Математическое просвещение [Серия 3, Выпуск 3]

Citation preview

íáåíáéþåóëïå ðòïó÷åýåîéå ÒÅÔØÑ ÓÅÒÉÑ

×ÙÕÓË 3

íãîíï þÅòÏ íÏÓË×Á 1999

ââë 22.1 M34

òÅÄÁË ÉÏÎÎÁÑ ËÏÌÌÅÇÉÑ

âÕÇÁÅÎËÏ ÷.ï. ÷ÑÌÙÊ í.î. åÇÏÒÏ× á.á. ëÏÎÓÔÁÎÔÉÎÏ× î.î. óÁ×ÉÎ á.ð. ÉÈÏÍÉÒÏ× ÷.í.

÷ÁÓÉÌØÅ× î.â. çÌÅÊÚÅÒ ç.ä. éÌØÑÛÅÎËÏ à.ó. ðÒÁÓÏÌÏ× ÷.÷. óÏÌÏ×ØÅ× à.ð. ûÁÒÙÇÉÎ é.æ.

÷ÉÎÂÅÒÇ ü.â. çÕÓÅÊÎ-úÁÄÅ ó.í. ëÁÎÅÌØ-âÅÌÏ× á.ñ. òÏÚÏ× î.è. óÏÓÉÎÓËÉÊ á.â. ñÝÅÎËÏ é.÷.

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ× ïÔ×. ÓÅËÒÅÔÁÒØ: í. î. ÷ÑÌÙÊ çÌÁ×ÎÙÊ ÒÅÄÁËÔÏÒ:

áÄÒÅÓ ÒÅÄÁË ÉÉ:

121002, íÏÓË×Á, â. ÷ÌÁÓØÅ×ÓËÉÊ ÅÒ., Ä. 11, Ë. 211 (Ó ÏÍÅÔËÏÊ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉŁ) Email:

í34

matprosm

me.ru

íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ.

€þÅòρ, 1999. | 240 Ó.

ÒÅÔØÑ ÓÅÒÉÑ, ×Ù. 3. | í.: íãîíï,

ïÞÅÒÅÄÎÏÊ ÓÂÏÒÎÉË €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉŁ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÍÁÔÅÒÉÁÌÙ, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÙÅ ÁÍÑÔÉ î. â. ÷ÁÓÉÌØÅ×Á É å. í. ìÁÎÄÉÓÁ; ÒÁÓÓËÁÚ ÷. é. áÒÎÏÌØÄÁ Ï ÒÁÂÏÔÁÈ ÆÉÌÄÓÏ×ÓËÏÇÏ ÌÁÕÒÅÁÔÁ 1998 ÇÏÄÁ í. ì. ëÏÎ Å×ÉÞÁ; ÏÞÅÒË Ï ÒÏÌÉ æ. ëÌÅÊÎÁ É ÅÇÏ ÚÎÁÍÅÎÉÔÏÊ ÜÒÌÁÎÇÅÎÓËÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÙ × ÉÓÔÏÒÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ÷ ÒÁÚÄÅÌÅ, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÏÍ ÒÏÂÌÅÍÁÍ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÏÍÅÝÅÎ ÉËÌ ÓÔÁÔÅÊ Ï ÔÅÏÒÉÉ ÕÚÌÏ×. ÷ ÒÁÚÄÅÌÅ €óÔÕÄÅÎÞÅÓËÉÅ ÞÔÅÎÉс ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÁ ÌÅË ÉÑ á. á. òÁÚÂÏÒÏ×Á, × ËÏÔÏÒÏÊ ÏÕÌÑÒÎÏ ÉÚÌÁÇÁÀÔÓÑ ÏÓÎÏ×Ù ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ. ðÏÍÉÍÏ ÜÔÏÇÏ, ÓÂÏÒÎÉË ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÒÑÄ ÓÔÁÔÅÊ, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÙÈ ÑÒËÉÍ É ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÆÁËÔÁÍ É ÍÉÎÉÁÔÀÒÁÍ: ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÔÅÏÒÅÍÙ öÏÒÄÁÎÁ, ÍÏÄÅÌÑÍ ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×ÙÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÊ, ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÁ ÉÉ ÜÌÌÉÓÏÉÄÏ×, ÒÅÛÅÎÉÀ ÒÏÂÌÅÍÙ âÏÒÓÕËÁ, Ó×ÑÚÉ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ Ó ÔÅÏÒÉÅÊ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÇÒÕ. ÷ ÒÁÚÄÅÌÅ €ëÏÎËÕÒÓÙ É ÏÌÉÍÉÁÄف ÏÂÓÕÖÄÁÀÔÓÑ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ, ÒÅÄÌÁÇÁ×ÛÉÅÓÑ ÎÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÑÈ × íÏÓË×Å × 1998 ÇÏÄÕ.

ISBN 5-900916-29-4

íãîíï,

÷ÙÕÓË ÄÁÎÎÏÇÏ ÓÂÏÒÎÉËÁ ÏÄÄÅÒÖÁÎ ÇÒÁÎÔÏÍ òÏÓÓÉÊÓËÏÇÏ æÏÎÄÁ æÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÈ éÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ (ÎÏÍÅÒ ÒÏÅËÔÁ 99-01-14033)

1999 Ç.

ðÏÓ×ÑÝÁÅÔÓÑ ÁÍÑÔÉ

îÉËÏÌÁÑ âÏÒÉÓÏ×ÉÞÁ ÷ÁÓÉÌØÅ×Á, ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÞÅÌÏ×ÅËÁ É ÏÉÓÔÉÎÅ ×ÙÄÁÀÝÅÇÏÓÑ ÄÅÑÔÅÌÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÑ. ëÒÏÍÅ ×ÓÅÇÏ ÒÏÞÅÇÏ, ÉÍÅÎÎÏ ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ ÅÇÏ ÜÎÔÕÚÉÁÚÍÕ É ÎÁÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔÉ ÂÙÌÏ ×ÏÚÏÂÎÏ×ÌÅÎÏ ÉÚÄÁÎÉÅ ÓÅÒÉÉ ÓÂÏÒÎÉËÏ×, ÏÄÉÎ ÉÚ ÎÏÍÅÒÏ× ËÏÔÏÒÏÊ ×Ù ÄÅÒÖÉÔÅ ÓÅÊÞÁÓ × ÒÕËÁÈ.

îÉËÏÌÁÊ âÏÒÉÓÏ×ÉÞ ÷ÁÓÉÌØÅ×

(8.8.1940 { 28.5.1998)

óÏÄÅÒÖÁÎÉÅ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÉÒ

÷. é. áÒÎÏÌØÄ

. . . . . . .

7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

æÉÌÄÓÏ×ÓËÁÑ ÍÅÄÁÌØ | ×ÏÓÉÔÁÎÎÉËÕ ÍÏÓËÏ×ÓËÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÛËÏÌÙ

á. á. åÇÏÒÏ×

îÉËÏÌÁÊ âÏÒÉÓÏ×ÉÞ ÷ÁÓÉÌØÅ×

á. í. ìÅÏÎÔÏ×ÉÞ

îÁÕÞÎÁÑ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔØ î. â. ÷ÁÓÉÌØÅ×Á

í. ì. çÅÒ×ÅÒ

ðÁÍÑÔÉ å. í. ìÁÎÄÉÓÁ

éÚ ×ÙÓÔÕÌÅÎÉÊ ÎÁ ÚÁÓÅÄÁÎÉÉ íÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÝÅÓÔ×Á, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÏÍ ÁÍÑÔÉ å. í. ìÁÎÄÉÓÁ

î. è. òÏÚÏ×

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

æÅÌÉËÓ ëÌÅÊÎ É ÅÇÏ ÜÒÌÁÎÇÅÎÓËÁÑ ÒÏÇÒÁÍÍÁ

ÅÍÁ ÎÏÍÅÒÁ: ÔÅÏÒÉÑ ÕÚÌÏ× × ËÏÎ Å XX ×ÅËÁ

ó. ÷. äÕÖÉÎ, ó. ÷. þÍÕÔÏ× õÚÌÙ É ÉÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 à. í. âÕÒÍÁÎ äÌÉÎÎÙÅ ËÒÉ×ÙÅ, ÇÁÕÓÓÏ×Ù ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ É ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 ÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ× ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ úÅÊÆÅÒÔÁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 óÔÕÄÅÎÞÅÓËÉÅ ÞÔÅÎÉÑ

á. á. òÁÚÂÏÒÏ× ï ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

ðÏ-ÎÏ×ÏÍÕ Ï ÓÔÁÒÏÍ: ÆÒÁÇÍÅÎÔÙ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ

á. ÷. þÅÒÎÁ×ÓËÉÊ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

ÅÏÒÅÍÁ öÏÒÄÁÎÁ

ò. ò. ðÉÍÅÎÏ×

ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÓÆÅÒÙ É ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×Ù ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

îÁÛ ÓÅÍÉÎÁÒ: ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÓÀÖÅÔÙ

í. ì. çÅÒ×ÅÒ ï ÒÁÚÂÉÅÎÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁ ÞÁÓÔÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ: ÔÅÏÒÅÍÙ É ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒÙ

á. â. óËÏÅÎËÏ×

n-ÍÅÒÎÙÊ ËÕÂ, ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ É ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ âÏÒÓÕËÁ

ð. á. âÏÒÏÄÉÎ, ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

. . . 168

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

ëÒÉÔÅÒÉÉ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔÉ ÂÁÎÁÈÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ Ó ÔÅÏÒÉÅÊ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÊ

ç. òÁÊÔÅÒ, é. óÏÎÉÎ

îÁÇÌÑÄÎÁÑ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÎÁ ÇÒÁÆÁÈ

189

. . . . . . . . . . . . . . . 208

ëÏÎËÕÒÓÙ É ÏÌÉÍÉÁÄÙ

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ éÚÂÒÁÎÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÊ 1998 ÇÏÄÁ × íÏÓË×Å

. . . . . . . . . . 214

ïÔËÌÉËÉ

â. ò. æÒÅÎËÉÎ ó×ÑÚØ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ Ó ÔÅÏÒÉÅÊ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÇÒÕ

úÁÄÁÞÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ îÏ×ÙÅ ÉÚÄÁÎÉÑ

. . . . . . . . . . . . . . 229

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

6

íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÉÒ

æÉÌÄÓÏ×ÓËÁÑ ÍÅÄÁÌØ | ×ÏÓÉÔÁÎÎÉËÕ ÍÏÓËÏ×ÓËÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÛËÏÌÙ

÷. é. áÒÎÏÌØÄ ÷Ï ×ÒÅÍÑ ÅÒÅÍÏÎÉÉ ÏÔËÒÙÔÉÑ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÇÏ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ëÏÎÇÒÅÓÓÁ, ÓÏÓÔÏÑ×ÛÅÇÏÓÑ × âÅÒÌÉÎÅ Ó 18 Ï 27 Á×ÇÕÓÔÁ 1998 ÇÏÄÁ, ÂÙÌÉ ÏÇÌÁÛÅÎÙ ÉÍÅÎÁ 4 ÌÁÕÒÅÁÔÏ× ÍÅÄÁÌÉ æÉÌÄÓÁ. ïÄÉÎ ÉÚ ÎÉÈ | ×ÏÓÉÔÁÎÎÉË íÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ õÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ íÁËÓÉÍ ìØ×Ï×ÉÞ ëÏÎ Å×ÉÞ (ÓÅÊÞÁÓ ÒÁÂÏÔÁÀÝÉÊ × éÎÓÔÉÔÕÔÅ ÷ÙÓÛÉÈ îÁÕÞÎÙÈ éÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ × âÀÒ-ÓÀÒ-é×ÅÔÔ ÏÄ ðÁÒÉÖÅÍ). æÉÌÄÓÏ×ÓËÉÍÉ ÜÔÉ ÍÅÄÁÌÉ ÎÁÚ×ÁÎÙ × ÞÅÓÔØ ËÁÎÁÄÓËÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ äÖ. þ. æÉÌÄÓÁ (1863 { 1962 ÇÇ.), ÂÙ×ÛÅÇÏ ÒÅÚÉÄÅÎÔÏÍ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ëÏÎÇÒÅÓÓÁ × ÏÒÏÎÔÏ × 1924 ÇÏÄÕ. æÉÌÄÓ ÒÅÄÌÏÖÉÌ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÓÜËÏÎÏÍÌÅÎÎÙÅ ÏÒÇÁÎÉÚÁÔÏÒÁÍÉ ëÏÎÇÒÅÓÓÁ 2 500 ËÁÎÁÄÓËÉÈ ÄÏÌÌÁÒÏ× ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ×Ï ×ÒÅÍÑ ËÁÖÄÏÇÏ ëÏÎÇÒÅÓÓÁ (ËÏÔÏÒÙÅ ÒÏ×ÏÄÑÔÓÑ ÒÁÚ × ÞÅÔÙÒÅ ÇÏÄÁ) ÎÁÇÒÁÖÄÁÔØ Ä×ÕÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× ÚÏÌÏÔÏÊ ÍÅÄÁÌØÀ × ÚÎÁË ÒÉÚÎÁÎÉÑ ÉÈ ×ÙÄÁÀÝÉÈÓÑ ÚÁÓÌÕÇ ÍÉÒÏ×ÙÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÓÏÏÂÝÅÓÔ×ÏÍ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÚÁÓÌÕÇÏÊ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ËÁË ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁ×ÎÏ ÓÔÏÑ×ÛÅÊ ÒÏÂÌÅÍÙ, ÔÁË É ÓÏÚÄÁÎÉÅ ÔÅÏÒÉÉ, ÒÏÌÁÇÁÀÝÅÊ ÎÏ×ÙÅ ÕÔÉ. æÏÒÍÕÌÉÒÕÑ ÒÉÎ ÉÙ, Ï ËÏÔÏÒÙÍ ÂÕÄÕÔ ÏÔÂÉÒÁÔØÓÑ ÌÁÕÒÅÁÔÙ, æÉÌÄÓ ÏÄÞÅÒËÎÕÌ, ÞÔÏ ÍÅÄÁÌØ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÒÉÚÎÁÎÉÅÍ ÕÖÅ ÄÏÓÔÉÇÎÕÔÏÇÏ (ÞÔÏ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÉÇÒÁÅÔ ÏÓÎÏ×ÎÕÀ ÒÏÌØ ÒÉ ×ÙÂÏÒÅ ÍÅÄÁÌÉÓÔÏ×), ÎÏ É ÚÁÌÏÇÏÍ ÂÕÄÕÝÉÈ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÊ (ËÁË ÓÁÍÏÇÏ ÍÅÄÁÌÉÓÔÁ, ÔÁË É ÅÇÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌÅÊ). èÏÔÑ ÏÄÏÂÎÙÅ ÓÌÏ×Á Ï ÂÕÄÕÝÉÈ ÕÓÅÈÁÈ ÂÙÌÉ É × ÚÁ×ÅÝÁÎÉÉ îÏÂÅÌÑ, ÉÈ ÔÒÁËÔÏ×ËÁ ÎÏÂÅÌÅ×ÓËÉÍ É ÆÉÌÄÓÏ×ÓËÉÍ ËÏÍÉÔÅÔÁÍÉ ÒÁÚÌÉÞÎÁ. æÉÌÄÓÏ×ÓËÉÅ ÍÅÄÁÌÉ ÒÉÓÕÖÄÁÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÍÏÌÏÄÙÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍ (ÏÔ ÓÔÁÒÙÈ ÏÖÉÄÁÔØ ÎÏ×ÙÈ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÊ ÒÉÓËÏ×ÁÎÎÏ). îÁÞÉÎÁÑ Ó ÍÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ ëÏÎÇÒÅÓÓÁ 1966 ÇÏÄÁ, ÔÅÒÍÉÎ €ÍÏÌÏÄÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉˁ ÔÏÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎ ËÁË €ÍÁÔÅÍÁÔÉË, ËÏÔÏÒÏÍÕ × ÇÏÄ ÒÉÓÕÖÄÅÎÉÑ ÉÓÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÓÏÒÏËÁ ÌÅԁ. í. ëÏÎ Å×ÉÞ (ÓÍ. ÆÏÔÏ 1) ÒÏÄÉÌÓÑ 25 Á×ÇÕÓÔÁ 1964 ÇÏÄÁ. óÌÅÄÕÅÔ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÅ × ÒÁÚÎÙÈ ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÓÔ×ÁÈ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÍÏÌÏÄÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÓÉÌØÎÏ ÒÁÚÌÉÞÁÀÔÓÑ. îÁÒÉÍÅÒ, íÏÓËÏ×ÓËÏÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÂÝÅÓÔ×Ï ÅÖÅÇÏÄÎÏ ÒÉÓÕÖÄÁÅÔ Ä×Å ÞÒÅÚ×ÙÞÁÊÎÏ ÒÅÓÔÉÖÎÙÈ ÒÅÍÉÉ ÍÏÌÏÄÙÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍ, ËÏÔÏÒÙÍ ÉÓÏÌÎÑÅÔÓÑ × ÇÏÄ ÒÉÓÕÖÄÅÎÉÑ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÔÒÉÄ ÁÔÉ ÌÅÔ. ÷ÉÄÉÍÏ, ÔÁËÏÇÏ ÖÅ ÒÉÎ ÉÁ ÒÉÄÅÒÖÉ×ÁÅÔÓÑ å×ÒÏÅÊÓËÏÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ

8

÷. é. áÒÎÏÌØÄ

òÉÓ. 1.

í. ì. ëÏÎ Å×ÉÞ

òÉÓ. 2.

æÉÌÄÓÏ×ÓËÁÑ ÍÅÄÁÌØ

ÏÂÝÅÓÔ×Ï (ÒÅÍÉÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ ëÏÎ Å×ÉÞ ÂÙÌ ÕÄÏÓÔÏÅÎ ÎÁ ÅÒ×ÏÍ å×ÒÏÅÊÓËÏÍ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ëÏÎÇÒÅÓÓÅ × ðÁÒÉÖÅ × 1992 ÇÏÄÕ). çÒÕÁ ÆÒÁÎ ÕÚÓËÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×, ÏÂßÅÄÉÎÅÎÎÙÈ ÓÅ×ÄÏÎÉÍÏÍ âÕÒÂÁËÉ, ÓÞÉÔÁÅÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÍÏÌÏÄÙÍ ÄÏ ÑÔÉÄÅÓÑÔÉ ÌÅÔ (ÅÓÌÉ ÏÎ ÎÅ ËÏËÏÔÉÚÉÒÏ×ÁÎ ÒÁÎØÛÅ). ëÏËÏÔÉÚÁ ÉÑ1) ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ, ÍÏÌÏÄÏÓÔØ ËÏÔÏÒÏÇÏ ×ÙÚÙ×ÁÅÔ ÓÏÍÎÅÎÉÑ, ÚÁÓÔÁ×ÌÑÀÔ ×ÙÓÌÕÛÁÔØ, × ÒÉÓÕÔÓÔ×ÉÉ ÒÅÄÕÒÅÖÄÅÎÎÙÈ ËÏÌÌÅÇ, ÄÌÉÎÎÅÊÛÅÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÎÏ×ÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÎÑÔÉÑ, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÅ ÔÁË, ÞÔÏ ÎÉÞÔÏ, ËÒÏÍÅ ÎÕÌÑ, ÜÔÏÍÕ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÎÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ. åÓÌÉ ÉÓÙÔÕÅÍÙÊ ×ÓËÒÉÞÉÔ: €îÏ ×ÅÄØ ÜÔÏ ÎÕÌØ! | ÔÏ ÏÎ ÓÁÓÅÎ, ÅÓÌÉ ÎÅÔ | ËÏËÏÔÉÚÉÒÏ×ÁÎ. ò. ëÕÒÁÎÔ, ÚÎÁÍÅÎÉÔÙÊ ÎÅÍÅ ËÉÊ (×ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ ÁÍÅÒÉËÁÎÓËÉÊ) ÍÁÔÅÍÁÔÉË ××ÅÌ Ó×ÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÍÏÌÏÄÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ: ÍÁÔÅÍÁÔÉË ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ÍÏÌÏÄÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÎ × ÓÁÍÏÊ ÎÅÏÄÈÏÄÑÝÅÊ ÏÂÓÔÁÎÏ×ËÅ ÇÏ×ÏÒÉÔ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ. ðÏ ÜÔÏÍÕ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ëÕÒÁÎÔ ÏÓÔÁ×ÁÌÓÑ ÍÏÌÏÄÙÍ ÄÏ ÓÁÍÏÊ ÓÍÅÒÔÉ (× ×ÏÚÒÁÓÔÅ ×ÏÓØÍÉÄÅÓÑÔÉ ÞÅÔÙÒÅÈ ÌÅÔ). ðÏÓÌÅ ÓÍÅÒÔÉ æÉÌÄÓÁ ÅÇÏ ÚÁ×ÅÝÁÎÉÅ Õ×ÅÌÉÞÉÌÏ ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÎÙÊ ÄÌÑ ÎÁÇÒÁÖÄÅÎÉÑ ÆÏÎÄ, É ÍÅÄÁÌØ (ËÏÔÏÒÕÀ ×ÅÒ×ÙÅ ÒÉÓÕÄÉÌÉ ÎÁ ëÏÎÇÒÅÓÓÅ × ïÓÌÏ × 1936 ÇÏÄÕ) ÓÔÁÌÁ ÓÏÒÏ×ÏÖÄÁÔØÓÑ ÒÅÍÉÅÊ. ðÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÏ ÒÁÚÍÅÒ ÒÅÍÉÉ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÌ 1 500 ËÁÎÁÄÓËÉÈ ÄÏÌÌÁÒÏ×. îÁÞÉÎÁÑ Ó ÍÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ ëÏÎÇÒÅÓÓÁ 1966 Ç., ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ ÁÎÏÎÉÍÎÏÍÕ ×ËÌÁÄÕ × æÉÌÄÓÏ×ÓËÉÊ ÆÏÎÄ, ÞÉÓÌÏ ÒÉÓÕÖÄÁÅÍÙÈ ÎÁ 1) îÁÚ×ÁÎÉÅ, ×ÉÄÉÍÏ, ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÏÔ ÄÒÅ×ÎÅÇÏ ÏÂÙÞÁÑ ÏÌÉÎÅÚÉÊÓËÉÈ ÌÅÍÅÎ ÉÓÙÔÙ×ÁÔØ ÓÔÁÒÉËÏ×, ÓÏÓÏÂÎÙ ÌÉ ÏÎÉ ÅÝÅ ÒÉÎÏÓÉÔØ ÏÌØÚÕ ÌÅÍÅÎÉ: ÓÔÁÒÉË ÄÏÌÖÅÎ ÄÏÓÔÁÔØ ËÏËÏÓÏ×ÙÊ ÏÒÅÈ Ó ×ÅÒÛÉÎÙ ËÏËÏÓÏ×ÏÊ ÁÌØÍÙ, ËÏÔÏÒÕÀ ×ÓÅ ÌÅÍÑ ÒÉ ÜÔÏÍ ÔÒÑÓÅÔ. . .

æÉÌÄÓÏ×ÓËÁÑ ÍÅÄÁÌØ | íÁËÓÉÍÕ ëÏÎ Å×ÉÞÕ

9

ËÁÖÄÏÍ ëÏÎÇÒÅÓÓÅ ÍÅÄÁÌÅÊ Õ×ÅÌÉÞÅÎÏ ÄÏ ÞÅÔÙÒÅÈ É ÒÁÚÍÅÒ ÒÅÍÉÉ ÓÅÊÞÁÓ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÕÖÅ 15 000 ËÁÎÁÄÓËÉÈ ÄÏÌÌÁÒÏ×. éÚ ÓÏ×ÅÔÓËÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× æÉÌÄÓÏ×ÓËÏÊ ÍÅÄÁÌÉ ÂÙÌÉ ÕÄÏÓÔÏÅÎÙ ó. ð. îÏ×ÉËÏ× (1970), ç. á. íÁÒÇÕÌÉÓ (1978), ÷. ç. äÒÉÎÆÅÌØÄ (1990), å. é. úÅÌØÍÁÎÏ× (1994). æÉÌÄÓÏ×ÓËÉÊ ËÏÍÉÔÅÔ ÎÁÚÎÁÞÁÅÔÓÑ éÓÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÍ ëÏÍÉÔÅÔÏÍ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÇÏ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ óÏÀÚÁ, ÉÚÂÉÒÁÅÍÙÍ çÅÎÅÒÁÌØÎÏÊ áÓÓÁÍÂÌÅÅÊ óÏÀÚÁ ÒÁÚ × ÞÅÔÙÒÅ ÇÏÄÁ. äÏ 1994 ÇÏÄÁ ÒÅÚÉÄÅÎÔ óÏÀÚÁ ÂÙÌ É ÒÅÄÓÅÄÁÔÅÌÅÍ æÉÌÄÓÏ×ÓËÏÇÏ ËÏÍÉÔÅÔÁ. æÉÌÄÓÏ×ÓËÁÑ ÍÅÄÁÌØ ÉÚÇÏÔÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ÉÚ ÚÏÌÏÔÁ (14 ËÁÒÁÔ) Ï ÒÏÅËÔÕ ÓËÕÌØÔÏÒÁ ò. . íÁËËÅÎÚÉ (ÓÍ. ÆÏÔÏ 2). îÁ ÌÉ Å×ÏÊ ÓÔÏÒÏÎÅ ÍÅÄÁÌÉ ÉÍÅÅÔÓÑ (ÒÉÉÓÙ×ÁÅÍÁÑ áÒÈÉÍÅÄÕ) ÎÁÄÉÓØ ÎÁ ÌÁÔÙÎÉ \Transire suum pe tus mundoque poltri" (€ÒÅ×ÚÏÊÔÉ Ó×ÏÀ ÞÅÌÏ×ÅÞÅÓËÕÀ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÓÔØ É ÏËÏÒÉÔØ ×ÓÅÌÅÎÎÕÀ) É ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅ áÒÈÉÍÅÄÁ, Á ÎÁ ÏÂÏÒÏÔÅ ÎÁÄÉÓØ | \Congregati ex toto orbe mathemati i ob s ripta insignia tribuere" (€ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÓÏÂÒÁ×ÛÉÅÓÑ ÓÏ ×ÓÅÇÏ Ó×ÅÔÁ, ÞÅÓÔ×ÕÀÔ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÊ ×ËÌÁÄ × ÏÚÎÁÎÉс). éÍÑ æÉÌÄÓÁ ÎÉÇÄÅ ÎÅ ÕÏÍÑÎÕÔÏ (æÉÌÄÓ ×ÏÚÒÁÖÁÌ ÂÙ É ÒÏÔÉ× ÎÁÚ×ÁÎÉÑ ÍÅÄÁÌÉ Ï ÅÇÏ ÉÍÅÎÉ | ÏÎÏ ÒÉÎÑÔÏ ÕÖÅ ÏÓÌÅ ÅÇÏ ÓÍÅÒÔÉ). ëÏÎ Å×ÉÞ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÑÒËÉÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÍ ÍÏÓËÏ×ÓËÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÛËÏÌÙ. ðÏÙÔÁÀÓØ ÄÁÔØ ÈÏÔÑ ÂÙ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÑÈ í. ëÏÎ Å×ÉÞÁ. âÏÌØÛÁÑ ÞÁÓÔØ ÜÔÉÈ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÊ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ Ë ÍÏÌÏÄÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ, ËÏÔÏÒÕÀ ÍÏÖÎÏ ÎÁÚ×ÁÔØ Ë×ÁÎÔÏ×ÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ . ë×ÁÎÔÏ×ÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ×ÏÚÎÉËÌÁ ÏÄ ×ÌÉÑÎÉÅÍ Ë×ÁÎÔÏ×ÏÊ ÆÉÚÉËÉ. ÷ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Å ÓÌÕÞÁÅ× ÒÅÞØ ÉÄÅÔ ÚÄÅÓØ ÎÅ Ï ÒÉÍÅÎÅÎÉÑÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× Ë ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÀ ÆÉÚÉÞÅÓËÉÈ Ñ×ÌÅÎÉÊ (ÈÏÔÑ ÜÔÏ É ÎÅ ÉÓËÌÀÞÁÅÔÓÑ), Á Ï ÏÂÒÁÔÎÏÍ ×ÌÉÑÎÉÉ ÆÉÚÉÞÅÓËÉÈ ÉÄÅÊ ÎÁ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÅÊÛÉÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ïÂÙÞÎÙÍ ÒÉÚÎÁËÏÍ Ë×ÁÎÔÏ×ÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÉÅ × ÔÅÏÒÉÉ ÏÄÎÏÇÏ ÉÌÉ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÁÒÁÍÅÔÒÏ×. ÷ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Å ÓÌÕÞÁÅ× ÁÒÁÍÅÔÒ ÏÄÉÎ, ÏÎ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÂÕË×ÏÊ h (É ÞÁÓÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ðÌÁÎËÁ). ðÒÉ ÓÔÒÅÍÌÅÎÉÉ ÁÒÁÍÅÔÒÁ Ë ÎÕÌÀ Ë×ÁÎÔÏ×ÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ×ÙÒÏÖÄÁÅÔÓÑ × ÏÂÙÞÎÕÀ. õÄÉ×ÉÔÅÌØÎÙÍ ×Ù×ÏÄÏÍ ÉÚ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ ÏÓÌÅÄÎÉÈ ÄÅÓÑÔÉÌÅÔÉÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÔ ÆÁËÔ, ÞÔÏ ÂÏÌÅÅ ÉÌÉ ÍÅÎÅÅ ×ÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÄÏÕÓËÁÅÔ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÕÀ ÄÅÆÏÒÍÁ ÉÀ, ÏÓÌÅ ËÏÔÏÒÏÊ ×ÓÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÎÑÔÉÑ ÒÉÏÂÒÅÔÁÀÔ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÏ×ÙÊ ÓÍÙÓÌ, ÎÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ (Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑÍÉ) ÓÏÈÒÁÎÑÀÔÓÑ É × ÎÏ×ÏÊ, ÒÏÄÅÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÔÅÏÒÉÉ. îÁÞÉÎÁÑ Ó ÏÂÙÞÎÙÈ ÆÏÒÍÕÌ É ÒÏÉÚ×ÏÄÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÅ Ë×ÁÎÔÏ×ÁÎÉÅ, ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÒÉÛÌÉ Ë ÍÁÓÓÅ ÎÏ×ÙÈ ÆÏÒÍÕÌ, ÄÏÇÁÄÁÔØÓÑ Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÉÎÙÍ ÕÔÅÍ ×ÒÑÄ ÌÉ ×ÏÚÍÏÖÎÏ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÂÏÌØÛÁÑ ÞÁÓÔØ Ë×ÁÎÔÏ×ÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÁÌÅËÏ ÉÄÕÝÉÍ ÒÁÚ×ÉÔÉÅÍ ÔÅÏÒÉÉ ×ÏÚÍÕÝÅÎÉÊ. óÏ ×ÒÅÍÅÎ ÒÁÂÏÔ ò. æÅÊÎÍÁÎÁ ÓÔÁÌÏ ÑÓÎÏ, ÞÔÏ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÍ ÏÂßÅËÔÏÍ ×ÓÑËÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ×ÏÚÍÕÝÅÎÉÊ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÇÒÁÆÙ (× ÒÏÓÔÅÊÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ | ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ æÅÊÎÍÁÎÁ). îÁ ÑÚÙËÅ ÇÒÁÆÏ× ÁÌÇÅÂÒÁ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÅÊ, ÞÔÏ ÏÔËÒÙ×ÁÅÔ ÎÏ×ÙÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ. ðÒÏÓÔÅÊÛÉÍÉ ÒÉÍÅÒÁÍÉ ÇÒÁÆÏ× Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÉ ÉÌÉ Ë×ÁÄÒÁÔ Ó ÅÇÏ Ä×ÕÍÑ ÄÉÁÇÏÎÁÌÑÍÉ. çÒÁÆ (ÓÍ. ÒÉÓ. 3), Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎ (ÔÏÞÅË) É ÒÅÂÅÒ (ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ÜÔÉ ÔÏÞËÉ ÏÔÒÅÚËÏ×); ÞÉÓÌÏ ÔÅÈ É ÄÒÕÇÉÈ ÏÂÙÞÎÏ ËÏÎÅÞÎÏ.

10

÷. é. áÒÎÏÌØÄ

òÉÓ. 3. ó×ÑÚÎÙÅ ÇÒÁÆÙ Ó ÔÒÅÍÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ É ÔÒÅÍÑ ÒÅÂÒÁÍÉ

÷ÁÖÎÅÊÛÉÍ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÅÍ í. ëÏÎ Å×ÉÞÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ××ÅÄÅÎÉÅ ÉÍ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÏÇÏ ÎÏ×ÏÇÏ ÏÂßÅËÔÁ | ËÏÍÌÅËÓÁ ÇÒÁÆÏ×. ëÏÍÌÅËÓÁÍÉ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÙÅ ÏÂÏÂÝÅÎÉÑ ÇÒÁÆÏ×. ðÏÄÏÂÎÏ ÄÅÔÓËÏÍÕ ËÏÎÓÔÒÕËÔÏÒÕ, ËÏÍÌÅËÓ ÓÏÓÔÏÉÔ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎ É ÒÅÂÅÒ, ÎÏ ×ËÌÀÞÁÅÔ ÔÁËÖÅ Ä×ÕÍÅÒÎÙÅ, ÔÒÅÈÍÅÒÎÙÅ É Ô. Ä. ÜÌÅÍÅÎÔÙ. íÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÏÞËÁÍÉ (ÏÔÒÅÚËÁÍÉ É Ô. Ä.) ÏÂßÅËÔÙ ÌÀÂÏÊ ÒÉÒÏÄÙ (Ï ÓÌÏ×ÁÍ çÉÌØÂÅÒÔÁ | €ÎÁÒÉÍÅÒ, É×ÎÙÅ ËÒÕÖËÉ É ÌÁ×ËɁ), ×ÁÖÎÙ ÌÉÛØ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ. €ÏÞËÁÍɁ ËÏÍÌÅËÓÁ ÇÒÁÆÏ× ëÏÎ Å×ÉÞÁ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÁÍÉ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÇÒÁÆÙ (Ó ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÅÄÁÎÔÉÞÎÏÓÔØÀ ÍÏÖÎÏ ÕÏÍÑÎÕÔØ, ÞÔÏ ÏÔÒÅÚËÉ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÅ ×ÅÒÛÉÎÕ Ó ÓÁÍÏÊ ÓÏÂÏÊ, ÚÄÅÓØ ÎÅ ÄÏÕÓËÁÀÔÓÑ, ÈÏÔÑ × ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÂÝÅÊ ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÁÆÏ× ÔÁËÉÅ ÅÔÌÉ É ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ). ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ €ÏÔÒÅÚËÏׁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ÔÁËÉÅ €ÔÏÞËɁ (ÇÒÁÆÙ), €ÇÒÁÎÅʁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ €ÏÔÒÅÚËɁ, É Ô. Ä. ×ÎÏÓÉÔ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÇÒÁÆÏ× ÞÒÅÚ×ÙÞÁÊÎÏ ×ÁÖÎÕÀ (É ÒÁÎÅÅ ÎÅ ÉÚÕÞÅÎÎÕÀ!) ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ | ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ËÏÍÌÅËÓÁ ëÏÎ Å×ÉÞÁ, ÏËÁÚÁ×ÛÕÀÓÑ ÏÞÅÎØ ÏÌÅÚÎÏÊ × ÂÏÌØÛÏÍ ÞÉÓÌÅ ÚÁÄÁÞ, ÎÁ ÅÒ×ÙÊ ×ÚÇÌÑÄ ÎÅ ÉÍÅÀÝÉÈ Ë ÇÒÁÆÁÍ É ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÅ ÎÉËÁËÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. ðÅÒÅÞÉÓÌÀ ÌÉÛØ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÚÁÄÁÞÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ëÏÎ Å×ÉÞÕ ÕÄÁÌÏÓØ ÒÅÛÉÔØ ÎÁ ÜÔÏÍ ÕÔÉ. ðÅÒ×ÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ Ë ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ÕÚÌÏ×. õÚÌÙ2) (ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÏÂÙÞÎÏ ÚÁ×ÑÚÙ×ÁÀÔ ÉÈ ÎÁ ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ×ÅÒÅ×ËÅ (ÓÍ. ÒÉÓ. 4), ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÑ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ×ÌÏÖÅÎÉÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï) ÎÁÞÁÌÉ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÉÚÕÞÁÔØÓÑ × ÓÅÒÅÄÉÎÅ 19-ÇÏ ×ÅËÁ, ÎÏ × ÉÓËÕÓÓÔ×Å ×ÓÔÒÅÞÁÌÉÓØ ÚÁÄÏÌÇÏ ÄÏ ÜÔÏÇÏ (ÓÍ. ÆÏÔÏ 5). ÅÏÒÉÑ ÕÚÌÏ× ×ÏÚÎÉËÌÁ × Ó×ÑÚÉ Ó ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅÍ ëÅÌØ×ÉÎÁ, ÞÔÏ ÒÁÚÌÉÞÉÑ ÁÔÏÍÏ× ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÒÁÚÌÉÞÉÑÍÉ ×ÈÏÄÑÝÉÈ × ÉÈ ÓÏÓÔÁ× ÍÉËÒÏÓËÏÉÞÅÓËÉÈ ÕÚÌÏ×. üÔÏ ÂÙÌ Ñ×ÎÙÊ ÛÁÇ ×ÅÒÅÄ Ï ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÄÒÅ×ÎÅÊ ÔÅÏÒÉÅÊ ìÕËÒÅ ÉÑ, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÂßÑÓÎÑÌ ÒÁÚÌÉÞÉÑ ÁÔÏÍÏ× ÔÅÍ, ÞÔÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÔÅÅÒØ ÏÉÓÙ×ÁÀÔ ËÁË ÒÁÚÌÉÞÉÑ ÍÅÖÄÕ ÔÒÅÍÑ ÔÉÁÍÉ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ | ÇÌÁÄËÉÈ, ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÈ (ÉÍÅÀÝÉÈ ÕÚÌÙ) É ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ (ÄÏÕÓËÁÀÝÉÈ, Ï ×ÙÒÁÖÅÎÉÀ ìÕËÒÅ ÉÑ, ÔÁËÖÅ É ÚÁÏÓÔÒÅÎÎÙÅ ËÒÀÞËÉ). äÌÑ ÒÁÚÌÉÞÅÎÉÑ ÕÚÌÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅÌØÚÑ ÅÒÅ×ÅÓÔÉ ÄÒÕÇ × ÄÒÕÇÁ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÊ ÄÅÆÏÒÍÁ ÉÅÊ ÂÅÚ ÒÁÚÒÅÚÁÎÉÑ ×ÅÒÅ×ËÉ, ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÉÚÏÂÒÅÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ×. éÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÕÚÌÏ× | ÜÔÏ ÌÏËÁÌØÎÏ ÏÓÔÏÑÎÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ 2)

ÅÏÒÉÑ ÕÚÌÏ× | ÔÅÍÁ ÜÔÏÇÏ ÎÏÍÅÒÁ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс. óÍ. Ó. 56 { 126.

ðÒÉÍ. ÒÅÄ.

|

ÿÿÿÿ ÿNÿ ÿ  ÿ ^Æÿ

æÉÌÄÓÏ×ÓËÁÑ ÍÅÄÁÌØ | íÁËÓÉÍÕ ëÏÎ Å×ÉÞÕ

11

òÉÓ. 4. ðÒÏÓÔÅÊÛÉÊ ÕÚÅÌ

æÏÔÏ 5. õÚÅÌ ÎÁ ÓÁÌÁÍÁÎÄÒÅ | ÔÏÔÅÍÅ ÆÒÁÎ ÕÚÓËÏÇÏ ËÏÒÏÌÑ æÒÁÎ ÉÓËÁ I (ÚÁ-

ÍÏË áÚÁÊ ÌÅ òÉÄÏ)

ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ×ÌÏÖÅÎÉÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï. èÏÔÑ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ×ÌÏÖÅÎÉÊ É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÍ, ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎË ÉÊ ÎÁ ÎÅÍ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÉÎÔÅÒÅÓÎÏÊ É ÎÅ ×ÏÌÎÅ ÂÅÚÎÁÄÅÖÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ. ÷ 1989 ÇÏÄÕ ÍÏÓËÏ×ÓËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË ÷. á. ÷ÁÓÉÌØÅ× ×ÙÄÅÌÉÌ ÓÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÕÚÌÏ× ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ, ÚÁÎÉÍÁÀÝÉÅ × ÔÅÏÒÉÉ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÕÚÌÏ× ÔÁËÏÅ ÖÅ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÏÅ ÍÅÓÔÏ, ËÁËÏÅ ÚÁÎÉÍÁÀÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ × ÏÂÙÞÎÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ÆÕÎË ÉÊ. ÅÅÒØ ÜÔÉ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁÍÉ ÷ÁÓÉÌØÅ×Á, É ÉÍ ÏÓ×ÑÝÅÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÇÌÕÂÏËÉÈ ÒÁÂÏÔ ×Ï ×ÓÅÍ ÍÉÒÅ. íÅÖÄÕ ÒÏÞÉÍ, ÆÉÌÄÓÏ×ÓËÉÊ ËÏÍÉÔÅÔ ëÏÎÇÒÅÓÓÁ × ãÀÒÉÈÅ (ÉÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ ×ÙÛÅÌ ËÁË ÂÙ×ÛÉÊ ÎÁÕÞÎÙÊ ÒÕËÏ×ÏÄÉÔÅÌØ Ó×ÏÅÇÏ ÕÞÅÎÉËÁ, Ñ×ÌÑ×ÛÅÇÏÓÑ ËÁÎÄÉÄÁÔÏÍ ÎÁ ÍÅÄÁÌØ) ÏÞÅÍÕ-ÔÏ ÒÏÕÓÔÉÌ ÷ÁÓÉÌØÅ×Á ÒÉ ×ÙÂÏÒÅ ÍÅÄÁÌÉÓÔÏ×, Á × 1998 ÇÏÄÕ ÷ÁÓÉÌØÅ×Õ ÕÖÅ ÂÙÌÏ ÂÏÌØÛÅ ÓÏÒÏËÁ ÌÅÔ. ÅÈÎÉÞÅÓËÉÅ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÑ ëÏÎ Å×ÉÞÁ ÏÚ×ÏÌÉÌÉ ÅÍÕ ÄÁÔØ Ñ×ÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÷ÁÓÉÌØÅ×Á × ×ÉÄÅ ËÒÁÔÎÙÈ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× Ï ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ËÏÎÆÉÇÕÒÁ ÉÏÎÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍ. üÔÉ ÆÏÒÍÕÌÙ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÇÒÁÎÄÉÏÚÎÙÍ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅÍ ÜÌÅËÔÒÏÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ çÁÕÓÓÁ, ×ÙÒÁÖÁÀÝÅÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ (ÓÍ. ÒÉÓ. 6) Ä×ÕÈ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÒÉ×ÙÈ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å × ×ÉÄÅ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ (ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ (ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÅ) ÞÉÓÌÏ ÒÏÈÏÖÄÅÎÉÊ ÏÄÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ÓË×ÏÚØ ÄÒÕÇÕÀ ÒÉ ÉÈ ÒÁÓÔÁÓËÉ×ÁÎÉÉ × ÕÄÁÌÅÎÎÙÅ ÞÁÓÔÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á). íÅÖÄÕ ÒÏÞÉÍ, × ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ÄÏ ÓÉÈ ÏÒ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÏÔËÒÙÔÙÍ ÏÓÔÒÅÊÛÉÊ ×ÏÒÏÓ: ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÌÉ ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÒÁÚÌÉÞÉÔØ ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÕÚÌÁ (ÎÅÄÅÆÏÒÍÉÒÕÅÍÙÅ ÄÒÕÇ × ÄÒÕÇÁ ÂÅÚ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ)?

12

÷. é. áÒÎÏÌØÄ

1

ÿ nÿ

ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿÿ ÿ ÿ _Æÿ

0

ÿÿ ÿ ÿ ÿÿÿÿÿÿ ÿ ÿÿ ÿÿ ÿ ÿ ÿÿ ÿ ÿ"$ÿÿ  ÿ ÿEÿ8 ÿÿÿ  ÿ ÿÿÿ ÿ ÿ ÿÿ Æÿÿ ÿÿÿÿÿÿÿ ÿÿ Æÿ

òÉÓ. 6. úÁ ÅÌÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ËÒÉ×ÙÈ Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ ÏÄÉÎ É ÎÕÌØ

ïÆÉ ÉÁÌØÎÏ ÎÁÕÞÎÙÍ ÒÕËÏ×ÏÄÉÔÅÌÅÍ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÉ ëÏÎ Å×ÉÞÁ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ÒÁÂÏÔÁÀÝÉÊ × âÏÎÎÅ äÏÎ úÁÇÉÒ, ÎÏ ÓÁÍ ëÏÎ Å×ÉÞ ÎÁÚ×ÁÌ Ó×ÏÉÍÉ ÕÞÉÔÅÌÑÍÉ (ÒÉ ÎÁÇÒÁÖÄÅÎÉÉ ÅÇÏ ÒÅÍÉÅÊ å×ÒÏÅÊÓËÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÝÅÓÔ×Á ÍÏÌÏÄÙÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍ ÎÁ ÅÒ×ÏÍ å×ÒÏÅÊÓËÏÍ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ëÏÎÇÒÅÓÓÅ 1992 ÇÏÄÁ × ðÁÒÉÖÅ) é. í. çÅÌØÆÁÎÄÁ, à. é. íÁÎÉÎÁ, ÷. é. áÒÎÏÌØÄÁ. ðÏÚÖÅ ëÏÎ Å×ÉÞ ÏÄÞÅÒËÉ×ÁÌ, ËÁË ÍÎÏÇÏÍÕ ÏÎ ÎÁÕÞÉÌÓÑ ÔÁËÖÅ Õ ÂÏÌÅÅ ÍÏÌÏÄÙÈ ÍÏÓËÏ×ÓËÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×: á. çÏÎÞÁÒÏ×Á, á. âÅÊÌÉÎÓÏÎÁ, ÷. á. çÉÎÚÂÕÒÇÁ, â. æÅÊÇÉÎÁ, í. ëÁÒÁÎÏ×Á É Õ ÍÎÏÇÉÈ ÄÒÕÇÉÈ. ïÄÎÁÖÄÙ × íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ éÎÓÔÉÔÕÔÅ íÁËÓÁ ðÌÁÎËÁ × âÏÎÎÅ ÄÉÒÅËÔÏÒ éÎÓÔÉÔÕÔÁ, ÒÏÆÅÓÓÏÒ æ. èÉÒ ÅÂÒÕÈ (ÉÎÏÓÔÒÁÎÎÙÊ ÞÌÅÎ òáî É ÏÄÉÎ ÉÚ ÓÁÍÙÈ ÚÎÁÍÅÎÉÔÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× ÎÁÛÅÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ), ÓÒÏÓÉÌ ÍÅÎÑ: ÏÞÅÍÕ ÜÔÏ ëÏÎ Å×ÉÞ ÄÏ ÓÉÈ ÏÒ ÎÅ ÚÁÝÉÔÉÌ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÉ? äÁ×ÁÊÔÅ ÚÁ×ÔÒÁ ÕÓÔÒÏÉÍ ÚÁÝÉÔÕ | úÁÇÉÒ, Ñ É ÷Ù ÓÏÓÔÁ×ÉÍ ÖÀÒÉ, ×ÓÅ ÍÙ ÈÏÒÏÛÏ ÚÎÁÅÍ ÅÇÏ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÅ ÒÁÂÏÔÙ É ÎÁÉÛÅÍ ÏÔÚÙ×Ù. îÏ ÞÅÒÅÚ Ä×Á ÄÎÑ ÏÓÌÅ ÚÁÝÉÔÙ íÁËÓÉÍ ÇÏ×ÏÒÉÔ: ÚÎÁÅÔÅ, Á ÒÁÂÏÔÁ-ÔÏ Ï ÕÚÌÁÈ ÂÙÌÁ ÎÅ×ÅÒÎÁÑ! ÏÌØËÏ ÞÔÏ ÉÚ çÁÒ×ÁÒÄÁ ÒÉÛÅÌ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒ âÁÒ îÁÔÁÎÁ, ÏÎ ÒÁ× | ÍÏÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ÄÌÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÷ÁÓÉÌØÅ×Á ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÅÒÎÏÊ! éÓÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÏÛÉÂËÉ ÚÁÎÑÌÏ ÅÝÅ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÄÎÅÊ; ÉÓÒÁ×ÌÅÎÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ×ÅÒÎÁ, ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÞÔÉ ÔÁË ÖÅ, ËÁË É ÉÓÈÏÄÎÁÑ ÎÅ×ÅÒÎÁÑ (ËÏÔÏÒÁÑ ÒÏÓÔÏ ÒÅÛÁÅÔ ÎÅÍÎÏÇÏ ÄÒÕÇÕÀ ÚÁÄÁÞÕ). ÷ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ âÏÎÎÁ ×ÓÅ ÜÔÉ ×ÏÌÎÅÎÉÑ ÎÅ ÉÍÅÌÉ ÎÉËÁËÏÇÏ ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÄÌÑ Ï ÅÎËÉ ÒÁÂÏÔ ëÏÎ Å×ÉÞÁ: ×ÓÅÍ ÂÙÌÏ ÑÓÎÏ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙ É ÞÔÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÎÅÌÅÏ ÔÒÅÂÏ×ÁÔØ ÏÔ ÎÅÇÏ ÔÒÁÔÉÔØ ×ÒÅÍÑ ÎÁ ÏÆÏÒÍÌÅÎÉÅ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÉ É ÎÕÄÎÙÅ ÂÀÒÏËÒÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÒÏ ÅÄÕÒÙ. ñ ×ÓÅÇÄÁ ×ÓÏÍÉÎÁÀ ÜÔÕ ÚÁÝÉÔÕ, ËÏÇÄÁ ÓÔÁÌËÉ×ÁÀÓØ Ó ÎÁÛÉÍÉ ÍÏÓËÏ×ÓËÉÍÉ ÏÒÑÄËÁÍÉ. ÅÅÒØ, ËÏÇÄÁ ×ÓÅ ÍÏÓËÏ×ÓËÉÅ ÚÁÒÌÁÔÙ ÓÔÁÌÉ ÎÅÒÁÚÌÉÞÉÍÙÍÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÁÌÙÍÉ, ÍÎÏÇÉÅ ÔÁÌÁÎÔÌÉ×ÅÊÛÉÅ ÍÏÌÏÄÙÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÒÅÄÏÞÉÔÁÀÔ ÎÅ ÔÒÁÔÉÔØ ×ÒÅÍÑ ÎÁ ÂÀÒÏËÒÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÒÏ ÅÄÕÒÙ ÏÆÏÒÍÌÅÎÉÑ É ÚÁÝÉÔÙ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÊ É ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÎÅÏÓÔÅÅÎÅÎÎÙÍÉ; ×ÙÓ×ÏÂÏÄÉ×ÛÅÅÓÑ ×ÒÅÍÑ ÏÎÉ ÉÓÏÌØÚÕÀÔ ÄÌÑ ÎÏ×ÙÈ ÏÔËÒÙÔÉÊ. éÍÅÎÎÏ Ë ÜÔÏÊ ËÁÔÅÇÏÒÉÉ ÍÏÌÏÄÙÈ ÍÏÓËÏ×ÓËÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ É íÁËÓÉÍ ëÏÎ Å×ÉÞ. ðÏÒÁÚÉÔÅÌØÎÏ, ÞÔÏ ÉÄÅÉ ÏÄÎÏÇÏ ÒÏÉÓÈÏÖÄÅÎÉÑ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍ ÒÅÛÁÔØ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅ ÓÈÏÄÎÙÅ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ ÎÁ ×ÉÄ ÚÁÄÁÞÉ. ðÏÓÔÒÏÅÎÎÁÑ ëÏÎ Å×ÉÞÅÍ ÔÅÏÒÉÑ ÏÚ×ÏÌÉÌÁ ÅÍÕ ÄÁÔØ Ñ×ÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÷ÁÓÉÌØÅ×Á ÕÚÌÏ×, ÎÏ É ÄÌÑ Ë×ÁÎÔÏ×ÁÎÉÑ

13

æÉÌÄÓÏ×ÓËÁÑ ÍÅÄÁÌØ | íÁËÓÉÍÕ ëÏÎ Å×ÉÞÕ

y ∞ x ∞

òÉÓ. 7. ÷ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ É ËÏÍÌÅËÓÎÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ

ÓËÏÂÏË ðÕÁÓÓÏÎÁ. þÌÅÎÙ ÒÑÄÏ×, ×ÙÒÁÖÁÀÝÉÈ ÔÁËÏÅ Ë×ÁÎÔÏ×ÁÎÉÅ, ÎÕÍÅÒÕÀÔÓÑ ÇÒÁÆÁÍÉ. ëÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ, Ó ËÏÔÏÒÙÍ × ÒÑÄ ×ÈÏÄÉÔ ÄÁÎÎÙÊ ÞÌÅÎ, ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ Ï ËÏÎÆÉÇÕÒÁ ÉÏÎÎÏÍÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÍÕ ÉÚ ×ÌÏÖÅÎÉÊ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ × ÌÏÓËÏÓÔØ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ. ðÏÄÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÕÖÎÏ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÔØ, ÏÒÁÚÉÔÅÌØÎÏ ÏÈÏÖÅ ÎÁ ÏÄÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ÄÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÷ÁÓÉÌØÅ×Á ÕÚÌÏ×, É ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÔØ × ÏÂÏÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ Ï ËÏÎÆÉÇÕÒÁ ÉÏÎÎÏÍÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ. úÁÄÁÞÁ Ï ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÉ Ë×ÁÎÔÏ×ÁÎÉÑ ÓËÏÂÏË ðÕÁÓÓÏÎÁ (Ô. Å. ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÉ) | ÏÄÎÁ ÉÚ ÓÔÁÒÅÊÛÉÈ ÚÁÄÁÞ Ë×ÁÎÔÏ×ÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ËÏÔÏÒÁÑ ×ÏÚÎÉËÌÁ | × ÓÌÅÇËÁ ÄÒÕÇÏÊ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ | ×ÍÅÓÔÅ Ó Ë×ÁÎÔÏ×ÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÏÊ (Ô. Å. ÕÖ ÎÉËÁË ÎÅ ÏÚÖÅ ÔÒÉÄ ÁÔÙÈ ÇÏÄÏ×). ðÒÉ ÜÔÏÍ ÄÏ ÒÁÂÏÔÙ ëÏÎ Å×ÉÞÁ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÎÅ ÂÙÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ ÉÍ Ñ×ÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ Ë×ÁÎÔÏ×ÁÎÉÑ, ÎÏ ÏÄ×ÅÒÇÁÌÏÓØ ÓÏÍÎÅÎÉÀ É ÓÁÍÏ ÅÇÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ. âÙÔØ ÍÏÖÅÔ, ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÑÒËÉÅ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÑ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ Ó×ÑÚÁÎÙ Ó ÉÄÅÑÍÉ Ë×ÁÎÔÏ×ÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ÏÌÑ, ÒÏÎÉÚÙ×ÁÀÝÉÍÉ ÓÔÏÌØ ÒÁÚÎÙÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÎÁÕËÉ, ËÁË ÔÅÏÒÉÑ ÞÉÓÅÌ, ÔÅÏÒÉÑ ÞÅÔÙÒÅÈÍÅÒÎÙÈ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÊ, ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ É ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÁÑ ÔÏÏÌÏÇÉÑ (Ô. Å. ÔÏÏÌÏÇÉÑ ÆÁÚÏ×ÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÉ). ëÏÎ Å×ÉÞÕ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ É ÚÄÅÓØ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ, ÏÚ×ÏÌÉ×ÛÉÅ ÒÅÛÉÔØ ÔÒÕÄÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ. õÖÅ × Ó×ÏÅÊ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÉ ÏÎ ÄÏËÁÚÁÌ ÏÒÁÚÉÔÅÌØÎÕÀ ÇÉÏÔÅÚÕ ÁÍÅÒÉËÁÎÓËÏÇÏ ÆÉÚÉËÁ ü. ÷ÉÔÔÅÎÁ, Ó×ÑÚÁ×ÛÕÀ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÍÏÄÕÌÅÊ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ËÒÉ×ÙÈ Ó ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ ÓÏ ÚÎÁÍÅÎÉÔÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ëÏÒÔÅ×ÅÇÁ { ÄÅ æÒÉÚÁ ÔÅÏÒÉÉ ÍÅÌËÏÊ ×ÏÄÙ. áÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ËÒÉ×ÙÅ | ÜÔÏ ËÒÉ×ÙÅ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÙÅ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÍÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ, ×ÒÏÄÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÏÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ x2 + y2 = (ÒÉÓ. 7). ëÏÍÌÅËÓÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ ÏÄÏÂÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ, ÏÂÒÁÚÕÀÔ × ÌÏÓËÏÓÔÉ Ä×ÕÈ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ (x; y) (Ô. Å. × ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÞÅÔÙÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å) ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ Ä×ÕÍÅÒÎÕÀ ÒÉÍÁÎÏ×Õ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ. îÁÒÉÍÅÒ, €ËÏÍÌÅËÓÎÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔ؁, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÔÅÍ ÖÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ, ÞÔÏ É ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ, ÎÏ Ó ËÏÍÌÅËÓÎÙÍÉ x É y, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ Ó ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÉÌÉÎÄÒ. äÏÂÁ×ÌÑÑ Ä×Å €ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ-ÕÄÁÌÅÎÎÙŁ ÔÏÞËÉ, ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÏÌÕÞÁÀÔ ÒÉÍÁÎÏ×Õ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÕÀ ÏÂÙÞÎÏÊ ÓÆÅÒÅ. âÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÍ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÑÍ. îÁÒÉÍÅÒ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÔÒÅÔØÅÊ ÓÔÅÅÎÉ y2 = x3 + ax + b ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÔÏÒÁ |

14

÷. é. áÒÎÏÌØÄ

y

x

òÉÓ. 8. ÷ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ É ËÏÍÌÅËÓÎÁÑ ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ ËÒÉ×ÁÑ

g=3

òÉÓ. 9. ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ÒÏÄÁ ÔÒÉ (ÓÆÅÒÁ Ó ÔÒÅÍÑ ÒÕÞËÁÍÉ)

ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÊ ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ËÒÉ×ÏÊ, ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÉÇÒÁÅÔ ÒÅÛÁÀÝÕÀ ÒÏÌØ × ÎÅÄÁ×ÎÅÍ ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÎÁÍÅÎÉÔÏÊ ÒÏÂÌÅÍÙ æÅÒÍÁ, ÄÁÎÎÏÍ ÁÎÇÌÉÊÓËÉÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÍ á. õÁÊÌÓÏÍ (ÒÉÓ. 8). ðÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÒÉ×ÁÑ ÍÏÖÅÔ ×ÙÒÏÖÄÁÔØÓÑ. îÁÒÉÍÅÒ, ÔÏÒ, ÚÁÄÁÎÎÙÊ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÍ ×ÙÛÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ÔÒÅÔØÅÊ ÓÔÅÅÎÉ, ×ÙÒÏÖÄÁÅÔÓÑ × ÓÆÅÒÕ ÒÉ 4a3 − 27b2 = 0 (ËÏÇÄÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ËÒÁÔÎÙÅ ËÏÒÎÉ). ÷ÓÅ ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ËÒÉ×ÙÅ (×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ) Ó ÔÏÏÌÏÇÉÅÊ ÓÆÅÒÙ ÏÄÉÎÁËÏ×Ù (ÅÒÅ×ÏÄÑÔÓÑ ÄÒÕÇ × ÄÒÕÇÁ ×ÚÉÍÎÏÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÍÉ ËÏÍÌÅËÓÎÏ-ÇÌÁÄËÉÍÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍÉ). îÏ ÔÏÒÏ× (Á ÔÁËÖÅ É ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÈ ËÒÉ×ÙÈ ÒÏÄÁ g, ÏÌÕÞÁÅÍÙÈ ÉÚ ÓÆÅÒÙ ÒÉËÌÅÉ×ÁÎÉÅÍ g ÒÕÞÅË; ÄÌÑ ÔÏÒÁ g = 1) ÍÎÏÇÏ (ÒÉÓ. 9). ÷ÓÅ ËÒÉ×ÙÅ ÒÏÄÁ g ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÏÄÉÎÁËÏ×Ù, ÎÏ ÏÎÉ ÒÁÚÌÉÞÁÀÔÓÑ ËÏÍÌÅËÓÎÙÍÉ ÓÔÒÕËÔÕÒÁÍÉ: ÏÄÎÕ ÍÏÖÎÏ ÏÔÏÂÒÁÚÉÔØ ÇÌÁÄËÏ ÎÁ ÄÒÕÇÕÀ × ÓÍÙÓÌÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÎÏ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅ × ÓÍÙÓÌÅ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÒÉ×ÙÈ ÒÏÄÁ g ÉÍÅÅÔ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ 6g − 6 ÒÉ g > 1 É 2 ÒÉ g = 1. üÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÉÍÅÅÔ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ ËÏÍÌÅËÓÎÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ, É ÅÇÏ ËÏÍÌÅËÓÎÁÑ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÒÁ×ÎÁ 3g − 3 ÒÉ g > 1 É 1 ÒÉ g = 1, 0 ÒÉ g = 0. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ËÌÁÓÓÏ× ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÈ ËÒÉ×ÙÈ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÍÏÄÕÌÅÊ ËÒÉ×ÙÈ. üÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÅ ËÏÍÁËÔÎÏ: ÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ ËÒÉ×ÏÊ ÏÎÁ ÍÏÖÅÔ ×ÙÒÏÖÄÁÔØÓÑ (× ÜÔÏÔ ÍÏÍÅÎÔ ÒÏÄ g ÕÍÅÎØÛÁÅÔÓÑ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÔÏÒ ÍÏÖÅÔ ×ÙÒÏÄÉÔØÓÑ × ÓÆÅÒÕ). ëÏÎ Å×ÉÞÕ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ×ÁÖÎÅÊÛÅÅ ÏÎÑÔÉÅ ÓÔÁÂÉÌØÎÏÇÏ

15

æÉÌÄÓÏ×ÓËÁÑ ÍÅÄÁÌØ | íÁËÓÉÍÕ ëÏÎ Å×ÉÞÕ

÷ÅËÔÏÒÎÏÅ ÏÌÅ Ó Ä×ÕÍÑ ÏÓÏÂÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ ÎÁ ÓÆÅÒÅ

òÉÓ. 10.

÷ÅËÔÏÒÎÏÅ ÏÌÅ ÂÅÚ ÏÓÏÂÙÈ ÔÏÞÅË ÎÁ ÔÏÒÅ

òÉÓ. 11.

ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ Ó ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ × ËÏÍÌÅËÓÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÏÚ×ÏÌÉ×ÛÅÅ ÒÁ×ÉÌØÎÏ ËÏÍÁËÔÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÔØ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ (ÕÔÅÍ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÑ €ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ-ÕÄÁÌÅÎÎÙȁ ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÈ ËÒÉ×ÙÈ) É ÚÁÔÅÍ ÒÉÍÅÎÉÔØ Ë ÏÌÕÞÅÎÎÏÍÕ ËÏÍÁËÔÎÏÍÕ (ÈÏÔÑ É ÎÅ ÓÏ×ÓÅÍ ÇÌÁÄËÏÍÕ) ËÏÍÌÅËÓÎÏÍÕ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÀ ÍÏÇÕÞÉÅ ÍÅÔÏÄÙ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ. ðÒÏÓÔÅÊÛÉÊ ÒÉÍÅÒ ÚÄÅÓØ | ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÓÆÅÒ Ó ÞÅÔÙÒØÍÑ (ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍÉ) ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ. üÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏ ÓÆÅÒÏÊ ÂÅÚ ÔÒÅÈ ÔÏÞÅË (ËÏÔÏÒÙÍÉ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ 0,1 É ∞ ÎÁ ÓÆÅÒÅ òÉÍÁÎÁ). äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÒ×ÙÅ ÔÒÉ ÔÏÞËÉ ÍÏÖÎÏ ÏÍÅÓÔÉÔØ × 0,1 É ∞ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÏÄÈÏÄÑÝÅÇÏ ÄÒÏÂÎÏ-ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÓÆÅÒÙ òÉÍÁÎÁ (ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÇÏ ËÏÍÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ z × (az + b)=( z + d)). þÅÔ×ÅÒÔÁÑ ÔÏÞËÁ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÔÏÇÄÁ ËÌÁÓÓ ÓÆÅÒÙ Ó ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ. ðÒÉ ËÏÍÁËÔÉÆÉËÁ ÉÉ ÓÆÅÒÙ ÂÅÚ ÔÒÅÈ ÔÏÞÅË ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÒÏÓÔÏ ÏÂÙÞÎÁÑ ÓÆÅÒÁ. ÷ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ ÇÌÁÄËÉÅ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑ ËÌÁÓÓÉÆÉ ÉÒÕÀÔÓÑ ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÉÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× | ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÈ ÞÉÓÅÌ. ðÒÏÓÔÅÊÛÉÍ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ üÊÌÅÒÁ (ÉÌÉ ÜÊÌÅÒÏ×Á ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÁ), ÉÚÍÅÒÑÀÝÁÑ ÒÅÑÔÓÔ×ÉÑ Ë ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÎÉÇÄÅ ÎÅ ÉÓÞÅÚÁÀÝÅÊ ÄÅÆÏÒÍÁ ÉÉ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑ. äÅÆÏÒÍÁ ÉÑ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ×ÅËÔÏÒÎÙÍ ÏÌÅÍ ÎÁ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÉ (ÒÉÓ. 10), ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÍ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÓËÏÒÏÓÔØ ÅÅ Ä×ÉÖÅÎÉÑ. ðÒÉ ÏÙÔËÅ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÏÌÅ ÎÁ ÓÆÅÒÅ (ÉÌÉ ÎÁ ÌÀÂÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÒÏÄÁ ÂÏÌØÛÅÇÏ ÅÄÉÎÉ Ù) ÍÙ ÏÂÎÁÒÕÖÉ×ÁÅÍ, ÞÔÏ ÏÌÅ ÂÅÚ ÏÓÏÂÙÈ ÔÏÞÅË ÏÓÔÒÏÉÔØ ÎÅ ÕÄÁÅÔÓÑ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÅ (ÓÞÉÔÁÅÍÏÅ ÓÏ ÚÎÁËÁÍÉ) ÞÉÓÌÏ ÏÓÏÂÙÈ ÔÏÞÅË ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÝÉÍ ÏÔ ÏÌÑ, ÎÏ ÚÁ×ÉÓÑÝÉÍ ÌÉÛØ ÏÔ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑ. îÁÒÉÍÅÒ, ÎÁ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÓÆÅÒÙ Ó g ÒÕÞËÁÍÉ ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ ÒÁ×ÎÏ 2 − 2g. äÌÑ ÔÏÒÁ (g = 1) ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ ÒÁ×ÎÏ ÎÕÌÀ. é ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÔÏÒ ÍÏÖÎÏ ÓÄ×ÉÇÁÔØ Ï ÓÅÂÅ ÂÅÚ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÈ ÔÏÞÅË (ÒÉÓ. 11). îÁ ÓÆÅÒÅ ÞÉÓÌÏ ÏÓÏÂÙÈ ÔÏÞÅË ÌÀÂÏÇÏ ÏÌÑ (ÓÞÉÔÁÅÍÙÈ ÓÏ ÚÎÁËÁÍÉ) ÒÁ×ÎÏ Ä×ÕÍ. ðÏÌÅ ÒÏ×ÎÏ Ó Ä×ÕÍÑ ÏÓÏÂÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 10. þÉÓÌÏ ÏÓÏÂÙÈ ÔÏÞÅË ÏÌÑ (ÓÞÉÔÁÅÍÙÈ ÓÏ ÚÎÁËÁÍÉ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÉÍÅÎÎÏ ÏÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÏÎÏ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÏÌÑ É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÏÊ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑ. ëÒÏÍÅ ÜÊÌÅÒÏ×ÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ, ÉÍÅÀÔÓÑ É ÄÒÕÇÉÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ÞÉÓÌÁ. ïÎÉ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÂÏÌÅÅ ÉÌÉ ÍÅÎÅÅ ÔÁËÉÍ ÖÅ ÓÏÓÏÂÏÍ (ÇÒÕÂÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÏÌÅÊ ÂÅÒÅÔÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ É ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÉÎÁÞÅ).

16

÷. é. áÒÎÏÌØÄ

÷ ÏÉÓÁÎÎÏÍ ×ÙÛÅ ÒÏÓÔÅÊÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑ ÍÏÄÕÌÅÊ ÓÆÅÒ Ó ÞÅÔÙÒØÍÑ ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÞÉÓÌÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÊÌÅÒÏ×Á ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÁ (ÒÁ×ÎÁÑ Ä×ÕÍ), ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÌÅÍ | ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÅ ÓÆÅÒÅ ÏÌÅ, ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÀÝÅÅ ÓËÏÒÏÓÔØ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÞÅÔ×ÅÒÔÏÊ ÔÏÞËÉ (ÒÉ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÅÅ ÏÌÏÖÅÎÉÑÈ). åÓÌÉ ×ÍÅÓÔÏ ÞÅÔÙÒÅÈ ÔÏÞÅË ×ÚÑÔØ ÂÏÌØÛÅ ÉÌÉ ×ÍÅÓÔÏ ÓÆÅÒÙ ×ÚÑÔØ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ ÂÏÌØÛÅÇÏ ÒÏÄÁ, ÔÏ ×ÏÚÎÉËÎÅÔ ÍÎÏÇÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÈ ÞÉÓÅÌ, ÏÂÏÂÝÁÀÝÉÈ ÜÊÌÅÒÏ×Õ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÕ ÓÆÅÒÙ. äÌÑ ÏÉÓÁÎÉÑ ×ÓÅÈ ÜÔÉÈ ÞÉÓÅÌ ÷ÉÔÔÅÎ ÒÅÄÌÏÖÉÌ ÏÓÔÒÏÉÔØ Ï ÎÉÍ ÆÕÎË ÉÀ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÉÈ × ËÁÞÅÓÔ×Å ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÓÔÅÅÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ (ÏÓÌÅ ÏÄÈÏÄÑÝÅÊ ÎÏÒÍÉÒÏ×ËÉ). íÅÖÄÕ ÞÁÓÔÎÙÍÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÍÉ ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÂÙÌÏ ÜËÓÅÒÉÍÅÎÔÁÌØÎÏ ÏÂÎÁÒÕÖÅÎÏ ÓÔÒÁÎÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ut = 6uux + uxxx: üÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÂÙÌÏ ÚÁ ÓÔÏ ÌÅÔ ÄÏ ÔÏÇÏ ÏÂÎÁÒÕÖÅÎÏ ä. ëÏÒÔÅ×ÅÇÏÍ É ç. ÄÅ æÒÉÚÏÍ × ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÄÒÕÇÏÊ ÔÅÏÒÉÉ | × ÔÅÏÒÉÉ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÉÑ ×ÏÌÎ ÎÁ ÍÅÌËÏ×ÏÄØÅ. ïÄÎÏ ÉÚ ÏÒÁÚÉÔÅÌØÎÙÈ ÏÔËÒÙÔÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÏÓÌÅÄÎÉÈ ÄÅÓÑÔÉÌÅÔÉÊ (Õ ÉÓÔÏËÏ× ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÔÏÑÔ ÏÙÔËÉ ü. æÅÒÍÉ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ËÏÍØÀÔÅÒ ÄÌÑ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ É ÒÏ×ÅÒËÉ ÇÉÏÔÅÚ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÉÚÉËÉ) ÓÏÓÔÏÉÔ × ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ €×ÏÌÎÅ ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÏÇρ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÉÚÉËÉ. ïÔËÒÙÔÉÅ ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÙÈ Ó×ÑÚÅÊ ÍÅÖÄÕ ÒÁÚÎÏÒÏÄÎÙÍÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÔÅÏÒÉÑÍÉ ÉÇÒÁÅÔ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÔÁËÕÀ ÖÅ ÒÏÌØ, ËÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÏÔËÒÙÔÉÅ ÓÈÏÄÓÔ×Á ÍÅÖÄÕ ×ÏÓÔÏÞÎÙÍ ÂÅÒÅÇÏÍ áÍÅÒÉËÉ É ÚÁÁÄÎÙÍ ÂÅÒÅÇÏÍ áÆÒÉËÉ (ÒÉ×ÅÄÛÅÅ Ë ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÇÌÏÂÁÌØÎÏÊ ÔÅËÔÏÎÉËÅ ÌÉÔ3) ). ÷ ÓÌÕÞÁÅ Ó×ÑÚÉ ÍÅÖÄÕ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÍÏÄÕÌÅÊ ËÒÉ×ÙÈ Ó ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ÔÅÏÒÉÉ ÍÅÌËÏ×ÏÄØÑ, ÒÏÌØ ÇÌÏÂÁÌØÎÏÊ ÔÅËÔÏÎÉËÉ ÉÇÒÁÅÔ Ë×ÁÎÔÏ×ÁÑ ÇÒÁ×ÉÔÁ ÉÑ. ïÄÎÁËÏ ÆÉÚÉË ÷ÉÔÔÅÎ (ËÓÔÁÔÉ, ÔÏÖÅ ÕÄÏÓÔÏÅÎÎÙÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍÉ æÉÌÄÓÏ×ÓËÏÊ ÍÅÄÁÌÉ) ÎÅ ÄÏËÁÚÁÌ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÜÔÏÊ Ó×ÑÚÉ, Á ÌÉÛØ ÏÄÍÅÔÉÌ ÅÅ (ÞÔÏ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÔÏÖÅ ÏÞÅÎØ ×ÁÖÎÏ É × ÓÌÕÞÁÅ ÇÅÏÌÏÇÉÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ×ËÌÁÄÕ ÷ÅÇÅÎÅÒÁ). äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÇÉÏÔÅÚÙ ÷ÉÔÔÅÎÁ (ÏÔÒÅÂÏ×Á×ÛÅÅ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÂÏÌØÛÏÊ ÎÏ×ÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÏÒÉÉ) | ÚÁÓÌÕÇÁ í. ëÏÎ Å×ÉÞÁ. äÏÓÔÉÖÅÎÉÑ ëÏÎ Å×ÉÞÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÅÊÛÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ × ÒÑÄÅ ÎÅÄÁ×ÎÉÈ ÒÁÂÏÔ, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÀ ÅÝÅ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ×ÁÖÎÅÊÛÉÈ ÚÁÄÁÞ ÉÚ ÒÁÚÎÙÈ ÏÂÌÁÓÔÅÊ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ïÄÎÏÊ ÉÚ ÔÁËÉÈ ÚÁÄÁÞ Ñ×ÉÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÇÉÏÔÅÚÙ €ÚÅÒËÁÌØÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉɁ, ×ÙÄ×ÉÎÕÔÏÊ ÆÉÚÉËÁÍÉ. üÔÁ ÇÉÏÔÅÚÁ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÕÄÉ×ÉÔÅÌØÎÕÀ Ó×ÑÚØ Ä×ÕÈ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ (É ÎÁ ÅÒ×ÙÊ, É ÎÁ ×ÔÏÒÏÊ ×ÚÇÌÑÄ) ÏÂÌÁÓÔÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ïÄÎÁ ÉÚ ÏÂÌÁÓÔÅÊ | ÜÔÏ ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ, Ô. Å. ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÁÑ ÍÅÈÁÎÉËÁ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÈ ËÏÎÓÅÒ×ÁÔÉ×ÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ (ÂÅÚ ÄÉÓÓÉÁ ÉÉ ÜÎÅÒÇÉÉ). äÒÕÇÁÑ ÏÂÌÁÓÔØ | ÔÅÏÒÉÑ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÊ (ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÙÈ ÏÂÏÂÝÅÎÉÊ ÒÉÍÁÎÏ×ÙÈ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ, Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÛÌÁ ÒÅÞØ ×ÙÛÅ). ñ×ÌÅÎÉÅ ÚÅÒËÁÌØÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÏÄÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ó×ÑÚÁÎÎÏÊ Ó ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÅÊ ÄÒÕÇÏÇÏ. óÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÜÔÏÇÏ ×ÔÏÒÏÇÏ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÉ ÜÔÏÍ Ó×ÑÚÁÎÎÏÊ ÔÁËÉÍ ÖÅ ÏÂÒÁÚÏÍ Ó ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÅÊ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ. 3) éÓÔÏËÏÍ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÓÌÕÖÉÌÁ ÔÅÏÒÉÑ ÄÒÅÊÆÁ ÍÁÔÅÒÉËÏ× ÎÅÍÅ ËÏÇÏ ÇÅÏÆÉÚÉËÁ ÷ÅÇÅÎÅÒÁ (1880 { 1930), ÓÏÚÄÁ×ÛÅÇÏ ÅÅ × 1912 Ç.

æÉÌÄÓÏ×ÓËÁÑ ÍÅÄÁÌØ | íÁËÓÉÍÕ ëÏÎ Å×ÉÞÕ

17

òÉÓ. 12. îÅÏÄ×ÉÖÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ËÏÌØ Á × ÓÅÂÑ

íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÔÅÏÒÉÑ ÜÔÏÇÏ Ñ×ÌÅÎÉÑ ÓÏÚÄÁÎÁ ÄÒÕÇÉÍ ×ÏÓÉÔÁÎÎÉËÏÍ ÍÏÓËÏ×ÓËÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÛËÏÌÙ, á. â. çÉ×ÅÎÔÁÌÅÍ (ËÏÔÏÒÏÍÕ Ñ ÂÙ ÔÏÖÅ ÒÉÓÕÄÉÌ æÉÌÄÓÏ×ÓËÕÀ ÍÅÄÁÌØ), ÎÙÎÅ ÒÁÂÏÔÁÀÝÉÍ × âÅÒËÌÉ. ïÎ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌ, ÓÒÅÄÉ ÒÏÞÅÇÏ, ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÑ ëÏÎ Å×ÉÞÁ. äÒÕÇÏÊ ÓÅÎÓÁ ÉÅÊ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÇÏÄÁ Ñ×ÉÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï (ÎÅÓËÏÌØËÉÍÉ ÇÒÕÁÍÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×, ÒÁÂÏÔÁÀÝÉÈ × ÒÁÚÎÙÈ ÓÔÒÁÎÁÈ) ÓÔÁÒÙÈ (1965) ÇÉÏÔÅÚ Ï ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÈ ÔÏÞËÁÈ ÓÉÍÌÅËÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ×, Ô. Å. Ï ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÈ Ä×ÉÖÅÎÉÑÈ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ (ÎÁÒÉÍÅÒ, × ÎÅÂÅÓÎÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÅ ÉÌÉ × ÔÅÏÒÉÉ ÕÓËÏÒÉÔÅÌÅÊ). ÅÏÒÉÑ ÓÔÁÂÉÌØÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ËÒÉ×ÙÈ, ÏÓÔÒÏÅÎÎÁÑ ëÏÎ Å×ÉÞÅÍ ÒÁÄÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÇÉÏÔÅÚÙ ÷ÉÔÔÅÎÁ, ÏËÁÚÁÌÁÓØ ÏÌÅÚÎÅÊÛÉÍ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÍ ÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ ÒÉ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÉ ÜÔÏÇÏ ×ÏÒÏÓÁ ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ. ÏÔ ÆÁËÔ, ÞÔÏ ËÏÍÌÅËÓÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÏÌÅÚÎÙÊ ÉÎÓÔÒÕÍÅÎÔ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ×ÏÒÏÓÏ× ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ, ÂÙÌ ×ÅÒ×ÙÅ ÏÂÎÁÒÕÖÅÎ ÌÅÎÉÎÇÒÁÄÓËÉÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÍ í. ì. çÒÏÍÏ×ÙÍ, ÎÙÎÅ ÒÁÂÏÔÁÀÝÉÍ ×Ï æÒÁÎ ÉÉ. Ï, ÞÔÏ ÏÎ | ÎÅ ÆÉÌÄÓÏ×ÓËÉÊ ÌÁÕÒÅÁÔ, ×ÓÅÇÄÁ ÍÅÎÑ ÕÄÉ×ÌÑÌÏ. äÕÍÁÀ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÏÂßÑÓÎÑÅÔÓÑ ÒÉÞÉÎÁÍÉ ÎÅ ÎÁÕÞÎÏÇÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÁ (ÓÙÇÒÁÌÏ ÒÏÌØ, ÞÔÏ òÏÓÓÉÑ ÎÅ ÏÄÄÅÒÖÁÌÁ ÒÏÓÓÉÊÓËÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ çÒÏÍÏ×Á; ÆÉÌÄÓÏ×ÓËÉÊ ËÏÍÉÔÅÔ ×ÓÅÇÄÁ ÂÙÌ ÏÞÅÎØ ÏÌÉÔÉÚÉÒÏ×ÁÎ, ËÁË ÜÔÏ É ÏÉÓÁÎÏ × ÎÅÄÁ×ÎÏ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÅÍÕÁÒÁÈ ÞÌÅÎÁ ÜÔÏÇÏ ËÏÍÉÔÅÔÁ, ÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ÁÎÔÉÓÅÍÉÔÁ É ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ì. ó. ðÏÎÔÒÑÇÉÎÁ). ðÒÏÓÔÅÊÛÉÊ ÒÉÍÅÒ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÈ ÔÏÞËÁÈ × ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ ÂÙÌ ÕËÁÚÁÎ ÅÝÅ ðÕÁÎËÁÒÅ (× ÅÇÏ ÏÓÍÅÒÔÎÏÊ €ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÏÒÅÍŁ): ÅÓÌÉ ËÒÕÇÏ×ÏÅ ËÏÌØ Ï ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÏ ÎÁ ÓÅÂÑ ÔÁË, ÞÔÏ ÇÒÁÎÉÞÎÙÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ Ï×ÏÒÁÞÉ×ÁÀÔÓÑ × ÒÁÚÎÙÅ ÓÔÏÒÏÎÙ, Á ÌÏÝÁÄÉ ÏÂÌÁÓÔÅÊ ÓÏÈÒÁÎÑÀÔÓÑ, ÔÏ ÔÁËÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÎÅ ÍÅÎÅÅ Ä×ÕÈ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÈ ÔÏÞÅË (ÒÉÓ. 12). îÅÂÏÌØÛÏÅ ÒÁÚÍÙÛÌÅÎÉÅ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÆÁËÔ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÅÊ ÔÅÏÒÅÍÙ: ÓÏÈÒÁÎÑÀÝÅÅ ÌÏÝÁÄÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÔÏÒÁ × ÓÅÂÑ ÉÍÅÅÔ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÔÒÅÈ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÈ ÔÏÞÅË, ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÎÅ ÓÄ×ÉÇÁÅÔ Ó ÍÅÓÔÁ € ÅÎÔÒ ÔÑÖÅÓÔɁ ÔÏÒÁ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÞÉÓÌÏ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÈ ÔÏÞÅË ÄÁÖÅ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÞÅÔÙÒÅÈ, ÅÓÌÉ

18

÷. é. áÒÎÏÌØÄ

z

1

2

3

4 òÉÓ. 13. æÕÎË ÉÑ ×ÙÓÏÔÙ ÎÁ ÔÏÒÅ É ÅÅ ÞÅÔÙÒÅ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ

ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÅ ÔÏÞËÉ (× ËÏÔÏÒÙÈ ÓÌÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÈ ÔÏÞÅË) Ó ÉÈ ËÒÁÔÎÏÓÔÑÍÉ. þÉÓÌÁ 3 É 4 ÚÄÅÓØ | ÜÔÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÅ ÞÉÓÌÁ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÈ ÔÏÞÅË (ÓÞÉÔÁÑ É ÍÁËÓÉÍÕÍÙ, É ÍÉÎÉÍÕÍÙ, É ÓÅÄÌÁ É Ô. .) ÇÌÁÄËÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÎÁ ÔÏÒÅ (ÉÈ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÞÅÔÙÒÅÈ, ÅÓÌÉ ÓÞÉÔÁÔØ Ó ËÒÁÔÎÏÓÔÑÍÉ, É ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÔÒÅÈ ÉÚ ÎÉÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙ). îÁÕËÁ Ï ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÈ ÔÏÞËÁÈ ÇÌÁÄËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÅÏÒÉÅÊ íÏÒÓÁ { ìÀÓÔÅÒÎÉËÁ { ûÎÉÒÅÌØÍÁÎÁ Ï ÉÍÅÎÉ ÁÍÅÒÉËÁÎÓËÏÇÏ (í. íÏÒÓ) É ÒÏÓÓÉÊÓËÉÈ (ì. á. ìÀÓÔÅÒÎÉË É ì. ç. ûÎÉÒÅÌØÍÁÎ) ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×, ÏÌÕÞÉ×ÛÉÈ Ï ÅÎËÉ ÓÎÉÚÕ ÄÌÑ ÞÉÓÅÌ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÈ ÔÏÞÅË ÌÀÂÏÊ ÆÕÎË ÉÉ (ÎÁ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÉÌÉ ÎÁ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÉ ÂÏÌØÛÅÇÏ ÞÉÓÌÁ ÉÚÍÅÒÅÎÉÊ) ÞÅÒÅÚ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ | ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ ÞÉÓÌÁ ü. âÅÔÔÉ × ÓÌÕÞÁÅ ÔÅÏÒÉÉ íÏÒÓÁ. îÁÒÉÍÅÒ, ÓÕÍÍÁ ÞÉÓÅÌ âÅÔÔÉ ÔÏÒÁ ÒÁ×ÎÁ ÞÅÔÙÒÅÍ, ÏÜÔÏÍÕ ÆÕÎË ÉÑ ÎÁ ÔÏÒÅ ÉÍÅÅÔ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÞÅÔÙÒÅÈ (ÕÞÉÔÙ×ÁÑ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ) ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÈ ÔÏÞÅË (ÒÉÓ. 13). çÉÏÔÅÚÙ ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ, Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÛÌÁ ÒÅÞØ, ÕÔ×ÅÒÖÄÁÀÔ, ÞÔÏ ÔÏÞÎÏ ÔÁËÉÅ ÖÅ Ï ÅÎËÉ ÓÎÉÚÕ, ËÁË ÄÌÑ ÞÉÓÌÁ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÈ ÔÏÞÅË ÇÌÁÄËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ, ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù É ÄÌÑ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÈ ÔÏÞÅË ÓÉÍÌÅËÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÆÁÚÏ×ÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÍÉ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÉ. üÔÉ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÉÌÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÅ ÏÒÂÉÔÙ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ €ÆÕÎË ÉɁ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÍ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÉ. óÔÁÂÉÌØÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ëÏÎ Å×ÉÞÁ (×ÍÅÓÔÅ Ó ÔÅÏÒÉÅÊ çÒÏÍÏ×Á É ÅÇÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌÅÊ) ÏÔËÒÙ×ÁÀÔ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÕÀ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÉÑ ÔÅÏÒÉÉ íÏÒÓÁ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ × ÓÉÔÕÁ ÉÉ, ÇÄÅ (ËÁË É × Ë×ÁÎÔÏ×ÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ÏÌÑ, ÄÌÑ ÎÕÖÄ ËÏÔÏÒÏÊ ÜÔÉ ÓÔÁÂÉÌØÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÂÙÌÉ ÉÚÏÂÒÅÔÅÎÙ) ÏÂÙÞÎÁÑ ÔÅÈÎÉËÁ ×ÁÒÉÁ ÉÏÎÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ É ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ ÎÅ ÒÁÂÏÔÁÅÔ. åÝÅ ÔÒÉ ÎÅÄÁ×ÎÉÅ ÒÁÂÏÔÙ ëÏÎ Å×ÉÞÁ ÔÁËÖÅ ÄÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÙÅ Ó×ÑÚÉ ÍÅÖÄÕ ÓÏ×ÓÅÍ ÒÁÚÎÙÍÉ ÏÂÌÁÓÔÑÍÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ðÅÒÅËÌÁÄÙ×ÁÎÉÑ ÏÔÒÅÚËÏ× |

æÉÌÄÓÏ×ÓËÁÑ ÍÅÄÁÌØ | íÁËÓÉÍÕ ëÏÎ Å×ÉÞÕ

19

òÉÓ. 14. ðÅÒÅËÌÁÄÙ×ÁÎÉÅ ÔÒÅÈ ÏÔÒÅÚËÏ×

ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÊ ÒÉÍÅÒ × ÔÅÏÒÉÉ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÉÈ ÓÉÓÔÅÍ, ÅÒÅÍÅÛÉ×ÁÎÉÑ É €ÈÁÏÓÁ. òÁÚÏÂßÅÍ ÏÔÒÅÚÏË ÎÁ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÞÁÓÔÅÊ, ÅÒÅÓÔÁ×ÉÍ ÉÈ × ËÁËÏÍ-ÌÉÂÏ ÏÒÑÄËÅ É ÓÎÏ×Á ÓËÌÅÉÍ × ÏÔÒÅÚÏË. ðÏ×ÔÏÒÑÑ ÜÔÕ ÒÏ ÅÄÕÒÕ ÍÎÏÇÏ ÒÁÚ, ÍÙ ÚÁÓÔÁ×ÉÍ ËÁÖÄÕÀ ÔÏÞËÕ ÏÔÒÅÚËÁ ÂÌÕÖÄÁÔØ Ï ÎÅÍÕ ÂÏÌÅÅ ÉÌÉ ÍÅÎÅÅ ÈÁÏÔÉÞÅÓËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ (ÒÉÓ. 14). íÏÓËÏ×ÓËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË á. ÷. úÏÒÉÞ (ÓÅÊÞÁÓ ÒÁÂÏÔÁÀÝÉÊ × òÅÎÎÅ, × âÒÅÔÁÎÉ) ÏÂÎÁÒÕÖÉÌ × ËÏÍØÀÔÅÒÎÙÈ ÜËÓÅÒÉÍÅÎÔÁÈ ÏÒÁÚÉÔÅÌØÎÙÅ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉÅ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÜÔÏÇÏ ÅÒÅÍÅÛÉ×ÁÎÉÑ. üÔÉ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏËÁÚÁÌÉÓØ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍÉ × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÏÅ Ï×ÅÄÅÎÉÅ ÏÔËÌÏÎÅÎÉÊ ÏÔ ÓÒÅÄÎÉÈ ÏËÁÚÁÌÏÓØ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÝÉÍ ÏÔ ÄÌÉÎ ÏÔÒÅÚËÏ× ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ (ÒÉ ÏÞÔÉ ÌÀÂÏÍ ÉÈ ×ÙÂÏÒÅ), ÈÏÔÑ É ÓÉÌØÎÏ ÚÁ×ÉÓÑÝÉÍ ÏÔ ×ÉÄÁ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÞÁÓÔÅÊ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ É ÏÔ ÞÉÓÌÁ ÒÁÚÒÅÚÁÎÉÊ. áÎÁÌÉÚÉÒÕÑ ×ÍÅÓÔÅ Ó úÏÒÉÞÅÍ ÜÔÉ ÁÓÉÍÔÏÔÉËÉ, ëÏÎ Å×ÉÞ ÏÂÎÁÒÕÖÉÌ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÔÅÓÎÅÊÛÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ Ó×ÑÚÁÎÙ Ó ÇÅÏÍÅÔÒÉÅÊ (6g −6)-ÍÅÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÍÏÄÕÌÅÊ ÒÉÍÁÎÏ×ÙÈ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ ÏÄÈÏÄÑÝÅÇÏ ÒÏÄÁ g, Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ ×ÙÛÅ. üÔÁ Ó×ÑÚØ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÏÒÁÚÉÔÅÌØÎÁ, ÄÁÖÅ ÅÓÌÉ ÕÞÅÓÔØ, ÞÔÏ ÅÒÅËÌÁÄÙ×ÁÎÉÑ ÂÙÌÉ ××ÅÄÅÎÙ (× 1963 Ç.) ÉÍÅÎÎÏ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÍÏÄÅÌÉ ÄÌÑ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÜÒÇÏÄÉÞÅÓËÉÈ Ó×ÏÊÓÔ× ÓÅ×ÄÏÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÈ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÉÈ ÓÉÓÔÅÍ, ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍÉ ×ÅËÔÏÒÎÙÍÉ ÏÌÑÍÉ ÎÁ ÒÉÍÁÎÏ×ÙÈ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÑÈ ÒÏÄÁ g, ÂÏÌØÛÅÇÏ ÅÄÉÎÉ Ù. üÔÏ ÂÙÌÁ ÏÄÎÁ ÉÚ ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÓÅ×ÄÏÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ | ÍÏÌÏÄÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ÎÁÕËÉ, ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÊ ÄÌÑ ÔÅÏÒÉÉ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ ü. æÅÒÍÉ × ÆÉÚÉËÅ Ô×ÅÒÄÏÇÏ ÔÅÌÁ ÂÙÌÏ ×ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ ÏÂÎÁÒÕÖÅÎÏ × ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÈ ÒÁÂÏÔÁÈ ÕÞÉÔÅÌÑ á. ÷. úÏÒÉÞÁ, ÍÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ó. ð. îÏ×ÉËÏ×Á, ÆÉÌÄÓÏ×ÓËÏÇÏ ÍÅÄÁÌÉÓÔÁ 1970 Ç. óÔÏÌØ ÖÅ ÏÒÁÚÉÔÅÌØÎÁ ÎÅÄÁ×ÎÏ ÏÔËÒÙÔÁÑ í. ëÏÎ Å×ÉÞÅÍ (×ÍÅÓÔÅ Ó ÍÏÓËÏ×ÓËÉÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÍ à. í. óÕÈÏ×ÙÍ, ÎÙÎÅ ÒÁÂÏÔÁÀÝÉÍ × ëÅÍÂÒÉÄÖÅ) ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÓÔØ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÉÈ Ó×ÏÊÓÔ× ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÙÈ ÅÎÙÈ ÄÒÏÂÅÊ.

20

÷. é. áÒÎÏÌØÄ

ãÅÎÏÊ ÄÒÏÂØÀ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ×ÉÄÁ a + 1= b + 1=( + : : : ) . ÷ÏÒÏÓ Ï ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÉÈ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ (a; b; ; : : : ), ×ÈÏÄÑÝÉÈ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ × ÅÎÕÀ ÄÒÏÂØ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ, ÂÙÌ ÒÅÛÅÎ ë. æ. çÁÕÓÓÏÍ É ò. ï. ëÕÚØÍÉÎÙÍ. äÏ ÜÔÏÇÏ ×ÏÒÏÓ ÏÂÓÕÖÄÁÌÓÑ Û×ÅÄÓËÉÍ ÁÓÔÒÏÎÏÍÏÍ è. çÉÌØÄÅÎÏÍ É Û×ÅÄÓËÉÍÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍÉ á. ÷ÉÍÁÎÏÍ É . âÒÏÄÅÎÏÍ. ÷ÁÖÎÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ ×ÏÒÏÓÁ ÏÂßÑÓÎÑÅÔÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÓÔÁÔÉÓÔÉËÁ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÊ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÞÉÓÅÌ × ÅÎÙÅ ÄÒÏÂÉ ÓËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ × ÎÅÂÅÓÎÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÅ ÎÁ ÒÅÚÏÎÁÎÓÁÈ ÍÅÖÄÕ Ä×ÉÖÅÎÉÑÍÉ ÌÁÎÅÔ É ÁÓÔÅÒÏÉÄÏ×, ÂÕÄÕÞÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÄÌÑ ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÑ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔÉ ËÁË ÌÁÎÅÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ, ÔÁË É ÕÞËÏ× ÞÁÓÔÉ × ÕÓËÏÒÉÔÅÌÑÈ É ÄÁÖÅ ÌÁÚÍÙ × ÔÏËÁÍÁËÁÈ, ÕÒÁ×ÌÑÑ ÚÁÏÄÎÏ É ÏÔÏËÁÍÉ ËÏÓÍÉÞÅÓËÉÈ ÞÁÓÔÉ , ÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÚÁ ÏÌÑÒÎÙÅ ÓÉÑÎÉÑ. ëÏÎ Å×ÉÞ Ó óÕÈÏ×ÙÍ ÏÂßÑÓÎÉÌÉ, ËÁË ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÔÅÏÒÉÉ çÁÕÓÓÁ { ëÕÚØÍÉÎÁ ×ÏÒÏÓÙ Ï ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÊ ÓÔÁÔÉÓÔÉËÅ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÙÈ ÅÎÙÈ ÄÒÏÂÅÊ Ó×ÑÚÁÎÙ Ó ÇÅÏÍÅÔÒÉÅÊ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÍÏÄÕÌÅÊ ÒÅÛÅÔÏË × Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å (ÉÚÕÞÁ×ÛÅÊÓÑ, ÍÅÖÄÕ ÒÏÞÉÍ, ÄÒÕÇÉÍ ÍÏÓËÏ×ÓËÉÍ ÌÁÕÒÅÁÔÏÍ ÍÅÄÁÌÉ æÉÌÄÓÁ, ç. á. íÁÒÇÕÌÉÓÏÍ, ÎÙÎÅ ÒÁÂÏÔÁÀÝÉÍ × êÅÌØÓËÏÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ × óûá). ðÏÒÁÚÉÔÅÌØÎÏ, ÞÔÏ, × ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ çÁÕÓÓÁ, Á×ÔÏÒÙ ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÊ ÓÔÁÔÉÓÔÉËÉ, ×Ï×ÓÅ ÅÅ ÎÅ ÎÁÈÏÄÑ. ÷ÏÒÏÓ Ï Ñ×ÎÏÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÓÔÁÔÉÓÔÉËÉ ëÏÎ Å×ÉÞÁ { óÕÈÏ×Á (ÌÉÂÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÒÑÄÏ× Ï ÏÌÉÌÏÇÁÒÉÆÍÁÍ, ÌÉÂÏ ÈÏÔÑ ÂÙ ÒÑÍÙÍ ËÏÍØÀÔÅÒÎÙÍ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, Ë ËÏÔÏÒÏÍÕ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Õ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ ÔÅÏÒÉÑ ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÙÈ ÅÎÙÈ ÄÒÏÂÅÊ) ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÏËÁ ÏÔËÒÙÔÙÍ É ÖÄÅÔ ÜÎÅÒÇÉÞÎÙÈ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌÅÊ. õÏÍÑÎÕ × ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÕÀ ÒÁÂÏÔÕ ëÏÎ Å×ÉÞÁ Ó ÍÏÓËÏ×ÓËÉÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÍ ó. á. âÁÒÁÎÎÉËÏ×ÙÍ (ÎÙÎÅ ÒÁÂÏÔÁÀÝÉÍ ×Ï æÒÁÎ ÉÉ) Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ËÁÕÓÔÉË É ×ÏÌÎÏ×ÙÈ ÆÒÏÎÔÏ× ÚÁÄÁÞ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÏÔÉËÉ, ×ÁÒÉÁ ÉÏÎÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ É ÔÅÏÒÉÉ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ. üÔÁ ÒÁÂÏÔÁ ÏÂßÑÓÎÉÌÁ ÚÁÇÁÄÏÞÎÙÅ Ó×ÑÚÉ ÜÔÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ Ó ÔÅÏÒÉÅÊ ÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×ÙÈ ÓÔÒÕËÔÕÒ (ÒÁÚ×ÉÔÏÊ ÍÏÓËÏ×ÓËÉÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÍ â. á. äÕÂÒÏ×ÉÎÙÍ, ÎÙÎÅ ÒÁÂÏÔÁÀÝÉÍ × ÒÉÅÓÔÅ), ×ÙÒÏÓÛÅÊ, ÏÑÔØ-ÔÁËÉ, ÉÚ Ë×ÁÎÔÏ×ÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÁ×ÉÔÁ ÉÉ. æÒÁÎ ÕÚÙ ÏÂÙÞÎÏ ÓÒÁÚÕ ÖÅ ×ÙÂÉÒÁÀÔ Ó×ÏÉÈ ÆÉÌÄÓÏ×ÓËÉÈ ÌÁÕÒÅÁÔÏ× × áËÁÄÅÍÉÀ ÎÁÕË. ðÒÉÍÅÒ í. ëÏÎ Å×ÉÞÁ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÍÏÓËÏ×ÓËÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÛËÏÌÁ ÒÏÄÏÌÖÁÅÔ ÁËÔÉ×ÎÅÊÛÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÁÂÏÔÁÔØ, ÒÉÞÅÍ ×ÏËÒÕÇ ÔÁËÉÈ ÌÉÄÅÒÏ×, ËÁË ëÏÎ Å×ÉÞ, ÓÏÂÉÒÁÀÔÓÑ, ÎÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÇÅÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÕÀ ÒÁÚÏÂÝÅÎÎÏÓÔØ, ÂÏÌØÛÉÅ É ÓÉÌØÎÙÅ ËÏÌÌÅËÔÉ×Ù. öÁÌØ ÔÏÌØËÏ, ÞÔÏ ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÉÍÉ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÅ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÑ (ËÏÔÏÒÙÅ Ñ ÏÙÔÁÌÓÑ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÔÞÁÓÔÉ ÏÉÓÁÔØ ×ÙÛÅ) Õ ÎÁÓ ÍÁÌÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ, Á ëÏÎ Å×ÉÞ ÄÁÖÅ ÎÅ ÂÙÌ ÉÚÂÒÁÎ × òáî. 

21

îÉËÏÌÁÊ âÏÒÉÓÏ×ÉÞ ÷ÁÓÉÌØÅ×

á. á. åÇÏÒÏ× 28 ÍÁÑ 1998 ÇÏÄÁ ÓËÏÎÞÁÌÓÑ îÉËÏÌÁÊ âÏÒÉÓÏ×ÉÞ ÷ÁÓÉÌØÅ×, ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË, ×ÎÅÓÛÉÊ ÎÅÏ ÅÎÉÍÙÊ ×ËÌÁÄ × ÄÅÌÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÑ. üÔÏ ÂÙÌ ÞÅÌÏ×ÅË ÕÄÉ×ÉÔÅÌØÎÏÊ ÄÏÂÒÏÔÙ, ÏÂÁÑÎÉÑ É ÎÅÕÇÁÓÁÀÝÅÊ ÍÏÌÏÄÏÓÔÉ. ÷ÓÅ ÅÇÏ Ú×ÁÌÉ Ï ÉÍÅÎÉ | ëÏÌÑ. ëÏÌÑ ÷ÁÓÉÌØÅ× ÒÏÄÉÌÓÑ × íÏÓË×Å 8 Á×ÇÕÓÔÁ 1940 ÇÏÄÁ × ÓÅÍØÅ Ó ÇÌÕÂÏËÉÍÉ ÉÎÔÅÌÌÉÇÅÎÔÎÙÍÉ ËÏÒÎÑÍÉ. åÇÏ ÏÔÅ âÏÒÉÓ æÅÄÏÒÏ×ÉÞ ÷ÁÓÉÌØÅ× ÂÙÌ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ ÉÎÖÅÎÅÒÏÍ-ÓÔÒÏÉÔÅÌÅÍ, ÏÓÎÏ×ÁÔÅÌÅÍ ÛËÏÌÙ ÉÎÖÅÎÅÒÏ×-ÓÔÒÏÉÔÅÌÅÊ ÒÏÍÙÛÌÅÎÎÙÈ ÓÏÏÒÕÖÅÎÉÊ. âÏÒÉÓ æÅÄÏÒÏ×ÉÞ ÅÒÅÖÉÌ ÓÙÎÁ, ÏÎ ÓËÏÎÞÁÌÓÑ × ×ÏÚÒÁÓÔÅ 95 ÌÅÔ ÞÅÒÅÚ ÔÒÉ Ó ÎÅÂÏÌØÛÉÍ ÍÅÓÑ Á ÏÓÌÅ ÅÇÏ ÓÍÅÒÔÉ. íÁÔØ ëÏÌÉ, îÉÎÁ îÉËÏÌÁÅ×ÎÁ ìÅÓÓÉÇ, ÔÁËÖÅ ÂÙÌÁ ÉÎÖÅÎÅÒÏÍ-ÓÔÒÏÉÔÅÌÅÍ, ËÁÎÄÉÄÁÔÏÍ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÈ ÎÁÕË. î. â. ÷ÁÓÉÌØÅ× ÒÏÄÉÌÓÑ É ÒÏÖÉÌ ×ÓÀ Ó×ÏÀ ÖÉÚÎØ × ÏÄÎÏÍ ÉÚ ËÒÁÓÉ×ÅÊÛÉÈ ÕÇÏÌËÏ× íÏÓË×Ù | ÎÁ óÏÆÉÊÓËÏÊ ÎÁÂÅÒÅÖÎÏÊ, ÒÑÍÏ ÎÁÒÏÔÉ× ëÒÅÍÌÑ. åÇÏ ÄÅÔÓÔ×Ï ÒÏÛÌÏ ÓÒÅÄÉ ËÎÉÇ, × ËÒÕÇÕ ÛÉÒÏËÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÈ ÌÀÄÅÊ, ÌÀÂÑÝÉÈ É ÇÌÕÂÏËÏ ÚÎÁÀÝÉÈ ÉÓËÕÓÓÔ×Ï, ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÍÕÚÙËÕ. ÷ ÔÒÁÄÉ ÉÑÈ ÜÔÏÊ ÓÅÍØÉ ÓÏÈÒÁÎÑÌÁÓØ ÄÁÖÅ ÔÁËÁÑ ÄÉËÏ×ÉÎËÁ ÄÌÑ ÎÁÛÅÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ, ËÁË ÄÏÍÁÛÎÅÅ ÍÕÚÉ ÉÒÏ×ÁÎÉÅ. ÷ÓÑ ÏÂÓÔÁÎÏ×ËÁ ÓÅÍØÉ É ÓÅÍÅÊÎÏÅ ÏËÒÕÖÅÎÉÅ ÒÉ×ÉÌÉ ëÏÌÅ ÂÅÚÕÒÅÞÎÙÊ ×ËÕÓ É ÔÏÎËÏÅ ÏÎÉÍÁÎÉÅ ËÒÁÓÏÔÙ. ïÎ ÅÎÉÌ ËÒÁÓÏÔÕ É × ÉÓËÕÓÓÔ×Å, É × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, Õ×ÌÅÞÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÉÛÌÏ Ë ÎÅÍÕ × ÓÔÁÒÛÉÈ ËÌÁÓÓÁÈ. ëÏÌÑ ÚÁÎÉÍÁÌÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ, ÎÅ ÉÓÙÔÙ×ÁÑ ÏÓÔÏÒÏÎÎÅÇÏ ×ÌÉÑÎÉÑ, ÎÅ ÏÓÅÝÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ËÒÕÖËÉ É ÎÅ ÕÞÁÓÔ×ÕÑ × ÏÌÉÍÉÁÄÁÈ. úÁËÏÎÞÉ× Ó ÓÅÒÅÂÒÑÎÏÊ ÍÅÄÁÌØÀ ÛËÏÌÕ × 1957 ÇÏÄÕ É ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÍÕÚÙËÁÌØÎÏÅ ÕÞÉÌÉÝÅ ÒÉ íÏÓËÏ×ÓËÏÊ ËÏÎÓÅÒ×ÁÔÏÒÉÉ, ÏÎ ÏËÁÚÁÌÓÑ ÅÒÅÄ ×ÙÂÏÒÏÍ | ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÉÌÉ ÍÕÚÙËÁ. ðÏÂÅÄÉÌÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ, É ëÏÌÑ ÓÔÁÌ ÓÔÕÄÅÎÔÏÍ ÅÒ×ÏÇÏ ËÕÒÓÁ ÍÅÈÁÎÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÆÁËÕÌØÔÅÔÁ íçõ. ÷ÓÅ ÑÔØ ÌÅÔ ÏÎ ÕÞÉÌÓÑ ÂÌÅÓÔÑÝÅ. ïËÏÎÞÉ× ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ × 1962 ÇÏÄÕ, ÏÎ ÓÒÁÚÕ ÖÅ ÏÓÔÕÉÌ × ÁÓÉÒÁÎÔÕÒÕ ÍÅÈÍÁÔÁ íçõ, Á ÏÓÌÅ ÏËÏÎÞÁÎÉÑ ÁÓÉÒÁÎÔÕÒÙ ÓÔÁÌ ÒÁÂÏÔÁÔØ × ÍÅÖÆÁËÕÌØÔÅÔÓËÏÊ ÌÁÂÏÒÁÔÏÒÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÍÅÔÏÄÏ× × ÂÉÏÌÏÇÉÉ íçõ, ÇÄÅ É ÔÒÕÄÉÌÓÑ ÄÏ ÏÓÌÅÄÎÉÈ ÄÎÅÊ Ó×ÏÅÊ ÖÉÚÎÉ. ëÒÕÖËÉ É ÏÌÉÍÉÁÄÙ

îÁÞÉÎÁÑ Ó 1 ËÕÒÓÁ, ëÏÌÑ ×ËÌÀÞÉÌÓÑ × ÒÁÂÏÔÕ ïÒÇËÏÍÉÔÅÔÁ íÏÓËÏ×ÓËÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÙ. é Ó ÔÅÈ ÏÒ ×ÓÅ ÇÏÄÙ (ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ 1980 { 87 ÇÇ.) ÏÎ ÂÙÌ ÓÒÅÄÉ ÏÒÇÁÎÉÚÁÔÏÒÏ× ÏÌÉÍÉÁÄ. ïÎ ÒÉÄÕÍÙ×ÁÌ ÚÁÄÁÞÉ, ÕÞÁÓÔ×Ï×ÁÌ × ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ×ÁÒÉÁÎÔÏ×, ÒÏ×ÅÒËÅ ÒÁÂÏÔ, ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÉ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× É ÒÉÓÕÖÄÅÎÉÉ ÒÅÍÉÊ. ï ÔÏÍ, ËÁË ÜÔÏ ÒÏÉÓÈÏÄÉÌÏ, ÏÞÅÎØ ÈÏÒÏÛÏ É ÑÒËÏ ÎÁÉÓÁÎÏ × ËÎÉÇÁÈ [7℄ É [8℄. íÏÌÏÄÙÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ (ÓÔÕÄÅÎÔÙ É ÁÓÉÒÁÎÔÙ), Õ×ÌÅÞÅÎÎÏ ÒÁÂÏÔÁ×ÛÉÅ ÓÏ ÛËÏÌØÎÉËÁÍÉ, ×ÓÅÇÄÁ ÏÔÌÉÞÁÌÉÓØ ÂÏÌØÛÏÊ Ó×ÏÂÏÄÏÊ ×ÚÇÌÑÄÏ×, ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØÀ

22

á. á. åÇÏÒÏ×

ÓÕÖÄÅÎÉÊ É ÏÇÒÏÍÎÏÊ ÒÅÄÁÎÎÏÓÔØÀ ÎÁÕËÅ. ó×ÏÂÏÄÎÁÑ ÁÔÍÏÓÆÅÒÁ ÓÏÂÒÁÎÉÊ ÏÒÇËÏÍÉÔÅÔÁ ÏÌÉÍÉÁÄÙ, ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÅÇÏ ÏÔ ÁÄÍÉÎÉÓÔÒÁ ÉÉ ÞÁÓÔÏ ×ÙÚÙ×ÁÌÉ ÎÅÕÄÏ×ÏÌØÓÔ×ÉÅ ÁÒÔÉÊÎÏÇÏ É ËÏÍÓÏÍÏÌØÓËÏÇÏ ÎÁÞÁÌØÓÔ×Á. ïÎÏ ÏÔËÁÚÙ×ÁÌÏÓØ ÓÞÉÔÁÔØ ÏÌÉÍÉÁÄÎÕÀ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔØ ÏÂÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÒÁÂÏÔÏÊ. ïÄÉÎ ÉÚ ÔÁËÉÈ ÎÁÞÁÌØÎÉËÏ× ÒÑÍÏ ÚÁÑ×ÉÌ: €ëÁËÁÑ ÖÅ ÜÔÏ ÏÂÝÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ, ÅÓÌÉ ×Ù ÅÅ ÄÅÌÁÅÔÅ ÒÁÄÉ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÕÄÏ×ÏÌØÓÔ×ÉÑ? ÷ ÔÅ ÇÏÄÙ íÏÓËÏ×ÓËÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ ËÁË ÂÙ ÏÄ×ÏÄÉÌÁ ÉÔÏÇÉ ÒÁÂÏÔÙ ÛËÏÌØÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ËÒÕÖËÏ× ÒÉ íçõ × ÔÅÞÅÎÉÅ ÕÞÅÂÎÏÇÏ ÇÏÄÁ [7℄. òÕËÏ×ÏÄÉÌÉ ËÒÕÖËÁÍÉ ÓÔÕÄÅÎÔÙ É ÁÓÉÒÁÎÔÙ, ÍÎÏÇÉÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÔÁÌÉ ÎÙÎÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÅÊÛÉÍÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍÉ. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÚ×ÁÔØ ÷. é. áÒÎÏÌØÄÁ, á. á. ëÉÒÉÌÌÏ×Á, î. î. ëÏÎÓÔÁÎÔÉÎÏ×Á, á. í. ïÌÅ×ÓËÏÇÏ, ä. â. æÕËÓÁ. ðÏÞÔÉ ×ÓÅ ÕÞÁÓÔÎÉËÉ ËÒÕÖËÏ× ÏÞÉÔÁÌÉ Ó×ÏÉ ÄÏÌÇÏÍ Ñ×ÉÔØÓÑ ÎÁ ÏÌÉÍÉÁÄÕ É ÄÏÂÉÔØÓÑ ÔÁÍ ÕÓÅÈÁ. ðÏ ÏËÏÎÞÁÎÉÉ ÏÌÉÍÉÁÄÙ ËÒÕÖËÏ× Ù ÏÄÓÞÉÔÙ×ÁÌÉ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÅÍÉÊ É ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÌÉ ÕÓÅÈÉ Ó×ÏÅÇÏ ËÒÕÖËÁ Ó ÕÓÅÈÁÍÉ €ËÏÎËÕÒÅÎÔÏׁ. ïÓÅÎØÀ 1958 ÇÏÄÁ ëÏÌÑ ÎÁÞÁÌ ×ÍÅÓÔÅ Ó Á×ÔÏÒÏÍ ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÉ ×ÅÓÔÉ ÏÄÎÕ ÉÚ ÓÅË ÉÊ ÛËÏÌØÎÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ËÒÕÖËÁ. ëÒÕÖÏË ÏËÁÚÁÌÓÑ ÓÉÌØÎÙÍ. ÷Ï ×ÓÑËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÏÎ ÈÏÒÏÛÏ ×ÙÓÔÕÁÌ ÎÁ ÏÌÉÍÉÁÄÁÈ, ÍÎÏÇÉÅ ÉÚ ÅÇÏ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÓÔÁÌÉ ×ÅÓØÍÁ ÕÓÅÛÎÏ ÒÁÂÏÔÁÀÝÉÍÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍÉ. üÔÏ ó. çÅÌØÆÁÎÄ, ò. úÉÇÁÎÇÉÒÏ×, ä. ëÁÖÄÁÎ, á. ëÁÔÏË, é. ä. îÏ×ÉËÏ× É ÄÒÕÇÉÅ. ***

***

âÉÏÇÒÁÆÉÑ ëÏÌÉ ÷ÁÓÉÌØÅ×Á Ó 1958 ÄÏ 1979 ÇÏÄÁ ÎÅÏÔÄÅÌÉÍÁ ÏÔ ÉÓÔÏÒÉÉ ÎÅ ÔÏÌØËÏ íÏÓËÏ×ÓËÉÈ, ÎÏ É ÷ÓÅÒÏÓÓÉÊÓËÉÈ, Á ÚÁÔÅÍ ÷ÓÅÓÏÀÚÎÙÈ ÏÌÉÍÉÁÄ. ðÏÄÒÏÂÎÏ Ó ÉÓÔÏÒÉÅÊ ÏÌÉÍÉÁÄ ÍÏÖÎÏ ÏÚÎÁËÏÍÉÔØÓÑ Ï ÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÀ Ë ËÎÉÇÅ €úÁÄÁÞÉ ÷ÓÅÓÏÀÚÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÌÉÍÉÁā [6℄. òÁÂÏÔÁ × ïÒÇËÏÍÉÔÅÔÅ íÏÓËÏ×ÓËÏÊ, Á ÚÁÔÅÍ × ÖÀÒÉ É ÍÅÔÏÄÉÞÅÓËÏÊ ËÏÍÉÓÓÉÉ ÷ÓÅÒÏÓÓÉÊÓËÏÊ É ÷ÓÅÓÏÀÚÎÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄ ÓÂÌÉÚÉÌÁ ëÏÌÀ ÷ÁÓÉÌØÅ×Á Ó ×ÅÌÉÞÁÊÛÉÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÍ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÓÔÉ á. î. ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×ÙÍ. áÎÄÒÅÊ îÉËÏÌÁÅ×ÉÞ ÄÏÌÇÉÅ ÇÏÄÙ ×ÏÚÇÌÁ×ÌÑÌ ÍÅÔÏÄÉÞÅÓËÉÅ ËÏÍÉÓÓÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÌÉÍÉÁÄ É ÎÅÏÄÎÏËÒÁÔÎÏ ÒÕËÏ×ÏÄÉÌ ÖÀÒÉ ïÌÉÍÉÁÄÙ. ëÏÌÅ ÏÓÞÁÓÔÌÉ×ÉÌÏÓØ ÎÅ ÒÁÚ ÂÙÔØ ÚÁÍÅÓÔÉÔÅÌÅÍ áÎÄÒÅÑ îÉËÏÌÁÅ×ÉÞÁ. ó ÓÅÒÅÄÉÎÙ 60-È ÇÏÄÏ× ãÅÎÔÒÁÌØÎÙÊ ÏÒÇËÏÍÉÔÅÔ ÷ÓÅÓÏÀÚÎÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÙ ÒÁÓÓÙÌÁÌ × ÏÂÌÁÓÔÉ É ÒÅÓÕÂÌÉËÉ ÂÒÏÛÀÒÙ Ó ÚÁÄÁÞÁÍÉ, ÒÅËÏÍÅÎÄÏ×ÁÎÎÙÍÉ ÄÌÑ ÏÂÌÁÓÔÎÙÈ É ÒÅÓÕÂÌÉËÁÎÓËÉÈ ÏÌÉÍÉÁÄ. íÎÏÇÉÅ ÔÁËÉÅ ÏÄÂÏÒËÉ ÂÙÌÉ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÙ î. â. ÷ÁÓÉÌØÅ×ÙÍ. üÔÏ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÎÅ ÚÎÁÞÉÔ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÚÁÄÁÞÉ ÂÙÌÉ ÉÍ ÒÉÄÕÍÁÎÙ. åÇÏ Á×ÔÏÒÓÔ×Ï | × ÉÈ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ. üÔÏ ÂÙÌ ÏÇÒÏÍÎÙÊ ÔÒÕÄ. ÷ ÏÄÂÏÒËÁÈ ÓÏÄÅÒÖÁÌÉÓØ ÏÒÉÇÉÎÁÌØÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ ÒÁÚÎÙÈ ÕÒÏ×ÎÅÊ | ÏÔ ÌÅÇËÉÈ ÄÏ ×ÅÓØÍÁ ÔÒÕÄÎÙÈ. óÒÅÄÉ ÚÁÄÁÞ ÂÙÌÉ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÁÌÇÅÂÒÅ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÎÅ ÚÁÂÙ×ÁÌÁÓØ É ÔÒÁÄÉ ÉÏÎÎÁÑ €ÏÌÉÍÉÁÄÎÁс ÔÅÍÁÔÉËÁ. ðÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ×Ï ×ÓÅÈ ÏÂÌÁÓÔÑÈ É ÒÅÓÕÂÌÉËÁÈ óóóò ÎÁ ÏÌÉÍÉÁÄÁÈ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ ÚÁÄÁÞÉ ÉÚ ÜÔÉÈ ÏÄÂÏÒÏË. íÎÅ ËÁÖÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÏÌÅÚÎÏ ÓÏÂÒÁÔØ ×ÍÅÓÔÅ ÜÔÉ ÍÁÌÅÎØËÉÅ ÂÒÏÛÀÒÙ É ÉÚÄÁÔØ ÉÈ ÏÔÄÅÌØÎÏÊ ËÎÉÖËÏÊ. öÕÒÎÁÌ €ë×ÁÎԁ

÷ 1970 ÇÏÄÕ á. î. ëÏÌÍÏÇÏÒÏ× ÓÔÁÌ ÅÒ×ÙÍ ÚÁÍÅÓÔÉÔÅÌÅÍ ÇÌÁ×ÎÏÇÏ ÒÅÄÁËÔÏÒÁ ÖÕÒÎÁÌÁ €ë×ÁÎԁ, Á ëÏÌÑ | ÞÌÅÎÏÍ ÒÅÄËÏÌÌÅÇÉÉ É ÒÕËÏ×ÏÄÉÔÅÌÅÍ ÒÁÚÄÅÌÁ €úÁÄÁÞÎÉË ë×ÁÎÔÁ | ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÇÌÁ×ÎÙÈ É, ÏÖÁÌÕÊ, ÓÁÍÙÈ ÚÎÁÍÅÎÉÔÙÈ ÒÁÚÄÅÌÏ× ÜÔÏÇÏ ÖÕÒÎÁÌÁ.

