数学分析同步辅导及习题全解 华东师大第3版(上下) 7811073994

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第一章 实数集与函数

内容提要 一!实数 ! ! " 实数包括有理数和无理数 !有理数可用分 数

" ! " 为 互 质 整 数# "# #"#$表 示#也 可 用 有 限 十 #

进小数或无限十进循环小数表示 ! $是首先遇到的无理数#它与古希腊时 期 所 发 现 的 不 可 公 ! 度线段理论有直接联系#且可以表示为无限十进不循环小数 ! 实数的无限十进小数表示在人类实践活 动 中 被 普 遍 采 用#我 们 是 由 无 限 十 进 小 数 表 示 出 发 来阐述实数理论的 ! $ " 若 $%%# %%!%$ &%& &为非负实数#称有理数

$& %%# %%!%$ &%& 为实数 $ 的& 位不足近似#而有理数 ! $& %$& & & !# 称为 $ 的& 位过剩近似# &%## !# $#& ! ’ " 在数学分析课程中不等式占有重要的地位 #在后继课程中#某些不等式 可 以 成 为 某 个 研 究 方 向的基础 !数学归纳法是证明某些不等式的重要工具 !

二!数集"确界原理 ! " 邻域是数学分析中重要的基本概念 !某点的邻域是与该点靠近的数的 集 合#它 是 描 述 极 限 概 念的基本工具 ! 在无限区间记号!() # %’#!() # %$#( %#& ) $#! %#& ) $#!( ) #& ) $中 出 现 的 ( ) 与 & ) 仅是常 用 的 记 号#它 们 并 不 表 示 具 体 的 数 !在 数 学 分 析 课 程 范 围 内#不 要 把 &) #( ) #) 当作数来运算 !

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$ " 有界集和无界集是本章中关键的概念 !要熟练 掌 握 验 证 某 个 数 集 ’ 是 有 界 集 或 无 界 集 的 方 法#其中重要的是证明数 ( 不是数集’ 的上界!或下界$的方法 ! ’ " 确界是数学分析的基础严格化中的重要的 概 念 !上 !下$确 界 是 最 大 !小$数 在 无 限 数 集 情 况 下的推广 ! 确界概念有两种等价的叙述方法 #以上确界为例) 设 ’ 是 ) 中一个数集#若数! 满足

(! $对一切 $#’#有 $$!#则! 是’ 的上界* ! !$ ! ’! $对任意 "%!#存在 $# #’#使得 $# &"#则! 又是’ 的最小上界 ! )" 或 (!! $对一切 $#’#有 $$!#则! 是’ 的上界* ! $$ ’! $对任意 #&##存在 $# #’#使得 $# &!(##则! 又是’ 的最小上界 ! )" 这 两种定义是等价的 !! $$中的!(# 相当于! !$中的"!在上述定义中可以限定#%## #其中 $$在某些证明题中使用起来更方便些 ! ## 为充分小的正数 !定义! * " 确界原理)设 ’ 是非空数集#若 ’ 有上界#则 ’ 必有上确界*若 ’ 有下界#则 ’ 必有下确界 ! 确界原理是实数系完备性的几个等价定理中的一个 !

三!函数及其性质 ! " 邻域 ! !$ *! %# %($# %&$$称为 % 的$ 邻域#其中$&#! $$% ! ! $$ *+ ! %* %($# %$* ! %# %&$$% + $+#%+$(%+%$,称为 % 的空心$ 邻域#其中$&#! $$% ! ! ’$ *+& ! %$% ! %# %&,$和 *+( ! %$% ! %(,# %$分别称为 % 的右邻域和左邻域#其中 ,&#!

$ " 确界 设给定数集 ’! ! !$上确界 ! 若存在数!#满足 !$!$$!#,$# ’* $$,$%!#都 存 在 $# #’#使 $# &$#则 称 ! 为 ’ 的上确界#记为!%+ ,-$! $#’

! $$下确界 ! 若存在数%#满足 !$ $-%#,$#’* $$,&&%#都 存 在 -# #’#使 -# %&#则 称% 为 / 0$ ! ’ 的下确界#记为!%. $#’

! ’$确界原理 ! # 非空有 上 !下$界 的 数 集#必 有 上 !下 $确 界 !$ 若 数 集 有 上 !下 $确 界#则 上 !下$确界一定是惟一的 !

