Математическое просвещение [Серия 3, Выпуск 8]

Citation preview

íáåíáéþåóëïå ðòïó÷åýåîéå ÒÅÔØÑ ÓÅÒÉÑ

×ÙÕÓË 8

íÏÓË×Á éÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Ï íãîíï 2004

õäë 51.009 ââë 22.1 í34

éÚÄÁÎÉÅ ÏÓÕÝÓÔ×ÌÅÎÏ ÒÉ ÏÄÄÅÒÖËÅ òææé

(ÉÚÄÁÔÅÌØÓËÉÊ ÒÏÅËÔ ‚ 03{01{14139). Р

88

И

òÅÄÁË ÉÏÎÎÁÑ ËÏÌÌÅÇÉÑ

âÕÇÁÅÎËÏ ÷. ï. çÁÌØÅÒÉÎ ç. á. åÇÏÒÏ× á. á. ëÏÎÓÔÁÎÔÉÎÏ× î. î. óÏÌÏ×Ø£× à. ð. ûÁÒÙÇÉÎ é. æ.

÷ÉÎÂÅÒÇ ü. â. çÌÅÊÚÅÒ ç. ä. éÌØÑÛÅÎËÏ à. ó. ðÒÁÓÏÌÏ× ÷. ÷. óÏÓÉÎÓËÉÊ á. â. ñÝÅÎËÏ é. ÷.

÷ÑÌÙÊ í. î. çÕÓÅÊÎ-úÁÄÅ ó. í. ëÁÎÅÌØ-âÅÌÏ× á. ñ. òÏÚÏ× î. è. ÉÈÏÍÉÒÏ× ÷. í.

çÌÁ×ÎÙÊ ÒÅÄÁËÔÏÒ: ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ× ïÔ×. ÓÅËÒÅÔÁÒØ: í. î. ÷ÑÌÙÊ áÄÒÅÓ ÒÅÄÁË ÉÉ: 119002, íÏÓË×Á, â. ÷ÌÁÓØÅ×ÓËÉÊ ÅÒ., Ä. 11, Ë. 202 (Ó ÏÍÅÔËÏÊ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉŁ) Email: matprosm

me.ru Web-page: www.m

me.ru/free-books

í34

íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ.

2004. | 264 Ó. ISBN 5{94057{136{0

ÒÅÔØÑ ÓÅÒÉÑ, ×Ù. 8. | í.: íãîíï,

÷ ÓÂÏÒÎÉËÁÈ ÓÅÒÉÉ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉŁ ÕÂÌÉËÕÀÔÓÑ ÍÁÔÅÒÉÁÌÙ Ï ÒÏÂÌÅÍÁÈ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÉÚÌÏÖÅÎÎÙÅ ÎÁ ÄÏÓÔÕÎÏÍ ÄÌÑ ÛÉÒÏËÏÊ ÁÕÄÉÔÏÒÉÉ ÕÒÏ×ÎÅ, ÚÁÍÅÔËÉ Ï ÉÓÔÏÒÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÏÂÓÕÖÄÁÀÔÓÑ ÒÏÂÌÅÍÙ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. ÷ ×ÏÓØÍÏÍ ÎÏÍÅÒÅ ÓÅÒÉÉ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÂÏÌØÛÁÑ ÏÄÂÏÒËÁ ÓÔÁÔÅÊ Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÍÎÏÇÉÅ ÄÒÕÇÉÅ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÅ ÍÁÔÅÒÉÁÌÙ.

õäë 51.009 ââë 22.1

ISBN 5{94057{136{0



íãîíï, 2004.

óÏÄÅÒÖÁÎÉÅ

àÒÉÊ ðÅÔÒÏ×ÉÞ óÏÌÏ×Ø£× (1944 { 2003) . . . . . . . . . . . . . . . .

5

íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÉÒ

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

éÚÒÁÉÌØ íÏÉÓÅÅ×ÉÞ çÅÌØÆÁÎÄ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 òÅÞØ é. í. çÅÌØÆÁÎÄÁ ÎÁ ×ÅÞÅÒÅ × Royal East Resear h 3 ÓÅÎÔÑÂÒÑ 2003 Ç. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄ, å. í. üÌØËÉÎÁ ðÁÍÑÔÉ ú. á. óËÏÅ Á . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 ë ÒÏÂÌÅÍÁÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ

÷. á. òÏÈÌÉÎ

ìÅË ÉÑ Ï ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÎÅÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍ . . . . . . . . 21 ÅÍÁ ÎÏÍÅÒÁ: ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ

é. æ. ûÁÒÙÇÉÎ

îÕÖÎÁ ÌÉ ÛËÏÌÅ 21-ÇÏ ×ÅËÁ çÅÏÍÅÔÒÉÑ? . . . . . . . . . . . . . . . . 37

á. óËÏÅÎËÏ×, á. ÁÌÁÍÂÕ Á

üËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× . . . . . 53

ò. í. ÒÁ×ËÉÎ

éÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÔÒÅÈ×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ÎÁ ÓÆÅÒÅ . . . . . . . . . . . . . 66

á. á. úÁÓÌÁ×ÓËÉÊ

óÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ . . . . . . . . 78

ç. á. çÁÌØÅÒÉÎ

âÉÌØÑÒÄÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ÄÌÑ ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ × ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

ò. î. ëÁÒÁÓ£×

ðÒÏÅËÔÉ×ÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÎÁ ÍÅÓÔÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ 113

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

ï ÏÓÔÒÏÕÇÏÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁÈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×

ðÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÉ ÎÁ ËÒÉ×ÏÊ É ×ÌÏÖÅÎÉÑ ÌÉÓÔÁ í£ÂÉÕÓÁ . . . . . . . . 127 õ ÎÁÓ × ÇÏÓÔÑÈ | ÖÕÒÎÁÌ €çÅÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ

á. óÏÊÆÅÒ

ä×ÅÎÁÄ ÁÔØ ÌÅÔ €çÅÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËɁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

á. óÏÊÆÅÒ, ð. üÒÄ£Û

ÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ × ×ÙÕËÌÙÈ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁÈ . . . . . . . . . . . . . . . 136

â. çÒÀÎÂÁÕÍ

äÙÒÑ×ÙÅ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ËÏÌÏÎÎÙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 îÁÛ ÓÅÍÉÎÁÒ: ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÓÀÖÅÔÙ

ë. ð. ëÏÈÁÓØ

óÕÍÍÁ ÏÂÒÁÔÎÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

ì. ä. ðÕÓÔÙÌØÎÉËÏ×

äÉÎÁÍÉÞÅÓËÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ Ó ÕÒÕÇÉÍÉ ÏÔÒÁÖÅÎÉÑÍÉ É ÍÅÈÁÎÉÚÍ ÕÓËÏÒÅÎÉÑ æÅÒÍÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

á. ñ. âÅÌÏ×

ï ËÒÕÇÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 ðÏ ÍÏÔÉ×ÁÍ ÚÁÄÁÞÎÉËÁ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс

á. óÏÊÆÅÒ

èÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ: ÅÇÏ ÒÏÛÌÏÅ, ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ É ÂÕÄÕÝÅÅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

æ. ÷. ðÅÔÒÏ×, ó. å. òÕËÛÉÎ

ÅÏÒÅÍÙ Ï ÏËÒÙ×ÁÀÝÉÈ É ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁÈ É ÉÈ ÏÂÏÂÝÅÎÉÑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

ç. á. çÁÌØÅÒÉÎ

çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÷. ÷. ðÒÏÉÚ×ÏÌÏ×Á . . . . . . . . 229

÷. ÷. äÏ ÅÎËÏ

úÁÄÁÞÉ Ï ÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ËÏÍÁËÔÁÈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

á. å. åÒÏÛÉÎ

ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÄÅÓÑÔÉÞÎÙÅ ÄÒÏÂÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 úÁÄÁÞÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ

õÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 òÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ×ÙÕÓËÏ× . . . . . . . . . . . . . . . . 248 îÏ×ÙÅ ÉÚÄÁÎÉÑ

261

àÒÉÊ ðÅÔÒÏ×ÉÞ óÏÌÏ×Ø£× (1944 { 2003)

àÒÉÊ óÏÌÏ×Ø£× ÏÓÔÕÉÌ ÎÁ ÍÅÈÁÎÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÆÁËÕÌØÔÅÔ íçõ ÏÓÌÅ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÌÅÔ ÓÌÕÖÂÙ × ÒÁËÅÔÎÙÈ ×ÏÊÓËÁÈ. ïÎ ÂÙÌ ÓÔÁÒÛÅ Ó×ÏÉÈ ÏÄÎÏËÕÒÓÎÉËÏ×, ÎÏ, Ë ÕÄÉ×ÌÅÎÉÀ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÅÊ, ÏÎÉÍÁÌ É ÏÓ×ÁÉ×ÁÌ ÍÁÔÅÒÉÁÌ ÌÕÞÛÅ É ÂÏÌÅÅ ÏÓÎÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÞÅÍ ÓÁÍÙÅ ÓÉÌØÎÙÅ ×ÙÕÓËÎÉËÉ ÜÌÉÔÁÒÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÛËÏÌ. óÏÞÅÔÁÎÉÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ×ÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑ É ×ËÕÓÁ Ë ÉÚÙÓËÁÎÎÏÊ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÅ ÒÉ×ÅÌÏ ÅÇÏ Ë ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÓËÏÊ ÒÁÂÏÔÅ Ï ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ ÎÁ ËÁÆÅÄÒÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÇÄÅ ÏÎ ÓÔÁÌ ÕÞÅÎÉËÏÍ á. ó. íÉÝÅÎËÏ. åÇÏ ÅÒ×ÁÑ ÒÁÂÏÔÙ ÂÙÌÉ Ó×ÑÚÁÎÙ Ó ÔÅÍÁÔÉËÏÊ ÅÇÏ ÎÁÕÞÎÏÇÏ ÒÕËÏ×ÏÄÉÔÅÌÑ. ðÏÓÌÅ ÚÁÝÉÔÙ ËÁÎÄÉÄÁÔÓËÏÊ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÉ àÒÉÊ ðÅÔÒÏ×ÉÞ óÏÌÏ×Ø£× ÂÙÌ ÏÓÔÁ×ÌÅÎ ÒÉ ËÁÆÅÄÒÅ × ÄÏÌÖÎÏÓÔÉ ÁÓÓÉÓÔÅÎÔÁ. úÁÔÅÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÌ ÑÒËÉÊ ÉËÌ ÒÁÂÏÔ Ï ÇÏÍÏÌÏÇÉÑÍ Ó ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÍÉ ÓÉÍÍÅÔÒÉÑÍÉ É ÜÒÍÉÔÏ×ÏÊ K -ÔÅÏÒÉÉ. îÁÕÞÎÕÀ ÒÁÂÏÔÕ ÏÎ ÓÏ×ÍÅÝÁÌ Ó ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÅÍ × ÛËÏÌÅÉÎÔÅÒÎÁÔÅ ‚18 ÉÍÅÎÉ á. î. ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Á. úÁÏÍÎÉÌÉÓØ É ÅÇÏ ÄÏËÌÁÄÙ ×

6

íÏÓËÏ×ÓËÏÍ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ïÂÝÅÓÔ×Å (ííï) × ÉËÌÅ €óÔÕÄÅÎÞÅÓËÉÅ þÔÅÎÉс. îÁ ÍÅÈÁÎÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÆÁËÕÌØÔÅÔÅ íçõ à. ð. óÏÌÏ×Ø£× ÒÏÒÁÂÏÔÁÌ ÄÏ ËÏÎ Á Ó×ÏÅÊ ÖÉÚÎÉ × ÄÏÌÖÎÏÓÔÑÈ ÓÔÁÒÛÅÇÏ ÎÁÕÞÎÏÇÏ ÓÏÔÒÕÄÎÉËÁ, Á ÚÁÔÅÍ, ÏÓÌÅ ÂÌÉÓÔÁÔÅÌØÎÏÊ ÚÁÝÉÔÙ ÄÏËÔÏÒÓËÏÊ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÉ, × ÄÏÌÖÎÏÓÔÉ É Ú×ÁÎÉÉ ÒÏÆÅÓÓÏÒÁ. îÁÕÞÎÙÅ ÉÎÔÅÒÅÓÙ à. ð. óÏÌÏ×Ø£×Á ÏÓÔÅÅÎÎÏ ÓÍÅÓÔÉÌÉÓØ × ÓÔÏÒÏÎÕ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÉÚÉËÉ. óÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÅÍÕ ÏÓÎÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ ÏÎ ÏÂÒÁÂÏÔÁÌ ÏÇÒÏÍÎÙÊ ÏÂßÅÍ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁ É ÓÄÅÌÁÌ ÅÇÏ ÄÏÓÔÕÎÙÍ ÍÎÏÇÉÍ ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ ÒÏÞÉÔÁÎÎÙÍ ÉÍ ÓÅ ËÕÒÓÁÍ. ÷ÁÖÎÏÊ ×ÅÈÏÊ × ÎÁÕÞÎÏÊ ÖÉÚÎÉ íÏÓË×Ù ÓÔÁÌ ÅÇÏ ÄÏËÌÁÄ ÎÁ ÚÁÓÅÄÁÎÉÉ ííï Ï ÒÁÂÏÔÁÈ í. áÔØÉ Ï ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ Ë×ÁÎÔÏ×ÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ÏÌÑ. úÁÔÅÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÌ ÉËÌ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÙÈ ÒÁÂÏÔ Ó ÷. ÷. âÅÌÏËÕÒÏ×ÙÍ É å. . ûÁ×ÇÕÌÉÄÚÅ Ï Ë×ÁÎÔÏ×ÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ÏÌÑ. éÈ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÕÀ ÍÏÎÏÇÒÁÆÉÀ ÎÁ ÜÔÕ ÔÅÍÕ àÒÉÀ ðÅÔÒÏ×ÉÞÕ ÎÅ ÓÕÖÄÅÎÏ ÂÙÌÏ Õ×ÉÄÅÔØ × ÚÁ×ÅÒÛÅÎÎÏÍ ×ÉÄÅ. . . éÚ ÖÉÚÎÉ ÕÛÅÌ ÕÎÉËÁÌØÎÙÊ ÞÅÌÏ×ÅË: ÜÎ ÉËÌÏÅÄÉÞÅÓËÉ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÊ É ÏÓÎÏ×ÁÔÅÌØÎÙÊ, ÄÏÂÒÙÊ, ×ÓÅÇÄÁ ÇÏÔÏ×ÙÊ ÒÉÊÔÉ ÎÁ ÏÍÏÝØ, ÔÁÌÁÎÔÌÉ×ÙÊ É ÇÌÕÂÏËÉÊ ÕÞÅÎÙÊ, ÕÞÉÔÅÌØ × ÓÁÍÏÍ ×ÙÓÏËÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÓÌÏ×Á. á. â. óÏÓÉÎÓËÉÊ ******

ÒÕÄÎÏ, ÏÞÅÎØ ÔÒÕÄÎÏ ÉÓÁÔØ Ï ÕÛÅÄÛÅÍ ÄÒÕÇÅ. îÅ ÈÏÞÅÔÓÑ ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÂÏÌØÛÅ ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ÕÓÌÙÛÉÛØ ÅÇÏ ÇÏÌÏÓÁ, ÎÅ Õ×ÉÄÉÛØ ÅÇÏ ÄÏÂÒÕÀ ÛÉÒÏËÕÀ ÕÌÙÂËÕ, ÎÅ ÏÌÕÞÉÛØ × ÔÒÕÄÎÕÀ ÍÉÎÕÔÕ ÓÏ×ÅÔÁ É ÏÄÄÅÒÖËÉ. ñ ÏÚÎÁËÏÍÉÌÓÑ Ó àÒÉÅÍ ðÅÔÒÏ×ÉÞÅÍ óÏÌÏ×Ø£×ÙÍ × ÎÁÞÁÌÅ 70-È ÇÏÄÏ×. âÙÌÏ ÜÔÏ ÔÁË. ðÒÉÅÈÁ× × ÛËÏÌÕ-ÉÎÔÅÒÎÁÔ ÒÉ íçõ ÞÉÔÁÔØ Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄÎÕÀ ÌÅË ÉÀ, Ñ ÏÂÎÁÒÕÖÉÌ ÇÒÕÕ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÅÊ, ÏËÒÕÖÉ×ÛÉÈ ÎÅÚÎÁËÏÍÏÇÏ ÍÎÅ ÞÅÌÏ×ÅËÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÞÔÏ-ÔÏ ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÌ. õÓÅ×ÛÉÓØ ÚÁ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ ÓÔÏÌÏÍ, Ñ ÒÉÓÌÕÛÁÌÓÑ. îÅÚÎÁËÏÍÅ ÇÏ×ÏÒÉÌ Ï ÁÒÅ×ÉÞÅ äÉÍÉÔÒÉÉ, âÏÒÉÓÅ çÏÄÕÎÏ×Å, ÎÁÞÁÌÅ ÓÍÕÔÎÏÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ, Ï ÂÕÒÎÙÈ É ÒÏËÏ×ÙÈ ÓÏÂÙÔÉÑÈ ÎÁÛÅÊ ÉÓÔÏÒÉÉ. òÁÓÓËÁÚ ÂÙÌ ÎÁÓÔÏÌØËÏ ×ÙÓÏËÏÈÕÄÏÖÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ, ÔÒÁËÔÏ×ËÉ ÓÏÂÙÔÉÊ (× ÏÂÝÅÍ, ÈÏÒÏÛÏ ÍÎÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ) ÔÁËÉÍÉ ÇÌÕÂÏËÉÍÉ É ÔÏÎËÉÍÉ, ÞÔÏ Ñ ÚÁÓÌÕÛÁÌÓÑ É, ÅÓÌÉ ÍÎÅ ÎÅ ÉÚÍÅÎÑÅÔ ÁÍÑÔØ, ÄÁÖÅ ÎÁ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÍÉÎÕÔ ÏÏÚÄÁÌ ÎÁ Ó×ÏÀ ÌÅË ÉÀ. ðÏÓÌÅ ÏËÏÎÞÁÎÉÑ ÚÁÎÑÔÉÊ ÍÙ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÓÌÕÞÁÊÎÏ ×ÍÅÓÔÅ ×ÙÛÌÉ ÉÚ ÉÎÔÅÒÎÁÔÁ É ÒÁÚÇÏ×ÏÒÉÌÉÓØ. ÁË ÓÏÓÔÏÑÌÏÓØ ÚÎÁËÏÍÓÔ×Ï, ÏÞÅÎØ ÂÙÓÔÒÏ ÅÒÅÛÅÄÛÅÅ × ÔÅÌÙÅ ÄÒÕÖÅÓËÉÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. àÒÉÊ ðÅÔÒÏ×ÉÞ ÂÙÌ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÎÙÍ, ÛÉÒÏËÏ ÜÒÕÄÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÍ. ï ÅÇÏ ÎÁÕÞÎÙÈ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÑÈ ÒÁÓÓËÁÚÁÎÏ ×ÙÛÅ, ÔÁË ÞÔÏ ÉÈ Ñ ËÁÓÁÔØÓÑ ÎÅ ÂÕÄÕ.

àÒÉÊ ðÅÔÒÏ×ÉÞ óÏÌÏ×Ø£× (1944 { 2003)

7

ïÎ ÏÂÌÁÄÁÌ É ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÔÁÌÁÎÔÏÍ. åÇÏ ÌÅË ÉÉ Ï ÁÌÇÅÂÒÅ, ÁÎÁÌÉÚÕ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ × ÉÎÔÅÒÎÁÔÅ ÏÔÌÉÞÁÌÉ ÇÌÕÂÉÎÁ ÍÙÓÌÉ, ÑÓÎÏÓÔØ, ÞÅÔËÏÓÔØ É ÒÅÄËÏÓÔÎÁÑ ÒÏÚÒÁÞÎÏÓÔØ. ï ÓÁÍÙÈ ÔÒÕÄÎÙÈ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ× ×ÅÝÁÈ ÏÎ ÕÍÅÌ ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÔØ Õ×ÌÅËÁÔÅÌØÎÏ É ÏÎÑÔÎÏ, ×ÙÄÅÌÑÑ ÇÌÁ×ÎÙÅ ÉÄÅÉ É ËÁË Ç×ÏÚÄÉ ×ËÏÌÁÞÉ×ÁÑ ÉÚ × ÇÏÌÏ×Ù ÓÌÕÛÁÔÅÌÅÊ. íÎÏÇÉÅ ÉÚ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× { ×ÙÕÓËÎÉËÏ× ÉÎÔÅÒÎÁÔÁ, ÒÏÓÌÕÛÁ×ÛÉÅ ÌÅË ÉÉ óÏÌÏ×Ø£×Á, ÞÅÒÅÚ ÍÎÏÇÏ ÌÅÔ ÇÏ×ÏÒÉÌÉ ÍÎÅ, ÞÔÏ × ÉÈ ÂÉÏÇÒÁÆÉÉ ÏÎ ÂÙÌ ÌÕÞÛÉÍ ÌÅËÔÏÒÏÍ, ×Ï ÍÎÏÇÏÍ ÏÒÅÄÅÌÉ×ÛÉÍ ÉÈ ÎÁÕÞÎÕÀ ÓÕÄØÂÕ. àÒÉÊ ðÅÔÒÏ×ÉÞ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÎÏ ÚÎÁÌ É ÏÎÉÍÁÌ ÉÓÔÏÒÉÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ É ÏÂÌÁÄÁÌ ÎÅÓÏÍÎÅÎÎÙÍ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÎÙÍ ÄÁÒÏÍ. þÔÏÂÙ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÜÔÏÍ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÓÍÏÔÒÅÔØ ÏÄÛÉ×ËÉ ÖÕÒÎÁÌÁ €ë×ÁÎԁ, ÚÁÍÅÓÔÉÔÅÌÅÍ ÇÌÁ×ÎÏÇÏ ÒÅÄÁËÔÏÒÁ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÎ ÂÙÌ Ó 1981 Ï 1994 ÇÏÄ. åÇÏ ÓÔÁÔØÉ €÷ÙÚÏ× ÷ÁÎ òÏÕÍÅÎÁ, €×ÏÒ Ù ÎÏ×ÏÊ ÁÓÔÒÏÎÏÍÉɁ, €î. é. ìÏÂÁÞÅ×ÓËÉʁ É ÄÒÕÇÉÅ ÎÅÓÏÍÎÅÎÎÏ ×ÈÏÄÑÔ × ÚÏÌÏÔÏÊ ÆÏÎÄ ÎÁÕÞÎÏ-ÏÕÌÑÒÎÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ. âÕÄÕÞÉ ÞÌÅÎÏÍ ÒÅÄËÏÌÌÅÇÉÉ, ÚÁÍÅÓÔÉÔÅÌÅÍ ÇÌÁ×ÎÏÇÏ ÒÅÄÁËÔÏÒÁ €ë×ÁÎÔÁ, àÒÉÊ ðÅÔÒÏ×ÉÞ ×Ï ÍÎÏÇÏÍ ÏÒÅÄÅÌÑÌ ÌÉ Ï É ÕÒÏ×ÅÎØ ÖÕÒÎÁÌÁ. ïÎ ÔÒÁÔÉÌ ÍÎÏÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ É ÔÒÕÄÁ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÎÁ ÎÁÉÓÁÎÉÅ Ó×ÏÉÈ ÓÔÁÔÅÊ, ÎÏ É ÎÁ ÒÅÄÁËÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ (ÉÎÏÇÄÁ | ÅÒÅÉÓÙ×ÁÎÉÅ) ÉÓÁÎÉÊ ÄÒÕÇÉÈ Á×ÔÏÒÏ×. üÔÏ ÞÁÓÔÏ ÂÙ×ÁÅÔ × €ë×ÁÎÔŁ, ËÏÇÄÁ ÎÅÌÏÈÉÅ Ï ÚÁÍÙÓÌÕ ÓÔÁÔØÉ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÌÏÈÏ ÎÁÉÓÁÎÎÙÍÉ É ÉÈ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÕÌÕÞÛÁÔØ, ÄÅÌÁÔØ ÏÎÑÔÎÙÍÉ ÛËÏÌØÎÉËÁÍ, Ô. Å. €ÄÏ×ÏÄÉÔØ ÄÏ ÕÍÁ. àÒÉÊ ðÅÔÒÏ×ÉÞ ÏÂÌÁÄÁÌ ÛÉÒÏÞÁÊÛÅÊ ÜÒÕÄÉ ÉÅÊ. ïÎ ÚÎÁÌ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÑÚÙËÏ×, × ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ ÄÒÅ×ÎÉÈ. ÒÕÄÎÏ ÎÁÊÔÉ ÏÂÌÁÓÔØ ÎÁÕËÉ É ÔÅÈÎÉËÉ, Ó ËÏÔÏÒÏÊ ÏÎ × ÔÏÊ ÉÌÉ ÉÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÎÅ ÂÙÌ ÚÎÁËÏÍ. îÁÉÂÏÌÅÅ ÇÌÕÂÏËÉÍÉ ÂÙÌÉ ÅÇÏ ÏÚÎÁÎÉÑ × ÏÂÌÁÓÔÉ ÉÓÔÏÒÉÉ. íÎÅ ÄÏ×ÏÄÉÌÏÓØ ÕÔÅÛÅÓÔ×Ï×ÁÔØ Ó ÎÉÍ Ï ÒÁÚÎÙÍ ÓÔÒÁÎÁÍ É × ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÎÉÈ Ñ ÕÚÎÁ×ÁÌ ÏÔ ÎÅÇÏ ÍÎÏÇÏ ÎÏ×ÏÇÏ, ÉÎÔÅÒÅÓÎÏÇÏ É, ÇÌÁ×ÎÏÅ, ÎÅ ÏÂÝÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ. ïÎ ÇÏ×ÏÒÉÌ Ï ÉÓÔÏÒÉÉ ËÁË ÇÌÕÂÏËÉÊ É ÔÏÎËÉÊ ÚÎÁÔÏË. ðÏÒÏÊ ÅÇÏ Ï×ÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ Ï ÓÏÂÙÔÉÑÈ ÇÌÕÂÏÞÁÊÛÅÊ ÄÒÅ×ÎÏÓÔÉ ×ÙÇÌÑÄÅÌÉ ËÁË ÒÁÓÓËÁÚÙ ÏÞÅ×ÉÄ Á. îÁÓÔÏÌØËÏ ÎÁÇÌÑÄÎÏ, ÑÓÎÏ É ÒÏÎÉËÎÏ×ÅÎÎÏ ÏÎ ÇÏ×ÏÒÉÌ Ï ÎÉÈ. ÷ ËÁÖÄÏÍ ÇÏÒÏÄÅ, ÇÄÅ àÒÉÊ ðÅÔÒÏ×ÉÞ ÏËÁÚÙ×ÁÌÓÑ, ÏÎ ÕÓÔÒÅÍÌÑÌÓÑ × ËÎÉÖÎÙÅ ÍÁÇÁÚÉÎÙ. ÷ ÅÇÏ ÇÉÇÁÎÔÓËÏÊ ÄÏÍÁÛÎÅÊ ÂÉÂÌÉÏÔÅËÅ ÓÏÂÒÁÎÙ ËÎÉÇÉ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÆÉÚÉËÅ, ÄÒÕÇÉÍ ÔÏÞÎÙÍ ÎÁÕËÁÍ. íÎÏÇÏ × ÎÅÊ É ÈÕÄÏÖÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ É, ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, Ï ÅÇÏ ÏÓÏÂÏÍÕ ÒÉÓÔÒÁÓÔÉÀ | ÉÓÔÏÒÉÉ. õÎÉËÁÌØÎÁ ÓÏÂÒÁÎÎÁÑ óÏÌÏ×Ø£×ÙÍ ËÏÌÌÅË ÉÑ ÒÁÚÎÙÈ ÉÚÄÁÎÉÊ âÉÂÌÉÉ. îÅÚÁÄÏÌÇÏ ÄÏ ÓÍÅÒÔÉ ÏÎ ÇÏ×ÏÒÉÌ Ï Ó×ÏÅÊ ÍÅÞÔÅ | ÒÁÚÄÏÂÙÔØ ËÏÔÓËÕÀ âÉÂÌÉÀ. àÒÉÊ ðÅÔÒÏ×ÉÞ ÂÙÌ ÏÞÅÎØ ÄÏÂÒÙÍ É ÍÕÄÒÙÍ ÞÅÌÏ×ÅËÏÍ. îÅÏÄÎÏËÒÁÔÎÏ × ËÒÁÊÎÅ ÔÑÖÅÌÙÅ ÍÏÍÅÎÔÙ ÍÏÅÊ ÖÉÚÎÉ ÏÎ ÏËÁÚÙ×ÁÌ ÍÎÅ ÄÒÕÖÅÓËÕÀ ÏÄÄÅÒÖËÕ É ÏÍÏÝØ. ï ÜÔÏÍ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÇÏ×ÏÒÉÔØ ÍÎÏÇÏ É ÄÏÌÇÏ. îÏ ÜÔÏ ÕÖÅ ÌÉÞÎÏÅ. óËÁÖÕ ÏÄÎÏ | ÍÎÅ ÏÞÅÎØ ÎÅ È×ÁÔÁÅÔ ÍÏÅÇÏ ÄÒÕÇÁ, ÔÁË ÒÁÎÏ ÎÁÓ ÏËÉÎÕ×ÛÅÇÏ. á. á. åÇÏÒÏ×

íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÉÒ

éÚÒÁÉÌØ íÏÉÓÅÅ×ÉÞ çÅÌØÆÁÎÄ

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ× ÷ 2003 ÇÏÄÕ ÏÔÍÅÞÁÌÏÓØ ÄÅ×ÑÎÏÓÔÏÌÅÔÉÅ ÓÏ ÄÎÑ ÒÏÖÄÅÎÉÑ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ËÒÕÎÅÊÛÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÓÔÉ | éÚÒÁÉÌÑ íÏÉÓÅÅ×ÉÞÁ çÅÌØÆÁÎÄÁ, ÕÞÅÎÏÇÏ, ÎÁÈÏÄÑÝÅÇÏÓÑ Ï ÓÅÊ ÄÅÎØ ÎÁ ÅÒÅÄÏ×ÏÍ ÒÕÂÅÖÅ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÎÁÕËÉ. : : : äÁ×ÁÊÔÅ ÍÙÓÌÅÎÎÏ ÒÏÓÌÅÄÉÍ ÚÁ ÓÏÂÙÔÉÑÍÉ, ÒÏÉÚÏÛÅÄÛÉÍÉ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ × ÒÏÛÌÏÍ ×ÅËÅ, É, ÒÁÚÄÅÌÉ× ÅÇÏ ÎÁ ÔÒÉ ÞÁÓÔÉ, ÏÒÏÂÕÅÍ ÎÁÚ×ÁÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×, ÏËÁÚÁ×ÛÉÈ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ×ÌÉÑÎÉÅ ÎÁ ÒÁÚ×ÉÔÉÅ ÎÁÛÅÊ ÎÁÕËÉ × ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÜÔÉÈ ÔÒÅÈ ÅÒÉÏÄÏ×. üÔÁ ÒÏÂÌÅÍÁ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ. õ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÎÁÓ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÍÎÅÎÉÅ Ï Ü×ÏÌÀ ÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ É Ï ×ÌÉÑÎÉÉ ÎÁ ÅÅ ÒÁÚ×ÉÔÉÅ ÏÔÄÅÌØÎÙÈ ÕÞÅÎÙÈ. òÁÚÎÙÅ ÌÀÄÉ ÎÁÚÏ×ÕÔ ÒÁÚÎÙÅ ÉÍÅÎÁ. îÏ ÞÉÓÌÏ ÎÁÚ×ÁÎÎÙÈ ÕÞÅÎÙÈ ÂÕÄÅÔ ÎÅ ÓÌÉÛËÏÍ ×ÅÌÉËÏ: ËÒÕÇ ÔÅÈ, ËÔÏ ÍÏÖÅÔ ÒÅÔÅÎÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÔÉÔÕÌ ËÒÕÎÅÊÛÅÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ Ó×ÏÅÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÕÚÏË. ñ ÎÁÚÏ×Õ ÔÒÉ ÉÍÅÎÉ: äÁ×ÉÄ çÉÌØÂÅÒÔ, áÎÄÒÅÊ îÉËÏÌÁÅ×ÉÞ ëÏÌÍÏÇÏÒÏ× É éÚÒÁÉÌØ íÏÉÓÅÅ×ÉÞ çÅÌØÆÁÎÄ. ä×ÁÄ ÁÔÙÊ ×ÅË ÒÉÎÅÓ ×ÅÌÉÞÁÊÛÉÅ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÑ × ÎÁÕËÅ. é × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÔÏÖÅ. áÄÁÍÁÒ, ó. âÅÒÎÛÔÅÊÎ, âÒÁÕÜÒ, á. ÷ÅÊÌØ, ç. ÷ÅÊÌØ, ÷ÉÎÅÒ, ÷ÉÎÏÇÒÁÄÏ×, ç£ÄÅÌØ, úÉÇÅÌØ, éÔÏ, á. ëÁÒÔÁÎ, ü. ëÁÒÔÁÎ, í. ëÒÅÊÎ, ìÅÂÅÇ, ìÅÒÅ, ÆÏÎ îÅÊÍÁÎ, ðÅÔÒÏ×ÓËÉÊ, ðÏÎÔÒÑÇÉÎ, õÉÔÎÉ, þÅÒÎ, ûÎÉÒÅÌØÍÁÎ. . . ñ ÎÁÚ×ÁÌ ÚÄÅÓØ ÌÉÛØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× ÏËÏÌÅÎÉÑ ÍÏÉÈ ÕÞÉÔÅÌÅÊ, ÒÏÄÉ×ÛÉÈÓÑ × ÄÅ×ÑÔÎÁÄ ÁÔÏÍ ×ÅËÅ É × ÅÒ×ÙÅ ÄÅÓÑÔÉÌÅÔÉÑ Ä×ÁÄ ÁÔÏÇÏ ×ÅËÁ, É ÈÏÒÏÛÏ ÏÓÏÚÎÁÀ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÓÉÓÏË ÎÅÏÌÏÎ. îÏ ×ÚÇÌÑÎÕ× ÎÁ ÎÅÇÏ, ËÁË ÎÅ ×ÏÓËÌÉËÎÕÔØ: ËÁËÉÅ ÉÍÅÎÁ! ËÁËÉÅ ÂÌÉÓÔÁÔÅÌØÎÙÅ Ú×£ÚÄÙ! é ×Ó£ ÖÅ ÄÌÑ ÍÅÎÑ ÔÒÉ ÉÍÅÎÉ × ÎÁÉÂÏÌØÛÅÊ ÍÅÒÅ ÓÉÍ×ÏÌÉÚÉÒÕÀÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ Ä×ÁÄ ÁÔÏÇÏ ×ÅËÁ (ðÕÁÎËÁÒÅ Ñ ÏÔÎÏÛÕ Ë ÄÅ×ÑÔÎÁÄ ÁÔÏÍÕ ×ÅËÕ) | çÉÌØÂÅÒÔÁ, ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Á É çÅÌØÆÁÎÄÁ.

éÚÒÁÉÌØ íÏÉÓÅÅ×ÉÞ çÅÌØÆÁÎÄ

9

******

öÉÚÎØ É Ô×ÏÒÞÅÓÔ×Ï é. í. çÅÌØÆÁÎÄÁ ×Ï ÍÎÏÇÉÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÈ ÂÅÓÒÅ ÅÄÅÎÔÎÙ. ñ ÈÏÔÅÌ ÂÙ ×ÙÄÅÌÉÔØ ÔÒÉ ÞÅÒÔÙ ÜÔÏÊ ÜËÓÔÒÁÏÒÄÉÎÁÒÎÏÓÔÉ. ÷ÓÅ ×ÅÌÉËÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÉÚ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÀ ÓÉÓËÁ ÚÁËÏÎÞÉÌÉ ÛËÏÌÙ, ×ÓÅ (ËÒÏÍÅ í. ç. ëÒÅÊÎÁ) ÕÞÉÌÉÓØ × ÒÅÓÔÉÖÎÙÈ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁÈ, Õ ÏÄÁ×ÌÑÀÝÅÇÏ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Á ÉÚ ÎÉÈ ÄÅÔÓÔ×Ï É ÀÎÏÓÔØ ÂÙÌÉ ×ÏÌÎÅ ÂÌÁÇÏÏÌÕÞÎÙÍÉ | ÏÂÅÓÅÞÅÎÎÙÅ ÒÏÄÉÔÅÌÉ, ÉÎÔÅÌÌÅËÔÕÁÌØÎÙÊ ËÒÕÇ ÏÂÝÅÎÉÑ, ÄÏÍÁÛÎÑÑ ÂÉÂÌÉÏÔÅËÁ. . . öÉÚÎØ çÅÌØÆÁÎÄÁ ÎÁÞÉÎÁÌÁÓØ Ï-ÉÎÏÍÕ. éÚÒÁÉÌØ íÏÉÓÅÅ×ÉÞ çÅÌØÆÁÎÄ ÒÏÄÉÌÓÑ 20 Á×ÇÕÓÔÁ (2 ÓÅÎÔÑÂÒÑ Ï ÎÏ×ÏÍÕ ÓÔÉÌÀ) 1913 ÇÏÄÁ × ÎÅÂÏÌØÛÏÍ ÏÓÅÌËÅ ëÒÁÓÎÙÅ ïËÎÙ (ÎÙÎÅ × ïÄÅÓÓËÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ × õËÒÁÉÎÅ). ÷ ÏÄÎÏÍ ÉÎÔÅÒ×ØÀ Ï Ó×ÏÅÍ ÄÅÔÓÔ×Å ÏÎ ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÌ ÔÁË: €ñ ÒÏÄÉÌÓÑ × ÍÁÌÅÎØËÏÍ ÇÏÒÏÄËÅ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÂÙÌÁ ÌÉÛØ ÏÄÎÁ ÛËÏÌÁ. íÏÊ ÕÞÉÔÅÌØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÂÙÌ ÏÞÅÎØ ÄÏÂÒÙÍ ÞÅÌÏ×ÅËÏÍ (ÅÇÏ ÆÁÍÉÌÉÑ ÂÙÌÁ ÉÔÏÒÅÎËÏ). ñ ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ×ÓÔÒÅÞÁÌ ÌÕÞÛÅÇÏ ÕÞÉÔÅÌÑ, ÈÏÔÑ Ñ ÚÎÁÌ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÏÎ, É ÏÎ ÏÓÏÚÎÁ×ÁÌ ÜÔÏ. ëÏÎÞÉÔØ ÛËÏÌÕ çÅÌØÆÁÎÄÕ ÎÅ ÄÏ×ÅÌÏÓØ. ÷ Ó×ÏÅÍ ÉÎÔÅÒ×ØÀ çÅÌØÆÁÎÄ Ï×ÅÄÁÌ Ï ÔÒÅÈ €ÓÞÁÓÔÌÉ×Ùȁ ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÓÔ×ÁÈ Ó×ÏÅÊ ÖÉÚÎÉ. ðÅÒ×ÏÅ ÉÚ ÎÉÈ ÓÏÓÔÏÑÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÅÍÕ ÎÅ ÒÉÛÌÏÓØ ËÏÎÞÁÔØ ÎÉ ÓÒÅÄÎÅÊ, ÎÉ ×ÙÓÛÅÊ ÛËÏÌÙ. ÷ÔÏÒÏÅ, | ÞÔÏ ÏÎ ÒÉÅÈÁÌ × íÏÓË×Õ ÛÅÓÔÎÁÄ ÁÔÉ Ó ÏÌÏ×ÉÎÏÊ ÌÅÔ. (üÔÏ ÓÌÕÞÉÌÏÓØ €× ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÔÒÕÄÎÏÓÔÅÊ, ×ÏÚÎÉËÛÉÈ × ÍÏÅÊ ÓÅÍØŁ; ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ×ÒÅÍÑ × íÏÓË×Å çÅÌØÆÁÎÄ ÂÙÌ ÂÅÚÒÁÂÏÔÎÙÍ.) á × Þ£Í ÖÅ ÓÏÓÔÏÑÌÏ ÔÒÅÔØÅ €ÓÞÁÓÔÌÉ×Ïe ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÓÔ×Ï × ÖÉÚÎÉ éÚÒÁÉÌÑ íÏÉÓÅÅ×ÉÞÁ? ÷ÏÔ, ÞÔÏ ÏÎ ÒÁÓÓËÁÚÁÌ: €íÏÉ ÒÏÄÉÔÅÌÉ ÎÅ ÉÍÅÌÉ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÏËÕÁÔØ ÍÎÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ËÎÉÇÉ | Õ ÎÉÈ ÎÅ ÂÙÌÏ ÓÒÅÄÓÔ× ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ. îÏ ÍÎÅ ÓÎÏ×Á Ï×ÅÚÌÏ. ëÏÇÄÁ ÍÎÅ ÂÙÌÏ 15 ÌÅÔ, ÒÏÄÉÔÅÌÉ Ï×ÅÚÌÉ ÍÅÎÑ × ïÄÅÓÓÕ ÄÅÌÁÔØ ÏÅÒÁ ÉÀ ÁÅÎÄÉ ÉÔÁ. ñ ÓËÁÚÁÌ, ÞÔÏ ÎÅ ÏÊÄÕ × ÇÏÓÉÔÁÌØ, ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÍÎÅ ÎÅ ËÕÑÔ ËÎÉÇÕ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËŁ. é ËÎÉÇÁ ÂÙÌÁ ËÕÌÅÎÁ. üÔÏ ÂÙÌ ÏÞÅÎØ ÏÒÄÉÎÁÒÎÙÊ ÕÞÅÂÎÉË Ï ÁÎÁÌÉÚÕ. îÏ ÏÎ ÒÁÄÉËÁÌØÎÏ ÉÚÍÅÎÉÌ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÑÔÎÁÄ ÁÔÉÌÅÔÎÅÇÏ ÀÎÏÛÉ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ. ðÅÒÅÄ ÔÅÍ ÏÎ ÄÕÍÁÌ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ Ä×Å ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ: ÁÌÇÅÂÒÁ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ. á ËÏÇÄÁ ÏÎ Õ×ÉÄÅÌ ÆÏÒÍÕÌÕ íÁËÌÏÒÅÎÁ, ÏÎ ÏÓÏÚÎÁÌ, ÞÔÏ ÍÅÖÄÕ ÜÔÉÍÉ ÎÁÕËÁÍÉ ÎÅÔ ÒÏÁÓÔÉ: €íÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÒÅÄÓÔÁÌÁ ÅÒÅÄÏ ÍÎÏÊ × Ó×ÏÅÍ ÅÄÉÎÓÔ×Å. é Ó ÔÏÊ ÏÒÙ Ñ ÏÎÑÌ, ÞÔÏ ÒÁÚÎÙÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÉÚÉËÏÊ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÅÄÉÎÏÅ ÅÌÏÅ. âÅÚ ÕÞÉÔÅÌÅÊ, ×ÄÁÌÉ ÏÔ ÒÏÄÎÏÇÏ ÄÏÍÁ, ÂÅÚ ÓÒÅÄÓÔ×, ÂÅÚÏ ×ÓÑËÏÊ ÏÄÄÅÒÖËÉ, × ×ÏÚÒÁÓÔÅ ÄÅ×ÑÔÎÁÄ ÁÔÉ ÌÅÔ ÏÎ ×ÏÛÅÌ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ ÎÁÓÔÏÌØËÏ, ÞÔÏ ÓÕÍÅÌ ÏÓÔÕÉÔØ × ÁÓÉÒÁÎÔÕÒÕ íÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ. åÇÏ ÒÕËÏ×ÏÄÉÔÅÌÅÍ ÓÔÁÌ áÎÄÒÅÊ îÉËÏÌÁÅ×ÉÞ ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×. ÷ 1935 ÇÏÄÕ çÅÌØÆÁÎÄ ÚÁÝÉÝÁÅÔ Ó×ÏÀ ËÁÎÄÉÄÁÔÓËÕÀ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÀ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÕÀ

10

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ ÎÙÎÅ, ËÁË ËÌÁÓÓÉËÁ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ. ó ÔÏÊ ÏÒÙ ÎÁÞÁÌÁÓØ ÅÇÏ ÂÌÉÓÔÁÔÅÌØÎÁÑ Ô×ÏÒÞÅÓËÁÑ ÖÉÚÎØ. ðÒÉÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÊ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔØÀ ÅÇÏ ÂÉÏÇÒÁÆÉÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏ, ÞÔÏ ÏÎ ÏÞÔÉ ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ÒÁÂÏÔÁÌ × ÏÄÉÎÏÞÅÓÔ×Å, Á ×ÓÅÇÄÁ ÓÏ Ó×ÏÉÍÉ ÓÔÕÄÅÎÔÁÍÉ, ÓÏÔÒÕÄÎÉËÁÍÉ É ËÏÌÌÅÇÁÍÉ. ÷ÏÔ ÄÁÌÅËÏ ÎÅÏÌÎÙÊ ÓÉÓÏË ÅÇÏ ÓÏÁ×ÔÏÒÏ× (ÓÏÈÒÁÎÑÑ ÒÉÍÅÒÎÙÊ ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÏÒÑÄÏË): ä. á. òÁÊËÏ×, ç. å. ûÉÌÏ×, í. á. îÁÊÍÁÒË, á. í. ñÇÌÏÍ, ó. ÷. æÏÍÉÎ, â. í. ìÅ×ÉÔÁÎ, ú. ñ. ûÁÉÒÏ (ÏÎÉ ÚÁ×ÅÒÛÉÌÉ Ó×ÏÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÄÏ ÷ÔÏÒÏÊ ÍÉÒÏ×ÏÊ ×ÏÊÎÙ), í. é. çÒÁÅ×, í. ì. ãÅÔÌÉÎ, ÷. â. ìÉÄÓËÉÊ, ì. á. äÉËÉÊ, ï. ÷. ìÏËÕ ÉÅ×ÓËÉÊ (ÕÞÉÌÉÓØ × ×ÏÅÎÎÙÅ É ÅÒ×ÙÅ ÏÓÌÅ×ÏÅÎÎÙÅ ÇÏÄÙ), æ. á. âÅÒÅÚÉÎ, é. é. ðÑÔÅ ËÉÊûÁÉÒÏ, ò. á. íÉÎÌÏÓ, á. ç. ëÏÓÔÀÞÅÎËÏ, î. î. þÅÎ Ï×, á. í. ÷ÅÒÛÉË, á. á. ëÉÒÉÌÌÏ×, à. é. íÁÎÉÎ, ó. ç. çÉÎÄÉËÉÎ, ä. â. æÕËÓ (ÂÙÌÉ ÓÔÕÄÅÎÔÁÍÉ × ÑÔÉÄÅÓÑÔÙÅ ÇÏÄÙ), é. î. âÅÒÎÛÔÅÊÎ, ä. á. ëÁÖÄÁÎ, á. í. çÁÂÒÉÜÌÏ× | × ÛÅÓÔÉÄÅÓÑÔÙÅ, ÷. á. ÷ÁÓÉÌØÅ×, á. î. ÷ÁÒÞÅÎËÏ, á. â. çÏÎÞÁÒÏ×, é. ñ. äÏÒÆÍÁÎ, á. ÷. úÅÌÅ×ÉÎÓËÉÊ, í. í. ëÁÒÁÎÏ×, ÷. ó. òÅÔÁÈ, ÷. ÷. óÅÒÇÁÎÏ×Á, â. ì. æÅÊÇÉÎ | × ÓÅÍÉÄÅÓÑÔÙÅ ÇÏÄÙ. ÷ÓÅÈ ÉÈ Ñ ÏÔÎÏÛÕ Ë ÌÉÄÅÒÁÍ Ó×ÏÉÈ ÏËÏÌÅÎÉÊ. þÔÏ Ñ ×ËÌÁÄÙ×ÁÀ × ÜÔÏ ÏÎÑÔÉÅ? åÓÌÉ ÓÒÏÓÉÔØ ×ÙÕÓËÎÉËÁ ÍÅÈÍÁÔÁ íçõ: €ëÔÏ ÕÞÉÌÓÑ ÎÁ Ô×ÏÅÍ ËÕÒÓÅ?, ÂÕÄÅÔ ÎÁÚ×ÁÎÏ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÉÍÅÎ, ÎÏ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ×ÓÅÇÄÁ ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅËÏÅ €ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÅ ÑÄÒρ. ÷ÏÔ ÅÇÏ-ÔÏ Ñ É ÏÔÎÏÛÕ Ë ÞÉÓÌÕ ÌÉÄÅÒÏ× Ó×ÏÅÇÏ ÏËÏÌÅÎÉÑ. ðÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ×ÓÅ × ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÍ ×ÙÛÅ ÓÉÓËÅ ÓÏÁ×ÔÏÒÏ× çÅÌØÆÁÎÄÁ ×ÈÏÄÑÔ × ÜÔÏ €ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÅ ÑÄÒρ. (îÕÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ ÅÝÅ, ÞÔÏ × ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÇÏÄÙ Õ éÚÒÁÉÌÑ íÏÉÓÅÅ×ÉÞÁ ÏÑ×ÉÌÏÓØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÏÁ×ÔÏÒÏ× ÉÚ ÄÒÕÇÉÈ ÓÔÒÁÎ.) çÌÑÄÑ ÎÁ ÆÁÍÉÌÉÉ ÓÏÁ×ÔÏÒÏ×, ÏÒÏÂÕÅÍ ×ÙÄÅÌÉÔØ Ô×ÏÒÞÅÓËÉÅ ÅÒÉÏÄÙ çÅÌØÆÁÎÄÁ. ðÅÒ×ÙÊ ÅÒÉÏÄ (Ñ ÕÏÍÉÎÁÌ Ï ÎÅÍ) ÎÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ × ÓÉÓËÅ | ÒÁÂÏÔÙ × ÏÂÌÁÓÔÉ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ ÂÙÌÉ ÎÁÉÓÁÎÙ ÂÅÚ ÓÏÁ×ÔÏÒÏ×. ðÅÒ×ÙÍ ÓÏÁ×ÔÏÒÏÍ çÅÌØÆÁÎÄÁ ÂÙÌ ÎÅ ËÔÏ ÉÎÏÊ, ËÁË áÎÄÒÅÊ îÉËÏÌÁÅ×ÉÞ ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×. ðÏ ÓÕÔÉ ÄÅÌÁ ÜÔÏ ÂÙÌÁ ÅÒ×ÁÑ ÒÁÂÏÔÁ Ï ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ËÏÌØ ÁÍ (ÉÌÉ Ï-ÎÙÎÅÛÎÅÍÕ | ÂÁÎÁÈÏ×ÙÍ ÁÌÇÅÂÒÁÍ). üÔÏÔ ÉËÌ ÚÁ×ÅÒÛÉÌÓÑ ÍÏÎÏÇÒÁÆÉÅÊ ÔÒÅÈ Á×ÔÏÒÏ× (çÅÌØÆÁÎÄÁ, òÁÊËÏ×Á É ûÉÌÏ×Á) ÏÄ ÎÁÚ×ÁÎÉÅÍ €îÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ËÏÌØ Á, ËÏÔÏÒÁÑ ÓÏ×ÅÒÛÉÌÁ ÅÒÅ×ÏÒÏÔ ×Ï ×Ó£Í ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÍ ÁÎÁÌÉÚÅ. ÷ ×ÏÅÎÎÙÅ ÇÏÄÙ éÚÒÁÉÌØ íÏÉÓÅÅ×ÉÞ ÏÂÒÁÔÉÌÓÑ Ë ÔÅÏÒÉÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÊ. üÔÏ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÚÁÎÉÍÁÅÔ ÏÄÎÏ ÉÚ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÍÅÓÔ ×Ï ×ÓÅÊ ÎÁÕÞÎÏÊ ÂÉÏÇÒÁÆÉÉ çÅÌØÆÁÎÄÁ. ÷ ÑÔÉÄÅÓÑÔÙÅ ÇÏÄÙ ÓÆÅÒÁ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ éÚÒÁÉÌÑ íÏÉÓÅÅ×ÉÞÁ ÒÅÚËÏ ÒÁÓÛÉÒÑÅÔÓÑ. üÔÏ É ÏÂÏÂÝÅÎÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ, É ÏÂÒÁÔÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ, É ÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ, É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÆÉÚÉËÁ, É ÓÌÕÞÁÊÎÙÅ ÒÏ ÅÓÓÙ. . . ÷ ÜÔÉ ÇÏÄÙ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ ÒÁÂÏÔÁ ÎÁÄ ÍÏÎÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÊ ÓÅÒÉÅÊ €ïÂÏÂÝÅÎÎÙÅ ÆÕÎË ÉɁ. ïÎÁ ÓÙÇÒÁÌÁ ×ÙÄÁÀÝÕÀÓÑ ÒÏÌØ × ÒÁÚ×ÉÔÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ Ä×ÁÄ ÁÔÏÇÏ

éÚÒÁÉÌØ íÏÉÓÅÅ×ÉÞ çÅÌØÆÁÎÄ

11

ÓÔÏÌÅÔÉÑ. äÁÌÅÅ ÛÌÁ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ, ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÅ ÁÌÇÅÂÒÙ ìÉ, ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÙÅ ÓÉÓÔÅÍÙ. úÁÔÅÍ | ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ, ÔÅÏÒÉÑ ÇÉÅÒÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ, ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ. é ×Ó£ ÜÔÏ × ÏÄÎÏÊ ÌÉÛØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ. îÏ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÛÅÓÔÉÄÅÓÑÔÙÈ ÇÏÄÏ×, çÅÌØÆÁÎÄ ËÏÎ ÅÎÔÒÉÒÕÅÔ ÔÉÔÁÎÉÞÅÓËÉÅ ÕÓÉÌÉÑ ÎÁ ÒÏÂÌÅÍÁÈ ÂÉÏÌÏÇÉÉ (ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÄÉÁÇÎÏÓÔÉËÁ, ÔÅÏÒÉÑ Ä×ÉÖÅÎÉÑ, ÂÉÏÌÏÇÉÑ ËÌÅÔËÉ). ñ ÓÌÙÛÁÌ, ÞÔÏ çÅÌØÆÁÎÄÁ ËÁË-ÔÏ ÓÒÏÓÉÌ ÏÄÉÎ ÉÚ ÂÉÏÌÏÇÏ×: €îÅ ÉÍÅÅÔÅ ÌÉ ÷Ù ËÁËÏÇÏ-ÌÉÂÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ Ë ÉÚ×ÅÓÔÎÏÍÕ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ çÅÌØÆÁÎÄÕ? îÅÌÅÇËÏ ÎÁÚ×ÁÔØ ÔÕ ÉÚ ÏÔÒÁÓÌÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ × ÓÅË ÉÑÈ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ëÏÎÇÒÅÓÓÏ× (ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ, ÏÖÁÌÕÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÌÏÇÉËÉ), × ËÏÔÏÒÙÅ çÅÌØÆÁÎÄ ÎÅ ×ÎÅÓ ÂÙ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÏÇÏ ×ËÌÁÄÁ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÏÎ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÓÅÍÉÒÎÏ ÒÉÚÎÁÎÎÙÍ ÍÉÒÏ×ÙÍ ÌÉÄÅÒÏÍ × ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÍ ÁÎÁÌÉÚÅ, ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÕ ìÉ É ÔÅÏÒÉÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÊ. îÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÎÅ ÏÔÍÅÔÉÔØ ÅÇÏ ×ËÌÁÄ × ÁÌÇÅÂÒÕ, ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ, ÔÏÏÌÏÇÉÀ, ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÕÀ ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ, ÔÅÏÒÉÀ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÕÀ ÆÉÚÉËÕ, ÞÉÓÌÅÎÎÙÊ ÁÎÁÌÉÚ, ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ Ë ÎÅÆÉÚÉÞÅÓËÉÍ ÎÁÕËÁÍ. ÁËÁÑ ÛÉÒÏÔÁ ÏÞÔÉ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÒÉÍÅÒÏ× × ÎÁÛÅÊ ÎÁÕËÅ. ÁË ×ÏÔ, ×ÔÏÒÁÑ ÎÅÏÂÙÞÁÊÎÏÓÔØ Ô×ÏÒÞÅÓÔ×Á çÅÌØÆÁÎÄÁ | ÅÇÏ ÏÒÁÚÉÔÅÌØÎÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔÏÒÏÎÎÏÓÔØ, ÓÏÅÄÉÎÅÎÎÁÑ Ó ÔÅÍ (Ï ÜÔÏÍ ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ), ÞÔÏ ÏÎ ÓÏÔÒÕÄÎÉÞÁÌ É ÓÏÔÒÕÄÎÉÞÁÅÔ (ÚÁÎÉÍÁÑ ÏÚÉ ÉÀ ÌÉÄÅÒÁ) Ó ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÑÍÉ ÍÎÏÇÉÈ ÏËÏÌÅÎÉÊ. ÷ÏÚÒÁÓÔÎÏÊ ÄÉÁÁÚÏÎ ÓÏÁ×ÔÏÒÏ× çÅÌØÆÁÎÄÁ ×ÏÏÂÝÅ ÕÍÏÏÍÒÁÞÉÔÅÌÅÎ: ÄÉÓÔÁÎ ÉÑ ÍÅÖÄÕ ÇÏÄÁÍÉ ÒÏÖÄÅÎÉÑ ÓÔÁÒÛÅÇÏ É ÍÌÁÄÛÅÇÏ ÉÚ ÓÏÁ×ÔÏÒÏ× çÅÌØÆÁÎÄÁ ×ÏÓÅÍØÄÅÓÑÔ ÌÅÔ! á ÅÝÅ ÏÄÎÁ ÎÅÓÒÁ×ÎÅÎÎÁÑ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔØ ÇÅÌØÆÁÎÄÏ×ÓËÏÊ ÖÉÚÎÉ × ÎÁÕËÅ | ÜÔÏ ÅÇÏ ÎÅ×ÅÒÏÑÔÎÏÅ ÄÏÌÇÏÌÅÔÉÅ: × ÜÔÏÍ ÇÏÄÕ ÉÓÏÌÎÑÅÔÓÑ ÓÅÍØÄÅÓÑÔ ÌÅÔ ÅÇÏ ÎÁÕÞÎÏÇÏ Ô×ÏÒÞÅÓÔ×Á ÎÁ ÕÒÏ×ÎÅ ×ÙÓÛÉÈ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÊ. ëÁË ÒÁ×ÉÌÏ, Ô×ÏÒÞÅÓËÉÊ ÏÔÅÎ ÉÁÌ ÕÞÅÎÏÇÏ ÏÄÈÏÄÉÔ Ë ËÏÎ Õ, ËÏÇÄÁ ÅÍÕ ÉÓÏÌÎÑÅÔÓÑ 60 ÌÅÔ, Á ÉÎÔÅÎÓÉ×ÎÁÑ Ô×ÏÒÞÅÓËÁÑ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔØ ÄÌÉÔÓÑ Ä×Á, ÔÒÉ, ÒÅÄËÏ ÞÅÔÙÒÅ ÄÅÓÑÔÉÌÅÔÉÑ. îÁÕÞÎÁÑ ÂÉÏÇÒÁÆÉÑ çÅÌØÆÁÎÄÁ ÄÌÉÔÓÑ ÓÅÍØÄÅÓÑÔ ÌÅÔ! ðÏÍÉÍÏ Ô×ÏÒÞÅÓÔ×Á, ÏÂÒÁÝÅÎÎÏÇÏ ËÏ ×ÓÅÍÕ þÅÌÏ×ÅÞÅÓÔ×Õ, éÚÒÁÉÌØ íÏÉÓÅÅ×ÉÞ ÉÍÅÅÔ ÏÇÒÏÍÎÙÅ ÚÁÓÌÕÇÉ × ÏÂÌÁÓÔÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÑ × ÎÁÛÅÊ ÓÔÒÁÎÅ. óÅÍØÄÅÓÑÔ ÌÅÔ ÔÏÍÕ ÎÁÚÁÄ ÂÙÌ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎ ÚÎÁÍÅÎÉÔÙÊ €ÓÅÍÉÎÁÒ çÅÌØÆÁÎÄÁ, ÏÄÉÎ ÉÚ ÓÁÍÙÈ ÌÏÄÏÔ×ÏÒÎÙÈ ÎÁÕÞÎÙÈ ÓÅÍÉÎÁÒÏ× × ÉÓÔÏÒÉÉ ÎÁÕËÉ. íÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÞÕÔØ ÂÏÌÅÅ ÓÔÁÒÛÅÇÏ, ÞÅÍ ÍÏÅÇÏ, ÏËÏÌÅÎÉÑ Ó ×ÏÓÔÏÒÇÏÍ É ×ÏÓÈÉÝÅÎÉÅÍ ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÌÉ Ï çÅÌØÆÁÎÄÅ-ÌÅËÔÏÒÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ËÕÒÓÏ× (ÍÎÏÇÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÌÉ ÅÇÏ ÌÕÞÛÉÍ, ÓÒÅÄÉ ×ÓÅÈ, ËÏÇÏ ÉÍ ÄÏ×ÏÄÉÌÏÓØ ÓÌÕÛÁÔØ). çÅÌØÆÁÎÄ ÂÙÌ ÓÒÅÄÉ ÏÓÎÏ×ÁÔÅÌÅÊ ÛËÏÌØÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ËÒÕÖËÏ× ÒÉ íÏÓËÏ×ÓËÏÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ. ïÎ ÏÓÎÏ×ÁÌ úÁÏÞÎÕÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÕÀ ÛËÏÌÕ.

12

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

é ÅÝÅ Ï ÏÄÎÏÍ ÎÅÌØÚÑ ÚÁÂÙ×ÁÔØ É ÎÅÌØÚÑ ÎÅ ÓËÁÚÁÔØ: éÚÒÁÉÌØ íÏÉÓÅÅ×ÉÞ ÏÞÅÎØ ÍÎÏÇÏ ÄÅÌÁÌ É ÄÅÌÁÅÔ ÄÌÑ ÌÀÄÅÊ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÍÎÏÇÉÅ ÏÂÑÚÁÎÙ ÅÍÕ Ó×ÏÅÊ ÖÉÚÎØÀ. îÏ ÜÔÏ | ÏÔÄÅÌØÎÁÑ ÔÅÍÁ. ******

÷ ÜÔÏÍ ÇÏÄÕ Ó 31 Á×ÇÕÓÔÁ Ï 4 ÓÅÎÔÑÂÒÑ × óûá ÓÏÓÔÏÑÌÁÓØ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÑ \The Unity Ïf Mathemati s", ÒÉÕÒÏÞÅÎÎÁÑ Ë ÄÅ×ÑÎÏÓÔÏÌÅÔÉÀ é. í. çÅÌØÆÁÎÄÁ. éÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ëÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ Ñ ÏÓÔÁ×ÌÑÀ ÂÅÚ ËÏÍÍÅÎÔÁÒÉÅ×. îÁ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ ×ÙÓÔÕÉÌÉ Ó ÄÏËÌÁÄÁÍÉ ä. ëÁÖÄÁÎ, ò. äÉÊËÇÒÁÁÆ, á. âÅÊÌÉÎÓÏÎ, ÷. äÒÉÎÆÅÌØÄ, ç. ìÀÓÔÉÇ, í. áÔØÑ, ë. ÷ÁÆÁ, á. ëÏÎÎ, á. û×ÁÒ , . óÅÊÂÅÒÇ, ó.-. ñÏ, ä. íÁËäÁÆÆ, î. îÅËÒÁÓÏ×, ì. æÁÄÄÅÅ×, í. èÏËÉÎÓ, í. ëÏÎ Å×ÉÞ, ó. îÏ×ÉËÏ×, é. úÉÎÇÅÒ, ð. óÁÒÎÁË, â. ëÏÓÔÁÎÔ, ä. çÅÊÔÓÇÏÒÉ, á. ÷ÅÒÛÉË, é. âÅÒÎÛÔÅÊÎ. îÁ ÜÔÏÊ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ 2 ÓÅÎÔÑÂÒÑ, × ÄÅÎØ Ó×ÏÅÇÏ ÄÅ×ÑÎÏÓÔÏÌÅÔÉÑ, ×ÙÓÔÕÉÌ Ó ÄÏËÌÁÄÏÍ É ÓÁÍ ÀÂÉÌÑÒ. åÇÏ ÄÏËÌÁÄ ÎÁÚÙ×ÁÌÓÑ \Mathemati s as an adequate language". ÷ÏÔ ÌÁÎ ÜÔÏÇÏ ÄÏËÌÁÄÁ: 0. Introdu tion. 1. Non ommutative Multipli ation. 2. Addition and Multipli ation. 3. Geometry. 4. Fourier Transform, Analiti Fun tionals, and Hypergeometri Fun tions. 5. Applied Mathemati s, Blow-up and PDE's. (ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × ÄÏËÌÁÄÅ ÏÔÒÁÖÅÎÙ ÓÕÅÒÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÅ ÁÌÇÅÂÒÁ, ÔÅÏÒÉÑ ÞÉÓÅÌ, ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ, ÁÎÁÌÉÚ É ÒÉËÌÁÄÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ.) ÷ÏÔ ÎÅÂÏÌØÛÏÊ ÏÔÒÙ×ÏË ÉÚ ××ÅÄÅÎÉÑ Ë ÄÏËÌÁÄÕ: €ñ ÎÅ ÏÝÕÝÁÀ ÓÅÂÑ ÒÏÒÏËÏÍ. ñ ÌÉÛØ ÕÞÅÎÉË (I do not onsider myself a prophet. I am simply a student.) ÷ÓÀ ÖÉÚÎØ Ñ ÕÞÉÌÓÑ Õ ×ÅÌÉËÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×, ÔÁËÉÈ ËÁË üÊÌÅÒ ÉÌÉ çÁÕÓÓ, Õ ÍÏÉÈ ÓÔÁÒÛÉÈ É ÍÌÁÄÛÉÈ ËÏÌÌÅÇ, Õ ÍÏÉÈ ÄÒÕÚÅÊ É ÓÏÔÒÕÄÎÉËÏ×, ÎÏ ÂÏÌÅÅ ×ÓÅÇÏ (most importantly) Õ ÍÏÉÈ ÕÞÅÎÉËÏ×. ÷ ÜÔÏÍ ÍÏÊ ÕÔØ ÒÏÄÏÌÖÁÔØ Ó×ÏÊ ÔÒÕā. ÒÕÄ ×Ï ÂÌÁÇÏ þÅÌÏ×ÅÞÅÓÔ×Á, ×Ï ÂÌÁÇÏ ×ÓÅÈ ÎÁÓ ÒÏÄÏÌÖÁÅÔÓÑ. ðÏÚÄÒÁ×ÉÍ ÖÅ ÀÂÉÌÑÒÁ, ÏÖÅÌÁÅÍ ÅÍÕ ÚÄÏÒÏ×ØÑ, ÓÉÌ É ÄÁÌØÎÅÊÛÉÈ ÕÓÅÈÏ× É ÏÂÌÁÇÏÄÁÒÉÍ ÅÇÏ ÚÁ ÓÞÁÓÔØÅ ÂÙÔØ ÅÇÏ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÉËÁÍÉ.

13

òÅÞØ é. í. çÅÌØÆÁÎÄÁ ÎÁ ×ÅÞÅÒÅ × Royal East Resear h 3 ÓÅÎÔÑÂÒÑ 2003 Ç.

íÎÅ ÒÉÑÔÎÏ ×ÉÄÅÔØ ×ÓÅÈ ×ÁÓ. íÎÅ ÚÁÄÁ×ÁÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÏÒÏÓÏ×. ñ ÏÓÔÁÒÁÀÓØ ÏÔ×ÅÔÉÔØ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÎÉÈ. ðÅÒ×ÙÊ ×ÏÒÏÓ: ËÁË ÜÔÏ Ñ × ÍÏÉ ÇÏÄÙ ÍÏÇÕ ÒÁÂÏÔÁÔØ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ? ÷ÔÏÒÏÊ: ÞÔÏ ÎÁÍ ÎÁÄÏ ÄÅÌÁÔØ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ? é ÔÒÅÔÉÊ: ËÁËÏ×Ï ÂÕÄÕÝÅÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ? üÔÉ ×ÏÒÏÓÙ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÍÎÅ ÓÌÉÛËÏÍ ÞÁÓÔÎÙÍÉ. ÷ÍÅÓÔÏ ÎÉÈ Ñ ÏÔ×ÅÞÕ ÎÁ ÍÏÊ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ×ÏÒÏÓ: ÞÔÏ ÅÓÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ? (óÍÅÅÔÓÑ.) îÁÞÎÅÍ Ó ÜÔÏÇÏ ×ÏÒÏÓÁ: ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ? ó ÍÏÅÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ | ÜÔÏ ÞÁÓÔØ ËÕÌØÔÕÒÙ, ËÁË ÍÕÚÙËÁ, ÏÜÚÉÑ É ÆÉÌÏÓÏÆÉÑ. ñ ÓËÁÚÁÌ Ï ÜÔÏÍ × ÍÏÅÊ ÌÅË ÉÉ ÎÁ ëÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ. ÁÍ Ñ ÕÏÍÑÎÕÌ Ï Ó×ÑÚÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÓÔÉÌÑ É ÓÔÉÌÑ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÍÕÚÙËÉ ÉÌÉ ÏÜÚÉÉ. ñ ÂÙÌ ÓÞÁÓÔÌÉ×, ËÏÇÄÁ ÎÁÛÅÌ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÞÅÔÙÒÅ ÏÂÝÉÈ ÞÅÒÔÙ: ÜÔÏ | ËÒÁÓÏÔÁ, ÒÏÓÔÏÔÁ, ÔÏÞÎÏÓÔØ É ÂÅÚÕÍÓÔ×Ï ÉÄÅÊ ( razy ideas). ÷ ËÏÍÂÉÎÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÜÔÉÈ ÞÅÔÙÒÅÈ ÓÕÝÎÏÓÔÅÊ | ËÒÁÓÏÔÙ, ÒÏÓÔÏÔÙ, ÔÏÞÎÏÓÔÉ É ÂÅÚÕÍÓÔ×Á ÉÄÅÊ | ÓÅÒÄ Å ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÓÅÒÄ Å ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÍÕÚÙËÉ. ëÌÁÓÓÉÞÅÓËÁÑ ÍÕÚÙËÁ | ÜÔÏ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÍÕÚÙËÁ íÏ ÁÒÔÁ, ÉÌÉ âÁÈÁ, ÉÌÉ âÅÔÈÏ×ÅÎÁ. üÔÏ ÔÁËÖÅ ÍÕÚÙËÁ ûÏÓÔÁËÏ×ÉÞÁ, ûÎÉÔËÅ, û£ÎÂÅÒÇÁ (ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ Ñ ÚÎÁÀ ÍÅÎØÛÅ). ÷Ó£ ÜÔÏ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÁÑ ÍÕÚÙËÁ. é Ñ ÄÕÍÁÀ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÜÔÉ ÞÅÔÙÒÅ ÞÅÒÔÙ ×ÓÅÇÄÁ ÓÏÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ × ÎÅÊ. ðÏ ÜÔÏÊ ÒÉÞÉÎÅ, ËÁË Ñ ÓÔÁÒÁÌÓÑ ÏÂßÑÓÎÉÔØ × ÍÏÅÊ ÌÅË ÉÉ, ÜÔÏ ÎÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÔÏ ÖÅ, ÞÔÏ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÁÑ ÍÕÚÙËÁ. ïÎÉ ÓÈÏÄÎÙ Ï ÓÔÉÌÀ Ó×ÏÅÊ ÆÉÌÏÓÏÆÓËÏÊ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ. åÓÔØ ÅÝÅ ÏÄÎÁ ÞÅÒÔÁ ÓÈÏÄÓÔ×Á ÍÅÖÄÕ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ, ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÍÕÚÙËÏÊ, ÏÜÚÉÅÊ É Ô. . ÷ÓÅ ÏÎÉ ÓÕÔØ ÑÚÙËÉ, Ó ÏÍÏÝØÀ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÏÖÎÏ ÏÎÉÍÁÔØ ÍÎÏÇÉÅ ×ÅÝÉ. îÁÒÉÍÅÒ, × ÍÏÅÊ ÌÅË ÉÉ Ñ ÜÔÏ ÏÂßÑÓÎÑÌ, ÞÅÇÏ ÎÅ ÂÕÄÕ ÄÅÌÁÔØ ÚÄÅÓØ, ÎÏ Ñ ÚÎÁÀ ÏÔ×ÅÔ: ÏÞÅÍÕ ÇÒÅÞÅÓËÉÅ ÆÉÌÏÓÏÆÙ ÉÚÕÞÁÌÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ? ïÎÉ ÂÙÌÉ ÆÉÌÏÓÏÆÁÍÉ. ïÎÉ ÕÞÉÌÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ, ËÁË ÆÉÌÏÓÏÆÉÀ. ÷ÅÌÉËÉÅ ÇÅÏÍÅÔÒÙ ÓÌÅÄÏ×ÁÌÉ É ÓÌÅÄÕÀÔ ×Ó£ ÔÏÊ ÖÅ ÔÒÁÄÉ ÉÉ ÒÅÏÄÏÌÅÔØ ÒÁÚÒÙ× ÍÅÖÄÕ ×ÉÄÉÍÙÍ É ÓÕÝÎÏÓÔØÀ. îÁÒÉÍÅÒ, ÒÁÂÏÔÙ å×ËÌÉÄÁ ÉÓÞÅÒÙ×ÁÌÉ ÜÔÕ ÔÅÍÕ ÄÌÑ Ó×ÏÅÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ. îÏ ÜÔÏ | ÄÒÕÇÁÑ ÔÅÍÁ. ÷ÁÖÎÁÑ ÞÅÒÔÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÄÅË×ÁÔÎÙÍ ÑÚÙËÏÍ ÍÎÏÇÉÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÏÂÌÁÓÔÅÊ: ÆÉÚÉËÉ, ÉÎÖÅÎÅÒÉÉ, ÂÉÏÌÏÇÉÉ. üÔÏ ÏÞÅÎØ ×ÁÖÎÏÅ ÏÎÑÔÉÅ: ÁÄÅË×ÁÔÎÙÊ ÑÚÙË. óÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ

14

ÁÄÅË×ÁÔÎÙÅ É ÎÅÁÄÅË×ÁÔÎÙÅ ÑÚÙËÉ. ñ ÍÏÇÕ ÄÁÔØ ×ÁÍ ÒÉÍÅÒÙ ÁÄÅË×ÁÔÎÙÈ É ÎÅÁÄÅË×ÁÔÎÙÈ ÑÚÙËÏ×. îÁÒÉÍÅÒ, ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÍÅÔÏÄÙ ÍÅÈÁÎÉËÉ × ÂÉÏÌÏÇÉÉ | ÎÅÁÄÅË×ÁÔÎÙÊ ÑÚÙË, ÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÒÉ ÉÚÕÞÅÎÉÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÇÅÎÏ× | ÁÄÅË×ÁÔÎÙÊ ÑÚÙË. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÑÚÙË ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÔØ ÍÎÏÇÉÅ ×ÅÝÉ. îÏ ÜÔÏ | ÓÅÒØÅÚÎÙÊ ×ÏÒÏÓ, É Ñ ÎÅ ÈÏÞÕ ×ÈÏÄÉÔØ × ÄÅÔÁÌÉ. ðÏÞÅÍÕ ÜÔÁ ÔÅÍÁ ×ÁÖÎÁ ÓÅÊÞÁÓ? ïÎÁ ×ÁÖÎÁ ÏÔÏÍÕ, ÞÔÏ × ÎÁÛÅ ×ÒÅÍÑ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ €ÅÒÅÓÔÒÏÊËÁ. óÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ËÏÍØÀÔÅÒÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÇÕÔ ÄÅÌÁÔØ ×Ó£. íÙ ÎÅ ÏÂÑÚÁÎÙ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ Ä×ÕÍÑ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ | ÓÌÏÖÅÎÉÅÍ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ. õ ÎÁÓ ÉÍÅÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÒÅÄÓÔ×. ñ Õ×ÅÒÅÎ, ÞÔÏ ÞÅÒÅÚ 10 { 15 ÌÅÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÂÕÄÅÔ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÏÔÌÉÞÎÁ ÏÔ ÔÏÊ, ÞÔÏ ÂÙÌÁ ÒÁÎØÛÅ. óÌÅÄÕÀÝÉÊ ×ÏÒÏÓ: ëÁË Ñ ÍÏÇÕ ÒÁÂÏÔÁÔØ × ÍÏÉ ÇÏÄÙ. ïÔ×ÅÔ ÏÞÅÎØ ÒÏÓÔ. ñ ÎÅ ×ÅÌÉËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË. ñ ÇÏ×ÏÒÀ ÓÅÒØÅÚÎÏ. ñ ÒÏÓÔÏ ÕÞÅÎÉË, ×ÓÀ ÍÏÀ ÖÉÚÎØ. ó ÓÁÍÏÇÏ ÎÁÞÁÌÁ ÍÏÅÊ ÖÉÚÎÉ Ñ ÓÔÁÒÁÌÓÑ ÕÞÉÔØÓÑ. é ÎÁÒÉÍÅÒ, ÓÅÊÞÁÓ, ÓÌÕÛÁÑ ÄÏËÌÁÄÙ É ÞÉÔÁÑ ÔÅÚÉÓÙ ÜÔÏÊ ëÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ, Ñ ÏÂÎÁÒÕÖÉ×ÁÀ, ËÁË ÍÎÏÇÏÇÏ Ñ ÅÝÅ ÎÅ ÚÎÁÀ É ÄÏÌÖÅÎ ÕÚÎÁÔØ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Ñ ÕÞÕÓØ ×ÓÀ ÖÉÚÎØ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ Ñ ÕÞÅÎÉË. é ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ÂÙÌ €×ÏÖÄǺ. íÎÅ ÈÏÞÅÔÓÑ ÎÁÚ×ÁÔØ ÍÏÉÈ ÕÞÉÔÅÌÅÊ. ñ ÎÅ ÍÏÇÕ ÎÁÚ×ÁÔØ ÉÈ ×ÓÅÈ, ÉÈ ÂÙÌÏ ÓÌÉÛËÏÍ ÍÎÏÇÏ. ëÏÇÄÁ Ñ ÂÙÌ ÍÏÌÏÄ, É ÍÎÅ ÂÙÌÏ 15 { 16 ÌÅÔ, Ñ ÎÁÞÁÌ ÉÚÕÞÁÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ. õ ÍÅÎÑ ÎÅÔ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ: Ñ ÎÅ ËÏÎÞÁÌ ÎÉËÁËÏÇÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ. ñ €ÅÒÅÒÙÇÎṌ ÞÅÒÅÚ ÜÔÏ. ÷ 19 ÌÅÔ Ñ ÓÔÁÌ ÁÓÉÒÁÎÔÏÍ É ÕÞÉÌÓÑ Õ ÍÏÉÈ ÓÔÁÒÛÉÈ ËÏÌÌÅÇ. ÷ ÜÔÏÔ ÅÒÉÏÄ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ×ÁÖÎÙÈ ÍÏÉÈ ÕÞÉÔÅÌÅÊ ÂÙÌ ûÎÉÒÅÌØÍÁÎ | ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÇÅÎÉÊ, ÕÍÅÒÛÉÊ ÍÏÌÏÄÙÍ. úÁÔÅÍ ÂÙÌÉ ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×, ìÁ×ÒÅÎÔØÅ×, ðÌÅÓÎÅÒ, ðÅÔÒÏ×ÓËÉÊ, ðÏÎÔÒÑÇÉÎ, ÷ÉÎÏÇÒÁÄÏ×, ìÀÓÔÅÒÎÉË. ïÎÉ ÂÙÌÉ ÒÁÚÎÙÍÉ. îÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÚ ÎÉÈ Ñ ÌÀÂÉÌ, ÒÏ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÚ ÎÉÈ Ñ ÚÎÁÌ, ËÁË ÏÎÉ ÈÏÒÏÛÉ, ÎÏ Ñ ÎÅ ÂÙÌ ÓÏÇÌÁÓÅÎ Ó ÉÈ, ËÁË ÂÙ ÜÔÏ ÓËÁÚÁÔØ ÏÍÑÇÞÅ, ÔÏÞËÁÍÉ ÚÒÅÎÉÑ. (óÍÅÅÔÓÑ.) îÏ ×ÓÅ ÏÎÉ | ×ÅÌÉËÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ñ ÂÌÁÇÏÄÁÒÅÎ ÉÍ ×ÓÅÍ, Ñ ÍÎÏÇÏÅ ×ÏÓÒÉÎÑÌ ÏÔ ÎÉÈ. á × ËÏÎ Å Ñ ÈÏÞÕ ÒÉ×ÅÓÔÉ ÄÌÑ ×ÁÓ ÒÉÍÅÒ ËÏÒÏÔËÏÇÏ ÎÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÓÏÞÅÔÁÀÔÓÑ ÒÏÓÔÏÔÁ, ÔÏÞÎÏÓÔØ, ËÒÁÓÏÔÁ É ×Ó£ ÄÒÕÇÏÅ, Ï Þ£Í Ñ ÇÏ×ÏÒÉÌ. üÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ îÏÂÅÌÅ×ÓËÏÍÕ ÌÁÕÒÅÁÔÕ éÓÁÁËÕ âÁÛÅ×ÉÓÕ úÉÎÇÅÒÕ. ðÕÓÔØ ÍÏÑ ÄÏÞØ ÒÏÞÔÅÔ ÅÇÏ. \There will be no justi e as long as man will stand with a knife or with a gun and destroy those who are weaker than he is."

15

ðÁÍÑÔÉ ú. á. óËÏÅ Á

â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄ

å. í. üÌØËÉÎÁ

÷ 2004 ÇÏÄÕ ÉÓÏÌÎÑÅÔÓÑ 20 ÌÅÔ ÓÏ ÄÎÑ ÓÍÅÒÔÉ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÇÅÏÍÅÔÒÁ, ÒÏÆÅÓÓÏÒÁ ñÒÏÓÌÁ×ÓËÏÇÏ ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÏÇÏ ÉÎÓÔÉÔÕÔÁ úÁÌÍÁÎÁ áÌÔÅÒÏ×ÉÞÁ óËÏÅ Á. ú. á. óËÏÅ ÒÏÄÉÌÓÑ 1 ÑÎ×ÁÒÑ 1917 Ç. × ÇÏÒÏÄÅ ëÒÁÓÌÁ×Å × ÔÏÊ ÞÁÓÔÉ ÷ÉÔÅÂÓËÏÊ ÇÕÂÅÒÎÉÉ, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÓÌÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ìÁÔ×ÉÊÓËÏÊ ÒÅÓÕÂÌÉËÉ ×ÏÛÌÁ × ÅÅ ÓÏÓÔÁ×. ðÏÓÌÅ ÏËÏÎÞÁÎÉÑ ÇÉÍÎÁÚÉÉ × ÒÏÄÎÏÍ ÇÏÒÏÄÅ ú. á. ÕÞÉÌÓÑ ÎÁ ÆÉÚÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÆÁËÕÌØÔÅÔÅ ìÁÔ×ÉÊÓËÏÇÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ × òÉÇÅ. ïÎ ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÌ, ÞÔÏ ÌÅË ÉÉ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÔÁÍ ÞÉÔÁÌÉ ÎÅÍÅ ËÉÅ É ÆÒÁÎ ÕÚÓËÉÅ ÒÏÆÅÓÓÏÒÁ, ÓÔÕÄÅÎÔÙ ÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ ÕÞÅÂÎÉËÁÍÉ ÎÁ ÎÅÍÅ ËÏÍ É ÆÒÁÎ ÕÚÓËÏÍ ÑÚÙËÁÈ, Á ú. á. ÞÉÔÁÌ ÔÁËÖÅ ÒÕÓÓËÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ËÎÉÇÉ. åÝÅ × ÇÉÍÎÁÚÉÉ ú. á. ÌÀÂÉÌ ÒÅÛÁÔØ ÓÌÏÖÎÙÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ, Á × ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ Ó ÏÓÏÂÅÎÎÙÍ ÕÄÏ×ÏÌØÓÔ×ÉÅÍ ÓÌÕÛÁÌ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ËÕÒÓÙ. ðÏ ÚÁÁÄÎÙÍ ÕÞÅÂÎÉËÁÍ ú. á. ÉÚÕÞÉÌ ÒÏÅËÔÉ×ÎÕÀ É ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÕÀ ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ É ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ×ÉÄÙ ÎÁÞÅÒÔÁÔÅÌØÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. ïÎ ×ÎÉÍÁÔÅÌØÎÏ ÒÏÞÅÌ €ðÒÏÅËÔÉ×ÎÕÀ ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ î. á. çÌÁÇÏÌÅ×Á, ÉÚÄÁÎÎÕÀ × íÏÓË×Å × 1936 Ç. ÷ 1937 Ç. ú. á. ÏËÏÎÞÉÌ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ É × 1938 Ç. ÚÁÝÉÔÉÌ ÍÁÇÉÓÔÅÒÓËÕÀ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÀ. ÷ ÔÏÍ ÖÅ ÇÏÄÕ ú. á. ÂÙÌ ÒÉÚ×ÁÎ × ÌÁÔ×ÉÊÓËÕÀ ÁÒÍÉÀ. ÷ ÅÒ×ÙÅ ÄÎÉ ×ÏÊÎÙ, ËÏÇÄÁ ÎÅÍÅ ËÏ-ÆÁÛÉÓÔÓËÉÅ ×ÏÊÓËÁ ÒÉÂÌÉÖÁÌÉÓØ Ë òÉÇÅ, ú. á. ÕÄÁÌÏÓØ Ü×ÁËÕÉÒÏ×ÁÔØÓÑ. ú. á. ÄÏÅÈÁÌ ÄÏ ñÒÏÓÌÁ×ÓËÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ, ÇÄÅ ÓÔÁÌ ÒÁÂÏÔÁÔØ ÕÞÉÔÅÌÅÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ × ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÓÅÌØÓËÉÈ ÛËÏÌ. ûËÏÌØÎÉËÉ ÎÅ ÍÏÇÌÉ ×ÙÇÏ×ÏÒÉÔØ ÅÇÏ ÉÍÅÎÉ É ÏÔÞÅÓÔ×Á É ÎÁÚÙ×ÁÌÉ ÅÇÏ €úÁÌ áÒÔÉÌÌÅÒÉށ. ëÏÌÌÅÇÉ ÏÓÏ×ÅÔÏ×ÁÌÉ ÅÍÕ ×ÚÑÔØ ÒÕÓÓËÏÅ ÉÍÑ É ÏÎ ×ÙÂÒÁÌ €úÁÈÁÒ áÌÅËÓÁÎÄÒÏ×Éށ, ÜÔÏ ÉÍÑ ÚÁËÒÅÉÌÏÓØ ÚÁ ÎÉÍ ÄÏ ËÏÎ Á ÖÉÚÎÉ. ÷ 1942 Ç. ú. á. ÅÒÅÅÈÁÌ × ñÒÏÓÌÁ×ÌØ, ÇÄÅ ÓÔÁÌ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÅÍ × ñÒÏÓÌÁ×ÓËÏÍ ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÏÍ ÉÎÓÔÉÔÕÔÅ. õÅÚÖÁÑ ÉÚ òÉÇÉ, ú. á. ÎÅ ÓÍÏÇ ×ÚÑÔØ Ó ÓÏÂÏÊ ÄÏËÕÍÅÎÔ Ï ÏËÏÎÞÁÎÉÉ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ, É ×Ï ×ÒÅÍÑ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÏÅÚÄÏË × íÏÓË×Õ ÏÎ ÒÏÛÅÌ ÓÏÂÅÓÅÄÏ×ÁÎÉÅ Ó ÒÏÆÅÓÓÏÒÁÍÉ íÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ, ÏÌÕÞÉÌ ÄÏËÕÍÅÎÔ Ï ÏËÏÎÞÁÎÉÉ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ É ÂÙÌ ÒÉÎÑÔ × ÚÁÏÞÎÕÀ ÁÓÉÒÁÎÔÕÒÕ íçõ. îÁÕÞÎÙÍ ÒÕËÏ×ÏÄÉÔÅÌÅÍ ú. á. ÂÙÌ ÄÏ ÅÎÔ ËÁÆÅÄÒÙ ×ÙÓÛÅÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ

16

â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄ, å. í. üÌØËÉÎÁ

óÅÒÇÅÊ äÍÉÔÒÉÅ×ÉÞ òÏÓÓÉÎÓËÉÊ. ú. á. ÎÁÉÓÁÌ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÀ Ï ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ËÏÔÏÒÕÀ ÚÁÝÉÔÉÌ × íçõ × 1946 Ç. ðÏÓÌÅ ÚÁÝÉÔÙ ú. á. ÓÔÁÌ ÄÏ ÅÎÔÏÍ É (× 1953 Ç.) ÚÁ×ÅÄÕÀÝÉÍ ËÁÆÅÄÒÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ñÒÏÓÌÁ×ÓËÏÇÏ ÅÄÉÎÓÔÉÔÕÔÁ. ïÄÉÎ ÉÚ Á×ÔÏÒÏ× ÜÔÉÈ ÓÔÒÏË ÏÚÎÁËÏÍÉÌÓÑ Ó ú. á. × 1947 Ç. × íçõ É ×ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ ÞÁÓÔÏ ÒÉÅÚÖÁÌ Ë ú. á. × ñÒÏÓÌÁ×ÌØ, Á ú. á. ÂÙ×ÁÌ Õ ÎÅÇÏ × íÏÓË×Å. ÷ÔÏÒÏÊ Á×ÔÏÒ | ÂÌÉÚËÉÊ ÄÒÕÇ ÓÅÍØÉ ú. á. | ÍÎÏÇÏ ÌÅÔ ÒÁÂÏÔÁÌÁ ÕÞÉÔÅÌØÎÉ ÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ × ñÒÏÓÌÁ×ÌÅ. ú. á. ÂÙÌ ÎÅÒÉÈÏÔÌÉ×ÙÍ, ÄÏÂÒÙÍ ÞÅÌÏ×ÅËÏÍ, ÒÅÄÁÎÎÙÍ ÓÅÍØÑÎÉÎÏÍ. åÇÏ ÖÅÎÁ íÁÒÉÑ âÏÒÉÓÏ×ÎÁ ÂÙÌÁ ÄÏ ÅÎÔÏÍ ËÁÆÅÄÒÙ ÆÉÚÉËÉ ÔÏÇÏ ÖÅ ÉÎÓÔÉÔÕÔÁ. éÈ ÄÏÞÅÒÉ òÉ×Á É áÌÌÁ ÓÔÁÌÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍÉ. ÷ ñÒÏÓÌÁ×ÓËÏÍ ÅÄÉÎÓÔÉÔÕÔÅ ú. á. ÞÉÔÁÌ ËÕÒÓÙ É ÒÕËÏ×ÏÄÉÌ ÁÓÉÒÁÎÔÁÍÉ Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É Ï ÍÅÔÏÄÉËÅ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. îÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚ ú. á. ÒÉÅÚÖÁÌ × òÉÇÕ É ÞÉÔÁÌ ÌÅË ÉÉ Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÎÁ ÌÁÔÙÛÓËÏÍ ÑÚÙËÅ × ÒÏÄÎÏÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ. éÎÔÅÒÅÓÙ ú. á. ×ÙÈÏÄÉÌÉ ÄÁÌÅËÏ ÚÁ ÒÅÄÅÌÙ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÏÎ ÂÙÌ ÚÎÁÔÏËÏÍ ÚÁÁÄÎÏÅ×ÒÏÅÊÓËÏÊ, ÌÁÔÙÛÓËÏÊ É ÒÕÓÓËÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ, ÏÞÅÎØ ÌÀÂÉÌ ÏÜÚÉÀ ×ÅÌÉËÏÇÏ ÌÁÔÙÛÓËÏÇÏ ÏÜÔÁ ñÎÁ òÁÊÎÉÓÁ, ÒÅËÒÁÓÎÏ ÉÇÒÁÌ ÎÁ ÓËÒÉËÅ. ÷ÉÒÔÕÏÚÎÏÓÔØ ú. á. × ÒÅÛÅÎÉÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ ÓÔÁÌÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ × íÏÓË×Å É ÒÅÄÁË ÉÑ ÖÕÒÎÁÌÁ €íÁÔÅÍÁÔÉËÁ × ÛËÏÌŁ ÏÒÕÞÉÌÁ ú. á. ÒÕËÏ×ÏÄÉÔØ ÏÔÄÅÌÏÍ ÚÁÄÁÞ ÜÔÏÇÏ ÖÕÒÎÁÌÁ. ÷ 1954 Ç. ×Ï ×ÒÅÍÑ ÒÁÚÄÎÏ×ÁÎÉÑ 150-ÌÅÔÉÑ ëÁÚÁÎÓËÏÇÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ ú. á. ÏÚÄÒÁ×ÉÌ ÜÔÏÔ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ ÏÔ ÉÍÅÎÉ ñÒÏÓÌÁ×ÓËÏÇÏ ÅÄÉÎÓÔÉÔÕÔÁ. îÁÕÞÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ú. á. ÏÔÎÏÓÉÌÁÓØ Ë ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ, ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ, ÎÁÞÅÒÔÁÔÅÌØÎÏÊ É ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. ÷ 1951 Ç. ÎÁ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÏÊ 125-ÌÅÔÉÀ ÏÔËÒÙÔÉÑ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ, ú. á. ÄÏÌÏÖÉÌ É ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÌ × ÓÂÏÒÎÉËÅ €125 ÌÅÔ ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇρ Ó×ÏÀ ÒÁÂÏÔÕ €ãÉËÌÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇρ. ÷ 1955 Ç. × ÓÂÏÒÎÉËÅ €íÅÔÏÄÙ ÎÁÞÅÒÔÁÔÅÌØÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÅÅ ÒÉÌÏÖÅÎÉс ÂÙÌÁ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÁ ÓÔÁÔØÑ ú. á. €ðÒÉÎ ÉÙ ÎÁÞÅÒÔÁÔÅÌØÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇρ. ÷ ÜÔÉÈ ÒÁÂÏÔÁÈ ú. á. ÒÅÄÌÏÖÉÌ Ä×Å ÎÏ×ÙÅ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ. ÷ ÅÒ×ÏÊ ÉÚ ÎÉÈ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÔÓÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÍÉ ÎÁ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ×Ï ×ÔÏÒÏÊ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÉ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÔÓÑ € ÉËÌÁÍɁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ, Ô. Å. ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÍÉ, ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÁÍÉ (ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ ÍÅÓÔÁÍÉ ÔÏÞÅË, ÒÁ×ÎÏÏÔÓÔÏÑÝÉÈ ÏÔ ÒÑÍÏÊ ÌÉÎÉÉ) É ÏÒÉ ÉËÌÁÍÉ (ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÍÉ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÑÍÉ ÕÞËÏ× ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÒÑÍÙÈ). ÷ ÅÒ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÏÒÉÓÆÅÒÁ, Ô. Å. Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÏÒÉ ÉËÌÁ ×ÏËÒÕÇ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÅÇÏ ÎÏÒÍÁÌÅÊ, É ×ÓÑËÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÓÔÁ×ÉÔÓÑ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ

ðÁÍÑÔÉ ú. á. óËÏÅ Á

17

ÎÁ ÜÔÏÊ ÏÒÉÓÆÅÒÅ, ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞËÁÈ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÏÒÍÁÌÉ Ë ÏÒÉÓÆÅÒÅ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ ÄÁÎÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ÁË ËÁË ÏÒÉÓÆÅÒÙ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÎÙ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÎÁ ÏÒÉÓÆÅÒÅ ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÔÓÑ Å×ËÌÉÄÏ×ÙÍÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÍÉ. ÷Ï ×ÔÏÒÏÍ ÓÌÕÞÁÅ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÌÏÓËÏÓÔØ, É ×ÓÑËÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÓÔÁ×ÉÔÓÑ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÉËÌ ÎÁ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞËÁÈ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÙ Ë ÜÔÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ ÄÁÎÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ãÉËÌ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ, ËÏÇÄÁ ÄÁÎÎÁÑ ÌÏÓËÏÓÔØ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ ÓÏ ×ÚÑÔÏÊ ÌÏÓËÏÓÔØÀ, ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÏÊ, ËÏÇÄÁ ÜÔÉ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ, É ÏÒÉ ÉËÌÏÍ, ËÏÇÄÁ ÜÔÉ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ. ïÂÅ ÜÔÉ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÉ ËÏÎÆÏÒÍÎÙ, Ô. Å. ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÍÉ ÉÌÉ ÉËÌÁÍÉ, ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÝÉÍÉ Ä×Å ÌÏÓËÏÓÔÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ, ÒÁ×ÅÎ ÕÇÌÕ ÍÅÖÄÕ ÜÔÉÍÉ ÌÏÓËÏÓÔÑÍÉ. éÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÍÉ ÉÌÉ ÉËÌÁÍÉ × ÜÔÉÈ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÑÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅÍ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÈ € ÉËÌÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉʁ ÔÏÞÅË ÉÌÉ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÍÉ ÎÁ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ. üÔÉ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÉ ÂÙÌÉ ÏÉÓÁÎÙ × ÄÏËÔÏÒÓËÏÊ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÉ ú. á., ËÏÔÏÒÕÀ ÏÎ ÚÁÝÉÔÉÌ × 1962 Ç. × íÏÓËÏ×ÓËÏÍ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÏÍ ÉÎÓÔÉÔÕÔÅ. ó 1963 Ç. ú. á. | ÒÏÆÅÓÓÏÒ ñÒÏÓÌÁ×ÓËÏÇÏ ÅÄÉÎÓÔÉÔÕÔÁ. ó 1964 Ç. ÏÎ ÚÁ×ÅÄÏ×ÁÌ ËÁÆÅÄÒÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÅÄÉÎÓÔÉÔÕÔÁ. ÷ ÄÒÕÇÉÈ ÒÁÂÏÔÁÈ ú. á. ÉÚÕÞÁÌ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ÌÉÎÉÉ É Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ É ÉÈ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÚÁÄÁÞ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ É ÎÁÞÅÒÔÁÔÅÌØÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. éÚ ÜÔÉÈ ÒÁÂÏÔ ÏÔÍÅÔÉÍ ÓÔÁÔØÉ 1961 Ç. €ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ ÏÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÅÎÎÙÈ ËÒÉ×Ùȁ É 1963 Ç. €ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÞÅÔÙÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁ Ä×ÕÍÅÒÎÕÀ ÌÏÓËÏÓÔØ ÏÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ ÎÏÒÍËÒÉ×Ïʁ. ÷ ÜÔÉÈ ÒÁÂÏÔÁÈ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÏÒÍËÒÉ×ÁÑ n-ÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÉ×ÏÄÑÔÓÑ Ë ×ÉÄÕ x0 = 1, È1 = t, È2 = t2 , : : : , xn = tn ÒÉ n = 3 É n = 4 É ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÜÔÉÈ ËÒÉ×ÙÈ ÄÌÑ Ó×ÅÄÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ 3-ÍÅÒÎÏÊ É 4-ÍÅÒÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ Ë ÚÁÄÁÞÁÍ ÌÏÓËÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. ÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÒÁÂÏÔÁÈ ú. á. ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÌ ËÒÅÍÏÎÏ×Ù (ÂÉÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ) ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. ÷ ÒÁÂÏÔÅ 1952 Ç. €ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÅ ËÒÅÍÏÎÏ×Ù ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ É ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ú. á. ÏÒÅÄÅÌÉÌ ÉÎ×ÅÒÓÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ËÏÎÉÞÅÓËÉÈ ÓÅÞÅÎÉÊ ËÁË ÔÁËÉÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ×ÓÑËÁÑ ÔÏÞËÁ X ÌÏÓËÏÓÔÉ ÅÒÅÈÏÄÉÔ × ÔÏÞËÕ X ′ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÏÌÑÒÙ ÔÏÞËÉ X ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ËÏÎÉÞÅÓËÏÇÏ ÓÅÞÅÎÉÑ Ó ÄÉÁÍÅÔÒÏÍ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÍ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ X , É ÄÏËÁÚÁÌ, ÞÔÏ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÅ ËÒÅÍÏÎÏ×Ù ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÎÁ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑÍÉ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÎÁ ÉÎ×ÅÒÓÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ËÏÎÉÞÅÓËÉÈ ÓÅÞÅÎÉÊ, Á ÔÁËÖÅ ×ÙÒÁÚÉÌ ÉÎ×ÅÒÓÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÎÁ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ É ÓÅ×ÄÏÅ×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÑÈ É ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÉËÌÏ× ÎÁ ÉÚÏÔÒÏÎÏÊ

18

â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄ, å. í. üÌØËÉÎÁ

ÌÏÓËÏÓÔÉ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÄÎÏÔÉÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÏÂÙÞÎÏÇÏ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ, Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ a + be, e2 = +1, É ÄÕÁÌØÎÏÇÏ ÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ a + b", "2 = 0. ú. á. ÏÄÇÏÔÏ×ÉÌ ÏËÏÌÏ ÓÏÒÏËÁ ËÁÎÄÉÄÁÔÏ× ÎÁÕË, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ 5 ÓÔÁÌÉ ÄÏËÔÏÒÁÍÉ ÎÁÕË. ðÅÒ×ÁÑ ÁÓÉÒÁÎÔËÁ ú. á. çÁÌÉÎÁ ÷ÁÓÉÌØÅ×ÎÁ ëÉÏÔÉÎÁ ÚÁÝÉÔÉÌÁ ËÁÎÄÉÄÁÔÓËÕÀ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÀ × 1956 Ç. ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÏÎÁ | ÄÏËÔÏÒ ÆÉÚ.ÍÁÔ. ÎÁÕË É ÒÏÆÅÓÓÏÒ, ÚÁ×ÅÄÏ×ÁÌÁ ËÁÆÅÄÒÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ òÑÚÁÎÓËÏÇÏ ÅÄ. ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ. ÷ Ó×ÏÅÊ ÄÏËÔÏÒÓËÏÊ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÉ ÏÎÁ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÌÁ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÎÏ×ÙÈ ÔÉÏ× ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. áÌÅËÓÁÎÄÒ óÅÒÇÅÅ×ÉÞ ÉÈÏÍÉÒÏ× ÚÁÝÉÔÉÌ × ñÒÏÓÌÁ×ÌÅ ËÁÎÄÉÄÁÔÓËÕÀ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÀ Ï ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, × ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÏÎ | ÄÏËÔÏÒ ÆÉÚ.-ÍÁÔ. ÎÁÕË É ÒÏÆÅÓÓÏÒ, ÚÁ×ÅÄÕÅÔ ËÁÆÅÄÒÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ñÒÏÓÌÁ×ÓËÏÇÏ ÇÏÓ. ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ. äÏËÔÏÒÁ ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÎÁÕË: ç. ä. çÌÅÊÚÅÒ | ÁËÁÄÅÍÉË òÏÓÓÉÊÓËÏÊ ÁËÁÄÅÍÉÉ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, É . á. é×ÁÎÏ×Á | ÚÁ×. ËÁÆÅÄÒÏÊ ÔÅÏÒÉÉ É ÍÅÔÏÄÉËÉ ÏÂÕÞÅÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ îÉÖÅÇÏÒÏÄÓËÏÇÏ ÅÄ. ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ. äÏËÔÏÒ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÈ ÎÁÕË ç. ó. é×ÁÎÏ× | ÚÁ×. ËÁÆÅÄÒÏÊ ÎÁÞÅÒÔÁÔÅÌØÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ íÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ Á×ÉÁ ÉÏÎÎÏÇÏ ÉÎÓÔÉÔÕÔÁ. óÒÅÄÉ ÁÓÉÒÁÎÔÏ× ú. á. ÂÙÌÉ ü. á. ìÁÕÄÙÎÑ É í. ë. íÕÒÁÎ ÉÚ ìÁÔ×ÉÉ, ð. íÁÒÇÏÌÉÔÅ ÉÚ ìÉÔ×Ù, ÕËÒÁÉÎÅ ï. á. ëÏÔÉÊ, ËÁÂÁÒÄÉÎËÁ å. á. ÅÆÏ×Á É 6 ÁÓÉÒÁÎÔÏ× ÉÚ âÏÌÇÁÒÉÉ. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÓÔÕÄÅÎÔÙ ú. á. ÓÔÁÌÉ ÁÓÉÒÁÎÔÁÍÉ ÄÒÕÇÉÈ ÒÕËÏ×ÏÄÉÔÅÌÅÊ. îÉÎÁ ÁÌÙÚÉÎÁ ÏÄ ×ÌÉÑÎÉÅÍ ËÕÒÓÏ× ú. á. Ï ÍÅÔÏÄÉËÅ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÚÁÎÑÌÁÓØ ÓÉÈÏÌÏÇÉÅÊ É ÓÔÁÌÁ ÄÏËÔÏÒÏÍ ÓÉÈÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÎÁÕË É ÒÏÆÅÓÓÏÒÏÍ íÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ. (îÙÎÅ ÏÎÁ ÁËÁÄÅÍÉË òáï.) áÓÉÒÁÎÔÁÍÉ á. í. ìÏÛÉ Á, ÒÁÂÏÔÁ×ÛÅÇÏ ÏÄÎÏ ×ÒÅÍÑ × ñÒÏÓÌÁ×ÓËÏÍ ÅÄÉÎÓÔÉÔÕÔÅ, ÂÙÌÉ ÷ÌÁÄÉÍÉÒ ÷ÁÓÉÌØÅ×ÉÞ áÆÁÎÁÓØÅ× É éÓÁÊ ìØ×Ï×ÉÞ ëÁÎÔÏÒ. ÷. ÷. áÆÁÎÁÓØÅ×, ÉÚÕÞÁ×ÛÉÊ €ÌÏÓËÏÓÔÉ íÁÔØŁ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÅ ÉÚ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÔÏÞÅË, ÇÒÕÁÍÉ Ä×ÉÖÅÎÉÊ ËÏÔÏÒÙÈ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÏÓÔÙÅ ËÏÎÅÞÎÙÅ ÇÒÕÙ íÁÔØÅ, ×ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ ÓÔÁÌ ÒÅËÔÏÒÏÍ ñÒÏÓÌÁ×ÓËÏÇÏ ÅÄ. ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ. é. ì. ëÁÎÔÏÒ, Á×ÔÏÒ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÒÁÂÏÔ Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÇÒÕ ìÉ, × ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ | ÒÏÆÅÓÓÏÒ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ × ìÕÎÄÅ (û×Å ÉÑ). ÷ 1979 Ç. Ï ÉÎÉ ÉÁÔÉ×Å ú. á. ñÒÏÓÌÁ×ÓËÉÍ ÅÄÉÎÓÔÉÔÕÔÏÍ, íçõ É éÎÓÔÉÔÕÔÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ áî óóóò × ñÒÏÓÌÁ×ÌÅ ÂÙÌÁ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÎÁ ×ÓÅÓÏÀÚÎÁÑ ÛËÏÌÁ Ï ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÕÞÁÓÔ×Ï×ÁÌÉ ÁËÁÄÅÍÉËÉ ÷. é. áÒÎÏÌØÄ, ó. ð. îÏ×ÉËÏ×, ÒÏÆÅÓÓÏÒ í. í. ðÏÓÔÎÉËÏ× É ÄÒÕÇÉÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. úÁÎÑÔÉÑ ÜÔÏÊ ÛËÏÌÙ ÒÏÈÏÄÉÌÉ × ÔÅÞÅÎÉÅ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÌÅÔ, ÏÓÌÅ ÓÍÅÒÔÉ ú. á. ÛËÏÌÕ ×ÏÚÇÌÁ×ÉÌ á. ó. ÉÈÏÍÉÒÏ×. ò. ú. çÕÛÅÌØ, ÄÏÞØ ú. á., ÂÙ×ÛÁÑ ÁÓÉÒÁÎÔËÏÊ ï. á. ëÏÔÉÑ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Á×ÔÏÒÏÍ ÍÎÏÇÉÈ ÒÁÂÏÔ Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÓÅÇÒÅÁÎ (ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁ-

ðÁÍÑÔÉ ú. á. óËÏÅ Á

19

ÚÉÊ ë. óÅÇÒÅ) É Ï ÉÓÔÏÒÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ × òÏÓÓÉÉ É × ÄÒÕÇÉÈ ÓÔÒÁÎÁÈ. ú. á. ÏËÁÚÙ×ÁÌ ÂÏÌØÛÏÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÕÞÉÔÅÌÑÍ. ðÏ ÅÇÏ ÉÎÉ ÉÁÔÉ×Å ÂÙÌÁ ÓÏÚÄÁÎÁ ÏÂÝÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÁÓÉÒÁÎÔÕÒÁ Ï ÍÅÔÏÄÉËÅ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÄÌÑ ÕÞÉÔÅÌÅÊ ÛËÏÌ. ÷Ï ÍÎÏÇÉÈ ÇÏÒÏÄÁÈ òÏÓÓÉÉ É ÎÁÓÅÌÅÎÎÙÈ ÕÎËÔÁÈ ñÒÏÓÌÁ×ÓËÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ú. á. ÄÁ×ÁÌ ÕÒÏËÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ × ÛËÏÌÁÈ. üÔÉ ÕÒÏËÉ ÂÙÌÉ ÏÂÒÁÚ ÏÍ Ô×ÏÒÞÅÓÔ×Á ÕÞÉÔÅÌÑ É ÚÁ×ÏÒÁÖÉ×ÁÌÉ ÕÞÅÎÉËÏ×, ÍÎÏÇÉÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ×ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ ÓÔÁÎÏ×ÉÌÉÓØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍÉ. áËÁÄÅÍÉË á. î. ëÏÌÍÏÇÏÒÏ× ÏÄ×ÅÒÇ ÛËÏÌØÎÙÅ ÕÞÅÂÎÉËÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÓÕÒÏ×ÏÊ ËÒÉÔÉËÅ ÚÁ ÔÏ, ÞÔÏ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ × ÎÉÈ ÉÚÌÁÇÁÅÔÓÑ ÎÁ ÕÒÏ×ÎÅ å×ËÌÉÄÁ, Á ÁÌÇÅÂÒÁ | ÎÁ ÕÒÏ×ÎÅ ÁÌ-èÏÒÅÚÍÉ, É ÒÅÄÌÏÖÉÌ ÓÏÚÄÁÔØ ÎÏ×ÙÅ ÕÞÅÂÎÉËÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÍÕ ÕÒÏ×ÎÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. á. î. ëÏÌÍÏÇÏÒÏ× ÒÉ×ÌÅË ú. á. Ë ÓÏÚÄÁÎÉÀ ÎÏ×ÙÈ ÕÞÅÂÎÉËÏ× ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. ú. á. ÏÈÏÔÎÏ ×ÚÑÌÓÑ ÚÁ ÜÔÕ ÒÁÂÏÔÕ, ÉÓÏÌØÚÕÑ Ó×ÏÊ ÂÏÇÁÔÙÊ ÏÙÔ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÂÙÌÉ ÓÏÚÄÁÎÙ ÎÏ×ÙÅ ÕÞÅÂÎÉËÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ËÌÁÓÓÏ× ÎÁÞÁÌØÎÏÊ É ÓÒÅÄÎÅÊ ÛËÏÌÙ. ïÄÎÁËÏ ÎÏ×ÙÅ ÕÞÅÂÎÉËÉ ÂÙÌÉ ×ÓÔÒÅÞÅÎÙ €× ÛÔÙËɁ ÍÎÏÇÉÍÉ ÕÞÉÔÅÌÑÍÉ, É ÒÉ ÅÒÅÉÚÄÁÎÉÑÈ ÕÞÅÂÎÉËÏ× ×ÁÖÎÙÅ ÎÏ×ÛÅÓÔ×Á Á×ÔÏÒÏ× ÉÓÞÅÚÁÌÉ. üÔÏ ÔÑÖÅÌÏ ÏÔÒÁÚÉÌÏÓØ ÎÁ ÚÄÏÒÏ×ØÅ á. î. ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Á É ú. á. ú. á. ÓÉÌØÎÏ ÅÒÅÖÉ×ÁÌ ÚÁËÒÙÔÉÅ ÕÞÅÎÏÇÏ ÓÏ×ÅÔÁ Ï ÚÁÝÉÔÅ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÊ Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ × ñÒÏÓÌÁ×ÓËÏÍ ÅÄÉÎÓÔÉÔÕÔÅ. ÷ ñÒÏÓÌÁ×ÓËÏÍ ÇÏÓ. ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÊ Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÎÅ ÒÉÎÉÍÁÌÉ Ë ÚÁÝÉÔÅ, É ÌÉÛØ ÌÕÞÛÉÅ ÉÚ ÕÞÅÎÉËÏ× ú. á. ÚÁÝÉÝÁÌÉ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÉ × íÏÓËÏ×ÓËÏÍ ÇÏÓ. ÅÄÉÎÓÔÉÔÕÔÅ É ÄÒÕÇÉÈ ÍÅÓÔÁÈ. ÷ÅÞÅÒÏÍ 2 ÎÏÑÂÒÑ 1984 ÇÏÄÁ ú. á. ÏÚ×ÏÎÉÌ × íÏÓË×Õ ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ Á×ÔÏÒÏ× ÜÔÉÈ ÓÔÒÏË É ÏÒÏÓÉÌ ÏÍÏÞØ × ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ ÚÁÝÉÔÙ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÉ ÷. ÷. áÆÁÎÁÓØÅ×Á. õÔÒÏÍ 3 ÎÏÑÂÒÑ ÉÚ ñÒÏÓÌÁ×ÌÑ ÏÚ×ÏÎÉÌÉ, ÞÔÏ ÜÔÏÊ ÎÏÞØÀ úÁÈÁÒ áÌÅËÓÁÎÄÒÏ×ÉÞ ÕÍÅÒ ÏÔ ÉÎÆÁÒËÔÁ. ú. á. ÂÙÌ ÒÏÓÔ × ÏÂÝÅÎÉÉ, ÄÏÂÒÏÖÅÌÁÔÅÌÅÎ, ÏÓÏÂÅÎÎÏ Ë Ó×ÏÉÍ ÕÞÅÎÉËÁÍ. íÎÏÇÉÅ ÕÞÉÔÅÌÑ, ÂÙ×ÛÉÅ ÓÔÕÄÅÎÔÙ ú. á., Ó ÂÏÌØÛÏÊ ÔÅÌÏÔÏÊ ×ÓÏÍÉÎÁÀÔ Ó×ÏÅÇÏ ÎÁÓÔÁ×ÎÉËÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÉ×ÉÌ ÉÍ ÌÀÂÏ×Ø Ë ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÒÁÂÏÔÅ É Ë ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ.

ë ÒÏÂÌÅÍÁÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ

îÁ ÒÏÔÑÖÅÎÉÉ ÍÎÏÇÉÈ ÄÅÓÑÔÉÌÅÔÉÊ ÎÅ ÕÔÉÈÁÅÔ ÄÉÓËÕÓÓÉÑ Ï ÒÏÂÌÅÍÁÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. ïÓÏÂÅÎÎÏÊ ÏÓÔÒÏÔÙ ÏÎÁ ÄÏÓÔÉÇÌÁ × ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÇÏÄÙ. ïÂÓÕÖÄÅÎÉÑ ×ÅÄÕÔÓÑ × ÛËÏÌÁÈ, ×ÕÚÁÈ, ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁÈ, × òÏÓÓÉÊÓËÏÊ ÁËÁÄÅÍÉÉ ÎÁÕË, Ï ÒÁÄÉÏ É ÔÅÌÅ×ÉÄÅÎÉÀ. îÁÛÅ ÉÚÄÁÎÉÅ ÔÁËÖÅ ÓÏÂÉÒÁÅÔÓÑ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÕÞÁÓÔÉÅ × ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÉ ÜÔÏÊ ÁËÔÕÁÌØÎÏÊ ÔÅÍÙ. úÄÅÓØ ÍÙ ÒÅÄÌÁÇÁÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÏÚÎÁËÏÍÉÔØÓÑ Ó ÍÎÅÎÉÅÍ ×ÙÄÁÀÝÅÇÏÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ Ï ÔÏÍ, ËÁË ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÅÏÄÁ×ÁÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ ÎÅÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍ.

21

ìÅË ÉÑ Ï ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÎÅÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍ

÷. á. òÏÈÌÉÎ

úÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË, ÉÚ×ÅÓÔÎÙÊ ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ Ó×ÏÉÍ ÏÓÎÏ×ÏÏÌÁÇÁÀÝÉÍ ÒÁÂÏÔÁÍ × ÔÅÏÒÉÉ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÉÈ ÓÉÓÔÅÍ É ÔÏÏÌÏÇÉÉ, É ×ÏÓÉÔÁ×ÛÉÊ ÒÑÄ ÅÒ×ÏËÌÁÓÓÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× | ÷ÌÁÄÉÍÉÒ áÂÒÁÍÏ×ÉÞ òÏÈÌÉÎ (1919{1984) | ÂÙÌ ÂÌÅÓÔÑÝÉÍ ÌÅËÔÏÒÏÍ É ÍÎÏÇÏ ÒÁÚÍÙÛÌÑÌ ÎÁÄ ÒÏÂÌÅÍÁÍÉ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ïÄÎÏ ×ÒÅÍÑ ÏÎ ÒÕËÏ×ÏÄÉÌ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÌÅËÔÏÒÉÅÍ ÄÌÑ ÕÞÉÔÅÌÅÊ ÎÁ ÍÁÔÍÅÈÅ ìçõ. åÇÏ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÏÙÔ ÂÙÌ ÏÂÛÉÒÅÎ É ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÅÎ: ÏÎ ÒÅÏÄÁ×ÁÌ ×Ï ÷õúÅ, ÚÁÔÅÍ × ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÉÎÓÔÉÔÕÔÁÈ, É, × ÔÅÞÅÎÉÅ ÏÓÌÅÄÎÉÈ 20 ÌÅÔ ÖÉÚÎÉ, × ìÅÎÉÎÇÒÁÄÓËÏÍ çÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÏÍ õÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ. ðÏÄÒÏÂÎÏÓÔÉ ÓÍ. × ËÎÉÇÅ ÷. á. òÏÈÌÉÎ. €éÚÂÒÁÎÎÙÅ ÒÁÂÏÔÙ. ÷ÏÓÏÍÉÎÁÎÉÑ. í.: íãîíï, 1999. îÉÖÅ ÕÂÌÉËÕÀÔÓÑ ÆÒÁÇÍÅÎÔÙ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÏÓÌÅÄÎÉÈ ÌÅË ÉÊ ÷. á. òÏÈÌÉÎÁ. üÔÁ ÌÅË ÉÑ ÓÏÓÔÏÑÌÁÓØ 20 ÎÏÑÂÒÑ 1981 ÇÏÄÁ ÎÁ ÚÁÓÅÄÁÎÉÉ ìÅÎÉÎÇÒÁÄÓËÏÇÏ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ïÂÝÅÓÔ×Á. ðÕÂÌÉËÁ ÉÑ ÏÓÎÏ×ÁÎÁ ÎÁ ÍÁÇÎÉÔÏÆÏÎÎÏÊ ÚÁÉÓÉ, ËÏÔÏÒÁÑ ÂÙÌÁ ÎÅÄÁ×ÎÏ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÁ É ÏÄÇÏÔÏ×ÌÅÎÁ Ë ÅÞÁÔÉ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÕÓÉÌÉÊ á. í. ÷ÅÒÛÉËÁ, ï. ñ. ÷ÉÒÏ, â. á. ìÉÆÛÉ Á É ó. ÷. òÙÂÉÎÁ. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÎÁÞÁÌÏ ÌÅË ÉÉ | ÒÉÍÅÒÎÏ 15 ÍÉÎÕÔ | ÕÔÒÁÞÅÎÏ. ÷ ÎÅÍ ÷ÌÁÄÉÍÉÒ áÂÒÁÍÏ×ÉÞ ÒÁÓÓËÁÚÁÌ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, Ï Ó×ÏÅÍ ÏÙÔÅ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÓÔÕÄÅÎÔÁÍ-ÎÅÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍ × ×ÕÚÁÈ áÒÈÁÎÇÅÌØÓËÁ, é×ÁÎÏ×Ï É ëÏÌÏÍÎÙ × 1950-Å ÇÏÄÙ. á. í. ÷ÅÒÛÉË

. . . ÷ ÛËÏÌÅ ÄÅÔÑÍ, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÎÅ ÉÚÌÁÇÁÀÔ ÓÅÒØÅÚÎÙÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×, ÎÏ ÉÍ ÄÁÀÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ. îÁÒÉÍÅÒ, ÉÈ ÕÞÁÔ ÄÅÌÉÔØ ÄÒÏÂØ ÎÁ ÄÒÏÂØ. éÍÅÅÔÓÑ ÒÁ×ÉÌÏ, ËÏÔÏÒÏÅ ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÔÓÑ | ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ ÏÎÉ ÄÏÌÖÎÙ ÚÎÁÔØ. ïÄÎÁÖÄÙ Ñ ÒÉÓÕÔÓÔ×Ï×ÁÌ ÎÁ ÄÏËÌÁÄÅ ÏÄÎÏÇÏ ÍÅÔÏÄÉÓÔÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÂßÑÓÎÑÌ, ËÁË ÕÞÉÔØ ÄÅÔÅÊ ÄÅÌÉÔØ ÄÒÏÂØ ÎÁ ÄÒÏÂØ. ïÎ ÒÁÓÓËÁÚÁÌ, ÞÔÏ ÒÁ×ÉÌÏ ÂÙÌÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÏ, ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÏÎ ÒÏÒÅÛÁÌ ÄÌÑ ÄÅÔÅÊ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÏ× ÎÅÓËÏÌØËÏ ÚÁÄÁÞ ÔÁËÏÇÏ ÒÏÄÁ. úÁÔÅÍ ÏÒÅÛÁÌÉ ÒÉÍÅÒÙ ÄÅÔÉ, Á ÏÔÏÍ ÉÍ ÂÙÌÁ ÄÁÎÁ ËÏÎÔÒÏÌØÎÁÑ ÉÓØÍÅÎÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ. é × ÜÔÏÊ ËÏÎÔÒÏÌØÎÏÊ ÉÓØÍÅÎÎÏÊ ÒÁÂÏÔÅ ÏÞÔÉ ×ÓÅ ÓÄÅÌÁÌÉ ÏÄÎÕ ÔÉÉÞÎÕÀ ÏÛÉÂËÕ. ïÎÉ, × ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ, É ×ÓÅ × ÏÄÎÉÈ É ÔÅÈ ÖÅ,

22

÷. á. òÏÈÌÉÎ

ÏÞÅÍÕ-ÔÏ ÎÅ ÅÒÅ×ÏÒÁÞÉ×ÁÌÉ ÄÒÏÂÉ, Á ÒÏÓÔÏ ÅÒÅÍÎÏÖÁÌÉ | × ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÓÎÁÞÁÌÁ ÅÒÅ×ÏÒÁÞÉ×ÁÌÉ, Á × ÄÒÕÇÉÈ | ÎÅÔ. ÷ Þ£Í ÄÅÌÏ? é ÍÅÔÏÄÉÓÔ ÏÂßÑÓÎÉÌ, ÞÔÏ ÁÎÁÌÉÚ ÏËÁÚÁÌ ÒÉÞÉÎÕ ÏÛÉÂËÉ. ðÒÉÞÉÎÁ ÏÛÉÂËÉ ÚÁËÌÀÞÁÌÁÓØ × ÔÏÍ, ÞÔÏ × ÒÉÍÅÒÁÈ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÅÄÌÁÇÁÌÉÓØ ÄÅÔÑÍ ÄÏ ËÏÎÔÒÏÌØÎÏÊ, ×ÔÏÒÁÑ ÄÒÏÂØ ×ÓÅÇÄÁ ÂÙÌÁ ÒÁ×ÉÌØÎÁÑ. äÅÔÉ É ÕÓ×ÏÉÌÉ ÉÚ ÜÔÉÈ ÒÉÍÅÒÏ×, ËÁË ÎÁÄÏ ÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÔØ. ÁË ÏÎÉ É ÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÌÉ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÁ×ÉÌÏ, ËÏÔÏÒÏÅ ÂÙÌÏ ÓÎÁÞÁÌÁ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÏ ÜÔÉÍ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÅÍ, ×Ï×ÓÅ ÎÅ ÂÙÌÏ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÏÊ, ËÏÔÏÒÕÀ ÄÅÔÉ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÌÉ ÏÎÑÔØ É ËÏÔÏÒÏÊ ÏÎÉ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÌÉ ÒÕËÏ×ÏÄÓÔ×Ï×ÁÔØÓÑ. üÔÏ ÒÁ×ÉÌÏ ÂÙÌÏ ÒÏÄÉËÔÏ×ÁÎÏ ÄÅÔÑÍ. ðÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÄÉËÔÏ×ÁÔØ ÒÁ×ÉÌÏ | É ÏÎÏ ÂÙÌÏ ÒÏÄÉËÔÏ×ÁÎÏ. Ï ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÓÔ×Ï, ÞÔÏ ÄÅÔÉ × ÜÔÏÍ ×ÏÚÒÁÓÔÅ ÄÏÌÖÎÙ ÎÁÕÞÉÔØÓÑ ÏÎÉÍÁÔØ ÒÁ×ÉÌÏ É ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÏÊ, Á ×Ï×ÓÅ ÎÅ ÒÉÍÅÒÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÉÍ ÂÙÌÉ ÏËÁÚÁÎÙ, | ÜÔÏ ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÓÔ×Ï ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÕÓËÏÌØÚÎÕÌÏ ÏÔ ÜÔÏÇÏ ÍÅÔÏÄÉÓÔÁ É ÏÔÏ ×ÓÅÈ ÄÒÕÇÉÈ, ÒÉÓÕÔÓÔ×Ï×Á×ÛÉÈ ÎÁ ÅÇÏ ÌÅË ÉÉ. íÎÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÌÏ×ÒÅÄÎÙÍ ÚÁÂÌÕÖÄÅÎÉÅÍ ÔÏ, ÞÔÏ ÓÒÁÚÕ ÏÓÌÅ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ ÄÁÀÔÓÑ ÒÉÍÅÒÙ. íÎÅ ËÁÖÅÔÓÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅÓÏÍÎÅÎÎÙÍ, ÞÔÏ ÄÅÔÉ ÄÏÌÖÎÙ ÓÁÍÉ, ÒÕËÏ×ÏÄÓÔ×ÕÑÓØ ÄÁÎÎÙÍ ÒÁ×ÉÌÏÍ, ÒÏÓÞÉÔÙ×ÁÔØ ÅÒ×ÙÅ ÒÉÍÅÒÙ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÏÎÉ ÄÏÌÖÎÙ ÒÉÏÂÒÅÓÔÉ ÎÁ×ÙËÉ É ÄÁÌØÛÅ ÄÅÌÁÔØ ÜÔÏ Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ, ÎÏ ÅÎÎÅÊÛÅÅ ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÓÔ×Ï, ÞÔÏ ÄÅÔÉ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ ÍÏÇÕÔ ÎÁÕÞÉÔØÓÑ É ÄÏÌÖÎÙ ÎÁÕÞÉÔØÓÑ ÏÎÉÍÁÔØ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ, ÂÙÌÏ ÕÕÝÅÎÏ. üÔÏ ÎÅ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ. îÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÔÏ, ÞÔÏ Ñ ÓÅÊÞÁÓ ÒÁÓÓËÁÚÁÌ, | ÜÔÏ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÒÉÎ ÉÙ ÍÅÔÏÄÉËÉ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ. ïÎÉ ÏÂÝÅÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÙ.1) ÷ ÎÁÛÅ ×ÒÅÍÑ ÍÏÖÎÏ ÏËÏÎÞÉÔØ ÓÒÅÄÎÀÀ ÛËÏÌÕ É ÎÅ ÒÅÛÉÔØ, × ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÎÉ ÏÄÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. äÁÀÔÓÑ ÛÁÂÌÏÎÙ, ÒÉÍÅÒÙ, ÏÄÒÁÖÁÑ ËÏÔÏÒÙÍ ÄÅÔÉ É ÓÒÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÏ Ó×ÏÉÍÉ ÛËÏÌØÎÙÍÉ ÏÂÑÚÁÎÎÏÓÔÑÍÉ. ëÏÇÄÁ ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ËÕÒÓÅ ÓÔÕÄÅÎÔÁÍ, ÄÁ É ÞÁÓÔÏ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ËÕÒÓÅ, ÎÁ ÕÒÁÖÎÅÎÉÑÈ ÒÅÄÌÁÇÁÀÔÓÑ ÚÁÄÁÞÉ, ÏÎÁÂÌÀÄÁÊÔÅ | ÞÔÏ ÄÅÌÁÀÔ ÓÔÕÄÅÎÔÙ. îÕ, ËÏÎÅÞÎÏ, Ñ ÎÅ ÇÏ×ÏÒÀ Ï ÓÔÕÄÅÎÔÁÈ ÍÁÔÍÅÈÁ. õ ÍÅÎÑ ÄÒÕÇÏÊ ÒÅÄÍÅÔ | ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÎÅÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍ. îÏ Õ ÍÅÎÑ ÔÁËÏÊ ÏÙÔ, ÞÔÏ × ÇÒÕÅ ÓÔÕÄÅÎÞÅÓËÏÊ, ÎÅÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ, ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ ÒÅÛÁÀÔ 2{3 ÞÅÌÏ×ÅËÁ. ïÓÔÁÌØÎÙÅ ÓÉÄÑÔ É ÖÄÕÔ. ÷ÅÒÏÑÔÎÏ, × ÕÔÒÁÞÅÎÎÏÍ ÎÁÞÁÌØÎÏÍ ÆÒÁÇÍÅÎÔÅ ÌÅË ÉÉ òÏÈÌÉÎ ÇÏ×ÏÒÉÌ Ï ÚÌÏ×ÒÅÄÎÏÓÔÉ ÏÂÝÅÒÉÎÑÔÙÈ ÒÉÎ ÉÏ× ÍÅÔÏÄÉËÉ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÓÏÈÒÁÎÉÌÏÓØ ÌÉÛØ ËÒÉÔÉËÁ ÒÉÎ ÉÁ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ËÏÔÏÒÏÍÕ ËÁÖÄÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ÎÁÄÌÅÖÉÔ, ÎÅÍÅÄÌÅÎÎÏ ÏÓÌÅ ÅÇÏ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ, ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÏ×ÁÔØ ÒÉÍÅÒÁÍÉ ÅÇÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ. { ðÒÉÍÅÞÁÎÉÅ ï. ñ. ÷ÉÒÏ 1)

ðÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÎÅÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍ

23

ïÎÉ, ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ, ÎÅ ÚÎÁÀÔ, ÞÅÇÏ ÏÔ ÎÉÈ ÈÏÔÑÔ. ïÎÉ ÖÄÕÔ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÞÁ ÂÕÄÅÔ ÒÅÛÅÎÁ ÎÁ ÄÏÓËÅ, ÉÌÉ ÞÔÏ ÉÍ ÓËÁÖÕÔ, ËÁË ÒÅÛÁÔØ ÔÁËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ. ïÎÉ ÎÅ ÒÏÑ×ÌÑÀÔ ÉÎÉ ÉÁÔÉ×Ù, ÉÍ ×ÏÏÂÝÅ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅÒÉ×ÙÞÎÁ ÓÁÍÁ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ×ÏÒÏÓÁ. ÷ÅÄØ ÅÓÌÉ ×Ù ÓËÁÖÅÔÅ ÜÔÉÍ ÍÏÌÏÄÙÍ ÌÀÄÑÍ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÄÏÌÖÎÙ ÏÊÔÉ × ÍÁÇÁÚÉÎ É × ÁÔÅËÕ, É ÞÔÏ ÅÒÅÒÙ× × ÁÔÅËÅ ÔÏÇÄÁ-ÔÏ, Á × ÍÁÇÁÚÉÎÅ ÔÏÇÄÁÔÏ, ÏÎÉ ×ÙÂÅÒÕÔ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÏÒÑÄÏË ÏÓÅÝÅÎÉÑ ÍÁÇÁÚÉÎÁ É ÁÔÅËÉ É ÎÅ ÏÊÄÕÔ × ÁÔÅËÕ ×Ï ×ÒÅÍÑ ÅÒÅÒÙ×Á. îÕ, ËÏÎÅÞÎÏ, ×ÓÑËÉÅ ÂÙ×ÁÀÔ ÓÌÕÞÁÉ. (ïÖÉ×ÌÅÎÉÅ .) úÁÄÁÞÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÅÄÌÁÇÁÀÔÓÑ ÓÔÕÄÅÎÔÁÍ ÎÁ ÚÁÎÑÔÉÑÈ, ÇÏÒÁÚÄÏ ÒÏÝÅ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÒÏ ÁÔÅËÕ É ÍÁÇÁÚÉÎ. ïÄÎÁËÏ ÄÅÔÑÍ É × ÇÏÌÏ×Õ ÎÅ ÒÉÈÏÄÉÔ ÒÉÎÉÍÁÔØÓÑ ÚÁ ÉÈ ÒÅÛÅÎÉÅ. é ÄÅÔÑÍ, É ÔÁËÉÍ ÄÅÔÑÍ, ËÏÔÏÒÙÍ ÕÖÅ 17{ 18 ÌÅÔ. ÷ÏÔ ÜÔÏ ÕÄÉ×ÉÔÅÌØÎÏÅ Ñ×ÌÅÎÉÅ, ËÏÎÅÞÎÏ ÖÅ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅÍ ÓÁÍÏÇÏ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ðÏÄÏÂÎÙÍ ÖÅ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÕÄÉ×ÉÔÅÌØÎÙÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÝÉÊ ÕÒÏ×ÅÎØ ÏÚÎÁÎÉÊ × ÏÂÌÁÓÔÉ ÔÏÞÎÙÈ ÎÁÕË, ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÓÒÅÄÉ ×ÚÒÏÓÌÏÇÏ ÎÁÓÅÌÅÎÉÑ, ÓÒÅÄÉ ÌÀÄÅÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÄÁ×ÎÏ ÕÖÅ ÎÅ ÕÞÁÔÓÑ, Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ, × ÛËÏÌÅ ÉÌÉ × ÷õúÅ, É ÓÞÉÔÁÀÔÓÑ ÌÀÄØÍÉ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÍÉ. åÓÌÉ ×Ù ×ÏÚØÍÅÔÅ ÉÓÁÔÅÌÅÊ, ÍÕÚÙËÁÎÔÏ×, ÁËÔÅÒÏ×, ÒÅÖÉÓÓÅÒÏ×, ÏÞÅÎØ ÍÎÏÇÉÈ ×ÒÁÞÅÊ (Ñ ÕÖÅ ÎÅ ÇÏ×ÏÒÀ Ï ÄÒÕÇÉÈ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÑÈ ÇÕÍÁÎÉÔÁÒÎÙÈ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÓÔÅÊ), ×Ù ÏÂÎÁÒÕÖÉÔÅ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÕÄÉ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ×ÅÝÉ. ïÎÉ Ó ÇÏÒÄÏÓÔØÀ ÇÏ×ÏÒÑÔ É ÉÛÕÔ, ÞÔÏ ÎÅ ÓÉÌØÎÙ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÉÌÉ ÆÉÚÉËÅ. ïÎÉ ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÀÔ Ï ÜÔÏÍ Ó ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÕÓÍÅÛËÏÊ, É, × ÏÂÝÅÍ, ÎÅ ÄÅÌÁÀÔ ÂÏÌØÛÏÇÏ ÒÁÚÌÉÞÉÑ. ðÏÚ×ÏÌØÔÅ ÍÎÅ ÔÁËÏÊ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÕÔÒÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÏÂÏÒÏÔ ÒÅÞÉ: ÄÌÑ ÎÉÈ ×Ó£ ÜÔÏ | ËÁËÁÑ-ÔÏ ÏÂÌÁÓÔØ ÔÅÈÎÉËÉ, ÆÉÚÉËÉ | ÅÓÔØ ÞÔÏ-ÔÏ ÎÅ ÏÞÅÎØ ×ÙÓÏËÏÅ, ÎÅ ÏÞÅÎØ ÄÏÓÔÏÊÎÏÅ Õ×ÁÖÅÎÉÑ, ÎÏ, ×Ï ×ÓÑËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÎÅÞÔÏ ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ ÄÏÌÖÎÏ ÉÍ ÓÌÕÖÉÔØ. ó ×ÒÁÞÁÍÉ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÄÅÌÏ ÏÓÔÅÅÎÎÏ ÍÅÎÑÅÔÓÑ. óÅÊÞÁÓ ÒÅÏÄÁÀÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ É ÆÉÌÏÓÏÆÁÍ, É ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÑÍ ÄÒÕÇÉÈ ÇÕÍÁÎÉÔÁÒÎÙÈ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÓÔÅÊ. ïÄÎÁËÏ ÒÅÏÄÁÀÔ ×Ó£ Ï ÔÏÍÕ ÖÅ ÓÁÍÏÍÕ ÛÁÂÌÏÎÕ, ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅ ÄÏÂÉ×ÁÑÓØ ËÁËÏÇÏ ÂÙ ÔÏ ÎÉ ÂÙÌÏ ÏÎÉÍÁÎÉÑ ÉÌÉ ÒÏÎÉËÎÏ×ÅÎÉÑ × ÒÅÄÍÅÔ. åÓÌÉ ×Ù ×ÎÉÍÁÔÅÌØÎÏ ÏÞÉÔÁÅÔÅ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÅ, ÉÎÏÊ ÒÁÚ, ÓÔÁÔØÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ ÇÕÍÁÎÉÔÁÒÎÙÈ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÓÔÅÊ, ×Ù ÚÁÍÅÔÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÏÞÅÎØ ÌÀÂÑÔ ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÏÂÏÒÏÔÁÍÉ ÒÅÞÉ, ÚÁÉÍÓÔ×Ï×ÁÎÎÙÍÉ ÉÚ ÆÉÚÉËÉ É ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. üÔÏ ÍÏÄÎÏ, ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ, ÎÏ, Ï ÕÖÁÓ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÉÛÕÔ! ðÏÒÁÚÉÔÅÌØÎÏ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÎÅ ÏÞÅÎØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÅÂÅ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ É ÄÅÌÉÔÅÌØ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÓÔÅÅÎØ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÅ É ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. îÁÒÉÍÅÒ, ÍÏÖÎÏ ×ÓÔÒÅÔÉÔØ ÔÁËÕÀ ÆÒÁÚÕ, ÞÔÏ ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅÞÔÏ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÅ É ÏÔÏÍÕ ÜÔÏ ÎÅ ÎÏÌØ, Á ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔØ?! (óÍÅÈ ). ñ ÎÅ ÒÅÕ×ÅÌÉÞÉ×ÁÀ, Ñ ÍÏÇ ÂÙ ÒÉ×ÅÓÔÉ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÍÅÓÔ, ÇÄÅ ÔÁËÏÅ ÍÏÖÎÏ ÒÏÞÉÔÁÔØ. üÔÏ ×Ó£ ÎÁÉÓÁÎÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ ÌÀÄØÍÉ Ó ÇÒÏÍËÉÍÉ

24

÷. á. òÏÈÌÉÎ

ÉÍÅÎÁÍÉ. îÁÉÓÁÎÏ × ÇÁÚÅÔÁÈ. þÔÏ-ÔÏ ÏÎÉ ÚÁÏÍÎÉÌÉ ÉÚ ËÕÒÓÁ ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ÛËÏÌÙ É ÏÞÅÍÕ-ÔÏ ÄÕÍÁÀÔ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÚÁÏÍÎÉÌÉ ÒÁ×ÉÌØÎÏ. þÔÏ ÖÅ ÓÏ ×ÓÅÍ ÜÔÉÍ ÄÅÌÁÔØ? üÔÏ ÔÒÕÄÎÙÊ ×ÏÒÏÓ. ñ ÎÅ ×ÅÒÀ × ÔÏ, ÞÔÏ ÒÏÂÌÅÍÕ Ï×ÙÛÅÎÉÑ ÕÒÏ×ÎÑ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ | ÏÂÝÅÇÏ, ÍÁÓÓÏ×ÏÇÏ | × ÏÂÌÁÓÔÉ ÔÏÞÎÙÈ ÎÁÕË (É ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ) ÍÏÖÎÏ ÒÅÛÉÔØ ÂÙÓÔÒÏ. üÔÏ ÔÒÕÄÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ÔÒÅÂÕÅÔ ÏÇÒÏÍÎÙÈ ÕÓÉÌÉÊ É ×ÒÅÍÅÎÉ. ÷ÏÚÎÉËÁÅÔ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ×ÏÒÏÓ. á ÍÏÖÎÏ ÌÉ É ÎÕÖÎÏ ÌÉ ÜÔÕ ÚÁÄÁÞÕ ÒÅÛÁÔØ? ÷ÓÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÂÝÅÓÔ×Á ÄÏ ÎÅÄÁ×ÎÅÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ ÂÙÌÉ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÍÉ ÇÕÍÁÎÉÔÁÒÎÏ. ÷ ÉÓÔÏÒÉÉ ÞÅÌÏ×ÅÞÅÓÔ×Á ÅÝÅ ÎÅ ÂÙÌÏ ÏÂÝÅÓÔ×Á, ËÏÔÏÒÏÅ ÂÙÌÏ ÂÙ ÍÁÓÓÏ×ÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÏ × ÏÂÌÁÓÔÉ ÔÏÞÎÙÈ ÎÁÕË. ëÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ × ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÈ ÓÌÏÑÈ ÏÂÝÅÓÔ×Á × Ó×ÏÅ ×ÒÅÍÑ ÂÙÌÏ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÎÙÍ, ÞÒÅÚ×ÙÞÁÊÎÏ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÎÙÍ. îÏ ÔÏÞÎÙÅ ÓËÏÌØËÏ-ÎÉÂÕÄØ ÎÁÕËÉ ÓËÏÌØËÏ-ÎÉÂÕÄØ ÓÅÒØÅÚÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÎÅ ÂÙÌÉ ÄÏÓÔÏÑÎÉÅÍ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÊ ÞÁÓÔÉ ÏÂÝÅÓÔ×Á ÎÉËÏÇÄÁ. íÎÏÇÉÅ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÅ ÒÁÚ×É×ÁÀÝÉÅÓÑ ÓÔÒÁÎÙ ÉÍÅÀÔ ÂÏÌØÛÕÀ ÉÓÔÏÒÉÀ, ÕÈÏÄÑÝÕÀ × ÇÌÕÂØ ×ÅËÏ× É ÄÁÖÅ ÔÙÓÑÞÅÌÅÔÉÊ. íÎÏÇÉÅ ÉÚ ÎÉÈ ÉÍÅÀÔ Ó×ÏÀ ÉÎÔÅÌÌÉÇÅÎ ÉÀ, ÎÏ ÜÔÏ ÉÎÔÅÌÌÉÇÅÎ ÉÑ ÏÑÔØ ÖÅ ÇÕÍÁÎÉÔÁÒÎÁÑ. ïÎÉ ÞÒÅÚ×ÙÞÁÊÎÏ ÏÈÏÔÎÏ ÉÚÕÞÁÀÔ ÇÕÍÁÎÉÔÁÒÎÙÅ ÎÁÕËÉ, ÎÏ ÔÏÞÎÙÅ ÎÁÕËÉ ÎÅ ÏÞÅÎØ ÏÈÏÔÎÏ. îÅ ÏÞÅÎØ ÏÈÏÔÎÏ É ÎÅ ÏÞÅÎØ ÕÓÅÛÎÏ. úÁËÁÎÞÉ×ÁÑ ÜÔÉ ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÙÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ, Ñ ÈÏÞÕ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÎÉËÔÏ ÎÅ ÚÎÁÅÔ, ÎÕ É Ñ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÎÅ ÚÎÁÀ, Ë ÞÅÍÕ ÒÉ×ÅÌÏ ÂÙ, ÍÁÓÓÏ×ÏÅ ÓÅÒØÅÚÎÏÅ ÏÂÕÞÅÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ É ÔÏÞÎÙÍ ÎÁÕËÁÍ, | ÕÌÕÞÛÉÌÏ ÂÙ ÜÔÏ ÏÌÏÖÅÎÉÅ, ÉÌÉ ÕÈÕÄÛÉÌÏ, ÞÔÏ ÕÌÕÞÛÉÌÏÓØ ÂÙ, ÞÔÏ ÕÈÕÄÛÉÌÏÓØ. ñ ÜÔÏÇÏ ÎÅ ÚÎÁÀ, ËÁË ÎÅ ÚÎÁÅÔ ÎÉËÔÏ. ÁËÏÇÏ ÏÙÔÁ ÎÅÔ. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÍÙ ÏÞÅÍÕ-ÔÏ Ë ÜÔÏÊ ÅÌÉ ÓÔÒÅÍÉÍÓÑ. íÙ ÓÔÁÒÁÅÍÓÑ. ëÁË-ÔÏ ÍÙ ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÏ ÞÕ×ÓÔ×ÕÅÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÂÕÄÅÔ ÈÏÒÏÛÏ, ÅÓÌÉ ÎÁÛÉ ÄÅÔÉ É ×ÎÕËÉ ÂÕÄÕÔ ÒÉÏÂÝÅÎÙ Ë ÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ËÕÌØÔÕÒÅ, Ë ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ËÕÌØÔÕÒÅ, ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÂÕÄÕÔ ÌÕÞÛÅ ÏÎÉÍÁÔØ ÔÏÞÎÙÅ ÎÁÕËÉ. ïÞÅÎØ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÒÉ×ÅÄÅÔ Ë ÎÅ×ÉÄÁÎÎÏÍÕ ÅÒÅ×ÏÒÏÔÕ, Ë ÎÅ×ÉÄÁÎÎÙÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÍ, { ËÔÏ ÚÎÁÅÔ. îÏ, ÔÁË ÉÌÉ ÉÎÁÞÅ, ÄÏ ÜÔÏÇÏ ÄÁÌÅËÏ. ïÂÒÁÝÁÑÓØ Ë ÂÏÌÅÅ ÕÚËÏÍÕ ÒÅÄÍÅÔÕ Ó×ÏÅÊ ÌÅË ÉÉ, Ñ ÄÏÌÖÅÎ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÏÂÕÞÅÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× | ÄÅÌÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÂÏÌÅÅ ÌÅÇËÏÅ, ÞÅÍ ÏÂÕÞÅÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÎÅÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×. ÷ ËÏÎ Å ËÏÎ Ï×, Ó ÂÕÄÕÝÉÍÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍÉ ÍÙ ÒÁÚÇÏ×ÁÒÉ×ÁÅÍ ÞÅÓÔÎÏ. ÷ÏÔ ÅÓÔØ ÎÁÕËÁ, É ÜÔÏÊ ÎÁÕËÅ, ËÏÔÏÒÕÀ ÚÎÁÅÍ ÍÙ, ÍÙ ÓÔÁÒÁÅÍÓÑ ÏÂÕÞÉÔØ ÂÕÄÕÝÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×. ëÁË ÂÙ ÍÙ ÎÉ ÂÙÌÉ ÉÓËÕÓÎÙ ÉÌÉ ÎÅÉÓËÕÓÎÙ × ÄÅÌÅ ÞÔÅÎÉÑ ÌÅË ÉÊ É ×ÅÄÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ, ÍÙ, ÚÎÁÑ ÒÅÄÍÅÔ, ÓÏÓÏÂÎÙ ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÝÉÍÓÑ ÌÀÄÑÍ Ó×ÏÉ ÚÎÁÎÉÑ ÅÒÅÄÁÔØ. îÏ ËÁË ÂÙÔØ Ó ÔÅÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÔÓÑ É ÄÕÍÁÀÔ, ÞÔÏ ÎÅ ÓÏÓÏÂÎÙ, ÉÌÉ ÔÁË ÇÏ×ÏÒÑÔ. ïÞÅÎØ ÞÁÓÔÏ ÜÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ ÌÀÄÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÏÓÔÏ ÏÇÒÑÚÌÉ, ÔÁË ÓËÁÚÁÔØ, Ó ÄÅÔÓÔ×Á × ÉÎÔÅÌÌÅËÔÕÁÌØÎÏÊ ÌÅÎÉ. üÔÁ ÉÎÔÅÌÌÅËÔÕÁÌØÎÁÑ ÌÅÎØ |

ðÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÎÅÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍ

25

ÞÒÅÚ×ÙÞÁÊÎÏ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÎÏÅ Ñ×ÌÅÎÉÅ, ÉÎÏÊ ÒÁÚ ÜÔÏ ÕÄÁÅÔÓÑ ÂÙÓÔÒÏ ×ÙÑÓÎÉÔØ. ðÏÇÏ×ÏÒÉ× ÎÅÄÏÌÇÏ Ó ÞÅÌÏ×ÅËÏÍ, ÕÔ×ÅÒÖÄÁÀÝÉÍ, ÞÔÏ Õ ÎÅÇÏ ÎÅÔ ÎÉËÁËÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔÅÊ, ÞÔÏ ÏÎ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÄÁÌÅË ÏÔ ×ÓÅÇÏ ÜÔÏÇÏ, ÏÂÎÁÒÕÖÉ×ÁÅÛØ, ÞÔÏ ÏÎ ÒÅËÒÁÓÎÏ ÏÎÑÌ ×Ó£, ÞÔÏ ×Ù ÅÍÕ ÓËÁÚÁÌÉ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÏÒÏÓ Ï ÓÏÓÏÂÎÏÓÔÑÈ × ÜÔÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ | ÓÌÏÖÎÙÊ ×ÏÒÏÓ, É ÎÅ ÎÁÄÏ ÕÖ ÔÁË ÒÑÍÏ É ÒÏÓÔÏ ÄÏ×ÅÒÑÔØ ÌÀÄÑÍ, ËÏÔÏÒÙÅ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ Õ ÎÉÈ ÎÅÔ ÓËÌÏÎÎÏÓÔÉ Ë ÜÔÉÍ ÏÂÌÁÓÔÑÍ, Õ ÎÉÈ, ×ÉÄÉÔÅ ÌÉ, ÇÕÍÁÎÉÔÁÒÎÙÊ ÉÎÔÅÒÅÓ. ïÂÒÁÝÁÑÓØ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ Ë ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÎÅÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍ, Ñ ÄÏÌÖÅÎ, ÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, ÏÂßÑÓÎÉÔØ, ËÏÇÏ Ñ ÎÁÚÙ×ÁÀ ÎÅÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÍ. âÅÓÏÌÅÚÎÏ ÏÂÓÕÖÄÁÔØ ÜÔÏÔ ×ÏÒÏÓ ×ÏÏÂÝÅ. ñ ÒÏÓÔÏ ÓËÁÖÕ, ËÏÇÏ Ñ ÉÍÅÀ × ×ÉÄÕ ×ÏÔ ÓÅÊÞÁÓ, ÇÏ×ÏÒÑ Ï ÜÔÏÍ ÒÅÄÍÅÔÅ. ñ ÉÍÅÀ × ×ÉÄÕ ÏÂÕÞÅÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÌÀÄÅÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÓÏÂÉÒÁÀÔÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ ÚÁÎÉÍÁÔØÓÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÉÚÕÞÁÀÔ ÅÅ ÌÉÂÏ ÄÌÑ ÒÉËÌÁÄÎÙÈ ÅÌÅÊ, ÌÉÂÏ ÏÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÒÏÑ×ÌÑÀÔ Ë ÎÅÊ ÎÅÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÙÊ ÉÎÔÅÒÅÓ. îÕ, ÉÎÔÅÒÅÓ ÜÔÏÔ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÏÂÌÅÇÞÁÅÔ ËÁË-ÔÏ ÚÁÄÁÞÕ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÑ. ïÞÅÎØ ÞÁÓÔÏ ÜÔÏÇÏ ÉÎÔÅÒÅÓÁ ÎÅÔ, Á ÅÓÔØ ÏÔ×ÒÁÝÅÎÉÅ. óËÏÌØËÏ ÕÇÏÄÎÏ ÉÍÅÅÔÓÑ ÓÅÊÞÁÓ ËÁÔÅÇÏÒÉÊ ÏÂÕÞÁÀÝÉÈÓÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÂÑÚÁÎÙ ÞÔÏ-ÔÏ ÕÞÉÔØ × ÏÂÌÁÓÔÉ ÔÏÞÎÙÈ ÎÁÕË, ÎÏ ÎÅ ÒÏÑ×ÌÑÀÔ Ë ÜÔÏÍÕ ÉÎÔÅÒÅÓÁ. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÏÎÉ ÄÏÌÖÎÙ ÓÄÁ×ÁÔØ ÜËÚÁÍÅÎÙ É ÒÏÞÅÅ. ëÁË ÂÙÔØ Ó ÜÔÉÍÉ ÌÀÄØÍÉ? ëÁË ÂÙÔØ Ó ÌÀÄØÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÏÑ×ÌÑÀÔ ÉÎÔÅÒÅÓ Ë ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÎÏ ÏÂÕÞÁÀÔÓÑ Ï ÒÏÇÒÁÍÍÁÍ, Ï ËÏÔÏÒÙÍ ÎÁÕÞÉÔØÓÑ ÎÅÌØÚÑ? éÍÅÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÇÒÁÍÍ ÄÌÑ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÷õúÏ×2) ÓÁÍÏÇÏ ÒÁÚÎÏÇÏ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÑ, ÓÁÍÏÇÏ ÒÁÚÎÏÇÏ ÏÂßÅÍÁ. ïÄÎÁËÏ ÞÁÓÔÏ É ÒÏÇÒÁÍÍÙ, É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÕÞÅÂÎÉËÉ ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÙÍÉ, Á ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ÒÏÓÔÏ ÉÓÏÒÞÅÎÎÙÅ ËÕÒÓÙ, Ï ËÏÔÏÒÙÍ ÇÏÔÏ×ÑÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×. ÷Ó£ ÔÏÔ ÖÅ ÏÒÑÄÏË ÉÚÌÏÖÅÎÉÑ, ×Ó£ ÔÅ ÖÅ ÒÅÄÅÌÙ, ÔÁ ÖÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ, ÔÏÔ ÖÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌ, ÔÅ ÖÅ ËÒÉ×ÙÅ ×ÔÏÒÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ, É ÔÁË ÄÁÌÅÅ, É ÔÏÍÕ ÏÄÏÂÎÏÅ. éÚÌÏÖÅÎÉÅ ×ÅÄÅÔÓÑ × ÔÏÍ ÖÅ ÏÒÑÄËÅ, ÎÏ ÍÅÎÅÅ ÏÎÑÔÎÏ. îÅÔ ÎÁÄÌÅÖÁÝÉÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÚ×ÏÌÉÌÉ ÂÙ ÏÎÑÔØ ÓÕÔØ ÄÅÌÁ. îÅÔ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÎÏÇÏ ÔÁÌÁÎÔÁ Õ Á×ÔÏÒÏ× ÕÞÅÂÎÉËÏ×. ÷Ó£ ÜÔÏ ÓËÕÞÎÏ, ÎÅÏÎÑÔÎÏ. èÏÒÏÛÏ, ÅÓÌÉ ÌÅËÔÏÒ ÓÍÏÖÅÔ ÚÁÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÔØ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× É ÞÔÏ-ÔÏ ÉÍ ÏÂßÑÓÎÉÔØ, ÔÁË ÓËÁÚÁÔØ, ÚÁ ÒÁÍËÁÍÉ ÎÁÉÓÁÎÎÏÇÏ. üÔÏ ÏÌÏÖÅÎÉÅ ×ÅÝÅÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÍÁÓÓÏ×ÙÍ, É ÎÅ ÔÏÌØËÏ × ÎÁÛÅÊ ÓÔÒÁÎÅ ÏÎÏ ÔÁËÏ×Ï, ËÁË Ñ ÇÏ×ÏÒÉÌ. üÔÏ Ñ×ÌÅÎÉÅ ×ÏÌÎÅ ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÅ. é, ËÁË ÍÎÅ ËÁÖÅÔÓÑ, ÓÕÔØ ÄÅÌÁ ÚÄÅÓØ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ. ðÏ-×ÉÄÉÍÏÍÕ, ×ÙÓÛÉÅ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÅ ÕÞÅÂÎÙÅ ÚÁ×ÅÄÅÎÉÑ, ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÉÎÓÔÉÔÕÔÙ É ÓÒÅÄÎÉÅ ÛËÏÌÙ ÔÒÅÂÕÀÔ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÏÓÏÂÙÈ ËÕÒÓÏ× ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. äÌÑ ËÁÖÄÏÊ ËÁÔÅÇÏÒÉÉ ÏÂÕÞÁÀÝÉÈÓÑ (ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÊ, ËÏÎÅÞÎÏ) ÎÕÖÅÎ, 2)

áÂÂÒÅ×ÉÁÔÕÒÁ ÷õú ÏÚÎÁÞÁÅÔ ×ÙÓÛÅÅ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÏÅ ÕÞÅÂÎÏÅ ÚÁ×ÅÄÅÎÉÅ.