23

îÉËÏÌÁÊ âÏÒÉÓÏ×ÉÞ ÷ÁÓÉÌØÅ×

îÁÄÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÉÄÅÑ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÏÕÌÑÒÎÏÇÏ ÆÉÚÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÖÕÒÎÁÌÁ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ× ÒÏÄÉÌÁÓØ ÅÝÅ × ÓÅÒÅÄÉÎÅ 60-È ÇÏÄÏ× × ËÏÌÌÅËÔÉ×Å ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× É ÆÉÚÉËÏ×, ÏÂßÅÄÉÎÉ×ÛÉÈÓÑ ×ÏËÒÕÇ ÏÌÉÍÉÁÄÙ. ëÏÌÑ ÷ÁÓÉÌØÅ× ÂÙÌ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÓÁÍÙÈ ÎÁÓÔÏÊÞÉ×ÙÈ É ÕÏÒÎÙÈ ÓÔÏÒÏÎÎÉËÏ× ÜÔÏÊ ÉÄÅÉ, ÔÁË ÞÔÏ ÓÏÚÄÁÎÉÅ €ë×ÁÎÔÁ | ÜÔÏ ×Ï ÍÎÏÇÏÍ É ÅÇÏ ÚÁÓÌÕÇÁ. ëÁË ÒÕËÏ×ÏÄÉÔÅÌØ €úÁÄÁÞÎÉËÁ ë×ÁÎÔÁ, ÏÎ ÒÉÄÕÍÙ×ÁÅÔ ÚÁÄÁÞÉ, ÒÉÞÅÍ ÅÇÏ ÚÁÄÁÞÉ ×ÙÄÅÌÑÀÔÓÑ ÏÔÔÏÞÅÎÎÏÓÔØÀ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÏË É ÒÅÛÅÎÉÊ, ÇÌÕÂÉÎÏÊ É Ó×ÑÚÑÍÉ Ó €ÂÏÌØÛÏʁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ. ïÌÉÍÉÁÄÙ É ÚÁÎÑÔÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ ÂÙÌÉ ÔÏÇÄÁ ÄÅÌÏÍ ÒÅÓÔÉÖÎÙÍ, É ÏÞÅÎØ ÍÎÏÇÉÅ ÛËÏÌØÎÉËÉ, ÓÔÕÄÅÎÔÙ, ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÉ ÒÉÓÙÌÁÌÉ × ÒÅÄÁË ÉÀ ÒÉÄÕÍÁÎÎÙÅ ÉÍÉ ÚÁÄÁÞÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÎ ÉÍÅÅÔ ÄÅÌÏ Ó ÏÇÒÏÍÎÏÊ ÏÞÔÏÊ. åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÉÚ ÒÉÓÙÌÁÅÍÙÈ ÚÁÄÁÞ ÂÙÌÉ, ÓËÁÖÅÍ ÔÁË, ÎÅ ÏÒÉÇÉÎÁÌØÎÙ É ÍÁÌÏ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙ. ïÄÎÁËÏ ÓÒÅÄÉ ÎÉÈ ÏÁÄÁÌÉÓØ É ×ÏÌÎÅ ÄÏÓÔÏÊÎÙÅ ×ÎÉÍÁÎÉÑ. ëÏÌÑ ËÁË ÎÉËÔÏ ÍÏÇ €ÏÂÒÁÂÏÔÁÔ؁ ÚÁÄÁÞÕ, ÎÁÊÔÉ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÒÉ×ÌÅËÁÔÅÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ, ÏÂÎÁÒÕÖÉÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÏÂÏÂÝÅÎÉÑ É ÄÁÌØÎÅÊÛÅÅ ÒÁÚ×ÉÔÉÅ ÓÀÖÅÔÁ ÚÁÄÁÞÉ (ÏÞÅÎØ ÞÁÓÔÏ ÚÁÄÁÞÉ €úÁÄÁÞÎÉËÁ ÓÏÓÔÏÑÔ ÉÚ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÕÎËÔÏ×, ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÕÓÌÏÖÎÑÀÝÉÈ É ÒÁÚ×É×ÁÀÝÉÈ ÆÁÂÕÌÕ ÚÁÄÁÞÉ). îÁËÏÎÅ , ÞÁÓÔÏ ÂÙ×ÁÌÏ ÔÁË, ÞÔÏ Á×ÔÏÒÓËÉÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ×ÏÌÎÅ ÈÏÒÏÛÉÈ ÚÁÄÁÞ ÏËÁÚÙ×ÁÌÉÓØ ÂÅÚÙÄÅÊÎÙÍÉ É, ÞÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÔÕÙÍÉ | ÎÁÒÉÍÅÒ, ÌÏÂÏ×ÏÊ ÓÞÅÔ × ÚÁÄÁÞÁÈ Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÎÅ ÏÚ×ÏÌÑÀÝÉÊ Ï-ÎÁÓÔÏÑÝÅÍÕ ÒÁÚÏÂÒÁÔØÓÑ × ÓÕÝÅÓÔ×Å ÄÅÌÁ. ðÏÓÌÅ ëÏÌÉÎÏÊ ÏÂÒÁÂÏÔËÉ ÍÎÏÇÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÓÔÁÎÏ×ÉÌÉÓØ ÎÁÓÔÏÑÝÉÍÉ ÓÏËÒÏ×ÉÝÁÍÉ (ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÏÄ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁÍÉ ÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÓÔÏÑÌÁ ÏÄÉÓØ Á×ÔÏÒÁ, ÔÁË ÞÔÏ ÕÞÁÓÔÉÅ ëÏÌÉ ÏÓÔÁ×ÁÌÏÓØ €ÚÁ ËÁÄÒḮ). ïÞÅÎØ ÍÎÏÇÉÅ ÎÁÉÓÁÎÎÙÅ ÉÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÏÒÏ×ÏÖÄÁÀÔÓÑ ËÏÍÍÅÎÔÁÒÉÅÍ É ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÎÙÍÉ ÏÔÓÙÌËÁÍÉ ÄÌÑ ÔÅÈ, ËÔÏ ÚÁÈÏÞÅÔ ÇÌÕÂÖÅ ÒÁÚÏÂÒÁÔØÓÑ × ÒÏÂÌÅÍÅ. ëÏÌÉÎÁ ÒÁÂÏÔÁ × €ë×ÁÎÔŁ ÎÅ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÌÁÓØ €úÁÄÁÞÎÉËḮ. ïÎ | Á×ÔÏÒ ÂÏÌÅÅ ÔÒÉÄ ÁÔÉ ÓÔÁÔÅÊ, ÂÅÚ ÓÏÍÎÅÎÉÑ, ×ÈÏÄÑÝÉÈ × ÞÉÓÌÏ ÌÕÞÛÉÈ ÕÂÌÉËÁ ÉÊ €ë×ÁÎÔÁ. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÎÉÈ ÓÏÂÒÁÎÙ × ×ÙÛÅÄÛÅÊ ÏÓÍÅÒÔÎÏ ËÎÉÇÅ €éÚÂÒÁÎÎÙÅ ÓÔÁÔØɁ [10℄. íÎÏÇÉÅ ÓÔÁÔØÉ ÎÁÉÓÁÎÙ ÉÍ × ÓÏÁ×ÔÏÒÓÔ×Å Ó ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍÉ. þÁÓÔÏ ÂÙ×ÁÌÏ ÔÁË, ÞÔÏ ÒÉÓÌÁÎÎÁÑ × ÒÅÄÁË ÉÀ ÓÔÁÔØÑ ÂÙÌÁ ÉÎÔÅÒÅÓÎÁ Ï ÔÅÍÅ, ÎÏ Ï ÉÓÏÌÎÅÎÉÀ ÎÉËÁË ÎÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÌÁ ÎÉ ÕÒÏ×ÎÀ €ë×ÁÎÔÁ, ÎÉ ÓÔÉÌÀ ÜÔÏÇÏ ÖÕÒÎÁÌÁ. ÷ ÔÁËÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ îÉËÏÌÁÊ âÏÒÉÓÏ×ÉÞ ÒÉÎÉÍÁÌÓÑ ÚÁ ÅÒÅÄÅÌËÕ, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÑ×ÌÑÌÁÓØ ÑÒËÁÑ, ÉÎÔÅÒÅÓÎÁÑ ÓÔÁÔØÑ. õÍÅÎÉÅ ×ÉÄÅÔØ ÇÌÁ×ÎÏÅ É ÔÏÎËÉÊ ×ËÕÓ ÓÏÞÅÔÁÌÉÓØ × ÎÅÍ Ó ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔÑÍÉ. åÇÏ ÓÔÁÔØÉ ÎÁÉÓÁÎÙ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÎÙÍ ÑÚÙËÏÍ. ëÏÌÑ ÏÂÌÁÄÁÌ ÒÅÄËÏÓÔÎÙÍ ÄÁÒÏÍ ÒÏÚÒÁÞÎÏ É ÞÅÔËÏ ÉÚÌÁÇÁÔØ ÓÁÍÙÅ ÓÌÏÖÎÙÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÓÀÖÅÔÙ. úÎÁÑ ÜÔÏ ÅÇÏ ÕÍÅÎÉÅ, ÍÎÏÇÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÒÉÎÏÓÉÌÉ × ÒÅÄÁË ÉÀ Ó×ÏÉ ÓÔÁÔØÉ É ÒÏÓÉÌÉ ëÏÌÀ ÏÍÏÞØ ÄÏ×ÅÓÔÉ ÉÈ €ÄÏ ÕÍÁ. ïÎ ÎÉËÏÇÄÁ × ÜÔÏÍ ÎÅ ÏÔËÁÚÙ×ÁÌ, Á × ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÅÒÅÉÓÙ×ÁÌ ÓÔÁÔØÀ, ÒÉÞÅÍ ÎÅÒÅÄËÏ ÅÇÏ ÒÏÌØ ÎÁÓÔÏÌØËÏ ÒÅ×ÙÛÁÌÁ ÞÉÓÔÏ ÒÅÄÁËÔÏÒÓËÕÀ, ÞÔÏ Á×ÔÏÒÙ ÓÁÍÉ ÒÏÓÉÌÉ ÅÇÏ ÓÔÁÔØ ÉÈ ÓÏÁ×ÔÏÒÏÍ. ÷ ÔÏ ÖÅ ×ÒÅÍÑ ÏÎ ÕÍÅÌ, ÎÅ ÒÉÞÉÎÑÑ ÏÂÉÄÙ, ÎÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ Ô×ÅÒÄÏ ÏÔËÌÏÎÑÔØ ÓÔÁÔØÉ × ÔÅÈ ÓÌÕÞÁÑÈ, ËÏÇÄÁ ÏÎÉ ÂÙÌÉ ÍÁÌÏÉÎÔÅÒÅÓÎÙ ÉÌÉ ÎÅÒÉÇÏÄÎÙ ÄÌÑ ÕÂÌÉËÁ ÉÉ × ÖÕÒÎÁÌÅ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×. ó ÅÒ×ÙÈ ÄÎÅÊ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ €ë×ÁÎÔÁ ÎÅ ÂÙÌÏ ÎÉ ÏÄÎÏÇÏ ËÒÕÎÏÇÏ ÓÏÂÙÔÉÑ × ÖÉÚÎÉ ÖÕÒÎÁÌÁ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÏÎ ÎÅ ÒÉÎÉÍÁÌ ÂÙ ÕÞÁÓÔÉÑ. €ë×ÁÎԁ ÂÙÌ ÅÇÏ ×ÔÏÒÙÍ ÄÏÍÏÍ, Á ÏÎ ÂÙÌ ÅÇÏ ÄÕÛÏÊ. ***

***

24

á. á. åÇÏÒÏ×

îÉËÏÌÁÊ âÏÒÉÓÏ×ÉÞ ÓÞÉÔÁÌ, ÞÔÏ × ÓÉÓÔÅÍÅ ÎÁÕÞÎÏ-ÏÕÌÑÒÎÙÈ ÉÚÄÁÎÉÊ ÄÏÌÖÅÎ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÔØ ÖÕÒÎÁÌ, ÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÙÊ Ï Ó×ÏÅÍÕ ÕÒÏ×ÎÀ ÍÅÖÄÕ €ë×ÁÎÔḮ É ÞÉÓÔÏ ÎÁÕÞÎÙÍÉ ÖÕÒÎÁÌÁÍÉ. éÍÅÎÎÏ ÏÜÔÏÍÕ ÏÎ ÓÔÁÌ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÎÉ ÉÁÔÏÒÏ× ×ÏÚÒÏÖÄÅÎÉÑ ÓÂÏÒÎÉËÏ× €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉŁ, ÂÙÌ ÄÅÒÖÁÔÅÌÅÍ ÇÒÁÎÔÁ òææé, ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÎÏÇÏ ÄÌÑ ÏÄÄÅÒÖËÉ ÜÔÏÇÏ ÉÚÄÁÎÉÑ, ×ÏÛÅÌ × ÒÅÄËÏÌÌÅÇÉÀ ÎÏ×ÏÊ ÓÅÒÉÉ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс. ÷úíû É ÄÒÕÇÉÅ ÛËÏÌÙ

÷Ï ×ÔÏÒÏÊ ÏÌÏ×ÉÎÅ 1963 ÇÏÄÁ ÎÁÞÁÌÁÓØ ÏÄÇÏÔÏ×ËÁ Ë ÓÏÚÄÁÎÉÀ ÷ÓÅÓÏÀÚÎÏÊ ÚÁÏÞÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÛËÏÌÙ. åÅ ÓÏÚÄÁÔÅÌØ é. í. çÅÌØÆÁÎÄ ÒÉ×ÌÅË Ó×ÏÅÇÏ ÁÓÉÒÁÎÔÁ ÷ÁÓÉÌØÅ×Á Ë ÒÁÚÒÁÂÏÔËÅ ÒÏÇÒÁÍÍ É ×ÓÔÕÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÚÁÄÁÎÉÑ. ó ÔÅÈ ÏÒ É ÄÏ ÏÓÌÅÄÎÉÈ ÄÎÅÊ Ó×ÏÅÊ ÖÉÚÎÉ îÉËÏÌÁÊ âÏÒÉÓÏ×ÉÞ ÂÙÌ ÂÅÚ ÒÅÕ×ÅÌÉÞÅÎÉÑ ËÌÀÞÅ×ÏÊ ÆÉÇÕÒÏÊ × ÷úíû. äÏ ÏÓÌÅÄÎÉÈ ÄÎÅÊ Ó×ÏÅÊ ÖÉÚÎÉ ÏÎ ÂÙÌ ÞÌÅÎÏÍ îÁÕÞÎÏÇÏ ÓÏ×ÅÔÁ É ÍÅÔÏÄÉÞÅÓËÏÊ ËÏÍÉÓÓÉÉ. éÍ ÎÁÉÓÁÎÙ ÄÅÓÑÔËÉ ÕÞÅÂÎÙÈ ÚÁÄÁÎÉÊ É ÂÒÏÛÀÒ, ÏÇÒÏÍÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÔÁÔÅÊ ÄÌÑ ÕÞÉÔÅÌÅÊ É ÛËÏÌØÎÉËÏ×. åÖÅÇÏÄÎÏ × ÔÅÞÅÎÉÅ 35 ÌÅÔ ÏÄ ÅÇÏ ÒÕËÏ×ÏÄÓÔ×ÏÍ ÒÁÚÒÁÂÁÔÙ×ÁÌÉÓØ ×ÓÔÕÉÔÅÌØÎÙÅ ÚÁÄÁÎÉÑ × ÷úíû. ëÎÉÇÉ îÉËÏÌÁÑ âÏÒÉÓÏ×ÉÞÁ, ÎÁÉÓÁÎÎÙÅ ÄÌÑ ÷úíû, ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÎÅ ÔÏÌØËÏ × òÏÓÓÉÉ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ËÎÉÇÁ €ðÒÑÍÙÅ É ËÒÉ×ÙŁ [4℄, ÎÁÉÓÁÎÎÁÑ ÉÍ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÷. ì. çÕÔÅÎÍÁÈÅÒÏÍ, × 1980 ÇÏÄÕ ÂÙÌÁ ÅÒÅ×ÅÄÅÎÁ ÎÁ ÁÎÇÌÉÊÓËÉÊ É ÉÓÁÎÓËÉÊ ÑÚÙËÉ ÉÚÄÁÔÅÌØÓÔ×ÏÍ €íÉҁ, Á × 1982 ÇÏÄÕ ÉÚÄÁÎÁ × þÅÈÏÓÌÏ×ÁËÉÉ ÎÁ ÞÅÛÓËÏÍ ÑÚÙËÅ. ëÎÉÇÁ î. â. ÷ÁÓÉÌØÅ×Á, ÷. ì. çÕÔÅÎÍÁÈÅÒÁ, ö. í. òÁÂÂÏÔÁ É á. ì. ÏÏÍÁ €úÁÏÞÎÙÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÌÉÍÉÁÄف [1℄ | ÒÅ×ÏÓÈÏÄÎÙÊ ÏÂÒÁÚÅ ÏÕÌÑÒÎÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×. ëÎÉÇÁ ÔÅÈ ÖÅ Á×ÔÏÒÏ× €úÁÄÁÞÉ ÕÓÔÎÏÇÏ ÜËÚÁÍÅÎÁ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËŁ [9℄ ÏËÁÚÁÌÁÓØ ÏÞÅÎØ ÕÄÁÞÎÏÊ. ÷ ÔÅÞÅÎÉÅ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÌÅÔ ÏÎÁ ÒÁÓÓÙÌÁÌÁÓØ ÕÞÅÎÉËÁÍ ÷úíû É ÓÉÌØÎÏ ÏÍÏÇÌÁ ÉÍ ÒÉ ÏÄÇÏÔÏ×ËÅ Ë ÕÓÔÎÙÍ ×ÓÔÕÉÔÅÌØÎÙÍ ÜËÚÁÍÅÎÁÍ × ×ÕÚÙ ÓÁÍÏÇÏ ×ÙÓÏËÏÇÏ ÕÒÏ×ÎÑ. ÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÏÎÁ ÏÓÌÕÖÉÌÁ ÏÂÒÁÚ ÏÍ ÄÌÑ ÄÒÕÇÉÈ Á×ÔÏÒÏ×, ÉÓÁ×ÛÉÈ ÎÁ ÜÔÕ ÔÅÍÕ. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÜÔÁ ËÎÉÇÁ Ó ÔÅÈ ÏÒ ÎÉ ÒÁÚÕ ÎÅ ÅÒÅÉÚÄÁ×ÁÌÁÓØ É ÓÅÊÞÁÓ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÒÅÚ×ÙÞÁÊÎÏÊ ÂÉÂÌÉÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÊ ÒÅÄËÏÓÔØÀ. ÷ ÔÅÞÅÎÉÅ ÍÎÏÇÉÈ ÌÅÔ îÉËÏÌÁÊ âÏÒÉÓÏ×ÉÞ ÒÉÎÉÍÁÌ ÕÞÁÓÔÉÅ ×Ï ×ÓÔÕÉÔÅÌØÎÙÈ ÜËÚÁÍÅÎÁÈ × ÛËÏÌÕ-ÉÎÔÅÒÎÁÔ ÒÉ íçõ (ÎÙÎÅ ÛËÏÌÁ ÉÍ. á. î. ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Á). ïÎ ÒÉÄÕÍÙ×ÁÌ ÚÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÜËÚÁÍÅÎÁ, ÂÙÌ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÌÕÞÛÉÈ ÄÏÂÒÏÖÅÌÁÔÅÌØÎÙÈ ÜËÚÁÍÅÎÁÔÏÒÏ×. èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ÅÒÓÅËÔÉ× ÁÂÉÔÕÒÉÅÎÔÏ×, ÄÁ×ÁÅÍÙÅ ÉÍ ÏÓÌÅ ÜËÚÁÍÅÎÁ, ÏÞÅÎØ ÔÏÞÎÙ É ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ×ÓÅÇÄÁ ÏÄÔ×ÅÒÖÄÁÌÉÓØ ÒÉ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÉÈ ÏÂÕÞÅÎÉÉ × ÛËÏÌÅ. ÷ 70-Å { 80-Å ÇÏÄÙ îÉËÏÌÁÊ âÏÒÉÓÏ×ÉÞ ÒÉÎÑÌ ÕÞÁÓÔÉÅ × ÒÁÂÏÔÅ ÍÎÏÇÉÈ ÌÅÔÎÉÈ ÛËÏÌ: ÏÄ íÏÓË×ÏÊ, × ëÁÒÅÌÉÉ, × ÁÄÖÉËÉÓÔÁÎÅ É ÄÒÕÇÉÈ. ïÎ ×ÅÌÉËÏÌÅÎÏ ÞÉÔÁÌ ÌÅË ÉÉ É ÒÏ×ÏÄÉÌ ÚÁÎÑÔÉÑ. ëÁÖÄÙÊ ÒÁÚ ÏÎ ÒÉÄÕÍÙ×ÁÌ ÓÏÓÏ ÉÚÌÏÖÅÎÉÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÕÒÏ×ÎÀ ÁÕÄÉÔÏÒÉÉ, ÎÏ ÎÅ ÎÁÎÏÓÑÝÉÊ ÕÝÅÒÂÁ ÇÌÕÂÉÎÅ É ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÀ ÌÅË ÉÉ. ñ ÎÅÏÄÎÏËÒÁÔÎÏ ÒÉÓÕÔÓÔ×Ï×ÁÌ ÎÁ ÅÇÏ ÌÅË ÉÑÈ É ×ÓÅÇÄÁ ÏÌÕÞÁÌ ÉÓÔÉÎÎÏÅ ÕÄÏ×ÏÌØÓÔ×ÉÅ ÏÔ ÍÁÓÔÅÒÓÔ×Á ÌÅËÔÏÒÁ. ÕÒÎÉÒ çÏÒÏÄÏ× É ÄÒÕÇÉÅ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÑ

÷ 1979 ÇÏÄÕ ÞÉÎÏ×ÎÉËÉ ÏÔ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÑ ÒÁÚÏÇÎÁÌÉ ×ÓÅ ÔÏÇÄÁÛÎÅÅ ÖÀÒÉ ÷ÓÅÓÏÀÚÎÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÙ. é ÔÏÇÄÁ î. î. ëÏÎÓÔÁÎÔÉÎÏ× ÒÅÄÌÏÖÉÌ ÒÏ×ÏÄÉÔØ ÎÏ×ÕÀ ÏÌÉÍÉÁÄÕ, ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÂÙÌÁ ÂÙ ÏÌÎÏÓÔØÀ × ÒÕËÁÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ

îÉËÏÌÁÊ âÏÒÉÓÏ×ÉÞ ÷ÁÓÉÌØÅ×

25

ÏÂÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ É ÎÅ ÚÁ×ÉÓÅÌÁ ÂÙ ÏÔ ÒÏÉÚ×ÏÌÁ ÞÉÎÏ×ÎÉËÏ×. ÁË ÒÏÄÉÌÓÑ ÕÒÎÉÒ çÏÒÏÄÏ× | ÎÙÎÅ ÏÄÎÏ ÉÚ ÓÁÍÙÈ Õ×ÁÖÁÅÍÙÈ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÊ × ÎÁÛÅÊ ÓÔÒÁÎÅ É ÚÁ ÒÕÂÅÖÏÍ. ðÏÄÒÏÂÎÏ Ï ÎÅÍ ÒÁÓÓËÁÚÁÎÏ × ÓÔÁÔØÅ î. î. ëÏÎÓÔÁÎÔÉÎÏ×Á €ÕÒÎÉÒ ÇÏÒÏÄÏ× É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ1) . îÉËÏÌÁÊ âÏÒÉÓÏ×ÉÞ ÓÒÁÚÕ ÖÅ ÏÄÈ×ÁÔÉÌ ÉÄÅÀ É ÓÔÁÌ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ×ÅÄÕÝÉÈ ÏÒÇÁÎÉÚÁÔÏÒÏ× ÜÔÏÇÏ ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÇÏ ÔÕÒÎÉÒÁ. éÍÅÎÎÏ ÏÎ ÓÙÇÒÁÌ ÏÓÎÏ×ÎÕÀ ÒÏÌØ × ×ÙÒÁÂÏÔËÅ ÆÏÒÍÙ ÒÏ×ÅÄÅÎÉÑ ÔÕÒÎÉÒÁ, ×Ï ÍÎÏÇÏÍ ÏÒÅÄÅÌÉÌ ÓÔÉÌØ É ÕÒÏ×ÅÎØ ÚÁÄÁÞ, ÎÅÏÄÎÏËÒÁÔÎÏ ÕÞÁÓÔ×Ï×ÁÌ × ÒÁÂÏÔÅ ÌÅÔÎÉÈ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÊ ÕÒÎÉÒÁ çÏÒÏÄÏ×. ó 1994 ÇÏÄÁ × òÏÓÓÉÉ ÒÏ×ÏÄÉÔÓÑ óÏÒÏÓÏ×ÓËÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ ÛËÏÌØÎÉËÏ× Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÆÉÚÉËÅ, ÈÉÍÉÉ É ÂÉÏÌÏÇÉÉ. îÉËÏÌÁÊ âÏÒÉÓÏ×ÉÞ ÄÏ ÏÓÌÅÄÎÉÈ ÍÅÓÑ Å× Ó×ÏÅÊ ÖÉÚÎÉ ÁËÔÉ×ÎÅÊÛÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÁÂÏÔÁÌ É × ÜÔÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÅ. ïÎ ÒÉÄÕÍÁÌ ÎÅÓËÏÌØËÏ ËÒÁÓÉ×ÙÈ ÚÁÄÁÞ, ÒÉÎÉÍÁÌ ÕÞÁÓÔÉÅ × ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× É ÒÏ×ÅÒËÅ ÒÁÂÏÔ. ÷ ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÄÅÓÑÔÉÌÅÔÉÑ ÓÔÁÌÉ ×ÅÓØÍÁ ÏÕÌÑÒÎÙÍÉ ÎÁÕÞÎÙÅ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ ÛËÏÌØÎÉËÏ×. îÉËÏÌÁÊ âÏÒÉÓÏ×ÉÞ ÎÁ ÍÎÏÇÉÈ ÔÁËÉÈ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÑÈ ÂÙÌ ÞÌÅÎÏÍ ÖÀÒÉ. åÇÏ ÓÕÄÅÊÓÔ×Ï ×ÓÅÇÄÁ ÂÙÌÏ ÄÏÂÒÏÖÅÌÁÔÅÌØÎÙÍ É ÞÅÔËÉÍ. ïÎ ×ÓÅÇÄÁ ÂÅÓÅÄÏ×ÁÌ Ó ÄÏËÌÁÄÞÉËÁÍÉ, ÏÂßÑÓÎÑÌ ÉÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ÔÅÍ ÉÈ ÄÏËÌÁÄÏ×. îÁÉÂÏÌÅÅ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÅ ÄÏËÌÁÄÙ Ï ÅÇÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÀ ÂÙÌÉ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÙ × ÖÕÒÎÁÌÅ €ë×ÁÎԁ. ÷ ÜÔÉÈ ËÒÁÔËÉÈ ÚÁÍÅÔËÁÈ ÎÉ ÓÌÏ×Á ÎÅ ÓËÁÚÁÎÏ Ï ÎÁÕÞÎÏÊ ÒÁÂÏÔÅ î. â. ÷ÁÓÉÌØÅ×Á. åÊ ÏÓ×ÑÝÅÎÁ ÓÔÁÔØÑ á. í. ìÅÏÎÔÏ×ÉÞÁ × ÜÔÏÍ ÎÏÍÅÒÅ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс2). éÚÂÒÁÎÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ î. â. ÷ÁÓÉÌØÅ×Á

ëÏÌÑ ÒÉÄÕÍÁÌ ÏÇÒÏÍÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÚÁÄÁÞ ÄÌÑ ÏÌÉÍÉÁÄ ÓÁÍÏÇÏ ÒÁÚÎÏÇÏ ÕÒÏ×ÎÑ | ÏÔ ÏÂÌÁÓÔÎÙÈ É ÒÅÓÕÂÌÉËÁÎÓËÉÈ ÄÏ íÏÓËÏ×ÓËÉÈ, ÷ÓÅÓÏÀÚÎÙÈ É ÷ÓÅÒÏÓÓÉÊÓËÉÈ. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÅÇÏ ÚÁÄÁÞ ÓÔÁÌÉ ÏÌÉÍÉÁÄÎÏÊ ËÌÁÓÓÉËÏÊ, ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÏÞÔÉ ×ÓÅÍ ÕÞÁÓÔÎÉËÁÍ É ÏÒÇÁÎÉÚÁÔÏÒÁÍ ÏÌÉÍÉÁÄ (ÒÁ×ÄÁ, ÄÁÌÅËÏ ÎÅ ×ÓÅ ÚÎÁÀÔ, ÞÔÏ ÉÈ Á×ÔÏÒ | î. â. ÷ÁÓÉÌØÅ×). úÄÅÓØ ÏÄÏÂÒÁÎÙ ÓÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÏ ÓÔÁÒÙÅ ÚÁÄÁÞÉ îÉËÏÌÁÑ âÏÒÉÓÏ×ÉÞÁ. âÏÌÅÅ ÎÏ×ÙÅ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÎÁÊÔÉ, ÚÁÇÌÑÎÕ× × €úÁÄÁÞÎÉË ë×ÁÎÔÁ. ðÒÁËÔÉÞÅÓËÉ × ËÁÖÄÏÍ ÎÏÍÅÒÅ ÖÕÒÎÁÌÁ ÅÓÔØ ÌÉÂÏ ÅÇÏ ÚÁÄÁÞÉ, ÌÉÂÏ ÎÁÉÓÁÎÎÙÅ ÉÍ ÒÅÛÅÎÉÑ, ÏÞÅÎØ ÞÁÓÔÏ ÒÁÓËÒÙ×ÁÀÝÉÅ É ÕÇÌÕÂÌÑÀÝÉÅ ÉÓÔÉÎÎÕÀ ÓÕÔØ ÚÁÄÁÞ, ÉÈ Ó×ÑÚÉ Ó ÄÒÕÇÉÍÉ ÒÏÂÌÅÍÁÍÉ. ðÒÅÄÌÁÇÁÅÍÙÅ ÚÁÄÁÞÉ ÉÍÅÀÔ ËÒÁÓÉ×ÙÅ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ É ÏÞÅÎØ ÜÌÅÇÁÎÔÎÙÅ ÏÓÔÒÏÕÍÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ. 1. (€á×ÔÏÂÕÓÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ.) k ÞÅÌÏ×ÅË ÅÈÁÌÉ × Á×ÔÏÂÕÓÅ ÂÅÚ ËÏÎÄÕËÔÏÒÁ. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÎÉ Õ ËÏÇÏ ÉÚ ÁÓÓÁÖÉÒÏ× ÎÅ ÂÙÌÏ ÍÏÎÅÔ ËÒÕÎÅÅ 20 ËÏ. éÚ×ÅÓÔÎÏ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÁÓÓÁÖÉÒ ÕÌÁÔÉÌ ÚÁ ÒÏÅÚÄ É ÏÌÕÞÉÌ ÓÄÁÞÕ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ h i ÞÉÓÌÏ ÍÏÎÅÔ, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÏÇÌÏ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÏÔÒÅÂÏ×ÁÔØÓÑ, ÒÁ×ÎÏ k + k +4 3 . (÷ 1961 ÇÏÄÕ × ÏÂÒÁÝÅÎÉÉ ÂÙÌÉ ÍÅÄÎÙÅ ÍÏÎÅÔÙ ÄÏÓÔÏÉÎÓÔ×ÏÍ × 1, 2, 3 É 5 ËÏ., Á ÔÁËÖÅ €ÓÅÒÅÂÒÑÎÙŁ | ÂÅÌÙÅ ÍÏÎÅÔÙ × 10, 15 É 20 ËÏ. ÷ Á×ÔÏÂÕÓÅ ÂÅÚ ËÏÎÄÕËÔÏÒÁ ÏÌÁÇÁÌÏÓØ ÂÒÏÓÉÔØ × ËÁÓÓÕ 5 ËÏ. × 1) 2)

íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ. í.: íãîíï, ÓÅÒ. 3, ×Ù. 1. 1997. ó. 164 { 174. CÍ. Ó. 29{32.

26

á. á. åÇÏÒÏ×

ÌÀÂÏÍ ÎÁÂÏÒÅ É ÏÔÏÒ×ÁÔØ ÂÉÌÅÔ. íÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÔÁËÖÅ ÂÒÏÓÉÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, 20 ËÏ. É ÏÔÏÒ×ÁÔØ 4 ÂÉÌÅÔÁ.) (XXIII íÏÓËÏ×ÓËÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ) 2. (€ëÏÒÏÂÏÞËÁ ÷ÁÓÉÌØÅ×Á.) ëÁË ÎÁÄÏ ÒÁÓÏÌÏÖÉÔØ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÊ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄ, ÞÔÏÂÙ ÌÏÝÁÄØ ÅÇÏ ÒÏÅË ÉÉ ÎÁ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÕÀ ÌÏÓËÏÓÔØ ÂÙÌÁ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÊ. (XXV íÏÓËÏ×ÓËÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ) 3. (€çÕÌÑÀÝÉÅ ÄÖÅÎÔÌØÍÅÎف.) ðÏ ÁÌÌÅÅ ÄÌÉÎÏÊ 100 Í ÉÄÕÔ ÔÒÉ ÄÖÅÎÔÌØÍÅÎÁ ÓÏ ÓËÏÒÏÓÔÑÍÉ 1, 2 É 3 ËÍ/Þ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. äÏÊÄÑ ÄÏ ËÏÎ Á ÁÌÌÅÉ, ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÎÉÈ Ï×ÏÒÁÞÉ×ÁÅÔ É ÉÄÅÔ ÎÁÚÁÄ Ó ÔÏÊ ÖÅ ÓËÏÒÏÓÔØÀ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÏÔÒÅÚÏË ×ÒÅÍÅÎÉ × 1 ÍÉÎ, ËÏÇÄÁ ×ÓÅ ÔÒÏÅ ÂÕÄÕÔ ÉÄÔÉ × ÏÄÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ. 4. (€ë×ÁÄÒÁÔÙ × ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËŁ.) ÷ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉË ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ 20 É 25 ÂÒÏÓÁÀÔ 120 Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ 1. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉË ÍÏÖÎÏ ÏÍÅÓÔÉÔØ ËÒÕÇ ÄÉÁÍÅÔÒÁ 1, ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÊÓÑ ÎÉ Ó ÏÄÎÉÍ ÉÚ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×. (ðÅÒ×ÁÑ ÷ÓÅÒÏÓÓÉÊÓËÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ, 1961 ÇÏÄ, íÏÓË×Á) 5. (€öÕˁ.) îÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÎÁ ÓÅÔØ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÁÑ ÉÚ ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ 1. öÕË, Ä×ÉÇÁÑÓØ Ï ÌÉÎÉÑÍ ÓÅÔÉ, ÒÏÏÌÚ ÉÚ

òÉÓ. 1. óÅÔØ ÉÚ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÉËÏ×

ÕÚÌÁ A × ÕÚÅÌ B Ï ËÒÁÔÞÁÊÛÅÍÕ ÕÔÉ, ÒÁ×ÎÏÍÕ 100. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÌÏ×ÉÎÕ ×ÓÅÇÏ ÕÔÉ ÏÎ ÏÌÚ × ÏÄÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ. (þÅÔ×ÅÒÔÁÑ ÷ÓÅÒÏÓÓÉÊÓËÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ, 1964 ÇÏÄ, íÏÓË×Á) 6. (€éÇÒÁ ÷ÁÓÉÌØÅ×Á.) îÁÉÓÁÎÏ 20 ÞÉÓÅÌ: 1, 2, . . . , 20. ä×ÏÅ ÉÇÒÁÀÝÉÈ Ï ÏÞÅÒÅÄÉ ÓÔÁ×ÑÔ ÅÒÅÄ ÜÔÉÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ ÚÎÁËÉ €+ ÉÌÉ €− (ÚÎÁË ÍÏÖÎÏ ÓÔÁ×ÉÔØ ÅÒÅÄ ÌÀÂÙÍ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ). ðÅÒ×ÙÊ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë ÔÏÍÕ, ÞÔÏÂÙ ÏÓÌÅ ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ËÉ ×ÓÅÈ 20 ÚÎÁËÏ× ÓÕÍÍÁ ×ÓÅÈ ÞÉÓÅÌ ÂÙÌÁ ËÁË ÍÏÖÎÏ ÍÅÎØÛÅ Ï ÍÏÄÕÌÀ. ëÁËÕÀ ÎÁÉÂÏÌØÛÕÀ Ï ÍÏÄÕÌÀ ÓÕÍÍÕ ÍÏÖÅÔ ÏÂÅÓÅÞÉÔØ ÓÅÂÅ ×ÔÏÒÏÊ ÉÇÒÏË? (ûÅÓÔÁÑ ÷ÓÅÒÏÓÓÉÊÓËÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ, 1966 ÇÏÄ, ÷ÏÒÏÎÅÖ) 7. (€æÉÇÕÒÉÓÔف.) ðÏÓÌÅ ×ÙÓÔÕÌÅÎÉÊ 20 ÆÉÇÕÒÉÓÔÏ× ËÁÖÄÙÊ ÉÚ 9 ÓÕÄÅÊ Ï Ó×ÏÅÍÕ ÕÓÍÏÔÒÅÎÉÀ ÒÁÓÒÅÄÅÌÑÅÔ ÓÒÅÄÉ ÎÉÈ ÍÅÓÔÁ Ó 1-ÇÏ Ï 20-Å. ïËÁÚÁÌÏÓØ, ÞÔÏ Õ ËÁÖÄÏÇÏ ÆÉÇÕÒÉÓÔÁ ÍÅÓÔÁ, ÒÉÓ×ÏÅÎÎÙÅ ÅÍÕ ÒÁÚÎÙÍÉ ÓÕ-

27

îÉËÏÌÁÊ âÏÒÉÓÏ×ÉÞ ÷ÁÓÉÌØÅ×

t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 òÉÓ. 2.

8.

9.

10.

11.

òÉÓ. 3.

ÄØÑÍÉ, ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ÎÁ 3. ðÏÄÓÞÉÔÁÅÍ ÓÕÍÍÙ ÍÅÓÔ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ËÁÖÄÙÍ ÆÉÇÕÒÉÓÔÏÍ, É ÒÁÓÏÌÏÖÉÍ ÜÔÉ ÞÉÓÌÁ × ÏÒÑÄËÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÑ:

1 6 2 6 3 6 · · · 6 20 . ëÁËÏÅ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ 1 ? (÷ÔÏÒÁÑ ÷ÓÅÓÏÀÚÎÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ, 1968 ÇÏÄ, ìÅÎÉÎÇÒÁÄ) (€òÁÚÎÏ ×ÅÔÎÙÊ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉˁ.) ÷ÅÒÛÉÎÙ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ n-ÕÇÏÌØÎÉËÁ ÏËÒÁÛÅÎÙ ÎÅÓËÏÌØËÉÍÉ ËÒÁÓËÁÍÉ (ËÁÖÄÁÑ ÏÄÎÏÊ ËÒÁÓËÏÊ) ÔÁË, ÞÔÏ ÔÏÞËÉ ÏÄÎÏÇÏ É ÔÏÇÏ ÖÅ ×ÅÔÁ ÓÌÕÖÁÔ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÒÅÄÉ ÜÔÉÈ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÎÁÊÄÕÔÓÑ Ä×Á ÒÁ×ÎÙÈ. (þÅÔ×ÅÒÔÁÑ ÷ÓÅÓÏÀÚÎÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ, 1970 ÇÏÄ, óÉÍÆÅÒÏÏÌØ) (€îÅÒ×ÎÙÅ ÓÅÔɁ.) ÷ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ ÅÏÞËÅ ÎÅÒ×ÎÙÈ ËÌÅÔÏË ËÁÖÄÁÑ ËÌÅÔËÁ ÍÏÖÅÔ ÎÁÈÏÄÉÔØÓÑ × ÏÄÎÏÍ ÉÚ Ä×ÕÈ ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ: €ÏËÏʁ É €×ÏÚÂÕÖÄÅÎÉŁ. åÓÌÉ × ÄÁÎÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ËÌÅÔËÁ ×ÏÚÂÕÄÉÌÁÓØ, ÔÏ ÏÎÁ ÏÓÙÌÁÅÔ ÓÉÇÎÁÌ, ËÏÔÏÒÙÊ ÞÅÒÅÚ ÅÄÉÎÉ Õ ×ÒÅÍÅÎÉ (ÓËÁÖÅÍ, ÞÅÒÅÚ ÏÄÎÕ ÍÉÌÌÉÓÅËÕÎÄÕ) ÄÏÈÏÄÉÔ ÄÏ ÏÂÅÉÈ ÓÏÓÅÄÎÉÈ Ó ÎÅÊ ËÌÅÔÏË. ëÁÖÄÁÑ ËÌÅÔËÁ ×ÏÚÂÕÖÄÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ Ë ÎÅÊ ÒÉÈÏÄÉÔ ÓÉÇÎÁÌ ÏÔ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÓÏÓÅÄÎÉÈ ËÌÅÔÏË; ÅÓÌÉ ÓÉÇÎÁÌÙ ÒÉÈÏÄÑÔ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ Ó Ä×ÕÈ ÓÔÏÒÏÎ, ÔÏ ÏÎÉ ÏÇÁÛÁÀÔÓÑ, É ËÌÅÔËÁ ÎÅ ×ÏÚÂÕÖÄÁÅÔÓÑ. îÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ × ÎÁÞÁÌØÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉ t = 0 ×ÏÚÂÕÄÉÔØ ÔÒÉ ÓÏÓÅÄÎÉÅ ËÌÅÔËÉ, Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÏÓÔÁ×ÉÔØ × ÏËÏÅ, ÔÏ ×ÏÚÂÕÖÄÅÎÉÅ ÂÕÄÅÔ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÑÔØÓÑ, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 2. (÷ÏÚÂÕÖÄÅÎÎÙÅ ËÌÅÔËÉ | ÞÅÒÎÙÅ.) ðÕÓÔØ × ÎÁÞÁÌØÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉ t = 0 ×ÏÚÂÕÖÄÅÎÁ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÁ ËÌÅÔËÁ. óËÏÌØËÏ ËÌÅÔÏË ÂÕÄÅÔ ÎÁÈÏÄÉÔØÓÑ × ×ÏÚÂÕÖÄÅÎÎÏÍ ÓÏÓÔÏÑÎÉÉ ÞÅÒÅÚ 15 ÍÓÅË? ÞÅÒÅÚ 65 ÍÓÅË? ÞÅÒÅÚ 1000 ÍÓÅË? ÞÅÒÅÚ t ÍÓÅË? þÔÏ ÂÕÄÅÔ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÅÏÞËÁ ÎÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÁÑ, Á ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÓÅÇÏ N ËÌÅÔÏË, ÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÈ × ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ (ÒÉÓ. 3), | ÂÕÄÅÔ ÌÉ ×ÏÚÂÕÖÄÅÎÉÅ ÏÄÄÅÒÖÉ×ÁÔØÓÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÄÏÌÇÏ ÉÌÉ ÚÁÔÕÈÎÅÔ? (úÁÄÁÞÎÉË ë×ÁÎÔÁ, í19) (€ðÁÒÁÌÌÅÌÌÅÉÅÄف.) ÷ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÚÁÄÁÌÉ 4 ÔÏÞËÉ, ÎÅ ÌÅÖÁÝÉÅ × ÏÄÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ. óËÏÌØËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÏ×, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÜÔÉ ÔÏÞËÉ ÓÌÕÖÁÔ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ? (óÅÄØÍÁÑ ÷ÓÅÓÏÀÚÎÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ, 1973 ÇÏÄ, ëÉÛÉÎÅ×) (€÷ÅËÔÏÒف.) îÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÄÁÎÙ ×ÅËÔÏÒÙ a; b; ; d, ÓÕÍÍÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÎÁ 0. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ |a| + |b| + | | + |d| > |a + d| + |b + d| + | + d|: (äÅÓÑÔÁÑ ÷ÓÅÓÏÀÚÎÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ, 1976 ÇÏÄ, äÕÛÁÎÂÅ)

28

á. á. åÇÏÒÏ×

***

***

÷ÓÀ Ó×ÏÀ Ô×ÏÒÞÅÓËÕÀ ÖÉÚÎØ îÉËÏÌÁÊ âÏÒÉÓÏ×ÉÞ ÒÁÂÏÔÁÌ: ÉÓÁÌ ÓÔÁÔØÉ, ËÎÉÇÉ, ÒÅÛÁÌ É ÒÉÄÕÍÙ×ÁÌ ÚÁÄÁÞÉ, ÚÁÎÉÍÁÌÓÑ ÎÁÕËÏÊ. ÒÕÄÎÏ ÓÅÂÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ, ÞÔÏ ×ÓÅ, ÉÍ ÓÏÚÄÁÎÎÏÅ, | ÄÅÌÏ ÒÕË ÏÄÎÏÇÏ ÞÅÌÏ×ÅËÁ. åÇÏ ÕÈÏÄ | ÏÇÒÏÍÎÁÑ ÏÔÅÒÑ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÅÇÏ ÄÒÕÚÅÊ, ÄÌÑ ÄÅÌÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÑ. óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

[1℄ ÷ÁÓÉÌØÅ× î. â.,çÕÔÅÎÍÁÈÅÒ ÷. ì., òÁÂÂÏÔ ö. í., ÏÏÍ á. ì. úÁÏÞÎÙÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÌÉÍÉÁÄÙ. í.: îÁÕËÁ, 1981. [2℄ ÷ÁÓÉÌØÅ× î. â., åÇÏÒÏ× á. á. óÂÏÒÎÉË ÏÄÇÏÔÏ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÚÁÄÁÞ Ë ÷ÓÅÒÏÓÓÉÊÓËÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÅ ÀÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× / ÏÄ. ÒÅÄ. á. î. ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Á. í.: õÞÅÄÇÉÚ, 1963. [3℄ ÷ÁÓÉÌØÅ× î. â., óÁ×ÉÎ á. ð. éÚÂÒÁÎÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÌÉÍÉÁÄ. í.: íçõ, 1968. [4℄ ÷ÁÓÉÌØÅ× î. â.,çÕÔÅÎÍÁÈÅÒ ÷. ì. ðÒÑÍÙÅ É ËÒÉ×ÙÅ. í.: îÁÕËÁ, 1978. [5℄ ÷ÁÓÉÌØÅ× î. â., íÏÌÞÁÎÏ× ó. á., òÏÚÅÎÔÁÌØ á. ì., óÁ×ÉÎ á. ð. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÑ (ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ). í.: îÁÕËÁ, 1974. [6℄ ÷ÁÓÉÌØÅ× î. â., åÇÏÒÏ× á. á. úÁÄÁÞÉ ÷ÓÅÓÏÀÚÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÌÉÍÉÁÄ. í.: îÁÕËÁ, 1988. [7℄ óÂÏÒÎÉË ÚÁÄÁÞ ÍÏÓËÏ×ÓËÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÌÉÍÉÁÄ / óÏÓÔ. á. á. ìÅÍÁÎ. í.: ðÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ, 1965. [8℄ çÁÌØÅÒÉÎ ç. á., ÏÌÙÇÏ á. ë. íÏÓËÏ×ÓËÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÌÉÍÉÁÄÙ / ÏÄ. ÒÅÄ. á. î. ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Á. í.: ðÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ, 1986. [9℄ ÏÏÍ á., çÕÔÅÎÍÁÈÅÒ ÷., ÷ÁÓÉÌØÅ× î., òÁÂÂÏÔ ö. úÁÄÁÞÉ ÕÓÔÎÏÇÏ ÜËÚÁÍÅÎÁ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ. í.: íçõ, 1970. [10℄ ÷ÁÓÉÌØÅ× î. â. éÚÂÒÁÎÎÙÅ ÓÔÁÔØÉ / ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ Ë €ë×ÁÎÔՁ, ‚6. í.: âÀÒÏ ë×ÁÎÔÕÍ, 1998.

29

îÁÕÞÎÁÑ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔØ î. â. ÷ÁÓÉÌØÅ×Á

á. í. ìÅÏÎÔÏ×ÉÞ ðÅÒ×ÙÅ ÎÁÕÞÎÙÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÂÙÌÉ ÏÌÕÞÅÎÙ î. â. ÷ÁÓÉÌØÅ×ÙÍ, ËÏÇÄÁ ÏÎ ÅÝÅ ÂÙÌ ÓÔÕÄÅÎÔÏÍ. ÏÇÄÁ ÅÇÏ ÉÎÔÅÒÅÓÙ × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ ÏÔÎÏÓÉÌÉÓØ Ë ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÍÕ ÁÎÁÌÉÚÕ. õÖÅ ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ËÕÒÓÅ ÏÎ ÓÔÁÌ ÁËÔÉ×ÎÙÍ ÕÞÁÓÔÎÉËÏÍ ÓÅÍÉÎÁÒÁ á. î. ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Á. úÁÔÅÍ ÅÇÏ ÕÞÉÔÅÌÑÍÉ ÓÔÁÌÉ ç. å. ûÉÌÏ× É é. í. çÅÌØÆÁÎÄ. ÷ ÜÔÏ ×ÒÅÍÑ ÂÙÌÁ ÓÄÅÌÁÎÁ ÅÇÏ ÅÒ×ÁÑ ÒÁÂÏÔÁ Ï C ∗ -ÁÌÇÅÂÒÁÈ. ÷ 1966 ÇÏÄÕ î. â. ÷ÁÓÉÌØÅ× ÏÓÔÕÉÌ ÎÁ ÒÁÂÏÔÕ × ÍÅÖÆÁËÕÌØÔÅÔÓËÕÀ ÌÁÂÏÒÁÔÏÒÉÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÍÅÔÏÄÏ× × ÂÉÏÌÏÇÉÉ. ïÎ ÓÔÁÌ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÅÒ×ÙÈ ÅÅ ÓÏÔÒÕÄÎÉËÏ×. ìÁÂÏÒÁÔÏÒÉÑ ÂÙÌÁ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÁ Ï ÉÎÉ ÉÁÔÉ×Å é. í. çÅÌØÆÁÎÄÁ (ËÏÔÏÒÙÊ É ÓÔÁÌ ÅÅ ÚÁ×ÅÄÕÀÝÉÍ) ÒÉ ÁËÔÉ×ÎÏÊ ÏÄÄÅÒÖËÅ ÒÅËÔÏÒÁ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ é. ç. ðÅÔÒÏ×ÓËÏÇÏ1). íÅÓÔÏ ÒÁÂÏÔÙ ÏËÁÚÁÌÏÓØ ÏÞÅÎØ ÕÄÁÞÎÙÍ; ÎÅÄÁÒÏÍ î. â. ÷ÁÓÉÌØÅ× ÒÏÒÁÂÏÔÁÌ × ÌÁÂÏÒÁÔÏÒÉÉ (ÚÁÔÅÍ ÉÎÓÔÉÔÕÔÅ) ÄÏ ÓÁÍÏÊ Ó×ÏÅÊ ËÏÎÞÉÎÙ. é. í. çÅÌØÆÁÎÄ ÓÏÂÒÁÌ ÚÄÅÓØ ×ÍÅÓÔÅ ÒÑÄ ÓÉÌØÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×. íÏÖÎÏ ÎÁÚ×ÁÔØ ÉÍÅÎÁ ó. ç. çÉÎÄÉËÉÎÁ, ä. â. æÕËÓÁ; ÏÚÖÅ ÏÑ×ÉÌÉÓØ ä. á. ëÁÖÄÁÎ, é. î. âÅÒÎÛÔÅÊÎ. ÷ ÌÁÂÏÒÁÔÏÒÉÉ ÁÒÉÌÁ ÏÞÅÎØ ÄÒÕÖÅÓËÁÑ, ÄÏÂÒÏÖÅÌÁÔÅÌØÎÁÑ É × ÔÏ ÖÅ ×ÒÅÍÑ Ô×ÏÒÞÅÓËÁÑ ÁÔÍÏÓÆÅÒÁ. î. â. ÷ÁÓÉÌØÅ× ÓÔÁÌ ÒÁÂÏÔÁÔØ × ÇÒÕÅ, ×ÏÚÇÌÁ×ÌÑÅÍÏÊ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÍ é. é. ðÑÔÅ ËÉÍ-ûÁÉÒÏ, ÎÅÓÏÍÎÅÎÎÏ, ÏËÁÚÁ×ÛÉÍ ÂÏÌØÛÏÅ ×ÌÉÑÎÉÅ ÎÁ ÅÇÏ Ô×ÏÒÞÅÓËÉÊ ÏÞÅÒË. üÔÁ ÇÒÕÁ ÚÁÎÉÍÁÌÁÓØ ÔÅÏÒÉÅÊ Á×ÔÏÍÁÔÏ× É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÍÏÄÅÌÑÍÉ ÂÉÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÒÏ ÅÓÓÏ×. ïÄÎÏÊ ÉÚ ÅÎÔÒÁÌØÎÙÈ ÔÅÍ ÄÌÑ ÜÔÏÊ ÇÒÕÙ ÓÔÁÌÏ ÉÚÕÞÅÎÉÅ ÍÁÒËÏ×ÓËÉÈ ÅÅÊ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÔÉÁ | ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÓÒÅÄ Ó ÌÏËÁÌØÎÙÍÉ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍÉ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÉÑÍÉ. áËÔÉ×ÎÙÍ ÕÞÁÓÔÎÉËÏÍ ÚÄÅÓØ, ÎÁÒÑÄÕ Ó ï. î. óÔÁ×ÓËÏÊ, á. ì. ÏÏÍÏÍ, ÓÔÁÌ î. â. ÷ÁÓÉÌØÅ×. ïÎ ÏÌÕÞÉÌ ÒÑÄ ÑÒËÉÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ×, ÞÁÓÔØ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏÓÔÁ×ÉÌÉ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÅÇÏ ËÁÎÄÉÄÁÔÓËÏÊ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÉ, ÚÁÝÉÝÅÎÎÏÊ × 1971 ÇÏÄÕ. ëÏÎÓÔÒÕË ÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÓÒÅÄ Ó ÌÏËÁÌØÎÙÍÉ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍÉ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÉÑÍÉ ×ÎÁÞÁÌÅ ÏÑ×ÉÌÁÓØ ËÁË ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÍÏÄÅÌØ ÒÁÂÏÔÙ ÎÅÊÒÏÎÎÙÈ ÓÅÔÅÊ. îÏ ÚÁÔÅÍ ÜÔÉ ÚÁÄÁÞÉ ÓÔÁÌÉ ÞÉÓÔÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍÉ. ðÏ Ó×ÏÅÍÕ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÀ ÏÎÉ ÂÌÉÚËÉ Ë ÔÁËÉÍ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑÍ ÔÅÏÒÉÉ ÍÁÒËÏ×ÓËÉÈ ÅÅÊ ËÁË ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÉÅ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÉÚÉËÉ É ÔÅÏÒÉÑ ÒÏÓÁÞÉ×ÁÎÉÑ. ðÏÞÔÉ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍÉ ÓÒÅÄÁÍÉ Ó ÌÏËÁÌØÎÙÍÉ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍÉ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÉÑÍÉ ÚÁÎÉÍÁÌÁÓØ 1) ïÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÂÙÌÁ ÓÏÚÄÁÎÁ É íÅÖÆÁËÕÌØÔÅÔÓËÁÑ ÌÁÂÏÒÁÔÏÒÉÑ ÂÉÏÏÒÇÁÎÉÞÅÓËÏÊ ÈÉÍÉÉ É ÍÏÌÅËÕÌÑÒÎÏÊ ÂÉÏÌÏÇÉÉ ÏÄ ÒÕËÏ×ÏÄÓÔ×ÏÍ ÁËÁÄÅÍÉËÁ á. î. âÅÌÏÚÅÒÓËÏÇÏ (Ë ÅÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ ÔÁËÖÅ ÁËÔÉ×ÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÉÍÅÌÉ é. ç. ðÅÔÒÏ×ÓËÉÊ É é. í. çÅÌØÆÁÎÄ). ÷ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ (× 1974 ÇÏÄÕ) ÜÔÉ ÌÁÂÏÒÁÔÏÒÉÉÉ ÏÂßÅÄÉÎÉÌÉÓØ, ÍÁÌÏÞÉÓÌÅÎÎÁÑ ÍÅÖÆÁËÕÌØÔÅÔÓËÁÑ ÌÁÂÏÒÁÔÏÒÉÑ ÓÔÁÌÁ ÏÔÄÅÌÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÍÅÔÏÄÏ× × ÂÉÏÌÏÇÉÉ ÂÏÌØÛÏÊ íÅÖÆÁËÕÌØÔÅÔÓËÏÊ ÌÁÂÏÒÁÔÏÒÉÉ (ÓÅÊÞÁÓ ÏÎÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎÓÔÉÔÕÔÏÍ ÆÉÚÉËÏ-ÈÉÍÉÞÅÓËÏÊ ÂÉÏÌÏÇÉÉ ÉÍ. á. î. âÅÌÏÚÅÒÓËÏÇÏ íçõ). éÄÅÑ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÜÔÉÈ ÌÁÂÏÒÁÔÏÒÉÊ ÏËÁÚÁÌÁÓØ ÏÞÅÎØ ÌÏÄÏÔ×ÏÒÎÏÊ, É × ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÉÎÓÔÉÔÕÔ ÉÍ. á. î. âÅÌÏÚÅÒÓËÏÇÏ ÉÍÅÅÔ, ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ, ÓÉÌØÎÅÊÛÉÊ ÓÏÓÔÁ× ÂÉÏÌÏÇÏ× × ÎÁÛÅÊ ÓÔÒÁÎÅ.

30

á. í. ìÅÏÎÔÏ×ÉÞ

ÛËÏÌÁ ò. ì. äÏÂÒÕÛÉÎÁ, ÎÏ × ÎÅÊ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÌÉÓØ ÎÅ ÄÉÓËÒÅÔÎÙÅ ÓÅÔÉ, Á ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÅ ÍÁÒËÏ×ÓËÉÅ ÏÌÑ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÒÏÓÔÅÊÛÉÊ ÒÉÍÅÒ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÓÒÅÄÁÈ Ó ÌÏËÁÌØÎÙÍÉ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍÉ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÉÑÍÉ | ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÕÀ €ÚÁÄÁÞÕ Ï ÌÁÍÏÞËÁȁ. ÷ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅ Á×ÔÏÍÁÔÙ (€ÌÁÍÏÞËɁ) ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ × ÅÌÙx ÔÏÞËÁx ÒÑÍÏÊ. ÷ÒÅÍÑ ÄÉÓËÒÅÔÎÏ. á×ÔÏÍÁÔÙ ÍÏÇÕÔ ÎÁxÏÄÉÔØÓÑ × Ä×Õx ÓÏÓÔÏÑÎÉÑx: 0 É 1 (€ÌÁÍÏÞËÁ ÎÅ ÇÏÒÉԁ ÉÌÉ €ÌÁÍÏÞËÁ ÇÏÒÉԁ). åÓÌÉ × ÒÅÄÙÄÕÝÉÊ ÍÏÍÅÎÔ ÄÁÎÎÁÑ ÌÁÍÏÞËÁ É ÓÏÓÅÄÎÑÑ ÓÌÅ×Á ÇÏÒÅÌÉ, ÔÏ × ÔÅËÕÝÉÊ ÍÏÍÅÎÔ ÏÎÁ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÒÏÄÏÌÖÁÅÔ ÇÏÒÅÔØ. åÓÌÉ ÖÅ × ÒÅÄÙÄÕÝÉÊ ÍÏÍÅÎÔ xÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÁ ÉÚ ÎÉÈ ÎÅ ÇÏÒÅÌÁ, ÔÏ × ÔÅËÕÝÉÊ ÍÏÍÅÎÔ ÏÎÁ ÂÕÄÅÔ ÇÏÒÅÔØ Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ p, 0 < p < 1 (€ÌÁÍÏÞËÁ ÓÏÎÔÁÎÎÏ ÚÁÇÏÒÁÅÔÓÑ Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ p). ðÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ ×ÓÅÈ Á×ÔÏÍÁÔÏ× × ÎÁÓÔÏÑÝÉÊ ÍÏÍÅÎÔ ÒÉÎÉÍÁÀÔÓÑ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ (Á ÔÏÌØËÏ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ Á×ÔÏÍÁÔÏ× × ÒÅÄÙÄÕÝÉÊ ÍÏÍÅÎÔ). ÁËÉÅ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÉÅ ÒÁ×ÉÌÁ Ï×ÅÄÅÎÉÑ Á×ÔÏÍÁÔÏ× ÏÒÅÄÅÌÑÀÔ ÍÁÒËÏ×ÓËÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ P (ÄÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÍÁÒËÏ×ÓËÕÀ ÅØ) Ó ËÏÎÔÉÎÕÁÌØÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ; ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÔÁËÉÈ ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ ÅÉ | ÜÔÏ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ ×ÓÅÈ Á×ÔÏÍÁÔÏ× ÒÑÍÏÊ, Ô. Å. ÂÅÓËÏÎÅÞÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÉÚ ÎÕÌÅÊ É ÅÄÉÎÉ . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ×ÓÅÊ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÒÑÍÏÊ €×ÓÅ ÅÄÉÎÉ Ù ÏÇÌÏÝÁÀÝÅÅ (ÅÒÅ×ÏÄÉÔÓÑ ÍÁÒËÏ×ÓËÉÍ ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ P × ÓÅÂÑ). üÔÏÍÕ ÏÇÌÏÝÁÀÝÅÍÕ ÓÏÓÔÏÑÎÉÀ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÄÉÓËÒÅÔÎÁÑ (ÁÔÏÍÁÒÎÁÑ) ÍÅÒÁ, ÓÏÓÒÅÄÏÔÏÞÅÎÎÁÑ × ÜÔÏÍ ÓÏÓÔÏÑÎÉÉ €×ÓÅ ÅÄÉÎÉ Ù; ÜÔÁ ÍÅÒÁ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ P ∗ , Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ P (ÜÔÏÔ ÏÅÒÁÔÏÒ P ∗ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÍÅÒ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÓÅÈ ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÒÑÍÏÊ). óÒÁÛÉ×ÁÅÔÓÑ, ÅÓÔØ ÌÉ ÄÒÕÇÉÅ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÅ ÍÅÒÙ, ËÒÏÍÅ ÜÔÏÊ? ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÏÔ×ÅÔ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ p. éÍÅÎÎÏ, ÄÌÑ ÂÏÌØÛÉÈ p ÅÓÔØ ÔÏÌØËÏ ÜÔÁ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÁÑ ÍÅÒÁ (ÓÏÓÒÅÄÏÔÏÞÅÎÎÁÑ × ÓÏÓÔÏÑÎÉÉ €×ÓÅ ÅÄÉÎÉ Ù), É ÅÓÌÉ × ÎÕÌÅ×ÏÊ ÍÏÍÅÎÔ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ ×ÓÅÈ Á×ÔÏÍÁÔÏ× ÒÁ×ÎÙ 0 (€×ÓÅ ÌÁÍÏÞËÉ ÎÅ ÇÏÒÑԁ), ÔÏ Ó ÔÅÞÅÎÉÅÍ ×ÒÅÍÅÎÉ ÄÏÌÑ ÅÄÉÎÉ ÂÕÄÅÔ ÓÔÒÅÍÉÔØÓÑ Ë 1. óÏ×ÓÅÍ ÎÅ ÔÁËÁÑ ÓÉÔÕÁ ÉÑ ÒÉ ÍÁÌÙÈ p (ÜÔÏ ÂÙÌÏ ÄÏËÁÚÁÎÏ ×ÎÁÞÁÌÅ í. ç. ûÎÉÒÍÁÎÏÍ, ÚÁÔÅÍ á. ì. ÏÏÍÏÍ). ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÍÙ ÎÁÞÉÎÁÅÍ ÉÚ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ €×ÓÅ ÎÕÌɁ, ÔÏ ÄÏÌÑ ÅÄÉÎÉ × ÌÀÂÏÊ ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÍÁÌÏÊ. ÷ ÒÅÄÅÌÅ, ËÏÇÄÁ ×ÒÅÍÑ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ, ÍÙ ×ÙÈÏÄÉÍ ÎÁ ÎÅËÉÊ ÓÔÁ ÉÏÎÁÒÎÙÊ €ÍÉÇÁÀÝÉʁ ÒÅÖÉÍ ÒÁÂÏÔÙ ÌÁÍÏÞÅË. üÔÏÍÕ ÒÅÖÉÍÕ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÁÑ ÍÅÒÁ. üÔÁ ÍÅÒÁ ÎÅ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÅÒÏÊ, ÓÏÓÒÅÄÏÔÏÞÅÎÎÏÊ × ÓÏÓÔÏÑÎÉÉ €×ÓÅ ÅÄÉÎÉ Ù, ÏÎÁ ÂÕÄÅÔ ÎÅ ÄÉÓËÒÅÔÎÁ, Á ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ Ñ×ÌÅÎÉÅ ÔÉÁ ÆÁÚÏ×ÏÇÏ ÅÒÅxÏÄÁ. ëÒÉÔÉÞÅÓËÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ p, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÜÔÏÔ ÆÁÚÏ×ÙÊ ÅÒÅÈÏÄ (ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ÞÉÓÌÁ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÍÅÒ), ÒÉÂÌÉÚÉÔÅÌØÎÏ ÒÁ×ÎÏ 0;3. €úÁÄÁÞÁ Ï ÌÁÍÏÞËÁȁ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÂÏÂÝÁÅÔÓÑ × ÒÁÚÎÙx ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑx: (1) ÞÉÓÌÏ Á×ÔÏÍÁÔÏ×, ÏÔ ËÏÔÏÒÙx ÚÁ×ÉÓÉÔ (×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ) ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ Á×ÔÏÍÁÔÁ i, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ 2 (ÎÏ ×ÓÅÇÄÁ ËÏÎÅÞÎÏ | ÕÓÌÏ×ÉÅ ÌÏËÁÌØÎÏÓÔÉ), É ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ ÜÔÉx ÓÏÓÅÄÎÉÈ Á×ÔÏÍÁÔÏ× ÚÁÄÁÅÔÓÑ Ó×ÏÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÙÊ Á×ÔÏÍÁÔ ÏËÁÖÅÔÓÑ × ÓÏÓÔÏÑÎÉÉ 1 (ÒÉÞÅÍ ÜÔÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ ÎÏÍÅÒÁ i ÎÁ ÒÑÍÏÊ | ÕÓÌÏ×ÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÓÔÉ); (2) ×ÍÅÓÔÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÒÑÍÏÊ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÙÅ ÒÅÛÅÔËÉ; (3) ÞÉÓÌÏ ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ Á×ÔÏÍÁÔÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÂÏÌØÛÅ Ä×ÕÈ. äÌÑ ÄÁÎÎÏÊ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ÓÒÅÄÙ ÉÚ ÔÁËÉx Á×ÔÏÍÁÔÏ× (Ô. Å. ÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙx ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑx ÅÒÅxÏÄÏ×) ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÒÑÄ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙx ×ÏÒÏÓÏ×: ÉÍÅÅÔ ÌÉ ÍÅÓÔÏ ÜÒÇÏÄÉÞÎÏÓÔØ

îÁÕÞÎÁÑ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔØ î. â. ÷ÁÓÉÌØÅ×Á

31

(ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÊ ÍÅÒÙ); ÅÓÌÉ ÎÅÔ, ÔÏ ËÁËÏ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙx ÍÅÒ; ÈÁÒÁËÔÅÒ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÍÅÒ ÏÔ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÅÒÅÈÏÄÁ (ÉÍÅÅÔ ÌÉ ÍÅÓÔÏ ÁÎÁÌÉÔÉÞÎÏÓÔØ); ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÌÉ ÜÔÉ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÅ ÍÅÒÙ €xÏÒÏÛÉÍɁ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÔÉÁ ÍÁÒËÏ×ÏÓÔÉ (ÉÌÉ ÂÌÉÚËÏÇÏ Ë ÍÁÒËÏ×ÏÓÔÉ, ÎÏ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÏÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÇÉÂÂÓÏ×ÏÓÔÉ). ÷ ÚÁÄÁÞÁÈ Ï ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÓÒÅÄÁÈ Ó ÌÏËÁÌØÎÙÍÉ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍÉ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÉÑÍÉ î. â. ÷ÁÓÉÌØÅ×ÙÍ ÂÙÌÉ ÏÌÕÞÅÎÙ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ × Ä×ÕÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑÈ. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÉÍ ÂÙÌÏ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÒÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÛÉÒÏËÉÈ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÁÑ ÍÅÒÁ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÅÒÅÈÏÄÁ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÜÔÏ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï × ÓÌÕÞÁÅ €ÚÁÄÁÞÉ Ï ÌÁÍÏÞËÁȁ | ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÁÑ ÍÅÒÁ ÒÉ ÍÁÌÙÈ p ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ p. íÅÔÏÄ, ËÏÔÏÒÙÍ ÜÔÏ ÂÙÌÏ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÍÏÖÎÏ ÎÁÚ×ÁÔØ €ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ́, ÏÎ ÂÌÉÚÏË Ë ËÏÎÔÕÒÎÙÍ ÍÅÔÏÄÁÍ × ÍÏÄÅÌÉ éÚÉÎÇÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉ × Ó×ÏÉÈ ÒÁÂÏÔÁÈ ò. ì. äÏÂÒÕÛÉÎ, ñ. ç. óÉÎÁÊ É ÄÒÕÇÉÅ (× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÉÍÅÎÎÏ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ á. ì. ÏÏÍ ÄÏËÁÚÁÌ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÊ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÊ ÍÅÒÙ ÒÉ ÍÁÌÙÈ p × €ÚÁÄÁÞÅ Ï ÌÁÍÏÞËÁȁ, Ï ÞÅÍ ÕÏÍÉÎÁÌÏÓØ ×ÙÛÅ). ÷Ï-×ÔÏÒÙÈ, î. â. ÷ÁÓÉÌØÅ×ÙÍ ÂÙÌÏ ÉÚÕÞÅÎÏ, ÒÉ ËÁËÉÈ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÈ ÅÒÅÈÏÄÁ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÁÑ ÍÅÒÁ ÂÕÄÅÔ ÍÁÒËÏ×ÓËÏÊ ÉÌÉ ÇÉÂÂÓÏ×ÓËÏÊ (ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ €ÚÁÄÁÞÉ Ï ÌÁÍÏÞËÁȁ ÜÔÏ ÎÅ ÔÁË | ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÁÑ ÍÅÒÁ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÄÏ×ÏÌØÎÏ-ÔÁËÉ €ÌÏÈÁс É ÎÉËÁËÉÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÔÉÁ ÍÁÒËÏ×ÏÓÔÉ ÉÌÉ ÇÉÂÂÓÏ×ÏÓÔÉ ÎÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ). õ î. â. ÷ÁÓÉÌØÅ×Á ÅÓÔØ ÅÝÅ ÒÑÄ ÒÁÂÏÔ Ï ÍÁÒËÏ×ÓËÉÍ ÅÑÍ, ÎÅ Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÏ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍÉ ÓÒÅÄÁÍÉ Ó ÌÏËÁÌØÎÙÍÉ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍÉ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÉÑÍÉ, ÎÏ ÂÌÉÚËÉÈ Ë ÎÉÍ Ï ÄÕÈÕ. î. â. ÷ÁÓÉÌØÅ× ÒÁÂÏÔÁÌ × ÂÉÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÍ ÉÎÓÔÉÔÕÔÅ É ÏÔÏÍÕ ÍÎÏÇÉÅ ÅÇÏ ÒÁÂÏÔÙ ÉÎÉ ÉÉÒÏ×ÁÎÙ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÚÁÄÁÞÁÍÉ | ÏÔÎÏÓÑÝÉÍÉÓÑ Ë ÂÉÏÌÏÇÉÉ, ÈÉÍÉÉ, ÆÉÚÉÏÌÏÇÉÉ. ÷ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÎÉÈ ÎÏÓÑÔ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÊ ÈÁÒÁËÔÅÒ, ÄÒÕÇÉÅ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ Ë ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÉÍ ÓÉÓÔÅÍÁÍ. éÎÏÇÄÁ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÂÙÌÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÞÉÓÌÅÎÎÏÅ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÅ. éÚÌÏÖÉÍ ×ËÒÁÔ Å ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÒÁÂÏÔÙ î. â. ÷ÁÓÉÌØÅ×Á (ÏÔÔÉÓËÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÑ×ÉÌÉÓØ ÚÁ ÍÅÓÑ ÄÏ ÅÇÏ ÓÍÅÒÔÉ, ËÏÇÄÁ ÏÎ ÕÖÅ ÌÅÖÁÌ × ÂÏÌØÎÉ Å). åÅ ×ÏÚÎÉËÎÏ×ÅÎÉÅ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ Ï ËÌÅÔÏÞÎÙÈ ËÕÌØÔÕÒÁÈ, ÉÍÅÎÎÏ, ×ÙÑÓÎÅÎÉÉ ÔÏÇÏ, ÉÍÅÀÔ ÌÉ ËÌÅÔËÉ × ÏÄÎÏÓÌÏÊÎÙÈ ËÌÅÔÏÞÎÙÈ ËÕÌØÔÕÒÁÈ ÔÅÎÄÅÎ ÉÀ Ë ÎÁÌÅÇÁÎÉÀ ÄÒÕÇ ÎÁ ÄÒÕÇÁ ÉÌÉ, ÎÁÏÂÏÒÏÔ, Ë ÏÔÔÁÌËÉ×ÁÎÉÀ. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ. ðÕÓÔØ ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÞÉÓÌÏ ÆÉÇÕÒ, ÓÌÕÞÁÊÎÏ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÈ × ÏÌÅ ÚÒÅÎÉÑ (ÞÔÏÂÙ ÓÄÅÌÁÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÕÀ ÏÓÔÁÎÏ×ËÕ ÂÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏÊ, ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÏÌÅ ÚÒÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÒÏÍ | Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ ÌÏÝÁÄÉ 1 Ó ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÅÎÎÙÍÉ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÍÉ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ). óÒÁÛÉ×ÁÅÔÓÑ, ËÁËÏ×Ï ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÓÕÍÍÙ ÌÏÝÁÄÅÊ ÏÁÒÎÙÈ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ ÆÉÇÕÒ. ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÓÒÅÄÎÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÌÏÝÁÄÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÓÌÕÞÁÊÎÏ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÈ ÆÉÇÕÒ ÒÁ×ÎÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ ÌÏÝÁÄÅÊ ÜÔÉÈ ÆÉÇÕÒ (ÎÁÏÍÎÉÍ: ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÌÏÝÁÄØ ÏÌÑ ÚÒÅÎÉÑ ÒÁ×ÎÁ 1). ðÏÜÔÏÍÕ ÓÒÅÄÎÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÕÍÍÙ ÌÏÝÁÄÅÊ ÏÁÒÎÙÈ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ n ÆÉÇÕÒ ÒÁ×ÎÏ ÓÕÍÍÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ ÌÏÝÁÄÅÊ ÜÔÉÈ ÆÉÇÕÒ. äÏ×ÅÒÉÔÅÌØÎÙÅ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ ÌÏÝÁÄÅÊ ÏÁÒÎÙÈ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ ÓÌÕÞÁÊÎÏ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÈ ÆÉÇÕÒ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÄÉÓÅÒÓÉÉ ÌÏÝÁÄÅÊ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ Ä×ÕÈ ÆÉÇÕÒ. ÷ ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÓÒÅÄÎÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ, ÜÔÉ ÄÉÓÅÒÓÉÉ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÏÔ ÌÏÝÁÄÅÊ ÆÉÇÕÒ, ÎÏ É ÏÔ ÉÈ ÆÏÒÍÙ. ÷ÓÔÁÅÔ ×ÏÒÏÓ ÏÂ Ï ÅÎËÁÈ ÜÔÉÈ ÄÉÓÅÒÓÉÊ. úÄÅÓØ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÇÉÏÔÅÚÁ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ Ä×ÕÈ ÆÉÇÕÒ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ

32

á. í. ìÅÏÎÔÏ×ÉÞ

ÌÏÝÁÄÉ ÄÉÓÅÒÓÉÑ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÁ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÆÉÇÕÒÙ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÒÕÇÁÍÉ. üÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ (€ÉÚÏÅÒÉÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÔÉÁ) ÂÙÌÏ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÒÁ×ÄÁ, ÎÅÍÎÏÇÏ × ÏÓÌÁÂÌÅÎÎÏÍ ×ÁÒÉÁÎÔÅ, î. â. ÷ÁÓÉÌØÅ×ÙÍ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÉÚ ÅÇÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï, ÅÓÌÉ ÏÄÎÁ ÉÚ ÆÉÇÕÒ ×ÙÕËÌÁ (ÈÏÔÑ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÜÔÏ ÄÏËÁÚÁÎÏ ÄÌÑ ÂÏÌÅÅ ÛÉÒÏËÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ÆÉÇÕÒ). äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ ÎÏÓÉÔ × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÈÁÒÁËÔÅÒ, ÎÏ ÒÉ ÜÔÏÍ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ËÒÁÓÉ×ÙÅ ÔÏÞÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ, ÉÎÏÇÄÁ ÏÞÅÎØ ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÙÅ. óËÁÖÅÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÌÏ× Ï ÓÔÉÌÅ î. â. ÷ÁÓÉÌØÅ×Á ËÁË ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ. åÇÏ ÏÔÌÉÞÁÌÁ ÉÓËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ ÓÉÌØÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÉÎÔÕÉ ÉÑ É × ÔÏ ÖÅ ×ÒÅÍÑ ÓËÌÏÎÎÏÓÔØ É Ë ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÍ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍ. ïÞÅÎØ ×ÁÖÎÁ ÄÌÑ ÎÅÇÏ ÂÙÌÁ ÜÓÔÅÔÉÞÅÓËÁÑ ÓÔÏÒÏÎÁ. ÷ ÅÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÁÈ ×ÓÅ ×ÒÅÍÑ ÒÏÑ×ÌÑÌÏÓØ ÓÔÒÅÍÌÅÎÉÅ Ë ËÒÁÓÏÔÅ, Ó×ÏÇÏ ÒÏÄÁ ÍÕÚÙËÁÌØÎÏÓÔØ. (îÁÄÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÇÏ ÏÔÌÉÞÁÌÁ É ÍÕÚÙËÁÌØÎÏÓÔØ × ÏÂÙÞÎÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ÓÌÏ×Á; ×ÏÏÂÝÅ, ÍÕÚÙËÁÌØÎÏÓÔØ Õ ÎÅÇÏ ÒÏÑ×ÌÑÌÁÓØ ×Ï ×ÓÅÍ | É × ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÎÙÈ ×ËÕÓÁÈ, É × ÖÉÚÎÉ, É × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ. ðÏÖÁÌÕÊ, ÏÎ ÂÙÌ ÓÁÍÙÊ ÍÕÚÙËÁÌØÎÙÊ ÞÅÌÏ×ÅË ÉÚ ÍÏÉÈ ÚÎÁËÏÍÙÈ | ÈÏÔÑ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÍÕÚÙËÁÌØÎÙÅ ÚÎÁÎÉÑ Õ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÚ ÎÉÈ ÍÏÇÌÉ ÂÙÔØ É ÂÏÌØÛÉÅ.) îÅÚÁÄÏÌÇÏ ÄÏ ÓÍÅÒÔÉ, ËÏÇÄÁ ëÏÌÑ ÌÏÖÉÌÓÑ × ÂÏÌØÎÉ Õ (ÉÚ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÎ ÔÁË É ÎÅ ×ÙÛÅÌ), ×ÒÁÞ ÒÉ ÏÓÍÏÔÒÅ ÓÒÏÓÉÌ ÅÇÏ, ÈÏÒÏÛÏ ÌÉ ÏÎ ÓÌÙÛÉÔ. ëÏÌÑ ÏÔ×ÅÔÉÌ, ÞÔÏ ÓÏ ÓÌÕÈÏÍ Õ ÎÅÇÏ ×ÓÅ × ÏÒÑÄËÅ, ÏÔÏÍ ÏÍÏÌÞÁÌ É ÓËÁÚÁÌ: €óÌÕÈ Õ ÍÅÎÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÙʁ (É ÜÔÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÂÙÌÏ ÔÁË). ÁË ×ÏÔ, × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ Õ ÎÅÇÏ ÂÙÌ ÁÂÓÏÌÀÔÎÙÊ É ÓÌÕÈ, É ×ËÕÓ. î. â. ÷ÁÓÉÌØÅ×Á ÏÔÌÉÞÁÌÁ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÁÑ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔØ ×ÙÄÅÌÉÔØ ÇÌÁ×ÎÏÅ × ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑÈ, Õ×ÉÄÅÔØ × ÎÅÍ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÏÓÎÏ×Õ, ÄÁÖÅ ÅÓÌÉ ÆÏÒÍÁÌØÎÏ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å É ÎÅ ÆÉÇÕÒÉÒÏ×ÁÌÏ. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÞÅÎØ ÞÁÓÔÏ ÏÓÌÅ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÊ Ó ÎÉÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÓÉÌØÎÏ ÕÒÏÝÁÌÉÓØ. ÷ÏÔ ÔÉÉÞÎÁÑ ËÁÒÔÉÎÁ. ðÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÓÅÍÉÎÁÒ. äÏËÌÁÄÞÉË ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÅÔ ÌÏÈÏ É ÎÅÏÎÑÔÎÏ. ëÏÌÑ ×ÒÏÄÅ ÂÙ ÎÅ ÓÌÕÛÁÅÔ, ÞÕÔØ ÌÉ ÎÅ ÓÉÔ. óÌÕÛÁÔÅÌÉ ÎÅ ÏÎÉÍÁÀÔ, ÎÅÄÏ×ÏÌØÎÙ ÜÔÉÍ, ÔÒÅÂÕÀÔ, ÞÔÏÂÙ ÄÏËÌÁÄÞÉË ÇÏ×ÏÒÉÌ ÏÎÑÔÎÅÅ, ÏÂßÑÓÎÉÌ ÓÕÔØ ÄÅÌÁ. îÏ Õ ÄÏËÌÁÄÞÉËÁ ÜÔÏ ÎÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ (ÞÁÓÔÏ ÏÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÄÏËÌÁÄÞÉË É ÓÁÍ ÎÅ ÏÎÉÍÁÅÔ, × ÞÅÍ ÜÔÁ ÓÕÔØ | Õ×Ù, ÜÔÏ ÞÁÓÔÏ ÂÙ×ÁÅÔ). é ×ÄÒÕÇ ÒÁÚÄÁÅÔÓÑ ÇÏÌÏÓ ëÏÌÉ, ÏÎ ÏÑÓÎÑÅÔ ÓËÁÚÁÎÎÏÅ ÄÏËÌÁÄÞÉËÏÍ, É ×ÓÅ ×ÓÅÍ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÏÎÑÔÎÙÍ. ðÏ-×ÉÄÉÍÏÍÕ, ÔÁËÁÑ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔØ Õ×ÉÄÅÔØ ÓÕÔØ ÄÅÌÁ ÒÉ×ÏÄÉÌÁ Ë ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÞÁÓÔÏ × ÅÇÏ ÒÁÂÏÔÁÈ ×ÏÚÎÉËÁÌÉ ËÒÁÓÉ×ÙÅ ÔÏÞÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ. á ×ÏÔ ÇÒÏÍÏÚÄËÉÅ Ï ÅÎËÉ É ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ | ÜÔÏÇÏ ÏÎ ÎÅ ÌÀÂÉÌ (ÈÏÔÑ ÞÁÓÔÏ ÏÎÉ ÂÙ×ÁÀÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÍÉ). î. â. ÷ÁÓÉÌØÅ× ÂÙÌ ÏÞÅÎØ ËÏÎÔÁËÔÎÙÍ ÞÅÌÏ×ÅËÏÍ, ÏÞÅÎØ ÄÏÂÒÏÖÅÌÁÔÅÌØÎÙÍ Ë ÄÒÕÇÉÍ, Ó ÎÉÍ ÂÙÌÏ ÏÞÅÎØ ÒÉÑÔÎÏ ×ÍÅÓÔÅ ÒÁÂÏÔÁÔØ. îÁ×ÅÒÎÏÅ, ÏÜÔÏÍÕ ÂÏÌØÛÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÉÚ ÅÇÏ ÒÁÂÏÔ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÙÅ. á ÅÝÅ ÉÍÅÅÔÓÑ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÂÏÌØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÂÏÔ, × ÓÏÚÄÁÎÉÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÎ ÒÉÎÉÍÁÌ ÕÞÁÓÔÉÅ ÒÉ ÉÈ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÑÈ, ÎÏ ÆÏÒÍÁÌØÎÏ Á×ÔÏÒÏÍ ÎÅ ÞÉÓÌÉÌÓÑ. á×ÔÏÒ ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÉ ÈÏÒÏÛÏ ÜÔÏ ÚÎÁÅÔ Ï Ó×ÏÅÍÕ ÏÙÔÕ, ÏÓËÏÌØËÕ, ÎÁ×ÅÒÎÏ, ÂÙÌ ÓÁÍÙÍ ÂÌÉÚËÉÍ Ë ëÏÌÅ (× ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ) ÞÅÌÏ×ÅËÏÍ, ÓÁÍÙÍ ÞÁÓÔÙÍ ÅÇÏ ÓÏÁ×ÔÏÒÏÍ. îÏ ÇÌÁ×ÎÏÅ ÒÉ ÜÔÏÍ ÄÁÖÅ ÎÅ ÜÔÉ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÙÅ ÒÁÂÏÔÙ. æÁËÔÉÞÅÓËÉ ×ÓÅ ÒÁÂÏÔÙ Á×ÔÏÒÁ | ÓÏ×ÍÅÓÔÎÙÅ, ÎÅÓÏ×ÍÅÓÔÎÙÅ | ÏÂÓÕÖÄÁÌÉÓØ Ó ëÏÌÅÊ, ÒÏÉÓÈÏÄÉÌÁ ÉÈ Ó×ÏÅÏÂÒÁÚÎÁÑ €ÏÂËÁÔËÁ. é ÜÔÏ ÒÉ×ÏÄÉÌÏ, ÎÅÓÏÍÎÅÎÎÏ, Ë ÕÌÕÞÛÅÎÉÀ ËÁÞÅÓÔ×Á ÒÁÂÏÔ (ÏÑÔØ ÖÅ ÉÚ-ÚÁ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔÉ ëÏÌÉ Õ×ÉÄÅÔØ ÓÕÔØ ÄÅÌÁ, ÉÚ-ÚÁ ÅÇÏ ÜÓÔÅÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÞÕ×ÓÔ×Á).

å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ìÁÎÄÉÓ

å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ìÁÎÄÉÓ ÂÙÌ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÔÅÈ, ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ ËÏÍÕ ÛÅÓÔÉÄÅÓÑÔÙÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ €ÚÏÌÏÔÙÍÉ ÇÏÄÁÍÉ ÍÏÓËÏ×ÓËÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËɁ. ïÎ ÏÓÔÕÉÌ ÎÁ ÍÅÈÍÁÔ ÚÁ ÍÅÓÑ ÄÏ Ó×ÏÅÇÏ ×ÏÓÅÍÎÁÄ ÁÔÉÌÅÔÉÑ × 1939 Ç. É ÂÙÌ ÒÉÚ×ÁÎ Ó ÅÒ×ÏÇÏ ËÕÒÓÁ × ÁÒÍÉÀ. îÁÞÁÌÁÓØ æÉÎÓËÁÑ ×ÏÊÎÁ, É çÅÎÑ ìÁÎÄÉÓ ÕÞÁÓÔ×Ï×ÁÌ × ÎÅÊ Ó ÅÒ×ÙÈ ÄÎÅÊ. ïÎ ÂÙÌ ÏÂÍÏÒÏÖÅÎ É ÒÁÎÅÎ ÎÁ ëÁÒÅÌØÓËÏÍ ÅÒÅÛÅÊËÅ. å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÒÏÛÅÌ ×ÓÀ ÷ÅÌÉËÕÀ ïÔÅÞÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÷ÏÊÎÕ, ÎÁÇÒÁÖÄÅÎ ÏÒÄÅÎÏÍ ëÒÁÓÎÏÇÏ úÎÁÍÅÎÉ É ÍÅÄÁÌÑÍÉ. ÷ ÍÁÅ 1945 ÇÏÄÁ ÏÎ ×ÏÛÅÌ × âÅÒÌÉÎ É ÚÁÏÍÎÉÌ ÅÇÏ, ÒÅ×ÒÁÝÅÎÎÙÍ × ÒÁÚ×ÁÌÉÎÙ. ÷ ÔÏÍ ÖÅ ÇÏÄÕ ÏÎ ×ÅÒÎÕÌÓÑ × õÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ. ïÂÙÞÎÏ ÅÒÅÒÙ× × ÚÁÎÑÔÉÑÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ ÄÁÖÅ ÎÁ Ä×Á ÇÏÄÁ ×ÏÅÎÎÏÊ ÓÌÕÖÂÙ ÁÇÕÂÎÏ ÓËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ Ô×ÏÒÞÅÓËÉÈ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔÑÈ ÓÔÕÄÅÎÔÁ. å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ, ÏÓÌÅ ÛÅÓÔÉ ÌÅÔ ×ÏÊÎÙ, ×ÅÒÎÕÌÓÑ ÎÁ ÍÅÈÍÁÔ, ÏÌÎÙÊ ÓÉÌ. ïÎ ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÌ, ÞÔÏ ÞÕ×ÓÔ×Ï×ÁÌ ÓÅÂÑ × ÔÏ ×ÒÅÍÑ, ËÁË ÄÖÉÎÎ ÉÚ €1001 ÎÏÞɁ: €þÔÏ ÒÉËÁÖÅÔ ÍÏÊ Ï×ÅÌÉÔÅÌØ: ÏÓÔÒÏÉÔØ Ä×ÏÒÅ ÉÌÉ ÒÁÚÒÕÛÉÔØ ÇÏÒÏÄ? ïÎ ÎÁÞÁÌ ÒÁÂÏÔÁÔØ ÏÄ ÒÕËÏ×ÏÄÓÔ×ÏÍ á. ó. ëÒÏÎÒÏÄÁ, Ó×ÏÅÇÏ ÄÒÕÇÁ É Ó×ÅÒÓÔÎÉËÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÂÙÌ ÄÅÍÏÂÉÌÉÚÏ×ÁÎ ÉÚ-ÚÁ ÒÁÎÅÎÉÊ É ÕÞÉÌÓÑ ÎÁ ÑÔÏÍ ËÕÒÓÅ, ËÏÇÄÁ ìÁÎÄÉÓ ×ÅÒÎÕÌÓÑ ÎÁ ÅÒ×ÙÊ. îÁ ÓÔÁÒÛÉÈ ËÕÒÓÁÈ å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÓÔÁÌ ÕÞÅÎÉËÏÍ É ÄÒÕÇÏÍ é×ÁÎÁ çÅÏÒÇÉÅ×ÉÞÁ ðÅÔÒÏ×ÓËÏÇÏ. óÏÅÄÉÎÑ×ÛÁÑ ÉÈ ÄÒÕÖÂÁ ÒÏÄÏÌÖÁÌÁÓØ ÄÏ ËÏÎ Á ÄÎÅÊ é×ÁÎÁ çÅÏÒÇÉÅ×ÉÞÁ (1973 Ç.). ÷ 1945 ÇÏÄÕ å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÓÄÅÌÁÌ Ó×ÏÀ ÅÒ×ÕÀ ÎÁÕÞÎÕÀ ÒÁÂÏÔÕ; Ë ÏËÏÎÞÁÎÉÀ ÆÁËÕÌØÔÅÔÁ × 1950 Ç. ÏÎ ÎÁÉÓÁÌ ÕÖÅ ÑÔØ ÒÁÂÏÔ É × 1951 Ç. ÏÌÕÞÉÌ ÒÅÍÉÀ íÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÝÅÓÔ×Á. ïÄÎÁËÏ × ÜÔÉ ÇÏÄÙ, × ÒÁÚÇÁÒ €ÂÏÒØÂÙ Ó ËÏÓÍÏÏÌÉÔÉÚÍḮ, ÕÔØ × ÁÓÉÒÁÎÔÕÒÕ å×ÇÅÎÉÀ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÕ ÂÙÌ ÚÁËÒÙÔ. îÅ ÕÄÁÌÏÓØ ÅÍÕ ÕÓÔÒÏÉÔØÓÑ É ÎÁ ÒÁÂÏÔÕ Ï ÓÅ ÉÁÌØÎÏÓÔÉ. ïÎ ÂÙÌ ÎÁËÏÎÅ ÒÉÎÑÔ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÅÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ × ÛËÏÌÕ ÒÁÂÏÞÅÊ ÍÏÌÏÄÅÖÉ. óÒÁÚÕ ÏÓÌÅ ÓÍÅÒÔÉ óÔÁÌÉÎÁ, × ÍÁÒÔÅ 1953 Ç., ðÅÔÒÏ×ÓËÉÊ ÒÅÄÌÏÖÉÌ ÅÍÕ ÚÁÝÉÔÉÔØ ËÁÎÄÉÄÁÔÓËÕÀ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÀ, ËÏÔÏÒÕÀ å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ É ÚÁÝÉÔÉÌ × ÍÁÅ ÔÏÇÏ ÖÅ ÇÏÄÁ. ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÏÞÔÉ 45 ÌÅÔ å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÒÁÂÏÔÁÌ ÎÁ ÍÅÈÍÁÔÅ íçõ. îÅÓËÏÌØËÏ ÌÅÔ ÏÎ ÒÁÂÏÔÁÌ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏ × ÇÒÕÅ ëÒÏÎÒÏÄÁ × éüæ (éÎÓÔÉÔÕÔ ÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÊ É üËÓÅÒÉÍÅÎÔÁÌØÎÏÊ æÉÚÉËÉ). üÔÏ ÂÙÌÁ ÏÄÎÁ ÉÚ ÅÒ×ÙÈ ÇÒÕ, ÒÁÚÒÁÂÁÔÙ×Á×ÛÉÈ × òÏÓÓÉÉ ÏÓÎÏ×Ù ÎÁÕËÉ, ËÏÔÏÒÁÑ ÔÅÅÒØ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ \Computer s ien es". å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÓÏÚÄÁÌ ÂÏÌØÛÕÀ ÛËÏÌÕ; Ë ÞÉÓÌÕ ÅÇÏ ÕÞÅÎÉËÏ× ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ É Á×ÔÏÒ ÜÔÉÈ ÓÔÒÏË. ïÎ ÕÞÉÌ ÎÁÓ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÎÏ É ÔÏÍÕ, ËÁË ÂÙÔØ þÅÌÏ×ÅËÏÍ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ. õÞÉÌ ÎÅ ÓÌÏ×ÁÍÉ, Á Ó×ÏÅÊ Ï×ÓÅÄÎÅ×ÎÏÊ ÖÉÚÎØÀ. ÷ ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÇÏÄÙ å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÍÎÏÇÏ ÂÏÌÅÌ. õÖÅ ÎÁ ×ÏÓØÍÏÍ ÄÅÓÑÔËÅ, Ó ÒÁÚÒÕÛÅÎÎÙÍ ÚÄÏÒÏ×ØÅÍ, ÏÎ ÒÏÄÏÌÖÁÌ ÎÅÓÔÉ ÏÌÎÕÀ ÒÏÆÅÓÓÏÒÓËÕÀ ÎÁÇÒÕÚËÕ, ËÁË ÎÅÓ ÅÅ ×ÓÀ ÖÉÚÎØ. å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÓËÏÎÞÁÌÓÑ 12 ÄÅËÁÂÒÑ 1997 Ç. ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÄÁÌÅÅ ÍÁÔÅÒÉÁÌÙ | ÓËÒÏÍÎÁÑ ÄÁÎØ ÅÇÏ ÁÍÑÔÉ. à. ó. éÌØÑÛÅÎËÏ

34

í. ì. çÅÒ×ÅÒ

ðÁÍÑÔÉ å. í. ìÁÎÄÉÓÁ

í. ì. çÅÒ×ÅÒ ìÁÎÄÉÓ ÌÀÂÉÌ íÏ ÁÒÔÁ É ðÕÛËÉÎÁ. é × ÎÅÍ ÓÁÍÏÍ ÂÙÌÁ ÕÄÉ×ÉÔÅÌØÎÁÑ ÌÅÇËÏÓÔØ É ÒÏÓÔÏÔÁ, ÎÁÏÍÉÎÁ×ÛÁÑ ÍÏ ÁÒÔÏ×ÓËÕÀ ÍÕÚÙËÕ ÉÌÉ ÕÛËÉÎÓËÉÅ ÓÔÉÈÉ. üÔÁ ÌÅÇËÏÓÔØ É ÒÏÓÔÏÔÁ, ÍÑÇËÏÓÔØ, ÏÔÚÙ×ÞÉ×ÏÓÔØ, ÒÅÄËÁÑ ÄÏÂÒÏÔÁ É ÉÓÔÉÎÎÁÑ ÉÎÔÅÌÌÉÇÅÎÔÎÏÓÔØ ÓÏÚÄÁ×ÁÌÉ ×ÏËÒÕÇ ÎÅÇÏ ÏÓÏÂÕÀ ÁÕÒÕ É ÒÉ×ÌÅËÁÌÉ Ë ÎÅÍÕ ÌÀÄÅÊ. íÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÌÉÓØ × 55-Í ÇÏÄÕ, Ó 56-ÇÏ ÇÏÄÁ Ñ ÓÔÁÌ ÅÇÏ ÕÞÅÎÉËÏÍ É Ó ÔÅÈ ÓÁÍÙÈ ÏÒ ÎÅÉÚÍÅÎÎÏ ÏÝÕÝÁÌ ÎÅÏÂÙÞÁÊÎÏ ×ÎÉÍÁÔÅÌØÎÏÅ É ÂÌÁÇÏÖÅÌÁÔÅÌØÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ Ë ÓÅÂÅ. ó ÎÉÍ ×ÓÅÇÄÁ ÂÙÌÏ ÈÏÒÏÛÏ. ÷ ÒÁÂÏÔÅ ÏÎ ÂÙÌ ÔÒÅÂÏ×ÁÔÅÌÅÎ, ÎÏ ÝÅÄÒ ÎÁ ÏÈ×ÁÌÙ. ÷ ÂÅÄÅ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ Ô×ÅÒÄÏ ÒÁÓÓÞÉÔÙ×ÁÔØ ÎÁ ÅÇÏ ÏÄÄÅÒÖËÕ É ÕÞÁÓÔÉÅ. ÷ÍÅÓÔÅ ÏÔÄÙÈÁÔØ (ÎÁÒÉÍÅÒ, × ÒÁËÁÅ, ÇÄÅ ×Ï ×ÒÅÍÑ ÄÏÌÇÉÈ ÌÏÄÏÞÎÙÈ ÒÏÇÕÌÏË ÏÎ ÎÅÓÅÛÎÏ ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÌ Ï ÖÉÚÎÉ É Ï ×ÏÊÎÅ, Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ É ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÈ, ÉÌÉ ÂÅÓÅÄÏ×ÁÌ Ï ÍÕÚÙËÅ, Ï ÒÏÞÉÔÁÎÎÙÈ ËÎÉÇÁÈ, ÄÁ ÍÁÌÏ ÌÉ Ï ÞÅÍ ÅÝÅ) ÂÙÌÏ ÒÉÑÔÎÏ É ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ÓËÕÞÎÏ. éÎÏÇÄÁ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÅ ËÁÞÅÓÔ×Á ìÁÎÄÉÓÁ ÏÂÏÒÁÞÉ×ÁÌÁÓØ ËÏÍÉÞÅÓËÏÊ ÓÔÏÒÏÎÏÊ. ÷ 50-Å ÇÏÄÙ Ó ÎÉÍ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÈÏÄÉÔØ Ï ÍÅÈÍÁÔÕ: ÅÒÅÄ ËÁÖÄÏÊ Ä×ÅÒØÀ ÏÎ ÏÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÌÓÑ É ÒÏÕÓËÁÌ ÔÅÂÑ ×ÅÒÅÄ. ñ ×ÙÒÁÂÏÔÁÌ ÓÅ ÉÁÌØÎÕÀ ÓÔÒÁÔÅÇÉÀ: Ñ ×ÓÔÁ×ÁÌ ÏÞÔÉ ÞÔÏ Ï ÓÔÏÊËÅ €ÓÍÉÒÎρ × ÍÅÔÒÅ ÏÔ Ä×ÅÒÉ, É ÏÎ ×ÙÕÞÉÌÓÑ ×ÈÏÄÉÔØ ÅÒ×ÙÍ. îÏ ÏÄÞÁÓ ÏÎ Ï ÜÔÏÍ ÚÁÂÙ×ÁÌ, Á Ñ ÕÖÅ ÚÎÁÌ, ÞÔÏ ÏÎ ÕÍÅÅÔ, É ÔÏÇÄÁ ÍÙ ÓÔÁÌËÉ×ÁÌÉÓØ × Ä×ÅÒÑÈ ËÁË íÁÎÉÌÏ× É þÉÞÉËÏ×. ðÒÏ ðÕÛËÉÎÁ É ÒÏ ÓÔÉÈÉ. ðÅÒ×ÙÍ ÕÞÉÔÅÌÅÍ ìÁÎÄÉÓÁ × íçõ ÂÙÌ á. ó. ëÒÏÎÒÏÄ. ïÎ ÂÙÌ ×ÙÄÁÀÝÉÍÓÑ, ÔÁÌÁÎÔÌÉ×ÅÊÛÉÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÍ, ÎÏ ÏÔÏÍ ÂÒÏÓÉÌ ÎÅÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÎÙÍÉ ÒÑÄ ÇÏÔÏ×ÙÈ ÒÁÂÏÔ É ÇÏ×ÏÒÉÌ: €ÕÓÔØ ÓÕÛÅÎÙÅ ÓÅÌÅÄËÉ ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÅÏÒÅÍÙ, ÎÕÖÎÏ ÚÁÎÉÍÁÔØÓÑ ÄÅÌḮ, Ô. Å. ÚÁÎÉÍÁÔØÓÑ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÍÉ ÍÁÛÉÎÁÍÉ. õ ëÒÏÎÒÏÄÁ ÂÙÌÁ ÍÅÞÔÁ | ÎÁÉÓÁÔØ ÒÏÇÒÁÍÍÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÍÏÇÌÁ ÂÙ ÏÎÉÍÁÔØ ÎÅÁÄÁÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÔÅËÓÔÙ. ïÎ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÌ ÚÁÄÁÞÕ ÔÁË: × ÍÁÛÉÎÕ ÎÕÖÎÏ ×ÌÏÖÉÔØ ÔÅËÓÔ €ïÎÅÇÉÎÁ, Á ÒÏÇÒÁÍÍÁ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÔÁËÏÊ ÕÍÎÏÊ, ÞÔÏÂÙ ÏÔ×ÅÞÁÔØ ÎÁ ×ÏÒÏÓÙ €Ï ÁÎËÅÔŁ ïÎÅÇÉÎÁ. òÅÞØ ÛÌÁ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÎÁÕÞÉÔØ ÍÁÛÉÎÕ ×ÙÄÅÌÑÔØ ÓÍÙÓÌ ÉÚ ÔÅËÓÔÁ. ëÏÇÄÁ å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ Ó âÏÒÅÊ ëÁ ÅÍ (ÓÔÕÄÅÎÔÏÍ íçõ), Ó ÄÏÞÅÒØÀ | ìÅÎÏÊ ìÁÎÄÉÓ (ÔÏÇÄÁ ÛËÏÌØÎÉ ÅÊ, | ÎÏ ÕÖÅ ÎÅ ÔÁËÏÊ ÍÁÌÅÎØËÏÊ, ËÁË ÎÁ ÆÏÔÏ, Á ÏÓÔÁÒÛÅ) É Ó ÅÅ ÏÄÎÏËÌÁÓÓÎÉËÁÍÉ ÉÓÁÌÉ ÒÏÇÒÁÍÍÕ, ÓÏÞÉÎÑ×ÛÕÀ ÓÔÉÈÉ, ÄÏ ÜÔÏÇÏ ÏÎÉ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÎÅ ÄÏÛÌÉ. ïÎÉ ÏÛÌÉ Ï ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÏÍÕ ÕÔÉ, É × ÓÌÏ×ÁÒØ ÍÁÛÉÎÙ ÚÁÌÏÖÉÌÉ ÍÎÏÇÏ ÎÅÏÂÙÄÅÎÎÙÈ, ÞÉÓÔÏ ÏÜÔÉÞÅÓËÉÈ, ÓÌÏ×; ÍÁÛÉÎÁ ÆÁÂÒÉËÏ×ÁÌÁ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÒÉÑÔÎÙÅ ×ÉÒÛÉ, ÇÄÅ ÞÁÓÔÏ ÕÏÔÒÅÂÌÑÌÏÓØ ÓÌÏ×Ï €þÕ!. òÁÚÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅ ÓÏÓÏÂÎÙÊ ÞÅÌÏ×ÅË, ìÁÎÄÉÓ ÏÂÌÁÄÁÌ ÎÅÚÁÕÒÑÄÎÙÍ ÈÕÄÏÖÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÔÁÌÁÎÔÏÍ. ÷ 60-Í ÇÏÄÕ ÏÎ ÒÉ×ÅÚ Ó ëÁ×ËÁÚÁ ËÁÒÔÉÎÕ €ëÒÏÎÒÏÄ, üÌØÂÒÕÓ É ÁÂÒÉËÏӁ. é ÎÁ×ÅÒÎÏÅ Õ ÍÎÏÇÉÈ ÈÒÁÎÑÔÓÑ ÉÈ ÏÒÔÒÅÔÙ É ÏÒÔÒÅÔÙ ÉÈ ÄÅÔÅÊ

