящийся по крайней мере при некоторой группировке его членов. При этом yν (x), zν (x) — собственные функции операторов L и L∗ , отвечающие собственным значениям λν и λν соответственно 1). Напомним, что если

yν (x) = (yν 1 (x), yν 2 (x), . . . , yνm (x)), zν (x) = (zν 1 (x), zν 2 (x), . . . , zνm (x)), то yν (x)zν∗ (ξ) есть матрица с элементами yνk (x)z νj (ξ). Т е о р е м а 4. Пусть L — оператор, порожденный регулярными краевыми условиями, все собственные значения которого суть простые нули функции Δ. Тогда всякая вектор-функция f (x) из области определения оператора L разлагается в ряд по собственным функциям

f (x) =

1)

∞

b cν yν (x), cν = (f (ξ), zν (ξ)) dξ ,

ν=1

0

Эти собственные функции считаются нормированными так, что b

(yν (x), zν (x)) dx = 1. a

§ 9. Разложение по собственным функциям

133

равномерно сходящийся по крайней мере при некоторой группировке его членов. При этом yν (x), zν (x) — собственные функции операторов L и L∗ , отвечающие собственным значениям λν , λν соответственно 1). Для простоты изложения мы ограничились только случаем обычной задачи на собственные значения и совсем не рассматривали обобщенную задачу Ly = λM y , в частности, задачу Ly = λB(x)y . В этой последней задаче при некоторых ограничениях на B(x) можно считать, что матрица B(x) диагональна с непрерывными различными диагональными элементами μ1 (x), μ2 (x), . . ., μn (x) (см. п. 8 § 6). Тогда для решений соответствующего дифференциального уравнения и для собственных значений получаются асимптотические формулы, ρ ωj (x−a)

x ρ μj (t) dt

в которых роль множителя e играют e a . Эти формулы могут быть использованы для получения разложений по собственным функциям. Следует отметить, что как этот случай, так и более общий случай Ly = λM y до сих пор подробно никем не рассматривался (за исключением частных случаев n = 1 или m = 1). В этой главе мы рассматривали дифференциальные операторы в пространстве к о н е ч н о м е р н ы х вектор-функций. Значительный интерес представляет изучение линейных дифференциальных операторов с коэффициентами, которые являются операторами, действующими в б е с к о н е ч н о м е р н о м пространстве. Существенно более сложная теория возникает в том случае, когда эти коэффициенты являются неограниченными (т. е. линейными, но не непрерывными операторами). По этому поводу см. работы Крейн С. и Лаптев [1, 2] и Лаптев (1), в которых рассматриваются краевые задачи для дифференциальных уравнений 2-го порядка в гильбертовом и банаховом пространствах; см. также Рофе-Бекетов [1]. В недавних работах Рофе-Бекетова [6, 7] установлен общий вид самосопряженных краевых условий для конечных и бесконечных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (четного и нечетного порядка) на конечном интервале, а также найдены необходимые и достаточные условия существования самосопряженных распадающихся краевых условий.

Ч а с т ь II ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Г л а в а IV НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 1)

§ 10. Гильбертово пространство 1. Определение гильбертова пространства. Векторное пространство R называется предгильбертовым, если в нем определена числовая функция двух переменных x и y , обозначаемая обычно через (x, y) и удовлетворяющая следующим условиям: 1◦ . 2◦ . 3◦ . 4◦ .

(x, x)  0; (x, x) = 0 лишь при x = 0; (y , x) = (x, y); (λx, y) = λ(x, y); (x1 + x2 , y) = (x1 , y) + (x2 , y). Эта функция (x, y) называется скалярным произведением элементов x и y . Из свойств 2◦ –4◦ следует, что также (x, λy) = λ(x, y), (x, y1 + y2 ) = (x, y1 ) + (x, y2 ). Во всяком предгильбертовом пространстве имеет место неравенство |(x, y)|2  (x, y)(y , y); оно называется неравенством Коши–Буняковского. При y = 0 это неравенство очевидно; при y = 0 оно непосредственно вытекает из неравенства

(x, x) − λ(x, y) − λ(x, y) + λλ(y , y) = (x − λy , x − λy)  0, 1) В настоящей главе собраны некоторые сведения из общей теории линейных операторов в гильбертовом пространстве, нужные для дальнейшего. Некоторые факты приведены без доказательств. Более полное изложение читатель может найти в любой из следующих книг: Ахиезер и Глазман [1], Данфорд и Шварц [1, 2], Люстерник и Соболев [1], Канторович и Акилов [1], Иосида [1], Плеснер [1], Рисс и Сёкефальви-Надь [1], Морен [1], Смирнов [1], Наймарк [7].

138

Гл. IV. Операторы в гильбертовом пространстве

! (x, y) если положить λ = . Число |x| = (x, x) называется нормой (y , y) вектора x. Из свойств 1◦ –4◦ скалярного произведения и из неравенства Коши– Буняковского вытекает, что норма |x| обладает следующими свойствами: 1◦ . |x|  0; 2◦ . |x| = 0 тогда и только тогда, когда x = 0; 3◦ . |λx| = |λ||x|; 4◦ . |x + y|  |x| + |y|. Векторное пространство R, в котором определена норма |x|, удовлетворяющая условиям 1◦ –4◦ , называется нормированным пространством. Если R есть совокупность всех векторов обычного трехмерного пространства, а (x, y) — обычное скалярное произведение, то |x| есть длина вектора x. Неравенство 4◦ имеет при этом простой геометрический смысл. Векторы x, y и x + y образуют стороны треугольника (известное правило сложения векторов; рис. 14). Следовательно, неравенство 4◦ означает, что длина стороны x + y Рис. 14 треугольника не превосходит суммы длин двух других сторон x и y . Знак равенства возможен лишь тогда, когда треугольник вырождается в совокупность трех отрезков на одной прямой. Поэтому неравенство 4◦ обычно называют неравенством треугольника. Последовательность векторов xn называют сходящейся к вектору x и пишут x = lim xn , если |x − xn | → 0 при n → ∞. n→∞ Из неравенства Коши–Буняковского вытекает, что в смысле этой сходимости скалярное произведение (x, y) есть непрерывная функция по совокупности переменных x, y . Ряд x1 + x2 + . . . векторов xn ∈ R называется сходящимся, если существует x = lim (x1 + . . . + xn ). Вектор x называют тогда суммой n→∞ этого ряда и пишут x = x1 + x2 + . . .. Множество S ⊂ H называется замкнутым, если из xn ∈ S , xn → x, следует, что x ∈ S . Пересечение всех замкнутых множеств, содержащих данное множество S , есть минимальное замкнутое множество, содержащее S . Оно называется замыканием S и обозначается S . Отметим, что замыкание подпространства есть также подпространство.

§ 10. Гильбертово пространство

139

Последовательность x1 , x2 , x3 , . . . называется фундаментальной, если, каково бы ни было положительное число ε, неравенство

|xn − xm | < ε выполняется для всех достаточно больших номеров n и m. Очевидно, всякая сходящаяся последовательность фундаментальна; обратное, вообще говоря, неверно. Пространство R называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность сходится к некоторому элементу пространства. Всякое неполное пространство R можно пополнить, т. е. вложить в некоторое минимальное полное . Пространство R  называется пополнением пространпространство R  есть обобщение канторовского ства R. Построение пространства R приема пополнения множества всех рациональных чисел до множества всех действительных чисел. Именно, каждой фундаментальной последовательности x1 , x2 , . . ., xn , . . ., xk ∈ R, k = 1, 2, . . ., отнесем некоторый идеальный элемент x. Если при этом последовательность xn сводится к элементу x0 ∈ R, идеальный элемент x считается совпадающим с x0 . Двум фундаментальным последовательностям {xn } и {yn } отнесем один и тот же идеальный элемент x тогда и только тогда, когда |xn − yn | → 0 при n → ∞. Совокупность всех таких идеальных эле и определим в R  действия и норму следуюментов обозначим через R щим образом. Если две фундаментальные последовательности xn и yn определяют идеальные элементы x и y , то λx и x + y суть элементы, определенные последовательностями λxn и xn + yn соответственно. Далее, норма |x| определяется формулой

|x| = lim |xn |. n→∞

 Легко проверить, что при таком определении действий и нормы R есть полное линейное нормированное пространство и притом пополнение пространства R. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Тот факт, что векторы x и y ортогональны, обозначается так: x ⊥ y . Два множества в пространстве R называются ортогональными друг к другу, если каждый вектор одного множества ортогонален к каждому вектору второго множества. Ортогональность двух множеств S1 , S2 ⊂ R обозначается так: S1 ⊥ S2 . Легко проверить, что совокупность всех векторов, ортогональных к некоторому множеству S ⊂ R, есть замкнутое подпространство в R. Это подпространство называется ортогональным дополнением к S в R и обозначается через R − S . Множество векторов называется ортогональной системой, если каждые два различных вектора этого множества ортогональны.

140

Гл. IV. Операторы в гильбертовом пространстве

Вектор x называется нормированным, если |x| = 1. Если x = 0, то 1 вектор y = x будет уже нормированным. Переход от x к y назы|x|

вается нормировкой вектора x. Ортогональная система, все векторы которой нормированы, называется ортонормальной системой. Если e — элемент ортонормальной системы, то скалярное произведение α = (x, e) называется коэффициентом Фурье вектора x относительно элемента e. Ортонормальная система называется полной, если не существует вектора, не равного нулю, ортогонального ко всем векторам системы. Другими словами, полнота системы означает, что эту систему нельзя расширить до более широкой ортонормальной системы путем присоединения новых элементов. Полное предгильбертово пространство, в котором существует конечная или счетная 1) полная ортонормальная система, называется гильбертовым пространством. Гильбертово пространство мы будем обычно обозначать буквой H. Всякая ортонормальная система в гильбертовом пространстве конечна или счетна. Если e1 , e2 , e3 , . . . — полная ортонормальная система в H, то всякий вектор x ∈ H можно представить в виде

x = α1 e1 + α2 e2 + α3 e3 + . . . , где αk = (x, ek ). При этом

(x, y) =

∞

αk β k , αk = (x, ek ), βk = (y , ek ).

k=1

В частности, |x| =

∞

k=1

|αk |2 .

П р и м е р ы. 1. П р о с т р а н с т в о l2 . Обозначим через l2 совокупность всех числовых последовательностей

x = (x1 , x2 , x3 , . . .), удовлетворяющих условию ∞

|xn |2 < +∞.

(1)

n=1 1) В более общем определении гильбертова пространства это условие существования счетной полной ортонормальной системы не накладывается; однако в дальнейшем нам понадобятся лищь гильбертовы пространства, удовлетворяющие этому условию.

§ 10. Гильбертово пространство

141

Каждую такую последовательность будем называть вектором пространства l2 . Определим действия с такими векторами, полагая для

x = (x1 , x2 , x3 , . . .); y = (y1 , y2 , y3 , . . .), x, y ∈ l2 , λx = (λx1 , λx2 , λx3 , . . .), x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 , . . .). При этом λx и x + y также принадлежат l2 , т. е. удовлетворяют условию (1). Это очевидно в отношении λx, а для x + y следует из неравенства |xk + yk |2  2(|xk |2 + |yk |2 ). Определим теперь в l2 скалярное произведение, полагая для x, y ∈ l 2 ∞ (x, y) = xk y k . k=1

Этот ряд сходится абсолютно, ибо

|xk y k | 

1 (|xk |2 + |yk |2 ). 2

Легко видеть, что l2 — гильбертово пространство. 2. П р о с т р а н с т в о L2 (a, b). Обозначим через L2 (a, b) совокупность всех функций f (x), измеримых и с суммируемым квадратом в фиксированном интервале (a, b), конечном или бесконечном; при этом значениями функции f (x) могут быть любые комплексные числа. Каждую такую функцию мы будем считать вектором пространства L2 (a, b) и две такие функции будем считать равными векторами тогда и только тогда, когда они отличаются друг от друга только на множестве меры нуль. Определим действия умножения на число и сложения как умножение функции на число и сложение функций. Определим далее в L2 (a, b) скалярное произведение, полагая для f (x), g (x) ∈ L2 (a, b) b

(f , g ) = f (x)g (x) dx. a 2

Можно показать, что L (a, b) — гильбертово пространство. Пространство L2 (a, b) будет в дальнейшем играть важную роль. Именно: все дифференциальные операторы мы будем рассматривать как операторы в L2 (a, b). 2. Линейные функционалы в H. Функционалом в H называется всякая функция l(x), определенная на некотором подмножестве в H и принимающая числовые значения.

Гл. IV. Операторы в гильбертовом пространстве

142

Функционал l(x), заданный на линейном пространстве M ⊂ H, называется линейным, если 1◦ . l(λx + μy) = λl(x) + μl(y) для всех x, y ∈ M и всех комплексных λ и μ. Линейный функционал называется ограниченным, если 2◦ . |l(x)|  C|x| для всех x Im M, где C — некоторая постоянная. Легко видеть, что ограниченность линейного функционала равносильна его непрерывности. Всякий ограниченный линейный функционал l(x) в H можно представить и притом единственным образом в виде l(x) = (x, y), где y — некоторый фиксированный вектор из H. Если e1 , e2 , e3 , . . . — произвольная полная ортонормальная система в H, то вектор y определится по формуле

y=

∞

αk ek , где αk = l(ek ).

k=1

Сходимость этого ряда легко следует из условия 2◦ 1). 3. Ограниченные операторы. Оператор A, определенный во всем пространстве H, называется ограниченным, если существует число C , такое, что |Ax|  C|x| для всех x ∈ H. Наименьшее из таких чисел C называется нормой ограниченного оператора A и обозначается через |A|. Всякий ограниченный оператор A непрерывен; если xn → x, то |Ax − Axn | = |A(x − xn )|  C|x − xn | → 0, т. е. Axn → Ax. Суммой A + B ограниченных операторов A и B называется оператор, определенный равенством (A + B)x = Ax + Bx. Произведением λA ограниченного оператора A на число λ называется оператор, определенный равенством (λA)x = λ(Ax). При таком определении этих действий ограниченные операторы образуют векторное пространство (см. п. 1 § 1). Кроме того, |λA| = |λ||A| и |A + B|  |A| + |B|. Произведением AB ограниченных операторов A и B называется оператор, определенный равенством (AB)x = A(Bx) для всех x ∈ H. Легко проверить, что при этом A(B + C) = AB + AC , (A + B)C = = AC + BC и |AB|  |A||B|. Отметим, что, вообще говоря, AB = BA. Если AB = BA, то операторы A и B называются перестановочными. ◦ Действительно,  2 для любого

n в силу условия

натурального 1/2 n имеn n  



ем |l(ek )|2 = l l(ek )ek  C  l(ek )ek  = C |l(ek )|2 , откуда k=1 k=1 k=1

nk=1  1/ 2

|l(ek )|2  C. 1)

n

k=1

§ 10. Гильбертово пространство

143

Оператор 1, определенный равенством 1x = x, называется единичным оператором; очевидно, 1 · A = A · 1 = A. Для всякого ограниченного оператора A существует единственный ограниченный оператор A∗ , такой, что (Ax, y) = (x, A∗ y) для всех x, y ∈ H. Этот оператор A∗ называется сопряженным к A. Из этого определения сопряженного оператора вытекает, что A∗∗ = = A, (λA)∗ = λA∗ , (A + B)∗ = A∗ + B ∗ , (AB)∗ = B ∗ A∗ , |A∗ | = |A|. Ограниченный оператор A называется эрмитовым, если A∗ = A. 4. Операторы проектирования. Всякое замкнутое подпространство гильбертова пространства H при том же определении действий, что и во всем H есть также гильбертово пространство. Если M — замкнутое подпространство в H, то всякий вектор x можно представить, и притом единственным образом, в виде 1) x = x + x , где x ∈ M, а x ⊥ M. Вектор x называется проекцией вектора x на M. Понятие проекции допускает особенно простую интерпретацию в трехмерном пространстве. Пусть, например, M — совокупность всех векторов, проходящих через начало координат и лежащих в одной плоскости π (рис. 15). Тогда формула Рис. 15 x = x + x представляет собой разложение вектора x на две составляющие x и x , из которых первая лежит в плоскости π , а вторая ⊥ π . Следовательно, в этом случае данное нами определение проекции совпадает с обычным определением проекции вектора на плоскость. Каждому вектору x отнесем его проекцию x на M. Полученное соответствие есть оператор в H; обозначим его через P , так что по определению P x = x . Оператор P называется оператором проектирования на M. Если нужно подчеркнуть, что P есть оператор проектирования именно на M, то пишут PM вместо P . Из определения проекции вытекает, что |P x|  |x|; следовательно, оператор проектирования ограничен; кроме того, из определения легко заключить, что всякий оператор проектирования P эрмитов и удовлетворяет условию P 2 = P ; обратно, всякий эрмитов оператор, удовлетворяющий этому условию, есть оператор проектирования. Если M1 , M2 , . . ., Mk — несколько подпространств, то M1 + M2 + + . . . + Mk обозначает совокупность всех векторов x = x1 + x2 + . . . + + xk , где x1 ∈ M1 , x2 ∈ M2 , . . ., xk ∈ Mk . 1) Это предложение носит название теоремы об ортогональной проекции и имеет важное значение в теории гильбертова пространства и ее приложениях. Его доказательство нетривиально, а предположение о замкнутости подпространства M является существенным.

144

Гл. IV. Операторы в гильбертовом пространстве

Далее, при M1 ⊃ M2 обозначим через M1 − M2 совокупность всех векторов x ∈ M1 , ортогональных к M2 . Легко проверить справедливость следующих утверждений: I. Соотношение M1 ⊥ M2 эквивалентно соотношению PM1 × · × PM2 = 0 (в этом случае операторы PM1 и PM2 называются ортогональными); при этом PM1 + PM2 = PM1 +M2 . II. Соотношение M1 ⊃ M2 эквивалентно каждому из соотношений: PM1 PM2 = PM2 PM1 = PM2 ; |PM2 x|  |PM1 x|, x ∈ Mh; при этом PM1 − PM2 = PM1 −M2 . Условимся писать PM1 > PM2 и также PM2 < PM1 , если M1 ⊃ M2 и M1 = M2 . Если M — замкнутое подпространство, то очевидно, что PM и 1 − PM суть операторы проектирования на M и на H − M соответственно; отсюда вытекает, что H − (H − M) = M. 5. Изометрические операторы. Оператор U называется изометрическим, если (U x, U y) = (x, y) для всех 1) x, y ∈ DU . Изометрический оператор U называется унитарным, если его области определения и изменения совпадают со всем пространством H. Ограниченный оператор U унитарен тогда и только тогда, когда U ∗ U = U U ∗ = 1. 6. Действия с произвольными операторами. Произведением λA оператора A на число λ называется оператор, область определения которого совпадает с DA , причем (λA)x = λ(Ax) для x ∈ DA . Суммой A + B операторов A и B называется оператор, область определения которого есть DA ∩ DB , причем (A + B)x = Ax + Bx для x ∈ DA ∩ DB . Произведением AB операторов A и B называется оператор, определенный следующим образом: DAB состоит из тех и только тех векторов x ∈ DB , для которых Bx ∈ DA . При этом (AB)x = A(Bx) для x ∈ DAB .

§ 11. Некоторые общие понятия и предложения теории линейных операторов в гильбертовом пространстве 1. Прямая сумма гильбертовых пространств. Пусть дано несколько гильбертовых пространств H1 , H2 , . . ., Hn . Обозначим через H совокупность всех систем x = {x1 , x2 , . . . , xn }, где x1 ∈ H1 , x2 ∈ H2 , . . ., xn ∈ Hn . Определим в H действия сложения и умножения на число, полагая

λ{x1 , x2 , . . . , xn } = {λx1 , λx2 , . . . , λxn }, {x1 , x2 , . . . , xn } + {y1 , y2 , . . . , yn } = {x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn }. 1)

Напомним, что DA обозначает область определения оператора A.

§ 11. Некоторые общие понятия и предложения

145

Далее, определим в H скалярное произведение, полагая

({x1 , x2 , . . . , xn }, {y1 , y2 , . . . , yn }) = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) + . . . + (xn , yn ). При таком определении действий и скалярного произведения H есть гильбертово пространство. (Мы предоставляем читателю доказательство этого простого предложения.) Полученное пространство H называется прямой суммой пространств H1 , H2 , . . ., Hn и обозначается через

H1 + H2 + . . . + Hn . Отметим, что некоторые из пространств H1 , H2 , . . ., Hn или даже все могут совпадать друг с другом; так, например, H + H состоит из всех пар {x1 , x2 }, где x1 ∈ H и x2 ∈ H. 2. График оператора. Пусть теперь A — оператор в H не обязательно линейный. Совокупность всех пар {x, Ax}, x ∈ DA , в прямой сумме H + H называется графиком оператора A и обозначается через BA . Понятие графика оператора является естественным обобщением обычного понятия графика функции одного действительного переменного y = f (x). Именно, обычный график есть не что иное, как совокупность всех точек (x, f (x)) плоскости, которую можно рассматривать как прямую сумму двух одномерных пространств. Очевидно, что два оператора совпадают тогда и только тогда, когда их графики совпадают. I. Множество S ⊂ H + H тогда и только тогда будет графиком некоторого оператора, когда из соотношений {x, y} ∈ S , {x, y  } ∈ S следует y = y  . Действительно, всякий график удовлетворяет этому условию, ибо y = Ax, если {x, y} ∈ BA ; обратно, если это условие выполнено, то равенство y = Ax определяет оператор A, графиком которого служит S . Легко также видеть, что оператор A линеен тогда и только тогда, когда его график BA есть подпространство в H + H. 3. Замкнутые операторы; замыкание оператора. Оператор A называется замкнутым, если его график BA замкнут в H + H. Таким образом, замкнутость оператора A означает, что из соотношений xn ∈ DA , {xn , Axn } → {x, y} следует соотношение {x, y} ∈ BA , т. е. x ∈ DA и y = Ax. Другими словами, замкнутость оператора A означает, что из соотношений

xn ∈ DA , xn → x, Axn → y следуют соотношения

x ∈ DA

и y = Ax.

146

Гл. IV. Операторы в гильбертовом пространстве

II. Всякий линейный ограниченный оператор, определенный во всем пространстве H, замкнут. Действительно, такой оператор непрерывен и потому уже из соотношения xn → x следует соотношение 1) Axn → Ax. Если поэтому Axn → y , то Ax = y . Читатель легко убедится также в справедливости следующих предложений: III. Если оператор A замкнут, то оператор A − λ1 также замкнут. IV. Если оператор A замкнут и оператор A−1 существует, то оператор A−1 также замкнут. Если оператор A не замкнут, то по определению его график BA не замкнут в H + H. Если замыкание BA множества BA в H + H есть также график некоторого оператора, то этот оператор называется . В этом случае замыканием оператора A и обозначается через A говорят также, что оператор A допускает замыкание. Таким образом, по определению BA = BA . (1)

 есть минимальное замкнутое расширение оператора A. Очевидно, A Легко также сформулировать условие существования замыкания, A , которое должно быть не пользуясь понятием графика. Множество B графиком некоторого оператора, состоит из элементов вида {x, Ax}, x ∈ DA , и их пределов; поэтому: V. Оператор A допускает замыкание A тогда и только тогда, когда из соотношений xn ∈ DA , xn ∈ DA , xn → x, xn → x, Axn → y , Axn → y  следует, что y = y  . В этом случае область определения DA замыкания состоит из тех и только тех векторов x, для которых существует последовательность xn ∈ D, удовлетворяющая условиям: xn → x, Axn сходится. При этом

 = lim Axn . Ax n→∞

4. Сопряженный оператор. Множество S ⊂ H называется плотным в H, если его замыкание совпадает с H. Подпространство S плотно в H тогда и только тогда, когда в H не существует ненулевого вектора, ортогонального к S . Действительно, замыкание S есть замкнутое подпространство в H. Если h ⊥ S , то в силу непрерывности скалярного произведения также h ⊥ S . Поэтому, если S плотно в H, то h ⊥ S = H, в частности h ⊥ h; 1) В этом состоит отличие непрерывности от замкнутости. Если оператор A замкнут, то из xn → x, xn ∈ DA , вообще не следует, что Axn сходится.

§ 11. Некоторые общие понятия и предложения

147

следовательно, h = 0. Обратно, если S неплотно в H, то S = H и H − S содержит ненулевые векторы, ортогональные к S . Рассмотрим произвольный линейный оператор A, область определения которого плотна в H. Обозначим через D∗ совокупность всех таких векторов y , что при некотором z ∈ H (зависящим, вообще говоря, от y )

(Ax, y) = (x, z) для всех x ∈ DA . Отметим, что всегда 0 ∈ D∗ , так что D∗ не пусто. Определим оператор A∗ с областью определения DA∗ = D∗ , полагая для y ∈ D∗ A∗ y = z. Этот оператор A∗ называется сопряженным 1) к оператору A. Вектор z однозначно определяется вектором y ∈ D∗ . Действительно, если также

(Ax, y) = (x, z  ), то (x, z − z  ) = 0, т. е. вектор z − z  ортогонален к области определения DA оператора A. Так как последняя плотна в H, то это возможно лишь тогда, когда z − z  = 0, т. е. z = z  . Таким образом, исходное предположение о плотности DA является весьма существенным; если оно не выполняется, то нельзя однозначно определить сопряженный оператор. VI. Если оператор A имеет обратный A−1 и если DA и DA−1 плотны в H, то (A−1 )∗ = (A∗ )−1 . (2) Д о к а з а т е л ь с т в о. При x ∈ DA , y ∈ D(A−1 )∗

(x, y) = (A−1 Ax, y) = (Ax(A−1 )∗ y); это означает, что и

(A−1 )∗ y ∈ DA∗ A∗ (A−1 )∗ y = y.

(3)

С другой стороны, при x ∈ DA−1 , y ∈ DA∗

(x, y) = (AA−1 x, y) = (A−1 x, A∗ y); отсюда и

A∗ y ∈ D(A−1 )∗ (A−1 )∗ A∗ y = y.

(4)

1) Введенное нами здесь определение сопряженного оператора не совпадает с определением п. 6 § 1. Дифференциальный оператор, сопряженный в смысле определения п. 6 § 1, называют часто формально сопряженным для того чтобы отличить его от сопряженного оператора в смысле введенного здесь определения.

Гл. IV. Операторы в гильбертовом пространстве

148

Равенства (3) и (4) показывают, что оператор (A−1 )∗ является обратным к A∗ , т. е. (A−1 )∗ = (A∗ )−1 . Читатель легко проверит также следующие свойства сопряженного оператора (при этом предполагается, что области определения всех рассматриваемых операторов плотны в H): а) (λA)∗ = λA∗ ; б) если A ⊂ B , то A∗ ⊃ B ∗ ; в) (A + B)∗ ⊃ A∗ + B ∗ ; г) (AB)∗ ⊃ B ∗ A∗ ; д) (A + λ1)∗ = A∗ + λ1. Сопряженный оператор можно также описать при помощи графика. Определим для этого оператор U в H + H, полагая

U {x, y} = {iy , −ix}. Легко убедиться в том, что U — унитарный оператор в H + H, удовлетворяющий условию U 2 = 1. (5) Применим ко всем векторам графика BA оператор U ; мы получим множество всех пар {iAx, −ix}, x ∈ DA ; обозначим его через BA . Тогда

BA∗ = (H + H) − BA ,

(6)

т. е. график оператора A∗ есть ортогональное дополнение в H + H множества BA . Действительно, это ортогональное дополнение состоит из тех и только тех пар {y , z}, которые удовлетворяют условию

({iAx, −ix}, {y , z}) = 0 для всех x ∈ DA . Но это условие эквивалентно условию

(Ax, y) − (x, z) = 0, откуда

y ∈ DA∗ , z = A∗ y , {y , z} ∈ BA∗ .

Так как всякое ортогональное дополнение есть замкнутое подпространство, то из (6) следует, что A∗ — всегда линейный замкнутый оператор. Докажем теперь следующее важное предложение: VII. Если линейный оператор A с плотной областью определения , то допускает замыкание A

 A∗∗ = A.

(7)

Если, в частности, оператор A замкнут, то

A∗∗ = A. Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (6) следует, что

BA = (H + H) − BA∗ .

(8)

§ 12. Спектральный анализ самосопряженных операторов

149

Применим ко всем векторам в левой и правой частях последнего соотношения оператор U . Так как U 2 = 1, то оператор U отображает  на B A ; кроме того, по определению B ∗ , унитарный оператор U B A A отображает BA∗ на BA∗ , и, потому, (H + H) − BA∗ на (H + H) − BA∗ . Следовательно, мы получим соотношение

BA = (H + H) − BA∗ .

(9)

Оно означает, что BA есть график оператора A∗∗ ; с другой стороны, BA . Следовательно, как замыкание множества BA есть график оператора A ∗∗ ∗∗   A = A. Если оператор A замкнут, то A = A и A = A. Оператор A называется эрмитовым, если (Ax, y) = (x, Ay) для всех x, y ∈ DA . VIII. Собственные значения эрмитова оператора A действительны. Собственные векторы эрмитова оператора A, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Доказательство первого утверждения аналогично доказательству теоремы 3 п. 5 § 2. Для доказательства второго заметим, что если Ax1 = λ1 x1 и Ax2 = λ2 x2 , то λ1 (x1 , x2 ) = (Ax1 , x2 ) = (x1 , Ax2 ) = λ2 (x1 , x2 ). Отсюда (λ1 − λ2 )(x1 , x2 ) = 0, следовательно, (x1 , x2 ) = 0, если λ1 = λ2 . Эрмитов оператор с областью определения, плотной в H, называется симметрическим оператором. Очевидно, оператор A с плотной в H областью определения будет симметрическим тогда и только тогда, когда A ⊂ A∗ . (10) Так как сопряженный оператор замкнут, то из (10) заключаем, что симметрический оператор допускает замыкание. Оператор A с плотной в H областью определения называется самосопряженным, если A = A∗ . Из этого определения непосредственно вытекает, что самосопряженный оператор замкнут. Ниже мы увидим (см. § 15–18), что введенные здесь понятия играют весьма важную роль в теории дифференциальных операторов в гильбертовом пространстве.

§ 12. Спектральный анализ самосопряженных операторов 1. Спектральная функция. Спектральной функцией называется всякая операторная функция Pλ действительного параметра λ, обладающая следующими свойствами: 1◦ . При любом значении λ Pλ есть оператор проектирования. 2◦ . Pλ  Pμ при λ  μ. 3◦ . При любом x ∈ H

lim |Pλ x| = 0,

λ→−∞

lim |Pλ x − x| = 0.

λ→+∞

150

Гл. IV. Операторы в гильбертовом пространстве

4◦ . При любом x ∈ H функция Pλ x непрерывна справа, т. е.

lim |Pλ+ε x − Pλ x| = 0.

ε→+0

Из свойства 2◦ легко вытекает, что для любого вектора x ∈ H существуют пределы

lim Pλ x = Pμ−0 x,

λ→μ−0

lim Pλ x = Pμ+0 x.

λ→μ+0

Условие 4◦ означает, что Pμ+0 = Pμ ; оно не является существенным и представляет собой только нормировку спектральной функции. Если функция Pλ удовлетворяет условиям 1◦ , 2◦ , 3◦ , но не удовлетворяет условию 4◦ , то достаточно ее заменить функцией Pλ = Pλ+0 . Тогда функция Pλ будет удовлетворять всем условиям 1◦ –4◦ . В некоторых случаях удобно будет вместо спектральной функции Pλ , непрерывной справа, рассматривать спектральную функцию, непрерывную слева; это равносильно замене функции Pλ функцией Pλ = Pλ−0 . В дальнейшем мы будем пользоваться следующими обозначениями: если Δ обозначает один из интервалов

(α, β), [α, β), (α, β], [α, β], то PΔ будет соответственно обозначать

Pβ−0 − Pα+0 , Pβ−0− − Pα−0 , Pβ+0 − Pα+0 , Pβ+0 − Pα−0 . В силу условия 4◦ эти разности можно также переписать в виде

Pβ−0 − Pα , Pβ−0 − Pα−0 , Pβ − Pα , Pβ − Pα−0 , в частности, при Δ = (α, β]

PΔ = Pβ − Pα . В силу предложения II п. 4 § 10 и свойства 2◦ PΔ — оператор проектирования. Легко также проверить, что I. Если интервалы Δ1 , Δ2 , . . ., Δn попарно не пересекаются, то

PΔi PΔj = 0 при i = j.

(1)

2. Интегралы по спектральной функции. При помощи спектральной функции можно построить интеграл, аналогичный интегралу Стилтьеса 1). 1) Об интеграле Стилтьеса см., например, Шилов [1], Натансон [1] или Смирнов [1].

§ 12. Спектральный анализ самосопряженных операторов

151

Пусть f (λ) — произвольная числовая функция, непрерывная 1) в некотором интервале [a, b]. Разобьем интервал (a, b] какими-нибудь точками деления λ1 , λ2 , . . ., λn−1 на интервалы

Δi = (λi−1 , λi ], i = 1, 2, . . . , n; λ0 = a, λn = b, и составим сумму

n

S=

f (ξi )PΔi ,

i=1

где ξi — произвольная точка интервала Δi . Эта сумма S есть ограниченный линейный оператор в H. Нетрудно доказать, что при неограниченном уменьшении длин всех интервалов Δi сумма S стремится по норме оператора к одному и тому же предельному оператору I . Точный смысл этого утверждения состоит в следующем: II. Каково бы ни было ε > 0, существует такое число δ > 0, что любая сумма S , для которой длины всех интервалов Δi меньше δ , удовлетворяет неравенству

|S − I| < ε.

(2)

Оператор I называется интегралом функции f (λ) по dPλ и обозначается b 

f (λ) dPλ .

(3)

a

Из существования интеграла (3) следует также существование интеграла b

f (λ) dPλ x,

(4)

a

который можно определить как предел суммы

σ=

n

f (ξi )PΔi x = Sx.

i=1

Этот предел равен результату применения оператора

b a

f (λ) dPλ к век-

тору x; чтобы в этом убедиться, достаточно заметить, что из неравенства (2) следует неравенство |Sx − Ix| < ε|x|, т. е. неравенство |σ − Ix| < ε|x|. 1) Можно также естественным образом обобщить рассматриваемое нами понятие интеграла на некоторые классы разрывных функций (см. § 21). Однако эти обобщения нам пока не понадобятся.

Гл. IV. Операторы в гильбертовом пространстве

152

Отметим, что имеет место формула

2 b b b   2 2  f (λ) dPλ x = |f (λ)| d|Pλ x| = |f (λ)|2 d(Pλ x, x), a

a

(5)

a

правая часть которой есть обычный интеграл Стилтьеса. Эта формула получается переходом к пределу в очевидном равенстве  n 2 n     2 |Sx| =  f (ξi )PΔi x = |f (ξi )|2 |PΔi x|2 =   i=1

i=1

=

n

|f (ξi )|2 (PΔi x, x). (6)

i=1

Если теперь функция f (λ) непрерывна для всех значений λ, то можно определить интеграл ∞ 

f (λ) dPλ x

(7)

−∞

как предел интеграла (4) при a → −∞ и b → ∞. В силу критерия сходимости Коши и формулы (5) интеграл (7) существует тогда и только тогда, когда существует обычный интеграл Стилтьеса ∞  |f (λ)|2 d|Pλ x|2 . (8) −∞

При этом

  

∞  −∞

2  f (λ) dPλ x =

∞ 

|f (λ)|2 d|Pλ x|2 .

(9)

−∞

Эта последняя формула получается из (5) предельным переходом при a → −∞, b → +∞. 3. Основная спектральная теорема. Рассмотрим сначала следующий пример. Пусть задано конечное число попарно ортогональных операторов проектирования Q1 , Q2 , . . ., Qn , в сумме составляющих единицу:

Qi Qj = 0 при i = j , Q1 + Q2 + . . . + Qn = 1. Пусть, кроме того, задано конечное множество чисел λ1 , λ2 , . . ., λn , занумерованных так, что

λ 1 < λ2 < . . . < λn . Определим «ступенчатую» функцию Pλ , полагая Pλ = Qk ; λk λ

§ 12. Спектральный анализ самосопряженных операторов

153

здесь сумма состоит из тех и только тех слагаемых Pk , для которых λk  λ. Рассмотрим интеграл ∞ 

A=

λ dPλ .

(10)

−∞

Легко видеть, что этот интеграл фактически равен сумме

A=

n

λk Qk

(11)

k=1

и, следовательно, представляет собой оператор с собственными значениями λk . При этом соответствующими собственными подпространствами являются подпространства, на которые проектируют операторы Qk . Таким образом, формула (11) является представлением оператора A в диагональной форме. В конечномерном пространстве всякий эрмитов оператор A можно привести к диагональному виду и, следовательно, для него можно построить «ступенчатую» функцию Pλ , такую, что имеет место формула (11). Оказывается, что и в гильбертовом пространстве для всякого самосопряженного оператора имеет место представление, аналогичное (10), но только теперь Pλ может быть произвольной спектральной функцией не обязательно ступенчатой. Другими словами, имеет место следующая теорема. Т е о р е м а 1. Для всякого самосопряженного оператора A существует одна и только одна спектральная функция Pλ , обладающая следующими свойствами: 1) Вектор x тогда и только тогда принадлежит области определения оператора A, когда сходится интеграл ∞ 

|λ|2 d|Pλ x|2 .

(12)

−∞

2) При этом условии ∞ 

Ax =

λ dPλ x,

(13)

−∞

и, следовательно,

|Ax|2 =

∞ 

|λ|2 d|Pλ x|2 .

(14)

−∞

Обратно, всякий оператор A, определенный условиями 1) и 2) при помощи некоторой спектральной функции Pλ , есть самосопряженный оператор.

154

Гл. IV. Операторы в гильбертовом пространстве

Если оператор A ограничен, то всякий ограниченный оператор B , перестановочный с A, перестановочен с Pλ . 4. Приводимость. Пусть M — замкнутое подпространство в H, а P — оператор проектирования на M. Будем говорить, что подпространство M приводит оператор A, если из x ∈ DA следует, что также P x ∈ DA и AP x = P Ax. III. Ограниченный оператор A, определенный во всем пространстве, тогда и только тогда приводится подпространством M, когда он перестановочен с оператором проектирования P на это подпространство 1). Это утверждение непосредственно следует из самого определения приводимости. IV. Замкнутое подпространство M тогда и только тогда приводит самосопряженный оператор A, когда оператор проектирования PM перестановочен со спектральной функцией Pλ оператора A при всех значениях λ. 5. Описание спектра самосопряженного оператора при помощи его спектральной функции. Число λ называется регулярной точкой оператора A, если оператор Rλ = (A = λ1)−1 существует, определен во всем пространстве H и ограничен. В этом случае оператор Rλ называется резольвентой оператора A. Совокупность всех нерегулярных точек λ оператора A называется спектром A и обозначается S(A). Очевидно, собственное значение λ оператора принадлежит его спектру, ибо тогда оператор (A − λ1)−1 не существует. Совокупность всех собственных значений называется точечным спектром оператора A и обозначается Sp (A). В случае самосопряженного оператора A замыкание множества S(A) − Sp (A) называется непрерывным спектром A и обозначается 2) через Sc (A). Подчеркнем, что при таком определении пересечение точечного и непрерывного спектра может оказаться непустым (см. пример, б) п. 2 § 24). Если оператор A самосопряженный, то его собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны и потому образуют конечное или счетное множество (см. п. 1 § 10). Следовательно, точечный спектр самосопряженного оператора есть конечное или счетное множество вещественных чисел. 1) Или, что то же самое, когда подпространство M и его ортогональное дополнение H − M инвариантны относительно оператора A. 2) Для наших потребностей такая классификация точек спектра является достаточной. По поводу более тонкой классификации см., например, Данфорд и Шварц [1] или Голдберг [1].

§ 12. Спектральный анализ самосопряженных операторов

155

Всякое невещественное число λ есть регулярная точка самосопряженного оператора A и

(A − λ1)

−1

∞ 

= −∞

dPμ , μ−λ

(15)

где Pμ — спектральная функция оператора A. Действительно, интеграл в правой части (15) существует и для любого вектора x, так как ∞ ∞ ∞      dPμ x 2 d|Pμ x|2 1 1   =  d|Pμ x|2 = |x|2 .  μ − λ |μ − λ|2 |Iλ|2 |Iλ|2 −∞

−∞

(16)

−∞

Следовательно, этот интеграл есть ограниченный оператор, который, как легко видеть, равен (A − λ1)−1 . Из неравенства (16) вытекает, что 1 |Rλ |  . (17) |Iλ|

Кроме того, из формулы (15) следует, что

(Rλ )∗ = Rλ .

(18)

Легко также проверить, что Rλ2 − Rλ1 = (λ2 − λ1 )Rλ2 Rλ1 . Т е о р е м а 2. Пусть Pλ — спектральная функция самосопряженного оператора A. 1) Вещественное число λ0 тогда и только тогда является регулярной точкой оператора A, когда функция Pλ постоянна в некоторой окрестности точки λ0 . 2) Вещественное число λ0 тогда и только тогда является собственным значением оператора A, когда Pλ0 +0 − Pλ0 = 0. В этом случае Pλ0 +0 − Pλ0 есть оператор проектирования на собственное подпространство оператора A, соответствующее собственному значению λ0 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем утверждение 1), для чего будем исходить из формулы

|(A − λ0 1)x| = 2

∞ 

(λ − λ0 )2 d(Pλ x, x) при x ∈ DA ,

(19)

−∞

которая непосредственно следует из основной спектральной теоремы.

Гл. IV. Операторы в гильбертовом пространстве

156

Пусть функция Pλ постоянна в окрестности |λ − λ0 |  ε точки λ0 ; тогда формула (19) примет вид

|(A − λ0 1)x|2 =

λ0−ε

(λ − λ0 )2 d(Pλ x, x) +

−∞

∞ 

(λ − λ0 )2 d(Pλ x, x) >

λ0 +ε

> ε2

λ0−ε

 d(Pλ x, x) = ε2 |x|2 .

∞ 

d(Pλ x, x) + −∞

λ0 +ε

Но из этого неравенства можно легко вывести, что оператор (A − λ0 1)−1 существует, ограничен и определен во всем пространстве 1); следовательно, λ0 — регулярная точка оператора A. Обратно, пусть λ0 — регулярная точка оператора A; тогда оператор (A − λ0 1)−1 существует и ограничен. Последнее означает, что имеет место неравенство |(A − λ0 1)−1 y|  C|y|. Полагая здесь (A − λ0 1)−1 y = x, получим, что

|x|  C|(A − λ0 1)x|.

(20) 1

точДокажем, что функция Pλ постоянна в окрестности |λ − λ0 |  C ки λ0 Предположим противное; тогда можно выбрать положительное 1 число η < так, что оператор C

P = Pλ0 +η − Pλ0 −η станет отличным от нуля. Но в таком случае существует вектор x = 0, для которого P x = x; следовательно, формула (19) дает

|(A − λ0 1)x|2 =

λ0+η

(λ − λ0 )2 d(Pλ x, x)  η 2

λ0 −η

λ0+η

d(Pλ x, x) = λ0 −η

= η 2 |P x|2 = η 2 |x|2
λ0 , т. е. когда  0 при λ < λ0 , (Pλ x, x) = (21) |x|2 при λ > λ0 . Последняя формула показывает, что

|(Pλ0 +0 − Pλ0 )x|2 = ((Pλ0 +0 − Pλ0 )x, x) = |x|2 = 0, так что Pλ0 +0 − Pλ0 = 0. Одновременно формула (21) означает, что x = (Pλ0 +0 − Pλ0 )x, т. е. x принадлежит подпространству, на которое проектирует оператор Pλ0 +0 − Pλ0 . Обратно, пусть Pλ0 +0 − Pλ0 = 0 и пусть x = (Pλ0 +0 − Pλ0 )x = 0. Тогда

Pλ x = Pλ (Pλ0 +0 − Pλ0 )x = (Pλ0 +0 − Pλ0 )x = x при λ > λ0 и

Pλ x = Pλ (Pλ0 +0 − Pλ0 )x = 0 при λ < λ0 ,

а потому

|(A − λ0 1)x|2 =

∞ 

(λ − λ0 )2 d(Pλ x, x) = 0.

−∞

Последнее равенство означает, что x — собственный вектор, соответствующий собственному значению λ0 . Тем самым утверждение 2) полностью доказано.

§ 13. Вполне непрерывные операторы 1. Компактные множества. Множество M в полном нормированном 1) пространстве R называется компактным, если из всякой бесконечной последовательности xn элементов множества M можно выделить сходящуюся (в смысле нормы в R) подпоследовательность. I. В конечномерном евклидовом пространстве R всякое ограниченное множество компактно. Это утверждение непосредственно вытекает из теоремы Больцано– Вейерштрасса, ибо, если xn — ограниченная последовательность в R, 1)

См. с. 138.

Гл. IV. Операторы в гильбертовом пространстве

158

то отдельные компоненты элементов xn образуют ограниченные числовые последовательности. В бесконечномерном случае это утверждение уже неверно: II. В бесконечномерном гильбертовом пространстве единичная сфера S некомпактна 1). Действительно, всякая бесконечная ортонормальная система e1 , e2 , e3 , . . . и H принадлежит единичной сфере S и всякая ее подпоследовательность расходится, ибо √ |ej − ek | = 2 при j = k. 2. Критерий компактности. Множество E нормированного пространства называется ε-сетью для множества M того же пространства, если для любого элемента x ∈ M найдется элемент y множества E , отстоящий от x меньше чем на ε. Т е о р е м а 1. Множество M полного нормированного пространства R компактно тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 в R существует конечная ε-сеть для множества M . Доказательство см., например, в книге Шилов [1], гл. II. С л е д с т в и е. Множество M полного нормированного пространства R компактно тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 в R существует компактная ε-сеть для множества M . Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость очевидна, ибо согласно теореме 1 существует даже конечная ε-сеть для множества R. Докажем ε достаточность. Пусть E — компактная -сеть для M ; согласно тео2

ε

реме 1 существует конечная -сеть F для множества E . Тогда F — 2 конечная ε-сеть для M . Действительно, если x ∈ M , то существует ε элемент y ∈ E , такой, что |x − y| < , и элемент z ∈ F , такой, что ε

2

|y − z| < ; следовательно, |x − y| < ε. На основании теоремы 1 отсюда 2 заключаем, что M компактно. 3. Определение и основные свойства вполне непрерывного оператора. Оператор A называется вполне непрерывным, если он переводит всякое ограниченное множество в компактное множество. III. Всякий вполне непрерывный оператор ограничен. Действительно, в противном случае существовала бы последовательность xn , такая, что |xn | = 1, |Axn | > n, Шаром с центром x0 и радиусом r называется совокупность элементов x таких, что |x − x0 | < r, а сферой — совокупность элементов x таких, что |x − x0 | = r. При x0 = 0; r = 1 получается соответственно единичный шар и единичная сфера. 1)

§ 13. Вполне непрерывные операторы

159

и оператор A переводил бы ограниченное множество {xn } в некомпактное множество {Axn }. IV. Если оператор A вполне непрерывен, а оператор B всюду определен в R и ограничен, то операторы AB и BA вполне непрерывны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {xn } — ограниченная последовательность. Из нее можно выделить подпоследовательность {xn }, такую, что {Axn } сходится; ввиду ограниченности оператора B последовательность {BAxn } также сходится. Следовательно, оператор BA вполне непрерывен. Далее, последовательность {Bxn } ограничена; поэтому последовательность {ABxn } компактна; это означает, что оператор AB вполне непрерывен. Аналогично можно доказать, что V. Если A1 , A2 — вполне непрерывные операторы, то α1 A1 + + α2 A2 — вполне непрерывный оператор. VI. Ограниченный линейный оператор, определенный всюду в H, вполне непрерывен тогда и только тогда, когда оператор A∗ A вполне непрерывен. Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость есть частный случай предложения IV; поэтому докажем достаточность. Пусть оператор A∗ A вполне непрерывен и пусть {xn } — ограниченная последовательность: |xn | < C . Из нее можно выделить подпоследовательность xn , такую, что {A∗ Axn } сходится. Но тогда

|Axn − Axm |2 = (A(xn − xm ), A(xn − xm )) = = (A∗ Axn − A∗ Axm , xn − xm )  |A∗ Axn − A∗ Axm ||xn − xm |   2C|A∗ Axn − A∗ Am xm | → 0 при n, m → 0, так что последовательность {Axn } сходится. Это означает, что оператор A вполне непрерывен. VII. Если оператор A вполне непрерывен, то оператор A∗ также вполне непрерывен. Это утверждение следует из предложения VI, ибо оператор (A∗ )∗ A∗ = AA∗ вполне непрерывен. VIII. Если An — последовательность вполне непрерывных операторов, такая, что

|A − An | → 0 при n → ∞, то оператор A также вполне непрерывен. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть K = Kc — шар в H радиуса c; положим εn = |A − An |c. Тогда при x ∈ K

|(A − An )x|  |A − An |c = εn , следовательно, компактное множество An K образует εn -сеть для множества AK . Так как εn → 0 при n → ∞, то на основании следствия

Гл. IV. Операторы в гильбертовом пространстве

160

из теоремы 1 п. 2 множество AK компактно; это означает, что оператор A вполне непрерывен. IX. Если

∞

|aik |2 < +∞,

(1)

i, k=1

то оператор A в пространстве l2 , определенный формулой

A{xi } = yi , yi =

∞

aik xk , i = 1, 2, 3, . . . ,

(2)

k=1

вполне непрерывен. Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через An оператор, который вектор x = {x1 , x2 , x3 , . . .} переводит в вектор y (n) = = {y1 , . . . , yn , 0, 0, . . .}, где числа yj определяются формулой (2). Оператор An переводит всякое ограниченное множество пространства l2 в ограниченное множество n-мерного евклидова пространства, и потому компактное в силу предложения I п. 1; следовательно, оператор An вполне непрерывен. С другой стороны, ∞ 2 ∞ ∞  ∞ ∞ ∞    2 2 |(A − An )x| = |yi | = aik xk   |aik |2 |xk |2 ;    i=n+1

i=n+1 k=1

отсюда

|A − An | 

∞ ∞

i=n+1 k=1

k=1

|aik |2 → 0 при n → ∞

i=n+1 k=1

и остается применить предложение VIII. Функция K(s, t), a < x, t < b, называется ядром Гильберта–Шмидта, если b b

|K(s, t)|2 ds dt < +∞.

(3)

aa

При этом интервал (a, b) может быть конечным или бесконечным. X. Если K(s, t) — ядро Гильберта–Шмидта, то интегральный оператор в L2 (a, b), переводящий функцию f (s) ∈ L2 (a, b) в b

g (s) = K(s, t)f (t) dt, a

вполне непрерывен. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ϕn = ϕn (s), n = 1, 2, 3, . . ., — полная ортонормальная система в L2 (a, b).

§ 13. Вполне непрерывные операторы

161

Полагая b

xk = (f , ϕk ) = f (s)ϕk (s) ds, a b

yk = (g , ϕk ) = g (s)ϕk (s) ds, a

b b

aik =

k(s, t)ϕl (s)ϕk (t) ds dt, aa

мы изометрически отобразим L2 (a, b) на l2 , причем наш интегральный оператор перейдет в оператор в пространстве l2 , определенный формулами (2). Условие (3) перейдет при этом в условие (1); следовательно, этот оператор, а потому и исходный оператор вполне непрерывны. 4. Спектр эрмитова вполне непрерывного оператора. Т е о р е м а 2. Точки спектра эрмитова вполне непрерывного оператора, отличные от нуля, могут быть только собственными значениями каждое конечной кратности, и их предельной точкой может быть только число λ = 0. Обратно, эрмитов оператор, обладающий этими свойствами, вполне непрерывен. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A — эрмитов вполне непрерывный оператор, Pλ — его спектральная функция, Δ — один из интервалов (−∞, −ε), (ε, ∞), ε > 0, а MΔ — замкнутое подпространство, на которое проектирует PΔ . Это подпространство инвариантно относительно A; пусть AΔ — сужение оператора A на MΔ . Очевидно, оператор AΔ также вполне непрерывен; с другой стороны, он имеет ограниченный 1 обратный A− Δ , и потому согласно предложению IV единичный оператор −1 1 = AΔ AΔ вполне непрерывен в MΔ . Этот единичный оператор не изменяет, конечно, единичную сферу в MΔ , с другой стороны, он должен ее переводить в компактное множество. Таким образом, единичная сфера в MΔ компактна; следовательно, MΔ конечномерно (см. утверждение II п. 1). Отсюда следует утверждение теоремы относительно спектра оператора A. Обратно, пусть спектр оператора A обладает указанными в этой теореме свойствами. Тогда каждое из подпространств MΔ конечномерно и потому при ε > 0 оператор −ε 

Aε =

∞ 

λ dPλ + −∞

λ dPλ ε

вполне непрерывен (ибо его область изменения конечномерна). Так как |A − Aε | → 0 при ε → 0, то оператор A также вполне непрерывен на основании предложения VIII. 6 Наймарк М. А.

Гл. IV. Операторы в гильбертовом пространстве

162

§ 14. Расширения симметрического оператора 1. Постановка задачи. Одна из основных задач теории симметрических операторов состоит в описании всех тех расширений данного симметрического оператора A, которые сами являются симметрическими операторами. Частным случаем этой задачи является выяснение условий, при которых оператор имеет самосопряженные расширения, и описание в таком случае всех самосопряженных расширений, отличных от A. Если B — симметрическое расширение симметрического оператора A A ⊂ B , то B ∗ ⊂ A∗ . Но B — симметрический оператор, т. е. B ⊂ B ∗ ; поэтому

A ⊂ B ⊂ B ∗ ⊂ A∗ ,

(1)

так что всякое симметрическое расширение оператора A является сужением оператора A∗ . Симметрический оператор A называется максимальным, если он не имеет симметрических расширений, отличных от A. Всякий самосопряженный оператор A есть максимальный симметрический оператор. Действительно, в этом случае A∗ = A и формула (1) показывает, что B = A, т. е. что всякое симметрическое расширение B оператора A совпадает с A. Ниже мы увидим (см. п. 8), что существуют максимальные, но не самосопряженные операторы. 2. Дефектные подпространства симметрического оператора. Пусть A — симметрический оператор и пусть λ — произвольное невещественное число. Обозначим через Rλ и Rλ области значений операторов A − λ1 и A − λ1 соответственно. Очевидно, что Rλ и Rλ — подпространства в H, не обязательно замкнутые. Их ортогональные дополнения H − Rλ и H − Rλ называются дефектными подпространствами оператора A и обозначаются через Nλ и Nλ соответственно, так что Nλ = H − Rλ , Nλ = H − Rλ . I. Дефектные подпространства Nλ и Nλ суть собственные подпространства оператора A∗ , отвечающие собственным значениям λ и λ соответственно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если x ∈ Nλ , то для любого вектора y ∈ DA

(Ay − λy , x) = 0,

(2)

(Ay , x) = (y , λx).

(3)

т. е.

§ 14. Расширения симметрического оператора

163

По определению оператора A∗ , это означает, что x ∈ DA∗ и A∗ x = λx. Обратно, если A∗ x = λx, то для любого вектора y ∈ DA имеет место равенство (3), эквивалентное равенству (2), т. е. x ∈ Nλ . Ниже (см. п. 8) будет выяснена роль дефектных подпространств в теориях расширений симметрических операторов. 3. Преобразование Кэли. Пусть A — симметрический оператор и пусть λ — произвольное невещественное число. Оператор

V = (A − λ1)(A − λ1)−1

(4)

называется преобразованием Кэли оператора A. Это определение имеет смысл, ибо невещественное число λ не может быть собственным значением эрмитова оператора A (см. VIII п. 4 § 11), а потому (A − λ1)−1 существует. Установим некоторые простые свойства оператора V . Т е о р е м а 1. 1) Преобразование Кэли V симметрического оператора A есть изометрический оператор с областью определения Rλ и областью значений Rλ . 2) Множество элементов V y − y , y ∈ DV , плотно в H. 3) Всякий изометрический оператор V , удовлетворяющий условию 2), есть преобразование Кэли некоторого симметрического оператора. Д о к а з а т е л ь с т в о. 1). Всякий вектор y из DV должен, очевидно, принадлежать Rλ . Обратно, если y ∈ Rλ , то оператор (A − λ1)−1 применим к y и (A − λ1)−1 y ∈ DA . Следовательно, оператор A − λ1 применим к вектору (A − λ1)−1 y . Это означает, что y ∈ DV . Тем самым доказано, что DV = Rλ . Пусть x — произвольный вектор из области определения DA оператора A; положим y = (A − λ1)x. (5) Тогда

y ∈ DV

и V y = (A − λ1)x;

(6)

следовательно, область значений оператора V совпадает с Rλ . Кроме того,

|V y|2 = |(A − λ1)x|2 = ((A − λ1)x, (A − λ1)x) = = (Ax, Ax) − λ(Ax, x) − λ(x, Ax) + |λ|2 (x, x), |y|2 = |(A − λ1)x|2 = ((A − λ1)x, (A − λ1)x) = = (Ax, Ax) − λ(Ax, x) − λ(x, Ax) + |λ|2 (x, x); 6*

164

Гл. IV. Операторы в гильбертовом пространстве

учитывая равенство (Ax, x) = (x, Ax), мы получим отсюда

|V y|2 = |y|2 , т. е. V — изометрический оператор. 2). Из формул (5) и (6) вытекает, что

y − V y = (λ − λ)x, и потому множество R1−V всех векторов y = V y , y ∈ DV , совпадает с множеством DA , плотным в H. 3). Пусть V — изометрический оператор, удовлетворяющий условию 2). Этот оператор не имеет собственного значения, равного единице, т. е. равенство y = V y возможно лишь при y = 0. Действительно, в противном случае, для любого вектора z ∈ DV

(V z − z , y) = (V z , y) − (z , y) = (V z , V y) − (z , y) = 0, т. е. вектор y = 0 ортогонален к плотному в H множеству R1−V , что невозможно. Поэтому существует оператор (1 − V )−1 . Положим

A = (λ1 − λV )(1 − V )−1

(7)

и докажем, что A — симметрический оператор, преобразование Кэли которого совпадает с V . Очевидно, оператор A можно также определить следующим образом: DA = R1−V и для y ∈ DV

A(y − V y) = λy − λV y. В силу условия 2) отсюда видно, что DA плотно в H. Кроме того, при y1 , y2 ∈ DV

(A(y1 − V y1 ), y2 − V y2 ) = (λy1 − λV y1 , y2 − V y2 ) = = (λ + λ)(y1 , y2 ) − λ(V y1 , y2 ) − λ(y1 , V y2 ), ((y1 − V y1 ), A(y2 − V y2 )) = (y1 − V y1 , λy2 − λV y2 ) = = (λ + λ)(y1 , y2 ) − λ(V y1 , y2 ) − λ(y1 , V y2 ), так что

(A(y1 − V y1 ), Y2 − V y2 ) = ((y1 − V y1 ), A(y2 − V y2 )). Поэтому A — симметрический оператор. Наконец, полагая x = y − V y , y ∈ DV , имеем

Ax − λy − λV y. Отсюда

Ax − λx = (λ − λ)y , Ax − λx = (λ − λ)V y.

Эти равенства показывают, что V — преобразование Кэли оператора A. Из доказанной теоремы непосредственно следует Т е о р е м а 2. Пусть A1 , A2 — симметрические операторы, а V1 , V2 — их преобразования Кэли. Оператор A2 тогда и только тогда

§ 14. Расширения симметрического оператора

165

является расширением оператора A1 , когда оператор V2 есть расширение оператора V1 . Теорема 2 будет нами использована в п. 8 для решения основной задачи этого параграфа — описания всех симметрических расширений данного симметрического оператора. Т е о р е м а 3. Симметрический оператор A замкнут тогда и только тогда, когда его преобразование Кэли V — замкнутый оператор. Последнее имеет место тогда и только тогда, когда Rλ и Rλ — замкнутые подпространства. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть оператор A замкнут и пусть последовательность yn = (A − λ1)xn , xn ∈ DA , сходится к некоторому вектору y . В силу изометрии оператора V последовательность V yn = (A − λ1)xn также сходится к некоторому вектору z . Но тогда 1 1 (yn − V yn ) → (y − z), λ−λ λ−λ 1 1 Axn = (λyn − λV yn ) → (λy − λz); λ−λ λ−λ

xn =

отсюда, учитывая замкнутость оператора A, заключаем, что

y − z ∈ DA , A(y − z) = λy − λz , следовательно,

y=

1 [A(y − z) − λ(y − z)] ∈ Rλ . λ−λ

Тем самым доказано, что оператор V и подпространство Rλ замкнуты; тогда Rλ также замкнуто как изометрический образ замкнутого подпространства Rλ . Применяя аналогичные рассуждения, можно показать, что из замкнутости оператора V , или подпространства Rλ , следует замкнутость оператора A. 4. Область определения сопряженного оператора. Подпространства M1 , M2 , . . ., Mn называются линейно независимыми, если равенство x1 + x2 + . . . + xn = 0, xk ∈ Mk , k = 1, 2, . . . , n, возможно лишь при x1 = x2 = . . . = xn = 0. Если M1 , M2 , . . ., Mn линейно независимы, то совокупность всех сумм x1 + x2 + . . . + xm , xk ∈ Mk , называется прямой суммой подпространств M1 , M2 , . . ., Mn и обозначается M1 + . . . + Mn . Очевидно, M1 + . . . + Mn — также подпространство.

166

Гл. IV. Операторы в гильбертовом пространстве

Если подпространства M1 , M2 , . . ., Mn линейно независимы, то всякий вектор x из их прямой суммы M1 + M2 + . . . + Mn представляется единственным образом в виде

x = x1 + x2 + . . . + xn , xk ∈ Mk , k = 1, 2, . . . , n. Действительно, если также

x = x1 + x2 + . . . + xn , xk ∈ Mk , k = 1, 2, . . . , n, то причем

0 = (x1 − x1 ) + (x2 − x2 ) + . . . + (xn − xn ),

xk − xk ∈ Mk , k = 1, 2, . . . , n.

В силу линейной независимости подпространств M1 , M2 , . . ., Mn отсюда вытекает, что xk − xk = 0, xk = xk , k = 1, 2, . . . , n. Т е о р е м а 4. Если A — замкнутый симметрический оператор, то подпространства DA , Nλ , Nλ линейно независимы и их прямая сумма совпадает с DA∗ :

DA∗ = DA + Nλ + Nλ .

(8)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем сначала линейную независимость. Пусть x + y + z = 0, x ∈ DA , y ∈ Nλ , z ∈ Nλ . (9) Применяя к обеим частям оператор A∗ − λ1, получим

(A − λ1)x + (λ − λ)y = 0. Но

(10)

(A − λ1)x ∈ Nλ , (λ − λ)y ∈ Nλ ;

так как эти подпространства ортогональны, то равенство (10) возможно лишь тогда, когда

(A − λ1)x = 0, (λ − λ)y = 0; следовательно, когда x = 0, y = 0 (x = 0, ибо невещественное число λ не может быть собственным значением симметрического оператора A). Отсюда и из (9) заключаем, что также z = 0. Докажем теперь формулу (8). Каждое из подпространств DA , Nλ , Nλ содержится в DA∗ ; поэтому

DA∗ ⊃ DA + Nλ + Nλ .

(11)

Остается доказать, что, обратно, каждый вектор u ∈ DA∗ можно представить в виде

u = x + y + z , x ∈ DA , y ∈ Nλ , z ∈ Nλ .

(12)

§ 14. Расширения симметрического оператора

167

Так как оператор A замкнут, то Rλ — замкнутое подпространство. По определению, Nλ — его ортогональное дополнение; следовательно,

Rλ + Nλ = H.

(13)

Это означает, что всякий вектор v ∈ H можно представить в виде

v = v  + v  , где v  ∈ Rλ , v  ∈ Nλ . Применим это представление к вектору v = = (A∗ − λ1)u. Так как v  ∈ Rλ , то

v  = (A − λ1), x ∈ DA . Положим, кроме того,

v  = (λ − λ)y , y ∈ N. Мы получим

(A∗ − λ1)u = (A − λ1)x + (λ − λ)y = (A∗ − λ1)(x + y), ибо A∗ y = λy , A∗ x = Ax. Отсюда (A∗ − λ1)(u − x − y) = 0, следовательно, полагая z = u − x − y , имеем

z = u − x − y ∈ Nλ . Тем самым представление (8) доказано. Теорема 4 дает полное описание оператора A∗ , ибо

A∗ u = Ax + λy + λz.

(14)

Из теоремы 4 непосредственно получаем С л е д с т в и е 1. Замкнутый симметрический оператор является самосопряженным тогда и только тогда, когда оба его дефектные подпространства равны (0), т. е. состоят только из нулевого элемента пространства. Действительно, формула (8) показывает, что в этом и только в этом случае DA∗ = DA . 5. Формула фон Неймана. Рассмотрим разложение (8) при λ = −i:

DA∗ = DA + Ni + N−i ; оно означает, что всякий вектор x ∈ DA∗ представляется единственным образом в виде

x = x0 + x− + x+ , x0 ∈ DA , x− ∈ Ni , x+ ∈ N−i . Докажем, что тогда

I(A∗ x, x) = |x+ |2 − |x− |2 . Эта формула называется формулой фон Неймана.

(15)

Гл. IV. Операторы в гильбертовом пространстве

168

Для ее вывода достаточно заметить, что

(Ax0 , x− + x+ ) = (x0 , A∗ (x− + x+ )) = (x0 , −ix− + ix+ ), и потому

(A∗ x, x) = (Ax0 − ix− + ix+ , x0 + x− + x+ ) = = (Ax0 , x0 ) + (x0 , −ix− + ix+ ) + (−ix− + ix+ , x0 ) − − i|x− |2 + i|x+ |2 − i(x− , x+ ) + i(x+ , x− ) = = (Ax0 , x0 ) + 2R[(x0 , −ix− + ix+ ) + i(x+ , x− )] + i(|x+ |2 − |x− |2 ). Отсюда вытекает формула (15), ибо первые два слагаемых вещественны, а последнее чисто мнимо. Разобьем все множество DA∗ на подмножества E+ , E− , E0 , на которых соответственно J(A∗ x, x) больше, меньше или равно нулю. II. Вектор x из DA∗ принадлежит E+ , E− или E0 в зависимости от того, будет ли |x+ |2 − |x− |2 больше, меньше или равно нулю. Это утверждение непосредственно вытекает из формулы (15). III. Имеют место соотношения

DA ⊂ E0 , Ni ⊂ E− ∪ {0}, N−i ⊂ E+ ∪ {0}.

(16)

(Здесь {0} обозначает множество, состоящее из одного только нулевого элемента 0 пространства H, а E− ∪ {0}, E+ ∪ {0} — теоретикомножественные суммы множеств E− , E+ с множеством {0}.) Действительно, если x ∈ DA , то x+ = x− = 0, и потому |x+ |2 − − |x− |2 = 0. Если же x = 0, x ∈ Ni , то x0 = 0, x+ = 0, x− = 0, x− = x, и потому |x+ |2 − |x− |2 = −|x|2 < 0. Аналогично рассматривается случай x ∈ N−i . 6. Размерность по модулю. Пусть M и N — два подпространства в H. Число n называется размерностью подпространства N по модулю M, если в N имеется n и не более n векторов, никакая линейная комбинация которых, кроме комбинации с нулевыми коэффициентами, не принадлежит M. Размерность N по модулю M обозначим через dimM N в отличие от обыкновенной размерности, обозначаемой dim N. Так например, из формулы (8) следует, что

dimDA DA∗ = nλ + nλ , где nλ , nλ — размерности Nλ и Nλ соответственно. Отсюда, в частности, видно, что nλ + nλ не зависит от λ, ибо DA∗ и DA от λ не зависят. Пусть теперь S — произвольное множество в H, а M — попрежнему подпространство в H. Условимся говорить, что S определяет размерность n по модулю M, если n есть размерность по модулю M максимального подпространства в S ∪ {0}.

§ 14. Расширения симметрического оператора

169

IV. Пусть m и n — размерности подпространств N−i и Ni соответственно; тогда множества E+ , E− определяют размерности m и n по модулю DA . Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу (16) эта размерность  m и n соответственно; поэтому достаточно доказать обратные неравенства. Докажем это, например, для E+ ; для E− доказательство аналогично. Если m = ∞, то предыдущее неравенство переходит в равенство; поэтому нужно только рассмотреть случай конечного m. Предположим, что вопреки утверждению в E+ есть m + 1 линейно независимых векторов x1 , x2 , . . ., xm+1 , таких, что всякая их ненулевая линейная комбинация содержится в E+ , но не содержится в DA . Так как E+ ⊂ DA∗ , то каждый из этих векторов можно представить в виде + − + 0 xj = x0j + x− j + xj , xj ∈ DA , xj ∈ Ni , xj ∈ N−i .

Так как dim N−i = m, то векторы x+ j , j = 1, 2, . . ., m + 1, линейно зависимы; таким образом, существуют числа c1 , . . ., cm+1 , не все равные нулю и такие, что + + c 1 x+ 1 + c2 x2 + . . . + cm+1 xm+1 = 0.

Но тогда

m+ 1

cj xj = x0 + x− ,

j=1

где

x0 =

m+ 1 j=1

cj x0j ∈ DA , x− =

m+ 1

c j x− j ∈ Ni .

j=1

Последнее невозможно, ибо в силу II x0 + x− ∈ E− при x− = 0 и x0 + m+

1 + x− ∈ E0 при x− = 0, а по предположению c j x j ∈ E+ . j=1

V. Если α > 0, а β — произвольное вещественное число, то дефектные подпространства N−i , Ni операторов A и B = αA + β 1 имеют соответственно одинаковую размерность. Д о к а з а т е л ь с т в о. Это утверждение непосредственно вытекает из предложения IV, ибо DA = DB и множества E+ , E− для обоих операторов одни и те же. Т е о р е м а 5. При любом комплексном λ из верхней полуплоскости dim Nλ = dim N−i , dim Nλ = dim Ni .

Гл. IV. Операторы в гильбертовом пространстве

170

Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим λ = σ + iτ ; по условию τ > 0. Обо1 значим через Ni , N−i дефектные подпространства оператора B = A − σ τ

− 1. Тогда, как легко видеть,

τ

Nλ = Ni , Nλ = N−i .

Поэтому утверждение теоремы есть непосредственное следствие предложения V. 7. Индекс дефекта. Положим

m = dim Ni , n = dim N−i . Пара чисел (m, n) называется индексом дефекта симметрического оператора A, а сами числа m и n — его дефектными числами. Согласно теореме 5 при Jλ > 0 также

m = dim Nλ , n = dim Nλ . Из следствия п. 4 вытекает: Замкнутый симметрический оператор является самосопряженным тогда и только тогда, когда его индекс дефекта есть (0, 0). Отметим еще следующую теорему: Т е о р е м а 6. Если A — замкнутый симметрический, а B — ограниченный эрмитов оператор, определенный во всем пространстве H, то операторы A и A + B имеют один и тот же индекс дефекта. Д о к а з а т е л ь с т в о. Из соотношения

(A + B)∗ = A∗ + B следует, что

D(A+B)∗ = DA∗

и при x ∈ DA∗

((A + B)∗ x, x) = ((A∗ + B)x, x) = (A∗ x, x) + (Bx, x). Поэтому

J((A + B)∗ x, x) = J(A∗ x, x),

ибо (Bx, x) вещественно. Но тогда множества E+ , E− для операторов A и A + B одни и те же; следовательно, утверждение теоремы вытекает из предложения IV п. 6. 8. Описание симметрических расширений данного симметрического оператора 1). Теорема 2 п. 3 дает возможность весьма просто описать симметрические расширения данного симметрического оператора A. Мы будем рассматривать только замкнутые симметрические расширения. Каждое такое расширение является одновременно 1) Другой метод вывода теорем настоящего пункта читатель может найти в книге Данфорд и Шварц [2].

§ 14. Расширения симметрического оператора

171

 оператора A. Поэтому, не нарушая общнорасширением замыкания A сти, можно считать, что уже A — замкнутый симметрический оператор. Пусть A — замкнутый симметрический оператор, A — его замкнутое симметрическое расширение. Обозначим через V и V  преобразования Кэли операторов A и A ; тогда V ⊂ V , следовательно, Положим так как то

DV ⊂ DV  , RV ⊂ RV  . P = DV  − DV , Q = RV  − RV ; P ⊥ DV , Q ⊥ RV , P ⊂ Nλ , Q ⊂ Nλ .

Определим, далее, оператор U , полагая

U x = V  x для x ∈ P.

(17)

Так как V  изометрически отображает DV на RV и DV  на RV  , то он также изометрически отображает P на Q. В силу (17) это означает, что U — изометрический оператор с областью определения P и значений Q. Обратно, пусть задан произвольный изометрический оператор U с областью определения P ⊂ Nλ и значений Q ⊂ Nλ . Полагая для y ∈ DV , z ∈ P

V  (y + z) = V y + U z , мы получим изометрический оператор V  , который является расширением оператора V и, следовательно, преобразованием Кэли некоторого замкнутого симметрического расширения оператора A. Легко описать это расширение A непосредственно при помощи оператора U . Действительно, в силу теоремы 1 п. 3 DA состоит из всех векторов

x = (y + z) − V  (y + z) = (y + z) − (V y + U z) = (y − V y) + z − U z , где y ∈ DV , z ∈ P. Но векторы x = y − V y , y ∈ DV , пробегают в точности область определения DA оператора A; следовательно, DA состоит из всех векторов

x = x + z − U z , x ∈ DA , z ∈ P. Так как то

A ⊂ A∗ , z ∈ Nλ , U z ∈ Nλ , A x = Ax + λz − λU z.

172

Гл. IV. Операторы в гильбертовом пространстве

Из самого определения оператора A следует, что его дефектными подпространствами будут

Nλ = Nλ − P, Nλ = Nλ − Q. Мы приходим к следующей теореме. Т е о р е м а 7. Всякое замкнутое симметрическое расширение A данного замкнутого симметрического оператора A определяется некоторым изометрическим оператором U , области определения и значений которого суть замкнутые подпространства P ⊂ Nλ и Q ⊂ Nλ соответственно. При этом DA есть совокупность всех векторов и

x = x + z − U z , x ∈ DA , z ∈ P,

(18)

A x = Ax + λz − λU z.

(19)

Обратно, для всякого такого оператора U формулы (18), (19) определяют некоторое замкнутое симметрическое расширение A оператора A. При этом дефектными подпространствами оператора A будут Nλ = Nλ − P, Nλ = Nλ − Q. (20) Наиболее важен тот случай, когда A — самосопряженное расширение оператора A. В силу следствия 1 в п. 4 расширение A тогда и только тогда будет самосопряженным оператором, когда Nλ = (0), Nλ = (0), т. е. когда P = Nλ , Q = Nλ . Для существования такого оператора U необходимо и достаточно, чтобы подпространства Nλ и Nλ имели одинаковую размерность. Мы приходим к следующему результату. Т е о р е м а 8. Расширение A тогда и только тогда является самосопряженным, когда области определения и значений оператора U совпадают с Nλ и Nλ соответственно. Оператор A имеет самосопряженные расширения тогда и только тогда, когда его дефектные подпространства Nλ и Nλ имеют одинаковую размерность, т. е. когда его индекс дефекта имеет вид (n, n). Особенно просто описываются симметрические расширения в том случае, когда Nλ и Nλ конечномерны. Для существования самосопряженного расширения оба подпространства должны иметь одинаковую размерность — обозначим ее через n. Выберем в Nλ какой-нибудь ортонормальный базис e1 , e2 , . . ., en , а в Nλ ортонормальный базис e1 , e2 , . . ., en . Тогда всякий вектор z ∈ Nλ имеет вид

z = ζ1 e1 + ζ2 e2 + . . . + ζn en ;

§ 14. Расширения симметрического оператора

173

далее всякий изометрический оператор U с областью определения Nλ и изменения Nλ задается формулой  n  n Uz = uik ζk ej , j=1

k=1

где u = (ujk ) — унитарная матрица. Поэтому в рассматриваемом случае DA состоит из всех векторов:  n  n n  x =x+ ζk ek − ujk ζk ej , x ∈ DA , (21) j=1

и  

A x = Ax + λ

j=1 n

k=1

ζk ek − λ

j=1

 n n j=1

 ujk ζk ej .

(22)

k=1

Если ни одно из дефектных подпространств Nλ , Nλ = (0), то согласно теореме 7 оператор A допускает нетривиальное расширение A . Поэтому: VI. Замкнутый симметрический оператор A максимален тогда и только тогда, когда хотя бы одно из его дефектных подпространств равно (0), т. е. когда его индекс дефекта есть (0, n) или (n, 0). В частности: VII. Расширение A максимально тогда и только тогда, когда P = Nλ или Q = Nλ . VIII. Если дефектные подпространства Nλ , Nλ конечномерны и одинаковой размерности, то всякое максимальное расширение является самосопряженным. 8а. Расширения с выходом из гильбертова пространства. В этом пункте мы сообщим без доказательств некоторые сведения по так называемой обобщенной теории симметрических расширений. Обобщенной спектральной функцией в гильбертовом пространстве H называется операторная функция Fλ действительного параметра λ, обладающая следующими свойствами. 1◦ . При λ2 > λ1 , разность Fλ2 − Fλ1 является ограниченным положительным оператором 1). ◦ 2 . Fλ+0 = Fλ для всех вещественных λ. 3◦ . При любом x ∈ H

lim |Fλ x| = 0,

λ→−∞

lim |Fλ x − x| = 0.

λ→+∞

1) Ограниченный оператор A называется положительным, если (Ax, x)  0 для всех x ∈ H.

174

Гл. IV. Операторы в гильбертовом пространстве

Пусть H — подпространство гильбертова пространства H+ . Пусть — (обычная) спектральная функция в H+ (см. п. 1 § 12), а P + — оператор ортогонального проектирования в H+ на H. Нетрудно проверить, что сужение Fλ оператора P + Pλ+ на пространство H является о б о б щ е н н о й спектральной функцией в этом пространстве, однако отнюдь не тривиально, что справедливо обратное утверждение. Именно имеет место следующая теорема. Для каждой обобщенной спектральной функции Fλ в гильбертовом пространстве H существует такое гильбертово пространство H+ ⊃ H и такая обычная спектральная функция Pλ+ в H+ , что Fλ равно сужению на H оператора P + Pλ+ , где P + — оператор ортогонального проектирования в H+ на H. Обобщенную спектральную функцию Fλ назовем спектральной функцией симметрического оператора A (с областью определения DA , плотной в H), если для любых f ∈ DA и f ∈ H справедливы формулы

Pλ+

∞ 

(Af , g ) = −∞

λ d(Fλ f , g ), Af 2 =

∞ 

λ2 d(Fλ f , f ).

−∞

Эти формулы напоминают интегральное представление самосопряженного оператора, описанное в п. 3 § 12. Оказывается, что каждый симметрический оператор обладает обобщенной спектральной функцией. Построение такой функции может быть выполнено следующим образом. Симметрический (самосопряженный) оператор B + , с областью определения DB + , плотной в гильбертовом пространстве H+ ⊃ H, назовем симметрическим (самосопряженным) расширением оператора A, действующего в гильбертовом пространстве H, с выходом из пространства H, если DB + ⊃ DA и B + f = Af для всех f ∈ DA . Можно доказать, что с а м о с о п р я ж е н н ы е расширения с выходом из пространства существуют и в том случае, когда дефектные числа оператора A не равны друг другу, т. е. такие самосопряженные расширения существуют всегда. Пусть A — симметрический оператор в H и B + — какое-либо самосопряженное расширение A (без выхода или с выходом из H). Пусть Pλ+ — спектральная функция B + , а P + — оператор ортогонального проектирования в H+ на H. Тогда сужение Fλ оператора P + Pλ на H является спектральной функцией оператора A, и если брать все возможные расширения B + с выходом из пространства H оператора A, то таким путем получаются все спектральные функции оператора A. Симметрический оператор обладает е д и н с т в е н н о й обобщенной спектральной функцией тогда и только тогда, когда он является максимальным.

§ 14. Расширения симметрического оператора

175

С понятием обобщенной спектральной функции симметрического оператора тесно связано понятие обобщенной резольвенты. Обобщенной резольвентой симметрического оператора A называется операторная функция Rλ комплексного параметра λ, допускающая представление вида Rλ f = P + (B + − λ1+ )−1 f , f ∈ H, где B + — какое-либо самосопряженное расширение оператора A, построенное, вообще говоря, с выходом из H в H+ , 1+ — единичный оператор в H+ , P + — по-прежнему оператор ортогонального проектирования в H+ на H. Оказывается, что операторная функция Rλ (Jλ = 0) является обобщенной резольвентой симметрического оператора A тогда и только тогда, когда она допускает представление вида ∞  d(Fλ f , g ) (Rλ f , g ) = , f , g ∈ H, −∞

μ−λ

где Fλ — обобщенная спектральная функция оператора A. Изложенная здесь теория принадлежит М. А. Наймарку (см. Наймарк [2], а также Ахиезер и Глазман [1], Надь [1]). Обобщение теории на случай так называемых нормальных расширений дано в работе Бириук и Коддингтон [1]. Важная задача описания в с е х обобщенных резольвент заданного симметрического оператора A в терминах и с х о д н о г о пространства H была решена А. В. Штраусом (см. Штраус [1]). 9. Спектры самосопряженных расширений симметрического оператора. Число λ называется точкой регулярного типа оператора A, если существует число k = k(λ) > 0, такое, что для всех x ∈ DA

|(A − λ1)x|  k|x|.

(23)

Очевидно, неравенство (23) означает, что обратный оператор (A − λ1)−1 существует и ограничен; однако его область определения может и не совпадать со всем пространством. В частности, собственные значения оператора A не являются его точками регулярного типа. Совокупность всех точек регулярного типа оператора A называется его полем регулярности. IX. Поле регулярности всякого линейного оператора A есть открытое множество. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть λ0 — точка регулярного типа операто1 ра A. Тогда при |λ − λ0 |  δ  k(λ0 ) и x ∈ DA 2

|(A − λ1)x|  |(A − λ0 1)x| − |λ − λ0 ||x|  (k(λ0 ) − δ)|x| 

1 k(λ0 )|x|; 2

таким образом, каждое из значений λ в окрестности |λ − λ0 |  δ точки λ0 есть точка регулярного типа.

176

Гл. IV. Операторы в гильбертовом пространстве

X. Если A — симметрический оператор, то всякое невещественное число принадлежит его полю регулярности. Действительно, положим λ = σ + iτ , τ = 0, и введем для краткости обозначение B = A − σ 1. Оператор B эрмитов и потому при x ∈ DA

|(A − λ1)x|2 = |Bx − iτ x|2 = (Bx − iτ x, Bx − iτ x) = = (Bx, Bx) + iτ [(Bx, x) − (x, Bx)] + τ 2 (x, x) = |Bx|2 + τ 2 |x|2 ; следовательно,

|(A − λ1)x|2  τ 2 |x|2 .

Всякая регулярная точка 1) λ оператора A удовлетворяет, очевидно, неравенству (23); поэтому всякая регулярная точка оператора есть его точка регулярного типа. Обратное, вообще, неверно; точка регулярного типа лишь тогда является регулярной точкой оператора A, когда область определения оператора (A − λ1)−1 есть все пространство H. Таким образом, поле регулярности оператора содержит все его регулярные точки, но может содержать также точки спектра этого оператора. Так, например, все невещественные числа λ являются точками спектра не максимального симметрического оператора и в то же время принадлежат его полю регулярности (см. предложение X). Дополнение в спектре поля регулярности называется ядром спектра оператора. В силу только что сказанного ядро спектра есть часть спектра, вообще говоря, со всем спектром не совпадающая. Однако в случае самосопряженного оператора понятие точки регулярного типа и регулярной точки совпадают, так что ядро спектра самосопряженного оператора совпадает с его спектром. Дадим теперь классификацию точек, образующих ядро спектра симметрического оператора. Ядро спектра содержит все собственные значения оператора, так что точечная часть спектра целиком принадлежит его ядру. Если λ — собственное значение симметрического оператора A, а Mλ — соответствующее собственное подпространство, то подпроλ странство H − Mλ инвариантно относительно A. Обозначим через A λ мы сужение оператора A в H − Mλ . Это определение оператора A распространим и на тот случай, когда λ не является собственным λ = A. Согласно самому определению значением, считая, что тогда A λ при любом значении λ существует обратный оператор оператора A (Aλ − λ1)−1 . Совокупность всех тех значений λ, для которых этот обратный оператор неограничен, принадлежит, очевидно, ядру спектра; эта совокупность называется непрерывной частью ядра спектра. Таким образом, всякая точка ядра спектра принадлежит либо его точечной части, либо его непрерывной части, либо им обеим. 1)

См. п. 5 § 12.

§ 14. Расширения симметрического оператора

177

Если A — симметрическое расширение симметрического оператора A, то ядро спектра оператора A содержит ядро спектра оператора A; при этом каждая из частей (точечная и непрерывная) ядра спектра оператора A содержит соответствующую часть ядра спектра оператора A. Рассмотрим тот частный случай, когда оба дефектных числа оператора A конечны. Формулы (21) и (22) для расширений показывают, что в этом  − λ1)D по модулю случае размерность подпространства (A λ Aλ  − λ1)−1 (Aλ − λ1)DA конечна; следовательно, операторы (A λ λ − λ1)−1 ограничены или неограничены одновременно. Это ознаи (A чает, что при симметрическом расширении симметрического оператора A с конечными дефектными числами непрерывная часть ядра его спектра не изменяется. В частности, мы приходим к следующей теореме. Т е о р е м а 9. Все самосопряженные расширения замкнутого симметрического оператора с равными и конечными дефектными числами имеют один и тот же непрерывный спектр. Перейдем теперь к рассмотрению точечной части ядра спектра. Т е о р е м а 10. При расширении замкнутого симметрического оператора с конечным индексом дефекта (m, m) до самосопряженного оператора кратность каждого его собственного значения может повыситься не более чем на m единиц, в частности, новые собственные значения имеют кратность, не превосходящую m. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A — замкнутый симметрический оператор с конечным индексом дефекта (m, m), а A — его самосопряженное расширение. Пусть, далее, λ — собственное значение кратности p оператора A. Обозначим через p + q его кратность как собственного значения оператора A и предположим, что q > m. Выберем линейно независимую систему решений x1 , x2 , . . ., xp , xp+1 , . . ., xp+q уравнения A x − λx = 0 так, чтобы xk ∈ DA при k = 1, 2, . . ., p. Так как размерность DA по модулю DA равна m, а q > m, то существуют числа αk , не все равные нулю, такие, что

α1 xp+1 + . . . + αq xp+q ∈ DA . Но тогда вектор x = α1 xp+1 + . . . + αq xp+q есть собственный вектор оператора A, соответствующий λ и линейно независимый от x1 , x2 , . . . , xp ; это означает, что вопреки предположению кратность собственного значения λ оператора A выше p. 10. Раствор двух подпространств. Дальнейшие теоремы о спектре основаны на важном понятии раствора двух подпространств, введенным М. Г. Крейном и М. А. Красносельским (см. Крейн и Красносельский [1]). Это понятие мы используем также для усиления теоремы 5 п. 6. Пусть M1 , M2 — два замкнутых подпространства, а P1 , P2 — операторы проектирования на M1 , M2 соответственно; раствором этих

Гл. IV. Операторы в гильбертовом пространстве

178

подпространств называется норма разности P1 − P2 . Раствор M1 и M2 мы обозначим через θ(M1 , M2 ). Таким образом, по определению,

θ(M1 , M2 ) = |P1 − P2 |.