26

÷. á. òÏÈÌÉÎ

Ï-×ÉÄÉÍÏÍÕ, Ó×ÏÊ ËÕÒÓ. é ×Ï×ÓÅ ÎÅ ÔÏÔ, Ï ËÏÔÏÒÏÍÕ ÕÞÁÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×. çÌÁ×ÎÙÊ ÄÅÆÅËÔ ÜÔÉÈ ËÕÒÓÏ×, ÇÌÁ×ÎÁÑ ÒÉÞÉÎÁ ÉÈ ÎÅÕÓÅÈÏ×, ËÁË ÍÎÅ ËÁÖÅÔÓÑ, ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ. îÉËÔÏ ÉÚ ËÒÕÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ÚÁÎÉÍÁÌÓÑ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÅÍ ËÕÒÓÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÄÌÑ ÎÅÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×. óÅÊÞÁÓ Ñ ÇÏ×ÏÒÀ ÕÖÅ ÎÅ Ï ÓÒÅÄÎÅÊ ÛËÏÌÅ, Á Ï ×ÙÓÛÅÊ, É ÉÍÅÀ × ×ÉÄÕ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ. ÷ÏÔ ÏÂÙÞÎÏ, ÅÒÅÄ ÔÅÍ, ËÁË ÉÚÌÁÇÁÔØ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÅ É ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ, ÓÔÕÄÅÎÔÁÍ ÒÅÏÄÁÀÔ ÔÅÏÒÉÀ ÒÅÄÅÌÏ×. ÅÅÒØ É × ÓÒÅÄÎÅÊ ÛËÏÌÅ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ. ÁÍ ÔÏÖÅ ÒÅÏÄÁÀÔ ÒÅÄÅÌÙ. íÅÖÄÕ ÔÅÍ, É ÜÔÏ ÑÒËÉÊ ÒÉÍÅÒ ÉÍÅÀÝÅÇÏÓÑ ÏÌÏÖÅÎÉÑ ×ÅÝÅÊ, ÒÅÄÅÌÙ | ÜÔÏ ÓÁÍÁÑ ÔÒÕÄÎÁÑ ÞÁÓÔØ ËÕÒÓÁ ÄÌÑ ÏÎÉÍÁÎÉÑ É, ÞÔÏ ÓÁÍÏÅ ÉÎÔÅÒÅÓÎÏÅ, | ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅÎÕÖÎÁÑ. é ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ, É ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ, É, ×ÏÏÂÝÅ, ×ÓÀ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÕÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ, Ñ ÕÖÅ ÎÅ ÇÏ×ÏÒÀ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ËÏÎÅÞÎÏÊ, ÒÅËÒÁÓÎÏ ÍÏÖÎÏ ÉÚÌÏÖÉÔØ ÂÅÚ ÒÅÄÅÌÏ×. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÏÎÉ ÔÁÍ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅ ÎÕÖÎÙ. üÔÏ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÞÕÖÅÒÏÄÎÏÅ Ñ×ÌÅÎÉÅ, ÞÕÖÅÒÏÄÎÙÊ ÒÅÄÍÅÔ, ËÏÔÏÒÙÊ ÂÙÌ ×ÎÅÓÅÎ × ÜÔÕ ÏÂÌÁÓÔØ ÌÀÄØÍÉ, ÓÔÒÅÍÉ×ÛÉÍÉÓÑ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÔØ ÁÎÁÌÉÚ. íÅÖÄÕ ÔÅÍ, ÅÌØ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ×Ï ÷õúÅ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÎÅ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ, É ÄÁÖÅ ÎÅ ÓÔÁ×ÉÔÓÑ. õÖÅ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÒÉÍÅÒÁ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÉ ËÕÒÓÙ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅ ÒÏÄÕÍÁÎÙ É ÒÏÓÔÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ÕÈÕÄÛÅÎÎÙÅ ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÓËÉÈ ËÕÒÓÏ×. óÅÊÞÁÓ Ñ ÏÂßÑÓÎÀ Ó×ÏÀ ÍÙÓÌØ, ÏÔÎÏÓÑÝÕÀÓÑ Ë ÒÅÄÅÌÁÍ, ÞÕÔØ ÂÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÏ. ÷ÏÔ ËÏÇÄÁ Ñ ÕÞÉÌÓÑ × ÛËÏÌÅ (×ÏÚÍÏÖÎÏ ÜÔÏ É ÓÅÊÞÁÓ ÔÁË), ÍÎÅ ÏÂßÑÓÎÑÌÉ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÌÏÝÁÄØ ËÒÕÇÁ. íÎÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÉ, ÞÔÏ ÌÏÝÁÄØ ËÒÕÇÁ | ÜÔÏ ÒÅÄÅÌ ÎÅËÉÊ, É ÏÔÏÍ ÞÔÏ-ÔÏ ÉÓÁÌÉ, ÇÏ×ÏÒÉÌÉ, É ÏÌÕÞÁÌÉ ËÁËÕÀ-ÔÏ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÌÏÝÁÄÉ ËÒÕÇÁ. ÒÕÄÎÏ ÂÙÌÏ ÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÔÁÍ ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÌÉ, Á ËÏÇÄÁ Ñ ÓÔÁÌ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÍ, ÔÏ ÍÎÅ ÓÔÁÌÏ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÑÓÎÏ, ÏÞÅÍÕ ÜÔÏ ÂÙÌÏ ÔÒÕÄÎÏ ÏÎÑÔØ | ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ×Ó£ ÜÔÏ ÓÌÏÛÎÏÊ ×ÚÄÏÒ. îÉËÔÏ ÉÚ ÏÂÕÞÁ×ÛÉÈÓÑ ×ÍÅÓÔÅ ÓÏ ÍÎÏÀ ÎÅ ÓÏÍÎÅ×ÁÌÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÎ ÚÎÁÅÔ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÌÏÝÁÄØ ËÒÕÇÁ. óËÏÒÅÅ ÎÁÍ ÂÙÌÏ ÓÔÒÁÎÎÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ËÒÕÇÁ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÌÏÝÁÄØ, ÎÏ ÏÞÅÍÕ-ÔÏ ÏÎÁ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÄÌÑ ÄÒÕÇÉÈ ÆÉÇÕÒ. îÁÍ ÂÙÌÏ ÓÔÒÁÎÎÏ ÔÏ, ÞÔÏ ÌÏÝÁÄØ ËÒÕÇÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ÎÁÍ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÏÎÑÔÎÁ, ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÎÁÍ ÞÅÒÅÚ ËÁËÉÅ-ÔÏ ÒÅÄÅÌÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÍ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅÏÎÑÔÎÙ. îÁÍ ÂÙÌÏ ÓÔÒÁÎÎÏ, ËÏÎÅÞÎÏ ÖÅ (É ×ÓÅÍ ÄÅÔÑÍ ÓÔÒÁÎÎÏ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅÍÎÏÖÅÞËÏ Ï ÜÔÏÍ ÒÁÚÍÙÛÌÑÌÉ), ÞÔÏ ËÁËÉÅ-ÔÏ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÒÅÄÅÌÁÈ ÎÕÖÎÙ ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÓÏ×ÓÅÍ ÑÓÎÙÅ É ÒÏÓÔÙÅ ×ÅÝÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÍÙ ÎÅ ÓÏÍÎÅ×ÁÌÉÓØ. îÕ, Á ÄÌÑ ÞÅÇÏ ÖÅ ×ÏÏÂÝÅ ÏÒÅÄÅÌÑÔØ ÌÏÝÁÄØ ËÒÕÇÁ É ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÒÁ×ÎÁ R2 ? ðÏÞÅÍÕ ÎÅ ÏÂßÑ×ÉÔØ ÒÏÓÔÏ, ÞÔÏ ÌÏÝÁÄØ ËÒÕÇÁ ÅÓÔØ, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, R2 , ËÁËÁÑ ÒÁÚÎÉ Á? ðÏ-×ÉÄÉÍÏÍÕ, ÒÁÚÎÉ Á × ÔÏÍ, ÄÅÊ-

ðÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÎÅÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍ

27

ÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÓÅÒØÅÚÎÁÑ ÒÁÚÎÉ Á, ÞÔÏ ÌÏÝÁÄØÀ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÎÅ ÏÄÉÎ ËÒÕÇ, ÞÔÏ ÌÏÝÁÄØ | ÜÔÏ ÏÂÝÅÅ ÏÎÑÔÉÅ, ÞÔÏ ÌÏÝÁÄØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÄÌÑ ÛÉÒÏËÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ÆÉÇÕÒ, ÏÎÁ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ×ÓÅÍ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÍÉ É ÏÌØÚÕÀÔÓÑ É ËÏÔÏÒÙÅ ÄÅÌÁÀÔ ÌÏÝÁÄØ ÏÎÑÔÉÅÍ ÏÌÅÚÎÙÍ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÛËÏÌØÎÏÇÏ ËÕÒÓÁ Ë ÏÎÑÔÉÀ ÌÏÝÁÄÉ ÂÙÌÏ ÔÏÇÄÁ (Á, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ, É ÓÅÊÞÁÓ ×Ï ÍÎÏÇÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÏÓÔÁÅÔÓÑ) ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÄÉËÉÍ. îÏ ÔÁËÏ×Ï ÖÅ É ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ × ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ×Ï ÷õúÅ É Ë ÉÎÔÅÇÒÁÌÁÍ, É Ë ÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ, É Ë ÏÂßÅÍÕ, É Ë ÍÁÓÓÅ, É Ë ÌÏÔÎÏÓÔÉ, É Ë ÚÁÒÑÄÕ, É Ë ÍÏÍÅÎÔÕ ÉÎÅÒ ÉÉ É, ×ÏÏÂÝÅ, ËÏ ×ÓÅÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ É ÆÉÚÉÞÅÓËÉÍ ×ÅÌÉÞÉÎÁÍ ÔÁËÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÉÌÉ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÇÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÁ. ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÞÅÌÏ×ÅËÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÙÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÍ, ×ÅÝÉ ÜÔÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ, ÏÎÉ ÎÅ ÔÒÅÂÕÀÔ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ | ÏÎÉ ÔÒÅÂÕÀÔ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ, É ÏÎÉ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÇÏÔÏ×Ù ÄÌÑ ÒÉÍÅÎÅÎÉÊ. ÷ÏÔ ÔÏ, ÞÔÏ ÎÕÖÎÏ. ÏÞËÅ ÚÒÅÎÉÑ, Ó ËÏÔÏÒÏÊ ÉÈ ÎÕÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÔØ, ÎÅ ÍÅÓÔÏ × ÔÁËÏÍ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÉ | Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ, ÞÅÌÏ×ÅËÕ, ËÏÔÏÒÙÊ ÎÅ ÓÏÍÎÅ×ÁÅÔÓÑ × ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÌÏÝÁÄÉ Õ ×ÓÅÈ ÆÉÇÕÒ É × Ó×ÏÊÓÔ×ÁÈ ÌÏÝÁÄÉ, ÔÁËÏÍÕ ÞÅÌÏ×ÅËÕ ÎÅ ÎÕÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÔØ ÌÏÝÁÄØ. îÕÖÎÏ ÉÚÕÞÁÔØ ÅÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á, ÎÕÖÎÏ ÎÁÕÞÉÔØ ÅÇÏ ÜÔÕ ÌÏÝÁÄØ ×ÙÞÉÓÌÑÔØ. óÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÔÏ ÖÅ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ É Ë ÄÒÕÇÉÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÏÎÑÔÉÑÍ. îÕ ×ÏÔ, ×ÏÚØÍÉÔÅ ÏÎÑÔÉÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ. ñ ÈÏÔÅÌ ÂÙ Ï ÜÔÏÍÕ Ï×ÏÄÕ ÚÁÄÁÔØ ÏÄÉÎ ×ÏÒÏÓ ÉÓÔÏÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÁ. óËÁÖÉÔÅ, áÒÈÉÍÅÄ ×ÌÁÄÅÌ ÏÎÑÔÉÅÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÉÌÉ ÎÅÔ? îÁ ÜÔÏÔ ÓÞÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÒÁÚÎÙÅ ÍÎÅÎÉÑ. ïÄÎÉ ÇÏ×ÏÒÑÔ: ×ÌÁÄÅÌ. äÒÕÇÉÅ ÇÏ×ÏÒÑÔ: ÎÅ ×ÌÁÄÅÌ. ñ ×ÙÓËÁÖÕ Ó×ÏÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÍÎÅÎÉÅ. ñ ÄÕÍÁÀ, ÞÔÏ áÒÈÉÍÅÄ, ×ÅÌÉÞÁÊÛÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË, ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ×ÓÅÈ ×ÒÅÍÅÎ, ÎÅ ×ÌÁÄÅÌ ÏÎÑÔÉÅÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ. é ×ÏÔ ÏÞÅÍÕ Ñ ÔÁË ÄÕÍÁÀ. áÒÈÉÍÅÄ ÍÎÏÇÏËÒÁÔÎÏ, É ÍÎÏÇÉÍÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ×ÙÞÉÓÌÑÌ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ x2 ÍÅÖÄÕ ÎÕÌÅÍ É ÅÄÉÎÉ ÅÊ. ïÎ ×ÙÞÉÓÌÑÌ ÅÇÏ, ËÏÇÄÁ ÚÁÎÉÍÁÌÓÑ ÌÏÝÁÄØÀ ÕÞÁÓÔËÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁÍÉ ÒÑÍÙÈ É ÄÕÇÏÊ ÁÒÁÂÏÌÙ. ïÎ ×ÙÞÉÓÌÑÌ ÜÔÏÔ ÉÎÔÅÇÒÁÌ, ËÏÇÄÁ ×ÙÞÉÓÌÑÌ ÏÂß£Í ÛÁÒÁ, É ×Ï ÍÎÏÇÉÈ ÄÒÕÇÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ. ëÁÖÄÙÊ ÒÁÚ ÏÎ ÕÏÔÒÅÂÌÑÌ ÏÓÏÂÙÅ ÒÉÅÍÙ, ÏÞÅÎØ ÏÓÔÒÏÕÍÎÙÅ, ÇÅÎÉÁÌØÎÙÅ. îÏ, Ï-×ÉÄÉÍÏÍÕ, ÏÎ ÎÅ ÚÎÁÌ, ÞÔÏ ÜÔÏ ×Ó£ ÏÄÎÏ É ÔÏ ÖÅ. èÏÔÑ, ÎÁ×ÅÒÎÏÅ, ÞÕ×ÓÔ×Ï×ÁÌ. ðÒÉÞÉÎÁ ÜÔÏÇÏ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÏÎÑÔÎÁ. çÒÅËÉ ÎÅ ×ÌÁÄÅÌÉ ÏÎÑÔÉÅÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ. ïÂßÅÍ É ÌÏÝÁÄØ ÂÙÌÉ ÄÌÑ ÎÉÈ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÒÁÚÎÙÍÉ ÓÕÝÎÏÓÔÑÍÉ, ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ ÓÕÝÎÏÓÔÑÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÎÉ ÎÅ ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÌÉ. îÁÒÉÍÅÒ, x + x2 , ÔÁËÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÏÖÎÏ ÎÁÉÓÁÔØ, ×ÙÚ×ÁÌÏ ÂÙ ÒÏÔÅÓÔ. þÅÌÏ×ÅË, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÊ Ï-ÄÒÅ×ÎÅÇÒÅÞÅÓËÉ, ÓËÁÚÁÌ ÂÙ, ÞÔÏ x É x2 ÎÉËÁË ÎÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÓËÌÁÄÙ×ÁÔØ. üÔÏ ×ÓÅ ÒÁ×ÎÏ, ÞÔÏ ÓËÌÁÄÙ×ÁÔØ ÌÉÎÉÉ Ó ÌÏÓËÉÍÉ ÆÉÇÕÒÁÍÉ. á ÍÙ ÓËÌÁÄÙ×ÁÅÍ. õ ÎÁÓ ÅÓÔØ ÞÉÓÌÁ. é ×ÏÔ

28

÷. á. òÏÈÌÉÎ

ÞÉÓÌÏ×ÙÍ ÏÎÑÔÉÅÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ áÒÈÉÍÅÄ, Ï-×ÉÄÉÍÏÍÕ, ÎÅ ×ÌÁÄÅÌ. åÓÌÉ ÂÙ ÏÎ ÉÍ ×ÌÁÄÅÌ, ÔÏ ÏÎ, ×ÎÅ ×ÓÑËÏÇÏ ÓÏÍÎÅÎÉÑ, ÎÅ ×ÙÞÉÓÌÑÌ ÂÙ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÍÎÏÇÏ ÒÁÚ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, áÒÈÉÍÅÄ ÏÓÔÁ×ÉÌ ÎÁÍ ÍÅÔÏÄ ÉÓÞÅÒÙ×ÁÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÊ, Ï-×ÉÄÉÍÏÍÕ, ËÁË ÎÅÌØÚÑ ÂÏÌÅÅ ÏÄÈÏÄÉÔ ÄÌÑ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÎÅÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍ. ÷ ÓÉÌÕ ÜÔÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ, ×ÍÅÓÔÏ ×ÓÅÊ ÔÅÏÒÉÉ ÒÅÄÅÌÏ×, ÎÕÖÅÎ ÏÄÉÎ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÆÁËÔ. ñ ÅÇÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÕÀ. æÁËÔ ÜÔÏÔ ÏÞÅÎØ ÎÅÓÌÏÖÅÎ. ïÎ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÍÅÎØÛÅ ÌÀÂÏÇÏ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ, ÔÏ ÜÔÏ ÎÕÌØ. ðÏ×ÔÏÒÑÀ, ÅÓÌÉ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÍÅÎØÛÅ ÌÀÂÏÇÏ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ, ÔÏ ÜÔÏ ÎÕÌØ. æÁËÔ ÜÔÏÔ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ. îÏ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ, ÅÇÏ ÎÅ ÎÕÖÎÏ É ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ. ðÏÓÌÅ ÔÏÇÏ, ËÁË ×Ù ÚÎÁËÏÍÙ Ó ÜÔÉÍ ÆÁËÔÏÍ, ×Ù ÍÏÖÅÔÅ ÎÁ ÅÇÏ ÏÓÎÏ×Å ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ×ÓÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, ËÏÔÏÒÙÅ ×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ × ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÍ É ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÍ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÉ É ÉÈ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑÈ É, ×ÏÏÂÝÅ, ×Ï ×Ó£Í ÁÎÁÌÉÚÅ, | ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ ×Ù ÎÅ ÚÁÎÉÍÁÅÔÅÓØ ÔÅÏÒÅÍÁÍÉ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ. ÷Ù ÎÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÅ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ. éÍÅÎÎÏ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÅÏÒÉÑ ÒÅÄÅÌÏ×. åÓÌÉ ×ÁÍ ÎÅ ÎÕÖÎÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÌÏÝÁÄÉ, ÔÏ ÔÅÏÒÉÑ ÒÅÄÅÌÏ× ÎÅ ÎÕÖÎÁ × ÜÔÏÍ ×ÏÒÏÓÅ. åÓÌÉ ×ÁÍ ÎÅ ÎÕÖÎÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ, ÔÏ ÔÅÏÒÉÑ ÒÅÄÅÌÏ× ÎÅ ÎÕÖÎÁ | É ÔÁË ÄÁÌÅÅ. åÓÌÉ ×ÁÍ ÎÕÖÎÏ ÔÏÌØËÏ ×ÙÞÉÓÌÑÔØ, ÔÏ ×Ù ÍÏÖÅÔÅ ÏÂÏÊÔÉÓØ ÂÅÚ ÔÅÏÒÉÉ ÒÅÄÅÌÏ×. üÔÏ ÓÒÁÚÕ ÄÅÌÁÅÔ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÅ É ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÙÍ. [ÅÒÅÒÙ×℄

ñ ÇÏ×ÏÒÉÌ Ï ÔÅÏÒÉÉ ÒÅÄÅÌÏ×. ðÏÞÅÍÕ ÜÔÁ ÔÅÏÒÉÑ ×ÙÚÙ×ÁÅÔ Õ ÍÅÎÑ ÔÁËÏÅ ÖÅÌÁÎÉÅ ÓÔÏÌØ ËÒÕÔÏ Ó ÎÅÊ ÒÁÓÒÁ×ÉÔØÓÑ, ÉÚÇÎÁÔØ ÅÅ ÉÚ ËÕÒÓÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÄÌÑ ÎÅÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×? ñ ÎÅ ÈÏÞÕ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÅ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÔÏ×ÓÀÄÕ ÉÚÇÎÁÔØ, ÎÅÔ. ñ ÈÏÞÕ ÓËÁÚÁÔØ ÔÏÌØËÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ. ÅÏÒÉÑ ÒÅÄÅÌÏ× × ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÓÌÕÖÉÔ ÎÅ ÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ ××ÅÓÔÉ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ ÁÎÁÌÉÚÁ, Á ÏÞÅÎØ ×ÙÓÏËÉÍ É ÔÒÕÄÎÏ ÒÅÏÄÏÌÉÍÙÍ ÏÒÏÇÏÍ, ÞÅÒÅÚ ËÏÔÏÒÙÊ ÎÕÖÎÏ ÅÒÅÂÒÁÔØÓÑ ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÞÔÏ-ÎÉÂÕÄØ ÏÎÑÔØ. é ÏÒÏÇ ÜÔÏÔ | ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÌÉÛÎÉÊ! ïÎ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÎÅÒÅÏÄÏÌÉÍ ÄÌÑ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×-ÎÅÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÌÉÛÎÉÍ. ðÏÚ×ÏÌØÔÅ Ñ ÒÉ×ÅÄÕ ÒÉÍÅÒ, ËÏÔÏÒÙÊ ÜÔÏ ÒÏÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÕÅÔ. ñ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ ÍÏÇ ÂÙ ×ÚÑÔØ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÉÌÉ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ. ñ ×ÏÚØÍÕ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÏÊ ÓÌÕÞÁÊ, ÉÌÉ, ÌÕÞÛÅ ÓËÁÚÁÔØ, ÒÅÄÍÅÔ, Ï ËÏÔÏÒÏÍ ÂÙÓÔÒÅÅ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓËÁÚÁÔØ, | ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ.

ðÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÎÅÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍ

29

÷Ù ÄÏÌÖÎÙ ÏÂßÑÓÎÉÔØ ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÍ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. ëÏÎÅÞÎÏ, ×Ù ÍÏÖÅÔÅ ÎÁÞÁÔØ, É ÜÔÏ, ×ÅÒÏÑÔÎÏ, ÒÁ×ÉÌØÎÏ, ÒÏÓÔÏ Ó ÌÏÝÁÄÉ, ËÁË ÜÔÏ ÏÂÙÞÎÏ ÄÅÌÁÀÔ. á ÞÔÏ ÍÅÛÁÅÔ ×ÁÍ ÏÂßÑ×ÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÓÁÍÕ ÜÔÕ ÌÏÝÁÄØ? ÷ÅÄØ ÎÉËÔÏ ÉÚ ×ÁÛÉÈ ÓÌÕÛÁÔÅÌÅÊ ÎÅ ÓÏÍÎÅ×ÁÅÔÓÑ × ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÌÏÝÁÄÉ. ÷ÁÍ ÒÉÛÌÏÓØ ÂÙ ÏÔÒÁÔÉÔØ ÍÎÏÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏÂÙ ÚÁÓÔÁ×ÉÔØ ×ÁÛÉÈ ÓÌÕÛÁÔÅÌÅÊ × ÜÔÏÍ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÕÓÏÍÎÉÔØÓÑ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÉÍÅÑ × Ó×ÏÅÍ ÒÁÓÏÒÑÖÅÎÉÉ ÌÏÝÁÄØ, ×Ù ÏÞÅÎØ ÌÅÇËÏ ÍÏÖÅÔÅ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÅ ÓÕÍÍÙ. ÷Ù ÓËÁÖÅÔÅ Ó×ÏÉÍ ÓÌÕÛÁÔÅÌÑÍ, ÞÔÏ Õ ÌÏÝÁÄÉ ÉÍÅÀÔÓÑ ÏÂÝÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á. ñ ×ÁÍ ÉÈ ÎÁÚÏ×Õ.

. åÓÌÉ ÏÄÎÁ ÆÉÇÕÒÁ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÄÒÕÇÏÊ, ÔÏ ÌÏÝÁÄØ ÅÒ×ÏÊ ÆÉÇÕÒÙ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÌÏÝÁÄÉ ×ÔÏÒÏÊ. ÒÕÄÎÏ ÎÅ ÓÏÇÌÁÓÉÔØÓÑ Ó ÜÔÉÍ, É ×ÓÅ Ó ×ÁÍÉ ÓÏÇÌÁÓÑÔÓÑ. . ÷Ù ÍÏÖÅÔÅ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ×Ù ÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÅ, ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔÅ, Ä×Å ÆÉÇÕÒÙ ÂÅÚ ÏÂÝÉÈ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÈ ÔÏÞÅË, ÔÏ ÉÈ ÌÏÝÁÄÉ ÓËÌÁÄÙ×ÁÀÔÓÑ, É Ó ÜÔÉÍ ÓÏÇÌÁÓÑÔÓÑ. . ÷Ù ÓËÁÖÅÔÅ, ÞÔÏ ÌÏÝÁÄØ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÆÉÇÕÒÁ ÅÒÅÍÅÝÁÅÔÓÑ ËÁË Ô×ÅÒÄÏÅ ÔÅÌÏ Ï ÌÏÓËÏÓÔÉ. é Ó ÜÔÉÍ ÓÏÇÌÁÓÑÔÓÑ. . é ÎÁËÏÎÅ , ×Ù ÓËÁÖÅÔÅ, ÞÔÏ ÌÏÝÁÄØ ÅÄÉÎÉÞÎÏÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÒÁ×ÎÁ ÅÄÉÎÉ Å. üÔÉ ÞÅÔÙÒÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á, ËÁË ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔ ÌÏÝÁÄØ ÎÁ ÛÉÒÏËÏÍ ËÌÁÓÓÅ ÆÉÇÕÒ. îÁ ËÌÁÓÓÅ ×ÓÅÈ Ë×ÁÄÒÉÒÕÅÍÙÈ ÆÉÇÕÒ.3) üÔÉ ÖÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á, × ÞÕÔØ-ÞÕÔØ ÉÚÍÅÎÅÎÎÏÍ ×ÉÄÅ, ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÎÁ ÛÉÒÏËÏÍ ËÌÁÓÓÅ ÆÕÎË ÉÊ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×Ù ÍÏÖÅÔÅ, ÎÁÞÁ× Ó ÌÏÝÁÄÉ, ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÅÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÎÉËÔÏ ÎÅ ÓÏÍÎÅ×ÁÅÔÓÑ, ÏÓËÏÌØËÕ ÒÅÞØ ÉÄÅÔ Ï ÌÏÝÁÄÉ. ÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ×Ù ÚÁÍÅÞÁÅÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ×Ù ÏÓÔÒÏÉÔÅ ÄÌÑ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÊ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÊ ÔÒÁÅ ÉÉ, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÇÒÁÆÉËÏÍ ÆÕÎË ÉÉ, ÎÉÖÎÉÅ É ×ÅÒÈÎÉÅ ÒÉÍÁÎÏ×ÓËÉÅ ÓÕÍÍÙ (Á ÅÓÌÉ ÈÏÔÉÔÅ, É ÌÅÂÅÇÏ×ÓËÉÅ ÓÕÍÍÙ | ÎÉËÁËÏÊ ÒÁÚÎÉ Ù!), ÔÏ ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÝÁÑ ×ÁÓ ÌÏÝÁÄØ ÂÕÄÅÔ ÚÁËÌÀÞÅÎÁ ÍÅÖÄÕ ÜÔÉÍÉ Ä×ÕÍÑ ×ÓÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÙÍÉ ÌÏÝÁÄÑÍÉ. üÔÏ ÒÑÍÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ Ñ ÓËÁÚÁÌ. ÷Ù ÉÛÉÔÅ ÔÏ ÓÁÍÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï, ËÏÔÏÒÏÅ ÏÂÙÞÎÏ ÉÛÕÔ × ËÕÒÓÁÈ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ: ÎÉÖÎÑÑ ÓÕÍÍÁ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ, Á ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ×ÅÒÈÎÅÊ ÓÕÍÍÙ. ïÄÎÉÍ ÓÌÏ×ÏÍ, ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÅÓÔØ ÔÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ËÏÔÏÒÏÅ ÚÁËÌÀÞÅÎÏ ÍÅÖÄÕ ÎÉÖÎÉÍÉ É ×ÅÒÈÎÉÍÉ ÓÕÍÍÁÍÉ. óÍ. ÓÔÁÔØÀ ÷. á. òÏÈÌÉÎÁ ðÌÏÝÁÄØ É ÏÂß£Í × ËÎÉÇÅ €üÎ ÉËÌÏÅÄÉÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ËÎÉÇÁ ÑÔÁÑ | çÅÏÍÅÔÒÉс Ó. 7{89. í.: îÁÕËÁ, 1966. 3)

30

÷. á. òÏÈÌÉÎ

÷Ó£ ÜÔÏ ÎÁ ÑÚÙËÅ ÌÏÝÁÄÅÊ, ×ÏÌÎÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÎÅ ×ÙÚÙ×ÁÅÔ ÎÉËÁËÏÇÏ ÓÏÍÎÅÎÉÑ, ÌÅÇËÏ ÕÓ×ÁÉ×ÁÅÔÓÑ. ÷ÍÅÓÔÅ Ó ÔÅÍ, ÜÔÏ ÄÁÅÔ ÓÏÓÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÌÏÝÁÄÅÊ. îÉ Ï ËÁËÉÈ ÒÅÄÅÌÁÈ ÎÅÔ ÒÅÞÉ. åÓÌÉ ×ÁÍ ÎÕÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ËÁËÏÅ-ÎÉÂÕÄØ | ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁÍÉ ÉÌÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ËÁËÏÇÏÎÉÂÕÄØ ÞÉÓÌÁ ËÁËÏÍÕ-ÎÉÂÕÄØ ÉÎÔÅÇÒÁÌÕ | ÔÏ ÒÏÓÔÏ ÚÁÍÅÞÁÅÔÅ, ÞÔÏ ÏÂÁ ÞÉÓÌÁ, ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ËÏÔÏÒÙÈ ×Ù ÈÏÔÉÔÅ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÚÁËÌÀÞÅÎÙ ÍÅÖÄÕ ÎÉÖÎÉÍÉ ÓÕÍÍÁÍÉ, Ó ÏÄÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, É ×ÅÒÈÎÉÍÉ ÓÕÍÍÁÍÉ, Ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÎÉ ÒÁ×ÎÙ, ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÍÅÖÄÕ ÔÅÍÉ É ÄÒÕÇÉÍÉ, ÒÉ ÎÁÄÌÅÖÁÝÅÍ ×ÙÂÏÒÅ ÏÄÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÓÄÅÌÁÎÁ ÍÅÎØÛÅÊ ÌÀÂÏÇÏ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ. á ÏÎÁ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÁ. úÎÁÞÉÔ ÜÔÏ ÎÏÌØ. ÷ÏÒÏÓ Ï ÔÏÍ, ËÁË ÜÔÏ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ × ËÁÖÄÏÍ ÏÔÄÅÌØÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÎÅ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ. ÷ÓÑ ÜÔÁ ÔÅÈÎÉËÁ ÉÍÅÅÔÓÑ. ïÎÁ ÏÄÒÏÂÎÏ ÏÉÓÁÎÁ ×Ï ×ÓÅÈ ÏÂÙÞÎÙÈ ËÕÒÓÁÈ, ÔÏÌØËÏ ÔÁÍ ×Ó£ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÏ Ó ÎÏÇ ÎÁ ÇÏÌÏ×Õ. óÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÔÁË ÖÅ ×Ù ÍÏÖÅÔÅ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ É ÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÎÅÓËÏÌØËÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÂÕÄÅÔ ÌÕÞÛÅ, ÅÓÌÉ ×Ù ÎÁÞÎÅÔÅ Ó ÎÁÇÌÑÄÎÏÇÏ ÒÉÍÅÒÁ. óËÁÖÅÍ, Ó ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÉÌÉ ÓÏ ÓËÏÒÏÓÔÉ, ËÁË ÜÔÏ ÏÂÙÞÎÏ ÄÅÌÁÀÔ. îÏ ÎÉËÁËÏÊ ÎÕÖÄÙ × ÔÅÏÒÉÉ ÒÅÄÅÌÏ× ÚÄÅÓØ ÎÅÔ. üÔÏ ÎÅ ÚÎÁÞÉÔ, ÞÔÏ ×Ù ÎÅ ÓÍÏÖÅÔÅ ÏÚÖÅ, ËÏÇÄÁ ×Ù ÏÖÅÌÁÅÔÅ ÉÌÉ ÅÓÌÉ ÒÏÇÒÁÍÍÁ ÜÔÏÇÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÒÁÚÕÍÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÔÒÅÂÕÅÔ É ÌÉ Á, ËÏÔÏÒÙÈ ×Ù ÏÂÕÞÁÅÔÅ, ÄÏÌÖÎÙ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÏÚÎÁËÏÍÉÔØÓÑ Ó ÏÎÑÔÉÅÍ ÒÅÄÅÌÁ, ÜÔÏ ÎÅ ÚÎÁÞÉÔ, ÞÔÏ ×Ù ÎÅ ÍÏÖÅÔÅ ÏÔÏÍ ÏÂßÑÓÎÉÔØ, ÞÔÏ, × ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÅÓÔØ ÔÁËÏÊ-ÔÏ É ÔÁËÏÊ-ÔÏ ÒÅÄÅÌ. îÏ ÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÏ ÜÔÏ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅ ÎÕÖÎÏ, Á ÄÌÑ ÍÎÏÇÉÈ ËÁÔÅÇÏÒÉÊ ÏÂÕÞÁÀÝÉÈÓÑ ÜÔÏ É ×ÏÏÂÝÅ ÎÅ ÎÕÖÎÏ. ïÄÎÉÍ ÓÌÏ×ÏÍ, Ñ ÒÅÄÌÏÖÉÌ ÂÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÏÄÈÏÄ Ë ÏÎÑÔÉÑÍ ÁÎÁÌÉÚÁ, ËÏÔÏÒÙÊ Ñ ÕÓÌÏ×ÎÏ ÎÁÚÏ×Õ ÎÁÉ×ÎÏ-ÁËÓÉÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ. üÔÏÔ ÏÄÈÏÄ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ×Ù ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÅ ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÝÉÅ ×ÁÓ ÏÎÑÔÉÑ ÁËÓÉÏÍÁÍÉ. îÁÒÉÍÅÒ, × ÓÌÕÞÁÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÜÔÏ ×ÏÔ ËÁËÉÅ ÁËÓÉÏÍÙ. éÎÔÅÇÒÁÌ ÏÓÔÏÑÎÎÏÊ | ÜÔÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ÎÁ ÄÌÉÎÕ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÜÔÁ ÁËÓÉÏÍÁ ÎÅ ÏÑ×ÉÔÓÑ ÒÏÓÔÏ ÔÁË. óÎÁÞÁÌÁ ×Ù ÏÇÏ×ÏÒÉÔÅ Ï ÌÏÝÁÄÉ. ÷Ó£ ÜÔÏ ÂÕÄÅÔ ÏÄÇÏÔÏ×ÌÅÎÏ. îÏ ×ÏÔ ×ÁÍ ÁËÓÉÏÍÁ ÎÏÍÅÒ ÏÄÉÎ. áËÓÉÏÍÁ ÎÏÍÅÒ Ä×Á: ÅÓÌÉ ÏÄÎÁ ÆÕÎË ÉÑ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÄÒÕÇÏÊ Ï ÚÎÁÞÅÎÉÀ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ, ÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÅÒ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ×ÔÏÒÏÊ. é ÔÒÅÔØÑ ÁËÓÉÏÍÁ: ÅÓÌÉ ×Ù ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÔÅ ÆÕÎË ÉÀ Ï ÒÏÍÅÖÕÔËÕ, ËÏÔÏÒÙÊ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎ ÉÚ Ä×ÕÈ ÍÅÎØÛÉÈ ÒÏÍÅÖÕÔËÏ×, ÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÒÁ×ÅÎ ÓÕÍÍÅ Ä×ÕÈ ÄÒÕÇÉÈ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ×, ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÎÙÈ ÎÁ ÜÔÉ ÒÏÍÅÖÕÔËÉ. üÔÏ É ×Ó£! ÒÕÄÎÏ ÒÉÄÕÍÁÔØ ÍÅÎÅÅ ÓÌÏÖÎÙÊ ÏÄÈÏÄ. ëÏÎÅÞÎÏ, × ÒÉÍÅÎÅÎÉÉ Ë ÌÏÝÁÄÉ ÔÁËÉÅ ×ÅÝÉ ÍÏÖÎÏ ÇÏ×ÏÒÉÔØ ÓÒÁÚÕ | Ë ÌÏÝÁÄÉ ×ÓÅ ÒÉ×ÙËÌÉ, × ÒÉÍÅÎÅÎÉÉ Ë ÉÎÔÅÇÒÁÌÁÍ | ÎÅÓËÏÌØËÏ ÏÚÖÅ, ÎÏ ÎÁ ÏÓÎÏ-

ðÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÎÅÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍ

31

×ÁÎÉÉ ÜÔÉÈ Ó×ÏÊÓÔ× ×ÅÌÉËÏÌÅÎÏ ×ÙÞÉÓÌÑÀÔÓÑ ×ÓÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ. ÷ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ×Ï ×ÓÅÈ ÕÞÅÂÎÉËÁÈ ÏÎÉ ÉÍÅÎÎÏ ÎÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÜÔÉÈ Ó×ÏÊÓÔ× É ×ÙÞÉÓÌÑÀÔÓÑ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÓÈÅÍÙ ÒÉÍÅÎÅÎÉÊ ÏÎÑÔÉÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ × ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÎÁÕËÁÈ É × ÓÁÍÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÎÅÏÂÙÞÁÊÎÏ ÕÒÏÝÁÀÔÓÑ. åÓÌÉ ×Ù ÈÏÔÉÔÅ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÎÅËÉÊ ÏÂß£Í ÅÓÔØ ÔÁËÏÊ-ÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌ, ÔÏ ×Ù ÒÏÓÔÏ ÕÂÅÖÄÁÅÔÅÓØ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ×ÙÏÌÎÅÎÙ ÜÔÉ ÔÒÉ Ó×ÏÊÓÔ×Á. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ×ÁÍ ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÎÁÄÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ. ÁË ËÁË ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ Õ ×ÁÓ ÅÓÔØ, ÏÂß£Í ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ, É ÓÒÁÚÕ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÄÌÑ ÎÅÇÏ ÆÏÒÍÕÌÁ, ÂÕÄØ ÔÏ ÏÂß£Í ÔÅÌ ×ÒÁÝÅÎÉÑ, ÂÕÄØ ÔÏ ÏÂߣÍÙ × ÄÒÕÇÉÈ ÓÉÔÕÁ ÉÑÈ. Ï ÖÅ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ Ë ÓÔÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÏÍÅÎÔÁÍ, ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÍ ÅÎÔÒÏ× ÔÑÖÅÓÔÉ, ÍÏÍÅÎÔÁÍ ÉÎÅÒ ÉÉ, ÄÁ É ×ÏÏÂÝÅ Ë ÌÀÂÙÍ ÍÅÈÁÎÉÞÅÓËÉÍ, ÆÉÚÉÞÅÓËÉÍ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ×ÅÌÉÞÉÎÁÍ. îÉËÁËÏÊ ÎÕÖÄÙ × ËÁËÉÈ ÂÙ ÔÏ ÎÉ ÂÙÌÏ ÒÅÄÅÌØÎÙÈ ÅÒÅÈÏÄÁÈ É ×ÏÏÂÝÅ ×Ï ×Ó£Í ÔÏÍ ÄÌÉÎÎÏÍ É ÚÁÎÕÄÎÏÍ ÉÚÌÏÖÅÎÉÉ, ËÏÔÏÒÙÍ ÎÁÏÌÎÅÎÙ ×ÔÕÚÏ×ÓËÉÅ ÕÞÅÂÎÉËÉ, ÎÉËÁËÏÊ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ × ÜÔÏÍ ÎÅÔ. òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, Ñ ÒÉ×ÏÖÕ ÒÉÍÅÒÙ. éÈ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÒÉ×ÅÓÔÉ ÏÞÅÎØ ÍÎÏÇÏ. îÕ Á ÅÓÌÉ ÇÏ×ÏÒÉÔØ Ï ÄÅÌÅ ÓÅÒØÅÚÎÏ, ÔÏ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÎÁÄÏ ÒÉÚÎÁÔØ, ÞÔÏ ËÕÒÓ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÄÌÑ ÷õúÁ ÒÏÓÔÏ ÎÅ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎ. ïÎ ÎÅ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎ ÎÅ × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ÎÅÔ ÒÏÇÒÁÍÍ ÉÌÉ ÞÔÏ ÎÅÔ ÕÞÅÂÎÉËÏ× | ÅÓÔØ ÒÏÇÒÁÍÍÙ, ÅÓÔØ ÕÞÅÂÎÉËÉ. ðÏÄ ËÕÒÓÏÍ Ñ ÏÎÉÍÁÀ ÎÅÞÔÏ ÄÒÕÇÏÅ. þÔÏÂÙ ÎÅ ÂÙÌÏ ÎÅÄÏÒÁÚÕÍÅÎÉÊ, Ñ ÓËÁÖÕ × Ä×ÕÈ ÓÌÏ×ÁÈ, ËÁË Ñ ÏÎÉÍÁÀ ÜÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ: ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ËÕÒÓ. ðÒÅÄÓÔÁ×ØÔÅ ÓÅÂÅ ÔÅËÓÔ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÂÏÌÅÅ ÄÌÉÎÎÙÊ, ÞÅÍ ÔÅËÓÔ ÒÏÇÒÁÍÍÙ, ÎÏ ÂÏÌÅÅ ËÏÒÏÔËÉÊ, ÞÅÍ ÔÅËÓÔ ÕÞÅÂÎÉËÁ. ÅËÓÔ, ÉÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ë×ÁÌÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÞÅÌÏ×ÅË ÍÏÖÅÔ ÔÏÞÎÏ ÕÚÎÁÔØ, ÞÔÏ É ËÁË ÉÚÌÁÇÁÔØ ×Ï ×ÓÅÈ ÄÅÔÁÌÑÈ. ÁËÏÊ ÔÅËÓÔ ×Ï×ÓÅ ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÂÕÄÅÔ ÄÏÓÔÕÅÎ ÏÂÕÞÁÀÝÉÍÓÑ. ïÎ ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÄÏÓÔÕÅÎ ÏÂÕÞÁÀÝÉÍ. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÅÓÌÉ ÂÙ ÔÁËÏÊ ÔÅËÓÔ ÂÙÌ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎ ÄÌÑ ÓÒÅÄÎÉÈ ÛËÏÌ, ÏÎ ÎÅ ÂÙÌ ÂÙ ÄÏÓÔÕÅÎ ÏÂÕÞÁÀÝÉÍ. îÏ, ÔÁËÏÊ ÔÅËÓÔ, ÎÁÉÓÁÎÎÙÊ ÉÌÉ ÒÏÓÔÏ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊÓÑ × ÇÏÌÏ×Å, ×ÏÔ ÜÔÏ | ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÊ ËÕÒÓ. ÁË ×ÏÔ Ñ ÈÏÞÕ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÇÏ ËÕÒÓÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, × ÔÁËÏÍ ×ÏÔ ÄÕÈÅ, Ï ËÏÔÏÒÏÍ Ñ ÇÏ×ÏÒÀ, ÏËÁ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÅÓÔØ ÍÎÏÇÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× × ÜÔÏÍ ÌÁÎÅ, É Ñ ÎÁÄÅÀÓØ, ÞÔÏ ÔÁËÉÅ ËÕÒÓÙ ÂÕÄÕÔ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÙ, É Ï ÎÉÍ ÂÕÄÕÔ ÎÁÉÓÁÎÙ ÕÞÅÂÎÉËÉ. Å ÎÅÍÎÏÇÉÅ ÓÌÏ×Á, ËÏÔÏÒÙÅ ÂÙÌÉ ÓËÁÚÁÎÙ Ï ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÍ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÉ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ ÎÅ ÔÏÌØËÏ Ë ÎÅÍÕ. ñ ÄÕÍÁÀ, ÞÔÏ ÄÁÖÅ É ÓÔÕÄÅÎÔÁÍ-ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ ÓÏ×ÓÅÍ ÎÅ Ï×ÒÅÄÉÌ ÂÙ ÓÅÍÅÓÔÒÏ×ÙÊ ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÙÊ ËÕÒÓ ÁÎÁÌÉÚÁ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÂÙÌÉ ÂÙ ××ÅÄÅÎÙ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ ÎÅ Ó, ÔÁË ÓËÁÚÁÔØ, ÂÕË×ÏÅÄÓËÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ, Á ÜÔÉ ÏÎÑÔÉÑ ÂÙÌÉ ÂÙ ÏÉÓÁÎÙ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Õ, Ó ÅÒÓÅËÔÉ×ÏÊ ÒÉÍÅÎÅÎÉÊ, Ó ÉÚÌÏÖÅÎÉÅÍ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ É ÆÉÚÉÞÅÓËÏÇÏ ÓÍÙÓÌÁ É Ó ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÍ ÍÁÔÅÒÉÁÌÏÍ ÄÌÑ

32

÷. á. òÏÈÌÉÎ

ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ. ðÏÓÌÅ ÔÏÇÏ, ËÁË ÜÔÏ ÓÄÅÌÁÎÏ, ÍÏÖÎÏ ÒÉÓÔÕÁÔØ, ÄÌÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×, ÕÖÅ Ë ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍÕ É ÔÝÁÔÅÌØÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÍÕ ÉÚÌÏÖÅÎÉÀ. ÁËÉÅ ÏÙÔÙ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÒÏ×ÏÄÉÌÉÓØ. ñ ÎÅ ÚÎÁÀ, ËÁË ÏÂÓÔÏÉÔ ÄÅÌÏ ÓÅÊÞÁÓ ×ÏÔ Õ ÎÁÓ, ÓËÁÖÅÍ, ÎÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ-ÍÅÈÁÎÉÞÅÓËÏÍ ÆÁËÕÌØÔÅÔÅ × ìÅÎÉÎÇÒÁÄÅ × ÜÔÏÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ. äÅÌÁÌÉÓØ ÌÉ ÔÁËÉÅ ×ÅÝÉ Õ ÎÁÓ, ÍÎÅ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏ. íÎÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ, ÞÔÏ É ÒÉ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÏÍ ÏÂÕÞÅÎÉÉ ÔÁËÏÊ ÎÁÉ×ÎÏ-ÁËÓÉÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÅÔÏÄ × ÎÁÞÁÌÅ ÍÏÇ ÂÙ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÏÌÅÚÎÙÍ. ÷Ï ×ÓÑËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÍÎÅ ËÁÖÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÏÎ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍ ÒÉ ÏÂÕÞÅÎÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÎÅÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×. óËÁÖÕ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÌÏ× Ï ÂÏÌÅÅ ×ÏÚ×ÙÛÅÎÎÙÈ ÞÁÓÔÑÈ ËÕÒÓÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. îÕ, ÓËÁÖÅÍ, ÓÔÕÄÅÎÔÁÍ-ÎÅÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍ ÉÚÌÁÇÁÀÔ ×ÅÄØ É ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÅ É ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ É ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÒÑÄÙ, ÓËÁÖÅÍ. éÍ ÉÚÌÁÇÁÀÔ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ, ÉÍ ÉÚÌÁÇÁÀÔ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ Ï Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÑÍ, ÚÁÍÅÎÕ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ × ËÒÁÔÎÙÈ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁÈ É ÔÁË ÄÁÌÅÅ É ÔÏÍÕ ÏÄÏÂÎÏÅ. üÔÏ ×ÅÝÉ ÕÖÅ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉ ÎÅ ÏÞÅÎØ ÒÉÑÔÎÙÅ, ÏÎÉ ÍÏÇÕÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ É ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉ. ëÁË ÂÙÔØ Ó ÎÉÍÉ? ÕÔ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ÏÂÏÊÄÅÛØÓÑ ÎÁÉ×ÎÏ-ÁËÓÉÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÅÔÏÄÏÍ. ÕÔ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÉÄÔÉ ÎÁ ËÏÍÒÏÍÉÓÓÙ. óÏ×ÓÅÍ ÎÅÄÁ×ÎÏ Ñ Ï ÏÄÏÂÎÏÍÕ Ï×ÏÄÕ ÉÍÅÌ ÂÅÓÅÄÕ Ó ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÌÅÎÉÎÇÒÁÄÓËÉÈ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÅÊ, ËÏÔÏÒÏÍÕ ÎÕÖÎÏ ÉÚÌÁÇÁÔØ ÓÔÕÄÅÎÔÁÍ ÚÁÍÅÎÕ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ × Ä×ÏÊÎÏÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÅ. ëÁË ÜÔÏ ÓÄÅÌÁÔØ? âÕÄÕÞÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÍ, ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌØ ÎÅ ÈÏÞÅÔ ÎÉËÏÇÏ ÎÁÄÕ×ÁÔØ. åÍÕ ÓÔÙÄÎÏ ÎÁÄÕ×ÁÔØ ËÏÇÏ ÂÙ ÔÏ ÎÉ ÂÙÌÏ, × ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ É Ó×ÏÉÈ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×. ïÎ ÈÏÞÅÔ ÉÍ ÞÔÏ-ÔÏ

ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ.

ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÒÅÄÍÅÔ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÓÌÏÖÅÎ | ÚÁÍÅÎÁ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ × Ä×ÏÊÎÏÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÅ. ðÒÅÄÌÁÇÁÀÔÓÑ ÒÁÚÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ. íÏÖÎÏ ÏÓÔÅÅÎÎÏ ÚÁÍÅÎÑÔØ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ ÏÄ ÚÎÁËÏÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ, ÏÌØÚÕÑÓØ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ÚÁÍÅÎÙ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ × ÒÏÓÔÏÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÅ. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ËÁË Ï×ÔÏÒÎÙÊ | ×ÏÔ ÔÁËÏÊ ÒÉÅÍ ÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ. é ÍÎÏÇÉÅ ÄÒÕÇÉÅ. úÄÅÓØ, ËÁË ÍÎÅ ËÁÖÅÔÓÑ, ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ ÒÉ×ÙÞËÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ÉÍÅÅÔÓÑ Õ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×, | ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ. îÏ ×ÅÄØ, ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÞÅÍÕ ÍÙ ÄÏÌÖÎÙ ÎÁÕÞÉÔØ ÂÕÄÕÝÅÇÏ ÉÎÖÅÎÅÒÁ, ÂÕÄÕÝÅÇÏ ÆÉÚÉËÁ, Ñ ÕÖ ÎÅ ÇÏ×ÏÒÀ | ÂÕÄÕÝÅÇÏ ÆÉÌÏÓÏÆÁ? íÙ ÄÏÌÖÎÙ ÎÁÕÞÉÔØ ÅÇÏ, ÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, ÏÎÉÍÁÎÉÀ. ïÎ ÄÏÌÖÅÎ ÏÎÉÍÁÔØ ÒÅÄÍÅÔ. íÙ ÄÏÌÖÎÙ, É ÜÔÏ, ×ÅÒÏÑÔÎÏ, ÇÌÁ×ÎÏÅ, ÏÔËÁÚÁÔØÓÑ ÏÔ ÔÁËÏÇÏ ÉÚÌÏÖÅÎÉÑ ×ÅÝÅÊ, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÁÛÉÍ ÓÔÕÄÅÎÔÁÍ ÎÅ ÏÎÑÔÎÏ. óÔÕÄÅÎÔÁÍ É ÛËÏÌØÎÉËÁÍ. ÷ÏÌÎÅ ÍÁÓÓÏ×ÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÓÔÕÄÅÎÔÁÍ ÒÅÏÄÁÀÔ ×ÅÝÉ, ËÏÔÏÒÙÈ ÏÎÉ ÎÅ ÏÎÉÍÁÀÔ. îÕ ËÁËÁÑ ÏÌØÚÁ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÓÔÕÄÅÎÔ ÷õúÁ ÂÕÄÅÔ × ËÁËÏÍ-ÔÏ ÓÍÙÓÌÅ, ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÕÓÌÏ×ÎÏÍ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÆÏÒÍÕÌÕ ÚÁÍÅÎÙ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ × ËÒÁÔÎÏÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÅ? îÅ ÌÕÞÛÅ ÌÉ ÂÕÄÅÔ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÂÕÄÅÔ ÏÎÉÍÁÔØ ÜÔÕ ÆÏÒÍÕÌÕ? èÏÔÑ ÂÙ ÎÁ ÎÁÇÌÑÄÎÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ?

ðÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÎÅÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍ

33

îÕ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÍÏÖÎÏ ÌÉ ÉÌÉ ÎÅÌØÚÑ ×ÎÁÞÁÌÅ ËÁË-ÎÉÂÕÄØ ÏÂßÑÓÎÉÔØ ÓÔÕÄÅÎÔÁÍ, ËÁË ×ÅÄÅÔ ÓÅÂÑ ÌÏÝÁÄØ ÒÉ ÌÉÎÅÊÎÏÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ? ÷ÏÔ ÒÏÓÔÏ ÏÄ×ÅÒÇÁÀÔ ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ. ëÁË ×ÅÄÅÔ ÓÅÂÑ ÌÏÝÁÄØ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ? üÔÏ, ×ÅÒÏÑÔÎÏ, ÍÏÖÎÏ ÏÂßÑÓÎÉÔØ. íÏÖÎÏ, ×ÅÒÏÑÔÎÏ, ÏÂßÑÓÎÉÔØ, ÞÔÏ × ÍÁÌÏÍ, × ÇÌÁÄËÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ ÒÉÍÅÒÎÏ ÔÁË ×ÅÄÅÔ ÓÅÂÑ ÌÏÝÁÄØ É ÒÉ ÎÅÌÉÎÅÊÎÏÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ. ÁË ÞÔÏ ÏÑ×ÌÅÎÉÅ ÑËÏÂÉÁÎÁ ÏÄ ÚÎÁËÏÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÅÇÏ ÕÖÅ ÎÅ ÕÄÉ×ÉÔ. îÏ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÏÎ ÄÏÌÖÅÎ ÓÎÁÞÁÌÁ Ë ÑËÏÂÉÁÎÕ ÒÉ×ÙËÎÕÔØ. úÄÅÓØ ÚÁÉÓØ ÂÙÌÁ ÒÅÒ×ÁÎÁ, Ï-×ÉÄÉÍÏÍÕ ÄÌÑ ÓÍÅÎÙ ËÁÓÓÅÔÙ Ó ÌÅÎËÏÊ. ÷ÅÒÏÑÔÎÏ, × ÕÔÒÁÞÅÎÎÏÍ ÆÒÁÇÍÅÎÔÅ ÒÅÞØ ÛÌÁ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, Ï ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ÎÅÑ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ.

. . . ÁËÓÉÏÍÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÀÔ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏÓÔØ ÒÁÚÎÙÈ ÏÄÈÏÄÏ× ÎÕ, ÓËÁÖÅÍ, Ë ÚÁÄÁÎÉÀ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÄÁÎÁ ÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÔÒÅÍÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÄÁÎÁ ÏÄÎÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ | ÎÅÑ×ÎÏ, É ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ, ÎÁËÏÎÅ , ÚÁÄÁÎÁ ËÁË ÇÒÁÆÉË ÆÕÎË ÉÉ. ÷ÓÅ ÜÔÉ ÔÒÉ ÏÄÈÏÄÁ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ É ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ÔÅÏÒÉÅÊ ÎÅÑ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ. ë ÍÏÅÍÕ ÕÄÉ×ÌÅÎÉÀ, ÜÔÏ ÍÁÌÏ ËÔÏ ÚÎÁÅÔ, ÄÁÖÅ ÉÚ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×-ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×, ÏËÁ ÎÅ ×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ Ó ÜÔÉÍ ÏÓÔÒÏ, × ÄÒÕÇÉÈ ÏÂÌÁÓÔÑÈ, ÇÄÅ ÜÔÏ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ. ëÕÒÓÙ ÁÎÁÌÉÚÁ ÜÔÏ ÒÅÄËÏ ÉÚÌÁÇÁÀÔ. ÷ ÕÞÅÂÎÉËÁÈ ÁÎÁÌÉÚÁ Ñ ÜÔÏÇÏ ÎÅ ×ÉÄÅÌ. ó×ÑÚØ ÜÔÏÇÏ Ñ×ÌÅÎÉÑ Ó ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍÉ ÉÚÌÁÇÁÅÔÓÑ × ÎÅÍÎÏÇÉÈ ÍÅÓÔÁÈ. îÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÓÔÕÄÅÎÔÕ ÷õúÁ ×Ó£ ÜÔÏ ÍÏÖÎÏ ÉÚÌÏÖÉÔØ ÂÅÚ ÔÁË ÓËÁÚÁÔØ ÂÕË×ÏÅÄÓÔ×Á, ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÎ ÜÔÏ ÏÎÑÌ (× ÒÉÍÅÒÁÈ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÎÑÔÎÙ, × ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÉÈ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁÈ). ïÄÎÉÍ ÓÌÏ×ÏÍ, Ï-×ÉÄÉÍÏÍÕ, ÏÍÉÍÏ ÎÁÉ×ÎÏ-ÁËÓÉÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÄÈÏÄÁ, Ï ËÏÔÏÒÏÍ Ñ ÇÏ×ÏÒÉÌ, ÎÕÖÎÁ ÅÝÅ ÂÏÌØÛÁÑ Ó×ÏÂÏÄÁ ÏÂÒÁÝÅÎÉÑ Ó ÍÁÔÅÒÉÁÌÏÍ, ËÏÇÄÁ ÒÅÞØ ÉÄÅÔ Ï ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÎÅÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍ, Á ÉÎÏÊ ÒÁÚ É ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍ. ðÏ-×ÉÄÉÍÏÍÕ, ÎÁÄÏ ×ÓÏÍÎÉÔØ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÀ, ËÁË ÏÎ ÓÁÍ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÌ ×Ó£ ÜÔÏ, ËÏÇÄÁ ÕÞÉÌÓÑ. ïÂÙÞÎÏ ÍÙ ÔÁËÉÅ ×ÅÝÉ ÚÁÂÙ×ÁÅÍ. ÷ÏÔ Ñ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÍÏÇÕ ÓËÁÚÁÔØ Ï ÓÅÂÅ, ÞÔÏ Ñ ÓÏ×ÓÅÍ ÎÅ ÏÍÎÀ, ËÁË É ÞÔÏ Ñ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÌ × ÛËÏÌÅ. íÏÖÅÔ ÂÙÔØ, Ñ ÏÍÎÉÌ ÜÔÏ, ËÏÇÄÁ ÂÙÌ ÓÔÕÄÅÎÔÏÍ ÅÝÅ, ÏÔÏÍ ÏÓÔÅÅÎÎÏ ÚÁÂÙÌ. íÏÖÅÔ ÂÙÔØ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÉÚÕÞÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ×ÏÒÏÓÁ É ÎÁ ÔÁËÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ: ÎÕÖÎÏ ÒÉ×ÌÅÞØ ÕÞÁÝÉÈÓÑ Ë ÜÔÏÊ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ × ÉÚ×ÅÓÔÎÏÍ ÓÍÙÓÌÅ É ÏÓÌÕÛÁÔØ, ÞÔÏ ÓËÁÖÕÔ ÏÎÉ. ÷ÅÄØ ÍÙ ÏÂÙÞÎÏ ÜÔÉÍ ÚÁÎÉÍÁÅÍÓÑ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ Ñ ÒÉ×ÅÄÕ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ. ÷ÎÅ ×ÓÑËÏÇÏ ÓÏÍÎÅÎÉÑ, ÓÔÕÄÅÎÔÙ, ÓÌÕÛÁÀÝÉÅ ÔÏÔ ÉÌÉ ÉÎÏÊ ËÕÒÓ, ÓÔÁ×ÑÔ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÀ Ï ÅÎËÉ. ïÎÉ ÎÅ ÓÔÁ×ÑÔ ÅÍÕ Ï ÅÎËÕ × ÚÁÞÅÔÎÕÀ ËÎÉÖËÕ, ÎÏ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ Õ ËÁÖÄÏÇÏ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÑ ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÁÑ ÓÒÅÄÎÑÑ Ï ÅÎËÁ. ÁË ÓËÁÚÁÔØ, ÒÅÊÔÉÎÇ, ËÁË Õ ÛÁÈÍÁÔÉÓÔÏ×. ÷ ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÛÁÈÍÁÔÎÏÇÏ ÒÅÊÔÉÎÇÁ, ÜÔÏÔ

34

÷. á. òÏÈÌÉÎ

ÒÅÊÔÉÎÇ ÎÅ ÕÂÌÉËÕÅÔÓÑ É ÄÁÖÅ ÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÓÅËÒÅÔÅ. ïÂÙÞÎÏ. ñ ÎÅ ÂÕÄÕ ÏÂÓÕÖÄÁÔØ ×ÏÒÏÓ Ï ÔÏÍ, ÈÏÒÏÛÏ ÜÔÏ ÉÌÉ ÌÏÈÏ. ñ ÄÕÍÁÀ, ËÁÖÄÙÊ ÓÁÍ ÚÎÁÅÔ, ÈÏÒÏÛÏ ÜÔÏ ÉÌÉ ÌÏÈÏ. îÏ, ÎÅÓÏÍÎÅÎÎÏ, ÞÔÏ ÚÄÅÓØ ÏÍÏÝØ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÂÙÌÁ ÂÙ ÎÅÏ ÅÎÉÍÁ. ñ ÄÕÍÁÀ, ÞÔÏ ÉÈ ÏÍÏÝØ ÎÅÏ ÅÎÉÍÁ É ÒÉ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ËÕÒÓÁ, Ï ËÏÔÏÒÏÍÕ ÓÔÕÄÅÎÔÙ ÏÂÕÞÁÀÔÓÑ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÓÍÅÎÁ ÏËÏÌÅÎÉÊ: ÏÄÎÉ ÓÔÕÄÅÎÔÙ ÏÍÏÇÕÔ ÎÁÍ × ÜÔÏÍ, Á ÕÞÉÔØ ÍÙ ÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÂÕÄÅÍ ÄÒÕÇÉÈ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×. îÏ ÔÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, Ñ ÄÕÍÁÀ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔØ, ËÏÔÏÒÏÊ Ó ÔÁËÏÊ ÓÁÍÏÕ×ÅÒÅÎÎÏÓÔØÀ ÚÁÎÉÍÁÀÔÓÑ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÉ, ÂÅÚ ÏÍÏÝÉ ÏÂÕÞÁÀÝÉÈÓÑ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÕÓÅÛÎÏÊ. ó ÕÞÁÝÉÍÉÓÑ ÎÁÄÏ ËÏÎÓÕÌØÔÉÒÏ×ÁÔØÓÑ Ï ÜÔÉÍ ×ÏÒÏÓÁÍ × ÅÒ×ÕÀ ÏÞÅÒÅÄØ. ÷ÏÔ, ÎÅ ÔÁË ÄÁ×ÎÏ Õ ÍÅÎÑ ÂÙÌÁ ×ÓÔÒÅÞÁ Ó ÄÅ×ÏÞËÏÊ, ËÏÔÏÒÁÑ ÕÞÉÔÓÑ × ÓÒÅÄÎÅÊ ÛËÏÌÅ É ÖÉ×ÅÔ ÓÏ ÍÎÏÊ ÒÑÄÏÍ, ÓÏÓÅÄËÁ. ñ ËÁË-ÔÏ ÅÅ ÒÉÇÌÁÛÁÌ × ÇÏÓÔÉ. ïÎÁ ÒÉÛÌÁ ËÏ ÍÎÅ ×ÅÞÅÒÏÍ É ÓËÁÚÁÌÁ: €÷ÏÔ Ñ ÒÉÛÌÁ, ÷Ù ÍÅÎÑ Ú×ÁÌÉ, Ñ ÒÉÛÌÁ. õ ÍÅÎÑ ÎÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÚÁÄÁÞÁ. (÷ÅÓÅÌØÅ ). îÕ ÈÏÒÏÛÏ. óÔÁÌ Ñ ÓÍÏÔÒÅÔØ, ÞÔÏ ÚÁ ÚÁÄÁÞÁ, É ÒÉÛÅÌ × ÕÖÁÓ. ÷ÏÅÒ×ÙÈ, ÒÅÛÉÔØ ÜÔÕ ÚÁÄÁÞÕ ÎÅÌØÚÑ, ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ÎÅÏÎÑÔÎÏ, ÞÔÏ ÔÁÍ ÓÒÁÛÉ×ÁÅÔÓÑ. úÁÄÁÞÁ, ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÂÅÚÇÒÁÍÏÔÎÏ. äÏÇÁÄÁÔØÓÑ ÍÏÖÎÏ, ÞÅÇÏ ÈÏÞÅÔ ×ÏÒÏÛÁ×ÛÉÊ. íÙ ÄÏÇÁÄÙ×ÁÅÍÓÑ. îÏ Ñ Ó ÕÄÉ×ÌÅÎÉÅÍ ÏÂÎÁÒÕÖÉÌ, ÞÔÏ Ñ-ÔÏ ÄÏÇÁÄÙ×ÁÌÓÑ, Á ÏÎÁ ×Ó£ ÏÎÉÍÁÌÁ Ó ÓÁÍÏÇÏ ÎÁÞÁÌÁ. (÷ÅÓÅÌØÅ ). üÔÏÇÏ ÍÁÌÏ: ËÏÇÄÁ Ñ ÎÁÞÁÌ ÒÅÛÁÔØ ÜÔÕ ÚÁÄÁÞÕ, ×ÙÑÓÎÉÌÏÓØ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÒÅËÒÁÓÎÏ ÚÎÁÌÁ ×Ó£ ÔÏ, ÞÔÏ Ñ ÇÏ×ÏÒÀ. åÊ ÜÔÏ ×Ó£ ÄÁ×ÎÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÔÁË Ñ ÏÄÕÍÁÌ ÓÎÁÞÁÌÁ. éÚ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ÒÁÚÇÏ×ÏÒÁ ×ÙÑÓÎÉÌÏÓØ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÜÔÏÇÏ ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÏÎÉÍÁÅÔ. ïÎÁ ×ÓÅ ÜÔÉ ÓÌÏ×Á ÚÎÁÅÔ. ïËÁÚÁÌÏÓØ, ÞÔÏ ÜÔÉÈ ÓÌÏ× ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ. é ÏÎÁ ÚÎÁÅÔ ÜÔÉ ÓÌÏ×Á. ÁËÏÇÏ ÒÏÄÁ ÏÙÔ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅÏ ÅÎÉÍ ÄÌÑ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÑ É ÄÌÑ ÌÉ , ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÒÏÇÒÁÍÍÕ. éÍÅÊÔÅ × ×ÉÄÕ, ÞÔÏ ÒÅÞØ ÉÄÅÔ Ï ÍÁÓÓÏ×ÏÍ ÏÂÕÞÅÎÉÉ. îÅ Ï ÏÂÕÞÅÎÉÉ ÄÅÔÅÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÓÏÂÒÁÎÙ × ÓÅ ÉÁÌÉÚÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÛËÏÌÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÎÏÇÏ ÓÁÍÉ ÓÌÙÛÁÌÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÕÀ ÒÅÞØ É ÓÁÍÉ ÇÏ×ÏÒÑÔ ÎÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÑÚÙËÅ. îÅÔ, ÜÔÏ ÄÅÔÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÏÂÕÞÁÀÔÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÏ É ÎÅ ÓÏÂÉÒÁÀÔÓÑ ÅÀ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÏ ÚÁÎÉÍÁÔØÓÑ. ïÎÉ ÓÌÙÛÁÔ ×ÓÅ ÜÔÉ ÓÌÏ×Á, ÏÎÉ ÎÁÕÞÁÀÔÓÑ ÉÈ ÒÏÉÚÎÏÓÉÔØ, ÎÏ ÏÎÉÍÁÎÉÅ ÜÔÉÈ ÓÌÏ× Õ ÎÉÈ ËÁËÏÅ-ÔÏ ÓÔÒÁÎÎÏÅ. Ï ÌÉ ÅÇÏ ÎÅÔ ÓÏ×ÓÅÍ, ÔÏ ÌÉ ÏÎÏ ËÁËÏÅ-ÔÏ ÓÔÒÁÎÎÏÅ. ÷Ï ÍÎÏÇÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÏÂÎÁÒÕÖÉ×ÁÅÔÓÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÏÅ ÏÎÉÍÁÎÉÅ. ÷ÏÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÓÌÏ×Á, ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÅÒÍÉÎÙ, ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÜÔÁ ÄÅ×ÏÞËÁ ÏÎÉÍÁÌÁ ÓÏ×ÓÅÍ ÎÅ ÔÁË, ËÁË Ñ. îÕ, ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÎÁÄÏ ÂÙ ×ÙÑÓÎÉÔØ, ËÁË ÏÎÉÍÁÅÔ ÜÔÉ ÓÌÏ×Á ÅÅ ÕÞÉÔÅÌØÎÉ Á. ÷ ÜÔÏÍ, ËÏÎÅÞÎÏ, ×Ó£ É ÄÅÌÏ. ðÏÚ×ÏÌØÔÅ ÍÎÅ ÏÂÒÁÔÉÔØ ×ÁÛÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÅÝÅ ÎÁ ÏÄÎÕ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔØ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ É ×ÏÓÒÉÑÔÉÑ ÜÔÏÇÏ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ. üÔÁ ÏÓÏ-

ðÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÎÅÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍ

35

ÂÅÎÎÏÓÔØ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ. üÔÏ | ÏÂÕÞÅÎÉÅ, ÔÁË ÓËÁÚÁÔØ, ÏÞÔÉ ÞÔÏ ×ÏÌÛÅÂÓÔ×Ï, ÏÂÕÞÅÎÉÅ ÏËËÕÌØÔÎÏÅ, ÅÓÌÉ ÍÏÖÎÏ ÔÁË ×ÙÒÁÚÉÔØÓÑ. ÷ÏÔ ÍÎÏÇÏ ÌÅÔ ÎÁÚÁÄ Ñ ×ÉÄÅÌ ÒÏÇÒÁÍÍÕ ×ÓÔÕÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÜËÚÁÍÅÎÁ × ×ÙÓÛÉÅ ÕÞÅÂÎÙÅ ÚÁ×ÅÄÅÎÉÑ. ðÒÏÇÒÁÍÍÁ ÜÔÁ ÂÙÌÁ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÁ É ÏÄÉÓÁÎÁ ×ÙÓÏËÉÍÉ ÌÉ ÁÍÉ, É × ÜÔÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÅ Ñ Õ×ÉÄÅÌ ÔÁËÕÀ ÓÔÒÁÎÎÕÀ ×ÅÝØ: ÚÁÉÓÁÎÏ ÔÁÍ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ Ó ÏÄÎÉÍ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ É Ä×Á ÔÉÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ax = b; ÜÔÏ ÏÄÉÎ ÔÉ, Á ÄÒÕÇÏÊ ax + b = 0: (óÍÅÈ ). üÔÏ | ÒÁÚÎÙÅ ÔÉÙ, ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ! ÷ Þ£Í ÄÅÌÏ? ðÏÎÑÔØ ÜÔÏ ÍÎÅ ÏÍÏÇÌÁ ÄÒÕÇÁÑ ÄÅ×ÏÞËÁ. éÚ ÒÁÚÇÏ×ÏÒÁ Ó ÎÅÊ Ñ ÏÎÑÌ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ | ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ. (óÍÅÈ ). ïÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, É, ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ | ÜÔÏ ×ÏÔ ÞÔÏ ÔÁËÏÅ. üÔÏ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÅÒÅÄ ËÏÔÏÒÙÍ ÄÌÑ ×ÓÅÏÂÝÅÇÏ ÏÂÏÚÒÅÎÉÑ ÓÔÏÉÔ ÚÎÁË ÍÉÎÕÓ. (óÍÅÈ ). îÕ ÅÓÌÉ ÔÁË, ÔÏ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÜÔÏ ÒÁÚÎÙÅ ÔÉÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ. ÷ÅÄØ ÅÓÌÉ b ÅÒÅÎÅÓÔÉ ÉÚ ÏÄÎÏÊ ÞÁÓÔÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á × ÄÒÕÇÕÀ, ÔÁË ÚÎÁË ÉÚÍÅÎÉÔÓÑ, Á ÎÕÖÎÏ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÁ ÂÙÌÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ! ÷ÏÔ a ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ, b ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ | ÑÓÎÏ, ÞÔÏ, ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, Ä×Á ÔÉÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ. ëÁË ÖÅ ÒÏÉÚÏÛÌÏ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÏÁÌÏ × ÒÏÇÒÁÍÍÕ ×ÓÔÕÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÜËÚÁÍÅÎÁ? üÔÏ ÏÁÌÏ ÉÚ ÛËÏÌØÎÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÙ. âÙÌÏ ÔÁËÏÅ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÅ ×ÙÓÔÁ×ÌÅÎÏ, ÞÔÏ ÒÏÇÒÁÍÍÙ ×ÓÔÕÉÔÅÌØÎÙÈ ÜËÚÁÍÅÎÏ× ÎÅ ÏÔÌÉÞÁÌÉÓØ ÏÔ ÛËÏÌØÎÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÙ. á ÔÏ ÞÔÏ ÜÔÏ ÔÁËÏÅ ÂÕÄÅÔ? ëÁË ÖÅ ÓÄÁ×ÁÔØ ÔÁËÏÊ ÜËÚÁÍÅÎ? îÕ ×ÏÔ, ÉÚ ÛËÏÌØÎÙÈ ÒÏÇÒÁÍÍ ÜÔÏ ÅÒÅËÏÞÅ×ÁÌÏ × ÒÏÇÒÁÍÍÙ ×ÓÔÕÉÔÅÌØÎÙÈ ÜËÚÁÍÅÎÏ×. á ËÁË ÖÅ ÜÔÏ ÏÁÌÏ × ÛËÏÌØÎÕÀ ÒÏÇÒÁÍÍÕ? ñÓÎÏ ËÁË. ûËÏÌØÎÙÅ ÒÏÇÒÁÍÍÙ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÁÍÉ Ï ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÚÎÁÀÔ, ËÁË ÒÅÏÄÁ×ÁÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ, É ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÒÅÏÄÁ×ÁÔØ ÅÅ ÎÁÄÏ ×ÏÔ ÔÁË. ïÎÉ ÚÎÁÀÔ, ËÁË ÒÅÏÄÁ×ÁÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ, ÎÏ ÏÎÉ, ÎÁ×ÅÒÎÏ, É × ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÄÕÍÁÀÔ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙ. (ïÖÉ×ÌÅÎÉÅ ). ëÏÎÅÞÎÏ, ÎÉËÁËÏÊ ÕÞÉÔÅÌØ × ËÌÁÓÓÅ ÎÅ ÇÏ×ÏÒÉÔ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙ. üÔÏ ÎÅ ÎÁÉÓÁÎÏ × ÕÞÅÂÎÉËÅ, ËÁË ÖÅ ÏÎ ÜÔÏ ÂÕÄÅÔ ÇÏ×ÏÒÉÔØ? îÏ ÏÎ ÔÁË ÄÕÍÁÅÔ! é ÅÓÌÉ ÏÎ ÔÁË ÄÕÍÁÅÔ, ÔÏ ÔÁË ÖÅ ÂÕÄÕÔ ÄÕÍÁÔØ ÅÇÏ ÕÞÅÎÉËÉ. ëÁË ÜÔÏ ÉÍ ÅÒÅÄÁÅÔÓÑ? üÔÏ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÊ ×ÏÒÏÓ, ÎÏ ÜÔÏ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅÓÏÍÎÅÎÎÏ. ðÏÎÉÍÁÎÉÅ ÒÅÄÍÅÔÁ ÕÞÉÔÅÌÅÍ ÅÒÅÄÁÅÔÓÑ ÕÞÁÝÉÍÓÑ. ðÏÎÉÍÁÎÉÅ ÒÅÄÍÅÔÁ ÌÅËÔÏÒÏÍ ÅÒÅÄÁÅÔÓÑ ÓÌÕÛÁÔÅÌÑÍ. ïÎÏ ÅÒÅÄÁÅÔÓÑ ÔÁÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÕÔÑÍÉ, ÎÏ ÏÞÅÎØ ÎÁÄÅÖÎÏ. é ÜÔÏ ÎÁÄÏ ÉÍÅÔØ × ×ÉÄÕ. îÉËÁËÏÅ ×ÎÅÛÎÅÅ ÏÂÕÞÅÎÉÅ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÑ, ÎÉËÁËÏÅ ÒÁ×ÉÌØÎÏÅ ÉÚÌÏÖÅÎÉÅ × ÕÞÅÂÎÉËÅ, ÒÏÇÒÁÍÍÅ ÎÅ ÏÍÏÖÅÔ ÄÅÌÕ, ÅÓÌÉ ÕÞÉÔÅÌØ ÄÕÍÁÅÔ ÉÎÁÞÅ.

36

÷. á. òÏÈÌÉÎ

õÞÉÔÅÌØ, ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌØ | ÜÔÏ × ÜÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ÅÎÔÒÁÌØÎÁÑ, ÒÅÛÁÀÝÁÑ ÆÉÇÕÒÁ. ñ ÈÏÞÕ ÅÝÅ ÒÁÚ Ï×ÔÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅ ×ÅÒÀ × ÔÏ, ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ ËÁË-ÔÏ ÉÚÍÅÎÉÔØ ÉÌÉ ÕÌÕÞÛÉÔØ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÅ, ÕÌÕÞÛÁÑ ÒÏÇÒÁÍÍÙ, ÕÞÅÂÎÉËÉ, ÎÏ ÎÅ ÚÁÔÒÁÇÉ×ÁÑ ËÁË ÓÌÅÄÕÅÔ ÏÄÇÏÔÏ×ËÕ ÕÞÉÔÅÌÅÊ. óÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ, ÒÁ×ÄÁ, ÍÅÔÏÄÙ ÅÒÅÏÄÇÏÔÏ×ËÉ, ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ÕÓÏ×ÅÒÛÅÎÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ É ÔÁË ÄÁÌÅÅ. îÁÓËÏÌØËÏ ÏÎÉ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙ? ñ ÎÅ ÉÍÅÀ ÎÁ ÜÔÏÔ ÓÞÅÔ ÆÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÄÁÎÎÙÈ. éÍÅÀ ÔÏÌØËÏ ÌÉÞÎÙÊ ÏÙÔ É ÏÙÔ ÍÏÉÈ ÄÒÕÚÅÊ. é ÔÕÔ Ñ ÄÏÌÖÅÎ ×ÙÓËÁÚÁÔØ ×ÅÓØÍÁ ÍÒÁÞÎÙÊ ÒÏÇÎÏÚ. ðÏ ÍÏÉÍ Ó×ÅÄÅÎÉÑÍ, ÅÒÅÏÄÇÏÔÏ×ËÁ, ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÁÑ ÏÄÇÏÔÏ×ËÁ ÌÉ , ÉÚÕÞÁ×ÛÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ × ×ÙÓÛÅÍ ÕÞÅÂÎÏÍ ÚÁ×ÅÄÅÎÉÉ, ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÏÍ ÉÎÓÔÉÔÕÔÅ, ÎÉ Ë ÞÅÍÕ ÎÅ ÒÉ×ÏÄÉÔ. åÓÌÉ ÚÁ ÇÏÄÙ ÓÔÕÄÅÎÞÅÓÔ×Á ÏÎÉ ÎÉÞÅÍÕ ÎÅ ÎÁÕÞÉÌÉÓØ, ÅÓÌÉ ÚÁ ÄÏÌÇÉÅ ÇÏÄÙ ÏÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÏÎÉ ÕÍÕÄÒÉÌÉÓØ,. . . Ñ ÂÏÀÓØ ÓËÁÚÁÔØ ÚÁÂÙÔØ | ÜÔÏ ÂÕÄÅÔ ÌÕÞÛÅ, ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÕÍÕÄÒÉÌÉÓØ,. . . ÎÕ, ÈÏÒÏÛÏ, ÚÁÂÙÔØ ÔÏ, ÞÅÍÕ ÏÎÉ ÔÁÍ ÎÁÕÞÉÌÉÓØ, ÔÏ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÁÑ ÏÄÇÏÔÏ×ËÁ ÍÏÖÅÔ ÒÉ×ÅÓÔÉ ÔÏÌØËÏ Ë ×ÎÅÛÎÉÍ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑÍ: ÏÎÉ ÒÉ×ÙËÎÕÔ Ë ÎÏ×ÙÍ ÓÌÏ×ÁÍ, ÏÎÉ ÒÉ×ÙËÎÕÔ Ë ÎÏ×ÙÍ ÍÅÔÏÄÉËÁÍ, ÎÏ, × ÓÕÝÎÏÓÔÉ, ÜÔÏ ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÉÚÍÅÎÉÔ. íÎÅ ËÁÖÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÍÁÓÓÏ×ÏÅ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÕÌÕÞÛÅÎÏ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÉÍ ÕÔÅÍ. üÔÏ ÍÅÄÌÅÎÎÙÊ, ÄÌÉÔÅÌØÎÙÊ, ÔÒÕÄÎÙÊ ÕÔØ, ÎÏ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ, ÏÎ ×ÏÚÍÏÖÅÎ. üÔÏÔ ÕÔØ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÏÓÔÅÅÎÎÏ ÒÁÓÛÉÒÅÎÁ ÏÄÇÏÔÏ×ËÁ Ë×ÁÌÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÅÊ. ìÀÄÅÊ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÈ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔÑÍÉ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ, ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÉÈ ËÁË ÓÌÅÄÕÅÔ ÎÅ ÕÞÁÔ. é Ï ÏÎÑÔÎÙÍ ÒÉÞÉÎÁÍ: ÕÞÉÔØ ÎÅËÏÍÕ. ÷ ÒÅÖÎÉÅ ×ÒÅÍÅÎÁ, ËÏÇÄÁ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÄÌÑ ÔÏÇÄÁÛÎÉÈ ÓÒÅÄÎÉÈ ÛËÏÌ ×ÓÅ ÂÙÌÉ ×ÙÕÓËÎÉËÁÍÉ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ (ÜÔÏ ÂÙÌÏ ÄÁ×ÎÏ, ÛËÏÌÁ ÎÅ ÂÙÌÁ ÍÁÓÓÏ×ÏÊ), ÏÌÏÖÅÎÉÅ ÂÙÌÏ ÌÕÞÛÅ. íÙ ÞÁÓÔÏ ÓÌÙÛÉÍ, ÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ ×ÏÔ ÒÁÎØÛÅ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÂÙÌÉ ÌÕÞÛÅ. ïÎÉ ÌÕÞÛÅ ÚÎÁÌÉ ÒÅÄÍÅÔ É ÌÕÞÛÅ ÒÅÏÄÁ×ÁÌÉ. ñ ÎÅ ÚÎÁÀ, ÒÁ×ÄÁ ÜÔÏ ÉÌÉ ÎÅÔ, ÎÏ ÅÓÌÉ ÜÔÏ ÒÁ×ÄÁ, ÔÏ ÜÔÏ ÂÅÚ ÓÏÍÎÅÎÉÑ ÏÂßÑÓÎÑÅÔÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÔÏÇÄÁ ÜÔÉ ÓÁÍÙÅ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÉ ÏÂÕÞÁÌÉÓØ ÎÅ × ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÉÎÓÔÉÔÕÔÁÈ, Á × ÎÅÍÎÏÇÉÈ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁÈ. ÅÅÒØ ÏÎÉ ÏÂÕÞÁÀÔÓÑ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, × ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÉÎÓÔÉÔÕÔÁÈ É ×Ï ÍÎÏÇÉÈ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁÈ. ñ ÂÙ ÎÅ ÈÏÔÅÌ, ÞÔÏÂÙ ÜÔÁ ÌÅË ÉÑ ÏÓÔÁ×ÉÌÁ ÔÁËÏÅ ÍÒÁÞÎÏÅ ×ÏÓÏÍÉÎÁÎÉÅ Ï ÓÅÂÅ. ñ ÈÏÞÕ ÓËÁÚÁÔØ É ÎÅÞÔÏ ÏÔÉÍÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÄ ËÏÎÅ . ñ ÄÕÍÁÀ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÎÕÖÎÏ ÓÔÏ ÌÅÔ ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÏÓÔÅÅÎÎÏ ÏÄÇÏÔÏ×ÉÔØ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï Ë×ÁÌÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÅÊ É ÎÁÌÁÄÉÔØ × ÛËÏÌÅ, ÓÒÅÄÎÅÊ É ×ÙÓÛÅÊ, ÈÏÒÏÛÅÅ ÏÂÕÞÅÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÅÓÌÉ ÓÔÁ ÌÅÔ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÔÏ ÜÔÏ ÈÏÒÏÛÏ. (ïÖÉ×ÌÅÎÉÅ ).

ÅÍÁ ÎÏÍÅÒÁ: ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ

îÕÖÎÁ ÌÉ ÛËÏÌÅ 21-ÇÏ ×ÅËÁ çÅÏÍÅÔÒÉÑ?

é. æ. ûÁÒÙÇÉÎ îÅ ÚÎÁÀÝÉÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÎÅ ÄÏÕÓËÁÅÔÓÑ

îÁÄÉÓØ ÒÉ ×ÈÏÄÅ × áËÁÄÅÍÉÀ ðÌÁÔÏÎÁ ÷ÓÔÕÌÅÎÉÅ. òÁÚ×É×ÁÑ ÍÙÓÌØ ðÕÁÎËÁÒÅ, ×ÙÓËÁÚÁÎÎÕÀ ÅÝÅ × ÎÁÞÁÌÅ 20-ÇÏ ÓÔÏÌÅÔÉÑ, ÄÏ×ÏÄÑ ÅÅ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ÄÏ ÁÂÓÕÒÄÁ, ÷ÌÁÄÉÍÉÒ áÒÎÏÌØÄ × ËÏÎ Å ÔÏÇÏ ÖÅ ÓÔÏÌÅÔÉÑ ÇÏ×ÏÒÉÔ: €íÁÔÅÍÁÔÉËÁ | ÜÔÏ ÞÁÓÔØ ÆÉÚÉËɁ. óÏÇÌÁÛÁÑÓØ Ó ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ, Ñ ×ÓÅ ÖÅ ÈÏÔÅÌ ÂÙ ÅÅ ÒÏÄÏÌÖÉÔØ: €á ÆÉÚÉËÁ | ÞÁÓÔØ ÇÅÏÍÅÔÒÉɁ. é ×ÎÏ×Ø ×ÅÒÎÅÍÓÑ Ë ÎÁÞÁÌÕ ÒÏÛÌÏÇÏ ÓÔÏÌÅÔÉÑ. ÷ÅÌÉËÉÊ ÆÒÁÎ ÕÚÓËÉÊ ÁÒÈÉÔÅËÔÏÒ ëÏÒÂÀÚØÅ ËÁË-ÔÏ ×ÏÓËÌÉËÎÕÌ: €÷ÓÅ ×ÏËÒÕÇ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ!. óÅÇÏÄÎÑ ÕÖÅ × ÎÁÞÁÌÅ 21-ÇÏ ÓÔÏÌÅÔÉÑ ÍÙ ÍÏÖÅÍ Ï×ÔÏÒÉÔØ ÜÔÏ ×ÏÓËÌÉ ÁÎÉÅ Ó ÅÝÅ ÂÏÌØÛÉÍ ÉÚÕÍÌÅÎÉÅÍ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÏÓÍÏÔÒÉÔÅ ×ÏËÒÕÇ | ×ÓÀÄÕ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ! óÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÅ ÚÄÁÎÉÑ É ËÏÓÍÉÞÅÓËÉÅ ÓÔÁÎ ÉÉ, Á×ÉÁÌÁÊÎÅÒÙ É ÏÄ×ÏÄÎÙÅ ÌÏÄËÉ, ÉÎÔÅÒØÅÒÙ Ë×ÁÒÔÉÒ É ÂÙÔÏ×ÁÑ ÔÅÈÎÉËÁ, ÄÏÒÏÖÎÙÅ ÒÁÚ×ÑÚËÉ É ÇÏÒÏÄÓËÉÅ ÁÒËÉ, ÍÉËÒÏÓÈÅÍÙ É ÄÁÖÅ ÒÅËÌÁÍÎÙÅ ÒÏÌÉËÉ. ÷ÏÉÓÔÉÎÕ, ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÁÑ É×ÉÌÉÚÁ ÉÑ | ÜÔÏ ãÉ×ÉÌÉÚÁ ÉÑ çÅÏÍÅÔÒÉÉ. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÚÎÁÎÉÑ É ÕÍÅÎÉÑ, ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ËÕÌØÔÕÒÁ É ÒÁÚ×ÉÔÉÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÅÇÏÄÎÑ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÏ ÚÎÁÞÉÍÙÍÉ ÄÌÑ ÍÎÏÇÉÈ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÈ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÓÔÅÊ, ÄÌÑ ÄÉÚÁÊÎÅÒÏ× É ËÏÎÓÔÒÕËÔÏÒÏ×, ÄÌÑ ÒÁÂÏÞÉÈ É ÕÞÅÎÙÈ. é ÕÖÅ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÏÔ×ÅÔÉÔØ ÎÁ ×ÏÒÏÓ: €îÕÖÎÁ ÌÉ × 21-Í ×ÅËÅ çÅÏÍÅÔÒÉÑ × ÛËÏÌÅ? é ×ÓÅ ÖÅ ÓÅÇÏÄÎÑ ÍÙ ÏÔÞÅÔÌÉ×Ï ÓÌÙÛÉÍ ÇÏÌÏÓÁ, ÒÉÚÙ×ÁÀÝÉÅ, ÅÓÌÉ É ÎÅ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÉÓËÌÀÞÉÔØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ ÉÚ ÛËÏÌØÎÙÈ ÒÏÇÒÁÍÍ, ÔÏ, Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ, ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÓÏËÒÁÔÉÔØ ÒÏÇÒÁÍÍÕ Ï çÅÏÍÅÔÒÉÉ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÇÏÌÏÓÁ ÜÔÉ ÒÁÚÄÁÀÔÓÑ É ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÙ ÌÀÄÅÊ, ÒÉÞÉÓÌÑÀÝÉÈ ÓÅÂÑ (Ñ ÏÌÁÇÁÀ, Ï ÎÅÄÏÒÁÚÕÍÅÎÉÀ) Ë ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÏÍÕ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍÕ

38

é. æ. ûÁÒÙÇÉÎ

ÓÏÏÂÝÅÓÔ×Õ. óÔÒÁÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÓÁÍÏÍÕ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍÕ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÀ ÏÄ×ÅÒÇÁÀÔÓÑ ÒÏÇÒÁÍÍÙ Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ çÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÚÎÁÞÉÍÏÍÕ ÓÅÇÏÄÎÑ ÒÁÚÄÅÌÕ. (óÔÅÒÅÏÍÅÔÒÉÑ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÉÓËÌÀÞÅÎÁ ÉÚ ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÌÉÍÉÁÄ!) é ÅÓÌÉ ÄÅ ÀÒÅ çÅÏÍÅÔÒÉÑ ÏËÁ ÅÝÅ ÓÏÈÒÁÎÑÅÔÓÑ × (ÒÏÓÓÉÊÓËÏÊ) ÛËÏÌÅ, ÔÏ ÄÅ ÆÁËÔÏ ÏÎÁ ÏÞÔÉ ÉÓÞÅÚÌÁ. úÎÁËÏÍÓÔ×Ï ÖÅ Ó ÍÁÔÅÒÉÁÌÁÍÉ åçü ×ÙÎÕÖÄÁÅÔ ÎÁÓ ÕÂÒÁÔØ ÜÔÏ ÓÁÍÏÅ €ÏÞÔɁ. é ×ÏÏÂÝÅ, ÓÉÓÔÅÍÁ ÔÅÓÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÅÓÏ×ÍÅÓÔÉÍÁ Ó çÅÏÍÅÔÒÉÅÊ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÏÄÒÏÂÎÅÅ ÏÔ×ÅÔÉÔØ ÎÁ ×ÏÒÏÓ, ÚÁÞÅÍ ÎÕÖÎÁ ÛËÏÌØÎÁÑ çÅÏÍÅÔÒÉÑ? 1. ï ïÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ É ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Å ÍÉÒÁ. (ä×ÕÓÍÙÓÌÅÎÎÏÓÔØ × ÚÁÇÌÁ-

×ÉÉ ÏÔÎÀÄØ ÎÅ ÓÌÕÞÁÊÎÁ.) çÏ×ÏÒÑ Ï ÅÌÑÈ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÅÁÌÉÚÕÀÔÓÑ ÒÉ ÉÚÕÞÅÎÉÉ ÔÏÇÏ ÉÌÉ ÉÎÏÇÏ ÒÅÄÍÅÔÁ, ÍÙ ÄÏÌÖÎÙ ÉÓÈÏÄÉÔØ ÉÚ ÏÂÝÉÈ ÅÌÅÊ óÉÓÔÅÍÙ ïÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. á ÚÄÅÓØ ÇÌÁ×ÎÙÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ Ä×Å: ×ÏÓÒÏÉÚ×ÏÄÓÔ×Ï ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÝÅÊ × ÓÔÒÁÎÅ ÓÏ ÉÁÌØÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ É ÅÅ ÒÁÚ×ÉÔÉÅ. é × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÕÒÏ×ÎÑ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ÓÔÒÁÎÙ É ÄÁÖÅ ÒÏÓÔÏ ÏÔ ËÁÞÅÓÔ×Á ÖÉÚÎÉ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÍÁÓÓÙ ÖÉÔÅÌÅÊ ×ÅÄÕÝÅÊ ÅÌØÀ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÂÏ ÅÒ×ÏÅ, ÌÉÂÏ ×ÔÏÒÏÅ. ðÏÎÑÔÎÏ, ÞÔÏ × ÜÔÏÍ ÍÅÓÔÅ ÒÁÓÈÏÄÑÔÓÑ ÇÌÁ×ÎÙÅ ÅÌÉ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÄÌÑ ÓÔÒÁÎ Ó ×ÙÓÏËÉÍ ÕÒÏ×ÎÅÍ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ É ÓÔÒÁÎ ÏÔÓÔÁÀÝÉÈ. ðÒÏÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÄÌÑ ÂÏÇÁÔÙÈ É ÂÅÄÎÙÈ ÓÔÒÁÎ. ðÏÎÑÔÎÏ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ËÏÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÓÌÁÂÏÒÁÚ×ÉÔÙÍÉ ÓÔÒÁÎÁÍÉ ÓÉÓÔÅÍ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÓÔÒÁÎ ×ÙÓÏËÏÒÁÚ×ÉÔÙÈ ÒÉ×ÅÄÅÔ Ë ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÀ ÓÌÏÖÉ×ÛÅÊÓÑ ÉÅÒÁÒÈÉÉ ÍÅÖÄÕ ÓÔÒÁÎÁÍÉ, Á ÚÎÁÞÉÔ, ÓÔÒÁÔÅÇÉÞÅÓËÉ ÏÌÅÚÎÏ ÉÍÅÎÎÏ ÓÔÒÁÎÁÍ Ó ÎÁÉÂÏÌÅÅ ×ÙÓÏËÉÍ ÕÒÏ×ÎÅÍ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ. çÌÏÂÁÌÉÚÁ ÉÑ ÜËÏÎÏÍÉËÉ, ÓÏÚÄÁÎÉÅ ÅÄÉÎÏÊ ÏÂÝÅÍÉÒÏ×ÏÊ ÒÙÎÏÞÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÒÉ×ÅÌÉ Ë ÒÅÚËÏÊ ÏÌÑÒÉÚÁ ÉÉ × ÍÉÒÏ×ÏÊ É×ÉÌÉÚÁ ÉÉ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏÊ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ÏÔÅÎ ÉÁÌÏ× ÍÅÖÄÕ ÏÌÀÓÁÍÉ ×ÏÚÎÉËÌÉ ÍÏÝÎÙÅ ÏÔÏËÉ: ÏÔ ÏÄÎÏÇÏ ÏÌÀÓÁ Ë ÄÒÕÇÏÍÕ ÓÌÅÄÕÀÔ ÒÅÓÕÒÓÙ ×ÓÅÈ ×ÉÄÏ×, ÒÉÒÏÄÎÙÅ, ÌÀÄÓËÉÅ, ÉÎÔÅÌÌÅËÔÕÁÌØÎÙÅ, Á ÏÂÒÁÔÎÏ ÎÁÒÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏÔÏ×ÁÑ ÒÏÄÕË ÉÑ É ÕÒÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÓÉÇÎÁÌÙ. ðÒÉ ÜÔÏÍ €ÄÏÂÁ×ÌÅÎÎÁÑ ÓÔÏÉÍÏÓÔ؁ ÅÌÉËÏÍ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÎÁ ÏÄÎÏÍ ÉÚ ÏÌÀÓÏ×, Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÑ ÜÔÕ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÏÔÅÎ ÉÁÌÏ×. ïÄÎÁËÏ ÏÂÝÅÍÉÒÏ×ÏÊ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÔÅÌØÎÙÊ ÌÁÎÄÛÁÆÔ ÎÅ ÓÏ×ÓÅÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÌÁÎÄÛÁÆÔÕ ÜËÏÎÏÍÉÞÅÓËÏÍÕ. äÁ É óÉÓÔÅÍÁ ïÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÌÏÈÏ ÏÄÞÉÎÑÅÔÓÑ ÒÙÎÏÞÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÀ. é × ÜÔÏÍ ÔÁÑÔÓÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÕÇÒÏÚÙ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÉÅÒÁÒÈÉÉ ÍÉÒÁ. þÔÏ ÖÅ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ çÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÓÌÅÄÕÅÔ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÞÅÎØ ÍÏÝÎÙÍ ÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ÌÉÞÎÏÓÔÉ × ÓÁÍÏÍ ÛÉÒÏËÏÍ ÄÉÁÁÚÏÎÅ. ÷ÏÚÍÏÖÎÏ, ÉÍÅÎÎÏ Ï ÜÔÏÊ ÒÉÞÉÎÅ × ÓÔÒÁÎÁÈ, ÇÄÅ ËÁÞÅÓÔ×Ï ÖÉÚÎÉ ÂÏÌØÛÅÊ ÞÁÓÔÉ ÎÁÓÅÌÅÎÉÑ ×ÙÓÏËÏ, çÅÏÍÅÔÒÉÑ ÏÂÙÞÎÏ ÉÚÕÞÁÅÔÓÑ ÎÁ ÏÞÅÎØ ÎÉÚËÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ. ÷ÅÄØ çÅÏÍÅÔÒÉÑ ÒÁÚ×É×ÁÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÌÉÞÎÏÓÔÉ (Ô×ÏÒÞÅÓËÏÅ ÒÁÚ×ÉÔÉÅ, ÎÒÁ×ÓÔ×ÅÎÎÏÅ ×ÏÓÉÔÁÎÉÅ, ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÓÕÖÄÅÎÉÊ É Ï×ÅÄÅÎÉÑ), ×ÅÓØÍÁ ÒÉ×ÌÅËÁÔÅÌØÎÙÅ Ó ÏÂÝÅÞÅÌÏ×ÅÞÅÓËÉÈ ÏÚÉ ÉÊ, ÎÏ ÒÉ ÛÉÒÏËÏÍ ÉÈ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÉÉ ÕÇÒÏÖÁÀÝÉÅ ÓÔÁÂÉÌØÎÏÓÔÉ ÏÔÄÅÌØ-

îÕÖÎÁ ÌÉ ÛËÏÌÅ 21-ÇÏ ×ÅËÁ çÅÏÍÅÔÒÉÑ?

39

ÎÏ ×ÚÑÔÏÇÏ ÄÁÖÅ ÒÏ ×ÅÔÁÀÝÅÇÏ ÓÏÏÂÝÅÓÔ×Á (ÓÔÒÁÛÎÏ ÏÄÕÍÁÔØ, ÞÔÏ ÓÌÕÞÉÔÓÑ, ÅÓÌÉ Ë ×ÌÁÓÔÉ ÒÉÄÕÔ Ô×ÏÒÞÅÓËÉ ÄÕÍÁÀÝÉÅ É ×ÙÓÏËÏÎÒÁ×ÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÌÀÄÉ). äÁÖÅ ÓÒÅÄÉ ÄÉÓ ÉÌÉÎ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÉËÌÁ çÅÏÍÅÔÒÉÑ ×ÙÄÅÌÑÅÔÓÑ Ó×ÏÉÍ ×ÏÌØÎÏÄÕÍÓÔ×ÏÍ, ÎÅËÉÍ ÏÓÏÂÙÍ Ó×ÏÂÏÄÏÌÀÂÉ×ÙÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÏÍ, ÎÅÖÅÌÁÎÉÅÍ ÏÄÞÉÎÑÔØÓÑ ÓÔÁÎÄÁÒÔÁÍ, ÎÏÒÍÁÍ, ÁÌÇÏÒÉÔÍÁÍ É ÄÁÖÅ ÌÏÇÉËÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ÏÎÑÔØ ÓÔÒÅÍÌÅÎÉÅ ÒÕËÏ×ÏÄÉÔÅÌÅÊ ÒÁÚÎÙÈ ÍÁÓÔÅÊ É ÕÒÏ×ÎÅÊ ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØ ÒÏÇÒÁÍÍÙ Ï çÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÓÕÚÉÔØ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÅÅ ÕÞÅÂÎÙÈ ÅÌÅÊ. á Ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÓÁÍÏ ïÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÒÙÎËÁ. é ÒÉ ÒÁÚÕÍÎÏÍ ÏÄÈÏÄÅ ÓÔÒÁÎÙ, ÎÅ ÏÞÅÎØ ÒÅÕÓÅ×ÁÀÝÉÅ × ÜËÏÎÏÍÉËÅ, ÎÏ Ó ÈÏÒÏÛÅÊ óÉÓÔÅÍÏÊ ïÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÍÏÇÕÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÎÁ ×ÎÅÛÎÅÍ ÒÙÎËÅ É ÏÍÏÞØ ÓÅÂÅ ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÜËÏÎÏÍÉÞÅÓËÉ. ÷ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ×ÓÅ ÔÏÊ ÖÅ ÇÌÏÂÁÌÉÚÁ ÉÉ òÏÓÓÉÑ ÍÏÇÌÁ ÂÙ ×ÙÓÔÕÁÔØ ÎÅ ÔÏÌØËÏ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÓÔÁ×ÝÉËÁ ÓÙÒØÑ ÂÏÇÁÔÙÍ ÓÔÒÁÎÁÍ, ÎÏ É ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÔØ ÕÓÌÕÇÉ Ï ÒÁÚ×ÉÔÉÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. òÏÓÓÉÊÓËÏÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÏËÁ ÅÝÅ ËÏÔÉÒÕÅÔÓÑ × ÍÉÒÅ. é ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÉÍÅÎÎÏ ÛËÏÌØÎÁÑ çÅÏÍÅÔÒÉÑ ÍÏÇÌÁ ÂÙ ÚÄÅÓØ ÓÙÇÒÁÔØ ×ÅÄÕÝÕÀ ÒÏÌØ. ëÓÔÁÔÉ, ÔÏÒÇÏ×ÌÑ ÒÏÓÓÉÊÓËÉÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÕÖÅ ÄÁ×ÎÏ ÒÁÚ×ÅÒÎÕÌÁÓØ Ï ×ÓÅÍÕ ÍÉÒÕ, ÎÏ ÄÉ×ÉÄÅÎÄÙ ÏÌÕÞÁÀÔ ÒÏÓÔÏ ÏÔÄÅÌØÎÙÅ ÌÏ×ËÉÅ ÌÀÄÉ, ÚÁÞÁÓÔÕÀ ÒÏÓÔÏ ÒÉÓ×ÏÉ×ÛÉÅ ÓÅÂÅ ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÕÀ ÉÍ ÉÎÔÅÌÌÅËÔÕÁÌØÎÕÀ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ. íÏÖÎÏ ÄÁÖÅ ÕÇÌÑÄÅÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÅ ÓÈÏÄÓÔ×Ï Ó ÒÉÒÏÄÎÙÍÉ ÒÅÓÕÒÓÁÍÉ (ÔÁËÖÅ ÒÉÓ×ÏÅÎÎÙÍÉ) | × ×ÉÄÅ ÎÁÌÉÞÉÑ ÒÅÎÔÙ. ÁÍ ÒÉÒÏÄÎÏÊ, ÚÄÅÓØ ÉÎÔÅÌÌÅËÔÕÁÌØÎÏÊ. ÷ ÏÓÌÅÄÎÅÅ ×ÒÅÍÑ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÕÞÅÎÙÈ | ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× É ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ× × ÏÂÌÁÓÔÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ | ×ÓÅ ÂÏÌØÛÅ É ÂÏÌØÛÅ ÒÉ×ÌÅËÁÅÔ üÌÅÍÅÎÔÁÒÎÁÑ çÅÏÍÅÔÒÉÑ. é, ÎÁ ÍÏÊ ×ÚÇÌÑÄ, ÚÄÅÓØ ÌÉÄÅÒÓÔ×Ï òÏÓÓÉÉ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÚÁÍÅÔÎÏ. ðÏÈÏÖÅ, ÉÍÅÎÎÏ × çÅÏÍÅÔÒÉÉ ÏÓÏÂÏ ÚÁÍÅÔÅÎ Å×ÒÁÚÉÊÓËÉÊ ÈÁÒÁËÔÅÒ ÒÕÓÓËÏÊ ËÕÌØÔÕÒÙ. ÷ ÉÓÔÏÒÉÉ çÅÏÍÅÔÒÉÉ ÑÒËÏ ×ÉÄÎÙ Ä×Å ×ÅÔ×É, ÚÁÁÄÎÁÑ É ×ÏÓÔÏÞÎÁÑ. úÁÁÄÎÁÑ çÅÏÍÅÔÒÉÑ ÓÔÒÏÉÌÁÓØ Ï å×ËÌÉÄÕ, Á ÚÁÔÅÍ Ï äÅËÁÒÔÕ. úÄÅÓØ ×Ï ÇÌÁ×Õ ÕÇÌÁ ÓÔÁ×ÉÌÉÓØ ÔÏÞÎÙÅ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ, ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÎÏÓÔØ, ÏÂÝÉÅ ÔÅÏÒÉÉ. ÷ÏÓÔÏÞÎÁÑ çÅÏÍÅÔÒÉÑ ÏÉÒÁÌÁÓØ ÎÁ ÎÁÇÌÑÄÎÏÓÔØ, çÅÏÍÅÔÒÉÑ ÂÙÌÁ ÓËÏÒÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ëÕÌØÔÕÒÙ, éÓËÕÓÓÔ×Á, ÄÁÖÅ ëÕÌØÔÁ, ÎÅÖÅÌÉ ÎÁÕËÏÊ. é ÜÔÉ Ä×Å ×ÅÔ×É ÔÅÓÎÏ ÅÒÅÌÅÌÉÓØ × òÏÓÓÉÉ, ÇÅÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÓÌÕÖÉ×ÛÅÊ ÍÏÓÔÏÍ ÍÅÖÄÕ úÁÁÄÏÍ É ÷ÏÓÔÏËÏÍ. óÁÍÏ ÏÌÏÖÅÎÉÅ òÏÓÓÉÉ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÂÌÁÇÏÒÉÑÔÓÔ×Ï×ÁÌÏ ÒÁÚ×ÉÔÉÀ óÉÎÔÅÔÉÞÅÓËÏÊ çÅÏÍÅÔÒÉÉ, ËÏÔÏÒÁÑ ÓÅÇÏÄÎÑ ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÒÉ×ÌÅËÁÅÔ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ×. é Ñ ÕÂÅÖÄÅÎ, ÞÔÏ × ÏÂÌÁÓÔÉ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ çÅÏÍÅÔÒÉÉ ÍÙ ÚÁÎÉÍÁÅÍ ÌÉÄÉÒÕÀÝÅÅ ÏÌÏÖÅÎÉÅ × ÍÉÒÅ. îÁÍ ÅÓÔØ, ÞÔÏ ÒÅÄÌÏÖÉÔØ ÍÉÒÕ. ðÏËÁ ÅÓÔØ. é ÜÔÉ Ä×Á ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÓÔ×Á | ÎÅÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Á íÉÒÏ×ÏÊ óÉÓÔÅÍÙ ïÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÜËÏÎÏÍÉÞÅÓËÏÍÕ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Õ ÍÉÒÁ É ÅÅ ÒÙÎÏÞÎÙÅ

40

é. æ. ûÁÒÙÇÉÎ

×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ | É ÏÒÅÄÅÌÑÀÔ ÎÁÂÌÀÄÁÅÍÏÅ ÓÅÇÏÄÎÑ ÓÔÒÅÍÌÅÎÉÅ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÏÓÔÁ×ÛÅÊÓÑ ÓÕÅÒÄÅÒÖÁ×Ù ×ÚÑÔØ ÏÄ ËÏÎÔÒÏÌØ ïÂÝÅÍÉÒÏ×ÕÀ óÉÓÔÅÍÕ ïÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. ÷ ÅÒ×ÕÀ ÏÞÅÒÅÄØ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ, ×ÅÄØ ÉÍÅÎÎÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÉÎÔÅÒÎÁ ÉÏÎÁÌØÎÏ × Ó×ÏÅÊ ÏÓÎÏ×Å (ÉÍÅÅÔ €ÒÔÕÔÎÙʁ ÈÁÒÁËÔÅÒ) É ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÓÁÍÏÅ ÂÏÌØÛÏÅ ×ÌÉÑÎÉÅ ÎÁ ÒÁÚ×ÉÔÉÅ úÅÍÎÏÊ ãÉ×ÉÌÉÚÁ ÉÉ. é ÏÜÔÏÍÕ ÎÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÕÄÉ×ÌÑÔØÓÑ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÒÕËÏ×ÏÄÓÔ×Ï × ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÈ ÓÔÒÕËÔÕÒÁÈ, ÚÁÎÉÍÁÀÝÉÈÓÑ ÒÏÂÌÅÍÁÍÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ÏËÁÚÁÌÏÓØ × ÒÕËÁÈ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ ÜÔÏÊ ÓÁÍÏÊ ÓÕÅÒÄÅÒÖÁ×Ù, × ËÏÔÏÒÏÊ, Ï ÏÂÝÅÍÕ ÍÎÅÎÉÀ, ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÅÄ×Á ÌÉ ÎÅ ÈÕÄÛÅÅ × ÍÉÒÅ. îÁ ÜÔÏÍ ×ÓÅÍÉÒÎÏÍ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÔÅÌØÎÏÍ ÒÙÎËÅ ÄÅÊÓÔ×ÕÀÔ ÏÂÙÞÎÙÅ ÒÙÎÏÞÎÙÅ ÍÅÈÁÎÉÚÍÙ. âÏÌÅÅ ÓÉÌØÎÙÅ É ÂÏÇÁÔÙÅ ÎÅ ÕÓËÁÀÔ ÎÁ ÎÅÇÏ ÂÏÌÅÅ ÓÌÁÂÙÈ É ÂÅÄÎÙÈ, ÎÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏ É ËÁÞÅÓÔ×Ï ÒÏÄÕËÔÁ ÌÕÞÛÅ, ÄÁ É ÅÎÁ ÍÅÎØÛÅ. é × ÓÒÅÄÓÔ×ÁÈ ÓÉÌØÎÙÅ, ËÁË ×ÓÅÇÄÁ, ÎÅ ÓÔÅÓÎÑÀÔÓÑ. é × ËÏÎ Å ÜÔÏÇÏ ÒÁÚÄÅÌÁ Ñ ÈÏÞÕ ÓËÁÚÁÔØ, ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÎÅ ÓÏ×ÓÅÍ Ï ÄÅÌÕ, ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÌÏ× × Ó×ÑÚÉ Ó ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ × òÏÓÓÉÉ ÒÅÆÏÒÍÏÊ-ÍÏÄÅÒÎÉÚÁ ÉÅÊ ÓÒÅÄÎÅÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. ðÏ ÍÎÅÎÉÀ ÍÎÏÇÉÈ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ×, ÜÔÏ ÎÅ ÒÅÆÏÒÍÙ É ÎÅ ÍÏÄÅÒÎÉÚÁ ÉÑ, Á ÒÁÚÒÕÛÅÎÉÅ ÓÌÏÖÉ×ÛÅÊÓÑ ÓÉÓÔÅÍÙ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. ÁË × ÞÅÍ ÖÅ ÄÅÌÏ? ðÏÞÅÍÕ ÒÅÆÏÒÍÙ ÒÏÄÏÌÖÁÀÔÓÑ É ÏÄÄÅÒÖÉ×ÁÀÔÓÑ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ×ÙÓÏËÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ? îÅÕÖÔÏ ÔÁÍ ÓÉÄÑÔ ÌÀÄÉ ÕÖ ÓÏ×ÓÅÍ ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÏÎÉÍÁÀÝÉÅ? ðÏ ÜÔÏÍÕ Ï×ÏÄÕ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÌÏÓØ ÍÎÏÇÏ ÍÎÅÎÉÊ. äÏÂÁ×ÌÀ ÏÄÎÏ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÅ. ÷ óÏ×ÅÔÓËÏÍ óÏÀÚÅ ÓÌÏÖÉÌÁÓØ ÈÏÒÏÛÁÑ óÉÓÔÅÍÁ ïÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÅÌÅ×ÏÊ ÕÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ËÏÔÏÒÏÊ ÂÙÌÏ Ô×ÏÒÞÅÓËÏÅ ÒÁÚ×ÉÔÉÅ ÕÞÁÝÅÇÏÓÑ (ÞÔÏ, ÒÉÚÎÁÅÍÓÑ, ×ÅÓØÍÁ ÓÔÒÁÎÎÏ ÄÌÑ ÔÏÔÁÌÉÔÁÒÎÏÇÏ ÒÅÖÉÍÁ). íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ïÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÖÅ × óÏ×ÅÔÓËÏÍ óÏÀÚÅ ÞÕÔØ ÌÉ ÎÅ ÏÆÉ ÉÁÌØÎÏ ÒÉÚÎÁ×ÁÌÏÓØ ÌÕÞÛÉÍ × ÍÉÒÅ. é Ñ ÕÂÅÖÄÅÎ, ÞÔÏ ÉÍÅÎÎÏ óÉÓÔÅÍÁ ïÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÂÙÌÁ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÏÍ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÉÍÙÈ ÏÂÅÄ óÏ×ÅÔÓËÏÇÏ óÏÀÚÁ (ÉÎÄÕÓÔÒÉÁÌÉÚÁ ÉÑ, ÷ÏÊÎÁ, ÁÔÏÍÎÁÑ ÂÏÍÂÁ, ×ÙÈÏÄ × ëÏÓÍÏÓ), É ÏÎÁ ÖÅ ÓÔÁÌÁ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÒÉÞÉÎ, ÒÉ×ÅÄÛÉÈ Ë ÒÁÓÁÄÕ óÏ×ÅÔÓËÏÇÏ óÏÀÚÁ (ÎÅ ÂÕÄÕ ÚÁÈÏÄÉÔØ ÚÄÅÓØ ÓÌÉÛËÏÍ ÄÁÌÅËÏ É ×ÙÞÌÅÎÑÔØ ÏÓÏÂÏ ÒÏÌØ çÅÏÍÅÔÒÉÉ). åÅ ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÅ ÎÁ ÒÅÖÎÅÍ ÕÒÏ×ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÓÔÁÔØ ÉÓÔÏÞÎÉËÏÍ ÏÓÔÏÑÎÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÕÇÒÏÚÙ ÄÌÑ ÎÏ×ÏÊ, Á Ï ÓÕÔÉ ÅÒÅËÒÁÓÉ×ÛÅÊÓÑ ÓÔÁÒÏÊ ÎÏÍÅÎËÌÁÔÕÒÙ. é Ä×ÁÖÄÙ Ï×ÔÏÒÑÔØ ÎÅ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ, ÉÎÓÔÉÎËÔ ÓÁÍÏÓÏÈÒÁÎÅÎÉÑ Õ ÎÏÍÅÎËÌÁÔÕÒÙ ÒÁÚ×ÉÔ ÏÓÉÌØÎÅÊ, ÞÅÍ Õ Ú×ÅÒÑ. á ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÑ Õ ÎÏÍÅÎËÌÁÔÕÒ ÒÁÚÎÙÈ ÓÔÒÁÎ ÇÏÒÁÚÄÏ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ Õ ÒÏÌÅÔÁÒÉÅ×. 2. ÷ÏÓÉÔÁÎÉÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÅÊ. ãÅÌØÀ ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ËÏÎÅÞÎÏ,

Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÎÁÎÉÅ. îÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÉÚÎÁÔØ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÅÌØ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ×ÔÏÒÏÓÔÅÅÎÎÁ, ÏÓËÏÌØËÕ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÛËÏÌØÎÙÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÚÎÁÎÉÊ ÎÅ ×ÏÓÔÒÅÂÏ×ÁÎÏ ÎÉ × ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÊ ÖÉÚÎÉ ÞÅÌÏ×ÅËÁ, ÎÉ ÄÁÖÅ × ÎÁÕÞÎÏÊ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ.

îÕÖÎÁ ÌÉ ÛËÏÌÅ 21-ÇÏ ×ÅËÁ çÅÏÍÅÔÒÉÑ?

41

âÏÌÅÅ ×ÁÖÎÏ, ÞÔÏ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÅÓÔØ ÆÅÎÏÍÅÎ ÏÂÝÅÞÅÌÏ×ÅÞÅÓËÏÊ ËÕÌØÔÕÒÙ. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÔÅÏÒÅÍÙ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÄÎÉÍÉ ÉÚ ÄÒÅ×ÎÅÊÛÉÈ ÁÍÑÔÎÉËÏ× ÍÉÒÏ×ÏÊ ËÕÌØÔÕÒÙ. þÅÌÏ×ÅË ÎÅ ÍÏÖÅÔ Ï-ÎÁÓÔÏÑÝÅÍÕ ÒÁÚ×ÉÔØÓÑ ËÕÌØÔÕÒÎÏ É ÄÕÈÏ×ÎÏ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÎÅ ÉÚÕÞÁÌ × ÛËÏÌÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ; ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ×ÏÚÎÉËÌÁ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÉÚ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ, ÎÏ É ÉÚ ÄÕÈÏ×ÎÙÈ ÏÔÒÅÂÎÏÓÔÅÊ ÞÅÌÏ×ÅËÁ. éÓÔÏÒÉÑ ÞÅÌÏ×ÅÞÅÓÔ×Á ÉÛÅÔÓÑ × ÔÒÅÈ ËÎÉÇÁÈ. üÔÏ éÓÔÏÒÉÑ ÷ÒÁÖÄÙ, ÉÓÔÏÒÉÑ ×ÏÊÎ, ÒÅ×ÏÌÀ ÉÊ, ÍÑÔÅÖÅÊ É ÂÕÎÔÏ×. éÚ ÎÉÈ ÂÏÌØÛÅÀ ÞÁÓÔØÀ ÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ éÓÔÏÒÉÑ çÏÓÕÄÁÒÓÔ×Á. üÔÏ éÓÔÏÒÉÑ ìÀÂ×É. åÅ ÉÛÅÔ éÓËÕÓÓÔ×Ï. é ÜÔÏ éÓÔÏÒÉÑ íÙÓÌÉ ÞÅÌÏ×ÅÞÅÓËÏÊ. éÓÔÏÒÉÑ çÅÏÍÅÔÒÉÉ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÏÔÒÁÖÁÅÔ ÉÓÔÏÒÉÀ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ÞÅÌÏ×ÅÞÅÓËÏÊ ÍÙÓÌÉ. çÅÏÍÅÔÒÉÑ ÉÚÄÁ×ÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÓÁÍÙÈ ÍÏÝÎÙÈ ÍÏÔÏÒÏ×, Ä×ÉÇÁÀÝÉÈ ÜÔÕ ÍÙÓÌØ. ÷ÏÚÎÉËÛÁÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÔÙÓÑÞÅÌÅÔÉÊ ÔÏÍÕ ÎÁÚÁÄ ÅÏÒÉÑ ËÏÎÉÞÅÓËÉÈ ÓÅÞÅÎÉÊ, ÏÏÌÎÅÎÎÁÑ ÏÔËÒÙÔÙÍÉ ëÅÌÅÒÏÍ ÚÁËÏÎÁÍÉ, ×ÙÍÏÓÔÉÌÁ ÄÏÒÏÇÕ ÞÅÌÏ×ÅÞÅÓÔ×Á × ëÏÓÍÏÓ. (ëÓÔÁÔÉ, Ï ÒÉËÌÁÄÎÏÍ É ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ çÅÏÍÅÔÒÉÉ). çÅÏÍÅÔÒÉÑ, ÄÁ É ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ × ÅÌÏÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÏÞÅÎØ ÄÅÊÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÓÒÅÄÓÔ×Ï ÄÌÑ ÎÒÁ×ÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ×ÏÓÉÔÁÎÉÑ ÞÅÌÏ×ÅËÁ. ÷ ÒÏÍÁÎÅ €÷ÏÊÎÁ É ÍÉҁ, ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÑ ÓÔÁÒÛÅÇÏ ËÎÑÚÑ âÏÌËÏÎÓËÏÇÏ îÉËÏÌÁÑ, ì. î. ÏÌÓÔÏÊ ÉÛÅÔ: €ïÎ ÇÏ×ÏÒÉÌ, ÞÔÏ ÅÓÔØ ÔÏÌØËÏ Ä×Á ÉÓÔÏÞÎÉËÁ ÌÀÄÓËÉÈ ÏÒÏËÏ×: ÒÁÚÄÎÏÓÔØ É ÓÕÅ×ÅÒÉÅ, É ÞÔÏ ÅÓÔØ ÔÏÌØËÏ Ä×Å ÄÏÂÒÏÄÅÔÅÌÉ: ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔØ É ÕÍ. ïÎ ÓÁÍ ÚÁÎÉÍÁÌÓÑ ×ÏÓÉÔÁÎÉÅÍ Ó×ÏÅÊ ÄÏÞÅÒÉ É, ÞÔÏÂÙ ÒÁÚ×ÉÔØ × ÎÅÊ ÏÂÅ ÇÌÁ×ÎÙÅ ÄÏÂÒÏÄÅÔÅÌÉ, ÄÁ×ÁÌ ÅÊ ÕÒÏËÉ ÁÌÇÅÂÒÙ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÒÁÓÒÅÄÅÌÉÌ ×ÓÀ ÅÅ ÖÉÚÎØ × ÂÅÓÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÚÁÎÑÔÉÑȁ. îÁÕÞÎÏÊ É ÎÒÁ×ÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÏÓÎÏ×ÏÊ ËÕÒÓÁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÉÎ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ×ÓÅÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ. é ÜÔÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÛËÏÌØÎÙÊ ÒÅÄÍÅÔ, ×ËÌÀÞÁÑ ÄÁÖÅ ÒÅÄÍÅÔÙ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÉËÌÁ, ÏÌÎÏÓÔØÀ ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÊ ÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÍ ×Ù×ÏÄÅ ×ÓÅÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ. ìÀÄØÍÉ, ÏÎÉÍÁÀÝÉÍÉ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï, ÔÒÕÄÎÏ É ÄÁÖÅ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÍÁÎÉÕÌÉÒÏ×ÁÔØ. ÷ ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ×ÌÁÓÔØ ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ÕÔÒÕÖÄÁÅÔ ÓÅÂÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÁÍÉ. (ïÔÓÀÄÁ ÓÏ×ÅÔ ÔÅÍ, ËÔÏ ÈÏÞÅÔ ÓÔÁÔØ ÏÌÉÔÉËÏÍ, ÉÄÔÉ ×Ï ×ÌÁÓÔØ: ÎÅ ÚÁÎÉÍÁÊÔÅÓØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÅÊ.) 3. ëÁËÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ? éÔÁË, ×ÒÏÄÅ ×ÓÅ ÑÓÎÏ, çÅÏÍÅÔÒÉÑ | ÏÄÉÎ ÉÚ ×ÁÖ-

ÎÅÊÛÉÈ ÒÅÄÍÅÔÏ×, ÒÉÞÅÍ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÓÒÅÄÉ ÒÅÄÍÅÔÏ× ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÉËÌÁ, ÎÏ É ×ÏÏÂÝÅ ÓÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ÛËÏÌØÎÙÈ ÒÅÄÍÅÔÏ×. åÅ ÅÌÅ×ÏÊ ÏÔÅÎ ÉÁÌ ÏÈ×ÁÔÙ×ÁÅÔ ÎÅÏÂÙÞÁÊÎÏ ÛÉÒÏËÉÊ ÁÒÅÁÌ, ×ËÌÀÞÁÅÔ × ÓÅÂÑ ÞÕÔØ ÌÉ ÎÅ ×ÓÅ ÍÙÓÌÉÍÙÅ ÅÌÉ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. ÁË ÏÞÅÍÕ ÖÅ ÅÝÅ ÒÏÄÏÌÖÁÀÔÓÑ ÓÏÒÙ Ï ÒÏÌÉ É ÍÅÓÔÅ çÅÏÍÅÔÒÉÉ × ÛËÏÌÅ? óÌÅÄÕÅÔ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÓÏÒ Ï Ï×ÏÄÕ ÛËÏÌØÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÎÁÏÍÉÎÁÅÔ ÏÒÏÊ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÊ ÓÏÒ ÉÚ ÞÅÈÏ×ÓËÉÈ €ÒÅÈ ÓÅÓÔÅҁ: €þÅÒÅÍÛÁ |

42

é. æ. ûÁÒÙÇÉÎ

ÌÕË. þÅÈÁÒÔÍÁ | ÍÑÓρ. óÏÒÑÔ Ï ÒÁÚÎÙÈ ÒÅÄÍÅÔÁÈ. é ÏÜÔÏÍÕ, ËÏÇÄÁ ÍÙ ÙÔÁÅÍÓÑ ÏÔ×ÅÔÉÔØ ÎÁ ×ÏÒÏÓÙ: îÕÖÎÁ ÌÉ × 21-Í ×ÅËÅ ÛËÏÌØÎÁÑ çÅÏÍÅÔÒÉÑ? úÁÞÅÍ ÂÕÄÅÔ ÎÕÖÎÁ × ÛËÏÌÅ çÅÏÍÅÔÒÉÑ? | ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÑÓÎÑÔØ, Ï ËÁËÏÊ çÅÏÍÅÔÒÉÉ ÉÄÅÔ ÒÅÞØ. åÓÔØ çÅÏÍÅÔÒÉÑ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ. ðÅÒÅÆÒÁÚÉÒÕÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÏÌÓÔÏÇÏ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓËÁÚÁÔØ: €èÏÒÏÛÉÅ ËÕÒÓÙ çÅÏÍÅÔÒÉÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÏÓÔÒÏÅÎÙ ÒÁÚÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ, ÌÏÈÉÅ ÖÅ ÂÏÌØÛÅÀ ÞÁÓÔØÀ ÏÞÅÎØ ÏÈÏÖÉ ÄÒÕÇ ÎÁ ÄÒÕÇÁ. åÓÔØ ÔÒÉ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÓÏÓÏÂÁ ÕÎÉÞÔÏÖÉÔØ çÅÏÍÅÔÒÉÀ É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÔÒÉ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÔÉÁ ËÕÒÓÏ× ÁÎÔÉ (ÌÖÅ, ÓÅ×ÄÏ) ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. ðÒÉÞÅÍ, ÎÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÒÁÚÌÉÞÉÅ ÏÄÈÏÄÏ×, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÕÞÅÂÎÉËÉ ÓÈÏÖÉ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ, ÏÎÉ ÌÏÈÏ ÓÔÒÕËÔÕÒÉÒÏ×ÁÎÙ, ÎÁÉÓÁÎÙ ÎÁ ÓË×ÅÒÎÏÍ ÑÚÙËÅ, É ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÎÏÍ É ÉÚÏÂÒÁÚÉÔÅÌØÎÏÍ, ÉÚÏÂÉÌÕÀÔ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍÉ ÎÅÕ×ÑÚËÁÍÉ. óÁÍÏÅ ÕÄÉ×ÉÔÅÌØÎÏÅ, ÞÔÏ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÂÅÌÙ É ÒÏËÏÌÙ ÈÁÒÁËÔÅÒÎÙ ÄÌÑ ËÕÒÓÏ×, ÒÅÔÅÎÄÕÀÝÉÈ ÞÕÔØ ÌÉ ÎÅ ÎÁ ÁÂÓÏÌÀÔÎÕÀ ÌÏÇÉÞÅÓËÕÀ ÓÔÒÏÇÏÓÔØ, ËÏÎ ÅÔÕÁÌØÎÏ ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÈ ÎÁ ÆÏÒÍÁÌØÎÏ-ÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ (ÁËÓÉÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ) ÏÓÎÏ×Å. ÁËÉÅ ËÕÒÓÙ ×ÅÓØÍÁ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÙ × ÒÏÓÓÉÊÓËÏÊ ÛËÏÌÅ. èÁÒÁËÔÅÒÎÙÅ ÒÉÚÎÁËÉ: ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÞÉÓÔÏ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÊ, ÚÁÞÁÓÔÕÀ ÄÅÌÁÀÝÉÈ ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÏÅ ÏÎÑÔÉÅ ÎÅÕÚÎÁ×ÁÅÍÙÍ; ÄÌÉÔÅÌØÎÁÑ ×ÏÚÎÑ Ó ÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÙÍÉ ÏÎÑÔÉÑÍÉ, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÞÅÇÏ × ÔÅÞÅÎÉÅ ÞÕÔØ ÌÉ ÎÅ ÏÌÏ×ÉÎÙ ËÕÒÓÁ ÛËÏÌØÎÉË ÎÅ ÕÚÎÁÅÔ ÎÉÞÅÇÏ ÎÏ×ÏÇÏ; ÏÂÉÌÉÅ ÍÎÏÇÏÓÌÏ×ÎÙÈ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ, Á ÔÏÞÎÅÅ ÕÓÔÙÈ ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÓÌÏ×, ×ÙÄÁ×ÁÅÍÙÈ ÚÁ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ, ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÝÉÈ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÅ ÆÁËÔÙ É ÄÅÌÁÀÝÉÈ ÜÔÏÔ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÊ ÆÁËÔ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÎÅÏÎÑÔÎÙÍ, Á ÓÁÍÏÅ ÇÌÁ×ÎÏÅ, ÄÉÓËÒÅÄÉÔÉÒÕÀÝÉÈ ÓÁÍÕ ÉÄÅÀ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á. ðÏÄÏÂÎÙÅ ËÕÒÓÙ ÂÙÓÔÒÏ É ÎÁÄÅÖÎÏ ÕÂÉ×ÁÀÔ ×ÓÑËÉÊ ÉÎÔÅÒÅÓ Ë ÒÅÄÍÅÔÕ. ëÁË ÇÏ×ÁÒÉ×ÁÌ ÎÅÚÁÂ×ÅÎÎÙÊ îÉËÏÌÁÊ ïÚÅÒÏ×, €ÁËÏÊ ÈÏËËÅÊ ÎÁÍ ÎÅ ÎÕÖÅ΁. óÌÅÄÕÀÝÅÊ ÒÁÚÎÏ×ÉÄÎÏÓÔØÀ ÓÅ×ÄÏÇÅÏÍÅÔÒÉÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÕÒÓÙ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ-ÒÉËÌÁÄÎÏÇÏ ÔÉÁ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÒÁËÔÉÞÅÓËÁÑ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÏÓÔØ ÏÎÉÍÁÅÔÓÑ × ÕÚËÏ ÕÔÉÌÉÔÁÒÎÏÍ ÓÍÙÓÌÅ. ÷ÓÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÎÅÂÏÌØÛÏÊ ÏÄÂÏÒËÅ ÆÏÒÍÕÌ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÄÌÉÎ, ÌÏÝÁÄÅÊ É ÏÂßÅÍÏ×. ðÏÄÏÂÎÙÅ ËÕÒÓÙ ÂÙÌÉ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÙ × òÏÓÓÉÉ ÎÁ ÚÁÒÅ ÓÏ×ÅÔÓËÏÊ ×ÌÁÓÔÉ, Á ÓÅÇÏÄÎÑ ÏÎÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÎÙ ÄÌÑ ÚÁÁÄÎÏÊ ÛËÏÌÙ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÁÍÅÒÉËÁÎÓËÏÊ (ÎÁÓËÏÌØËÏ ÍÎÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ). éÓÔÏÒÉÞÅÓËÉ ÏÄÏÂÎÙÅ ËÕÒÓÙ ÏÒÁ×ÄÙ×ÁÅÔ ÜÔÉÍÏÌÏÇÉÑ ÓÌÏ×Á €ÇÅÏÍÅÔÒÉс. îÏ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÕÖÅ ÄÁ×ÎÏ ×ÙÛÌÁ ÚÁ ÕÚËÉÅ ÒÁÍËÉ €ÚÅÍÌÅÍÅÒÉс. äÁ É ÒÁËÔÉÞÅÓËÁÑ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔØ ÌÀÄÅÊ ÓÔÁ×ÉÔ ÅÒÅÄ ÎÉÍÉ ÓÅÇÏÄÎÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÉÎÙÅ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ, × ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ. äÁÌÅËÏ ÎÅ €ÚÅÍÌÅÍÅÒÎÙŁ. é ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÏÂÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÙÅ ÒÁÚÎÏ×ÉÄÎÏÓÔÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ËÕÒÓÏ× ÎÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÚÁÑ×ÌÅÎÎÏÊ ËÏÎ Å ÉÉ: ÆÏÒÍÁÌØÎÏ-ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÏÛÉÂËÉ, Á ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ-ÒÉËÌÁÄÎÙÅ ÎÅ ÄÁÀÔ ÚÎÁÎÉÊ É ÕÍÅÎÉÊ, ÏÌÅÚÎÙÈ × ÒÉËÌÁÄÎÏÊ É ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÊ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ. é ÅÓÌÉ Ó ÜÔÉÍÉ Ä×ÕÍÑ ÔÉÁÍÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ËÕÒÓÏ× ×ÓÅ ÏÎÑÔÎÏ, ÔÏ Ó ÔÒÅÔØÅÊ ÒÁÚÎÏ×ÉÄÎÏÓÔØÀ, ËÏÔÏÒÕÀ Ñ ÔÏÖÅ ÒÉÞÉÓÌÑÀ Ë ÁÎÔÉÇÅÏÍÅÔÒÉÉ,

îÕÖÎÁ ÌÉ ÛËÏÌÅ 21-ÇÏ ×ÅËÁ çÅÏÍÅÔÒÉÑ?