35

ðÁÍÑÔÉ å. í. ìÁÎÄÉÓÁ

å. í. ìÁÎÄÉÓ Ó ÄÏÞÅÒØÀ ìÅÎÏÊ

36

í. ì. çÅÒ×ÅÒ

ÒÁÂÏÔÙ ìÁÎÄÉÓÁ. õ ÍÅÎÑ ÅÓÔØ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÎÎÙÊ ÉÍ × ÒÁËÁÅ ÏÒÔÒÅÔ ÍÏÅÊ ÄÏÞËÉ éÒÙ. þÕÔØ ÄÁÌØÛÅ Ñ ÏËÁÖÕ ÓÔÒÁÎÉÞËÕ ÉÚ ÞÅÒÎÏ×ÉËÏ× ìÁÎÄÉÓÁ, É ÔÁÍ ÂÕÄÅÔ ÎÁÂÒÏÓÏË Ë ÏÒÔÒÅÔÕ ÓËÒÉÁÞËÉ | ÚÎÁËÏÍÏÊ å×ÇÅÎÉÑ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÁ. ìÁÎÄÉÓ ÅÎÉÌ ÈÏÒÏÛÕÀ ÛÕÔËÕ. óÁÍ ÌÀÂÉÌ ÛÕÔÉÔØ, ÒÉÞÅÍ ÓÏÓÏÂÏÍ, ÎÅÔÒÁÄÉ ÉÏÎÎÙÍ ÄÌÑ ÍÅÈÍÁÔÁ. îÁ ÍÅÈÍÁÔÅ ÕÍÅÀÔ ÛÕÔÉÔØ, ÎÏ ÛÕÔËÉ ÜÔÉ ÎÏÓÑÔ ÞÁÓÔÏ ÉÚÄÅ×ÁÔÅÌØÓËÉÊ ÈÁÒÁËÔÅÒ. á Õ ìÁÎÄÉÓÁ ÂÙÌÉ ÄÏÂÒÙÅ ÛÕÔËÉ. ÷ÏÔ ÌÀÂÉÍÙÊ ÁÎÅËÄÏÔ å×ÇÅÎÉÑ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÁ €ÒÏ ËÏÒÏÌÑ ÅÔÅÒÂÕÒÖÓËÏÇÏ ÂÉÌÌÉÁÒÄÁ: { ëÏÒÏÌÑ ÅÔÅÒÂÕÒÖÓËÏÇÏ ÂÉÌÌÉÁÒÄÁ ÉÎÔÅÒ×ØÀÉÒÏ×ÁÌÉ Ï Ï×ÏÄÕ ÒÏÌÉ×Ï× âÏÓÆÏÒ É äÁÒÄÁÎÅÌÌÙ: ËÁË ÎÅÚÁÍÅÔÎÏ ÒÏ×ÅÓÔÉ Ï ÎÉÍ ÒÕÓÓËÉÊ ÆÌÏÔ? ëÏÒÏÌØ ÂÉÌÌÉÁÒÄÁ ÓÒÁÛÉ×ÁÅÔ: €íÏÖÅÔ ÂÙÔØ, ÎÏÞØÀ? îÅÔ, ÎÅÌØÚÑ ÏÔÏÍÕ-ÔÏ É ÏÔÏÍÕÔÏ. €á ÅÓÌÉ ÏÔÉÈÏÎØËÕ? îÅÔ, ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ. €îÕ, ÔÏÇÄÁ ÎÉÞÅÍ ÎÅ ÍÏÇÕ ÏÍÏÞØ : : :  ë ìÁÎÄÉÓÕ ÏÓÔÏÑÎÎÏ ÏÂÒÁÝÁÌÉÓØ ÚÁ ÓÏ×ÅÔÁÍÉ | ÓÁÍÙÍÉ ÒÁÚÎÙÍÉ. ïÎ ÏÍÏÇÁÌ ÂÅÚÏÔËÁÚÎÏ. îÏ ÉÎÏÇÄÁ, | ËÏÇÄÁ ×ÏÒÏÓ ÂÙÌ ÕÖ ÓÏ×ÓÅÍ ÎÅ Ï ÁÄÒÅÓÕ, | ÞÕ×ÓÔ×ÕÑ ÓÅÂÑ ÂÅÓÓÉÌØÎÙÍ ÏÓÏ×ÅÔÏ×ÁÔØ ÞÔÏ-ÎÉÂÕÄØ ÕÔÎÏÅ, ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÌ ÜÔÏÔ ÁÎÅËÄÏÔ. íÎÏÇÉÅ ÏÍÎÑÔ ËÁÒÔÉÎËÕ ìÁÎÄÉÓÁ €ïÅÒÁÔÏÒÙ × Ó×ÅÒÔËÁȁ, ×ÉÓÅ×ÛÕÀ ÎÁ ËÁÆÅÄÒÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ. òÅÞØ ÛÌÁ Ï ÏÅÒÁ ÉÉ Ó×ÅÒÔËÉ ∗, Á ìÁÎÄÉÓ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÌ ÄÅ×ÏÞÅË-ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÚÁ ÕÌØÔÏÍ ü÷í É Ó×ÅÒÔËÉ, ÅÒÅ×ÑÚÁÎÎÙÅ ÌÅÎÔÏÞËÁÍÉ. õÞÅÎÉ Á ìÁÎÄÉÓÁ ìÅÎÁ óÉÔÎÉËÏ×Á ÏÓ×ÑÔÉÌÁ ÜÔÏÊ ËÁÒÔÉÎËÅ ÓÔÉÈÉ, ËÏÎÞÁ×ÛÉÅÓÑ ÔÁË: íÁÛÉÎÎÏÅ ×ÒÅÍÑ Ñ ÔÒÁÞÕ ÎÅ ÚÒÑ, ÔÏ × ÏÉÓËÁÈ, ÔÏ × ÎÁÈÏÄËÁÈ. é ÌÉÛØ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÍÕÞÁÔ ÍÅÎÑ: ÏÎÉ ÏÓÔÁÀÔÓÑ × Ó×ÅÒÔËÁÈ. õ å×ÇÅÎÉÑ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÁ ÂÙÌÁ ÒÉ×ÙÞËÁ | ÚÁ×ÑÚÙ×ÁÔØ ÎÁ ÎÏÓÏ×ÏÍ ÌÁÔËÅ ÕÚÅÌËÉ ÎÁ ÁÍÑÔØ. îÅÒÅÄËÏ × íçõ ÏÎ ×ÙÎÉÍÁÌ ÉÚ ËÁÒÍÁÎÁ ÌÁÔÏË É Ó ÎÅÄÏÕÍÅÎÉÅÍ ÒÁÚÇÌÑÄÙ×ÁÌ ÕÚÅÌËÉ: Ó ×ÅÞÅÒÁ ÎÁ ÚÁ×ÔÒÁ ÂÙÌÏ ÎÁÍÅÞÅÎÏ ÞÔÏ-ÔÏ ÓÄÅÌÁÔØ | ÎÏ ÞÔÏ?! 6 ÏËÔÑÂÒÑ 1971 ÇÏÄÁ ÍÙ ÏÄÁÒÉÌÉ ìÁÎÄÉÓÕ ÀÂÉÌÅÊÎÙÊ ÁÌØÂÏÍ Ë 50-ÌÅÔÉÀ, ÇÄÅ Ó ÍÏÌÏÄÙÍ ÁÚÁÒÔÏÍ ÏÔËÌÉËÎÕÌÉÓØ ÎÁ ÜÔÕ ÒÉ×ÙÞËÕ. îÁ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÓÔÒÁÎÉ ÁÌØÂÏÍÁ | ÏÄ ÚÁÇÏÌÏ×ËÏÍ €÷ÙÉÓËÁ ÉÚ ÒÏÔÏËÏÌÁ ÚÁÓÅÄÁÎÉÑ ÀÂÉÌÅÊÎÏÊ ËÏÍÉÓÓÉɁ ÛÌÉ ÕÎËÔÙ 1, 65 É 50 (ÉÍÅÎÎÏ × ÔÁËÏÍ ÏÒÑÄËÅ), × ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏÄÅÒÖÁÌÏÓØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ: . 1 ÇÌÁÓÉÌ: €ðÏÍÎÉÔØ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÄÉÎ ÞÅÌÏ×ÅË ÎÅ ÍÏÖÅÔ ×ÓÅ ÏÍÎÉÔ؁ (×ÔÏÒÁÑ | ÞÕÔØ ÅÒÅÉÎÁÞÅÎÎÁÑ | ÞÁÓÔØ ÜÔÏÇÏ ÁÆÏÒÉÚÍÁ ÂÙÌÁ ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ ìÁÎÄÉÓÕ ÅÝÅ ÓÏ ÓÔÕÄÅÎÞÅÓËÉÈ ÌÅÔ ÏÔ óÁÛÉ ìÕÎ Á: ÄÅÄ ìÕÎ Á, ×ÏÅÎÎÙÊ ×ÒÁÞ, ÓÅÒÄÉÌÓÑ ÎÁ ÄÅÎÝÉËÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÄÉÎ ÂÏÔÉÎÏË Ï×ÁËÓÉÌ ÞÅÒÎÏÊ, Á ÄÒÕÇÏÊ | ËÏÒÉÞÎÅ×ÏÊ ËÒÁÓËÏÊ; ÄÅÎÝÉË ÏÂÏÒÏÎÑÌÓÑ, ÇÏ×ÏÒÑ, ÞÔÏ ÏÄÉÎ ÞÅÌÏ×ÅË ÎÅ ÍÏÖÅÔ ×ÓÅ ÚÎÁÔØ); × . 65 ÄÁ×ÁÌÏÓØ ÏÂÅÝÁÎÉÅ | Ë 65-ÌÅÔÉÀ å×ÇÅÎÉÑ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÁ ÓËÏÎÓÔÒÕÉÒÏ×ÁÔØ ÏÌÕÁ×ÔÏÍÁÔ €óÁÍÏÒÁÚ×ÑÚÙ×ÁÀÝÉÅÓÑ ÕÚÅÌËɁ; × . 50 ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ: Ë 50-ÌÅÔÉÀ ÏÄÁÒÉÔØ ÀÂÉÌÑÒÕ 7 ÕÚÅÌËÏ× ÎÁ ÁÍÑÔØ É ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÍÏÄÅÌØ ÏÌÕÁ×ÔÏÍÁÔÁ €óÉÇÎÁ́. ðÏÄÁÒËÉ ÂÙÌÉ ÒÅÏÄÎÅÓÅÎÙ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÁÌØÂÏÍÏÍ: €óÉÇÎÁ́ | ÜÔÏ ÂÙÌÉ ÎÁÒÕÞÎÙÅ ÞÁÓÙ, ËÏÔÏÒÙÅ Ú×ÏÎÉÌÉ, ËÏÇÄÁ ÎÕÖÎÏ; 7 ÕÚÅÌËÏ× ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÂÙÌÉ ÚÁ×ÑÚÁ-

ðÁÍÑÔÉ å. í. ìÁÎÄÉÓÁ

37

ÎÙ ÎÁ ÂÏÌØÛÏÍ ÎÏÓÏ×ÏÍ ÌÁÔËÅ, É × ËÁÖÄÏÍ ÕÚÅÌËÅ ÂÙÌÁ ÂÕÍÁÖËÁ Ó ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÏÌÅÚÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÅÊ, ÉÎÏÇÄÁ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅÓÕÓ×ÅÔÎÏÊ. îÁÒÉÍÅÒ, ÔÁÍ ÂÙÌ ÒÅ ÅÔ, ËÁË ×Ù×ÏÄÉÔØ Ó ÛÅÌËÁ ÑÔÎÁ ÏÔ É×Á. áÂÓÏÌÀÔÎÏ ÒÁ×ÎÏÄÕÛÎÙÊ Ë ÁÌËÏÇÏÌÀ ìÁÎÄÉÓ ÏÞÅÎØ ÓÍÅÑÌÓÑ, ÒÁÚ×ÑÚÁ× ÜÔÏÔ ÕÚÅÌÏË É ÒÏÞÉÔÁ× ×ÌÏÖÅÎÎÕÀ × ÎÅÇÏ ÚÁÉÓËÕ. åÝÅ ìÁÎÄÉÓÕ ÞÒÅÚ×ÙÞÁÊÎÏ ÏÎÒÁ×ÉÌÁÓØ ÎÁÛÁ ÒÅËÏÍÅÎÄÁ ÉÑ: €åÓÌÉ ×Ù ÏÊÍÁÅÔÅ ÓÌÏÎÁ ÚÁ ÚÁÄÎÀÀ ÎÏÇÕ, Á ÏÎ ÓÔÁÎÅÔ ÂÒÙËÁÔØÓÑ, ÎÅ ÕÏÒÓÔ×ÕÊÔŁ. îÁ ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÒÁÎÉ Å ÎÁÛÅÇÏ ÁÌØÂÏÍÁ å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÏÂÎÁÒÕÖÉÌ ×ÏÔ ÞÔÏ: : : : èÏÒÏÛÏ × ÔÅÌÙÈ ÍÏÒÑÈ. ïÓÏÂÅÎÎÏ ÎÁ ËÏÒÁÂÌÅ. ïÓÏÂÅÎÎÏ ÍÅÖÄÕ ïÄÅÓÓÏÊ É óÅ×ÁÓÔÏÏÌÅÍ. ëÏÇÄÁ ÍÏÒÅ ÓÏËÏÊÎÏ. é ËÏÇÄÁ ÅÝÅ | ÎÁ ×ÓÑËÉÊ ÓÌÕÞÁÊ | ÒÁÂÏÔÁÀÔ ÕÓÏËÏÉÔÅÌÉ ËÁÞËÉ : : : üÔÏ | €éÓÔÏÒÉÑ Ï ÔÏÍ, ËÁË ìÁÎÄÉÓ × éÎÄÉÊÓËÉÊ ÏËÅÁÎ ÈÏÄÉ́. ïÎÁ ÏÄÌÉÎÎÁÑ, Ô. Å. ÏÎ É ×ÒÑÍØ ÏÔÒÁ×ÉÌÓÑ × ÔÁËÕÀ ÜËÓÅÄÉ ÉÀ ÎÁ ÏËÅÁÎÓËÏÍ ÌÁÊÎÅÒÅ €áËÁÄÅÍÉË ëÕÒÞÁÔÏׁ. ïÄÎÁËÏ ÎÅÏÄÁÌÅËÕ ÏÔ ïÄÅÓÓÙ ÎÁ ËÏÒÁÂÌÅ (× ÓÏËÏÊÎÕÀ ÏÇÏÄÕ!) ÉÓÙÔÁÌÉ ÒÏÔÉ×ÏËÁÞÅÞÎÙÅ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Á. ðÏÌÕÞÉÌÁÓØ ÏÌÎÁÑ ÉÌÌÀÚÉÑ ÏËÅÁÎÓËÏÇÏ ÛÔÏÒÍÁ, É | ×ÏÌÎÅ ÎÁÓÌÁÄÉ×ÛÉÓØ ÜÔÉÍ ÉÓËÕÓÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÛÔÏÒÍÏÍ | ìÁÎÄÉÓ ÄÁÌØÛÅ ÎÅ ÏÅÈÁÌ : : : îÏ, ÍÅÖÄÕ ÒÏÞÉÍ, ÚÁ ×ÒÅÍÑ ÒÅÂÙ×ÁÎÉÑ ÎÁ €ëÕÒÞÁÔÏף ÏÎÉ Ó éÇÏÒÅÍ æÁÒÁÄÖÅ×ÙÍ (ÒÁÂÏÔÁ×ÛÉÍ ×ÍÅÓÔÅ Ó ìÁÎÄÉÓÏÍ × éüæÅ) ÎÁÉÓÁÌÉ ÄÌÑ ÓÕÄÏ×ÏÊ ü÷í ÎÁ×ÉÇÁ ÉÏÎÎÕÀ ÒÏÇÒÁÍÍÕ €ûÔÕÒÍÁ΁, ËÏÔÏÒÁÑ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÁÓØ É × ÔÏÍ ÌÁ×ÁÎÉÉ, É ÏÓÌÅ. ðÌÁ×ÁÎÉÅ, Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ å×ÇÅÎÉÑ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÁ, ÂÙÌÏ ÏÄÇÏÔÏ×ÌÅÎÏ ÉÚ ÒÕË ×ÏÎ ÌÏÈÏ. ïÎ ÇÏ×ÏÒÉÌ ÍÎÅ, ÞÔÏ €ÓÔÒÁÛÎÏ ÒÁÚÒÕÇÁÌÓс Ó ÞÅÌÏ×ÅËÏÍ (ÎÅ ÂÕÄÕ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÅÇÏ ÆÁÍÉÌÉÀ), ÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÚÁ ÏÄÇÏÔÏ×ËÕ ÜËÓÅÄÉ ÉÉ. îÁ ÓÁÍÏÍ-ÔÏ ÄÅÌÅ, ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÒÅÚËÏ ÒÅÒ×Á× ÔÅÌÅÆÏÎÎÙÊ ÒÁÚÇÏ×ÏÒ, ìÁÎÄÉÓ ×ÅÖÌÉ×Ï ÏÒÏÝÁÌÓÑ É Ï×ÅÓÉÌ ÔÒÕÂËÕ. á ×ÏÔ, ËÓÔÁÔÉ, ÅÝÅ ÏÄÎÁ ÉÓÔÏÒÉÑ, ÎÁÞÁÌÏ ËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÖÅ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÎÏ ÄÌÑ ÎÅÉÚÍÅÎÎÏ ÄÅÌÉËÁÔÎÏÇÏ å×ÇÅÎÉÑ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÁ. üÉÚÏÄ Ó×ÑÚÁÎ Ó €ÌÅÍÍÏÊ çÅÒ×ÅÒÁ { ìÁÎÄÉÓÁ, ÏÂÏÂÝÅÎÉÅÍ ÌÁÇÒÁÎÖÅ×ÓËÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÓÒÅÄÎÅÍ ÎÁ ÓÌÕÞÁÊ ÆÕÎË ÉÊ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. ñ ÒÉÛÅÌ Ë ìÁÎÄÉÓÕ ÓÄÁ×ÁÔØ ÁÓÉÒÁÎÔÓËÉÊ ÏÔÞÅÔ ÒÏ ÄÉ×ÉÚÏÒÙ É ÔÅÏÒÅÍÕ òÉÍÁÎÁ-òÏÈÁ. ðÒÉ×ÙËÛÉÊ Ë ÔÏÍÕ, ÞÔÏ å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ×ÓÅÇÄÁ ÒÏÑ×ÌÑÌ ÎÅÏÄÄÅÌØÎÙÊ ÉÎÔÅÒÅÓ Ë ÓÏÂÅÓÅÄÎÉËÕ, ÎÁ ÜÔÏÔ ÒÁÚ Ñ Ó ÕÄÉ×ÌÅÎÉÅÍ ÏÂÎÁÒÕÖÉÌ | ÏÎ Ñ×ÎÏ ÎÅ ÓÌÕÛÁÅÔ ÍÅÎÑ. ÷ÓËÏÒÅ ÄÉ×ÉÚÏÒÙ ÂÙÌÉ ÏÔÓÔÁ×ÌÅÎÙ × ÓÔÏÒÏÎÕ, É ìÁÎÄÉÓ ÓÏÏÂÝÉÌ ÍÎÅ ÚÁÄÁÞÕ, ÎÁÄ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÎ ÒÁÚÍÙÛÌÑÌ. úÁÄÁÞÁ ÍÎÅ ÏÎÒÁ×ÉÌÁÓØ, É ÞÅÒÅÚ ÁÒÕ ÄÎÅÊ Ñ ÒÅÄÌÏÖÉÌ ÉÄÅÀ ÒÅÛÅÎÉÑ: ÎÕÖÎÏ ÒÏ×ÅÓÔÉ ÍÎÏÇÏ ÔÏÎËÉÈ ÔÒÕÂÏÞÅË (ÉÎÔÅÇÒÁÌ Ï Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ËÁÖÄÏÊ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ), É ËÁÖÄÕÀ ÔÒÕÂÏÞËÕ ÅÒÅÇÏÒÏÄÉÔØ × Ó×ÏÅÍ ÍÅÓÔÅ. ìÁÎÄÉÓ ÕÖÁÓÎÏ ÏÂÒÁÄÏ×ÁÌÓÑ ÜÔÏÊ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ. ÁË ×ÏÚÎÉËÌÁ ÎÁÛÁ €ÍÁËÁÒÏÎÎÁÑ ÌÅÍÍÁ. ÷ ÁÌØÂÏÍÅ Ë 50-ÌÅÔÉÀ ÂÙÌÉ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÛÕÔËÉ. îÁÒÉÍÅÒ, ÔÁÍ ÂÙÌÁ ÆÏÔÏÇÒÁÆÉÑ âÕÌÁÔÁ ïËÕÄÖÁ×Ù Ó ÇÉÔÁÒÏÊ É ÏÄÉÓØ: ÂÕÄØ ÚÄÏÒÏ×, ÛËÏÌÑÒ! äÌÑ ìÁÎÄÉÓÁ (ÏÁ×ÛÅÇÏ ÎÁ ÆÉÎÓËÕÀ ×ÏÊÎÕ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÓÏ ÛËÏÌØÎÏÊ ÓËÁÍØÉ, Á ÏÔÏÍ ÒÏÛÅÄÛÅÇÏ É ×ÓÀ ÏÔÅÞÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ) É ×ÏÅÎÎÙÅ ÅÓÎÉ âÕÌÁÔÁ ïËÕÄÖÁ×Ù, É ÅÇÏ Ï×ÅÓÔØ €âÕÄØ ÚÄÏÒÏ×, ÛËÏÌÑҁ ÉÚ €ÁÒÕÓÓËÉÈ ÓÔÒÁÎÉ  ÂÙÌÉ ÄÏÒÏÇÉ. âÙÌÉ × ÁÌØÂÏÍÅ É 23 ÒÏÂÌÅÍÙ (23 | ËÁË Õ çÉÌØÂÅÒÔÁ!), ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÔÏÞÎÏ ÏÔÒÁÖÁ×ÛÉÅ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÉÅ ÉÎÔÅÒÅÓÏ× ìÁÎÄÉÓÁ:

38

í. ì. çÅÒ×ÅÒ

1. ðÏÞÅÍÕ Õ ÞÅÌÏ×ÅËÁ ÌÅ×ÁÑ ÒÕËÁ ÔÁËÁÑ ÖÅ, ËÁË ÒÁ×ÁÑ? 2. ëÁË ÌÅÞÉÔØ ÒÁË? 3. ðÏÄÇÏÔÏ×ÌÅÎ ÌÉ Ü×ÏÌÀ ÉÅÊ ÍÏÚÇ ËÏÛËÉ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ? 4. ëÁË ÕÓÔÒÏÅÎÁ ÁÍÑÔØ? 5. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÛËÏÌÙ É ÓÕÄØÂÙ ÉÈ ×ÏÓÉÔÁÎÎÉËÏ×. 6. þÔÏ ÔÁËÏÅ ÚÄÒÁ×ÙÊ ÓÍÙÓÌ? 7. áÎËÅÔÁ Ï ÔÅËÓÔÕ €å×ÇÅÎÉÊ ïÎÅÇÉ΁. 8. ðÒÏÇÒÁÍÍÁ €ïÂÏÂÝÅÎÎÁÑ âÅÒÅÚÁÎÓËÁс. 9. ðÒÏÇÒÁÍÍÁ €çÅÏÍÅÔÒÉс. 10. äÉÁÇÎÏÓÔÉËÁ. 11. €ëÏÛÅÞËÁ. 12. ëÁË ÚÁÉÓÙ×ÁÔØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï? 13. ïÂÒÁÔÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÓÅÊÓÍÏÌÏÇÉÉ. 14. ðÏÞÅÍÕ ÂÙ×ÁÀÔ ÚÅÍÌÅÔÒÑÓÅÎÉÑ É ËÁË ÉÈ ÒÅÄÓËÁÚÙ×ÁÔØ. 15. íÅÈÁÎÉÚÍ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ËÏÎÔÉÎÅÎÔÏ×. 16. âÉÏÇÅÏ ÅÎÏÚ. 17. äÚÅÔÁ-ÆÕÎË ÉÑ. 18. þÅÔÙÒÅ ËÒÁÓËÉ. 19. ãÉËÌÙ. 20. þÉÓÌÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ. 21. óÏÚÄÁÎÉÅ ÂÙÓÔÒÏÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÍÁÛÉÎ. 22. ëÁËÕÀ ÉÚ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ ÒÏÂÌÅÍ ÎÁÚ×ÁÔØ 22-Ê? 23. óÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÌÉ × ÒÉÒÏÄÅ ÄÁÔÞÉËÉ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÞÉÓÅÌ? ðÒÉÍÅÞÁÎÉÅ Ë ÒÏÂÌÅÍÁÍ 8, 9, 11, 19 É 22. âÅÒÅÚÁÎÓËÁÑ | Á×ÔÏÒ ÓÔÁÒÏÇÏ ÛËÏÌØÎÏÇÏ ÚÁÄÁÞÎÉËÁ Ï ÁÒÉÆÍÅÔÉËÅ, ÒÏÂÌÅÍÁ 8 | ÎÁÉÓÁÔØ ÒÏÇÒÁÍÍÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÒÅÛÁÌÁ ÂÙ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÔÅËÓÔÁÍ ÕÓÌÏ×ÉÊ (ÈÏÔÑ ÂÙ ÁÄÁÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ). ðÒÏÂÌÅÍÁ 9 | ÎÁÉÓÁÔØ ÒÏÇÒÁÍÍÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÒÅÛÁÌÁ ÂÙ ÛËÏÌØÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. ðÒÏÂÌÅÍÁ 11 | ÏÂßÑÓÎÉÔØ, ËÁË Ä×ÉÖÅÔÓÑ (ÈÏÄÉÔ, ÂÅÇÁÅÔ, ÒÙÇÁÅÔ) ÄÏÍÁÛÎÑÑ ËÏÛÅÞËÁ (É, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÎÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ÎÁ ü÷í ÍÕÌØÔÆÉÌØÍ, ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÝÉÊ ÜÔÏ Ä×ÉÖÅÎÉÅ). ãÉËÌÙ × ÒÏÂÌÅÍÅ 19 | ÜÔÏ ÒÅÄÅÌØÎÙÅ ÉËÌÙ ÓÉÓÔÅÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÍÉ ÒÁ×ÙÍÉ ÞÁÓÔÑÍÉ. îÁËÏÎÅ , ÒÏÂÌÅÍÁ 22 ÎÁÏÍÉÎÁÅÔ: ËÁË ÎÉ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙ ÂÙÌÉ ÉÎÔÅÒÅÓÙ ìÁÎÄÉÓÁ, ×ÓÅ-ÔÁËÉ × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ × ÚÒÅÌÙÅ ÇÏÄÙ ÏÎ ÚÁÎÉÍÁÌÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ Ó ÞÁÓÔÎÙÍÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÍÉ | Á ÜÔÏ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ × ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÍ ÓÉÓËÅ ÎÅ ÏÔÒÁÖÅÎÏ ×Ï×ÓÅ : : : ðÒÉ ×ÓÅÊ ÛÕÔÌÉ×ÏÓÔÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÏË, Ï-ÍÏÅÍÕ, ÎÁÛÉ 23 ÒÏÂÌÅÍÙ ÎÅÌÏÈÏ ÓÍÏÔÒÑÔÓÑ É ÓÅÊÞÁÓ : : :

ðÁÍÑÔÉ å. í. ìÁÎÄÉÓÁ

39

: : : ÅÅÒØ | ÅÝÅ ÏÄÎÁ ÓÔÒÁÎÉÞËÁ ÉÚ ÁÌØÂÏÍÁ ÎÁ 50-ÌÅÔÉÅ. òÕËÏÊ ìÁÎÄÉÓÁ ÎÁÉÓÁÎÏ, ËÏÇÏ (ËÁËÉÈ ÛËÏÌØÎÉËÏ× | ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÓÔÕÄÅÎÞÅÓËÏÇÏ ÓÅÍÉÎÁÒÁ) ìÁÎÄÉÓ ÒÏÓÉÔ ÒÏÕÓÔÉÔØ ÎÁ ÍÅÈÍÁÔ 13 ÓÅÎÔÑÂÒÑ 1961 ÇÏÄÁ. ÷ ÓÉÓËÅ | Ï ÁÌÆÁ×ÉÔÕ: éÏÓÉÆ âÅÒÎÛÔÅÊÎ, óÁÛÁ çÅÒÏÎÉÍÕÓ, ìÅÎÑ ìÉÍÁÎÏ× (ÜÔÏ ìÅÏÎÉÄ íÁËÁÒ-ìÉÍÁÎÏ×, ÆÁÍÉÌÉÑ ÓÏËÒÁÝÅÎÁ), çÒÉÛÁ íÁÒÇÕÌÉÓ, âÏÒÑ ðÒÁÎÏ×, ÷ÏÌÉË æÉÛÍÁÎ. ÷ÓÅ ÏÎÉ ÓÔÁÌÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍÉ, ÎÅËÏÔÏÒÙÅ | ×ÓÅÍÉÒÎÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ; óÁÛÁ çÅÒÏÎÉÍÕÓ ÓÄÅÌÁÌÓÑ ×ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ Ó×ÑÝÅÎÎÏÓÌÕÖÉÔÅÌÅÍ, çÒÉÛÁ íÁÒÇÕÌÉÓ ÓÔÁÌ ÆÉÌÄÓÏ×ÓËÉÍ ÌÁÕÒÅÁÔÏÍ, ÷ÏÌÉË æÉÛÍÁÎ, Á×ÔÏÒ  -ÍÅÔÏÄÁ × ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÇÅÏÆÉÚÉËÅ, Ë ÎÅÓÞÁÓÔØÀ, ÕÍÅÒ ÓÏ×ÓÅÍ ÍÏÌÏÄÙÍ. ïÔÍÅÞÕ, ËÓÔÁÔÉ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÛËÏÌØÎÉËÉ ÂÙÌÉ ÕÞÁÓÔÎÉËÁÍÉ ÛËÏÌØÎÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ËÒÕÖËÁ €ÁÌØÆÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ×ÅÌ îÉË. îÉË. ëÏÎÓÔÁÎÔÉÎÏ×. ÷ €ÁÌØÆÁ, Á ÏÔÏÍ × €ÂÅÔÁ ÈÏÄÉÌÉ É ÄÒÕÇÉÅ ÓÉÌØÎÙÅ ËÒÕÖËÏ× Ù, ÎÁÒÉÍÅÒ, óÅÎÑ ÷ÉÛÉË. ïÂÒÁÝÁÀ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÎÁ Ó×ÑÚØ ÜÔÏÇÏ ÓÀÖÅÔÁ Ó 5-ÙÍ ÕÎËÔÏÍ (ÒÏÂÌÅÍÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÛËÏÌ É ÉÈ ×ÙÕÓËÎÉËÏ×). : : : ÷ ÁÌØÂÏÍÅ ÎÁ 50-ÌÅÔÉÅ ÍÙ ÓÌÅÇËÁ ÌÅÇËÏÍÙÓÌÅÎÎÏ ÄÁÌÉ ÏÂÅÝÁÎÉÅ ÓËÏÎÓÔÒÕÉÒÏ×ÁÔØ Ë 65-ÌÅÔÉÀ ìÁÎÄÉÓÁ ÏÌÕÁ×ÔÏÍÁÔ €óÁÍÏÒÁÚ×ÑÚÙ×ÁÀÝÉÅÓÑ ÕÚÅÌËɁ. é ×ÏÔ, ÒÏÛÌÏ 15 ÌÅÔ, É ÎÁÄÏ ÂÙÌÏ ÏÂÅÝÁÎÉÅ ËÁË-ÔÏ ×ÙÏÌÎÑÔØ. îÕ ÞÔÏ Ö, ÍÙ ÒÉÄÕÍÁÌÉ, | ËÁË. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÍÙ ÏÂÚ×ÏÎÉÌÉ ÄÒÕÚÅÊ É ÚÎÁËÏÍÙÈ ÀÂÉÌÑÒÁ É ÏÒÏÓÉÌÉ ËÁÖÄÏÇÏ ÏÓÌÁÔØ ìÁÎÄÉÓÕ ÏÚÄÒÁ×ÉÔÅÌØÎÕÀ ÏÔËÒÙÔËÕ | Ó ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: ÔÁÍ ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÌ ÒÉÓÕÔÓÔ×Ï×ÁÔØ €ÕÚÅÌÏË ÎÁ ÁÍÑÔ؁. ëÁËÉÈ ÔÏÌØËÏ ÕÚÌÏ× É ÕÚÅÌËÏ× ÎÅ ÒÉÎÅÓÌÉ ÏÞÔÁÌØÏÎÙ å×ÇÅÎÉÀ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÕ × ÔÅ ÄÎÉ: ÚÄÅÓØ ÂÙÌÉ É ÍÏÒÓËÉÅ ÕÚÌÙ, É ÕÚÌÙ | ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ : : : ïÔËÒÙÔËÉ ÒÉÈÏÄÉÌÉ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÄÎÅÊ, ÁÞËÁÍÉ | ÜÔÏ ÂÙÌÏ ÚÄÏÒÏ×Ï! ÷Ï-×ÔÏÒÙÈ, ÍÙ ÒÅÏÄÎÅÓÌÉ ìÁÎÄÉÓÕ ÄÅÒÅ×ÑÎÎÙÊ ÍÅÞ É ÓÉ Ù Ó ÏÑÓÎÉÔÅÌØÎÙÍ ÔÅËÓÔÏÍ: ïÄÎÉ ÕÚÌÙ ÒÕÂÉÔØ Ó ÌÅÞÁ ÓÏÄÒÕÞÎÅÊ Ó ÏÍÏÝØÀ ÍÅÞÁ, á ÄÌÑ ÄÒÕÇÉÈ ÍÅÞ ÎÅ ÇÏÄÉÔÓÑ | ÉÈ ÒÁÚ×ÑÚÁÔØ ÏÍÏÇÕÔ ÓÉ Ù. é, ÎÁËÏÎÅ , ÍÙ ÒÉÇÏÔÏ×ÉÌÉ ÎÏ×ÙÊ ÁÌØÂÏÍ Ó ÆÏÔÏËÁÒÔÏÞËÁÍÉ ÓÁÍÏÇÏ ìÁÎÄÉÓÁ, ÅÇÏ ÄÒÕÚÅÊ É ÕÞÅÎÉËÏ×. üÔÏ ÂÙÌ, ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ, ÎÅ ÁÌØÂÏÍ, Á ÔÅÔÒÁÄØ ÄÌÑ ÒÉÓÏ×ÁÎÉÑ. îÁ ÏÂÌÏÖËÅ ÍÙ ÎÁÉÓÁÌÉ: ÅÔÒÁÄØ ÕÞÅÎÉËÁ 1-ÇÏ ËÌÁÓÓÁ íÏÓËÏ×ÓËÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÛËÏÌÙ å. í. ìÁÎÄÉÓÁ. ìÁÎÄÉÓ Ï ÅÎÉÌ ÜÔÕ ÎÁÄÉÓØ ÓÌÅÔÕ: ÎÅÄÁÒÏÍ ÏÎ ÂÙÌ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÍ ÅÒ×ÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ. úÄÅÓØ ÕÍÅÓÔÎÏ ×ÓÏÍÎÉÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÅÇÏ ÓÅÎÔÅÎ ÉÉ ÒÏ ÒÁÂÏÔÙ ÒÁÚÎÙÈ ÌÀÄÅÊ. ñ ÏÍÎÀ, ËÁË ÒÏ áÄÅÌØÓÏÎÁ-÷ÅÌØÓËÏÇÏ ÏÎ ÏÞÅÎØ ÓÅÒØÅÚÎÏ ÓËÁÚÁÌ: €üÔÏ

40

í. ì. çÅÒ×ÅÒ

ÍÁÔÅÍÁÔÉË ÍÉÌÏÓÔÉÀ âÏÖÉÅʁ. á ÒÏ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÒÁÂÏÔÙ ÇÏ×ÏÒÉÌ: €îÅ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÑ òÉÍÁÎÁ. éÌÉ: €îÅ ÈÕÖÅ ÄÒÕÇÉȁ: : : áÌØÂÏÍ Ë 65-ÌÅÔÉÀ ìÁÎÄÉÓÁ ÏÔËÒÙ×ÁÌÓÑ ÂÏÌØÛÉÍ ÏÒÔÒÅÔÏÍ å×ÇÅÎÉÑ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÁ, É ÏÄ ÎÉÍ ÂÙÌÏ ÎÁÉÓÁÎÏ: €ðÏÚÄÒÁ×ÌÑÅÍ! ðÏÔÏÍ ÛÌÉ Ä×Å ÕÎÉËÁÌØÎÙÅ ÆÏÔÏÇÒÁÆÉÉ: ÍÏÌÏÄÙÅ ëÒÏÎÒÏÄ É ìÁÎÄÉÓ (×ÓËÏÒÅ ÏÓÌÅ ×ÏÚ×ÒÁÝÅÎÉÑ Ó ÆÒÏÎÔÁ) É ËÕÒÓ ìÁÎÄÉÓÁ Õ ÓÔÁÒÏÇÏ ÚÄÁÎÉÑ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ (ËÏÎÅ 40-È ÇÏÄÏ×).

ðÁÍÑÔÉ å. í. ìÁÎÄÉÓÁ

41

42

í. ì. çÅÒ×ÅÒ

åÝÅ ÏÄÉÎ ÏÒÔÒÅÔ ìÁÎÄÉÓÁ ÒÁÓÏÌÁÇÁÌÓÑ ÎÁ ÓÔÒÁÎÉ Å Ó ÚÁÇÏÌÏ×ËÏÍ €áÓÉÒÁÎÔÙ, ÚÁÝÉÔÉ×ÛÉÅ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÉ. ÁÍ ÒÕËÏÊ ìÁÎÄÉÓÁ ÂÙÌÉ ×ÙÉÓÁÎÙ 26 ÆÁÍÉÌÉÊ | ÓÌÅ×Á ÅÒÅÞÉÓÌÑÌÉÓØ 23 ËÁÎÄÉÄÁÔa, ÓÒÁ×Á | 3 ÄÏËÔÏÒÁ: èÕÄÁÊ-÷ÅÒÅÎÏ×, çÅÒ×ÅÒ, îÏ×ÒÕÚÏ×. ÷ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ ÏÑ×ÉÌÓÑ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÊ ÓÉÓÏË | ÓÌÅ×Á ÄÏÂÁ×ÉÌÏÓØ ÅÝÅ 9 ËÁÎÄÉÄÁÔÏ×, ÓÒÁ×Á | 6 ÄÏËÔÏÒÏ×: éÂÒÁÇÉÍÏ×, íÁÍÅÄÏ×, çÒÉÇÏÒØÑÎ, îÁÄÉÒÁÛ×ÉÌÉ, þÅÒÅÍÎÙÈ, éÌØÑÛÅÎËÏ. ÷ÏÔ ËÁÒÔÉÎËÁ, ËÏÔÏÒÕÀ Ñ ÕÖÅ ÕÏÍÉÎÁÌ ÒÁÎØÛÅ. üÔÕ €ÏÞÅÒËÕÛËՁ ÍÙ ×ËÌÀÞÉÌÉ × ÁÌØÂÏÍ ÔÁË ÖÅ, ËÁË ÕÛËÉÎÉÓÔÙ ×ËÌÀÞÁÀÔ × ÓÏÂÒÁÎÉÑ ÓÏÞÉÎÅÎÉÊ ÓÔÒÁÎÉ Ù ÒÕËÏÉÓÅÊ Ó ÒÉÓÕÎËÁÍÉ ÎÁ ÏÌÑÈ. ÏÌØËÏ ìÁÎÄÉÓ ÒÉÓÏ×ÁÌ ÎÅ ÎÁ ÏÌÑÈ, Á ÎÁ ÌÉÓÔËÅ Ó ËÁËÉÍ-ÔÏ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÅÞÁÔÎÙÍ ÔÅËÓÔÏÍ | ÒÏÓÔÏ ÏÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÔÁÍ ÅÝÅ ÏÓÔÁ×ÁÌÏÓØ ÍÎÏÇÏ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÍÅÓÔÁ. ÷ÉÄÉÔÅ, ËÒÏÍÅ ÜÓËÉÚÁ Ë ÏÒÔÒÅÔÕ ÚÎÁËÏÍÏÊ ÓËÒÉÁÞËÉ, ÔÁÍ ÆÁÍÉÌÉÉ: áÒÎÏÌØÄ, ïÌÅÊÎÉË, éÌØÉÎ, ÷ÁÊÎÂÅÒÇ : : : á ÎÉÖÅ ÉÎÔÅÒÅÓÎÁÑ ÚÁÇÁÄËÁ: 5 7 5 7 9 5 9 19 9 5 9 7, ÞÔÏ ÂÙ ÜÔÏ ÚÎÁÞÉÌÏ | ÞÔÏ ÜÔÏ ÚÁ ÓÔÒÁÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ? á ÜÔÏ | ÞÉÓÌÏ ÔÒÕ ÏÒÇÁÎÁ × íÏÓËÏ×ÓËÏÊ ËÏÎÓÅÒ×ÁÔÏÒÉÉ | ÓÔÏÌØËÏ, ÓËÏÌØËÏ ÉÈ ×ÉÄÎÏ ÉÚ ÚÁÌÁ. óÒÅÄÉ ÒÏÞÉÈ × ÁÌØÂÏÍÅ ÂÙÌÉ É ÍÏÉ 2 ÆÏÔÏÇÒÁÆÉÉ: Ñ ÎÁ äÁÌØÎÅÍ ÷ÏÓÔÏËÅ, ÎÁ ÆÏÎÅ ÏÇÒÏÍÎÏÊ ÏËÅÁÎÓËÏÊ ×ÏÌÎÙ, É Ñ ÎÁ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÊ ÓÔÅÎÅ (Ñ ÂÙÌ ÔÏÇÄÁ ÔÏÎÅÎØËÉÊ É ÕÍÅÌ ÌÁÚÁÔØ Ï ÓÔÅÎÁÍ). é ÏÄ ÎÉÍÉ | ÏÂÒÁÝÅÎÉÅ Ë ìÁÎÄÉÓÕ: ëÏÇÄÁ ÚÁÈÌÅÓÔÙ×ÁÅÔ ÖÉÚÎØ ÍÅÎÑ ÏÇÒÏÍÎÏÀ ×ÏÌÎÏÀ ÉÌÉ ÏÔ×ÅÓÎÏÀ ÓÔÅÎÏÀ ÅÒÅÇÏÒÁÖÉ×ÁÅÔ ÕÔØ, ÓÔÒÅÍÌÀÓØ ÓÍÑÔÅÎÎÏÀ ÄÕÛÏÀ Ñ Ë ÷ÁÍ (Á ÎÅ Ë ËÏÍÕ-ÎÉÂÕÄØ). ÷ ËÁÖÄÏÊ ÛÕÔËÅ ÅÓÔØ ÄÏÌÑ ÛÕÔËÉ, ÎÏ ÔÅÅÒØ | ÞÅÒÅÚ ÍÎÏÇÏ ÌÅÔ | Ñ ÇÏ×ÏÒÀ ÜÔÉ ÓÌÏ×Á ÅÝÅ ÓÅÒØÅÚÎÅÊ, ÞÅÍ ÒÅÖÄÅ : : :

43

éÚ ×ÙÓÔÕÌÅÎÉÊ ÎÁ ÚÁÓÅÄÁÎÉÉ íÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÝÅÓÔ×Á, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÏÍ ÁÍÑÔÉ å. í. ìÁÎÄÉÓÁ

ñ ÂÙÌ ÄÒÕÇÏÍ å×ÇÅÎÉÑ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÁ ìÁÎÄÉÓÁ. íÙ ×ÓÔÒÅÔÉÌÉÓØ Ó ÎÉÍ × 40-È ÇÏÄÁÈ. ïÎ ×ÅÒÎÕÌÓÑ ÉÚ ÁÒÍÉÉ, × ÇÉÍÎÁÓÔÅÒËÅ, ÎÁ ÓÔÁÒÙÊ ÍÅÈÍÁÔ. åÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÄÁÒÏ×ÁÎÉÅ ÓÒÁÚÕ ÂÙÌÏ ÚÁÍÅÞÅÎÏ, É Ñ ÏÞÕ×ÓÔ×Ï×ÁÌ ÎÅÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÏÇÏ ÞÅÌÏ×ÅËÁ × ÎÅÍ. ó ÔÅÈ ÏÒ ÎÁÛÁ ÄÒÕÖÂÁ ÒÏÄÏÌÖÁÌÁÓØ. íÙ ÒÁÂÏÔÁÌÉ ÓÎÁÞÁÌÁ × ÒÁÚÎÙÈ ÉÎÓÔÉÔÕÔÁÈ, ÏÔÏÍ ÎÁ ÍÅÈÍÁÔÅ, ÎÁ ËÁÆÅÄÒÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, É ×ÓÅÇÄÁ ×ÍÅÓÔÅ ÏÂÓÕÖÄÁÌÉ ×ÓÅ ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÅ ×ÏÒÏÓÙ. å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ, ËÁË ÓÅÇÏÄÎÑ ÂÙÌÏ ×ÉÄÎÏ ÉÚ ÄÏËÌÁÄÏ×, ÂÙÌ ×ÙÄÁÀÝÉÍÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÍ, ÏÞÅÎØ ÔÁÌÁÎÔÌÉ×ÙÍ. ÷ ÅÇÏ ÒÁÂÏÔÁÈ ×ÓÅÇÄÁ ÞÕ×ÓÔ×Ï×ÁÌÏÓØ ÓÔÒÅÍÌÅÎÉÅ ÒÅÛÁÔØ ÔÒÕÄÎÙÅ É ÇÌÕÂÏËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ. ïÎ ÎÅ ÌÀÂÉÌ ÒÏÓÔÙÈ ÚÁÄÁÞ É ÎÅ ÓÔÒÅÍÉÌÓÑ Ë ÔÏÍÕ, ÞÔÏÂÙ Õ ÎÅÇÏ ÂÙÌÏ ÍÎÏÇÏ ÒÁÂÏÔ. ïÎ ÏÞÅÎØ ÅÎÉÌ ÎÏ×ÙÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ, ÎÏ×ÙÅ ÍÙÓÌÉ, ÞÔÏ-ÔÏ ÎÏ×ÏÅ, Ó ÉÚÀÍÉÎËÏÊ, ÞÅÇÏ ÒÁÎØÛÅ ÎÅ ÂÙÌÏ, Ô. Å. ÔÏ, ÞÔÏ ËÁË ÒÁÚ ÈÁÒÁËÔÅÒÎÏ ÄÌÑ ÎÁÛÅÊ ÍÏÓËÏ×ÓËÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÛËÏÌÙ. å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ, ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÂÙÌ ×ÙÄÁÀÝÉÍÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÍ, ÂÙÌ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÂÏÌØÛÉÍ ÞÅÌÏ×ÅËÏÍ. îÁÄÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÍÙ Ó ÎÉÍ ÞÁÓÔÏ ÒÁÚÇÏ×ÁÒÉ×ÁÌÉ ÎÁ ÒÁÚÎÙÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÅÍÙ É, ËÏÎÅÞÎÏ, ËÏÎÓÕÌØÔÉÒÏ×ÁÌÉÓØ Ï ÄÒÕÇÉÍ ×ÏÒÏÓÁÍ, ËÏÔÏÒÙÅ Õ ÎÁÓ ×ÏÚÎÉËÁÌÉ. õ ÎÁÓ × íÏÓË×Å ÂÙÌÁ ÔÏÇÄÁ ÂÏÌØÛÁÑ, ×ÙÄÁÀÝÁÑÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÛËÏÌÁ. ëÏÎÓÕÌØÔÁ ÉÀ Ï ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ×ÏÒÏÓÁÍ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÏÌÕÞÉÔØ × ÌÉÞÎÏÍ ÒÁÚÇÏ×ÏÒÅ, ÉÌÉ Ï ÔÅÌÅÆÏÎÕ, ÉÌÉ ÎÁ ÍÅÈÍÁÔÅ. ñ ÏÍÎÀ, ÞÔÏ ËÏÇÄÁ ÞÔÏ-ÔÏ ÎÕÖÎÏ ÂÙÌÏ ÕÚÎÁÔØ Ï ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ, ÍÙ ÏÂÒÁÝÁÌÉÓØ Ë å×ÇÅÎÉÀ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÕ. ïÎ, ËÏÇÄÁ Ë ÎÅÍÕ ÏÂÒÁÝÁÌÉÓØ Ó ×ÏÒÏÓÏÍ, ÏÞÅÎØ ÜÔÏ ÓÅÒØÅÚÎÏ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÌ. ðÏÍÎÀ, Ñ ÅÒÅÄ ÎÉÍ ÏÓÔÁ×ÉÌ ÚÁÄÁÞÕ, Ó×ÑÚÁÎÎÕÀ Ó ÎÅÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ ×ÔÏÒÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ. ïÎ ÏÞÅÎØ ÏÂÒÁÄÏ×ÁÌÓÑ, ËÏÇÄÁ ÅÅ ÒÅÛÉÌ. ðÏÚ×ÏÎÉÌ, É ÓÁÍ ÒÉÂÅÖÁÌ ËÏ ÍÎÅ ÄÏÍÏÊ, É ÒÁÓÓËÁÚÁÌ ÒÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. ÷ÏÔ ÔÕÔ ×ÉÄÅÎ å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ, ËÁË ÏÎ ÏÔÎÏÓÉÌÓÑ Ë ÄÒÕÇÉÍ, ËÏÇÄÁ ÅÇÏ Ï ÞÅÍÔÏ ÓÒÁÛÉ×ÁÌÉ, É ÎÁÓËÏÌØËÏ ÏÎ ÇÏÔÏ× ÂÙÌ ×ÓÅÇÄÁ ÏÍÏÞØ, É ËÁË-ÔÏ ÏÔ×ÅÔÉÔØ ÎÁ ×ÏÒÏÓÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÅÍÕ ÚÁÄÁ×ÁÌÉ. íÙ, ËÏÇÄÁ ÒÅÏÄÁ×ÁÌÉ ÎÁ ÍÅÈÍÁÔÅ, ÎÁ ËÁÆÅÄÒÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ÞÁÓÔÏ ÓÏ×ÅÝÁÌÉÓØ Ï ÔÅÌÅÆÏÎÕ, ËÁË ÞÉÔÁÔØ ËÕÒÓ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó ÞÁÓÔÎÙÍÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÍÉ, ËÁË ÞÉÔÁÔØ ÓÅ ËÕÒÓÙ É Ô. Ä. õ ÎÁÓ Ï ÔÅÌÅÆÏÎÕ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÌÓÑ ÔÁËÏÊ Ó×ÏÅÏÂÒÁÚÎÙÊ ÓÅÍÉÎÁÒ. íÙ × ÎÁÞÁÌÅ ÕÞÅÂÎÏÇÏ ÇÏÄÁ ÏÂÙÞÎÏ ÏÂÓÕÖÄÁÌÉ ÔÏ, ËÁË ÂÕÄÅÍ ÞÉÔÁÔØ Ó×ÏÉ ËÕÒÓÙ, É ÚÁÔÅÍ, ËÏÇÄÁ ×ÏÚÎÉËÁÌÉ × ÔÅÞÅÎÉÅ ÇÏÄÁ ÄÒÕÇÉÅ ×ÏÒÏÓÙ, ÍÙ ÔÏÖÅ ÉÈ Ó ÎÉÍ ÏÂÓÕÖÄÁÌÉ. é ×ÓÅÇÄÁ ÜÔÏ ÂÙÌÏ ÄÌÑ ÍÅÎÑ ÏÞÅÎØ ÏÌÅÚÎÏ. í. é. ÷ÉÛÉË:

44

íÙ ÞÁÓÔÏ ×ÓÏÍÉÎÁÌÉ ÓÌÏ×Á é×ÁÎÁ çÅÏÒÇÉÅ×ÉÞÁ ðÅÔÒÏ×ÓËÏÇÏ, ËÏÔÏÒÙÊ ÇÏ×ÏÒÉÌ ÎÁÍ, ËÁË ÎÁÄÏ ÞÉÔÁÔØ: €îÅ ÞÉÔÁÊÔÅ ÍÎÏÇÏ, Á ÞÉÔÁÊÔÅ ×ÎÑÔÎρ. ïÓÏÂÅÎÎÏ ÞÁÓÔÏ ÍÙ ÉÈ ×ÓÏÍÉÎÁÌÉ, ËÏÇÄÁ ÎÁÞÉÎÁÌÉ ÓÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÌÕÞÛÅ ÞÉÔÁÔØ. íÙ ÎÅ ÕËÌÁÄÙ×ÁÌÉÓØ Ï ×ÒÅÍÅÎÉ, ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ÒÏÇÒÁÍÍÁ ËÕÒÓÁ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó ÞÁÓÔÎÙÍÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÍÉ ÂÙÌÁ ÏÞÅÎØ ÏÂÛÉÒÎÏÊ. (é ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÜÔÏ ×ÉÄÎÏ ÉÚ ËÎÉÇÉ é×ÁÎÁ çÅÏÒÇÉÅ×ÉÞÁ É ÄÒÕÇÉÈ ÏÓÏÂÉÊ, ÞÔÏ ÔÒÕÄÎÏ ÂÙÌÏ ÕÌÏÖÉÔØÓÑ, ÏÓÎÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÉÚÌÁÇÁÑ ×ÅÓØ ÍÁÔÅÒÉÁÌ.) ëÏÇÄÁ ÍÙ ÏÂÓÕÖÄÁÌÉ ×ÏÒÏÓ, ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ ÏÕÓÔÉÔØ, Á ÞÔÏ ÎÅÔ, å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ, ×ÓÏÍÉÎÁÑ ÜÔÉ ÓÌÏ×Á, ÇÏ×ÏÒÉÌ, ÞÔÏ ÎÅ ÔÁË ×ÁÖÎÏ ÒÏÞÉÔÁÔØ ÏÄÒÏÂÎÏ, Á ×ÁÖÎÏ ÒÏÞÉÔÁÔØ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÜÔÏ ÄÏÛÌÏ, É ×ÏÓÉÔÙ×ÁÌÏ ÁÕÄÉÔÏÒÉÀ ÄÏÌÖÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ÷ÏÔ ÔÕÔ ×ÉÄÅÎ å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ, ËÁË ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØ é×ÁÎÁ çÅÏÒÇÉÅ×ÉÞÁ, ×ÉÄÅÎ ÅÇÏ ÇÌÕÂÏËÉÊ É ×ÄÕÍÞÉ×ÙÊ ÏÄÈÏÄ. å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ìÁÎÄÉÓ ×ÓÅÇÄÁ ×ÅÌ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÓÅÍÉÎÁÒ (×ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ ÏÎ ×ÅÌ ÅÇÏ Ó ÷ÌÁÄÉÍÉÒÏÍ áÌÅËÓÁÎÄÒÏ×ÉÞÅÍ ëÏÎÄÒÁÔØÅ×ÙÍ), ÎÏ ÔÁËÖÅ ×ÓÅ ×ÒÅÍÑ (É ÜÔÏÍÕ ÏÎ ÍÅÎÑ ÎÁÕÞÉÌ) ×ÅÌ ÒÏÓÅÍÉÎÁÒ ÄÌÑ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó 1-ÇÏ É 2-ÇÏ ËÕÒÓÏ×. îÁ ÒÏÓÅÍÉÎÁÒÅ å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÒÅÄÌÁÇÁÌ ÒÏÓÔÙÅ ÚÁÄÁÞÉ, ÏÔÏÍ ÏÂÓÕÖÄÁÌ ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÉÈ ÚÁÄÁÞ, | É ÏÞÅÎØ ÍÎÏÇÏ ÓÁÍ ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÌ ÉÚ ÒÁÚÎÙÈ ÏÂÌÁÓÔÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. üÔÏ ÍÏÇÌÉ ÂÙÔØ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. üÔÏ ÂÙÌÁ ÔÅÏÒÉÑ ÆÕÎË ÉÊ, Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÓÅÇÏÄÎÑ ÍÎÏÇÏ ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ, ÔÅÏÒÉÑ ÆÕÎË ÉÊ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ, ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ, ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ | ÅÌÙÅ ÒÁÚÄÅÌÙ ÉÚ ÜÔÉÈ ÏÂÌÁÓÔÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÏÎ ÉÚÌÁÇÁÌ. íÏÌÏÄÙÅ ÌÀÄÉ ÉÚ ÇÏÄÁ × ÇÏÄ ÒÏÓÌÉ, ÍÎÏÇÉÅ ÉÚ ÎÉÈ ÏÓÔÕÁÌÉ Ë å×ÇÅÎÉÀ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÕ × ÁÓÉÒÁÎÔÕÒÕ, ÓÔÁÎÏ×ÉÌÉÓØ ÕÞÁÔÓÎÉËÁÍÉ ÅÇÏ ÏÓÎÏ×ÎÏÇÏ ÓÅÍÉÎÁÒÁ, Á ÏÎ ÓÁÍ ÎÁÞÉÎÁÌ ×ÓÅ ÓÎÁÞÁÌÁ ÎÁ ÎÏ×ÏÍ ÒÏÓÅÍÉÎÁÒÅ ÄÌÑ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÅÒ×ÙÈ ËÕÒÓÏ×. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÓÏÚÄÁ×ÁÌÁÓØ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÛËÏÌÁ å. í. ìÁÎÄÉÓÁ. å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÂÙÌ ÎÁÓÔÏÌØËÏ ×ÎÉÍÁÔÅÌÅÎ Ë ÍÏÌÏÄÙÍ ÌÀÄÑÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÓÔÁÌÏ ÕÖÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ×ÓÅÊ ÎÁÛÅÊ ÍÏÌÏÄÅÖÉ, É ÏÞÅÎØ ÍÎÏÇÏ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÚÁÉÓÙ×ÁÌÏÓØ Ë ÎÅÍÕ ËÁË Ë ÎÁÕÞÎÏÍÕ ÒÕËÏ×ÏÄÉÔÅÌÀ, ÞÔÏÂÙ ÕÞÉÔØÓÑ Õ ÎÅÇÏ. éÍ ÓÏÚÄÁÎÎÁÑ ÛËÏÌÁ ÏÌÕÞÉÌÁ ÍÉÒÏ×ÏÅ ÒÉÚÎÁÎÉÅ, Á ÓÁÍ å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ, ËÁË ÒÕËÏ×ÏÄÉÔÅÌØ ÜÔÏÊ ÛËÏÌÙ, ÓÔÁÌ ÏÂÒÁÚ ÏÍ ×ÎÉÍÁÔÅÌØÎÏÇÏ É ÞÕÔËÏÇÏ ÒÕËÏ×ÏÄÉÔÅÌÑ ÍÏÌÏÄÙÈ ÌÀÄÅÊ. ñ ÈÏÔÅÌ ÂÙ ÓËÁÚÁÔØ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ å×ÇÅÎÉÀ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÕ ÂÙÌ ÒÉÓÕÝ ÈÕÄÏÖÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÔÁÌÁÎÔ. ïÎ ÌÀÂÉÌ É ÏÄÍÅÞÁÌ ×ÓÅ ËÒÁÓÉ×ÏÅ. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÏÎ ÕÍÅÌ ÈÏÒÏÛÏ ÒÉÓÏ×ÁÔØ É ÄÁÖÅ ÉÓÁÔØ ÍÁÓÌÏÍ. ëÏÇÄÁ ÎÕÖÎÏ ÂÙÌÏ ÓÄÅÌÁÔØ ËÏÍÕ-ÎÉÂÕÄØ ÀÂÉÌÅÊÎÏÅ ÏÓÌÁÎÉÅ, ÔÏ ×ÓÅÇÄÁ ÎÁ ËÁÆÅÄÒÅ ÒÏÓÉÌÉ, ÞÔÏÂÙ å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÌ ÏÒÔÒÅÔ ÀÂÉÌÑÒÁ, ÞÔÏ ÏÎ É ÄÅÌÁÌ Ó ÂÏÌØÛÏÊ ÏÈÏÔÏÊ. ñ ÄÏÌÖÅÎ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ÄÅÌÁÌ ÚÁÍÅÞÁÎÉÊ ËÁËÉÍ-ÔÏ ÌÀÄÑÍ. é ÏÎ ÎÁ×ÓÅÇÄÁ ÏÓÔÁÌÓÑ × ÎÁÛÅÊ ÁÍÑÔÉ ÞÅÌÏ×ÅËÏÍ ÏÞÅÎØ ÄÏÂÒÙÍ. õ ÎÁÓ ×ÓÅÇÄÁ ÅÒÅÄ ÇÌÁÚÁÍÉ ÅÇÏ ÕÌÙÂËÁ, Á × ÁÍÑÔÉ | ÅÇÏ ÂÌÁÇÏÖÅÌÁÔÅÌØÎÏÓÔØ. é ÜÔÏÔ ÏÂÒÁÚ å×ÇÅÎÉÑ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÌÑ ÎÁÓ, × ËÁËÏÍ-ÔÏ ÓÍÙÓÌÅ, ÎÅÏ×ÔÏÒÉÍÙÍ ÏÂÒÁÚ ÏÍ ÞÅÌÏ×ÅËÁ, ×ÙÄÁÀÝÅÇÏÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ, ÏÞÅÎØ ÔÁÌÁÎÔÌÉ×ÏÇÏ, ÏÞÅÎØ ÇÌÕÂÏËÏÇÏ É ×ÍÅÓÔÅ Ó ÔÅÍ ÏÞÅÎØ ÄÏÂÒÏÇÏ É ÂÌÁÇÏÖÅÌÁÔÅÌØÎÏÇÏ ËÏ ×ÓÅÍ ÔÅÍ, Ó ËÅÍ ÏÎ ÉÍÅÌ ÄÅÌÏ. ÷ÓÅ, ÞÔÏ ÏÎ ÓÏÚÄÁÌ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÂÅÚÕÓÌÏ×ÎÏ, ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ ÎÁ×ÓÅÇÄÁ × ÎÁÕËÅ, Á ÅÇÏ ÏÂÒÁÚ ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ ×ÓÅÇÄÁ Ó ÎÁÍÉ, ÎÁ ×ÓÀ ÖÉÚÎØ. üÔÏ ÂÙÌÏ × 60-Å ÇÏÄÙ. å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÒÁÂÏÔÁÌ × éüæ, × ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÌÁÂÏÒÁÔÏÒÉÉ, ËÏÔÏÒÏÊ ÚÁ×ÅÄÏ×ÁÌ á. ó. ëÒÏÎÒÏÄ. ïÎ ÂÙÌ ÒÏÆÅÓÓÏÒÏÍ, ÓÔÁÒÛÉÍ ÎÁÕÞÎÙÍ ÓÏÔÒÕÄÎÉËÏÍ. úÁÄÁÞÉ ÏÑ×ÌÑÌÉÓØ Õ ÆÉÚÉËÏ×, Á ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÌÉ ÉÈ ËÁË-ÂÙ €ÏÂÍÁÔÅÍÁÞÉ×ÁÔ؁, É ÜÔÏ ÎÅ Ó×ÏÄÉÌÏÓØ ÷. ì. áÒÌÁÚÁÒÏ×:

å. í. ìÁÎÄÉÓ

45

Ë ÔÏÍÕ, ÞÔÏÂÙ ÒÅÛÉÔØ ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ (ËÁË ÒÁÚ Ó ÜÔÉÍ ÆÉÚÉËÉ ÞÁÓÔÏ ÓÁÍÉ ÎÅÌÏÈÏ ÓÒÁ×ÌÑÌÉÓØ). ÷ ÓÌÏÖÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÈÏÒÏÛÉÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÏÌÕÞÁÌÓÑ ÔÏÌØËÏ, ÅÓÌÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉË É ÆÉÚÉË ÓÔÁ×ÉÌÉ ÚÁÄÁÞÕ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏ. ÷ÁÖÎÅÊÛÉÊ ÔÉ ÚÁÄÁÞ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÅÛÁÌÉÓØ × éüæÅ, ÜÔÏ | ÏÂÓÞÅÔ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÊ ÞÁÓÔÉ × ×ÏÄÏÒÏÄÎÙÈ ËÁÍÅÒÁÈ, ×ÙÑÓÎÅÎÉÅ Ï ÔÒÁÅËÔÏÒÉÑÍ, ËÁËÉÅ ÒÅÁË ÉÉ ÒÏÉÓÈÏÄÉÌÉ ÒÉ ÓÔÏÌËÎÏ×ÅÎÉÉ ÞÁÓÔÉ . ðÒÏÇÒÁÍÍÙ ÄÌÑ ÜÔÉÈ ÚÁÄÁÞ ÂÙÌÉ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÓÌÏÖÎÙÅ. é å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÒÏÑÌÑÌ ÒÉ ÜÔÏÍ ÔÕ ÓÁÍÕÀ ÉÚÏÂÒÅÔÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ËÏÔÏÒÕÀ ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ Õ ÎÅÇÏ × ÞÉÓÔÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÒÁÂÏÔÁÈ. üÔÉÍÉ ÒÏÇÒÁÍÍÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÄÅÌÁÌÉÓØ × 63-Í, 64-Í ÇÏÄÁÈ, ÒÏÄÏÌÖÁÌÉ ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ É × 80-È. üÔÏ ÆÁÎÔÁÓÔÉÞÅÓËÉÊ ÓÒÏË ÖÉÚÎÉ ÄÌÑ ÒÏÇÒÁÍÍ. òÁÂÏÔÁ Ï AVL-ÄÅÒÅ×Å ÄÏ ÓÉÈ ÏÒ ×ÈÏÄÉÔ × ÌÀÂÏÊ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÓÏÌÉÄÎÙÊ ÕÞÅÂÎÉË ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÉ. óÍÅÛÎÏ, ÞÔÏ É Õ ÎÁÓ ÔÅÅÒØ ÜÔÉ ÂÕË×Ù ÉÛÕÔ Ï-ÌÁÔÉÎÓËÉ, ÈÏÔÑ á÷ì | ÜÔÏ áÄÅÌØÓÏÎ-÷ÅÌØÓËÉÊ É ìÁÎÄÉÓ. íÙ ÔÏÇÄÁ ÚÁÎÉÍÁÌÉÓØ ÒÏÇÒÁÍÍÎÙÍÉ ÚÁÄÁÞÁÍÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁÄÏ ÂÙÌÏ ÚÁÏÍÉÎÁÔØ ÞÉÓÌÁ É ÄÒÕÇÉÅ ÏÂßÅËÔÙ, É ÏÔÏÍ ÉÈ ÖÅ É ÉÓËÁÔØ. íÏÖÎÏ ÚÁÏÍÉÎÁÔØ ÏÂßÅËÔÙ × ÏÒÑÄËÅ ÏÓÔÕÌÅÎÉÑ, ÎÏ ÔÏÇÄÁ ÄÏÌÇÏ ÂÕÄÅÔ ÉÈ ÉÓËÁÔØ. á ÍÏÖÎÏ ÚÁÏÍÉÎÁÔØ Ï-ÈÉÔÒÏÍÕ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÌÕÞÛÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁÏÍÉÎÁÔØ ÏÂßÅËÔÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ. ÏÇÄÁ ÏÉÓË ÚÁÎÉÍÁÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÌÏÇÁÒÉÆÍ ÏÔ ÏÂÝÅÇÏ ÞÉÓÌÁ ÏÂßÅËÔÏ×. îÏ ÔÕÔ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÔÒÕÄÎÏÓÔØ: ÉÓËÁÔØ ÌÅÇËÏ, Á ÄÏÂÁ×ÉÔØ ÎÏ×ÙÊ ÏÂßÅËÔ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÎÅ ÒÁÚÒÕÛÉÔØ ÏÒÑÄÏË, ÔÒÕÄÎÏ. ÷ ÔÅ ÇÏÄÙ ÏÑ×ÌÑÌÏÓØ ÍÎÏÇÏ ÒÁÂÏÔ Ï ÔÏÍ, ËÁË ÕÓÔÒÏÉÔØ ÔÁËÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ, ÞÔÏÂÙ ÂÙÌÏ É ÉÓËÁÔØ ÂÙÓÔÒÏ, É ×ÓÔÁ×ÌÑÔØ ÂÙÓÔÒÏ | ÍÙ ÎÁÚÙ×ÁÌÉ ÔÁËÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ €ÔÅËÕÝÉÍÉ ÓÒÁ×ÏÞÎÙÍɁ. îÁ ÓÅÍÉÎÁÒÅ ëÒÏÎÒÏÄÁ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÍÙ ×ÓÅ ÕÞÁÓÔ×Ï×ÁÌÉ, ËÔÏ-ÔÏ ÉÚ ÁÓÉÒÁÎÔÏ× ÒÁÓÓËÁÚÁÌ ÁÍÅÒÉËÁÎÓËÕÀ ÒÁÂÏÔÕ, × ËÏÔÏÒÏÊ €ÓÒÁ×ÏÞÎÙŁ ÓÔÒÏÉÌÉÓØ × ×ÉÄÅ ÄÅÒÅ×Á. ÷ÒÏÞÅÍ, É ÄÏ ÜÔÏÇÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ €ÓÒÁ×ÏÞÎÕÀ ÉÎÁÞÅ, ÞÅÍ × ×ÉÄÅ ÄÅÒÅ×Á, ÎÉËÏÍÕ É × ÇÏÌÏ×Õ ÎÅ ÒÉÈÏÄÉÌÏ. á × ÔÁËÏÍ ÄÅÒÅ×Å ÏÞÅÎØ ÈÏÒÏÛÏ ÉÓËÁÔØ. îÁ ÓÅÍÉÎÁÒÅ ÎÁÍ ÒÁÓÓËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ×ÓÅ ÉÓÈÏÄÙ ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙ, ÔÏ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÇÕÌÑÔØ Ï ÔÁËÏÍÕ ÄÅÒÅ×Õ, É ÅÇÏ ÓÔÒÏÉÔØ, É ÄÏÂÁ×ÌÑÔØ ÍÏÖÎÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÙÓÔÒÏ. çÌÕÂÉÎÁ ÄÅÒÅ×Á ÂÕÄÅÔ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÒÁ×ÎÑÔØÓÑ ÌÏÇÁÒÉÆÍÕ ÏÔ ÞÉÓÌÁ ×ÅÒÛÉÎ, É ÜÔÁ ÖÅ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÑÔØÓÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ÏÅÒÁ ÉÊ, ÕÈÏÄÑÝÉÈ ËÁË ÎÁ ÏÉÓË, ÔÁË É ÎÁ ÅÒÅÓÔÒÏÊËÕ ÄÅÒÅ×Á. å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÓËÁÚÁÌ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ × ÓÒÅÄÎÅÍ ÜÔÏ ÔÁË, ÔÏ ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÓÏÓÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÄÅÒÅ×Ï, ÞÔÏÂÙ ×ÓÅÇÄÁ ÜÔÏ ÂÙÌÏ ÔÁË. é ÏÎ ÂÒÏÄÉÌ Ï ÌÅÓÔÎÉ ÁÍ, ËÏÒÉÄÏÒÁÍ É ÅÒÅÈÏÄÁÍ ÎÁÛÅÇÏ ÚÄÁÎÉÑ, ÄÕÍÁÌ É ×ÒÅÍÑ ÏÔ ×ÒÅÍÅÎÉ ÇÏ×ÏÒÉÌ: €ï, ÕÖÅ ÒÉÄÕÍÁÌ? úÁ ÎÉÍ ÈÏÄÉÌ áÄÅÌØÓÏÎ-÷ÅÌØÓËÉÊ, É ËÁÖÄÙÊ ÒÁÚ, ËÏÇÄÁ ìÁÎÄÉÓ ÞÔÏ-ÔÏ ÒÉÄÕÍÙ×ÁÌ, ÏÎ ÄÏÇÏÎÑÌ ÅÇÏ É ÓÔÒÏÉÌ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒ. é ÔÁË ÏÎÉ ÈÏÄÉÌÉ Ä×Å ÎÅÄÅÌÉ ÄÒÕÇ ÚÁ ÄÒÕÇÏÍ É ÒÉÄÕÍÙ×ÁÌÉ: ìÁÎÄÉÓ | ÁÌÇÏÒÉÔÍ, áÄÅÌØÓÏÎ | ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÁÝÉÊ ÒÉÍÅÒ. ðÏÄ ËÏÎÅ Õ ÏÂÏÉÈ ÓÏÚÄÁÌÏÓØ ×ÅÞÁÔÌÅÎÉÅ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÄÏÛÌÉ ÄÏ ÔÁËÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒ ÒÉÄÕÍÙ×ÁÔØ ×ÓÅ ÔÒÕÄÎÅÅ É ÔÒÕÄÎÅÅ. é ÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÏÎÉ ×Ä×ÏÅÍ ÏÓÔÒÏÉÌÉ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ. óÅÊÞÁÓ ÜÔÏ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓËÁÚÁÔØ ÚÁ ÔÒÉ ÍÉÎÕÔÙ, ÔÁË ÜÔÏ ÒÏÓÔÏ É ËÒÁÓÉ×Ï. òÁÓÓËÁÚÁÔØ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÂÙÌÏ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ Ï-ÄÒÕÇÏÍÕ É ÂÙÔØ ÎÅ ÍÏÖÅÔ. õ ìÁÎÄÉÓÁ ÂÙÌÁ ÔÁËÁÑ ÒÉÓËÁÚËÁ, ÔÁËÏÅ ÌÀÂÉÍÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ÞÔÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÍÏÖÎÏ ÕÚÎÁÔØ Ï ÔÏÍÕ, ÓËÏÌØËÏ ×ÒÅÍÅÎÉ ÏÎ ÓÏÇÌÁÓÅÎ ÄÕÍÁÔØ ÎÁÄ ÏÄÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ. åÓÌÉ ÏÎ ÓÏÇÌÁÓÅÎ ÄÕÍÁÔØ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏÌÇÏ, ÔÏ ÏÎ ÌÉÂÏ ÕÖÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉË, ÌÉÂÏ ÏÔÅÎ ÉÁÌØÎÙÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË. á ÅÓÌÉ ÎÅÔ, ÔÏ É ÇÏ×ÏÒÉÔØ ÎÅ Ï ÞÅÍ.

46

ñ ÏÚÎÁËÏÍÉÌÓÑ Ó ìÁÎÄÉÓÏÍ × 50-Í ÇÏÄÕ, ÎÁ ×ÔÏÒÏÍ ËÕÒÓÅ, ËÏÇÄÁ ÚÁÎÉÍÁÌÓÑ × ÓÅÍÉÎÁÒÅ, ËÏÔÏÒÙÊ ëÒÏÎÒÏÄ Ó ìÁÎÄÉÓÏÍ ×ÅÌÉ ÄÌÑ ×ÔÏÒÏËÕÒÓÎÉËÏ×. óÅÍÉÎÁÒ ÂÙÌ, × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ, Ï ÔÅÏÒÉÉ ÆÕÎË ÉÊ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ, ÈÏÔÑ ÞÁÓÔÏ ×ÙÈÏÄÉÌ ÚÁ ÜÔÉ ÒÁÍËÉ. õ å×ÇÅÎÉÑ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÁ ÂÙÌÁ ÔÏÇÄÁ ÌÀÂÉÍÁÑ ÔÅÍÁ €äÅÓËÒÉÔÉ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× É ÆÕÎË Éʁ. éÎÏÇÄÁ ÎÁ ÓÅÍÉÎÁÒÅ ÂÙ×ÁÌÉ ÍÏÍÅÎÔÙ, ËÏÇÄÁ ÏÄÎÁ ÚÁÄÁÞÁ ËÏÎÞÉÌÁÓØ, Á ÄÒÕÇÁÑ ÎÅ ÎÁÞÁÌÁÓØ. é ÔÏÇÄÁ ìÁÎÄÉÓ ÇÏ×ÏÒÉÌ: €÷ÏÔ Ñ ÈÏÞÕ ÒÁÓÓËÁÚÁÔØ ÒÏ ÄÅÓËÒÉ ÉÀ. ðÏÚÖÅ ÍÎÅ ÄÌÑ ÁÓÉÒÁÎÔÓËÏÇÏ ÜËÚÁÍÅÎÁ ÎÕÖÎÏ ÂÙÌÏ ÉÚÕÞÉÔØ ÓÔÁÔØÀ á. á. ìÑÕÎÏ×Á ÒÏ á-ÍÎÏÖÅÓÔ×Á × õÓÅÈÁÈ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ îÁÕË. ïÎÁ ÂÙÌÁ ÎÁÉÓÁÎÁ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÓÌÏÖÎÏ. ìÁÎÄÉÓ ÍÎÅ ÔÏÇÄÁ ÒÁÓÓËÁÚÁÌ ÕÄÉ×ÉÔÅÌØÎÏ ËÒÁÓÉ×Ï É ÒÏÓÔÏ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÓÔÅÒÖÅÎØ ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÉÉ | ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ ÔÒÅÈ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÊ AÍÎÏÖÅÓÔ×Á. íÎÅ ÜÔÏ ÏÞÅÎØ ÏÎÒÁ×ÉÌÏÓØ. ðÏÍÎÀ, ËÁË ìÁÎÄÉÓ ÏÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÏ×ÁÌ ÜÔÕ ÔÅÏÒÉÀ. ïÎÁ, ÇÏ×ÏÒÉÌ ÏÎ, ËÒÁÓÉ×Á É ÉÚÑÝÎÁ, ËÁË ÍÕÚÙËÁ íÏ ÁÒÔÁ. îÏ ÏÄÕÍÁ×, ÓËÁÚÁÌ: €îÅÔ, ÏÖÁÌÕÊ, ÍÕÚÙËÁ íÏ ÁÒÔÁ ÓÌÉÛËÏÍ ÓÅÒØÅÚÎÁ ÄÌÑ ÔÁËÏÇÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ. óËÏÒÅÅ | ËÁË ÍÕÚÙËÁ òÏÓÓÉÎɁ. î. î. ëÏÎÓÔÁÎÔÉÎÏ×:

÷ ÓÅÍÉÄÅÓÑÔÙÅ ÇÏÄÙ ÇÒÕÁ ÍÏÌÏÄÙÈ ÍÏÓËÏ×ÓËÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×, × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ, ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÛËÏÌ, ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÌÁ ÅÖÅÇÏÄÎÙÊ ÌÅÔÎÉÊ ÔÒÕÄÏ×ÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÌÁÇÅÒØ × üÓÔÏÎÉÉ. ïÄÎÁÖÄÙ ÔÕÄÁ ÒÉÅÈÁÌ å. í. ìÁÎÄÉÓ Ó ÄÏÞÅÒØÀ ìÅÎÏÊ. ïÎÉ ÖÉÌÉ × ÁÌÁÔËÁÈ, ËÁË É ×ÓÅ. öÉÚÎØ × ÁÌÁÔËÅ å×ÇÅÎÉÑ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÁ ÎÉÓËÏÌØËÏ ÎÅ ÓÍÕÝÁÌÁ. âÙÌÏ ÏÝÕÝÅÎÉÅ, ÞÔÏ ÏÎ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÅÔ ÜÔÏ ËÁË ÎÅÞÔÏ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ. ÷ ÌÁÇÅÒÅ ÂÙÌÏ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÍÎÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÎÑÔÉÊ, É ÎÁ ÏÄÎÏÍ ÉÚ ÎÉÈ ìÁÎÄÉÓ ÒÏÞÉÔÁÌ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ× ÌÅË ÉÀ: €ðÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÚÏÌÏÔÏÇÏ ÓÅÞÅÎÉÑ × ÂÉÂÌÉÏÔÅÞÎÏÍ ÄÅÌŁ. òÅÞØ ÛÌÁ Ï ÓÂÁÌÁÎÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÄÅÒÅ×Å | ÎÅÄÁ×ÎÅÊ ÔÏÇÄÁ ÒÁÂÏÔÅ ç. í. áÄÅÌØÓÏÎ-÷ÅÌØÓËÏÇÏ É å. í. ìÁÎÄÉÓÁ. îÁÄÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÜÔÕ ÌÅË ÉÀ ÎÅ ÏÞÅÎØ-ÔÏ ÏÎÑÌÉ ÛËÏÌØÎÉËÉ. åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ, ËÔÏ ÅÅ Ó ÅÒ×ÏÇÏ ÒÁÚÁ ÏÎÑÌ, ÂÙÌ çÒÉÛÁ òÙÂÎÉËÏ×, ËÏÔÏÒÏÇÏ, Ñ ÄÕÍÁÀ, ÍÎÏÇÉÅ ÚÎÁÀÔ. çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÜÔÕ ÒÁÂÏÔÕ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓËÁÚÁÔØ ÚÁ ÔÒÉ ÍÉÎÕÔÙ. íÏÖÅÔ ÂÙÔØ, ÜÔÏ É ×ÅÒÎÏ, ÎÏ ×ÓÅ-ÖÅ, ×ÉÄÉÍÏ, ÖÅÌÁÔÅÌØÎÏ, ÞÔÏÂÙ Õ ÓÌÕÛÁÔÅÌÑ ÂÙÌÁ Ë ÜÔÏÍÕ ×ÒÅÍÅÎÉ ÓÅÒØÅÚÎÁÑ ÏÄÇÏÔÏ×ËÁ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ×ÙÓÛÅÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ. ïÔÍÅÞÕ ÉÎÔÅÒÅÓÎÕÀ ÄÅÔÁÌØ. ëÏÌÈÏÚ ÄÁÌ ÎÁÛÅÍÕ ÌÁÇÅÒÀ ÌÏÛÁÄØ É ÔÅÌÅÇÕ, ÞÔÏÂÙ ÍÙ ÍÏÇÌÉ ÅÚÄÉÔØ ÚÁ ÒÏÄÕËÔÁÍÉ. é ÔÕÔ ×ÙÑÓÎÉÌÏÓØ, ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÏ, ÞÔÏ ìÁÎÄÉÓ ÂÏÌØÛÏÊ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔ Ï ÌÏÛÁÄÑÍ | ÏÎ ÒÁÚÂÉÒÁÌÓÑ × ÎÉÈ ÎÅ ÈÕÖÅ ËÏÌÈÏÚÎÙÈ ËÏÎÀÈÏ×. á ÄÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ìÁÎÄÉÓ ×Ï ×ÒÅÍÑ ×ÏÊÎÙ ÂÙÌ ËÏÍÁÎÄÉÒÏÍ ÁÒÔÉÌÌÅÒÉÊÓËÏÇÏ ×Ú×ÏÄÁ. ÑÇÌÏ×ÏÊ ÓÉÌÏÊ ÂÙÌÉ ÌÏÛÁÄÉ. é × ÅÒÉÏÄ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÚÁÔÉÛØÑ ÏÓÎÏ×ÎÁÑ ÚÁÂÏÔÁ ÂÙÌÁ Ï ÌÏÛÁÄÑÈ. îÕ, É ×ÏÌÅÊ-ÎÅ×ÏÌÅÊ ìÁÎÄÉÓÕ ÒÉÛÌÏÓØ ÓÔÁÔØ ÂÏÌØÛÉÍ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏÍ Ï ÕÈÏÄÕ, ÏÄËÏ×Ù×ÁÎØÀ É ÞÉÓÔËÅ. ëÓÔÁÔÉ, ÛËÏÌØÎÉË, ËÏÔÏÒÏÍÕ × ÎÁÛÅÍ ÌÁÇÅÒÅ ÂÙÌÏ ÏÒÕÞÅÎÏ ÒÁÂÏÔÁÔØ Ó ÌÏÛÁÄØÀ | ËÏÒÍÉÔØ, ÚÁÒÑÇÁÔØ É ÅÚÄÉÔØ ÚÁ ÒÏÄÕËÔÁÍÉ | ÉÍÅÌ Ú×ÁÎÉÅ €ËÌÑÞÍÅÊÓÔÅҁ, É ÜÔÏ ÏÞÅÎØ ÚÁÂÁ×ÌÑÌÏ ìÁÎÄÉÓÁ. ïÄÎÁÖÄÙ ÍÙ Ó ìÁÎÄÉÓÏÍ ÅÒÅÈÏÄÉÌÉ ÕÌÉ Õ. õÌÉ Á ÂÙÌÁ ÓÏ×ÓÅÍ ÕÓÔÁÑ, ÎÏ ÇÄÅ-ÔÏ ÅÈÁÌÁ ÍÁÛÉÎÁ. ñ ÇÏ×ÏÒÀ: €ðÏÊÄÅÍ, ÕÓÅǺ. €äÁ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÕÓÅÅÍ, ÎÏ Õ ÍÅÎÑ ÅÓÔØ ÒÉ×ÙÞËÁ ÒÏÕÓËÁÔØ ÍÁÛÉÎÕ. ñ ÎÅ ÈÏÞÕ ÜÔÕ ÒÉ×ÙÞËÕ ÒÁÚÒÕÛÁÔ؁. ÁËÏÊ ÏÄÈÏÄ ÏËÁÚÁÌÓÑ ÍÎÅ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÍ. é Ñ ÏÄÕÍÁÌ, ÞÔÏ ×ÅÄØ, ÎÁÄÏ ÖÅ, ÞÅÌÏ×ÅË ÒÏÛÅÌ Ä×Å ×ÏÊÎÙ, É ÏÓÔÁÌÓÑ ÅÌÙÍ. îÕ, ÏÎÑÔÎÏ, ÞÔÏ ÚÄÅÓØ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ, ×ÅÚÅÎÉÑ 90%, ÎÏ ÅÝÅ ÓËÏÌØËÏ-ÔÏ É ÕÍÅÎÉÑ ÂÙÔØ ÏÓÔÏÒÏÖÎÙÍ.

å. í. ìÁÎÄÉÓ

47

ïÄÎÁÖÄÙ ìÁÎÄÉÓ, ÂÕÄÕÞÉ ÓÔÕÄÅÎÔÏÍ, ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÌ ÓÄÁÔØ ÓÅ ËÕÒÓ ì. á. ìÀÓÔÅÒÎÉËÕ. ïÎÉ ×ÓÔÒÅÔÉÌÉÓØ × ÎÁÚÎÁÞÅÎÎÏÅ ×ÒÅÍÑ, ìÀÓÔÅÒÎÉË ÚÁÄÁÌ ×ÏÒÏÓ É ËÕÄÁ-ÔÏ ×ÙÛÅÌ. ÷ÓËÏÒÅ ÏÎ ×ÅÒÎÕÌÓÑ, ÎÏ ÎÅ ÎÁÞÁÌ ÜËÚÁÍÅÎÁ, Á ÓÔÁÌ ÒÁÚÇÏ×ÁÒÉ×ÁÔØ Ó ìÁÎÄÉÓÏÍ Ï ÒÁÚÎÙÈ ÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ×ÅÝÁÈ. üÔÏ ÄÌÉÌÏÓØ ÏËÏÌÏ ÞÁÓÁ. îÁËÏÎÅ ìÀÓÔÅÒÎÉË ÎÅÔÅÒÅÌÉ×Ï ÏÓÍÏÔÒÅÌ ÎÁ ÞÁÓÙ É ÓËÁÚÁÌ: €îÕ ËÕÄÁ ÖÅ ÏÎ ÒÏÁÌ?. €ëÔÏ-ÔÏ ÄÏÌÖÅÎ ÏÄÏÊÔÉ? | ÓÒÏÓÉÌ ìÁÎÄÉÓ. €îÕ ËÏÎÅÞÎÏ, ÇÄÅ ÖÅ ÔÏÔ ÓÔÕÄÅÎÔ, ËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÙ Ó ×ÁÍÉ ÄÏÌÖÎÙ ÜËÚÁÍÅÎÏ×ÁÔØ?. ðÏÌÕÞÉÌÓÑ ÏÞÅÒÅÄÎÏÊ ÁÎÅËÄÏÔ ÒÏ ìÀÓÔÅÒÎÉËÁ. á ÄÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ìÁÎÄÉÓ, ×Ï-ÅÒ×ÙÈ, ×ÙÇÌÑÄÅÌ ÎÁÍÎÏÇÏ ÓÔÁÒÛÅ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Á ÏÄÎÏËÕÒÓÎÉËÏ×, Á ×Ï-×ÔÏÒÙÈ, ÏÎ ÏÓÔÏÑÎÎÏ ×ÙÓÔÕÁÌ ÎÁ ÎÁÕÞÎÙÈ ÓÅÍÉÎÁÒÁÈ, É × ÎÅÍ ÒÉ×ÙËÌÉ ×ÉÄÅÔØ ×ÚÒÏÓÌÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ. éÚ ×ÓÅÈ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÚÄÅÓØ, ÎÁ×ÅÒÎÏÅ, Ñ ÂÏÌØÛÅ ×ÓÅÈ Ï ×ÒÅÍÅÎÉ ÚÎÁÀ çÅÎÀ ìÁÎÄÉÓÁ. íÙ Ó ÎÉÍ ÏÓÔÕÉÌÉ × ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ × 1939 ÇÏÄÕ. îÏ ÎÁÛÉÈ ÍÁÌØÞÉÛÅË × 39-Í, × ÓÅÎÔÑÂÒÅ, ÚÁÂÒÁÌÉ × ÁÒÍÉÀ. é çÅÎÑ ÓÔÁÌ ÕÞÉÔØÓÑ × ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ ÕÖÅ ÏÓÌÅ ×ÏÊÎÙ. ñ ÂÙÌÁ ÖÅÎÁ (ÔÅÅÒØ ÎÁÚÙ×ÁÀÓØ ×ÄÏ×Á) ëÒÏÎÒÏÄÁ á. ó. íÙ Ó çÅÎÅÊ ÂÙÌÉ ÏÞÅÎØ ÂÌÉÚËÉ, × ËÁËÏÍ-ÔÏ ÓÍÙÓÌÅ ÄÁÖÅ ÓÕÅ×ÅÒÎÏ ÂÌÉÚËÉ. äÅÎØ ÒÏÖÄÅÎÉÑ çÅÎÉ ìÁÎÄÉÓÁ 6 ÏËÔÑÂÒÑ, á. ó. ëÒÏÎÒÏÄ ÕÍÅÒ 6 ÏËÔÑÂÒÑ. âÙÌÉ É ÄÒÕÇÉÅ ÏÌÎÙÅ ÓÏ×ÁÄÅÎÉÑ. ì. á. ëÒÏÎÒÏÄ:

ïÄÎÁ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ëÒÏÎÒÏÄÁ É ìÁÎÄÉÓÁ ÏÓÔÁÌÁÓØ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ, ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ÏÎÁ ÎÉÇÄÅ ÎÅ ÕÂÌÉËÏ×ÁÌÁÓØ. ïÎÉ ×Ä×ÏÅÍ ÎÁÉÓÁÌÉ ÏÞÅÎØ ÈÏÒÏÛÉÊ ÕÞÅÂÎÉË ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ× É ÅÒ×ÏËÕÒÓÎÉËÏ× Ï ÔÅÏÒÉÉ ÆÕÎË ÉÊ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ. üÔÏÔ ÕÞÅÂÎÉË ÈÒÁÎÉÔÓÑ Õ ÍÅÎÑ ÄÏÍÁ, É Ñ ÄÕÍÁÀ, ÞÔÏ ËÏÇÄÁ-ÎÉÂÕÄØ ÅÇÏ ÏÕÂÌÉËÕÀ. éÚ ×ÏÓÏÍÉÎÁÎÉÊ å×ÇÅÎÉÑ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÁ Ï ×ÏÊÎÅ Ñ ÍÏÇÕ ÒÁÓÓËÁÚÁÔØ ÏÄÉÎ ÜÉÚÏÄ. ëÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÏÎ ÂÙÌ × ÒÁÓÞÅÔÅ, ÇÄÅ ÂÙÌÁ ÕÛËÁ É ÌÏÛÁÄÉ. ïÄÎÁÖÄÙ ÎÅÍ Ù ÎÁÓÔÕÁÌÉ É ÕÖÅ ×ÏÛÌÉ × ÏÄÎÕ ÄÅÒÅ×ÎÀ. á ÕÛËÁ ÎÁÛÉÈ ÓÔÏÑÌÁ ÎÁ ËÒÁÀ ÄÅÒÅ×ÎÉ. îÁÛÉ ÓÒÁÛÉ×ÁÀÔ Õ Ó×ÏÅÇÏ ÎÁÞÁÌØÓÔ×Á: €þÔÏ ÎÁÍ ÄÅÌÁÔØ Ó ÕÛËÏÊ?. é ×ÏÔ, ÎÁËÏÎÅ , ÏÌÕÞÁÀÔ ÒÉËÁÚ ×ÚÏÒ×ÁÔØ ÕÛËÕ. åÅ ×ÚÏÒ×ÁÌÉ. €á ÏÔÏÍ, | ÇÏ×ÏÒÉÔ çÅÎÑ, | Ñ ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÏÍÎÀ. åÇÏ ËÏÎÔÕÚÉÌÏ ÒÉ ÜÔÏÍ ×ÚÒÙ×Å. ëÏÇÄÁ ÏÎ ÏÞÎÕÌÓÑ, ÏÎ Õ×ÉÄÅÌ, ÞÔÏ ÌÅÖÉÔ Õ ÏÂÏÞÉÎÙ. ÷ÏËÒÕÇ ÓÔÏÎÕÔ ÒÁÎÅÎÙÅ, Á ÎÅÍ Ù ÉÄÕÔ Ï ÄÏÒÏÇÅ É ÉÈ ÒÉÓÔÒÅÌÉ×ÁÀÔ. çÅÎÑ ÒÉÔ×ÏÒÉÌÓÑ ÍÅÒÔ×ÙÍ. é ÅÓÌÉ ÂÙ ÎÅ ÂÙÌÏ ÜÔÏÊ ËÏÎÔÕÚÉÉ, çÅÎÑ ìÁÎÄÉÓ ÂÙÌ ÂÙ ÓÅÊÞÁÓ Ó ÎÁÍÉ. åÇÏ ÚÄÏÒÏ×ØÅ ÂÙÌÏ ÏÞÅÎØ ÓÉÌØÎÏ ÏÄÏÒ×ÁÎÏ ÜÔÏÊ ËÏÎÔÕÚÉÅÊ. ñ ÚÎÁÀ å×ÇÅÎÉÑ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÁ Ó 1946 Ç. ÏÇÄÁ Ñ ÂÙÌ ÁÓÓÉÓÔÅÎÔÏÍ ÎÁ ËÁÆÅÄÒÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÍÅÈÍÁÔÁ íçõ É ×ÅÌ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÅ ÚÁÎÑÔÉÑ, Á å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÂÙÌ ÓÔÕÄÅÎÔÏÍ ×ÔÏÒÏÇÏ ËÕÒÓÁ. ñ ÕÖÅ ÓÌÙÛÁÌ ÏÔ ÍÏÅÇÏ ÄÒÕÇÁ á. ó. ëÒÏÎÒÏÄÁ, ÞÒÅÚ×ÙÞÁÊÎÏ ÑÒËÏÇÏ ÞÅÌÏ×ÅËÁ É ÔÁÌÁÎÔÌÉ×ÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ, ÞÔÏ Õ ÎÅÇÏ ÏÑ×ÉÌÓÑ ×ÅÓØÍÁ ÓÏÓÏÂÎÙÊ ÕÞÅÎÉË, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÄËÌÀÞÉÌÓÑ Ë ÅÇÏ ÎÁÕÞÎÏÊ ÒÁÂÏÔÅ. å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÂÙÌ ÄÁÖÅ ÓÔÁÒÛÅ, ÞÅÍ áÌÅËÓÁÎÄÒ óÅÍÅÎÏ×ÉÞ (ÎÁ 16 ÄÎÅÊ), ÎÏ ÉÚ-ÚÁ ×ÏÊÎÙ ÚÁÄÅÒÖÁÌÓÑ Ó ÕÞÅÂÏÊ É, ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ÜÔÁÅ ÏËÁÚÁÌÓÑ ÕÞÅÎÉËÏÍ áÌÅËÓÁÎÄÒÁ óÅÍÅÎÏ×ÉÞÁ. á×ÔÏÒÉÔÅÔ å×ÇÅÎÉÑ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÁ ÓÒÅÄÉ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÂÙÌ ÏÂÝÅÒÉÚÎÁÎ. îÁÒÉÍÅÒ, ÏÍÎÀ ÔÁËÏÊ ÜÉÚÏÄ. ìÅËÔÏÒ × ËÕÒÓÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÄÏËÁÚÙ×ÁÌ ÔÅÏÒÅÍÕ ðÅÁÎÏ Ï ÍÅÔÏÄÕ ðÅÒÒÏÎÁ, ÎÏ ËÁË-ÔÏ ÏÞÅÎØ ÕÖ ÇÒÏÍÏÚÄËÏ. å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÒÉÄÕÍÁÌ ÕÒÏÝÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á É ÒÁÓÓËÁÚÁÌ Ï á. ä. íÙÛËÉÓ:

48

ÜÔÏÍ Ó×ÏÉÍ ÏÄÎÏËÕÒÓÎÉËÁÍ. ëÏÇÄÁ Ñ ÒÉÎÉÍÁÌ ÜËÚÁÍÅÎ, ÏÄÎÁ ÓÔÕÄÅÎÔËÁ, ËÏÔÏÒÏÊ ÏÁÌÓÑ ÜÔÏÔ ×ÏÒÏÓ, ÓÒÏÓÉÌÁ: €á ÍÏÖÎÏ Ñ ÂÕÄÕ ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÔØ Ï ìÁÎÄÉÓÕ? ðÏÌÕÞÉ× ÓÏÇÌÁÓÉÅ, ÏÎÁ ÈÏÒÏÛÏ ÉÚÌÏÖÉÌÁ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÏÓÌÅ ÕÂÌÉËÁ ÉÉ ÒÁÂÏÔ × ÏÂÌÁÓÔÉ €ÞÉÓÔÏʁ æäð, å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÂÙÓÔÒÏ ÅÒÅÛÅÌ Ë ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ | ÏÓÏÂÅÎÎÏ, Ó ÞÁÓÔÎÙÍÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÍÉ. üÔÏ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ É ÓÔÁÌÏ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÄÌÑ ÎÅÇÏ ÒÅÏÂÌÁÄÁÀÝÉÍ. ïÎ ÏÓÔÕÉÌ × ÁÓÉÒÁÎÔÕÒÕ Ë é. ç. ðÅÔÒÏ×ÓËÏÍÕ. ðÏÍÎÀ, ËÁË é×ÁÎ çÅÏÒÇÉÅ×ÉÞ, ÏÎÉÍÁÑ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÊ ÈÁÒÁËÔÅÒ ÜÔÏÊ ÒÏ ÅÄÕÒÙ, ÏÒÕÞÉÌ ï. á. ïÌÅÊÎÉË É ÍÎÅ ÒÉÎÑÔØ Õ å×ÇÅÎÉÑ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÁ ÁÓÉÒÁÎÔÓËÉÊ ÜËÚÁÍÅÎ Ï ÔÅÏÒÉÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó ÞÁÓÔÎÙÍÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÍÉ. á ÍÙ Ë ÔÏÍÕ ×ÒÅÍÅÎÉ ÂÙÌÉ ÕÖÅ ×ÓÅ ÔÒÏÅ ÄÒÕÚØÑÍÉ É ÄÁ×ÎÏ ÅÒÅÛÌÉ ÎÁ €Ôف. íÙ Ó ïÌØÇÏÊ áÒÓÅÎØÅ×ÎÏÊ ÚÁÄÁ×ÁÌÉ ×ÏÒÏÓÙ, ÓÔÁÒÁÑÓØ €ÏÄÌÏ×ÉÔ؁ å×ÇÅÎÉÑ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÁ ÎÁ ÞÅÍ-ÎÉÂÕÄØ, ÎÏ ÄÏÌÇÏ ÎÉËÁË ÎÅ ÍÏÇÌÉ ÜÔÏÇÏ ÓÄÅÌÁÔØ. ïÄÎÁËÏ ÎÁÁÄÁÀÝÉÈ ÂÙÌÏ Ä×ÏÅ ÒÏÔÉ× ÏÄÎÏÇÏ, É × ËÏÎ Å ËÏÎ Ï× ÍÙ ÏÊÍÁÌÉ ÅÇÏ ÎÁ ÔÏÎËÏÍ ×ÏÒÏÓÅ, Ó×ÑÚÁÎÎÏÍ Ó ÈÁÒÁËÔÅÒÏÍ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÏÓÏÂÙÈ ÔÏÞÅË ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÊ ÆÕÎË ÉÉ, ÞÅÍ É ÂÙÌÉ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÅÎÙ. ïÔÍÅÞÕ, ÞÔÏ Õ é×ÁÎÁ çÅÏÒÇÉÅ×ÉÞÁ ÕÞÅÎÉËÏ× ÂÙÌÏ ÍÁÌÏ, Á ÓÕÍÅ×ÛÉÈ ÒÏÑ×ÉÔØ ÓÅÂÑ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ | É ÓÏ×ÓÅÍ ÍÁÌÏ. óÁÍ ÏÎ ËÁË-ÔÏ ÓËÁÚÁÌ: €õ ÍÅÎÑ ÔÏÌØËÏ ÞÅÌÏ×ÅË ÑÔØ ×ÙÛÌÏ × ÌÀÄÉ. | É, ËÏÎÅÞÎÏ, å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÂÙÌ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÎÉÈ. é×ÁÎ çÅÏÒÇÉÅ×ÉÞ ÎÅ ÂÙÌ ÒÕËÏ×ÏÄÉÔÅÌÅÍ × ÕÚËÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÏÎ ÄÁ×ÁÌ ÔÏÌØËÏ ÓÁÍÙÅ ÏÂÝÉÅ ÕÓÔÁÎÏ×ËÉ, ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÑ Ó×ÏÉÍ ÕÞÅÎÉËÁÍ ÏÌÎÕÀ Ó×ÏÂÏÄÕ; ÓËÏÒÅÅ, ÏÎ ÓÔÁÒÁÌÓÑ ÅÒÅÄÁÔØ Ó×ÏÉ ×ÚÇÌÑÄÙ ÎÁ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ×ÏÒÏÓÙ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ É ÖÉÚÎÉ. ÁËÏÊ ÍÅÔÏÄ ÈÏÒÏÛ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÂÏÌÅÅ ÓÉÌØÎÙÈ ÁÓÉÒÁÎÔÏ×. ïÔÞÁÓÔÉ ÏÜÔÏÍÕ, Á ÏÔÞÁÓÔÉ É ÉÚ-ÚÁ Ó×ÏÉÈ ×ÙÄÁÀÝÉÈÓÑ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔÅÊ, å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÂÙÓÔÒÏ ÓÔÁÌ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÙÍ ÕÞÅÎÙÍ. îÁÄÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ìÁÎÄÉÓ, ÂÕÄÕÞÉ ÓÔÕÄÅÎÔÏÍ, ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÂÙÓÔÒÏ ÅÒÅÛÅÌ Ë ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÓËÏÊ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ. õ ÎÅÇÏ ÂÙÌÉ ÓÅÒØÅÚÎÙÅ ÒÁÂÏÔÙ, ÓÏ×ÍÅÓÔÎÙÅ Ó ëÒÏÎÒÏÄÏÍ. ðÏÔÏÍ ÏÎ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÂÙÓÔÒÏ ÅÒÅËÌÀÞÉÌÓÑ ÎÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÞÁÓÔÎÙÍÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÍÉ É ÓÔÁÌ ÕÞÅÎÉËÏÍ é. ç. ðÅÔÒÏ×ÓËÏÇÏ. ÷ ÔÏ ×ÒÅÍÑ ÎÁ ÍÅÈÍÁÔÅ ÁËÔÉ×ÎÏ ÒÁÂÏÔÁÌ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÊ ÓÅÍÉÎÁÒ Ï ÔÅÏÒÉÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó ÞÁÓÔÎÙÍÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÍÉ, ËÏÔÏÒÙÍ ÒÕËÏ×ÏÄÉÌÉ ó. ì. óÏÂÏÌÅ×, é. ç. ðÅÔÒÏ×ÓËÉÊ É á. î. ÉÈÏÎÏ× (ÏÂÙÞÎÏ ÉÈ ÅÒÅÞÉÓÌÑÌÉ × ÔÁËÏÍ ÏÒÑÄËÅ, Ï ÒÏÓÔÕ). üÔÏ ÂÙÌ ÅÎÔÒ, ×ÏËÒÕÇ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÇÒÕÉÒÏ×ÁÌÉÓØ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌÉ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÉÚ íÏÓË×Ù, ÎÏ É ÉÚ ÄÒÕÇÉÈ ÇÏÒÏÄÏ×. îÁÒÑÄÕ Ó ËÏÒÉÆÅÑÍÉ, × ÎÅÍ ÁËÔÉ×ÎÏ ÒÁÂÏÔÁÌ ÄÒÕÖÎÙÊ ËÏÌÌÅËÔÉ× ÍÏÌÏÄÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×: í. é. ÷ÉÛÉË, ï. á. ìÁÄÙÖÅÎÓËÁÑ, ï. á. ïÌÅÊÎÉË É ÄÒÕÇÉÅ. üÔÏ ÂÙÌ ÒÏÍÁÎÔÉÞÅÓËÉÊ ÅÒÉÏÄ: ÍÙ ÁËÔÉ×ÎÏ ÒÁÂÏÔÁÌÉ, ÎÅÍÅÄÌÅÎÎÏ ÄÅÌÉÌÉÓØ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÍÉ, ÏÂÓÕÖÄÁÌÉ ÉÈ, ÓÔÁÒÁÌÉÓØ ÏÍÏÞØ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ. å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÂÙÓÔÒÏ ×ÏÛÅÌ × ÜÔÏÔ ËÏÌÌÅËÔÉ×, ÓÏÈÒÁÎÑÑ × ÒÁÂÏÔÅ Ó×ÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÎÙÊ ÓÔÉÌØ, Ï ËÏÔÏÒÏÍ Ñ ÕÖÅ ÕÏÍÑÎÕÌ. ÷ÏÏÂÝÅ, Ñ ÄÕÍÁÀ, ÞÔÏ × ÍÉÒÏ×ÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÓÒÅÄÉ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ× Ï ÔÅÏÒÉÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó ÞÁÓÔÎÙÍÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÍÉ ÔÒÕÄÎÏ ÕËÁÚÁÔØ ÌÀÄÅÊ, ÓÔÏÌØ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ×ÌÁÄÅÀÝÉÈ ËÁÞÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÍÅÔÏÄÁÍÉ É ÕÍÅÀÝÉÍÉ ÉÈ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÒÉÍÅÎÑÔØ, ËÁË å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ. å×ÇÅÎÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÏÔÌÉÞÁÌÓÑ ÒÏ×ÎÙÍ, ÄÏÂÒÏÖÅÌÁÔÅÌØÎÙÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÏÍ, ÏÎ ÂÙÌ ÉÓÔÉÎÎÏ ÉÎÔÅÌÌÉÇÅÎÔÎÙÍ ÞÅÌÏ×ÅËÏÍ, Ñ ÎÉ ÒÁÚÕ ÎÅ ÓÌÙÛÁÌ, ÞÔÏÂÙ ÏÎ Ï×ÙÓÉÌ ÇÏÌÏÓ ÉÌÉ ËÏÍÕ-ÎÉÂÕÄØ ÓÔÒÏÇÏ ×ÙÇÏ×ÁÒÉ×ÁÌ. ó×ÅÔÌÙÊ ÏÂÌÉË å×ÇÅÎÉÑ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÁ ×ÓÅÇÄÁ × ÍÏÅÊ ÁÍÑÔÉ.

49

æÅÌÉËÓ ëÌÅÊÎ É ÅÇÏ ÜÒÌÁÎÇÅÎÓËÁÑ ÒÏÇÒÁÍÍÁ

(Ë 150-ÌÅÔÉÀ ÓÏ ÄÎÑ ÒÏÖÄÅÎÉÑ ÕÞÅÎÏÇÏ)

î. è. òÏÚÏ×

üÒÌÁÎÇÅÎÓËÁÑ ÒÏÇÒÁÍÍÁ ÏÔËÒÙÌÁ × ÏÎÑÔÉÉ ÇÒÕÙ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÔÅ ÕÚÌÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÓËÒÅÌÑÀÔ ×ÓÅ ÒÁÚÎÏ×ÉÄÎÏÓÔÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ×ÍÅÓÔÅ Ó ÔÅÍ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔ ÏÔÌÉÞÉÔÅÌØÎÙÅ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÎÉÈ; × ÜÔÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÅ ×ÏÒÏÓ €ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ? ÓÔÁ×ÉÔÓÑ É ÏÌÕÞÁÅÔ ÏÓÎÏ×ÏÏÌÁÇÁÀÝÉÊ ÏÔ×ÅÔ. çÅÒÍÁÎ ÷ÅÊÌØ ÷ ÉÓÔÏÒÉÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÎÅ ÍÎÏÇÏ ÉÍÅÎ É ÓÏÂÙÔÉÊ, ÒÉÎ ÉÉÁÌØÎÏ ÉÚÍÅÎÉ×ÛÉÈ ÎÁÛÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ Ï ÜÔÏÊ ×ÅÔ×É ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ É ÒÁÄÉËÁÌØÎÏ Ï×ÌÉÑ×ÛÉÈ ÎÁ ÅÅ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÅ ÒÁÚ×ÉÔÉÅ. ë ÞÉÓÌÕ ÔÁËÏ×ÙÈ ÂÅÚÏ ×ÓÑËÉÈ ÓÏÍÎÅÎÉÊ ÓÌÅÄÕÅÔ ÏÔÎÅÓÔÉ æÅÌÉËÓÁ ëÌÅÊÎÁ É ÅÇÏ ÜÒÌÁÎÇÅÎÓËÕÀ ÒÏÇÒÁÍÍÕ. XIX ×ÅË Ó ÏÌÎÙÍ ÒÁ×ÏÍ ÍÏÖÎÏ ÎÁÚ×ÁÔØ ×ÅËÏÍ ÒÁÓ ×ÅÔÁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. éÍÅÎÎÏ Ë ÜÔÏÍÕ ×ÅËÕ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ ×ÙÄÁÀÝÉÅÓÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÂÏÔÙ ë. çÁÕÓÓÁ, â. òÉÍÁÎÁ, ü. âÅÌØÔÒÁÍÉ, á. ðÕÁÎËÁÒÅ. . . îÏ ÄÁÖÅ ÎÁ ÆÏÎÅ ×ÓÅÈ ÉÈ ÂÌÉÓÔÁÔÅÌØÎÙÈ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÊ Ä×Á ÓÏÂÙÔÉÑ ÏËÁÚÁÌÉÓØ ÏÉÓÔÉÎÅ ÜÏÈÁÌØÎÙÍÉ: ÏÔËÒÙÔÉÅ ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ çÁÕÓÓÏÍ, ìÏÂÁÞÅ×ÓËÉÍ, âÏÊÁÉ É ÒÁÚÒÁÂÏÔËÁ ëÌÅÊÎÏÍ ÔÅÏÒÅÔÉËÏÇÒÕÏ×ÏÇÏ ÏÄÈÏÄÁ Ë ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. ÷ ÏËÔÑÂÒÅ 1872 ÇÏÄÁ ÍÏÌÏÄÏÊ ÎÅÍÅ ËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË æÅÌÉËÓ ëÌÅÊÎ (1849 { 1925) ×ÓÔÕÁÌ × ÄÏÌÖÎÏÓÔØ ÒÏÆÅÓÓÏÒÁ ÎÁ ÆÉÌÏÓÏÆÓËÏÍ ÆÁËÕÌØÔÅÔÅ üÒÌÁÎÇÅÎÓËÏÇÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×Á×ÛÅÊ × ÔÅ ×ÒÅÍÅÎÁ (É ÓÏÈÒÁÎÑÀÝÅÊÓÑ ÏÎÙÎÅ × ÒÑÄÅ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÏ× çÅÒÍÁÎÉÉ) ÔÒÁÄÉ ÉÉ, ÎÏ×ÙÊ ÒÏÆÅÓÓÏÒ ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÌ ÒÏÞÉÔÁÔØ ×ÓÔÕÉÔÅÌØÎÕÀ ÌÅË ÉÀ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁÄÌÅÖÁÌÏ ÉÚÌÏÖÉÔØ ÒÏÇÒÍÍÕ ÅÇÏ ÎÁÕÞÎÙÈ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ. üÔÏÊ ÌÅË ÉÉ ëÌÅÊÎÁ, ÏÚÁÇÌÁ×ÌÅÎÎÏÊ €óÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÏÅ ÏÂÏÚÒÅÎÉÅ ÎÏ×ÅÊÛÉÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉʁ (É ÓÒÁÚÕ ÖÅ ×ÙÕÝÅÎÎÏÊ × ×ÉÄÅ ÎÅÂÏÌØÛÏÊ ÂÒÏÛÀÒÙ), ×ÙÁÌÁ ÚÁ×ÉÄÎÁÑ ÄÏÌÑ ÎÁ×ÓÅÇÄÁ ÚÁÎÑÔØ ÏÞÅÔÎÏÅ ÍÅÓÔÏ × ÉÓÔÏÒÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÎÁÕËÉ. ïÎÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ ÎÙÎÅ ÏÄ ÉÍÅÎÅÍ ÜÒÌÁÎÇÅÎÓËÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÙ. éÚ×ÅÓÔÎÙÊ ÁÍÅÒÉËÁÎÓËÉÊ ÇÅÏÍÅÔÒ äÖÕÌÉÁÎ ëÕÌÉÄÖ ÓËÁÚÁÌ ËÁËÔÏ, ÞÔÏ ÜÒÌÁÎÇÅÎÓËÁÑ ÒÏÇÒÁÍÍÁ ëÌÅÊÎÁ Ï×ÌÉÑÌÁ ÎÁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÍÙÛÌÅÎÉÅ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÌÀÂÁÑ ÄÒÕÇÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ÓÏ ×ÒÅÍÅÎ å×ËÌÉÄÁ, ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ ÒÁÂÏÔ çÁÕÓÓÁ É òÉÍÁÎÁ. (ìÅË ÉÑ æ. ëÌÅÊÎÁ ÎÁ ÒÕÓÓËÏÍ ÑÚÙËÅ ×ÅÒ×ÙÅ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÁ × 1895 Ç. åÅ ÏÌÎÙÊ ÔÅËÓÔ ÂÙÌ ÏÍÅÝÅÎ ÔÁËÖÅ × ÍÁÌÏÄÏÓÔÕÎÏÊ ÓÅÊÞÁÓ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÊ ËÎÉÇÅ

50

î. è. òÏÚÏ×

ÉÚ ÓÅÒÉÉ €ëÌÁÓÓÉËÉ ÅÓÔÅÓÔ×ÏÚÎÁÎÉс1). ó ÔÅÈ ÏÒ, ÎÁÓËÏÌØËÏ ÎÁÍ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÎÁ ÒÕÓÓËÏÍ ÑÚÙËÅ ÜÒÌÁÎÇÅÎÓËÁÑ ÒÏÇÒÁÍÍÁ ÂÏÌØÛÅ ÎÅ ÅÒÅÉÚÄÁ×ÁÌÁÓØ.) äÏ æ. ëÌÅÊÎÁ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÁËÔÙ É ÔÅÏÒÉÉ ÎÅ ÏÂßÅÄÉÎÑÌÉÓØ ÅÄÉÎÏÊ ËÏÎ Å ÉÅÊ. óÁÍ æ. ëÌÅÊÎ ÔÁË ÉÓÁÌ Ï ÜÔÏÍ: €çÅÏÍÅÔÒÉÑ, ÅÄÉÎÁÑ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Õ Ó×ÏÅÍÕ, ÒÉ ÂÙÓÔÒÏÍ Ó×ÏÅÍ ÒÁÚ×ÉÔÉÉ × ÏÓÌÅÄÎÅÅ ×ÒÅÍÑ ÓÌÉÛËÏÍ ÕÖ ÒÁÚÄÒÏÂÉÌÁÓØ ÎÁ ÒÑÄ ÏÞÔÉ ÒÁÚÄÅÌØÎÙÈ ÄÉÓ ÉÌÉÎ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÏÄÏÌÖÁÀÔ ÒÁÚ×É×ÁÔØÓÑ × ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ. õÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÕÀ ËÏÎ Å ÉÀ €ÅÄÉÎÓÔ×Á ÇÅÏÍÅÔÒÉʁ, ÏÂÝÉÊ ÒÉÎ É, ÏÈ×ÁÔÙ×ÁÀÝÉÊ ×ÓÅ ÅÅ ×ÅÔ×É, ×ÅÒ×ÙÅ Õ×ÉÄÅÌ É ÞÅÔËÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÌ æÅÌÉËÓ ëÌÅÊÎ. ÷ ÏÓÎÏ×Å ÅÇÏ ËÏÎ Å ÉÉ ÌÅÖÉÔ ÉÄÅÑ, Ó×ÑÚÁÎÎÁÑ Ó ÏÎÑÔÉÅÍ ÇÒÕÙ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ É ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÅÊ ÇÒÕÏ×ÙÈ Ó×ÏÊÓÔ×. üÔÏ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÏÅ ÏÔËÒÙÔÉÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÅÍ ÂÏÌÅÅ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÍ É ÕÄÉ×ÉÔÅÌØÎÙÍ, ÞÔÏ ÓÁÍÁ Ï ÓÅÂÅ ÔÅÏÒÉÑ ÇÒÕ ËÁË ÏÔÄÅÌØÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ ÁÌÇÅÂÒÙ × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ ÅÝÅ ÎÅ ÓÌÏÖÉÌÁÓØ. ÷ÏÔ ËÁË ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÔ æ. ëÌÅÊÎ × ÜÒÌÁÎÇÅÎÓËÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÅ ÅÎÔÒÁÌØÎÕÀ ÒÏÂÌÅÍÕ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ: €äÁÎÏ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅ É × ÎÅÍ ÇÒÕÁ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ; ÎÕÖÎÏ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÔÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÂÒÁÚÏ×, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÈ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÀ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÉÚÍÅÎÑÀÔÓÑ ÏÔ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÇÒÕÙ. . . ÒÅÂÕÅÔÓÑ ÒÁÚ×ÉÔØ ÔÅÏÒÉÀ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÜÔÏÊ ÇÒÕÙ. éÔÁË, ×ÅÔ×É ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÒÁÚÌÉÞÁÀÔÓÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁÍÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÇÒÕÙ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ. ç. ÷ÅÊÌØ ÉÓÁÌ: €üÒÌÁÎÇÅÎÓËÁÑ ÒÏÇÒÁÍÍÁ . . . ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ Ó×ÏÅÇÏ ÏÌÎÏÇÏ ÒÏÑ×ÌÅÎÉÑ ÉÍÅÎÎÏ × ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÕ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ É ÉÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ×. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÉÍÅÅÔÓÑ Ó×ÏÅÏÂÒÁÚÎÁÑ ÉÅÒÁÒÈÉÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ×: × ÇÒÕÅ Ä×ÉÖÅÎÉÊ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏÍ Ó×ÑÚÁÎÙ Ä×Å ÔÏÞËÉ, × ÇÒÕÅ ÏÄÏÂÉÑ | ÔÒÉ ÔÏÞËÉ × ÏÂÝÅÍ ÏÌÏÖÅÎÉÉ, × ÇÒÕÅ ÁÆÆÉÎÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ | ÔÒÉ ËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙÅ ÔÏÞËÉ, × ÇÒÕÅ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ | ÞÅÔÙÒÅ ËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙÅ ÔÏÞËÉ . . . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÇÒÕÏ×ÏÇÏ ÏÄÈÏÄÁ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÎÙÍÉ ÔÁËÉÅ, ËÁÚÁÌÏÓØ ÂÙ, ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ËÁË Å×ËÌÉÄÏ×Á, ÁÆÆÉÎÎÁÑ É ÒÏÅËÔÉ×ÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ É òÉÍÁÎÁ É Ô. Ä. íÙ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ÚÄÅÓØ ÂÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÏ ÕÇÌÕÂÌÑÔØÓÑ × ÒÉÎ ÉÉÁÌØÎÙÅ ÎÁÕÞÎÙÅ ÄÅÔÁÌÉ ËÏÎ Å ÉÉ æ. ëÌÅÊÎÁ, ÒÅËÏÍÅÎÄÕÑ ÞÉÔÁÔÅÌÀ (ËÁË ÏÙÔÎÏÍÕ, ÔÁË É ÎÁÞÉÎÁÀÝÅÍÕ) ÏÚÎÁËÏÍÉÔØÓÑ Ó ÎÉÍÉ Ï ÎÅÄÁ×ÎÏ ÏÑ×É×ÛÅÊÓÑ ÂÌÅÓÔÑÝÅÊ ËÎÉÇÅ ÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×Á É ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×Á2). éÄÅÉ æ. ëÌÅÊÎÁ ÂÙÌÉ ×ÏÓÒÉÎÑÔÙ ÍÎÏÇÉÍÉ ×ÙÄÁÀÛÉÍÉÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍÉ. ÁË, × 1886 Ç. óÏÆÕÓ ìÉ (1842 { 1899) × Ó×ÏÅÊ ÓÔÁÔØÅ €úÁÍÅÞÁÎÉÑ ÎÁ ÒÁÂÏÔÕ çÅÌØÍÇÏÌØ Á "ï ÆÁËÔÁÈ, ÌÅÖÁÝÉÈ × ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ\ ÉÓÁÌ: €úÎÁÍÅÎÉÔÁÑ ÒÁÂÏÔÁ çÅÌØÍÇÏÌØ Á . . . ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔ ÚÁÄÁÞÕ, ÓÔÏÑÝÕÀ × ÔÅÓÎÅÊÛÅÊ Ó×ÑÚÉ Ó ÎÏ×ÏÊ ÔÅÏÒÉÅÊ ÇÒÕ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ. ðÏÂÕÖÄÁÅÍÙÊ ëÌÅÊÎÏÍ, Ñ ÏÜÔÏÍÕ ÒÅÛÉÌÓÑ ÒÉÍÅÎÉÔØ Ë ÜÔÏÊ . . . ÚÁÄÁÞÅ ÍÅÔÏÄÙ ÍÏÅÊ ÔÅÏÒÉÉ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ. 1) ï ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. óÂÏÒÎÉË ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÈ ÒÁÂÏÔ Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ É ÒÁÚ×ÉÔÉÀ ÅÅ ÉÄÅÊ. { òÅÄÁË ÉÑ É ×ÓÔÕÉÔÅÌØÎÁÑ ÓÔÁÔØÑ á. ð. îÏÒÄÅÎÁ. { í.: çÏÓÔÅÈÉÚÄÁÔ, 1956. 528 Ó. 2) ðÒÁÓÏÌÏ× ÷. ÷., ÉÈÏÍÉÒÏ× ÷. í. çÅÏÍÅÔÒÉÑ. í.: íãîíï, 1997. 352 Ó.