(24)

Из этого определения вытекает, что

θ(H − M1 , H − M2 ) = θ(M1 , M2 ),

(25)

так как

θ(H − M1 , H − M2 ) = |(1 − P1 ) − (1 − P1 )| = |P1 − P2 |. Отметим, что всегда

θ(M1 , M2 )  1.

(26)

Действительно, при любом векторе x ∈ H векторы P2 (1 − P1 )x, (1 − P2 )P1 x ортогональны и их разность равна (P2 − P1 )x; отсюда следует, что

|(P2 − P1 )x|2 = |P2 (1 − P1 )x|2 + |(1 − P2 )P1 x|2   |(1 − P1 )x|2 + |P1 x|2 = |x|2 , (27) и потому |P2 − P1 |  1. Отметим, что в неравенстве (26) наверно имеет место знак равенства, если одно из подпространств содержит отличный от нуля вектор, ортогональный ко второму подпространству. Действительно, если, например, x = 0, x ∈ M1 , x ⊥ M2 , то P1 x = x, P2 x = 0 и потому |(P1 − P2 )x| = |x|, откуда |P1 − P2 | = 1. Т е о р е м а 11. Если θ(M1 , M2 ) < 1, то

dim M1 = dim M2 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать, что из неравенства

dim M2 > dim M1 следует существование в M2 отличного от нуля вектора, ортогонального к M1 . Для этого рассмотрим подпространство 1) N = P2 M1 . Очевидно, N ⊂ M2 и dim N  dim M1 < dim M2 , так что N = M2 . Поэтому в M2 существует вектор x = 0, ортогональный к N = P2 M1 ; этот вектор ортогонален также к M1 − N, ибо M1 − N ⊥ M2 . 1)

Как обычно, N обозначает замыкание множества N.

§ 14. Расширения симметрического оператора

179

Можно дать еще другое определение раствора двух подпространств. Положим для этого

d1 = sup

x∈M2 x =0

Тогда

|(1 − P1 )x| , |x|

d2 = sup

x∈M1 x =0

|(1 − P2 )x| . |x|

θ(M1 , M2 ) = max{d1 , d2 }.

(28)

(29)

Для доказательства формулы (29) заметим, что в силу (27)

θ(M1 , M2 ) = sup

x∈H x =0

|(P2 − P1 )x| = |x|

'

= sup

|P2 (1 − P1 )x|2 + |(1 − P2 )P1 x|2

x∈H x =0

|x|

. (30)

Поэтому '

θ(M1 , M2 )  sup

x∈M1 x =0

|P2 (1 − P1 )x|2 + |(1 − P2 )P1 x|2 |x|

=

= sup x∈M1 x =0

|(1 − P2 )x| = d2 , |x|

ибо при x ∈ M1

(1 − P1 )x = 0, (1 − P2 )P1 x = (1 − P2 )x. Аналогично, θ(M1 , M2 )  d1 ; следовательно,

θ(M1 , M2 )  max{d1 , d2 }. Для доказательства обратного неравенства заметим, что, по определению числа d2 , |(1 − P2 )P1 x|2  d22 |P1 x|2 . (31) Кроме того,

|P2 (1 − P1 )x|2 = (P1 (1 − P1 )x, P2 (1 − P1 )x) = = (P2 (1 − P1 )x, (1 − P1 )x) = (P2 (1 − P1 )x, (1 − P1 )2 x) = = ((1 − P1 )P2 (1 − P1 )x, (1 − P1 )x)   |(1 − P1 )P2 (1 − P1 )x| · |(1 − P1 )x|; следовательно, по определению числа d1 ,

|P2 (1 − P1 )x|2  d1 |P2 (1 − P1 )x| · |(1 − P1 )x|. Отсюда

|P1 (1 − P1 )x|  d1 |(1 − P1 )x|.

180

Гл. IV. Операторы в гильбертовом пространстве

Из этого неравенства и из (31) заключаем, что

|(1 − P2 )P1 x|2 + |P2 (1 − P1 )x|2  d22 |P1 x|2 + d21 |(1 − P1 )x|2   max{d21 , d22 }(|P1 x|2 + |(1 − P1 )x|2 ) = max{d21 , e22 }|x|2 , и формула (30) дает θ(M1 , M2 )  max{d1 , d2 }. Пусть теперь λ — произвольное число, вещественное или невещественное; обозначим через Nλ ортогональное дополнение к NA−λ1 . Подпространство Nλ мы будем называть дефектным подпространством симметрического оператора A также в том случае, когда λ — вещественное число, а размерность nλ подпространства Nλ — дефектным числом оператора A. Т е о р е м а 12. Вдоль связной компоненты поля регулярности симметрического оператора дефектное число nλ остается постоянным. Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через Γ эту связную компоненту, а через Pλ — оператор проектирования на Nλ . Докажем, что для каждой точки λ0 ∈ Γ существует окрестность |λ − λ0 | < δ , принадлежащая Γ, в которой θ(Nλ , Nλ0 ) < 1. На основании теоремы 11 отсюда можно будет сделать вывод, что в рассматриваемой окрестности nλ = nλ0 , после чего легко установить постоянство nλ вдоль Γ, пользуясь леммой Гейне–Бореля. Итак, пусть λ0 ∈ Γ, и пусть для всех векторов x ∈ DA и некоторого c>0 |(A − λ0 1)x|  c|x|. Положим δ =

1 c; тогда при |λ − λ0 | < δ и x ∈ DA 3

|(A − λ1)x| = |(A − λ0 1)x + (λ − λ0 )x|   |(A − λ0 1)x| − |λ − λ0 ||x| >

2 c|x|. 3

С другой стороны, 1 − Pλ0 есть оператор проектирования на область значений оператора A − λ0 1; следовательно, при y ∈ Nλ и |y| = 1

|(1 − Pλ0 )y| = sup

x∈DA x =0

|(y , (A − λ0 1)x)| |(y , (A − λ1)x + (λ − λ0 )x)| = sup = |(A − λ0 1)x| |(A − λ0 1)x| x∈DA x =0

1

1

c|x| c|x| 3 c |λ − λ0 ||(y , x)| 1 = sup  sup  = , |(A − λ 1 )x| |(A − λ 1 )x| c|x| 3 0 0 x∈DA x∈DA x =0

x =0

§ 14. Расширения симметрического оператора

181

ибо y ⊥ (A − λ1)x. Аналогично при y ∈ Nλ0

|(1 − Pλ )y| = sup

x∈DA x =0

= sup x∈DA x =0

|(y , (A − λ1)x)| |(y , (A − λ0 1)x + (λ0 − λ)x)| = sup = |(A − λ1)x| |(A − λ1)x| x∈DA x =0

1 c|x| 3

|λ − λ0 ||(y , x)| 1  = . |(A − λ1)x| 2 2 c|x| 3

Отсюда и из формулы (29) заключаем, что 1 2

θ(Nλ , Nλ0 )  . Теорема доказана. Так как верхняя и нижняя полуплоскости принадлежат полю регулярности симметрического оператора, то из теоремы 12 как частный случай вытекает теорема 5 п. 6. Из этой же теоремы вытекают: С л е д с т в и е 2. Если некоторая точка λ0 вещественной оси принадлежит полю регулярности симметрического оператора, то оба его дефектных числа равны nλ0 ; следовательно, его индекс дефекта имеет вид (nλ0 , nλ0 ). Действительно, в этом случае обе полуплоскости вместе с некоторой окрестностью рассматриваемой точки λ0 вещественной оси принадлежат одной и той же связной компоненте поля регулярности оператора, вдоль которой дефектное число nλ0 должно быть постоянным. С л е д с т в и е 3. Пусть A — замкнутый симметрический оператор с индексом дефекта (m, m). Если при некотором вещественном значении λ0 дефектное число nλ0 меньше m, то λ0 принадлежит спектру всякого самосопряженного расширения A оператора A. Если, кроме того, λ0 не является собственным значением оператора A, то λ0 принадлежит непрерывной части спектра самосопряженного расширения A . Действительно, λ0 принадлежит ядру спектра оператора A и потому спектру оператора A , ибо в противном случае было бы nλ0 = m на основании теоремы 12. Если при этом число λ0 не является собственным значением оператора A, то оно принадлежит непрерывной части ядра спектра этого оператора, а значит, непрерывной части спектра оператора A . Т е о р е м а 13. Пусть A — замкнутый симметрический оператор с конечным индексом дефекта (m, m). Если λ — действительная точка регулярного типа оператора A, то существует самосопряженное расширение A оператора A, для которого λ есть собственное значение кратности m.

182

Гл. IV. Операторы в гильбертовом пространстве

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Nλ — собственное подпространство оператора A∗ , соответствующее собственному значению λ. В силу следствия 2 из теоремы 12 размерность Nλ равна m. Определим оператор A , полагая DA = DA + Nλ и A x = A∗ x для x ∈ DA . Легко проверить, что A — симметрический оператор; так как размерность DA по модулю DA равна m, то A — самосопряженный оператор. Очевидно, Nλ — собственное подпространство оператора A , соответствующее собственному значению λ, так что кратность последнего как собственного значения оператора A равна m. Т е о р е м а 14. Если A — замкнутый симметрический оператор с конечным индексом дефекта (m, m), а λ — действительное число, не принадлежащее точечному спектру оператора A, то число решений уравнения A∗ x − λx = 0 не превосходит m. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Nλ — то же, что и в доказательстве теоремы 13; построим снова оператор A , полагая DA = DA + Nλ и A x = A∗ x для x ∈ DA . Тогда A — симметрическое расширение оператора A, и потому размерность DA по модулю DA не превосходит m. Т е о р е м а 15. Пусть A —замкнутый симметрический оператор с индексом дефекта (m, m); если сопряженный оператор A∗ имеет вещественное собственное значение λ, то существует самосопряженное расширение A оператора A, для которого λ также является собственным значением. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Nλ — собственное подпространство оператора A∗ , соответствующее собственному значению λ. Определим оператор B , полагая

DB = DA + Nλ , B(x1 + x2 ) = Ax1 + λx2 , x1 ∈ DA , x2 ∈ Nλ . Легко проверить, что B — симметрический оператор с равными дефектными числами; его самосопряженное расширение будет также расширением оператора A, для которого λ есть собственное значение. 11. Расширения полуограниченного оператора. Симметрический оператор A называется полуограниченным снизу, если существует число m, такое, что при любом векторе x ∈ DA

(Ax, x)  m|x|2 ,

(32)

и полуограниченным сверху, если существует число M , такое, что при любом векторе x ∈ DA (Ax, x)  M |x|2 . (33)

§ 14. Расширения симметрического оператора

183

Частным случаем полуограниченного снизу оператора является положительный симметрический оператор; он удовлетворяет условию (32) при m = 0. С другой стороны, изучение всякого полуограниченного оператора сводится к изучению положительного оператора; действительно, достаточно перейти от оператора A к оператору

B = A − m1 в случае оператора A, полуограниченного снизу, и к оператору

B = M1 − A в случае оператора A, полуограниченного сверху. Если A — положительный симметрический оператор, то отрицательная полуось принадлежит полю его регулярности, ибо при λ < 0 и x ∈ DA

|(A − λ1)x|2 = |Ax|2 − 2λ(Ax, x) + λ2 |x|2  λ2 |x|2 . Отсюда на основании следствия 2 из теоремы 12 вытекает, что положительный симметрический оператор имеет равные дефектные числа. В силу сказанного выше это предложение остается верным для любого полуограниченного оператора. Т е о р е м а 16. Если A — положительный замкнутый симметрический оператор с конечным индексом дефекта (n, n), то отрицательная часть спектра всякого его самосопряженного расширения может состоять лишь из конечного числа отрицательных собственных значений, сумма кратностей которых не превосходит n. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A — самосопряженное расширение оператора A, а Pλ — его спектральная функция. Обозначим через N подпространство, на которое проектирует оператор P−0 = P−0 − P∞ . Очевидно, на N спектр оператора A отрицателен, а на H − N он неотрицателен. Поэтому теорема будет доказана, если мы установим, что dim N  n. Предположим противное: пусть

dim N > n;

(34)

так как размерность DA по модулю DA равна n, то из (34) следует, что в N есть вектор x = 0, принадлежащий DA . Но это невозможно, ибо оператор A положителен, в то время как A в N отрицателен. С л е д с т в и е 4. Если симметрический оператор A с конечным индексом дефекта (n, n) удовлетворяет одному из условий:

(Ax, x)  m|x|2 , x ∈ DA ,

184

или

Гл. IV. Операторы в гильбертовом пространстве

(Ax, x)  M |x|2 , x ∈ DA ,

то часть спектра всякого самосопряженного расширения оператора A, расположенная левее m, соответственно правее M , может состоять лишь из конечного числа собственных значений, сумма кратностей которых не превосходит n. Для доказательства достаточно применить теорему 16 к оператору A = m1, соответственно M 1 − A. Результаты пп. 9–11 принадлежат в основном М. Г. Крейну (см. Крейн [3]); теорема 12 п. 10 — М. Г. Крейну и М. А. Красносельскому. По поводу обобщения понятия раствора на случай подпространств нормированного пространства см. Гохберг и Маркус [1], Като [1].

Глава V СИММЕТРИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

§ 15. Основные понятия 1. Самосопряженные дифференциальные выражения. Выше было показано (см. п. 5 § 1), что всякое самосопряженное дифференциальное выражение с вещественными и достаточное число раз дифференцируемыми коэффициентами можно представить в виде

l(y) = (−1)n (p0 y (n) )(n) + (−1)n−1 (p1 y (n−1) )(n−1) + . . . + pn y.

(1)

Обратно, если каждый из коэффициентов pn−k (x) веществен и имеет производные до k-го порядка включительно, то, раскрывая в (1) скобки, мы получим самосопряженное дифференциальное выражение вида

q0 y (2n) + q1 y (2n−1) + . . . + q2n y. Однако в излагаемой ниже теории нет нужды делать такое предположение о дифференцируемости коэффициентов. Мы будем исходить из более общего предположения, которое состоит в следующем: Если (a, b) — интервал, в котором рассматривается дифференциальное выражение l(y), то функции 1 , p (x), . . . , pn (x) p0 (x) 1

(2)

измеримы в интервале (a, b) и суммируемы в каждом его замкнутом конечном подынтервале [α, β]. Всюду в дальнейшем мы будем считать это условие выполненным и не будем его уже каждый раз оговаривать. При этом не исключается тот случай, когда интервал (a, b) бесконечен, так что может быть a = −∞ или b = +∞. Если, следовательно, хоть одна из функций p0 , . . ., pn не дифференцируема, то выражение l(y) уже нельзя свести к обычному дифференциальному выражению. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, выражение l(y) называют в литературе квазидифференциальным

Гл. V. Симметрические дифференциальные операторы

186

выражением 1). Мы, однако, будем его по-прежнему называть дифференциальным выражением. В связи с теорией марковских процессов, а также некоторыми вопросами теории колебаний, представляют интерес обобщенные дифференциальные выражения вида



d y + (x) − l(y) = − dM (x)

x+ 0

 y(s) dQ(s) ,

c+0

где M (x) — неубывающая функция, Q(x) — разность двух неубывающих функций, а y + — правая производная функции y . Спектральная теория операторов, порождаемых такими обобщенными дифференциальными выражениями, рассматривалась М. Г. Крейном, В. Феллером и И. С. Кацем. Наиболее полное изложение, а также подробная библиография содержатся в статье Кац И. С. [1] (см. также Аткинсон [1]). Выражение l(y) называется регулярным, если интервал (a, b) ко1 нечен и если функции , p1 (x), . . ., pn (x) суммируемы во всем p0 (x)

интервале (a, b). В противном случае выражение l(y) называется сингулярным. При этом левый конец a называется регулярным, если a > −∞ и если функции (2) суммируемы в каждом интервале [a, β], β < b. В противном случае конец a называется сингулярным. Другими словами, конец a сингулярен, если a = −∞ или если a конечно, но условие суммируемости коэффициентов не выполняется в интервале вида [a, β]. Аналогично определяется понятие регулярности или сингулярности для правого конца b. Очевидно, выражение l(y) регулярно тогда и только тогда, когда оба конца a и b регулярны. 2. Квазипроизводные. Функция y , для которой l(y) имеет смысл, может и не иметь всех производных до 2n-го порядка; это связано с тем, что коэффициенты p0 , . . ., pn могут быть недифференцируемыми. Поэтому вместо производных y  , . . ., y (2n) удобно рассматривать 1) Следует отметить, что можно рассматривать еще более общие дифференциальные выражения с произвольными комплексными коэффициентами (такие выражения рассмотрены Д. Шином и Эверитом). Однако мы ограничимся только дифференциальными выражениями, описанными в тексте. Отметим также, что в работе Вайдман [1] изучается спектральная теория операторов, порожденных дифференциальными выражениями вида  d 1 dy l(y) = − p(x) + q(x)y , a < x < b, в гильбертовом пространстве

r(x)

dx

dx

L2r (a, b) функций, интегрируемых с квадратом в интервале (a, b) относительно веса r(x) > 0.

§ 15. Основные понятия

187

так называемые квазипроизводные функции y , которые определяются следующим образом. Квазипроизводными функции y , соответствующими выражению l(y), называются функции y [1] , y [2] , . . ., y [2n] , определяемые формулами dk y при k = 1, 2, . . . , n − 1, dxk n d y = p0 n , dx dn−k y d = pk n−k − (y [nk −1] ), k = 1, 2, . . . , n. dx dx

y [k] = y [n] y [n+k]

(3)

Кроме того, для удобства положим

y [0] = y. Из этого определения квазипроизводных непосредственно вытекает, что

l(y) = y [2n] .

(4)

Мы будем считать, что выражение l(y) имеет смысл для данной функции y , если все квазипроизводные функции y до (2n − 1)-го порядка включительно существуют и абсолютно непрерывны в каждом конечном подынтервале [α, β] интервала [a, b]. 3. Формула Лагранжа. Пусть y и z — две функции, для которых выражение l имеет смысл. Тогда

l(y)z − yl(z) = где

[y , z] =

n

d [y , z], dx

y [k−1] z [2n−k] − y [2n−k] z [k−1] .

(5)

(6)

k=1

Формула (5) называется формулой Лагранжа. В ее справедливости легко убедиться, дифференцируя обе части (6) и пользуясь соотношениями

y [2n] = l(y), d [k−1] y = y [k] , k = 1, 2, . . . , n − 1, dx d [n−1] 1 y = y [n] , dx p0 d [2n−k] y = pn−k+1 y [k−1] − y [2n−k+1] , k = 1, 2, . . . , n, dx

непосредственно следующими из (3).

188

Гл. V. Симметрические дифференциальные операторы

Интегрируя обе части (5) в конечном интервале [α, β] ⊂ (a, b), получим тождество Лагранжа в интегральной форме β  a

β 

l(y)z dx − yl(z) dx = [y , z]βα ,

(7)

α

где [y , z]βα есть разность значений функции [y , z] при x = β и x = α.

§ 16. Обобщенные линейные дифференциальные уравнения Пусть l(y) — по-прежнему дифференциальное выражение, определенное в § 15. Уравнение вида l(y) = g (x) (1) можно рассматривать как обобщение обычного линейного дифференциального уравнения с правой частью g (x). Мы его по-прежнему будем называть линейным дифференциальным уравнением 1). Уравнение (1) называется однородным, если g (x) ≡ 0, и неоднородным — в противном случае. Задачей этого параграфа будет выяснение общих свойств решений уравнения (1); оказывается, что при этом сохраняются все характерные черты теории линейных дифференциальных уравнений. Как и в обычной теории линейных дифференциальных уравнений, мы начнем с теоремы существования и единственности решения для системы уравнений первого порядка. Такую систему удобно рассматривать как одно уравнение первого порядка в пространстве вектор-функций (см. § 6). 1. Уравнение первого порядка в пространстве вектор-функции. Рассмотрим уравнение dy = A(x)y + f (x), dx

(2)

где f (x) = {f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)} — заданная, а y(x) = = {y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x)} — искомая вектор-функции со значениями из фиксированного конечномерного векторного пространства Rn ; при этом A(x) — заданная операторная, т. е. матричная, функция, значения которой суть линейные операторы в Rn , т. е. матрицы n-го порядка. Вектор-функция y(x) называется решением уравнения (2), если она абсолютно непрерывна в каждом конечном подынтервале [α, β] интервала (a, b) и почти всюду в (a, b) удовлетворяет этому уравнению. При этом вектор-функция y(x) называется 1) В литературе такие уравнения называются иногда квазидифференциальными уравнениями.

§ 16. Обобщенные линейные дифференциальные уравнения

189

абсолютно непрерывной, если каждая ее координата yk (x) абсолютно непрерывна. Относительно решений уравнения (2) имеет место следующая теорема. Т е о р е м а 1. Пусть функции A(x) = (ajk (x)), j , k = 1, 2, . . . , n, f (x) = (f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)) удовлетворяют условиям: 1◦ . Функции ajk (x), fk (x), j , k = 1, 2, . . ., n, измеримы в интервале (a, b). 2◦ . Функции |A(x)|, |f (x)| суммируемы 1) в каждом конечном замкнутом подынтервале [α, β] интервала (a, b). Если тогда x0 — произвольное число из интервала (a, b), а y0 — произвольный вектор из Rn , то существует одно и только одно решение y(x) уравнения (2), удовлетворяющее условию

y|x=x0 = y0 .

(3)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция y(x) удовлетворяет уравнению (2) и условию (3). Интегрируя уравнение (2) от x0 до x и учитывая условие (3), получим x

y(x) = y0 + [A(ξ)y(ξ) + f (ξ)] dξ.

(4)

x0

При этом интеграл в правой части (4) существует, ибо функция y(ξ) абсолютно непрерывна, следовательно, ограничена в интервале [x0 , x]. Таким образом, всякое решение уравнения (2), удовлетворяющее условию (3), есть также решение уравнения (4). Очевидно, что верно и обратно: всякое решение уравнения (4) есть решение уравнения (2), удовлетворяющее условию (3). Поэтому вместо совокупности уравнения (2) и условия (3) можно рассмотреть уравнение (4). 1) Здесь |f (x)|, |A(x)| обозначают соответственно норму вектора f (x) и норму оператора A(x) (при фиксированном x) в конечномерном евклидовом пространстве Rn . Очевидные неравенства n |fk (x)|  |f (x)|  |fj (x)|,

|fjk (x)|  |A(x)| 

j=1 n

|ajk (x)|

j , k=1

показывают, что условие 2◦ эквивалентно следующему условию: 2 . Функции fk (x), ajk (x), k, j = 1, 2, . . ., n, суммируемы в каждом конечном замкнутом подынтервале [α, β] интервала (a, b).

190

Гл. V. Симметрические дифференциальные операторы

Для решения уравнения (4) будем применять обычный метод последовательных приближений, полагая

y0 (x) ≡ y0 ,

(5)

yn+1 (x) = y0 + [A(ξ)yn (ξ) + f (ξ)] dξ , n = 0, 1, 2, 3, . . . .

(6)

x x0

В достаточно малом интервале, содержащем точку x0 , последовательность yn (x) сходится равномерно к решению y(x) уравнения (4). Очевидно, достаточно доказать это утверждение для интервала, одним из концов которого является точка x0 , ибо интервал, внутри которого находится x0 , есть объединение двух таких интервалов. Рассмотрим, например, интервал вида [x0 , x1 ] (x0 < x1 ) и положим

Mn = max |yn+1 (x) − yn (x)|, x0 xx1 x1

q=

|A(x)| dx.

(7) (8)

x0

Из равенств (6) следует, что

yn+1 (x) − yn (x) =

x

A(ξ)[yn (ξ) − yn−1 (ξ)] dξ ,

x0

поэтому при x0  x  x1

|yn+1 (x) − yn (x)|  Mn−1

x

|A(ξ)| dξ  Mn−1 q.

x0

Но левая часть принимает значение Mn при некотором значении x; следовательно, Mn  qMn−1 , откуда

Mn  M0 q n .

Рассмотрим ряд

y0 (x) + [y1 (x) − y0 (x)] + [y2 (x) − y1 (x)] + . . . .

(9)

В силу предыдущего неравенства он мажорируется по норме, начиная со 2-го члена, геометрической прогрессией

M0 + M0 q + M0 q 2 + . . . . Следовательно, ряд (9) абсолютно сходится по норме при q < 1. С другой стороны, из определения (8) числа q следует, что q может быть сколь угодно малым, в частности меньше единицы, при x1 , достаточно близком к x0 . Следовательно, при таком выборе числа x1 ряд (9)

§ 16. Обобщенные линейные дифференциальные уравнения

191

сходится по норме равномерно, т. е. последовательность yn (x) сходится по норме равномерно в интервале [x0 , x1 ] к некоторой функции y(x). Переходя в (6) к пределу, получим, что эта предельная векторфункция y(x) удовлетворяет уравнению (4). Этим доказано существование решения в интервале [x0 , x1 ]. Докажем теперь единственность решения в этом интервале. Предположим, что наряду с решением y(x) уравнение (4) имеет в интервале [x0 , x1 ] еще одно решение z(x). Тогда, вычитая почленно равенства x

y(x) = y0 + [A(ξ)y(ξ) + g (x)] dξ , x0 x

z(x) = y0 + [A(ξ)z(ξ) + g (ξ)] dξ , x0

получим

y(x) − z(x) =

x

A(ξ)[y(ξ) − z(ξ)] dξ.

(10)

x0

Положим

p = max |y(x) − z(x)|; x0 xx1

(11)

если y(x) ≡ z(x), то p > 0. Из (10) следует, что

|y(x) − z(x)|  p

x

|A(ξ)| dξ = pq < p.

x0

Это неравенство выполняется и для максимального значения p выражения |y(x) − z(x)|, т. е. p < p, что невозможно. Следовательно, y(x) ≡ z(x), и единственность решения в интервале [x0 , x1 ] доказана. Теперь уже легко полностью доказать теорему. Всякий конечный интервал [α, β] ⊂ (a, b) можно разбить на к о н е ч н о е число интервалов [αk , αk+1 ], для каждого из которых αk+  1

|A(ξ)| dξ < 1;

αk

по доказанному выше в каждом из этих интервалов имеют место теорема существования и единственность решения. Поэтому решение существует и единственно в интервале [αi , αi+1 ], содержащем точку x0 . Но тогда оно существует и однозначно определяется в двух соседних интервалах и т. д. Эти рассуждения показывают, что теорема верна во всяком конечном интервале [α, β] ⊂ (a, b), следовательно, во всем интервале (a, b).

192

Гл. V. Симметрические дифференциальные операторы

2. Теорема существования и единственности решения уравнения l(y) = f . Т е о р е м а 2. Если функция f (x) измерима в интервале (a, b) и суммируема в каждом конечном интервале [α, β] ⊂ (a, b), то, каковы бы ни были комплексные числа c0 , c1 , . . ., c2n−1 и какова бы ни была внутренняя точка x0 интервала (a, b), уравнение 1) l(y) = f имеет в интервале (a, b) одно и только одно решение y(x), удовлетворяющее условиям

y [k] |x=x0 = ck , k = 0, 1, 2, . . . , 2n − 1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим систему уравнений первого порядка dy = y [1] , dx dy [1] = y [2] , dx

......

dy [n−2] dx dy [n−1] dx dy [n] dx dy [n+1] dx

= y [n−1] , =

1 [n] y , p0

= p1 y [n−1] − y [n+1] ,

(12)

= p2 y [n−2] − y [n+2] , ...........

dy 2n−2] = pn−1 y [1] − y [2n−1] , dx dy [2n−1] = pn y − f. dx

В силу формул (3) и (4) п. 2 § 15 система (12) эквивалентна уравнению l(y) = f , причем функции y [1] , y [2] , . . ., y [2n−1] являются последовательными квазипроизводными функции y . С другой стороны, систему (12) можно записать в виде (2). Действительно, введем вектор-функции

y = (y , y [1] , y [2] , . . . , y [2n−2] , y [2n−1] ), f = (0, 0, . . . , 0, f ) 1) При этом, конечно, предполагается, что коэффициенты p0 , p1 , . . ., pn удовлетворяют условиям п. 1 § 15. Напоминаем, что мы раз навсегда считаем эти условия выполненными.

§ 16. Обобщенные линейные дифференциальные уравнения

..

.

..

.

и матричную функцию ⎛ 0 1 0 ⎜ .. ⎜ . ⎜ ⎜ 1 0 ⎜ ⎜ ⎜ 1 ⎜ p0 ⎜ A(x) = ⎜ ⎜ p −1 1 ⎜ ⎜ p2 · ⎜ ⎜ .. ⎜ . ⎜ ⎜ ⎝ pn−1 −1 pn 0

193

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

1

находится на пересечении n-й строки и n + 1-го столбца и где где p0 на всех незаполненных местах находятся нули. Тогда система (12) запишется в виде dy = A(x) y + f. dx

(13)

Но по предположению коэффициенты p0 , p1 , . . ., pn удовлетворяют условиям п. 1 § 15; отсюда заключаем, что матрица A(x) удовлетворяет условиям теоремы 1. Следовательно, уравнение (13) имеет в (a, b) одно и только одно решение, удовлетворяющее начальному условию

y|x=x0 = y0 , где

y0 = (c, c1 , c2 , . . . , c2n−1 ).

Этим завершается доказательство теоремы 2. З а м е ч а н и е 1. Теорема 2 остается, очевидно, в силе, если x0 — регулярный конец интервала (a, b) при условии, что функция f (x) суммируема в каждом конечном интервале [α, x0 ] ⊂ (a, b) (α ≷ x0 ). З а м е ч а н и е 2. Теорема 2 остается в силе, если уравнение l(y) = f заменить уравнением l(y) − λy = f , где λ — произвольный комплексный параметр. 3. Свойства решений однородного уравнения. Пользуясь теоремой 2 п. 2, можно без труда вывести свойства решений однородного уравнения l(y) = 0, (14) являющиеся обобщением известных свойств обычных однородных уравнений. 7 Наймарк М. А.

Гл. V. Симметрические дифференциальные операторы

194

Пусть

y1 , y2 , . . . , y2n

— решения уравнения (14). Определитель  y2 . . . y2n  y1  [1] [1] [1] y y2 . . . y2n  W = 1  ...........................   y [2n−1] y [2n−1] . . . y [2n−1] 1

2n

2

        

называется определителем Вронского этих решений. Т е о р е м а 3. Если решения y1 , y2 , . . ., y2n однородного уравнения (14) линейно зависимы, то их определитель Вронского тождественно равен нулю в интервале (a, b). Обратно, если этот определитель равен нулю хотя бы в одной точке интервала (a, b), то решения y1 , y2 , . . ., y2n линейно зависимы. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть y1 , y2 , . . ., y2n линейно зависимы, т. е. существуют постоянные c1 , c2 , . . ., c2n , не все равные нулю, такие, что

c1 y1 + c2 y2 + . . . + c2n y2n = 0 в (a, b).

(15)

Беря квазипроизводные обеих частей (15) до (2n − 1)-го порядка включительно, получим [1]

[1]

[1]

c1 y1 + c2 y2 + . . . + c2n y2n = 0, .......................................... [2n−1] c1 y1

+

[2n−1] c2 y2

+ ... +

[2n−1] c2n y2n

(16)

= 0.

Равенства (15)–(16) являются системой однородных уравнений относительно c1 , c2 , . . ., c2n , имеющей нетривиальное решение; следовательно, определитель этой системы, который и есть как раз определитель Вронского, равен нулю. Обратно, пусть этот определитель равен нулю при x = x0 , где x0 — точка интервала (a, b). Тогда возможно выбрать постоянные c1 , c2 , . . ., c2n , не все равные нулю, так, чтобы равенства (15)–(16) выполнялись в точке x0 . Но тогда функция

y = x1 y1 + c2 y2 + . . . + c2n y2n есть решение уравнения l(y) = 0, удовлетворяющее начальным условиям y [k] |x=x0 = 0, k = 0, 1, 2, . . . , 2n − 1. (17) В силу единственности такого решения (теорема 2 п. 2) y ≡ 0 в интервале (a, b), ибо тождественный нуль также есть решение уравнения l(y) = 0, удовлетворяющее условиям (17), т. е. решения y1 , . . . , yn линейно зависимы.

§ 16. Обобщенные линейные дифференциальные уравнения

195

Легко построить линейно независимую систему решений y1 , y2 , . . . . . ., y2n однородного уравнения. Достаточно выбрать систему решений, удовлетворяющих начальным условиям вида [k−1]

yj

|x=x0 = ajk , j , k = 1, 2, . . . , 2n,

где определитель матрицы (ajk ) отличен от нуля. Всякая линейно независимая система решений y1 , y2 , . . ., y2n однородного уравнения называется фундаментальной. Т е о р е м а 4. Всякое решение однородного уравнения есть линейная комбинация решений какой угодно фиксированной фундаментальной системы. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть y1 , y2 , . . ., y2n — какая-нибудь фундаментальная система решений, а y — какое-нибудь решение однородного уравнения. Выберем постоянные c1 , c2 , . . ., c2n так, чтобы в фиксированной точке x0 интервала (a, b) было:

y = c1 y1 + . . . + c2n y2n , [1]

[1]

[1]

y = c1 y1 + . . . + c2n y2n , ................................... [2n−1]

y [2n−1] = c1 y1

[2n−1]

+ . . . + c2n y2n

(18)

.

Это возможно, ибо равенства (18) при x = x0 представляют собой систему уравнений относительно c1 , c2 , . . ., c2n , определитель которой есть определитель Вронского фундаментальной системы y1 , y2 , . . ., y2n и, следовательно, отличен от нуля. Но равенства (18) означают, что функции y и c1 y1 + . . . + c2n y2n суть решения однородного уравнения, удовлетворяющие одним и тем же начальным условиям; в силу единственности такого решения

y ≡ c1 y1 + . . . + c2n y2n

в интервале

(a, b).

Теорема 4 означает, что совокупность всех решений однородного уравнения l(y) = 0 порядка 2n есть линейное пространство размерности 2n. З а м е ч а н и е. Все результаты этого пункта остаются верными и для однородного уравнения

l(y) − λy = 0, где λ — произвольный комплексный параметр. Действительно, при выводе этих результатов мы опирались на теорему 2, которая остается верной, если заменить уравнение l(y) = f уравнением l(y) − λy = f (см. замечание 2 в п. 2). 7*

196

Гл. V. Симметрические дифференциальные операторы

4. Решения неоднородного уравнения. Решение неоднородного уравнения l(y) = f можно найти, применяя надлежащим образом видоизмененный метод вариации произвольных постоянных. Пусть y1 (x), y2 (x), . . . , y2n (x) — фундаментальная система решений однородного уравнения l(y) = 0. Решение уравнения l(y) = f будем искать в виде

y(x) = c1 (x)y1 (x) + . . . + c2n (x)y2n (x),

(19)

где функции c1 (x), . . ., c2n (x) удовлетворяют условиям

c1 (x)y1 (x) + . . . + c2n (x)y2n (x) = 0, [1]

[1]

c1 (x)y1 (x) + . . . + c2n (x)y2n (x) = 0, ........................................... [2n−2]

c1 (x)y1

[2n−2]

(x) + . . . + c2n (x)y2n

(20)

(x) = 0.

Подставляя (19) в уравнение l(y) = f и учитывая равенства (20), получим [2n−1] [2n−1] c1 (x)y1 (x) + . . . + c2n (x)y2n (x) = f. (21) Равенства (20)–(21) представляют собой систему линейных уравнений относительно c1 (x), . . ., c2n (x). Решая их, найдем, что

ck (x) = (−1)2n+k

W (y1 , . . . , yk−1 , yk+1 , . . . , y2n ) f, W (y1 , y2 , . . . , y2n )

(22)

где W (u1 , u2 , . . . , um ) обозначает определитель Вронского (в смысле определения п. 3) функций u1 , u2 , . . ., um . Положим

vk (x) = (−1)2n+k

W (y1 , . . . , yk−1 , yk+1 , . . . , y2n ) ; W (y1 , y2 , . . . , y2n )

(23)

тогда в силу (22) x

ck (x) = ak +

vk (ξ)f (ξ) dξ , k = 1, 2, . . . , 2n. x0

Подставляя эти выражения в формулу (19), приходим к следующему результату. Общее решение неоднородного уравнения l(y) = f имеет вид x 2n 2n y(x) = ak yk (x) + yk (x) vk (ξ)f (ξ) dξ , (24) k=1

k=1

x0

где y1 , y2 , . . ., yn — фундаментальная система решений однородного уравнения l(y) = 0, a1 , a2 , . . ., a2n — произвольные постоянные, а функции vk (x), k = 1, 2, . . ., 2n, определяются по формулам (23).

§ 17. Операторы, порожденные самосопряженными выражениями

197

Очевидно, этот результат остается верным, если уравнения l(y) = = f , l(y) = 0 заменить соответственно уравнениями l(y) − λy = f , l(y) − λy = 0.

§ 17. Операторы, порожденные самосопряженными дифференциальными выражениями 1. Оператор L. Пусть l(y) обозначает самосопряженное дифференциальное выражение, рассматриваемое в интервале (a, b); чтобы перейти от выражения l(y) к оператору, введем гильбертово пространство L2 (a, b), т. е. пространство всех измеримых функций y(x) с суммируемым квадратом в интервале (a, b) (см. п. 1 § 10); для краткости обозначим это пространство через H. Далее, обозначим через D совокупность всех функций y(x) из H, все квазипроизводные которых до (2n − 1)-го порядка включительно абсолютно непрерывны, а квазипроизводная y [2n] принадлежит пространству H. Очевидно, D есть линейное многообразие 1) в H. Определим оператор L в H следующим образом: область определения оператора L есть D и для y ∈ D:

Ly = l(y).

(1)

Очевидно D — максимальное многообразие в H, на котором можно таким образом определить оператор. Действительно, требование абсолютной непрерывности квазипроизводных y [k] , k = 1, 2, . . ., 2n − 1, необходимо для того, чтобы выражение l(y) имело смысл; требование y [2n] = l(y) ∈ H необходимо для того, чтобы выражение l(y) определяло о п е р а т о р в H. Ниже мы увидим, что L есть замкнутый оператор с плотной областью определения; именно, мы покажем, что оператор L является сопряженным к некоторому симметрическому оператору, который будет построен в следующем пункте. В настоящей книге мы рассматриваем операторы, порождаемые самосопряженным дифференциальным выражением в гильбертовом пространстве L2 (a, b). Некоторые спектральные свойства операторов, порождаемых линейными дифференциальными выражениями в определенных других нормированных пространствах, например пространствах Lp (a, b), p  1, рассмотрены в книге Голдберг [1]. 2. Оператор L0 . Обозначим через D0 совокупность всех функций y из D, равных нулю вне какого-нибудь конечного 2) интервала 1) Термин линейное мгогообразие здесь и ниже обозначает подпространство, вообще говоря, незамкнутое. 2) Если сам интервал (a, b) конечен, то интервал [α, β] также конечен и требование о его конечности является излишним; оно существенно лишь тогда, когда интервал (a, b) бесконечен.

198

Гл. V. Симметрические дифференциальные операторы

[α, β] ⊂ (a, b), вообще говоря, различного для различных функций y(x). Обозначим через L0 сужение оператора L на D0 . Другими словами, L0 есть оператор, область определения которого есть D0 , причем L0 y = Ly = l(y)

(2)

для y ∈ D0 . Таким образом, по определению оператора L0

L0 ⊂ L.

(3)

Отметим некоторые свойства оператора L0 . I . Для любых функций y ∈ D0 , z ∈ D имеет место соотношение

(L0 y , z) = (y , Lz).

(4)

Действительно, пусть [α, β] — конечный интервал, содержащийся в интервале (a, b), вне которого функция y(x) обращается в нуль. В силу непрерывности функции y(x) и ее квазипроизводных y [k] (x), k = 1, 2, . . . , 2n − 1, эта функция и эти квазипроизводные обращаются также в нуль на концах интервала [α, β]. Поэтому, применяя формулу Лагранжа (7) п. 3 § 15 к функциям y , z и интервалу [α, β], получим β  α

β 

l(y)z dx = y · l(z) dx,

(5)

α

ибо внеинтегральная часть этой формулы будет равна нулю. Так как функции l(y) и y равны нулю вне [α, β], то в равенстве (5) интегрирование по [α, β] можно заменить интегрированием по (a, b). Следовательно, равенство (5) означает, что

(l(y), z) = (y , l(z)). По определению операторов L0 и L это равенство эквивалентно (4). Очевидно, равенство (4) означает, что

L ⊂ L∗ 0 .

(6)

II . Оператор L0 эрмитов. Действительно, соотношение (4) имеет, в частности, место при y ∈ ∈ D0 , z ∈ D0 , ибо D0 ⊂ D. Но тогда Lz = L0 z и соотношение (4) перепишется в виде (L0 y , z) = (y , L0 z). (7) Дальнейшие свойства оператора L0 проще всего получить, рассмотрев сначала регулярный случай.

§ 17. Операторы, порожденные самосопряженными выражениями

199

3. Оператор L0 в регулярном случае. Пусть дифференциальное выражение l(y) регулярно в интервале [a, b]. Обозначим через D0 совокупность всех функций y(x) из D, удовлетворяющих условиям

Очевидно,

y [k] |x=a = y [k] |x=b = 0, k = 0, 1, 2, . . . , 2n − 1.

(8)

D0 ⊂ D0 .

(9)

Обозначим, далее, через L0 сужение оператора L на D0 ; другими словами, L0 есть оператор с областью определения D0 и для y ∈ D0

L0 y = Ly. Таким образом, по самому определению операторов L0 , L0 и L

L0 ⊂ L0 ⊂ L.

(10)

Отметим теперь следующие свойства оператора L0 : I. Для любых элементов y ∈ D0 , z ∈ D имеет место соотношение

(L0 y , z) = (y , Lz).

(11)

II. Оператор L0 эрмитов, т. е. для любых элементов y , z ∈ D0

(L0 y , z) = (y , L0 z).

(12)

Вывод этих свойств ничем, по существу, не отличается от вывода свойств I и II оператора L0 ; существенными здесь являются условия (8) для элементов y ∈ D0 . Соотношение (11) означает, что

L ⊂ L∗0 .

(13)

Дальнейшие свойства оператора L0 основаны на следующих леммах. Л е м м а 1. Пусть выражение l(y) регулярно в интервале [a, b] и пусть f (x) — функция из H = L2 (a, b). Уравнение

l(y) = f

(14)

имеет решение y(x), удовлетворяющее условиям

y [k] |x=a = y [k] |x=b = 0, k = 0, 1, . . . , 2n − 1,

(15)

тогда и только тогда, когда функция f (x) ортогональна ко всем решениям однородного уравнения l(y) = 0. Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через y(x) решение уравнения l(y) = f , удовлетворяющее условиям

y [k] |x=a = 0, k = 0, 1, 2, . . . , 2n − 1;

(16)

200

Гл. V. Симметрические дифференциальные операторы

согласно теореме 2 п. 2 § 16 такое решение существует и притом только одно. Далее, обозначим через z1 , z2 , . . ., z2n фундаментальную систему решений однородного уравнения l(z) = 0, удовлетворяющую условиям  0 при ν = k, zν[k−1] |x=a = (17) 1 при ν = k. Применяя к функциям y(x) и zν (x) тождество Лагранжа, получим

(f , zν ) = (l(y), zν ) = [y , zν ]ba + (y , l(zν )).

(18)

Но l(zν ) = 0. Кроме того, в силу условий (16) [y , zν ]x=a = 0. Следовательно, формула (18) примет вид

(f , zν ) = [y , zν ]x=b = $ =

n

1] {y [k−1] z ν[2n−k] − y [2n−k] z [k− }x=b = ν

k=1

−y [2n−ν] (b) при ν = 1, 2, . . . , n − 1, n, y [2n−ν] (b) при ν = n + 1, . . . , 2n − 1, 2n

(19)

(при этом мы использовали формулу (6) п. 3 § 15 для [y , z] и соотношения (17)). Из соотношений (19) сразу следует утверждение леммы: равенства y [k] |x=b = 0, k = 0, 1, . . ., 2n − 1, выполняются тогда и только тогда, когда (f , zν ) = 0, ν = 0, 1, . . ., 2n − 1, т. е. когда функция f (z) ортогональна ко всем функциям фундаментальной системы решений уравнения l(z) = 0. Обозначим через M совокупность всех решений уравнения l(z) = = 0. Так как все эти решения — непрерывные функции в интервале [a, b], то все они принадлежат L2 (a, b). Следовательно, M ⊂ H. В силу теоремы 3 п. 3 § 16 M есть конечномерное подпространство в H размерности 2n. Обозначим далее через N0 область изменения оператора L0 . Решение y(x) уравнения l(y) = f , удовлетворяющее условиям (15), есть элемент из D0 ; следовательно, l(y) = L0 y . Поэтому существование такого решения y(x) означает, что f ∈ N0 . Доказанная лемма утверждает, что элемент f пространства H = L2 (a, b) тогда и только тогда принадлежит N0 , когда он ортогонален к M; другими словами,

H = N0 + M.

(20)

Л е м м а 2. Каковы бы ни были числа

α0 , α1 , . . . , α2n−1 ; β0 , β1 , . . . , β2n−1 , существует функция y ∈ D, удовлетворяющая условиям

y [k] |x=a = αk , y [k] |x=b = βk , k = 0, 1, 2, . . . , 2n − 1.

(21)

§ 17. Операторы, порожденные самосопряженными выражениями

201

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем сначала лемму для частного случая, когда все числа αj , j = 0, 1, . . ., 2n − 1, равны нулю. Пусть f (x) — произвольный элемент из H, удовлетворяющий условиям  −β2n−ν при ν = 1, 2, . . . , n − 1, n, (f , zν ) = (22) β2n−ν при ν = n + 1, . . . , 2n − 1, 2n, где zν , ν = 1, 2, . . ., 2n − 1, — та же фундаментальная система, что и в доказательстве леммы 1. Такой элемент f существует и притом даже в M. Действительно, если положить

f=

2n

αν zν ,

ν=1

то условия (22) будут системой уравнений относительно постоянных α1 , α2 , . . ., α2n , определитель которой есть определитель Грама линейно независимых функций z1 , z2 , . . ., z2n , следовательно, отличен от нуля. Обозначим через v решение уравнения l(v) = f , удовлетворяющее начальным условиям

v [k] |x=a = 0, k = 0, 1, 2, . . . , 2n − 1. Тогда

(23)

v [k] |x=b = βk , k = 0, 1, 2, . . . , 2n − 1.

В самом деле, применяя к v и к zν формулу Лагранжа, получим

(f , zν ) = (l(v), zν ) = (v , l(zν )) + [v , zν ]b − [v , zν ]a .

(24)

Но l(zν ) = 0; кроме того, в силу условий (23) [v , zν ]a = 0. Далее, в силу условий (17) $ −v [2n−ν] (b) при ν = 1, 2, . . . , n − 1, n, [v , zν ]b = v [2n−ν] (b) при ν = n + 1, . . . , 2n − 1, 2n (см также (19)); поэтому из условий (22) и формулы (24) заключаем, что v [k] |x=b = βk , k = 0, 1, 2, . . ., 2n − 1. Итак, мы построили функцию v ∈ D, такую, что

v [k] |x=a = 0, v [k] |x=b = βk , k = 0, 1, . . . , 2n − 1. Аналогично меняя ролями a и b, можно построить функцию w ∈ D, такую, что

v [k] |x=a = αk , v [k] |s=b = 0, k = 0, 1, . . . , 2n − 1. Функция y = v + w будет тогда функцией из D, удовлетворяющей условиям (21).

202

Гл. V. Симметрические дифференциальные операторы

III. Область D0 определения оператора L0 плотна в H. Нам нужно доказать, что всякий элемент h, ортогональный к D0 , равен нулю. Пусть h — такой элемент, так что (h, y) = 0 для всех y ∈ D0 . Обозначим через z(x) какое-нибудь решение уравнения l(z) = = h. В силу свойства I для любого элемента y ∈ D0 будет

(z , L0 y) = (Lz , y) = (l(z), y) = (h, y) = 0, т. е. функция z(x) ортогональна к N0 . Но тогда из формулы (20) заключаем, что z ∈ M; следовательно, h = 1(z) = 0, что и требовалось доказать. Из II и III следует, что L0 — симметрический оператор. IV. Оператор L является сопряженным к оператору L0 , т. е.

L = L∗0 . Выше было показано (см. (13)), что L ⊂ доказать обратное включение, т. е. что

(25)

L∗0 .

Поэтому достаточно

L ⊃ L∗0 .

(26)

Пусть g — произвольный элемент из области определения оператора D∗0 оператора L∗0 ; положим L∗0 g = h. Обозначим через z(x) какое-нибудь решение уравнения l(z) = h; такое решение существует согласно теореме 2 п. 2 § 16. Тогда для любого элемента y ∈ D0

(h, y) = (l(z), y) = (Lz , y) = (z , L0 y).

(27)

С другой стороны, по определению сопряженного оператора

(y , h) = (L∗0 g , y) = (g , L0 y).

(28)

Вычитая почленно равенства (27) и (28), получим, что

(z − g , L0 y) = 0, т. е. элемент z − g ортогонален к области изменения N0 оператора L0 . Отсюда, учитывая формулу (20), заключаем, что z − g ∈ M. Но M ⊂ D; следовательно, z − g ∈ D. Так как z ∈ D, то также g ∈ D. Кроме того, L(z − g ) = 0, значит,

Lg = Lz = h = L∗0 g ; тем самым включение (26) доказано. V. Оператор L0 является сопряженным к оператору L, т. е.

L0 = L∗ .

(29)

Из доказанного соотношения (25) заключаем, что

L∗ = L∗∗ 0 ⊃ L0 ;

(30)

§ 17. Операторы, порожденные самосопряженными выражениями

203

поэтому достаточно доказать обратное включение

L∗ ⊂ L0 .

(31)

Применяя операцию ∗ к обеим частям соотношения L0 ⊂ L, найдем, что L∗ ⊂ L∗0 . В силу формулы (25) это последнее соотношение можно переписать в виде L∗ ⊂ L. (32) Пусть теперь z — элемент из области определения D∗ оператора L∗ . В силу (32) z ∈ D и L∗ z = Lz . По определению оператора L∗ для любого элемента y ∈ D

(L∗ z , y) = (z , Ky), т. е.

(Lz , y) = (z , Ly).

С другой стороны, по формуле Лагранжа

(Lz , y) = [z , y]ba + (z , Ly); следовательно,

[z , y]ba = 0

(33)

для любой функции y ∈ D. Но согласно лемме 2 функцию y ∈ D можно выбрать так, чтобы значения

y [k] |x=a , y [k] |x=b , k = 0, 1, . . . , 2n − 1, были какими угодно. Поэтому равенство (33) возможно лишь тогда, когда z [k] |x=a = 0, z [k] |x=b = 0, k = 0, 1, . . . , 2n − 1, т. е. z ∈ D0 . Отсюда и из (32) заключаем, что L∗ ⊂ L0 ; тем самым соотношение (29) доказано. Из предложения V вытекает, что L0 — замкнутый симметрический оператор. Определим теперь индекс дефекта оператора L0 . VI. Индекс дефекта оператора L0 есть (2n, 2n). Пусть λ — произвольное комплексное число из верхней полуплоскости. Тогда первое дефектное число есть по определению число линейно независимых элементов z ∈ H, удовлетворяющих уравнению

L∗0 z = λz , т. е. уравнению

Lz = λz.

Другими словами, это есть число линейно независимых решений уравнения l(z) = λz ,

204

Гл. V. Симметрические дифференциальные операторы

ибо каждое такое решение z(x), будучи непрерывными в интервале [a, b], принадлежит L2 (a, b) = H. Но, как было показано в п. 3 § 16, это число равно 2n. Следовательно, первое дефектное число равно 2n. Второе дефектное число получается при переходе от λ к λ; значит, оно также равно 2n. Объединяя все полученные выше результаты, приходим к следующей теореме: Т е о р е м а 1. Оператор L0 есть замкнутый симметрический оператор с индексом дефекта (2n, 2n); оператор L является сопряженным к оператору L0 : L∗0 = L. В заключение установим соотношение между L0 и L0 . VII. Оператор L0 есть замыкание оператора L0 ;

 0 = L0 . L0 = L ∗∗

(34)

Из соотношения (см. (10))

L0 ⊂ L0 непосредственно следует, что и

 0 ⊂ L0 ; L поэтому достаточно доказать обратное включение

 0 ⊃ L0 . L Пусть Δ = [α, β] обозначает фиксированный замкнутый интервал, заключенный внутри интервала (a, b), и пусть HΔ = L2 (α, β). Дифференциальное выражение l(y) можно, очевидно, рассматривать в интервале [α, β]; оно будет в этом интервале регулярным. Соответствующие операторы обозначим через L0, Δ и LΔ . Тогда по доказанному выше

L∗0, Δ = LΔ .

(35)

С другой стороны, пространство HΔ можно вложить в H, считая, что вне интервала Δ функция y(x) ∈ HΔ равна нулю. Тем самым область определения D0, Δ оператора L0, Δ станет частью D, ибо при таком распространении функции y ∈ D0, Δ за пределы интервала Δ непрерывность квазипроизводных y [k] , k = 0, 1, 2, . . ., 2n − 1, не нарушается. Более того, так распространенная функция y из D0, Δ будет ∗ тогда принадлежать D0 . Поэтому, если z ∈ D0 , то ∗

(L0 z , y) = (z , L0 y)

(36)

для всех y ∈ D0, Δ . Но так как y(x) = 0 вне Δ, то скалярное произведение в (36) выражается в виде интегралов по интервалу Δ,

§ 17. Операторы, порожденные самосопряженными выражениями

205

т. е. является скалярным произведением в HΔ . Обозначая эти скалярные произведения индексом Δ, мы можем переписать (36) в виде ∗

((L0 z)Δ , y)Δ = (zΔ , L0,Δ y)Δ . ∗

(37)

∗

При этом (L0 z)Δ , zΔ обозначают функции L0 z и z , рассматриваемые только в интервале Δ. Равенство (37) имеет место для всех y ∈ D0, Δ ; следовательно, zΔ ∈ D00, Δ = DΔ и

∗

(L0 z)Δ = LΔ zΔ = (l(z))Δ .

Так как эти соотношения имеют место для любого интервала Δ, то мы заключаем, что ∗

z ∈ D; L0 z = l(z) = Lz. Тем самым доказано, что Отсюда в силу V т. е. (см. VII, п. 4 § 11)

∗

L0 ⊂ L. ∗∗

L0 ⊃ L∗ = L0 ,  0 ⊃ L0 . L

Этим завершается доказательство предложения VII. 4. Оператор L0 в сингулярном случае. В сингулярном случае непосредственное определение оператора L0 при помощи граничных условий, аналогичных условиям (8), оказывается, вообще говоря, невозможным. Мы поэтому определим теперь оператор L0 другим путем, исходя из оператора L0 (см. п. 2). Прежде всего отметим следующее свойство оператора L0 : III . Область определения D0 оператора L0 плотна в H. Очевидно, достаточно доказать, что всякий элемент h(x) ∈ H, ортогональный к D0 , равен нулю. Пусть h(x) — такой элемент и пусть Δ = [α, β] — фиксированный замкнутый интервал, целиком содержащийся в интервале (a, b). Всякий элемент y ∈ D0, Δ можно рассматривать как элемент из D0 ; следовательно, h ортогонален к D0, Δ (по поводу обозначений см. доказательство предложения VII п. 3). Но по доказанному в п. 3 (предложение III) D0, Δ плотно в HΔ ; следовательно, функция h(x), рассматриваемая в интервале Δ, должна быть равна нулю почти всюду в Δ. В силу произвольности интервала Δ ⊂ (a, b) отсюда следует, что h(x) = 0 почти всюду в (a, b). Из доказанного предложения III и из предложения II (см. п. 2) вытекает, что L0 — симметрический оператор. Следовательно, он допускает замыкание.

206

Гл. V. Симметрические дифференциальные операторы

Замыкание оператора L0 обозначим через L0 , т. е.

 0 = L0 . L Из этого определения заключаем, что L0 — замкнутый симметрический оператор; в регулярном случае это определение оператора L0 согласуется с прежним его определением в силу предложения VII п. 3. Рассмотрим теперь некоторые свойства оператора L0 и его связь с оператором L. I. Оператор L является сопряженным к оператору L0 , т. е.

L∗0 = L.

(38)

  = L0 , то L = L∗ ; поэтому достаточно доказать, что Так как L 0 0 0 ∗

∗

L0 = L. Но, как было показано в п. 2 (см. (6)), ∗

L ⊂ L0 , поэтому остается доказать обратное включение ∗

L ⊃ L0 . Доказательство этого последнего включения напоминает доказательство предложения VII п. 3. ∗ Пусть z — произвольный элемент из области определения D0 ∗ оператора L0 и пусть Δ = [α, β] — фиксированный конечный интервал, целиком содержащийся внутри интервала (a, b). Повторяя рассуждения, приведенные в доказательстве предложения VII п. 3, получим ∗

((L0 z)Δ , y)Δ = (zΔ , L0, Δ y)Δ для всех y ∈ D0, Δ . Отсюда заключаем, что zΔ ∈ DΔ и что ∗

(L0 z)Δ = LΔ zΔ = (l(z))Δ . Ввиду произвольности интервала Δ ⊂ (a, b) ∗

z ∈ D и L0 z = l(z) = Lz ; это означает, что

∗

L0 ⊃ L.

Из доказанного предложения I следует, что оператор L замкнут. II. Индекс дефекта оператора L0 имеет вид 1) (m, m), где 0  m  2n. 1) И . М . Гл а з м а н на примерах показал, что возможно любое значение m между 0 и 2n (см. Глазман [2]).

§ 17. Операторы, порожденные самосопряженными выражениями

207

Пусть λ — произвольное число из верхней полуплоскости. Тогда первое дефектное число — обозначим его через m — есть число линейно независимых элементов z пространства H, удовлетворяющих уравнению L∗0 z = λz , т. е. уравнению Lz = λz . Другими словами, число m есть максимальное число линейно независимых решений уравнения l(z) = λz , принадлежащих пространству H = L2 (a, b). Но общее число всех вообще линейно независимых решений этого уравнения равно 2n; некоторые из них могут оказаться не с интегрируемым квадратом в (a, b). Поэтому m  2n. Так как все коэффициенты p0 , p1 , . . ., pn в дифференциальном выражении l(y) по условию действительны, то каждому решению z(x) уравнения l(y) = λy соответствует решение z(x) этого уравнения. Если при этом z(x) ∈ L2 (a, b), то z(x) ∈ L2 (a, b), и обратно. Поэтому оба дефектных числа друг другу равны. Объединяя все эти результаты, приходим к следующей теореме. Т е о р е м а 2. Оператор L0 есть замкнутый симметрический оператор с индексом дефекта вида (m, m), где 0  m  2n. Оператор L является сопряженным к оператору L0 , т. е.

L∗0 = L. Выше мы определили оператор L0 как замыкание оператора L0 ; дадим теперь другое более непосредственное определение оператора L0 . Для этого сперва сделаем следующее замечание. III. Для любых двух элементов y , z ∈ D существуют [y , z]a = = lim [y , z], [y , z]b = lim [y , z]. x→a x→b Применим формулу Лагранжа к функциям y и z в интервале [α, β] ⊂ (a, b): β 

β 

l(y)z dx = [y , z]β − [y , z]α + y · l(z) dx.

α

(39)

α

Написанные здесь интегралы имеют предел при β → b; поэтому из (39) вытекает, что существует также lim [y , z]β . Аналогично, существует β→b

lim [y , z]α . Переходя в (39) к пределу при α → a, β → b, получим

α→a

b

b

l(y)z dx = [y , z]b − [y , z]a + y · l(z) dx.

a

(40)

a

Формула (40) имеет место для любых двух функций y , z ∈ D. IV. Область определения D0 оператора L0 состоит из тех и только тех функций y ∈ D, которые удовлетворяют условию

[y , z]b − [y , z]a = 0 для всех функций z ∈ D.

(41)

208

Гл. V. Симметрические дифференциальные операторы

Так как оператор L0 замкнут, то в силу (38) ∗ L0 = L∗∗ 0 = L .

Поэтому D0 состоит из тех и только тех функций y ∈ D, которые удовлетворяют соотношению

(y , Lz) = (Ly , z)

(42)

для всех функций z ∈ D. В силу формулы (40) это соотношение эквивалентно соотношению (41). Предложение IV можно усилить следующим образом. Обозначим через Nλ дефектное подпространство оператора L0 , соответствующее невещественному числу λ. Очевидно, Nλ есть совокупность всех решений уравнения l(y) − λy = 0, принадлежащих

H = L2 (a, b). V. Область определения D0 оператора L0 состоит из тех и только тех функций y ∈ D, которые при фиксированном невещественном λ удовлетворяют условию

[y , ϕ]b − [y , ϕ]a = 0

(43)

для всех функций ϕ ∈ Nλ + Nλ . Так как Nλ + Nλ ⊂ D, то условие (43) необходимо. Обратно, пусть условие (43) выполнено; докажем, что тогда y ∈ D0 . В силу предложения IV достаточно доказать, что выполняется условие (41). Всякую функцию z ∈ D можно представить в виде

z = y1 + ϕ, y1 ∈ D0 , ϕ ∈ Nλ + Nλ (см. п. 4 § 14). Так как y ∈ D, y1 ∈ D0 , то

[y , y1 ]b − [y , y1 ]a = 0 в силу предложения IV. Отсюда и из (43) непосредственно вытекает, что [y , z]b − [y , z]a = 0. 5. Случай одного сингулярного конца. Если известно, что один из концов интервала (a, b) регулярен, а второй сингулярен, то результаты п. 4 можно усилить. Будем для определенности считать, что конец a регулярен, а b сингулярен; противоположный случай рассматривается аналогично (его можно также свести к рассматриваемому случаю подстановкой x1 = −x). Тогда имеет место следующее предложение.

§ 17. Операторы, порожденные самосопряженными выражениями

209

VI. Область определения D0 оператора L0 состоит из тех и только тех функций y ∈ D, которые удовлетворяют следующим условиям: 1) y [k] |x=a = 0, k = 0, 1, 2, . . ., 2n − 1, 2) [y , z]b = 0 для всех z ∈ D. Докажем необходимость этих условий. Пусть y ∈ D0 и пусть z — функция из D, равная нулю вне конечного интервала [α, β] ⊂ (a, b). В силу предложения IV п. 4

[y , z]b − [y , z]a = 0. Так как z(x) = 0 вне интервала [α, β], то [y , z]b = 0; поэтому

[y , z]a = 0

(44)

для любой такой функции z(x). Значения такой функции z(x) и ее квазипроизводных z [k] (x), k = 1, 2, . . ., 2n − 1, при x = a могут быть какими угодно (см. лемму 2 п. 3); поэтому равенство (44) возможно лишь тогда, когда

y [k] |x=a = 0, k = 0, 1, 2, . . . , 2n − 1. Отсюда [y , z]a = 0 для любой функции y ∈ D; условие (41) примет поэтому вид [y , z]a = 0 для любой функции z ∈ D. Тем самым доказана необходимость условий 1) и 2). Обратно, если эти условия выполняются, то, очевидно, (41) имеет место; следовательно, y ∈ D0 . В силу V п. 4 условие 2) в предложении VI можно ослабить, потребовав только, чтобы [y , z]b = 0 для всех функций z ∈ Nλ + Nλ . VII. Индекс дефекта оператора L0 с одним регулярным и вторым сингулярным концом имеет вид (m, m), где n  m  2n. Рассуждая, как в доказательстве предложения II п. 4, заключаем, что нужно только доказать неравенство n  m. Для этого воспользуемся известным разложением в прямую сумму

D = D0 + Nλ + Nλ .

(45)

В силу этого разложения максимальное число элементов из D, линейно независимых по модулю D0 , равно 2m. Поэтому достаточно доказать, что в D существует 2n элементов линейно независимых по модулю D0 ; действительно, в таком случае это число 2n не превышает максимального числа элементов из D, линейно независимых по модулю D0 , т. е. 2n  2m. Но такими 2n элементами являются любые 2n функций y1 , y2 , . . ., y2n из D, удовлетворяющих условиям

det(yμ[ν−1] (a)) = 0. Действительно, если

c1 y1 + c2 y2 + . . . + c2n y2n ∈ D0 ,

(46)

Гл. V. Симметрические дифференциальные операторы

210

то в силу условия 1) в предложении VI должно быть [k]

[k]

[k]

c1 y1 (a) + c2 y2 (a) + . . . + c2n y2n (a) = 0, k = 0, 1, 2, . . . , 2n − 1. Эта система однородных уравнений относительно c1 , c2 , . . ., c2n имеет только тривиальное решение c1 = c2 = . . . = c2n = 0, ибо ее определитель согласно (46) отличен от нуля. Вычисление индекса дефекта оператора L0 с двумя сингулярными концами можно свести к вычислению индекса дефекта в случае одного сингулярного конца. Действительно, пусть c — произвольное число из + интервала (a, b); обозначим через L− 0 и L0 операторы L0 , порожденные тем же дифференциальным выражением l(y) в интервалах (a, c) и (c, b) + соответственно. Очевидно, L− 0 и L0 будут уже операторами с одним сингулярным концом x = a и x = b соответственно. VIII. Дефектное число, def L0 , оператора L0 определяется формулой + def L0 = def L− (47) 0 + def L0 − 2n. Д о к а з а т е л ь с т в о. Сузим оператор L0 , налагая на функции f ∈ D дополнительные условия:

f [ν] (c) = 0, ν = 0, 1, 2, . . . , 2n − 1.

(48)

Полученный в результате оператор обозначим через A , а его замыкание через A. Очевидно, при замыкании условия (48) сохраняются для всех функций f ∈ DA , и потому в DL0 существуют в точности 2n линейно независимых функций, никакая комбинация которых, за исключением нулевой, не принадлежит DA . Это означает, что

dimDA DL0 = 2n; следовательно (см. пп. 6–8 § 14),

def A = def L0 + 2n. С другой стороны, оператор A есть прямая сумма операторов L− 0 и L+ 0 , и потому − + def A = def L0 + def L0 . Сравнение этого равенства с предыдущим приводит к формуле (47). З а м е ч а н и е. В случае дифференциального оператора второго порядка (n = 1) с одним регулярным и вторым нерегулярным концами доказанное предложение VII приводит к следующей альтернативе Вейля: индекс дефекта такого оператора равен (1, 1) или (2, 2). Первый случай называется случаем предельной точки, второй — случаем предельного круга. Эта терминология связана с методом вложенных окружностей, при помощи которого Вейль пришел к своей альтернативе (подробно об этом см. Левитан [2]).

§ 18. Самосопряженные расширения оператора L0

211

Пытаясь обобщить эту альтернативу Вейля, В. Виндау [1] для n = 2 и Д. Шин [1–4] для любого n ошибочно пришли к выводу, что индекс дефекта есть либо (n, n), либо (2n, 2n). И. М. Глазман (см. Глазман [2]) показал, что этот результат ошибочен и что в действительности в индексе дефекта (m, m) возможно любое значение m, заключенное между n и 2n. Затем в работе Орлова [1] был найден класс операторов с аналитическими коэффициентами, дефектные числа которых определяются как число корней некоторого эффективно выписываемого многочлена, а в работе Неймарк [1] показано, что этот результат Орлова остается справедливым для неаналитических коэффициентов, удовлетворяющих асимптотическим условиям при x → ∞, обобщающим условия Орлова. Индекс дефекта оператора L0 , порождаемого дифференциальным выражением l(y) произвольного порядка с комплексными коэффициентами, изучался в работах Эверита [1, 2]. В работе Эверита [2] развита теория, аналогичная теории предельного круга и предельной точки Вейля, для самосопряженных дифференциальных выражений четвертого порядка.

§ 18. Самосопряженные расширения оператора L0 1. Описание самосопряженных расширений оператора L0 . Задачей этого параграфа является изучение самосопряженных операторов H , являющихся расширениями дифференциального оператора L0 :

H ⊃ L0 .

(1)

Заметим, что применяя операцию ∗ к обеим частям (1), мы получим

H ∗ ⊂ L.

(2)

Поэтому самосопряженные расширения H оператора L0 полностью определяются заданием их области определения DH , которая должна удовлетворять соотношениям

D0 ⊂ DH ⊂ D.

(3)

Отметим одно свойство DH , непосредственно следующее из определения самосопряженного оператора. Т е о р е м а 1. Линейное многообразие D в H тогда и только тогда является областью определения некоторого самосопряженного расширения оператора L0 , когда D удовлетворяет условиям: 1) D0 ⊂ D ⊂ D; 2) для любых двух функций y , z ∈ D

[y , z]b − [y , z]a = 0;

212

Гл. V. Симметрические дифференциальные операторы

3) всякая функция z из D, удовлетворяющая условию

[y , z]b − [y , z]a = 0, для всех y ∈ D принадлежит D . Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, область определения всякого самосопряженного расширения оператора L0 должна удовлетворять условию 1). Будем теперь считать это условие выполненным и обозначим через H сужение оператора L на D . Пусть y и z — две функции из D. В силу (40) п. 4 § 17 равенство

[y , z]b − [y , z]a = 0 эквивалентно равенству

(Ly , z) = (y , Lz). Поэтому условие 2) означает, что оператор H симметрический. Далее, условие 3) означает: если для всех y ∈ D

(Ly , z) = (y , Lz), т. е.

(Hy , z) = (y , Lz),

то z ∈ D , следовательно, Lz = Hz . Но это как раз и означает, что оператор H самосопряженный. Тем самым теорема 1 доказана. Для описания всех множеств DH воспользуемся результатами теории расширений симметрических операторов (см. § 14). Пусть Nλ обозначает дефектное подпространство оператора L0 , соответствующее λ, и пусть

ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . , ϕm (x) — ортонормальный базис в Nλ . Тогда функции

−ϕ1 (x), −ϕ2 (x), . . . , −ϕm (x) образуют ортонормальный базис в Nλ . Применяя общую теорию расширений симметрических операторов (см. п. 8 § 14, формула (21)), приходим к следующей теореме. Т е о р е м а 2. Всякое самосопряженное расширение H оператора L0 с индексом дефекта (m, m) определяется следующим образом при помощи некоторой унитарной матрицы u = (uμν ) m-го порядка: Область определения DH есть совокупность всех функций z(x) вида z(x) = y(z) + ψ(x), (4) где y(x) ∈ D0 , а ψ(x) — линейная комбинация функций

ψμ (x) = ϕμ (x) +

m ν=1

uνμ ϕν (x), μ = 1, 2, . . . , m.

(5)

§ 18. Самосопряженные расширения оператора L0

213

Обратно, всякая такая матрица u = (uμν ) определяет описанным выше способом некоторое самосопряженное расширение H оператора L0 . Установленное таким образом соответствие между H и u взаимно однозначно. Расширение H оператора L0 , соответствующее унитарной матрице u, мы будем в дальнейшем обозначать через Lu . Следующая теорема характеризует область определения оператора Lu при помощи граничных условий. Т е о р е м а 3. Область определения DLu оператора Lu есть совокупность всех функций y ∈ D, удовлетворяющих условиям

[y , ψμ ]b − [y , ψμ ]a = 0, μ = 1, 2, . . . , m, где

ψμ (x) = ϕμ (x) +

m

(6)

uνμ ϕν (x), μ = 1, 2, . . . , m.

ν=1

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть y ∈ DLu ; так как также ψμ ∈ DLu , то

(Lu y , ψμ ) = (y , Lu ψμ ), т. е.

(Ly , ψμ ) = (y , Lψμ ). Отсюда и из формулы (40) п. 4 § 17 при z = ψμ следует соотношение (6). Обратно, пусть функция z(x) из D удовлетворяет условию (6); тогда

[y , z]b − [y , z]a = 0

(7)

для любой функции y ∈ DLu . Действительно, всякая такая функция y имеет вид m y = y0 + cν ψν , y0 ∈ D0 . ν=1

В силу IV п. 4 § 17

[y , y0 ]b − [y , y0 ]a = 0;

Поэтому соотношение (7) непосредственно следует из условий (6). Из соотношения (7) и теоремы 1 вытекает, что z ∈ DLu , и теорема 3 доказана. Теореме 3 можно придать еще следующую форму, иногда более удобную для приложений. Т е о р е м а 4. Область определения DLu всякого самосопряженного расширения Lu оператора L0 с индексом дефекта (m, m) есть совокупность всех функций y(x) из D, удовлетворяющих условиям

[y , wk ]b − [y , wk ]a = 0, k = 1, 2, . . . , m,

(8)

214

Гл. V. Симметрические дифференциальные операторы

где w1 , w2 , . . ., wm — некоторые функции из D, линейно независимые по модулю D0 , такие, что

[wj , wk ]b − [wj , wk ]a = 0, j , k = 1, 2, . . . , m.

(9)

Обратно, каковы бы ни были функции w1 , w2 , . . ., wm из D, линейно независимые по модулю D0 и удовлетворяющие соотношениям (9), совокупность всех функций y(x) из D, удовлетворяющих условиям (8), есть область определения некоторого самосопряженного расширения оператора L0 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Область определения DLu оператора Lu состоит из линейных комбинаций элементов y ∈ D0 и ψk , k = 1, 2, . . ., m (см. теорему 2). Следовательно, размерность DLu по модулю D0 равна m. Это означает, что в DLu существуют m элементов w1 , w2 , . . . , wm , линейно независимых относительно D0 (этими элементами могут, в частности, быть ψ1 , ψ2 , . . ., ψm ). Повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 3, приходим к выводу, что DLu состоит из всех функций y из D, удовлетворяющих краевым условиям

[y , wj ]b − [y , wj ]a = 0, j = 1, 2, . . . , m.

(10)

Так как сами функции wk принадлежат DLu , то и они удовлетворяют условиям (10), т. е.

[wk , wj ]b − [wk , wj ]a = 0, j , k = 1, 2, . . . , m.

(11)

Пусть, обратно, в D выбраны какие угодно функции w1 , w2 , . . ., wm , удовлетворяющие условиям (11); докажем, что тогда краевые условия (10) определяют некоторое самосопряженное расширение Lu оператора L. Отметим прежде всего, что условия (10) линейно независимы. Действительно, пусть имеет место соотношение m

αk ([y , wk ]b − [y , wk ]a ) = 0

k=1 m

для всех y ∈ D. Полагая z = αk wk , мы сможем переписать это k=1 соотношение в виде [y , z]b − [y , z]a = 0.

В силу предложения IV п. 4 § 17 отсюда следует, что элемент z = n

αk wk принадлежит D0 ; так как элементы w1 , w2 , . . ., wm линейно = k=1

независимы по модулю D0 , это возможно лишь тогда, когда α1 = α2 = = . . . = αm = 0.

§ 18. Самосопряженные расширения оператора L0

215

 совокупность всех функций y(x) из D, удовлеОбозначим через D  по модулю D0 равна m, ибо творяющих условиям (10). Размерность D  D выделяется из D путем наложения m линейно независимых условий. Обозначим, далее, через D совокупность всех функций y(x) вида y = y0 +

m

cj wj ,

(12)

j=1

где cj — произвольные постоянные, а y0 ∈ D0 . Докажем, что  D = D.

(13)

В силу (11) и предложения IV п. 4 § 17 всякая функция из D удовлетворяет условиям (10); следовательно,

 D ⊂ D.

(14)



С другой стороны, размерность D по модулю D0 , очевидно, равна m;  , по доказанному выше, имеет ту же размерность по модулю так как D D0 , то включение (14) возможно лишь тогда, когда

D = D. Докажем теперь, что D удовлетворяет всем условиям теоремы 1. Очевидно, условие 1) выполнено. Далее, в силу (11) и предложения IV п. 4 § 17 всякие две функции y , z ∈ D удовлетворяют соотношению

[y , z]b − [y , z]a = 0.

(15)

Следовательно, условие 2) также выполнено. Наконец, из соотношения (13) вытекает, что всякая функция z из D, удовлетворяющая условию (15) для всех y ∈ D , также принадлежит D ; действительно, z(x), в частности, удовлетворяет условию (15) при y = wj , j = 1, 2, . . . , 2n,  = D , так что условие 3) также выполнеследовательно, z(x) ∈ D  есть область но. На основании теоремы 1 отсюда заключаем, что D определения некоторого самосопряженного расширения оператора L0 , и теорема доказана. Условия (6), а также условия (8) можно рассматривать как краевые условия для определения оператора Lu . Вообще говоря, эти условия зависят от многообразия D, из которого выбираются функции ψν (соответственно wν ), следовательно, зависят от дифференциального выражения l(y). Однако в некоторых частных случаях краевые условия можно задавать независимо от выражения l(y); отметим эти частные случаи. 2. Краевые условия в случае регулярного дифференциального оператора. В этом пункте мы будем предполагать, что дифференциальное выражение l(y) порядка 2n регулярно в интервале [a, b]. Тогда

Гл. V. Симметрические дифференциальные операторы

216

L0 — симметрический оператор с индексом дефекта (2n, 2n) (см. п. 3 § 17). Его самосопряженные расширения можно описать следующим образом. Т е о р е м а 5. Всякое самосопряженное расширение Lu оператора L0 определяется линейно независимыми краевыми условиями вида 2n

αj , k y [k−1] (a) +

k=1

2n

βj , k y [k−1] (b) = 0, j = 1, 2, . . . , 2n,

(16)

k=1

причем n ν=1

αj , ν αk, 2n−ν+1 −

n

αj , 2n−ν+1 αk, ν =

ν=1

=

n

βj , ν β k, 2n−ν+1 −

ν=1

n

βj , 2n−ν+1 β k, ν . (17)

ν=1

Обратно, всякие линейно независимые краевые условия вида (16), удовлетворяющие соотношениям (17), определяют некоторое самосопряженное расширение Lu оператора L0 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Применим к оператору L0 теорему 4 п. 1. В данном случае m = 2n. Пусть область определения DLu самосопряженного расширения Lu оператора L0 задается согласно теореме 4 элементами w1 , w2 , . . ., w2n . Положим [2n−k]

αj , k = wj

(a),

[2n−k] −wj (b),

[n−k]

αj , n+k = −wj

(a),

[n−k] wj (b),

βj , k = βj , n+k = j = 1, 2, . . . , n; k = 1, 2, . . . , n.

(18)

Тогда условия (8) и соотношения (9) перепишутся соответственно в виде (16) и (17); при этом из линейной независимости элементов w1 , w2 , . . ., 22n следует линейная независимость условий (16) и обратно (см. по этому поводу доказательство теоремы 4 п. 1 с. 214). Обратно, пусть заданы линейно независимые краевые условия (16), удовлетворяющие соотношениям (17). Согласно лемме 2 п. 3 § 17 в D существуют элементы w1 , w2 , . . ., w2n , удовлетворяющие условиям (18); но тогда (16) и (17) запишутся соответственно в виде (8) и (9). Следовательно, условия (16) выделяют область определения некоторого самосопряженного расширения оператора L0 . 3. Случай оператора с индексом дефекта (n, n) и с одним сингулярным концом. В этом случае краевые условия также можно записать в форме, не зависящей от дифференциального выражения. Прежде всего докажем следующую лемму.

§ 18. Самосопряженные расширения оператора L0

217

Л е м м а. Если L0 — оператор индекса дефекта (n, n) с одним сингулярным концом b и вторым регулярным концом a, то для любых элементов y , z ∈ D

[y , z]b = 0.

(19)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Δ = [α, β] — произвольный конечный интервал, содержащийся в интервале [a, b). Тогда выражение l(y) регулярно в интервале Δ. Выберем в DΔ функции z1 , z2 , . . ., z2n так, чтобы  1 при ν = k, [k−1] zν |x=a = (20) 0 при ν = k,

zν[k−1] |x=β = 0, k = 1, 2, . . . , 2n.

(21)

В силу леммы 2 п. 3 § 17 такие функции zν существуют. Продолжим их за пределы интервала [a, β], считая их равными нулю при β < x < b. В частности,

zν[k−1] |x=b = 0, k = 1, 2, . . . , 2n.

(22)

Тогда функции zν станут элементами многообразия D. По условию индекс дефекта оператора L0 есть (n, n); следовательно, размерность D по модулю D0 равна 2n. С другой стороны, из (20) легко заключить, что функции z1 , z2 , . . ., z2n линейно независимы по модулю D0 . Поэтому всякую функцию y из D можно представить в виде

y = y0 +

2n

αν zν ,

(23)

ν=1

где y0 ∈ D0 , а αν — постоянные. Но в силу IV п. 4 § 17

[y0 , z]b = 0 и, кроме того, в силу (22) также

[zν , z]b = 0, ν = 1, 2, . . . , 2n. Отсюда и из (23) непосредственно следует соотношение (19). Согласно этой лемме выражения [y , ψμ ]b , [y , wk ]b , [wj , wk ]b в формулировках теорем 3 и 4 п. 1 будут равны нулю. Поэтому в рассматриваемом случае теоремы 3 и 4 формулируются следующим образом. Т е о р е м а 3 . Область определения DLu оператора Lu есть совокупность всех функций y ∈ D, удовлетворяющих условиям

[y , ψμ ]a = 0, μ = 1, 2, . . . , n, где

ψμ (x) = ϕμ (x) +

n ν=1

uνμ ϕν (x), μ = 1, 2, . . . , n.

(24) (25)

Гл. V. Симметрические дифференциальные операторы

218

Т е о р е м а 4 . Область определения DLu всякого самосопряженного расширения Lu оператора L0 есть совокупность всех функций y(x) из D, удовлетворяющих условиям

[y , wk ]a = 0, k = 1, 2, . . . , n,

(26)

где w1 , w2 , . . ., wn — некоторые функции из D, линейно независимые по модулю D0 и такие, что

[wj , wk ]a = 0, j , k = 1, 2, . . . , n.

(27)

Обратно, каковы бы ни были функции w1 , w2 , . . ., wn из D, линейно независимые по модулю D0 и удовлетворяющие соотношениям (27), совокупность всех функций y(x) из D, удовлетворяющих условиям (26), есть область определения некоторого самосопряженного расширения оператора L0 . Таким образом, в рассматриваемом случае DLu выделяется при помощи краевых условий (24) или (26) только в точке a. Далее, имеет место теорема, аналогичная теореме 5. Т е о р е м а 5 . Всякое самосопряженное расширение Lu оператора L0 определяется линейно независимыми краевыми условиями вида 2n αj , k y [k−1] (a) = 0, j = 1, 2, . . . , n, (28) k=1

причем n

αj , ν αk, 2n−ν+1 −

ν=1

n

αj , 2n−ν+1 αk, ν = 0, j , k = 1, 2, . . . , n.

(29)

ν=1

Обратно, всякие линейно независимые условия вида (28), влетворяющие условиям (29), определяют некоторое самосопряженное расширение оператора L0 . Доказательство этой последней теоремы аналогично доказательству теоремы 5 п. 2 и основано на теореме 4 . Пусть некоторое самосопряженное расширение определяется (согласно теореме 4 ) элементами w1 , w2 , . . ., wn . Полагая [2n−k]

αj , k = wj

[n−k]

(a), αj , n+k = −wj

(a), j , k = 1, 2, . . . , n,

(30)

мы запишем краевые условия (26) в виде (28), а соотношения (27) — в виде (29). Обратно, краевые условия (28) и соотношения (29) можно записать в виде (26) и соответственно (27), взяв в качестве функций w1 , w2 , . . ., wn любые функции из D, удовлетворяющие условиям (30). Такие функции существуют в силу леммы 2 п. 3 § 17. Действительно,

§ 18. Самосопряженные расширения оператора L0

219

достаточно применить эту лемму к какому-нибудь интервалу [a, β] ⊂ ⊂ [a, b], наложив на функции wν дополнительные требования

wν[k−1] |x=β = 0, k = 1, 2, . . . , 2n, и считая функции wν тождественно равными нулю при β  x < b. 4. Вещественные расширения. Линейный оператор в L2 (a, b) называется вещественным, если: 1◦ . Область определения DA оператора A вместе с каждой функцией f (x) содержит комплексно сопряженную функцию f (x). 2◦ . Оператор A переводит комплексно сопряженные друг к другу функции в комплексно сопряженные друг к другу функции, другими словами, если Af (x) = g (x), то Af (x) = g (x). Для дальнейшего является весьма существенным то обстоятельство, что среди самосопряженных расширений оператора L0 имеются вещественные операторы. Следующая теорема дает описание всех таких вещественных самосопряженных расширений оператора L0 . Т е о р е м а 6. Самосопряженное расширение Lu оператора L0 является вещественным тогда и только тогда, когда соответствующая унитарная матрица u симметрична, т. е.

ujk = ukj .

(31)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Отметим прежде всего, что в данном случае нужно фактически заботиться только о соблюдении условия 1◦ . Действительно, ввиду вещественности коэффициентов p0 , p1 , . . ., pn оператор L, очевидно, является вещественным оператором. Поэтому условие 2◦ следует из условия 1◦ в силу соотношения Lu ⊂ L. Теперь легко найти условие вещественности данного самосопряженного расширения Lu оператора L0 . Согласно теореме 2 п. 1 DLu состоит из всех элементов вида m m   f =y+ αμ ϕμ (x) + uνμ ϕν (x) , (32) μ=1

ν=1

где y ∈ D0 , а αμ — произвольные постоянные. Расширение L0 вещественно тогда и только тогда, когда будет содержать также все функции

f =y+

m

m   αν ϕν (x) + uμν ϕμ (x) ,

ν=1

μ=1

(33)

т. е. когда эти функции f можно записать в виде (32). Но если

f = y +

m μ=1

m   α μ ϕμ (x) + uνμ ϕν (x) ν=1

(34)

220

Гл. V. Симметрические дифференциальные операторы

— такая запись элемента f , то из сравнения (33) и (34) вытекает, что

y = y , m αν = uνμ α μ , α μ =

μ=1 m

(35) (36)

uμν αν .

(37)

ν=1

Действительно, вычитая почленно (33) и (34), получим (m ) (m ) m m     αν − [y − y] + uνμ α  μ ϕν − uμν αν ϕμ = 0. α μ − ν=1

μ=1

μ=1

ν=1

Выражения, заключенные в квадратные скобки, принадлежат соответственно D0 , Nλ и Nλ . Так как эти многообразия линейно независимы, то каждое из этих выражений равно нулю; отсюда, учитывая независимость элементов ϕν и ϕν , получим соотношения (35), (36) и (37). Но матрица u унитарна (u∗ u = uu∗ = 1); поэтому из (37) заключаем, что m αν = uνμ α μ , μ=1

и сравнение этого равенства с (36) дает (ввиду произвольности коэффициентов α μ ) uνμ = uμν . Очевидно, все эти рассуждения можно обратить, так что условие (31) не только необходимо, но и достаточно для вещественности расширения Lu .

§ 19. Резольвенты самосопряженных расширений оператора L0 Перейдем теперь к изучению резольвент самосопряженных расширений оператора L0 ; оказывается, что эти резольвенты являются интегральными операторами. Задачей настоящего параграфа будет доказательство этого факта, а также установление связи между классом ядра такого оператора и индексом дефекта оператора L0 . 1. Некоторые леммы. Обозначим через H совокупность всех функций f (x) с суммируемым квадратом в некотором конечном интервале Δ = [α, β] ⊂ (a, b) (который может быть различным для различных функций f (x)) и равных нулю вне Δ. Отметим, что пространство HΔ при фиксированном Δ можно рассматривать как часть H :

HΔ ⊂ H ,

§ 19. Резольвенты самосопряженных расширений оператора L0

221

если функцию f (x) ∈ HΔ считать равной нулю вне Δ. В дальнейшем нам понадобятся следующие леммы. Л е м м а 1. Резольвента Rλ всякого вещественного самосопряженного оператора H удовлетворяет соотношению

Rλ g = Rλ∗ g .