43

×ÓÅ ÎÅ ÓÔÏÌØ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ. òÅÞØ ÉÄÅÔ Ï €ËÏÒÏÌÅ×ÓËḮ ÕÔÉ × çÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÕËÁÚÁÎÎÏÍ äÅËÁÒÔÏÍ. óÏÚÄÁÎÎÙÊ ÉÍ ÍÅÔÏÄ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ, ËÁË ÏÌÁÇÁÌ ÅÇÏ ÓÏÚÄÁÔÅÌØ, ÓÒÅÄÎÅÍÕ É ÄÁÖÅ ÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÍÕ ÞÅÌÏ×ÅËÕ ÄÏÓÔÉÞØ ×ÙÓÏÔ, ÄÏÓÔÕÎÙÈ ÒÁÎÅÅ ÌÉÛØ ÏÓÏÂÏ ÏÄÁÒÅÎÎÙÍ. ëÔÏ-ÔÏ ÉÚ ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ËÌÁÓÓÉËÏ× ÚÁÍÅÔÉÔ, ÞÔÏ €ÏÎ ÏËÒÙÌ çÅÏÍÅÔÒÉÀ ÁÒÛÏÊ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ÆÏÒÍṌ. îÁÄÏ ÒÉÚÎÁÔØ, ÞÔÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÊ ÍÅÔÏÄ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÅÄÉÎÏÏÂÒÁÚÎÏ ÒÅÛÁÔØ ÓÁÍÙÅ ÔÒÕÄÎÙÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ. äÁÖÅ ÓÒÅÄÉ ÏÂÅÄÉÔÅÌÅÊ ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÈ ÏÌÉÍÉÁÄ ×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ ÛËÏÌØÎÉËÉ, ×ÌÁÄÅÀÝÉÅ, Ï ÓÕÔÉ, ÌÉÛØ ÏÄÎÉÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÍ ÍÅÔÏÄÏÍ, ÎÏ ×ÌÁÄÅÀÝÉÅ ÉÍ ×ÉÒÔÕÏÚÎÏ, ÓÏÓÏÂÎÙÅ ÒÅÛÉÔØ ÜÔÉÍ ÍÅÔÏÄÏÍ ÞÕÔØ ÌÉ ÎÅ ÌÀÂÕÀ ÉÚ ÒÅÄÌÁÇÁÅÍÙÈ ÎÁ ÏÌÉÍÉÁÄÁÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ. (é ÚÄÅÓØ, ËÓÔÁÔÉ, ÓÌÅÄÕÅÔ ÓÄÅÌÁÔØ ÓÅÒØÅÚÎÏÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ Ï Ï×ÏÄÕ ËÁÞÅÓÔ×Á ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ ÎÁ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÌÉÍÉÁÄÁÈ.) é ×ÓÅ ÖÅ Ñ ÕÂÅÖÄÅÎ, ÍÅÔÏÄ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ (ÎÁÒÑÄÕ Ó ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÅÊ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÓÁÍÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× ÂÏÒØÂÙ Ó ÇÅÏÍÅÔÒÉÅÊ, É ÄÁÖÅ ÕÎÉÞÔÏÖÅÎÉÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. é ×ÒÅÄÅÎ ÏÎ ÎÁ ×ÓÅÈ ÜÔÁÖÁÈ ÛËÏÌØÎÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, É ÄÌÑ ÓÌÁÂÙÈ ÛËÏÌØÎÉËÏ× É ÄÌÑ ÓÁÍÙÈ ÓÏÓÏÂÎÙÈ. þÔÏ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÓÌÁÂÙÈ, ÏÔÓÔÁÀÝÉÈ ÉÌÉ ÏÁÄÁÀÝÉÈ Ï ÔÅÍ ÉÌÉ ÉÎÙÍ ÒÉÞÉÎÁÍ × ËÁÔÅÇÏÒÉÀ ÏÔÓÔÁÀÝÉÈ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÛËÏÌØÎÉËÏ×, ÔÏ ÚÄÅÓØ ÏÁÓÎÏÓÔØ ÞÒÅÚÍÅÒÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÁÉÚÁ ÉÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ. âÏÌØÛÅÊ ÞÁÓÔØÀ × ÜÔÏÊ ÇÒÕÅ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÄÅÔÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÌÏÈÏ ÓÞÉÔÁÀÔ, Ó ÔÒÕÄÏÍ ÏÎÉÍÁÀÔ É ÚÁÏÍÉÎÁÀÔ ÆÏÒÍÕÌÙ É Ô. Ä. äÌÑ ÜÔÉÈ ÄÅÔÅÊ çÅÏÍÅÔÒÉÑ ÍÏÇÌÁ ÂÙ ÓÔÁÔØ ÒÅÄÍÅÔÏÍ, ÚÁ ÓÞÅÔ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÎÉ ÍÏÇÌÉ ÂÙ Ï×ÙÓÉÔØ Ó×ÏÊ ÓÔÁÔÕÓ × ËÌÁÓÓÅ, ËÏÍÅÎÓÉÒÏ×ÁÔØ ÎÅÄÏÓÔÁÔËÉ ÏÂÝÅÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ. á ×ÍÅÓÔÏ ÜÔÏÇÏ ÏÎÁ ÌÏÖÉÔÓÑ ÎÁ ÎÉÈ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÍ ÇÒÕÚÏÍ, ÒÉÞÅÍ ÎÁ ÔÕ ÖÅ ÞÁÛÕ ×ÅÓÏ×, ÇÄÅ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ É ÁÌÇÅÂÒÁ, ×ÙÎÕÖÄÁÅÔ ÚÁÎÉÍÁÔØÓÑ ÎÅÉÎÔÅÒÅÓÎÏÊ É ÔÒÕÄÎÏÊ ÄÌÑ ÎÉÈ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔØÀ. á ÞÅÍ ÖÅ ÏÁÓÎÁ ÏÄÏÂÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏ-ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÄÌÑ ÏÄÁÒÅÎÎÙÈ ÄÅÔÅÊ? äÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÊ ÍÅÔÏÄ, ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÊ ÍÅÔÏÄ ÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ × ÓÔÏÒÏÎÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÓÕÔØ ÉÚÕÞÁÅÍÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ. ÷ÏÓÉÔÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÓÏÌÎÉÔÅÌØ, ÒÅÛÁÀÝÉÊ ÚÁÄÁÎÎÕÀ ËÏÎËÒÅÔÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ. îÅ ÍÅÎØÛÅ, ÎÏ É ÎÅ ÂÏÌØÛÅ. îÅ ÒÁÚ×É×ÁÅÔÓÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ É ÄÁÖÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÉÎÔÕÉ ÉÑ, ÓÔÏÌØ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ-ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌÀ. ÷ÏÚÍÏÖÎÏ, ÉÍÅÎÎÏ ÏÜÔÏÍÕ (ÏÔÞÁÓÔÉ) ÏÂÅÄÉÔÅÌÉ ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÈ ÏÌÉÍÉÁÄ ÎÅ ÔÁË ÕÖ ÞÁÓÔÏ ÓÔÁÎÏ×ÑÔÓÑ ×ÙÓÏËÏËÌÁÓÓÎÙÍÉ ÕÞÅÎÙÍÉ. ïÄÎÁËÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÊ ÍÅÔÏÄ ÏÞÅÎØ ÕÄÏÂÅÎ, ÏÎ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌÅÎ, ÅÇÏ ÌÅÇËÏ ÆÏÒÍÁÌÉÚÏ×ÁÔØ, ÔÒÅÎÉÒÏ×ÁÔØ, É ÒÏÞÅÅ É ÒÏÞÅÅ. é ÏËÁ ÎÁ ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÈ ÏÌÉÍÉÁÄÁÈ ÓÏÈÒÁÎÉÔÓÑ ÎÙÎÅÛÎÉÊ ÓÔÉÌØ (ËÁÞÅÓÔ×Ï ÚÁÄÁÞ, ÓÏÓÏÂÙ ÒÏ×ÅÒËÉ É Ï ÅÎËÉ), ÏËÁ ÅÌØÀ ×ÅÄÕÝÉÈ ÓÔÒÁÎ ÂÕÄÅÔ ÏÓÔÁ×ÁÔØÓÑ €ÏÂÅÄÁ ÌÀÂÏÊ ÅÎÏʁ, ÕÞÅÂÎÉËÉ Ï €ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉɁ ÂÕÄÕÔ ÏÄÎÉÍÉ ÉÚ ÓÁÍÙÈ ×ÏÓÔÒÅÂÏ×ÁÎÎÙÈ ÛËÏÌØÎÙÈ ÕÞÅÂÎÉËÏ×, ×Ï ×ÓÑËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÒÉ ÏÂÕÞÅÎÉÉ ÓÉÌØÎÙÈ ÛËÏÌØÎÉËÏ× (ÏÄÁÒÅÎÎÙÈ?)

44

é. æ. ûÁÒÙÇÉÎ

âÅÚÕÓÌÏ×ÎÏ, ÔÒÅÍÑ ÜÔÉÍÉ ÒÁÚÎÏ×ÉÄÎÏÓÔÑÍÉ ×Ï×ÓÅ ÎÅ ÉÓÞÅÒÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÏÈÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ. îÅÒÅÄËÏ ×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÌÏÇÉËÏ-ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÅ ÓÍÅÓÉ, ÒÑÄÏÍ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ ÍÏÄÅÒÎÉÓÔÓËÉÅ É ÄÁÖÅ ÏÓÔÍÏÄÅÒÎÉÓÔÓËÉÅ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÎÁÕÞÎÙÅ ËÕÒÓÙ. îÏ ÅÝÅ ÒÁÚ ÏÄÞÅÒËÎÕ, ×ÓÅ ÜÔÉ ËÕÒÓÙ ÌÅÇËÏ ÕÚÎÁ×ÁÅÍÙ. é ÞÔÏÂÙ ÉÈ ÕÚÎÁÔØ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏÞÉÔÁÔØ ÏÇÌÁ×ÌÅÎÉÅ É ÒÏÌÉÓÔÁÔØ ÕÞÅÂÎÉË. éÔÁË, ËÁËÏÊ ÎÅ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ çÅÏÍÅÔÒÉÑ, ÂÏÌÅÅ ÉÌÉ ÍÅÎÅÅ ÏÎÑÔÎÏ. á ËÁËÏÊ ÖÅ ÏÎÁ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ? îÅ ÄÕÍÁÀ, ÞÔÏ ×ÏÚÍÏÖÅÎ ÏÌÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ÜÔÏÔ ×ÏÒÏÓ. äÁÖÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ Ï ÉÄÅÁÌØÎÏÍ ËÕÒÓÅ Õ ÒÁÚÎÙÈ ÌÀÄÅÊ, É ÒÏÓÔÙÈ É ×ÅÌÉËÉÈ, ÒÁÚÌÉÞÎÙ. îÏ ÉÄÅÁÌÙ, ËÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÎÅÄÏÓÔÉÖÉÍÙ. äÁ É ÎÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÏÂßÑÓÎÑÔØ ÄÒÕÇÉÍ, ËÁËÉÍ ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÜÔÏÔ ËÕÒÓ, ËÁË ÂÙ ÔÙ ÓÁÍ ÅÇÏ ÎÁÉÓÁÌ, ÅÓÌÉ ÂÙ ÕÍÅÌ. é ×ÓÅ ÖÅ ÏÄÎÏ ÍÎÅ ËÁÖÅÔÓÑ ÂÅÓÓÏÒÎÙÍ. ÷ÓÏÍÉÎÁÑ ÉÚÒÅÞÅÎÉÅ âÒÅÖÎÅ×Á €üËÏÎÏÍÉËÁ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÜËÏÎÏÍÎÏʁ (Ó ÍÏÅÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ×ÅÒÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ É ÄÁÖÅ ×Ï×ÓÅ ÎÅ ÂÅÓÓÍÙÓÌÅÎÎÏÅ), Ñ ÇÏ×ÏÒÀ: €çÅÏÍÅÔÒÉÑ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏʁ, Á ÎÅ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÌÉ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ. ñ ÔÁËÖÅ ÎÅ ÓÏÇÌÁÓÅÎ Ó ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ: €çÅÏÍÅÔÒÉÑ | ÜÔÏ ÉÓËÕÓÓÔ×Ï ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÒÁÓÓÕÖÄÁÔØ ÎÁ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÏÍ ÞÅÒÔÅÖŁ. ëÁËÏÊ-ÔÏ ÍÁÚÏÈÉÚÍ! ÷ÓÅ ÒÁ×ÎÏ ÞÔÏ: €÷ÏËÁÌ | ÜÔÏ ÕÍÅÎÉÅ ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÅÔØ ÏÄ ÆÁÌØÛÉ×ÕÀ ÍÕÚÙËՁ. çÌÁ×ÎÙÍ ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÌÉ ÏÍ çÅÏÍÅÔÒÉÉ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÆÉÇÕÒÁ (ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË É ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ), Á ÇÌÁ×ÎÙÍ ÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ ÏÂÕÞÅÎÉÑ | ÒÉÓÕÎÏË, ËÁÒÔÉÎËÁ. ðÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÒÉÓÕÎÏË É ËÒÁÓÉ×ÁÑ ËÁÒÔÉÎËÁ! çÅÏÍÅÔÒÉÑ , ×ÒÏÞÅÍ, ËÁË É ÁÌÇÅÂÒÁ , Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÏÓÉÔÅÌÅÍ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ ÏÚÎÁÎÉÑ ÍÉÒÁ. ï×ÌÁÄÅÎÉÅ ÜÔÉÍ ÍÅÔÏÄÏÍ | ×ÁÖÎÅÊÛÁÑ ÅÌØ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. é ÅÝÅ ÏÄÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ Ï ÜÔÏÍÕ Ï×ÏÄÕ ÈÏÞÕ ÄÏÂÁ×ÉÔØ, ×ÏÌÎÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏÅ ÄÌÑ ÍÅÎÑ, ÎÏ Ó ËÏÔÏÒÙÍ ÎÅ ×ÓÅ, ÎÁ×ÅÒÎÏÅ, ÓÏÇÌÁÓÑÔÓÑ. õÞÅÂÎÉË Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÎÅ ÄÏÌÖÅÎ Ó×ÏÄÉÔØÓÑ ÌÉÛØ Ë ×ÙÓÔÒÁÉ×ÁÎÉÀ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÏÒÉÉ. ðÒÏ ÅÓÓ ÉÚÕÞÅÎÉÑ çÅÏÍÅÔÒÉÉ ×ËÌÀÞÁÅÔ ÓÁÍÙÅ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙÅ ×ÉÄÙ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ÷ ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ É ÄÁÖÅ × ÅÒ×ÕÀ ÏÞÅÒÅÄØ | ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞ. úÁÄÁÞÁ | ÜÔÏ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÕÍÅÎÉÑ, ÜÔÏ É ÜÌÅÍÅÎÔ ÚÎÁÎÉÑ. õÞÅÎÉË ÄÏÌÖÅÎ ÏÚÎÁËÏÍÉÔØÓÑ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ÎÁÂÏÒÏÍ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÔÒÕÄÎÙÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ, ÏÓ×ÏÉÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÍÅÔÏÄÙ, ÎÁÕÞÉÔØÓÑ ÒÅÛÁÔØ ÚÁÄÁÞÉ, ÓÌÅÄÕÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ ÏÂÒÁÚ ÁÍ. ëÓÔÁÔÉ, ÉÍÅÎÎÏ × ÜÔÏÍ É ÓÏÓÔÏÉÔ, Ï ÓÕÔÉ, ÒÏ ÅÓÓ ÏÂÕÞÅÎÉÑ ÁÌÇÅÂÒÅ. íÙ ÏËÁÚÙ×ÁÅÍ ÕÞÅÎÉËÕ ÍÅÔÏÄÙ, ÒÉÅÍÙ, ÓÏÏÂÝÁÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÔÒÕÄÎÏ, ÏÞÔÉ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ. ÷ çÅÏÍÅÔÒÉÉ, × ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ áÌÇÅÂÒÙ, ÏÄÏÂÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ÏÞÅÎØ ÍÁÌÏ, ÏÞÔÉ ÎÅÔ. ðÏÞÔÉ ËÁÖÄÁÑ ÚÁÄÁÞÁ Ï çÅÏÍÅÔÒÉÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÉ ÏÂÕÞÅÎÉÉ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÏÏÒÎÙÈ ÚÁÄÁÞ, ÓÏÏÂÝÁÀÝÉÈ ÏÌÅÚÎÙÊ ÆÁËÔ, ÌÉÂÏ ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÝÉÈ ÍÅÔÏÄ ÉÌÉ ÒÉÅÍ. ñ ÏÌÁÇÁÀ ÎÅÄÏÕÓÔÉÍÙÍ ÒÅÄÌÁÇÁÔØ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÍ

îÕÖÎÁ ÌÉ ÛËÏÌÅ 21-ÇÏ ×ÅËÁ çÅÏÍÅÔÒÉÑ?

45

ÕÒÏ×ÎÅ, ÎÁ ÔÒÏÊËÕ. úÁÄÁÞÁ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ, Á Ï ÅÎÉ×ÁÔØ ÍÙ ÄÏÌÖÎÙ, ÓËÏÌØ ÄÁÌÅËÏ ÕÞÅÎÉË ÕÛÅÌ ÏÔ ÏÌÎÏÇÏ ÎÕÌÑ É ÒÉÂÌÉÚÉÌÓÑ Ë ÏÌÎÏÍÕ ÒÅÛÅÎÉÀ. (ëÓÔÁÔÉ, ÉÍÅÎÎÏ ÔÁË ÏÂÙÞÎÏ Ï ÅÎÉ×ÁÀÔÓÑ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁ ÏÌÉÍÉÁÄÁÈ É ×ÓÔÕÉÔÅÌØÎÙÈ ÜËÚÁÍÅÎÁÈ.) 4. çÅÏÍÅÔÒÉÑ ÒÉ ÏÂÕÞÅÎÉÉ ÏÄÁÒÅÎÎÙÈ É ÏÔÓÔÁÀÝÉÈ ÄÅÔÅÊ. ïÄÎÏÊ ÉÚ ×ÁÖÎÅÊÛÉÈ ÓÏ ÉÁÌØÎÏ-ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ, ÓÔÏÑÝÉÈ ÓÅÇÏÄÎÑ ÅÒÅÄ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÁÄÁÞÁ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÏÂÕÞÅÎÉÑ, ÏÂÕÞÅÎÉÑ ÄÅÔÅÊ Ó ÒÁÚÎÙÍ ÕÒÏ×ÎÅÍ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ É ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔÑÍÉ. é ÚÄÅÓØ ÏÞÅÎØ ×ÁÖÎÁ ÒÏÌØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. çÅÏÍÅÔÒÉÑ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÎÅÍÎÏÇÉÈ (ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ?) ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÈ ÓÒÅÄÓÔ×, × ÒÁ×ÎÏÊ ÍÅÒÅ ÒÁÂÏÔÁÀÝÉÍ ÎÁ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÜÔÁÖÁÈ ïÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ×ËÌÀÞÁÑ ËÒÁÊÎÉÅ, É ÄÁÖÅ ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÎÁ ËÒÁÊÎÉÈ: ÒÉ ÏÂÕÞÅÎÉÉ ÏÄÁÒÅÎÎÙÈ ÄÅÔÅÊ É ÒÉ ÏÂÕÞÅÎÉÉ ÏÔÓÔÁÀÝÉÈ ÄÅÔÅÊ. óÌÅÄÕÅÔ ÉÍÅÔØ × ×ÉÄÕ, ÞÔÏ Ä×Á ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á (ÏÄÁÒÅÎÎÙÅ É ÏÔÓÔÁÀÝÉÅ ÄÅÔÉ) ÉÍÅÀÔ ×Ï×ÓÅ ÎÅ ÎÕÌÅ×ÏÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ. âÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÉÚ ÎÁÓ (Ñ ÉÍÅÀ × ×ÉÄÕ ÎÅ ÒÑÄÏ×ÙÈ ÕÞÉÔÅÌÅÊ, Á ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×, ÚÁÎÉÍÁÀÝÉÈÓÑ ÒÏÂÌÅÍÁÍÉ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ) ÂÏÌØÛÅÊ ÞÁÓÔØÀ ÉÍÅÀÔ ÄÅÌÏ ÉÍÅÎÎÏ Ó ÏÄÁÒÅÎÎÙÍÉ ÄÅÔØÍÉ. îÏ ÍÎÏÇÉÅ ÄÅÔÉ ÏÁÄÁÀÔ × ÒÁÚÒÑÄ ÏÔÓÔÁÀÝÉÈ (Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ) ×ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÌÏÈÉÈ ÒÏÇÒÁÍÍ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÎÅÕÄÁÞÎÙÈ ÍÅÔÏÄÉË É ÄÁÖÅ ËÏÎÆÌÉËÔÁ Ó ÕÞÉÔÅÌÅÍ. é ÚÄÅÓØ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ×ÁÖÎÅÊÛÁÑ ÏÂÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÚÁÄÁÞÁ: ÏÍÏÞØ ÉÍ ×Ï×ÒÅÍÑ ÉÚÂÁ×ÉÔØÓÑ ÏÔ ÑÒÌÙËÁ. ÷ÅÄØ ÓÒÅÄÉ ÎÉÈ ÎÅÒÅÄËÏ ×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ É ÏÄÁÒÅÎÎÙÅ ÄÅÔÉ. îÏ, ÎÁ×ÅÒÎÏÅ, ÅÝÅ ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ É ÓÏ ÉÁÌØÎÏ ×ÁÖÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÒÅÁÂÉÌÉÔÁ ÉÉ ÄÅÔÅÊ, ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÏÔÓÔÁÀÝÉÈ × Ó×ÏÅÍ ÒÁÚ×ÉÔÉÉ. ó×ÏÉ ËÏÒÒÅËÔÉÒÕÀÝÉÅ É ÒÁÚ×É×ÁÀÝÉÅ ÆÕÎË ÉÉ çÅÏÍÅÔÒÉÑ ÒÅÁÌÉÚÕÅÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÎÁ ÒÁÚÎÙÈ ÜÔÁÁÈ ÛËÏÌØÎÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. (ñ ÉÓÈÏÖÕ ÎÅ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÅÓÔØ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, Á ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ, Ï ÍÏÅÍÕ ÍÎÅÎÉÀ, ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ. ëÁË ÓËÁÚÁÌ âÒÏÄÓËÉÊ: €îÅ × ÔÏÍ ÓÕÔØ ÖÉÚÎÉ, ÞÔÏ × ÎÅÊ ÅÓÔØ, ÎÏ × ×ÅÒÅ × ÔÏ, ÞÔÏ × ÎÅÊ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ.) ÷ ÅÒ×ÏÊ ÛËÏÌØÎÏÊ ÏÌÏ×ÉÎÅ (Ó 1-ÇÏ Ï 6-Ê ËÌÁÓÓ) çÅÏÍÅÔÒÉÑ, Ï ÓÕÔÉ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁÚÎÏ×ÉÄÎÏÓÔØÀ ÆÉÚËÕÌØÔÕÒÙ, éÎÔÅÌÌÅËÔÕÁÌØÎÏÊ æÉÚËÕÌØÔÕÒÏÊ. é ×ËÌÀÞÉÔØÓÑ × ÚÁÎÑÔÉÑ çÅÏÍÅÔÒÉÅÊ ÍÏÖÎÏ × ÌÀÂÏÊ ÍÏÍÅÎÔ. á ÜÔÏ, ÒÉÚÎÁÅÍÓÑ, ÎÅ ÔÉÉÞÎÏ ÄÌÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. úÄÅÓØ ÂÏÌØÛÅÀ ÞÁÓÔØÀ ÄÁÖÅ ÎÅÂÏÌØÛÏÊ ÒÏÕÓË Ï ÂÏÌÅÚÎÉ ÉÌÉ Ï ÉÎÏÊ ÒÉÞÉÎÅ, ÎÅ ÚÎÁÎÉÅ ÉÌÉ ÎÅ ÏÎÉÍÁÎÉÅ ÏÄÎÏÊ ÔÅÍÙ ÍÏÖÅÔ ÒÉ×ÅÓÔÉ Ë ÏÔÓÔÁ×ÁÎÉÀ, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÅ ÌÅÇËÏ ÌÉË×ÉÄÉÒÏ×ÁÔØ. ó 7-ÇÏ ËÌÁÓÓÁ × ÒÏÓÓÉÊÓËÏÊ ÛËÏÌÅ Ï ÔÒÁÄÉ ÉÉ (É Ñ ÎÅ ×ÉÖÕ ÒÉÞÉÎ ÏÔËÁÚÙ×ÁÔØÓÑ ÏÔ ÜÔÏÊ ÔÒÁÄÉ ÉÉ) ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÕÒÓ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÉÌÉ ËÕÒÓ óÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ çÅÏÍÅÔÒÉÉ. é ÚÄÅÓØ ÕÖÅ ÉÓÞÅÚÁÅÔ ÌÉÂÅÒÁÌÉÚÍ, ÒÉÓÕÝÉÊ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÅÍÕ ÜÔÁÕ. ëÕÒÓ ×ÙÓÔÒÁÉ×ÁÅÔÓÑ × ÖÅÓÔËÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÒÁÚÌÉÞÎÏÊ ÄÌÑ ÒÁÚÎÙÈ ÕÞÅÂÎÉËÏ×) É ×ÙÁÄÅÎÉÅ ÏÄÎÏÇÏ Ú×ÅÎÁ ÒÁÚÒÕÛÁÅÔ ÜÔÕ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ. (ëÓÔÁÔÉ, ËÕÒÓ

46

é. æ. ûÁÒÙÇÉÎ

ÁÌÇÅÂÒÙ, ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ÒÁÓÁÄÁÅÔÓÑ ÎÁ ÏÔÄÅÌØÎÙÅ ÔÅÍÙ.) þÔÏ ÎÁÄÏ ÓÄÅÌÁÔØ, ÞÔÏÂÙ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÕÒÓ ÓÍÏÇ ÏÈ×ÁÔÉÔØ ÒÁÚÎÙÅ ËÁÔÅÇÏÒÉÉ ÕÞÁÝÉÈÓÑ? úÄÅÓØ, ÎÁ ÍÏÊ ×ÚÇÌÑÄ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÕÄÅÌÉÔØ ÏÓÏÂÏÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÅÒ×ÏÍÕ, ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÜÔÁÕ. (7-Ê ËÌÁÓÓ). èÏÒÏÛÏ, ÅÓÌÉ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÄÅÌÏ Ó ÒÅÂÅÎËÏÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÚÎÁËÏÍÉÌÓÑ Ó ÈÏÒÏÛÅÊ çÅÏÍÅÔÒÉÅÊ × ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ËÌÁÓÓÁÈ. åÓÌÉ ÖÅ ÎÅÔ, ÔÏ ÎÁÛÅÊ ÅÒ×ÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÁÄÁÞÁ ÚÁÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÔØ. é ÜÔÁ ÚÁÄÁÞÁ ×ÓÔÕÁÅÔ × ÓÅÒØÅÚÎÏÅ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ Ó ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÅÍ €ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÎÏÓÔɁ: ÍÙ ÉÚÎÁÞÁÌØÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ ÕÞÅÎÉËÁ ËÁË Ó×ÏÅÇÏ ÒÏÄÁ €ÞÉÓÔÙÊ ÌÉÓԁ (Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÚÎÁÎÉÊ), ËÏÔÏÒÙÊ ÓÌÅÄÕÅÔ ÚÁÏÌÎÉÔØ × ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. íÙ ÎÅ ÉÍÅÅÍ ÒÁ×Á ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÕÖÅ ÉÍÅÀÝÉÅÓÑ Õ ÎÅÇÏ ÚÎÁÎÉÑ, ÚÎÁÎÉÑ €ÓÏ ÓÔÏÒÏÎف, É ÄÁÖÅ ÁÅÌÌÉÒÏ×ÁÔØ Ë €ÚÄÒÁ×ÏÍÕ ÓÍÙÓÌՁ. é ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÏÁÓÎÏÓÔØ ÎÅ ÔÏ, ÞÔÏ ÎÅ ÒÁÚ×ÉÔØ ÉÎÔÅÒÅÓ Ë çÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÎÏ, ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ÏÔÂÉÔØ ×ÓÑËÉÊ ÉÎÔÅÒÅÓ, ÒÉ×ÉÔØ ÉÄÉÏÓÉÎËÒÁÚÉÀ Ë ÎÅÊ. îÏ ×ÓÅ ÖÅ Ñ ÕÂÅÖÄÅÎ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÞÁ €ÚÁÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÔ؁ ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ÜÔÁÅ ×ÏÌÎÅ ÒÅÛÁÅÍÁÑ. çÌÁ×ÎÙÅ ÉÎÓÔÒÕÍÅÎÔÙ: ËÒÁÓÉ×ÁÑ ËÁÒÔÉÎËÁ, ÈÏÒÏÛÁÑ ÚÁÄÁÞÁ É ÖÉ×ÏÊ ÑÚÙË. íÙ ÄÏÌÖÎÙ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏÌÇÏ ÄÅÒÖÁÔØ ÏÔËÒÙÔÏÊ Ä×ÅÒØ × çÅÏÍÅÔÒÉÀ, ÚÁÍÁÎÉ×ÁÑ ÔÕÄÁ ÕÞÅÎÉËÁ. îÁÄÏ ÏÓÔÁÒÁÔØÓÑ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ÒÁÚ×ÉÔØ × ÎÅÍ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÏÔ çÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÉÎÔÅÌÌÅËÔÕÁÌØÎÕÀ, ÓÉÈÏÌÏÇÉÞÅÓËÕÀ Á, ÍÏÖÅÔ, É ÆÉÚÉÏÌÏÇÉÞÅÓËÕÀ (?). é ÔÏÇÄÁ ÍÙ ÌÅÇÞÅ ÓÕÍÅÅÍ ÒÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ ×ÔÏÒÏÇÏ ÜÔÁÁ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ËÕÒÓÁ: ÎÁÕÞÉÔØ. îÁ ÔÒÅÔØÅÍ, ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÜÔÁÅ (Ñ ÉÍÅÀ × ×ÉÄÕ ÉËÌ Ó 7-ÇÏ Ï 9-Ê ËÌÁÓÓÙ) × ÞÉÓÌÅ ÒÏÞÉÈ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ×ÁÖÎÁÑ ÍÅÔÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÚÁÄÁÞÁ €Ï×ÔÏÒÉÔ؁. îÁ ÜÔÏÍ ÜÔÁÅ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ËÏÍÅÎÓÉÒÏ×ÁÔØ ÏÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ ÒÏÂÅÌÙ É ÒÏÕÓËÉ É (ÞÔÏ ÓÁÍÏÅ ÇÌÁ×ÎÏÅ) ÏËÁÚÁÔØ ÕÞÅÎÉËÕ çÅÏÍÅÔÒÉÀ ÅÌÉËÏÍ, × ×ÉÄÅ ÅÄÉÎÏÇÏ É ÇÏÔÏ×ÏÇÏ ÚÄÁÎÉÑ, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÙ × ÔÅÞÅÎÉÅ ÔÒÅÈ ÌÅÔ ÓÔÒÏÉÌÉ. îÏ ÒÏÌØ çÅÏÍÅÔÒÉÉ ÒÉ ÏÂÕÞÅÎÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÎÅ ÉÓÞÅÒÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ çÅÏÍÅÔÒÉÅÊ. ûÉÒÏËÏÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ × ÎÅÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÒÁÚÄÅÌÁÈ ÛËÏÌØÎÏÇÏ ËÕÒÓÁ ÍÏÖÅÔ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÕÌÕÞÛÉÔØ ÏÂÝÅÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÕÀ ÏÄÇÏÔÏ×ËÕ ÛËÏÌØÎÉËÏ×. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÉ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÌÕÞÛÅ ÏÎÑÔØ ×Ù×ÏÄ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ÆÏÒÍÕÌ, ÒÁ×ÉÌ É ÚÁËÏÎÏ× ÁÒÉÆÍÅÔÉËÉ, ÓÄÅÌÁÔØ ÉÈ ÎÁÇÌÑÄÎÙÍÉ, ÂÏÌÅÅ ÏÎÑÔÎÙÍÉ, ÚÁÏÍÎÉÔØ ÉÈ. ðÓÉÈÉËÏ-ÆÉÚÉÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÏÓÎÏ×ÏÊ, ÏÚ×ÏÌÑÀÝÅÊ çÅÏÍÅÔÒÉÉ × ÒÁ×ÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ É ÒÁÚ×É×ÁÔØ ÄÅÔÅÊ ÏÄÁÒÅÎÎÙÈ É ÒÅÁÂÉÌÉÔÉÒÏ×ÁÔØ ÄÅÔÅÊ ÏÔÓÔÁÀÝÉÈ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÙÑ×ÌÅÎÎÁÑ ÆÉÚÉÏÌÏÇÁÍÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÁÓÉÍÍÅÔÒÉÑ ÇÏÌÏ×ÎÏÇÏ ÍÏÚÇÁ ÞÅÌÏ×ÅËÁ. ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÎÁÛÉ ÏÌÕÛÁÒÉÑ Ï-ÒÁÚÎÏÍÕ ÄÕÍÁÀÔ. ìÅ×ÏÅ ×ÅÄÁÅÔ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍ, ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÍ ÍÙÛÌÅÎÉÅÍ. òÁÂÏÔÁÅÔ ÌÅ×ÏÅ ÏÌÕÛÁÒÉÅ ÌÉÛØ ×Ï ×ÒÅÍÑ ÂÏÄÒÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ. ëÏÇÄÁ ÞÅÌÏ×ÅË ÓÉÔ, ÏÎÏ ×ÙËÌÀÞÁÅÔÓÑ. ðÒÁ×ÏÅ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÚÁ ÞÕ×ÓÔ×ÅÎÎÕÀ, ÏÂÒÁÚÎÕÀ ÓÆÅÒÕ ÎÁÛÅÇÏ ÓÏÚÎÁÎÉÑ. ðÒÁ×ÏÅ ÏÌÕÛÁÒÉÅ ÆÕÎË ÉÏÎÉÒÕÅÔ ÏÓÔÏÑÎÎÏ. îÁÛÉ ÓÎÏ×ÉÄÅÎÉÑ | ÒÏÄÕËÔ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÏÇÏ ÏÌÕÛÁÒÉÑ. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÍÅÔÏÄÉË ÏÂÕÞÅÎÉÑ

îÕÖÎÁ ÌÉ ÛËÏÌÅ 21-ÇÏ ×ÅËÁ çÅÏÍÅÔÒÉÑ?

47

ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÞÒÅÚÍÅÒÎÏ ÅÒÅÇÒÕÖÁÀÔ ÌÅ×ÏÅ ÏÌÕÛÁÒÉÅ. üÔÏ ÏÞÅÎØ ÏÁÓÎÏ ÉÍÅÎÎÏ ÎÁ ÒÁÎÎÉÈ ÓÔÕÅÎÑÈ ÛËÏÌØÎÏÇÏ ÏÂÕÞÅÎÉÑ É ÏÓÏÂÅÎÎÏ × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ÄÅÔÅÊ Ó ÄÏÍÉÎÉÒÕÀÝÉÍ ÒÁ×ÏÏÌÕÛÁÒÎÙÍ ÔÉÏÍ ÍÙÛÌÅÎÉÑ, Á ÔÁËÉÈ ÄÅÔÅÊ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÍÎÏÇÏ, ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÄÁÖÅ, ÏÄÁ×ÌÑÀÝÅÅ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ, ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÕÞÅÂÎÙÅ ÅÒÅÇÒÕÚËÉ, ÓÔÒÅÓÓÙ É ÄÁÖÅ ÎÅÏÒÁ×ÄÁÎÎÕÀ ÄÅÂÉÌÉÚÁ ÉÀ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÕÞÅÎÉËÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÞÉÎÁÀÔ ÏÔÓÔÁ×ÁÔØ × Ó×ÏÅÍ ÉÎÔÅÌÌÅËÔÕÁÌØÎÏÍ ÒÁÚ×ÉÔÉÉ. ûÉÒÏËÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÅÒÅÕÞÉ×ÁÎÉÅ ÌÅ×ÛÉ ÍÏÖÅÔ ÒÉ×ÅÓÔÉ Ë ÏÓÌÁÂÌÅÎÉÀ ÅÇÏ ÕÍÓÔ×ÅÎÎÙÈ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ. ðÅÒÅÕÞÉ×ÁÎÉÅ ÖÅ €ÉÎÔÅÌÌÅËÔÕÁÌØÎÏÇÏ ÌÅ×ÛɁ ÍÏÖÅÔ ÒÉ×ÅÓÔÉ É ×Ï×ÓÅ Ë ÔÒÁÇÉÞÅÓËÉÍ ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÑÍ. ïÔÓÀÄÁ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ ×Ù×ÏÄ, É ÜÔÏÔ ×Ù×ÏÄ ÕÖÅ ÏÄÔ×ÅÒÖÄÅÎ ÒÁËÔÉËÏÊ, ÞÔÏ ÒÉ ÛÉÒÏËÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÚÁ ÉÉ ÛËÏÌØÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÎÁ ÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÓÔÕÅÎÑÈ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÓÏËÒÁÝÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ ÏÔÓÔÁÀÝÉÈ, ÌÕÞÛÅ ÕÓ×ÁÉ×ÁÀÔÓÑ É ÎÅÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÚÄÅÌÙ. õ ÄÅÔÅÊ ÒÁÚ×É×ÁÅÔÓÑ ×ÏÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, Á ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ Ô×ÏÒÞÅÓËÉÊ ÏÔÅÎ ÉÁÌ. çÅÏÍÅÔÒÉÑ ÏÞÅÎØ ×ÁÖÎÁ ÄÌÑ ÏÌÎÏ ÅÎÎÏÇÏ ÆÉÚÉÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÇÏ (ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÉÎÔÅÌÌÅËÔÕÁÌØÎÏÇÏ) ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ÒÅÂÅÎËÁ. õÖÅ ÓÁÍ ÒÏ ÅÓÓ ÚÁÎÑÔÉÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÅÊ ÉÍÅÅÔ ÂÏÌØÛÏÅ ÒÁÚ×É×ÁÀÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ. çÅÏÍÅÔÒÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÒ×ÉÞÎÙÍ ×ÉÄÏÍ ÉÎÔÅÌÌÅËÔÕÁÌØÎÏÊ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ËÁË ÄÌÑ ×ÓÅÇÏ ÞÅÌÏ×ÅÞÅÓÔ×Á, ÔÁË É ÄÌÑ ÏÔÄÅÌØÎÏÇÏ ÞÅÌÏ×ÅËÁ. íÉ-

ÒÏ×ÁÑ ÎÁÕËÁ ÎÁÞÉÎÁÌÁÓØ Ó ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. òÅÂÅÎÏË, ÅÝÅ ÎÅ ÎÁÕÞÉ×ÛÉÊÓÑ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÏÚÎÁÅÔ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏËÒÕÖÁÀÝÅÇÏ ÍÉÒÁ. íÎÏÇÉÅ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÑ ÄÒÅ×ÎÉÈ ÇÅÏÍÅÔÒÏ× (áÒÈÉÍÅÄ, áÏÌÌÏÎÉÊ) ×ÙÚÙ×ÁÀÔ ÉÚÕÍÌÅÎÉÅ Õ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÈ ÕÞÅÎÙÈ, É ÜÔÏ ÎÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏ Õ ÎÉÈ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÏÔÓÕÔÓÔ×Ï×ÁÌ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÊ ÁÁÒÁÔ. é, ÒÏÄÏÌÖÁÑ ÁÎÁÌÏÇÉÀ ÍÅÖÄÕ ÏÂÝÅÞÅÌÏ×ÅÞÅÓËÉÍ É ÉÎÄÉ×ÉÄÕÁÌØÎÙÍ, ÚÁÍÅÞÕ, ÞÔÏ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÄÅÔÅÊ ÍÌÁÄÛÅÇÏ É ÓÒÅÄÎÅÇÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁ ÏÞÔÉ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ ÕÒÏ×ÎÑ ÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÄÇÏÔÏ×ËÉ. é ÔÅÅÒØ ÏÔÄÅÌØÎÏ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÔÅÚÉÓÏ× Ï ÒÁÂÏÔÅ Ó ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÏÄÁÒÅÎÎÙÍÉ ÛËÏÌØÎÉËÁÍÉ. òÁÂÏÔÁ Ó ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÏÄÁÒÅÎÎÙÍÉ ÄÅÔØÍÉ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÒÅÈ ÜÔÁÏ× : ÚÁÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÔØ , ×ÙÑ×ÉÔØ (ÏÔÏÂÒÁÔØ ), ÎÁÕÞÉÔØ. úÄÅÓØ Ñ ÈÏÞÕ ÏÄ-

ÞÅÒËÎÕÔØ, ÞÔÏ ÜÔÁ €ÚÁÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÔ؁ ÍÏÖÅÔ ÄÌÉÔØÓÑ ÞÕÔØ ÌÉ ÎÅ ÄÏ ÏËÏÎÞÁÎÉÑ ÛËÏÌÙ. ïÞÅÎØ ×ÁÖÎÁ ÒÏÌØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÎÁ ÅÒ×ÙÈ Ä×ÕÈ ÜÔÁÁÈ. ðÏÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ËÁÔÅÇÏÒÉÉ ÛËÏÌØÎÉËÏ×, ÄÁÖÅ ÎÅ ÏÞÅÎØ ÈÏÒÏÛÏ ÏÂÕÞÅÎÎÙÈ (Ï ÜÔÏÍ Ñ ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌ). é ÏÑÔØ ÖÅ, ÏÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÔÂÉÒÁÔØ ÄÅÔÅÊ ÉÍÅÎÎÏ ÔÁÌÁÎÔÌÉ×ÙÈ, Á ÎÅ ÓÅ ÉÁÌØÎÏ ÏÂÕÞÅÎÎÙÈ.

÷ ÏÓÎÏ×Å ÒÁÂÏÔÙ Ó ÏÄÁÒÅÎÎÙÍÉ ÄÅÔØÍÉ ÄÏÌÖÅÎ ÌÅÖÁÔØ ÁÒÎÙÊ ÒÉÎ É : ÄÅÍÏËÒÁÔÉÚÍ É ÜÌÉÔÁÒÎÏÓÔØ . ó ÏÄÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÍÙ ÄÏÌÖÎÙ ÄÁÔØ

×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÏÌÕÞÉÔØ ÏÌÎÏ ÅÎÎÏÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÄÅÔÑÍ ×ÓÅÈ ÓÏ ÉÁÌØÎÙÈ

48

é. æ. ûÁÒÙÇÉÎ

ÓÌÏÅ×, ÎÁ ×ÓÅÈ ÜÔÁÁÈ ÏÂÕÞÅÎÉÑ ÏÓÔÁ×ÌÑÑ ÏÔËÒÙÔÙÍÉ Ä×ÅÒÉ ÄÌÑ ÔÁÌÁÎÔÌÉ×ÙÈ ÄÅÔÅÊ (ÄÅÍÏËÒÁÔÉÚÍ). á Ó ÄÒÕÇÏÊ, | ÏÂÅÓÅÞÉÔØ ×ÙÓÏËÉÊ ÕÒÏ×ÅÎØ ÏÄÇÏÔÏ×ËÉ ÏÄÁÒÅÎÎÙÈ ÄÅÔÅÊ, ÞÔÏÂÙ ÓÏÚÄÁÔØ ÏÄÌÉÎÎÕÀ ÎÁÕÞÎÕÀ ÜÌÉÔÕ. ÁÌÁÎÔÌÉ×ÏÓÔØ É ÏÂÕÞÅÎÎÏÓÔØ | ×ÏÔ Ä×Á ËÒÉÔÅÒÉÑ ÏÔÂÏÒÁ × ÜÔÕ ÜÌÉÔÕ. çÅÏÍÅÔÒÉÑ ÒÅËÒÁÓÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÏÍÕ ÒÉÎ ÉÕ. îÅÒÅÄËÉ ÓÌÕÞÁÉ, ËÏÇÄÁ ÒÅËÒÁÓÎÏ ÏÄÇÏÔÏ×ÌÅÎÎÙÊ ÏÌÉÍÉÁÄÎÙÊ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌ ÎÅ ÓÒÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁ ÏÌÉÍÉÁÄÅ Ó ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ, É ÉÍÅÎÎÏ ÜÔÕ ÚÁÄÁÞÕ, ÞÕÔØ ÌÉ ÎÅ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÕÀ, ÒÅÛÉÌ ÎÅ ÏÄÇÏÔÏ×ÌÅÎÎÙÊ ÓÅ ÉÁÌØÎÏ ÛËÏÌØÎÉË. íÎÏÇÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÏÌÉÍÉÁÄ ×ÙÓÏËÏÇÏ ÕÒÏ×ÎÑ ÒÏÓÔÏ ÎÅÏÎÑÔÎÙ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÏÂÙÞÎÙÍ ÛËÏÌØÎÉËÁÍ, ÎÏ É ÒÑÄÏ×ÙÍ ÕÞÉÔÅÌÑÍ. åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ, ÞÔÏ ÅÝÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ÏÌÉÍÉÁÄÁÈ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÀ ÛËÏÌØÎÙÈ ÒÏÇÒÁÍÍ, ÜÔÏ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÏÌÉÍÉÁÄÁ, ÏÓÏÂÅÎÎÏ × Ó×ÏÅÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÞÁÓÔÉ, ÅÓÌÉ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÏÎÁ ÒÁÚÕÍÎÏ ×ÙÓÔÒÏÅÎÁ, ÎÅÒÅÄËÏ ÄÁÅÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÒÏÑ×ÉÔØ ÓÅÂÑ É ÎÅ ÓÌÉÛËÏÍ ÕÓÅ×ÁÀÝÉÍ Ï ÛËÏÌØÎÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÅ ÄÅÔÑÍ. óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÉÎ É ÒÁÂÏÔÙ Ó ÏÄÁÒÅÎÎÙÍÉ ÄÅÔØÍÉ | ËÏÍÆÏÒÔÎÏÓÔØ É ÍÎÏÇÏÓÔÕÅÎÞÁÔÏÓÔØ. óÉÓÔÅÍÁ ÏÌÉÍÉÁÄ, Ñ×ÌÑÀÝÁÑÓÑ ×ÁÖÎÅÊÛÉÍ ÜÌÅ-

ÍÅÎÔÏÍ ÒÁÂÏÔÙ Ó ÏÄÁÒÅÎÎÙÍÉ ÄÅÔØÍÉ, ÄÁ É ÓÁÍ ÒÏ ÅÓÓ ÏÂÕÞÅÎÉÑ ÎÅÒÅÄËÏ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÖÅÓÔËÕÀ ËÏÎËÕÒÅÎÔÎÕÀ ÓÒÅÄÕ. é ÜÔÁ ÓÒÅÄÁ ÍÏÖÅÔ ÓÁÍÙÍ ÇÕÂÉÔÅÌØÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ×ÏÚÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÔØ ÎÁ ÓÉÈÉÞÅÓËÉ ÎÅ ÏÄÇÏÔÏ×ÌÅÎÎÏÇÏ ÒÅÂÅÎËÁ. á ×ÅÄØ ÓÉÈÉËÁ ÉÍÅÎÎÏ ÏÄÁÒÅÎÎÙÈ ÄÅÔÅÊ ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÒÁÎÉÍÁ. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÞÅÎØ ×ÁÖÎÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÏÄÁÒÅÎÎÏÇÏ ÛËÏÌØÎÉËÁ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÔÕ ÓÔÕÅÎØ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÎ ÍÏÖÅÔ ËÏÍÆÏÒÔÎÏ ÒÁÂÏÔÁÔØ. óÌÉÛËÏÍ ×ÙÓÏËÉÊ ÕÒÏ×ÅÎØ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÄÌÑ ÎÅÇÏ ÒÏÓÔÏ ÎÅÏÓÉÌØÎÙÍ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÅÂÅÎÏË ÏÔÅÒÑÅÔ Õ×ÅÒÅÎÎÏÓÔØ × ÓÅÂÅ. ïÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÎÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÏÄÁÒÅÎÎÏÍÕ ÛËÏÌØÎÉËÕ ÚÁÄÅÒÖÉ×ÁÔØÓÑ ÎÁ ÓÌÉÛËÏÍ ÎÉÚËÏÍ ÄÌÑ ÓÅÂÑ ÕÒÏ×ÎÅ. ïÎ ÍÏÖÅÔ ÏÓÔÁÎÏ×ÉÔØÓÑ × ÒÁÚ×ÉÔÉÉ. ïÓÏÂÅÎÎÏ ÞÅÔËÏ ÜÔÁ ÉÅÒÁÒÈÉÞÎÏÓÔØ É ÍÎÏÇÏÓÔÕÅÎÞÁÔÏÓÔØ ×ÉÄÎÁ × ÓÉÓÔÅÍÅ ÏÌÉÍÉÁÄ. òÁÚÒÙ× ÍÅÖÄÕ ÛËÏÌØÎÏÊ É ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÏÊ ÎÅÏÂÙÞÁÊÎÏ ×ÅÌÉË. çÅÏÍÅÔÒÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÅÍ ÓÔÅÒÖÎÅ×ÙÍ ÒÅÄÍÅÔÏÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÓÏÅÄÉÎÑÅÔ ×ÓÀ ÜÔÕ ÍÎÏÇÏÓÔÕÅÎÞÁÔÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÄÁÅÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÔÁÌÁÎÔÌÉ×ÏÍÕ ÒÅÂÅÎËÕ ÒÁÚ×É×ÁÔØÓÑ ÏÓÔÅÅÎÎÏ, ÒÅÑÔÓÔ×ÕÅÔ ÉÓËÕÓÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÒÁÎÎÉÍ ÓËÁÞËÁÍ, ÆÏÒÓÉÒÏ×ÁÎÉÀ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ, ÉÚ-ÚÁ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÙ ÎÅÒÅÄËÏ ÔÅÒÑÅÍ ÔÁÌÁÎÔÌÉ×ÕÀ ÍÏÌÏÄÅÖØ. (ëÕÄÁ ÄÅ×ÁÌÉÓØ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ×ÕÎÄÅÒËÉÎÄÙ, Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÅÝÅ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÌÅÔ ÔÏÍÕ ÎÁÚÁÄ Ó ×ÏÓÔÏÒÇÏÍ ÉÓÁÌÉ ÎÁÛÉ ÇÁÚÅÔÙ?) ÷ ÏÂÌÁÓÔÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ Ó×ÏÅÇÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÎÁÕËÏÊ É ÛËÏÌØÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ.

îÅËÏÔÏÒÙÅ ÓÁÍÙÅ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÅ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÑ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×-ÇÅÏÍÅÔÒÏ× ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ×ÏÌÎÅ ÄÏÓÔÕÎÏ ÉÚÌÏÖÅÎÙ ÛËÏÌØÎÉËÁÍ. é ÓÁÍÉ ÜÔÉ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÑ, É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÉÄÅÉ ÍÏÇÕÔ ÓÔÁÔØ ÉÓÔÏÞÎÉËÏÍ ÏÌÉÍÉÁÄÎÙÈ ÚÁÄÁÞ. ðÒÉÞÅÍ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÓÔÁÒÛÉÈ ÛËÏÌØÎÉËÏ×.

îÕÖÎÁ ÌÉ ÛËÏÌÅ 21-ÇÏ ×ÅËÁ çÅÏÍÅÔÒÉÑ?

49

á Ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÄÁÅÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÏÄÁÒÅÎÎÙÍ ÄÅÔÑÍ ÕÖÅ ÎÁ ÛËÏÌØÎÏÊ ÓËÁÍØÅ ÎÁÞÁÔØ ÚÁÎÉÍÁÔØÓÑ ÏÌÎÏ ÅÎÎÙÍÉ ÎÁÕÞÎÙÍÉ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑÍÉ, Á ÎÅ ÉÈ ÉÍÉÔÁ ÉÅÊ, ÞÔÏ ÎÅÒÅÄËÏ ÂÙ×ÁÅÔ ÎÁ ÛËÏÌØÎÙÈ ÎÁÕÞÎÙÈ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÑÈ. é ÚÄÅÓØ ÍÏÇÕÔ ÒÏÑ×ÉÔØ ÓÅÂÑ ÄÅÔÉ ÎÅ ÏÌÉÍÉÁÄÎÏÇÏ ÔÉÁ. çÅÏÍÅÔÒÉÑ ÓÏÓÏÂÓÔ×ÕÅÔ ÏÌÎÏ ÅÎÎÏÍÕ ÜÍÏ ÉÏÎÁÌØÎÏÍÕ ÒÁÚ×ÉÔÉÀ ÒÅÂÅÎËÁ. ëÁË ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÓÉÈÏÌÏÇÏ×, ÜÍÏ ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÒÁÚ×ÉÔÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÓÎÏ×ÏÊ ÏÂÝÅÉÎÔÅÌÌÅËÔÕÁÌØÎÏÇÏ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ. åÇÏ ÓÏÓÔÁ×ÎÏÊ ÞÁÓÔØÀ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÓÔÅÔÉÞÅÓËÏÅ ×ÏÓÉÔÁÎÉÅ. éÍÅÎÎÏ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ

ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÏÇÒÏÍÎÙÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÜÓÔÅÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ, ÜÓÔÅÔÉÞÅÓËÏÇÏ ×ÏÓÉÔÁÎÉÑ. ÷ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÍÙ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÞÅÔËÏ ÍÏÖÅÍ ÏÔÌÉÞÉÔØ ËÒÁÓÉ×ÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÔ ÒÏÓÔÏ ÒÅÛÅÎÉÑ. îÏ ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÞÁÓÔÏ ÏÎÑÔÉÅ ËÒÁÓÉ×ÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÍÙ Ó×ÑÚÙ×ÁÅÍ Ó ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ ÚÁÄÁÞÁÍÉ. èÏÒÏÛÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË, ÒÏÓÔÏ ÕÞÅÎÙÊ ÄÏÌÖÅÎ ÏÂÌÁÄÁÔØ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÚ×ÉÔÙÍ ÜÓÔÅÔÉÞÅÓËÉÍ ÞÕ×ÓÔ×ÏÍ. á Ï ÔÏÍ, ÎÁÓËÏÌØËÏ ×ÁÖÎÏ ÓÏÚÄÁÎÉÅ ÈÏÒÏÛÅÇÏ ÜÍÏ ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÆÏÎÁ ÒÉ ÒÁÂÏÔÅ Ó ÏÔÓÔÁÀÝÉÍÉ ÄÅÔØÍÉ ÍÏÖÎÏ É ÎÅ ÇÏ×ÏÒÉÔØ. ñ ÍÏÇÕ ÒÉ×ÅÓÔÉ ÍÎÏÇÏ ÒÉÍÅÒÏ×, ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÝÉÈ ÓËÁÚÁÎÎÏÅ, ÎÏ ÏÇÒÁÎÉÞÕÓØ ÏÄÎÉÍ. ÷ ÍÁÅ 2001 ÇÏÄÁ ÍÎÅ ÏÚ×ÏÎÉÌÁ ÕÞÉÔÅÌØÎÉ Á ÉÚ ÇÏÒÏÄÁ þÅÂÏËÓÁÒÙ. ïÎÁ ÒÁÓÓËÁÚÁÌÁ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÉÓÔÏÒÉÀ. ÷ ÎÁÞÁÌÅ ÕÞÅÂÎÏÇÏ ÇÏÄÁ Õ ÎÅÅ × ËÌÁÓÓÅ ÏÑ×ÉÌÓÑ ×ÔÏÒÏÇÏÄÎÉË. îÏ×ÙÊ ÕÞÅÎÉË Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÂÙÌ ÎÁ ÏÌÎÏÍ ÎÕÌÅ (ËÁË É ×ÏÏÂÝÅ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ), Á ÕÏÍÑÎÕÔÁÑ ÕÞÉÔÅÌØÎÉ Á ÏÓÏÂÏÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÕÄÅÌÑÌÁ ÉÍÅÎÎÏ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. (÷ÙÎÕÖÄÅÎ ÒÉÚÎÁÔØÓÑ, ÞÔÏ ÚÁÎÉÍÁÌÁÓØ ÏÎÁ Ï ÍÏÅÍÕ ÕÞÅÂÎÉËÕ, ÏÞÅÍÕ É ÏÚ×ÏÎÉÌÁ ÍÎÅ.) õÞÉÔÅÌØÎÉ Á ÄÁÌÁ ÕÞÅÎÉËÕ ÕÞÅÂÎÉË É ÚÁÓÔÁ×ÉÌÁ ÔÏÇÏ ÎÁÞÁÔØ ÉÚÕÞÁÔØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ Ó ÓÁÍÏÇÏ ÎÁÞÁÌÁ. ëÏÒÏÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÜÔÏÔ ÕÞÅÎÉË ÎÁ ÒÏÈÏÄÉ×ÛÅÊ × ÇÏÒÏÄÅ × ÁÒÅÌÅ 2001-ÇÏ ÇÏÄÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÅ ÏÌÕÞÉÌ ×ÔÏÒÕÀ ÒÅÍÉÀ. 5. çÅÏÍÅÔÒÉÑ × 21-Í ×ÅËÅ. ÷ Þ£Í ÅÅ ÒÏÌØ? þÅÌÏ×ÅÞÅÓÔ×Ï ×ÓÔÕÉÌÏ ×

îÏ×ÙÊ ÷ÅË. ðÏÓÍÏÔÒÉÍ ×ÏËÒÕÇ, ÞÔÏ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ? úÄÁÎÉÅ ÚÅÍÎÏÊ É×ÉÌÉÚÁ ÉÉ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ×ÙÒÏÓÌÏ ÚÁ ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÄÅÓÑÔÉÌÅÔÉÑ É ÒÏÄÏÌÖÁÅÔ ÓÔÒÅÍÉÔÅÌØÎÏ ÒÁÓÔÉ. äÅÑÔÅÌÉ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ × ÒÁÚÎÙÈ ÓÔÒÁÎÁÈ ÒÅÄÒÉÎÉÍÁÀÔ ÏÔÞÁÑÎÎÙÅ, ÎÏ ÔÝÅÔÎÙÅ ÏÙÔËÉ ÕÇÎÁÔØÓÑ ÚÁ ÒÏÓÔÏÍ ÜÔÏÇÏ ÚÄÁÎÉÑ. úÁÍÅÔÎÏ ×ÙÄÅÌÑÀÔÓÑ Ä×Á ÕÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÒÏÂÌÅÍÙ: ÍÏÄÅÒÎÉÚÁ ÉÑ (× ÕÚËÏÍ ÓÍÙÓÌÅ) É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁ ÉÑ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÚÁÞÁÓÔÕÀ É ÍÏÄÅÒÎÉÚÁ ÉÑ, É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁ ÉÑ ÏÎÉÍÁÀÔÓÑ ÏÞÅÎØ ÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ. ÷ ÞÅÍ ÓÍÙÓÌ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÊ €ÍÏÄÅÒÎÉÚÁÔÏÒÏׁ ÏÔ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ? ðÏÓËÏÌØËÕ ÓÅÇÏÄÎÑ × ÍÉÒÅ ×ÏÚÎÉËÌÏ ÍÎÏÇÏ ÎÏ×ÙÈ ÒÏÆÅÓÓÉÊ, ÍÎÏÇÏ ÎÏ×ÙÈ ×ÉÄÏ× ÞÅÌÏ×ÅÞÅÓËÏÊ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ É ÄÁÖÅ ÎÁÕË, ×ÏÚÎÉËÌÉ ÎÏ×ÙÅ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÙÅ ÔÅÈÎÏÌÏÇÉÉ, ÓÌÅÄÕÅÔ ÏÔÅÓÎÉÔØ × ÛËÏÌÅ ÓÔÁÒÙÅ É ÔÒÁÄÉ ÉÏÎÎÙÅ ÒÅÄÍÅÔÙ, ÚÁÍÅÎÉ× ÉÈ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÍÉ. þÔÏ ÖÅ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÔÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÓÏËÒÁÔÉÔØ, ÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, çÅÏÍÅÔÒÉÀ (ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÉÌÉ

50

é. æ. ûÁÒÙÇÉÎ

ÏÌÎÏÓÔØÀ), ËÁË ÒÅÄÍÅÔ ÕÓÔÁÒÅ×ÛÉÊ, ÏÞÔÉ ÎÅ ÉÚÍÅÎÉ×ÛÉÊÓÑ ÚÁ ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÔÙÓÑÞÅÌÅÔÉÊ, ÍÁÌÏ ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÊ × ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÊ ÖÉÚÎÉ. á ×ÍÅÓÔÏ ÎÅÅ ××ÅÓÔÉ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÅ ÒÁÚÄÅÌÙ: ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÁÎÁÌÉÚ, ÔÅÏÒÉÀ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ É ÒÏÞÅÅ. þÔÏ ÚÄÅÓØ ÌÏÈÏÇÏ? äÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÔÅÌØÎÙÅ ÒÏ ÅÓÓÙ ÏÄÞÉÎÑÀÔÓÑ ÓÔÒÏÇÉÍ ÂÉÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÚÁËÏÎÁÍ É ÕÓËÏÒÉÔØ ÉÈ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÏÄÏÂÎÏ ÔÏÍÕ ËÁË ÎÅÌØÚÑ ÕÓËÏÒÉÔØ ÒÏ ÅÓÓ ×ÙÎÁÛÉ×ÁÎÉÑ ÌÏÄÁ, ËÏÔÏÒÙÊ × Ó×ÏÅÍ ÒÁÚ×ÉÔÉÉ ÒÏÈÏÄÉÔ ÜÔÁÙ, ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅ ÎÕÖÎÙÅ Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ×ÚÒÏÓÌÏÊ ÏÓÏÂÉ. îÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÇÏ ÓËÏÒÏÓÔÎÏÇÏ ÌÉÆÔÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÇ ÂÙ ×ÏÚÎÅÓÔÉ ÒÅÂÅÎËÁ ÉÌÉ ÄÁÖÅ ÍÏÌÏÄÏÇÏ ÞÅÌÏ×ÅËÁ ÓÒÁÚÕ ÎÁ ×ÅÒÈÎÉÅ ÜÔÁÖÉ ÚÄÁÎÉÑ É×ÉÌÉÚÁ ÉÉ. ÁËÉÅ ÏÙÔËÉ × ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ, × ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ, ÕÖÅ ÄÅÌÁÌÉÓØ É ÎÅÏÄÎÏËÒÁÔÎÏ, ÎÏ ×ÓÅ ÏÎÉ ËÏÎÞÁÌÉÓØ ÌÁÞÅ×ÎÏ. þÅÍ ×ÙÛÅ ÚÄÁÎÉÅ, ÔÅÍ ÒÏÞÎÅÅ ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔ. þÅÌÏ×ÅË, ÏÌÕÞÉ×ÛÉÊ ÈÏÒÏÛÅÅ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÏÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ, ÇÏÒÁÚÄÏ ÂÙÓÔÒÅÅ ÒÉÓÏÓÏÂÉÔÓÑ Ë ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÖÉÚÎÉ, ÓÕÍÅÅÔ ÎÁÊÔÉ × ÎÅÊ Ó×ÏÅ ÍÅÓÔÏ, ÞÅÍ ÔÏÔ, ËÔÏ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÎÏ ÏÚÎÁËÏÍÉÌÓÑ Ó ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÍÉ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÍÉ ÍÅÈÁÎÉÚÍÁÍÉ, ÎÁÕÞÉÌÓÑ ÎÁÖÉÍÁÔØ ËÎÏËÉ ÓÌÏÖÎÙÈ ÒÉÂÏÒÏ×, ÎÅ ÏÎÉÍÁÑ ÓÕÔÉ ÒÏÉÓÈÏÄÑÝÉÈ × ÎÉÈ ÒÏ ÅÓÓÏ×. ÷ÌÁÄÅÎÉÅ ÖÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÍÅÔÏÄÏÍ ÏÞÅÎØ ÏÌÅÚÎÏ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÍÕ ÞÅÌÏ×ÅËÕ, ÔÁË ËÁË ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÅÍÕ ÂÙÓÔÒÏ É ÎÁÇÌÑÄÎÏ ÏÎÑÔØ ÓÕÔØ ÓÌÏÖÎÏÇÏ Ñ×ÌÅÎÉÑ, ÄÁÔØ ÅÍÕ ÑÓÎÕÀ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÀ. äÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁ ÉÑ × ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ (× ÛÉÒÏËÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ÍÏÄÅÒÎÉÚÁ ÉÑ ×ËÌÀÞÁÅÔ × ÓÅÂÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁ ÉÀ) ÚÁÄÁÅÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÉÎÏÊ ÕÔØ ÒÅÛÅÎÉÑ ×ÏÚÎÉËÛÅÊ ÅÒÅÄ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÍ ÏÂÝÅÓÔ×ÏÍ ÒÏÂÌÅÍÙ. ûËÏÌÁ, × ÅÒ×ÕÀ ÏÞÅÒÅÄØ, × ÓÔÁÒÛÅÍ Ú×ÅÎÅ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÓÅ ÉÁÌÉÚÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ, ×ÏÚÎÉËÁÀÔ ÛËÏÌÙ ÒÁÚÌÉÞÎÏÇÏ ÔÉÁ: ÇÕÍÁÎÉÔÁÒÎÙÅ, ÆÉÚÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ, ÂÉÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ, ÄÁÖÅ ÍÕÚÙËÁÌØÎÏ-ÓÏÒÔÉ×ÎÙÅ É ×ÓÑËÉÅ ÉÎÙÅ. ó ÏÄÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÜÔÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ. îÏ, Ó ÄÒÕÇÏÊ, | ÞÒÅÚÍÅÒÎÏÅ ÄÒÏÂÌÅÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÒÉ×ÅÓÔÉ Ë ÏÌÎÏÍÕ ÒÁÓÁÄÕ ÛËÏÌÙ. õÖÅ ÒÅÁÌØÎÏÓÔØÀ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁ ÉÑ ÛËÏÌÙ Ï ÒÅÇÉÏÎÁÌØÎÏÍÕ ÒÉÎ ÉÕ. á ÜÔÏ ÄÌÑ òÏÓÓÉÉ ÎÅ ÒÏÓÔÏ ÏÁÓÎÏ, ÎÏ ÓÍÅÒÔÅÌØÎÏ ÏÁÓÎÏ. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ òÏÓÓÉÉ ÏÞÅÎØ ×ÁÖÎÙ ÓÔÅÒÖÎÅ×ÙÅ ÛËÏÌØÎÙÅ ÒÅÄÍÅÔÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÄÏÌÖÎÙ ÒÏÔÉ×ÏÓÔÏÑÔØ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÉÍ ÅÎÔÒÏÂÅÖÎÙÍ ÓÉÌÁÍ. ïÄÎÉÍ ÉÚ ÔÁËÉÈ ÒÅÄÍÅÔÏ× Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ. þÒÅÚÍÅÒÎÁÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁ ÉÑ ÎÁ ÛËÏÌØÎÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÏÍÅÛÁÔØ ÅÅ ×ÙÕÓËÎÉËÁÍ × ÂÕÄÕÝÅÍ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÔØ Ó×ÏÉ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÂÝÅÞÅÌÏ×ÅÞÅÓËÉÅ ÒÁ×Á, ÒÁ×Ï ÎÁ Ó×ÏÂÏÄÎÏÅ ÅÒÅÄ×ÉÖÅÎÉÅ, ÒÁ×Ï ÎÁ ×ÙÂÏÒ ÒÏÆÅÓÓÉÉ. ëÁË ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ ÎÅÄÁ×ÎÉÅ ÓÏ ÉÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ, ÞÅÌÏ×ÅËÕ × ÔÅÞÅÎÉÅ ÖÉÚÎÉ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÎÅÏÄÎÏËÒÁÔÎÏ, ÄÏ 25 ÒÁÚ ÍÅÎÑÔØ ÒÏÆÅÓÓÉÀ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÜÔÏ × ÍÕÒÁ×ÅÊÎÉËÅ ÍÏÖÎÏ ÏÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ ÉÔÁÎÉÑ ×ÙÒÁÝÉ×ÁÔØ Ï ÚÁËÁÚÕ ÓÏÌÄÁÔ ÉÌÉ ÒÁÂÏÞÉÈ, ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÅÌÅÊ ÉÌÉ ÒÉÓÌÕÇÕ.

îÕÖÎÁ ÌÉ ÛËÏÌÅ 21-ÇÏ ×ÅËÁ çÅÏÍÅÔÒÉÑ?

51

þÅÌÏ×ÅÞÅÓÔ×Ï ÎÅ ÍÕÒÁ×ÅÊÎÉË. ëÅÍ ÓÔÁÎÅÔ ÞÅÌÏ×ÅË × ÂÕÄÕÝÅÍ, ÎÁ ÛËÏÌØÎÏÊ ÓËÁÍØÅ ÒÅÛÉÔØ ÔÒÕÄÎÏ. äÁÖÅ ÓÔÁ×ÉÔØ ÔÁËÕÀ ÚÁÄÁÞÕ | ÂÅÚÎÒÁ×ÓÔ×ÅÎÎÏ. é ÍÙ ×ÎÏ×Ø ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ×Ù×ÏÄÕ Ï ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÕÓÉÌÅÎÉÑ ÉÍÅÎÎÏ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÏÊ ÏÄÇÏÔÏ×ËÉ ×ÙÕÓËÎÉËÏ× ÎÁÛÉÈ ÛËÏÌ. é ÜÔÏÔ ÒÉÎ É ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÏÓÔÉ ×ÙÄ×ÉÇÁÅÔ ÎÁ ÅÒ×ÏÅ ÍÅÓÔÏ ÉÍÅÎÎÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ. á ×ÎÕÔÒÉ ÜÔÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ×ÓÅ ÂÏÌÅÅ ×ÁÖÎÕÀ ÒÏÌØ ÄÏÌÖÎÁ ÉÇÒÁÔØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÁÑ, ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ ÔÁËÉÍ ËÁÞÅÓÔ×ÁÍ, ËÁË ÎÁÇÌÑÄÎÏÓÔØ É ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÓÔØ. é ×ÓÅ ÖÅ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÏÔËÁÚÙ×ÁÔØÓÑ ÏÔ ÒÉÎ ÉÏ× ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁ ÉÉ ÎÅ ÓÌÅÄÕÅÔ. úÄÅÓØ ×ÁÖÎÏ ÕÌÏ×ÉÔØ ÒÁÚÕÍÎÕÀ ÇÒÁÎØ, ÚÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÒÁÓÁÄÁÅÔÓÑ ÎÁ ÏÔÄÅÌØÎÙÅ ÆÅÏÄÁÌØÎÙÅ ÈÏÚÑÊÓÔ×Á. ÷ÏÚÍÏÖÎÏ, ÄÌÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÂÏÊÔÉÓØ ×ÓÅÇÏ ÌÉÛØ Ä×ÕÍÑ ÒÁÚÎÏ×ÉÄÎÏÓÔÑÍÉ. îÅ ×ÄÁ×ÁÑÓØ × ÄÅÔÁÌÉ, ÚÁÍÅÞÕ, ÞÔÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ËÕÒÓÙ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÅ ÎÁ ÒÉÎ ÉÁÈ ÎÁÇÌÑÄÎÏÓÔÉ, ÎÁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÉÄÅÑÈ ÄÁÀÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÄÁÔØ ÏÌÎÏ ÅÎÎÏÅ (ÉÌÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÅ) ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÑÍ ÓÁÍÙÈ ÄÁÌÅËÉÈ ÏÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÓÔÅÊ (ÇÕÍÁÎÉÔÁÒÉÑÍ, ÎÏ ÎÅ ÔÏÌØËÏ). úÁÍÅÔÎÙÍ Ñ×ÌÅÎÉÅÍ ÓÅÇÏÄÎÑÛÎÅÊ É×ÉÌÉÚÁ ÉÉ ÓÔÁÌ ËÏÍØÀÔÅÒ. é ÚÄÅÓØ ÏÓÏÂÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÓËÁÚÁÔØ Ï ×ÚÁÉÍÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÈ ÍÅÖÄÕ ÇÅÏÍÅÔÒÉÅÊ É ËÏÍØÀÔÅÒÏÍ. ó ÏÄÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÔÉ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ ÎÁÉÍÅÎÅÅ ÏÄÄÁÅÔÓÑ ËÏÍØÀÔÅÒÉÚÁ ÉÉ. (á ÏÔÓÀÄÁ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÅÇÏ ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÅ É ÒÁÚ×ÉÔÉÅ ÏÓÏÂÅÎÎÏ ×ÁÖÎÏ ÉÍÅÎÎÏ × ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ.) çÅÏÍÅÔÒÉÑ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÎÅÍÎÏÇÉÈ ÓÆÅÒ ÉÎÔÅÌÌÅËÔÕÁÌØÎÏÊ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÇÄÅ ÞÅÌÏ×ÅË ÅÝÅ ÎÅ ÒÏÉÇÒÁÌ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÅ ËÏÍØÀÔÅÒÕ. á Ó ÄÒÕÇÏÊ, | ËÏÍØÀÔÅÒ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÞÅÎØ ÏÌÅÚÎÙÍ ÉÎÓÔÒÕÍÅÎÔÏÍ × ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑÈ. ó ÅÇÏ ÏÍÏÝØÀ ÍÏÖÎÏ ÜËÓÅÒÉÍÅÎÔÁÌØÎÏ ÏÂÎÁÒÕÖÉ×ÁÔØ ÎÏ×ÙÅ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÁËÔÙ. þÅÌÏ×ÅËÕ ÖÅ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ×ÁÖÎÅÊÛÁÑ ÒÏÌØ | ÜÔÉ ÆÁËÔÙ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ (×ÓÅÇÏ ÌÉÛØ!). ðÒÉ ÜÔÏÍ × ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔØ Ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ËÏÍØÀÔÅÒÏ× ÍÏÇÕÔ ×ËÌÀÞÁÔØÓÑ ÛËÏÌØÎÉËÉ É ÓÉÌØÎÙÅ, É ÓÌÁÂÙÅ (Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ), ÔÅÈÎÁÒÉ É ÇÕÍÁÎÉÔÁÒÉÉ. é ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÅÒ×ÏÎÁÕËÁ, ËÏÔÏÒÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ, ÏÌÕÞÉÌÁ ÎÏ×ÙÊ ÔÏÌÞÏË Ë ÒÁÚ×ÉÔÉÀ, ËÁË ÏÂÒÁÚÏ×ÁÔÅÌØÎÙÊ ÒÅÄÍÅÔ É ËÁË ÎÁÕËÁ, ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ ÓÁÍÙÍ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÍ ËÏÍØÀÔÅÒÎÙÍ ÔÅÈÎÏÌÏÇÉÑÍ.

÷ÁÖÎÅÊÛÉÍ ÆÁËÔÏÍ É ÆÁËÔÏÒÏÍ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÖÉÚÎÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÕÞÎÏÔÅÈÎÉÞÅÓËÁÑ ÒÅ×ÏÌÀ ÉÑ, ËÏÔÏÒÁÑ, ×ÏÒÅËÉ ÓÍÙÓÌÕ ÓÌÏ×Á ÒÅ×ÏÌÀ ÉÑ, ÓÔÁÌÁ ÏÓÔÏÑÎÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÍ Ñ×ÌÅÎÉÅÍ. òÅÚËÏ ×ÏÚÒÏÓÌÉ ÓÉÈÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ É ÉÎÔÅÌÌÅËÔÕÁÌØÎÙÅ ÎÁÇÒÕÚËÉ ÎÁ ÞÅÌÏ×ÅËÁ, ÎÁ ÅÇÏ ÍÏÚÇ, ÒÉÞÅÍ Ó ÓÁÍÏÇÏ ÒÁÎÎÅÇÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁ. é ÎÁÇÒÕÚËÉ ÜÔÉ ÎÅ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÙ, ÏÎÉ ÒÁÚÂÁÌÁÎÓÉÒÏ×ÁÎÙ, ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÅÒÅÇÒÕÖÁÅÔÓÑ ÌÅ×ÏÅ ÏÌÕÛÁÒÉÅ. ïÔÓÀÄÁ ÓÔÒÅÓÓÙ, ÎÅÒ×ÎÙÅ É ÓÉÈÉÞÅÓËÉÅ ÚÁÂÏÌÅ×ÁÎÉÑ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÅ ÒÁÚÒÕÛÁÔØ ÏÒÇÁÎÉÚÍ ÒÅÂÅÎËÁ ÅÝÅ ÄÏ ÅÇÏ ÒÏÖÄÅÎÉÑ.

52

é. æ. ûÁÒÙÇÉÎ

óËÏÒÏÓÔØ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÏËÒÕÖÁÀÝÅÊ ÓÒÅÄÙ, ÓÒÅÄÙ ÏÂÉÔÁÎÉÑ ÓÔÏÌØ ×ÅÌÉËÁ, ÞÔÏ ÞÅÌÏ×ÅË ÎÅ ÕÓÅ×ÁÅÔ ÒÉÓÏÓÏÂÉÔØÓÑ Ë ÜÔÉÍ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑÍ ÒÏÓÔÏ ËÁË ÂÉÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÊ ×ÉÄ. ÷ ÏÓÌÅÄÎÅÅ ×ÒÅÍÑ ×ÓÅ ÂÏÌØÛÅÅ ×ÌÉÑÎÉÅ ÏÌÕÞÁÅÔ × ÏÂÝÅÓÔ×Å Ä×ÉÖÅÎÉÅ × ÚÁÝÉÔÕ ÏËÒÕÖÁÀÝÅÊ ÓÒÅÄÙ. ìÀÄÉ ÏÞÅÎØ ÏÚÁÂÏÞÅÎÙ ÔÅÍ, ËÁËÉÍ ×ÏÚÄÕÈÏÍ ÏÎÉ ÄÙÛÁÔ, ËÁËÉÅ ÒÏÄÕËÔÙ ÉÔÁÎÉÑ ÏÔÒÅÂÌÑÀÔ, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÌÉ ÓÉÎÔÅÚÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ, ÜËÏÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÞÉÓÔÙÅ ÉÌÉ ÖÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ÈÉÍÉÞÅÓËÉÅ ÄÏÂÁ×ËÉ É ÒÏÞÅÅ É ÒÏÞÅÅ. îÏ ÏÒÁ ÓÏÚÄÁ×ÁÔØ É Ä×ÉÖÅÎÉÅ × ÚÁÝÉÔÕ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÔÅÌØÎÏÊ ÓÒÅÄÙ, ÎÕÖÎÙ ÇÌÕÂÏËÉÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ Ï ÜËÏÌÏÇÉÉ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÔÅÌØÎÏÊ ÓÒÅÄÙ. äÌÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ÒÅÂÅÎËÕ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÌÎÏ ÅÎÎÏÅ ÉÔÁÎÉÅ. äÌÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÉÎÔÅÌÌÅËÔÕÁÌØÎÏÇÏ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÁ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÁÑ ÉÎÔÅÌÌÅËÔÕÁÌØÎÁÑ ÉÝÁ. óÅÇÏÄÎÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ, ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÎÅÍÎÏÇÉÈ ÜËÏÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÞÉÓÔÙÈ É ÏÌÎÏ ÅÎÎÙÈ ÒÏÄÕËÔÏ×, ÏÔÒÅÂÌÑÅÍÙÈ × ÓÉÓÔÅÍÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. çÅÏÍÅÔÒÉÑ ÍÏÖÅÔ É ÄÏÌÖÎÁ ÓÔÁÔØ ÒÅÄÍÅÔÏÍ, Ó ÏÍÏÝØÀ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÂÁÌÁÎÓÉÒÏ×ÁÔØ ÒÁÂÏÔÕ ÇÏÌÏ×ÎÏÇÏ ÍÏÚÇÁ, ÕÌÕÞÛÉÔØ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ÏÌÕÛÁÒÉÑÍÉ. çÅÏÍÅÔÒÉÑ | ×ÉÔÁÍÉÎ ÄÌÑ ÍÏÚÇÁ. îÏ çÅÏÍÅÔÒÉÑ | ÜÔÏ ÒÏÄÕËÔ, ËÏÔÏÒÙÊ ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÒÉÇÏÔÏ×ÌÅÎ ÏÞÅÎØ ÕÍÅÌÙÍ ËÕÌÉÎÁÒÏÍ. éÎÁÞÅ ÏÎÁ ÍÏÖÅÔ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÕÔÒÁÔÉÔØ Ó×ÏÉ ÉÔÁÔÅÌØÎÙÅ ËÁÞÅÓÔ×Á, ÎÏ É ÒÉÎÅÓÔÉ ×ÒÅÄ ÏÒÇÁÎÉÚÍÕ. . . . é ÚÁÍËÎÕÌÓÑ ËÒÕÇ. Ï ÅÓÔØ ÍÏÖÅÔ ÚÁÍËÎÕÔØÓÑ. çÅÏÍÅÔÒÉÑ, ÓÔÏÑ×ÛÁÑ Õ ËÏÌÙÂÅÌÉ ÞÅÌÏ×ÅÞÅÓËÏÇÏ ÒÁÚÕÍÁ, ÍÏÖÅÔ ÏÍÏÞØ ÓÅÇÏÄÎÑ ÞÅÌÏ×ÅËÕ ÓÄÅÌÁÔØ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÓËÁÞÏË × Ó×ÏÅÍ ÒÁÚ×ÉÔÉÉ. éÎÔÅÌÌÅËÔÕÁÌØÎÏÍ, ÄÕÈÏ×ÎÏÍ É ÎÒÁ×ÓÔ×ÅÎÎÏÍ. îÁÄÏ ÎÅ ÕÕÓÔÉÔØ ÜÔÕ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ.

53

üËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×

á. óËÏÅÎËÏ×∗

á. ÁÌÁÍÂÕ Á

He looked at the snail. Can it see me? he wondered. Then he felt, how little I know, and how little it is possible to know; and with this thought he experien ed a moment of joy.

I. Murdo h, The Flight From the En hanter ÷×ÅÄÅÎÉÅ

ïÄÉÎ ÉÚ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÁËÔÉ×ÎÏ ÒÁÚ×É×ÁÀÝÉÈÓÑ ÒÁÚÄÅÌÏ× ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ Ó×ÑÚÁÎ Ó ÚÁÄÁÞÁÍÉ Ï ÏÔÉÍÁÌØÎÙÈ ÕÁËÏ×ËÁÈ. ÷ ÜÔÉÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÒÁÓÏÌÏÖÉÔØ × ÄÁÎÎÏÊ ÆÉÇÕÒÅ ÏÄÎÏÇÏ ÔÉÁ ÎÁÉÂÏÌØÛÕÀ ×ÏÚÍÏÖÎÕÀ ÆÉÇÕÒÕ ×ÔÏÒÏÇÏ ÔÉÁ (ÉÌÉ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÆÉÇÕÒ ×ÔÏÒÏÇÏ ÔÉÁ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÁÚÍÅÒÁ). îÁÓÔÏÑÝÁÑ ÓÔÁÔØÑ ÏÓ×ÑÝÅÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÞÒÅÚ×ÙÞÁÊÎÏ ËÒÁÓÉ×ÙÍ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑÍ ÏÄÎÉÈ ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× × ÄÒÕÇÉÈ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÏÓÔÉ ÜÔÉÈ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÊ (× ÓÍÙÓÌÅ, ÞÅÔËÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÎÉÖÅ). ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÉÄÅÉ ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÔÓÑ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ, ËÕÂÁ É ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÏËÔÁÜÄÒÁ (ÒÉÓ. 1 É 1′ ). äÒÕÇÉÅ ÒÁ×ÉÌØÎÙÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ (ÒÁ×ÉÌØÎÙÅ ÄÏÄÅËÁÜÄÒ É ÉËÏÓÁÜÄÒ) ÕÏÍÉÎÁÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ × ËÏÎ Å ÓÔÁÔØÉ, ÇÄÅ É ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ ÉÈ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ÷ ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÅ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒ É ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÏËÔÁÜÄÒ ÓÏËÒÁÝÅÎÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏÍ É ÏËÔÁÜÄÒÏÍ. ðÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÁÍ (ÎÏ, Ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÎÅ ÛÉÒÏËÏÊ ÕÂÌÉËÅ). äÏËÁÚÁÔØ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÓÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÚ ÎÉÈ ÒÅÄÌÁÇÁÌÏÓØ ÒÁÎÅÅ ÎÁ ÏÌÉÍÉÁÄÁÈ. îÁÓÔÏÑÝÁÑ ÓÔÁÔØÑ ÎÁÉÓÁÎÁ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÉËÌÁ ÚÁÄÁÞ [3℄, ÒÅÄÌÁÇÁ×ÛÅÇÏÓÑ ÎÁ 13-Ê ÌÅÔÎÅÊ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ ÕÒÎÉÒÁ çÏÒÏÄÏ×, òÁÂÏÔÁ á. óËÏÅÎËÏ×Á ÏÄÄÅÒÖÁÎÁ ÇÒÁÎÔÁÍÉ òææé ‚02-01-00014 É ‚01-01-00583, ÇÒÁÎÔÏÍ ðÒÅÚÉÄÅÎÔÁ òæ ÏÄÄÅÒÖËÉ ÎÁÕÞÎÙÈ ÛËÏÌ îû-1988.2003.1, ÓÔÉÅÎÄÉÅÊ íçõ ÄÌÑ ÍÏÌÏÄÙÈ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÅÊ É ÕÞÅÎÙÈ É ÒÏÇÒÁÍÍÏÊ òáî €óÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËɁ. ∗

54

á. óËÏÅÎËÏ×, á. ÁÌÁÍÂÕ Á

òÉÓ. 1.

′

òÉÓ. 1 .

ÒÏÈÏÄÉ×ÛÅÊ × Á×ÇÕÓÔÅ 2000 Ç. ÏÄ Ç. íÁÌÏÑÒÏÓÌÁ× ÅÍ ëÁÌÕÖÓËÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ. ÷ ÄÁÎÎÏÊ ÓÔÁÔØÅ ÍÙ ÒÅÄÌÁÇÁÅÍ ÄÌÑ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÚÁÄÁÞ, ÒÅÛÅÎÉÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁÍ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙ. íÎÏÇÉÅ ÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ. íÙ ÉÓÏÌØÚÕÅÍ × ÎÕÍÅÒÁ ÉÉ ÛÔÒÉÈ ÄÌÑ ÕËÁÚÁÎÉÑ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ, ÎÏ ÎÅ ÏÂÓÕÖÄÁÅÍ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÏÄÒÏÂÎÏ, ÏÔÓÙÌÁÑ ÞÉÔÁÔÅÌÑ Ë [1, x9.2℄. ïÉÓÁÎÉÅ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÈ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ, ËÕÂÁ É ÏËÔÁÜÄÒÁ îÁ ÒÉÓÕÎËÅ 1 ÏËÁÚÁÎÏ, ËÁË ×ÙÂÒÁÔØ ÞÅÔÙÒÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ËÕÂÁ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ

ÏÎÉ ÂÙÌÉ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ. òÁÓËÒÁÓÉÍ ×ÅÒÛÉÎÙ ËÕÂÁ Ó ÒÅÂÒÏÍ 1 × ÞÅÒÎÙÊ É ÂÅÌÙÊ ×ÅÔÁ × €ÛÁÈÍÁÔÎḮ ÏÒÑÄËÅ (Ô. Å. ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÓÏÓÅÄÎÉÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÂÙÌÉ ÒÁÓËÒÁÛÅÎÙ √ × ÒÁÚÎÙÅ ×ÅÔÁ). ÏÇÄÁ ×ÅÒÛÉÎÙ ÏÄÎÏÇÏ ×ÅÔÁ ÚÁÄÁÀÔ ÔÅÔÒÁÜÄÒ Ó ÒÅÂÒÏÍ 2. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ× Ó ÞÅÒÎÙÍÉ É ÂÅÌÙÍÉ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÅÓÔØ ÏËÔÁÜÄÒ, ×ÅÒÛÉÎÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÅÒÅÄÉÎÁÍÉ ÒÅÂÅÒ ÜÔÉÈ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ×. îÁ ÒÉÓÕÎËÅ 1′ ÌÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ É ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ, ÞÔÏ ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÒÅÂÅÒ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ Ó ÒÅÂÒÏÍ 1 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÏËÔÁÜÄÒÁ Ó ÒÅÂÒÏÍ 1=2. éÚ ÜÔÏÇÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÞÅÔÙÒÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÇÒÁÎÅÊ ÏËÔÁÜÄÒÁ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÎÉ ÂÙÌÉ ÌÏÓËÏÓÔÑÍÉ ÇÒÁÎÅÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ. îÁ ÒÉÓÕÎËÁÈ 2a, 2b ÏËÁÚÁÎÏ, ËÁË ×ÙÂÒÁÔØ ÎÁ ÒÅÂÒÁÈ ÏËÔÁÜÄÒÁ ×ÏÓÅÍØ ÔÏÞÅË, Ñ×ÌÑÀÝÉÈÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ËÕÂÁ. ÷ÅÒÛÉÎÙ ÏËÔÁÜÄÒÁ Ó ÒÅÂÒÏÍ 1 ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ A; B; C; D; S1 ; S2 , ÞÔÏÂÙ ×ÙÄÅÌÉÔØ €ÏÓÎÏ×ÁÎÉŁ ABCD É €×ÅÒÛÉÎف S1 É S2 . îÁ ×ÏÓØÍÉ ÒÅÂÒÁÈ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ×ÅÒÛÉÎÙ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ Ó ÔÏÞËÁÍÉ S1 É S2 , ×ÏÚØÍÅÍ ×ÏÓÅÍØ €ËÒÁÓÎÙȁ ÔÏÞÅË Ai Bi Ci Di , ÄÅÌÑÝÉÈ

üËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×

S1

D1

C1

A1 B1

C A B C2

A2

B2

S2

a)

b) òÉÓ. 2.

D1 C+ A+

B+

A1

B1

B2

A2 C2 A−

B− C− D2

a)

b) ′

òÉÓ. 2 .

55

56

á. óËÏÅÎËÏ×, á. ÁÌÁÍÂÕ Á

ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÒÅÂÒÁ × ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÈ. ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ €ËÒÁÓÎÙŁ ÔÏÞËÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÇÏ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ. åÇÏ ÇÒÁÎÉ, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÅ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÀ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔÁÍÉ. €ëÒÁÓÎÙʁ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÊ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÕÂÏÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏ√ ÇÄÁ A1 A2 : A1 B1√= AA1 2 : SA1 = 1. óÔÏÒÏÎÁ €ËÒÁÓÎÏÇρ ËÕÂÁ ÒÁ×ÎÁ ÒÉ √ ÜÔÏÍ A1 B1 = 2√ = 2 − 2. 1+ 2 îÁ ÒÉÓÕÎËÁÈ 2′ a,b ÏËÁÚÁÎÏ, ËÁË ×ÙÂÒÁÔØ ÎÁ ÒÅÂÒÁÈ ËÕÂÁ ÛÅÓÔØ ÔÏÞÅË, Ñ×ÌÑÀÝÉÈÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÏËÔÁÜÄÒÁ. ÷ÅÒÛÉÎÙ ËÕÂÁ Ó ÒÅÂÒÏÍ 1 ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÙ ÎÅÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏ, ÎÏ ÉÍÅÎÎÏ ÔÁËÏÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ ÕÄÏÂÎÏ ÄÌÑ ÎÁÛÅÇÏ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ. þÅÔÙÒÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÔÒÅÈ ÒÅÂÅÒ ËÕÂÁ, ÉÍÅÀÝÉÈ ÏÂÝÕÀ ÔÏÞËÕ, ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÙ ÞÅÔÙÒØÍÑ ÒÁÚÎÙÍÉ ÂÕË×ÁÍÉ Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍÉ ÉÎÄÅËÓÁÍÉ. îÁ ÔÒÅÈ ÒÅÂÒÁÈ D1 A1 , D1 B1 É D1 C1 , ×ÙÈÏÄÑÝÉÈ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ D1 , ×ÚÑÔÙ ÔÒÉ ÔÏÞËÉ A+ ; B+ ; C+ , ÄÅÌÑÝÉÅ ÜÔÉ ÒÅÂÒÁ × ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÈ 3 : 1 (Ë ÏÂÝÅÊ ×ÅÒÛÉÎÅ D1 ÒÉÍÙËÁÅÔ ÂÏÌØÛÉÊ ÏÔÒÅÚÏË ÄÅÌÅÎÉÑ). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÁËÖÅ ÔÏÞËÉ A− ; B− ; C− , ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ ÉÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÅÎÔÒÁ ËÕÂÁ. éÍÅÅÍ q √ A+ B− = A+ A21 + A1 B22 + B2 B−2 = √3 2 = 2A+ D1 = A+ B+ :

2

áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ×ÏÓÅÍØ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× A± B± C± | ÒÁ×ÉÌØÎÙÅ Ó ÒÅÂÒÏÍ √3 . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, P = A+ B+ C+ A− B− C− | ÒÁ2 2 ×ÉÌØÎÙÊ ÏËÔÁÜÄÒ Ó ÒÅÂÒÏÍ √3 . 2 2 ïÂÙÞÎÏ ÒÉ×ÏÄÑÔÓÑ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÁÈ 2a É 2′ b, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ÓÏ×ÓÅÍ ÏÎÑÔÎÏ, ÞÔÏ ÏÎÉ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ. úÁËÏÎÞÉÍ ÜÔÏÔ ÁÒÁÇÒÁÆ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÍ ÚÁÍÅÞÁÎÉÅÍ ÷. äÏÌØÎÉËÏ×Á. ÷ÏÒÏÓ Ï ÔÏÍ, ËÏÇÄÁ ÓÒÅÄÉ ×ÅÒÛÉÎ n-ÍÅÒÎÏÇÏ ËÕÂÁ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÔÏÞËÉ, Ñ×ÌÑÀÝÉÅÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ n-ÍÅÒÎÏÇÏ ÓÉÍÌÅËÓÁ, ÏÞÅÎØ ÉÎÔÅÒÅÓÅÎ, ÎÏ ÎÅ ÒÅÛÅÎ ÂÏÌÅÅ 100 ÌÅÔ. îÅ ×ÓÅ ÚÎÁÀÔ, ÈÏÔÑ ÚÁ ÏÓÌÅÄÎÉÅ 70 ÌÅÔ ÜÔÏ ÎÅÏÄÎÏËÒÁÔÎÏ ÅÒÅÏÔËÒÙ×ÁÌÏÓØ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÍÁÔÒÉ Á áÄÁÍÁÒÁ ÏÒÑÄËÁ n+1. (íÁÔÒÉ ÅÊ áÄÁÍÁÒÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á, ÓÏÓÔÏÑÝÁÑ ÉÚ ÅÄÉÎÉ É ÍÉÎÕÓ ÅÄÉÎÉ .) äÏ ÓÉÈ ÏÒ ÎÅ ÄÏËÁÚÁÎÁ ÇÉÏÔÅÚÁ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÒÉ n > 4 ÍÁÔÒÉ Á áÄÁÍÁÒÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ n ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 4. ïÔÉÍÁÌØÎÏÓÔØ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÊ

óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÒÏÂÌÅÍÕ, ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÑ×ÌÑÀÔÓÑ ÕËÁÚÁÎÎÙÅ ËÒÁÓÉ×ÙÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ. ðÒÏÂÌÅÍÁ (P; Q). äÁÎÙ Ä×Á ×ÙÕËÌÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P É Q. ðÒÉ ËÁËÏÍ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÍ p = p(P; Q) × ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÅ Ó ÒÅÂÒÏÍ 1, ÇÏÍÏÔÅÔÉÞÎÏÍ Q, ÍÏÖÎÏ ÏÍÅÓÔÉÔØ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË Ó ÒÅÂÒÏÍ p, ÇÏÍÏÔÅÔÉÞÎÙÊ P ?

üËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×

57

ðÒÏÂÌÅÍÁ (P; Q) × ÓÌÕÞÁÅ ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× P É Q ÂÕÄÅÔ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØÓÑ Ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÉËÔÏÇÒÁÍÍ ÄÌÑ ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×. óÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ, ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÔÅÏÒÅÍ. √ ; ) = 2. 1′ . p( ; ) = 1=2. ÅÏÒÅÍÙ: 1. p( ïÔÉÍÁÌØÎÙÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÄÌÑ ÔÅÏÒÅÍ 1 É 1′ ÕÖÅ ÏÓÔÒÏÅÎÙ (ÒÉÓ. 1 ′ É 1 ). äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÉÈ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÓÔÉ ÎÅÓÌÏÖÎÏ É ËÒÁÓÉ×Ï. ïÎÏ ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÂÝÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÆÁËÔÁÈ. { óÆÅÒÁ, ÏÉÓÁÎÎÁÑ ÏËÏÌÏ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ, ÉÍÅÅÔ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÒÁÄÉÕÓ ÓÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ÓÆÅÒ, × ËÏÔÏÒÙÅ ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÏÍÅÓÔÉÔØ. { ÷ÉÓÁÎÎÁÑ × ×ÙÕËÌÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË ÓÆÅÒÁ ÉÍÅÅÔ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÒÁÄÉÕÓ ÓÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ÓÆÅÒ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÏÍÅÓÔÉÔØ × ÄÁÎÎÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÒ×ÙÊ ÉÚ ÜÔÉÈ ÆÁËÔÏ× ÎÅ×ÅÒÅÎ ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÔÅ-

ÔÒÁÜÄÒÏ×. éÔÁË, ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ × ËÕÂÅ √ Q Ó ÒÅÂÒÏÍ 1 ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÒÁÓÏÌÏÖÉÔØ ÔÅÔÒÁÜÄÒ Ó ÒÅÂÒÏÍ, ÂÏÌØÛÉÍ 2. ðÕÓÔØ × Q ÒÁÓÏÌÏÖÅÎ ÔÅÔÒÁÜÄÒ P . ÏÇÄÁ P ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÓÆÅÒÅ S , ÏÉÓÁÎÎÏÊ ×ÏËÒÕÇ Q. ðÏ ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÆÁËÔÏ×, ÒÅÂÒÏ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ P ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÒÅÂÒÁ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ, ×ÉÓÁÎÎÏÇÏ × S . ëÁË ÒÁÚ ÔÁËÏÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎ ÎÁ ÒÉÓ. 1a, É ÅÇÏ ÒÅÂÒÏ √ ÒÁ×ÎÏ 2. ÅÅÒØ ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ × ÔÅÔÒÁÜÄÒÅ Q Ó ÒÅÂÒÏÍ 1 ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÒÁÓÏÌÏÖÉÔØ ÏËÔÁÜÄÒ Ó ÒÅÂÒÏÍ, ÂÏÌØÛÉÍ 1=2. ðÕÓÔØ × Q ÒÁÓÏÌÏÖÅÎ ÏËÔÁÜÄÒ P . ÏÇÄÁ Q ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÓÆÅÒÕ SP , ×ÉÓÁÎÎÕÀ × P . ðÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÆÁËÔÏ×, ÒÁÄÉÕÓ ÓÆÅÒÙ SP ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÒÁÄÉÕÓÁ ÓÆÅÒÙ SQ, ×ÉÓÁÎÎÏÊ × Q. úÎÁÞÉÔ, ÒÅÂÒÏ ÏËÔÁÜÄÒÁ P ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÒÅÂÒÁ ÏËÔÁÜÄÒÁ, ÏÉÓÁÎÎÏÇÏ ×ÏËÒÕÇ SQ. ëÁË ÒÁÚ ÔÁËÏÊ ÏËÔÁÜÄÒ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎ ÎÁ ÒÉÓ. 1b, É ÅÇÏ ÒÅÂÒÏ ÒÁ×ÎÏ 1=2. ÅÏÒÅÍÙ: 2. p(

;

√

2′ . p(

) = 2 − 2.

;

) = √3 . 2 2

ïÔÉÍÁÌØÎÙÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÄÌÑ ÔÅÏÒÅÍ 2 É 2 ÕÖÅ ÏÓÔÒÏÅÎÙ (ÒÉÓ. 2 É 2 ). äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÉÈ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÓÔÉ ÔÁËÖÅ ÎÅÓÌÏÖÎÏ É ËÒÁÓÉ×Ï. ïÎÏ ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÌÅÍÍÅ. ′

′

ìÅÍÍÁ Ï ÅÎÔÒÁÈ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ. åÓÌÉ ×ÙÕËÌÙÊ ÅÎÔÒÁÌØÎÏ-ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË P ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÏÌÏÖÉÔØ ×ÎÕÔÒÉ ÄÒÕÇÏÇÏ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÅÎÔÒÁÌØÎÏ-ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ Q, ÔÏ ÜÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ É ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÅÎÔÒÙ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× ÓÏ×ÁÌÉ.

äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ 2 ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ËÕ P ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ 2 ÉÍÅÅÔ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÒÅÂÒÏ ÓÒÅÄÉ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÕÂÏ×, ÏÍÅÝÁÀÝÉÈÓÑ × ÅÄÉÎÉÞÎÏÍ ÏËÔÁÜÄÒÅ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÎÁÒÏÔÉ×, ÞÔÏ × ÏËÔÁÜÄÒÅ

58

á. óËÏÅÎËÏ×, á. ÁÌÁÍÂÕ Á

ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÕ P ′ ÂÏÌØÛÅÇÏ ÒÁÚÍÅÒÁ, ÞÅÍ P . ðÏ ÌÅÍÍÅ Ï ÅÎÔÒÁÈ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÅÎÔÒ ËÕÂÁ P ′ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÅÎÔÒÏÍ O ÏËÔÁÜÄÒÁ. ÏÇÄÁ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ËÕÂÁ P ′ ÌÅÖÁÔ ×ÎÅ ÓÆÅÒÙ Ó ÅÎÔÒÏÍ O, ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÏÌÏ ËÕÂÁ P . ðÕÓÔØ K É L | ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÓÆÅÒÙ Ó ÒÅÂÒÁÍÉ AB É AD, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÂÌÉÖÁÊÛÉÅ Ë A. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÉÒÁÍÉÄÕ AKLA1 A2 É ÑÔØ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÈ ÉÒÁÍÉÄ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÏÓÔÁÌØÎÙÍ ×ÅÒÛÉÎÁÍ ÏËÔÁÜÄÒÁ. åÓÌÉ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÔÏÞËÁ ÌÅÖÉÔ × ÏËÔÁÜÄÒÅ, ÎÏ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÎÉ × ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÜÔÉÈ ÛÅÓÔÉ ÉÒÁÍÉÄ, ÔÏ ÏÎÁ ÌÅÖÉÔ ×ÎÕÔÒÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÓÆÅÒÙ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÅÒÛÉÎÙ ËÕÂÁ P ′ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ × ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÉ ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÈ ÛÅÓÔÉ ÉÒÁÍÉÄ. ðÏ ÒÉÎ ÉÕ äÉÒÉÈÌÅ ÈÏÔÑ ÂÙ Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ ËÕÂÁ P ′ ÄÏÌÖÎÙ ÌÅÖÁÔØ × ÏÄÎÏÊ ÉÒÁÍÉÄÅ. ïÄÎÁËÏ ÄÉÁÍÅÔÒ ËÁÖÄÏÊ ÉÒÁÍÉÄÙ (Ô. Å. ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÁÍÉ ÉÒÁÍÉÄÙ) ÒÁ×ÅÎ A1 A2 , ÞÔÏ ÒÁ×ÎÏ ÒÅÂÒÕ ËÕÂÁ P É Ï ÎÁÛÅÍÕ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÍÅÎØÛÅ ÒÅÂÒÁ ËÕÂÁ P ′ . ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÚÁ×ÅÒÛÁÅÔ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ 2′ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÏËÔÁÜÄÒ P ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ 2′ ÉÍÅÅÔ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÒÅÂÒÏ ÓÒÅÄÉ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÏËÔÁÜÄÒÏ×, ÏÍÅÝÁÀÝÉÈÓÑ × ÅÄÉÎÉÞÎÏÍ ËÕÂÅ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÎÁÒÏÔÉ×, ÞÔÏ × ËÕÂÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏËÔÁÜÄÒ P ′ , ÂÏÌØÛÉÊ, ÞÅÍ P . ðÏ ÌÅÍÍÅ Ï ÅÎÔÒÁÈ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÅÎÔÒ ÏËÔÁÜÄÒÁ P ′ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÅÎÔÒÏÍ O ËÕÂÁ. ÏÇÄÁ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÏËÔÁÜÄÒÁ P ′ ÌÅÖÁÔ ×ÎÅ ÓÆÅÒÙ Ó ÅÎÔÒÏÍ O, ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÏÌÏ ÏËÔÁÜÄÒÁ P . üÔÁ ÓÆÅÒÁ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÒÅÂÒÁ ËÕÂÁ × ÔÏÞËÁÈ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ 1=4 ÏÔ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ 8 ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÙÈ ÉÒÁÍÉÄ, ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÁ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ËÕÂÁ É ÔÒÅÍÑ ÂÌÉÖÁÊÛÉÍÉ Ë ÎÅÊ ÔÏÞËÁÍÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÓÆÅÒÙ Ó ÒÅÂÒÁÍÉ ËÕÂÁ (ÌÅÖÁÝÉÍÉ ÎÁ ×ÙÈÏÄÑÝÉÈ ÉÚ ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÒÅÂÒÁÈ). åÓÌÉ ÔÏÞËÁ ÌÅÖÉÔ × ËÕÂÅ, ÎÏ ×ÎÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÜÔÉÈ 8 ÉÒÁÍÉÄ, ÔÏ ÏÎÁ ÌÅÖÉÔ ×ÎÕÔÒÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÓÆÅÒÙ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÅÒÛÉÎÙ ÏËÔÁÜÄÒÁ P ′ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ × ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÉ 8 ÄÁÎÎÙÈ ÉÒÁÍÉÄ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ Ä×Å ÉÚ ×ÅÒÛÉÎ ÏËÔÁÜÄÒÁ P ′ ÄÏÌÖÎÙ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔØ ÌÉÂÏ ÏÄÎÏÊ ÉÒÁÍÉÄÅ, ÌÉÂÏ ÌÅÖÁÔØ × Ä×ÕÈ ÉÒÁÍÉÄÁÈ, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÈ Ä×ÕÍ ÓÏÓÅÄÎÉÍ ×ÅÒÛÉÎÁÍ ËÕÂÁ. ïÄÎÁËÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÔÏÞËÁÍÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÉÒÁÍÉÄ, ÏÔÎÏÓÑÝÉÈÓÑ Ë ÓÏÓÅÄÎÉÍ ×ÅÒÛÉÎÁÍ, ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ p 12 + (1=2)2 + (1=2)2 = √3 , ÞÔÏ ÒÁ×ÎÏ ÒÅÂÒÕ ÏËÔÁÜÄÒÁ P É ÍÅÎØÛÅ ÒÅ2 2 ÂÒÁ ÏËÔÁÜÄÒÁ P ′ . ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÚÁ×ÅÒÛÁÅÔ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. îÅÍÎÏÇÏ ÄÒÕÇÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ 2′ , Á ÔÁËÖÅ ÂÌÉÚËÉÅ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÅ ÆÁËÔÙ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ × [2, ÚÁÄÁÞÁ 415℄. ïÓÔÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ ÌÅÍÍÕ Ï ÅÎÔÒÁÈ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÅÎÔÒÁÌØÎÙÈ ÓÉÍÍÅÔÒÉÊ: ZA ◦ ZB = T2BA . ðÕÓÔØ OQ É OP | ÅÎÔÒÙ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× Q É P . íÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË ZOQ (P ) ÔÁËÖÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × Q. éÍÅÅÍ: SOQ (P ) = SOQ (SOP (P )) = = T2OP OQ (P ) (ÓÍ. ÒÉÓ. 3, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎ ÌÏÓËÉÊ ÁÎÁÌÏÇ). ÏÇÄÁ

üËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×

59

P = SOP (P ) TOQ OP (P ) OP

SOQ (P )

Q

OQ

òÉÓ. 3.

ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË P ′ = TOP OQ (P ) ÒÁ×ÅÎ P , ÉÍÅÅÔ ÅÎÔÒ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ × ÔÏÞËÅ OQ É ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ×ÎÕÔÒÉ Q. ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ×ÙÕËÌÏÓÔÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ Q, ÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÁÑ ÔÏÞËÁ x ∈ P ′ ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÍ ÔÏÞËÉ TOP OQ (x) É TOQ OP (x). íÙ ÒÅÄÌÁÇÁÅÍ ÚÁÉÎÔÅÒÅÓÏ×Á×ÛÅÍÕÓÑ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÒÅÛÉÔØ ÒÏÂÌÅÍÙ ( ; )É( ; ) ÉÌÉ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÌÕÞÉÔØ Ï ÅÎËÉ ÄÌÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ p(P; Q) (×ÉÄÉÍÏ, ÜÔÉ ÒÏÂÌÅÍÙ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÅÒÅÛÅÎÎÙÍÉ). îÁÒÉÍÅÒ, ) > 1 (ÏÓËÏÌØÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÑ ÒÉÓÕÎÏË 1′ , ÍÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ p( ; ËÕ ÔÅÔÒÁÜÄÒ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÊ €×ÅÒÈÎÅÍՁ ÔÅÔÒÁÜÄÒÕ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ €ÎÉÖÎÅʁ ÇÒÁÎÉ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ, ÌÅÖÉÔ × ÏËÔÁÜÄÒÅ). ïÔÉÍÁÌØÎÙÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ×

ðÒÏÂÌÅÍÁ (Q; n). äÁÎ ×ÙÕËÌÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË Q. ðÒÉ ËÁËÏÍ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÍ p = p(Q; n) × ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÅ Ó ÒÅÂÒÏÍ 1, ÇÏÍÏÔÅÔÉÞÎÏÍ Q, ÍÏÖÎÏ ÏÍÅÓÔÉÔØ n ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ× Ó ÒÅÂÒÏÍ p? ÅÏÒÅÍÁ 3. p(

; 2) =

3

√

2 2

É p(

√

; 2) = 23 .

ðÏÓÔÒÏÉÍ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÄÌÑ ÔÅÏÒÅÍÙ 3 (ÒÉÓ. 4a). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ä×Å ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ S1 É S2 ËÕÂÁ. òÁÓÓÅÞÅÍ ËÕ ÌÏÓËÏÓÔØÀ, ÒÁ×ÎÏÕÄÁÌÅÎÎÏÊ ÏÔ S1√ É S2 . ÷ ÓÅÞÅÎÉÉ ÏÌÕÞÉÍ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÉË ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ 1= 2. ÷ ÜÔÏ√ ÓÅÞÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÏÍÅÓÔÉÔØ ÒÁ√ ×ÉÌØÎÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ p < 3= 2 ÔÁË, ÞÔÏ ÅÎÔÒ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÓÏ×ÁÄÅÔ Ó ÅÎÔÒÏÍ ÓÅÞÅÎÉÑ. ÅÔÒÁÜÄÒÙ Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ S1 É S2 , ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑÍÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÌÕÖÁÔ ÕËÁÚÁÎÎÙÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ, | ÉÓËÏÍÙÅ. ÷ÙÓÏÔÙ √ ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÈ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ× ÒÁ×ÎÙ ÒÁÄÉÕÓÕ R = 3=2 ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÏÌÏ ËÕÂÁ

60

á. óËÏÅÎËÏ×, á. ÁÌÁÍÂÕ Á S1

S1

A

S2

O S2

a)

b)

)

òÉÓ. 4.

p

ÓÆÅÒÙ. ÁË ËÁË R = p 2=3, ÔÏ ÜÔÉ ÔÅÔÒÁÜÄÒÙ ÒÁ×ÉÌØÎÙÅ. ïÔÉÍÁÌØÎÏÓÔØ ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÈ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÊ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÌÅÍÍÙ. ìÅÍÍÁ Ï Ä×ÕÈ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁÈ. √ åÓÌÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË Q ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ × ÓÆÅ3 ÒÅ ÄÉÁÍÅÔÒÁ d, ÔÏ p(Q; 2) 6 d √ . 2 2

üÔÁ ÌÅÍÍÁ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÞÅÎØ ÒÏÓÔÏ. åÓÌÉ × ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÅ Q ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ Ä×Á ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ Ó ÒÅÂÒÏÍ p = p(Q; 2), ÎÅ ÉÍÅÀÝÉÅ ÏÂÝÉÈ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÈ ÔÏÞÅË, ÔÏ ÅÎÔÒ ÓÆÅÒÙ O ÎÅ ÌÅÖÉÔ × ÏÄÎÏÍ ÉÚ ÎÉÈ. ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÞÅÒÅÚ ÇÒÁÎÉ ÜÔÏÇÏ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ïÄÎÏÊ ÉÚ ÎÉÈ ÍÏÖÎÏ ÏÔÄÅÌÉÔØ O ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ A ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ, ÎÅ ÌÅÖÁÝÅÊ × ÜÔÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ (ÒÉÓ. 4 ). ÏÇÄÁ √ √ d=2 > AO > h = p 2= 3, ÇÄÅ h | ÄÌÉÎÁ ×ÙÓÏÔÙ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ. òÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÑ ÔÅÅÒØ (ÒÉÓ. 4b) Ä×Å ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ S1 É S2 ÏËÔÁÜÄÒÁ É ÒÁÓÓÅËÁÑ ÏËÔÁÜÄÒ ÒÁ×ÎÏÕÄÁÌÅÎÎÏÊ ÏÔ ÜÔÉÈ ×ÅÒÛÉÎ ÌÏÓËÏÓÔØÀ, ÏÌÕÞÉÍ × ÓÅÞÅÎÉÉ Ë×ÁÄÒÁÔ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ 1. ÷ÉÛÅÍ × ÎÅÇÏ ÏËÒÕÖ√ ÎÏÓÔØ ÒÁÄÉÕÓÁ 1=2, Á × ÎÅÅ | ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ 3=2. ÅÔÒÁÜÄÒÙ Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ S1 É S2 , ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑÍÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÌÕÖÁÔ ÕËÁÚÁÎÎÙÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ, | ÉÓËÏÍÙÅ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÓÌÕÞÁÀ ËÕÂÁ. íÙ ÒÅÄÌÁÇÁÅÍ ÚÁÉÎÔÅÒÅÓÏ×Á×ÛÅÍÕÓÑ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÏÌÕÞÉÔØ Ï ÅÎËÉ ÞÉÓÌÁ p(Q; n) ÄÌÑ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ ÁÒ (Q; n). îÁ ÒÉÓÕÎËÅ 5 ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÅ, ÏËÁÚÙ×ÁÀÝÅÅ, ÞÔÏ p( ; 3) > 1. òÁÚÂÉÅÎÉÅ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ÎÁ ÔÅÔÒÁÜÄÒÙ É ÏËÔÁÜÄÒÙ

éÚ ÒÉÓÕÎËÁ 1′ É ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á p( ; ) > 1 ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ p( ; 5) > > 1=2. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ËÒÁÓÉ×ÏÅ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÅ, ÏÂÏÂÝÁÀÝÅÅ ÒÁÓ3 ÏÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ 1′ É ÄÁÀÝÅÅ Ï ÅÎËÕ p( ; n 2+ n ) > n1 (ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ

üËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×

61

òÉÓ. 5.

ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÒÏ×ÅÓÔÉ É ÄÌÑ ÏËÔÁÜÄÒÁ). óÍ. ÒÉÓ. 1′ ÄÌÑ n = 2 É ÒÉÓ. 6 ÄÌÑ n = 3. ÅÏÒÅÍÁ 4. äÌÑ ËÁÖÄÏÊ ×ÙÓÏÔÙ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ Ó ÒÅÂÒÏÍ 1 ÒÏ×ÅÄÅÍ n − 1 ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÈ ÅÊ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ, ÄÅÌÑÝÉÈ ÅÅ ÎÁ n ÒÁ×ÎÙÈ ÞÁÓÔÅÊ. ÏÇÄÁ ÒÏ×ÅÄÅÎÎÙÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÒÁÚÂÉ×ÁÀÔ ÔÅÔÒÁÜÄÒ ÎÁ n3 − n 1 ÏËÔÁÜÄÒÏ× Ó ÒÅÂÒÏÍ . ÜÄÒÏ× É 6 n

n3 + 2n ÔÅÔÒÁ3

ÅÏÒÅÍÕ 4 ÌÅÇËÏ ÄÏËÁÚÁÔØ Ï ÉÎÄÕË ÉÉ. âÁÚÁ n = 2 ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÒÉÓÕÎËÁ 1′ . äÏËÁÖÅÍ ÛÁÇ ÉÎÄÕË ÉÉ ÓÎÁÞÁÌÁ ÄÌÑ n = 3. ðÒÏ×ÅÄÅÎÎÙÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÒÁÚÂÉ×ÁÀÔ ÔÅÔÒÁÜÄÒ ÎÁ ËÕÓËÉ. óÒÅÄÉ ÒÏ×ÅÄÅÎÎÙÈ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅ ÞÅÔÙÒÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÔÓÅËÁÅÔ ÏÔ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ÍÁÌÙÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒ Ó ÒÅÂÒÏÍ 2=3. ëÕÓËÉ × ÍÁÌÙÈ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁÈ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁÍÉ É ÏËÔÁÜÄÒÁÍÉ Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ. ëÁÚÁÌÏÓØ ÂÙ, ÉÓÈÏÄÎÙÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ ÍÁÌÙÈ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ×. ÷ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÜÔÏ ÎÅ ÔÁË: ÅÎÔÒ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ÎÅ ÌÅÖÉÔ × ÜÔÏÍ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÉ! (óÍ. ÒÉÓ. 6.) üÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÅÎÔÒ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ÄÅÌÉÔ ×ÙÓÏÔÕ × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ 1 : 3, Á ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ | 1 : 2. îÏ × ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÉ ÍÁÌÙÈ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ× ÎÅ ÌÅÖÉÔ ÌÉÛØ ÏÄÉÎ ËÕÓÏË. ïÎ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎ ÞÅÔÙÒØÍÑ ÇÒÁÎÑÍÉ ÍÁÌÙÈ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ×, ÎÅ ÓÏ×ÁÄÁÀÝÉÍÉ Ó ÇÒÁÎÑÍÉ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ, É ÏÜÔÏÍÕ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏÍ Ó ÒÅÂÒÏÍ 1=3 òÉÓ. 6. (ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÅÎÔÒÙ ÇÒÁÎÅÊ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ €ÂÏÌØÛÏÇρ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ). úÎÁÞÉÔ, Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ ×ÓÅ ËÕÓËÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁÍÉ É ÏËÔÁÜÄÒÁÍÉ Ó ÒÅÂÒÏÍ 1=3. ðÏÓËÏÌØËÕ

62

á. óËÏÅÎËÏ×, á. ÁÌÁÍÂÕ Á

ÍÁÌÙÈ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ× ÞÅÔÙÒÅ, ÔÏ ÒÏ×ÎÏ ÞÅÔÙÒÅ ËÕÓËÁ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏËÔÁÜÄÒÁÍÉ. ðÕÓÔØ T ËÕÓËÏ× Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁÍÉ. äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ T ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍÉ ÏÄÏÂÉÑ. ïÂß£Í ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ Ó ÒÅÂÒÏÍ 1=3 × 33 = 27 ÒÁÚ ÍÅÎØÛÅ ÏÂßÅÍÁ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ É × 4 ÒÁÚÁ ÍÅÎØÛÅ ÏÂßÅÍÁ ÏËÔÁÜÄÒÁ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ 1=3. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, 4 · 4 + T = 27, ÏÔËÕÄÁ T = 11. äÏËÁÖÅÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ÔÅÏÒÅÍÁ 4 ×ÅÒÎÁ ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ n > 3. óÒÅÄÉ ÒÏ×ÅÄÅÎÎÙÈ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅ ÞÅÔÙÒÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÔÓÅËÁÅÔ ÏÔ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ÍÁÌÙÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒ Ó ÒÅÂÒÏÍ 1 − 1=n. ÁË ËÁË n > 3, ÔÏ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÞÅÔÙÒÅÈ ÍÁÌÙÈ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ× ÕÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÓÈÏÄÎÙÍ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏÍ. úÎÁÞÉÔ, Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ ×ÓÅ ËÕÓËÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁÍÉ É ÏËÔÁÜÄÒÁÍÉ Ó ÒÅÂÒÏÍ 1=n. ðÏÄÓÞÉÔÁÅÍ ÔÅÅÒØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á Tn ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ× É On ÏËÔÁÜÄÒÏ× × ÒÁÚÂÉÅÎÉÉ. ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÍÁÌÙÈ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ× Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÓÈÏÄÎÙÍ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏÍ, ÉÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ ×ÙÒÅÚÁÎÙ ËÕÓËÉ, ÒÉÌÅÖÁÝÉÅ Ë ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ ÒÅÂÅÒ. óÒÅÄÉ ÜÔÉÈ ËÕÓËÏ× n ÏËÔÁÜÄÒÏ× Ó ÒÅÂÒÏÍ 1=n. ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ ÍÁÌÙÈ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ× Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÅÔÒÁÜÄÒ Ó ÒÅÂÒÏÍ 1 − 2=n. ðÏÜÔÏÍÕ On+1 = n + 2On − On−1 ÒÉ n > 3. éÓÏÌØ3 ÚÕÑ O2 = 1 É O3 = 4, Ï ÉÎÄÕË ÉÉ ÌÅÇËÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ On = n 6− n . äÁÌÅÅ, ÉÚ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÏÄÏÂÉÑ ÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ 4On + Tn = n3 , ÏÔËÕÄÁ 3 Tn = n +3 2n . ïÔÉÍÁÌØÎÙÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ Ó ÕÞÁÓÔÉÅÍ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ É ÉËÏÓÁÜÄÒÁ

ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÄÌÑ ÄÒÕÇÉÈ ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× | ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ É ÉËÏÓÁÜÄÒÁ. ÷ÙÕËÌÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÉÌØÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÅÇÏ ÇÒÁÎÉ | ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÒÁ×ÉÌØÎÙÅ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÉ É Ä×ÕÇÒÁÎÎÙÅ ÕÇÌÙ ÒÉ ×ÓÅÈ ÒÅÂÒÁÈ ÒÁ×ÎÙ. äÁÌÅÅ ×ÓÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ ÏÄÒÁÚÕÍÅ×ÁÀÔÓÑ ÒÁ×ÉÌØÎÙÍÉ. éÓÏÌØÚÕÑ ÒÉÓ. 7, ÍÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ [1, x9.1℄, ÞÔÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ

{ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÄÏÄÅËÁÜÄÒ, Ô. Å. ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË, ËÁÖÄÁÑ ÇÒÁÎØ ËÏÔÏÒÏÇÏ | ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉË ; { ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÉËÏÓÁÜÄÒ, Ô. Å. ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË, × ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÈÏÄÉÔÓÑ 5 ÒÅÂÅÒ.

îÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÄÒÕÇÉÈ ÔÉÏ× ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×, ËÒÏÍÅ ÑÔÉ ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÈ [1, x9℄. üÔÏÔ ÆÁËÔ ÎÅ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ × ÄÁÎÎÏÊ ÓÔÁÔØÅ. ÅÏÒÅÍÁ 5. p( ÅÏÒÅÍÁ 5′ . p(

√

) = 1 +2 5 , p(

; ;

√

2 ) = ( 5√− 1) , p(

2 2

√

) = 1 +√ 5 .

;

2

;

√

2 ) = ( 5√− 1) .

4 2

üËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×

a)

63

b) òÉÓ. 7.

ïÔÉÍÁÌØÎÙÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÄÌÑ ÔÅÏÒÅÍ 5 É 5′ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. 7b É 8. éÈ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÓÔØ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÔÅÏÒÅÍÁÍ 1 É 1′ . ÷ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ É ÉËÏÓÁÜÄÒÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ: { ÓÆÅÒÁ, ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ ×ÓÅ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÙ (ÏÉÓÁÎÎÁÑ ÓÆÅÒÁ ); { ÓÆÅÒÁ, ËÁÓÁÀÝÁÑÓÑ ×ÓÅÈ ÅÇÏ ÇÒÁÎÅÊ (×ÉÓÁÎÎÁÑ ÓÆÅÒÁ ). íÙ ÒÅÄÌÁÇÁÅÍ ÚÁÉÎÔÅÒÅÓÏ×Á×ÛÅÍÕÓÑ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÒÅÛÉÔØ ÏÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ ÒÏÂÌÅÍÙ (P; Q) ÉÌÉ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÌÕÞÉÔØ Ï ÅÎËÉ ÄÌÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ p(P; Q). ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÉÍÅÀÝÉÅÓÑ Õ ÎÁÓ ×ÅÒÈÎÉÅ Ï ÅÎËÉ: √ 5−1 { p( ; ) > 2 (ÒÉÓ. 7a); { p( ; ) ÍÏÖÎÏ Ï ÅÎÉÔØ ÉÚ ÒÉÓ. 7b: ÄÏÄÅËÁÜÄÒ, ÇÏÍÏÔÅÔÉÞÎÙÊ ÄÁÎÎÏÍÕ Ó ÅÎÔÒÏÍ ×√ ÅÎÔÒÅ ËÕÂÁ, ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ËÕÂÅ ; { p( ; ) > 5√+ 1 , ÒÉÓ. 7a: ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÒÅÂÅÒ ÉËÏÓÁÜÄÒÁ, ÌÅÖÁÝÉÅ 2 2 ÎÁ ÇÒÁÎÑÈ ËÕÂÁ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÏËÔÁÜÄÒÁ ; { p( ; ) ÍÏÖÎÏ Ï ÅÎÉÔØ ÉÚ ÒÉÓ. 7a: ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÒÅÂÅÒ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ, ÌÅÖÁÝÉÅ ÎÁÄ ÇÒÁÎÑÍÉ ËÕÂÁ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÏËÔÁÜÄÒÁ ; { p( ; ) ÍÏÖÎÏ Ï ÅÎÉÔØ ÉÚ ÒÉÓ. 8: ÅÎÔÒÙ ÇÒÁÎÅÊ ÏËÔÁÜÄÒÁ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ËÕÂÁ ; { p( ; ) ÍÏÖÎÏ Ï ÅÎÉÔØ ÉÚ ÒÉÓ. 8: ÅÎÔÒÙ ÇÒÁÎÅÊ ÉËÏÓÁÜÄÒÁ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ. ÅÏÒÅÍÁ 6. p(

√

; 2) = 3( 45√+2 1) É p(

; 2) =

q

√

3(5 + 5) . 4

ïÔÉÍÁÌØÎÙÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÄÌÑ ÔÅÏÒÅÍÙ 6 ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. 9. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÉÈ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÓÔÉ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÔÅÏÒÅÍÙ 3.

64

á. óËÏÅÎËÏ×, á. ÁÌÁÍÂÕ Á

òÉÓ. 8.

a)

b) òÉÓ. 9.

üËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×

65

îÅÏÂÈÏÄÉÍÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ. äÌÑ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÅ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ √ ÔÅÏÒÅÍÙ 3 ÓÅÞÅÎÉÅ ÅÓÔØ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØ3+ 5 ÎÉË ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ 4 É ÒÁÄÉÕÓÏÍ ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ √

√

√

√

r = 3(3 8+ 5) > 3(14√+2 5) : äÌÑ ÉËÏÓÁÜÄÒÁ ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÅ ÓÅÞÅÎÉÅ ÅÓÔØ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÄÅÓÑÔÉÕÇÏÌØÎÉË ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ 1=2 É ÒÁÄÉÕÓÏÍ ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ √

r = 14 tg 25 = p 5 √ 4 5−2 5

>

p√

5+5 : 4

íÙ ÂÌÁÇÏÄÁÒÉÍ í. ÷ÑÌÏÇÏ, ÷. äÏÌØÎÉËÏ×Á, í. å×ÄÏËÉÍÏ×Á É é. æ. ûÁÒÙÇÉÎÁ ÚÁ ÏÌÅÚÎÙÅ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÑ. óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

[1℄ ðÒÁÓÏÌÏ× ÷. ÷., ûÁÒÙÇÉÎ é. æ. úÁÄÁÞÉ Ï ÓÔÅÒÅÏÍÅÔÒÉÉ. í.: îÁÕËÁ, 1989. [2℄ ûÁÒÙÇÉÎ é. æ. úÁÄÁÞÉ Ï ÓÔÅÒÅÏÍÅÔÒÉÉ. í.: îÁÕËÁ, 1989. [3℄ óËÏÅÎËÏ× á., ÁÌÁÍÂÕ Á á. õÁËÏ×ËÉ ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× // íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ, 2000. ‚3(14), Ó. 52{53.

66

éÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÔÒÅÈ×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ÎÁ ÓÆÅÒÅ

ò. í. ÒÁ×ËÉÎ íÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ × ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÅ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÔÒÅÈ×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ÇÒÁÆÙ , Ô. Å. ÇÒÁÆÙ ÎÁ ÓÆÅÒÅ S2 , ÒÅÂÒÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÉÄÕÔ Ï ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÉÍ, Á

× ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÓÈÏÄÑÔÓÑ Ï 3 ÒÅÂÒÁ, ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÅ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ ÒÁ×ÎÙÅ ÕÇÌÙ (Ï 120◦ ). ÁËÉÅ ÇÒÁÆÙ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ ÒÉ ÉÚÕÞÅÎÉÉ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ÓÉÎÇÕÌÑÒÎÙÈ ÍÙÌØÎÙÈ ÌÅÎÏË (ÓÍ. [1℄). äÒÕÇÁÑ ÒÏÓÔÁÑ ÆÉÚÉÞÅÓËÁÑ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÑ | ÒÅÚÉÎÏ×ÁÑ €ÔÒÅÈ×ÁÌÅÎÔÎÁс ÓÅÔËÁ, ÎÁÔÑÎÕÔÁÑ ÎÁ ÓÆÅÒÕ, Õ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁÔÑÖÅÎÉÑ ×ÓÅÈ ÒÅÚÉÎÏË ÓÏ×ÁÄÁÀÔ, Á ÔÒÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÓÅÔËÏÊ É ÓÆÅÒÏÊ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ. ÁËÁÑ ÓÅÔËÁ ÉÍÅÅÔ ÆÏÒÍÕ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÈ×ÁÌÅÎÔÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ. ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÓÅÇÏ ÄÅ×ÑÔØ ÔÉÏ× ÔÁËÉÈ ÇÒÁÆÏ× (ÓÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ, [1℄); ÔÏÞÎÅÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÌÀÂÏÊ ÔÁËÏÊ ÇÒÁÆ ÍÏÖÎÏ ÎÁÌÏÖÉÔØ Ï×ÏÒÏÔÏÍ ÓÆÅÒÙ ÎÁ ÏÄÉÎ ÉÚ ÇÒÁÆÏ× ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ (ÉÚ ÄÅ×ÑÔÉ ÇÒÁÆÏ×). ãÅÌØ ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÚÁÍÅÔËÉ | ÒÉ×ÅÓÔÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÅ €ÅÒÅÂÏÒÎÏŁ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÇÏ ÆÁËÔÁ; ÒÉ ÜÔÏÍ ÅÒÅÂÏÒÅ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÑ×ÑÔÓÑ ×ÓÅ ÄÅ×ÑÔØ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÔÒÅÈ×ÁÌÅÎÔÎÙÈ ÇÒÁÆÏ×. üÔÉ ÇÒÁÆÙ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. 1. éÚ ÒÉÓÕÎËÁ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÍÕ ÇÒÁÆÕ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË. ìÀÂÏÙÔÎÏ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÁ ÇÒÁÎÅÊ ÜÔÉÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÅ × ÏÒÑÄËÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÑ, ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÒÑÄ 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12. 1. ó×ÏÊÓÔ×Á ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏ×

÷ ÜÔÏÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ ÍÙ ÅÒÅÞÉÓÌÉÍ ÒÑÄ Ó×ÏÊÓÔ× ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÍ ÏÔÒÅÂÕÀÔÓÑ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÜÔÉÈ Ó×ÏÊÓÔ×1) , ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌÀ, ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎÙ ÉÚ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÒÁ×ÉÌ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ2) (ÓÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ, ÕÞÅÂÎÉË [2℄). ÷ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÚÁÄÁÞÉ ÓÆÅÒÁ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÁÛÉÍ ÇÒÁÆÏÍ ÎÁ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÉ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ: 1. ÷ÓÅ ÕÇÌÙ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÒÁ×ÎÙ 120◦ . ëÁË É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÉÍÅÎÑÅÍÏÊ ÎÉÖÅ ÆÏÒÍÕÌÙ (1) ÉÚ ÒÁÚÄ. 4.2. ó×ÏÊÓÔ×Ï 9 ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÌÅÍÍÙ 1 (ÓÍ. ÒÁÚÄ. 6 ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÓÔÁÔØÉ). ðÏÌÕÞÉÔØ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï Ó×ÏÊÓÔ×Á 9 Á×ÔÏÒÕ ÎÅ ÕÄÁÌÏÓØ. òÑÄ Ó×ÏÊÓÔ× ÌÅÇÞÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÉ ÅÒÅÈÏÄÅ Ë Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÍ (ÏÌÑÒÎÙÍ) ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁÍ. 1) 2)

éÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÔÒÅÈ×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ÎÁ ÓÆÅÒÅ

67

Á)

Â)

×)

Ç)

Ä)

Å)

Ö)

Ú)

É)

òÉÓ. 1.

68

ò. í. ÒÁ×ËÉÎ

2. íÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÉ ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÒÉÍÙËÁÀÔ ÄÒÕÇ Ë ÄÒÕÇÕ, Ô. Å. Ä×Á ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ ÉÍÅÀÔ ÌÉÂÏ ÏÂÝÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ, ÌÉÂÏ ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÉÈ ÔÏÞÅË (ÉÚ ÔÒÅÈ×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ×ÓÅÈ ×ÅÒÛÉÎ ÎÁÛÅÇÏ ÇÒÁÆÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ Ä×Á ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ, ÔÏ ÏÎÉ ÉÍÅÀÔ É ÏÂÝÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ). 3. þÉÓÌÏ ÓÔÏÒÏÎ ËÁÖÄÏÇÏ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ 6 5 (ÏÓËÏÌØËÕ ÓÕÍÍÁ ×ÎÅÛÎÉÈ ÕÇÌÏ× ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ ÍÅÎØÛÅ 2, ÓÍ. [2℄). éÚ×ÅÓÔÎÏ (ÓÍ. [2℄), ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ ÕÇÌÏ× ÌÀÂÏÇÏ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÅÇÏ ÌÏÝÁÄØ, ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÔ ÆÏÒÍÙ ÓÁÍÏÇÏ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÌÑ ÕÄÏÂÓÔ×Á ÓÆÅÒÕ, ÌÏÝÁÄØ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÁ×ÎÁ 12. ÏÇÄÁ ÌÏÝÁÄØ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏ×, ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ÓÆÅÒÙ ÒÅÂÒÁÍÉ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÈ×ÁÌÅÎÔÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ, ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÁ: 4 | ÄÌÑ Ä×ÕÕÇÏÌØÎÉËÏ×, 3 | ÄÌÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×, 2 | ÄÌÑ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÏ×, 1 | ÄÌÑ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÏ×. ïÔÍÅÔÉÍ ÔÁËÖÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á (×ÙÕËÌÙÈ) ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏ× Ó ÕÇÌÁÍÉ 120◦ : 4. ÷ÓÅ Ä×ÕÕÇÏÌØÎÉËÉ ÒÁ×ÎÙ (ËÏÎÇÒÕÜÎÔÎÙ) ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ. 5. ÷ÓÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ÒÁ×ÎÙ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ. 6. þÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÉ ÒÁ×ÎÙ Ï ÏÄÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÅ. 7. ðÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÉ ÒÁ×ÎÙ Ï Ä×ÕÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÓÔÏÒÏÎÁÍ (Ô. Å. Ï Ä×ÕÍ ÓÍÅÖÎÙÍ ÉÌÉ Ï Ä×ÕÍ ÎÅ ÓÍÅÖÎÙÍ). 8. îÉËÁËÁÑ ÓÔÏÒÏÎÁ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÅ ÒÁ×ÎÁ ÓÔÏÒÏÎÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. 9. åÓÌÉ ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÔÒÅÈ ÓÍÅÖÎÙÈ ÓÔÏÒÏÎ ÏÄÎÏÇÏ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÓÔÏÒÏÎÙ ÉÚ ÔÒÅÈ ÓÍÅÖÎÙÈ ÓÔÏÒÏÎ ÄÒÕÇÏÇÏ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÔÏ ÜÔÉ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÉ ÒÁ×ÎÙ. ÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ, ÅÓÌÉ × ÔÅËÓÔÅ ÒÑÍÏ ÎÅ ÕËÁÚÁÎÏ ÉÎÏÅ, ÓÌÏ×Ï ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË ÏÚÎÁÞÁÅÔ ×ÙÕËÌÙÊ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË, ×ÓÅ ÕÇÌÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÁ×ÎÙ 120◦ . äÁÌÅÅ, ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ Ä×Á ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÊ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÊ ÔÉ , ÅÓÌÉ ÍÏÖÎÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ÉÈ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ, ÒÅÂÒÁÍÉ É ÇÒÁÎÑÍÉ, ÓÏÈÒÁÎÑÀÝÅÅ ÒÉÍÙËÁÎÉÅ. ëÒÏÍÅ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÈ Ó×ÏÊÓÔ×, ÎÁÍ ÂÕÄÅÔ ÏÌÅÚÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÅÏÒÅÍÁ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ. åÓÌÉ Ä×Á ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ Ó ×ÙÕËÌÙÍÉ ÇÒÁÎÑÍÉ ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÊ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÊ ÔÉ É ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÕÇÌÙ, ÔÏ ÏÎÉ ÒÁ×ÎÙ.

éÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÔÒÅÈ×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ÎÁ ÓÆÅÒÅ

69

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ × ËÏÎ Å ÓÔÁÔØÉ. ÅÏÒÅÍÁ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÏ×ÅÒÑÔØ ÔÏÌØËÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× Ó ÚÁÄÁÎÎÙÍ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÍ ÔÉÏÍ, ÎÅ ÚÁÂÏÔÑÓØ Ï ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔØ ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ a priori ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ ËÏÎÅÞÎÏÓÔØ ÉÚÕÞÁÅÍÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÉÓËÏÍÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×. äÁÌÅÅ ÍÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÅÒÅÂÉÒÁÅÍ ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÉÓËÏÍÙÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÎÁÌÉÞÉÑ Õ ÎÉÈ ÔÅÈ ÉÌÉ ÉÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ (Ï Ó×ÏÊÓÔ×Õ 3 ÞÉÓÌÏ ÓÔÏÒÏÎ ÉÈ ÇÒÁÎÅÊ ÍÏÖÅÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ 2; 3; 4; 5). 2. åÓÔØ Ä×ÕÕÇÏÌØÎÉË

ðÕÓÔØ ÏÄÎÁ ÉÚ ÇÒÁÎÅÊ ÉÓËÏÍÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ | Ä×ÕÕÇÏÌØÎÉË. ÏÇÄÁ ÉÚ Ó×ÏÊÓÔ× 1 É 2 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ Õ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ÅÝÅ Ä×Å ÇÒÁÎÉ | ÔÏÖÅ Ä×ÕÕÇÏÌØÎÉËÉ, ÔÁË ÞÔÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁ ÓÆÅÒÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÔÒÅÈÇÒÁÎÎÉË , ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÊ ÎÁ ÒÉÓ. 1Á. 3. åÓÔØ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË (É ÎÅÔ Ä×ÕÕÇÏÌØÎÉËÏ×)

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÄÅÌØÎÏ Ä×Á ÏÄÓÌÕÞÁÑ ÜÔÏÇÏ ÓÌÕÞÁÑ. 3.1. ë ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÕ ÒÉÍÙËÁÅÔ ÄÒÕÇÏÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË

ðÕÓÔØ ÒÑÄÏÍ Ó ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏÍ ABC ÉÍÅÅÔÓÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË BCD. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÒÑÄÏÍ Ó ÎÉÍÉ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÏÌÏÖÉÔØ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ABD, ËÏÔÏÒÙÊ ÂÕÄÅÔ ÒÉÍÙËÁÔØ Ë ÎÉÍ Ï ÓÔÏÒÏÎÁÍ AB É BD (ÒÉÓ. 2). åÓÌÉ ÖÅ ÍÙ ÏÙÔÁÅÍÓÑ ×ÉÓÁÔØ × ÕÇÏÌ ABD ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË ÉÌÉ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉË, ÔÏ ÅÇÏ ÓÔÏÒÏÎÙ (ÒÏ×ÅÄÅÎÎÙÅ ÏÄ ÔÅÍÉ ÖÅ ÕÇÌÁÍÉ) ÏÊÄÕÔ Ï ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÏÊ AD, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÏËÁÖÕÔÓÑ ×ÓÅ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÙ (ËÒÏÍÅ B ). ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÓÌÕÞÁÊ ÞÅÔÙÒÅÈ-(ÑÔÉ-) ÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÅÎ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ËÏÎÆÉÇÕÒÁ ÉÑ ÉÚ Ä×ÕÈ ÓÍÅÖÎÙÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÄÏÏÌÎÅÎÁ ÔÏÌØËÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏÍ. ðÒÏÄÏÌÖÁÑ ÒÁÓÛÉÒÑÔØ ËÏÎÆÉÇÕÒÁ ÉÀ ÉÚ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×, ÒÉÄÅÍ Ë ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ×ÓÑ ÓÆÅÒÁ ÂÕÄÅÔ ÏËÒÙÔÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁÍÉ. üÔÏ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÒÉ ÅÎÔÒÁÌØÎÏÊ ÒÏÅË ÉÉ ÎÁ ÓÆÅÒÕ ÒÅÂÅÒ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ . ïÎÏ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 1Â. 3.2. ë ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÕ ÎÅ ÒÉÍÙËÁÅÔ ÎÉËÁËÏÊ ÄÒÕÇÏÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË

÷×ÉÄÕ Ó×ÏÊÓÔ×Á 8, ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ÏËÒÕÖÅÎ ÔÏÌØËÏ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁÍÉ (ÒÉÓ. 3). ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÄÌÉÎÕ ÓÔÏÒÏÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÞÅÒÅÚ Á, É ÕÓÔØ b | ÄÌÉÎÁ ÓÔÏÒÏÎÙ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÓÍÅÖÎÏÊ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ Á (Ó×ÏÊÓÔ×Ï 6). ÷ÉÓÙ×ÁÑ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË AA′ B ′ B × ÕÇÏÌ A′ AB ,

70

ò. í. ÒÁ×ËÉÎ

A′ A b

B A

D

C C′

a

a a

B B′

C òÉÓ. 2.

òÉÓ. 3.

ÏÌÕÞÉÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÄÌÉÎ AA′ = b, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ BB ′ = b É CC ′ = b. ðÏÓËÏÌØËÕ ×ÓÅ ÕÇÌÙ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ A′ B ′ C ′ ÒÁ×ÎÙ 120◦ , ÌÀÂÁÑ ÁÒÁ ÓÍÅÖÎÙÈ ÓÔÏÒÏÎ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ×ÈÏÄÉÔ × ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÔÁËÉÍ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏÍ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÔÏÌØËÏ ÓÁÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË A′ B ′ C ′. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁ ÓÆÅÒÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÅÎÔÒÁÌØÎÁÑ ÒÏÅË ÉÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÏÊ ÒÉÚÍÙ . ïÎÁ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 1×. 4. åÓÔØ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË (É ÎÅÔ 2-ÕÇÏÌØÎÉËÏ× É ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×)

úÄÅÓØ ÍÙ ÓÎÏ×Á ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÑÄ ÏÄÓÌÕÞÁÅ×. 4.1. ÷ ÒÁÚÂÉÅÎÉÉ ÅÓÔØ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË, ÇÒÁÎÉÞÁÝÉÊ ÔÏÌØËÏ Ó ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁÍÉ

üÔÏÔ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË ×ÍÅÓÔÅ Ó ÒÉÍÙËÁÀÝÉÍÉ Ë ÎÅÍÕ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁÍÉ ÉÍÅÅÔ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÕÀ ÓÈÅÍÕ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÕÀ ÎÁ ÒÉÓ. 4. æÉÇÕÒÁ C1 B2 C2 B3 C3 B4 C4 B1 ÉÍÅÅÔ ÞÅÔÙÒÅ ×ÎÅÛÎÉÈ ÕÇÌÁ, ÒÁ×ÎÙÈ 120◦ (B1 , B2 , B3 , B4 ). úÄÅÓØ ÓÎÏ×Á ×ÏÚÎÉËÁÀÔ Ä×Å ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ, É ÍÙ ÏÔÄÅÌØÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ä×Á €ÏÄÏÄÓÌÕÞÁс 4.1.1. ÷ ÕÇÌÙ B1 ; B2 ; B3 ; B4 ×ÉÓÁÎÙ ÔÏÌØËÏ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÉ

ÏÇÄÁ ÏÌÕÞÁÀÝÁÑÓÑ ÆÉÇÕÒÁ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÎÁ ÇÒÁÎÉ Å 4 ÓÔÏÒÏÎÙ (ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÚÁËÌÅÉÔØ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÏÍ). ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ÓÆÅÒÙ ÎÁ ÆÉÇÕÒÕ C1 B2 C2 B3 C3 B4 C4 B1 É ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÕÀ Ë ÎÅÊ ÆÉÇÕÒÕ ÔÁËÏÇÏ ÖÅ ÔÉÁ. ïÉÓÁÎÎÁÑ ÓÉÔÕÁ ÉÑ ÒÅÁÌÉÚÕÅÔÓÑ ÒÉ ÅÎÔÒÁÌØÎÏÊ ÒÏÅË ÉÉ ÎÁ ÓÆÅÒÕ 10-ÇÒÁÎÎÉËÁ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÇÏ ÉÚ Ä×ÕÈ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÈ É ×ÏÓØÍÉ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ. ðÏÓÔÒÏÉÔØ ÜÔÏÔ 10-ÇÒÁÎÎÉË ÍÏÖÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ÷ÉÛÅÍ × ÓÆÅÒÕ ËÕ ABCDC2 D2 A2 B2 . çÒÁÎØ D2 A2 B2 C2 Ï×ÅÒÎÅÍ × Ó×ÏÅÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ

éÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÔÒÅÈ×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ÎÁ ÓÆÅÒÅ

C1 B1 C4 B4

A4 d

O

B b A2

a A1

71

A3 C3

òÉÓ. 4.

B2

C

A

D

C2 B3

F A1 D2

A2

B1

B2 C1

E D1

C2

òÉÓ. 5.

ÎÁ 45◦ , ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ 5, ÏÌÕÞÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔ A1 B1 C1 D1 (ÏÎ ÔÏÖÅ ÂÕÄÅÔ ×ÉÓÁÎÎÙÍ × ÓÆÅÒÕ). ãÅÎÔÒÁÌØÎÙÅ ÒÏÅË ÉÉ ÎÁ ÓÆÅÒÕ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ABCD É A1 B1 C1 D1 ÄÁÄÕÔ Ä×Á ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÕÖÎÏÇÏ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ. ðÕÓÔØ O | ÒÏÅË ÉÑ ÅÎÔÒÁ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ABCD ÎÁ ÓÆÅÒÕ. ðÒÉÌÅÖÁÝÉÅ Ë ×ÅÒÛÉÎÁÍ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÒÅÂÒÁ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÏÊÄÕÔ Ï ÌÉÎÉÑÍ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÓÏ ÓÆÅÒÏÊ ÂÏÌØÛÉÈ ËÒÕÇÏ× BDC2 A2 , ACB2 D2 É Ä×ÕÈ ËÒÕÇÏ×, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ OA1 C1 É OB1 D1 . þÔÏÂÙ ÚÁ×ÅÒÛÉÔØ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÎÁÊÔÉ ÎÁ ÄÕÇÁÈ OD1 É ODC2 ÔÁËÉÅ ÔÏÞËÉ E É F , ÞÔÏÂÙ ÏÂÁ ÕÇÌÁ D1 EF É DF E ÒÁ×ÎÑÌÉÓØ 120◦ (ÔÏÇÄÁ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÄÕÇÉ ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ). óÔÁÎÅÍ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ ×ÒÁÝÁÔØ ÄÕÇÕ EF ÏÔ ÎÁÞÁÌØÎÏÇÏ ÏÌÏÖÅÎÉÑ D1 D ÄÏ ÓÒÅÄÎÅÇÏ ÏÌÏÖÅÎÉÑ, ËÏÇÄÁ ÅÅ ÌÏÓËÏÓÔØ ÓÔÁÎÅÔ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ABCD. ðÏÓËÏÌØËÕ × ËÏÎÅÞÎÏÍ ÏÌÏÖÅÎÉÉ ÔÒÅÂÕÅÍÙÅ ÕÇÌÙ ÂÕÄÕÔ ÒÁ×ÎÙ 90◦ , ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ × ÎÁÞÁÌØÎÏÍ ÏÌÏÖÅÎÉÉ ÏÎÉ ÂÏÌØÛÅ 120◦ , ÉÌÉ, ÞÔÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ, ÞÔÏ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÊ ÕÇÏÌ D1 DC2 ÍÅÎØÛÅ 60◦ . åÓÌÉ Ï×ÅÒÎÕÔØ Ë×ÁÄÒÁÔ A1 B1 C1 D1 ÅÝÅ ÎÁ 45◦ , ÏÎ ÅÒÅÊÄÅÔ × Ë×ÁÄÒÁÔ A2 B2 C2 D2 , ÒÉÞÅÍ ÕÇÏÌ D1 DC2 Õ×ÅÌÉÞÉÔÓÑ É ÅÒÅÊÄÅÔ × ÕÇÏÌ D2 DC2 . ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÒÁ×ÅÎ 60◦ , ËÁË ÏÌÏ×ÉÎÁ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÇÌÁ ÍÅÖÄÕ ÓÏÓÅÄÎÉÍÉ ÒÅÂÒÁÍÉ ËÕÂÁ. ÒÅÂÕÅÍÙÊ 10-ÇÒÁÎÎÉË ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÏÓÔÒÏÅÎ. åÇÏ ÒÏÅË ÉÑ ÎÁ ÓÆÅÒÕ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 1Ú. 4.1.2. ÷ ÕÇÌÙ B1 , B2 , B3 , B4 ×ÉÓÁÎÙ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÉ

ðÕÓÔØ, ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ, × ÕÇÏÌ B2 ×ÉÓÁÎ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË (ÒÉÓ. 6). âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÎÉËÁËÉÅ Ä×Á ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÅÊ ÓÔÏÒÏÎÙ (×ÁÒÉÁÎÔÙ ÓÏ ÓÍÅÖÎÙÍÉ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁÍÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ ÄÁÌÅÅ). ÏÞËÉ C3 ; B3 ; C2 É D ×ÈÏÄÑÔ × ÏÄÉÎ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË, ËÏÔÏÒÙÊ Ï

72

ò. í. ÒÁ×ËÉÎ

C4

B1 a A1

A B4 d 4 C3

C1 b B2 A2

A3 B3

D

E

C2

òÉÓ. 6.