æ. ëÌÅÊÎ

51

(õÏÍÑÎÕÔÁÑ ÒÁÂÏÔÁ çÅÒÍÁÎÁ çÅÌØÍÇÏÌØ Á (1821 { 1894) ÂÙÌÁ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÁ × 1868 Ç. É ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÌÁ ÓÏÂÏÊ ÏÄÎÕ ÉÚ ÅÒ×ÙÈ ÏÙÔÏË ÒÏÄ×ÉÎÕÔØÓÑ Ï ÕÔÉ ÁËÓÉÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ.) þÅÒÅÚ 15 ÌÅÔ ÏÓÌÅ ÕÂÌÉËÁ ÉÉ ÜÒÌÁÎÇÅÎÓËÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÙ ÍÙÓÌØ Ï ÒÁ×ÎÏÒÁ×ÎÏÓÔÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÊ å×ËÌÉÄÁ É ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÏÔÞÅÔÌÉ×Ï ÑÓÎÏÊ. áÎÒÉ ðÕÁÎËÁÒÅ (1854 { 1912) × Ó×ÏÅÍ ÓÏÞÉÎÅÎÉÉ €ï ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÇÉÏÔÅÚÁÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉɁ (1887) ×ÙÒÁÚÉÌ ÅÅ €Ï ëÌÅÊÎՁ ÔÁË: €. . . çÅÏÍÅÔÒÉÑ ÅÓÔØ ÎÅ ÞÔÏ ÉÎÏÅ, ËÁË ÉÚÕÞÅÎÉÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÇÒÕÙ Ä×ÉÖÅÎÉÊ, É × ÜÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ å×ËÌÉÄÁ ÎÉÓËÏÌØËÏ ÎÅ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ, ÔÁË ËÁË ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÏÄÎÏÊ ÇÒÕÙ ×ÏÌÎÅ ÓÏ×ÍÅÓÔÉÍÏ Ó ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅÍ ÄÒÕÇÏÊ. óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÛÁÇ × ÒÁÚ×ÉÔÉÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÓÄÅÌÁÌ üÌÉ ëÁÒÔÁÎ (1870 { 1953). ÷ ÅÇÏ ÔÒÁËÔÁÔÅ €ÅÏÒÉÑ ÇÒÕ É ÇÅÏÍÅÔÒÉс ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÓÉÎÔÅÚÁ ÉÄÅÊ ëÌÅÊÎÁ É òÉÍÁÎÁ ÒÁÚ×É×ÁÀÔÓÑ ÎÏ×ÙÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ × ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÍÅÓÔÎÙÍ ×ÏÓÒÏÉÚ×ÅÓÔÉ ÚÄÅÓØ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ü. ëÁÒÔÁÎÁ, ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÅÅ ÓÕÔØ ÏÔËÒÙÔÉÑ æ. ëÌÅÊÎÁ: €. . . ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÉÄÅÑ æ. ëÌÅÊÎÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ Ó×ÑÚÁÎÁ Ó ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÄÒÅ×ÎÉÍÉ ÏÎÑÔÉÑÍÉ ÎÁÕËÉ. üÌÅÍÅÎÔÁÒÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÉÚÕÞÁÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÆÉÇÕÒ, ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÝÉÅ ÏÔ ÉÈ ÏÌÏÖÅÎÉÑ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, . . . ÏÓÔÁÀÝÉÅÓÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÍÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔÉ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ, ÏÂÒÁÚÕÀÝÅÊ ÇÒÕÕ Ä×ÉÖÅÎÉÊ . . . ðÒÏÅËÔÉ×ÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ, . . . Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ëÌÅÊÎÁ, ÉÚÕÞÁÅÔ Ó×ÏÊÓÔ× ÆÉÇÕÒ, ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔÉ . . . ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ, ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÇÒÕÕ. ÷ÏÏÂÝÅ ×ÓÑËÁÑ ÇÒÕÁ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÕÀ ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ. üÔÁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ . . . ÉÚÕÞÁÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÆÉÇÕÒ, ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÇÒÕÙ ... ïÓÏÂÕÀ ÒÏÌØ × Ü×ÏÌÀ ÉÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ XIX ÓÔÏÌÅÔÉÑ ÓÙÇÒÁÌÏ ÒÁÚ×ÉÔÉÅ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. üÒÌÁÎÇÅÎÓËÁÑ ÒÏÇÒÁÍÍÁ ÏÔËÒÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÆÒÁÚÏÊ: €íÅÖÄÕ ÒÉÏÂÒÅÔÅÎÉÑÍÉ, ÓÄÅÌÁÎÎÙÍÉ × ÏÂÌÁÓÔÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÚÁ ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÑÔØÄÅÓÑÔ ÌÅÔ, ÒÁÚ×ÉÔÉÅ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÚÁÎÉÍÁÅÔ ÅÒ×ÏÅ ÍÅÓÔÏ. ÷ ÎÅÊ ÎÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÕÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÎÅÄÏÏ ÅÎËÕ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÏÔËÒÙÔÉÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ (ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÔÒÕÄ €ï ÎÁÞÁÌÁÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉɁ î. é. ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ ×ÙÛÅÌ × Ó×ÅÔ × 1829 Ç., ÚÁ 43 ÇÏÄÁ | ÍÅÎÅÅ, ÞÅÍ ÚÁ ÏÌ×ÅËÁ | ÄÏ ÒÅÞÉ æ. ëÌÅÊÎÁ). ÅÍ ÂÏÌÅÅ, ÞÔÏ ÉÍÅÎÎÏ æ. ëÌÅÊÎ ×ÅÒ×ÙÅ ÎÁÕÞÎÏ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÌ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÑÔÏÇÏ ÏÓÔÕÌÁÔÁ. ÷ 1871 Ç. ×ÙÛÌÁ ÅÇÏ ÓÔÁÔØÑ €ï ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÊ ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉɁ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÏÎ ÔÁË ÏÉÓÙ×ÁÅÔ ÉÓÔÏÒÉÀ ÒÏÖÄÅÎÉÑ ÎÏ×ÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ: €çÁÕÓÓ ÎÁÚ×ÁÌ ÜÔÕ ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×ÏÊ; ÏÎ ÍÎÏÇÏ ÚÁÎÉÍÁÌÓÑ ÅÀ, ÎÏ, Ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÌ Ï ÎÅÊ, ËÒÏÍÅ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÎÁÍÅËÏ×. ë ÜÔÏÊ ÖÅ ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÒÉÛÌÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÉÊ, ÒÏÆÅÓÓÏÒ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ëÁÚÁÎÓËÏÇÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ, É, ÎÅÓËÏÌØËÉÍÉ ÇÏÄÁÍÉ ÏÚÖÅ, ×ÅÎÇÅÒÓËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË ñ. âÏÌØÁÉ. (ëÓÔÁÔÉ, ÕÖÅ × ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÅ æ. ëÌÅÊÎÁ ÍÏÖÎÏ ÕÓÍÏÔÒÅÔØ Ñ×ÎÙÅ ÏÙÔËÉ Ó×ÑÚÁÔØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ, ÉÍÅÎÎÏ ÉÈ ÏÌÏÖÉÔØ × ÏÓÎÏ×Õ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÊ.) ëÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, æ. ëÌÅÊÎÕ

52

î. è. òÏÚÏ×

ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÒÏÅËÔÉ×ÎÁÑ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÑ ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ (ÌÏÓËÏÓÔÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ). ÷ 1889 { 1890 ÇÇ. ÏÎ ÞÉÔÁÌ × çÅÔÔÉÎÇÅÎÓËÏÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ ÌÅË ÉÉ Ï ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ; ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÓÅÇÏÄÎÑ ÎÅ ×ÓÅ ÏÍÎÑÔ, ÞÔÏ ÜÔÉ ÌÅË ÉÉ ÉÚÄÁ×ÁÌÉÓØ É ÎÁ ÒÕÓÓËÏÍ ÑÚÙËÅ3). îÉÓËÏÌØËÏ ÎÅ ÕÍÁÌÑÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ Ï×ÏÒÏÔÎÏÇÏ × ÉÓÔÏÒÉÉ ÎÁÕËÉ ÏÔËÒÙÔÉÑ ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÓÌÅÄÕÅÔ ÓÏÇÌÁÓÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÒÏÅËÔÉ×ÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÒÉÎ ÉÉÁÌØÎÏ ×ÁÖÎÙÈ É ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÏ ÒÉÞÕÄÌÉ×ÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÔÅÏÒÉÊ. åÓÔØ ×ÓÅ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ÒÅÄÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ Ë Ó×ÏÅÊ ËÏÎ Å ÉÉ æ. ëÌÅÊÎ ÒÉÛÅÌ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÎÙÈ É ÌÏÄÏÔ×ÏÒÎÙÈ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ × ÜÔÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ. îÅÔÒÕÄÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÓÁÍÁ ÜÒÌÁÎÇÅÎÓËÁÑ ÒÏÇÒÁÍÍÁ × ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÍ ÓÍÙÓÌÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÉÍÎÏÍ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÂÕÒÎÏ ÒÁÚ×É×Á×ÛÅÊÓÑ × XIX ×ÅËÅ. óÌÅÄÕÅÔ ËÏÎÓÔÁÔÉÒÏ×ÁÔØ, ÞÔÏ × ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÒÏÅËÔÉ×ÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÏÔÏÄ×ÉÎÕÌÁÓØ ÎÁ ×ÔÏÒÏÊ ÌÁÎ. é ×ÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ: ÎÁ ÍÎÏÇÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÆÁËÕÌØÔÅÔÁÈ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÏ× ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÉÚÌÏÖÅÎÉÅ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ (ËÁË, ×ÒÏÞÅÍ, É ×ÙÓÛÅÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ) ÄÁ×ÎÏ ÕÖÅ ÎÅ ÄÁÅÔÓÑ, Á ÄÌÑ ÂÅÇÌÏÇÏ ÏÚÎÁËÏÍÌÅÎÉÑ Ó ÅÅ ÂÁÚÏ×ÙÍÉ ÏÎÑÔÉÑÍÉ ×ÙÄÅÌÑÀÔÓÑ Ä×Å { ÔÒÉ ÌÅË ÉÉ × ËÕÒÓÅ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. üÔÏ ÏÞÅÎØ ÖÁÌØ, ÏÓËÏÌØËÕ ÒÏÅËÔÉ×ÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ É ÎÙÎÅ ÍÏÇÌÁ ÂÙ ÉÍÅÔØ ÉÓËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ ×ÁÖÎÏÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÔÅÌØÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÄÌÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× (É ÄÁÖÅ ÏÂÝÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÔÅÌØÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÄÌÑ ÇÕÍÁÎÉÔÁÒÉÅ×). îÁÒÉÍÅÒ, × ÕÏÍÑÎÕÔÏÊ ×ÙÛÅ ËÎÉÇÅ ÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×Á É ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×Á ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ï ÔÏÍ, ËÁËÕÀ ÒÏÌØ ÓÙÇÒÁÌÁ ÒÏÅËÔÉ×ÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ × ÎÁÕÞÎÏÊ ÖÉÚÎÉ á. î. ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Á. üÒÌÁÎÇÅÎÓËÁÑ ÒÏÇÒÁÍÍÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÂÌÅÓÔÑÝÉÊ ÏÂÒÁÚÅ ÔÏÇÏ, ËÁË ÍÏÖÎÏ É ÎÕÖÎÏ ÄÏÓÔÕÎÏ ÉÚÌÁÇÁÔØ ÇÌÕÂÏËÉÅ ÍÙÓÌÉ. üÔÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ, ËÁË É ÍÎÏÇÉÅ ÒÁÂÏÔÙ ËÌÁÓÓÉËÏ× ÎÁÕËÉ ×ÔÏÒÏÊ ÏÌÏ×ÉÎÙ XIX { ÅÒ×ÏÊ ÏÌÏ×ÉÎÙ XX ×ÅËÏ×, ÓÏÄÅÒÖÉÔ ËÁËÏÊ-ÔÏ ÎÅÅÒÅÄÁ×ÁÍÙÊ ÁÒÏÍÁÔ ÌÉÞÎÏÊ ÎÅÔÏÒÏÌÉ×ÏÊ ÂÅÓÅÄÙ Ó ÞÉÔÁÔÅÌÅÍ, ËÒÁÓÏÞÎÙÈ ÁÓÓÏ ÉÁ ÉÊ É ÏÕÔÎÙÈ ÚÁÍÅÞÁÎÉÊ, ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÙÈ ÁÎÁÌÏÇÉÊ É ÔÏÎËÉÈ ÎÁÍÅËÏ×, ÓÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ ÆÁËÔÏ×, ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×, ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÊ. ðÒÉ ÉÚÌÏÖÅÎÉÉ ÏÒÇÁÎÉÞÎÏ ÏÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÓÔÏÒÉÑ ÎÁÕÞÎÏÇÏ ÏÉÓËÁ É ÓÅ ÉÆÉËÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÙÛÌÅÎÉÑ, ÄÅÔÁÌØÎÏ ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ï ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉËÁÈ É ÕÔÑÈ ÏÆÏÒÍÌÅÎÉÑ ÉÄÅÊ, ÒÁÓËÒÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏ ÅÓÓ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÚÎÁÎÉÑ. æ. ëÌÅÊÎ ËÁË ÂÙ ×ÅÄÅÔ ÄÏ×ÅÒÉÔÅÌØÎÕÀ ÓÏËÏÊÎÕÀ ÂÅÓÅÄÕ ÓÏ Ó×ÏÉÍÉ ËÏÌÌÅÇÁÍÉ, ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ, ÏÂÓÕÖÄÁÅÔ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ. ó. ìÉ É ò. ëÌÅÂÛ, ì. çÅÓÓÅ É ë. öÏÒÄÁÎ, á. ëÜÌÉ É ü. ìÁÇÅÒÒ, í. ûÁÌØ É à. ðÌÀËËÅÒ, ë. ûÔÁÕÄÔ É â. òÅÊÎÈÁÒÄÔ, ç. çÒÁÓÓÍÁÎ É á. âÒÉÌÌØ | ×ÓÅ ÏÎÉ, ÓÅÇÏÄÎÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ËÁÖÄÏÍÕ ÉÌÉ ÏÞÔÉ ÚÁÂÙÔÙÅ, | ÂÙÌÉ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÉËÁÍÉ ÉÌÉ ÏÞÔÉ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÉËÁÍÉ, ÄÒÕÚØÑÍÉ É ÚÁÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÎÎÙÍÉ ÏÎÉÍÁÀÝÉÍÉ ÌÀÄØÍÉ. ÷ÏÔ ÏÄÉÎ ÔÏÌØËÏ ÒÉÍÅÒ | ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ æ. ëÌÅÊÎ ÏÓÞÉÔÁÌ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÙÍ ÓÄÅÌÁÔØ ÕÖÅ ÏÚÖÅ, ÒÉ ÅÒÅÉÚÄÁÎÉÉ: €úÁ×ÅÒÛÁÑ ÜÔÕ ÅÒÅÅÞÁÔËÕ ÜÒÌÁÎÇÅÎÓËÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÙ, Ñ ÏÈÏÔÎÏ ÕËÁÖÕ ÅÝÅ ÎÁ ÒÁÂÏÔÙ íÅÂÉÕÓÁ (ËÏÔÏÒÙÅ Ñ ÓÁÍ ÏÓÍÙÓÌÉÌ × ÉÈ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ Ó×ÑÚÉ ÌÉÛØ ÏÓÌÅ ÔÏÇÏ, ËÁË × 1885 { 1887 ÇÏÄÁÈ ÒÉÎÑÌ ÕÞÁÓÔÉÅ × ÉÚÄÁÎÉÉ ÓÏÂÒÁÎÉÑ ÅÇÏ ÓÏÞÉÎÅÎÉÊ. . . ). íÅÂÉÕÓ ÅÝÅ ÎÅ ÚÎÁÌ ÏÂÝÅÇÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÇÒÕÙ, Á ÔÁËÖÅ ÍÎÏÇÉÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ . . . ; ÏÄÎÁËÏ ÏÎ, ÒÕËÏ×ÏÄÓÔ×ÕÑÓØ ×ÅÒÎÙÍ ÞÕÔØÅÍ, ÒÁÓÏÌÏÖÉÌ Ó×ÏÉ ÓÌÅÄÕÀ3) ëÌÅÊÎ æ.

îÅÅ×ËÌÉÄÏ×Á ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ. í.{ì.: çé, 1936. 355 Ó.

æ. ëÌÅÊÎ

53

ÝÉÅ ÄÒÕÇ ÚÁ ÄÒÕÇÏÍ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÂÏÔÙ ÉÍÅÎÎÏ ÔÁË, ËÁË ÜÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÎÏ×ÎÙÍ ÉÄÅÑÍ ÒÏÇÒÁÍÍÙ. ÷ ÔÁËÏÍ ÖÅ ÕÄÉ×ÉÔÅÌØÎÏÍ ÓÔÉÌÅ ÔÅÌÏÇÏ ÒÁÓÓËÁÚÁ Ï ÌÉÞÎÏÓÔÑÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× É ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÉÚÌÏÖÅÎÉÑ ÉÈ ÉÄÅÊ ÎÁÉÓÁÎÁ É ËÎÉÇÁ €ìÅË ÉÉ Ï ÒÁÚ×ÉÔÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ × XIX ÓÔÏÌÅÔÉɁ4) , ËÏÔÏÒÕÀ Ï ÒÁ×Õ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÎÁÚ×ÁÔØ €ÉÓÔÏÒÉÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ Ó ÞÅÌÏ×ÅÞÅÓËÉÍ ÌÉ Ḯ. üÒÌÁÎÇÅÎÓËÁÑ ÒÏÇÒÁÍÍÁ, ÏÍÉÍÏ Ó×ÏÅÇÏ ÞÉÓÔÏ ÎÁÕÞÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÏËÁÚÁÌÁ ÚÁÍÅÔÎÏÅ ×ÌÉÑÎÉÅ ÎÁ ÒÁÚ×ÉÔÉÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. ÷ÙÒÁÂÏÔÁÎÎÁÑ æ. ëÌÅÊÎÏÍ ËÏÎ Å ÉÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÎÁÕËÉ ×Ï ÍÎÏÇÏÍ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ É ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÒÏÇÒÁÍÍ ËÕÒÓÏ× ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ × ×ÙÓÛÅÊ ÛËÏÌÅ. æ. ëÌÅÊÎ ÂÙÌ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ×ÙÄÁÀÝÉÍÓÑ ÕÞÅÎÙÍ, ÎÏ É ÔÁÌÁÎÔÌÉ×ÙÍ ÏÕÌÑÒÉÚÁÔÏÒÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÎÁÕËÉ, ÂÌÅÓÔÑÝÉÍ ÅÄÁÇÏÇÏÍ, ÇÌÕÂÏËÉÍ É ÏÒÉÇÉÎÁÌØÎÙÍ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌÅÍ ÒÏÂÌÅÍ ÍÅÔÏÄÉËÉ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ × ÓÒÅÄÎÅÊ ÛËÏÌÅ, ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÍ ÒÅÆÏÒÍÁÔÏÒÏÍ ×ÓÅÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÏÍÎÉÔØ, ÞÔÏ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÁÑ ËÎÉÇÁ €üÌÅÍÅÎÔÁÒÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ×ÙÓÛÅʁ5), ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÁÑ ÓÏÂÏÊ ËÕÒÓ ÅÇÏ ÌÅË ÉÊ ÄÌÑ ÂÕÄÕÝÉÈ ÕÞÉÔÅÌÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, É ÓÅÇÏÄÎÑ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÍ ÒÕËÏ×ÏÄÓÔ×ÏÍ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ, ËÔÏ ÏÖÅÌÁÅÔ ×ÓÅÒØÅÚ ÒÁÚÏÂÒÁÔØÓÑ × ÎÁÕÞÎÙÈ ÏÓÎÏ×ÁÈ €ÛËÏÌØÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËɁ. üÔÁ ËÎÉÇÁ Ï Ó×ÏÅÍÕ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÀ, ÍÁÎÅÒÅ ÏÄÁÞÉ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁ, ÓÔÉÌÀ ÉÚÌÏÖÅÎÉÑ É ÓÅÇÏÄÎÑ ÍÏÇÌÁ ÂÙ ÏËÁÚÁÔØ ÎÅÏ ÅÎÉÍÕÀ ÏÍÏÝØ ×ÓÅÍ, ËÔÏ ÚÁÎÉÍÁÅÔÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÛËÏÌØÎÉËÏ×, É ÏÞÅÎØ ÖÁÌØ, ÞÔÏ × ÕÞÅÂÎÏÍ ÒÏ ÅÓÓÅ ÎÁÛÉÈ ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÉÈ ×ÕÚÏ× ÏÎÁ ÎÅ ÚÁÎÉÍÁÅÔ ÄÏÓÔÏÊÎÏÇÏ ÍÅÓÔÁ. ðÒÅËÒÁÓÎÏÊ ÉÌÌÀÓÔÒÁ ÉÅÊ ×ÓÅÍÉÒÎÏÇÏ ÒÉÚÎÁÎÉÑ Á×ÔÏÒÉÔÅÔÁ æ. ëÌÅÊÎÁ ËÁË ÅÄÁÇÏÇÁ É ×ÙÓÏÞÁÊÛÅÊ Ï ÅÎËÉ ÅÇÏ ÒÁÂÏÔ, ËÁÓÁÀÝÉÈÓÑ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÉÓÔÏÒÉÞÅÓËÉÊ ÆÁËÔ. 90 ÌÅÔ ÔÏÍÕ ÎÁÚÁÄ, × ÁÒÅÌÅ 1908 Ç., ÎÁ IV íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÍ ËÏÎÇÒÅÓÓÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×, ÒÏÈÏÄÉ×ÛÅÍ × òÉÍÅ, ÂÙÌÁ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÁ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÁÑ ËÏÍÉÓÓÉÑ Ï ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. é ÅÅ ÅÒ×ÙÍ ðÒÅÚÉÄÅÎÔÏÍ ÓÔÁÌ ÉÍÅÎÎÏ æÅÌÉËÓ ëÌÅÊÎ. ÷ÒÏÞÅÍ, × ÜÒÌÁÎÇÅÎÓËÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÅ ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÒÏÂÌÅÍÁÍ Á×ÔÏÒ ÎÅ ÕÄÅÌÑÅÔ ÏÓÏÂÏÇÏ ×ÎÉÍÁÎÉÑ. ÅÍ ÂÏÌÅÅ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÉÍÅÀÝÉÈÓÑ ÔÁÍ ÚÁÍÅÞÁÎÉÊ, ËÏÔÏÒÙÅ × ËÁËÏÊ-ÔÏ ÍÅÒÅ ÒÁÓËÒÙ×ÁÀÔ ÔÏÞËÕ ÚÒÅÎÉÑ æ. ëÌÅÊÎÁ ÎÁ ÏÔÄÅÌØÎÙÅ ×ÏÒÏÓÙ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ. ïÎ ×ÅÓØÍÁ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ï ×ÁÖÎÏÓÔÉ ÒÉ ÏÂÕÞÅÎÉÉ ÏÉÒÁÔØÓÑ ÎÁ ÉÓÔÏÒÉÀ ÎÁÕËÉ, ÕËÁÚÙ×ÁÑ, ÞÔÏ ÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÔÏÍÕ ÕÔÉ, €Ï ËÏÔÏÒÏÍÕ ÛÌÁ ÎÁÕËÁ × Ó×ÏÅÍ ÒÁÚ×ÉÔÉÉ, . . . ÒÉ ÉÚÌÏÖÅÎÉÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÙÞÎÏ ÓÁÍÙÍ ×ÙÇÏÄÎÙ́. ÷ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ ÏÎ ÅÝÅ ÔÏÞÎÅÅ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÌ ÜÔÕ ÍÙÓÌØ: €. . . ðÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ËÁË É ×ÏÏÂÝÅ ×ÓÑËÏÅ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÅ, . . . ÄÏÌÖÎÏ ÉÄÔÉ Ï ÔÏÍÕ ÖÅ ÓÁÍÏÍÕ ÕÔÉ, Ï ËÏÔÏÒÏÍÕ ×ÓÅ ÞÅÌÏ×ÅÞÅÓÔ×Ï, ÎÁÞÉÎÁÑ ÓÏ Ó×ÏÅÇÏ ÎÁÉ×ÎÏÇÏ ÅÒ×ÏÂÙÔÎÏÇÏ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ, ÄÏÛÌÏ ÄÏ ×ÅÒÛÉÎ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÇÏ ÚÎÁÎÉÑ! . . . îÁÕÞÎÏ ÏÂÕÞÁÔØ | ÚÎÁÞÉÔ ÕÞÉÔØ ÞÅÌÏ×ÅËÁ ÎÁÕÞÎÏ ÄÕÍÁÔØ, Á ÎÅ ÏÇÌÕÛÁÔØ ÅÇÏ Ó ÓÁÍÏÇÏ ÎÁÞÁÌÁ ÈÏÌÏÄÎÏÊ, ÎÁÕÞÎÏ ÎÁÒÑÖÅÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉËÏÊ. óÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÑÔÓÔ×ÉÅ Ë ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÉÀ ÔÁËÏÇÏ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ É ÏÉÓÔÉÎÅ ÎÁÕÞÎÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ ìÅË ÉÉ Ï ÒÁÚ×ÉÔÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ × XIX ÓÔÏÌÅÔÉÉ. í.: îÁÕËÁ, 1989. 456 Ó. üÌÅÍÅÎÔÁÒÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ×ÙÓÛÅÊ. í.: îÁÕËÁ, 1987. . I. €áÒÉÆÍÅÔÉËÁ, ÁÌÇÅÂÒÁ, ÁÎÁÌÉځ. 431 Ó. . II. €çÅÏÍÅÔÒÉс. 416 Ó. 4)

ëÌÅÊÎ æ.

5) ëÌÅÊÎ æ.

54

î. è. òÏÚÏ×

ÏÂÕÞÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ, ÎÅÓÏÍÎÅÎÎÏ, ÎÅÄÏÓÔÁÔÏË × ÚÎÁËÏÍÓÔ×Å Ó ÉÓÔÏÒÉÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. æ. ëÌÅÊÎ ÓÏ×ÓÅÍ ÂÅÇÌÏ ÚÁÔÒÁÇÉ×ÁÅÔ × ÜÒÌÁÎÇÅÎÓËÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÅ É ÏÄÉÎ ÉÚ ÅÎÔÒÁÌØÎÙÈ ×ÏÒÏÓÏ× ÍÅÔÏÄÉËÉ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ | ×ÏÒÏÓ Ï ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ÍÅÖÄÕ ÎÁÇÌÑÄÎÙÍ, ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÙÍ É ÆÏÒÍÁÌØÎÙÍ, ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÍ. óÌÅÄÕÑ ÌÏÇÉËÅ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÕÞÅÎÏÇÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ, ÏÎ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÚÁÍÅÞÁÅÔ, ÞÔÏ €ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÒÅÄÍÅÔ ÎÅÌØÚÑ ÅÝÅ ÓÞÉÔÁÔØ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎÎÙÍ, ÏËÁ ÏÎ ÎÅ ÓÔÁÌ ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÏÞÅ×ÉÄÎÙ́. é × ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ ×ÒÅÍÑ ÓÏ ×ÓÅÊ ÕÂÅÖÄÅÎÎÏÓÔØÀ ÏÙÔÎÏÇÏ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÑ ÏÄÞÅÒËÉ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÎÁÇÌÑÄÎÏÓÔØ €× ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÏÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ÎÕÖÎÏ ÅÎÉÔØ ÏÞÅÎØ ×ÙÓÏËÏ. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÍÏÄÅÌØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, Ó ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÏÞÅÎØ ÏÕÞÉÔÅÌØÎÁ É ÉÎÔÅÒÅÓÎÁ. ðÏÚÖÅ æ. ëÌÅÊÎ ÎÅ ÒÁÚ ×ÏÚ×ÒÁÝÁÌÓÑ Ë ÜÔÏÍÕ ×ÏÒÏÓÕ, ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ ÏÂßÑÓÎÑÑ, ÞÔÏ ËÏÎËÒÅÔÎÏ ÏÎ ÏÎÉÍÁÅÔ ÏÄ ÒÉÎ ÉÏÍ ÎÁÇÌÑÄÎÏÓÔÉ É ËÁË ×ÉÄÉÔ ÅÇÏ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÀ × ÒÏ ÅÓÓÅ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ. ÷ Ó×ÏÉÈ ÒÁÂÏÔÁÈ æ. ëÌÅÊÎ ÏÄÒÏÂÎÏ É ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ ÒÁÚ×É×ÁÅÔ ÏÒÉÇÉÎÁÌØÎÙÅ ×ÚÇÌÑÄÙ ÎÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ. ÷ ÉÈ ÏÓÎÏ×Å ÌÅÖÁÔ ÔÁËÉÅ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÅ ÏÌÏÖÅÎÉÑ, ËÁË ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÒÉÓÏÓÏÂÌÅÎÉÑ Ë €ÒÉÒÏÄÎÙÍ ÓËÌÏÎÎÏÓÔÑÍ ÍÏÌÏÄÏÇÏ ÞÅÌÏ×ÅËÁ (×ÙÒÁÖÅÎÉÅ æ. ëÌÅÊÎÁ) É ÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ ÎÁ ÓÉÈÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÚÁËÏÎÏÍÅÒÎÏÓÔÉ ÕÓ×ÏÅÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÎÁÎÉÊ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÏÄÌÉÎÎÏÇÏ ÕÓ×ÏÅÎÉÑ ÉÄÅÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ É ÇÌÕÂÏËÏÇÏ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÍÙÛÌÅÎÉÑ, ÅÌÅÓÏÏÂÒÁÚÎÏÓÔØ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÉ ÆÕÚÉÏÎÉÚÍÁ × ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÉ ÛËÏÌØÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ | ÛËÏÌØÎÏÇÏ ËÕÒÓÁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÏÌÅÚÎÏÓÔØ ÛÉÒÏËÏÇÏ ÏÚÎÁËÏÍÌÅÎÉÑ Ó ÒÉÌÏÖÅÎÉÑÍÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ É Ô. Ä. îÁÒÉÍÅÒ, ÏÎ ×ÙÓÔÕÁÌ ÚÁ Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ×ÙÂÏÒ ÕÞÅÎÉËÏÍ ÇÕÍÁÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÉÌÉ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ-ÎÁÕÞÎÏÇÏ É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ É ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÓÔÏÑÌ ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ Õ ÉÓÔÏËÏ× ÉÄÅÉ ÇÕÍÁÎÉÚÁ ÉÉ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. íÎÏÇÉÅ ÅÇÏ ÏÓÎÏ×ÏÏÌÁÇÁÀÝÉÅ ÉÄÅÉ É ËÏÎ Å ÉÉ ÅÒÅÓÔÒÏÊËÉ ÓÒÅÄÎÅÇÏ É ×ÙÓÛÅÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ, ÏÂÝÅÒÉÚÎÁÎÙ, ÓÏÈÒÁÎÑÀÔ ÚÌÏÂÏÄÎÅ×ÎÏÓÔØ É × ÎÁÛÅ ×ÒÅÍÑ | ÎÏ ×ÓÅ ÅÝÅ ÏÞÅÎØ ÄÁÌÅËÉ ÏÔ ×ÏÌÏÝÅÎÉÑ × ÖÉÚÎØ. é × ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ | ÅÝÅ Ä×Á ÉÎÔÅÒÅÓÎÅÊÛÉÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ÉÚ ÜÒÌÁÎÇÅÎÓËÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÙ. ÷ÅÓØÍÁ ÁËÔÕÁÌØÎÏ Ú×ÕÞÉÔ ÒÉÚÙ× ÅÅ Á×ÔÏÒÁ ÒÁÓÛÉÒÑÔØ Ó×ÑÚÉ ÍÅÖÄÕ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÒÁÚÄÅÌÁÍÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ É ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÏÂÏÇÁÝÁÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ Ô×ÏÒÞÅÓÔ×Á É ÕÇÌÕÂÌÑÔØ ÏÎÉÍÁÎÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ×: €óÅ ÉÁÌÉÓÔ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÉÚÉËÅ ÏÓÔÏÑÎÎÏ ÕËÌÏÎÑÅÔÓÑ ÏÔ ÔÅÈ ÒÅÉÍÕÝÅÓÔ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÅÔ ÄÏÓÔÁ×ÉÔØ ÅÍÕ ×Ï ÍÎÏÇÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÓËÏÌØËÏ-ÎÉÂÕÄØ ×ÙÒÁÂÏÔÁÎÎÏÅ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ ×ÏÚÚÒÅÎÉÅ. éÄÅÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÔÅÓÎÏÇÏ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÉÑ É ×ÚÁÉÍÏÏÎÉÍÁÎÉÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÅÔ×ÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× É ÒÉËÌÁÄÎÉËÏ× ×ÓÅÇÄÁ ÂÙÌÁ ÏÞÅÎØ ÂÌÉÚËÁ æ. ëÌÅÊÎÕ É ×ÓÑÞÅÓËÉ ÉÍ ÒÏÁÇÁÎÄÉÒÏ×ÁÌÁÓØ. ïÞÅÎØ ÇÌÕÂÏËÉÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ É ÄÒÕÇÏÅ ÏÌÏÖÅÎÉÅ, ËÁÓÁÀÝÅÅÓÑ ×ÚÁÉÍÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÁÕÞÎÏÇÏ É ÓÉÈÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÇÏ × ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÍ ×ÏÓÒÉÑÔÉÉ: €îÅÌØÚÑ Ó ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ . . . ÏÍÅÛÁÔØ ËÏÍÕ ÂÙ ÔÏ ÎÉ ÂÙÌÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÉÍÅÅÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ ÞÅÔÙÒÅ ÉÌÉ

æ. ëÌÅÊÎ

55

ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ ÍÎÏÇÏ ÉÚÍÅÒÅÎÉÊ, ÎÏ . . . ÍÙ × ÓÏÓÔÏÑÎÉÉ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ÔÏÌØËÏ ÔÒÉ. 23 ÏËÔÑÂÒÑ 1897 ÇÏÄÁ ÒÏÓÓÉÊÓËÏÅ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÅ ÉÚÄÁÎÉÅ €îÏ×ÏÓÔÉ É ÂÉÒÖÅ×ÁÑ ÇÁÚÅÔÁ ÏÚÎÁËÏÍÉÌÁ Ó×ÏÉÈ ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ ÓÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅÍ ÉÚ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÓËÏÊ ÖÉÚÎÉ: €ËÁÚÁÎØ. ÷ ÇÏÄÏ×ÝÉÎÕ ÒÏÖÄÅÎÉÑ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ × ÁËÔÏ×ÏÍ ÚÁÌÅ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ ÓÏÓÔÏÑÌÏÓØ ÔÏÒÖÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÚÁÓÅÄÁÎÉÅ ÆÉÚÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÝÅÓÔ×Á ÄÌÑ ÅÒ×ÏÇÏ ÒÉÓÕÖÄÅÎÉÑ ÒÅÍÉÉ ÉÍÅÎÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ ÒÏÆÅÓÓÏÒÕ ìÅÊ ÉÇÓËÏÇÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ óÁÄÉÕÓÕ, ÚÏÌÏÔÏÊ ÍÅÄÁÌÉ | ÒÏÆÅÓÓÏÒÕ çÅÔÔÉÎÇÅÎÓËÏÇÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ æÅÌÉËÓÕ ëÌÅÊÎÕ. þÌÅÎ ÏÂÝÅÓÔ×Á òÅÊÎÇÁÒÄÔ ÒÅÄÌÏÖÉÌ ×ÏÊÔÉ Ó ÈÏÄÁÔÁÊÓÔ×ÏÍ × íÉÎÉÓÔÅÒÓÔ×Ï ÎÁÒÏÄÎÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÑ Ï ××ÅÄÅÎÉÉ ÎÅÜ×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ × ËÕÒÓ ÏÂÝÅÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. óÅÇÏÄÎÑ, ÓÔÏ ÌÅÔ ÓÕÓÔÑ, ÜÔÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ×ÙÚÙ×ÁÅÔ ÏÓÏÂÙÊ ÉÎÔÅÒÅÓ ËÁË ÖÉ×ÏÅ ÉÓÔÏÒÉÞÅÓËÏÅ Ó×ÉÄÅÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÉÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÊ ×ÓÔÒÅÞÉ ÉÍÅÎ î. ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ É æ. ëÌÅÊÎÁ, ÒÉÞÕÄÌÉ×ÏÇÏ ÅÒÅÌÅÔÅÎÉÑ ÓÕÄØÂÙ ÉÈ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÈ ÒÁÂÏÔ É ÔÏÇÏ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÇÏ ×ÎÉÍÁÎÉÑ, ËÏÔÏÒÏÅ ÒÏÓÓÉÊÓËÁÑ ÎÁÕÞÎÏ-ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÏÂÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ×ÓÅÇÄÁ ÓÅ ÉÁÌØÎÏ ÕÄÅÌÑÌÁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÍÕ ÛËÏÌØÎÏÍÕ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ.

ÅÍÁ ÎÏÍÅÒÁ: ÔÅÏÒÉÑ ÕÚÌÏ× × ËÏÎ Å XX ×ÅËÁ

íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÔÅÏÒÉÑ ÕÚÌÏ× ×ÏÔ ÕÖÅ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÌÅÔ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ × ÅÎÔÒÅ ×ÎÉÍÁÎÉÑ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×, ÎÏ É ÆÉÚÉËÏ×, ÂÉÏÌÏÇÏ×, ÂÉÏÈÉÍÉËÏ×. íÏÄÎÏÅ Õ×ÌÅÞÅÎÉÅ? ÷ÏÚÍÏÖÎÏ | ÎÅ ÂÅÚ ÜÔÏÇÏ, ÎÏ ÜÔÏ Õ×ÌÅÞÅÎÉÅ, ËÁË × Ó×ÏÅ ×ÒÅÍÑ Õ×ÌÅÞÅÎÉÅ ÔÅÏÒÉÅÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÉÌÉ Ë×ÁÎÔÏ×ÏÊ ÔÅÏÒÉÅÊ ÏÌÑ, ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ ÓÅÒØÅÚÎÙÈ ÎÁÕÞÎÙÈ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÑÈ. íÁÔÅÍÁÔÉËÏ× Ë ÔÅÏÒÉÉ ÕÚÌÏ× ÒÉ×ÌÅËÁÅÔ ÓËÏÒÅÊ ×ÓÅÇÏ ÓÁÍ ÒÅÄÍÅÔ ÉÚÕÞÅÎÉÑ | ÕÚÅÌ, ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ ÅÇÏ ÎÁÇÌÑÄÎÏÊ ÒÏÓÔÏÔÙ É ÔÁÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ. çÏ×ÏÒÑ Ï ÔÁÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ, ÍÙ ÎÅ ÉÍÅÅÍ × ×ÉÄÕ ÄÏ ÓÉÈ ÏÒ ÎÅ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÒÅÌÉÇÉÏÚÎÏÓÉÍ×ÏÌÉÞÅÓËÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÕÚÌÏ× É ÚÁ ÅÌÅÎÉÊ ÕÚÌÏ×, ÏÑ×ÌÑÀÝÉÈÓÑ × ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÄÒÅ×ÎÉÈ ËÕÌØÔÕÒÁÈ, ÎÉ ÔÅÍ ÂÏÌÅÅ €ÍÁÇÉÞÅÓËÉŁ ÒÅ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÕÚÌÏ× × ÒÕËÁÈ ÜÓÔÒÁÄÎÙÈ ÆÏËÕÓÎÉËÏ×. òÅÞØ ÚÄÅÓØ ÉÄÅÔ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÏ ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍÙÅ ÚÁÄÁÞÉ, ÏÔÎÏÓÑÝÉÅÓÑ Ë ÜÔÏÍÕ ÒÏÓÔÏÍÕ ÏÂßÅËÔÕ, ÄÏ ÓÉÈ ÏÒ ÎÅ ÉÍÅÅÀÔ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ. õÚÅÌ | ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÏÞÅÎØ ÒÏÓÔÏÊ É ÎÁÇÌÑÄÎÙÊ ÏÂßÅËÔ: ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÓÅÂÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÚÒÉÔÅÌØÎÏ (ÉÌÉ ÓÄÅÌÁÔØ ÍÏÄÅÌØ) × ×ÉÄÅ ÚÁÕÔÁÎÎÏÇÏ ÛÎÕÒËÁ, ËÏÎ Ù ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓËÌÅÅÎÙ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ. ûÎÕÒËÏÍ ÒÁÚÒÅÛÁÅÔÓÑ ÍÁÎÉÕÌÉÒÏ×ÁÔØ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å (ÎÅ ÒÁÚÒÙ×ÁÑ), ÒÉ ÜÔÏÍ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÅÇÏ ÏÌÏÖÅÎÉÑ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÔÎÏÓÑÔ Ë ÏÄÎÏÍÕ É ÔÏÍÕ ÖÅ ÔÉÕ ÕÚÌÁ, É ÉÍÅÎÎÏ ÔÉ ÕÚÌÁ ÎÁÓ É ÉÎÔÅÒÅÓÕÅÔ. âÅÄÁ × ÔÏÍ, ÞÔÏ Ä×Á ÏÌÏÖÅÎÉÑ ÛÎÕÒËÁ, ÏÔÎÏÓÑÝÉÅÓÑ Ë ÏÄÎÏÍÕ É ÔÏÍÕ ÖÅ ÔÉÕ ÕÚÌÁ, ÍÏÇÕÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅ ÏÈÏÖÉÍÉ. é ÒÅÄÓÔÁ×ØÔÅ ÓÅÂÅ |

57

ÔÁËÁÑ ÒÏÓÔÅÎØËÁÑ ÉÇÒÕÛËÁ ×ÏÔ ÕÖÅ ÏÞÔÉ ÏÌÔÏÒÁ ×ÅËÁ ÎÅ ÖÅÌÁÅÔ ÒÁÓËÒÙÔØ Ó×ÏÉ ÔÁÊÎÙ, ÎÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÎÙÅ ÕÓÉÌÉÑ ÍÎÏÇÉÈ ×ÙÄÁÀÝÉÈÓÑ ÕÞÅÎÙÈ1) . ÁË, ÓÁÍÁÑ ÅÒ×ÁÑ É ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÔÅÏÒÉÉ ÕÚÌÏ× | ÎÁÊÔÉ . ÏÂÝÉÊ ÓÏÓÏ ÒÁÓÕÔÙ×ÁÎÉÑ ÕÚÌÏ× ÄÏ ÓÉÈ ÏÒ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ2) . ÅÍ ÂÏÌÅÅ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ . ÒÏÂÌÅÍÁ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ ÕÚÌÏ× (Ô. Å. ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÓÉÓËÁ k1 ; k2 ; k3 ; : : : ×ÓÅÈ ÕÚÌÏ× ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ×ËÕÅ Ó ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ, ÏÔÎÏÓÑÝÉÍ ËÁÖÄÏÍÕ ÕÚÌÕ ÅÇÏ ÎÏÍÅÒ × ÓÉÓËÅ). îÅ ÎÁÊÄÅÎÁ É . ÏÌÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÕÚÌÏ× (Ô. Å. ÓÏÓÏ ÓÏÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÕÚÌÕ ÎÁÂÏÒÁ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉË, ÓÏ×ÁÄÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ ÄÌÑ Ä×ÕÈ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÕÚÌÏ× k′ ; k′′ ÒÏÉÓÈÏÄÉÌÏ ÂÙ, ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ k′ É k′′ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ Ë ÏÄÎÏÍÕ É ÔÏÍÕ ÖÅ ÔÉÕ ÕÚÌÁ). ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÎÁ ÕÔÉ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÜÔÉÈ ÚÁÄÁÞ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÄÏÓÔÉÇÌÉ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÙÈ ÕÓÅÈÏ× É, ÞÔÏ ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÒÉÑÔÎÏ, × ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Å ÓÌÕÞÁÅ× ÉÈ ÕÄÁÅÔÓÑ ÏÉÓÁÔØ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÚÄÅÓØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍ ÅÓÔØ ÞÅÍ ÏÈ×ÁÓÔÁÔØÓÑ, ÎÏ ÅÓÔØ É ÞÅÍ ÚÁÎÉÍÁÔØÓÑ ÄÁÌØÛÅ. á ÞÔÏ ÖÅ ÆÉÚÉËÉ? OÎÉ ÅÒ×ÙÍÉ ÎÁÞÁÌÉ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÉÚÕÞÅÎÉÅ ÕÚÌÏ× ÏËÏÌÏ 140 ÌÅÔ ÔÏÍÕ ÎÁÚÁÄ, ÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ ÕÓÅÈÏ× ÎÅ ÄÏÓÔÉÇÌÉ, ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÌÅÔ ÎÁ ÓÔÏ ÏÔÅÒÑÌÉ ×ÓÑËÉÊ ÉÎÔÅÒÅÓ Ë ÜÔÏÊ ÔÅÍÅ. (÷ÏÚÍÏÖÎÏ, ÜÔÁ ÏÔÅÒÑ ÉÎÔÅÒÅÓÁ Ó×ÑÚÁÎÁ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ ÕÖ ÏÞÅÎØ ÓÉÌØÎÏ ÏÎÉ ÚÄÅÓØ ÏËÏÎÆÕÚÉÌÉÓØ: ÉÓÈÏÄÎÁÑ ÉÄÅÑ ÏÍÓÏÎÁ (ÌÏÒÄÁ ëÅÌ×ÉÎÁ) ÓÏÓÔÏÑÌÁ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÁÔÏÍÙ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ €ÍÁÌÅÎØËÉÅ ÚÁ×ÉÈÒÅÎÉс × €ÍÉÒÏ×ÏÍ ÜÆÉÒŁ, É ÜÔÉ ÚÁ×ÉÈÒÅÎÉÑ (vortex atoms) ÓÌÅÄÕÅÔ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÔØ ÕÚÌÁÍÉ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÑ ÕÚÌÏ× ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÌÁ ÄÏÓÔÁ×ÉÔØ É ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÀ ÈÉÍÉÞÅÓËÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ïÄÎÁËÏ (ÓÁÍÁ Ï ÓÅÂÅ ÉÎÔÅÒÅÓÎÁÑ) ÍÏÄÅÌØ ÏÍÓÏÎÁ ÎÉËÁËÏÊ ÏÌØÚÙ ÎÉ ÆÉÚÉËÅ, ÎÉ ÈÉÍÉÉ ÎÅ ÒÉÎÅÓÌÁ, Á ÚÁÄÁÞÁ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ ÈÉÍÉÞÅÓËÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÂÙÌÁ ÂÌÉÓÔÁÔÅÌØÎÏ ÒÅÛÅÎÁ ÎÁ ÄÒÕÇÏÍ | ÂÏÌÅÅ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÍ, ÞÅÍ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÍ | ÕÔÉ ÎÁÛÉÍ ×ÅÌÉËÉÍ ÓÏÏÔÅÞÅÓÔ×ÅÎÎÉËÏÍ íÅÎÄÅÌÅÅ×ÙÍ.) îÏ ÏÓÌÅ ÔÏÇÏ, ËÁË × ÓÅÒÅÄÉÎÅ ×ÏÓØÍÉÄÅÓÑÔÙÈ ÇÏÄÏ× ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ (÷ÏÁÎ äÖÏÎÚ É ÅÇÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌÉ) ÉÚÏÂÒÅÌÉ ÎÏ×ÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÕÚÌÏ×, ÆÉÚÉËÉ ÒÏÓÔÏ ÎÁÂÒÏÓÉÌÉÓØ ÎÁ ÜÔÕ ÏÂÌÁÓÔØ, É × ÜÔÏÔ ÒÁÚ ÄÏÓÔÉÇÌÉ ÓÅÒØÅÚÎÙÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ×. ðÁÒÁÄÏËÓÁÌØÎÏ, ÎÏ ÚÄÅÓØ ÎÁÂÌÀÄÁÌÏÓØ ÎÅ ÒÉÌÏÖÅÎÉÅ ÔÅÏÒÉÉ ÕÚÌÏ× Ë ÆÉÚÉËÅ, Á ÓËÏÒÅÊ ÎÁÏÂÏÒÏÔ | ÒÉÌÏÖÅÎÉÅ ÆÉÚÉÞÅÓËÉÈ ÉÄÅÊ Ë ÏÓÔÒÏÅÎÉÀ ÜÔÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÏÒÉÉ. ÷ÒÏÞÅÍ, ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÕÚÌÏ× ×ÓÅ ÖÅ ÏÓÌÕÖÉÌÉ ÍÁÔÅÒÉÁÌÏÍ ÄÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ×ÅÓØÍÁ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÈ ÆÉÚÉÞÅÓËÉÈ ÍÏÄÅÌÅÊ (× ÒÁÂÏÔÁÈ ü. ÷ÉÔÔÅÎÁ, í. áÔØÑ, ð. ÷ÏÖÅÌÑ É ÄÒ.), ÎÏ ÏËÁ ×ÏÒÏÓ Ï Ó×ÑÚÉ ÜÔÉÈ ÍÏÄÅÌÅÊ Ó ÒÅÁÌØÎÏÊ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÁÖÅ É ÎÅ ÓÔÁ×ÉÔÓÑ. îÅ ÕÓÅ× ÉÓÞÅÒÁÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÔÉÁ äÖÏÎÓÁ, ÆÉÚÉËÉ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÒØÑÎÏ ×ÚÑÌÉÓØ ÚÁ ÅÝÅ ÂÏÌÅÅ 1) îÁ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÏÒÁÈ ÓÒÅÄÉ ÎÉÈ ÂÙÌÉ ÔÁËÉÅ Á×ÔÏÒÉÔÅÔÙ, ËÁË ë. æ. çÁÕÓÓ, ÌÏÒÄ ëÅÌ×ÉÎ É á. ðÕÁÎËÁÒÅ, Á × ÓÁÍÙÅ ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÇÏÄÙ | ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÞÅÔÙÒÅÈ (!) ÌÁÕÒÅÁÔÏ× ÒÅÍÉÉ æÉÌÄ Á (ÓÁÍÏÊ ÒÅÓÔÉÖÎÏÊ ÒÅÍÉÉ ÄÌÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×): üÄ×ÁÒÄ ÷ÉÔÔÅÎ, ÷ÏÁÎ äÖÏÎÚ, ÷ÌÁÄÉÍÉÒ äÒÉÎÆÅÌØÄ É íÁËÓÉÍ ëÏÎ Å×ÉÞ. 2) æÏÒÍÁÌØÎÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁÓÕÔÙ×ÁÎÉÑ ÕÚÌÏ× ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÎÏ ÏÎ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÓÌÉÛËÏÍ ÍÅÄÌÅÎÎÏ É ÏÜÔÏÍÕ ÅÇÏ ÂÅÓÓÍÙÓÌÅÎÎÏ ÒÅÁÌÉÚÏ×Ù×ÁÔØ ÎÁ ËÏÍØÀÔÅÒÅ.

58

ÓÉÌØÎÙÅ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ, ÒÉÄÕÍÁÎÎÙÅ ÍÏÓËÏ×ÓËÉÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÍ ÷ÉËÔÏÒÏÍ ÷ÁÓÉÌØÅ×ÙÍ, ÎÏ É ÚÄÅÓØ ÏËÁ ÒÁÎÏ ÓÕÄÉÔØ Ï ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ-ÎÁÕÞÎÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ ÜÔÉÈ ÒÁÂÏÔ. õÚÌÙ ÓÔÁÌÉ ÔÁËÖÅ ÏÂÓÕÖÄÁÔØÓÑ × ÄÒÕÇÉÈ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÎÁÕËÁÈ: . × ÇÅÎÅÔÉËÅ, ÍÏÌÅËÕÌÑÒÎÏÊ ÂÉÏÌÏÇÉÉ, É ÇÅÎÎÏÊ ÉÎÖÅÎÅÒÉÉ × Ó×ÑÚÉ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ äîë É ÄÒÕÇÉÅ ÄÌÉÎÎÙÅ ÍÏÌÅËÕÌÙ ÚÁ ÅÌÑÀÔÓÑ É ÚÁÕÚÌÉ×ÁÀÔÓÑ, ÞÔÏ ÏÞÅÎØ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÌÉÑÅÔ ÎÁ ÉÈ Ï×ÅÄÅÎÉÅ; . × ÇÉÄÒÏÄÉÎÁÍÉËÅ, ÇÄÅ ÉÚÕÞÅÎÉÅ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÙÈ ×ÉÈÒÅÊ, ÏÂÒÁÚÏ×Ù×ÁÀÝÉÈ ÕÚÌÙ, ÒÉ×ÅÌÏ á. íÏÆÆÁÔÁ Ë ÏÓÔÒÏÅÎÉÀ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÇÏ ÜÎÅÒÇÉÅÊ ÕÚÌÁ; . × ÆÅÒÒÏÍÁÇÎÅÔÉÚÍÅ, ÇÄÅ ÔÏÖÅ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ ÚÁÕÚÌÅÎÎÙÅ ÏÔÏËÉ, ÎÏ ÎÅ ÖÉÄËÏÓÔÉ, Á ÍÁÇÎÉÔÎÙÈ ÌÉÎÉÊ. ïÄÎÁËÏ ÎÅ ÎÕÖÎÏ ÎÁÉ×ÎÏ ÄÕÍÁÔØ, ÞÔÏ ÔÅÏÒÉÑ ÕÚÌÏ× ÎÁÒÑÍÕÀ ÒÉÌÁÇÁÅÔÓÑ Ë ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÍ ×ÏÒÏÓÁÍ ÜÔÉÈ ÎÁÕË, ÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ËÏÍÍÅÒÞÅÓËÕÀ ÒÉÂÙÌØ. îÅÔ, ÏËÁ ÚÄÅÓØ ÒÅÞØ ÉÄÅÔ (ËÁË É × ÆÉÚÉËÅ) ÓËÏÒÅÊ Ï Ó×ÑÚÑÈ, ÞÅÍ Ï ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑÈ. ïÄÎÁËÏ ÜÔÉ Ó×ÑÚÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÇÌÕÂÏËÉ, É ×ÙÚÙ×ÁÀÔ ÉÎÔÅÒÅÓ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÉÚ-ÚÁ €ÍÏÄف ÎÁ ÔÅÏÒÉÀ ÕÚÌÏ×. ÷ÓÅ ÖÅ ÍÙ ÎÅ ÓÏÞÌÉ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍ ÂÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÏ ÏÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÔØÓÑ ÎÁ ÜÔÉÈ ×ÏÒÏÓÁÈ × ÎÁÓÔÏÑÝÅÍ ×ÙÕÓËÅ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ðÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс | ×ÓÅ ÔÒÉ ÕÂÌÉËÕÅÍÙÅ ÎÉÖÅ ÓÔÁÔØÉ ÎÁ ÔÅÍÕ ×ÙÕÓËÁ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ Ë ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ÕÚÌÏ×. ïÓÎÏ×ÎÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÔÁÔØÑ ó. ÷. äÕÖÉÎÁ É ó. ÷. þÍÕÔÏ×Á, × ËÏÔÏÒÏÊ ÄÁÅÔÓÑ ÏÂÚÏÒ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ ÜÔÏÊ ÎÁÕËÉ ÎÁ ËÏÎÅ èè ×ÅËÁ, ÒÉÔÏÍ ÏÂÚÏÒ, ÄÌÑ ÏÎÉÍÁÎÉÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÎÅ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÙÈ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÎÉÊ, ÎÏ É ×ÏÏÂÝÅ ÎÕÖÎÁ ÌÉÛØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÁÑ ÏÂÝeÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÏÄÇÏÔÏ×ËÁ. ÷ ÓÔÁÔØÅ ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×Á ÏÂÓÕÖÄÁÅÔÓÑ ÒÑÄ ×ÏÒÏÓÏ×, Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ Ó ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÓÁÍÙÈ ËÒÁÓÉ×ÙÈ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÊ ÔÅÏÒÉÉ ÕÚÌÏ× | Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ úÅÊÆÅÒÔÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÊ ÉÎ×ÁÒÉÁÔ ÕÚÌÁ | ÅÇÏ ÒÏÄ É ÓÔÒÏÉÔØ ÕÄÉ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ÒÁÚ×ÅÔ×ÌÅÎÎÙÅ ÎÁËÒÙÔÉÑ ÎÁÄ ÕÚÌÁÍÉ. óÔÁÔØÑ ÖÅ à. âÕÒÍÁÎÁ ÏÓ×ÑÝÅÎÁ ÎÁÊÄÅÎÎÏÊ × ÓÁÍÏÅ ÏÓÌÅÄÎÅÅ ×ÒÅÍÑ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ | ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁÍ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÄÌÉÎÎÙÈ ËÒÉ×ÙÈ (×ËÌÀÞÁÑ ÓÔÒÁÎÎÏÓÔØ, ÒÉÄÕÍÁÎÎÕÀ ÷. é. áÒÎÏÌØÄÏÍ); ÏÔÓÀÄÁ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÒÏÓÔÏÊ ÓÏÓÏ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÷ÁÓÉÌØÅ×Á. á. â. óÏÓÉÎÓËÉÊ

59

õÚÌÙ É ÉÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ

ó. ÷. äÕÖÉÎ

ó. ÷. þÍÕÔÏ×

óÏÄÅÒÖÁÎÉÅ

1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ . . . . . . . . . . . . . . . . 2. ðÏÎÑÔÉÅ ÕÚÌÁ . . . . . . . . . . . . . . 3. äÉÁÇÒÁÍÍÙ . . . . . . . . . . . . . . . 4. éÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÕÚÌÏ× . . . . . . . . . . . 5. éÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÷ÁÓÉÌØÅ×Á . . . . . . . . 6. éÎÔÅÇÒÁÌ ëÏÎ Å×ÉÞÁ . . . . . . . . . 7. úÎÁÍÅÎÉÔÙÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÔÅÏÒÉÉ ÕÚÌÏ× ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ÁÂÌÉ Á ÕÚÌÏ× . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

59 60 64 70 77 85 89 91

1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ

ðÒÁÒÏÄÉÔÅÌÅÍ ÔÅÏÒÉÉ ÕÚÌÏ× Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ë. æ. çÁÕÓÓ, ËÏÔÏÒÙÊ ×Ù×ÅÌ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÕÀ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÞÉÓÌÁ ÏÂÏÒÏÔÏ× ÏÄÎÏÊ ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ×ÏËÒÕÇ ÄÒÕÇÏÊ, Á ÔÁËÖÅ ÏÓÔÁ×ÉÌ × Ó×ÏÉÈ ÚÁÉÓÎÙÈ ËÎÉÖËÁÈ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÒÉÓÕÎËÉ ÕÚÌÏ× ÂÅÚ ËÏÍÍÅÎÔÁÒÉÅ×. óÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÁÚ×ÉÔÉÅ ÔÅÏÒÉÉ ÕÚÌÏ× ÎÁÞÁÌÏÓØ Ó 1880-È ÇÏÄÏ×, ËÏÇÄÁ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× É ÆÉÚÉËÏ× Ó ÂÏÌØÛÉÍ ÜÎÔÕÚÉÁÚÍÏÍ ÚÁÎÑÌÉÓØ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÔÁÂÌÉ ÕÚÌÏ× ÏÄ ×ÌÉÑÎÉÅÍ ÉÄÅÊ ÚÎÁÍÅÎÉÔÏÇÏ ÆÉÚÉËÁ õ. ÏÍÓÏÎÁ (×ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ËÁË ÌÏÒÄ ëÅÌØ×ÉÎ) Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÕÚÌÙ ÄÏÌÖÎÙ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÔØ ÈÉÍÉÞÅÓËÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ. ÷ÓËÏÒÅ ×ÙÑÓÎÉÌÏÓØ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÉÄÅÑ ÂÙÌÁ ÏÛÉÂÏÞÎÏÊ, × ÈÉÍÉÉ ×ÏÓÔÏÒÖÅÓÔ×Ï×ÁÌÁ ÔÅÏÒÉÑ ä. é. íÅÎÄÅÌÅÅ×Á, É ÌÉÛØ ÍÎÏÇÏ ÏÚÖÅ ÂÙÌÉ ÏÔËÒÙÔÙ ÒÅÁÌØÎÙÅ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ-ÎÁÕÞÎÙÅ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÕÚÌÏ× (ÓÔÒÏÅÎÉÅ ÍÏÌÅËÕÌ äîë, ÇÉÄÒÏÄÉÎÁÍÉËÁ, ÆÅÒÒÏÍÁÇÎÅÔÉËÉ É Ô. Ä.). ÷ÒÏÞÅÍ, × ÎÁÛÅÊ ÓÔÁÔØÅ ÍÙ ÎÅ ÓÏÂÉÒÁÅÍÓÑ ÚÁÔÒÁÇÉ×ÁÔØ ÒÉËÌÁÄÎÙÈ ÔÅÍ É ÂÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÕÚÌÙ ËÁË ÞÉÓÔÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÏÂßÅËÔ. ÅÏÒÉÑ ÕÚÌÏ× | ÏÄÎÁ ÉÚ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÒÉ×ÌÅËÁÔÅÌØÎÙÈ ÏÂÌÁÓÔÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÅÓÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÉÞÉÎ: . ÅÏÒÉÉ ÕÚÌÏ× ÎÅÍÎÏÇÉÍ ÂÏÌÅÅ 100 ÌÅÔ, ÞÔÏ, Ï-×ÉÄÉÍÏÍÕ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÏÚÒÁÓÔÏÍ ÒÁÓ ×ÅÔÁ ÎÁÕÞÎÏÊ ÔÅÏÒÉÉ.

. ðÒÅÄÍÅÔÏÍ ÔÅÏÒÉÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÚÅÌ | ÒÏÓÔÏÊ É ÎÁÇÌÑÄÎÙÊ ÏÂßÅËÔ. . ÅÏÒÉÑ ÕÚÌÏ× ÔÅÓÎÏ Ó×ÑÚÁÎÁ ÏÞÔÉ ÓÏ ×ÓÅÍÉ ÏÂÌÁÓÔÑÍÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, É × ÎÅÊ ÕÓÅÛÎÏ ÒÁÂÏÔÁÀÔ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ, ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ É ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÎÑÔÉÑ É ÍÅÔÏÄÙ.

60

ó. ÷. äÕÖÉÎ, ó. ÷. þÍÕÔÏ×

. ÷ ÔÅÏÒÉÉ ÕÚÌÏ× ÄÏËÁÚÁÎÏ ÍÎÏÇÏ ÓÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÙÈ É ÔÒÕÄÎÙÈ ÔÅÏÒÅÍ, ÎÏ ÄÏ ÓÉÈ ÏÒ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÍÎÏÇÏ ÏÔËÒÙÔÙÈ ÒÏÂÌÅÍ Ó ÒÏÓÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÏÊ, ÉÎÙÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÔÏÑÔ ÕÖÅ ÄÅÓÑÔËÉ ÌÅÔ. ãÅÌØ ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÉ | ÒÁÓÓËÁÚÁÔØ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÕÚÅÌ É ËÁËÉÅ ÅÓÔØ ÓÏÓÏÂÙ ÒÁÓÏÚÎÁÔØ, ÏÄÉÎÁËÏ×Ù ÉÌÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙ Ä×Á ÄÁÎÎÙÈ ÕÚÌÁ. îÁÒÑÄÕ Ó ÏÎÑÔÉÑÍÉ É ÔÅÏÒÅÍÁÍÉ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ÕÚÌÏ×, × ÓÔÁÔØÅ ÕÏÍÉÎÁÀÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÑ ÏÓÌÅÄÎÉÈ ÌÅÔ (ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÷ÁÓÉÌØÅ×Á, ÌÅÖÁÎÄÒÏ×Ù ÕÚÌÙ). îÅ ÒÅÔÅÎÄÕÑ ÎÉËÏÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÎÁ ÏÌÎÏÔÕ ÉÚÌÏÖÅÎÉÑ, ÍÙ ÏÔÓÙÌÁÅÍ ÚÁÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÞÉÔÁÔÅÌÑ Ë ËÎÉÇÁÍ áÄÁÍÓÁ [1℄, ðÒÁÓÏÌÏ×Á É óÏÓÉÎÓËÏÇÏ [22℄, ëÒÏÕÜÌÌÁ É æÏËÓÁ [7℄. 2. ðÏÎÑÔÉÅ ÕÚÌÁ

õÚÅÌ | ÜÔÏ ÇÌÁÄËÁÑ ÚÁÍËÎÕÔÁÑ ÎÅÓÁÍÏÅÒÅÓÅËÁÀÝÁÑÓÑ ËÒÉ×ÁÑ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. íÙ ÂÕÄÅÍ ×ÓÅÇÄÁ ÒÅÄÏÌÁÇÁÔØ ÜÔÕ ËÒÉ×ÕÀ ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÏÊ É ÂÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÕÚÌÁ ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÔÁË. 1 ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. õÚÅÌ | ÜÔÏ ÇÌÁÄËÏÅ ×ÌÏÖÅÎÉÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï R3 , Ô. Å. ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f : S 1 → R3 , ËÏÔÏÒÏÅ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÒÁÚÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ × ÒÁÚÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÒÉÞÅÍ ×ÅËÔÏÒ ÓËÏÒÏÓÔÉ f ′ (u) ÎÅ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × 0 ÎÉ ÒÉ ËÁËÏÍ u ∈ S 1. åÓÌÉ ×ÙÂÒÁÔØ ÓÉÓÔÅÍÕ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, ÔÏ ÕÚÅÌ ÍÏÖÎÏ ÚÁÄÁÔØ ÎÁÂÏÒÏÍ ÉÚ ÔÒÅÈ ÇÌÁÄËÉÈ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ x(u), y(u), z (u). ðÒÉÍÅÒ 1. ÒÉ×ÉÁÌØÎÙÊ ÕÚÅÌ x = os u; y = sin u; z = 0: ðÒÉÍÅÒ 2.

ÒÉÌÉÓÔÎÉË

x = (2 + os 3u) os 2u; y = (2 + os 3u) sin 2u; z = sin 3u: íÙ ÂÕÄÅÍ ×ÓÅÇÄÁ ÓÞÉÔÁÔØ ÕÚÌÙ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÍÉ, ÓÞÉÔÁÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÏÂÈÏÄÁ ÕÚÌÁ ÔÏ, ËÏÔÏÒÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ×ÒÁÝÅÎÉÀ ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ ÎÁ ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÕÀÝÅÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S 1 = {( os u; sin u)|u ∈ R} ⊂ R2 . 2.1. éÚÏÔÏÉÑ

çÌÁÄËÁÑ ÚÁÍËÎÕÔÁÑ ËÒÉ×ÁÑ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÁÑ ÓÁÍÁ Ï ÓÅÂÅ, ÍÏÖÅÔ ÓÌÕÖÉÔØ ÒÅÄÍÅÔÏÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÎÏ ÎÅ ÔÏÏÌÏÇÉÉ. ÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÏÎÑÔÉÅ ÕÚÌÁ ÏÄÒÁÚÕÍÅ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÕÚÌÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ, ÍÏÄÅÌÉÒÕÀÝÅÇÏ ÔÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÆÉÚÉÞÅÓËÉ ÒÏÄÅÌÁÔØ Ó ËÕÓËÏÍ ×ÅÒÅ×ËÉ, ËÏÎ Ù ËÏÔÏÒÏÊ Ó×ÑÚÁÎÙ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. çÌÁÄËÁÑ ÉÚÏÔÏÉÑ ÕÚÌÁ K , ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ËÁË ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f : S 1 → R3 , | ÜÔÏ ÇÌÁÄËÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÕÚÌÏ× fv ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ f0 = f .

61

õÚÌÙ É ÉÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ

çÌÁÄËÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ, ÉÌÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, ÇÌÁÄËÏ ÚÁ×ÉÓÑÝÅÅ ÏÔ ÁÒÁÍÅÔÒÁ, | ÜÔÏ, ÇÏ×ÏÒÑ ÆÏÒÍÁÌØÎÏ, ÇÌÁÄËÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ F : S 1 × I → R3 , ÇÄÅ I | ÏÔÒÅÚÏË ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÏÓÉ. åÓÌÉ ÚÁÆÉËÓÉÒÏ×ÁÔØ ×ÔÏÒÏÊ ÁÒÇÕÍÅÎÔ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ F , ÒÉÄÁ× ÅÍÕ ÚÎÁÞÅÎÉÅ v, ÔÏ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ fv : S 1 → R3 . îÁÒÉÍÅÒ, ÆÏÒÍÕÌÙ x = (v + os(3u)) os(2u); y = (v + os(3u)) sin(2u); z = sin(3u) ÚÁÄÁÀÔ ÒÉ v ∈ (1; +∞) ÇÌÁÄËÕÀ ÉÚÏÔÏÉÀ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÏÇÏ ×ÙÛÅ ÔÒÉÌÉÓÔÎÉËÁ, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÀ v = 2:

v=2

v = 1; 5

v = 1; 2

v=1

ðÒÉ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ v > 1 ÜÔÏ ÂÕÄÅÔ ÎÅÓÁÍÏÅÒÅÓÅËÁÀÝÁÑÓÑ ×ÌÏÖÅÎÎÁÑ ËÒÉ×ÁÑ, Á ÒÉ v = 1 ÎÁ ÎÅÊ ÏÑ×ÉÔÓÑ ÔÒÏÊÎÁÑ ÔÏÞËÁ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÓÏ×ÁÄÕÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ (x; y; z ) ÄÌÑ u = =3, u =  É u = 5=3. ä×Á ÕÚÌÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍÉ, ÅÓÌÉ ÏÔ ÏÄÎÏÇÏ Ë ÄÒÕÇÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÊÔÉ ÇÌÁÄËÏÊ ÉÚÏÔÏÉÅÊ. îÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎ ÒÉÍÅÒ ÇÌÁÄËÏÊ ÉÚÏÔÏÉÉ ÕÚÌÁ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÇÏ ×ÏÓØÍÅÒËÏÊ:

äÅÆÏÒÍÁ ÉÑ ×ÏÓØÍÅÒËÉ × ÅÅ ÚÅÒËÁÌØÎÙÊ ÏÂÒÁÚ

ÒÉ×ÉÁÌØÎÙÊ ÕÚÅÌ (ÉÌÉ ÎÅÕÚÅÌ) | ÜÔÏ ÕÚÅÌ, ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÊ ÌÏÓËÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 1. éÍÅÑ ÅÒÅÄ ÇÌÁÚÁÍÉ ÒÉÓÕÎÏË ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÚÌÁ, ÉÎÏÊ ÒÁÚ ÂÙ×ÁÅÔ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÔÒÕÄÎÏ ÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÏÎ ÔÒÉ×ÉÁÌÅÎ.

ÒÉ×ÉÁÌØÎÙÅ ÕÚÌÙ

áÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁÓÏÚÎÁ×ÁÎÉÑ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÚÌÁ ×ÅÒ×ÙÅ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÌ ÷. èÁËÅÎ [14℄ × 1961 ÇÏÄÕ. áÌÇÏÒÉÔÍ èÁËÅÎÁ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÓÌÉÛËÏÍ ÍÅÄÌÅÎÎÏ É ÏÜÔÏÍÕ ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ÒÅÁÌÉÚÏ×Ù×ÁÌÓÑ ÎÁ ËÏÍØÀÔÅÒÅ. óÏ×ÓÅÍ ÎÅÄÁ×ÎÏ (ÒÅÒÉÎÔ 1998 ÇÏÄÁ [5℄)

62

ó. ÷. äÕÖÉÎ, ó. ÷. þÍÕÔÏ×

äÖ. âÉÒÍÁÎ É í. èÉÒÛ ÒÉÄÕÍÁÌÉ ÄÒÕÇÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ, ÓÕÄÑ Ï ×ÓÅÍÕ, ÕÖÅ ÉÍÅÅÔ ÓÍÙÓÌ ÚÁÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÔØ. 2.2. ïÒÉÅÎÔÁ ÉÑ

õÚÅÌ | ÜÔÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ËÒÉ×ÁÑ × ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ïÔÒÁÖÅÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÍÅÎÑÅÔ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÀ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. éÚÍÅÎÅÎÉÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÏÂÈÏÄÁ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÅ ÍÅÎÑÅÔ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÀ ËÒÉ×ÏÊ. åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÙÄÅÌÉÔØ ËÌÁÓÓÙ ÕÚÌÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍÉ ÓÅÂÅ ÒÉ ÔÁËÉÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÈ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. õÚÅÌ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÅÒËÁÌØÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÅÎ Ó×ÏÅÍÕ ÚÅÒËÁÌØÎÏÍÕ ÏÔÒÁÖÅÎÉÀ. ðÒÉÍÅÒ 1. õÚÅÌ €×ÏÓØÍÅÒËÁ ÚÅÒËÁÌÅÎ. üÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÉÚÏÔÏÉÑ, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÁÑ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ ×ÙÛÅ. ðÒÉÍÅÒ 2. ÒÉÌÉÓÔÎÉË ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÅÒËÁÌØÎÙÍ ÕÚÌÏÍ:

ìÅ×ÙÊ ÔÒÉÌÉÓÔÎÉË

ðÒÁ×ÙÊ ÔÒÉÌÉÓÔÎÉË

üÔÏÔ ÆÁËÔ ÂÕÄÅÔ ÄÏËÁÚÁÎ × ÒÁÚÄÅÌÅ 4.2. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. õÚÅÌ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÒÁÔÉÍÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÅÎ Ó×ÏÅÍÕ ÏÂÒÁÔÎÏÍÕ, Ô. Å. ÔÏÍÕ ÖÅ ÕÚÌÕ, ÒÏÈÏÄÉÍÏÍÕ × ÏÂÒÁÔÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ. ðÒÉÍÅÒ. ÒÉÌÉÓÔÎÉË ÏÂÒÁÔÉÍ, ÔÁË ËÁË ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÏÂÈÏÄÁ ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÎÁ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÌÁ×ÎÙÍ Ï×ÏÒÏÔÏÍ ÎÁ 180◦ ×ÏËÒÕÇ ÏÓÉ Ox (× ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÍ ×ÙÛÅ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ). õÒÁÖÎÅÎÉÅ. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÕÚÅÌ €×ÏÓØÍÅÒËÁ ÔÁËÖÅ ÏÂÒÁÔÉÍ. óÒÅÄÉ ÕÚÌÏ×, ÉÍÅÀÝÉÈ ÎÅ ÂÏÌÅÅ 8 ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ, ÅÓÔØ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÎÅÏÂÒÁÔÉÍÙÊ: ÜÔÏ ÕÚÅÌ 817 (ÓÍ. ÔÁÂÌÉ Õ ÕÚÌÏ× × ÒÉÌÏÖÅÎÉÉ). òÁÓÏÚÎÁÔØ, ÏÂÒÁÔÉÍ ÌÉ ÄÁÎÎÙÊ ÕÚÅÌ, ÎÅÒÏÓÔÏ. ðÅÒ×ÏÅ ÓÔÒÏÇÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÎÅÏÂÒÁÔÉÍÏÓÔÉ ÂÙÌÏ ÒÏ×ÅÄÅÎÏ ÔÏÌØËÏ × 1962 ÇÏÄÕ (ÒÉÍÅÒ ÒÏÔÔÅÒÁ [26℄). ïÂÝÅÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÒÏÂÌÅÍÙ ÎÅ ÎÁÊÄÅÎÏ ÄÏ ÓÉÈ ÏÒ. 2.3. ëÏÍÏÚÉ ÉÑ ÕÚÌÏ×

óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÓÏÓÏ ÓÔÒÏÉÔØ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÅ ÕÚÌÙ ÉÚ Ä×ÕÈ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÙÈ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ Ä×ÕÈ ÕÚÌÏ× ÎÕÖÎÏ ÒÁÚÒÅÚÁÔØ × ËÁËÏÍ-ÔÏ ÍÅÓÔÅ, Á ÏÔÏÍ ÒÉËÌÅÉÔØ Ä×Á ËÏÎ Á ÏÄÎÏÇÏ ÕÚÌÁ Ë Ä×ÕÍ ËÏÎ ÁÍ ÄÒÕÇÏÇÏ. ÷ÓÅ ÜÔÏ ÎÁÄÏ ÄÅÌÁÔØ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÓÔÏÒÏÖÎÏ: ÓÎÁÞÁÌÁ ÎÕÖÎÏ ÕÔÅÍ ÇÌÁÄËÏÊ ÉÚÏÔÏÉÉ ÒÏÄÅÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÔØ ÏÂÁ ÄÁÎÎÙÈ ÕÚÌÁ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÄÌÑ ËÁËÏÊ-ÔÏ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÊ ÒÏÅË ÉÉ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ ÎÁÛÅÌÓÑ ÄÉÓË, ×ÎÕÔÒÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÛÉ ÕÚÌÙ ÉÍÅÌÉ ÂÙ ×ÉÄ, ÕËÁÚÁÎÎÙÊ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÒÉÓÕÎËÅ ÓÌÅ×Á, Á ÚÁÔÅÍ ÉÚÍÅÎÉÔØ ÉÈ ×ÎÕÔÒÉ ÜÔÏÇÏ ÄÉÓËÁ, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÓÒÁ×Á. ðÏÓËÏÌØËÕ ÍÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÕÚÌÙ, ÓËÌÅÊËÕ ÍÏÖÎÏ ÒÏÉÚ×ÅÓÔÉ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÉÍ ÓÏÓÏÂÏÍ.

63

õÚÌÙ É ÉÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ

11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111

11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 ó×ÑÚÎÁÑ ÓÕÍÍÁ ÕÚÌÏ×

ìÅÇËÏ ÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ K1 #K2 Ä×ÕÈ ÕÚÌÏ× K1 É K2 ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÔÏÞÅË ÒÁÚÒÅÚÁ (×ÏÏÂÝÅ, ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ÕÚÌÁ ÒÁ×ÎÏÒÁ×ÎÙ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÇÌÁÄËÉÈ ÉÚÏÔÏÉÊ). åÓÌÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÓÅÂÅ Ó×ÑÚÎÕÀ ÓÕÍÍÕ ÕÚÌÏ× ËÁË ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ, ÔÏ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÊ ÕÚÅÌ ÉÇÒÁÅÔ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÒÏÌØ ÅÄÉÎÉ Ù: E #K = K ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ K . õÚÅÌ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏÓÔÙÍ, ÅÓÌÉ ÅÇÏ ÎÅÌØÚÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ Ä×ÕÈ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÈ ÕÚÌÏ×. ðÒÏÓÔÙÅ ÕÚÌÙ ×ÙÏÌÎÑÀÔ ÒÏÌØ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ × ÁÒÉÆÍÅÔÉËÅ: ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÕÚÅÌ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ Ó×ÑÚÎÏÊ ÓÕÍÍÙ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÒÏÓÔÙÈ, É ÒÉÔÏÍ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ. ðÏ ÜÔÏÊ ÒÉÞÉÎÅ × ÔÁÂÌÉ ÁÈ ÕÚÌÏ×, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÅÍ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÚÁÎÉÍÁÀÔÓÑ Ó 1880-È ÇÏÄÏ×, ÒÉ×ÏÄÑÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÒÏÓÔÙÅ ÕÚÌÙ. ë ÎÁÓÔÏÑÝÅÍÕ ×ÒÅÍÅÎÉ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÏÌÎÙÅ ÔÁÂÌÉ Ù ×ÓÅÈ ÒÏÓÔÙÈ ÕÚÌÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÄÏÕÓËÁÀÔ ÒÅÇÕÌÑÒÎÕÀ ÒÏÅË ÉÀ Ó ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ 16 ÔÏÞËÁÍÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ (äÖ. èÏÓÔ, í. ÉÓÌÔÕÜÊÔ, äÖ. õÉËÓ, 1997). ÷ ÔÁÂÌÉ ÁÈ ÕÚÌÏ× ÒÉÎÑÔÙ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÉÄÁ nm , ÇÄÅ n | ÞÉÓÌÏ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ, m | ÎÏÍÅÒ Ï ÏÒÑÄËÕ ÓÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ÕÚÌÏ× Ó n ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑÍÉ. õÚÌÙ, ÏÌÕÞÁÀÝÉÅÓÑ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ ÚÁÍÅÎÏÊ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ ÉÌÉ ÚÅÒËÁÌØÎÙÍ ÏÔÒÁÖÅÎÉÅÍ, × ÔÁÂÌÉ ÁÈ ÕÚÌÏ× ÎÅ ÒÁÚÌÉÞÁÀÔÓÑ. ðÒÉ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ÔÁÂÌÉ ÕÚÌÏ× ÌÀÄÉ ÞÁÓÔÏ ÄÏÕÓËÁÌÉ ÏÛÉÂËÉ (É ÎÅÍÕÄÒÅÎÏ). óÁÍÙÊ ÚÎÁÍÅÎÉÔÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÔÁËÏÇÏ ÒÏÄÁ | ÜÔÏ ÁÒÁ ðÅÒËÏ, Ä×Á ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÈ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ ÕÚÌÁ, ËÏÔÏÒÙÅ × ÔÅÞÅÎÉÅ 75 ÌÅÔ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó 1899 ÇÏÄÁ, ÓÞÉÔÁÌÉÓØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ. ÷ÏÔ ÏÎÉ:

ðÁÒÁ ðÅÒËÏ

ïÂÎÁÒÕÖÉÌ ÉÈ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ ÀÒÉÓÔ ÉÚ îØÀ-êÏÒËÁ ë. á. ðÅÒËÏ × 1974 ÇÏÄÕ. óÏÞÅÔÁÎÉÅ €ÀÒÉÓÔ-ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌ É ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉË-ÌÀÂÉÔÅÌ؁ ÎÅ ÅÒ×ÙÊ ÒÁÚ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ × ÉÓÔÏÒÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ (×ÓÏÍÎÉÔÅ ðØÅÒÁ æÅÒÍÁ!) É ×ÓÅÇÄÁ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÎÏ×ÙÍ ÏÔËÒÙÔÉÑÍ. ÷ ðÒÉÌÏÖÅÎÉÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ ÔÁÂÌÉ Á ÒÏÓÔÙÈ ÕÚÌÏ× ÄÏ 8 ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ ×ËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ. äÌÑ ÒÁÂÏÔÙ Ó ÕÚÌÁÍÉ ÕÄÏÂÎÏ ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ËÏÍØÀÔÅÒÎÙÍÉ ÒÏÇÒÁÍÍÁÍÉ É ÔÁÂÌÉ ÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÉÍÅÀÔÓÑ ÎÁ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ www-ÓÅÒ×ÅÒÁÈ (ÓÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ, [24℄).

64

ó. ÷. äÕÖÉÎ, ó. ÷. þÍÕÔÏ×

3. äÉÁÇÒÁÍÍÙ

÷ ÒÉÎ ÉÅ, ÌÀÂÏÊ ÕÚÅÌ ÍÏÖÎÏ ÚÁÄÁÔØ Ñ×ÎÙÍÉ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ x(t), y(t), z (t) × ×ÉÄÅ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×. ðÒÉÍÅÒ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ × ÔÁËÏÍ ×ÉÄÅ ÏÄÎÏÇÏ ÕÚÌÁ (ÔÒÉÌÉÓÔÎÉËÁ) ÂÙÌ ÒÉ×ÅÄÅÎ ×ÙÛÅ. ÏÔ ÆÁËÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÕÚÌÁ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÊ ÅÍÕ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ, ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÌÀÂÙÅ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË ÉÉ x(t), y(t), z (t) ÍÏÖÎÏ Ó ÌÀÂÏÊ ÓÔÅÅÎØÀ ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÒÉÂÌÉÚÉÔØ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ, Ô. Å. ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑÍÉ sin kt É os kt. îÁÄÏ, ÏÄÎÁËÏ, ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÉËÁËÏÇÏ ÒÁÚÕÍÎÏÇÏ ÓÏÓÏÂÁ ÒÁÓÏÚÎÁÔØ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ ÉÌÉ ÄÏËÁÚÁÔØ ÎÅÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ ÕÚÌÏ×, ÚÁÄÁÎÎÙÈ Ñ×ÎÙÍÉ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ. ÷ÓÅ ÓÏÓÏÂÙ ÚÁÄÁÎÉÑ ÕÚÌÏ×, Ó ËÏÔÏÒÙÍÉ ÍÏÖÎÏ ÒÅÁÌØÎÏ ÒÁÂÏÔÁÔØ, ÉÍÅÀÔ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÊ ÈÁÒÁËÔÅÒ. ÷ ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ä×Á ÔÁËÉÈ ÓÏÓÏÂÁ: (ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÅ) ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÕÚÌÏ× É ÌÅÖÁÎÄÒÏ×Ï ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ. 3.1. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÕÚÌÁ

äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÕÚÌÁ | ÜÔÏÔ ÔÏÔ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÓÏÓÏ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÕÚÌÁ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÙÍ ÍÙ ÕÖÅ ÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ ÎÁ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÒÉÓÕÎËÁÈ. çÏ×ÏÒÑ ÂÏÌÅÅ ÆÏÒÍÁÌØÎÏ, ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ÕÚÌÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÇÌÁÄËÕÀ ËÒÉ×ÕÀ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÎÅ ÉÍÅÀÝÕÀ ÄÒÕÇÉÈ ÏÓÏÂÙÈ ÔÏÞÅË, ËÒÏÍÅ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÒÏÓÔÙÈ Ä×ÏÊÎÙÈ ÔÏÞÅË (ÔÁÍ, ÇÄÅ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÔÒÁÎÓ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ), É ÓÎÁÂÖÅÎÎÕÀ × ËÁÖÄÏÊ Ä×ÏÊÎÏÊ ÔÏÞËÅ ÏÄÎÉÍ ÂÉÔÏÍ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÕËÁÚÙ×ÁÀÝÉÍ, ËÁËÁÑ ÉÚ Ä×ÕÈ ×ÅÔ×ÅÊ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÈÏÄÏÍ (Ô. Å. ÌÅÖÉÔ ÓÎÉÚÕ), Á ËÁËÁÑ ÅÒÅÈÏÄÏÍ (Ô. Å. ÌÅÖÉÔ Ó×ÅÒÈÕ). þÔÏÂÙ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÚÌÁ f : S 1 → R3 , ÎÕÖÎÏ ÅÇÏ ÎÅÍÎÏÇÏ ÏÛÅ×ÅÌÉÔØ, Ô. Å. ÏÄ×ÅÒÇÎÕÔØ ÉÚÏÔÏÉÉ, ÂÌÉÚËÏÊ Ë ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ, Ó ÔÅÍ, ÞÔÏÂÙ ÅÇÏ ÒÏÅË ÉÑ  ◦ f : S 1 → R3 → R2 ÎÁ ×ÙÂÒÁÎÎÕÀ ÌÏÓËÏÓÔØ ÓÔÁÌÁ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÊ, Ô. Å. (1) ×ÅËÔÏÒ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ( ◦ f )′ ÎÉÇÄÅ ÎÅ ÏÂÒÁÝÁÌÓÑ ÂÙ × 0 É (2) ÎÉËÁËÁÑ ÔÏÞËÁ ÎÅ ÉÍÅÌÁ ÂÙ ÂÏÌÅÅ Ä×ÕÈ ÒÏÏÂÒÁÚÏ×. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÏÇÏ ×ÓÅÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÄÏÂÉÔØÓÑ ÍÁÌÏÊ ÉÚÏÔÏÉÅÊ, ÎÅ ×Ù×ÏÄÑÝÅÊ ÚÁ ÒÅÄÅÌÙ ËÌÁÓÓÁ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÕÚÌÁ.

îÅÒÅÇÕÌÑÒÎÙÅ ÒÏÅË ÉÉ

òÅÇÕÌÑÒÎÙÅ ÒÏÅË ÉÉ

ðÒÉ ÉÚÏÔÏÉÉ ÕÚÌÁ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÅÇÏ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ÍÏÖÅÔ ÍÅÎÑÔØÓÑ. üÔÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ Ä×ÕÈ ÒÉÎ ÉÉÁÌØÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÉÄÏ×. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ÕÚÌÁ, ËÁË ÇÌÁÄËÁÑ ÚÁÍËÎÕÔÁÑ ÌÏÓËÁÑ ËÒÉ×ÁÑ, ÍÏÖÅÔ ÒÅÔÅÒÅ×ÁÔØ ÌÏÓËÕÀ ÉÚÏÔÏÉÀ, Ô. Å. ÏÄ×ÅÒÇÁÔØÓÑ ×ÏÚÄÅÊÓÔ×ÉÀ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÇÌÁÄËÏ ÚÁ×ÉÓÑÝÅÇÏ ÏÔ ÁÒÁÍÅÔÒÁ. ÷Ï-×ÔÏÒÙÈ, ×ÏÚÍÏÖÎÙ ÅÒÅÓÔÒÏÊËÉ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ, ËÏÇÄÁ ÏÎÁ ÍÅÎÑÅÔ Ó×ÏÊ ÔÉ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÏËÁÚÁÎÎÙÅ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÔÒÁÎÉ Å ÅÒÅÓÔÒÏÊËÉ òÅÊÄÅÍÅÊÓÔÅÒÁ. ë. òÅÊÄÅÍÅÊÓÔÅÒ | Á×ÔÏÒ ÅÒ×ÏÊ ËÎÉÇÉ, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÏÊ ÅÌÉËÏÍ ÔÅÏÒÉÉ ÕÚÌÏ× (1932). ÷ ÎÅÊ ÄÏËÁÚÁÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ: Ä×Å ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÚÁÄÁÀÔ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ

65

õÚÌÙ É ÉÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ

ðÌÏÓËÁÑ ÉÚÏÔÏÉÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ

I)

II)

III)

ðÅÒÅÓÔÒÏÊËÉ òÅÊÄÅÍÅÊÓÔÅÒÁ

ÖÅ ÕÚÅÌ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÔ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÎÉÈ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÊÔÉ Ë ÄÒÕÇÏÊ ÏÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ ÌÏÓËÉÈ ÉÚÏÔÏÉÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ É ÅÒÅÓÔÒÏÅË òÅÊÄÅÍÅÊÓÔÅÒÁ. ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÅÊ ÔÅÏÒÅÍÁ òÅÊÄÅÍÅÊÓÔÅÒÁ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ: ÑÓÎÏ, ÞÔÏ ÌÀÂÕÀ ÇÌÁÄËÕÀ ÉÚÏÔÏÉÀ ÕÚÌÁ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÍÏÖÎÏ ÎÅÍÎÏÇÏ ÏÛÅ×ÅÌÉÔØ ÔÁË, ÞÔÏ ÏÎÁ Ó×ÅÄÅÔÓÑ Ë ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÅÒÅÓÔÒÏÅË ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÔÒÅÈ ÔÉÏ×. ðÏÄÒÏÂÎÏÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÜÔÏÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÍÙ ÒÉ×ÏÄÉÔØ ÎÅ ÂÕÄÅÍ, ÏÔÓÙÌÁÑ ÚÁÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÞÉÔÁÔÅÌÑ, ÎÁÒÉÍÅÒ, Ë ËÎÉÇÅ [22℄. ðÒÉÍÅÒ. ðÒÅ×ÒÁÝÅÎÉÅ ×ÏÓØÍÅÒËÉ × ÅÅ ÚÅÒËÁÌØÎÙÊ ÏÂÒÁÚ, ÏËÁÚÁÎÎÏÅ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ ×ÙÛÅ (Ó. 61), ÏÍÉÍÏ ÌÏÓËÉÈ ÉÚÏÔÏÉÊ, ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÅÒÅÓÔÒÏÅË òÅÊÄÅÍÅÊÓÔÅÒÁ: II, III, III, I, I, III, II. ïÂßÑÓÎÉÍ, × ËÁËÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ÍÏÖÅÔ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØÓÑ ËÁË ÞÉÓÔÏ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÊ ÓÏÓÏ ÚÁÄÁÎÉÑ ËÌÁÓÓÁ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÕÚÌÁ. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÕÚÌÁ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÁÑ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÌÏÓËÉÈ ÉÚÏÔÏÉÊ (ÇÌÁÄËÉÈ ÄÅÆÏÒÍÁ ÉÊ × ÌÏÓËÏÓÔÉ), ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ: (1) × ËÁËÏÍ ÏÒÑÄËÅ ×ÄÏÌØ ËÒÉ×ÏÊ ÓÌÅÄÕÀÔ ÔÏÞËÉ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ, (2) ËÁËÁÑ ×ÅÔ×Ø ËÒÉ×ÏÊ × ÔÏÞËÅ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÈÏÄÏÍ, Á ËÁËÁÑ ÅÒÅÈÏÄÏÍ. äÌÑ ËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÌÏÓËÉÈ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÒÉ×ÙÈ ÕÄÏÂÎÙÍ ÉÎÓÔÒÕÍÅÎÔÏÍ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÇÁÕÓÓÏ×Ù ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ. îÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÇÁÕÓÓÏ×Ù ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÂÏÌØÛÅ ÒÉÓÏÓÏÂÌÅÎÙ ÄÌÑ ÏÉÓÁÎÉÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÒÉ×ÙÈ ÎÁ ÓÆÅÒÅ, ÎÅÖÅÌÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÒÉ×ÙÈ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ. þÔÏÂÙ Ë ÎÉÍ ÅÒÅÊÔÉ, ÍÙ ÓÄÅÌÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÒÏÓÔÏÅ ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÅ. ÷ÍÅÓÔÏ ÌÏÓËÉÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ ÕÚÌÁ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÅ, É ÜÔÉ Ä×Á ÏÄÈÏÄÁ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ. óÆÅÒÉÞÅÓËÁÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ËÁË ÒÏÅË ÉÑ ÕÚÌÁ ÎÁ ÓÆÅÒÕ S 2 ⊂ R3 , ÓÏÄÅÒÖÁÝÕÀ ÎÁÛ ÕÚÅÌ ×ÎÕÔÒÉ, ÉÚ ÅÎÔÒÁ ÓÆÅÒÙ, ÅÓÌÉ ÜÔÁ ÒÏÅË ÉÑ ÒÅÇÕÌÑÒÎÁ. ðÒÏËÁÌÙ×ÁÑ ÓÆÅÒÕ × ËÁËÏÊ-ÔÏ ÔÏÞËÅ, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÉÚ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÌÏÓËÕÀ.

66

ó. ÷. äÕÖÉÎ, ó. ÷. þÍÕÔÏ×

óÆÅÒÉÞÅÓËÁÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ×ÏÓØÍÅÒËÉ

ëÁË ×ÅÒ×ÙÅ ÚÁÍÅÔÉÌ ÅÝÅ ë. æ. çÁÕÓÓ, Á ×ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ (×ÌÏÔØ ÄÏ ËÏÎ Á XX ×ÅËÁ) ÚÁÎÏ×Ï ÏÔËÒÙ×ÁÌÉ ÍÎÏÇÉÅ ÄÒÕÇÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÚÁÍËÎÕÔÙÅ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÅ ËÒÉ×ÙÅ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÇÌÁÄËÏÊ ÉÚÏÔÏÉÉ ÎÁ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÓÆÅÒÙ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ËÏÄÉÒÕÀÔÓÑ ÏÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ ÄÉÁÇÒÁÍÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ×ÉÄÁ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. çÁÕÓÓÏ×Á ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ÏÒÑÄËÁ n | ÜÔÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÔÍÅÞÅÎÙ 2n ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞÅË, ÒÁÚÂÉÔÙÈ ÎÁ ÁÒÙ, É ÎÁ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ n ÈÏÒÄ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ÁÒÎÙÅ ÔÏÞËÉ, ÕËÁÚÁÎÏ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ. ïÉÛÅÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÇÁÕÓÓÏ×ÏÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ËÒÉ×ÏÊ. îÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÁÑ ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÕÅÔ ÄÁÎÎÕÀ ËÒÉ×ÕÀ, ÎÕÖÎÏ ÏÔÍÅÔÉÔØ ÒÏÏÂÒÁÚÙ ×ÓÅÈ Ä×ÏÊÎÙÈ ÔÏÞÅË É ÓÏÅÄÉÎÉÔØ ËÁÖÄÕÀ ÁÒÕ ÒÏÏÂÒÁÚÏ× ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÈÏÒÄÏÊ. îÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÎÁ ÈÏÒÄÁÈ ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÔÁË. îÁ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÓÆÅÒÙ ÅÓÔØ ×ÏÌÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÅ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ ×ÒÁÝÅÎÉÑ (ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ, ÅÓÌÉ ÎÁ ÓÆÅÒÕ ÓÍÏÔÒÅÔØ ÓÎÁÒÕÖÉ). ä×Á ËÏÎ Á ÈÏÒÄÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ Ä×ÕÍ ×ÅÔ×ÑÍ ËÒÉ×ÏÊ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ Ä×ÏÊÎÏÊ ÔÏÞËÉ. ðÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÜÔÉÈ ×ÅÔ×ÅÊ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÕÇÏÌ. ÁË ×ÏÔ, ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÎÁ ÈÏÒÄÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÅÒÅÈÏÄÕ ÏÔ ÏÄÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ ÕÇÌÁ Ë ÄÒÕÇÏÊ × ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ. d

b

a



b

d

a

÷ÙÂÏÒ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÈÏÒÄÙ

éÎÆÏÒÍÁ ÉÑ Ï ÒÏÈÏÄÁÈ É ÅÒÅÈÏÄÁÈ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÏÓÎÁÝÅÎÎÏÊ ÇÁÕÓÓÏ×ÏÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ: ÜÔÏ ÚÎÁÞÉÔ, ÞÔÏ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏ ÎÁ ËÁÖÄÏÊ ÈÏÒÄÅ ÓÔÁ×ÉÔÓÑ ÚÎÁË €+, ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÁ ÏÔ ÅÒÅÈÏÄÁ Ë ÒÏÈÏÄÕ, É ÚÎÁË €− × ÏÂÒÁÔÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÚÎÁË ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ÚÎÁËÏÍ ÌÏËÁÌØÎÏÊ ÚÁËÒÕÞÅÎÎÏÓÔÉ Ä×ÏÊÎÏÊ ÔÏÞËÉ, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÒÉÓÕÎËÏÍ. @ I @  @ @

+1

@  I @ @ −

1

ìÏËÁÌØÎÁÑ ÚÁËÒÕÞÅÎÎÏÓÔØ

÷ÏÔ ÒÉÍÅÒ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÕÚÌÁ É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÏÓÎÁÝÅÎÎÏÊ ÇÁÕÓÓÏ×ÏÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ:

67

õÚÌÙ É ÉÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ

3 2

4 1

1

5

5

3

+

4

+

+

5

1

2 +

4

+

3 2

äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÕÚÌÁ É ÇÁÕÓÓÏ×Á ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ

îÅËÏÔÏÒÙÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÎÁÒÉÍÅÒ, í. ðÏÌÑË É ï. ÷ÉÒÏ, ÒÉÍÅÎÑÀÔ ÄÒÕÇÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ËÉ ÓÔÒÅÌÏË ÎÁ ÈÏÒÄÁÈ (ÓÍ. ÓÔÁÔØÀ à. âÕÒÍÁÎÁ × ÄÁÎÎÏÍ ×ÙÕÓËÅ, Ó. 94{ 115). ïÂÁ ÒÁ×ÉÌÁ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÙ, ÎÏ ÎÁÛÅ ÉÍÅÅÔ ÔÏ ÒÅÉÍÕÝÅÓÔ×Ï, ÞÔÏ, ÚÁÂÙ×ÁÑ Ï ÚÎÁËÁÈ ÎÁ ÈÏÒÄÁÈ, ÎÏ ÓÏÈÒÁÎÑÑ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÎÎÙÅ ÎÁ ÎÉÈ ÓÔÒÅÌËÉ, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÕÀ ÇÁÕÓÓÏ×Õ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ, Ñ×ÌÑÀÝÕÀÓÑ ÏÌÎÙÍ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏÍ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÊ ËÒÉ×ÏÊ. 3.2. ìÅÖÁÎÄÒÏ×Ù ÕÚÌÙ

ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÕÚÌÏ× ÌÏÓËÉÍÉ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍÉ | ÓÁÍÙÊ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ É ÉÓÔÏÒÉÞÅÓËÉ ÅÒ×ÙÊ ÓÏÓÏ ÎÁÇÌÑÄÎÏÇÏ ÚÁÄÁÎÉÑ ÕÚÌÏ×. ÷ ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÍÙ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÄÒÕÇÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ × ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÇÏÄÙ ×ÓÅ ÂÏÌØÛÅ ÒÉ×ÌÅËÁÅÔ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ×. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ×ÙÄÅÌÅÎÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÍ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÏÓÉ ÏÒÄÉÎÁÔ × ÄÅËÁÒÔÏ×ÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ). ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. æÒÏÎÔÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÁÍËÎÕÔÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÂÅÚ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÈ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ, ×ÓÅ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÉÓÞÅÒÙ×ÁÀÔÓÑ ÏÌÕËÕÂÉÞÅÓËÉÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ ×ÏÚ×ÒÁÔÁ (ËÌÀ×ÁÍÉ) É ÒÏÓÔÙÍÉ Ä×ÏÊÎÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ. ðÏÌÕËÕÂÉÞÅÓËÁÑ ÔÏÞËÁ ×ÏÚ×ÒÁÔÁ | ÜÔÏ ÔÏÞËÁ, ×ÂÌÉÚÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁÛÁ ËÒÉ×ÁÑ ÌÏËÁÌØÎÏ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ËÁË ÏÌÕËÕÂÉÞÅÓËÁÑ ÁÒÁÂÏÌÁ y2 = x3 × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. üÔÏ ÓÁÍÙÊ ÏÂÝÉÊ ×ÉÄ ÔÏÞËÉ ÎÁ ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ r(t), × ËÏÔÏÒÏÊ ×ÅËÔÏÒ r′ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ, Á ×ÅËÔÏÒÙ r′′ É r′′′ ÎÅËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙ. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. îÁÚ×ÁÎÉÅ €ÆÒÏÎԁ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ Ï ÔÏÊ ÒÉÞÉÎÅ, ÞÔÏ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÙ ÄÌÑ ËÒÉ×ÏÊ ÏÂÝÅÇÏ ÏÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÜÌÌÉÓÁ) ÉÍÅÀÔ ÔÏÌØËÏ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÔÉÏ×. á ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÁ | ÜÔÏ ËÁË ÂÙ ÆÒÏÎÔ Ó×ÅÔÏ×ÏÊ ×ÏÌÎÙ, ÉÓÈÏÄÑÝÅÊ ÉÚ ÄÁÎÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ. ïÂßÑÓÎÉÍ, × ÞÅÍ ÓÏÓÔÏÉÔ Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ÆÒÏÎÔÁÍÉ É ÕÚÌÁÍÉ. úÁÏÄÎÏ ÍÙ ÒÁÓÓËÁÖÅÍ, ÏÔËÕÄÁ ÂÅÒÅÔÓÑ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÅ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÑ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÈ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ. æÒÏÎÔ | ÜÔÏ ËÒÉ×ÁÑ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÓËÁÖÅÍ, Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ (x; y). äÏÂÁ×ÌÑÑ Ë ÎÉÍ ÅÝÅ ÔÒÅÔØÀ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÕ z , ÒÁ×ÎÕÀ ÔÁÎÇÅÎÓÕ ÕÇÌÁ ÎÁËÌÏÎÁ ËÒÉ×ÏÊ × ÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ËÒÉ×ÕÀ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å R3 . åÓÌÉ ÎÁ ÉÓÈÏÄÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ÅÓÔØ ÔÏÌØËÏ ÒÏÓÔÙÅ Ä×ÏÊÎÙÅ ÔÏÞËÉ É ËÌÀ×Ù, ÔÏ ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ ËÒÉ×ÁÑ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÂÕÄÅÔ ÇÌÁÄËÉÍ ÕÚÌÏÍ. ÁÎÇÅÎÓ ÕÇÌÁ ÎÁËÌÏÎÁ ÏÒÅÄÅÌÅÎ ×ÓÀÄÕ, ÏÓËÏÌØËÕ ÎÅÔ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÈ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ.

68

ó. ÷. äÕÖÉÎ, ó. ÷. þÍÕÔÏ×

åÓÌÉ ÏÔËÁÚÁÔØÓÑ ÏÔ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÑ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÈ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ, ÔÏ ÕÇÏÌ ÎÁËÌÏÎÁ ËÒÉ×ÏÊ ÂÕÄÅÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÅ × ÔÏÞËÁÈ ÒÑÍÏÊ, Á × ÔÏÞËÁÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÕÚÅÌ ÎÅ × R3 , Á × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÉ R2 × S 1 , ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÍ ÓÏÂÏÊ ÏÌÎÏÔÏÒÉÅ. ïÉÛÅÍ ÔÅÅÒØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ÆÒÏÎÔÁÍÉ É ÕÚÌÁÍÉ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ. ðÏ ÆÒÏÎÔÕ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÍÏÇÏ ÉÍ ÕÚÌÁ ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÔÁË. ÷ÓÅ ÔÏÞËÉ ×ÏÚ×ÒÁÔÁ ÎÕÖÎÏ ÒÏÓÔÏ ÓÇÌÁÄÉÔØ, Á ÒÏÈÏÄÙ É ÅÒÅÈÏÄÙ × Ä×ÏÊÎÙÈ ÔÏÞËÁÈ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÔÁË: ×ÅÔ×Ø ËÒÉ×ÏÊ, ÉÄÕÝÁÑ ÉÚ ÌÅ×ÏÇÏ ÎÉÖÎÅÇÏ ÕÇÌÁ × ÒÁ×ÙÊ ×ÅÒÈÎÉÊ, ×ÓÅÇÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÒÅÈÏÄÏÍ, Á ÄÒÕÇÁÑ ×ÅÔ×Ø | ÒÏÈÏÄÏÍ. ÁË ËÁË ÆÒÏÎÔ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÈ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ, ÔÁËÏÅ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅÔ×ÅÊ ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ.

ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ Ï ÆÒÏÎÔÕ

ïÂÒÁÔÎÏ, Ï ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÆÒÏÎÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÍÏÇÏ ÅÀ ÕÚÌÁ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ × ÏÂÝÅÅ ÏÌÏÖÅÎÉÅ ÔÁË, ÞÔÏ × Ä×ÏÊÎÙÈ ÔÏÞËÁÈ ÎÉ ÏÄÎÁ ÉÚ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÊ. ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÚÁÍÅÎÉÍ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ Ó ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÍÉ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÍÉ ÎÁ ÔÏÞËÉ ×ÏÚ×ÒÁÔÁ, Á Ä×ÏÊÎÙÅ ÔÏÞËÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÅÒÅÈÏÄ ÉÍÅÅÔ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ €ÓÅ×ÅÒÏ-ÚÁÁÄ { ÀÇÏ-×ÏÓÔÏˁ, ÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÔÁË, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ.

ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÆÒÏÎÔÁ Ï ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ

ÅÍ ÓÁÍÙÍ ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ×ÓÑËÉÊ ÕÚÅÌ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÆÒÏÎÔÏÍ. îÁÒÉÍÅÒ, ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÒÉÓÕÎËÅ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÙ ÆÒÏÎÔÙ É ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÌÅ×ÏÇÏ É ÒÁ×ÏÇÏ ÔÒÉÌÉÓÔÎÉËÁ (ÓÌÅ×Á Ï ÆÒÏÎÔÕ ÏÓÔÒÏÅÎÁ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ, Á ÓÒÁ×Á, ÎÁÏÂÏÒÏÔ, Ï ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ | ÆÒÏÎÔ):

ìÅ×ÙÊ ÔÒÉÌÉÓÔÎÉË

ðÒÁ×ÙÊ ÔÒÉÌÉÓÔÎÉË

69

õÚÌÙ É ÉÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ

õÚÅÌ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÙÊ ÆÒÏÎÔÏÍ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÅÖÁÎÄÒÏ×ÙÍ ÕÚÌÏÍ. áÎÁÌÏÇ ÅÒÅÓÔÒÏÅË òÅÊÄÅÍÅÊÓÔÅÒÁ ÄÌÑ ÌÅÖÁÎÄÒÏ×ÙÈ ÕÚÌÏ×, ÏÉÓÙ×ÁÀÝÉÈ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÕÀ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ Ä×ÕÈ ÕÚÌÏ×, × Ñ×ÎÏÍ ×ÉÄÅ ÂÙÌ ×ÙÉÓÁÎ ÓÏ×ÓÅÍ ÎÅÄÁ×ÎÏ ä. â. æÕËÓÏÍ É ó. ì. ÁÂÁÞÎÉËÏ×ÙÍ. ðÏÜÔÏÍÕ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÅ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÔÅÏÒÅÍÅ ÅÒÅÓÔÒÏÊËÉ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÅÒÅÓÔÒÏÊËÁÍÉ æÕËÓÁ{ÁÂÁÞÎÉËÏ×Á. ÅÏÒÅÍÁ (ä. â. æÕËÓ, ó. ì. ÁÂÁÞÎÉËÏ× [13℄). ä×Á ÆÒÏÎÔÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ÕÚÌÙ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÔ ÏÄÎÏÇÏ ÆÒÏÎÔÁ Ë ÄÒÕÇÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÊÔÉ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÅÒÅÓÔÒÏÅË: 1)

ÉÌÉ

2)

ÉÌÉ

3) 4)

ÉÌÉ

ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ÷ ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ ×ÙÛÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ (ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ) ÓËÁÖÅÍ, ÞÔÏ Ä×Á ÌÅÖÁÎÄÒÏ×ÙÈ ÕÚÌÁ ÌÅÖÁÎÄÒÏ×Ï ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ, ÅÓÌÉ ÏÔ ÆÒÏÎÔÁ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÎÉÈ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÊÔÉ Ë ÆÒÏÎÔÕ ÄÒÕÇÏÇÏ ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÔÏÌØËÏ ÅÒ×ÙÈ ÔÒÅÈ ÅÒÅÓÔÒÏÅË æÕËÓÁ{ÁÂÁÞÎÉËÏ×Á. ÷ ËÁÖÄÏÍ ËÌÁÓÓÅ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÈ ÕÚÌÏ× ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÏ ÌÅÖÁÎÄÒÏ×Ï ÎÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÈ ÕÚÌÏ×. îÁÒÉÍÅÒ, ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ä×Á ÆÒÏÎÔÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ Ä×Á ÎÅÕÚÌÁ (ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÈ ÕÚÌÁ) É ÏÔÏÍÕ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÏÎÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ. îÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÏËÁÚÁÎÁ ÔÁËÖÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÅÒÅÓÔÒÏÅË æÕËÓÁ{ ÁÂÁÞÎÉËÏ×Á, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÁÑ ÏÄÉÎ ÆÒÏÎÔ × ÄÒÕÇÏÊ.