’ " 函数 ! !$函数定义 给定两个非空实数集 . 和 ( #若有一 个 对 应 法 则 ,#使 . 内 每 一 个 数 $#都 有 惟 一 的 一 个数 -#( 与它对应#则称 , 是 定 义 在 . 上 的 一 个 函 数#记 为 -%,! $$# $#.#并 称 . 为函数的定义域#称 ,! .$% + $$# $#.,!.( $为函数的值域 ! -+-%,! ! $$几个重要的函数 # 分段函数 函数在其定义域的不同部分用不同公式表达的这类函数#常称为分段函数 ! $ 符号函数

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第一章!实数集与函数

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+1/! $$%’##

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)(!# $%# % 狄利克雷函数

.! $

%$!#当 $ 为有理数 ##当 $ 为无理数

+

& 黎曼函数 ! " # " " ##0 & 为既约分数 ( #当 $%# # # )! /$%’# ! 和! ## !$中的无理数 )##当 $%## ’ 复合函数

$$$# $#2/ -%,! 1! 其中 -%,! 3$# 3#.# 3%1! $$# $#2# 2/ % + $+1! $$#., &2# 2"4 ! ’$反函数 已知函数 3%,! $$# $#.!若对 ,-# #,! .$#在 . 中 有 且 只 有 一 个 值 $# #使 得 ,! $# $% (! .$#称这个函数 ,(! 2,! .$0. 为 -# #则按此对应法则得到一个函数 $%, ! -$# -#,! , 的反函数 !

! *$初等函数 # 基本初等函数 ! 常量函数"幂函数"指数函数"对数函数"三角函数"反三角函数这六 类 函数称为基本初等函数 ! $ 初等函数 ! 由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数 #统称为初 等函数 ! % 凡不是初等函数的函数#都称为非初等函数 !

* " 有界性 设 -%,! $$# $#. ! $ 若存在数 ! ( #使 ,! $$$( #,$#.#则称 , 是 . 上的有上界的函数 ! ! $$若存在数 5#使 ,! $$-5#,$#.#则称 , 是 . 上的有下界的函数 ! ! ’$若存在正数 6#使+,! $$ +$6#则称 , 是 . 上的有界函数 ! ! *$若对任意数 ( #都存在 $# #.#使 ,! $#$&( #则 称 , 是 . 上 的 无 上 界 函 数#类 似 可 定 义 无下界及无界函数 !

3 " 单调性 设 -%,! $$# $#.#若对 ,$! # $$ #.# $! %$$ #有 ! !$ $! $$,! $$ $#则称 , 在 . 上是递增函数 ! ,! ! $$ $! $%,! $$ $#则称 , 在 . 上是严格递增函数 ! ,! 类似可定义递减函数与严格递减函数 !

4 " 奇偶性 设 . 是对称于原点的数集 # $$# $#.! -%,! ! !$若 ,$#.#都有 ,!($$%,! $$#则称 ,! $$是偶函数 ! ! $$若 ,$#.#都有 ,!($$%(,! $$#则称 ,! $$是奇函数 !

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! ’$奇函数图象关于原点对称#偶函数图像关于纵轴对称 !

5 " 周期性 ! !$设 -%,! $$# $#.#若存在正 数 7#使 ,! $67$%,! $$#,$#.!则 称,! $$为 周 期 函 数# 7 称为, 的一个周期 ! ! $$若 , 的所有周期中#存在一个最小周期#则为 , 的基本周期 !

典型例题与解题技巧 %例 !&! 设 ,! $$在((%# %’上有定义#证明 ,! $$在((%# %’上可表示为奇函数与偶函数的和 ! 分析 ! 本题主要考察奇函数"偶函数的定义#采用构造法解题 ! 证明 ! 设 ,! $$%8! $$&9 ! $$#其中 8! $$# 9! $$分别为奇"偶函数#于是 $$&9 ! $$ ,!($$%8!($$&9 !($$%(8! 而

$$%8! $$&9 ! $$ ,! ! $ ! $ ! $ , $ (, ($ # ! $ , $ &,!($$ 由之可得 !!!8! $$% 9$ % $ $ 这里 8! $ # 分别是奇函数和偶函数 ! $ $ 9$ ! %例 "&! 求数集 ’%

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& &!(!$

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,的上"下确界 !

$ 7

! ! 解题分析 ! 当 &%$ 7 时 #! $ !& $ 是偶数项中 的 最 大 数 ! !&$$7 %$ !& $7 #容易看出 7%! 时# $ $ $ 7

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$ 7&! $7&!

! $ 当 &%$ 7&! 时# ! !&$( $7&! %

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$ 7&!