(1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу вещественности оператора H из f ∈ DH следует, что также f ∈ DH и

(H − λ1)f = Hf − λf = Hf − λf = (H − λ1)f . Полагая здесь f = Rλ g , получим

(H − λ1)Rλ g = g , следовательно, Так как Rλ =

Rλ∗ ,

Rλ g = Rλ g . то отсюда

Rλ g = Rλ g = Rλ∗ g . Л е м м а 2. Пусть резольвента Rλ некоторого вещественного самосопряженного оператора H для всех функций g ∈ H определяется формулой b

Rλ g = K(x, s, λ)g (s) ds,

(2)

a

где ядро K(x, s, λ) непрерывно при

a < x, s < b, x = s. Тогда

K(t, s, λ) = K(s, t, λ).

(3)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пользуясь соотношением (1), заключаем, что для любых g , h ∈ H

(Rλ g , h) = (Rλ∗ g , h) = (g , Rλ h) или в силу (2) b b

b b

K(x, s, λ)g (s)h(x) dx ds = aa

g (s)K(s, x, λ) h(x) dx ds. aa

Ввиду произвольности функций g , h ∈ H отсюда непосредственно следует соотношение (3). Л е м м а 3. Функции y1 (x), y2 (x), . . ., yn (x) линейно независимы тогда и только тогда, когда при некотором выборе чисел x1 , x2 , . . . . . . , xn det(yj (xk ))j , k=1, ..., n = 0. (4)

222

Гл. V. Симметрические дифференциальные операторы

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем сначала достаточность этого условия. Из тождества

c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + . . . + cn yn (x) = 0 мы заключаем, что, в частности,

c1 y1 (x1 ) + c2 y2 (x1 ) + . . . + cn yn (x1 ) = 0, ........................................ c1 y1 (xn ) + c2 y2 (xn ) + . . . + cn yn (xn ) = 0. В силу условия (4) эта система однородных уравнений имеет только тривиальное решение c1 = c2 = . . . = cn = 0; следовательно, функции y1 (x), y2 (x), . . ., yn (x) линейно независимы. Очевидно, для доказательства необходимости условия (4) достаточно установить, что если при любом выборе чисел x1 , x2 , . . ., xn

det(yj (xk ))j , k=1, ..., n = 0,

(5)

то функции y1 (x), y2 (x), . . ., yn (x) линейно зависимы. Докажем это последнее утверждение по индукции. Для одной функции оно очевидно. Пусть оно уже установлено для n − 1 функций; требуется его доказать для n функций. Если при любом выборе чисел x2 , . . ., xn det(yj (xk ))j , k=2, ..., n = 0, то в силу индуктивного предположения функции y2 (x), . . ., yn (x), а потому и функции y1 (x), y2 (x), . . ., yn (x) линейно зависимы. Если же при некотором выборе чисел x2 , x3 , . . ., xn , например при x2 = x02 , x3 = x03 , . . ., xn = x0n ,

det(yj (x0k ))j , k=2, 3, ..., n = 0, то, полагая в (5) x1 = x, xx = x02 , . . ., xn = x0n и разлагая определитель по элементам первой строки, получим

c1 y1 (x) + x2 y2 (x) + . . . + xn yn (x) ≡ 0, где c1 , c2 , . . ., cn — постоянные и

cn = det(yj (x0k ))j , k=2, ..., n = 0. Следовательно, функции y1 (x), y2 (x), . . ., yn (x) линейно зависимы. 2. Случай оператора с регулярным концом. Перейдем теперь к непосредственному изучению резольвент самосопряженных расширений оператора L0 . При этом мы рассмотрим сначала тот более простой случай, когда хотя бы один из концов интервала (a, b) регулярен (а второй регулярен или сингулярен). Очевидно, не нарушая общности, можно считать, что конец a регулярен. Это условие мы будем считать выполненным на протяжении всего этого пункта и не будем его уже оговаривать.

§ 19. Резольвенты самосопряженных расширений оператора L0

223

Т е о р е м а 1. Резольвента Rλ любого самосопряженного расширения оператора L0 есть интегральный оператор, ядро K(x, s, λ) которого удовлетворяет условиям b

b

|K(x, s, λ)|2 ds < ∞,

a

|K(x, s, λ)|2 dx < ∞.

(6)

a

В случае оператора L0 с индексом дефекта (2n, 2n) ядро K(x, s, λ) является ядром Гильберта–Шмидта, т. е. b b

|K(x, s, λ)|2 dx ds < ∞.

(7)

aa

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем сначала утверждение теоремы для резольвенты Rλ0 какого-нибудь вещественного самосопряженного расширения L0u оператора L0 . Пусть Δ = [a, β] — фиксированный конечный интервал ⊂ [a, b). Положим для f ∈ HΔ

y = Rλ0 f ; тогда y есть решение уравнения

l(y) − λy = f. Следовательно (см. формулу (24) п. 4 § 16), y имеет вид x 2n 2n y(x) = αk yk (x) + yk (x) vk (ξ)f (ξ) dξ k=1

k=1

(8)

a

(мы здесь положили x0 = a). Пусть (m, m) — индекс дефекта оператора L0 . Выберем фундаментальную систему решений y1 , y2 , . . ., y2n уравнения

l(y) − λy = 0 так, чтобы функции y1 , y2 , . . ., ym принадлежали H = L2 (a, b) (т. е. были с суммируемым квадратом в интервале (a, b)), а остальные функции ym+1 , . . ., y2n вместе со всеми их ненулевыми линейными комбинациями не принадлежали L2 (a, b). При x > β интеграл в правой части формулы (8) будет постоянным и равным β 

vk (ξ)f (ξ) dξ ; a

следовательно, при x > β

y(x) =

2n 

k=1

 αk + vk (ξ)f (ξ) dξ yk (x). β a

224

Гл. V. Симметрические дифференциальные операторы

Так как функция y(x) должна принадлежать L2 (a, b), то функции ym+1 (x), . . ., y2n (x) не должны участвовать в этой последней линейной комбинации, т. е. должно быть β 

αk = − vk (ξ)f (ξ) dξ

при k = m + 1, m + 2, . . . , 2n.

(9)

a

Подставляя это выражение в (8), получим

Rλ0 f

= y(x) = −

2n

β yk (x) vk (ξ)f (ξ) dξ +

k=m+1

m

αk yk (x) +

k=1

x

+

m

x yk (x) vk (ξ)f (ξ) dξ. (10)

k=1

a

Определим теперь постоянные α1 , α2 , . . ., αm . Пусть w1 , w2 , . . ., wm — элементы многообразия D, определяющие (см. теорему 4 п. 1 § 18) рассматриваемое расширение L0u . Так как y ∈ DL0u , то должно быть

[y , wj ]ba = 0, j = 1, 2, . . . , m.

(11)

Выпишем подробней это условие; согласно самому способу решения уравнения l(y) − λy = f по методу вариации произвольных постоянных (см. (20) п. 4 § 16) [ν]

y (x) =

2n

[ν] αk yk (x)

+

k=1

2n

[ν] yk (x)

k=1

x vk (ξ)f (ξ) dξ , a

ν = 0, 1, 2, . . . , 2n − 1; следовательно,

  2n  αk + vk (ξ)f (ξ) dξ [yk , wj ], [y , wj ] = x

k=1

[y , wj ]b = [y , wj ]a =

a

2n 

b

k=1

a

 αk + vk (ξ)f (ξ) dξ [yk , wj ]b ,

2n

k=1

αk [yk , wj ]a .

§ 19. Резольвенты самосопряженных расширений оператора L0

225

Подставляя эти выражения в условия (11) и учитывая формулы (9), получим систему уравнений m

αk [yk , wj ]ba

=−

k=1

m

b [yk , wj ]b vk (ξ)f (ξ) dξ −

k=1

−

2n

a

b

[yk , wj ]a vk (ξ)f (ξ) dξ , j = 1, 2, . . . , m, (12)

k=m+1

a

относительно α1 , α2 , . . ., αm . Определитель этой системы отличен от нуля. Действительно, в противном случае однородная система m

ck [yk , wj ]ba = 0, j = 1, 2, . . . , m,

k=1

имеет нетривиальное решение относительно c1 , c2 , . . ., cm . Но тогда m

ck yk удовлетворяет условиям функция y = k=1

[ y , wj ] = 0, j = 1, 2, . . . , m, следовательно, принадлежит DL0u . Последнее невозможно при y = 0, ибо y ∈ Nλ , а это последнее подпространство и DL0u линейно независимы (см. п. 4 § 14). Решая систему (12), получим b

αk = f (ξ)hk (ξ) dξ , k = 1, 2, . . . , m, a

где hk (ξ) — решение системы m

hk [yk , wj ]ba = −

k=1

m

2n

[yk , wj ]b vk (ξ) −

k=1

[yk , wj ]a vk (ξ).

(13)

k=m+1

Так как, по доказанному выше, определитель этой последней системы отличен от нуля, а функции vk (ξ) непрерывны в интервале [a, b), то и функции hk (ξ) непрерывны в этом интервале. Подставляя в формулу (10) вместо αk , k = 1, 2, . . ., m, их выражения, получим

Rλ0 f

=y=

m

x yk (x) [vk (ξ) + hk (ξ)]f (ξ) dξ +

k=1

+

m k=1

8 Наймарк М. А.

a

b

yk (x) hk (ξ)f (ξ) dξ − x

2n

k=m+1

b yk (x) vk (ξ)f (ξ) dξ. (14) x

Гл. V. Симметрические дифференциальные операторы

226

Положим теперь ⎧ m 2n ⎪ ⎪ ⎪ y (x)h (ξ) − yk (x)vk (ξ) при x < ξ , k k ⎪ ⎨ k=1 k=m+1 K0 (x, ξ , λ) = m ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ yk (x)[hk (ξ) + vk (ξ)] при x > ξ , ⎩

(15)

k=1

тогда формула (14) примет вид b

Rλ0 f = K0 (x, ξ , λ)f (ξ) dξ , a 

на функциях f ∈ H есть интегральный оператор с ядром т. е. K0 (x, ξ , λ). Следовательно, в силу ограниченности этого оператора 1)

Rλ0

Rλ0 f

β 

= l.i.m. K0 (x, ξ , λ)f (ξ) dξ β→b

a

для любой функции f ∈ H. Поэтому мы докажем, что Rλ0 — интегральный оператор во всем пространстве H с тем же ядром K0 (x, ξ , λ), если покажем, что интеграл b

K0 (x, ξ , λ)f (ξ) dξ a

сходится в обычном смысле для всех x из [a, b). Для этого, в свою очередь, достаточно показать, что для всех x из [a, b) b

|K0 (x, ξ , λ)|2 dξ < +∞.

(16)

a

При фиксированном ξ и x > ξ ядро K0 (x, ξ , λ) есть линейная комбинация функций y1 , y2 , . . ., ym , принадлежащих H = L2 (a, b) (см. нижнюю формулу (15)). Поэтому b

|K0 (x, ξ , λ)|2 dx < +∞.

(17)

a

Теперь мы воспользуемся вещественностью рассматриваемого расширения L0u . Ядро K0 (x, ξ , λ) удовлетворяет всем условиям леммы 2 п. 1; следовательно, оно симметрично:

K0 (x, ξ , λ) = K0 (ξ , x, λ); 1)

Символ l.i.m обозначает предел в смысле нормы в L2 (a, b).

§ 19. Резольвенты самосопряженных расширений оператора L0

227

поэтому интегралы в (16) и (17) совпадают и из доказанной сходимости второго следует сходимость первого. Тем самым первое утверждение теоремы доказано для вещественного расширения L0u . Докажем для этого расширения второе утверждение теоремы. Прежде всего покажем, что при любом индексе дефекта оператора L0 функции vk , k = m + 1, . . ., 2n, и hk , k = 1, 2, . . ., m, принадлежат L2 (a, b), для чего снова воспользуемся свойством симметричности ядра K0 (x, ξ , λ). Это свойство означает, что m

yk (x)hk (ξ) −

k=1

2n

yk (x)vk (ξ) =

k=m+1

m

[vk (x) + hk (x)]yk (ξ).

(18)

k=1

Выберем числа x1 , x2 , . . ., x2n так, чтобы был отличен от нуля определитель det(yk (xj )), k, j = 1, 2, . . . , 2n. Это возможно в силу линейной независимости функций y1 , y2 , . . . . . . , y2n (см. лемму 3 п. 1). Полагая в (18) x = xj , j = 1, 2, . . ., 2n, получим систему уравнений m k=1

yk (xj )hk (ξ) −

2n

yk (xj )vk (ξ) =

k=m+1

=

m [vk (xj ) + hk (xj )]yk (ξ), j = 1, 2, . . . , 2n, k=1

из которой функции hk (ξ), k = 1, 2, . . ., m, vk (ξ), k = m + 1, m + 2, . . . . . . , 2n, определяются как линейные комбинации функций

y1 (ξ), . . . , ym (ξ), принадлежащих L2 (a, b). Следовательно, функции hk (ξ) и vk (ξ) также принадлежат L2 (a, b). Теперь уже легко доказать второе утверждение теоремы. Пусть индекс дефекта оператора L0 есть (2n, 2n), т. е. m = 2n. Это означает, что все функции y1 , y2 , . . ., y2n принадлежат L2 (a, b). Только что доказанное утверждение теперь означает, что все функции h1 , h2 , . . . , h2n также принадлежат L2 (a, b). Формула (15) для ядра K0 (x, ξ , λ) примет теперь вид ⎧ 2n ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ yk (x)hk (ξ) при x < ξ , ⎪ ⎨ k=1 K0 (x, ξ , λ) = 2n ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ yk (x)[hk (ξ) + vk (ξ)] при x > ξ. ⎪ ⎩ k=1

8*

228

Гл. V. Симметрические дифференциальные операторы

В силу верхней части этой формулы b

b

dx |K0 (x, ξ , λ)|2 dξ < +∞,

a

x

а в силу нижней ее части b

x

dx |K0 (x, ξ , λ)|2 dξ < +∞,

a

a

ибо внутренний интеграл существует и есть линейная комбинация произведений yk (x)yj (x), суммируемых ввиду принадлежности сомножителей к L2 (a, b). Поэтому также b b

|K0 (x, ξ , λ)|2 dx dξ < +∞,

aa

и теорема полностью доказана для вещественных расширений. Перейдем теперь к произвольному самосопряженному расширению оператора L0 . Пусть Lu — такое расширение, а Rλ — его резольвента. Сравним векторы y = Rλ f и y 0 = Rλ0 f , где f — произвольный элемент из L2 (a, b). Оба они являются решениями одного и того же неоднородного уравнения l(y) − λy = f ; следовательно, их разность y − y 0 есть решение однородного уравнения l(y) − λy = 0. Поэтому

Rλ f = Rλ0 f +

2n

αk yk .

k=1

Последняя линейная комбинация должна принадлежать L2 (a, b), ибо Rλ f и Rλ0 f ∈ L2 (a, b); в соответствии с нашим выбором фундаментальной системы y1 , y2 , . . ., y2n это возможно лишь тогда, когда

αm+1 = αm+2 = . . . = α2n = 0. Следовательно,

Rλ f = Rλ0 f +

m

αk yk .

(19)

k=1

Постоянные αk в этой последней формуле являются ограниченными линейными функционалами в L2 (a, b). Действительно, умножая обе части (19) скалярно на yj , j = 1, 2, . . ., m, получим систему уравнений m

αk (yk , yj ) = (Rλ f − Rλ0 f , yj ), j = 1, 2, . . . , m,

(20)

k=1

относительно α1 , α2 , . . ., αm , определитель которой есть определитель Грама линейно независимых функций y1 , y2 , . . ., ym , следовательно, отличен от нуля. Решение αk , k = 1, 2, . . ., m, этой системы выражается

§ 19. Резольвенты самосопряженных расширений оператора L0

229

в виде линейной комбинации ее правых частей ((Rλ − Rλ∗ )f , yj ), которые в силу ограниченности операторов Rλ∗ и Rλ являются ограниченными линейными функционалами в L2 (a, b). Таким образом, числа αk также являются ограниченными линейными функционалами в L2 (a, b). Поэтому в L2 (a, b) существуют функции 1) h1 , h2 , . . ., hm , такие, что b

αk = (f , hk ) = f (ξ)hk (ξ) dξ , k = 1, 2, . . . , m. a

Подставляя эти выражения в формулу (19), получим

Rλ f =

Rλ0 f

+

m

b yk (x) f (ξ)hk (ξ) dξ ,

k=1

т. е.

b  Rλ f =

K0 (x, ξ , λ) + a

a m

 yk (x)hk (ξ) f (ξ) dξ.

k=1

Эта последняя формула показывает, что Rλ есть интегральный оператор с ядром

K(x, ξ , λ) = K0 (x, ξ , λ) +

m

yk (x)hk (ξ).

(21)

k=1

В силу свойств функций yk и hk последняя сумма есть вырожденное ядро Гильберта–Шмидта. Отсюда и из доказанных свойств ядра K0 (x, ξ , λ) немедленно следуют все утверждения теоремы относительно ядра K(x, ξ , λ). З а м е ч а н и е 1. Рассуждение в конце доказательства теоремы 1 показывает, что резольвенты двух самосопряженных расширений оператора L0 отличаются друг от друга слагаемым, которое является интегральным оператором с вырожденным ядром Гильберта– Шмидта. З а м е ч а н и е 2. Из доказанной теоремы, в частности, следует: если индекс дефекта оператора L0 есть (2n, 2n), то резольвента всякого его самосопряженного расширения есть вполне непрерывный оператор; следовательно, спектр всякого самосопряженного расширения оператора L0 чисто дискретен 2). Пользуясь краевыми условиями [y , wj ]ba = 0, j = 1, 2, . . ., n, определяющими данное расширение Lu , можно еще показать, что функции hk (ξ) непрерывны в интервале [a, b] (ср. аналогичное рассуждение на с. 225). 2) Последнее означает (см. ниже п. 5 § 24), что спектр состоит из счетного множества собственных значений, конечной кратности с единственной предельной точкой на бесконечности. 1)

230

Гл. V. Симметрические дифференциальные операторы

З а м е ч а н и е 3. В п. 8а § 14 были изложены основные сведения по теории расширений с выходом из гильбертова пространства. В применении к дифференциальному оператору L0 эти вопросы рассматривались А. В. Штраусом. В частности, им доказано, что теорема 1 остается справедливой и в том случае, когда Rλ обозначает обобщенную резольвенту оператора L0 (см. Штраус [2]). Оказывается, что каждое самосопряженное расширение оператора L0 с выходом из L2 (a, b) порождает в этом пространстве некоторую краевую задачу, с краевыми условиями, зависящими от параметра. А. В. Штраус дал описание всех таких краевых условий (см. также Штраус [3]). 3. Случай оператора с двумя сингулярными концами. В случае оператора L0 с двумя сингулярными концами теорема 1 остается полностью в силе; следовательно, остаются также верными замечания 1 и 2 к ней. Для доказательства этого утверждения обозначим через m− , m+ + и m дефектные числа операторов L− 0 , L0 и L0 , порожденных данным дифференциальным выражением l(y) в интервалах (a, c), (c, b) и (a, b) соответственно; при этом c обозначает любую внутреннюю точку интервала (a, b) (см. с. 210). На основании предложения VIII п. 5 § 17

m− = n + p , m+ = n + m − p, 0  p  n. Выберем фундаментальную систему решений уравнения l(y) − λy = 0 так, чтобы первые m из этих решений

y1 , y2 , . . . , ym принадлежали L2 (a, b). Эти решения принадлежат, конечно, и L2 (a, c); так как общее число линейно независимых решений, принадлежащих L2 (a, c), равно m− = n + p, то в (2n − m)-мерной линейной оболочке остальных 2n − m решений фундаментальной системы должно быть m− − m = np − m линейно независимых решений, принадлежащих L2 (a, c); обозначим их через

ym+1 , ym+2 , . . . , yn+p . Аналогично в той же (2n − m)-мерной линейной оболочке должно быть m+ − m = n − p линейно независимых решений, принадлежащих L2 (c, b); обозначим их через

yn+p+1 , yn+p+2 , . . . , y2n . Функции

ym+1 , ym+2 , . . . , yn+p , yn+p+1 , yn+p+2 , . . . , y2n

§ 19. Резольвенты самосопряженных расширений оператора L0

231

линейно независимы. Действительно, если бы имело место соотношение

cm+1 ym+1 + . . . + cn+p yn+p + cn+p+1 yn+p+1 + . . . + c2n y2n = 0, в котором не все коэффициенты ck равны нулю, то функция

cm+1 ym+1 + . . . + cn+p yn+p = −cn+p+1 yn+p+1 − . . . − c2n y2n ≡ 0 принадлежала бы и L2 (a, c) и L2 (c, b), следовательно, принадлежала бы L2 (a, b). Последнее невозможно, ибо тогда дефектное число оператора L0 было бы больше m. Следовательно, функции

y1 , . . . , ym , ym+1 , . . . , yn+p , yn+p+1 , . . . , y2n образуют фундаментальную систему решений уравнения l(y) − λy = 0. Пусть теперь Rλ0 — резольвента какого-нибудь вещественного расширения L0u оператора L0 и пусть f ∈ HΔ , где Δ = [α, β] — конечный интервал, содержащийся в интервале (a, b). Тогда 1), как и в п. 2,

Rλ0 f

=

2n

αk yk (x) +

k=1

При x < α

2n

k=1

x yk (x) vk (ξ)f (ξ) dξ.

(22)

a

x

vk (ξ)f (ξ) dξ = 0; a

следовательно,

Rλ0 f

=

2n

αk yk (x).

k=1

Так как при этом должно быть Rλ0 f ∈ L2 (a, b) ⊂ L2 (a, c), то

αn+p+1 = αn+p+2 = . . . = α2n = 0. Аналогично, рассматривая формулу (22) при x > β , заключаем, что b

αk = − vk (ξ)f (ξ) dξ при k = m + 1, m + 2, . . . , n + p. a

Наконец, рассуждая, как и в п. 2 (см. с. 224–225), находим, что b

αk = f (ξ)hk (ξ) dξ , k = 1, 2, . . . , m, a 1) Фигурирующий здесь интеграл существует, ибо f ∈ HΔ , следовательно, интеграл фактически берется по некоторому интервалу [α, x], где α > a.

Гл. V. Симметрические дифференциальные операторы

232

где функции hk (ξ) непрерывны в интервале (a, b). Подставляя в (22) эти выражения для постоянных αk , получим b

Rλ0 f = K0 (x, ξ , λ)f (ξ) dξ , a

где

K0 (x, ξ , λ) = ⎧ m n+p ⎪ ⎪ ⎪ y (x)h (ξ) − yk (x)vk (ξ) при x < ξ , ⎪ k k ⎪ ⎨ k=1 k=m+1 = m 2n ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ yk (x)[vk (x) + hk (ξ)] + yk (x)vk (ξ) при x > ξ. ⎪ ⎩ k=1

(23)

k=n+p+1

Из этой формулы для ядра K0 (x, ξ , λ) заключаем, что b

|K0 (x, ξ , λ)|2 dx < +∞;

a

следовательно, в силу симметрии этого ядра (см. лемму 2 п. 1) также b

|K0 (x, ξ , λ)|2 dξ < +∞.

a

Дальнейшие рассуждения совершенно аналогичны соответствующей части доказательства теоремы 1 п. 2, и мы предоставляем их подробное проведение читателю. 4. Общие теоремы о спектре самосопряженных расширений оператора L0 . Так как L0 — симметрический оператор с конечным индексом дефекта, то согласно общей теореме 9 п. 9 § 14 имеет место следующая теорема: Т е о р е м а 2. Все самосопряженные расширения Lu оператора L0 имеют один и тот же непрерывный спектр. Далее, применяя следствие 3 п. 10 § 14, приходим к следующему результату. Т е о р е м а 3. Если при вещественном значении λ число линейно независимых решений уравнения

l(y) = λy , принадлежащих L2 (a, b), меньше дефектного числа оператора L0 , то это значение λ принадлежит ядру спектра оператора L0 . Следовательно, если это значение λ не является собственным значением оператора L0 , то оно принадлежит непрерывной части спектра

§ 19. Резольвенты самосопряженных расширений оператора L0

233

всякого самосопряженного расширения Lu оператора L0 . Последнее обстоятельство имеет место всегда, если один из концов a или b регулярен. В силу цитированного выше следствия 3 (см. п. 10 § 14) в доказательстве нуждается лишь последнее утверждение. Но собственная функция оператора L0 с регулярным концом x = a должна быть решением уравнения l(y) = λy , принадлежащим DL , т. е. удовлетворяющим условиям y [ν] (a) = 0, ν = 0, 1, 2, . . . , 2n − 1; это возможно лишь при y ≡ 0. Следовательно, оператор L0 по крайней мере с одним регулярным концом не имеет собственных значений. Если при этом оператор L0 регулярен или если его индекс дефекта есть (2n, 2n), то спектр каждого из его самосопряженных расширений чисто дискретен. Отсюда на основании теоремы 3 заключаем, что при любом вещественном значении λ число линейно независимых решений уравнения l(y) = λy , принадлежащих L2 (a, b), равно 2n. Обратно, если это последнее обстоятельство имеет место, то в силу теоремы 14 п. 10 § 14 дефектное число оператора L0 будет больше или равно 2n и потому равно 2n. Таким образом, имеет место Т е о р е м а 4. Для того чтобы оператор L0 с регулярным концом имел индекс дефекта (2n, 2n), необходимо, чтобы при любом вещественном значении λ уравнение l(y) = λy имело 2n решений, принадлежащих L2 (a, b), и достаточно, чтобы это уравнение имело 2n решений, принадлежащих L2 (a, b) хотя бы при одном вещественном значении λ. При n = 1 эта теорема была установлена Вейлем (см. Вейль [1]). В заключение докажем еще следующую теорему М. Г. Крейна (см. Крейн [3]). Т е о р е м а 5. Если p0 (x) > 0 и если оператор L0 регулярен, то этот оператор полуограничен снизу; следовательно, отрицательная часть спектра всякого его самосопряженного расширения состоит из конечного числа отрицательных собственных значений конечной кратности. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для y ∈ DL0

y [k] (a) = y [k] (b) = 0, k = 0, 1, 2, . . . , 2n − 1, и потому, интегрируя по частям, имеем n 

b

(L0 y , y) =

k=0 a

pk (x)|y (n−k) (x)|2 dx.

234

Гл. V. Симметрические дифференциальные операторы

⎧ k−1 ⎨ (x − ξ) при ξ  x, (k − 1)! vk (x, ξ) = ⎩ 0 при ξ  x

Положим

и

n 

(24)

b

H(ξ , η) = −

pk (x)vk (x, ξ)vk (x, η) dx.

k=1 a

При y ∈ DL0

y

[n−k]

b

(x) = vk (x, ξ)y [n] (ξ)

1 dξ p0 (ξ)

a

(см. (3) п. 2 § 15), и потому

b (L0 y , y) = |y

[n]

dξ (ξ)| − p0 (ξ)

b b

2

a

H(ξ , η)y [n] (ξ)y [n] (η)

dξ dη . p0 (ξ) p0 (η)

(25)

a a

Обозначим через H гильбертово пространство функций f (x) со скалярным произведением

b (f1 , f2 )1 = f1 (x)f2 (x)

1 dx. p0 (x)

a

В пространстве H рассмотрим интегральный оператор H с непрерывH(ξ , η) : ным ядром p0 (η)

b Hf =

H(ξ , η) f (η) dη ; p0 (η)

a

очевидно, оператор H вполне непрерывен и, как легко проверить, эрмитов. Пусть ψ1 , ψ2 , ψ3 , . . . — полная ортонормальная система собственных функций, а μ1 , μ2 , μ3 , . . . — соответствующие собственные значения оператора H . Тогда

(Hϕ, ϕ)1 =

∞

μk |(ϕ, ψk )1 |2 .

k=1

Но μk → 0 при k → +∞, и потому, начиная с некоторого номера k, будет μk < 1. Пусть μk < 1 при k > N ; тогда при

(ϕ, ψk )1 = 0, k = 1, 2, . . . , N ,

§ 19. Резольвенты самосопряженных расширений оператора L0

будет

∞

(Hϕ, ϕ)1 =

μk |(ϕ, ψk )1 |2 

j=k+1

т. е.

∞

235

|(ϕ, ψk )1 |2 ,

j=k+1

(Hϕ, ϕ)1  (ϕ, ϕ)1 .

(26)

Сузим теперь многообразие DL0 , подчинив функцию y ∈ DL0 дополнительным условиям

(y [n] , ψk )1 = 0, k = 1, 2, . . . , N ;  обозначает многообразие всех функций y из DL , удовлетворяпусть D  ющих этим условиям. В силу (26) при y ∈ D b b

H(ξ , η)y [n] (ξ)y [n] (η)

dξ dη = (Hy [n] , y [n] )1  p0 (ξ) p0 (η)

a a

 (y

[n]

,y

[n]

b

)1 = |y [n] (ξ)|2

dξ ; p0 (ξ)

a

 отсюда, учитывая формулу (25), заключаем, что при y ∈ D (L0 y , y)  0,  оператор L0 полуограничен снизу. С другой т. е. на многообразии D  конечна (именно, стороны, размерность многообразия DL0 по модулю D равна N ), следовательно, L0 полуограничен снизу на всем многообразии DL0 . Последнее утверждение теоремы непосредственно вытекает из следствия 4 п. 11 § 14. Результаты § 17–19 принадлежат в основном И. М. Глазману [1–3] и М. Г. Крейну [3, 5, 6]. Другой подход к описанию резольвент дифференциальных операторов см. Данфорд и Шварц [2].

Г л а в а VI СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

§ 20. Кратность спектра самосопряженного оператора 1. Операторы с простым спектром. В конечномерном евклидовом пространстве спектр эрмитова оператора называется простым, если кратность каждого его собственного значения равна единице. Однако это определение нельзя перенести на произвольные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве, ибо спектр таких операторов состоит, вообще говоря, не только из собственных значений. Чтобы прийти к определению простоты спектра в общем случае, сделаем следующее замечание. Пусть A — эрмитов оператор в n-мерном пространстве Rn ; λ1 , λ2 , . . ., λn — его собственные значения (которые предполагаем простыми), расположенные в порядке возрастания λ 1 < λ2 < . . . < λn , а Pλ — его спектральная функция. Она представляет собой «ступенчатую» функцию со скачками

P λ1 − P λ1 −0 , P λ2 − P λ2 −0 , . . . , P λn − P λn −0 , которые являются операторами проектирования на одномерные собственные подпространства оператора A. Выберем в этих подпространствах единичные векторы e1 , e2 , . . ., en соответственно; эти векторы образуют ортонормальный базис в Rn . Рассмотрим фиксированный вектор x = α1 e1 + α2 e2 + . . . + αn en , где в с е числа αi о т л и ч н ы о т н у л я; тогда

(Pλi − Pλi −0 )x = αi ei , откуда видно, что линейная оболочка векторов (Pλi − Pλi −0 )x, i = 1, 2, . . ., n, есть все пространство R. Если же спектр оператора A непростой, например λ1 двукратно (λ1 = λ2 ), то Pλ1 − Pλ1 −0 есть оператор проектирования на двумерное собственное подпространство M1 , соответствующее λ1 . Если

§ 20. Кратность спектра самосопряженного оператора

237

e1 , e2 , . . . , en — по-прежнему ортонормальный базис из собственных векторов оператора A, причем e1 , e2 ∈ M1 , то (Pλ1 − Pλ1 −0 )x = α1 e1 + α2 e2 и, очевидно, линейная оболочка всех векторов (Pλi − Pλi −0 )x не будет содержать того вектора из M1 , который ортогонален к α1 e1 + α2 e2 . Эти соображения приводят к следующему общему определению оператора с простым спектром. Спектр самосопряженного оператора в пространстве H называется простым, если в H существует вектор x, такой, что линейная оболочка всех векторов PΔ x плотна в H. Всякий такой вектор x называется порождающим вектором. I. Пусть A — самосопряженный оператор в H с простым спектром, Pλ — его спектральная функция, а x — порождающий вектор. Тогда совокупность всех векторов 

y=

ϕ(λ) dPλ x, Δ

где ϕ(λ) — произвольная кусочно непрерывная функция, а Δ — произвольный интервал, плотна в H. Д о к а з а т е л ь с т в о. Эта совокупность линейна и содержит все векторы  PΔ x = 1 · dPλ x Δ

(при ϕ(λ) ≡ 1 в интервале Δ); следовательно, она плотна в H, ибо x — порождающий вектор. 2. Пространство L2σ и оператор Λσ . Рассмотрим фиксированную вещественную неубывающую функцию σ(λ), определенную и непрерывную справа для всех вещественных значений λ. Всякую такую функцию мы будем в дальнейшем называть функцией распределения. При помощи такой функции σ(λ) можно определить понятие меры — мы будем ее называть σ -мерой, — аналогичное мере Лебега. σ -мерой σ(Δ) конечного интервала Δ = (α, β] мы будем называть разность σ(Δ) = σ(β) − σ(α); далее, σ -мерой σ(Δ ) множества Δ , состоящего из конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов Δi = (αi , βi ], i = 1, 2, 3, . . . , называется сумма ряда

σ(Δ1 ) + σ(Δ2 ) + σ(Δ3 ) + . . . , если этот ряд сходится, и +∞, если он расходится. Если теперь Δ — произвольное множество вещественных чисел, то рассматриваются всевозможные множества Δ , состоящие из конечного

238

Гл. VI. Спектральный анализ дифференциальных операторов

или счетного числа попарно непересекающихся интервалов и покрывающих множество Δ. Нижняя грань мер σ(Δ ) таких множеств Δ называется внешней мерой множества Δ и обозначается через σe (Δ). Пользуясь этим понятием внешней меры, можно далее определить понятие σ -измеримости и σ -меры множества, а также понятия σ измеримой функции f (λ), аналогично тому как это делается в теории меры Лебега 1). Для σ -измеримых функций можно далее определить интеграл b

f (λ) dσ(λ), a

аналогичный обычному интегралу Лебега; нужно только в обычном определении интеграла Лебега заменить лебегову меру множества его σ -мерой. Обозначим теперь через L2σ совокупность всех σ -измеримых функций f (λ), таких, что ∞ 

|f (λ)|2 dσ(λ) < +∞;

−∞

две функции f1 , f2 из L2σ будем считать равными, если f1 (λ) = f2 (λ) только на множестве σ -меры нуль. Определим в L2σ действия сложения и умножения на число, как сложение функций и умножение функций на число. Далее, определим в L2σ скалярное произведение, полагая ∞ 

(f , ϕ) =

f (λ)ϕ(λ) dσ(λ). −∞

При таком определении действий и скалярного произведения L2σ — гильбертово пространство. Доказательство этого утверждения по существу мало отличается от доказательства аналогичного утверждения относительно L2 (a, b) (см., например, Ахиезер и Глазман [1] п. 12 гл. I). Если σ(λ) = λ, −∞ < λ < ∞, то L2σ = L2 (−∞, ∞), если же ⎧ ⎨ a при λ < a, λ при a  λ < b, σ(λ) = ⎩ b при λ  b, то L2σ = L2 (a, b). Если, наконец, σ(λ) — ступенчатая функция со счетным числом скачков, равных единице, то, как легко видеть, L2σ = l2 (см. пример 1 п. 1 § 10). 1) Отметим, что если λ0 — точка разрыва функции σ(λ), то мера «интервала» [λ0 , λ0 ], состоящего из одной точки λ0 , будет σ(λ0 ) − σ(λ0 − 0) = 0.

§ 20. Кратность спектра самосопряженного оператора

239

З а м е ч а н и е 1. Изложенное выше определение интеграла легко распространить на тот случай, когда σ(λ) — произвольная функция с ограниченной вариацией в конечном интервале [a, b]. Пусть сначала эта функция вещественна, тогда ее можно представить в виде разности σ(λ) = σ1 (λ) − σ2 (λ) двух ограниченных неубывающих функций σ1 (λ), σ2 (λ). По определению b

b

b

a

a

f (λ) dσ(λ) = f (λ) dσ1 (λ) − f (λ) dσ2 (λ),

a

b

причем мы считаем, что f (λ) dσ(λ) существует тогда и только тогда, a когда существуют интегралы b

b

f (λ) dσ1 (λ), a

f (λ) dσ2 (λ). a

Если теперь σ(λ) = σ1 (λ) + iσ2 (λ), где σ1 (λ), σ2 (λ) — вещественные функции с ограниченной вариацией в интервале [a, b], то по определению полагаем b

b

b

f (λ) dσ(λ) = f (λ) dσ1 (λ) + i f (λ) dσ2 (λ). a

a

a

b

При этом мы считаем, что (λ) dσ(λ) существует тогда и только тогда, a когда существуют интегралы b

b

f (λ) dσ1 (λ), a

f (λ) dσ2 (λ). a

Определим теперь в L2σ оператор Λ следующим образом: DΔ состоит из тех и только тех функций f (λ) из L2σ , для которых λf (λ) ∈ L2σ , причем Λf (λ) = λf (λ). Этот оператор называется оператором умножения на независимую переменную. Если нужно будет подчеркнуть, что он есть оператор в L2σ , то мы будем писать Λσ вместо Λ. Докажем, что этот оператор самосопряженный; для этого достаточно показать, что оператор Λ допускает интегральное представление при помощи некоторой спектральной функции Pλ . Но, как легко проверить, операторная функция Pλ , определяемая формулой  f (λ) при λ < λ0 , P λ0 f = (1) 0 при λ  λ0 ,

240

Гл. VI. Спектральный анализ дифференциальных операторов

будет спектральной функцией, осуществляющей это интегральное представление. Спектр оператора Λ простой. В качестве порождающего вектора можно взять любую функцию 1) x(λ) ∈ L2σ , отличную от нуля всюду, за исключением разве множества σ -меры нуль. Действительно, из формулы (1) вытекает, что n

ck PΔk x(λ) = q(λ)x(λ),

k=1

где q(λ) — функция, равная ck на Δk . С другой стороны, легко показать, что такие функции q(λ)x(λ) образуют плотное множество в L2σ . З а м е ч а н и е 2. Наиболее удобно было бы взять x(λ) ≡ 1, −∞ < < λ < +∞, ибо тогда q(λ)x(λ) = q(λ), а функции q(λ) образуют множество, плотное в L2σ . Однако функция x(λ) ≡ 1 может не принадлежать L2σ (если σ(−∞) = −∞ или σ(+∞) = +∞), хотя для любого конечного интервала функция  1 при λ ∈ Δ, PΔ x = 0 при λ ∈ Δ принадлежит L2σ . В этом случае функция x(λ) ≡ 1 называется несобственным порождающим вектором. Общее определение несобственного порождающего вектора см. в п. 7. 3. Каноническая форма самосопряженного оператора с простым спектром. Следующая теорема показывает, что в предыдущем примере по существу описаны все самосопряженные операторы с простым спектром. Т е о р е м а 1. Пусть A — самосопряженный оператор в H с простым спектром, Pλ — его спектральная функция, x — порождающий вектор и σ(λ) = (Pλ x, x). Тогда существует изометрическое отображение пространства H на L2σ , при котором A переходит в Λσ . Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через K совокупность всех функций f (λ) — кусочно непрерывных и равных нулю вне конечного интервала Δ (своего для каждой функции f (λ)); очевидно, K плотно в L2σ . При f ⊂ K существует ∞ 

y=

f (λ) dPλ x

(2)

−∞ 1)

Доказательство существования такой функции предоставляем читателю.

§ 20. Кратность спектра самосопряженного оператора

241

и принадлежит DA ; при этом ∞ 

Ay =

λf (λ) dPλ (x)

(3)

−∞

и

|y|2 =

∞ 

|f (λ)|2 d(Pλ x, x) =

−∞

∞ 

|Ay| = 2

∞ 

|f (λ)|2 dσ(λ),

(4)

−∞

λ2 |f (λ)|2 dσ(λ).

(5)

−∞

Обозначим через S множество всех векторов y вида (2); согласно предложению I п. 1 множество S плотно в H. Из (4) вытекает, что формула (2) устанавливает изометрическое отображение K на S; это отображение можно продолжить до изометрического отображения замыканий этих множеств, т. е. до изометрического отображения L2σ на H. Указанное продолжение осуществляется следующим образом. Если f ∈ L2σ , то существует последовательность fn ∈ K, сходящаяся к f в смысле нормы в L2σ , ибо K плотно в L2σ . Соответствующая последовательность ∞ 

yn =

fn (λ) dPλ x −∞

сходится в смысле нормы в H; ее предел естественно обозначить через ∞ 

y=

f (λ) dPλ x.

(6)

−∞

Эта последняя формула устанавливает изометрическое отображение L2σ на H. Обозначим через Λσ и A сужения операторов Λσ и A на K и S соответственно. Легко видеть, что их замыкания совпадают с Λσ и A соответственно. В силу (3) построенное выше изометрическое отображение переводит Λσ в A , а следовательно, и Λσ в A. Теорема доказана. II. Пусть A — оператор с простым спектром. Тогда точки спектра оператора A совпадают с точками роста функции σ(λ); в частности, собственные значения оператора A совпадают с точками разрыва функции σ(λ). Действительно, это утверждение легко проверить для оператора Λσ ; в силу теоремы 1 оно справедливо также для оператора A. 4. Операторы с конечнократным спектром. Пусть A — самосопряженный оператор в H, а Pλ — его спектральная функция; векторы x1 , x2 , . . ., xn называются порождающим базисом для оператора A,

242

Гл. VI. Спектральный анализ дифференциальных операторов

если линейная оболочка множества всех векторов PΔ xk , k = 1, 2, . . . . . . , n, плотна в H. Спектр оператора A называется n-кратным, если n есть минимальное число векторов, образующих порождающий базис; соответствующий базис называется минимальным порождающим базисом. 5. Пространство L2σ и оператор Λσ , соответствующие матричной функции распределения. Рассмотрим фиксированную матричную функцию

σ(λ) = (σik (λ)),

− ∞ < λ < ∞, i, k = 1, 2, . . . , m,

обладающую следующими свойствами. 1◦ . При любом вещественном значении λ σ(λ) есть эрмитова матрица. 2◦ . При λ < μ разность σ(μ) − σ(λ) есть положительно определенная матрица. 3◦ . Все функции σik (λ) непрерывны справа. Всякую такую функцию σ(λ) мы будем в дальнейшем называть матричной функцией распределения. Так как диагональные элементы положительно определенной матрицы неотрицательны, то из условий 1◦ –3◦ вытекает, что каждый диагональный элемент σii (λ) есть вещественная неубывающая функция, а каждая функция σik (λ) имеет ограниченную вариацию в каждом конечном интервале. Последнее утверждение вытекает из неравенств 2|R(σjk (Δ))|  σjj (Δ) + σkk (Δ), 2|J(σjk (Δ))|  σjj (Δ) + σkk (Δ), которые являются непосредственным следствием неотрицательности квадратичной формы

σjj (Δ)|ξj |2 + σjk (Δ)ξj ξk + σjk (Δ)ξj ξk + σkk (Δ)|ξk |2 . Пусть K обозначает совокупность всех ограниченных кусочно непрерывных вектор-функций f (λ) = {f1 (λ), f2 (λ), . . . , fm (λ)}, равных нулю вне некоторого конечного интервала (своего для каждой функции). Определим в K умножение на число и сложение обычным образом; кроме того, определим в K скалярное произведение, полагая для f , g ∈ K ∞  m fj (λ)gk (λ) dσjk (λ). (f , g ) = j , k=1 −∞

Очевидно, K станет тогда предгильбертовым пространством 1); при этом две функции f и g не считаются различными векторами пространства K, если (f − g , f − g ) = 0. Пополнение пространства K есть гильбертово пространство; мы его обозначим через L2σ . Можно описать L2σ таким образом, что всеми его элементами будут некоторые 1)

См. п. 1 § 10.

§ 20. Кратность спектра самосопряженного оператора

243

вектор-функции. (См. по этому поводу работу Кац [2] 1).) Нам, однако, такое описание пространства L2σ не понадобится. Определим в K оператор Λσ , полагая для f ∈ K

Λσ f = λf (λ) = {λf1 (λ), λf2 (λ), . . . , λfm (λ)}. Очевидно, Λσ — симметрический оператор в L2σ ; его замыкание обозначим через Λσ . Оператор Λσ — самосопряженный; чтобы в этом убедиться, достаточно показать, что он допускает интегральное представление при помощи некоторой спектральной функции Pλ (см. теорему 1 п. 3 § 12). Но, как легко видеть, такой спектральной функцией будет операторная функция Pλ , определенная формулой  f (λ) при λ < λ0 , Pλ0 f (λ) = (7) 0 при λ  λ0 . Кратность спектра оператора Λσ не превосходит порядка m матрицы σ . Для доказательства этого утверждения достаточно указать в L2σ порождающий базис, состоящий из m вектор-функций. Таким базисом будут, например, вектор-функции

f 1 (λ)={ f1 (λ), 0, . . . ,

0},

f (λ)={ 0, f2 (λ), . . . 0}, ................................. f m (λ)={ 0, 0, . . . , fm (λ)}, 2

(8)

где функции f1 (λ), f2 (λ), . . ., fm (λ) отличны от нуля для всех вещественных значений λ, ограничены в интервале (−∞, ∞), и, кроме того, подчинены условию fk (λ) ∈ L2σ , k = 1, 2, . . ., m. З а м е ч а н и е. Проще всего положить в (8)

f1 (λ) = f2 (λ) = . . . = fm (λ) ≡ 1, однако соответствующие вектор-функции f 1 (λ), f 2 (λ), . . ., f m (λ) могут не принадлежать L2σ . В этом случае «порождающий базис», отвечающий такому выбору f 1 (λ), . . ., f (m) (λ) является несобственным (см. п. 7). 6. Общая каноническая форма самосопряженного оператора с n-кратным спектром. Т е о р е м а 2. Пусть A — самосопряженный оператор в H с nкратным спектром, Pλ — его спектральная функция, а x1 , x2 , . . . . . . , xn — минимальный порождающий базис. Положим

σjk (λ) = (Pλ xj , xk ); σ(λ) = (σjk (λ)).

(9)

1) Априори неясно, что пополнение нормированного пространства функций может быть реализовано в виде пространства функций.

Гл. VI. Спектральный анализ дифференциальных операторов

244

Тогда формула

∞ 

y=

n

fk (λ) dPλ xk

(10)

−∞ k=1

устанавливает изометрическое отображение L2σ на H, при котором оператор Λσ переходит в оператор A. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если f ∈ K, то интеграл (10) имеет смысл и представляет некоторый вектор y ∈ H. Обозначим через S совокупность всех таких векторов y . Множество S плотно в H, ибо оно линейно и содержит все векторы PΔ xj , j = 1, 2, . . ., n. (fk (λ) = 0 для k = j ; fj (λ) = 1 для λ ∈ Δ; fj (λ) = 0 для λ ∈ Δ; напомним, что x1 , x2 , . . . , xn — порождающий базис.) Если f ∈ K, то ∞ 

|y| = 2

n

∞ 

fj (λ)fk (λ) d(Pλ xj , xk ) =

−∞ j , k=1

n

fj (λ)fk (λ) dσjk (λ);

−∞ j , k=1

следовательно, формула (10) устанавливает изометрическое отображение K на S. Так как K и S плотны в L2σ и H соответственно, то это отображение продолжается единственным образом до изометрического отображения L2σ на H; при этом интеграл в (10) следует определить как предел последовательности ∞ 

yN =

n

fkN (λ) dPλ xk ,

−∞ k=1

в которой f (N) (λ) ∈ K и f (N) → f в смысле нормы в L2σ . Очевидно, S ⊂ DA . Обозначим через A и Λ сужения операторов A и Λ на S и K соответственно; тогда замыкания этих операторов совпадают с A и Λ. С другой стороны, при y ∈ S ∞ 

Ay =

n

λfk (λ) dPλ xk .

−∞ k=1

Эта формула показывает, что наше изометрическое отображение переводит Λ в A и, следовательно, Λ в A. Теорема доказана. Из этой теоремы вытекает, что спектр оператора A состоит из точек роста функции σ(λ), причем собственными значениями являются точки разрыва этой функции. Это утверждение непосредственно следует из самого определения оператора Λσ . 7. Несобственный порождающий базис. В пп. 2 и 5 мы видели, что в ряде случаев может оказаться удобным выбор несобственного порождающего базиса.

§ 20. Кратность спектра самосопряженного оператора

245

Дадим теперь общее определение такого базиса и выясним, как для него надлежит изменить теоремы 1 и 2. а). С л у ч а й о п е р а т о р а с п р о с т ы м с п е к т р о м. Пусть A — самосопряженный оператор в H, а Pλ — его спектральная функция. Несобственным порождающим элементом оператора A называется всякая функция xΔ интервала Λ со значениями из H, удовлетворяющая следующим условиям: 1◦ . Если Δ1 ⊂ Δ2 , то PΔ1 xΔ2 = xΔ1 . 2◦ . Линейная оболочка всех векторов xΔ плотна в H. Из свойства 1◦ вытекает, что: 3◦ . Если интервалы Δ1 и Δ2 не пересекаются, то xΔ1 ⊥ xΔ2 и

xΔ1 +Δ2 = xΔ1 + xΔ2 . Обозначим через K совокупность всех функций f (λ) кусочно непрерывных и равных нулю вне некоторого конечного интервала. Если f (λ) ∈ K и f (λ) = 0 вне Δ, то существует интеграл 1) ∞ 

y=



f (λ) dxλ = −∞

f (λ) dPλ xΔ . Δ

В силу свойства 2◦ совокупность всех таких векторов y образует множество S, плотное в H. Положим σ(Δ) = |xΔ |2 , тогда σ(Λ) — аддитивная функция интервала Δ, ибо если интервалы Δ1 и Δ2 не пересекаются, то xΔ1 ⊥ xΔ2 , и потому

|xΔ1 +Δ2 |2 = |xΔ1 + xΔ2 |2 = |xΔ1 |2 + |xΔ2 |2 . Дальнейшее рассуждение в доказательстве теоремы 1 повторяется почти дословно; мы приходим к следующей теореме. Т е о р е м а 1 . Пусть A — самосопряженный оператор в H, для которого существует несобственный порождающий вектор xΔ . Положим 2) σ(Δ) = |xΔ |2 . Тогда формула ∞ 

y=

f (λ) dxλ −∞

1)

Первый из этих интегралов обозначает предел суммы

m

k=1

f (μk )xΔk ,

Δk = (λk−1 , λk ], μk ∈ Δk , λ0 < λ1 < . . . < λm , Δ = (λ0 , λm ], при max(λk − λk−1 ) → 0. Из свойства 1◦ следует, что этот первый интеграл равен k второму. 2) При помощи σ(Δ) можно построить σ(λ), полагая, например, σ(λ) = = sign λ σ(Δ) при Δ = (0, λ].

246

Гл. VI. Спектральный анализ дифференциальных операторов

устанавливает изометрическое отображение L2σ на H, при котором Λσ переходит в A. Следовательно, A есть оператор с простым спектром. б). С л у ч а й к р а т н о г о с п е к т р а. Пусть снова A — самосопряженный оператор в H, а Pλ — его спектральная функция. Несобственным порождающим базисом оператора A называется система функций x1Δ , x2Δ , . . ., xnΔ со значениями из H, обладающая следующими свойствами: 1◦ . Если Δ1 ⊂ Δ2 , то PΔ1 xkΔ2 = xkΔ1 , k = 1, 2, . . ., n. 2◦ . Линейная оболочка всех векторов xkΔ , k = 1, 2, . . ., n, плотна в H. Рассуждения, аналогичные предыдущим, приводят к следующей теореме: Т е о р е м а 2 . Пусть A — самосопряженный оператор в H, для которого существует несобственный порождающий базис x1Δ , x2Δ , . . ., xnΔ . Положим

σνk (Δ) = (xνΔ , xkΔ ), ν , k = 1, . . . , n. Тогда формула

∞ 

y=

n

fk (λ) dxkλ

−∞ k=1

устанавливает изометрическое отображение L2σ на H, при котором оператор Λσ переходит в оператор A. Следовательно, кратность спектра оператора A не выше n.

§ 21. Разложение по собственным функциям В § 5 была решена задача о разложении заданной функции по собственным функциям дифференциального оператора для того случая, когда соответствующее дифференциальное выражение регулярно в рассматриваемом конечном интервале. Соответствующая теорема допускает обобщение на случай произвольного (не обязательно регулярного) самосопряженного дифференциального оператора 1). Однако в случае нерегулярного оператора вместо разложения в ряд может получиться разложение в интеграл по собственным функциям аналогично тому, как в случае непериодической функции f (x), заданной в интервале (−∞, ∞), вместо разложения в ряд Фурье получается разложение в интеграл Фурье. Это обстоятельство вызвано тем, что спектр нерегулярного дифференциального оператора может содержать непрерывную часть. 1) По поводу разложения по собственным функциям сингулярных несамосопряженных дифференциальных операторов см. добавление I.

§ 21. Разложение по собственным функциям

247

1. Направляющие функционалы. Вывод теоремы о разложении по собственным функциям самосопряженного дифференциального оператора мы получим, применяя принадлежащий М. Г. Крейну (см. Крейн [1, 2]) метод направляющих функционалов. Пусть (a, b) обозначает интервал (конечный или бесконечный), в котором задано некоторое самосопряженное дифференциальное выражение l(y). Как и в § 17, L0 будет обозначать «минимальный» замкнутый симметрический оператор, порожденный этим дифференциальным выражением, а Lu — некоторое самосопряженное расширение оператора L0 . Обозначим, далее, через H совокупность всех функций из L2 (a, b), равных нулю вне некоторого интервала [α, β] ⊂ (a, b) (своего для каждой функции). Пусть yj = yj (x, λ), j = 1, . . . , 2n, (1) — фундаментальная система решений уравнения

l(y) = λy , удовлетворяющая начальным условиям  1 при j = k, [k−1] yj (x0 , λ) = 0 при j =  k,

(2) [ν]

где x0 — фиксированная точка 1) интервала (a, b), а yj , ν = 1, 2, . . . , n, обозначает ν -ю квазипроизводную функции yj . Очевидно, функции yj будут целыми аналитическими функциями параметра λ при каждом фиксированном значении x. Положим для функции f ∈ H b

Φj (f , λ) = f (x)yj (x, λ) dx, j = 1, 2, . . . , 2n.

(3)

a

Ясно, что Φj — линейные 2) функционалы в H ; эти функционалы мы будем называть направляющими функционалами дифференциального выражения l(y). Применение направляющих функционалов основано на следующих предложениях. I. Направляющие функционалы Φj (f , λ) обладают следующими свойствами: 1◦ . Φj (f , λ) при фиксированной функции f ∈ H есть целая аналитическая функция параметра λ. 1) Если один из концов интервала (a, b) регулярен, то в качестве x0 можно взять этот регулярный конец. 2) См. п. 2 § 10.

248

Гл. VI. Спектральный анализ дифференциальных операторов

2◦ . Если для некоторой функции f ∈ H и некоторого вещественного значения λ имеют место равенства

Φj (f , λ) = 0, j = 1, 2, . . . , 2n,

(4)

(L − λ1)ϕ = f

(5)

то уравнение



имеет решение ϕ, принадлежащее H . 3◦ . Если f ∈ DL ∩ H , то при любом вещественном λ

Φj (Lf , λ) = λΦj (f , λ). Д о к а з а т е л ь с т в о. Свойство 1◦ очевидно, и потому нуждаются в доказательстве только свойства 2◦ и 3◦ . Докажем сначала свойство 2◦ . Пусть f ∈ H и пусть f = f (x) обращается в нуль вне интервала [α, β] ⊂ (a, b). Условие (4) означает, что функция f ортогональна ко всем решениям однородного уравнения l(y) − λy = 0. Согласно лемме 1 п. 3 § 17 уравнение (5) имеет поэтому решение ϕ, определенное в интервале [α, β] и удовлетворяющее условиям ϕ[ν] (α) = ϕ[ν] (β) = 0, ν = 0, 1, . . . , 2n − 1. Но тогда в силу теоремы единственности (см. п. 2 § 16) это решение ϕ должно быть равно нулю вне интервала [α, β]. Свойство 3◦ непосредственно получается из следующей цепочки равенств: b

Φj (Lf , λ) = l(f )yj (x, λ) dx = a

b

b

a

a

= [f , yj ]ba + f l(yj ) dx = λ f yj dx = λΦ(yj , λ), yj ]ba

= 0. ибо l(yj ) = λyj и [f , II. Для любого конечного интервала [α, β] существует в H система функций ψ1 , ψ2 , . . ., ψ2n , такая, что определитель D(λ) = det(Φj (ψk , λ)), j , k = 1, . . . , 2n, не обращается в нуль в интервале α  λ  β . Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть λ0 — фиксированная точка интервала [α, β] и пусть Φ01 , . . ., Φ02n — функции из H , такие, что

det(Φj (ψk0 , λ)) = 0. Если во всем интервале [α, β] определитель

D0 (λ) = det(Φj (ψk0 , λ))

§ 21. Разложение по собственным функциям

249

отличен от нуля, то можно положить ψk = ψk0 , k = 1, 2, . . ., 2n. Если же в некоторой точке λ1

D0 (λ1 ) = det(Φj (ψk0 , λ1 )) = 0, то существуют такие числа αk , не все равные нулю, что 2n

Φj (ψk0 , λ1 )αk = 0, j = 1, 2, . . . , 2n.

k=1

Полагая

χ = α1 ψ10 + α2 ψ20 + . . . + α2n ψ20n ,

мы имеем тогда

Φj (χ, λ1 ) = 0, j = 1, 2, . . . , 2n. Отсюда на основании I заключаем, что уравнение

Lψ − λ1 ψ = χ 

имеет решение ψ ∈ H . Применяя функционал Φj к обеим частям этого равенства и пользуясь предложением I (свойство 3◦ ), получаем

(λ − λ1 )Φj (ψ , λ1 ) = Φj (χ, λ1 ); следовательно,

Φj (ψ , λ1 ) =

Φj (χ, λ1 ) . λ − λ1

(6)

Пусть, например, α1 = 0; тогда можно считать α1 = 1. Определитель D0 (λ) не изменит своей величины, если функцию ψ10 заменить функцией χ = ψ10 + α2 ψ20 + . . . + α2n ψ20n . Отсюда и из формулы (6) заключаем, что, заменив далее функцию χ функцией ψ , мы перейдем от определителя D0 (λ) к определителю

D1 (λ) =

D0 (λ) . λ − λ1

Определитель D1 (λ) по-прежнему отличен от нуля при λ = λ0 , а при λ = λ1 имеет корень кратности, на единицу меньшей, чем D0 (λ). Так как аналитическая функция D0 (λ) = 0 имеет в конечном интервале [α, β] только конечное число нулей, каждый конечной кратности, то после конечного числа таких шагов мы придем к некоторому определителю D(λ), отличному от нуля во всем интервале [α, β]. Т е о р е м а 1. Пусть [α, β] — конечный интервал, а ψ1 , ψ2 , . . . . . . , ψ2n — система функций в H , такая, что определитель

det(Φj (ψk , λ)) отличен от нуля в интервале [α, β].

250

Гл. VI. Спектральный анализ дифференциальных операторов

Пусть далее Pλ — спектральная функция оператора Lu , а g1 , g2 , . . . , g2n — функции, определенные равенствами

gν =

β 2n

Ωkν (λ) dPλ ψk ,

(7)

a k=1

где Ω = (Ωνk (λ)) — матрица, обратная матрице

Φ = (Φj (ψk , λ)), j , k = 1, 2, . . . , 2n.

(8)

Тогда для любой функции f ∈ H и любого интервала Δ ⊂ [α, β] имеет место формула

PΔ f =

 2n

Φν (f , λ) dPλ gν .

(9)

Δ ν=1

Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим

Fj (f , λ) =

2n

Ωjk (λ)Φk (f , λ);

(10)

Φk (ψj , λ)Fj (f , λ).

(11)

k=1

следовательно,

Φk (f , λ) =

2n

j=1

Подлежащая доказательству формула (9) эквивалентна формуле

PΔ f =

 2n Δ

Fj (f , λ) dPλ ψj .

(12)

j=1

Чтобы в этом убедиться, достаточно подставить в (9) вместо функций gν их выражения (7). Для доказательства формулы (12) рассмотрим элемент

μ

μ 2n

hμ = dPλ f − α

Fj (f , λ) dPλ ψj ;

α j=1

очевидно, достаточно доказать, что он равен нулю для всех μ, α  μ  β ; для этого, в свою очередь, достаточно установить, что, какова бы ни была функция ϕ ∈ H ,

μ (hμ , ϕ) = d(Pλ f , ϕ) − α

μ 2n α j=1

Fj (f , λ) d(Pλ ψj , ϕ) = 0

(13)

§ 21. Разложение по собственным функциям

251

при α  μ  β . Но при μ = α равенство (13) имеет место; поэтому достаточно показать, что для всех μ, α  μ  β , существует производная d (hμ , ϕ) и что dμ

d (hμ , ϕ) = 0 dμ

при α  μ  β.

В силу неравенства   1  (hμ+δ , ϕ) − (hμ , ϕ) 2    2 |hμ+δ − hμ |2 |ϕ|2 δ

d

для этого достаточно доказать, что

lim

δ→0

1 |hμ+δ − hμ |2 = 0. δ2

Положим для краткости

P = Pμ+δ − Pμ ; тогда



1 1 |hμ+δ − hμ | = P f − δ δ

μ+δ 

μ

  1  P f − δ

2n

  Fj (f , λ) dPλ ψj  

j=1

2n

  Fj (f , μ)ψj  +

j=1 μ+δ  2n  2n  1  + P Fj (f , μ)ψj − Fj (f , λ) dPλ ψj . δ j=1

μ

(14)

j=1

Оценим сначала первое из этих слагаемых. Положим для краткости

w=f−

2n

Fj (f , μ)ψj ;

(15)

j=1

тогда в силу (11)

Φk (w, μ) = Φk (f , μ) −

2n

Fj (f , μ)Φk (ψj , μ) = 0.

j=1

Согласно предложению I отсюда вытекает существование функции v ∈ H , такой, что w = Lu v − μv. При этом либо

(Pμ − Pμ−0 )v = 0,

252

Гл. VI. Спектральный анализ дифференциальных операторов

либо μ является собственным значением оператора Lu , с собственной функцией (Pμ − Pμ−0 )v . В последнем случае, полагая

v = v − (Pμ − Pμ−0 )v , мы получим функцию v, принадлежащую множеству DLu , для которой по-прежнему выполняется равенство

w = Lu v − μ v и, кроме того,

(Pμ − Pμ−0 ) v = 0.

(16)

Очевидно, (16) имеет место и в первом случае при v = v . Из соотношения (16) вытекает, что функция |Pλ v| является непрерывной при λ = μ. Поэтому 1

δ

2

|P w|2 =

1

d2

|P (Lu v − μ v )|2 = =

μ+δ 

1

δ2

|λ − μ|2 d(Pλ v, v)  |P v|2 → 0 при δ → 0. μ

Второе слагаемое в (14) перепишем в виде

 μ+δ  2n

1  δ

μ

j=1

  {Fj (f , μ) − Fj (f , λ)} dPλ ψj .

Его квадрат не больше чем μ+δ 2n  2n

δ2

|Fj (f , μ) − Fj (f , λ)|2 d|Pλ ψj |2 =

j=1 μ

= где

μ+δ 2n  2n

δ2

|Fj (f , μ) − Fj (f , λ)|2 d|Pλ ψj |2 ,

j=1 μ

ψj = ψj − (Pμ − Pμ−0 )ψj .

Действительно,

Pλ ψj =



при λ < μ, Pλ ψj Pλ ψj − (Pμ − Pμ−0 )ψj при λ  μ,

§ 21. Разложение по собственным функциям

253

а в последних двух интегралах подынтегральная функция при λ = μ непрерывна и равна нулю; следовательно, оба эти интеграла равны. Таким образом, квадрат второго слагаемого не больше чем

C

2n

Mj2 |P ψj |2 ,

j=1

∂F (f , λ)

j при λ, менягде Mj обозначает максимум модуля функции ∂λ ющемся между μ и μ + δ . Но последняя сумма стремится к нулю при δ → 0 в силу непрерывности функции |Pλ ψj | при λ = μ.

2. Формулы обращения. Т е о р е м а 2. Пусть L0 — минимальный симметрический оператор, порожденный дифференциальным выражением l(y) в интервале (a, b), Lu — его самосопряженное расширение, а

u1 (x, λ), u2 (x, λ),

... ,

u2n (x, λ)

— решения уравнения l(y) = λy , удовлетворяющие начальным усло виям 1 при j = ν , [ν−1] uj |x=x0 = a < x0 < b. 0 при j = ν , Тогда существует матричная функция распределения 1)

σ(λ) = (σjk (λ)), j , k = 1, 2, . . . , 2n, такая, что формулы b

ϕj (λ) = f (x)uj (x, λ) dx, a ∞ 

f (x) =

2n

ϕj (λ)uk (x, λ) dσjk (λ)

(17)

(18)

−∞ j , k=1

осуществляют взаимно обратные изометрические отображения L2 (a, b) на L2σ и L2σ на L2 (a, b) соответственно, переводящие друг в друга операторы A и Λσ . При этом интегралы в формулах (17) и (18) сходятся в смысле метрики в L2σ и L2 (a, b) соответственно и

b

∞ 

|f (x)|2 dx = a

2n

ϕj (λ)ϕk (λ) dσjk (λ).

(19)

−∞ j , k=1

1) Определение матричной функции распределения и оператора Λσ в п. 5 § 20.

254

Гл. VI. Спектральный анализ дифференциальных операторов

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть [α, β] — конечный интервал, а функции gν , ψk и f — те же, что и в теореме 1. Функции gν = gν (x) зависят, очевидно, от выбора интервала Δ = [α, β]; чтобы это подчеркнуть, мы будем писать gν , Δ вместо gν . На первый взгляд кажется, что эти функции зависят еще от выбора функций ψ1 , ψ2 , . . ., ψ2n . Докажем, что в действительности функции gν от выбора функций ψ1 , ψ2 , . . ., ψ2n не зависят. Пусть функции ψ1 , ψ2 , . . ., ψ2n заменены функциями ψ1 , ψ2 , . . ., ψ2n , для которых также

det(Φj (ψk , λ)) = 0  = (Ω  jk (λ)) матрицу, обратво всем интервале Δ. Обозначим через Ω  ную матрице (Φj (ψk , λ), так что  2n  kν (λ) = 1 при j = ν , Φj (ψk , λ)Ω (20) 0 при j = ν. k=1

Положим

gν =

β 2n

 kν (λ) dPλ ψk . Ω

(21)

α k=1

Требуется доказать, что gν = gν . Применяя формулу (9) к функции ψk вместо f и к интервалу Δ = [α, λ], α < λ < β , получим

(Pλ − Pα )ψk =

λ 2n

Φj (ψk , λ) dPλ gj .

α j=1

Подставляя это выражение в формулу (21) и учитывая соотношения (20), найдем, что

gν =

β 2n

β

 kν (λ) dPλ gj = dPλ gν = gν . Φj (ψk , λ)Ω

α k, j=1

Функции

α

g1, Δ , g2, Δ , . . . , g2n, Δ

образуют несобственный порождающий базис для оператора Lu (см. п. 7 § 20). Действительно, из формулы (7) для функций gν , Δ следует, что при Δ ⊂ Δ

PΔ gν , Δ = gν , Δ , ν = 1, 2, . . . , 2n; кроме того, формула (9) показывает, что линейная оболочка функций gν , Δ плотна в H, ибо функции PΔ f , f ∈ H , образуют множество, плотное в H. Положим

σνk (Δ) = (gν , Δ , gk, Δ ), ν , k = 1, 2, . . . , 2n.

§ 21. Разложение по собственным функциям

Согласно теореме 2 п. 7 § 20 формула ∞  2n f= Φν (λ) dgν , λ

255

(22)

−∞ ν=1

определяет изометрическое отображение Φ → f пространства L2σ на H = L2 (a, b), которое переводит оператор Λσ в оператор Lu . При этом интеграл в (22) сходится в смысле нормы в L2 (a, b). Перейдем теперь к доказательству основного утверждения теоремы. Из свойств функций gν , Δ следует, что формулу (9) можно записать в виде  2n PΔ f = Φν (f , λ) dgν , λ , f ∈ H . Δ ν=1

Расширяя неограниченно интервал Δ , найдем, что при f ∈ H ∞  2n f= Φν (f , λ) dgν , λ .

(23)

−∞ ν=1

Сравнение формул (22) и (23) показывает, что при нашем изометрическом отображении Φ → f функциям f ∈ H отвечает вектор-функция

Φ(λ) = {Φ1 (λ), Φ2 (λ), . . . , Φ2n (λ)}, где b

Φν (λ) = Φν (f , λ) = f (x)uν (x, λ) dx, ν = 1, 2, . . . , 2n.

(24)

a

Пусть теперь f = f (x) — произвольная функция из L2 (a, b); выберем числа αm , βm , такие, что a < αm < βm < b и αm → a, βm → b при m → ∞. Положим  f (x) при x ∈ [αm , βm ], fm (x) = 0 при x ∈ [αm , βm ]; тогда fn ∈ H и fm → f в смысле нормы в L2 (a, b). Функциям fm при нашем изометрическом соответствии Φ → f отвечают вектор-функции m m Φm (λ) = {Φm 1 (λ), Φ2 (λ), . . . , Φ2n (λ)},

где

Φm ν (λ)

βm

= Φν (fm , λ) =

f (x)uν (x, λ) dx.

(25)

αm

В силу изометрии соответствия Φ → f сходимость в пространстве H последовательности fm влечет за собой сходимость в смысле нормы в L2σ последовательности Φm (λ) к некоторому элементу

256

Гл. VI. Спектральный анализ дифференциальных операторов

Φ(λ) = {Φ1 (λ), Φ2 (λ), . . . , Φ2n (λ)} пространства L2σ . Ввиду формулы (25) естественно положить b

Φν (λ) = Φν (f , λ) = f (x)uν (x, λ) dx, ν = 1, 2, . . . , 2n,

(26)

a

так что сходимость интегралов (26) следует понимать в смысле нормы в L2σ . Тем самым доказано утверждение теоремы относительно формулы (17). Но из этого утверждения следует, что при f , g ∈ H, ϕν (λ) = Φν (f , λ) и ψν (λ) = Φν (g , λ) имеет место формула (обобщенное равенство Парсеваля)

b

∞ 

f (x)g (x) dx =

2n

ϕj (λ)ψk (λ) dσjk (λ).

(27)

−∞ j , k=1

a

При g = f из нее получается формула (19). Докажем теперь, что наше изометрическое отображение Φ → f фактически задается формулой (18); тем самым утверждение теоремы будет полностью доказано. Для этой цели положим в (27)  1 при x ∈ (α, β], g (x) = a < α < β < b; (28) 0 при x ∈ (α, β], тогда

β 

b

ψk (λ) = g (x)uk (x, λ) dx = uk (x, λ) dx, a

α

и формула (27) примет вид

β

∞ 

f (x) dx =

2n

β ϕj (λ)

−∞ j , k=1

α

 uk (x, λ) dx dσjk (λ).

α

Пусть сначала функции ϕj (λ) непрерывны и равны нулю вне некоторого конечного интервала; тогда в правой части последнего равенства можно изменить порядок интегрирования, ибо интеграл по dσjk (λ) фактически распространен только на конечный интервал. Таким образом, ∞ β β  2n f (x) dx = dx ϕj (λ)uk (x, λ) dσjk (λ), α

α

−∞ j , k=1

§ 21. Разложение по собственным функциям

257

и так как интервал [α, β] произволен, то ∞ 

f (x) =

2n

ϕj (λ)uk (x, λ) dσjk (λ)

−∞ j , k=1

для почти всех значений x ∈ (a, b). Если теперь ϕ(λ) = {ϕ1 (λ), ϕ2 (λ), . . . , ϕ2n (λ)} — произвольный элемент из L2σ , то существует последовательность вектор-функций m m ϕm (λ) = {ϕm 1 (λ), ϕ2 (λ), . . . , ϕ2n (λ)}, непрерывных и равных нулю вне конечного интервала, которая сходится к ϕ(λ) в смысле нормы в L2σ . Наше изометрическое соответствие ϕ → f переводит ее в последовательность ∞  2n fm (x) = ϕm (29) j (λ)uk (x, λ) dσjk (λ), −∞ j , k=1

сходящуюся в смысле нормы в L2 (a, b) к функции f (x), соответствующей функции ϕ(λ). Итак, правая часть (29) сходится в L2 (a, b) при m → ∞; ее предел есть по определению интеграл ∞ 

2n

ϕj (λ)uk (x, λ) dσjk (λ),

−∞ j , k=1

сходящийся в смысле нормы в L2 (a, b). Поэтому, переходя в (29) к пределу при m → ∞, найдем, что ∞ 

f (x) =

2n

ϕj (λ)uk (x, λ) dσjk (λ),

−∞ j , k=1

чем и завершается доказательство теоремы. Функция σ(λ), удовлетворяющая условиям теоремы 2, называется спектральной функцией распределения оператора Lu . С л е д с т в и е 1. Кратность спектра оператора L не превосходит 2n. Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, оператор L имеет несобственный порождающий базис g1, Δ , g2, Δ , . . ., g2n, Δ . С л е д с т в и е 2. Пусть L0 , Lu , σ(λ) = (σjk (λ)), uk (x, λ) те же, что и в теореме 2. Тогда: а). Спектральная функция Pλ оператора L определяется по формуле λ 2n Pλ f (x) = ϕj (λ)uk (x, λ) dσjk (λ), (30) −∞ j , k=1

9 Наймарк М. А.

Гл. VI. Спектральный анализ дифференциальных операторов

258

и для любого конечного интервала Δ оператор PΔ есть интегральный оператор с ядром  2n P (x, ξ , Δ) = uk (x, λ)uj (ξ , λ) dσjk (λ). (31) Δ j , k=1

б). Для резольвенты (Lu − μ1)−1 оператора Lu и ее ядра G(x, ξ , μ) имеют место интегральные представления: ∞  2n ϕj (λ) −1 (Lu − μ1) f (x) = uk (x, λ) dσjk (λ), (32)

G(x, ξ , μ) =

−∞ j , k=1 ∞  2n −∞ j , k=1 ∞  2n

b

λ−μ

uk (x, λ)uj (ξ , λ) dσjk (λ), λ−μ

uk (x, λ)uj (y , λ)

G(x, ξ , μ)G(ξ , y , μ) dξ =

−∞ j , k=1

a

|λ − μ|2

dσjk (λ),

(33)

(34)

Jμ = 0.

При этом интеграл в (32) сходится равномерно относительно x в каждом конечном интервале [α, β] ⊂ (a, b); интеграл в (33) сходится в смысле нормы в L2 (a, b) относительно каждого из переменных x, ξ при фиксированном втором переменном; интеграл в (34) сходится равномерно по совокупности обеих переменных x, y в каждом конечном квадрате α  x, y  β , [α, β] ⊂ (a, b). Д о к а з а т е л ь с т в о. Изометрическое отображение ϕ → f , построенное при доказательстве теоремы 2, переводит оператор Λσ в оператор L. Но оператор Λσ есть оператор умножения на λ, и потому для его спектральной функции и его резольвенты имеем  ϕj (λ) при λ < λ0 , Pλ0 ϕj (λ) = 0 при λ  λ0  и ϕ1 (λ) ϕ (λ) (Λσ − μ1)−1 {ϕ1 (λ), . . . , ϕ2n (λ)} = , . . . , 2n . λ−μ

λ−μ

Из этих формул непосредственно получаются формулы (30) и (32). Из формулы (30) заключаем, что

PΔ f (x) =

 2n

ϕj (λ)uk (x, λ) dσjk (λ) =

Δ j , k=1

=

 2n b Δ j , k=1 a

 f (ξ)uj (ξ , λ) dξ uk (x, λ) dσjk (λ), (35)

§ 21. Разложение по собственным функциям

ибо

259

b

ϕj (λ) = f (ξ)uj (ξ , λ) dξ. a

Пусть функция f (x) обращается в нуль вне конечного интервала [α, β] ⊂ (a, b). Тогда в (35) можно изменить порядок интегрирования, так что  b   2n PΔ f (x) = uk (x, λ)uj (ξ , λ) dσjk (λ) f (ξ) dξ. a

Δ j , k=1

Тем самым доказана формула (31). Для доказательства формулы (33) заметим (см. § 19), что при любом фиксированном значении x ядро G(x, ξ , μ), рассматриваемое как функция от ξ , принадлежит L2 (a, b). Применяя теорему 2 к этой функции, заключаем, что ∞  2n G(x, ξ , μ) = ψj (x, λ, μ)uk (ξ , λ) dσjk (λ), (36) −∞ j , k=1

где

b

ψj (x, λ, μ) = G(x, ξ , μ)uj (ξ , λ) dξ , a

и потому для любой функции f (ξ) ∈ L2 (a, b)

b

∞ 

G(x, ξ , μ)f (ξ) dξ =

2n

ϕj (λ)ψk (x, λ, μ) dσjk (λ).

(37)

−∞ j , k=1

a

С другой стороны, по определению ядра резольвенты, b

G(x, ξ , μ)f (ξ) dξ = (Lu − μ1)−1 f (x),

a

так что формула (32) дает

b

∞ 

G(x, ξ , μ)f (ξ) dξ = a

2n

ϕj (λ)

−∞ j , k=1

uk (x, λ) dσjk (λ). λ−μ

Сравнение этой формулы с (37) показывает, что

ψk (x, λ, μ) =

uk (x, λ) ; λ−μ

подстановка этого выражения в (36) приводит к подлежавшей доказательству формуле (33). 9*

Гл. VI. Спектральный анализ дифференциальных операторов

260

Применим теперь обобщенное равенство Парсеваля (см. (27)) к функциям f (ξ) = G(x, ξ , μ), g (ξ) = G(y , ξ , μ); тогда uk (x, λ) , λ−μ u (y , λ) ψk (λ) = Φk (g , λ) = k , λ−μ

ϕk (λ) = Φk (f , λ) =

и обобщенное равенство Парсеваля дает

b

∞ 

2n uj (x, λ)uk (y , λ)

G(x, ξ , μ)G(y , ξ , μ) dξ =

−∞ j , k=1

a

|λ − μ|2

dσjk (λ).

(38)

Левая часть этого равенства есть ядро оператора

Rμ (Rμ )∗ = Rμ Rμ , ибо резольвента Rμ самосопряженного оператора Lu удовлетворяет соотношению (Rμ )∗ = Rμ (см. п. 5 § 12). Таким образом, левая часть формулы (38) равна b

G(x, ξ , μ)G(ξ , y , μ) dξ ; a

следовательно, эта формула совпадает с формулой (34). При y = x формула (38) принимает вид

b

∞ 

|G(x, ξ , μ)| dξ = 2

2n uj (x, λ)uk (x, λ)

−∞ j , k=1

a

|λ − μ|2

dσjk (λ).

(39)

Докажем теперь равномерную сходимость интеграла в (32). На основании неравенства Коши–Буняковского и формулы (39)

 N 2 2 2n   ϕj (λ)  u (x, λ) dσjk (λ)   λ−μ k N1 j , k=1 N 2



2n

N 2

ϕj (λ)ϕk (λ) dσjk (λ)

N1 j , k=1

2n uj (x, λ)uk (x, λ)

N1 j , k=1 N 2

=

2n

N1 j , k=1

|λ − μ|2

dσjk (λ) =

b ϕj (λ)ϕk (λ) dσjk (λ) |G(x, ξ , μ)|2 dξ. a

§ 21. Разложение по собственным функциям

261

Второй множитель есть непрерывная функция от x в интервале (a, b) и потому ограничен в каждом конечном интервале [α, β] ⊂ (a, b); первый множитель стремится к нулю при N1 , N2 → +∞ и N1 , N2 → −∞, ибо f ∈ L2 (a, b), следовательно, ϕ ∈ L2σ , и потому интеграл ∞ 

2n

ϕj (λ)ϕk (λ) dσjk (λ)

−∞ j , k=1

сходится. Отсюда непосредственно следует наше утверждение относительно интеграла в формуле (32). Утверждение относительно интеграла в формуле (33) очевидно. Для доказательства равномерной сходимости интеграла в формуле (34) заметим, что для любого интервала Δ

 2n uj (x, λ)uk (x, λ) |λ − μ|2

Δ j , k=1

Кроме того, функция

b

b dσjk (λ)  |G(x, ξ , μ)|2 dξ. a

|G(x, ξ , λ)|2 dξ непрерывна в интервале a < x
0. Из формулы (42) заключаем, что 1*

+ K(x, x, μ) − K(x, x + h, μ) − K(x + h, x, μ) + K(x + h, x + h, μ) =

2

h

∞ 

=τ

2n [uk (x + h, λ) − uk (x, λ)][uj (x + h, λ) − uj (x, λ)]

|λ − μ|2 h2

−∞ j , k=1

τ

dσjk (λ) 

 2n [uk (x + h, λ) − uk (x, λ)][uj (x + h, λ) − uj (x, λ)] |λ − μ|2 h2

Δ j , k=1

dσjk (λ),

где Δ — произвольный конечный интервал. Переходя в этом неравенстве к пределу сначала при h → 0, а затем при Δ → (−∞, ∞), получим ∞ 

K11 (x, x, μ)  τ

2n uk (x, λ)uj (x, λ)

−∞ j , k=1

|λ − μ|2 ∞ 

=τ

dσjk (λ) =

2n u[k1] (x, λ)u[j1] (x, λ)

−∞ j , k=1

|λ − μ|2

dσjk (λ), (43)

ибо производные первого порядка совпадают с квазипроизводными. На основании неравенства Коши–Буняковского отсюда заключаем, что при ν = 0 и ν = 1

 N 2 2 2n   u[k1] (x, λ)u[ν] j (y , λ)  dσjk (λ)  2  |λ − μ| N1 j , k=1

N 2



2n u[k1] (x, λ)u[j1] (x, λ)

N1 j , k=1

|λ − μ|2

N 2

dσjk (λ)

2n [ν] u[ν] k (y , λ)uj (y , λ)

N1 j , k=1

|λ − μ|2

dσjk (λ) 

264

Гл. VI. Спектральный анализ дифференциальных операторов N 2

1  K11 (x, x, μ) τ

2n [ν] [ν] uk (y , λ)uj (y , λ)

N1 j , k=1

dσjk (λ).

|λ − μ|2

Но функция K11 (x, x, μ) непрерывна, а потому ограничена в интервале [α, β]; кроме того, в силу (39) и (43) при ν = 0 и ν = 1 интеграл ∞ 

2n [ν] u[ν] k (y , λ)uj (y , λ)

|λ − μ|2

−∞ j , k=1

dσjk (λ)

сходится. Поэтому из последнего неравенства вытекает, что при ν = 0, ν = 1 и фиксированном y интеграл ∞ 

2n u[k1] (x, λ)u[ν] j (y , λ)

|λ − μ|2

−∞ j , k=1

dσjk (λ)

сходится равномерно относительно x в интервале [α, β]. Но в таком случае равенство (42) можно дифференцировать по x под знаком интеграла, так что ∞ 

K10 (x, ξ , μ) = τ

2n u[k1] (x, λ)uj (ξ , λ)

−∞ j , k=1

|λ − μ|2

dσjk (λ).

Повторяя эти рассуждения, мы убеждаемся в справедливости равенства ∞  2n [ν] [q] uk (x, λ)uj (ξ , λ) Kνq (x, ξ , μ) = τ dσjk (λ) (44) 2 −∞ j , k=1

|λ − μ|

при ν , q = 0, 1. В частности, при ν = 0, 1 ∞ 

Kνν (x, x, μ) = τ

2n [ν] [ν] uk (x, λ)uj (x, λ)

−∞ j , k=1

|λ − μ|2

dσjk (λ).

На основании теоремы Дини этот последний интеграл сходится равномерно; но тогда, пользуясь неравенством Коши–Буняковского, легко убедиться в равномерной сходимости интеграла в (44) в квадрате α  x, ξ  β . Применяя предыдущий прием к равенству (44) при ν , q = 0, 1, мы убеждаемся в его справедливости и при ν , q = 0, 1, 2. Повторяя это рассуждение, мы докажем равенство (44) при ν , q = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Дальнейшие рассуждения следует несколько видоизменить, ибо квазипроизводные при ν > n или q > n не совпадают с производными.

§ 21. Разложение по собственным функциям

265

Так, например, для получения формулы (44) при ν = n и q = n умножим на [p0 (x)]2 обе части неравенства



∂ 2 Kn−1, n−1    ∂x ∂ξ ξ=x

∞ 

τ

2n

−∞ j , k=1

1 d d [n−1] [n−1] [uk (x, λ)] [uj (x, λ)] dσjk (λ), dx |λ − μ|2 dx

которое получается из (44) при ν = 1 = n − 1 так же, как неравенство (43) получается из (42) Мы получим тогда неравенство ∞ 

2n [n] [n] uk (x, λ)uj (x, λ)

Knn (x, x)  τ

−∞ j , k=1

|λ − μ|2

dσjk (λ),

к которому снова можно применить предыдущие рассуждения, ибо функция Knn (x, x) непрерывна. Следовательно, можно доказать равномерную сходимость интеграла в (44) при ν , q  n и одном фиксированном переменном, из которой уже следует само равенство (44) при ν , q  n. Действительно, положим, например, ∞ 

S(x, ξ , μ) = τ

2n [n] [n−1] uk (x, λ)uj (ξ , λ)

−∞ j , k=1

|λ − μ|2

dσjk (λ),

1 и проинтегрируем по x p0 (x) 1 в некотором конечном интервале Δ ⊂ [a, b]. Так как функция p0 (x)

умножим обе части этого равенства на

суммируема в Δ, то интегрирование можно произвести под знаком равномерно сходящегося интеграла 1) по dσjk (λ). Учитывая при этом формулу (44), для ν = n − 1, q = n − 1 мы получим 1)

Мы пользуемся здесь следующим предложением. Если интеграл ∞ 

f (x, λ) dσ(λ) ∞

сходится равномерно относительно x в интервале [α, β], а функция g (x) суммируема в этом интервале, то β

 ∞

g (x) α

−∞

∞  β   f (x, λ) dσ(λ) dx = g (x)f (x, λ) dx dσ(λ). −∞ α

266

 Δ

Гл. VI. Спектральный анализ дифференциальных операторов

1 S(x, ξ , μ) dx = p0 (x) ∞ 

=τ

2n

−∞ j , k=1

1 [n−1] [n−1] Δuk (x, λ)uj (ξ , λ) dσjk (λ) = |λ − μ|2

= τ ΔKn−1, n−1 (x, ξ , μ), [n−1]

где Δuk (x, λ), ΔKn−1, n−1 (x, ξ , μ) — приращения по x в интервале (n−1) Δ функций uk ·Kn−1, n−1 . Отсюда 1 ∂Kn−1, n−1 S(x, ξ , μ) = τ ; p0 (x) ∂x

следовательно,

S(x, ξ , μ) = τ Kn, n−1 (x, ξ , μ).