ÎÁÛÅÍÕ ÄÏÕÝÅÎÉÀ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÏÍ C3 B3 C2 DE . ðÒÉ ÜÔÏÍ ÏÂÒÁÚÕÅÔÓÑ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉË C4 B1 C1 DE É ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË C3 B4 C4 E . ðÏÌÕÞÅÎÎÁÑ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ×ËÌÀÞÁÅÔ 3 ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ É 6 ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÏ× É ÒÅÁÌÉÚÕÅÔÓÑ ÎÁ ÓÆÅÒÅ ÔÁË, ÞÔÏ ×ÓÅ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ €Ë×ÁÄÒÁÔÁÍɁ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÉÎÁ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ €Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ 1/3 ÄÌÉÎÙ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÂÏÌØÛÏÇÏ ËÒÕÇÁ. òÁÚÍÅÓÔÉ× 3 €Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÉÈ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ÒÁÓÏÌÁÇÁÌÉÓØ ÎÁ ÜÔÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ËÁË ÎÁ ÜË×ÁÔÏÒÅ, É ÒÏ×ÅÄÑ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎ €Ë×ÁÄÒÁÔÏׁ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÉÅ Ë ÏÌÀÓÁÍ, ÏÌÕÞÉÍ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÅ ÎÁ ÒÉÓ. 1Ö. ïÎÏ ÉÍÅÅÔ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÊ ÔÉ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ óÔÁÛÅÆÁ (ÓÍ. [3℄). 4.2. åÓÔØ Ä×Á ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÏËÒÕÖÅÎÎÙÈ ÓÏ ×ÓÅÈ ÓÔÏÒÏÎ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁÍÉ

éÚÏÂÒÁÖÅÎÎÁÑ ÎÁ ÒÉÓ. 7 ËÏÎÆÉÇÕÒÁ ÉÑ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÉÍÅÅÔ ÌÏÝÁÄØ 8 É ÅÅ ÇÒÁÎÉ Á ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ 6 ÓÔÏÒÏÎ; ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÎÅÄÏÓÔÁÀÝÉÅ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÉ ÄÏÌÖÎÙ ÉÍÅÔØ ÓÕÍÍÁÒÎÕÀ ÌÏÝÁÄØ 4. ðÏÓËÏÌØËÕ x, y É z (ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ u, v É w) ÒÁÚÄÅÌÅÎÙ ÕÇÌÁÍÉ × 120◦ , ÏÎÉ ×ÈÏÄÑÔ × ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË. ó ÕÞÅÔÏÍ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÌÏÝÁÄÉ ÎÅÄÏÓÔÁÀÝÉÅ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÉ | Ä×Á ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÅ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ 7 ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÉ ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ, × ÓÉÌÕ Ó×ÏÊÓÔ×Á 6 ÏÎÉ ÒÁ×ÎÙ. ÅÅÒØ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÅÒÈÎÉÊ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉË ÎÁ ÒÉÓ. 7. õ ÎÅÇÏ ÅÓÔØ ÁÒÁ ÒÁ×ÎÙÈ ÓÔÏÒÏÎ. úÎÁÞÉÔ, Ï Ó×ÏÊÓÔ×Õ 7, Õ ÎÅÇÏ ÅÓÔØ ÏÓØ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÄÌÑ ÎÉÖÎÅÇÏ

éÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÔÒÅÈ×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ÎÁ ÓÆÅÒÅ

73

F

y x

z

a

B

b w

u

A

v

b=2 K

C D

a E òÉÓ. 8.

òÉÓ. 7.

ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁ. ÷ ÓÉÌÕ ÔÏÇÏ ÖÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á 7, ×ÅÒÈÎÉÊ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉË ÒÁ×ÅÎ ÎÉÖÎÅÍÕ, ÏÜÔÏÍÕ ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ, ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÖÉÒÎÙÍÉ ÌÉÎÉÑÍÉ, ÒÁ×ÎÙ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ. îÁËÏÎÅ , × ÓÉÌÕ Ó×ÏÊÓÔ×Á 7 ÄÌÑ ÎÅÓÍÅÖÎÙÈ ÓÔÏÒÏÎ ×ÓÅ ÞÅÔÙÒÅ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁ ÒÁ×ÎÙ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ x = u = z = w = a É y = v = b. îÁÛÅÊ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÊ ÚÁÄÁÞÅÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ a É b ÎÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÜÔÉÈ ÒÁ×ÅÎÓÔ×. ðÏÓËÏÌØËÕ ÓÔÏÒÏÎÙ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÎÁ ÓÆÅÒÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÉÍÉ, ÉÈ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÕÇÌÙ. óÔÏÒÏÎÙ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÏ× Á É b Ó×ÑÚÁÎÙ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ

(1) tg a2 tg 2b = 12 : óÏÇÌÁÓÎÏ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÍÕ, ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÅ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÉ, ÕÞÁÓÔ×ÕÀÝÉÅ × ÒÁÚÂÉÅÎÉÉ, ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ, ÕËÁÚÁÎÎÙÊ ÎÁ ÒÉÓ. 8. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ AE = ED = a; BK = KC = b=2; ◦ ∠EAB = ∠ABC = ∠BCD = ∠CDE = ∠DEA = 120 , ÏÔËÕÄÁ ◦ ◦ ∠KBF = ∠KEA = 60 ; ∠BKF = 90 : ðÒÉÍÅÎÑÑ ÆÏÒÍÕÌÙ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÊ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÉ (ÓÍ. [2℄), Ï os a ÉÚ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ AEF ÎÁÊÄÅÍ os ∠BF K , Á Ï ÎÅÍÕ ÎÁÊÄÅÍ os(b=2). ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÅÝÅ ÏÄÎÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ Á É b: 



2 2

os 2b = √1 (3 os a + 1) = √1 3 1 − tg2 (a=2) + 1 = √1 · 2 − tg2 (a=2) : 2 3 2 3 3 1 + tg (a=2) 1 + tg (a=2)

÷ÏÚ×ÅÄÅÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (1) × Ë×ÁÄÒÁÔ É ÏÄÓÔÁ×ÉÍ ÔÕÄÁ ÚÎÁÞÅÎÉÅ tg2 (b=2), ×ÙÒÁÖÅÎÎÏÅ ÞÅÒÅÚ os2 (b=2). ðÏÌÕÞÉÍ ÔÁËÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ: 



2 2 tg (a=2) 3(1 + tg2 (a=2))2 − 1 = 41 : (2 − tg (a=2))

2

ðÏÓÌÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ

74

ò. í. ÒÁ×ËÉÎ

ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ y := 1= tg2 (a=2): y3 − 9;75y − 2 = 0: üÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ËÏÒÅÎØ É ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ tg2 (a=2); tg(a=2) É Á, ÏÓËÏÌØËÕ Á < . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉË ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ a É b, ËÏÔÏÒÙÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÅÍÕ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ (1) É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ. ðÏÜÔÏÍÕ ËÏÎÆÉÇÕÒÁ ÉÑ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÁÑ ÎÁ ÒÉÓ. 8, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÄÏÓÔÒÏÅÎÁ (ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ) ÄÏ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉÓ. 1Å. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÉ ÍÏÇÕÔ ÕËÌÁÄÙ×ÁÔØÓÑ ÎÁ ÓÆÅÒÕ × ÒÑÄÙ. á ×ÏÚÍÏÖÎÙ ÌÉ Ä×ÏÊÎÙÅ ÒÑÄÙ? îÁÒÉÍÅÒ, ×ÏÚÍÏÖÎÁ ÌÉ ËÏÎÆÉÇÕÒÁ ÉÑ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÁÑ ÎÁ ÒÉÓ. 9? 4.3. ä×Å ÓÍÅÖÎÙÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ ÄÒÕÇÉÈ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÏ×

÷ ÓÉÌÕ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÕÇÌÙ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÒÁ×ÎÙ Ï 120◦ , ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÎÁ ÒÉÓ. 9 ÓÔÏÒÏÎÁ AB ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó B C CB , ÔÁË ÞÔÏ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÅ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ €Ë×ÁÄÒÁÔÁÍɁ. A äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÕÀ ËÏÎÆÉÇÕÒÁ ÉÀ ÎÅÌØÚÑ ÒÁÓÛÉÒÉÔØ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÏÍ. ÷ÓÔÁ×ÉÍ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉË × òÉÓ. 9. ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ×ÎÅÛÎÉÊ ÕÇÏÌ ËÏÎÆÉÇÕÒÁ ÉÉ. ÷ ÔÏÔ ÖÅ ÕÇÏÌ ÍÏÖÎÏ ×ÓÔÁ×ÉÔØ É €Ë×ÁÄÒÁԁ, Ä×Å ÓÍÅÖÎÙÈ ÓÔÏÒÏÎÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÂÕÄÕÔ Ñ×ÌÑÔØÓÑ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁ. ñ×ÌÑÑÓØ ×ÙÕËÌÏÊ ÆÉÇÕÒÏÊ, ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉË ÚÁÊÍÅÔ ÒÉ ÜÔÏÍ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÏÌÏ×ÉÎÙ €Ë×ÁÄÒÁÔÁ. îÏ ÉÚ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÌÏÝÁÄÉ ÏÎ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÚÁÎÑÔØ É ÂÏÌÅÅ ÏÌÏ×ÉÎÙ €Ë×ÁÄÒÁÔÁ, ÔÁË ÞÔÏ ÏÎ ÄÏÌÖÅÎ ÓÏ×ÁÄÁÔØ Ó ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏÍ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÍ ÓÍÅÖÎÙÍÉ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ €Ë×ÁÄÒÁÔÁ É ÄÉÁÇÏÎÁÌØÀ, ÎÁ ËÏÔÏÒÕÀ ÏÎÉ ÏÉÒÁÀÔÓÑ. ðÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÎÁÛÁ ËÏÎÆÉÇÕÒÁ ÉÑ (ËÁË É ×ÓÅ ÏÌÕÞÁÀÝÉÅÓÑ ÉÚ ÎÅÅ) ÍÏÖÅÔ ÒÁÓÛÉÒÑÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ €Ë×ÁÄÒÁÔÁÍɁ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÒÏÅË ÉÀ ËÕÂÁ , ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÕÀ ÎÁ ÒÉÓ. 1Ç. ïÓÔÁÌÏÓØ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÓÌÕÞÁÉ, ËÏÇÄÁ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÉ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÎÅÚÁÍËÎÕÔÙÊ ÒÑÄ É ËÏÇÄÁ ÏÎÉ ÏÂÒÁÚÕÀÔ €ËÏÌØ Ï. a

b

4.4. éÍÅÅÔÓÑ ÂÏÌÅÅ Ä×ÕÈ ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÏ×, ÎÅ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ €ËÏÌØ Ï

îÅÓÌÏÖÎÙÍÉ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑÍÉ (ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌÀ), ÏÉÒÁÀÝÉÍÉÓÑ ÎÁ ÒÁÚÄ. 1, ÍÏÖÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÓÌÕÞÁÊ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÅÎ.

éÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÔÒÅÈ×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ÎÁ ÓÆÅÒÅ

75

4.5. éÍÅÅÔÓÑ ÂÏÌÅÅ Ä×ÕÈ ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÏ×, É ÏÎÉ ÏÂÒÁÚÕÀÔ €ËÏÌØ Ï

ðÕÓÔØ ÉÍÅÅÔÓÑ k ÔÁËÉÈ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ. îÅÔÒÕÄÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÔÏÇÄÁ €ËÏÌØ Ï ÍÏÖÎÏ ÄÏÏÌÎÉÔØ ÄÏ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ÔÏÌØËÏ ÚÁËÌÅÉ×ÁÎÉÅÍ Ä×ÕÍÑ k-ÕÇÏÌØÎÉËÁÍÉ. óÌÕÞÁÉ k = 3 É k = 4 ÂÙÌÉ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÙ ÒÁÎÅÅ. ïÓÔÁÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ (Ï Ó×ÏÊÓÔ×Õ 3) ÓÌÕÞÁÊ k = 5. ñÓÎÏ, ÞÔÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁ ÓÆÅÒÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÒÏÅË ÉÑ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÏÊ ÒÉÚÍÙ. ïÎÁ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 1Ä. îÁ ÜÔÏÍ ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÅÔÓÑ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÒÁÚÂÉÅÎÉÊ Ó ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÏÊ ÇÒÁÎØÀ. 5. åÓÔØ ÔÏÌØËÏ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÉ

îÅÔÒÕÄÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÉÓËÏÍÙÊ ÇÒÁÆ Ó ÑÔÉÕÇÏÌØÎÙÍÉ ÇÒÁÎÑÍÉ ÉÍÅÅÔ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÊ ÔÉ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ. ÷ ÓÉÌÕ ÔÅÏÒÅÍÙ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÜÔÏ | ÅÎÔÒÁÌØÎÁÑ ÒÏÅË ÉÑ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 1É. íÙ ÅÒÅÂÒÁÌÉ ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ÎÁ ÓÆÅÒÅ: ÎÁÛÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÚÁ×ÅÒÛÅÎÏ. 6. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ

äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÏÔÒÅÂÕÀÔÓÑ Ä×Å ÌÅÍÍÙ. ìÅÍÍÁ 1. ðÕÓÔØ A1 : : : An É B1 : : : Bn | Ä×Á ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÈ n-ÕÇÏÌØÎÉËÁ ÔÁËÉÈ , ÞÔÏ ∠Ai = ∠Bi (i = 1; : : : ; n). îÁ ÓÔÏÒÏÎÁÈ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ A1 : : : An ÒÁÓÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÚÎÁËÉ €+ É €− × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÔÏÇÏ , ÂÏÌØÛÅ ÉÌÉ ÍÅÎØÛÅ ÄÁÎÎÁÑ ÓÔÏÒÏÎÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÓÔÏÒÏÎÙ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ B1 : : : Bn (× ÓÌÕÞÁÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÎÉËÁËÏÊ ÚÎÁË ÎÅ ÓÔÁ×ÉÔÓÑ ). ÏÇÄÁ , ÅÓÌÉ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÉ ÎÅ ÒÁ×ÎÙ , ÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÅÒÅÍÅÎ ÚÎÁËÁ ÒÉ ÏÂÈÏÄÅ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ A1 : : : An ÂÕÄÅÔ ÎÅ ÍÅÎÅÅ 4 (ÓÔÏÒÏÎÙ , ÎÅ ÓÎÁÂÖÅÎÎÙÅ ÚÎÁËÏÍ , ÒÉ ÏÄÓÞÅÔÅ ÞÉÓÌÁ ÅÒÅÍÅÎ ÉÇÎÏÒÉÒÕÀÔÓÑ ). äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÁÎÎÁÑ ÌÅÍÍÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉ-

ÒÏ×ËÕ ÌÅÍÍÙ ëÏÛÉ (ÓÍ. [4℄).

ìÅÍÍÁ 2. ðÕÓÔØ ÎÁ ÓÆÅÒÅ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÎ ÇÒÁÆ Ó ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÍÉÓÑ ÒÅÂÒÁÍÉ , Õ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÉËÁËÉÅ Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ ÎÅ ÓÏÅÄÉÎÅÎÙ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ÏÄÎÉÍ ÒÅÂÒÏÍ , É ÕÓÔØ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÅÇÏ ÒÅÂÒÁÈ ÒÁÓÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÚÎÁËÉ €+ É €−, ÒÉÞÅÍ ÅÓÔØ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏ ÒÅÂÒÏ , ÇÄÅ ÓÔÏÉÔ ÚÎÁË. ÏÇÄÁ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁ , Ë ËÏÔÏÒÏÊ ÏÄÈÏÄÉÔ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏ ÒÅÂÒÏ ÓÏ ÚÎÁËÏÍ , ÎÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÅÒÅÍÅÎ ÚÎÁËÏ× ÒÅÂÅÒ ÒÉ ÏÂÈÏÄÅ ×ÏËÒÕÇ ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÎÅ ÂÏÌÅÅ 2.

76

ò. í. ÒÁ×ËÉÎ

óÌÕÞÁÊ 1. ÷ÓÅ ÇÒÁÎÉ ÇÒÁÆÁ | ÔÒÅÕÇÏÌØÎÙÅ É ÎÅÔ €ÕÓÔÙÈ ×ÅÒÛÉ΁ (Ô. Å. ÔÁËÉÈ ×ÅÒÛÉÎ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ, ×ÙÈÏÄÑÝÉÅ ÉÚ ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÎÅ ÏÍÅÞÅÎÙ). úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÇÒÁÎÅÊ × 1;5 ÒÁÚÁ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÅÂÅÒ. ðÕÓÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÇÒÁÎÅÊ ÒÁ×ÎÏ 2k, Á ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÅÂÅÒ ÒÁ×ÎÏ 3k. ÏÇÄÁ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ üÊÌÅÒÁ (ÓÍ. [5, Ó. 391℄) ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ ÒÁ×ÎÏ k + 2. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ ÏÍÅÞÅÎÙ, ÔÁË ËÁË × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÔÁ×ÉÔØ ÎÅÄÏÓÔÁÀÝÉÅ ÚÎÁËÉ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, É ÔÏÇÄÁ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÅÒÅÍÅÎ ÚÎÁËÏ× × ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÎÅ ÕÍÅÎØÛÉÔÓÑ. äÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÇÒÁÎÉ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÅÒÅÍÅÎ ÚÎÁËÏ× × ÜÔÏÊ ÇÒÁÎÉ ÎÅ ÂÏÌÅÅ Ä×ÕÈ, ÏÜÔÏÍÕ ÏÂÝÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÅÒÅÍÅÎ ÚÎÁËÏ× × ÇÒÁÎÑÈ (ÉÌÉ, ÞÔÏ ÔÏ ÖÅ, × ×ÅÒÛÉÎÁÈ) ÎÅ ÂÏÌÅÅ 4k. ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ ÒÁ×ÎÏ k + 2, ÚÎÁÞÉÔ, ÎÁÊÄÅÔÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁ, ÇÄÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÅÒÅÍÅÎ ÚÎÁËÁ ÂÕÄÅÔ ÍÅÎØÛÅ 4, Ô. Å. 6 2, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ. óÌÕÞÁÊ 2. çÒÁÆ Ó×ÑÚÎÙÊ, ÂÅÚ ËÒÁÔÎÙÈ ÒÅÂÅÒ, É ÎÅÔ ÕÓÔÙÈ ÒÅÂÅÒ. üÔÏÔ ÓÌÕÞÁÊ ÍÏÖÎÏ Ó×ÅÓÔÉ Ë ÓÌÕÞÁÀ 1. ëÁÖÄÁÑ ÇÒÁÎØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË, ËÏÔÏÒÙÊ ÉÍÅÅÔ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÔÒÅÈ ÒÅÂÅÒ, É ÅÅ ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ, ÎÅ ÄÏÂÁ×ÌÑÑ ÎÏ×ÙÈ ×ÅÒÛÉÎ. äÏÂÁ×ÌÑÑ ÒÅÂÒÁ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ, ÏÁÄÅÍ × ÕÓÌÏ×ÉÑ ÓÌÕÞÁÑ 1. ïÂÝÉÊ ÓÌÕÞÁÊ.

õÄÁÌÉÍ ÉÚ ÇÒÁÆÁ ÕÓÔÙÅ ÒÅÂÒÁ É ÕÓÔÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ. ÏÇÄÁ ÇÒÁÆ ÍÏÖÅÔ ÒÁÓÁÓÔØÓÑ ÎÁ ÎÅÓËÏÌØËÏ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ. ÷ÙÂÅÒÅÍ ÏÄÎÕ ÉÚ ÎÉÈ É ÒÉÍÅÎÉÍ Ë ÎÅÊ ÓÌÕÞÁÊ 2. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÌÅÍÍÙ 2 ÚÁËÏÎÞÅÎÏ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÇÒÁÆÙ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÅ ÒÅÂÒÁÍÉ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×, ÞÅÒÅÚ A É B . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÇÒÁÆÙ A′ É B ′ , Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÅ Ë ÇÒÁÆÁÍ A É B ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ.3) íÅÖÄÕ ÒÅÂÒÁÍÉ ÇÒÁÆÁ É ÒÅÂÒÁÍÉ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ Ë ÎÅÍÕ ÇÒÁÆÁ ÉÍÅÅÔÓÑ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ, A′ É B ′ ÍÏÖÎÏ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÉÔØ. îÁ ËÁÖÄÏÍ ÒÅÂÒÅ Á ÇÒÁÆÁ A′ ÏÓÔÁ×ÉÍ ÚÎÁË €+ ÉÌÉ €− × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÔÏÇÏ, ËÁËÏÅ ÉÚ ÒÅÂÅÒ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× A É B , ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ Á, ÂÏÌØÛÅ. åÓÌÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ ÎÅ ÒÁ×ÎÙ, Ë ÇÒÁÆÕ A′ ÍÏÖÎÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÌÅÍÍÕ 2. ðÏ ÜÔÏÊ ÌÅÍÍÅ, × A′ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÎÅÕÓÔÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ Ò Ó ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ Ä×ÕÍÑ ÅÒÅÍÅÎÁÍÉ ÚÎÁËÏ×. üÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ Ä×Å ÇÒÁÎÉ × ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁÈ A É B . åÓÌÉ ÜÔÉ ÇÒÁÎÉ ÂÙÌÉ ÂÙ ÒÁ×ÎÙ, ÔÏ ×ÅÒÛÉÎÁ Ò ÂÙÌÁ ÂÙ ÕÓÔÏÊ. úÎÁÞÉÔ, ÏÎÉ ÎÅ ÒÁ×ÎÙ, É ÍÏÖÎÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÌÅÍÍÕ 1, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ËÏÔÏÒÏÊ ÞÉÓÌÏ ÅÒÅÍÅÎ ÚÎÁËÏ× × ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÎÅ ÍÅÎÅÅ 4, × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ÏÎÏ, Ï ÄÏËÁÚÁÎÎÏÍÕ, ÎÅ ÂÏÌÅÅ 2. 3) ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÍ Ë ÇÒÁÆÕ A Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÒÁÆ A′ , ×ÅÒÛÉÎÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ ×ÙÂÒÁÎÙ Ï ÏÄÎÏÊ × ËÁÖÄÏÊ ÇÒÁÎÉ A, É Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ A′ Ó×ÑÚÁÎÙ ÒÅÂÒÏÍ, ÅÓÌÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÇÒÁÎÉ A ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÅÅ ÒÅÂÒÏ.

éÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÔÒÅÈ×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ÎÁ ÓÆÅÒÅ

77

÷×ÉÄÕ ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÑ, ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ A É B ÒÁ×ÎÙ. ÅÏÒÅÍÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ. á×ÔÏÒ ÂÌÁÇÏÄÁÒÉÔ á. â. óÏÓÉÎÓËÏÇÏ ÚÁ ÏÓÔÁÎÏ×ËÕ ÚÁÄÁÞÉ É ×ÎÉÍÁÎÉÅ Ë ÒÁÂÏÔÅ. óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

[1℄ äÁÏ þÏÎÇ ÈÉ, á. . æÏÍÅÎËÏ. íÉÎÉÍÁÌØÎÙÅ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ É ÒÏÂÌÅÍÁ ðÌÁÔÏ . í.: îÁÕËÁ, çÌ. ÒÅÄ. ÆÉÚ.-ÍÁÔ. Ì-ÒÙ, 1987. [2℄ ÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×, ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×. çÅÏÍÅÔÒÉÑ . í.: íãîíï, 1999. [3℄ ð. ëÁÒÔØÅ. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ ÄÅÒÅ×ØÅ× // óÔÕÄÅÎÞÅÓËÉÅ ÞÔÅÎÉÑ íë îíõ, ×Ù. 2. í.: íãîíï, 2001. [4℄ î. ð. äÏÌÂÉÌÉÎ. öÅÍÞÕÖÉÎÙ ÔÅÏÒÉÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× . âÉÂ-ËÁ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉŁ, ×Ù. 5. í.: íãîíï, 2000. [5℄ üÎ ÉËÌÏÅÄÉÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ëÎÉÇÁ ÞÅÔ×ÅÒÔÁÑ. çÅÏÍÅÔÒÉÑ. í.: çÏÓ.ÉÚÄ. ÆÉÚ.-ÍÁÔ. Ì-ÒÙ, 1963.

78

óÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ

á. á. úÁÓÌÁ×ÓËÉÊ

ðÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÚÁÄÁÞÉ

üÔÁ ÓÔÁÔØÑ ÏÓ×ÑÝÅÎÁ ÚÁÄÁÞÅ, ËÏÔÏÒÁÑ ÂÙÌÁ ÒÅÄÌÏÖÅÎÁ ÛËÏÌØÎÉËÁÍ ÎÁ XV ÌÅÔÎÅÊ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ ÕÒÎÉÒÁ çÏÒÏÄÏ× × Á×ÇÕÓÔÅ 2003 ÇÏÄÁ. ðÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÚÁÄÁÞÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÂÏÌØÛÁÑ ÞÁÓÔØ ÌÁÎÉÍÅÔÒÉÉ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÉÚÕÞÅÎÉÉ Ó×ÏÊÓÔ× ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. ÒÅÈÍÅÒÎÙÍ ÁÎÁÌÏÇÏÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÅÔÒÁÜÄÒ, ÏÜÔÏÍÕ ×ÏÌÎÅ ÌÏÇÉÞÎÏ ÏÓÔÁ×ÉÔØ ×ÏÒÏÓ, ÄÌÑ ËÁËÉÈ Ó×ÏÊÓÔ× ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÔÒÅÈÍÅÒÎÙÅ ÁÎÁÌÏÇÉ. ÷ÒÏÞÅÍ, × ÏÌÎÏÍ ÏÂßÅÍÅ ÜÔÁ ÚÁÄÁÞÁ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÎÅÏÄßÅÍÎÁ. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ × ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÊ ÜÎ ÉËÌÏÅÄÉÉ [1℄ ÞÉÓÌÏ Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ Ó ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏÍ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÈ ÔÏÞÅË ÒÉÂÌÉÖÁÅÔÓÑ ÕÖÅ Ë 2000. úÄÅÓØ ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÏÒÏÓÙ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ ÒÉÍÅÒÎÏ Ó ÄÅÓÑÔËÏÍ ÜÔÉÈ ÔÏÞÅË, ËÏÔÏÒÙÅ ÂÕÄÕÔ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÙ ÎÉÖÅ. 1. ãÅÎÔÒ ÔÑÖÅÓÔÉ M | ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÍÅÄÉÁÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. 2. ãÅÎÔÒ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ O | ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÓÅÒÅÄÉÎÎÙÈ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÏ× Ë ÅÇÏ ÓÔÏÒÏÎÁÍ. 3. ãÅÎÔÒ ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ I | ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÅÇÏ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓ. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÅÝÅ ÔÒÉ ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÙÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÅÇÏ ÓÔÏÒÏÎ É ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÊ Ä×ÕÈ ÄÒÕÇÉÈ. 4. ïÒÔÏ ÅÎÔÒ H | ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ×ÙÓÏÔ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÔÏÞËÉ O, M É H ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ (ÒÑÍÁÑ üÊÌÅÒÁ) É HM = = 2MO. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÔÏÞËÉ O É H ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÙ1) . 5. ÏÞËÁ öÅÒÇÏÎÎÁ G | ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÏÔÒÅÚËÏ×, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ×ÅÒÛÉÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ Ó ÔÏÞËÁÍÉ ËÁÓÁÎÉÑ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÓÔÏÒÏÎ É ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. 6. ÏÞËÁ îÁÇÅÌÑ N | ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÏÔÒÅÚËÏ×, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ×ÅÒÛÉÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÔÏÞËÉ ËÁÓÁÎÉÑ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÓÔÏÒÏÎ Ó ÓÏÏÔ×ÅÔ1) åÓÌÉ ÄÁÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ABC É ÔÏÞËÁ P , ÔÏ ÒÑÍÙÅ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ ÒÑÍÙÍ AP , BP , CP ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÕÇÌÏ× ABC , ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ P ′ , ËÏÔÏÒÁÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÏÊ P ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ABC .

óÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ

79

ÓÔ×ÕÀÝÅÊ ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÔÏÞËÉ N , M , I ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ É NM = 2MI . ïÔÍÅÔÉÍ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÔÏÞËÉ G É N ÉÚÏÔÏÍÉÞÅÓËÉ ÓÏÒÑÖÅÎÙ2) ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ, Á ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÅ ÉÍ ÔÏÞËÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÅÎÔÒÁÍÉ ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ ÏÉÓÁÎÎÏÊ É ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ. 7. ÏÞËÁ ìÅÍÕÁÎÁ L | ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÁÑ ÔÏÞËÅ M . ÏÞËÁ L ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÔÁËÖÅ ÔÅÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ÏÔ ÎÅÅ ÄÏ ÓÔÏÒÏÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÄÒÕÇÏÊ ÔÏÞËÉ ÌÏÓËÏÓÔÉ. 8. ÏÞËÉ ÏÒÒÉÞÅÌÌÉ | ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ AA′ , BB ′ É CC ′, ÇÄÅ ABC ′ , BCA′ , CAB ′ | ÒÁ×ÉÌØÎÙÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ, ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÅ ÎÁ ÓÔÏÒÏÎÁÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . ðÒÉ ÜÔÏÍ, ÅÓÌÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ÓÔÒÏÑÔÓÑ ×Ï ×ÎÅÛÎÀÀ ÓÔÏÒÏÎÕ, ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÅÒ×ÁÑ ÔÏÞËÁ ÏÒÒÉÞÅÌÌÉ T1 , Á ÅÓÌÉ ×Ï ×ÎÕÔÒÅÎÎÀÀ, | ×ÔÏÒÁÑ ÔÏÞËÁ ÏÒÒÉÞÅÌÌÉ T2 . åÓÌÉ ×ÓÅ ÕÇÌÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÍÅÎØÛÅ 120◦ , ÔÏ ÔÏÞËÁ T1 ÌÅÖÉÔ ×ÎÕÔÒÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÉÚ ÎÅÅ ×ÓÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ×ÉÄÎÙ ÏÄ ÕÇÌÁÍÉ 120◦ . ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÎÁ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÅÝÅ ÏÄÎÉÍ ×ÁÖÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ: ÓÕÍÍÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÄÏ ÔÏÞËÉ T1 ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ ÄÏ ÌÀÂÏÊ ÄÒÕÇÏÊ ÔÏÞËÉ ÌÏÓËÏÓÔÉ. 9. ÏÞËÉ áÏÌÌÏÎÉÑ | ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÔÒÅÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ, ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÏÄÎÕ ×ÅÒÛÉÎÕ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÇÏ É ×ÎÅÛÎÅÇÏ ÕÇÌÏ× ÒÉ ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ Ó ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÏÊ. ÏÞËÉ áÏÌÌÏÎÉÑ ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÔÅÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ÞÔÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÏÔ ÎÉÈ ÄÏ ×ÅÒÛÉÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÏÂÒÁÔÎÏ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÓÔÏÒÏÎÁÍ, Á ÉÈ ÒÏÅË ÉÉ ÎÁ ÓÔÏÒÏÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÒÁ×ÉÌØÎÙÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÔÏÞËÉ áÏÌÌÏÎÉÑ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÙ ÔÏÞËÁÍ ÏÒÒÉÞÅÌÌÉ, ÏÜÔÏÍÕ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÉÈ ËÁË T1′ , T2′ . íÙ ÂÕÄÅÍ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ×ÏÒÏÓ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÌÉ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÔÏÞËÉ × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ÔÅÔÒÁÜÄÒÅ, É, ÅÓÌÉ ÎÅÔ, ÔÏ ËÁË ÏÉÓÁÔØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ËÌÁÓÓÙ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ×, Á ÔÁËÖÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÌÉ ÍÅÖÄÕ ÔÒÅÈÍÅÒÎÙÍÉ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ ÔÁËÉÅ ÖÅ Ó×ÑÚÉ, ËÁË ÍÅÖÄÕ ÉÈ ÌÏÓËÉÍÉ ÁÎÁÌÏÇÁÍÉ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÓÎÁÞÁÌÁ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÛÉÒÏËÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ. éÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÆÁËÔÙ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ

1. ïÔÒÅÚËÉ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ Ó ÅÎÔÒÁÍÉ ÔÑÖÅÓÔÉ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ, ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ | ÅÎÔÒÅ ÔÑÖÅÓÔÉ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ M . ïÎÉ ÄÅÌÑÔ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÁ × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ 3 : 1. åÓÌÉ ÒÑÍÙÅ AP , BP , CP ÅÒÅÓÅËÁÀÔ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC × ÔÏÞËÁÈ A1 , B1 , C1 , Á ÔÏÞËÉ A2 , B2 , C2 ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙ A1 , B1 , C1 ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÅÒÅÄÉÎ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÓÔÏÒÏÎ, ÔÏ ÒÑÍÙÅ AA2 , BB2 , CC2 ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ P ′ , ËÏÔÏÒÁÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÚÏÔÏÍÉÞÅÓËÉ ÓÏÒÑÖÅÎÎÏÊ P ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ABC . 2)

80

á. á. úÁÓÌÁ×ÓËÉÊ

2. ÷ÏËÒÕÇ ÌÀÂÏÇÏ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ÍÏÖÎÏ ÏÉÓÁÔØ ÓÆÅÒÕ. åÅ ÅÎÔÒ | ÔÏÞËÁ O ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÏ× Ë ÇÒÁÎÑÍ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒÙ ÏÉÓÁÎÎÙÈ ÏËÏÌÏ ÎÉÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ. 3. ÷ ÌÀÂÏÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒ ÍÏÖÎÏ ×ÉÓÁÔØ ÓÆÅÒÕ. åÅ ÅÎÔÒÏÍ I ÂÕÄÅÔ ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÂÉÓÓÅËÔÏÒÎÙÈ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ ÅÇÏ Ä×ÕÇÒÁÎÎÙÈ ÕÇÌÏ×. óÌÏÖÎÅÅ ×ÙÑÓÎÉÔØ, ÓËÏÌØËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÆÅÒ, ËÁÓÁÀÝÉÈÓÑ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ ×ÓÅÈ ÇÒÁÎÅÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÉÈ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÂÏÌØÛÅ 8. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÔÁË ËÁË ÅÎÔÒ ÔÁËÏÊ ÓÆÅÒÙ ÒÁ×ÎÏÕÄÁÌÅÎ ÏÔ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ ABC É ABD, ÏÎ ÌÅÖÉÔ × ÂÉÓÓÅËÔÏÒÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ Ä×ÕÈ ÓÍÅÖÎÙÈ Ä×ÕÇÒÁÎÎÙÈ ÕÇÌÏ× ÍÅÖÄÕ ÜÔÉÍÉ ÌÏÓËÏÓÔÑÍÉ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÙ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÒÁ×ÎÏÕÄÁÌÅÎÎÏÓÔÉ ÏÔ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ ABC É ACD; ABC É BCD. ÁË ËÁË ËÁÖÄÕÀ ÌÏÓËÏÓÔØ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ 2 ÓÏÓÏÂÁÍÉ, ÄÌÑ ÔÒÅÈ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ ÉÍÅÅÍ 8 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ. ÷ ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ÜÔÉÈ 8 ÓÌÕÞÁÅ× ÌÏÓËÏÓÔÉ ÉÍÅÀÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÊ ÏÂÝÅÊ ÔÏÞËÉ (× ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÂÉÓÓÅËÔÏÒÎÁÑ ÌÏÓËÏÓÔØ ÕÇÌÁ ÒÉ ÒÅÂÒÅ AB ÒÏÈÏÄÉÌÁ ÂÙ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ C , ÞÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ), ËÏÔÏÒÁÑ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÓÆÅÒÕ. ïÓÔÁÌÏÓØ ÏÎÑÔØ, ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÌÉ ÜÔÉ 8 ÓÆÅÒ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÏÓÍÏÔÒÉÍ, ÎÁ ËÁËÉÅ ÞÁÓÔÉ ÒÁÚÂÉ×ÁÀÔ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÌÏÓËÏÓÔÉ ÇÒÁÎÅÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÉÈ ÞÁÓÔÅÊ 15: Á) ×ÎÕÔÒÅÎÎÏÓÔØ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ, Â) 4 ÔÒÅÈÇÒÁÎÎÙÈ ÕÇÌÁ Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ × ×ÅÒÛÉÎÁÈ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ, ×) 4 ÞÁÓÔÉ, ÒÉÍÙËÁÀÝÉÈ Ë ÇÒÁÎÑÍ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ, Ç) 6 €ËÏÒÙÔÅ , ÒÉÍÙËÁÀÝÉÈ Ë ÒÅÂÒÁÍ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ × ÞÁÓÔÉ ÔÉÁ Â) ÓÆÅÒÁ ×ÉÓÁÎÁ ÂÙÔØ ÎÅ ÍÏÖÅÔ, ÔÁË ËÁË ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÔÁËÉÈ ÞÁÓÔÅÊ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ ÌÏÓËÏÓÔØÀ ÞÅÔ×ÅÒÔÏÊ ÇÒÁÎÉ. äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÞÁÓÔÉ ÔÉÁ ×) ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÁÑ ÓÆÅÒÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÓÅÇÄÁ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÏÓÔÒÏÉÍ ×ÉÓÁÎÎÕÀ × ÔÅÔÒÁÜÄÒ ÓÆÅÒÕ É ÒÏ×ÅÄÅÍ Ë ÎÅÊ ËÁÓÁÔÅÌØÎÕÀ ÌÏÓËÏÓÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÕÀ ÌÏÓËÏÓÔÉ ABC . ïÎÁ ÏÔÓÅËÁÅÔ ÏÔ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ÇÏÍÏÔÅÔÉÞÎÙÊ (Ó ÅÎÔÒÏÍ ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ D) ÔÅÔÒÁÜÄÒ A′ B ′ C ′ D. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÇÏÍÏÔÅÔÉÑ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ×ÉÓÁÎÎÕÀ ÓÆÅÒÕ × ÉÓËÏÍÕÀ ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÕÀ. îÁËÏÎÅ , ÉÓÓÌÅÄÕÅÍ ÞÁÓÔÉ ÔÉÁ Ç). ðÕÓÔØ × ÔÁËÕÀ ÞÁÓÔØ, ÒÉÌÅÖÁÝÕÀ Ë ÒÅÂÒÕ CD, ÍÏÖÎÏ ÏÍÅÓÔÉÔØ ÓÆÅÒÕ, ËÁÓÁÀÝÕÀÓÑ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ ×ÓÅÈ ÇÒÁÎÅÊ, Ó ÅÎÔÒÏÍ K É ÒÁÄÉÕÓÏÍ r. ÏÇÄÁ

VABCD = VABCK + VABDK − VACDK − VBCDK = = r3 (SABC + SABD − SACD − SBCD ):

ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÉÓËÏÍÏÊ ÓÆÅÒÙ ÂÕÄÅÔ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï SABC + SABD > SACD + SBCD . äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÅÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÓÔÉ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÇÏ €ËÏÒÙÔ Á ÅÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ a; b; ; d ÄÏ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ BCD; CDA; DAB; ABC

óÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ

81

ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ dSABC + SABD − bSACD − aSBCD = 3V:

3V ðÏÜÔÏÍÕ, ÄÌÑ ÔÏÞËÉ K Ó a = b = = r = S + S ABC ABD − SACD − SBCD ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ d = r. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÅÓÌÉ SABC + SABD = SACD + SBCD , ÔÏ ÎÉ × ÏÄÎÏ ÉÚ €ËÏÒÙÔÅ , ÒÉÌÅÇÁÀÝÉÈ Ë ÒÅÂÒÁÍ AB É CD, ×ÉÓÁÔØ ÓÆÅÒÕ ÎÅÌØÚÑ, Á ÅÓÌÉ SABC + SABD 6= SACD + SBCD , ÔÏ ÓÆÅÒÕ ÍÏÖÎÏ ×ÉÓÁÔØ ÒÏ×ÎÏ × ÏÄÎÏ ÉÚ ÜÔÉÈ Ä×ÕÈ €ËÏÒÙÔÅ . óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÔÏÇÏ, ÓËÏÌØËÏ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ× SABC + SABD = SACD + SBCD , SABC + SACD = SABD − SBCD , SABC + SBCD = SACD + SABD ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ, ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÆÅÒ, ËÁÓÁÀÝÉÈÓÑ ×ÓÅÈ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ ÇÒÁÎÅÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÔ 5 ÄÏ 8. îÅÔÒÕÄÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÒÉÍÅÒÙ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ×, ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÉÈ ÕËÁÚÁÎÎÙÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ. ëÒÁÓÎÏÄÁÒÓËÉÊ ÛËÏÌØÎÉË é. ûÎÕÒÎÉËÏ× ÎÁÛÅÌ ÄÒÕÇÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÙÈ ÓÆÅÒ.

õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 1. åÓÌÉ ∠ADB +∠ACB = ∠CAD +∠CBD, ÔÏ ÎÉ × ÏÄÎÏ ÉÚ €ËÏÒÙÔÅ , ÒÉÌÅÇÁÀÝÉÈ Ë ÒÅÂÒÁÍ AB É CD, ÎÅÌØÚÑ ×ÉÓÁÔØ ÓÆÅÒÕ, Á ÅÓÌÉ ∠ADB + ∠ACB 6= ∠CAD + ∠CBD, ÔÏ ÓÆÅÒÕ ÍÏÖÎÏ ×ÉÓÁÔØ ÒÏ×ÎÏ × ÏÄÎÏ ÉÚ ÜÔÉÈ Ä×ÕÈ €ËÏÒÙÔÅ . ìÅÍÍÁ 1. ðÕÓÔØ ÄÁÎ ÞÅÔÙÒÅÈÇÒÁÎÎÙÊ ÕÇÏÌ OABCD É ÓÆÅÒÁ, ËÁÓÁÀÝÁÑÓÑ ÉÚÎÕÔÒÉ ÅÇÏ ÇÒÁÎÅÊ OAB , OBC É OCD. ÏÇÄÁ { ÅÓÌÉ ∠AOB + ∠COD = ∠BOC + ∠AOD, ÔÏ ÌÏÓËÏÓÔØ OAD ÔÁËÖÅ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÓÆÅÒÙ; { ÅÓÌÉ ∠AOB + ∠COD > ∠BOC + ∠AOD, ÔÏ ÌÏÓËÏÓÔØ OAD ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÓÆÅÒÙ; { ÅÓÌÉ ∠AOB +∠COD < ∠BOC +∠AOD, ÔÏ ÌÏÓËÏÓÔØ OAD ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÓÆÅÒÕ.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÌÅÍÍÙ 1 ÏÌÎÏÓÔØÀ Ï×ÔÏÒÑÅÔ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ Ï ÏÉÓÁÎÎÏÍ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÅ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ 1. îÁÊÄÅÍ ÔÅÅÒØ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ É

ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÓÆÅÒÙ, ×ÉÓÁÎÎÏÊ × €ËÏÒÙÔ Å, ÒÉÌÅÇÁÀÝÅÅ Ë ÒÅÂÒÕ CD. ðÕÓÔØ ÌÕÞÉ DP É DQ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ DA É DB , Á ÌÕÞÉ DR É DS ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ ÌÕÞÁÍ BC É AC (ÒÉÓ. 1). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÌÀÂÕÀ ÓÆÅÒÕ, ËÁÓÁÀÝÕÀÓÑ ×ÓÅÈ ÇÒÁÎÅÊ ÕÇÌÁ DP QRS , ËÒÏÍÅ, ×ÏÚÍÏÖÎÏ, DRS . åÓÌÉ ÌÏÓËÏÓÔØ DRS ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÓÆÅÒÕ, ÔÏ ÍÅÎÑÑ ÅÅ ÒÁÄÉÕÓ, ÍÏÖÎÏ ÄÏÂÉÔØÓÑ ÉÓËÏÍÏÇÏ ËÁÓÁÎÉÑ Ó ÌÏÓËÏÓÔØÀ ABC , Á ÅÓÌÉ ÎÅÔ | ÔÏ ÎÅÌØÚÑ. ðÏ ÌÅÍÍÅ 1 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ ∠ADB + ∠ACB > ∠CAD + ∠CBD:

82

á. á. úÁÓÌÁ×ÓËÉÊ

P Q R

D

S

C

A B òÉÓ. 1.

áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÄÌÑ ÒÅÂÒÁ AB ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÍ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ ÂÕÄÅÔ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï. ÷ÒÏÞÅÍ, ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏÓÔÉ ÕÓÌÏ×ÉÊ ∠ADB + ∠ACB > > ∠CAD + ∠CBD É SABC + SABD > SACD + SBCD ÍÏÖÎÏ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ, ÒÁÚÒÅÚÁ× ÔÅÔÒÁÜÄÒ Ï ÒÅÂÒÁÍ AC , BC , AD É BD ÎÁ Ä×Á ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ Ó ÒÁ×ÎÙÍÉ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ, ÎÏ ÒÁÚÎÙÍÉ ÕÇÌÁÍÉ É ÓÒÁ×ÎÉ× ÉÈ ÌÏÝÁÄÉ. ïÔÍÅÔÉÍ ÔÁËÖÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ×ÁÖÎÙÊ ÆÁËÔ. ðÕÓÔØ I | ÅÎÔÒ ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÓÆÅÒÙ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ, X , Y | ÅÇÏ ÒÏÅË ÉÉ ÎÁ ÒÅÂÒÁ AC , BC , D′ | ÔÏÞËÁ ËÁÓÁÎÉÑ ÓÆÅÒÙ Ó ÇÒÁÎØÀ ABC (ÒÉÓ. 2). ÏÇÄÁ Ï ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ÔÒÅÈ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÁÈ D′ X = r tg AC , D′ Y = r tg BC . 2 2 ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÏÔ ÔÏÞËÉ ËÁÓÁÎÉÑ ÄÏ ÓÔÏÒÏÎ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ ËÁË ËÏÔÁÎÇÅÎÓÙ ÏÌÏ×ÉÎ Ä×ÕÇÒÁÎÎÙÈ ÕÇÌÏ× ÒÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ D

I A X

D′ C

Y òÉÓ. 2.

B

óÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ

83

ÒÅÂÒÁÈ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÅÓÌÉ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÕÀ ÓÆÅÒÕ, ËÁÓÁÀÝÕÀÓÑ ÇÒÁÎÉ ABC É ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÊ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ, ÔÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÏÔ ÔÏÞËÉ D′′ ÅÅ ËÁÓÁÎÉÑ Ó ABC ÄÏ ÒÅÂÅÒ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ ËÁË ÔÁÎÇÅÎÓÙ ÔÅÈ ÖÅ ÕÇÌÏ×. ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ∠D CA = ∠D CB; ∠D AC = ∠D AB; ∠D BC = ∠D BA; Ô. Å. ÄÏËÁÚÁÎÏ õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 2. ÏÞËÉ ËÁÓÁÎÉÑ ×ÉÓÁÎÎÏÊ É ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÓÆÅÒ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÇÒÁÎÉ.

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÅÒØ ÔÏÞËÕ ËÁÓÁÎÉÑ ÌÏÓËÏÓÔÉ ABC Ó ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÓÆÅÒÏÊ, ËÁÓÁÀÝÅÊÓÑ ÇÒÁÎÉ ABD É ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÊ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ. òÁÓAC ÓÔÏÑÎÉÑ ÏÔ ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ ÄÏ BC , CA É AB ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ ËÁË tg BC :

tg : 2 2 AB tg 2 . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÌÑ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜÔÉÈ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ÒÁ×ÎÏ tg BC : tg AC : tg AB . éÍÅÎÎÏ ÔÁËÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ 2 2 2 ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÄÌÑ ÔÏÞËÉ ËÁÓÁÎÉÑ ABC ÓÏ ÓÆÅÒÏÊ, ×ÉÓÁÎÎÏÊ × €ËÏÒÙÔ Å, ÒÉÌÅÇÁÀÝÅÅ Ë ÒÅÂÒÕ CD (ÉÌÉ AB ). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, 8 ÔÏÞÅË ËÁÓÁÎÉÑ ÌÏÓËÏÓÔÉ ABC ÓÏ ÓÆÅÒÁÍÉ, ËÁÓÁÀÝÉÍÉÓÑ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ ×ÓÅÈ ÇÒÁÎÅÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ, ÒÁÚÂÉ×ÁÀÔÓÑ ÎÁ 4 ÁÒÙ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÈ. ðÏÊÄÅÍ ÄÁÌØÛÅ. ëÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÅÓÌÉ SABC + SABD = SACD + SBCD , ÔÏ ÎÉ × ÏÄÎÏ ÉÚ €ËÏÒÙÔÅ , ÒÉÌÅÇÁÀÝÉÈ Ë ÒÅÂÒÁÍ AB É CD, ÎÅÌØÚÑ ×ÉÓÁÔØ ÓÆÅÒÕ. üÔÏ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ ÔÏÞËÉ ËÁÓÁÎÉÑ ÓÆÅÒÙ Ó ÌÏÓËÏÓÔÑÍÉ ÇÒÁÎÅÊ ÕÈÏÄÑÔ × ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔØ. îÏ ÔÏÇÄÁ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÅ ÉÍ ÔÏÞËÉ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÉÓÁÎÎÙÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÈ ÇÒÁÎÅÊ. ïÔÓÀÄÁ É ÉÚ ÒÁÎÅÅ ÄÏËÁÚÁÎÎÙÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ ÓÌÅÄÕÅÔ ÅÏÒÅÍÁ 1. óÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÙ.

Á) îÉ × ÏÄÎÏ ÉÚ €ËÏÒÙÔÅ , ÒÉÌÅÇÁÀÝÉÈ Ë ÒÅÂÒÁÍ AB É CD, ÎÅÌØÚÑ ×ÉÓÁÔØ ÓÆÅÒÕ. Â) SABC + SABD = SACD + SBCD . ×) ∠ACB + ∠ADB = ∠CAD + ∠CBD. Ç) ÏÞËÁ ËÁÓÁÎÉÑ ÌÏÓËÏÓÔÉ ABC Ó ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÓÆÅÒÏÊ, ËÁÓÁÀÝÅÊÓÑ ÇÒÁÎÉ ABD É ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÊ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ, ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÏÌÏ ABC . Ä) ÏÞËÁ ËÁÓÁÎÉÑ ÌÏÓËÏÓÔÉ ABD Ó ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÓÆÅÒÏÊ, ËÁÓÁÀÝÅÊÓÑ ÇÒÁÎÉ ABC É ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÊ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ, ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÏÌÏ ABD. Å) ÏÞËÁ ËÁÓÁÎÉÑ ÌÏÓËÏÓÔÉ ACD Ó ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÓÆÅÒÏÊ, ËÁÓÁÀÝÅÊÓÑ ÇÒÁÎÉ BCD É ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÊ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ, ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÏÌÏ ACD.

84

á. á. úÁÓÌÁ×ÓËÉÊ

Ö) ÏÞËÁ ËÁÓÁÎÉÑ ÌÏÓËÏÓÔÉ BCD Ó ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÓÆÅÒÏÊ, ËÁÓÁÀÝÅÊÓÑ ÇÒÁÎÉ ACD É ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÊ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ, ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÏÌÏ BCD. Ú) ãÅÎÔÒ ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÓÆÅÒÙ ÌÅÖÉÔ × ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÒÅÂÅÒ AC , BC , AD, BD. ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÎÁÊÄÅÎÏ ó. ì. âÅÒÌÏ×ÙÍ. åÇÏ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏÓÔØ ÕÓÌÏ×ÉÀ Â) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÅÎÔÒ ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÓÆÅÒÙ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÙÕËÌÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÅÊ ×ÅÒÛÉÎ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ, ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ ÌÏÝÁÄÑÍ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ. éÚ ÔÅÏÒÅÍÙ 1 ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ËÒÁÓÉ×ÙÈ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÊ. ÷ÏÔ ÏÄÎÏ ÉÚ ÎÉÈ. åÓÌÉ ÔÏÞËÉ ËÁÓÁÎÉÑ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÙÈ ÓÆÅÒ Ó ÌÏÓËÏÓÔÑÍÉ ÔÒÅÈ ÇÒÁÎÅÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÉÓÁÎÎÙÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÈ ÜÔÉÈ ÇÒÁÎÅÊ, ÔÏ ÔÏ ÖÅ ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ ÔÒÅÈ ÄÒÕÇÉÈ ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÙÈ ÓÆÅÒ (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÎÏÇÒÁÎÎÙÍ, ÔÁË ËÁË ×ÓÅ ÅÇÏ ÇÒÁÎÉ | ÒÁ×ÎÙÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ. ï ÒÁ×ÎÏÇÒÁÎÎÙÈ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁÈ ÍÏÖÎÏ ÒÏÞÅÓÔØ × ÓÔÁÔØÅ [2℄). íÏÖÅÔ ×ÏÚÎÉËÎÕÔØ ×ÏÒÏÓ: ÏÞÅÍÕ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÁÎÁÌÏÇÁ ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÍÙ ÒÅÛÉÌÉ ×ÚÑÔØ ÓÆÅÒÕ, ËÁÓÁÀÝÕÀÓÑ ×ÓÅÈ ÇÒÁÎÅÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ, Á ÎÅ ×ÓÅÈ ÅÇÏ ÒÅÂÅÒ. äÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÎÑÑ ÓÆÅÒÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÕÓÔØ ÓÆÅÒÁ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÒÅÂÅÒ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ × ÔÏÞËÁÈ X; Y; Z; U; V; W (ÒÉÓ. 3). ÏÇÄÁ AX = AU = AW = a, ËÁË ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÅ, ÒÏ×ÅÄÅÎÎÙÅ Ë ÓÆÅÒÅ ÉÚ ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÉ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, BY = BU = = BV = b, CZ = CV = CW = , DX = DY = DZ = d. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, AB + CD = AC + BD = AD + BC = a + b + + d, Ô. Å. ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÉÓËÏÍÏÊ ÓÆÅÒÙ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÓÕÍÍ D

X

Y Z

A

W

U C

V

òÉÓ. 3.

B

óÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ

85

ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÒÅÂÅÒ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ. ëÁË ÏËÁÚÁÎÏ × [2℄, ÜÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÂÕÄÅÔ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ. ÅÔÒÁÜÄÒÙ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÆÅÒÁ, ËÁÓÁÀÝÁÑÓÑ ×ÓÅÈ ÅÇÏ ÒÅÂÅÒ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ËÁÒËÁÓÎÙÍÉ. ÷ [2℄ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÅÒÅÞÅÎØ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÙÈ ËÁÒËÁÓÎÏÓÔÉ Ó×ÏÊÓÔ×: Á) ÔÅÔÒÁÜÄÒ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÁÒËÁÓÎÙÍ; Â) ÓÕÍÍÙ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÒÅÂÅÒ ÒÁ×ÎÙ; ×) ÓÕÍÍÙ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ Ä×ÕÇÒÁÎÎÙÈ ÕÇÌÏ× ÒÁ×ÎÙ; Ç) ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ×ÉÓÁÎÎÙÅ × ÇÒÁÎÉ, ÏÁÒÎÏ ËÁÓÁÀÔÓÑ; Ä) ÌÀÂÏÊ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÊ ÎÁ ÒÁÚ×ÅÒÔËÅ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ Ä×ÕÍÑ ÅÇÏ ÇÒÁÎÑÍÉ, ÏÉÓÁÎÎÙÊ; Å) ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÙ Ë ÇÒÁÎÑÍ, ×ÏÓÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÉÚ ÅÎÔÒÏ× ×ÉÓÁÎÎÙÈ × ÎÉÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ, ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ. îÉÖÅ ÂÕÄÅÔ ÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÓÉÓÏË ÍÏÖÎÏ ÄÏÏÌÎÉÔØ. 4. ÷ÙÓÏÔÙ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ ÎÅ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ×, Á ÌÉÛØ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ | ÏÒÔÏ ÅÎÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ×. ÷ [3℄ ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ, ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ÏÒÔÏ ÅÎÔÒÉÞÎÏÓÔÉ: Á) ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÅ ÒÅÂÒÁ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙ; Â) ÓÕÍÍÙ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÒÅÂÅÒ ÒÁ×ÎÙ; ×) ÏÓÎÏ×ÁÎÉÅ ÌÀÂÏÊ ×ÙÓÏÔÙ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÒÔÏ ÅÎÔÒÏÍ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÊ ÇÒÁÎÉ. ïÔÍÅÔÉÍ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÏÒÔÏ ÅÎÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ× ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÁÎÁÌÏÇ ÒÑÍÏÊ üÊÌÅÒÁ: ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ×ÙÓÏÔ H , ÅÎÔÒ ÔÑÖÅÓÔÉ M É ÅÎÔÒ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÓÆÅÒÙ O ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ É OM = OH . ÷ [3℄ ÏÉÓÁÎ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ËÌÁÓÓ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ×. ÅÔÒÁÜÄÒ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎ ÅÎÔÒÉÞÅÓËÉÍ, ÅÓÌÉ ÏÔÒÅÚËÉ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÅ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÙ Ó ÅÎÔÒÁÍÉ ×ÉÓÁÎÎÙÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ, ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÒÅÂÅÒ ÂÙÌÉ ÒÁ×ÎÙ. îÏ×ÙÅ ÆÁËÔÙ

÷ÙÑÓÎÉÍ ÔÅÅÒØ, × ËÁËÉÈ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÁÎÁÌÏÇÉ ÔÏÞÅË öÅÒÇÏÎÎÁ É îÁÇÅÌÑ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÂÕÄÅÔ ÏÌÅÚÎÏÊ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ìÅÍÍÁ 2. ðÕÓÔØ ÔÏÞËÁ C ′ ÌÅÖÉÔ × ÇÒÁÎÉ ABD ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ABCD, Á ÔÏÞËÁ D′ | × ÇÒÁÎÉ ABC . ïÔÒÅÚËÉ CC ′ É DD′ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ SACD′ SBDC ′ = SBCD′ SADC ′ . äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ CC ′ É DD ′ ÅÒÅÓÅËÁÌÉÓØ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÔÏÞËÉ C , D, C ′ É D′ ÌÅÖÁÌÉ × ÏÄÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ.

86

á. á. úÁÓÌÁ×ÓËÉÊ

ðÕÓÔØ X | ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ Ó ÏÔÒÅÚËÏÍ AB . ÏÇÄÁ ÏÔÒÅÚËÉ CD′ É DC ′ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÔÏÞËÅ X , É ÚÎÁÞÉÔ SACD′ SAD′ X AX = SSACX − = SSADC ′′ ; = BX SBCD′ BCX − SBD′ X BDC

ÞÔÏ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ ÌÅÍÍÙ. ÅÅÒØ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÏÔÒÅÚËÏ×, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ×ÅÒÛÉÎÙ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ É ÔÏÞËÉ ËÁÓÁÎÉÑ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ Ó ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÓÆÅÒÏÊ, ÎÁÒÉÍÅÒ ÏÔÒÅÚËÏ× CC ′ É DD′ . éÚ ÒÉÓ. 2 ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ SACD′ = d = AC × D′ X = AC × r= tg AC . ÷ÙÉÓÁ× ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÄÌÑ 2 ′ ÌÏÝÁÄÅÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× BCD , ADC ′ , BDC ′ É ÒÉÍÅÎÉ× ÌÅÍÍÕ 2, ÏÌÕÞÉÍ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ.

AC × BD= tg AC tg BD = AD × BC= tg AD tg BC : 2 2 2 2 d

d

d

d

üÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÍÏÖÎÏ ÕÒÏÓÔÉÔØ, ×ÏÓÏÌØÚÏ×Á×ÛÉÓØ ÔÅÍ, ÞÔÏ × ÔÒÅÈÇÒÁÎÎÏÍ ÕÇÌÅ ÓÉÎÕÓÙ ÌÏÓËÉÈ ÕÇÌÏ× ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ ÔÁË ÖÅ, ËÁË ÓÉÎÕÓÙ ÒÏÔÉ×ÏÌÅÖÁÝÉÈ ÉÍ Ä×ÕÇÒÁÎÎÙÈ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÉÍÅÅÍ d sin BD d \ AC × BD sin \ ABC sin BAD sin AC ; = = d sin AD d \ AD × BC sin \ sin BC BAC sin ABD

É ÏÓÌÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ

os AC

os BD = os AD

os BC : 2 2 2 2 d

d

d

d

ïÔÓÀÄÁ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÓÌÅÄÕÀÔ Ä×Á ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 3. ðÕÓÔØ ×ÉÓÁÎÎÁÑ ÓÆÅÒÁ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÇÒÁÎÅÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ × ÔÏÞËÁÈ A′ , B ′, C ′ , D′ . åÓÌÉ ÏÔÒÅÚËÉ AA′ É BB ′ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ, ÔÏ ÏÔÒÅÚËÉ CC ′ É DD′ ÔÁËÖÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ. îÁÚÏ×ÅÍ ÔÅÔÒÁÜÄÒ ÖÅÒÇÏÎÎÏ×ÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÔÒÅÚËÉ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÅ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÙ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ Ó ÔÏÞËÁÍÉ ËÁÓÁÎÉÑ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ Ó ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÓÆÅÒÏÊ, ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 4. ÅÔÒÁÜÄÒ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÖÅÒÇÏÎÎÏ×ÙÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ËÏÓÉÎÕÓÏ× ÏÌÏ×ÉÎ ÅÇÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ Ä×ÕÇÒÁÎÎÙÈ ÕÇÌÏ× ÒÁ×ÎÙ. òÁÓÓÕÖÄÁÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÎÁÊÄÅÍ ÕÓÌÏ×ÉÑ, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ×ÙÏÌÎÅÎ ÁÎÁÌÏÇ Ó×ÏÊÓÔ×Á 6. ÁËÉÅ ÔÅÔÒÁÜÄÒÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁÍÉ îÁÇÅÌÑ. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 5. ðÕÓÔØ ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÙÅ ÓÆÅÒÙ ËÁÓÁÀÔÓÑ ÇÒÁÎÅÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ × ÔÏÞËÁÈ A′ , B ′ , C ′ , D′ . åÓÌÉ ÏÔÒÅÚËÉ AA′ É BB ′ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ, ÔÏ ÏÔÒÅÚËÉ CC ′ É DD′ ÔÁËÖÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ.

óÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ

87

õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 6. ÅÔÒÁÜÄÒ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÇÅÌÅ×ÙÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÓÉÎÕÓÏ× ÏÌÏ×ÉÎ ÅÇÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ Ä×ÕÇÒÁÎÎÙÈ ÕÇÌÏ× ÒÁ×ÎÙ.

õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ 3{6 ÂÙÌÉ ÄÏËÁÚÁÎÙ ÕÞÅÎÉËÏÍ Á×ÔÏÒÁ, ÛËÏÌØÎÉËÏÍ ÍÏÓËÏ×ÓËÏÊ ÇÉÍÎÁÚÉÉ 1543 ä. ëÏÓÏ×ÙÍ. îÁ XV ìÅÔÎÅÊ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ ÔÕÒÎÉÒÁ ÇÏÒÏÄÏ× ÛËÏÌØÎÉËÉ í. éÓÁÅ× (âÁÒÎÁÕÌ) É ÷. æÉÌÉÍÏÎÏ× (åËÁÔÅÒÉÎÂÕÒÇ) ÏÂÎÁÒÕÖÉÌÉ ÅÝÅ ÏÄÎÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ× öÅÒÇÏÎÎÁ. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 7. ÅÔÒÁÜÄÒ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÖÅÒÇÏÎÎÏ×ÙÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ

ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÌÀÂÏÅ ÅÇÏ ÒÅÂÒÏ ×ÉÄÎÏ ÉÚ ÔÏÞËÉ ËÁÓÁÎÉÑ ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÓÆÅÒÙ Ó ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ ÇÒÁÎØÀ ÏÄ ÕÇÌÏÍ 120◦ . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × ÖÅÒÇÏÎÎÏ×ÏÍ ÔÅÔÒÁÜÄÒÅ ÔÏÞËÉ ÏÒÒÉÞÅÌÌÉ ×ÓÅÈ ÇÒÁÎÅÊ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÔÏÞËÁÍÉ ËÁÓÁÎÉÑ ÇÒÁÎÅÊ É ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÓÆÅÒÙ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÏËÁÖÅÍ ÓÎÁÞÁÌÁ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÏÄÎÏÊ ÇÒÁÎÉ ÔÅ-

ÔÒÁÜÄÒÁ ÔÏÞËÁ ÅÅ ËÁÓÁÎÉÑ Ó ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÓÆÅÒÏÊ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÔÏÞËÏÊ ÏÒÒÉÞÅÌÌÉ, ÔÏ ÜÔÏ ×ÅÒÎÏ É ÄÌÑ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ. ðÕÓÔØ A′ ; B ′ ; C ′ ; D′ | ÔÏÞËÉ ËÁÓÁÎÉÑ ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÓÆÅÒÙ Ó ÇÒÁÎÑÍÉ BCD; CDA; DAB; ABC , É ′ ′ ′ ◦ ∠AD B = ∠BD C = ∠CD A = 120 . ÁË ËÁË ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÅ Ë ÓÆÅÒÅ ÉÚ ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÒÁ×ÎÙ, AD′ = AC ′ , BD′ = BC ′, ÔÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ABD′ É ABC ′ ÒÁ×ÎÙ É ∠AC ′ B = ∠AD′ B = 120◦ . áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ∠BA′ C = ∠CB ′A = = 120◦ . äÁÌÅÅ, ∠AB ′ D = ∠AC ′ D, ∠BC ′D = ∠BA′ D, ∠CA′ D = ∠CB ′D É ′ ′ ′ ′ ′ ′ ◦ ∠AB D + ∠CB D = ∠BC D + ∠AC D = ∠CA D + ∠BA D = 240 , ÏÔËÕÄÁ ◦ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÜÔÉ ÕÇÌÙ ÒÁ×ÎÙ 120 . ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ ÔÏÞËÉ ËÁÓÁÎÉÑ C ′ É D′ | ÔÏÞËÉ ÏÒÒÉÞÅÌÌÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÇÒÁÎÅÊ. ÁË ËÁË ÒÑÍÙÅ CD′ É DC ′ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÁÍÉ ÕÇÌÏ× AD′ B É AC ′B , ÏÎÉ ÅÒÅÓÅËÁÀÔ ÒÅÂÒÏ AB × ÔÏÞËÅ X , ÔÁËÏÊ ÞÔÏ AX AC ′ AD′ . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÔÏÞËÉ C; D; C ′ ; D′ ÌÅÖÁÔ × ÌÏÓËÏÓÔÉ = ′ = BX BC BD′ CDX , É ÏÔÒÅÚËÉ CC ′ É DD′ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ. ìÀÂÙÅ ÄÒÕÇÉÅ Ä×Á ÏÔÒÅÚËÁ ÔÁËÖÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ, Á ÔÁË ËÁË ÞÅÔÙÒÅ ÏÔÒÅÚËÁ ÎÅ ÌÅÖÁÔ × ÏÄÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÏÄÎÁ É ÔÁ ÖÅ. ïÂÒÁÔÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 7 ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÔÅÔÒÁÜÄÒ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÖÅÒÇÏÎÎÏ×ÙÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÔÒÅÚËÉ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÅ ×ÅÒÛÉÎÙ Ó ÔÏÞËÁÍÉ ÏÒÒÉÞÅÌÌÉ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ, ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ. ÷ÓÅ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÅ ×ÙÛÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÏÂßÅÄÉÎÑÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÅÏÒÅÍÁ 2. óÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ:

Á) ïÔÒÅÚËÉ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ É ÔÏÞËÉ ËÁÓÁÎÉÑ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ Ó ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÓÆÅÒÏÊ, ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ.

88

á. á. úÁÓÌÁ×ÓËÉÊ

Â) ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ËÏÓÉÎÕÓÏ× ÏÌÏ×ÉÎ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ Ä×ÕÇÒÁÎÎÙÈ ÕÇÌÏ× ÒÁ×ÎÙ. ×) ÏÞËÁ ËÁÓÁÎÉÑ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÇÒÁÎÅÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ Ó ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÓÆÅÒÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÏÒÒÉÞÅÌÌÉ ÜÔÏÊ ÇÒÁÎÉ. Ç) ÏÞËÉ ËÁÓÁÎÉÑ ×ÓÅÈ ÇÒÁÎÅÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ Ó ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÓÆÅÒÏÊ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÞËÁÍÉ ÏÒÒÉÞÅÌÌÉ ÜÔÉÈ ÇÒÁÎÅÊ. Ä) ïÔÒÅÚËÉ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ Ó ÔÏÞËÁÍÉ ÏÒÒÉÞÅÌÌÉ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ, ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ. Å) ðÒÏÅË ÉÉ ÅÎÔÒÁ ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÓÆÅÒÙ ÎÁ ÒÅÂÒÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÇÒÁÎÉ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË. Ö) ÅÔÒÁÜÄÒ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÊ ÔÏÞËÁÍÉ ËÁÓÁÎÉÑ ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÓÆÅÒÙ Ó ÇÒÁÎÑÍÉ, ÉÎ ÅÎÔÒÉÞÅÓËÉÊ. òÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏÓÔØ ÕÓÌÏ×ÉÊ Å) É Ç) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÔÏÞËÉ ËÁÓÁÎÉÑ ÇÒÁÎÉ Ó ×ÉÓÁÎÎÏÊ É ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÓÆÅÒÁÍÉ ÓÏÒÑÖÅÎÙ, Á ÔÏÞËÁ ÏÒÒÉÞÅÌÌÉ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÁ Ó ÔÏÞËÏÊ áÏÌÌÏÎÉÑ; ÕÓÌÏ×ÉÊ Â) É Ö) | ÉÚ . ÔÏÇÏ, ÞÔÏ, ÎÁÒÉÍÅÒ, A′ B ′ = 2r os CD 2 ÷ÙÑÓÎÉÍ ÔÅÅÒØ, ÞÅÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÁ öÅÒÇÏÎÎÁ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ABCD ÄÌÑ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ A′ B ′ C ′ D′ . ðÏÓËÏÌØËÕ ÏÔÒÅÚËÉ CC ′ É DD′ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ, ÒÑÍÙÅ CD É C ′D′ ÌÅÖÁÔ × ÏÄÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÌÏÓËÏÓÔØ A′ B ′C ′ . ïÎÁ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ×ÉÓÁÎÎÕÀ ÓÆÅÒÕ ABCD Ï ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÏÌÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ A′ B ′C ′ , ÌÏÓËÏÓÔÉ BCD É ACD | Ï ÒÑÍÙÍ, ËÁÓÁÀÝÉÍÓÑ ÜÔÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ × ÔÏÞËÁÈ A′ É B ′ É ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÍÓÑ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÞËÅ Q, Á ÌÏÓËÏÓÔØ CDC ′D′ | Ï ÒÑÍÏÊ C ′Q. îÅÔÒÕÄÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÔÏÇÄÁ ÒÑÍÁÑ CQ ÂÕÄÅÔ ÓÉÍÅÄÉÁÎÏÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ A′ B ′ C ′ (Ô. Å. ÒÑÍÏÊ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÍÅÄÉÁÎÅ, ÒÏ×ÅÄÅÎÎÏÊ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ C ′ , ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÙ, ÒÏ×ÅÄÅÎÎÏÊ ÉÚ ÔÏÊ ÖÅ ×ÅÒÛÉÎÙ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÑÍÁÑ DD′ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÇÒÁÎØ A′ B ′ C ′ × ÔÏÞËÅ, ÌÅÖÁÝÅÊ ÎÁ ÓÉÍÅÄÉÁÎÅ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÌÅÖÉÔ ÎÁ Ä×ÕÈ ÄÒÕÇÉÈ ÓÉÍÅÄÉÁÎÁÈ, Ô. Å. Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ìÅÍÕÁÎÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ A′ B ′ C ′. ÏÞÎÏ ÔÁË ÖÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÒÑÍÙÅ AA′ , BB ′, CC ′ ÒÏÈÏÄÑÔ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ ìÅÍÕÁÎÁ ÇÒÁÎÅÊ B ′ C ′D′ , C ′ D′ A′ , D′ A′ B ′. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ Ï ÌÅÍÍÅ 2 ÒÑÍÙÅ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ É ÔÏÞËÉ ìÅÍÕÁÎÁ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ, ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÔÅÔÒÁÜÄÒ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÎ ÅÎÔÒÉÞÅÓËÉÍ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÏËÁÚÁÎÁ ÅÏÒÅÍÁ 3. åÓÌÉ ÔÅÔÒÁÜÄÒ ABCD ÖÅÒÇÏÎÎÏ×, ÔÏ ÔÅÔÒÁÜÄÒ A′ B ′C ′ D′ ,

ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÊ ÔÏÞËÁÍÉ ËÁÓÁÎÉÑ ÅÇÏ ÇÒÁÎÅÊ Ó ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÓÆÅÒÏÊ, ÉÎ ÅÎÔÒÉÞÅÓËÉÊ, É ÔÏÞËÁ öÅÒÇÏÎÎÁ ABCD ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÔÏÞËÏÊ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ×ÅÒÛÉÎÙ A′ B ′ C ′D′ Ó ÔÏÞËÁÍÉ ìÅÍÕÁÎÁ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ.

óÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ

89

ÅÏÒÅÍÁ 3 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÏÍ ÌÁÎÉÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ Ï ÓÏ×ÁÄÅÎÉÉ ÔÏÞËÉ öÅÒÇÏÎÎÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÔÏÞËÉ ìÅÍÕÁÎÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÔÏÞËÁÍÉ ËÁÓÁÎÉÑ ÅÇÏ ÓÔÏÒÏÎ Ó ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ. äÌÑ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ× îÁÇÅÌÑ ÏËÁ ÎÅ ÎÁÊÄÅÎÏ ÎÉËÁËÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ, ÏÔÌÉÞÎÙÈ ÏÔ ÚÁÄÁ×ÁÅÍÙÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅÍ 6. îÅÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÔÁËÖÅ, ÌÅÖÉÔ ÌÉ ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÏÔÒÅÚËÏ×, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ×ÅÒÛÉÎÙ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ É ÔÏÞËÉ ËÁÓÁÎÉÑ ÅÇÏ ÇÒÁÎÅÊ Ó ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÙÍÉ ÓÆÅÒÁÍÉ, ÎÁ ÒÑÍÏÊ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒ ÔÑÖÅÓÔÉ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ É ÅÎÔÒ ÅÇÏ ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÓÆÅÒÙ. ÷ÏÚÍÏÖÎÏ, ×ÒÏÞÅÍ, ÞÔÏ ËÁËÏÊ-ÔÏ ÁÎÁÌÏÇ ÜÔÏÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÄÌÑ ÄÒÕÇÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ×. ÷ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÏÔÍÅÔÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ. íÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ, ÞÔÏ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ËÌÁÓÓ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ× ÚÁÄÁÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ ÏÔÒÅÚËÏ×, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ×ÅÒÛÉÎÙ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ É ÔÏÞËÉ öÅÒÇÏÎÎÁ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ. ïÄÎÁËÏ, ÒÉÍÅÎÉ× ÌÅÍÍÕ 2, ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÚÁÄÁÅÔ ËÁÒËÁÓÎÙÅ ÔÅÔÒÁÜÄÒÙ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÎÁÒÉÍÅÒ, AB + AC − BC SACD = . ðÏÄÓÔÁ×É× ÜÔÏ É ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ × ÌÅÍSBCD AB + BC − AC ÍÕ, ÏÓÌÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÏÌÕÞÉÍ AC + BD = AD + BC . Ï ÖÅ ÏÌÕÞÉÔÓÑ É ÒÉ ÚÁÍÅÎÅ ÔÏÞÅË öÅÒÇÏÎÎÁ ÔÏÞËÁÍÉ îÁÇÅÌÑ. ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÙÔÁÔØÓÑ ÓÔÒÏÉÔØ ÔÒÅÈÍÅÒÎÙÅ ÔÏÞËÉ ìÅÍÕÁÎÁ, ÏÒÒÉÞÅÌÌÉ É áÏÌÌÏÎÉÑ, ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÄÌÑ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ× ÁÎÁÌÏÇÉ ÉÚÏÔÏÍÉÞÅÓËÏÇÏ É ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÓÏÒÑÖÅÎÉÑ. äÌÑ ÉÚÏÔÏÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÓÏÒÑÖÅÎÉÑ ÓÄÅÌÁÔØ ÜÔÏ ÎÅÓÌÏÖÎÏ. ′

′

õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 8. ðÕÓÔØ ÄÁÎ ÔÅÔÒÁÜÄÒ ABCD É ÔÏÞËÁ P . A1 , B1 , C1 , D1 | ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ AP , BP , CP , DP Ó ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÍÉ ÇÒÁÎÑÍÉ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ, A2 , B2 , C2 , D2 | ÔÏÞËÉ, ÉÚÏÔÏÍÉÞÅÓËÉ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÅ A1 , B1 , C1 , D1 ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÇÒÁÎÅÊ. ÏÇÄÁ ÒÑÍÙÅ AA2 , BB2 , CC2 , DD2 ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ. üÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÓÒÁÚÕ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÌÅÍÍÙ 2. ðÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÁÚ×ÁÔØ ÉÚÏÔÏÍÉÞÅÓËÉ ÓÏÒÑÖÅÎÎÏÊ Ë P . ÷ÒÏÞÅÍ, ÉÚÏÔÏÍÉÞÅÓËÏÅ ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ ÄÁÖÅ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÅ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÏÓÏÂÏ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ, ÔÁË ÞÔÏ É × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÔÒÕÄÎÏ ÏÖÉÄÁÔØ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ËÁËÉÈÌÉÂÏ ÅÎÎÙÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ×. ïÒÅÄÅÌÉÍ ÔÅÅÒØ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏÅ ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ABCD. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÏÔÍÅÔÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÆÁËÔ. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 9. ðÕÓÔØ ÄÁÎ ÔÅÔÒÁÜÄÒ ABCD É ÔÏÞËÁ P . ÏÇÄÁ 6 ÌÏÓËÏÓÔÅÊ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÈ ÌÏÓËÏÓÔÑÍ ABP , ACP , BCP , ADP , BDP , CDP ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÉÓÓÅËÔÏÒÎÙÈ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ Ä×ÕÇÒÁÎÎÙÈ ÕÇÌÏ×, ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ.

90

á. á. úÁÓÌÁ×ÓËÉÊ

äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÏÔ P ÄÏ ÇÒÁÎÅÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ ËÁË a : b : : d, ÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ, ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÏÔ ËÏÔÏÒÏÊ ÄÏ ÔÅÈ ÖÅ ÇÒÁÎÅÊ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ ËÁË a1 : 1b : 1 : d1 . ïÒÅÄÅÌÅÎÎÕÀ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÔÏÞËÕ P ′ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÏÊ P ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ABCD. ðÏËÁÖÅÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ, ËÁË É × ÌÏÓËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÄÒÕÇÏÊ ÓÏÓÏ ÅÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 10. ðÕÓÔØ A′ , B ′ , C ′ , D ′ | ÒÏÅË ÉÉ ÔÏÞËÉ P ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ BCD, CDA, DAB , ABC . ÏÇÄÁ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÙ, ÏÕÝÅÎÎÙÅ ÉÚ A ÎÁ B ′ C ′D′ , ÉÚ B ÎÁ C ′ D′ A′ , ÉÚ C ÎÁ D′ A′ B ′ , ÉÚ D′ ÎÁ A′ B ′C ′ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÏÊ P ÔÏÞËÅ P ′ . ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÄÏËÁÖÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ, ÉÍÅÀÝÉÊ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÕÀ ÅÎÎÏÓÔØ ÆÁËÔ. ìÅÍÍÁ 3. ðÕÓÔØ ÄÁÎÙ Ä×Á ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ABCD É A′ B ′ C ′ D′ . ðÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÙ, ÏÕÝÅÎÎÙÅ ÉÚ A′ ÎÁ BCD, ÉÚ B ′ ÎÁ CDA, ÉÚ C ′ ÎÁ DAB , ÉÚ D′ ÎÁ ABC ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ €ÁÎÔÉÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÙŁ ÒÅÂÒÁ ÜÔÉÈ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ× (ÎÁÒÉÍÅÒ, A′ B ′ É CD) ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ P | ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÏ×. ÁË ËÁË P A′ ⊥ BCD É P B ′ ⊥ CDA, ÔÏ P A′ ⊥ CD É P B ′ ⊥ CD. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, CD ⊥ P A′ B ′ É CD ⊥ A′ B ′ . ïÂÒÁÔÎÏ, ÕÓÔØ €ÁÎÔÉÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÙŁ ÒÅÂÒÁ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙ. ÏÇÄÁ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÙ ÉÚ A′ ÎÁ BCD É ÉÚ B ′ ÎÁ ACD ÌÅÖÁÔ × ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ A′ B ′ É ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÏÊ CD, É, ÚÎÁÞÉÔ, ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ Ä×Á ÌÀÂÙÈ ÄÒÕÇÉÈ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÁ, É ÔÁË ËÁË ÞÅÔÙÒÅ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÁ ÎÅ ÌÅÖÁÔ × ÏÄÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ×ÓÅ ÏÎÉ ÒÏÈÏÄÑÔ ÞÅÒÅÚ ÏÄÎÕ ÔÏÞËÕ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ 10. éÚ ÌÅÍÍÙ 3 ÓÒÁÚÕ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÙ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎ ÏÄÎÏÇÏ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ÎÁ ÇÒÁÎÉ ÄÒÕÇÏÇÏ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ, ÔÏ É ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÙ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎ ×ÔÏÒÏÇÏ ÎÁ ÇÒÁÎÉ ÅÒ×ÏÇÏ ÔÏÖÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÓÔÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ × ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÔÏÞËÏÊ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÎÎÏ P ′ . ðÌÏÓËÏÓÔØ P C ′D′ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÁ ÒÅÂÒÕ AB . ðÏÜÔÏÍÕ, ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ AB × ÔÏÞËÅ Q, ÔÏ C ′ QD′ | ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÕÇÏÌ ÕÇÌÁ AB . ðÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒ, ÏÕÝÅÎÎÙÊ ÉÚ A ÎÁ B ′ C ′ D′ , ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÅÎ C ′D′ , ÚÎÁÞÉÔ, ÌÉÎÉÑ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÌÏÓËÏÓÔÉ , ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÜÔÏÔ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒ É AB , Ó C ′ D′ X ÔÁËÖÅ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÁ C ′ D′ Ï ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ÔÒÅÈ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÁÈ. ïÔÓÀÄÁ É ÉÚ Ó×ÏÊÓÔ×Á 1 ÌÏÓËÏÇÏ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÓÏÒÑÖÅÎÉÑ, ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ  ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ P ′ . õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÄÏËÁÚÁÎÏ.

óÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ

91

éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÔÅÅÒØ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÓÏÒÑÖÅÎÉÑ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ËÁË É ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÅÎÔÒÙ ×ÉÓÁÎÎÏÊ É ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÙÈ ÓÆÅÒ ÓÏÒÑÖÅÎÙ ÓÁÍÉ ÓÅÂÅ. îÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÔÁËÖÅ ÔÒÕÄÁ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÎÔÒ ÔÑÖÅÓÔÉ M ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎ ÔÏÞËÅ L, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÕÍÍÁ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ÄÏ ÇÒÁÎÅÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÁ. üÔÕ ÔÏÞËÕ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÔÏÞËÏÊ ìÅÍÕÁÎÁ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÔÏÞËÉ, ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÙÍ, ÌÅÖÁÔ ÎÅ ÎÁ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÓÆÅÒÅ, Á ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÏÒÑÄËÁ. ÷ÏÒÏÓ Ï ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏÊ ÓÏÒÑÖÅÎÎÏÓÔÉ ÔÏÞÅË O É H , ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÉÍÅÅÔ ÓÍÙÓÌ ÓÔÁ×ÉÔØ ÌÉÛØ ÄÌÑ ÏÒÔÏ ÅÎÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ×. ÷ÒÏÞÅÍ, Ó ÏÍÏÝØÀ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ 10 ÌÅÇËÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÄÁÖÅ ÄÌÑ ÎÉÈ ÏÔ×ÅÔ ÂÕÄÅÔ ÏÌÏÖÉÔÅÌÅÎ, ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ÔÅÔÒÁÜÄÒ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ. ëÁËÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÔÏÞËÁ, ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÁÑ O, × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÎÅÏÎÑÔÎÏ. îÁËÏÎÅ , ÏÒÏÂÕÅÍ ÒÁÚÏÂÒÁÔØÓÑ Ó ÔÏÞËÁÍÉ ÏÒÒÉÞÅÌÌÉ É áÏÌÌÏÎÉÑ. óÕÄÑ Ï ×ÓÅÍÕ, ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÅÒÓÅËÔÉ×ÎÙÊ ÕÔØ | ÎÁÊÔÉ ÔÏÞËÕ, ÍÉÎÉÍÉÚÉÒÕÀÝÕÀ ÓÕÍÍÕ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ÄÏ ×ÅÒÛÉÎ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÏ×ÅÄÅÍ ÍÅÈÁÎÉÞÅÓËÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÌÏÓËÏÍÕ. ðÒÏÕÓÔÉÍ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÙ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ÞÅÔÙÒÅ ×ÅÒÅ×ËÉ, Ó×ÑÖÅÍ ÉÈ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÅ ËÏÎ Ù × ÕÚÅÌ, Á ÚÁ ×ÎÅÛÎÉÅ ÂÕÄÅÍ ÔÑÎÕÔØ × ÏÄÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ Ó ÒÁ×ÎÙÍÉ ÓÉÌÁÍÉ. åÓÌÉ ÕÚÅÌ ÎÅ ÒÏÓËÏÞÉÔ ÞÅÒÅÚ ÏÄÎÕ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎ, ÔÏ ÏÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ × ÉÓËÏÍÏÊ ÔÏÞËÅ T , ÒÉÞÅÍ ÓÕÍÍÁ ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÎÁ ÎÅÇÏ ÓÉÌ ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ. éÓÓÌÅÄÕÅÍ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ. ðÕÓÔØ e1 , e2 , e3 , e4 | ÅÄÉÎÉÞÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ, ÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÉÚ T × ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ A, B , C , D. éÍÅÅÍ e1

+ e2 + e3 = −e4

(e1 + e2 + e3 ; e1 + e2 + e3 ) = 1 (e1 ; e2 ) + (e1 ; e3 ) + (e2 ; e3 ) = −1;

Ô. Å. ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÔÒÅÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ei ÓÕÍÍÁ ËÏÓÉÎÕÓÏ× ÕÇÌÏ× ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ÒÁ×ÎÁ −1. äÁÌÅÅ (e1 ; e4 ) = −(e1 ; e1 + e2 + e3 ) = −1 − (e1 ; e2 ) − (e1 ; e3 ) = (e2 ; e3 ):

üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÉÚ ÔÏÞËÉ T ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÅ ÒÅÂÒÁ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ×ÉÄÎÙ ÏÄ ÒÁ×ÎÙÍÉ ÕÇÌÁÍÉ. ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÔÒÅÈÇÒÁÎÎÙÅ ÕÇÌÙ T ABC , T CDA, T BAD É T DCB ÒÁ×ÎÙ. ÁË ËÁË ÉÈ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ×ÓÅÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ, ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÎÉÈ ×ÙÓÅËÁÅÔ ÎÁ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÓÆÅÒÅ Ó ÅÎÔÒÏÍ T ÏÂÌÁÓÔØ ÌÏÝÁÄÉ , É, ÚÎÁÞÉÔ, ÓÕÍÍÁ ÅÇÏ Ä×ÕÇÒÁÎÎÙÈ ÕÇÌÏ× ÒÁ×ÎÁ 2. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÄÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÕÚÅÌ ÎÅ ÒÏ×ÁÌÉÌÓÑ × ×ÅÒÛÉÎÕ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ, ÎÕÖÎÏ ÞÔÏÂÙ ÓÕÍÍÁ Ä×ÕÇÒÁÎÎÙÈ ÕÇÌÏ× × ÌÀÂÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÂÙÌÁ ÍÅÎØÛÅ 2 (ÉÌÉ ÓÕÍÍÁ ËÏÓÉÎÕÓÏ× ÌÏÓËÉÈ ÕÇÌÏ× ÂÏÌØÛÅ −1). ðÏÄ×ÅÄÅÍ ÉÔÏÇ ÎÁÛÉÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑÍ.

92

á. á. úÁÓÌÁ×ÓËÉÊ

ÅÏÒÅÍÁ 4. åÓÌÉ × ÌÀÂÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ABCD ÓÕÍÍÁ Ä×ÕÇÒÁÎÎÙÈ ÕÇÌÏ× ÍÅÎØÛÅ 2, ÔÏ ×ÎÕÔÒÉ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÏÞËÁ T , ÉÚ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÅ ÒÅÂÒÁ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ×ÉÄÎÙ ÏÄ ÒÁ×ÎÙÍÉ ÕÇÌÁÍÉ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÓÕÍÍÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ÄÏ ÔÏÞËÉ T ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ ÄÏ ÌÀÂÏÊ ÄÒÕÇÏÊ ÔÏÞËÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. îÁÊÄÅÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ T ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÔÒÅÈÍÅÒÎÙÍ ÁÎÁÌÏÇÏÍ ÅÒ×ÏÊ ÔÏÞËÉ ÏÒÒÉÞÅÌÌÉ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÌÏÓËÏÍÕ ÓÌÕÞÁÀ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÒÏÅË ÉÉ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÏÊ ÅÊ ÔÏÞËÉ T ′ ÎÁ ÇÒÁÎÉ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÒÁ×ÎÏÇÒÁÎÎÙÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒ. ðÏÜÔÏÍÕ ÔÏÞËÕ T ′ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÁÎÁÌÏÇÏÍ ÔÏÞËÉ áÏÌÌÏÎÉÑ. îÅ×ÙÑÓÎÅÎÎÙÍÉ ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ×ÏÒÏÓÙ. 1. ëÁË ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÔÏÞËÕ ÏÒÒÉÞÅÌÌÉ ÄÌÑ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ, ÓÕÍÍÁ Ä×ÕÇÒÁÎÎÙÈ ÕÇÌÏ× ÒÉ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÂÏÌØÛÅ 2? 2. óËÏÌØËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÏÞÅË, ÒÏÅË ÉÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁ ÇÒÁÎÉ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÒÁ×ÎÏÇÒÁÎÎÙÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒ, É ËÁËÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÅ Ë ÎÉÍ? (üÔÉ ÔÏÞËÉ ÚÁÄÁÀÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÔÒÅÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÈ ÎÅ ÂÏÌÅÅ 8. îÏ ÎÅ ÉÓËÌÀÞÅÎÏ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ É ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÒÅÄÉ ÎÉÈ ×ÓÅÇÄÁ ÍÅÎØÛÅ.) 3. ïÂÌÁÄÁÀÔ ÌÉ ÔÏÞËÉ áÏÌÌÏÎÉÑ ÅÝÅ ËÁËÉÍÉ-ÌÉÂÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍÉ ÌÏÓËÉÍ? ÷ÏÚÍÏÖÎÏ, ÏÔ×ÅÔÙ ÎÁ ÜÔÉ ×ÏÒÏÓÙ ÕÄÁÓÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÞÉÔÁÔÅÌÑÍ. óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

[1℄ C. Kimberling. En y lopedia of Triangle Centers.

http:// edar.evansville.edu/~ k6/en y lopedia/

[2℄ íÁÔÉÚÅÎ ÷. òÁ×ÎÏÇÒÁÎÎÙÅ É ËÁÒËÁÓÎÙÅ ÔÅÔÒÁÜÄÒÙ // ë×ÁÎÔ ‚7, 1983. [3℄ íÁÔÉÚÅÎ ÷., äÕÂÒÏ×ÓËÉÊ ÷. éÚ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ // ë×ÁÎÔ ‚9, 1988.

93

âÉÌØÑÒÄÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ÄÌÑ ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ × ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ

ç. á. çÁÌØÅÒÉÎ

1. ï €ÂÉÌØÑÒÄÎÏʁ ÆÏÒÍÕÌÅ É ÂÉÌØÑÒÄÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ

ãÅÌØÀ ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÓÔÁÔØÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÓÔÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ÄÌÑ ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ, ÉÓÏÌØÚÕÀÝÁÑ ÂÉÌÌÉÁÒÄÎÙÊ ÛÁÒ (ÆÏÒÍÕÌÁ (2) ÎÁ Ó. 107). ðÏÜÔÏÍÕ Á×ÔÏÒ ÎÁÚ×ÁÌ ÜÔÕ ÆÏÒÍÕÌÕ €ÂÉÌØÑÒÄÎÏʁ. ï ÞÅÍ ÜÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ, ÍÙ ÒÁÓÓËÁÖÅÍ ÏÚÖÅ, ÏÓÌÅ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ É ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÂÉÌØÑÒÄÎÏÍ ÏÔÒÁÖÅÎÉÉ, Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ËÏÔÏÒÏÊ ÂÉÌØÑÒÄÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ÂÕÄÅÔ ÒÉÍÅÎÅÎÁ. ë Ó×ÏÅÍÕ ÕÄÉ×ÌÅÎÉÀ, Á×ÔÏÒ ÏÂÎÁÒÕÖÉÌ, ÞÔÏ ÂÉÌØÑÒÄÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÁ ÄÁÖÅ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÁÍ-ÇÅÏÍÅÔÒÁÍ, ÈÏÔÑ ÉÍ É ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÄÒÕÇÉÅ, ÅÊ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ, ÎÏ ÎÅ ÓÔÏÌØ ÒÏÓÔÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ÄÌÉÎ ÏÔÒÅÚËÏ× × ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÜÔÉÈ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÈ, ÎÏ €ÎÅ ÒÏÓÔÙȁ ÆÏÒÍÕÌ, ÎÅ ÓÏ×ÓÅÍ ÒÏÓÔÙ (×ÓÅ ÏÎÉ ÉÓÏÌØÚÕÅÔ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ). ðÒÉ×ÏÄÉÍÏÅ × ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÓÔÁÔØÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÂÉÌØÑÒÄÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ×ÙÈÏÄÉÔØ ÚÁ ÒÁÍËÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÛËÏÌØÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ; ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ ÎÁÍ ÏÎÁÄÏÂÉÔÓÑ | É ÔÏ ÉÓËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ Ï ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ É ÄÌÑ ÏÌÎÏÔÙ ÉÚÌÏÖÅÎÉÑ! | ÆÏÒÍÕÌÁ, ÉÓÏÌØÚÕÀÝÁÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌ, ËÏÔÏÒÕÀ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÒÉ ÅÒ×ÏÍ ÞÔÅÎÉÉ ÍÏÖÅÔ ÒÏÕÓÔÉÔØ. âÉÌØÑÒÄÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ×ÏÚÎÉËÌÁ Õ Á×ÔÏÒÁ ÔÁË. ðÒÉ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÉ Á×ÔÏÒÏÍ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÊ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ Õ ÎÅÇÏ ÓÁÍÁ ÓÏÂÏÊ ÏÑ×ÉÌÁÓØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÚÁÄÁÞÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ÎÉËÁË ÎÅ ÏÄÄÁ×ÁÌÁÓØ (É ÎÅ ÏÄÄÁÌÁÓØ ÄÏ ÓÁÍÏÇÏ ËÏÎ Á!) ÒÅÛÅÎÉÀ × ÒÁÍËÁÈ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. üÔÁ ÚÁÄÁÞÁ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ × ÞÁÓÔÉ 3 ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÉ, É ÞÉÔÁÔÅÌØ ÓÍÏÖÅÔ ÓÁÍ Ï ÅÎÉÔØ ÅÅ ÔÒÕÄÎÏÓÔØ, ÏÙÔÁ×ÛÉÓØ ÒÅÛÉÔØ ÅÅ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÄÏÌÇÏÇÏ ÏÂÄÕÍÙ×ÁÎÉÑ Á×ÔÏÒ ×ÄÒÕÇ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÏ Õ×ÉÄÅÌ ×ÓÀ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ËÁÒÔÉÎÕ × ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÎÏ×ÏÍ Ó×ÅÔÅ, ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÒÉÛÌÏ Ë ÎÅÍÕ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÍÇÎÏ×ÅÎÎÏ. ïÄÎÉÍ ÉÚ ËÌÀÞÅÊ Ë ÅÅ ÒÅÛÅÎÉÀ ÏËÁÚÁÌÁÓØ ÕÏÍÑÎÕÔÁÑ ×ÙÛÅ ÂÉÌØÑÒÄÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ÄÌÑ ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ.

94

ç. á. çÁÌØÅÒÉÎ

äÒÕÇÉÍ, É, Ï ÍÎÅÎÉÀ Á×ÔÏÒÁ, ÂÏÌÅÅ ×ÁÖÎÙÍ, ËÌÀÞÏÍ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÏËÁÚÁÌÁÓØ ÏÌÎÁÑ ÓÍÅÎÁ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÎÁ ÉÓÈÏÄÎÙÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÏÂßÅËÔ. éÍÅÎÎÏ ÏÎÁ É ÓÙÇÒÁÌÁ ÒÅÛÁÀÝÕÀ ÒÏÌØ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÏÄÕÍÙ×ÁÎÉÑ ÜÆÆÅËÔÁ €ÓÍÅÎÙ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉс Á×ÔÏÒÕ ÏËÁÚÁÌÏÓØ ÕÍÅÓÔÎÙÍ ÒÅÄ×ÁÒÉÔØ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÅ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÍÙ ÓÔÁÔØÉ ÎÅÂÏÌØÛÉÍ ÌÉÒÉÞÅÓËÉÍ ÏÔÓÔÕÌÅÎÉÅÍ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÎÁ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÒÉÍÅÒÁÈ ËÏÒÏÔËÉÈ, ÎÏ ÎÅÏÂÙÞÎÙÈ É ÑÒËÉÈ (Á ËÏÍÕ-ÔÏ, ×ÏÚÍÏÖÎÏ, É ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ) ÚÁÄÁÞ ÏËÁÚÁÎÏ, ËÁË ÏÄÎÁ ÔÏÌØËÏ ÓÍÅÎÁ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÓÒÁÚÕ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÉÈ ÒÅÛÅÎÉÀ. þÉÔÁÔÅÌÉ, ËÏÔÏÒÙÍ ÈÏÞÅÔÓÑ ÏÓËÏÒÅÅ ÏÚÎÁËÏÍÉÔØÓÑ Ó ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ ÓÔÁÔØÉ É ÂÉÌØÑÒÄÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ, ÍÏÇÕÔ ÂÅÚÏ ×ÓÑËÏÇÏ ÄÌÑ ÓÅÂÑ ÕÝÅÒÂÁ ÅÒÅÒÙÇÎÕÔØ ÓÒÁÚÕ × ÞÁÓÔØ 3 ÓÔÁÔØÉ. 2. ìÉÒÉÞÅÓËÏÅ ÏÔÓÔÕÌÅÎÉÅ: Ï ÏÌØÚÅ ÓÍÅÎÙ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ

÷ ÎÁÕËÅ ÞÁÓÔÏ ÓÌÕÞÁÅÔÓÑ ÔÁË (Á Ë ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÜÔÏ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ, ÏÖÁÌÕÊ, × ÂÏÌØÛÅÊ ÓÔÅÅÎÉ), ÞÔÏ ÏÄÎÁ ÔÏÌØËÏ ÓÍÅÎÁ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÎÁ ÒÅÄÍÅÔ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÒÅÛÉÔØ ÔÒÕÄÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ ÉÌÉ ÄÁÖÅ ÉÚÍÅÎÉÔØ ÌÉ Ï ÜÔÏÊ (Á, ×ÏÚÍÏÖÎÏ, É ÓÍÅÖÎÏÊ) ÎÁÕËÉ. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÕÏÍÑÎÕÔØ ÓÏÚÄÁÎÉÅ ÔÁÂÌÉ Ù íÅÎÄÅÌÅÅ×Á (ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ËÏÔÏÒÏÊ ÏÔÒÁÖÁÀÔ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÈÉÍÉÞÅÓËÉÅ ÚÁËÏÎÙ); ÔÒÉ ÓÔÁÄÉÉ ÒÏÈÏÖÄÅÎÉÑ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÉ (ÎØÀÔÏÎÏ×Á, ÌÁÇÒÁÎÖÅ×Á É ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Á); ÓÍÅÎÕ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÉ ÎÁ ÒÅÌÑÔÉ×ÉÓÔÓËÕÀ (ÏÓÌÅ ÏÂÎÁÒÕÖÅÎÉÑ ÏÓÔÏÑÎÓÔ×Á ÓËÏÒÏÓÔÉ Ó×ÅÔÁ ×Ï ×ÓÅÈ ÉÎÅÒ ÉÁÌØÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ ÏÔÓÞÅÔÁ); ÏÞÔÉ ÄÏÓÌÏ×ÎÙÊ ÅÒÅÎÏÓ ÒÉÎ ÉÏ× ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÉ ÎÁ ÏÔÉËÕ; ÓÏÚÄÁÎÉÅ ÇÅÎÅÔÉËÉ (××ÅÄÅÎÉÅÍ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÈ ÚÁËÏÎÏ× × ÂÉÏÌÏÇÉÀ); ×ÏÚÎÉËÎÏ×ÅÎÉÅ Ë×ÁÎÔÏ×ÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÉ (ÏÓÌÅ ÔÏÇÏ ËÁË ÏËÁÚÁÌÏÓØ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉÞÎÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ÆÉÚÉÞÅÓËÉÈ ÒÏ ÅÓÓÏ× ÎÁ ÁÔÏÍÎÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ×ÏÌÎÏ×ÙÍ ÏÉÓÁÎÉÅÍ); É ÍÎÏÇÏÅ ÄÒÕÇÏÅ. ÷ ÜÔÏÍ ÏÔÓÔÕÌÅÎÉÉ ÍÎÅ ÈÏÔÅÌÏÓØ ÂÙ ÏÄÔ×ÅÒÄÉÔØ ÔÅÚÉÓ Ï ÏÌØÚÅ É ÌÏÄÏÔ×ÏÒÎÏÓÔÉ ÓÍÅÎÙ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÎÁ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÒÏÓÔÙÈ É ÑÒËÉÈ ÒÉÍÅÒÁÈ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ (×ÓÅ ÏÎÉ ×ÚÑÔÙ ÉÚ ÏÌÉÍÉÁÄÎÏÇÏ ÆÏÌØËÌÏÒÁ), ËÏÔÏÒÙÍ É ÏÓ×ÑÝÅÎÁ ÏÓÔÁ×ÛÁÑÓÑ ÞÁÓÔØ ÜÔÏÇÏ ÁÒÁÇÒÁÆÁ. ðÒÉÍÅÒ 1. æÉËÓÉÒÕÅÍ × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ×ÙÕËÌÏÍ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÅ ËÁËÕÀ-ÎÉÂÕÄØ ×ÎÕÔÒÅÎÎÀÀ ÔÏÞËÕ P É ÏÕÓÔÉÍ ÉÚ ÎÅÅ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÙ ÎÁ ÒÑÍÙÅ , ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ. äÏËÁÚÁÔØ , ÞÔÏ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÅ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÏ× ÏÁÄÅÔ ÎÁ ÓÔÏÒÏÎÕ , Á ÎÅ ÎÁ ÅÅ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÊ ×ÏÒÏÓ ÒÏ ×ÙÕËÌÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË (ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ).

åÓÌÉ ÏÓÍÏÔÒÅÔØ ÎÁ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË (ÉÌÉ, × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÎÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË) ËÁË ÎÁ ÆÉÚÉÞÅÓËÉÊ ÏÂßÅËÔ, ÚÁÏÌÎÅÎÎÙÊ ×ÅÝÅÓÔ×ÏÍ ÔÁËÉÍ

âÉÌØÑÒÄÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ

95

mg òÉÓ. 1.

ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏ ÅÎÔÒ ÔÑÖÅÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ×ÅÝÅÓÔ×Á ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ × ÚÁÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ P , ÔÏ Ó ÎÉÍ ÍÏÖÎÏ ÒÏ×ÅÓÔÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÜËÓÅÒÉÍÅÎÔ: ÏÓÔÁ×ÉÔØ ÅÇÏ ÎÁ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÙÊ ÓÔÏÌ × ÏÌÅ ÔÑÖÅÓÔÉ É ÏÓÍÏÔÒÅÔØ, ÞÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÍÏÍÕ. ÏÇÄÁ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒ, ÏÕÝÅÎÎÙÊ ÉÚ P ÎÁ ÌÀÂÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ, ×ÙÈÏÄÉÔ ÚÁ ÒÅÄÅÌÙ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË ÎÁ ÓÔÏÌÅ ÅÒÅËÁÔÉÔÓÑ ÏÄ ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ ÓÉÌÙ ÔÑÖÅÓÔÉ ÎÁ ÓÍÅÖÎÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ. îÏ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒ, ÏÕÝÅÎÎÙÊ ÎÁ ÎÏ×ÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ, ÔÁËÖÅ ×ÙÈÏÄÉÔ ÚÁ ÅÅ ÒÅÄÅÌÙ, ÏÜÔÏÍÕ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË ÅÒÅËÁÔÉÔÓÑ ÅÝÅ ÒÁÚ. ÁËÏÅ ÅÒÅËÁÔÙ×ÁÎÉÅ ÂÕÄÅÔ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔØ ×ÎÏ×Ø É ×ÎÏ×Ø | ÄÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ, É ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ×ÅÞÎÙÊ Ä×ÉÇÁÔÅÌØ, ËÏÔÏÒÏÇÏ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÆÉÚÉËÅ, ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ (ÓÍ. ÒÉÓ. 1). ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ É ÄÁÅÔ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ. ÷ÏÚÍÏÖÎÏ, ×ÁÍ ÎÅ ÏÎÒÁ×ÉÌÏÓØ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÅ ÆÉÚÉÞÅÓËÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ. (ïÔËÕÄÁ, ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ, ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÅÞÎÏÇÏ Ä×ÉÇÁÔÅÌÑ? éÚ ÍÎÏÇÏ×ÅËÏ×ÏÇÏ ÏÙÔÁ ÞÅÌÏ×ÅÞÅÓÔ×Á? á ×ÄÒÕÇ ÚÁ×ÔÒÁ ÔÁËÏÊ Ä×ÉÇÁÔÅÌØ ÏÑ×ÉÔÓÑ? óÏÛÌÅÍÓÑ ÚÄÅÓØ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ×ÅÞÎÏÇÏ Ä×ÉÇÁÔÅÌÑ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÚÁËÏÎÕ ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÑ ÜÎÅÒÇÉÉ | ÜÔÏ ÍÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÞÉÓÔÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉ.) ðÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÍÏÖÎÏ ÍÏÄÅÒÎÉÚÉÒÏ×ÁÔØ: ÅÓÌÉ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË ÅÒÅËÁÔÉÌÓÑ ÎÁ ÓÏÓÅÄÎÀÀ ÓÔÏÒÏÎÕ, ÔÏ ÅÎÔÒ ÔÑÖÅÓÔÉ ÏÎÉÚÉÌÓÑ (ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ÂÙÌÁ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÁ ÒÁÂÏÔÁ ÓÉÌÙ ÔÑÖÅÓÔÉ Ï ÅÒÅËÁÔÙ×ÁÎÉÀ). á ×ÅÞÎÏ ÏÎÉÖÁÔØÓÑ ÅÎÔÒ ÔÑÖÅÓÔÉ ÎÅ ÍÏÖÅÔ, ÞÉÓÌÏ ÏÎÉÖÅÎÉÊ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔØ ÞÉÓÌÁ ÓÔÏÒÏÎ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÕÍÅÎØÛÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ: ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË ÏÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ, ËÏÇÄÁ ÅÎÔÒ ÔÑÖÅÓÔÉ ÏËÁÖÅÔÓÑ × ÎÁÉÎÉÚÛÅÍ ÏÌÏÖÅÎÉÉ. (÷ÓÏÍÎÉÔÅ, ËÁË ÁÄÁÅÔ ËÉÒÉÞ, ÓÔÏÑÝÉÊ ÎÁ Ó×ÏÅÊ ÓÁÍÏÊ ÍÁÌÅÎØËÏÊ ÇÒÁÎÉ: ÅÓÌÉ ×Ù ÅÇÏ ÔÏÌËÎÅÔÅ, ÏÎ ÕÁÄÅÔ ÎÁ ÄÒÕÇÕÀ ÇÒÁÎØ É ÏËÁÖÅÔÓÑ × ÂÏÌÅÅ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÍ ÏÌÏÖÅÎÉÉ. åÓÌÉ ÖÅ ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÔÏÌËÎÕÔØ ÅÝÅ ÒÁÚ, ÔÏ × ÜÔÏÔ ÏÓÌÅÄÎÉÊ ÒÁÚ ÏÎ ÕÁÄÅÔ ÎÁ Ó×ÏÀ ÇÒÁÎØ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÊ

96

ç. á. çÁÌØÅÒÉÎ

ÌÏÝÁÄÉ É ÂÏÌØÛÅ ÁÄÁÔØ ÎÅ ÓÍÏÖÅÔ. ÷ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÍ ÏÌÏÖÅÎÉÉ ÅÎÔÒ ÔÑÖÅÓÔÉ ËÉÒÉÞÁ ÎÁÉÎÉÚÛÉÊ ×ÏÚÍÏÖÎÙÊ.) åÝÅ ÏÄÎÏ ÍÁÌÅÎØËÏÅ ÕÓÉÌÉÅ, É ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÅ €ÆÉÚÉÞÅÓËÏŁ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÞÉÓÔÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ: ÚÁÂÙ× Ï ÅÎÔÒÅ ÔÑÖÅÓÔÉ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÕ ÓÔÏÒÏÎÕ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÄÏ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÔ ÔÏÞËÉ P ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ. ÏÇÄÁ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒ, ÏÕÝÅÎÎÙÊ ÉÚ P ÎÁ ÜÔÕ ÓÔÏÒÏÎÕ, ÏÁÄÁÅÔ ÉÍÅÎÎÏ ÎÁ ÎÅÅ, Á ÎÅ ÎÁ ÅÅ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ! ðÏÔÏÍÕ ÞÔÏ × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÌÅÇËÏ Õ×ÉÄÅÔØ ÉÚ ÒÉÓÕÎËÁ, ÞÔÏ ÔÏÞËÁ P ÂÙÌÁ ÂÙ ÂÌÉÖÅ Ë ÓÏÓÅÄÎÅÊ, ÓÍÅÖÎÏÊ Ó ÎÅÊ ÓÔÏÒÏÎÅ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ, É ÏÔÍÅÞÅÎÎÁÑ ÓÔÏÒÏÎÁ ÏËÁÚÁÌÁÓØ ÂÙ ÎÅ ÎÁÉÂÌÉÖÁÊÛÅÊ Ë P . ðÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÅ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÄÌÉÎÎÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ, ÏÕÓËÁÑ ÄÅÔÁÌÉ, ÍÏÖÎÏ ×ÙÒÁÚÉÔØ ÏÄÎÏÊ ÆÒÁÚÏÊ: ÅÓÌÉ ÄÏÕÓÔÉÔØ ÒÏÔÉ×ÎÏÅ, ÔÏ ÉÚ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÏÌÕÞÉÔØ ×ÅÞÎÙÊ Ä×ÉÇÁÔÅÌØ, ÞÔÏ ÄÁÅÔ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. ðÒÏÓÔÁÑ ÓÍÅÎÁ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ: €ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË | ÜÔÏ ÆÉÚÉÞÅÓËÉÊ ÏÂßÅËÔ × ÏÌÅ ÔÑÖÅÓÔɁ, ÓÒÁÚÕ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÒÏÚÒÁÞÎÏÍÕ ×ÉÄÅÎÉÀ ×ÓÅÊ ËÁÒÔÉÎÙ É Ë ÏÞÅ×ÉÄÎÏÍÕ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ, Ï Ó×ÏÅÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÅ ÎÁÏÍÉÎÁÀÝÅÍÕ ÄÒÅ×ÎÅÇÒÅÞÅÓËÏÅ €óÍÏÔÒÉ! (úÁÍÅÎÁ ÓÌÏ×Á €ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉˁ ÎÁ €ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉˁ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔ.) ðÒÉÍÅÒ 2. äÏËÁÚÁÔØ , ÞÔÏ Õ ÌÀÂÏÇÏ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ×ÓÅÇÄÁ ÎÁÊÄÕÔÓÑ Ä×Å ÇÒÁÎÉ Ó ÒÁ×ÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÓÔÏÒÏÎ.

âÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÍÎÅ ÒÅÛÁÔÅÌÅÊ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÍÇÎÏ×ÅÎÎÏ ÒÉ×ÌÅËÁÌÏ ÆÏÒÍÕÌÕ üÊÌÅÒÁ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ: V − E + F = 2, É ÄÁÌÅÅ. . . ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÒÏÉÓÈÏÄÉÌÏ. ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ×Ï×ÓÅ ÎÅ Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, Á Ï ÁÒÉÆÍÅÔÉËÅ! (óÍ. ÒÉÓ. 2). ëÁË ÔÏÌØËÏ ÏÊÍÅÛØ ÜÔÏ, ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÉÈÏÄÉÔ ÔÏÔÞÁÓ ÖÅ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÚÁÂÙ× Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÄÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÇÒÁÎÉ ÉÍÅÀÔ ÒÁÚÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÓÔÏÒÏÎ É ÞÔÏ n | ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÓÔÏÒÏÎ Õ ÇÒÁÎÉ. ë ÜÔÏÊ ÇÒÁÎÉ ÒÉÍÙËÁÅÔ n ÄÒÕÇÉÈ ÇÒÁÎÅÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ, Õ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÞÉÓÌÁ ÓÔÏÒÏÎ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ (Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ), ÒÉÞÅÍ ×ÓÅ ÏÎÉ ÓÔÒÏÇÏ ÍÅÎØÛÅ n (Ï ÔÏÍÕ ÖÅ ÓÁÍÏÍÕ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ). ïÄÎÁËÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ n

m

òÉÓ. 2.

âÉÌØÑÒÄÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ

97

ÞÉÓÅÌ, ÍÅÎØÛÉÈ n, ÓÔÒÏÇÏ ÍÅÎØÛÅ n, É ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. (îÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ × ÄÁÎÎÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ 3 (ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË), Á ÎÅ 1, É ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÅÝÅ ÂÏÌÅÅ ÕÓÕÇÕÂÌÑÅÔÓÑ). ðÒÉÍÅÒ 3. äÏËÁÚÁÔØ , ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÓÒÅÄÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÛÅÓÔÉ ÞÉÓÅÌ: a + + bd, ae + bf , ag + bh, e + df , g + dh, eg + fh ÎÅÔ ÎÕÌÅ×ÙÈ , ÔÏ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÎÏ ÉÚ ÎÉÈ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ.

úÄÅÓØ, ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ÔÏÞËÕ ÚÒÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ ÓÍÅÎÉÔØ Ó ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÎÁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÁÄÏ €Õ×ÉÄÅÔ؁, ÞÔÏ ÛÅÓÔØ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ | ÜÔÏ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÓËÁÌÑÒÎÙÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÞÅÔÙÒÅÈ Ä×ÕÍÅÒÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× v1 = (a; b), v2 = ( ; d), v3 = (e; f ) É v4 = (g; h). ðÕÓÔØ ÜÔÉ ×ÅËÔÏÒÁ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 3. (a; b) (e; f ) ( ; d) (g; h) òÉÓ. 3.

÷ÓÅ ÛÅÓÔØ ÓËÁÌÑÒÎÙÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ | ÜÔÏ ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÓÔ×Ï ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÌÏ ÂÙ ÞÅÔÙÒÅÍ ÔÕÙÍ ÕÇÌÁÍ ÍÅÖÄÕ ÓÏÓÅÄÎÉÍÉ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ, Á ÔÏÇÄÁ ÓÕÍÍÁ ÜÔÉÈ ÞÅÔÙÒÅÈ ÕÇÌÏ× ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÌÁ ÂÙ 360◦ (ÈÏÔÑ ÏÎÁ ÒÁ×ÎÁ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ 360◦ ), É ÍÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ÂÙ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÅÖÄÕ ËÁËÉÍÉ-ÔÏ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ ÕÇÏÌ ÏÓÔÒÙÊ, ÏÜÔÏÍÕ ÅÇÏ ËÏÓÉÎÕÓ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ, É, ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÜÔÉÈ ×ÅËÔÏÒÏ× | ÏÄÎÏ ÉÚ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ | ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ. ðÒÉÍÅÒ 4. éÍÅÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ (ÚÁÒÁÎÅÅ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÅ ) ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÍÅÛËÏ× Ó ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÍ ÚÁÁÓÏÍ ÚÏÌÏÔÙÈ ÍÏÎÅÔ × ËÁÖÄÏÍ. ÷ ËÁËÉÈÔÏ ÍÅÛËÁÈ ×ÓÅ ÍÏÎÅÔÙ ÎÁÓÔÏÑÝÉÅ É ×ÅÓÑÔ Ï 6 ÇÒÁÍÍ , Á × ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÍÅÛËÁÈ ×ÓÅ ÍÏÎÅÔÙ ÆÁÌØÛÉ×ÙÅ É ×ÅÓÑÔ Ï 5 ÇÒÁÍÍ. úÁÒÁÎÅÅ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏ , × ËÁËÉÈ ÍÅÛËÁÈ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÎÁÓÔÏÑÝÉÅ ÍÏÎÅÔÙ , Á × ËÁËÉÈ ÆÁÌØÛÉ×ÙÅ (ÒÉÓ. 4). òÁÚÒÅÛÁÅÔÓÑ ×ÚÑÔØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÍÏÎÅÔ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÉÌÉ ÉÚ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÍÅÛËÏ× É ÎÁÊÔÉ ÉÈ ÏÂÝÉÊ ×ÅÓ ÎÁ ×ÅÓÁÈ ÓÏ ÓÔÒÅÌËÏÊ. ëÁËÏÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ ÓÌÅÄÕÅÔ ÓÄÅÌÁÔØ , ÞÔÏÂÙ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ×ÓÅ ÍÅÛËÉ Ó ÆÁÌØÛÉ×ÙÍÉ ÍÏÎÅÔÁÍÉ ?

ðÒÏÓÔÅÊÛÁÑ ÒÏ ÅÄÕÒÁ Ï ×ÙÑ×ÌÅÎÉÀ ×ÓÅÈ ÆÁÌØÛÉ×ÙÈ ÍÅÛËÏ× ÔÁËÏ×Á: ×Ú×ÅÛÉ×ÁÅÍ ÏÄÎÕ ÍÏÎÅÔÕ ÉÚ ÅÒ×ÏÇÏ ÍÅÛËÁ, ÏÔÏÍ ÏÄÎÕ ÍÏÎÅÔÕ ÉÚ ×ÔÏÒÏÇÏ

98

ç. á. çÁÌØÅÒÉÎ

?

::: òÉÓ. 4.

ÍÅÛËÁ, É ÔÁË ÄÁÌÅÅ, ×ÌÏÔØ ÄÏ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÍÅÛËÁ, ÏÒÅÄÅÌÑÑ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÛÁÇÅ, Ó ËÁËÉÍ ÍÅÛËÏÍ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÄÅÌÏ | Ó ÎÁÓÔÏÑÝÉÍ ÉÌÉ ÆÁÌØÛÉ×ÙÍ. é ÎÁ ÅÒ×ÙÊ ×ÚÇÌÑÄ ËÁÖÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ ÍÅÛËÏ×. ïÄÎÁËÏ ÏÔ×ÅÔ × ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÙÊ: ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÞÉÓÌÁ ÍÅÛËÏ× É ÒÁ×ÎÏ ÅÄÉÎÉ Å! ëÁË ÖÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁ ÏÄÎÏ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÅ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÓÒÁÚÕ ×ÓÅ ÆÁÌØÛÉ×ÙÅ ÍÅÛËÉ? é ÞÔÏ ÜÔÏ ÚÁ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÅ, × ËÏÔÏÒÏÅ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ×Ï×ÌÅÞÅÎÙ ÓÒÁÚÕ ×ÓÅ ÉÍÅÀÝÉÅÓÑ ÍÅÛËÉ? ûÉÒÏËÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 4 ÏÓÌÁÂÌÅÎÏ: ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÍÅÛÏË ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÆÁÌØÛÉ×ÙÅ ÍÏÎÅÔÙ. ÷ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÅ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁË: ÎÕÍÅÒÕÅÍ ×ÓÅ ÍÅÛËÉ ÏÔ ÅÒ×ÏÇÏ ÄÏ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ, ÚÁÔÅÍ ÉÚ ËÁÖÄÏÇÏ ÍÅÛËÁ ÄÏÓÔÁÅÍ ÓÔÏÌØËÏ ÍÏÎÅÔ, ËÁËÏ× ÎÏÍÅÒ ÜÔÏÇÏ ÍÅÛËÁ, ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÅÍ ×ÓÅ ×ÙÂÒÁÎÎÙÅ ÍÏÎÅÔÙ ÎÁ ×ÅÓÁÈ. åÓÌÉ ÂÙ ÆÁÌØÛÉ×ÙÈ ÍÏÎÅÔ ÎÅ ÂÙÌÏ ×Ï×ÓÅ, ×ÅÓÙ ÏËÁÚÁÌÉ ÂÙ (ÞÉÓÌÅÎÎÏ, × ÇÒÁÍÍÁÈ) × 6 ÒÁÚ ÂÏÌØÛÉÊ ×ÅÓ, ÞÅÍ ÞÉÓÌÏ ×ÙÌÏÖÅÎÎÙÈ ÎÁ ×ÅÓÙ ÍÏÎÅÔ; ÏÄÎÁËÏ ËÁËÉÅ-ÔÏ k ÍÏÎÅÔ (ÉÚ ÍÅÛËÁ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ k) ÆÁÌØÛÉ×ÙÅ É ×ÅÓÑÔ 5k ÇÒÁÍÍ ×ÍÅÓÔÏ 6k ÇÒÁÍÍ, ÔÁË ÞÔÏ ×ÅÓÙ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ ÎÁ k ÇÒÁÍÍ ÍÅÎØÛÅ. éÔÁË, ÎÏÍÅÒ k ÍÅÛËÁ Ó ÆÁÌØÛÉ×ÙÍÉ ÍÏÎÅÔÁÍÉ ÔÕÔ ÖÅ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ ËÁË ÒÁÚÎÏÓÔØ Ä×ÕÈ ÞÉÓÅÌ: ÔÏÇÏ ×ÅÓÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÌ ÂÙ ÂÙÔØ, É ÒÅÁÌØÎÏÇÏ, ÏËÁÚÙ×ÁÅÍÏÇÏ ÓÔÒÅÌËÏÊ ×ÅÓÏ×. ïÄÎÁËÏ ÔÁËÏÊ ÔÒÀË ÎÅ ÒÏÈÏÄÉÔ, ÅÓÌÉ ÞÉÓÌÏ €ÆÁÌØÛÉ×Ùȁ ÍÅÛËÏ× Ä×Á ÉÌÉ ÂÏÌØÛÅ: ÕËÁÚÁÎÎÁÑ ×ÙÛÅ ÒÁÚÎÏÓÔØ Ä×ÕÈ ÞÉÓÅÌ ÒÁ×ÎÁ ÓÕÍÍÅ ÎÏÍÅÒÏ× ×ÓÅÈ ÆÁÌØÛÉ×ÙÈ ÍÅÛËÏ× É ÎÅ ÄÁÅÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ËÁÖÄÙÊ ÍÅÛÏË Ï-ÏÔÄÅÌØÎÏÓÔÉ. ðÏÈÏÖÅ, ÞÔÏ ÏÄÎÉÍ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÅÍ ÔÕÔ ÎÅ ÏÂÏÊÔÉÓØ. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÏÄÎÏÇÏ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÑ, ËÁË É ÒÁÎØÛÅ, ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ! éÄÅÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÏÞÔÉ ÏÞÅ×ÉÄÎÏÊ, ÅÓÌÉ ÓÍÅÎÉÔØ ÔÏÞËÕ ÚÒÅÎÉÑ É ×ÓÏÍÎÉÔØ Ï ÓÉÓÔÅÍÁÈ ÓÞÉÓÌÅÎÉÑ. ðÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÏÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ × ÓÉÓÔÅÍÅ ÓÞÉÓÌÅÎÉÑ Ó ÄÁÎÎÙÍ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÅÍ b, ÎÁÄÏ ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÔØ ÍÅÛËÉ ÏÔ 0 ÄÏ n − 1 (ÇÄÅ n ÞÉÓÌÏ ÍÅÛËÏ×, ÏËÁ ÞÔÏ ÔÏÖÅ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÅ) É ×ÙÂÒÁÔØ bk ÍÏÎÅÔ ÉÚ ÍÅÛËÁ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ k. ìÅÇËÏ ÓÏÏÂÒÁÚÉÔØ (ÒÏÝÅ ×ÓÅÇÏ ÄÌÑ ÄÅÓÑÔÉÞÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÓÞÉÓÌÅÎÉÑ, b = 10), ÞÔÏ ×ÍÅÓÔÏ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÇÏ ×ÅÓÁ P = 6 · (1 + b + : : : + bn ) ÓÔÒÅÌËÁ ×ÅÓÏ× ÏÓÔÁÎÏ-

âÉÌØÑÒÄÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ

99

×ÉÔÓÑ ÎÁ ×ÅÓÅ, ÒÁÚÎÏÓÔØ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ó P × b-ÉÞÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÂÕÄÅÔ ×ÙÒÁÖÁÔØÓÑ ÞÉÓÌÏÍ, ÅÌÉËÏÍ ÓÏÓÔÏÑÝÉÍ ÉÚ ÎÕÌÅÊ É ÅÄÉÎÉ . íÅÓÔÁ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÔÏÑÔ ÅÄÉÎÉ Ù, ËÁË ÒÁÚ É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÎÏÍÅÒÁÍ ÆÁÌØÛÉ×ÙÈ ÍÅÛËÏ×! ðÒÉÍÅÒ 5. îÁ ÒÑÍÏÊ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÏ 500 ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÂÉÌØÑÒÄÎÙÈ ÛÁÒÏ× : 200 ÉÚ ÎÉÈ ËÁÔÑÔÓÑ ÓÌÅ×Á ÎÁÒÁ×Ï Ó ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ÓËÏÒÏÓÔØÀ v, Á 300 ÏÓÔÁÌØÎÙÈ | ÓÒÁ×Á ÎÁÌÅ×Ï Ó ÔÏÊ ÖÅ ÓËÏÒÏÓÔØÀ v (ÒÉÓ. 5). íÅÖÄÕ ÛÁÒÁÍÉ ÎÁÞÉÎÁÀÔ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔØ ÕÒÕÇÉÅ ÓÔÏÌËÎÏ×ÅÎÉÑ , ÏÓÌÅ ËÁv |

v ::: {z

200

v }

v

òÉÓ. 5.

::: v |

{z

300

v }

ÖÄÏÇÏ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÔÏÌËÎÕ×ÛÉÅÓÑ ÛÁÒÙ ÍÅÎÑÀÔ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ Ó×ÏÉÈ Ä×ÉÖÅÎÉÊ ÎÁ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÅ , ÎÏ ÎÅ ÍÅÎÑÀÔ Ó×ÏÉÈ ÓËÏÒÏÓÔÅÊ. (òÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÓÏÓÅÄÎÉÍÉ ÛÁÒÁÍÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍÉ , ÔÁË ÞÔÏ ÏÒÑÄÏË ÓÔÏÌËÎÏ×ÅÎÉÑ ÛÁÒÏ× ÚÁÒÁÎÅÅ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÅÎ.) ëÏÎÅÞÎÏ ÉÌÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÞÉÓÌÏ ÓÔÏÌËÎÏ×ÅÎÉÊ × ÜÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ? åÓÌÉ ËÏÎÅÞÎÏ , ÔÏ ËÁËÉÍ ÏÎÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ?

úÁÎÕÍÅÒÕÅÍ ×ÓÅ ÛÁÒÙ ÓÌÅ×Á ÎÁÒÁ×Ï ÏÔ 1 ÄÏ 500. óÌÅÄÉÔØ ÚÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ ÓÔÏÌËÎÏ×ÅÎÉÊ ÛÁÒÏ× ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÅÒÅÁÌØÎÏ: ÄÁÖÅ ÆÉËÓÉÒÏ×Á× ×ÓÅ ÓÏÓÅÄÎÉÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ, ÂÕÄÅÔ ÔÒÕÄÎÏ ÕÓÌÅÄÉÔØ ÏÒÑÄÏË, × ËÏÔÏÒÏÍ ÜÔÉ ÓÔÏÌËÎÏ×ÅÎÉÑ ÒÏÉÓÈÏÄÑÔ. ìÕÞÛÅ ÓÍÅÎÉÔØ ÔÏÞËÕ ÚÒÅÎÉÑ: ×ÍÅÓÔÏ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÓÌÅÄÉÔØ ÚÁ ÁÒÏÊ ÓÔÏÌËÎÕ×ÛÉÈÓÑ É ÚÁÔÅÍ ÒÁÚÌÅÔÅ×ÛÉÈÓÑ ÛÁÒÏ×, ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÜÔÉ Ä×Á ÛÁÒÁ ÒÏÓÔÏ ÒÏÎÉËÌÉ ÄÒÕÇ ÓË×ÏÚØ ÄÒÕÇÁ ËÁË ÂÅÓÌÏÔÎÙÅ ÔÅÌÁ, ÏÂÍÅÎÑ×ÛÉÓØ Ó×ÏÉÍÉ ÎÏÍÅÒÁÍÉ. ïÔ ÔÁËÏÊ ÓÍÅÎÙ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ËÁÒÔÉÎÁ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÛÁÒÏ× ÎÅ ÉÚÍÅÎÉÔÓÑ (Á ÎÏÍÅÒÁ ÛÁÒÏ× ÎÁÓ ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÔ ÏÓÔÏÌØËÕ-ÏÓËÏÌØËÕ), ÏÄÎÁËÏ ÉÚÍÅÎÉÔÓÑ ÎÁÛÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ Ë ÜÔÏÊ ËÁÒÔÉÎÅ É ÍÙ ÓÍÏÖÅÍ ÏÔ×ÅÔÉÔØ ÎÁ ÏÂÁ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ ×ÏÒÏÓÁ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ. íÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ Ó ÎÏ×ÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÊÔÉ ÞÉÓÌÏ ÒÏÎÉËÎÏ×ÅÎÉÊ ÛÁÒÏ× ÄÒÕÇ ÓË×ÏÚØ ÄÒÕÇÁ. ÁËÉÈ ÒÏÎÉËÎÏ×ÅÎÉÊ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÂÕÄÅÔ 200 × 300 = 60000, ÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÙÊ ÒÁ×ÙÊ ÛÁÒ ÒÏÛÅÌ ÓË×ÏÚØ ËÁÖÄÙÊ ÌÅ×ÙÊ (ÒÉ ÜÔÏÍ Ï ÏÔÄÅÌØÎÏÓÔÉ ÛÁÒÙ ËÁË × ÌÅ×ÏÊ ÇÒÕÅ, ÔÁË É × ÒÁ×ÏÊ ÎÅ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÕÀÔ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ). éÔÁË, ÞÉÓÌÏ ÓÔÏÌËÎÏ×ÅÎÉÊ × ÓÉÓÔÅÍÅ ÛÁÒÏ× ×ÓÅÇÄÁ ËÏÎÅÞÎÏ É ÒÁ×ÎÏ 60000, ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÔ ÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ É ÏÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÉÈ ÓÔÏÌËÎÏ×ÅÎÉÊ. õËÁÚÁÎÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÉÚ Ä×ÉÖÕÝÉÈÓÑ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÂÉÌØÑÒÄÎÙÈ ÛÁÒÏ× ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ, ÏÓÌÅ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÇÏ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ, ËÁË ÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÊ ËÁÌØËÕÌÑÔÏÒ, ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÊ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ: ÞÉÓÌÁ ÛÁÒÏ×, Ä×ÉÖÕÝÉÈÓÑ ×ÌÅ×Ï, ÎÁ ÞÉÓÌÏ ÛÁÒÏ×, Ä×ÉÖÕÝÉÈÓÑ ×ÒÁ×Ï.

100

ç. á. çÁÌØÅÒÉÎ

ðÒÉÍÅÒ 6. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ , ×ÁÛ ÄÒÕÇ ÚÁÄÕÍÁÌ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ (ÓÒÅÄÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ É Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÅÓÑ ), Á ×Ù ÈÏÔÉÔÅ ×ÓÅ ÉÈ ÕÇÁÄÁÔØ (ÚÁÏÄÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉ× É ÉÈ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ), ÒÉÞÅÍ ÉÍÅÎÎÏ × ÔÏÍ ÏÒÑÄËÅ , × ËÁËÏÍ ÏÎ ÜÔÉ ÞÉÓÌÁ ÚÁÄÕÍÁÌ (Ô. Å. ÕÇÁÄÁÔØ ×ÅÓØ ×ÅËÔÏÒ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ ). ÷ÁÍ ÒÁÚÒÅÛÁÅÔÓÑ ÏÒÏÓÉÔØ ÄÒÕÇÁ ÓÄÅÌÁÔØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ , Ó×ÑÚÁÎÎÏÅ Ó ÅÇÏ ÞÉÓÌÁÍÉ , ÎÁÒÉÍÅÒ , ÏÒÏÓÉÔØ ÅÇÏ ÎÁÊÔÉ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÉÌÉ ÓÕÍÍÕ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÚ ÎÉÈ , ÉÌÉ ÖÅ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÕÀ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÀ. ëÁÖÄÏÅ ÔÁËÏÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ , ËÏÇÄÁ ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ , ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ €ÈÏÄÏÍ . (äÒÕÇÏÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÚÁÄÁÞÉ : ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÈÏÄÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÄÏÌÖÎÏ ÏËÁÚÙ×ÁÔØÓÑ ÎÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ ). úÁ ËÁËÏÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ÈÏÄÏ× ×Ù ÓÍÏÖÅÔÅ ÎÁ×ÅÒÎÑËÁ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÚÁÄÕÍÁÎÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ ?

é × ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅ (ËÁË É × ÞÅÍ-ÔÏ ÏÈÏÖÅÊ ÎÁ ÎÅÅ ÚÁÄÁÞÅ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 4 Ï ÆÁÌØÛÉ×ÙÈ ÍÅÛËÁÈ) ÏÔ×ÅÔ: ×ÓÅÇÏ ÚÁ ÏÄÉÎ ÈÏÄ ! óÎÁÞÁÌÁ ÒÁÚÂÅÒÅÍ ÅÒ×ÕÀ ÏÓÔÁÎÏ×ËÕ ÚÁÄÁÞÉ, ËÏÇÄÁ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÈÏÄÅ | ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ. åÓÌÉ ÏÓÍÏÔÒÅÔØ ÎÁ ÜÔÕ ÚÁÄÁÞÕ ÇÌÁÚÁÍÉ ÌÏÇÉËÁ, ÚÎÁÀÝÅÇÏ Ï ÇÅÄÅÌÅ×ÓËÏÊ ÎÕÍÅÒÁ ÉÉ ×ÓÅÈ ÆÏÒÍÁÌØÎÏ-ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÆÏÒÍÕÌ ×Ù×ÏÄÁ × ÁÒÉÆÍÅÔÉËÅ (ÔÁËÁÑ ÎÕÍÅÒÁ ÉÑ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÔÅÏÒÅÍÙ çÅÄÅÌÑ Ï ÎÅÏÌÎÏÔÅ ÁÒÉÆÍÅÔÉËÉ), ÔÏ ÏÔ×ÅÔ €ÚÁ ÏÄÉÎ ÈÏā ÏÞÅ×ÉÄÅÎ: ÅÓÌÉ ÚÁÄÕÍÁÎ ×ÅËÔÏÒ ÞÉÓÅÌ n = (n1 ; n2 ; : : : ; nk ), ÇÄÅ k | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÚÁÄÕÍÁÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÏÒÏÓÉÔØ ÄÒÕÇÁ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÞÉÓÌÏ N = pn1 1 · pn2 2 · : : : · pnk k , ÇÄÅ p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, . . . , pk | ÅÒ×ÙÅ k ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ. (åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÞÔÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÚÁÄÕÍÁÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÓÌÅÄÕÅÔ ÏÒÏÓÉÔØ ÄÒÕÇÁ ÓÄÅÌÁÔØ ÕËÁÚÁÎÎÕÀ ÏÅÒÁ ÉÀ ÓÌÏ×ÅÓÎÏ: €÷ÏÚØÍÉ ÏÄÒÑÄ ÓÔÏÌØËÏ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÓËÏÌØËÏ ÞÉÓÅÌ ÔÙ ÚÁÄÕÍÁÌ, ×ÏÚ×ÅÄÉ ËÁÖÄÏÅ ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ × ÓÔÅÅÎØ, ÒÁ×ÎÕÀ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÍÕ ÚÁÄÕÍÁÎÎÏÍÕ ÔÏÂÏÊ ÞÉÓÌÕ, ÅÒÅÍÎÏÖØ ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ É ÓÏÏÂÝÉ ÍÎÅ ÏÔ×ÅÔ.) éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏ (ÜÔÏÔ ÆÁËÔ | ÏÓÎÏ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÁÒÉÆÍÅÔÉËÉ), ÏÜÔÏÍÕ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ N × ÕËÁÚÁÎÎÏÍ ×ÙÛÅ ×ÉÄÅ ÄÁÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÕÀ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÄÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ×ÅËÔÏÒÁ n. åÓÌÉ ÖÅ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ ÎÅ ÅÌÙÍÉ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÍÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ, ÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÍÅÓÔÏ ÞÉÓÌÁ N ÏÒÏÓÉÔØ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ, ÓËÁÖÅÍ, ÅÇÏ ÏÂÒÁÔÎÏÅ N −1 : ÔÏÇÄÁ ÏÒÅÄÅÌÉÔÓÑ ×ÅËÔÏÒ (−n), Á Ó ÎÉÍ É ÉÓËÏÍÙÊ ×ÅËÔÏÒ n. éÌÉ ÖÅ, ÍÏÖÎÏ ÏÒÏÓÉÔØ ÄÒÕÇÁ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÞÉÓÌÏ N=pk+1 (ÇÄÅ pk+1 | ÜÔÏ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÄÕÝÅÅ ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ ÚÁ ÕÖÅ ×ÙÂÒÁÎÎÙÍÉ ÒÏÓÔÙÍÉ p1 , p2 , : : : , pk ), É Ï ÎÅÍÕ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÎÁÊÔÉ ×ÅËÔÏÒ n. ðÒÑÍÏ ÉÌÉ ËÏÓ×ÅÎÎÏ ×ÓÅ ÔÁËÉÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÏÓÎÏ×ÁÎÙ ÎÁ ÉÄÅÅ ÇÅÄÅÌÅ×ÓËÏÊ ÎÕÍÅÒÁ ÉÉ. ïÄÎÁËÏ ÞÅÌÏ×ÅËÕ, ÎÅ ÚÎÁËÏÍÏÍÕ Ó ÇÅÄÅÌÅ×ÓËÏÊ ÎÕÍÅÒÁ ÉÅÊ, ÓÔÏÉÔ ÓÍÅÎÉÔØ ÔÏÞËÕ ÚÒÅÎÉÑ Ï-ÄÒÕÇÏÍÕ: ×ÓÏÍÎÉÔØ Ï ÅÎÙÈ ÄÒÏÂÑÈ É ÏÒÏÓÉÔØ

âÉÌØÑÒÄÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ

101

ÄÒÕÇÁ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÅÎÕÀ ÄÒÏÂØ

 = m1 +

1

m2 +

;

1

1 m3 + : : : + m

k

ÇÄÅ ËÁÖÄÏÅ mi = ni + 1. (ïÑÔØ ÖÅ, ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÅÎÏÊ ÄÒÏÂÉ ÎÁÄÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÓÌÏ×ÅÓÎÏ, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÓÌÏ×ÅÓÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ ÇÅÄÅÌÅ×ÓËÏÇÏ ÎÏÍÅÒÁ ×ÅËÔÏÒÁ n.) úÎÁÍÅÎÁÔÅÌÉ m1 , m2 , : : : , mk ÅÎÏÊ ÄÒÏÂÉ ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÀÔÓÑ Ï ÞÉÓÌÕ  ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ: m1 | ÜÔÏ ÅÌÁÑ ÞÁÓÔØ ; m2 | ÜÔÏ ÅÌÁÑ ÞÁÓÔØ = 1=( − m1 ); m3 | ÜÔÏ ÅÌÁÑ ÞÁÓÔØ 1=( − m2 ); É Ô. Ä. îÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔØ × ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÎÁÂÏÒÁ {mi } ÍÏÇÌÁ ÂÙ ÓÌÕÞÉÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ ÎÁ ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÛÁÇÅ, ËÏÇÄÁ ÍÙ ÏÒÅÄÅÌÉÌÉ ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÒÁ×ÎÏÅ, ÓËÁÖÅÍ, M , É ÎÅ ÚÎÁÅÍ, ËÁËÏÊ ×Ù×ÏÄ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÓÄÅÌÁÔØ: ÔÏ ÌÉ mk = M , ÔÏ ÌÉ mk−1 = M − 1 É mk = 1. ë ÓÞÁÓÔØÀ, ÎÉËÁËÏÊ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ ÚÄÅÓØ ÎÅÔ: ÍÙ ÄÌÑ ÔÏÇÏ-ÔÏ É ÒÉÂÁ×ÉÌÉ ×ÎÁÞÁÌÅ ËÏ ×ÓÅÍ ÚÁÄÕÍÁÎÎÙÍ {ni } Ï ÅÄÉÎÉÞËÅ, ÞÔÏÂÙ ÏÌÕÞÉÔØ ÞÉÓÌÁ mi > 2, Á ÔÏÇÄÁ ×ÔÏÒÁÑ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ × ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ÄÉÈÏÔÏÍÉÉ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÔØÓÑ. éÔÁË, ×ÅËÔÏÒ m = (m1 ; m2 ; : : : ; mk ), Á ×ÍÅÓÔÅ Ó ÎÉÍ É ÉÓËÏÍÙÊ ×ÅËÔÏÒ n = (n1 ; n2 ; : : : ; nk ) = (m1 − 1; m2 − 1; :::; mk − 1), Á ÚÁÏÄÎÏ É ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ËÏÏÒÄÉÎÁÔ k ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÎÉÈ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÏÉÓÁÎÎÙÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅÍ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ. üÔÉÍ ÎÅÏÂÙÞÎÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ ÍÙ ×ÔÏÒÉÞÎÏ ÎÁÈÏÄÉÍ ×ÅÓØ ×ÅËÔÏÒ n. ðÒÉÍÅÒ 7. îÁÊÔÉ ×ÓÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÉÏÆÁÎÔÏ×Á ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ √

√

√

√

(a1 + b1 2)2004 + (a2 + b2 2)2004 + : : : + (a100 + b100 2)2004 = 5000 + 4000 2: òÁÓËÒÏÅÍ ×ÓÅ ÓËÏÂËÉ ÓÌÅ×Á É ÓÏÂÅÒÅÍ ÏÔÄÅÌØÎÏ ×ÓÅ ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ É ÏÔ√ ÄÅÌØÎÏ ×ÓÅ ÅÌÙÅ, ÕÍÎÏÖÅÎÎÙÅ ÎÁ 2. ðÅÒ×ÁÑ ÓÕÍÍÁ ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÁ 5000, ×ÔÏÒÁÑ 4000. ëÁÚÁÌÏÓØ ÂÙ, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ ÍÎÏÇÏ Ó×ÏÂÏÄÙ × ×ÙÂÏÒÅ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ ai É bi , ÏÄÎÁËÏ ÅÒ×ÁÑ ÖÅ ÏÙÔËÁ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÉÈ Ë ÕÓÅÈÕ ÎÅ ÒÉ×ÏÄÉÔ. óÍÅÎÉÍ ÔÏÞËÕ ÚÒÅÎÉÑ: ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÅÊ É ÚÁÍÅÎÉÍ × ËÁÖÄÏÊ ÓËÏÂËÅ ÓÌÅ×Á ÚÎÁË√€+ ÎÁ €−. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÏÑ×ÉÔÓÑ ÞÉÓÌÏ 5000 − 4000 2 (ÏÓËÏÌØËÕ ×ÓÅ ÓÏÂÒÁÎÎÙÅ ÏÓÌÅ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÓËÏÂÏË √ ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ ÏÓÔÁÎÕÔÓÑ ÂÅÚ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ, Á ×ÓÅ ÅÌÙÅ, ÕÍÎÏÖÅÎÎÙÅ ÎÁ 2, ÏÍÅÎÑÀÔ ÚÎÁË). éÔÁË, √

√

√

√

(a1 − b1 2)2004 + (a2 − b2 2)2004 + : : : + (a100 − b100 2)2004 = 5000 − 4000 2: ëÁÚÁÌÏÓØ ÂÙ, ÍÙ√ ÎÅ ÕÚÎÁÌÉ ÎÉÞÅÇÏ ÎÏ×ÏÇÏ. îÏ ÏÂÒÁÔÉÍ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏ 5000 − 4000 2 < 0. íÙ ÔÕÔ ÖÅ ÏÌÕÞÁÅÍ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ: ÓÌÅ×Á × ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Å ÓÔÏÉÔ ÓÕÍÍÁ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ (ÉÚ-ÚÁ

102

ç. á. çÁÌØÅÒÉÎ

ÞÅÔÎÏÓÔÉ ÏËÁÚÁÔÅÌÑ 2004), Á ÓÒÁ×Á | ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ×Ï×ÓÅ! éÄÅÑ, ËÏÔÏÒÕÀ ÍÙ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉ × ÒÅÛÅÎÉÉ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ, ÓÏÓÔÏÉÔ × ÎÁÌÉÞÉÉ ÓËÒÙÔÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ: ÏÓÍÏÔÒÅ× × €ÚÅÒËÁÌρ (ÉÚÍÅÎÉ× ÚÎÁËÉ €+ ÎÁ €−), ÍÙ ÎÅ Õ×ÉÄÅÌÉ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ; ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ, É ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÏÂßÅËÔÁ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. îÁ ÜÔÏÍ ÍÙ ÚÁËÏÎÞÉÍ ÄÅÍÏÎÓÔÒÁ ÉÀ ÒÉÍÅÒÏ× ËÏÒÏÔËÉÈ ÚÁÄÁÞ É ÅÒÅÊÄÅÍ Ë ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÓÔÁÔØÉ, ËÏÔÏÒÁÑ ÔÁËÖÅ ÂÕÄÅÔ ÒÅÛÅÎÁ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÓÍÅÎÙ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ. 3. úÁÄÁÞÁ Ï ÂÉÌØÑÒÄÎÏÍ ÏÔÒÁÖÅÎÉÉ × Rd

ðÕÓÔØ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Rd ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÁ (d − 1)-ÍÅÒÎÁÑ ÌÏÓËÏÓÔØ , ËÏÔÏÒÕÀ ÂÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÏÅ ÚÅÒËÁÌÏ. ó×ÅÒÈÕ ÏÔ ÚÅÒËÁÌÁ , × ËÁËÉÈ-ÔÏ ÔÏÞËÁÈ A1 , A2 , : : : , An ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÍÁÌÅÎØËÉÅ ËÕÓÏÞËÉ ÌÏÓËÉÈ ÚÅÒËÁÌ, ÏÔ ËÏÔÏÒÙÈ, Á ÔÁËÖÅ É ÏÔ ÚÅÒËÁÌÁ  ÏÔÒÁÖÁÅÔÓÑ Ó×ÅÔÏ×ÏÊ ÌÕÞ, ÏÂÒÁÚÕÑ ÚÁÍËÎÕÔÕÀ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÕÀ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÀ = A1 B1 A2 B2 : : : An−1 Bn−1 An Bn A1 (ÒÉÓ. 6). ÒÁÅËÔÏÒÉÀ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ Ï ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÒÉÞÉÎÁÍ €ÂÉÌØÑÒÄÎÏʁ: ÔÏÞÅÞÎÙÊ ÂÉÌØÑÒÄÎÙÊ ÛÁÒ, ×ÙÕÝÅÎÎÙÊ ÉÚ ÔÏÞËÉ A1 × ÔÏÞËÕ B1 , ÂÕÄÅÔ Ä×ÉÇÁÔØÓÑ Ï ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ , ÏÓËÏÌØËÕ ÏÓÌÅ ËÁÖÄÏÇÏ ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ ÏÔ ËÁÖÄÏÇÏ ÚÅÒËÁÌÁ ÕÇÏÌ ÅÇÏ ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÅÎ ÕÇÌÕ ÅÇÏ ÁÄÅÎÉÑ, ËÁË É ÄÌÑ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ Ó×ÅÔÏ×ÏÇÏ ÌÕÞÁ. îÅÓÏÓÅÄÎÉÅ ÏÔÒÅÚËÉ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ d > 3 ÂÕÄÕÔ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÍÉÓÑ, ËÁË ÎÁ ÒÉÓ. 6Á, Á × ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ A1 , A2 , : : : , An É ÔÏÞËÉ ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ B1 , B2 , : : : , Bn−1 , Bn ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ × ÏÄÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ (d = 2), ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÑ ×ÙÇÌÑÄÉÔ, ËÁË ÎÁ ÒÉÓ. 6Â. An−1

An

:::

A2

A2

A3

A1 B2 B1

Bn

A1 Bn−1

A4 B3

Á) òÉÓ. 6.