1)

4) 2)

ÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ Ä×ÕÈ ÎÅÕÚÌÏ×

÷ ÒÁÚÄÅÌÅ 4.4 ÍÙ ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÜÔÉ Ä×Á ÎÅÕÚÌÁ ÌÅÖÁÎÄÒÏ×Ï ÎÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÅÒÅÓÔÒÏÅË æÕËÓÁ { ÁÂÁÞÎÉËÏ×Á, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÁÑ ÏÄÉÎ ÆÒÏÎÔ × ÄÒÕÇÏÊ, ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÕ

70

ó. ÷. äÕÖÉÎ, ó. ÷. þÍÕÔÏ×

ÅÒÅÓÔÒÏÊËÕ ÔÉÁ 4). íÙ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÔÁËÖÅ ÔÅÏÒÅÍÕ ñ. üÌÉÁÛÂÅÒÇÁ, ÏÉÓÙ×ÁÀÝÕÀ ÌÅÖÁÎÄÒÏ×Õ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ ÓÒÅÄÉ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÈ ÕÚÌÏ×. 4. éÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ

äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ Ä×Á ÕÚÌÁ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÅÄßÑ×ÉÔØ ÉÚÏÔÏÉÀ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ, ÚÁÄÁÎÎÕÀ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ ÅÒÅÓÔÒÏÅË òÅÊÄÅÍÅÊÓÔÅÒÁ ÄÌÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ. óÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍ ÒÉÅÍÏÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÎÅÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ, ËÁË × ÔÅÏÒÉÉ ÕÚÌÏ×, ÔÁË É ×ÏÏÂÝÅ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ×. 4.1. ïÂÝÅÅ ÏÎÑÔÉÅ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁ

äÏÕÓÔÉÍ, × ËÁËÏÍ-ÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å X ÚÁÄÁÎÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ X → A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏÍ, ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÒÁ×ÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÈ X , ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÈ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å A ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÒÉÒÏÄÙ. åÓÌÉ A ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÞÉÓÅÌ, ÇÏ×ÏÒÑÔ Ï ÞÉÓÌÏ×ÙÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁÈ; ÅÓÌÉ ÉÚ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× | Ï ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁÈ, É Ô. Ä. ðÏÎÑÔÉÅ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁ ÒÅÁÌØÎÏ ÒÁÂÏÔÁÅÔ × ÔÅÈ ÓÌÕÞÁÑÈ, ËÏÇÄÁ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å X ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÕÓÔÒÏÅÎÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÓÌÏÖÎÏ, Á × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÒÏÂÌÅÍÁ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÒÅÛÁÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏÓÔÏ. ðÒÉÍÅÒ 1. ä×ÏÊÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ËÁË ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔ ÞÅÔ×ÅÒËÉ ÔÏÞÅË ÎÁ ÒÑÍÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÅÎÔÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X , ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÞÅÔ×ÅÒËÉ ÔÏÞÅË ÎÁ ÒÑÍÏÊ. ä×Å ÞÅÔ×ÅÒËÉ, A1 , A2 , A3 , A4 É B1 , B2 , B3 , B4 , ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍÉ, ÅÓÌÉ ÒÑÍÙÅ, ÉÈ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ, ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÏÌÏÖÉÔØ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÅÎÔÒÁÌØÎÁÑ ÒÏÅË ÉÑ ÉÚ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÞËÉ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÅÒÅ×ÏÄÉÌÁ Ai × Bi ÄÌÑ ×ÓÅÈ i = 1; : : : ; 4. r

OQ B Q \

B\ Q B \ QQ  B \  Q r  A4 B  \ r A QQ rA \ 3 Q B 2 \ Q  r B Q  A1  B \ Q QQr r Br \r

B1

B2

B3

B4

ü×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ Ä×ÕÈ ÞÅÔ×ÅÒÏË ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÅÎÔÒÁÌØÎÏÊ ÒÏÅË ÉÉ úÁÄÁÞÁ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÄÎÕ ÞÅÔ×ÅÒËÕ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅ×ÅÓÔÉ × ÄÒÕÇÕÀ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÏÏÒ ÉÑ

A1 − A3 : A1 − A4 = B1 − B3 : B1 − B4 : A2 − A3 A2 − A4 B2 − B3 B2 − B4 1 − A3 A1 − A4 íÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ×ÅÌÉÞÉÎÁ A A2 − A3 : A2 − A4 (Ä×ÏÊÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÞÅÔÙÒÅÈ ÔÏÞÅË) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏÍ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÊ ÞÅÔ×ÅÒËÉ ÔÏÞÅË ÎÁ ÒÑÍÏÊ. òÅÚÕÌØÔÁÔ

71

õÚÌÙ É ÉÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ

ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÉ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔ ÏÞÅÎØ ÓÉÌØÎÙÊ: ÅÓÌÉ ÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÁ Ä×ÕÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁÈ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ, ÔÏ ÓÁÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ. éÎ×ÁÒÉÁÎÔ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÊ ÔÁËÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÌÎÙÍ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Ä×ÏÊÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÞÅÔÙÒÅÈ ÔÏÞÅË Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÎÙÍ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. ðÒÉÍÅÒ 2. üÊÌÅÒÏ×Á ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÁ Ä×ÕÍÅÒÎÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ × ×ÉÄÅ ÔÒÉÁÎÇÕÌÑ ÉÉ. ÷ÓÑËÕÀ ËÏÍÁËÔÎÕÀ Ä×ÕÍÅÒÎÕÀ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ (ÓÆÅÒÕ, ÔÏÒ, ÄÉÓË, ÌÅÎÔÕ íÅÂÉÕÓÁ É Ô. .) ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÒÅÚÁÔØ ÎÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ÔÁË, ÞÔÏ ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÌÉÂÏ ×ÏÏÂÝÅ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ, ÌÉÂÏ ÉÍÅÀÔ ÏÄÎÕ ÏÂÝÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ, ÌÉÂÏ ÏÄÎÕ ÏÂÝÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ. ÁËÏÅ ÒÁÚÒÅÚÁÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÒÉÁÎÇÕÌÑ ÉÅÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÅ ÚÁÄÁÎÉÅ ÔÒÉÁÎÇÕÌÑ ÉÉ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÎÕÍÅÒÕÀÔ, Á ÚÁÔÅÍ ÕËÁÚÙ×ÁÀÔ, ËÁËÉÅ ÔÒÏÊËÉ ÎÏÍÅÒÏ× ÏÔ×ÅÞÁÀÔ ÇÒÁÎÑÍ ÔÒÉÁÎÇÕÌÑ ÉÉ.

ðÒÉÍÅÒ. ÒÉÁÎÇÕÌÑ ÉÑ (1; 2; 3); (1; 3; 4); (1; 4; 2); (2; 4; 3) ÚÁÄÁÅÔ ÓÆÅÒÕ:

4

1 2

3

ÒÉÁÎÇÕÌÑ ÉÑ ÓÆÅÒÙ

üÊÌÅÒÏ×ÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÏÊ ÔÒÉÁÎÇÕÌÑ ÉÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ f − e + v, ÇÄÅ f | ÞÉÓÌÏ ÇÒÁÎÅÊ (ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×), e | ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ (ÓÔÏÒÏÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×), v | ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ. æÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ ÇÌÁÓÉÔ, ÞÔÏ ÜÊÌÅÒÏ×Á ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÁ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ÔÒÉÁÎÇÕÌÑ ÉÉ, Á ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÔÉÏÍ ÓÁÍÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÜÊÌÅÒÏ×Á ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏÍ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ËÁË ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ËÏÍÁËÔÎÁÑ ÏÒÉÅÎÔÉÒÕÅÍÁÑ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ ÂÅÚ ËÒÁÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÆÅÒÕ Ó ÒÕÞËÁÍÉ, ÒÉÞÅÍ ÅÓÌÉ g | ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ ÒÕÞÅË, ÔÏ ÜÊÌÅÒÏ×Á ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÁ ÒÁ×ÎÁ 2 − 2g. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÜÊÌÅÒÏ×Á ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÎÙÍ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏÍ ËÏÍÁËÔÎÏÊ ÏÒÉÅÎÔÉÒÕÅÍÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÂÅÚ ËÒÁÑ. äÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ËÏÍÁËÔÎÙÈ Ä×ÕÍÅÒÎÙÈ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÏÌÎÙÊ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔ, ÅÓÌÉ Ë ÜÊÌÅÒÏ×ÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÅ ÄÏÂÁ×ÉÍ ÅÝÅ Ä×Å ×ÅÌÉÞÉÎÙ: ÞÉÓÌÏ ËÏÍÏÎÅÎÔ ËÒÁÑ (ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ) É ÏÒÉÅÎÔÉÒÕÅÍÏÓÔØ (ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å {ÄÁ; ÎÅÔ}). úÁÄÁÞÁ. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ä×Å ÔÒÉÁÎÇÕÌÑ ÉÉ ÚÁÄÁÀÔ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ Ó ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ ÜÊÌÅÒÏ×ÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÏÊ, ÎÏ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÎÅÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ:

72

ó. ÷. äÕÖÉÎ, ó. ÷. þÍÕÔÏ×

1) (1; 2; 6), (2; 3; 5), (2; 5; 6), (1; 4; 6), (3; 5; 7), (4; 6; 7), (4; 6; 7), (1; 3; 7), (2; 4; 7), (1; 2; 7); 2) (1; 2; 3), (1; 3; 4), (1; 4; 5), (1; 5; 6), (1; 6; 7), (1; 7; 8), (1; 8; 9), (2; 3; 6), (2; 6; 7), (4; 5; 8), (4; 8; 9). 4.2. éÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÕÚÌÏ×

éÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ, ÒÉÄÕÍÁÎÎÙÅ ÌÀÄØÍÉ ÄÌÑ ÒÁÚÌÉÞÅÎÉÑ ÕÚÌÏ×, ÏÉÓÔÉÎÅ ÎÅÉÓÞÉÓÌÉÍÙ. îÁÞÎÅÍ Ó ËÒÁÔËÏÇÏ ÏÉÓÁÎÉÑ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ×, ÉÇÒÁÀÝÉÈ Ï ÒÁÚÎÙÍ ÒÉÞÉÎÁÍ ×ÁÖÎÕÀ ÒÏÌØ × ÔÅÏÒÉÉ ÕÚÌÏ×.

. þÉÓÌÏ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ, Ô. Å. ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ Ä×ÏÊÎÙÈ ÔÏÞÅË ÎÁ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ ÕÚÌÁ. ÷ ËÁËÏÍ-ÔÏ ÓÍÙÓÌÅ ÞÉÓÌÏ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÍÅÒÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÕÚÌÁ. õÚÌÙ Ó ÞÉÓÌÏÍ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ 1 ÉÌÉ 2 ×ÓÅ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙ. ðÒÏÓÔÅÊÛÉÊ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÊ ÕÚÅÌ | ÔÒÉÌÉÓÔÎÉË | ÉÍÅÅÔ ÞÉÓÌÏ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ, ÒÁ×ÎÏÅ 3, É Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÚÅÒËÁÌØÎÏÇÏ ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ ÜÔÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÕÚÅÌ Ó ÔÒÅÍÑ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑÍÉ. ÷ ÔÁÂÌÉ ÁÈ ÕÚÌÙ ÔÒÁÄÉ ÉÏÎÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÉ×ÁÀÔÓÑ Ï ÞÉÓÌÕ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ. . ÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÔÉ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ | ÏÌÎÙÊ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔ ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÕÚÌÁ. üÔÏ ÔÅÏÒÅÍÁ çÏÒÄÁÎÁ-ìÀËÅ, ÄÏËÁÚÁÎÎÁÑ ÔÏÌØËÏ × 1989 ÇÏÄÕ, ÈÏÔÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÂÙÌÁ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÅÝÅ × ÎÁÞÁÌÅ XX ×ÅËÁ. ÅÏÒÅÍÁ Ú×ÕÞÉÔ ÔÁË: ÅÓÌÉ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ R3 \ K1 É R3 \ K2 Ä×ÕÈ ÕÚÌÏ× ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÙ, ÔÏ ÓÁÍÉ ÕÚÌÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ ÕÚÌÁ É ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. . òÏÄ ÕÚÌÁ | ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÒÏÄ ÅÇÏ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ úÅÊÆÅÒÔÁ (ÓÍ. ÓÔÁÔØÀ ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×Á × ÎÁÓÔÏÑÝÅÍ ÓÂÏÒÎÉËÅ, Ó. 116{ 126). . çÒÕÁ ÕÚÌÁ | ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÁÑ ÇÒÕÁ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á R3 \ K (ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ Ë ÕÚÌÕ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å). üÔÁ ÇÒÕÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ËÌÁÓÓÏ× ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ÕÔÅÊ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÈÓÑ É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÀÝÉÈÓÑ × ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ÔÏÞËÅ (ÇÒÕÏ×ÁÑ ÏÅÒÁ ÉÑ | ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÅ ÒÏÈÏÖÄÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÕÔÅÊ). óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÏÓÔÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÚÁÄÁÎÉÑ ÇÒÕÙ ÕÚÌÁ ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ É ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÉÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ (ÓÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ, [7℄). îÅÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ÕÚÌÙ ÍÏÇÕÔ ÉÍÅÔØ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙÅ ÇÒÕÙ. îÁÒÉÍÅÒ, ÇÒÕÙ ÂÁÂÕÛËÉÎÁ ÕÚÌÁ É ÓË×ÅÒ-ÕÚÌÁ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ:

âÁÂÕÛËÉÎ ÕÚÅÌ

óË×ÅÒ-ÕÚÅÌ

73

õÚÌÙ É ÉÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ

ïÂÁ ÜÔÉ ÕÚÌÁ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÅ: ÏÎÉ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ËÏÍÏÚÉ ÉÅÊ Ä×ÕÈ ÔÒÉÌÉÓÔÎÉËÏ× (Ä×ÕÈ ÌÅ×ÙÈ ÉÌÉ ÌÅ×ÏÇÏ É ÒÁ×ÏÇÏ). éÎÔÅÒÅÓÎÏ ÏÔÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÒÏÓÔÙÈ ÕÚÌÏ× ÏÄÏÂÎÙÊ ÒÉÍÅÒ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÅÎ. üÔÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ çÏÒÄÁÎÁ{ ìÀËÅ, ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ×ÙÛÅ, É ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÔÅÏÒÅÍÙ [29℄: åÓÌÉ ÇÒÕÙ Ä×ÕÈ ÒÏÓÔÙÈ ÕÚÌÏ× ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ, ÔÏ ÜÔÉ ÕÚÌÙ ÉÍÅÀÔ ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÙÅ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ. 4.3. ðÏÌÉÎÏÍ äÖÏÎÓÁ

ïÓÏÂÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ × ÔÅÏÒÉÉ ÕÚÌÏ× ÉÇÒÁÀÔ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÅ ÏÌÉÎÏÍÙ, Ô. Å. ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÕÚÌÏ×, ÒÉÎÉÍÁÀÝÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ × ËÏÌØ Å ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÔ ÏÄÎÏÇÏ ÉÌÉ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. ðÅÒ×ÙÊ ÉÚ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÂÙÌ ××ÅÄÅÎ äÖ. áÌÅËÓÁÎÄÅÒÏÍ × 1920-È ÇÏÄÁÈ. ëÏÎÓÔÒÕË ÉÑ áÌÅËÓÁÎÄÅÒÁ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÓÌÏÖÎÁ. ÷ ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÇÏÄÙ ÏÑ×ÉÌÏÓØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÏÌÉÎÏÍÏ×, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÒÏÓÔÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ Ï ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ ÕÚÌÁ. éÚ ÎÉÈ ÍÙ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÏÇÏ: ÏÌÉÎÏÍÁ äÖÏÎÓÁ. (ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ É ÏÓÎÏ×ÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÄÒÕÇÉÈ ÏÌÉÎÏÍÏ× ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ, ÎÁÒÉÍÅÒ, × ËÎÉÇÅ [22℄). ðÏÌÉÎÏÍ äÖÏÎÓÁ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ï ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ ÕÚÌÁ ÏÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÒÏÓÔÙÈ ÒÁ×ÉÌ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÌÉÎÏÍ äÖÏÎÓÁ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÒÅÄÅÌÑÔØ ÓÒÁÚÕ ÄÌÑ ÕÚÌÏ× É ÚÁ ÅÌÅÎÉÊ, ÏÓËÏÌØËÕ ÒÉ ÅÒÅÓÔÒÏÊËÁÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ, ËÏÔÏÒÙÅ ÆÉÇÕÒÉÒÕÀÔ × ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÍ ÎÉÖÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÉ (1), ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ÕÚÌÁ ÌÅÇËÏ ÍÏÖÅÔ ÒÅ×ÒÁÔÉÔØÓÑ × ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ. úÁ ÅÌÅÎÉÅ | ÜÔÏ ÍÎÏÇÏËÏÍÏÎÅÎÔÎÙÊ ÕÚÅÌ, Ô. Å. ÎÁÂÏÒ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ÇÌÁÄËÉÈ ËÒÉ×ÙÈ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÇÌÁÄËÏÊ ÉÚÏÔÏÉÉ. ëÁÖÄÁÑ ËÏÍÏÎÅÎÔÁ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÕÚÌÅÎÁ ËÁË ÓÁÍÁ Ó ÓÏÂÏÊ, ÔÁË É Ó ÄÒÕÇÉÍÉ ËÏÍÏÎÅÎÔÁÍÉ. úÁ ÅÌÅÎÉÑ ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÔÓÑ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÔÁËÉÈ ÖÅ ÔÏÞÎÏ ÄÉÁÇÒÁÍÍ, ÞÔÏ É ÕÚÌÙ, Ó ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÒÁÚÎÉ ÅÊ, ÞÔÏ ÌÏÓËÁÑ ËÒÉ×ÁÑ, ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÁÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ, ÍÏÖÅÔ ÓÏÓÔÏÑÔØ ÉÚ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ðÏÌÉÎÏÍ äÖÏÎÓÁ V | ÜÔÏ ÌÏÒÁÎÏ×ÓËÉÊ ÏÌÉÎÏÍ ÏÔ ÅÒÅÍÅÎ√ ÎÏÊ t, ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÙÊ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ: (1) t−1 V − tV (2) V ( ) = 1 : 







= (t1=2 − t−1=2 )V





ìÏÒÁÎÏ×ÓËÉÍ ÏÌÉÎÏÍÏÍ ÏÔ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ, ÓËÁÖÅÍ, x, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÌÉÎÏÍ ÏÔ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x É x−1 . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÌÉÎÏÍ äÖÏÎÓÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÌÉÎÅÊÎÕÀ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÀ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ É ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÏÌÕ ÅÌÙÈ ÓÔÅÅÎÅÊ ÂÕË×Ù t. óÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (1) Ó×ÑÚÙ×ÁÅÔ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ ÏÌÉÎÏÍÙ äÖÏÎÓÁ ÔÒÅÈ ÚÁ ÅÌÅÎÉÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ×ÎÕÔÒÉ ÎÅÂÏÌØÛÏÇÏ ÛÁÒÁ ×ÙÇÌÑÄÑÔ, ËÁË ÎÁÒÉÓÏ×ÁÎÏ ÎÁ ËÁÒÔÉÎËÁÈ, É ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÏÄÉÎÁËÏ×Ù ×ÎÅ ÜÔÏÇÏ ÛÁÒÁ. óÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (2) ÇÌÁÓÉÔ, ÞÔÏ ÏÌÉÎÏÍ äÖÏÎÓÁ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÚÌÁ ÒÁ×ÅÎ 1. éÓÏÌØÚÕÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (1) ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏ, ÍÏÖÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÏÌÉÎÏÍ äÖÏÎÓÁ ÌÀÂÏÇÏ ÕÚÌÁ ÉÌÉ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ ÕÔÅÍ Ó×ÅÄÅÎÉÑ ÅÇÏ Ë ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ (2). òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÎÁÄÏ ÅÝÅ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ, Á ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÏÌÉÎÏÍ äÖÏÎÓÁ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÔÏÉÞÅÓËÉÍ ËÌÁÓÓÏÍ ÕÚÌÁ, Ô. Å. ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ ÒÉ ÅÒÅÓÔÒÏÊËÁÈ òÅÊÄÅÍÅÊÓÔÅÒÁ. üÔÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÔÁË, ÎÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÍÙ ÒÉ×ÏÄÉÔØ ÎÅ ÂÕÄÅÍ.

74

ó. ÷. äÕÖÉÎ, ó. ÷. þÍÕÔÏ×

ðÏÌÉÎÏÍ äÖÏÎÓÁ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÍÎÏÇÉÍÉ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ. õÏÍÑÎÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ. . äÌÑ ÚÁ ÅÌÅÎÉÊ Ó ÎÅÞÅÔÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ËÏÍÏÎÅÎÔ (× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÄÌÑ ÕÚÌÏ×) ×ÓÅ ÓÔÅÅÎÉ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ t × ÏÌÉÎÏÍÅ äÖÏÎÓÁ ÅÌÙÅ, Á ÄÌÑ ÚÁ ÅÌÅÎÉÊ Ó ÞÅÔÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ËÏÍÏÎÅÎÔ | ÏÌÕ ÅÌÙÅ.

. ðÏÌÉÎÏÍ äÖÏÎÓÁ Ó×ÑÚÎÏÊ ÓÕÍÍÙ ÕÚÌÏ× ÒÁ×ÅÎ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ ÏÌÉÎÏÍÏ× äÖÏÎÓÁ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ. . ðÏÌÉÎÏÍ äÖÏÎÓÁ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ ÒÉ ÏÂÒÁÝÅÎÉÉ ÕÚÌÁ, Ô. Å. ÒÉ ÚÁÍÅÎÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÏÂÈÏÄÁ ÎÁ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÅ. îÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏ ÏÌÉÎÏÍ äÖÏÎÓÁ €ÎÅ ÞÕ×ÓÔ×ÕÅԁ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ ÓÁÍÏÇÏ ÕÚÌÁ, ÏÎ ÞÕ×ÓÔ×ÕÅÔ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÀ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. îÁÒÉÍÅÒ, ÏÎ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÏÔÌÉÞÉÔØ ÌÅ×ÙÊ ÔÒÉÌÉÓÔÎÉË ÏÔ ÒÁ×ÏÇÏ, ÞÅÇÏ ÎÅÌØÚÑ ÓÄÅÌÁÔØ ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÏÌÉÎÏÍÁ áÌÅËÓÁÎÄÅÒÁ. óÅÊÞÁÓ ÍÙ ÒÏÄÅÌÁÅÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ×ÙËÌÁÄËÉ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÏÌÉÎÏÍÏ× äÖÏÎÓÁ ÒÏÓÔÅÊÛÉÈ ÚÁ ÅÌÅÎÉÊ. (i) V



= −t1=2 − t−1=2 .



äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ (2) V ÄÁÅÔ t−1 − t = (t1=2 − t−1=2 )V









= V





= 1. ÏÇÄÁ (1)

, ÏÔËÕÄÁ É ÓÌÅÄÕÅÔ ÏÔ×ÅÔ.

(ii) V = −t1=2 − t5=2 . ðÒÉÍÅÎÉÍ (1) Ë ÉÓÈÏÄÎÏÍÕ ÚÁ ÅÌÅÎÉÀ: 



t−1 V





− tV





= (t1=2 − t−1=2 )V

îÏ V = −(t1=2 + t−1=2 ) Ï ÕÎËÔÕ (i), Á V (2). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, 



V













:

= 1 ÓÏÇÌÁÓÎÏ

= t(t1=2 − t−1=2 ) − t2 (t1=2 + t−1=2 ) = −t1=2 − t5=2 :

(iii) V = −t−5=2 − t−1=2 . áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÅÄÙÄÕÝÅÍÕ: 



t−1 V



óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,

V (iv) V



 !



− tV





= (t1=2 − t−1=2 )V





:

= −t−1(t1=2 − t−1=2 ) − t−2 (t1=2 + t−1=2 ) = −t−5=2 − t−1=2 :

= −t−4 + t−3 + t−1 .

75

õÚÌÙ É ÉÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ

éÓÏÌØÚÕÑ (1), ÏÌÕÞÁÅÍ: !

t−1 V !

äÁÌÅÅ, V

V V (v) V

! ! !

=V

− tV

V ðÏÜÔÏÍÕ V

= (t1=2 − t−1=2 )V

!

:

= 1 Ï (2), ËÁË ÏÌÉÎÏÍ äÖÏÎÓÁ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÚÌÁ, Á





= −t−5=2 − t−1=2 Ï (iii). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,

= t−2 − t−1 (t1=2 − t−1=2 )(−t−5=2 − t−1=2 ) = −t−4 + t−3 + t−1 : = t + t3 − t4 . !

áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, t−1 V !

!

= 1 Ï (2), V !

!

− tV !

=V

!

= (t1=2 − t−1=2)V





.

= −t1=2 − t5=2 Ï (ii).

= t2 + t(t1=2 − t−1=2 )(−t1=2 − t5=2 ) = t + t3 − t4 .

éÚ ÒÁÚÌÉÞÉÑ ÏÌÉÎÏÍÏ× äÖÏÎÓÁ ÌÅ×ÏÇÏ É ÒÁ×ÏÇÏ ÔÒÉÌÉÓÔÎÉËÏ× ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÈ ÎÅÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ. 4.4. ìÅÖÁÎÄÒÏ×Ù ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ

ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÒÏÓÔÅÊÛÉÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÌÅÖÁÎÄÒÏ×ÏÊ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÆÒÏÎÔÏ× (Ô. Å. ÌÅÖÁÎÄÒÏ×ÙÈ ÕÚÌÏ×, ÓÍ. ÒÁÚÄÅÌ 3.2): ÞÉÓÌÏ íÁÓÌÏ×Á  É ÞÉÓÌÏ âÅÎÎÅËÅÎÁ , ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÍÉ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁÍÉ × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÁ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÈ ÕÚÌÁÈ ÍÏÇÕÔ ÒÁÚÌÉÞÁÔØÓÑ. ðÒÉ ÓÍÅÎÅ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ ÆÒÏÎÔÁ ÞÉÓÌÏ íÁÓÌÏ×Á ÍÅÎÑÅÔ ÚÎÁË, Á ÞÉÓÌÏ âÅÎÎÅËÅÎÁ ÎÅ ÉÚÍÅÎÑÅÔÓÑ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ÏÞËÕ ×ÏÚ×ÒÁÔÁ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ, ÅÓÌÉ × ÅÅ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÑ ÉÄÅÔ Ó ÎÉÖÎÅÊ ×ÅÔ×É ÎÁ ×ÅÒÈÎÀÀ, É ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÊ × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. +g

+g

ðÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ ÔÏÞËÉ ×ÏÚ×ÒÁÔÁ

g −

g −

ïÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÅ ÔÏÞËÉ ×ÏÚ×ÒÁÔÁ

76

ó. ÷. äÕÖÉÎ, ó. ÷. þÍÕÔÏ×

þÉÓÌÏÍ íÁÓÌÏ×Á (L) ÌÅÖÁÎÄÒÏ×Á ÕÚÌÁ L ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÌÏ×ÉÎÁ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ÍÅÖÄÕ ÞÉÓÌÏÍ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ É ÞÉÓÌÏÍ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÔÏÞÅË ×ÏÚ×ÒÁÔÁ ÆÒÏÎÔÁ L.

(L) =

1 2



!

#

!

+#

!

#



!

−#



:

ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ä×ÏÊÎÕÀ ÔÏÞËÕ ÆÒÏÎÔÁ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ, ÅÓÌÉ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ Ä×ÕÈ ×ÅÔ×ÅÊ ÆÒÏÎÔÁ × ÎÅÊ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÙ × ÒÁÚÎÙÅ ÏÌÕÌÏÓËÏÓÔÉ, É ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÊ × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÆÒÏÎÔ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÈ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ, ÔÁËÏÅ ÏÒÅÄÅÌÎÉÅ ÚÎÁËÁ Ä×ÏÊÎÏÊ ÔÏÞËÉ ËÏÒÒÅËÔÎÏ.

+g

+g

g −

ðÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ Ä×ÏÊÎÙÅ ÔÏÞËÉ

g −

ïÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÅ Ä×ÏÊÎÙÅ ÔÏÞËÉ

þÉÓÌÏÍ âÅÎÎÅËÅÎÁ (L) ÌÅÖÁÎÄÒÏ×Á ÕÚÌÁ L ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÍÅÖÄÕ ÞÉÓÌÏÍ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ É ÞÉÓÌÏÍ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ Ä×ÏÊÎÙÈ ÔÏÞÅË, Õ×ÅÌÉÞÅÎÎÁÑ ÎÁ ÏÌÏ×ÉÎÕ ÏÂÝÅÇÏ ÞÉÓÌÁ ÔÏÞÅË ×ÏÚ×ÒÁÔÁ ÆÒÏÎÔÁ L:

(L) = #

+g

!

−#

g −

!

+

1 2

#

!

+2# 1

!

:

äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÁ (L) É (L) | ÌÅÖÁÎÄÒÏ×Ù ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ. (õËÁÚÁÎÉÅ. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÎÅ ÍÅÎÑÀÔÓÑ ÒÉ ÅÒÅÓÔÒÏÊËÁÈ æÕËÓÁ{ÁÂÁÞÎÉËÏ×Á.) ä. âÅÎÎÅËÅÎ [6℄ ÄÏËÁÚÁÌ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ (L)+ |(L)| ÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÜÊÌÅÒÏ×ÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ úÅÊÆÅÒÔÁ ÕÚÌÁ L (ÓÍ. ÓÔÁÔØÀ ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×Á × ÄÁÎÎÏÍ ×ÙÕÓËÅ, Ó. 116{126). õÓÉÌÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÓÍ. × ÓÔÁÔØÑÈ [12, 23, 9℄. (ðÒÅÄÏÓÔÅÒÅÖÅÎÉÅ. ÷ ÓÔÁÔØÑÈ [6, 12, 23℄ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÅ ÎÁÛÅÍÕ ÓÏÇÌÁÛÅÎÉÅ Ï ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ ÏÂßÅÍÌÀÝÅÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÏÜÔÏÍÕ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á × ÎÉÈ ÉÍÅÀÔ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÊ ÚÎÁË. íÙ ÉÓÏÌØÚÕÅÍ ÚÄÅÓØ ÓÏÇÌÁÛÅÎÉÅ, ÏÂÝÅÒÉÎÑÔÏÅ × ÔÅÏÒÉÉ ÕÚÌÏ×.) äÌÑ ÌÅÖÁÎÄÒÏ×ÙÈ ÕÚÌÏ× ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÔÅÏÒÉÀ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÕÀ ÔÅÏÒÉÉ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÷ÁÓÉÌØÅ×Á ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÒÁÚÄÅÌÁ (ÓÍ. [12℄). ðÒÉ ÜÔÏÍ  ÉÍÅÅÔ ÏÒÑÄÏË 0, Á | ÏÒÑÄÏË 1. é, ÞÔÏ ÓÁÍÏÅ ÕÄÉ×ÉÔÅÌØÎÏÅ, ×ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÌÅÖÁÎÄÒÏ×Ù ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ, ÏÔÌÉÞÎÙÅ ÏÔ  É , Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁÍÉ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ, Ô. Å. ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙ ÔÁËÖÅ É ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÞÅÔ×ÅÒÔÏÊ ÅÒÅÓÔÒÏÊËÉ æÕËÓÁ{ÁÂÁÞÎÉËÏ×Á. þÉÓÌÁ íÁÓÌÏ×Á É âÅÎÎÅËÅÎÁ Ä×ÕÈ ÎÅÕÚÌÏ× (ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÈ ÕÚÌÏ×), ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ × ËÏÎ Å ÒÁÚÄÅÌÁ 3.2, ×ÙÞÉÓÌÑÀÔÓÑ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÔÒÁÎÉ Å. òÁÚÌÉÞÉÅ  É ÄÌÑ ÜÔÉÈ ÎÅÕÚÌÏ× ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÉÈ ÌÅÖÁÎÄÒÏ×Õ ÎÅÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ. õÒÁÖÎÅÎÉÅ.

77

õÚÌÙ É ÉÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ

+g

+g

=2

+g

+g

=5

+g

+g

+g

g −

+g

=1

+g

=4

+g

+g +g

þÉÓÌÁ íÁÓÌÏ×Á É âÅÎÎÅËÅÎÁ Ä×ÕÈ ÎÅÕÚÌÏ×

ÅÏÒÅÍÁ (üÌÉÁÛÂÅÒÇ[11℄). ä×Á ÌÅÖÁÎÄÒÏ×ÙÈ ÎÅÕÚÌÁ ÌÅÖÁÎÄÒÏ×Ï ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎÉ ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÞÉÓÌÁ íÁÓÌÏ×Á É âÅÎÎÅËÅÎÁ. äÏ×ÏÌØÎÏ ÄÏÌÇÏ ÂÙÌ ÏÔËÒÙÔ ×ÏÒÏÓ Ï ÁÎÁÌÏÇÅ ÔÅÏÒÅÍÙ üÌÉÁÛÂÅÒÇÁ ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÕÚÌÏ×. îÅÄÁ×ÎÏ à. þÅËÁÎÏ× [8℄ ÒÅÄÌÏÖÉÌ ÎÏ×ÙÊ ÍÏÝÎÙÊ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔ ÌÅÖÁÎÄÒÏ×ÏÊ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ É ÄÏËÁÚÁÌ, ÞÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ä×Á ÕÚÌÁ ÌÅÖÁÎÄÒÏ×Ï ÎÅÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ, ÈÏÔÑ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÏÎÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ É ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÞÉÓÌÁ íÁÓÌÏ×Á É âÅÎÎÅËÅÎÁ.

ðÁÒÁ þÅËÁÎÏ×Á

íÙ ÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌÀ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ ÒÏ×ÅÒËÕ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÜÔÉ Ä×Á ÕÚÌÁ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ É ÞÔÏ ÉÈ ÞÉÓÌÁ íÁÓÌÏ×Á ÒÁ×ÎÙ 0, Á ÞÉÓÌÁ âÅÎÎÅËÅÎÁ ÒÁ×ÎÙ −1. 5. éÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÷ÁÓÉÌØÅ×Á

éÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÷ÁÓÉÌØÅ×Á ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ÓÁÍÙÊ ÍÏÝÎÙÊ É, × ÉÚ×ÅÓÔÎÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÓÁÍÙÊ ÒÏÓÔÏÊ ËÌÁÓÓ ÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÕÚÌÏ×. 5.1. éÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÷ÁÓÉÌØÅ×Á

éÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÷ÁÓÉÌØÅ×Á (ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÔÉÁ) ÏÑ×ÉÌÉÓØ ÏËÏÌÏ 1990 ÇÏÄÁ × ÒÁÂÏÔÁÈ ÷. ÷ÁÓÉÌØÅ×Á (ÓÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ, [27℄) Ï ÔÏÏÌÏÇÉÉ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔÏ× × ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ. üÔÏ ÎÅ ÏÄÉÎ ËÁËÏÊ-ÔÏ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔ, ËÁË ÏÌÉÎÏÍ äÖÏÎÓÁ, Á ÅÌÙÊ ËÌÁÓÓ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ×, ×ÙÄÅÌÑÅÍÙÊ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ. éÓÈÏÄÎÁÑ ÉÄÅÑ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÎÕÖÎÏ ××ÅÓÔÉ × ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ, ÏÍÉÍÏ ÏÂÙÞÎÙÈ ÕÚÌÏ×, ÅÝÅ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÕÚÌÙ , É ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ×, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÏ ÄÌÑ ÏÂÙÞÎÙÈ ÕÚÌÏ×, ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÏÓÏÂÙÈ ÕÚÌÏ×. 1 → ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ïÓÏÂÙÍ ÕÚÌÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÌÁÄËÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ K : S 3 R , Ñ×ÌÑÀÝÅÅÓÑ ×ÌÏÖÅÎÉÅÍ ×ÓÀÄÕ, ËÒÏÍÅ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÒÏÓÔÙÈ Ä×ÏÊÎÙÈ ÔÏÞÅË (Ô. Å. ÔÏÞÅË ÔÒÁÎÓ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ).

78

ó. ÷. äÕÖÉÎ, ó. ÷. þÍÕÔÏ×

íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÏÓÏÂÙÈ ÕÚÌÏ× Ó n Ä×ÏÊÎÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÉÚÏÔÏÉÉ, ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Xn . ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, X0 | ÜÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï (ËÌÁÓÓÏ× ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ) ÏÂÙÞÎÙÈ ÕÚÌÏ×. âÕË×ÏÊ X ÂÅÚ ÉÎÄÅËÓÁ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ×ÓÅÈ Xn . äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÏÓÏÂÏÇÏ ÕÚÌÁ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÏÂÙÞÎÏÇÏ ÕÚÌÁ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÎÁ ÎÅÊ, ËÒÏÍÅ ÔÏÞÅË ÒÏÈÏÄÁ É ÅÒÅÈÏÄÁ, ÅÓÔØ ÅÝÅ ÔÏÞËÉ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÁÈ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÚÏÂÒÁÖÁÔØ ÖÉÒÎÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ. ðÏÓËÏÌØËÕ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÅ Ë Ä×ÕÍ ×ÅÔ×ÑÍ ËÒÉ×ÏÊ × Ä×ÏÊÎÏÊ ÔÏÞËÅ ÕÚÌÁ ÒÁÚÌÉÞÎÙ, ÉÈ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ É ÎÁ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ. ÷ÏÔ ÒÉÍÅÒ ÏÓÏÂÏÇÏ ÕÚÌÁ Ó Ä×ÕÍÑ Ä×ÏÊÎÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ:

ëÁÖÄÕÀ Ä×ÏÊÎÕÀ ÔÏÞËÕ ÏÓÏÂÏÇÏ ÕÚÌÁ ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÒÅÛÉÔØ Ä×ÏÑËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ:

. ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ

@ s I @ @

7−→

@  I @

. ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏ

@ s I @ @

7−→

@  I @ @

ÉÌÉ

.

õÒÁÖÎÅÎÉÅ. ðÕÔÅÍ ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÇÏÌÏ×Ù É Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÌÉÓÔÁ ÂÕÍÁÇÉ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÕÂÅÄÉÔÅÓØ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÂÅ ÏÅÒÁ ÉÉ ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ ÎÁ ÉÚÏÔÏÉÞÅÓËÉÈ ËÌÁÓÓÁÈ ÕÚÌÏ× É ÒÉ ÜÔÏÍ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ ×ÙÂÒÁÎÎÏÊ ÎÁ ÕÚÌÅ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ f : X0 → A | ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔ ÕÚÌÏ×. ðÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁ f ÎÁ ÏÓÏÂÙÅ ÕÚÌÙ | ÜÔÏ ÆÕÎË ÉÑ f^ : X → A, ÓÏ×ÁÄÁÀÝÁÑ ÎÁ X0 Ó f É ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ÷ÁÓÉÌØÅ×Á

f^(

@ s I @ @

) = f^(

@  I @

) − f^(

@  I @ @

):

÷ ÜÔÏÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ÆÉÇÕÒÉÒÕÀÔ ÔÒÉ ÏÓÏÂÙÈ ÕÚÌÁ, ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ ×ÓÀÄÕ, ËÒÏÍÅ ÕËÁÚÁÎÎÏÇÏ ÆÒÁÇÍÅÎÔÁ. ïÂÁ ÕÚÌÁ, ÓÔÏÑÝÉÅ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ, ÉÍÅÀÔ ÎÁ ÏÄÎÕ Ä×ÏÊÎÕÀ ÔÏÞËÕ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ ÕÚÅÌ, ÓÔÏÑÝÉÊ × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ. ðÏÌØÚÕÑÓØ ÜÔÉÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏ, ×ÓÑËÉÊ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔ, ÚÁÄÁÎÎÙÊ ÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÏ ÎÁ ÏÂÙÞÎÙÈ ÕÚÌÁÈ, ÍÏÖÎÏ ÒÏÄÏÌÖÉÔØ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÏÓÏÂÙÈ ÕÚÌÏ×. ðÒÉÍÅÒ. óÏÓÞÉÔÁÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÏÄÏÌÖÅÎÎÏÇÏ Ï ÷ÁÓÉÌØÅ×Õ ÏÌÉÎÏÍÁ äÖÏÎÓÁ ÎÁ ÏÓÏÂÏÍ ÕÚÌÅ, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÍ ×ÙÛÅ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ.

79

õÚÌÙ É ÉÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ

V^





= V





+ V





−V





=V





−V





−V





+

= t + t3 − t4 − 1: ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. éÎ×ÁÒÉÁÎÔ f : X0 → A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏÍ ÷ÁÓÉÌØÅ×Á ÏÒÑÄËÁ 6 n, ÅÓÌÉ ÅÇÏ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÓÏÂÙÈ ÕÚÌÏ× ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ ÎÁ ×ÓÅÈ ÕÚÌÁÈ, ÉÍÅÀÝÉÈ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ n ÔÏÞÅË ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï Vn ×ÓÅÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÷ÁÓÉÌØÅ×Á ÏÒÑÄËÁ 6 n ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÔÁË ËÁË ÌÉÎÅÊÎÁÑ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÔÁËÉÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ×ÓÅÇÄÁ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ Vn . îÁÓ × ÅÒ×ÕÀ ÏÞÅÒÅÄØ ÂÕÄÅÔ ÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÔØ ×ÏÒÏÓ, ÞÅÍÕ ÒÁ×ÎÁ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á dn = dim Vn , Ô. Å. ÓËÏÌØËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ (ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ) ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÷ÁÓÉÌØÅ×Á ÄÁÎÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ. ðÒÉÍÅÒ. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V0 ÏÄÎÏÍÅÒÎÏ É ÓÏÓÔÏÉÔ ÔÏÌØËÏ ÉÚ ËÏÎÓÔÁÎÔ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÅÓÌÉ f ∈ V0 , ÔÏ f ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ ÎÁ ÌÀÂÏÍ ÏÓÏÂÏÍ ÕÚÌÅ, ÉÍÅÀÝÅÍ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÕ Ä×ÏÊÎÕÀ ÔÏÞËÕ. ÷ ÓÉÌÕ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ, ÜÔÏ ÚÎÁÞÉÔ, ÞÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ f ÎÁ ÏÂÙÞÎÏÍ ÕÚÌÅ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ ÒÉ ÚÁÍÅÎÅ ÌÀÂÏÇÏ ÒÏÈÏÄÁ ÎÁ ÅÒÅÈÏÄ. îÏ ÔÁËÉÍÉ ÄÅÊÓÔ×ÉÑÍÉ ÌÀÂÏÊ ÕÚÅÌ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÕÔÁÔØ, Ô. Å. Ó×ÅÓÔÉ Ë ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÍÕ ÕÚÌÕ. úÎÁÞÉÔ, ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÎÁÛÅÇÏ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁ f ÎÁ ÌÀÂÏÍ ÕÚÌÅ ÒÁ×ÎÏ ÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÀ ÎÁ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÍ ÕÚÌÅ É, ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, f ÅÓÔØ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ É ÄÌÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÷ÁÓÉÌØÅ×Á ÏÒÑÄËÁ 1. åÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÎÅÎÁÍÎÏÇÏ ÓÌÏÖÎÅÅ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ, É ÍÙ ÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÅÇÏ ÞÉÔÁÔÅÌÀ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ. úÁÄÁÞÁ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V1 ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó V0 . ðÏÓÌÅ ÜÔÉÈ Ä×ÕÈ ÒÉÍÅÒÏ× ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÆÁËÔ ËÁÖÅÔÓÑ ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÙÍ, ÎÅ ÔÁË ÌÉ? ðÒÉÍÅÒ. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V2 Ä×ÕÍÅÒÎÏ. ëÒÏÍÅ ËÏÎÓÔÁÎÔ, ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ. ñ×ÎÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÇÏ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁ ÷ÁÓÉÌØÅ×Á ÏÒÑÄËÁ 2 ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ × ÓÔÁÔØÅ à. âÕÒÍÁÎÁ × ÜÔÏÍ ×ÙÕÓËÅ, Ó. 94{115. ðÒÉÞÉÎÕ, Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÅ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÷ÁÓÉÌØÅ×Á ÏÑ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ × ÏÒÑÄËÅ 2, ÍÏÖÎÏ ÏÂßÑÓÎÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÕÓÔØ v | ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔ ÷ÁÓÉÌØÅ×Á ÏÒÑÄËÁ n. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÁ ÏÓÏÂÙÈ ÕÚÌÁÈ, ÉÍÅÀÝÉÈ ÒÏ×ÎÏ n Ä×ÏÊÎÙÈ ÔÏÞÅË. ÷ ÓÉÌÕ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÷ÁÓÉÌØÅ×Á É ××ÉÄÕ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ v ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ ÎÁ ÌÀÂÏÍ ÕÚÌÅ, Õ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ n Ä×ÏÊÎÙÈ ÔÏÞÅË, ÚÎÁÞÅÎÉÅ v(K ) ÎÅ ÉÚÍÅÎÉÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÕÚÅÌ K ÏÄ×ÅÒÇÎÕÔØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÄÅÆÏÒÍÁ ÉÉ (×ËÌÀÞÁÑ ÚÁÍÅÎÙ ÒÏÈÏÄÏ× ÎÁ ÅÒÅÈÏÄÙ É ÏÂÒÁÔÎÏ), ÒÉ ËÏÔÏÒÏÊ Ä×ÏÊÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÎÁ ÍÅÓÔÅ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÚÎÁÞÅÎÉÅ v(K ) ÚÁ×ÉÓÉÔ ÌÉÛØ ÏÔ ÏÒÑÄËÁ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÒÉ ÏÂÈÏÄÅ ÕÚÌÁ ÎÁ ÎÅÍ ×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ Ä×ÏÊÎÙÅ ÔÏÞËÉ.

80

ó. ÷. äÕÖÉÎ, ó. ÷. þÍÕÔÏ×

åÓÌÉ Ä×ÏÊÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÏÄÎÁ (a), ÔÏ ÏÎÁ ÍÏÖÅÔ ×ÓÔÒÅÔÉÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ ÔÁË: aa. åÓÌÉ ÖÅ Ä×ÏÊÎÙÈ ÔÏÞÅË Ä×Å (a É b), ÔÏ ÅÓÔØ Ä×Å ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ, Á ÉÍÅÎÎÏ, aabb É abab. òÁÚÌÉÞÎÙÅ ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÞÅÒÅÄÏ×ÁÎÉÑ Ä×ÏÊÎÙÈ ÔÏÞÅË ÒÉ ÏÂÈÏÄÅ ÕÚÌÁ ÕÄÏÂÎÏ ÉÚÏÂÒÁÖÁÔØ ÇÒÁÆÉÞÅÓËÉ ÏÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ ÈÏÒÄÏ×ÙÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. èÏÒÄÏ×ÁÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ÓÔÅÅÎÉ n | ÜÔÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÒÏ×ÅÄÅÎÙ n ÈÏÒÄ, ×ÓÅ ËÏÎ Ù ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÈÏÒÄÏ×ÁÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ | ÜÔÏ ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÇÁÕÓÓÏ×Á ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ. èÏÒÄÏ×ÙÅ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ ËÁË ÞÉÓÔÏ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÊ ÏÂßÅËÔ: ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ËÏÎ ÁÍÉ ÈÏÒÄ É ÆÏÒÍÁ ÈÏÒÄ ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÎÉËÁËÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ×ÁÖÅÎ ÌÉÛØ ÏÒÑÄÏË, × ËÏÔÏÒÏÍ ÁÒÙ ÔÏÞÅË, ÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÈ ÈÏÒÄÁÍÉ, ÓÌÅÄÕÀÔ Ï ËÒÕÇÕ. èÏÒÄÏ×ÁÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ | ÜÔÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ, ÞÔÏ ÓÌÏ×Ï × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ ÉÚ n ÂÕË× a1 , . . . , an , × ËÏÔÏÒÏÍ ËÁÖÄÁÑ ÂÕË×Á ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ Ä×Á ÒÁÚÁ. ÁËÉÅ ÓÌÏ×Á ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÉËÌÉÞÅÓËÉÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ×ÈÏÄÑÝÉÈ × ÎÉÈ ÂÕË× É ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÅÒÅÎÕÍÅÒÁ ÉÉ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ a1 , . . . , an . ðÒÉÍÅÒÙ. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ  1. ÏÄÎÁ ÈÏÒÄÏ×ÁÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ÓÔÅÅÎÉ 1: q q; 2. Ä×Å ÈÏÒÄÏ×ÙÅ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÓÔÅÅÎÉ 2: 3. ÑÔØ ÈÏÒÄÏ×ÙÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ ÓÔÅÅÎÉ 3:

  q q  q q @ q @q ,  q q; q   q q q q q  q q q  q q  qqq q q, @ . , , , L qLq q  q q q  q q q  q q  q@  qq

(ðÏÄÒÁÚÕÍÅ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÎÁ ×ÓÅÈ ÜÔÉÈ ÒÉÓÕÎËÁÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÁ ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ.) ëÁÖÄÏÍÕ ÏÓÏÂÏÍÕ ÕÚÌÕ K , ÉÍÅÀÝÅÍÕ n Ä×ÏÊÎÙÈ ÔÏÞÅË, ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÈÏÒÄÏ×ÁÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ (K ) ÓÔÅÅÎÉ n. ðÒÉÍÅÒ. äÌÑ ÏÓÏÂÏÇÏ ÕÚÌÁ, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÇÏ ×ÙÛÅ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ, ÉÍÅÅÍ: 





=

:

ðÕÓÔØ CDn | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÈÏÒÄÏ×ÙÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ ÓÔÅÅÎÉ n. éÈ ÞÉÓÌÏ #(CDn ) ÄÁÅÔ Ï ÅÎËÕ Ó×ÅÒÈÕ ÎÁ ÚÁÚÏÒ ÍÅÖÄÕ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØÀ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Vn É ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØÀ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Vn−1 ⊂ Vn . ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÍÙ ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ÏÂßÑÓÎÉÌÉ, ËÁË Ï ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÕ ÷ÁÓÉÌØÅ×Á ÏÒÑÄËÁ n ÏÓÔÒÏÉÔØ ÆÕÎË ÉÀ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÈÏÒÄÏ×ÙÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ ÏÒÑÄËÁ n. åÓÌÉ ÏÂÏÚÎÁÞÉÔØ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÆÕÎË ÉÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÈÏÒÄÏ×ÙÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ ÏÒÑÄËÁ n ÞÅÒÅÚ Fn , ÔÏ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ  : Vn → F n : þÅÍÕ ÒÁ×ÎÏ ÑÄÒÏ ÜÔÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, Ô. Å. ËÁËÉÅ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÷ÁÓÉÌØÅ×Á ÒÉÎÉÍÁÀÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ 0 ÎÁ ×ÓÅÈ ÕÚÌÁÈ, ÉÍÅÀÝÉÈ ÒÏ×ÎÏ n Ä×ÏÊÎÙÈ ÔÏÞÅË? ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÜÔÏ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÷ÁÓÉÌØÅ×Á ÏÒÑÄËÁ 6 n − 1. éÔÁË, ÑÄÒÏ ÎÁÛÅÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÒÁ×ÎÏ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ Vn−1 , É ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ×ÌÏÖÅÎÉÅ ÆÁËÔÏÒÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Vn =Vn−1 (ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÷ÁÓÉÌØÅ×Á ÏÒÑÄËÁ 6 n, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÒÉÂÁ×ÌÅÎÉÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÏÒÑÄËÁ 6 n − 1):  : Vn =Vn−1 → Fn :

81

õÚÌÙ É ÉÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ

ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ×ÓÅÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× Vn ËÏÎÅÞÎÙ, ÒÉÞÅÍ dim Vn =Vn−1 = dim Vn − dim Vn−1 6 dim Fn = #(CDn ): á ÞÅÍÕ ÒÁ×ÅÎ ÏÂÒÁÚ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ  ? ëÁË ÍÏÖÎÏ ÏÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÏ×ÁÔØ ÆÕÎË ÉÉ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÈÏÒÄÏ×ÙÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ ÏÂÒÁÚÕ ÜÔÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, Ô. Å. ÒÏÉÓÈÏÄÑÝÉÅ ÉÚ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÷ÁÓÉÌØÅ×Á? ÁËÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ×ÅÓÏ×ÙÍÉ ÓÉÓÔÅÍÁÍÉ, Á ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ÚÁÄÁÎÎÙÊ ×ÏÒÏÓ ÄÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ. ÅÏÒÅÍÁ ÷ÁÓÉÌØÅ×Á{ëÏÎ Å×ÉÞÁ. (1) (÷.÷ÁÓÉÌØÅ×) ÷ÓÑËÁÑ ×ÅÓÏ×ÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ (Á) ÏÄÎÏÞÌÅÎÎÙÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ !

f

q

(Â) ÞÅÔÙÒÅÈÞÌÅÎÎÙÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ

f

q

q q −f

q q

q q

=0 ;

q

q q

+f

q

q  q q −f

q q

q

=0 :

(2) (í. ëÏÎ Å×ÉÞ) ìÀÂÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å CDn , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ Á) É Â), ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÉÚ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁ ÷ÁÓÉÌØÅ×Á ÏÒÑÄËÁ 6 n. îÁ ÒÉÓÕÎËÁÈ ÈÏÒÄÏ×ÙÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ ÕÎËÔÉÒÎÙÅ ÌÉÎÉÉ ÏÚÎÁÞÁÀÔ, ÞÔÏ × ÜÔÉÈ ÍÅÓÔÁÈ ÍÏÇÕÔ ×ÓÔÒÅÞÁÔØÓÑ ÅÝÅ ËÁËÉÅ-ÔÏ (ÎÅÎÁÒÉÓÏ×ÁÎÎÙÅ) ÈÏÒÄÙ, ÏÄÎÉ É ÔÅ ÖÅ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ, ×ÈÏÄÑÝÉÈ × ÄÁÎÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ. îÁ ÕÞÁÓÔËÁÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÈ ÓÌÏÛÎÏÊ ÌÉÎÉÅÊ, ×ÓÅ ÉÍÅÀÝÉÅÓÑ ÈÏÒÄÙ ÞÅÓÔÎÏ ÕËÁÚÁÎÙ. éÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÞÉÓÌÏ dn = dim Vn − dim Vn−1 , ÎÕÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ É ÒÅÛÉÔØ ÓÉÓÔÅÍÕ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ | ÜÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÅÓÏ×ÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÎÁ ÈÏÒÄÏ×ÙÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÈ ÓÔÅÅÎÉ n, Á ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÉÚ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ 1- É 4-ÞÌÅÎÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ. ÷ÍÅÓÔÏ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÇÏ×ÏÒÉÔØ Ï ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÆÕÎË ÉÉ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÄÉÁÇÒÁÍÍ, ÍÏÖÎÏ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ×ÚÑÔØ ÓÁÍÉ ÜÔÉ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÑ ÉÈ ËÁË ÂÕË×Ù ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÏ×ÏÇÏ ÁÌ q q  q q ÆÁ×ÉÔÁ q q, q q , @ q@q , . . . (× ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÞÅÍ ÜÔÉ ÂÕË×Ù ÈÕÖÅ ÌÁÔÉÎÓËÉÈ ÉÌÉ    ÇÒÅÞÅÓËÉÈ?) ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÈÏÒÄÏ×ÙÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ An | ÜÔÏ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÏÒÏÖÄÅÎÎÏÅ ×ÓÅÍÉ ÈÏÒÄÏ×ÙÍÉ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍÉ ÓÔÅÅÎÉ n Ï ÍÏÄÕÌÀ ÏÄÎÏÞÌÅÎÎÙÈ É ÞÅÔÙÒÅÈÞÌÅÎÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ q q

q q q

= 0; q



q

q q

q

+

q

q

q

q



q

q

q

q

= 0:

éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, An | ÜÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÊ ÉÚ ×ÓÅÈ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÁÂÏÒÁ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÈÏÒÄÏ×ÙÍ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍ ÓÔÅÅÎÉ n.

82

ó. ÷. äÕÖÉÎ, ó. ÷. þÍÕÔÏ×

1. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï A1 ÎÕÌØÍÅÒÎÏ, ÉÂÏ ÏÎÏ ÏÒÏÖÄÅÎÏ ÏÄÎÉÍ ÜÌÅ q q ÍÅÎÔÏÍ , ËÏÔÏÒÙÊ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ × ÓÉÌÕ 1-ÞÌÅÎÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ.   q q ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï A2 ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ 1, ÏÓËÏÌØËÕ q q =0, Á ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØ ÎÙÈ 4-ÞÌÅÎÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÔ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÂÁÚÉÓÎÏÇÏ ÜÌÅ q q ÍÅÎÔÁ ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ @ q@q . 

ðÒÉÍÅÒÙ.

2.

3. òÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á A3 ÒÁ×ÎÁ ÞÉÓÌÕ Ó×ÏÂÏÄÎÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ × ÓÉÓÔÅÍÅ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ  qqq q q = 0;  q  qqq qqq =   qqq L q Lq q =  q   q q qqq − qqq = qqq   q    q q q q qqq q q+ @ − 2 = L q q q@ qLq q    qq

0; 0; 0; 0;

ÔÏ ÅÓÔØ 1. ðÅÒ×ÙÅ ÔÒÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÙÉÓÁÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÓÕÔØ ÏÄÎÏÞÌÅÎÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ÏÓÌÅÄÎÉÅ Ä×Á | ÞÅÔÙÒÅÈÞÌÅÎÎÙÅ. âÁÚÉÓÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÍÏ  q q qqq q q ÖÅÔ ÓÌÕÖÉÔØ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ q q ÉÌÉ @ q@q . 

 q

4. äÌÑ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á A4 ÍÙ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÌÉÛØ ÏÔ×ÅÔ, ÎÅ ×ÙÉÓÙ×ÁÑ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ: dim A4 = 3, Á × ËÁÞÅÓÔ×Å ÂÁÚÉÓÁ ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ  qqq

 q q q  qqq q L! q q q ! L , a qL! qa !  qLq  q q

q É q q q q. ó ÒÏÓÔÏÍ n ÞÉÓÌÏ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ × ÓÉÓÔÅÍÅ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á An ÏÞÅÎØ ÂÙÓÔÒÏ ÒÁÓÔÅÔ. éÓÏÌØÚÕÑ ÏÉÓÁÎÎÙÊ ÒÑÍÏÊ ÏÄÈÏÄ, ÎÁ ËÏÍØÀÔÅÒÅ ÕÄÁÌÏÓØ ÓÏÓÞÉÔÁÔØ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ É ÂÁÚÉÓ An ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ n 6 9 (ÞÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ dim A9 , ä. âÁÒ-îÁÔÁÎÕ ÒÉÛÌÏÓØ × ÑÎ×ÁÒÅ 1993 ÇÏÄÁ ÏÄÏÌÖÉÔØ ÄÌÑ Ó×ÏÅÊ ÒÁÂÏÞÅÊ ÓÔÁÎ ÉÉ ÎÁ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÄÎÅÊ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏ 32 í ÏÅÒÁÔÉ×ÎÏÊ ÁÍÑÔÉ). ë ÎÁÓÔÏÑÝÅÍÕ ×ÒÅÍÅÎÉ ÔÏÞÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× An É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Vn , ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÄÏ n = 12:

n dim Pn dim An dim Vn

0 0 1 1

1 0 0 1

2 1 1 2

3 1 1 3

4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 5 8 12 18 27 39 55 3 4 9 14 27 44 80 132 232 6 10 19 33 60 104 184 316 548

ïÔ×ÅÔ ÄÌÑ n = 10, 11 É 12 ÏÌÕÞÅÎ ñÎÏÍ ëÎÁÊÓÓÌÅÒÏÍ [16℄ × 1997 ÇÏÄÕ Ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÂÏÌÅÅ ÔÏÎËÏÊ ÔÅÈÎÉËÉ, Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÍÙ ÒÁÓÓËÁÖÅÍ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÒÁÚÄÅÌÅ. ÁÍ ÖÅ ÂÕÄÅÔ ÏÂßÑÓÎÅÎÏ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ Pn É ËÁË Ï ÞÉÓÌÁÍ dim Pn ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÞÉÓÌÁ dim An .

83

õÚÌÙ É ÉÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ

5.2. áÌÇÅÂÒÁ ÈÏÒÄÏ×ÙÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ

ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÌÕÞÛÅ ÏÎÑÔØ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Ï ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× An É ÄÁÌØÛÅ ÒÏÄ×ÉÎÕÔØÓÑ × ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÈ ÏÍÏÇÁÅÔ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÁÑ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ÉÍÅÅÔÓÑ × ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÅ ×ÓÅÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÈÏÒÄÏ×ÙÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ A=

∞ M

n=0

An

= A0 ⊕ A1 ⊕ A2 ⊕ : : :

ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÈÏÒÄÏ×ÙÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÔÁË: Ä×Å ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÒÁÚÒÙ×ÁÀÔÓÑ É ÓËÌÅÉ×ÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÕ:   q q q q q q q q = q · q q q q q q q  

q q

q

q q

q

q q

=

 q q q q q q q q q q q q 

èÏÒÄÏ×ÁÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ÚÁ×ÉÓÉÔ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÏÔ ÔÏÇÏ ÍÅÓÔÁ, ÇÄÅ ÒÁÚÒÙ×ÁÀÔÓÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. úÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏ, ÞÔÏ Ó ÕÞÅÔÏÍ 4-ÞÌÅÎÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ (× ÆÁËÔÏÒÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å A) ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ËÏÒÒÅËÔÎÏ, Ô. Å. ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÒÏÉÚ×ÏÌÁ × ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ. úÁÄÁÞÁ. äÏËÁÖÉÔÅ ÜÔÏÔ ÆÁËÔ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï A Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÌÇÅÂÒÏÊ (ÓËÁÖÅÍ, ÎÁÄ ÏÌÅÍ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ). ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ × ÜÔÏÊ ÁÌÇÅÂÒÅ ÍÏÖÎÏ ×ÙÄÅÌÉÔØ ÓÞÅÔÎÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÔÁËÏÅ ÞÔÏ ×ÓÑËÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÁÌÇÅÂÒÙ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÏÔ ÜÔÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. úÎÁÞÉÔ, A ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÁÌÇÅÂÒÕ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. ÷ÙÂÏÒ ÔÁËÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÏÓÎÏ×ÁÎ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑÈ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ n × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å An ÅÓÔØ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍÏÅ Pn . åÓÌÉ × ËÁÖÄÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Pn , n = 1; 2; : : : ×ÙÂÒÁÔØ ÌÀÂÏÊ ÂÁÚÉÓ, ÔÏ ÉÈ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÓÌÕÖÉÔØ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ A. ïÉÛÅÍ ÏÄÉÎ ÉÚ ÓÏÓÏÂÏ× ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÒÉÍÉÔÉ×ÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Pn . ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. äÉÁÇÒÁÍÍÁ æÅÊÎÍÁÎÁ ÓÔÅÅÎÉ n | ÜÔÏ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÊ ÔÒÅÈ×ÁÌÅÎÔÎÙÊ ÇÒÁÆ Ó 2n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ, × ËÏÔÏÒÏÍ ×ÙÄÅÌÅÎ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÉËÌ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÅÔÌÅÊ õÉÌÓÏÎÁ, É × ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ, ÎÅ ÌÅÖÁÝÅÊ ÎÁ ÅÔÌÅ õÉÌÓÏÎÁ, ÚÁÄÁÎ ÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ÏÒÑÄÏË ×ÙÈÏÄÑÝÉÈ ÉÚ ÎÅÅ ÒÅÂÅÒ. èÏÒÄÏ×ÙÅ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÞÁÓÔÎÙÍ ÓÌÕÞÁÅÍ ÄÉÁÇÒÁÍÍ æÅÊÎÍÁÎÁ (Õ ÎÉÈ ×ÓÅ ÔÒÅÈ×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÅÔÌÅ õÉÌÓÏÎÁ). ëÁÖÄÕÀ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ æÅÊÎÍÁÎÁ f ÍÏÖÎÏ ÒÅ×ÒÁÔÉÔØ × ÌÉÎÅÊÎÕÀ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÀ ÈÏÒÄÏ×ÙÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ (f ), ÍÎÏÇÏËÒÁÔÎÏ ÒÉÍÅÎÑÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÄÌÑ ÒÁÚÒÅÛÅÎÉÑ ÔÒÏÊÎÙÈ ÔÏÞÅË, ÓÍÅÖÎÙÈ Ó ÅÔÌÅÊ õÉÌÓÏÎÁ: 7→



:

84

ó. ÷. äÕÖÉÎ, ó. ÷. þÍÕÔÏ×

 q q hq q 7→ 

ðÒÉÍÅÒ.

 q − q q q q q H Hq q        q q q q q q q qq 7→ q − q − q − q q q q       q q q q q q  = −2 Z = −2 q q − Z qZq qZq  

óÔÅÅÎØ Ó×ÑÚÎÏÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ æÅÊÎÍÁÎÁ | ÜÔÏ ÏÌÏ×ÉÎÁ ÏÂÝÅÇÏ ÞÉÓÌÁ ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ. åÓÌÉ n | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ æÅÊÎÍÁÎÁ ÓÔÅÅÎÉ n É f ∈ n , ÔÏ (f ) ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÜÌÅÍÅÎÔ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á An . äÉÁÇÒÁÍÍÁ æÅÊÎÍÁÎÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ó×ÑÚÎÏÊ, ÅÓÌÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÇÒÁÆ ÏÓÔÁÅÔÓÑ Ó×ÑÚÎÙÍ ÏÓÌÅ ÏÔÂÒÁÓÙ×ÁÎÉÑ ÅÔÌÉ õÉÌÓÏÎÁ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× Pn (n > 1) | ÜÔÏ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× (f ) ÄÌÑ ×ÓÅÈ Ó×ÑÚÎÙÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ f ∈ n . ðÒÉÍÅÒÙ. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï P1 = A1 ÎÕÌÅ×ÏÅ. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á P2 É P3 ÏÄÎÏÍÅÒÎÙ É ÓÏ×ÁÄÁÀÔ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, Ó ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ A2 É A3 . ÷ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å A4 ÒÉÍÉÔÉ×ÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï P4 Ä×ÕÍÅÒÎÏ    qqq qqq qqq

 qqq

q L! q q − q q É ! q q. L q É ÏÒÏÖÄÅÎÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ a qa qqq qL! qqq !  q q   qLq − 2  òÁÂÏÔÁÔØ Ó ÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÍÉ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ Pn ÒÏÝÅ, ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ÏÎÉ ÎÁÍÎÏÇÏ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ An . ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÎÁÛÌÉ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ×ÓÅÈ Pn ÄÏ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÍÅÓÔÁ. óÒÁÛÉ×ÁÅÔÓÑ, ËÁË ÔÏÇÄÁ ÎÁÊÔÉ ÎÁÞÁÌØÎÙÊ ÕÞÁÓÔÏË ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ dim An ? ðÏÑÓÎÉÍ ÜÔÏ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ. äÏÕÓÔÉÍ, ÍÙ ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ dim Pn ÄÌÑ n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 ÒÁ×ÎÙ 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8. ðÕÓÔØ p2 | ÂÁÚÉÓÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ P2 , p3 | ÂÁÚÉÓÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ P3 , Á ÂÁÚÉÓÙ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× P4 É P5 ÓÕÔØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ p41 ; p42 É p51 ; p52 ; p53 . óÔÅÅÎØÀ ÜÌÅÍÅÎÔÁ p ∈ Pn ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ n, Á ÓÔÅÅÎØ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÒÁ×ÎÁ ÓÕÍÍÅ ÓÔÅÅÎÅÊ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ. ðÏÓÍÏÔÒÉÍ, ËÁËÉÅ ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÍÏÎÏÍÙ ÉÚ ÄÁÎÎÙÈ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÄÏ ÓÔÅÅÎÉ 7 ×ËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ. íÏÎÏÍÙ ÓÔÅÅÎÉ 4: p22 (×ÓÅÇÏ 1). íÏÎÏÍÙ ÓÔÅÅÎÉ 5: p2 p3 (×ÓÅÇÏ 1). íÏÎÏÍÙ ÓÔÅÅÎÉ 6: p32 , p23 , p2 p41 , p2 p42 (×ÓÅÇÏ 4). íÏÎÏÍÙ ÓÔÅÅÎÉ 7: p22 p3 , p2 p51 , p2 p52 , p2 p53 , p3 p41 , p3 p42 (×ÓÅÇÏ 6). âÁÚÉÓ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á An ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÁÍÉ ÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ É ÉÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÓÔÅÅÎÉ. äÌÑ n = 4; 5; 6; 7 ÏÌÕÞÁÅÍ: dim A4 = 2+1 = 3, dim A5 = 3 + 1 = 4, dim A6 = 5 + 4 = 9, dim A7 = 8 + 6 = 14.

ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ (ÜÔÏ ÏÔËÒÙÌ ð. ÷ÏÖÅÌØ [28℄ × 1995 ÇÏÄÕ), ÞÔÏ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ×ÓÅÈ ÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× P = ⊕∞ n=1 Pn ÅÓÔØ ÅÝÅ ×ÎÕÔÒÅÎÎÑÑ ÍÕÌØÌÉËÁÔÉ×ÎÁÑ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ. éÍÅÎÎÏ ÏÎÁ É ÏÚ×ÏÌÉÌÁ ñ. ëÎÁÊÓÓÌÅÒÕ × 1997 ÇÏÄÕ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÔØ ÎÏ×ÙÊ, ÂÏÌÅÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÂÁÚÉÓÁ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÷ÁÓÉÌØÅ×Á É ÒÅ×ÚÏÊÔÉ ÒÅËÏÒÄ ä. âÁÒ-îÁÔÁÎÁ 1993 ÇÏÄÁ.

85

õÚÌÙ É ÉÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ

6. éÎÔÅÇÒÁÌ ëÏÎ Å×ÉÞÁ

éÎÔÅÇÒÁÌ ëÏÎ Å×ÉÞÁ ÉÚÏÂÒÅÔÅÎ × 1992 ÇÏÄÕ [18℄ ËÁË ÓÒÅÄÓÔ×Ï ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ×ÙÛÅ (Ó. 81) ÔÅÏÒÅÍÙ ÷ÁÓÉÌØÅ×Á{ëÏÎ Å×ÉÞÁ. ïÎ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÁÌÅËÏ ÉÄÕÝÉÍ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ çÁÕÓÓÁ, ×ÙÒÁÖÁÀÝÅÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÒÉ×ÙÈ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï R3 ËÁË ÒÑÍÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÒÑÍÏÊ C Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÏÊ z É ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÒÑÍÏÊ R Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÏÊ t. ÷ÌÏÖÉÍ ÕÚÅÌ K × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï R3 = Cz × Rt ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁ t ÂÙÌÁ ÆÕÎË ÉÅÊ íÏÒÓÁ ÎÁ K . üÔÏ ÚÎÁÞÉÔ, ÞÔÏ ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞËÁÈ, ÇÄÅ t ËÁË ÆÕÎË ÉÑ ÁÒÁÍÅÔÒÁ ÎÁ ËÒÉ×ÏÊ ÉÍÅÅÔ ÎÕÌÅ×ÕÀ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ, ÅÅ ×ÔÏÒÁÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÎÅ ÄÏÌÖÎÁ ÏÂÒÁÝÁÔØÓÑ × ÎÕÌØ, Á ÚÎÁÞÅÎÉÑ t ×Ï ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÔÏÞËÁÈ (ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ) ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. éÎÔÅÇÒÁÌ ëÏÎ Å×ÉÞÁ ÕÚÌÁ K | ÜÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÏÏÌÎÅÎÉÑ A ÁÌÇÅÂÒÙ ÈÏÒÄÏ×ÙÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ:

Z (K ) =

∞ X

m=0

Z

1

i)m

(2

tmin 1;  

(t) =

     1 2

     1   a2 (2t − 1) + 2



−1 6 t 6 0;

; b2 (2t − 1) ;

0 6 t 6 1:

a1 (2t + 1) − ; b1 (2t + 1) ; 1 2 1 2



éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ËÒÉ×ÁÑ def = 1 + 2 ÒÏÈÏÄÉÔ ÓÎÁÞÁÌÁ 1 , Á ÚÁÔÅÍ 2 . ëÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ × ÆÏÒÍÕÌÅ ×ÙÚ×ÁÎÙ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØÀ ÓÏÂÌÀÄÁÔØ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÎÏÒÍÉÒÏ×ËÉ. çÁÕÓÓÏ×Á ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÙ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ, Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ, €ÒÉÓÔÁ×ÌÅÎÉǺ ÇÁÕÓÓÏ×ÏÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ËÒÉ×ÏÊ 2 ÓÒÁ×Á ÏÔ ÇÁÕÓÓÏ×ÏÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ËÒÉ×ÏÊ 1 . ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÔÅÅÒØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ f ∈ G2 ÎÁ ËÒÉ×ÏÊ 1 + 2 . ðÁÒÙ, ÏÂÅ ÄÕÇÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÌÅÖÁÔ × ÇÁÕÓÓÏ×ÏÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ ËÒÉ×ÏÊ 1 , ÄÁÄÕÔ × ÓÕÍÍÅ f ( 1 ); ÁÒÙ, ÏÂÅ ÄÕÇÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÌÅÖÁÔ × ÇÁÕÓÓÏ×ÏÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ ËÒÉ×ÏÊ 2 , ÄÁÄÕÔ f ( 2 ). åÓÌÉ ÏÄÎÁ ÄÕÇÁ ÁÒÙ ÌÅÖÉÔ × ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ ËÒÉ×ÏÊ 1 , Á ÄÒÕÇÁÑ | × ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ ËÒÉ×ÏÊ 2 , ÔÏ ÏÎÉ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÁÒÕ ÔÉÁ P . ðÏÜÔÏÍÕ ÏÌÕÞÁÅÍ f ( 1 + 2 ) = f ( 1 ) + f ( 2 ) + aW ( 1 )W ( 2 ); ÇÄÅ W | ÉÎÄÅËÓ õÉÔÎÉ. æÕÎË ÉÉ f ∈ G2 , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ a = 0 (É ÔÏÌØËÏ ÏÎÉ), ÏÂÌÁÄÁÀÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ: f ( 1 + 2 ) = f ( 1 ) + f ( 2 ). æÕÎË ÉÉ St, J + É J − ÁÄÄÉÔÉ×ÎÙ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÁÄÄÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ ×ÍÅÓÔÅ ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ

106

à. í. âÕÒÍÁÎ

ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÓÔÉ ÒÉ ËÁÔÁÓÔÒÏÆÁÈ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÔÉÏ× ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÆÕÎË ÉÉ St; J +; J − ∈ G2 ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ. ðÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÏ ÆÕÎË ÉÉ St (ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ÓÔÒÁÎÎÏÓÔØÀ ËÒÉ×ÏÊ) É J ± ÂÙÌÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ ÷. é. áÒÎÏÌØÄÏÍ × ÓÔÁÔØÅ [5℄ ÁËÓÉÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ | ËÁË ÆÕÎË ÉÉ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ, ÕËÁÚÁÎÎÙÍÉ × ÔÅÏÒÅÍÅ 2, É Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ. çÁÕÓÓÏ×Ù ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ × ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÎÅ ÕÞÁÓÔ×Ï×ÁÌÉ; ÒÏÂÌÅÍÁ ÒÉ ÜÔÏÍ ÓÏÓÔÏÑÌÁ, ×Ï-ÅÒ×ÙÈ, × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÏÉÓÁÔØ ÂÅÚ ÉÈ ÕÞÁÓÔÉÑ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ €ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏŁ É €ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏŁ ÒÏÈÏÖÄÅÎÉÅ ÔÒÏÊÎÏÊ ÔÏÞËÉ, É, ×Ï-×ÔÏÒÙÈ, × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÔÁËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ. ðÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÎÅ ÄÁ×ÁÌÏ Ñ×ÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ, ÏÚ×ÏÌÑ×ÛÅÊ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ St É J ± Ï ×ÉÄÕ ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ. ðÅÒ×ÙÅ Ñ×ÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÂÙÌÉ ÏÌÕÞÅÎÙ × ÒÁÂÏÔÁÈ ï. ÷ÉÒÏ [6℄ É á. ûÕÍÁËÏ×ÉÞÁ [7℄ (× ÞÁÓÔÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÔÁËÖÅ æ. áÉËÁÒÄÉ [8℄). ðÏÄÈÏÄ, ÉÚÌÁÇÁÅÍÙÊ × ÄÁÎÎÏÊ ÓÔÁÔØÅ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ í. ðÏÌÑËÕ; ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÑ ÓÔÁÔØÉ ÚÁÉÍÓÔ×Ï×ÁÎÁ ÉÚ ÅÇÏ ÒÁÂÏÔÙ [9℄. 4. çÁÕÓÓÏ×Ù ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ×ÙÓÛÉÈ ÏÒÑÄËÏ×

ðÏ ÁÎÁÌÏÇÉÉ Ó ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁÍÉ P; Q; R; S ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÒÁÚÄÅÌÁ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ×ÙÓÛÉÈ ÏÒÑÄËÏ×. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ×ÍÅÓÔÏ ÁÒ ÄÕÇ ÎÁÂÏÒÙ ÉÚ n ÄÕÇ. üÔÉ n ÄÕÇ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ ÎÁ ÒÑÍÏÊ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ; × ÞÉÓÌÏ ÓÏÓÏÂÏ× ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÍÙ ÂÕÄÅÍ, ËÁË É ÒÁÎØÛÅ, ×ËÌÀÞÁÔØ É ÔÁËÉÅ ÓÏÓÏÂÙ, ÇÄÅ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÄÕÇÉ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ. üÔÉ ÓÏÓÏÂÙ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ, ÇÄÅ, × ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ ËÒÉ×ÙÈ, ÄÏÕÓËÁÀÔÓÑ ËÒÁÔÎÙÅ ÄÕÇÉ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ Ó ÄÕÇÁÍÉ ÓÕÍÍÁÒÎÏÊ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ n ÓÉÍ×ÏÌÏÍ An . ëÁÖÄÏÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ  ∈ An ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÆÕÎË ÉÑ X ( ) = "(1 ) : : : "(n ): (6) (1 ;:::;n )=

úÄÅÓØ | ÄÌÉÎÎÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ÏÂÝÅÇÏ ÏÌÏÖÅÎÉÑ; ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÓÑ Ï ×ÓÅÍ ÎÁÂÏÒÁÍ ÉÚ n ÄÕÇ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ ; "() | ÚÎÁË ÄÕÇÉ . ëÁË É × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÒÁÚÄÅÌÅ, ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Gn , ÏÒÏÖÄÅÎÎÏÅ ×ÓÅÍÉ ÆÕÎË ÉÑÍÉ ÔÉÁ (6) ÄÌÑ  ∈ An ; ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Gn ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÇÁÕÓÓÏ×ÙÍÉ ÆÕÎË ÉÑÍÉ ÏÒÑÄËÁ n. íÏÖÎÏ L ÔÁËÖÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Gn = nk=0 Gn ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÏÒÑÄËÁ ÎÅ ×ÙÛÅ n. åÓÌÉ ÇÁÕÓÓÏ×Á ÆÕÎË ÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏÍ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÔÅÏÒÉÊ, ÏÉÓÁÎÎÙÈ × ÒÁÚÄÅÌÅ 3, ÔÏ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÅÅ ÇÁÕÓÓÏ×ÙÍ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏÍ. ÅÏÒÉÑ ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× n-ÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ×ÅÓØÍÁ ÎÁÏÍÉÎÁÅÔ ÔÅÏÒÉÀ 2-ÇÏ ÏÒÑÄËÁ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÕÀ × ÒÁÚÄÅÌÅ 3. ÅÏÒÉÀ ÕÄÏÂÎÏ ÓÔÒÏÉÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, €ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï n, ××ÉÄÕ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÆÁËÔÁ:

ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 4. ðÕÓÔØ 0 É 1 | Ä×Å ÇÏÍÏÔÏÎÙÅ ËÒÉ×ÙÅ ÏÂÝÅÇÏ ÏÌÏÖÅÎÉÑ, ÔÁËÉÅ ÞÔÏ ÒÉ ÇÏÍÏÔÏÉÉ  ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÁ ËÁÔÁÓÔÒÏÆÁ ÔÉÏ×, ÏÉÓÁÎÎÙÈ × ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÉ 3. ðÕÓÔØ  ∈ Gn . ÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÇÁÕÓÓÏ×Á ÆÕÎË ÉÑ ∈ Gn ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ ( 1 ) − ( 0 ) = ( 0 ). æÕÎË ÉÑ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ËÒÉ×ÙÈ 0 É 1 , Á ÔÏÌØËÏ ÏÔ ÆÕÎË ÉÉ  É ÔÉÁ ËÁÔÁÓÔÒÏÆÙ. äÌÑ ËÁÔÁÓÔÒÏÆ ÓÁÍÏËÁÓÁÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ∈ Gn−2 .

äÌÉÎÎÙÅ ËÒÉ×ÙÅ, ÇÁÕÓÓÏ×Ù ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ É ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ

107

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ ÓÏÓÔÏÉÔ × Ñ×ÎÏÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÆÕÎË ÉÉ . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÚÏÂÒÁÔØ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ  | ÆÕÎË ÉÑ ÔÉÁ (6). äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ÓÎÁÞÁÌÁ, ÞÔÏ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ËÁÔÁÓÔÒÏÆÁ ÏÕÔÎÏÇÏ ÓÁÍÏËÁÓÁÎÉÑ Ó ×ÏÚÎÉËÎÏ×ÅÎÉÅÍ ÁÒÙ ÔÏÞÅË ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÄÕÇÉ 1 É 2 . ëÁË É × ÒÁÚÄÅÌÅ 3 ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×ËÌÁÄ × ÒÁÚÎÏÓÔØ ( 1 ) − ( 0 ) ×ÎÏÓÑÔ ÔÏÌØËÏ ÎÁÂÏÒÙ ÉÚ n ÄÕÇ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ËÁË 1 , ÔÁË É 2 . ðÏÓËÏÌØËÕ ÚÎÁËÉ ÄÕÇ 1 É 2 ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙ, ×ËÌÁÄ ÏÔ ËÁÖÄÏÇÏ ÔÁËÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÒÁ×ÅÎ ×ÚÑÔÏÍÕ ÓÏ ÚÎÁËÏÍ ÍÉÎÕÓ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ ÚÎÁËÏ× ×ÓÅÈ ÄÕÇ ÎÁÂÏÒÁ, ËÒÏÍÅ 1 É 2 . ðÏÜÔÏÍÕ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÆÕÎË ÉÉ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ ÓÕÍÍÕ (ÓÏ ÚÎÁËÏÍ ÍÉÎÕÓ) ×ÓÅÈ ÏÄÄÉÁÇÒÁÍÍ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ , ÏÌÕÞÁÀÝÉÈÓÑ ÉÈ ÎÅÅ ×ÙËÉÄÙ×ÁÎÉÅÍ ÁÒÙ ÄÕÇ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÈ Ï ÔÉÕ Q É ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ ÍÅÖÄÕ ÉÈ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ËÏÎ ÁÍÉ ÎÅÔ ËÏÎ Ï× ÄÒÕÇÉÈ ÄÕÇ (ÉÂÏ ÔÏÌØËÏ ÔÁËÉÅ ÁÒÙ ÄÕÇ ÍÏÇÕÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÔØ 1 É 2 ). ÷ ÓÌÕÞÁÅ ËÁÔÁÓÔÒÏÆÙ ÒÏÔÉ×ÏËÁÓÁÎÉÑ ÓÉÔÕÁ ÉÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÁ, ÔÏÌØËÏ ×ÙËÉÄÙ×ÁÔØ ÎÕÖÎÏ ÁÒÙ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÅ Ï ÔÉÕ R. äÌÑ ËÁÔÁÓÔÒÏÆÙ ÒÏÈÏÖÄÅÎÉÑ ÔÒÏÊÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙ. ÒÕÄÎÏÓÔØ ÚÄÅÓØ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÅÒÅÓÔÒÏÊËÉ ÇÁÕÓÓÏ×ÏÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÒÉ ÔÁËÏÊ ËÁÔÁÓÔÒÏÆÅ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ | ÓÍ. ÒÉÓ. 6. îÅÂÏÌØÛÏÊ ÅÒÅÂÏÒ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÔÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ ×Ï ×ÓÅÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÏÄÎÁ É ÔÁ ÖÅ.  ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 4 ÏÚ×ÏÌÑÅÔ × ÒÉÎ ÉÅ ÅÒÅÞÉÓÌÉÔØ ÇÁÕÓÓÏ×Ù ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÏÒÑÄËÁ n × ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÔÒÅÈ ÔÅÏÒÉÊ, ÏÉÓÁÎÎÙÈ × ÎÁÞÁÌÅ ÒÁÚÄÅÌÁ 3. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÇÁÕÓÓÏ×ÏÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ  ∈ An ÍÏÖÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÆÕÎË ÉÀ P ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÔÉÁ ËÁÔÁÓÔÒÏÆÙ. ÏÇÄÁ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ f = ∈An   ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÁ ÒÉ ËÁÔÁÓÔÒÏÆÁÈ ÄÁÎÎÏÇÏ ÔÉÁ (Ô.Å. Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÔÅÏÒÉÉ) ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÓÉÓÔÅÍÕ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÁ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ  . õÓÌÏ×ÉÅ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ, ÏÉÓÁÎÎÏÅ × ÒÁÚÄÅÌÅ 3, ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ. óÌÅÄÕÅÔ, ÏÄÎÁËÏ, ÉÍÅÔØ ××ÉÄÕ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÙÅ €ÎÅ ×ÉÄÎف ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÊ ×ÔÏÒÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ, ÎÏ ÏÑ×ÌÑÀÔÓÑ, ËÏÇÄÁ ÏÒÑÄÏË ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÂÏÌØÛÉÍ. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, Ä×Å ÆÕÎË ÉÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÏÒÑÄËÏ× ÍÏÇÕÔ ÓÏ×ÁÄÁÔØ. üÔÏ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ ÚÎÁË ÄÕÇÉ "() = ±1 = "3 (), É ÏÜÔÏÍÕ ÔÒÏÊÎÁÑ ÄÕÇÁ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÏÄÉÎÁÒÎÏÊ. îÁÒÉÍÅÒ, ÆÕÎË ÉÑ ÉÚ G3 , ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ Ó ÏÄÎÏÊ ÔÒÏÊÎÏÊ ÄÕÇÏÊ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏÍ ×Ï ×ÓÅÈ ÔÒÅÈ ÔÅÏÒÉÑÈ | ÜÔÏ ÒÏÓÔÏ ÉÎÄÅËÓ õÉÔÎÉ. þÔÏÂÙ ÉÚÂÅÖÁÔØ ÜÔÏÇÏ, ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ×ÒÅÄØ ÇÁÕÓÓÏ×Ù ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ Ó ËÒÁÔÎÏÓÔØÀ ÄÕÇ ÎÅLÂÏÌÅÅ 2. ÷Ï-×ÔÏÒÙÈ, ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ∞ n=0 Gn ×ÓÅÈ ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÉÍÅÅÔÓÑ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ. îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ  , ÇÄÅ  ∈ Gk , Á ∈ Gl , ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ Gk+l . ÏÞÎÅÅ,  ÅÓÔØ ÓÕÍÍÁ ×ÓÅÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ ÉÚ k + l ÄÕÇ, ÏÌÕÞÁÀÝÉÈÓÑ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ ÄÉÁÇÒÁÍÍ  É ; ÒÉ ÜÔÏÍ ËÏÎ Ù ÄÕÇ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÈ  É , ÞÅÒÅÄÕÀÔÓÑ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ ×ÓÅÍÉ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × L ∞ n=0 Gn ÉÍÅÅÔÓÑ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ ÇÒÁÄÕÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ËÏÌØ Á. åÓÌÉ ÆÕÎË ÉÉ  É Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁÍÉ ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÔÅÏÒÉÉ, ÔÏ  ÔÏÖÅ, ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔ. üÔÏÔ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔ, ÏÄÎÁËÏ, ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ × ÒÁÚÕÍÎÏÍ ÓÍÙÓÌÅ €ÎÏ×Ù́. ÒÅÔØÑ, É ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ, ÔÒÕÄÎÏÓÔØ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ P f = ∈An   Ó ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÍÏÖÅÔ ÏÒÏÖÄÁÔØ ÆÕÎË ÉÀ ÎÁ ËÒÉ×ÙÈ, ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÕÀ ÎÕÌÀ. îÁÒÉÍÅÒ, ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ ÆÕÎË ÉÉ Z+ É Z− ÔÒÅÔØÅÇÏ ÏÒÑÄËÁ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍ ÎÁ ÒÉÓ. 10 (ÓÉÍ×ÏÌ 2 ÏÚÎÁÞÁÅÔ

108

à. í. âÕÒÍÁÎ

ÄÕÇÕ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ 2), | ÜÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÒÅÁÌÉÚÕÅÍÏÓÔÉ ÇÁÕÓÓÏ×ÏÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ (ÔÅÏÒÅÍÁ 1). óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ É ×ÓÅ ÆÕÎË ÉÉ ×ÉÄÁ Z± , ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ ÆÕÎË ÉÊ . ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ËÏÍØÀÔÅÒÎÙÈ 2 2 ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÔÒÅÔØÅÇÏ ÏÒÑÄËÁ. ÷ÓÅÇÏ ÚÄÅÓØ ÉÍÅÅÔÓÑ 21 ÄÉÁÇÒÁÍZ+ Z− ÍÁ (×ËÌÀÞÁÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÒÉÓ. 10). æÕÎË ÉÉ, Ñ×ÌÑÀÝÉÅÓÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁÍÉ ×Ï ×ÓÅÈ òÉÓ. 10. æÕÎË ÉÉ, ÒÁ×ÎÙÅ ÎÕÌÀ ÔÒÅÈ ÔÅÏÒÉÑÈ, ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ 7. ÷ ÎÅÍ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÏÒÏÖÄÅÎÎÏÅ ËÕÂÏÍ ÉÎÄÅËÓÁ õÉÔÎÉ; ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÅ ÛÅÓÔÉÍÅÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÆÕÎË ÉÉ, ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÙÅ ÎÕÌÀ. éÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÔÉÁ ÓÔÒÁÎÎÏÓÔÉ (ÎÅ ÉÚÍÅÎÑÀÝÉÅÓÑ ÒÉ ÓÁÍÏËÁÓÁÎÉÑÈ, ÎÏ ÉÚÍÅÎÑÀÝÉÅÓÑ ÒÉ ÒÏÈÏÖÄÅÎÉÉ ÔÒÏÊÎÙÈ ÔÏÞÅË) ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÑÔÉÍÅÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï. ä×ÕÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï × ÎÅÍ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÙÅ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ. ä×ÕÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÏÒÏÖÄÅÎÏ €ÓÔÁÒÙÍɁ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁÍÉ | ËÕÂÏÍ ÉÎÄÅËÓÁ õÉÔÎÉ É ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÉÎÄÅËÓÁ õÉÔÎÉ ÎÁ ÓÔÒÁÎÎÏÓÔØ. ïÓÔÁÌØÎÙÅ 4 ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁ, ×ËÌÀÞÁÑ ÏÂÁ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÙÈ, | ÎÏ×ÙÅ. éÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÔÉÁ J + (×ÙÄÅÒÖÉ×ÁÀÝÉÅ ×ÓÅ ÅÒÅÓÔÒÏÊËÉ, ËÒÏÍÅ ÏÕÔÎÙÈ ËÁÓÁÎÉÊ) ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï. âÁÚÉÓ × ÎÅÍ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ËÕ ÉÎÄÅËÓÁ õÉÔÎÉ, ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÉÎÄÅËÓÁ õÉÔÎÉ É ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁ J + (× ÓÍÙÓÌÅ ÒÁÚÄÅÌÁ 3), É ÎÏ×ÙÊ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÙÊ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔ. éÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÔÉÁ J − (ÉÚÍÅÎÑÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÒÉ ÒÏÔÉ×ÏËÁÓÁÎÉÑÈ) ÏÂÒÁÚÕÀÔ Ä×ÕÍÅÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï. âÁÚÉÓ × ÎÅÍ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ËÕ ÉÎÄÅËÓÁ õÉÔÎÉ É ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÉÎÄÅËÓÁ õÉÔÎÉ É J − . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÏ×ÙÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÔÉÁ J − × ÔÒÅÔØÅÍ ÏÒÑÄËÅ ÎÅ ÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ; ÔÁËÖÅ ÎÅÔ É ÁÄÄÉÔÉ×ÎÙÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ×. ðÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÁÚÌÉÞÉÅ ÍÅÖÄÕ ËÁÔÁÓÔÒÏÆÁÍÉ ÏÕÔÎÏÇÏ ËÁÓÁÎÉÑ É ÒÏÔÉ×ÏËÁÓÁÎÉÑ ××ÅÄÅÎÏ ÎÅÄÁÒÏÍ. îÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÔÅÏÒÉÉ ËÒÉ×ÙÈ ÂÅÚ ÏÕÔÎÙÈ ËÁÓÁÎÉÊ É ÂÅÚ ÒÏÔÉ×ÏËÁÓÁÎÉÊ ÒÁÚÌÉÞÁÀÔÓÑ ËÏÒÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ÅÏÒÉÑ ËÒÉ×ÙÈ ÂÅÚ ÏÕÔÎÙÈ ËÁÓÁÎÉÊ ÔÅÓÎÏ Ó×ÑÚÁÎÁ Ó ÄÒÕÇÉÍ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÍ ÒÁÚÄÅÌÏÍ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÍÁÌÙÈ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ | ÔÅÏÒÉÅÊ ÌÅÖÁÎÄÒÏ×ÙÈ ÕÚÌÏ×. áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÉ

J − -ÔÅÏÒÉÉ

ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙ.

ó ÒÏÓÔÏÍ n ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× É ÒÁÚÍÅÒÙ ÓÉÓÔÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÄÌÑ ÏÉÓÁÎÉÑ ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÂÙÓÔÒÏ ÒÁÓÔÕÔ; ÔÏÞÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÅÎ (Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ, Á×ÔÏÒÕ ÄÁÎÎÏÊ ÓÔÁÔØÉ) ÄÁÖÅ ÒÉ n = 4. ÅÍ ÂÏÌÅÅ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌÅÎ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ × 1997 Ç. á. íÅÒËÏ×ÙÍ (ÓÍ. [12℄) É ÏËÁÚÙ×ÁÀÝÉÊ, ÞÔÏ × ÔÅÏÒÉÉ ËÒÉ×ÙÈ ÂÅÚ ÔÒÏÊÎÙÈ ÔÏÞÅË ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÌÑ ÏÌÎÏÊ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ: ÅÏÒÅÍÁ 3. ðÕÓÔØ 0 É 1 | Ä×Å ÄÌÉÎÎÙÅ ËÒÉ×ÙÅ ÏÂÝÅÇÏ ÏÌÏÖÅÎÉÑ. çÏÍÏÔÏÉÑ  ÂÅÚ ÔÒÏÊÎÙÈ ÔÏÞÅË, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÁÑ 0 É 1 , ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÇÁÕÓÓÏ×Á ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁ X ÔÉÁ ÓÔÒÁÎÎÏÓÔÉ ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï X ( 0 ) = X ( 1).

îÅÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ×ÅÒÅÎ ÌÉ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÄÌÑ ÔÅÏÒÉÉ ËÒÉ×ÙÈ ÂÅÚ ÓÁÍÏËÁÓÁÎÉÊ.

äÌÉÎÎÙÅ ËÒÉ×ÙÅ, ÇÁÕÓÓÏ×Ù ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ É ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ

109

5. ïÂÏÂÝÅÎÉÑ ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ×

óÈÅÍÁ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ËÒÉ×ÙÈ Ó ÏÍÏÝØÀ ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÒÅÚ×ÙÞÁÊÎÏ ÌÏÄÏÔ×ÏÒÎÏÊ. ðÏÄÏÂÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÄÌÉÎÎÙÈ ËÒÉ×ÙÈ, ÎÏ É ÄÌÑ ÄÒÕÇÉÈ ÏÂßÅËÔÏ×, ÔÁË ÉÌÉ ÉÎÁÞÅ Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ Ó ËÒÉ×ÙÍÉ. þÔÏÂÙ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÇÁÕÓÓÏ×Ù ÆÕÎË ÉÉ ÎÁ ËÁËÏÍ-ÌÉÂÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÏÂßÅËÔÏ×, ÎÕÖÎÏ ÒÏÄÅÌÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ: 1. äÏËÁÚÁÔØ ÄÌÑ ÜÔÉÈ ÏÂßÅËÔÏ× ÁÎÁÌÏÇ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 1, Ô.Å. ÏÉÓÁÔØ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÏÂßÅËÔÏ× €ÏÂÝÅÇÏ ÏÌÏÖÅÎÉс. 2. äÌÑ ÏÂßÅËÔÏ× ÏÂÝÅÇÏ ÏÌÏÖÅÎÉÑ ÏÓÔÒÏÉÔØ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÇÁÕÓÓÏ×ÙÍ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍ. öÅÌÁÔÅÌØÎÏ ÒÉ ÜÔÏÍ ÄÏËÁÚÁÔØ ÁÎÁÌÏÇ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 2 | ÜÔÏ ÄÁÓÔ ÎÁÄÅÖÄÕ, ÞÔÏ ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÊ ËÌÁÓÓ ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÂÕÄÅÔ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÇÁÔÙÍ. 3. ïÉÓÁÔØ ÇÏÍÏÔÏÉÉ ÏÂÝÅÇÏ ÏÌÏÖÅÎÉÑ (Ô.Å. ÄÏËÁÚÁÔØ ÁÎÁÌÏÇ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 3) É ÉÚÕÞÉÔØ, ËÁË ÒÉ ÔÁËÉÈ ÇÏÍÏÔÏÉÑÈ ÍÅÎÑÀÔÓÑ ÇÁÕÓÓÏ×Ù ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ. ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ×, Ô.Å. ÏÔÂÏÒ ÉÚ ÞÉÓÌÁ ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÔÅÈ, ÞÔÏ ÎÅ ÉÚÍÅÎÑÀÔÓÑ ÒÉ ÇÏÍÏÔÏÉÑÈ, Ó×ÏÄÉÔÓÑ, ËÁË É ÄÌÑ ÄÌÉÎÎÙÈ ËÒÉ×ÙÈ, Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÁ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÒÉÍÅÒÙ ÏÂßÅËÔÏ×, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÜÔÕ ÒÏÇÒÁÍÍÕ ÕÄÁÅÔÓÑ × ÔÏÊ ÉÌÉ ÉÎÏÊ ÍÅÒÅ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÔØ. 5.1. úÁÍËÎÕÔÙÅ ËÒÉ×ÙÅ

úÁÍËÎÕÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÌÁÄËÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ × ÌÏÓËÏÓÔØ

(t) = (x(t); y(t)); t ∈ S 1 , ÏÂÌÁÄÁÀÝÅÅ ÔÅÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ÞÔÏ 2 2 ′ ′ ∀ t x (t) + y (t) > 0. ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ, ËÁË É ÄÌÑ ÄÌÉÎÎÙÈ ËÒÉ×ÙÈ, ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÅÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÇÏ ÒÏ×ÅÄÅÎÉÑ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ × ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÅ ÏÂÒÁÚÁ ËÒÉ×ÏÊ, Ô.Å. ÇÌÁÄËÏÓÔØ ËÒÉ×ÏÊ × ÏÂÙÞÎÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ÓÌÏ×Á. ÅÏÒÉÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÒÉ×ÙÈ ×ÅÓØÍÁ ÂÌÉÚËÁ Ë ÔÅÏÒÉÉ ÄÌÉÎÎÙÈ ËÒÉ×ÙÈ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÄÌÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÒÉ×ÙÈ ÏÓÔÁÀÔÓÑ ×ÅÒÎÙÍÉ, ×ÍÅÓÔÅ Ó ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÁÍÉ, ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 1 É 3. äÌÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÒÉ×ÙÈ ÍÏÖÎÏ ÔÁËÖÅ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÞÉÓÌÏ ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÓÏÓÏÂÏÍ, ÏÉÓÁÎÎÙÍ ÎÁ ÓÔÒÁÎÉ Å 101 (ÂÅÚ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ), É ×ÔÏÒÁÑ ÞÁÓÔØ ÔÅÏÒÅÍÙ õÉÔÎÉ ÄÌÑ ÎÉÈ ÔÁËÖÅ ×ÅÒÎÁ | ÞÉÓÌÏ ×ÒÁÝÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÏÊ ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ, ÓÏÈÒÁÎÑÀÝÅÊÓÑ ÒÉ ×ÓÅÈ ÇÏÍÏÔÏÉÑÈ. äÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÇÁÕÓÓÏ×ÏÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ÏÂÝÅÇÏ ÏÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁÒÉÓÕÅÍ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ (ËÏÔÏÒÕÀ ÒÏÂÅÇÁÅÔ ÁÒÁÍÅÔÒ t × ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ (t)) É ÏÔÍÅÔÉÍ ÎÁ ÎÅÊ ÁÒÙ ÚÎÁÞÅÎÉÊ (t1 ; t2 ), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ (t1 ) = (t2 ). ïÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÏÅÄÉÎÉÍ ÈÏÒÄÁÍÉ. äÌÑ ÏÌÎÏÊ ÁÎÁÌÏÇÉÉ Ó ÄÌÉÎÎÙÍÉ ËÒÉ×ÙÍÉ ÎÕÖÎÏ ÅÝÅ ÒÉÉÓÁÔØ ÈÏÒÄÁÍ ÚÎÁËÉ. ÕÔ, ÏÄÎÁËÏ, ÍÙ ÓÔÁÌËÉ×ÁÅÍÓÑ Ó ÔÒÕÄÎÏÓÔØÀ: ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÚÎÁËÁ ÔÏÞËÉ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÒÑÄÏË ÎÁ ÒÑÍÏÊ, ÉÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÕÞÉÔÙ×ÁÌÏÓØ, ËÁËÏÅ ÉÚ ÚÎÁÞÅÎÉÊ t1 ; t2 ÂÏÌØÛÅ, Á ËÁËÏÅ ÍÅÎØÛÅ. îÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÔÏÞÅË ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, Á ×ÚÁÍÅÎ ÉÍÅÅÔÓÑ ÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ÏÒÑÄÏË: ÄÌÑ ÔÒÅÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞÅË

110

à. í. âÕÒÍÁÎ

A; B; C ×ÓÅÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ ÏÎÉ Ï ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÅ ÉÌÉ ÒÏÔÉ×. üÔÏ ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÄÓËÁÚÙ×ÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ×ÙÈÏÄ. ïÔÍÅÔÉÍ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÓÅ ÉÁÌØÎÕÀ ÔÏÞËÕ O, É ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÚÎÁË ÈÏÒÄÙ (t1 ; t2 ) ÓÏÓÏÂÏÍ, ÏÉÓÁÎÎÙÍ ÎÁ ÓÔÒÁÎÉ Å 96, ÇÄÅ ×ÍÅÓÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ t1 < t2 ÏÔÒÅÂÕÅÍ, ÞÔÏÂÙ ÔÏÞËÉ O; t1 ; t2 ÂÙÌÉ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ. üÔÉÍ ÚÁ×ÅÒÛÁÅÔÓÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ ÄÌÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÒÉ×ÙÈ. äÌÑ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ ÓÌÅÄÕÅÔ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÄÏÂÁ×ÉÔØ × ÕÓÌÏ×ÉÅ ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÏÌÏÖÅÎÉÑ ËÒÉ×ÏÊ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÅ, ÞÔÏÂÙ ÏÔÍÅÞÅÎÎÁÑ ÔÏÞËÁ O ÎÅ ÂÙÌÁ ÔÏÞËÏÊ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ | ÁÎÁÌÏÇ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 1 ÒÉ ÜÔÏÍ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ×ÅÒÎÙÍ. ë ÓÉÓËÕ €ÔÉÉÞÎÙÈ ËÁÔÁÓÔÒÏƁ ÇÏÍÏÔÏÉÉ ÏÂÝÅÇÏ ÏÌÏÖÅÎÉÑ (ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 3) × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÄÏÂÁ×ÉÔÓÑ ÅÝÅ ÏÄÎÁ | ÒÏÈÏÖÄÅÎÉÅ ÏÔÍÅÞÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ O ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ. ðÒÉ×ÅÄÅÎÎÁÑ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÑ ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÇÁÕÓÓÏ×Ù ÆÕÎË ÉÉ ÄÌÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÒÉ×ÙÈ. ïÄÎÁËÏ ÅÓÌÉ ÍÙ ÏÙÔÁÅÍÓÑ ×ÙÒÁÚÉÔØ ÞÅÒÅÚ ÇÁÕÓÓÏ×Õ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ ËÒÉ×ÏÊ ÈÏÔÑ ÂÙ ÅÅ ÉÎÄÅËÓ õÉÔÎÉ (ÞÉÓÌÏ ×ÒÁÝÅÎÉÑ), ÔÏ ÍÙ ÎÁÔÏÌËÎÅÍÓÑ ÎÁ ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÕÀ ÔÒÕÄÎÏÓÔØ: ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 2 ÄÌÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÒÉ×ÙÈ ÎÅ×ÅÒÎÏ! äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ Ä×Å ËÒÉ×ÙÈ. ðÅÒ×ÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ 1 (t) = ( os 2t; sin 2t) É ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÅÄÉÎÉÞÎÕÀ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, ÒÏÂÅÇÁÅÍÕÀ ÔÏÞËÏÊ ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ ÚÁ ÅÄÉÎÉÞÎÏÅ ×ÒÅÍÑ. ÷ÔÏÒÁÑ ËÒÉ×ÁÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÒÁÚÏÍ ÅÒ×ÏÊ ÒÉ ÏÓÅ×ÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ,

2 (t) = ( os 2t; − sin 2t), É ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÔÕ ÖÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, ÎÏ ÒÏÂÅÇÁÅÍÕÀ Ï ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÅ. þÉÓÌÏ ×ÒÁÝÅÎÉÑ Õ ËÒÉ×ÏÊ 1 ÒÁ×ÎÏ 1, Á Õ ËÒÉ×ÏÊ 2 ÏÎÏ ÒÁ×ÎÏ −1 É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÜÔÉ ËÒÉ×ÙÅ ÎÅ ÇÏÍÏÔÏÎÙ. ïÂÅ ËÒÉ×ÙÅ, ÏÄÎÁËÏ, ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÔÏÞÅË ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ, É ÏÜÔÏÍÕ ÉÈ ÇÁÕÓÓÏ×Ù ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ×ÙÇÌÑÄÑÔ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï | ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÎÉ ÏÄÎÏÊ ÈÏÒÄÙ. þÔÏÂÙ ÒÅÏÄÏÌÅÔØ ÜÔÕ ÔÒÕÄÎÏÓÔØ, ××ÅÄÅÍ ÏÎÑÔÉÅ ÉÎÄÅËÓÁ ÏÔÍÅÞÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÅËÔÏÒ r(t), ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÊ ÏÔÍÅÞÅÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ O Ó ÔÏÞËÏÊ

(t), ÇÄÅ t ÒÏÂÅÇÁÅÔ ×ÓÀ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÔÏÞËÉ O É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÑ × ÎÅÊ ÖÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ O ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ, r(t) ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ ÔÏÌØËÏ × ÎÁÞÁÌÅ É × ËÏÎ Å ÕÔÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÂÏÒÏÔÏ× ×ÅËÔÏÒÁ r(t) ×ÏËÒÕÇ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ËÏÔÏÒÏÅ × ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÂÕÄÅÔ ÏÌÕ ÅÌÙÍ ÞÉÓÌÏÍ. üÔÏ ÞÉÓÌÏ É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎÄÅËÓÏÍ ÏÔÍÅÞÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ O. ðÒÉ ÇÏÍÏÔÏÉÑÈ ËÒÉ×ÏÊ, ÎÅ ÚÁÄÅ×ÁÀÝÉÈ ÏÔÍÅÞÅÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ, ÅÅ ÉÎÄÅËÓ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ, Á ÒÉ ÒÏÈÏÖÄÅÎÉÉ ÏÔÍÅÞÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÉÎÄÅËÓ Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ ±1. ðÒÁ×ÉÌÏ ×ÙÂÏÒÁ ÚÎÁËÁ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÚÎÁËÁ ÔÏÞËÉ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ É ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÒÏÈÏÖÄÅÎÉÑ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÂÅÚ ÔÒÕÄÁ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ. ÅÏÒÅÍÁ õÉÔÎÉ ÄÌÑ ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ. þÉÓÌÏ ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ÏÂÝÅÇÏ ÏÌÏÖÅÎÉÑ ÒÁ×ÎÏ ÓÕÍÍÅ ÚÎÁËÏ× ×ÓÅÈ ÈÏÒÄ ÎÁ ÅÅ ÇÁÕÓÓÏ×ÏÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ ÌÀÓ ÕÄ×ÏÅÎÎÙÊ ÉÎÄÅËÓ ÏÔÍÅÞÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÓÑ Ï ÓÈÅÍÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ õÉÔÎÉ × ÒÁÚÄÅÌÅ 2. óÅÒ×Á ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á × ÔÅÏÒÅÍÅ õÉÔÎÉ ÎÅ ÉÚÍÅÎÑÅÔÓÑ ÒÉ ÔÉÉÞÎÙÈ ÇÏÍÏÔÏÉÑÈ ËÒÉ×ÏÊ | ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÕÖÎÏ ÒÁÚÏÂÒÁÔØÓÑ ÓÏ ÚÎÁËÁÍÉ ÒÉ ÒÏÈÏÖÄÅÎÉÉ ÏÔÍÅÞÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ, ËÁË ÕËÁÚÁÎÏ ×ÙÛÅ. ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ k ∈ Z ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÕÀ ËÒÉ×ÕÀ ÉÎÄÅËÓÁ k É ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÄÌÑ ÎÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ. äÌÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÒÉ×ÙÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÁÎÁÌÏÇÉ ÏÎÑÔÉÊ ÓÔÒÁÎÎÏÓÔÉ É ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× J ± (ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ, ÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÏ ÜÔÉ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÂÙÌÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ ÉÍÅÎ-

äÌÉÎÎÙÅ ËÒÉ×ÙÅ, ÇÁÕÓÓÏ×Ù ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ É ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ

111

ÎÏ ÄÌÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÒÉ×ÙÈ). ñ×ÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ÜÔÉÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ×ËÌÀÞÁÀÔ, ÏÍÉÍÏ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ÁÒÁÍ ÈÏÒÄ ÎÁ ÇÁÕÓÓÏ×ÏÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ, ÔÁËÖÅ É €ÎÅÇÁÕÓÓÏ×ف ÞÌÅÎÙ, ÚÁ×ÉÓÑÝÉÅ ÏÔ ÉÎÄÅËÓÁ ÏÔÍÅÞÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ. ñ×ÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ, Á ÔÁËÖÅ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÅ ÔÅÏÒÉÉ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ×ÙÓÛÉÈ ÏÒÑÄËÏ× ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ × ÓÔÁÔØÅ [9℄. ÁËÖÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÁÚ×ÉÔÁÑ ÔÅÏÒÉÑ ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÍÎÏÇÏËÏÍÏÎÅÎÔÎÙÈ ËÒÉ×ÙÈ, ÓÍ. ÓÔÁÔØÉ [9℄ É [11℄. 5.2. ìÅÖÁÎÄÒÏ×Ù ÆÒÏÎÔÙ

ðÏÎÑÔÉÅ ÌÅÖÁÎÄÒÏ×Á ÆÒÏÎÔÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ËÌÀÞÅ×ÙÈ ÏÎÑÔÉÊ ËÏÎÔÁËÔÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. þÉÔÁÔÅÌØ, ÎÅ ÚÎÁËÏÍÙÊ Ó ÜÔÉÍ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÍ ÒÁÚÄÅÌÏÍ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÍÏÖÅÔ ÒÏÕÓÔÉÔØ ÅÒ×ÕÀ ÆÒÁÚÕ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÁÂÚÁ Á, ÇÄÅ ÄÁÅÔÓÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ, É ÓÞÉÔÁÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ ÔÏ, ÞÔÏ ÎÁÉÓÁÎÏ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ. ìÕÞÛÉÍ ×ÙÈÏÄÏÍ, ÏÄÎÁËÏ, ÂÕÄÅÔ ÏÚÎÁËÏÍÉÔØÓÑ Ó ÏÓÎÏ×ÁÍÉ ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÏÊ É ËÏÎÔÁËÔÎÏÊ ÔÅÏÒÉÉ | ÎÁÒÉÍÅÒ, Ï ËÎÉÇÅ [13℄; ÓÍ. ÔÁËÖÅ ÓÔÁÔØÀ ó. ÷. äÕÖÉÎÁ É ó. ÷. þÍÕÔÏ×Á. ìÅÖÁÎÄÒÏ×Ù ÆÒÏÎÔÙ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÜÔÏ, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÒÏÅË ÉÉ ÌÅÖÁÎÄÒÏ×ÙÈ ËÒÉ×ÙÈ × R3 ÓÏ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ËÏÎÔÁËÔÎÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ dz − p dq ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ (q; z ). üÔÉ ÒÏÅË ÉÉ × ÏÂÝÅÍ ÏÌÏÖÅÎÉÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ÚÁÍËÎÕÔÙÅ ÌÏÓËÉÅ ËÒÉ×ÙÅ Ó ËÏÎÅÞÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÔÏÞÅË ÎÅÇÌÁÄËÏÓÔÉ (Ô.Å. ÔÁËÉÈ ÔÏÞÅË t, ÞÔÏ x′ (t) = y′ (t) = 0). ÷ÓÅ ÔÏÞËÉ ÎÅÇÌÁÄËÏÓÔÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ÒÏÓÔÙÅ ÔÏÞËÉ ×ÏÚ×ÒÁÔÁ, ÕÓÔÒÏÅÎÎÙÅ, ËÁË ÔÏÞËÁ (0; 0) ÎÁ ËÒÉ×ÏÊ x2 = y3 (× ÏÄÈÏÄÑÝÅÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ). ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÆÒÏÎÔ ÉÍÅÅÔ × ÏÂÝÅÍ ÏÌÏÖÅÎÉÉ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÔÏÞÅË ÔÒÁÎÓ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ. ÉÉÞÎÙÅ ÇÏÍÏÔÏÉÉ ÌÅÖÁÎÄÒÏ×ÙÈ ÆÒÏÎÔÏ× ÏÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 3. ðÏÍÉÍÏ ÔÒÏÊÎÙÈ ÔÏÞÅË É ÓÁÍÏËÁÓÁÎÉÊ, Õ ÆÒÏÎÔÏ× ÂÙ×ÁÀÔ ËÁÔÁÓÔÒÏÆÙ ÅÝÅ Ä×ÕÈ ÔÉÏ× | ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ × ÔÏÞËÅ ×ÏÚ×ÒÁÔÁ É ÒÏÖÄÅÎÉÅ (ÉÌÉ, ÎÁÒÏÔÉ×, ÕÎÉÞÔÏÖÅÎÉÅ) Ä×ÕÈ ÔÏÞÅË ×ÏÚ×ÒÁÔÁ (ÒÉÓ. 11). çÁÕÓÓÏ×Ù ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÌÅÖÁÎÄÒÏ×ÙÈ ÆÒÏÎÔÏ× ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍ ÌÏÓËÉÈ ËÒÉ×ÙÈ É ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÎÅÓÅÎÙ ÄÁÎÎÙÅ Ä×ÕÈ ÔÉÏ× | ×Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÙ ÈÏÒÄÁÍÉ ÔÏÞËÉ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ, É ×Ï-×ÔÏÒÙÈ, ÏÔÍÅÞÅÎÙ ÔÏÞËÉ ×ÏÚ×ÒÁÔÁ. úÎÁË ÈÏÒÄÙ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÔÁË ÖÅ, ËÁË ÄÌÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÒÉ×ÙÈ | Ó ÏÍÏÝØÀ ×ÓÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÏÊ ÏÔÍÅÞÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ O.