Тем самым формула (44) доказана при ν = n, q = n − 1. Аналогично она доказывается при ν  2n − 1, q  2n − 1. З а м е ч а н и е. Если спектр оператора L дискретен, то функция распределения σ(λ) является ступенчатой, имеющей счетное число скачков в точках λ1 , λ2 , λ3 , . . . , являющихся всевозможными собственными значениями этого оператора. Формулы (18) и (17) примут тогда вид

f (x) =

2n ∞

[σj , k (λν ) − σjk (λν − 0)]uk (x, λν )ϕj (λν ),

(45)

ν=1 j , k=1

где

b

ϕj (λν ) = f (x)uj (x, λν ) dx. a

С другой стороны, из формулы (30) заключаем, что

(Pλν − Pλν −0 )f (x) =

2n

[σ − jk(λν ) − σjk (λν − 0)]uk (x, λν )ϕj (λν )

j , k=1

Чтобы в этом убедиться, выберем интервал Δ = (N1 , N2 ) так, что      f (x, λ) dσ(λ) < ε при α  x  β. Δ

Тогда

β β       g (x) f (x, λ) dσ(λ) dx < ε |g (x)| dx. α

Δ

α

§ 21. Разложение по собственным функциям

267

есть собственная функция, отвечающая собственному значению λν . Но при фиксированном ν числа ϕj (λν ) могут быть совершенно произвольными; поэтому функции

ωjν (x) =

2n [σjk (λν ) − σjk (λν − 0)]uk (x, λν )

k=1

являются также собственными функциями, отвечающими собственному значению λν . Формула (45) принимает вид

f (x) =

2n ∞

ϕj (λν )ϕjν (x),

ν=1 j=1

и, следовательно, представляет собой разложение функции f (x) в ряд по собственным функциям оператора L, сходящийся в смысле нормы в L2 (a, b). Таким образом, формула (18) представляет собой обобщение такого разложения для случая непрерывного спектра. Подобно тому как разложение в ряд по собственным функциям можно рассматривать как обобщение разложения в ряд Фурье, формулу (18) можно рассматривать как обобщенные разложения в интеграл Фурье. Таким образом, взаимно обратные формулы (17) и (18) являются обобщением взаимно обратных интегральных преобразований Фурье. A). Б. М. Левитан (см. Левитан [2] и [3]) предложил элементарное доказательство 1) существования функции σ(λ), осуществляющей взаимно обратные отображения (17) и (18). Приведем это доказательство. Для простоты рассуждения дополнительно предположим, что функции p0 (x), p1 (x), . . ., pn (x) достаточное число раз непрерывно дифференцируемы в интервале (a, b). Решения uj (x, λ) уравнения l(y) = λy выберем теперь так, что  1 при j = k, (k−1) uj (x0 , λ) = j , k = 1, 2, . . . , 2n. (46) 0 при j = k, Пусть функция f (x) имеет непрерывные производные до (2n)-го порядка включительно и обращается в нуль вне некоторого конечного интервала [α, β] ⊂ (a, b). Рассмотрим оператор L1 в интервале [α, β], определенный данным дифференциальным выражением l(y) и какими-нибудь самосопряженными краевыми условиями на концах этого интервала. Оператор L1 регулярен. Пусть {ym (x)} — полная о р т о н о р м а л ь н а я система собственных функций, а λ1 , λ2 , . . . — соответствующее собственные 1) По поводу обобщения этого доказательства на операторы в пространстве (бесконечномерных) вектор-функций см. Рофе-Бекетов [1].

Гл. VI. Спектральный анализ дифференциальных операторов

268

значения оператора L1 . Эти функции являются линейными комбинациями функций uj (x, λ), так что можно положить

ym (x) =

2n

(m)

αi

ui (x, λm ).

(47)

i=1

В силу равенства Парсеваля, доказанного для регулярных операторов в п. 2 § 5,

b

β 2 ∞     f (x)ym (x) dx = |f (x)| dx = |f (x)| dx = + .  

β

2

2

a

|λm |μ

m=1 α

α

|λm |>μ

Но согласно формуле Лагранжа

β

1 f (x)ym (x) dx = λm

α

β

1 f (x)L1 ym dx = λm

α

β l(f )ym dx, α

и потому β β 2 2 β     1 1  f (x)ym (x) dx   l(f )ym (x) dx  |l(f )|2 dx.     μ2 μ2 |λm |>μ α |λm |>μ α α (48) Следовательно, эта сумма стремится к нулю при μ → ∞. Подставляя, далее, вместо функции ym (x) ее выражение из (47), получим β 2    f (x)ym (x) dx =  

λm |μ α

=



2n

(m) (m) αj αk

|λm |μ j , k=1

β

β f (x)uj (x, λm ) dx f (x)uk (x, λm ) dx =

α

=

μ 2n

α

ϕj (λ)ϕk (λ) dσjk (λ; α, β), (49)

−μ j , k=1

где обозначено

σjk (λ; α, β) =

⎧ ⎪ − ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

0λm >λ



0 0.

αj αj

(50)

При фиксированном μ вариации функций σjk (λ; α, β) ограничены в интервале (−μ, μ) равномерно относительно α, β .

§ 21. Разложение по собственным функциям

269

Для доказательства рассмотрим функции vj (x, h), имеющие непрерывные производные до (2n)-го порядка включительно, равные нулю вне интервала (x0 , x0 + h) и такие, что x0+h

vj (x, h)  0,

vj (x, h) dx = 1.

(51)

x0 (k−1)

Применяя к функциям vk руя по частям, получим x0+h

(k−1) {vk (x,

(x, h) равенство Парсеваля и интегри-

2 ∞  x0+h   (k−1)   = h)} dx = v (x , h)y (x) dx m k   2

m=1

x0

x0

2 ∞  x0+h   (k−1)  = vk (x, h)ym (x) dx . (52)  m=1

x0

С другой стороны, из (46), (51) и непрерывности функций λ), j , k = 1, 2, . . ., 2n, легко следует, что при достаточно малом h (k) uj (x,

3 > 2

x0+h

(k−1)

vk (x, h)uk

1

(x, λm ) dx > √ , 2

x0

 x0+h    1 (k−1)  vk (x, h)uj (x, λm ) dx <  8n(2n − 1)

при

j = k.

x0

Тогда x0 +h  x0+h 2  2    2n (m)   (k− 1 ) (k−1)     = v (x , h)y (x) dx = α v (x , h)u (x , λ ) dx m k m j j k     j=1

x0

x0

 x0+h 2 2n  (m) 2  (k−1) = |αj |  vk (x, h)uj (x, λm ) dx + j=1

+ 2R

x0



(m) (m) αj αi

j>i

x0+h

(k−1)

vk (x, h)uj

(x, λm ) dx ×

x0 x0+h

×

(k−1)

vk (x, h)ui x0

(x, λm ) dx >

Гл. VI. Спектральный анализ дифференциальных операторов

270

>

(m) (m) 1 (m) 2 3 |αk | − 2 |αj ||αi |  2 16n(2n − 1) j>i

 ибо 2



1 (m) 2 3 |α | − 2 k 16n

(m)

|αj

(m)

||αi

2n

(m) 2

|αj

| ,

j=1

|  (2n − 1)

j>i

2n

(m) 2

|αj

| .

j=1

Отсюда и из (52) заключаем, что x0+h

(k−1)

{vk

(x, h)}2 dx 

1 2

x0



(m)

|αk |2 −

|λm |μ

3 16n

2n

(m) 2

|αj

| .

|λm |μ j=1

Полагая здесь k = 1, 2, . . ., 2n и суммируя полученные неравенства, найдем, что x +h 2n 0 (k−1) {vk (x, h)}2 dx  k=1 x 0



2n 2n 2n 2n 1 3 (m) 2 1 (m) (m) |αk |2 − |αj | = |αk |2 . 2 16n 8

k=1 |λm |μ

k=1 |λm |μ j=1

k=1 |λm |μ

Следовательно, 2n

(m) |αk |2

k=1 |λm |μ

2n x0+h (k−1) 8 {vk (x, h)}2 dx.

k=1 x 0

В последнем неравенстве правая часть не зависит от α и β . Следовательно, наше утверждение доказано для функций σii (λ; α, β); для σjk (λ; α, β) оно теперь вытекает из неравенства Коши–Буняковского. Пользуясь первой теоремой Хелли (см. Смирнов [1, гл. I, п. 12] или Натансон [1, гл. VIII]), легко установить, что для некоторой последовательности значений α, β , удовлетворяющей условию α → a, β → b, существует предельная матричная функция σjk (λ) = lim σjk (λ; α, β). Переходя в (49) к пределу, пользуясь оценкой (52) и применяя вторую теорему Хелли, мы заключаем, что

b |f (x)| dx = 2

a

∞  2n j , k=1 −∞

ϕj (λ)ϕk (λ) dσjk (λ).

§ 21. Разложение по собственным функциям

271

При помощи этой формулы легко показать, что равенство (17) осуществляет изометрическое отображение L2 (a, b) в L2σ , а равенство (18) — обратное изометрическое отображение. Отметим, что это доказательство выясняет смысл спектральной функции распределения σ(λ) = (σjk (λ)). Действительно, как видно из формул (49) и (50), функция (σjk (λ; α, β)), а потому и (σjk (λ)) осуществляет нормировку функций uj (x, λ), вообще говоря, не нормированных. Вопрос о том, можно ли приемом, описанным в этом доказательстве, получить все спектральные функции распределения σ(λ), отвечающие всевозможным самосопряженным расширениям Lu оператора L0 (включая расширения с выходом из L2 (a, b)), а также вопрос о том, как этим приемом получить спектральную функцию распределения, отвечающую д а н н о м у расширению Lu , изучались С. А. Орловым (см. Орлов [2, 3]). Б). Отметим, что со времени первого издания настоящей книги техника вывода формул обращения для различных конкретных операторов значительно развилась. Остановимся на этом несколько более подробно. Зададимся вопросом о том, что существенно нового в конкретном случае оператора Lu добавляет теорема 2 § 21 (теорема о формулах обращения) к теореме 2 п. 6 § 20 (теореме об общей канонической форме самосопряженного оператора с n-кратным спектром). Как не трудно видеть, ответ на этот вопрос состоит в следующем. В теореме о формулах обращения указано конкретное аналитическое выражение для изометрического отображения пространства L2 (a, b) на пространство L2σ , при котором рассматриваемый оператор Lu переходит в оператор Λσ . Это отображение задается посредством формул (17). Присматриваясь к формулам (17), легко уяснить, в чем заключается трудность построения формул обращения в рамках общей абстрактной теории гильбертова пространства. Действительно, формулы (17) содержат решения uj (x, λ) уравнения l(y) = λy , которые, вообще говоря, не только не принадлежат области определения DLu оператора L, но и не обязаны быть элементами гильбертова пространства L2 (a, b). Например, если Lu — самосопряженный оператор, порождаемый в пространстве L2 (−∞, ∞) дифференциальным выражением l(y) = iy  , то u(x, λ) = eiλx ∈ L2 (−∞, ∞) для всех λ. Решающее значение для преодоления указанной здесь трудности имела работа И. М. Гельфанда и А. Г. Костюченко (см. Гельфанд и Костюченко [1]). Их метод, так называемый метод оснащения гильбертова пространства, в общих чертах заключается в следующем. В гильбертовом пространстве H выбирается некоторое л и н е йн о е п л о т н о е подмножество Φ. В подмножество Φ вводится новое определение понятия предела так, чтобы из сходимости в Φ вытекала сходимость в смысле нормы H и чтобы пространство Φ было полным. Обозначим через Φ пространство всех линейных непрерывных функционалов пространства Φ. Так как Φ ⊂ H , то с точностью

272

Гл. VI. Спектральный анализ дифференциальных операторов

до изоморфизма имеет место включение H ⊂ Φ (см. теорему об общем виде линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве п. 2 § 10). Таким образом,

Φ ⊂ H ⊂ Φ ;

(∗)

здесь включения носят не только теоретико-множественный, но и топологический характер: сходимость в смысле Φ влечет сходимость по норме в H , а из сходимости в H вытекает сходимость соответствующей последовательности функционалов из Φ в каждой точке Φ. Цепочка пространств Φ, H , Φ , обладающих указанными выше свойствами, называется оснащенным гильбертовым пространством. Пусть теперь A — самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве H с простым спектром (ради простоты). Пусть Pλ — спектральная функция оператора A, g — какой-либо порождающий элемент, σ(λ) = (Pλ g , g ). Предположим сначала, что спектр A чисто дискретен и что λ1 , λ2 , . . . — все собственные значения этого оператора. Тогда, как нетрудно видеть, для каждого λ существует (в смысле нормы λ) предел

uλ = dPλ g /dσ(λ) = lim (Pλ+Δλ − Pλ )g /[σ(λ + Δλ) − σ(λ)]. Δλ→0

При этом оказывается, что uλ = 0, если λ не принадлежит спектру, и что элементы uλ1 , uλ2 , . . . образуют полную систему собственных векторов оператора A. Кроме того, роль формул (17) могут выполнять соотношения ϕ(λ) = (f , uλ ), где круглые скобки обозначают скалярное произведение в H и f ∈ H . Предположим теперь, что существует точка λ0 спектра A, не являющаяся собственным значением этого оператора. Тогда при λ = λ0 производная dPλ g /dσ(λ) не существует в пространстве H . Однако если оснащение (∗) выполнено «надлежащим» образом, то эта производная существует в более широком пространстве Φ : dPλ g /dσ(λ) = uλ ∈ Φ . При этом оказывается, что uλ является «обобщенным собственным элементом» (точнее, собственным функционалом) оператора A в следующем смысле: uλ (Af ) = λuλ (f ) для всех f ∈ Φ (предполагается выполненным условие Φ ⊂ DA ). Теперь роль формул (17) может выполнять соотношение ϕ(λ) = uλ (f ), f ∈ Φ. В цитированной выше работе И. М. Гельфанд и А. Г. Костюченко доказали, что для каждого самосопряженного оператора A «надлежащее» оснащение может быть построено. При этом полученная система обобщенных собственных элементов uλ = dPλ /dσ(λ) оказывается полной и ортогональной в том смысле, что для каждого f ∈ Φ (напомним, что Φ плотно в H ) имеет место обобщенное равенство Парсеваля 

f 2 = |uλ (f )|2 dσ(λ).

( ∗ ∗)

Результат И. М. Гельфанда и А. Г. Костюченко стимулировал появление значительного количества работ, посвященных связанной с ним тематике. Отметим, что, в частности, весьма существенным является

§ 21. Разложение по собственным функциям

273

вопрос о том, насколько широким можно выбрать пространство Φ ⊂ ⊂ DA ⊂ H . Действительно, чем шире это пространство, тем у ´же пространство Φ , а следовательно, тем больше у нас сведений о природе обобщенных собственных элементов uλ . В этом направлении весьма важные результаты были получены Ю. М. Березанским и Г. И. Кацем (см. Березанский [1–3] и Кац [1–3]). Обстоятельное изложение вопросов, связанных с процедурой оснащения, читатель может найти в любой из следующих монографий: Березанский [4], Гельфанд и Шилов [1], Гельфанд и Виленкин [1], Морен [1]. Из других методов вывода формул обращения отметим еще осуществленный Б. М. Левитаном метод конечноразностной аппроксимации дифференциального выражения со сведением к линейным алгебраическим уравнениям, а также метод И. М. Гельфанда для уравнений с периодическими коэффициентами (см. приложения I и VIII к книге Титчмарш [1], а также Гельфанд [2]). Кроме того, отметим, что для самосопряженных операторов второго порядка формулы обращения могут быть выведены с помощью метода М. Рисса расширения позитивных функционалов, из построенной В. А. Марченко спектральной теории несамосопряженных операторов (см. Марченко [4], Рофе-Бекетов [1]). В заключение заметим, что можно построить формулы обращения, аналогичные формулам (17), (18), отвечающие самосопряженному расширению минимального симметрического оператора L0 с в ы х о д о м из пространства L2 (a, b) (см. п. 8а § 14). Однако в этом случае образ L2 (a, b) при соответствующем изометрическом отображении не плотен в L2σ . По этому поводу см. Штраус [2]. 3. Случай одного регулярного конца. Порождающий базис g1, Δ , g2, Δ , . . ., g2n, Δ , построенный при доказательстве теоремы 2, не является, вообще говоря, минимальным, и потому в некоторых случаях порядок матричной функции распределения может быть понижен 1). 1) Определение минимального порождающего базиса для различных классов дифференциальных операторов, а следовательно, и кратности их спектра в зависимости от свойств коэффициентов дифференциального выражения является одной из важнейших задач в теории дифференциальных операторов (см. предисловие, с. 9–10). Отметим некоторые результаты, связанные с этой задачей. И. С. Кац выяснил, как зависит кратность спектра дифференциального оператора второго порядка, действующего в пространстве L2 (a, b), от свойств спектральных функций дифференциальных операторов, порожденных в пространствах L2 (a, c) и L2 (c, b) тем же дифференциальным выражением, что и исходный оператор (c — произвольная внутренняя точка интервала (a, b)). А. В. Штраус изучал кратность спектра самосопряженного дифференциального оператора произвольного четного порядка 2n. Им получены условия, достаточные для того, чтобы кратность спектра была меньше чем 2n в случае двух сингулярных концов и меньше чем n в случае одного сингулярного конца (см. п. 2 § 21,

274

Гл. VI. Спектральный анализ дифференциальных операторов

Примером является тот случай, когда один из концов интервала (a, b), например x = a, регулярен. Рассмотрим сначала тот случай, когда индекс дефекта оператора L0 есть (n, n). Обозначим через D0 и D области определения операторов L0 и L∗0 = L соответственно. Всякое самосопряженное расширение Lu оператора L0 определяется краевыми условиями вида

[y , wk ]a = 0, k = 1, 2, . . . , n,

(53)

где w1 , w2 , . . ., wn — функции из D, линейно независимые по модулю D0 и удовлетворяющие соотношениям

[wj , wk ]a = 0, j , k = 1, 2, . . . , n

(54)

(см. п. 3 § 18). Обозначим через

u1 (x, λ), u2 (x, λ),

. . . , un (x, λ)

(55)

какие-нибудь линейно независимые решения уравнения l(y) = λy , являющиеся целыми аналитическими функциями параметра λ и удовлетворяющие условиям (53):

[uj , wk ]a = 0, j , k = 1, 2, . . . , n.

(56)

Пусть H обозначает совокупность всех функций f (x) из L2 (a, b), обращающихся в нуль вне некоторого конечного интервала [a, α], a < α < b (своего для каждой функции). При помощи функций uj (x, λ) построим в H функционалы, полагая при f ∈ H b

Φj (f , λ) = f (x)uj (x, λ) dx, j = 1, 2, . . . , n.

(57)

a

Докажем, что эти функционалы (несмотря на то, что их только n) удовлетворяют условиям 1◦ , 2◦ , 3◦ предложения I. Очевидно, нуждаются в доказательстве только свойства 2◦ и 3◦ . Итак, пусть f (x) = 0 вне интервала [a, α], a < α < b, и пусть b

Φj (f , λ) = f (x)uj (x, λ) dx = 0, j = 1, 2, . . . , n.

(58)

a

Обозначим через ϕ(x), a  x  α, решение уравнения

l(ϕ) − λϕ = f , a  x  α, следствие 1 и теорему 2 настоящего п.). При этом кратность спектра в промежутке [α, β] оценивается в предположении, что дифференциальное уравнение l(y) = λy имеет для всех λ ∈ [α, β] решения с определенным асимптотическим поведением вблизи сингулярных концов (см. Кац [3, 4] и Штраус [4]).

§ 21. Разложение по собственным функциям

275

удовлетворяющее условиям

ϕ[k] (α) = 0, k = 0, 1, 2, . . . , 2n − 1;

(59)

такое решение существует и притом только одно (см. п. 2 § 16). Докажем, что оно удовлетворяет условию (53). Применяя тождество Лагранжа, имеем b

0 = Φj (f , λ) = [l(ϕ) − λϕ]uj (x, λ) dx = a

b

b

= l(ϕ)uj (x, λ) dx − λ ϕ(x)uj (x, λ) dx = a

a

b

b

a

a

= ϕ(x)l(uj ) dx − λ ϕ(x)uj (x, λ) dx + [ϕ, uj ]α a = [ϕ, uj ]α , (60) ибо

l(uj ) = λuj и, в силу соотношений (59),

[ϕ, uj ]α = 0. С другой стороны, векторы [0]

[1]

[2n−1]

wk = {wk (a), wk (a), . . . , wk

(a)}, k = 1, 2, . . . , n,

являются полной линейно независимой системой решений уравнения (56). Поэтому из соотношений (60) заключаем, что вектор

ϕ = {ϕ[0] (a), ϕ[1] (a), . . . , ϕ[2n−1] (a)} есть линейная комбинация векторов wk . В силу (54) каждый из этих векторов, а потому и их линейная комбинация ϕ удовлетворяют условиям (53). Продолжая теперь функцию ϕ(x) за пределы интервала [a, α] при помощи условия ϕ(x) = 0 при α < x < b и учитывая соотношения (59), мы получим функцию ϕ(x) ∈ DLu . Следовательно, эта функция принадлежит H и есть решение уравнения

Lu ϕ − λϕ = f. Свойство 2◦ доказано.

276

Гл. VI. Спектральный анализ дифференциальных операторов

Для вывода свойства 3◦ применим снова тождество Лагранжа. При f ∈ DLu , f ∈ H b

b

Φj (Lu f , λ) = l(f )uj (x, λ) dx = −[f , uj ]a + f l(uj ) dx = a

a

b

= −[f , uj ]a + λ f uj dx = −[f , uj ]a + λΦj (f , λ). a

С другой стороны, формулы (54) и (56) показывают, что векторы [0]

[1]

uj = {uj (a), uj (a), . . . , u[2n−1] (a)} суть линейные комбинации векторов wk . Отсюда следует, что [f , uj ]a = = 0, j = 1, 2, . . ., n, ибо f ∈ DLu , и потому [f , wk ] = 0, k = 1, 2, . . ., n. Таким образом, Φj (Lu f , λ) = λΦj (f , λ), и свойство 3◦ также доказано. Все остальные рассуждения пп. 1 и 2 опираются только на эти три свойства. Вместо теоремы 2 мы получим тогда следующую теорему. Т е о р е м а 2 . Пусть конец x = a интервала (a, b) регулярен и пусть индекс дефекта оператора L0 есть (n, n). Пусть, далее, Lu — самосопряженное расширение оператора L0 , определенное краевыми условиями (53). Существует матричная функция распределения σ(λ) = (σjk (λ)), j , k = 1, 2, . . . , n, такая, что формулы b

ϕj (λ) = f (x)uj (x, λ) dx, j = 1, 2, . . . , n,

(61)

a

и

∞ 

f (x) =

n

ϕj (λ)uk (x, λ) dσjk (λ)

(62)

−∞ j , k=1

устанавливают взаимно обратные изометрические отображения L2 (a, b) на L2σ и L2σ на L2 (a, b) соответственно, переводящие друг в друга операторы Lu и Λσ . Следовательно, кратность спектра оператора Lu не превосходит n. При этом uj (x, λ), j = 1, 2, . . ., n, обозначает произвольную линейно независимую систему решений уравнения l(y) − λy = 0, являющихся целыми аналитическими функциями параметра λ и удовлетворяющих условиям (53). Очевидно, следствия 2 и 3 из теоремы 2 п. 2 полностью остаются 2n

заменить сумв силе, если только во всех формулах суммы j , k=1 n

и если под uk (x, λ), k = 1, 2, . . ., n, понимать линейно мами j , k=1

§ 21. Разложение по собственным функциям

277

независимую систему решений уравнения l(y) = λy , являющихся целыми аналитическими функциями параметра λ и удовлетворяющих условиям (53). Наиболее просто формулируется эта теорема в случае дифференциального оператора L0 с индексом дефекта (1, 1), порожденного дифференциальным выражением второго порядка:   d dy l(y) = − p + qy. dx

dx

Всякое самосопряженное расширение оператора L0 определяется тогда краевым условием вида

py  − θy|x=a = 0,

(63)

где θ — произвольное вещественное число (см. п. 3 § 18); обозначим через Lθ расширение, отвечающее данному θ . Пусть u1 , u2 — два решения уравнения l(y) − λy = 0, удовлетворяющие начальным условиям:

u1 |x=0 = 1, pu1 |x=0 = 0, u2 |x=0 = 0, pu2 |x=0 = 1. Тогда функция

u(x, λ) = u1 (x, λ) + θu2 (x, λ)

есть решение уравнения l(y) − λy = 0, удовлетворяющее условию (63). В рассматриваемом случае n = 1, и потому функция распределения является числовой функцией σ(λ). Следовательно, формулы обращения (61) и (62) принимают вид b

ϕ(λ) = f (x)u(x, λ) dx,

(64)

a ∞ 

f (x) =

ϕ(λ)u(x, λ) dσ(λ).

(65)

−∞

Формулы (64) и (65) устанавливают взаимно обратные изометрические отображения L2 (a, b) на L2σ и L2σ на L2 (a, b) — переводящие друг в друга операторы Lθ и Λσ . При этом интегралы в формулах (64) и (65) сходятся в смысле нормы в L2σ и L2 (a, b) соответственно. Из этого предложения следует, что оператор Lθ имеет простой спектр. Мы рассмотрели случай оператора L0 с индексом дефекта (n, n). Пусть теперь его индекс дефекта есть (m, m), где m > n. Тогда условия (53) определяют замкнутое симметрическое (но уже несамосопряженное) расширение Lu оператора L0 , если только функции w1 , w2 , . . . , wn , кроме условий (54), удовлетворяют еще условиям

[wj , wk ]b = 0, j , k = 1, 2, . . . , n.

(66)

278

Гл. VI. Спектральный анализ дифференциальных операторов

Всякое самосопряженное расширение Lv оператора Lu есть, как легко видеть, расширение исходного оператора L0 , но, очевидно, уже не произвольное такое расширение. Обозначим через Pλ спектральную функцию оператора Lv ; все рассуждения пп. 2 и 3 остаются справедливыми в применении к этой спектральной функции. В частности, остаются верными теорема 2 и следствие из нее, если только в них заменить оператор Lu оператором Lv . Так как условия (53) оставляют еще произвол в выборе оператора Lv , то будет существовать не одна, а бесчисленное множество различных функций распределения σ(λ), для которых справедливы формулы (61) и (62), ибо они участвуют в интегральном представлении резольвент различных операторов Lv . Ниже мы увидим (см. п. 4), что в случае оператора L0 с индексом дефекта (n, n) этого уже быть не может, т. е. что для данных функций u1 (x, λ), . . . , un (x, λ) существует только одна функция распределения σ(λ). Описанный выше прием построения функций σ(λ) при помощи самосопряженных расширений Lv не дает описания всех функций σ(λ) при фиксированной системе u1 (x, λ), . . ., un (x, λ). Такое описание получается, если кроме расширений Lv рассмотреть более общие самосопряженные расширения оператора Lu с выходом за пределы исходного пространства L2 (a, b) (см. по этому поводу п. 8а § 14 и работы Наймарк [1–3], Крейн [3, 4] и Штраус [1, 2]). 4. Формулы для спектральной функции распределения. а). С л у ч а й о д н о г о р е г у л я р н о г о к о н ц а. Пусть для определенности конец a регулярен; рассмотрим сначала тот случай, когда индекс дефекта оператора L0 есть (n, n). Обозначим по-прежнему через Lu самосопряженное расширение оператора L0 , порожденное условиями (53), и пусть F (x, ξ , μ) — ядро резольвенты оператора Lu . При фиксированном ξ это ядро, рассматриваемое как функция от x, удовлетворяет краевым условиям (53) и потому при a  x  ξ есть линейная комбинация функций uk (x, μ):

G(x, ξ , μ) =

n

uk (x, μ)gk (ξ , μ) при x  ξ ;

(67а)

k=1

следовательно, в силу соотношения G(ξ , x, μ) = G(x, ξ , μ)

G(x, ξ , μ) =

n

gk (x, μ)uk (ξ , μ) при x  ξ.

(67б)

k=1

Очевидно, функции g + k(x, μ) также являются решениями уравнения l(y) = μy . При фиксированном x ядро G(x, ξ , μ), рассматриваемое как функция от ξ , принадлежит L2 (a, b); отсюда и из формулы (67а) легко заключаем (см. по этому поводу п. 2 § 19), что каждая из функций gk (ξ , μ) принадлежит L2 (a, b).

§ 21. Разложение по собственным функциям

279

Запишем теперь краевые условия (53) в виде 2n

αj , k y [k−1] (a) = 0, j = 1, 2, . . . , n,

(68)

k=1

так что числа αjk удовлетворяют условиям n (aj , ν αk, 2n−ν+1 − αj , 2n−ν+1 αk, ν ) = 0, j , k = 1, 2, . . . , n ν=1

(см. п. 3 § 18). Предположим для определенности, что

det(αk, 2n−ν+1 )k, ν=1, ..., n = 0.

(69)

Тогда уравнения (68) можно решить относительно y [n] (a), y [n+1] (a), . . . . . . , y [2n−1] (a), и следовательно, условия (68) можно переписать в виде

y [ν] (a) =

n

βνj y [j−1] (a), ν = n, n + 1, . . . , 2n − 1.

(70)

j=1

Очевидно, числа y [j−1] (a), j = 1, 2, . . ., n, могут быть при этом совершенно произвольными, если только выбрать числа y [ν] (a) по формулам (70). Подчиним теперь функции uj (x, λ), j = 1, 2, . . ., n, условиям  1 при j = ν , [ν−1] uj (a) = ν = 1, 2, . . . , n, (71) 0 при j = ν , так что

[ν]

uk (a) = βνk , ν = n, n + 1, . . . , 2n − 1,

(72)

и положим [ν−1]

Mνk (μ) = gk

(a, μ); ν , k = 1, 2, . . . , n.

Ясно, что Mνk (μ) — аналитические функции переменного μ, регулярные в каждой из полуплоскостей Jμ > 0, Jμ < 0. Матрица

M (μ) = (Mνk (μ)) называется характеристической матрицей оператора Lu . Из формулы (67а) заключаем, что

Gq−1, ν−1 (a − 0, a + 0, μ) = Mνq (μ), причем из (67б) и непрерывности на диагонали x = ξ квазипроизводных

Gj , ν (x, ξ , μ), j , ν = 0, 1, . . . , n − 1, функции G(x, ξ , μ) вытекает, что

Mνq (μ) = Mqν (μ), т. е. M (μ) = (M (ν))∗ .

(73)

Гл. VI. Спектральный анализ дифференциальных операторов

280

С другой стороны, согласно (44)

Gq−1, ν−1 (a − 0, a + 0, μ) − Gq−1, ν−1 (a − 0, a + 0, μ) = ∞ ∞   2n 1] uk[q−1] (a, λ)u[ν− (a, λ) dσνq (λ) j dσ (λ) = (μ − μ) , = (μ − μ) jk 2 2 |λ − μ|

−∞ j , k=1

−∞

поэтому

∞ 

Mνq (μ) − Mνq (μ) = (μ − μ) −∞

|λ − μ|

dσνq (λ) |λ − μ|2

или в силу (73) ∞ 

Mνq (μ) − Mqν (μ) = (μ − μ) −∞

dσνq (λ) . |λ − μ|2

(74)

Применяя к этому равенству формулу обращения Стилтьеса (см. добавление 2), мы приходим к следующему результату. Т е о р е м а 3. Функция распределения σ(λ) = (σjk (λ)) выражается через характеристическую матрицу M (μ) = (Mjk (μ)) по формуле 1) λ+δ  1 σ(λ) = lim lim JM (λ + iε) dλ, (75) δ→+0 ε→+0

π

δ

где

JM (μ) =

1 [M (μ) − (M (μ))∗ ]. 2i

Если теперь условие (69) не выполняется, то обозначим через q1 , q2 , . . . . . . , qn , q1 < q2 < . . . < qn , номера тех столбцов матрицы ⎛ ⎞ α1, 1 . . . α1, 2n ⎝ ............... ⎠, αn, 1 . . . αn, 2n для которых

1)

  α1, q1 . . . α1qn   ...............  α n, q1 . . . αnqn

    = 0.  

В подробной записи формула (75) имеет вид λ+δ  1 σjk (λ) = lim lim [Mjk (λ + iε) − Mkj (λ + iε)] dλ. δ→+0 ε→+0

2πi

δ

(76)

§ 21. Разложение по собственным функциям

Обозначим далее через ν1 , ν2 , . . ., дополняющие номера q1 , q2 , . . ., qn до uk (x, λ) условиям  1 [ν −1] uj k (a) = 0

281

νn , ν1 < ν2 < . . . < νn , номера, 1, 2, . . ., 2n, и подчиним функции при j = νk , при j =  νk .

Матрица M (μ) с элементами [νj −1]

Mjk (μ) = gk

(a, μ)

называется тогда характеристической матрицей оператора Lv , соответствующей системе индексов q1 , q2 , . . ., qn . Предыдущие рассуждения остаются применимыми и к этому случаю, так что и для этого случая теорема 3 остается справедливой. Из теоремы 3 заключаем, что в случае оператора L0 с индексом дефекта (n, n) функция распределения σ(λ) = (σjk (λ)) однозначно определяется при заданных функциях u1 (x, λ), u2 (x, λ), . . ., un (x, λ). Если теперь L0 — оператор с индексом дефекта (m, m), m > n, то предыдущие рассуждения остаются в силе, если под G(x, ξ , μ) понимать ядро резольвенты самосопряженного расширения Lv оператора Lu (см. с. 277). Различным таким расширениям будут отвечать различные характеристические матрицы M (μ), которые будут по-прежнему связаны с соответствующими функциями распределения формулой (75). Поясним еще эти формулы для случая оператора второго порядка (n = 1), определенного дифференциальным выражением   d dy l(y) = − p + qy , a < x < b, dx

dx

с регулярным концом x = a. Пусть индекс дефекта соответствующего оператора L0 есть (1, 1); его самосопряженные расширения Lθ определяются краевыми условиями: y [1] (a) − θy(a) = 0, θ = θ. Предположим, что θ конечно; тогда можно пронормировать решение u(x, λ) уравнения l(y) = λy , полагая значит,

u(a, λ) = 1,

(77a)

u[1] (a, λ) = θ.

(77б)

Очевидно, Lθ — вещественный оператор, и поэтому его резольвента есть оператор с симметрическим ядром; следовательно, в рассматриваемом случае $ u(x, μ) g (ξ , μ) при x  ξ , G(x, ξ , μ) = g (x, μ) u(ξ , μ) при x  ξ ,

282

Гл. VI. Спектральный анализ дифференциальных операторов

причем из соотношения

G10 (x, x + 0, μ) − G10 (x, x − 0, μ) = 1 следует, что

u[1] (x, μ) g (x, μ) − g [1] (x, μ) u(x, μ) = 1.

(78)

Роль характеристической матрицы играет характеристическая функция M (μ) = g (a, μ); (79) соотношение (73) перепишется в виде

M (μ) = M (μ).

(80)

Полагая в (78) x = a, найдем, что

θg (a, μ) − g [1] (a, μ) = 1.

(81)

Пусть v(x, λ) — решение уравнения l(y) = λy , удовлетворяющее условиям v(a, λ) = 0, v [1] (a, λ) = −1. (82) Тогда из (81) заключаем, что

θ[g (a, μ) − v(a, μ)] − [g [1] (a, μ) − v [1] (a, μ)] = 0; сравнение этого условия с (77а), (77б) показывает, что

g (x, μ) − v(x, μ) = [g (a, μ) − v(a, μ)]u(x, μ), следовательно, в силу (79) и (82)

g (x, μ) − v(x, μ) = M (μ)u(x, μ). Отсюда

g (x, μ) = v(x, μ) + M (μ)u(x, μ).

(83)

Таким образом, в случае оператора L0 с индексом дефекта (1, 1) характеристическая функция M (μ) единственным образом определяется начальными условиями (77а), (77б), (82) и дополнительным условием v(x, μ) + M (μ)u(x, μ) ∈ L2 (a, b). При этом формула (75) принимает вид 1 σ(λ) = lim lim δ→+0 ε→+0 π

λ+δ 

JM (λ + iε) dl.

(84)

δ

В случае же оператора L0 с индексом дефекта (2, 2) эти условия уже не будут однозначно определять характеристическую функцию M (μ) и таких функций будет существовать бесчисленное множество. При этом

§ 21. Разложение по собственным функциям

283

для соответствующих функций распределения σ(λ) по-прежнему остается справедливой формула (84). б). Ф о р м у л а д л я ф у н к ц и и р а с п р е д е л е н и я в о б щ е м с л у ч а е. Пусть теперь u1 (x, λ), u2 (x, λ), . . ., u2n (x, λ) — решения уравнения l(y) = λy , удовлетворяющие условиям  1 при k = ν , [ν−1] uk (c) = 0 при k = ν , k, ν = 1, 2, . . . , 2n, a < c < b. Обозначим через G(x, ξ , μ) ядро резольвенты самосопряженного расширения Lu оператора L0 ; матрица M (μ) с элементами

Mjk (μ) = Gj−1, k−1 (c − 0, c + 0, μ), j , k = 1, 2, . . . , 2n, называется характеристической матрицей оператора Lu , соответствующей данной системе u1 , . . ., u2n . Из свойства ядра G(x, ξ , μ) вытекает, что Mjk (μ) = Mjk (μ). Воспользуемся теперь следствием 3 из теоремы 2 п. 2. Полагая в формуле ∞ 

Gνq (x, ξ , μ) − Gνq (x, ξ , μ) = (μ − μ)

2n [ν] [q] uj (x, λ)uk (ξ , λ)

−∞ j , k=1

|λ − μ|2

dσjk (λ)

ξ = c + 0, x = c − 0, найдем, учитывая начальные условия, ∞  dσjk (λ) Mjk (μ) − Mjk (μ) = (μ − μ) . 2 −∞

|λ − μ|

Применяя формулу обращения Стилтьеса, приходим к следующему результату. Т е о р е м а 3 . Функция распределения σ(λ) = (σjk (λ)) выражается через характеристическую матрицу M (μ) = (Mjk (μ)) по формуле 1 σ(λ) = lim lim δ→+0 ε→+0 π

λ+δ 

JM (λ + iε) dλ, j , k = 1, 2, . . . , 2n. λ

Одной из интересных задач является изучение асимптотического поведения функции σ(λ) при больших значениях |λ|. Частным случаем этой задачи является изучение асимптотики дискретного спектра при больших значениях |λ| в зависимости от свойств коэффициентов дифференциального выражения. Для операторов второго порядка существенные результаты об асимптотическом поведении функции σ(λ) получены Б. М. Левитаном (см. Левитан [4]) и В. А. Марченко

284

Гл. VI. Спектральный анализ дифференциальных операторов

(см. Марченко [1]). См. также Милн [1] и Гэртман [10], где рассматривается асимптотика дискретного спектра. Более общей задачей (охватывающей как частный случай изучение асимптотики собственных функций дискретного спектра) является изучение асимптотического поведения спектрального ядра, т. е. ядра интегрального оператора PΔ (см. следствие 2а п. 2 § 21). Эта задача для операторов второго порядка изучалась Б. М. Левитаном, а затем В. А. Марченко, а для операторов произвольного четного порядка — А. Г. Костюченко. Полученные при этом результаты использовались для доказательства теорем о равносходимости, локальной сходимости, суммируемости и дифференцируемости разложений по собственным функциям. Так, Б. М. Левитан доказал, что разность между разложением по собственным функциям самосопряженного дифференциального оператора второго порядка и разложением в классический косинус-интеграл Фурье стремится равномерно к нулю в каждом конечном интервале изменения независимой переменной. По указанным здесь вопросам см. Хаар [1], Стоун [2], Титчмарш [1] (включая приложения к этой книге), Левитан [6], Марченко [2], Левитан и Саргсян [1], Саргсян [1], Костюченко [1, 2], Халилова [1], Рофе-Бекетов [5]. К задаче изучения асимптотики дискретного спектра примыкает вопрос, связанный с понятием следа оператора. Так как дифференциальные операторы не ограничены, то для них понятие следа в обычном смысле не имеет смысла. Однако в некоторых случаях разность двух таких операторов может оказаться оператором, имеющим конечный след. Кроме того, в некоторых случаях ряды, посредством которых можно формально выразить след, допускают регуляризацию, подобную регуляризации расходящихся несобственных интегралов методом Адамара. Эти, а также смежные вопросы изучались в работах: Дикий [1–3], Гельфанд [4], Гельфанд и Левитан [1], Гасымов [1], Гасымов и Левитан [2], Костюченко [2], Левитан [7], Лидский и Садовничий [1], Абдукадырев [1], Шевченко [1, 2]. Асимптотическое поведение собственных значений и спектральной функции распределения для задачи Штурма–Лиувилля в пространстве вектор-функций (со значениями в абстрактном гильбертовом пространстве) изучалось в работах: Рофе-Бекетов [1] и Костюченко и Левитан [1]. В последней работе рассмотрен случай, когда коэффициенты дифференциальных уравнений являются операторами, обратными к вполне непрерывным. 5. Примеры. 1). Т р и г о н о м е т р и ч е с к и е ф у н к ц и и. Рассмотрим дифференциальное выражение

l(y) = −y  , 0  x < ∞. Уравнение

−y  = iy

§ 21. Разложение по собственным функциям

285

имеет линейно независимые решения

y1 = e

1√ −i 2

x

,

1−i −√ x

y2 = e

2

,

из которых первое не принадлежит, а второе принадлежит L2 (0, ∞); следовательно, индекс дефекта соответствующего оператора L0 есть (1, 1). Его самосопряженные расширения Lu определяются граничными условиями вида y  (0) = θy(0). (85) Решение u(x, λ) уравнения

l(y) = λy , удовлетворяющее этому условию, имеет вид θ s

u(x, λ) = cos sx + √ sin sx, s =

√ λ;

(86)

для второго решения v(x, λ), удовлетворяющего условиям

v(0, λ) = 0, v  (0, λ) = −1, имеем

v(x, λ) = −

1 sin sx. s

(87)

Отсюда при Jμ > 0

    √ 1 θ 1 e−i μ x + v(x, μ) + M (μ)u(x, μ) = M (μ) − √ + √ 2 2i μ 2i μ     √ 1 θ 1 ei μ x . (88) + √ − √ + M (μ) 2

2i μ

2i μ

Так как функция v(x, β) + M (μ)u(x, β) должна принадлежать L2 (0, ∞), то должно быть   1 θ 1 M (μ) − √ + √ = 0, 2

√

2i μ

2i μ

√

ибо e−i μ x ∈ L2 (0, ∞), а ei μ x ∈ L2 (0, ∞). Таким образом, 1 M (μ) = √ , θ−i μ

откуда 1 σ(λ) = C + lim ε→+0 π

λ J 0

1 √ dx. θ = i λ + iε

(89)

(90)

286

Гл. VI. Спектральный анализ дифференциальных операторов

Из этой формулы заключаем, что если θ  0, то

σ(λ) = 0 при λ < 0,

(91)

√

λ σ  (λ) = π(λ + θ2 )

Если же θ < 0, то

σ  (λ) =

при λ  0.

(92)

√

λ π(λ + θ2 )

при

λ0

и в точке λ0 = −θ 2 функция σ(λ) имеет скачок

σ(λ0 + 0) − σ(λ0 ) = −2θ, оставаясь постоянной в каждом из интервалов (−∞, λ0 ), (λ0 , 0). Таким образом, формулы обращения имеют вид: а). При θ  0 ∞ 

Φ(λ) = 1 f (x) = π

∞ 

  √ √ θ f (x) cos( λ x) + √ sin( λ x) dx, λ

0

  √ √ √ λ θ Φ(λ) cos( λ x) + √ sin( λ x) dλ. 2 λ+θ

λ

0

При θ = 0 эти формулы представляют собой классические формулы обращения Фурье по косинусам. б). При θ < 0 ⎧ ∞    ⎪ √ √ ⎪ θ ⎪ ⎪ √ f (x) cos( λ x) + sin( λ x) dx для λ  0, ⎪ ⎪ λ ⎪ ⎪ ⎨ 0 ∞  Φ(λ) = θx ⎪ ⎪ для λ = −θ 2 , ⎪ f (x)e dx ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎩ 0 для λ < 0, λ = −θ 2 ,

f (x) = −2θΦ(−θ 2 )eθt + 1 + π

∞ 

0

  √ √ √ λ θ Φ(λ) cos( λ x) + √ sin( λ x) dλ. 2 λ

λ+θ

Если граничное условие, определяющее данное самосопряженное расширение, имеет вид y(0) = 0,

§ 21. Разложение по собственным функциям

287

то соответствующие формулы обращения мы получим, переходя к пределу при θ → ∞: ∞ √  sin( λ x) Φ(λ) = f (x) √ dx, 0

1 π

f (x) =

λ

∞ 

√ Φ(λ) sin( λ x) dλ;

0

они представляют классические формулы обращения Фурье по синусам. Соответствующее равенство Парсеваля имеет следующий вид: ∞ ∞   √ 1 |f (x)|2 dx = |Φ(λ)|2 λ dλ. (92a) π

0

0

2). Ф у н к ц и и Б е с с е л я. Рассмотрим теперь дифференциальное выражение 

l(y) = −y +

ν2 −

1 4

x2

y , ν  0.

(93)

Его естественно рассмотреть в каждом из следующих трех интервалов: α) 0 < x  1; один сингулярный конец x = 0; β ) 1  x < +∞; один сингулярный конец x = +∞; γ ) 0 < x < +∞; два сингулярных конца x = 0 и x = +∞. Общий интеграл уравнения

l(y) = λy

(94)

√ √ √ √ y(x, λ) = A x Iν (x λ) + B x Yν (x λ),

(95)

при λ = 0 имеет вид

где Iν (z), Yν (z) — функции Бесселя 1-го и 2-го рода √ соответственно. Мы будем считать, что Jλ > 0 и x > 0. Значение λ выберем так, что √ √ π 0 < arg λ < . Полагая z = t λ, мы будем тогда иметь 2

0 < arg z
0. 2◦ . Функции ckj (x) суммируемы в интервале [ 0, ∞). Докажем следующую лемму: Л е м м а 1. Пусть выполнены условия 1◦ и 2◦ и пусть кроме того,

α) wi (x) ≡ 0 при некотором i;

§ 22. Асимптотика при больших значениях аргумента

291

β ) при x, достаточно большом (x > x0 ), функции Rwj (x), j = i, не меняют знак. Тогда система (1) имеет решение, удовлетворяющее условиям

 lim yj (x) =

x→∞

1 при j = i, 0 при j = i.

(2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что такое решение существует и перепишем систему (1) в виде n dyj − wj (x)yj = cjk (x)yk , dx

j = 1, 2, . . . , n.

(3)

k=1

Рассматривая каждое из этих уравнений как уравнение первого порядn

cjk (x)yk , найдем ка с правой частью k=1

x yj (x) =

x

e

ξ

wj (ξ1 ) dξ1

(

n

)

x xj

cjk (ξ)yk (ξ) dξ + cj e

wj (ξ1 ) dξ1

;

(4)

k=1

xj

в частности, при j = i в силу условия α)

yi (x) =

x ( n xi

) cik (ξ)yk (ξ) dξ + ci .

(5)

k=1

Введем обозначение

Rwj (x) = uj (x), κj =

∞ 

uj (x) dx x0

и положим

xi = ∞, следовательно, ci = 1, xj = ∞, следовательно, cj = 0 при j = i и κj > −∞; xj = T при j = i и κj = −∞, где число T будет выбрано в дальнейшем. 10*

(6)

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

292

Мы получим для функции yj (x) систему интегральных уравнений

yi (x) = 1 −

∞  ( n

∞ 

yj (x) = −

) cik (ξ)yk (ξ) dξ ,

k=1

x

ξ − wj (ξ1 ) dξ1

e

x

(

n

) cjk (ξ)yk (ξ) dξ

k=1

x

j = i и κj > −∞, ) x x x wj (ξ1 ) dξ1 ( n wj (ξ) dξ ξ yj (x) = cj eT + e cjk (ξ)yk (ξ) dξ

(7)

при

k=1

T

при

j = i и κj = −∞.

Интегралы от x до ∞ в первых двух случаях сходятся, ибо в силу (2) n

cjk (ξ)yk (ξ) суммируемы в интервале [ 0, ∞) и, кроме того, функции k=1

 ξ  ξ   − wj (ξ1 ) dξ1  e x  = e− x uj (ξ1 ) dξ1 

1 −κj

e

при uj (x)  0, при uj (x)  0;

из последней оценки следует также, что интеграл во втором равенстве сходится равномерно относительно x. Таким образом, искомое решение системы должно удовлетворять системе (7). Обратно, пусть yj — решение системы (7), где cj и T — произn

вольны, и притом такое, что все функции cjk (x)yk (x) суммируемы k=1

в интервале [x0 , ∞). Дифференцируя обе части (7), убеждаемся в том, что функции yj удовлетворяют системе (1). Докажем, что эти функции удовлетворяют условию (2). Из первых двух равенств в (7) следует, что

lim yi (x) = 1,

x→∞

lim yj (x) = 0 при j = i, κj > −∞.

x→∞

Рассмотрим теперь функции yj (x) при j = i, κj = −∞. Тогда uj (x)  0 при x  x0 , и поэтому

 x  x  wj (ξ1 ) dξ1  u (ξ ) dξ e ξ  = e ξ j 1 1  1,  x  x  wj (ξ) dξ  eT  = eT uj (ξ) dξ → 0 при x → ∞.

(8)

§ 22. Асимптотика при больших значениях аргумента

293

Кроме того, при T < x1  x

)  x x w (ξ ) dξ ( n j 1 1   ξ  e cjk (ξ)yk (ξ) dξ    k=1

T

)   x1 x w (ξ ) dξ ( n j 1 1   ξ  cjk (ξ)yk (ξ) dξ  +  e k=1

T

)   x x w (ξ ) dξ ( n j 1 1   cjk (ξ)yk (ξ) dξ   +  e ξ x1

x

 ex1

∞ n uj (ξ1 ) dξ1   T

  

k=1

k=1

  ∞   n      cjk (ξ)yk (ξ) dξ +  cjk (ξ)yk (ξ) dξ. (9)    x1 k=1

Выберем x1 настолько большим, чтобы ∞   n

   cjk (ξ)yk (ξ) dξ < ε, 

  

x1 k=1

и затем x настолько большим, чтобы также x x1

e

uj (ξ1 ) dξ1

< ε.

Тогда из (9) получаем, что

 )  x x w (ξ ) dξ ( 

∞   n n  j 1 1      eξ  cjk (ξ)yk (ξ) dξ   ε cjk (ξ)yk (ξ) dξ + 1 ;     k=1

T

T

k=1

эта оценка в соединении с (8) показывает, что и в рассматриваемом случае yj (x) → 0 при x → ∞. Из предыдущих рассуждений вытекает, что достаточно доказать существование решения системы (7). Применим для этой цели метод последовательных приближений, полагая (0)

yj = 0, (n+1) yj (x)

=1−

∞  ( n x

k=1

) (n) cjk (ξ)yk (ξ)

dξ ,

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

294 (n+1) yj (x)

∞ 

=−

ξ − wj (ξ1 ) dξ1

e

(

x

n

) (n) cjk (ξ)yk (ξ)

dξ

k=1

x

j = i, κj > −∞, ) x x wj (ξ1 ) dξ1 ( n wj (ξ) dξ (n+1) (n) yj (x) = cj eT + eξ cjk (ξ)yk (ξ) dξ при x

(10)

k=1

T

j = i, κj = −∞.

при

(n)

Докажем, что при T достаточно большом последовательность yj (x) сходится равномерно в каждом конечном интервале [T , α] (α > T ) к решению yj (x) системы (7). Положим (n)

(n−1)

Mn = sup |yj (x) − yj xT 1jn

n 

(x)|,

(11)

∞

c = max

1jn

|cjk (x)| dx

(12)

k=1 T

и обозначим через γ наибольшее среди тех |κj |, которые конечны. Из (10) следует, что при x  T ∞  n (n+1) (n) (n) (n−1) |yi (x) − yi |  |cik (ξ)||yk (ξ) − yk (ξ)| dξ  Mn c (13) x k=1

и если j = i, κj > −∞, то (n+1) |yj (x)

−

(n) yj (x)|

∞ 



ξ − wj (ξ1 ) dξ1

e

x

n

(n)

(n−1)

|cjk (ξ)||yk (ξ) − yk

(ξ)| dξ.

k=1

x

Если при этом uj (x)  0 для x  T , то ξ − uj (ξ1 ) dξ1

e и потому также

(n+1)

|yj

x

 1,

(n)

(x) − yj (x)|  Mn c.

(14a)

Если же uj (x)  0 для x  T , то ввиду условия κj > −∞ число κj конечно и < 0; поэтому ξ − uj (ξ1 ) dξ1

e и

x

(n+1)

|yj

−

e

∞  T

uj (ξ1 ) dξ1

(n)

= e−κj  eγ

(x) − yj (x)|  Mn ceγ .

(14б) (14в)

§ 22. Асимптотика при больших значениях аргумента

295

Рассмотрим теперь случай j = i, κj = −∞; тогда при x  T (n+1)

|yj

(n)

(x) − yj (x)|  x x uj (ξ1 ) dξ1 n (n) (n−1)  eξ |cjk (ξ)||yk (ξ) − yk (ξ)| dξ  Mn c, (15) k=1

T

ибо в рассматриваемом случае uj (ξ)  0, и потому x

eξ

uj (ξ1 ) dξ1

 1.

Так как неравенства (13), (14), (15) имеют место при x  T и eγ > 1, то Mn+1  Mn ceγ , n = 1, 2, 3, . . . , следовательно,

Mn  M1 (ceγ )n−1 .

Поэтому ряд (0)

(1)

(0)

(2)

(1)

yj (x) = yj (x) + [yj (x) − yj (x)] + [yj (x) − yj (x)] + . . .

(16)

сходится равномерно в интервале [T , ∞), если только ceγ < 1, т. е. если c < e−γ ; в силу определения (12) числа c это неравенство выполняется при T достаточно большом. Отсюда легко вывести, что сумма yj (x), j = 1, 2, . . ., n, ряда (16) есть решение системы (7), и лемма 1 полностью доказана. Т е о р е м а 1. Пусть функции wk (x) суммируемы в каждом конечном интервале [ 0, α], α > 0, а функции ckj (x) суммируемы в интервале [ 0, ∞); пусть, далее, при x, достаточно большом (x  x0 ), ни одна из функций R(wj − wk ) не меняет знак. Тогда система (1) имеет n частных решений вида x

yj = yji (x) = ηji (x)e 0

wj (ξ) dξ

,

j , i = 1, 2, . . . , n,

(17)

где ηji (x) — функции, непрерывные в интервале [ 0, ∞) и удовлетворяющие условиям  1 при j = i, lim ηji (x) = (18) x→∞ 0 при j = i. Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим x

yj (x) = ηji (x)e 0

wi (ξ) dξ

, j = 1, 2, . . . , n.

(19)

296

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

Подставляя эти выражения в (1), мы получим для функций ηji систему

dηji = [wj (x) − wi (x)]ηji + cjk (x)ηki , dx n

j = 1, 2, . . . , n,

(20)

k=1

которая при фиксированном i удовлетворяет всем условиям леммы 1. Поэтому она имеет решение ηji (x), удовлетворяющее условию (18). Полагая в формуле (19) последовательно i = 1, 2, . . ., n, мы получим n решений, удовлетворяющих всем условиям теоремы. Из доказательства видно, что теорема остается справедливой, если в интеграле (17) заменить нижний предел 0 произвольным положительным числом. В некоторых случаях приходится иметь дело с системами dy = A(x)y , dx

(21)

которые хотя и не удовлетворяют условиям теоремы 1, но могут быть приведены к такой системе подстановкой вида y = B(x)z . Рассмотрим наиболее важные случаи такого приведения. Т е о р е м а 2. Пусть

A(x) = A0 (x) + A1 (x),

(22)

причем элементы матриц 1) A0 (x) и A1 (x) суммируемы в интервале [ 0, ∞), а матрица A0 (∞) не имеет кратных собственных значений 2). Пусть далее B(x) — матрица, определенная условием

A0 (x)B(x) = B(x)W (x),

(23)

где W (x) — диагональная матрица. Тогда подстановка

y = B(x)z

(24)

приводит уравнение (21) к виду dz = [W (x) + C(x)]z , dx

(25)

где при достаточно большом x0 элементы матрицы W (x) непрерывны, а элементы матрицы C(x) суммируемы в интервале [x0 , ∞). Д о к а з а т е л ь с т в о. Из суммируемости элементов матрицы A0 (x) вытекают непрерывность матрицы A0 (x) и существование предела

A0 (∞) = lim A0 (x). x→∞

Напомним, что A0 (x) обозначает матрицу, элементы которой являются производными соответствующих элементов матрицы A0 (x) (см. п. 1 § 6). 2) Случай, когда матрица A0 (∞) имеет кратные собственные значения, рассмотрены в работе Девинац [1]. 1)

§ 22. Асимптотика при больших значениях аргумента

297

Так как матрица A0 (∞) не имеет кратных собственных значений, то существует интервал [x0 , ∞), в котором матрица A0 (x) не имеет кратных собственных значений. Ее собственные значения будут поэтому непрерывными функциями в интервале [x0 , ∞). Пусть W (x) диагональная матрица, диагональными элементами которой являются эти собственные значения w1 (x), w2 (x), . . ., wn (x), записанные в каком угодно порядке. Равенство (23) означает, что последовательные столбцы матрицы B(x) являются собственными векторами матрицы A0 (x), отвечающими собственным значениям w1 (x), w2 (x), . . ., wn (x) соответственно. Так как эти собственные значения все различны, то в интервале [x0 , ∞) det B(x) = 0 (26) и ранг матрицы A0 (x) − wk (x)1 равен n − 1. Поэтому в качестве k-го столбца матрицы B(x) можно взять алгебраические дополнения элементов k-го столбца матрицы A0 (x) − wk (x)1. При таком выборе все элементы матрицы B(x) будут непрерывными функциями в интервале [x0 , ∞), и их предел при x → ∞ определит матрицу B(∞), k-й столбец которой есть собственный вектор матрицы A0 (∞), соответствующий собственному значению wk (∞). По условию эти собственные значения различны, и потому также

det B(∞) = 0;

(27)

следовательно, функция (det B(x))−1 непрерывна и ограничена в интервале [x0 , ∞). Но тогда матрица [B(x)]−1 существует и все ее элементы ограничены в интервале [x0 , ∞). Выполним теперь в уравнении dy = [A0 (x) + A1 (x)]y dx

подстановку y = B(x)z . Мы получим dB dz z+B = (A0 + A1 )Bz. dx dx

Отсюда





dz dB = B −1 A 0 B + B −1 A 1 B − B −1 x. dx dx

Но в силу (23) B −1 A0 B = W ; поэтому dz = (W + C)z , dx

где

C = B −1 A 1 B − B −1

dB . dx

Остается доказать, что все элементы матрицы C = C(x) суммируемы в интервале [x, ∞). Суммируемость элементов первого слагаемого непосредственно следует из доказанных свойств матриц B −1

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

298

и B и предполагаемой суммируемости элементов матрицы A1 ; поэтому остается доказать суммируемость всех элементов матрицы

B −1

dB , dx

для чего в свою очередь достаточно установить суммируемость элеdB ментов матрицы , ибо элементы матрицы B −1 ограничены. Каждый dx элемент bik матрицы B есть определитель порядка n − 1, составленный из элементов вида ajk (x) и akk (x) − wi (x), где ajk — элементы матрицы A0 . Но, по условию, функции ajk (x) суммируемы в [x0 , ∞); если поэтому мы покажем, что и функции wi (x) суммируемы в этом интервале, то bik (x) будет суммой произведений суммируемой производной одного из множителей ajk (x), akk (x) − wi (x), на другие такие множители, ограниченные в интервале [x0 , ∞); следовательно, суммируемость функций bik (x) будет доказана. Итак, остается установить суммируемость функций wi (x). Но wi (x) есть корень характеристического уравнения

F (w, x) = wn + α1 (x)wn−1 + . . . + αn (x) = 0

(28)

матрицы A0 . Его коэффициенты α1 (x), . . ., αn (x) являются суммой миноров матрицы A0 , и потому их производные суммируемы в [x0 , ∞). Но тогда F (w , x) α (x)win−1 + . . . + αn (x) wi = − x i = 1 ,  Fw (wi , x)

Fw (wi , x)

причем числитель последней дроби суммируем, ибо функция wi (x) ограничена в [x0 , ∞); знаменатель же ограничен снизу, ибо корни уравнения (28) различны в интервале [x0 , ∞), а их пределы при x → ∞ также различны. Поэтому функции wi (x) суммируемы в интервале [x0 , ∞), и теорема 2 доказана. Условия теоремы 2, в частности, выполняются, если A0 — постоянная матрица с различными собственными значениями, а A1 (x) — матрица с суммируемыми элементами. С л е д с т в и е 1. Если в дополнение к условиям теоремы 2

lim R(wi (x) − wk (x)) = 0 для i = k, i, k = 1, 2, . . . , n,

x→∞

(29)

то система (21) имеет n линейно независимых решений вида x x0

yj = yjk = e

n wk (ξ) dξ

bji (x)ηik (x), j , k = 1, 2, . . . , n,

(30)

i=1

где bjk (x) — элементы матрицы B(x), а ηik (x) — функции, удовлетворяющие условиям  1 при i = k, lim ηik (x) = (31) x→∞ 0 при i = k.

§ 22. Асимптотика при больших значениях аргумента

299

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу (29) при x0 достаточно большом, функции R(wi (x) − wk (x)) сохраняют знак в интервале [x0 , ∞), и потому к преобразованному уравнению (25) можно применить теорему 1. Таким образом, это уравнение имеет n линейно независимых решений вида x 

x0

wk (ξ) dξ

zj = zjk = e

ηjk (x),

где функции ηjk (x) удовлетворяют условию (31). Тогда вектор-функция yk = Bzk будет решением уравнения (21) вида (30). З а м е ч а н и е. Если, в частности, A0 — постоянная матрица, собственные значения ρ1 , ρ2 , . . ., ρn которой имеют различные вещественные части, то zj = zjk = eρk (x−x0 ) ηjk (x). В дальнейшем нам будет удобно представить матрицу A в виде суммы трех слагаемых A = A0 + A1 + A2 , свойства которых при x → ∞ будут существенно различны. Определим последовательно матрицы B , W , X0 , X1 , X уравнениями

(A0 + A1 )B = BW ,  + dA Xi W − W Xi = B −1 i B , i = 0, 1,

(33)

XW − W X = −X0 ,

(34)

dx

(32)

где W — диагональная матрица, а C + обозначает матрицу C , в которой диагональные элементы заменены нулями. При этом дополнительно dB потребуем, чтобы диагональные элементы матриц B −1 , X0 , X1 , dx X были равны нулю. Если тогда матрица A0 + A1 имеет различные собственные значения и если задаться определенным порядком этих собственных значений на главной диагонали матрицы W , то перечисленными выше условиями матрицы W , X0 , X1 , X определяются однозначно с точностью до постоянных диагональных множителей. Так, например, если положить X = (xik ), X0 = (x0ik ), то равенство (34) означает, что xik (wk − wi ) = −x0ik . Отсюда при i = k однозначно определяются элементы xik матрицы X при данных W и X0 . Аналогично из (33) однозначно определяются матрицы X0 и X1 при данных A0 , A1 , B и W . Что касается матрицы B , то при заданном порядке диагональных элементов в W она определяется условием (32) однозначно с точностью до произвольного правого диагонального множителя. Другими словами, если B — какое-нибудь одно решение уравнения (32) при данном W , то всякое другое

300

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

 имеет вид B  = Bδ , где δ — произвольная диагональная решение B матрица. Но тогда  dB dB dδ = δ+B , dx dx dx

 −1 = δ −1 B −1 B

и, следовательно, 

 −1 dB = δ −1 B −1 dB δ + δ −1 dδ . B dx

dx dx dB Положим для краткости B −1 = Q. Требование равенства нулю диаdx  −1 d B

 гональных элементов матрицы B

приведет к уравнениям

dx 1 dδi Qii + = 0, δi dx

откуда −

δ i = ci e

x x0

(35)

Qii (ξ) dξ

,

 опредегде ci — произвольные постоянные. Следовательно, матрица Q лится условием (35) однозначно с точностью до правого диагонального ⎛ ⎞ множителя c1 0 0 . . . 0 ⎜ 0 c 0 ... 0 ⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟, ⎝ ................. ⎠ 0 0 0 . . . cn и потому матрицы X0 , X1 , X также будут определены с точностью до постоянных диагональных множителей. Т е о р е м а 3. Пусть A = A0 + A1 + A2 и пусть при достаточно большом x0 все элементы матриц dX , dx

X 0 X , X 1 , B −1 A 2 B

(36)

суммируемы в интервале [x0 , ∞), а Тогда подстановка приводит уравнение к виду

det[1 + X(∞)] = 0.

(37)

y = B(1 + X)z

(38)

dy = Ay dx

(39)

dz = (W + C)z , dx

(40)

где C — матрица, все элементы которой суммируемы в интервале [x0 , ∞) при x0 достаточно большом.

§ 22. Асимптотика при больших значениях аргумента

301

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сделав в уравнении (39) подстановку (38) и учитывая (32), получим dB dX dz (1 + X)z + B z + B(1 + X) = dx dx dx

= (A0 + A1 + A2 )B(1 + X)z = (BW + A2 B)(1 + X)z , отсюда

(1 + X)

dz = dx



W + B −1 A 2 B − B −1





dB dX (1 + X) − z. dx dx

(41)

В силу (34)

W (1 + X) = W + W X = W + XW + X0 = (1 + X)W + X0 .

(42)

dB

Найдем еще выражение для B −1 . Дифференцируя соотношение dx (32), получим

(A0 + A1 )B + (A0 + A1 )B  = B  W + BW  , откуда

(A0 + A1 )B  = B  W + BW  − (A0 + A1 )B.

Умножая слева обе части последнего равенства на

W B −1 (A0 + A1 )−1 = B −1 , получим

W B −1 B  = B −1 B  W + W  − B −1 (A0 + A1 )B.

(43)

Так как W  — диагональная матрица, то из равенств (43) и (33) вытекает, что

(B −1 B  W − W B −1 B  )+ = = (B −1 (A0 + A1 )B)+ = (X0 + X1 )W − W (X0 + X). (44) Положим

B −1 B  = (βjk ), X0 + X1 = (κjk ).

Формула (44) означает, что

βjk (wj − wk ) = κjk (wj − wk ) при j = k и, следовательно,

βjk = κjk

при j = k.

Но, по условию, диагональные элементы матриц B −1 B  и X0 + X1 равны нулю, поэтому B −1 B  = X 0 + X 1 . (45)

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

302

Подставляя в уравнение (41) выражения (42) и (45), мы приведем его к виду dz

(1 + X) = dx  dX = (1 + X)W + X0 + (B −1 A2 B − X0 − X1 )(1 + X) − z= dx   dX = (1 + X)W + (B −1 A2 B − X1 )(1 + X) − X0 X − z. dx

Отсюда где

dz = (W + C)z , dx

  dX C = (1 + X)−1 (B −1 A2 B − X1 )(1 + X) − X0 X − . dx

Но в силу условий, наложенных на матрицу X (см. (37)), все элементы матриц (1 + X) и (1 + X)−1 ограничены в интервале [x0 , ∞) при x0 достаточно большом. Отсюда, учитывая суммируемость элементов матриц (36), заключаем, что все элементы матрицы C суммируемы в интервале [x0 , ∞). б). С л у ч а й cjk (x) → 0 п р и x → ∞. Пусть функции wk (x), cjk (x) непрерывны в некотором интервале [x0 , ∞) и пусть

lim cjk (x) = 0, j , k = 1, 2, . . . , n.

x→∞

(46)

Мы покажем, что в этом случае при известных ограничениях на функции wk (x) асимптотическое поведение решений системы при x → ∞ будет такое же, как и решений системы dyj = wj (x)yj , dx

j = 1, 2, . . . , n.

(47)

Докажем сначала следующую лемму. Л е м м а 2. Пусть кроме условия (46) выполняется условие

R(w1 ) > R(wk ) + c при x  x0 , k = 2, 3, . . . , n,

(48)

где c — некоторая положительная постоянная. Тогда система (1) имеет решение y1 , y2 , . . ., yn , такое, что

lim

x→∞

yk = 0, y1

и

lim

x→∞

k = 2, 3, . . . , n,

y1 − w1 y1

(49)

 = 0.

(50)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем число x1 > x0 и систему чисел η1 , η2 , . . ., ηn , такую, что

|η1 | > |η2 | > . . . > |ηn |.

(51)

§ 22. Асимптотика при больших значениях аргумента

303

Рассмотрим решение системы (1), удовлетворяющее условиям

y1 = η1 , y2 = η2 ,

... ,

yn = ηn

при x = x1 .

(52)

Мы докажем, что если число x1 выбрано достаточно большим, то это решение будет обладать требуемыми свойствами, т. е. будет удовлетворять условиям (49) и (50). Умножая обе части (1) на yj , получим

y j yj = wj |yj |2 +

n

cjk y j yk ;

k=1

отсюда

|R(y j yj )

  n  n     − R(wj )|yj | | = R cjk y j yk   |cjk yj yk |.   2

k=1

Но

(53)

k=1

d d |y |2 = (y y ) = yj y j + yj y j = 2R(y j yj ); dx j dx j j

поэтому неравенство (53) можно переписать в виде

−

n

|cjk yj yk | 

k=1

n 1 d |yj |2 − R(wj )|yj |2  |cjk yj yk |. 2 dx

(54)

k=1

Выберем x1 настолько большим, чтобы при x  x1

|cjk (x)| 

c , 2n

тогда из (54) получим n n c 1 d c 2 2 − |yj yk |  |yj | − R(wj )|yj |  |yj yk |. 2n 2 dx 2n k=1

(55)

k=1

Но по условию (см. (51) и (52)) при x = x1

|y1 |2 > |yk |2 , k = 2, 3, . . . , n;

(56)

докажем, что это неравенство остается также верным при x > x1 . Предположим противное; обозначим через x2 нижнюю грань тех значений x, для которых (56) не имеет места. Пусть ν одно из значений индекса k  2, для которых (56) не имеет места при x = x2 ; тогда

|y1 (x2 )| = |yν (x2 )|  |yk (x2 )| при k = 1, ν. При этом



(57)



d d   |y |2   |y |2  . dx 1 x=x2 dx ν x=x2

(58)

Действительно, из противоположного неравенства и из (57) следовало. бы, что |y1 | < |yν | при x < x2 , но достаточно близком к x2 , а это

304

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

противоречит определению числа x2 . Заметим, что y1 (x2 ) = 0, ибо в противном случае из (57) следовало бы

y1 = y2 = . . . = yn = 0 при x = x2 . Но тогда в силу теоремы единственности для дифференциальных уравнений y1 ≡ y2 ≡ . . . ≡ yn ≡ 0, в частности,

y1 = y2 = . . . = yn = 0 при x = x1 , что противоречит условию (56). Из неравенств (55), (57) и (58) вытекает, что при x = x2

R(w1 )|y1 |2 −

c 1 d 1 d c |y1 |2  |y1 |2  |yν |2  R(wν )|y1 |2 + |y1 |2 , 2 2 dx 2 dx 2

и потому при x = x2

R(w1 )|y1 |2 − R(wν )|y1 |2 < c|y1 |2 . Но тогда при x = x2 также

R(w1 ) − R(wν ) < c, ибо y1 (x2 ) = 0; последнее же неравенство противоречит условию (48). Итак доказано, что при x  x1

|y1 | > |yk |, k = 2, 3, . . . , n.

(59)

Но тогда, разделив на y1 обе части (1) при j = 1, получим оценку    n n    y1   yk   − w1   |c | |cjk |, x  x1 ,    jk   y1

y1

k=1

k=1

из которой в силу (46) вытекает, что

  y1 lim − w1 = 0. y1

x→∞

Докажем теперь, что

lim

x→∞

yk = 0, y1

k = 2, 3, . . . , n.

Предположим противное; пусть при некотором ν = 1  2 y  lim  ν  = α > 0. y1

x→∞

(60)

Тогда существуют сколь угодно большие значения x, для которых одновременно  2   α d  yν 2 cα  yν  (61)   > ,   >− . y1

dx y1

2

Действительно, неравенство





d  yν 2 cα   − dx y1 2

2

§ 22. Асимптотика при больших значениях аргумента

305

не может выполняться, начиная с некоторого значения x (например, x  ξ ), ибо тогда при x  ξ мы имели бы  2   2 cα  yν    yν     − (x − ξ) +    y1

и, следовательно,

y1

2

x=ξ

 2  yν    → −∞ при x → +∞, y1

что невозможно. Поэтому должны существовать сколь угодно большие значения x, например

x = ξ1 , ξ2 , ξ3 , . . . → +∞, для которых выполняется противоположное неравенство   d  yν 2 cα   >− . dx y1

2

 2 α y  Если теперь  ν  > для всех значении x, начиная с некоторого, то y1 2 для значений x = ξ1 , ξ2 , ξ3 , . . ., начиная с некоторого, будут выполняться оба неравенства (61). Поэтому остается рассмотреть тот случай, когда существуют сколь угодно большие значения x, для которых  2 α  yν  (62)    . y1

2

Пусть x = ξ — одно из таких значений. Из (60) следует, что среди   y 2 чисел x > ξ существует наименьшее x = x  > ξ , для которого  ν  = y1

3α . Для этого значения x = x  во всяком случае = 4





d  yν  2    0, dx y1

, достаточно близкие ибо в противном случае  2 были бы значения x < x 3α  yν  к x , для которых   > , что ввиду условия (62) противоречит y1

4

определению числа x . Но тогда при x = x   2  2 3α α d  yν  cα  yν  > ,   =   0>− . y1

4

2

dx y1

2

Таким образом, в любом случае неравенства (61) выполняются для сколь угодно больших значений x. Но   d  yν 2 1 d |y |2 d |yν |2 − ν 4 |y1 |2 ,   = 2 dx y1

|y1 | dx

|y1 | dx

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

306

и потому из неравенств (54) можно заключить, что  2     1 d  yν 2 1 1 d  yν  2 2 |y | − R(w )|y | −   + R(w1 − wν )   = ν ν ν 2 dx y1 y1 |y1 |2 2 dx   n  n     cνk yν yk   c1k y1 yk yν2  |yν |2 1 d 2 2    . |y1 | − R(w1 )|y1 |  − 4 4 2  +   y1 |

2 dx

y1

k=1

k=1

y1

Отсюда, учитывая неравенства (48), (61) и (59), приходим к выводу, что существуют сколь угодно большие значения x, для которых

−

n n cα α +c < |cνk | + |c1k | 4 2 k=1

k=1

а это неравенство противоречит условию (46). Тем самым соотношения (49) также доказаны. Доказанная лемма допускает следующее обобщение. Т е о р е м а 4. Пусть функции wj (x), cjk (x) непрерывны при x  x0 и пусть

lim cjk (x) = 0, j , k = 1, 2, . . . , n,

k→+∞

R(wk ) − R(wk+1 ) > c, k = 1, 2, . . . , n − 1,

(63) (64)

где c — некоторая положительная константа. Тогда система

dyj = wj yj + cjk yk , dx n

j = 1, 2, . . . , n,

(65)

k=1

имеет n линейно независимых решений

y1 = y1k (x), y2 = y2k (x), . . . , yn = ynk (x), k = 1, 2, 3, . . . , n,

(66)

удовлетворяющих условиям yjk = 0 при j = k, j , k = 1, 2, . . . , n; ykk

  ykk lim − wk = 0, k = 1, 2, . . . , n. x→∞ ykk

lim

x→∞

(67) (68)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Применим метод полной математической индукции. При n = 1 система (65) имеет вид dy = [w1 + c11 ]y , dx

и потому для всякого ее решения y ≡ 0 1 dy − w1 = c11 → 0 y dx

при

x → ∞.

Остальные же утверждения теоремы в этом случае бессодержательны. Предположим теперь, что теорема верна для системы n − 1 уравнений

§ 22. Асимптотика при больших значениях аргумента

307

относительно n − 1 неизвестных функций; докажем, что она тогда верна для системы n уравнений относительно n неизвестных функций. Согласно лемме 2 существует решение

y1 = y11 , y2 = y21 , . . . , yn = yn1

(69)

системы (65), такое, что

lim

x→∞

yk 1 =0 y11

и

lim

x→∞

при k > 1

 y11 − w1 y11

(70)

 = 0.

(71)

Введем новые переменные u, z1 , z2 , . . ., zn−1 , полагая 

y1 = y11 u dx, 

y1 = y21 u dx + z1 ,

(72)

...................... 

yn = yn1 u dx + zn−1 ; тогда система (65) перейдет в

   n n  u dx + y11 u = w1 y11 u dx + y11 c1k yk1 u dx + c1k zk−1 , 

k=1



 yj 1 u dx + yj 1 u + zj− 1 = wj yj 1 u dx + wj zj−1 +

+

n

n

k=2

 cjk yk1 u dx+

k=1

cjk zk−1 , j = 2, 3, . . . , n.

k=2

Но так как функции y11, y21 , . . ., yn1 являются решением системы (65), то члены, содержащие u dx, взаимно уничтожаются, и мы получим

y11 u =  yj 1 u + zj− 1 = wj zj−1 +

n

c1k zk−1 ,

(73)

cjk zk−1 , j = 2, 3, . . . , n.

(74)

k=2 n k=2

Подставляя в (74) вместо функции u ее выражение из (73), придем к системе n  zj− = w z + cjk zk−1 , j = 2, 3, . . . , n,  (75) j j−1 1 k=2

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

308

где

 cjk = cjk −

yj 1 c , y11 1k

j , k = 2, 3, . . . , n.

(76)

При этом в силу (63) и (70)

lim  cjk = 0, j , k = 2, 3, . . . , n,

x→∞

так что система (72) удовлетворяет всем условиям теоремы. Согласно индуктивному предположению она имеет n − 1 линейно независимых решений

z1 = z1k , z2 = z2k , . . . , zn−1 = zn−1, k , k = 1, 2, . . . , n − 1,

(77)

таких, что

lim

zjk

x→∞ zkk

= 0 при j = k, j , k = 1, 2, . . . , n − 1,

и

lim

x→∞

 zkk − wk+1 zkk

(78)

 = 0, k = 1, 2, . . . , n − 1.

(79)

Докажем, что при помощи этих функций zjk можно построить n − 1 линейно независимых решений системы (65), которые вместе с решением (69) будут удовлетворять всем требованиям теоремы. Обозначим через uk функцию u, отвечающую решению z1 = z1k , так что

y11 uk =

n

c1ν zν−1, k .

(80)

ν=2

Тогда из (63) и (78) вытекает, что

lim

x→∞

y11 uk = 0. zkk

(81)

С другой стороны, в силу (71) и (79)  y11 = w1 + ε1 , y11

где

 zkk = wk+1 + εk+1 , zkk

k = 1, 2, . . . , n − 1,

lim ε1 = 0, lim εk+1 = 0, k = 1, 2, . . . , n − 1. x→∞

x oti

Отсюда x

y11 = c1 ex1

(w1 +ε1 ) dξ

,

x

zkk = ck+1 ex1

(wk+1 +εk+1 ) dξ

,

c1 = 0, ck+1 = 0,

и потому в силу условия (64)

         zkk   ck+1  − x1 R(w1 +ε1 −wk+1 −εk+1 ) dξ  ck+1  − x1 [c+R(ε1 −εk+1 )] dξ R(ρ2 ) > . . . > R(ρn ). (87) Тогда система

yk = ρk yk +

n

cjk yj , k = 1, 2, . . . , n,

j=1

имеет n линейно независимых решений

y1 = y1k , y2 = y2k , . . . , yn = ynk ,

(88)

§ 22. Асимптотика при больших значениях аргумента

311

таких, что

lim

x→∞

и

yjk =0 ykk

lim

x→∞

j = k, j , k = 1, 2, . . . , n,

при

 ykk = ρk , ykk

k = 1, 2, . . . , n.

(89) (90)

С л е д с т в и е 3. Каково бы ни было положительное число ε, для решений, построенных в следствии 2, имеют место соотношения ykk

lim x→∞ e(ρk +ε)x ykk

lim x→∞ e(ρk −ε)x

= 0,

(91)

= ∞.

(92)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (90) следует, что  ykk = ρk + εk , ykk

где εk → 0 при x → ∞. Отсюда x x1

ykk = Ck e

(ρk +εk ) dξ

,

Ck = 0.

Каково бы ни было число ε > 0, можно выбрать x1 настолько большим, чтобы

|εk | < ε < ε при x  x1 , k = 1, 2, . . . , n. Тогда





|Ck |e[R(ρk )−ε ](x−x1 )  |ykk |  |Ck |e[R(ρk )+ε ](x−x1 ) ;

следовательно,

   ykk    (ρk +ε)(x−x1 )   Ce e−(ε−ε )(x−x1 ) , e    ykk    (ρk −ε)(x−x1 )   Ck e(ε−ε )(x−x1 ) . e

Соотношения (91) и (92) непосредственно следуют из этих оценок. Отметим теперь некоторые случаи приведения общей системы dy = Ay dx

(93)

к виду (65) или (88). Т е о р е м а 5. Пусть в системе (93) все элементы матрицы A непрерывны при x  x0 и пусть существует предел

A(∞) = lim A(x). x→+∞

(94)

Пусть, кроме того, собственные значения ρ1 , ρ2 , . . ., ρn матрицы A(∞) удовлетворяют условиям

R(ρ1 ) > R(ρ2 ) > . . . > R(ρn ).

(95)

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

312

Тогда система (93) имеет n линейно независимых решений

y1 = y1k , y2 = y2k , . . . , yn = ynk , k = 1, 2, . . . , n, таких, что

lim

x→∞

 yjk = ρk , yjk

k = 1, 2, . . . , n,

(96)

при некоторых значениях j = j(k). Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу условия (95) все собственные значения ρ1 , ρ2 , . . ., ρn матрицы A(∞) различны, и потому существует матрица B , которая приводит матрицу A(∞) к диагональному виду; другими словами, B −1 A(∞)B = P , (97)

⎛

где

⎜ ⎜ P =⎜ ⎝

ρ1 0 . . . 0 0 ρ2 . . . 0 .............. 0 0 . . . ρn

⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎠

(98)

Положим в системе (93) y = Bz ; мы получим

B откуда Но

dz = ABz , dx

dz = B −1 ABz. dx

(99)

B −1 AB = B −1 A(∞)B + B −1 [A − A(∞)]B = P + C ,

где

C = B −1 [A − A(∞)]B.

(100)

Система (99) примет тогда вид dz = (P + C)z , dx

или, подробней,

dzk = ρk zk + ckj zj , dx n

k = 1, 2, . . . , n.

j=1

При этом из (100) и (94) вытекает, что

lim c(x) = 0,

x→∞

т. е.

lim cjk (x) = 0, j , k = 1, 2, . . . , n.

x→∞

(101)

§ 22. Асимптотика при больших значениях аргумента

313

Согласно следствию 2 система (101) имеет n линейно независимых решений

z1 = z1k , z2 = z2k , . . . , zk = znk , k = 1, 2, . . . , n, таких, что

zjk

lim

x→∞ zkk

= 0 при j = k

и

lim

x→∞

 zkk = ρk . zkk

(102) (103)

Соотношение y = Bz определяет тогда n линейно независимых решений n yj = yjk = bji zik , j , k = 1, 2, . . . , n, i=1

системы (93). В силу (102) и (103)

lim

yjk

x→∞ zkk

а значит,

= bjk ,

(104)

 yjk = aji (∞)bik . zkk

n

lim

x→∞

i=1

С другой стороны, соотношение (97), записанное в виде

A(∞)B = BP , означает, что

n

aji (∞)bik = bjk ρk ,

i=1

так что

lim

x→∞

 yjk = bjk ρk . zkk

(105)

Отметим, что det B = 0, и потому ни один из столбцов матрицы B не состоит из одних нулей. Это означает, что при любом k существует индекс j = j(k), такой, что bjk = 0. Для этого значения j из (104) и (105) следует, что y lim jk = ρk . yjk

Т е о р е м а 6. Пусть A(x) = A0 (x) + A1 (x), и пусть

A0 (x)B(x) = B(x)W (x), где W (x) — диагональная матрица. Если все элементы матрицы dB B −1 A 1 B − B −1 стремятся к нулю при x → ∞, то подстановка dx

y = B(x)z приводит систему dy = (A0 + A1 )y dx

(106)

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

314

к виду где

dz = (W + C)z , dx

(107)

lim cjk (x) = 0.

(108)

x→∞

Д о к а з а т е л ь с т в о. Подстановка y = B(x)z приводит систему (106) к виду (107), где

C = B −1 A 1 B − B −1

dB dx

(109)

(см. доказательство теоремы 2). Отсюда и из условия теоремы тотчас вытекает, что lim cjk (x) = 0. (110) x→∞

2. Асимптотика решений линейного дифференциального уравнения 2n-го порядка. Рассмотрим дифференциальное уравнение

n−1   n  n−1 dn y d y n d n−1 d p1 n−1 + . . . + pn y = λy , l(y) ≡ (−1) p0 n + (−1) n n−1 dx

dx

dx

dx

(111) где p0 , p1 , . . ., pn — вещественные функции, определенные в интервале [ 0, ∞), λ — произвольное комплексное число. Предположим еще, что p0 (x) = 0 в интервале [ 0, ∞). Тогда система (ср. п. 2 § 16) dy dy1 dy [n−2] dy [n−1] 1 = y [1] , = y [2] , . . . , = y [n−1] , = y [n] , dx dx dx dx p0 dy [n] dy [n+1] = p1 y [n−1] − y [n+1] , = p2 y [n−2] − y [n+2] , . . . dx dx dy [2n−2] dy [2n−1] = pn−1 y [1] − y [2n−1] , = (pn − λ)y ... , dx dx

(112)

эквивалентна уравнению (111). Введем вектор-функцию

y = (y1 , y [1] , y [2] , . . . , y [2n−2] , y [2n−1] )

..

..

.

pn − λ

0

⎞

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ −1 ⎟ ⎟ .. ⎟ . ⎟ . . −1 ⎠ . 0 .

1

. 1

..

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ A(x) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

0

.

⎛

..

и матрицу

0

1 p0

p1

0

(113)

§ 22. Асимптотика при больших значениях аргумента



315

1 на пересечении n-й строки и n + 1-го столбца; все неотмеченные p0 

элементы равны нулю . Тогда система (112) запишется в виде dy = A(x) y. dx

(114)

Представляя теперь различным образом матрицу A(x) в виде суммы двух или трех матриц и применяя к системе (114) теоремы п. 1, мы получим различные предложения о поведении решений системы (114), а следовательно и уравнения (111), в зависимости от поведения коэффициентов p0 , p1 , . . ., pn при x → ∞. а). П р и м е н е н и я т е о р е м ы 2. Положим 1 1 = q0 + , p0 a0

pk = qk + ak , k = 1, 2, . . . , n,

где a0 , a1 , . . ., an — некоторые постоянные, причем a0 = 0. В соответствии с этим равенством мы получим разбиение

A = A0 + A1 , где

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ A0 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1 .