&!#当 7 充分大时#奇数项与数 ! 充分靠

近 !因为 $ !& ! %! 3是 ’ 中最大数#于是 +,-’%! 3#由上面分析可以看出. / 0’%!! $$

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解题过程 ! 因为! 3!再证. / 0’%!#这是因为 3是 ’ 中最大数#于是 +,-’%! &

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! $ !! $,&#! !&$& (! -!* $ 7&!

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! #由等式 & % (!% ! %(!$! %&(! &%&($ & & &!$可知

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! ! $$7&! ! !& $7&! (!% $7 $ $ % &%$7(! & & &! $$7&!

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! 于是 ,#&##17# #0 & 只要 7# & ! 7 81$ (!$ $ #

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$$#使得

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$ 7#&!

即

$ 7 &! #

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$ 7#&!

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%例 #&! 设函数 ,! $$定义在区间 : 上#如果 对 于 任 何 $! # $$ #:#及 ’# ! ## !$#恒 有 ,( !(’$ ’$! & ! ’ ! $ ! $ ! $ $$ $’, $! & !(’ , $$ ! 证明)在区间: 的任何闭子区间上,! $$有界 ! 分析 ! 本题主要考察函数 的 有 界 性#要 充 分 利 用 已 知 条 件 给 出 的 不 等 式 #积 极 构 造 出 类 似 的 不 等

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第一章!实数集与函数

式#以证出结论 ! 证明 !, ( %# ;’.:#,$# ! %# ;$#则存在’# ! ## !$#使 $%%&’! ;(%$ 有! !(’$ $%’;& ! % 由已知不等式有

$$%,( ;& ! %’$’,! ;$& ! %$$’( & ! ( %( !(’$ !(’$ !(’$ ’ ,! ,!

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其中 ( %9:;

+,!$$#,!;$, ’ # 令 ( # %&;$($#那么 ,$# % ; -% ! %&; $&% $ $ %&;$ !$ - $ ! ! $ ! ! $ ! ! $ ! %, & $ ,$ & ,- $ ,$ & ( ,! $ $ $ $ $ $ $ %&;$ $$-$,! (( %#使 ,$#. 都有,! $6>$% 这必须有 而本题定义 域 $ # 若 是 周 期 函 数 则 ! $ ( # # $6>#.! .% # & ) ##.#必 ,$ ! 须 (>#.#但 (>4.#故不是周期函数 ! ! *$对 B用反证法#设 ,! $$%$=8+$ 的周期为 > &##则 #$%#%,! >$%>=8+> ,! %## >%&#(&

(# &# #E#且 &# -# $

( 8 + (! &# &!$ &# &!$ (&&#($% ! (= (’ ,! &>$%,! $ ( ( ( ( ( ,! $% =8+ %##由 ,! &>$%,! $ $ $ $ $ $ &# &!$ ’A??)! , , 为 偶 数 时 至 多 有 两 个 实 根%当 , 为 奇 >? 数时至多有三个实根 8 ! 分析 ! 作辅助函数#应用反证法和罗尔定理 8反证法运用代数基本定理与罗尔定理证 8 %’反证法!设 !& ’’?’( @(’A58若 +’% # ’’ % " )# %$# ’% (’’ #使 !& ’% ’?!& ’’ ’?)#则 由 ! 证明 ! & ’ ’ 罗尔定理知 +!% & ’% # ’’ ’#使 ! %& ’% # !’?)#即 ( ! @(?(& ! @%’?)#解之得!?B%% &

’’’8矛盾 8所以 !& ’’?) 不能有两个不等实根 8 & ’’先证明如下结论!若多项式 >& ’’的导函数 > %& ’’有, 个实根#则 >& ’’至多有,A% 个实

("!& (

第六章 ! 微分中值定理及其应用

根8 反证法!设 >& ’’?) 有,A% 个以上的实根#则至少为,A’ 个#设其前,A’ 个实根依次 为

’% ’?>& ’’’?>& ’(’? * ?>& ’,A%’?>& ’,A’ ’?) >& 则由罗尔定理知#+!4 % & ’ & # *# ’ # 使 # # ’4 ’4A% 4?% ’ ,A% %& 4?%# ’#*# ,A%’ > !4 ’?) & 与> %& ’’?) 有 , 个实根矛盾 8故结论成立 8 记 !& ’’?’, A>’A?#则

%& ’’?,’,@% A> ! 当 , 为偶数时#即 ,?’ 4时

4’’4@% A> %& ’’?’ ! 方程 ! %& ’’?) 仅有一个实根 %

> ’4@% ’? @ ’ 4 故 !& ’’?)#即 ’, A>’A??) 至多有三个实根 8 当 , 为奇数时#即 ,?’ 4A% 时 %& ’’? & ’ 4A%’ ’’4 A> !