òÉÓ. 11. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ËÁÔÁÓÔÒÏÆÙ ÄÌÑ ÌÅÖÁÎÄÒÏ×ÙÈ ÆÒÏÎÔÏ×

112

à. í. âÕÒÍÁÎ

ÏÞËÁÍ ×ÏÚ×ÒÁÔÁ ÔÁËÖÅ ÍÏÖÎÏ ÒÉÉÓÁÔØ ÚÎÁËÉ. ÷ ÔÏÞËÅ ×ÏÚ×ÒÁÔÁ Õ ÆÒÏÎÔÁ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ËÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ ÒÑÍÁÑ. åÓÌÉ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ Ë ÌÅÖÁÎÄÒÏ×ÏÊ ËÒÉ×ÏÊ × R3 , É ÓÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÔØ ÅÇÏ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ, ÔÏ ÒÏÅË ÉÑ × ÔÏÞËÅ ×ÏÚ×ÒÁÔÁ ÂÕÄÅÔ ÍÅÎÑÔØ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÎÁ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÅÒØ Ä×Å ÔÏÞËÉ t1 ; t2 , ÌÅÖÁÝÉÅ ×ÂÌÉÚÉ ÔÏÞËÉ ×ÏÚ×ÒÁÔÁ t∗ . õÏÒÑÄÏÞÉÍ ÎÏÍÅÒÁ ÔÏÞÅË ÔÁË, ÞÔÏÂÙ t1 ; t∗ ; t2 ÂÙÌÉ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ. ÷ ÏÂÝÅÍ ÏÌÏÖÅÎÉÉ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ Ë ÆÒÏÎÔÕ ′(t1 ) É ′(t2 ) ÎÅËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙ, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÂÁÚÉÓ. ðÒÉÉÛÅÍ ÔÏÞËÅ ×ÏÚ×ÒÁÔÁ t∗ ÚÎÁË +1 ÉÌÉ −1 × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÔÏÇÏ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÜÔÏÔ ÂÁÚÉÓ €ÒÁ×Ù́ ÉÌÉ €ÌÅ×Ù́. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÔÏÞÅË t1 ; t2 (ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÌÉÚËÉÈ Ë t∗ !) ÜÔÏÔ ÚÎÁË ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ. úÁÍÅÔÉÍ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÚÎÁË ÔÏÞËÉ ×ÏÚ×ÒÁÔÁ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ É ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÏÔÍÅÞÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ O. ðÏÓÔÒÏÅÎÎÙÅ ÇÁÕÓÓÏ×Ù ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÏÒÅÄÅÌÑÔØ ÇÁÕÓÓÏ×Ù ÆÕÎË ÉÉ Ï ÓÈÅÍÅ, ÉÚÌÏÖÅÎÎÏÊ × ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÒÁÚÄÅÌÁÈ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÅÒÅÍÎÏÖÁÀÔÓÑ ÚÎÁËÉ ËÁË ÈÏÒÄ, ÔÁË É ÔÏÞÅË ×ÏÚ×ÒÁÔÁ, É ÕÞÉÔÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÚÁÉÍÎÏÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÅ ÔÅÈ É ÄÒÕÇÉÈ. ðÏÜÔÏÍÕ ËÏÌØ Ï ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ ÆÕÎË ÉÊ × ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÂÉÇÒÁÄÕÉÒÏ×ËÏÊ | Ï ÞÉÓÌÕ ÈÏÒÄ É Ï ÞÉÓÌÕ ÔÏÞÅË. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ, Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ, ÇÁÕÓÓÏ×Á ÆÕÎË ÉÑ ÂÉÓÔÅÅÎÉ (0; 1) | ÓÕÍÍÁ ÚÎÁËÏ× ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË ×ÏÚ×ÒÁÔÁ. ÅÏÒÅÍÁ 4. óÕÍÍÁ ÚÎÁËÏ× ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË ×ÏÚ×ÒÁÔÁ ÌÅÖÁÎÄÒÏ×Á ÆÒÏÎÔÁ ÎÅ ÉÚÍÅÎÑÅÔÓÑ ÒÉ ÇÏÍÏÔÏÉÑÈ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÒÉ ËÁÔÁÓÔÒÏÆÅ ÒÏÖÄÅÎÉÑ (ÕÎÉÞÔÏÖÅÎÉÑ) Ä×ÕÈ ÔÏÞÅË ×ÏÚ×ÒÁÔÁ (ÓÍ. ÒÉÓ. 11) Ä×Å ×ÎÏ×Ø ÏÑ×ÌÑÀÝÉÅÓÑ (ÕÎÉÞÔÏÖÁÅÍÙÅ) ÔÏÞËÉ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÉÍÅÀÔ ÒÁÚÎÙÅ ÚÎÁËÉ. ðÒÉ ËÁÔÁÓÔÒÏÆÁÈ ÒÏÞÉÈ ÔÉÏ× ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÅ ÓÕÍÍÙ ÚÎÁËÏ× ÏÞÅ×ÉÄÎÏ.  ðÏÓÔÒÏÅÎÎÙÊ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎÄÅËÓÏÍ íÁÓÌÏ×Á ÌÅÖÁÎÄÒÏ×Á ÆÒÏÎÔÁ. íÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÉÎÄÅËÓ íÁÓÌÏ×Á É ÉÎÄÅËÓ õÉÔÎÉ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÏÌÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÇÏÍÏÔÏÉÊ ÌÅÖÁÎÄÒÏ×ÙÈ ÆÒÏÎÔÏ× ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ | ÓÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ, ËÎÉÇÕ [13℄. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ Ó×ÅÄÅÎÉÑ Ï ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁÈ ÆÒÏÎÔÏ× ÞÉÔÁÔÅÌØ ÍÏÖÅÔ ÏÞÅÒÎÕÔØ ÉÚ ÓÔÁÔØÉ [9℄. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÔÁÍ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔ âÅÎÎÅËÅÎÁ (ÓÍ. Ï ÎÅÍ × ÓÔÁÔØÅ ó. ÷. äÕÖÉÎÁ É ó. ÷. þÍÕÔÏ×Á) ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÁÕÓÓÏ×ÙÍ. 5.3. õÚÌÙ É ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ

ó ÏÓÎÏ×ÁÍÉ ÔÅÏÒÉÉ ÕÚÌÏ× ÞÉÔÁÔÅÌØ ÍÏÖÅÔ ÏÚÎÁËÏÍÉÔØÓÑ Ï ÓÔÁÔØÅ ó. ÷. äÕÖÉÎÁ É ó. ÷. þÍÕÔÏ×Á × ÎÁÓÔÏÑÝÅÍ ÓÂÏÒÎÉËÅ; ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÉ ÂÅÚ ÏÄÒÏÂÎÙÈ ÒÁÚßÑÓÎÅÎÉÊ. éÄÅÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÕÚÌÏ× ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÇÁÕÓÓÏ×Ù ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÉÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ (ÒÏÅË ÉÊ ÏÂÝÅÇÏ ÏÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ), ÎÅ ÉÚÍÅÎÑÀÝÉÅÓÑ ÒÉ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÈ òÅÊÄÅÍÅÊÓÔÅÒÁ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ, ËÁËÁÑ ÉÚ ×ÅÔ×ÅÊ ËÒÉ×ÏÊ × ÔÏÞËÅ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÒÏÈÏÄÉÔ Ó×ÅÒÈÕ. þÔÏÂÙ ÏÔÒÁÚÉÔØ ÎÁ ÇÁÕÓÓÏ×ÏÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ, ÏÒÉÅÎÔÉÒÕÅÍ ËÁÖÄÕÀ ÄÕÇÕ | ÎÁÒÉÓÕÅÍ ÎÁ ÎÅÊ ÓÔÒÅÌËÕ, ÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÕÀ ÏÔ ×ÅÒÈÎÅÊ ×ÅÔ×É Ë ÎÉÖÎÅÊ. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÕÚÌÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ÚÁÍËÎÕÔÕÀ ËÒÉ×ÕÀ. íÙ, ÏÄÎÁËÏ, ÉÓÏÌØÚÕÅÍ ÒÁÚÌÉÞÉÅ ÍÅÖÄÕ €ÒÏÈÏÄÁÍɁ É €ÅÒÅÈÏÄÁÍɁ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÚÎÁËÁ

äÌÉÎÎÙÅ ËÒÉ×ÙÅ, ÇÁÕÓÓÏ×Ù ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ É ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ

113

1 1 1 òÉÓ. 12. ÒÉÌÉÓÔÎÉË É ÅÇÏ ÇÁÕÓÓÏ×Á ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ

ÔÏÞËÉ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ (ÈÏÒÄÙ ÎÁ ÇÁÕÓÓÏ×ÏÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ) ÂÅÚ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÏÔÍÅÞÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÕÓÔØ (t1 ; t2 ) | ÔÏÞËÁ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ: x(t1 ) = x(t2 ); y(t1 ) = y(t2 ), ÒÉÞÅÍ z (t1 ) > z (t2 ) (Ô. Å. ×ÅÔ×Ø t1 ÉÄÅÔ Ó×ÅÒÈÕ). ÏÇÄÁ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÚÎÁË ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÔÁË ÖÅ, ËÁË × ÒÁÚÄÅÌÅ 1, ÓÞÉÔÁÑ ÔÏÞËÕ t1 €ÅÒ×Ïʁ, Á ÔÏÞËÕ t2 €×ÔÏÒÏʁ. ÁËÏÊ ÚÎÁË ÞÁÓÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÇÌÉÊÓËÉÍ ÓÌÏ×ÏÍ \writhe" (to writhe | ÂÕË×. €ËÏÒÞÉÔØÓс (ÏÔ ÂÏÌÉ); ÉÍÅÅÔÓÑ × ×ÉÄÕ, ÞÔÏ × ÒÁÊÏÎÅ ÔÏÞËÉ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÕÚÅÌ €ÉÚ×É×ÁÅÔÓс × ÔÏÍ ÉÌÉ ÉÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÇÁÕÓÓÏ×Õ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÕÚÌÁ | ÎÁÂÏÒ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÄÕÇ, ÓÎÁÂÖÅÎÎÙÈ ÚÎÁËÁÍÉ. îÁ ÒÉÓ. 12 ÉÚÏÂÒÁÖÅÎ ÕÚÅÌ €ÔÒÉÌÉÓÔÎÉˁ É ÇÁÕÓÓÏ×Á ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ÅÇÏ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÒÏÅË ÉÉ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÌÉÑÎÉÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ òÅÊÄÅÍÅÊÓÔÅÒÁ ÎÁ ÇÁÕÓÓÏ×Ù ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÕÚÌÏ×. ðÅÒ×ÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ òÅÊÄÅÍÅÊÓÔÅÒÁ Ó×ÏÄÉÔÓÑ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, Ë ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÎÁ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ ÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ (ÉÌÉ, ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ÉÓÞÅÚÁÅÔ) ÄÕÇÁ, ÍÅÖÄÕ ËÏÎ ÁÍÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÄÒÕÇÉÈ ÄÕÇ ÎÅÔ. äÌÑ ÄÌÉÎÎÙÈ ËÒÉ×ÙÈ ÔÁËÏÇÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÎÅ ÂÙÌÏ, É ÂÙÔØ ÎÅ ÍÏÇÌÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÓÕÍÍÁ ÚÎÁËÏ× ×ÓÅÈ ÄÕÇ | ÉÎÄÅËÓ õÉÔÎÉ | ÓÏÈÒÁÎÑÅÔÓÑ ÒÉ ÌÀÂÏÊ ÇÏÍÏÔÏÉÉ. ÅÍ ÓÁÍÙÍ ÄÌÑ ÕÚÌÏ× ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÁÎÁÌÏÇÁ ÉÎÄÅËÓÁ õÉÔÎÉ | ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÏÒÑÄËÁ 1 ÕÓÔÏ. ä×Á ÄÒÕÇÉÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ òÅÊÄÅÍÅÊÓÔÅÒÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ÕÖÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ËÁÔÁÓÔÒÏÆÙ ËÒÉ×ÙÈ. åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÔÌÉÞÉÅ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÒÏÉÓÈÏÄÑÔ ÔÏÌØËÏ ÒÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÓÏÞÅÔÁÎÉÑÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÊ É ÚÎÁËÏ× ÕÞÁÓÔ×ÕÀÝÉÈ × ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ ÄÕÇ. ÁË, ÒÉ ÓÁÍÏËÁÓÁÎÉÉ (×ÔÏÒÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ òÅÊÄÅÍÅÊÓÔÅÒÁ) ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÅ (ÉÌÉ ÉÓÞÅÚÁÀÝÉÅ) ÄÕÇÉ ÉÍÅÀÔ ÏÄÎÏ É ÔÏ ÖÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ É ÒÁÚÎÙÅ ÚÎÁËÉ. óÉÓÏË ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÊ ÚÎÁËÏ× É ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÊ ÄÕÇ, ÕÞÁÓÔ×ÕÀÝÉÈ × ÔÒÅÔØÅÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ òÅÊÄÅÍÅÊÓÔÅÒÁ (ÒÏÈÏÖÄÅÎÉÅ ÔÒÏÊÎÏÊ ÔÏÞËÉ), ÂÏÌÅÅ ÄÌÉÎÅÎ; ÞÉÔÁÔÅÌØ, ÖÅÌÁÀÝÉÊ ÒÁÚÏÂÒÁÔØÓÑ × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÁÈ ÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ ÎÉÖÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ×, ÍÏÖÅÔ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÅÇÏ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ. ëÁË É × ÓÌÕÞÁÅ ÄÌÉÎÎÙÈ ËÒÉ×ÙÈ, ÎÅ ×ÓÑËÁÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ÓÏ ÚÎÁËÁÍÉ É ÓÔÒÅÌËÁÍÉ ÒÅÁÌÉÚÕÅÔÓÑ ËÁË ÇÁÕÓÓÏ×Á ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ÕÚÌÁ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÔÁËÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ. ÅÏÒÅÍÁ 5. ðÕÓÔØ | ÇÁÕÓÓÏ×Á ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÕÚÌÁ É  | ÈÏÒÄÁ ÎÁ ÎÅÊ. ÏÇÄÁ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï: X X "= " χ

χ

ε

ε

úÄÅÓØ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÅÄÅÔÓÑ Ï ×ÓÅÍ ÈÏÒÄÁÍ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÍ ÔÁË, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÁÈ ÏÄ ÚÎÁËÁÍÉ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ; " = ±1 ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÚÎÁË ÈÏÒÄÙ.

114

à. í. âÕÒÍÁÎ

òÉÓ. 13. éÎ×ÁÒÉÁÎÔ ÷ÁÓÉÌØÅ×Á ÏÒÑÄËÁ

2

ÅÏÒÅÍÁ 5 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÙÍ ÁÎÁÌÏÇÏÍ (ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅÍ) ÔÅÏÒÅÍÙ 1 É ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ. ÷ÓÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÎÁ ÎÁÓÔÏÑÝÉÊ ÍÏÍÅÎÔ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÕÚÌÏ× Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁÍÉ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÔÉÁ (ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁÍÉ ÷ÁÓÉÌØÅ×Á) ÉÌÉ ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÔÁËÏ×ÙÅ | ÓÍ. Ï ÜÔÏÍ × ÓÔÁÔØÅ ó. ÷. äÕÖÉÎÁ É ó. ÷. þÍÕÔÏ×Á × ÎÁÓÔÏÑÝÅÍ ÓÂÏÒÎÉËÅ. îÅ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÑ É ÇÁÕÓÓÏ×Ù ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ, ××ÉÄÕ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÔÅÏÒÅÍÙ: ÅÏÒÅÍÁ 6. ÷ÓÑËÉÊ ÇÁÕÓÓÏ× ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔ ÕÚÌÏ× ÏÒÑÄËÁ m Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏÍ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÔÉÁ ÏÒÑÄËÁ ÎÅ ×ÙÛÅ m. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÎÅÓÌÏÖÎÏ, ÎÏ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÄÌÉÎÎÏ ÉÚ-ÚÁ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÅÒÅÂÏÒÁ ÂÏÌØÛÏÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÓÌÕÞÁÅ×. íÙ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ÏÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÔØÓÑ ÎÁ ÎÅÍ ÏÄÒÏÂÎÏ. îÅÄÁ×ÎÏ (× 1998 Ç.) í. çÕÓÁÒÏ× ÄÏËÁÚÁÌ ÞÒÅÚ×ÙÞÁÊÎÏ ÔÒÕÄÎÕÀ ÏÂÒÁÔÎÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ: ÅÏÒÅÍÁ 7. ÷ÓÑËÉÊ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔ ÕÚÌÏ× ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÔÉÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÁÕÓÓÏ×ÙÍ. ñ×ÎÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ËÏÌØ Á ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÕÚÌÏ× ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÚÁÄÁÞÕ, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÕÀ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÚÁÄÁÞÅ ÄÌÑ ËÒÉ×ÙÈ. òÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× (É, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ) × ÓÌÕÞÁÅ ÕÚÌÏ× ×ÙÛÅ, ÔÁË ËÁË ÄÕÇÉ ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ ÉÍÅÀÔ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ, É ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÞÉÓÌÏ ÄÉÁÇÒÁÍÍ Ó ÚÁÄÁÎÎÙÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÄÕÇ ÂÏÌØÛÅ. ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ Ñ×ÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÷ÁÓÉÌØÅ×Á ÏÒÑÄËÏ× 2 É 3 (ÓÍ. [10℄); ÍÙ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÚÄÅÓØ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÄÌÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁ ÏÒÑÄËÁ 2. ìÀÂÏÙÔÎÏ, ÞÔÏ ÆÏÒÍÕÌÕ ÍÏÖÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÕÒÏÓÔÉÔØ, ÅÓÌÉ ××ÅÓÔÉ × ÇÁÕÓÓÏ×Õ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ ÕÚÌÁ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ | ÏÔÍÅÞÅÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ. ÷ÙÂÏÒ ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ ÎÅ ×ÌÉÑÅÔ ÎÁ ÚÎÁËÉ ÈÏÒÄ (× ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÏÔÍÅÞÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÎÁ ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÈ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÒÉ×ÙÈ), ÎÏ ÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÇÁÕÓÓÏ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÈÏÒÄ. òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÇÁÕÓÓÏ×Ù ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÕÚÌÏ× ÎÅ ÄÏÌÖÎÙ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÚÁ×ÉÓÅÔØ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÏÔÍÅÞÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ. ÅÏÒÅÍÁ 8. çÁÕÓÓÏ×Á ÆÕÎË ÉÑ , ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ ÎÁ ÒÉÓ. 13, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏÍ ÏÒÑÄËÁ 2, ÒÉÎÉÍÁÀÝÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅ 0 ÄÌÑ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÚÌÁ É ÚÎÁÞÅÎÉÅ 1 ÄÌÑ ÔÒÉÌÉÓÔÎÉËÁ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔ ÏÒÑÄËÁ 2 Ó ÔÁËÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ (ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÓÍ. × ÓÔÁÔØÅ ó. ÷. äÕÖÉÎÁ É ó. ÷. þÍÕÔÏ×Á). äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÏËÁÖÅÍ ÓÎÁÞÁÌÁ, ÞÔÏ ÇÁÕÓÓÏ×Á ÆÕÎË ÉÑ  ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏÍ. îÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ  ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÏÔÍÅÞÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ 5. ðÒÉ ÅÒ×ÏÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ òÅÊÄÅÍÅÊÓÔÅÒÁ ÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÌÉ ÉÓÞÅÚÁÅÔ ÈÏÒÄÁ, ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÝÁÑÓÑ Ó ÒÏÞÉÍÉ ÈÏÒÄÁÍÉ ÎÁ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ, | ÑÓÎÏ, ÞÔÏ ÔÁËÁÑ ÏÅÒÁ ÉÑ ÎÅ ×ÌÉÑÅÔ ÎÁ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ .

äÌÉÎÎÙÅ ËÒÉ×ÙÅ, ÇÁÕÓÓÏ×Ù ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ É ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ

115

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÅÒØ ×ÔÏÒÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ òÅÊÄÅÍÅÊÓÔÅÒÁ Ó ×ÏÚÎÉËÎÏ×ÅÎÉÅÍ ÁÒÙ ÎÏ×ÙÈ ÈÏÒÄ. ÷ÏÚÎÉËÁÀÝÉÅ ÈÏÒÄÙ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÓÏÎÁÒÁ×ÌÅÎÙ É ÉÍÅÀÔ ÒÁÚÎÙÅ ÚÎÁËÉ; ÏÜÔÏÍÕ ×ËÌÁÄ × ×ÅÌÉÞÉÎÕ ( ÏÓÌÅ ) − ( ÄÏ ) ÍÏÖÅÔ ×ÎÅÓÔÉ ÔÏÌØËÏ ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÏÂÅ ÈÏÒÄÙ | ×ÎÏ×Ø ×ÏÚÎÉËÛÉÅ. ïÄÎÁËÏ ÔÁËÏÇÏ ÓÌÁÇÁÅÍÏÇÏ ÂÙÔØ ÎÅ ÍÏÖÅÔ, ÔÁË ËÁË ÒÉ ÇÏÍÏÔÏÉÉ ÏÂÝÅÇÏ ÏÌÏÖÅÎÉÑ ÓÁÍÏËÁÓÁÎÉÅ ÎÅ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ × ÏÔÍÅÞÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ. éÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÓÔØ  ÒÉ ÔÒÅÔØÅÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ òÅÊÄÅÍÅÊÓÔÅÒÁ ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ (ÈÏÔÑ É ÔÒÅÂÕÅÔ ÒÁÚÂÏÒÁ ÂÏÌØÛÅÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÓÌÕÞÁÅ×). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÇÁÕÓÓÏ×Á ÆÕÎË ÉÑ  | ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔ ÕÚÌÁ. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÒÏ ÏÒÑÄÏË ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ 6. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, (ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÊ ÕÚÅÌ) = 0; ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (ÔÒÉÌÉÓÔÎÉË) = 1 ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅÍ.  óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

[1℄ ÷. é. áÒÎÏÌØÄ, á. î. ÷ÁÒÞÅÎËÏ, ó. í. çÕÓÅÊÎ-úÁÄÅ. ïÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ. ÷ 2-È ÔÏÍÁÈ. í.: îÁÕËÁ, 1984. [2℄ H. Whitney. On regular losed urves in the plane, Comp. Math. Vol. 4, 1937. P. 276{284. [3℄ á. . æÏÍÅÎËÏ, ä. â. æÕËÓ. ëÕÒÓ ÇÏÍÏÔÏÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ. í.: îÁÕËÁ, 1989. [4℄ ÷. ç. âÏÌÔÑÎÓËÉÊ, ÷. á. åÆÒÅÍÏ×ÉÞ. îÁÇÌÑÄÎÁÑ ÔÏÏÌÏÇÉÑ. í.: îÁÕËÁ, 1983. [5℄ V. I. Arnold. Plane urves, their invariants, perestroikas and lassi ation / In Singularities and Bifur ations. Ser. Advan es in Soviet Mathemati s. Vol 21, 1994. Amer. Math. So ., Providen e, RI. P. 33{91. [6℄ O. Viro. First degree invariants of generi urves on surfa es. Preprint Uppsala University, 1994. [7℄ A. Shumakovi h. Formulas for strangeness of plane urves. Preprint Uppsala University, 1994. [8℄ F. Ai ardi. Classi ation and invariants of tree-like urves / In Singularities and Bifur ations. Ser. Advan es in Soviet Mathemati s. Vol. 21, 1994. Amer. Math. So ., Providen e, RI. P. 1{31. [9℄ M. Polyak. Invariants of urves and fronts via Gauss diagrams // Topology. Vol. 37, No 5, 1998. P. 989{1009. [10℄ M. Polyak, O. Viro. Gauss diagram formulas for Vassiliev invariants. [11℄ V. A. Vassiliev. Invariants of ornaments / In Singularities and Bifur ations. Ser. Advan es in Soviet Mathemati s. Vol. 21, 1994. Amer. Math. So ., Providen e, RI. P. 225{262. [12℄ A. B. Merkov. Vassiliev invariants lassify plane urves and doodles. Preprint 1996{98; submitted to J. of Knot Theory and Rami ations; http://www.botik.ru/~duzhin/as-papers/fi d-dvi.zip. [13℄ ÷. é. áÒÎÏÌØÄ. ïÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ ËÁÕÓÔÉË É ×ÏÌÎÏ×ÙÈ ÆÒÏÎÔÏ×. í.: æÁÚÉÓ, 1996.

116

÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×

ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ úÅÊÆÅÒÔÁ

÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ× ðÒÉ ÉÚÕÞÅÎÉÉ Ó×ÏÊÓÔ× ÕÚÌÏ× É ÚÁ ÅÌÅÎÉÊ ÞÁÓÔÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÌÅÚÎÏÊ ×ÓÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÁÑ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ, ÎÁÔÑÎÕÔÁÑ ÎÁ ÕÚÅÌ (ÚÁ ÅÌÅÎÉÅ). ÁËÉÈ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ ÍÎÏÇÏ, ÎÏ ÏÂÙÞÎÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÏÊ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÜÔÉÈ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ, ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ÏÞÎÏÅ S ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÔÁËÏ×Ï. ðÕÓÔØ L | ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÚÁ ÅÌÅÎÉÅ × S 3 = R3 {∞} (ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÓÔØ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÎÁ ËÁÖÄÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÅ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ ÚÁÄÁÎÁ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÑ). ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØÀ úÅÊÆÅÒÔÁ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ L ÎÁÚÙ×ÁÀÔ Ó×ÑÚÎÕÀ ËÏÍÁËÔÎÕÀ Ä×ÕÍÅÒÎÕÀ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ × S 3 , ËÒÁÅÍ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÌÕÖÉÔ L, ÒÉÞÅÍ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÑ L ÉÎÄÕ ÉÒÏ×ÁÎÁ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÅÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. 3 ÅÏÒÅÍÁ 1. õ ÌÀÂÏÇÏ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ × S ÅÓÔØ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ úÅÊÆÅÒÔÁ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ D ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ L É ÕÎÉÞÔÏÖÉÍ ÅÒÅËÒÅÓÔËÉ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ, ËÁË ÜÔÏ ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 1. á ÉÍÅÎÎÏ, ÍÙ ÚÁÍÅÎÑÅÍ ÓÌÏÛÎÙÅ ÌÉÎÉÉ ÎÁ ÕÎËÔÉÒÎÙÅ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÏ×ÏÄÑÔÓÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎ-

òÉÓ. 1. õÎÉÞÔÏÖÅÎÉÅ ÅÒÅËÒÅÓÔËÏ× ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ

ÎÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÏ Ó ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÅÊ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ L. ðÏÓÌÅ ÕÎÉÞÔÏÖÅÎÉÑ ÅÒÅËÒÅÓÔËÏ× ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÎÁÂÏÒ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ÎÅÓÁÍÏÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ É ÏÁÒÎÏ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ËÒÉ×ÙÈ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ. üÔÉ ËÒÉ×ÙÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÍÉ úÅÊÆÅÒÔÁ. ðÌÏÓËÉÅ ÄÉÓËÉ, ÎÁÔÑÎÕÔÙÅ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ úÅÊÆÅÒÔÁ, ÍÏÇÕÔ ÅÒÅÓÅËÁÔØÓÑ (ÏÄÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ úÅÊÆÅÒÔÁ ÍÏÖÅÔ ÌÅÖÁÔØ ×ÎÕÔÒÉ ÄÒÕÇÏÊ). îÏ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÅ ÔÏÞËÉ ÜÔÉÈ ÄÉÓËÏ× ÍÏÖÎÏ ÓÄ×ÉÎÕÔØ × ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ, ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÏÍ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ, ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÄÉÓËÉ ÓÔÁÌÉ ÏÁÒÎÏ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÍÉÓÑ (ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ úÅÊÆÅÒÔÁ ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÒÉ ÜÔÏÍ ÎÁ ÍÅÓÔÅ). îÁ ËÁÖÄÏÍ ÅÒÅËÒÅÓÔËÅ ÓÏÅÄÉÎÉÍ ÄÉÓËÉ ÅÒÅËÒÕÞÅÎÎÏÊ ÏÌÏÓËÏÊ, ËÒÁÑÍÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÌÕÖÁÔ ×ÅÔ×É ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ ÎÁÄ ÜÔÉÍ ÅÒÅËÒÅÓÔËÏÍ (ÎÁ ÒÉÓ. 2 ÔÁËÁÑ ÏÌÏÓËÁ ÚÁÛÔÒÉÈÏ×ÁÎÁ). åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ ÄÉÓËÏ× ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÙ Ó ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÑÍÉ ÏÌÏÓÏË, ÏÜÔÏÍÕ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÕÀ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ, ËÒÁÅÍ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÌÕÖÉÔ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÚÁ ÅÌÅÎÉÅ L. îÏ ÜÔÁ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÁ. þÔÏÂÙ ÏÌÕÞÉÔØ Ó×ÑÚÎÕÀ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ, ×ÏÚØÍÅÍ Ä×Å Ó×ÑÚÎÙÅ

117

ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ úÅÊÆÅÒÔÁ

òÉÓ. 2. ðÒÉËÌÅÉ×ÁÎÉÅ ÏÌÏÓËÉ Ë ÄÉÓËÁÍ

ËÏÍÏÎÅÎÔÙ, ×ÙÒÅÖÅÍ × ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÎÉÈ Ï ÍÁÌÅÎØËÏÍÕ ÄÉÓËÕ É ÓÏÅÄÉÎÉÍ ×ÏÚÎÉËÛÉÅ ËÒÁÑ ÔÏÎËÏÊ ÔÒÕÂËÏÊ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÞÉÓÌÏ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÕÍÅÎØÛÉÔÓÑ, ÏÜÔÏÍÕ ÏÓÌÅ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÔÁËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÏÌÕÞÉÍ Ó×ÑÚÎÕÀ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ.  âÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÏÅ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á É ÄÒÕÇÉÈ ×ÚÁÉÍÏÓ×ÑÚÅÊ ÍÅÖÄÕ ÕÚÌÁÍÉ É Ä×ÕÍÅÒÎÙÍÉ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÑÍÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÏ × [1℄. òÏÄ ÕÚÌÁ É ÒÏÓÔÙÅ ÕÚÌÙ

ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ úÅÊÆÅÒÔÁ ÕÚÌÁ K ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ËÏÍÁËÔÎÕÀ Ä×ÕÍÅÒÎÕÀ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÕÀ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ, ËÒÁÅÍ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÌÕÖÉÔ ÏÄÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ. ðÒÉËÌÅÉ× Ë ËÒÁÀ ÜÔÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÄÉÓË, ÏÌÕÞÉÍ Ä×ÕÍÅÒÎÕÀ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ ÒÏÄÁ g (ÓÆÅÒÕ Ó g ÒÕÞËÁÍÉ). òÏÄÏÍ ÕÚÌÁ K ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÒÏÄ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ (ÍÉÎÉÍÕÍ ÚÄÅÓØ ÂÅÒÅÔÓÑ Ï ×ÓÅÍ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÑÍ úÅÊÆÅÒÔÁ ÕÚÌÁ K ). òÏÄ ÕÚÌÁ K ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ g(K ). õÒÁÖÎÅÎÉÅ 1. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÕÚÅÌ ÔÒÉ×ÉÁÌÅÎ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÅÇÏ ÒÏÄ ÒÁ×ÅÎ 0. õÒÁÖÎÅÎÉÅ 2. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÒÏÄ ÔÒÉÌÉÓÔÎÉËÁ ÒÁ×ÅÎ 1. õÒÁÖÎÅÎÉÅ 3. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÒÏÄ ÔÏÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÚÌÁ ÔÉÁ (p; q ) ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ (p − 1)(q − 1)=2. (ÏÒÉÞÅÓËÉÊ ÕÚÅÌ ÔÉÁ (p; q), ÇÄÅ p É q | ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÚÁÄÁÅÔÓÑ × S 3 ⊂ C2 ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ |z | = |w|, z p = wq . ÷ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÏÄ ÔÏÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÚÌÁ ÔÉÁ (p; q) × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÅÎ (p − 1)(q − 1)=2.) äÌÑ Ä×ÕÈ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÕÚÌÏ× K1 É K2 ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÉÈ ËÏÍÏÚÉ ÉÀ, ÉÌÉ Ó×ÑÚÎÕÀ ÓÕÍÍÕ, K1 #K2 ÏÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ ÏÅÒÁ ÉÉ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÊ ÎÁ ÒÉÓ. 3. K1

K1

K1 #K2

K2

K2

òÉÓ. 3. ó×ÑÚÎÁÑ ÓÕÍÍÁ ÕÚÌÏ×

118

÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×

ci

γ òÉÓ. 4. ä×Á ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÄÉÓËÁ

îÅÆÏÒÍÁÌØÎÏ K1#K2 ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÔÁË: ÍÙ ÂÅÒÅÍ ×ÅÒÅ×ËÕ É ÚÁ×ÑÚÙ×ÁÅÍ ÎÁ ÏÄÎÏÍ ËÏÎ Å ÕÚÅÌ K1 , Á ÎÁ ÄÒÕÇÏÍ ËÏÎ Å ÕÚÅÌ K2 ; ÚÁÔÅÍ ËÏÎ Ù ×ÅÒÅ×ËÉ ÓÏÅÄÉÎÑÅÍ. õÒÁÖÎÅÎÉÅ 4. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÕÚÌÙ K1 #K2 É K2 #K1 ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ. ÅÏÒÅÍÁ 2. g (K1 #K2 ) = g (K1 ) + g (K2 ). äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ F1 É F2 | Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ úÅÊÆÅÒÔÁ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÄÁ ÄÌÑ ÕÚÌÏ× K1 É K2 . òÁÚ×ÅÄÅÍ ÕÚÌÙ K1 É K2 × ÒÁÚÎÙÅ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÔÁË ÞÔÏÂÙ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ F1 É F2 ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÌÉÓØ. ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ F1 É F2 ÎÅ ÒÁÚÂÉ×ÁÀÔ S 3, ÏÜÔÏÍÕ ÉÈ ËÒÁÑ K1 É K2 ÍÏÖÎÏ ÓÏÅÄÉÎÉÔØ ÄÌÉÎÎÏÊ ÕÚËÏÊ ÏÌÏÓËÏÊ; ÞÔÏÂÙ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ ÏËÁÚÁÌÉÓØ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÍÉ, ÏÌÏÓËÕ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅËÒÕÔÉÔØ, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÉÍ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ úÅÊÆÅÒÔÁ ÒÏÄÁ g(K1) + g(K2 ) ÄÌÑ ÕÚÌÁ K1#K2 . üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ g(K1 #K2 ) 6 g(K1) + g(K2 ). ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ F | Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ úÅÊÆÅÒÔÁ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÄÁ ÄÌÑ ÕÚÌÁ K1#K2 . éÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÕÚÌÁ K1#K2 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÆÅÒÁ S 2 ⊂ S 3 , ËÏÔÏÒÁÑ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ K1 #K2 ÒÏ×ÎÏ × Ä×ÕÈ ÔÏÞËÁÈ É ÒÁÚÄÅÌÑÅÔ ÕÚÌÙ K1 É K2 . ðÏÓÌÅTÍÁÌÏÇÏ ÛÅ×ÅÌÅÎÉÑ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ F É S 2 ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÉÈ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ F S 2 ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÇÌÁÄËÉÈ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÒÉ×ÙÈ 1 ; : : : ; n É ÄÕÇÉ , ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÊ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ S 2 É K1 #K2 . ëÁÖÄÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ i ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ S 2 ÎÁ Ä×Á ÄÉÓËÁ, ÏÄÉÎ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ . üÔÏÔ ÄÉÓË ÚÁÍÅÎÑÅÍ ÎÁ Ä×Á ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÅÍÕ ÄÉÓËÁ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÈ Ï ÒÁÚÎÙÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ÏÔ S 2 ; ÎÁ ÒÉÓ. 4 ÜÔÉ ÄÉÓËÉ ÚÁÛÔÒÉÈÏ×ÁÎÙ. ãÉÌÉÎÄÒ, ÚÁËÌÀÞÅÎÎÙÊ ÍÅÖÄÕ ÎÏ×ÙÍÉ ÄÉÓËÁÍÉ, ÕÎÉÞÔÏÖÁÅÍ. óÄÅÌÁÅÍ ÔÁËÉÅ ÅÒÅÓÔÒÏÊËÉ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ F ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ 1 ; : : : ; n . ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÉÍ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ, ÏÄÎÁ ÉÚ Ó×ÑÚÎÙÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ ËÏÔÏÒÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØÀ úÅÊÆÅÒÔÁ ÕÚÌÁ K1#K2 . ïÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ÒÕÞÅË ×ÓÅÈ Ó×ÑÚÎÙÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ g(F ). äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ ÅÒÅÓÔÒÏÊËÁ Ï ÄÉÓËÕ ÎÅ ÎÁÒÕÛÁÅÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÔÏ ÞÉÓÌÏ ÒÕÞÅË ÕÍÅÎØÛÁÅÔÓÑ ÎÁ 1, Á ÅÓÌÉ ÅÒÅÓÔÒÏÊËÁ Ï ÄÉÓËÕ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ ÎÁ Ä×Å Ó×ÑÚÎÙÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ, ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ÒÕÞÅË ÎÅ ÉÚÍÅÎÑÅÔÓÑ. éÔÁË, ÍÙ ÏÓÔÒÏÉÌÉ ÄÌÑ K1#K2 Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ úÅÊÆÅÒÔÁ F ′ , ËÏÔÏÒÁÑ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ S 2 ÔÏÌØËÏ Ï ÄÕÇÅ É ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï g(F ′ ) 6 g(F ). éÚ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÓÔÉ ÒÏÄÁ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ F ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ g(F ′ ) = g(F ) = g(K1#K2 ). óÆÅÒÁ S 2 ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ F ′ ÎÁ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ úÅÊÆÅÒÔÁ ÄÌÑ ÕÚÌÏ× K1 É K2. ðÏÜÔÏÍÕ g(K1) + g(K2 ) 6 g(F ′ ) = = g(K1 #K2 ). 

ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ úÅÊÆÅÒÔÁ

119

óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 1. åÓÌÉ ÕÚÌÙ K1 É K2 ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙ, ÔÏ ÕÚÅÌ K1 #K2 ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌÅÎ. ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÅÝÅ Ä×Á ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ ÔÅÏÒÅÍÙ 2, ××ÅÄÅÍ ÏÎÑÔÉÅ ÒÏÓÔÏÇÏ ÕÚÌÁ. îÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÊ ÕÚÅÌ P ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÒÏÓÔÙÍ, ÅÓÌÉ ÅÇÏ ÎÅÌØÚÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ P = K1 #K2 , ÇÄÅ K1 É K2 | ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÅ ÕÚÌÙ. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 2. åÓÌÉ g (K ) = 1, ÔÏ K | ÒÏÓÔÏÊ ÕÚÅÌ. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 3. ìÀÂÏÊ ÕÚÅÌ K ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ K = P1 # · · · #Pn , ÇÄÅ P1 ; : : : ; Pn | ÒÏÓÔÙÅ ÕÚÌÙ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. åÓÌÉ ÕÚÅÌ K ÎÅ ÒÏÓÔÏÊ, ÔÏ ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ K = K1#K2 , ÇÄÅ 1 6 g(Ki ) < g(K ). ÅÅÒØ ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï ÒÏÄÕ ÕÚÌÁ, ÏÓÎÏ×Ù×ÁÑÓØ ÎÁ ÔÏÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÒÏÄ ÕÚÌÁ ÒÁ×ÅÎ 1, ÔÏ ÕÚÅÌ ÒÏÓÔÏÊ.



ÅÏÒÅÍÙ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ × ÒÁÚÎÙÈ ÓÉÔÕÁ ÉÑÈ. îÁÉÂÏÌÅÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÊ ÒÉÍÅÒ ÔÅÏÒÅÍÙ ÔÁËÏÇÏ ÒÏÄÁ | ÏÓÎÏ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÁÒÉÆÍÅÔÉËÉ. ëÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏÝÅ, ÞÅÍ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ. îÁÒÉÍÅÒ, × ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ ÁÒÉÆÍÅÔÉËÉ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ (ÅÓÌÉ n = ab É a > 1, b > 1, ÔÏ a < n É b < n), Á ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÔÒÅÂÕÅÔ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á (ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ å×ËÌÉÄÁ). âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÂÙ×ÁÀÔ ÓÉÔÕÁ ÉÉ, ËÏÇÄÁ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÎÏ ÎÅ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏ. îÁÒÉÍÅÒ, ÌÀÂÁÑ ÚÁÍËÎÕÔÁÑ Ä×ÕÍÅÒÎÁÑ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ Ó×ÑÚÎÏÊ ÓÕÍÍÙ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÔÏÒÏ× T 2 É ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÈ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ P 2 (ËÏÔÏÒÙÅ ÕÖÅ ÎÅ ÒÁÚÌÁÇÁÀÔÓÑ × Ó×ÑÚÎÙÅ ÓÕÍÍÙ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ), ÎÏ ÒÉ ÜÔÏÍ T 2#P 2 = P 2 #P 2 #P 2 . åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÎÁÒÕÛÁÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ × ËÏÌØ ÁÈ ÅÌÙÈ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ÞÉÓÅÌ. ðÅÒ×ÙÍ ÜÔÏ ÏÔÍÅÔÉÌ ëÕÍÍÅÒ, ÎÏ ÅÇÏ ÓÔÁÔØÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ×ÒÅÍÑ ÎÅ ÒÉ×ÌÅËÁÌÁ ×ÎÉÍÁÎÉÑ. ÷ÓËÏÒÅ ÏÓÌÅ ÅÅ ÕÂÌÉËÁ ÉÉ ÆÒÁÎ ÕÚÓËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË ìÁÍÅ ÒÅÄÌÏÖÉÌ €ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ρ ðÏÓÌÅÄÎÅÊ ÔÅÏÒÅÍÙ æÅÒÍÁ, Ï Ï×ÏÄÕ ËÏÔÏÒÏÇÏ ìÉÕ×ÉÌÌØ ×ÏÚÒÁÚÉÌ, ÞÔÏ ÏÎÏ ÏÉÒÁÅÔÓÑ ÎÁ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ, ËÏÔÏÒÁÑ ÄÌÑ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ. îÏ ëÏÛÉ ÏÄÄÅÒÖÁÌ ìÁÍÅ É ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ×ÒÅÍÑ ÏÎÉ ÙÔÁÌÉÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ. üÔÏ ÒÏÄÏÌÖÁÌÏÓØ ÄÏ ÔÅÈ ÏÒ, ÏËÁ ëÕÍÍÅÒ ÎÅ ÒÉÓÌÁÌ ìÉÕ×ÉÌÌÀ Ó×ÏÀ ÓÔÁÔØÀ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÂÙÌÏ ÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÎÅ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏ. ÷ÅÒÎÅÍÓÑ, ÏÄÎÁËÏ, Ë ÕÚÌÁÍ. ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÕÚÌÁ K × ×ÉÄÅ K = P1 # · · · #Pn , ÇÄÅ P1 ; : : : ; Pn | ÒÏÓÔÙÅ ÕÚÌÙ, ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏ × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ P1 # · · · #Pn = = Q1 # · · · #Qm É ×ÓÅ ÕÚÌÙ Pi ; Qj ÒÏÓÔÙÅ, ÔÏ m = n É Pi = Q(i) , ÇÄÅ  ∈ Sn | ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ. åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÕÚÌÁ K ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÌÏÖÎÅÅ, ÞÅÍ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ. äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÎÁÍ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ. ÅÏÒÅÍÁ 3. ðÕÓÔØ K = P #Q = K1 #K2 , ÒÉÞÅÍ ÕÚÅÌ P ÒÏÓÔÏÊ. ÏÇÄÁ ÌÉÂÏ K1 = P #K1′ É Q = K1′ #K2 , ÌÉÂÏ K2 = P #K2′ É Q = K1#K2′ . 2 2 3 äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ SP Q É S12 | ÓÆÅÒÙ × S , ËÏÔÏÒÙÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔ ÕÚÅÌ K ÒÏ×ÎÏ × Ä×ÕÈ ÔÏÞËÁÈ É ÒÁÚÄÅÌÑÀÔ ÕÚÌÙ P É Q, K1 TÉ K2 . ðÏÓÌÅ ÍÁÌÏÇÏ ÛÅ×ÅÌÅ2 ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÎÉÑ ÜÔÉÈ ÓÆÅÒ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï SP2 Q S12

120

÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×

2 S12

Ki

SP2 Q

P Kj′

òÉÓ. 5. óÆÅÒÙ

SP2 Q

É

2 S12

A SP2 Q

P B

òÉÓ. 6. õÎÉÞÔÏÖÅÎÉÅ ËÒÉ×ÙÈ, ÎÅ ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÈ ÔÏÞËÉ

AÉB

ÞÉÓÌÁ ÇÌÁÄËÉÈ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ÎÅÓÁÍÏÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ (É ÏÁÒÎÏ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ) ËÒÉ×ÙÈ 1 ; : : : ; n . îÁÛÁ ÚÁÄÁÞÁ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÕÎÉÞÔÏÖÉÔØ ×ÓÅ 2 ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÍÉÓÑ (ÒÉÓ. 5). ËÒÉ×ÙÅ 1 ; : : : ; n É ÓÄÅÌÁÔØ ÓÆÅÒÙ SP2 Q É S12 ðÕÓÔØ A É B | ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÓÆÅÒÙ SP2 Q É ÕÚÌÁ K . ëÁÖÄÁÑ ËÒÉ×ÁÑ

i ÌÅÖÉÔ ÎÁ SP2 Q , ÏÜÔÏÍÕ ÏÎÁ ÌÉÂÏ ÒÁÚÄÅÌÑÅÔ, ÌÉÂÏ ÎÅ ÒÁÚÄÅÌÑÅÔ ÔÏÞËÉ A É B . ëÒÉ×ÙÅ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÒÁÚÄÅÌÑÀÔ ÔÏÞËÉ A É B , ÌÅÇËÏ ÕÎÉÞÔÏÖÁÀÔÓÑ; ÎÁÞÉÎÁÔØ ÎÕÖÎÏ Ó ÔÅÈ ËÒÉ×ÙÈ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔ ×ÎÕÔÒÉ ÓÅÂÑ ÄÒÕÇÉÈ ËÒÉ×ÙÈ (ÒÉÓ. 6). ðÒÉ ÕÎÉÞÔÏÖÅÎÉÉ ËÒÉ×ÙÈ i , ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÈ ÔÏÞËÉ A É B , ÎÕÖÎÏ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÒÏÓÔÏÔÏÊ ÕÚÌÁ P . óÆÅÒÁ SP2 Q ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ S 3 ÎÁ Ä×Á ÔÒÅÈÍÅÒÎÙÈ ÄÉÓËÁ. ðÕÓÔØ DP3 | ÔÏÔ ÉÚ ÜÔÉÈ ÄÉÓËÏ×, TËÏÔÏÒÙÊ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÕÚÅÌ P . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ËÏÍ2 , ÓÏÄÅÒÖÁÝÕÀ ËÒÉ×ÕÀ i . üÔÁ ËÏÍÏÎÅÎÏÎÅÎÔÕ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á DP3 S12 ÔÁ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÌÉÂÏ Ä×ÕÍÅÒÎÙÍ ÄÉÓËÏÍ (ÒÉÓ. 7 (Á)), ÌÉÂÏ ÉÌÉÎÄÒÏÍ (ÒÉÓ. 7 (Â)). ÷Ï ×ÔÏÒÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ËÒÉ×ÁÑ i ÕÎÉÞÔÏÖÁÅÔÓÑ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÅÝÅ ÏÄÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ (×ÔÏÒÙÍ ËÒÁÅÍ ÉÌÉÎÄÒÁ). ÷ ÅÒ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ Ä×ÕÍÅÒÎÙÊ ÄÉÓË D2 ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÕÚÅÌ K ÒÏ×ÎÏ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ (ÍÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ÏÂÁ ÕÚÌÁ K1 É K2 ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙ; 2 S12

SP2 Q

P

2 S12

2 S12

Dp3

(Á)

SP2 Q

P Dp3

(Â)

òÉÓ. 7. ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ, ÎÁÔÑÎÕÔÁÑ ÎÁ ËÒÉ×ÕÀ

i

121

ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ úÅÊÆÅÒÔÁ

òÉÓ. 8. ÒÉÌÉÓÔÎÉË ÎÁ ÔÏÒÅ

ÅÓÌÉ ÏÄÉÎ ÉÚ ÜÔÉÈ ÕÚÌÏ× ÔÒÉ×ÉÁÌÅÎ, ÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ). üÔÏ 2 ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÕÚÅÌ K ÒÏ×ÎÏ × Ä×ÕÈ ÔÏÞËÁÈ, Á ÅÓÌÉ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÓÆÅÒÁ S12 ÂÙ ÄÉÓË D2 ÅÒÅÓÅËÁÌ ÕÚÅÌ K × Ä×ÕÈ ÔÏÞËÁÈ, ÔÏ ÏÄÉÎ ÉÚ ÕÚÌÏ× K1 É K2 ÂÙÌ ÂÙ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÍ, Á ÄÒÕÇÏÊ ÓÏ×ÁÄÁÌ ÂÙ Ó P . éÚ ÒÏÓÔÏÔÙ ÕÚÌÁ P ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ × DP3 ÏÎ ÅÌÉËÏÍ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎ Ï ÏÄÎÕ ÓÔÏÒÏÎÕ ÏÔ ÄÉÓËÁ D2 , ÏÜÔÏÍÕ ÄÉÓË D2 ÍÏÖÎÏ ÕÎÉÞÔÏÖÉÔØ, ÕÎÉÞÔÏÖÉ× ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ËÒÉ×ÕÀ i .  òÁÓÓÌÏÅÎÎÙÅ ÕÚÌÙ

õÚÅÌ K ⊂ S 3 ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÒÁÓÓÌÏÅÎÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ úÅÊÆÅÒÔÁ F' ; ' ∈ [0; 2), ËÏÔÏÒÙÅ ÅÌÉËÏÍ ÚÁÏÌÎÑÀÔ ÓÆÅÒÕ S 3 , ÒÉÞÅÍ Ä×Å ÒÁÚÎÙÅ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ Ï K . ÅÏÒÅÍÁ 4. ÒÉÌÉÓÔÎÉË | ÒÁÓÓÌÏÅÎÎÙÊ ÕÚÅÌ. óÆÅÒÕ S 3 = {(z; w) ∈ C2 |z |2 + |w|2 = 1} ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÙÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ |z | 6 |w| É |z | > |w|. ëÁÖÄÏÅ ÉÚ ÜÔÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÎÏÔÏÒÉÅÍ; ÉÈ ÏÂÝÁÑ ÇÒÁÎÉ Á | ÔÏÒ. îÁ ÜÔÏÍ ÔÏÒÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎ ÔÒÉÌÉÓÔÎÉË K , ÚÁÄÁÎÎÙÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ z 2 = w3 (ÒÉÓ. 8). äÌÑ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÏÌÎÏÔÏÒÉÊ ÍÙ ÏÓÔÒÏÉÍ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÚÁÏÌÎÑÀÝÉÈ ÅÇÏ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ G' , ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÁ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÊ ÎÁ ÒÉÓ. 9. ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ F' ÌÅÇËÏ ÂÕÄÅÔ ÏÓÔÒÏÉÔØ, ÚÁËÌÅÉ× Ä×Å ËÒÕÇÌÙÅ ÄÙÒËÉ × Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ G' ÄÉÓËÁÍÉ. ïÄÎÁ ÉÚ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ G' ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 10 (Á); ÅÅ ËÒÁÊ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÕÚÌÁ K É Ä×ÕÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ C1 É C2 . þÔÏÂÙ ÂÏÌÅÅ ÄÅÔÁÌØÎÏ ÏÉÓÁÔØ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ G' ,

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

K

òÉÓ. 9. þÁÓÔØ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ

F'

122

÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×

l1

l2

K C2

C1

(Á)

(Â)

òÉÓ. 10. óÔÒÏÅÎÉÅ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ

B

D

D

D

G'

B

B C

C A

A

A

C

òÉÓ. 11. ÒÉ ÒÏÅË ÉÉ ÎÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ

ÍÙ ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÏÌÎÏÔÏÒÉÅ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÉÚ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÒÑÍÏÇÏ ËÒÕÇÏ×ÏÇÏ ÉÌÉÎÄÒÁ ÏÞÅ×ÉÄÎÏÊ ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÅÊ. îÁ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÉÌÉÎÄÒÁ ÔÒÉÌÉÓÔÎÉËÕ K ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ Ä×Å ×ÉÎÔÏ×ÙÅ ÌÉÎÉÉ (ÒÉÓ. 10 (Â)). æÉËÓÉÒÕÅÍ ÄÌÑ ÉÌÉÎÄÒÁ Ä×Å ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÅ ÏÏÒÎÙÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ 1 É 2 É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ G′ , ÓÏÓÔÏÑÝÕÀ ÉÚ ÏÔÒÅÚËÏ×, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÏÏÒÎÙÍ ÌÏÓËÏÓÔÑÍ; ËÏÎ Ù ÏÔÒÅÚËÏ× ÌÅÖÁÔ ÒÉ ÜÔÏÍ ÎÁ ÓÏÓÅÄÎÉÈ ×ÉÔËÁÈ ×ÉÎÔÏ×ÙÈ ÌÉÎÉÊ. þÁÓÔØ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ G′ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 10 (Â). çÒÁÎÉ Á Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ G′ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ Ä×ÕÈ ×ÉÎÔÏ×ÙÈ ÌÉÎÉÊ É ÒÑÍÙÈ l1 É l2 , Ï ËÏÔÏÒÙÍ ÏÏÒÎÙÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ ËÁÓÁÀÔÓÑ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÉÌÉÎÄÒÁ. ðÏ×ÏÒÁÞÉ×ÁÑ ÏÏÒÎÙÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ G′' (ÕÇÏÌ ' ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÕÄ×ÏÅÎÎÏÍÕ ÕÇÌÕ Ï×ÏÒÏÔÁ ÏÏÒÎÙÈ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ). ä×Å ×ÉÎÔÏ×ÙÅ ÌÉÎÉÉ ÓÌÕÖÁÔ ÏÂÝÉÍ ËÒÁÅÍ ×ÓÅÈ ÜÔÉÈ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ. òÁÓÓÍÏÔÒÅ× ÒÏÅË ÉÉ ÎÁ ÔÒÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÍÏÖÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ Ä×Å ÒÁÚÎÙÅ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ G′' ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÉÈ ÔÏÞÅË ÏÍÉÍÏ ÉÈ ÏÂÝÅÇÏ ËÒÁÑ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÅÓÌÉ ÒÏÅË ÉÉ ÏÔÒÅÚËÏ× AB É CD, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏÓÔÏÑÔ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ G′' , ÎÁ Ä×Å ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ, ÔÏ ÉÈ ÒÏÅË ÉÉ ÎÁ ÔÒÅÔØÀ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÕÀ ÌÏÓËÏÓÔØ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ (ÒÉÓ. 11). ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÔÏÞËÁ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÉÌÉÎÄÒÁ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ G′' . ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ É ËÁÖÄÁÑ ×ÎÕÔÒÅÎÎÑÑ ÔÏÞËÁ x ÉÌÉÎÄÒÁ ÔÏÖÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ G′' . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÞÁÓÔØ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ G′ , ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÕÀ ÎÁ ÒÉÓ. 10 (Â). ðÒÑÍÁÑ lx , ÒÏ×ÅÄÅÎÎÁÑ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ x ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏ ÏÓÉ ÉÌÉÎÄÒÁ, ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÜÔÕ ÞÁÓÔØ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ G′ ÒÏ×ÎÏ × ÏÄÎÏÊ

123

ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ úÅÊÆÅÒÔÁ

C1

C2

òÉÓ. 12. óÅÍÅÊÓÔ×Ï Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ × ÄÒÕÇÏÍ ÏÌÎÏÔÏÒÉÉ

ÔÏÞËÅ x(0). ðÏ×ÏÒÁÞÉ×ÁÑ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ G′ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ T ÅÅ ËÒÁÑ Ä×ÉÇÁÌÉÓØ Ï ×ÉÎÔÏ×ÙÍ ÌÉÎÉÑÍ, ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÌÕÞÁÔØ ÔÏÞËÉ x(') ∈ lx G′' (mod 2) ; ' ∈ R. ÏÞËÁ x(') ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ' É ÌÀÂÁÑ ÔÏÞËÁ ÒÑÍÏÊ lx ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÁ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÁÍÉ x(2n) É x(2(n + 1)) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ n ∈ Z. ðÏÜÔÏÍÕ x = x(') ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ' ∈ R. íÙ ÒÁÚÏÂÒÁÌÉÓØ Ó ÏÄÎÉÍ ÏÌÎÏÔÏÒÉÅÍ. îÁ ÄÒÕÇÏÍ ÏÌÎÏÔÏÒÉÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ C1 É C2 ×ÙÇÌÑÄÑÔ ÔÁË, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 12. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÄÉÓËÉ, ÚÁËÌÅÉ×ÁÀÝÉÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÔÁËÉÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ, ÚÁÏÌÎÑÀÔ ÏÌÎÏÔÏÒÉÅ É ÏÁÒÎÏ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ.  âÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÉËÌÉÞÅÓËÏÅ ÎÁËÒÙÔÉÅ

ïÓÔÁ×ÛÁÑÓÑ ÞÁÓÔØ ÓÔÁÔØÉ ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÁ ÄÌÑ ÔÅÈ, ËÔÏ ÚÎÁËÏÍ Ó ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÔÅÏÒÉÉ ÎÁËÒÙÔÉÊ. åÓÌÉ X | ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÈÏÒÏÛÅÅ ÌÉÎÅÊÎÏ Ó×ÑÚÎÏÅ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÏÄÇÒÕÙ  ⊂ 1 (X; x0 ) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ ÎÁËÒÙÔÉÅ p : X~ → ~ x~0 ) = , p(~x0 ) = x0 . äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÈÏÒÏÛÉÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ, ÎÁÒÉÍÅÒ, X , ÞÔÏ p∗ 1 (X; ÌÀÂÏÅ ÌÏËÁÌØÎÏ ÌÉÎÅÊÎÏ Ó×ÑÚÎÏÅ ÌÏËÁÌØÎÏ ÏÄÎÏÓ×ÑÚÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï. îÁÓ ÂÕÄÅÔ × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ ÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÔØ ÓÌÕÞÁÊ X = S 3 \ K , ÇÄÅ K | ÕÚÅÌ, ÎÏ ÉËÌÉÞÅÓËÉÅ ÎÁËÒÙÔÉÑ ÕÄÏÂÎÏ ÏÂÓÕÄÉÔØ ÓÒÁÚÕ × ÏÂÝÅÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ. ~ x~0 ) ⊂ îÁËÒÙÔÉÅ p : X~ → X ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÉËÌÉÞÅÓËÉÍ, ÅÓÌÉ ÏÄÇÒÕÁ p∗ 1 (X; ~ 1 (X; x0 ) ÎÏÒÍÁÌØÎÁÑ É ÆÁËÔÏÒÇÒÕÁ G = 1 (X; x0 )=p∗1 (X; x~0 ) ÉËÌÉÞÅÓËÁÑ. åÓÌÉ G = Zn , ÔÏ ÎÁËÒÙÔÉÅ p ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÉËÌÉÞÅÓËÉÍ ÏÒÑÄËÁ n, Á ÅÓÌÉ G = Z, ÔÏ ÎÁËÒÙÔÉÅ p ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÍ ÉËÌÉÞÅÓËÉÍ. éÚ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÔÅÏÒÅÍ ÔÅÏÒÉÉ ÎÁËÒÙÔÉÊ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÎÁËÒÙÔÉÅ p : X~ → X ÉËÌÉÞÅÓËÏÅ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÇÒÕÁ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÜÔÏÇÏ ÎÁËÒÙÔÉÑ ÉËÌÉÞÅÓËÁÑ, ÒÉÞÅÍ ÇÒÕÁ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ÎÁËÒÙÔÉÉ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ, Ô. Å. ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÔÏÞÅË x~1 ; x~2 ∈ p−1 (x0 ) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍ ÎÁËÒÙÔÉÑ, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÊ x~1 × x~2 . ~ x~0 ) ÁÂÅÌÅ×Á, ÏÜÔÏÍÕ äÌÑ ÉËÌÉÞÅÓËÉÈ ÎÁËÒÙÔÉÊ ÇÒÕÁ 1 (X; x0 )=p∗ 1 (X; ′ ~ x~0 ) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ËÏÍÍÕÔÁÎÔ  ÇÒÕÙ 1 (X; x0 ). üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÇÒÕÁ p∗1 (X; ÅÓÌÉ 1 (X; x0 )=′ ∼ = Z, ÔÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÉËÌÉÞÅÓËÏÅ ÎÁËÒÙÔÉÅ p : X~ → X ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏ (Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÎÁËÒÙÔÉÊ). äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØ∼ 1 (X; x0 )=p∗ 1 (X; ~ x~0 ) ⊃ ′ É 1 (X; x0 )=′ = ~ x~0 ), ÔÏ p∗ 1 (X; ~ x~0 ) = ÎÏ, ÅÓÌÉ 1 (X; ′ ~ =  , Á ÏÄÇÒÕÁ p∗ 1 (X; x~0 ) ⊃ 1 (X; x0 ) ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÚÁÄÁÅÔ ÎÁËÒÙÔÉÅ.

124

÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×

K

K F− F+

K

(Á)

F



F

K

(Â)

+

F−

F+

(×)

− Fi−1

K + Fi−1

Fi−

K Fi+

− Fi+1

+ Fi+1

(Ç)

òÉÓ. 13. ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÉËÌÉÞÅÓËÏÇÏ ÎÁËÒÙÔÉÑ

ãÉËÌÉÞÅÓËÏÅ ÎÁËÒÙÔÉÅ ÏÒÑÄËÁ n × ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÔÏÖÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏ, ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ × Z ÅÓÔØ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÁ ÇÒÕÁ H , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ Z=H ∼ = Zn , Á ÉÍÅÎÎÏ, H = nZ. åÓÌÉ K | ÕÚÅÌ × S 3 , ÔÏ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÁÑ ÇÒÕÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á X = S 3 \ K ËÁË ÒÁÚ É ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÔÅÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ÞÔÏ ÆÁËÔÏÒÇÒÕÁ ÅÅ Ï ËÏÍÍÕÔÁÎÔÕ ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ Z. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ X = S 3 \ K ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÉËÌÉÞÅÓËÏÅ ÎÁËÒÙÔÉÅ p : X~ → X . ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï X~ ÕÄÏÂÎÏ ÓÔÒÏÉÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ úÅÊÆÅÒÔÁ ÕÚÌÁ K . îÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÜÔÏÊ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ úÅÊÆÅÒÔÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï X~ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏ (Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÉÚÍÁ). 3 ðÕÓÔØ F | Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ úÅÊÆÅÒÔÁ ÕÚÌÁ K . òÁÚÒÅÖÅÍ ÓÆÅÒÕ S − S Ï F . ÷ ÒÅ3 + ÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÉÍ 3-ÍÅÒÎÏÅ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅ M Ó ËÒÁÅÍ F F ; ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ a ∈ F \ K ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ Ä×Å ÔÏÞËÉ a+ ∈ F + É a− ∈ F − (×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ×ÙÂÒÁÔØ ÚÎÁËÉ + É − ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÏÒÉÅÎÔÉÒÕÅÍÏÓÔÉ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ F ). ÷ÏÚØÍÅÍ ÓÞÅÔÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÜËÚÅÍÌÑÒÏ× Mi3 ; i ∈ Z, ÔÁËÉÈ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÊ É ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÉÍ Fi+−1 Ó Fi− (ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÞËÉ a+i−1 É a−i , ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ÔÏÞËÅ). óÈÅÍÁÔÉÞÎÏ ÜÔÁ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÑ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 13. ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï X~ ÎÁËÒÙ×ÁÅÔ X = S 3 \ K . ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ Mi3 → Mi3+1 ; i ∈ Z, ÉÎÄÕ ÉÒÕÀÔ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍ  ÜÔÏÇÏ ÎÁËÒÙÔÉÑ, ÒÉÞÅÍ ÇÒÕÁ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÎÁËÒÙÔÉÑ ÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ  É ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ Z. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÇÒÕÁ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ÎÁËÒÙÔÉÉ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. ðÏÜÔÏÍÕ p : X~ → X | ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÉËÌÉÞÅÓËÏÅ ÎÁËÒÙÔÉÅ. âÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÉËÌÉÞÅÓËÏÅ ÎÁËÒÙÔÉÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á S 3 \ K ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÄÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ×ÁÖÎÏÇÏ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁ ÕÚÌÁ K | ÏÌÉÎÏÍÁ áÌÅËÓÁÎÄÅÒÁ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÏÄÎÏ ÉÚ ÍÎÏÇÉÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ ÔÏÖÅ ÉÓÏÌØÚÕÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÉËÌÉÞÅÓËÏÅ ÎÁËÒÙÔÉÅ. ëÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ

ðÕÓÔØ J É K | ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÚÁÍËÎÕÔÙÅ ËÒÉ×ÙÅ × S 3 . ðÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÜÔÉ ËÒÉ×ÙÅ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ É ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÇÏ ÉÚ ËÒÉ×ÙÈ J É K . âÕÄÅÍ ÏÂÒÁÝÁÔØ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÌÉÛØ ÎÁ ÔÅ ÅÒÅËÒÅÓÔËÉ, ÇÄÅ ËÒÉ×ÁÑ K ÒÏÈÏÄÉÔ ÎÁÄ J . ÁËÉÅ ÅÒÅËÒÅÓÔËÉ ÂÙ×ÁÀÔ Ä×ÕÈ ÔÉÏ× (ÓÍ. ÒÉÓ. 14). äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÇÏ ÅÒÅËÒÅÓÔËÁ ×ÏÚØÍÅÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ "i = ±1 É ÓÌÏÖÉÍ ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ "i . ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÞÉÓÌÏ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ËÒÉ×ÙÈ J É K × S 3 É

125

ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ úÅÊÆÅÒÔÁ

K J K ε = +1

J ε = −1

òÉÓ. 14. ÷ÙÂÏÒ ÚÎÁËÁ

ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ lk(J; K ). ÷ [2℄ ÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ {J; K }; ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, lk(J; K ) = lk(K; J ). éÚ×ÅÓÔÎÏ ÍÎÏÇÏ ÄÒÕÇÉÈ (ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÈ) ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ. íÙ ÒÉ×ÅÄÅÍ Ä×Á ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ, ÅÒ×ÏÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÉÓÏÌØÚÕÅÔ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ úÅÊÆÅÒÔÁ Ñ×ÎÏ, Á ×ÔÏÒÏÅ | ÎÅÑ×ÎÏ, ÞÅÒÅÚ ÏÓÒÅÄÓÔ×Ï ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÉËÌÉÞÅÓËÏÇÏ ÎÁËÒÙÔÉÑ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. ðÕÓÔØ F | Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ úÅÊÆÅÒÔÁ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÕÚÌÁ J . âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÕÚÅÌ K ÔÒÁÎÓ×ÅÒÓÁÌØÎÏ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ F × ËÏÎÅÞÎÏÍ ÞÉÓÌÅ ÔÏÞÅË. ëÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÓÏÏÓÔÁ×ÉÍ ÞÉÓÌÏ "i = ±1 Ï ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÒÁ×ÉÌÕ. úÁÄÁÄÉÍ ÎÁ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ úÅÊÆÅÒÔÁ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÀ, ÓÞÉÔÁÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÒÅÅÒ {e1; e2 }, ÇÄÅ e1 | ×ÅËÔÏÒ ÓËÏÒÏÓÔÉ ËÒÉ×ÏÊ J , e2 | ×ÅËÔÏÒ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ ÎÏÒÍÁÌÉ (ÏÎ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÅÎ e1 , ËÁÓÁÅÔÓÑ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ F T É ÎÁÒÁ×ÌÅÎ ×ÎÕÔÒØ F ). ðÕÓÔØ e3 | ×ÅËÔÏÒ ÓËÏÒÏÓÔÉ ËÒÉ×ÏÊ K × ÔÏÞËÅ a ∈ K F , {e′1; e′2 } | ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÒÅÅÒ ÎÁ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ F × ÔÏÞËÅ a. ÏÇÄÁ "i = +1, ÅÓÌÉ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÑ ÒÅÅÒÁ {e′1; e′2 ; e3 } ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÅÊ ÓÆÅÒÙ S 3 ; × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ "i = −1. óÕÍÍÕ ×ÓÅÈ ÞÉÓÅÌ "i ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ ËÒÉ×ÙÈ J É K . ~ → X | ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÉËÌÉÞÅÓËÏÅ ÎÁËÒÙÔÉÅ ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2. ðÕÓÔØ p : X 3 ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á X = S \ J ,  | ÏÂÒÁÚÕÀÝÁÑ ÇÒÕÙ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÜÔÏÇÏ ÎÁËÒÙÔÉÑ (ÔÁËÉÈ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ Ä×Å; ËÁËÕÀ ÉÍÅÎÎÏ ÎÕÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ, ÍÙ ÏÂÓÕÄÉÍ ÞÕÔØ ÏÚÖÅ). ëÒÉ×ÕÀ K ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÅÔÌÀ × X Ó ÎÁÞÁÌÏÍ É ËÏÎ ÏÍ × ÔÏÞËÅ x0 ∈ K . ðÕÓÔØ x~1 ∈ p−1 (x0 ). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÄÎÑÔÉÅ ÅÔÌÉ K Ó ÎÁÞÁÌÏÍ × ÔÏÞËÅ x~1 . ðÕÓÔØ x~2 | ËÏÎÅ ÜÔÏÇÏ ÏÄÎÑÔÉÑ. ÏÇÄÁ x~2 = m (~x1 ). þÉÓÌÏ m ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ ËÒÉ×ÙÈ J É K . ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ 1 É 2 ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ ÉÓÈÏÄÎÏÍÕ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ 1 ÅÓÔØ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ úÅÊÆÅÒÔÁ F , Á × ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ 2 ÔÁËÏÊ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÎÅÔ. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ: Á) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ úÅÊÆÅÒÔÁ F ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1 ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÉÓÈÏÄÎÙÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ; Â) ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ úÅÊÆÅÒÔÁ F ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1 ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ 2. îÁÞÎÅÍ Ó ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ Á). íÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ úÅÊÆÅÒÔÁ F ÕÚÌÁ J ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÁ ÎÁÄ ÌÏÓËÏÓÔØÀ ÅÇÏ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ (ÚÄÅÓØ ÍÙ ÎÅ ÏÂÒÁÝÁÅÍ ×ÎÉÍÁÎÉÑ ÎÁ ÅÒÅËÒÅÓÔËÉ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÕÚÌÁ J , ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ÒÏÅË ÉÑ ËÒÉ×ÏÊ K ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÉÈ). íÏÖÎÏ ÔÁËÖÅ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ËÒÉ×ÁÑ K ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÁ × ÌÏÓËÏÓÔÉ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ É ÌÉÛØ ÎÁ ÅÒÅËÒÅÓÔËÁÈ ÒÏÈÏÄÉÔ ÏÄ ÉÌÉ ÎÁÄ

126

÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×

K e2

e1

J ε = +1

e3

J ε = −1

K

òÉÓ. 15. ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÕÚÌÁ É Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ úÅÊÆÅÒÔÁ

F+ F−

− Fi+ Fi+1

K x0 òÉÓ. 16. ÷ÙÂÏÒ ÚÎÁËÁ

ÌÏÓËÏÓÔØÀ. ÷ ÔÁËÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ ËÒÉ×ÁÑ K ÅÒÅÓÅËÁÅÔ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ F × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÎÁ ÔÅÈ ÅÒÅËÒÅÓÔËÁÈ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ËÒÉ×ÁÑ K ÒÏÈÏÄÉÔ ÎÁÄ J . ðÒÉ ÜÔÏÍ ÚÎÁËÉ ±, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÔÏÞËÁÍ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ K É F , ÓÏ×ÁÄÁÀÔ ÓÏ ÚÎÁËÁÍÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÅÒÅËÒÅÓÔËÁÍ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ {J; K } (ÒÉÓ. 15). úÁÊÍÅÍÓÑ ÔÅÅÒØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÏÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ Â). ðÏ ÈÏÄÕ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÍÙ ×ÙÑÓÎÉÍ, ËÁËÕÀ ÉÍÅÎÎÏ ÉÚ Ä×ÕÈ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÙ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÎÁËÒÙÔÉÑ ÎÕÖÎÏ ×ÙÂÉÒÁÔØ. ðÏÓÔÒÏÉÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï X~ Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ úÅÊÆÅÒÔÁ F ÕÚÌÁ J . ðÕÓÔØ ÓÎÁÞÁÌÁ ËÒÉ×ÁÑ K ÅÒÅÓÅËÁÅÔ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ F ÒÏ×ÎÏ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ, ÒÉÞÅÍ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ × ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ ÏÔ F + Ë F − (ÒÉÓ. 16). ÏÇÄÁ ÅÓÌÉ x~1 É x~2 | ÎÁÞÁÌÏ É ËÏÎÅ ÏÄÎÑÔÉÑ ÅÔÌÉ K , ÔÏ x~2 = (~x1 ), ÇÄÅ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍ  ÉÎÄÕ ÉÒÏ×ÁÎ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍÉ Mi3 → Mi3+1 . ðÏÜÔÏÍÕ ÚÎÁËÉ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ F + É F − ÎÕÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÒÅÅÒ ÎÁ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ F ×ÍÅÓÔÅ Ó ×ÅËÔÏÒÏÍ, ÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÙÍ ÏÔ F + Ë F − , ÏÂÒÁÚÏ×Ù×ÁÌ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÒÅÅÒ × S 3 . (÷ÙÂÏÒ ÚÎÁËÏ× Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ F + É F − ÜË×É×ÁÌÅÎÔÅÎ ×ÙÂÏÒÕ ÏÂÒÁÚÕÀÝÅÊ .) ðÒÉ ÔÁËÏÍ ×ÙÂÏÒÅ ÚÎÁËÏ× × ÏÂÝÅÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ËÒÉ×ÏÊ K Ó Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØÀ F (Ó ÕÞÅÔÏÍ ÚÎÁËÏ×) ÒÁ×ÎÏ ËÁË ÉÎÄÅËÓÕ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ, ×ÙÞÉÓÌÅÎÎÏÍÕ Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ 1, ÔÁË É ÉÎÄÅËÓÕ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ, ×ÙÞÉÓÌÅÎÎÏÍÕ Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ 2. óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

[1℄ ðÒÁÓÏÌÏ× ÷. ÷. îÁÇÌÑÄÎÁÑ ÔÏÏÌÏÇÉÑ. í.: íãîíï, 1995. [2℄ ðÒÁÓÏÌÏ× ÷. ÷., óÏÓÉÎÓËÉÊ á. â. õÚÌÙ, ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ, ËÏÓÙ É ÔÒÅÈÍÅÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑ. í.: íãîíï, 1997.

óÔÕÄÅÎÞÅÓËÉÅ ÞÔÅÎÉÑ

ï ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ

á. á. òÁÚÂÏÒÏ× ìÅË ÉÑ, ÒÏÞÉÔÁÎÎÁÑ ÓÔÕÄÅÎÔÁÍ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ëÏÌÌÅÄÖÁ îíõ 23 ÁÒÅÌÑ 1998 Ç.

üÔÁ ÌÅË ÉÑ ÒÁÓÓÞÉÔÁÎÁ ÎÁ ÔÅÈ, ËÔÏ ÎÅ ÚÎÁËÏÍ Ó ÔÅÏÒÉÅÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ. ðÏÜÔÏÍÕ ÚÄÅÓØ ÂÕÄÅÔ ÒÁÓÓËÁÚÁÎÏ ÔÏÌØËÏ Ï ÏÓÎÏ×ÁÈ ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÉÉ É ÓÁÍÙÈ ÅÒ×ÙÈ ÅÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÈ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÍÙ ÏÓÔÁÒÁÅÍÓÑ ÅÒÅÄÁÔØ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÉÄÅÉ, ËÏÔÏÒÙÍÉ ÒÕËÏ×ÏÄÓÔ×ÕÀÔÓÑ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌÉ × ÜÔÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ÎÁÕËÉ. óÀÖÅÔÎÏÊ ËÁÎ×ÏÊ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ÒÁÓÓËÁÚÁ ÏÓÌÕÖÁÔ ÉÓÔÏÒÉÉ, ÒÏÉÓÈÏÄÑÝÉÅ Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÅÒÓÏÎÁÖÅÍ | ÎÁÚÏ×ÅÍ ÅÇÏ í (ÏÔ ÓÌÏ×Á €ÍÁÔÅÍÁÔÉˁ). é ÎÁÞÎÅÍ ÒÁÓÓËÁÚ ÓÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÉÓÔÏÒÉÉ. 1. ðÒÅÄÙÓÔÏÒÉÑ

ïÄÎÁÖÄÙ í ÓÉÄÅÌ ÄÏÍÁ É ÙÔÁÌÓÑ ÄÏËÁÚÁÔØ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ (×ÏÚÍÏÖÎÏ ×ÁÖÎÕÀ, ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÎÅÔ) ÔÅÏÒÅÍÕ  . ïÎ ÙÔÁÌÓÑ ÄÏËÁÚÁÔØ ÜÔÕ ÔÅÏÒÅÍÕ × ÔÅÞÅÎÉÅ ÎÅÄÅÌÉ, Ä×ÕÈ, ÍÅÓÑ Á, . . . , ÎÏ ÎÉÞÅÇÏ Õ ÎÅÇÏ ÎÅ ÏÌÕÞÁÌÏÓØ. ÷ ËÏÎ Å ËÏÎ Ï× ÏÎ ÎÅ ×ÙÄÅÒÖÁÌ É ÚÁÄÁÌ ×ÏÌÎÅ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ×ÏÒÏÓ: Á ÍÏÖÎÏ ÌÉ × ÒÉÎ ÉÅ ÄÏËÁÚÁÔØ ÜÔÕ ÔÅÏÒÅÍÕ? ÷ÏÒÏÓ ÂÙÌ ÏÂÒÁÝÅÎ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏ Ë ËÏÍÕ, É, ÓËÏÒÅÅ ×ÓÅÇÏ, ÕÌÅÔÅÌ ÂÙ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÅÓÌÉ ÂÙ ÍÉÍÏ ÎÅ ÒÏÈÏÄÉÌ ÄÒÕÇÏÊ ÎÁÛ ÅÒÓÏÎÁÖ, ËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÂÕË×ÏÊ ì, ÏÔ ÓÌÏ×Á €ÌÏÇÉˁ. ì ÕÓÌÙÛÁÌ ×ÏÒÏÓ, ÚÁÛÅÌ × ËÏÍÎÁÔÕ É ÏÂßÑÓÎÉÌ, ÞÔÏ ÔÁËÉÍÉ ×ÏÒÏÓÁÍÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÎÁÞÁÌÉ ÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÔØÓÑ ÒÉÍÅÒÎÏ Ó ÎÁÞÁÌÁ 20-ÇÏ ×ÅËÁ. ÷ ÏÂÝÅÍ ×ÉÄÅ ÜÔÏÔ ×ÏÒÏÓ ×ÈÏÄÉÔ × ÚÎÁÍÅÎÉÔÕÀ €ÒÏÇÒÁÍÍÕ çÉÌØÂÅÒÔÁ, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÕÀ ÏÎÑÔÉÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á. üÔÁ ÒÏÇÒÁÍÍÁ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ×ËÌÀÞÁÌÁ ÔÒÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÕÎËÔÁ. 1) æÏÒÍÁÌÉÚÁ ÉÑ ÏÎÑÔÉÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á.

ðÅÒÅÄ ÔÅÍ ËÁË ÚÁÄÁ×ÁÔØ ×ÏÒÏÓÙ Ï ÔÏÍ, ÍÏÖÎÏ ÌÉ ÄÏËÁÚÁÔØ ÔÏ ÉÌÉ ÉÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÄÁÔØ ÓÔÒÏÇÏÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÄÏËÁÚÕÅÍÏÓÔÉ.

128

á. á. òÁÚÂÏÒÏ×

2) ðÏÌÎÏÔÁ.

ðÏÓÌÅ ÆÏÒÍÁÌÉÚÁ ÉÉ ÏÎÑÔÉÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÎÕÖÎÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÏÌÎÏÔÕ ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÊ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÔÅÏÒÉÉ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÉÓÔÉÎÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ  ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÄÏËÁÚÕÅÍÙÍ × ÎÁÛÅÊ ÆÏÒÍÁÌÉÚÁ ÉÉ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ (× ÓÉÌÕ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÓÔÏÒÉÞÅÓËÉÈ ÒÉÞÉÎ), ÓÁÍÏÇÏ çÉÌØÂÅÒÔÁ ÒÅÉÍÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÌ ×ÏÒÏÓ Ï ÄÏËÁÚÕÅÍÏÓÔÉ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ Ï ÎÅÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉ×ÏÓÔÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÆÏÒÍÁÌÉÚÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÏÄÈÏÄÑÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ.

3) òÁÚÒÅÛÉÍÏÓÔØ.

óÌÅÄÕÀÝÅÊ ÅÌØÀ ÒÏÇÒÁÍÍÙ ÂÙÌÏ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÔÁËÏÇÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Á, ËÏÔÏÒÏÅ Ï ×ÎÅÛÎÅÍÕ ×ÉÄÕ ÔÅÏÒÅÍÙ  , ÚÁÉÓÁÎÎÏÊ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÑÚÙËÅ, ÏÒÅÄÅÌÑÌÏ ÂÙ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÜÔÁ ÔÅÏÒÅÍÁ ÄÏËÁÚÕÅÍÏÊ (ÒÅÄÏÌÁÇÁÌÏÓØ, ÞÔÏ × ÓÉÌÕ ÕÎËÔÁ 2 ÒÏÇÒÁÍÍÙ ÜÔÏ ÂÕÄÅÔ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ). èÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÅÒ×ÙÊ ÕÎËÔ ÒÏÇÒÁÍÍÙ ÂÙÌ ÕÓÅÛÎÏ ×ÙÏÌÎÅÎ. ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÏÄ ÓÌÏ×ÏÍ €ÔÅÏÒÅÍÁ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× (ÈÏÔÑ ÎÅ ×ÓÅ ÜÔÏ ÒÉÚÎÁÀÔ) ÏÎÉÍÁÅÔ ÔÏ, ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ × ÔÅÏÒÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× ãÅÒÍÅÌÏ { æÒÅÎËÅÌÑ. èÕÖÅ ÄÅÌÏ ÏÂÓÔÏÑÌÏ Ó ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ Ä×ÕÍÑ ÕÎËÔÁÍÉ. ðÅÒ×ÙÍ ÕÄÁÒÏÍ, ÏÔÒÑÓÛÉÍ × Ó×ÏÅ ×ÒÅÍÑ ×ÓÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÓÏÏÂÝÅÓÔ×Ï, ÂÙÌ ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ × 30-Å ÇÏÄÙ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ëÕÒÔÁ çÅÄÅÌÑ, ÕÔ×ÅÒÖÄÁÀÝÉÊ, ÞÔÏ ÎÉËÁËÁÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÓÉÌØÎÁÑ ÔÅÏÒÉÑ Ó ÚÁÄÁ×ÁÅÍÙÍ Ñ×ÎÙÍ ÓÉÓËÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÁËÓÉÏÍ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÌÎÏÊ. âÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏ, ÅÓÌÉ ÎÁÛÁ ÔÅÏÒÉÑ ÎÅÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉ×Á É × ÎÅÊ ÍÏÖÎÏ ÆÏÒÍÁÌÉÚÏ×ÁÔØ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ Ï ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÌÁÈ, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÅÌØÚÑ ÎÉ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÎÉ ÏÒÏ×ÅÒÇÎÕÔØ, ÂÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, × ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ ÉÎÔÅÒÅÓÏ×Á×ÛÅÅ çÉÌØÂÅÒÔÁ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ Ï ÎÅÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉ×ÏÓÔÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÔÅÏÒÉÉ. íÙ ÓÅÇÏÄÎÑ ÚÁÎÉÍÁÅÍÓÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÍÉ, ÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ÎÁÓ ÂÏÌÅÅ ÉÎÔÅÒÅÓÎÁ ÔÅÏÒÅÍÁ þÅÒÞÁ (1936). ïÎ ÄÏËÁÚÁÌ, ÞÔÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÉËÁËÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ËÏÔÏÒÙÊ Ï ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÒÏ×ÅÒÑÌ ÂÙ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÄÏËÁÚÕÅÍÙÍ ÉÌÉ ÎÅÔ. éÔÁË, ÎÁÛ ÍÁÔÅÍÁÔÉË í ÕÚÎÁÌ ÏÔ ÌÏÇÉËÁ ì, ÞÔÏ × ÏÌÎÏÊ ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÏÔ×ÅÔÉÔØ ÎÁ ×ÏÒÏÓ Ï ÄÏËÁÚÕÅÍÏÓÔÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ. ÷ÒÏÞÅÍ, Ë ÜÔÏÍÕ ÍÏÍÅÎÔÕ Õ ÎÅÇÏ ÕÖÅ ÎÁÞÁÌÉ ÏÑ×ÌÑÔØÓÑ ÓÏÍÎÅÎÉÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÔÅÏÒÅÍÁ  ÉÓÔÉÎÎÁ, É ÏÎ ÒÅÛÉÌ ÚÁÎÑÔØÓÑ ÏÉÓËÏÍ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒÁ. í ÏÛÅÌ × ËÏÍØÀÔÅÒÎÕÀ ËÏÍÎÁÔÕ É ÎÁÉÓÁÌ ÒÏÇÒÁÍÍÕ ð , ÒÏ×ÅÒÑÀÝÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ×ÓÅ ÓÌÏ×Á ÄÏ ÔÅÈ ÏÒ, ÏËÁ ÏÎÁ ÎÅ ÎÁÊÄÅÔ ÄÁÎÎÙÅ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ  ÎÅ ×ÅÒÎÁ. ïÎ ÚÁÕÓÔÉÌ Ó×ÏÀ ÒÏÇÒÁÍÍÕ É ÓÔÁÌ ÖÄÁÔØ ÏËÏÎÞÁÎÉÑ ÅÅ ÒÁÂÏÔÙ. ðÒÏÇÒÁÍÍÁ ÒÁÂÏÔÁÌÁ ÞÁÓ, Ä×Á, ÄÅÎØ, ÎÅÄÅÌÀ, . . . . é ÓÎÏ×Á Õ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ×ÏÚÎÉË ×ÏÒÏÓ, ÎÁ ÜÔÏÔ ÒÁÚ: ÏÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÌÉ ð ËÏÇÄÁ-ÎÉÂÕÄØ? îÁ ÜÔÏÔ ÒÁÚ ÍÁÔÅÍÁÔÉË ÕÖÅ ÚÎÁÌ, Ë ËÏÍÕ ÏÂÒÁÔÉÔØÓÑ Ó ÔÁËÉÍ ×ÏÒÏÓÏÍ. ïÎ ÎÁÛÅÌ ÌÏÇÉËÁ É ÓÒÏÓÉÌ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ ÓÏÓÏ ÕÚÎÁÔØ, ÒÅËÒÁÔÉÔ ÌÉ ÄÁÎÎÁÑ ÒÏÇÒÁÍÍÁ Ó×ÏÅ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÉÌÉ ÖÅ ÂÕÄÅÔ ÒÁÂÏÔÁÔØ ÄÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ. é ÓÎÏ×Á ì ÄÁÌ ×ÏÌÎÅ Ë×ÁÌÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ. ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ, ÄÏËÁÚÁÎÎÏÊ ØÀÒÉÎÇÏÍ × 30-ÙÅ ÇÏÄÙ, ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÅÇÏ, ÏÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÌÉ ËÏÇÄÁ-ÎÉÂÕÄØ ÄÁÎÎÁÑ ÒÏÇÒÁÍÍÁ ÉÌÉ ÎÅÔ, Ô. Å. ÒÏÂÌÅÍÁ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÎÅÒÁÚÒÅÛÉÍÁ.

129

ï ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ

2. ïÔÒÁ×ÎÁÑ ÔÏÞËÁ

ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÎÁÛ ÍÁÔÅÍÁÔÉË ÏÔÒÁ×ÉÌÓÑ ÄÏÍÏÊ. ëÁË ÜÔÏ ÉÎÏÇÄÁ ÂÙ×ÁÅÔ, ÅÇÏ ÒÅÂÅÎÏË, ÉÚÕÞÁÀÝÉÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ × ÓÅÄØÍÏÍ ÉÌÉ ×ÏÓØÍÏÍ ËÌÁÓÓÅ, ÏÒÏÓÉÌ ÁÕ ÏÍÏÞØ ÓÄÅÌÁÔØ ÄÏÍÁÛÎÅÅ ÚÁÄÁÎÉÅ. ÷ ÎÁÒÏÄÅ ÂÙÔÕÅÔ ÍÎÅÎÉÅ, ÞÔÏ ÌÀÄÉ, ÚÁÎÉÍÁÀÝÉÅÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ, ÕÍÅÀÔ ÈÏÒÏÛÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÒÅÛÁÔØ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÒÁÚÎÙÅ ÚÁÄÁÞËÉ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÞÔÏ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ. éÔÁË, ÎÁÛ ÍÁÔÅÍÁÔÉË ÎÁÞÁÌ ÒÅÛÁÔØ ÚÁÄÁÞÕ, ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÕÀ Ó×ÏÉÍ ÞÁÄÏÍ, É ÏÎÑÌ, ÞÔÏ ÎÁÒÏÞØ ÚÁÂÙÌ ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ, ËÏÔÏÒÕÀ ÕÞÉÌ × ÛËÏÌÅ. ïÎ ÏÄÎÁËÏ ÏÍÎÉÌ, ÞÔÏ ÌÀÂÕÀ ÚÁÄÁÞÕ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ ÎÁ ÑÚÙËÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. é ÅÍÕ × ÇÏÌÏ×Õ ÒÉÛÅÌ ×ÏÒÏÓ, Á ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÒÅÛÁÀÝÉÊ ÛËÏÌØÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. ðÏÓÌÅ ÒÁÚÇÏ×ÏÒÁ Ó ÌÏÇÉËÏÍ, ÏÎ ÚÎÁÌ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ × ÔÅÏÒÉÉ ×ÙÒÁÚÉÍÙ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÔÏ ÏÎÁ ÎÅÒÁÚÒÅÛÉÍÁ. éÎÔÕÉ ÉÑ ÏÄÓËÁÚÙ×ÁÌÁ, ÞÔÏ ÔÅÏÒÉÑ, ÒÁÂÏÔÁÀÝÁÑ Ó ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÈ ÇÏÒÁÚÄÏ ÂÏÌØÛÅ, ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÕÖ ÔÅÍ ÂÏÌÅÅ ÎÅÒÁÚÒÅÛÉÍÁ. ÷ÓÅ ÖÅ, ÄÌÑ ÏÞÉÓÔËÉ ÓÏ×ÅÓÔÉ, ÏÎ ÒÅÛÉÌ ÏÚ×ÏÎÉÔØ ÌÏÇÉËÕ É ÕÄÏÓÔÏ×ÅÒÉÔØÓÑ × ÜÔÏÍ. ëÁË ÎÉ ÓÔÒÁÎÎÏ, ×ÙÑÓÎÉÌÏÓØ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÅ. ëÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÁÒÓËÏÇÏ, ÄÏËÁÚÁÎÎÙÊ × 1948 ÇÏÄÕ, ÕÔ×ÅÒÖÄÁÌ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÒÏ×ÅÒÑÀÝÅÇÏ ÄÏËÁÚÕÅÍÏÓÔØ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ1) . íÁÔÅÍÁÔÉË ÏÂÒÁÄÏ×ÁÌÓÑ. åÍÕ ÕÖÅ ÎÁÞÉÎÁÌÏ ËÁÚÁÔØÓÑ, ÞÔÏ ÏÔ ÌÏÇÉËÉ ÎÅÔ ÎÉËÁËÏÊ ÏÌØÚÙ, Á ÔÕÔ ÏËÁÚÁÌÏÓØ, ÞÔÏ ÌÏÇÉËÁ ÉÍÅÅÔ ×ÅÓØÍÁ ÒÁËÔÉÞÎÏÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ × ÒÅÁÌØÎÏÊ ÖÉÚÎÉ. éÔÁË, í ÏÒÏÓÉÌ ÒÅÂÅÎËÁ ÏÄÏÖÄÁÔØ, Á ÓÁÍ ÏÔÒÁ×ÉÌÓÑ Ë ÔÏÒÇÏ× ÁÍ ÒÏÇÒÁÍÍÎÏÇÏ ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÑ. ÁÍ ÏÎ ÏÂÎÁÒÕÖÉÌ Ä×Á CD-ÄÉÓËÁ, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÀ ÚÁÄÁÞ Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÚÙ×ÁÌÉÓØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ Tarsky for Windows 95 É Collins for Windows 95. ðÅÒ×ÙÊ ÄÉÓË ÓÔÏÉÌ 30 Õ.Å., ×ÔÏÒÏÊ | 300 Õ.Å. åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, í ÏÙÔÁÌÓÑ ÏÎÑÔØ, ÞÅÍ ÖÅ ×ÙÚ×ÁÎÁ ÔÁËÁÑ ÒÁÚÎÉ Á × ÅÎÅ. îÉËÁËÉÈ ÏÂßÑÓÎÅÎÉÊ ÏÎ ÎÅ ÏÌÕÞÉÌ, ÏÜÔÏÍÕ ÏÎ ËÕÉÌ ÂÏÌÅÅ ÄÅÛÅ×ÙÊ ÄÉÓË Tarsky for Windows 95. í ÒÉÛÅÌ ÄÏÍÏÊ, ×ÓÔÁ×ÉÌ CD × ËÏÍØÀÔÅÒ É ÒÅÛÉÌ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÒÏÇÒÁÍÍÕ ÎÁ ÚÁÄÁÞËÅ ÉÚ ÛËÏÌØÎÏÇÏ ÕÞÅÂÎÉËÁ. ïÄÎÁËÏ ÓÔÁÌÁ Ï×ÔÏÒÑÔØÓÑ ×ÓÅ ÔÁ ÖÅ ÉÓÔÏÒÉÑ. ðÒÏÇÒÁÍÍÁ ÒÁÂÏÔÁÌÁ ÞÁÓ, Ä×Á, . . . , ÎÏ ÎÅ ÒÏÑ×ÌÑÌÁ ÎÉËÁËÏÇÏ ÖÅÌÁÎÉÑ ×ÙÄÁÔØ ÒÅÛÅÎÉÅ. íÁÔÅÍÁÔÉË ÒÅÒ×ÁÌ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÒÏÇÒÁÍÍÙ É ÏÒÏÓÉÌ ÅÅ ÄÏËÁÚÁÔØ ËÁËÕÀ-ÎÉÂÕÄØ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ, ÎÁÒÉÍÅÒ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ ÕÇÌÏ× × ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ ÒÁ×ÎÁ 180 ÇÒÁÄÕÓÁÍ. òÅÚÕÌØÔÁÔ ÎÅ ÓÉÌØÎÏ ÉÚÍÅÎÉÌÓÑ, É ÒÏÇÒÁÍÍÁ ÒÏÄÏÌÖÁÌÁ ÄÕÍÁÔØ ÞÁÓ, ×ÔÏÒÏÊ, ÓÕÔËÉ, ÄÒÕÇÉÅ, . . . . ÏÇÄÁ í ÏÚ×ÏÎÉÌ ÌÏÇÉËÕ É ÎÅÓËÏÌØËÏ Ï×ÙÛÅÎÎÙÍ ÔÏÎÏÍ ÓÒÏÓÉÌ, ÞÔÏ ÖÅ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ. ì ÏÔ×ÅÔÉÌ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÎÅ ÅÇÏ ÒÏÂÌÅÍÁ. ÁÒÓËÉÊ ÄÏËÁÚÁÌ ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÏÎ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ Õ×ÅÒÅÎ, ÞÔÏ Á×ÔÏÒÙ ÜÔÏÇÏ ÄÉÓËÁ ÚÁÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÌÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁ×ÉÌØÎÏ, Á ÞÔÏ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÄÁÌØÛÅ | ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÎÉËÁËÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÉ Ë ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÎÉ Ë ÌÏÇÉËÅ. 1) é ×ÏÏÂÝÅ ÌÀÂÙÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ Ï ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÌÁÈ, ÉÓÏÌØÚÕÀÝÉÈ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÅÒÁ ÉÉ, ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ Ó×ÑÚËÉ (ÏÔÒÉ ÁÎÉÅ, ËÏÎßÀÎË ÉÑ, ÄÉÚßÀÎË ÉÑ, ÉÍÌÉËÁ ÉÑ) É Ë×ÁÎÔÏÒÙ Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ×ÓÅÈ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ: €ÄÌÑ ×ÓÅÈ (×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ), €ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ (×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ), ÔÁËÏÅ ÞÔÏ. . . ; ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÔÁËÉÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÌÇÅÂÒÏÊ ÁÒÓËÏÇÏ.

130

á. á. òÁÚÂÏÒÏ×

é ÜÔÏ ËÁË ÒÁÚ ÔÏ ÍÅÓÔÏ, ÇÄÅ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ ÔÅÏÒÉÑ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ. îÁÓ ÉÎÔÅÒÅÓÕÅÔ ÎÅ ÒÏÓÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÄÌÑ ÎÁÛÅÊ ÚÁÄÁÞÉ, Á ÔÏ, ÎÁÓËÏÌØËÏ ÏÎÉ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÒÁÓÓËÁÚÁÎÎÁÑ ÉÓÔÏÒÉÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÔÉÌÉÚÏ×ÁÎÁ, ÎÏ, × ÏÂÝÅÍ-ÔÏ, ÔÁË É ÒÏÉÓÈÏÄÉÌÏ ÒÁÚ×ÉÔÉÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ, ËÏÔÏÒÏÅ ÒÉ×ÅÌÏ Ë ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÍÕ ÓÏÓÔÏÑÎÉÀ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÔÏÔ ÜÔÁ, ËÏÇÄÁ ÓÔÁÌÏ ×ÙËÒÉÓÔÁÌÌÉÚÏ×Ù×ÁÔØÓÑ ÏÎÉÍÁÎÉÅ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÏÄÎÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÌÕÞÛÅ ÄÒÕÇÉÈ É ÜÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÒÉÛÅÌÓÑ ÎÁ 60-ÙÅ ÇÏÄÙ. ÏÇÄÁ ÓÔÁÌÉ ÏÑ×ÌÑÔØÓÑ ÎÁÓÔÏÑÝÉÅ ËÏÍØÀÔÅÒÙ (ÏÎÉ ÎÁÚÙ×ÁÌÉÓØ ÔÁËÉÍ ÓÔÒÁÛÎÙÍ ÓÌÏ×ÏÓÏÞÅÔÁÎÉÅÍ: €ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÅ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÅ ÍÁÛÉÎف), ÎÁÒÉÍÅÒ, âüóí (ÍÎÏÇÉÅ × ÁÕÄÉÔÏÒÉÉ É ÎÅ ÚÎÁÀÔ, ÎÁ×ÅÒÎÏÅ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÔÁËÏÅ). óÔÁÌÏ ÏÎÑÔÎÏ, ÞÔÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÏÒÉÉ. 3. îÁÞÁÌÁ ÔÅÏÒÉÉ: ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ

äÁ×ÁÊÔÅ ÏËÁ ÏÓÔÁ×ÉÍ × ÓÔÏÒÏÎÅ ÉÓÔÏÒÉÉ ÉÚ ÖÉÚÎÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ í, ÏÔÏÍ ÍÙ Ë ÎÅÍÕ ÅÝÅ ×ÅÒÎÅÍÓÑ ÎÅ ÒÁÚ. ðÏÒÏÂÕÅÍ ÄÁÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÊ. ðÅÒ×ÏÅ ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÓÄÅÌÁÌ í, ËÏÇÄÁ ÙÔÁÌÓÑ ÒÁÚÏÂÒÁÔØÓÑ × ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÉÉ, ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÄÁ×ÌÑÀÝÅÅ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ÏÄÈÏÄÑÝÅÊ ËÏÄÉÒÏ×ËÅ ËÁË ÚÁÄÁÞÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f : {0; 1}∗ → {0; 1}∗ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ËÏÎÅÞÎÙÈ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÓÌÏ× × ÓÅÂÑ. éÍÅÎÎÏ ÔÁËÉÍÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍÉ ÍÙ É ÂÕÄÅÍ ÚÁÎÉÍÁÔØÓÑ. ÷ÔÏÒÏÊ ×ÏÒÏÓ: ÎÁ ËÁËÉÈ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×ÁÈ ÍÙ ÓÏÂÉÒÁÅÍÓÑ ×ÙÞÉÓÌÑÔØ ÎÁÛÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ? åÓÔØ ÏÇÒÏÍÎÏÅ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÉÅ É ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÈ ÑÚÙËÏ×, É ËÏÍØÀÔÅÒÎÙÈ ÁÒÈÉÔÅËÔÕÒ, ÎÏ ÎÁÓËÏÌØËÏ ÎÁÍ ÜÔÏ ×ÁÖÎÏ? éÍÅÎÎÏ ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ÜÔÏÔ ×ÏÒÏÓ ÏÔÌÉÞÁÅÔ ÔÅÏÒÉÀ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ÏÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÍÅÖÎÙÈ ÏÂÌÁÓÔÅÊ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÜÔÏÔ ×ÏÒÏÓ ÂÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÏ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ ×ÏÚØÍÅÍ ÒÏÇÒÁÍÍÕ, Ó ËÏÔÏÒÏÊ ÞÁÝÅ ×ÓÅÇÏ É ÓÔÁÌËÉ×ÁÅÔÓÑ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÕÀÔ. üÔÏ TEX ÒÏ ÅÓÓÏÒ. ÷ÙÂÏÒ TEX ÚÄÅÓØ ÎÉËÁËÏÇÏ ÏÓÏÂÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÅ ÉÍÅÅÔ, ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ É Ï ÄÒÕÇÉÈ ÒÏÇÒÁÍÍÁÈ. éÔÁË, ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f , ËÏÔÏÒÏÅ × ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ paper.tex → paper.dvi ;

ÒÅÏÂÒÁÚÏ×Ù×ÁÀÝÅÅ ÆÁÊÌ paper.tex × ÆÁÊÌ paper.dvi (ÏÂÁ ÆÁÊÌÁ ÍÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ ËÁË Ä×Á ÄÌÉÎÎÙÈ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÓÌÏ×Á). üÔÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ texdvi.exe, ÚÁËÏÄÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÄÌÑ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÎÁ 286-Í ÒÏ ÅÓÓÏÒÅ (ÔÅ, ËÔÏ ÙÔÁÌÓÑ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ TEX ÎÁ 286-Í ÒÏ ÅÓÓÏÒÅ, ÏÍÎÑÔ, ËÁË ÜÔÏ ÂÙÌÏ). îÁÓ ÓÅÊÞÁÓ ÉÎÔÅÒÅÓÕÅÔ ×ÒÅÍÑ (ÂÙÓÔÒÏÄÅÊÓÔ×ÉÅ) ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. éÍÅÎÎÏ ÔÁËÕÀ, ËÁË ÇÏ×ÏÒÑÔ × ÜÔÏÊ ÎÁÕËÅ, ÍÅÒÕ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÓÅÇÏÄÎÑ ÞÁÝÅ ×ÓÅÇÏ. âÙ×ÁÀÔ É ÄÒÕÇÉÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ (ÁÍÑÔØ | ×ÔÏÒÁÑ Ï ÚÎÁ-

ï ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ

131

ÞÅÎÉÀ ÍÅÒÁ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ), ÎÏ ÚÁ ÎÅÄÏÓÔÁÔËÏÍ ×ÒÅÍÅÎÉ ÍÙ ÉÈ ÎÅ ÓÍÏÖÅÍ ÏÄÒÏÂÎÏ ÏÂÓÕÄÉÔØ. òÁÚ×ÉÔÉÅ ÔÅÈÎÉËÉ, ÏÔÎÏÓÑÝÅÅÓÑ Ë ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÎÁÍÉ ÚÁÄÁÞÅ, ÛÌÏ Ï Ä×ÕÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑÍ. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, É ÜÔÏ ÈÏÒÏÛÏ ×ÓÅ ÚÎÁÀÔ, ÕÌÕÞÛÁÌÉÓØ ÒÏ ÅÓÓÏÒÙ: Intel 286, Intel 386, Intel 486, . . . , ÏÑ×ÌÑÌÉÓØ ÏÄÉÎ ÚÁ ÄÒÕÇÉÍ ×ÓÅ ÂÏÌÅÅ ÍÏÝÎÙÅ ÍÏÄÅÌÉ, ×ÏÚÎÉËÁÌÉ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙÅ ËÏÎÓÔÒÕËÔÏÒÓËÉÅ ÕÈÉÝÒÅÎÉÑ, ÕÓËÏÒÑÀÝÉÅ ÉÈ ÒÁÂÏÔÕ, É Ô. Ä. ÷Ï-×ÔÏÒÙÈ, ÕÌÕÞÛÁÌÓÑ ÓÁÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÏÑ×ÌÑÌÉÓØ ÅÇÏ ×ÅÒÓÉÉ texdvi1.exe, ..., texdvi10.exe, ....

óÒÁ×ÅÄÌÉ×Á, ÈÏÔÑ É Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍÉ ÏÇÏ×ÏÒËÁÍÉ, ÔÁËÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ hÏÂÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÒÁÂÏÔÙi = hÞÉÓÌÏ ÏÅÒÁ ÉÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁi × h×ÒÅÍÑ ÎÁ ÏÄÎÕ ÏÅÒÁ ÉÀi: õÌÕÞÛÅÎÉÅ ÏÂÏÉÈ ÞÌÅÎÏ× × ÜÔÏÊ ÒÏÓÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÅ | ×ÅÝÉ ÂÏÌÅÅ-ÍÅÎÅÅ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÅ. çÒÕÂÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÒÏÇÒÁÍÍÙ (software) ÏÔ×ÅÞÁÀÔ ÚÁ ÅÒ×ÙÅ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌØ, Á ÒÏ ÅÓÓÏÒÙ (hardware) | ÚÁ ×ÔÏÒÏÊ. þÔÏ ÚÄÅÓØ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ Ó ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ? åÓÌÉ Õ ÎÁÓ ÉÍÅÅÔÓÑ ËÁËÏÊ-ÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÉÓÏÌØÚÕÅÔ t ÏÅÒÁ ÉÊ, ÔÏ ÏÔ ÕÌÕÞÛÅÎÉÑ ÂÙÓÔÒÏÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÎÁÛÅÇÏ ÒÏ ÅÓÓÏÒÁ ×ÒÅÍÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÁÛÅÊ ÚÁÄÁÞÉ ÕÍÎÏÖÁÅÔÓÑ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ËÏÎÓÔÁÎÔÕ. ðÏÜÔÏÍÕ, É ÜÔÏ ÏÞÅÎØ ×ÁÖÎÏ, × ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ÓÌÏÖÉÌÁÓØ ÔÒÁÄÉ ÉÑ ÉÚÍÅÒÑÔØ ×ÒÅÍÑ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏÊ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ (€Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ O(·), ËÁË ÇÏ×ÏÒÑÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ). ÁËÏÊ ÏÄÈÏÄ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÎÁÍ ÁÂÓÔÒÁÇÉÒÏ×ÁÔØÓÑ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ÍÏÄÅÌÉ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Á, ÏÔ ÔÏÇÏ, ÓËÏÌØËÏ ×ÒÅÍÅÎÉ ÚÁÎÉÍÁÅÔ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÏÄÎÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ, ËÁËÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ËÏÍÁÎÄ ÉÍÅÅÔ ÉÓÏÌØÚÕÅÍÁÑ ÎÁÍÉ ÍÁÛÉÎÁ É Ô. . éÍÅÎÎÏ ÜÔÏÔ ÏÄÈÏÄ É ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÎÁÍ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ËÒÁÓÉ×ÕÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÕÀ ÔÅÏÒÉÀ. ÅÏÒÉÑ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ×ÓÅÏÂßÅÍÌÀÝÅÊ (Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ) ÔÅÏÒÉÉ ÍÁÒËÓÉÚÍÁ-ÌÅÎÉÎÉÚÍÁ (ÎÅ ×ÓÅ × ÁÕÄÉÔÏÒÉÉ ×ÉÄÉÍÏ ÚÎÁÀÔ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÔÁËÏÅ, É ÜÔÏ ÈÏÒÏÛÏ): ÅÓÌÉ × ÆÏÒÍÕÌÅ ÅÓÔØ Ä×Á ÞÌÅÎÁ, É ÚÁ ×ÔÏÒÏÊ ÎÁÛÁ ÔÅÏÒÉÑ ÎÉËÁËÏÊ ÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÎÅ ÎÅÓÅÔ, ÔÏ Ï ÜÔÏÍ ÚÁÑ×ÌÑÅÔÓÑ Ñ×ÎÏ. õÌÕÞÛÅÎÉÅÍ ÒÏ ÅÓÓÏÒÏ× ÚÁÎÉÍÁÀÔÓÑ ÄÒÕÇÉÅ ÌÀÄÉ, ÍÙ ÚÁÎÉÍÁÅÍÓÑ ÕÌÕÞÛÅÎÉÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏÊ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ. ðÒÏÄÏÌÖÉÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÓÔÒÏÇÏÊ ÔÅÏÒÉÉ. ïÄÎÉÍ ÉÚ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÒÅÉÍÕÝÅÓÔ× ××ÅÄÅÎÎÏÇÏ ×ÙÛÅ ÓÏÇÌÁÛÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏ, ÞÔÏ ÎÁÓ ÎÅ ÏÞÅÎØ ÚÁÂÏÔÉÔ ×ÙÂÏÒ ÔÏÞÎÏÊ ÍÏÄÅÌÉ. ëÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÏÔ ÓÍÅÎÙ ÍÏÄÅÌÉ (ÓÅÊÞÁÓ Ñ ÉÍÅÀ × ×ÉÄÕ ÕÖÅ ÁÂÓÔÒÁËÔÎÙÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÍÏÄÅÌÉ) ÕÌÕÞÛÅÎÉÅ ÉÌÉ ÕÈÕÄÛÅÎÉÅ ÒÏÉÓÈÏÄÑÔ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏÊ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ, Á ÍÙ ÄÏÇÏ×ÏÒÉÌÉÓØ ÜÔÏÇÏ ÎÅ ÚÁÍÅÞÁÔØ. óÔÁÎÄÁÒÔÎÙÊ ÓÏÓÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÍÏÄÅÌÉ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÉÓÏÌÎÅÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ Õ ÎÁÓ ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÍÁÛÉÎÁ Ó ÁÄÒÅÓÕÅÍÏÊ ÁÍÑÔØÀ, ÑÞÅÊËÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÉÎÄÅËÓÉÒÕÀÔÓÑ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ; × ËÁÖÄÏÊ ÑÞÅÊËÅ ÍÏÖÎÏ ÈÒÁÎÉÔØ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ; ÍÏÖÎÏ ×ÙÏÌÎÑÔØ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ É Ô. . äÅÔÁÌÉ ÚÄÅÓØ ÍÁÌÏ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙ, ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ÎÁÛÅ O(·)-ÓÏÇÌÁÛÅÎÉÅ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ Ï ÎÉÈ ÚÁÂÏÔÉÔØÓÑ ÎÅ ÓÌÉÛËÏÍ. åÓÌÉ ÖÅ ÚÁÍÅÎÉÔØ €Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ O(·) ÎÁ ÓÌÅÇËÁ ÂÏÌÅÅ ÇÒÕÂÏÅ €Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÏÌÉÎÏÍÁ, ÔÏ ×ÏÏÂÝÅ ×ÓÅ ÒÅÁÌÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÅ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Á ÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍÉ. éÔÁË, ÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÕÀ ÍÏÄÅÌØ. åÓÌÉ ÅÓÔØ ÍÁÛÉÎÁ M , ËÏÔÏÒÁÑ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ÆÕÎË ÉÀ f , É ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ ×ÈÏÄÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ x | ÎÅËÏÔÏÒÏÅ

132

á. á. òÁÚÂÏÒÏ×

Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÓÌÏ×Ï, ÔÏÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÎÁÛÕ ÏÓÎÏ×ÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ T (M; x) | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÅÒÁ ÉÊ (ÔÁËÔÏ×), ËÏÔÏÒÙÅ ÔÒÅÂÕÀÔÓÑ ÍÁÛÉÎÅ M ÄÌÑ ÒÁÂÏÔÙ ÎÁ ×ÈÏÄÎÏÍ ÓÌÏ×Å x. æÕÎË ÉÑ T (M; x) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÉÇÎÁÌÉÚÉÒÕÀÝÅÊ ÆÕÎË ÉÅÊ Ï ×ÒÅÍÅÎÉ. ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÌÀÂÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ 4. ÅÏÒÅÍÁ Ï ÕÓËÏÒÅÎÉÉ

äÁ×ÁÊÔÅ ÔÅÅÒØ ÉÚÕÞÁÔØ ÜÔÕ ÆÕÎË ÉÀ T (M; x). ðÅÒ×ÏÅ, ÞÔÏ ÒÉÈÏÄÉÔ × ÇÏÌÏ×Õ: Õ ÎÁÓ ÉÍÅÅÔÓÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÁÑ ÚÁÄÁÞÁ f ; ÄÁ×ÁÊÔÅ ×ÙÂÅÒÅÍ ÓÁÍÙÊ ÈÏÒÏÛÉÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ É ÎÁÚÏ×ÅÍ ÓÌÏÖÎÏÓÔØÀ ÚÁÄÁÞÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ ÓÁÍÏÇÏ ÈÏÒÏÛÅÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÔÁËÏÊ ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÊ ÓÏÓÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ, Ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÎÅÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÍ É ÎÁ ÜÔÏÔ ÓÞÅÔ ÉÍÅÅÔÓÑ ÔÅÏÒÅÍÁ âÌÀÍÁ Ï ÕÓËÏÒÅÎÉÉ. ÷ ×ÏÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ ÜÔÁ ÔÅÏÒÅÍÁ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ËÁË ÂÙ ÍÙ ÎÉ ÙÔÁÌÉÓØ ÏÒÅÄÅÌÑÔØ ÏÎÑÔÉÅ €ÎÁÉÌÕÞÛÁÑ ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÍÁÛÉÎÁ, Õ ÎÁÓ ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÏÌÕÞÉÔÓÑ (Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÄÁÞ). ÅÏÒÅÍÁ âÌÀÍÁ ÏÔËÒÙ×ÁÅÔ ÓÅÒÉÀ ÔÅÏÒÅÍ, ÌÅÖÁÝÉÈ × ÏÓÎÏ×Å ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ. ÷ÓÅ ÜÔÉ ÔÅÏÒÅÍÙ ÂÙÌÉ ÄÏËÁÚÁÎÙ × 70-Å ÇÏÄÙ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÔÅÏÒÅÍÁ âÌÀÍÁ Ï ÕÓËÏÒÅÎÉÉ | ÜÔÏ 1971 ÇÏÄ. ðÒÉÍÅÒÎÏ × ÔÏ ÖÅ ×ÒÅÍÑ ÏÑ×ÉÌÁÓØ ËÏÎ Å ÉÑ NP-ÏÌÎÏÔÙ, ÉÚÌÏÖÅÎÉÅÍ ËÏÔÏÒÏÊ É ÚÁ×ÅÒÛÉÔÓÑ ÎÁÛ ××ÏÄÎÙÊ ÒÁÓÓËÁÚ Ï ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ. äÌÑ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ÎÁÍ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÅÝÅ ÏÄÎÏ ×ÁÖÎÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. æÕÎË ÉÑ T (M; x) ÕÓÔÒÏÅÎÁ ÏÞÅÎØ ÎÅÒÅÇÕÌÑÒÎÏ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÉÍÅÒ TEX ÒÏ ÅÓÓÏÒÁ. äÌÑ ÏÄÁ×ÌÑÀÝÅÇÏ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Á ÆÁÊÌÏ× ÒÏÉÚÏÊÄÅÔ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ × ÓÁÍÏÍ ÎÁÞÁÌÅ ÒÁÂÏÔÙ ÉÚ-ÚÁ ÎÅÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÑ ×ÈÏÄÎÏÍÕ ÆÏÒÍÁÔÕ TEX, Á ÎÁ ËÁËÉÈ-ÔÏ ÆÁÊÌÁÈ ÜÔÏ ×ÒÅÍÑ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÏËÁÖÅÔÓÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÍ ÉÚ-ÚÁ ÚÁ ÉËÌÉ×ÁÎÉÑ. ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÜÔÕ ÆÕÎË ÉÀ ÉÚÕÞÁÔØ ÎÉËÁËÏÊ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÎÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ, ÏÎÁ ÓÌÉÛËÏÍ ÒÙÈÌÁÑ. íÙ ÈÏÔÉÍ ÉÚ×ÌÅÞØ ÉÚ ÎÅÅ ÆÕÎË ÉÀ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ, Ô. Å. ÏÌÕÞÉÔØ ÆÕÎË ÉÀ ÉÚ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ × ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÔÒÁÖÁÌÁ ÂÙ Ï×ÅÄÅÎÉÅ T (M; x). åÓÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÏÓÏÂÏ× ÏÄÏÊÔÉ Ë ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅ. íÙ ÚÄÅÓØ ÏÇÒÁÎÉÞÉÍÓÑ ÓÁÍÙÍ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÎÙÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ × ÎÁÉÈÕÄÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ. ïÎÁ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ tM (n) = max T (M; x): |x|6n

éÚ ×ÓÅÈ ÓÌÏ× ÂÉÔÏ×ÏÊ ÄÌÉÎÙ, ÎÅ ÒÅ×ÙÛÁÀÝÅÊ n, ×ÙÂÉÒÁÅÍ ÔÏ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÎÁÛÁ ÍÁÛÉÎÁ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÈÕÖÅ ×ÓÅÇÏ (Ô. Å. ÄÏÌØÛÅ ×ÓÅÇÏ). ÷ÒÅÍÑ ÒÁÂÏÔÙ ÎÁ ÔÁËÏÍ ÓÌÏ×Å É ÎÁÚÙ×ÁÅÍ ÓÌÏÖÎÏÓÔØÀ tM (n). úÁ ×ÒÅÍÑ tM (n) ÍÁÛÉÎÁ ÇÁÒÁÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏ ÚÁËÏÎÞÉÔ ÒÁÂÏÔÕ ÎÁ ÌÀÂÏÍ ×ÈÏÄÎÏÍ ÓÌÏ×Å ÄÌÉÎÙ, ÎÅ ÒÅ×ÙÛÁÀÝÅÊ n. íÏÖÅÔ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÓÌÕÞÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÎÁ ËÁËÉÈ-ÔÏ ÓÌÏ×ÁÈ ÒÁÂÏÔÁ ÚÁ×ÅÒÛÉÔÓÑ ÒÁÎØÛÅ. íÙ ÒÉ×ÏÄÉÍ ÕÒÏÝÅÎÎÙÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÔÅÏÒÅÍÙ âÌÀÍÁ; ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ×ÍÅÓÔÏ log t × ÎÅÊ ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ ÌÀÂÕÀ €ÒÁÚÕÍÎÕÀ ÓÔÒÅÍÑÝÕÀÓÑ Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÀ. 2) ÆÕÎË ÉÑ f , ÅÏÒÅÍÁ (âÌÀÍ, 1971). óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÞÔÏ ÌÀÂÕÀ ÍÁÛÉÎÕ M , ×ÙÞÉÓÌÑÀÝÕÀ f , ÍÏÖÎÏ ÕÓËÏÒÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÄÒÕÇÁÑ ÍÁÛÉÎÁ M ′ , ÔÁËÖÅ ×ÙÞÉÓÌÑÀÝÁÑ f É ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ 2) ÷ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÆÕÎË ÉÑ | ÜÔÏ ÔÁËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, ËÏÔÏÒÕÀ ÍÏÖÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÉÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ.