0

. 1 0

1 a0

a1

0

..

.

..

..

an − λ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ A1 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ −1 ⎟ ⎟ .. ⎟ . ⎟ . . −1 ⎠ . 0

0

0 ..

..

.

.

0 q0 q1 0 ..

qn

.

⎞

.

0

..

⎛

..

. 0

(115)

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟; ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(116)

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

316

уравнение для определения собственных значений матрицы A0 имеет вид   0  −ρ 1    ·  −ρ   · ·     · · ·   0 ·   ·   ·   1  = 0,  ·   a0   a1   · ·   · · ·    · · −1   · ·    a −λ −ρ  n или, раскрывая определитель:

a0 ρ2n − a1 ρ2n−2 + a2 ρ2n−4 − . . . + (−1)n (an − λ) = 0. Предположим, что корни этого уравнения имеют различные вещественные части; предположим далее, что функции q0 , q1 , . . ., qn суммируемы в интервале (0, ∞). Тогда к системе dy = (A0 + A1 ) y dx

(117)

применимы теорема 2 и следствие из нее. Пусть W — диагональная матрица из собственных значений ρ1 , ρ2 , . . . , ρn матрицы A0 и пусть постоянная матрица B приводит матрицу A0 к диагональному виду

A0 = B −1 W B. Тогда подстановка y = Bz приводит систему (117) к виду dz = (W + C)z , dx

причем все элементы матрицы C суммируемы в интервале [ 0, ∞). На основании теоремы 1 эта последняя система имеет 2n решений:

z1 = z1k , z2 = z2k , . . . , z2n = z2n, k , таких, что

zjk = eρk x ηjk (x), 

где

lim ηjk (x) =

x→∞

1 при j = k, 0 при j = k.

(118)

(119)

§ 22. Асимптотика при больших значениях аргумента

317

Очевидно, можно считать, что все элементы первой строки матрицы B равны единице. Подстановка y = Bz переводит эти решения в решения системы (117); их первые компоненты

yk =

2n

b1j zjk =

j=1

2n

zjk , k = 1, 2, . . . , 2n,

j=1

являются решениями уравнения (111). На основании соотношений (118) и (119) yk = eρk x [1 + o(1)]. Таким образом, мы доказали следующую теорему. Т е о р е м а 7. Пусть 1 1 = + q0 , p0 a0

p1 = a1 + q1 , . . . , pn = an + qn ,

причем функции q0 , q1 , . . ., qn и постоянные a0 , a1 , . . ., an удовлетворяют условиям: 1) функции q0 , q1 , . . ., qn суммируемы в интервале [ 0, ∞); 2) a0 = 0; 3) корни ρ1 , ρ2 , . . ., ρn уравнения

a0 ρ2n − a1 ρ2n−2 + . . . + (−1)n (an − λ) = 0 имеют различные вещественные части. Тогда уравнение

n−1   n  dn d y dn−1 d y (−1)n n p0 n + (−1)n−1 n−1 p1 n−1 + . . . + pn y = λy dx

dx

dx

dx

имеет 2n решений y = yk , k = 1, 2, . . . , 2n, таких, что при x → ∞

yk = eρk x [1 + o(1)], k = 1, 2, . . . , 2n. З а м е ч а н и е. Предыдущие рассуждения применимы также к уравнению dn y dn−1 y p0 n + p1 n−1 + . . . + pn y = λy , (120) dx

dx

так что имеет место следующее предложение. Пусть 1 1 = + q0 , pk = ak + qk , p0

a0

причем функции q0 , q1 , . . ., qn суммируемы в интервале [ 0, ∞), a0 = = 0, а все корни уравнения a0 ρn + a1 ρn−1 + . . . + an−1 ρ + an − λ = = 0 имеют различные вещественные части. Тогда уравнение (120) имеет n решений y = yk , k = 1, 2, . . . , n, таких, что при x → ∞

yk = eρk x [1 + o(1)], k = 1, 2, . . . , n. Мы предоставляем читателю доказательство этого предложения.

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

318

Положим теперь

A = A0 + A1 ,

где

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ A0 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞

0 1 ..

. 1 1 p0

−λ

и

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ −1 ⎟ ⎟ .. ⎟ . ⎟ ⎟ −1 ⎠ 0

⎛

⎞ ..

.

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ A1 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

..

.

0

pn−1

p1

0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

pn

1

находится на пересечении n-й строки причем в матрице A0 элемент p0 и n + 1-го столбца, а все неотмеченные элементы в обеих матрицах равны нулю. В соответствии с условием теоремы 2 мы предполагаем, что функ ции

1  p = − 02 , p1 , p2 , . . ., pn суммируемы в интервале (0, ∞). p0 p0

Найдем матрицы W , B . В силу (23) диагональные элементы матрицы W суть собственные значения матрицы A0 , следовательно, суть корни характеристического уравнения

§ 22. Асимптотика при больших значениях аргумента

319

    −w 1     −w   ·   · ·     · 1   ·     1 ·   ·  = 0,  p0   · ·   · ·     · −1 ·   ·   ·   ·    0 −w −1     −λ −w  причем в этом определителе все неотмеченные места заняты нулями. Раскрывая его по теореме Лапласа в виде суммы произведений миноров первых n строк и последних n строк, получим уравнение w2n − (−1)n  По условию, функция существует

λ = 0. p0

(121)

 1  суммируема в интервале (x0 , ∞), и потому p0

1 1 lim = + x→∞ p0 (x) p0 (x0 )

∞ 

1 p0 (x)



dx.

x0

Предположим, что этот предел = 0. Тогда существует также

p0 (∞) = lim p0 (x) = 0 x→∞

и, следовательно, при x0 достаточно большом, p0 (x) сохраняет знак в интервале [x0 , ∞). Рассмотрим тот случай, когда p0 (x) > 0 в интервале [x0 , ∞); противоположный случай сводится к этому заменой в уравнении λ и p0 на −λ и −p0 . Тогда все решения уравнения (121) будут иметь вид

wj = μj ρ, j = 1, 2, . . . , 2n, где

(122)

1 p0

ρ = 2√ , n

(123)

а μ1 , μ2 , . . ., μ2n — все различные корни 2n-й степени из (−1)n λ. Очевидно, условия теоремы 2 будут выполнены, ибо собственными значениями матрицы A0 (∞) будут

wj (∞) = μj ρ(∞) = μj 2! n они, очевидно, все различны.

1

p0 (∞)

;

320

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

Чтобы применить эту теорему, вычислим матрицу B . Из уравнения A0 B = BW (см. (23) п. 1) следует, что последовательные столбцы этой матрицы суть собственные векторы матрицы A0 , соответствующие собственным значениям w1 , w2 , . . ., w2n . Таким образом, элементы k-го столбца суть нетривиальные решения однородной системы

−wk b1k + b1k + b2k = 0, −2k b2k + b3k = 0, ................. −wk bnk +

1 b = 0, p0 n+1, k

−wk bn+1, k − bn+2, k = 0, .................. −wk b2n−1, k − b2n, k = 0. Решая последовательно эти уравнения, найдем, что

b1, k = δk , b2, k = wk δk , b3k = wk2 δk , . . . , bn, k = wkn−1 δk , bn+1, k = p0 wkn δk , bn+2, k = −p0 wkn+1 δi , bn+3, k = p0 wkn+2 δk , . . . , b2n, k = (−1)n−1 p0 wk2n−1 δk , где δk = 0 остается совершенно произвольным. Отсюда, учитывая формулу (122), получим, что B = P Eδ , (124) где P — диагональная матрица с диагональными элементами

P1 = 1, P2 = ρ, P3 = ρ2 , . . . , Pn = ρn−1 , Pn+1 = p0 ρn , Pn+2 = −p0 ρn1 , . . . , P2n = (−1)n−2 p0 ρ2n−1 , δ — диагональная матрица с элементами δ1 , δ2 , . . ., δ2n , а ⎛ ⎞ 1 1 ... 1 ⎜ μ1 μ2 . . . μ2n ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ μ2 ⎟ 2 2 μ . . . μ E=⎜ 1 2 2n ⎟ . ⎜ ⎟ ⎝ ......................... ⎠

(125)

(126)

1 μ21n−1 μ22n−1 . . . μ22n− n

Положим в формуле (124) δ = 1, т. е.

B = P E;

(127) dP

в силу свойств функции p0 (x) все элементы матрицы , а значит, dx и матрицы dB dP = E, dx

dx

§ 22. Асимптотика при больших значениях аргумента

321

суммируемы, а элементы матриц B и B −1 = E −1 P −1 ограничены в интервале [x0 , ∞). Поэтому к матрицам A0 , A1 , B , W применима теорема 2; подстановка y = Bz (128) приводит систему

dy = A y dx

к виду

dz = (W + C)z , dx

(129)

где элементы матрицы C = C(x) суммируемы в интервале [x0 , ∞). Пусть теперь число λ таково, что все корни μ1 , μ2 , . . ., μ2n имеют различные вещественные части; тогда в силу (122) функции

R(wj (x) − wk (x)) = ρ(x)R(μj − μk ) будут сохранять знак в интервале [x0 , ∞). Следовательно, к системе (129) применима теорема 1. Эта система имеет 2n линейно независимых решений

z1 = z1k , z2 = z2k , . . . , z2n = z2n, k , k = 1, 2, . . . , 2n, таких, что

zjk = eμk ξ ηjk , 

где

lim ηjk =

x→∞

и где

1 при j = k, 0 при j = k

x !

ξ=

2n

x0

1

p0 (t)

dt.

Преобразование y = Bz переводит эти решения в некоторые решения dy системы = A y . Учитывая формулу (127) для матрицы B и исходную dx

запись (112) этой последней системы, приходим к следующему результату. Т е о р е м а 8. Если функции   1 , p1 , p2 , . . . , pn p0

суммируемы в интервале [ 0, ∞) и если lim p0 (x) > 0, то уравнение x→+∞

(−1)n

dn dxn



11 Наймарк М. А.

p0

dn y dxn



+ (−1)n−1

dn−1 dxn−1

 dn−1 p1 n−1 + . . . + pn y = λy dx

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

322

имеет 2n линейно независимых решений y1 , y2 , . . ., y2n , таких, что при x → ∞

yk = eμk ξ [1 + o(1)], [1]

yk = μk ρeμk ξ [1 + o(1)], ............ [n−1]

yk

[n]

1 n−1 μk ξ = μn− ρ e [1 + o(1)], k

(130)

yk = p0 μnk ρn eμk ξ [1 + o(1)],

[n+1]

yk

1 n+1 μk ξ = −p0 μn+ ρ e [1 + o(1)], k ....................

[2n−1]

yk

= (−1)n−1 p0 μ2kn−1 ρ2n−1 eμk ξ [1 + o(1)],

[ν]

где yk , ν = 1, 2, . . . , 2n − 1, — квазипроизводные функции yk ; μk — все различные корни (2n)-й степени из (−1)n λ, действительные части которых предполагаются различными, а

x

1 p0

ρ = 2√ , ξ= n

!

2n

x0

1

p0 (t)

dt.

(131)

б). П р и м е н е н и е т е о р е м ы 3. Положим

A = A0 + A1 + A2 , где

⎛ ⎜ ⎜ A0 = ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ A1 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

0

0 0 ... 0 ............ 0 0 ... 0 pn 0 . . . 0

1 ..

. 1 1 p0

−λ

⎞ ⎟ ⎟ ⎟, ⎠

(132)

⎞

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ −1 ⎟ ⎟ .. ⎟ . ⎟ ⎟ −1 ⎠ 0

(133)

§ 22. Асимптотика при больших значениях аргумента

⎛

0 ..

.

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ A2 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

0

..

.

p1 p2

pn−1

323

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(134)

0

..

.

..

.

Найдем соответствующие матрицы W , B . X , X0 , X1 . Диагональные элементы матрицы W суть собственные значения матрицы A0 + A1 ; следовательно, они являются корнями уравнения    −w 1 0     −w . . .       1     1     p0 (135)   = 0.   − 1     ..   .      −1  0    pn − λ −w  Вычисляя этот определитель (см. с. 319), получим уравнение

w2n + (−1)n

pn − λ = 0. p0

(136)

Обозначим через ρ = ρ(x) измеримую функцию 1), которая при любом λ − pn значении x является одним из корней (2n)-й степени из (−1)n ; тогда решениями уравнения (136) будут

wj = εj ρ, j = 1, 2, . . . , 2n,

p0

(137)

где ε1 , ε2 , . . ., ε2n — все различные корни 2n-й степени из единицы. Найдем теперь матрицу B . По определению

(A0 + A1 )B = BW ; Если функции pn , p0 непрерывны, а функции p0 и pn − λ не обращаются в нуль при достаточно большом x, то можно задаться каким-нибудь значением корня при фиксированном значении x и потребовать, чтобы функция ρ(x) была непрерывной. Этими условиями она определится однозначно. 1)

11*

324

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

повторяя те же рассуждения, что и на с. 320, получим

B = P Eδ ,

(138)

где P — диагональная матрица с диагональными элементами

P1 = 1, P2 = ρ, P3 = ρ2 , . . . , Pn = ρn−1 , Pn+1 = p0 ρn , Pn+2 = −p0 ρn+1 , Pn+3 = p0 ρ

n+2

, . . . , P2n = (−1)

n−1

p0 ρ

2n−1

(139)

,

δ — диагональная матрица с диагональными элементами δ1 , δ2 , . . . , δ2n , ⎛

а

⎜ ⎜ E=⎜ ⎝

1 1 ... 1 ε1 ε2 . . . ε2n ........................

⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎠

(140)

1 ε21n−1 ε22n−1 . . . ε22n− n

Для определения матрицы δ воспользуемся дополнительным условием, dB

согласно которому диагональные элементы матрицы B −1 должны dx быть равны нулю. Дифференцируя соотношение (138) и умножая обе части полученного результата на B −1 = δ −1 E −1 P −1 , найдем, что

B −1

dB dP dδ = δ −1 E −1 P −1 · Eδ + δ −1 . dx dx dx

Эта матрица имеет те же диагональные элементы, что и матрица

δB −1

dB −1 dP dδ −1 δ = E −1 P −1 ·E+ δ , dx dx dx

(141)

и потому диагональные элементы последней должны быть равны нулю. Но, как легко проверить, ⎛ ⎞ 1 ε21n−1 ε21n−2 . . . ε1 ⎜ 2n−1 ε22n−2 . . . ε2 ⎟ 1 ⎜ 1 ε2 ⎟ E −1 = ⎜ ⎟, 2n ⎝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎠ 1 2 1 ε22n− ε22n− . . . ε2n n n

поэтому условие обращения в нуль диагональных элементов матрицы (141) примет вид 2n 1 2n−j+1 1 dPj j−1 1 dδk εk ε + = 0, 2n Pj dx k δk dx

j=1

§ 22. Асимптотика при больших значениях аргумента

т. е.

325

2n 1 1 dPj 1 dδk + = 0. 2n Pj dx δk dx

j=1

Решая это дифференциальное уравнение, найдем, что 1

δk = ck (P1 P2 . . . P2n )− 2n , где ck — произвольные постоянные; учитывая выражения (139) для диагональных элементов P1 , . . ., P2n , мы получим

δ k = ck ρ − Таким образом,

δ = ρ−

2n−1 2

2n−1 2

−

1

p0 2 .

−

1

p 0 2 c,

где c — постоянная диагональная матрица. Подставляя в (138), получим следующие выражения для B :

B = ρ−

2n−1 2

−

1

p0 2 P C ,

(142)

где C = Ec — постоянная матрица. Найдем теперь матрицу X0 . Введем обозначения: (0)

(1)

X0 = (xjk ), X1 = (xjk ), C = (cjk ), C −1 = (cjk ), B = (bjk ), B −1 = (bjk );

тогда из (33) при i = 0 и из (142), (132) и (139) получим (0)

xjk (wk − wj ) = pn bj , 2n b1k = pn cj , wn P2−n1 P1 c1k =

= pn (−1)n−1 p0−1 ρ−(2n−1) cj , 2n c1k .

Отсюда в силу (137)

X0 =

pn S , λ − pn 0

(143)

где S0 — постоянная матрица. Но тогда из (34) легко выводим, что

X=

pn S, (λ − pn )ρ

(144)

где S — постоянная матрица. Далее, из (33) при i = 1 вытекает, что (1)

xjk (wk − wj ) = −

p0  bjn bn+1, k = p20

=−

p0  p0  −1 c P P c = − ρc c ; n+ 1 n+ 1, k n jn p0 jn n+1, k p20

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

326

следовательно,

X1 = −

p0 S1 , p0

(145)

где S1 — постоянная матрица. Наконец, пользуясь формулами (134), (137) и (139), легко убедиться в том, что

B −1 A 2 B =

p1 p p 1 T1 + 2 3 T2 + . . . + n− Tn−1 , p0 ρ p0 ρ p0 ρ2n−3

(146)

где T1 , T2 , . . ., Tn−1 — постоянные матрицы. Формулы (143)–(146) показывают, что условия теоремы 3 будут удовлетворены, если функции pn , (λ − pn )ρ

pn2 , (λ − pn )2 ρ

pn ρ , (λ − pn )ρ2

p0 , p0

p1 , p0 ρ

p2 p 1 , . . . , n− p0 ρ3 p0 ρ2n−3

суммируемы в некотором интервале [x0 , ∞) и если     pn < 1 . lim  x→∞ (λ − pn )ρ  |S|

(147)

(148)

Этот предел существует ввиду вытекающей из (147) суммируемости производной функции

pn . (λ − pn )ρ

Оценим норму |S| матрицы S . Пусть s0ik , sik — элементы матриц S и S . Очевидно, можно считать c = 1. Тогда C = E ; следовательно, учитывая выражения для E и E −1 , получим ⎧ 0 при i = k, ⎨ (0) n−1 sik = εi ⎩ (−1) при i = k. 0

εk − εi

2n

Отсюда и из определения матрицы X заключаем, что ⎧ 0 при i = k, ⎨ n sik = (−1) εi при i = k, ⎩ 2 2n

и потому

|S|2 

1

(2n)2

(εk − εi )

2n

i, k=1 i =k

1 (2 n − 1 )2 n  , |εk − εi |4 (2n)2 a42n

где a2n — длина стороны правильного 2n-угольника, вписанного в окружность радиуса единица. Следовательно, !

|S|  √

2n − 1 2n a22n

.

§ 22. Асимптотика при больших значениях аргумента

Из суммируемости функции

327

p0 вытекает, что существует p0 ∞ 

lim ln |p0 (x)| = ln |p0 (x0 )| +

x→∞

p0 (x) dx, p0 (x)

x0

и потому существует также

|p0 (∞)| = lim |p0 (x)| = 0. x→∞

Отсюда следует, что суммируемость функций (147) эквивалентна суммируемости функций 1

1

p0 , p0

1

pn |λ − pn |−1− 2n , pn2 |λ − pn |−2− 2n , pn |λ − pn |−1− 2n p0 , 1

3

p1 |λ − pn |− 2n , p2 |λ − pn |− 2n , . . . , pn−1 |λ − pn |−

2n−3 2n

(149)

.

Предположим, кроме того, что при x достаточно большом (x  x0 ), вещественная часть каждой из функций

wj − wk = ρ(εj − εk ) сохраняет знак. Применяя теоремы 1 и 3 и пользуясь формулой дли матрицы B и свойствами матричной функции X(x), приходим к следующему результату. Т е о р е м а 9. Пусть при достаточно большом x0 функции 1

1

1

pn (λ − pn )−1− 2n , pn2 (λ − pn )−2− 2n , pn (λ − pn )−1− 2n p0 ,

p0 , p0

1

3

p1 (λ − pn )− 2n , p2 (λ − pn )− 2n , . . . , pn−1 (λ − pn )−

2n−3 2n

суммируемы в интервале [x0 , ∞), а вещественные части функций 1

wj − wk = i(λ − pn ) 2n (εj − εk ), где εj , j = 1, . . ., 2n, — все различные корни (2n)-й степени из единицы, сохраняют знак в этом интервале. Пусть, кроме того, 1

√

lim |pn (λ − pn )−1− 2n | < !

x→∞

2n a22n 2n − 1

,

(150)

где a2n — длина стороны правильного 2n-угольника, вписанного в единичную окружность.

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

328

Тогда уравнение l(y) = λy имеет 2n линейно независимых решений y = yj , j = 1, 2, . . ., n, таких, что при x → +∞

yj = ρ−

2n−1 2

[1]

2n−1

−

1

−

1

−

1

p0 2 eεj ξ [1 + αj 0 + o(1)],

yj = ρ− 2 p0 2 εj ρeεj ξ [1 + αj 1 + o(1)], ................ = ρ−

2n−1 2

yj = ρ−

2n−1 2

[n−1]

yj

[n]

[n+1]

yj

1 n−1 εj ξ p0 2 εn− ρ e [1 + αj , n+1 + o(1)], j 1

(151)

εnj p02 ρn eεj ξ [1 + αjn + o(1)], 1

2n−1

1 2 n+1 εj ξ = −ρ− 2 εn+ p0 ρ e [1 + αj , n+1 + o(1)], j .....................

[2n−1]

yj

1

2n−1

= (−1)n−1 ρ− 2 ε2jn−1 p02 ρ2n−1 eεj ξ [1 + αj , 2n−1 + o(1)], j = 1, 2, . . . , 2n,

где αjν — некоторые постоянные 1)

x ξ=

(152)

p0

x0 [1]

x , λ − pn ρ dx = 2n (−1)n dx x0

[2n−1]

— квазипроизводные функции yj 2). и где yj , . . ., yj Отметим важные частные случаи, при которых осуществляются условия теоремы 9: 1). Если λ — невещественное число, то ввиду вещественности функции pn (x) множитель λ − pn (x) ограничен снизу. Следовательно, в этом случае для суммируемости функции (149) достаточна суммируемость функций

pn , pn2 , pn p0 ,

p0 , p0

p1 p2 , . . . , pn−1 .

(153)

Если, кроме того, функция pn (x) ограничена в интервале [x0 , ∞), то это последнее условие не только достаточно, но и необходимо 1)

В силу (38), (140), (142) и (144) ν 2n ξk αjν = xkj (ω) и xkμ (∞) = skμ lim k=1

εj

x→∞

pn . (λ − pn )p

2) В этой теореме асимптотика решений определяется лишь коэффициентами p0 и pn . Более тонкие теоремы, в которых асимптотика определяется поведением всех коэффициентов, получены в работах Федорюк [1–4].

§ 22. Асимптотика при больших значениях аргумента

329

для суммируемости функций (149). Условие (150) будет тогда выполнено, если √

lim |pn (x)| < !

x→∞

2n a22n

2n − 1

1

|λ|1+ 2n .

(154)

2). Пусть |pn (x)| → ∞ при x → ∞; тогда

lim

x→∞

λ − pn = −1, pn

и потому суммируемость функций (149) эквивалентна суммируемости функций 1

1

1

pn |pn |−1− 2n , pn2 |pn |−2− 2n , pn |pn |−1− 2n p0 , 1

3

p1 |pn |− 2n , p2 |pn |− 2n , . . . , pn−1 |pn |−

2n−3 2n

p0 , p0

(155)

.

Кроме того,



, ρ=

2n

(−1)n−1

pn 1 λ 1− +O pn 2n pn

1

p2n

 ,

а значит,



 , pn 1 λ 1 n− 1 w j − wk = (−1) (εj − εk ) 1 − +O 2 , j = k. 2n

p0

2n pn

pn

Предположим теперь, что функция pn (x), следовательно и функция pn (x) , сохраняет знак при достаточно большом x. Пусть для p0 (x) p определенности (−1)n−1 n > 0 при x  x0 . Если R(εj − εk ) = 0, то из p0

(−1)n−1

предыдущей формулы следует, что

R(wj − wk ) =

, p (−1)n−1 n R(εj − εk )(1 + o(1))

2n

p0

(156)

и потому сохраняет знак при достаточно большом x. Если же R(εj − εk ) = 0, то (εj − εk ) = 0 и

, p 1 (λ) R(wj − wk ) = (−1)n−1 n (εj − εk )(1 + o(1)); 2n

p0 2n pn

(157)

следовательно, и в этом случае R(wj − wk ) сохраняет знак при x достаточно большом.

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

330

Случай (−1)n−1

pn < 0 рассматривается аналогично; при этом вмеp0

сто формул (156) и (157) следует рассматривать формулы ,  p  R(wj − wk ) = 2n  n  R(εj − εk )(1 + o(1)), R(εj − εk ) = 0, (156 ) p0 ,   p  1 (λ) R(wj − wk ) = 2n  n  (εj − εk )(1 + o(1)), R(εj − εk ) = 0, p0 2n pn

(157 )

где εj — все различные корни (2n)-й степени из −1. Итак, если lim pn (x) = +∞ или lim pn (x) = −∞, то функции x→∞ x→∞ R(wj − wk ), j = k, сохраняют знак при достаточно большом x. Рассмотрим теперь тот случай, когда |pn (x)| → ∞ при x → ∞ и функции pn (x), pn (x) не меняют знак в интервале [x0 , ∞); пусть, кроме того, при x → ∞

pn = O(|pn |α ), 0 < α < 1 +

1 . 2n

(158)

Тогда предел в левой части (150) равен нулю. Отсюда следует, что условие (150) выполнено и что все постоянные αjν в формулах (151) равны нулю. Если, кроме того, функция

p0 суммируема, то и функция p0

p0 суммируема (см. с. 327) и потому также суммируема функция 1

pn |pn |−1− 2n p0 , ибо в силу (158) произведение первых двух множителей ограничено при x → ∞. Пусть для определенности pn  0; тогда в силу условия |pn (x)| → → ∞ будет также pn > 0 при x достаточно большом (x > x0 ). Поэтому, учитывая условие (158), получаем, что N 

x0

1

pn2 |pn |−2− 2n dx =

N 

N 

1

−2− 2n

pn2 pn

dx = O

x0

1

α−2− 2n

pn pn

 dx =

x0

=

1

1

α−1− 1

α−1− 2n N ]x0 ).

O([pn

2n

1

Так как 0 < α < 1 + , то последнее выражение ограничено; следова2n тельно, существует интеграл ∞  x0

1

pn2 (pn )−2− 2n dx.

§ 22. Асимптотика при больших значениях аргумента

331

Аналогично можно показать, что этот интеграл существует при pn  0. Но тогда из соотношения N N    N 1 1  1 1  −1− 2n  −1− 2n  pn |pn | dx = pn |pn | pn2 |pn |−2− 2n dx  + 1+ 2n

x0

x0

x0

следует, что существует также интеграл ∞ 

1

pn |pn |−1− 2n dx,

x0

ибо

"

1

pn |pn |−1− 2n

# x=N

" 1 # = O |pn |α−1− 2n x=N → 0 при N → ∞.

Таким образом: Если при достаточно большом x0 1) функции pn , pn не меняют знак в интервале [x0 , ∞), 2) функции p0 , p0

1

3

p1 |pn |− 2n , p2 |pn |− 2n , . . . , pn−1 |pn |−

2n−3 2n

суммируемы в интервале [x0 , ∞) и если при x → +∞ 3) |pn (x)| → ∞, 1 4) pn = O(|pn |α ), 0 < α < 1 + , 2n то все условия теоремы 9 выполняются и потому имеют место асимптотические формулы (151), причем все αjν = 0. в). П р и м е н е н и е т е о р е м ы 5. Т е о р е м а 10. Пусть при достаточно большом x0 функции

p0 , p1 , p2 , . . . , pn непрерывны в интервале [x0 , ∞) и пусть существуют конечные пределы

a0 = lim p0 , a1 = lim p1 , . . . , an = lim pn , x→∞

x→∞

x→∞

(159)

причем a0 = 0. Если вещественные части корней ρ1 , ρ2 , . . ., ρ2n уравнения

(−1)n a0 ρ2n + (−1)n−1 a1 ρ2n−2 + . . . − an−1 ρ2 + an − λ = 0

(160)

отличны друг от друга, то уравнение

n−1   n  dn d y dn−1 d y (−1)n n p0 n + (−1)n−1 n−1 p1 n−1 + . . . + pn y = λy dx

dx

dx

имеет 2n линейно независимых решений

y1 , y2 , . . . , y2n ,

dx

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

332

таких, что

lim

x→∞

yk = ρk . yk

(161)

Следовательно, при любом положительном ε yk

lim x→∞ eρk +ε)x

= 0,

yk

lim x→∞ e(ρk −ε)x

= ∞.

(162)

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу условий теоремы

.. .

. 1 1 a0

a1

an−1 an − λ

⎞

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟; ⎟ −1 ⎟ ⎟ ⎟ .. ⎟ . ⎟ .. ⎟ . −1 ⎠ 0 ..

..

0

.

1

.

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ A(∞) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

0

..

⎛

собственные значения этой матрицы будут корнями уравнения

..

.

    −ρ 1     ..   .     ..   .   1     1    = 0.  a 0     a1 −ρ −1     ..   .       ..   . a − 1 n−1    a −λ −ρ  n Раскрывая последний определитель, получим уравнение

(−1)n a0 ρ2n + (−1)n−1 a1 ρ2n−2 + . . . − an−1 ρ2 + (an − λ) = 0.

§ 23. Индекс дефекта дифференциального оператора

333

По условию все его корни ρ1 , ρ2 , . . ., ρ2n имеют различные вещественные части; далее, в силу условия ⎞ ⎛ ρ1 0 . . . 0 ⎜ 0 ρ ... 0 ⎟ 2 ⎟ ⎜ B −1 A(∞)B = ⎜ ⎟ ⎝ .............. ⎠ 0 0 . . . ρn (см. (97)) столбцы матрицы B удовлетворяют однородной системе уравнений −ρk b1k + b2k = 0, − ρk b2k + b3k = 0, ........... (an − λ)b1k − ρk b2n, k = 0. В этих уравнениях можно положить b1k = 1; тогда остальные элементы b2k , . . ., b2n, k определяются единственным образом. Утверждение теоремы 10 непосредственно следует из этого обстоятельства и теоремы 5. З а м е ч а н и е. В некоторых случаях приходится рассматривать уравнение p0 y (n) + p1 y (n−1) + . . . + pn y = λy. (163) Пусть функции p0 , p1 , . . ., pn удовлетворяют тем же условиям, что и в теореме 9, и пусть корни ρ1 , ρ2 , . . ., ρn уравнения

a0 ρn + a1 ρn−1 + . . . + (an − λ) = 0

(164)

имеют отличные друг от друга вещественные части. Тогда уравнение (163) имеет n линейно независимых решений y1 , y2 , . . ., yn , таких, что y lim k = ρk . x→∞

yk

Следовательно, при любом положительном ε

lim

yk

x→∞ e(ρk +ε)x

= 0, lim

yk

x→∞ e(ρk −ε)x

= ∞, k = 1, 2, . . . , n.

(165)

Доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоремы 10. Теоремы 1–3 и 8 и 9 принадлежат И. М. Рапопорту (см. Рапопорт [1, 2], теоремы 4 и 5 Перрону (см. Перрон [1]).

§ 23. Индекс дефекта дифференциального оператора Рассмотрим дифференциальное выражение

n−1   n  dn d y dn−1 d y l(y) = (−1)n n p0 n + (−1)n−1 n−1 p1 n−1 + . . . + pn y (1) dx

dx

dx

dx

334

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

в интервале [ 0, +∞), где 1 , p1 , . . . , pn p0

— вещественные функции, суммируемые в каждом конечном интервале [ 0, α], α > 0. В дальнейшем в этом параграфе мы будем считать это условие выполненным и не будем его больше оговаривать. Как было показано в § 17, это выражение определяет замкнутый симметрический оператор L0 с индексом дефекта (m, m), где n  m  2n. Число m есть число линейно независимых решений уравнения

l(y) = λy , λ = 0,

(2)

принадлежащих L (0, ∞). Асимптотические выражения для решений уравнения (1), полученные в § 22, дают теперь возможность доказать некоторые теоремы об индексе дефекта оператора L0 . В этих теоремах выясняется, каким образом индекс дефекта зависит от поведения коэффициентов p0 , p1 , . . . , pn дифференциального выражения 1). 2

1. Изменение коэффициента pn на ограниченное слагаемое. Обозначим через q(x) измеримую вещественную функцию, существенно ограниченную в интервале (0, +∞). Т е о р е м а 1. При прибавлении к pn (x) функции q(x) индекс дефекта оператора L0 не изменяется. Д о к а з а т е л ь с т в о. Указанное прибавление равносильно прибавлению к L0 оператора умножения на функцию q(x), ограниченного в силу сделанных предположений относительно q(x). Ввиду вещественности функции q(x) этот оператор также эрмитов, а прибавление ограниченного эрмитова оператора к симметрическому оператору не изменяет индекса дефекта (см. теорему 6 п. 7 § 14). 2. Применение теоремы 7 § 22. Т е о р е м а 2. Если существуют постоянные a0 = 0, a1 , . . ., an , такие, что функции 1 1 − , p0 a0

p 1 − a1 , . . . , p n − an

суммируемы в интервале (0, ∞), то индекс дефекта оператора L0 есть (n, n). Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем невещественное число λ, такое, что все корни ρ1 , ρ2 , . . ., ρ2n уравнения

a0 ρ2n − a1 ρ2n−2 + . . . + (−1)n−1 (an − λ) = 0

(3)

1) Результаты пп. 1–7 принадлежат автору (см. Наймарк [4]); их подробные доказательства опубликованы впервые в первом издании этой книги.

§ 23. Индекс дефекта дифференциального оператора

335

имеют различные вещественные части. Согласно теореме 7 § 22 уравнение l(y) = λy имеет 2n решений y = yk , k = 1, 2, . . ., 2n, таких, что при x → ∞ yk = eρk x [1 + o(1)]. (4) Расположим числа ρ1 , ρ2 , . . ., ρ2n в порядке убывания их вещественных частей: R(ρ1 ) > R(ρ2 ) > . . . > R(ρ2n ). (5) Так как уравнение (3) содержит только четные степени ρ, то одновременно с ρν его корнем будет также −ρν ; поэтому корни ρ1 , ρ2 , . . . , ρn имеют положительную вещественную часть, а корни ρn+1 , ρn+2 , . . . , ρ2n — отрицательную часть. Отсюда на основании формулы (4) заключаем, что функции y1 , y2 , . . ., yn не будут принадлежать L2 (0, ∞), а функции yn+1 , . . ., y2n все принадлежат L2 (0, ∞). Кроме того, никакая линейная комбинация y = c1 y1 + c2 y2 + . . . + cn yn , в которой не все коэффициенты равны нулю, не может принадлежать L2 (0, ∞). Действительно, из соотношений (4) и (5) вытекает, что yk+1 →0 yk

x → +∞, k = 1, 2, . . . , 2n − 1.

при

Если поэтому cν — первый из коэффициентов c1 , c2 , . . ., cn , не равный нулю, то

c1 y1 + c2 y2 + . . . + cn yn = cν yν + cν+1 yν+1 + . . . + cn yn = cν yν [1 + o(1)] и, следовательно, не принадлежит L2 (0, ∞). Но тогда линейная комбинация c1 y1 + . . . + cn yn + cn+1 yn+1 + . . . + c2n y2n будет принадлежать L2 (0, ∞) тогда и только тогда, когда c1 = . . . = = cn = 0. Это как раз и означает, что индекс дефекта оператора L0 есть (n, n). 3. Применение теоремы 8 § 22. Т е о р е м а 3. Если функции   1 , p1 , p2 , . . . , pn p0

суммируемы в интервале [ 0, ∞) и если lim p0 (x) > 0, то оператор x→+∞

L0 имеет индекс дефекта (n, n). Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим c = lim

!

x→∞ 2n

1

p0 (x)

(существование этого предела было установлено при доказательстве теоремы 8 § 22); в силу условия теоремы c > 0. Пусть невещественное число λ выбрано так, что корни μ1 , μ2 , . . ., μ2n 2n-й степени из (−1)n λ имеют различные вещественные части. Ввиду того, что числа μk —

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

336

корни четной степени, имеется в точности n корней с положительной вещественной частью и n корней с отрицательной вещественной частыо. Расположим их в порядке убывания их вещественных частей, так что

R(μ1 ) > R(μ2 ) > . . . > R(μn ) > 0 > R(μn+1 ) > . . . > R(μ2n ). Согласно теореме 8 § 22 уравнение l(y) = λy имеет 2n линейно независимых решений yk , k = 1, 2, . . ., 2n, таких, что при x → +∞

yk = eμk ξ [1 + o(1)], где

x !

ξ=

2n

x0

1

p0 (t)

dt.

По определению числа c, каково бы ни было положительное число ε при x достаточно большом (x  x0 )

(c − ε)(x − x0 ) < ξ < (c + ε)(x − x0 ); в дальнейшем мы будем считать ε < c, так что c − ε > 0. Тогда при x  x0    yk    = eξR(μk −μk+1 ) [1 + o(1)]  eR(μk −μk+1 )(c−ε)x [1 + o(1)], yk+1

и потому

   yk+1     e−R(μk −μk+1 )(c−ε)x [1 + o(1)], yk

  y  lim  k+1  = 0.

так что

x→+∞

yk

(6)

Заметим теперь, что ни одна из функций y1 , y2 , . . ., yn не принадлежит L2 (0, ∞). Действительно, при k  n будет R(μk ) > 0, и потому

|yk | = eR(μk )ξ [1 + o(1)] > eR(μk )(c−ε)x [1 + o(1)], а это последнее выражение стремится к +∞ при x → +∞. Повторяя рассуждения, приведенные в конце доказательства теоремы 2, заключаем, что индекс дефекта оператора L0 есть (n, n). Теорему 3 можно обобщить следующим образом. Т е о р е м а 3 . Пусть выполнены условия: 1) функции   1 , p1 , p2 , . . . , pn−1 , p(x) p0

суммируемы в интервале [ 0, ∞); 2) lim p0 (x) > 0; x→+∞

3) pn (x) = p(x) + q(x);

§ 23. Индекс дефекта дифференциального оператора

337

4) функция q(x) измерима и существенно ограничена в интервале [ 0, ∞). Тогда оператор L0 имеет индекс дефекта (n, n). Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через L0 оператор, порожденный дифференциальным выражением

n−1   n  n−1 dn y d y  n d n−1 d p1 n−1 + . . . l (y) = (−1) p0 n + (−1) n−1 dxn dx dx dx   d dy ... − pn−1 + py. dx

dx

На основании теоремы 1 индекс дефекта оператора L0 совпадает с индексом дефекта оператора L0 , равным (n, n) по теореме 3. С л е д с т в и е. При тех же предположениях относительно q(x) оператор L0 , порожденный дифференциальным выражением

l(y) = (−1)n

d 2n y + q(x)y , dx2n

имеет индекс дефекта (n, n). Действительно, функции

p0 = 1, p1 = . . . = pn−1 ≡ 0, pn = q удовлетворяют всем условиям теоремы 3 . 4. Применение теоремы 9 § 22. Т е о р е м а 4. Пусть выполнены условия: 1) |pn (x)| → ∞ при x → +∞; 2) pn , pn не меняет знак в интервале [x0 , +∞) при достаточно большом x0 ; 3) при x → +∞

pn = O(|pn |α ), 0 < α < 1 +

1 ; 2n

(7)

4) функции p0 , p0

1

3

p1 |pn |− 2n , p2 |pn |− 2n , . . . , pn−1 |pn |−

2n−3 2n

суммируемы в интервале [ 0, +∞); 5) lim p0 (x) > 0 1). x→+∞

Тогда, если pn (x) → +∞ при x → +∞, то индекс дефекта оператора L0 есть (n, n). 1)

Условие 5) в действительности является нормировкой, ибо из суммируе-

мости функций Поэтому, если условию 5).

p0 следует, что существует предел p0

lim p0 = 0 (см. с. 327).

x→+∞

lim p0 < 0, то, переходя от l(y) к −l(y), мы удовлетворим

x→+∞

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

338

Если же pn (x) → −∞ при x → +∞, то индекс дефекта оператора L0 есть (n + 1, n + 1) или (n, n) в зависимости от того, будет ли интеграл ∞ 

1

|pn |−1+ 2n dx

(8)

сходиться или расходиться 1). Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно теореме 9 § 22 уравнение

l(y) = λ(y) имеет 2n линейно независимых решений yj , j = 1, 2, . . ., 2n, таких, что при x → +∞

yj = ρ−

2n−1 2

−

1

p0 2 eεj ξ [1 + o(1)], j = 1, 2, . . . , 2n,

где

ρ=

, p −λ (−1)n−1 n ,

2n

p0

(9)

(10)

x

ξ=

ρ dx,

(11)

x0

а ε1 , ε2 , . . ., ε2n — все различные корни 2n-й степени из единицы. При этом arg ρ выбирается так, чтобы он был непрерывной функцией от x и $ 0, если (−1)n−1 pn > 0, lim arg ρ = π x→+∞ , если (−1)n−1 pn < 0. 2n

Не нарушая общности, можно считать, что lim p0 = 1. Действительx→+∞

но, в противном случае можно l(y) умножить на ( lim p0 )−1 , что не x→+∞ изменит индекса дефекта оператора L0 . Рассмотрим сначала тот случай, когда (−1)n−1 pn = |pn | > 0 при достаточно большом x0 . Положим (−1)n−1 λ = iτ , где τ — вещественное число. Тогда при x → +∞ 

 ! iτ 1 [1 + o1 (1)], +O 2 (12) ρ = 2n |pn | 1 − 2n|pn |

pn

где o1 (1) вещественно. 1)

Теорема, содержащая условия, достаточные для того, чтобы индекс дефекта был равен (n + k, n + k), где 0  k  n, получена в работе Федорюка [1]. Эта теорема основана на более общих асимптотических формулах, найденных М. В. Федорюком (см. также Федорюк [4]).

§ 23. Индекс дефекта дифференциального оператора

339

Занумеруем числа ε1 , ε2 , . . ., ε2n в порядке убывания их вещественных частей: 1 = R(ε1 ) > R(ε2 ) = R(ε3 ) > R(ε4 ) = R(ε5 ) > . . . > R(ε2n−1 ) = = R(ε2n−1 ) > R(ε2n ) = −1. Кроме того, нумерацию выберем такую, чтобы при R(εj ) = R(εj+1 ) было (εj ) > (εj+1 ). Если n — нечетное число, то первые n среди этих чисел будут положительными, а остальные n отрицательными; если n четно, то среди этих чисел первые n − 1 положительны, последние n − 1 отрицательны и два промежуточных, именно R(εn ) и R(εn+1 ), равны нулю. Пусть R(εj ) > 0; тогда из (12) вытекает, что ! εj ρ = εj 2n |pn | [1 + o(1)], и потому

R(εj ρ) =

! |pn | R(εj )[1 + o(1)].

2n

(13)

Выберем x0 в формуле (11) настолько большим, чтобы при x > x0 было |o(1)| < ε, где 0 < ε < 1. Тогда ! R(εj ρ) > 2n |pn | R(εj )(1 − ε), и потому

 R(εj ξ) = R εj

x

 ρ dx > R(εj )(1 − ε)

x0

x

! |pn | dx.

2n

x0

Отсюда при x > x0

|yj | > |pn |−

2n−1 2n

 exp R(εj )(1 − ε)

x

! |pn | dx (1 − ε).

2n

(14)

x0

Но в силу условия (7) x x0

 x  1 1   |pn | 2n dx > c  |pn | 2n −α pn dx = x0 1

=c

x 

|pn |1+ 2n −α 

 1 1+ − α 2n x0

1

= c1 |pn |1+ 2n −α + c2 , (15)

где c, c1 , c2 — некоторые постоянные и c, c1 > 0. Поэтому из (14) заключаем, что + *  2n−1 1 |yj | > (1 − ε)|pn |− 4n exp R(εj )(1 − ε) c1 |pn |1+ 2n −α + c2 → +∞ при x → +∞. Следовательно, при R(εj ) > 0 функция yj не будет с интегрируемым квадратом в интервале [ 0, +∞). Пусть теперь

340

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

R(εj ) = 0 (как мы видели выше, этот случай возможен только при четном n). Тогда εj = ±i; пусть, например, εj = i. Применяя снова формулу (12), находим, что ! 1 τ R(εj ρ) = R(iρ) = 2n |pn | [1 + o(1)] = c|pn |−1+ 2n [1 + o(1)], 2n|pn |

где

c=

τ . 2n

(16)

Поведение функции yj при больших значениях x будет теперь зависеть от того, сходится или расходится интеграл ∞ 

I=

1

|pn |−1+ 2n dx.

(17)

Предположим сначала, что этот интеграл сходится. Пусть τ > 0, следовательно, c > 0. Выберем снова x0 настолько большим, чтобы при x > x0 было |o(1)| < ε, где 0 < ε < 1. Тогда из (9) и (12) заключаем, что 1

|yj |2 < |pn |−1+ 2n e2R(εj ξ) (1 + ε) <  1 < |pn |−1+ 2n exp 2c(1 + ε)

x

1

|pn |−1+ 2n dx (1 + ε)
0, c > 0, εj = i, имеем

 1 |yj |2 > (1 − ε)|pn |−1+ 2n exp 2c(1 − ε)

x x0

1

|pn |−1+ 2n dx ,

§ 23. Индекс дефекта дифференциального оператора

341

и потому

x



1 |yj | dx > exp 2c(1 − ε) 2c

x

2

x0

x  1 |pn |−1+ 2n dx  . x0

x0

Это последнее выражение стремится к +∞ при x → +∞. Если же εj = −i, то при τ > 0 будет c < 0, и потому x

|yj |2 dx < (1 + ε)

x0

x x0

 1 |pn |−1+ 2n exp 2c(1 − ε)

x

1

|pn |−1+ 2n dx dx =

x0

 x x  1 (1 + ε) exp 3c(1 − ε) |pn |−1+ 2n dx  ; = 2c(1 − ε) x0

x0

ввиду отрицательности показателя это последнее выражение имеет конечный предел при x → +∞. Следовательно, при R(εj ) = R(εj+1) = 0 среди функций yj и yj+1 одна будет, а вторая не будет с суммируемым квадратом, если интеграл (17) расходится. Пусть теперь R(εj ) < 0. Повторяя те же рассуждения, что и при выводе неравенства (14), найдем, что в этом случае

 1 |yj |2 < (1 + ε)|pn |−1+ 2n exp 2R(εj )(1 − ε)

x

1

|pn | 2n dx
x0     x  yj+1  1   < exp R(εj+1 − εj )(1 − ε) |pn | 2n dx (1 + ε),   yj

x0

а это последнее выражение стремится к нулю при x → +∞. Пусть теперь R(εj ) = R(εj+1 ); тогда εj − εj+1 = iω , где ω > 0. Рассмотрим сперва тот случай, когда интеграл (17) расходится. Рассуждая так же,

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

342

как и при выводе неравенства (18), найдем, что при (−1)j−1 λ = iτ , τ > 0,     x  yj+1  1   < exp −a |pn |−1+ 2n dx (1 + ε),  yj  x0

где a > 0. В силу предполагаемой расходимости интеграла (17) последнее выражение стремится к нулю при x → +∞. Предположим теперь, что интеграл (17) сходится. Применяя формулу (12), заключаем, что при τ > 0 yj = eiωξ [1 + o(1)] = eiωξ eo(1) = yj+1

 = exp iω

x

|pn |

1 2n

(1 + η) dx + κ

x0

x

1

|pn |−1+ 2n [1 + o(1)] dx + o(1) ,

x0

где κ — некоторая положительная постоянная, а η = o(1); следовательно, x 1 yj arg = ω |pn | 2n (1 + η) dx. (19) yj+1

x0

При достаточно большом x0 подынтегральная функция положительна y и, кроме того, стремится к +∞; поэтому при x → +∞ arg j возрасyj+1 тает и стремится к +∞. Пусть a — произвольное комплексное число, не равное нулю. Докажем, что линейная комбинация yj + ayj+1 не будет с интегрируемым квадратом в интервале [ 0, +∞). Пусть S(ϕπ  arg z  ψπ) — произвольный сектор комплексной плоскости, не содержащий точки −a. Обозначим через Δk совокупность всех тех значений x, для которых

(2k + ϕ)π  arg

yj  (2k + ψ)π , yj+1

k = 1, 2, 3, . . . ;

очевидно, Δk — замкнутый интервал. При x ∈ Δk точка

yj находится yj+1

в секторе S и потому находится на расстоянии от −a, ограниченном снизу положительным числом, т. е.    yj     δ, + a   yj+1

где δ — положительная постоянная. Но тогда  2      2 2  yj 2  |yj + ayj+1 | dx  |yj+1 |  + a dx > δ |yj+1 |2 dx; Δk

Δk

yj+1

Δk

§ 23. Индекс дефекта дифференциального оператора

343

следовательно, в силу (14) при R(εj+1 ) > 0 

|yj + ayj+1 |2 dx >

Δk

> (1 − ε)2 δ 2



 1 |pn |−1+ 2n exp 2R(εj+1 )(1 − ε)

Δk

x

1

|pn | 2n dx dx >

x0



−1

> (1 − ε) δ |pnk | 2 2

|pn |

1 2n

 exp 2R(εj+1 )(1 − ε)

Δk

x

1

|pn | 2n dx dx,

x0

(20)

где pnk обозначает значение функции pn на правом конце интервала Δk . Выберем x0 настолько большим, чтобы в (19) при x  x0 было |η| < ε, а затем k настолько большим, чтобы Δk ⊂ [x0 , +∞). Тогда из (20) заключаем, что  δ2 |yj + ayj+1 |2 dx > (1 − ε)2 × (1 + ε)|pnk |

Δk

 ×

|pn |

1 2n

  x 1 1−ε (1 + η) exp 2R(εj+1 ) |pn | 2n (1 + η) dx dx = 1+ε

Δk

x0

 A  =  |pnk |

где

A=

δ 2 (1 − ε) , 2R(εj+1 )

Δk

 x  1 exp B |pn | 2n (1 + η) dx , x0

B = 2R(εj+1 )

1−ε . 1+ε

Отсюда, по определению интервала Δk ,  A |yj + ayj+1 |2 dx > [eB1 (2k+ψ) − eB1 (2k+ϕ) ], |pnk |

Δk

где B1 =

πB . ω

С другой стороны, из неравенства (15) вытекает, что

|pn (x)|β < c

x

1

|pn | 2n dx < c1

x0

где

c1 =

c , 1−ε

x

1

|pn | 2n (1 + η) dx,

x0

β =1+

1 − α > 0. 2n

(21)

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

344

Подставляя сюда вместо x правый конец интервала Δk , получим

|pnk |β
c3 (2k + ψ)

c2 =

c1 π; ω

1

−β

.

Отсюда и из (21) заключаем, что 

|yj + ayj+1 |2 dx > A1 (2k + ψ)

1

− β B1 (2k+ψ)

e

[1 − e−B1 (ψ−ϕ) ],

Δk

где

A1 = Ac3 . Но правая часть последнего неравенства стремится к +∞ при k → +∞; поэтому функция yj + ayj+1 не будет с суммируемым квадратом в интервале [ 0, +∞). Предположим теперь снова, что интеграл (17) расходится. Тогда функции y1 , y2 , . . ., yn не будут с суммируемым квадратом в интервале [ 0, ∞). Рассмотрим произвольную линейную комбинацию y = c1 y1 + c2 y2 + . . . + cn yn , в которой не все коэффициенты равны нулю; докажем, что она также не будет с интегрируемым квадратом в интервале [ 0, +∞). Пусть cj — первый среди коэффициентов c1 , c2 , . . . , cn , не равный нулю; тогда

y = cj yj + cj+1 yj+1 + . . . + cn yn = yj [cj + o(1)],

(22)

ибо по доказанному выше в рассматриваемом случае все отношения yj+1 yj+2 y , , ... , n yj yj yj

стремятся к нулю при x → +∞. Из (22) вытекает, что y не принадлежит L2 (0, ∞). Этот результат означает, что в рассматриваемом случае индекс дефекта оператора L0 есть (n, n). Рассмотрим теперь тот случай, когда интеграл (17) сходится, а n нечетно. Тогда функции y1 , y2 , . . ., yn не будут принадлежать L2 (0, ∞). Докажем, что этим же свойством обладает любая линейная комбинация y = c1 y1 + c2 yy + . . . + cn yn , в которой не все коэффициенты c1 , c2 , . . ., cn равны нулю. Пусть cj — первый среди этих коэффициентов, не равный нулю. Если R(εj ) > R(εj+1 ) или R(εj ) = R(εj+1 ), но cj+1 = 0, то утверждение доказывается так же, как и в предыдущем случае. Рассмотрим поэтому тот случай, когда R(εj ) = R(εj+1 ) и cj+1 = 0. Тогда   c y y = cj yj+1 j+1 + j + o(1) cj

yj+1

§ 23. Индекс дефекта дифференциального оператора

345

и при k натуральном и достаточно большом функция в квадратных c скобках ограничена снизу на интервале Δk , построенном для a = j+1 :

   cj+1  yj   > d > 0. + + o( 1 )  cj  yj+1 

Но тогда

|y|2 dx > |cj |2 d2

Δk



cj

|yj+1 |2 dx.

Δk

Последнее же выражение, как мы видели выше, стремится к +∞ при x → +∞; следовательно, и в этом случае y ∈ L2 (0, ∞). Таким образом, в случае сходимости интеграла (17), но при n нечетном индекс дефекта оператора L0 по-прежнему есть (n, n). Пусть теперь интеграл (17) по-прежнему сходится, но n четно. Тогда при τ > 0 функции yn , yn+1 , . . ., y2n будут все принадлежать L2 (0, ∞), а y1 , y2 , . . ., yn−1 не будут принадлежать L2 (0, ∞). Повторяя предыдущие рассуждения, убеждаемся в том, что линейная комбинация c1 y1 + . . . + cn−1 yn−1 может принадлежать L2 (0, ∞) лишь тогда, когда c1 = . . . = cn−1 = 0. Следовательно, в этом случае индекс дефекта оператора L0 будет (n + 1, n + 1). Таким образом, теорема полностью доказана в том случае, когда (−1)n−1 pn > 0 при x достаточно большом. Предположим теперь, что (−1)n−1 pn < 0 при достаточно большом x, так что (−1)n−1 pn = −|pn |. Тогда, полагая найдем, что

ρ= Положим

π

(−1)n−1 λ = −iτ , κ = ei 2n ,  ! |pn | κ 1 −

2n

iτ +O 2n|pn |

1

p2n

 (1 + o(1)).

εj = κεj , j = 1, 2, . . . , 2n,

и занумеруем числа ε1 , ε2 , . . ., ε2n таким образом, что

R(ε1 ) = R(ε2 ) > R(ε3 ) = R(ε4 ) > . . . > R(ε2n−1 ) = R(ε2n ).

(23)

Если n четно, то n первых среди этих чисел будут положительны, а последние n отрицательны. Если же n нечетно, то n − 1 первых среди чисел положительны, последние n − 1 отрицательны, а n-е и n + 1-е равны нулю. Поэтому применяя предыдущие рассуждения к числам ε1 , ε2 , . . . . . . , ε2n вместо ε1 , ε2 , . . ., ε2n и меняя ролями в этих рассуждениях случаи четного и нечетного n, получаем доказательство теоремы и для случая (−1)n−1 pn → −∞.

346

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

З а м е ч а н и е 1. Заключение теоремы 3 остается верным, если к функции pn (x), удовлетворяющей условиям этой теоремы, прибавить произвольную измеримую функцию q(x), существенно ограниченную в интервале [x0 , +∞) при достаточно большом x0 (см. теорему 1). З а м е ч а н и е 2. При n = 1 и p0 = 1 мы приходим к следующему результату для оператора второго порядка. Пусть при достаточно большом x0 функции p (x), p (x) сохраняют знак и при x → +∞ 3 2

p = O(|p|α ), где 0 < α < . Тогда, если p → +∞ при x → +∞, то оператор L0 , порожденный дифференциальным выражением

l(y) = −y  + py , в интервале [ 0, ∞) имеет индекс дефекта (1, 1). Если же p → −∞, то этот оператор имеет индекс дефекта (2, 2) или (1, 1) в зависимости от того, будет ли интеграл ∞ 

1

|p|− 2 dx

сходиться или расходиться. В дальнейшем (см. п. 8) этот результат будет усилен. 5. Применение теоремы 10 § 22. Т е о р е м а 5. Пусть при достаточно большом x0 функции p0 , p1 , . . ., pn непрерывны в интервале [x0 , +∞) и пусть существуют пределы

lim p0 = a0 ,

x→+∞

причем (n, n).

lim p1 = a1 , . . . ,

x→+∞

lim pn = an ,

x→+∞

(24)

lim p0 = 0. Тогда индекс дефекта оператора L0 есть

x→+∞

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем невещественное число λ, такое, что все корни ρ1 , ρ2 , . . ., ρ2n уравнения

(−1)n a0 ρ2n + (−1)n−1 a1 ρ2n−2 + . . . + an = λ

(25)

имеют различные вещественные части. Занумеруем эти корни так, что

R(ρ1 ) > R(ρ2 ) > . . . > R(ρ2n ).

(26)

Первые n из этих чисел R(ρk ) будут положительны, а последние n отрицательны. Выберем положительное число ε, такое, что

R(ρk ) − R(ρk+1 ) > 2ε, k = 1, 2, . . . , 2n − 1.

(27)

§ 23. Индекс дефекта дифференциального оператора

347

Согласно теореме 10 § 22 уравнение l(y) = λy имеет 2n линейно независимых решений y1 , y2 , . . ., y2n , таких, что yk

lim x→+∞ e(ρk −ε)x

 lim −

x→+∞

yk e(ρk +ε)x



= ∞,

(28)

= 0.

(29)

Из этих соотношений и условия (27) вытекает, что yj+1 →0 yj

при x → +∞.

(30)

Кроме того, при 1  k  n R(ρk − ε) > 0, так что e(ρk −ε)x ∈ L2 (0, ∞). Учитывая (28), мы заключаем отсюда, что функции y1 , y2 , . . ., yn не принадлежат L2 (0, ∞). Аналогично из (29) вытекает, что функции yn+1 , . . ., y2n ∈ L2 (0, ∞). Кроме того, соотношение (30) показывает, что функция c1 y1 + . . . + c2n y2n может принадлежать L2 (0, ∞) лишь тогда, когда c1 = . . . = cn = 0. Это означает, что индекс дефекта оператора L0 есть (n, n). С л е д с т в и е. Пусть функции p0 , p1 , . . ., pn−1 те же, что и в теореме 5, а функция pn существенно ограничена в интервале [ 0, ∞). Тогда индекс дефекта оператора L0 есть (n, n). Это следствие непосредственно вытекает из теорем 1 и 5. 6. Индекс дефекта оператора второго порядка. Для дифференциальных операторов второго порядка предыдущие результаты могут быть значительно усилены. Одной из наиболее общих здесь является 1) 1)

Более общий результат получен Сирсом (см. Сирс [1]), а затем В. Б. Лидским для операторов в пространстве вектор-функций (см. Лидский [1]). Сформулируем теорему Лидского. Пусть P (x) — квадратная эрмитова матрица порядка k. Предположим, что (P (x)h, h)  −q(x)(h, h) для любого постоянного вектора h, причем q(x) — непрерывная функция, удовлетворяющая условиям q(x) > δ > 0 ∞  и [q(x)]−1/2 dx < ∞. Кроме того, предположим, что q(x) либо монотонна, 0

либо дифференцируема и lim |q  (t)|[q(t)]−3/2 < ∞. Тогда при любом невещеt→∞

ственном λ система −y  + P (x)y = λy имеет точно k линейно независимых решений с интегрируемым квадратом на полуоси (0, ∞). В работе Лидский [1] получено также условие, достаточное для того, чтобы все решения системы −y  + P (x)y = λy были интегрируемы с квадратом на полуоси (0, ∞). Отметим также, что в работе Рофе-Бекетов [2] получено обобщение теоремы Сирса, основанное на замене неравенств для коэффициентов дифференциального выражения неравенствами для значений этого выражения на финитных функциях.

348

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

Т е о р е м а 6 (Левинсон [1]). Пусть p(x) > 0, и пусть M (x) — положительная неубывающая дифференцируемая функция такая, что интеграл ∞  dx ! = +∞ (31) pM √ p M lim √ < +∞. x→∞ M3

и

(32)

Пусть далее для всех достаточно больших значений x

q(x) > −KM (x),

(33)

где K — положительная постоянная. Тогда индекс дефекта оператора L0 , порожденного дифференциальным выражением   d dy l(y) = − (34) p + qy , 0  x < ∞, dx

dx

есть (1, 1). Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать, что уравнение   d dy − p + qy = 0 dx

dx

имеет хотя бы одно решение, не принадлежащее L2 (0, ∞). Если y — вещественное решение этого уравнения, то −qy 2 (py  ) y =− . M M

Интегрируя обе части последнего равенства, получим x x 2 x 2 x qy pyy   py pyy  M  − dx = − dx − dx. 2  + M

M

a

M

a

a

a

M

Предположим, что y ∈ L2 (0, ∞); тогда в силу условия (33) ∞ x 2 x  qy 2 − dx < K y dx < K y 2 dx. M

a

a

a

Поэтому существует постоянная K1 , такая, что x 2 x pyy  py pyy  M  K1 > − + dx − dx. 2 M

M

a

a

M

Докажем теперь, что если решение y ∈ L (0, ∞), то интеграл ∞  2 py dx 2

M

a

(35)

§ 23. Индекс дефекта дифференциального оператора

349

сходится. Предположим противное; пусть этот интеграл расходится. Тогда функция x 2 py H(x) = dx (36) M

a

положительна, возрастает и стремится к +∞ при x → +∞. Применяя неравенство Буняковского и пользуясь условием (32) при достаточно большом a и x > a, имеем

x  x  '   pyy  M   p     dx < K2 yy   dx   M M2 a

a

x  K2

2

 12 x

y dx a

py 2 dx M

 12 < K3

! H(x),

a

где K2 — некоторая постоянная, а  12 ∞  K 3 = K2 y 2 dx . a

Поэтому из (35) заключаем, что

K1 > H(x) −

! pyy  − K3 H(x). M

Так как H(x) − +∞ при x → +∞, то последнее неравенство может иметь место лишь тогда, когда pyy  > 0, M

т. е. когда y и y  одного знака при достаточно большом x. Но тогда при x достаточно большом |y| возрастает, следовательно, y не может принадлежать L2 (0, ∞). Итак, доказано, что при y ∈ L2 (0, ∞) интеграл (36) сходится. Предположим теперь, что y1 , y2 — два линейно независимых вещественных решения уравнения (34). Тогда

p(y1 y2 − y2 y1 ) = c, где c — постоянная, не равная нулю. Отсюда ' ' p  p  c y2 y1 − y1 y2 = ! M

M

pM

.

(37)

Если y1 ∈ L2 (0, ∞) и y2 ∈ L2 (0, ∞), то в силу только что доказанного 'p 'p функции y1 , y2 принадлежат L2 (0, ∞). Поэтому левая, а знаM

M

чит и правая, часть (37) суммируема в интервале (0, ∞); последнее противоречит условию (31).

350

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

Частным случаем доказанной теоремы являются следующие теоремы Гартмана и Винтнера (см. Гартман и Винтнер [3, 7]) об операторе L0 , порожденном дифференциальным выражением l(y) = −y  + qy . I. Если при достаточно большом x

q(x) > −Kx2 , K > 0,

(38)

то индекс дефекта оператора L0 есть (1, 1). Действительно, достаточно положить в теореме 6

p(x) ≡ 1, M (x) = x2 . Очевидно, условия (31), (32) и (33) будут тогда выполнены. II. Если при некоторых постоянных c > 0, K > 0 и c < x1 < x2 выполняется неравенство

q(x2 ) − q(x1 ) > −K(x2 − x1 ),

(39)

то индекс дефекта оператора L0 есть (1, 1). В самом деле, полагая в (39) x2 = x и фиксируя x1 , имеем

q(x) > −K(x − x1 ) + q(x1 ); следовательно, при x достаточно большом

q(x) > −K1 x, где K1 — некоторая другая положительная постоянная. Теперь остается только применить теорему 6 при p ≡ 1, M (x) = x. Всякая функция q(x), ограниченная снизу, удовлетворяет, очевидно, условию (38). Мы приходим к следующему результату Г. Вейля (см. Вейль [1]). Если функция q(x) ограничена снизу, то индекс дефекта оператора L0 , порожденного дифференциальным выражением l(y) = = −y  + qy , 0 < x < ∞, есть (1, 1). Отметим еще следующее простое предложение. Т е о р е м а 7 (Патнэм [1]). Если q ∈ L2 (0, ∞), то индекс дефекта оператора L0 есть (1, 1). Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно показать, что уравнение

−y  + qy = 0

(40)

не имеет двух линейно независимых вещественных решений, принадлежащих L2 (0, ∞). Если y — такое решение, то в силу условия q ∈ L2 (0, ∞) функция y  = qy суммируема; следовательно, существует предел

lim y  = y  (x0 ) +

x→+∞

∞  x0

y  dx.

§ 24. Исследование спектра дифференциального оператора

351

Отсюда вытекает, что функция y  ограничена при x → +∞. Пусть теперь y1 , y2 — два линейно независимых вещественных решения уравнения (40); тогда

y1 y2 − y2 y1 = c = 0. Если y1 , y2 ∈ L2 (0, ∞), то y1 и y2 ограничены и, следовательно, функция y1 y2 − y2 y1 = c = 0 также принадлежит L2 (0, ∞), что невозможно.

§ 24. Исследование спектра дифференциального оператора Одной из важнейших проблем теории дифференциальных операторов является следующий вопрос: Каким образом спектр самосопряженных расширений оператора L0 зависит от поведения коэффициентов соответствующего дифференциального выражения? Для случая дифференциального оператора второго порядка эта задача была предметом исследований многих авторов, основные результаты которых собраны в книге Титчмарша [1]. Из исследований более поздних авторов укажем работы Винтнера, Патнэма, Уоллеча и Гартмана. Одним из наиболее сильных здесь является результат А. М. Молчанова [1] (см. ниже п. 5). Для дифференциальных операторов высших порядков вопрос долгое время оставался открытым, и лишь сравнительно недавно появились работы Рапопорта и Глазмана (см. Глазман [3, 4]), в которых получен ряд результатов о спектре дифференциальных операторов высших порядков. Однако все эти работы далеко не исчерпывают проблему (см. также Федорюк [4]). Отметим, что вне рамок настоящей книги остались методы абстрактной теории возмущений, которые с успехом применяются к задаче исследования спектра и построения спектральных разложений. В связи с этим см., например, Глазман [1], Бирман [1, 2], Като [1, 2], Фридрихс [2, 3]. 1. Применение метода расщепления 1). Пусть L0 по-прежнему обозначает минимальный замкнутый симметрический оператор, порожденный дифференциальным выражением l(y) в интервале (a, b), конечном или бесконечном. Обозначим снова через H совокупность всех функций f (x) из L2 (a, b), равных нулю вне некоторого конечного интервала [α, β] ⊂ (a, b), и положим для краткости

D0 = DL0 , D0 = H ∩ D0 .

(1)

1) Более подробные сведения о методе расщепления и его применениях читатель может найти в книге Глазман [1].

352

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

Обозначим далее через L0 сужение оператора L0 на D0 , так что L0 есть замыкание оператора L0 (см. п. 4 § 17)

 0 = L0 . L Сузим теперь

D0 ,

(2)

накладывая дополнительные условия

y [ν] (c) = 0, ν = 0, 1, 2, . . . , 2n − 1, где c — фиксированная точка интервала (a, b); многообразие, полученное в результате этого сужения, обозначим через D0 . Расщеплением оператора L0 в точке с интервала (a, b) называется сужение L0 оператора L0 на D0 . Очевидно, оператор L0 есть прямая сумма операторов 1) L1 и L2 в пространствах L2 (a, c), L2 (c, b), порожденных в этих пространствах аналогично оператору L0 тем же дифференциальным выражением l(y). Мы это обстоятельство запишем в виде L0 = L1 ⊕ L2 . (3) Отсюда, переходя к замыканиям, заключаем, что

 0 = L1 ⊕ L2 , L где L1 и L2 — замыкания операторов

L1

и

(4)

L2 :

 1 , L2 = L  2 . L1 = L Если теперь расширить операторы L1 и L2 до самосопряженных операторов L1, u и L2, u в пространствах L2 (a, c) и L2 (c, b), то прямая сумма

A = L1, u ⊕ L2, u   . Спектр оператора A будет, будет самосопряженным расширением L 0 очевидно, теоретико-множественной суммой спектров операторов L1, u и L2, u .   конечен, и поС другой стороны, индекс дефекта оператора L 0 тому все его самосопряженные расширения имеют один и тот же непрерывный спектр (см. теорему 9 п. 9 § 14). Такими расширениями являются как оператор A, так и всякое самосопряженное расширение Lu оператора L0 ; следовательно, непрерывные части спектра обоих операторов A и Lu совпадают. Мы приходим к следующей теореме. Прямая сумма A1 ⊕ A2 двух операторов A1 , A2 в пространствах H1 , H2 есть по определению оператор в пространстве H1 + H2 всех пар {x1 x2 }, x1 ∈ H1 , x2 ∈ H2 . Его область опеределения есть совокупность всех пар {x1 , x2 }, x1 ∈ DA1 , x2 ∈ DA2 , причем (A1 ⊕ A2 ){x1 , x2 } = {A1 x1 , A2 x2 }. Легко видеть, что если A1 и A2 — самосопряженные операторы, то A1 ⊕ A2 — также самосопряженный оператор. 1)

§ 24. Исследование спектра дифференциального оператора

353

Т е о р е м а 1. Непрерывная часть спектра всякого самосопряженного расширения оператора L0 есть теоретико-множественная сумма непрерывных частей спектров операторов L1, u и L2, u , полученных при расщеплении оператора L0 . На этой теореме основано доказательство следующих теорем. Т е о р е м а 2. Если конец a регулярен и если

lim pn (x) = +∞,

(5)

p0 (x) > 0, p1 (x)  0, . . . , pn−1 (x)  0,

(6)

x→b

то спектр всякого самосопряженного расширения Lu оператора L0 в интервале (a, b), порожденного дифференциальным выражением

n−1   n  dn d y dn−1 d y l(y) = (−1)n n p0 n + (−1)n−1 n−1 p1 n−1 + . . . + pn y , dx

dx

dx

dx

дискретен. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть N — произвольное положительное число; в силу условия (5) число c можно выбрать так, что

pn (x) > N

при c < x < b.

(7)

Интегрируя по частям и учитывая условия (6), найдем, что при y ∈ DL2 b

(L2 y , y) = l(y)y dx = c

=

b *

+ p0 |y (n) |2 + p1 |y (n−1) |2 + . . . + pn−1 |y  |2 + pn |y|2 dx 

c

b

 N |y|2 dx = N (y , y). c

L2 ,

Таким образом, оператор а следовательно и его замыкание L2 , ограничен снизу числом N . Но тогда полуось (−∞ < λ  N ) не содержит непрерывной части спектра самосопряженного расширения L2, u оператора L2 (см. п. 11 § 14). С другой стороны, оператор L1 регулярен и потому спектр любого его самосопряженного расширения L1, u дискретен. Итак, полуось −∞ < λ  N не содержит непрерывной части спектра оператора A = L1, u ⊕ L2, u . На основании теоремы 1 этим же свойством обладает всякое самосопряженное расширение Lu оператора L0 . Так как число N произвольно, то спектр оператора Lu вообще не содержит непрерывной части, и теорема доказана. Это же рассуждение приводит к следующей теореме. 12 Наймарк М. А.

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

354

Т е о р е м а 3. Пусть конец a регулярен и пусть

lim pn (x) = A. x∈b

Пусть, далее, p0 (x) > 0 и пусть для значений x, достаточно близких к b, p1 (x)  0, . . . pn−1 (x)  0. Тогда в интервале (−∞, A) может находиться только дискретная часть спектра всякого самосопряженного расширения Lu оператора L0 и предельной точкой части спектра, заключенной в интервале (−∞, A), может быть только точка λ = A. Д о к а з а т е л ь с т в о. Расщепим оператор L0 такой точкой c, что при c < x < b pn (x) > A − ε и Тогда

p1 (x)  0, . . . , pn−1 (x)  0. (L2 y , y) > (A − ε)(y , y);

следовательно, часть спектра оператора L2 , находящаяся в интервале (−∞, A − ε), может состоять только из конечного числа собственных значений, каждое — конечной кратности. С другой стороны, оператор L1 регулярен и ограничен снизу, ибо p0 > 0 (см. теорему 5 п. 4 § 19); поэтому его спектр дискретен; предельной точкой спектра оператора L1, u и может быть только λ = +∞. Утверждение теоремы 3 теперь непосредственно следует из теоремы 1 1). В следующих двух теоремах речь будет идти об операторе L0 , порожденном дифференциальным выражением

l(y) = (−1)n

d 2n y + q(x)y. dx2n

Эти теоремы получаются путем комбинирования теорем 1 и 3 со следующими леммами. Л е м м а 1. Пусть в интервале Δ = (λ0 − δ , λ0 + δ) содержится только конечное число собственных значений самосопряженного оператора A, причем кратности всех этих собственных значений конечны. Для того чтобы интервал Δ не содержал точек непрерывного спектра оператора A, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое конечномерное подпространство M, что

|(A − λ0 1)f | > δ|f | для всех f ∈ DA ∩ (H − M).

(8)

1) Теорема 2 получается из теоремы 3 при A = +∞; одновременно видно, что в этом случае единственной предельной точкой спектра является +∞.

§ 24. Исследование спектра дифференциального оператора

355

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через Pλ спектральную функцию оператора A. Тогда для всех f ∈ DA

|(A − λ0 1)f |2 =

∞ 

|λ − λ0 |2 d(Pλ f , f ).

−∞

Докажем сначала необходимость условия (8). Предположим, что спектр A в интервале Δ состоит лишь из собственных значений и что прямая сумма N собственных подпространств, отвечающих этим собственным значениям, имеет конечную размерность. Если f ∈ DA — произвольный элемент, ортогональный подпространству N, то 

|(A − λ0 1)f |2 =

|λ − λ0 |2 d(Pλ f , f ) > δ 2 |f |2 ,

|λ−λ0 |>δ

и, таким образом, условие (8) выполняется при M = N. Достаточность условия (8) будем доказывать от противного. Предположим, что конечномерное подпространство M, для которого это условие выполняется, существует и что, вопреки утверждению леммы, интервал Δ содержит точки непрерывного спектра оператора A. Тогда подпространство P (Δ)H является бесконечномерным. Положим M = P (Δ)M. Так как M конечномерно и M ⊂ P (Δ)H, то существует в P (Δ)H элемент f0 = 0, ортогональный M . Очевидно, f0 ∈ DA ∩ (H − M) и

|(A − λ0 1)f0 |2 =



|λ − λ0 |2 d(Pλ f0 , f0 )  δ 2 |f0 |2 ,

Δ

что противоречит неравенству (8). З а м е ч а н и е к л е м м е 1. Из приведенного выше доказательства достаточности вытекает следующее утверждение. Если условие (8) выполняется для некоторого конечномерного подпространства M, то подпространство P (Δ)H конечномерно и, следовательно, интервал Δ не содержит точек непрерывного спектра оператора A. Л е м м а 2. Пусть интервал [λ0 − δ , λ0 + δ] не содержит точек спектра самосопряженного оператора A, за исключением разве конечного числа собственных значений, каждое — конечной кратности, и пусть Q — ограниченный эрмитов оператор, удовлетворяющий условию |Q|  δ0 < δ. Тогда точка λ0 не принадлежит непрерывной части спектра оператора A + Q. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть λ1 , λ2 , . . ., λp — все собственные значения оператора A в интервале [λ0 − δ , λ0 + δ], а M1 , M2 , . . . , Mp — соответствующие собственные подпространства. По условию, их прямая сумма M = M1 + M2 + . . . + Mp 12*

356

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

конечномерна. Сужение оператора A на подпространство H − M не имеет спектра в интервале [λ0 − δ , λ0 + δ]. Следовательно, для f ∈ DA ∩ (H − M) |Af − λ0 f | > δ|f |. Тогда для тех же векторов f

|(A + Q)f − λ0 f |  |Af − λ0 f | − |Qf | > (δ − δ0 )|f |, так что остается применить замечание к лемме 1. Т е о р е м а 4. Пусть конец a регулярен и пусть b = ∞. Если lim |q(x)| = M , то всякий интервал положительной полуоси, длина x→∞ которого больше 2M , содержит точки непрерывной части спектра любого самосопряженного расширения Lu оператора L0 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть вопреки утверждению теоремы интервал [λ0 − δ , λ0 + δ] полуоси λ > 0 не содержит точек непрерывной части спектра оператора Lu , причем δ > M . Тогда при любом расщеплении этот интервал не будет содержать непрерывной части спектра самосопряженного расширения оператора L2 . Выберем точку расщепления c так, чтобы |q(x)|  M + ε < δ при x > c. На основании леммы 2 этим же свойством должен тогда обладать оператор, порожденный дифференциальным выражением l1 (y) = = (−1)n y (2n) , что невозможно, ибо непрерывная часть спектра этого последнего оператора покрывает всю положительную полуось. В частности, при M = 0 мы приходим к следующему результату. С л е д с т в и е 1. Пусть конец a регулярен и пусть b = ∞; если lim q(x) = 0, то вся положительная полуось покрыта непрерывной x→∞ частью спектра оператора Lu . Из теоремы 4 получаем также С л е д с т в и е 2. Пусть конец a регулярен и пусть b = ∞; если

lim q(x) = ρ < ∞,

x→∞

lim q(x) = σ > −∞,

x→∞

1

то всякий интервал полуоси λ > (ρ + σ), длина которого боль2 ше ρ − σ , содержит точки непрерывной части спектра оператора Lu . Действительно, заменив функцию q(x) функцией q1 (x) = q(x) − 1 − (ρ + σ), получим, что 2

lim |q1 (x)| =

x→∞

1 (ρ − σ). 2

Поэтому достаточно применить теорему 4 к оператору Lu −

1 (ρ + σ)1. 2

Теоремы 1 и 4 (и следствия из теоремы 4), а также теорема 2 при p0 ≡ 1, p1 ≡ p2 ≡ . . . ≡ pn−1 ≡ 0 были получены И. М. Глазманом (см. Глазман [3]).

§ 24. Исследование спектра дифференциального оператора

357

2. Случай суммируемых коэффициентов. Т е о р е м а 5. Пусть функции   1 , p1 (x), p2 (x), . . . , pn (x) p0

суммируемы в интервале [ 0, ∞), и пусть

lim p0 (x) > 0.

x→∞

(9)

Тогда непрерывная часть спектра всякого самосопряженного расширения Lu оператора L0 заполняет всю положительную полуось λ  0, а на отрицательной полуоси λ < 0 может находиться только дискретная часть спектра оператора Lu . При этом на полуоси λ > 0 также могут находиться точки дискретного спектра оператора Lu . Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем теорему для случая нечетного n; случай четного n рассматривается аналогично. Рассмотрим сначала решения уравнения

l(y) = λy при λ < 0. На основании теоремы 8 п. 2 § 22 это уравнение имеет 2n линейно независимых решений y1 , y2 , . . ., y2n , таких, что [ν]

yj = cν sν ωjν esωj ξ [1 + o(1)], ν = 0, 1, 2, . . . , 2n − 1, где

(10)

 cν =

1 при ν  n − 1, (−1)ν−n p0 при ν  n, x ' ξ = ξ(x) = 2n p0−1 (x) dx, 0

s=

!

2n

|λ|,

(11) (12)

а ω1 , ω2 , . . ., ω2n — все различные корни 2n-й степени из единицы; мы будем считать эти корни расположенными так, что

−1 = R(ω1 ) < R(ω2 ) = R(ω3 ) < R(ω4 ) = . . . < R(ω2n ) = 1.

(13)

Так как n нечетно, то первые n среди чисел R(ωj ) будут отрицательными, а последние n — положительными. Следовательно, среди функций y1 , y2 , . . ., y2n первые n будут принадлежать, а последние n не будут принадлежать L2 (0, ∞); при этом никакая линейная комбинация функций yn+1 , yn+2 , . . ., y2n , отличная от нулевой, также не будет принадлежать L2 (0, ∞) (см. по этому поводу п. 3 § 23).

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

358

Согласно теореме 3 п. 3 § 23 индекс дефекта оператора L0 , порожденного дифференциальным выражением

n−1   n  n−1 dn y d y n d n−1 d p1 n−1 + . . . + pn y , l(y) = (−1) p0 n + (−1) n n−1 dx

dx

dx

dx

есть (n, n); следовательно, всякое самосопряженное расширение Lu оператора L0 определяется краевыми условиями вида 2n

αjk y [k−1] (0) = 0, j = 1, 2, . . . , n,

(14)

k=1

причем (см. п. 3 § 18) n

αjν αk, 2n−ν+1 −

ν=1

n

αj , 2n−ν+1 αkν = 0, j , k = 1, 2, . . . , n.

(15)

ν=1

Найдем собственные значения λ оператора Lu , расположенные на отрицательной полуоси λ < 0. Соответствующая собственная функция y(x, s) должна принадлежать L2 (0, ∞) и потому может быть линейной комбинацией только функций y1 , y2 , . . ., yn . Таким образом, должно быть n y(x, s) = cj yj (x, λ), (16) j=1

причем функция y(x, s) должна удовлетворять условиям (14). Таким образом, должно быть n

Ajν (s)cν = 0, j = 1, 2, . . . , n,

(17)

ν=1

где

Ajν (s) =

2n

αjk yν[k−1] (0, λ).

(18)

k=1

Система (17) имеет нетривиальное решение относительно c1 , c2 , . . ., cn тогда и только тогда, когда обращается в нуль определитель    A11 (s) . . . A1n (s)    Φ(s) =  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . (19)  A (s) . . . A (s)  n1 nn Пусть s1 , s2 , s3 , . . . — нули этого определителя. Соответствующие собственные функции имеют тогда вид

yk (x) = y(x, sk ) =

n j=1

cjk yj (x, sk ),

§ 24. Исследование спектра дифференциального оператора

359

где c1k , c2k , . . ., cnk — нетривиальное решение системы (17) при s = sk . Кратность соответствующего собственного значения λk = −s2kn определяется при этом рангом матрицы определителя Φ(s) в точке s = sk . Докажем теперь, что отрицательное число λ, не совпадающее ни с одним из этих собственных значений, не принадлежит спектру оператора Lu , т. е. что для такого значения λ резольвента Rλ = (Lu − λ1)−1 есть ограниченный оператор. При этом, не нарушая общности, можно считать, что Lu — вещественное расширение оператора L0 , ибо непрерывный спектр не зависит от выбора расширения Lu . К такому случаю полностью применимы рассуждения п. 2 § 19 при построении ядра оператора Rλ для невещественного λ; существенным здесь является то обстоятельство, что хотя в нашем случае λ вещественно (λ < 0), но определитель системы (12) п. 2 § 19 совпадает с Φ(s) и потому отличен от нуля (ибо λ не есть собственное значение оператора Lu ). Применяя нижнюю формулу (15) п. 2 § 19 и учитывая вещественность расширения Lu , мы заключаем, что Rλ есть интегральный оператор с симметрическим ядром ⎧ n ⎪ ⎪ ⎪ [hk (x) + vk (x)]yk (t) при x < t, ⎪ ⎨ k=1 K(x, t, λ) = (20) n ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ yk (x)[hk (t) + vk (t)] при x > t. ⎩ k=1

При этом функции hk (x) принадлежат L2 (0, ∞), а функции vk (x) определяются из системы уравнений

v1 (x)y1 (x) + . . . + v2n (x)y2n (x) = 0, [1]

[1]

v1 (x)y1 (x) + . . . + v2n (x)y2n (x) = 0, ........................................... [2n−2]

v1 (x)y1

(x) = 0,

(x) + . . . + v2n (x)y2n

(x) = 1

[2n−1]

v1 (x)y1

[2n−2]

(x) + . . . + v2n (x)y2n

[2n−1]

(21)

и потому в силу формул (10)

vk (x) = αk e−sωk ξ [1 + o(1)], k = 1, 2, . . . , 2n,

(22)

где αk — некоторые постоянные. Таким образом, следует доказать, что оператор, определенный ядром K(x, t, λ), ограничен. Представим это ядро в виде

K(x, t, λ) = K0 (x, t, λ) +

n j=1

Kj (x, t, λ),

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

360

⎧ n ⎪ ⎪ ⎪ hk (x)yk (t) при x  t, ⎪ ⎨

где

K0 (x, t, λ) =

k=1

n ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ yk (x)hk (t) при x  t; ⎩ k=1  при x  t, vj (x)yj (t) Kj (x, t, λ) = yj (x)vj (t) при x  t.

(23)

Так как функции hk (x), yk (x), k = 1, 2, . . ., n, принадлежат L2 (0, ∞), то K0 (x, t, λ) есть ядро Гильберта–Шмидта и потому определяет ограниченный оператор. Остается доказать, что каждое из ядер Kj (x, t, λ) определяет ограниченный оператор, т. е. что для любой функции f (x) ∈ L2 (0, ∞) имеет место неравенство ∞ 2    2 |f (t)|2 dt,  Kj (x, t, λ)f (t) dt dx  C

∞  ∞  0

0

0

где C — некоторая постоянная. В силу (23) это неравенство означает, что ∞ ∞ ∞ 2  x     yj (x) vj (t)f (t) dt + vj (x) yj (t)f (t) dt dx  C 2 |f (t)|2 dt. (24) 0

x

0

0

Но из асимптотических формул (10) и (22) вытекает, что

|yj (x)vj (t)|  C1 exp{[ξ(x) − ξ(t)]sRωj }, x > t, (25a) |vj (x)yj (t)|  C1 exp{[ξ(t) − ξ(x)]sRωj }, t > x, (25б) ' где C1 — некоторая постоянная. Так как функция 2n p0−1 (x) имеет положительный предел при x → +∞, то она ограничена снизу; пусть ' 2n −1 p0 (x) > α. Тогда при x1 < x2

ξ(x2 ) − ξ(x1 ) =

x2

' p0−1 (x) dx > α(x2 − x1 );

2n

x1

поэтому, учитывая, что R(ωj ) < 0 и полагая для краткости −βj = = αsRωj , из (25а) и (25б) мы заключаем, что

|yj (x)vj (t)|  C1 e−βj (x−t)

при x > t,

(26a)

−βj (t−x)

при t > x,

(26б)

|vj (x)yj (t)|  C1 e

§ 24. Исследование спектра дифференциального оператора

361

где βj > 0. Из этих оценок следует, что левая часть (24) не превосходит

C12

∞ 

x

e−βj x eβj t |f (t)| dt + eβj x

0

∞ 

e−βj t |f (t)| dt

2

dx

x

0

и потому достаточно доказать неравенство ∞ ∞ ∞ 2  x   e−bj x eβj t |f (t)| dt + eβj x e−βj t |f (t)| dt dx  C 2 |f (t)|2 dt. (27) 0

x

0

0

Для этой цели рассмотрим дифференциальный оператор второго по в интервале [ 0, ∞), порожденный дифференциальным вырарядка L l(y) = −y  и краевым условием y  (0) = 0. Этот оператор — жением  λ есть положительно определенный 1), и потому его резольвента R ограниченный оператор для всех отрицательных значений λ. Вычисляя эту резольвенту по формулам (20) и (21) при λ = −βj2 , мы найдем, что она является интегральным оператором с ядром

 0 (x, t, λ) + K  1 (x, t, λ),  , t, λ) = K K(x где

K0 (x, t, λ) = −

1 −βj (x+t) e 2β j

⎧ 1 −βj (x−t) ⎪ e ⎨−

и

K1 (x, t, λ) =

при t < x,

2β j ⎪ − 1 e−βj (t−x) при t > x. ⎩ 2β j

 0 (x, t, λ) есть ядро Гильберта–Шмидта, то из ограниченности Так как K λ при λ = −βj2 вытекает, что K1 (x, t, λ) определяет резольвенты R ограниченный интегральный оператор. Это означает, что для любой функции f (x) ∈ L2 (0, ∞) имеет место неравенство вида ∞ ∞ ∞ 2   x    1 e−βj x eβj t f (t) dt + eβj x e−βj t f (t) dt dx  C 2 |f (t)|2 dt. 2   4β j

0

0

x

0

Заменив в нем функцию f (t) функцией |f (t)| (также принадлежащей L2 (0, ∞)), мы придем к неравенству вида (27) 2). Таким образом, ядро K(x, t, λ) определяет ограниченный оператор. Следовательно, на отрицательной полуоси λ < 0 может находиться только дискретная часть спектра оператора Lu . Исследуем теперь спектр на положительной полуоси λ > 0. Для этого рассмотрим решения уравнения l(y) = λy при λ > 0. Это уравнение 1) 2)

См. пример 1 п. 5 § 21. По поводу другого доказательства см. с. 448.