& ’

方程 ! ’’?) 至多有两个实根 %& %

4 ’ > & ’%#’ ?B @ >()’ ’ 4A% 故 !& ’’?)#即 ’, A>’A??) 至多有两个实根 8 由此#结论得证 8

&

’

! 小结 ! 对于方程根的讨论#常把方程转化为 函 数 证 明 8有-至 多.#-至 少.#-可 能.字 样 的 可 用 反 证 法证明 8 & 证明定理 : &’ 推论 ’8 5( 证明 令 & %& ’’@+& ’’#则 != ’’?! ’’@+ ’’6)# ’%* %& %& ! ! = ’’?!& 由定理 : &’ 推论 % 知 从而

=& ’’?5#! 即 !!& ’’@+& ’’?5# ’%* & ’ & ’ # & 为某一常数’ ’ ? ’ A 5 ’ * 5 ! % ! ! +

%& %’若函数 ! 在" "# #$上可导#且 ! ’’#@#则 & 证明!& 41 #’#!& "’A@& #@"’% !& & ’’若函数 ! 在" "# #$上可导#且3! ’’ %& 3$A #则 #’@!& "’ #@"’% 3!& 3$A & & / .’’ @8 / .’%3$3’’ @’%38 (’对任意实数 ’% # ’’ #都有38 分析 运用拉格朗日中值定理 8 ! ! %’由题设条件知#函数 ! 在" "# #$上满足拉格朗日定理条件#故 +!% & "# #’#使 ! 证明 ! &

整理得

#’@!& "’ !& %& ?! !’#@ #@" #’#!& "’A@& #@"’8 !&

& ’’由拉格朗日定理知#+!% & "# #’#使

#’@!& "’ !& ?! %& !’ #@"

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即 %& #’@!& "’ #@"’$A & #@"’8 3!& 3?3! 3& !’ & / .’#则 (’设 !& ’’?8 ’’ %##且 ’% )’’ # ’% # ’’$或" ’’ # ’% $上满足拉格朗日定理条件#且 # ’对于 7’% # ! 在" " 8’3$%8由& / .’’ @8 / .’%3$3’’ @’%38 %& ’’ ’’得38 3! 3?37 若 即38 ’ # 8 / . @8 / . ?)? / .’’ @8 / .’%3?3’’ @’%38 ’ ? ’ ’ ’ ’ @ ’ $ % ’ ’ % ’ %# 综合 # ’+$ ’#得 7’% # 有 # / .’’ @8 / .’%3$3’’ @’%38 ’’ %# 38

"# #$上可导#则在& "# #’上可导#在" "# #$上连续 8& %’结合导数单调性 8 ! 小结 !! 在" 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式! & /C #@" # #@"#其中 & . ( %’ )("(#% (# # " " ’

B & 7 9 +.B(B#其中 B’)8 ’’ (+ %AB’ .’# %’构造辅助函数 !& ’’?# ’% " "# #$8 ! 分析 ! & ’

’ %& ’令 & ’ & ’’& /’令 =& ’’?+ 7 9 +.’@ / / C ’ ?’@+ 7 9 +.’8 %A’’ 再运用拉格朗日中值定理 8注意必须有 =& ’’#=& )’?) 条件 8 %’设 ! 证明 ! &

’’?# ’% " "# #$ .’# !&

% 显然 !& %& ’’在" "# #$上满足拉格朗日定理条件#且 ! ’’? #故 +!% & "# #’#使 ’ #’@!& "’ % !& ?! %& !’? #@" ! 即

# .#@# ."?# .

# #@" ? " !

而 % ( % ( % #故有 # ! "

#@" #@" #@" ( ( # " ! #@" # #@" . ( (# # " "

即

’’ % & ’’# ’设 =& ’’?+ 7 9 +.’@ ?+ 7 9 +.’@%A %A’’ %A’’ 则 =& )’?)#且 ’ & % ’’ %@’’ = %& ’’? @ ’? ’ #) & %A’’’ %A’’ ’ %A’’ & 上式仅在 ’?% 时等号成立 8由定理 : &1 知#当 B’) 时 ’

$ ’设

B 7 9 +.B’ =& B’’=& )’?)#! 即 !+ %AB’ 7 9 +.’ C& ’’?’@+ % ’’?%@ ’’) C %& ’)# %A’’ C& B’’C& )’#! 即 !B’+ 7 9 +.B

则 C& )’?)#且 故有 B’) 时# ’