133

ï ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ

tM (n) 6 log tM (n) ′

ÄÌÑ ÏÞÔÉ ×ÓÅÈ n. æÕÎË ÉÑ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ âÌÀÍÁ | ÜÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÜËÚÏÔÉËÁ (ËÁË ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ ÔÅÏÒÅÍÙ, ×ÒÅÍÑ ÅÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ × ÎÁÉÈÕÄÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÁÓÔÅÔ ÏÞÅÎØ ÂÙÓÔÒÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÍÁÛÉÎÙ). ïÄÎÁ ÉÚ €ÉÄÅÏÌÏÇÉÞÅÓËÉȁ ÚÁÄÁÞ × ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ | ÜÔÏ ÓÔÒÏÉÔØ ÔÅÏÒÉÀ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÔÁËÉÅ ÁÔÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ Ñ×ÌÅÎÉÑ × ÎÅÊ Ï ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÎÅ ×ÏÚÎÉËÁÌÉ. ÅÏÒÅÍÁ âÌÀÍÁ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅÍ Ó ÏÍÏÝØÀ ÔÅÈÎÉËÉ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÁ ÉÉ, É ÏÌÕÞÁÀÝÁÑÓÑ ÆÕÎË ÉÑ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÎÉËÁËÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ Ë ÒÅÁÌØÎÏÊ ÒÁËÔÉËÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ÉÌÉ Ë ÏÓÔÁÌØÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ. îÏ ÔÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÏÓËÏÌØËÕ ÍÙ ÓÔÒÏÉÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÕÀ ÔÅÏÒÉÀ, ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÏÄÅÌÁÅÛØ | ÍÙ ×ÙÎÕÖÄÅÎÙ ÒÉÚÎÁÔØ, ÞÔÏ ×ÙÂÒÁÎÎÙÊ ÏÄÈÏÄ ÎÅ ÇÏÄÉÔÓÑ ÄÌÑ ÅÅ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ. îÕÖÎÏ Ä×ÉÇÁÔØÓÑ ÄÁÌØÛÅ. 5. óÌÏÖÎÏÓÔÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ

éÔÁË, ÍÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ ÎÁÄÅÑÔØÓÑ ÎÁ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÓÁÍÏÊ ÌÕÞÛÅÊ ÍÁÛÉÎÙ, ×ÙÞÉÓÌÑÀÝÅÊ ÜÔÕ ÆÕÎË ÉÀ. áÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÎÑÔÉÅ ÓÌÏÖÎÏÓÔÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ | ÏÄÎÏ ÉÚ ÅÎÔÒÁÌØÎÙÈ ÏÎÑÔÉÊ ÄÌÑ ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ. îÅÓËÏÌØËÏ ×ÏÌØÎÁÑ ÁÎÁÌÏÇÉÑ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÄÅÓØ ÒÏ×ÅÄÅÎÁ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑÍÉ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ Ï òÉÍÁÎÕ É Ï ìÅÂÅÇÕ. åÓÌÉ ÍÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ ÒÏÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÔØ Ï òÉÍÁÎÕ, ÔÏ ÍÙ ÍÅÎÑÅÍ ÏÓØ É ÎÁÞÉÎÁÅÍ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÔØ Ï ÄÒÕÇÏÊ ÏÓÉ. ÷ ÎÁÛÅÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ, ÅÓÌÉ ÍÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÓÁÍÁÑ ÈÏÒÏÛÁÑ ÍÁÛÉÎÁ, ÔÏ ÄÁ×ÁÊÔÅ ÔÁËÖÅ ÓÍÅÎÉÍ ÏÓØ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÍÁÛÉÎ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÓ ÕÓÔÒÁÉ×ÁÀÔ, É ÎÁÚÏ×ÅÍ ËÌÁÓÓ ×ÓÅÈ ÆÕÎË ÉÊ, ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÈ ÔÁËÉÍÉ ÍÁÛÉÎÁÍÉ, ËÌÁÓÓÏÍ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ. ðÏÖÁÌÕÊ, ÒÏÝÅ ×ÓÅÇÏ ÄÁÔØ ÓÒÁÚÕ ËÏÎËÒÅÔÎÙÊ ÒÉÍÅÒ, ÞÅÍ ÄÏÌÇÏ ÒÁÓÓÕÖÄÁÔØ ÎÁ ÜÔÕ ÔÅÍÕ:

(t(n)) def = {f |∃M : (M ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ f )&(tM (n) = O(t(n))): üÔÏ ÏÄÎÏ ÉÚ ÅÎÔÒÁÌØÎÙÈ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÊ × ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ. âÕË×Á D ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÄÅÔÅÒÍÉÎÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ (ÂÙ×ÁÀÔ É ÄÒÕÇÉÅ), TIME ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÔÏ, Ï ÞÅÍ ×Ù ÏÄÕÍÁÌÉ. åÓÌÉ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ t(n) ÏÔ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ, ÔÏ ÍÙ ÏÂÒÁÚÕÅÍ ËÌÁÓÓ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ÔÁËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÙÞÉÓÌÑÀÝÁÑ f ÍÁÛÉÎÁ M , ÔÁËÁÑ ÞÔÏ ÓÉÇÎÁÌÉÚÉÒÕÀÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ Ï ×ÒÅÍÅÎÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ t(n) Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏÊ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ. ðÒÉ×ÅÄÅÎÎÁÑ ×ÙÛÅ ÔÅÏÒÅÍÁ âÌÀÍÁ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ. îÏ ÅÓÌÉ ÍÙ ÈÏÔÉÍ ÄÏÓÔÉÞØ ÕÓËÏÒÅÎÉÑ, ÓËÁÖÅÍ, × 10 ÒÁÚ, ÔÏ ÜÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ Ó ÌÀÂÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ | ÎÁÒÉÍÅÒ, ÕÔÅÍ Õ×ÅÌÉÞÅÎÉÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÍÁÛÉÎÎÙÈ ËÏÍÁÎÄ. éÍÅÎÎÏ ÏÜÔÏÍÕ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÔÏÉÔ O-ÂÏÌØÛÏÅ. ÅÅÒØ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÏÄÉÎ ÉÚ ÓÁÍÙÈ ×ÁÖÎÙÈ ÓÌÏÖÎÏÓÔÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ× [ k P = DTIME(n ): DTIME

k >0

ëÌÁÓÓ P { ÜÔÏ ÔÅ ÆÕÎË ÉÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÎÁ ÎÁÛÉÈ ÍÁÛÉÎÁÈ, É ×ÒÅÍÑ ÉÈ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÒÁÓÔÅÔ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏ Ó ÒÏÓÔÏÍ ÄÌÉÎÙ ÓÌÏ×Á. ïÎ ÏÞÅÎØ ÕÄÏÂÅÎ É Ó ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÊ, É Ó ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ. ó ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ

134

á. á. òÁÚÂÏÒÏ×

ÜÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÈÏÒÏÛÁÑ ÁÒÏËÓÉÍÁ ÉÑ (ÂÙ×ÁÀÔ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÑ, Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÂÕÄÅÔ ÓËÁÚÁÎÏ ÎÉÖÅ) ËÌÁÓÓÁ ÔÅÈ ÆÕÎË ÉÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÄÄÁÀÔÓÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÀ ÚÁ ÒÅÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ ÎÁ ÒÅÁÌØÎÙÈ ËÏÍØÀÔÅÒÁÈ. ó ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÜÔÏÔ ËÌÁÓÓ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÏÂÅÎ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÏÎ ÚÁÍËÎÕÔ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÕÅÒÏÚÉ ÉÉ. ëÁË ÍÙ Õ×ÉÄÉÍ ÄÁÌØÛÅ, ÉÍÅÎÎÏ ÜÔÏ ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÔÅÏÒÉÀ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÓÔÉ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ. âÙ×ÁÀÔ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ ÑÚÙËÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÏÚÎÁÔØ ÚÁ ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ [ nk ); EXPTIME = DTIME(2 k >0

ÔÁËÖÅ ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ Ä×ÏÊÎÏÅ ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ DOUBLEEXPTIME

É ÔÁË ÄÁÌÅÅ.

=

[

k >0

nk

(22 )

DTIME

6. ÅÏÒÅÍÁ ÏÂ ÉÅÒÁÒÈÉÉ É ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ

ÅÅÒØ ÄÁ×ÁÊÔÅ ×ÅÒÎÅÍÓÑ Ë ÎÁÛÅÍÕ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ í. ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ×ÒÅÍÑ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÁÒÓËÏÇÏ, Ó ÏÍÏÝØÀ ËÏÔÏÒÏÇÏ í ÙÔÁÌÓÑ ÒÅÛÁÔØ ÚÁÄÁÞÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÎÅ ÌÅÖÉÔ ÎÉ × ÏÄÎÏÍ ÉÚ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ×ÙÛÅ ËÌÁÓÓÏ×. äÌÑ ÎÅÇÏ ÅÓÔØ ÔÁËÁÑ ÎÉÖÎÑÑ Ï ÅÎËÁ ·2

·· tTarski(n) > 22

"n:



ëÁË ×Ù ÏÍÎÉÔÅ, ÄÌÑ ÒÁÚÒÅÛÉÍÏÓÔÉ ÁÌÇÅÂÒÙ ÁÒÓËÏÇÏ ÒÏÄÁ×ÁÌÓÑ ÅÝÅ É ÄÉÓË

Collins for Windows 95.

áÌÇÅÂÒÁ ÁÒÓËÏÇÏ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ DOUBLEEXPTIME. ÅÅÒØ í ÓÍÏÇ ÏÎÑÔØ ÒÁÚÎÉ Õ ÍÅÖÄÕ ÜÔÉÍÉ CD-ROM: ×ÒÅÍÑ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ëÏÌÌÉÎÚÁ ÎÅÉÚÍÅÒÉÍÏ ÍÅÎØÛÅ ×ÒÅÍÅÎÉ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÁÒÓËÏÇÏ (ÈÏÔÑ ÏÎÏ ×ÓÅ ÒÁ×ÎÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÞÅÎØ ×ÅÌÉËÏ | Ï ÅÎËÁ ×ÒÅÍÅÎÉ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ Ä×ÏÊÎÏÊ ÜËÓÏÎÅÎÔÏÊ ÎÅ ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÔ ÎÁÍ, ÞÔÏ ÄÁÖÅ ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÓÕÍÍÅ ÕÇÌÏ× ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÂÕÄÅÔ ÄÏËÁÚÁÎÁ ÚÁ ×ÒÅÍÑ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÷ÓÅÌÅÎÎÏÊ). ÷ÏÚÎÉËÁÅÔ ×ÏÒÏÓ: Á ÎÅÌØÚÑ ÌÉ ÅÝÅ ÕÌÕÞÛÉÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁÚÒÅÛÉÍÏÓÔÉ ÄÌÑ ÁÌÇÅÂÒÙ ÁÒÓËÏÇÏ? é ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÉÊ ×ÏÒÏÓ: Á ÎÅÌØÚÑ ÌÉ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ ÓÄÅÌÁÔØ ×ÏÏÂÝÅ Ó ÌÀÂÙÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ? ÷ÄÒÕÇ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ×ÓÑËÁÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÌÅÖÉÔ × ËÌÁÓÓÅ P. éÌÉ, Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ, ×ÓÑËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÉÚ DOUBLEEXPTIME ÌÅÖÉÔ × P. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ×ÏÒÏÓ × ÔÏÍ, ÅÓÔØ ÌÉ Õ ÎÁÓ ÒÅÄÍÅÔ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ, ÉÌÉ, ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÔÅÏÒÅÍÁ âÌÀÍÁ Ï ÕÓËÏÒÅÎÉÉ ÒÉÍÅÎÉÍÁ ×ÏÏÂÝÅ ËÏ ×ÓÅÍ ÆÕÎË ÉÑÍ. ÷ÔÏÒÏÊ ËÒÁÅÕÇÏÌØÎÙÊ ËÁÍÅÎØ ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ | ÜÔÏ ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÉÅÒÁÒÈÉÉ. ëÁË É × ÓÌÕÞÁÅ Ó ÔÅÏÒÅÍÏÊ Ï ÕÓËÏÒÅÎÉÉ, ÍÙ ÒÉ×ÏÄÉÍ ÅÅ ÄÁÌÅËÏ ÎÅ × ÓÁÍÏÊ ÏÂÝÅÊ ÆÏÒÍÅ. ÅÏÒÅÍÁ (èÁÒÔÍÁÎÉÓ (1965)). P 6= EXPTIME. ÅÏÒÅÍÁ

(ëÏÌÌÉÎÚ).

ï ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ

135

ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÅ ×ÓÅ ÓÌÏÖÎÏÓÔÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ, ÔÁË ÞÔÏ ÒÅÄÍÅÔ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÅÓÔØ. ñ ÎÅ ÍÏÇÕ ÏÔËÁÚÁÔØ ÓÅÂÅ × ÕÄÏ×ÏÌØÓÔ×ÉÉ ÒÉ×ÅÓÔÉ ÏÞÔÉ ÏÌÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ. åÓÌÉ ×Ù ÅÝÅ ÏÍÎÉÔÅ ÎÁÛÅÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ í, ×ÔÏÒÏÊ ÍÏÍÅÎÔ ÅÇÏ ÚÌÏËÌÀÞÅÎÉÊ ÓÏÓÔÏÑÌ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÎ ÓÒÁÛÉ×ÁÌ, ÏÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÌÉ ÅÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÁ ËÏÇÄÁ-ÎÉÂÕÄØ. óÅÊÞÁÓ, ÎÁÕÞÅÎÎÙÊ ÇÏÒØËÉÍ ÏÙÔÏÍ, ÏÎ ÚÁÄÁÌ ÔÁËÏÊ ×ÏÒÏÓ: ÏÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÌÉ ÜÔÁ ÒÏÇÒÁÍÍÁ ÄÏ îÏ×ÏÇÏ çÏÄÁ ? ÷ÙÑÓÎÑÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÄÏ îÏ×ÏÇÏ çÏÄÁ ÏÓÔÁÌÏÓØ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ, ÔÏ ÜÔÁ ÚÁÄÁÞÁ É ÏÔÄÅÌÑÅÔ EXPTIME ÏÔ P. ðÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ÅÓÔØ ÏÞÅÎØ ÒÏÓÔÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÏÚ×ÏÌÑÀÝÉÊ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÏÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÌÉ ÒÏÇÒÁÍÍÁ ÄÏ îÏ×ÏÇÏ çÏÄÁ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÎÕÖÎÏ ÒÏÓÔÏ ÏÄÏÖÄÁÔØ ÄÏ ÎÅÇÏ, É ×ÓÅ ÓÁÍÏ ÓÏÂÏÊ ÒÅÛÉÔÓÑ. ÅÏÒÅÍÁ Ï ÉÅÒÁÒÈÉÉ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÜÔÕ ÚÁÄÁÞÕ ÎÅÌØÚÑ ÒÅÛÉÔØ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÂÙÓÔÒÅÅ, ÞÅÍ ÏÉÓÁÎÎÙÍ ×ÙÛÅ ÓÏÓÏÂÏÍ. ñ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÓÌÅÇËÁ ÕÔÒÉÒÕÀ, ÅÓÔØ ÔÁÍ É ËÏÅ-ËÁËÉÅ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÅ ÄÅÔÁÌÉ, ÎÏ ÓÍÙÓÌ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÍÅÎÎÏ × ÜÔÏÍ. é ÔÅÅÒØ ÎÁÛ ÍÁÔÅÍÁÔÉË ÏËÁÚÁÌÓÑ ×ÏÌÎÅ ÏÄÇÏÔÏ×ÌÅÎ Ë ×ÏÓÒÉÑÔÉÀ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÔÅÏÒÅÍÙ. ÅÏÒÅÍÁ (æÉÛÅÒ { òÁÂÉÎ (1974)). áÌÇÅÂÒÁ ÁÒÓËÏÇÏ ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ËÌÁÓÓÕ P. ÷ÒÅÍÑ ÒÁÂÏÔÙ ÌÀÂÏÇÏ ÒÁÚÒÅÛÁÀÝÅÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÄÌÑ ÁÌÇÅÂÒÙ ÁÒÓËÏÇÏ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ 2"n , ÇÄÅ " | ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ. ÁËÁÑ ×ÙÓÏËÁÑ ÎÉÖÎÑÑ Ï ÅÎËÁ ÏÂßÑÓÎÑÅÔ ÒÉÞÉÎÙ ÎÅÕÄÁÞÉ ÎÁÛÅÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ Ó ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÍ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÚÁÄÁÞ × ÁÌÇÅÂÒÅ ÁÒÓËÏÇÏ. îÁÉÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÁÑ É, Ï-×ÉÄÉÍÏÍÕ, ÎÁÉÂÏÌÅÅ ×ÁÖÎÁÑ ÏÂÌÁÓÔØ ÔÅÏÒÉÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ, Ó×ÑÚÁÎÁ ËÁË ÒÁÚ Ó ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÏÍ ÎÉÖÎÉÈ Ï ÅÎÏË. ÷ ÁÎÇÌÏÑÚÙÞÎÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ ÔÏÔ ÒÁÚÄÅÌ ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÙÊ ÚÁÎÉÍÁÅÔÓÑ ËÏÎÓÔÒÕÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ÔÁË É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ | \Theory of Algorithms", Á ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÄ \Complexity Theory" ÏÄÒÁÚÕÍÅ×ÁÅÔÓÑ ËÁË ÒÁÚ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÎÉÖÎÉÈ Ï ÅÎÏË. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÔÅÏÒÉÑ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÙÔÁÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. õÖÅ ÎÁ ÜÔÏÍ ÒÉÍÅÒÅ ×ÉÄÎÙ Ä×Å ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ, ÓÔÏÑÝÉÅ ÅÒÅÄ ÌÀÄØÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÙÔÁÀÔÓÑ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÎÉÖÎÉÅ Ï ÅÎËÉ. óÍÏÔÒÉÔÅ, ÂÙÌÁ ÔÅÏÒÅÍÁ ÁÒÓËÏÇÏ, ÅÅ ÙÔÁÌÉÓØ ÕÌÕÞÛÉÔØ, ÎÏ ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÏÌÕÞÁÌÏÓØ åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÂÙÌÏ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ ÜÔÁ Ï ÅÎËÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÁ. ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÒÉÄÕÍÁÌÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÊ ÎÁ ÓÏ×ÓÅÍ ÄÒÕÇÉÈ ÉÄÅÑÈ. áÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÂÙ×ÁÅÔ ÍÎÏÇÏ, ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÂÙ×ÁÀÔ ÓÌÏÖÎÙÅ, ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÂÙ×ÁÀÔ ÒÁÚÎÙÅ. á ×ÅÄØ ÍÙ ÙÔÁÅÍÓÑ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÂÏÌÅÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÎÅ ÏÑ×ÉÔÓÑ ÎÉËÏÇÄÁ, É ÒÉ ÜÔÏÍ ÙÔÁÅÍÓÑ ÁÎÁÌÉÚÉÒÏ×ÁÔØ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÉÚ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÛÉÒÏËÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ. 7. ó×ÏÄÉÍÏÓÔØ É ÏÌÎÏÔÁ

äÁ×ÁÊÔÅ ÒÏÄ×ÉÎÅÍÓÑ ÄÁÌØÛÅ × ÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÎÁÛÅÊ ÔÅÏÒÉÉ. ðÏÎÑÔÉÅ ÓÌÏÖÎÏÓÔÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ÂÙÌÏ ××ÅÄÅÎÏ ×Ï×ÓÅ ÎÅ ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÜËÏÎÏÍÉÔØ ÎÁ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁÈ ÔÅÏÒÅÍ (× ËÏÎ Å ËÏÎ Ï×, ÔÅÏÒÅÍÕ æÉÛÅÒÁ { òÁÂÉÎÁ ÍÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ É ÂÅÚ ÕÏÍÉÎÁÎÉÑ ËÁËÉÈ ÂÙ ÔÏ ÎÉ ÂÙÌÏ ÓÌÏÖÎÏÓÔÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ× { ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÓÔÁ×ÉÔØ × ÅÅ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ ÌÉÛØ ×ÔÏÒÕÀ ÆÒÁÚÕ). ðÏÎÑÔÉÅ ÓÌÏÖÎÏÓÔÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ×ÁÖÎÙÍ × ÔÏÔ ÍÏÍÅÎÔ, ËÏÇÄÁ Õ ÎÁÓ ÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÎÑÔÉÅ Ó×ÏÄÉÍÏÓÔÉ,

136

á. á. òÁÚÂÏÒÏ×

É ÜÔÏ ×ÔÏÒÏÅ ÅÎÔÒÁÌØÎÏÅ ÏÎÑÔÉÅ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ. åÓÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ Ó×ÏÄÉÍÏÓÔÉ, Ñ ÒÁÓÓËÁÖÕ ÌÉÛØ Ï ÎÁÉÂÏÌÅÅ ×ÁÖÎÏÍ ÉÚ ÎÉÈ. ó×ÏÄÉÍÏÓÔØ Ï ëÁÒÕ. üÔÁ Ó×ÏÄÉÍÏÓÔØ ÕÓÔÒÏÅÎÁ ÏÞÅÎØ ÒÏÓÔÏ. äÌÑ ÎÁÞÁÌÁ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÚÁÎÉÍÁÅÍÓÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅÍ ÆÕÎË ÉÊ, ÏÔÏÂÒÁÖÁÀÝÉÈ ËÏÎÅÞÎÙÅ ÓÌÏ×Á × ËÏÎÅÞÎÙÅ ÓÌÏ×Á. îÏ ×Ï ÍÎÏÇÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÏÒÁÚÄÏ ÕÄÏÂÎÅÅ, É ÜÔÏ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÎÅ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÏÔÅÒÅ ÏÂÝÎÏÓÔÉ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ ÑÚÙËÉ. ñÚÙË L ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÌÏ× L ⊆ {0; 1}∗ ÉÌÉ ÉÎÔÅÒÒÅÔÉÒÏ×ÁÔØ ÅÇÏ ËÁË ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ×ÉÄÁ ' : {0; 1}∗ → {0; 1}, ÔÏÇÄÁ L = '−1 (1). ðÅÒÅÈÏÄ Ë ÑÚÙËÁÍ ÎÅ ÓÌÉÛËÏÍ ÎÁÓ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÅÔ: ÅÓÌÉ ÅÓÔØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÉÚ ÓÌÏ× × ÓÌÏ×Á, ÔÏ Ó ÎÅÊ ÍÏÖÎÏ Ó×ÑÚÁÔØ ÔÁËÏÊ ÑÚÙË | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÁÒ (x; i) ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ i-Ê ÂÉÔ f (x) ÒÁ×ÅÎ 1. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ñÚÙË L1 Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÑÚÙËÕ L2 Ï ëÁÒÕ (ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÜÔÏ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ L1 p L2 ), ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f ÉÚ P, ÞÔÏ ∀ x : (x ∈ L1 ≡ f (x) ∈ L2 ) : ó×ÏÄÉÍÏÓÔØ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏÄÒÏÇÒÁÍÍÙ, ÅÒÅÒÁÂÁÔÙ×ÁÀÝÅÊ ÉÓÈ ÄÎÏÅ ÓÌÏ×Ï x × f (x), Ë ËÏÔÏÒÏÍÕ ÚÁÔÅÍ ÎÕÖÎÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁÓÏÚÎÁ×ÁÎÉÑ ÒÉÎÁÄÌÅÖÎÏÓÔÉ ÑÚÙËÕ L2 . ÷ ÜÔÏÍ ×ÁÒÉÁÎÔÅ ÏÎÑÔÉÑ Ó×ÏÄÉÍÏÓÔÉ ÏÂÒÁÝÅÎÉÅ Ë ÒÏÇÒÁÍÍÅ ÒÁÓÏÚÎÁ×ÁÎÉÑ L2 ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ, ÅÓÌÉ ÖÅ ÒÁÚÒÅÛÅÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÄÒÏÇÒÁÍÍÙ ÒÁÓÏÚÎÁ×ÁÎÉÅ ÑÚÙËÁ L2 ÓËÏÌØËÏ ÕÇÏÄÎÏ ÒÁÚ, ÔÏ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÄÒÕÇÁÑ Ó×ÏÄÉÍÏÓÔØ (Ï ØÀÒÉÎÇÕ). óÅÊÞÁÓ ÜÔÏ ÒÁÚÌÉÞÉÅ ÎÁÍ ÎÅ×ÁÖÎÏ. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ Ó×ÏÄÉÍÏÓÔÉ | ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÒÅÄÏÒÑÄËÁ. ïÎÏ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. óÁÍÏÅ ÇÌÁ×ÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ L2 ∈ P, ÔÏ É L1 ∈ P. úÄÅÓØ ×ÁÖÎÏ, ÞÔÏ ËÌÁÓÓ ÏÌÉÎÏÍÏ× ÚÁÍËÎÕÔ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÅÒÁ ÉÉ ÓÕÅÒÏÚÉ ÉÉ. îÁÒÉÍÅÒ, EXP-Ó×ÏÄÉÍÏÓÔØ ÎÅ ÏÌÕÞÉÔÓÑ. îÅ ÂÕÄÅÔ ÚÁÍËÎÕÔÏÓÔÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÁËÏÊ Ó×ÏÄÉÍÏÓÔÉ. úÁÍËÎÅÔÓÑ ×ÓÅ ÌÉÛØ ÎÁ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÂÁÛÎÑÈ ÜËÓÏÎÅÎÔ | ËÌÁÓÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ. åÓÌÉ ÇÏ×ÏÒÉÔØ ÔÏÌØËÏ Ï ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ËÌÁÓÓÁÈ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÒÅÁÌØÎÏ ÅÓÔØ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÁ ÒÁÚÕÍÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ É ËÏÔÏÒÙÅ ÚÁÍËÎÕÔÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÕÅÒÏÚÉ ÉÉ, O(1) ÔÏ ÅÓÔØ ÅÝÅ ËÌÁÓÓ Ë×ÁÚÉÏÌÉÎÏÍÏ× 2(log n) É ËÌÁÓÓ Ë×ÁÚÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ n logO(1) n. ë×ÁÚÉÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ÆÕÎË ÉÑÍÉ ÓÅÊÞÁÓ ÎÁÞÉÎÁÀÔ ÉÎÔÅÎÓÉ×ÎÏ ÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÔØÓÑ, ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ Ï-ÎÁÓÔÏÑÝÅÍÕ ÈÏÒÏÛÉÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ | ÜÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ËÁË ÒÁÚ Ë×ÁÚÉÌÉÎÅÊÎÏÅ ×ÒÅÍÑ. ÷ ÌÀÂÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÌÁÓÓ P Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÎÔÒÁÌØÎÙÍ × ÔÅÏÒÉÉ, É ÍÙ ÓÅÊÞÁÓ ÂÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÉÍÅÎÎÏ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÕÀ Ó×ÏÄÉÍÏÓÔØ. ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ËÌÁÓÓ EXPTIME ÚÁÍËÎÕÔ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÜÔÏÊ Ó×ÏÄÉÍÏÓÔÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÓÔÁ×ÉÔØ ×ÏÒÏÓ, Á ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÌÉ × ÜÔÏÍ ËÌÁÓÓÅ ÓÁÍÙÅ ÓÌÏÖÎÙÅ ÑÚÙËÉ, Ô. Å. ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÄÒÕÇÏÊ ÑÚÙË ÉÚ ÜÔÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ Ë ÎÉÍ Ó×ÏÄÉÔÓÑ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÏÖÎÏ ÒÅÛÉÔØ ÌÀÂÕÀ ÚÁÄÁÞÕ ÉÚ EXPTIME, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁÓÏÚÎÁ×ÁÎÉÑ ÄÌÑ ÔÁËÏÇÏ ÓÁÍÏÇÏ ÓÌÏÖÎÏÇÏ ÑÚÙËÁ É ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÕÀ Ó×ÏÄÉÍÏÓÔØ. ñÚÙËÉ ÉÚ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÌÏÖÎÏÓÔÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ, Ë ËÏÔÏÒÙÍ Ó×ÏÄÉÔÓÑ ÌÀÂÏÊ ÑÚÙË ÉÚ ÜÔÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÏÌÎÙÍÉ (ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÄÁÎÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ É ÄÁÎÎÏÇÏ ÔÉÁ Ó×ÏÄÉÍÏÓÔÉ). á ÅÓÌÉ ÍÙ ÏÕÓÔÉÍ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÎÏÓÔÉ ÎÁÛÅÍÕ ËÌÁÓÓÕ ÓÁÍÏÇÏ ÑÚÙËÁ, ÏÌÕÞÉÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÔÒÕÄÎÏÇÏ ÑÚÙËÁ.

137

ï ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ

ÅÏÒÅÍÁ æÉÛÅÒÁ { òÁÂÉÎÁ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÍÅÎÎÏ ÔÁË. ÷ÍÅÓÔÏ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÎÁÒÑÍÕÀ, ÞÔÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÄÌÑ ÁÌÇÅÂÒÙ ÁÒÓËÏÇÏ, ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÁÌÇÅÂÒÁ ÁÒÓËÏÇÏ ÔÒÕÄÎÁ ÄÌÑ ËÌÁÓÓÁ EXPTIME. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÄÌÑ ÁÌÇÅÂÒÙ ÁÒÓËÏÇÏ ÄÁ×ÁÌ ÂÙ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ É ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ. á ÍÙ ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ × EXPTIME ÅÓÔØ ÚÁÄÁÞÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅÌØÚÑ ÒÅÛÉÔØ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ (€ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÒÏÇÒÁÍÍÙ ÄÏ îÏ×ÏÇÏ çÏÄÁ). ÁËÏÊ ÓÏÓÏ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ ÔÉÉÞÅÎ ÄÌÑ ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ. íÙ ÎÅ ÙÔÁÅÍÓÑ ÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÔØ €× Ìρ, Á Ó×ÏÄÉÍ ÏÄÎÕ ÚÁÄÁÞÕ Ë ÄÒÕÇÏÊ. é, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÓÉÔÕÁ ÉÑ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÈÏÒÏÛÁ, ËÏÇÄÁ Ë ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ Ó×ÏÄÉÔÓÑ ÍÎÏÇÏ ÄÒÕÇÉÈ ÚÁÄÁÞ ÉÚ ÄÁÎÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ. õÓÅÈ ÜÔÏÊ ÎÁÕËÉ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÔÅÍ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÍ ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÓÔ×ÏÍ, ÞÔÏ ÏÌÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏ × ÓÁÍÙÈ ÒÁÚÎÙÈ ÓÉÔÕÁ ÉÑÈ É ÏÎÉ ÂÏÌÅÅ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙ, ÞÅÍ ÒÏÂÌÅÍÁ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ. 8. ÷ÓÑËÉÊ ÌÉ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÈÏÒÏÛ?

ÅÅÒØ ÓÁÍÏÅ ×ÒÅÍÑ ×ÅÒÎÕÔØÓÑ Ë ÎÁÛÅÍÕ ÂÅÄÎÏÍÕ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ í É ÏÇÏ×ÏÒÉÔØ Ï ÉÓËÌÀÞÅÎÉÑÈ ÉÚ ÒÁ×ÉÌÁ €ËÌÁÓÓ P = ËÌÁÓÓ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÈ ÆÕÎË Éʁ. ëÁË-ÔÏ í ÏÎÁÄÏÂÉÌÏÓØ ÄÌÑ ËÁËÉÈ-ÔÏ Ó×ÏÉÈ ÅÌÅÊ ÒÅÛÁÔØ ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×: X

aij xj

6 bi :

(i = 1 : : : m; j = 1 : : : n)

äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÅÍÕ ÏÔÒÅÂÏ×ÁÌÓÑ ÁËÅÔ ÒÏÇÒÁÍÍ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. óÅ ÉÁÌÉÓÔÙ Ï ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ÅÒÅÄ ÏËÕËÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÎÏÇÏ ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÑ ÉÚÕÞÁÀÔ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÕ, É í, ÎÁÕÞÅÎÎÙÊ ÒÅÄÙÄÕÝÉÍ ÇÏÒØËÉÍ ÏÙÔÏÍ, ÓÔÁÌ ÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÜÔÏÍÕ ÒÁ×ÉÌÕ. ïÎ, ËÏÎÅÞÎÏ ÖÅ, ÓÌÙÛÁÌ ÒÏ ÓÉÍÌÅËÓ-ÍÅÔÏÄ, ËÏÔÏÒÙÍ ÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÞÔÉ ×ÓÀÄÕ, ×ËÌÀÞÁÑ ×ÏÅÎÎÕÀ ËÁÆÅÄÒÕ íÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ. îÏ í ÏÂÎÁÒÕÖÉÌ ÓÔÁÔØÀ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÓÉÍÌÅËÓ-ÍÅÔÏÄ ÎÅ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌÅÎ. á ÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÎÁÛ í ÏÂÎÁÒÕÖÉÌ É ÓÔÁÔØÀ èÁÞÉÑÎÁ (1979), × ËÏÔÏÒÏÊ ÂÙÌ ÏÓÔÒÏÅÎ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. ðÏÜÔÏÍÕ, ÒÉÅÈÁ× ÎÁ íÉÔÉÎÓËÉÊ ÒÁÄÉÏÒÙÎÏË, ÏÎ ÏÙÔÁÌÓÑ ÎÁÊÔÉ ÞÔÏ-ÔÏ ×ÒÏÄÅ CD Kha hiyan for Windows 95. ë ÅÇÏ ÕÄÉ×ÌÅÎÉÀ, ÎÉÞÅÇÏ ÏÈÏÖÅÇÏ ÎÅ ÂÙÌÏ. ÷ÓÅ, ÞÔÏ ÅÍÕ ÒÅÄÌÁÇÁÌÉ, ÂÙÌÏ ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ ÓÉÍÌÅËÓ-ÍÅÔÏÄÅ É ÅÇÏ ×ÁÒÉÁ ÉÑÈ. ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÈÏÔÑ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÉÍÌÅËÓ-ÍÅÔÏÄÏÍ ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÙÊ, Á ÁÌÇÏÒÉÔÍ èÁÞÉÑÎÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ, ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ ÅÒ×ÙÊ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÂÙÓÔÒÅÅ ×ÔÏÒÏÇÏ. þÔÏÂÙ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÒÉÍÅÒ ÚÁÄÁÞÉ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÉÍÌÅËÓ-ÍÅÔÏÄ ÂÕÄÅÔ ÒÁÂÏÔÁÔØ ÄÏÌÇÏ, ÎÕÖÎÏ ÏÞÅÎØ É ÏÞÅÎØ ÏÓÔÁÒÁÔØÓÑ, Á ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ èÁÞÉÑÎÁ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÒÉÍÅÒÎÏ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÎÁ ÌÀÂÏÍ ×ÈÏÄÅ (ÏËÁÚÁÔÅÌØ ÜËÓÏÎÅÎÔÙ 6, ÞÔÏ ×ÅÓØÍÁ ÌÏÈÏ). üÔÏ ÓÁÍÏÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÅ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅ ÉÚ ÔÏÇÏ ÒÁ×ÉÌÁ, ÞÔÏ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÈÏÒÏÛÉ, Á ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ | ÌÏÈÉ. îÏ ÜÔÏ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅ, ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÏÄÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ ÒÁ×ÉÌÏ, ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ, ÈÏÔÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ èÁÞÉÑÎÁ ÎÉËÔÏ É ÎÅ ÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ×ÙÑÓÎÉÌÏÓØ, ÞÔÏ Ó

138

á. á. òÁÚÂÏÒÏ×

ÏÍÏÝØÀ ÜÔÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÍÏÖÎÏ ÒÅÛÁÔØ ÔÁËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ, Ë ËÏÔÏÒÙÍ Ó ÓÉÍÌÅËÓÍÅÔÏÄÏÍ ÏÄÓÔÕÉÔØÓÑ × ÒÉÎ ÉÅ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ. îÁÒÉÍÅÒ, ÕÓÔØ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ×ÙÕËÌÏÅ ÔÅÌÏ K É ÚÁÄÁÎÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ. îÕÖÎÏ ÍÁËÓÉÍÉÚÉÒÏ×ÁÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÎÁ K . ðÒÏ ×ÙÕËÌÏÅ ÔÅÌÏ ×Ù ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÚÎÁÅÔÅ: ÏÎÏ ÚÁÄÁÎÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÞÅÒÎÏÇÏ ÑÝÉËÁ (ÉÌÉ, ËÁË ÉÎÏÇÄÁ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÏÒÁËÕÌÁ). Ï ÅÓÔØ, ÅÓÌÉ ×Ù ÕËÁÚÙ×ÁÅÔÅ ÔÏÞËÕ p, ÔÏ Ó ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏÇÒÅÛÎÏÓÔØÀ " ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÌÅÖÉÔ ÌÉ ÔÏÞËÁ p × ÔÅÌÅ K , Á ÅÓÌÉ ÎÅ ÌÅÖÉÔ | ÏÌÕÞÉÔØ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÏÔÄÅÌÑÀÝÕÀ p ÏÔ K ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ. ïÔ×ÅÔ ÎÕÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ Ó ÔÏÊ ÖÅ ÔÏÞÎÏÓÔØÀ. îÉËÁËÏÊ ÓÉÍÌÅËÓ-ÍÅÔÏÄ ÚÄÅÓØ, ÏÎÑÔÎÏÅ ÄÅÌÏ, ÎÅ ÒÁÂÏÔÁÅÔ | ×ÏÏÂÝÅ ÎÅÔ ÎÉËÁËÉÈ ×ÅÒÛÉÎ, ÅÒÅÂÏÒÏÍ ËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÎÉÍÁÅÔÓÑ ÓÉÍÌÅËÓ-ÍÅÔÏÄ. á ÁÌÇÏÒÉÔÍ èÁÞÉÑÎÁ É ÔÁ ÎÁÕËÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ÉÚ ÎÅÇÏ ×ÙÒÏÓÌÁ, ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏ (Ô. Å. ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏ) Ó ÔÁËÉÍÉ ÚÁÄÁÞÁÍÉ ÓÒÁ×ÌÑÅÔÓÑ. òÏÌØ ÁÒÁÍÅÔÒÁ n, ÏÉÓÙ×ÁÀÝÅÇÏ ÒÁÚÍÅÒ ×ÈÏÄÁ, ÚÄÅÓØ ÉÇÒÁÅÔ d · (log "−1 ), ÇÄÅ d | ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ, Á " | ÔÏÞÎÏÓÔØ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ. ÁËÉÈ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÊ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÏÞÅÎØ ÍÁÌÏ. ÷ÔÏÒÏÊ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÊ ÒÉÍÅÒ | ÒÏ×ÅÒËÁ ÒÏÓÔÏÔÙ ÞÉÓÌÁ. ëÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÏÄÔ×ÅÒÖÄÁÅÔÓÑ ÔÅÚÉÓ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ Õ ×ÁÓ ÉÍÅÅÔÓÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÈÏÒÏÛÏ, É ÜÔÏ | ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÄÌÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ, ËÏÔÏÒÁÑ É × ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÏÔËÕÄÁ-ÔÏ ×ÏÚÎÉËÌÁ, Á ÎÅ ÓËÏÎÓÔÒÕÉÒÏ×ÁÎÁ Ó ÈÕÌÉÇÁÎÓËÉÍÉ ÎÁÍÅÒÅÎÉÑÍÉ, ÔÏ ÜÔÏÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÂÕÄÅÔ ÈÏÒÏÛÏ ÒÁÂÏÔÁÔØ É ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÏËÁÚÁÔÅÌØ k × Ï ÅÎËÅ ÓËÏÒÏÓÔÉ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ nk ÏÂÙÞÎÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÂÏÌØÛÉÍ, Á ËÏÇÄÁ ÏÎ ÏÎÁÞÁÌÕ ×ÅÌÉË, ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÕÍÅÎØÛÉÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÕÈÉÝÒÅÎÉÑÍÉ. äÌÑ ÏÄÁ×ÌÑÀÝÅÇÏ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Á ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÏËÁÚÁÔÅÌØ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ 3. 9. îÅÄÅÔÅÒÍÉÎÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ

ðÏ-×ÉÄÉÍÏÍÕ, ÔÅ, ËÔÏ ÒÉÛÅÌ ÎÁ ÜÔÕ ÌÅË ÉÀ, ÈÏÔÅÌÉ ÕÚÎÁÔØ ÞÔÏ-ÎÉÂÕÄØ ÒÏ ? ÓÁÍÕÀ ÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ ÏÔËÒÙÔÕÀ ÒÏÂÌÅÍÕ × ÜÔÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ P 6= NP. þÔÏ ÔÁËÏÅ P, Ñ ÕÖÅ ÎÅÍÎÏÖËÏ ÏÂßÑÓÎÉÌ. ÅÅÒØ ÄÁ×ÁÊÔÅ ÚÁÊÍÅÍÓÑ NP. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÏÑÔØ ×ÅÒÎÅÍÓÑ Ë í. ðÏËÁ ÏÎ ÒÁÚÂÉÒÁÌÓÑ × ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ, ÅÇÏ ÓÙÎ ÏÓÔÕÉÌ × ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ ÎÁ ÅÒ×ÙÊ ËÕÒÓ É ÓÔÁÌ ÉÚÕÞÁÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÕÀ ÌÏÇÉËÕ. éÚÕÞÅÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÌÏÇÉËÉ, ËÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó ÔÁËÏÊ ÚÎÁÍÅÎÉÔÏÊ ÎÁÕËÉ, ËÁË ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ. õ ×ÁÓ ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÒÏÏÚÉ ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ (p1 ; : : : ; pn ), ÏÎÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÅÊ, ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÉÓÔÉÎÎÁ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÔ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÍÙ × ÎÅÅ ÏÄÓÔÁ×ÉÍ. é ÏÄÎÏ ÉÚ ÎÅÒÉÑÔÎÙÈ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ÒÉ ÚÁÎÑÔÉÑÈ ÜÔÏÊ ÎÁÕËÏÊ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÎÕÖÎÏ ×ÙÑÓÎÉÔØ Ï ×ÙÉÓÁÎÎÏÊ ÒÏÏÚÉ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÅ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÎÁ ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÅÊ ÉÌÉ ÎÅÔ. éÍÅÎÎÏ Ó ÔÁËÉÍ ×ÏÒÏÓÏÍ É ÏÂÒÁÔÉÌÓÑ ÓÙÎ ÎÁÛÅÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ Ë Ó×ÏÅÍÕ ÁÅ. í, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÕÖÅ ÎÉËÕÄÁ ÎÅ ÏÅÈÁÌ, Á ÓÔÁÌ, ËÁË É ÏÓÔÕÁÀÔ ×ÓÅÇÄÁ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÙ Ï ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ, ÙÔÁÔØÓÑ ÏÍÅÓÔÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ × ÏÄÉÎ ÉÚ ÕÖÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÓÌÏÖÎÏÓÔÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ×. þÔÏÂÙ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ Ï Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÅÊ ÚÁÄÁÞÅ SAT | ×ÙÏÌÎÉÍÏÓÔÉ3): ÅÓÔØ ÌÉ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÉÎ ÎÁÂÏÒ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÆÏÒÍÕÌÁ ÉÓÔÉÎÎÁ. îÁËÌÁÄÙ×ÁÑ ÜÔÕ ÚÁÄÁÞÕ ÎÁ ÎÁÛÕ ËÁÒÔÉÎÕ ÓÌÏÖÎÏÓÔÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ×, í Õ×ÉÄÅÌ ÅÒ×ÙÍ ÄÅÌÏÍ, ÞÔÏ SAT ∈ EXPTIME. áÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ SAT ÚÁ ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ ÏÞÅ×ÉÄÅÎ | ×ÓÅÇÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÎÁÂÏÒÏ× ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ 3) SAT | ÏÔ ÓÌÏ×Á satis ability | ×ÙÏÌÎÉÍÏÓÔØ.

139

ï ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ

2n, Á ×ÒÅÍÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÏÒÍÕÌÙ ÒÉ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏ. óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÛÁÇ | ËÌÁÓÓÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÔØ ÜÔÕ ÚÁÄÁÞÕ: ÌÅÖÉÔ ÌÉ ÏÎÁ × P, ÉÌÉ ÏÌÎÁ × EXPTIME? üÔÏÔ ×ÏÒÏÓ, ×ÏÚÎÉËÛÉÊ × ÎÁÞÁÌÅ 70-È ÇÏÄÏ×, ÄÏ ÓÉÈ ÏÒ ÏÔËÒÙÔ. ðÏÞÅÍÕ Õ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ×, ÏÔÒÁÔÉ×ÛÉÈ ÎÁ ÒÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÏÞÔÉ 30 ÌÅÔ, ÎÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÏÂßÑÓÎÉÔØ ÓÌÏÖÎÏ (Ñ, ×Ï ×ÓÑËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÎÉËÁË ÜÔÏ ÏÂßÑÓÎÑÔØ ÎÅ ÂÅÒÕÓØ). îÏ ÔÏÔ ÆÁËÔ, ÞÔÏ ÎÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÌÎÏÔÙ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ × EXPTIME, ÎÅËÏÔÏÒÏÍÕ ÏÂßÑÓÎÅÎÉÀ ÏÄÄÁÅÔÓÑ. åÓÌÉ ÍÙ ÏÓÍÏÔÒÉÍ ÎÁ ÎÁÓÔÏÑÝÉÅ ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÎÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÄÌÑ ÁÎÁÌÏÇÁ ÁÌÇÅÂÒÙ ÁÒÓËÏÇÏ ÎÁÄ ËÏÍÌÅËÓÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ, É ÓÒÁ×ÎÉÍ Ó ÎÉÍÉ ÔÏ ÄÅÔÓËÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÙ ÒÉ×ÅÌÉ ×ÙÛÅ, ÔÏ ÓÒÁÚÕ ÎÅ×ÏÏÒÕÖÅÎÎÙÍ ÇÌÁÚÏÍ ×ÉÄÎÁ ÒÁÚÎÉ Á | ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÄÌÑ SAT ÉÓÏÌØÚÕÅÔ ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ ÏÞÅÎØ ÓÌÁÂÏ | ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÅÒÅÂÏÒÁ ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ, Ó ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÎ ÓÒÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ. ÷ÚÒÙ× × ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ÎÁÞÁÌÓÑ Ó ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÂÙÌÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ËÌÁÓÓÁ NP, ËÁË ËÌÁÓÓÁ ÑÚÙËÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÁÓÏÚÎÁÀÔÓÑ ÅÒÅÂÏÒÎÙÍÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁÍÉ. âÏÌÅÅ ÎÁÕÞÎÏ, ÅÒÅÂÏÒÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÎÅÄÅÔÅÒÍÉÎÉÒÏ×ÁÎÎÙÍÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁÍÉ. NP | ÜÔÏ ËÌÁÓÓ ÑÚÙËÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÏÚÎÁÔØ ÚÁ ÎÅÄÅÔÅÒÍÉÎÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ. ÅÅÒØ ÄÁÄÉÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ. ÷ ÜÔÏÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ, ËÁË É × ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ËÌÁÓÓÁ P, ÂÕÄÅÔ ÆÉÇÕÒÉÒÏ×ÁÔØ ÓÌÏ×Ï €ÍÁÛÉÎÁ, ÓÏËÒÁÝÅÎÎÏ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÅÅ îí (€ÎÅÄÅÔÅÒÍÉÎÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÍÁÛÉÎÁ ØÀÒÉÎÇÁ); ×ÒÏÞÅÍ, ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÓÌÏ×Á €ÍÁÛÉÎÁ × ÜÔÏÍ ËÏÎÔÅËÓÔÅ ÍÏÖÅÔ ×ÙÚÙ×ÁÔØ Õ ÌÀÄÅÊ, ÉÍÅÀÝÉÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ Ë ÒÅÁÌØÎÙÍ ÍÁÛÉÎÁÍ, ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÞÕ×ÓÔ×Ï ÎÅÕÄÏ×ÏÌØÓÔ×ÉÑ. ðÏÄ ÎÅÄÅÔÅÒÍÉÎÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÍÁÛÉÎÏÊ ÍÙ ÏÎÉÍÁÅÍ ÔÁËÕÀ ÍÁÛÉÎÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ËÁË ÏÂÙÞÎÏ, ÎÏ × ËÁËÏÊ-ÔÏ ÍÏÍÅÎÔ ÏÎÁ ÍÏÖÅÔ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÔØ × ËÁËÏÊ-ÔÏ ÑÞÅÊËÅ ÚÎÁË ×ÏÒÏÓÁ É ÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÅÅ ÒÁÂÏÔÁ ÒÁÚÄÅÌÑÅÔÓÑ ÎÁ Ä×Å ×ÅÔ×É 0 ÉÌÉ 1: ?

  PP P

1 0

(× ËÌÅÔËÅ ÏËÁÖÅÔÓÑ ÚÁÉÓÁÎÎÙÍ ÌÉÂÏ 0, ÌÉÂÏ 1). ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÍÁÛÉÎÁ ÒÏÄÏÌÖÁÅÔ ÒÁÂÏÔÕ. ÷ ËÁËÏÊ-ÔÏ ÍÏÍÅÎÔ ÏÎÁ ÍÏÖÅÔ ÒÁÚÄ×ÏÉÔØÓÑ ÅÝÅ ÒÁÚ. ðÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×Ï ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ. ÷ÄÏÌØ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÔ×É ÄÅÒÅ×Á ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ îí ÒÁÂÏÔÁÅÔ ËÁË ÏÂÙÞÎÏÅ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÅ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Ï, ÎÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÒÁÂÏÔÙ îí ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÒÁÂÏÔÙ ×ÄÏÌØ ×ÓÅÈ ×ÅÔ×ÅÊ. ïÒÅÄÅÌÉÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÒÁÂÏÔÙ îí × ÓÌÕÞÁÅ ÒÏ×ÅÒËÉ ÒÉÎÁÄÌÅÖÎÏÓÔÉ ÓÌÏ×Á x Ë ÑÚÙËÕ L. îÁ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ×ÅÔ×ÅÊ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÏÄÉÎ ÉÚ Ä×ÕÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÏÔ×ÅÔÏ×: €ÄÁ ÉÌÉ €ÎÅԁ. îí ÒÁÓÏÚÎÁÅÔ ÑÚÙË L, ÅÓÌÉ ×ÓÑËÏÅ ÓÌÏ×Ï x ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ L ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÈÏÔÑ ÂÙ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ×ÅÔËÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ÏÌÕÞÅÎ ÏÔ×ÅÔ €ÄÁ. ðÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ îí ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ Ó ÕÒÁÖÎÅÎÉÑÍÉ ÎÁ ÒÏ×ÅÒËÕ ×ÙÏÌÎÉÍÏÓÔÉ ÒÏÏÚÉ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÆÏÒÍÕÌ. þÁÓÔÅÎØËÏ, ËÏÇÄÁ ÓÔÕÄÅÎÔ (ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÁÑ ÄÅÔÅÒÍÉÎÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÍÁÛÉÎÁ ØÀÒÉÎÇÁ) ÒÏ×ÁÌÉ×ÁÅÔÓÑ É ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÒÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ, ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌØ ×ÙÓÔÕÁÅÔ × ÒÏÌÉ ÎÅÄÅÔÅÒÍÉÎÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÍÁÛÉÎÙ | ÏÎ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ (ÚÁÇÏÄÑ ÒÉÇÏÔÏ×ÌÅÎÎÙÊ) ÏÔ×ÅÔ, ËÏÔÏÒÙÊ ÌÅÇËÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÏ×ÅÒÅÎ. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ ÔÁË: îí €ÓÔÒÅÍÉÔÓс ÄÏËÁÚÁÔØ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ x ∈ L, Á × ÍÏÍÅÎÔ ÒÁÚÄ×ÏÅÎÉÑ ÏÎÁ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÍÉ

140

á. á. òÁÚÂÏÒÏ×

ÉÎÔÅÌÌÅËÔÕÁÌØÎÙÍÉ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÑÍÉ É ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÎÁÉÌÕÞÛÉÊ ×ÁÒÉÁÎÔ. åÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÅÔËÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÔ×ÅÔ €ÄÁ, ÔÏ x ∈ L. ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÉËÁËÏÅ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÅ ÎÅ ÒÉ×ÅÄÅÔ Ë ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÍÕ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÕ (ÓÌÏ×Ï ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÑÚÙËÕ ÌÉÛØ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ Õ îí ÎÅÔ ÎÉËÁËÏÊ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÄÏËÁÚÁÔØ ÏÂÒÁÔÎÏÅ). îÅ ÓÒÁÛÉ×ÁÊÔÅ ÍÅÎÑ Ï ÆÉÚÉËÅ ÒÏ ÅÓÓÁ: ËÁË ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÔÁËÏÅ ÒÁÚÄ×ÏÅÎÉÅ, ÇÄÅ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÔÁËÁÑ ÍÁÛÉÎÁ, ÍÏÖÎÏ ÌÉ ÅÅ ÏÓÍÏÔÒÅÔØ . . . ÁËÉÈ ÍÁÛÉÎ × ÒÅÁÌØÎÏÓÔÉ ÎÅÔ. ïÄÎÉÍ ÉÚ ÓÁÍÙÈ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÙÈ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÊ × ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÚÁ ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÇÏÄÙ ÓÔÁÌÏ ÔÏ, ÞÔÏ ÂÙÌÁ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÁ Ë×ÁÎÔÏ×ÁÑ ÍÏÄÅÌØ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ. ë×ÁÎÔÏ×ÙÅ ËÏÍØÀÔÅÒÙ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ËÁÎÄÉÄÁÔÏ× ÎÁ ÒÏÌØ ÔÁËÏÊ ÍÁÛÉÎÙ × ÒÅÁÌØÎÏÍ ÍÉÒÅ. ðÏ ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ, ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ Ë×ÁÎÔÏ×ÙÈ ËÏÍØÀÔÅÒÏ× ÎÅ ×ÙÚÙ×ÁÅÔ ÒÉÎ ÉÉÁÌØÎÙÈ ×ÏÚÒÁÖÅÎÉÊ Õ ÆÉÚÉËÏ×, Á ÎÁÄÅÖÄÁ ÎÁ ÉÍÉÔÁ ÉÀ ÎÅÄÅÔÅÒÍÉÎÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÁÛÉÎ Ë×ÁÎÔÏ×ÙÍÉ ËÏÍØÀÔÅÒÁÍÉ ÏËÁ ÎÅ ×ÙÚÙ×ÁÅÔ ËÁÔÅÇÏÒÉÞÅÓËÉÈ ×ÏÚÒÁÖÅÎÉÊ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÙ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ× × ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÁÂÓÔÒÁËÔÎÙÅ Ë×ÁÎÔÏ×ÙÅ ËÏÍØÀÔÅÒÙ ÕÖÅ ÕÍÅÀÔ ÒÅÛÁÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ×ÁÖÎÅÊÛÉÅ ÅÒÅÂÏÒÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ, ÔÁËÉÅ, ËÁË ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÑ ÞÉÓÅÌ4) . ðÏÄÞÅÒËÎÅÍ ÅÝÅ ÒÁÚ, ÞÔÏ ÎÅÄÅÔÅÒÍÉÎÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÍÁÛÉÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÉÓÔÏ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÍ ÏÎÑÔÉÅÍ. õÄÏÂÓÔ×Á ÏÔ ××ÅÄÅÎÉÑ ÔÁËÏÇÏ ÏÎÑÔÉÑ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÆÁÎÔÁÓÔÉÞÅÓËÉÅ. üÔÏ ÓÁÍÁÑ ÅÒ×ÁÑ ×ÙÍÙÛÌÅÎÎÁÑ ÍÏÄÅÌØ, ÏÑ×É×ÛÁÑÓÑ × ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ. ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÉÊ ÍÏÍÅÎÔ ÅÓÔØ ÍÁÓÓÁ ÔÁËÉÈ ÍÏÄÅÌÅÊ, ÇÏÒÁÚÄÏ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÈ: ÉÎÔÅÒÁËÔÉ×ÎÙÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á É Ô. . üÔÉ ÍÏÄÅÌÉ ÏÑ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÅ ÓÁÍÉ Ï ÓÅÂÅ, Á Ó ÅÌØÀ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÌÏÖÎÏÓÔÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ× É ÄÌÑ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÚÁÄÁÞ. éÎÔÕÉÔÉ×ÎÏ ÑÓÎÏ, ÞÔÏ ÏÎÑÔÉÅ îí ÒÅËÒÁÓÎÏ ÒÉÓÏÓÏÂÌÅÎÏ Ë ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÀ ÅÒÅÂÏÒÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. óÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ, ÕÖÅ ÏËÁÚÁÎÏ, ËÁË ÜÔÏ ÄÅÌÁÔØ. åÓÌÉ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÙÔÁÅÔÓÑ ÅÒÅÂÒÁÔØ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ, ÔÏ ÎÁÛÁ ÍÁÛÉÎÁ ÍÏÖÅÔ ÕÇÁÄÁÔØ, ËÁËÁÑ ÉÚ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÈÏÒÏÛÅÊ, Á ÏÔÏÍ ÉÍÉÔÉÒÏ×ÁÔØ ×ÔÏÒÕÀ ÞÁÓÔØ (ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÕÀ ÒÏ×ÅÒËÕ ËÏÎËÒÅÔÎÏÇÏ ×ÁÒÉÁÎÔÁ). ÷ ÏÂÒÁÔÎÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ ÜÔÏ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÌÏÖÎÅÅ, ÎÏ ×ÓÅ ÒÁ×ÎÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏÓÔÏ. åÓÌÉ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ îí, ÔÏ ÏÎÁ ÏÒÏÖÄÁÅÔ ÄÅÒÅ×Ï ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ, É ÅÒÅÂÏÒ ÎÕÖÎÏ ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔØ Ï ×ÓÅÍ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍ ×ÅÔ×ÑÍ. óÏ×ÒÅÍÅÎÎÁÑ ÔÅÏÒÉÑ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ÎÁÞÁÌÁÓØ Ó ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ëÕËÁ, ëÁÒÁ, ìÅ×ÉÎÁ (ËÏÔÏÒÙÊ ÏÌÕÞÉÌ ÉÈ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ) × ÎÁÞÁÌÅ 70-È ÇÏÄÏ× (1970{ 1972). üÔÁ ÓÅÒÉÑ ÔÅÏÒÅÍ ÓÏÓÔÏÉÔ ×ÏÔ × ÞÅÍ. 1. úÁÄÁÞÁ ×ÙÏÌÎÉÍÏÓÔØ (SAT ) ÏÌÎÁ ÄÌÑ ËÌÁÓÓÁ NP (ÔÅÏÒÅÍÁ ëÕËÁ). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÚÁÄÁÞÁ ÎÁÛÅÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ í (ÍÏÖÎÏ ÌÉ ÒÉÄÕÍÁÔØ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ? ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÄÌÑ SAT ) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ×ÏÒÏÓÕ: ÓÏ×ÁÄÁÀÔ ÌÉ ËÌÁÓÓÙ P É NP (P 6= NP). åÓÌÉ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÅÔ, ÔÏ ÜÔÉ ËÌÁÓÓÙ ÎÅ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ | ÉÈ ÏÔÄÅÌÑÅÔ ÚÁÄÁÞÁ SAT , ÅÓÌÉ ÖÅ ÏÎ ÅÓÔØ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÒÅÛÉÔØ ÌÀÂÕÀ ÚÁÄÁÞÕ ÉÚ ËÌÁÓÓÁ NP. úÁÄÁÞÁ ×ÙÏÌÎÉÍÏÓÔÉ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÚÁ ËÌÁÓÓ NP. çÒÕÂÏ ÇÏ×ÏÒÑ, NP | ÜÔÏ ÎÅ ÞÔÏ ÉÎÏÅ, ËÁË ÚÁÄÁÞÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ Ó×ÅÄÅÎÙ Ë ×ÙÏÌÎÉÍÏÓÔÉ ÒÏÏÚÉ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÆÏÒÍÕÌ. 2. åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÞÔÏ ÔÁËÏÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÍÏÖÅÔ ×ÙÚ×ÁÔØ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÒÅÁË ÉÀ ÏÔÔÏÒÖÅÎÉÑ | ÎÅ ÎÁÓÔÏÌØËÏ ÕÖ ×ÁÖÎÁ ÚÁÄÁÞÁ ×ÙÏÌÎÉÍÏÓÔÉ, ÞÔÏÂÙ ÓÔÒÏÉÔØ ÅÌÕÀ 4) îÁ ÏÓÌÅÄÎÅÍ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÍ ëÏÎÇÒÅÓÓÅ (âÅÒÌÉÎ, Á×ÇÕÓÔ 1998Ç.) ÁÍÅÒÉËÁÎÓËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË ð. ûÏÒ ÂÙÌ ÕÄÏÓÔÏÅÎ ÚÁ ÜÔÉ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÒÅÍÉÉ ÉÍ. îÅ×ÁÎÌÉÎÎÙ.

141

ï ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ

ÔÅÏÒÉÀ ÅÅ ÒÅÛÅÎÉÑ. îÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÛÁÇÏÍ ÂÙÌÁ ÓÔÁÔØÑ ëÁÒÁ (1971), × ËÏÔÏÒÏÊ ÕÖÅ ÂÙÌÁ ÕËÁÚÁÎÁ 21 ÏÌÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÄÌÑ ËÌÁÓÓÁ NP. ÷ÓÅ ÏÎÉ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ. ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÓÉÓÏË NP-ÏÌÎÙÈ ÚÁÄÁÞ, ËÏÔÏÒÙÅ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ ÂÕË×ÁÌØÎÏ ×Ï ×ÓÅÈ ÏÂÌÁÓÔÑÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÙÓÑÞÉ ÚÁÄÁÞ. ÷ÅÚÄÅ, ÇÄÅ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ, ×ÏÚÎÉËÁÀÔ É ÅÒÅÂÏÒÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ. üÔÏ ÎÅÕÄÉ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ÂÏÌØÛÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÏÇÒÁÍÍÉÓÔÓËÏÊ ÒÁÂÏÔÙ É ÓÏÓÔÏÉÔ × ×ÙÂÏÒÅ ×ÁÒÉÁÎÔÁ ÏÌÕÞÛÅ. õÄÉ×ÉÔÅÌØÎÏ ÔÏ, ÞÔÏ ÞÁÓÔÏ, Á ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ | ×ÓÅÇÄÁ (Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍÉ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÑÍÉ) | ÅÓÌÉ Õ ×ÁÓ ÅÓÔØ ËÏÎËÒÅÔÎÁÑ ÅÒÅÂÏÒÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ, ÔÏ ÅÅ ÍÏÖÎÏ ÓÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÏ ÌÅÇËÏ ËÌÁÓÓÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÔØ | ÌÉÂÏ ÄÌÑ ÎÅÅ ÅÓÔØ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÌÉÂÏ ÏÎÁ ÏÌÎÁ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÔÅÏÒÉÑ ÅÒÅÂÏÒÎÙÈ ÚÁÄÁÞ. éÚ-ÚÁ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÅÒÅÂÏÒÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ ÏÞÔÉ ×ÓÀÄÕ, ÏÎÁ ÒÉÏÂÒÅÌÁ ÂÏÌØÛÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ. ðÏ ? ÍÎÅÎÉÀ ÁÍÅÒÉËÁÎÓËÏÇÏ ÔÏÏÌÏÇÁ óÍÅÊÌÁ, ×ÏÒÏÓ P 6= NP ÂÕÄÅÔ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÓÁÍÙÈ ×ÁÖÎÙÈ ×ÏÒÏÓÏ× ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÎÁÕËÉ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÓÔÏÌÅÔÉÑ. ÷ÏÔ É ÏÄÏÛÅÌ Ë ËÏÎ Õ ÒÁÓÓËÁÚ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ, ÔÁË ÓËÁÚÁÔØ, ÑÄÒÏÍ ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ. îÅ ÓÔÏÉÔ ÏÎÉÍÁÔØ ÜÔÏÔ ÒÁÓÓËÁÚ ÔÁË, ÞÔÏ ×ÓÑ ? ÔÅÏÒÉÑ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÚÁÎÉÍÁÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÌÉÛØ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ P 6= NP. éÚÌÏÖÅÎÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ | ËÏÔÏÒÁÑ ÏÂßÅÄÉÎÑÅÔ ÚÁÄÁÞÉ × ÓÌÏÖÎÏÓÔÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ É ÏÔÏÍ ÉÓÓÌÅÄÕÅÔ ÜÔÉ ÚÁÄÁÞÉ Ó ÏÍÏÝØÀ ÉÈ Ó×ÏÄÉÍÏÓÔÉ ÄÒÕÇ Ë ÄÒÕÇÕ | ÏËÁÚÁÌÁÓØ ÕÄÉ×ÉÔÅÌØÎÏ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÁ ÌÏÄÏÔ×ÏÒÎÁ × ÓÁÍÙÈ ÒÁÚÎÙÈ ÓÉÔÕÁ ÉÑÈ. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÍ ËÏÒÏÔËÏ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÁÍÙÈ ×ÁÖÎÙÈ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ (ÏÍÉÍÏ ÕÖÅ ÕÏÍÑÎÕÔÙÈ ×ÙÛÅ Ë×ÁÎÔÏ×ÙÈ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ). âÙ×ÁÅÔ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÁÑ. åÓÌÉ ÎÁÓ ÉÎÔÅÒÅÓÕÅÔ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÌÉÎÏÍÁ, É ÍÙ ÁÂÓÔÒÁÇÉÒÕÅÍÓÑ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÏÔ ÄÅÔÁÌÅÊ ÂÉÔÏ×ÏÇÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ, ÎÏ É ÏÔ ÔÏÇÏ, ËÁË ÒÏÉÚ×ÏÄÑÔÓÑ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÅÒÁ ÉÉ, ÔÏ ×ÓÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÌÉÛØ ÏÔ ÔÏÇÏ, Ó ËÁËÉÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÔÓÑ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÅÒÁ ÉÉ. ÏÇÄÁ ÄÌÉÎÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÓÌÏÖÅÎÉÊ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÊ. âÙ×ÁÅÔ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ | ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÷ÏÒÏÎÏÇÏ É ÂÌÉÚËÉÅ Ë ÎÉÍ ×ÅÝÉ, Ï ËÏÔÏÒÙÈ Ñ ÇÏ×ÏÒÉÔØ ÎÅ ÂÕÄÕ. âÙ×ÁÅÔ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÂÕÌÅ×Á | ÏÎÁ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÔÏÇÏ, ÞÅÍ ÍÙ ÚÁÎÉÍÁÌÉÓØ ÓÅÇÏÄÎÑ, ÔÅÍ, ÞÔÏ ÎÁÓ ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÔ ÆÕÎË ÉÉ f : {0; 1}n → {0; 1}, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÎÁ ÓÌÏ×ÁÈ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÄÌÉÎÙ. ÷ ÌÀÂÏÍ ÉÚ ÜÔÉÈ ÒÁÚÄÅÌÏ× ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÍÁÓÓÁ ÏÓÔÁÎÏ×ÏË ÉÎÔÅÒÅÓÎÅÊÛÉÈ ÚÁÄÁÞ ÉÍÅÎÎÏ × ÒÁÍËÁÈ ÜÔÏÊ ÏÂÝÅÊ ÉÄÅÏÌÏÇÉÉ. âÌÁÇÏÄÁÒÎÏÓÔÉ

ñ ×ÙÒÁÖÁÀ ÇÌÕÂÏËÕÀ ÂÌÁÇÏÄÁÒÎÏÓÔØ í. î. ÷ÑÌÏÍÕ É í. ÷. áÌÅÈÎÏ×ÉÞÕ ÚÁ Ë×ÁÌÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÕÀ ÏÍÏÝØ × ÒÉ×ÅÄÅÎÉÉ ÄÁÎÎÏÊ ÌÅË ÉÉ Ë ÒÉÇÏÄÎÏÍÕ ÄÌÑ ÞÔÅÎÉÑ ×ÉÄÕ É ÒÏÆ. J. Kraj ek ÚÁ ÒÑÄ ÅÎÎÙÈ ÚÁÍÅÞÁÎÉÊ.

ðÏ-ÎÏ×ÏÍÕ Ï ÓÔÁÒÏÍ: ÆÒÁÇÍÅÎÔÙ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ

ÅÏÒÅÍÁ öÏÒÄÁÎÁ

á. ÷. þÅÒÎÁ×ÓËÉÊ

I. ó×ÏÊÓÔ×Ï €ÒÁÚÂÉ×ÁÔ؁ É ÄÒÕÇÉÅ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á 1. ãÅÌÏÅ ÎÅ ÅÓÔØ ÓÕÍÍÁ Ó×ÏÉÈ ÞÁÓÔÅÊ. üÔÏ ÎÁÂÉ×ÛÅÅ ÏÓËÏÍÉÎÕ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÊ ËÉÂÅÒÎÅÔÉË í. íÉÎÓËÉÊ ÏÓ×ÅÖÉÌ ÔÁËÏÊ ÉÌÌÀÓÔÒÁ ÉÅÊ: ÎÉËÁËÁÑ ÞÁÓÔØ ÏÇÒÁÄÙ ÎÅ ÅÓÔØ ÏÇÒÁÄÁ. îÁ ÑÚÙËÅ, ËÏÔÏÒÙÍ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ, ÜÔÏ ÚÎÁÞÉÔ: ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÏÂÒÁÚ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ ÌÏÓËÏÓÔØ, ÎÏ ÎÉËÁËÁÑ ÅÇÏ ÞÁÓÔØ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÅ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ. 2. þÔÏ ÚÎÁÞÉÔ €ÒÁÚÂÉ×ÁÔ؁? ÅÒÍÉÎ €ÒÁÚÂÉ×ÁÔ؁ Ó×ÑÚÁÎ Ó ÏÄÎÉÍ ÉÚ Ä×ÕÈ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ Ó×ÏÊÓÔ× ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×. íÙ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ÒÉÂÅÇÁÔØ Ë ÏÂÝÅÍÕ ÏÎÑÔÉÀ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÞÔÏÂÙ ÎÅ ÏÔËÌÏÎÑÔØÓÑ ÄÁÌÅËÏ ÏÔ ÎÁÛÅÊ ÔÅÍÙ, É ÏÇÒÁÎÉÞÉÍÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ Å×ËÌÉÄÏ×ÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× Rn . óÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ, ÎÁÍ ÎÕÖÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ, ÎÏ ÍÙ Ï ÍÅÒÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÂÕÄÅÍ ËÁÓÁÔØÓÑ É ÏÂÝÅÇÏ ÓÌÕÞÁÑ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÁ ÓÆÅÒÙ S n−1 × Rn . ðÌÏÓËÏÓÔØ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ . ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ Ó×ÑÚÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÅÓÌÉ ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÎÅÍÕ ÎÅ Ó×ÑÚÎÏ. 3. ó×ÑÚÎÏÓÔØ. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ Ó×ÑÚÎÏÓÔØ X ⊂ Rn , Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ X ÎÅÌØÚÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ ÎÅÕÓÔÙÈ É ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÔËÒÙÔÙ × X . ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ⊂ X ÏÔËÒÙÔÏ × X , ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÅÓÔØ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ X Ó ÏÔËÒÙÔÙÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ Rn , Á ÏÔËÒÙÔÏÓÔØ × Rn ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÔÏÞËÁ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á Rn ÌÅÖÉÔ × ÜÔÏÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÍÅÓÔÅ ÓÏ Ó×ÏÅÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØÀ, ÎÁÒÉÍÅÒ, Ó ÛÁÒÏÍ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ. ïÔËÒÙÔÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Rn Ó×ÑÚÎÏ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎÏ ÌÉÎÅÊÎÏ Ó×ÑÚÎÏ, Ô. Å. ÌÀÂÙÅ Ä×Å ÅÇÏ ÔÏÞËÉ ÓÏÅÄÉÎÉÍÙ ÌÅÖÁÝÅÊ × ÎÅÍ ÒÏÓÔÏÊ ÄÕÇÏÊ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÔÁËÏÊ ÄÕÇÉ ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ ÌÏÍÁÎÕÀ.

ÅÏÒÅÍÁ öÏÒÄÁÎÁ

143

ó×ÏÊÓÔ×Ï Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ É ÏÎÑÔÉÅ €ÒÁÚÂÉ×ÁÔ؁ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÍÉ É ÏÔÏÍÕ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ × ÒÏÓÔÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÕÀ ÎÅÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×. ó ÏÍÏÝØÀ ÁËÓÉÏÍÙ äÅÄÅËÉÎÄÁ ÌÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ, ÞÔÏ Ó×ÑÚÎÙÍÉ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÏÓÉ R Ñ×ÌÑÀÔÓÑ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ (×ËÌÀÞÁÑ ÔÏÞËÉ É ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ | ÏÌÕÒÑÍÙÅ É ÓÁÍÕ R). ïÔËÒÙÔÙÅ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÏÔ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ É ÏÌÕÏÔËÒÙÔÙÈ ÔÅÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÉÈ ÔÏÞËÁ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ ÌÀÂÕÀ ÉÈ Ó×ÑÚÎÕÀ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ. ïËÒÕÖÎÏÓÔØ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÌÀÂÏÇÏ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÎÉ ÏÄÎÁ ÅÅ ÔÏÞËÁ ÅÅ ÎÅ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ. ä×Å ÔÏÞËÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÒÁÚÂÉ×ÁÀÔ. üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÎÁÚ×ÁÔØ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÍ ÓÌÕÞÁÅÍ ÔÅÏÒÅÍÙ öÏÒÄÁÎÁ. ðÒÑÍÁÑ ÎÅ ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÔÁË ËÁË ËÁÖÄÁÑ ÅÅ ÔÏÞËÁ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ ËÁÖÄÕÀ Ó×ÏÀ Ó×ÑÚÎÕÀ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ, Á ÔÏÞËÉ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÎÅ ÒÁÚÂÉ×ÁÀÔ ËÒÕÇÏ×, ÅÎÔÒÁÍÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÎÉ ÓÌÕÖÁÔ. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ËÏÍÏÎÅÎÔÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ (ÉÌÉ ÒÏÓÔÏ ËÏÍÏÎÅÎÔÏÊ) ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÀÂÏÅ ÅÇÏ Ó×ÑÚÎÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÎÅ ÌÅÖÁÝÅÅ × ÂÏÌØÛÅÍ Ó×ÑÚÎÏÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å. ÷ÓÑËÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁÓÁÄÁÅÔÓÑ × ÓÕÍÍÕ ÏÁÒÎÏ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ Ó×ÏÉÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ. 4. ëÏÍÁËÔÎÏÓÔØ. ÷ÔÏÒÏÅ ×ÁÖÎÏÅ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï | ËÏÍÁËÔÎÏÓÔØ, ÏÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÔËÒÙÔÙÈ ÏËÒÙÔÉÊ. ðÏËÒÙÔÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á | ÜÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ ÅÇÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×, ÄÁÀÝÁÑ × ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÉ ×ÓÅ ÜÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. ïÔËÒÙÔÏÅ ÏËÒÙÔÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÏÔËÒÙÔÙÈ × X ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ËÏÍÁËÔÎÏ, ÅÓÌÉ ÉÚ ËÁÖÄÏÇÏ ÅÇÏ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÏËÒÙÔÉÑ ÍÏÖÎÏ ×ÙÄÅÌÉÔØ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÏÄÓÉÓÔÅÍÕ, Ñ×ÌÑÀÝÕÀÓÑ ÏËÒÙÔÉÅÍ. éÚ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ× ËÏÍÁËÔÎÙ ÔÏÌØËÏ ÚÁÍËÎÕÔÙÅ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ (É ÔÏÞËÉ). üÔÏ | ÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÌÅÍÍÁ çÅÊÎÅ{âÏÒÅÌÑ{ ìÅÂÅÇÁ. îÏ ÎÁ ÒÑÍÏÊ ÉÍÅÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏ ÄÒÕÇÉÈ ËÏÍÁËÔÎÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÚÎÁÍÅÎÉÔÏÅ ËÁÎÔÏÒÏ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. ÷ÏÏÂÝÅ, ËÏÍÁËÔÎÙÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á Rn ÜÔÏ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á, Ñ×ÌÑÀÝÉÅÓÑ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÚÁÍËÎÕÔÙÍÉ É ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÍÉ. (úÁÍËÎÕÔÙÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á | ÜÔÏ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ Ë ÏÔËÒÙÔÙÍ. ïÎÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÀÔÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÓÏÄÅÒÖÁÔ ×ÓÅ Ó×ÏÉ ÒÅÄÅÌØÎÙÅ ÔÏÞËÉ, Ô. Å. ÔÁËÉÅ, × ÌÀÂÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÉÍÅÀÔÓÑ ÔÏÞËÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ïÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅÓÑ × ÛÁÒÅ ËÁËÏÇÏ-ÎÉÂÕÄØ ÒÁÄÉÕÓÁ.) 5. ëÏÎÔÉÎÕÕÍÙ. ïÂÁ Ó×ÏÊÓÔ×Á | Ó×ÑÚÎÏÓÔØ É ËÏÍÁËÔÎÏÓÔØ | ×ÙÒÁÖÁÀÔ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á (× ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ). ïÎÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÍÉ, Ô. Å. ÓÏÈÒÁÎÑÀÔÓÑ ÒÉ ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÉÚÍÁÈ (×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÈ É × ÏÂÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑÈ). îÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÏÎÉ ÓÏÈÒÁÎÑÀÔÓÑ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ. ïÂÒÁÔÎÏÅ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅ×ÅÒÎÏ, × ÞÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÍÏÖÅÔ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ ÎÁ ÒÏÓÔÙÈ ÒÉÍÅÒÁÈ: ÒÁÚÒÙ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÓÏÈÒÁÎÑÔØ Ó×ÑÚÎÏÓÔØ É ËÏÍÁËÔÎÏÓÔØ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï É Ó×ÑÚÎÏÅ, É ËÏÍÁËÔÎÏÅ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÎÔÉÎÕÕÍÏÍ. îÅÒÅÒÙ×ÎÙÊ ÏÂÒÁÚ ËÏÎÔÉÎÕÕÍÁ ÅÓÔØ ÓÎÏ×Á ËÏÎÔÉÎÕÕÍ. (îÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ ÆÕÎË ÉÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ÚÁÍËÎÕÔÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ, ÔÏ É ÏÂÌÁÓÔØ ÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÓÔØ ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ÉÎÔÅÒ×ÁÌ. éÚ ÜÔÏÇÏ ×ÙÔÅËÁÀÔ ÔÅÏÒÅÍÙ âÏÌØ ÁÎÏ É ÷ÅÊÅÒÛÔÒÁÓÓÁ Ï ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÑÈ.) ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÏÂÒÁÚ C ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S 1 ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎÔÉÎÕÕÍÏÍ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÔÁËÏÊ ÏÂÒÁÚ ÒÏÓÔÏÊ ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ. Ï ÖÅ ×ÅÒÎÏ É ÄÌÑ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÁ C n−1 ÓÆÅÒÙ S n−1 × Rn (ÔÁËÏÊ ÏÂÒÁÚ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÓÆÅÒÏÊ).

144

á. ÷. þÅÒÎÁ×ÓËÉÊ

6. ÅÏÒÅÍÙ öÏÒÄÁÎÁ, öÏÒÄÁÎÁ-âÒÁÕÜÒÁ É ûÅÎÆÌÉÓÁ. ÷ Ó×ÏÅÊ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÞÁÓÔÉ ÔÅÏÒÅÍÁ öÏÒÄÁÎÁ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÏÓÔÁÑ ÚÁÍËÎÕÔÁÑ ËÒÉ×ÁÑ C ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ  ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ . âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ,  \ C ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ Ä×ÕÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ É C Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÝÅÊ ÇÒÁÎÉ ÅÊ ÜÔÉÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ. ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÔÏÞËÁ C ÓÌÕÖÉÔ ÒÅÄÅÌØÎÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÜÔÉÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ.

òÉÓ. 1.

üÔÏ ÖÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï É ÄÌÑ ÏÂÏÂÝÅÎÉÑ ÔÅÏÒÅÍÙ öÏÒÄÁÎÁ, ÄÏËÁÚÁÎÎÏÇÏ âÒÁÕÜÒÏÍ × 1912 ÇÏÄÕ: Rn \ C n−1 ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ Ä×ÕÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ É C n−1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÈ ÏÂÝÅÊ ÇÒÁÎÉ ÅÊ. îÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÔÏÞÎÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ öÏÒÄÁÎÁ, ÄÁÎÎÏÅ á. ûÅÎÆÌÉÓÏÍ × 1906 Ç., ÎÅ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÉ n > 3: úÁÍÙËÁÎÉÑ ËÏÍÏÎÅÎÔ R2 \ C ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÙ ÚÁÍÙËÁÎÉÑÍ ËÏÍÏÎÅÎÔ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ Ë S 1 . (üÔÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ, ÞÔÏ ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÉÚÍ S 1 ÎÁ C ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÏÄÏÌÖÅÎ ÄÏ ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÁ ÓÅÂÑ.) íÙ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÚÄÅÓØ ÜÔÏ ÕÔÏÞÎÅÎÉÅ É ÏÔÏÛÌÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌÑ Ë ËÎÉÇÅ ì. ÷. ëÅÌÄÙÛ €ÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ×ÌÏÖÅÎÉÑ × Å×ËÌÉÄÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ρ. îÏ × ËÏÎ Å ÍÙ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÎÅÓÌÏÖÎÙÊ ÒÉÍÅÒ (å. áÒÔÉÎÁ É ò. æÏËÓÁ, ÏÄÒÏÂÎÅÅ ÏÉÓÁÎÎÙÊ × ÜÔÏÊ ËÎÉÇÅ), ÉÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÂÕÄÅÔ ×ÉÄÎÏ, ÏÞÅÍÕ ÜÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÎÅ ÅÒÅÎÏÓÉÔÓÑ ÎÁ ÂÏÌÅÅ ×ÙÓÏËÉÅ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ. 7. òÅÔÒÁË ÉÉ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÏÉÒÁÔØÓÑ ÎÁ ÏÎÑÔÉÅ ÒÅÔÒÁË ÉÉ. ïÎÏ ÉÍÅÅÔ ÏÂÝÅÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÏÔÒÅÂÌÅÎÉÅ (ÔÅÅÒØ ÜÔÏ ÚÎÁÞÉÔ €ÏÂÝÅËÁÔÅÇÏÒÎÏŁ). ÷ ÎÁÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅÔÒÁËÔÏÍ X , ÅÓÌÉ ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ r : X → A, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ A ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙ. (÷ ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÅÊ ÆÏÒÍÅ: ÕÓÔØ ÄÁÎÙ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f : B → X É g : X → B Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ gf = 1|B | ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ B . ÏÇÄÁ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ r = fg : X → X ÏÂÌÁÄÁÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ r2 = rr = fgfg = fg = r. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÅÓÌÉ x = r(y), Ô. Å. x ÌÅÖÉÔ × ÏÂÒÁÚÅ A ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ r, ÔÏ fg(x) = r(x) = r(r(y)) = r(y) = x. úÎÁÞÉÔ, r ÅÓÔØ ÒÅÔÒÁË ÉÑ X ÎÁ A É ÔÁËÖÅ f ÅÓÔØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, ÏÂÒÁÔÎÏÅ Ë g, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÍÕ ÎÁ A. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, f ÅÓÔØ ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÉÚÍ B ÎÁ A.) îÁÒÉÍÅÒ, ÒÅÔÒÁË ÉÅÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÅË ÉÑ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÁ ÒÑÍÕÀ. îÁÍ ÏÎÁÄÏÂÉÔÓÑ ÒÅÔÒÁË ÉÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÔÉÁ. ÷ ÛÁÒÅ B n ×ÙËÉÎÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÔÏÞËÕ O

ÅÏÒÅÍÁ öÏÒÄÁÎÁ

145

(ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÅÎÔÒ). ëÁÖÄÙÊ ÏÌÕÉÎÔÅÒ×ÁÌ (O; x℄, ÇÄÅ x ∈ S n−1 , ÏÔÏÂÒÁÚÉÍ ÎÁ Ó×ÏÊ ËÏÎÅ x. íÙ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÏÌÕÞÉÍ ÒÅÔÒÁË ÉÀ B \ O ÎÁ ÇÒÁÎÉ Õ ÛÁÒÁ S n−1 . 8. ïËÒÕÖÎÏÓÔØ | ÁÂÓÏÌÀÔÎÙÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÎÙÊ ÒÅÔÒÁËÔ. äÌÑ ÎÁÓ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÂÕÄÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ × ÅÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÎÏÓÔÉ Ë ËÌÁÓÓÕ ÁÂÓÏÌÀÔÎÙÈ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÎÙÈ ÒÅÔÒÁËÔÏ×. îÅ ÄÁ×ÁÑ ÏÂÝÅÇÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ, ÍÙ ÏÔÍÅÔÉÍ ÔÏÌØËÏ, ÞÔÏ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÜÔÏÍÕ Ó×ÏÊÓÔ×Õ, ÌÀÂÏÊ ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÙÊ ÏÂÒÁÚ C × ÌÀÂÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Rn Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÔÒÁËÔÏÍ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ Ó×ÏÅÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ. üÔÏ ÖÅ ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÓÆÅÒ. íÙ ÏËÁÖÅÍ ÜÔÏ ÄÌÑ ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÙÈ ÏÂÒÁÚÏ× S 1 × . 9. ïÔÒÅÚÏË | ÁÂÓÏÌÀÔÎÙÊ ÒÅÔÒÁËÔ. úÁÍËÎÕÔÙÊ ÉÎÔÅÒ×ÁÌ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÙÍ ÒÅÔÒÁËÔÏÍ, ÞÔÏ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÒÏÓÔÁÑ ÄÕÇÁ (ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÙÊ ÏÂÒÁÚ ÏÔÒÅÚËÁ) × ÌÏÓËÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÅ ÒÅÔÒÁËÔÏÍ É, ÚÎÁÞÉÔ, ÌÀÂÏÇÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ ÜÔÕ ÄÕÇÕ. áÂÓÏÌÀÔÎÙÅ ÒÅÔÒÁËÔÙ ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÔÁËÖÅ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ: ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X × ÔÁËÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÏ ÎÁ ×ÓÅ X . äÌÑ ÏÔÒÅÚËÁ (É, ÚÎÁÞÉÔ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÒÏÓÔÏÊ ÄÕÇÉ) ÜÔÏ ÅÓÔØ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÌÅÍÍÙ õÒÙÓÏÎÁ, Ó ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ ÇÏÍÏÔÏÉÞÅÓËÁÑ ÔÏÏÌÏÇÉÑ. íÙ ÄÏËÁÖÅÍ ÅÅ ÔÏÌØËÏ × ÏÞÅÎØ ÞÁÓÔÎÏÍ, ÎÕÖÎÏÍ ÎÁÍ ÄÁÌØÛÅ, ÓÌÕÞÁÅ. ìÅÍÍÁ. îÅÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f ÇÒÁÎÉ Ù Ë×ÁÄÒÁÔÁ Q × ÏÔÒÅÚÏË I ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÏÄÏÌÖÅÎÏ ÄÏ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ F : Q → I . äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ÏÚØÍÅÍ ×ÎÕÔÒÉ Q ÔÏÞËÕ O É ÏÔÏÂÒÁÚÉÍ ÅÅ × ÌÀÂÕÀ ÔÏÞËÕ A ÏÔÒÅÚËÁ. úÁÔÅÍ ËÁÖÄÙÊ ÏÔÒÅÚÏË [O; x℄, ÇÄÅ x ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÇÒÁÎÉ Å Q, ÌÉÎÅÊÎÏ ÏÔÏÂÒÁÚÉÍ ÎÁ ÏÔÒÅÚÏË [A; f (x)℄. Ï, ÞÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, ÒÏÄÏÌÖÁÀÝÅÅ f , ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ.  10. ÅÏÒÅÍÁ Ï ÎÅÒÅÔÒÁÇÉÒÕÅÍÏÓÔÉ ËÒÕÇÁ ÎÁ ÇÒÁÎÉ Õ É ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÎÅ-

îÁÛÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÉÒÁÅÔÓÑ ÎÁ ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÒÅÔÒÁË ÉÉ ËÒÕÇÁ ÎÁ ÅÇÏ ÇÒÁÎÉÞÎÕÀ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ. üÔÁ ÔÅÏÒÅÍÁ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÄÌÑ ÛÁÒÁ ÌÀÂÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ. íÙ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÎÉÖÅ ÒÏÓÔÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÄÌÑ ËÒÕÇÁ. ïÎÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ €ÒÏÄÏÌÖÅÎρ Ï ÉÎÄÕË ÉÉ ÎÁ ×ÙÓÛÉÅ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ, ÎÏ ÒÉ ÜÔÏÍ ÏÂÒÁÓÔÁÅÔ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÍÉ ÄÅÔÁÌÑÍÉ É ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÎÁÍÎÏÇÏ ÒÏÝÅ ÏÂÙÞÎÙÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× Ó ÏÍÏÝØÀ ÓÉÍÌÉ ÉÁÌØÎÏÊ ÉÌÉ ÇÌÁÄËÏÊ ÁÒÏËÓÉÍÁ ÉÉ. ëÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÜÔÁ ÔÅÏÒÅÍÁ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÏÊ ÔÏÞËÉ Õ ÌÀÂÏÇÏ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÛÁÒÁ × ÓÅÂÑ. îÁÍ ÜÔÏÔ ÆÁËÔ ÎÅ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ É ÍÙ ÏÓÔÁ×ÉÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÊ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÞÉÔÁÔÅÌÀ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ. ÏÄ×ÉÖÎÏÊ ÔÏÞËÅ.

11. óÈÅÍÁ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ öÏÒÄÁÎÁ É ÓÏÕÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÕÔ-

åÓÌÉ  \ C Ó×ÑÚÎÏ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÒÅÔÒÁË ÉÀ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÁ C , ÚÎÁÞÉÔ, É ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ C ËÒÕÇÁ, Á ÔÏÇÄÁ É ÒÅÔÒÁË ÉÀ ÜÔÏÇÏ ËÒÕÇÁ ÎÁ ÅÇÏ ÇÒÁÎÉ Õ. íÙ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÒÏ×ÏÄÉÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÏÌØËÏ × Ä×ÕÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÎÏ ÂÕÄÅÔ ×ÏÌÎÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÏÎÏ ÒÑÍÏ ÅÒÅÎÏÓÉÔÓÑ É ÎÁ ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ. îÅÒÅÔÒÁÇÉÒÕÅÍÏÓÔØ ËÒÕÇÁ ÎÁ ÇÒÁÎÉ Õ ×ÌÅÞÅÔ ÚÁ ÓÏÂÏÊ ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ: ÚÁÍÙËÁÎÉÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ Ë ËÏÍÁËÔÎÏÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÅ ÒÅÔÒÁÇÉÒÕÅÔÓÑ ÎÁ Ó×ÏÀ ÇÒÁÎÉ Õ. ïÔÓÀÄÁ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÏÓÔÁÑ ÄÕÇÁ ÎÅ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ ÌÏÓËÏÓÔÉ, Á ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÙÊ ÏÂÒÁÚ C ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÝÅÊ ÇÒÁÎÉ ÅÊ ×ÓÅÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÏÅÇÏ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ.

×ÅÒÖÄÅÎÉÊ.

146

á. ÷. þÅÒÎÁ×ÓËÉÊ

îÁËÏÎÅ , ÍÙ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ, ÞÔÏ ËÏÍÏÎÅÎÔ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ Ë C ÒÏ×ÎÏ Ä×Å. ïÎÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÍ É × ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÓÏÌØÚÕÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×Á , ÈÏÔÑ, ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ËÏÎÅÞÎÏ, ×ÅÒÎÏ É × nÍÅÒÎÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ. äÌÑ ÏÌÎÏÔÙ ÍÙ ×Ù×ÅÄÅÍ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ öÏÒÄÁÎÁ-âÒÁÕÅÒÁ ÄÒÕÇÉÅ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ âÒÁÕÅÒÁ: ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÓÔÉ ÏÂÌÁÓÔÉ É ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ Rn | É ÓÄÅÌÁÅÍ ËÒÁÔËÉÊ ÉÓÔÏÒÉÞÅÓËÉÊ ÜËÓËÕÒÓ. II. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ öÏÒÄÁÎÁ

îÁÞÎÅÍ Ó ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÎÅÒÅÔÒÁÇÉÒÕÅÍÏÓÔÉ ËÒÕÇÁ B ÎÁ ÅÇÏ ÇÒÁÎÉ Õ S . 1. ÅÏÒÅÍÁ. îÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÅÔÒÁË ÉÉ B ÎÁ S . äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ r : B → S | ÒÅÔÒÁË ÉÑ. ÷ÏÚØÍÅÍ ÔÏÞËÕ x0 ∈ S . ðÕÓÔØ K ÏÌÎÙÊ ÒÏÏÂÒÁÚ ÔÏÞËÉ x0 . üÔÏ ËÏÍÁËÔÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÒÉÞÅÍ K ∩ S = x0 . äÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÉ x ∈ K ×ÏÚØÍÅÍ ÍÁÌÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË x , ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ x ×ÎÕÔÒÉ ÓÅÂÑ. ÒÅÕÇÏÌØÎÉË x0 ÄÌÑ ÔÏÞËÉ x0 ×ÏÚØÍÅÍ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÅÇÏ ÏÄÎÁ ÓÔÏÒÏÎÁ ÌÅÖÁÌÁ ÎÁ S É ÓÏÄÅÒÖÁÌÁ x0 ×ÎÕÔÒÉ ÓÅÂÑ. ÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ÄÌÑ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÔÏÞÅË ÎÅ ÄÏÌÖÎÙ ÅÒÅÓÅËÁÔØ S . ÷ÙÂÅÒÅÍ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×, ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ×ÎÕÔÒÅÎÎÏÓÔÅÊ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏÄÅÒÖÉÔ K . îÅÍÎÏÇÏ ÏÛÅ×ÅÌÉ× ×ÅÒÛÉÎÙ, ÍÏÖÎÏ ÄÏÂÉÔØÓÑ, ÞÔÏÂÙ ×ÅÒÛÉÎÙ ËÁÖÄÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÅ ÌÅÖÁÌÉ ÎÁ ÒÑÍÙÈ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ÓÔÏÒÏÎÙ ÄÒÕÇÉÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×. ÏÇÄÁ ÇÒÁÎÉ Á ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÌÏÍÁÎÙÈ, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÁ, ÎÁÚÏ×ÅÍ ÅÅ l, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÅÚÁÍËÎÕÔÏÊ | ÏÎÁ ÄÏÌÖÎÁ ÓÏÅÄÉÎÑÔØ Ä×Á ËÏÎ Á ÓÔÏÒÏÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ x0 , ÌÅÖÁÝÅÊ ÎÁ S . ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ËÏÎÅ ÔÁËÏÊ ÌÏÍÁÎÏÊ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÌÅÖÁÔØ ×ÎÕÔÒÉ B . (ïÔÒÅÚÏË ÎÅ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ Ó×ÑÚÎÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ Ó×ÏÅÇÏ ËÏÎ Á.) åÓÌÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ÂÒÁÌÉÓØ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÁÌÙÍÉ, ÔÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÔÏÞÅË l ÏÔ K ÓÔÏÌØ ÍÁÌÏ, ÞÔÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÅÅ òÉÓ. 2. ÏÂÒÁÚÁ r(l) ÏÔ x0 ÍÅÎØÛÅ ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ". îÏ ÜÔÏÔ ÏÂÒÁÚ ÅÓÔØ Ó×ÑÚÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ËÏÔÏÒÏÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÂÁ ËÏÎ Á ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ x0 . ÁË ËÁË x0 ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ Ó×ÏÀ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ, ÜÔÏÔ ÏÂÒÁÚ ÄÏÌÖÅÎ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ x0 , Ô. Å. l ÅÒÅÓÅËÁÅÔ K , ÞÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ Ï ÏÓÔÒÏÅÎÉÀ.  üÔÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÏÄÏÌÖÁÅÔÓÑ Ï ÉÎÄÕË ÉÉ ÎÁ ×ÙÓÛÉÅ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ. íÙ ÕËÁÖÅÍ ÔÏÌØËÏ ÓÈÅÍÕ ÜÔÏÇÏ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ, ÔÁË ËÁË ÏÄÒÏÂÎÏÅ ÅÇÏ ÒÏ×ÅÄÅÎÉÅ, ËÁË ÓËÁÚÁÎÏ, ÉÍÅÅÔ ÒÉÍÅÒÎÏ ÔÏÔ ÖÅ ÏÒÑÄÏË ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ, ÞÔÏ É ÏÂÙÞÎÙÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á. òÁÓÓÕÖÄÁÑ ÏÔ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ, ÄÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÅÔÒÁË ÉÑ rn : Qn → S n−1 n-ÍÅÒÎÏÇÏ ËÕÂÁ ÎÁ ÅÇÏ ËÒÁÊ. ÷ÏÚØÍÅÍ ×ÎÕÔÒÉ (n − 1)-ÍÅÒÎÏÊ ÇÒÁÎÉ Qn−1 ⊂ S n−1 ÜÔÏÇÏ ËÕÂÁ ÔÏÞËÕ xn . ðÕÓÔØ Kn | ÏÌÎÙÊ ÒÏÏÂÒÁÚ ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ. ïÎ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ S n−1 ÔÏÌØËÏ Ï ÔÏÞËÅ xn . ðÏËÒÏÅÍ Kn ËÏÎÅÞÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ËÕÂÏ×, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ S n−1 Ó×ÏÅÊ ÇÒÁÎØÀ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ xn ×ÎÕÔÒÉ ÓÅÂÑ. íÙ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÊ ÆÁËÔ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ: ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÓÉÍÌÉ ÉÁÌØÎÁÑ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ËÕÂÏ× ÉÍÅÅÔ ÇÒÁÎÉ ÅÊ

ÅÏÒÅÍÁ öÏÒÄÁÎÁ

147

(n − 1)-ÍÅÒÎÏÅ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅ. ÁËÁÑ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÊ, × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÕÎËÔÅ ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÄÅÒÅ×Á. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÇÒÁÎÉ Õ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÈ ËÕÂÏ× ÞÅÒÅÚ M n−1 . åÅ ËÒÁÊ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ËÒÁÅÍ S n−2 (n − 1)-ÍÅÒÎÏÇÏ ËÕÂÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ xn . ïÂÒÁÚ rn (M n−1 ) ÌÅÖÉÔ × ÍÁÌÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ËÕÂÁ É ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ xn . ÷ ÓÉÌÕ ÜÔÏÇÏ ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÅÔÒÁË ÉÑ rn′ ÜÔÏÇÏ ÏÂÒÁÚÁ ÎÁ S n−2 . ëÏÍÏÚÉ ÉÑ rn′ rn ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÒÅÔÒÁË ÉÀ rn−1 : M n−1 → S n−2 . ÷ÏÚØÍÅÍ ÔÅÅÒØ ÔÏÞËÕ xn−1 × ËÁËÏÊ-ÌÉÂÏ ÇÒÁÎÉ S n−2 É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÅÅ ÏÌÎÙÊ ÒÏÏÂÒÁÚ ÞÅÒÅÚ Kn−1 ⊂ M n−1 . äÁÌØÛÅ Ï×ÔÏÒÑÅÍ ÒÏ×ÅÄÅÎÎÏÅ ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ Ó ÔÅÍ ÔÏÌØËÏ ÏÔÌÉÞÉÅÍ, ÞÔÏ ×ÍÅÓÔÏ ËÕÂÏ× ÂÅÒÅÍ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÓÉÍÌÅËÓÏ×, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ÔÏÞËÉ Kn−1 . íÙ ÍÏÖÅÍ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÒÅÇÕÌÑÒÎÕÀ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ ÒÏÏÂÒÁÚÁ ÔÁË, ÞÔÏ ÅÅ ÇÒÁÎÉ Á M n−2 (×ÚÑÔÁÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ M n−1 ) ÅÒÅÓÅËÁÅÔ S n−2 Ï ÇÒÁÎÉ Å S n−3 ËÕÂÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ xn−1 , É ÒÉ ÜÔÏÍ ÅÅ ÏÂÒÁÚ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ. ðÏÜÔÏÍÕ, ËÁË É ×ÙÛÅ, ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÒÅÔÒÁË ÉÑ rn−2 : M n−2 → S n−3 É ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÏÄÏÌÖÅÎÏ ÄÁÌØÛÅ. ÁË ËÁË ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÊ M i ÕÍÅÎØÛÁÅÔÓÑ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ Ó ËÁÖÄÙÍ ÛÁÇÏÍ, ÞÅÒÅÚ n ÛÁÇÏ× ÍÙ ÒÉÄÅÍ Ë ÒÅÔÒÁË ÉÉ ÌÏÍÁÎÏÊ ÂÅÚ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ ÎÁ ÅÅ Ä×Á ËÏÎ Á, ÞÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ × ÓÉÌÕ ÅÅ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ. äÏËÁÖÅÍ ÔÅÅÒØ Ä×Á ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÙÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ. 2. òÅÇÕÌÑÒÎÁÑ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÄÅÒÅ×Á. äÅÒÅ×ÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ó×ÑÚÎÙÊ ÇÒÁÆ (ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÏÔÒÅÚËÏ×, ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÔÏÌØËÏ × ËÏÎ ÁÈ), Õ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÅÔ ÉËÌÏ×, Ô. Å. × ÎÅÍ ÎÅÔ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ÅÏÞÅË ÒÅÂÅÒ, × ËÏÔÏÒÙÈ ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ ÒÁÚÁ. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÕÄÁÌÅÎÉÑ ÏÄÎÏÇÏ (ÏÔËÒÙÔÏÇÏ) ÒÅÂÒÁ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÇÒÁÆ ÏÓÔÁÌÓÑ Ó×ÑÚÎÙÍ. åÝÅ ÉÎÁÞÅ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÄÅÒÅ×Ï | ÜÔÏ ÇÒÁÆ, ËÁÖÄÁÑ ÔÏÞËÁ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÉÌÉ ÅÇÏ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ ÉÌÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÏÄÎÏÇÏ ÒÅÂÒÁ. äÅÒÅ×Ï, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÉÍÅÅÔ ÒÅÂÒÏ, ÏÄÉÎ ÉÚ ËÏÎ Ï× ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÔÏÌØËÏ ÜÔÏÍÕ ÒÅÂÒÕ, ÒÉÞÅÍ ÏÓÌÅ ÏÔÂÒÁÓÙ×ÁÎÉÑ ÜÔÏÇÏ ÒÅÂÒÁ ÓÎÏ×Á ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×Ï. éÎÁÞÅ, ÓÍÅÝÁÑÓØ Ï ÒÅÂÒÁÍ, ÍÙ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÏÌÕÞÉÍ ÉËÌ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÏÔÂÒÁÓÙ×ÁÑ ÒÅÂÒÁ, ÍÙ × ËÏÎ Å ËÏÎ Ï× ÏÓÔÁ×ÉÍ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÕ ×ÅÒÛÉÎÕ. ÷ÏÚØÍÅÍ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË ×ÏËÒÕÇ ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ É, ÒÉÓÏÅÄÉÎÑÑ ÒÅÂÒÁ × ÏÂÒÁÔÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ, ÂÕÄÅÍ ËÁÖÄÙÊ ÒÁÚ ÄÏÂÁ×ÌÑÔØ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÏÞÅÒÅÄÎÏÅ ÒÅÂÒÏ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉË, ÇÒÁÎÉÞÁÝÉÊ Ó ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÊ ÎÁ ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÛÁÇÅ ÆÉÇÕÒÏÊ Ï ÏÔÒÅÚËÕ, ×ÍÅÓÔÅ Ó ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏÍ ×ÏËÒÕÇ ÄÒÕÇÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÜÔÏÇÏ ÒÅÂÒÁ (ÓÍ. ÒÉÓ. 3). äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÒÁÚ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÌÕÞÁÔØ ÆÉÇÕÒÕ, ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÕÀ ËÒÕÇÕ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÅÒÅ×Ï ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔ ÓËÏÌØ ÕÇÏÄÎÏ ÔÅÓÎÕÀ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ, ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÕÀ ËÒÕÇÕ. ðÏÓÔÒÏÅÎÎÁÑ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÊ. éÎÄÕË ÉÅÊ Ï ÞÉÓÌÕ ÒÅÂÅÒ ÌÅÇËÏ ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÒÅÔÒÁË ÉÑ ÔÁËÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÎÁ ÄÅÒÅ×Ï, ÒÉÞÅÍ ÑÓÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÔÅÓÎÁÑ, ÔÏ É ÒÅÔÒÁË ÉÀ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ ÓÄ×ÉÇÁÀÝÅÊ ÔÏÞËÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÁÌÏ. 3. ïËÒÕÖÎÏÓÔØ | ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÎÙÊ ÒÅÔÒÁËÔ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ ÄÁÎ ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÉÚÍ h : S → C ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S ÎÁ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï C ÌÏÓËÏÓÔÉ . ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ U (C ) × ÌÏÓËÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÅÔÒÁË ÉÑ U (C ) ÎÁ C .