362

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

имеет 2n линейно независимых решений y1 , y2 , . . ., y2n , удовлетворяющих соотношениям (10), где ω1 , ω2 , . . ., ω2n обозначают теперь все различные корни 2n-й степени из −1. Расположим эти корни так, что

R(ω1 ) = R(ω2 ) < R(ω3 ) = R(ω4 ) < . . . < R(ωn ) = 0 = = R(ωn+1 ) < R(ωn+2 ) < . . . < R(ω2n−1 ) = R(ω2n ). Отсюда видно, что функции y1 , . . ., yn−1 принадлежат, а функции yn , yn+1 , . . ., y2n не принадлежат L2 (0, ∞). Докажем, что при λ > 0 никакая линейная комбинация

y = cn yn + cn+1 yn+1 + . . . + c2n y2n функций yn , yn+1 , . . ., y2n , отличная от нулевой, не принадлежит L2 (0, ∞); на основании теоремы 3 п. 4 § 19 отсюда будет следовать, что каждое положительное значение λ принадлежит непрерывному спектру, ибо число линейно независимых решений уравнения

ly = λy , принадлежащих L2 (0, ∞), будет меньше дефектного числа оператора L0 . Если хотя бы один из коэффициентов cn+2 , . . ., c2n отличен от нуля, то y ∈ L2 (0, ∞); в этом можно убедиться, повторяя рассуждения п. 3 § 23 (с. 335). Остается рассмотреть тот случай, когда

cn = 0, cn+1 = 0, cn+2 = cn+3 = . . . = c2n = 0. Наша линейная комбинация имеет тогда вид

y = cn yn + cn+1 yn+1 . Предположим сначала, что |cn+1 | = |cn |; пусть, например, |cn+1 | > |cn |. Тогда

     c y y   c  |y| = cn yn+1 n+1 + n  = |cn |  n+1 + n  [1 + o(1)]  cn yn+1   cn  yn+1   cn+1   yn   |cn |  −  [1 + o(1)] = cn yn+1    c  = |cn |  n+1  − 1 + o(1) [1 + o(1)] cn

и потому y ∈ L2 (0, ∞). Предположим теперь, что |cn+1 | = |cn |; тогда cn+1 = eθi , cn

§ 24. Исследование спектра дифференциального оператора

363

где θ — вещественное число. Поэтому, применяя формулы (10), имеем   y  c |y| = |cn |  n+1 + n  [1 + o(1)] = cn

= =

yn+1

|cn ||eiθ + e2isξ(x) [1 + o(1)]|[1 + o(1)] =     1 1 i sξ(x)− 2 θ −i sξ(x)+ 2 θ |cn ||e +e + o(1)|[1

    θ   = 2|cn | cos sξ(x) − + o(1) [1 + o(1)].

+ o(1)] = (28)

2

' Функция ξ  (x) = 2n p0−1 (x) имеет конечный положительный предел при x → +∞ и потому ограничена сверху; пусть ' 2n −1  |o(1)| < ε и ξ (x) = p0 (x) < δ при x  x0 . Тогда из (28) заключаем, что ∞ 

∞ 

|y| dx = 4|cn | 2

2

x0



  θ cos sξ(x) − + o(1) 2

x0

4|c | > n (1 − ε)2 δ 2

4|cn | (1 − ε)2 δs 2

=



2

∞ 



[1 + o(1)] dx >

  θ cos s ξ(x) − + o(1)

2

2

x0 ∞ 



  θ cos s ξ − + o(1) 2

ξ(x0 )

∞ 2|cn |2 (1 − ε)2 δs



k=k0 

2

ξ  (x) dx =

dξ 

 1 2k+ 4 π



[cos ξ + o(1)]2 dξ = +∞,  1 2k− 4 π

так что и в этом случае линейная комбинация

y = cn yn + cn+1 yn+1 не принадлежит L2 (0, ∞). Тем самым доказано утверждение теоремы и относительно непрерывной части спектра. Ниже мы увидим (см. ниже пример б)), что Lu может иметь положительные собственные значения; выясним, когда это возможно. Положим для этой цели

y(x, λ) =

n+ 1 k=1

ϕk (s)yk (x, λ), s =

! |λ|,

2n

(29)

364

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

и подберем коэффициенты ϕk (s) так, чтобы функция y(x, s) удовлетворяла краевым условиям (14). Подставляя выражения для y(x, s) в эти условия, получим для ϕ1 , ϕ2 , . . ., ϕn+1 систему однородных уравнений n+ 1

Bjk (s)ϕk (s) = 0, j = 1, 2, . . . , n,

k=1

где

Bjk =

2n

[ν−1]

αjν yk

(0, λ), λ = s2n .

(30)

ν=1

Следовательно, эта система имеет нетривиальное решение. Если не все определители    B1, k+1 (s) . . . B1, n+1 (s) B11 (s) . . . B1, k−1 (s)     B   2, k+1 (s) . . . B2, n+1 (s) B21 (s) . . . B2, k−1 (s)  Ψk (s) =   (31)  .................................................     Bn, k+1 (s) . . . Bn, n+1 (s) Bn1 (s) . . . Bn, k−1 (s)  обращаются в нуль, то можно положить

ϕk (s) = Ψk (s), k = 1, 2, . . . , n + 1, так что

y(x, λ) =

n+ 1

Ψk (s)yk (x, λ), λ = s2n .

(32)

k=1

Если же все функции Ψk (s) тождественно равны нулю, то в качестве функций ϕk (s) можно аналогичным образом взять некоторые определители низшего порядка матрицы (Bjk (s)), не все равные тождественно нулю. Такие определители существуют, ибо в противном случае любое положительное значение λ было бы собственным значением оператора Lu , что невозможно. По этой же причине не может быть одновременно ϕn (s) ≡ 0, ϕn+1 (s) ≡ 0, ибо каждое значение s, для которого ϕn (s) = 0, ϕn+1 (s) = 0 и не все остальные ϕk (s) равны нулю, определяет функцию y(x, λ) ∈ L2 (0, ∞), которая, следовательно, является собственной функцией оператора Lu , отвечающей собственному значению λ = s2n . Обратно, только при ϕn (s) = ϕn+1 (s) = 0 число λ = s2n будет собственным значением оператора Lu , ибо только в этом случае y(x, λ) ∈ L2 (0, ∞). Таким образом, положительные собственные значения оператора Lu определяются общими нулями функций ϕn (s), ϕn+1 (s). П р и м е р ы. а). О п е р а т о р в т о р о г о п о р я д к а. Рассмотрим оператор L0 , определенный дифференциальным выражением

l(y) = −

d2 y + q(x)y , dx2

0 < x < +∞,

§ 24. Исследование спектра дифференциального оператора

и краевым условием

365

y  (0) − θy(0) = 0,

причем функция q(x) суммируема в интервале (0, ∞). На основании теоремы 3 п. 3 § 23 индекс дефекта соответствующего оператора L0 есть (1, 1) и потому Lθ — самосопряженный оператор. При λ < 0 асимптотические формулы (10) принимают вид

y1 = e−sx [1 + o(1)], y1 = −se−sx [1 + o(1)], y2 = esx [1 + o(1)], y2 = sesx [1 + o(1)],

! где s = |λ|. Очевидно, y1 ∈ L2 (0, ∞), y2 ∈ L2 (0, ∞), и потому собственной функцией оператора Lu , соответствующей некоторому собственному значению, может быть только y1 . Отсюда заключаем, что собственными значениями являются корни уравнения y1 (0, λ) − θy1 (0, λ) = 0. При λ > 0

y1 = eisx [1 + o(1)], y1 = iseisx [1 + o(1)], y2 = e−isx [1 + o(1)], y2 = −ise−isx [1 + o(1)],

√ где s = λ. Никакая линейная комбинация этих функций, отличная от нулевой, не может принадлежать L2 (0, ∞), и потому: Если функция q(x) суммируема в интервале (0, ∞), то спектр оператора L0 непрерывен на положительной полуоси λ > 0 и может быть только дискретным на отрицательной полуоси λ < 0. Таким образом, в случае оператора L0 второго порядка положительная полуось λ > 0 не содержит точек дискретного спектра. б). П р и м е р п о л о ж и т е л ь н о г о с о б с т в е н н о г о з н а ч ен и я. При n > 1 положительная полуось λ > 0 может уже содержать кроме непрерывной части дискретную часть спектра оператора Lu . Действительно, пусть оператор Lu порождается дифференциальным выражением d4 y l(y) = 4 dx

и краевыми условиями

y  (0) + y  (0) = 0, y  (0) + y(0) = 0. Он имеет собственную функцию y = e−x , соответствующую положительному собственному значению λ = 1. в). П р и м е р р а з л о ж е н и я п о с о б с т в е н н ы м ф у н к ц и я м. Асимптотические формулы (10) дают также возможность получить разложение по собственным функциям оператора Lu и определить при этом спектральную функцию распределения σ(λ).

366

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

Для простоты изложения мы дополнительно предположим, что Lu — вещественное расширение оператора L0 и что определители Φ(s) и Ψn+1 (s) (см. (19) и (31)) не обращаются в нуль для положительных значений s. Кроме того, мы пронормируем дифференциальное выражение так, что lim p0 (x) = 1. (33) x→∞

В силу вещественности расширения Lu числа αjν , определяющие краевые условия, можно выбрать вещественными; при таком выборе 1)

Ψn (s) = ±Ψn+1 (s), s > 0, где знак ± зависит от четности n. Пронормируем функцию y(x, λ), построенную при λ > 0, полагая , ,

ϕk (s) =

1 2π

Ψk (s)

1 [±Ψn (s)Ψn+1 (s)] 2

=

1 Ψk (s) . 2π |Ψn+1 (s)|

(34)

Рассмотрим теперь при λ > 0 функции

zj (x, λ) =

n

cjk (λ)yk (x, λ) + yn+j+1 ,

(35)

k=1

j = 1, 2, . . . , n − 1, и подберем коэффициенты cjk (λ) так, чтобы каждая из функций zj (x, λ) удовлетворяла краевым условиям (14). При фиксированном j мы получим для этих коэффициентов систему уравнений, определитель которой есть Ψn+1 = 0; следовательно, функции zj (x, λ) определяются единственным образом. Рассмотрим, далее, краевую задачу

l(y) = λy , λ > 0, 2n

ν=1

(36)

αjν y [ν−1] (0) = 0,

j = 1, 2, . . . , n,

(37)

y [k−1] (b) = 0,

k = 1, 2, . . . , n,

(38)

в конечном интервале (0, b). Каждая из функций y(x, λ), z1 (x, λ), . . . . . . , zn−1 (x, λ), а значит, и их линейная комбинация

y(x, λ) = y(x, λ) + γ1 (λ)z1 (x, λ) + . . . + γn−1 (λ)zn−1 (x, λ), 1)

Легко видеть, что при s > 0 и n четном y1 (x, s) = y1 (x, s), но y2 (x, s) = = y3 (x, s), . . ., yn (x, s) = yn+1 (x, s). Если же x > 0 и n нечетно, то y1 (x, s) = = y2 (x, s), . . ., yn (x, s) = yn+1 (x, s).

§ 24. Исследование спектра дифференциального оператора

367

есть решение уравнения (36), удовлетворяющее условию (37). Собственные значения и собственные функции нашей краевой задачи мы получим, подчиняя функцию y(x, λ) условиям (38). Мы получим систему уравнений

y(b, λ) + γ1 (λ)z1 (b, λ) + . . . + γn−1 (λ)zn−1 (b, λ) = 0, [1]

[1]

[1]

y (b, λ) + γ1 (λ)z1 (b, λ) + . . . + γn−1 (λ)zn−1 (b, λ) = 0, ............................................................. [n−1]

y [n−1] (b, λ) + γ1 (λ)z1

(39)

[n−1]

(b, λ) + . . . + γn−1 (λ)zn−1 (b, λ) = 0;

следовательно, эти собственные значения определяются из уравнения    y(b, λ) z1 (b, λ) . . . zn−1 (b, λ)     [1] [1] [1]  y (b, λ) z1 (b, λ) . . . zn−1 (b, λ)    (40)  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  = 0.     [n−1] [n−1] [n−1] y (b, λ) z1 (b, λ) . . . zn−1 (b, λ)  Если λ — один из корней уравнения (40), то коэффициенты γ1 (λ), . . . . . . , γn−1 (λ), определяющие соответствующую собственную функцию, можно будет найти, решая, например, первые n − 1 уравнений (39). Воспользуемся теперь асимптотическими формулами (10). Очевидно, zj (x, λ) = eωn+j+1 sξ [1 + o(1)] и вообще [ν−1]

zj

ν−1 ωn+j+1 sξ (x, λ) = cν−1 sν−1 ωn+j+ [1 + o(1)], 1e j = 1, 2, . . . , n − 1; ν = 1, 2, . . . , 2n.

(41)

Аналогично, учитывая формулы (29) и (34), имеем

y(x, λ) = ϕn eisξ ± ϕ n e−isξ + o(1) =

,

n sin(sξ + κ) + o(1), где |ϕ n | = = 2ϕ

1 , 2π

где κ = κ(s) — непрерывная функция от s. Кроме того,

y [ν] (x, λ) = 2 cν ϕ n

∂ν sin(sξ + κ) + o(1), ∂ξ ν

ν = 0, 1, 2, . . . , 2n − 1. (42)

Подставляя эти выражения в уравнение (40) и отбрасывая множители, отличные от нуля, мы приведем это уравнение к виду

sin(sξ + κ) + o(1) = 0,

(43)

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

368

где

b

ξ = ξ(b) =

' p0−1 (x) dx,

2n

(44)

0

а o(1) → 0 при b → ∞. Если s, оставаясь в фиксированном конечном отрезке, изменится 2π на , то при достаточно большом b (а значит, и ξ(b)) sin(sξ + κ) по ξ(b) . крайней мере дважды изменит знак, ибо функция κ = κ(s) непрерывна, а sξ изменится на 2π . Следовательно, при достаточно больших b вся левая часть по крайней мере дважды изменит знак. Отсюда заключаем, что для двух последовательных положительных собственных значений n λk = s2kn , λk+1 = s2k+ 1

(0 < α  λk < λk+1  β < ∞)

нашей краевой задачи sk+1 − sk = o(1) при b → ∞. Но тогда κ(sk+1 ) − − κ(sk ) = o(1) при β → ∞ в силу непрерывности функции κ(s), и поэтому из (43) следует, что

ξ(b)[sk+1 − sk ] = π + κ(sk+1 ) − κ(sk ) + o(1) = π + o(1).

(45)

Подставляя далее асимптотические выражения (41) и (42) в уравнения (39), найдем, что

γj (λ) = O(e−ωn+j+1 sξ(b) ), j = 1, 2, . . . , n − 1.

(46)

Эти оценки показывают, что при 0  x < b

y(x, λ) = y(x, λ) + γ1 (λ)z1 (x, λ) + . . . + γn−1 (λ)zn−1 (x, λ) = n− 1 = 2ϕ n sin(sξ + κ) + o(1) + O(e−ωn+j+1 s[ξ(b)−ξ(x)] ), j=1

и потому 1 ξ(b)

b | y (x, λ)|2 dx =

1 b + o(1). π ξ(b)

0

Учитывая нормировку (33), имеем b = 1 + o(1), ξ(b)

и потому 1 ξ(b)

b | y (x, λ)|2 dx =

1 + o(1). π

(47)

0

Все эти оценки равномерны относительно собственных значений, заключенных в любом конечном интервале α  λ  β , 0 < α < β .

§ 24. Исследование спектра дифференциального оператора

369

Рассмотрим теперь произвольную функцию f (x), непрерывную вместе со своими квазипроизводными до 2n-го порядка включительно, равную нулю вне некоторого конечного интервала [ 0, a] и удовлетворяющую краевым условиям (14); положим k 

b



I(α, β.b) =

k=k 0

2 −1 b    | y (x, λk )| dx y (x, λk ) dx ,  f (x) 2

(48)

0

где числа k и k определяются условиями

λk −1 < α, λk  α, λk  β , λk +1 > β. Из оценок (41), (45), (46) и (47) заключаем, что

I(α, β , b) =

( ) 2 k a n− 1   −ωn+j+1 s[ξ(b)−ξ(x)]  = O(e ) dx ×  f (x) y(x, λk ) + k=k 0

j=1

 × sk+1 − sk +



o(1) , ξ(b)

и потому s

lim I(α, β , b) =

b→∞

|F (s)|2 dx,

(49)

s

где a

F (s) = f (x)y(x, λ) dx, λ = s2n ,

(50)

0

а

s =

! √ α, s = 2n β.

2n

Аналогично можно доказать, что при α < β < 0

lim I(α, β , b) = 0.

b→∞

(51)

370

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

С другой стороны, применяя неравенство Бесселя, имеем

I(−∞, −N , b) =

b  λk x > x0 . Путем надлежащего подбора C1 можно добиться того, что эти неравенства будут выполняться при x > t  0 и t > x  0 соответственно. Но тогда из этих неравенств и из неравенства (27) мы получим неравенство (66) так же, как и на с. 360–361. Тем самым доказана дискретность спектра оператора Lu . 4. Случай pn (x) → −∞. Т е о р е м а 8. Пусть выполнены условия: 1) pn (x) → −∞ при x → +∞; 2) pn , pn не меняют знак в интервале [x0 , ∞) при достаточно большом x0 ; 3) при x → +∞

pn = O(|pn |α ), 0 < α < 1 +

1 ; 2n

4) функции p0 , p0

1

3

p1 |pn |− 2n , p2 |pn |− 2n , . . . , pn−1 |pn |−

2n−3 2n

суммируемы в интервале [x0 , +∞) при достаточно большом x0 ; 5) lim p0 (x) = 1; x→+∞

6) интеграл

∞ 

1

|pn |−1+ 2n dx

0

расходится. Тогда непрерывная часть спектра всякого самосопряженного расширения Lu оператора L0 заполняет всю действительную ось. Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем по-прежнему считать n нечетным и обозначим теперь через ω1 , ω2 , . . ., ω2n все различные корни 2n-й степени из −1, расположенные так, что

R(ω1 ) = R(ω2 ) < R(ω3 ) = R(ω4 ) < . . . < R(ω2n−1 ) = R(ω2n ).

(67)

Среди этих чисел первые n − 1 будут отрицательными, последние n − 1 положительными, а R(ωn ) = R(ωn+1 ) = 0,

374

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

так что можно считать

ωn = i, ωn+1 = −i. Асимптотические формулы мы теперь запишем в виде 1

1

yj = ρ− 2 + 4n eωj η [1 + o(1)], j = 1, 2, . . . , 2n, где

x , 2n

η=

|pn | + λ dx p0

(68)

(69)

x0

и

ρ=

|pn | + λ . p0

(70)

По теореме 4 п. 4 § 23 индекс дефекта оператора L0 есть (n, n). Так как R(ωj ) < 0 при j < n и R(ωj ) > 0 при j > n, то функции y1 , y2 , . . . , yn−1 принадлежат L2 (0, ∞), а функции yn+1 , yn+2 , . . . , y2n и никакая их ненулевая линейная комбинация не принадлежат L2 (0, ∞). Это доказывается точно так же, как и соответствующее утверждение в доказательстве теоремы 4 п. 4 § 23. Так как

yn = |pn |−

2n−1 4n

2n−1 − 4n

yn+1 = |pn |

eiη [1 + o(1)], e−iη [1 + o(1)],

то при достаточно большом x0 и x  x0 1

|yn |2  (1 − ε)|pn |−1+ 2n , 1

|yn+1 |2  (1 − ε)|pn |−1+ 2n . Из этих неравенств и условия 6) заключаем, что функции yn , yn+1 не принадлежат L2 (0, ∞). Дальнейшие рассуждения аналогичны рассуждениям в п. 2, в). n+

1 Положим снова 1) y(x, λ) = ϕk (λ)yk (x, λ), где коэффициенты k=1

ϕk (s) выбраны так, чтобы функция y(x, λ) удовлетворяла краевым условиям в точке x = 0, определяющим оператор Lu . Так как непрерывный спектр не зависит от выбора расширения Lu , то достаточно доказать утверждение теоремы для какого-нибудь одного такого расширения. Мы ее докажем для вещественного расширения Lu и притом 1) Здесь и ниже мы изменяем обозначения и пишем ϕk (λ), Ψk (λ) вместо ϕk (s) и Ψk (s).

§ 24. Исследование спектра дифференциального оператора

375

для того случая, когда не все определители Ψk (см. формулу (31)) тождественно равны нулю. Такие расширения существуют. Действительно, среди определителей n-го порядка матрицы ⎞ ⎛ [1] [2n−1] y1 (0, λ) y1 (0, λ) . . . y1 (0, λ) ⎟ ⎜ ⎝ .................................... ⎠

yn (0, λ) yn[1] (0, λ) . . . yn[2n−1] (0, λ) хотя бы один отличен от тождественного нуля, ибо в противном случае был бы равен нулю при всех λ определитель Вронского линейно независимых функций y1 , y2 , . . ., y2n . Пусть отличен от тождественного нуля определитель этой матрицы с номерами столбцов ν1 , ν2 , . . ., νn (0  ν1 < ν2 < . . . < νn  2n). Рассмотрим тогда вещественное расширение Lu оператора L0 , определенное краевыми условиями

y [ν1 ] (0, λ) = 0, y [ν2 ] (0, λ) = 0, . . . , y [νn ] (0, λ) = 0, так что в рассматриваемом случае  0 при ν = νj , αj , ν+1 = 1 при ν = νj и [ν ] Bjk (λ) = yj k (0, λ), и потому не будет тождественным нулем определитель   [ν ]  y 1 (0, λ) . . . y [νn ] (0, λ)    1 1   Ψn+1 (λ) =  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  .    y [ν1 ] (0, λ) . . . y [νn ] (0, λ)  n n Положим, как и в п. 2, ,

ϕk (λ) =

1 Ψk (λ) ! = 2π ±Ψn (λ)Ψn+1 (λ)

,

1 Ψk (λ) . 2π |Ψn+1 (λ)|

Функция y(x, λ) будет тогда определена для всех значений s, не являющихся нулями функции Ψn+1 (λ). Далее введем снова в рассмотрение функции

zj (x, λ) =

n

cjk (λ)yk (x, λ) + yn+j+1 ,

k=1

j = 1, 2, . . . , n − 1, удовлетворяющие условиям (14), и краевую задачу

l(y) = λy , 2n

ν=1

αjν y [ν−1] (0) = 0, y [k−1] (b) = 0, j , k = 1, 2, . . . , n,

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

376

решения которой мы снова будем искать в виде

y(x, λ) = y(x, λ) + γ1 (λ)z1 (x, λ) + . . . + γn−1 (λ)zn−1 (x, λ). Мы получим для функций γj (λ) систему уравнений (39), а для собственных значений нашей краевой задачи — уравнение (40). Асимпто[ν] тические формулы для функций zj (x, λ) мы запишем теперь в виде [ν−1]

zj

1

ν−1 −2+ (x, λ) = ωn+j+ 1ρ

2ν−1 4n

eωn+j+1 η [1 + o(1)]

(71a)

при ν = 1, 2, . . ., n и [ν−1]

zj

1

ν−1 −2+ (x, λ) = (−1)ν−n−1 ωn+j+ 1ρ

2ν−1 4n

eωn+j+1 η [1 + o(1)]

(71б)

при ν = n + 1, n + 2, . . ., 2n. Далее, 1

1

y(x, λ) = 2ϕ n ρ− 2 + 4n [sin(η + κ) + o(1)], |ϕ n | = |ϕn |, и вообще

y

[ν−1]

(x, λ) =

1

2ν−1

2ϕ n ρ− 2 + 4n



∂ ν−1 sin(η + κ) + o(1) ∂η ν−1

при ν = 1, 2, . . ., n, 1

y [ν−1] (x, λ) = 2(−1)ν−n−1 ϕ n ρ− 2 +

2ν−1 4n





∂ ν−1 sin(η + κ) + o(1) ∂η ν−1

(72a)

 (72б)

при ν = n + 1, . . ., 2n, где κ = κ(λ) — непрерывная функция от λ в каждом конечном интервале α  λ  β , не содержащем нулей функции Ψn+1 (λ). Подставляя эти выражения в уравнение (40) и отбрасывая множители, отличные от нуля, мы приведем его при b → +∞ к виду

sin(η + κ) + o(1) = 0, где

b , 2n

η = η(b, λ) =

|pn | + λ dx. p0

(73)

(74)

0

Пусть [α, β] — фиксированный конечный интервал, в котором нет нулей функции Ψn+1 (λ), и пусть λk , λk+1 — два последовательных собственных значения нашей краевой задачи, принадлежащие [α, β]. Тогда λk+1 − λk − o(1) при b → ∞. Действительно, в силу (74), условия 1) и непрерывности функции κ(λ) в [α, β] для каждого λ, α  λ < β , существует такое число μ > λ, μ < β , что η(b, μ) + κ(μ) − η(b, λ) − κ(λ) = 2π. (75а)

§ 24. Исследование спектра дифференциального оператора

Отсюда т. е.

377

η(b, μ) − η(b, λ) = 2π − κ(μ) + κ(λ), b  , 2n

|p0 | + μ − p0

, 2n

|p1 | + λ p0

 dx = 2π − κ(μ) + κ(λ),

0

следовательно,

(μ − λ) × b × 0

1

|p0 | 2n dx (|pn | + μ)

2n−1 2n

+ (|pn | + μ)

2n−2 2n (|pn |

1

+ λ) 2n + . . . + (|pn | + λξ )

2n−1 2n

=

= 2π − κ(μ) + κ(λ). (75б) Так как по условию интеграл ∞ 

1

|pn (x)|−1+ 2n dx

0

расходится, p0 → 1 при x → +∞, а κ(μ), κ(λ) ограничены, то из (75б) заключаем, что μ − λ = o(1) при b → ∞. С другой стороны, при достаточно больших b левая часть (73) по крайней мере два раза меняет знак в интервале [λ, μ] и потому имеет там по крайней мере два нуля. Таким образом, при достаточно больших b числа λk , λk+1 заключены в интервале вида [λ, μ], следовательно, подавно λk+1 − λk = o(1). Отсюда κ(λk+1 ) − κ(λk ) = o(1), и потому из (73) заключаем, что

η(b, λk+1 ) − η(b, λk ) = π + o(1). Повторяя теперь рассуждение, проведенное при выводе соотношения (75б), заключаем, что

(λk+1 − λk ) × b × 0

1

p02n dx (|pn | + λk+1 )

2n−1 2n

+ (|pn | + λk+1 )

2n−2 1 2n (|pn | + λk ) 2n

+ . . . + (|pn | + λk )

2n−1 2n

=

= π + o(1), и соотношение λk+1 − λk = o(1) дает

λk+1 − λk =

πn + o(1) b

(|pn (x)| + λk ) 0

−1 +

1

при

1

2n p 2n 0

dx

b → +∞.

(76)

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

378

Далее, из уравнений (39) и асимптотических формул (71) и (72) вытекает, что γj (λ) = O(e−ωn+j+1 η(b, λ) ), j = 1, 2, . . . , n; (77) следовательно, 1

1

y(x, λ) = 2ϕ n ρ− 2 + 4n sin(η + κ) +

n

1

1

O(e−ωn+j−1 [η(b, λ)−η(x, λ)] )ρ− 2 + 4n .

j=1

(78)

Найдем теперь асимптотическое выражение для - b b 1 2 | y (x, λ)| dx ρ−1+ 2n dx. 0

0

Предварительно докажем, что при b → ∞ b

1

ρ−1+ 2n cos(2η + 2κ) dx = O(1)

(79)

0

равномерно относительно значений λ, находящихся в фиксированном конечном интервале α  λ  β . Пусть Δk — интервал, на котором kπ (k + 1)π  2η + 2κ  , 2 2

тогда b

1

ρ−1+ 2n cos(2η + 2κ) dx =

0

=

m 

1

ρ−1+ 2n cos(2η + 2κ) dx +

k=1 Δ



1

ρ−1+ 2n cos(2η + 2κ) dx,

Δm+1

k

где m — число интервалов Δk , укладывающихся в интервале (0, b), а Δm+1 — оставшаяся часть интервала [ 0, b]. Последнее равенство можно переписать в виде b

1

ρ−1+ 2n cos(2η + 2κ) dx =

0

1 = 2

m− 1

(k+1)π 2



(−1)

k

k=1

=

kπ 2

p0 | cos ξ| dξ 1 + (−1)m+1 (|pn | + λ) 2

ξ(b)  mπ 2

p0 | cos ξ| dξ = (|pn | + λ)

m−1 1 (−1)k p0 (xk ) 1 (−1)m+1 p0 (xm+1 ) + (−1)m+1 sin ξ(b), 2 (|pn (xk )| + λ) 2 (|pn (xm+1 )| + λ) k=0

§ 24. Исследование спектра дифференциального оператора

379

где ξ(b) — значение функции ξ = 2η + 2κ при x = b, а xk — некоторая точка интервала Δk . Отсюда следует соотношение (79), ибо при достаточно большом k члены последней суммы по абсолютной величине убывают и стремятся к нулю при k → ∞. Так как функция ρ−1 (x) ограничена при достаточно больших x (x  x0 ), то

  b  −ωn+j+1 [η(b, λ)−η(x, λ)] −1+ 21n  ρ dx   e x0

c

η(b) 

exp{−R(ωn+j+1 )[η(b, λ) − η]} dη =

η(x0 )

= c [1 − exp{−R(ωn+j+1 )[η(b, λ) − η(x0 , λ)]}] = o(1) при b → +∞. Эти оценки и формула (78) дают b

1 b 4|ϕn |2 ρ−1+ 2n sin2 (η + κ ) dx

|y(x, λ)|2 dx

0

b

−1 +

ρ

1

2n

0

=

b

dx

0

+ o(1) =

1

ρ−1+ 2n dx

0

b

=

1 π

1

ρ−1+ 2n [1 − cos(2η + 2κ )] dx

0

b

+ o(1),

1

ρ−1+ 2n dx

0

т. е.

b

|y(x, λ)|2 dx

0

b

−1 +

ρ

1

2n

= dx

1 + o(1), π

(80)

0

ибо интеграл

∞ 

1

ρ−1+ 2n dx, так же как и интеграл

0

∞ 

1

|pn |−1+ 2n dx,

0

расходится. Все эти оценки равномерны относительно собственных значений λ = λk , расположенных в любом конечном интервале, не содержащем нулей функции Ψn+1 (λ). Пусть теперь f (x) — функция, имеющая непрерывные квазипроизводные до 2n-го порядка включительно и равная нулю вне некоторого конечного интервала [ 0, a], и пусть α  λ  β — конечный интервал, не содержащий нулей функции Ψn+1 (λ). Положим

I(α, β , b) =

b  αλk β 0

2 −1 a    | y (x, λk )| dx y(x, λk ) dx .  f (x) 2

0

(81)

380

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

Из асимптотических формул (76), (77) и (80) заключаем, что при b → +∞ a 2  1   (λk+1 − λk ) + o(1) f (x)y(x , λ ) dx I(α, β , b) = k   n

αλk β 0

и потому 1 lim I(α, β , b) = n b→+∞

β |F (λ)|2 dλ,

(82)

α

где

a

F (λ) = f (x)y(x, λ) dx.

(83)

0

Пусть λ1 , λ2 , λ3 , . . . — все собственные значения оператора Lu , каждое из которых повторяется столько раз, какова его кратность, а y1 (x), y2 (x), y3 (x), . . . — соответствующие ортонормированные собственные функции. Повторяя по существу те же рассуждения, что и в п. 2, в), мы приходим к следующему равенству, справедливому для любой функции f (x) ∈ L2 (0, ∞): ∞ ∞   ∞ 1 2 |f (x)| dx = |F (λ)|2 dλ + |ck |2 , (84) n

0

где

k=1

−∞

a

ck = f (x)yk (x) dx.

(85)

0

Формула (84) означает, что спектральная функция распределения σ(λ) оператора Lu непрерывна и возрастает во всех точках λ-оси, отличных от собственных значений оператора Lu ; тем самым теорема 8 доказана. Одновременно получено равенство Парсеваля для оператора Lu в рассматриваемом случае. Кроме того, из доказательства теоремы вытекает, что точками дискретного спектра могут быть лишь нули функции Ψn+1 (λ). В случае оператора L0 второго порядка теорему 8 можно усилить; именно имеет место Т е о р е м а 9. Пусть выполнены условия: 1) q(x) → −∞ при x → +∞; 2) q  , q  не меняют знак в интервале [x0 , +∞) при достаточно большом x0 ; 3) при x → +∞ 3 2

q  = O(q α ), 0 < α < ;

§ 24. Исследование спектра дифференциального оператора

381

p

4) функция суммируема в интервале [x0 , +∞) при достаточно p большом x0 ; 5) lim p(x) = 1; x→+∞

6) интеграл

∞ 

1

|q(x)|− 2 dx

0

расходится. Тогда спектр всякого самосопряженного расширения L0 оператора Lθ , порожденного дифференциальным выражением   d dy l(y) = − p + qy , dx

dx

непрерывен на всей оси. Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно теореме 8 достаточно доказать, что оператор Lθ не имеет дискретного спектра. Для этого в свою очередь достаточно установить, что функция Ψn+1 (λ) (в данном случае функция Ψ2 (λ)) не обращается в нуль ни при каком вещественном значении λ. Но если y(x, λ) = Ψ1 (λ)y1 (x, λ) + Ψ2 (λ)y2 (x, λ), то из краевого условия

y [1] (0, λ) − θy(0, λ) = 0, определяющего оператор Lθ , мы заключаем, что можно положить [1]

Ψ1 (λ) = y2 (0, λ) − θy2 (0, λ), [1]

Ψ2 (λ) = −[y1 (0, λ) − θy1 (0, λ)]. Так как при вещественном λ y2 (x, λ) = y1 (x, λ), то

Ψ1 (λ) = −Ψ2 (λ).

(86)

С другой стороны, функции Ψ1 (λ) и Ψ2 (λ) не могут одновременно обращаться в нуль, ибо из равенств [1]

Ψ1 (λ) = y2 (0, λ) − θy2 (0, λ) = 0, [1]

Ψ2 (λ) = −[y1 (0, λ) − θy1 (0, λ)] = 0 следует, что равен нулю определитель Вронского [1]

[1]

W = y1 (0, λ)y2 (0, λ) − y2 (0, λ)y1 (0, λ).

382

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

Докажем, что это невозможно. Из асимптотических формул (68) при n=1 1

1

y1 = ρ− 4 eiη [1 + o(1)], y2 = ρ− 4 e−iη [1 + o(1)], 1

y1 = iρ 4 eiη [1 + o(1)], мы заключаем, что

1

y2 = −iρ− 4 e−iη [1 + o(1)]

W = −2i[1 + i(1)];

так как W от x не зависит, то o(1) = 0 и

W = −2i = 0. Отсюда и из соотношения (86) вытекает, что каждая из функций Ψ1 (λ), Ψ2 (λ) отлична от нуля для всех вещественных значений λ. Т е о р е м а 10. Пусть функции p0 , p1 , . . ., pn удовлетворяют условиям 1)–5) теоремы 8 и пусть интеграл ∞ 

1

|pn |−1+ 2n dx

(87)

0

сходится. Тогда спектр всякого самосопряженного расширения Lu оператора L0 дискретен, а резольвента Rλ оператора Lu во всех точках регулярности λ есть ядро Гильберта–Шмидта. Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно теореме 4 п. 4 § 23 в рассматриваемом случае индекс дефекта оператора L0 есть (n + 1, n + 1). Следовательно, всякое самосопряженное расширение Lu оператора L0 определяется краевыми условиями вида

[y , wk ]∞ 0 = 0, k = 1, 2, . . . , n + 1,

(88)

где w1 , w2 , . . ., wn+1 — функции из области определения D оператора L0 , такие, что

[wi , ωk ]∞ 0 = 0, i, k = 1, 2, . . . , n + 1

(89)

(см. п. 1 § 18). С другой стороны, из сходимости интеграла (87) заключаем, что при вещественном λ решения y1 , y2 , . . ., yn+1 уравнения l(y) = λy , определенные формулами (68), принадлежат L2 (0, ∞). Рассуждая, как и в доказательстве теоремы 8, мы заключаем, что собственные значения оператора Lu суть нули функции     [y1 , y1 ]∞ . . . [y1 , yn+1 ]∞ 0 0    Ψ(λ) =  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  .  [y , y ]∞ . . . [y , y ]∞  n+1 1 0 n+1 n+1 0 Докажем теперь, что если Ψ(λ) = 0, то точка λ не принадлежит спектру оператора Lu , т. е. что резольвента Rλ есть ограниченный оператор. Очевидно, это достаточно доказать для вещественного

§ 24. Исследование спектра дифференциального оператора

383

расширения Lu оператора L0 . Но в таком случае резольвента Rλ есть интегральный оператор с ядром ⎧ n+ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ yk (s)[hk (x) + vk (x)] при x < s, ⎪ ⎨ k=1 K(x, s, λ) = n+ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ yk (x)[hk (s) + vk (s)] при x > s, ⎪ ⎩ k=1

причем функции hk (x) принадлежат L2 (0, ∞). Докажем, что ядро K(x, s, λ) есть ядро Гильберта–Шмидта; тем самым утверждение теоремы будет полностью доказано. Положим ⎧ n+1 ⎪ ⎪ ⎪ yk (s)hk (x) при x < s, ⎪ ⎪ ⎨ k=1  , s, λ) = K(x n+ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ yk (x)hk (s) при x > s, ⎪ ⎩ k=1  yj (s)vj (x) при x < s, Kj (x, s, λ) = uj (x)vj (s) при x > s,

j = 1, 2, . . . , n + 1, так что

 , s, λ) + K(x, s, λ) = K(x

n+ 1

Kj (x, s, λ).

j=1

 , s, λ) есть ядро Гильберта–Шмидта, то достаточно Так как K(x установить, что каждое из ядер Kj (x, s, λ), j = 1, 2, . . ., n + 1, есть ядро Гильберта–Шмидта. Будем по-прежнему считать n нечетным; случай четного n рассматривается аналогично. Из асимптотических формул (68) и уравнений (21) заключаем, что 1

1

1

1

yj = |pn |− 2 + 4n eωj η [1 + o(1)], vj = cj |pn |− 2 + 4n e−ωj η [1 + o(1)], j = 1, 2, . . . , n + 1, где cj — некоторые постоянные, а R(ωj )  0. Поэтому ∞  ∞ 

∞  x

= 0 0

|Kj (x, s, λ)|2 dx ds =

0 0

|yj (x)vj (s)|2 dx ds +

∞  ∞  0 x

|vj (x)yj (s)|2 dx ds 

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

384

A

∞  0 ∞ 

+

1

−1+ 2n

|pn (x)|

1 −1+ 2n

|pn (x)|

0

A

x

0 ∞ 

dx

∞ 

∞ 

+

1

dx |pn (s)|−1+ 2n exp{2R(ωj )[η(x) − η(s)]} dx + 1

|pn (s)|−1+ 2n exp{2R(ωj )[η(s) − η(x)]} dx 

x

x

1

1

|pn (x)|−1+ 2n dx |pn (s)|−1+ 2n dx +

0 1

|pn (x)|−1+ 2n dx

0

∞  =A

∞ 

0 1

|pn (s)|−1+ 2n dx =

x 1

|pn (x)|−1+ 2n dx

2

< +∞,

0

ибо последний интеграл по условию сходится. Теоремы 5, 6, 8 и первая часть теоремы 10 доказаны И. М. Рапопортом (см. Рапопорт [3]), при p(x) = 1 теорема 9 имеется у Титчмарша (см. Титчмарш [1]), а также у Б. М. Левитана (см. Левитан [2]). В приведенной здесь общей формулировке эти теоремы, а тахже теорема 7 опубликованы впервые в первом издании этой книги. 5. Критерий дискретности спектра дифференциального оператора второго порядка. Спектр оператора A называется чисто дискретным, если он состоит из счетного множества собственных значений с единственной предельной точкой на бесконечности. Целью этого пункта является получение условий, необходимых и достаточных для того, чтобы спектр оператора L второго порядка, определенного дифференциальным выражением

l(y) = −

d2 y + q(x)y , dx2

− ∞ < x < ∞,

(90)

был чисто дискретен; при этом предполагается, что функция q(x) ограничена снизу. Упомянутые условия получаются из следующей простой теоремы Реллиха (см. Реллих [2]). Т е о р е м а 11. Пусть A — самосопряженный оператор в H, удовлетворяющий условию

(Aϕ, ϕ)  (ϕ, ϕ)

(91)

для всех элементов ϕ ∈ DA . Спектр оператора A чисто дискретен тогда и только тогда, когда множество всех векторов ϕ из DA , удовлетворяющих условию

(Aϕ, ϕ)  1, компактно.

(92)

§ 24. Исследование спектра дифференциального оператора

385

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условия (91) вытекает, что оператор B = A−1 определен во всем пространстве H и ограничен

|Bψ|  |ψ| для всех ψ ∈ H. Обозначим через E множество всех векторов ϕ ∈ DA , 1 удовлетворяющих условию (92). Полагая 1) h = A 2 ϕ, мы можем переписать это неравенство в виде

(g , g )  1.

(93)

1 2

Следовательно, оператор A отображает множество E на некоторое подмножество F единичного шара K. Множество всех векторов λh, h ∈ F, плотно в H. Действительно, если вектор g ортогонален ко всем векторам λh, h ∈ F, то 1

1

0 = (g , λh) = (g , λA 2 ϕ) = (A 2 g , λϕ). Так как множество всех векторов λϕ, ϕ ∈ E, совпадает с DA и потому 1 плотно в H, то A 2 g = 0, а значит, g = 0. Отсюда следует, что множе1 1 ство F плотно в единичном шаре K, и потому множества B 2 F и B 2 K компактны или не компактны одновременно. 1 1 Итак, если E компактно, то B 2 K компактно, т. е. оператор B 2 переводит единичный шар, а потому и всякое ограниченное множество 1 в компактное множество. Это означает, что оператор B 2 , а значит, и оператор B , вполне непрерывен; следовательно, спектр оператора A = B −1 чисто дискретен. Обратно, если спектр оператора A чисто дискретен, то оператор B вполне непрерывен; следовательно, множе1

1

ство B 2 K, а потому и множество E = B 2 F и компактны. Применим эту теорему к оператору L0 , определенному дифференциальным выражением (90). Пусть функция q(x) ограничена снизу; тогда, не нарушая общности, можно считать, что

q(x)  1.

(94)

Найдем сначала индекс дефекта оператора L0 ; согласно теореме Вейля + (см. п. 6 § 23) операторы L− 0 и L0 , определенные тем же дифференциальным выражением на каждой из полуосей (−∞, 0), (0, ∞), имеют индекс дефекта (1, 1). Применяя формулу (47) п. 5 § 17, ∞  Если A — положительно определенный оператор и A = λ dPλ — его 0 √ спектральное представление, то A обозначает оператор, определенный фор∞ √ √ мулой A = λ dPλ . Подробнее см., например, в книге Ахиезер, Глаз1)

ман [1].

0

13 Наймарк М. А.

386

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

мы заключаем, что индекс дефекта оператора L0 есть (0, 0), т. е. L0 — самосопряженный оператор, и мы можем положить L0 = L∗0 = L. Обозначим через D совокупность всех функций из DL , равных нулю вне некоторого конечнсго интервала (своего для каждой функции), а через L — сужение оператора L на D . Тогда замыкание оператора L совпадает с L0 = L:

  = L0 = L L

(95)

(см. п. 4 § 17). Если y ∈ D , то, интегрируя по частям, находим

(L y , y) =

∞ 

(−y  y + q|y|2 ) dx =

−∞

∞ 

(|y  |2 + q|y|2 ) dx.

(96)

−∞

Отсюда в силу условия (94)

(L y , y)  (y , y). Очевидно, это неравенство сохраняется при переходе к замыканию L оператора L , так что (Ly , y)  (y , y). (97) Если y — произвольная функция из DL , то в силу (95) существует последовательность yn ∈ D , такая, что в смысле нормы в L2 (−∞, ∞)

yn → y , L yn → Ly

при n → ∞.

Соотношение (96) будет тогда справедливо при y = yn ; переходя к пределу, получим соотношение ∞ 

(Ly , y) =

(|y  |2 + q|y|2 ) dx.

(98)

−∞

Применение теоремы 11 приводит к следующему результату. Т е о р е м а 12. Если q(x)  1, то спектр оператора L чисто дискретен тогда и только тогда, когда множество S всех функций y(x) из H, абсолютно непрерывных в каждом конечном интервале и удовлетворяющих условию ∞ 

(|y  |2 + q|y|2 ) dx  1,

−∞

(99)

компактно. Чтобы получить отсюда критерий дискретности спектра в терминах функции q(x), докажем сначала следующие леммы.

§ 24. Исследование спектра дифференциального оператора

387

Л е м м а 1. Множество Sa функций y(x), равных нулю вне конечного интервала [−a, a] и удовлетворяющих при фиксированном c неравенству a 

(|y  |2 + |y|2 ) dx  c2 ,

(100)

−a

компактно в смысле нормы в L2 (−a, a). Д о к а з а т е л ь с т в о. Функции

ϕn (x) =

1 inπx e a , 2a

n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, . . . ,

образуют полную ортонормальную систему в L2 (−a, a). Пусть cn — коэффициент Фурье функции y(x) относительно ϕn (x); тогда неравенство (100) эквивалентно неравенству 1)

2 2  ∞ π n 2 |cn | + 1  c2 . (101) 2 a

n=−∞

Отсюда



|cn |2 

n2 >k2

c2 a2 . π2 k2

(102)

Обозначим через Mk конечномерное подпространство, натянутое на функции ϕ−k , ϕ−k+1 , . . ., ϕk ; через Qk, c — шар радиуса c в Mk и положим ca εk = . πk

Неравенство (102) означает, что Qkc есть εk -сеть для множества S; так как Qkc компактно (см. п. 1 § 13), а εk → 0 при k → ∞, то и S компактно на основании следствия из теоремы 1 п. 2 § 13. Л е м м а 2. Пусть Σ — множество функций y(x) пространства L2 (−∞, ∞), удовлетворяющих условиям: ∞  1) (|y  |2 + |y|2 ) dx  1 −∞

для всех y ∈ Σ; 1)

Для функций y(x), достаточно гладких, разложение y =

∞

n=−∞

cn ϕn мож-

но дифференцировать почленно, и потому для таких функций имеет место равенство

2 2  a ∞ π n (|y  |2 + |y|2 ) dx = |cn |2 + 1 . 2 −a

n=−∞

a

Рассматривая его левую и правую части как квадрат нормы для функций y(x) и последовательностей {cn } соответственно, мы можем продолжить полученное изометрическое соответствие между y(x) и {cn } на совокупность всех функций y(x), удовлетворяющих условию (100). 13*

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

388

2) для всякого ε > 0 существует a > 1, такое, что −a 

|y|2 dx +

−∞

∞ 

|y|2 dx < ε2

a

для всех функций y ∈ Σ. Тогда множество Σ компактно в смысле нормы в L2 (−∞, ∞). Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию ⎧ 1 при 0  x  a − 1, ⎪ ⎨ 1 ωa (−x) = ωa (x) = a−x− sin 2π(a − x) при a − 1  x  a, ⎪ 2π ⎩ 0 при x  a. Эта функция непрерывна и имеет непрерывные производные до второго порядка включительно, причем 0  ωa (x)  1. Умножив каждую функцию y ∈ Σ на ωa (x), мы получим семейство Σa функций z = ωa y , содержащееся в Sa при c = 3. Действительно,

|z  | = |ωa y  + ωa y|  |y  | + 2|y|, |z|  |y| и потому ∞ 

(|z  |2 + |z|2 ) dx 

−∞

∞ 

∞ 

(2|y  |2 + 9|y|2 ) dx  9

−∞

(|y  |2 + |y|2 ) dx  9.

−∞

Следовательно, Σa компактно как часть компактного множества Sa . Докажем, что при любом ε > 0 Σa образует ε-сеть для Σ, если a достаточно велико; в силу следствия из теоремы 1 п. 2 § 13 лемма 2 будет доказана. Но это непосредственно вытекает из условия 2), ибо ∞ 

|y − ωa y|2 dx 

−∞

−a+  1 −∞

|y|2 dx +

∞ 

|y|2 dx < ε2 .

a−1

Л е м м а 3. Пусть q(x)  1. Семейство S функций y(x), определенное неравенством (99), некомпактно тогда и только тогда, когда существуют последовательность { n } непересекающихся отрезков одинаковой длины D и постоянная C , такие, что 

q(x) dx < C , n = 1, 2, 3, . . . . n

(103)

§ 24. Исследование спектра дифференциального оператора

389

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть выполнено условие (103); докажем, что S некомпактно. Положим $ π a sin (x − an ) при x ∈ n , D yn (x) = (104) 0 при x ∈ n , где an — левый конец отрезка n , а α — некоторая постоянная. Функции yn (x) попарно взаимно ортогональны и



|yn (x)|  α, |yn |2 dx =

(105)

2

π α2 . 2D

(106)

n

Поэтому, учитывая условие (103), имеем

2   π (|yn |2 + q|yn |2 ) dx  α2 +C , 2D

n

так что при

α=

π2 +C 2D

− 12

функции yn (x) принадлежат множеству S. С другой стороны, функции yn (x) образуют некомпактное множество, ибо в силу (105) их нормы одинаковы и они взаимно ортогональны; поэтому множество S также некомпактно. Пусть, обратно, множество S некомпактно; докажем, что существует последовательность отрезков n , удовлетворяющая условиям леммы. На основании леммы 2 существует положительное число ε, такое, что для любого N > 1 найдется функция y семейства S, удовлетворяющая неравенству −N 

|y|2 dx +

−∞

∞ 

|y|2 dx > ε.

(107)

N

При этом ε < 1, ибо из неравенства (99) и условия q(x)  1 вытекает, что ∞ 

|y|2 dx  1.

−∞

Разобьем полупрямые (−∞, −N ), (N , +∞) на отрезки Тогда по крайней мере для одного из этих отрезков   1  2 2 (|y | + q|y| ) dx  |y|2 dx. ε

длины D. (108)

390

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

Действительно, если бы для всех этих отрезков выполнялось противоположное неравенство, то, сложив все эти неравенства и учитывая неравенство (99), мы получили бы 1 1> ε

−N 

∞ 

|y| dx + 2

−∞

 |y|2 dx ,

N

а это противоречит условию (107). длины D, расположенный Итак, для любого D найдется отрезок вне интервала (−N , N ), для которого выполнено неравенство (108). Пронормируем теперь функцию y , полагая 1) 

y 2 dx = D;

(109)

тогда из (108) заключаем, что  D (|y  |2 + q|y|2 ) dx  .

(110)

ε

Равенство (109) показывает, что существует число ξ ∈

, для которого

|y(ξ)| = 1. Оценим теперь снизу функцию |y(x)| на отрезке части тождества x

. Применяя к правой



y(x) − y(ξ) = y  (t) dt ξ

неравенство Буняковского, имеем

x  D2 |y(x)| − y(ξ)|2  D |y  |2 dt  D (|y  |2 + q|y|2 ) dx  . ε

ξ

,

Следовательно,

|y(x) − y(ξ)| 

D2 . ε 1

До сих пор D было произвольно; выберем его теперь, полагая D2 = ε. 4 Тогда 1 |y(x) − y(ξ)|  , 2

1) То есть перейдем от y к новой функции λy которую мы снова обозначим через y и для которой выполнено (109); очевидно, неравенство (108) при этом не нарушится.

§ 24. Исследование спектра дифференциального оператора

391

и поэтому, учитывая равенство |y(ξ)| = 1, мы заключаем, что

|y(x)| 

1 2

всюду на отрезке . Из неравенства (110) теперь вытекает, что  1 1 q dx  √ , 4

2 ε



т. е.

2 ε

q dx  √ .

Так как N произвольно, а D зависит только от ε, то можно найти счетное множество непересекающихся отрезков с этим свойством, и лемма 3 доказана. Комбинируя теперь эту лемму с теоремой 12, мы приходим к следующему критерию дискретности спектра 1). Т е о р е м а 13 (А. М. Молчанов [1]). Пусть функция q(x) ограничена снизу. Спектр оператора L, определенного дифференциальным выражением

l(y) = −

d2 y + q(x)y , dx2

− ∞ < x < ∞,

чисто дискретен тогда и только тогда, когда для любого фиксированного числа a x+a 

lim

x→∞

q(x) dx = ∞.

x

В предыдущей теореме ограниченность снизу функции q(x) гарантирует самосопряженность оператора L. Поэтому возникает следующий вопрос. Нельзя ли в этой теореме заменить условие ограниченности функции q(x) более слабым условием, при котором оператор L остается самосопряженным. В связи с этим вопросом приведем без доказательства следующую т е о р е м у Р. С. Исмагилова (см. Исмагилов [1]). Пусть λ(Δ) — наименьшее собственное значение оператора, порожденного в (конечном) интервале Δ дифференциальным выражением −y  + q(x)y и нулевыми граничными условиями на концах Δ. Пусть L — оператор, порожденный этим же дифференциальным выражением в пространстве L2 (−∞, ∞). Для полуограниченности и дискретности спектра оператора L необходимо и достаточно, чтобы число λ(Δ) стремилось к бесконечности, когда интервал Δ уходит в бесконечность, 1) По поводу других признаков дискретности спектра см. работы: И. С. Кац и М. Г. Крейн [1] и Бирман [1].

392

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

сохраняя свою длину. Для одной лишь полуограниченности оператора L необходимым и достаточным является условие: inf λ(Δ) > −∞, где нижняя грань распространяется на всевозможные интервалы Δ одинаковой длины. Из-за ограниченности объема в настоящую книгу не вошло исследование спектра в случае периодических коэффициентов. С таким исследованием читатель может ознакомиться, например, по главе XXI книги Титчмарш [1] (см. также в этой книге приложение VIII). Здесь возникает чисто непрерывный спектр, состоящий из бесконечного числа интервалов, разделенных пропусками (лакунами). В случае непериодического возмущения коэффициентов, достаточно малого при x → ±∞, в каждой из лакун может появиться конечное или бесконечное количество собственных значений с предельными точками только на концах лакун. По этому поводу см. Глазман [4] и Рофе-Бекетов [3, 4]. 6. Примеры из квантовой механики. а). О с н о в н ы е п о л о ж е н и я к в а н т о в о й м е х а н и к и 1). Обычные представления классической механики неприменимы к изучению таких объектов, как электроны, позитроны, нейтроны, или более сложных, как, например, атомы. Такие объекты называются квантовомеханическими системами. Пусть S — квантовомеханическая система и пусть положение системы S задается n координатами q1 , q2 , . . ., qn ; их совокупность мы будем представлять себе как точку q n-мерного пространства Rn . Для краткости точку q мы будем называть координатой системы S . Через dq мы обозначим элемент объема в пространстве Rn . Основной принцип квантовой механики состоит в том, что каждое состояние системы S задается некоторой, вообще комплексной функцией Ψ(q) точки q , которая называется волновой функцией системы S . Состояние, которое задается функцией Ψ, мы будем кратко называть состоянием Ψ. Физический смысл волновой функции состоит в следующем: |Ψ(q)|2 dq есть вероятность того, что в рассматриваемом состоянии Ψ координата q системы S находится в элементе dq вокруг точки q . Другими словами, квадрат модуля |Ψ(q)|2 волновой функции есть плотность вероятности координаты q системы S в состоянии Ψ. Что касается аргумента функции Ψ, то он непосредственного физического смысла не имеет. Наиболее простой вид сформулированный выше принцип принимает тогда, когда система состоит из одной частицы, например электрона. 1) Излагаемые ниже сведения из квантовой механики не претендуют на полноту. Мы не имеем также возможности останавливаться здесь на экспериментальной стороне рассматриваемых вопросов. Подробное и полное изложение квантовой механики читатель найдет в специальных руководствах. (См., например, Блохинцев [1, 2], Ландау и Лившиц [1], Макки [1] или Нейман [1]).

§ 24. Исследование спектра дифференциального оператора

393

В этом случае |Ψ(q)|2 dq есть вероятность того, что в состоянии Ψ электрон находится в элементе dq вокруг точки q . Таким образом, квантовомеханическое описание состояния системы является вероятностным (или, как еще говорят, статистическим) описанием. Так как |Ψ(q)|2 есть плотность вероятности, то должно быть 

|Ψ(q)|2 dq = 1,

(111)

где интегрирование ведется по всему пространству Rn . Обозначая через H гильбертово пространство всех функций Ψ(q) с интегрируемым квадратом, мы можем сказать, что волновые функции находятся на единичной сфере пространства H. Квантовая механика применяет статистический способ описания не только к координатам qi системы, но и ко всем другим физическим величинам. Это достигается следующим образом: всякая физическая величина задается некоторым самосопряженным оператором в определенном выше пространстве H. Мы не будем останавливаться на том, как строятся эти операторы для конкретных физических величин; отметим только, что оператором, отвечающим координате qi системы S , является оператор умножения на qi . Если, например, некоторая физическая величина a задается при помощи оператора A, то физический смысл этого обстоятельства состоит в следующем. Пусть система S находится в некотором состоянии Ψ и пусть Ψ ∈ DA ; тогда (AΨ, Ψ) есть математическое ожидание величины a в этом состоянии. Обозначим через Pλ спектральную функцию оператора A; тогда (PΔ Ψ, Ψ) t есть вероятность того, что в состоянии Ψ значение величины a находится в интервале Δ. Другими словами, (Pλ Ψ, Ψ) есть функция распределения величины a в состоянии Ψ. Основная спектральная теорема ∞ 

(AΨ, Ψ) =

λ d(Pλ Ψ, Ψ)

(112)

−∞

интерпретируется здесь как известное интегральное представление математического ожидания при помощи функции распределения. Отсюда вытекает, что возможными значениями величины a являются точки роста спектральной функции Pλ , т. е. точки спектра оператора A. Если, в частности, Ψ есть собственная функция оператора A, отвечающая собственному значению λ0 , то, очевидно,  0 при λ < λ0 , (Pλ Ψ, Ψ) = 1 при λ  λ0 . Это означает, что в состоянии Ψ величина a с вероятностью, равной единице, принимает значение, равное λ0 , т. е. что в состоянии Ψ значение величины a есть в точности λ0 . Пусть, например, спектр оператора A дискретен и Ψ1 , Ψ2 , Ψ3 , . . . — полная ортонормальная

394

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

система его собственных функций, а λ1 , λ2 , λ3 , . . . — соответствующие собственные значения; тогда возможные значения величины a образуют дискретную систему λ1 , λ2 , λ3 , . . .. Величина a принимает эти значения лишь в состояниях Ψ1 , Ψ2 , Ψ3 , . . . соответственно. Во всяком другом состоянии можно задать только функцию распределения величины a. Если Ψ — произвольное состояние системы, то, разлагая Ψ по ортонормальной системе Ψ1 , Ψ2 , Ψ3 , . . ., имеем

Ψ=

∞

cn Ψn , cn = (Ψ, Ψn ).

n=1

При этом (112) примет вид

(AΨ, Ψ) =

∞

λn |cn |2 ;

n=1

следовательно, |cn | есть вероятность того, что в состоянии Ψ величина a равна λn 1). Одной из важнейших величин является энергия системы; соответствующий оператор называется оператором энергии и обозначается обычно через H . Состояния системы, определенные собственными функциями оператора энергии, называются стационарными состояниями системы, а соответствующие собственные значения — соответствующими уровнями энергии. С течением времени состояние квантовомеханической системы может изменяться, в соответствии с чем волновая функция есть, вообще говоря, также функция времени t: 2

Ψ = Ψ(q , t). Оказывается, что закон ее изменения с течением времени (т. е. закон изменения состояния системы) задается уравнением

ih

∂Ψ = HΨ, ∂t

(113)

где H — оператор энергии 2), а h — так называемая постоянная Планка, имеющая размерность действия и равная 1,054 · 10−27 эрг · сек. Отсюда, в частности, вытекает, что стационарные состояния системы, отвечающие точкам Ek дискретного спектра оператора H , определяются при помощи волновых функций i

Ψk (q , t) = e− h Ek t ψk (q), k = 1, 2, 3, . . . , 1) Здесь предполагается, что λn — простое собственное значение оператора A; если же λn — кратное собственное значение, то упомянутая вероятность равна сумме всех |ck |2 , для которых соответствующие λk равны λn . 2) Разумеется, под HΨ здесь следует понимать результат применения оператора H к функции Ψ, рассматриваемой как функция от q .

§ 24. Исследование спектра дифференциального оператора

395

где ψk — соответствующие собственные функции оператора H . Во многих случаях оператор энергии H есть дифференциальный оператор, обыкновенный или в частных производных. Поэтому решение основных задач квантовой механики связано с исследованием спектра оператора H и с разложением данной функции по собственным функциям этого оператора. Наиболее просто выглядит уравнение (113) в том случае, когда данная система S состоит из одной частицы (например, электрона). Волновая функция Ψ есть тогда функция координат x1 , x2 , x3 частицы и времени t. Оказывается, что при этом уравнение (113) принимает вид ∂Ψ h2 ih = − ΔΨ + U (x1 , x2 , x3 )Ψ, (114) ∂t

2μ

где μ — масса частицы, U (x1 , x2 , x3 ) — ее потенциальная энергия во внешнем поле, а ΔΨ обозначает результат применения к Ψ оператора Лапласа. Уравнение (114) называется уравнением Шрёдингера (с временем). Таким образом, в случае одной частицы оператор H определяется h2

дифференциальным выражением l(ψ) = − Δψ + U ψ , и соответству2μ ющее уравнение для определения собственных функций имеет вид

−

h2 Δψ + U ψ = Eψ. 2μ

(115)

Это уравнение также называется уравнением Шрёдингера (без времени). Мы ограничимся этим кратким изложением общих положений квантовой механики и перейдем теперь к рассмотрению конкретных примеров. б). О д н о м е р н о е у р а в н е н и е Ш р ё д и н г е р а. Рассмотрим тот частный случай, когда потенциальная энергия U имеет вид

U (x1 , x2 , x3 ) = U1 (x1 ) + U2 (x2 ) + U3 (x3 ). Тогда к уравнению (115) примен´ им метод Фурье; собственные функции ψ(x1 , x2 , x3 ) можно искать в виде

ψ(x1 , x2 , x3 ) = ψ1 (x1 )ψ2 (x2 )ψ3 (x3 ). Уравнение (115) распадается при этом на три уравнения:

−

h2 d2 ψi + Ui (x1 )ψi = Ei ψi , 2μ dx2i

i = 1, 2, 3,

где Ei — некоторые постоянные. Так как все три уравнения имеют один и тот же вид, то можно опустить индекс i и рассмотреть уравнение

−

h2 d2 ψ + U (x)ψ = Eψ. 2μ dx2

(116)

396

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

Оно называется одномерным уравнением Шрёдингера. Очевидно, такое же уравнение получится, если частица может находиться только на фиксированной прямой, причем ее потенциальная энергия зависит лишь от координаты на этой прямой. Поэтому уравнение (116) называется еще уравнением одномерного движения частицы, и о частице говорят, что она совершает одномерное движение вдоль этой прямой. Введем обозначение 2μ 2

h

U (x) = p(x),

2μ

h2

E = λ;

(117)

тогда уравнение (116) перепишется в виде

−

d2 ψ + p(x)ψ = λψ. dx2

(118)

Обозначим через L оператор, порожденный дифференциальным выражением l(ψ) = −

d2 ψ + p(x)ψ в интервале (−∞, ∞). К нему применимы dx2

все результаты пп. 1–5. В частности, применяя к нему рассуждения пп. 1 и 2, можно показать, что: 1) если lim p(x) = M , то на поx→±∞ луоси λ > M спектр этого оператора может быть только дискретным; 2) если lim p(x) = +∞, то спектр оператора L дискретен; 3) если x→±∞

lim p(x) = 0, то непрерывная часть спектра оператора L заполняет всю положительную полуось, а на отрицательной полуоси может находиться только дискретная часть спектра оператора L; аналогичное предложение имеет место, если функция p(x) суммируема в интервале (−∞, ∞). Отметим следующее важное обстоятельство. Собственная функция ψ(x), вообще говоря, отлична от нуля также для тех значений x, для которых E < U (x). Это означает, что с вероятностью, отличной от нуля, частица может находиться в области, определенной неравенством E < U (x). В классической механике это невозможно, ибо неравенство E < U (x) означало бы, что кинетическая энергия отрицательна. В квантовой механике мы к этому противоречию не приходим потому, что если в рассматриваемом состоянии частица может находиться лишь вблизи некоторой точки пространства, то в этом состоянии ее кинетическая энергия не имеет значения, близкого к определенному, а статистически распределяется по всей положительной полуоси. в). О д н о м е р н о е у р а в н е н и е Ш р ё д и н г е р а в с л у ч а е п о т е н ц и а л ь н о г о б а р ь е р а. Пусть потенциальная энергия U обращается в бесконечность при x < 0; это означает, что частица не может находиться на отрицательной полуоси и потому ψ = 0 при x  0. Точка x = 0 называется потенциальным барьером. Очевидно, мы можем ограничиться рассмотрением уравнения (118) на положительной x→±∞

§ 24. Исследование спектра дифференциального оператора

397

полуоси, наложив на функцию ψ краевое условие

ψ(0) = 0.

(119)

Другими словами, задача сводится к рассмотрению оператора L, порожденного нашим дифференциальным выражением l(ψ) = −ψ  + + p(x)ψ и краевым условием 1) (119). Очевидно, к этому оператору применимы все предложения, относящиеся к операторам второго порядка на полуоси. г). О д н о м е р н о е у р а в н е н и е Ш р ё д и н г е р а в с л у ч а е п о т е н ц и а л ь н о й я м ы. Предположим теперь, что на действительной оси имеется два потенциальных барьера, например в точках x = 0 и x = a, так что потенциальная энергия бесконечна при x < 0 и x > a, и частица может находиться только в интервале (0, a). Такое поле называется потенциальной ямой (с бесконечно высокими стенками). Повторяя рассуждения пункта в), мы заключаем, что исследование этого случая связано с рассмотрением дифференциального оператора L, порожденного дифференциальным выражением l(ψ) = −ψ  + p(x)ψ в интервале (0, a) и краевыми условиями 2)

ψ(0) = ψ(a) = 0.

(120)

В силу регулярности оператора L его спектр дискретен и имеет единственную предельную точку на бесконечности. Рассмотрим, например, тот случай, когда потенциальная энергия равна нулю в интервале (0, a). Задача сводится тогда к нахождению решений уравнения −ψ  = λψ , удовлетворяющих условиям (120). Но общий интеграл этого уравнения есть √ ψ = A sin( λ x + α). Условие ψ(0√ ) = 0 дает α = 0. Тогда условие ψ(a) = 0 запишется в виде A sin λ a = 0. Но A = √ 0, ибо собственная функция не равна тождественно нулю; поэтому λ a = nπ , n = 1, 2, 3, . . ., так что собственными значениями нашего оператора являются

λn =

n2 π 2 , a2

n = 1, 2, 3, . . . .

Соответствующими собственными функциями будут

ψn (x) = An sin 1) 2)

nπx . a

При этом предполагается, что конец x = 0 регулярен. При этом предполагается, что концы x = 0 и x = a регулярны.

398

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

Уровни энергии En , отвечающие этим собственным значениям, определятся тогда из формулы (117), а именно:

En =

h2 n2 π 2 , 2μa2

n = 1, 2, 3, . . . .

д). Л и н е й н ы й о с ц и л л я т о р. Линейным осциллятором в классической механике называется материальная точка, совершающая малые колебания вдоль прямой 1) под действием силы, пропорциональной отклонению частицы от фиксированной точки прямой и направленной в сторону, противоположную отклонению. Типичным примером являются колебания материальной точки, подвешенной на пружине (если пренебречь силой тяжести). Если обозначить через x упомянутое отклонение, то для силы f , действующей на частицу, мы получим выражение

f = −kx; следовательно, потенциальной энергией частицы будет

U=

kx2 . 2

(121)

Как известно, под действием этой силы f частица совершает гармонические колебания около точки x = 0. Пусть теперь задана квантовомеханическая частица, совершающая одномерное движение вдоль оси Ox. По аналогии с данным выше определением такая частица называется линейным осциллятором, если ее kx2

потенциальная энергия задается той же формулой (121): U = . 2 Таким образом, для линейного осциллятора одномерное уравнение Шрёдингера примет вид

−

h2 d2 ψ 1 + kx2 ψ = Eψ. 2μ dx2 2

(122)

Уравнение (122) называется уравнением линейного осциллятора. В данном случае U (x) = cx2 → +∞ при x → ±∞, а потому спектр соответствующего оператора L дискретен. Впрочем, мы в этом сейчас убедимся и непосредственно, так как определим непосредственно собственные значения и собствелные функции оператора L. Для этой цели сделаем в уравнении (122) подстановку , 1 2 kμ ξ = x 4 2 , ψ = e− 2 ξ χ(ξ) (123) h

1)

Можно дать несколько более общее определение линейного осциллятора. В действительности существенна не прямолинейность движения, требуется только, чтобы частица обладала одной степенью свободы. Нам, однако, это более общее определение не понадобится.

§ 24. Исследование спектра дифференциального оператора

399

и после простых выкладок приведем это уравнение к виду

χ − 2ξχ + 2nχ = 0, где

n=

E h

'

μ 1 − . k 2

(124) (125)

Но, как легко проверить, при целом неотрицательном значении параметра n, уравнению (124) удовлетворяют так называемые многочлены Чебышева–Эрмита 1) 2

Hn (ξ) = (−1)n eξ

2

dn e−ξ , dξ n

n = 0, 1, 2, . . . .

В силу (123) соответствующие функции ψn будут иметь вид

,  √ kμ kμ − 2h x2 ψn (x) = cn e Hn x 4 2 , n = 0, 1, 2, . . . , h

а уровни энергии

  , 1 k En = n + , n = 0, 1, 2, . . . . h 2

μ

Из известного свойства полноты множества многочленов Чебышева– Эрмита можно заключить, что функции ψn (x) образуют полную ортонормальную систему в L2 (−∞, +∞) и потому полную систему собственных функций оператора L. Поэтому спектр оператора L дискретен и состоит из простых собственных значений. е). Д в и ж е н и е в к у л о н о в о м п о л е. Одной из задач квантовой механики является изучение уровней энергии и стационарных состояний системы нескольких взаимодействующих друг с другом частиц. Мы ограничимся рассмотрением частного случая этой задачи, именно случая двух взаимодействующих частиц. Эту последнюю задачу можно следующим образом свести к задаче об одной частице. Пусть μ1 , μ2 — массы частиц, а r1 , r2 — их радиусы-векторы; оказывается, что оператор энергии H нашей системы определяется формулой h2 h2 Hh1 = − Δ1 ψ − Δ2 ψ + U (r)ψ , 2μ 1

2μ 2

где Δ1 , Δ2 — операторы Лапласа по координатам только первой и только второй частицы соответственно, а U (r) — потенциальная энергия системы, зависящая только от расстояния r между частицами и характеризующая взаимодействие между частицами. Введем вместо r1 и r2 новые переменные R и r, полагая

r = r2 − r1 , R = 1)

μ1 r1 + μ2 r2 , μ1 + μ2

См., например, Курант и Гильберт [1], с. 84 и 456–458.

400

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

так что r — радиус-вектор второй частицы относительно первой, а R — радиус-вектор центра инерции частиц. Легко проверить, что в этих новых переменных оператор H примет вид

Hψ = −

h2 h2 ΔR ψ − Δr ψ + U (r)ψ , 2(μ1 + μ2 ) 2μ

где ΔR и Δr — операторы Лапласа относительно проекций векторов μ1 μ2 R и r соответственно, а μ = — так называемая приведенная μ1 + μ2 масса. Мы видим, что в новых переменных оператор H представляется в виде суммы двух операторов: H1 ψ = −

h2 ΔR ψ и H2 ψ = − 2(μ1 + μ2 )

h2

− Δr ψ + U (r)ψ , из которых первый есть оператор, действующий на 2μ функцию от R, а второй — на функцию от r . Следовательно, при определении собственных функций оператора H можно применить метод Фурье и искать эти собственные функции в виде произведений ψ = ψ1 (r)ψ2 (R), где ψ1 — собственная функция оператора H1 , а ψ2 — собственная функция оператора H2 . Первая собственная функция описывает стационарное состояние свободной частицы 1) с массой μ1 + μ2 , помещенной в центре инерции системы (т. е. определяет закон движения центра инерции системы); вторая — стационарное состояние частицы с приведенной массой μ в поле с потенциалом U (r) и по существу характеризует относительное движение частиц. Не останавливаясь на относительно простом вопросе о стационарных состояниях свободной частицы, мы обратимся к изучению стационарных состояний частицы в поле с потенциалом U (r). При этом мы ограничимся тем важным частным случаем, когда взаимодействие между обеими частицами характеризуется законом Кулона. Как известно, тогда функция U (r) имеет вид C r

U (r) = ± , где C — некоторая положительная постоянная, а знаки ± соответствуют отталкиванию и притяжению частиц соответственно. Мы остановимся подробнее на случае притяжения и лишь вкратце укажем, как изменяются полученные результаты в случае отталкивания. Уравнение для определения собственных значений и собственных функций оператора H2 запишется тогда в виде

−

h2 C Δψ − ψ = Eψ. 2μ r

(126)

Так как U зависит только от r , то здесь удобно перейти к сферическим координатам. Обозначая сферические координаты через r , θ и ϕ 1)

То есть частицы, не находящейся во внешнем поле.

§ 24. Исследование спектра дифференциального оператора

401

и пользуясь известным выражением для оператора Лапласа в сферических координатах, мы перепишем уравнение (126) в виде       h2 ∂ 1 ∂ ∂ψ 1 ∂2ψ C 2 ∂ψ − ψ = Eψ. − r + sin θ + 2 2 2 ∂r

2μr

∂r

sin θ ∂θ

∂θ

sin θ ∂ϕ

r

(127) К этому последнему уравнению примен´ им метод Фурье, так что собственную функцию ψ можно искать в виде произведения собственных функций Y и f , определенных уравнениями   1 ∂ ∂Y 1 ∂2Y = λY , (128) sin θ + 2 2 sin θ ∂θ 2

h − 2μr2



∂θ

sin θ ∂ϕ

   ∂ ∂f C r2 + λf − f = Ef.

∂r

∂r

r

(129)

Так как элемент объема в сферических координатах есть r2 sin θ dr dθ dϕ, то уравнение (128) следует рассматривать в гильбертовом пространстве HY функций Y (θ , ϕ) с квадратом нормы 2π π sin θ dθ |Y (θ , ϕ)|2 dϕ, а уравнение (129) — в гильбертовом про0

0

странстве Hf функций f (r) с квадратом нормы ∞ 

r2 |f (r)|2 dr.

0

Как известно из теории шаровых функций (см., например, Курант, Гильберт [1], гл. VII), собственные значения λ, определяемые уравнением (128), имеют вид λ = −l(l + 1), где l — произвольное целое неотрицательное число. Каждому такому собственному значению отвечает в точности 2l + 1 взаимно ортогональных и нормированных собственных функций

Ylm (θ , ϕ), m = −l, −l + 1, . . . , l; они называются шаровыми функциями 1). Обратимся теперь к уравнению (129). В силу только что сказанного в нем следует положить λ = −l(l + 1). Выбрав в качестве единиц h2

h2

массы, длины и времени μ, и соответственно, мы приведем μC μC 2 это уравнение к виду   1 ∂ ∂f l(l + 1) 1 − 2 f − f = Ef. (130) r2 + 2 2r ∂r

∂r

2r

r

1) К шаровым функциям можно естественным образом прийти, рассматривая неприводимые линейные представления группы вращений шара. Эти представления играют важную роль в квантовой механике. Подробнее об этом см. Гельфанд, Минлос и Шапиро [1] или Виленкин [1].

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

402

Пусть L — оператор, порожденный левой частью уравнения (130). Если 1 в уравнении (130) положить f = u, то для u мы получим уравнение

−



2

r



du l(l + 1) 2 + − u = 2Eu, 2 2 r dr r

в котором

p(r) =

l(l + 1) 2 − → 0 при r → ∞, r r2

p(r) − +∞

при r → 0.

На основании предыдущих результатов отсюда легко заключить, что оператор L самосопряженный и что его спектр на отрицательной полуоси может быть только дискретным, тогда как вся положительная полуось покрыта непрерывной частью спектра этого оператора. Впрочем, к этим же результатам мы придем сейчас иным путем, причем мы непосредственно определим спектр оператора L и соответствующие собственные функции. Положим в (130)

n= !

1

−2E

,

ρ=

2r , n

ρ

f = ρl e− 2 w;

при этом мы считаем n > 0, если E < 0 и n = − √ Уравнение (130) преобразуется тогда к виду

i 2E

(131) , если E > 0.

ρw + (2l + 2 − ρ)w + (n − l − 1)w = 0.

(132)

Одним из решений этого уравнения является вырожденная гипергеометрическая функция

w = F (−n + l + 1, 2l + 2, ρ), где

F (α, γ , ρ) = 1 +

α ρ α(α + 1) ρ2 · + · + ... . γ 1! γ(γ + 1) 2!

(133)

(134)

Как следует из теории таких функций (см., например, Курант, Гильберт [1]), решению w уравнения (132) тогда и только тогда отвечает ρ функция f = ρl e− 2 w, удовлетворяющая условию конечности нормы ∞ 

r2 |f (r)|2 dr < ∞,

(135)

0

когда это решение есть вырожденная гипергеометрическая функция (133), а −n + l + 1 есть целое отрицательное число или нуль. В этом случае наша вырожденная гипергеометрическая функция сводится

§ 24. Исследование спектра дифференциального оператора

403

к многочлену степени n − l − 1, который с точностью до числового множителя есть обобщенный многочлен Чебышева–Лагерра:

Lkν (ρ) =

ν! dν eρ ν (e−ρ ρν−k ), (ν − k)! dρ

ν = n + l, k = 2l + 1.

(136)

Таким образом, для точек дискретного спектра число n в (131) должно быть целым положительным, и потому соответствующие уровни энергии определяются формулой

En = −

1 2n2

, n = 1, 2, 3, . . . .

(137)

Соответствующие стационарные состояния частицы определяются волновыми функциями

ψnlm (r , θ, ϕ) = fnl (r)Ylm (θ , ϕ).

(138)

При этом из формул (131) и (136) вытекает, что r

fnl (r) = cnl e− n



   2r l 2l+1 2r Ln+l , n n

где cnl — постоянная, определяемая (с точностью до множителя, по ∞  2 модулю равного единице 1)) условием нормировки r |f (r)|2 dr = 1. 0

Так как должно быть −n + l + 1  0, то l  n − 1; следовательно, возможными значениями l при фиксированном n являются l = 0, 1, 2, . . ., n − 1. При фиксированных n и l имеется еще 2l + 1 возможностей для m, поэтому данному уровню En отвечает n− 1

(2l + 1) = n2

l=0

линейно независимых волновых функций ψnlm (r , θ , ϕ), т. е. кратность собственного значения En оператора H есть n2 . Числа n, l, m полностью определяют функцию ψnlm (r , θ , ϕ), т. е. полностью определяют стационарное состояние частицы. Они называются главным квантовым числом, азимутальным квантовым числом и магнитным квантовым числом соответственно. 1)

Можно показать (см., например, Ландау и Лившиц [1]), что при надлежащем выборе этого множителя .

cnl = −

2

(n − l − 1)!

n2

[(n + l)!]3

.

404

Гл. VII. Исследование индекса дефекта и спектра

Не останавливаясь подробно на рассмотрении непрерывного спектра, мы сформулируем только окончательный результат (который можно получить, пользуясь известными асимптотическими формулами для решений уравнения (132) 1)). √ i Полагая k = 2E , E > 0, следовательно, n = − , ρ = 2ikr, мы k получим следующее выражение для собственной функции оператора L:   ck i fkl (r) = (2kr)l e−ikr F + l + 1, 2l + 2, 2ikr . (139) (2l + 1)!

k

Если пронормировать эту функцию, полагая ,    π  2 i  ck = ke 2k Γ l + 1 − , π

k

(140)

то формула разложения функции f (r) ∈ Hf по собственным функциям оператора L будет иметь вид 2) ∞  ∞ f (r) = cnl fnl (r) + ϕl (k)fkl (r) dk, (141) n=1

0

где ∞ 

cnl = 0 ∞ 

ϕl (k) =

f (r)fnl (r)r 2 dr ,

(142)

f (r)fkl (r)r 2 dr.

(143)

0

При этом в общем случае произвольной функции f ∈ Hf сходимость правой части (141) имеет место в смысле нормы в Hf , а сходимость в (142) и (143) — в смысле норм ∞  12

∞  12  2 2 |cnl | , |ϕl (k)| dk , n=1

0

и имеет место равенство ∞ ∞   ∞ 2 2 2 r |f (r)| dr = |cnl | + |ϕl (k)|2 dk. 0

n=1

0

В силу предыдущего собственные функции оператора H получаются из собственных функций оператора L умножением на Ylm (θ , ϕ). Но при фиксированном E > 0 (и, значит, k > 0) число l может принимать 1) 2)

Подробнее см. Ландау и Лившиц [1] или Левитан [2]. Определение пространства Hf см. на с. 401.

§ 24. Исследование спектра дифференциального оператора

405

произвольные целые неотрицательные значения. Отсюда вытекает, что соответствующие точки сплошного спектра оператора энергии все бесконечной кратности. Легко также выписать разложение по собственным функциям оператора H ; мы предоставляем читателю вывод соответствующих формул. Мы рассмотрели случай кулонова поля притяжения. В случае поля отталкивания дискретный спектр отсутствует, а сплошной спектр по-прежнему покрывает всю положительную полуось. Разложение по собственным функциям оператора L аналогично формуле (141), но первое слагаемое (отвечавшее ранее дискретному спектру) в нем теперь отсутствует.

Г л а в а VIII ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ШТУРМА–ЛИУВИЛЛЯ

В так называемых обратных задачах спектрального анализа требуется определить оператор по некоторым заданным спектральным характеристикам этого оператора. К задачам такого типа приводят, в частности, некоторые вопросы квантовой механики, например определение внутриатомных сил по заданным уровням энергии, т. е. по спектру, который может быть найден экспериментально. В этой главе мы рассмотрим обратную задачу Штурма–Лиувилля, которая формулируется следующим образом. Дана спектральная функция распределения σ(λ) дифференциального оператора второго порядка, определить этот оператор. Впервые обратная задача была поставлена В. А. Амбарцумяном (см. Амбарцумян [1]). В простейшей постановке задача заключается в том, чтобы определить оператор, зная его спектр. Однако в такой постановке задача является неопределенной: одного спектра недостаточно для определения оператора (см. Левинсон [2]). Теорема единственности для сформулированной выше обратной задачи Штурма–Лиувилля впервые была получена В. А. Марченко (см. Марченко [1]), а ее полное решение дали И. М. Гельфанд и Б. М. Левитан (см. Гельфанд и Левитан [2]). Настоящая глава посвящена изложению этого решения 1). В конце главы будут даны некоторые разъяснения относительно других возможных постановок обратных задач и соответствующие литературные указания.

§ 25. Ортогонализирующие ядра 1. Определение ортогонализирующих ядер. Пусть задан дифференциальный оператор Lθ при помощи дифференциального выражения

l(y) = −y  + q(x)y , 0  x < +∞, и краевого условия

y  (0) − θy(0) = 0.

(1) (2)

1) Вне рамок настоящей книги остались фундаментальные результаты М. Г. Крейна, уточняющие, в частности, основную теорему п. 5 § 26 (см. М. Г. Крейн [10, 11, 12]).

§ 25. Ортогонализирующие ядра

407

Мы будем предполагать, что функция q(x) непрерывна на всей полуоси 0  x < +∞. Обозначим через u1 (x, λ) и u2 (x, λ) решения уравнения

l(y) = λy ,

(3)

удовлетворяющие начальным условиям

u1 (0, λ) = 1, u1 (0, λ) = 0, u2 (0, λ) = 0, u2 (0, λ) = 1, и положим

ϕ(x, λ) = u1 (x, λ) + θu2 (x, λ).

(4)

Очевидно, функция ϕ(x, λ) будет решением уравнения (3), удовлетворяющим краевому условию (2). Как было показано в § 21, существует спектральная функция распределения σ(λ), такая, что формулы ∞ 

F (λ) =

f (x)ϕ(x, λ) dx,

(5)

0 ∞ 

f (x) =

F (λ)ϕ(x, λ) dσ(λ)

(6)

−∞

устанавливают взаимно обратные изометрические отображения L2 (0, ∞) на L2σ и L2σ на L2 (0, ∞), при которых оператор Lθ переходит в оператор Λσ умножения на λ. Эта функция σ(λ) будет единственной или нет в зависимости от того, будет ли Lθ самосопряженным или несамосопряженным симметрическим оператором. Последнее в свою очередь определяется тем, будет ли индекс дефекта симметрического оператора L0 , порожденного дифференциальным выражением l(y), равен (1, 1) или (2, 2). Предположим теперь, что существует функция K(x, t), t  x, имеющая непрерывные частные производные до второго порядка включительно, такая, что 1) x √ √ ϕ(x, λ) = cos λ x + K(x, t) cos λ t dt.

(7)

0 1) Формула (7) представляет собой континуальный аналог процесса ортогонализации (см., например, Гельфанд [1]); √ здесь функция ϕ(x, λ) получается путем «ортогонализации» функции cos λ t по «весу» σ(λ). По этому поводу см. также Виленкин [2]. Соотношения, связывающие решения двух различных уравнений второго порядка (с заданными начальными условиями) принято называть операторами преобразования. Соотношение (7) является оператором преобразования, построенным для уравнения −y  = λy и уравнения (3). Общая теория операторов преобразования развита в работе Марченко [3] (см. также книгу Левитан [1]).