综合 # ’+$ ’有 !! B ’ (+ 7 9 +.B(B#!B’)8 %AB & 确定下列函数的单调区间 ! 5:

("#( (

第六章 ! 微分中值定理及其应用

& .’% %’ ’’?(’@’’ %!!!!!! & ’’ ’’?’’’ @# !& !&

’’ @% & 1’ ’’? 8 !& ’

& (’ ’’? ! ’’@’’ % !&

( 上 严 格 单 调 递 增 #在 %& %’由 ! ’’?(@’’ 得# ’’在 @5 # ! 解 !& !& ’

&

$

"(’ #A5 ’上 严 格 单 调 递

减8 % 1’’ @%得# & ’在 #% 上严格递减#在 % & ’’由 ! ’’?1’@ ? %& ) !’ #A5 上严格递增 8 ’ ’ ’ ’

& $

& (’由 ! %& ’’?

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%@’ ’ %@’’ !%@ &

"

’

及 !& ’’的 定 义 域 为 " )# ’$得 # ’’在 " )# %$上 严 格 !&

递增#在" %# ’$上严格递减 8 % & 1’ ’’的定义域为&@5 # )’8 & )#A 5 ’且 ! %& ’’?%A ’ #故 !& ’’在&@ 5 # )’及& )#A 5 ’ !& ’ 上均为严格递增函数 8 & 以 ;& ’’记由& "# "’’#& ## #’’#& ’# ’’’三 点 组 成 的 三 角 形 面 积#试 对 ;& ’’应 用 罗 尔 中 值 4D !& !& !& 定理证明拉格朗日中值定理 8 ! 分析 ! 本题有两种证法 证法一!在 ’ 轴投影#把三角形面积分割成两部分 8应用罗尔定理证 8 证法二!用行列式表示三角形面积 8再利用罗尔定理证 8 证明 D% 所示#设 !& ’’在" "# #$上连续#在& "# #’上可导 ! ! 证法一!如图 : % % ;& ’’? & ’@"’" "’A!& ’’$A & #@’’" #’A!& ’’$ !& !& ’ ’ @ ? 则

%& #@"’" "’A!& #’$ !& ’

%& % &’ & ’$ % &’ % & ’ #@"’ ’’@ " !& ! # @! " ’A "! # @ #! " ’ ’ ’ ’ & ’ & ’ ; " ?; # ?)

图: D%

;& ’’在" "# #$上连续#在& "# #’上可导 8由罗尔中值定理知#+!% & "# #’#使得 ; %& !’?)#即 ; %& !’? 从而推得

%& % &’ & ’$ #@"’ %& ! ! # @! " ?) !’@ ’ " ’ #’@!& "’ !& %& ! !’? #@"

即拉格朗日中值定理成立 8

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% " !& "’ % ;& ’’? % # !& #’ ’ % ’ !& ’’ 则 ;& "’?;& #’?)#且 ;& ’’在" "# #$上 连 续#在 & "# #’上 可 导 8由 罗 尔 中 值 定 理 得 +!% & "# ’ # 使得 即 & ’ # ; % ! ?) # "’ % " !& % ’ & ? ; %& % # #’ ?) ! ! ’ & ) % ! !’ 即 %& #’@!& "’@! #@"’?) !& !’& & ’@!& # "’ ! 从而有 %& ! !’? #@" ’# 正好为两部分面积的 ! 小结 ! 第一种方法!利用几何与分析的转化解决问题#投影线段"# 中"’+ 证法二!设

高8 第二种方法!行列式求导 8 & 设 ! 为" "# #$上二阶可导函数# "’?!& #’?)#并存在一点5% & "# #’#使 得 !& 5’’)8证 明 至 少 /E !& # & ’ 存在一点!% & ’ # 使得 0 ! ()8 "# ! ! 分析 ! 两次应用拉格朗日中值定理 8 "# 5$#" 5# #$上满足拉格朗日中 值 定 理 条 件#对" "# 5$+" 5# #$分 别 由 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ! 证明 !! 在" 得