A A3 : : : n−1 An

B4

B1 B2 Bn B3 : : : Bn−1

Â)

úÁÄÁÞÁ Ï ÂÉÌØÑÒÄÎÏÍ ÏÔÒÁÖÅÎÉÉ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å É ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ

âÉÌØÑÒÄÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ

103

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ
k = △ Ak Bk Ak+1 (k = 1; 2; : : : ; n − 1) É
n = △ A1 Bn An , ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÂÉÌØÑÒÄÎÙÍÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁÍÉ. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÅÒ×ÙÈ n − 1 ÂÉÌØÑÒÄÎÙÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÅÇÏ ÉÚÂÙÔÏË Æk = Ak Bk + Bk Ak+1 − Ak Ak+1 ; É ÅÇÏ ÅÒÉÍÅÔÒ pk = Ak Bk + Bk Ak+1 + Ak Ak+1 : ÏÞÎÏ ÔÁË ÖÅ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÉÚÂÙÔÏË É ÅÒÉÍÅÔÒ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ, n-ÇÏ, ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ
n = △ A1 Bn An : Æn = A1 Bn + Bn An − A1 An ; pn = A1 Bn + Bn An + A1 An : óÒÁ×ÎÉÍ Ä×Á ÞÉÓÌÁ: ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÉÚÂÙÔËÏ× Æ1 Æ2 · : : : · Æn−1 =Æn É ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÅÒÉÍÅÔÒÏ× p1 p2 · : : : · pn−1 =pn .

úÁÄÁÞÁ. íÏÖÎÏ ÌÉ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ , ÞÔÏ ÏÄÎÏ ÉÚ ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÅÍÙÈ Ä×ÕÈ ÞÉÓÅÌ ×ÓÅÇÄÁ , ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÔ ÂÉÌØÑÒÄÎÏÊ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ , ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÄÒÕÇÏÅ ? ÷ÏÚÍÏÖÎÏ ÌÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÜÔÉÈ ÞÉÓÅÌ , É ÅÓÌÉ ÄÁ , ÔÏ ÄÌÑ ËÁËÉÈ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÊ ?

ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÏÔ×ÅÔÙ ÎÁ ÏÂÁ ×ÏÒÏÓÁ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙ, Á ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÉÚÂÙÔËÏ× É ÅÒÉÍÅÔÒÏ× ÎÁËÌÁÄÙ×ÁÅÔ ÎÅÏÂÙÞÎÏÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÎÁ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÅ ÔÏÞÅË {Ai } É {Bi } × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Rd . òÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÄÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÔÅÏÒÅÍÏÊ: ÅÏÒÅÍÁ 1. (A). äÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÂÉÌØÑÒÄÎÏÊ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï Æ1 Æ2 · : : : · Æn−1 p1 p2 · : : : · pn−1 6 : (1) Æn pn (B). îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (1) ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ , ËÏÇÄÁ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ×ÙÏÌÎÅÎÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÔÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÎÁ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÅ ÔÏÞÅË {Ai } É {Bi } × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Rd : (b1) ×ÓÅ A-ÔÏÞËÉ {Ak } É ×ÓÅ B -ÔÏÞËÉ {Bk } (k = 1; 2; : : : ; n) ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ × ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ Ä×ÕÍÅÒÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ R2 ; (b2) ×ÓÅ B -ÔÏÞËÉ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ ` ∈ R2 ∩ , ÒÉÞÅÍ ÅÒ×ÙÅ n − 1 B -ÔÏÞÅË ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ × ÏÒÑÄËÅ B1 , B2 , : : : , Bn−1 ÎÁ ÒÑÍÏÊ `, Á ÏÓÌÅÄÎÑÑ ÔÏÞËÁ Bn ÌÅÖÉÔ ×ÎÕÔÒÉ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ

(B1 ; Bn−1 ) ∈ `; (b3) ×ÓÅ A-ÔÏÞËÉ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ∈ R2 , ÅÎÔÒ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÞËÅ O ÒÑÍÏÊ `, ÒÉÞÅÍ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÏÎÉ ÉÄÕÔ × ÏÒÑÄËÅ A1 , A2 , : : : , An .

104

ç. á. çÁÌØÅÒÉÎ

ÅÏÒÅÍÁ 1 ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÏÞÔÉ ÏÞÅ×ÉÄÎÏÊ, ÅÓÌÉ ÓÍÅÎÉÔØ ÔÏÞËÕ ÚÒÅÎÉÑ É ÏÓÍÏÔÒÅÔØ ÎÁ ×ÓÀ ÚÁÄÁÞÕ Ó ÏÚÉ ÉÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ. óÍÅÎÁ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ 1 ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ × ÞÁÓÔÉ 5, Á ÏËÁ ÞÔÏ ÅÒÅÊÄÅÍ Ë ÒÏÓÔÅÊÛÉÍ ÆÁËÔÁÍ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ É ÂÉÌØÑÒÄÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÅ. 4. çÅÏÍÅÔÒÉÑ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ É ÂÉÌØÑÒÄÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ

îÁÏÍÎÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÆÁËÔÙ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ, ÉÌÉ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. îÁÍ ÚÄÅÓØ ×ÁÖÎÁ ÓÁÍÁÑ ÕÏÔÒÅÂÉÔÅÌØÎÁÑ ÍÏÄÅÌØ ÜÔÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÍÏÄÅÌØ ðÕÁÎËÁÒÅ × ×ÅÒÈÎÅÊ ÏÌÕÌÏÓËÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ ÒÅÞØ ÉÄÅÔ Ï Ä×ÕÍÅÒÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, É × ×ÅÒÈÎÅÍ ÏÌÕÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, ÅÓÌÉ ÒÅÞØ ÉÄÅÔ Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÔÒÉ É ×ÙÛÅ. îÁÞÎÅÍ Ó Ä×ÕÍÅÒÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ H 2 . åÅ ÍÏÄÅÌØÀ ðÕÁÎËÁÒÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔËÒÙÔÁÑ ×ÅÒÈÎÑÑ ÏÌÕÌÏÓËÏÓÔØ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ R2 : ×ÓÅ ÔÏÞËÉ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ×ÙÛÅ ÏÓÉ ÁÂÓ ÉÓÓ Ox Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÞËÁÍÉ ÌÏÓËÏÓÔÉ H 2 , Á ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ÎÁ ÏÓÉ Ox ÓÞÉÔÁÀÔÓÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ïÓØ ÁÂÓ ÉÓÓ Ox ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ ÁÂÓÏÌÀÔÏÍ ÌÏÓËÏÓÔÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ. ðÒÑÍÙÅ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ H 2 (Ë ÎÉÍ ÒÉÌÁÇÁÅÔÓÑ ÜÉÔÅÔ €ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉŁ, ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÎÅ ÕÔÁÔØ ÉÈ Ó Å×ËÌÉÄÏ×ÙÍÉ ÒÑÍÙÍÉ) ÂÙ×ÁÀÔ Ä×ÕÈ ÔÉÏ×: Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÅ Å×ËÌÉÄÏ×Ù ÌÕÞÉ, ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÏÓÉ Ox, Á ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ | Å×ËÌÉÄÏ×Ù ÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ Ó ÅÎÔÒÁÍÉ ÎÁ ÁÂÓÏÌÀÔÅ Ox. (üÉÔÅÔ €Å×ËÌÉÄÏׁ ÄÌÑ Å×ËÌÉÄÏ×ÙÈ ÏÂßÅËÔÏ× | ÔÏÞÅË, ÒÑÍÙÈ, ÏÔÒÅÚËÏ×, ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ, ËÒÉ×ÙÈ É Ô. Ä. | ÍÙ ÞÁÓÔÏ ÂÕÄÅÍ ÏÕÓËÁÔØ; ÌÀÂÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÏÂßÅËÔ Ó ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÅÍ ÜÔÏÇÏ ÜÉÔÅÔÁ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ Å×ËÌÉÄÏ×ÙÍ. üÉÔÅÔ €ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉʁ ÍÙ, ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ÂÕÄÅÍ ËÁÖÄÙÊ ÒÁÚ ÓËÒÕÕÌÅÚÎÏ ÒÉÉÓÙ×ÁÔØ Ë ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÍÕ ÏÂßÅËÔÕ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ.) äÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÔÏÞÅË A É B ÎÁ ×ÅÒÈÎÅÊ ÏÌÕÌÏÓËÏÓÔÉ ÍÙ ×ÓÅÇÄÁ ÍÏÖÅÍ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ, ËÁËÏÍÕ ÉÚ Ä×ÕÈ ÔÉÏ× ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÁÑ ÒÑÍÁÑ AB : ÅÓÌÉ ÒÑÍÁÑ AB ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÁ ÏÓÉ Ox, ÔÏ Ë ÅÒ×ÏÍÕ, Á ÅÓÌÉ AB ÎÅ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÁ Ox, ÔÏ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ. ÷Ï ×ÔÏÒÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÎÑÔÎÏ, ËÁË ÏÓÔÒÏÉÔØ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÕÀ ÒÑÍÕÀ AB ÉÒËÕÌÅÍ É ÌÉÎÅÊËÏÊ: ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÁÄÏ ÒÏ×ÅÓÔÉ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒ Ë ÓÅÒÅÄÉÎÅ ÏÔÒÅÚËÁ AB , ÎÁÊÔÉ ÔÏÞËÕ O ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÅÇÏ Ó ÏÓØÀ ÁÂÓ ÉÓÓ É, ÎÁËÏÎÅ , ÒÏ×ÅÓÔÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ Ó ÅÎÔÒÏÍ O, | ÅÅ ×ÅÒÈÎÑÑ ÏÔËÒÙÔÁÑ (ÂÅÚ ËÏÎ Ï×, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÈ ÁÂÓÏÌÀÔÕ) ÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔØ É ÂÕÄÅÔ ÉÓËÏÍÏÊ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÊ ÒÑÍÏÊ (ÒÉÓ. 7Á). åÓÌÉ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÁÑ ÔÏÞËÁ P ÌÅÖÉÔ ×ÎÅ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÊ ÒÑÍÏÊ `, ÔÏ ÞÅÒÅÚ P ÍÏÖÎÏ ÒÏ×ÅÓÔÉ ÅÌÙÊ ÕÞÏË ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÈ ÒÑÍÙÈ, €ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙȁ (Ô. Å. ÎÅ ÉÍÅÀÝÉÈ ÏÂÝÉÈ ÔÏÞÅË Ó) ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÊ ÒÑÍÏÊ ` (ÒÉÓ. 7Â): ÑÔÙÊ ÏÓÔÕÌÁÔ å×ËÌÉÄÁ Ï ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÒÑÍÏÊ, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÊ ÄÁÎÎÏÊ, × ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ ÎÁÒÕÛÁÅÔÓÑ.

âÉÌØÑÒÄÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ

A B

105

B

; (A

A

P

A

`

L

xA

O Á)

B) B

y xB

Â)

×)

òÉÓ. 7.

ðÕÓÔØ A É B | Ä×Å ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ, ÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÅ ËÁËÏÊ-ÌÉÂÏ ËÒÉ×ÏÊ . ÏÇÄÁ ÅÅ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÁÑ ÄÌÉÎÁ L (A; B ) ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ

L (A; B ) =

ZB

A

ds ; y p

ÇÄÅ ds | ÜÌÅÍÅÎÔ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÄÌÉÎÙ: ds = dx2 + dy2 , Á y | ÏÒÄÉÎÁÔÁ ÔÅËÕÝÅÊ ÔÏÞËÉ ËÒÉ×ÏÊ  (ÒÉÓ. 7×). åÓÌÉ y ÅÓÔØ ÆÕÎË ÉÑ ÏÔ x, y = y(x), ÔÏ ÌÅÇËÏ ÎÁÊÔÉ ÄÌÉÎÕ ËÒÉ×ÏÊ  Ï ÆÏÒÍÕÌÅ

L (A; B ) =

ZxB p

xA

dx2 + dy 2 = y

ZxB p

xA

1 + (dy=dx)2 dx: y

ëÒÉ×ÏÊ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÁÍÉ A É B ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÄÕÇÁ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ Ó ËÏÎ ÁÍÉ × ÔÏÞËÁÈ A É B , ÉÌÉ, ÉÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÊ ÏÔÒÅÚÏË `AB (ÅÓÌÉ ÔÏÞËÉ A É B ÌÅÖÁÔ ÎÁ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÊ ÒÑÍÏÊ, ÔÏ ÉÍ ÂÕÄÅÔ Å×ËÌÉÄÏ× ÏÔÒÅÚÏË AB ); ÅÇÏ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÁÑ ÄÌÉÎÁ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ Ï ÔÏÊ ÖÅ ÓÁÍÏÊ ÆÏÒÍÕÌÅ. îÅÓÌÏÖÎÏ ÏËÁÚÁÔØ (ÍÙ ÜÔÏÇÏ ÚÄÅÓØ ÄÅÌÁÔØ ÎÅ ÂÕÄÅÍ), ÞÔÏ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÁÑ ÄÌÉÎÁ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ ×ÓÅÇÄÁ ËÏÒÏÞÅ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÊ ÄÌÉÎÙ ÌÀÂÏÊ ËÒÉ×ÏÊ Ó ÔÅÍÉ ÖÅ ËÏÎ ÁÍÉ, ÏÜÔÏÍÕ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÊ ÏÔÒÅÚÏË Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÉÍ (Ô. Å. €ËÒÁÔÞÁÊÛÉ́) ÏÔÒÅÚËÏÍ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ H 2 . ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, Á × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ | ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ: ÄÌÉÎÁ ÌÀÂÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÅ ÒÅ×ÙÛÁÅÔ ÓÕÍÍÕ ÄÌÉÎ ×ÓÅÈ ÅÇÏ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÓÔÏÒÏÎ. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÏÚÎÉËÁÅÔ, ËÏÇÄÁ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÓÔÏÒÏÎ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÏÊ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ. ÷ÓÅ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ ÄÏÓÌÏ×ÎÏ ÅÒÅÎÏÓÑÔÓÑ Ó ÌÏÓËÏÓÔÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ H 2 ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ H d (ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÅ

106

ç. á. çÁÌØÅÒÉÎ

ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï). á ÉÍÅÎÎÏ, × Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Rd ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÁÑ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ  = d−1 , É ×ÅÒÈÎÅÅ ÏÔËÒÙÔÏÅ ÏÌÕÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ó ÇÒÁÎÉ ÅÊ  ÏÂßÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÏÄÅÌØÀ (ðÕÁÎËÁÒÅ) ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á H d (Ô. Å. Å×ËÌÉÄÏ×Ù ÔÏÞËÉ ×ÅÒÈÎÅÇÏ ÏÌÕÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÅÅÒØ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ É ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ), Á ÓÁÍÁ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ  | ÁÂÓÏÌÀÔÏÍ (ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÙÈ ÔÏÞÅË) ÜÔÏÇÏ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. þÔÏÂÙ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ A É B , ÎÁÄÏ ÓÎÁÞÁÌÁ ÏÕÓÔÉÔØ ÉÚ ÎÉÈ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÙ ÎÁ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ , ÒÏ×ÅÓÔÉ Ä×ÕÍÅÒÎÕÀ ÌÏÓËÏÓÔØ R2 ÞÅÒÅÚ ÜÔÉ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÙ (ÏÎÁ ÏÒÅÄÅÌÉÔÓÑ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ, ÅÓÌÉ ÔÏÌØËÏ ÔÏÞËÉ A É B ÎÅ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÊ ÒÑÍÏÊ), É × ÜÔÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ×ÚÑÔØ ×ÅÒÈÎÀÀ ÏÌÕÌÏÓËÏÓÔØ (ÎÁÄ ÒÑÍÏÊ, Ñ×ÌÑÀÝÅÊÓÑ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅÍ ÌÏÓËÏÓÔÉ R2 É ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ ), ËÏÔÏÒÁÑ É ÂÕÄÅÔ ÌÏÓËÏÓÔØÀ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ. á Ë ÎÅÊ ÕÖÅ ÚÁÔÅÍ ÒÉÍÅÎÉÔØ ×ÓÅ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÙÅ ×ÙÛÅ: ÒÏ×ÅÓÔÉ ÞÅÒÅÚ A É B ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ É ×ÙÞÉÓÌÉÔØ Ï ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ×ÙÛÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÅ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÕÀ ÄÌÉÎÕ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ `AB . ðÏÓÌÅ ÜÔÉÈ ÏÂÝÉÈ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÊ ÍÙ ÏËÁÖÅÍ, ËÁË ÒÏÓÔÏ ÎÁÈÏÄÉÔØ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÕÀ ÄÌÉÎÕ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ `AB . ðÏÍÅÓÔÉÍ × ÔÏÞËÕ A ÂÉÌØÑÒÄÎÙÊ ÛÁÒ É ÚÁÕÓÔÉÍ ÅÇÏ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å d R × ÓÔÏÒÏÎÕ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ  ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÎ ÏÓÌÅ ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ × ÔÏÞËÅ C ∈  ÏÁÌ × ÔÏÞËÕ B . ëÁË ÎÁÊÔÉ ÔÏÞËÕ ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ C × ÌÏÓËÏÓÔÉ , ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÒÉÓÕÎÏË 8: ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÁÄÏ ÏÔÒÁÚÉÔØ ÔÏÞËÕ A ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ  (ÒÉÞÅÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ ÄÅÌÁÔØ × Ä×ÕR

B

A

A



B 

C

2

áÂÓÏÌÀÔ 

C

1

n−

 ÀÔ Ì Ï Ó áÂ

A′

A′

Á)

Â)

âÉÌØÑÒÄÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ÄÌÑ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ É × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ

òÉÓ. 8.

âÉÌØÑÒÄÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ

107

ÍÅÒÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ R2 , ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÊ ), É ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÏÂÒÁÚ, ÔÏÞËÕ A′ , ÓÏÅÄÉÎÉÔØ Ó ÔÏÞËÏÊ B . ÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÏÔÒÅÚËÁ A′ B Ó ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØÀ R2 É ÂÕÄÅÔ ÉÓËÏÍÏÊ: C = A′ B ∩ . äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÉÚ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÌÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ  = , Ô. Å. ÕÇÏÌ ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ ÒÁ×ÅÎ ÕÇÌÕ ÁÄÅÎÉÑ (ÒÉÓ. 8), ÔÁË ÞÔÏ, ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÔÒÁÅËÔÏÒÉÑ A → C → B | ÂÉÌØÑÒÄÎÁÑ. éÔÁË, ×ÏÚÎÉË ÂÉÌØÑÒÄÎÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ABC . õ ÎÅÇÏ ÅÓÔØ ÅÒÉÍÅÔÒ p = AC + CB + AB = dB + dE , ÇÄÅ dB = AC + CB | ÂÉÌØÑÒÄÎÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÁÍÉ A É B (ÏÔÓÀÄÁ É ÉÎÄÅËÓ B Õ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ), Á dE | Å×ËÌÉÄÏ×Ï ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÔÅÍÉ ÖÅ ÔÏÞËÁÍÉ; É ÅÓÔØ ÜËÓ ÅÓÓ | ×ÅÌÉÞÉÎÁ Æ = AC + CB − AB = dB − dE . ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÁÍÉ A É B ÞÅÒÅÚ dL . óÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÅÏÒÅÍÁ 2 (ÂÉÌØÑÒÄÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ). dE dL = ln pÆ = ln ddB + : (2) − B dE úÁÍÅÞÁÎÉÅ. åÓÌÉ △ ABC ×ÙÒÏÖÄÅÎ, Ô. Å. ÔÏÞËÉ A É B ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄ-

ÎÏÍ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÍ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÌÕÞÅ CAB , ÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ (2) ÄÁÅÔ ÈÏÒÏÛÏ AC ÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ ÉÚ ÕÞÅÂÎÉËÏ× ÆÏÒÍÕÌÕ dL = ln BC , Ó ËÏÔÏÒÏÊ ÍÙ É ÎÁÞÎÅÍ ÎÁÛÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÆÏÒÍÕÌÙ (2) × ÞÁÓÔÉ 6 ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÉ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ 2 ÂÕÄÅÔ ÄÁÎÏ × ÞÁÓÔÉ 6, ÎÏ ÓÎÁÞÁÌÁ, ÏÓÎÏ×Ù×ÁÑÓØ ÎÁ ÂÉÌØÑÒÄÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÅ, ÄÏËÁÖÅÍ ÔÅÏÒÅÍÕ 1. 5. òÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÂÉÌØÑÒÄÎÏÍ ÏÔÒÁÖÅÎÉÉ

óÍÅÎÉÍ ÔÏÞËÕ ÚÒÅÎÉÑ É ÏÓÍÏÔÒÉÍ ÎÁ ÉÍÅÀÝÉÊÓÑ Å×ËÌÉÄÏ× ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÏÂßÅËÔ × ×ÅÒÈÎÅÍ ÏÌÕÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å (Rd )+ | ÚÅÒËÁÌÏ  É ÂÉÌØÑÒÄÎÕÀ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÀ = A1 B1 A2 B2 : : : An−1 Bn−1 An Bn A1 | ËÁË ÎÁ ÎÅËÕÀ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÀ × d-ÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ H d . á ÉÍÅÎÎÏ, ÂÕÄÅÍ ÍÙÓÌÉÔØ ×ÅÒÈÎÅÅ ÏÌÕÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï (Rd )+ ËÁË ÍÏÄÅÌØ ðÕÁÎËÁÒÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ Ó ÁÂÓÏÌÀÔÏÍ ; ÔÏÇÄÁ ÔÏÞËÉ ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ A1 , A2 , : : : , An−1 , An ÒÅ×ÒÁÔÑÔÓÑ × ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ, Á ÔÏÞËÉ B1 , B2 , : : : , Bn−1 , Bn ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ oÔ ÚÅÒËÁÌÁ  | × ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á H d . äÌÑ ÏÌÎÏÔÙ ËÁÒÔÉÎÙ ÎÁÍ ÎÅ ÄÏÓÔÁÅÔ ÔÏÌØËÏ ÓÏÅÄÉÎÉÔØ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ A1 , A2 , : : : , An−1 , An × ÕËÁÚÁÎÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÍÉ ÏÔÒÅÚËÁÍÉ (Á × ËÏÎ Å | ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÍ ÏÔÒÅÚËÏÍ ÔÏÞËÕ An Ó ÔÏÞËÏÊ A1 ), ÞÔÏ ÍÙ É ÓÄÅÌÁÅÍ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÉÍ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË A1 A2 : : : An−1 An , ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÅ ÓÔÏÒÏÎÙ `Ak Ak+1 ËÏÔÏÒÏÇÏ | ÜÔÏ ÄÕÇÉ Å×ËÌÉÄÏ×ÙÈ ÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ Ó ÅÎÔÒÁÍÉ ÎÁ ÚÅÒËÁÌÅ . ðÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ

108

ç. á. çÁÌØÅÒÉÎ

ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÁÑ ÄÌÉÎÁ ÓÔÏÒÏÎÙ `A1 An ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÓÕÍÍÙ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÈ ÄÌÉÎ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÅÇÏ ÓÔÏÒÏÎ: (3) dL (`A1 An ) 6 dL (`A1 A2 ) + dL (`A2 A3 ) + : : : + dL (`An−1 An ); ÒÉÞÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ, ËÏÇÄÁ ÔÏÞËÉ A2 ; : : : ; An−1 ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÄÕÇÅ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ `A1 An , É ÉÍÅÎÎÏ × ÜÔÏÍ ÏÒÑÄËÅ (ÏÔ A2 ÄÏ An−1 ). íÙ ÓÅÊÞÁÓ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (3) × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ (1), ËÏÔÏÒÏÅ ÍÙ ËÁË ÒÁÚ É ÈÏÔÉÍ ÄÏËÁÚÁÔØ; ÜÔÉÍ ÍÙ ÚÁ×ÅÒÛÉÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÞÁÓÔÉ (A) ÔÅÏÒÅÍÙ 1. þÁÓÔØ (B) ÔÅÏÒÅÍÙ 1 (ÒÉÞÅÍ ÓÒÁÚÕ ×ÓÅ ÕÎËÔÙ) ÂÕÄÅÔ ÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÒÅ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (3) × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (ÓÍ. ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÁÂÚÁ Á). éÔÁË, ÒÏÓÔÁÑ ÓÍÅÎÁ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÄÁÓÔ ÎÁÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ! ðÅÒÅÉÛÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (1) ÔÁË: p p1 p2 p · · : : : · n−1 > n : (1.1) Æ Æ Æ Æ 1

2

n−1

÷ÏÚØÍÅÍ ÌÏÇÁÒÉÆÍ ÏÔ ÏÂÅÉÈ ÞÁÓÔÅÊ: ln pÆ1 + ln pÆ2 + : : : + ln pÆn−1 1

2

n−1

n

> ln

pn : Æn

(1.2)

óÏÇÌÁÓÎÏ ÂÉÌØÑÒÄÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÅ (2), ËÁÖÄÏÅ ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (1.2), ln pÆk (1 6 k 6 n − 1), ÅÓÔØ ÒÏÓÔÏ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÁÑ k ÄÌÉÎÁ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ `Ak Ak+1 , Á ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ln pÆn × ÒÁ×ÏÊ n ÞÁÓÔÉ | ÜÔÏ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÁÑ ÄÌÉÎÁ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ `A1 An . üË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ (1) ⇔ (3), Á Ó ÎÅÊ É ÅÒ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÔÅÏÒÅÍÙ 1 ÄÏËÁÚÁÎÁ. îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (1) ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ÅÊ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (1.1), (1.2) É (3) ÓÔÁÎÏ×ÑÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ. îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (3) ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ ÒÉ ÏÁÄÁÎÉÉ, ËÁË ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ, ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË ÏÔ A2 ÄÏ An−1 ÎÁ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÊ ÏÔÒÅÚÏË `A1 An . ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ, ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ Å×ËÌÉÄÏ×Ù ÄÕÇÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ `A2 A3 , `A3 A4 , . . . , `An−2 An−1 ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÄÕÇÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ `A A . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÔÏÞËÉ A , A , . . . , A 1 n 2 3 n−1 , ÉÍÅÎÎÏ × ÜÔÏÍ ÏÒÑÄ` ËÅ, ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÄÕÇÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ A1 An (ÒÉÓ. 9). üÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÔÒÕÄÎÙÊ ÕÎËÔ (b3) ×ÔÏÒÏÊ ÞÁÓÔÉ ÔÅÏÒÅÍÙ 1. (éÎÔÅÒÅÓÎÏ ÏÔÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÔÒÕÄÎÕÀ ÞÁÓÔØ ÔÅÏÒÅÍÙ 1 ÎÁÍ ÕÄÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ ÓÒÁÚÕ | Ó ÄÒÕÇÉÍÉ ÕÎËÔÁÍÉ ÎÁÄÏ ÅÝÅ Ï×ÏÚÉÔØÓÑ! | É ×ÓÅÇÏ ÌÉÛØ ÚÁ ÓÞÅÔ ÏÄÎÏÊ ÔÏÌØËÏ ÓÍÅÎÙ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ!) ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÉÚ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÇÏ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÔÏÞËÉ A1 , A2 , . . . , An ×ÍÅÓÔÅ Ó ÔÏÞËÁÍÉ B1 , B2 , . . . , Bn ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ ÏÔ ÚÅÒËÁÌÁ  ÌÅÖÁÔ × ÏÄÎÏÊ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ R2 , ÏÓËÏÌØËÕ ×ÓÅ Ä×ÕÍÅÒÎÙÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÂÉÌØÑÒÄÎÙÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× △ Ak Bk Ak+1

âÉÌØÑÒÄÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ

109

A3

A2

R

An

2

A1 n−1

B1

Bn

òÉÓ. 9.

B4 B3

Bn−1 `

n−1

òÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÂÉÌØÑÒÄÎÏÍ ÏÔÒÁÖÅÎÉÉ × Rn

(2 6 k 6 n − 1) É △ A1 Bn An ÏÂÑÚÁÎÙ ÓÏ×ÁÓÔØ. ÅÍ ÓÁÍÙÍ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÕÎËÔÁ (b1) ÔÅÏÒÅÍÙ 1. îÁËÏÎÅ , ÄÏËÁÖÅÍ ÕÎËÔ (b2). ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, ÔÏÞËÉ ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ ÂÉÌØÑÒÄÎÏÊ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ ÏÔ ÚÅÒËÁÌÁ  (€B -ÔÏÞËɁ) ÏÂÑÚÁÎÙ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔØ ÒÑÍÏÊ ` = R2 ∩ , ÔÁË ËÁË ÏÎÉ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ËÁË ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ  (Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÔÏÞÅË ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ), ÔÁË É ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÏÊ ÅÊ Ä×ÕÍÅÒÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ R2 (× ÓÉÌÕ ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÎÏÇÏ ×ÙÛÅ). ÷ÄÏÂÁ×ÏË, ËÁÖÄÁÑ ÔÏÞËÁ Bk , k = 1; : : : ; n − 1, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÁ ÎÁ ÒÑÍÏÊ ` ÍÅÖÄÕ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÍÉ ÒÏÅË ÉÑÍÉ pr(Ak ) É pr(Ak+1 ) ÔÏÞÅË Ak É Ak+1 ÎÁ ÒÑÍÕÀ `: ÏÔÒÅÚÏË [A′k Ak+1 ℄, ÇÄÅ A′k | ÏÂÒÁÚ ÔÏÞËÉ Ak ÒÉ ÏÔÒÁÖÅÎÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ , ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÏÔÒÅÚÏË [pr(Ak ) pr(Ak+1 )℄ × ÅÇÏ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ ÔÏÞËÅ Bk (ÍÙ ÎÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÊ ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ ÔÏÞËÉ Ak É Ak+1 ÌÅÖÁÔ ÎÁ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÊ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÒÑÍÏÊ). ðÏÓÌÅÄÎÑÑ ÔÏÞËÁ ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ ÎÁ ÚÅÒËÁÌÅ , Bn , Ñ×ÌÑÅÔÓÑ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ ÔÏÞËÏÊ ÏÔÒÅÚËÁ [pr(A1 ) pr(An )℄. ë ÔÏÍÕ ÖÅ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÔÒÅÚÏË [A′1 A2 ℄ ÌÅÖÉÔ × ÌÏÓËÏÓÔÉ R2 ×ÎÕÔÒÉ ÕÇÌÁ ∠A1 A′1 An (ÏÓËÏÌØËÕ ÔÏÞËÁ A2 ÌÅÖÉÔ ×ÎÕÔÒÉ ÄÕÇÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ `A1 An ), ÏÎ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÏÔÒÅÚÏË [pr(A1 )Bn ℄ × ÅÇÏ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ ÔÏÞËÅ B1 . ÏÞÎÏ ÔÁË ÖÅ, ÎÁÞÉÎÁÑ ÒÁÓÓÕÖÄÁÔØ ÔÅÅÒØ Ó ÔÏÞËÉ An , ÍÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÏÔÒÅÚÏË A′n An−1 ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÌÏÓËÏÓÔÉ R2 ×ÎÕÔÒÉ ÕÇÌÁ ∠An A′n A1 . üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÔÏÞËÁ Bn−1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ ÔÏÞËÏÊ ÏÔÒÅÚËÁ [Bn pr(An )℄. éÓÈÏÄÑ ÉÚ ÒÉÎÁÄÌÅÖÎÏÓÔÉ B1 ∈ [pr(A1 )Bn ℄ É Bn−1 ∈ [Bn pr(An )℄, ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ Bn ∈ [B1 Bn−1 ℄. îÏ ÔÏÞËÁ Bn ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÓÏ×ÁÓÔØ ÎÉ Ó ËÏÎ ÏÍ B1 , ÎÉ Ó ËÏÎ ÏÍ Bn−1 ÏÔÒÅÚËÁ [B1 Bn−1 ℄; ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Bn ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÏÔËÒÙÔÏÍÕ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÕ (B1 ; Bn−1 ). õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÕÎËÔÁ (b2) ÔÅÏÒÅÍÙ 1 ÄÏËÁÚÁÎÏ, É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ 1, ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÚÁ×ÅÒÛÅÎÏ.

110

ç. á. çÁÌØÅÒÉÎ 6. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÂÉÌØÑÒÄÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ

ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ A′ ÏÂÒÁÚ ÔÏÞËÉ A ÒÉ ÅÅ ÏÔÒÁÖÅÎÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÑÍÏÊ `. (îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ` | ÜÔÏ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÏÅ ÚÅÒËÁÌÏ, ÏÔ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÔÒÁÖÁÅÔÓÑ ÂÉÌØÑÒÄÎÙÊ ÛÁÒ, ÚÁÕÝÅÎÎÙÊ ÉÚ ÔÏÞËÉ A × ÔÏÞËÕ B , É ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÁÂÓÏÌÀÔ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ × ÍÏÄÅÌÉ ðÕÁÎËÁÒÅ.) ÏÇÄÁ AC = A′ C É ÆÏÒÍÕÌÕ (2) ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ B + AB : dL (A; B ) = ln A A′ B − AB ′

(2.1)

÷ ÓÌÕÞÁÅ ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÇÏ △ABC , ÆÏÒÍÕÌÁ (2.1) ×ÙÔÅËÁÅÔ ÎÅÍÅÄÌÅÎÎÏ ÉÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ dL : × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ xA = xB , ÏÜÔÏÍÕ dx = 0 É, ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ,

dL (A; B ) =

ZB p

A

dx2 + dy 2 = y

ZyB

yA

yB = (ln y) yA

dy = y

    = ln yyB = ln 22yyB = A

A

yA ) + (yB − yA ) A′B + AB = ln = ln ((yyB + A′B − AB B + yA ) − (yB − yA )

:

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÅÒØ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ △ ABC . ÏÇÄÁ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÁÑ ÒÑÍÁÑ × ÍÏÄÅÌÉ ðÕÁÎËÁÒÅ H 2 ÂÕÄÅÔ (Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ) ÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ Ó ÅÎÔÒÏÍ O ÎÁ ÁÂÓÏÌÀÔÅ `, ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ A É B . óÎÁÞÁÌÁ ÍÙ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÍ ÔÒÉ ÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ dL (A; B ). ÷×ÅÄÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ: Y X ∈ ` | ÄÉÁÍÅÔÒ ÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ , ∠AOX = ' É ∠BOX = , ∠AY X =  É ∠BY X = (ÓÍ. ×ÅÒÈÎÀÀ ÏÌÏ×ÉÎÕ ÒÉÓ. 10). ÷×ÅÄÅÍ ÔÁËÖÅ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ [AB; XY ℄ ÄÌÑ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÞÅÔÙÒÅÈ ÔÏÞÅË A; B; X; Y : AX=AY [AB; XY ℄ := BX=BY :

ìÅÍÍÁ. óÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÁÍÉ A É B :   tg '

dL (A; B ) = ln

2

  ;

tg  2   dL (A; B ) = ln tg ; tg

dL (A; B ) = ln [AB; XY ℄ :

(2.2) (2.3) (2.4)

âÉÌØÑÒÄÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ

111

B A

Y

'



 − 2

 − 2

O

X

A′

òÉÓ. 10.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÂÉÌØÑÒÄÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ ÏÌÑÒÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ x = r os , y = r sin , √

ds = dr2 + r2 d2 = rd (ÏÓËÏÌØËÕ dr = 0 ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ); ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, dL (A; B ) =

Z'

ds = y

Z'



 

  ' tg ' rd ln tg  = ln  2  ; = r sin  2 tg 2

É ÆÏÒÍÕÌÁ (2.2) ÄÏËÁÚÁÎÁ. äÁÌÅÅ, ÏÓËÏÌØËÕ '2 = 12 (`ABX ) =  É 2 = 12 (`BX ) = , ÎÁÈÏÄÉÍ ÉÚ (2.2):  

tg '   2  = ln tg  ; ln 

tg

tg 2

É ÆÏÒÍÕÌÁ (2.3) ÄÏËÁÚÁÎÁ. úÁÍÅÔÉÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ △ Y AX É △ Y BX ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÅ. ÷ÙÒÁÚÉÍ tg  É tg ÞÅÒÅÚ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ AX=AY É BX=BY , ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ:  tg   AX=AY  ln = ln :

tg

BX=BY

æÏÒÍÕÌÁ (2.4), Á Ó ÎÅÊ É ÌÅÍÍÁ, ÄÏËÁÚÁÎÁ.



112

ç. á. çÁÌØÅÒÉÎ

ÅÅÒØ ÍÙ ÇÏÔÏ×Ù Ë ÚÁ×ÅÒÛÅÎÉÀ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ 2. ðÒÏÄÌÉÍ ÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, ÒÏÈÏÄÑÝÕÀ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ A É B , Ó ×ÅÒÈÎÅÊ ÏÌÕÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÁ ÎÉÖÎÀÀ | ÏÌÕÞÉÍ ÏÌÎÕÀ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ Ó ÄÉÁÍÅÔÒÏÍ XY ∈ ` É ÅÎÔÒÏÍ O ∈ `. ðÕÓÔØ R ÅÅ ÒÁÄÉÕÓ. ÏÞËÁ A′ , ÚÅÒËÁÌØÎÙÊ ÏÂÒÁÚ ÔÏÞËÉ A, ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÎÉÖÅ ÄÉÁÍÅÔÒÁ Y X . óÏÅÄÉÎÉÍ ÔÏÞËÕ A′ Ó ÔÏÞËÏÊ B É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ (ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏ Ë ÕÖÅ ××ÅÄÅÎÎÙÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÍ ′ ∠AY X =  É ∠BY X = ) ∠AY B = ∠AXB = , ∠AXY = ∠A XY = =2 −  (ÒÉÓ. 10). ðÒÉÍÅÎÉÍ (Å×ËÌÉÄÏ×Õ) ÔÅÏÒÅÍÕ ÓÉÎÕÓÏ× Ë ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁÍ △ ABX É ′ △ A BX : AB = 2R sin = 2R sin( − ) É A′ B = 2R · sin(∠BXA′ ) = 2R sin( + ): ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ × ÄÒÏÂØ, ÓÔÏÑÝÕÀ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÆÏÒÍÕÌÙ (2):  + +  − os  + −  + A′ B + AB sin( + ) + sin( − ) 2 sin 2 2 = = = A′ B − AB sin( + ) − sin( − ) 2 sin  + −  + os  + +  − 2 2 sin  os tg  = sin os  = tg :

ðÒÉÍÅÎÑÑ Ë ÎÁÊÄÅÎÎÏÍÕ ×ÙÒÁÖÅÎÉÀ ÆÏÒÍÕÌÕ (2.3) ÉÚ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÊ ×ÙÛÅ ÌÅÍÍÙ, ÏÌÕÞÁÅÍ

     A′ B + AB p = ln ; dL (A; B ) = ln tg = ln ′ tg A B − AB Æ Ô. Å. ÆÏÒÍÕÌÕ (2). âÉÌØÑÒÄÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ.



óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

[1℄ James W. Andersen. Hyperboli Geometry. Springer-Verlag, 1999. [2℄ C. I. Delman, G. Galperin. A tale of three ir les // Mathemati s Magazine, February 2003. V. 76, No.1. P. 15{32.

113

ðÒÏÅËÔÉ×ÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÎÁ ÍÅÓÔÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ

ò. î. ëÁÒÁÓ£×

141700, Ç. äÏÌÇÏÒÕÄÎÙÊ íÏÓËÏ×ÓËÏÊ ÏÂÌ., éÎÓÔÉÔÕÔÓËÉÊ ÅÒ. 9, íÏÓËÏ×ÓËÉÊ ÆÉÚÉËÏ-ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÊ ÉÎÓÔÉÔÕÔ, ËÁÆÅÄÒÁ ×ÙÓÛÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ

1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ

÷ ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÅ ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÅÒÅ×ÏÄÑÔ ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÎÁ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ × ÔÕ ÖÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÍÙ ÎÁÊÄÅÍ ÓÏÓÏÂÙ Ñ×ÎÏÇÏ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÔÁËÉÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ. íÙ ÏÔÍÅÔÉÍ ÁÎÁÌÏÇÉÀ ÍÅÖÄÕ ÔÁËÉÍÉ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÍÉ É ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÍÉ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÍÉ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÉÌÉ, × ÛËÏÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ, Ä×ÉÖÅÎÉÑÍÉ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÍÉ ÎÁ ÍÅÓÔÅ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. üÔÁ ÁÎÁÌÏÇÉÑ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ×ÁÖÎÙÊ ËÌÁÓÓ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ × ÓÅÂÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙ ÏÔÒÁÖÅÎÉÑÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ × ÓÌÕÞÁÅ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ïÔ ÞÉÔÁÔÅÌÑ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÚÎÁËÏÍÓÔ×Ï Ó ÏÎÑÔÉÑÍÉ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ É ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÇÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ÎÁÒÉÍÅÒ, Ï ËÎÉÇÁÍ [1℄ ÉÌÉ [2℄. 2. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ

îÁÏÍÎÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÉÚ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ (ÓÍ. [1℄): ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ðÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔØÀ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÑÍÙÈ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ðÒÑÍÙÅ ÜÔÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÔÏÞËÁÍÉ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÅ ÞÅÒÅÚ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÑÍÙÍÉ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. îÁ ÌÀÂÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÏÊ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å É ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÅ ÔÏÞËÉ É ÒÑÍÙÅ ×ÙÓÅËÁÀÔ ÎÁÓÔÏÑÝÉÅ ÔÏÞËÉ É ÒÑÍÙÅ. ÁËÁÑ ÌÏÓËÏÓÔØ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÆÆÉÎÎÏÊ ËÁÒÔÏÊ. ïÎÁ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ,

114

ò. î. ëÁÒÁÓ£×

ËÒÏÍÅ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ, ËÏÔÏÒÁÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÏÊ ÒÑÍÏÊ × ÄÁÎÎÏÊ ËÁÒÔÅ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ðÒÏÅËÔÉ×ÎÙÍÉ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÍÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÅ ÉÚ ÌÀÂÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. äÌÑ ÛËÏÌØÎÏÇÏ ËÕÒÓÁ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ | ÜÔÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ x′ = a11 x + a12 y + a13 z; y′ = a21 x + a22 y + a23 z; z ′ = a31 x + a32 y + a33 z Ó ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍ ÄÅÔÅÒÍÉÎÁÎÔÏÍ ÍÁÔÒÉ Ù (aij ). äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÔÁËÏÇÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÅÓÔØ ÏÂÒÁÔÎÏÅ É ÉÚ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ ËÏÍÏÚÉ ÉÀ | ÔÏ ÅÓÔØ ÏÎÉ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÇÒÕÕ. ëÏÏÒÄÉÎÁÔÙ (x; y; z ) × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ, Á ÓÁÍÏ ÜÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï | ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ. äÌÑ ÔÏÞÅË ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÌÀÂÏÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÞÉÓÌÏ. ÁËÖÅ ÍÙ ÞÁÓÔÏ ÂÕÄÅÍ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÁÆÆÉÎÎÕÀ ËÁÒÔÕ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÕÀ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ z = 1, ÄÌÑ ÎÅÅ Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ É ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ (u; v) × ÁÆÆÉÎÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÔÁË: (u; v) → (u; v; 1); (x; y; z ) → ( xz ; yz ): 3. ïËÒÕÖÎÏÓÔØ ÎÁ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ

ðÕÓÔØ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÄÁÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ S . ÷ÙÂÅÒÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÅÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ u2 + v2 = 1: ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ Ë ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÍÕ ×ÉÄÕ, ÔÏÇÄÁ ÏÌÕÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ × ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ Q(x; y; z ) = x2 + y2 − z 2 = 0: ðÒÏÅËÔÉ×ÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÎÁ ÍÅÓÔÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÒÉ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ (x′ ; y′ ; z ′ ) × Q ÏÌÕÞÉÍ Q(x′ ; y′ ; z ′ ) = Q(x; y; z ), ÇÄÅ  | ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÞÉÓÌÏ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ  > 0. üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÅÓÌÉ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÏÓËÏÓÔØ × ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÊ

ðÒÏÅËÔÉ×ÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÎÁ ÍÅÓÔÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ

115

Q > 0 ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ, É ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÊ Q < 0 ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ. äÌÑ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÇÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ Q(x′ ; y′ ; z ′ ) ÜÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÔÏÖÅ ÄÏÌÖÎÏ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ, Á ÚÎÁÞÉÔ  > 0. õÍÎÏÖÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÅ ×ÌÉÑÅÔ ÎÁ ÏÌÕÞÁÀÝÅÅÓÑ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÏÜÔÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ  = 1. éÔÁË, ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÚÕÞÁÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ Q | ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÁËÉÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ L É ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÊ ÇÒÕÏÊ ìÏÒÅÎ Á, Ï ÁÎÁÌÏÇÉÉ Ó ÞÅÔÙÒÅÈÍÅÒÎÏÊ ÇÒÕÏÊ ìÏÒÅÎ Á (ÉÚ ÆÉÚÉËÉ) | ÇÒÕÏÊ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÍÅÖÄÕ ÉÎÅÒ ÉÁÌØÎÙÍÉ ÓÉÓÔÅÍÁÍÉ ÏÔÓÞÅÔÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ÉÍÅÅÔ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔ x2 + y2 + + z 2 − t2 . úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÂÙ ÍÙ ÉÍÅÌÉ ÄÅÌÏ Ó Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ Q′ = x2 + 2 + y + z 2 (ÜÔÏ ÓËÁÌÑÒÎÙÊ Ë×ÁÄÒÁÔ ×ÅËÔÏÒÁ), ÔÏ ÔÏÇÄÁ Õ ÎÁÓ ÏÌÕÞÉÌÁÓØ ÂÙ ÎÅ ÇÒÕÁ ìÏÒÅÎ Á, Á ÏÂÙÞÎÁÑ ÇÒÕÁ Ä×ÉÖÅÎÉÊ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÎÁ ÍÅÓÔÅ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. ÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÍÙ Õ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÁÎÁÌÏÇÉÑ ÍÅÖÄÕ Q′ (ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ó ÆÏÒÍÏÊ Q′ Å×ËÌÉÄÏ×ÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ) É Q (ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ó ÆÏÒÍÏÊ Q ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ íÉÎËÏ×ÓËÏÇÏ ) ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÒÉ ÉÚÕÞÅÎÉÉ Q ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÆÁËÔÙ ÉÚ ÓÔÅÒÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÏÔÎÏÓÑÝÉÅÓÑ Ë Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ. ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ Q′ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ Å×ËÌÉÄÏ×Ï ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ((x1 ; y1 ; z1 ); (x2 ; y2 ; z2 ))′ = = 12 (Q′ (x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) − Q′ (x1 ; y1 ; z1 ) − Q′ (x2 ; y2 ; z2 )) = = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ; ËÏÔÏÒÏÅ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÏÎÑÔÉÀ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÏÓÔÉ ×ÅËÔÏÒÏ× × Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ðÏ ÁÎÁÌÏÇÉÉ ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ((x1 ; y1 ; z1 ); (x2 ; y2 ; z2 )) = = 21 (Q(x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) − Q(x1 ; y1 ; z1 ) − Q(x2 ; y2 ; z2 )) = = x1 x2 + y1 y2 − z1 z2 : îÁÚÏ×ÅÍ ÜÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÓËÁÌÑÒÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ íÉÎËÏ×ÓËÏÇÏ. ïÎÏ ÂÕÄÅÔ ÏÓÎÏ×ÎÙÍ ÉÎÓÔÒÕÍÅÎÔÏÍ × ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑÈ. åÓÌÉ ÄÌÑ Ä×ÕÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ (a; b) = 0 ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ×ÅËÔÏÒÙ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙ. üÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÄÏÍÎÏÖÅÎÉÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ×ÅËÔÏÒÏ× ÎÁ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ÞÉÓÌÁ, Á ÚÎÁÞÉÔ Õ ÎÁÓ ÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÏÎÑÔÉÅ:

116

ò. î. ëÁÒÁÓ£×

ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ÏÞËÉ a É b ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S , ÅÓÌÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÉÍ ×ÅË-

ÔÏÒÙ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á a É b ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙ × ÓËÁÌÑÒÎÏÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ íÉÎËÏ×ÓËÏÇÏ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÍ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S . úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S × ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ ËÁË (s; s) = 0. ëÁË É × ÓÌÕÞÁÅ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅËÔÏÒÏ×, ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÈ ÄÁÎÎÏÍÕ, ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÌÏÓËÏÓÔØ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ, ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÒÑÍÕÀ, ÏÎÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÌÑÒÏÊ ÔÏÞËÉ. äÏËÁÖÅÍ ÌÅÍÍÕ: ìÅÍÍÁ 1. ðÕÓÔØ l | ËÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ Ë ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S × ÔÏÞËÅ p. ÏÇÄÁ ÒÑÍÁÑ l | ÏÌÑÒÁ ÔÏÞËÉ p. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ ÔÏÞËÅ p ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ×ÅËÔÏÒ p × ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ðÕÓÔØ q | ÌÀÂÁÑ ÄÒÕÇÁÑ ÔÏÞËÁ l Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ q. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ÒÏÔÉ×ÎÏÅ, ÔÏ ÅÓÔØ (p; q) = m 6= 0: q) É ÏÌÕÞÉÍ ÷ÓÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ (p; p) = 0, ÔÏÇÄÁ ÏÌÏÖÉÍ n = (q; 2m

(q − np; q − np) = (q; q) − 2n(p; q ) = (q; q ) − 2nm = 0: éÔÁË, ÍÙ ÉÍÅÅÍ ×ÅËÔÏÒ q′ = q − np, ÎÅËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙÊ p. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÅÍÕ ÔÏÞËÁ q′ 6= p ÌÅÖÉÔ ÎÁ l É ÎÁ S | ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. éÚ ÜÔÏÊ ÌÅÍÍÙ ÍÏÖÎÏ ×Ù×ÅÓÔÉ É ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÌÅÍÍÕ, ÏÚ×ÏÌÑÀÝÕÀ Ñ×ÎÏ ÓÔÒÏÉÔØ ÏÌÑÒÕ ÔÏÞËÉ: ìÅÍÍÁ 2. ðÕÓÔØ ÔÏÞËÁ p ÌÅÖÉÔ ×ÎÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S , l1 É l2 | ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÅ Ë S , ËÁÓÁÀÝÉÅÓÑ ÅÅ × ÔÏÞËÁÈ q1 É q2 É ÒÏÈÏÄÑÝÉÅ ÞÅÒÅÚ p. ÏÇÄÁ ÏÌÑÒÁ ÔÏÞËÉ p | ÜÔÏ ÒÑÍÁÑ , ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ q1 É q2 .

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÊ ÌÅÍÍÙ ÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ ÄÌÑ ÞÉÔÁÔÅÌÑ. 4. óÉÍÍÅÔÒÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ

éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÍÎÏÇÏ Å×ËÌÉÄÏ×ÙÈ Ä×ÉÖÅÎÉÊ, ÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÎÁ ÍÅÓÔÅ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÏÜÔÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ÏÖÉÄÁÔØ, ÞÔÏ × ÇÒÕÅ ìÏÒÅÎ Á ÂÕÄÅÔ ÍÎÏÇÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ. îÁÞÎÅÍ ÓÔÒÏÉÔØ ÔÁËÉÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ Ñ×ÎÏ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÁÎÁÌÏÇÉÀ Ó Å×ËÌÉÄÏ×ÙÍÉ Ä×ÉÖÅÎÉÑÍÉ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÄÎÏ ÉÚ ÓÁÍÙÈ ÒÏÓÔÙÈ Ä×ÉÖÅÎÉÊ | ÓÉÍÍÅÔÒÉÀ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ.

ðÒÏÅËÔÉ×ÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÎÁ ÍÅÓÔÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ

117

ðÕÓÔØ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÄÁÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ , ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÁÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÍÕ ×ÅËÔÏÒÕ v . ÏÇÄÁ ÓÉÍÍÅÔÒÉÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ  ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (ÒÏ×ÅÒØÔÅ!) v) x′ = x − 2 ((x; v: v; v )′ ′

úÁÍÅÎÉ× × ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÅ Å×ËÌÉÄÏ×Ï ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÎÁ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ íÉÎËÏ×ÓËÏÇÏ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÅ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ v Ó (v; v ) 6= 0 v) v : x → x − 2 ((x; v: v; v )

óÌÅÄÕÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á v ÒÏ×ÅÒÑÀÔÓÑ ÒÑÍÙÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅÍ: 1. v (x) = x ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ (x; v ) = 0; 2. v (x) = −x ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ x = v, ÇÄÅ  ∈ R ;

3. ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ íÉÎËÏ×ÓËÏÇÏ ÓÏÈÒÁÎÑÅÔÓÑ ÒÉ ÜÔÏÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÏÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÏ×ÁÔØ ÔÁË: 1. v (x) = x ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÌÉÂÏ x É v Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ S , ÌÉÂÏ x = v; 2. ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ S ÒÉ ÜÔÏÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ ÅÒÅÈÏÄÉÔ × ÓÅÂÑ É ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÔÏÞÅË ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÒÉ ÜÔÏÍ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÏÒÏÓ Ï ÔÏÍ, ËÁË ÎÁÊÔÉ ÏÂÒÁÚ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ x ÒÉ ÜÔÏÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ. óÎÁÞÁÌÁ ÒÁÚÂÅÒÅÍ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ ÔÏÞËÁ x ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÞÅÒÅÚ v É x ÒÑÍÕÀ l. åÓÌÉ ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ Ë ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S , ÔÏ Ï ÌÅÍÍÅ 1 v (x) = x. éÎÁÞÅ, l ÅÒÅÓÅËÁÅÔ S × Ä×ÕÈ ÔÏÞËÁÈ: x É ÎÅËÏÔÏÒÏÊ x′ . ÏÞËÁ v (x) ÏÂÑÚÁÎÁ ÌÅÖÁÔØ É ÎÁ l, É ÎÁ S , ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÏÎÁ ÎÅ ÒÁ×ÎÁ x, ÏÜÔÏÍÕ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ x′ = v (x). ÅÅÒØ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ x ÎÅ ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÞÅÒÅÚ x Ä×Å ÒÑÍÙÅ: l, ÅÒÅÓÅËÁÀÝÕÀ S × ÔÏÞËÁÈ a É b; m, ÅÒÅÓÅËÁÀÝÕÀ S × ÔÏÞËÁÈ É d. íÙ ÍÏÖÅÍ ÎÁÊÔÉ ÏÂÒÁÚÙ ÔÏÞÅË a, b, , d, ÒÏ×ÅÓÔÉ ÞÅÒÅÚ ÁÒÙ ÔÏÞÅË ÒÑÍÙÅ v (l) É v (m), Á ÔÏÞËÁ ÉÈ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ É ÂÕÄÅÔ ÉÓËÏÍÏÊ x′ = v (x) (ÓÍ. ÒÉÓ. 1). ÅÅÒØ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÕÖÅ × ÓÏÓÔÏÑÎÉÉ ÄÏËÁÚÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÌÅÍÍÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÂÙ×ÁÅÔ ×ÅÓØÍÁ ÏÌÅÚÎÁ ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞ, × ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÏÄÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ É ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÑÍÙÈ:

118

ò. î. ëÁÒÁÓ£×

′

a′ a x

x′

b′

d

b

v

d′

òÉÓ. 1.

ìÅÍÍÁ 3. ìÀÂÕÀ ÔÏÞËÕ ×ÎÕÔÒÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S ÍÏÖÎÏ ÅÒÅ×ÅÓÔÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ v × ÅÎÔÒ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S . ìÀÂÕÀ ÒÑÍÕÀ , ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÝÕÀ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ S , ÍÏÖÎÏ ÅÒÅ×ÅÓÔÉ × ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÕÀ ÒÑÍÕÀ. 5. òÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞ

éÚÌÏÖÅÎÎÙÅ ×ÙÛÅ Ó×ÅÄÅÎÉÑ Ï ÓÉÍÍÅÔÒÉÑÈ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÉÚ ÇÒÕÙ ìÏÒÅÎ Á ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÍÇÎÏ×ÅÎÎÏ ÒÅÛÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ: úÁÄÁÞÁ 1. ðÕÓÔØ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S ÄÁÎÙ 4 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞËÉ a, b, É d. ïÒÅÄÅÌÉÍ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ x = a ∩ bd, y = ab ∩ d, z = = ad ∩ b . ÏÇÄÁ ×ÓÅ ÔÒÉ ÔÏÞËÉ x, y, z Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ (ÓÍ. ÒÉÓ. 2). üÔÁ ÚÁÄÁÞÁ ÌÅÇËÏ ÒÅÛÁÅÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ x ÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÁ ÍÅÓÔÅ ÔÏÞËÉ y É z ; ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÄÌÑ y É z . úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ×ÅËÔÏÒÙ x, y, z ÚÁÄÁÀÔ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓ ÄÌÑ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ íÉÎËÏ×ÓËÏÇÏ × ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ÅÅÒØ ÒÏÁÎÁÌÉÚÉÒÕÅÍ ÓÍÙÓÌ ÔÅÏÒÅÍÙ ðÁÓËÁÌÑ Ï ×ÉÓÁÎÎÏÍ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÉËÅ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÓÉÍÍÅÔÒÉÊ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ íÉÎËÏ×ÓËÏÇÏ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÁÍ ÎÁÄÏ ×ÙÑÓÎÉÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÓÉÍÍÅÔÒÉÊ. îÁÞÎÅÍ Ó ÓÉÍÍÅÔÒÉÊ × ÏÂÙÞÎÏÍ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÏÍÏÚÉ ÉÑ Ä×ÕÈ ÓÉÍÍÅÔÒÉÊ | ÜÔÏ ×ÒÁÝÅÎÉÅ ×ÏËÒÕÇ ÒÑÍÏÊ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÌÏÓËÏ-

ðÒÏÅËÔÉ×ÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÎÁ ÍÅÓÔÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ

119

ÓÔÅÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÕÇÏÌ. Ï ÖÅ ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÊ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ íÉÎËÏ×ÓËÏÇÏ, ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÏÄ €×ÒÁÝÅÎÉǺ ÎÕÖÎÏ ÏÎÉÍÁÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÉÎÏÅ ÏÎÑÔÉÅ. åÓÌÉ ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ËÏÍÏÚÉ ÉÀ ÔÒÅÈ ÓÉÍÍÅÔÒÉÊ, ÔÏ × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÜÔÏ ÅÝÅ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ, ÏÄÎÁËÏ ÅÓÔØ ÏÄÉÎ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ ÓÉÔÕÁ ÉÑ ÕÒÏÝÁÅÔÓÑ: ÜÔÏ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ ×ÓÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÓÉÍÍÅÔÒÉÊ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÑÍÁÑ, ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÁÑ ×ÓÅÍ ÔÒÅÍ ×ÅËÔÏÒÁÍ, ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÎÁ ÍÅÓÔÅ ÒÉ ×ÓÅÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÈ, É ÎÁÍ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ×ÙÑÓÎÉÔØ, ËÁË ÕÓÔÒÏÅÎÁ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÔÒÅÈ ÓÉÍÍÅÔÒÉÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÑÍÙÈ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ìÅÇËÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÜÔÁ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÔÏÖÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÒÑÍÏÊ. äÌÑ ÓÌÕÞÁÑ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ íÉÎËÏ×ÓËÏÇÏ ×ÅÒÎÏ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ: ìÅÍÍÁ 4. åÓÌÉ ÔÒÉ ×ÅËÔÏÒÁ x, y, z ËÏÍÌÁÎÁÒÎÙ, ÔÏ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ z ◦ y ◦ x | ÜÔÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ t ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ t, ËÏÍÌÁÎÁÒÎÏÇÏ x, y, z . äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ ×ÅËÔÏÒÙ x, y, z ÎÅ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ, ÉÎÁÞÅ ×ÓÅ ÔÒÉ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ É ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ. ðÕÓÔØ ×ÓÅ ÔÒÉ ×ÅËÔÏÒÁ ÌÅÖÁÔ × ÌÏÓËÏÓÔÉ . íÏÖÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÌÏÓËÏÓÔØ  ÅÒÅÈÏÄÉÔ ÓÁÍÁ × ÓÅÂÑ. äÁÌÅÅ ÂÕÄÅÍ ÒÁÂÏÔÁÔØ × ÌÏÓËÏÓÔÉ . ëÁÖÄÁÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÑ ÚÁÄÁÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ × ÜÔÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÅÎÑÅÔ ÅÅ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÀ, ÉÌÉ, ÂÏÌÅÅ ÓÔÒÏÇÏ, ÉÍÅÅÔ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÊ ÄÅÔÅÒÍÉÎÁÎÔ. ëÏÍÏÚÉ ÉÑ ÔÒÅÈ ÔÁËÉÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÔÏÖÅ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÊ ÄÅÔÅÒÍÉÎÁÎÔ. z

a

x

y b d òÉÓ. 2.

120

ò. î. ëÁÒÁÓ£×

ÅÅÒØ ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅÍ, ÞÔÏ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ Ó ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÍ ÄÅÔÅÒÍÉÎÁÎÔÏÍ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ×ÅËÔÏÒ t′ × ÓÏÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÙÊ ÓÅÂÅ É ÏÄÉÎ ×ÅËÔÏÒ t × ÒÏÔÉ×ÏÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÙÊ ÓÁÍÏÍÕ ÓÅÂÅ. üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÒÑÍÙÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅÍ; ÄÌÑ ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ, ÚÎÁËÏÍÙÈ Ó ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÏÊ, ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ Õ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÅÓÔØ Ä×Á ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ËÏÒÎÑ ÒÁÚÎÙÈ ÚÎÁËÏ×. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ä×Á ÓÌÕÞÁÑ: 1. Q(t) = 0: ÌÏÓËÏÓÔØ  ÍÏÖÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÎÅ ÂÏÌÅÅ Ä×ÕÈ ÎÅËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× Ó ÎÕÌÅ×ÙÍ ÓËÁÌÑÒÎÙÍ Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ. åÓÌÉ ÉÈ Ä×Á, ÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÑ ÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÉÈ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ É ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÔÒÅÈ ÓÉÍÍÅÔÒÉÊ ÔÏÖÅ ÅÒÅÓÔÁ×ÉÔ ÉÈ, × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ t ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÎÉÈ. åÓÌÉ ÔÁËÏÊ ×ÅËÔÏÒ × ÌÏÓËÏÓÔÉ ÏÄÉÎ, ÔÏ Ï ÌÅÍÍÅ 1 ÏÎ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌÅÎ ÌÀÂÏÍÕ ×ÅËÔÏÒÕ ÉÚ , ÚÎÁÞÉÔ, ÒÉ ËÁÖÄÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ ÏÎ ÅÒÅ×ÏÄÉÔÓÑ × ÓÅÂÑ É ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÏÍÅÎÑÔØ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ, ÔÏ ÅÓÔØ ÜÔÏ ÎÅ t. 2. Q(t) 6= 0: × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ Q(t) É Q(t′ ) ÎÅ ÍÅÎÑÀÔÓÑ ÒÉ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÓÉÍÍÅÔÒÉÊ, ÚÎÁÞÉÔ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ×ÁÒÉÁÎÔ z ◦ y ◦ x(t) = −t É z ◦ y ◦ x (t′ ) = t′ , × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ (t; t′ ) = (z ◦ y ◦ x (t); z ◦ y ◦ x (t′ )) = (t; −t′ ) = −(t; t′ ); ÚÎÁÞÉÔ (t; t′ ) = 0 É t | ÉÓËÏÍÙÊ ×ÅËÔÏÒ. ÁË ËÁË ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ t ◦ t Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ, ÔÏ ËÁË ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÉÚ ÜÔÏÊ ÌÅÍÍÙ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ z ◦ y ◦ x ◦ z ◦ y ◦ x | ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ. üÔÏ ÏÍÏÇÁÅÔ ÎÁÍ ÄÏËÁÚÁÔØ ÌÅÍÍÕ: ìÅÍÍÁ 5. ðÕÓÔØ ÔÏÞËÉ x, y , z ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ É ÎÅ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S . ðÕÓÔØ ÒÁÚÎÙÅ ÔÏÞËÉ a, b, , d, e, f ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S É ÒÉ ÜÔÏÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÔÒÏÊËÉ ÔÏÞÅË ËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙ: (x; a; b), (y; b; ), (z; ; d), (x; d; e) É (y; e; f ) (ÓÍ. ÒÉÓ. 3). ÏÇÄÁ ÔÏÞËÉ z , f , a ÔÏÖÅ

ËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙ.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÉÔÁÔÅÌÀ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ z ◦ y ◦ x ◦ z ◦ y ◦ x ÎÁ ÔÏÞËÕ a. éÚ ÌÅÍÍÙ 5 ÞÉÔÁÔÅÌØ ÌÅÇËÏ ×Ù×ÅÄÅÔ ÔÅÏÒÅÍÕ ðÁÓËÁÌÑ: ÅÏÒÅÍÁ (ðÁÓËÁÌÑ). ðÕÓÔØ ÒÁÚÎÙÅ ÔÏÞËÉ a, b, , d, e, f ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. ÏÇÄÁ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ x = ab ∩ de, y = b ∩ ef É z = d ∩ fa ËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÅÒØ ÅÝÅ ÏÄÎÕ ÚÁÄÁÞÕ:

ðÒÏÅËÔÉ×ÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÎÁ ÍÅÓÔÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ

121

z

b

y

f d

e

a

x òÉÓ. 3.

úÁÄÁÞÁ 2. ðÕÓÔØ ×ÎÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S ÄÁÎÙ ÒÁÚÎÙÅ ÔÏÞËÉ x, y, z , x′ , y , z ′ , ÒÉ ÜÔÏÍ ÔÏÞËÁ x Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÁ y′ É z ′ , y Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÁ x′ É z ′ , z Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÁ y′ É x′ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S . äÏËÁÖÉÔÅ , ÞÔÏ ÒÑÍÙÅ x′ x, y′ y, z ′ z ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ. ′

þÔÏÂÙ ÒÅÛÉÔØ ÜÔÕ ÚÁÄÁÞÕ, ÅÒÅÊÄÅÍ × ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï É ÄÌÑ ÎÁÞÁÌÁ ÏÔÒÅÎÉÒÕÅÍÓÑ ÎÁ ÓÌÕÞÁÅ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÇÏ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ ×ÓÅ ÓËÁÌÑÒÎÙÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ (x; y )′ , (y; z )′ , (z; x)′ ÎÅ ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ. ÏÇÄÁ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÔÒÅÈÇÒÁÎÎÙÊ ÕÇÏÌ Ó ÒÅÂÒÁÍÉ ×ÄÏÌØ x, y É z . ðÌÏÓËÏÓÔØ x′ x ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ yz , y′ y ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÁ xz , z ′ z ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÁ xy. éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÌÏÓËÏÓÔÉ x′ x, y′ y É z ′ z | ÜÔÏ €×ÙÓÏÔف ÔÒÅÈÇÒÁÎÎÏÇÏ ÕÇÌÁ. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÎÉ ÂÕÄÕÔ ÅÒÅÓÅËÁÔØÓÑ Ï ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÒÑÍÏÊ | ÜÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ Ó×ÅÓÔÉ Ë ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ×ÙÓÏÔÁÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÅÞÅÎÉÑ ÌÏÓËÏÓÔØÀ É ÁËÔÉ×ÎÏÇÏ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÔÒÅÈ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÁÈ. üÔÉ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ × ÒÉÎ ÉÅ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÎÅÓÔÉ É ÎÁ ÓÌÕÞÁÊ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ íÉÎËÏ×ÓËÏÇÏ, ÎÏ ÍÙ ÎÁÊÄÅÍ ÂÏÌÅÅ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÕÖÅ Ñ×ÎÏ ÂÕÄÅÔ ÒÏÈÏÄÉÔØ × ÓÌÕÞÁÅ ÌÀÂÏÇÏ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÚÁ x′′ ×ÅËÔÏÒ, ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÊ x É x′ , ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ y′′ É z ′′ . õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ×ÅËÔÏÒÙ x′′ , y′′ , z ′′ ËÏÍÌÁÎÁÒÎÙ. îÁÊÄÅÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÜÔÉÈ ×ÅËÔÏÒÏ× × ÂÁÚÉÓÅ (x; y; z ). úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÉÚ ÓËÁÌÑÒÎÙÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ (x; y ), (y; z ), (z; x) ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ ÒÁ×ÎÏ ÎÕÌÀ, ÉÎÁÞÅ ÂÙ ÍÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ÏÄÎÏ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ× x = x′ ,

122

ò. î. ëÁÒÁÓ£×

y = y′ , z = z ′ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ×ÅËÔÏÒÏ× ÎÁ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ. îÁÊÄÅÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ x′′ . ÁË ËÁË (x′′ ; x′ ) = 0, ÔÏ x′′ ÌÅÖÉÔ × ÌÏÓËÏÓÔÉ ×ÅËÔÏÒÏ× y É z , ÔÏ ÅÓÔØ x′′ = ay + bz . úÁÉÛÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ 0 = (x; x′′ ) = a(x; y) + b(x; z ): ïÄÎÏ ÉÚ ÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÊ ÄÁÅÔ ÎÁÍ x′′ = (x; z )y − (x; y)z . áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ y′′ = (x; y)z − (y; z )x, z ′′ = (y; z )x − (x; z )y . ëÏÍÌÁÎÁÒÎÏÓÔØ ×ÅËÔÏÒÏ× ÔÅÅÒØ ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÏÓÔÏ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÉÈ ÓÕÍÍÁ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ. ÷ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÒÅÄÌÏÖÉÍ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÁÒÕ ÚÁÄÁÞ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ, ÅÒ×ÕÀ ÉÚ ÎÉÈ ÍÏÖÎÏ ÌÅÇËÏ ÒÅÛÉÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÉÚÌÏÖÅÎÎÏÊ ×ÙÛÅ ÔÅÈÎÉËÉ, ÎÁÄ ×ÔÏÒÏÊ ÖÅ ÒÉÄÅÔÓÑ ÎÅÍÎÏÇÏ ÏÄÕÍÁÔØ: úÁÄÁÞÁ 3. äÁÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ S É ÔÏÞËÉ a É b ×ÎÅ ÅÅ. ÷ÏÚØÍÅÍ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÕ x, ÕÓÔØ ÒÑÍÙÅ ax É bx ÅÒÅÓÅËÁÀÔ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÔÁËÖÅ × ÔÏÞËÁÈ ax É bx , ÎÅ ÓÞÉÔÁÑ ÔÏÞËÉ x. ðÏÓÔÒÏÉÔØ ÉÒËÕÌÅÍ É ÌÉÎÅÊËÏÊ ÔÏÞËÕ x ÔÁË , ÞÔÏÂÙ ÒÑÍÁÑ ax bx ÂÙÌÁ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÁ ab. úÁÄÁÞÁ 4. äÁÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ S , ÔÏÞËÉ a É b ×ÎÅ ÅÅ É ÒÑÍÁÑ l. ÷ÏÚØÍÅÍ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÕ x, ÕÓÔØ ÒÑÍÙÅ ax É bx ÅÒÅÓÅËÁÀÔ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÔÁËÖÅ × ÔÏÞËÁÈ ax É bx , ÎÅ ÓÞÉÔÁÑ ÔÏÞËÉ x. ðÏÓÔÒÏÉÔØ ÉÒËÕÌÅÍ É ÌÉÎÅÊËÏÊ ÔÏÞËÕ x ÔÁË , ÞÔÏÂÙ ÒÑÍÁÑ ax bx ÂÙÌÁ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÁ l. óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

[1℄ áÌÅËÓÁÎÄÒÏ× á. ä., îÅ ×ÅÔÁÅ× î. à. çÅÏÍÅÔÒÉÑ. í.: îÁÕËÁ, 1990. [2℄ ðÒÁÓÏÌÏ× ÷. ÷. óÂÏÒÎÉË ÚÁÄÁÞ Ï ÌÁÎÉÍÅÔÒÉÉ. éÚÄ. 4-Å. í.: íãîíï, 2001.

123

ï ÏÓÔÒÏÕÇÏÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁÈ

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ ïÓÔÒÏÕÇÏÌØÎÙÍÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ×ÙÕËÌÙÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ, ×ÓÅ Ä×ÕÇÒÁÎÎÙÅ ÕÇÌÙ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÓÔÒÙÅ ÉÌÉ ÒÑÍÙÅ. ïÓÔÒÏÕÇÏÌØÎÙÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ × Å×ËÌÉÄÏ×ÙÈ É ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ ÌÀÂÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ËÌÁÓÓÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÌ ç. ó. í. ëÏËÓÔÅÒ [4℄. ïËÁÚÁÌÏÓØ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÏÎÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÉÍÌÅËÓÁÍÉ ÎÁ ÓÆÅÒÁÈ ÉÌÉ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑÍÉ ÓÉÍÌÅËÓÏ× × Å×ËÌÉÄÏ×ÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ. îÁÒÉÍÅÒ, ÏÓÔÒÏÕÇÏÌØÎÙÅ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÉ ÎÁ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÔÏÌØËÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁÍÉ (Ä×ÕÍÅÒÎÙÍÉ ÓÉÍÌÅËÓÁÍÉ) ÉÌÉ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÁÍÉ (ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑÍÉ Ä×ÕÈ ÏÔÒÅÚËÏ× | ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÈ ÓÉÍÌÅËÓÏ×). ïÓÔÒÏÕÇÏÌØÎÙÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÔÏÌØËÏ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁÍÉ (ÔÒÅÈÍÅÒÎÙÍÉ ÓÉÍÌÅËÓÁÍÉ), ÔÒÅÕÇÏÌØÎÙÍÉ ÒÉÚÍÁÍÉ (ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑÍÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÏÔÒÅÚËÁ) ÉÌÉ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÍÉ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁÍÉ (ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑÍÉ ÔÒÅÈ ÏÔÒÅÚËÏ×). ëÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÑ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× ëÏËÓÔÅÒÁ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ ÂÙÌÁ ÒÏ×ÅÄÅÎÁ å. í. áÎÄÒÅÅ×ÙÍ [1℄; ÏÎ ÖÅ ÄÏËÁÚÁÌ, ÞÔÏ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ ÌÀÂÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÅÓÍÅÖÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ ÏÓÔÒÏÕÇÏÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ [2℄. ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ ÔÁËÖÅ × Å×ËÌÉÄÏ×ÙÈ É ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ: ÜÔÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅÍ ËÏËÓÔÅÒÏ×ÓËÏÊ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ. ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÓÔÁÔØÅ ÍÙ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÒÏÓÔÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ, ÎÅ ÏÉÒÁÀÝÅÅÓÑ ÎÁ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ëÏËÓÔÅÒÁ É ÒÉÍÅÎÉÍÏÅ ×Ï ×ÓÅÈ ÔÒÅÈ ÔÉÁÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×. ÷ ÓÔÁÔØÅ [3℄ × ÒÏÛÌÏÍ ×ÙÕÓËÅ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс ÂÙÌÁ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÑ ÏÓÔÒÏÕÇÏÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× × Å×ËÌÉÄÏ×ÙÈ É ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ, ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ ÏÔÌÉÞÎÙÍ ÏÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÎÏÇÏ ëÏËÓÔÅÒÏÍ ÍÅÔÏÄÏÍ. üÔÏÔ ÍÅÔÏÄ ÏÓÎÏ×Ù×ÁÌÓÑ ÎÁ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÉ ÓÉÓÔÅÍÙ ÎÏÒÍÁÌÅÊ Ë ÇÒÁÎÑÍ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ. ïÄÎÁËÏ ÒÉ ÜÔÏÍ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÏÓØ ÂÏÌÅÅ ÓÉÌØÎÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÏÓÔÒÏÕÇÏÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ, ÞÔÏÂÙ ÕÇÌÙ ÍÅÖÄÕ ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÍÉÓÑ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÑÍÉ ÅÇÏ ÌÀÂÙÈ, Á ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÓÍÅÖÎÙÈ, ÇÒÁÎÅÊ ÂÙÌÉ ÎÅÔÕÙÍÉ. (õÇÌÏÍ ÍÅÖÄÕ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÑÍÉ ÇÒÁÎÅÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÏÔ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÏÂÒÁÚÕÅÍÙÈ ÉÍÉ Ä×ÕÇÒÁÎÎÙÈ ÕÇÌÏ×, ËÏÔÏÒÙÊ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÎÕÔÒÉ ÓÅÂÑ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË.) é ÈÏÔÑ ÜÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÏÓÎÏ×ÎÏÍÕ (ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ËÁË ÕÖÅ ÂÙÌÏ

124

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

ÕÏÍÑÎÕÔÏ ×ÙÛÅ, ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÅÓÍÅÖÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ ÏÓÔÒÏÕÇÏÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ), ÎÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÊ, ÎÅ ÏÉÒÁÀÝÅÇÏÓÑ ÎÁ ËÏËÓÔÅÒÏ×ÓËÕÀ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÀ, Á×ÔÏÒÕ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÎÅ ÂÙÌÏ. ïÄÎÁËÏ ×ÓËÏÒÏÓÔÉ ÏÓÌÅ ×ÙÈÏÄÁ ÓÔÁÔØÉ ÏÄÔ×ÅÒÄÉÌÁÓØ ÎÅÂÅÚÏÓÎÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÔÁÒÏÊ ÛÕÔËÉ, ÂÙÔÕÀÝÅÊ × ÓÒÅÄÅ ÍÏÓËÏ×ÓËÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×: ÞÔÏÂÙ ÕÚÎÁÔØ ÒÅÛÅÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÚÁÄÁÞÉ, ÎÕÖÎÏ ÒÅÄÌÏÖÉÔØ ÅÅ ÕÞÁÓÔÎÉËÁÍ íÏÓËÏ×ÓËÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÙ. îÁ LXVI ííï × ÍÁÒÔÅ 2003 Ç. ÛËÏÌØÎÉËÁÍ ÂÙÌÁ ÒÅÄÌÏÖÅÎÁ ÚÁÄÁÞÁ: €õ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÊ Ä×ÕÇÒÁÎÎÙÊ ÕÇÏÌ ÒÉ ËÁÖÄÏÍ ÒÅÂÒÅ ÏÓÔÒÙÊ. óËÏÌØËÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÇÒÁÎÅÊ Õ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ?. æÁËÔÉÞÅÓËÉ ÒÅÄÌÁÇÁÌÏÓØ ÏÉÓÁÔØ ÔÒÅÈÍÅÒÎÙÅ Å×ËÌÉÄÏ×Ù ÏÓÔÒÏÕÇÏÌØÎÙÅ (ÒÁ×ÄÁ, ÏÓÔÒÏÕÇÏÌØÎÙÅ × ÓÔÒÏÇÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, Ô. Å. ÎÅ ÄÏÕÓËÁÀÝÉÅ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÔÕÙÈ, ÎÏ É ÒÑÍÙÈ Ä×ÕÇÒÁÎÎÙÈ ÕÇÌÏ×) ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ. éÚ ÕÏÍÑÎÕÔÏÊ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÔÁËÉÍÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁÍÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÔÏÌØËÏ ÔÅÔÒÁÜÄÒÙ, ÎÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÇÏ ÆÁËÔÁ, ÎÅ ÉÓÏÌØÚÕÀÝÅÅ ÏÂÝÅÇÏ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÏÎÎÏÇÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ, ÏÔÎÀÄØ ÎÅ ÒÏÓÔÏ. îÅÕÄÉ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÞÔÏ ÎÁ ÏÌÉÍÉÁÄÅ ÚÁÄÁÞÕ ÒÅÛÉÌÉ ×ÓÅÇÏ Ä×ÏÅ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ×. ïÄÉÎ ÉÚ ÎÉÈ | ÕÞÅÎÉË 11 ËÌÁÓÓÁ íÉÈÁÉÌ òÁÓËÉÎ | ÚÁÍÅÔÉÌ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÏÓÔÒÏÕÇÏÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×: ÉÈ ÒÏÅË ÉÑ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ ÌÀÂÏÊ Ó×ÏÅÊ ÇÒÁÎÉ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÜÔÏÊ ÇÒÁÎØÀ. üÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÍÏÖÅÔ ÓÌÕÖÉÔØ ÅÝÅ ÏÄÎÉÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ ÏÓÔÒÏÕÇÏÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ, É ÅÇÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÄÁÅÔ ÒÏÓÔÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏÓÔÉ Ä×ÕÈ ÄÒÕÇÉÈ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÊ. üÔÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÍÙ ÉÚÌÏÖÉÍ ÎÉÖÅ. äÌÑ ÎÁÇÌÑÄÎÏÓÔÉ ÒÏ×ÅÄÅÍ ÅÇÏ ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÑ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÚÁÍÅÔÉ× ÌÉÛØ, ÞÔÏ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÎÁ ÓÌÕÞÁÊ ÌÀÂÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÕÔÅÍ ÏÞÅ×ÉÄÎÏÊ ÚÁÍÅÎÙ ×ÓÅÈ ÔÒÅÈÍÅÒÎÙÈ ÏÂßÅËÔÏ× ÎÁ ÉÈ n-ÍÅÒÎÙÅ ÁÎÁÌÏÇÉ, Ä×ÕÍÅÒÎÙÈ | ÎÁ (n − 1)-ÍÅÒÎÙÅ, Á ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÈ | ÎÁ (n − 2)-ÍÅÒÎÙÅ. þÉÔÁÔÅÌØ, ÚÎÁËÏÍÙÊ Ó ÇÅÏÍÅÔÒÉÅÊ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ, ÚÁÍÅÔÉÔ, ÞÔÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÉÍÅÎÉÍÏ ÎÅ ÔÏÌØËÏ Ë ÓÌÕÞÁÀ Å×ËÌÉÄÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×, ÎÏ ÔÁËÖÅ É Ë ÓÌÕÞÁÀ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ. ÅÏÒÅÍÁ 1. óÌÅÄÕÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ×ÙÕËÌÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÙ :

1. ×ÓÅ Ä×ÕÇÒÁÎÎÙÅ ÕÇÌÙ ÎÅÔÕÙÅ ; 2. ×ÓÅ ÕÇÌÙ ÍÅÖÄÕ ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÍÉÓÑ ÌÏÓËÏÓÔÑÍÉ ÇÒÁÎÅÊ ÎÅÔÕÙÅ ; 3. ÒÏÅË ÉÑ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ ÌÀÂÏÊ ÇÒÁÎÉ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÜÔÏÊ ÇÒÁÎØÀ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. 2) ⇒ 1). ïÞÅ×ÉÄÎÏ. 1) ⇒ 3). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÇÒÁÎØ F ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ É Ä×ÕÇÒÁÎÎÙÅ ÕÇÌÙ ÒÉ ÅÅ ÓÔÏÒÏÎÁÈ (ËÏÔÏÒÙÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÅÔÕÙÍÉ Ï ÕÓÌÏ×ÉÀ). óÒÏÅËÔÉÒÕÅÍ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÜÔÉÈ ÕÇÌÏ× ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ ÇÒÁÎÉ F . üÔÁ ÌÏÓËÏÓÔØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ

ï ÏÓÔÒÏÕÇÏÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁÈ

125

ÌÏÓËÏÓÔØÀ ÇÒÁÎÉ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ Ä×ÕÇÒÁÎÎÙÈ ÕÇÌÏ×. ðÒÏÅË ÉÅÊ ÎÅÔÕÏÇÏ Ä×ÕÇÒÁÎÎÏÇÏ ÕÇÌÁ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ Ó×ÏÅÊ ÇÒÁÎÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÕÌÏÓËÏÓÔØ (ÓÁÍÁ ÇÒÁÎØ). ðÏÜÔÏÍÕ ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÒÏÅË ÉÉ ÂÕÄÕÔ Ñ×ÌÑÔØÓÑ ÏÌÕÌÏÓËÏÓÔÑÍÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÍÉ F ; ÒÉ ÜÔÏÍ ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÀÝÉÈ ÉÈ ÒÑÍÙÈ ÓÏÄÅÒÖÉÔ Ï ÏÄÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÅ ÇÒÁÎÉ F . ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅÍ ÜÔÉÈ ÏÌÕÌÏÓËÏÓÔÅÊ ÂÕÄÅÔ ÇÒÁÎØ F . ÷ ÓÉÌÕ ÕÓÌÏ×ÉÑ ×ÙÕËÌÏÓÔÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ Ä×ÕÇÒÁÎÎÙÈ ÕÇÌÏ×, Á ÚÎÁÞÉÔ, É × ÉÈ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ÅÇÏ ÒÏÅË ÉÑ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ ÒÏÅË ÉÊ ÜÔÉÈ ÕÇÌÏ×, Ô. Å. × F . ïÂÒÁÔÎÏÅ (ÇÒÁÎØ F ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÒÏÅË ÉÉ) ÏÞÅ×ÉÄÎÏ. 3) ⇒ 2). ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ÒÏÔÉ×ÎÏÅ: ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ÌÏÓËÏÓÔÑÍÉ ÇÒÁÎÅÊ F É F1 ÔÕÏÊ. ÏÇÄÁ ÒÏÅË ÉÑ ÌÀÂÏÊ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ ÔÏÞËÉ ÇÒÁÎÉ F1 ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ  ÇÒÁÎÉ F ÌÅÖÉÔ Ï ÄÒÕÇÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ ÏÔ ÌÉÎÉÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ ÜÔÉÈ ÇÒÁÎÅÊ, ÞÅÍ ÓÁÍÁ ÇÒÁÎØ F . üÔÏ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÒÏÅË ÉÑ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ  ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × F . ëÁË ÕËÁÚÁÌ Á×ÔÏÒÕ ü. â. ÷ÉÎÂÅÒÇ, ÏÈÏÖÉÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÄÏËÁÚÁÔØ É ÂÏÌÅÅ ÓÉÌØÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ | ÕÏÍÉÎÁ×ÛÕÀÓÑ ×ÙÛÅ ÔÅÏÒÅÍÕ áÎÄÒÅÅ×Á. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÜÔÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ïÑÔØ ÖÅ ÏÇÒÁÎÉÞÉÍÓÑ ÓÌÕÞÁÅÍ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á (Å×ËÌÉÄÏ×Á ÉÌÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ), ÈÏÔÑ, ËÁË É × ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÔÅÏÒÅÍÅ, ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï × ÓÌÕÞÁÅ ÌÀÂÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÒÉÎ ÉÉÁÌØÎÏ ÏÔ ÎÅÇÏ ÎÅ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ. ÅÏÒÅÍÁ 2. ðÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÅÓÍÅÖÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ ÏÓÔÒÏÕÇÏÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ ` | ÌÉÎÉÑ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ ÇÒÁÎÅÊ F É F1 ÏÓÔÒÏÕÇÏÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P . äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÒÑÍÁÑ ` ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÒÅÂÒÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P (ÉÌÉ, ÞÔÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ, ÓÔÏÒÏÎÕ ÇÒÁÎÉ F ). úÁÍÅÔÉÍ ÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÒÑÍÁÑ ` ÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ Ó ÏÔÌÉÞÎÏÊ ÏÔ ÎÅÅ ÒÑÍÏÊ m, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ F , ÔÏ ÏÂÒÁÚÕÅÔ Ó ÎÅÊ ÎÅÔÕÏÊ ÕÇÏÌ (ÓÒÅÄÉ ÞÅÔÙÒÅÈ ÕÇÌÏ×, ÏÂÒÁÚÕÅÍÙÈ ÁÒÏÊ ÒÑÍÙÈ, ÍÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ ÔÏÔ, ËÏÔÏÒÙÊ ÓÏÄÅÒÖÉÔ F ). äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÁÒÁ ÒÑÍÙÈ ` É m ÏÂÒÁÚÕÅÔÓÑ ÒÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÇÒÁÎÉ F ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P Ó ÁÒÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ Ä×ÕÈ ÄÒÕÇÉÈ ÅÇÏ ÇÒÁÎÅÊ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË P ÏÓÔÒÏÕÇÏÌØÎÙÊ, ÏÁÒÎÙÅ Ä×ÕÇÒÁÎÎÙÅ ÕÇÌÙ, ÏÂÒÁÚÕÅÍÙÅ ÜÔÉÍÉ ÔÒÅÍÑ ÌÏÓËÏÓÔÑÍÉ, ÎÅÔÕÙÅ. ïÓÔÁÌÏÓØ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÔÅÏÒÅÍÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÓÔÅÒÅÏÍÅÔÒÉÉ: ÅÓÌÉ ×ÓÅ Ä×ÕÇÒÁÎÎÙÅ ÕÇÌÙ ÔÒÅÈÇÒÁÎÎÏÇÏ ÕÇÌÁ ÎÅÔÕÙÅ, ÔÏ É ÌÏÓËÉÅ ÅÇÏ ÕÇÌÙ ÔÏÖÅ ÎÅÔÕÙÅ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ × ×ÉÄÅ ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ. ÷ÓÅ ÄÁÌØÎÅÊÛÉÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ ÂÕÄÕÔ ÌÁÎÉÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ: ÎÁÍ ÎÅ ÒÉÄÅÔÓÑ ×ÙÈÏÄÉÔØ ÚÁ ÒÁÍËÉ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÇÒÁÎÉ F . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË F ÌÅÖÉÔ ÅÌÉËÏÍ Ï ÏÄÎÕ ÓÔÏÒÏÎÕ ÏÔ ÒÑÍÏÊ `, ÅÒÅÓÅËÁÑÓØ Ó ÎÅÊ

126

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

ÒÁÚ×Å ÞÔÏ Ï Ó×ÏÉÍ ÇÒÁÎÉÞÎÙÍ ÔÏÞËÁÍ. óÒÏÅËÔÉÒÕÅÍ F ÎÁ `. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ F ËÁË ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÆÉÇÕÒ, ÉÍÅÀÝÉÈ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ×ÉÄ: ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÏÌÕÌÏÓËÏÓÔÅÊ, ÏÄÎÁ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ ÒÑÍÏÊ ` (ÏÎÁ ÏÄÎÁ É ÔÁ ÖÅ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÆÉÇÕÒ), Á ×ÔÏÒÁÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ ÏÔÌÉÞÎÏÊ ÏÔ ` ÒÑÍÏÊ m, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ (ËÁÖÄÙÊ ÒÁÚ Ó×ÏÀ) ÓÔÏÒÏÎÕ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ F (×Ï ×ÓÅÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÉÚ Ä×ÕÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÏÌÕÌÏÓËÏÓÔÅÊ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÒÑÍÏÊ, ×ÙÂÉÒÁÅÍ ÔÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÓÏÄÅÒÖÉÔ F ). ÁËÁÑ ÆÉÇÕÒÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÂÏ ÎÅÔÕÙÍ ÕÇÌÏÍ (ÅÓÌÉ ÒÑÍÙÅ ` É m ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ), ÌÉÂÏ ÏÌÏÓÏÊ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÍÉÓÑ ÒÑÍÙÍÉ (× ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ). ÷ ÏÂÏÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÆÉÇÕÒÁ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ: ÅÅ ÒÏÅË ÉÑ ÎÁ ÒÑÍÕÀ ` ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÅÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅÍ Ó ÒÑÍÏÊ ` (ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, × ÅÒ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÏÅË ÉÑ ÂÕÄÅÔ ÌÕÞÏÍ | ÓÔÏÒÏÎÏÊ ÕÇÌÁ, Á ×Ï ×ÔÏÒÏÍ | ÒÑÍÏÊ ` ÅÌÉËÏÍ). ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÕËÁÚÁÎÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÓÏÈÒÁÎÑÅÔÓÑ ÒÉ ×ÚÑÔÉÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÆÉÇÕÒ, ÏÜÔÏÍÕ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÆÉÇÕÒ | ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË F | ÔÁËÖÅ ÉÍ ÏÂÌÁÄÁÅÔ. ðÒÏÅË ÉÑ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÁ ÒÑÍÕÀ ÅÓÔØ ÏÔÒÅÚÏË, ÚÎÁÞÉÔ, ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ F Ó ` | ÏÔÒÅÚÏË. ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÑÍÁÑ ` ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÈ ÔÏÞÅË ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ F , ÜÔÏÔ ÏÔÒÅÚÏË Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÇÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. äÌÑ ÓÌÕÞÁÑ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍ 1 É 2 ÎÁÒÑÍÕÀ ÎÅ ÒÉÍÅÎÉÍÙ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÎÉ ÉÓÏÌØÚÕÀÔ ÏÎÑÔÉÅ ÒÏÅË ÉÉ ÎÁ ÒÑÍÕÀ, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÒÏÅË ÉÀ ÏÌÀÓÁ ÎÁ ÜË×ÁÔÏÒ). ïÄÎÁËÏ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÌÕÞÁÊ ÍÏÖÎÏ Ó×ÅÓÔÉ Ë Å×ËÌÉÄÏ×Õ, ÔÁË ËÁË ÌÀÂÏÊ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË ÚÁÄÁÅÔ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÙÊ ËÏÎÕÓ × Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ ÂÏÌØÛÅ. üÔÏÔ ËÏÎÕÓ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Å×ËÌÉÄÏ×ÙÍ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏÍ. éÚ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔÉ ÔÅÏÒÅÍ ÄÌÑ ÎÅÇÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÈ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔØ É ÄÌÑ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ. óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

[1℄ áÎÄÒÅÅ× å. í. ï ×ÙÕËÌÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁÈ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ // íÁÔÅÍ. ÓÂÏÒÎÉË, 1970. . 81. ‚3. ó. 445{471. [2℄ áÎÄÒÅÅ× å. í. ï ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ ÇÒÁÎÅÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× Ó ÏÓÔÒÙÍÉ ÕÇÌÁÍÉ // íÁÔÅÍ. ÚÁÍÅÔËÉ, 1970. . 8. ‚4. ó. 521{527. [3℄ âÕÇÁÅÎËÏ ÷. ï. ëÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÑ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× ëÏËÓÔÅÒÁ // íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ. ÒÅÔØÑ ÓÅÒÉÑ. ÷Ù. 7. 2002. ó. 82{106. [4℄ Coxeter H. S. M. Dis rete groups generated by re e tions // Ann. Math., 1934. V. 35. No. 3. P. 588{621.

127

ðÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÉ ÎÁ ËÒÉ×ÏÊ É ×ÌÏÖÅÎÉÑ ÌÉÓÔÁ í£ÂÉÕÓÁ

÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ× ÷ 1929 Ç. ÓÏ×ÅÔÓËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË ì. ç. ûÎÉÒÅÌØÍÁÎ ÄÏËÁÚÁÌ, ÞÔÏ ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÇÌÁÄËÏÊ ÎÅÓÁÍÏÅÒÅÓÅËÁÀÝÅÊÓÑ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÞÅÔÙÒÅ ÔÏÞËÉ, Ñ×ÌÑÀÝÉÅÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ Ë×ÁÄÒÁÔÁ.1) åÇÏ ÓÔÁÔØÑ ÂÙÌÁ ÎÁÅÞÁÔÁÎÁ ÍÁÌÙÍ ÔÉÒÁÖÏÍ × ÓÂÏÒÎÉËÅ ëÏÍÁËÁÄÅÍÉÉ É ×ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ ÂÙÌÁ ÅÒÅÅÞÁÔÁÎÁ × ÖÕÒÎÁÌÅ €õÓÅÈÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÎÁÕˁ (ÓÍ. [3℄). üÔÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÔÒÕÄÎÏÅ, ÏÎÏ ÚÁÎÉÍÁÅÔ 5 ÓÔÒÁÎÉ . îÅÓËÏÌØËÏ ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÙÅ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÄÏËÁÚÁÔØ ÂÏÌÅÅ ÓÌÁÂÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ: ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÇÌÁÄËÏÊ ÎÅÓÁÍÏÅÒÅÓÅËÁÀÝÅÊÓÑ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÞÅÔÙÒÅ ÔÏÞËÉ, Ñ×ÌÑÀÝÉÅÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÁ. üÔÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï2) ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ ÔÏÍ, ÞÔÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ×ÌÏÖÅÎÉÉ ÌÉÓÔÁ í£ÂÉÕÓÁ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï R3 ÅÇÏ ÓÒÅÄÎÑÑ ÌÉÎÉÑ É ËÒÁÊ ÚÁ ÅÌÅÎÙ3) . üÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÌÉÓÔÁ í£ÂÉÕÓÁ ÄÁ×ÎÏ ÂÙÌÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÔÏÏÌÏÇÁÍ, ÎÏ ÎÅÄÁ×ÎÏ ÏÑ×ÉÌÏÓØ ÏÞÅÎØ ÒÏÓÔÏÅ ÅÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï, ÏÄÎÁ ÉÚ ×ÁÖÎÅÊÛÉÈ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÈ ÞÁÓÔÅÊ ËÏÔÏÒÏÇÏ ×ÏÓÈÏÄÉÔ Ë ÚÎÁÍÅÎÉÔÏÍÕ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ ëÏÎ×ÅÀ. üÔÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÍÙ ÔÏÖÅ ÚÄÅÓØ ÒÉ×ÅÄÅÍ, ÎÏ ÓÎÁÞÁÌÁ ÏÂßÑÓÎÉÍ, ËÁË ÉÚ ÕËÁÚÁÎÎÏÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÌÉÓÔÁ í£ÂÉÕÓÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÁ. ÅÏÒÅÍÁ 1. îÁ ÌÀÂÏÊ ÇÌÁÄËÏÊ ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ÌÏÓËÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ 4 ÔÏÞËÉ , Ñ×ÌÑÀÝÉÅÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÁ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ëÁÖÄÏÊ ÁÒÅ ÔÏÞÅË A, B ËÒÉ×ÏÊ ÓÏÏÓÔÁ×ÉÍ ÔÏÞËÕ f (A; B ) ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. éÚ ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÏÔÒÅÚËÁ AB ÒÏ×ÅÄÅÍ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒ Ë ÌÏÓËÏÓÔÉ ËÒÉ×ÏÊ É ÏÔÌÏÖÉÍ ÎÁ ÎÅÍ ÏÔÒÅÚÏË ÄÌÉÎÙ AB . ëÏÎÅ ÜÔÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ | ÜÔÏ É ÅÓÔØ f (A; B ). (÷ÓÅ ÔÏÞËÉ f (A; B ) ÍÙ ×ÙÂÉÒÁÅÍ × ÏÄÎÏÍ É ÔÏÍ ÖÅ ÏÌÕÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å.) óÌÕÞÁÊ A = B ÎÅ ÉÓËÌÀÞÁÅÔÓÑ; × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ f (A; A) = A. ÏÞÎÅÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ûÎÉÒÅÌØÍÁÎ ÄÏËÁÚÁÌ Ó×ÏÀ ÔÅÏÒÅÍÕ ÄÌÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ÎÅÓÁÍÏÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ËÒÉ×ÙÈ, ÉÍÅÀÝÉÈ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÕÀ ËÒÉ×ÉÚÎÕ ÉÌÉ ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ ÉÚ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÄÕÇ ÔÁËÉÈ ËÒÉ×ÙÈ. 2) åÇÏ ÉÚÌÏÖÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÎÁ ÓÓ. 82{88 ËÎÉÇÉ [5℄. 3) éÚ ÜÔÏÇÏ, ËÓÔÁÔÉ ÓËÁÚÁÔØ, ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÒÏÅËÔÉ×ÎÕÀ ÌÏÓËÏÓÔØ RP 2 ÎÅÌØÚÑ ×ÌÏÖÉÔØ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï R3 . 1)

128

÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ× b

a c

a

a=b

a

c

a

a c

b òÉÓ. 1.

ìÉÓÔ í£ÂÉÕÓÁ

íÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ × R3 ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÔÏÒ S 1 × S 1 , ÔÏÞËÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÅÎÙ Ï ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÒÁ×ÉÌÕ: (x; y) ∼ ∼ (y; x) (ÍÙ ÎÅ ÒÁÚÌÉÞÁÅÍ ÁÒÙ A, B É B , A). üÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÓÔÏÍ í£ÂÉÕÓÁ. þÔÏÂÙ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÜÔÏÍ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÓÍÏÔÒÅÔØ ÎÁ ÒÉÓ. 1. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÉÅË ÉÅÊ ÎÁ Ó×ÏÊ ÏÂÒÁÚ. ÏÇÄÁ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ×ÌÏÖÅÎÉÅ ÌÉÓÔÁ í£ÂÉÕÓÁ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ËÏÔÏÒÏÅ ÕÓÔÒÏÅÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ËÒÁÊ ÌÉÓÔÁ í£ÂÉÕÓÁ ÌÅÖÉÔ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ, Á ÏÓÔÁÌØÎÁÑ ÅÇÏ ÞÁÓÔØ ÌÅÖÉÔ Ï ÏÄÎÕ ÓÔÏÒÏÎÕ ÏÔ ÜÔÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ÷ ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ËÒÁÊ ÌÉÓÔÁ í£ÂÉÕÓÁ É ÅÇÏ ÓÒÅÄÎÑÑ ÌÉÎÉÑ ÎÅ ÚÁ ÅÌÅÎÙ (ÞÕÔØ ÏÚÖÅ ÍÙ ÏÑÓÎÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ). ðÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÎÁÊÄÕÔÓÑ Ä×Å ÁÒÙ ÔÏÞÅË A1 , B1 É A2 , B2 , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ f (A1 ; B1 ) = f (A2 ; B2 ). üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÏÔÒÅÚËÏ× A1 B1 É A2 B2 ÓÏ×ÁÄÁÀÔ É ÉÈ ÄÌÉÎÙ ÒÁ×ÎÙ. ÷ ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ A1 A2 B1 B2 | ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉË. þÔÏÂÙ Ä×ÉÇÁÔØÓÑ ÄÁÌØÛÅ, ÎÕÖÎÏ ÏÂßÑÓÎÉÔØ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÇÌÁÄËÉÈ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÒÉ×ÙÈ J É K × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ É ÏÁÒÎÏ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÇÏ ÉÚ Ä×ÕÈ ËÒÉ×ÙÈ J É K , Ô.Å. ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÏÅË ÉÀ ËÒÉ×ÙÈ J É K ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÌÏÓËÏÓÔØ É ÎÁ ÅÒÅËÒÅÓÔËÁÈ ÂÕÄÅÍ ÏÔÍÅÞÁÔØ, ËÁËÁÑ ÄÕÇÁ ÒÏÈÏÄÉÔ Ó×ÅÒÈÕ. âÕÄÅÍ ÏÂÒÁÝÁÔØ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÌÉÛØ ÎÁ ÔÅ ÅÒÅËÒÅÓÔËÉ, ÇÄÅ ËÒÉ×ÁÑ K ÒÏÈÏÄÉÔ ÎÁÄ J . ÁËÉÅ ÅÒÅËÒÅÓÔËÉ ÂÙ×ÁÀÔ Ä×ÕÈ ÔÉÏ× (ÒÉÓ. 2). äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÇÏ ÅÒÅËÒÅÓÔËÁ ×ÏÚØÍÅÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ "i = ±1 É ÓÌÏÖÉÍ ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ "i . ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ËÒÉ×ÙÈ J É K × S 3 É ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ lk(J; K ). íÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏÍ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ {J; K }, Ô. Å.

ðÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÉ ÎÁ ËÒÉ×ÏÊ É ×ÌÏÖÅÎÉÑ ÌÉÓÔÁ í£ÂÉÕÓÁ

129

K J K

" = +1 òÉÓ. 2.

òÉÓ. 3.

çÒÁÆ

K6

J

" = −1

ä×Á ÔÉÁ ÅÒÅËÒÅÓÔËÏ×

Ó Ä×ÕÍÑ ÚÁ ÅÌÅÎÎÙÍÉ ÉËÌÁÍÉ

ÏÎ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÜÔÏÇÏ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ. (äÒÕÇÉÅ ÏÄÈÏÄÙ Ë ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ ÏÂÓÕÖÄÁÀÔÓÑ × ÍÏÅÊ ÓÔÁÔØÅ [1℄ × ÏÄÎÏÍ ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ×ÙÕÓËÏ× ÜÔÏÇÏ ÖÕÒÎÁÌÁ; ÏÄÒÏÂÎÏ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ ÏÂÓÕÖÄÁÅÔÓÑ × ËÎÉÇÅ [2℄). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÌÏÖÅÎÉÅ × R3 ÇÒÁÆÁ K6 , ÓÏÓÔÏÑÝÅÇÏ ÉÚ ÛÅÓÔÉ ×ÅÒÛÉÎ, ÏÁÒÎÏ ÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÈ ÒÅÂÒÁÍÉ. ÷ÙÂÅÒÅÍ × ÇÒÁÆÅ K6 ÔÒÉ ×ÅÒÛÉÎÙ É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÉËÌ C1 , ÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ ÜÔÉÍÉ ÔÒÅÍÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ, É ÉËÌ C2 , ÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ ÔÒÅÍÑ ÏÓÔÁÌØÎÙÍÉ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ. æÉËÓÉÒÕÅÍ ÒÏÅË ÉÀ ×ÌÏÖÅÎÎÏÇÏ × R3 ÇÒÁÆÁ K6 É ÏÒÅÄÅÌÉÍ !(C1 ; C2 ) ËÁË ÏÓÔÁÔÏË ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ 2 ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÅÒÅËÒÅÓÔËÏ×, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÉËÌ C1 ÒÏÈÏÄÉÔ ÎÁÄ C2 . éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, !(C1 ; C2 ) = lk(C1 ; C2 ) (mod 2), ÇÄÅ lk | ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, !(C1 ; C2 ) = !(C2 ; C1 ) (ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ ÒÉ×ÅÄÅÎÏ × [2℄). ðÏÜÔÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ
P ÞÉÓÌÏ (K6 ) = !(Ci ; Cj ), ÇÄÅ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÅÄÅÔÓÑ Ï ×ÓÅÍ 12 63 = 10 ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍ ÁÒÁÍ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÉËÌÏ× ÉÚ ÔÒÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ÅÏÒÅÍÁ 2 ([7℄ É [4℄). äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ×ÌÏÖÅÎÉÑ ÇÒÁÆÁ K6 × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï (K6 ) ≡ 1 (mod 2). ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ , ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÔÁËÏÇÏ ×ÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÁÒÁ ÚÁ ÅÌÅÎÎÙÈ ÉËÌÏ×. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. õ ÇÒÁÆÁ K6 ÅÓÔØ ×ÌÏÖÅÎÉÅ × R3 , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÏ×-

ÎÏ Ä×Á ÉËÌÁ ÚÁ ÅÌÅÎÙ, Á ×ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÉËÌÙ ÎÅÚÁ ÅÌÅÎÙ (ÒÉÓ. 3).

130

÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×

òÉÓ. 4.

éÚÍÅÎÅÎÉÅ ÔÉÁ ÅÒÅËÒÅÓÔËÁ (ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÁÒÙ ÒÅÂÅÒ) 1

2

5 6

3 òÉÓ. 5.

÷ÌÏÖÅÎÉÅ ÇÒÁÆÁ

4

K6

× ÌÉÓÔ í£ÂÉÕÓÁ

ìÀÂÏÅ ×ÌÏÖÅÎÉÅ ÇÒÁÆÁ K6 × R3 ÍÏÖÎÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÔØ × ÄÁÎÎÏÅ ×ÌÏÖÅÎÉÅ, ÅÓÌÉ ÒÉ ÜÔÏÍ ÄÏÕÓËÁÀÔÓÑ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÒÅÂÅÒ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÅ ÎÁ ÒÉÓ. 4. ðÏÓÍÏÔÒÉÍ, ÞÔÏ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ Ó (K6 ) ÒÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ ÁÒÙ ÒÅÂÅÒ ei É ej . þÉÓÌÏ !(Cp ; Cq ) ÒÉ ÜÔÏÍ ÉÚÍÅÎÑÅÔÓÑ ÌÉÛØ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ei ⊂ Cp É ej ⊂ Cq (ÉÌÉ ej ⊂ Cp É ei ⊂ Cq ). îÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÉËÌÙ Cp É Cq , ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ÁÒÕ ÒÅÂÅÒ ei É ej , ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÒÅÂÒÁ ei É ej ÎÅÓÍÅÖÎÙÅ. ÁËÉÈ ÁÒ ÉËÌÏ× ÄÌÑ ÄÁÎÎÙÈ ÒÅÂÅÒ ei É ej ÒÏ×ÎÏ Ä×Å: Ë ÒÅÂÒÕ ei ÍÏÖÎÏ ÄÏÂÁ×ÉÔØ ÏÄÎÕ ÉÚ Ä×ÕÈ ×ÅÒÛÉÎ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ×ÈÏÄÑÔ × ei É ej . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, P ÒÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ ÒÅÂÒÁ Ó ÓÁÍÉÍ ÓÏÂÏÊ ÉÌÉ ÓÏ ÓÍÅÖÎÙÍ ÒÅÂÒÏÍ ÞÉÓÌÏ lk(Ci ; Cj ) ÎÅ ÉÚÍÅÎÑÅÔÓÑ, Á ÒÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ ÒÅÂÒÁ Ó ÎÅÓÍÅÖÎÙÍ ÒÅÂÒÏÍ ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ ÉÚÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÁ ±2. ðÏÜÔÏÍÕ ÞÉÓÌÏ P (K6 ) = lk(Ci ; Cj ) (mod 2) ÎÅ ÉÚÍÅÎÑÅÔÓÑ ÒÉ ×ÓÅÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÈ ×ÌÏÖÅÎÉÑ ÇÒÁÆÁ K6 . óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 1. ðÒÉ ÌÀÂÏÍ ×ÌÏÖÅÎÉÉ ÌÉÓÔÁ í£ÂÉÕÓÁ × R3 ÅÇÏ ËÒÁÊ ÚÁ ÅÌÅÎ ÓÏ ÓÒÅÄÎÅÊ ÌÉÎÉÅÊ.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ([6℄) ÷ÌÏÖÉÍ × ÌÉÓÔ í£ÂÉÕÓÁ ÇÒÁÆ K6 , ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 5. ãÉËÌÙ 134 É 256 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ËÒÁÀ ÌÉÓÔÁ í£ÂÉÕÓÁ É ÅÇÏ ÓÒÅÄÎÅÊ ÌÉÎÉÉ. îÅÓÌÏÖÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ×Ï ×ÓÅÈ ÄÒÕÇÉÈ ÁÒÁÈ ÎÅÓÁÍÏÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÉËÌÏ× ÏÄÉÎ ÉÚ ÉËÌÏ× ÚÁËÌÅÅÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔØÀ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÅÊ ÌÉÓÔÕ í£ÂÉÕÓÁ. ÁËÉÅ ÉËÌÙ ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÚÁ ÅÌÅÎÙ, ÏÔÏÍÕ

ðÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÉ ÎÁ ËÒÉ×ÏÊ É ×ÌÏÖÅÎÉÑ ÌÉÓÔÁ í£ÂÉÕÓÁ

131

ÞÔÏ ÉÎÁÞÅ ×ÏÚÎÉËÌÉ ÂÙ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÌÉÓÔÁ í£ÂÉÕÓÁ. åÓÌÉ ÉËÌÙ Ci É Cj ÎÅ ÚÁ ÅÌÅÎÙ, ÔÏ !(Ci ; Cj ) = 0. ðÏÜÔÏÍÕ ÉËÌÙ 134 É 256 ÚÁ ÅÌÅÎÙ. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 2. ðÒÏÅËÔÉ×ÎÕÀ ÌÏÓËÏÓÔØ RP 2 ÎÅÌØÚÑ ×ÌÏÖÉÔØ × R3 . äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ÙÒÅÖÅÍ ÉÚ ×ÌÏÖÅÎÎÏÊ × R3 ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÄÉÓË D2 . ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÉÍ ÌÉÓÔ í£ÂÉÕÓÁ. åÇÏ ÓÒÅÄÎÑÑ ÌÉÎÉÑ C ÚÁ ÅÌÅÎÁ Ó S 1 = D2 , ÏÜÔÏÍÕ C ÅÒÅÓÅËÁÅÔ D2 , ÞÅÇÏ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ. óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

[1℄ ðÒÁÓÏÌÏ× ÷. ÷. ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ úÅÊÆÅÒÔÁ // íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ, ×Ù. 3, 1999. ó. 116{126. [2℄ ðÒÁÓÏÌÏ× ÷. ÷., óÏÓÉÎÓËÉÊ á. â. õÚÌÙ , ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ , ËÏÓÙ É ÔÒÅÈÍÅÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑ. í.: íãîíï, 1997. [3℄ ûÎÉÒÅÌØÍÁÎ ì. ç., ï ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÈ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÒÉ×ÙÈ // õÓÅÈÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÎÁÕË, ×ÙÕÓË X, 1944. ó. 34{ 44. [4℄ Conway J. H., Gordon C. M A. Knots and links in spatial graphs // J. Graph Theory 7, 1983. P. 445{453. [5℄ Krantz S. G. Te hniques of problem solving. AMS, 1997. [6℄ Maehara H. Why is P 2 not embedable in R3 ? // Amer. Math. Monthly 100, 1993. P. 862{864. [7℄ Sa hs H. On a spatial analogue of Kuratowski's theorem on planar graphs | an open problem // Le ture Notes Math., 1018, 1982. P. 231{ 240.

132

ä×ÅÎÁÄ ÁÔØ ÌÅÔ €çÅÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËɁ

á. óÏÊÆÅÒ

ðÒÉÎÓÔÏÎÓËÉÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ; ãÅÎÔÒ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ É ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÉ, ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ òÁÔÇÅÒÓÁ; õÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ ÛÔÁÔÁ ëÏÌÏÒÁÄÏ × ëÏÌÏÒÁÄÏ-ÓÒÉÎÇÓ asoiferPrin eton.edu asoiferu

s.edu http://www.u

s.edu/~asoifer/

€üÔÏÔ ÅÖÅË×ÁÒÔÁÌØÎÙÊ ÖÕÒÎÁÌ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÊ áÌÅËÓÁÎÄÒÏÍ óÏÊÆÅÒÏÍ × ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ ÛÔÁÔÁ ëÏÌÏÒÁÄÏ × ëÏÌÏÒÁÄÏ-ÓÒÉÎÇÓ, ÏÓ×ÑÝÅÎ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÅ, ÎÏ × ÜÔÉÈ ÏÂÌÁÓÔÑÈ ÏÎ ×ÙÄÅÌÑÅÔÓÑ Ó×ÏÉÍ ÏÄÈÏÄÏÍ!

ðÏÌØ ëÁÊÎÅÎ, 1991 €äÏÒÏÇÏÊ áÌÅËÓ, Ñ ÎÁËÏÎÅ ÒÉÓÔÕÉÌ Ë ÏËÔÑÂÒØÓËÏÍÕ ÎÏÍÅÒÕ €çÅÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËɁ, É ÏÎ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÅÝÅ ÂÏÌØÛÕÀ ÒÏÓÓÙØ ÄÒÁÇÏ ÅÎÎÏÓÔÅÊ, ÞÅÍ ÏÂÙÞÎÏ, | ÚÁÍÅÔËÉ ÷ÉÚÉÎÇÁ É áÌÏÎÁ ÓÔ ÏÑÔ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÇÏÄÏ×ÁÑ ÏÄÉÓËÁ, ÅÓÌÉ ÕÍÅÓÔÎÏ Ï ÅÎÉ×ÁÔØ ×ÅÌÉËÏÌÅÎÕÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ × ÄÅÎØÇÁÈ, | Á ÏÞÅÍÕ ÂÙ É ÎÅÔ, ×ÅÄØ ÚÁ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÉÓËÕÓÓÔ×Á ÏÓÔÏÑÎÎÏ ÌÁÔÑÔ ÄÅÎØÇÉ. . . 

ðÉÔÅÒ ä. äÖÏÎÓÏÎ, 18 ÄÅËÁÂÒÑ 1995 1. ëÏÎ Å ÉÑ

÷ÅÓÎÏÊ 1990 ÇÏÄÁ Ñ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÌ ÒÑÄ ÚÁÄÁÞ É ÇÉÏÔÅÚ, ÏÔÎÏÓÑÝÉÈÓÑ Ë Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÔÅÏÒÉÉ òÁÍÓÅÑ, É ÈÏÔÅÌ ÒÉ×ÌÅÞØ Ë ÎÉÍ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ËÏÌÌÅÇ | × ÅÒ×ÕÀ ÏÞÅÒÅÄØ ÔÁËÉÈ, ËÁË ðÁÕÌØ üÒÄ£Û, òÏÎ çÒÜÈÅÍ É âÒÁÎËÏ çÒÀÎÂÁÕÍ. ëÁË ÜÔÏ ÓÄÅÌÁÔØ? íÏÖÎÏ ÎÁÉÓÁÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÄÌÉÎÎÙÈ ÉÓÅÍ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÎÏ ÜÔÏ ÚÁÊÍÅÔ ÍÅÓÑ Ù! íÏÖÎÏ ÏÓÌÁÔØ ËÓÅÒÏËÏÉÉ, ÎÏ ÜÔÏ ÂÕÄÅÔ ×ÙÇÌÑÄÅÔØ ÓÔÏÌØ ÂÅÚÌÉÞÎÏ; ÎÅ ÚÎÁÀ, ËÔÏ ÓÔÁÎÅÔ ÉÈ ÞÉÔÁÔØ É ÔÅÍ

2004,

CEME. ðÅÒÅ×ÏÄ â. ò. æÒÅÎËÉÎÁ.

ä×ÅÎÁÄ ÁÔØ ÌÅÔ €çÅÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËɁ

133

ÂÏÌÅÅ ÏÂÄÕÍÙ×ÁÔØ! é ×ÏÔ ÏÄÎÁÖÄÙ × ÉÀÎÅ 1990 ÇÏÄÁ Ñ ÏÚ×ÏÎÉÌ âÒÁÎËÏ çÒÀÎÂÁÕÍÕ É ÒÅÄÌÏÖÉÌ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ: { îÅ ÂÕÄÅÔ ÌÉ ÏÌÅÚÎÏ ÉÚÄÁ×ÁÔØ ÎÅÂÏÌØÛÏÊ, ÏÅÒÁÔÉ×ÎÙÊ ÖÕÒÎÁÌ, ÅÌÉËÏÍ ÏÓ×ÑÝÅÎÎÙÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÚÁÄÁÞ, ÔÅËÕÝÅÊ ÒÁÂÏÔÅ, ÔÁË ÞÔÏ ×ÍÅÓÔÏ ÄÀÖÉÎÙ ÉÓÅÍ ËÏÌÌÅÇÁÍ ÍÏÖÎÏ ÎÁÉÓÁÔØ ×ÓÅÇÏ ÏÄÉÎ ÏÂÚÏÒ? { ÷Ï ÍÎÏÇÉÈ ÖÕÒÎÁÌÁÈ ÅÓÔØ ÒÕÂÒÉËÁ €ÏÔËÒÙÔÙÅ ÒÏÂÌÅÍف, ÎÏ Ñ ÎÅ ÚÎÁÀ ÖÕÒÎÁÌÁ, ÅÌÉËÏÍ ÉÍ ÏÓ×ÑÝÅÎÎÏÇÏ. ðÏÄÒÁÚÕÍÅ×ÁÀÔÓÑ ÌÉ ËÁËÉÅ-ÔÏ ÒÁÍËÉ? { ëÁË ÎÁÓÞÅÔ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ Ó ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÍ ÏÔÔÅÎËÏÍ, €ÇÅÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËɁ? { èÏÒÏÛÁÑ ÉÄÅÑ; ÏÒÏÂÕÅÍ ÅÅ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÔØ. { îÏ ÔÏÇÄÁ Ñ ÖÄÕ ÓÔÁÔÅÊ | × ËÁÖÄÙÊ ÎÏÍÅÒ. { èÏÒÏÛÏ, Ñ ÏÒÏÂÕÀ. ÅÅÒØ ×Ù ÚÎÁÅÔÅ €×ÓÀ ÉÓÔÏÒÉÀ ËÏÎ Å ÉÉ ÖÕÒÎÁÌÁ €çÅÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÏÄÉÌÓÑ ÇÏÄÏÍ ÏÚÖÅ, × ÉÀÎÅ 1991 ÇÏÄÁ, ËÏÇÄÁ ×ÙÛÅÌ ÅÒ×ÙÊ ÎÏÍÅÒ. ïÎ ÂÙÌ ÔÏÎÅÎØËÉÍ É ÓÏÄÅÒÖÁÌ ×ÓÅÇÏ Ä×Å ÓÔÁÔØÉ, ÎÁÉÓÁÎÎÙÈ âÒÁÎËÏ É ÍÎÏÊ. îÏ ÏÂß£Í ÕÄ×ÏÉÌÓÑ ×Ï ×ÔÏÒÏÍ ÎÏÍÅÒÅ, ËÏÇÄÁ Ë ÎÁÍ ÒÉÓÏÅÄÉÎÉÌÉÓØ ðÁÕÌØ üÒÄ£Û É äÖÏÎ éÚÂÅÌÌ. é ÄÅÌÏ ÏÛÌÏ. þÔÏ ÖÅ ÔÁËÏÅ €çÅÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ? þÔÏ ÏÔÌÉÞÁÅÔ ÅÅ ÏÔ ÄÒÕÇÉÈ ÖÕÒÎÁÌÏ×? 2. öÉ×ÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ

áËÁÄÅÍÉÞÅÓËÉÅ ÖÕÒÎÁÌÙ ÎÁÏÍÉÎÁÀÔ ÍÎÅ ÓÔÁÒÙÅ ËÌÁÄÂÉÝÁ. ïÎÉ ÕÂÌÉËÕÀÔ (ÈÏÒÏÎÑÔ?), ÒÉÞÅÍ Ó ÂÏÌØÛÉÍ ÏÞÔÅÎÉÅÍ, ÚÁËÏÎÞÅÎÎÙÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ É ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÕÂÌÉËÁ ÉÉ ÏÑ×ÌÑÀÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÁÒÕ ÌÅÔ ÉÌÉ ÏÚÖÅ ÏÓÌÅ ÚÁ×ÅÒÛÅÎÉÑ ÒÁÂÏÔÙ. îÏ ÔÏÇÄÁ ÜÔÉ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ×ÒÑÄ ÌÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÂÏÌØÛÏÊ ÉÎÔÅÒÅÓ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ, ÎÏ É ÄÌÑ ÓÁÍÉÈ Á×ÔÏÒÏ×: ÒÏÛÌÉ ÇÏÄÙ, É ÁËÔÉ×ÎÏ ÒÁÂÏÔÁÀÝÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË, ×ÅÒÏÑÔÎÏ, ÚÁÎÑÔ ÞÅÍ-ÔÏ ÄÒÕÇÉÍ! €çÅÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ, ×ÏÚÍÏÖÎÏ, | ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÉÚÄÁÎÉÅ, ÅÌÉËÏÍ ÏÓ×ÑÝÅÎÎÏÅ ÒÏÄÏÌÖÁÀÝÉÍÓÑ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑÍ. úÄÅÓØ ×Ù ÏÌÕÞÉÔÅ ÕÄÏ×ÏÌØÓÔ×ÉÅ ÏÔ ÖÉ×ÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ! ÷ ÓÕÝÎÏÓÔÉ, ÜÔÏ | ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÅ Ô×ÏÒÅÎÉÅ ÓÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÏ ÎÅÂÏÌØÛÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÁËÔÉ×ÎÙÈ ÏÄÉÓÞÉËÏ×, ÒÁÚÂÒÏÓÁÎÎÙÈ Ï ×ÓÅÍÕ ÍÉÒÕ, ËÏÔÏÒÙÈ ÏÂßÅÄÉÎÑÅÔ ÖÅÌÁÎÉÅ ÒÁÚ×É×ÁÔØ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÕÀ ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ É ÄÅÌÉÔØÓÑ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ ÎÏ×ÙÍÉ ÚÁÄÁÞÁÍÉ, ÉÄÅÑÍÉ, Ó×ÅÖÉÍÉ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÍÉ, ÏËÁ ÏÎÉ ÅÝÅ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙ ÉÍ ÓÁÍÉÍ | Á, ÚÎÁÞÉÔ, ÍÏÇÕÔ ÚÁÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÔØ É ÄÒÕÇÉÈ. é ËÁË ÔÏÌØËÏ ÏÞÅÒÅÄÎÏÊ ÎÏÍÅÒ ×ÙÈÏÄÉÔ ÉÚ ÅÞÁÔÉ, ÅÇÏ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÏÄÈ×ÁÔÙ×ÁÅÔÓÑ É ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÑÅÔÓÑ ÓÒÅÄÉ ÓÏÔÅÎ ÔÙÓÑÞ ÄÒÕÇÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ ÔÁËÉÍ ÉÚÄÁÎÉÑÍ, ËÁË Mathemati al Reviews, Zentralblatt fur Mathematik É Mathemati s Abstra ts.

134

á. óÏÊÆÅÒ 3. óÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÏÓÔØ É ÄÏÓÔÕÎÏÓÔØ

óÔÁÔØÉ ÄÌÑ ÎÁÛÅÇÏ ÖÕÒÎÁÌÁ ÉÛÕÔÓÑ, ÞÔÏÂÙ ÉÈ ÞÉÔÁÌÉ . þÉÔÁÌÉ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÁËÔÉ×ÎÏ ÒÁÂÏÔÁÀÝÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÏÔ ÏÄÁÒÅÎÎÙÈ ÛËÏÌØÎÉËÏ× É ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÄÏ ÓÌÏÖÉ×ÛÉÈÓÑ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌÅÊ. úÁÄÁÞÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÕÂÌÉËÕÅÍ, ÏÂÌÁÄÁÀÔ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÑÓÎÏÓÔØÀ. îÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÏÎÑÔØ ÉÈ ÍÏÖÅÔ ËÁÖÄÙÊ | ÆÏËÕÓ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÉÈ ÒÅÛÉÔØ. óÔÁÔØÉ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÉÓÔÏÒÉÀ ÒÏÂÌÅÍÙ, ÞÁÓÔÉÞÎÙÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ, ÇÉÏÔÅÚÙ Á×ÔÏÒÁ É ÂÉÂÌÉÏÇÒÁÆÉÀ. òÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÏ ÍÎÅÎÉÅ, ÞÔÏ ÍÏÌÏÄÙÈ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÎÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÉ×ÌÅËÁÔØ Ë ÒÁÂÏÔÅ ÎÁÄ ÏÔËÒÙÔÙÍÉ ÒÏÂÌÅÍÁÍÉ. íÙ ÏÔ×ÅÒÇÁÅÍ ÔÁËÕÀ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁ ÉÀ Ï ×ÏÚÒÁÓÔÎÏÍÕ ÒÉÚÎÁËÕ É ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÍÏÌÏÄÙÍ ÞÉÔÁÔÅÌÑÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÏÔÒÁ×ÉÔØÓÑ × Ó×ÏÂÏÄÎÏÅ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÅ ÌÁ×ÁÎÉÅ. ÁË, ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÑ ðÏÌÑ ï'äÏÎÎÅÌÌÁ ÉÚ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ òÁÔÇÅÒÓÁ ×ÙÒÏÓÌÁ ÉÚ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÅÇÏ ÒÁÎÎÉÈ ÓÔÁÔÅÊ Ï ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÞÉÓÌÕ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÏÑ×É×ÛÉÈÓÑ ÎÁ ÓÔÒÁÎÉ ÁÈ €çÅÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËɁ. ðÏÓÌÅÄÎÑÑ ÓÔÁÔØÑ ðÏÌÑ ï'äÏÎÎÅÌÌÁ [1℄, ×ÙÛÅÄÛÁÑ × 2000 ÇÏÄÕ, ÓÏÄÅÒÖÁÌÁ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÔÁÒÏÊ É ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ, ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ðÁÕÌÅÍ üÒÄ£ÛÅÍ × 1976 Ç., Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÇÒÁÆÏ× ÅÄÉÎÉÞÎÙÈ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ Ó ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÞÉÓÌÏÍ 4 É ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ ÂÏÌØÛÉÍ ÏÂÈ×ÁÔÏÍ. ðÏÌØ ÄÏËÁÚÁÌ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ! õ ÎÁÓ ÅÓÔØ ÎÅÍÁÌÏ ÍÏÌÏÄÙÈ ÏÄÉÓÞÉËÏ×. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ Á×ÔÏÒÙ ÉÚ ÞÉÓÌÁ ÛËÏÌØÎÉËÏ× É ÓÔÕÄÅÎÔÏ×. ðÏ ÜÔÏÍÕ Ï×ÏÄÕ ÌÕÞÛÅ ×ÓÅÇÏ ÓËÁÚÁÌ ÏÍÁÓ ðØÅÔÒÁÈÏ, ÛËÏÌØÎÉË ÉÚ ÷ÅÒÍÏÎÔÁ (ÉÓØÍÏ ÏÔ 29 Á×ÇÕÓÔÁ 1991 Ç.): €èÏÔÑ Ñ ÎÅ ÒÅÛÉÌ ÎÉËÁËÏÊ ÚÁÄÁÞÉ (ÔÏ ÅÓÔØ ÅÝÅ ÎÅ ÒÅÛÉÌ), Ñ ÚÎÁÀ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏ ÏÌÕÞÕ ÏÔ ÔÁËÉÈ ÕÂÌÉËÁ ÉÊ. . . é ÅÓÌÉ ÍÕÚÙ ÄÁÒÕÀÔ ÍÎÅ Ó×ÏÀ ÏÍÏÝØ, Ñ ÎÅÍÅÄÌÅÎÎÏ ÏÛÌÀ ×ÁÍ Ó×ÏÉ ÒÅÛÅÎÉÑ. 4. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÁÑ É ÄÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ

îÅÂÏÌØÛÏÅ ÉÚÄÁÎÉÅ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÏÈ×ÁÔÉÔØ ×ÓÀ ÛÉÒØ ÓÅÇÏÄÎÑÛÎÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ðÏÜÔÏÍÕ €çÅÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ ÉÚÎÁÞÁÌØÎÏ ÓÏÓÒÅÄÏÔÏÞÉÌÁÓØ ÎÁ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÊ É ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÓÍÅÖÎÙÈ ×ÏÒÏÓÁÈ. ðÒÉÇÌÁÛÁÅÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×, ÒÁÂÏÔÁÀÝÉÈ × ÄÒÕÇÉÈ ÏÂÌÁÓÔÑÈ, ÓÏÚÄÁÔØ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÖÕÒÎÁÌÙ, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÙÅ ÖÉ×ÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ. îÏ ÍÙ ÎÉ ÅÒÅÄ ËÅÍ ÎÅ ×ÏÚÄ×ÉÇÁÅÍ ÉÓËÕÓÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÂÁÒØÅÒÏ×. €çÅÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÌÁ (ÍÏÅ) ÉÓÔÏÒÉÞÅÓËÏÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ Ï ð. ê. è. âÏÄÅ, â. ì. ×ÁÎ ÄÅÒ ÷ÁÒÄÅÎÅ É é. ûÕÒÅ, Á ÔÁËÖÅ ×ÏÓÏÍÉÎÁÎÉÑ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÓÏÔÒÕÄÎÉËÏ× É ËÏÌÌÅÇ Ï ðÁÕÌÅ üÒÄ£ÛÅ É âÒÁÎËÏ çÒÀÎÂÁÕÍÅ. íÙ ÄÁÖÅ ÇÏÔÏ×Ù ÉÎÏÇÄÁ ÏÍÏÇÁÔØ ÌÀÄÑÍ × Ô×ÏÒÞÅÓËÏÊ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÉÎÏÇÏ ÒÏÄÁ. ëÏÇÄÁ ÚÎÁÍÅÎÉÔÙÊ ÒÕÓÓËÉÊ ÏÜÔ å×ÇÅÎÉÊ å×ÔÕÛÅÎËÏ, ×ÙÓÔÕÁÑ × ëÏÌÏÒÁÄÓËÏÍ ËÏÌÌÅÄÖÅ, ÏÖÁÌÏ×ÁÌÓÑ, ÞÔÏ ÎÉËÔÏ ÎÅ ÈÏÞÅÔ ÕÂÌÉËÏ×ÁÔØ ÅÇÏ ÎÏ×ÏÅ ÓÏÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ, Ñ ÒÅÄÌÏÖÉÌ ÅÍÕ ÓÔÒÁÎÉ Ù €çÅÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËɁ!

ä×ÅÎÁÄ ÁÔØ ÌÅÔ €çÅÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËɁ

135

5. üÉÌÏÇ

õ ÎÁÓ ÅÓÔØ ÓÔÒÁÎÉ Á × ÓÅÔÉ:

http://www.u

s.edu/~asoifer/geombinatori s.html

ïÎÁ ×ËÌÀÞÁÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ËÁÖÄÏÇÏ ÎÏÍÅÒÁ ÚÁ ÅÒ×ÙÅ 12 ÌÅÔ, ÕËÁÚÁÔÅÌØ Á×ÔÏÒÏ× É ÓÉÓÏË ÒÅÄËÏÌÌÅÇÉÉ. âÕÄÕÝÉÅ Á×ÔÏÒÙ ÍÏÇÕÔ ÎÁÊÔÉ ÔÁÍ ÒÁ×ÉÌÁ ÏÆÏÒÍÌÅÎÉÑ É ÏÂÒÁÚÅ ÄÏÇÏ×ÏÒÁ Ï Á×ÔÏÒÓËÉÈ ÒÁ×ÁÈ. €çÅÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ ÏÂÑÚÁÎÁ Ó×ÏÉÍ ÕÓÅÈÏÍ ÍÎÏÇÉÍ ËÏÌÌÅÇÁÍ ÓÏ ×ÓÅÇÏ ÍÉÒÁ, ËÏÔÏÒÙÅ × ÔÅÞÅÎÉÅ Ä×ÅÎÁÄ ÁÔÉ ÌÅÔ ÏÂÏÇÁÝÁÌÉ ÜÔÏÔ ÖÕÒÎÁÌ Ó×ÏÉÍÉ ÍÙÓÌÑÍÉ É ÓÔÒÅÍÌÅÎÉÑÍÉ. åÇÏ ÚÒÅÌÏÓÔØ ÂÙÌÁ ÒÉÚÎÁÎÁ, ËÏÇÄÁ Mathemati al Reviews É Zentralblatt fur Mathematik ÏÂßÑ×ÉÌÉ ÖÕÒÎÁÌ €ÉÚÄÁÎÉÅÍ ×ÙÓÏËÏÊ ÌÏÔÎÏÓÔÉ ÒÅÆÅÒÉÒÏ×ÁÎÉс (ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÅÆÅÒÉÒÕÀÔÓÑ ×ÓÅ ÓÔÁÔØÉ ÉÚ €çÅÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËɁ × ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏÍ ×ÁÒÉÁÎÔÅ). úÁÄÁÞÎÙÊ ÓÔÉÌØ €çÅÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËɁ × ÂÏÌØÛÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÂÙÌ ÓÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ Ä×ÁÄ ÁÔØÀ ÓÔÁÔØÑÍÉ ðÁÕÌÑ üÒÄ£ÛÁ, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÙÍÉ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁÍ ÎÅÒÅÛÅÎÎÙÈ ÚÁÄÁÞ, Á ÔÁËÖÅ ÅÇÏ ÂÅÓÞÉÓÌÅÎÎÙÍÉ ÄÏËÌÁÄÁÍÉ, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÙÍÉ ÎÅÒÅÛÅÎÎÙÍ ÒÏÂÌÅÍÁÍ. ðÁÕÌØ Ñ×ÌÑÌÓÑ ÒÅÄÁËÔÏÒÏÍ ÎÁÛÅÇÏ ÖÕÒÎÁÌÁ, ÎÏ ÒÉ ÜÔÏÍ ×ÎÅÓ ×ÅÓÏÍÙÊ ×ËÌÁÄ É × ÅÇÏ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ: ÏÎ ÎÁÉÓÁÌ ÑÔÎÁÄ ÁÔØ ÜÓÓÅ ÄÌÑ Ä×ÁÄ ÁÔÉ ÏÄÎÏÇÏ ÎÏÍÅÒÁ €çÅÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËɁ, ×ÙÛÅÄÛÅÇÏ ÒÉ ÅÇÏ ÖÉÚÎÉ. âÒÁÎËÏ çÒÀÎÂÁÕÍ ÉÚ ÷ÁÛÉÎÇÔÏÎÓËÏÇÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ ÂÙÌ ÒÅÄÁËÔÏÒÏÍ €çÅÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËɁ Ó ÍÏÍÅÎÔÁ ÅÅ ÒÏÖÄÅÎÉÑ. åÇÏ ÍÁÔÅÒÉÁÌÙ ÓÙÇÒÁÌÉ ÒÅÛÁÀÝÕÀ ÒÏÌØ × ÕÓÅÈÅ É ÄÁÖÅ ÒÏÓÔÏ ×ÙÖÉ×ÁÎÉÉ ÖÕÒÎÁÌÁ. òÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙÅ Ï ÔÅÍÁÍ, ÎÏ ×ÓÅÇÄÁ ÎÁÉÓÁÎÎÙÅ Ó×ÅÖÏ É ÎÁ ×ÙÓÏÞÁÊÛÅÍ ÕÒÏ×ÎÅ, ÏÎÉ ÓÌÕÖÁÔ ÏÓÎÏ×ÏÊ ÖÕÒÎÁÌÁ. éÈ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÓÔØ ÔÁËÖÅ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÁÎÁÌÏÇÁ: âÒÁÎËÏ ÎÁÉÓÁÌ 39 ÓÔÁÔÅÊ ÄÌÑ 50 ÎÏÍÅÒÏ× €çÅÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËɁ, ×ÙÛÅÄÛÉÈ Ë ÎÁÓÔÏÑÝÅÍÕ ×ÒÅÍÅÎÉ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÜÓÓÅ ðÁÕÌÑ üÒÄ£ÛÁ É âÒÁÎËÏ çÒÀÎÂÁÕÍÁ ÓÔÉÍÕÌÉÒÏ×ÁÌÉ ÏÑ×ÌÅÎÉÅ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÓÔÁÔÅÊ ÄÒÕÇÉÈ Á×ÔÏÒÏ×. îÁÛÉ ÒÅÄÁËÔÏÒÙ èÅÊËÏ èÁÒÂÏÒÔ (âÒÁÕÎÛ×ÅÊÇÓËÉÊ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ), ñÒÏÓÌÁ× îÅÓÅÔÒÉÌ (ëÁÒÌÏ× ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ × ðÒÁÇÅ), ðÉÔÅÒ äÖÏÎÓÏÎ ÍÌ. (ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ ï£ÒÎ) É ñÎÏÛ ðÁÈ (ëÕÒÁÎÔÏ×ÓËÉÊ ÉÎÓÔÉÔÕÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÎÁÕË É ÷ÅÎÇÅÒÓËÁÑ ÁËÁÄÅÍÉÑ ÎÁÕË) ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÌÉ ÎÁ ÓÔÒÁÎÉ ÁÈ €çÅÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËɁ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÅ ÓÔÁÔØÉ, ÎÏ É ÒÉ×ÌÅËÌÉ ÍÏÌÏÄÙÈ ÔÁÌÁÎÔÌÉ×ÙÈ Á×ÔÏÒÏ×. óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

[1℄ O'Donnell, Paul. Arbitrary Girth, 4-Chromati Unit Distan e Graphs in the Plane // Geombinatori s IX(3), 145-150; IX(4), 180-193.

136

ÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ × ×ÙÕËÌÙÈ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁÈ

á. óÏÊÆÅÒ

õÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ ÛÔÁÔÁ ëÏÌÏÒÁÄÏ, ëÏÌÏÒÁÄÏ-óÒÉÎÇÓ

ð. üÒÄ£Û

éÎÓÔÉÔÕÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÷ÅÎÇÅÒÓËÏÊ ÁËÁÄÅÍÉÉ ÎÁÕË

÷Ï ×ÒÅÍÑ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÊ ×ÓÔÒÅÞÉ îÏ×ÏÇÏ 1992 ÇÏÄÁ × ëÏÌÏÒÁÄÏ-óÒÉÎÇÓ ÎÁÍ ÒÉÛÅÌ × ÇÏÌÏ×Õ ÒÑÄ €ÍÁËÓÍÉÎÎÙȁ ÚÁÄÁÞ. ðÕÓÔØ S | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ. óÉÍ×ÏÌ min
(S ) ÂÕÄÅÔ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÎÁÉÍÅÎØÛÕÀ ÌÏÝÁÄØ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ × S . ÷ÙÕËÌÙÊ n-ÕÇÏÌØÎÉË Pn × ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÅ ÏÎÉÍÁÅÔÓÑ ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÇÏ n ×ÅÒÛÉÎ. ïÄÎÁËÏ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ Ï ÅÇÏ ×ÎÕÔÒÅÎÎÏÓÔÉ, ÉÍÅÑ × ×ÉÄÕ ×ÎÕÔÒÅÎÎÏÓÔØ ÅÇÏ ×ÙÕËÌÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÉ. ÷ÎÁÞÁÌÅ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÉÚ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 2 ÓÔÁÔØÉ á. òÅÎØÉ É ò. óÕÌÁÎËÅ [1℄ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚÑÝÎÏÅ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ: òÅÚÕÌØÔÁÔ 1. óÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ×ÙÕËÌÙÈ n-ÕÇÏÌØÎÉËÏ× Pn ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÌÏ-

ÝÁÄÉ ×ÅÌÉÞÉÎÁ


(n; 0) = max(min
(Pn )) ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ, ËÏÇÄÁ Pn Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÆÆÉÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ n-ÕÇÏÌØÎÉËÁ. ðÏÓÔÁ×ÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÚÁÄÁÞÕ: úÁÄÁÞÁ 2. äÌÑ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔÉ ×ÓÅÈ n-ÕÇÏÌØÎÉËÏ× Pn ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÌÏÝÁÄÉ É ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË ÉÚ ÉÈ ×ÎÕÔÒÅÎÎÏÓÔÉ ÎÁÊÄÉÔÅ
(n; 1) = max(min
(Pn ∪ {p})) : îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ËÏÎÆÉÇÕÒÁ ÉÉ Pn ∪ {p}, ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÉÅ ÜÔÏÔ ÍÁËÓÉÍÕÍ.

äÌÑ n = 4 ÜÔÁ ÚÁÄÁÞÁ ÒÅÛÅÎÁ × [2, ÇÌ.9℄:
(4; 1) = 12 ( 2 − 1) : óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÏÔÉÍÁÌØÎÁÑ ËÏÎÆÉÇÕÒÁ ÉÑ (Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÁÆÆÉÎÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ) ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 1 ÄÌÑ ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ 1. (þÔÏÂÙ ÓÄÅÌÁÔØ ÅÇÏ ÌÏÝÁÄØ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ, ÎÕÖÎÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÇÏÍÏÔÅÔÉÀ.) ÷ ÏÂÝÅÍ ×ÉÄÅ ÚÁÄÁÞÁ ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÔÁË: √

CEME.

Geombinatori s, vol. II, No 4, 1993. P. 72{74. ðÅÒÅ×ÏÄ â. ò. æÒÅÎËÉÎÁ.

137

z

√

2

}|− 1

{

ÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ × ×ÙÕËÌÙÈ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁÈ

o√

( 2 − 1)2

òÉÓ. 1.

úÁÄÁÞÁ 3. äÌÑ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔÉ ×ÓÅÈ ×ÙÕËÌÙÈ n-ÕÇÏÌØÎÉËÏ× Pn ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÌÏÝÁÄÉ É ×ÓÅÈ k-ÜÌÅÍÅÎÔÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× Sk ÉÚ ÉÈ ×ÎÕÔÒÅÎÎÏÓÔÉ ÎÁÊÄÉÔÅ
(n; k) = max(min
(Pn ∪ Sk )) : ÷ÏÒÏÓ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÍ ËÁË ÄÌÑ ÍÁÌÙÈ, ÔÁË É ÄÌÑ ÂÏÌØÛÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ k, ÎÁÒÉÍÅÒ ÄÌÑ k = n. ðÒÉ ÂÏÌØÛÉÈ k ÏÎ Ó×ÑÚÁÎ ÓÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ÒÏÂÌÅÍÏÊ èÅÊÌØÂÒÁÕÎÁ: ðÕÓÔØ ÄÁÎÙ n ÔÏÞÅË × Ë×ÁÄÒÁÔÅ (ÉÌÉ ËÒÕÇÅ) ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÌÏÝÁÄÉ. îÁÊÄÉÔÅ ÍÁËÓÉÍÕÍ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ÌÏÝÁÄÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ × ËÁËÉÈ-ÌÉÂÏ ÉÚ ÜÔÉÈ ÔÏÞÅË. óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

 [1℄ A. Renyi, R. Sulanke. Uber die konvexe Hulle von n zufallig gewahlten Punkten // Zeits hrift fur Wahrs heinli hkeitstheorie und verwandte Gebiete, 2(1963), 75 { 84. [2℄ A. Soifer. How Does One Cut a Triangle ? Center for Ex ellen e in Mathemati al Edu ation, Colorado Springs, 1990.