Гл. VIII. Обратная задача Штурма–Лиувилля

408

Выясним, какие условия следует наложить на функцию K(x, t), чтобы функция ϕ(x, λ), определенная формулой (7), была решением уравнения (3), удовлетворяющим условию (2). Дифференцируя дважды обе части (7), имеем √ √ √ √ dK(x, x) ϕ (x, λ) = −λ cos λ x + cos λ x − λ K(x, x) sin λ x + dx



√ ∂K(x, t)  + cos λ x +  ∂x t=x

x 0

√ ∂ 2 K(x, t) cos λ t dt; 2 ∂x

с другой стороны, интегрируя дважды по частям, получаем x √ √ √ λ K(x, t) cos λ t dt = λ sin λ x K(x, x) + 0





√ ∂K(x, t)  ∂K(x, t)  + cos λ x − −   ∂t ∂t t=x t=0

x 0

√ ∂ 2 K(x, t) cos λ t dt. 2 ∂t

Подставим эти выражения в уравнение (3) и приведем подобные члены; мы придем к соотношению   √ √ dK(x, x) ∂K(x, t) ∂K(x, t) cos λ x + + cos λ x − dx ∂t ∂x t=x  √ ∂K(x, t)  − q(x) cos λ x + −  ∂t

x 

+ 0

t=0



√ ∂ K ∂2K − 2 − q(x)K(x, t) cos λ t dt = 0. 2 ∂x ∂t 2

Из этого соотношения вытекает следующий результат: I. Функция K(x, t) удовлетворяет дифференциальному уравнению ∂ 2 K(x, t) ∂ 2 K(x, t) − q(x)K(x, t) = (8) 2 2 и условиям

∂x

∂t



∂K(x, t)  = 0,  ∂t t=0

(9)

dK(x, x) 1 = q(x). dx 2

(10)

В самом деле, нетрудно видеть, что если при некотором фиксированном x > 0 и при всех ρ  0 x

a + f (t) cos ρt dt + b cos ρx = 0, 0

(∗)

§ 25. Ортогонализирующие ядра

409

то

a = 0, b = 0 и f (t) = 0 при 0 < t < x.   π Действительно, полагая в равенстве (∗) ρ = ρn = 2πn + x−1 , где 2 n — натуральное число, мы получим x

a + f (t) cos ρn t dt = 0. 0

Так как в силу леммы Римана–Лебега интеграл слева стремится к нулю при ρn → ∞, то a = 0. Полагая теперь в равенстве (∗) ρ = ρn = x−1 2πn и рассуждая аналогично предыдущему, мы находим, x что b = 0 и что f (t) cos ρt dt = 0 при ρ > 0. Отсюда, в силу теоре0

мы единственности для косинус-преобразования Фурье, вытекает, что f (t) = 0 при 0 < t < x. Из выражения (4) для функции ϕ(x, λ) и формулы (7) мы заключаем также, что  √ √ √ θ = ϕ (0, λ) = − λ sin λx + K(x, x) cos λ x +

x +

√ ∂K(x, t) cos λ t ∂x

0

 = K(0, 0), x=0

и потому формула (10) дает 1 K(x, x) = θ + 2

x q(t) dt.

(11)

0

Легко видеть, что справедливо также обратное утверждение: I . Если функция K(x, t) удовлетворяет дифференциальному уравнению (8) и краевым условиям (9) и (11), то функция ϕ(x, λ), определяемая соотношением (7), является решением дифференциального уравнения (3). II. Если функция q(x) имеет непрерывную производную, то уравнение (8) имеет одно и только одно решение (определенное при t  x), удовлетворяющее краевым условиям (9) и (11). Чтобы в этом убедиться, достаточно применить к этой задаче метод Римана (см., например, С м и р н о в В . И . Курс высшей математики, т. IV, гл. III). Тем самым доказано существование функции K(x, t), удовлетворяющей соотношению (7). Рассматривая это соотношение как интеграль√ ное уравнение Вольтерра относительно cos λ t и решая это уравнение, получим x √ cos λ x = ϕ(x, λ) − K1 (x, t)ϕ(t, λ) dt. (12) 0

410

Гл. VIII. Обратная задача Штурма–Лиувилля

Рассуждая, как и выше, можно доказать, что III. Функция K1 (x, t) удовлетворяет дифференциальному уравнению ∂ 2 K1 (x, t) ∂ 2 K1 (x, t) = − q(t)K1 (x, t) 2 2 ∂x

и условиям

∂t



∂K1 − θK1 ∂t



K1 (x, x) = θ +

t=0 x

1 2

= 0,

q(x) dx; 0

функции K(x, t) и K1 (x, t) называются ортогонализирующими ядрами. Формулы (7) и (12) были нами выведены при λ > 0; но они верны также и при λ < 0, ибо их левая и правая части — аналитические функции от λ. Далее, при выводе мы предполагали, что функция q(x) имеет непрерывную производную. Пусть теперь функция q(x) просто непрерывна. Рассмотрим последовательность непрерывно дифференцируемых функций qn (x), равномерно сходящуюся к q(x) в некотором конечном интервале [ 0, a). Соответствующая последовательность Kn (x, t) сходится тогда к K(x, t) равномерно в области 0  t  x  a, а потому последовательность ϕn (x) сходится к ϕ(x) равномерно в интервале [ 0, a]. Из уравнения ϕn (x, λ) + (λ − qn (x))ϕn (x, λ) = 0 заключаем, что последовательность ϕn также сходится равномерно, и потому имеет место уравнение

ϕ (x, λ) + (λ − q(x))ϕ(x, λ) = 0 в интервале [ 0, a]. Ввиду произвольности этого интервала последнее уравнение имеет место во всем интервале 0  x < +∞. Если известно ортогонализирующее ядро, то формула (7) определяет функцию ϕ(x, λ); тем самым определяется и функция q(x), ибо

λ − q(x) = −

ϕ (x, λ) . ϕ(x, λ)

Таким образом, наша основная задача сводится к определению ядра K(x, t). Ее решение будет основано на выводе и исследовании интегрального уравнения для функции K(x, t). 2. Нелинейное интегральное уравнение для функции K1 (x, t). Интегрируя обе части равенства (12) по x от 0 до x и меняя в правой

§ 25. Ортогонализирующие ядра

411

части порядок интегрирования, имеем √ x x x sin λ x √ = ϕ(t, λ) dt − ϕ(t, λ) dt K1 (u, t) du = λ 0

t

0

  x x = ϕ(t, λ) 1 − K1 (u, t) du dt. t

0

При фиксированном x это равенство означает, что 1)

√ sin λ x √ есть λ

преобразование Фурье по собственной функции ϕ(t, λ) оператора Lθ следующей функции от t: ⎧ x ⎪ ⎨ 1 − K1 (u, t) du при t  x, Φ(x, t) = t ⎪ ⎩ 0 при t > x. Отсюда на основании равенства Парсеваля заключаем, что при y  x ∞  −∞

√ √ y sin λ x sin λ y dσ(λ) = Φ(x, t)Φ(y , t) dt = λ 0

y

y

x

0

0

t

y

y

0

t

= dt − dt K1 (u, t) du − dt K1 (u, t) du + y

y

y

+ dt K1 (u, t) du K1 (v , t) dv. (13) 0

t

t

Так как правая часть этого равенства имеет смысл при x = y , то существует интеграл ∞ √  sin2 λ x dσ(λ), λ

−∞

а следовательно, и интеграл

0 −∞

1)

При λ < 0 под

sh2

!

|λ| x dσ(λ). |λ|

! √ sin λ x sh |λ| x √ следует понимать ! . |λ| λ

Гл. VIII. Обратная задача Штурма–Лиувилля

412

Поэтому существует также 1) 0

ch

!

|λ| x dσ(λ).

−∞

Прим´еним теперь √ равенство Парсеваля для классического интеграла Фурье по cos λ t к функции  1 при t  y , f (t, y) = 0 при t > y ; ее преобразование Фурье есть

y cos

√

0

√ sin λ y λ t dt = √ . λ

Следовательно, на основании равенства Парсеваля (см. п. 5 § 21) при yx ∞ √ √ y  2 sin λ x sin λ y √ dt = d( λ), π

0

λ

0

и формулу (13) можно переписать в виде ∞  −∞

√ √ sin λ x sin λ y dτ (λ) = λ y

x

0

t

y

y

0

t

= − dt K1 (u, t) du − dt K1 (u, t) du + y

x

y

0

t

t

+ dt K1 (u, t) du K1 (v , t) dv , y  x, (14) $

где

τ (λ) = Положим

σ(λ) −

2√ λ при λ  0, π

σ(λ) ∞ 

F (x, y) = −∞

(15)

при λ < 0.

√ √ sin λ x sin λ y dτ (λ); λ

(16)

1) Существование этого последнего интеграла было доказано В. А. Марченко другим путем (см. Марченко [1]).

§ 25. Ортогонализирующие ядра

413

правая часть (14), а потому и функция F (x, y) имеют производную ∂2F . Полагая ∂x ∂y

f (x, y) =

∂2F ∂x ∂y

(17)

и дифференцируя обе части (14) по x и y , приходим к следующему результату. IV. Функция K1 (x, t) при y  x удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению y

f (x, y) = −K1 (x, y) + K1 (x, t)K1 (y , t) dt.

(18)

0

3. Линейное интегральное уравнение для функции K(x, y). V. Функция K(x, y) при y  x удовлетворяет линейному интегральному уравнению x

f (x, y) + K(x, s)f (s, y) ds + K(x, y) = 0.

(19)

0

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем сначала, что при b < y < a < x функции x y √ ψ(λ) = ϕ(t, λ) dt и ω(λ) = cos λ t dt a

b

ортогональны по мере dσ(λ), т. е. что ∞ 

y

x ϕ(t, λ) dt

−∞ a

 √ cos λ t dt dσ(λ) = 0.

(20)

b

Применяя формулу (12), имеем y y y t √ ω(λ) = cos λ t dt = ϕ(t, λ) dt − dt K1 (t, s)ϕ(s, λ) ds = b

y

b b

y

b

y

y

b

0

b

b

s

0

= ϕ(t, λ) dt − ϕ(s, λ) ds K1 (t, s) dt − ϕ(s, λ) ds K1 (t, s) dt; это равенство означает, что ω(λ) есть преобразование Фурье по ϕ(t, λ) функции, равной нулю вне интервала (0, y). С другой стороны, ψ(λ) есть аналогичное преобразование Фурье функции, равной нулю вне интервала (a, x). Так как интервалы (0, y) и (a, x) не перекрываются, то соотношение (20) непосредственно вытекает из равенства Парсеваля.

Гл. VIII. Обратная задача Штурма–Лиувилля

414

Выразим теперь в этом соотношении ϕ(t, λ) через cos (7); мы имеем тогда x

√

λ t по формуле

x a x √ √ ϕ(t, λ) dt = cos λ t dt + cos λ s ds K(t, s) dt +

a

a

a

0

x x √ + cos λ s ds K(t, s) dt, a

s

и соотношение (20) примет вид ∞ 

x

y  √ √ cos λ s ds cos λ s ds dσ(λ) +

−∞ a

b

∞ 

a

+

x √ cos λ s ds K(t, s) dt +

−∞ 0

a

y  x √ √ cos λ s ds dσ(λ) = 0. (21) + cos λ s ds K(t, s) dt x a

s

b

Введем для краткости обозначения ⎧x  ⎪ ⎪ ⎪ K(t, s) dt при 0  s  a, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ a x H(x, s) = ⎪ K(t, s) dt при a  s  x, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ s ⎪ ⎩ 0 при s > x;

(22)

тогда (21) перепишется в виде ∞ 

x

y

√

cos λ s ds −∞ a

∞ 

 √ cos λ s ds dσ(λ) +

b

∞ 

y

√

cos λ s H(x, s) ds

+ −∞ 0

 √ cos λ s ds dσ(λ) = 0. (23)

b

Но в силу формулы Парсеваля для классического интеграла Фурье 2 π

∞  x

√

y

cos λ s ds 0

a

b

√



√ cos λ s ds d( λ) = 0;

§ 25. Ортогонализирующие ядра

415

вычитая это равенство из (23) и вспоминая формулу для τ (λ) (см. (15)), получим ∞ 

x

y  √ √ cos λ s ds cos λ s ds dτ (λ) +

−∞ a

∞ 

b

∞ 

+

y  √ √ cos λ s H(x, s) ds cos λ s ds dτ (λ) +

−∞ 0 ∞  ∞ 

+

2 π

0

b

√ cos λ s H(x, s) ds

y

 √ √ cos λ s ds d( λ) = 0. (24)

b

0

Так как

∞ 

F (x, y) = −∞

√ √ sin λ x sin λ y dτ (λ), λ

то ∞ 

x

y

√

cos λ s ds −∞ a

∞ 

= −∞

 √ cos λ s ds dτ (λ) =

b

√ √ √ √ (sin λ x − sin λ a)(sin λ y − sin λ b) dτ (λ) = λ

= F (x, y) − F (x, b) − F (a, y) + F (a, b). Далее, применяя равенство Парсеваля для классического интеграла Фурье и учитывая формулу (22), заключаем, что

2 π

∞  ∞ 

0

0

  √ √ √ cos λ s ds d( λ) = cos λ s H(x, s) ds y

b

y

y

x

= H(x, s) ds = ds K(t, s) dt. b

b

a

Рассмотрим теперь второе слагаемое в формуле (24); так как H(x, x) =

=0и

∂H ограничена, то, интегрируя по частям и меняя затем порядок ∂s

Гл. VIII. Обратная задача Штурма–Лиувилля

416

интегрирования, получим ∞ 

∞ 

y  √ √ cos λ s H(x, s) ds cos λ s ds dτ (λ) =

−∞ 0

∞ 

x

= −∞ 0 ∞  x

=− −∞ 0

b

y  √ √ cos λ s H(x, s) ds cos λ s ds dτ (λ) = b

 √ √  √ ∂H sin λ s sin λ y − sin λ b √ √ dτ (λ) = ds ∂s λ λ x =−

∂H [F (s, y) − F (s, b)] ds. ∂s

(25)

0

Интегрируя снова по частям и меняя затем порядок интегрирования, получим для последнего интеграла выражение

x

 H(x, s)



∂F (s, y) ∂F (s, b) − ds = ∂s ∂s

0

x

t



= dt K(t, s) a



∂F (s, y) ∂F (s, b) − ds. ∂s ∂s

0

Поэтому формула (24) примет вид

F (x, y) − F (x, b) − F (a, y) + F (a, b) + x t y x   ∂F (s, y) ∂F (s, b) + dt K(t, s) − ds + ds K(t, s) dt = 0. ∂s

a

∂s

b

0

a

Дифференцирование этого равенства по x и y дает ∂2F + ∂x ∂y

x K(x, s)

∂ 2 F (s, y) ds + K(x, s) = 0, ∂s ∂y

0

т. е.

x

f (s, y) + K(x, s)f (s, y) ds + K(s, y) = 0. 0

§ 26. Решение обратной задачи Штурма–Лиувилля

417

§ 26. Решение обратной задачи Штурма–Лиувилля 1. Условия на спектральную функцию распределения. Обратимся теперь к решению обратной задачи. Итак, пусть дана неубывающая функция σ(λ); требуется выяснить, существует ли дифференциальный оператор L0 второго порядка, спектральной функцией которого она является, и найти этот оператор, если он существует. Эту задачу мы решим в предположении, что функция σ(λ) удовлетворяет следующим условиям: А). При любом вещественном x существует интеграл 0

√ e |λ| x dσ(λ).

(1)

−∞

Б). Если положить

τ (λ) = то интеграл

∞ 

$

σ(λ) −

2√ λ при λ > 0, π

при λ < 0,

σ(λ)

(2)

√ λ−1 cos λ x dτ (λ) существует для всех x  0 и при

1

x  0 функция

∞ 

a(x) =

√ cos λ x dτ (λ) λ

(3)

1

имеет непрерывные производные до четвертого порядка включительно. I. Если функция q(x) непрерывно дифференцируема при x  0, то условие А) необходимо для разрешимости обратной задачи 1). Это утверждение было доказано в п. 2 § 25. 1) Условие Б) необходимо для разрешимости обратной задачи лишь при x = 0. Даже для сколь угодно гладкой функции q(x) при x = 0 производные a(x) могут существовать лишь как односторонние. Например (на этот пример указал автору Ф. С. Рофе-Бекетов), спектральная функция $ 2 √ √ ( λ + arctg λ) при λ  0, π σ(λ) = 0 при λ < 0 отвечает аналитической функции q(x) и в то же время, здесь

1

a (x) = −e−|x| + cos

√

λ x dτ (λ),

0

так что a (0) существует лишь как односторонняя производная. 14 Наймарк М. А.

418

Гл. VIII. Обратная задача Штурма–Лиувилля

II. Если функция σ(λ) удовлетворяет условиям A) и Б), то функция ∞ √ √  sin λ x sin λ y F (x, y) = dτ (λ) (4) λ

−∞

имеет непрерывные частные производные до четвертого порядка включительно при x  0 и y  0. Действительно, в силу условия A) функция

1 F1 (x, y) = −∞

√ √ sin λ x sin λ y dτ (λ) λ

(5a)

имеет непрерывные четвертые производные. В силу условия Б) то же верно для функции ∞ √ √  sin λ x sin λ y F2 (x, y) = dτ (λ), (5б) λ

1

поскольку (см. (3))

F2 (x, y) =

1 [a(x − y) − a(x + y)]. 2

(6)

2. Исследование линейного интегрального уравнения для ортогонализирующего ядра. Пусть теперь задана функция σ(λ), удовлетворяющая условиям A) и Б). В этом пункте мы еще дополнительно предположим, что функция σ(λ) имеет в некотором конечном интервале бесконечное число точек роста и исключим, таким образом, случай чисто дискретного спектра. Это дополнительное условие будет нами использовано только при доказательстве нижеследующего предложения III. В дальнейшем (см. п. 6) мы укажем, как предложение III, а значит, и все последующие результаты распространяются на случай чисто дискретного спектра. Построим по σ(λ) функцию F (x, y) по формуле (4) и положим

f (x, y) =

∂2F . ∂x ∂y

(7)

В силу II функция f (x, y) имеет непрерывные производные до второго порядка включительно. III. При фиксированном x интегральное уравнение x

f (x, y) + f (y , x)K(x, s) ds + K(x, y) = 0

(8)

0

относительно неизвестной функции K(x, y) имеет решение и притом только одно.

§ 26. Решение обратной задачи Штурма–Лиувилля

419

Д о к а з а т е л ь с т в о. Как известно (см., например, Петровский [1]) для разрешимости интегрального уравнения (8) (при фиксированном x) достаточно, чтобы сопряженное однородное уравнение x

f (s, y)h(s) ds + h(y) = 0

(9)

0

имело лишь тривиальное решение. Пусть h(y) — некоторое решение этого уравнения. Умножая обе части (9) на h(y) и интегрируя по y от 0 до x, получим, что тогда x x

x

f (s, y)h(s)h(y) ds dy + h2 (y) dy = 0.

00

0

Поэтому достаточно доказать, что при h(y) ≡ 0 квадратичная форма x x

J(h) =

x

f (s, y)h(s)h(y) ds dy + h2 (y) dy

00

0

положительна. Предположим сначала, что функция h(y) удовлетворяет следующим условиям: 1) h(x) = 0; 2) h (y) непрерывна в интервале 0  y  x.

∂2F , то, интегрируя по частям и пользуясь ∂y ∂s

Так как f (y , s) =

условием 1), найдем, что x

x x

2

J(h) = h (y) dy + 0 x

F (y , s)h (y)h (s) dy ds =

0 0 x x 2

= h (y) dy + 0

2 − π



∞ 



h (y)h (s) dy ds 0 0

x x



∞ 



h (y)h (s) dy ds 0 0

x

∞  −∞

0

x G(λ) = 0

14*

√ √ sin λ y sin λ s √ √ √ d( λ) = λ λ

G2 (λ) dσ(λ) −

= h2 (y) dy + где

0

−∞

√ √ sin λ y sin λ s √ √ dσ(λ) − λ λ

2 π

∞ 

√ G2 (λ) d( λ), (10)

0

√ x √ sin λ t  √ h (t) dt = cos λ t h(t) dt. λ 0

(11)

420

Гл. VIII. Обратная задача Штурма–Лиувилля

Но в силу равенства Парсеваля для классического интеграла Фурье ∞ 

2 π

 √ G2 (λ) d( λ) = h2 (y) dy , x

0

0

и потому из (10) заключаем, что ∞ 

G2 (λ) dσ(λ).

J(h) =

(12)

−∞

Если поэтому J(h) = 0, то и G(λ) = 0 во всех точках роста функции σ(λ), которые по нашему дополнительному предположению имеют конечную предельную точку. Последнее возможно лишь тогда, когда G(λ) = 0, ибо в силу (11) G(λ) — целая аналитическая функция. Таким образом, из равенства J(h) = 0 вытекает, что x

√ h(t) cos λ t dt = 0

0

для всех λ; следовательно, h(t) ≡ 0. Пусть теперь h(y) — функция, непрерывная в интервале [ 0, x], не удовлетворяющая условиям 1) и 2). Тогда существует последовательность функций hn (y), удовлетворяющих условиям 1) и 2), сходящаяся к h(y) в смысле нормы в L2 (0, x). Очевидно,

lim J(hn ) = J(h)

x→∞

и потому

∞ 

J(h) = lim

n→∞

где

G2n (λ) dσ(λ),

∞

x √ Gn (λ) = hn (y) cos λ y dy. 0

Так как hn (y) → h(y) в смысле нормы в L2 (0, x), то Gn (λ) → G(λ) равномерно на каждом интервале [−a, a]. Поэтому, если J(h) = 0, т. е. ∞ 

lim

n→∞

то также

a

0 = lim

n→∞

−a

G2n (λ) dσ(λ) = 0,

−∞

G2n (λ) dσ(λ) =

a −a

G2 (λ) dσ(λ)

§ 26. Решение обратной задачи Штурма–Лиувилля

421

и в силу произвольности числа a ∞ 

G2 (λ) dσ(λ) = 0;

−∞

поэтому должно быть G(λ) ≡ 0; отсюда снова заключаем, что h(y) ≡ 0. Так как функция f (x, y) непрерывна, то и решение K(x, y) уравнения (8) есть непрерывная функция переменного y . Кроме того, из этого уравнения следует, что если существуют непрерывные производные ∂rf (r = 1, 2, . . ., n), то существуют также непрерывные производные ∂y r r ∂ K(x, y) (r = 1, 2, . . ., n). ∂y r

Исследование свойств этого решения как функции первого аргумента основано на следующей лемме. Л е м м а. Пусть в интегральном уравнении 1

g (x, a) = h(x, a) + H(x, y , a)h(y , a) dy

(13)

0

ядро H(x, y , a) и свободный член g (x, a) являются непрерывными функциями по совокупности независимых переменных и параметра a. Если сопряженное однородное уравнение имеет лишь тривиальное решение при a = a0 , то в некоторой окрестности точки a0 решение h(x, a) единственно и при 0  x  1 является непрерывной функцией переменных x и a. Если же H и g имеют n непрерывных производных по a, то столько же непрерывных производных по a имеет решение h(x, a) 1). Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим

H(x, y , a) = H(x, y , a0 ) + H1 (x, y , a); если a находится в достаточно малой окрестности точки a0 , то |H1 (x, y , a)| < ε для всех значений x, y в квадрате 0  x, y  1. Перепишем уравнение (13) в операторной форме

g = h + Hh = (1 + H0 )h + H1 h; применяя к обеим его частям оператор (1 + H0 )−1 , получим

(1 + H0 )−1 g = h + (1 + H0 )−1 H1 h.

(14)

1) Последнее утверждение остается справедливым даже в том случае, когда производные от H имеют разрывы 1-го рода вдоль прямой x = y .

422

Гл. VIII. Обратная задача Штурма–Лиувилля

Норма оператора (1 + H0 )−1 H1 меньше |(1 + H0 )−1 |ε, и потому ее можно считать сколь угодно малой; следовательно, к уравнению (14) примен´ им метод последовательных приближений, и лемма доказана. Чтобы применить эту лемму к уравнению (8), заменим в нем s на sx и y на yx. Мы получим уравнение 1

f (x, yx) + x K(x, sx)f (sx, yx) ds + K(x, yx) = 0 0

с ядром xf (sx, yx) и свободным членом f (x, yx). Очевидно, это уравнение удовлетворяет условиям леммы при любом значении x0 , и потому IV. Решение K(x, y) уравнения (8) есть непрерывная функция по совокупности переменных x, y при 0  y  x и x > 0 и имеет столько же непрерывных производных, сколько их имеет функция f (x, y). 3. Функция ϕ(x, λ) и равенство Парсеваля для нее. При помощи решения K(x, y) уравнения (8) построим теперь функцию ϕ(x, λ), полагая x √ √ (15) ϕ(x, λ) = cos λ x + K(x, t) cos λ t dt. 0

V. Для любой функции f (t) ∈ L (0, ∞) интеграл 2

∞ 

F (λ) =

f (t)ϕ(t, λ) dt

(16)

0

сходится в смысле нормы в L2σ . При этом имеет место равенство Парсеваля ∞ ∞ 

|F (λ)|2 dσ(λ) =

−∞



|f (t)|2 dt,

(17)

0

и вообще для произвольных f1 , f2 ∈ L2 (0, ∞), ∞ 

∞ 

F1 (λ)F2 (λ) dσ(l) = −∞

f1 (t)f2 (t) dt.

(18)

0

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем сначала равенство Парсеваля (18) для характеристических функций интервалов  1 при t ∈ [a, x], f1 (t) = a < x, 0 при t ∈ [a, x],  1 при t ∈ [b, y], f2 (t) = b < y, 0 при t ∈ [b, y], то x y

F1 (λ) = ϕ(t, λ) dt, F2 (λ) = ϕ(t, λ) dt, a

b

§ 26. Решение обратной задачи Штурма–Лиувилля

423

и подлежащее доказательству равенство Парсеваля примет вид ∞ 

y

x ϕ(t, λ) dt

−∞ a

∞ 

ϕ(t, λ) dt dσ(λ) = b

Положим для краткости ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ H(ξ , x, s) = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

f1 (t)f2 (t) dt.

(19)

0

x

K(t, s) dt при 0  s  ξ ,

ξ

x

K(t, s) dt при ξ  s  x,

(20)

s

при s > x

0

и рассмотрим левую часть (19); обозначая ее через J и пользуясь формулой (15), имеем ∞ 

y

x

J=

ϕ(t, λ) dt −∞ a ∞  x

=

ϕ(t, λ) dt dσ(λ) = b

y √ √ cos λ t dt cos λ t dt dσ(λ) +

−∞ a

∞ 

x

+ −∞ a ∞  x

+ −∞ 0 ∞  x

+

b

y √ √ cos λ t dt H(b, y , s) cos λ s ds dσ(λ) + 0

y √ √ H(a, x, s) cos λ s ds cos λ t dt dσ(λ) + b

y √ √ H(a, x, s) cos λ s ds H(b, y , s) cos λ s ds dσ(λ).

−∞ 0

0

Обозначим через J1 , J2 , J3 , J4 эти четыре слагаемых и вычислим каждое из них отдельно. Пользуясь формулой (2), определением функции F (x, y) и равенством Парсеваля для классического интеграла Фурье, имеем ∞ 

x

J1 = −∞ a ∞  x

y √ √ cos λ t dt cos λ t dt dσ(λ) = √

y

cos λ t dt

= −∞ a

b

b

√ cos λ t dt dτ (λ) +

Гл. VIII. Обратная задача Штурма–Лиувилля

424

2 + π

∞  x

y

√

cos λ t dt a

0

 √ √ cos λ t dt d( λ) =

b

= F (x, y) − F (a, y) − F (x, b) + F (a, b) +

∞ 

f1 (x)f2 (x) dx. 0

Далее, пользуясь снова равенством Парсеваля для классического интеграла Фурье, а также формулой (25) п. 3 § 25, получим ∞ 

x

J3 =

y √ √ H(a, x, s) cos λ s ds cos λ t dt dσ(λ) =

−∞ 0

x

=−

b

∂H(a, x, s) [F (s, y) − F (s, b)] ds + ∂s

0

x =

 H(a, x, s) ds = B



∂F (s, y) ∂F (s, b) H(a, x, s) − ∂s ∂s





ds + H(a, x, s) ds, B

0

где B обозначает общую часть интервалов [ 0, x] и [b, y]. Аналогично ∞ 

x

J2 =

y √ √ cos λ t dt H(b, y , s) cos λ s ds dσ(λ) =

−∞ a

y

0

= H(b, y , s)



∂F (s, x) ∂F (s, a) − ∂s ∂s



 ds + H(b, y , s) ds, A

0

где A — общая часть интервалов [ 0, y] и [a, x]. Наконец, при y  x ∞ 

x

J4 =

y √ √ H(a, x, s) cos λ s ds H(b, y , s) cos l s ds dσ(l) =

−∞ 0 ∞  x

= −∞

0

0

√   √  y sin λ s sin λ s √ √ H(a, x, s) ds H(b, y , s) ds dτ (λ)+ λ λ

2 + π

∞  x

0

0

0

  √ √ √ H(a, x, s) cos λ s ds H(b, y , s) cos λ s ds d( λ). y

0

Интегрируя в первом слагаемом по частям и применяя ко второму слагаемому равенство Парсеваля для классического интеграла Фурье,

§ 26. Решение обратной задачи Штурма–Лиувилля

425

получим ∞ 

x

−∞

0

J4 =

y  √ √ ∂H(a, x, ξ) sin λ ξ ∂H(b, y , s) sin λ √ √ dξ ds dτ (λ) + ∂ξ ∂s λ λ 0

y

+ H(a, x, s)H(b, y , s) ds = x

y

= dξ 0

0

∂H(a, x, ξ) ∂H(b, y , s) F (ξ , s) ds + ∂ξ ∂s

0

x

y

= H(a, x, ξ) dξ 0

y H(a, x, s)H(b, y , s) ds = 0

2

∂ F (ξ , s) H(b, y , s) ds + ∂ξ ∂s

0

y H(a, x, s)H(b, y , s) ds. 0

Таким образом,

∞ 

J = J1 + J2 + J3 + J4 =

f1 (t)f2 (t) dt + M (x, y), 0

где



M (x, y) = F (x, y) − F (a, y) − F (x, b) + F (a, b) + H(b, y , s) ds + x





+ H(a, x, s) ds + H(a, x, s) y +

B

0



∂F (s, x) ∂F (s, a) H(b, y , s) − ∂s ∂s

0



A

y ds + H(a, x, s)H(b, y , s) ds + 0

x



∂F (s, y) ∂F (s, b) − ds + ∂s ∂s

y

+ H(a, x, ξ) dξ H(b, y , s) 0

∂ 2 F (ξ , s) ds. ∂ξ ∂s

0

Докажем, что M (x, y) = 0; тем самым формула (19) будет доказана. Найдем для этого

∂2M . Так как, по условию, y  x, то пересечение A ∂x ∂y

интервалов [ 0, y], [a, x] либо пусто, либо есть интервал [a, y], поэтому  ∂ H(b, y , s) ds = 0. ∂x

A

Далее, при y  x, B = [b, y], и потому  ∂2 ∂ H(a, x, s) ds = H(a, x, y) = K(x, y). ∂x ∂y

∂x

B

Гл. VIII. Обратная задача Штурма–Лиувилля

426

Пользуясь этими формулами и определением функции f (x, y), найдем, что x ∂2M = f (x, y) + K(x, y) + K(x, s)f (s, y) ds + ∂x ∂y

0

y

y

+ K(y , s)f (s, x) ds + K(x, s)K(y , s) ds + 0

0

y

x

+ K(x, ξ) dξ K(y , s)f (ξ , s) ds = 0

0

x

= f (x, y) + K(x, y) + K(x, s)f (s, y) ds + 0

  x + K(y , s) f (s, x) + K(x, s) + K(x, ξ)f (ξ , s) dξ ds = 0, y 0

0

ибо по условию функция K(x, y) есть решение интегрального уравнения (8). Итак,

∂2M = 0. Кроме того, из формулы для M (x, y) непосред∂x ∂y

ственно видно, что M (a, y) = M (x, b) = 0; следовательно, M (x, y) = 0. Из доказанной формулы (19) следует справедливость равенства Парсеваля для конечных линейных комбинаций характеристических функций; так как эти функции образуют плотное множество в L2 (0, ∞), то равенство Парсеваля имеет место для всех функций из L2 (0, ∞), и теорема доказана. 4. Дифференциальное уравнение для функции ϕ(x, λ). VI. Функция ϕ(x, λ), определенная формулой (15), есть решение дифференциального уравнения вида

−y  + q(x)y = λy ,

(21)

удовлетворяющее начальным условиям

y(0) = 1, y  (0) = K(0, 0),

(22)

где q(x) — некоторая непрерывная функция. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассматривая формулу (15) как уравнение √ Вольтерра относительно cos λ x и решая это уравнение, найдем, что x √ cos λ x = ϕ(x, λ) − K1 (x, s)ϕ(s, λ) ds,

(23)

0

где функция K1 (x, s) имеет непрерывные производные второго порядка.

§ 26. Решение обратной задачи Штурма–Лиувилля

427

√ Умножим теперь обе части равенства (15) на cos λ t; мы получим √ √ √ 1 ϕ(x, λ) cos λ t = [cos λ (x + t) + cos λ (x − t)] + 2

1 + 2

x

√ √ K(x, s)[cos λ (s + t) + cos λ (s − t)] ds.

0

√

√ Подставляя сюда вместо cos λ (x ± t), cos λ (s ± t) их выражения из формулы (23), мы придем к следующему соотношению: √ ϕ(x, λ) cos λ t = x+t  1 W0 (x, t, s)ϕ(s, λ) ds, (24) = [ϕ(x + t, λ) + ϕ(x − t, λ)] + 2

0

где W0 (x, t, s) — некоторая функция, явное выражение которой нам не понадобится. Отметим только, что эта функция выражается через функции K(x, y), K1 (x, y) и их интегралы и потому непрерывна при s  x + t. Полагая  W0 (x, t, s) при s  x + t, W (x, t, s) = (25) 0 при s > x + t, мы можем переписать формулу (24) в виде √ ϕ(x, λ) cos λ t =

=

1 [ϕ(x + t, λ) + ϕ(x − t, λ)] + 2

∞ 

W (x, t, s)ϕ(s, λ) ds. (26) 0

Докажем, что при достаточно малом t функция W (x, t, s) симметрична относительно переменных x и s. Для этой цели проинтегрируем обе части (26) по x от a до y , умножим обе части полученного x равенства на ϕ(s, λ) ds и проинтегрируем затем по dσ(λ); мы придем b

к соотношению ∞ 

x √ y cos λ t ϕ(x, λ) dx ϕ(s, λ) ds dσ(λ) =

−∞

∞ 

a

y dx

= 1 + 2

∞ 

−∞ a ∞   y+t 

b

x

W (x, t, s)ϕ(s, λ) ds

−∞

a+t

b

0

x

y−t 

ϕ(x, λ) dx +

ϕ(s, λ) ds dσ(λ) +

ϕ(x, λ) dx a−t

 ϕ(s, λ) ds dσ(λ). (27)

b

Гл. VIII. Обратная задача Штурма–Лиувилля

428

Выберем a, b так, чтобы интервалы (a, y) и (b, z) не пересекались; тогда при t достаточно малом (t  ε), интервалы (a ± t, y ± t) и (b, z) также не будут пересекаться. Отсюда на основании равенства Парсеваля для ϕ(x, λ) (см. V п. 3) заключаем, что второе слагаемое в правой части (27) равно нулю. Меняя теперь порядок интегрирования в первом слагаемом, мы можем переписать это соотношение в виде ∞ 

a √ y cos λ t ϕ(x, λ) dx ϕ(s, λ) ds dσ(λ) +

−∞

a ∞ 

+

b

x √ y cos λ t ϕ(x, λ) dx ϕ(s, λ) ds dσ(λ) =

−∞ ∞  ∞ 

a

a

x

y

ϕ(s, λ) ds W (x, t, s) dx

= −∞

a

0

ϕ(s, λ) ds dσ(l). (28) b

Первое слагаемое в левой части этого равенства есть функция только переменных y и t, обозначим его через M (y , t); второе слагаемое есть симметричная функция переменных y и z , обозначим его через N (y , t, z). На основании равенства Парсеваля для ϕ(x, λ) (см. V п. 3) правая часть (28) равна y x 



ds W (x, t, s) dx, b

a

и потому это равенство примет вид y

z

M (y , t) + N (y , t, z) = ds W (x, t, s) dx. a

b

Взяв смешанную производную по y и z от обеих частей последнего равенства, получим

W (y , t, z) =

∂ 2 N (y , t, z) . ∂y ∂z

Так как функция N (y , t, z) симметрична относительно переменных y и z , то функция W (y , t, z) обладает тем же свойством. Но W (x, t, s) = 0 при x + t < s; в силу симметрии этой функции также W (x, t, s) = 0 при s + t < x, т. е. при s < x − t. Поэтому формулу (26) можно переписать в виде √ 1 ϕ(x, λ) cos λ t = [ϕ(x + t, λ) + ϕ(x − t, λ)] + 2

x+t 

W (x, t, s)ϕ(s, λ) ds. (29)

+ x−t

§ 26. Решение обратной задачи Штурма–Лиувилля

429

Вычтем из обеих частей этого последнего равенства ϕ(x, λ) и разделим затем на t2 ; мы получим √ cos λ t − 1 ϕ(x + t, λ) − 2ϕ(x, λ) + ϕ(x − t, λ) ϕ(x, λ) = + 2 t 2t2

+

1

t2

x+t 

W (x, t, s)ϕ(s, λ) ds. (30) x−t

λ 2

При t → 0 левая часть стремится к − ϕ(x, λ), а первый член правой части стремится к

1  ϕ (x, λ); поэтому существует также 2 1

lim t→0 t2

x+t 

W (x, t, s)ϕ(s, λ) ds. x−t

Найдем этот предел. Разлагая функцию ϕ(x, λ) по формуле Тейлора, получим

ϕ(s, λ) = ϕ(x, λ) + (s − x)ϕ (x, λ) + O((s − x)2 ); следовательно, x+t 

x+t 

W (x, t, s)ϕ(s, λ) ds = ϕ(x, λ) x−t

W (x, t, s) ds + x−t x+t 

+ ϕ (x, λ)

(s − x)W (x, t, s) ds + O(t3 ). (31)

x−t

Но при x − t  s  x + t функция W (x, t, s) непрерывна; поэтому

W (x, t, s) = W (x, t, x) + o(1). Подставляя это выражение в (31), мы заключаем, что x+t 

x+t 

W (x, t, s)ϕ(s, λ) ds = ϕ(x, λ) x−t

W (x, t, s) ds + x−t

+ ϕ (x, λ)

x+t 

(s − x){W (x, t, x) + o(1)} ds + o(t2 ) =

x−t x+t 

= ϕ(x, λ) x−t

W (x, t, s) ds + o(t2 ),

Гл. VIII. Обратная задача Штурма–Лиувилля

430 x+t 

(s − x)W (x, t, x) ds = 0; следовательно,

ибо

x−t

1

t2

x+t 

W (x, t, s)ϕ(s, λ) ds = ϕ(x, λ) x−t

Положим

q(x) = −2 lim

1

t→0 t2

1

t2

x+t 

W (x, t, s) ds + o(1).

(32)

x−t

x+t 

W (x, t, s) ds;

(33)

x−t

в силу соотношения (32) этот предел существует. Переходя в равенстве (30) к пределу при t → 0, получим λ 2

− ϕ(x, l) = т. е.

1  1 ϕ (x, λ) − q(x)ϕ(x, λ), 2 2

ϕ (x, λ) + {λ − q(x)}ϕ(x, λ) = 0.

(34)

Тем самым мы доказали, что функция ϕ(x, λ) удовлетворяет дифференциальному уравнению типа (21). Докажем, что функция q(x) непрерывна. Из (34) следует, что

λ − q(x) = −

ϕ (x, λ) . ϕ(x, λ)

Но при фиксированном x знаменатель ϕ(x, λ) не может тождественно быть равным нулю; следовательно, при любом значении x существует такое значение λ, для которого ϕ(x, λ) = 0. Поэтому функция q(x) непрерывна. Наконец, из формулы (15) непосредственно следует, что

ϕ(0, λ) = 1, ϕ (0, λ) = K(0, 0), и предложение VI полностью доказано. Как уже отмечалось раньше, в настоящей главе мы в основном следуем работе Гельфанд и Левитан [1]. Н. Левинсон, реферируя эту работу, предложил упрощение доказательства предложения VI, основанное на следующем замечании. Решение K(x, y) интегрального уравнения (8) удовлетворяет дифференциальному уравнению   Kxx − q(x)K − Kyy = 0,

d

(A)

где q(x) = 2 K(x, x). dx Отсюда, на основании предложения I (см. п. 1 § 25) легко получить предложение VI.

§ 26. Решение обратной задачи Штурма–Лиувилля

431

Для доказательства сделанного замечания, ради простоты, предположим, что функция f (x, y), заданная формулой (7), имеет непрерывные вторые производные. Нетрудно видеть, что 1)   fxx (x, y) = fyy (x, y),   fx (x, y)|x=0 = fy (x, y)|y=0 = 0.

(Б) (В)

Положим x

L(x, y) = f (x, y) + f (y , s)K(x, s) ds + K(x, y). 0

Тогда

Lxx (x,

y) =

 fxx (x,

x

 y) + f (y , s)Kxx (x, s) ds + f (y , x)Kx (x, s)|s=x + 0

+ fx (y , x)K(x, x) + f (y , x)

d  K(x, x) + Kxx (x, y) dx

и в силу (Б)

Lyy (x,

y) =

 fxx (x,

x

  y) + fss (y , s)K(x, s) ds + Kyy (x, y). 0

Интегрируя здесь по частям и принимая во внимание соотношения (B), мы найдем  Lyy (x, y) = fxx (x, y) + fx (y , x)K(x, x) − f (y , x)Ks (x, s)|s=x +

x

  (x, s) ds + Kyy (x, y). + f (y , s)Kss 0

Если K(x, y) — решение интегрального уравнения (8), то L(x, y) = 0, а поэтому также Lxx − q(x)L − Lyy = 0. Подставляя сюда найденные нами значения Lxx и Lyy , мы получим x

M (x, y) + f (y , s)M (x, s) ds = 0,

(Г)

0

где M (x, y) обозначает левую часть уравнения (A). Так как однородное интегральное уравнение (Г) не имеет ненулевых решений (см. предложение III), то M (x, y) ≡ 0, что и требовалось доказать. 1)

Действительно, f (x, y) =

1 [f (x + y , 0) + f (|x − y|, 0)]. 2

432

Гл. VIII. Обратная задача Штурма–Лиувилля

Ф. С. Рофе-Бекетов заметил, что то же рассуждение проходит и тогда, когда при x = y производные f (x, y) имеют разрыв 1-го рода. Этим допущением охватываются все случаи, когда коэффициент q(x) искомого уравнения непрерывно дифференцируем. Здесь при вычислении x y x Lyy (x, y) нужно представить в виде + и учесть, что 0

0

y

fx (x, y)|x=y−0 = fy (x, y)|x=y+0 , fy (x, y)|x=y−0 = fx (x, y)|x=y+0 , так как f (x, y) = f (y , x), после чего окончательное выражение для Lyy (x, y) останется прежним. Если f (x, y) только однократно дифференцируема при x = y , то можно показать, что и в этом случае K(x, y) является ортогонализирующим ядром. Для этого следует аппроксимировать f (x, 0) последовательностью дважды дифференцируемых функ1 ций fn (x, 0), определить fn (x, y) как [fn (x + y , 0) + fn (|x − y|, 0)] 2 и Kn (x, y) — как решение соответствующего интегрального уравнения с ядром fn (x, y) и совершить предельный переход при n → ∞. 5. Основная теорема. Комбинируя предложения III, IV, V и VI, приходим к следующей теореме. Т е о р е м а. Если неубывающая функция σ(λ) удовлетворяет условиям A) и Б) п. 1 и если множество ее точек роста имеет хотя бы одну конечную предельную точку, то существует дифференциальный оператор второго порядка и притом только один, определенный некоторым дифференциальным выражением

l(y) = −y  + q(x)y , 0  x < +∞, с непрерывным коэффициентом q(x) и краевым условием вида

y  (0) − θy(0) = 0, для которого σ(λ) есть спектральная функция распределения. При этом функция q(x) и число θ определяется по формулам

q(x) =

1 dK(x, x) , 2 dx

θ = K(0, 0),

где K(x, y) — решение интегрального уравнения (8). З а м е ч а н и е 1. Во всех предыдущих рассуждениях мы предполагали θ конечным; если θ = ∞, т. е. краевое условие имеет вид y(0) = 0, то во всех предыдущих рассуждениях функцию ϕ(x, λ) следует заменить функцией √ √ x sin λ x sin λ t ψ(x, λ) = √ + L(x, t) √ dt. λ λ 0

§ 26. Решение обратной задачи Штурма–Лиувилля

433

При этом L(x, t) удовлетворяет тому же уравнению, что и K(x, t), но f (x, y) есть смешанная производная по x и y функции ∞ √ √  (1 − cos λ x)(1 − cos λ y) F (x, y) = dτ (λ), 2 λ

−∞

$

где

τ (λ) =

σ(λ) −

3 3 λ2 2π

σ(λ)

при λ  0, при λ < 0.

В остальном все рассуждения остаются без существенных изменений, и основная теорема остается справедливой. З а м е ч а н и е 2. Условия A) и Б) являются, очевидно, условиями на σ(λ) при λ → ±∞; они, например, выполняются, если τ (λ) = 0 вне некоторого конечного интервала. Это показывает, что функция σ(λ) может быть произвольной в любом конечном интервале. Другими словами: какова бы ни была ограниченная неубывающая функция σ(λ) в конечном интервале [a, b], имеющая в этом интервале бесконечное число точек роста, существует дифференциальный оператор второго порядка, спектральная функция распределения которого совпадает с σ(λ) в интервале [a, b]. З а м е ч а н и е 3. В работе Гасымов и Левитан [1] доказано следующее уточнение основной теоремы. Для того чтобы неубывающая функция σ(λ) была спектральной функцией распределения оператора Lθ , порожденного дифференциальным выражением l(y) = −y  + q(x)y и краевым условием y  (0) = θy(0), где функция q(x) имеет производную порядка m, суммируемую в каждом конечном интервале полуоси (0, ∞), необходимо и достаточно выполнение следующих условий: a). Пусть f ∈ L2 (0, ∞), f (x) = 0 для достаточно больших x и ∞ 

C(λ) =

√ f (x) cos λ x dx.

0

Если

∞ 

|C(λ)|2 dσ(λ) = 0,

−∞

то f (x) ≡ 0. б). Пусть

N 

ΦN (x) =

√ cos λ x dτ (λ),

−∞

где τ (λ) определяется, как и раньше, формулой (2). Интеграл ΦN (x) существует и при N → ∞ ограничен и сходится к функции Φ(x),

434

Гл. VIII. Обратная задача Штурма–Лиувилля

имеющей (m + 1)-ю производную, суммируемую в каждом конечном интервале, причем Φ(0) = θ . 6. Случай чисто дискретного спектра. Если функция σ(λ) имеет счетное множество точек роста с единственной предельной точкой на бесконечности, то для разрешимости обратной задачи на это множество следует наложить дополнительное ограничение. Не приводя подробных рассуждений, мы только сформулируем окончательный результат. Для этой цели введем понятие плотности множества. Пусть E — некоторое множество вещественных чисел; обозначим через N (E) число элементов множества E , заключенных в интервале (−N , N ); тогда плотностью множества E называется число

μ = lim

N→∞

N (E) . N

Основная теорема п. 5 остается верною и в случае чисто дискретного спектра, если его плотность бесконечна. (Доказательство см. в работе Гельфанд и Левитан [1].) 7. Различные обобщения основной теоремы. а). С л у ч а й к он е ч н о г о и н т е р в а л а. Пусть L — оператор второго порядка в интервале (0, l), регулярный при x = 0 (функция q(x) непрерывна в интервале 0  x < l). Все предыдущие результаты остаются в этом случае верными, если условия A) и Б) заменить следующими условиями: A ). Для каждого x < 2l существует ∞ 

ch

!

|λ| x dσ(λ).

−∞

Б ). Функция

∞ 

a(x) =

√ cos λ x dσ(λ) λ

1

имеет непрерывную четвертую производную в интервале 0  x < 2l. б). С л у ч а й к л а с с и ч е с к о й з а д а ч и Ш т у р м а – Л и у в и лл я. Пусть L — регулярный оператор второго порядка в интервале (0, l) (функция q(x) непрерывна в замкнутом интервале [ 0, l]); тогда L полуограничен снизу (см. п. 4 § 19). Заменяя, если нужно, L на L + c1, мы можем считать L положительно определенным. Обратная задача в этом случае разрешима, если

ρ(λ) =

1 λn λ

ρn

,

§ 26. Решение обратной задачи Штурма–Лиувилля

435

где λn , ρn — положительные подчиненные  числа,   асимптотическим  √ π 1 l 1 формулам λn = n + O , ρn = + O , и если выполнено l n 2 n  1) условие Б ) п. a) . в). Случай интервала (−∞, +∞). Теперь спектральная функция распределения есть матричная функция второго порядка

 σ11 (λ) σ12 (λ) σ(λ) = , σ21 (λ) σ22 (λ) а условие, аналогичное условиям A) и Б), оказывается следующим (см. Блох [1]). α). Положим √ √ sin λ x p1 (x, λ) = cos λ x, p2 (x, λ) = √ , λ   ⎧ √ 1 0 ⎪ ⎨ σ(λ) − λ при λ  0, 1 π τ (λ) = λ 0 ⎪ 3 ⎩ σ(λ) при λ < 0. Для произвольных x и y интеграл ∞ y   2 x F (x, y) = pj (s, λ) ds pk (s, λ) ds dτjk (λ) −∞ j , k=1

0

0

сходится, причем функция F (x, y) имеет непрерывные частные производные по x и y до третьего порядка включительно. Однако теперь, в отличие от случая полуоси, условие α) не является достаточным для разрешимости обратной задачи. Как показал Ф. С. Рофе-Бекетов (см. Рофе-Бекетов [5]), в случае всей оси необходимо еще выполнение следующего условия алгебраического характера: β ). Положим ∞  dσ1k (λ) M1k (z) = , k = 1, 2, ∞ 

M22 (z) = −∞ 1)

−∞

λ−z

1 λ − z−λ 1 + λ2

 dσ22 (λ) + a,

По поводу подробных доказательств в случаях a) и б) см. Гельфанд и Левитан [1] или Гасымов и Левитан [1]. В последней работе имеется теорема, содержащая необходимые и достаточные условия для того, чтобы неубывающая функция σ(λ) была спектральной функцией распределения регулярного оператора L, соответствующего функции q(x), имеющей суммируемую производную заданного порядка m.

Гл. VIII. Обратная задача Штурма–Лиувилля

436

причем число a определяется условием 1 √ M22 (z) − i z → 0 при 2

z → i∞.

Для всех невещественных значений z 1 4

M11 (z)M22 (z) − M12 (z)2 = − . По поводу обобщения этих результатов на случай операторов в пространстве вектор-функции см. Блох [1] и Рофе-Бекетов [1]. г). О п р е д е л е н и е у р а в н е н и я Ш т у р м а – Л и у в и л л я п о д в у м с п е к т р а м (см. М. Г. Крейн [7, 8, 9]). Рассмотрим дифференциальное уравнение

−y  + q(x)y = λy , 0  x  π , и два набора краевых условий

y  (0) − hk y(0) = 0, y  (π) + Hy(π) = 0, k = 1, 2, различных в точке 0 и одинаковых в точке π : h1 = h2 . В работе Гасымов и Левитан [1] доказана следующая теорема. Для того чтобы две последовательности перемежающихся чисел (1) (2) ∞ (λn )∞ n=0 , (λn )n=0 были последовательностями собственных значений написанных выше краевых задач с функцией q(x), суммируемой в интервале (0, π), необходимо и достаточно, чтобы при n → ∞

λn(k) = n2 + a(k) + o(1), k = 1, 2, где a(1) = a(2) , и чтобы функция '  ∞  (2 ) 2 λn − λn(1) (1) λ Φ(x) = cos x − cos nx n (2 ) (1 ) π

n=1

a

−a

имела суммируемую производную. Отметим, что в работе Гасымов и Левитан [1] рассмотрена также задача определения сингулярного уравнения Штурма–Лиувилля по двум спектрам при условиях, обеспечивающих дискретность спектров. По поводу аналогичной задачи для уравнения Штурма–Лиувилля на конечном интервале и с особенностью на одном из концов см. Гасымов [2]. д). О б р а т н а я з а д а ч а д л я с и с т е м ы Д и р а к а. Рассмотрим систему уравнений Дирака, имеющую следующий вид: ⎧⎛ ⎫ d ⎞  ⎨ ⎬ y  0 1 dx ⎠ + p(x) q(x) − λ1 ⎝ = 0, 0  x < ∞, ⎩ − d 0 ⎭ y2 q(x) r(x) dx

где p(x), q(x), r(x) — вещественные локально суммируемые функции. Восстановлением этой системы по соответствующей спектральной

§ 26. Решение обратной задачи Штурма–Лиувилля

437

функции распределения занимались многие авторы. Наиболее полные результаты содержатся в работе Гасымов и Левитан [3]. М. Г. Гасымов и Б. М. Левитан доказали следующее утверждение. Для того чтобы неубывающая функция σ(λ) была спектральной функцией распределения системы Дирака, с коэффициентами, имеющими m локально суммируемых производных, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: A). Пусть g1 , g2 ∈ L2 (0, ∞), g1 (x) = g2 (x) = 0 для достаточно больших x и ∞ 

G(λ) =

[g1 (x) sin λx − g2 (x) cos λx] dx.

0

Если

∞ 

|G(λ)|2 dσ(λ) = 0,

−∞

то g1 (x) = g2 (x) ≡ 0. Б). При N → ∞ интеграл N 

ΦN (x, y) = −N

sin λx − cos λx



  1 (sin λy , − cos λy) d σ(λ) − λ π

ограничен и сходится и его предел имеет m локально суммируемых производных. Система Дирака определяется по своей спектральной функции распределения неоднозначно. Однако неоднозначность может быть устранена, если рассматривать системы Дирака (а также краевые условия при x = 0), приведенные к некоторому каноническому виду. Так же как и в обратной задаче Штурма–Лиувилля, для восстановления системы Дирака решают интегральное уравнение для соответствующего ортогонализирующего ядра. Ядром интегрального уравнения служит функция Φ(x, y) = lim ΦN (x, y). N→∞ В цитированной выше работе М. Г. Гасымова и Б. М. Левитана рассмотрен также случай, когда коэффициенты системы обладают неинтегрируемой особенностью в нуле. е). О б р а т н а я з а д а ч а к в а н т о в о й т е о р и и р а с с е я н и я. Рассмотрим краевую задачу

−y  + q(x)y = λy , 0  x < ∞, y(0) = 0,

(I) (II)

с вещественным «потенциалом» q(x), удовлетворяющим условию ∞  0

x|q(x)| dx < ∞.

(III)

438

Гл. VIII. Обратная задача Штурма–Лиувилля

Из условия (III) вытекает, что непрерывный спектр задачи (I)–(II) (т. е. спектр отвечающего ей оператора L, действующего в пространстве L2 (0, ∞)) заполняет полуось λ  0, а собственные значения отрицательны и их множество конечно (ср. пример a) п. 2 § 24). Пусть Ω(x, ρ) — решение уравнения (I) при λ = ρ2 , удовлетворяющее начальному условию (II). Решение Ω(x, ρ) можно (умножением на множитель, не зависящий от x) пронормировать так, чтобы разложение по собственным функциям краевой задачи (I)–(II) записывалось в виде

f (x) =

α

Ω(f , ρk )Ω(x, ρk ) +

k=1

1 2π

∞ 

Ω(f , ρ)Ω(x, ρ) dρ, 0

где

∞ 

Ω(f , λ) =

f (x)Ω(x, ρ) dx, 0

√ а ρk = λk , Im ρk > 0 и λ1 , . . ., λα — собственные значения. Для так нормированных собственных функций имеют место следующие асимптотические формулы, справедливые при x → ∞, Ω(x, ρ) = s(ρ)eixρ − e−ixρ + o(1), − ∞ < ρ < ∞, Ω(x, ρk ) = eixρk [Mk + o(1)], k = 1, . . . , α; здесь s(ρ) — комплекснозначная функция, удовлетворяющая условиям |s(ρ)| = 1, s(ρ)s(−ρ) = 1, −∞ < ρ < ∞, называемая функцией рассеяния краевой задачи (I)–(II). Числа M1 , . . ., Mα неотрицательны и называются нормировочными множителями. Совокупность, состоящая из функции рассеяния s(ρ) собственных значений λ1 , . . ., λα и нормировочных множителей M1 , . . ., Mα , называется данными рассеяния краевой задачи. В применении к краевой задаче (I)–(II) обратная задача теории рассеяния допускает следующую математическую формулировку. Известны данные рассеяния s(ρ), λ1 , . . ., λα , M1 , . . ., Mα ; определить потенциал q(x). Эта задача может быть решена следующим образом. Введем функцию ∞  α 1 f (x) = [s(ρ) − 1]eixρ dρ − Mk eixρk 2π

−∞

k=1

и рассмотрим интегральное уравнение

k(x, t) −

∞ 

k(x, u)f (u + t) du = f (x + t). x

§ 26. Решение обратной задачи Штурма–Лиувилля

439

Оказывается, что при каждом x  0 это интегральное уравнение имеет единственное решение k(x, t) и что справедлива формула

q(x) = −2

d k(x, x). dx

Отметим, что решение k(x, t) является ортогонализирующим ядром в следующем смысле. Положим ixρ

y(x, ρ) = e

∞ 

+

k(x, t)eitρ dt;

x

функция y(x, ρ) является решением уравнения (I) при λ = ρ2 . Отметим также, что данные рассеяния нельзя выбирать произвольно, они должны удовлетворять определенным условиям согласованности. Основополагающие результаты по обратной задаче теории рассеяния для краевой задачи (I)–(II) содержатся в книге Агранович и Марченко [1]. При этом исследование ведется сразу в пространстве вектор-функций. В обзорной статье Фаддеев [1] изложены различные подходы к обратным задачам и, в частности, изучена связь между основными интегральными уравнениями обратной задачи Штурма– Лиувилля и обратной задачи теории рассеяния. В этой статье содержится обширная библиография, в дополнение к которой мы укажем на важные работы Редже [1, 2], книгу Альфаро и Редже [1] и работу Гасымов [3]. Случай потенциала q(x) с особенностью при x → 0 порядка выше x−2 изучался в работе Рофе-Бекетов и Христов [1]. Обратная задача теории рассеяния для системы Дирака второго порядка рассмотрена в работе Гасымов и Левитан [4], а для системы Дирака произвольного четного порядка — в работе Гасымов [4].

Добавление I НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПОЛУОСИ

В. Э. Лянце Рассмотрим дифференциальное выражение

l(y) = −y  + p(x)y , 0 < x < ∞,

(1)

с коэффициентом p(x), являющимся к о м п л е к с н о з н а ч н о й функцией, суммируемой в каждом интервале (0, a), a > 0. Дифференциальному выражению (1) и граничному условию 1)

y(0) = 0

(2)

поставим в соответствие оператор L, действующий в гильбертовом пространстве L2 (0, ∞). В качестве области определения этого оператора мы принимаем множество DL всех функций f , имеющих производную f  , абсолютно непрерывную в каждом интервале [ 0, a], a > 0, таких, что f , l(t) ∈ L2 (0, ∞) и f (0) = 0. При f ∈ DL мы полагаем Lf = l(f ). Так определенный оператор L равен замыканию оператора L , заданного формулой L f = l(f ) на достаточно гладких функциях, равных нулю в окрестности точек x = 0 и x = ∞ (ср. п. 4 § 17). Поскольку мы не предполагаем, что Im p(x) ≡ 0, то дифференциальное выражение (1) и вместе с ним оператор L не являются самосопряженными. В настоящем добавлении мы исследуем спектр, построим резольвенту, а также спектральное разложение, отвечающее определенному выше оператору L, в предположении, что функция p(x) (см. (1)) «достаточно быстро убывает при x → ∞». Ввиду того, что абстрактная теория несамосопряженных операторов разработана пока недостаточно, то мы не сможем следовать схемам главы VI и вынуждены исследовать оператор L непосредственно. 1)

Используемые ниже методы применимы также в случае граничного условия вида y  (0) − θy(0) = 0, где θ — произвольное комплексное число. Получающиеся при этом результаты подобны результатам, излагаемым в этом добавлении.

§ 27. Некоторые решения уравнения l(y) = λy

441

Отметим, что результаты, получающиеся в самосопряженном и несамосопряженном случае, существенно различны. Так, в несамосопряженном случае спектральное разложение выражается не посредством интеграла Стильтьеса, а с помощью надлежащим способом регуляризованного расходящегося интеграла. При этом разложение произвольной функции из L2 (0, ∞) сходится по норме более слабой, чем норма L2 (0, ∞). Имеются и другие специфические отличия, о них будет сказано в соответствующем месте.

§ 27. Некоторые решения уравнения l(y) = λy Рассмотрим дифференциальное уравнение

l(y) = λy ,

(3)

где l(y) определяется формулой (1), а λ — комплексный параметр. Нам будут нужны решения уравнения (3), удовлетворяющие определенным начальным условиям при x = 0 или обладающие определенным асимптотическим поведением при x → ∞. 1. Решения s(x, λ) и c(x, λ). Обозначим через s(x, λ) и c(x, λ) решения уравнения (3), удовлетворяющие начальным условиям

s(0, λ) = 0, sx (0, λ) = 1, c(0, λ) = 1, cx (0, λ) = 0.

(4) √ sin x λ

Отметим, что в случае, когда p(x) ≡ 0, s(x, λ) = √ , c(x, λ) = λ √ = cos s λ. В общем случае существование и единственность этих решений обеспечивается теоремой 2 § 16. Поскольку начальные условия (4) не зависят от λ, то для каждого x  0 s(x, λ) и c(x, λ) являются целыми функциями от λ. Легко видеть, что при ρ = 0 функция s(x, λ) удовлетворяет интегральному уравнению sin xρ s(x, ρ ) = + ρ

x

2

sin(x − ξ)ρ p(ξ)s(ξ , ρ2 ) dξ. ρ

0

Полагая здесь s(x, ρ2 ) = ρ−1 e−ixρ z(x, ρ), мы получим ixρ

z(x, ρ) = sin xρ e

1 + ρ

x 0

sin(x − ξ)ρ e−(x−ξ)ρ p(ξ)z(ξ , ρ) dξ.

Добавление I

442

Предположим, что Im ρ  0 и, следовательно, | sin xρ eixρ |  1 для всех x  0. Тогда x 1 |z(x, ρ)|  1 + |p(ξ)z(ξ , ρ)| dξ. (5) |ρ|

0

Умножим обе части неравенства (5) на 1 1+ |ρ|

x

|p(x)|

и затем

|p(ξ)z(ξ , ρ)| dξ 0

проинтегрируем по x в пределах от 0 до x1 . Мы получим x1   x1 |p| ln 1 + |p(x)|z(x, ρ)| dx  |p(x)| dx. 0

Из

этого

0

неравенства

1 |z(x, ρ)|  exp |ρ|

x

и

неравенства

(5)

заключаем,

что

|p(ξ)| dξ . Тем самым доказана

0

Л е м м а 1. При Im ρ  0, ρ = 0, для всех x  0 выполняется неравенство x

|ρs(x, ρ )|  e 2

1 |ρ|

|p(ξ)| dξ+x Im ρ 0

.

2. Решение e(x, ρ). Начиная с этого места, мы будем предполагать, что функция p(x) суммируема на всей полуоси (0, ∞), и введем обозначение ∞ 

|p(ξ)| dξ , x  0.

σ(x) =

(6)

x

Т е о р е м а 1. Уравнение l(y) = ρ2 y имеет решение y = e(x, ρ), удовлетворяющее интегральному уравнению ∞ 

e(x, ρ) = eixρ −

sin(x − ξ)ρ p(ξ)e(ξ , ρ) dξ ρ

(7)

x

при Im ρ  0, ρ = 0, и

σ(x) < 1. |ρ|

(8)

Для каждого δ > 0 при x → ∞

e(x, ρ) = eixρ [1 + o(1)], ex (x, ρ) = eixρ [iρ + o(1)]

(9)

§ 27. Некоторые решения уравнения l(y) = λy

443

равномерно в области Im ρ  0, |ρ|  δ . Кроме того, при Im ρ  0 иρ→∞    1 , e(x, ρ) = eixρ 1 + O ρ    (10) 1 ex (x, ρ) = iρeixρ 1 + O ρ

равномерно по x  0. Для каждого x  0 решение e(x, ρ) непрерывно по ρ при Im ρ  0, ρ = 0, и голоморфно по ρ при Im ρ > 0. Д о к а з а т е л ь с т в о. Легко проверить, что если решение уравнения (7) существует, то оно удовлетворяет уравнению l(y) = ρ2 y . Преобразуем уравнение (7) с помощью подстановки e(x, ρ) = eixρ ε(x, ρ), мы получим 1 ε(x, ρ) = 1 + 2iρ

∞ 

[e2i(ξ−x)ρ − 1]p(ξ)ε(ξ , ρ) dξ.

(11)

x

Покажем, что решение уравнения (11) можно найти в виде ε(x, ρ) = ∞

= εν (x, ρ), где ν=0

ε0 (x, ρ) = 1, 1 εν+1 (x, ρ) = 2iρ

∞ 

[e2i(ξ−x)ρ − 1]p(ξ)εν (ξ , ρ) dξ , ν = 0, 1, 2, . . . . x

Учитывая, что |e2i(ξ−x)ρ − 1|  2 при ξ  x и Im ρ  0, с помощью индукции находим, что

|εν (x, ρ)|  q ν , ν = 0, 1, 2, . . . , где q

обозначает левую часть неравенства (8). Следовательно, при q < 1 ряд εν (x, ρ) сходится и его сумма ε(x, ρ) равномерно ограничена при x → ∞ в каждой области Im ρ  0, |ρ| > δ . Оставшиеся детали доказательства стандартны. Т е о р е м а 2. Если сходится интеграл ∞ 

σ1 (x) =

ξ|p(ξ)| dξ , x  0,

(12)

x

то решение e(x, ρ) уравнения l(y) = ρ2 y существует также при ρ = = 0. Оно может быть представлено в виде

e(x, ρ) = eixρ +

∞  x

k(x, t)eitρ dt, x  0,

Im ρ  0,

(13)

Добавление I

444

где ядро k(x, t) имеет непрерывные производные по x и t и удовлетворяет неравенствам (см. (6) и (12))   1 x+t |k(x, t)|  eσ1 (x) σ , (14) 2   2    1 x + t  1 σ1 (x) x+t |kx (x, t)|, |kt (x, t)|  p σ (15) σ(x), + e 4

2

2

2

0  x  t < ∞.

Доказательство теоремы 2 имеется в книгах: Агранович и Марченко [1] и Левитан [1]. Отметим, что представление вида (13) впервые ввел Б. Я. Левин (см. Левин [1 и 2]). 3. Решение e(x, ρ). Решение e(x, ρ) соответствует решению eixρ уравнения −y  = ρ2 y . Построим теперь решение e(x, ρ) уравнения l(y) = ρ2 y , соответствующее решению e−ixρ уравнения −y  = ρ2 y . С этой целью рассмотрим интегральное уравнение −ixρ

e(x, ρ) = e

i − 2ρ

x ei(x−ξ)ρ p(ξ) e(ξ , ρ) dξ − a

i − 2ρ

∞ 

ei(ξ−x)ρ p(ξ) e(ξ , ρ) dξ , a  x < ∞, (16) x

где a — некоторое положительное число. Легко видеть, что решение e(x, ρ) уравнения (16), если оно существует, удовлетворяет также дифференциальному уравнению l(y) = ρ2 y . Преобразуя уравнение (16) с помощью подстановки

e(x, ρ) = e−ixρ ε(x, ρ),

(17)

получим 1 ε(x, ρ) = 1 + 2iρ

x 2i(x−ξ)

e

1 p(ξ) ε(ξ , ρ) dξ + 2iρ

a

∞ 

p(ξ) ε(ξ , ρ) dξ.

(18)

x

Положим

ε0 (x, ρ) = 1, 1 εν+1 (x, ρ) = 2iρ

x 2i(x−ξ)ρ

e

1 p(ξ) ε2 (ξ , ρ) dξ + 2iρ

a

∞ 

p(ξ) ε2 (ξ , ρ) dξ , x

ν = 0, 1, 2, . . . . В предположении, что Im ρ  0, из этих рекуррентных формул легко вывести оценку   σ(a) ν | εν (x, ρ)|  , ν = 0, 1, 2, . . . . ρ

§ 27. Некоторые решения уравнения l(y) = λy

445

Поскольку σ(x) → 0 при x → ∞ (см. (6)), то для каждого δ > 0 существует настолько большое a > 0, что σ(a)/δ < 1 и, следовательно,

ряд εν (x, ρ) сходится равномерно в области Im ρ  0, |ρ|  δ , x  a, причем его сумма равномерно ограничена. Теперь уже нетрудно доказать следующее утверждение. Т е о р е м а 3. Для каждого δ > 0 существует такое достаточно большое a = aδ > 0, что уравнение l(y) = ρ2 y имеет решение y = e(x, ρ), удовлетворяющее интегральному уравнению (17) в области x  a, Im ρ  0, |ρ|  δ . Существует такое достаточно большое Cδ > 0, что в указанной области

| e(x, ρ)|  Cδ ex Im ρ .

(19)

Кроме того, для каждого α > 0 при x → ∞

e(x, ρ) = e−ixρ [1 + o(1)], ex (x, ρ) = e−ixρ [−iρ + o(1)]

(20)

равномерно в области Im ρ  α, |ρ|  δ . Решение e(x, ρ) голоморфно по ρ в области Im ρ  0, |ρ|  δ , и при |ρ| → ∞ равномерно относительно x  0,    1 e(x, ρ) = e−ixρ 1 + O , ρ    (21) 1 ex (x, ρ) = −iρ e−ixρ 1 + O . ρ

С помощью интегрального уравнения (16) функция e(x, ρ) определяется лишь при x  a. В дальнейшем мы будем рассматривать функцию e(x, ρ) как заданную на полуоси x  0, продолжая ее в интервал 0  x  a как решение уравнения l(y) = ρ2 y . Рассмотрим теперь случай ρ = 0. При этом будем предполагать, что сходится интеграл (12), т. е. что σ1 (x) < ∞. Как вытекает из теоремы 2, в этом случае уравнение l(y) = 0 имеет ограниченное (при x → ∞) решение y = e(x, 0). Построим неограниченное решение этого уравнения y = e(x, 0). С этой целью рассмотрим интегральное уравнение

e(x, 0) = x − x

∞ 

x

p(ξ)  e(ξ , 0) dξ − ξ p(ξ)  e(ξ , 0) dξ ,

x

(22)

a

где a — некоторое положительное число. Нетрудно проверить, что решение уравнения (22) удовлетворяет также уравнению l(y) = 0. После подстановки e(x, 0) = x e(x) (23) уравнение (22) преобразуется к виду ∞  x 1 ε (x) = 1 − ξ p(ξ) ε (ξ) dξ − ξ 2 p(ξ) ε (ξ) dξ. x

x

a

(24)

Добавление I

446

Положим

ε0 (x) = 1,

∞ 

εν+1 (x) = −

1 ξ p(ξ) εν (ξ) dξ − x

x

x ξ 2 p(ξ) εν (ξ) dξ , ν = 0, 1, 2, . . . . a

Из этих рекуррентных формул с помощью индукции легко можно вывести оценку (см. (12))

| εν (x)|  [2σ1 (a)]ν , x  a. Следовательно, если число a является достаточно большим, то

2σ1 (a) < 1, ряд εν (x) сходится и его сумма ε(x) удовлетворяет уравнению (24). Отсюда легко вывести следующее утверждение. Т е о р е м а 4. Пусть интеграл (12) сходится. Тогда уравнение l(y) = 0 имеет решение y = e(x, 0), определяемое формулой (23), где функция ε(x) ограничена при x → ∞. Если же при некотором γ > 0 сходится интеграл ∞ 

ξ 1+γ |p(ξ)| dξ ,

(25)

e(x, 0) = x[1 + o(x−γ )], 0) = 1 + o(x−γ ).

(26)

σ1+γ (x) = то при x → ∞

x

ex (x,

4. Вронскиан решений e(x, ρ) и e(x, ρ). Из асимптотических равенств (9) и (20) вытекает, что для вронскиана функций e(x, ρ) и e(x, ρ) справедливо следующее соотношение:

w(e, e) = −2iρ[1 + o(1)], x → ∞. Так как уравнение l(y) = ρ2 y не содержит y  , то вронскиан здесь не зависит от x и o(1) = 0. Следовательно,

w(e, e) = −2iρ,

Im ρ > 0, |ρ|  δ.

(27)

В этом подготовительном параграфе мы следовали в основном работе Наймарк [9].

§ 28. Спектр и резольвента оператора L Напомним некоторые определения. Пусть A — линейный оператор, действующий в гильбертовом пространстве H, с плотной областью определения DA . Собственные значения A — это те комплексные числа λ, для которых оператор A − λ1 не является взаимно однозначным. Для всех прочих значений λ существует оператор (A − λ1)−1 . Этот оператор, рассматриваемый как функция параметра λ, называют резольвентой оператора A.

§ 28. Спектр и резольвента оператора L

447

Резольвентным множеством A называется совокупность всех тех комплексных чисел λ, для которых (A − λ1)−1 существует и является ограниченным оператором, определенным на всем пространстве H. Дополнение резольвентного множества в комплексной плоскости называется спектром оператора A. Очевидно, собственные значения принадлежат спектру. Непрерывным спектром называется совокупность тех точек λ спектра оператора A, для которых резольвента (A − λ1)−1 существует, имеет плотную в H область определения, однако является неограниченным оператором. В этом параграфе мы определим собственные значения, непрерывный спектр и резольвентное множество оператора L, порожденного в L2 (0, ∞) дифференциальным выражением (1) и граничным условием (2). Если не оговорено противное, мы предполагаем лишь, что ∞ 

|p(x)| dx < ∞.

(28)

0

Как и в предыдущем параграфе, мы следуем в основном работе Наймарк [9] 1). 1. Собственные значения оператора L. Положим

e(x, ρ) = e(x, −ρ),

Im ρ  0,

(29)

где e(x, ρ) — решение уравнения l(y) = ρ2 y , описанное в теореме 1 § 27. Рассуждая, как при выводе формулы (27), мы находим

w(e, e) = −2iρ,

Im ρ = 0,

(30)

где w(e, e) — вронскиан функций e(x, ρ), e(x, ρ). I. Оператор L не имеет положительных собственных значений. Д о к а з а т е л ь с т в о. Из формулы (30) вытекает, что при λ > 0 общее решение √ уравнения l(y) = λy имеет вид y = C1 e(x, ρ) + C2 e(x, −ρ), где ρ = λ. В силу (9) мы имеем y = C1 eixρ + C2 e−ixρ + o(1). Легко видеть, что такая функция ни для каких значений C1 и C2 не принадлежит L2 (0, ∞), поскольку ее главная часть периодична. II. Если при некотором γ > 0 сходится интеграл (25), то число 0 тоже не является собственным значением оператора L. Действительно, в силу теорем 2 и 4 общее решение уравнения l(y) = 0 имеет в этом случае вид y = C1 + C2 x[1 + o(x−γ )] и не принадлежит L2 (0, ∞) ни для каких значений C1 и C2 . Рассмотрим теперь комплексные неположительные значения λ. Так как общее решение уравнения l(y) = λy , удовлетворяющее граничному условию (2), имеет вид y = Cs(x, λ) (см. (4)), то λ является 1)

Некоторые малосущественные детали уточнены.

Добавление I

448

собственным значением оператора L тогда и только тогда, когда s(x, λ) ∈ L2 (0, ∞). Принимая во внимание (4) и (27), мы находим

s(x, ρ2 ) =

e(ρ)e(x, ρ) − e(ρ)e(x, ρ) , 2iρ

Im ρ > 0, |ρ|  δ ,

(31)

где и

e(ρ) = e(0, ρ)

(32)

e(ρ) = e(0, ρ).

(33)

III. Для того чтобы λ = 0 было собственным значением оператора L, необходимо и достаточно, чтобы

λ = ρ2 ,

Im ρ > 0, e(ρ) = 0.

(34)

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу (9) и (20) e(x, ρ) ∈ L2 (0, ∞), а e(x, ρ) ∈ L2 (0, ∞). Следовательно, в силу (31) s(x, ρ2 ) ∈ L2 (0, ∞) тогда и только тогда, когда e(ρ) = 0. IV. Множество собственных значений оператора L ограничено, не более чем счетно, а его предельные точки могут находиться только на полуоси λ  0. Действительно, в силу (10), при Im ρ  0, ρ → ∞   1 (35) e(ρ) = 1 + O . ρ

Следовательно, множество корней уравнения e(ρ) = 0 ограничено в полуплоскости Im ρ > 0. Так как в этой полуплоскости функция e(ρ) = e(0, ρ) голоморфна (см. теорему 1 § 27), то множество ее корней не более чем счетно и может иметь предельные точки лишь на оси Im ρ = 0. Теперь предложение IV вытекает из III. 2. Непрерывный спектр и резольвента оператора L. Предварительно докажем следующее утверждение. Л е м м а 1. Для каждого τ > 0 формулы x

A0 f (x) = e−τ x eτ ξ f (ξ) dξ , B0 f (x) = eτ x

0 ∞ 

e−τ ξ f (ξ) dξ

x

определяют в пространстве L2 (0, ∞) линейные непрерывные операторы, причем 1 1 A0  < , B0  < . τ

τ

§ 28. Спектр и резольвента оператора L

449

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f ∈ L2 (0, ∞) и g = A0 f . Тогда

|g (x)|  e−τ x

x/ 2

 eτ ξ |f (ξ)| dξ 

x

eτ ξ |f (ξ)| dξ +

x/2

0

−τ x

e



eτ x − 1 2τ

x/2 1/2 

+

|f (ξ)| dξ

1/2

2

0

e2τ x − eτ x 2τ

+

1/2 x

|f (ξ)| dξ

1/2 

2

x/2

и потому

g (x) → 0 при x → ∞.

Кроме того,

g (0) = 0,

(36)

dg (x) = −τ g (x) + f (x), dx

следовательно, d|g (x)|2 = −2τ |g (x)|2 + f (x)g (x) + f (x)g (x). dx

Интегрируя обе части последнего равенства от 0 до ∞ и учитывая (36), заключаем, что 0 = −2τ

∞ 

|g (x)|2 dx +

0

∞ 

∞ 

f (x)g (x) dx + 0

f (x)g (x) dx. 0

Отсюда с помощью неравенства Коши–Буняковского мы находим, что g   τ −1 f . Утверждение леммы, касающееся оператора B0 , доказывается аналогично. Т е о р е м а 1. Все числа λ вида λ = ρ2 , Im ρ > 0, e(ρ) = 0, принадлежат резольвентному множеству оператора L. Резольвента Rλ = (L − λ1)−1 является интегральным оператором ∞ 

Rλ f (x) =

R(x, ξ , λ)f (ξ) dξ

(37)

0

с ядром

R(x, ξ ; ρ2 ) =

⎧ e(x, ρ)s(ξ , ρ2 ) ⎪ ⎪ при 0 < ξ < x, ⎨ e(ρ)

2 ⎪ ⎪ ⎩ s(x, ρ )e(ξ , ρ) при x < ξ < ∞.

e(ρ)

15 Наймарк М. А.

(38)

Добавление I

450

Для каждого δ > 0 существует такое Cδ > 0, что

Rρ2 } 

Cδ |e(ρ)| Im ρ

при

Im ρ > 0, |ρ|  δ.

(39)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим y = (A + B)f , где e(x, ρ) Af (x) = e(ρ)

x 2

s(ξ , ρ )f (ξ) dξ ,

s(x, ρ2 ) Bf (x) = e(ρ)

∞ 

e(ξ , ρ)f (ξ) dξ. x

0

Нетрудно проверить, что y удовлетворяет дифференциальному уравнению l(y) = ρ2 y + f и граничному условию y(0) = 0, так что y = Rλ f . Теперь воспользуемся следующими оценками:

|ρs(x, ρ2 )|  Cδ eτ x , |e(x, ρ)|  Cδ e−τ x , τ = Im ρ > 0, |ρ|  δ. (40) Первая из оценок (40) вытекает из леммы 1 п. 1 § 27, а вторая — из соотношения (9). На основании оценок (40) и леммы 1 настоящего пункта заключаем, что

A 

Cδ , |e(ρ)|τ

B 

Cδ , |e(ρ)|τ

и, таким образом, теорема доказана. Т е о р е м а 2. Для каждого r > 0 существует такое cr > 0, что

Rρ2  

Cr ! |e(ρ)| Im ρ

(41)

для всех ρ из области Im ρ > 0, |ρ|  r . В частности,

Rλ  → ∞

(42)

если λ принадлежит резольвентному множеству и λ → λ0 > 0. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть fb (x) = s(x, ρ2 ) при 0 < x < b и fb (x) = = 0 при b < x < ∞. Тогда fb ∈ L2 (0, ∞) и Rρ2 fb (x) = fb 2 e(x, ρ)/e(ρ) при b < x < ∞ (см. (37), (38)). Поэтому ∞ 

Rρ2 fb   2

|f |4 |Rρ2 f (x)| dx = b 2 |e(ρ)|

∞ 

|e(x, ρ)|2 dx.

2

b

b

Выберем b = bδ настолько большим, чтобы при b < x < ∞, Im ρ  0, |ρ| > δ выполнялось неравенство |e(x, ρ)| > 1/2 e−τ x (это возможно ∞  в силу (9)). Тогда |e(x, ρ)|2 dx  e−2τ b /8τ и b

Rρ2  

fb e−τ b √ . |e(ρ)|2 2τ

§ 29. Разложение по главным функциям оператора L

Далее,

451

b

fb  = |s(x, ρ2 )|2 dx > 0, 2

0

а так как последний интеграл является непрерывной функцией от ρ, то в каждом полукруге Im ρ  0, |ρ|  r , этот интеграл ограничен снизу положительной константой. Теорема доказана. Из соотношения (42) вытекает, что вся полуось λ  0 принадлежит спектру оператора L. Действительно, на резольвентном множестве резольвента является аналитической функцией параметра λ, а поэтому ее норма локально ограничена. V. Все числа λ > 0 (а в условиях предложения II все числа λ  0) принадлежат непрерывному спектру оператора L. Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать, что при λ > 0 область значений RL−λ1 оператора L − λ1 плотна в пространстве L2 (0, ∞), т. е. что ортогональное дополнение множества RL−λ1 состоит из одного лишь нулевого элемента. Однако ортогональное дополнение RL−λ1 совпадает с пространством решений уравнения L∗ f = λf . Нетрудно видеть, что оператор L∗ , сопряженный с оператором L, порождается дифференциальным выражением l∗ (y) = −y  + p(x)y и граничным условием y(0) = 0. Следовательно, в силу предложения I, числа λ > 0 не могут быть собственными значениями оператора L∗ , что и требовалось доказать.

§ 29. Разложение по главным функциям оператора L В этом параграфе будет построено разложение по собственным и присоединенным функциям (см. п. 3 § 2) оператора L. В отличие от самосопряженного случая, это разложение будет выражаться не с помощью интеграла Стилтьеса, а посредством регуляризованного значения расходящегося интеграла. 1. Дополнительное ограничение. В этом параграфе мы будем всюду предполагать, что выполняется следующее дополнительное ограничение: существует такое ε > 0, что ∞ 

eεx |p(x)| dx < ∞,

(43)

0

где p(x) — коэффициент дифференциального выражения (1). Из условия (43) вытекает, что ∞ 

σ(x) = x 15*

|p(ξ)| dξ  Ceεx , σ1 (x) =

∞  x



ξ|p(ξ)| dξ  Cε e−ε x ,

(44)

Добавление I

452

где 0 < ε < ε, а C и Cε — положительные постоянные. Следовательно, оценки (14) и (15) можно усилить следующим образом: x+t

|k(x, t)|  Ce−ε 2 ,      3 1 x+t  −ε 2 x+t |kx (x, t)|, |kt (x, t)|  p ; + Ce  4

2

(45) (46)

здесь 0  x  t < ∞, а C — некоторое положительное число. I. Для каждого x  0 функция ixρ

e(x, ρ) = e

∞ 

+

k(x, t)eitρ dt

(47)

x

и, в частности, функция e(ρ) = e(0, ρ) голоморфны по ρ в полуплоскости Im ρ > −ε/2. Действительно, если Im ρ > −ε/2, то в силу оценки (45) интеграл в правой части (47), а также интеграл, полученный из него формальным дифференцированием по ρ, сходится. Отметим, что в силу единственности аналитического продолжения, функция e(x, ρ) удовлетворяет интегральному уравнению (7) не только в полуплоскости Im ρ  0, но и при Im ρ > −ε/2. Отсюда вытекает, что y = e(x, ρ) является решением уравнения l(y) = ρ2 y при 0  x < ∞ Im ρ > −ε/2. В качестве следствия получаем II. Уравнение l(y) = ρ2 (y) имеет в полосе | Im ρ| < ε/2 фундаментальную систему решений y1 = e(x, ρ), y2 = e(x, ρ) = e(x, −ρ), причем ε w(e, e) = −2iρ, | Im ρ| < , (48) 2

где 2(e, e) — вронскиан функций e и e (ср. с (30)). Отметим еще, что теперь формулу (31) можно дополнить следующей: e(−ρ)e(x, ρ) − e(ρ)e(x, −ρ) ε s(x, ρ2 ) = , | Im ρ| < . (49) 2iρ

2

Условие (43) было введено в работе Наймарк [9]. 2. Сингулярные числа и спектральные особенности оператора L. Сингулярными числами оператора L мы будем называть корни ρk уравнения e(ρ) = 0, удовлетворяющие условиям ρk = 0, Im ρk  0. III. Множество сингулярных чисел оператора L (удовлетворяющего дополнительному ограничению (43)) конечно. Доказательство вытекает непосредственно из предложения I, соотношения (35) и аналитичности функции e(ρ) в полуплоскости Im ρ > −ε/2. Невещественные сингулярные числа обозначим через ρ1 , . . ., ρα , а вещественные — через ρα+1 , . . ., ρβ . Таким образом,

Im ρk > 0 при k = 1, . . . , α, Im ρk = 0 при k = α + 1, . . . , β.