5’@!& "’ !& "# 5’#! 使得 !! %& +!% % & ’) !%’? 5@" #’@!& 5’ !& %& 5# #’#! 使得 !! +!’ % & () !’’? #@5 由题设条件知 ! %& ’’在" !% # !’$上满足拉格朗日中值定理条件#从而对" !% # !’$由拉格朗日中 %& %& ! !’ ’@! !%’()8 值定理得 +!% & 0& "# #’使 ! !% # !’’, & !’? !’ @!% "# #’内可导#且 ! %单调 8证明 ! %在& "# #’内连续 8 & 设函数 ! 在& /F ! 分析 ! 利用单调有界定理证明 左 右 极 限 存 在#再 利 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 分 别 证 明 左 右 导 数 存 在 且相等 8

%& ’’在& "# #’内单调递增#则 7’) % & "# #’#有 ! 证明 ! 不失一般性 8设 ! 单调增加且有 上 界 ’ # 故 &# ’ & ’ & # / 0! % % %& ’"’)@ 时# ’ ’ ’’存 在 8又 由 拉 格 朗 日 中 值 ! !@ ) @ ’"’)

’’@!& ’)’ !& 定理得 +!% & %& ’# ’)’#使 ! 8 !’? ’@’) 由 ’"’)@ 时有!"’) 及 # %& ’’存在#因此有 /0 ! @ ’"’)

%& ’’?# %& # /0 ! /0 ! /0 !’?#

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’’@!& ’)’ !& ?! %@ & ’)’ ’@’)

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&$ ’ ’"’)A 时# %& ’’单调减少且有 下 界 ! %A & ’) ’#故 # /0 ! %& ’’存 在 8由 与 % 完 全 相 同 的 ! A ’"’)

方法得

%& %& /0 ! ’’?# /0 ! /0 !!# %’?# A ’"’)

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’’@!& ’) ’ !& %A & ?! ’)’#!%% & ’) # ’’ ’@’)

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第六章 ! 微分中值定理及其应用

而 !& ’’在 ’) 导数存在#即

%A & %@ & %& ’)’?! ’) ’?! ’) ’ ! # /0 ! /0 ! %& %& %& ’’?# ’’?! ’) ’

故有

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’"’A )

即

%& ’’?! %& ’)’ # /0 ! ’"’)

由 ’) 的任意性知# %在& "# #’内连续 8 ! ’’为多项式# ’’?) 的E 重实根 8证明& 必定是> %& ’’?) 的E@% 重实根 8 & 设 >& /%) & 为>& 分析 利用代数基本定理证明 8 ! !

’’? & ’@&’?& ’’#其中?& ’’为多项式#且?& ! 证明 ! 由代数基本定理得 >& &’))#而 E@% E E@% " %& ’’?E& ’@&’ ’’A & ’@&’ %& ’’? & ’@&’ E ’’A & ’@&’ %& ’’$ > ?& ? ?& ? E

因为

E %& &’A & &@&’ &’?’ &’)) ?& ? ?& 故& 为 > %& ’’?) 的E@% 重实根 8 &’ 证明! 设 为 & ’’?) 有 ,A% 个相 异 的 实 根#则 方 程 ! , & ’’?) 至 少 /%% ! , 阶可导函数#若方程 !& 有一个实根 8 & ,’ ’’存在#前& ,@%’阶导数存在且连续#则连续应用罗尔定理证明 8 ! 分析 ! 因为 ! & & & ,’ ,@%’ & ’ & 证明 由于 存 在# 故 %& ’’# ’’#*# ’’连 续 且 可 导 8设 ’% (’’ (’( ( * (’, ( ! ! ! ’ !& ! !

’,A% # ’4 %##且满足 ’4 ’?)& 4?%# ’#*# ,A%’ !& &’ 则在" ’4 # ’4A% $& 4?%# ’#*# ,’上 !& ’’满足罗尔中值定理条件 8即 +!4% % & ’4 # ’4A% ’& 4?%# ’#*# ,’#使

& %’ %& 4?%# ’#*# ,’8 ! !4 ’?) & 又由 ! ’’?) 有 , 个根!4 & 4?%# ’#*# ,’#且 !% (!’ ( * (!,@% (!, #再 据 罗 尔 中 值 定 理 %& & & %’ %’ ’& # *# 知#+!4&’’% & # # ,@%’#使 !4 !4A% 4?% ’ & ’’ 4?%# ’#*# ,@%’ 0& ! !4 ’?) & & ,@%’ #使 依此类推#可得 +!)&,@%’+ !% & ,@%’

& & ,@%’ ,@%’ & ’?!&,@%’& ’?) !) !% & ’ & ’ & ,@% ,@% ,’ 最后由罗尔中值定理可知#+!% & # ’ & # , ’% ’,A% ’#使得 ! & !) !% !’?)8 & ,’ 即 ’?! 为! & ’’?) 的实根 8得证 8

!