138

äÙÒÑ×ÙÅ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ËÏÌÏÎÎÙ

â. çÒÀÎÂÁÕÍ∗

õÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ ÛÔÁÔÁ ÷ÁÛÉÎÇÔÏÎ, óÉÜÔÔÌ

ðÅÒÅÄ ×ÁÍÉ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ ÚÁÍÅÔËÉ [3℄ Ï ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁÈ. íÙ ÚÁÉÍÓÔ×ÕÅÍ ÏÔÔÕÄÁ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÀ É ÄÁÄÉÍ ÚÄÅÓØ ÌÉÛØ ËÒÁÔËÉÅ ÏÑÓÎÅÎÉÑ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÏÎÑÔÉÊ. ðÏÄ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÍ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏÍ P ÍÙ ÏÎÉÍÁÅÍ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÌÏÓËÉÈ ×ÙÕËÌÙÈ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏ× (ÅÇÏ ÇÒÁÎÅÊ) Ó ÏÁÒÎÏ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÍÉÓÑ ×ÎÕÔÒÅÎÎÏÓÔÑÍÉ; ÒÉ ÜÔÏÍ ËÁÖÄÁÑ ÓÔÏÒÏÎÁ ËÁÖÄÏÊ ÇÒÁÎÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÔÏÒÏÎÏÊ ÅÝÅ ÏÄÎÏÊ É ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÏÊ ÇÒÁÎÉ É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅÂÒÏÍ, Á ÅÅ ËÏÎ Ù ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P . çÒÁÎÉ, Ò£ÂÒÁ É ×ÅÒÛÉÎÙ ÄÏÌÖÎÙ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ, ÏÂÙÞÎÏ ×ÙÏÌÎÅÎÎÙÍ × ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁÈ É ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ Ñ×ÎÏ × [3℄. ïÄÎÁËÏ ÏÄÞÅÒËÎÅÍ, ÞÔÏ ÔÁË ËÁË ÏÔ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ÎÅ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ×ÙÕËÌÏÓÔØ, ÔÏ ÎÅÔ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÊ ÒÅÄÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ ÅÇÏ ÇÒÁÎÉ ÌÅÖÁÔ × ÒÁÚÎÙÈ ÌÏÓËÏÓÔÑÈ. é ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÚÁÍÏÝÅÎÉÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁÍÉ ÏÄÁÄÁÅÔ ÏÄ ÎÁÛÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ. îÁÓ ÂÕÄÕÔ ÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÔØ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ (ÉÌÉ ×ÅÒÛÉÎÎÏ-ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÙÅ) ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ, Ô. Å. ÔÁËÉÅ, × ËÏÔÏÒÙÈ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ×ÚÁÉÍÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ. ÷ ÚÁÍÅÔËÅ [3℄ ÍÙ × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ ÚÁÎÉÍÁÌÉÓØ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁÍÉ, Ô. Å. ÔÁËÉÍÉ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÍÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁÍÉ, Õ ËÏÔÏÒÙÈ ×ÓÅ ÇÒÁÎÉ | ÒÁ×ÉÌØÎÙÅ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÉ; ÒÉ ÜÔÏÍ ÍÙ ÓÞÉÔÁÌÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË ÅÒÉÏÄÉÞÎÙÍ × ÔÒÅÈ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑÈ. éÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÍ (× ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ) ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁÍ, ÅÒÉÏÄÉÞÎÙÍ × Ä×ÕÈ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑÈ, ÏÓ×ÑÝÅÎÏ ÂÏÌØÛÏÅ ÞÉÓÌÏ ÕÂÌÉËÁ ÉÊ. éÍÅÅÔÓÑ ÏÂÛÉÒÎÁÑ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÁ Ï ÚÁÍÏÝÅÎÉÑÍ ÌÏÓËÏÓÔÉ Ó ÔÁËÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ (ÓÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ, [4, ÇÌÁ×Ù 2 É 6℄ É ÒÉ×ÅÄÅÎÎÕÀ ÔÁÍ ÂÉÂÌÉÏÇÒÁÆÉÀ). ÷ ÒÁÂÏÔÅ [5℄ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÏ ÂÏÌØÛÏÅ ÞÉÓÌÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×, ÅÒÉÏÄÉÞÎÙÈ × Ä×ÕÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑÈ, ÎÏ ÎÅ ÌÅÖÁÝÉÈ × ÌÏÓËÏÓÔÉ; ÉÓÞÅÒÙ×ÁÀÝÅÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× ÔÁËÏÇÏ ÒÏÄÁ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÎÅÄÁ×ÎÏ ÏÄÇÏÔÏ×ÌÅÎÎÏÊ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÉ õÉÌØÑÍÁ . ÷ÅÂÂÅÒÁ. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÜÔÉÈ €ÌÁÓÔÉ΁ ÉÍÅÀÔ €ÄÙÒف, Ô. Å. ÉÈ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÒÏÄ ∗

òÁÂÏÔÁ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÏÄÄÅÒÖÁÎÁ ÇÒÁÎÔÏÍ NSF # DMS-9008813.

CEME. Geombinatori s, vol. II, No 4, 1993. P. 75{78. ðÅÒÅ×ÏÄ â. ò. æÒÅÎËÉÎÁ.

äÙÒÑ×ÙÅ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ËÏÌÏÎÎÙ

139

ÂÅÓËÏÎÅÞÅÎ. ðÒÏÓÔÅÊÛÉÅ ÒÉÍÅÒÙ ÓÔÒÏÑÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÚÁÍÏÓÔÉÍ Ä×Å ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ Ë×ÁÄÒÁÔÁÍÉ, ÕÄÁÌÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÉÚ ËÁÖÄÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ É ÓÏÅÄÉÎÉÍ ÏÂÒÁÚÏ×Á×ÛÉÅÓÑ ÄÙÒÙ €ÔÒÕÂÁÍɁ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÍÉ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×. éÚÕÞÁÌÉÓØ É ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ (× ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ) ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ, ÅÒÉÏÄÉÞÎÙÅ × ÏÄÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ; × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÉÈ ÏÞÅÒÔÁÎÉÑÍÉ ÔÁËÉÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ ÍÏÖÎÏ ÎÁÚ×ÁÔØ €ËÏÌÏÎÎÁÍÉ ( olumns). ïÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ËÏÌÏÎÎÙ ÌÅÇËÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÉÚ ÒÉÚÍ É ÁÎÔÉÒÉÚÍ (ÕÄÁÌÉ× ÏÂÝÉÅ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ÓÏÓÅÄÎÉÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ). ÁËÉÅ É ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÄÒÕÇÉÅ ËÏÌÏÎÎÙ ÏËÁÚÁÎÙ ÎÁ ÉÌÌÀÓÔÒÁ ÉÑÈ × ÒÁÂÏÔÅ [5℄. éÎÔÅÒÅÓÎÁÑ ËÏÌÏÎÎÁ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ×; âÁËÍÉÎÓÔÅÒ æÕÌÌÅÒ ÎÁÚ×ÁÌ ÅÅ €ÔÅÔÒÁÇÅÌÉËӁ (tetrahelix) (ÓÍ. [2℄ É [1℄; × ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÒÁÂÏÔÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÙ ÔÁËÖÅ ÏÂÏÂÝÅÎÉÑ ÎÁ ×ÙÓÛÉÅ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ). óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ÍÎÏÇÏ ÄÒÕÇÉÈ ÓÏÓÏÂÏ× ÓÔÒÏÉÔØ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ËÏÌÏÎÎÙ. ïÄÎÁËÏ × ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ ÎÅÔ ÕÏÍÉÎÁÎÉÊ Ï ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÉÌÉ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÈ ËÏÌÏÎÎÁÈ ÂÏÌÅÅ ×ÙÓÏËÏÇÏ ÒÏÄÁ. ãÅÌØ ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÍÅÔËÉ | ×ÏÓÏÌÎÉÔØ ÜÔÏÔ ÒÏÂÅÌ. ÷ÎÁÞÁÌÅ ÏÉÛÅÍ ÏÄÎÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï €ÄÙÒÑ×Ùȁ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÈ ËÏÌÏÎÎ; ÒÉÍÅÒÙ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. 1 É 2. ðÏÓËÏÌØËÕ ÞÅÒÔÅÖ ÇÏÔÏ×ÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ÎÅ ×ÙÒÁÖÁÅÔ ÅÇÏ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÑÓÎÏ, ÍÙ ÏÉÛÅÍ É ÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ÓÁÍÏ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ. óÄÅÌÁÅÍ €ÄÙÒف (€×ÎÕÔÒÅÎÎÉÅ ÒÏÈÏÄف), ÏËÁÚÁÎÎÙÅ × ÞÁÓÔÉ (a) ÏÂÏÉÈ ÒÉÓÕÎËÏ×. ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ËÁÖÄÁÑ €ÄÙÒÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÒÉÚÍÙ, × ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÌÅÖÉÔ 2n-ÕÇÏÌØÎÉË (n ÅÌÏÅ, n > 2), ×ÓÅ ÕÇÌÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÁ×ÎÙ, Á ÄÌÉÎÙ ÓÔÏÒÏÎ ÏÏÞÅÒÅÄÎÏ ÒÉÎÉÍÁÀÔ Ä×Á ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑ; ÒÉ ÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ ËÏÌÏÎÎÙ ÎÕÖÎÏ ÕÄÁÌÉÔØ ÂÏËÏ×ÙÅ ÇÒÁÎÉ ÒÉÚÍ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ÂÏÌÅÅ ËÏÒÏÔËÉÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÊ. òÁÓÏÌÏÖÉÍ ÔÁËÉÅ €ÒÁÓËÒÙÔÙŁ ÒÉÚÍÙ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏ ÏÄÎÕ ÎÁÄ ÄÒÕÇÏÊ ÞÅÒÅÚ ÒÁ×ÎÙÅ ÒÏÍÅÖÕÔËÉ É Ï×ÅÒÎÅÍ ËÁÖÄÕÀ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÎÁ ÕÇÏÌ =n(= 180◦ =n). îÁ ÒÉÓ. 1(a) ÉÚÏÂÒÁÖÅÎ ÒÏÓÔÅÊÛÉÊ ÓÌÕÞÁÊ (n = 2), Á ÎÁ ÒÉÓ. 2(a) | ÓÌÕÞÁÊ n = 4, ËÏÔÏÒÙÊ, ×ÅÒÏÑÔÎÏ, ÌÕÞÛÅ ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÔ ÏÂÝÕÀ ÓÉÔÕÁ ÉÀ. þÔÏÂÙ ÏÓÔÒÏÉÔØ ËÏÌÏÎÎÕ, ÄÏÂÁ×ÉÍ ÓÎÁÒÕÖÉ ÏÄÈÏÄÑÝÕÀ €ÏÂÛÉ×ËՁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÕÀ €ÄÙÒف, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉ ÜÔÏÍ ÓÏÈÒÁÎÑÀÔÓÑ; × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ, ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÅ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙ, ÒÉÞÅÍ Ë ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÒÉÍÙËÁÀÔ ÑÔØ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÏ× (Ä×Á | ÉÚ ÓÔÅÎÏË €ÄÙÒف É ÔÒÉ | ÉÚ €ÏÂÛÉ×ËɁ). ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÏÄÏÂÉÑ É ÞÉÓÌÁ n, ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÔÒÅÈ ÁÒÁÍÅÔÒÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÇÕÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ: ÜÔÏ ×ÙÓÏÔÁ ÒÉÚÍÙ, ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÓÏÓÅÄÎÉÍÉ ÒÉÚÍÁÍÉ É ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (ÂÏÌØÛÅÅ ÞÅÍ 1) ÄÌÉÎ Ä×ÕÈ ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÓÔÏÒÏÎ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ. éÎÔÅÒÅÓ Ë ÔÁËÉÍ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁÍ ÏÔÞÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅÍ:

140

â. çÒÀÎÂÁÕÍ

(a)

(b) òÉÓ. 1.

(a)

(b) òÉÓ. 2.

äÙÒÑ×ÙÅ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ËÏÌÏÎÎÙ

141

çÉÏÔÅÚÁ 1. îÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÈ ËÏÌÏÎÎ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÒÏÄÁ, ËÒÏÍÅ ÏÉÓÁÎÎÙÈ ×ÙÛÅ. åÓÌÉ ÜÔÏ ×ÅÒÎÏ, ÔÏ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÏÎÑÔÎÙÍ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ ÕÏÍÉÎÁÎÉÊ × ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ Ï ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ËÏÌÏÎÎÁÈ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÒÏÄÁ. óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÜÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: çÉÏÔÅÚÁ 2. îÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ËÏÌÏÎÎ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÒÏÄÁ. óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

[1℄ H.S.M. Coxeter, The simpli ial helix and the equation tan nq = n tan . Canad. Math. Bull. 28 (1935), 385-393. [2℄ R.B.Fuller, Synergeti s, Ma millan, New York (1975). [3℄ B. Grunbaum, In nite uniform polyhedra. Geombinatori s II(1993), 53-60. [4℄ B. Grunbaum and G.C.Shephard, Tilings and Patterns. Freeman, New York (1987). Ö. ×: Tilings and Patterns: An Introdu tion. Freeman, New York (1989). [5℄ A.Wa hman, M.Burt, and M.Kleinmann, In nite Polyhedra. Fa ulty of Ar hite ture and Town Planning, Te hnion - Israel Institute of Te hnology, Haifa, Israel (1974).

îÁÛ ÓÅÍÉÎÁÒ: ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÓÀÖÅÔÙ

óÕÍÍÁ ÏÂÒÁÔÎÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×

ë. ð. ëÏÈÁÓØ∗ ÷ ÜÔÏÊ ÚÁÍÅÔËÅ ÍÙ ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÅÍ Ï ÔÏÍ, ËÁË ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ÎÁÊÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÕÍÍÙ 1 + 14 + 91 + 161 + 251 + : : : :

÷ÅÒÏÑÔÎÏ, ×ÓÅ ÉÚÌÏÖÅÎÎÙÅ ÚÄÅÓØ ÓÏÓÏÂÙ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ. äÁ É ÏÙÔËÉ ÕÓÔÒÏÉÔØ ÒÅ×ÉÚÉÀ × ÜÔÏÍ ÈÏÚÑÊÓÔ×Å ÕÖÅ ÔÏÖÅ ÒÅÄÒÉÎÉÍÁÌÉÓØ. ÏÌÞËÏÍ Ë ÎÁÉÓÁÎÉÀ ÜÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ ÏÓÌÕÖÉÌÏ ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÅ, ÉÚÌÏÖÅÎÎÏÅ × ÁÒÁÇÒÁÆÅ 7, ÏÏÌÎÅÎÉÀ ËÏÌÌÅË ÉÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ÓÉÌØÎÏ ÏÍÏÇÌÉ ÓÔÁÔØÑ [12℄ É ÄÉÓËÕÓÓÉÉ × [18℄. 1. íÅÔÏÄ áÂÅÌÑ

÷ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÓÕÍÍ | ÍÅÔÏÄÏÍ áÂÅÌÑ. åÇÏ ÒÏÈÏÄÑÔ × ËÏÎ Å ÅÒ×ÏÇÏ ËÕÒÓÁ. P óÏÓÏ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ. þÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ÓÕÍÍÕ ÓÈÏÄÑÝÅÇÏÓÑ ÒÑÄÁ ak , ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔ ÓÔÅÅÎÎÏÊ P k ÒÑÄ f (x) = ak x . ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ áÂÅÌÑ ÒÁÄÉÕÓ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ 1. åÓÔØ ÍÎÏÇÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÒÉÅÍÏ× ÒÁÂÏÔÙ ÓÏ ÓÔÅÅÎÎÙÍÉ ÒÑÄÁÍÉ É ÅÓÌÉ ÍÙ ËÁËÉÍ-ÎÉÂÕÄØ P ÏÂÒÁÚÏÍ ÓÕÍÅÅÍ ÎÁÊÔÉ Ñ×ÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ f (x), ÔÏ ÔÏÇÄÁ ak = lim f (x). éÔÁË, ÏÌÏÖÉÍ x→1−0

f (x) =

+∞ X xk

k=1

∗

ðÏÄÄÅÒÖÁÎÏ ÇÒÁÎÔÏÍ îû{2251.2003.1

k2

:

óÕÍÍÁ ÏÂÒÁÔÎÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×

143

ÏÇÄÁ

xf (x) = ′

+∞ X xk

k=1

ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, +∞ X 1

k=1

k

2

=−

Z1 0

= − ln(1 − x) :

k

ln(1 − x) dx = x

Z1 0

ln x dx : x−1

(1)

ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÉÎÔÅÇÒÁÌ €ÎÅ ÂÅÒÅÔÓс. äÕÍÁÅÍ, Ó ÜÔÏÊ ÔÒÕÄÎÏÓÔØÀ ÓÔÁÌËÉ×ÁÌÉÓØ ÍÎÏÇÉÅ ÅÒ×ÏËÕÒÓÎÉËÉ. ðÒÉÄÅÔÓÑ ÉÄÔÉ ÄÒÕÇÉÍ ÕÔÅÍ. ÷ÒÏÞÅÍ, ÞÕÔØ ÏÚÖÅ ÍÙ ×ÓÅ-ÔÁËÉ ×ÙÞÉÓÌÉÍ ÜÔÏÔ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÒÉ ÏÍÏÝÉ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ (Ó ÏÍÏÝØÀ ×ÙÞÅÔÏ×). 2. òÁÚÌÏÖÉÍ ÓÉÎÕÓ ÉÌÉ ÞÔÏ-ÎÉÂÕÄØ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ

÷ÏÔ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÅÅ üÊÌÅÒÕ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÏÒÍÕÌÕ ÅÊÌÏÒÁ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ sin x: (2) sin x = x − x3! + x5! + : : : : ÷ÙÒÁÖÅÎÉÅ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ (ÒÑÄ) ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ €ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ ÓÔÅÅÎɁ. åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÞÔÏ ÒÁÚ ÓÔÅÅÎØ ÜÔÏÇÏ €ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÁ, ÔÏ Õ ÎÅÇÏ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÏ ËÏÒÎÅÊ. üÔÏ ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ ÒÅËÒÁÓÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÎÁÛÉÍ ÚÎÁÎÉÑÍ Ï ÆÕÎË ÉÉ sin x: ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÜÔÁ ÆÕÎË ÉÑ ÉÍÅÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÏ ËÏÒÎÅÊ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ×ÉÄÁ n, n ∈ Z (É ËÓÔÁÔÉ, ÄÒÕÇÉÈ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ ÎÅÔ). ðÏÒÏÂÕÅÍ ÒÁÚÌÏÖÉÔØ ÜÔÕ ÆÕÎË ÉÀ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ. úÄÅÓØ ÎÕÖÎÏ ÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÔØ ÁËËÕÒÁÔÎÏ: ÎÁÒÉÍÅÒ, ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ sin x = x(x − )(x + )(x − 2)(x + 2) : : : ×ÒÑÄ ÌÉ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÅÒÎÙÍ, ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ x ÓÔÒÅÍÑÔÓÑ Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ, ÄÁ É ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ ÒÁÓËÒÙÔÉÉ ÓËÏÂÏË ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÍÉ ËÒÁÔÎÙÍÉ , ÞÔÏ ÎÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÆÏÒÍÕÌÅ (2). äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÏÌÕÞÉÔØ ÂÏÌÅÅ €ÒÁ×ÉÌØÎÏŁ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ, ÄÁ×ÁÊÔÅ ÅÒÅÎÏÒÍÉÒÕÅÍ ÓËÏÂËÉ: ×ÍÅÓÔÏ ÓËÏÂËÉ (x − k), ÏÂÒÁÝÁÀÝÅÊÓÑ × ÎÕÌØ x ÒÉ x = k, ×ÏÚØÍÅÍ (1 − k ). ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ ÓÇÒÕÉÒÕÅÍ ×ÍÅÓÔÅ ÓËÏÂËÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ËÏÒÎÑÍ ±k. ðÏÌÕÞÉÍ 5

3



sin x = x 1 − x2 2





2  1 − x 2 ::: :

4

(3)

144

ë. ð. ëÏÈÁÓØ

üÔÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÕÖÅ ÂÏÌÅÅ ÒÁ×ÄÏÏÄÏÂÎÏ: ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ (É ÄÁÖÅ ËÏÍÌÅËÓÎÏÍ) x. äÁ É ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ ÍÌÁÄÛÅÍ ÞÌÅÎÅ (Ô. Å. ÒÉ x) ÔÁËÏÊ, ËÁË ÎÁÄÏ: ÅÓÌÉ ÒÁÓËÒÙÔØ ×ÓÅ ÓËÏÂËÉ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ, ÔÏ, ÑÓÎÏÅ ÄÅÌÏ, ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ x ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÅÎ ÅÄÉÎÉ Å. äÁ×ÁÊÔÅ ÔÏÇÄÁ ×ÙÞÉÓÌÉÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ x3 × ÆÏÒÍÕÌÅ (3). ÷ ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ x3 ÒÁ×ÅÎ −1=6, ÜÔÏ ÍÙ ÚÎÁÅÍ ÉÚ ÆÏÒÍÕÌÙ (2). á × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÁ×ÅÎ. . . ÏÓÔÏÊÔÅ, ÏÓÔÏÊÔÅ. . . ÎÕ ÄÁ, ÏÎ
1 1 1 ÒÁ×ÅÎ − 2 + 2 + 2 + : : : . é ÍÙ ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÍÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ 

4

9

1 1 + 14 + 19 + 16 + 251 + : : : = 6 : 2

(4)

òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÍÉ ÏÌÕÞÅÎÁ ÜÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ, ÎÅ ÒÅÔÅÎÄÕÀÔ ÎÁ Ú×ÁÎÉÅ €ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ρ. îÏ Ï ÂÏÌØÛÏÍÕ ÓÞÅÔÕ ÏÎÉ ×ÅÒÎÙ. ÅÏÒÅÍÁ Ï ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ÆÕÎË ÉÉ sin x × ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ (Ô. Å. ÆÏÒÍÕÌÁ (3)) ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ × ËÕÒÓÅ ÁÎÁÌÉÚÁ ÉÌÉ æëð (ÓÍ. [5, 8℄). ******

÷ÁÒÉÁ ÉÅÊ ÎÁ ÜÔÕ ÖÅ ÔÅÍÕ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÏÔ ËÁËÏÊ ÏÄÈÏÄ: ÄÁ×ÁÊÔÅ ÏÄÂÅÒÅÍ ËÁËÕÀ-ÎÉÂÕÄØ ÒÁÚÕÍÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, Õ ËÏÔÏÒÙÈ ËÏÒÎÑÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÅ ÔÏ ÞÔÏÂÙ ÓÁÍÉ ÄÒÏÂÉ 1=n2 , Á ËÁËÉÅ-ÔÏ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉ ÂÌÉÚËÉÅ Ë ÎÉÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ, ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ×ÙÏÌÎÉÍ ÒÅÄÅÌØÎÙÊ ÅÒÅÈÏÄ. îÁÒÉÍÅÒ, ÓÄÅÌÁÅÍ ÔÁË ([12℄). ÷ÏÚØÍÅÍ ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ n = 2m + 1. îÅÔÒÕÄÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÔÏÇÄÁ sin nx = Pn (sin x); ÇÄÅ Pn | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ n. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ x = k=n, ÍÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÁ sin(k=n), −m 6 k 6 m, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÒÎÑÍÉ ÜÔÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ, Á ÔÁË ËÁË ÉÈ ÚÄÅÓØ ÒÏ×ÎÏ n, ÔÏ ÄÒÕÇÉÈ ËÏÒÎÅÊ ÎÅÔ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,

Pn (y) = ny

m  Y

k=1



2 1 − 2y : sin (k=n)

úÄÅÓØ ÎÏÒÍÉÒÏ×ÏÞÎÙÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ n × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÏÄÏÂÒÁÎ ÉÚ ÔÅÈ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÊ, ÞÔÏ lim Pn (y)=y = n. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, y →0

sin nx = n sin x

m  Y

k=1

2 x 1 − sin 2 sin (k=n)



:

ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ x3 ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÊ ÅÊÌÏÒÁ × ÎÕÌÅ ÌÅ×ÏÊ É ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÅÊ, ÏÌÕÞÁÅÍ m

X n3 n 1 − =− −n ; 6 6 sin2 (k=n) k=1

óÕÍÍÁ ÏÂÒÁÔÎÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×

É ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,

145

m

1 1 X − = 12 2 2 6 n sin (k=n) 6n

:

(5)

k=1

ÅÅÒØ ÚÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ M É ÂÕÄÅÍ ÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ m, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÙ ×ÙÂÒÁÌÉ Ó ÓÁÍÏÇÏ ÎÁÞÁÌÁ, ÂÏÌØÛÅ ÞÅÍ M . ÏÇÄÁ ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ M m X 1 X 1 1 1 − = + : 2 2 2 2 2 6 n sin (k=n) 6n n sin (k=n) k=1

k=M +1

÷ ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ sin x > 2 x, ×ÅÒÎÙÍ ÒÉ 0 < < x < =2: 0
− 12 É ÏÜÔÏÍÕ × ÏÌÕÌÏÓËÏÓÔÉ

óÕÍÍÁ ÏÂÒÁÔÎÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×

153

Re z > − 12 ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÁÑ ×ÅÔ×Ø ÆÕÎË ÉÉ log (z + 1). ÏÇÄÁ ÒÏÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍ Ï ÞÁÓÔÑÍ 1 2i

Z

Re z =−

(z + 1) dz = i1 z 2 (z + 1) ′

1 2

Z

Re z =−

1 2

log (z + 1) dz; z3

É ÞÔÏÂÙ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ, ÉÚÏÂÒÅÔÅÍ ÏÄÈÏÄÑÝÉÊ ËÏÎÔÕÒ (ÒÉÓ. 2 ÓÒÁ×Á): 1 i

Z

Re z =−

log (z + 1) dz = z3 1 2





  1   −Z2 +Ri Z   log (z + 1) log (z + 1)  1  dz + dz = − i lim  = z3 z3  R→+∞   1 1 Re z >−  − 2 −Ri 2 q

|z |=

= −2 resz=0 log (z3 + 1) :

1

R2 + 4

z

(18)

÷ÔÏÒÏÅ ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ ÏÄ ÒÅÄÅÌÏÍ | ÉÎÔÅÇÒÁÌ Ï ÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ | ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë ÎÕÌÀ ÒÉ R → +∞ ÏÑÔØ × ÓÉÌÕ Ï ÅÎÏË, ËÏÔÏÒÙÅ ÓÌÅÄÕÀÔ ÉÚ ÆÏÒÍÕÌÙ (16), Á ÍÉÎÕÓ ÅÒÅÄ ÒÅÄÅÌÏÍ ÓÔÏÉÔ ÉÚ-ÚÁ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ ËÏÎÔÕÒÁ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÄ ÒÅÄÅÌÏÍ ÓÔÏÉÔ ÉÎÔÅÇÒÁÌ Ï ÇÒÁÎÉ Å ÏÌÕËÒÕÇÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÙ ×ÙÞÉÓÌÉÌÉ Ï ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ×ÙÞÅÔÁÈ. ïÓÔÁÌÏÓØ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ ×ÙÞÅÔ (18) É ÔÕÔ ÎÁÛÁ ÎÁÅÚÖÅÎÎÁÑ ÍÁÇÉÓÔÒÁÌØ ÕÉÒÁÅÔÓÑ × ÔÕÉË: ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÊ ÓÏÓÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ×ÙÞÅÔÏ× ÒÉ×ÏÄÉÔ  ′ (z + 1) ′ Ë ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÎÁÊÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ (z + 1) ÒÉ z = 0, Ô. Å. Ë ÒÏÉÇÎÏÒÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÎÁÍÉ ÞÕÔØ ÒÁÎØÛÅ ÆÏÒÍÕÌÅ (17)! 7. îÅÍÎÏÇÏ ÚÄÒÁ×ÏÇÏ ÓÍÙÓÌÁ, ×ÅÚÅÎÉÑ É ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ

íÙ ÅÇÏ ×ÓÅ-ÔÁËÉ ×ÙÞÉÓÌÉÍ, ÜÔÏÔ ×ÙÞÅÔ. ÷ÅÒÎÅÍÓÑ Ë ÉÎÔÅÇÒÁÌÕ (1). óÄÅÌÁÅÍ ÚÁÍÅÎÕ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x = e−t : Z1 0

ln x dx = x−1

+∞ Z 0

x dx : ex − 1

154

ë. ð. ëÏÈÁÓØ

y i R

0

x

−i òÉÓ. 3.

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ËÏÎÔÕÒ Cr;R , ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÊ ÎÁ ÒÉÓ. 3. ðÒÏÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍ 2 ÆÕÎË ÉÀ −ezz − 1 Ï ÜÔÏÍÕ ËÏÎÔÕÒÕ. ÷ ÔÏÞËÁÈ ±i ÏÄÙÎÔÅÇÒÁÌØÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÉÍÅÅÔ ÒÏÓÔÏÊ ÏÌÀÓ Ó ÇÌÁ×2 ÎÏÊ ÞÁÓÔØÀ ÒÑÄÁ ìÏÒÁÎÁ x−∓i . ðÏÜÔÏÍÕ ÓÕÍÍÁ ÒÅÄÅÌÏ× ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× Ï ÄÕÇÁÍ, ÏÂÈÏÄÑÝÉÍ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ ±i, ÒÁ×ÎÁ 3 i. ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ×ÙÞÅÔÁÈ ÉÍÅÅÍ   Z

0 = 3 i + lim

r→+0 R→+∞Cr;R

z 2 dz = 3 i + lim   − e− z − 1 r→+0 R→+∞

Z

+

→

Z ↑

+

Z

+

←

Z

 

↓

z 2 dz : −e−z − 1

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÕÍÍÕ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× Ï ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÙÍ ÓÔÏÒÏÎÁÍ ËÏÎÔÕÒÁ: lim

r→+0 R→+∞

 Z 

→

+

Z

←



2  z z dz −e − 1

= lim

ZR

r→+0 R→+∞ r

= ZR

(t − i)2 dt − lim r→+0 −et−i − 1

R→+∞ r

(t + i)2 dt = −et+i − 1

+∞ Z 0

−4it dt et − 1

:

éÎÔÅÇÒÁÌ Ï ÒÁ×ÏÊ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÅ ËÏÎÔÕÒÁ Cr;R ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë ÎÕÌÀ ÉÚ-ÚÁ ÜËÓÏÎÅÎÔÙ × ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï 0 =  i − 4i 3

+∞ Z 0

ÅÅÒØ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ z2

ez + 1

ÒÉÞÅÍ ÆÕÎË ÉÑ

−

t dt

et − 1

( −r )i

−

lim

r→+0

Z

(− +r )i

2 z −1 z2 = − z2 · eez + + ; 1 2

z 2 dz : ez + 1

(19)

z 2 ez − 1 · | ÎÅÞÅÔÎÁ, É ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ 2 ez + 1

óÕÍÍÁ ÏÂÒÁÔÎÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×

155

ÎÅÅ Ï ÒÏÍÅÖÕÔËÕ [(− + r)i; ( − r)i℄ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ. úÎÁÞÉÔ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÅÒÅÉÓÁÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (19) × ×ÉÄÅ 4i

+∞ Z 0

t dt

et − 1

= i− 3

Zi

−i

z2 dz : 2

ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÎÁÈÏÄÉÍ, ÞÔÏ +∞ Z 0

t dt

et − 1

2 = 6 :

üÔÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÎÁÍ ÏÄÓËÁÚÁÌ å. çÏÒÑÞËÏ. úÁËÁÎÞÉ×ÁÑ ÔÅÍÕ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ, ÍÙ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÅÝÅ ÏÄÎÏ R ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ, Ó×ÑÚÁÎÎÏÅ Ó ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ln(1x− x) dx, ÒÉ ÏÍÏÝÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÏÖÎÏ ÓÏ×ÓÅÍ ÌÅÇËÏ ÎÁÊÔÉ ÓÕÍÍÕ ÏÂÒÁÔÎÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÎÅÞÅÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ (ÍÙ ÏÞÅÒÎÕÌÉ ÜÔÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ × [16℄). úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ +∞ X

k=1

+∞

X 1 = 12 2 (2k + 1) k=1

Z

zk dz = 12 k −1 1

= − 12

Z

Z

1 +∞

X zk

−1 k =1

1

−1

k

dz =

log(1 − z ) dz = − 12 z

Z

−1 1

log(1 + z ) dz : z

íÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÍÙ ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍ ÎÅ Ï ÏÔÒÅÚËÕ [−1; 1℄, Á Ï ÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ |z | = 1, Im z > 0. ÏÇÄÁ ××ÅÄÅÍ ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁ ÉÀ z = e2it , t ∈ [0; 2 ℄ É, ÉÚÂÅÇÁÑ ÎÅ ÏÞÅÎØ ÓÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÙÈ × ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÊ Ï ×ÙÂÏÒÅ ×ÅÔ×É ÌÏÇÁÒÉÆÍÁ, ÕÞÔÅÍ, ÞÔÏ log(1 + e2it ) = = ln |1 + e2it | + i arg(1 + e2it ) = ln 2 os t + it. ÏÇÄÁ +∞ X

k=1

1 = − 12 (2k + 1)2

Z

−1

log(1 + z ) dz = z 1 Z  Z  2 2 = −i log(1 + e2it ) dt = −i 2 ln 2 os t dt + 8 0 0

:

óÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÁÓÔÉ ÓÁÍÏÇÏ ÌÅ×ÏÇÏ É ÓÁÍÏÇÏ ÒÁ×ÏÇÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ, ÍÙ ÏÑÔØ ÎÁÈÏÄÉÍ ÎÁÛÕ ÓÕÍÍÕ, Á ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÍÎÉÍÙÅ ÞÁÓÔÉ, ÏÌÕR =2 ÞÁÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï 0 ln os x dx = − 2 ln 2, ËÏÔÏÒÏÅ, ×ÒÏÞÅÍ, ÎÁÍ ÎÅ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ.

156

ë. ð. ëÏÈÁÓØ 8. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÄÌÑ ÄÚÅÔÁ-ÆÕÎË ÉÉ

äÏ ÓÉÈ ÏÒ ÍÙ ÓÔÁÒÁÔÅÌØÎÏ ÏÂÈÏÄÉÌÉ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÏÄÈÏÄ, ÞÕÔØ ÌÉ ÎÅ ÓÁÍÙÊ ×ÁÖÎÙÊ, Ë ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÀ ÎÁÛÅÊ ÓÕÍÍÙ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ

 (s) =

+∞ X 1

n=1

ns

:

üÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ÚÁÄÁÅÔ ÆÕÎË ÉÀ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ  (s) | ÄÚÅÔÁÆÕÎË ÉÀ òÉÍÁÎÁ | ÒÉ Re z > 1. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÆÕÎË ÉÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÎÁ × ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÓÌÏÖÎÙÍ ÕÒÁÖÎÅÎÉÅÍ ÄÌÑ ×ÔÏÒÏËÕÒÓÎÉËÁ. æÕÎË ÉÑ ÄÏÕÓËÁÅÔ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ ÎÁ ×ÓÀ ËÏÍÌÅËÓÎÕÀ ÌÏÓËÏÓÔØ. ðÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑ, ÉÍÅÀÝÁÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÒÏÓÔÏÊ ÏÌÀÓ × ÎÕÌÅ. îÁÓ ÉÎÔÅÒÅÓÕÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ  (2). ëÓÔÁÔÉ, ×ÏÒÏÓ, ÞÅÍÕ ÒÁ×ÎÏ  (3), ÉÎÔÅÒÅÓÕÅÔ ×ÓÅ ÒÏÇÒÅÓÓÉ×ÎÏÅ ÞÅÌÏ×ÅÞÅÓÔ×Ï. éÚ×ÅÓÔÎÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÄÌÑ ÄÚÅÔÁ-ÆÕÎË ÉÉ:  (1 − s) = 21−s −s os 12 s (s) (s): õÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÅ ÎÁÉÓÁÎÎÏÍÕ, ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ (ÂÅÚ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á) × ÏÄÎÏÊ ÒÁÂÏÔÅ üÊÌÅÒÁ 1749 Ç. ä×Á ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÍÏÖÎÏ ÒÏÞÅÓÔØ × [5, x4.44{4.45℄. ÷ÙÒÁÚÉ×  (s) ÉÚ ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ É ÏÄÓÔÁ×É× s = 2, ÍÙ ÎÁÈÏÄÉÍ, ÞÔÏ

 (2) =

 (−1) = −22  (−1): 2−1  −2 os  (2)

îÁÍ ÏÓÔÁÌÏÓØ ÎÁÊÔÉ, ÞÅÍÕ ÖÅ ÒÁ×ÎÏ  (−1). á ÏÓËÏÌØËÕ ÏÔ×ÅÔ ÍÙ ÕÖÅ ÚÎÁÅÍ, ÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÆÏÒÍÕÌÕ 1 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + : : : = − 12 :

(20)

ðÏÑ×ÌÅÎÉÅ ÚÄÅÓØ ÒÁÓÈÏÄÑÝÅÇÏÓÑ ÒÑÄÁ, ÄÁ ÅÝÅ ÔÁËÏÇÏ, ÎÅ ÄÏÌÖÎÏ ÛÏËÉÒÏ×ÁÔØ ÞÉÔÁÔÅÌÑ. òÁÂÏÔÁ Ó ÒÁÓÈÏÄÑÝÉÍÉÓÑ ÒÑÄÁÍÉ É ×ÏÏÂÝÅ ÓÏÍÎÉÔÅÌØÎÙÍÉ ÏÂßÅËÔÁÍÉ | ÜÔÏ ÏÄÎÁ ÉÚ ÏÓÔÏÑÎÎÙÈ ÞÅÒÔ ÒÁÂÏÔÙ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ. ÷ÓÏÍÎÉÔÅ, ÎÁÒÉÍÅÒ, Ï ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÈ ÆÕÎË ÉÑÈ, ÒÉ ÒÁÂÏÔÅ Ó ËÏÔÏÒÙÍÉ ÄÁÌÅËÏ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ÚÁÄÁÀÔÓÑ ×ÏÒÏÓÏÍ, Á ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÌÉ ÜÔÁ ÆÕÎË ÉÑ ÈÏÔÑ ÂÙ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ (ËÒÏÍÅ ÎÕÌÑ; ×ÒÏÞÅÍ, ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ × ÎÕÌÅ ÍÁÌÏ ËÏÇÏ ÉÎÔÅÒÅÓÕÅÔ). óÁÍÁ ÆÏÒÍÕÌÁ (20) ÂÙÌÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ ÅÝÅ üÊÌÅÒÕ. ÷ ËÎÉÇÅ èÁÒÄÉ [9, x13.10℄ ÄÁÎÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÊ ÓÏÓÏ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÑÄÏ× | ÍÅÔÏÄ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ òÁÍÁÎÕÄÖÁÎÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÄÌÑ ÓÈÏÄÑÝÉÈÓÑ ÒÑÄÏ× ÄÁÅÔ ÉÈ ÏÂÙÞÎÕÀ ÓÕÍÍÕ, ÎÏ ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ ÄÁÅÔ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÓÕÍÍÕ ÄÌÑ ÅÌÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ÒÁÓÈÏÄÑÝÉÈÓÑ ÒÑÄÏ×, × ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ ÄÌÑ ÒÑÄÁ (20). ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ ÒÉ ÜÔÏÍ ÎÅ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÓÏÍÎÅÎÉÊ, ÞÔÏ ÍÙ ×ÙÞÉÓÌÑÅÍ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ  (−1).

óÕÍÍÁ ÏÂÒÁÔÎÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×

157

íÙ ÖÅ ÏÇÒÁÎÉÞÉÍÓÑ ËÒÁÓÉ×ÙÍ, ÎÏ ÔÒÕÄÎÏ ÆÏÒÍÁÌÉÚÕÅÍÙÍ ×Ù×ÏÄÏÍ ÆÏÒÍÕÌÙ (20), ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ × ÓÔÉÌÅ [9, x13.12℄, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ D. Piponi (ÍÙ ÒÏÞÌÉ Ï ÜÔÏÍ × ÚÁÍÅÔËÅ J. Baez × [18℄). d . æÏÒÍÁÌØÎÏÅ ×ÙòÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ D = dx ÞÉÓÌÅÎÉÅ ÜËÓÏÎÅÎÔÙ ÄÁÅÔ ÎÁÍ ÆÏÒÍÕÌÕ ÅÊÌÏÒÁ (e D f )(x) = f (x) + f ′ (x) + 2 f ′′ (x) + : : : = f (x + ): 2

üÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ÈÏÒÏÛÏ ÚÎÁËÏÍÁ ÔÅÍ, ËÔÏ ÓÌÙÛÁÌ Ï ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑÈ ÇÒÕÙ çÅÊÚÅÎÂÅÒÇÁ É ÅÅ ÁÌÇÅÂÒÙ ìÉ. óÕÍÍÉÒÕÑ ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ Ï É ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ x = 0, ÏÌÕÞÁÅÍ


f (0) + f (1) + f (2) + : : : = (1 + eD + e2D + : : :)f (0) =



1 1 − eD



f (0):

ðÕÓÔØ f (x) = x, F (x) = x2 =2 | ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÁÑ ÆÕÎË ÉÉ f (x). ÏÇÄÁ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ   D 1 + 2 + 3 + ::: = F (0): D 1−e

äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÏÓÔÁÌÏÓØ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÏÂÙÞÎÙÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅÍ ÅÊÌÏÒÁ t

t + ::: = −1 + 2t − 12 É ÔÅÍ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ, ÞÔÏ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ Ä×ÕËÒÁÔÎÏÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ F (x) = x2 =2 ÄÁÅÔ ÎÕÌØ. æÏÒÍÕÌÁ (20) €ÄÏËÁÚÁÎÁ. 2

1 − et

9. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ Ï ÞÁÓÔÑÍ

óÌÅÄÕÀÝÅÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ÍÙ ÏÞÅÒÎÕÌÉ × [3℄, ÅÒ×ÏÉÓÔÏÞÎÉË | [15℄. ðÕÓÔØ

Ik

k)!! = 4 · (2(2 k − 1)!!

Z=2

x2 os2k x dx:

0

ïÂÙÞÎÏÅ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ Ï ÞÁÓÔÑÍ ÄÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

Ik

k)!! = 4 · (2(2 k − 1)!!

Z=2 0

x2 os2k−2 x(1 − sin2 x) dx =

k)!! = 2k2−k 1 Ik−1 − 4 · (2(2 k − 1)!!

Z=2 0

x2 sin x · ( os2k−2 x sin x) dx =

158

ë. ð. ëÏÈÁÓØ

k)!! = 2k2−k 1 Ik−1 − 2k 1− 1 · 4 · (2(2 k − 1)!!

Z=2

os2k−1 x(2x sin x + x2 os x) dx =

0

k)!! = · · · = 2k2−k 1 Ik−1 − 2k 1− 1 Ik − 2k(2k2 − 1) · 4 · (2(2 k − 1)!!

ðÏÌØÚÕÑÓØ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ

Z=2

os2k x dx:

0

Z=2 0

k − 1)!!

os2k x dx = 2 · (2(2 ; k)!!

ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ

(21)

Ik−1 − Ik = 12 : k

óÕÍÍÉÒÕÑ ÜÔÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ Ï k, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ I0 − IN = 1 + 14 + : : : + 12 :

ðÏÓËÏÌØËÕ IN

→0

ÒÉ N

→ +∞,

N

ÍÙ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ

2 1 + 41 + : : : + 12 + : : : = I0 = 6 :

N

10. áÒËÓÉÎÕÓ

úÎÁÅÔÅ, ËÁË ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÀÔ × ÒÑÄ ÅÊÌÏÒÁ ar sin x × ÎÕÌÅ? ïÞÅÎØ ÒÏÓÔÏ. óÎÁÞÁÌÁ ÅÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÀÔ, ÏÌÕÞÉÔÓÑ (1−x2 )−1=2 . üÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÀÔ Ï ÂÉÎÏÍÕ: 1 3 1 3 5 1  2 (− 2 ) · (− 2 ) 4 (− 2 ) · (− 2 ) · (− 2 ) 6 = 1 − −2 x + x − x + ::: 2! 3! 

(1 − x ) Á ÏÔÏÍ ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÀÔ, ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ar sin x = x + 2 1· 3 x3 + 2 1· 4· 3· 5 x5 + 2 1· 4· 3· 6· 5· 7 x7 + : : : : 2

−1=2

;

îÕ ÈÏÒÏÛÏ, ÏÄÓÔÁ×ÉÍ × ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ x = sin t É ÒÏÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍ Ï t ÏÔ 0 ÄÏ =2: Z=2

t dt =

0

=

Z=2 0

1

sin t dt+ 2 · 3

Z=2 0

sin3 t dt+ 2 1· 4· 3· 5

Z=2 0

sin5 t dt+ 2 1· 4· 3· 6· 5· 7

Z=2

sin7 t dt+: : : :

0

óÕÍÍÁ ÏÂÒÁÔÎÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×

159

÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÏÓÔÁ×ÉÍ ÞÉÔÁÔÅÌÀ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ, Á ÄÌÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÓÇÏÄÉÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÁ (21). éÔÏÇÏ 2 = 1 + 19 + : : : + 1 2 + : : : : 8 (2n + 1)

æÁÎÔÁÓÔÉËÁ! íÙ ×ÚÑÌÉ ÜÔÏ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ × [4℄ (ÔÁËÖÅ ËÁË É ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ Ó ÆÏÒÍÕÌÏÊ (3)). 11. ä×ÏÊÎÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ

óÌÅÄÕÀÝÅÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÅÅ ëÁÌÁÂÉ, ÍÙ ÒÉ×ÏÄÉÍ P ∞ 1 Ï [13℄. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÕÍÍÕ +k=0 . úÁÉÛÅÍ ËÁÖÄÏÅ ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ 2 (2k + 1)

R R1

(2k +1)−2 × ×ÉÄÅ 01 ÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ +∞ X

k=0

+∞

X 1 = 2 (2k + 1) k=0

(xy)2k dxdy, ÔÏÇÄÁ ÓÕÍÍÕ ÍÏÖÎÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÔØ ÓÌÅ0

Z

1 0

Z

1

0

(xy)2k dxdy = =

Z

1

0

Z

+∞ X

1

(xy)

0

k=0

2k

!

dxdy =

Z

1 0

Z

1

0

dxdy 1 − (xy )2

(ÓÕÍÍÕ É ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ÍÏÖÎÏ ÏÍÅÎÑÔØ ÍÅÓÔÁÍÉ, ÎÁÒÉÍÅÒ, × ÓÉÌÕ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ). ÅÅÒØ ÓÄÅÌÁÅÍ ÚÁÍÅÎÕ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ sin v sin u x = os ; y = os : v u

úÁÇÁÄÏÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÏÄ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÒÅ×ÒÁÔÉÔØÓÑ × 1 dudv, Á ÏÂÌÁÓÔØ, Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ, | × ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË (u; v) ∈ R2 : u; v > 0; u + v < 2 . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÒÁ×ÅÎ 2 =8. ******

óÌÅÄÕÀÝÅÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ×ÚÑÔÏ ÉÚ ÒÁÂÏÔÙ [11℄ ÓÏ ÓËÒÏÍÎÙÍ ÎÁÚ×ÁÎÉÅÍ: €äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï, ËÏÔÏÒÏÅ ÕÕÓÔÉÌ üÊÌÅÒ: ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ  (2). îÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, üÊÌÅÒ ÕÕÓÔÉÌ ÒÅÄÙÄÕÝÅÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. úÁÉÛÅÍ ÓÕÍÍÕ ÎÁÛÅÇÏ ÒÑÄÁ × ×ÉÄÅ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ: ∞ X 1

n2 n=1

=

Z

0

1

Z

1 0

+∞ X

n=1

(xy)

n− 1

!

dxdy =

Z

1 0

Z

0

1

dxdy 1 − xy

:

íÙ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ÒÏÓÌÅÖÉ×ÁÔØ ÓÕÄØÂÕ ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÓÔÒÁÄÁÌØÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ × ÄÅÔÁÌÑÈ, Ï ÜÔÏÍ ÍÏÖÎÏ ÒÏÞÅÓÔØ ÎÅ ÔÏÌØËÏ × ÉÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÒÁÂÏÔÅ, ÎÏ É × ÉÎÔÅÒÎÅÔÅ, ÎÁ ÓÔÒÁÎÉÞËÅ http://mathworld.wolfram. om/RiemannZetaFun tionZeta2.html,

160

ë. ð. ëÏÈÁÓØ

× [12℄ É × ÄÒÕÇÉÈ ÍÅÓÔÁÈ. óËÁÖÅÍ ÔÏÌØËÏ, ÞÔÏ ÏÓÌÅ ÚÁÍÅÎÙ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x = u − v, y = u + v É ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ï v, ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌ Z

√

ëÏÔÏÒÙÊ, Ü-Ü-Ü, ÂÅÒÅÔÓÑ.

1

ar tg 2

1−u



√

u

1 − u2



du;

12. òÑÄÙ æÕÒØÅ

óÒÁÚÕ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÏÓÏÂÏ× ÏÄÓÞÅÔÁ ÓÕÍÍÙ ÏÂÒÁÔÎÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÄÁÅÔ ÔÅÏÒÉÑ ÒÑÄÏ× æÕÒØÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ∞

X 4 · (−1)n 2 x = 3 +

os nx; n2 2

n=1

∞

 4 X os(2n + 1)x |x| = − ; 2  (2n + 1)2 n=1

x ∈ [−; ℄; x ∈ [−; ℄;

∞

X os nx 1 2 (3 x − 6x + 2 2 ) = ; 12 n2 n=1

x ∈ [0; 2℄

É Ô. Ä. éÚ ÎÉÈ ÍÏÖÎÏ ÓÒÁÚÕ ÎÁÊÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÎÁÛÅÊ ÓÕÍÍÙ, ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÏÄÈÏÄÑÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ x. á ÉÚ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÊ ∞

 − x X sin nx = ; 2 n

x ∈ (0; 2);

n=1

 = 4

∞ X sin(2n + 1)x

n=0

2n + 1

; x ∈ (−; )

É Ô. Ä., ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÎÁÛÅÊ ÓÕÍÍÙ, ÅÓÌÉ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ðÁÒÓÅ×ÁÌÑ. ******

óÌÅÄÕÀÝÅÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ (ÉÚ [12℄) ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ E. óÔÁÒËÕ. éÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÑÄÒÁ æÅÊÅÒÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ 

sin nx=2 sin x=2

2

=

n X

(n − |k|)e

k=−n

ikx

=n+2

n X k=1

(n − k) os kx:

ðÏÌØÚÕÑÓØ ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ, ÒÏÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍ Ï ÒÏÍÅÖÕÔËÕ [0; ℄ ÆÕÎnx=2
2 Ë ÉÀ x sin , ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÕÄÏÂÎÅÅ ×ÚÑÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å n ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, sin x=2

óÕÍÍÁ ÏÂÒÁÔÎÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×

161

n = 2N , ÔÏÇÄÁ ÏÌÕÞÁÅÍ Z



0

éÌÉ



x

Z



0

sin Nx sin x=2

2

dx = N2 − 8N



2

x sin Nx 8N sin x=2

N −1 X r=0

N −1

X 2 dx = 8 − r=0

N −1

X 1 1 + 4 : 2r + 1 (2r + 1)2 r=0

 1 log N  + O : N (2r + 1)2

(22)

ðÏÓËÏÌØËÕ sin x2 > x= ÒÉ 0 < x < , ÍÙ ÍÏÖÅÍ Ï ÅÎÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ Z

 0



x sin Nx 8N sin x=2

2

2 dx < 8N

Z

 0

2 sin Nx dx = x 8N 2

Z

N

0

 log N  sin2 y dy = O : y N

ðÅÒÅÈÏÄÑ × (22) Ë ÒÅÄÅÌÕ ÒÉ N → ∞, ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (10). äÒÕÇÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ óÔÁÒËÁ, ÎÉÞÕÔØ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÉÚÑÝÎÏÅ, ÍÏÖÎÏ ÒÏÞÅÓÔØ × [17℄. 13. æÏÒÍÕÌÁ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ðÕÁÓÓÏÎÁ

üÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ +∞ X

n=−∞

f (n) =

+∞ Z X

+∞

n=−∞ −∞

f (x)e2nix dx ;

(23)

ÅÓÌÉ ÆÕÎË ÉÑ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÒÁÚÕÍÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÁÎÁÌÉÔÉÞÎÏÓÔÉ (× ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÅÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÔ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÔÅÈÎÉËÏÊ, ÎÁÏÍÉÎÁÀÝÅÊ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ x 5; ÓÍ. [2℄) ÉÌÉ ÓÕÍÍÉÒÕÅÍÏÓÔÉ (ÔÏÇÄÁ ÉÓÏÌØÚÕÀÔ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ æÕÒØÅ; ÓÍ. [6℄). æÕÎË ÉÑ f (x) = 12 ÎÉ ÔÏÍÕ, ÎÉ ÄÒÕÇÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÎÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ, x

ÏÜÔÏÍÕ ÒÉÍÅÎÉÍ ÆÏÒÍÕÌÕ (23) Ë ÆÕÎË ÉÉ f (x) = 2 1 2 , a > 0, Á ÏÔÏÍ x +a ÅÒÅÊÄÅÍ Ë ÒÅÄÅÌÕ ÒÉ a → 0. éÍÅÅÍ: Z

+∞

−∞

e2nix dx  −2|n|a = ae x2 + a2

(ÏÑÔØ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ Ï ×ÙÞÅÔÁÍ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÕÍÍÁ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ (23) ÒÁ×ÎÁ +∞ X 

n=−∞

a

e

−2 |n|a

+∞

X −2a = a + 2a e−2na = a + 2a · e −2a : 1−e n=1

162

ë. ð. ëÏÈÁÓØ

ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × ÎÁÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÆÏÒÍÕÌÁ (23) ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï +∞

X 1  2 e−2a 1 + 2 = + · a a 1 − e−2a a2 n2 + a2

:

n=1

þÔÏ ÖÅ ÏÌÕÞÉÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÍÙ ÔÅÅÒØ ÅÒÅÊÄÅÍ Ë ÒÅÄÅÌÕ? äÕÍÁÅÍ, ÞÉÔÁ2 P ÔÅÌØ, ÎÉ ÓÅËÕÎÄÙ ÎÅ ÓÏÍÎÅ×ÁÑÓØ, ÏÔ×ÅÔÉÔ: € 12 = 6 . ðÒÁ×ÉÌØÎÏ! n

14. ÅÏÒÉÑ ÞÉÓÅÌ

óÌÅÄÕÀÝÅÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ | ÏÑÔØ ÉÚ [12℄. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ r(n) ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x2 + y2 + z 2 + t2 = n: èÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ÄÌÑ r(n) (ÓÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ, [1, ÒÅÄÌ. 17.7.2℄): X r(0) = 1; r(n) = 8 m: m|n; 4∤n

ðÏÌÏÖÉÍ R(N ) =

R (N ) = 1 + 8

n=0

N X X

r(n). ÏÇÄÁ m = 1+8

n=0 m|n; 4∤n

ÇÄÅ

(N ) =

N P

X N 

m6N

= m

X

m6N; 4∤n

X

mr6N

m=

 


m N = 1 + 8  ( N ) − 4 (N=4) ; (24) m

N=r⌋ X ⌊X

r6N m=1

m = 21

X  N 2

r6N

r

 

+ Nr

(25)

îÁÊÄÅÍ ÁÓÉÍÔÏÔÉËÕ ÌÅ×ÏÊ É ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÅÊ (24) ÒÉ N → ∞. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, R(N ) | ÜÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË Ó ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ × ÞÅÔÙ√ ÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÛÁÒÅ ÒÁÄÉÕÓÁ N , ÜÔÁ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉ ÒÁ×ÎÁ ÏÂßÅÍÕ ÛÁÒÁ, Ô. Å. 2 N 2 =2. áÓÉÍÔÏÔÉËÁ (N ) ×ÉÄÎÁ ÉÚ ÆÏÒÍÕÌÙ (25): (N ) ∼ ∼  (2)N 2 =2. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÜÔÉ ×ÅÌÉÞÉÎÙ × (24), ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ  (2) =  2 =6. óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

[1℄ áÊÅÒÌÜÎÄ ë., òÏÕÚÅÎ í. ëÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÅ ××ÅÄÅÎÉÅ × ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÕÀ ÔÅÏÒÉÀ ÞÉÓÅÌ. í.: íÉÒ, 1987. [2℄ å×ÇÒÁÆÏ× í. á. áÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉÅ Ï ÅÎËÉ É ÅÌÙÅ ÆÕÎË ÉÉ. í.: îÁÕËÁ, 1979.

óÕÍÍÁ ÏÂÒÁÔÎÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×

163

[3℄ íÁËÁÒÏ× â. í., çÏÌÕÚÉÎÁ í. ç., ìÏÄËÉÎ á. á., ðÏÄËÏÒÙÔÏ× á. î. éÚÂÒÁÎÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ Ï ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍÕ ÁÎÁÌÉÚÕ. í.: îÁÕËÁ, 1992. [4℄ ðÏÊÁ ä. íÁÔÅÍÁÔÉËÁ É ÒÁ×ÄÏÏÄÏÂÎÙÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ. í.: îÁÕËÁ, 1975. [5℄ ÉÔÞÍÁÒÛ å. ÅÏÒÉÑ ÆÕÎË ÉÊ. í.: îÁÕËÁ, 1980. [6℄ ÉÔÞÍÁÒÛ å. ÷×ÅÄÅÎÉÅ × ÔÅÏÒÉÀ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× æÕÒØÅ. í.-ì.: çÏÓÔÅÈÉÚÄÁÔ, 1948. [7℄ õÉÔÔÅËÅÒ ü. ., ÷ÁÔÓÏÎ äÖ. î. ëÕÒÓ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ. þÁÓÔØ ×ÔÏÒÁÑ. í.: æÉÚÍÁÔÌÉÔ, 1963. [8℄ æÉÈÔÅÎÇÏÌØ ç.í. ëÕÒÓ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ É ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ. . 2. óðÂ: îÅ×ÓËÉÊ äÉÁÌÅËÔ, 2002. [9℄ èÁÒÄÉ ç. òÁÓÈÏÄÑÝÉÅÓÑ ÒÑÄÙ. í.: éì, 1951. [10℄ ñÇÌÏÍ á. í., ñÇÌÏÍ é. í. îÅÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ × ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÍ ÉÚÌÏÖÅÎÉÉ. í.: çéì, 1954. [11℄ Apostol T. M. A proof that Euler missid: evaluting  (2) // Math. Intel., 1983. Vol. 60. [12℄ Chapman R. Evaluating  (2).

http://www.maths.ex.a .uk/~rj /rj .html

[13℄ Elkies N. On the sums

P+∞

k=−∞

1 . arxiv.org/math.CA/0101168 (4k + 1)−n

[14℄ Kortram R. A. Simple proofs for =x

∞ Q

∞ 1 P

k=1

k

2

2 = 6 and sin x =

k=1

(1 − x2 2 ) // Math. Mag., 1996. Vol. 69. P. 122{125. 2

k

[15℄ Matsuoka Y. An elementary proof of the formula Math. Monthly, 1961. Vol. 68. P. 486{487.

∞ 1 P

k=1

k

2

2 = 6 // Amer.

[16℄ Russel D. Another Eulerian-type proof // Math. Mag., 1991. Vol. 60. P. 349. P

[17℄ Stark E. L. The series k∞=1 k−s , s = 2; 3; 4; : : : , on e more // Math. Mag., 1974. Vol. 47. P. 197{202. [18℄ newsgroup: s i.math.resear h

164

äÉÎÁÍÉÞÅÓËÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ Ó ÕÒÕÇÉÍÉ ÏÔÒÁÖÅÎÉÑÍÉ É ÍÅÈÁÎÉÚÍ ÕÓËÏÒÅÎÉÑ æÅÒÍÉ

ì. ä. ðÕÓÔÙÌØÎÉËÏ× ÷ ÎÁÚ×ÁÎÉÉ ÓÔÁÔØÉ ÓÆÏËÕÓÉÒÏ×ÁÎÁ ÒÏÂÌÅÍÁ ÉÚ ÏÂÌÁÓÔÉ ÆÉÚÉËÉ, ÏÄÎÁËÏ ÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÎÉÖÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÎÏÓÑÔ ÓÔÒÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÈÁÒÁËÔÅÒ. òÅÚÕÌØÔÁÔÙ, ÏÉÓÁÎÎÙÅ × ÓÔÁÔØÅ, ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÄÁÀÔ ÏÔ×ÅÔÙ ÎÁ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÒÁÎÅÅ ÞÉÓÔÏ ÆÉÚÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ, ÎÏ É ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÒÅÛÅÎÉÑ ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÈ × ÜÔÏÊ Ó×ÑÚÉ ÞÉÓÔÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ. íÅÔÏÄÙ, ÏÂÓÕÖÄÁÅÍÙÅ ÄÁÌÅÅ, ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÒÅÛÁÔØ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ËÁË × ÏÂÌÁÓÔÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÔÁË É ÍÅÈÁÎÉËÉ É ÆÉÚÉËÉ. æÉÚÉÞÅÓËÁÑ ÚÁÄÁÞÁ, ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ËÏÔÏÒÕÀ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Õ ÚÄÅÓØ ÏÉÓÁÎ, ÜÔÏ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÁÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ ÆÉÚÉËÏÍ üÎÒÉËÏ æÅÒÍÉ ÒÏÂÌÅÍÁ: ÏÂßÑÓÎÉÔØ ÒÏÉÓÈÏÖÄÅÎÉÅ × ËÏÓÍÉÞÅÓËÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÞÁÓÔÉ Ó ×ÙÓÏËÉÍÉ ÜÎÅÒÇÉÑÍÉ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÓÔÁÔÉÓÔÉËÉ ÍÅÈÁÎÉÞÅÓËÉÈ ÓÔÏÌËÎÏ×ÅÎÉÊ ÞÁÓÔÉ Ó ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉ Ä×ÉÖÕÝÉÍÉÓÑ × ËÏÓÍÏÓÅ ÍÁËÒÏÏÂßÅËÔÁÍÉ (ÓÍ. [1℄). ÷ ÏÓÎÏ×Å ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÌÅÖÉÔ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÉÈ ÓÉÓÔÅÍ, ÏÉÓÙ×ÁÀÝÉÈ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÍÁÔÅÒÉÁÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ ×ÎÕÔÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ Ó Ä×ÉÖÕÝÅÊÓÑ ÇÒÁÎÉ ÅÊ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÓÔÏÌËÎÏ×ÅÎÉÑ Ó ÇÒÁÎÉ ÅÊ ÔÏÞËÁ ÉÓÙÔÙ×ÁÅÔ ÕÒÕÇÉÊ ÕÄÁÒ, ËÏÔÏÒÙÊ ÂÕÄÅÔ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØÓÑ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ËÁË × ÒÁÍËÁÈ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ (ÎØÀÔÏÎÏ×ÏÊ), ÔÁË É × ÒÁÍËÁÈ ÒÅÌÑÔÉ×ÉÓÔÓËÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÉ (ÔÅÏÒÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ). äÌÑ ÏÎÉÍÁÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ, ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ É ÄÏËÁÚÁÎÎÙÈ × ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÓÔÁÔØÅ, ÚÎÁÎÉÅ ÍÅÈÁÎÉËÉ É ÔÅÏÒÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ. ïÂÝÅÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ÆÉÚÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÂÌÅÍÙ ÄÁÎÏ × . 1, Á × . 2{4 ÉÓÓÌÅÄÕÀÔÓÑ ÔÒÉ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ Ó ÜÔÏÊ ÆÉÚÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÂÌÅÍÏÊ. ðÏ ÓÕÝÅÓÔ×Õ, ÒÅÞØ ÉÄÅÔ Ï ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÉÌÉ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÕÈÏÄÁ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔØ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÊ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍÉ ÆÕÎË ÉÑÍÉ. üÔÉ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔÓÑ ÎÉÖÅ ÂÕË×ÁÍÉ A, D É S . îÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÒÏÓÔÏÔÕ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÏË ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× (ÓÍ. ÔÅÏÒÅÍÙ 1, 2 É 3), ÉÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á Ó×ÑÚÁÎÙ Ó ÇÌÕÂÏËÉÍÉ ÔÅÏÒÉÑÍÉ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ. üÔÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÒÉ×ÅÄÅÎÙ × ÒÁÂÏÔÅ ÎÁ ÕÒÏ×ÎÅ ÉÄÅÊ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÁÚ×ÉÔÙÅ × ÈÏÄÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ÍÅÔÏÄÙ, ÒÉÍÅÎÅÎÎÙÅ Ë ÍÏÄÉÆÉËÁ ÉÑÍ ÏÉÓÁÎÎÙÈ ÚÄÅÓØ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÉÈ ÓÉÓÔÅÍ, ÏÚ×ÏÌÉÌÉ ÄÁÔØ

íÅÈÁÎÉÚÍ ÕÓËÏÒÅÎÉÑ æÅÒÍÉ

165

ÓÔÒÏÇÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÔÏÑÝÅÊ ÓÏ ×ÒÅÍÅÎ ëÌÁÕÚÉÕÓÁ, âÏÌØ ÍÁÎÁ É çÉÂÂÓÁ ÒÏÂÌÅÍÙ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÎÁÞÁÌÁ ÔÅÒÍÏÄÉÎÁÍÉËÉ | ÚÁËÏÎÁ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÑ ÜÎÔÒÏÉÉ | ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÍÅÈÁÎÉËÉ ([2℄). 1. ðÒÏÂÌÅÍÁ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ÍÅÈÁÎÉÚÍÁ ÕÓËÏÒÅÎÉÑ æÅÒÍÉ

äÌÑ ÏÂßÑÓÎÅÎÉÑ ÒÏÉÓÈÏÖÄÅÎÉÑ ÂÙÓÔÒÙÈ ÞÁÓÔÉ Ó ×ÙÓÏËÉÍÉ ÜÎÅÒÇÉÑÍÉ × ËÏÓÍÉÞÅÓËÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ü. æÅÒÍÉ × 1949 Ç. × ÒÁÂÏÔÅ [1℄ ÒÅÄÌÏÖÉÌ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÅÈÁÎÉÚÍ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ËÏÔÏÒÏÍÕ ÜÎÅÒÇÉÑ ÞÁÓÔÉ ÒÉ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÉÉ Ó ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉ Ä×ÉÇÁÀÝÉÍÉÓÑ × ËÏÓÍÏÓÅ ÍÁËÒÏÏÂßÅËÔÁÍÉ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ. ðÏÄ ÍÁËÒÏÏÂßÅËÔÁÍÉ ÚÄÅÓØ ÓÌÅÄÕÅÔ ÏÎÉÍÁÔØ ÏÌÑ Ú×ÅÚÄ, ÇÁÌÁËÔÉË É ÄÒÕÇÉÈ ÏÂßÅËÔÏ× × ËÏÓÍÏÓÅ. ðÒÉÒÏÄÁ ÜÔÏÇÏ ÍÅÈÁÎÉÚÍÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÚÕÞÅÎÁ ÕÖÅ ÎÁ ÓÁÍÙÈ ÒÏÓÔÙÈ ÍÅÈÁÎÉÞÅÓËÉÈ ÍÏÄÅÌÑÈ. ó ÜÔÏÊ ÅÌØÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉË óÔÁÎÉÓÌÁ× õÌÁÍ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÌ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ([3℄), ËÏÔÏÒÁÑ ×ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ ÏÌÕÞÉÌÁ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ €ÍÏÄÅÌØ æÅÒÍÉ { õÌÁÍÁ: ÕÒÕÇÉÊ ÛÁÒÉË Ä×ÉÖÅÔÓÑ × ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ q ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÍÉ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÙÍÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÔÑÖÅÌÙÍÉ ÓÔÅÎËÁÍÉ, ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏ×ÅÒÛÁÅÔ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÅ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ËÏÌÅÂÁÎÉÑ Ï ÚÁËÏÎÁÍ q = f1(t) É q = f2 (t) (ÒÉÓ. 1). úÄÅÓØ t | ×ÒÅÍÑ, Á f1 (t) É f2 (t) | ÇÌÁÄËÉÅ ÆÕÎË ÉÉ, ÉÍÅÀÝÉÅ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÊ ÅÒÉÏÄ Ï t, ÒÉÞÅÍ f2 (t) > f1 (t) ÒÉ ×ÓÅÈ t. õÌÁÍ ÒÅÄÌÁÇÁÌ ÉÚÕÞÁÔØ Ä×Á ÓÌÕÞÁÑ: ÅÒ×ÙÊ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ f1 (t) É f2 (t) | ÓÉÎÕÓÏÉÄÙ, É ×ÔÏÒÏÊ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ f1 (t) | ÓÉÎÕÓÏÉÄÁ, Á f2 (t) ≡ `, Ô. Å. ËÏÇÄÁ ×ÅÒÈÎÑÑ ÓÔÅÎËÁ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÁ. çÉÏÔÅÚÁ æÅÒÍÉ É õÌÁÍÁ ÒÉÍÅÎÉÔÅÌØÎÏ Ë ÜÔÏÊ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÓÏÓÔÏÑÌÁ × ÔÏÍ, ÞÔÏ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÓÔÏÌËÎÏ×ÅÎÉÊ ÓÏ ÓÔÅÎËÁÍÉ ÜÎÅÒÇÉÑ ÛÁÒÉËÁ ÂÕÄÅÔ ÒÁÓÔÉ ÄÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ. üÔÁ ÒÏÂÌÅÍÁ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ Ë ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÎØÀÔÏÎÏ×ÓËÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÅ, É ÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÏ ÅÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÒÏ×ÏÄÉÌÏÓØ ÞÉÓÌÅÎÎÙÍÉ ÍÅÔÏÄÁÍÉ (ÓÍ. [3℄). ïÄÎÁËÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÜÔÉÈ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ ÏËÁÚÁÌÉÓØ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙ ÔÅÍ, q

q = f2 (t)

v q = f1 (t)

òÉÓ. 1.

íÏÄÅÌØ æÅÒÍÉ { õÌÁÍÁ

166

ì. ä. ðÕÓÔÙÌØÎÉËÏ×

ËÏÔÏÒÙÅ ÏÖÉÄÁÌÉÓØ. îÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÒÏÓÔÏÔÕ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ ÒÏÂÌÅÍÁ æÅÒÍÉ { õÌÁÍÁ ÏËÁÚÁÌÁÓØ, ËÁË ÜÔÏ ÞÁÓÔÏ ÂÙ×ÁÅÔ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÊ, É ÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÂÙÌÏ ÏÌÕÞÅÎÏ ÔÏÌØËÏ ÓÕÓÔÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÄÅÓÑÔËÏ× ÌÅÔ ×ÅÒ×ÙÅ × ÒÁÂÏÔÅ [4℄, Á ÚÁÔÅÍ × ÒÁÂÏÔÁÈ [5{7℄ É × ÏÂÚÏÒÅ [2℄. âÙÌÏ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÆÕÎË ÉÊ f1 (t) É f2 (t) ÕËÁÚÁÎÎÏÇÏ ×ÉÄÁ É ÌÀÂÙÈ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÙ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÍÏÍÅÎÔÏ× ×ÒÅÍÅÎÉ t > t0 ÓËÏÒÏÓÔØ É ÜÎÅÒÇÉÑ ÛÁÒÉËÁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ Ï ÍÏÄÕÌÀ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ËÏÎÓÔÁÎÔÏÊ, ÚÁ×ÉÓÑÝÅÊ ÔÏÌØËÏ ÏÔ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ × ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉ t0 É ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÝÅÊ ÏÔ t. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÔ×ÅÔ, ÄÁÀÝÉÊ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ æÅÒÍÉ { õÌÁÍÁ, ÏËÁÚÁÌÓÑ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÍ × ÒÁÍËÁÈ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÉ. ïÄÎÁËÏ ÇÉÏÔÅÚÁ æÅÒÍÉ Ï ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÁ ÜÎÅÒÇÉÉ ÞÁÓÔÉ Ù ÒÉ ÅÅ ÍÅÈÁÎÉÞÅÓËÉÈ ÓÔÏÌËÎÏ×ÅÎÉÑÈ Ó ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉ Ä×ÉÖÕÝÉÍÉÓÑ ÓÔÅÎËÁÍÉ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÊ, ÅÓÌÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÍÏÄÅÌØ æÅÒÍÉ { õÌÁÍÁ × ÒÁÍËÁÈ ÔÅÏÒÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ: ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÊ, ÒÁÓÔÕÝÉÊ Ï ÜËÓÏÎÅÎÔÅ ÏÔ ×ÒÅÍÅÎÉ, ÒÏÓÔ ÜÎÅÒÇÉÉ ÛÁÒÉËÁ ×ÏÚÍÏÖÅÎ ÄÌÑ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÏÌÏÖÅÎÉÊ É ÓËÏÒÏÓÔÅÊ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÈ ×ÎÕÔÒÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÉÍÅÀÝÅÇÏ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÏÂß£Í [2, 8℄. üÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÄÏËÁÚÁÎ ÒÉ ×ÙÏÌÎÅÎÉÉ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ, ××ÅÄÅÎÎÏÇÏ × ÒÁÂÏÔÅ [2℄: ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ t0 É ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ m0 ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ: f1 (t) = f1 (t + 2), f2 (t) = f2 (t + 2) ÒÉ ×ÓÅÈ t, É (1 + f_1 (t0 ))(1 − f_2 (t0 )) (1 − f_1 (t0 ))(1 + f_2 (t0 ))

> 1; f2 (t0 ) − f1 (t0 ) = 2m0

(1)

(ÔÏÞËÁ ÎÁÄ ÆÕÎË ÉÅÊ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÅ Ï t, Ô. Å. f_(t) = = df (t)). õÞÅÔ ÒÅÌÑÔÉ×ÉÓÔÓËÏÇÏ ÆÁËÔÏÒÁ × ÍÏÄÅÌÉ æÅÒÍÉ { õÌÁÍÁ ÓËÁÚÙdt ×ÁÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÎÁ ÚÁËÏÎÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÓËÏÒÏÓÔÉ É ÜÎÅÒÇÉÉ ÛÁÒÉËÁ ÒÉ ÅÇÏ ÕÒÕÇÉÈ ÏÔÒÁÖÅÎÉÑÈ ÏÔ ÓÔÅÎÏË. ïÎ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÚÁËÏÎÏ× ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÑ ÜÎÅÒÇÉÉ É ÉÍÕÌØÓÁ × ÔÅÏÒÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÏ É ÏÓÌÅ ÓÔÏÌËÎÏ×ÅÎÉÑ ÍÁÓÓÉ×ÎÏÊ ÞÁÓÔÉ Ù ÓÏ ÓÔÅÎËÏÊ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÍÁÓÓÙ, Á ÚÁÔÅÍ ÅÒÅÈÏÄÁ Ë ÒÅÄÅÌÕ ÍÁÓÓÙ ÓÔÅÎËÉ Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ. ÷ .4 ÉÚÕÞÁÅÔÓÑ ÅÝÅ ÏÄÎÁ ÏÕÌÑÒÎÁÑ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ, Ó×ÑÚÁÎÎÁÑ Ó ÍÅÈÁÎÉÚÍÏÍ ÕÓËÏÒÅÎÉÑ æÅÒÍÉ. ïÎÁ ÏÉÓÙ×ÁÅÔ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÍÁÔÅÒÉÁÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ, ÁÄÁÀÝÅÊ × ÏÌÅ ÔÑÖÅÓÔÉ Ó ÏÓÔÏÑÎÎÙÍ ÕÓËÏÒÅÎÉÅÍ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÔÑÖÅÌÕÀ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÕÀ ÓÔÅÎËÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ËÏÌÅÂÌÅÔÓÑ × ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÍÕ Ï ×ÒÅÍÅÎÉ ÚÁËÏÎÕ É ÓÔÁÌËÉ×ÁÅÔÓÑ Ó ÞÁÓÔÉ ÅÊ Ï ÚÁËÏÎÕ ÕÒÕÇÏÇÏ ÕÄÁÒÁ (ÒÉÓ. 2). ÷ÅÒ×ÙÅ ÜÔÁ ÍÏÄÅÌØ ÂÙÌÁ ÉÚÕÞÅÎÁ × ÓÔÁÔØÅ [9℄, ÇÄÅ ÂÙÌÏ ÄÏËÁÚÁÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á (ÂÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏ, ËÏÎÔÉÎÕÕÍÁ) ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ, ÒÉ×ÏÄÑÝÉÈ Ë ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÍÕ ÒÏÓÔÕ ÓËÏÒÏÓÔÉ ÛÁÒÉËÁ. ÷ ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÒÁÂÏÔÁÈ ([10℄ É [11℄) ÂÙÌÏ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÉÍÅÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÊ ÏÂߣÍ.

íÅÈÁÎÉÚÍ ÕÓËÏÒÅÎÉÑ æÅÒÍÉ

167

q v

g q = f (t)

òÉÓ. 2.

õÓËÏÒÉÔÅÌØÎÁÑ ÍÏÄÅÌØ Ó ÏÄÎÏÊ ÓÔÅÎËÏÊ × ÏÌÅ ÔÑÖÅÓÔÉ 2. íÏÄÅÌØ æÅÒÍÉ { õÌÁÍÁ

äÌÑ ÒÏÓÔÏÔÙ ÉÚÌÏÖÅÎÉÑ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÏÌØËÏ ÔÏÔ ÓÌÕÞÁÊ ÍÏÄÅÌÉ æÅÒÍÉ { õÌÁÍÁ, × ËÏÔÏÒÏÍ ×ÅÒÈÎÑÑ ÓÔÅÎËÁ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÁ É ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ q = `, Á ÎÉÖÎÑÑ ÓÔÅÎËÁ Ä×ÉÖÅÔÓÑ × ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ q Ï ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÍÕ ÚÁËÏÎÕ q = f (t), ÇÄÅ f (t) | ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÁÑ 2-ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ: f (t) = f (t + 2), ÒÉÞÅÍ |f (t)| < ` (ÒÉÓ. 3). óÌÕÞÁÊ Ä×ÕÈ ËÏÌÅÂÌÀÝÉÈÓÑ ÓÔÅÎÏË ÍÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÚÄÅÓØ ÎÅ ÂÕÄÅÍ, ÔÁË ËÁË ×ÓÅ ÉÄÅÉ ÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÕÀÔÓÑ ÕÖÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÍ ÓÌÕÞÁÅÍ; ÏÔÌÉÞÉÅ ÌÉÛØ × ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÈ ÄÅÔÁÌÑÈ. ÅÏÒÅÍÁ 1. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ × ÎÁÞÁÌØÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉ t0 ÛÁÒÉË ÉÍÅÌ ÓËÏÒÏÓÔØ v0 . ÏÇÄÁ ×Ï ×ÓÅ ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÍÏÍÅÎÔÙ ×ÒÅÍÅÎÉ t > t0 ÁÂÓÏÌÀÔÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÓËÏÒÏÓÔÉ v ÛÁÒÉËÁ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ËÏÎÓÔÁÎÔÕ , ÚÁ×ÉÓÑÝÕÀ ÔÏÌØËÏ ÏÔ v0 . äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ 1. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ × ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉ t ÓÔÏÌËÎÏ×ÅÎÉÑ Ó ÎÉÖÎÅÊ ÓÔÅÎËÏÊ ÛÁÒÉË ÒÉÏÂÒÅÌ ÓËÏÒÏÓÔØ v > 0, Á × ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÚÁ t ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉ t′ ÓÔÏÌËÎÏ×ÅÎÉÑ ÛÁq `

v

q = f (t) 0 òÉÓ. 3.

íÏÄÅÌØ æÅÒÍÉ { õÌÁÍÁ Ó ÎÅÏÄ×ÉÖÎÏÊ ×ÅÒÈÎÅÊ ÓÔÅÎËÏÊ

168

ì. ä. ðÕÓÔÙÌØÎÉËÏ×

ÒÉËÁ Ó ÎÉÖÎÅÊ ÓÔÅÎËÏÊ ÏÎ ÒÉÏÂÒÅÌ ÓËÏÒÏÓÔØ v′ . ðÁÒÁ (t; v) ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÁÒÕ (t′ ; v′ ). ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ A ÌÏÓËÏÓÔÉ R2 Ó ÏÌÑÒÎÙÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ (t; v) (ÚÄÅÓØ t | ÕÇÏÌ, 0 6 t < 2, Á v | ÒÁÄÉÕÓ), ÉÍÅÀÝÅÅ ×ÉÄ: A(t; v) = (t′ ; v′ ). ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ A, × ÓÉÌÕ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÚÁÄÁÞÉ, ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ:

t′ = t + ` −vf (t) + ` − vf (t ) ; v′ = v + 2f_(t′ ): ′

(2)

òÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÄÌÑ t′ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÒÉÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ Ë t ×ÒÅÍÅÎÉ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÛÁÒÉËÁ ××ÅÒÈ ÄÏ ÓÔÏÌËÎÏ×ÅÎÉÑ Ó ×ÅÒÈÎÅÊ ÓÔÅÎËÏÊ É ×ÒÅÍÅÎÉ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ×ÎÉÚ | ÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÓÔÏÌËÎÏ×ÅÎÉÑ. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÄÌÑ v′ ÌÅÇËÏ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÚÁËÏÎÏ× ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÑ ÉÍÕÌØÓÁ É ÜÎÅÒÇÉÉ × ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉ t′ ÓÔÏÌËÎÏ×ÅÎÉÑ ÛÁÒÉËÁ Ó ÎÉÖÎÅÊ ÓÔÅÎËÏÊ (ÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÈ, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÍÁÓÓÕ ÎÉÖÎÅÊ ÓÔÅÎËÉ ÓÌÅÄÕÅÔ ÓÎÁÞÁÌÁ ÓÞÉÔÁÔØ ËÏÎÅÞÎÏÊ, Á ÚÁÔÅÍ ÕÓÔÒÅÍÉÔØ ÅÅ Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ). äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ ÎÁÍ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ×ÁÖÎÁÑ ÌÅÍÍÁ (ÌÅÍÍÁ 1), ËÏÔÏÒÁÑ ÄÁÅÔ ÏÄÎÏ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÒÉÍÅÎÉÍÏÓÔÉ ÏÂÝÅÊ ÔÅÏÒÅÍÙ Ë ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ (2). üÔÁ ÏÂÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ, ÞÔÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ A ÉÍÅÅÔ ÍÎÏÇÏ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ (Ô. Å. ÅÒÅÈÏÄÑÝÉÈ × ÓÅÂÑ ÏÄ ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ A) ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÒÉ×ÙÈ. óÌÅÄÕÅÔ ÏÔÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÂÅÚ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÑ ÌÅÍÍÙ 1 Ï ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ ËÒÉ×ÏÊ É ÅÅ ÏÂÒÁÚÁ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ËÒÉ×ÙÈ ÍÏÖÅÔ É ÎÅ ÂÙÔØ (ÒÏÓÔÅÊÛÉÊ ÒÉÍÅÒ: ÒÉÂÁ×ÉÍ Ë ÒÁÄÉÕÓÕ v ÏÄÎÏ É ÔÏ ÖÅ ÍÁÌÅÎØËÏÅ ÞÉÓÌÏ " > 0). ìÅÍÍÁ 1. ðÕÓÔØ | ÚÁÍËÎÕÔÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ÂÅÚ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ R2 , ÏËÒÕÖÁÀÝÁÑ ËÒÕÇ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÇÏ ÒÁÄÉÕÓÁ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ v = 0. ÏÇÄÁ ËÒÉ×ÁÑ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ËÒÉ×ÕÀ A( ), Ñ×ÌÑÀÝÕÀÓÑ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ A. éÄÅÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÌÅÍÍÙ 1 ÏÓÎÏ×ÁÎÁ ÎÁ ÔÏÍ, ÞÔÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ A ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ €ÌÏÝÁÄ؁ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ R2 (ÚÄÅÓØ ËÁ×ÙÞËÉ ÏÚÎÁÞÁÀÔ, ÞÔÏ ÓÏÈÒÁÎÑÅÔÓÑ ÍÅÒÁ, ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁÑ ÌÏÝÁÄÉ). ðÏÜÔÏÍÕ, ÅÓÌÉ ÂÙ ËÒÉ×ÙÅ É A( ) ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÌÉÓØ, ÔÏ ÏÄÎÁ ÉÚ ÎÉÈ ÓÏÄÅÒÖÁÌÁÓØ ÂÙ × ÏÂÌÁÓÔÉ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ÄÒÕÇÏÊ ËÒÉ×ÏÊ. ïÄÎÁËÏ ÜÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ × ÓÉÌÕ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ €ÌÏÝÁÄ؁ ÏÂÌÁÓÔÉ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ , ÄÏÌÖÎÁ ÓÏ×ÁÄÁÔØ Ó €ÌÏÝÁÄØÀ ÏÂÌÁÓÔÉ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ A( ). ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ É ÚÁ×ÅÒÛÁÅÔ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÌÅÍÍÙ 1. (ðÏÄÒÏÂÎÏÓÔÉ ÓÍ. × [4℄.) ðÒÏÄÏÌÖÉÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ 1. íÙ ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÉÄÅÅÊ, ËÏÔÏÒÁÑ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÌÅÚÎÏÊ ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÍÎÏÇÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ: ÅÒÅÊÔÉ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ (ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ) É ÉÚÕÞÉÔØ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ A ÔÁÍ. äÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ × ÆÏÒÍÕÌÅ (2) ÄÌÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ t′ ÅÓÔØ ÞÌÅÎ 2`=v. ðÒÉ ÂÏÌØÛÉÈ v ÜÔÏÔ ÞÌÅÎ ÏÞÅÎØ ÍÁÌ É ×ÈÏÄÉÔ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÓÌÁÇÁÅÍÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ

íÅÈÁÎÉÚÍ ÕÓËÏÒÅÎÉÑ æÅÒÍÉ

169

v = ∞ ×ÅÌÉÞÉÎÁ y = 2`=v ÂÕÄÅÔ ÍÁÌÁ, | Á ÜÔÏ ÎÁÍ É ÎÕÖÎÏ ÄÌÑ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÏÂÝÅÊ ÔÅÏÒÅÍÙ. ðÏÜÔÏÍÕ ××ÅÄÅÍ ÎÏ×ÕÀ ÅÒÅÍÅÎÎÕÀ y = 2`=v É ×ÙÒÁÚÉÍ ÞÅÒÅÚ ÎÅÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ A. îÅÔÒÕÄÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ A, ×ÙÒÁÖÅÎÎÏÅ × ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ t; y, × ÓÉÌÕ (2) ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ B : (t; y) → (t′ ; y′ ), ÚÁÄÁÀÝÅÅÓÑ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ: t′ = t + y + '(y) = t + y − (f (t) +2`f (t ))y ; ′

2 _ ′ y′ = y + (t; y) = y − 2y f (t_ ) ′ :

2` + 2y f (t )

(3) (4)

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÒÏÓÔÏÔÙ ÚÁÉÓÉ ÍÙ ××ÅÌÉ ÆÕÎË ÉÉ '(t; y) É (t; y), ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÝÉÅ ÄÒÏÂÉ × ÒÁ×ÙÈ ÞÁÓÔÑÈ. ðÅÒÅÍÅÎÎÁÑ t, ËÁË É ÒÁÎØÛÅ, ÉÇÒÁÅÔ ÒÏÌØ ÕÇÌÁ, Á ÅÒÅÍÅÎÎÁÑ y | ÒÏÌØ ÒÁÄÉÕÓÁ. åÓÌÉ ÒÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÁÌÏÍ ÞÉÓÌÅ " > 0 ÅÒÅÍÅÎÎÁÑ y ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ |y| 6 ", ÔÏ × ÓÉÌÕ (3) É (4) ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ï ÅÎËÉ Ó×ÅÒÈÕ: |'(t; y )| < 1 |y |;

' (t; y ) < 1 ;

y

|

(t; y)| < 2 |y|2 :

(5)

|! (t; r )| < 1 "r;

|

! (t; r)| < 1 "; r

|(t; r )| < 2 "r 2 :

(8)

úÄÅÓØ 1 É 2 | ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ, ÒÉÞÅÍ, ÞÔÏ ÏÞÅÎØ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ËÏÎÓÔÁÎÔÁ 1 ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ 0 < 1 < 1: (6) ÷×ÅÄÅÍ ÔÅÅÒØ ÎÏ×ÕÀ ÅÒÅÍÅÎÎÕÀ r Ï ÆÏÒÍÕÌÅ r = y=", ÒÉÞÅÍ t ÂÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ, ËÁË É ÒÁÎØÛÅ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÕÇÌÏ×ÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ, ÍÅÎÑÀÝÅÊÓÑ × ÏÂÌÁÓÔÉ 0 6 t < 2. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÜÔÏÇÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ËÏÌØ Ï y 6 ", y 6= 0 (Ô. Å. ËÒÕÇ ÒÁÄÉÕÓÁ " Ó ×ÙËÏÌÏÔÙÍ ÅÎÔÒÏÍ) ÒÁÓÔÑÎÅÔÓÑ É ÒÅ×ÒÁÔÉÔÓÑ × ËÒÕÇ ÅÄÉÎÉÞÎÏÇÏ ÒÁÄÉÕÓÁ r 6 1 Ó ×ÙËÏÌÏÔÙÍ ÅÎÔÒÏÍ: r 6= 0. ÷ÙÒÁÚÉ× ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ B ÞÅÒÅÚ ÎÏ×ÙÅ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ t É r, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ U : (t; r) → (t′ ; r′ ), ÚÁ×ÉÓÑÝÅÅ ÏÔ ÍÁÌÏÇÏ ÁÒÁÍÅÔÒÁ " > 0, ËÏÔÏÒÏÅ × ÓÉÌÕ (3) É (4) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ t′ = t + "r + !(t; r); r′ = r + (t; r): (7) æÕÎË ÉÉ !(t; r) É (t; r) ÉÍÅÀÔ Ï t ÅÒÉÏÄ 2 É ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ, × ÓÉÌÕ (5), ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍ ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ U ÌÏÓËÏÓÔÉ R2 , Ë ËÏÔÏÒÏÍÕ É ÂÕÄÅÔ ÒÉÍÅÎÑÔØÓÑ ÏÂÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÒÉ×ÙÈ. éÔÁË, ÍÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ U × ËÏÌØ Å 0 < r 6 1. óÏÇÌÁÓÎÏ ÌÅÍÍÅ 1, ÒÉ ÍÁÌÏÍ " > 0 ËÁÖÄÁÑ ÚÁÍËÎÕÔÁÑ ËÒÉ×ÁÑ × ÜÔÏÍ ËÏÌØ Å,

170

ì. ä. ðÕÓÔÙÌØÎÉËÏ×

U( ) =

U 1

òÉÓ. 4.

óÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ

× ËÏÌØ Å

0 0 × ËÏÌØ Å 0 < r 6 1 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÚÁÍËÎÕÔÁÑ ËÒÉ×ÁÑ , ÏËÒÕÖÁÀÝÁÑ ÔÏÞËÕ r = 0 É ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÁÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ U (ÒÉÓ. 4). ÷ÏÚØÍÅÍ ÒÏÏÂÒÁÚ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ t; r ÒÉ ×ÔÏÒÏÊ ÚÁÍÅÎÅ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, Ô. Å. ËÒÉ×ÕÀ  ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ t; y. ðÏÓËÏÌØËÕ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ U (Ô. Å. U ( ) = ),  ÂÕÄÅÔ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ B : B () = . ðÒÉ ÜÔÏÍ, ÎÁÏÍÎÉÍ, ËÒÉ×ÁÑ  ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÏÂÌÁÓÔÉ |y | 6 ". óÄÅÌÁÅÍ ÔÅÅÒØ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÏÂÒÁÔÎÙÊ ÛÁÇ | ÅÒÅÊÄÅÍ ÏÔ ÌÏÓËÏÓÔÉ t; y ÎÁÚÁÄ × ÌÏÓËÏÓÔØ t; v. ðÒÏÏÂÒÁÚ ËÒÉ×ÏÊ  × ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ t; v ÅÓÔØ ËÒÉ×ÁÑ , ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÁÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ A É ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ ËÒÕÇ, ÒÁÄÉÕÓ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÂÕÄÅÔ ÓÔÒÅÍÉÔØÓÑ Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ ÒÉ " → 0. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÂÌÁÓÔØ ÌÏÓËÏÓÔÉ t; v, ÚÁËÌÀÞÅÎÎÁÑ ×ÎÕÔÒÉ ËÒÉ×ÏÊ , ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ A, Ô. Å. ÏÄ ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ A ÏÎÁ ÎÅ ×ÙÈÏÄÉÔ ÚÁ ÒÅÄÅÌÙ ÜÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ. üÔÏ É ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÉ ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ÓËÏÒÏÓÔÉ v0 , Ï ÍÏÄÕÌÀ ÎÅ ÒÅ×ÙÛÁÀÝÅÊ ÒÁÄÉÕÓ ÜÔÏÇÏ ËÒÕÇÁ, ÚÁËÌÀÞÅÎÎÏÇÏ × ÏÂÌÁÓÔØ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÕÀ ËÒÉ×ÏÊ , ÓËÏÒÏÓÔØ v × ÌÀÂÏÊ ÄÒÕÇÏÊ ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉ t ÂÕÄÅÔ ÔÁËÖÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ Ï ÍÏÄÕÌÀ. ÅÏÒÅÍÁ 1 ÄÏËÁÚÁÎÁ.

íÅÈÁÎÉÚÍ ÕÓËÏÒÅÎÉÑ æÅÒÍÉ

171

3. òÅÌÑÔÉ×ÉÓÔÓËÉÊ ÁÎÁÌÏÇ ÍÏÄÅÌÉ æÅÒÍÉ { õÌÁÍÁ

÷ ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÍÙ ÉÚÕÞÁÅÍ ÔÏÔ ÖÅ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÍÏÄÅÌÉ æÅÒÍÉ { õÌÁÍÁ, ÞÔÏ É × . 2, ÎÏ × ÒÁÍËÁÈ ÒÅÌÑÔÉ×ÉÓÔÓËÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÉ (ÔÅÏÒÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ). òÅÌÑÔÉ×ÉÓÔÓËÉÊ ÜÆÆÅËÔ ÚÄÅÓØ ÒÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÕÒÕÇÉÊ ÕÄÁÒ ÛÁÒÉËÁ Ï ÏÓ ÉÌÌÉÒÕÀÝÕÀ ÎÉÖÎÀÀ ÓÔÅÎËÕ ÕÞÉÔÙ×ÁÅÔ ÚÁËÏÎÙ ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÑ ÉÍÕÌØÓÁ É ÜÎÅÒÇÉÉ × ÔÅÏÒÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ, × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ÚÁËÏÎ ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ ÏÔ ×ÅÒÈÎÅÊ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÏÊ ÓÔÅÎËÉ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÔÁËÏÊ ÖÅ, ËÁË × ÎØÀÔÏÎÏ×ÓËÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÅ: ÏÓÌÅ ÕÄÁÒÁ ÍÅÎÑÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ (ÎÏ ÎÅ ×ÅÌÉÞÉÎÁ) ÓËÏÒÏÓÔÉ ÛÁÒÉËÁ. îÅ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ, ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÍÁÓÓÁ ÛÁÒÉËÁ ÒÁ×ÎÁ 1, Á ×ÓÅ ÓËÏÒÏÓÔÉ ÉÚÍÅÒÑÀÔÓÑ × ÄÏÌÑÈ ÓËÏÒÏÓÔÉ Ó×ÅÔÁ, Ô. Å. ÓËÏÒÏÓÔØ Ó×ÅÔÁ ÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÎÏÊ 1, Á ÁÂÓÏÌÀÔÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ×ÓÅÈ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÓËÏÒÏÓÔÅÊ ÍÅÎØÛÅ 1. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÉÚ ÔÅÏÒÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ ([13℄), ÓËÏÒÏÓÔØ ÛÁÒÉËÁ v É ÅÇÏ ÜÎÅÒÇÉÑ E Ó×ÑÚÁÎÙ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ E = √ 1 2 . ÁË ÖÅ, ËÁË É × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÞÁÓÔ1−v ÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÍÏÄÅÌÉ æÅÒÍÉ { õÌÁÍÁ, ÇÄÅ ÍÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ×ÅÒÈÎÑÑ ÓÔÅÎËÁ | ÎÅÏÄ×ÉÖÎÁÑ É ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ q = `, Á ÎÉÖÎÑÑ ÓÔÅÎËÁ Ä×ÉÖÅÔÓÑ × ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ q ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÍÕ ÚÁËÏÎÕ q = f (t), ÇÄÅ f (t) | ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÁÑ 2-ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ |f (t)| < ` (ÒÉÓ. 3). íÙ ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ × ÜÔÏÊ ÍÏÄÅÌÉ ÜÎÅÒÇÉÑ E ÍÏÖÅÔ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÔØ; ÓËÏÒÏÓÔØ ÛÁÒÉËÁ ÒÉ ÜÔÏÍ ÂÕÄÅÔ ÓÔÒÅÍÉÔØÓÑ Ë ÓËÏÒÏÓÔÉ Ó×ÅÔÁ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÏÓÌÅ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÍÏÍÅÎÔÏ× ×ÒÅÍÅÎÉ t ÓÔÏÌËÎÏ×ÅÎÉÑ Ó ÎÉÖÎÅÊ ÓÔÅÎËÏÊ ÛÁÒÉË ÒÉÏÂÒÅÌ ÜÎÅÒÇÉÀ E , Á ÏÓÌÅ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÚÁ t ÍÏÍÅÎÔÁ ×ÒÅÍÅÎÉ t′ ÓÔÏÌËÎÏ×ÅÎÉÑ Ó ÎÉÖÎÅÊ ÓÔÅÎËÏÊ ÛÁÒÉË ÒÉÏÂÒÅÌ ÜÎÅÒÇÉÀ E ′ . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ D ÌÏÓËÏÓÔÉ Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ t; E , D : (t; E ) → (t′ ; E ′ ), ËÏÔÏÒÏÅ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ:

t =t+ ′

r

E2




2` − f (t) − f (t′ ) ;

E −1 p ′ _ _ ′
E ′ = E 1 + f_(t′ ) + 2f (_2t ) ′ E2 − 1 − E : 1 − f (t ) 1 − f (t ) 2

(9) (10)

′ ′ òÁ×ÅÎÓÔ×Ï (9) r ÄÌÑ t ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÅÒ×ÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (2) ÄÌÑ t ÏÄÓÔÁ-

ÎÏ×ËÏÊ v = E −2 1 , Á ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (10) ÄÌÑ E ′ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÒÅÌÑÔÉ×ÉÓÔE ÓËÉÈ ÚÁËÏÎÏ× ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÑ ÉÍÕÌØÓÁ É ÜÎÅÒÇÉÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÚÄÅÓØ ÍÙ ÏÕÓËÁÅÍ. ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ É ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÔÏÞÎÕÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ (ÔÅÏÒÅÍÕ 2), ÕËÁÖÅÍ ÏÓÎÏ×ÎÕÀ ÉÄÅÀ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÊ Ó ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÍ ÒÏÓÔÏÍ ÜÎÅÒÇÉÉ. äÌÑ ÒÅÄÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ D^ , ××ÅÄÅÎÎÏÇÏ × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å É ÁÒÏËÓÉÍÉÒÕÀÝÅÇÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ D ÒÉ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÍ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÉ ÜÎÅÒÇÉÉ, ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÓÅ ÉÁÌØÎÁÑ ÒÅÚÏÎÁÎÓÎÁÑ 2

172

ì. ä. ðÕÓÔÙÌØÎÉËÏ×

ÔÒÁÅËÔÏÒÉÑ, ÔÁËÁÑ ÞÔÏ ÛÁÒÉË ÓÔÁÌËÉ×ÁÅÔÓÑ Ó ÎÉÖÎÅÊ ÓÔÅÎËÏÊ × ÍÏÍÅÎÔÙ ×ÒÅÍÅÎÉ, ÓÒÁ×ÎÉÍÙÅ Ó t0 Ï ÍÏÄÕÌÀ 2 (ÚÄÅÓØ t0 | ÞÉÓÌÏ, ××ÅÄÅÎÎÏÅ × ÕÓÌÏ×ÉÉ ÔÅÏÒÅÍÙ 2). ðÏÜÔÏÍÕ ÏÓÌÅ ËÁÖÄÏÇÏ ÕÄÁÒÁ Ó ÎÉÖÎÅÊ ÓÔÅÎËÏÊ ÜÎÅÒÇÉÑ ÛÁÒÉËÁ Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÅÔÓÑ ÒÉÍÅÒÎÏ × ÏÄÎÏ É ÔÏ ÖÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚ, É ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÜÔÏÊ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÎÁ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÊ (Ï ìÑÕÎÏ×Õ). éÍÅÎÎÏ × ÜÔÏÍ É ÓÏÓÔÏÉÔ ÒÉÎ ÉÉÁÌØÎÏÅ ÏÔÌÉÞÉÅ ÒÅÌÑÔÉ×ÉÓÔÓËÏÇÏ ÓÌÕÞÁÑ ÏÔ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÇÏ: × ÒÁÍËÁÈ ÎØÀÔÏÎÏ×ÓËÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÉ ÍÏÄÅÌØ æÅÒÍÉ { õÌÁÍÁ ×ÏÏÂÝÅ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÒÅÚÏÎÁÎÓÎÙÈ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÊ! ÅÏÒÅÍÁ 2. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ , ÞÔÏ ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ : ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ t0 , ÞÔÏ f_(t0 ) > 0 É ` − f (t0 ) = m0 , ÇÄÅ m0 | ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ. ÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÔÁËÉÅ ÞÉÓÌÁ "0 > 0 É E0 > 0, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÎÁÞÁÌØÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ t; E ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ |t − t0 | 6 "0 , E > E0 , ÔÏ Õ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ D, (tn ; En ) = Dn(t; E ) (n = 1; 2; : : : ), ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÜÎÅÒÇÉÉ En ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ ÒÉ n → ∞, ÒÉÞÅÍ ÅÅ ÒÏÓÔ ÂÙÓÔÒÅÅ , ÞÅÍ ÜËÓÏÎÅÎ É1 + f_(t0 ) ÁÌØÎÙÊ : En > Ek0n , ÇÄÅ k0 = > 1, Á > 0 | ËÏÎÓÔÁÎÔÁ , ÎÅ 1 − f_(t0 ) ÚÁ×ÉÓÑÝÁÑ ÏÔ t, E É n. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ Ä×ÉÇÁÀÔÓÑ Ä×Å ÓÔÅÎËÉ, ÕÓÌÏ×ÉÅ

ÔÅÏÒÅÍÙ 2 ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÁ ÕÓÌÏ×ÉÅ (1), . 1. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ 2. çÌÁ×ÎÁÑ ÉÄÅÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ 2 ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÁ ÉÄÅÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ 1 É ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ D × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ E = ∞. ïÄÎÁËÏ ÚÄÅÓØ ÅÒÅÈÏÄ Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ ÂÕÄÅÔ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÔØÓÑ Ï-ÄÒÕÇÏÍÕ. ó ÜÔÏÊ ÅÌÀ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÓÉÌÕ (9) É (10) ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ D ÒÉ E → ∞ ÓÈÏÄÉÔÓÑ Ë ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ D^ : (t; E ) → (t^; E^ ), ÉÍÅÀÝÅÍÕ ×ÉÄ t^ = t + 2` − f (t) − f (t^); (11) _(t^) 1 + f E^ = E ; (12) 1 − f_(t^)

Á ÍÏÄÕÌÉ ÒÁÚÎÏÓÔÅÊ |t^ − t′ |, |E^ − E ′ | Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁÍÉ ÏÒÑÄËÁ 1=E , Ô. Å.

^ |t^ − t′ | + |E^ − E ′ | < 1 ; (13) E ÇÄÅ ^1 | ËÏÎÓÔÁÎÔÁ, ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÝÁÑ ÏÔ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ t É E . ÷×ÅÄÅÍ ÎÏ×ÕÀ ÅÒÅÍÅÎÎÕÀ  = ln E . ÏÇÄÁ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ D É D^ , ×ÙÒÁÖÅÎÎÙÅ ÞÅÒÅÚ ÅÒÅÍÅÎÎÕÀ , ÅÒÅÊÄÕÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ × ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ P É P^ : P : (t; ) → (t′ ; ′ ); P^ : (t; ) → (t^; ^); (14)

íÅÈÁÎÉÚÍ ÕÓËÏÒÅÎÉÑ æÅÒÍÉ

173

ÇÄÅ

^ (15) ′ = ln E ′ ; ^ = ln E; ′ Á ×ÅÌÉÞÉÎÙ t É t^ ÚÄÅÓØ ÔÅ ÖÅ, ÞÔÏ É × (9) É (11). ðÒÉ ÜÔÏÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (13) ÅÒÅÈÏÄÉÔ × ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÔÁËÏÇÏ ÖÅ ×ÉÄÁ:

^ |t^ − t′ | + |^ −  ′ | < 2 ; (16) E

ÇÄÅ ^2 | ËÏÎÓÔÁÎÔÁ, ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÝÁÑ ÏÔ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ t É . _^ ÅÅÒØ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ××ÅÓÔÉ, × ÓÉÌÕ (12), ÆÕÎË ÉÀ F (t) = ln 1 + f_(t^) , 1 − f (t) ÇÄÅ t^ = t^(t) | ×ÅÌÉÞÉÎÁ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (11). éÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (11) É ÕÓÌÏ×ÉÑ ÔÅÏÒÅÍÙ 2 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ

t^(t0 ) − t0 = 2` − f (t0 ) − f (t^0 ) = 2m0 ;

1 − f_(t0 ) dt^ ( t = 1 < 1; (17) 0) = dt 1 + f_(t0 ) k0

Á × ÓÉÌÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ× (12), (15) É ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÊ (14) É ÆÕÎË ÉÉ F (t) ÏÌÕÞÁÅÍ: ^ = ^(t; ) =  + F (t); ^(t0 ; ) =  + ln k0 : (18) éÚ (17) ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ t0 , ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÅ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ 0 6 t < 2, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ (11), ÒÉÞÅÍ ÜÔÁ ÔÏÞËÁ ^ ÒÉÔÑÇÉ×ÁÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ Ó×ÏÀ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ | × ÓÉÌÕ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ddtt (t0 ) < 1. ÷ ÔÏ ÖÅ ×ÒÅÍÑ ÅÒÅÍÅÎÎÁÑ  ÒÁÓÔÅÔ ÏÄ ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ P^ ËÁË ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÁÑ ÒÏÇÒÅÓÓÉÑ Ó ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ ÒÁÚÎÏÓÔØÀ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÔÅÏÒÅÍÙ 2, m0 | ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, Á ÆÕÎË ÉÑ f (t) ÉÍÅÅÔ ÅÒÉÏÄ 2 Ï t; ÏÜÔÏÍÕ ÉÚ ÅÒ×ÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (17) É ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (18) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ Õ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ (t^0(n) ; ^0(n) ) = P^ n (t0 ; ) ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ P^ (ÚÄÅÓØ P^ n | n-Ñ ÉÔÅÒÁ ÉÑ P^ ) ÒÉ ×ÓÅÈ n > 1 ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ t^(0n) , ^0(n) ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÇÒÅÓÓÉÊ: t^(0n) = t0 + 2m0 n; ^0(n) =  + n ln k0 ; (19) ÇÄÅ ln k0 > 0. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÉÚ ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (17), É ÉÚ (18) É (19) ÓÌÅÄÕÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÔÁËÏÇÏ ÞÉÓÌÁ "^ > 0, ÞÔÏ ÒÉ |t − t0 | 6 "^ Õ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ (t^(n) ; ^(n) ) = P^ n (t; ) ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ t^(n) , ^(n) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ: lim (t^(n) − t^(0n) ) = 0; |^(n) − ^0(n) | < ^3 "^; (20) n→∞ ÇÄÅ ^3 | ËÏÎÓÔÁÎÔÁ, ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÝÁÑ ÏÔ n, t É . åÓÌÉ ÂÙ ÒÅÞØ ÛÌÁ ÔÏÌØËÏ Ï ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÈ D^ É P^ , ÔÏ ÉÚ (20) É (19) ×ÙÔÅËÁÌÏ ÂÙ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ 2. ïÄÎÁËÏ ÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ D É P ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ, ÈÏÔÑ É ÍÁÌÏ, ÏÔ D^ É P^ . ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, É ÄÌÑ

174

ì. ä. ðÕÓÔÙÌØÎÉËÏ×

ÎÉÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ 2 ÂÕÄÅÔ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÒÉÍÅÎÑÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (16), (20) É ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (15), (19), ÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ 0 ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ  > 0 É |t − t0 | 6 "^, ÔÏ Õ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ (tn ; n ) = P n (t; ) ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁ n ÒÉ ×ÓÅÈ n > 1 ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ n > ^ +  + n ln k0 ; ÇÄÅ ^ | ËÏÎÓÔÁÎÔÁ, ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÝÁÑ ÏÔ n, t É . ðÏÌÏÖÉ× = e ^, "0 = "^, E0 = e0 , E = e , ÍÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ En = en > e ^++n ln k0 , ÏÔËÕÄÁ É ÓÌÅÄÕÅÔ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ 2. 4. õÓËÏÒÉÔÅÌØÎÁÑ ÍÏÄÅÌØ Ó ÏÄÎÏÊ ÓÔÅÎËÏÊ × ÏÌÅ ÔÑÖÅÓÔÉ

÷ ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÓÌÅÄÎÀÀ, ÔÒÅÔØÀ, ÍÏÄÅÌØ ÕÓËÏÒÅÎÉÑ ÞÁÓÔÉ Ù. ðÕÓÔØ f (t) | ÇÌÁÄËÁÑ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, ÉÍÅÀÝÁÑ Ï t ÅÒÉÏÄ T > 0. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÔÑÖÅÌÁÑ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÁÑ ÓÔÅÎËÁ Ä×ÉÖÅÔÓÑ × ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ q ×Ï ×ÒÅÍÅÎÉ t Ï ÚÁËÏÎÕ q = f (t). îÁ ÓÔÅÎËÕ ÁÄÁÅÔ ÍÁÓÓÉ×ÎÙÊ ÛÁÒÉË Ó ÏÓÔÏÑÎÎÙÍ ÕÓËÏÒÅÎÉÅÍ g É ÏÔÔÁÌËÉ×ÁÅÔÓÑ ÏÔ ÎÅÅ Ï ÚÁËÏÎÕ ÕÒÕÇÏÇÏ ÕÄÁÒÁ (ÒÉÓ. 2). ÷ÅÒÈÎÅÊ ÓÔÅÎËÉ (€ÏÔÏÌËÁ) × ÜÔÏÊ ÍÏÄÅÌÉ ÎÅÔ, ÎÏ ÉÚ-ÚÁ ÓÉÌÙ ÔÑÖÅÓÔÉ ÛÁÒÉË ËÁÖÄÙÊ ÒÁÚ ×ÏÚ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ Ë ÎÉÖÎÅÊ ÓÔÅÎËÅ É ÚÁÔÅÍ ÏÔÒÁÖÁÅÔÓÑ ÏÔ ÎÅÅ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÏÓÌÅ ÓÔÏÌËÎÏ×ÅÎÉÑ ÓÏ ÓÔÅÎËÏÊ × ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉ t ÛÁÒÉË ÒÉÏÂÒÅÌ ÓËÏÒÏÓÔØ v > 0, Á ÏÓÌÅ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÓÔÏÌËÎÏ×ÅÎÉÑ ÓÏ ÓÔÅÎËÏÊ × ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉ t′ ÛÁÒÉË ÒÉÏÂÒÅÌ ÓËÏÒÏÓÔØ v′ . ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ S : (t; v) → (t′ ; v′ ) ÌÏÓËÏÓÔÉ t; v. ÏÞËÁ (t′ ; v′ ) ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÒÁ×ÅÎÓÔ×: f (t) + v(t′ − t) − g2 (t′ − t)2 = f (t′ ); (21) v′ = g(t′ − t) − v + 2f_(t′ ); (22)

(ÔÏÞËÁ, ËÁË É ÒÁÎØÛÅ, | ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÅ Ï t). òÁ×ÅÎÓÔ×Ï (21) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÛÁÒÉË Ä×ÉÖÅÔÓÑ Ï ÄÕÇÅ ÁÒÁÂÏÌÙ, ÌÅ×ÙÊ ËÏÎÅ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ f (t), Á ÒÁ×ÙÊ | ÓÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ f (t′) (ÓÍ. ÒÉÓ. 5). æÏÒÍÕÌÁ (22) ÓÌÏ×ÅÓÎÏ ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÔÁË: Ë ÓËÏÒÏÓÔÉ g(t′ − t) − v ÁÄÁÀÝÅÇÏ ×ÎÉÚ ÛÁÒÉËÁ ÄÏÂÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÄ×ÏÅÎÎÁÑ ÓËÏÒÏÓÔØ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÓÔÅÎËÉ ÒÉ ÕÒÕÇÏÍ ÕÄÁÒÅ Ó ÎÅÊ ÛÁÒÉËÁ (ËÁË É × ÎØÀÔÏÎÏ×ÓËÏÊ ÍÏÄÅÌÉ æÅÒÍÉ { õÌÁÍÁ, ÓÍ. ×ÔÏÒÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ × (2)). äÌÑ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ S ÂÕÄÅÔ ÏÓÔÒÏÅÎÁ ÓÅ ÉÁÌØÎÁÑ ÒÅÚÏÎÁÎÓÎÁÑ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÑ (ÓÍ. ÌÅÍÍÕ 2), ÔÁËÁÑ ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÒÁÚ ÛÁÒÉË ÂÕÄÅÔ ÏÁÄÁÔØ ÎÁ ËÏÌÅÂÌÀÝÕÀÓÑ ÓÔÅÎËÕ × ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ÆÁÚÅ É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÂÕÄÅÔ ÉÓÙÔÙ×ÁÔØ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÒÉÒÏÓÔ ÓËÏÒÏÓÔÉ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓËÏÒÏÓÔØ ÛÁ-

íÅÈÁÎÉÚÍ ÕÓËÏÒÅÎÉÑ æÅÒÍÉ

175

q ÁÒÁÂÏÌÁ

t

q = f (t)

′

t

çÒÁÆÉË Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÛÁÒÉËÁ ×Ï ×ÒÅÍÅÎÉ ×ÅÎÉÑ ÄÏ ÄÒÕÇÏÊ ÔÏÞËÉ ÓÔÏÌËÎÏ×ÅÎÉÑ

òÉÓ. 5.

t

t ÏÔ ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÓÔÏÌËÎÏ-

ÒÉËÁ ÎÁ ÜÔÏÊ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ ÂÕÄÅÔ ÓÔÒÅÍÉÔØÓÑ Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ. óÁÍÏÅ ÖÅ ÔÒÕÄÎÏÅ | ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÏÓÔÒÏÅÎÎÁÑ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÑ ÕÓÔÏÊÞÉ×Á (Ï ìÑÕÎÏ×Õ), Ô. Å. ÞÔÏ ÒÉ ÍÁÌÙÈ ÏÔËÌÏÎÅÎÉÑÈ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ, ×Ï ×ÓÅ ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÍÏÍÅÎÔÙ ×ÒÅÍÅÎÉ ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔËÌÏÎÅÎÎÏÊ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ ÏÔ ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÂÕÄÅÔ ÍÁÌÏ. õÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔØ ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÊ × ÌÅÍÍÅ 2 ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÓÄÅÌÁÔØ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÂÌÉÚËÉÈ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÊ ÓËÏÒÏÓÔØ ÛÁÒÉËÁ ÎÁ ÎÉÈ ÔÁËÖÅ ÂÕÄÅÔ ÓÔÒÅÍÉÔØÓÑ Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Ó×ÏÊÓÔ×Ï v → ∞ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ (É ÄÁÖÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ) ÍÅÒÙ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ. ðÅÒÅÈÏÄÉÍ Ë ÔÅÏÒÅÍÅ ...3 É .... ÅÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ. ÷ ÅÅ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÚÎÁÞËÉ f_, f, f É f , ËÏÔÏÒÙÅ ÏÚÎÁÞÁÀÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÅÒ×ÕÀ, ×ÔÏÒÕÀ, ÔÒÅÔØÀ É ÞÅÔ×ÅÒÔÕÀ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ Ï ×ÒÅÍÅÎÉ. ÅÏÒÅÍÁ 3. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ , ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ f (t) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ : 1. óÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÅÌÏÅ k0 > 0 É t0 , ÔÁËÉÅ ÞÔÏ T gk0 = 2f_(t0 ); −g < f(t0 ) = < 0: (ðÅÒ×ÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï | ÕÓÌÏ×ÉÅ , ÏÚ×ÏÌÑÀÝÅÅ ÎÁÊÔÉ ÒÅÚÏÎÁÎÓÎÕÀ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÀ ; ×ÔÏÒÏÅ | ÄÏËÁÚÁÔØ ÅÅ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔØ.) 2. f(t0 ) 6= − g2 + g2 os(2 kr ), ÇÄÅ k = 0; ±1; : : : ; ±r; r = 1; 2; 3; 4. .... ... 3. a0 ( ) f (t0 ) + a1 ( ) f 2 (t0 ) 6= 0, ÇÄÅ a0 (x) É a1 (x) | ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ , ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÝÉÅ ÏÔ ÆÕÎË ÉÉ f (t). (õÓÌÏ×ÉÑ 2 É 3 | ÞÉÓÔÏ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÅ ; ÏÎÉ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÏÂÝÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔÉ ÎÅÁ×ÔÏÎÏÍÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ.) ÏÇÄÁ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ t; v ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÔËÒÙÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ (t; v), ÉÍÅÀÝÅÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÕÀ ÍÅÒÕ (ÌÏÝÁÄØ ), ÔÁËÏÅ ÞÔÏ Õ

176

ì. ä. ðÕÓÔÙÌØÎÉËÏ×

ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ (tn ; vn ) = S n (t; v) (n = 1; 2; : : : ) ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ S ËÏÏÒÄÉÎÁv ÔÁ vn ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ , É ÒÉ ÜÔÏÍ lim n = T gk0 . n→∞ n úÁÍÅÞÁÎÉÅ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÆÕÎË ÉÊ f (t), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ

ÔÅÏÒÅÍÙ 3, ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÔËÒÙÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å T | ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÈ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ, ËÏÔÏÒÏÍÕ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÆÕÎË ÉÉ ×ÉÄÁ f (t) = h sin !t, ÇÄÅ h; ! ×ÚÑÔÙ ÉÚ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ h; !. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ 3. îÁÞÎÅÍ Ó ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÒÅÚÏÎÁÎÓÎÏÊ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ. 1 ìÅÍÍÁ 2. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ 2f_(t0 ) = T gk0 , v0 = T gm, k0 > 0, 2 m > 0, k0 É m | ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ. ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ (t0n ; vn0 ) = S n (t0 ; v0 ) (n = 0; 1; 2; : : : ) ×ÙÏÌÎÅÎÙ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á t0 = t00 ≡ t01 ≡ · · · ≡ t0n ≡ : : : (mod T ); t0n+1 − t0n = T (m + 2k0 n); vn0 = v0 + T gk0 n (ÍÙ ÏÌÁÇÁÅÍ S 0 = id | ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ). äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÌÅÍÍÙ 2 ÍÙ ÏÕÓËÁÅÍ: ÏÎÏ ÌÅÇËÏ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ× (21) É (22) (ÓÍ. [11, ÇÌ. 2, x1, ÌÅÍÍÁ 1℄. éÚÕÞÉÍ ÔÅÅÒØ Ï×ÅÄÅÎÉÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ S × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÒÅÚÏÎÁÎÓÎÏÊ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ (t0n ; vn0 ) (n = 0; 1; : : : ), ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÊ × ÌÅÍÍÅ 2. ó ÜÔÏÊ ÅÌØÀ ÍÙ ××ÅÄÅÍ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ Sn (n = 1; 2; : : : ) ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ W ÔÏÞËÉ (0; 0) ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÅÓÌÉ (t; v) ∈ W , ÔÏ (t′n ; vn′ ) = Sn (t; v) def = S (t0n−1 + t; vn0 −1 + v) − (t0n ; vn0 ): (23) (óÍ. ÒÉÓ. 6, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÏËÁÚÁÎÏ, ËÁË ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔÓÑ ÔÏÞËÁ (t; v) ÉÚ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÎÕÌÑ W ÏÄ ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ Sn .) éÚ ÌÅÍÍÙ 2 É ÉÚ ÆÏÒÍÕÌ (21) É (22) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ Sn ÓÈÏÄÑÔÓÑ ÒÉ n → ∞ Ë ÒÅÄÅÌØÎÏÍÕ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÀ S∞: lim Sn (t; v) = S∞ (t; v); n→∞

ÇÄÅ S∞ | ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÔÏÊ ÖÅ ÓÁÍÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÎÕÌÑ W , ÉÍÅÀÝÅÅ ×ÉÄ:

S∞ : (t; v) → (t ; v ′ ∞

′ ∞





) = t + 2gv ; v + 2f_(t0 + t + 2gv ) − 2f_(t0 )

:

(24)

÷ ÜÔÏÍ ÅÒÅÈÏÄÅ Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ ÅÝÅ ÒÁÚ ÒÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÝÁÑ ÉÄÅÑ ×ÓÅÊ ÒÁÂÏÔÙ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ËÏÔÏÒÏÊ ÍÙ ÉÚÕÞÁÅÍ Ï×ÅÄÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ: S∞ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÔÏÞËÅ ÒÅÚÏÎÁÎÓÎÏÊ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ, Õ ËÏÔÏÒÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁ v Ó ÓÁÍÏÇÏ ÎÁÞÁÌÁ ÒÁ×ÎÁ ∞.

íÅÈÁÎÉÚÍ ÕÓËÏÒÅÎÉÑ æÅÒÍÉ

(t0n−1 + t; vn0 −1 + v )

177

(t0n + t′n ; vn0 + vn′ )

S

(t0n−1 ; vn0 −1 )

W

(t; v ) (0; 0)

(t0n ; vn0 )

Sn

W

(t′n ; vn′ ) (0; 0)

òÉÓ. 6. ÏÞÅÞÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ S ÌÏÓËÏÓÔÉ t; v × ÕÓËÏÒÉÔÅÌØÎÏÊ ÍÏÄÅÌÉ É ÏÒÏÖÄÅÎÎÁÑ ÉÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ Sn ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ×ÅËÔÏÒÏ× × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÌÏÓËÏÓÔÉ t; v

÷ ÓÉÌÕ (24) ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ S∞ ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ ÌÏÝÁÄØ (ÑËÏÂÉÁÎ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ S∞, ËÁË ÎÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÅÎ 1), ÒÉÞÅÍ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ (0; 0) | ÎÅÏÄ×ÉÖÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ S∞. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÔÅÏÒÅÍÙ 3, ÎÅÏÄ×ÉÖÎÁÑ ÔÏÞËÁ (0; 0) ÅÓÔØ ÔÏÞËÁ ÏÂÝÅÇÏ ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÔÉÁ, ÞÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ S∞ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ × ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÏÌÑÒÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ Ë Ï×ÏÒÏÔÕ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÎÕÌÑ W ÎÁ ÕÇÏÌ, ÏÔÌÉÞÎÙÊ ÏÔ 2k=r, ÇÄÅ r ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÔÏÌØËÏ 4 ÉÓËÌÀÞÉÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑ: r = 1; 2; 3; 4, Á k = 0; ±1; : : : ; ±r. ðÏÜÔÏÍÕ Ë ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ S∞ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÎÕÌÑ W ÍÏÖÎÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÔÅÏÒÅÍÕ íÏÚÅÒÁ [12℄ (Ï ÎÅÊ ÕÖÅ ÛÌÁ ÒÅÞØ × ÒÁÚÄÅÌÅ 2), ÓÏÇÌÁÓÎÏ ËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÞËÁ (0; 0) ÕÓÔÏÊÞÉ×Á (Ï ìÑÕÎÏ×Õ) ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ S∞. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ ÄÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÌÅÍÍÏÊ 3. ìÅÍÍÁ 3. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ " > 0 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ Æ > 0, ÞÔÏ, ÅÓÌÉ |t| +

+ |v| 6 Æ, ÔÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ ÞÉÓÌÅ n ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÔÏÞËÉ (n) (n) n (t∞ ; v∞ ) = S∞ (t; v)

(n) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ |t(∞n) | + |v∞ | 6 ". ðÅÒÅÈÏÄÉÍ Ë ÚÁ×ÅÒÛÁÀÝÅÍÕ ÜÔÁÕ × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÔÅÏÒÅÍÙ 3. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ 3 Ï ÏÔËÒÙÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÒÁÚÇÏÎÑÀÝÉÈÓÑ ÄÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÊ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ S ÂÕÄÅÔ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÅÓÌÉ ÂÕÄÅÔ ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÏ, ÞÔÏ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÑ (t0n ; vn0 ) (n = 0; 1; 2; : : : ), ÏÓÔÒÏÅÎÎÁÑ × ÌÅÍÍÅ 2, ÕÓÔÏÊÞÉ×Á ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ S . ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÖÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ × ÓÉÌÕ

178

ì. ä. ðÕÓÔÙÌØÎÉËÏ×

ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ Sn × (23) (ÓÍ. ÒÉÓ. 6) Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÌÅÍÍÙ 4 Ï ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔÉ ÒÅÚÏÎÁÎÓÎÏÊ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ. ìÅÍÍÁ 4. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ " > 0 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ Æ > 0, ÞÔÏ, ÅÓÌÉ |t| + + |v| 6 Æ, ÔÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ ÞÉÓÌÅ n ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÔÏÞËÉ (t(n) ; v(n) ) = Sn ◦ Sn−1 ◦ · · · ◦ S1 (t; v) (ÇÄÅ S1 ; : : : ; Sn | ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, ××ÅÄÅÎÎÙÅ × (23)) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ |t(n) | + |v(n) | 6 ". æÏÒÍÁÌØÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÌÅÍÍÙ 4 ×ÅÓØÍÁ ÓÌÏÖÎÏ; × ÏÌÎÏÍ ×ÉÄÅ ÏÎÏ ÒÉ×ÅÄÅÎÏ × ÒÁÂÏÔÅ [11℄. ïÄÎÁËÏ Ó ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÌÅÍÍÁ 4 ×ÅÓØÍÁ ÒÏÚÒÁÞÎÁ: ×ÅÄØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ Sn ÓÈÏÄÑÔÓÑ ÒÉ n → ∞ Ë ÒÅÄÅÌØÎÏÍÕ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÀ S∞ , É ÅÓÌÉ × ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ ÌÅÍÍÙ 4 ÚÁÍÅÎÉÔØ ÓÕÅÒÏÚÉ ÉÀ Sn ◦ Sn−1 ◦ · · · ◦ S1 ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ S1 ; : : : ; Sn ÎÁ n-À ÓÔÅÅÎØ n = S ◦ S ◦ · · · ◦ S ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ S , ÔÏ ÍÙ ÓÒÁÚÕ ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÕÓÔÁS∞ ∞ ∞ ∞ |∞ {z } n ÒÁÚ

ÎÏ×ÌÅÎÎÏÊ ×ÙÛÅ ÌÅÍÍÅ 3.

úÁËÌÀÞÅÎÉÅ

÷Ï ×ÓÅÈ ÔÒÅÈ ÏÂÓÕÖÄÁÅÍÙÈ ÍÏÄÅÌÑÈ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ Ó ÆÉÚÉÞÅÓËÉÍ ÍÅÈÁÎÉÚÍÏÍ ÕÓËÏÒÅÎÉÑ ÞÁÓÔÉ , ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÎÙ ÔÒÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÏÓÏÂÁ ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ÏÂÝÅÊ ÄÌÑ ÎÉÈ ×ÓÅÈ ÉÄÅÉ | ÅÒÅÈÏÄÕ Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ É ÉÚÕÞÅÎÉÀ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ × ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ. òÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÜÔÉÈ ÍÏÄÅÌÅÊ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ. á ÉÍÅÎÎÏ, × ÅÒ×ÏÊ ÍÏÄÅÌÉ (ÎØÀÔÏÎÏ×ÓËÁÑ ÍÏÄÅÌØ æÅÒÍÉ { õÌÁÍÁ) ÓËÏÒÏÓÔØ É ÜÎÅÒÇÉÑ ÛÁÒÉËÁ ×ÓÅÇÄÁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÙ; ×Ï ×ÔÏÒÏÊ ÍÏÄÅÌÉ (ÒÅÌÑÔÉ×ÉÓÔÓËÁÑ ÍÏÄÅÌØ æÅÒÍÉ { õÌÁÍÁ) ÓËÏÒÏÓÔØ ÛÁÒÉËÁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ ÓËÏÒÏÓÔØÀ Ó×ÅÔÁ, Á ÅÇÏ ÜÎÅÒÇÉÑ ÍÏÖÅÔ ÓÔÒÅÍÉÔØÓÑ Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ; É, ÎÁËÏÎÅ , × ÔÒÅÔØÅÊ ÍÏÄÅÌÉ (ÕÓËÏÒÉÔÅÌØÎÁÑ ÍÏÄÅÌØ × ÏÌÅ ÔÑÖÅÓÔÉ) ËÁË ÓËÏÒÏÓÔØ, ÔÁË É ÜÎÅÒÇÉÑ ÍÏÇÕÔ ÓÔÒÅÍÉÔØÓÑ Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ×Ï ×ÔÏÒÏÊ É ÔÒÅÔØÅÊ ÍÏÄÅÌÑÈ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÜÆÆÅËÔÙ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÄÌÑ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á (ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ ÍÅÒÙ) ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ. îÁÓÔÏÑÝÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ÍÏÖÅÔ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØÓÑ ËÁË ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ Ó ÔÅÏÒÉÅÊ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÉÈ ÓÉÓÔÅÍ É ÆÉÚÉËÏÊ. ïÄÎÁËÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÔÒÅÈ ÍÏÄÅÌÅÊ, ÏÉÓÁÎÎÙÈ ÚÄÅÓØ, Ó×ÑÚØ Ó ÇÅÏÍÅÔÒÉÅÊ ÒÁÚÌÉÞÎÁÑ. ïÉÛÅÍ ÜÔÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ Ó×ÑÚÉ ÂÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÏ. . íÏÄÅÌØ æÅÒÍÉ { õÌÁÍÁ, ÎØÀÔÏÎÏ×ÓËÉÊ ÓÌÕÞÁÊ (. 2): × ÏÓÎÏ×Å ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÌÅÖÉÔ ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÒÉ×ÙÈ ÌÏÓËÏÇÏ ËÏÌØ Á. ïÎÁ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÒÉ ×ÙÏÌÎÅÎÉÉ ÞÉÓÔÏ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ËÏÔÏÒÏÍÕ ÚÁÍËÎÕÔÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ ÓÏ Ó×ÏÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ (ÒÉÓ. 4).

íÅÈÁÎÉÚÍ ÕÓËÏÒÅÎÉÑ æÅÒÍÉ

179

. íÏÄÅÌØ æÅÒÍÉ { õÌÁÍÁ, ÒÅÌÑÔÉ×ÉÓÔÓËÉÊ ÓÌÕÞÁÊ (. 3): ÚÄÅÓØ ÚÁËÏÎ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÓËÏÒÏÓÔÉ É ÜÎÅÒÇÉÉ ÛÁÒÉËÁ ÒÉ ÕÒÕÇÏÍ ÓÔÏÌËÎÏ×ÅÎÉÉ Ó Ä×ÉÖÕÝÅÊÓÑ ÓÔÅÎËÏÊ ÏÓÎÏ×ÁÎÙ ÎÁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÔÅÏÒÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ. üÔÁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÅÓÔØ ÒÁÚÎÏ×ÉÄÎÏÓÔØ ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ (ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ), Á ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ ÛÁÒÉËÁ ÍÏÇÕÔ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØÓÑ ËÁË ÏÂÏÂÝÅÎÎÙÅ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÉÅ ÌÉÎÉÉ × ÜÔÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. . îÁËÏÎÅ , ÕÓËÏÒÉÔÅÌØÎÁÑ ÍÏÄÅÌØ Ó ÏÄÎÏÊ ÓÔÅÎËÏÊ × ÏÌÅ ÔÑÖÅÓÔÉ (. 4). úÄÅÓØ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ Ä×Á ÁÓÅËÔÁ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ Ó ÇÅÏÍÅÔÒÉÅÊ: 1. ËÁË É × . 2, ÅÒ×ÙÊ ÁÓÅËÔ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÒÉ×ÙÈ ÒÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑÈ ÌÏÓËÏÇÏ ËÏÌØ Á, É ÉÍÅÎÎÏ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔÉ ÒÅÚÏÎÁÎÓÎÏÊ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ, ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÊ × ÌÅÍÍÅ 2 (. 4); 2. ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÒÉÒÏÄÁ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ S (ÓÍ. ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (21)), ÏÌÕÞÁÀÝÅÇÏÓÑ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÅÒÅÈÏÄÁ ÏÔ ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÁÒÁÂÏÌÙ Ó ÇÒÁÆÉËÏÍ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ ÆÕÎË ÉÉ f (t) Ë ÄÒÕÇÏÊ ÔÁËÏÊ ÔÏÞËÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ. óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

[1℄ Fermi E. On the origin of the osmi radiation // Phys. Rev., 1949. Vol. 75. No 8. P. 1169{1174. [2℄ ðÕÓÔÙÌØÎÉËÏ× ì. ä. íÏÄÅÌÉ ðÕÁÎËÁÒÅ , ÓÔÒÏÇÏÅ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÉÅ ×ÔÏÒÏÇÏ ÎÁÞÁÌÁ ÔÅÒÍÏÄÉÎÁÍÉËÉ ÉÚ ÍÅÈÁÎÉËÉ É ÍÅÈÁÎÉÚÍ ÕÓËÏÒÅÎÉÑ æÅÒÍÉ // õíî, 1995. . 50. ‚1. ó. 143{186. [3℄ Ulam S. On some statisti al properties of dynami al systems // Pro . 4th Berkeley Sympos. on Math. and Probabil. 1961. Vol. 3. Berkeley { Los Angeles: California Press. P. 315{320. [4℄ ðÕÓÔÙÌØÎÉËÏ× ì. ä. ï ÏÄÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ õÌÁÍÁ // íæ, 1983. . 57. ‚1. ó. 128{132. [5℄ ðÕÓÔÙÌØÎÉËÏ× ì. ä. ï ÍÏÄÅÌÉ æÅÒÍÉ { õÌÁÍÁ // äáî óóóò, 1987. . 292. ‚3. ó. 549{553. [6℄ ðÕÓÔÙÌØÎÉËÏ× ì. ä. óÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ËÒÉ×ÙÈ ÄÌÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ , ÂÌÉÚËÉÈ Ë ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÍ , É ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ æÅÒÍÉ { õÌÁÍÁ // íÁÔÅÍ. ÓÂ., 1994. . 185. ‚6. ó. 1{12. [7℄ äÏ×ÂÙÛ ó. á. ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×ÓËÁÑ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔØ , ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÒÁÚÇÏÎÁ æÅÒÍÉ É ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÈ ÒÅÛÅÎÉÊ × ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ ÔÉÁ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÈ // ðÒÉËÌÁÄÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ É ÍÅÈÁ-

ÎÉËÁ, 1992. . 56. ‚2. ó. 218{229.

180

ì. ä. ðÕÓÔÙÌØÎÉËÏ×

[8℄ ðÕÓÔÙÌØÎÉËÏ× ì. ä. îÏ×ÙÊ ÍÅÈÁÎÉÚÍ ÕÓËÏÒÅÎÉÑ ÞÁÓÔÉ É ÒÅÌÑÔÉ×ÉÓÔÓËÉÊ ÁÎÁÌÏÇ ÍÏÄÅÌÉ æÅÒÍÉ { õÌÁÍÁ // íæ, 1988. . 77. ‚1. ó. 154{160. [9℄ ðÕÓÔÙÌØÎÉËÏ× ì. ä. ï ÏÄÎÏÊ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ // õíî. 1968. . 23. ‚4 (142). ó. 251{252. [10℄ ðÕÓÔÙÌØÎÉËÏ× ì. ä. óÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ ÍÅÒÙ ÏÓ ÉÌÌÉÒÕÀÝÉÈ Ä×ÉÖÅÎÉÊ × ÏÄÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÍÅÈÁÎÉËÉ // äáî óóóò, 1972. . 202. ‚2. ó. 287{289. [11℄ ðÕÓÔÙÌØÎÉËÏ× ì. ä. õÓÔÏÊÞÉ×ÙÅ É ÏÓ ÉÌÌÉÒÕÀÝÉÅ Ä×ÉÖÅÎÉÑ × ÎÅÁ×ÔÏÎÏÍÎÙÈ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÉÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ. II // ÒÕÄÙ ííï. 1977. . 34. ó. 3{103. [12℄ íÏÚÅÒ à. ï ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ËÒÉ×ÙÈ ÓÏÈÒÁÎÑÀÝÅÇÏ ÌÏÝÁÄØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ËÏÌØ Á × ÓÅÂÑ // íÁÔÅÍÁÔÉËÁ. 1963. . 6. ‚5. ó. 51{67. [13℄ ìÁÎÄÁÕ ì. ä., ìÉ×ÛÉ å. í. ÅÏÒÉÑ ÏÌÑ. í.: æÉÚÍÁÔÇÉÚ, 1962.

181

ï ËÒÕÇÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÈ

á. ñ. âÅÌÏ× ëÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÌÀÂÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Ó ÅÌÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÒÁÚÌÁÇÁÅÔÓÑ × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ. èÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ ÔÁËÖÅ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÅÏÒÅÍÁ 1. íÎÏÇÏÞÌÅÎ xn − 1 ÒÁÚÌÁÇÁÅÔÓÑ × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ ÎÁÄ Q ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× d :

xn − 1 =

Y

d (x)

d|n

ðÒÉ ÜÔÏÍ ËÏÒÎÑÍÉ d Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ËÏÒÎÉ d-Ê ÓÔÅÅÎÉ ÉÚ ÅÄÉÎÉ Ù É deg(d ) = '(d).

úÄÅÓØ '(d) ÅÓÔØ ÆÕÎË ÉÑ üÊÌÅÒÁ, ×ÙÒÁÖÁÀÝÁÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÏÓÔÁÔËÏ× ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ d, ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÈ Ó d. ëÏÒÅÎØ d-Ê ÓÔÅÅÎÉ ÉÚ ÅÄÉÎÉ Ù ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÉÚ ÅÄÉÎÉ Ù, ÓÔÅÅÎÉ ÍÅÎØÛÅÊ ÞÅÍ d. üÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÏÊ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÞÁÓÔÏ ÏÌØÚÕÀÔÓÑ (ÓÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ 2.7 ÉÚ ÚÁÄÁÞÎÉËÁ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс, ‚6, Ó. 140{142). ó ÅÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÏÍ ÍÏÖÎÏ ÏÚÎÁËÏÍÉÔØÓÑ Ï ËÎÉÇÁÍ [1,2℄. íÙ ÒÉ×ÏÄÉÍ ÚÄÅÓØ ÄÒÕÇÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï, ËÏÔÏÒÏÅ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ËÒÁÓÉ×Ï É ÓÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÏ. (á×ÔÏÒ ÂÌÁÇÏÄÁÒÉÔ á. ÷. ûÁÏ×ÁÌÏ×Á, ÒÁÓÓËÁÚÁ×ÛÅÇÏ ÅÍÕ ÜÔÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.) åÓÌÉ ÞÉÓÌÏ d | ÒÏÓÔÏÅ, ÔÏ d (x) = xd−1 + xd−2 + · · · + 1 É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÏÓÔÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ d (x) ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÕÔÅÍ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ËÒÉÔÅÒÉÑ üÊÚÅÎÛÔÅÊÎÁ Ë ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÕ d (x + 1) (ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÏÓÔØ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÏÓÔÉ d (x)). îÁÏÍÎÉÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ: ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 1 (ËÒÉÔÅÒÉÊ üÊÚÅÎÛÔÅÊÎÁ). ðÕÓÔØ

P (x) = xn + a1 xn−1 + · · · + an ; ÒÉÞÅÍ ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ a1 ; : : : ; an ÄÅÌÑÔÓÑ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÒÏÓÔÏÅ p É an ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p2 . ÏÇÄÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ P ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ

ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ.

182

á. ñ. âÅÌÏ×

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÇÏ ËÒÉÔÅÒÉÑ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÒÏÔÉ×ÎÏÇÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× P (x) É P1 (x)P2 (x) É ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÌÅÍÍÙ çÁÕÓÓÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÏÓÔØ ÎÁÄ Z ×ÌÅÞÅÔ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÏÓÔØ ÎÁÄ Q. íÙ ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÒÏ×ÅÓÔÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÓÁÍÏÍÕ, ÌÉÂÏ ÏÂÒÁÔÉÔØÓÑ Ë ÌÀÂÏÍÕ ÷õúÏ×ÓËÏÍÕ ÕÞÅÂÎÉËÕ Ï ÁÌÇÅÂÒÅ. âÙÔÕÅÔ ÍÎÅÎÉÅ (× ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ ÓÒÅÄÉ ÁÌÇÅÂÒÁÉÓÔÏ×), ÞÔÏ ÔÅÏÒÅÍÁ 1 ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ×Ù×ÏÄÉÔÓÑ ÉÚ ÜÔÏÇÏ Ó×ÏÅÇÏ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÓÌÕÞÁÑ (d | ÒÏÓÔÏÅ) Ó ÏÍÏÝØÀ ÔÅÏÒÉÉ çÁÌÕÁ. ïÄÎÁËÏ ÔÁËÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ 1 ÎÁÍ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏ. îÅÓËÏÌØËÏ ÏÌÅÚÎÙÈ ÆÁËÔÏ×

ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ

d (x) =

xd − 1 : s (x)

Q

(1)

s|d;s 4: òÅÛÅÎÉÅ ËÁÎÁÄÓËÉÈ ÇÅÏÍÅÔÒÏ×, ÂÒÁÔØÅ× ìÅÏ É õÉÌØÑÍÁ íÏÚÅÒ (1961, [35℄). îÁ ÌÏÓËÏÓÔØ, ÒÁÓËÒÁÛÅÎÎÕÀ × ÔÒÉ ×ÅÔÁ, ÂÒÏÓÉÍ ÍÏÚÅÒÏ×ÓËÏÅ ×ÅÒÅÔÅÎÏ, Ô. Å. ÆÉÇÕÒÕ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÕÀ ÎÁ ÒÉÓ. 2. ëÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ×ÅÒÅÔÅÎÁ ÉÍÅÅÔ ÄÌÉÎÕ 1. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÉÚ ÓÅÍÉ ×ÅÒÛÉÎ ×ÅÒÅÔÅÎÁ ÎÅÌØÚÑ ×ÙÂÒÁÔØ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÕÀ ÁÒÕ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ 1. âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÌÏÓËÏÓÔØ ÒÁÓËÒÁÛÅÎÁ × ËÒÁÓÎÙÊ, ÂÅÌÙÊ É ÓÉÎÉÊ ×ÅÔÁ. òÅÛÅÎÉÅ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Õ ÓÌÅÄÕÅÔ ÄÅÔÓËÏÊ ÅÓÅÎËÅ €A B C D E F G. . . . ðÕÓÔØ ÔÏÞËÁ A ËÒÁÓÎÁÑ. ÏÇÄÁ ÓÒÅÄÉ ÔÏÞÅË B É C ÏÄÎÁ ÂÅÌÁÑ É ÏÄÎÁ ÓÉÎÑÑ, ÏÜÔÏÍÕ ÔÏÞËÁ D ËÒÁÓÎÁÑ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÓÒÅÄÉ ÔÏÞÅË E É F ÏÄÎÁ ÂÅÌÁÑ É ÏÄÎÁ ÓÉÎÑÑ, ÏÜÔÏÍÕ ÔÏÞËÁ G ËÒÁÓÎÁÑ. ðÏÌÕÞÁÅÍ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÕÀ  ÁÒÕ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ 1 ×ÏÒÅËÉ ÎÁÛÅÍÕ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ÅÒÅÔÅÎÏ íÏÚÅÒÁ ÏÚ×ÏÌÉÌÏ ÒÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ 2 ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÓÒÅÄÉ ÌÀÂÙÈ ÔÒÅÈ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ ÎÁÊÄÕÔÓÑ Ä×Å ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ 1 A 1

1

B

F E

1 òÉÓ. 1.

D

C

G

òÉÓ. 2.

188

á. óÏÊÆÅÒ

ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ. ëÁË ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ, ÅÓÌÉ × ×ÅÒÅÔÅÎÅ ÎÅÔ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÏÊ ÁÒÙ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ 1, ÔÏ ÎÅ ÂÏÌÅÅ Ä×ÕÈ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ ÍÏÇÕÔ ÉÍÅÔØ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÊ ×ÅÔ. úÁÏÍÎÉÍ ÜÔÏ ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÅ: ÏÎÏ ÒÉÇÏÄÉÔÓÑ ÎÁÍ ÏÚÖÅ. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ ×ÅÒÈÎÑÑ ÇÒÁÎÉ Á ÄÌÑ ? óÒÁÚÕ ÜÔÏ ÎÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ. íÏÖÅÔÅ ÌÉ ×Ù ÕËÁÚÁÔØ ÔÁËÕÀ ÇÒÁÎÉ Õ? åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÏËÒÙÔÉÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÒÁ×ÉÌØÎÙÍÉ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁÍÉ | É ÜÔÏ, ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÏÍÏÇÁÅÔ! úÁÄÁÞÁ 3. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÁÓËÒÁÓËÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ × 7 ×ÅÔÏ×, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÏÊ ÁÒÙ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ 1, Ô. Å.  6 7: òÅÛÅÎÉÅ ([23℄). úÁÍÏÓÔÉÍ ÌÏÓËÏÓÔØ ÒÁ×ÉÌØÎÙÍÉ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁÍÉ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ 1. ðÏËÒÁÓÉÍ ÏÄÉÎ ÉÚ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÉËÏ× × ×ÅÔ ÎÏÍÅÒ 1, Á ÛÅÓÔØ ÅÇÏ ÓÏÓÅÄÅÊ | × ×ÅÔÁ Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ 2; 3; : : : ; 7 (ÒÉÓ. 3). ðÏÌÕÞÉ×ÛÉÊÓÑ € ×ÅÔÏˁ | ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÊ 18-ÕÇÏÌØÎÉË P . åÇÏ ÓÄ×ÉÇÉ (ÔÏÞÎÅÅ, ÅÇÏ ÏÂÒÁÚÙ ÒÉ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÅÒÅÎÏÓÁÈ) ÏËÒÙ×ÁÀÔ ÌÏÓËÏÓÔØ É ÏÒÅÄÅÌÑÀÔ ÅÅ ÒÁÓËÒÁÓËÕ × 7 ×ÅÔÏ×. ìÅÇËÏ ÍÏÖÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ (ÓÏ×ÅÔÕÅÍ ÒÏÄÅÌÁÔØ ÜÔÏ), ÞÔÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÈ ÁÒ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ d ÒÉ √ 2 < d < 7: åÓÌÉ ÔÅÅÒØ ÓÖÁÔØ ×ÓÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÒÁÚÍÅÒÙ, ÓËÁÖÅÍ, × 2;1 ÒÁÚÁ, ÔÏ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÒÁÓËÒÁÓËÕ ÌÏÓËÏÓÔÉ × 7 ×ÅÔÏ×, ÎÅ ÉÍÅÀÝÕÀ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÈ ÁÒ ÎÁ

3 4

2 1

5

7 6 3 4

2 1

5

7 6

òÉÓ. 3.

èÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ

189

ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ 1. (ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÓÉÌÕ ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á Õ ÎÁÓ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÊ ×ÙÂÏÒ, ÔÁË ÞÔÏ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, × ËÁËÏÊ ÉÚ Ä×ÕÈ ÒÉÌÅÇÁÀÝÉÈ ×ÅÔÏ× ÏËÒÁÛÅÎÙ ÇÒÁÎÉ Ù ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÉËÏ×.)  ÷ 1982 Ç. ×ÅÎÇÅÒÓËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË ìÁÓÌÏ óÅËÅÊ ÓÕÍÅÌ ÏÌÕÞÉÔØ ×ÅÒÈÎÀÀ ÇÒÁÎÉ Õ ÄÌÑ , ÎÅ ÉÓÏÌØÚÕÑ ÏËÒÙÔÉÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁÍÉ. ÷ÔÏÒÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ 3 ([54℄). (þÅÒÔÅÖ ÉÚ ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÉ ÔÒÅÂÕÅÔ ÎÅÂÏÌØÛÏÊ ÏÒÁ×ËÉ, É ÎÕÖÎÏ ÕËÁÚÁÔØ ÒÁÓËÒÁÓËÕ ÇÒÁÎÉ , ÞÔÏ Ñ É ÄÅÌÁÀ ÚÄÅÓØ.) 3 5

4 6

1

5 7

2

6 1

3

7 2

4

1 3

5

2 4

6

3 5

7

6 1

òÉÓ. 4.