(50)

§ 29. Разложение по главным функциям оператора L

453

Кратность mk корня ρk уравнения e(ρ) = 0 будем называть кратностью сингулярного числа ρk , k = 1, . . ., β . В соответствии с предложением III § 28 числа λk = ρ2k , k = 1, . . . , α, являются собственными значениями оператора L, и других собственных значений этот оператор не имеет. Числа λk = ρ2k , k = α + 1, . . . , β , мы назовем спектральными особенностями оператора L. Из предложения V § 28 вытекает, что спектральные особенности являются точками непрерывного спектра. Особая роль, принадлежащая точкам λα+1 , . . ., λβ , была впервые обнаружена в работе Наймарк [9]. Сам термин «спектральная особенность» был введен позже в работе Шварц [2]. Детальному исследованию операторов со спектральными особенностями посвящены работы Лянце [2–6] и Павлов [1–3]. Нетрудно проверить, что в случае, когда Im p(x) ≡ 0, при Im ρ = 0 имеет место равенство e(ρ) = e(−ρ). Отсюда вытекает, что самосопряженный оператор L не имеет спектральных особенностей. Действительно, в силу равенства (48) если ρ = 0, e(ρ) = 0, то e(−ρ) = 0. З а м е ч а н и е. В дальнейшем (см. п. 5 § 30) будет описано решение обратной задачи спектрального анализа для оператора L и, в частности, будет изложен метод, позволяющий строить операторы L с заданными спектральными особенностями и собственными значениями заданной кратности. Здесь ограничимся примером оператора со спектральной особенностью, основанным на следующем простом замечании. Если в дифференциальном выражении l(y) коэффициент p(x) равен нулю при x > b, то при x > b решение e(x, ρ) уравнения l(y) = ρ2 y равно eixρ , а поэтому удовлетворяет начальным условиям e(b, ρ) = eiρb , ex (b, ρ) = iρeiρb . Пусть теперь ρ0 = 0 — произвольное вещественное число, а ϕ(x) — функция, дважды непрерывно дифференцируемая при 0  x  b и удовлетворяющая условиям

ϕ(0) = 0, ϕ(b) = eiρ0 b , ϕ (b) = iρ0 eiρ0 b . Положим p(x) =

ϕ (x) + ρ20 при 0  x  b и p(x) = 0 при b < x < ϕ(x)

< ∞. Очевидно, что при таком выборе p(x) выполняется равенство e(x, ρ0 ) = ϕ(x) при 0  x  b и, в частности, e(ρ0 ) = ϕ(0) = 0. Поэтому соответствующий оператор L имеет число ρ0 своей спектральной особенностью. Заметим, что если краевое условие y(0) = 0 заменить условием вида y  (0) = θy(0), то при p(x) ≡ 0 и чисто мнимом θ число −iθ будет спектральной особенностью соответствующего оператора L.

Добавление I

454

3. Главные функции оператора L. Из соотношений (45) и (47) вытекает, что  m d e(m) (x, ρ) = e(x, ρ) ∈ L2 (0, ∞) (51) dρ

при

Im ρ > 0 и m = 0, 1, 2, . . . .

Следовательно, принимая во внимание формулу (31) и учитывая, что e(m) (ρk ) = 0 при k = 1, . . ., α, m = 0, . . ., mk − 1, мы видим, что   m d  s(m) (x, λk ) = s(x, λ) ∈ L2 (0, ∞) (52) dλ

при

λ=λk

k = 1, . . . , α, m = 0, . . . , mk − 1,

где mk — кратность сингулярного числа ρk , а λk = ρ2k . Функции s(m) (x, λk ), k = 1, . . ., α, m = 0, . . ., mk − 1, мы будем называть главными функциями точечного спектра оператора L. При этом s(x, λk ) — собственная функция, а s(1) (x, λk ), . . ., s(mk −1) (x, λk ) — присоединенные функции, отвечающие собственному значению λk . Таким образом, число mk оказывается длиной цепочки главных функций (отвечающих λk ) или, как говорят, алгебраической кратностью собственного значения λk . Функции s(x, λ), λ > 0, мы будем называть главными функциями непрерывного спектра оператора L. Подчеркнем, что эти функции не являются элементами гильбертова пространства L2 (0, ∞). Для построения спектральных разложений, отвечающих оператору L, нам понадобятся еще функции s(m) (x, λk ), k = α + 1, . . ., β , m = 0, . . ., mk − 1, которые мы будем называть главными функциями спектральных особенностей оператора L 1). Укажем оценку для этих функций. Из соотношений (45), (47) мы заключаем, что

sup

0x 0; 2) из дуги cη , состоящей из точек λ, для которых |λ| = η и Re λ < 0; 3) из отрезков, параллельных оси Im λ = 0, соединяющих концы дуг Cr, η и cη (рис. 16). Контур ΓR, η ориентируем так, чтобы при его обходе в положительном направлении точка λ = 0 оставалась справа. Рассмотрим произвольную точку z из резольвентного множества оператора R и выберем настолько большое R и настолько малое η > 0, чтобы точки z , λ1 , . . ., λα оказались внутри (т. е. слева от) контура ΓR, η . Положим  1 R(x, ξ ; λ) IR, η = dλ, 2πi

ΓR, η

λ−z

Рис. 16

где R(x, ξ ; λ) — ядро резольвенты оператора L. Из формулы (38) вытекает, что функция R(x, ξ ; λ) аналитична внутри контура ΓR, η и не имеет там других особенностей, кроме полюсов λ1 , . . ., λα , кратности которых равны соответственно m1 , . . ., mα . Поэтому

IR, η = R(x, ξ ; z) +

α

Resλ=λk

k=1

R(x, ξ ; λ) . λ−z

(55)

Принимая во внимание начальные условия (4), мы находим, что

e(x, ρ) = ex (0, ρ)s(x, ρ2 ) + e(0, ρ)c(x, ρ2 ),

ε 2

Im ρ > − .

(56)

Следовательно, учитывая, что c(x, λ) — целая функция от λ, мы можем переписать формулу (38) в следующем виде: √ ex (0, λ) √ R(x, ξ ; λ) = s(x, λ)s(ξ , λ) + . . . ; e( λ)

(57)

√ здесь Im λ > 0, а многоточие обозначает целую функцию от λ. Поло√ жим (λ − λk )mk ex (0, λ) √ Mk (λ) = − , k = 1, . . . , α; (58) (mk − 1)!

√

e( λ)

здесь мы тоже считаем, что Im λ > 0. Применяя известные формулы для вычисления вычетов, мы можем теперь переписать равенство (55) в виде α   d mk − 1 s(x, λ)s(ξ , λ) R(x, ξ ; z) = IR, η + Mk (λ) . (59) k=1

dλ

λ−z

λ=λk

Добавление I

456

Представим теперь интеграл IR, η в другом виде, деформируя надлежащим образом контур интегрирования. Прежде всего, из соотношений (35), (38) и (40) вытекает, что для больших λ C | λ|

|R(x, ξ ; λ)|  √ ,

Рис. 17

(60)

где C = C(x, ξ) > 0. Следовательно, при R → ∞  R(x, ξ ; λ) dλ → 0. λ−z

CR, η

Поэтому

IR, η =

1 2πi

 Γη

R(x, ξ ; λ) dλ, λ−z

(61)

где Γη — контур, составленный из полуокружности cη и двух лучей, проведенных из концов cη параллельно оси Im λ = 0 (рис. 17). Воспользуемся теперь следующим предложением. Л е м м а 1. Число 0 не может быть корнем кратности выше первой уравнения e(ρ) = 0. Доказательство вытекает непосредственно из соотношения (48), так как из (46) и (47) следует, что функция ex (0, ρ) голоморфна при Im ρ > > −ε/2. На основании леммы 1 и формулы (57) мы заключаем, что при η → +0  R(x, ξ ; λ) dz → 0. (62) λ−z

cη

Рассмотрим разрез комплексной λ-плоскости вдоль полуоси λ  0. Условимся говорить, что спектральная особенность λk = ρ2k , e(ρk ) = 0 лежит на верхнем (нижнем) краю этого разреза, если ρk > 0 (ρk < 0). (Напомним, что в силу равенства (48) из | Im ρ| < ε/2, ρ = 0, e(ρ) = 0 вытекает e(−ρ) = 0.) Из каждой точки λk на верхнем (нижнем) краю разреза опишем полуокружность |λ − λk | = δ , Im λ  0 (Im λ < 0), причем δ выберем настолько малым, чтобы горизонтальные диаметры построенных полуокружностей попарно не пересекались и не содержали точку 0. Затем обозначим через Γ контур, полученный из полуоси λ  0 заменой диаметров построенных полуокружностей этими полу√ окружностями (рис. 18). Наконец, обозначим через ( λ)Γ ту непрерывную вдоль√контура Γ ветвь квадратного √ корня, которая удовлетворяет условию: λ > 0 при λ > 0 (т. е. Re( λ)Γ > 0 при λ ∈ Γ).

§ 29. Разложение по главным функциям оператора L

457

Рис. 18

Т е о р е м а 1. Для каждой точки z , принадлежащей резольвентному множеству оператора L, справедливо следующее разложение ядра резольвенты этого оператора по его главным функциям: √  1 s(x, λ)s(ξ , λ) ( λ)Γ dλ √ √ R(x, ξ ; λ) = + π

λ−z

Γ

+

e(( λΓ )e((− λ)Γ )

α   d mk − 1 k=1

dλ

Mk (λ)

s(x, λ)s(ξ , λ) λ−z

λ=λk

; (63)

здесь Mk (λ) определяется формулой (58), а интеграл в правой части (63) сходится абсолютно и равномерно относительно x и ξ , меняющихся в любом конечном интервале 0  x  a, 0  ξ  b, и z , меняющемся в любой компактной части резольвентного множества. Д о к а з а т е л ь с т в о. Сопоставляя соотношения (61) и (62), используя формулу (57) и известные свойства контурных интегралов от аналитических функций, находим, что  √ √   ex (0, ( λ)Γ ) ex (0, −( λ)Γ ) s(x, λ)s(ξ , λ) 1 √ √ IR, η = − dλ. 2πi

Γ

e(( λ)Γ )

e(−( λ)Γ )

λ−z

Поэтому в силу (48) выражение IR, η равно интегралу в правой части (63). Таким образом, формула (63) вытекает из равенства (59). На основании оценок (40) мы заключаем, что для достаточно больших λ  0   √  s(x, λ)s(ξ , λ)  λ  < C , √ √ (64)  λ−z λ 3/ 2 e( λ)e(− λ)  что доказывает абсолютную и равномерную сходимость интеграла в правой части (63). Теорема 1 была получена впервые в работе Наймарк [9]. (В этой работе формула (63) записана в несколько других обозначениях и применительно к краевому условию вида y  (0) = θy(0).) Приведенное в работе Наймарк [9] доказательство теоремы 1 напоминает вывод Б. М. Левитана разложения по собственным функциям самосопряженного дифференциального оператора (см. п. 2 § 21) в том отношении, что оно содержит предельный переход при b → ∞ для оператора Lb , порожденного дифференциальным выражением (1) в конечном интервале (0, b) (и некоторыми краевыми условиями на концах этого интервала). Однако в несамосопряженном случае для обоснования предельного перехода не удается воспользоваться теоремами Хелли. В связи с этим

Добавление I

458

в работе Наймарк [9] для обоснования предельного перехода привлечены некоторые тонкие свойства оператора Lb такие, как, например, поведение ядра резольвенты (Lb − λ1)−1 при b → ∞, представляющие самостоятельный интерес. Техника контурного интегрирования, использованная здесь для вывода формулы (63), встречается весьма часто (см., например, п. 3 § 5 или п. 2 § 9). 5. Преобразование формулы разложения. Если λ не является собственным значением √ оператора L, то при x → ∞ функция s(x, λ) растет как exp(x| Im λ|). Поскольку полуокружности, посредством которых контур Γ обходит спектральные особенности, можно выбрать сколь угодно малыми, то можно добиться того, чтобы подынтегральная функция в (63) при λ ∈ Γ имела сколь угодно малый показательный рост при x, ξ → ∞. В связи с этим естественно попытаться преобразовать формулу (63) так, чтобы контуром интегрирования стала полуось λ  0 и чтобы подынтегральная функция росла медленнее, чем экспонента. С этой целью обозначим через Bkj (λ) какие-либо функции, заданные на полуоси λ  0 и в некоторой окрестности (на λ-плоскости) спектральных особенностей λα+1 , . . . , λβ . Потребуем выполнения следующих условий: a) функции Bkj (λ) измеримы на полуоси λ  0 и

sup(1 + λ)2 |Bkj (λ)| < ∞;

(65)

λ0

б) функции Bkj (λ) голоморфны в окрестности точек λα+1 , . . ., λβ и   j  1 при j = j  , k = k , d (66) Bkj (λ) = dλ 0 в остальных случаях, λ=λk k, k = α + 1, . . . , n, j = 0, . . . , mk − 1, j  = 0, . . . , mk − 1. Примером функций, удовлетворяющих указанным выше условиям, могут служить ⎧ ⎨ (λ − λk )j при |λ − λ | < δ , k j! Bkj (λ) = (67) ⎩ 0 при |λ − λk |  δ , где δ > 0 — настолько малое число, что δ -окрестности точек λα+1 , . . ., λβ попарно не пересекаются и не содержат точку нуль. Далее положим

[BΦ(λ)] = Φ(λ) −

β

m k −1

k=α+1 j=0

Bkj (λ)Φ(j) (λk );

(68)

§ 29. Разложение по главным функциям оператора L

459

здесь Φ(λ) — произвольная функция, для которой правая часть (68) имеет смысл. В силу (66) каждое из чисел λk будет корнем уравнения [BΦ(λ)] = 0 кратности не меньше mk , k = α + 1, . . ., β . Воспользуемся свойством независимости от контура интегрирования интеграла от аналитической функции и представим интеграл в правой части формулы (63) в виде

 Γ

√ s(x, λ)s(ξ , λ) ( λ)Γ dλ √ = √ λ−z e( λ)e(− λ) ∞ 

 B

= 0

√  s(x, λ)s(ξ , λ) λ dλ √ √ + λ−z e( λ)e(− λ)

+

m k −1 

β

k=α+1 j=0 Γ

√  j Bkj (λ)( λ)Γ dλ d s(x, λ)s(ξ , λ) √ √ dλ λ−z e( λ)e(− λ)

λ=λk

; (68a)

сходимость интегралов по контуру Γ здесь обеспечивается условием (65). Введем теперь функцию Mk (λ), удовлетворяющую условию √  1 j! (mk − 1 − j)! Bkj (λ)( λ)Γ dλ (m −1−j) √ √ Mk k (λk ) = (69) (mk − 1)!

π

Γ

e( λ)e(− λ)

и в остальном произвольную. Тогда второе слагаемое в правой части равенства (68а) можно записать в виде β  mk −1 d k=α+1

dλ

Mk (λ)

s(x, λ)s(ξ , λ) λ−z

λ=λk

,

и формула (63) принимает вид 1 R(x, ξ ; λ) = π

∞ 

  s(x, λ)s(ξ , λ) B− λ−z

0

+

√

λ dλ √ + e( λ)e(− λ) √

β   d mk − 1 k=1

dλ

Mk (λ)

s(x, λ)s(ξ , λ) λ−z

λ=λk

; (70)

√ здесь λ  0, а интеграл сходится абсолютно и равномерно в каждой конечной области изменения x, ξ и z (принадлежащего резольвентному множеству).

Добавление I

460

Метод «регуляризации» расходящегося интеграла ∞ 

0

√ s(x, λ)s(ξ , λ) λ dλ √ √ , λ−k e( λ)e(− λ)

которым мы здесь воспользовались, заимствован из работы Лянце [3]. 6. L-преобразование Фурье. Теперь мы перейдем к задаче разложения по главным функциям оператора L произвольной функции f ∈ L2 (0, ∞). С этой целью рассмотрим сначала соответствующее обобщение преобразования Фурье. Л е м м а 2. Существует такое число C > 0, что для каждой финитной 1) функции f ∈ L2 (0, ∞) ∞ 

∞  √ |s(f , λ)|2 λ dλ  C |f (x)|2 dx,

0

(71)

0

где

∞ 

s(f , λ) =

f (x)s(x, λ) dx.

(72)

0

Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим t

kf (t) = k(x, t)f (x) dx.

(73)

0

В силу (45) εt

|kf (t)|  Ce− 2

t

e−

εx 2

|f (x)| dx,

0

откуда, как легко видеть, вытекает, что 1 + k является линейным оператором, отображающим пространство L2 (0, ∞) на себя (взаимно однозначно) непрерывно. В силу формулы (49) 2iρ s(f , ρ2 ) = e(−ρ)e(f , ρ) − e(ρ)e(f , −ρ), где

∞ 

e(f , ρ) =

∞ 

[(1 + k)f ](x)eixρ dx

f (x)e(x, ρ) dx = 0

(74)

0

1) Функцию f (x), 0 < x < ∞, мы называем финитной, если существует такое a > 0, что f (x) = 0 при x > a.

§ 29. Разложение по главным функциям оператора L

461

(см. формулу (47)). Поэтому, применяя равенство Парсеваля (для классического преобразования Фурье), мы получим ∞ 

 |ρs(f , ρ2 )|2 dρ  C

−∞

∞ 

|[(1 + k)f ](x)|2 dx,

0

 — некоторое положительное число. Ввиду отмеченной выше где C непрерывности оператора 1 + k последнее неравенство эквивалентно утверждению леммы. О п р е д е л е н и е 1. В силу леммы 2 для каждой функции f ∈ ∈ L2 (0, ∞) предел ξ

s(f , λ) = lim

ξ→∞

f (x)s(x, λ) dx

(75)

0

существует в следующем смысле:

2 √ ξ   s(f , λ) − s(x, λ)f (x) dx λ dλ → 0

∞  0

0

при ξ → ∞. Кроме того, в силу включений (52) для каждой функции f ∈ L2 (0, ∞) сходятся интегралы

s(m) (f , λk ) =

∞ 

f (x)s(m) (x, λk ) dx

(76)

0

m = 0, . . . , mk − 1, k = 1, . . . , α. Совокупность, составленную из предела (75) и интегралов (76), мы будем называть L-преобразованием Фурье функции f ∈ L2 (0, ∞). Подчеркнем, что число s(m) (f , λk ) нельзя рассматривать как значение производной (порядка m) от функции s(f , λ) в точке λ = λk . Действительно, так как функция s(x, λ) при λ = λk экспоненциально растет при x → ∞, то при λ = λk и λ, близком к λk , вообще говоря, s(f , λ) не определено. Оценка (71) по непрерывности распространяется на все f ∈ ∈ L2 (0, ∞). Нам понадобится некоторое обобщение этой оценки. Л е м м а 3. Если

∞ 

|(1 + x)ν f (x)|2 dx < ∞, то функция s(f , λ)

0

имеет производную порядка ν − 1, абсолютно непрерывную в каждом конечном интервале полуоси λ > 0. Для каждого целого ν  0 существует такое число Cν > 0, что ∞ ∞   2  2  d 2  ρ s(f , ρ ) dρ  Cν |(1 + x)ν f (x)|2 dx. (77)  −∞

dρ

0

Добавление I

462

Доказательство подобно доказательству леммы 2. Надо лишь дополнительно воспользоваться тем, что дифференцированию (обычного) преобразования Фурье соответствует умножение на независимое переменное преобразуемой функции. 7. Разложение в пространстве H+ . Через Hν мы будем обозначать гильбертово пространство функций f (x), 0 < x < ∞, с нормой

f ν =

∞ 

|(1 + x)ν f (x)|2 dx

1/2

,

ν = 0, ± 1, ± 2, . . . .

(78)

0

Отметим, что H0 = L2 (0, ∞) и что пространство H−ν изоморфно пространству линейных непрерывных функционалов, заданных на про 1) странстве H+ν : H−ν ∼ H+ν . Именно, для каждого функционала   f ∈ H+ν существует такая функция f ∗ (x) из H−ν , что для всех f ∈ H+ν 

∞ 

f (f ) =

f (x)f ∗ (x) dx;

(79)

0

это вытекает очевидным образом из теоремы об общем виде линейного непрерывного функционала в пространстве L2 (0, ∞) (см. п. 2 § 10). Обозначим через m0 наибольшую из кратностей спектральных особенностей оператора L:

m0 = max(mα+1 , . . . , mβ ),

(80)

H+ = Hm0 +1 , H− = H−(m0 +1) .

(81)

H+ ⊂ L2 (0, ∞) ⊂ H−

(82)

f +  f 0  f − ;

(83)

и положим Очевидно, и для всех f ∈ H+

здесь f  = f0  — норма в L2 (0, ∞), а f ± = f ±(m0 +1) — норма в H± . Отметим, что пространство H− содержит все главные функции спектральных особенностей. Действительно, в силу оценок (54)

s(m−1) (x, λ) ∈ H−m , m = 1, 2, . . . , λ > 0.

(84)

Рассмотрим произвольную функцию f ∈ H+ . В силу леммы 3 функция s(f , λ), λ > 0, допускает m0 + 1 кратное дифференцирование 1) Пространство линейных непрерывных функционалов, заданных на пространстве X , обозначают обычно символом X  .

§ 29. Разложение по главным функциям оператора L

463

по λ. Следовательно, можно образовать выражение [Bs(f , λ)s(x, λ)] (см. (68)). Положим 1 If (x) = π

∞ 

√

λ dλ √ + e( λ)e(− λ)

[Bs(f , λ)s(x, λ)] √ 0

+

b   d mk − 1 k=1

dλ

Mk (λ)s(f , λ)s(x, λ)

λ=λk

; (85)

здесь Mk (λ) — те же функции, что и в формуле (70). Кроме того, при  m d λ = λk , k = 1, . . ., α, «производную» s(f , λ) следует понимать dλ (m) как число s (f , λk ), определяемое равенством (76) 1). Л е м м а 4. Формула (85) определяет оператор I , непрерывно отображающий H+ в H− :

If −  Cf + , f ∈ H+ .

(86)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для определенности будем считать, что функции Bkj (λ) заданы соотношениями (67). Обозначим через Λk δ -окрестность точки λk (на полуоси λ > 0), а через Λ0 обозначим часть полуоси λ > 0, полученную отбрасыванием из нее интервалов Λα+1 , . . . , Λβ . Теперь формула (68) принимает следующий вид: ⎧ Φ(λ) при λ ∈ Λ0 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ λ ⎨ 1 (λ − μ)mk −1 Φ(mk ) (μ) dμ при λ ∈ Λk , [BΦ(λ)] = (87) (m )! ⎪ k ⎪ ⎪ λk ⎪ ⎪ ⎩ k = α + 1, . . . , β ; при этом мы воспользовались интегральной формой остаточного члена формулы Тейлора. Положим √  λ dλ 1 √ , k = 0, α + 1, . . . , β , Ik f (x) = [Bs(f , λ)s(x, λ)] √ π

e( λ)e(− λ)

Λk

и обозначим через Id второе слагаемое в правой части (85). Так как I = I0 + Iα+1 + . . . + Iβ + Id , то нам достаточно доказать непрерывность каждого из операторов I0 , Iα+1 , . . ., Iβ , Id в отдельности. 1)

«Производная»

 d m dλ

s(f , λ)

λ=λk

, k = 1, . . ., α, m = 0, . . ., mk − 1,

возникает в правой части (85) в результате формального применения правила Лейбница для дифференцирования произведения. Всюду в дальнейшем, где эта «производная» возникает в аналогичной ситуации, она понимается в указанном здесь смысле.

Добавление I

464

Проще всего обстоит дело с оператором Id . Это конечномерный оператор, который в силу включений (52) и (84) и изоморфизма про странств H− и H+ действует из H+ в H− (точнее, из H+m0 в H−m0 ) и непрерывен относительно норм этих пространств. В силу (87) при k = α + 1, . . ., β мы имеем √  λ dλ 1 √ × √ Ik f (x) = π

Λk

e λ e(− λ)

1 × (mk − 1)!

λ

(λ − μ)mk −1



d dμ

 mk

[s(f , μ)s(x, μ)] dμ.

λk

Меняя здесь порядок интегрирования, мы получим

Ik f (x) =

1 × π(mk − 1)!

 λk+δ ×

λk+δ



dμ

d dμ

mk

[s(f , μ)s(x, μ)](λ − μ)

mk − 1

μ

λk λk

−

μ  dμ

λk −δ

λk −δ

d dμ

mk

√

λ dλ √ − e( λ)e(− λ) √

√



λ dλ √ . e( λ)e(− λ)

[s(f , μ)s(x, μ)](λ − μ)mk −1 √

√ √ Принимая во внимание, что e( λ)e(− λ) = (λ − λk )mk ψk (λ), где ψk (λ) голоморфна в окрестности λ = λk и ψ(λk ) = 0, и что λk+δ

μ μ

λk −δ

(λ − μ)mk −1 dλ  (λ − λk )mk

λk+δ

μ μ

mk − 1

(μ − k) dλ  (λk − λ)mk

dλ = ln δ − ln(μ − λk ), μ > λk , λ − λk

(88)

λk −δ

dλ = ln δ − ln(λk − μ), μ < λk , λk − λ

мы приходим в выводу, что Ik f (x) можно представить в виде  mk Ik f (x) = amk (x, μ)s(m) (f , μ) dμ, Λk m=0

где в силу оценок (54) и (88) ∞ 

 dx

0

Λk

   amk (x, μ) 2  < ∞.  dμ  (1 + x)m0 +1 

§ 29. Разложение по главным функциям оператора L

465

Обозначая через Ckm левую часть последнего неравенства, мы имеем  1/2 mk (m) 2 Ik f −  Ckm |s (f , μ)| dμ . m=0

Λk

Отсюда на основании (77) получаем

Ik f −  Ck f +m0  Ck f + , k = μ + 1, . . . , β , где Ck — некоторые положительные числа. Осталось рассмотреть оператор I0 . В силу (87) мы имеем 1 I0 f (x) = π

∞ 

√

λ dλ √ , e( λ)e(− λ)

χ0 (λ)s(f , λ)s(x, λ) √ 0

где χ0 (λ) — характеристическая функция множества Λ0 . Введем обозначение 1 χ0 (ρ2 )ρs(f , ρ2 ) = ϕ(ρ). 2πi

e(ρ)e(−ρ)

Тогда в силу (77) ∞ 

|ϕ(ρ)| dρ  C0 2

−∞

∞ 

|f (x)|2 dx,

0

где C0 — некоторое положительное число. Кроме того, ∞ 

2iρs(x, ρ2 )ϕ(ρ) dρ.

I0 f (x) = −∞

Поэтому, вводя обозначение

e(−ρ)[ϕ(ρ) − ϕ(−ρ)] = ψ(ρ), имеем

∞ 

|ψ(ρ)|2 dρ  C0

∞ 

−∞

|f (x)|2 dx, C0 > 0,

0

и в силу (49)

∞ 

I0 f (x) =

e(x, ρ)ψ(ρ) dρ. −∞

Наконец, воспользуемся соотношением (47). Мы получим ∞ 

I0 f (x) = −∞

ψ(ρ)eixρ dρ +

∞ 

∞ 

k(x, t) dt x

−∞

ψ(ρ)eitρ dt.

Добавление I

466

Отсюда на основании равенства Парсеваля (для обычного преобразования Фурье) и оценки (45) для ядра k(x, t) заключаем, что ∞ 

|I0 f (x)|2 dx  C0

0

∞ 

|f (x)|2 dx, C0 > 0.

0

Таким образом (см. (83)),

If0 −  I0 f   C0 f   C0 f + , что завершает доказательство леммы в предположении, что функции Bkj (λ) заданы соотношением (67). Доказательство в общем случае вытекает из того, что при замене одних функций Bkj (λ) другими такими функциями (удовлетворяющими всем требуемым условиям), первое слагаемое в правой части (85) меняется лишь на конечномерный оператор, непрерывный из H+ в H− . Теперь мы покажем, что оператор I , заданый формулой (85), является фактически вложением пространства H+ в пространство H− . Именно, имеет место следующее утверждение. Т е о р е м а 2. Для каждой функции f ∈ H+ (см. (81)) справедливо следующее разложение по главным функциям оператора L: 1 f (x) = π

∞ 

√

λ dλ √ + e( λ)e(− λ)

[Bs(f , λ)s(x, λ)] √ 0

+

β   d mk − 1 k=1

dλ

Mk (λ)s(f , λ)s(x, λ)

λ=λk

,

(88 )

причем интеграл в формуле (88 ) сходится по норме пространства H− . Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу леммы 4 нам достаточно доказать, что

If (x) = f (x), 0 < x < ∞,

(89)

для каждой ф и н и т н о й функции f ∈ L2 (0, ∞). Допустим, что f ∈ ∈ L2 (0, ∞), а g — произвольная функция, удовлетворяющая условиям

g ∈ L2 (0, ∞), g (x) = 0 при x > a,

∞ 

g (x)s(x, z) dx = 0;

(90)

0

при этом a — какое-нибудь положительное число, а z — какое-нибудь число из резольвентного множества оператора L. Из соотношений (37), (38) и (90) вытекает, что

Rz g (x) = 0 при x > a.

(91)

§ 29. Разложение по главным функциям оператора L

467

Из формулы Лагранжа для дифференциального выражения (1) (см. п. 5 § 1) легко вывести, что

s(Rz g , z) =

s(g , λ) , λ−z

а поэтому (см. (85)) ∞ 

If (x)Rz g (x) dx =

1 π

0

∞ 

 B

0

√  λ dλ s(f , λ)s(g , λ) √ + √ λ−z e( λ)e(− λ)

+

β   d mk − 1 k=1

dλ

Mk (λ)

s(f , λ)s(g , λ) λ−z

λ=λk

.

Сравнивая это равенство с равенством (70), мы находим, что ∞ 

[f (x) − If (x)]Rz g (x) dz = 0.

0

Пусть

 [(1 − I)f ]a (x) =

f (x) − If (x) при 0 < x < a, 0 при a < x < ∞.

Учитывая (91), с помощью формулы Лагранжа из предыдущего равенства находим ∞ 

Rz [(1 − I)f ]a (x) · g (x) dx = 0.

0

Так как g (x) — произвольная функция, удовлетворяющая условиям (90), то (по теореме об ортогональной проекции, см. п. 4 § 10)

Rz [(1 − I)f ]a (x) = cs(x, z), 0 < x < a, где c — некоторое число. Применяя к обеим частям последнего равенства операцию l(·) − z 1, получим

[(1 − I)f ]a (x) = 0, 0 < x < a. В силу произвольности a соотношение (89) доказано. Теорема 2 публикуется здесь впервые. 8. Разложение по главным функциям в пространстве L2 (0, ∞). Обозначим через Jf (x) интеграл в правой части (85) и положим ∞ √  λ dλ 1 1 √ . J = [Bs(x, λ)]s(f , λ) √ (92) π

0

e( λ)e(− λ)

В интеграле J 1 , в отличие от интеграла J , операция B применяется не к произведению s(f , λ)s(x, λ), а только лишь к функции s(x, λ).

Добавление I

468

Поэтому интеграл J 1 существует при более слабых предположениях, чем J . Именно, как нетрудно видеть, интеграл J 1 сходится по норме H−m0 (см. (78), (80)) для каждой функции f ∈ L2 (0, ∞). Найдем разность J − J 1 . Для определенности будем предполагать, что функции Bkj (λ) заданы соотношениями (67). Придерживаясь тех же обозначений, что и при доказательстве леммы 4, мы имеем

J − J 1 = Jα+1 + . . . + Jβ , где 1 Jk f (x) = π

 $m k −1   d m m=0

Λk

dλ

−s(f , λ)

 s(f , λ)s(x, λ)

m k −1

s

(m)

m=0

λ=λk

(λ − λk )m − m!

(λ − λk )m (x, λk ) m!

%

√

λ dλ √ , e( λ)e(− λ) √

k = α + 1, . . . , β ; здесь мы пока предполагаем, что f ∈ H+ . В силу формулы Тейлора

s(f , λ) =

m k −1

s(m) (f , λm )

m=0

(λ − λk )m + m! 1 + (mk − 1)

λ

(λ − μ)mk −1 s(mk ) (f , μ) dμ,

λk

мы имеем √ mk − 1 1 (m) (λ − λk )m λ dλ √ √ × Jk f (x) = − s (x, λk ) π m! e( λ)e(− λ) m=0 1 × (mk − 1)

 +



Λk p, qmk −1

λ

(λ − μ)mk −1 s(mk ) (f , μ) dμ +

λk

apq (λ)s

(p)

(x, λk )s

(q)

√ (λ − λk )mk λ dλ √ √ (x, λk ) , e( λ)e(− λ)

где apq (λ) — некоторые многочлены. В первом слагаемом справа изменим порядок интегрирования. Рассуждая так же, как при доказательстве леммы 4, мы убеждаемся, что особенность в точке λk , связанная √ √ со знаменателем e( λ)e(− λ), погашается (остается логарифмическая

§ 29. Разложение по главным функциям оператора L

469

особенность), а поэтому знак суммы по m можно поставить впереди интеграла по μ. Следовательно,

Jk f (x) =

m k −1

bkm (f )s(m) (x, λk ),

m=0

где bkm (f ) — линейные функционалы от f . Вопрос о непрерывности этих функционалов мы оставим пока в стороне. Таким образом, мы доказали, что при f ∈ H+

Jf (x) − J 1 f (x) =

β

m k −1

bkm (f )s(m) (x, λk ).

(93)

k=α+1 m=0

Т е о р е м а 3. Существуют такие линейные функционалы Mkm (f ), заданные в L2 (0, ∞) и непрерывные по норме этого пространства, что для каждой функции f ∈ L2 (0, ∞) имеет место следующее спектральное разложение: 1 f (x) = π

∞ 

√

λ dλ √ + e( λ)e(− λ)

[Bs(x, λ)]s(f , λ) √ 0

+

β m k −1

Mkm (f )s(m) (x, λk ). (94)

k=1 m=0

Интеграл в формуле (94) сходится по норме H−m0 (см. (78), 80)). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сначала f ∈ H+ . Тогда в силу соотношения (93) формула (88) может быть записана в виде (94), где Mkm (f ) — некоторые линейные функционалы от f . Докажем непрерывность этих функционалов. Прежде всего, методом доказательства леммы 4 легко убедиться, что J 1 — непрерывный оператор из L2 (0, ∞) в H−m0 . Поэтому второе слагаемое в правой части (94), как разность f (x) − J 1 f (x), является линейным непрерывным оператором из L2 (0, ∞) в H−m0 1). Так как функции s(m) (x, λk ), k = 1, . . ., β , m = 0, . . ., mk − 1, линейно независимы и принадлежат пространству H−m0 (см. (52) и (84)), то отсюда вытекает непрерывность функционалов Mkm (f ) по норме L2 (0, ∞). Формула (94) по построению верна для функций f из H+ . По непрерывности она распространяется на функции из L2 (0, ∞). З а м е ч а н и е. На первый взгляд может показаться, что для определения функции f из L2 (0, ∞) с помощью формулы (94) требуется знание функции s(f , λ), λ > 0, и в с е х чисел Mkm (f ), k = 1, . . ., β , m = 0, . . ., mk − 1. В действительности знание значений функционалов Mkm (f ) при k > α (т. е. функционалов, отвечающих спектральным 1)

Напомним, что f −m0  f .

Добавление I

470

особенностям) не обязательно. Более того, эти последние значения нельзя задавать, произвольно: они определяются однозначно заданием функции s(f , λ), λ > 0, и чисел Mkm (f ), k = 1, . . ., α, m = 0, . . . , mk − 1. В самом деле, рассмотрим следующее выражение: ∞ √  β m k +1 λ dλ 1 √ + [Bs(x, λ)]s(f , λ) √ Mkm (f )s(m) (x, λk ). π

e( λ)e(− λ)

0

k=α+1 m=0

(95)

В выражении (95) интеграл, а также каждое слагаемое под знаком двойной суммы, принадлежат H−m0 . Как нетрудно видеть, функции s(m) (x, λk ) в этом выражении линейно независимы по модулю L2 (0, ∞) (см. п. 6 § 14). Поэтому значения функционалов Mkm (f ) при k = α + 1, . . ., β , m = 0, . . ., mk − 1 однозначно определяются следующим требованием: сумма (95) принадлежит пространству L2 (0, ∞). Для каждой функции f ∈ L2 (0, ∞) это требование выполняется в силу самой формулы (94) и включений (52). Поскольку α m k −1

Mkm (f )s(m) (x, λk ) =

k=1 m=0

α   d mk k=1

dλ

Mk (λ)s(f , λ)s(x, λ)

λ=λk

,

то из предыдущего вытекает, что каждая функция f из L2 (0, ∞) однозначно определяется своим L-преобразованием Фурье и что формула (94) служит формулой обращения для L-преобразования Фурье в пространстве L2 (0, ∞). Предположим, что оператор L не имеет спектральных особенностей. Тогда операция [B . . .] в формуле (88) не нужна и эта формула принимает следующий вид: 1 f (x) = π

∞ 

0

√ λ dλ √ √ + s(f , λ)s(x, λ) e( λ)e(− λ)

+

α   d mk − 1 k=1

dλ

Mk (λ)s(f , λ)s(x, λ)

λ=λk

. (96)

Формула (96) была получена впервые в работе Наймарк [9] 1). При этом предполагалось, что f ∈ DL ∩ L1 (0, ∞). Кроме того, поскольку рассматривался случай, когда спектральных особенностей нет, то ∞  условие (43) заменялось более слабым условием (1 + x2 )|p(x)| dx < 0

< ∞. Затем в работе Левин [2] для оператора L без спектральных 1) В работе Наймарк [9], формула (96) записана применительно к случаю краевого условия y  (0) − θy(0) = 0 и в несколько других обозначениях.

§ 29. Разложение по главным функциям оператора L

471

особенностей формула (96) была доказана для произвольных функций f из L2 (0, ∞). Доказательство опиралось на представление (13) решения e(x, ρ) с помощью ортогонализирующего ядра k(x, t). Т е о р е м а 3 и замечание, следующее за ней, появились в заметке Лянце [3]. По поводу доказательства этой теоремы методом, отличным от здесь изложенного, см. Лянце [4]. 9. Многообразие H; разложение, сходящееся по норме L2 (0, ∞). Разложение по главным функциям оператора L, выражающееся формулой (94), сходится по норме H−m0 более слабой, чем норма пространства L2 (0, ∞). Теперь мы укажем класс H таких функций f ∈ L2 (0, ∞), разложение которых не нуждается в регуляризации и сходится по норме L2 (0, ∞). Именно, через H мы обозначим совокупность всех тех функций f ∈ L2 (0, ∞), для которых выполняется условие ∞  −∞

   ρs(f , ρ2 ) 2    e(ρ)  dρ < ∞.

(97)

Отметим, что в случае оператора L без спектральных особенностей множество H совпадает с пространством L2 (0, ∞). Это вытекает из оценок (35) и (77). IV. Для того чтобы функция f ∈ H+ (см. (81)) принадлежала многообразию H, необходимо и достаточно, чтобы

s(m) (f , λk ) = 0 при k = α + 1, . . . , β , m = 0, . . . , mk − 1. Действительно, в силу леммы 3 для каждой функции f ∈ H+ функция s(f , λ), λ > 0, имеет (абсолютно) непрерывную производную порядка m0 = max(mα+1 , . . . , mβ ). Поэтому для такой функции f условие (97) выполняется тогда и только тогда, когда каждая спектральная особенность λk является корнем кратности  mk функции s(f , λ). V. Для каждой функции f ∈ H+ ∩ H разложение по главным функциям оператора L записывается в виде (96). Это непосредственное следствие предложения IV и теоремы 2. Действительно, из предложения IV и формул (68) вытекает, что при f ∈ H+ ∩ H β k=α+1

[Bs(f , s)s(x, λ)] = s(f , λ)s(x, λ),  mk −1 d Mk (λ)s(f , λ)s(k, λ) dλ

λ=λk

= 0.

VI. Множество финитных функций f ∈ H плотно в пространстве L2 (0, ∞).

Добавление I

472

Действительно, так как каждая финитная функция f из L2 (0, ∞) принадлежит пространству H+ , то в силу предложения IV такая функция принадлежит многообразию H тогда и только тогда, когда ∞ 

f (x)s(m) (x, λk ) dx = 0

0

для каждой главной функции спектральных особенностей. Пусть f0 — произвольная функция из L2 (0, ∞), ортогональная всем финитным функциям из H. Так как, в частности, f0 является ортогональной тем функциям из H, которые равны нулю вне фиксированного конечного интервала (0, a), то, учитывая, что ортогональное дополнение ортогонального дополнения конечномерного подпространства совпадает с этим подпространством, заключаем, что в каждом интервале (0, a) функция f0 является линейной комбинацией функций s(m) (x, λk ). Из-за линейной независимости последних, коэффициенты линейных комбинаций, о которых идет речь, от a не зависят, так что f0 является линейной комбинацией функций s(m) (x, λk ) на всей полуоси (0, ∞). Но функции s(m) (x, λk ) также линейно независимы по модулю L2 (0, ∞) и, следовательно, последнее возможно лишь в том случае, когда f0 = 0, что и требовалось доказать. Т е о р е м а 4. Многообразие H плотно в пространстве L2 (0, ∞). Для каждой функции f ∈ H справедлива формула (96), причем интеграл в этой формуле сходится по норме L2 (0, ∞). Д о к а з а т е л ь с т в о. Первое утверждение теоремы вытекает из предложения VI. В силу формулы (49) интеграл, содержащийся в правой части (96), может быть представлен в виде 1 π

∞  −∞





ρs(f , ρ2 ) ρs(f , ρ2 ) e(x, ρ) − e(x, −ρ) dρ. e(ρ) e(−ρ)

Отсюда, на основании условия (97) и формулы (47), мы заключаем, что для каждой функции f ∈ H он сходится по норме L2 (0, ∞) 1). Для произвольной функции f ∈ H обозначим через If (x) правую часть формулы (96). Наша задача заключается в том, чтобы показать, что If = f . 1)

Наша аргументация опирается на теорему Планшереля для классического преобразования Фурье.

§ 29. Разложение по главным функциям оператора L

473

С этой целью заметим, что для каждой финитной функции g ∞ 

∞ 

1 If (x)g (x) dx = π

√

λ dλ √ + e( λ)e(− λ)

s(f , λ)s(g , λ) √

0

0

+

α   d mk − 1 k=1

dλ

Mk (λ)s(f , λ)s(g , λ)

λ=λk

. (98)

Предположим дополнительно, что финитная функция g принадлежит многообразию H. Тогда g ∈ H+ ∩ H, и в силу V для нее справедлива ∞  формула вида (96). Отсюда вытекает, что интеграл f (x)g (x) dx тоже 0

равен правой части (98), так что ∞ 

[If (x) − f (x)]g (x) dx = 0.

0

Отсюда на основании VI заключаем, что If = f . Теорема 4 доказана несколько другими способами в работах Лянце [2 и 4]. 10. Обобщенное равенство Парсеваля. Следующее предложение будет играть важную роль в дальнейшем. Т е о р е м а 5. Для любых функций f ∈ H и g ∈ L2 (0, ∞) справедливо следующее равенство Парсеваля: ∞ 

0

1 f (x)g (x) dx = π

∞ 

√

λ dλ √ + e( λ)e(− λ)

s(f , λ)s(g , λ) √ 0

+

α   d mk − 1 k=1

dλ

Mk (λ)s(f , λ)s(g , λ)

λ=λk

. (99)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если f ∈ H, а g ∈ L2 (0, ∞) — финитная функция, то равенство (99) получается очевидным способом из формулы (96). Для того чтобы распространить это равенство на нефинитные функции f , заметим прежде всего, что

∞  √    s(f , λ)s(g , λ) √ λ dλ√    e( λ)e(− λ)  0

2 1/2 ∞ 1/2

∞    ρ s(f , ρ2 )  2 2  |ρ s(g , ρ )| dρ . (100)   e(ρ)e(−ρ)  dρ −∞

−∞

Добавление I

474

В случае, когда e(0) = 0, правую часть неравенства (100) мы заменим следующим выражением: 2 1/2 ∞

∞ 1/2    2 2  2 2  ρ s(f , ρ )  dρ |(ρ + i)s(g , ρ )| dρ . (100a)  e(ρ)e(−ρ)(ρ + i)  −∞

−∞

При f ∈ H, в силу условия (97), первый из интегралов в правой части (100) (или (100a)) сходится 1). Поэтому на основании леммы 3 мы заключаем, что правая часть равенства (99) является линейным непрерывным функционалом от g ∈ L2 (0, ∞), что и требовалось доказать. Поскольку многообразие H плотно в пространстве L2 (0, ∞), то на основании обобщенного равенства Парсеваля (99) мы вторично приходим к выводу о том, что каждая функция f из L2 (0, ∞) однозначно определяется своим L-преобразованием Фурье (см. замечание к теореме 3).

§ 30. L-преобразование Фурье умеренно растущих функций Разложение по главным функциям оператора L, выражающееся формулой (94), содержит главные функции s(m) (x, λk ) спектральных особенностей λk , не являющиеся элементами пространства L2 (0, ∞). В связи с этим представляется естественной задача распространения L-преобразования Фурье на классы функций, более широкие чем L2 (0, ∞), и построения в этих классах разложений по главным функциям оператора L. Как и в случае классического преобразования Фурье, это достигается с привлечением понятий и методов теории обобщенных функций 2). При этом наблюдается следующий замечательный эффект: при выходе из пространства L2 (0, ∞) L-преобразование Фурье перестает быть взаимно однозначным. Именно, оно равно нулю на линейных комбинациях главных функций спектральных особенностей. Особенно элементарно можно распространить L-преобразование Фурье на класс умеренно растущих функций. По поводу распространения L-преобразования Фурье на более широкие классы см. Лянце [2 и 4]. 1. Образ многообразия H при L-преобразовании Фурье (пространство G). Пусть ξ обозначает функцию, которая каждой точке λ  0 непрерывного спектра оператора L (за исключением, быть может, множества точек линейной лебеговой меры нуль) ставит в соответствие число ξ(λ), а каждой точке λk (k = 1, . . ., α) точечного спектра Напомним, что e(−ρ) = 0, если ρ = 0 и e(ρ) = 0. Кроме того, напомним, что ρ = 0 не может быть корнем кратности > 1 функции e(ρ). 2) Для чтения настоящего параграфа знакомство с теорией обобщенных функций не обязательно. 1)

§ 30. L-преобразование Фурье умеренно растущих функций

475

оператора L ставит в соответствие некоторую последовательность чисел ξ(λk ) = (ξ (0) (λk ), . . . , ξ (mk −1) (λk )). Такую функцию мы будем называть функцией, заданной на спектре оператора L. Очевидно, L-преобразование Фурье произвольной функции f ∈ ∈ L2 (0, ∞) мы можем рассматривать как функцию sf заданную на спектре оператора L и удовлетворяющую следующим соотношениям:

sf (λ) = s(f , λ) почти всюду при λ > 0, sf (λk ) = (s(f , λk ), . . . , s(mk −1) (f , λk )), k = 1, . . . , α.

(101)

Обозначим через G гильбертово пространство функций ξ , заданных на спектре оператора L, с нормой $m −1 %1/2  ∞ 1/2   α k 2 2 ρξ(ρ ) (j) 2   |ξ| = + |ξ (λk )| . (102)  e(ρ)  dρ k=1

−∞

j=0

В силу условия (97) sf ∈ G для каждой функции f ∈ H. Однако справедливо более сильное предложение. Т е о р е м а 1. L-преобразование Фурье f → sf является взаимно однозначным отображением многообразия H на пространство G. Обратное преобразование задается формулой 1)

s

−1

1 ξ(x) = π

∞ 

√

λ dλ √ + e( λ)e(− λ)

ξ(λ)s(x, λ) √ 0

+

α   d mk − 1 k=1

dλ

Mk (λ)ξ(λ)s(x, λ) . (103)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать, что для каждого ξ ∈ G существует такая функция f ∈ L2 (0, ∞), что sf = ξ , т. е.

s(f , λ) = ξ(λ) почти всюду при λ > 0

(104)

и

s(m) (f , λk ) = ξ (m) (λk ), k = 1, . . . , α, m = 0, . . . , mk − 1.

(105)

Действительно, если такая функция f существует, то она единственна (см. замечание к теореме 3 § 29) и в силу конечности нормы (102) она удовлетворяет условию (97), так что f ∈ H. Прежде всего заметим, что для каждой функции ξ ∈ G интеграл в формуле (103) сходится по норме L2 (0, ∞). Чтобы в этом убедиться, достаточно вспомнить доказательство сходимости интеграла в формуле (96) (см. доказательство теоремы 4 § 29). Следовательно, при ξ ∈ G 1) Здесь «дифференцирование» по λ мы понимаем так же, как и в формуле (85).

Добавление I

476

правая часть формулы (104) представляет собой некоторую функцию f (x), принадлежащую L2 (0, ∞). Остается проверить, что эта функция удовлетворяет соотношениям (104), (105). С этой целью, обозначим через g произвольную финитную функцию из H, умножим на g (x) dx обе части равенства, определяющего функцию f (x), и проинтегрируем по области 0 < x < ∞. Сравнивая результат с обобщенным равенством Парсеваля (99), мы получим 1 π

∞ 

√

λ dλ √ + e( λ)e(− λ)

[s(f , λ) − ξ(λ)]s(g , λ) √ 0

+

α   d mk − 1 k=1

dλ

Mk (λ)[s(f , λ) − ξ(λ)]s(g , λ)

λ=λk

= 0. (106)

Положим B(λ)(λ − λ1 )m1 · . . . · (λ − λβ )mβ и обозначим через E(ρ) косинус-преобразование Фурье какой-либо ф и н и т н о й б е с к о н е ч н о д и ф ф е р е н ц и р у е м о й функции. Тогда для каждого α > 0 уравнение s(gα , ρ2 ) = B(ρ2 )E(ρ) cos αρ (107) определяет финитную функцию gα ∈ H. Это вытекает из теоремы Винера и Пэли (см., например, Шилов [1], с. 361) и представления функции s(x, λ) посредством соответствующего ортогонализирующего ядра (см. п. 1 § 25, формула (7)). Из равенств (106) и (107) вытекает, что ∞  ρ2 B(ρ2 ) [s(f , ρ2 ) − ξ(ρ2 )]E(ρ) cos αρ dρ = 0 e(ρ)e(−ρ)

−∞

для всех α > 0. Так как коэффициент при cos αρ является здесь четной функцией от ρ, интегрируемой с квадратом в области −∞ < ρ < ∞, то этот коэффициент равен нулю (почти всюду) и, следовательно, выполняется соотношение (104). Если теперь функцию g определять с помощью уравнений вида

s(g , ρ2 ) =

B(ρ2 )E(ρ) , (ρ2 − λk )m

k = 1, . . . , α, m = 0, . . . , mk − 1,

то, учитывая легко проверяемые неравенства

Mk (λk ) = 0, k = 1, . . . , α, и рассуждая аналогично предыдущему, нетрудно убедиться, что выполняются также соотношения (105).

§ 30. L-преобразование Фурье умеренно растущих функций

477

2. Пространства основных функций (пространства H0 и G0 ). Обозначим через H0 множество всех функций f ∈ L2 (0, ∞), для которых конечны все нормы

f ν =

∞ 

|(1 + x)ν f (x)|2 dx

1/2

ν = 0, 1, 2, . . . ,

,

(108)

0

и которые удовлетворяют условиям

s(m) (f , λk ) = 0, k = α + 1, . . . , β , m = 0, . . . , mk − 1.

(109)

Очевидно, H0 ∈ H. Обозначим также через G0 множество тех функций ξ , заданных на спектре оператора L, которые имеют конечные нормы

  σ ν  ∞ 2 1/2  d 2  |ξ|ν = ρ ξ(ρ ) dρ +  σ=0 −∞

dρ

+

α k=1

$m −1 k

%1/2 |ξ (m) (λk )|2

,

ν = 0, 1, 2, . . . , (110)

m=0

и удовлетворяют условиям

ξ (m) (λk ) = 0, k = α + 1, . . . , β , m = 0, . . . , mk − 1.

(111)

Очевидно, G0 ⊂ G. Будем говорить, что последовательность функций fm ∈ H0 сходится к функции f ∈ H0 , если fn − f ν → 0 при n → ∞ для всех целых неотрицательных ν . Аналогично с помощью норм (110) определяем сходимость в пространстве G0 . Очевидно, что при таком определении сходимости пространства H0 и G0 полны. Элементы этих пространств мы будем называть основными функциями. В дальнейшем нам понадобится следующее элементарное предложение 1). Л е м м а 1. На множестве функций ϕ, удовлетворяющих условию

ϕ(m) (0) = 0, m = 0, . . . , j − 1,

(112)

каждая норма

|ϕ|ν

1/2   σ ν  ∞  ϕ(x) 2  d =  j  dx σ=0 −∞

dx

x

(113)

1) В работе Лянце [4] L-преобразование Фурье распространяется на функции с локально интегрируемым квадратом. Там вместо леммы 1 пришлось воспользоваться одним неравенством С. Н. Бернштейна для целых функций.

Добавление I

478

мажорируется 1) некоторой нормой

|ϕ|ν =

 ν  ∞

|ϕ(σ) (x)|2 dx

1/2 .

(114)

σ=1 −∞

Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, достаточно доказать, что каждая (полу)норма 2)     σ 1/2 ϕ(x) 2  d (115)  j  dx dx

|x| 0 функции ϕ1 , . . ., ϕγ линейно независимы в интервале (0, a). Условие (123) будет, очевидно, выполняться, если в качестве ψn мы возьмем финитные функции из L2 (0, ∞). Попытаемся найти эти функции в виде ⎧ ν ⎪ ⎨ ϕ(x) − akn ϕk (x) при 0 < x < n, ψn (x) = k= 1 ⎪ ⎩ 0 при n < x < ∞. Для того чтобы удовлетворить равенствам (124), мы должны потребовать, чтобы γ

n

n

akn ϕj (x)ϕk (x) dx = ϕ(x)ϕj (x) dx, j = 1, . . . , γ.

k=1

16 Наймарк М. А.

0

0

Добавление I

482

При достаточно большом n числа akn определяются из этой системы однозначно, так как в силу линейной независимости функций ϕ1 , . . . . . ., ϕγ определитель системы не равен нулю. Нетрудно видеть, что вследствие условий (122) akn → 0 при n → ∞, а поэтому ψn → ϕ по норме L2 (0, ∞). Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы 2. Если f ∈ H0 , а F — какая-либо из главных функций спектральных особенностей, то P F (f ) = 0 в силу условий (109). Обратно, предположим, что F является умеренно растущей функцией и что P F = 0. Пусть ν — настолько большое целое число, что функции F0 (x) = (1 + x)−ν F (x) и ϕkm (x) = = (1 + x)−ν s(m) (x, λk ), k = α + 1, . . ., β , m = 0, . . ., mk − 1 принадлежат L2 (0, ∞). Из того, что P F = 0 вытекает, что ∞ 

ϕ(x)F0 (x) dx = 0

(125)

0

для каждой функции ϕ, удовлетворяющей соотношениям ∞ 

ϕ(x)ϕkm (x) dx = 0, k = α + 1, . . . , β , m = 0, . . . , mk − 1, (126)

0

и для которой ϕν < ∞ при ν = 0, 1, 2, . . .. На основании леммы 3 мы заключаем, что равенство (125) выполняется для всех функций ϕ ∈ L2 (0, ∞), удовлетворяющих соотношениям (126). Следовательно, так как ортогональное дополнение ортогонального дополнения конечномерного подпространства совпадает с этим подпространством, функция F0 является линейной комбинацией функций ϕkm , что и требовалось доказать. 4. Распространение L-преобразования Фурье на умеренно растущие функции. Линейные непрерывные функционалы, заданные на пространствах основных функций, принято называть обобщенными функциями. Мы будем рассматривать пространства обобщенных функций H0 и G0 , состоящие из линейных непрерывных функционалов, заданных на пространствах H0 и G0 соответственно. Пусть f  ∈ H0 — произвольная обобщенная функция, а s−1 ξ — обратное L-преобразование Фурье произвольной основной функции ξ ∈ G0 (см. формулу (103)). Тогда соотношение

sf  (ξ) = f  (s−1 ξ)

(127)

определяет обобщенную функцию sf  ∈ G0 . Действительно, в силу теоремы 2 оператор s−1 отображает непрерывно G0 на H0 , а f  — по условию непрерывный функционал на H0 . Следуя методам теории обобщенных функций (см., например, Шилов [2]), мы принимаем следующее определение.

§ 30. L-преобразование Фурье умеренно растущих функций

483

О п р е д е л е н и е 1. L-преобразованием Фурье обобщенной функции f  ∈ H0 называется обобщенная функция sf  ∈ G0 , заданная формулой (127). Как вытекает из неравенств (120),

P F ∈ H0

при

F ∈F

(128)

(см. (119)). Это позволяет нам принять следующее определение. О п р е д е л е н и е 2. L-преобразованием Фурье умеренно растущей функции F ∈ F называется обобщенная функция SP F ∈ G0 . Таким образом, для всех ξ ∈ G0 , F ∈ F ∞ 

SP F (ξ) =

s−1 ξ(x)F (x) dx = P F (s−1 ξ).

(129)

0

Т е о р е м а 3. Для того чтобы L-преобразование Фурье SP F умеренно растущей функции F ∈ F равнялось нулю, необходимо и достаточно, чтобы F была линейной комбинацией главных функций спектральных особенностей, т. е. чтобы эта функция допускала представление вида (121). Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как, согласно теореме 2, s−1 взаимно однозначно отображает G0 на H0 , то оператор S является взаимно однозначным отображением H0 на G0 . Следовательно, из равенства SP F = 0 вытекает равенство P F = 0, и наше утверждение является следствием леммы 2. З а м е ч а н и е. Результат, содержащийся в теореме 3, можно обосновать не вполне строго, но более наглядно следующим образом. Если λk — спектральная особенность, т. е. λk = ρ2k > 0, и e(ρk ) = 0, то в силу (49)

s(x, λk ) =

e(−ρk ) e(x, ρk ) = ck e(x, ρk ). 2iρk

Пусть Im ρ > 0 и ρ → ρk . Тогда e(x, ρ) как функция от x принадлежит L2 (0, ∞) и ck e(x, ρ) → s(x, λk ) равномерно в каждом конечном интервале изменения x. В связи с этим L-преобразование Фурье главной функции s(x, λk ) спектральной особенности λk естественно рассматривать как предел при ρ → ρk Lпреобразования Фурье функции ck e(x, ρ) (существующего в обычном смысле при Im ρ > 0). Применяя формулу Грина для дифференциального выражения (1), мы найдем, что ∞ 

e(x, ρ)s(x, λ) dx = 0 16*

e(ρ) , ρ2 − λ

Добавление I

484

и, следовательно,

⎧ ⎨

∞ 

lim

e(x, ρ)s(x, λ) dx =

ρ→ρk 0

0

при λ = λk ,

 ⎩ e (ρk ) при λ = λk . 2ρk

(130)

Так как λk — точка непрерывного спектра, то найденный предел является функцией, эквивалентной нулю по отношению к «спектральной мере» оператора L. Действительно, на непрерывном спектре λ  0 спектральная мера оператора L равна

√ 1 λ dλ √ √ . То, что плотность π e( λ)e(− λ)

этой меры имеет в точке λ = λk полюс порядка mk , несущественно, так как полюс λk погашается. В самом деле, для каждой основной функции f ∈ H0 точка λk является нулем функции s(f , λ) кратности  mk (см. соотношения (109), продиктованные природой обобщенного равенства Парсеваля (99)). Если λk — собственное значение, то соотношение (130) остается верным. Однако на точечном спектре «спектральная мера» одноточечного множества не равна нулю. Поэтому, если e (ρk ) = 0 (т. е. mk = 1), то предел (130) не является функцией, эквивалентной нулю. Наконец, рассмотрим точку λ0 непрерывного спектра, не являющуюся спектральной особенностью: λ0 = ρ20 > 0, e(±ρ0 ) = 0. В силу формулы (49) мы имеем

s(x, λ0 ) = lim

ε→+0

e(−ρ0 )e(x, ρ0 + iε) − e(ρ0 )e(x, −ρ0 + iε) . 2iρ0

Рассуждая аналогично предыдущему, мы найдем, что L-преобразование Фурье функции s(x, λ0 ) «равно» нулю при λ = λ0 и бесконечности при λ = λ0 , т. е. пропорционально δ -функции Дирака (см., например, Шилов [2]). Так как L2 (0, ∞) ⊂ F, то для каждой функции из L2 (0, ∞) мы располагаем двумя определениями L-преобразования Фурье. Выясним, какая существует связь между sF и sP F при F ∈ L2 (0, ∞). Обозначим через Y множество функций Y , заданных на спектре оператора L (см. п. 1) и удовлетворяющих условию ∞ 

|ρY (ρ)|2 dρ < ∞.

(131)

−∞

Каждой функции Y ∈ Y мы можем поставить в соответствие функционал ΠY ∈ G0 , заданный формулой

§ 30. L-преобразование Фурье умеренно растущих функций 1 ΠY (ξ) = π

∞ 

485

√

λ dλ √ + e( λ)e(− λ)

ξ(λ)Y (λ) √ 0

+

α   d mk − 1 k=1

dλ

Mk (λ)ξ(λ)Y (λ)

λ=λk

, ξ ∈ G0 . (132)

Непрерывность функционала ΠY относительно сходимости в G0 (см. п. 2) вытекает из неравенств

∞  √    ξ(λ)Y (λ) √ λ dλ√    e( λ)e(− λ)  0



2 1/2 ∞ 1/2

∞    2  2 2  ρ ξ(ρ )  dρ |ρY (ρ )| dρ   3(ρ)e(−ρ)  −∞

−∞

 1/2

∞   2 2  ρ ξ(ρ )  dρ  C(Y )  e(ρ)  −∞

(мы воспользовались условием (131) и тем, что e(−ρk ) = 0 при k = α + 1, . . ., β ; C(Y ) — положительное число) и из того, что каждая норма (116) мажорируется некоторой нормой (110), если ξ ∈ G0 . Нетрудно видеть, что Y = 0, если Y ∈ Y и ΠY = 0. Таким образом, преобразование Π является взаимно однозначным отображением Y в G0 . В силу оценки (77) (случай ν = 0) для каждой функции F ∈ ∈ L2 (0, ∞) функция sF удовлетворяет условию (131), а поэтому sF ∈ Y. Это позволяет нам записать обобщенное равенство Парсеваля (99) в следующем виде: ∞ 

f (x)F (x) dx = ΠsF (sf ) при f ∈ H, F ∈ L2 (0, ∞).

0

В частности (см. (119)),

P F (f ) = ΠsF (sf ) при f ∈ H0 , F ∈ L2 (0, ∞). Полагая здесь sf = ξ и сравнивая с равенством (129), мы находим, что SP F (ξ) = ΠsF (ξ) для всех ξ ∈ G0 и, таким образом, для всех F ∈ L2 (0, ∞): SP F = ΠsF , (1321 )

486

Добавление I

где Π — линейное взаимно однозначное отображение. В этом смысле L-преобразование Фурье SP , рассматриваемое на умеренно растущих функциях, является продолжением L-преобразования Фурье s, рассматриваемого на пространстве L2 (0, ∞) 1). Как отмечалось в п. 1 § 5, задача разложения по главным функциям возникает в связи с задачей обоснования метода Фурье. В связи с этим возникает вопрос о том, может ли развитая здесь теория Lпреобразования Фурье умеренно растущих функций быть использована для такой цели. Положительный ответ на этот вопрос дается в работе Лянце [2], где теория L-преобразования Фурье используется для построения операционного исчисления функций от оператора L. ∂u

∂2u

Затем на примерах уравнений = Lu и = Lu показано, как ∂t ∂t2 это операционное исчисление можно использовать для исследования корректности смешанных задач в классах экспоненциально растущих функций. Интересно отметить, что потеря взаимной однозначности Lпреобразованием Фурье после выхода из L2 (0, ∞) не мешает всем нужным построениям. В работе Лянце [4] построено операционное исчисление функций от оператора L, действующего на локально интегрируемые функции (с произвольным порядком роста при x → ∞). 5. Некоторые другие результаты. Обобщения. Здесь будут изложены без доказательств некоторые другие результаты по теории сингулярных несамосопряженных дифференциальных операторов. A). Т е о р и я о п е р а т о р а L. a). Другие предположения относительно функции p(x). При построении изложенной выше теории существенно использовалось то обстоятельство, что функция e(ρ) = e(0, ρ) допускает аналитическое продолжение вниз от прямой Im ρ = 0. Это обстоятельство вытекало из ∞  дополнительного ограничения: eεx |p(x)| dx < ∞. Однако существова0

ние нужного аналитического продолжения может быть получено как следствие других условий (см. Лянце [4]). Пусть X обозначает область в комплексной x-плоскости, состоящую из таких точек x = ρ eiϕ , для которых ρ > ρ0 и |ϕ| < ϕ0 , где ρ0 и ϕ0 — некоторые положительные числа. Предположим, что функция p(x) определена в области (0, ∞) ∪ X , суммируема на полуоси (0, ∞), голоморфна в области X и удовлетворяет неравенству вида

|p(x)| < 1)

A , |x|α

x ∈ X.

(133)

Нетрудно показать, что при естественном определении сходимости в F это продолжение является также продолжением по непрерывности (в этом случае L2 (0, ∞) является плотной частью F).

§ 30. L-преобразование Фурье умеренно растущих функций

487

Если в неравенстве (133) α > 2, то для каждого x  0 функция e(x, ρ) (см. п. 2 § 27) допускает продолжение из полуплоскости Im ρ  0 в область S , состоящую из тех точек ρ = |ρ|eiτ , для которых |ρ| > 0 и −ϕ0 < τ < ϕ0 , причем продолжение является голоморфным по ρ в области S . При этом для функции e(x, ρ) остается справедливым представление вида (13) с надлежащим сдвигом в комплексную x-плоскость контура интегрирования. Оказывается, что в указанных выше предположениях ортогонализирующее ядро k(x, t) (см. (13)) допускает аналитическое продолжение по обеим переменным x и t. Если в неравенстве (133) α > 2, то множество сингулярных чисел оператора L ограничено, не более чем счетно и его предельной точкой может быть только точка ρ = 0. Если же в неравенстве (133) α > 3, то множество сингулярных чисел оператора L конечно и на этот случай переносится вся теория, изложенная в § 27–30. Изложенный выше результат, касающийся условий счетности и конечности множества сингулярных чисел оператора L, был обобщен l(l + 1) + q(x) и q(x) в работе Ждановой [1] на случай, когда p(x) = x2 регулярна в бесконечно удаленной точке. б). Оператор L и теория спектральных операторов. Для каждого измеримого подмножества Δ спектра оператора L, замыкание которого не содержит спектральных особенностей, положим √  1 λ dλ √ + P (Δ)f (x) = s(f , λ)s(x, λ) √ π

Δ∩(0, ∞)

+



λk ∈Δ k=1, ..., α

e( λ)e(− λ)



d dλ

mk −1

Mk (λ)s(f , λ)s(x, λ)

λ=λk

. (134)

Вообще говоря, P (Δ) не является самосопряженным оператором, однако это — ограниченное идемпотентное преобразование (т. е. P (Δ)2 = = P (Δ)). Следовательно, P (Δ) является оператором «косого» проектирования в том смысле, что все пространство L2 (0, ∞) представимо в виде п р я м о й с у м м ы HΔ + GΔ , где HΔ = P (Δ)L2 (0, ∞), GΔ = [1 − P (Δ)]L2 (0, ∞), и если f = h + g , h ∈ HΔ , g ∈ GΔ , то h = P (Δ)f . Операторная функция P (Δ) множества Δ играет по отношению к оператору L роль, аналогичную спектральной функции в теории самосопряженных операторов (см. п. 1 § 12). Пусть оператор L не имеет спектральных особенностей. Можно показать (этот результат содержится неявно в работе Б. Я. Левина [2], см. также Кесельман [2]), что в этом случае sup P (Δ) < ∞ и что оператор L, рассматриваемый на подпространстве Hc = P ([ 0, ∞))L2 (0, ∞), подобен самосопряженному оператору, точнее, существует такое линейное взаимно однозначное и непрерывное отображение U пространства Hc на L2 (0, ∞), что U Lc U −1 = Λ, где Lc — оператор L,

Добавление I

488

рассматриваемый лишь на (инвариантном) подпространстве Hc , а Λ — оператор умножения на независимое перемечное в пространстве L2 (0, ∞) (см. п. 2 § 20). Поскольку подпространство [1 − P (Δ)]L2 (0, ∞) конечномерно, то отсюда вытекает, что оператор L без спектральных особенностей является спектральным оператором в смысле Данфорда (см. Данфорд [1] или Наймарк [7]). Для оператора L, имеющего спектральные особенности, эти утверждения уже неверны. Это связано с тем обстоятельством, что

P (Δ) → ∞,

(135)

когда расстояние от множества Δ до множества спектральных особенностей стремится к нулю. Тем не менее можно доказать, что оператор L (имеющий спектральные особенности) является обобщенным спектральным оператором в смысле определения, введенного в работе Лянце [1]. В частности, он допускает представление 

L = λP (dλ),

(136)

где интеграл берется по спектру и понимается в некотором естественном смысле. Кроме того, имеет место соотношение вида U Lc U −1 = Λ, однако теперь операторы U и U −1 неограниченные (см. Лянце [2]). в). Обратная задача спектрального анализа для оператора L. Здесь мы будем рассматривать только такие операторы L, которые ∞  −εx удовлетворяют дополнительному ограничению e |p(x)| dx < ∞. 0

Мы по-прежнему будем пользоваться обозначениями e(ρ) = e(0, ρ), e(ρ) = e(0, ρ), где e(x, ρ) и e(x, ρ) — решения уравнения l(y) = ρ2 y , построенные в пп. 2 и 3 § 27. Функцию

s(ρ) =

e(−ρ) e(ρ)

(137)

будем называть функцией рассеяния оператора L, а многочлены  e(ρ) ixρk  Pk (x) = ie−ixρk Res e , k = 1, . . . , α, (138)  e(ρ)

ρ=ρk

— нормировочными многочленами. Оказывается, что оператор L однозначно определяется своей функцией рассеяния s(ρ), н е в е щ е с т в е нн ы м и сингулярными числами ρ1 , . . ., ρα и нормировочными многочленами P1 , . . ., Pα . Все эти величины должны удовлетворять некоторым условиям согласованности. Предположим, что условия согласованности выполнены, и положим 1 f (x) = 2π

+∞+iδ 

[s(ρ) − 1]e

ixρ

−∞+iδ

dρ −

α k=1

Pk (x)eixρk ,

(139)

§ 30. L-преобразование Фурье умеренно растущих функций

489

где δ — положительное число, меньшее Im ρk , k = 1, . . ., α. Тогда для каждого x  0 интегральное уравнение Фредгольма ∞ 

k(x, t) =

k(x, u)f (u + t) du + f (x + t)

(140)

x

имеет единственное решение k(x, t). Решая это уравнение и полагая

p(x) = −2

d k(x, x), dx

(141)

мы определим дифференциальное выражение l(y) = −y  + p(x)y , а значит, также оператор L. Подробное изложение содержится в работе Лянце [5]. г). Структура множества спектральных особенностей. Вопросам строения множества сингулярных чисел и, в частности, множества спектральных особенностей посвящены некоторые работы Б. С. Павлова (см. Павлов [1–3]). Им доказано, что для конечности множества сингулярных чисел оператора L достаточно, чтобы при некотором ε > 0

sup |p(x)|eε

0x −∞, где lν — интервалы, смежные с множеством спектральных особенностей, |lν | — длина интервала lν и суммирование ведется по всем конечным lν . Собственные значения оператора L, занумерованные с учетом кратности, удовлетворяют условию ! Im λν < ∞. Отметим, что в работе Павлов [3] получены теоремы разложения по главным функциям оператора L при более слабых ограничениях, чем условие (43). д). Оператор на всей оси и операторы высших порядков. Изложенная выше теория была обобщена на случай оператора второго порядка на всей оси в работах Кемп [1, 2] и Блащак [1, 2]. Некоторые

Добавление I

490

результаты теории обобщены на случай операторов высших порядков и операторов в пространстве вектор-функций в работах Фунтаков [1], Кабанова [1], Кемп [2], Гимадисламов [1]. М. Г. Гасымов получил разложение по главным функциям оператора с особенностью в нуле вида l(l + 1)x−2 , порожденного на полуоси конечной или бесконечной системой дифференциальных уравнений второго порядка (см. Гасымов [5, 6] ). Б). С п е к т р а л ь н а я т е о р е м а М а р ч е н к о. Здесь мы изложим без доказательств некоторые результаты, полученные в работе Марченко [4]. Напомним, что целая функция F (λ) называется функцией экспоненциального типа, если существуют такие σ > 0 и C(σ) > 0, что для всех комплексных λ |F (λ)|  C(σ)eσ|λ| . (143) Точная нижняя грань чисел σ , для которых (143) выполняется, называется степенью F (λ). Обозначим через Z совокупность всех целых четных функций экспоненциального типа, суммируемых на оси −∞ < λ < ∞. Совокупность Z мы будем рассматривать как линейное пространство с обычным определением сложения и умножения на число. Будем говорить, что последовательность {Fn } ⊂ Z сходится к функции F ∈ Z , если ∞ 

lim

n→∞

|Fn (λ) − F (λ)| dλ = 0

(144)

−∞

и sup σn < ∞; здесь σn — степень функции Fn , n = 1, 2, . . .. Через Z  n

мы обозначим пространство всех линейных функционалов, заданных на Z , непрерывных относительно только что введенной сходимости. Пусть p(x) — произвольная комплекснозначная функция, суммируемая на каждом к о н е ч н о м интервале полуоси (0, ∞), и пусть θ — произвольное комплексное число. Обозначим через ω(x, ρ) решение дифференциального уравнения

−y  + p(x)y = ρ2 y , удовлетворяющее начальным условиям ω(0, ρ) = 1, этому также краевому условию

y  (0) − θy(0) = 0.

(145)

ωx (0,

ρ) = θ , а по(146)

Каждой ф и н и т н о й функции f ∈ L2 (0, ∞) поставим в соответствие ее ω -преобразование ω(f , ρ), полагая ∞ 

ω(f , ρ) =

f (x)ω(x, ρ) dx. 0

(147)

§ 30. L-преобразование Фурье умеренно растущих функций

491

Оказывается, что для любой пары финитных функций f , g из L2 (0, ∞) произведение их ω -преобразований принадлежит пространству Z : ω(f , λ)ω(g , λ) ∈ Z . Спектральная теорема В. А. Марченко состоит в следующем. Каждой краевой задаче (145), (146) соответствует такой функционал R ∈ Z  , что для любых финитных функций f , g из L2 (0, ∞) ∞ 

f (x)g (x) dx = R[ω(f , λ)ω(g , λ)].

(148)

0

(λ)]  0 для Функционал R ∈ Z  назовем позитивным, если R[F√ каждой функции F ∈ Z , удовлетворяющей условию F ( μ)  0 при −∞ < μ < ∞. Оказывается, что для каждого позитивного функционала R ∈ Z  существует такая неубывающая функция σ(ρ), что ∞ 

R[ω(f , λ)ω(g , λ)] =

ω(f , ρ)ω(g , ρ) dσ(ρ) −∞

для любых финитных f , g ∈ L2 (0, ∞). С другой стороны, нетрудно показать, что в случае в е щ е с т в е н н ы х p(x) и θ функционал R, содержащийся в равенстве (148), является позитивным. Таким образом, полученное в главе VI равенство Парсеваля ∞ 

∞ 

f (x)g (x) dx = 0

ω(f , ρ)ω(g , ρ) dσ(ρ) −∞

для самосопряженных дифференциальных операторов (второго порядка) оказывается частным случаем более общего равенства Парсеваля– Марченко (148). Функционал R, содержащийся в этом равенстве, называют обобщенной спектральной функцией задачи (145), (146). В работе Марченко [4] получены условия, необходимые и достаточные для того, чтобы функционал R ∈ Z  был обобщенной спектральной функцией некоторой задачи вида (145), (146) и дан алгорифм, позволяющий по заданной обобщенной спектральной функции определить p(x) и θ (см. (145), (146)) (т. е. дано полное решение обратной задачи спектрального анализа по обобщенной спектральной функции). В случае, когда функция Im p(x) ограничена при 0 < x < ∞, обобщенную спектральную функцию R можно представить в виде некоторого интеграла по контуру, охватывающему спектр задачи. В некоторых случаях контур интегрирования удается стянуть на спектр и получить разложение по главным функциям классического типа. Отметим, что идея, в соответствии с которой роль спектральной функции несамосопряженного оператора должен играть линейный непрерывный функционал, заданный на соответствующем линейном топологическом пространстве, была предложена также К. Фояшем, а затем и многими другими авторами (см. Фояш [1]). К. Фояш развил

Добавление I

492

эту идею для абстрактно заданных, вообще говоря, не дифференциальных операторов. Подробное изложение относящегося сюда круга вопросов читатель найдет в книге Коложоарэ и Фояш [1]. Обобщение теории Марченко на бесконечные системы дифференциальных уравнений второго порядка было получено в работе Рофе-Бекетов [1]. В работе Гасымов [5] дается обобщение теории Марченко на случай, когда функция p(x) имеет в нуле особенность вида l(l + 1)x−2 . При этом важную роль играет соответствующее обобщение теорем об ортогонализирующих ядрах, изложенных в § 25. Некоторые результаты теории Марченко распространены на случай краевой задачи на всей оси в работах Фунтаков [2] и Блащак [1]. В). С и н г у л я р н ы е н е с а м о с о п р я ж е н н ы е о п е р а т о р ы с ч и с т о д и с к р е т н ы м с п е к т р о м. Напомним, что спектр оператора называется чисто дискретным, если он состоит из счетного числа изолированных точек с единственной предельной точкой на бесконечности, причем каждой точке спектра отвечает конечномерное инвариантное пространство. Весьма сильные признаки дискретности спектра сингулярных несамосопряженных операторов второго порядка принадлежат В. Б. Лидскому. Приведем следующие результаты, принадлежащие этому автору (см. Лидский [3, 4]). Пусть L — оператор, порождаемый в гильбертовом пространстве L2 (−∞, ∞) дифференциальным выражением

l(y) = −y  + (q(x)i r(x))y ,

(149)

где q(x) и r(x) — вещественнозначные функции. Если функция q(x) является ограниченной снизу в каждом конечном интервале и q(x) → +∞ при |x| → ∞, то (при любом поведении r(x)) оператор L имеет вполне непрерывную резольвенту и, в частности, чисто дискретный спектр. Это же утверждение остается в силе при любом поведении q(x), если r(x) → +∞ или −∞ при |x| → ∞. Нижеследующее предложение обобщает критерий дискретности А. М. Молчанова (см. п. 5 § 24) на несамосопряженный случай. Пусть функция q(x) ограничена снизу, а функция r(x) полуограниненная. Тогда для полной непрерывности резольвенты оператора L необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности непересекающихся интервалов {Dn } одинаковой длины 

(q(x) + |r(x)|) dx → ∞

Dn

когда интервал Dn уходит в бесконечность. Напомним, что система элементов гильбертова пространства H называется полной, если замыкание ее линейной оболочки совпадает с H. В качестве примера теоремы о полноте системы собственных и присоединенных элементов сингулярного несамосопряженного дифференциального оператора приведем следующий результат (см. Лидский [4]).

§ 30. L-преобразование Фурье умеренно растущих функций

493

Пусть при некотором α > 0

lim

|x|→∞

q(x) > C > 0. |x|α

Тогда для полноты в L2 (−∞, ∞) системы собственных и присоединенных функций оператора L, порожденного дифференциальным выражением (149), необходимо и достаточно, чтобы

lim

|x|→∞

|r(x)| = 0. q(x)

По вопросам теории несамосопряженных операторов с чисто дискретным спектром см. также работы: Шварц [1], Наймарк [10], Аллахвердиев [1–3], Федорюк [4]. Г). Н е к о т о р ы е д р у г и е р е з у л ь т а т ы. Примером несамосопряженных дифференциальных операторов с непрерывным спектром вне вещественной оси являются операторы с комплекснозначными периодическими коэффициентами. Некоторые свойства таких операторов исследованы в работе Рофе-Бекетов [3]. Пусть L — оператор, порожденный в L2 (−∞, ∞) дифференциальным выражением

l(y) = p0 (x)y (n) + . . . + pn (x)y с комлекснозначными коэффициентами периода ω , причем p0 (x) = 0, −∞ < x < ∞. Оказывается, что оператор L имеет чисто непрерывный спектр, который совпадает с множеством тех значений λ, для которых уравнение l(y) = λy имеет решение, ограниченное при −∞ < x < ∞. При этом спектр либо состоит из конечного числа аналитических дуг, либо пуст, либо заполняет всю λ-плоскость. Если p0 (x) ≡ const, то два последних случая невозможны. Резольвента L является интегральным оператором с ядром Карлемана. В случае дифференциального выражения l второго порядка и p0 (x) ≡ 1 резольвентное множество (см. § 28) оператора L связно тогда и только тогда, когда Re P = 0, где ω 

P = p1 (x) dx. 0

В случае оператора L, порожденного в L2 (0, ∞) дифференциальным выражением l(y) второго порядка с периодическими коэффициентами (p0 (x) ≡ 1) и некоторым краевым условием при x = 0, характер непрерывного спектра сохраняется, причем ограниченные непрерывным спектром внутренние области заполняются сплошь собственными значениями при Re P < 0 и остаточным спектром 1) при Re P > 0. 1)

Точка λ называется точкой остаточного спектра оператора L, если λ не является собственным значением и область значений оператора L − λ1 не плотна в пространстве.

Добавление I

494

Возможны еще изолированные собственные значения и точки остаточного спектра. По поводу операторов с периодическими коэффициентами см. также Мак-Гарвей [1]. В теории несамосопряженных операторов с непрерывным спектром известные успехи достигнуты методами теории возмущений. Если при возмущении дискретного спектра задача заключается в том, чтобы проследить, как возмущение меняет собственные значения и соответствующие собственные векторы, то в случае непрерывного спектра изучается вопрос о том, можно ли установить подобие возмущенного оператора с невозмущенным. Наиболее полные результаты в этом направлении (для несамосопряженных операторов) достигнуты в недавней работе Като [2]. Там же можно найти дальнейшие литературные указания. Как следствие из построенной им общей абстрактной теории, Т. Като получил следующий результат. Пусть L(κ) — оператор, порожденный в L2 (0, ∞) дифференциальным выражением −y  + κp(x)y и краевым условием y(0) = 0. Ес"∞ #−1  ли |κ| < x|p(x)| dx , то существуют такие г о л о м о р ф н ы е по x 0

оператор-функции W (κ) и [W (κ)]−1 , что L(κ) = W (κ)L(0)[W (κ)]−1. Указанная здесь оценка для комплексного параметра κ является оптимальной. Дискретным аналогом дифференциальных операторов являются разностные операторы. К спектральной теории самосопряженных разностных операторов можно подойти так же, как и к самосопряженным дифференциальным операторам, с помощью общих методов теории (самосопряженных) операторов в гильбертовом пространстве (см., например, Березанский [4]). В случае разностных несамосопряженных операторов иногда возможно применение методов, развитых в этом добавлении. Так, в работе Лянце [6] рассмотрен оператор L, порожденный в пространстве l2 последовательностей y = (y1 , y2 , . . .) с нормой #1/2 "

y = разностным выражением |yj |2

(ly)j =

1 (yj−1 + yj+1 ) − bj yj , 2

j = 1, 2, . . ., и краевым условием y0 = θy1 с комплексными b1 , b2 , . . . и θ . При надлежащих ограничениях на убывание чисел bj исследован спектр и резольвента и построено разложение по главным элементам. При этом обнаружено существование спектральных особенностей и всех связанных с ними специфических явлений. Разностный оператор L является примером о г р а н и ч е н н о г о оператора со спектральным разложением, выражающимся регуляризованным значением расходящегося интеграла. Класс краевых условий, порождающих несамосопряженные операторы, обладающие даже достаточно закономерными спектральными

§ 30. L-преобразование Фурье умеренно растущих функций

495

свойствами, является существенно более широким, чем класс самосопряженных краевых условий 1). В работах Аллана М. Кралла (см. Кралл [1–5]) изучается оператор L, порожденный в L2 (0, ∞) дифференциальным выражением l(y) = −y  + p(x)y и граничным условием вида ∞ 

K(x)y(x) dx − βy(0) + αy  (0) = 0,

0

где K(x) ∈ L (0, ∞), |α|2 + |β|2 > 0. Если K(x), p(x) ∈ L1 (0, ∞) и α = 0, то строение спектра такое же, как в случае краевого условия y(0) = 0 (см. § 28). В частности, собственные значения образуют не более чем счетное ограниченное множество с предельными точками только на полуоси λ  0 (заполненной непрерывным спектром) и определяются соотношениями λ = ρ2 , Im ρ > 0 и 2

∞ 

K(x)e(x, ρ) dx − βe(0, ρ) + αex (0, ρ) = 0,

0

где e(x, ρ) — функция, введенная в п. 2 §7. Оператор L∗ , сопряженный с оператором L, порождается выражением

l∗ (z) = −z  + p(x)z +

z(0) K(x) α

и краевым условием βz(0) − αz  (0) = 0. При некоторых ограничениях построено разложение по главным функциям оператора L. Данный в этом добавлении обзор по теории сингулярных несамосопряженных обыкновенных дифференциальных операторов не претендует на полноту. Дополнительные сведения и литературу можно найти в статьях: Данфорд [1], Дольф [1], Келдыш и Лидский [1], Наймарк [11].

1)

См. п. 4 § 1.

Добавление II ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ СТИЛТЬЕСА

Пусть σ(λ) — комплексная функция ограниченной вариации на всей вещественной оси −∞ < λ < ∞. Положим ∞ 

ϕ(z) = −∞

dσ(λ) z−λ

(1)

и при z = σ + iτ sign τ ϕ(z) − ϕ(z) 1 ψ(σ , τ ) = =− π 2i π

∞  −∞

|τ | dσ(λ) . (λ − σ)2 + τ 2

(2)

Следующая теорема дает выражение функции σ(λ) через ψ(σ , τ ). то

Т е о р е м а 1. Если a и b — точки непрерывности функции σ(λ), b

σ(b) − σ(a) = − lim ψ(στ ) dσ. τ →0

(3)

a

Д о к а з а т е л ь с т в о. Не нарушая общности, можно считать, что σ(−∞) = 0. Интегрируя тогда в (2) по частям, получим 1 − ψ(σ , τ ) = − π

∞  −∞

∂ ∂λ

|τ | (λ − σ)2 + τ 2



1 = π

σ(λ) dλ = ∞  −∞

∂ ∂σ

|τ | (λ − σ)2 + τ 2

 σ(λ) dλ.

Проинтегрируем обе части последнего равенства по σ в делах от a до b и введем обозначение 1 J(τ , x) = π

∞  −∞

|τ | σ(λ) dλ. (λ − x)2 + τ 2

(4)

Формула обращения Стилтьеса

497

Мы получим

b −

1 ψ(σ , τ ) dσ = π

a

∞  −∞

1 − π

|τ | σ(λ) dλ − (λ − b)2 + τ 2 ∞  −∞

|τ | σ(λ) dλ = J(τ , b) − J(τ , a). (λ − a)2 + τ 2

(5)

Докажем, что

lim J(τ , b) = σ(b),

lim J(τ , a) = σ(a);

τ →0

(6)

τ →0

тем самым теорема будет доказана. Так как ∞  1 |τ | dλ = 1, 2 2 π

−∞

λ +τ

то 1 J(τ , b) − σ(b) = π

∞  −∞

|τ | 1 σ(λ) dλ − σ(b) 2 2 π (λ − b) + τ

=

1 π

∞  −∞

∞ 

|τ | dλ = λ + τ2 2

−∞

|τ | [σ(λ + b) − σ(b)] dλ. λ2 + τ 2

(7)

Пусть задано ε > 0; выберем δ > 0 так, что

|σ(λ + b) − σ(b)|