#’)8证明方程 ’( A"’A#?) 不存在正根 8 & 设 "# 5%’ ’’?’( A"’A##则 %& ’’?(’’ A"’) ! 证明 ! 设 !& ! 即 !& ’’为 # 上严格单调递增函数 8故 7’% & )#A 5 ’#有

’’’!& )’?#’) !& 因此 ’ A"’A#?) 不存在正根 8 (

’ # 9 +.’ " & 证明! ’% )# 8 5%( ’ ’ ’ 8 / .’

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’’?9 +.’8 / .’@’’ #则 ! 证明 ! 构造 !& )’?) !& / .’8 $ 7’’A9 +.’(7 " 8’@’’ %& ’’?8 ! ’ " $ ?8 / .’ %A9 +. ’ A8 / .’@’’ ?’8 / .’A8 / .’9 +.’’@’’ %& )’?) !

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进而 即 7’% )#" 有 ’

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且

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’ # 9 +.’ " 8 ’ !’% )# ’ ’ 8 / .’ %& %& & 证明!若函数 !# "# #$上可导#且 ! ’’’+ ’’# "’?+& "’#则在& "# #$内有 !& ’’’ 5%1 + 在区间" !& ’’8 +&

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从而有

’’?!& ’’@+& ’’8由题设条件知# =& ’’在" "# #$上可导且 =& "’?)#而 ! 证明 ! 构造 =& & ’ & ’ & ’ # " # $ = % ’ ?! % ’ @+ % ’ ’) !’% " # 故 =& ’’在" "# #$上严格单调递增#即 7’% & "# #$#有 =& ’’’=& "’?)# 也就是

’’’+& ’’#!7’% & "# #$8 !&

>’! 柯西中值定理和不定式极限 & 试问函数 !& ’’?’’ # ’’?’( 在 区 间 "@%# %$上 能 否 应 用 柯 西 中 值 定 理 得 到 相 应 的 结 论#为 5% +& 什么/ %’@!&@%’ %& ’’ ’ %’@!&@%’ ! %& !& ! !& !’#故 对 ! 答 ! 由 & ’ & ’?)#而 & ’? 知#不存在!% &@%#A%’#使 & ’ & ’? & % ’ (’ % !’ + % @+ @% + + % @+ @% + 于 !& %& %& ’’# ’’在区间"@%#A%$上不能应用柯西中值定理 8这是由于 ! ’’?’’# ’’?(’’ +& + 在 ’?)% "@%#A%$时同时为零#从而不满足柯西中值定理的条件所致 8 & 设函数 ! 在" "# #$上可导 8证明!存在!% & "# #’#使得 4’ ’ $ " & ’ & ’ #’ @"’ ’ %& ! ! ! # @! " ? & !’8

’’?’’" #’@!& "’$@ & #’ @"’ ’ ’’#利 用 =& "’?=& #’#满 足 罗 尔 定 理 ! 分析 ! 构造辅助函数 =& !& !& ’ ’ & & ’ ’ # 即可 条件 8此外还可以利用柯西中值定理证明#设 !& ’ ?! ’ + ’ ?’ 8 ’’?’’" #’@!& "’$@ & #’ @"’ ’ ’’#则 ! 证明 ! 构造 =& !& !& =& "’?"’" #’@!& "’$@ & #’ @"’ ’ "’?"’!& #’@#’!& "’ !& !& ’ ’ ’ ’ ’ =& #’?# " #’@!& "’$@ & # @" ’ #’?" !& #’@#!& "’ !& !& 即 =& "’?=& #’#且 =& ’’在" "# #$上可导#故 =& ’’在" "# #$上满足罗 尔 中 值 定 理 条 件#+!% ’ ’ & # & ’ # " & ’ & & ’ & ’ # 使 即 ’ $ "# % !’8 = % ! ?) ’ ! ! # @! " ? # @" ! 注意 !若进一步假设 "(#’)&即" "# #$中不含 )’#则此题使用柯西中值定理证明 更 简 单 8证 明如下 8

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第六章 ! 微分中值定理及其应用

设 !& ’’?!& ’’# ’’?’’ #易知 !+ "# #’#使得 +& + 满足柯西中值定理条件#则 +!% & & ’ & ’ & ’ & ’ # @ " % % ! ! ! ! ! ! ? & ? % !’ ’ #’ @"’ + ! 整理即得

%& ’ #’@!& "’$? & #’ @"’’ !& ! !" !’8 小结 采用不定积分法构造函数 即 8 ! !