îÁ ÒÉÓ. 4 ÍÙ ÓÔÒÏÉÍ ÅÏÞËÕ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× Ó ÄÉÁÇÏÎÁÌØÀ ÄÌÉÎÙ 1 É ËÒÁÓÉÍ ÉÈ × ÓÅÍØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÞÅÒÅÄÕÀÝÉÈÓÑ ×ÅÔÏ×. úÁÔÅÍ ÏÌÕÞÁÅÍ ÎÏ×ÙÅ ÅÏÞËÉ ÒÁÓËÒÁÛÅÎÎÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×, ÓÄ×ÉÇÁÑ ÒÅÄÙÄÕÝÕÀ ÅÏÞËÕ ×ÒÁ×Ï ÎÁ 2:5 ÓÔÏÒÏÎÙ Ë×ÁÄÒÁÔÁ. ÷ÅÒÈÎÑÑ É ÒÁ×ÁÑ ÇÒÁÎÉ Ù Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÉÍÅÀÔ ÅÇÏ ×ÅÔ, ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ ×ÅÒÈÎÅÇÏ ÌÅ×ÏÇÏ É ÒÁ×ÏÇÏ ÎÉÖÎÅÇÏ ÕÇÌÁ.  ÷ ÚÁÄÁÞÅ 2 ÒÅÛÅÎÉÅ Ó ×ÅÒÅÔÅÎÏÍ ÔÁËÖÅ ÎÅ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÅ. îÉÖÅ ÒÉ×ÅÄÅÎÏ €ÆÏÌØËÌÏÒÎÏŁ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÉÓÔÏÒÉÀ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ ÒÏÓÌÅÄÉÌ ×ÌÏÔØ ÄÏ óÏÌÏÍÏÎÁ çÏÌÏÍÂÁ, ÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ÉÚÏÂÒÅÔÁÔÅÌÑ ÏÌÉÍÉÎÏ. ÷ÔÏÒÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ 2 (ó. çÏÌÏÍÂ, ÞÁÓÔÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ). îÁ ÌÏÓËÏÓÔØ, ÒÁÓËÒÁÛÅÎÎÕÀ × ÔÒÉ ×ÅÔÁ (ËÒÁÓÎÙÊ, ÂÅÌÙÊ É ÓÉÎÉÊ), ÂÒÏÓÉÍ ÇÒÁÆ Ó ÒÅÂÒÁÍÉ ÄÌÉÎÙ 1, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÊ ÎÁ ÒÉÓ. 5; ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÂÕÄÅÔ ÎÁÚ×ÁÔØ ÅÇÏ ÇÒÁÆÏÍ çÏÌÏÍÂÁ. äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ × ÎÅÍ ÎÉËÁËÉÅ Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ ÏÄÎÏÇÏ ×ÅÔÁ ÎÅ ÓÏÅÄÉÎÅÎÙ ÒÅÂÒÏÍ. ãÅÎÔÒÁÌØÎÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ÏËÒÁÓÉÍ × ËÒÁÓÎÙÊ ×ÅÔ. ïÎÁ ÓÏÅÄÉÎÅÎÁ ÒÅÂÒÁÍÉ ÓÏ ×ÓÅÍÉ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁ H , É ÏÔÏÍÕ ×ÓÅ ÜÔÉ ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÌÅÄÕÅÔ ÏËÒÁÓÉÔØ × ÂÅÌÙÊ É ÓÉÎÉÊ ×ÅÔ ÏÏÞÅÒÅÄÎÏ. ÷ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ T ÓÏÅÄÉÎÅÎÙ ÒÅÂÒÁÍÉ Ó ÔÒÅÍÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÏËÒÁÛÅÎÎÙÍÉ × ÏÄÉÎÁòÉÓ. 5. ËÏ×ÙÊ ×ÅÔ | ÓËÁÖÅÍ, ÂÅÌÙÊ. îÏ ÔÏÇÄÁ T ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ ÂÅÌÙÈ ×ÅÒÛÉÎ; ×ÓÅ ÏÎÉ | ËÒÁÓÎÙÅ ÉÌÉ ÓÉÎÉÅ, É ÏÔÏÍÕ Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÇÏ ×ÅÔÁ. üÔÏ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÔÒÅÍÑ ×ÅÔÁÍÉ ÎÅÌØÚÑ ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÒÁÓËÒÁÓÉÔØ ÄÅÓÑÔØ ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ çÏÌÏÍÂÁ, Á ÔÅÍ ÂÏÌÅÅ ×ÓÀ ÌÏÓËÏÓÔØ. 

190

á. óÏÊÆÅÒ

ðÏÒÁÚÉÔÅÌØÎÏ, ÞÔÏ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÌÅÇËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ 2 É 3 ÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÎÁÉÌÕÞÛÉÍ ÇÒÁÎÉ ÁÍ ÄÌÑ , ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ ÓÅÇÏÄÎÑ. ïÎÉ ÂÙÌÉ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÙ Ó×ÙÛÅ 40 ÌÅÔ ÎÁÚÁÄ (ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÏÎÉ ÅÝÅ ÓÔÁÒÛÅ: ÓÍ. ÉÓÔÏÒÉÞÅÓËÉÊ ÏÞÅÒË × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ). ïÄÎÁËÏ ÄÏ ÓÉÈ ÏÒ ÍÙ ÚÎÁÅÍ ÌÉÛØ, ÞÔÏ  ÒÁ×ÎÏ 4, 5, 6 ÉÌÉ 7. ÷ÅÓØÍÁ ÛÉÒÏËÉÊ ÒÏÍÅÖÕÔÏË! þÅÍÕ ÖÅ ÒÁ×ÎÏ  Ï ×ÁÛÅÍÕ ÍÎÅÎÉÀ? ðÁÕÌØ üÒÄ£Û ÇÏ×ÏÒÉÌ ÍÎÅ, ÞÔÏ ÎÁ×ÅÒÎÑËÁ  > 5. ÷ 1992 Ç. ÉÚ×ÅÓÔÎÙÊ ÁÍÅÒÉËÁÎÓËÉÊ ÇÅÏÍÅÔÒ ÷ÉËÔÏÒ ëÌÉ Ï×ÅÄÁÌ ÍÎÅ ÚÁÎÑÔÎÕÀ ÉÓÔÏÒÉÀ. ÷ 1980{1981 Ç. ÏÎ ÞÉÔÁÌ ÌÅË ÉÉ × û×ÅÊ ÁÒÉÉ. éÈ ÏÓÅÝÁÌ ÒÏÓÌÁ×ÌÅÎÎÙÊ ÁÌÇÅÂÒÁÉÓÔ âÁÒÔÅÌØ ì. ×ÁÎ ÄÅÒ ÷ÁÒÄÅÎ, ËÏÔÏÒÏÍÕ ÂÙÌÏ ÏËÏÌÏ 80 ÌÅÔ. ëÏÇÄÁ ÒÏÆÅÓÓÏÒ ëÌÉ ÒÁÓÓËÁÚÁÌ Ï ÓÉÔÕÁ ÉÉ Ó ÎÁÛÅÊ ÚÁÄÁÞÅÊ, ×ÁÎ ÄÅÒ ÷ÁÒÄÅÎ ÏÞÅÎØ ÚÁÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÌÓÑ É ÔÁÍ ÖÅ, ÒÑÍÏ ×Ï ×ÒÅÍÑ ÌÅË ÉÉ ÚÁÎÑÌÓÑ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ. ïÎ ÏÙÔÁÌÓÑ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ  = 7! ðÁÕÌØ üÒÄ£Û ÂÙÌ Õ×ÅÒÅÎ, ÞÔÏ  > 5. ïÎ ÌÀÂÉÌ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ €Õ âÏÇÁ ÅÓÔØ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÁÑ ëÎÉÇÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ ×ÓÅ ÔÅÏÒÅÍÙ É ÉÈ ÌÕÞÛÉÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, É ÅÓÌÉ ïÎ ÂÌÁÇÏ×ÏÌÉÔ Ë ËÏÍÕ-ÌÉÂÏ, ÔÏ ÎÁ ÍÇÎÏ×ÅÎÉÅ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÅÍÕ ëÎÉÇՁ [11℄. åÓÌÉ ÂÙ Ñ ÚÁÓÌÕÖÉÌ ÔÁËÕÀ ÞÅÓÔØ É ÉÍÅÌ ×ÙÂÏÒ, ÔÏ

ÏÒÏÓÉÌ ÂÙ ÄÁÔØ ×ÚÇÌÑÎÕÔØ ÎÁ ÓÔÒÁÎÉ Õ, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÕÀ ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÞÉÓÌÕ ÌÏÓËÏÓÔÉ. á ×Ù ÂÙ ÎÅ ÏÒÏÓÉÌÉ? 2. ÷ÚÇÌÑÄ × ÉÓÔÏÒÉÀ

äÁ×ÎÏ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÁÑ ÏÔËÒÙÔÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ üÒÄ£ÛÁ. . .

èÜÌÁÒÄ ëÒÏÆÔ, 1967 îÅ ÍÏÇÕ ÒÏÓÌÅÄÉÔØ ÒÏÉÓÈÏÖÄÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ

ðÁÕÌØ üÒÄ£Û, 1961 þÁÓÔÏ ÂÙ×ÁÅÔ ÌÅÇÞÅ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÞÔÏ-ÎÉÂÕÄØ ÉÚ ÉÓÔÏÒÉÉ ÄÒÅ×ÎÅÇÏ åÇÉÔÁ, ÞÅÍ ÒÏÉÓÛÅÄÛÅÅ Ó ÎÁÛÉÍÉ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÉËÁÍÉ

îÉËÏÌÁÁÓ çÏ×ÅÒÔ ÄÅ âÒ£ÊÎ, üÊÎÄÈÏ×ÅÎ, 5 ÉÀÌÑ 1995; ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÅ ÉÓØÍÏ á. óÏÊÆÅÒÕ üÔÏ ÂÙÌÏ ÄÁ×ÎÏ É ÎÅÒÁ×ÄÁ

óÔÁÒÉÎÎÁÑ ÒÕÓÓËÁÑ ÛÕÔËÁ ÷ÏÌÎÅ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÞÔÏ ÞÅÌÏ×ÅË ÙÔÁÅÔÓÑ ×ÙÑÓÎÉÔØ ÒÏÉÓÈÏÖÄÅÎÉÅ Ó×ÏÅÊ ÌÀÂÉÍÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. é Ñ ÏÇÒÕÚÉÌÓÑ × ÔÏÎÎÙ ÓÔÁÔÅÊ É ËÎÉÇ. þÁÓÔØ ÎÁÊÄÅÎÎÙÈ ÍÎÏÊ Ó×ÅÄÅÎÉÊ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ × ÔÁÂÌÉ Å 1. ÷Ù ÏÛÅÌÏÍÌÅÎÙ? ñ ÔÏÖÅ ÂÙÌ ÏÛÅÌÏÍÌÅÎ!

èÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ

191

ëÁË ×ÉÄÎÏ ÉÚ ÔÁÂÌÉ Ù, äÕÇÌÁÓ ÷ÕÄÏÌÌ ÓÓÙÌÁÅÔÓÑ ÎÁ íÁÒÔÉÎÁ çÁÒÄÎÅÒÁ, ËÏÔÏÒÙÊ × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ ÕÏÍÉÎÁÅÔ ìÅÏ íÏÚÅÒÁ. èÜÌÁÒÄ ëÒÏÆÔ ÎÁÚÙ×ÁÅÔ ÚÁÄÁÞÕ €ÄÁ×ÎÏ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÏÔËÒÙÔÏÊ ÒÏÂÌÅÍÏÊ üÒÄ£ÛÁ, Á ÓÁÍ ðÁÕÌØ üÒÄ£Û €ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÒÏÓÌÅÄÉÔØ ÒÏÉÓÈÏÖÄÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞɁ! ðÏÚÖÅ ÏÎ ÓÓÙÌÁÅÔÓÑ ÎÁ €èÁÄ×ÉÇÅÒÁ É îÅÌØÓÏÎÁ, Á ÷ÉË ëÌÉ É óÔÜÎ ÷ÜÊÇÏÎ ÉÛÕÔ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÚÁÄÁÞÁ €ÂÙÌÁ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÁ × 1960{61 ÇÇ. í. çÁÒÄÎÅÒÏÍ É èÁÄ×ÉÇÅÒḮ. ÷ÎÏ×Ø ÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ ëÒÏÆÔ, É ÎÁ ÜÔÏÔ ÒÁÚ ëÅÎÎÅÔ æÁÌØËÏÎÅÒ É òÉÞÁÒÄ çÁÊ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÎÉÍ ÏÓÔÏÒÏÖÎÏ ÒÅÄÏÌÁÇÁÀÔ, ÞÔÏ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÚÁÄÁÞÉ, €ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ü. îÅÌØÓÏÎՁ [3℄. ðÒÉ ÜÔÏÍ òÉÞÁÒÄ çÁÊ ÎÅ ÓÍÏÇ ÓËÁÚÁÔØ ÍÎÅ, ËÔÏ ÔÁËÏÊ €ü. îÅÌØÓÏ΁ É ÏÞÅÍÕ çÁÊ É ËÏÍÁÎÉÑ €Ó ÏÞÅ×ÉÄÎÏÓÔØÀ ÒÉÉÓÁÌÉ ÅÍÕ ÜÔÕ ÚÁÄÁÞÕ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × Ó×ÑÚÉ Ó ÎÁÛÅÊ ÚÁÄÁÞÅÊ ÕÏÍÉÎÁÀÔÓÑ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ËÁË ÑÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×: ðÁÕÌØ üÒÄ£Û, íÁÒÔÉÎ çÁÒÄÎÅÒ, çÕÇÏ èÁÄ×ÉÇÅÒ, ìÅÏ íÏÚÅÒ É üÄ×ÁÒÄ îÅÌØÓÏÎ. ëÁËÏÅ ×ÙÄÁÀÝÅÅÓÑ ÏÂÝÅÓÔ×Ï! îÏ ÔÒÕÄÎÏ Ï×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÏÎÉ ÒÉÄÕÍÁÌÉ ÜÔÕ ÚÁÄÁÞÕ, ÄÁÖÅ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ. ñ ÞÕ×ÓÔ×Ï×ÁÌ ÓÅÂÑ ËÁË ÞÁÓÔÎÙÊ ÄÅÔÅËÔÉ×, ÒÁÓÕÔÙ×ÁÀÝÉÊ ÈÉÔÒÏÓÌÅÔÅÎÉÅ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉ×ÙÈ Ó×ÅÄÅÎÉÊ. þÅÒÅÚ ÛÅÓÔØ ÍÅÓÑ Å× Ñ ÒÁÚÇÁÄÁÌ ÚÁÇÁÄËÕ! èÏÔÅÌ ÂÙ ÏÂÌÁÇÏÄÁÒÉÔØ ÍÎÏÇÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×, ×ÎÅÓÛÉÈ Ó×ÏÊ ×ËÌÁÄ × ÜÔÏ. ïÓÏÂÏÊ ÂÌÁÇÏÄÁÒÎÏÓÔÉ ÚÁÓÌÕÖÉ×ÁÀÔ ðÁÕÌØ üÒÄ£Û, ÷ÉËÔÏÒ ëÌÉ, íÁÒÔÉÎ ðÕÂÌÉËÁ ÉÑ çÏÄ

á×ÔÏÒ(Ù)

[19℄ [23℄

1960 1961

[5℄

1961

çÁÒÄÎÅÒ èÁÄ×ÉÇÅÒ (ÓÏ ÓÓÙÌËÏÊ ÎÁ ëÌÉ) üÒÄ£Û

[2℄

1967

ëÒÏÆÔ

[57℄ [8℄ [9℄ [10℄

1973 ÷ÕÄÏÌÌ 1980 { üÒÄ£Û 1981 1991 ëÒÏÆÔ, æÁÌØËÏÎÅÒ É çÁÊ 1991 ëÌÉ É ÷ÜÊÇÏÎ

[3℄ [34℄

ÁÂÌ. 1.

õËÁÚÁÎÉÅ ÎÁ Á×ÔÏÒÁ ÉÌÉ ÉÓÔÏÞÎÉË ÚÁÄÁÞÉ €ìÅÏ íÏÚÅÒ . . . ÉÛÅÔ . . .  îÅÌØÓÏÎ

€îÅ ÍÏÇÕ ÒÏÓÌÅÄÉÔØ ÒÏÉÓÈÏÖÄÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞɁ €äÁ×ÎÏ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÁÑ ÏÔËÒÙÔÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ üÒÄ£ÛÁ  çÁÒÄÎÅÒ èÁÄ×ÉÇÅÒ É îÅÌØÓÏÎ

€ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ü. îÅÌØÓÏÎÕ  €úÁÄÁÞÁ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÁ × 1960{61 í. çÁÒÄÎÅÒÏÍ É èÁÄ×ÉÇÅÒÏÍ 

ëÔÏ ÒÉÄÕÍÁÌ ÚÁÄÁÞÕ Ï ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÞÉÓÌÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ?

192

á. óÏÊÆÅÒ

çÁÒÄÎÅÒ, üÄ×ÁÒÄ îÅÌØÓÏÎ É äÖÏÎ éÚÂÅÌÌ. òÁÚÇÁÄËÁ ÓÔÁÌÁ ×ÏÚÍÏÖÎÏÊ ÌÉÛØ ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ ÉÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑÍ, ×ÏÓÏÍÉÎÁÎÉÑÍ É ÓÏÔÒÕÄÎÉÞÅÓÔ×Õ. á×ÔÏÒ ÚÁÄÁÞÉ ÒÏÄÉÌÓÑ 4 ÍÁÑ 1932 Ç. × äÅËÅÊÔÕÒÅ, äÖÏÒÄÖÉÑ. óÙÎ ÓÅËÒÅÔÁÒÑ ÉÔÁÌØÑÎÓËÏÇÏ ÏÔÄÅÌÅÎÉÑ YMCA1) , äÖÏÚÅÆ üÄ×ÁÒÄ îÅÌØÓÏÎ ÕÞÉÌÓÑ × ÌÉ ÅÅ (ÉÔÁÌØÑÎÓËÏÊ ÒÉÇÏÔÏ×ÉÔÅÌØÎÏÊ ÛËÏÌÅ) × òÉÍÅ. ÷ 1949 Ç. üÄ ×ÅÒÎÕÌÓÑ × óûá É ÏÓÔÕÉÌ × þÉËÁÇÓËÉÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ. äÁÌØÎÏ×ÉÄÎÙÊ ÒÅÚÉÄÅÎÔ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ òÏÂÅÒÔ èÁÔÞÉÎÓ ÏÚ×ÏÌÑÌ ÓÔÕÄÅÎÔÁÍ ÓÏËÒÁÝÁÔØ ×ÒÅÍÑ ÒÅÂÙ×ÁÎÉÑ × ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ ÚÁ ÓÞÅÔ ÓÄÁÞÉ ÏÂÛÉÒÎÙÈ ÜËÚÁÍÅÎÏ×. üÄ îÅÌØÓÏÎ ÓÄÁÌ ÉÈ ÎÁÓÔÏÌØËÏ ÈÏÒÏÛÏ, ÞÔÏ ÂÙÌ ÄÏÕÝÅÎ Ë ×ÙÏÌÎÅÎÉÀ ÍÁÇÉÓÔÅÒÓËÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÙ ÂÅÚ ÒÏÈÏÖÄÅÎÉÑ ÂÁËÁÌÁ×ÒÉÁÔÁ. öÕÒÎÁÌ Time ÓÏÏÂÝÉÌ 26 ÄÅËÁÂÒÑ 1949 Ç. Ï ÂÌÅÓÔÑÝÉÈ ÕÓÅÈÁÈ ÀÎÏÇÏ îÅÌØÓÏÎÁ ÎÁ 14 (!) ÜËÚÁÍÅÎÁÈ. óÌÅÄÕÀÝÅÊ ÏÓÅÎØÀ 18-ÌÅÔÎÉÊ üÄ×ÁÒÄ îÅÌØÓÏÎ ÒÉÄÕÍÁÌ ÔÏ, ÞÔÏ ÏÎ ÎÁÚ×ÁÌ €×ÔÏÒÏÊ ÒÏÂÌÅÍÏÊ ÞÅÔÙÒÅÈ ËÒÁÓÏˁ (× Ó×ÏÅÍ ÉÓØÍÅ ËÏ ÍÎÅ ÏÔ 5 ÏËÔÑÂÒÑ 1991 Ç. [37℄): €äÏÒÏÇÏÊ ÒÏÆÅÓÓÏÒ óÏÊÆÅÒ, ÏÓÅÎØÀ 1950 ÇÏÄÁ Ñ ÂÙÌ ÓÔÕÄÅÎÔÏÍ þÉËÁÇÓËÏÇÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ É ÓÒÅÄÉ ÒÏÞÅÇÏ ÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÌÓÑ ÒÏÂÌÅÍÏÊ ÞÅÔÙÒÅÈ ËÒÁÓÏË, Ô. Å. ÒÏÂÌÅÍÏÊ ÒÁÓËÒÁÓËÉ ÇÒÁÆÏ×, ÄÏÕÓËÁÀÝÉÈ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ×ÌÏÖÅÎÉÅ × ÌÏÓËÏÓÔØ. ÁËÉÅ ÇÒÁÆÙ ÍÏÖÎÏ ÉÚÏÂÒÁÚÉÔØ ËÁË ÕÚÌÙ, ÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÅ ÒÏ×ÏÌÏÞËÁÍÉ. ñ ÚÁÄÁÌÓÑ ×ÏÒÏÓÏÍ, ÎÅÌØÚÑ ÌÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÇÁÔÙÊ ÏÄËÌÁÓÓ ÔÁËÉÈ ÇÒÁÆÏ× ËÁË ÏÄÇÒÁÆÙ ÏÄÎÏÇÏ ÂÏÌØÛÏÇÏ ÇÒÁÆÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓËÒÁÓÉÔØ ÒÁÚ É ÎÁ×ÓÅÇÄÁ | ÎÁÒÉÍÅÒ, ÇÒÁÆÁ ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÎÁÈÏÄÑÝÉÈÓÑ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ 1 ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ (ÔÏÇÄÁ €ÒÏ×ÏÌÏÞËɁ ÓÔÁÎÏ×ÑÔÓÑ ÖÅÓÔËÉÍÉ, ÒÑÍÙÍÉ, ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ ÄÌÉÎÙ, ÎÏ ÍÏÇÕÔ ÅÒÅÓÅËÁÔØÓÑ). üÔÁ ÉÄÅÑ ÎÅ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÌÁÓØ, ÏÄÎÁËÏ ÎÏ×ÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÌÁ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÙÊ ÉÎÔÅÒÅÓ, É Ñ ÓÏÏÂÝÉÌ Ï ÎÅÊ ÎÅÓËÏÌØËÉÍ ÌÀÄÑÍ.

ïÄÎÉÍ ÉÚ ÜÔÉÈ ÌÀÄÅÊ ÂÙÌ äÖÏÎ éÚÂÅÌÌ. ïÎ ÄÏ ÓÉÈ ÏÒ ×ÅÓØÍÁ ÖÉ×Ï ×ÓÏÍÉÎÁÅÔ Ï ÜÔÏÍ (ÉÓØÍÏ ËÏ ÍÎÅ ÏÔ 26 Á×ÇÕÓÔÁ 1991 Ç. [30℄): €üÄ îÅÌØÓÏÎ ÒÁÓÓËÁÚÁÌ ÍÎÅ ÚÁÄÁÞÕ É Ï ÅÎËÕ  > 4 × ÎÏÑÂÒÅ 1950 Ç., ÅÓÌÉ ÎÅ × ÏËÔÑÂÒÅ | ÍÙ ×ÓÔÒÅÔÉÌÉÓØ × ÏËÔÑÂÒÅ. ñ ÓÒÏÓÉÌ, ËÁËÕÀ ÏÎ ÚÎÁÅÔ ×ÅÒÈÎÀÀ Ï ÅÎËÕ. ïÎ ÏÔ×ÅÔÉÌ, ÞÔÏ ÎÉËÁËÏÊ, É ÔÏÇÄÁ Ñ ÎÁÛÅÌ Ï ÅÎËÕ 7. ñ ÂÙÌ ÔÏÇÄÁ ÎÁ ÏÓÌÅÄÎÅÍ ËÕÒÓÅ (É × 1951 Ç. ÏÌÕÞÉÌ ÓÔÅÅÎØ ÂÁËÁÌÁ×ÒÁ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÎÁÕË). ðÏ-ÍÏÅÍÕ, üÄ ËÁË ÒÁÚ ÔÏÇÄÁ ÎÏÍÉÎÁÌØÎÏ ÓÔÁÌ ×ÔÏÒÏËÕÒÓÎÉËÏÍ þÉËÁÇÓËÏÇÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ É ÓÄÁÌ ÜËÚÁÍÅÎÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÓÒÁÚÕ ÏÓÔÁ×ÉÌÉ ÅÇÏ ×ÅÒÅÄÉ ÍÅÎÑ: ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÓÒÁ×ÎÉÔØ Ó ÁÓÉÒÁÎÔÏÍ ÅÒ×ÏÇÏ ÇÏÄÁ, ÉÍÅÀÝÉÍ ÏÄÉÎ ÉÌÉ Ä×Á ÒÏÂÅÌÁ × Ó×ÏÅÊ ÏÄÇÏÔÏ×ËÅ. îÅÓÏÍÎÅÎÎÏ, × 1950 { 1957 ÇÇ. Ñ ÏÂÓÕÖÄÁÌ ÚÁÄÁÞÕ Ó ÄÒÕÇÉÍÉ ÌÀÄØÍÉ. ïÄÉÎ ÉÚ ÎÉÈ | èØÀ óÅÎÓÅÒ ü×ÅÒÅÔÔ III, Á×ÔÏÒ

1)

áÓÓÏ ÉÁ ÉÑ ÈÒÉÓÔÉÁÎÓËÏÊ ÍÏÌÏÄÅÖÉ.

èÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ

193

ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÉ Ë×ÁÎÔÏ×ÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÉ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÍÉÒÏ×, Á ÄÒÕÇÏÊ | üÌÍÅÒ äÖÕÌÉÁÎ âÒÏÄÉ, ËÏÔÏÒÙÊ ÉÓÁÌ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÀ ÏÄ ÒÕËÏ×ÏÄÓÔ×ÏÍ æÏËÓÁ; ÏÎ ÄÏÌÇÏ ÎÁÈÏÄÉÌÓÑ × ëÉÔÁÊÓËÏÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ çÏÎËÏÎÇÁ É, ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÚÁÎÑÌÓÑ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ËÉÔÁÊÓËÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÏÊ. ÷ 1958±1 Ç. Ñ ÇÏ×ÏÒÉÌ Ï ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅ Ó ÷ÉËÏÍ ëÌÉ. . . 

÷ÉËÔÏÒ ëÌÉ ÔÁËÖÅ ×ÓÏÍÉÎÁÌ, ÞÔÏ ÓÌÙÛÁÌ Ï ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÏÔ äÖÏÎÁ éÚÂÅÌÌÁ × 1957{1958 Ç. úÁÔÅÍ ÒÏÆÅÓÓÏÒ ëÌÉ ÕÅÈÁÌ × å×ÒÏÕ (1958 Ç.), ÇÄÅ ÏÎ ÓÏÏÂÝÉÌ ÜÔÕ ÚÁÄÁÞÕ çÕÇÏ èÁÄ×ÉÇÅÒÕ, ÓÏÂÉÒÁ×ÛÅÍÕ ÍÁÔÅÒÉÁÌ ÄÌÑ ËÎÉÇÉ €ïÔËÒÙÔÙÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉɁ, ËÏÔÏÒÕÀ ÒÅÄÏÌÁÇÁÌÉ ÎÁÉÓÁÔØ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏ üÒÄ£Û, æÅÊÅÛ ÏÔ, èÁÄ×ÉÇÅÒ É ëÌÉ (ÜÔÏÔ ×ÅÌÉËÉÊ ÒÏÅËÔ ÔÁË É ÎÅ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÌÓÑ). ëÁËÏ×Ù ÒÏÌÉ ðÁÕÌÑ üÒÄ£ÛÁ, íÁÒÔÉÎÁ çÁÒÄÎÅÒÁ É ìÅÏ íÏÚÅÒÁ × ÉÓÔÏÒÉÉ ÎÁÛÅÊ ÚÁÄÁÞÉ? ðÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÀ ÄÒÕÇÉÍ ÏÔ×ÅÔÉÔØ ÎÁ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ×ÏÒÏÓ: ËÏÇÄÁ É ËÁË ÏÚÎÁËÏÍÉÌÓÑ Ó ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ ìÅÏ íÏÚÅÒ. îÅÓÏÍÎÅÎÎÏ, ÏÎ ÎÅ ÒÉÄÕÍÙ×ÁÌ ÅÅ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÔ üÄ×ÁÒÄÁ îÅÌØÓÏÎÁ (ÉÓØÍÏ ðÁÕÌÑ üÒÄ£ÛÁ ËÏ ÍÎÅ ÏÔ 16 ÉÀÌÑ 1991 Ç. [13℄): €îÅ ÏÍÎÀ, ÇÏ×ÏÒÉÌ ÌÉ ÍÎÅ íÏÚÅÒ × 1958 Ç., ËÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÎ ÕÓÌÙÛÁÌ ÒÏ ÚÁÄÁÞÕ Ï ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÞÉÓÌÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ðÏÍÎÀ ÔÏÌØËÏ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÂÙÌÁ ÎÅ ÅÇÏ ÚÁÄÁÞÁ.

ïÄÎÁËÏ ìÅÏ íÏÚÅÒ ÏËÁÚÁÌ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ×ÌÉÑÎÉÅ ÎÁ ÄÁÌØÎÅÊÛÕÀ ÓÕÄØÂÕ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. ïÎ ÄÁÌ ÅÅ ðÁÕÌÀ üÒÄ£ÛÕ É íÁÒÔÉÎÕ çÁÒÄÎÅÒÕ. ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ Ó×ÏÅÍÕ ÂÅÚÕÒÅÞÎÏÍÕ ×ËÕÓÕ ÏÓÏÚÎÁÌ ÅÅ ÅÎÎÏÓÔØ É ×ËÌÀÞÉÌ × Ó×ÏÀ ËÏÌÏÎËÕ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÉÇÒف × ÖÕÒÎÁÌÅ €óÁÊÅÎÔÉÆÉË áÍÅÒÉËÁ΁ ([20℄) Ó ÂÌÁÇÏÄÁÒÎÏÓÔØÀ ìÅÏ íÏÚÅÒÕ ÉÚ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ áÌØÂÅÒÔÙ, ÏÔ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÕÚÎÁÌ ÜÔÕ ÚÁÄÁÞÕ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÅÓÔØ ÅÅ ÅÒ×ÏÊ ÕÂÌÉËÁ ÉÉ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ íÁÒÔÉÎÕ çÁÒÄÎÅÒÕ. îÅ ÂÅÒÕÓØ ÓÕÄÉÔØ, ÏÞÅÍÕ ÓÔÏÌØ ÍÎÏÇÉÅ Á×ÔÏÒÙ ÓÔÁÔÅÊ É ËÎÉÇ Ó 1973 Ï 1991 ÇÏÄ ÒÉÉÓÙ×ÁÀÔ çÁÒÄÎÅÒÕ ÞÅÓÔØ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ, ÞÅÇÏ ÏÎ ÓÁÍ ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÌ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ Á×ÔÏÒÙ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÷ÉËÔÏÒ ëÌÉ É óÔÜÎÌÉ ÷ÜÊÇÏÎ), ÚÎÁ×ÛÉÅ Ï ÒÏÌÉ îÅÌØÓÏÎÁ, ×Ó£ ÖÅ ÕËÁÚÙ×ÁÌÉ çÁÒÄÎÅÒÁ É èÁÄ×ÉÇÅÒÁ ËÁË Á×ÔÏÒÏ×, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÎÉ ÒÉÚÎÁÀÔ ÔÏÌØËÏ ÉÓØÍÅÎÎÏÅ ÓÌÏ×Ï, ÒÅÉÍÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÎÏÅ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÏÔÄÅÌØÎÏÅ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ | ÓÌÉÛËÏÍ ÓÌÁÂÁÑ ÏÓÎÏ×Á ÄÌÑ ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÑ ÉÓÔÏÒÉÞÅÓËÏÊ ÉÓÔÉÎÙ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÔÁËÕÀ ÏÓÎÏ×Õ | × ÎÅ ÍÅÎØÛÅÊ ÓÔÅÅÎÉ, ÞÅÍ ÕÂÌÉËÁ ÉÑ | ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÅ ÏÂßÅËÔÉ×ÎÙÅ Ó×ÉÄÅÔÅÌØÓÔ×Á, ÏÄÔ×ÅÒÖÄÁÀÝÉÅ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÁ. éÍÅÎÎÏ ÜÔÏ É ÓÔÁÌÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ÍÏÉÈ ÉÚÙÓËÁÎÉÊ. ÷ÏÔ ÌÉÛØ ÏÄÉÎ ÒÉÍÅÒ ÏÂßÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ îÅÌØÓÏÎÁ É éÚÂÅÌÌÁ. 23 Á×ÇÕÓÔÁ 1991 Ç. üÄ×ÁÒÄ îÅÌØÓÏÎ ÉÓÁÌ ÍÎÅ [36℄: €þÔÏ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ, ÔÏ Ñ ÎÅ ÄÏËÁÚÁÌ ÎÉÞÅÇÏ. . . 

äÖÏÎ éÚÂÅÌÌ ÏÒÁ×ÉÌ îÅÌØÓÏÎÁ × ÉÓØÍÅ ËÏ ÍÎÅ ÏÔ 3 ÓÅÎÔÑÂÒÑ 1991 Ç. [31℄:

194

á. óÏÊÆÅÒ

€ðÒÏ ÉÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ×ÁÍÉ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ üÄÁ îÅÌØÓÏÎÁ: "þÔÏ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ, ÔÏ Ñ ÎÅ ÄÏËÁÚÁÌ ÎÉÞÅÇÏ. . .\ ×ÙÚ×ÁÎÏ ÌÉÛØ ÚÁÂÙ×ÞÉ×ÏÓÔØÀ. ïÎ ÄÏËÁÚÁÌ ÍÎÅ, ÞÔÏ ÏÂÓÕÖÄÁÅÍÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÞÅÔÙÒÅÈ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ËÁË × ÒÁÂÏÔÅ èÁÄ×ÉÇÅÒÁ 1961 ÇÏÄÁ. ëÏÇÄÁ èÁÄ×ÉÇÅÒ ÒÉÉÓÙ×ÁÅÔ ÜÔÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÎÅ (ÓÏ ÓÓÙÌËÏÊ ÎÁ ëÌÉ), ÔÏ ÜÔÏ ÏÛÉÂËÁ | ÌÉÂÏ èÁÄ×ÉÇÅÒÁ, ÌÉÂÏ ëÌÉ.

÷Ó£ ÜÔÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ ÎÁÓ Ë ×ÏÒÏÓÕ Ï Á×ÔÏÒÓÔ×Å ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× 4 6  6 7: é ÓÎÏ×Á ×ÓÅ ÉÓÔÏÞÎÉËÉ ÄÒÕÖÎÏ ÒÉÉÓÙ×ÁÀÔ ÞÅÓÔØ ÅÒ×ÙÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× èÁÄ×ÉÇÅÒÕ É íÏÚÅÒÁÍ. äÁ, × 1961 Ç. ÉÚ×ÅÓÔÎÙÊ Û×ÅÊ ÁÒÓËÉÊ ÇÅÏÍÅÔÒ çÕÇÏ èÁÄ×ÉÇÅÒ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÌ ([23℄) ÚÁÄÁÞÕ Ï ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÞÉÓÌÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÁÍÉ ÏÂÏÉÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×. îÏ ÏÎ ÉÛÅÔ (É ÎÉËÔÏ ÎÅ ÞÉÔÁÅÔ!): €íÙ ÂÌÁÇÏÄÁÒÎÙ ÍÉÓÔÅÒÕ ÷. ì. ëÌÉ (óÉÜÔÔÌ, óûá) ÚÁ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ. úÁÄÁÞÁ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÁ ü. îÅÌØÓÏÎÏÍ; ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ äÖ. éÚÂÅÌÌÕ.

é èÁÄ×ÉÇÅÒ ÒÏÄÏÌÖÁÅÔ: €îÅÓËÏÌØËÏ ÌÅÔ ÎÁÚÁÄ Á×ÔÏÒ (Ô. Å. èÁÄ×ÉÇÅÒ) ÏÂÓÕÖÄÁÌ Ó ð. üÒÄ£ÛÅÍ ×ÏÒÏÓÙ ÔÁËÏÇÏ ÒÏÄÁ. ïÚÎÁÞÁÅÔ ÌÉ ÜÔÏ, ÞÔÏ ÏÎ ÄÕÍÁÌ ÎÁÄ ÚÁÄÁÞÅÊ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÔ îÅÌØÓÏÎÁ? íÙ ÎÉËÏÇÄÁ ÜÔÏÇÏ ÎÅ ×ÙÑÓÎÉÍ ÔÏÞÎÏ, ÎÏ Õ ÍÅÎÑ ÅÓÔØ ÓÏÍÎÅÎÉÑ. ÷ 1955 Ç. èÁÄ×ÉÇÅÒ ×ÍÅÓÔÅ Ó äÅÂÒÕÎÎÅÒÏÍ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÌ ×ÅÌÉËÏÌÅÎÕÀ ÂÏÌØÛÕÀ ÒÏÂÌÅÍÎÕÀ ÓÔÁÔØÀ [24℄, ËÏÔÏÒÁÑ × 1959 Ç. ×ÙÒÏÓÌÁ × ÉÈ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÕÀ ËÎÉÇÕ [25℄; × 1964 Ç. ×ÙÛÅÌ ÁÎÇÌÉÊÓËÉÊ ÅÒÅ×ÏÄ ÷ÉËÔÏÒÁ ëÌÉ [27℄, Á × 1965 | ÒÕÓÓËÉÊ ÅÒÅ×ÏÄ [26℄ ÏÄ ÒÅÄÁË ÉÅÊ éÓÁÁËÁ ñÇÌÏÍÁ. ÷ÓÅ ÜÔÉ ËÎÉÇÉ (É ÄÒÕÇÉÅ ÒÁÂÏÔÙ èÁÄ×ÉÇÅÒÁ) ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï €×ÏÒÏÓÏ× ÔÁËÏÇÏ ÒÏÄÁ, ÎÏ ÔÏÌØËÏ ÎÅ ÚÁÄÁÞÕ Ï ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÞÉÓÌÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÍÎÅ ËÁÖÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÚÁÄÁÞÁ ÎÅ ÏÄÈÏÄÉÔ èÁÄ×ÉÇÅÒÕ €Ï ÈÁÒÁËÔÅÒՁ: ×Ï ×ÓÅÈ ÏÄÏÂÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÏÎ ÒÅÄÏÞÉÔÁÌ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÚÁÍËÎÕÔÙÅ, Á ÎÅ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ó×ÏÉÍÉ ÓÏÍÎÅÎÉÑÍÉ ÎÁÓÞÅÔ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÇÏ Á×ÔÏÒÓÔ×Á èÁÄ×ÉÇÅÒÁ Ñ ÏÄÅÌÉÌÓÑ Ó ðÁÕÌÅÍ üÒÄ£ÛÅÍ. üÔÏ ÂÙÌÏ ÏÓÏÂÅÎÎÏ ×ÁÖÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ èÁÄ×ÉÇÅÒ ÓÓÙÌÁÅÔÓÑ ÎÁ Ó×ÉÄÅÔÅÌØÓÔ×Ï üÒÄ£ÛÁ (ÓÍ. ÒÅÄÙÄÕÝÉÊ ÁÂÚÁ ). ðÁÕÌØ ÏÔ×ÅÔÉÌ ÔÁË (ÉÓØÍÏ ËÏ ÍÎÅ ÏÔ 16 ÉÀÌÑ 1991 Ç. [13℄): €ñ ×ÓÔÒÅÞÁÌÓÑ Ó èÁÄ×ÉÇÅÒÏÍ ÌÉÛØ ÏÓÌÅ 1950 Ç. É ÏÔÏÍÕ ÏÌÁÇÁÀ, ÞÔÏ ÒÉÏÒÉÔÅÔ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ îÅÌØÓÏÎÕ (èÁÄ×ÉÇÅÒ ÕÍÅÒ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÌÅÔ ÎÁÚÁÄ, ÔÁË ÞÔÏ Ñ ÎÅ ÍÏÇÕ ÅÇÏ ÓÒÏÓÉÔØ, ÎÏ Ñ ÄÕÍÁÀ, ÞÔÏ ÓÉÔÕÁ ÉÑ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ.)

÷ Ó×ÏÅÍ ×ÙÓÔÕÌÅÎÉÉ ÎÁ 25-Ê àÇÏ-×ÏÓÔÏÞÎÏÊ ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÊ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ Ï ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÅ, ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ É ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÁÆÏ× × âÏËÁ òÁÔÏÎ, æÌÏÒÉÄÁ (10 ÍÁÒÔÁ 1994 Ç.) ðÁÕÌØ ÏÄ×ÅÌ ÉÔÏÇ ÍÏÉÍ ÉÚÙÓËÁÎÉÑÍ × Ó×ÏÅÍ ÎÅÏ×ÔÏÒÉÍÏÍ ÓÔÉÌÅ:

èÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ

€åÓÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉË Ï ÆÁÍÉÌÉÉ îÅÌØÓÏÎ, ËÏÔÏÒÙÊ × 1950 ÇÏÄÕ, ÂÕÄÕÞÉ × ×ÏÚÒÁÓÔÅ ÜÓÉÌÏÎ, ÔÏ ÅÓÔØ 18 ÌÅÔ, ÏÓÔÁ×ÉÌ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ×ÏÒÏÓ. äÏÕÓÔÉÍ, ×Ù ÓÏÅÄÉÎÉÌÉ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÎÁÈÏÄÑÝÉÅÓÑ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ 1 ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ. ðÏÌÕÞÉÌÓÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÊ ÇÒÁÆ. ëÁËÏ×Ï ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÜÔÏÇÏ ÇÒÁÆÁ? [. . . ℄ üÔÕ ÚÁÄÁÞÕ ÔÏÖÅ ÞÁÓÔÏ ÒÉÉÓÙ×ÁÀÔ ÍÎÅ. âÅÓÓÏÒÎÏ, Ñ ÎÅ ÉÍÅÀ Ë ÎÅÊ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. ÷ÅÒ×ÙÅ Ñ ÕÚÎÁÌ ÒÏ ÚÁÄÁÞÕ Ï ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÞÉÓÌÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÚÉÍÏÊ 1958 Ç., ËÏÇÄÁ ÏÓÅÔÉÌ [ìÅÏ℄ íÏÚÅÒÁ. ïÎ ÎÅ ÓËÁÚÁÌ ÍÎÅ, ÏÔËÕÄÁ ÏÑ×ÉÌÉÓØ ÜÔÁ É ÄÒÕÇÉÅ ÚÁÄÁÞÉ. åÅ ÒÉÉÓÙ×ÁÌÉ É èÁÄ×ÉÇÅÒÕ, ÎÏ ÔÝÁÔÅÌØÎÏÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ óÏÊÆÅÒÁ ÏËÁÚÁÌÏ, ÞÔÏ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÏÎÁ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ îÅÌØÓÏÎÕ.

195

ÅÅÒØ ÍÙ ÍÏÖÅÍ, ÎÁËÏÎÅ , ×ÏÚÄÁÔØ ÄÏÌÖÎÏÅ üÄ×ÁÒÄÕ îÅÌØÓÏÎÕ, ËÏÔÏÒÙÊ ÅÒ×ÙÍ ÄÏËÁÚÁÌ × 1950 Ç. ÎÉÖÎÀÀ Ï ÅÎËÕ 4 6 . ëÁË ×ÓÏÍÉÎÁÅÔ äÖÏÎ éÚÂÅÌÌ × ÉÓØÍÅ ËÏ ÍÎÅ [30℄, îÅÌØÓÏÎ, ÉÍÅÑ × ×ÉÄÕ ÜÔÕ Ï ÅÎËÕ, €ÌÀÂÉÌ ÎÁÚÙ×ÁÔØ [Ó×ÏÀ ÚÁÄÁÞÕ℄ ×ÔÏÒÏÊ ÒÏÂÌÅÍÏÊ ÞÅÔÙÒÅÈ ËÒÁÓÏË! ä×Á ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ËÁÎÁÄÓËÉÈ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÁ Ï ÚÁÄÁÞÁÍ (problem people), ÂÒÁÔØÑ ìÅÏ É õÉÌØÑÍ íÏÚÅÒÙ, ÔÁËÖÅ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÌÉ × 1961 Ç. [35℄ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÎÉÖÎÅÊ Ï ÅÎËÉ 4 6  × Ó×ÑÚÉ Ó ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÄÒÕÇÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. îÁ ÍÏÊ ×ÚÇÌÑÄ, ÏÂÁ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÎÅ ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ, ÏÄÎÁËÏ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ íÏÚÅÒÁÍÉ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÎÙÎÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÇÏ ×ÅÒÅÔÅÎÏÍ íÏÚÅÒÁ, ÏËÁÚÁÌÏÓØ ÏÞÅÎØ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÍ. äÖÏÎ éÚÂÅÌÌ ÅÒ×ÙÍ ÄÏËÁÚÁÌ × 1950 Ç. ×ÅÒÈÎÀÀ Ï ÅÎËÕ  6 7. ïÎ ÒÉÍÅÎÉÌ ÔÕ ÖÅ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÕÀ ÒÁÓËÒÁÓËÕ ÌÏÓËÏÓÔÉ × 7 ×ÅÔÏ×, ËÏÔÏÒÕÀ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÌ èÁÄ×ÉÇÅÒ × 1961 Ç. [23℄. õÍÅÓÔÎÏ ÏÔÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ èÁÄ×ÉÇÅÒ ×ÅÒ×ÙÅ ÒÉÍÅÎÉÌ ÔÁËÕÀ ÒÁÓËÒÁÓËÕ × 1945 Ç. [22℄, ÎÏ × ÄÒÕÇÏÊ ÚÁÄÁÞÅ: ÏÎ ÈÏÔÅÌ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÚÁÍËÎÕÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÅ ÒÅÁÌÉÚÕÅÔ ×ÓÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ (ÓÍ. ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÎÉÖÅ × ÒÁÚÄ. 3), Á ÓÅÍØÀ ÅÇÏ ÓÄ×ÉÇÁÍÉ2) ÍÏÖÎÏ ÏËÒÙÔØ ×ÓÀ ÌÏÓËÏÓÔØ (ÏÎ ÔÁËÖÅ ÄÏËÁÚÁÌ, ÞÔÏ ÑÔØÀ ÓÄ×ÉÇÁÍÉ ÚÁÍËÎÕÔÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÎÅ ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÅÇÏ ×ÓÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ, ÎÅÌØÚÑ ÏËÒÙÔØ ÌÏÓËÏÓÔØ). óÅÊÞÁÓ ÒÏÆÅÓÓÏÒ äÖÏÎ éÚÂÅÌÌ ÒÁÂÏÔÁÅÔ × ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ ÛÔÁÔÁ îØÀ-êÏÒË × âÕÆÆÁÌÏ. ðÁÕÌØ üÒÄ£Û ×ÎÅÓ Ä×ÏÑËÉÊ ×ËÌÁÄ × ÉÓÔÏÒÉÀ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÞÉÓÌÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, üÒÄ£Û €ÒÁÚÖÅÇ ÌÁÍс ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ, ËÁË ÜÔÏ ÓÄÅÌÁÌ ïÇÁÓÔÅÓ ÄÅ íÏÒÇÁÎ × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ÒÏÂÌÅÍÙ ÞÅÔÙÒÅÈ ËÒÁÓÏË. üÒÄ£Û ÓÄÅÌÁÌ ÚÁÄÁÞÕ Ï ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÞÉÓÌÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ, ÕÏÍÉÎÁÑ ÅÅ × Ó×ÏÉÈ ÂÅÓÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÄÏËÌÁÄÁÈ É ×Ï ÍÎÏÇÉÈ ÕÂÌÉËÁ ÉÑÈ, ÎÁÒÉÍÅÒ [5℄, [6℄, [7℄, [8℄, [10℄, [9℄ É [15℄. ÷Ï-×ÔÏÒÙÈ, üÒÄ£Û ÒÉÄÕÍÁÌ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÕÌÑÒÎÙÈ ÒÏÄÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÚÁÄÁÞ. ïÄÎÕ ÉÚ ÎÉÈ ÍÙ ÏÂÓÕÄÉÍ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÒÁÚÄÅÌÅ. 2)

îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÓÄ×ÉÇ | ÜÔÏ ÏÂÒÁÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÉ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÍ ÅÒÅÎÏÓÅ.

196

á. óÏÊÆÅÒ

âÙÌ ÏÌÕÞÅÎ ÒÑÄ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÒÉ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÈ ÎÁ ÍÏÎÏÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, Ô. Å. ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÔÏÞÅË ÏÄÎÏÇÏ ×ÅÔÁ (ÓÍ. ÏÂÚÏÒÙ × [34℄, [3℄ É [44℄). îÁÒÉÍÅÒ, ë. æÁÌØËÏÎÅÒ ÏËÁÚÁÌ [18℄, ÞÔÏ þÉÓÌÏ  ÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÑÔÉ, ÅÓÌÉ ÍÏÎÏÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÉÚÍÅÒÉÍÙ Ï ìÅÂÅÇÕ.

äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÞÉÓÌÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÒÉÍÅÎÑÌÉÓØ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÓÒÅÄÓÔ×Á: ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ, ÔÅÏÒÉÑ ÇÒÁÆÏ×, ÔÏÏÌÏÇÉÑ, ÁÂÓÔÒÁËÔÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ, ÔÅÏÒÉÑ ÍÅÒÙ É Ô. Ä. îÏ ÚÁÄÁÞÁ × ÏÂÝÅÊ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ, Ë ÕÄÉ×ÌÅÎÉÀ, ×ÙÄÅÒÖÁÌÁ ×ÓÅ ÁÔÁËÉ, É ÏÂÌÁÓÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÄÌÑ  ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÕÄÒÕÞÁÀÝÅ ÛÉÒÏËÏÊ | ÏÔ 4 ÄÏ 7. ðÏÞÅÍÕ ÎÁ ÒÏÔÑÖÅÎÉÉ 53 ÌÅÔ ÚÁÄÁÞÁ ÎÅ ÏÄÄÁÅÔÓÑ ÎÉËÁËÉÍ ÕÓÉÌÉÑÍ? ÷ ÒÁÚÄÅÌÅ 6 ×ÙÓËÁÚÁÎÏ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÜÔÏÔ ÓÞÅÔ; ÏÎ ×ÏÚÎÉËÌÏ × ÉÔÏÇÅ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÊ ÒÁÂÏÔÙ Á×ÔÏÒÁ Ó óÁÈÁÒÏÎÏÍ ûÅÌÁÈÏÍ. ðÒÏÆÅÓÓÏÒ üÄ×ÁÒÄ îÅÌØÓÏÎ Ó 1959 Ç. ÏÓÔÏÑÎÎÏ ÒÁÂÏÔÁÅÔ × ðÒÉÎÓÔÏÎÓËÏÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ; ÇÌÁ×ÎÙÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÅÇÏ ÉÎÔÅÒÅÓÏ× | ÁÎÁÌÉÚ É ÌÏÇÉËÁ. îÅÓËÏÌØËÏ ÌÅÔ ÎÁÚÁÄ ÏÎ ÉÚÂÒÁÎ × îÁ ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÁËÁÄÅÍÉÀ ÎÁÕË. ðÒÏÆÅÓÓÏÒÕ îÅÌØÓÏÎÕ ÓÅÊÞÁÓ 71 ÇÏÄ; ÒÏ×ÅÄÑ ÇÏÄ (2003 Ç.) × ðÒÉÎÓÔÏÎÅ, Ñ ÓÔÁÌ ÅÇÏ ÂÌÉÚËÉÍ ÄÒÕÇÏÍ. ÷ ÏËÔÑÂÒÅ 2003 Ç. ÍÅÎÑ ÒÉÇÌÁÓÉÌÉ ×ÙÓÔÕÉÔØ × ðÒÉÎÓÔÏÎÅ ÎÁ ÔÅÍÕ ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ñ ÏÓ×ÑÔÉÌ Ó×ÏÊ ÄÏËÌÁÄ €üÄ×ÁÒÄÕ îÅÌØÓÏÎÕ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÉÄÕÍÁÌ ÜÔÕ ÚÎÁÍÅÎÉÔÕÀ ÚÁÄÁÞÕ Ë ÎÁÛÅÊ ÏÂÝÅÊ ÒÁÄÏÓÔɁ. üÔÏ ÂÙÌ ÉÔÏÇ ÍÏÉÈ 12-ÌÅÔÎÉÈ ÚÁÎÑÔÉÊ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ. ÷ÙÓÔÕÌÅÎÉÅ ÂÙÌÏ ÄÌÑ ÍÅÎÑ ÏÓÏÂÅÎÎÏ ×ÁÖÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÎÁ ÎÅÍ ÒÉÓÕÔÓÔ×Ï×ÁÌ üÄ×ÁÒÄ îÅÌØÓÏÎ. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÎÅÔÏÞÎÙÅ ÓÓÙÌËÉ ÎÁ Á×ÔÏÒÓÔ×Ï ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÒÏÄÏÌÖÁÀÔ ×ÓÔÒÅÞÁÔØÓÑ × ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ. ðÒÉÍÅÒÏÍ ÓÌÕÖÉÔ ÏÂÚÏÒ á. í. òÁÊÇÏÒÏÄÓËÏÇÏ €ðÒÏÂÌÅÍÁ âÏÒÓÕËÁ É ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÞÉÓÌÁ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔׁ (õíî, ÔÏÍ 56, ×Ù. 1, 2001, Ó. 107{146). èÏÔÑ Á×ÔÏÒ É ÕÏÍÉÎÁÅÔ ÍÏÀ ÒÁÂÏÔÕ [43℄, ÎÏ ÔÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÒÉÉÓÙ×ÁÅÔ ÏÓÔÁÎÏ×ËÕ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÞÉÓÌÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ €îÅÌØÓÏÎÕ É éÚÂÅÌÌÕ É (ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ) üÒÄ£ÛÕ É èÁÄ×ÉÇÅÒՁ. 3. ðÏÌÉÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ É ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ, ÂÌÉÚËÉÅ Ë ×ÅÒÈÎÅÊ ÇÒÁÎÉ Å

ëÏÇÄÁ ×ÁÖÎÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÓÏÒÏÔÉ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÓÅÍ ÁÔÁËÁÍ, ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÒÉÄÕÍÙ×ÁÀÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÏÄÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÒÏÂÌÅÍ. üÔÏ ÄÁÅÔ ÉÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÒÅÛÉÔØ ÞÔÏ-ÎÉÂÕÄØ. . . éÎÏÇÄÁ ÜÔÏÔ ÒÏ ÅÓÓ ÒÉÎÏÓÉÔ ÒÅÁÌØÎÕÀ ÏÌØÚÕ: ÒÁÚÍÙÛÌÅÎÉÑ ÎÁÄ ÒÏÄÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ ÏÔËÒÙ×ÁÀÔ ÎÏ×ÙÅ ÓÏÓÏÂÙ ÏÄÏÌÅÔØ ÉÓÈÏÄÎÕÀ. ÷ Ó×ÑÚÉ Ó ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÞÉÓÌÏÍ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÂÙÌÏ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÏ ÍÎÏÇÏ ÚÁÄÁÞ. ÅÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÂÏÌØÛÅ ×ÓÅÇÏ ÍÎÅ ÎÒÁ×ÑÔÓÑ, Ñ ÈÏÔÅÌ ÂÙ ÏÄÅÌÉÔØÓÑ Ó ×ÁÍÉ.

èÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ

197

÷×ÅÄÅÍ ÕÄÏÂÎÙÊ ÔÅÒÍÉÎ: ÒÁÓËÒÁÛÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï S ÒÅÁÌÉÚÕÅÔ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ d, ÅÓÌÉ S ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÕÀ ÁÒÕ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ d.

ðÅÒ×ÏÅ ÕÏÍÉÎÁÎÉÅ Ï ÚÁÄÁÞÅ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÎÉÖÅ, ÓÄÅÌÁÎÏ × 1959 Ç. × ÚÎÁÍÅÎÉÔÏÊ ËÎÉÇÅ çÕÇÏ èÁÄ×ÉÇÅÒÁ [25℄ É, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, × ÅÅ ÅÒÅ×ÏÄÁÈ [26℄ É [27℄. èÁÄ×ÉÇÅÒ ÓÏÏÂÝÁÅÔ × ÜÔÏÊ ËÎÉÇÅ, ÓÓÙÌÁÑÓØ ÎÁ ×ÅÎÇÅÒÓËÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ á. èÅÅÛÁ, ÞÔÏ ðÁÕÌØ üÒÄ£Û ÏÓÔÁ×ÉÌ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ×ÏÒÏÓ: ÅÓÌÉ ÌÏÓËÏÓÔØ ÒÁÚÂÉÔÁ ÎÁ ÔÒÉ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÔÏ ×ÓÅÇÄÁ ÌÉ ×ÅÒÎÏ, ÞÔÏ ÏÄÎÏ ÉÚ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÒÅÁÌÉÚÕÅÔ ×ÓÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ. ÷ÓËÏÒÅ ÚÁÄÁÞÁ ÒÉÏÂÒÅÌÁ Ó×ÏÊ ÎÙÎÅÛÎÉÊ €ÏÂÌÉˁ. ÷ÏÔ ÏÎ: ëÁËÏÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ×ÅÔÏ× ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÄÌÑ ÒÁÓËÒÁÓËÉ ÌÏÓËÏÓÔÉ , ÒÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÉËÁËÏÊ ×ÅÔ ÎÅ ÒÅÁÌÉÚÕÅÔ ×ÓÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ? üÔÏÍÕ ÞÉÓÌÕ ÓÌÅÄÏ×ÁÌÏ ÄÁÔØ ÉÍÑ, É × 1992 Ç. [44℄ Ñ ÎÁÚ×ÁÌ ÅÇÏ ÏÌÉÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÞÉÓÌÏÍ ÌÏÓËÏÓÔÉ É ÏÂÏÚÎÁÞÉÌ p. îÁÚ×ÁÎÉÅ É ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ

ÏËÁÚÁÌÉÓØ ÓÔÏÌØ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ, ÞÔÏ ÓÅÊÞÁÓ ÏÎÉ ÕÖÅ ÓÔÁÌÉ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍÉ É ÒÉÍÅÎÅÎÙ × ÓÔÏÌØ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÙÈ ËÎÉÇÁÈ, ËÁË [33℄ É [21℄. ÁË ËÁË Ñ ÓÞÉÔÁÌ ÜÔÕ ÏÔËÒÙÔÕÀ ÒÏÂÌÅÍÕ ÏÞÅÎØ ×ÁÖÎÏÊ, ÔÏ ÏÒÏÓÉÌ ðÁÕÌÑ üÒÄ£ÛÁ ÏÄÔ×ÅÒÄÉÔØ ÅÇÏ Á×ÔÏÒÓÔ×Ï, ×ÓËÏÌØÚØ ÕÏÍÑÎÕÔÏÅ èÁÄ×ÉÇÅÒÏÍ. ëÁË ×ÓÅÇÄÁ, ðÁÕÌØ × Ó×ÏÅÍ ÉÓØÍÅ ËÏ ÍÎÅ ÏÔ 16 ÉÀÌÑ 1991 Ç. [13℄ ÂÙÌ ÉÓËÒÅÎÅÎ É ÓËÒÏÍÅÎ: ñ ÄÁÖÅ ÎÅ ×ÏÌÎÅ Õ×ÅÒÅÎ, ÞÔÏ Ñ | Á×ÔÏÒ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ: ÎÁÊÔÉ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ×ÅÔÏ× ÄÌÑ ÒÁÓËÒÁÓËÉ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÉËÁËÏÊ ×ÅÔ ÎÅ ÒÅÁÌÉÚÕÅÔ ×ÓÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ. îÏ ÅÓÌÉ ÜÔÏÍÕ ÎÉÞÔÏ Ñ×ÎÏ ÎÅ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÏËÁ ÜÔÏ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ.

÷ ÚÁÄÁÞÅ Ï ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÞÉÓÌÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÍÙ ÉÓËÁÌÉ ÒÁÓËÒÁÓËÉ, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÉËÁËÏÊ ×ÅÔ ÎÅ ÒÅÁÌÉÚÕÅÔ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ 1. ÷ ÚÁÄÁÞÅ Ï ÏÌÉÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÞÉÓÌÅ ÍÙ ÒÁÓËÒÁÛÉ×ÁÅÍ ÌÏÓËÏÓÔØ ÔÁË, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ×ÅÔ i ÎÅ ÒÅÁÌÉÚÕÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ di . äÌÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÅÔÏ× i É j ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÎÅÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÎÎÙÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ di É dj ÍÏÇÕÔ (ÎÏ ÎÅ ÏÂÑÚÁÎÙ) ÒÁÚÌÉÞÁÔØÓÑ. òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, p 6 : óÏÇÌÁÓÎÏ ÒÅÛÅÎÉÀ ÚÁÄÁÞÉ 3 p 6 7: úÁ ÅÒ×ÙÅ 12 ÌÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÎÉÞÅÇÏ ÂÏÌØÛÅ ÎÅ ÂÙÌÏ ÎÁÊÄÅÎÏ. úÁÔÅÍ × 1970 Ç. ÍÏÓËÏ×ÓËÉÊ ÛËÏÌØÎÉË (ÛËÏÌÁ ÒÁÂÏÞÅÊ ÍÏÌÏÄÅÖÉ ‚105) äÍÉÔÒÉÊ òÁÊÓËÉÊ, ÕÞÁÓÔÎÉË ËÒÕÖËÁ î. î. ëÏÎÓÔÁÎÔÉÎÏ×Á, ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÌ ([39℄) ÎÉÖÎÀÀ É ×ÅÒÈÎÀÀ Ï ÅÎËÕ ÄÌÑ p : úÁÄÁÞÁ 4 ([39℄). 4 6 p 6 6: ðÒÉÍÅÒ Ó p = 6 ÂÙÌ ÎÁÊÄÅÎ ó. â. óÔÅÞËÉÎÙÍ É Ó ÅÇÏ ÒÁÚÒÅÛÅÎÉÑ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎ ä. å. òÁÊÓËÉÍ × [39℄. üÔÏÔ ÒÉÍÅÒ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ ÎÉÖÅ, ÓÍ. Ó. 201.

198

á. óÏÊÆÅÒ

íÅÖÄÕ ÒÏÞÉÍ, ÎÁ úÁÁÄÅ Á×ÔÏÒÓÔ×Ï óÔÅÞËÉÎÁ ÏÓÔÁÌÏÓØ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ. íÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÓÔÁÔØÉ É ËÎÉÇÉ, ËÏÔÏÒÙÅ Ñ ×ÉÄÅÌ, ÒÉÉÓÙ×ÁÀÔ ÒÉÏÒÉÔÅÔ òÁÊÓËÏÍÕ. ðÏÞÅÍÕ ÔÁË ÓÌÕÞÉÌÏÓØ? ëÁË ÌÀÂÏÊ ÎÁ ÍÏÅÍ ÍÅÓÔÅ, Ñ ÏÂÒÁÔÉÌÓÑ Ë ÁÎÇÌÉÊÓËÏÍÕ ÅÒÅ×ÏÄÕ ÓÔÁÔØÉ òÁÊÓËÏÇÏ. ÁÍ ÓËÁÚÁÎÏ: S. B. Ste hkin noted that the plane an be de omposed into six sets su h that all distan es are not realized in any one of them. A orresponding example is presented here with the author's solution.3)

þÔÏ ÚÁ Á×ÔÏÒ ÉÍÅÅÔÓÑ × ×ÉÄÕ? á×ÔÏÒ ÓÔÁÔØÉ (ËÁË ÒÅÛÉÌ ÂÙ ÌÀÂÏÊ)? ñ ÚÁËÁÚÁÌ ËÏÉÀ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÒÕÓÓËÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ É Ó ÕÄÉ×ÌÅÎÉÅÍ ÒÏÞÅÌ: €óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÒÉÍÅÒ ÒÉ×ÅÄÅÎ ÚÄÅÓØ Ó ÒÁÚÒÅÛÅÎÉÑ Á×ÔÏÒÁ.

ðÅÒÅ×ÏÄÞÉË ÅÒÅÕÔÁÌ ÂÌÉÚËÉÅ Ï ÎÁÉÓÁÎÉÀ ÒÕÓÓËÉÅ ÓÌÏ×Á €ÒÁÚÒÅÛÅÎÉŁ É €ÒÅÛÅÎÉŁ É ÎÅÞÁÑÎÎÏ ÓÏÚÄÁÌ ÍÉÆ. ÷ 1973 Ç., ÞÅÒÅÚ ÔÒÉ ÇÏÄÁ ÏÓÌÅ ÕÂÌÉËÁ ÉÉ òÁÊÓËÏÇÏ, ÂÒÉÔÁÎÓËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË äÕÇÌÁÓ ò. ÷ÕÄÏÌÌ ÉÚ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ îÏÔÔÉÎÇÅÍÁ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÌ ÏÄÎÕ ÉÚ ÌÕÞÛÉÈ ÄÏÎÙÎÅ ÓÔÁÔÅÊ [57℄ Ï ×ÏÒÏÓÁÍ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÍ Ó ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÞÉÓÌÏÍ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ëÒÏÍÅ ÒÏÞÅÇÏ, ÏÎ ÄÁÌ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× ÉÚ ÚÁÄÁÞÉ 4. ÷ÏÓÅÍØ ÌÅÔ ÓÕÓÔÑ ó. ð. ÁÕÎÓÅÎÄ ÏÂÎÁÒÕÖÉÌ ÔÏÎËÕÀ ÏÛÉÂËÕ × ÒÁÂÏÔÅ [57℄ É ÎÁÛÅÌ Ó×ÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ ÷ÕÄÏÌÌÁ. ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ Ï ÜÔÏÍ ÏÑ×ÉÌÏÓØ × ÅÞÁÔÉ. ðÏÌÎÙÊ ÔÅËÓÔ Ó×ÏÅÊ ÒÁÂÏÔÙ, Ï ÍÏÅÍÕ ÓÏ×ÅÔÕ, óÔÉ×ÅÎ ÏÍÅÓÔÉÌ × ÉÎÔÅÒÎÅÔÅ (ÓÍ. [56℄). äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÷ÕÄÏÌÌÁ Ñ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÌ ÄÌÑ ×ÁÓ ÚÄÅÓØ ÞÅÒÅÚ ÔÒÏÅËÒÁÔÎÏÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÉÄÅÊ çÕÇÏ èÁÄ×ÉÇÅÒÁ ([27℄, ÚÁÄÁÞÉ 54 É 59), ËÏÔÏÒÏÅ Ñ ÎÁÚÏ×Õ ÌÅÍÍÏÊ èÁÄ×ÉÇÅÒÁ. ìÅÍÍÁ èÁÄ×ÉÇÅÒÁ 5. ðÕÓÔØ ËÒÕÇ C ÄÉÁÍÅÔÒÁ d ÒÁÓËÒÁÛÅÎ × ÂÅÌÙÊ É ÓÉÎÉÊ ×ÅÔ. åÓÌÉ ÂÅÌÙÊ ×ÅÔ ÎÅ ÒÅÁÌÉÚÕÅÔ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ dw (dw 6 d), Á ÓÉÎÉÊ ×ÅÔ ÎÅ ÒÅÁÌÉÚÕÅÔ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ db (db 6 d), ÔÏ C ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÈÏÒÄÙ ÄÌÉÎÙ dw Ó ËÏÎ ÁÍÉ ÏÄÎÏÇÏ ×ÅÔÁ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ËÒÕÇ C ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÈÏÒÄÙ ÄÌÉÎÙ dw Ó ÂÅÌÙÍÉ ËÏÎ ÁÍÉ, ÔÁË ËÁË ÜÔÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÎÅ ÒÅÁÌÉÚÕÅÔÓÑ ÂÅÌÙÍ ×ÅÔÏÍ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ C ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÈÏÒÄÕ XY ÄÌÉÎÙ dw Ó ÓÉÎÉÍÉ ËÏÎ ÁÍÉ. ðÏ×ÅÒÎÅÍ XY ×ÏËÒÕÇ ÅÎÔÒÁ ËÒÕÇÁ × ÎÏ×ÏÅ ÏÌÏÖÅÎÉÅ X ′ Y ′ , ÔÁËÏÅ ÞÔÏ |XX ′ | = db (ÒÉÓ. 6). ÏÞËÉ X ′ É Y ′ ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÂÙÔØ ÂÅÌÙÍÉ (X ′ Y ′ | ÈÏÒÄÁ ÄÌÉÎÙ dw ). ðÏÜÔÏÍÕ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÁ ÉÚ ÈÏÒÄ XX ′ , Y Y ′ ÄÌÉÎÙ db ÉÍÅÅÔ ÓÉÎÉÅ ËÏÎ Ù. îÏ ÓÉÎÉÊ ×ÅÔ ÎÅ ÒÅÁÌÉÚÕÅÔ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ db | ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ.  ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 6. ðÕÓÔØ ÌÏÓËÏÓÔØ ÒÁÓËÒÁÛÅÎÁ × ËÒÁÓÎÙÊ, ÂÅÌÙÊ É ÓÉÎÉÊ ×ÅÔ, ÒÉÞÅÍ ÜÔÉ ×ÅÔÁ ÎÅ ÒÅÁÌÉÚÕÀÔ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ 3) ó. â. óÔÅÞËÉÎ ÚÁÍÅÔÉÌ , ÞÔÏ ÌÏÓËÏÓÔØ ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ ÛÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÎÉ ÏÄÎÏ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ÒÅÁÌÉÚÕÅÔ ×ÓÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÒÉÍÅÒ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ ÚÄÅÓØ ×ÍÅÓÔÅ Ó Á×ÔÏÒÓËÉÍ ÒÅÛÅÎÉÅÍ .

èÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ

199

X′

Y

R1 X

Y

′

R

B R2

òÉÓ. 6.

òÉÓ. 7.

dr , dw , db ; dr 6 dw 6 db . ÏÇÄÁ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÔÒÅÚËÁ ÄÌÉÎÙ drb Ó ËÒÁÓÎÙÍ É ÓÉÎÉÍ ËÏÎ ÁÍÉ, ÇÄÅ drb =

r

db

2



1 2 3 − dr + d : 2 2 r √

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ RB | ÏÔÒÅÚÏË ÄÌÉÎÙ drb , ÒÉÞÅÍ ÔÏÞËÁ R ËÒÁÓÎÁÑ, Á B ÓÉÎÑÑ. îÁÞÅÒÔÉÍ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ C ÒÁÄÉÕÓÁ db Ó ÅÎÔÒÏÍ B É ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË T ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ dr , ÏÄÎÏÊ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ R, Á ×ÙÓÏÔÁ ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ RB (ÒÉÓ. 7). ìÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ (ÒÏÄÅÌÁÊÔÅ ÜÔÏ), ÞÔÏ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ R1 É R2 ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ T ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ C (ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ×ÙÂÏÒ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ drb ÜÔÉÍ É ÏÒÅÄÅÌÑÌÓÑ). ÁË ËÁË ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÅÔ ÏÔÒÅÚËÁ ÄÌÉÎÙ db Ó ÓÉÎÉÍÉ ËÏÎ ÁÍÉ, Á ÅÎÔÒ B ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ C ÓÉÎÉÊ, ÔÏ ×ÓÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÏËÒÁÛÅÎÁ × ËÒÁÓÎÙÊ É ÂÅÌÙÊ ×ÅÔ. ïËÒÕÖÎÏÓÔØ C ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÈÏÒÄÙ ÄÌÉÎÙ dr Ó ËÏÎ ÁÍÉ ÏÄÎÏÇÏ ×ÅÔÁ × ÓÉÌÕ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 5. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÄÉÎ ÉÚ ËÏÎ Ï× ÈÏÒÄÙ R1 R2 | ËÒÁÓÎÙÊ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË RR1 R2 ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ dr ÉÍÅÅÔ Ä×Å ËÒÁÓÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÔÏÇÄÁ ËÁË ËÒÁÓÎÙÊ ×ÅÔ ÎÅ ÒÅÁÌÉÚÕÅÔ  ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ dr . äÏËÁÚÁ× ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 5 É 6, ÍÙ ÓÍÏÖÅÍ ÄÏËÁÚÁÔØ É ÎÉÖÎÀÀ Ï ÅÎËÕ ÄÌÑ p. úÁÄÁÞÁ 7. (ä. å. òÁÊÓËÉÊ [39℄). äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ p > 4; Ô. Å. ÒÉ ÒÁÓËÒÁÓËÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ × ÔÒÉ ×ÅÔÁ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÉÎ ÉÚ ÎÉÈ ÒÅÁÌÉÚÕÅÔ ×ÓÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ. òÅÛÅÎÉÅ ä. ò. ÷ÕÄÏÌÌÁ [57℄. ðÕÓÔØ ÌÏÓËÏÓÔØ ÒÁÓËÒÁÛÅÎÁ × ËÒÁÓÎÙÊ, ÂÅÌÙÊ É ÓÉÎÉÊ ×ÅÔÁ, ÒÉÞÅÍ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÎÉÈ ÎÅ ÒÅÁÌÉÚÕÅÔ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ dr ; dw ; db ; dr 6 dw 6 db . âÅÚ ÏÔÅÒÉ ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ×ÅÔ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ (× ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÙÂÅÒÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÔÏÞËÕ É ÏËÒÁÓÉÍ × ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ×ÅÔ).

200

á. óÏÊÆÅÒ

ïÒÅÄÅÌÉÍ d ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ (drb ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ × ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÉ 6):

d=

r

 2 d2rb − 12 dw + 23 dw : √

ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÏÄÉÎ ÉÚ ËÏÎ Ï× ÏÔÒÅÚËÁ ÄÌÉÎÙ d ÂÅÌÙÊ, ÔÏ É ÄÒÕÇÏÊ ÔÁËÖÅ ÂÅÌÙÊ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÕÓÔØ BW | ÏÔÒÅÚÏË ÄÌÉÎÙ d, ÒÉÞÅÍ ÔÏÞËÁ B ÓÉÎÑÑ, Á ÔÏÞËÁ W ÂÅÌÁÑ. îÁÞÅÒÔÉÍ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ C ÒÁÄÉÕÓÁ drb Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ B É ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË T ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ dw , ÏÄÎÏÊ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ W , Á ×ÙÓÏÔÁ ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ BW (ÒÉÓ. 8). ìÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ (ÒÏÄÅÌÁÊÔÅ ÜÔÏ), ÞÔÏ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ W1 W1 É W2 ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ T ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ C W (ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÜÔÉÍ É ÏÒÅÄÅÌÑÌÓÑ ×ÙÂÏÒ ÒÁÓB ÓÔÏÑÎÉÑ d). W2 ÷ ÓÉÌÕ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 6 ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÅÔ ÏÔÒÅÚËÁ ÄÌÉÎÙ drb , Õ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÄÉÎ ËÏÎÅ ËÒÁÓÎÙÊ, Á ÄÒÕÇÏÊ ÓÉÎÉÊ. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ òÉÓ. 8. C ÎÅÔ ËÒÁÓÎÙÈ ÔÏÞÅË (ÅÅ ÅÎÔÒ B ÓÉÎÉÊ). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÏËÒÁÛÅÎÁ × ÂÅÌÙÊ É ÓÉÎÉÊ ×ÅÔ. ÷ ÓÉÌÕ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 5, ÌÀÂÁÑ ÈÏÒÄÁ ÄÌÉÎÙ dw × ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ C ÉÍÅÅÔ ÏÄÉÎ ÂÅÌÙÊ ËÏÎÅ . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÄÎÁ ÉÚ ÔÏÞÅË W1 É W2 ÂÅÌÁÑ, Ô. Å. × ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ W W1 W2 ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ dw ÉÍÅÀÔÓÑ Ä×Å ÂÅÌÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÔÏÇÄÁ ËÁË ÂÅÌÙÊ ×ÅÔ ÎÅ ÒÅÁÌÉÚÕÅÔ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ dw . áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÔÒÅÚËÁ RW ÄÌÉÎÙ d, Õ ËÏÔÏÒÏÇÏ ËÏÎÅ R ËÒÁÓÎÙÊ, Á ËÏÎÅ W ÂÅÌÙÊ. (îÁÞÅÒÔÉÔÅ ÒÉÓ. 8 Ó ÔÅÍ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅÍ, ÞÔÏ ÅÎÔÒ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ × ËÒÁÓÎÏÊ ÔÏÞËÅ R.) éÔÁË, ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÒÁÄÉÕÓÁ d Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÂÅÌÏÊ ÔÏÞËÅ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÂÅÌÏÊ. îÏ ÔÏÇÄÁ É ×ÓÑ ÌÏÓËÏÓÔØ ÂÅÌÁÑ. üÔÏ  ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÚÁ×ÅÒÛÁÅÔ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ ËÏÎ Å 2003 ÇÏÄÁ áÌÅËÓÅÊ ëÁÎÅÌØ-âÅÌÏ× ÓÏÏÂÝÉÌ ÍÎÅ ÕÄÉ×ÉÔÅÌØÎÏ ËÒÁÓÉ×ÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ 6, ËÏÔÏÒÏÅ ÂÙÌÏ ÎÁÊÄÅÎÏ áÌÅËÓÅÅÍ íÅÒËÏ×ÙÍ, ÄÅÓÑÔÉËÌÁÓÓÎÉËÏÍ ÍÏÓËÏ×ÓËÏÊ ÛËÏÌÙ ÎÏÍÅÒ 91, É ÄÏÌÏÖÅÎÏ áÌÅËÓÅÅÍ òÏÇÉÎÓËÉÍ É äÁÎÉÉÌÏÍ äÉÍÅÎÛÔÅÊÎÏÍ × 1997 Ç. × íÏÓËÏ×ÓËÏÍ Ä×ÏÒ Å ÎÁÕÞÎÏ-ÔÅÈÎÉÞÅÓËÏÇÏ Ô×ÏÒÞÅÓÔ×Á ÍÏÌÏÄÅÖÉ (ÓÍ. €íÁÔÅÒÉÁÌÙ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ "ðÏÉÓË{97\, í., 1997, Ó. 143{144). ÷ÔÏÒÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ (á. íÅÒËÏ×). ðÕÓÔØ ÌÏÓËÏÓÔØ ÒÁÓËÒÁÛÅÎÁ × ÔÒÉ ×ÅÔÁ: ËÒÁÓÎÙÊ, ÂÅÌÙÊ É ÓÉÎÉÊ, É ÏÎÉ ÎÅ ÒÅÁÌÉÚÕÀÔ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ r, w É b ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÷×ÅÄÅÍ ÎÁ ÜÔÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÄÅËÁÒÔÏ×Ù ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ Ó ÎÁÞÁÌÏÍ O É ÏÓÔÒÏÉÍ ÔÒÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Sr , Sw É Sb , ÎÁÚ×ÁÎÎÙÅ ×ÙÛÅ ×ÅÒÅÔÅÎÁÍÉ íÏÚÅÒÁ (ÓÍ. ÒÉÓ. 2). ðÕÓÔØ ÒÉ ÜÔÏÍ ÔÏÞËÁ O Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏÊ

èÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ

201

ÉÚ 7 ×ÅÒÛÉÎ ËÁÖÄÏÇÏ ×ÅÒÅÔÅÎÁ, Á ÉÈ Ò£ÂÒÁ ÒÁ×ÎÙ r, w É b ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÁÅÍ 6 €ËÒÁÓÎÙȁ ×ÅËÔÏÒÏ× v1 ; : : : ; v6 ÉÚ ÔÏÞËÉ O × ËÁÖÄÕÀ ÉÚ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ ×ÅÒÅÔÅÎÁ Sr , Á ÔÁËÖÅ 6 €ÂÅÌÙȁ ×ÅËÔÏÒÏ× v7 ; : : : ; v12 É 6 €ÓÉÎÉȁ ×ÅËÔÏÒÏ× v13 ; : : : ; v18 ÉÚ ÔÏÞËÉ O × ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ×ÅÒÅÔÅÎ Sw É Sb ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÅÒØ 18-ÍÅÒÎÏÅ Å×ËÌÉÄÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï R18 É ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ M : R18 → R2 , ËÏÔÏÒÏÅ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ (a1 ; : : : ; a18 ) → a1 v1 + · · · + a18 v18 . ðÒÉÉÓÁ× ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÉÚ R18 ×ÅÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÔÏÞËÉ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁÓËÒÁÓËÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á R18 × ÔÒÉ ×ÅÔÁ. ÷ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ×ÅÔÏÍ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÙÈ ×ÙÛÅ ×ÅËÔÏÒÏ× ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÁÚ×ÁÔØ ÅÒ×ÙÅ ÛÅÓÔØ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ÏÓÅÊ × R18 €ËÒÁÓÎÙÍɁ, ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÛÅÓÔØ | €ÂÅÌÙÍɁ, Á ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÛÅÓÔØ | €ÓÉÎÉÍɁ. ðÕÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï W ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÓÅ ÔÅ ÔÏÞËÉ ÉÚ R18 , Õ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ÏÄÎÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁ ËÁÖÄÏÇÏ ×ÅÔÁ ÒÁ×ÎÁ 1, Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ (15 ÉÌÉ ÂÏÌØÛÅ) ÒÁ×ÎÙ 0. ìÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ (ÒÏÄÅÌÁÊÔÅ ÜÔÏ), ÞÔÏ W ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ 73 ÔÏÞÅË. åÓÌÉ A | ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÂÅÌÙÈ É ÓÉÎÉÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÞËÉ ÉÚ W , ÔÏ ÎÁÊÄÕÔÓÑ ÅÝÅ 6 ÔÏÞÅË ÉÚ W Ó ÔÅÍ ÖÅ A. ïÂÒÁÚ M (A) ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÉÚ ÜÔÉÈ 7 ÔÏÞÅË ÒÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ M ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÍÕ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÍÕ ÅÒÅÎÏÓÕ ËÒÁÓÎÏÇÏ ×ÅÒÅÔÅÎÁ Sr . úÁÆÉËÓÉÒÏ×Á× ÄÒÕÇÉÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÂÅÌÙÈ É ÓÉÎÉÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÏÌÕÞÉÍ ÄÒÕÇÉÅ 7 ÔÏÞÅË × R18 É, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÄÒÕÇÏÊ ÓÄ×ÉÇ ×ÅÒÅÔÅÎÁ Sr . ÷ ÉÔÏÇÅ W ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ 72 ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×, ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÍÕ ÓÄ×ÉÇÕ ×ÅÒÅÔÅÎÁ Sr . ÷ÓÏÍÎÉÍ ÔÅÅÒØ ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ ÏÓÌÅ ÚÁÄÁÞÉ 2. úÄÅÓØ ÏÎÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÓÄ×ÉÇ ×ÅÒÅÔÅÎÁ íÏÚÅÒÁ Sr ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ Ä×ÕÈ ËÒÁÓÎÙÈ ÔÏÞÅË ÉÚ ÓÅÍÉ. ÁË ËÁË W ÒÁÚÂÉÔÏ ÎÁ ÓÄ×ÉÇÉ ×ÅÒÅÔÅÎÁ Sr , ÔÏ ÎÅ ÂÏÌÅÅ 2=7 ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË ÉÚ W ÉÍÅÀÔ ËÒÁÓÎÙÊ ×ÅÔ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÎÅ ÂÏÌÅÅ 2=7 ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË | ÂÅÌÙÅ É ÎÅ ÂÏÌÅÅ 2=7 | ÓÉÎÉÅ. îÏ 2=7 + 2=7 + 2=7 ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ 1! üÔÏ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÉÎ ×ÅÔ ÒÅÁÌÉÚÕÅÔ ×ÓÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ.  úÁÄÁÞÁ 8. (ó. â. óÔÅÞËÉÎ, [39℄). p 6 6; Ô. Å. ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÁÓËÒÁÓËÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ × 6 ×ÅÔÏ×, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÉËÁËÏÊ ×ÅÔ ÎÅ ÒÅÁÌÉÚÕÅÔ ×ÓÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ. òÅÛÅÎÉÅ ó. â. óÔÅÞËÉÎÁ, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÅ ä. å. òÁÊÓËÉÍ × [39℄. ïÓÎÏ×ÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ ÓÌÕÖÉÔ ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÉËÏ× É ×ÏÓØÍÉ ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×, ÒÉÞÅÍ ×ÓÅ ÏÎÉ ÉÍÅÀÔ ÓÔÏÒÏÎÙ ÄÌÉÎÙ 1 (ÒÉÓ. 9). òÁÓËÒÁÓÉÍ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÉËÉ × ×ÅÔÁ 1, 2, 3 É 4. ÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ÄÅÌÑÔÓÑ ÎÁ Ä×Á

202

á. óÏÊÆÅÒ

5 1 6

6 5

3 6

6

6

6 5

3 6

5 4

6 5

1

5 2

6 5

3 6

6

3

6

5 2

5

6

5 4

6

6

5 2

5 1

5 4

5 1

5 2

5 4

6 òÉÓ. 9.

ËÌÁÓÓÁ: ÅÓÌÉ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÏÅ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÅ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÎÁ×ÅÒÈÕ, ÔÏ ÉÓÏÌØÚÕÅÍ ×ÅÔ 5, Á ÅÓÌÉ ×ÎÉÚÕ, ÔÏ ×ÅÔ 6. ðÒÉ ÒÁÓËÒÁÓËÅ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÉË ×ËÌÀÞÁÅÔ ×ÓÀ Ó×ÏÀ ÇÒÁÎÉ Õ, ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ ÓÁÍÏÊ ÒÁ×ÏÊ É Ä×ÕÈ ÎÉÖÎÉÈ ×ÅÒÛÉÎ, Á ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ÎÅ ×ËÌÀÞÁÀÔ ÎÉËÁËÉÈ ÇÒÁÎÉÞÎÙÈ ÔÏÞÅË. ÅÅÒØ ÚÁÍÏÓÔÉÍ ×ÓÀ ÌÏÓËÏÓÔØ ÓÄ×ÉÇÁÍÉ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍ ÍÁ. úÁÄÁÞÁ ÒÅÛÅÎÁ. íÙ ÒÅÛÉÌÉ ÚÁÄÁÞÕ 8 Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÏÓÔÏÊ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ. ðÒÏÓÔÏÊ, ÏÓÌÅ ÔÏÇÏ ËÁË ÏÎÁ ÎÁÊÄÅÎÁ. óÕÔØ ÄÅÌÁ ÂÙÌÁ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÅÅ ÎÁÊÔÉ, É ÅÒ×ÙÍ ÜÔÏ ÓÄÅÌÁÌ ó. â. óÔÅÞËÉÎ. èÒÉÓÔÏÆÏÒ ëÏÌÕÍ ÔÏÖÅ €ÒÑÍÏ ÒÉÌÙ́ × áÍÅÒÉËÕ! íÅÎÑ ÚÁÈ×ÁÔÉÌÁ ÜÔÁ ÔÅÍÁ, É Ñ ÏÇÒÕÚÉÌÓÑ × ÒÁÚÍÙÛÌÅÎÉÑ Ï ÒÁÓËÒÁÓËÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ × 6 ×ÅÔÏ×. ñ ÏÎÑÌ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÎÁÛÁ ËÏÎÅÞÎÁÑ ÅÌØ | ÎÁÊÔÉ ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ  ÉÌÉ ÈÏÔÑ ÂÙ ÕÓÉÌÉÔØ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ Ï ÅÎËÉ (4 6  6 7), ÔÏ ÎÕÖÎÏ ÎÁÕÞÉÔØÓÑ Ï ÅÎÉ×ÁÔØ, ÎÁÓËÏÌØËÏ ÂÌÉÚËÁ ÄÁÎÎÁÑ ÒÁÓËÒÁÓËÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ Ë ÉÓËÏÍÏÊ. ÷ 1992 Ç. Ñ ÎÁÕÞÉÌÓÑ ÜÔÏ ÉÚÍÅÒÑÔØ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 9 (á. óÏÊÆÅÒ [45℄). ðÕÓÔØ ÄÁÎÁ ÒÁÓËÒÁÓËÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ × n ×ÅÔÏ×, ÒÉÞÅÍ ×ÅÔ i ÎÅ ÒÅÁÌÉÚÕÅÔ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ di , (1 6 i 6 n). ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÒÁÓËÒÁÓËÁ ÉÍÅÅÔ ÔÉ (d1 ; d2 ; : : : ; dn ). ÷×ÅÄÅÎÎÏÅ ÏÎÑÔÉÅ ÂÙÌÏ ÓÔÏÌØ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ É ÏÌÅÚÎÙÍ, ÞÔÏ ÕÄÏÓÔÏÉÌÏÓØ ×ÙÓÛÅÊ ×ÏÚÍÏÖÎÏÊ ÞÅÓÔÉ, ×ÏÊÄÑ × ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÆÏÌØËÌÏÒ: ÏÎÏ ×ÓÀÄÕ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ ÂÅÚ ÕËÁÚÁÎÉÑ Á×ÔÏÒÁ (ÓÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ, Ó. 14 × ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÏÊ 991-ÓÔÒÁÎÉÞÎÏÊ ÍÏÎÏÇÒÁÆÉÉ [21℄). âÏÌØÛÉÍ ÕÓÅÈÏÍ × ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÞÉÓÌÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÓÔÁÌÏ ÂÙ ÏÔÙÓËÁÎÉÅ ÒÁÓËÒÁÓËÉ × 6 ×ÅÔÏ× ÔÉÁ (1; 1; 1; 1; 1; 1) ÌÉÂÏ ÄÏËÁ-

èÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ

203

ÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÅÅ ÎÅÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ. ÷ÙÂÒÁ× ÏÄÈÏÄÑÝÉÊ ÉÓÈÏÄÎÙÊ ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍ × ÒÁÓËÒÁÓËÅ óÔÅÞËÉÎÁ, ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÔÉ (1; 1; 1; 1; 1=2; 1=2). ä. ò. ÷ÕÄÏÌÌ [57℄ ÓÕÍÅÌ ÎÁÊÔÉ ÒÁÓËÒÁÓËÕ ÌÏÓËÏÓÔÉ × 6 ×ÅÔÏ×, ÇÄÅ ËÁÖÄÙÊ ×ÅÔ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ, ÎÅ ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÉÍ ×ÓÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ. ïÄÎÁËÏ √ × ÅÇÏ √ ÒÉÍÅÒÅ √
€ÒÏÕÝÅÎÎÙÈ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉʁ ÔÒÉ: ÏÎ ÉÍÅÅÔ ÔÉ 1; 1; 1; 1= 3; 1= 3; 1=(2 3) . ÷ ÏÉÓËÁÈ €ÈÏÒÏÛÅʁ ÒÁÓËÒÁÓËÉ Ñ ÏÂÒÁÔÉÌ ×ÎÉÍÁ1 ÎÉÅ ÎÁ ÚÁÍÏÝÅÎÉÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÒÁ×ÉÌØÎÙÍÉ ×ÏÓØÍÉÕÇÏÌØÎÉËÁÍÉ É Ë×ÁÄÒÁÔÁÍÉ (ÒÉÓ. 10). îÏ É ÜÔÁ ÒÁÓËÒÁÓËÁ ÎÅ ÇÏÄÉÔÓÑ! õÂÅÄÉÔÅÓØ × ÜÔÏÍ ÓÁÍÉ. 1 úÁÄÁÞÁ 10. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× × ÚÁÍÏÝÅÎÉÉ ÎÁ ÒÉÓ. 10 (ÄÁÖÅ ÂÅÚ ÕÞÅÔÁ ÉÈ ÇÒÁÎÉ ) ÒÅÁÌÉÚÕÅÔ ×ÓÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ. òÉÓ. 10. ñ ÓÔÁÌ ÓÖÉÍÁÔØ Ë×ÁÄÒÁÔÙ, ÏËÁ ÉÈ ÄÉÁÇÏÎÁÌØ ÎÅ ÓÔÁÌÁ ÒÁ×ÎÏÊ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÀ ÍÅÖÄÕ ÂÌÉÖÁÊÛÉÍÉ Ë×ÁÄÒÁÔÁÍÉ. ïÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ (!) ÄÉÁÇÏÎÁÌØ ×ÏÓØÍÉÕÇÏÌØÎÉËÁ (ÔÅÅÒØ ÕÖÅ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ) ÓÔÁÌÁ ÒÁ×ÎÏÊ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÀ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ×ÏÓØÍÉÕÇÏÌØÎÉËÁÍÉ, ÏÍÅÞÅÎÎÙÍÉ ÅÄÉÎÉ ÅÊ ÎÁ ÒÉÓ. 10. ñ ÄÏÂÉÌÓÑ ÕÓÅÈÁ! úÁÄÁÞÁ 11. (á. óÏÊÆÅÒ [45℄). äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ√ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÁÓËÒÁÓËÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ × 6 ×ÅÔÏ×, ÉÍÅÀÝÁÑ ÔÉ (1; 1; 1; 1; 1; 1= 5). òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÏÚØÍÅÍ Ä×Á Ë×ÁÄÒÁÔÁ, ÏÄÉÎ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ 2, Á ÄÒÕÇÏÊ Ó ÄÉÁÇÏÎÁÌØÀ 1 (ÒÉÓ. 11). ó ÉÈ ÏÍÏÝØÀ ÚÁÍÏÓÔÉÍ ÌÏÓËÏÓÔØ Ë×ÁÄÒÁÔÁÍÉ É (ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÙÍÉ) ×ÏÓØÍÉÕÇÏÌØÎÉËÁÍÉ (ÒÉÓ. 13). ã×ÅÔÁ 1, : : : , 5 ÉÓÏÌØÚÕÅÍ ÄÌÑ ×ÏÓØÍÉÕÇÏÌØÎÉËÏ×, Á ×ÓÅ Ë×ÁÄÒÁÔÙ ÏËÒÁÓÉÍ × ×ÅÔ 6. ÷ ËÁÖÄÙÊ ×ÏÓØÍÉÕÇÏÌØÎÉË É Ë×ÁÄÒÁÔ ×ËÌÀÞÁÅÔÓÑ ÏÌÏ×ÉÎÁ ÅÇÏ ÇÒÁÎÉ Ù (ÖÉÒÎÙÅ ÌÉÎÉÉ ÎÁ ÒÉÓ. 12) ÚÁ √ ×ÙÞÅÔÏÍ ÅÅ ËÏÎ Ï×. ìÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ (ÒÏÄÅÌÁÊÔÅ ÜÔÏ!), ÞÔÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ 5 ÎÅ ÒÅÁÌÉÚÕÅÔÓÑ ×ÅÔÁÍÉ 1, : : : , 5, Á ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ 1

òÉÓ. 11.

òÉÓ. 12.

4

3

2

1

5

1

5

4

3

2

3

2

1

5

4

5

4

3

2

1

òÉÓ. 13.

204

á. óÏÊÆÅÒ

√

ÎÅ ÒÅÁÌÉÚÕÅÔÓÑ ×ÅÔÏÍ 6. óÖÁ× ×ÓÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÒÁÚÍÅÒÙ √ × 5 ÒÁÚ, ÏÌÕÞÁÅÍ  ÒÁÓËÒÁÓËÕ × 6 ×ÅÔÏ×, ÉÍÅÀÝÕÀ ÔÉ (1; 1; 1; 1; 1; 1= 5). òÅÛÉ× ÚÁÄÁÞÕ 11 × Á×ÇÕÓÔÅ 1992 Ç., Ñ ÉÓÙÔÁÌ ÓÍÅÛÁÎÎÙÅ ÞÕ×ÓÔ×Á. ó ÏÄÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, €"ÏÞÔÉ\ ÎÅ ÓÞÉÔÁÅÔÓс: ÒÁÓËÒÁÓËÁ × 6 ×ÅÔÏ× ÔÉÁ (1; 1; 1; 1; 1; 1) ÔÁË É ÎÅ ÂÙÌÁ ÎÁÊÄÅÎÁ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, Ñ ÏÞÕ×ÓÔ×Ï×ÁÌ, ÞÔÏ ÅÅ, ×ÅÒÏÑÔÎÏ, É ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, É ÔÏÇÄÁ ÍÏÑ ÒÁÓËÒÁÓËÁ | ÎÁÉÌÕÞÛÁÑ ÉÚ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ. óÔÁÔØÑ Ï ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞÉ 11 ÓÏÓÔÁ×ÌÑÌÁ ÏÌÔÏÒÙ ÓÔÒÁÎÉ Ù ÌÀÓ ÓÔÒÁÎÉ Á ÒÉÓÕÎËÏ×. ïÎÁ ÂÙÌÁ ÏÔÒÅÆÅÒÉÒÏ×ÁÎÁ ÚÁ ÏÄÉÎ ÄÅÎØ [45℄. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÏÎÁ ÏÒÏÄÉÌÁ ÎÏ×ÕÀ ÏÔËÒÙÔÕÀ ÒÏÂÌÅÍÕ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 12 (á. óÏÊÆÅÒ [28℄). ðÏÞÔÉ ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ a | ÜÔÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ×ÅÔÏ× × ÔÁËÏÊ ÒÁÓËÒÁÓËÅ, ËÏÇÄÁ ÏÞÔÉ ×ÓÅ (Ô. Å. ×ÓÅ ËÒÏÍÅ ÏÄÎÏÇÏ) ×ÅÔÁ ÎÅ ÒÅÁÌÉÚÕÀÔ ÅÄÉÎÉÞÎÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ, Á ÏÓÔÁ×ÛÉÊÓÑ ×ÅÔ ÎÅ ÒÅÁÌÉÚÕÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ (×ÏÚÍÏÖÎÏ ÄÒÕÇÏÅ) ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ. þÉÓÌÏ a ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍ: 4 6 a 6 6: îÉÖÎÑÑ Ï ÅÎËÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÒÁÂÏÔÙ äÍÉÔÒÉÑ òÁÊÓËÏÇÏ [39℄. ÷ÅÒÈÎÑÑ ÄÏËÁÚÁÎÁ ÍÎÏÊ × ÚÁÄÁÞÅ 11 [45℄. ïÓÔÁÅÔÓÑ ïÔËÒÙÔÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ 13 (á. óÏÊÆÅÒ [28℄). îÁÊÔÉ a . 4. ëÏÎÔÉÎÕÕÍ ÒÁÓËÒÁÓÏË × 6 ×ÅÔÏ×

äÒÕÇÕÀ ÒÁÓËÒÁÓËÕ × 6 ×ÅÔÏ× ÎÁÛÌÉ √ éÌØÑ çÏÆÍÁÎ É Á×ÔÏÒ × 1993 Ç. ([28℄, [29℄). ïÎÁ ÉÍÅÅÔ ÔÉ (1; 1; 1; 1; 1; 2 − 1). ðÒÉÍÅÞÁÔÅÌØÎÁ ÉÓÔÏÒÉÑ ÜÔÏÇÏ ÏÔËÒÙÔÉÑ. ìÅÔÏÍ 1993 Ç. Ñ ÏÓÅÔÉÌ × íÏÓË×Å Ó×ÏÅÇÏ ÒÏÄÓÔ×ÅÎÎÉËÁ, ÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ËÏÍÏÚÉÔÏÒÁ ÎÏ×ÏÊ ×ÅÎÓËÏÊ ÛËÏÌÙ ìÅÏÎÉÄÁ çÏÆÍÁÎÁ. åÇÏ 15-ÌÅÔÎÉÊ ÓÙÎ éÌØÑ ÔÏÇÄÁ ÕÞÉÌÓÑ × íÕÚÙËÁÌØÎÏÊ ÛËÏÌÅ ÉÍÅÎÉ çÎÅÓÉÎÙÈ. éÌØÑ ÖÅÌÁÌ ÕÚÎÁÔØ, ÞÅÍ Ñ ÚÁÎÉÍÁÀÓØ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, É ÎÅ ÒÉÚÎÁ×ÁÌ ÏÂÝÉÈ ÏÔ×ÅÔÏ×. ïÎ ÈÏÔÅÌ ËÏÎËÒÅÔÎÏÓÔÉ. ñ ÏËÁÚÁÌ ÅÍÕ Ó×ÏÀ ÒÁÓËÒÁÓËÕ × 6 ×ÅÔÏ× (ÚÁÄÁÞÁ 11). éÌØÑ ÚÁÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÌÓÑ. îÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÄÅÎØ ÏÎ ÒÏÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÏ×ÁÌ ÍÎÅ. . . ÒÁÓËÒÁÓËÕ óÔÅÞËÉÎÁ (ÓÍ. ×ÙÛÅ ÒÉÓ. 9), ËÏÔÏÒÕÀ ÏÎ ÎÁÛÅÌ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ! €úÁÍÅÞÁÔÅÌØÎρ, | ÏÔ×ÅÔÉÌ Ñ, | €ÎÏ ÔÙ ÏÏÚÄÁÌ ÎÁ 23 ÇÏÄÁ! ÷ÓËÏÒÅ ÏÎ ÒÅÄÌÏÖÉÌ ÎÏ×ÕÀ ÉÄÅÀ: ÒÉÍÅÎÉÔØ ÚÁÍÏÝÅÎÉÅ Ë×ÁÄÒÁÔÁÍÉ Ä×ÕÈ ÒÁÚÍÅÒÏ×. éÌØÑ ÏÂÌÁÄÁÌ ÉÎÔÕÉ ÉÅÊ ×ÉÒÔÕÏÚÁ, ÎÏ ÎÅ ÉÍÅÌ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ËÕÌØÔÕÒÙ. ïÄÎÁËÏ Ñ ×ÙÞÉÓÌÉÌ, ËÁËÏ×Ù ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÒÁÚÍÅÒÙ ÜÔÉÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×, ÞÔÏÂÙ ÒÁÓËÒÁÓËÁ ÏÂÌÁÄÁÌÁ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÏÄÉÌÁÓØ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ÎÅÏÂÙÞÎÏÊ ÁÒÙ, ÓÏÓÔÏÑ×ÛÅÊ ÉÚ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ É ÍÕÚÙËÁÎÔÁ. (óÅÇÏÄÎÑ éÌØÅ 25 ÌÅÔ, É ÏÎ ÏÄÉÎ ÉÚ ÓÁÍÙÈ ÑÒËÉÈ ÒÏÓÓÉÊÓËÉÈ ÁÌØÔÉÓÔÏ×, ÁÓÉÒÁÎÔ íÏÓËÏ×ÓËÏÊ ËÏÎÓÅÒ×ÁÔÏÒÉÉ Ï ËÌÁÓÓÕ ÒÏÓÌÁ×ÌÅÎÎÏÇÏ àÒÉÑ âÁÛÍÅÔÁ.)

èÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ

6 6

5

4

2

6

5

1

6

4

6

3

2

6

5

6

3

6

4

6

6

1

6

3

6

2

6

5

6

1

6

6

6

2

205

6

1

6

4

6

3

òÉÓ. 14.

òÉÓ. 15.

úÁÄÁÞÁ 14 (é. çÏÆÍÁÎ É á. óÏÊÆÅÒ [28℄, [29℄). √ ðÏÓÔÒÏÉÔØ ÒÁÓËÒÁÓËÕ ÌÏÓËÏÓÔÉ × 6 ×ÅÔÏ×, ÉÍÅÀÝÕÀ ÔÉ (1; 1; 1; 1; 1; 2 − 1).

òÅÛÅÎÉÅ. úÁÍÏÓÔÉÍ ÌÏÓËÏÓÔØ Ë×ÁÄÒÁÔÁÍÉ Ó ÄÉÁÇÏÎÁÌØÀ 1 É Ó ÄÉÁ√ ÇÏÎÁÌØÀ 2 − 1 (ÒÉÓ. 14). âÏÌØÛÉÅ Ë×ÁÄÒÁÔÙ ÏËÒÁÓÉÍ × ×ÅÔÁ 1, . . . , 5, Á ÍÁÌÅÎØËÉÅ | × ×ÅÔ 6. ðÒÉ ÜÔÏÍ ËÁÖÄÙÊ Ë×ÁÄÒÁÔ ×ËÌÀÞÁÅÔ ÏÌÏ×ÉÎÕ Ó×ÏÅÊ ÇÒÁÎÉ Ù, Á ÉÍÅÎÎÏ ÌÅ×ÕÀ É ×ÅÒÈÎÀÀ ÓÔÏÒÏÎÕ, ÉÓËÌÀÞÁÑ ËÏÎ Ù ÜÔÏÊ ÏÌÏ×ÉÎÙ (ÒÉÓ. 15). 

ðÒÉÍÅÒÙ, ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÅ × ÚÁÄÁÞÁÈ 11 É 14, ÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÏÔËÒÙÔÏÊ ÒÏÂÌÅÍÅ. ïÔËÒÙÔÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ 15 (á. óÏÊÆÅÒ [46℄, [47℄). îÁÊÔÉ 6-ÒÅÁÌÉÚÕÅÍÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X6 , Ô. Å. ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ , ÞÔÏ

ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÁÓËÒÁÓËÁ × 6 ×ÅÔÏ× ÔÉÁ (1; 1; 1; 1; 1; ).

÷ ÜÔÉÈ ÎÏ×ÙÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÚÁÄÁÞÉ 11 É 14 ÍÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: √ √ 1= 5; 2 − 1 ∈ X6 : þÔÏ ÏÂÝÅÇÏ ÍÅÖÄÕ ÒÁÓËÒÁÓËÁÍÉ ÉÚ ÚÁÄÁÞ 11 É 14? üÔÏ ÎÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÎÅ ÔÁË ÌÉ? ðÏÒÁÚÍÙÓÌÉ×, Ñ ÏÎÑÌ, ÞÔÏ ÜÔÏ Ä×Á ËÒÁÊÎÉÈ ÓÌÕÞÁÑ ÏÂÝÅÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ, É ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÇÏÒÁÚÄÏ ÂÏÌÅÅ ÓÉÌØÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ. ÅÏÒÅÍÁ 16 (á. óÏÊÆÅÒ [47℄). h√

√ i

2 − 1; 1= 5

⊆ X6 ;

206

á. óÏÊÆÅÒ

3 3 2

2

1

5

4 2

1

3 1

5

4 2 5

x

3 1

5

4

4

1

òÉÓ. 16.

Ô. Å. ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ  ÔÉÁ .

y ϕ

òÉÓ. 17.

∈

√

√ 

òÉÓ. 18.

2 − 1; 1= 5 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÁÓËÒÁÓËÁ × 6 ×ÅÔÏ×

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÚÁÍÏÝÅÎÉÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ (ÒÉÓ. 16). åÇÏ ÏÒÏÖÄÁÀÔ ÂÏÌØÛÏÊ É ÍÁÌÙÊ Ë×ÁÄÒÁÔ, ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÅ ÕÇÏÌ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ' (ÒÉÓ. 18). òÁÓËÒÁÓÉÍ ÚÁÍÏÝÅÎÉÅ ÎÁ ÒÉÓ. 16 × ÛÅÓÔØ ×ÅÔÏ×. ðÕÓÔØ F ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÆÉÇÕÒÕ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÕÀ ÖÉÒÎÏÊ ÌÉÎÉÅÊ. ÷ÏÓØÍÉÕÇÏÌØÎÉËÉ ×ÎÕÔÒÉ ÆÉÇÕÒÙ F ÒÁÓËÒÁÓÉÍ × ×ÅÔÁ ÏÔ 1 ÄÏ 5, Á ×ÓÅ ÍÁÌÙÅ Ë×ÁÄÒÁÔÙ | × ×ÅÔ 6. ðÕÓÔØ ÒÉ ÜÔÏÍ ËÁÖÄÙÊ ×ÏÓØÍÉÕÇÏÌØÎÉË ÉÌÉ Ë×ÁÄÒÁÔ ×ËÌÀÞÁÅÔ ÞÁÓÔØ Ó×ÏÅÊ ÇÒÁÎÉ Ù, ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÎÕÀ ÖÉÒÎÙÍ ÎÁ ÒÉÓ. 17. ÒÅÂÕÅÔÓÑ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ×ÅÔ ÎÅ ÒÅÁÌÉÚÕÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ. ðÕÓÔØ ÄÌÉÎÁ ÓÔÏÒÏÎÙ ÂÏÌØÛÏÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÒÁ×ÎÁ 1. ïÔÒÅÚËÉ ÅÇÏ ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÓÔÏÒÏÎ ×ÎÕÔÒÉ ÍÁÌÏÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ x É y, x 6 y (ÒÉÓ. 18). ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ (ÒÉÓ. 19), ÞÔÏ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÑ ÓÔÏÒÏÎ ÞÅÔÙÒÅÈ ÂÏÌØÛÉÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ×ÎÕÔÒØ ÏÄÎÏÇÏ ÍÁÌÏÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÒÁÚÒÅÚÁÀÔ ÏÓÌÅÄÎÉÊ ÎÁ ÞÅÔÙÒÅ ËÏÎÇÒÕÜÎÔÎÙÈ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ x É y É Ë×ÁÄÒÁÔ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ y − x. îÁÌÏÖÉ× ÕÓÌÏ×ÉÅ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ×ÅÔ ÎÅ ÒÅÁÌÉÚÕÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÉÚ Ä×ÕÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× (ÒÉÓ. 20):  d1 > d2 ; d3 > d4 : òÉÓÕÎËÉ 19 É 20 ÌÅÇËÏ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ×ÙÒÁÚÉÔØ ×ÓÅ di (i = 1; 2; 3; 4) ÞÅÒÅÚ x É y. ðÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×: (p p (1 + y − x)2 + (2x)2 > 1 + (1 − 2x)2 ; p 1 − x − y > 2(x2 + y2 ):

èÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ

207

d2 y−x

d3

d1

d4

òÉÓ. 19.

òÉÓ. 20.

òÅÛÁÑ ÏÔÄÅÌØÎÏ ËÁÖÄÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ x, ÎÁÈÏÄÉÍ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ, ×ÙÒÁÖÁÀÝÕÀ x ÞÅÒÅÚ y, ËÏÔÏÒÁÑ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÏÂÏ-

ÉÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍ: p x = 2 − 4y + y − 1; ÇÄÅ 0 6 y 6 0;5 : (∗) ÁË ËÁË 0 6 √ x 6 y , ÔÏ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÇÒÁÎÉ Ù ÄÌÑ y ÂÏÌÅÅ ÕÚËÉ: 0;25 6 y 6 2 − 1. åÓÌÉ y ÌÅÖÉÔ × ÜÔÏÍ ÒÏÍÅÖÕÔËÅ, ÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ (∗) ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ x, ÒÉÞÅÍ ×ÙÏÌÎÅÎÙ √ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á d1 = d2 É d3 = d4 . éÔÁË, ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÒÉ y ∈ [0;25; 2 − 1℄ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÁÓËÒÁÓËÁ × 6 ×ÅÔÏ× ÔÉÁ (1; 1; 1; 1; 1; ); ÎÏ ËÁËÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÍÏÖÅÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ ? îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ  = d4√ =d2 . √ óÄÅÌÁ× ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ Y = 2 − 4y, ÇÄÅ Y ∈ [2 − 2; 1℄, ÏÌÕÞÁÅÍ: 4 3 2 2 = Y4 − 4Y3 + 8Y2 − 8Y + 4 :

Y

− 8Y

óÄÅÌÁÅÍ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ Z = Y

+ 24Y

− 2,

− 32Y

+ 20 √

ÇÄÅ Z ∈ [− 2; −1℄:

2 2 = 1 + 4Z (Z 4+ 2Z + 2) :

Z +4

þÔÏÂÙ ÏÎÑÔØ Ï×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ  , ×ÙÞÉÓÌÉÍ ÅÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ: (2 )′ = − 2 4 2 (Z 6 + 4Z 5 + 6Z 4 − 12Z 2 − 16Z − 8): 2

(Z + 4)

îÁÍ Ñ×ÎÏ Ï×ÅÚÌÏ, ÔÁË ËÁË ÜÔÏÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÛÅÓÔÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÉÄÕ (2 )′ = − 2 4 2 (Z 2 − 2)[(Z + 1)4 + 2(Z + 1)2 + 1℄ : (Z + 4)

208

á. óÏÊÆÅÒ

 √



üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ − 2; −1 , ËÏÔÏÒÙÊ ÎÁÓ ÉÎÔÅÒÅÓÕÅÔ, ÜËÓ√ ÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎË ÉÉ 2 ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÒÉ √ Z = − 2. ÷ÏÚ×ÒÁÝÁÑÓØ ÏÔ Z Ë Y É y, ÍÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ 0;25; 2 − 1 ÆÕÎË ÉÑ  = (y) ÕÂÙ×Á√ ÅÔ ÏÔ√  = 1= 5 ≈ 0;44721360 (ÞÔÏ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÒÁÓËÒÁÓËÅ ÉÚ ÚÁÄÁÞÉ 11) ÄÏ  = 2 − 1 ≈ 0;41421356 (ÒÁÓËÒÁÓËÁ ÉÚ ÚÁÄÁÞÉ 14). ÁË ËÁË ÒÉ ÜÔÏÍ ÆÕÎË ÉÑ =√ (y) ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁ, ÔÏ ÏÎÁ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÉÚ ÏÔÒÅÚËÁ √ 2 − 1; 1= 5 , É ÔÏÌØËÏ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÕÇÌÁ ' ÍÅÖÄÕ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ ÍÁÌÏÇÏ É ÂÏÌØÛÏÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÎÁ ÒÉÓ. 18 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙ ÄÌÉÎÙ ÜÔÉÈ ÓÔÏÒÏÎ , ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÒÁÓËÒÁÓËÁ ÉÍÅÅÔ ÔÉ (1; 1; 1; 1; 1; ), ÒÉÞÅÍ  ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ . úÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÊ ÆÁËÔ: ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ, ÎÏ ÒÅÄËÉ | ÏÎÉ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÎÅÞÔÏ ×ÒÏÄÅ ËÒÉ×ÏÊ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÕÇÌÏ× É Ä×ÕÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÁÚÍÅÒÏ×!  úÁÍÅÞÁÎÉÅ. úÁÄÁÞÁ ÏÔÙÓËÁÎÉÑ 6-ÒÅÁÌÉÚÕÅÍÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X6 ÔÅÓÎÏ Ó×ÑÚÁÎÁ Ó ÏÔÙÓËÁÎÉÅÍ ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ . òÅÛÅÎÉÅ ÅÒ×ÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÒÏÑÓÎÉÔ ÓÉÔÕÁ ÉÀ ×Ï ×ÔÏÒÏÊ, Á ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ É ÒÉ×ÅÄÅÔ Ë ÅÅ ÒÅÛÅÎÉÀ: ÅÓÌÉ 1 ∈= X6 ; ÔÏ  = 7: ÅÓÌÉ 1 ∈ X6 ; ÔÏ  6 6: ïÔËÒÙÔÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ 17 (A. Soifer [47℄). îÁÊÔÉ X6 . ëÏÎÅÞÎÏ, ×Ù ÏÎÉÍÁÅÔÅ, ÞÔÏ ÒÉ ×ÓÅÊ ÒÏÓÔÏÔÅ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ ÜÔÁ ÒÏÂÌÅÍÁ ÉÓËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÕÄÎÁ. 5. ÷ÂÌÉÚÉ ÎÉÖÎÅÊ ÇÒÁÎÉ Ù

ðÏÎÑÔÉÅ ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÍÏÖÎÏ ××ÅÓÔÉ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÎÏ É ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÅÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á S . èÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ (S ) ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S | ÜÔÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ×ÅÔÏ× × ÅÇÏ ÒÁÓËÒÁÓËÅ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÏÊ ÁÒÙ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ 1. ÷ 1951 Ç. î. ç. ÄÅ âÒ£ÊÎ É ðÁÕÌØ üÒÄ£Û ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÌÉ ÏÞÅÎØ ÏÌÅÚÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ([16℄). ÷ ÎÁÛÅÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ ÏÎ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ. ÅÏÒÅÍÁ ËÏÍÁËÔÎÏÓÔÉ 184) (î. ç. ÄÅ âÒ£ÊÎ, ð. üÒÄ£Û). èÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÒÁ×ÎÏ ÍÁËÓÉÍÕÍÕ ÉÚ ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÞÉÓÅÌ ÅÅ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×. ëÁË ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ, ÒÉ ÏÔÙÓËÁÎÉÉ ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÕÓÉÌÉÑ ÂÙÌÉ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÙ | É Ó ÕÓÅÈÏÍ | ÎÁ ÅÅ ËÏÎÅÞÎÙÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á5) . 4) 5)

úÄÅÓØ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÁËÓÉÏÍÁ ×ÙÂÏÒÁ. ïÄÎÁËÏ ÓÍ. × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ ÎÏ×ÅÊÛÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ.

èÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ

209

ðÒÅÄÌÁÇÁÅÍ ÒÅÛÉÔØ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ä×Å ÚÁÄÁÞÉ. úÁÄÁÞÁ 19. îÁÊÄÉÔÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ Æ3 ÔÏÞÅË × ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÉÍÅÀÝÅÍ ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ 3. úÁÄÁÞÁ 20 (ì. íÏÚÅÒ É õ. íÏÚÅÒ, [35℄). îÁÊÄÉÔÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ Æ4 ÔÏÞÅË × ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÉÍÅÀÝÅÍ ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ 4. (ðÏÄÓËÁÚËÁ: Æ4 = 7.) ÷ÉËÔÏÒ ëÌÉ É óÔÜÎ ÷ÜÊÇÏÎ × ËÎÉÇÅ [34℄ ÏÓÔÁ×ÉÌÉ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÏÔËÒÙÔÕÀ ÒÏÂÌÅÍÕ: ïÔËÒÙÔÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ 21. ðÕÓÔØ k ÒÁ×ÎÏ 5, 6 ÉÌÉ 7. îÁÊÄÉÔÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ Æk ÔÏÞÅË × ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÉÍÅÀÝÅÍ ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ k. òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÜÔÏÔ ×ÏÒÏÓ ÉÍÅÅÔ ÓÍÙÓÌ ÔÏÌØËÏ ÒÉ  > 4. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÎ ÏÄÓËÁÚÙ×ÁÅÔ ÕÔØ ÏÔÙÓËÁÎÉÑ ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ: ÎÕÖÎÏ ÓÔÒÏÉÔØ ËÏÎÅÞÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÔÉÁ €×ÅÒÅÔÅ΁. âÅÄÁ × ÔÏÍ, ÞÔÏ, ÎÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÙÔÏË, ÎÉËÏÍÕ ÄÏ ÓÉÈ ÏÒ ÎÅ ÕÄÁÌÏÓØ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÒÉÍÅÒ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Ó ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÞÉÓÌÏÍ 5. ðÏÕÌÑÒÅÎ ÂÙÌ ÔÁËÏÊ ÏÄÈÏÄ: ÏÓÔÒÏÉÔØ 5-ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÇÒÁÆ É ÏÙÔÁÔØÓÑ ×ÌÏÖÉÔØ ÅÇÏ × ÌÏÓËÏÓÔØ, ÒÅ×ÒÁÔÉ× ÒÉ ÜÔÏÍ ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ × ÓÅÇÍÅÎÔ ÄÌÉÎÙ 1. ïÄÎÁËÏ ÔÉÉÞÎÙÅ ÒÉÍÅÒÙ 4-ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× (ÓÍ. ÒÉÓ. 2 É 5) ÓÔÒÏÑÔÓÑ ÉÚ ÎÅ ÓÌÉÛËÏÍ ÇÉÂËÉÈ ÆÉÇÕÒ | ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×. ÷ÅÒÏÑÔÎÏ, ÜÔÏ É ÏÂÕÄÉÌÏ ðÁÕÌÑ üÒÄ£ÛÁ × 1976 Ç. ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÚÁÄÁÞÕ. úÁÄÁÞÁ 22 (ð. üÒÄ£Û, [7℄). óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÌÏÓËÏÓÔÉ S Ó ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÞÉÓÌÏÍ 4, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ 1? ÷ 1979 Ç. Á×ÓÔÒÁÌÉÊÓËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË îÉËÏÌÁÓ õÏÒÍÏÌÄ ÏÌÕÞÉÌ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ. ÷ Ó×ÏÅÊ ×ÅÞÁÔÌÑÀÝÅÊ ÓÔÁÔØÅ [58℄ õÏÒÍÏÌÄ ÄÏËÁÚÁÌ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ÉÚ 6448 ÔÏÞÅË Ó ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÞÉÓÌÏÍ 4. üÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× É ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÏ×, ×ÓÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÎÙ 1. õÏÒÍÏÌÄÕ ÏÔÒÅÂÏ×ÁÌÁÓØ ÏÍÏÝØ ËÏÍØÀÔÅÒÁ! íÎÅ ÈÏÔÅÌÏÓØ ÂÙ ÄÁÔØ ×ÁÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ Ï ÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÏÊ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ õÏÒÍÏÌÄÁ, ÎÏ ÜÔÁ ÄÌÉÎÎÁÑ ÓÔÁÔØÑ ÔÏÇÄÁ ÓÔÁÌÁ ÂÙ ÅÝÅ ÄÌÉÎÎÅÅ. ÁË ÞÔÏ ÌÕÞÛÅ ÏÂÒÁÔÉÔØÓÑ Ë [58℄ É [51℄. íÅÖÄÕ ÒÏÞÉÍ, ðÁÕÌØ üÒÄ£Û | × Ó×ÏÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÎÏÍ ÓÔÉÌÅ | ÚÁÌÁÔÉÌ îÉËÕ ÚÁ ÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÅ 25 ÄÏÌÌÁÒÏ×. ïÖÉÄÁÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÏÔ×ÅÔÁ × ÚÁÄÁÞÅ 22, ðÁÕÌØ üÒÄ£Û ÒÑÍÏ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÆÒÁÚÅ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÌ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÒÏÂÌÅÍÕ. úÁÄÁÞÁ 23 (ð. üÒÄ£Û, [7℄). ðÕÓÔØ ÌÏÓËÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï S ÒÉ 3 6 n 6 t ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ n-ÕÇÏÌØÎÉËÏ×, ×ÓÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÎÙ 1. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ

210

á. óÏÊÆÅÒ

ÌÉ ÔÁËÏÅ t, ÞÔÏ ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÂÏÌØÛÅ ÔÒÅÈ? ÷ÙÓÔÕÁÑ × 1992 Ç. ÎÁ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ × âÏËÁ òÁÔÏÎ, Ñ ×ÓÏÍÎÉÌ ÚÁÄÁÞÕ 22, ËÏÇÄÁ-ÔÏ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÕÀ ðÁÕÌÅÍ, É ÒÉÄÁÌ ÅÊ ÆÏÒÍÕ ËÏÎËÕÒÓÎÏÇÏ ÚÁÄÁÎÉÑ: ïÔËÒÙÔÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ 24. îÁÊÄÉÔÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ÔÏÞÅË 4 × ÌÏÓËÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å Ó ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÞÉÓÌÏÍ 4, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÍ ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ 1. ðÏÓÔÒÏÊÔÅ ÔÁËÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï S ÉÚ 4 ÔÏÞÅË. íÎÏÇÉÅ ÍÏÌÏÄÙÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ×ËÌÀÞÁÑ ÁÓÉÒÁÎÔÏ×, ×ÄÏÈÎÏ×ÉÌÉÓØ ÜÔÉÍ ×ÙÓÔÕÌÅÎÉÅÍ É ÒÉÎÑÌÉ ÍÏÊ ×ÙÚÏ×. ÁË ÓÌÏÖÉÌÏÓØ, ÞÔÏ × ÔÏÍ ÖÅ ÁËÁÄÅÍÉÞÅÓËÏÍ ÇÏÄÕ ÒÉ ÏÄÄÅÒÖËÅ ×ÅÌÉËÏÇÏ ÇÅÏÍÅÔÒÁ âÒÁÎËÏ çÒÀÎÂÁÕÍÁ, Á ÚÁÔÅÍ É ðÁÕÌÑ üÒÄ£ÛÁ, Ñ ÏÓÎÏ×ÁÌ ÖÕÒÎÁÌ €çÅÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ, ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ × Ó×ÏÅÍ ÒÏÄÅ; ÏÎ ÏÓ×ÑÝÅÎ ÏÔËÒÙÔÙÍ ÒÏÂÌÅÍÁÍ × ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ É ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÓÍÅÖÎÙÈ ÏÂÌÁÓÔÑÈ. é Õ ÎÁÓ ÏÌÕÞÉÌÏÓØ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÅ ÍÉÒÏ×ÏÇÏ ÕÒÏ×ÎÑ. ìÉÛØ ×ÚÇÌÑÎÉÔÅ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÔÁÂÌÉ Ù 2 É 3 (ÏÂÈ×ÁÔ ÇÒÁÆÁ | ÜÔÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ × ËÁËÏÍ-ÌÉÂÏ ÅÇÏ ÉËÌÅ). çÒÁÆÙ, ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÅ ÒÅËÏÒÄÓÍÅÎÁÍÉ, ÓÔÏÌØ ÖÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÙ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉ, ÓËÏÌØ É ÒÏÓÔÏ ËÒÁÓÉ×Ù. ÷ÓÅ ÏÎÉ ÂÕÄÕÔ ×ËÌÀÞÅÎÙ × ËÎÉÇÕ [51℄. îÏ Ñ ÄÏÌÖÅÎ ÒÏÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÏ×ÁÔØ ×ÁÍ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÉÎ ÇÒÁÆ | ÕÓÔØ ÜÔÏ ÂÕÄÅÔ €òÙÂÁ èÏÈÂÅÒÇÁ { ï'äÏÎÎÅÌÌÁ (ÒÉÓ. 21). îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÇÒÁÆÁ G | ÜÔÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ×ÅÔÏ× × ÅÇÏ ÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÒÁÓËÒÁÓËÅ (ËÏÇÄÁ ÓÏÓÅÄÎÉÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÏËÒÁÛÅÎÙ × ÒÁÚÎÙÅ ×ÅÔÁ). ÷ÏÚÍÏÖÎÏ, ×Ù ÚÎÁÅÔÅ (ÅÓÌÉ ÎÅÔ, ÔÏ ÏÓÍÏÔÒÉÔÅ × ÌÀÂÏÊ ÓÅÒØÅÚÎÏÊ ËÎÉÇÅ Ï ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÁÆÏ×), ÞÔÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÇÒÁÆ Ó ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÞÉÓÌÏÍ 4, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×, | ÜÔÏ ÇÒÁÆ çÒ£ ÛÁ Ó 11 ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ. €òÙÂÁ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ×ÓÅÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÎÁ ÇÒÁÆ çÒ£ ÛÁ ÌÀÓ ÅÝÅ ÏÄÎÏ: ÜÔÏ ÇÒÁÆ ÅÄÉÎÉÞÎÙÈ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ (Ô. Å. ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ÉÍÅÅÔ ÄÌÉÎÕ 1). úÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏ, ÞÔÏ òÏÂ É ðÁÕÌØ ÏÂÏÛÌÉÓØ ×ÓÅÇÏ 23 ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ. ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ? îÅ Õ×ÅÒÅÎ. îÏ ÏÎÏ, ÎÅÓÏÍÎÅÎÎÏ, ÏÞÅÎØ ÂÌÉÚËÏ Ë ÎÁÉÍÅÎØÛÅÍÕ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁ ÓÔÒÁÎÉ ÁÈ €çÅÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËɁ ÍÙ ÒÏÄ×ÉÎÕÌÉÓØ ÏÔ 6448 ÄÏ 23 | ÎÅ×ÅÒÏÑÔÎÙÊ ÒÏÇÒÅÓÓ! íÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÏÙÔËÉ ÕÓÉÌÉÔØ ÎÉÖÎÀÀ Ï ÅÎËÕ ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÅ Õ×ÅÎÞÁÌÉÓØ ÕÓÅÈÏÍ. ÷ÉÄÑ ÂÅÚÎÁÄÅÖÎÏÓÔØ ÓÉÔÕÁ ÉÉ (ÉÌÉ ÉÚ ÌÀÂÏÚÎÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ), ÚÎÁÍÅÎÉÔÙÊ ÁÍÅÒÉËÁÎÓËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË òÏÎÁÌÄ ì. çÒÜÈÅÍ (ÎÙÎÅ ÒÅÚÉÄÅÎÔ áÍÅÒÉËÁÎÓËÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÁÓÓÏ ÉÁ ÉÉ É ËÁÚÎÁÞÅÊ îÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÁËÁÄÅÍÉÉ ÎÁÕË) ÕÓÔÁÎÏ×ÉÌ ×ÙÓÏËÕÀ ÒÅÍÉÀ × 1000 ÄÏÌÌÁÒÏ× ÚÁ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÁÛÅÊ ÚÁÄÁÞÉ.

èÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ

211

6448 î. õÏÒÍÏÌÄ 1979 Austr. Math. So . A 28, 1{8 56 ð. ï'äÏÎÎÅÌÌ ÉÀÌØ 1994 Geombinatori s IV(1), 23{29 47 ë. þÉÌÁËÁÍÁÒÒÉ ÑÎ×ÁÒØ 1995 Geombinatori s IV(3), 64{76 46 ò. èÏÈÂÅÒÇ 1995 ÎÅ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÏ 40 ð. ï'äÏÎÎÅÌÌ ÉÀÌØ 1995 Geombinatori s V(1), 31{34 23 ò. èÏÈÂÅÒÇ ÁÒÅÌØ 1996 Geombinatori s V(4),137{141 É ð. ï'äÏÎÎÅÌÌ íÉÒÏ×ÙÅ ÒÅËÏÒÄÙ: ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÇÒÁÆ ÅÄÉÎÉÞÎÙÈ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ Ó ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÞÉÓÌÏÍ 4 É ÏÂÈ×ÁÔÏÍ 4 ÁÂÌ. 2.

6448 45

î. õÏÒÍÏÌÄ 1979 Austr. Math. So . A 28, 1-8 ò. èÏÈÂÅÒÇ ÁÒÅÌØ 1996 Geombinatori s V(4),137-141 É ð. ï'äÏÎÎÅÌÌ

íÉÒÏ×ÙÅ ÒÅËÏÒÄÙ: ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÇÒÁÆ ÅÄÉÎÉÞÎÙÈ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ Ó ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÞÉÓÌÏÍ 4 É ÏÂÈ×ÁÔÏÍ 5 ÁÂÌ. 3.

òÉÓ. 21. òÙÂÁ èÏÈÂÅÒÇÁ { ï'äÏÎÎÅÌÌÁ: ÒÅËÏÒÄÎÙÊ ÇÒÁÆ ÅÄÉÎÉÞÎÙÈ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ Ó ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÞÉÓÌÏÍ 4, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×

212

á. óÏÊÆÅÒ

ÙÓÑÞÅÄÏÌÌÁÒÏ×ÁÑ ÏÔËÒÙÔÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ 25 (ò. ì. çÒÜÈÅÍ, íé, ÌÅË ÉÑ ÄÌÑ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÁÍÅÒÉËÁÎÓËÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÙ, ÍÁÊ 2001 Ç.). òÁ×ÎÏ ÌÉ ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÞÅÔÙÒÅÍ? ïÄÎÁËÏ ÍÎÏÇÏÅ ÕÄÁÌÏÓØ ÕÚÎÁÔØ Ï 4-ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÇÒÁÆÁÈ ÅÄÉÎÉÞÎÙÈ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ. îÁ ÍÏÊ ×ÚÇÌÑÄ, ÌÕÞÛÉÊ ÉÚ ÜÔÉÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÕÏÍÑÎÕÔÏÊ ×ÙÛÅ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÉ ðÏÌÁ ï'äÏÎÎÅÌÌÁ. ïÎ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÒÅÛÁÅÔ ÚÁÄÁÞÕ ðÁÕÌÑ üÒÄ£ÛÁ 23 (ÓÍ. ×ÙÛÅ). ÅÏÒÅÍÁ ï'äÏÎÎÅÌÌÁ 26 ([38℄). óÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ 4-ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÇÒÁÆÙ ÅÄÉÎÉÞÎÙÈ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ Ó ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÏÂÈ×ÁÔÏÍ. 6. ÷ÚÇÌÑÄ × ÂÕÄÕÝÅÅ: ÁËÓÉÏÍÁ ×ÙÂÏÒÁ É ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ

ÒÕÄÎÏ ÒÅÄÓËÁÚÙ×ÁÔØ, ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÂÕÄÕÝÅÅ

óÔÁÒÉÎÎÁÑ ÄÁÔÓËÁÑ ÏÓÌÏ×É Á ïÄÎÁÖÄÙ × ÎÁÞÁÌÅ 1984 Ç. × ÎÅÂÏÌØÛÏÍ ÒÅÎÅÓÓÁÎÓÎÏÍ ÇÏÒÏÄËÅ õÄÉÎÏ ÂÌÉÚ ÷ÅÎÅ ÉÉ Ñ ÏÚÎÁËÏÍÉÌÓÑ Ó ÍÏÌÏÄÙÍ ÉÚÒÁÉÌØÓËÉÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÍ óÁÈÁÒÏÎÏÍ ûÅÌÁÈÏÍ, Ï ËÏÔÏÒÏÍ ÔÏÇÄÁ ÍÎÏÇÏ ÇÏ×ÏÒÉÌÉ × ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ËÒÕÇÁÈ: ÏÎ ÒÅÛÉÌ ÄÏÌÇÏ ÓÔÏÑ×ÛÕÀ ÒÏÂÌÅÍÕ õÁÊÔÈÅÄÁ. óÁÈÁÒÏÎÕ ÏÎÒÁ×ÉÌÉÓØ ÍÏÉ ÚÁÄÁÞÉ É ÇÉÏÔÅÚÙ ÉÚ ÏÂÌÁÓÔÉ ÁÂÅÌÅ×ÙÈ ÇÒÕ, É ÏÎ ÒÅÄÌÏÖÉÌ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏ ÒÁÂÏÔÁÔØ ÎÁÄ ÎÉÍÉ. òÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ÉÎÔÅÎÓÉ×ÎÏÊ ÒÁÂÏÔÙ × ÔÅÞÅÎÉÅ ÎÅÄÅÌÉ ÓÔÁÌÉ Ä×Å ÓÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÙÅ ÓÔÁÔØÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÑ×ÉÌÉÓØ × Journal of Algebra. ÷ ËÏÎ Å 2002 Ç. óÁÈÁÒÏÎ ÓÎÏ×Á ÒÅÄÌÏÖÉÌ ÒÁÂÏÔÁÔØ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏ. þÔÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÌÕÞÛÅÊ ÚÁÄÁÞÅÊ ÄÌÑ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ? ïÔ×ÅÔ ÒÉÛÅÌ ÎÅÍÅÄÌÅÎÎÏ. ûÅÌÁÈ | ÏÄÉÎ ÉÚ ËÒÕÎÅÊÛÉÈ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ× ×ÓÅÈ ×ÒÅÍÅÎ × ÌÏÇÉËÅ É ÔÅÏÒÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÔÁË ÞÔÏ Ñ ÒÅÛÉÌ ÏÂÓÕÄÉÔØ Ó ÎÉÍ ÍÏÉ ÍÙÓÌÉ Ï Ï×ÏÄÕ ÚÎÁÍÅÎÉÔÏÇÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ üÒÄ£ÛÁ { ÄÅ âÒ£ÊÎÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÎÁÓÞÉÔÙ×ÁÌ ÕÖÅ 50 ÌÅÔ. îÉÖÅ ÉÚÌÏÖÅÎ ÉÔÏÇ ÎÁÛÉÈ ÒÁÂÏÞÉÈ ×ÓÔÒÅÞ × 2002 Ç. É 2003 Ç. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÜÔÉÈ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÙÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÒÉ×ÅÄÅÎÙ × [40℄ (ËÒÁÔËÏÅ ÒÅÚÀÍÅ | × [41℄), Á ÄÒÕÇÉÅ ÏËÁ ÎÅ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÙ [42℄. 6.1. ðÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ×ÏÒÏÓÁ

÷ Ó×ÏÅÊ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÏÊ ÒÁÂÏÔÅ 1951 Ç. [16℄ ðÁÕÌØ üÒÄ£Û É î. ç. ÄÅ âÒ£ÊÎ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ËÏÎÅÞÎÏÍ ÏÄÇÒÁÆÅ (ÓÍ. ÔÅÏÒÅÍÕ ËÏÍÁËÔÎÏÓÔÉ 18). åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÜÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÓÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÌ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌÅÊ × ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÇÒÁÆÏ× ÅÄÉÎÉÞÎÙÈ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ. îÁ ÚÁÄÎÅÍ ÌÁÎÅ, ÏÄÎÁËÏ, ÏÓÔÁÌÏÓØ ÏÄÎÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ üÒÄ£ÛÁ { ÄÅ âÒ£ÊÎÁ:

èÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ

213

× ÎÅÍ ×ÅÓØÍÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÁÓØ ÁËÓÉÏÍÁ ×ÙÂÏÒÁ. åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÜÔÏÍÕ ÓÒÏÓÉÔØ: Á ÅÓÌÉ ÂÙ €×ÙÂÏÒÁ ÎÅ ÂÙÌÏ? åÇÏ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ | ËÁË × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÔÁË É × ÖÉÚÎÉ | ÍÏÖÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÌÉÑÔØ ÎÁ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ (ÒÏÓÓÉÊÓËÉÅ ÞÉÔÁÔÅÌÉ ÚÎÁÀÔ ÜÔÏ ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÈÏÒÏÛÏ). îÉÖÅ ÒÉ×ÅÄÅÎ ÒÉÍÅÒ ÇÒÁÆÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ R2 , ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÓÉÓÔÅÍÙ ÁËÓÉÏÍ ÔÅÏÒÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×. úÄÅÓØ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÁ ÉÎÁÑ ÓÉÔÕÁ ÉÑ, ÞÅÍ × ÚÁÄÁÞÅ Ï ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÞÉÓÌÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÎÏ ÜÔÏÔ ÒÉÍÅÒ ÑÒËÏ ÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÕÅÔ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÏÔ ÎÁÌÉÞÉÑ ÉÌÉ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÑ ÁËÓÉÏÍÙ ×ÙÂÏÒÁ. ÷ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÍÙ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÕÓÌÏ×ÎÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÞÉÓÌÅ, ËÏÔÏÒÁÑ ËÏÎËÒÅÔÎÏ ÕËÁÚÙ×ÁÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÑ, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÏÄÎÏ ÉÚ Ä×ÕÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÁËÓÉÏÍ ÔÅÏÒÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×. 6.2. ðÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÙÅ Ó×ÅÄÅÎÉÑ

÷ÓÏÍÎÉÍ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÔÅÏÒÅÔÉËÏ-ÍÎÏÖÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ. ÷ 1904 Ç. üÒÎÓÔ æÒÉÄÒÉÈ æÅÒÄÉÎÁÎÄ ãÅÒÍÅÌÏ [59℄ ÆÏÒÍÁÌÉÚÏ×ÁÌ ÁËÓÉÏÍÕ ×ÙÂÏÒÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ÄÏ ÜÔÏÇÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÁÓØ ÎÁ ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ. áËÓÉÏÍÁ ×ÙÂÏÒÁ (AC). ëÁÖÄÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï  ÎÅÕÓÔÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÆÕÎË ÉÅÊ ×ÙÂÏÒÁ, Ô. Å. ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f , ÞÔÏ f (S ) ∈ ∈ S ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ S ÉÚ . ÷Ï ÍÎÏÇÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÈ × ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÓÞÅÔÎÙÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÁËÓÉÏÍÙ ×ÙÂÏÒÁ: óÞÅÔÎÁÑ ÁËÓÉÏÍÁ ×ÙÂÏÒÁ (ACℵ0 ). ëÁÖÄÏÅ ÓÞÅÔÎÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÎÅÕÓÔÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÆÕÎË ÉÅÊ ×ÙÂÏÒÁ. ÷ 1942 Ç. ðÁÕÌØ éÓÁÁË âÅÒÎÁÊÓ [1℄ ××ÅÌ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÁËÓÉÏÍÕ: ðÒÉÎ É ÚÁ×ÉÓÉÍÏÇÏ ×ÙÂÏÒÁ (DC). ðÕÓÔØ E | ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ ÎÅÕÓÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A, ÒÉÞÅÍ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ a ∈ A ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ b ∈ A, ÞÔÏ aEb. ÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ a1 ; a2 ; : : : ; ak ; : : : , ÞÔÏ an Ean+1 ÒÉ ×ÓÅÈ n < !. éÚ AC ×ÙÔÅËÁÅÔ DC (ÓÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ, ÔÅÏÒÅÍÕ 8.2 ÉÚ [32℄), ÎÏ ÎÅ ÏÂÒÁÔÎÏ. ÷ Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ ÉÚ DC ×ÙÔÅËÁÅÔ ACℵ0 , ÎÏ ÎÅ ÏÂÒÁÔÎÏ. áËÓÉÏÍÁ DC | ÓÌÁÂÁÑ ÆÏÒÍÁ ÁËÓÉÏÍÙ AC; ÏÎÁ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÁ ÄÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ÌÅÂÅÇÏ×ÏÊ ÍÅÒÙ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, òÏÂÅÒÔ í. óÏÌÏ×ÜÊ ÓÄÅÌÁÌ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ [53℄ × ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ×ÏÒÏÓ óÏÊÆÅÒÁ: €îÕÖÎÁ ÌÉ ÁËÓÉÏÍÁ DC ÄÌÑ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÇÏ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÌÅÂÅÇÏ×ÏÊ ÍÅÒÙ (ÒÉ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÉ ÁËÓÉÏÍÙ ×ÙÂÏÒÁ), ÉÌÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÓÞÅÔÎÏÊ ÁËÓÉÏÍÙ ×ÙÂÏÒÁ?

214

á. óÏÊÆÅÒ

€ñ ÄÕÍÁÌ Ï ÜÔÏÍ × ÎÁÞÁÌÅ 60-È. áËÓÉÏÍÁ DC ÏÔÒÅÂÏ×ÁÌÁÓØ ÔÏÌØËÏ × ÔÅÏÒÅÍÅ òÁÄÏÎÁ { îÉËÏÄÉÍÁ. îÏ Ñ ÄÏÕÓËÁÀ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÂÏÌÅÅ ÔÏÎËÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ, ÏÚ×ÏÌÑÀÝÅÅ ÏÂÏÊÔÉÓØ ÓÞÅÔÎÏÊ ÁËÓÉÏÍÏÊ ×ÙÂÏÒÁ. ñ ÌÉÛØ ÚÁÍÅÔÉÌ, ÞÔÏ ÏÂÙÞÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï [ÓÍ. èÁÌÍÏÛÁ℄ ÉÓÏÌØÚÕÅÔ DC.

îÁÍ ÏÎÁÄÏÂÉÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÁËÓÉÏÍÁ: (LM) ìÀÂÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÉÚÍÅÒÉÍÏ Ï ìÅÂÅÇÕ. ëÁË ×ÓÅÇÄÁ, ZF ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÓÉÓÔÅÍÕ ÁËÓÉÏÍ ÔÅÏÒÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× ãÅÒÍÅÌÏ { æÒÅÎËÅÌÑ, Á ZFC | ÔÕ ÖÅ ÓÉÓÔÅÍÕ Ó ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÁËÓÉÏÍÙ ×ÙÂÏÒÁ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉ× ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÎÅÄÏÓÔÉÖÉÍÏÇÏ ËÁÒÄÉÎÁÌÁ, òÏÂÅÒÔ í. óÏÌÏ×ÜÊ × 1964 Ç. ÏÓÔÒÏÉÌ (Á × 1970 Ç. ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÌ) ÍÏÄÅÌØ, ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÝÕÀ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ [52℄: ÅÏÒÅÍÁ óÏÌÏ×ÜÑ 27. óÉÓÔÅÍÁ ÁËÓÉÏÍ ZF+DC+LM ÎÅÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉ×Á. ëÁË ÏÔÍÅÞÁÅÔ ÏÍÁÓ êÅË [32℄, × ÍÏÄÅÌÉ óÏÌÏ×ÜÑ ÌÀÂÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÂÏÒÅÌÅ×ÓËÏÇÏ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÅÒÙ ÎÕÌØ. 6.3. ðÅÒ×ÙÊ ÒÉÍÅÒ

ïÒÅÄÅÌÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÇÒÁÆ U 2 : ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ÌÏÓËÏÓÔÉ R2 , ÒÉÞÅÍ ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÏÅÄÉÎÅÎÙ ÒÅÂÒÏÍ, ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ÒÁ×ÎÏ 1. ÁËÏÊ ÇÒÁÆ ÍÏÖÎÏ ÎÁÚ×ÁÔØ ÌÏÓËÏÓÔØÀ ÅÄÉÎÉÞÎÙÈ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ, É ÅÇÏ ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÞÉÓÌÏÍ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ×ÙÛÅ. ëÏÎÅÞÎÙÅ ÏÄÇÒÁÆÙ ÉÚ U 2 ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÌÏÓËÉÍÉ ÇÒÁÆÁÍÉ ÅÄÉÎÉÞÎÙÈ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ . ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÍÎÏÖÅÓÔ×Á €ÚÁÒÅÝÅÎÎÙȁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ × ÄÁÎÎÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÎÅ ÔÏÌØËÏ {1}, ÎÏ É ÌÀÂÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ S . íÙ ÂÕÄÅÍ ÏÌÕÞÁÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ R2 | ÉÌÉ ÎÁ ÄÒÕÇÏÍ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÉÌÉ ÅÇÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å. âÕÄÅÔ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÉÈ ÇÒÁÆÁÍÉ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ . ïÒÅÄÅÌÉÍ ÇÒÁÆ G2 ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ ÓÌÕÖÉÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R2 ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË ÌÏÓËÏÓÔÉ, Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÂÅÒ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ 2 2 ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ√ÞÅÔÙÒÅÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× √

√ √{(s;
t) :√s; t ∈√R
; s − t − " ∈ Q }, ÇÄÅ " ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 2; 0 , 0; 2 , 2; 2 É 2; − 2 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 1. ÷ ÔÅÏÒÉÉ ZFC ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÇÒÁÆÁ G2 ÒÁ×ÎÏ 4. √ √  äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ S = ( q 1 + n1 2; q2 + n2 2) : qi ∈ Q; ni ∈ Z . ïÒÅÄÅÌÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ E ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å R2 : sEt ⇔ s − t ∈ S . ðÕÓÔØ Y | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ ËÌÁÓÓÏ× ÜÔÏÊ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ t ∈ R2 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ

èÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ

215

√

√

y(t) ∈ Y , ÔÁËÏÅ ÞÔÏ t − y(t) = (q1 + n1 2; q2 + n2 2) ∈ S . éÓËÏÍÁÑ ÒÁÓËÒÁÓËÁ × 4 ×ÅÔÁ (t) ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: (t) = (l1 ; l2 ), ÇÄÅ li = 0; 1, li ≡ ni (mod 2).  ÷ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ ÁËÓÉÏÍÙ ×ÙÂÏÒÁ ÓÉÔÕÁ ÉÑ ÒÅÚËÏ ÍÅÎÑÅÔÓÑ: õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 2. ÷ ÔÅÏÒÉÉ ZF + ACℵ0 + LM ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÇÒÁÆÁ G2 ÎÅ ÒÁ×ÎÏ ÎÉËÁËÏÍÕ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍÕ n É ÄÁÖÅ ÎÅ ÒÁ×ÎÏ ℵ0 .

õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 2 ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÊ 1 É 2:

ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 1. ðÕÓÔØ A1 ; : : : ; An ; : : : | ÉÚÍÅÒÉÍÙÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á S × R2 , ÒÉÞÅÍ n 109 : (I )

√

(0:1)

√

÷ÏÚØÍÅÍ ÔÁËÏÅ q ∈ Q, ÞÔÏ 2 < q < 2+ a=10. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÓÄ×ÉÇ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A: ÏÇÄÁ



√





√



B = A − q − 2; 0 = { x − q + 2; y : (x; y) ∈ A} : (B ∩ I ) 8 > : (I ) 10

(0:2)

÷ ÓÉÌÕ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× (0.1) v = (x; y) ∈ I ∩ A ∩ B . ÁË ËÁË  É (0.2)√ÎÁÊÄÅÔÓÑ
 (x; y) ∈ B√, ÔÏ
w = x + q − 2 ; y ∈ A. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, v; w ∈ A É v − w − 2; 0 = (−q; 0) ∈ Q2 . üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ {v; w} | ÒÅÂÒÏ ÇÒÁÆÁ G2 , ÏÂÁ ËÏÎ Á ËÏÔÏÒÏÇÏ ÌÅÖÁÔ × A. ðÏÌÕÞÅÎÏ ÉÓËÏÍÏÅ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. S ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 1 ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÔÅÅÒØ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ. ðÏÓËÏÌØËÕ n p). õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ. ëÁÞÅÓÔ×Ï ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ  ÌÕÞÛÅ , ÞÅÍ ËÁÞÅÓÔ×Ï ÉÓÈÏÄÎÏÊ (ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ) ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ": F () > F ("). äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ (ÓÍ. ÒÁÚÄÅÌ 5) ÂÕÄÅÔ ÌÅÇËÏ ÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÉÚ ÅÎÔÒÁÌØÎÏÊ ÄÌÑ ×ÓÅÊ ÚÁÍÅÔËÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÌÅÍÍÙ, ËÏÔÏÒÏÊ ÏÓ×ÑÝÅÎ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÁÚÄÅÌ. 4. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÌÅÍÍÁ

ìÅÍÍÁ. ðÕÓÔØ M É A | Ä×Å ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÔÏÞËÉ ×ÎÕÔÒÉ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ 1 , 2 , : : : , n , É ÕÓÔØ ÔÏÞËÁ A ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ×ÎÕÔÒÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ △ M 1 . ðÕÓÔØ h1 , h2 , : : : , hn | ×ÙÓÏÔÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× △ M 1 , △ M 2 , . . . , △ M n , ÏÕÝÅÎÎÙÅ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ M ÎÁ ÓÔÏÒÏÎÙ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ ÉÌÉ ÉÈ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÑ , Á r1 , r2 , . . . , rn | ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÏÔ ÔÏÞËÉ A ÄÏ ÒÑÍÙÈ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ÜÔÉ ÓÔÏÒÏÎÙ. ÏÇÄÁ ÒÉ ×ÓÅÈ i = 2; 3; : : : ; n ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï : h1 hi > r (ÓÍ. ÒÉÓ. 2): (1) r1 i äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÏÓËÏÌØËÕ ÔÏÞËÁ A ÌÅÖÉÔ ×ÎÕÔÒÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ −−→ M 1 , ÏÎÁ ÎÅ ÌÅÖÉÔ ×ÎÕÔÒÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ △ M i . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÌÕÞ MA △ Ó ×ÅÒÛÉÎÏÊ M ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÓÔÏÒÏÎÕ 1 ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÅÇÏ −−→ ÓÔÏÒÏÎÕ i (ÒÉÓ. 2). ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ B1 ÔÏÞËÕ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÌÕÞÁ MA ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ 1 , Á ÞÅÒÅÚ M1 É A1 , Mi É Ai | ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÒÏÅË ÉÉ ÔÏÞÅË M É A ÎÁ ÒÑÍÙÅ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ÓÔÏÒÏÎÙ 1 É i , ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ.

234

ç. á. çÁÌØÅÒÉÎ

i

Mi Ai

ri

Bi B1

A h1 r1 A1 1

òÉÓ. 2.

M

hi

M1

çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÌÅÍÍÁ:

h1 hi > r , i = 2; : : : ; n r1 i

éÚ ÏÄÏÂÎÙÈ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× △ MM1 B1 É △ AA1 B1 ÎÁÈÏÄÉÍ, ÞÔÏ h1 MB1 MA = = 1 + : r1 AB1 AB1

(2)

−−→

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÅÒØ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÌÕÞÁ MA Ó ÒÑÍÏÊ `i , ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ ÓÔÏÒÏÎÕ i . íÏÖÅÔ ÓÌÕÞÉÔØÓÑ ÔÁË, ÞÔÏ ÜÔÏ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÕÓÔÏ | ÔÁËÏÅ −−→ −−→ ÒÏÉÚÏÊÄÅÔ ÌÉÂÏ ËÏÇÄÁ MAk i , ÌÉÂÏ ËÏÇÄÁ ÌÕÞ MA ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ Ó ÒÑÍÏÊ −−→ `i (Á, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÂÒÁÔÎÙÊ ÅÍÕ ÌÕÞ AM ÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ Ó ÒÑÍÏÊ `i ). ÷ ÅÒ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ hi =ri = 1, Á ×Ï ×ÔÏÒÏÍ hi =ri < 1, É ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (1) ×ÙÏÌÎÅÎÏ Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ: ÌÅ×ÁÑ ÅÇÏ ÞÁÓÔØ ÓÔÒÏÇÏ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ 1, Á ÒÁ×ÁÑ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ 1. åÓÌÉ ÖÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÙÈ ÌÕÞÁ É ÒÑÍÏÊ ÎÅ ÕÓÔÏ, ÔÏ ÔÏÞ−−→ ËÕ ÉÈ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ Bi = MA ∩ i . üÔÁ ÔÏÞËÁ Bi ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÉ ÏÔÒÅÚËÁ MB1 , ÏÜÔÏÍÕ ABi > AB1 . äÁÌÅÅ ÒÁÓÓÕÖÄÁÅÍ ËÁË É ÒÁÎØÛÅ: ÉÚ ÏÄÏÂÎÙÈ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× △ MMi Bi É △ AAi Bi (ÒÉÓ. 2) ÉÍÅÅÍ hi MBi MA = AB = 1 + AB ; (3) r i

i

i

ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (2) É (3), ×ÉÄÉÍ (Ó ÕÞÅÔÏÍ ABi > > AB1 ), ÞÔÏ h1 =r1 > hi =ri , ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ.  5. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ:

F ( ) > F (")

÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ  = (ip → ip+1 → ip+2 → · · · → ik → ip ) ×ÓÅ ÎÏ×ÙÅ (ÚÁÍÅÎÅÎÎÙÅ) ÒÏÖÅËÔÏÒÁ ip ip+1 , ip+1 ip+2 , . . . , ik ip ÎÁÞÉÎÁÀÔ ÏÓ×ÅÝÁÔØ ÔÏÞËÕ A, ËÏÔÏÒÕÀ ÉÓÈÏÄÎÙÅ ÒÏÖÅËÔÏÒÁ pip , p+1ip+1 , . . . , kik ÄÏ ÜÔÏÇÏ ÎÅ ÏÓ×ÅÝÁÌÉ. óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, Ë ÎÉÍ ÍÏÖÎÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅ-

çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÷. ÷. ðÒÏÉÚ×ÏÌÏ×Á

ÓËÕÀ ÌÅÍÍÕ É ÚÁÉÓÁÔØ: hip ip+1 hip ip > ; rip+1 (A) rip (A)

hip+1 ip+2 hip+1 ip+1 > ; rip+2 (A) rip+1 (A)

:::;

hik ip > hik ik : rip (A) rik (A)

235

(4)

á ÔÏÇÄÁ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÌÅ×ÙÈ ÞÁÓÔÅÊ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× (4) ÓÔÒÏÇÏ ÂÏÌØÛÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÉÈ ÒÁ×ÙÈ ÞÁÓÔÅÊ. ðÏÜÔÏÍÕ, ÅÓÌÉ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÙÓÏÔ ×ÓÅÈ n ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ  ÎÁ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÓÅÈ n ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ÏÔ ÔÏÞËÉ A ÄÏ ÓÔÏÒÏÎ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÔÏ ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÂÕÄÅÔ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÅÓÌÉ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÙÓÏÔ ×ÓÅÈ n ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ " ÎÁ ÔÏ ÖÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÓÅÈ n ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ÏÔ ÔÏÞËÉ A ÄÏ ÓÔÏÒÏÎ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ (ÍÙ ÄÏÂÁ×ÉÌÉ × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× (4) ÏÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÆÁËÔÏÒÙ, ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÄÌÑ ÏÂÅÉÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË): F ( )

Qn k=1 rik (A)

>

F (")

Qn k=1 rik (A)

:

(5)

ïÓÔÁÌÏÓØ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ × (5) ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÉ ÄÒÏÂÅÊ ÏÄÉÎÁËÏ×Ù, ÏÔËÕÄÁ É ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÓËÏÍÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï F () > F ("). õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÄÏËÁÚÁÎÏ.  6. úÁ×ÅÒÛÅÎÉÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÒÏÂÌÅÍÙ

éÔÁË, ÍÙ ÄÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÔÏÞËÁ A ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÅ ÏÓ×ÅÝÅÎÁ, ÔÏ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÉÓÁÎÎÏÊ × ÒÁÚÄÅÌÅ 3 ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÒÏÖÅËÔÏÒÏ× ÏÎÁ ÕÖÅ ÂÕÄÅÔ ÏÓ×ÅÝÅÎÁ, ÒÉÞÅÍ ËÁÞÅÓÔ×Ï F () ÎÏ×ÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÂÕÄÅÔ ÓÔÒÏÇÏ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔØ ËÁÞÅÓÔ×Ï F (") ÉÓÈÏÄÎÏÊ. ÷ÏÚØÍÅÍ ÔÅÅÒØ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ  Ó ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÍ ËÁÞÅÓÔ×ÏÍ: F () = = max! F (!), É ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ×ÅÓØ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË ÏÓ×ÅÝÅÎ ÒÏÖÅËÔÏÒÁÍÉ, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÍÉ ÜÔÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÅ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ ËÁËÁÑ-ÔÏ ÔÏÞËÁ A ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÅ ÏÓ×ÅÝÅÎÁ, ÔÏ ÅÅ ÍÏÖÎÏ ÏÓ×ÅÔÉÔØ ÎÏ×ÙÍ ÎÁÂÏÒÏÍ ÒÏÖÅËÔÏÒÏ×, ËÏÔÏÒÏÍÕ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ Ó ÌÕÞÛÉÍ ÞÅÍ Õ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ  ËÁÞÅÓÔ×ÏÍ, Á ÜÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ × ÓÉÌÕ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ÍÎÏÇÏ ÕÇÏÌØÎÉËÁ ÏÓ×ÅÝÅÎÙ, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ. 7. ïÂÏÂÝÅÎÉÅ

÷ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÍ ×ÙÛÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÍÙ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉ ÔÏ ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÓÔ×Ï, ÞÔÏ ×ÓÅ n ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÔÏÞÅË ÎÁÈÏÄÉÌÉÓØ ×ÎÕÔÒÉ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ: ÎÁ ÜÔÏÍ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ ÂÁÚÉÒÕÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÌÅÍÍÙ (ÒÁÚÄÅÌ 4). åÓÌÉ ÖÅ ÞÁÓÔØ ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÔÏÞÅË ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÓÎÁÒÕÖÉ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ Ï-ÒÅÖÎÅÍÕ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ, Á ÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÍÏÄÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ.

236

ç. á. çÁÌØÅÒÉÎ

÷ÍÅÓÔÏ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ×ÓÅ n! ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÌÉÛØ ÉÈ ÞÁÓÔØ, . ÷ ×ËÌÀÞÉÍ ÔÏÌØËÏ ÔÅ ÎÁÂÏÒÙ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÒÏÖÅËÔÏÒÏ× kik , × ËÏÔÏÒÙÈ ÞÉÓÌÏ ÒÏÖÅËÔÏÒÏ×, ×Ï×ÓÅ ÎÅ ÏÓ×ÅÝÁÀÝÉÈ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË, ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ. (ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÏÄÎÏ É ÔÏ ÖÅ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË, ×ÈÏÄÑÝÉÈ ×

, ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ÉÚ Ä×ÕÈ ÎÅÒÁ×ÎÙÈ ÎÁÂÏÒÏ× × ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÍÅÎØÛÉÊ ÉÚ ÎÉÈ.) åÓÌÉ ÎÁÂÏÒ ÒÏÖÅËÔÏÒÏ× ÉÚ ÎÅ ÏËÒÙ×ÁÅÔ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ É, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÔÏÞËÁ A ×ÎÕÔÒÉ ÎÅÇÏ ÎÅ ÏÓ×ÅÝÅÎÁ, ÔÏ ÓÏ×ÅÒÛÉ×, ËÁË É ×ÙÛÅ × ÒÁÚÄÅÌÅ 3, ÉËÌÉÞÅÓËÕÀ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ  = (ip → ip+1 → ip+2 → · · · → ik → ip ), ÏÓÌÅ ËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÞËÁ A ÕÖÅ ÏÓ×ÅÝÅÎÁ, ÍÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÒÏÖÅËÔÏÒÙ ÉÚ ÜÔÏÊ ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ Ó ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏÍ. á ÔÏÇÄÁ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÒÏÖÅËÔÏÒÏ×, ÚÁÍÅÎÅÎÎÙÊ ÎÁ ËÁËÏÊ-ÔÏ ÒÏÖÅËÔÏÒ ÉÚ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ , ÔÁËÖÅ ÅÒÅÓÅËÁÌÓÑ Ó ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏÍ, ÔÁË ËÁË × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÞÉÓÌÏ ÒÏÖÅËÔÏÒÏ×, ÎÅ ÏÓ×ÅÝÁÀÝÉÈ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË, ÍÏÇÌÏ ÂÙ ÂÙÔØ ÕÍÅÎØÛÅÎÏ ÚÁ ÓÞÅÔ ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÚÁÍÅÎÙ É ÔÏÇÄÁ ÂÙ ÕËÁÚÁÎÎÁÑ ÉËÌÉÞÅÓËÁÑ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÌÁ ÂÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ , ÞÔÏ ÄÁ×ÁÌÏ ÂÙ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë ÒÏ ÅÄÕÒÅ ÕÌÕÞÛÅÎÉÑ ËÁÞÅÓÔ×Á ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ. þÔÏÂÙ ÚÁ×ÅÒÛÉÔØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÍÏÄÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÒÏÂÌÅÍÙ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÕÓÍÏÔÒÅÔØ, ÞÔÏ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÌÅÍÍÁ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÊ É ÄÌÑ ÒÏÖÅËÔÏÒÏ×, ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ Ó ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏÍ, ÞÔÏ ÄÁÅÔ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (5), Á Ó ÎÉÍ É ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï F () > F (") (ÄÌÑ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÉÚ ). ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ  ∈ Ó ÎÁÉÌÕÞÛÉÍ ËÁÞÅÓÔ×ÏÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÅÊ ÎÁÂÏÒ ÒÏÖÅËÔÏÒÏ× ÏÓ×ÅÔÉÔ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË ÅÌÉËÏÍ. óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

[1℄ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ. ÒÅÔØÑ ÓÅÒÉÑ, ×Ù. 6. í.: íãîíï, 2002. ó. 134. [2℄ ðÅÒ×ÁÑ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÑ Ï ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÅÅ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑÍ, ÔÅÚÉÓÙ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ / ðÏÄ ÒÅÄ. ÷. ç. âÏÌÔÑÎÓËÏÇÏ. âÁÔÕÍÉ, 1985. [3℄ ç. á. çÁÌØÅÒÉÎ, òÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ðÒÏÉÚ×ÏÌÏ×Á Ï ÏËÒÙÔÉÉ ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ÉÒÁÍÉÄÁÍÉ , É ÅÅ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ // äáî óóóò, 1987. . 293, ‚2. C. 283{288. [4℄ æ. ÷. ðÅÔÒÏ×, ó. å. òÕËÛÉÎ, ÅÏÒÅÍÙ Ï ÏËÒÙ×ÁÀÝÉÈ É ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁÈ É ÉÈ ÏÂÏÂÝÅÎÉÑ // íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ. ÒÅÔØÑ ÓÅÒÉÑ. ÷Ù. 8. 2004. C. 222{228.

237

úÁÄÁÞÉ Ï ÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ËÏÍÁËÔÁÈ

÷. ÷. äÏ ÅÎËÏ æÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ÚÄÅÓØ ÚÁÄÁÞ ×ÅÓØÍÁ ÏÈÏÖÉ, ÄÁ É × ÒÅÛÅÎÉÑÈ ÍÎÏÇÏ ÏÂÝÅÇÏ: ÉÄÅÑ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÉÚÕÞÁÔØ ÏÒÂÉÔÕ ÔÏÞËÉ ÒÉ ÉÔÅÒÁ ÉÑÈ ÄÁÎÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ. ÷ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÚÁÄÁÞ (K; ) | ËÏÍÁËÔÎÏÅ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï. úÁÄÁÞÁ 1. åÓÌÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f : K → K ÎÅ ÕÍÅÎØÛÁÅÔ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ1) , ÔÏ

ÏÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÅÔÒÉÅÊ. úÁÄÁÞÁ 2 (ÚÁÄÁÞÁ 4.9 ÉÚ ÚÁÄÁÞÎÉËÁ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс, ‚4, Ó. 217). åÓÌÉ ÓÀÒßÅË ÉÑ f : K → K ÎÅ Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÅÔ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ, ÔÏ ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÅÔÒÉÅÊ. úÁÄÁÞÁ 3. éÚÏÍÅÔÒÉÞÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f : K → K Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÉÅË ÉÅÊ.

òÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ 1. æÉËÓÉÒÕÅÍ ÔÏÞËÉ x; y ∈ K É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÓÌÅ-

ÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ {(f k x; f k y)} ÔÏÞÅË ËÏÍÁËÔÁ K × K . ÷ÙÂÅÒÅÍ ÓÈÏÄÑÝÕÀÓÑ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ S = {(f ki x; f ki y)}. õ ÔÁËÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÅÒ×ÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÈÏÄÑÝÅÊÓÑ, ÏÜÔÏÍÕ lim (f ki x; f kj x) = 0, É ÔÅÍ ÂÏÌÅÅ lim (x; f kj −ki x) = 0 (ÒÁÚ ÏÔÏÂÒÁÖÅj>i→∞ j>i→∞ ÎÉÅ f ÎÅ ÕÍÅÎØÛÁÅÔ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ). Ï ÖÅ ÓÁÍÏÅ ×ÅÒÎÏ É ÄÌÑ ×ÔÏÒÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. ðÏÜÔÏÍÕ ÔÏÞËÁ (x; y) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÄÅÌØÎÏÊ ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ S . åÓÌÉ ÂÙ ÏËÁÚÁÌÏÓØ, ÞÔÏ ×ÅÒÎÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (fx; fy) − (x; y) > ", ÔÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ k ÂÙÌÏ ÂÙ ×ÅÒÎÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (f k x; f k y) − (x; y) > ". ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ | ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, ÔÏ ÜÔÏ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ (x; y) | ÒÅÄÅÌØÎÁÑ ÔÏÞËÁ. úÎÁÞÉÔ, ×ÓÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÓÏÈÒÁÎÑÀÔÓÑ, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ. òÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ 2. æÉËÓÉÒÕÅÍ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ " É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ

ËÁËÕÀ-ÌÉÂÏ ËÏÎÅÞÎÕÀ "-ÓÅÔØ2) S . (ëÏÎÅÞÎÁÑ "-ÓÅÔØ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ × ÓÉÌÕ ËÏÍÁËÔÎÏÓÔÉ.) úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ k ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï f k S ÂÕÄÅÔ "-ÓÅÔØÀ (ÒÁÚ P ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f ÎÅ Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÅÔ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÅÌÉÞÉÎÙ Ak = x;y∈S (f k x; f k y). ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ {Ak } . Å. ∀x; y ∈ K (fx; fy ) > (x; y ). ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï S × ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å (M; ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ "-ÓÅÔØÀ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ m ∈ M ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÏÞËÁ s ∈ S , ÔÁËÁÑ ÞÔÏ (m; s) 6 ". 1)

2)

238

÷. ÷. äÏ ÅÎËÏ

ÍÏÎÏÔÏÎÎÁ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÅ ÔÏÞÎÕÀ ÎÉÖÎÀÀ ÇÒÁÎØ A. ðÕÓÔØ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ k ÔÁËÏ×Ï, ÞÔÏ Ak − A < ". äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÌÀÂÙÍÉ Ä×ÕÍÑ ÔÏÞËÁÍÉ a; b ∈ K ÎÅ ÍÏÇÌÏ ÉÚÍÅÎÉÔØÓÑ (ÕÍÅÎØÛÉÔØÓÑ) ÂÏÌÅÅ, ÞÅÍ ÎÁ 5". ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÎÁÊÄÅÍ ÔÏÞËÉ a; b ∈ f k S : (a; a) 6 ", (b; b) 6 ". ÏÇÄÁ (ÉÓÏÌØÚÕÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÔÉÁ (f a; f b) 6 (f a; fa) + (fa; fb) + (fb; f b), ÏÚÎÁÞÁÀÝÉÅ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ ÔÒÅÈ ÓÔÏÒÏÎ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÞÅÔ×ÅÒ
ÔÏÊ) (a; b) − (fa; fb) 6 (a; a) + (b; b) + (a; b) − (f a; f b) + (f a; fa) + + (f b; fb) 6 5": ðÏÓËÏÌØËÕ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ " > 0 ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ, ÔÏ ×ÓÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÓÏÈÒÁÎÑÀÔÓÑ, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ. òÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ 3. äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏ (ÉÎß-

ÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ). æÉËÓÉÒÕÅÍ ÔÏÞËÕ x ∈ K . ÷ÙÄÅÌÉÍ ÓÈÏÄÑÝÕÀÓÑ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÚ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ {f k x}, ÕÓÔØ ÜÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ {f ki x}. äÌÑ ÔÁËÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ lim (f ki x; f kj x) = j>i→∞ = 0, ÏÜÔÏÍÕ ÉÚ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ f ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ É lim (x; f kj −ki x) = 0, j>i→∞ Ô. Å. x | ÒÅÄÅÌØÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á fK . îÏ ÉÚÏÍÅÔÒÉÑ | ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, Á ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÊ ÏÂÒÁÚ ËÏÍÁËÔÁ | ËÏÍÁËÔ, ÚÎÁÞÉÔ, x ∈ fK , ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ëÏÍÁËÔÎÏÓÔØ × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ÓÌÕÞÁÅ× ÉÇÒÁÅÔ ËÌÀÞÅ×ÕÀ ÒÏÌØ. åÓÌÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÅËÏÍÁËÔÎÏ (ÕÓÔØ ÄÁÖÅ ÏÌÎÏ), ÔÏ ÌÅÇËÏ ÒÉÄÕÍÁÔØ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒÙ: ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ ÎÁ ÒÑÍÏÊ ÏÒÏ×ÅÒÇÁÀÔ ÅÒ×ÙÅ Ä×Á ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÊ ÅÒÅÎÏÓ ÎÁ ÌÕÞÅ [0; ∞) | ÔÒÅÔØÅ. (÷ÒÏÞÅÍ, ÔÒÅÔØÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ, ÅÓÌÉ, Ë ÒÉÍÅÒÕ, K | ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÅ Å×ËÌÉÄÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Rn , ÏÓËÏÌØËÕ ×ÓÅ ÉÚÏÍÅÔÒÉÉ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÞÉÓÌÉÔØ: ÜÔÏ ÓÕÔØ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ n + 1 ÓÉÍÍÅÔÒÉÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÅÊ.)

239

ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÄÅÓÑÔÉÞÎÙÅ ÄÒÏÂÉ

á. å. åÒÏÛÉÎ ÷ÓÅÍ ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÄÅÓÑÔÉÞÎÙÅ (Á ÔÁËÖÅ m-ÉÞÎÙÅ) ÄÒÏÂÉ. ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ m-ÉÞÎÙÅ ÄÒÏÂÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÙ × ×ÉÄÅ ÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÙÈ É ÎÁÏÂÏÒÏÔ. åÓÌÉ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ q ÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÎÅÓÏËÒÁÔÉÍÏÊ ÄÒÏÂÉ p=q (p < q) ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔ Ó m, ÔÏ m-ÉÞÎÁÑ ÚÁÉÓØ ÔÁËÏÊ ÄÒÏÂÉ ÂÕÄÅÔ ÞÉÓÔÏ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ, Ô. Å. ÉÍÅÔØ ×ÉÄ 0;(1 : : : n ), ÇÄÅ (1 : : : n ) | ÅÒÉÏÄ ÄÒÏÂÉ; ÅÓÌÉ ÖÅ q ÎÅ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÏ Ó p, ÔÏ ÍÏÖÅÔ ÎÁÂÌÀÄÁÔØÓÑ É ÒÅÄÅÒÉÏÄ 1 : : : s : p=q = 0; 1 : : : s (1 : : : n ): ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÄÒÏÂØ ÕÓÌÏ×ÎÏ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ. éÒÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÎÅ ÒÁÚÌÁÇÁÀÔÓÑ × ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÄÒÏÂÉ. ðÒÏ ÉÈ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÏÞÔÉ ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ. îÁÒÉÍÅÒ, ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏ, √ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÌÉ ÞÉÓÌÏ €ÄÅ×ÑÔÏˁ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÄÅÓÑÔÉÞÎÏÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ 2. Ï ÎÅÍÎÏÇÏÅ, ÞÔÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ Ï Ó×ÏÊÓÔ×ÁÈ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÈ ÄÒÏÂÅÊ, Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ×ÒÁÝÅÎÉÅÍ ( ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ) ÉÆÒ ÅÒÉÏÄÁ. üÔÏÍÕ É ÏÓ×ÑÝÅÎÁ ÎÁÓÔÏÑÝÁÑ ÓÔÁÔØÑ. íÙ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ × ÄÅÓÑÔÉÞÎÏÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ÞÉÓÌÁ

X=

∞ X 1

i=1

ai

; ÇÄÅ a1 = 1 É ak+1 = 9ak ;

×ÓÔÒÅÔÉÔÓÑ ÌÀÂÁÑ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑ ÉÆÒ.1) îÁÓ ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÔ ÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÄÅÓÑÔÉÞÎÙÅ ÄÒÏÂÉ É, ÅÓÌÉ ÎÅ ÏÇÏ×ÏÒÅÎÏ ÏÂÒÁÔÎÏÅ, ÔÏ ÏÄÒÁÚÕÍÅ×ÁÅÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÞÉÓÌÅÎÉÑ Ó ÏÓÎÏ×ÁÎÉÅÍ 10. úÁÉÓÉ a1 : : : an , X , ÇÄÅ a1 : : : an , X | ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÉÆÒ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ÞÉÓÌÁ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÙÅ ÜÔÉÍÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÍÉ. á×ÔÏÒ ÒÉÎÏÓÉÔ ÂÌÁÇÏÄÁÒÎÏÓÔØ Ó×ÏÅÍÕ ÒÕËÏ×ÏÄÉÔÅÌÀ áÌÅËÓÅÀ ñËÏ×ÌÅ×ÉÞÕ ëÁÎÅÌÀ{âÅÌÏ×Õ ÚÁ ÏÓÔÁÎÏ×ËÕ ÚÁÄÁÞÉ, ÏÌÅÚÎÙÅ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÑ É ÕÞÁÓÔÉÅ × ÒÅÄÁËÔÉÒÏ×ÁÎÉÉ. äÁÎÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ÄÏËÌÁÄÙ×ÁÌÁÓØ ÎÁ ÎÁÕÞÎÏÊ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ ÛËÏÌØÎÉËÏ× Junior-98, ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÎÎÏÊ ËÏÒÏÒÁ ÉÅÊ INTEL × ÇÏÒÏÄÅ Fort Worth, É ÏÌÕÞÉÌÁ ×ÔÏÒÕÀ ÒÅÍÉÀ. 1)

úÁÄÁÞÁ 3.10 ÉÚ ÚÁÄÁÞÎÉËÁ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс, ‚3, Ó. 233.

240

á. å. åÒÏÛÉÎ 1. ÷ÒÁÝÅÎÉÅ ÉÆÒ × ÅÒÉÏÄÅ. ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÉÄÅÑ

îÁÞÎÅÍ Ó ÒÏÓÔÅÊÛÅÇÏ ÒÉÍÅÒÁ. úÁÄÁÞÁ 1. ÒÅÂÕÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÏÅ ÛÅÓÔÉÚÎÁÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ á, ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁ 2; 3; 4; 5; 6 ÚÁÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ ÉËÌÉÞÅÓËÉÍÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍÉ ÅÇÏ ÉÆÒ. òÅÛÅÎÉÅ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÎÑÑ ÉÆÒÁ ÞÉÓÌÁ A ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÏÓÌÅÄÎÀÀ ÉÆÒÕ ÞÉÓÅÌ 2A, 3A, 4A, 5A É 6A. ïÔÓÀÄÁ Ó ÏÍÏÝØÀ ÎÅÓÌÏÖÎÏÇÏ ÅÒÅÂÏÒÁ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ, ÞÔÏ á = 142857. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ 1=7 = 0;(142857). ðÒÉ ÜÔÏÍ 2=7 = 0;(285714); 3=7 = 0;(428571); 4=7 = 0;(571428); 5=7 = 0;(714285); 6=7 = 0;(857142): ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÒÏÂÉ ×ÉÄÁ m=7, ÇÄÅ m = 1; 2; 3; 4; 5; 6, ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÉÚ ÄÒÏÂÉ 1=7 ÕÔÅÍ ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÉÆÒ × ÅÒÉÏÄÅ. úÁÄÁÞÁ 2. ðÏÓÌÅÄÎÑÑ ÉÆÒÁ ÞÉÓÌÁ Ä×ÏÊËÁ É ÅÅ ÅÒÅÎÅÓÌÉ × ÎÁÞÁÌÏ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÞÉÓÌÏ ÕÄ×ÏÉÌÏÓØ. îÁÊÔÉ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ. òÅÛÅÎÉÅ 1. ðÕÓÔØ ÉÓËÏÍÏÅ ÞÉÓÌÏ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ ÉÆÒ X . ðÏÓÌÅÄÎÑÑ ÉÆÒÁ ÞÉÓÌÁ 2X ÞÅÔ×ÅÒËÁ, ÏÜÔÏÍÕ X ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ : : : 42 É ÞÉÓÌÏ 2X ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ËÁË : : : 84. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, X ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ : : : 842, Á 2X ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ËÁË : : : 684, ÄÁÌÅÅ X = : : : 6842, ÏÔËÕÄÁ 2X = : : : 3684 É X = : : : 36842 É Ô. Ä. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÆÒ ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ, × ÉÔÏÇÅ ÉÍÅÅÍ: X = 105263157894736842: ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ X = 105263157894736842 ÍÏÖÎÏ ÒÏÄÏÌÖÁÔØ ÄÁÌØÛÅ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÁÓÓÕÖÄÁÑ, ÍÏÖÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÞÉÓÅÌ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÚÁÄÁÞÉ, ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ XX : : : X . ïÄÎÁËÏ ÎÁ ÜÔÕ ÚÁÄÁÞÕ ÍÏÖÎÏ ÏÓÍÏÔÒÅÔØ É Ó ÎÅÓËÏÌØËÏ ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ. òÅÛÅÎÉÅ 2. ðÕÓÔØ X = Y 2. ÏÇÄÁ Z = 2X = 2Y . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÕÀ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÕÀ ÄÒÏÂØ x = 0;(X ). ÏÇÄÁ (x + 2)=10 = 0;2(X ) = 0;2Y 2Y 2Y : : : = 0;ZZZ : : : = 0;(Z ) = 2x: ïÔËÕÄÁ x ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ (x + 2)=10 = 2x É x = 2=19. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, X ÅÓÔØ ÅÒÉÏÄ ÄÒÏÂÉ 2=19, É × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÉÆÒ × ÅÒÉÏÄÅ ÜÔÏÊ ÄÒÏÂÉ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÄÒÏÂÉ ×ÉÄÁ 1=19; 2=19; : : : ; 18=19. úÁÄÁÞÁ ÎÁ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ. éÓÓÌÅÄÕÊÔÅ ÞÉÓÌÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉ ÅÒÅÎÏÓÅ ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÉÆÒÙ × ÎÁÞÁÌÏ Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÀÔÓÑ ×  ÒÁÚ.

ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÄÅÓÑÔÉÞÎÙÅ ÄÒÏÂÉ

241

÷ÒÁÝÅÎÉÅ ÉÆÒ × ÅÒÉÏÄÅ ÉÍÅÅÔ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÊ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ, ÒÉÞÅÍ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÄÒÏÂÉ Ó ÔÅÍ ÖÅ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅÍ. ÅÏÒÅÍÁ 1. ãÉËÌÉÞÅÓËÉÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÅÒÉÏÄÁ ÄÒÏÂÉ p=q, ÇÄÅ 0 < < p < q, Á q ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÏ Ó 10 É Ó p, ÅÓÔØ ÞÉÓÌÁ ×ÉÄÁ k=q. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÏÓËÏÌØËÕ q ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÏ Ó 10, ÄÒÏÂØ p=q ÞÉÓÔÏ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ. ðÕÓÔØ p=q = 0;(a1 a2 : : : ak ak+1 : : : an ) É ÕÓÔØ  = = 0;(ak+1 : : : an a1 a2 : : : ak ) | ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÉÆÒ ÅÒÉÏÄÁ. ÏÇÄÁ 10k p=q = a1 a2 : : : ak + 0;(ak+1 : : : an a1 a2 : : : ak ) = N + , ÇÄÅ N = a1 a2 : : : ak | ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ. ðÏÓËÏÌØËÕ q ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÏ Ó 10 É Ó p, ÏÓÌÅ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ  = (10k p − Nq)=q Ë ×ÉÄÕ ÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÏÊ ÄÒÏÂÉ ÅÅ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅÍ ÂÕÄÅÔ q. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÉÌÌÀÓÔÒÁ ÉÉ Ë ×ÙÛÅÓËÁÚÁÎÎÏÍÕ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÉËÌÉÞÅÓËÉÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÄÒÏÂÉ 1=13 = 0;(076923). éÍÅÅÍ: 0;(076923) = 1=13; 0;(230769) = 3=13; 0;(307692) = 4=13; 0;(692307) = 9=13; 0;(769230) = 10=13; 0;(923076) = 12=13: 2. ÷ÓÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÙÅ Ó×ÅÄÅÎÉÑ

îÁÍ ÏÎÁÄÏÂÑÔÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÆÁËÔÏ× É ËÏÎÓÔÒÕË ÉÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÞÅÎØ ÏÌÅÚÎÙ ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÔÅÏÒÅÔÉËÏ-ÞÉÓÌÏ×ÙÈ ÚÁÄÁÞ. '(n) ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÆÕÎË ÉÀ üÊÌÅÒÁ, ÔÏ ÅÓÔØ '(n) ÅÓÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÞÉÓÅÌ, ÍÅÎØÛÉÈ n É ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÈ Ó n, É '(1) = 1. åÓÌÉ ÞÉÓÌÏ n | ÒÏÓÔÏÅ, ÔÏ '(n) = n − 1. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ n = n1 n2 É ÞÉÓÌÁ n1 É n2 ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙ, ÔÏ '(n) = = '(n1 )'(n2 ). ðÏÜÔÏÍÕ, ÒÁÚÌÁÇÁÑ ÞÉÓÌÏ n × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÓÔÅÅÎÅÊ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ n = pk11 pk22 · : : : · pks s , ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÄÌÑ '(n):

'(n) = pk11 −1 (p1 − 1)pk22 −1 (p2 − 1) · : : : · pks s−1 (ps − 1): éÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÅÏÒÅÍÁ üÊÌÅÒÁ. ðÕÓÔØ ÞÉÓÌÁ x É n ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙ. ÏÇÄÁ x'(n) ≡ 1 (mod n): þÁÓÔÎÙÍ ÓÌÕÞÁÅÍ ÔÅÏÒÅÍÙ üÊÌÅÒÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ íÁÌÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ æÅÒÍÁ. ðÕÓÔØ p | ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ É x ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p, ÔÏÇÄÁ xp−1 ≡ 1 (mod p): éÚ ÍÁÌÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ æÅÒÍÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ k ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ xk ≡ 1 (mod p) ÄÅÌÉÔ p − 1. ÅÏÒÅÍÁ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÏÇÏ ËÏÒÎÑ (ÓÍ. ÎÉÖÅ) ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÉ ÏÄÈÏÄÑÝÅÍ ×ÙÂÏÒÅ x, ÔÁËÏÅ k × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÎÏ p − 1.

242

á. å. åÒÏÛÉÎ

ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 1. ðÕÓÔØ p É q | ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. ÏÇÄÁ ÄÌÉÎÁ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÅÒÉÏÄÁ ÄÒÏÂÉ p=q × 10-ÉÞÎÏÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ÒÁ×ÎÁ ÔÁËÏÍÕ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÍÕ k, ÞÔÏ 10k − 1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ q.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. âÅÚ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ p < q . ðÕÓÔØ p=q = 0; (a1 : : : an ), a = a1 : : : an . ÏÇÄÁ p = a q 10n − 1

É q ÄÅÌÉÔ 10n − 1 × ÓÉÌÕ ×ÚÁÉÍÎÏÊ ÒÏÓÔÏÔÙ p É q. é ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ q ÄÅÌÉÔ 10n − 1, ÔÏ n | ÅÒÉÏÄ ÄÒÏÂÉ p=q. (÷ÓÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÅÒÅÎÏÓÑÔÓÑ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÓÞÉÓÌÅÎÉÑ.) éÚ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 1 É ÔÅÏÒÅÍÙ üÊÌÅÒÁ ×Ù×ÏÄÉÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ÎÕÖÎÏÅ ÄÌÑ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ:

óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 1. ðÕÓÔØ ÞÉÓÌÏ q ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÏ Ó 10 É Ó p. ÏÇÄÁ ÄÌÉÎÁ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÅÒÉÏÄÁ ÄÒÏÂÉ p=q ÅÓÔØ ÄÅÌÉÔÅÌØ ÞÉÓÌÁ '(q). äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÄÌÉÎÕ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÅÒÉÏÄÁ ÄÒÏÂÉ p=q ÞÅÒÅÚ n. òÁÚÄÅÌÉÍ '(q) ÎÁ n Ó ÏÓÔÁÔËÏÍ: '(q) = ns + r, 0 6 r < n. ÏÇÄÁ 10r ≡ 10ns+r ≡ 10'(q) ≡ 1 (mod q): é, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, r = 0.

ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÎÁÍ ÏÎÁÄÏÂÉÔÓÑ ÅÏÒÅÍÁ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÏÇÏ ËÏÒÎÑ. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ x, ÞÔÏ xp−1 ≡ 1 (mod p), Á ÉÚ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ xa ≡ 1 (mod p) ÓÌÅÄÕÅÔ , ÞÔÏ a ÄÅÌÉÔ Ò − 1. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. éÚ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 1 É ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÅÒ×Ï-

ÏÂÒÁÚÎÏÇÏ ËÏÒÎÑ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÌÀÂÏÙÔÎÏÅ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÒÏÓÔÏÇÏ q ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ m, ÞÔÏ m-ÉÞÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÄÒÏÂÉ p=q ÉÍÅÅÔ ÄÌÉÎÕ ÅÒÉÏÄÁ, × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÎÕÀ q − 1. ïÄÎÁËÏ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÎÅ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÔÁËÉÍ ÞÉÓÌÏÍ m ÎÅÒÅÍÅÎÎÏ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ 10. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ËÏÎÅÞÎÏ ÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÁËÉÈ p, ÞÔÏ 10q ÎÅ ÓÒÁ×ÎÉÍÏ Ó 1 Ï ÍÏÄÕÌÀ p ÒÉ q < p − 1. é, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÅÒÉÏÄ ÄÒÏÂÉ k=p ÉÍÅÅÔ ÄÌÉÎÕ p − 1. èÏÔÑ Ï×ÅÄÅÎÉÅ ÅÒÉÏÄÏ× ÄÒÏÂÅÊ Ó ÒÏÓÔÙÍ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅÍ p ÒÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ p ÞÒÅÚ×ÙÞÁÊÎÏ ÓÌÏÖÎÏÅ, ÏÓÔÁÔËÉ Ï ÍÏÄÕÌÀ ÓÔÅÅÎÅÊ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÏÇÏ p ÏÄÄÁÀÔÓÑ ÉÚÕÞÅÎÉÀ. é × ÜÔÏÍ ÏÍÏÇÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ

ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÄÅÓÑÔÉÞÎÙÅ ÄÒÏÂÉ

243

ìÅÍÍÁ çÅÎÚÅÌÑ2). ðÕÓÔØ p | ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ. a) ðÕÓÔØ x ≡ 1 (mod pk ), x 6≡ 1 (mod pk+1 ). é , ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ , ÌÉÂÏ p > 2, ÌÉÂÏ k > 1. ÏÇÄÁ ÄÌÑ ×ÓÑËÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ r r

r

xp ≡ 1 (mod pk+r ); xp 6≡ 1 (mod pk+r+1): b) ðÕÓÔØ , ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ , ps ÄÅÌÉÔ m, ÎÏ ps+1 ÎÅ ÄÅÌÉÔ m. ÏÇÄÁ xm 6≡ 1 (mod pk+r+1): xm ≡ 1 (mod pk+r ); (ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ p = 2 É k = 1 ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ . Á) ÍÅÓÔÁ ÎÅ ÉÍÅÅÔ.) éÚ ÌÅÍÍÙ çÅÎÚÅÌÑ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÔÁËÏÅ óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 2. ðÕÓÔØ ÞÉÓÌÁ x É k ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÌÅÍÍÙ çÅÎÚÅÌÑ. ÏÇÄÁ ÏÓÔÁÔËÉ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÓÔÅÅÎÅÊ xr ÎÁ pq (q > k) ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ pk s + 1. óÕÍÍÉÒÕÑ ×ÙÛÅÓËÁÚÁÎÎÏÅ, ÉÍÅÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÌÅÍÍÕ, ÕÄÏÂÎÕÀ ÄÌÑ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ: ìÅÍÍÁ 1.

a) 10m ≡ 1 (mod 3q ) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ , ËÏÇÄÁ m ≡ 0 (mod 3q−2 ). b) äÌÉÎÁ ÅÒÉÏÄÁ ÄÒÏÂÉ p=3n , ÇÄÅ n > 1 É p ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3, ÒÁ×ÎÁ

3n−2 . Ó) ïÓÔÁÔËÉ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÞÉÓÅÌ ×ÉÄÁ 10r ÎÁ 3s ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ 9m + 1. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ð. Á) ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÌÅÍÍÙ çÅÎÚÅÌÑ, . Ó) ÅÓÔØ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ, . b) ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ . Á) É ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 1. 3. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÓÎÏ×ÎÏÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ

îÁÛÁ ÅÌØ | ÄÏËÁÚÁÔØ ÏÓÎÏ×ÎÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ: ÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ {ak } ÚÁÄÁÎÁ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏ :

a1 = 1, ak+1 = 9ak É ÕÓÔØ

X=

∞ X 1

i=1

ai

:

ÏÇÄÁ × ÄÅÓÑÔÉÞÎÏÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ÞÉÓÌÁ X ×ÓÔÒÅÔÉÔÓÑ ÌÀÂÁÑ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑ ÉÆÒ. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. éÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÔÅÏÒÅÍÁ ìÉÕ×ÉÌÌÑ: ðÕÓÔØ t | ÉÒÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÊ ËÏÒÅÎØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ a0 xn + · · · + an = 0, a0 ; : : : ; an | ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ. 2)

á. ñ. ëÁÎÅÌØ{âÅÌÏ×. õÓÔÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ.

244

á. å. åÒÏÛÉÎ

ÏÇÄÁ ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ N ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï |t − p=q| < 1=Nqn ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÊ × ÅÌÙÈ ÞÉÓÌÁÈ p É q.

éÚ ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ X ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÏ, Ô. Å. ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ËÏÒÎÅÍ ÎÉËÁËÏÇÏ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÅÌÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ, ÔÁË ËÁË ÒÉÂÌÉÖÁÅÔÓÑ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ ÌÕÞÛÅ, ÞÅÍ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÌÀÂÏÊ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ. îÁÍ ÏÎÁÄÏÂÉÔÓÑ ìÅÍÍÁ 2. Á ) ðÕÓÔØ p = 9k + 1 < 3s . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÒÏÂØ p=3s É ×ÓÅ ÄÒÏÂÉ , ËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÎÅÅ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÕÔÅÍ ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÉÆÒ ÅÒÉÏÄÁ. ÏÇÄÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÄÒÏÂÅÊ ÓÕÔØ {(9h + 1)=3s | 9h + 1 < 3s }.  ) ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ , ÅÓÌÉ p ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÏ Ó 3, ÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÄÒÏÂÅÊ ÓÕÔØ {h=3s |h ≡ p (mod 9) É h < 3s }.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. îÅÔÒÕÄÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÄÒÏÂÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÞÉÓÌÁ p10m =3s ÅÓÔØ ÉËÌÉÞÅÓËÁÑ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ ÅÒÉÏÄÁ ÄÒÏÂÉ p=3s . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÒÏÂÎÙÈ ÞÁÓÔÅÊ ÞÉÓÅÌ ×ÉÄÁ p10m =3s ; m = 0; : : : ; 3s−2 − 1. ðÏ s− 2 ÌÅÍÍÅ 1 ÜÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÕÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {p(9h + 1)=3s }3h=0 −1 , ÞÔÏ É ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÌÅÍÍÙ. ð. Â) ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ. óÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÁÍ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÙÊ ÉÎÔÅÒÅÓ. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 2. ðÕÓÔØ ÞÉÓÌÁ p É 3 ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙ. ÏÇÄÁ × ÄÅÓÑÔÉÞÎÏÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ÞÉÓÌÁ x = p=3s ×ÓÔÒÅÔÉÔÓÑ ÌÀÂÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÚ [(s − 2) lg 3℄ ÉÆÒ.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÏÌÏÖÉÍ N = [(s − 2) lg 3℄. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ËÁËÕÀÎÉÂÕÄØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÆÒ  ÄÌÉÎÙ N . äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÉËÌÉÞÅÓËÁÑ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ ÉÆÒ ÞÉÓÌÁ x ÍÏÖÅÔ ÎÁÞÉÎÁÔØÓÑ Ó . ðÕÓÔØ  = a1 : : : aN . íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, Õ ËÏÔÏÒÙÈ ÄÅÓÑÔÉÞÎÁÑ ÚÁÉÓØ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó , ÅÓÔØ ÏÌÕÉÎÔÅÒ×ÁÌ
= [0;a1 : : : aN ; 0;a1 : : : aN + 10−N ): åÇÏ ÄÌÉÎÁ ÒÁ×ÎÁ 10−N . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÒÏÂÅÊ, ÏÌÕÞÁÀÝÉÈÓÑ ÕÔÅÍ ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÉÆÒ × ÅÒÉÏÄÅ ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÄÒÏÂÉ. ÷ ÓÉÌÕ ÌÅÍÍÙ 2 ÜÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ ÔÏÞÅË ÏÔÒÅÚËÁ [0; 1℄, ÉÄÕÝÉÈ Ó ÛÁÇÏÍ 1=3s−2 : n

1 10 3s − 8 o ; ; : : : ; : 3s 3s 3s

ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÄÅÓÑÔÉÞÎÙÅ ÄÒÏÂÉ

245

é × ÌÀÂÏÍ ÏÄÏÔÒÅÚËÅ ÏÔÒÅÚËÁ [0; 1℄ ÄÌÉÎÙ ÂÏÌØÛÅÊ, ÞÅÍ 1=3s−2 , ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÄÒÏÂØ ÕËÁÚÁÎÎÏÇÏ ×ÉÄÁ. ðÏÓËÏÌØËÕ N < (s − 2) lg 3, ÔÏ |
| = 10−N > 3−(s−2) É × ÏÔÒÅÚËÅ
×ÓÔÒÅÔÉÔÓÑ ÎÕÖÎÁÑ ÎÁÍ ÄÒÏÂØ, ÄÅÓÑÔÉÞÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó ÕÞÁÓÔËÁ . ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ ÄÏËÁÚÁÎÏ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï P ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Xn ÞÁÓÔÉÞÎÕÀ ÓÕÍÍÕ ÒÑÄÁ ni=1 1=ai . üÔÏ ÞÉÓÔÏ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÄÒÏÂØ É tn | ÅÅ ÅÒÉÏÄ. ÷ ÓÉÌÕ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 2 ÞÉÓÌÏ Xn ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÓÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÉÆÒ ÄÌÉÎÙ ÍÅÎØÛÅÊ ÉÌÉ ÒÁ×ÎÏÊ Nn = [an lg 3=9℄. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, × ÌÀÂÏÍ ÕÞÁÓÔËÅ ÄÅÓÑÔÉÞÎÏÊ ÚÁÉÓÉ ÞÉÓÌÁ Xn , ÄÌÉÎÁ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÂÏÌØÛÅ Nn + tn , ×ÓÔÒÅÔÉÔÓÑ ËÁÖÄÁÑ ÔÁËÁÑPÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ. îÁÍ ÎÁÄÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÏÓÔÁÔÏÞÎÙÊ ÞÌÅÎ Rn = ∞ k=n+1 1=ak ÎÅ ÉÓÏÒÔÉÔ ÓÉÔÕÁ ÉÀ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, ÅÒÉÏÄ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÓÏÓÔÏÑÔØ ÉÚ ÏÄÎÉÈ ÄÅ×ÑÔÏË, É ÅÓÌÉ 0 < " < 10−3tn , ÔÏ ÅÒ×ÙÅ 2tn ÚÎÁËÏ× ÄÅÓÑÔÉÞÎÏÇÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÞÉÓÅÌ Xn É Xn + " ÓÏ×ÁÄÁÀÔ (ÅÒÅÎÏÓ ÒÁÚÒÑÄÁ ÍÏÖÅÔ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔØ ÔÏÌØËÏ ÎÁ ÄÅ×ÑÔËÅ É ÏÎ ÏÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÇÄÅ-ÔÏ ×ÎÕÔÒÉ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÅÒÉÏÄÁ ÄÒÏÂÉ Xn ). ðÏÜÔÏÍÕ ÌÀÂÏÊ ÕÞÁÓÔÏË ÄÌÉÎÙ Nn ÔÁËÖÅ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ × ÄÅÓÑÔÉÞÎÏÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ÞÉÓÌÁ Xn + ". ÷ ÓÉÌÕ ÌÅÍÍÙ 1 ÄÌÉÎÁ ÅÒÉÏÄÁ tn ÄÅÓÑÔÉÞÎÏÇÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ Xn ÒÁ×ÎÁ tn = an =9. ìÅÇËÏ ÏÌÕÞÉÔØ Ï ÅÎËÕ: Rn < 2=an+1 < 10−3tn . éÚ ÜÔÏÊ Ï ÅÎËÉ, × ÓÉÌÕ ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ, ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ × ÄÅÓÑÔÉÞÎÏÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ÞÉÓÌÁ X = Xn + Rn ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ ÌÀÂÁÑ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑ ÉÚ Nn ÏÄÒÑÄ ÉÄÕÝÉÈ ÉÆÒ. á ÔÁË ËÁË log 10 3 N an ) = ∞; lim n = lim ( n→∞ 9 n→∞ ÁÒÁÍÅÔÒ N Ó ÒÏÓÔÏÍ n ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ É ÌÀÂÁÑ ÎÁÅÒÅÄ ÚÁÄÁÎÎÁÑ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑ ÉÆÒ ×ÓÔÒÅÔÉÔÓÑ × ÄÅÓÑÔÉÞÎÏÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ÞÉÓÌÁ X . úÁÍÅÞÁÎÉÅ. îÁÚÏ×ÅÍ ÞÁÓÔÏÔÏÊ ÏÑ×ÌÅÎÉÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ  × X ×ÅÌÉÞÉÎÕ: W (X;  ) = limp→∞ m=p, ÇÄÅ m | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ  × ÎÁÞÁÌØÎÏÍ ËÕÓËÅ X ÄÌÉÎÙ p. éÚ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÍÏÖÎÏ ÉÚ×ÌÅÞØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ: W (X;  ) = 10−l . üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ×ÓÅ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ ÉÆÒ × ÞÉÓÌÅ X ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙ. ÁËÉÅ ÞÉÓÌÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÙÍÉ. óÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÙÈ ÒÉÍÅÒÏ× ÎÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÅ ÔÁË ÍÎÏÇÏ.

úÁÄÁÞÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ

÷ ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ×ÎÉÍÁÎÉÀ ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ ÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ ÏÄÂÏÒËÁ ÚÁÄÁÞ ÒÁÚÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ, × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ ÔÒÕÄÎÙÈ. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÜÔÉÈ ÚÁÄÁÞ (ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÓÁÍÙÅ ÓÌÏÖÎÙÅ!) ÔÒÅÂÕÀÔ ÚÎÁÎÉÑ €ÎÅÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏʁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ | ÁÎÁÌÉÚÁ, ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ É Ô. . óÏÓÔÁ×ÉÔÅÌÑÍ ÜÔÏÊ ÏÄÂÏÒËÉ ËÁÖÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÒÅÄÌÁÇÁÅÍÙÅ ÎÉÖÅ ÚÁÄÁÞÉ ÏËÁÖÕÔÓÑ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÍÉ ËÁË ÄÌÑ ÓÉÌØÎÙÈ ÛËÏÌØÎÉËÏ×, ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÝÉÈÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ, ÔÁË É ÄÌÑ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×-ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×. íÙ ÏÂÒÁÝÁÅÍÓÑ Ó ÒÏÓØÂÏÊ ËÏ ×ÓÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌÑÍ, ÉÍÅÀÝÉÍ Ó×ÏÉ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÏÄÂÏÒËÉ ÔÁËÉÈ ÚÁÄÁÞ, ÒÉÓÙÌÁÔØ ÉÈ × ÒÅÄÁË ÉÀ. é, ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÍÙ Ó ÕÄÏ×ÏÌØÓÔ×ÉÅÍ ÂÕÄÅÍ ÕÂÌÉËÏ×ÁÔØ Ó×ÅÖÉÅ Á×ÔÏÒÓËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ. ÷ ÓËÏÂËÁÈ ÏÓÌÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ ÆÁÍÉÌÉÑ Á×ÔÏÒÁ (ÕÔÏÞÎÅÎÉÑ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÙ ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ ÒÉ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔÓÑ). åÓÌÉ Á×ÔÏÒ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁÍ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÅÎ, ÔÏ × ÓËÏÂËÁÈ ÕËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ €ÆÏÌØËÌÏҁ.

1. íÏÖÎÏ ÌÉ ÏÌÕÞÉÔØ ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ ËÕÂÉËÁ òÕÂÉËÁ, ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ×ÙÏÌÎÑÑ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÀ Ï×ÏÒÏÔÏ×? (õÞÉÔÙ×ÁÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ËÏÎÅÞÎÙÅ, Á ÎÅ ÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÙÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ.) (á. ë. ëÏ×ÁÌØÄÖÉ ) 2. îÁÊÔÉ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ P (x) = x2003 + x + 1. (í. ì. ëÏÎ Å×ÉÞ ) 3. íÏÖÎÏ ÌÉ ËÒÕÇ Ó Ä×ÕÍÑ ÄÙÒËÁÍÉ ÏÔÏÂÒÁÚÉÔØ × ÓÅÂÑ ÂÅÚ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÈ ÔÏÞÅË? (í. ì. ëÏÎ Å×ÉÞ ) 4. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÎÁ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ËÁÖÄÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÔÒÉ ÔÏÞËÉ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÒÑÍÙÅ óÉÍÓÏÎÁ ËÁÓÁÀÔÓÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÄÅ×ÑÔÉ ÔÏÞÅË ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÒÉÞÅÍ ÜÔÉ ÔÏÞËÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. (í. à. ðÁÎÏ× ) 5. äÌÑ ÉÒÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ  > 1 ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ N () = {[n℄|n ∈ N }. ðÒÉ ËÁËÉÈ k ÎÁÊÄÕÔÓÑ ÔÁËÉÅ 1 ; : : : ; k , ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á N (1 ); : : : ; N (k ) ÚÁÄÁÀÔ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ? (á. á. úÁÓÌÁ×ÓËÉÊ, á. ÷. óÉ×ÁË ) 6. ÷ÎÕÔÒÉ ÅÄÉÎÉÞÎÏÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË. ÷ÓÅÇÄÁ ÌÉ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÇÌÁÄËÁÑ ËÒÉ×ÁÑ, ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÅÇÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï? á ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÇÌÁÄËÁÑ? (æÏÌØËÌÏÒ )

õÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞ

247

7. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÅÌÙÈ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ n; p ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ C > R0, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÏÊ ÆÕÎË ÉÉ f ÕÓÌÏ×ÉÑ 01 xn|f (k) (x)|1=p dx < 1; k = 0; : : : ⌊(n+p)=p⌋ ×ÌÅËÕÔ ÕÓÌÏ×ÉÅ |f (0)| < C . (á. ñ. ëÁÎÅÌØ ) 8. ÷ ÇÒÁÎÉÞÎÙÈ ËÌÅÔËÁÈ ÔÁÂÌÉ Ù n × n ÒÁÓÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÞÉÓÌÁ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ ÄÏÉÓÁÔØ ÞÉÓÌÁ × ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ËÌÅÔËÉ ÔÁÂÌÉ Ù, ÞÔÏÂÙ ËÁÖÄÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁ×ÎÑÌÏÓØ ÂÙ ÓÒÅÄÎÅÍÕ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÍÕ Ó×ÏÉÈ ÓÏÓÅÄÅÊ. (í. ú. ä×ÅÊÒÉÎ ) 9. óÆÅÒÁ ÒÁÓËÒÁÛÅÎÁ × 2 ×ÅÔÁ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÁ ÎÅÊ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË Ó ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÍÉ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ. (ì. á. åÍÅÌØÑÎÏ× ) 10. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÙÈ ÍÁÔÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ, ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÒÏÖÄÁÀÔ ×ÓÀ ÍÁÔÒÉÞÎÕÀ ÁÌÇÅÂÒÕ? (íÁÔÒÉ Á A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÏÊ, ÅÓÌÉ Ak = 0 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ k.) (ð. ñËÏÂÉÁÎÏ× ) P 11. òÑÄ an ÓÈÏÄÉÔÓÑ × ÓÒÅÄÎÅÍ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÅÄÅÌ ÓÒÅÄÎÉÈ ÁÒÉÆPn Pk ÍÅÔÉÞÅÓËÉÈPÅÇÏ ÞÁÓÔÎÙÈ ÓÕÍÍ limn→∞( k=1 sk )=n, sk = m=1 ak . ðÕÓÔØ ÒÑÄ an ÓÈÏÄÉÔÓÑ × ÓÒÅÄÎÅÍ É ÒÉ ÜÔÏÍ a) an = o(1=n) (Ô. Å. lim nan = 0); Â) an = O(1=nP ) (Ô. Å. ∃C > 0 : |nan | < C ). äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÔÏÇÄÁ ÒÑÄ an ÓÈÏÄÉÔÓÑ. (á. ñ. âÅÌÏ× ) 12. éÄÅÁÌØÎÙÊ ÓÏÌÄÁÔ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÙÍ Á×ÔÏÍÁÔÏÍ (Ô. Å. ÒÉÎÉÍÁÅÔ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ É ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÅÔ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÓÉÇÎÁÌÏ×). óÏÌÄÁÔ ÏÎÉÍÁÅÔ €ÌÅ×Ï-ÒÁ×ρ, ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÅÔ ÓÉÇÎÁÌÙ ÔÏÌØËÏ ÏÔ Ó×ÏÉÈ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÓÏÓÅÄÅÊ É ÏÎÉÍÁÅÔ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÏÎ ËÒÁÊÎÉÍ × ÛÅÒÅÎÇÅ. úÁ ÏÄÉÎ ÔÁËÔ ÏÎ ÏÂÍÅÎÉ×ÁÅÔÓÑ ÓÉÇÎÁÌÁÍÉ Ó ÓÏÓÅÄÑÍÉ. íÏÖÎÏ ÌÉ ÔÁË ÚÁÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÔØ ÓÏÌÄÁÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÏÓÔÁ×ÉÔØ × ÛÅÒÅÎÇÕ ÓÏÌÄÁÔ, ÎÁÈÏÄÑÝÉÈÓÑ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÍ ÓÏÓÔÏÑÎÉÉ, ÔÏ ÏÓÌÅ ÔÏÇÏ ËÁË ÅÒ×ÏÍÕ ÂÕÄÅÔ ÄÁÎÁ ËÏÍÁÎÄÁ, ÞÅÒÅÚ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ×ÒÅÍÑ ×ÓÅ ÏÎÉ ×ÙÓÔÒÅÌÑÔ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ? (ðÒÏÇÒÁÍÍÁ ÎÅ ÄÏÌÖÎÁ ÚÁ×ÉÓÅÔØ ÏÔ ÄÌÉÎÙ ÛÅÒÅÎÇÉ.) (úÁÄÁÞÁ íÁÊÈÉÌÌÁ Ï ÓÔÒÅÌËÁÈ ) éÓÒÁ×ÌÅÎÉÑ

÷ ÚÁÄÁÞÎÉËÅ ‚3 €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ðÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс ÕÓÌÏ×ÉÅ ÚÁÄÁÞÉ 3.9 (Á×ÔÏÒ | ó. íÁÒËÅÌÏ×) ÂÙÌÏ ÒÉ×ÅÄÅÎÏ ÎÅ×ÅÒÎÏ. ðÒÉ×ÏÄÉÍ ÒÁ×ÉÌØÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ É ÒÅÄÌÁÇÁÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌÑÍ ÏÒÏÂÏ×ÁÔØ Ó×ÏÉ ÓÉÌÙ × ÅÅ ÒÅÛÅÎÉÉ. 3.9. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÎÁ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÔÅÌÁ ÎÁÊÄÕÔÓÑ 5 ÔÏÞÅË, ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ×ÅÒÛÉÎÙ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ 5-ÕÇÏÌØÎÉËÁ.

248

òÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ×ÙÕÓËÏ×

2.10. õÓÌÏ×ÉÅ. ÷ÎÕÔÒÉ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ ABCD ×ÚÑÔÁ ÔÁËÁÑ ÔÏÞËÁ O, ÞÔÏ ∠AOP = ∠COQ, ÇÄÅ P É Q | ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÌÕÞÅÊ BA, CD É BC , AD ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÙ ÕÇÌÏ× AOC É BOD ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ. òÅÛÅÎÉÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÕ ÕÇÌÁ AOC ÞÅÒÅÚ `, ÔÏÞËÕ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ P B É OQ ÞÅÒÅÚ R. ðÕÓÔØ, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ, ÔÏÞËÉ B ′ , P ′ É R′ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ` ÔÏÞËÁÍ B , P É R ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. åÝÅ ÎÁÍ ÏÔÒÅÂÕÀÔÓÑ ÔÏÞËÉ B ′′ É Q′′ , ËÏÔÏÒÙÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÞËÁÍÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÏÊ OB ′ Ó ÒÑÍÙÍÉ BQ É P Q ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f = f4 ◦ f3 ◦ f2 ◦ f1 , ÇÄÅ f1 | ÏÔÒÁÖÅÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ `; f2 | ÒÏÅË ÉÑ ÉÚ ÔÏÞËÉ O ÎÁ ÒÑÍÕÀ BQ; f3 | ÒÏÅË ÉÑ ÉÚ ÔÏÞËÉ P ÎÁ ÒÑÍÕÀ OB ′; f4 | ÒÏÅË ÉÑ ÉÚ ÔÏÞËÉ Q ÎÁ ÒÑÍÕÀ P B . éÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÑÓÎÏ, ÞÔÏ f | ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÒÑÍÏÊ P B ÎÁ ÓÅÂÑ. äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÕËÁÖÅÍ ÔÒÉ ÅÇÏ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÅ ÔÏÞËÉ:

` B

B′

R

A

B ′′ R R′′ O C D

′

P

f2

f3

f4

1 2 3 4 B −f→ B ′ −f→ B ′′ −f→ B ′′ −f→ B

A′

1 2 3 4 R −f→ R′ −f→ R′′ −f→ O −f→ R

P′

P

f1

−→ P ′ −→ Q −→ Q′′ −→ P

Q′′ Q

òÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ×ÙÕÓËÏ×

249

ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ D = f3 ◦ f2 ◦ f1 (A) ∈ (OB ′ ): ïÓÔÁÌÏÓØ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÔÏÞËÉ B É D ÌÅÖÁÔ Ï ÏÄÎÕ ÓÔÏÒÏÎÕ ÏÔ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÙ ÕÇÌÁ AOC . (í. ÷ÑÌÙÊ ) 4.11. õÓÌÏ×ÉÅ. îÁ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ËÌÅÔËÁÈ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ ÄÏÓËÉ ÓÔÏÑÔ ÆÉÛËÉ (ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÊ ÎÁ ËÁÖÄÏÊ ËÌÅÔËÅ), ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ËÌÅÔËÉ ÕÓÔÙÅ. îÁÚÏ×ÅÍ ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ËÕ ÏÞÔÉ ÏÌÎÏÊ, ÅÓÌÉ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ C , ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄ×ÉÎÕÔØ ËÁÖÄÕÀ ÆÉÛËÕ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ, ÎÅ ÒÅ×ÙÛÁÀÝÅÅ C (ÉÎÏÇÄÁ ÎÕÌÅ×ÏÅ) ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÕÓÔÙÈ ËÌÅÔÏË ÎÅ ÏÓÔÁÌÏÓØ. îÁÚÏ×ÅÍ ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ËÕ ÎÅ ÓÌÉÛËÏÍ ÕÓÔÏÊ, ÅÓÌÉ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ D, ÞÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÕÓÔÙÈ ËÌÅÔÏË × ÌÀÂÏÍ Ë×ÁÄÒÁÔÅ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ DP , ÇÄÅ P | ÅÒÉÍÅÔÒ Ë×ÁÄÒÁÔÁ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÞÔÉ ÏÌÎÙÅ ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ËÉ | ÜÔÏ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÎÅ ÓÌÉÛËÏÍ ÕÓÔÙÅ. òÅÛÅÎÉÅ. îÁÍ ÂÕÄÅÔ ÕÄÏÂÎÅÅ ÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÎÅ ÓÌÉÛËÏÍ ÕÓÔÏÊ ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ËÉ: ÍÙ ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ D, ÞÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÕÓÔÙÈ ËÌÅÔÏË × ÌÀÂÏÍ Ë×ÁÄÒÁÔÅ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ DN , ÇÄÅ N | ÓÔÏÒÏÎÁ Ë×ÁÄÒÁÔÁ. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÊ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ. úÁÍÅÔÉÍ ÅÝÅ, ÞÔÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÅÄÏÌÁÇÁÔØ C É D ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÍÉ. ðÕÓÔØ ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ËÁ ÏÞÔÉ ÏÌÎÁÑ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÌÀÂÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ N . ÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ ×ÓÅ ÆÉÛËÉ ÅÒÅÄ×ÉÎÕÔØ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÎÅ ÂÏÌØÛÅÅ, ÞÅÍ N , ÔÏ × ÜÔÏÍ Ë×ÁÄÒÁÔÅ ÍÏÇÕÔ ÏÑ×ÉÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ ÆÉÛËÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÉÚÎÁÞÁÌØÎÏ ÓÔÏÑÌÉ × Ë×ÁÄÒÁÔÅ (N + 2C ) × (N + 2C ), ÉÍÅÀÝÅÍ ÔÏÔ ÖÅ ÅÎÔÒ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × ÉÓÈÏÄÎÏÍ Ë×ÁÄÒÁÔÅ ÕÓÔÙÈ ËÌÅÔÏË ÂÙÌÏ ÎÅ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ËÌÅÔÏË × €ÂÏÒÄÀÒŁ ÛÉÒÉÎÙ C ×ÏËÒÕÇ ÎÅÇÏ, Ô. Å. (N + 2C )2 − N 2 = 4CN + 4C 2 6 N (4C + 4C 2 ). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÌÏÖÉÔØ D = 4C + 4C 2 . ïÓÔÁÔÏË ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÓ×ÑÝÅÎ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ. íÙ ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ ÏÌÏÖÉÔØ C = 4D. óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÓÎÁÞÁÌÁ Ä×Å ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÌÅÍÍÙ. ìÅÍÍÁ 1 (ÌÅÍÍÁ ë£ÎÉÇÁ). äÁÎÏ ËÏÒÎÅ×ÏÅ ÄÅÒÅ×Ï. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÓÔÅÅÎØ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ËÏÎÅÞÎÁ, Á ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ. ÏÇÄÁ × ÎÅÍ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÊ ÕÔØ. ìÅÍÍÁ 2 (ÔÅÏÒÅÍÁ íÅÎÇÅÒÁ, ×ÅÒÛÉÎÎÁÑ ÆÏÒÍÁ). äÁÎ ËÏÎÅÞÎÙÊ ÇÒÁÆ Ó ×ÙÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ B É E , ÎÅÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÍÉ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÒÉ ×ÙËÉÄÙ×ÁÎÉÉ ÌÀÂÙÈ k − 1 ×ÅÒÛÉÎ, ÏÔÌÉÞÎÙÈ ÏÔ B É E , × ÏÓÔÁ×ÛÅÍÓÑ ÇÒÁÆÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÕÔØ ÏÔ B ÄÏ E . ÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ k ÕÔÅÊ ÏÔ B ÄÏ E , ÎÅ ÉÍÅÀÝÉÈ ÏÂÝÉÈ ×ÅÒÛÉÎ, ÏÔÌÉÞÎÙÈ ÏÔ B É E.

250

úÁÄÁÞÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ

ó×ÅÄÅÍ ÚÁÄÁÞÕ Ë ËÏÎÅÞÎÏÊ. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÆÁËÔ: äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔÁ 2N × 2N ÍÏÖÎÏ ÓÄ×ÉÎÕÔØ ËÁÖÄÕÀ ÆÉÛËÕ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ , ÎÅ ÂÏÌØÛÅÅ C ÔÁË , ÞÔÏ ×ÓÅ ËÌÅÔËÉ ÅÎÔÒÁÌØÎÏÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔÁ (2N − 2C ) × (2N − 2C ) (ÄÁÌÅÅ ÍÙ ÅÇÏ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÒÏÓÔÏ ÅÎÔÒÁÌØÎÙÍ Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ) ÂÕÄÕÔ ÚÁÏÌÎÅÎÙ . ðÕÓÔØ ÆÁËÔ ÄÏËÁÚÁÎ. ðÏÓÔÒÏÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÇÒÁÆ. ìÀÂÁÑ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÁ ÅÓÔØ Ë×ÁÄÒÁÔ 2N × 2N Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ×ÍÅÓÔÅ ÓÏ ÓÏÓÏÂÏÍ ÅÒÅÄ×ÉÖÅÎÉÑ ÆÉÛÅË ÜÔÏÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ , ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÅÅ C ÔÁË, ÞÔÏ ×ÓÅ ËÌÅÔËÉ ÅÎÔÒÁÌØÎÏÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÚÁÏÌÎÅÎÙ; ÒÅÂÒÏ ÖÅ ÂÕÄÅÔ ÓÏÅÄÉÎÑÔØ ×ÅÒÛÉÎÕ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ Ë×ÁÄÒÁÔÕ 2N × 2N , Ó ×ÅÒÛÉÎÏÊ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ Ë×ÁÄÒÁÔÕ (2N + 2) × (2N + 2), ÅÓÌÉ ÆÉÛËÉ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ ÍÅÎØÛÅÍÕ Ë×ÁÄÒÁÔÕ, Ä×ÉÇÁÀÔÓÑ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï. ëÏÒÎÅÍ ÜÔÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÂÕÄÅÔ ×ÅÒÛÉÎÁ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÝÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔ 0 × 0. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ Ë ÜÔÏÍÕ ÇÒÁÆÕ ÒÉÍÅÎÉÍÁ ÌÅÍÍÁ ëÅÎÉÇÁ; ÏÄÎÁËÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÊ ÕÔØ × ÜÔÏÍ ÇÒÁÆÅ ÅÓÔØ ÓÏÓÏ ÅÒÅÄ×ÉÖÅÎÉÑ ×ÓÅÈ ÆÉÛÅË ÔÁË, ÞÔÏ ×ÓÅ ËÌÅÔËÉ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÚÁÏÌÎÅÎÎÙÍÉ. äÏËÁÖÅÍ ÔÅÅÒØ ÎÁÛ ÆÁËÔ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÓÎÏ×Á ÏÓÔÒÏÉÍ ÇÒÁÆ. åÇÏ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÂÕÄÕÔ Ñ×ÌÑÔØÓÑ ËÌÅÔËÉ ÎÁÛÅÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔÁ 2N × 2N É ÅÝÅ Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ: €ÎÁÞÁÌØÎÁс ×ÅÒÛÉÎÁ B É €ËÏÎÅÞÎÁс ×ÅÒÛÉÎÁ E . ëÁÖÄÕÀ ËÌÅÔËÕ ÓÏÅÄÉÎÉÍ ÓÏ ×ÓÅÍÉ ËÌÅÔËÁÍÉ, ÎÁÈÏÄÑÝÉÍÉÓÑ ÏÔ ÎÅÅ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ ÎÅ ÂÏÌØÛÅÍ, ÞÅÍ C . ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÓÏÅÄÉÎÉÍ B ÓÏ ×ÓÅÍÉ ÕÓÔÙÍÉ ËÌÅÔËÁÍÉ, Á ÌÀÂÕÀ ËÌÅÔËÕ, ÎÁÈÏÄÑÝÕÀÓÑ ×ÎÅ ÅÎÔÒÁÌØÎÏÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔÁ (2N − 2C ) × (2N − 2C ) ÓÏÅÄÉÎÉÍ Ó E . ðÕÓÔØ × ÎÁÛÅÍ Ë×ÁÄÒÁÔÅ P 6 2DN ÕÓÔÙÈ ËÌÅÔÏË. íÙ ÈÏÔÉÍ, ÒÉÍÅÎÉ× ÔÅÏÒÅÍÕ íÅÎÇÅÒÁ, ÏÓÔÒÏÉÔØ P ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÕÔÅÊ ÉÚ B × E . ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÉ ÕÔÉ ÒÏÊÄÕÔ ÞÅÒÅÚ ×ÓÅ ÕÓÔÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÔÁË ËÁË ÉÈ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÚÁ B , ÒÁÚÌÉÞÎÙ. ÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ BA0 A1 A2 : : : An E | ÏÄÉÎ ÉÚ ÔÁËÉÈ ÕÔÅÊ (A0 | ÕÓÔÁÑ), ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÒÏ×ÅÓÔÉ ÔÁËÏÅ ÅÒÅÄ×ÉÖÅÎÉÅ: A1 → A0 , A2 → A1 , . . . , An → An−1 ; ÒÉ ÜÔÏÍ ÕÓÔÏÊ ÏËÁÖÅÔÓÑ ËÌÅÔËÁ An , ÎÁÈÏÄÑÝÁÑÓÑ ×ÎÅ ÅÎÔÒÁÌØÎÏÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔÁ, É ÔÁËÉÅ ÅÏÞËÉ, ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÅ ÄÌÑ ÒÁÚÎÙÈ ÕÔÅÊ, ÎÅ ÂÕÄÕÔ ÅÒÅÓÅËÁÔØÓÑ; ÏÜÔÏÍÕ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ÂÕÄÅÔ ×ÙÏÌÎÅÎÏ. ïÓÔÁÌÏÓØ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÔÅÏÒÅÍÙ íÅÎÇÅÒÁ. éÍÅÎÎÏ, ÎÕÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ: ÅÓÌÉ ×ÙÂÒÏÓÉÔØ ÍÅÎÅÅ P ×ÅÒÛÉÎ, ÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÕÔØ ÉÚ B × E . ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ÒÏÔÉ×ÎÏÅ. ðÕÓÔØ ×ÙÂÒÏÛÅÎÙ P − 1 ×ÅÒÛÉÎÁ, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ P − x ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÕÓÔÙÍ ËÌÅÔËÁÍ. ÏÇÄÁ ×ÅÒÛÉÎÁ B ÏÓÔÁÌÁÓØ ÓÏÅÄÉÎÅÎÎÏÊ Ó x ÕÓÔÙÍÉ. ðÏËÒÁÓÉÍ ËÒÁÓÎÙÍ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÏÓÔÁ×ÛÅÇÏÓÑ ÇÒÁÆÁ, ÄÏ ËÏÔÏÒÙÈ ÔÅÅÒØ ÍÏÖÎÏ ÄÏÂÒÁÔØÓÑ ÉÚ B , É ÓÉÎÉÍ | ×ÓÅ ×ÙÂÒÏÛÅÎÎÙÅ ÎÅÕÓÔÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ (ÉÈ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁ×ÎÏ x − 1). ÏÇÄÁ ÌÀÂÁÑ ËÒÁÓÎÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ × ÉÓÈÏÄÎÏÍ ÇÒÁÆÅ ÂÙÌÁ ÓÏÅÄÉÎÅÎÁ ÔÏÌØËÏ Ó ËÒÁÓÎÙÍÉ, ÓÉÎÉÍÉ É ÕÓÔÙÍÉ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÉÎÄÕ ÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÇÒÁÆ ÎÁ ËÒÁÓÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎÁÈ. ðÏÓÌÅ ×ÙËÉÄÙ×ÁÎÉÑ ×ÅÒÛÉÎÙ B ÏÎ ÒÁÓÁÄÁÅÔÓÑ ÎÁ ÎÅÓËÏÌØËÏ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ

òÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ×ÙÕÓËÏ×

251

S1 , . . . , S`. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÄÎÕ ÉÚ ÎÉÈ, ÓËÁÖÅÍ, Sj . ïÎÁ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÌÅÖÉÔ × ÅÎÔÒÁÌØÎÏÍ Ë×ÁÄÒÁÔÅ, ÉÂÏ ÉÎÁÞÅ ÏÎÁ Ó×ÑÚÁÎÁ Ó E . ðÕÓÔØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉË, × ËÏÔÏÒÙÈ ÅÅ ÍÏÖÎÏ ÚÁËÌÀÞÉÔØ, ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÍÅÒÙ U × V (ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ U > V ); ÔÏÇÄÁ × Sj ÎÅ ÂÏÌÅÅ UD ÕÓÔÙÈ ËÌÅÔÏË. ïÔÍÅÔÉÍ ×ÓÅ ÎÅËÒÁÓÎÙÅ ËÌÅÔËÉ, ÕÄÁÌÅÎÎÙÅ ÏÔ ËÁËÏÊ-ÔÏ ÉÚ ËÌÅÔÏË Sj ÎÅ ÂÏÌÅÅ, ÞÅÍ ÎÁ C=2. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ËÌÅÔËÉ ÂÙÌÉ ÓÉÎÉÍÉ ÉÌÉ ÕÓÔÙÍÉ. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÓÉÎÉÈ ÓÒÅÄÉ ÎÉÈ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ U (C − D)=2. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÔÒÏÞËÉ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÁ (U + C ) × (V + C ), × ÅÎÔÒÅ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÌÅÖÉÔ ÎÁÛ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉË U × V . îÁÚÏ×ÅÍ ÓÔÒÏÞËÕ i-ÓÔÒÏÞËÏÊ, ÅÓÌÉ ÂÌÉÖÁÊÛÁÑ Ë ÎÅÊ ÓÔÒÏÞËÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ ËÌÅÔËÕ ÉÚ Sj , ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ ÎÅ ÂÏÌØÛÅ i ÏÔ ÎÅÅ. (÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, 0-ÓÔÒÏÞËÁ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ËÌÅÔËÕ ÉÚ Sj .) úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × i-ÓÔÒÏÞËÅ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ 2 (C=2 − i) ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ ËÌÅÔÏË. 0-ÓÔÒÏÞËÉ ÉÄÕÔ ÎÅ ÒÅÖÅ, ÞÅÍ ÞÅÒÅÚ C ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ, ÉÂÏ Sj Ó×ÑÚÎÁ; ÏÜÔÏÍÕ ÉÈ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ (U + C=2) =C (ÚÄÅÓØ ÕÞÔÅÎÏ, ÞÔÏ ÅÒ×ÙÅ É ÏÓÌÅÄÎÉÅ C=2 ÓÔÒÏÞÅË ÕÓÔÙÅ). áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, i-ËÌÅÔËÉ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ €ÂÌÏËÁÍɁ ÈÏÔÑ ÂÙ Ï 2i + 1 ÓÔÒÏÞÅË, ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ËÏÔÏÒÙÍÉ ÎÅ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ C − 2i − 1, ÏÜÔÏÍÕ ÉÈ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ (U + C=2) (2i + 1)=C . ðÕÓÔØ si | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï i-ÓÔÒÏÞÅË. ÏÇÄÁ C

−1

2 X

i=0



si > U + C2



1 C C 3 2C − 1   + + : : : + = U + C C 2C 2 4

:

ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÅÓÌÉ ÓÔÒÏÞËÁ ÏÓÞÉÔÁÎÁ × ÜÔÏÊ ÓÕÍÍÅ j ÒÁÚ, ÔÏ ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ (C=2 − 1)-ÓÔÒÏÞËÏÊ, . . . , (C=2 − j )-ÓÔÒÏÞËÏÊ, ÏÜÔÏÍÕ × ÎÅÊ ÈÏÔÑ ÂÙ 2j ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ ËÌÅÔÏË; ÏÔÓÀÄÁ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ ËÌÅÔÏË ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ (2U + C )C=4. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÜÔÉ ËÌÅÔËÉ ÌÅÖÁÔ × Ë×ÁÄÒÁÔÅ (U + C ) × (U + C ), ÏÜÔÏÍÕ ÓÒÅÄÉ ÎÉÈ ÎÅ ÂÏÌÅÅ D(U + C ) ÕÓÔÙÈ. ðÏÜÔÏÍÕ ÓÉÎÉÈ ÓÒÅÄÉ ÎÁÛÉÈ ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ C (2U + C ) − D(U + C ) C−D > U ; 4 2

ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÅÓÌÉ Sj ÓÏÄÅÒÖÉÔ k ÕÓÔÙÈ ËÌÅÔÏË, ÔÏ U > k=D, É ÓÉÎÉÈ ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ ËÌÅÔÏË ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ k(C − D)=(2D). úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ËÌÅÔËÉ ÄÌÑ ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ ËÌÅÔËÁ A Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÍÅÞÅÎÎÏÊ ÄÌÑ Si É Sj , Ô. Å. ÕÄÁÌÅÎÁ ÏÔ ËÁËÉÈ-ÔÏ ËÌÅÔÏË Xi É Xj ÎÅ ÂÏÌÅÅ, ÞÅÍ ÎÁ C=2, ÔÏ Xi Xj 6 C , É ËÏÍÏÎÅÎÔÙ Si É Sj Ó×ÑÚÁÎÙ | ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÓÅÇÏ ÓÉÎÉÈ ËÌÅÔÏË ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ x(C − D)=(2D) > x, ÎÏ ÍÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÌÉ, ÞÔÏ ÉÈ x − 1. ðÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ, ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÝÅÅ ÚÁÄÁÞÕ.

252

úÁÄÁÞÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ

úÁÍÅÞÁÎÉÅ. îÅÍÎÏÇÏ ÔÏÞÎÅÅ ÒÏ×ÅÄÑ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ, ÍÏÖÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÞÔÏ ÒÉ D = 1 ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÌÏÖÉÔØ C = 1. (é. âÏÇÄÁÎÏ×, ç. þÅÌÎÏËÏ× ) 5.5. õÓÌÏ×ÉÅ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ 10 ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ×, ×ÉÓÁÎÎÙÈ × ÄÏÄÅËÁÜÄÒ (×ÅÒÛÉÎÙ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ× Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ), ÅÓÔØ ÉËÏÓÁÜÄÒ. òÅÛÅÎÉÅ. ëÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, × ÄÏÄÅËÁÜÄÒ ÍÏÖÎÏ ×ÉÓÁÔØ ËÕÂ, ×ÅÒÛÉÎÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÌÅÖÁÔ × ×ÅÒÛÉÎÁÈ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ. õ ËÕÂÁ 12 ÒÅÂÅÒ, Á Õ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ 12 ÇÒÁÎÅÊ, ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ËÕÂÁ ÌÅÖÉÔ ÎÁ Ó×ÏÅÊ ÇÒÁÎÉ, Ñ×ÌÑÑÓØ ÅÅ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÀ. ðÏÓËÏÌØËÕ Õ ËÁÖÄÏÊ ÇÒÁÎÉ 5 ÄÉÁÇÏÎÁÌÅÊ, ÉÍÅÅÔÓÑ 5 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÕÂÏ×, ×ÉÓÁÎÎÙÈ × ÄÏÄÅËÁÜÄÒ, Ë ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÒÉÍÙËÁÀÔ Ä×Á ËÕÂÁ (ÉÂÏ ÓÈÏÄÑÔÓÑ 3 ÇÒÁÎÉ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ É 6 ÄÉÁÇÏÎÁÌÅÊ ÇÒÁÎÅÊ | Ï Ä×Å ÏÔ ËÁÖÄÏÊ). ìÀÂÏÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ ÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÜÔÉ ËÕÂÙ, Á ÅÎÔÒÁÌØÎÁÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÑ | ÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÌÀÂÕÀ ÇÒÁÎØ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅ×ÅÓÔÉ × ÌÀÂÕÀ, Á ÕÔÅÍ Ï×ÏÒÏÔÁ ×ÄÏÌØ ÏÓÉ, ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÏÊ ÁÒÅ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ, ÌÀÂÁÑ ÄÉÁÇÏÎÁÌØ ÇÒÁÎÉ ÅÒÅ×ÏÄÉÔÓÑ × ÌÀÂÕÀ ÄÒÕÇÕÀ, ×ÓÅ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ×ÓÅÈ ÇÒÁÎÅÊ ÄÒÕÇ × ÄÒÕÇÁ ÅÒÅ×ÏÄÑÔÓÑ. ðÏÜÔÏÍÕ ÌÀÂÏÊ ËÕ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅ×ÅÓÔÉ × ÌÀÂÏÊ ÄÒÕÇÏÊ. (íÏÖÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÇÒÕÁ ÓÉÍÍÅÔÒÉÊ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ ÅÒ×ÏÇÏ ÒÏÄÁ | Ô. Å. ÓÏÈÒÁÎÑÀÝÉÈ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÀ | ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ ÇÒÕÅ A5 ÉÌÉ ÇÒÕÅ ÞÅÔÎÙÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÑÔÉÜÌÅÍÅÎÔÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á: ÜÔÉÈ ËÕÂÏ×.) ÷ Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ, ×√ËÕÂ Ó ÒÅÂÒÏÍ a ÍÏÖÎÏ Ä×ÕÍÑ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ×ÉÓÁÔØ ÔÅÔÒÁÜÄÒ Ó ÒÅÂÒÏÍ a 2, ×ÅÒÛÉÎÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÌÅÖÁÔ × ×ÅÒÛÉÎÁÈ ËÕÂÁ, Á ÒÅÂÒÁ | ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÇÒÁÎÅÊ. ðÒÉ ÅÎÔÒÁÌØÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ ËÕÂÁ ÜÔÉ Ä×Á ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ÅÒÅÈÏÄÑÔ ÄÒÕÇ × ÄÒÕÇÁ, Á ÉÈ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÅÓÔØ ÏËÔÁÜÄÒ | ÔÅÌÏ, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÅ Ë ËÕÂÕ. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ 5.5 ÅÓÔØ ÁÎÁÌÏÇ ÜÔÏÇÏ ÆÁËÔÁ ÄÌÑ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ Ó ÉËÏÓÁÜÄÒÏÍ. éÔÏÇÏ ÉÍÅÀÔÓÑ 10 ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ×, ×ÉÓÁÎÎÙÈ × ÄÏÄÅËÁÜÄÒ. ÷ÓÅ ÏÎÉ ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÅÇÏ ÅÎÔÒ É ËÁÖÄÁÑ ÇÒÁÎØ ÔÅÌÁ B , Ñ×ÌÑÀÝÅÇÏÓÑ ÉÈ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅÍ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØÀ ÇÒÁÎÅÊ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÜÔÉÈ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ×. ÅÔÒÁÜÄÒÙ ÒÁÚÂÉ×ÁÀÔÓÑ ÎÁ ÁÒÙ ÅÎÔÒÁÌØÎÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÈ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ×, ×ÉÓÁÎÎÙÈ × ÏÄÉÎ ËÕÂ, É ÅÎÔÒÁÌØÎÁÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÑ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ ÍÅÎÑÅÔ ÍÅÓÔÁÍÉ ÔÅÔÒÁÜÄÒÙ × ÁÒÁÈ. ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ËÁÖÄÏÊ ÁÒÙ ÅÓÔØ ÏËÔÁÜÄÒ É ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ 5 ÏËÔÁÜÄÒÏ× ÅÓÔØ ÉËÏÓÁÜÄÒ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÁÎÁÌÏÇÏÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ Ï ÑÔÉ ËÕÂÁÈ, ×ÉÓÁÎÎÙÈ × ÄÏÄÅËÁÜÄÒ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÌÀÂÏÊ ËÕ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅ×ÅÓÔÉ × ÌÀÂÏÊ, ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅ×ÅÓÔÉ × ÌÀÂÏÊ Ä×ÉÖÅÎÉÅÍ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ. ðÏ×ÏÒÏÔ ÎÁ 2=3 ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ËÕÂÁ (ËÏÔÏÒÁÑ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÀ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ) ÅÒÅ×ÏÄÉÔ × ÓÅÂÑ

òÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ×ÙÕÓËÏ×

253

ÄÏÄÅËÁÜÄÒ, ÜÔÏÔ ËÕÂ É ËÁÖÄÙÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒ, ×ÉÓÁÎÎÙÊ × ÏÓÌÅÄÎÉÊ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÏÄÎÁ ÉÚ ÇÒÁÎÅÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ÅÒÅÈÏÄÉÔ × ÓÅÂÑ, Á ÔÒÉ ÄÒÕÇÉÈ ÅÒÅÈÏÄÑÔ ÄÒÕÇ × ÄÒÕÇÁ Ï ÉËÌÕ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÌÏÓËÏÓÔØ ÇÒÁÎÉ B ÌÅÖÉÔ × ÌÏÓËÏÓÔÉ ÇÒÁÎÉ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ×, ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÔÁËÖÅ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÔÏÒÏÎ Õ ÌÀÂÏÊ ÇÒÁÎÉ B ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3. óÕÍÍÉÒÕÑ ÓËÁÚÁÎÎÏÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÇÒÁÎØ ÌÀÂÏÇÏ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ÅÒÅ×ÏÄÉÔÓÑ × ÌÀÂÕÀ ÇÒÁÎØ ÌÀÂÏÇÏ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ Ä×ÉÖÅÎÉÅÍ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÌÀÂÁÑ ÇÒÁÎØ ÔÅÌÁ B ÔÁËÖÅ ÅÒÅ×ÏÄÉÔÓÑ × ÌÀÂÕÀ ÄÒÕÇÕÀ ÇÒÁÎØ É ×ÓÅ ÇÒÁÎÉ B ÉÍÅÀÔ ÒÁ×ÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÓÔÏÒÏÎ, ÄÅÌÑÝÅÅÓÑ ÎÁ 3. ðÏÓËÏÌØËÕ ÏÄÎÁ ÉÚ ÇÒÁÎÅÊ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ÏÂÑÚÁÎÁ ÉÍÅÔØ ÍÅÎÅÅ 6 ÓÔÏÒÏÎ (ÜÔÏ ÌÅÇËÏ ×Ù×ÏÄÉÔÓÑ ÉÚ ÆÏÒÍÕÌÙ üÊÌÅÒÁ), ÔÏ ×ÓÅ ÇÒÁÎÉ B | ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ. á ÒÁÚ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÇÒÁÎÉ ÅÓÔØ Ï×ÏÒÏÔ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏÓÉ, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÊ ÅÅ × ÓÅÂÑ, ÔÏ ×ÓÅ ÜÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ÒÁ×ÉÌØÎÙÅ. ÷ÅÒÛÉÎÕ ËÁÖÄÏÊ ÇÒÁÎÉ B ÍÏÖÎÏ ÅÒÅ×ÅÓÔÉ Ä×ÉÖÅÎÉÅÍ B × ÌÀÂÕÀ ÄÒÕÇÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ÔÏÊ ÖÅ ÇÒÁÎÉ, Á ËÁÖÄÕÀ ÇÒÁÎØ B | × ÌÀÂÕÀ ÄÒÕÇÕÀ ÇÒÁÎØ. éÚ ÜÔÏÇÏ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ É ÌÀÂÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ B ÅÒÅ×ÏÄÉÔÓÑ × ÌÀÂÕÀ ÄÒÕÇÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ. ðÏÜÔÏÍÕ B | ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË. éÓÈÏÄÎÙÊ ÄÏÄÅËÁÜÄÒ (Á ÚÎÁÞÉÔ, É B ) ÅÒÅÈÏÄÉÔ × ÓÅÂÑ ÒÉ Ï×ÏÒÏÔÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏÓÉ (ÓÅÒÅÄÉÎÎÏÇÏ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÁ Ë ÁÒÅ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ). ðÏÓËÏÌØËÕ ×ÓÅ ÇÒÁÎÉ B | ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ, ÒÉ ÔÁËÏÍ Ï×ÏÒÏÔÅ ÎÉ ÏÄÎÁ ÉÚ ÇÒÁÎÅÊ B × ÓÅÂÑ ÎÅ ÅÒÅÈÏÄÉÔ É ÏÔÏÍÕ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÇÒÁÎÅÊ B ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 5. ðÒÁ×ÉÌØÎÙÍÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ: ÔÅÔÒÁÜÄÒ, ËÕÂ, ÏËÔÁÜÄÒ, ÉËÏÓÁÜÄÒ É ÄÏÄÅËÁÜÄÒ. ëÕÂ É ÄÏÄÅËÁÜÄÒ ÎÅ ÏÄÈÏÄÑÔ, ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ÉÈ ÇÒÁÎÉ ÎÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ, Á Õ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ É ÏËÔÁÜÄÒÁ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÇÒÁÎÅÊ ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 5. ðÏÜÔÏÍÕ B ÉËÏÓÁÜÄÒ. úÁÄÁÞÁ ÒÅÛÅÎÁ. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. çÒÁÎÉ ÉËÏÓÁÜÄÒÁ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓËÒÁÓÉÔØ (Ä×ÕÍÑ ÓÏÓÏÂÁÍÉ) × 5 ×ÅÔÏ× ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÅ ÇÒÁÎÉ ÎÅ ÉÍÅÌÉ ÂÙ ÏÂÝÅÊ ×ÅÒÛÉÎÙ. ÏÇÄÁ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÑ ÇÒÁÎÅÊ ÏÄÎÏÇÏ ×ÅÔÁ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒ. ä×ÕÍ ÓÏÓÏÂÁÍ ÒÁÓËÒÁÓËÉ ÇÒÁÎÅÊ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ Ä×Å ÑÔÅÒËÉ ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ×, ÏÉÓÁÎÎÙÈ ÏËÏÌÏ ÉËÏÓÁÜÄÒÁ. ÷ÓÅ 10 ×ÉÓÁÎÙ × ÄÏÄÅËÁÜÄÒ É ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÏÄÎÕ ÉÚ Ú×ÅÚÄÞÁÔÙÈ ÆÏÒÍ ÉËÏÓÁÜÄÒÁ. äÒÕÇÁÑ Ú×ÅÚÄÞÁÔÁÑ ÆÏÒÍÁ ÅÓÔØ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ 5 ÏËÔÁÜÄÒÏ×, ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅÍ ÁÒÙ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ× ÉÚ ÜÔÉÈ ÄÅÓÑÔÉ. óÅÞÅÎÉÅ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ ÌÏÓËÏÓÔØÀ ÇÒÁÎÉ ÎÁÛÉÈ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ× ÅÓÔØ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÅÎÔÒÁÌØÎÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÊ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÉË, ×ÅÒÛÉÎÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÙ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ Ä×ÕÈ ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×, Ï×ÅÒÎÕÔÙÈ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÕÇÏÌ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÂÝÅÇÏ ÅÎÔÒÁ. üÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÓÏÅÄÉÎÉÔØ Ó ÄÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ ÕÔÅÍ ÉÚ Ä×ÕÈ ÒÅÂÅÒ. äÌÉÎÙ ÓÔÏÒÏÎ ÜÔÏÇÏ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁ ÞÅÒÅÄÕÀÔÓÑ É ÒÁ×ÎÙ ÓÔÏÒÏÎÅ

254

úÁÄÁÞÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ

ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ É ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÅÇÏ ÇÒÁÎÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. åÓÌÉ ÒÏ×ÅÓÔÉ ×ÓÅ ÔÁËÉÅ ÓÅÞÅÎÉÑ, ÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË, ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÀÝÅÊÓÑ Ú×ÅÚÄÞÁÔÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ÉËÏÓÁÜÄÒÁ. (á. ñ. ëÁÎÅÌØ ) 5.10. õÓÌÏ×ÉÅ. óÌÕÞÁÊÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ X; Y; Z ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÙ ÎÁ ÅÄÉÎÉÞÎÏÍ ÏÔÒÅÚËÅ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÅÌÉÞÉÎÁ (XY )Z ÔÁËÖÅ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÁ. òÅÛÅÎÉÅ. ÷×ÅÄÅÍ ÎÏ×ÙÅ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ U = X; V = XY . óÏ×ÍÅÓÔÎÏÅ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ U; V ÉÍÅÅÔ ÌÏÔÎÏÓÔØ dUdV=U , ÏÓËÏÌØËÕ ÑËÏÂÉÁÎ ÅÒÅÈÏÄÁ ÒÁ×ÅÎ 1=U . ðÒÉ ÜÔÏÍ P (V 6 U ) = P (XY 6 X ) = 1 (ÏÓËÏÌØËÕ Y 6 1); ÅÓÌÉ 0 6 w 6 1, ÔÏ

P (V

6 w) = P (V 6 w; U > V ) = P (XY 6 w) = Z w Z

=

dV

0

1

V

Z

dU = U

w

0

(− ln V )dV;

É ÌÏÔÎÏÓÔØ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÅÌÉÞÉÎÙ V ÒÁ×ÎÁ fV (w) = − ln w. ðÏÌÏÖÉÍ  = − ln V . ÏÇÄÁ

P ( 6 w) = P (V

>e

−w

)=

Z

1

e−w

(− ln V )dV:

ðÒÏÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍ ÌÅ×ÕÀ É ÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔØ Ï w: −w

äÁÌÅÅ,

f (w) = −(− ln(e−w )) dedw = we−w ; 0 < w < ∞: P (V Z 6 t) = P (Z > − ln t) = P



−

ln t 6Z 



;

ÒÉÞÅÍ Z 6 1. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÉ ÄÁÎÎÏÍ t ÅÒÅÍÅÎÎÏÅ  ÒÏÂÅÇÁÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÏÔ − ln t ÄÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ, É ÒÉ ËÁÖÄÏÍ ÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÉ Z ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÏ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [− ln t=; 1℄. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,

P



=

−

Z

ln t 6Z  ∞

− ln t

+ ln t



= 

Z

∞

− ln t

 Z −w  we



we−w 1 + lnwt dw =

Z

∞

− ln t

1

ln t Z ∞w −

− ln t



dZ  dw =

we−w dw+

e−w dw = −t ln t + t + t ln t = t:

úÎÁÞÉÔ, P (V Z 6 t) = t (0 < t 6 1), Á ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ×ÅÌÉÞÉÎÁ (XY )Z ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÁ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ. (í. ëÅÌØÂÅÒÔ, ÅÒÅ×ÅÄÅÎÏ É ÏÔÒÅÄÁËÔÉÒÏ×ÁÎÏ â. ò. æÒÅÎËÉÎÙÍ )

òÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ×ÙÕÓËÏ×

255

6.1. õÓÌÏ×ÉÅ. îÁ ÉÒ ÓÏÂÒÁÌÉÓØ 100 ÌÀÄÏÅÄÏ×, É ÏÎÉ ÓÔÁÌÉ ÅÓÔØ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÁ. ïËÁÚÁÌÏÓØ, ÞÔÏ ÉÚ ÌÀÂÙÈ 10 ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÏÄÉÎ, ÏËÁÚÁ×ÛÉÊÓÑ × ÖÅÌÕÄËÅ Õ ÄÒÕÇÏÇÏ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÅÏÞËÁ ÉÚ 12 ×ÌÏÖÅÎÎÙÈ ÌÀÄÏÅÄÏ×. òÅÛÅÎÉÅ. îÁÚÏ×ÅÍ ÌÀÄÏÅÄÁ ÄÏÂÒÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÎÉËÏÇÏ ÎÅ ÅÌ. îÁÚÏ×ÅÍ ÌÀÄÏÅÄÁ ÄÏÂÒÙÍ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÎÉËÏÇÏ ÎÅ ÅÌ, ËÒÏÍÅ ËÁË ÄÏÂÒÙÈ ÌÀÄÏÅÄÏ×. îÁÚÏ×ÅÍ ÌÀÄÏÅÄÁ ÄÏÂÒÙÍ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÎÉËÏÇÏ ÎÅ ÅÌ, ËÒÏÍÅ ËÁË ÄÏÂÒÙÈ ÌÀÄÏÅÄÏ× É ÌÀÄÏÅÄÏ× ÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÄÏÂÒÏÔÙ É Ô. Ä. éÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÄÏÂÒÏÔÙ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÎÅ ÂÏÌÅÅ 9 ÌÀÄÏÅÄÏ×, Á ÔÁË ËÁË ÌÀÄÏÅÄÏ× 100, ÔÏ ÓÔÅÅÎÅÊ ÄÏÂÒÏÔÙ ÎÅ ÍÅÎÅÅ 12. ìÀÄÏÅÄ 12 ÓÔÅÅÎÉ ÄÏÂÒÏÔÙ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÓßÅÌ ÌÀÄÏÅÄÁ 11 ÓÔÅÅÎÉ, ÔÏÔ | 10 ÓÔÅÅÎÉ É Ô. Ä. íÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ÅÏÞËÕ ×ÌÏÖÅÎÎÙÈ ÌÀÄÏÅÄÏ×. úÁÄÁÞÁ ÄÏÕÓËÁÅÔ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ (ÎÁÚÏ×ÅÍ ÌÀÄÏÅÄÁ ÖÉ×ÙÍ, ÅÓÌÉ ÅÇÏ ÎÉËÔÏ ÎÅ ÓßÅÌ, ÎÁÚÏ×ÅÍ ÌÀÄÏÅÄÁ ÖÉ×ÙÍ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ , ÅÓÌÉ ÅÇÏ ÅÌÉ ÔÏÌØËÏ ÖÉ×ÙÅ ÌÀÄÏÅÄÙ. . . ). úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ïÂÝÉÊ ÆÁËÔ ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÔÁË. éÍÅÅÔÓÑ ÞÁÓÔÉÞÎÏ

ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÉÚ mn +1 ÜÌÅÍÅÎÔÁ. ÏÇÄÁ × ÎÅÍ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÌÉÂÏ ÅØ ÉÚ n +1 ÜÌÅÍÅÎÔÁ, ÌÉÂÏ ÁÎÔÉ ÅØ ÉÚ m +1 ÜÌÅÍÅÎÔÁ ( ÅØÀ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, × ËÏÔÏÒÏÍ ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÓÒÁ×ÎÉÍÙ, Á ÁÎÔÉ ÅØÀ | ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, × ËÏÔÏÒÏÍ ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÎÅÓÒÁ×ÎÉÍÙ). ðÏÄÕÍÁÊÔÅ ÎÁÄ ÔÁËÏÊ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ. ÷ ÒÑÄÕ ÓÔÏÑÔ mn +1 ÒÁÚÌÉÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. ÏÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÌÉÂÏ n + 1 ÞÉÓÌÏ, ÉÄÕÝÅÅ × ÏÒÑÄËÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÑ, ÌÉÂÏ m + 1 ÞÉÓÌÏ × ÏÒÑÄËÅ ÕÂÙ×ÁÎÉÑ. (á. ñ. âÅÌÏ× ) 6.6. õÓÌÏ×ÉÅ. tk | ÂÅÓËÏÎÅÞÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ P

ÞÉÓÅÌ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÑÄ

(1 + tk+1 )=(ktk ) ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.

P = kt1 . îÕÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ Ä×Á ÒÑÄÁ k Sk É k

òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ Sk Sk ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÓÈÏÄÉÔØÓÑ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ k (k + 1)S k+1 P P ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ k kSSk , ÏÓËÏÌØËÕ ÒÑÄÁ k (k + S1)kS k+1 k+1 k+1 1 < k 6 2 ÒÉ k = 1; : : : ; ∞. P P

ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ k Sk < ∞. ÏÇÄÁ limk→∞ Sk = 0. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ n ÒÉ ×ÓÅÈ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ m, m > 2n, ×ÙÏÌÎÅÎÏ m X Sk

k=n

kSk+1

> 12 :

256

úÁÄÁÞÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ

Sk ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÓÔÒÅÍÉÔØÓÑ Ë ÎÕÌÀ, kSk+1 P ÞÔÏ ÏÂÅÓÅÞÉÔ ÒÁÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄÁ k kSSk . k+1 ðÏÓËÏÌØËÕ limk→∞ Sk = 0, ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ m > 2n, ÞÔÏ SmS +1 < 1. îÏ n

ÏÇÄÁ ÏÓÔÁÔÏÞÎÙÊ ÞÌÅÎ Rk =

ÔÏÇÄÁ

m X Sk

k =n

kSk+1

P∞

k=n

m

m

X S X S m−n+1 1 k k > m1 · = >1; · Sk+1 m m−n+1 Sk+1 2 k=n k=n

Q Sk ÉÂÏ m −mn + 1 > 12 , Á ÏÓËÏÌØËÕ m = S Sn > 1, ÔÏ k=n S m+1 k+1

1 m−n+1

m X Sk

k=n

Sk+1

>

v u m u Y Sk m−n+1 t k=n

Sk+1

>1

× ÓÉÌÕ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ëÏÛÉ. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. üÔÁ ÚÁÄÁÞÁ ÂÙÌÁ ÒÅÄÌÏÖÅÎÁ ÎÁ ÷ÓÅÓÏÀÚÎÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÅ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ €óÔÕÄÅÎÔ É ÎÁÕÞÎÏ-ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÊ ÒÏÇÒÅÓӁ ÄÌÑ ÅÄÉÎÓÔÉÔÕÔÏ× × 1982 Ç. (Ç. þÅÒÎÉÇÏ×), × ËÏÔÏÒÏÊ Á×ÔÏÒ ÒÅÛÅÎÉÑ ÒÉÎÑÌ ÌÉÞÎÏÅ ÕÞÁÓÔÉÅ. (á. ñ. âÅÌÏ× ) 6.8. õÓÌÏ×ÉÅ. áÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ (Ô. Å. ËÏÔÏÒÁÑ ÒÁÚÌÁÇÁÅÔÓÑ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ×Ï ×ÓÀÄÕ ÓÈÏÄÑÝÉÊÓÑ ÒÑÄ ÅÊÌÏÒÁ) ÒÉÎÉÍÁÅÔ × ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÔÏÞËÁÈ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. ÷ÅÒÎÏ ÌÉ, ÞÔÏ ÏÎÁ | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ? òÅÛÅÎÉÅ. ïÔ×ÅÔ ÎÁ ×ÏÒÏÓ: ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅÔ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÓÞÅÔÎÏ, ÚÁÎÕÍÅÒÕÅÍ ÉÈ É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ i-Å × ÜÔÏÊ ÎÕÍÅÒÁ ÉÉ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÞÅÒÅÚ xi . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÕÍÍÕ 0 (x − x0 )+ 1(x − x0 )(x − x1 )+ · · · + k (x − x0 )(x − x1 ) · : : : · (x − xk )+ : : : ; (1) ÇÄÅ i | ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ, ÚÎÁÞÅÎÉÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÂÕÄÕÔ ÏÄÏÂÒÁÎÙ ÎÉÖÅ. åÓÌÉ x ∈ Q, ÔÏ x = xi ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ i É ÄÁÎÎÁÑ ÓÕÍÍÁ ÏÂÏÒ×ÅÔÓÑ; × ÓÉÌÕ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× i ÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÂÕÄÅÔ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏ. íÎÏÇÏÞÌÅÎ, ÒÉÎÉÍÁÀÝÉÊ ×Ï ×ÓÅÈ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÔÏÞËÁÈ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÉÍÅÅÔ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÁËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÞÅÔÎÏ. ïÓÔÁÌÏÓØ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÔØ ËÏÎÔÉÎÕÕÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ {i }∞ i=0 , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁÉÓÁÎÎÙÊ ×ÙÛÅ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ Ë ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÕÎË ÉÉ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏËÁÖÅÍ ÌÅÍÍÕ. ìÅÍÍÁ 1. äÌÑ ÌÀÂÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Rk (x), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ deg Rk (x) = k +1, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÅÏÔÒÉ Á-

òÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ×ÙÕÓËÏ×

257

ÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ rk , ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ k , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀP ÝÅÊ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍ 0 6 k < rk , ÒÑÄ k k Rk (x) ÓÈÏÄÉÔÓÑ Ë ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÕÎË ÉÉ.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Mn ÍÁËÓÉÍÕÍ |Rk(j ) (x)| ÒÉ

ÕÓÌÏ×ÉÑÈ |x| 6 n; k 6 n, ÚÄÅÓØ f (j ) (x) ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ j -À ÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ. üÔÏÔ ÍÁËÓÉÍÕÍ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÉÂÏ R(j ) (x) = 0 ÒÉ j > k + 1. 1 ÷ÏÚØÍÅÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ rk = Mn−+1 =(n + 1)! É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÌÀÂÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ  k ÔÁËÕÀ, ÞÔÏ 0 6 k < rk . ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ P (j ) ÒÑÄÙ ∞ k=0 k Rk (x) ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ÓÈÏÄÑÔÓÑ ÎÁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ. ðÏÜÔÏÍÕ ÓÕÍÍÁ ∞ X

f (x) =

k Rk (x)

k=0

ÅÓÔØ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÁÑ ÆÕÎË ÉÑ É ÅÅ j -Ñ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÒÁ×ÎÁ

f (x) = (j )

∞ X

k=0

k Rk(j ) (x)

× ÓÉÌÕ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÉÚ ËÕÒÓÁ ÍÁÔÁÎÁÌÉÚÁ. äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÒÑÄ ÅÊÌÏÒÁ ÆÕÎË ÉÉ f (x) ÓÈÏÄÉÔÓÑ Ë f (x) × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ (ÜÔÏ É ÅÓÔØ ÁÎÁÌÉÔÉÞÎÏÓÔØ). úÁÉÛÅÍ ÏÓÔÁÔÏÞÎÙÊ ÞÌÅÎ × ÆÏÒÍÅ ìÁÇÒÁÎÖÁ:

'm (x) = f (x) −

m (j ) X f (x) j =0

j!

(m+1) ( ) = f(m + 1)! ;

| | 6 |x|:

ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë ÎÕÌÀ ÒÉ m → ∞ ÏÓËÏÌØËÕ, × ÓÉÌÕ ×ÙÂÏÒÁ k ÉÍÅÅÍ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÕÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ f (m) (x) Ë ÎÕÌÀ ÒÉ m → ∞ ÎÁ ÌÀÂÏÍ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å.  ðÒÉÍÅÎÑÑ ÌÅÍÍÕ, ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ËÏÎÔÉÎÕÕÍ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ k ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÑÄ (1) ÓÈÏÄÉÔÓÑ Ë ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÕÎË ÉÉ. ëÏÍÍÅÎÔÁÒÉÊ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ËÏÎÔÉÎÕÕÍ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ, ÒÉÎÉÍÁÀÝÉÈ × ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ÔÏÞËÁÈ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÍÅÓÔÅ ÓÏ ×ÓÅÍÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÍÉ (Á ÔÁËÖÅ × ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÔÏÞËÁÈ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ É Ô. Ä.). íÏÖÎÏ ÔÁËÖÅ ÏÂÅÓÅÞÉÔØ, ÞÔÏÂÙ ÆÕÎË ÉÑ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÌÁ ÂÉÅË ÉÀ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ (ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ) ÞÉÓÅÌ ÎÁ ÓÅÂÑ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÍÏÖÎÏ ÓÔÒÏÉÔØ ÆÕÎË ÉÉ f (x1 ; : : : ; xn ), ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ, ÎÏ ×ÓÅ ÉÈ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ, ÏÌÕÞÁÅÍÙÅ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÏÊ xi = a, a ∈ Q, | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ. (á. ñ. âÅÌÏ× )

258

úÁÄÁÞÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ

6.12. õÓÌÏ×ÉÅ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ inf Sn (2) = 6, ÇÄÅ xi >0

Sn (2) =

n X xi+1 + xi+2

xi + xi+3

i=1

; xi > 0; xi+n = xi ; n > 6:

÷ÏÚØÍÅÍ ÎÁÂÏÒ ÞÉÓÅÌ xk = ak−1 ÒÉ k = 1, 2, . . . , n − 2 É xn−1 = xn = 1, ÇÄÅ a | ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÍÅÎØÛÅÅ 1. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ Sn (2) < 6 + 2(n − 3)a, ÉÂÏ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÅÒ×ÙÈ (n − 4)-ÅÈ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ÍÅÎØÛÅ 2a, Á ÉÚ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ ÞÅÔÙÒÅÈ Ä×Á ÍÅÎØÛÅ 2 É Ä×Á ÍÅÎØÛÅ 1 + a. õÓÔÒÅÍÉ× a Ë ÎÕÌÀ ÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ Sn (2) 6 6. ðÏËÁÖÅÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ Sn (2) > 6. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ òÅÛÅÎÉÅ.

X=

n X k=1

xk+1 > 3: xk + xk+3

÷ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ ëÏÛÉ { âÕÎÑËÏ×ÓËÏÇÏ ÄÌÑ ÎÁÂÏÒÏ× ÞÉÓÅÌ x2 x3 xn x1 ; ; : : : ; ; É x +x x +x x +x x +x 1

4

x2 (x1 + x4 ); ÏÌÕÞÉÍ

2

5

x3 (x2 + x5 );

:::;

n− 1

2

xn (xn−1 + x2 );

n

3

x1 (xn + x3 );

X > (x x + x x + : : :(x+1 x+ xx2)++: (:x: +xxn+) x x + : : : + x x ) : n 1 n 2 1 2 2 3 1 3 2 4 ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ S 2 > 3(x1 x2 + x2 x3 + : : : + xn x1 ) + 3(x1 x3 + x2 x4 + : : : + xn x2 ) = 3Y; ÇÄÅ S = x1 + x2 + : : : + xn . ðÏÌÏÖÉÍ ÄÌÑ ËÒÁÔËÏÓÔÉ A0 = x3 + x6 + : : : , A1 = x1 + x4 + : : : É A2 = x2 + x5 + : : :. ÏÇÄÁ S = A0 + A1 + A2 É A20 + A21 + A22 > S 2 =3. ðÅÒÅÄ×ÉÎÕ×, ÅÓÌÉ ÎÕÖÎÏ, ÞÉÓÌÁ Ï ÉËÌÕ, ÍÏÖÎÏ ÄÏÂÉÔØÓÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ x3 > x1 É x3 > x2 . úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ X S 2 > 32 (S 2 − A20 − A21 − A22 ) = 3 xi xk = 3Z: . i−k6 ..3 åÓÌÉ n ≡ 0 (mod 3), ÔÏ ×ÓÅ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ ÉÚ ÓÕÍÍÙ Y ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ É × ÓÕÍÍÅ Z . åÓÌÉ n ≡ 1 (mod 3), ÔÏ × ÓÕÍÍÅ Y ÎÅÄÏÓÔÁÅÔ ÓÌÁÇÁÅÍÏÇÏ xn x1 , ËÏÔÏÒÏÅ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏÓÑ × ÎÅÊ ÓÌÁÇÁÅÍÏÇÏ xn x3 . åÓÌÉ ÖÅ n ≡ 2 (mod 3), ÔÏ × ÓÕÍÍÅ Y ÎÅÄÏÓÔÁÅÔ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ xn−1 x1 É xn x2 , ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ xn−1 x3 É xn x3 . óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, S 2 > > 3Y > 3Z É ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÄÏËÁÚÁÎÏ. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. éÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ëÏÛÉ { âÕÎÑËÏ×ÓËÏÇÏ ÞÁÓÔÏ ÏÍÏÇÁÅÔ ÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÏÄÏÂÎÙÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×. ó ÅÇÏ ÏÍÏÝØÀ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ûÁÉÒÏ (Shapiro H. S., Amer. Math. Monthly, 61, 2

òÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ×ÙÕÓËÏ×

259

1954, P. 571{572, Problem 4603) n X k=1

xk n > xk+1 + xk+2 2

ÒÉ n = 3, 4, 5, É 6 ÉÌÉ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (á. ðÒÏËÏØÅ×, ë×ÁÎÔ, ‚6, 1982, ÚÁÄÁÞÁ M749) n X k=1

xk+1 > 2: xk + xk+2

íÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÒÉÍÅÒÙ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ëÏÛÉ { âÕÎÑËÏ×ÓËÏÇÏ × ÏÄÏÂÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ × ÓÔÁÔØÅ èÒÁÂÒÏ× á. é. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× ÒÉ ÏÍÏÝÉ Ë×ÁÚÉÌÉÎÅÁÒÉÚÁ ÉÉ // úÁÄÁÞÉ óÁÎËÔ-ðÅÔÅÒÂÕÒÇÓËÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÙ ÛËÏÌØÎÉËÏ× Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, 1999 ÇÏÄ. éÚÄ-×Ï óðÂçõ, 1999, ó. 81{87. (á. é. èÒÁÂÒÏ× ) 7.2. õÓÌÏ×ÉÅ. äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÌÀÂÕÀ ËÏÎÅÞÎÕÀ ËÁÒÔÕ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÒÁÓËÒÁÓÉÔØ × 4 ×ÅÔÁ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÔÏÇÄÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ËÁÒÔÕ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÔÁËÖÅ ÍÏÖÎÏ ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÒÁÓËÒÁÓÉÔØ × 4 ×ÅÔÁ. (óÔÒÁÎÙ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁÍÉ. òÁÓËÒÁÓËÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÉÌØÎÏÊ, ÅÓÌÉ ÌÀÂÙÅ Ä×Å ÓÔÒÁÎÙ Ó ÏÂÝÉÍ ÕÞÁÓÔËÏÍ ÇÒÁÎÉ Ù ÒÁÓËÒÁÛÅÎÙ × ÒÁÚÎÙÅ ×ÅÔÁ.) ðÅÒ×ÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. îÁÚÏ×ÅÍ ÒÁ×ÉÌØÎÕÀ ÒÁÓËÒÁÓËÕ P ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÓÔÒÁÎ S ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏ ÒÏÄÏÌÖÁÅÍÏÊ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ′ ÏÎÁ ÒÏÄÏÌÖÁÅÔÓÑ ÎÁ S ∪ S ′. åÓÌÉ P ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏ ÒÏÄÏÌÖÁÅÍÏÊ, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÅÒÏÄÏÌÖÁÅÍÏÓÔÉ S ′ ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ P ÎÅ ÒÏÄÏÌÖÁÅÔÓÑ ÎÁ S ∪ S ′ . åÓÌÉ P ÅÓÔØ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏ ÒÏÄÏÌÖÁÅÍÁÑ ÒÁÓËÒÁÓËÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S , C | ÓÔÒÁÎÁ, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏ ÒÏÄÏÌÖÁÅÍÁÑ ÒÁÓËÒÁÓËÁ P ′ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ′ = S ∪{C }, ÒÏÄÏÌÖÁÀÝÁÑ P . äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ 4 ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÒÁÓËÒÁÓÏË S ′ , ÒÏÄÏÌÖÁÀÝÉÈ P , É ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÎÅÒÏÄÏÌÖÁÅÍÙ, ÔÏ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÅÒÏÄÏÌÖÁÅÍÏÓÔÉ ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÅÒÏÄÏÌÖÁÅÍÏÓÔÉ ÄÌÑ P . íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÔÒÁÎ ÓÞÅÔÎÏ. úÁÎÕÍÅÒÕÅÍ ÓÔÒÁÎÙ C1 ; : : : ; Cn ; : : : . ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ, ÒÁÓËÒÁÓËÁ ÕÓÔÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏ ÒÏÄÏÌÖÁÅÍÁ É ÏÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÒÏÄÏÌÖÁÅÔÓÑ ÄÏ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏ ÒÏÄÏÌÖÁÅÍÏÊ ÒÁÓËÒÁÓËÉ ÅÒ×ÙÈ n ÓÔÒÁÎ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ n. ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÒÁÓËÒÁÓÏË ÄÁÓÔ ÉÓËÏÍÕÀ ÒÁÓËÒÁÓËÕ ×ÓÅÈ ÓÔÒÁÎ. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ó ÏÍÏÝØÀ ÌÅÍÍÙ ãÏÒÎÁ ÍÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ: ÄÏÕÓÔÉÍ, ËÁÖÄÙÊ ËÏÎÅÞÎÙÊ ÏÄÇÒÁÆ ÇÒÁÆÁ G

260

úÁÄÁÞÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ

ÍÏÖÎÏ ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÒÁÓËÒÁÓÉÔØ × k ×ÅÔÏ×. ÏÇÄÁ ×ÅÓØ ÇÒÁÆ G ÔÁËÖÅ ÍÏÖÎÏ ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÒÁÓËÒÁÓÉÔØ × k ×ÅÔÏ×. (á. ñ. âÅÌÏ× )

÷ÔÏÒÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. úÁÎÕÍÅÒÕÅÍ ÓÔÒÁÎÙ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ. úÁÎÕÍÅÒÕÅÍ ×ÅÔÁ ÞÉÓÌÁÍÉ 1; 2; 3; 4. óÏÏÓÔÁ×ÉÍ ÒÁÓËÒÁÓËÅ ÅÒ×ÙÈ n ÓÔÒÁÎ ÄÅÓÑÔÉÞÎÕÀ ÄÒÏÂØ 0;a1 a2 : : : an : : : , ÇÄÅ ai | ÎÏÍÅÒ ×ÅÔÁ i-Ê ÓÔÒÁÎÙ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÅÒ×ÙÅ n ÓÔÒÁÎ ÍÏÖÎÏ ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÒÁÓËÒÁÓÉÔØ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÞÉÓÅÌ {xn } ⊂ [0; 1℄ ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ ÞÌÅÎ xn ËÏÄÉÒÕÅÔ ÒÁ×ÉÌØÎÕÀ ÒÁÓËÒÁÓËÕ ÅÒ×ÙÈ n ÓÔÒÁÎ. éÚ ÌÀÂÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÔÏÞÅË ÏÔÒÅÚËÁ ÍÏÖÎÏ ÉÚ×ÌÅÞØ ÓÈÏÄÑÝÕÀÓÑ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ. ðÕÓÔØ X | ÒÅÄÅÌØÎÁÑ ÔÏÞËÁ {xn }, Ô. Å. ÒÅÄÅÌ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÄÅÓÑÔÉÞÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÞÉÓÌÁ X ËÏÄÉÒÕÅÔ ÒÁ×ÉÌØÎÕÀ ÒÁÓËÒÁÓËÕ ×ÓÅÈ ÓÔÒÁÎ. (â. ûÏÊÈÅÔ )

îÏ×ÙÅ ÉÚÄÁÎÉÑ

ëÎÉÇÉ ÉÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Á íãîíï (2003 Ç.):

ä. ÷. áÎÏÓÏ×. 120 Ó.

ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ×ÅËÔÏÒÎÙÅ ÏÌÑ É ÉÈ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ.

÷ ËÎÉÇÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÅÏÒÅÍÁ öÏÒÄÁÎÁ. ó ÜÔÏÊ ÅÌØÀ ××ÏÄÑÔÓÑ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÏÎÑÔÉÑ (ÓÔÅÅÎØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, ×ÅËÔÏÒÎÙÅ ÏÌÑ) É ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÍÎÏÇÉÅ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ (ÏÓÎÏ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÁÌÇÅÂÒÙ, ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÞÉÓÌÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ, ËÒÉÔÅÒÉÊ üÊÌÅÎÂÅÒÇÁ É ÄÒ.). äÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ× É ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÆÉÚÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÓÔÅÊ.

é. ÷. áÒÖÁÎ Å×. âÁÚÉÓÙ çÒ£ÂÎÅÒÁ É ÓÉÓÔÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ. 68 Ó.

þÉÔÁÔÅÌØ ÚÎÁËÏÍÉÔÓÑ Ó ×ÁÖÎÙÍ ÏÎÑÔÉÅÍ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ | ÂÁÚÉÓÏÍ çÒ£ÂÎÅÒÁ ÉÄÅÁÌÁ × ËÏÌØ Å ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÔ ÍÎÏÇÉÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ É ÒÉÌÏÖÅÎÉÑÍÉ ÜÔÏÇÏ ÏÎÑÔÉÑ. ïÔ ÞÉÔÁÔÅÌÑ ÔÒÅÂÕÀÔÓÑ ÌÉÛØ ÎÁÞÁÌØÎÙÅ ÚÎÁÎÉÑ ÁÌÇÅÂÒÙ.

÷. é. áÒÎÏÌØÄ. þÔÏ ÔÁËÏÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ? 104 Ó.

ïÓÎÏ×ÎÙÍ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅÍ ËÎÉÇÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÔÁÔØÑ ÁËÁÄÅÍÉËÁ ÷ÌÁÄÉÍÉÒÁ éÇÏÒÅ×ÉÞÁ áÒÎÏÌØÄÁ, ÎÁÉÓÁÎÎÁÑ × 2002 ÇÏÄÕ. ëÎÉÇÁ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÁËÖÅ €äÏËÌÁÄ Ï ÄÅ×ÑÔÉ ÎÅÄÁ×ÎÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÔËÒÙÔÉÑȁ É ÚÁÄÁÞÉ ÁÒÉÖÓËÏÇÏ ÓÅÍÉÎÁÒÁ 2002 ÇÏÄÁ.

. á. âÁÒÁÎÏ×Á, á. ä. âÌÉÎËÏ×, ë. ð. ëÏÞÅÔËÏ×, í. ç. ðÏÔÁÏ×Á, á. ÷. óÅÍ£ÎÏ×. ïÌÉÍÉÁÄÁ ÄÌÑ 5{6 ËÌÁÓÓÏ× ÷ÅÓÅÎÎÉÊ ÕÒÎÉÒ áÒÈÉÍÅÄÁ. 128 Ó. ÷ ËÎÉÇÅ ÓÏÂÒÁÎÙ ÍÁÔÅÒÉÁÌÙ ÷ÅÓÅÎÎÅÇÏ ÕÒÎÉÒÁ áÒÈÉÍÅÄÁ ÚÁ ×ÓÅ ÇÏÄÙ ÅÇÏ ÒÏ×ÅÄÅÎÉÑ: ÚÁÄÁÞÉ, ÒÅÛÅÎÉÑ, ËÏÍÍÅÎÔÁÒÉÉ É ÒÅËÏÍÅÎÄÁ ÉÉ Ï ÒÏ×ÅÒËÅ. ëÎÉÇÁ ÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÁ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ× É ÉÈ ÒÏÄÉÔÅÌÅÊ, Á ÔÁËÖÅ ÂÕÄÅÔ ÉÎÔÅÒÅÓÎÁ É ÏÌÅÚÎÁ ÕÞÉÔÅÌÑÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÒÕËÏ×ÏÄÉÔÅÌÑÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ËÒÕÖËÏ× É ÒÏÓÔÏ ÌÀÂÉÔÅÌÑÍ ÇÏÌÏ×ÏÌÏÍÏË.

ï. î. ÷ÁÓÉÌÅÎËÏ. ÅÏÒÅÔÉËÏ-ÞÉÓÌÏ×ÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ × ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÉ. 328 Ó. í. î. ÷ÑÌÙÊ. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á É ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ. 32 Ó. â. ð. çÅÊÄÍÁÎ. ìÏÇÁÒÉÆÍÉÞÅÓËÉÅ É ÏËÁÚÁÔÅÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á. õÞÅÂÎÏÅ ÏÓÏÂÉÅ ÄÌÑ ÕÞÁÝÉÈÓÑ ïì ÷úíû. 48 Ó. æ. çÒÕÎÅ×ÁÌØÄ, ê. íÅÎÎÉËÅ, à. üÌØÓÔÒÏÄÔ. çÒÕÙ, ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÎÁ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ðÅÒ. Ó ÁÎÇÌ. 640 Ó. å. â. çÕÓÅ×, ÷. ç. óÕÒÄÉÎ. òÁÓÛÉÒÑÑ ÇÒÁÎÉ Ù ÷ÓÅÌÅÎÎÏÊ: ÉÓÔÏÒÉÑ ÁÓÔÒÏÎÏÍÉÉ × ÚÁÄÁÞÁÈ. 176 Ó.

÷ ËÎÉÇÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ 426 ÚÁÄÁÞ Ï ÉÓÔÏÒÉÉ ÁÓÔÒÏÎÏÍÉÉ. úÁÄÁÞÁÍ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÅÔ ËÒÁÔËÏÅ ÉÓÔÏÒÉÞÅÓËÏÅ ××ÅÄÅÎÉÅ. éÚÄÁÎÉÅ ÒÉÚ×ÁÎÏ ÏÍÏÞØ × ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÉ ÁÓÔÒÏÎÏÍÉÉ × ×ÙÓÛÉÈ ÕÞÅÂÎÙÈ ÚÁ×ÅÄÅÎÉÑÈ É × ÛËÏÌÁÈ.

ó. ÷. åÒÅÍÅÎËÏ, á. í. óÏÈÅÔ, ÷. ç. õÛÁËÏ×. 168 Ó.

üÌÅÍÅÎÔÙ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ × ÚÁÄÁÞÁÈ.

ëÎÉÇÁ ÎÁÉÓÁÎÁ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÚÁÎÑÔÉÊ Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÒÏ×ÏÄÉ×ÛÉÈÓÑ Á×ÔÏÒÁÍÉ ÓÏ ÛËÏÌØÎÉËÁÍÉ ÆÉÚÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÛËÏÌÙ ‚27 Ç.èÁÒØËÏ×Á × 1988{1991 ÇÏÄÁÈ.

262

îÏ×ÙÅ ÉÚÄÁÎÉÑ

á. á. úÁÓÌÁ×ÓËÉÊ. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. 88 Ó.

÷ ËÎÉÇÅ ÉÚÌÏÖÅÎÙ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÔÅÏÒÉÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ. òÁÓÓÍÏÔÒÅÎÙ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÏÄÏÂÉÑ, ÁÆÆÉÎÎÙÅ, ËÒÕÇÏ×ÙÅ É ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. ïÉÓÁÎÏ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÍÏÄÅÌÅÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÈ É ËÒÕÇÏ×ÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ.

ü. í. ëÌÁÒË, ÍÌ. ï. çÒÁÍÂÅÒÇ, ä. ðÅÌÅÄ. ÷ÅÒÉÆÉËÁ ÉÑ ÍÏÄÅÌÅÊ ðÅÒ. Ó ÁÎÇÌ. ÏÄ ÒÅÄ. ò. óÍÅÌÑÎÓËÏÇÏ. 416 Ó.

ÒÏÇÒÁÍÍ:

Model he king.

÷ ÍÏÎÏÇÒÁÆÉÉ ×ÓÅÍÉÒÎÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ× × ÏÂÌÁÓÔÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÌÏÇÉËÉ É ÔÅÏÒÉÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ ÏÌÎÏÅ É ÏÄÒÏÂÎÏÅ ÉÚÌÏÖÅÎÉÅ ÎÏ×ÏÇÏ ÏÄÈÏÄÁ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÚÁÄÁÞÉ ÒÏ×ÅÒËÉ ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÏÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÌÏÖÎÙÈ ÒÏÇÒÁÍÍÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ.

á. á. íÁÒËÏ×.

éÚÂÒÁÎÎÙÅ ÔÒÕÄÙ. . II. ÅÏÒÉÑ ÁÌÇÏÒÉÆÍÏ× É ËÏÎÓÔÒÕËÔÉ×ÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ, ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÌÏÇÉËÁ, ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÁ É ÓÍÅÖÎÙÅ ×ÏÒÏÓÙ.

626+èèII Ó.

÷Ï ×ÔÏÒÏÊ ÔÏÍ ÓÏÂÒÁÎÉÑ ÓÏÞÉÎÅÎÉÊ ×ÙÄÁÀÝÅÇÏÓÑ ÒÏÓÓÉÊÓËÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ á. á. íÁÒËÏ×Á, ×ÙÕÓËÁÅÍÏÇÏ Ë ÓÔÏÌÅÔÉÀ ÓÏ ÄÎÑ ÅÇÏ ÒÏÖÄÅÎÉÑ, ×ËÌÀÞÅÎÙ ÒÁÂÏÔÙ Ï ÔÅÏÒÉÉ ÁÌÇÏÒÉÆÍÏ×, ËÏÎÓÔÒÕËÔÉ×ÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÌÏÇÉËÅ, ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ.

ó. ó. íÁÒÞÅÎËÏ×. üÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ. 112 Ó.

ëÎÉÇÁ ÎÁÉÓÁÎÁ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ËÕÒÓÏ× ÌÅË ÉÊ, ËÏÔÏÒÙÅ Á×ÔÏÒ ÞÉÔÁÌ ÎÁ ÆÁËÕÌØÔÅÔÅ ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ É ËÉÂÅÒÎÅÔÉËÉ íçõ.

ó. í. îÁÔÁÎÚÏÎ.

íÏÄÕÌÉ ÒÉÍÁÎÏ×ÙÈ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ, ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ËÒÉ×ÙÈ É ÉÈ ÓÕÅÒÁÎÁÌÏÇÉ.

176 Ó.

ëÎÉÇÁ ÏÓ×ÑÝÅÎÁ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÀ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÍÏÄÕÌÅÊ ÒÉÍÁÎÏ×ÙÈ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ É ÂÌÉÚËÉÈ Ë ÎÉÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×: ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ËÒÉ×ÙÈ, ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ É ÓÕÅÒÁÎÁÌÏÇÏ× ×ÓÅÈ ÜÔÉÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×.

â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄ. áÏÌÌÏÎÉÊ ðÅÒÇÓËÉÊ. 176 Ó.

îÁÓÔÏÑÝÁÑ ËÎÉÇÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÏÙÔËÕ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÎÁÕÞÎÏÊ ÂÉÏÇÒÁÆÉÉ áÏÌÌÏÎÉÑ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ ÁÎÁÌÉÚ ÅÇÏ ÔÒÕÄÏ× Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÎÁÕËÉ. äÌÑ ÛÉÒÏËÏÇÏ ËÒÕÇÁ ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ, ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÝÉÈÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ.

öÁÎ-ðØÅÒ óÅÒÒ. óÏÂÒÁÎÉÅ ÓÏÞÉÎÅÎÉÊ. ÏÍ I. (óÏ×ÍÅÓÔÎÏ Ó îíõ) 512 Ó.

öÁÎ-ðØÅÒ óÅÒÒ | ÏÄÉÎ ÉÚ ×ÅÌÉÞÁÊÛÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× ÎÁÛÅÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ. óÏÂÒÁÎÉÅ ÓÏÞÉÎÅÎÉÊ ×ÙÕÓËÁÅÔÓÑ Ë 75-ÌÅÔÉÀ ÕÞÅÎÏÇÏ. ÷ ÅÒ×ÙÊ ÔÏÍ ÓÏÂÒÁÎÉÑ ÓÏÞÉÎÅÎÉÊ ×ËÌÀÞÅÎÙ ÒÁÂÏÔÙ 1949{1954 ÇÇ. æÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÓÅÇÏÄÎÑ. ë ÄÅÓÑÔÉÌÅÔÉÀ îíõ.

408 Ó.

ðÒÅÄÌÁÇÁÅÍÁÑ ËÎÉÇÁ | ÓÂÏÒÎÉË ÓÔÁÔÅÊ, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÙÈ ÁËÔÉ×ÎÏ ÒÁÚ×É×ÁÀÝÉÍÓÑ × ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑÍ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. âÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï Á×ÔÏÒÏ× ÓÂÏÒÎÉËÁ | ÕÞÁÓÔÎÉËÉ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ €æÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÓÅÇÏÄÎс (ÄÅËÁÂÒØ 2001 ÇÏÄÁ), ÏÓ×ÑÝÅÎÎÏÊ 10-ÌÅÔÉÀ îÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÇÏ íÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ õÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ É ÓÏÂÒÁ×ÛÅÊ ÍÎÏÇÉÈ ×ÅÄÕÝÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× ÍÉÒÁ.

äÖ. èÁÍÆÒÉÓ. ÷×ÅÄÅÎÉÅ × ÔÅÏÒÉÀ ÁÌÇÅÂÒ ìÉ É ÉÈ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÊ. ðÅÒÅ×. Ó ÁÎÇÌ. â. ò. æÒÅÎËÉÎÁ ÏÄ ÒÅÄÁË ÉÅÊ ü. â. ÷ÉÎÂÅÒÇÁ. 216 Ó. äÁÎÎÁÑ ËÎÉÇÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÌÕÞÛÉÈ ÏÓÏÂÉÊ ÄÌÑ ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÁÌÇÅÂÒ ìÉ. ëÎÉÇÁ ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÁ ÄÌÑ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ÁÓÉÒÁÎÔÏ× É ÎÁÕÞÎÙÈ ÓÏÔÒÕÄÎÉËÏ× ÆÉÚÉËÏÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÓÔÅÊ. XXV ÕÒÎÉÒ ÉÍ. í. ÷. ìÏÍÏÎÏÓÏ×Á (29 ÓÅÎÔÑÂÒÑ 2002 ÇÏÄÁ)

136 Ó.

ðÒÉ×ÏÄÑÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÑ É ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÎÉÊ ÕÒÎÉÒÁ Ó ÏÄÒÏÂÎÙÍÉ ËÏÍÍÅÎÔÁÒÉÑÍÉ. äÌÑ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÕÒÎÉÒÁ, ÛËÏÌØÎÉËÏ×, ÕÞÉÔÅÌÅÊ, ÒÏÄÉÔÅÌÅÊ, ÒÕËÏ×ÏÄÉÔÅÌÅÊ ÛËÏÌØÎÙÈ ËÒÕÖËÏ×, ÏÒÇÁÎÉÚÁÔÏÒÏ× ÏÌÉÍÉÁÄ.

îÏ×ÙÅ ÉÚÄÁÎÉÑ

263

óÅÒÉÑ €âÉÂÌÉÏÔÅËÁ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ\ " ÷Ù. 23. í. á. ûÕÂÉÎ. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÁÎÁÌÉÚ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÆÉÚÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ. 40 Ó.

÷ ÜÔÏÊ ÂÒÏÛÀÒÅ ËÒÁÔËÏ ÏÂßÑÓÎÑÀÔÓÑ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ (ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ É ÉÎÔÅÇÒÁÌ) É ÄÁÀÔÓÑ ÒÏÓÔÅÊÛÉÅ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ Ë ÆÉÚÉÞÅÓËÉÍ ÚÁÄÁÞÁÍ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÅ ÎÁ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ É ÒÅÛÅÎÉÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ.

÷Ù. 24. á. é. äØÑÞÅÎËÏ. íÁÇÎÉÔÎÙÅ ÏÌÀÓÁ úÅÍÌÉ. 48 Ó.

÷ ÂÒÏÛÀÒÅ ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ï ÍÁÇÎÉÔÎÏÍ ÏÌÅ úÅÍÌÉ, Ï ÉÓÔÏÒÉÉ ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÍÁÇÎÉÔÎÙÈ ÏÌÀÓÏ×, Á ÔÁËÖÅ Ï ÉÓÔÏÒÉÉ ÅÒÅÍÅÝÅÎÉÑ ÏÌÀÓÏ× É ÎÙÎÅÛÎÅÍ ÉÈ Ä×ÉÖÅÎÉÉ.

÷Ù. 25. ó. í. çÕÓÅÊÎ-úÁÄÅ. òÁÚÂÏÒÞÉ×ÁÑ ÎÅ×ÅÓÔÁ. 24 Ó.

÷ ÂÒÏÛÀÒÅ ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ËÁË ÉÚ ÏÌÕÛÕÔÏÞÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ, ÒÉÄÕÍÁÎÎÏÊ í. çÁÒÄÎÅÒÏÍ, ×ÙÒÏÓ ÎÏ×ÙÊ ÒÁÚÄÅÌ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ | ÔÅÏÒÉÑ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÒÏ ÅÓÓÏ×.

÷Ù. 26. ë. ð. ëÏÈÁÓØ. ìÁÄÅÊÎÙÅ ÞÉÓÌÁ É ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ. 20 Ó.

ÅËÓÔ ÂÒÏÛÀÒÙ ÍÏÖÅÔ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØÓÑ ËÁË ÏÂÚÏÒ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× Ï ÌÁÄÅÊÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÈ.

÷Ù. 27. C. ç. óÍÉÒÎÏ×. ðÒÏÇÕÌËÉ Ï ÚÁÍËÎÕÔÙÍ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÑÍ. 28 Ó.

ÌÅÊ.

âÒÏÛÀÒÁ ÒÁÓÓÞÉÔÁÎÁ ÎÁ ÛÉÒÏËÉÊ ËÒÕÇ ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ: ÛËÏÌØÎÉËÏ×, ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ÕÞÉÔÅ-

÷Ù. 28. á. í. òÁÊÇÏÒÏÄÓËÉÊ. èÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÞÉÓÌÁ. 44 Ó.

÷ ÂÒÏÛÀÒÅ ÒÁÓÓËÁÚÁÎÏ ÏÂ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÓÁÍÙÈ ËÏÒÏÔËÏ ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍÙÈ É × ÔÏ ÖÅ ×ÒÅÍÑ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÓÁÍÙÈ ÑÒËÉÈ É ÔÒÕÄÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ.

ðÅÒÅÉÚÄÁÎÉÑ

ä. ÷. áÎÏÓÏ×. ÷ÚÇÌÑÄ ÎÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ É ÎÅÞÔÏ ÉÚ ÎÅÅ. â-ËÁ €íÁÔÅÍ. ÒÏÓ×. ÷Ù. 3. 2-Å ÉÚÄ. 24 Ó. ò. ë. çÏÒÄÉÎ. üÔÏ ÄÏÌÖÅÎ ÚÎÁÔØ ËÁÖÄÙÊ ÍÁÔÛËÏÌØÎÉË. 2-Å ÉÚÄ. 56 Ó. é. í. çÅÌØÆÁÎÄ, å. ç. çÌÁÇÏÌÅ×Á, ü. ü. ûÎÏÌØ. æÕÎË ÉÉ É ÇÒÁÆÉËÉ (ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÒÉÅÍÙ). âÉÂÌÉÏÔÅÞËÁ ïì ÷úíû. 6-Å ÉÚÄ., ÉÓÒ. 120 Ó. ó. í. ìØ×Ï×ÓËÉÊ. îÁÂÏÒ É ×ÅÒÓÔËÁ × ÁËÅÔÅ LaTeX. 3-Å ÉÚÄ. 448 Ó. ÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×. íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ. 3-Å ÉÚÄ., ÉÓÒ. 336 Ó. ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×. ÷ÅÌÉËÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÒÏÛÌÏÇÏ É ÉÈ ×ÅÌÉËÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ. â-ËÁ €íÁÔÅÍ. ÒÏÓ×. ÷Ù. 1. 2-Å ÉÚÄ., ÉÓÒ. 16 Ó. ÷. ÷. ËÁÞÕË. íÁÔÅÍÁÔÉËÁ | ÁÂÉÔÕÒÉÅÎÔÕ. 10-e ÉÚÄ., ÉÓÒ. É ÄÏ. 910 Ó. 9-e ÉÚÄ., ÉÓÒ. É ÄÏ. 904 Ó. 8-e ÉÚÄ., ÉÓÒ. É ÄÏ. 892 Ó. í. á. ûÕÂÉÎ. ìÅË ÉÉ Ï ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÉÚÉËÉ. 2-Å ÉÚÄ., ÉÓÒ. 303 Ó.

******

ðÏ ×ÏÒÏÓÁÍ ÒÉÏÂÒÅÔÅÎÉÑ ÜÔÉÈ ËÎÉÇ ÏÂÒÁÝÁÔØÓÑ Ï ÁÄÒÅÓÕ: 119002, íÏÓË×Á, âÏÌØÛÏÊ ÷ÌÁÓØÅ×ÓËÉÊ ÅÒÅÕÌÏË, ÄÏÍ 11, ÍÁÇÁÚÉÎ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ËÎÉÇÁ. ÅÌ.: (095)-241-7285, ÆÁËÓ: (095)-291-6501, e-mail: bibliom

me.ru

ïÅÞÁÔËÉ, ÚÁÍÅÞÅÎÎÙÅ × ‚7 óÔÒÁÎÉ Á,

óÌÅÄÕÅÔ ÞÉÔÁÔØ ëÏÎÎ ÷ÏÇÁÎÁ äÖÏÎÓÁ ÷ÏÇÁÎÕ äÖÏÎÓÕ úÁÊÂÅÒÇÁ ëÏÎÎÁ ëÏÎÎÏÍ ÎÁ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÎÅÞÅÔÎÙÅ ÞÁÓÔÉ Ó 176, 8 Ó×ÅÒÈÕ ÏÅÒÁÔÏÒ A|U ÎÉÌØÏÔÅÎ- ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÁ A ÔÅÎ, Á ÏÅÒÁÔÏÒ A|W ËÏÓÏ- ÎÁ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÜÔÉÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÅÓÔØ ÓÕÍÍÁ ÜÒÍÉÔÏ×. ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ É ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÞÉÓÔÏ ÍÎÉÍÏÅ ÞÉÓÌÏ 176, 6 ÓÎÉÚÕ ÔÒÅÈ ÞÅÔÙÒÅÈ 190, 2 Ó×ÅÒÈÕ 3.7 3.6

16, 20, 22, 22, 23, 23, 146,

óÔÒÏËÁ

22 Ó×ÅÒÈÕ 10 ÓÎÉÚÕ 3 Ó×ÅÒÈÕ 16 Ó×ÅÒÈÕ 19 ÓÎÉÚÕ 18 ÓÎÉÚÕ 8 Ó×ÅÒÈÕ

îÁÅÞÁÔÁÎÏ ëÏÎÎÅÓ ÷ÏÜÎÁ äÖÏÎÓÁ ÷ÏÜÎÕ äÖÏÎÓÕ úÅÊÂÅÒÇÁ ëÏÎÎÅÓÁ ëÏÎÎÅÓÏÍ Ó ÎÅÞÅÔÎÏÊ

òÅÄÁËÔÏÒ ÷. ÷. ñÝÅÎËÏ ðÏÄÇÏÔÏ×ËÁ ÏÒÉÇÉÎÁÌ-ÍÁËÅÔÁ: LATEX2", METAPOST, í. î. ÷ÑÌÙÊ ìÉ ÅÎÚÉÑ éä ‚01335 ÏÔ 24.03.2000 Ç. ðÏÄÉÓÁÎÏ × ÅÞÁÔØ 09.02.2004 Ç. æÏÒÍÁÔ 70 × 100=16. âÕÍÁÇÁ ÏÆÓÅÔÎÁÑ ‚1. ðÅÞÁÔØ ÏÆÓÅÔÎÁÑ. ðÅÞ. Ì. 16,5. ÉÒÁÖ 1000. éÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Ï íÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ ãÅÎÔÒÁ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ 119002, íÏÓË×Á, âÏÌØÛÏÊ ÷ÌÁÓØÅ×ÓËÉÊ ÅÒ., 11

ïÔÅÞÁÔÁÎÏ Ó ÇÏÔÏ×ÙÈ ÄÉÁÏÚÉÔÉ×Ï× × çõð €ïÂÌÉÚÄÁԁ 248640, Ç. ëÁÌÕÇÁ, Ì. óÔÁÒÙÊ ÏÒÇ, 5 úÁËÁÚ ‚