.,’’"!&#’@!&"’$@ &# @" ’!%&’’0=’&下一章将讲积分法’直接证明 8 ’

=& ’’?

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利用柯西中值定理间接证明#注意 "(#’) 且 +& ’’))#且可导 8 & 设函数 ! 在点" 处具有连续的二阶导数 8证明! 5( "AB’A!& "@B’@’!& "’ !& # /0 0& ?! "’8 B") B’ "AB’A!& "@B’@’!& "’ !& /0 ! 证明 !!# B") B’ %& "AB’@! %& "@B’ 0& "AB’A! 0& "@B’ ! ! ?! 0& "’ ?# /0 ?# /0 B") B") ’B ’ & 设 )(&(’( 51

" 证明存在 8 $% & &# ’’#使得 ’

8 / .&@8 / .’ ?7 " 9$8 7 " 8’@7 " 8& ’’?8 ’’?7"8’# ’% " / .’# ! 证明 ! 设 !& &# +& ’$8 则 !# "# #$上满足柯西中值定理条件 #故 +$% & &# + 在" ’’#使得 & ’ % 8 / .’@8 / .& 7 " 8$ ! $ ?? &’? @7 " 9 $ %$ 7 " 8’@7 " 8& @8 / .$ + 8 / .&@8 / .’ ?7 " 9 $#!$% & &# ’’8 7 " 8’@7 " 8& & 设函数 ! 在点" 的某个邻域内具有二阶导数#证明!对充分小的 B#存在$# )($(%#使得 /C & ’ & ’ & ’ & ’ & ’ 0 "A$B A! 0 "@$B ! "AB A! "@B @’! " ! ? 8 ’ B’ 即

分析 ! 等式左侧为零阶导数#右方为二阶导数#联 想 到 两 次 应 用 柯 西 中 值 定 理 8令 =& ’’?!& "A ’ ’ # ’ & ’ & & ’ ’ A! "@’ @’! " C ’ ?’ 8 证 明 ! 设 =& ’’$ !& ".’’.!& "&’’&’!& "’# C& ’’$ ’’ #由已知#存在( ’ )#使 ! 在& "&(# ".(’内有二阶导数#则当)(B((时 # =& ’’和 C& ’’在" )# B$上满足柯西中值定理条件 # )# B’#使 +! % &

=& B’&=& )’ = %& !’ $ & C& B’&C& )’ C % !’ & ’ & &B’&’!& "’ ! ".!’&! "&!’# %& %& 即 ! ! ".B .! " $ !)(! ( B ’ B’ ! 而= %& C %& %& %& %& ’’?! "A’’@! "@’’# ’’?’’ 在" )# )’ !$上满足柯西中值定理条件#且 = ’ # 使 ’ & # ?)# C %& )’?)#则 +%% & )# ) B , ! = %& %& %& 0& )’ = 0& "A%’A! 0& "@%’# !’?= !’@= %’?! ? & !)(%(!(B ’ & ’ & ’ ’ @ ) ’ C %& C % C % C 0 ! ! % 记%?$B# )($(%#则有 0& 0& "AB’A!& "@B’@’!& "’ ! "A$B’A! "@$B’# !& ? )(B(( !)($(%# ’ B’

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数 学 分 析 同 步 辅 导 及 习 题 全 解"上 册#

& 设 !& %在原点的某邻域内连续#且 ! %& # /0 ’! ’ ?%8 )’?)# )’))8证明! /: ! &’

A ’")

% ’在 分解 8 %在 原 点 连 续 #可 利 用 连 续 定 义 求 & % ’ ?)A ! # .’

! 分析 ! 本题利用对数求极限法#把 ’!

& ’’

的极限#再综合起来 8

%在原点某邻域内连续#故# %& ’’?! %& )’))#而 /0! ! 证明 ! 由于 ! ’")

% % % @ ’ @ % ’ ’ ’ @% # /0 /0 ’ ?# /0 ?# /0 ?# /0 ?@5 %?# .’ # .’ ’")A ( % ’")A ’’ . ’ ’")A’ ’")A # ’")A# ’ ’ ’’ !& 1# 9 /0 &’ 故有 !!!!!!# /0 ’! ’ ?$6G& # /0 !& # .’’?$6G ’")A % ’’ A A ’") ’") # .’: 2 %& ’’ ! 1# 9 ) /0 ?$6G ’")A % ?$ ?% % # .’ : 2 & 证明定理 : &: 中 # /0 !& /0 +& ’’?)## ’’?) 情形时的洛必达法则 8 /D

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