148

á. ÷. þÅÒÎÁ×ÓËÉÊ

òÉÓ. 3.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ Zi ÒÁÚÂÉÅÎÉÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÁ Ë×ÁÄÒÁÔÙ (ËÁË × ÔÅÔÒÁÄËÅ €× ËÌÅÔËՁ) ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ 2−i . ïÎÉ ÓÔÒÏÑÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÁÒ ÓÅÍÅÊÓÔ× ÒÑÍÙÈ: ÒÑÍÙÅ × ÏÄÎÏÍ ÓÅÍÅÊÓÔ×Å ÏÔÓÔÏÑÔ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ËÒÁÔÎÙÅ 2−i , Á ÒÑÍÙÅ ÒÁÚÎÙÈ ÓÅÍÅÊÓÔ× ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ Zi+1 ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÎÏ×ÙÈ ÒÑÍÙÈ Ë ÒÑÍÙÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ Zi . ëÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ v ËÁÖÄÏÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ËÁÖÄÏÇÏ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ ÏÓÔÁ×ÉÍ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÏÄÎÕ ÉÚ ÂÌÉÖÁÊÛÉÈ ÔÏÞÅË C , ËÏÔÏÒÕÀ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ xv . úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÍÙ ×ÙÂÅÒÅÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ vi ÜÔÉÈ ×ÅÒÛÉÎ, ÓÈÏÄÑÝÕÀÓÑ Ë ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÞËÅ x0 ÎÁ C , ÔÏ É ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÔÏÞÅË xvi ÂÕÄÅÔ ÓÈÏÄÉÔØÓÑ Ë ÜÔÏÊ ÖÅ ÔÏÞËÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÅÒØ ÒÅÂÒÁ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×, ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈ C . óÎÁÞÁÌÁ ËÁÖÄÏÅ ÔÁËÏÅ ÒÅÂÒÏ [v′ ; v′′ ℄ ÏÄÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ Z1 ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÏ ÏÔÏÂÒÁÚÉÍ ÎÁ ÔÕ ÉÚ Ä×ÕÈ ÄÕÇ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ C ÒÁÚÂÉÔÏ ÔÏÞËÁÍÉ xv É xv , ËÏÔÏÒÁÑ ÉÍÅÅÔ ÍÅÎØÛÉÊ ÄÉÁÍÅÔÒ. úÁÔÅÍ ÄÌÑ ÏÄÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ Z2 ×ÏÚØÍÅÍ ÔÅ Ë×ÁÄÒÁÔÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔ C É ÎÅ ÌÅÖÁÔ × ÏÔÏÂÒÁÎÎÙÈ ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ÛÁÇÅ Ë×ÁÄÒÁÔÁÈ É ÏÓÔÕÉÍ Ó ÉÈ ÒÅÂÒÁÍÉ (ÎÅ ÌÅÖÁÝÉÍÉ ÎÁ ÕÖÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÎÙÈ) ÔÏÞÎÏ ÔÁË ÖÅ. ðÒÏÄÏÌÖÉÍ ÜÔÏ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÎÁ ×ÓÅ Zi , ×ÙÂÉÒÁÑ ÎÁ ÏÞÅÒÅÄÎÏÍ ÛÁÇÅ ÔÅ Ë×ÁÄÒÁÔÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔ C É ÎÅ ÌÅÖÁÔ × ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ÒÁÎÅÅ. úÁÍÅÔÉÍ ÓÎÏ×Á, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÍÙ ×ÏÚØÍÅÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÔÏÞÅË wi ÎÁ ÒÅÂÒÁÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÜÔÉÈ ÏÄÒÁÚÄÅÌÅÎÉÊ, ËÏÔÏÒÁÑ ÓÈÏÄÉÔÓÑ Ë ÔÏÞËÅ ÎÁ C , ÔÏ É ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÈ ÏÂÒÁÚÏ× ÎÁ C ÂÕÄÅÔ ÓÈÏÄÉÔØÓÑ Ë ÔÏÊ ÖÅ ÔÏÞËÅ. íÙ ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ ÏÓÔÒÏÉÌÉ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÕÀ ÒÅÔÒÁË ÉÀ ÎÁ C ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅÍ Ë C ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÇÏ ÉÚ ÒÅÂÅÒ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÜÔÉÈ ÏÄÒÁÚÄÅÌÅÎÉÊ, ÎÏÍÅÒ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁÓÔÅÔ Ï ÍÅÒÅ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÑ Ë C . ëÁÖÄÁÑ ÔÏÞËÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ×ÎÅ C ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ Ë×ÁÄÒÁÔÕ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÏÄÒÁÚÄÅÌÅÎÉÊ Zi , ËÏÔÏÒÙÊ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ C É ÇÒÁÎÉ Á ËÏÔÏÒÏÇÏ ÕÖÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÁ × C . ÅÅÒØ ÍÙ ÏÓÔÁÒÁÅÍÓÑ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÉÔØ ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÎÁ ÔÁËÉÅ Ë×ÁÄÒÁÔÙ. ÷ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÜÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ. (çÒÁÎÉ Á Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÍÏÇÌÁ ÂÙÔØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÁ × C Ó ÅÌÙÍ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÏÂÈÏÄÏ×, ÎÏ ÍÙ ÎÅ ÈÏÔÉÍ ÏÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÔØÓÑ ÎÁ ÓÔÒÏÇÏÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÜÔÏÇÏ ÏÎÑÔÉÑ.) ïÄÎÁËÏ, ÅÓÌÉ Ë×ÁÄÒÁÔ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÌÉÚÏË Ë C , ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÓÔÒÏÅÎÏ! ′

′′

ÅÏÒÅÍÁ öÏÒÄÁÎÁ

149

ðÏÄÒÏÂÎÅÅ. äÌÑ ×ÓÑËÏÇÏ " > 0 ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÎÏÍÅÒ i ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ ÇÒÁÎÉ Ù Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÏÄÒÁÚÄÅÌÅÎÉÊ Zj ÄÌÑ j > i, ÏÔÏÂÒÁÎÎÙÈ × ÎÁÛÅÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÉ, ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÙ × ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á C , ÄÉÁÍÅÔÒÙ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÅÎØÛÅ ". ïÂÒÁÚÙ ÇÒÁÎÉ ÔÁËÉÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ × C × ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÙÈ ÏÂÒÁÚÁÈ ÏÔÒÅÚËÁ É, ÓÏÇÌÁÓÎÏ . 9 ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÒÁÚÄÅÌÁ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÏÄÏÌÖÉÔØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÎÁ ÜÔÉ Ë×ÁÄÒÁÔÙ. ñÓÎÏ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÒÉ ÜÔÏÍ ÄÉÁÍÅÔÒÙ ÏÂÒÁÚÏ× Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÓÔÒÅÍÑÔÓÑ Ë ÎÕÌÀ ÒÉ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÉ i. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÅÒØ ×ÓÅ Ë×ÁÄÒÁÔÙ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁÍÉ ÂÙÌÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ × C . ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÑÓÎÏ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÉÈ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ É ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ ÒÏÄÏÌÖÁÅÔÓÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ C ÎÁ ÓÅÂÑ, Ô. Å. ÓÎÏ×Á ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÒÅÔÒÁË ÉÀ. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ, ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÎÅ ÄÌÑ ×ÓÅÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×. îÏ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÔÅÈ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ, ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ C × ÌÏÓËÏÓÔÉ É ÏÜÔÏÍÕ ÍÙ × ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÓÔÒÏÉÌÉ ÒÅÔÒÁË ÉÀ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ C ÎÁ C , ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ.  úÁÍÅÞÁÎÉÅ. íÙ ÏÓÔÒÏÉÌÉ ÒÅÔÒÁË ÉÀ ÎÁ C ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÉÚ C ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÅÅ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ É ÇÒÁÎÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÏÄÒÁÚÄÅÌÅÎÉÊ Zi . íÙ ÉÓÏÌØÚÕÅÍ ÅÅ ÄÁÌØÛÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÅÅ r. 4. ïÔÒÅÚÏË | ÁÂÓÏÌÀÔÎÙÊ ÒÅÔÒÁËÔ ÌÏÓËÏÓÔÉ. äÌÑ ÏÔÒÅÚËÁ I ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÂÏÌÅÅ ÓÉÌØÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ÞÅÍ ÍÙ ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÄÏÏÌÎÅÎÉÊ Ë ÔÅÏÒÅÍÅ öÏÒÄÁÎÁ. ìÅÍÍÁ. åÓÌÉ q : I → J ⊂  ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÉÚÍ, ÔÏ J | ÒÅÔÒÁËÔ . äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÌÅÍÍÙ. òÅÔÒÁË ÉÑ ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÔÁË ÖÅ, ËÁË ÄÌÑ C , ÎÏ ÚÄÅÓØ ÎÅ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÔÏÇÏ ÒÅÑÔÓÔ×ÉÑ, ËÏÔÏÒÏÅ ×ÏÚÎÉËÁÌÏ ÄÌÑ ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÏÇÏ ÏÂÒÁÚÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ × ×ÉÄÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÓÔÅÅÎÅÊ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÇÒÁÎÉ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÎÁ C . éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÍÙ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÍÏÖÅÍ ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÌÅÍÍÏÊ . 9 ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÒÁÚÄÅÌÁ.  5. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ öÏÒÄÁÎÁ. íÙ ÏÓÔÒÏÉÌÉ ×ÙÛÅ ÒÅÔÒÁË ÉÀ r ÎÁ C ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅÍ Ë C ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÅÅ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ U É ÇÒÁÎÉ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÏÄÒÁÚÄÅÌÅÎÉÊ Zi , ÒÉÞÅÍ ËÁÖÄÁÑ ÔÏÞËÁ ×ÎÅ C ÌÅÖÉÔ × ÏÄÎÏÍ ÉÚ ÏÔÏÂÒÁÎÎÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×. ÷ÏÚØÍÅÍ ÂÏÌØÛÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔ Q, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ U ÅÌÉËÏÍ ×ÎÕÔÒÉ ÓÅÂÑ. íÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÏÄÉÎ ÉÚ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÅÒ×ÏÇÏ ÏÄÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ Z1 . ë×ÁÄÒÁÔÙ ÏÄÒÁÚÄÅÌÅÎÉÊ Zi ÌÉÂÏ ÌÅÖÁÔ × ÎÅÍ ÅÌÉËÏÍ, ÌÉÂÏ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔ ÅÇÏ ×ÎÕÔÒÅÎÎÏÓÔØ. ÷ÏÚØÍÅÍ ÔÏÞËÕ v0 ÎÁ ÇÒÁÎÉ Å Q. úÁÎÕÍÅÒÕÅÍ ÏÔÏÂÒÁÎÎÙÅ ×ÙÛÅ Ë×ÁÄÒÁÔÙ ÏÄÒÁÚÄÅÌÅÎÉÊ Zi , ÏÂÏÚÎÁÞÉ× ÉÈ qk , É ×ÏÚØÍÅÍ × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ÎÉÈ Ï ÔÏÞËÅ vk . åÓÌÉ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ C ÎÅ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ , Ô. Å. ÞÔÏ ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë C ÉÍÅÅÔ ÏÄÎÕ ËÏÍÏÎÅÎÔÕ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÉ vk ÏÓÔÒÏÉÔØ ÌÏÍÁÎÕÀ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÕÀ Ó ÎÅÊ ÔÏÞËÕ v0 , ËÏÔÏÒÁÑ ÒÏÈÏÄÉÔ × Q É ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ C . ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÜÔÉÈ ÌÏÍÁÎÙÈ ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÇÒÁÆ É ÍÏÖÎÏ ÄÏÕÓÔÉÔØ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÇÒÁÆ | ÄÅÒÅ×Ï (ÉÎÁÞÅ ×ÙËÉÎÅÍ ÉÚ ÎÅÇÏ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÏÔÒÅÚËÏ×). ÷ÏÚØÍÅÍ ÒÅÇÕÌÑÒÎÕÀ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ R ÜÔÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á, ÓÞÉÔÁÑ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ C , ÌÅÖÉÔ × Q, ÒÉÔÏÍ ÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ Ó ÇÒÁÎÉ ÅÊ Q ÔÏÌØËÏ Ï ÏÔÒÅÚËÕ d, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÍÕ v0 . R ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÁ ËÒÕÇÕ. åÅ ÇÒÁÎÉ Á ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ d É ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÊ ÄÕÇÉ d′ . ìÅÇËÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÒÅÔÒÁË ÉÀ R ÎÁ d′ . ðÒÏÄÏÌÖÉÍ ÜÔÕ ÒÅÔÒÁË ÉÀ

150

á. ÷. þÅÒÎÁ×ÓËÉÊ

ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÁ ÏÓÔÁÌØÎÕÀ ÞÁÓÔØ Ë×ÁÄÒÁÔÁ Q É ÏÌÕÞÉÍ ÒÅÔÒÁË ÉÀ r1 Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÎÁ ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë R. üÔÏ ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÏÞÅË vk . äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÏÔÏÂÒÁÎÎÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× qk ÏÓÔÒÏÉÍ ÒÅÔÒÁË ÉÀ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ Ë ÔÏÞËÅ vk ÎÁ ÅÇÏ ÇÒÁÎÉ Õ. ðÏÌÕÞÉÍ ÒÅÔÒÁË ÉÀ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× qk \ vk ÎÁ ÓÕÍÍÕ ÉÈ ÒÅÂÅÒ. äÏÏÌÎÉÍ ÜÔÕ ÒÅÔÒÁË ÉÀ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÏÍ ÎÁ U É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÏÌÕÞÉ×ÛÕÀÓÑ ÒÅÔÒÁË ÉÀ r2 . îÁËÏÎÅ , ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÒÅÔÒÁË ÉÀ r3 = r, ÏÓÔÒÏÅÎÎÕÀ ÒÁÎÅÅ. ëÏÍÏÚÉ ÉÑ ÔÒÅÈ ÒÅÔÒÁË ÉÊ r3 r2 r1 ÄÁÅÔ ÒÅÔÒÁË ÉÀ r~ : Q → C . ÷ÏÚØÍÅÍ ÔÅÅÒØ ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÉÚÍ q : S 1 ≈ C É ÒÏÄÏÌÖÉÍ ÅÇÏ ÄÏ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ q : B → Q ËÒÕÇÁ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÇÏ S 1 , × Ë×ÁÄÒÁÔ Q (ÒÁÄÉÕÓ [Ox℄ ÌÉÎÅÊÎÏ ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔÓÑ ÎÁ ÏÔÒÅÚÏË [A; q(x)℄, ÇÄÅ A | ËÁËÁÑ-ÎÉÂÕÄØ ÔÏÞËÁ × Q). ëÏÍÏÚÉ ÉÑ q−1 r~q ÄÁÅÔ ÒÅÔÒÁË ÉÀ ËÒÕÇÁ B ÎÁ ÅÇÏ ÇÒÁÎÉ Õ, ÞÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ. ÅÏÒÅÍÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ.  III. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÓÏÕÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÊ

íÙ ÄÏËÁÖÅÍ ÔÅÅÒØ ÔÒÉ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ, ÄÏÏÌÎÑÀÝÉÈ ÔÅÏÒÅÍÕ öÏÒÄÁÎÁ: ÍÙ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÒÏÓÔÁÑ ÚÁÍËÎÕÔÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ ÌÏÓËÏÓÔØ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÎÁ Ä×Å ËÏÍÏÎÅÎÔÙ É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÝÅÊ ÇÒÁÎÉ ÅÊ ÏÂÅÉÈ ÜÔÉÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÏÅÇÏ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ, × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ÒÏÓÔÁÑ ÄÕÇÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÅ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ. üÔÏÇÏ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÙÅ ÏÂÒÁÚÙ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ É ÏÔÒÅÚËÁ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÔÏÏÌÏÇÉÉ ÔÁË ÖÅ, ËÁË É ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ É ÏÔÒÅÚÏË. üÔÉ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù, ÎÏ ÔÒÅÂÕÀÔ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÊ ÔÅÈÎÉËÉ, É ÍÙ ÏÔÓÙÌÁÅÍ ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÝÅÇÏÓÑ ÞÉÔÁÔÅÌÑ Ë ËÎÉÇÅ ì. ÷. ëÅÌÄÙÛ. 1. ÅÏÒÅÍÁ 1. çÏÍÅÏÍÏÒÆÎÙÊ ÏÂÒÁÚ J ÏÔÒÅÚËÁ I = [0; 1℄ × ÌÏÓËÏÓÔÉ  (Ô. Å. ÒÏÓÔÁÑ ÄÕÇÁ) ÎÅ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ . íÙ ÄÏÌÖÎÙ ÄÏËÁÚÁÔØ Ó×ÑÚÎÏÓÔØ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ Ë J = q(I ) × ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÇÄÅ q | ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÉÚÍ ÏÔÒÅÚËÁ I = [0; 1℄ Ó ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÌÏÓËÏÓÔÉ J . íÙ ÄÏËÁÖÅÍ ÓÎÁÞÁÌÁ ÌÅÍÍÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ËÁÓÁÅÔÓÑ ×ÏÏÂÝÅ ËÏÍÁËÔÎÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÌÏÓËÏÓÔÉ. 2. ìÅÍÍÁ. åÓÌÉ ËÏÍÁËÔÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï K ⊂  ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ , ÔÏ ÏÎÏ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÔÒÁËÔÏÍ ÚÁÍÙËÁÎÉÑ ÎÉ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÏÅÇÏ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ × . äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÌÅÍÍÙ.. éÍÅÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÁ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÁÑ ËÏÍÏÎÅÎÔÁ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÍÕ ËÒÕÇÕ, ËÏÔÏÒÙÊ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÁÛÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï K (ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ËÒÕÇÕ Ó×ÑÚÎÏ, Á ËÏÍÏÎÅÎÔÙ, ÌÅÖÁÝÉÅ × ËÒÕÇÅ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÙ). ÷ÏÚØÍÅÍ ÂÏÌØÛÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔ Q, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ×ÎÕÔÒÉ ÓÅÂÑ K . åÓÌÉ U | ÏÄÎÁ ÉÚ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ, ÔÏ ÏÎÁ ÔÁËÖÅ ÌÅÖÉÔ ×ÎÕÔÒÉ Q. ðÕÓÔØ r | ÒÅÔÒÁË ÉÑ ÚÁÍÙËÁÎÉÑ U ÎÁ Ó×ÏÀ ÇÒÁÎÉ Õ (ÌÅÖÁÝÕÀ × K ). äÏÏÌÎÉÍ ÅÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÏÍ ×ÎÅ U . íÙ ÏÌÕÞÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ Q × ÓÅÂÑ, ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÎÁ ÇÒÁÎÉ Å É ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ ÔÏÞËÉ U ÎÅ ÌÅÖÁÔ × ÏÂÒÁÚÅ. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÅÔÒÁË ÉÑ Q Ó ÏÄÎÏÊ ×ÙËÉÎÕÔÏÊ ÔÏÞËÏÊ (ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÉÚ U ) ÎÁ ÇÒÁÎÉ Õ Q. ëÏÍÏÚÉ ÉÑ ÜÔÏÊ ÒÅÔÒÁË ÉÉ É r ÄÁÅÔ ÒÅÔÒÁË ÉÀ Q ÎÁ ÇÒÁÎÉ Õ, ÞÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ.  3. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ 1. ÷ . 5 ÒÁÚÄÅÌÁ I ÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÅÔÒÁË ÉÑ  ÎÁ ÌÀÂÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÏÅ ÏÔÒÅÚËÕ, ÚÎÁÞÉÔ, É ÒÅÔÒÁË ÉÑ ÎÁ ÎÅÇÏ ÌÀÂÏÇÏ ÂÏÌØÛÅÇÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á . ÅÏÒÅÍÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÌÅÍÍÙ. 

ÅÏÒÅÍÁ öÏÒÄÁÎÁ

151

éÔÁË, ÞÁÓÔØ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÕÔÒÁÞÉ×ÁÅÔ ×ÁÖÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï, ËÏÔÏÒÏÅ ÉÍÅÅÔ ÅÌÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, | ÒÁÚÂÉ×ÁÔØ ÌÏÓËÏÓÔØ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÅÅ (ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÏÍ) ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÉ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ïÄÎÁËÏ, ÞÔÏÂÙ ÅÌÏÅ ÉÍÅÌÏ ÎÏ×ÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÅÅ ÞÁÓÔÉ, ×ÓÅ ÖÅ ÎÕÖÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÜÔÉ ÞÁÓÔÉ ÉÍÅÌÉ ËÁËÉÅ-ÔÏ Ó×ÏÉ Ó×ÏÊÓÔ×Á, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÂÅÓÅÞÁÔ ÎÏ×ÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÅÌÏÇÏ. ÁËÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÏÔÒÅÚËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÇÏ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔØ ÌÏËÁÌØÎÏ ÒÁÚÂÉ×ÁÔØ ÌÏÓËÏÓÔØ ×ÂÌÉÚÉ ÅÇÏ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÈ ÔÏÞÅË. íÙ ÒÅÄÌÁÇÁÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÓÁÍÏÍÕ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÜÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï. 4. çÒÁÎÉ Ù ËÏÍÏÎÅÎÔ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ Ë C . ÅÏÒÅÍÁ 2. çÒÁÎÉ Á ËÁÖÄÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ Ë ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÏÍÕ ÏÂÒÁÚÕ C ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó C . äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. çÒÁÎÉ Ù ËÏÍÏÎÅÎÔ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ ×Ï ×ÓÑËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÌÅÖÁÔ × C . ðÕÓÔØ Q | ËÏÍÏÎÅÎÔÁ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ, ÇÒÁÎÉ Á ËÏÔÏÒÏÊ ÎÅ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó C . ÏÇÄÁ ÜÔÁ ÇÒÁÎÉ Á ÌÅÖÉÔ × ÒÏÓÔÏÊ ÄÕÇÅ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊÓÑ × C , É , Á ÔÏÇÄÁ É Q, ÒÅÔÒÁÇÉÒÕÅÔÓÑ ÎÁ ÜÔÕ ÄÕÇÕ. úÎÁÞÉÔ, Q ∪ C ÒÅÔÒÁÇÉÒÕÅÔÓÑ ÎÁ C . ðÏ ÌÅÍÍÅ Q ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÔÏÌØËÏ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÏÊ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ C Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÝÅÊ ÇÒÁÎÉ ÅÊ ×ÓÅÈ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÏÅÇÏ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ. (îÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÔÁËÁÑ ËÏÍÏÎÅÎÔÁ ÏÄÎÁ, ÎÏ ÍÙ ÜÔÏÇÏ ÎÅ ÄÏËÁÚÁÌÉ.) îÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÁÑ ËÏÍÏÎÅÎÔÁ Q∞ ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÕÀ Ó ÏÍÏÝØÀ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÒÉÅÍÁ. ðÏÏÌÎÉÍ  ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÏÊ × ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ. ðÏÌÕÞÉÔÓÑ ÓÆÅÒÁ (ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉ). ÷ÙËÉÎÅÍ ÏÄÎÕ ÔÏÞËÕ O ÉÚ ÄÒÕÇÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ | ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÌÏÓËÏÓÔØ. ðÒÉ ÜÔÉÈ ÏÅÒÁ ÉÑÈ ÇÒÁÎÉ Á Q∞ ÎÅ ÉÚÍÅÎÉÔÓÑ, Á ËÏÍÏÎÅÎÔÁ ÓÔÁÎÅÔ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ.  5. ìÅÍÍÁ. ðÕÓÔØ, ËÁË É ÒÁÎØÛÅ, C | ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÙÊ ÏÂÒÁÚ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. ðÕÓÔØ U | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ËÏÍÏÎÅÎÔÁ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ Ë C , b | ÔÏÞËÁ × U É a | ÔÏÞËÁ ÎÁ C . äÌÑ ÌÀÂÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ O ÔÏÞËÉ a × ÌÏÓËÏÓÔÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÏÓÔÁÑ ÄÕÇÁ l, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÁÑ b Ó ÔÏÞËÏÊ a′ , ÌÅÖÁÝÅÊ × O ∩ C , ÒÉÞÅÍ l \ a′ ÌÅÖÉÔ × U . äÕÇÕ L ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ ËÏÎÅÞÎÏÚ×ÅÎÎÏÊ ÌÏÍÁÎÏÊ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ëÁË ÏËÁÚÁÎÏ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÕÎËÔÅ, ËÁÖÄÁÑ ÔÏÞËÁ C Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÄÅÌØÎÏÊ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ. ðÏÜÔÏÍÕ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÏÍÁÎÁÑ ~l, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÁÑ × U ÔÏÞËÕ b Ó ÔÏÞËÏÊ , ÌÅÖÁÝÅÊ × O. óÞÉÔÁÑ, ÞÔÏ O ×ÙÕËÌÁ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ËÒÕÇ), ÓÏÅÄÉÎÉÍ a É ÏÔÒÅÚËÏÍ. ðÕÓÔØ a′ | ÅÒ×ÁÑ ÔÏÞËÁ ÉÚ C ÎÁ ÜÔÏÍ ÏÔÒÅÚËÅ, ÓÞÉÔÁÑ ÏÔ . (ÁËÁÑ ÔÏÞËÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ Ï ÒÉÎ ÉÕ ÄÅÄÅËÉÎÄÏ×Á ÓÅÞÅÎÉÑ.) ÏÇÄÁ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ~l Ó ÏÔÒÅÚËÏÍ [ ; a′ ℄ ÄÁÅÔ ÔÒÅÂÕÅÍÕÀ ÌÏÍÁÎÕÀ.  6. ÅÏÒÅÍÁ 3. çÏÍÅÏÍÏÒÆÎÙÊ ÏÂÒÁÚ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ ÌÏÓËÏÓÔØ ÒÏ×ÎÏ ÎÁ Ä×Á Ó×ÑÚÎÙÈ ÏÔËÒÙÔÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ ÓÎÏ×Á ÄÁÎ ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÉÚÍ h : S → C ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÎÁ ËÏÍÁËÔÎÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÌÏÓËÏÓÔÉ C , ËÏÔÏÒÏÅ, ËÁË ÍÙ ÕÖÅ ÚÎÁÅÍ, ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ ÌÏÓËÏÓÔØ . äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ËÏÍÏÎÅÎÔ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ Ë C ÂÏÌØÛÅ Ä×ÕÈ. ÏÌØËÏ ÏÄÎÁ ÉÚ ÜÔÉÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÁÑ É ÔÏÇÄÁ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ, ÉÍÅÀÔÓÑ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×Å ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ (ÉÈ ÚÁÍÙËÁÎÉÑ ËÏÍÁËÔÎÙ). ïÂÏÚÎÁÞÉÍ Ä×Å ÔÁËÉÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ U1 É U2 . ÷ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÏÂÌÁÓÔÅÊ U1 É U2 ×ÏÚØÍÅÍ Ï ÔÏÞËÅ b1 É b2 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ×ÏÚØÍÅÍ Ä×Å ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÔÏÞËÉ a1 É a2 ÎÁ C .

152

á. ÷. þÅÒÎÁ×ÓËÉÊ

éÓÏÌØÚÕÑ ÌÅÍÍÕ, ÓÏÅÄÉÎÉÍ ÔÏÞËÕ bi Ó Ä×ÕÍÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ aij , ÌÅÖÁÝÉÍÉ × ÍÁÌÙÈ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÑÈ ÎÁ C ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÔÏÞÅË aj , ÌÏÍÁÎÙÍÉ lij , ÒÉÞÅÍ ÔÁË, ÞÔÏ ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ ËÏÎ Á aij ÌÏÍÁÎÁÑ lij ÌÅÖÉÔ × ÏÂÌÁÓÔÉ Ui . ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ li1 É li2 ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ × bi . ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÍÁÌÕÀ ÄÕÇÕ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÕÀÓÑ × C Ó ËÏÎ ÁÍÉ a1j É a2j ÞÅÒÅÚ lj . úÁÍÙËÁÎÉÅ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ Ë ÓÕÍÍÅ Ä×ÕÈ ÄÕÇ lj ÎÁ C ÔÁËÖÅ ÒÁÓÁÄÁÅÔÓÑ ÎÁ Ä×Å ÄÕÇÉ l1 É l2 . þÅÔÙÒÅ ÌÏÍÁÎÙÈ lij ×ÍÅÓÔÅ Ó ÄÕÇÁÍÉ lj ÎÁ C ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÒÏÓÔÕÀ ÚÁÍËÎÕÔÕÀ ËÒÉ×ÕÀ Z . ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ Z Ó C ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÄÕÇ lj . üÔÁ ËÒÉ×ÁÑ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ ÌÏÓËÏÓÔØ ÒÏ×ÎÏ ÎÁ Ä×Å ËÏÍÏÎÅÎÔÙ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ËÁÖÄÁÑ ÔÏÞËÁ ÒÏÓÔÏÊ ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ËÁË ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÄÅÌØÎÏÊ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ. ðÏÜÔÏÍÕ, ÅÓÌÉ ÔÁËÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ÉÍÅÅÔ × ËÁÞÅÓÔ×Å Ó×ÏÅÊ ÞÁÓÔÉ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÉÎ ÏÔÒÅÚÏË, ÅÅ ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ Ä×ÕÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ (ÔÁË ËÁË ×ÂÌÉÚÉ ÔÏÞÅË ÏÔÒÅÚËÁ ÔÏÞËÉ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ ÒÁÓÁÄÁÀÔÓÑ ÎÁ Ä×Á ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÔÁË, ÞÔÏ ÔÏÞËÉ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÏÖÎÏ ÓÏÅÄÉÎÉÔØ ÏÔÒÅÚËÏÍ, ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÍ ÜÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ). éÚ Ä×ÕÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ Z ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ ÌÏÓËÏÓÔØ, ÏÄÎÁ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÁÑ, ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÅÅ W , ÄÒÕÇÁÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÁÑ, ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÅÅ V . íÙ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÍ, ÞÔÏ Ä×Å ÄÕÇÉ l1 É l2 ÌÅÖÁÔ × ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÏÎÅÎÔÁÈ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÌÅÖÁÔ × ÏÄÎÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÅ, ÓËÁÖÅÍ, × W , ÔÏ V ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ Ó C . ÷ÏÚØÍÅÍ × V ÔÏÞËÕ v É, ÏÌØÚÕÑÓØ ÔÏÊ ÖÅ ÌÅÍÍÏÊ, ÒÏ×ÅÄÅÍ Ä×Å ÄÕÇÉ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÅ ÅÅ × V Ó ÔÏÞËÁÍÉ × ËÒÕÇÁÈ Ó ÅÎÔÒÁÍÉ b1 É b2 , ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÍÉÓÑ Ó C . úÁÔÅÍ ÄÏÂÁ×ÉÍ Ä×Á ÏÔÒÅÚËÁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÅ ÜÔÉ ÔÏÞËÉ Ó b1 É b2. íÙ ÏÌÕÞÉÍ ÄÕÇÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÌÅÖÉÔ × V , ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ ÏÔÒÅÚËÏ× ÏËÏÌÏ Ó×ÏÉÈ ËÏÎ Ï×, É ÓÏÅÄÉÎÑÅÔ ÔÏÞËÉ b1 É b2, ÍÉÎÕÑ C , ÞÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÔÁË ËÁË ÜÔÉ ÔÏÞËÉ ×ÙÂÒÁÎÙ × ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÏÎÅÎÔÁÈ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ Ë C . úÎÁÞÉÔ, ÏÄÎÁ ÉÚ ÄÕÇ li , ÓËÁÖÅÍ, l1, ÌÅÖÉÔ × ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÅ V . ÷ÏÚØÍÅÍ ÎÁ l1 ÔÏÞËÕ a É ÍÁÌÙÊ ËÒÕÇ o Ó ÅÎÔÒÏÍ × a, ÅÌÉËÏÍ ÌÅÖÁÝÉÊ × V . ëÁË ÕÇÏÄÎÏ ÂÌÉÚËÏ ÏÔ a, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, × o, ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÔÏÞËÕ u ÉÚ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ Ë C . üÔÕ ÔÏÞËÕ ÍÏÖÎÏ Ó×ÑÚÁÔØ Ó ËÁË ÕÇÏÄÎÏ ÄÁÌÅËÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÄÕÇÏÊ L, ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÝÅÊÓÑ Ó C . üÔÁ ÄÕÇÁ ÄÏÌÖÎÁ ÅÒÅÓÅËÁÔØ ÇÒÁÎÉ Õ ÏÂÌÁÓÔÉ V É, ÚÎÁÞÉÔ, ÏÄÎÕ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÄÕÇ lij . îÏ ÜÔÉ ÄÕÇÉ ÌÅÖÁÔ (ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ Ó×ÏÉÈ ËÏÎ Ï× ÎÁ C ) × ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ËÏÍÏÎÅÎÔÁÈ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ Ë C . úÎÁÞÉÔ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÄÕÇÁ, ËÏÔÏÒÁÑ, ÍÉÎÕÑ C , ÓÏÅÄÉÎÑÅÔ ÔÏÞËÕ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ Ë C Ó ÔÏÞËÏÊ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ. üÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ É ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ, ÞÔÏ ÉÍÅÅÔÓÑ Ä×Å ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ, ÒÉ×ÅÄÅÎÏ Ë ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ.  7. ðÒÉÍÅÒÙ ëÎÁÓÔÅÒÁ É ÆÒÁËÔÁÌÙ. ÷ÏÚÍÏÖÎÏ, ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÔÒÕÄÎÏ ÄÏÕÓÔÉÔØ, ÞÔÏ ÂÏÌÅÅ Ä×ÕÈ ÏÂÌÁÓÔÅÊ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÍÏÇÕÔ ÉÍÅÔØ ÓÏ×ÁÄÁÀÝÕÀ ÇÒÁÎÉ Õ. ÁËÉÅ ËÏÎÔÉÎÕÕÍÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÁÚÂÉ×ÁÀÔ ÌÏÓËÏÓÔØ ÎÁ ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÏÂÌÁÓÔÅÊ, ÇÒÁÎÉ ÅÊ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÎÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ, ÂÙÌÉ ÏÓÔÒÏÅÎÙ ×ÅÒ×ÙÅ ÏÌØÓËÉÍ ÔÏÏÌÏÇÏÍ ëÎÁÓÔÅÒÏÍ × 1922 ÇÏÄÕ. éÈ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÓÍ. × ËÎÉÇÁÈ [8, 9℄ éÎÔÅÒÅÓÎÏ, ÞÔÏ ÔÁËÉÅ ÒÉÍÅÒÙ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ × ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÍÅÔÏÄÁ îØÀÔÏÎÁ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ z n = 1

153

ÅÏÒÅÍÁ öÏÒÄÁÎÁ

zn − 1

ÎÁ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ: zi+1 = zi − i n−1 . ðÌÏÓËÏÓÔØ ÒÁÚÏÂØÅÔÓÑ ÎÁ n ÏÂÌÁnzi ÓÔÅÊ Ó ÏÂÝÉÍÉ ÇÒÁÎÉ ÁÍÉ, ÒÉÞÅÍ ÔÏÞËÉ ÉÚ ÏÄÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ÂÕÄÕÔ ÏÒÏÖÄÁÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÓÈÏÄÑÝÕÀÓÑ Ë ÏÄÎÏÍÕ É ÔÏÍÕ ÖÅ ËÏÒÎÀ ÉÚ 1, Á ÉÚ ÒÁÚÎÙÈ ÏÂÌÁÓÔÅÊ Ë ÒÁÚÎÙÍ ËÏÒÎÑÍ. üÔÏ ÏÄÉÎ ÉÚ ÒÏÓÔÅÊÛÉÈ ÒÉÍÅÒÏ× ×ÏÚÎÉËÎÏ×ÅÎÉÑ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÆÒÁËÔÁÌÏ× . 8. ðÒÉÍÅÒÙ áÒÔÉÎÁ{æÏËÓÁ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÒÏÓÔÅÊÛÉÊ ÒÉÍÅÒ ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÏÇÏ ÏÂÒÁÚÁ Ä×ÕÍÅÒÎÏÊ ÓÆÅÒÙ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÏÇÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÇÏ ÜÔÏÔ ÏÂÒÁÚ × €ËÒÕÇÌÕÀ ÓÆÅÒÕ, Ô. Å. ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÅ ×ÙÏÌÎÅÎÁ ÔÅÏÒÅÍÁ ûÅÎÆÌÉÓÁ. ÷ÅÒ×ÙÅ ÔÁËÏÊ (ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÊ) ÒÉÍÅÒ ÂÙÌ ÏÓÔÒÏÅÎ × 20-È ÇÏÄÁÈ ÁÍÅÒÉËÁÎÓËÉÍ ÔÏÏÌÏÇÏÍ äÖ. áÌÅËÓÁÎÄÅÒÏÍ É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ €ÒÏÇÁÔÏÊ ÓÆÅÒÏÊ áÌÅËÓÁÎÄÅÒÁ. åÇÏ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÒÉ×ÅÄÅÎÏ × ËÎÉÇÅ ì. ÷. ëÅÌÄÙÛ. âÏÌØÛÁÑ ÓÅÒÉÑ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙÈ ÒÉÍÅÒÏ× ÂÙÌÁ ÏÓÔÒÏÅÎÁ × 1949 ÇÏÄÕ á. áÒÔÉÎÏÍ É ò. æÏËÓÏÍ. íÙ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÓÁÍÙÊ ÒÏÓÔÏÊ ÉÚ ÎÉÈ. äÒÕÇÉÅ ÒÉÍÅÒÙ É ÏÄÒÏÂÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÖÅ × ËÎÉÇÅ ì. ÷. ëÅÌÄÙÛ.

òÉÓ. 4.

ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÒÉÍÅÒÁ, ÎÁÄÅÅÍÓÑ, ÑÓÎÏ ÉÚ ÒÉÓ. 4. óÔÒÏÉÔÓÑ ÄÕÇÁ, €ÚÁÕÚÌÅÎÎÁÑ × ÏÄÎÏÍ ËÏΠŁ. óÔÒÏÇÏ ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÏÔÒÉ ÁÎÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÏËÁÌØÎÏÊ ÏÄÎÏÓ×ÑÚÎÏÓÔØÀ É ËÏÔÏÒÏÅ ÄÌÑ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÅÎÏ ÄÌÑ ÅÇÏ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÔÏÞÅË: ÄÌÑ €ÚÁÕÚÌÅÎÎÏÇÏ ËÏÎ Á ÎÅ×ÅÒÎÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÑËÏÇÏ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ " ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ Æ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ × Æ-ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ËÏÎ Á ÄÕÇÉ, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÏÂÒÁÚ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÄÕÇÕ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÏÄÅÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÏ × ÔÏÞËÕ × ÄÏÏÌÎÅÎÉÉ Ë ÄÕÇÅ × "-ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÅÅ ËÏÎ Á. ÷ÎÉÍÁÔÅÌØÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅ× ÒÉÓÕÎÏË, ÞÉÔÁÔÅÌØ ÓÏÏÂÒÁÚÉÔ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÔÁË É ÅÓÔØ × ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. íÁÌÅÎØËÕÀ ÅÔÌÀ, €ÎÁÄÅÔÕÀ ÎÁ ÄÕÇÕ ×ÂÌÉÚÉ ÚÁÕÚÌÅÎÎÏÇÏ ËÏÎ Á ÎÅÌØÚÑ ÓÎÑÔØ Ó ÄÕÇÉ, ÎÅ ÒÏÔÁÝÉ× ÅÅ Ë ÄÒÕÇÏÍÕ ËÏÎ Õ. óÔÒÏÇÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÒÅÂÕÅÔ ÚÎÁËÏÍÓÔ×Á Ó ÔÅÈÎÉËÏÊ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÏÊ ÇÒÕÙ, ÉÚÌÏÖÅÎÎÏÊ, × ÒÉÍÅÎÅÎÉÉ Ë ÔÁËÏÇÏ ÒÏÄÁ ÒÉÍÅÒÁÍ, × ËÎÉÇÅ ì. ÷. ëÅÌÄÙÛ. 9. ìÏËÁÌØÎÁÑ ÌÏÓËÏÓÔÎÏÓÔØ. ðÒÁ×ÉÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ ÏÂÏÂÝÅÎÉÑ ÔÅÏÒÅÍÙ ûÅÎÆÌÉÓÁ, ËÁË ×ÉÄÎÏ ÉÚ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÇÏ ÒÉÍÅÒÁ, ÔÒÅÂÕÅÔ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÌÏËÁÌØÎÙÈ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ. íÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÄÁÎÎÙÊ ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÉÚÍ ÓÆÅÒÙ ÎÁ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï K ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÍÏÖÎÏ ÒÏÄÏÌÖÉÔØ ÄÏ

154

á. ÷. þÅÒÎÁ×ÓËÉÊ

ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÉ, ÔÏ ÏÎ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÏÄÏÌÖÅÎ É ÄÏ ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁ ÓÅÂÑ. üÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÏËÁÌØÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÎÏÓÔØÀ ÏÂÒÁÚÁ ÓÆÅÒÙ. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ËÁË ÏËÁÚÁÌ ÁÍÅÒÉËÁÎÓËÉÊ ÔÏÏÌÏÇ ò. âÉÎÇ × 50-È ÇÏÄÁÈ, ÏÔÒÅÂÏ×ÁÔØ, ÞÔÏÂÙ ÎÉ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ ÏÂÒÁÚÁ ÎÅ ÂÙÌ ×ÏÚÍÏÖÅÎ ÆÅÎÏÍÅÎ ÒÉÍÅÒÁ áÒÔÉÎÁ É æÏËÓÁ. IV. ðÒÉÍÅÎÅÎÉÑ É ÉÓÔÏÒÉÑ 1. òÅÔÒÁË ÉÉ ÎÁ C . ÷ ÎÁÛÅÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÔÅÏÒÅÍÙ öÏÒÄÁÎÁ ÍÙ ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ ÏÓÔÒÏÉÌÉ ÒÅÔÒÁË ÉÀ Ë×ÁÄÒÁÔÁ Q, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ C , ÎÁ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ  \ C . åÅ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ Ó ÒÅÔÒÁË ÉÅÊ  ÎÁ Q, ÄÁÅÔ ÒÅÔÒÁË ÉÀ ×ÓÅÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÁ ÜÔÏ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ. ÷ÙËÉÄÙ×ÁÑ ÉÚ  ÔÏÞËÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ Ë C , ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÅÔÒÁË ÉÀ ÚÁÍÙËÁÎÉÑ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÎÁ C . äÏÂÁ×ÌÑÑ ÔÏÞËÕ × ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ É ×ÙËÉÄÙ×ÁÑ ÔÏÞËÕ ÉÚ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ, ÍÙ ÒÅ×ÒÁÔÉÍ ÅÅ × ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÕÀ ËÏÍÏÎÅÎÔÕ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÙ ÉÓÏÌØÚÕÅÍ × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÓÔÉ ÏÂÌÁÓÔÉ: 1 ìÅÍÍÁ. ðÕÓÔØ C | ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÙÊ ÏÂÒÁÚ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ , ′ U | ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÁÑ É U | ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁÑ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ Ë C . ÏÇÄÁ S ÚÁÍÙËÁÎÉÅ U ′ C ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÒÅÔÒÁÇÉÒÕÅÔÓÑ ÎÁ C É ÔÁËÖÅ S ÒÅÔÒÁÇÉÒÕÅÔÓÑ ÎÁ C ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï U C \ x0 , ÇÄÅ x0 | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÔÏÞËÁ × U . ÷ n-ÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÙ ÎÅ ÄÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÏÂÒÁÚ (n − 1)-ÍÅÒÎÏÊ ÓÆÅÒÙ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ Rn ÒÏ×ÎÏ ÎÁ Ä×Å ËÏÍÏÎÅÎÔÙ. ïÄÎÁËÏ, ÒÏ×ÅÄÅÎÎÏÅ ÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÔÅÏÒÅÍÙ öÏÒÄÁÎÁ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ (ÏÓÌÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÍÏÄÉÆÉËÁ ÉÉ ÄÌÑ n-ÍÅÒÎÏÇÏ ÓÌÕÞÁÑ) ÒÑÍÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÌÅÍÍÙ. óÕÔØ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÏÓÔÏ×Ï× ÄÏ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ (n − 1) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ ÎÁ ËÕÂÙ ÎÅ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÒÅÑÔÓÔ×ÉÑ ÒÉ ÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÒÅÔÒÁË ÉÉ, Á ÄÌÑ n-ÍÅÒÎÙÈ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÎÅ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÏÓÌÅ ÒÏ×ÅÄÅÎÉÑ ÏÅÒÁ ÉÉ ×ÙÍÅÔÁÎÉÑ, ËÁË × ÜÔÏÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å. n äÏËÁÖÅÍ 2. ÅÏÒÅÍÙ Ï ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÓÔÉ ÏÂÌÁÓÔÉ É ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ R . ÔÅÅÒØ, ÏÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÔÅÏÒÅÍÕ öÏÒÄÁÎÁ-âÒÁÕÜÒÁ É ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ÎÅÒÅÔÒÁÇÉÒÕÅÍÏÓÔÉ ÛÁÒÁ ÎÁ ÇÒÁÎÉ Õ, ÅÝÅ ÏÄÎÕ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ âÒÁÕÜÒÁ | ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÓÔÉ ÏÂÌÁÓÔÉ. ÅÏÒÅÍÁ Ï ÎÅÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÏÓÔÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× Rn É Rk ÒÉ k 6= n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÅ ÒÑÍÙÍ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅÍ. ÅÏÒÅÍÁ. åÓÌÉ h : U → V | ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á U ⊂ Rn ÎÁ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï V ⊂ Rn , ÔÏ V ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔËÒÙÔÙÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ Rn. n ÏÔËÒÙÔÙ. ðÏäÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ëÏÍÏÎÅÎÔÙ ÏÔËÒÙÔÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× R ÜÔÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ U Ó×ÑÚÎÏ. ÏÇÄÁ Ó×ÑÚÎÏ É V . ðÕÓÔØ x0 ∈ U É y0 = h(x0 ) ∈ V . ÷ÏÚØÍÅÍ ÍÁÌÙÊ ÛÁÒ B ⊂ U ÅÎÔÒÏÍ × x0 É ÇÒÁÎÉ ÅÊ S . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ C = h(S ) É ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ y0 ÌÅÖÉÔ × ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÅ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ Ë C , ËÏÔÏÒÁÑ ÅÌÉËÏÍ ÌÅÖÉÔ × V . ïÔÓÀÄÁ ÂÕÄÅÔ ×ÙÔÅËÁÔØ, ÞÔÏ y0 | ×ÎÕÔÒÅÎÎÑÑ ÔÏÞËÁ V É, ÚÎÁÞÉÔ, V | ÏÔËÒÙÔÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Rn . ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÏÂÒÁÚ Int B ÅÌÉËÏÍ ÌÅÖÉÔ × ÏÄÎÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÅ, ÓËÁÖÅÍ W , ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ Ë C , × ÓÉÌÕ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ.

ÅÏÒÅÍÁ öÏÒÄÁÎÁ

155

åÓÌÉ W ÎÅ ÌÅÖÉÔ × V , ÔÏ ÉÍÅÅÔÓÑ ÔÏÞËÁ z ∈ W , ËÏÔÏÒÁÑ ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ V S É, ÚÎÁÞÉÔ, ÏÂÒÁÚÕ B . ðÏÜÔÏÍÕ, ÅÓÌÉ ÍÙ ÏÓÔÒÏÉÍ ÒÅÔÒÁË ÉÀ (W \ z ) C ÎÁ C , ÔÏ Ó ÏÍÏÝØÀ h ÏÎÁ ÅÒÅÊÄÅÔ × ÒÅÔÒÁË ÉÀ B ÎÁ S , ËÏÔÏÒÏÊ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. ÅÏÒÅÍÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ.  3. ÅÏÒÅÍÁ öÏÒÄÁÎÁ É ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÁ ÉÑ Ä×ÕÍÅÒÎÙÈ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ. ÅÏÒÅÍÁ õÁÊÌÄÅÒÁ. ìÏËÁÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÊ ËÏÎÔÉÎÕÕÍ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÒÏÓÔÕÀ ÚÁÍËÎÕÔÕÀ ËÒÉ×ÕÀ, ÒÁÚÂÉ×ÁÀÝÉÊÓÑ ËÁÖÄÏÊ Ó×ÏÅÊ ÒÏÓÔÏÊ ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ É ÎÅ ÒÁÚÂÉ×ÁÀÝÉÊÓÑ ÎÉËÁËÏÊ Ó×ÏÅÊ ÁÒÏÊ ÔÏÞÅË, ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÅÎ ÓÆÅÒÅ.(óÍ. ËÎÉÇÕ õÁÊÌÄÅÒÁ €ÏÏÌÏÇÉÑ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉʁ [11℄). ëÏÎÔÉÎÕÕÍ ÌÏËÁÌØÎÏ Ó×ÑÚÅÎ, ÅÓÌÉ ËÁÖÄÁÑ ÅÇÏ ÔÏÞËÁ ÉÍÅÅÔ × ËÁÖÄÏÊ Ó×ÏÅÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ Ó×ÑÚÎÕÀ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ. ÷ ËÌÁÓÓÅ ÔÁËÉÈ ËÏÎÔÉÎÕÕÍÏ× Ä×ÕÍÅÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑ ×ÙÄÅÌÑÀÔÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÎÅ ÒÁÚÂÉ×ÁÀÔÓÑ ÁÒÁÍÉ ÔÏÞÅË É ÔÅÏÒÅÍÁ öÏÒÄÁÎÁ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÄÌÑ ÎÉÈ ÌÏËÁÌØÎÏ, Ô. Å. ËÁÖÄÁÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÁÌÁÑ ÒÏÓÔÁÑ ÚÁÍËÎÕÔÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ÉÈ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ. íÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ ËÏÍÁËÔÎÙÅ Ä×ÕÍÅÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑ ÒÁÚÌÉÞÁÀÔÓÑ, ÇÒÕÂÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÔÅÍ, ÓËÏÌØËÏ ÍÏÖÎÏ ÒÏ×ÅÓÔÉ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÒÉ×ÙÈ, ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑ (ÒÏÄ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑ). íÙ ÎÅ ÒÉ×ÏÄÉÍ ÄÅÔÁÌÅÊ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÊ, ÔÁË ËÁË ÜÔÏÔ ÍÁÔÅÒÉÁÌ ÈÏÒÏÛÏ ÄÏÓÔÕÅÎ × ÒÁÚÌÉÞÎÏÊ ÕÞÅÂÎÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ. (óÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ, ËÎÉÇÕ äÖ. íÁÓÓÉ, äÖ. óÔÏÌÌÉÎÇÓ €áÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÁÑ ÔÏÏÌÏÇÉс [17℄.) ïÄÎÏÍÅÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑ (Ô. Å. ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ, ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ É ÉÈ ÄÉÚßÀÎËÔÎÙÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ) ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÀÔÓÑ ÔÁËÖÅ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÎÑÔÉÑ €ÒÁÚÂÉ×ÁÔ؁. îÁÒÉÍÅÒ, ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÅÔÓÑ ËÁË ÌÏËÁÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÊ ËÏÎÔÉÎÕÕÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÎÅ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏÊ, ÎÏ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔÓÑ Ä×ÕÍÑ Ó×ÏÉÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ. 4. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÔÅÅÒØ ËÒÁÔËÉÊ ÏÂÚÏÒ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ÔÅÏÒÅÍÙ öÏÒÄÁÎÁ É ÓÏÕÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ ÚÁ ÅÅ ÓÔÏÌÅÔÎÀÀ ÉÓÔÏÒÉÀ. ðÅÒ×ÏÅ ÕÏÍÉÎÁÎÉÅ Ï Ó×ÏÊÓÔ×Å ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ÂÅÚ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÏÔÍÅÔÉÔØ × ÒÁÂÏÔÅ îÅÊÍÁÎÁ 1865 ÇÏÄÁ. ðÅÒ×ÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÂÙÌÏ ÄÁÎÏ öÏÒÄÁÎÏÍ × 1887 ÇÏÄÕ. ïÎÏ ÏÓÎÏ×Ù×ÁÌÏÓØ ÎÁ ÁÒÏËÓÉÍÁ ÉÉ ËÒÉ×ÏÊ Ó Ä×ÕÈ ÓÔÏÒÏÎ ÏÌÉÇÏÎÁÌØÎÙÍÉ ËÒÉ×ÙÍÉ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ öÏÒÄÁÎ ÓÞÉÔÁÌ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ É ÎÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÌ. ïÄÎÁËÏ, ÅÇÏ ÄÁÌØÎÅÊÛÉÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ ÔÁËÖÅ ÂÙÌÉ ÎÅ ÏÌÎÙ. æÁËÔÉÞÅÓËÉ ÏÎ ÏËÁÚÁÌ, ÞÔÏ ÏÌÉÇÏÎÙ ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÔÁË, ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÔÏÞËÁ ÄÁÎÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ÂÕÄÅÔ "-ÂÌÉÚËÁ Ë ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ ÎÉÈ, Á ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÂÌÉÚÏÓÔØ ÂÕÄÅÔ Ë ÏÂÏÉÍ ÏÌÉÇÏÎÁÍ. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÅÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÄÏ×ÅÄÅÎÏ ÄÏ ËÏÎ Á. ðÏ ÓÕÝÅÓÔ×Õ ÜÔÏ ÂÙÌÏ ÓÄÅÌÁÎÏ ûÅÎÆÌÉÓÏÍ × 1906 ÇÏÄÕ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÁÎÁÌÉÚÁ ÏÎÑÔÉÑ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÊ ÔÏÞËÉ (Ô. Å. ÔÏÞËÉ ËÒÉ×ÏÊ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÉÍÅÅÔÓÑ ÏÌÉÇÏÎÁÌØÎÁÑ ËÒÉ×ÁÑ, ÅÒÅÓÅËÁÀÝÁÑÓÑ Ó ÄÁÎÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ÔÏÌØËÏ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ). ðÒÉ ÜÔÏÍ ûÅÎÆÌÉÓ ÄÁÌ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÕÓÉÌÅÎÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ öÏÒÄÁÎÁ, Ï ËÏÔÏÒÏÍ ÓËÁÚÁÎÏ ×ÙÛÅ. ðÅÒ×ÏÅ ÓÔÒÏÇÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÂÙÌÏ ÄÁÎÏ ÇÏÄÏÍ ÒÁÎØÛÅ ÷ÅÂÌÅÎÏÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÔÁËÖÅ ÁÎÁÌÉÚÉÒÏ×ÁÌ ÏÎÑÔÉÅ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï, ÄÁÎÎÏÅ âÒÁÕÜÒÏÍ × 1910 ÇÏÄÕ, ÒÉ×ÅÌÏ äÖ. áÌÅËÓÁÎÄÅÒÁ Ë ÉÄÅÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÎÁ ÇÏÍÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×. óÕÔØ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ Ä×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Ó×ÑÚÎÙ É ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ Ï Ä×ÕÍ Ó×ÑÚÎÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍ, ÔÏ ÉÈ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ ÌÏÓËÏÓÔØ ÎÁ Ä×Å ËÏÍÏÎÅÎÔÙ.

156

á. ÷. þÅÒÎÁ×ÓËÉÊ

÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÔÅÏÒÅÍÁ öÏÒÄÁÎÁ ÄÏËÁÚÙ×ÁÌÁÓØ ÍÎÏÇÏ ÒÁÚ. ïÂÚÏÒ ÉÍÅÅÔÓÑ × ÓÔÁÔØÅ äÏÓÔÁÌÁ É ÉÎÄÅÌÁ [7℄. íÙ ÄÁÅÍ ÎÅÏÌÎÙÊ ÓÉÓÏË, ÓÔÁÒÁÑÓØ ÒÉ×ÅÓÔÉ ÂÏÌÅÅ ÉÌÉ ÍÅÎÅÅ ÏÒÉÇÉÎÁÌØÎÙÅ ÒÁÂÏÔÙ. ÷ ÏÓÎÏ×ÎÏÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÓÌÅÄÏ×ÁÌÉ ÌÉÂÏ ÕÔÉ öÏÒÄÁÎÁ { ûÅÎÆÌÉÓÁ, Ô. Å. ÁÒÏËÓÉÍÁ ÉÉ ÏÌÉÇÏÎÁÍÉ, ÌÉÂÏ ÕÔÉ áÌÅËÓÁÎÄÅÒÁ, Ô. Å. ÇÏÍÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÍÕ. á×ÔÏÒÕ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï, ÄÁÎÎÏÅ ÚÄÅÓØ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÏ×ÙÍ. ïÒÉÇÉÎÁÌØÎÙÊ ÍÅÔÏÄ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ öÏÒÄÁÎÁ ÂÙÌ ÎÁÊÄÅÎ ü. íÏÊÓÏÍ [15℄. ÷ [16℄ ÏÎ ÂÙÌ ÕÓÏ×ÅÒÛÅÎÓÔ×Ï×ÁÎ ÑÏÎÓËÉÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÍ ò. íÁÅÈÁÒÁ. íÅÔÏÄ ÏÉÒÁÅÔÓÑ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÌÅÍÍÕ, ËÏÔÏÒÕÀ íÁÅÈÁÒÁ Ó×ÏÄÉÔ Ë ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ÎÅÏÄ×ÉÖÎÏÊ ÔÏÞËÅ, ÎÏ ËÏÔÏÒÕÀ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ: ÅÓÌÉ × ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÅ Ä×Å ÄÕÇÉ ÓÏÅÄÉÎÑÀÔ ÁÒÙ ÔÏÞÅË ÎÁ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÓÔÏÒÏÎÁÈ, ÔÏ ÏÎÉ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ. ðÒÏÓÔÏÊ ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ËÏÎÔÕÒ C ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ Ä×ÕÈ ÄÕÇ u É d (×ÅÒÈÎÑÑ É ÎÉÖÎÑÑ), ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ Ä×Å ÔÏÞËÉ × ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÅ ÎÁ ÁÒÅ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÓÔÏÒÏÎ. îÁ ÏÔÒÅÚËÅ I , ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÍ ÄÒÕÇÕÀ ÁÒÕ ÓÔÏÒÏÎ, ×ÏÚØÍÅÍ ÏÔÒÅÚÏË Ó ÏÄÎÉÍ ËÏÎ ÏÍ ÎÁ u ÔÁË, ÞÔÏ ÎÉÖÅ ÜÔÏÇÏ ËÏÎ Á ÔÏÞÅË u ÎÅÔ. ÏÇÄÁ ÔÏÞËÉ ÜÔÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ ÌÅÖÁÔ × ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÅ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ Ë C , ÔÁË ËÁË ÉÎÁÞÅ ÌÅÇËÏ ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÄÕÇÁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÁÑ ËÏÎ Ù I É ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÝÁÑ ÏÄÎÕ ÉÚ ÄÕÇ u ÉÌÉ d × ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ Ó ÌÅÍÍÏÊ. üÔÏ ÉÚÑÝÎÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ, ÏÄÎÁËÏ, ÎÅ ÅÒÅÎÏÓÉÔÓÑ ÎÁ ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ. ðÏ-×ÉÄÉÍÏÍÕ, ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï, ÄÁÎÎÏÅ áÌÅËÓÁÎÄÅÒÏÍ, ÒÉ×ÅÌÏ ÅÇÏ Ë ÉÄÅÅ ÏÂÏÂÝÅÎÉÑ ÔÅÏÒÅÍÙ öÏÒÄÁÎÁ { âÒÁÕÜÒÁ ÎÁ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÓÆÅÒÙ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ | Ë ÔÅÏÒÅÍÅ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ áÌÅËÓÁÎÄÅÒÁ. ÅÅÒØ ÜÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅÍ ÔÏÞÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÁÒÙ É Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ðÕÁÎËÁÒÅ. ÷ 1927 ÇÏÄÕ ðÏÎÔÒÑÇÉÎ ÓÄÅÌÁÌ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅ Ë ÜÔÏÍÕ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÕ, ÏËÁÚÁ×, ÞÔÏ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ áÌÅËÓÁÎÄÅÒÁ ÒÅÁÌÉÚÕÅÔÓÑ ËÁË Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ. çÒÕÂÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ËÁÖÄÏÍÕ k-ÍÅÒÎÏÍÕ ÉËÌÕ × ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÓÆÅÒÙ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ × ÄÏÏÌÎÅÎÉÉ Ë ÜÔÏÍÕ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Õ (ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÇÏÍÏÌÏÇÉÉ) ÉËÌ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ n − k − 1, ÚÁ ÅÌÅÎÎÙÊ Ó ÄÁÎÎÙÍ. ÷ ÓÌÕÞÁÅ ÔÅÏÒÅÍÙ öÏÒÄÁÎÁ - âÒÁÕÜÒÁ ÏÓÎÏ×ÎÏÍÕ ÉËÌÕ (n − 1)-ÍÅÒÎÏÊ ÓÆÅÒÙ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ × ÄÏÏÌÎÅÎÉÉ ÉËÌ ÉÚ Ä×ÕÈ ÔÏÞÅË (Ï ÏÄÎÏÊ × ËÁÖÄÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÅ). óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

[1℄ Camille Jordan. Cours d'Analyse, 1887, 1893. [2℄ S hoen ies A. Beitrage zur Theorie der Punktenmenge // Math. Ann. Bd. 62, 1906. P. 86-328. [3℄ Veblen O. Theory of plane urves in nonlinear analysis situs // Trans. Amer. Math. So . Vol. 6, 1905. P. 83-98. [4℄ Alexander J. W. A proof and extension of the Jordan{Brouwer separation theorem // Trans. Amer. Math. So . Vol. 23, 1922. P. 333-349. [5℄ Brouwer L. E. J. Beweis des Jordans hen Kurvensatzes // Pro . d. Akad. Wet. Amsterdam. Bd. 12, 1910.  [6℄ Brouwer L. E. J. Uber den naturli hen Dimensionsbegri // Journ. f. Math. Bd. 142, 1913, 146-152.

ÅÏÒÅÍÁ öÏÒÄÁÎÁ

157

[7℄ Dostal M., Tindell R. The Jordan Curve Theorem Revisited // Jahresber. Deuts he Math. Ver. Bd. 80, 1978, 111-128. [8℄ ðÁÒÈÏÍÅÎËÏ A. ó. þÔÏ ÔÁËÏÅ ÌÉÎÉÑ? í., 1954. C. 140. [9℄ áÌÅËÓÁÎÄÒÏ× ð. ó. ÷×ÅÄÅÎÉÅ × ÔÅÏÒÉÀ ÍÎÏÖÅÓÔ× É ÏÂÝÕÀ ÔÏÏÌÏÇÉÀ. í., 1977. C. 127. [10℄ ëÅÌÄÙÛ ì. ÷. ÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ×ÌÏÖÅÎÉÑ × Å×ËÌÉÄÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï // ÒÕÄÙ íéáî, ‚81, 1966. [11℄ Wilder R. L. Topology of manifolds. 1949. [12℄ ÷ÏÌØÅÒÔ á. é. üÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ öÏÒÄÁÎÁ // õíî. . 5, ×Ù. 5, 1950. ó. 168{172. [13℄ æÉÌÉÏ× á. æ. üÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ öÏÒÄÁÎÁ // õíî. . 5, ×Ù. 5, 1950. ó. 173-176. [14℄ van Kampen E. R. On some hara terizations of 2-manifolds // Duke Math. J. Vol 1, 1935. P. 74-93. [15℄ E. Moise. Geometri Topology in Dimensions 2 and 3. 1977. [16℄ R. Maehara. The Jordan urve theorem via the Brouwer xed point theorem // Amer. Monthly. Vol 91, 1984. P. 641{643. [17℄ íÁÓÓÉ õ., óÔÏÌÌÉÎÇÓ äÖ. áÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÁÑ ÔÏÏÌÏÇÉÑ. ÷×ÅÄÅÎÉÅ. í.: íÉÒ, 1977.

158

ò. ò. ðÉÍÅÎÏ×

ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÓÆÅÒÙ É ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×Ù ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ

ò. ò. ðÉÍÅÎÏ× èÏÔÅÌÏÓØ ÂÙ ÎÁÄÅÑÔØÓÑ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÓÔÁÔØÑ ÂÕÄÅÔ ÉÎÔÅÒÅÓÎÁ ÌÀÂÉÔÅÌÑÍ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, × ÎÅÊ ÅÄÉÎÏÏÂÒÁÚÎÏ ÓÔÒÏÑÔÓÑ ÍÏÄÅÌÉ ×ÓÅÈ ÔÒÅÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÊ | å×ËÌÉÄÁ, òÉÍÁÎÁ É ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ. óÁÍÁ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÑ ÍÏÄÅÌÉ, ËÏÎÅÞÎÏ, Ó×ÑÚÁÎÁ Ó ÉÄÅÑÍÉ ëÌÅÊÎÁ É ðÕÁÎËÁÒÅ, ÎÏ, × ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÎÉÈ, ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÓÔÒÏÑÔÓÑ ÅÄÉÎÏÏÂÒÁÚÎÏ É ÎÅÓËÏÌØËÏ ÎÁÇÌÑÄÎÅÊ. ðÒÉÞÅÍ ×ÓÅ ÒÉÅÍÙ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÂÙÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ðÁÓËÁÌÀ, ÎÏ, ×ÅÒÏÑÔÎÏ, É áÏÌÌÏÎÉÀ ðÅÒÇÓËÏÍÕ. ÷Ï-×ÔÏÒÙÈ, ÏÓÎÏ×ÎÕÀ ÒÏÌØ × ÜÔÉÈ ÍÏÄÅÌÑÈ ÉÇÒÁÀÔ ÏÓÅ×ÙÅ É ÔÏÞÅÞÎÙÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ, ÞÔÏ ÒÏÄÏÌÖÁÅÔ ÌÉÎÉÀ âÁÈÍÁÎÁ × ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÑ ÍÁÔÅÒÉÁÌ ÅÇÏ ËÎÉÇÉ €ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÎÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÏÎÑÔÉÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉɁ. ÷-ÔÒÅÔØÉÈ, Ï ÈÏÄÕ ÄÅÌÁ ÎÁÍ ÕÄÁÅÔÓÑ ÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÏ×ÁÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ×ÁÖÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÕ É ÓÔÒÏÅÎÉÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÙÈ ÔÏÞÅË. íÏÄÅÌÉ ÔÒÅÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÊ ÂÁÚÉÒÕÀÔÓÑ ÎÁ ÏÄÎÏÍ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ ÓÆÅÒÙ × ÓÅÂÑ. åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÁÞÁÔØ Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. ðÕÓÔØ S 1 | ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ É A | ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÔÏÞËÁ. ðÒÑÍÁÑ, ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ A É ÔÏÞËÕ x ∈ S 1 É ÎÅ Ñ×ÌÑÀÝÁÑÓÑ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ, ÅÒÅÓÅËÁÅÔ S 1 × ÄÒÕÇÏÊ ÔÏÞËÅ, ËÏÔÏÒÕÀ ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ A(x). åÓÌÉ A ÌÅÖÉÔ ÎÁ S 1, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÏÌÏÖÉÔØ A(x) ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÏÊ A ÄÌÑ ×ÓÅÈ x. åÓÌÉ ÖÅ ÒÑÍÁÑ | ËÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ É x | ÔÏÞËÁ ËÁÓÁÎÉÑ, ÔÏ ÏÌÏÖÉÍ A(x) = x. íÙ ÏÓÔÒÏÉÌÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ A : S 1 → S 1 , ËÏÔÏÒÏÅ ÎÁÚÏ×ÅÍ A-ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ.

A(x ) y A(y )

x

A(z ) = z

x A y z

A

A(z ) x A(y ) y A(x ) z

A = A(x ) = A(y ) = A(z )

ÅÅÒØ ÍÙ ÕÖÅ ÇÏÔÏ×Ù Ë ÏÓÔÒÏÅÎÉÀ ÍÏÄÅÌÅÊ ÒÁÚÎÙÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÊ. üÔÏ ÚÎÁÞÉÔ, ÞÔÏ ÍÙ ÄÏÌÖÎÙ ÏÂßÑÓÎÉÔØ, ÞÔÏ ÏÎÉÍÁÅÔÓÑ ÏÄ ÓÌÏ×ÁÍÉ €ÔÏÞËÁ, €ÒÑÍÁс, €ÕÇḮ, €ÒÁÓÓÔÏÑÎÉŁ É Ô. . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÆÅÒÕ S 2 × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å É ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ A. ÏÞËÁ A ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÌÏÓËÏÍÕ ÓÌÕÞÁÀ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ A-ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÓÆÅÒÙ × ÓÅÂÑ. îÁÚÏ×ÅÍ €ÔÏÞËÁÍɁ ÍÏÄÅÌÉÒÕÅÍÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÁÒÙ (x; A(x)) ÇÄÅ x 6= A(x), Ô. Å. ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÓÆÅÒÙ S 2 ÒÑÍÙÍÉ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÍÉ ÞÅÒÅÚ A, Á €ÒÑÍÙÍɁ ÍÏÄÅÌÉÒÕÅÍÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ | ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÓÆÅÒÙ, ÌÅÖÁÝÉÅ × ÏÄÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ Ó A, Ô. Å. ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÓÆÅÒÙ S 2 ÌÏÓËÏÓÔÑÍÉ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÍÉ ÞÅÒÅÚ A. åÓÌÉ ÔÏÞËÁ A ÌÅÖÉÔ ÎÁ S 2, ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÍÏÄÅÌØ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÌÅÖÉÔ ×ÎÕÔÒÉ S 2, ÔÏ | ÒÉÍÁÎÏ×ÏÊ, Á ÅÓÌÉ ×ÎÅ | ÔÏ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ.

159

ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÓÆÅÒÙ É ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×Ù ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ

Ï, ÞÔÏ Ó ÁËÓÉÏÍÏÊ Ï ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÓÔÉ × ÎÁÛÉÈ ÍÏÄÅÌÑÈ ×ÓÅ × ÏÒÑÄËÅ, ×ÉÄÎÏ ÓÒÁÚÕ: ÅÓÌÉ A ÌÅÖÉÔ ÎÁ S 2 , ÔÏ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ ×ÎÅ ÒÑÍÏÊ ÍÏÖÎÏ ÒÏ×ÅÓÔÉ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÕÀ (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÌÏÓËÏÓÔØ ÞÅÒÅÚ ÄÁÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ ÎÁÄÏ ÒÏ×ÅÓÔÉ ÞÅÒÅÚ ÒÑÍÕÀ, ËÁÓÁÔÅÌØÎÕÀ Ë ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, Ñ×ÌÑÀÝÕÀÓÑ €ÄÁÎÎÏÊ ÒÑÍÏʁ). ÁÒÁÌÌÅÌØÎÁÑ ÒÑÍÁÑ ÄÁÎÎÁÑ ÔÏÞËÁ

A ÄÁÎÎÁÑ ÒÑÍÁÑ

åÓÌÉ ÖÅ A ÌÅÖÉÔ ×ÎÕÔÒÉ ÓÆÅÒÙ, ÔÏ, ËÁË É ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ, ÎÅÔ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÒÑÍÙÈ, Á ÅÓÌÉ A | ×ÎÅ ÓÆÅÒÙ, ÔÏ ÉÈ ÍÎÏÇÏ. ÅÅÒØ ÏÓÔÁÌÏÓØ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÕÇÌÙ É ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ. íÙ ÓÄÅÌÁÅÍ ÜÔÏ, ËÁË É âÁÈÍÁÎ, ÏÒÅÄÅÌÑÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ ÎÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ. ïÉÓÁÎÎÙÅ ÒÁÎÅÅ A-ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÂÕÄÕÔ Ñ×ÌÑÔØÓÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÑÍÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÊ. ó×ÏÊÓÔ×Á ÖÅ A-ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÔÅÓÎÏ Ó×ÑÚÁÎÙ Ó ÏÌÑÒÎÙÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅÍ É ÄÒÕÇÉÍÉ ÉÄÅÑÍÉ, ×ÏÓÈÏÄÑÝÉÍÉ Ë ðÁÓËÁÌÀ, ÎÁÒÉÍÅÒ, Ó ÅÇÏ ÚÎÁÍÅÎÉÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÏÊ Ï ×ÉÓÁÎÎÏÍ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÉËÅ. äÌÑ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÅÎÉÑ ÜÔÏ ÒÏÇÒÁÍÍÙ ÎÁÍ ÓÎÏ×Á ÒÉÄÅÔÓÑ ×ÅÒÎÕÔØÓÑ Ë ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. 1.

ïÔÍÅÔÉÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÏÓÔÙÈ Ó×ÏÊÓÔ× A-ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ. éÚ ÓÁÍÏÇÏ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ A(A(x)) = x. ÁËÉÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ Ä×ÁÖÄÙ ÒÉÍÅÎÅÎÎÙÅ ÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÏÂßÅËÔÙ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÍÉ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÉÎ×ÏÌÀÔÉ×ÎÙÍÉ. üÔÏ ÏÞÅÎØ ÛÉÒÏËÉÊ ËÌÁÓÓ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ, ÎÁÒÉÍÅÒ, Ë ÎÉÍ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ ÔÏÞÅÞÎÙÅ É ÏÓÅ×ÙÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ. ïÎÉ ÕÄÏÂÎÙ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÔÅÍ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÔÎÏÅ Ë ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÉÎ×ÏÌÀÔÉ×ÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏÓÔÏ. îÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ P , F , R ÉÎ×ÏÌÀÔÉ×ÎÙ, ÔÏ ÏÂÒÁÔÎÏÅ Ë P P F P R ÚÁÉÛÅÔÓÑ ÒÏÓÔÏ ÓÒÁ×Á ÎÁÌÅ×Ï | RP F P P . éÚÕÞÉÍ ÔÅÅÒØ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á A-ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ. ðÕÓÔØ ÔÏÞËÁ A′ ÕÄÁÌÑÅÔÓÑ Ï ÌÕÞÕ [OA), A′ (x ) ÇÄÅ ï | ÅÎÔÒ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S 1 . A′ -ÏÔÏÂÒÁx ÖÅÎÉÑ (Ô. Å. ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÅ ÎÅ A′ (y ) y ÔÏÞËÉ A, Á ÉÚ ÔÏÞËÉ A′ ), ÂÕÄÕÔ ÔÏÇÄÁ ′ A ÉÚ O ×ÓÅ ÍÅÎØÛÅ ÏÔÌÉÞÁÔØÓÑ ÏÔ ÏÓÅ×ÏÊ ÓÉÍÍÅA ÔÒÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ l, ÇÄÅ l | ÄÉÁÍÅÔÒ S 1 , z ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÊ Ë (ïA), ÏÓËÏÌØËÕ ÕA′ (z ) ÞÏË ÒÑÍÙÈ ÉÚ A′ Ï ÍÅÒÅ ÕÄÁÌÅÎÉÑ A′ ×ÓÅ ÍÅÎØÛÅ ÂÕÄÅÔ ÏÔÌÉÞÁÔØÓÑ ÏÔ ÕÞËÁ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ, ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÁ l. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÔÏÞËÁ A′′ ÕÄÁÌÑÅÔÓÑ Ï ÌÕÞÕ [AO) (× ÄÒÕÇÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ), ÔÏ A′′ -ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÂÕÄÕÔ ×ÓÅ ÍÅÎØÛÅ ÏÔÌÉÞÁÔØÓÑ ÏÔ A′ -ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ É × ÒÅÄÅÌÅ ÔÏÖÅ ÓÏ×ÁÄÕÔ Ó ÓÉÍÍÅÔÒÉÅÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ l. íÙ ÍÏÖÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ

160

ò. ò. ðÉÍÅÎÏ×

× ÌÏÓËÏÓÔÉ ÅÓÔØ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÁÑ, ÎÅ×ÉÄÉÍÁÑ ÔÏÞËÁ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ ÒÑÍÙÅ, ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÅ l, ÏÎÁ-ÔÏ É ÚÁÄÁÅÔ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, ÓÏ×ÁÄÁÀÝÅÅ Ó ÓÉÍÍÅÔÒÉÅÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ l. ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ A′ ÕÄÁÌÑÅÔÓÑ ÎÅ Ï ÌÕÞÕ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÍÕ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, Á Ï ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÒÑÍÏÊ w. ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÔÏÇÄÁ w′ , ÁÒÁÌÌÅÌØÎÕÀ w É ÒÏÈÏÄÑÝÕÀ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒ S 1 , É ÄÉÁÍÅÔÒ l′, ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÊ w′ . ðÏ ÍÅÒÅ ÕÄÁÌÅÎÉÑ A′ ÏÔ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ (ÎÅ×ÁÖÎÏ × ËÁËÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ) A′ -ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ×ÓÅ ÍÅÎØÛÅ ÂÕÄÅÔ ÏÔÌÉÞÁÔØÓÑ ÏÔ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ l′ , Á × ÒÅÄÅÌÅ ÓÏ×ÁÄÅÔ Ó ÎÅÊ. ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÒÏÓÔÏÇÏ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÑ ÓÄÅÌÁÅÍ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÅ. ÷ÏÚØÍÅÍ Ä×Å ÔÏÞËÉ A É B É ÂÕÄÅÍ ÏÔÏÂÒÁÖÁÔØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÔÏÞËÕ x ÎÁ S ÓÎÁÞÁÌÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ A, ÚÁÔÅÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ B , ÚÁÔÅÍ ÓÎÏ×Á ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ A É Ô. Ä. îÁÒÁÛÉ×ÁÅÔÓÑ ×ÏÒÏÓ: ÒÉ ËÁËÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÜÔÁ ÌÏÍÁÎÁÑ ÚÁÍËÎÅÔÓÑ, Ô. Å. ËÏÇÄÁ A(÷ (: : : A(B (x)) : : : )) = x. îÁ ÜÔÏÔ ÓÌÏÖÎÙÊ ×ÏÒÏÓ Ñ ÏÔ×ÅÞÁÔØ ÎÅ ÂÕÄÕ, Ñ ×ÙÑÓÎÀ ÌÉÛØ, ËÁËÉÍÉ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ A É B , ÞÔÏÂÙ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï A(B (A(B (x))) = = x ×ÙÏÌÎÑÌÏÓØ ÄÌÑ ×ÓÅÈ x ÎÁ S . äÌÑ ÕÄÏÂÓÔ×Á ÅÒÅÉÛÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï × ×ÉÄÅ A(B (x)) = ÷ (A(x)). íÏÖÎÏ ÏÑÓÎÉÔØ: ÓÎÁÞÁÌÁ ÎÁ ÔÏÞËÕ x ÏÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÌÉ ÉÚ ÔÏÞ-

A(B (A(x)))

B

B (A(x))

x

A A(x )

B (A(B (A(x)))) A(B (A(B (A(x))))) ËÉ A, ÚÁÔÅÍ ÉÚ ÔÏÞËÉ B . ëÏÇÄÁ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÂÕÄÅÔ ÔÁËÏÊ ÖÅ, ËÁË ÅÓÌÉ ÂÙ ÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÌÉ × ÄÒÕÇÏÍ ÏÒÑÄËÅ | ÓÎÁÞÁÌÁ ÉÚ ÷ , ÏÔÏÍ ÉÚ A? ÁËÉÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ A É B , ËÏÔÏÒÙÅ ÄÅÊÓÔ×ÕÀÔ ÎÁ ÏÂßÅËÔ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÔ ÏÒÑÄËÁ ÉÈ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÍÉ É ÉÚÕÞÁÀÔÓÑ × ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÕ.

B A(x ) A(B (x)) = B (A(x))

z = A(z ) x B (x ) y = A(y )

A

ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÓÆÅÒÙ É ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×Ù ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ

161

ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÏÔ×ÅÔÉÔØ, ËÏÇÄÁ A(÷ (x)) = ÷ (A(x)); A |ÏÌÀÓ ÒÑÍÏÊ l ÄÁÄÉÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. åÓÌÉ ÔÏÞËÁ A ÌÅÖÉÔ ×ÎÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÔÏ ÏÌÑÒÎÏÊ Ë A ÒÑÍÏÊ (ÉÌÉ ÏÌÑÒÏÊ Ë A) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÑÍÁÑ l, ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ Ä×Å ÔÏÞËÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÌÅÖÁÝÉÅ ÎÁ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ, ÒÏ×ÅÄÅÎÎÙÈ ÉÚ A Ë ÜÔÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÔÏÞËÕ A ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÏÌÀÓÏÍ ÒÑÍÏÊ l. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÏÔÍÅÔÉÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÏÓÔÙÈ Ó×ÏÊÓÔ× ÏÌÑÒÎÙÈ ÒÑÍÙÈ: ÅÓÌÉ A ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏÌÑÒÅ Ë ÷ , ÔÏ ÷ ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏÌÑÒÅ Ë A; ÅÓÌÉ ÏÌÑÒÎÙÅ ÔÒÅÍ ÔÏÞËÁÍ ÒÑÍÙÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ, ÔÏ ÜÔÉ ÔÒÉ ÔÏÞËÉ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ. èÏÔÑ ÜÔÉ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ, ÍÙ ÒÉ×ÏÄÉÍ × ÒÉÌÏÖÅÎÉÉ ÉÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, ÏÓËÏÌØËÕ ÎÁ ÉÈ ÒÉÍÅÒÅ ÍÏÖÎÏ ÅÝÅ ÒÁÚ Õ×ÉÄÅÔØ ÒÏÌØ ÉÎ×ÏÌÀÔÉ×ÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ. ä×Å ÔÏÞËÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÌÑÒÎÙÍÉ, ÅÓÌÉ ÏÄÎÁ ÉÚ ÎÉÈ ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏÌÑÒÅ Ë ÄÒÕÇÏÊ. ÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÎÁÍ ÏÎÁÄÏÂÉÔÓÑ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÏÌÑÒÎÕÀ Ë ÔÏÞËÅ ÌÏÓËÏÓÔØ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÆÅÒÙ S 2 . üÔÏ ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÌÏÓËÏÍÕ ÓÌÕÞÁÀ: ÏÌÑÒÎÏÊ Ë ÔÏÞËÅ A ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÌÏÓËÏÓÔØ, ÒÏÈÏÄÑÝÕÀ ÞÅÒÅÚ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÅ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÇÏ Ë S 2 ËÏÎÕÓÁ Ó ×ÅÒÛÉÎÏÊ × A. ðÏÌÑÒÎÙÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÔÁËÉÍÉ ÖÅ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ, ÞÔÏ É ÏÌÑÒÎÙÅ ÒÑÍÙÅ. óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÔÅÅÒØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á A(÷ (x)) = ÷ (A(x)): ïÎÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÔÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ x ÎÁ S ÔÏÞËÉ A(x) É A(÷ (x)) ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ Ó ÷ . ÷ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ (ÍÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÜÔÏ É ÉÓÏÌØÚÕÑ ÄÅËÁÒÔÏ×Ù ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ, Á ×ÏÔ ÎÁÊÔÉ ËÒÁÓÉ×ÏÅ ÎÁÇÌÑÄÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÍÎÅ ÎÅ ÕÄÁÌÏÓØ), ÞÔÏ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÑ ÓÔÏÒÏÎ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ, ×ÉÓÁÎÎÏÇÏ × ËÒÕÇ, ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÌÑÒÎÙ. ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÷ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏÌÑÒÅ Ë A. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÒÁÚ ÒÑÍÁÑ (x; ÷ (x)) ÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ Ó ÏÌÑÒÏÊ Ë A × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ, ÔÏ ÏÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ × ÜÔÏÊ ÖÅ ÔÏÞËÅ ÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ Ó ÏÌÑÒÏÊ Ë A É ÒÑÍÁÑ (A(x); ÷ (x)). ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÓÔØ ÒÉÎÁÄÌÅÖÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ B ÏÌÑÒÅ Ë A ÄÌÑ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÉÚÕÞÁÅÍÏÇÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á. éÔÁË, A-ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÅÔ Ó B -ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ B ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏÌÑÒÅ Ë A. éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ËÏÇÄÁ A É B ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÌÑÒÎÙ. ÷ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÎÁÛÉÈ ÌÁÎÉÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÊ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ A-ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ Ó×ÅÓÔÉ Ë ÉÎ×ÅÒÓÉÉ. éÍÅÎÎÏ, ÉÎ×ÅÒÓÉÅÊ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ï ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ F , ËÏÔÏÒÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÔÏÞËÕ ÌÏÓËÏÓÔÉ x × ÔÏÞËÕ F (x) ÔÁË, ÞÔÏ: . ãÅÎÔÒ ÉÎ×ÅÒÓÉÉ, ÔÏÞËÁ É ÅÅ ÏÂÒÁÚ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ.

l |ÏÌÑÒÎÁÑ Ë A ÒÑÍÁÑ

. ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ÏÔ ÅÎÔÒÁ ÉÎ×ÅÒÓÉÉ ÄÏ ÔÏÞËÉ x É ÄÏ ÅÅ ÏÂÒÁÚÁ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ x. ëÏÒÅÎØ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÊ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÒÁÄÉÕÓÏÍ ÉÎ×ÅÒÓÉÉ. . ãÅÎÔÒ ÉÎ×ÅÒÓÉÉ ÎÅ ÌÅÖÉÔ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÏÊ É ÅÅ ÏÂÒÁÚÏÍ. éÎ×ÅÒÓÉÉ ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÒÑÄÏÍ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÈ Ó×ÏÊÓÔ×. ïÎÉ ÏÔÏÂÒÁÖÁÀÔ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ × ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ (ÉÌÉ ÒÑÍÙÅ). ëÁÖÄÁÑ ÉÎ×ÅÒÓÉÑ ÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÏÊ ×ÓÅ

162

ò. ò. ðÉÍÅÎÏ×

ÔÏÞËÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S . åÓÌÉ ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÓÅ ÉÎ×ÅÒÓÉÉ, ÏÔÏÂÒÁÖÁÀÝÉÅ ÄÁÎÎÕÀ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ S × ÓÅÂÑ, ÔÏ ÏÎÉ ËÁË ÒÁÚ ÓÏ×ÁÄÕÔ Ó A-ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍÉ (ÅÓÌÉ A ×ÎÅ S , ÔÏ ÅÎÔÒ ÉÎ×ÅÒÓÉÉ ÓÏ×ÁÄÅÔ Ó A, ÏÓËÏÌØËÕ |A(x); A| · |x; A| ÏÓÔÏÑÎÎÏ; ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ A ×ÎÕÔÒÉ S ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÉÎ×ÅÒÓÉÅÊ, ÓÏÒÑÖÅÎÎÏÊ Ó ÔÏÞÅÞÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÅÊ). îÁËÏÎÅ , ÉÎ×ÅÒÓÉÉ ÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÎÅÉÚÍÅÎÎÙÍÉ ÕÇÌÙ ÍÅÖÄÕ ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÍÉÓÑ ËÒÉ×ÙÍÉ (ÅÓÌÉ ÕÇÌÏÍ ÍÅÖÄÕ ËÒÉ×ÙÍÉ ÓÞÉÔÁÔØ ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ÉÈ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÍÉ × ÔÏÞËÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ). 2.

ÅÅÒØ ÍÙ ÇÏÔÏ×Ù Ë ÏÓÔÒÏÅÎÉÀ ÔÒÅÈÍÅÒÎÙÈ ÍÏÄÅÌÅÊ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÊ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ, ËÁË ÂÙÌÏ ÓËÁÚÁÎÏ ×ÎÁÞÁÌÅ, A-ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÓÆÅÒÙ S 2 × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å × ÓÅÂÑ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÚ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÒÉ A-ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ ÅÓÔØ ÓÎÏ×Á ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ. þÔÏÂÙ ÎÅ ÚÁÂÌÕÄÉÔØÓÑ × ÓÔÅÒÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÓÏÛÌÅÍÓÑ ÎÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÆÁËÔÙ. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÈÏÒÄÙ (ÉÌÉ ÓÅËÕÝÉÅ) ÄÅÌÑÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÉ (ÄÒÕÇÉÅ ËÏÎ Ù ËÏÔÏÒÙÈ | ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Ó ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ), ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÄÌÉÎ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÓÔÏÑÎÎÏ É ÒÁ×ÎÏ Ë×ÁÄÒÁÔÕ ÄÌÉÎÙ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÉÚ A Ë S 2 . ÷Ï×ÔÏÒÙÈ, ÜÔÏ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÎÁÍ ÒÏÄÏÌÖÉÔØ ÄÁÎÎÏÅ A-ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÓÆÅÒÙ ÄÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ × ÓÅÂÑ ×ÓÅÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÓÆÅÒÁ S 2 , ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÅÒÅÈÏÄÉÔ ÓÁÍÁ × ÓÅÂÑ. üÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, ËÁË É × ÌÏÓËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎ×ÅÒÓÉÅÊ, ÅÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÉÚ×ÅÓÔÎÙ É ÓÒÅÄÉ ÎÉÈ ÔÏ, ÞÔÏ ÉÎ×ÅÒÓÉÑ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ × ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ËÁË É × ÌÏÓËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÒÉ ÕÄÁÌÅÎÉÉ ÔÏÞËÉ Q, ×ÄÏÌØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÒÑÍÏÊ l ÕÞÏË ÒÑÍÙÈ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ Q, ×ÓÅ ÍÅÎØÛÅ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ×ÂÌÉÚÉ ÓÆÅÒÙ S 2 ÏÔ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ Ë ÒÑÍÏÊ l É Q-ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ×ÓÅ ÍÅÎØÛÅ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒ S 2 É ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÏÊ l. ÷ ÒÅÄÅÌÅ ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÓÏ×ÁÄÁÀÝÉÍ Ó ÜÔÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÅÊ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË P , ÔÁËÉÈ ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ x ÎÁ ÓÆÅÒÅ A(P (x)) = P (A(x)) (Ô. Å. A É P ÏÒÅÄÅÌÑÀÔ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ), ÅÓÔØ ÏÌÑÒÎÁÑ Ë A ÌÏÓËÏÓÔØ. üÔÏ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÌÏÓËÏÇÏ ÓÌÕÞÁÑ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÒÏ×ÅÄÅÍ ÞÅÒÅÚ P , A É B ÌÏÓËÏÓÔØ . ÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ Ó S 2 Ï ÎÅËÏÅÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ T , Á Ó ÏÌÑÒÎÏÊ Ë A ÌÏÓËÏÓÔØÀ (ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÅÅ ) Ï ÎÅËÏÅÊ ÒÑÍÏÊ l. ðÏÓËÏÌØËÕ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÅ × ÌÏÓËÏÓÔÉ ÉÚ A Ë T ÅÓÔØ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ É ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÅ Ë ÓÆÅÒÅ S 2 , ÔÏ ÔÏÞËÉ ËÁÓÁÎÉÑ ÌÅÖÁÔ ×  É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÌÑÒÎÁÑ ÒÑÍÁÑ Ë A × ÌÏÓËÏÓÔÉ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó l. ðÏÓËÏÌØËÕ × ÌÏÓËÏÓÔÉ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÙÈ A É P , ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ (P ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏÌÑÒÅ Ë A), É ×ÓÅ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ Ó ÔÏÞËÏÊ x ÎÅ ×ÙÈÏÄÑÔ ÚÁ ÒÅÄÅÌÙ ÌÏÓËÏÓÔÉ , ÔÏ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÏ. ëÁË ÕÖÅ ÂÙÌÏ ÓËÁÚÁÎÏ, €ÔÏÞËɁ ÍÏÄÅÌÉÒÕÅÍÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÜÔÏ ÁÒÙ (x; A(x)) ÇÄÅ x 6= A(x), Ô. Å. ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÓÆÅÒÙ S 2 ÒÑÍÙÍÉ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÍÉ ÞÅÒÅÚ A, Á €ÒÑÍÙŁ ÍÏÄÅÌÉÒÕÅÍÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ | ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÓÆÅÒÙ, ÌÅÖÁÝÉÅ × ÏÄÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ Ó A, Ô. Å. ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÓÆÅÒÙ S 2 ÌÏÓËÏÓÔÑÍÉ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÍÉ ÞÅÒÅÚ A. ÷ÙÑÓÎÉÍ, ËÁËÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ €ÔÏÞÅˁ É €ÒÑÍÙȁ ÍÏÄÅÌÉÒÕÅÍÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÚÁÄÁÅÔ ÔÏÞËÁ P , ÌÅÖÁÝÁÑ ÎÁ ÏÌÑÒÎÏÊ Ë A ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÎÏ ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÁÑ S 2 . P -ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÁÒÕ (x; A(x)) × ÁÒÕ (P (x); P (A(x))) = = (P (x); A(P (x))), Ô. Å. €ÔÏÞËՁ ÍÏÄÅÌÉ × €ÔÏÞËՁ. ðÏÓËÏÌØËÕ P -ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÎÁ ÓÆÅÒÅ S 2 × ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, Á ÁÒÕ ÔÏÞÅË, ÌÅÖÁÝÉÈ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ Ó A, × ÁÒÕ ÔÏÞÅË, ÓÎÏ×Á ÌÅÖÁÝÕÀ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ Ó A, ÔÏ €ÒÑÍÙŁ

ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÓÆÅÒÙ É ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×Ù ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ

163

ÍÏÄÅÌÉ ÅÒÅÊÄÕÔ × €ÒÑÍÙŁ. åÓÌÉ P ÌÅÖÉÔ ×ÎÅ ÓÆÅÒÙ S 2 , ÔÏ P -ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÍ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÅ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÇÏ ËÏÎÕÓÁ Ë S 2 . üÔÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏÌÑÒÎÏÊ Ë P ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ A, É ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ €ÒÑÍÏʁ ÍÏÄÅÌÉ. ïÂÒÁÔÎÏ, ×ÓÑËÁÑ €ÒÑÍÁс l ÍÏÄÅÌÉ ÚÁÄÁÅÔ ÎÅËÕÀ ÏÌÑÒÎÕÀ Ë ÎÅÊ ÔÏÞËÕ P , ÌÅÖÁÝÕÀ ×ÎÅ S 2 ÎÁ ÏÌÑÒÎÏÊ Ë A ÌÏÓËÏÓÔÉ É ÔÁËÕÀ, ÞÔÏ P ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÏÊ l. ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ P ÌÅÖÉÔ ×ÎÕÔÒÉ S 2 . ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÞÅÒÅÚ P É A ÒÑÍÕÀ. üÔÁ ÒÑÍÁÑ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÓÆÅÒÕ S 2 × Ä×ÕÈ ÔÏÞËÁÈ x É A(x), ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÉÈ €ÔÏÞËՁ ÍÏÄÅÌÉ. ïÞÅ×ÉÄÎÁ, ÜÔÁ €ÔÏÞËÁ ÅÒÅÊÄÅÔ × ÓÅÂÑ ÒÉ P -ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ, ÔÁË ËÁË P , x, A(x) ÌÅÖÁÔ × ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ. éÔÁË, ËÁÖÄÁÑ ÔÏÞËÁ P ÎÁ ÏÌÑÒÎÏÊ Ë A ÌÏÓËÏÓÔÉ  ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÉÎ×ÏÌÀÔÉ×ÎÏÅ P -ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÍÏÄÅÌÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ × ÓÅÂÑ, ÒÉÞÅÍ, ÅÓÌÉ P ÌÅÖÉÔ ×ÎÅ ÆÅÒÙ S 2, ÔÏ ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÁÑ €ÒÑÍÁс, Á ÅÓÌÉ ×ÎÕÔÒÉ S 2 , ÔÏ ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÁÑ €ÔÏÞËÁ. îÁÒÁÛÉ×ÁÅÔÓÑ ÍÙÓÌØ, ÞÔÏ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÄÅÌÏ Ó ÏÓÅ×ÙÍÉ É ÔÏÞÅÞÎÙÍÉ ÓÉÍÍÅÔÒÉÑÍÉ ÍÏÄÅÌÉ. ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ×ÙÑÓÎÉÔØ, ÔÁË ÌÉ ÜÔÏ, ÎÁÄÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ËÁË ÏÂÓÔÏÉÔ ÄÅÌÏ × ÜÔÉÈ ÍÏÄÅÌÑÈ ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ×ÚÁÉÍÎÏÇÏ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÔÏÞÅË É ÒÑÍÙÈ (ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ É ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÓÔØ ÒÑÍÙÈ). äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÕÄÏÂÎÅÊ ÍÙÓÌÉÔØ €ÔÏÞËɁ É €ÒÑÍÙŁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÎÅ ËÁË ÁÒÙ ÔÏÞÅË É ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÎÁ ÓÆÅÒÅ, Á ËÁË ÒÑÍÙÅ É ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÅ ÞÅÒÅÚ ÜÔÉ ÔÏÞËÉ É ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ (É, ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÅ ÞÅÒÅÚ A). ðÒÏ ÔÏ, ÞÔÏ × ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÍÏÄÅÌÑÈ ×ÓÅ × ÏÒÑÄËÅ ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÓÔÉ, ÂÙÌÏ ÓËÁÚÁÎÏ × ÓÁÍÏÍ ÎÁÞÁÌÅ. ðÒÉÓÔÕÉÍ Ë ÉÚÕÞÅÎÉÀ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ Ó×ÏÊÓÔ× ÍÏÄÅÌÉ, Ô. Å. Ë ÔÏÍÕ, ËÁË ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ É ÕÇÌÙ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÖÅÌÁÔÅÌØÎÏ, ÞÔÏÂÙ P -ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÚÁÄÁ×ÁÌÉ ÏÓÅ×ÙÅ É ÔÏÞÅÞÎÙÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÔÏÑÝÁÑ ÅÒÅÄ ÎÁÍÉ ÚÁÄÁÞÁ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÁ ×ÏÚÎÉËÁÀÝÅÊ × ÛËÏÌØÎÏÍ ËÕÒÓÅ ÉÌÉ × ËÎÉÇÅ çÉÌØÂÅÒÔÁ €ïÓÎÏ×ÁÎÉÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉɁ. ïÂÙÞÎÏ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÍÙ ÕÍÅÅÍ ÉÚÍÅÒÑÔØ ÄÌÉÎÕ ÏÔÒÅÚËÏ× É ×ÅÌÉÞÉÎÕ ÕÇÌÏ×. éÓÈÏÄÑ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÍÙ ×ÙÑÓÎÑÅÍ, ËÁËÉÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÌÏÓËÏÓÔÉ × ÓÅÂÑ ÓÏÈÒÁÎÑÀÔ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ É ÕÇÌÙ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÕÂÅÖÄÁÅÍÓÑ, ÞÔÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÁÒÏÊ ÔÏÞÅË ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ ÒÉ ÏÓÅ×ÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ. óÅÊÞÁÓ ÖÅ ÍÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ €ÔÏÞÅˁ É €ÒÑÍÙȁ ÍÏÄÅÌÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÑÍÉ, É ÈÏÔÉÍ ÕÚÎÁÔØ, ËÁË ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÄÌÉÎÙ É ÕÇÌÙ. ðÏÎÑÔÎÏ, ÞÔÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ €ÔÏÞËÁÍɁ É ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÕÇÌÁ ÍÅÖÄÕ €ÒÑÍÙÍɁ ÎÅ ÄÏÌÖÎÙ ÍÅÎÑÔØÓÑ ÒÉ P -ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ. íÏÖÎÏ ÏÓÔÕÁÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ. íÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ, ÞÔÏ ÏÔÒÅÚÏË [AB ℄ ËÏÎÇÒÕÜÎÔÅÎ ÏÔÒÅÚËÕ [A′ B ′ ℄ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ P -ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÊ A ÅÒÅÊÄÅÔ × A′ É B × B ′ , É ÚÁÔÅÍ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÁËÓÉÏÍ ËÏÎÇÒÕÜÎÔÎÏÓÔÉ, ×ÙÄÅÌÅÎÎÙÈ çÉÌØÂÅÒÔÏÍ × ÏÓÏÂÕÀ ÇÒÕÕ. íÏÖÎÏ, É ÜÔÏ ÒÏÝÅ É ËÒÁÓÉ×ÅÊ, ÓÌÅÄÕÑ âÁÈÍÁÎÕ ÏÒÅÄÅÌÑÔØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ É ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á P -ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÁËÓÉÏÍÁÍ âÁÈÍÁÎÁ (ÒÉ ÜÔÏÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, Ó×ÏÊÓÔ×Á P ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÂÕÄÕÔ ËÒÁÓÉ×Ï ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÔØ ÔÅÏÒÅÍÁÍ Ï ×ÉÓÁÎÎÏÍ × ËÒÕÇ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÉËÅ). îÏ ÒÏÝÅ ×ÓÅÇÏ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ (É × ÜÔÏÍ ÅÓÔØ ÍÅÔÏÄÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÒÅÉÍÕÝÅÓÔ×Ï ÅÄÉÎÏÏÂÒÁÚÉÑ, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÍÙ ÎÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ ÏÔÄÅÌØÎÏ ËÁÖÄÕÀ ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ, Á Ï ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÏÅÒÉÒÕÅÍ ÏÂÝÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÓÅÞÅÎÉÊ ÓÆÅÒÙ) ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÉÎ×ÅÒÓÉÊ. éÍÅÎÎÏ, ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÒÏÝÅ, ÞÅÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ €ÔÏÞËÁÍɁ ÍÏÄÅÌÉ, ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ×ÅÌÉÞÉÎÕ ÕÇÌÁ ÍÅÖÄÕ €ÒÑÍÙÍɁ ÍÏÄÅÌÉ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÍÉÓÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÍÉ ÎÁ ÓÆÅÒÅ, ËÁË ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ

164

ò. ò. ðÉÍÅÎÏ×

ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÍÉ Ë ÎÉÍ × ÔÏÞËÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ (ÔÏÞÅË ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Ä×Å, ÎÏ ÕËÁÚÁÎÎÙÅ ÕÇÌÙ ÏÄÉÎÁËÏ×Ù, ÉÚ-ÚÁ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ). P -ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, ËÁË ÂÙÌÏ ÓËÁÚÁÎÏ, | ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÉÎ×ÅÒÓÉÉ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. éÎ×ÅÒÓÉÉ ÈÏÒÏÛÏ ÉÚÕÞÅÎÙ É ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÓÏÈÒÁÎÑÀÔ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÕÇÌÙ ÍÅÖÄÕ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÍÉ (É ×ÏÏÂÝÅ ×ÓÑËÉÍÉ ËÒÉ×ÙÍÉ). ðÏÜÔÏÍÕ P -ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÅÉÚÍÅÎÎÙÍÉ ÕÇÌÙ ÍÅÖÄÕ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÍÉ ÓÆÅÒÙ S 2 , × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÍÅÖÄÕ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÍÉ, ÌÅÖÁÝÉÍÉ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ Ó A, Ô. Å. Ó €ÒÑÍÙÍɁ. íÙ ÍÏÖÅÍ ÔÏÇÄÁ ÎÁÚ×ÁÔØ ÕÇÌÏÍ ÍÅÖÄÕ €ÒÑÍÙÍɁ ÍÏÄÅÌÉ ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ÚÁÄÁÀÝÉÍÉ ÉÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÍÉ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÎ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ ÒÉ P -ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ. îÕÖÎÏ ÏËÁÚÁÔØ ÌÉÛØ, ÞÔÏ ÞÅÒÅÚ ÄÁÎÎÕÀ €ÔÏÞËՁ L ÄÁÎÎÏÊ €ÒÑÍÏʁ l ÍÏÖÎÏ ÏÔÌÏÖÉÔØ ÏÄ ÚÁÄÁÎÎÙÍ ÕÇÌÏÍ ' (É × ÚÁÄÁÎÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ) ÏÄÎÕ É ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÕ €ÒÑÍÕÀ l′. ïÄÎÕ ÔÁËÕÀ €ÒÑÍÕÀ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÒÏÓÔÏ. ëÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ Ë ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÅÊ l (ÄÌÑ ËÒÁÔËÏÓÔÉ ÂÕÄÅÍ ÔÏÖÅ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÅÅ l, ËÁË É ÄÁÌÅÅ ÂÕÄÅÍ ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÏÄÎÉÍ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ ÄÌÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ É ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÅÀ €ÒÑÍÏʁ ÍÏÄÅÌÉ), × ÔÏÞËÅ L ÌÅÖÉÔ ÎÁ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ Ë S 2 × ÔÏÞËÅ L ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÔÁÍ ÖÅ ÌÅÖÉÔ É ËÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ Ë l′ . ðÏÓËÏÌØËÕ ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ÜÔÉÍÉ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÍÉ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÌÀÂÙÍ, ÔÏ ÒÏ×ÅÄÑ ÞÅÒÅÚ ÜÔÉ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÅ É A ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÏÌÕÞÉÍ €ÒÑÍÙŁ ÍÏÄÅÌÉ, ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÏÄ ÄÁÎÎÙÍ ÕÇÌÏÍ. äÏËÁÖÅÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ×ÔÏÒÏÊ ÔÁËÏÊ €ÒÑÍÏʁ ÎÅÔ. ðÕÓÔØ ÅÓÔØ l′′ ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ ∠l; l′ = ∠l; l′′. ÏÇÄÁ ∠l′ ; l′′ = 0 (ÓÌÅÄÕÅÔ ÎÁÒÉÍÅÒ, ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ×ÓÅ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÅ Ë ÔÒÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÍ €ÒÑÍÙ́ ÌÅÖÁÔ × ÏÄÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ É ÒÏÈÏÄÑÔ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ ÏÂÝÕÀ ËÁÓÁÎÉÑ). õÇÏÌ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÍÉ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ ÌÉÛØ ÅÓÌÉ ÏÎÉ ËÁÓÁÀÔÓÑ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÁ, Ô. Å. ÉÍÅÀÔ ×ÓÅÇÏ ÏÄÎÕ ÏÂÝÕÀ ÔÏÞËÕ. ÁËÏÊ ÓÌÕÞÁÊ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÅÎ ÄÌÑ €ÔÏÞËɁ ÍÏÄÅÌÉ ÉÚ-ÚÁ ÕÓÌÏ×ÉÑ x 6= A(x). ðÏÜÔÏÍÕ ÍÅÖÄÕ ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÍÉÓÑ €ÒÑÍÙÍɁ ÍÏÄÅÌÉ ÕÇÏÌ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÕÌÅ×ÙÍ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, l′′ = l′ , ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ. ëÓÔÁÔÉ, ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ l′′ É l′ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÌÑÒÎÏÊ Ë A ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÔÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÙÅ ÉÍÉ €ÒÑÍÙŁ ÒÉÂÌÉÖÁÀÔÓÑ ÄÒÕÇ Ë ÄÒÕÇÕ É ÅÒÅÓÅËÁÌÉÓØ ÂÙ, ÅÓÌÉ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÅ ÔÏÞËÉ ×ÈÏÄÉÌÉ ÂÙ × ÍÏÄÅÌØ. éÔÁË, ÏÔËÌÁÄÙ×ÁÎÉÅ ÕÇÌÏ× ÚÁÄÁÎÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ×ÏÚÍÏÖÎÏ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏ. ÅÅÒØ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ P -ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ ÕÇÌÙ ÍÅÖÄÕ ÒÑÍÙÍÉ ÍÏÄÅÌÉ. åÓÌÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×Á (Ô. Å. A ÎÅ ÌÅÖÉÔ ÎÁ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÓÆÅÒÙ), ÔÏ × ÎÅÊ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÄÏÂÎÙÈ É ÎÅ ËÏÎÇÒÕÜÎÔÎÙÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×, ËÁÖÄÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË (É ÄÌÉÎÙ ÅÇÏ ÓÔÏÒÏÎ) ×ÏÌÎÅ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁÍÉ Ó×ÏÉÈ ÕÇÌÏ×. ðÏÜÔÏÍÕ, ÒÁÚ P -ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ ÕÇÌÙ × ÜÔÉÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑÈ, ÔÏ ÏÎÏ ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ É ÄÌÉÎÙ. þÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ. ÷ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÏÄÏÂÉÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×, ÏÜÔÏÍÕ ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÅ ÕÇÌÏ× ÎÅ ×ÌÅÞÅÔ Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÅ ÄÌÉÎ. îÏ P -ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ ÕÇÌÙ, ÎÏ É ÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÍ €ÒÑÍÕÀ, Á ÜÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÌÉÛØ ÒÉ ÏÓÅ×ÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ. ðÏÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÅÒØ, ËÁË ×ÙÇÌÑÄÑÔ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ × ÜÔÉÈ ÍÏÄÅÌÑÈ. ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÓÑ ÅÄÉÎÏÏÂÒÁÚÎÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÊ É ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ S 2 É A. îÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÔÁË: ÂÕÄÅÍ ÒÏ×ÏÄÉÔØ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÒÑÍÙÅ ÞÅÒÅÚ ÄÁÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ O É ÂÕÄÅÍ ÓÍÏÔÒÅÔØ ËÕÄÁ ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔÓÑ ÒÉ ÏÓÅ×ÙÈ ÓÉÍÍÅÔÒÉÑÈ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÜÔÉÈ ÒÑÍÙÈ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÔÏÞËÁ A. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÜÔÉÈ ÏÂÒÁÚÏ× É ÓÏÓÔÁ×ÉÔ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ Ó ÅÎÔÒÏÍ × O É ÒÁÄÉÕÓÏÍ |OA|. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÓÔÕÉÍ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÔÒÅÈ ÍÏÄÅÌÅÊ. P -ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÏÓÔÁ×ÑÔ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÍÉ €ÔÏÞËՁ O É ÎÅËÏÔÏÒÕÀ €ÒÑÍÕÀ ÍÏÄÅÌÉ, ÒÏÈÏÄÑÝÕÀ ÞÅÒÅÚ ÎÅÅ, ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ P ÌÅÖÉÔ ÎÁ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ Ë O ÌÏÓËÏÓÔÉ.

165

ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÓÆÅÒÙ É ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×Ù ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ

(óÔÒÏÇÏ ÇÏ×ÏÒÑ, €ÔÏÞËÁ ÍÏÄÅÌÉ ÅÓÔØ ÁÒÁ ÔÏÞÅË, ÎÏ × ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑÈ ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ ËÁËÕÀ-ÎÉÂÕÄØ ÏÄÎÕ ÔÏÞËÕ ÉÚ ÜÔÏÊ ÁÒÙ). üÔÁ ÌÏÓËÏÓÔØ ÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ Ó ÏÌÑÒÎÏÊ Ë A ÌÏÓËÏÓÔÉ Ï ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÒÑÍÏÊ l. ðÕÓÔØ B ÌÅÖÉÔ ÎÁ S 2 É ×ËÕÅ Ó B ′ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ €ÔÏÞËՁ ÍÏÄÅÌÉ (ËÁË ÕÖÅ ÕÏÍÉÎÁÌÏÓØ, ÎÁÌÉÞÉÅ ÔÏÞËÉ B ′ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÄÌÑ ÜÔÉÈ ÏÓÔÒÏÅÎÉÊ), ÎÁÊÄÅÍ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ, ËÕÄÁ ÍÏÖÅÔ ÅÒÅÊÔÉ B ÒÉ P -ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑÈ, ÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÍÉ ï. ðÕÓÔØ ÔÏÞËÁ x ∈ l, ÔÏÇÄÁ x(÷ ) ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ , ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ l É ÷ , ÒÉÞÅÍ, ÅÓÌÉ x ÒÏÂÅÇÁÅÔ ×ÓÀ l, ÔÏ ÒÑÍÙÅ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÅ ÞÅÒÅÚ x É ÷ , ÚÁÏÌÎÑÀÔ ×ÓÀ , ËÒÏÍÅ ÏÄÎÏÊ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÒÑÍÏÊ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÷ É ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÊ l. ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï x(÷ ) ÚÁÏÌÎÑÅÔ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ Ó S 2 , ËÒÏÍÅ ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÉ, ÌÅÖÁÝÅÊ ÎÁ ÒÑÍÏÊ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÷ É ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÊ l. ÷ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÜÔÏ ×ÙÇÌÑÄÉÔ, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ.

X2

X1

B

X3 l

l′ || l

X3 (B ) X2 (B )

X1 (B )

îÏ, ËÁË ÍÙ ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÉ, ÄÏÂÁ×ÌÑÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ-ÕÄÁÌÅÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ (ÉÌÉ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅ× ÓÉÍÍÅÔÒÉÀ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÏÊ Ë l ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒ S 2 ) ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÎÅÄÏÓÔÁÀÝÕÀ ÔÏÞËÕ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. ÅÅÒØ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ A(O) É A(B ) É ×ÙÏÌÎÉÔØ ÔÏÞÎÏ ÔÁËÉÅ ÖÅ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ. éÈ ÉÔÏÇ ÓÏ×ÁÄÅÔ Ó ÏÂÒÁÚÏÍ ÕÖÅ ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÒÉ P -ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ. éÔÁË, ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ × ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÙÈ ÍÏÄÅÌÑÈ ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÔÓÑ ÁÒÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÎÁ ÓÆÅÒÅ. íÏÖÎÏ × ÎÁÛÅÊ ÍÏÄÅÌÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÎÅ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ÓÆÅÒÙ, Á ÌÉÛØ ÓÅÇÍÅÎÔ ÓÆÅÒÙ (ËÁË, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÑ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÕÀ ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ, ÍÙ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÅÍÓÑ ÏÌÕÓÆÅÒÏÊ). ÏÇÄÁ ËÁÖÄÁÑ ÔÏÞËÁ ÜÔÏÇÏ ÓÅÇÍÅÎÔÁ ÂÕÄÅÔ ÏÄÎÁÚÎÁÞÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÔØ €ÔÏÞËŁ ÍÏÄÅÌÉ É ÏÂÒÁÔÎÏ, ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÖÅ ÍÏÄÅÌÉ ÂÕÄÅÔ ÉÚÏÂÒÁÖÁÔØÓÑ ÎÁ ÜÔÏÍ ÓÅÇÍÅÎÔÅ ÏÄÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ, Á ÎÅ ÁÒÏÊ. ëÁË ÌÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÅÎÔÒÙ ÜÔÉÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÍÏÄÅÌÉ ÎÅ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÉÈ ÏÂÙÞÎÙÍÉ ÅÎÔÒÁÍÉ ÎÁ ÓÆÅÒÅ, ÞÔÏ ÎÅÕÄÉ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÎÁ ÓÆÅÒÅ É × ÜÔÉÈ ÍÏÄÅÌÑÈ ÎÅ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ (× ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÕÇÌÏ×). ó×ÑÖÅÍ ÔÅÅÒØ ÜÔÉ ÍÏÄÅÌÉ Ó ÕÖÅ ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ. ðÕÓÔØ A × ÅÎÔÒÅ ÓÆÅÒÙ. ÏÇÄÁ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÏÂÝÅÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÍÏÄÅÌØ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÒÏÌÉ ÏÓÅ×ÙÈ ÓÉÍÍÅÔÒÉÊ ÜÔÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ×ÙÓÔÕÁÀÔ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒ ÓÆÅÒÙ. üÔÉ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó P -ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍÉ, ÇÄÅ ×ÓÅ P | ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÙ. åÓÌÉ A ×ÎÕÔÒÉ ÓÆÅÒÙ, ÎÏ ÏÔÌÉÞÎÏ ÏÔ ÅÅ ÅÎÔÒÁ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÊÔÉ ÞÅÒÅÚ ÉÎ×ÅÒÓÉÀ Ë ÓÌÕÞÁÀ, ËÏÇÄÁ A ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÅÎÔÒÏÍ. ðÕÓÔØ A ÎÁ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÓÆÅÒÙ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÔÅÒÅÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÕÀ ÒÏÅË ÉÀ, Ô. Å. ÒÏÅË ÉÀ ÓÆÅÒÙ S 2 ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ, ËÁÓÁÀÝÕÀÓÑ ÓÆÅÒÙ × ÔÏÞËÅ, ÄÉÁÍÅÔÒÁÌØÎÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÊ A. €ðÒÑÍÙŁ É €ÔÏÞËɁ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÎÁÍÉ ÍÏÄÅÌÉ ÅÒÅÊÄÕÔ × ÒÑÍÙÅ É ÔÏÞËÉ ÌÏÓËÏÓÔÉ Ó ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÅÍ ×ÓÅÈ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ Ó×ÏÊÓÔ×. îÁÉÂÏÌÅÅ ÉÎÔÅÒÅÓÅÎ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ A | ×ÎÅ ÓÆÅÒÙ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÅÞÅÎÉÅ S 2 ÏÌÑÒÎÏÊ Ë A ÌÏÓËÏÓÔØÀ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÓÅÞÅÎÉÑ T . íÏÖÎÏ ÓÏÏÓÔÁ-

166

ò. ò. ðÉÍÅÎÏ×

×ÉÔØ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ËÒÕÇÁ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÇÏ T , €ÔÏÞËՁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÒÏ×ÅÄÑ ÒÑÍÕÀ ÞÅÒÅÚ ÎÅÅ É A, Á ËÁÖÄÏÊ ÈÏÒÄÅ × ËÒÕÇÅ | €ÒÑÍÕÀ, ÒÏ×ÅÄÑ ÌÏÓËÏÓÔØ ÞÅÒÅÚ ÈÏÒÄÕ É A. ÅÍ ÓÁÍÙÍ ÏÌÕÞÉÍ ÍÏÄÅÌØ ëÌÅÊÎÁ ÄÌÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ. ëÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, × ÜÔÏÊ ÍÏÄÅÌÉ Ä×Å ÈÏÒÄÙ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÅ ÒÑÍÙÅ, ÅÓÌÉ ÒÑÍÙÅ (ÎÁ ËÏÉÈ ÌÅÖÁÔ ÈÏÒÄÙ) ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÌÑÒÎÙ, ÞÔÏ ÓÏÇÌÁÓÕÅÔÓÑ Ó ÒÏ×ÅÄÅÎÎÙÍÉ ×ÙÛÅ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑÍÉ. õËÁÚÁÎÎÁÑ Ó×ÑÚØ Ó ÕÖÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÍÏÄÅÌÑÍÉ ÄÅÌÁÅÔ ÒÅÄÙÄÕÝÉÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ Ï ÔÏÍ, ÏÒÅÄÅÌÑÀÔ ÌÉ P -ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ËÏÎÇÒÕÜÎÔÎÙÅ ÄÌÉÎÙ É ÕÇÌÙ, ÉÚÂÙÔÏÞÎÙÍÉ. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÍÎÅ ÈÏÔÅÌÏÓØ ÏËÁÚÁÔØ, ËÁË ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ ÕÞËÏ× ÒÑÍÙÈ É ÌÏÓËÏÓÔÅÊ, ÅÒÅÓÅÞÅÎÎÙÈ ÓÏ ÓÆÅÒÏÊ, ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×ÙÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÊ, ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÏÂÒÁÂÁÔÙ×ÁÑ ÒÁÚÎÙÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÍÏÄÅÌÉ (×ÅÄØ × ÂÏÌØÛÏÊ ÞÁÓÔÉ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ ×ÚÁÉÍÏÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÅ A É S 2 ÂÙÌÏ ÎÅÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ). ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ

äÏËÁÖÅÍ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÅ × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ ÔÅËÓÔÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÌÑÒÎÙÈ ÒÑÍÙÈ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÉÎÔÅÒÅÓÎÏ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÉÓÏÌØÚÕÅÔ ÉÎ×ÏÌÀÔÉ×ÎÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ðÕÓÔØ ÒÁÄÉÕÓ ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ R. ðÕÓÔØ ÔÏÇÄÁ ÔÏÞËÁ W ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÁ ÎÁÄ ÅÎÔÒÏÍ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ï ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ R. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÕÞÏË ÒÑÍÙÈ É ÌÏÓËÏÓÔÅÊ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ W (ÄÌÑ ËÒÁÔËÏÓÔÉ | W -ÕÞÏË). ëÁÖÄÏÊ ÒÑÍÏÊ ÜÔÏÇÏ ÕÞËÁ ÍÏÖÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÓÏÏÓÔÁ×ÉÔØ ÌÏÓËÏÓÔØ ÕÞËÁ, ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÕÀ ÅÊ. ïÂÒÁÔÎÏ, ËÁÖÄÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÕÞËÁ ÍÏÖÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÓÏÏÓÔÁ×ÉÔØ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÕÀ ÅÊ ÒÑÍÕÀ ÕÞËÁ. åÓÌÉ ÒÑÍÁÑ W -ÕÞËÁ l ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÎÅËÏÅÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ Æ, ÔÏ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÁÑ Ë l ÌÏÓËÏÓÔØ ×ËÌÀÞÁÅÔ × ÓÅÂÑ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÕÀ Ë Æ ÒÑÍÕÀ. åÓÌÉ ÔÒÉ ÒÑÍÙÈ W -ÕÞËÁ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÔÏ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÅ ÉÍ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ Ï ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ. ÅÅÒØ ×ÙÑÓÎÉÍ, ËÁË ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÅ ÒÑÍÙÅ É ÌÏÓËÏÓÔÉ ÕÞËÁ Ó ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔØÀ, ÇÄÅ ÌÅÖÉÔ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ. ðÕÓÔØ ÒÑÍÁÑ ÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ × ÔÏÞËÅ A, Á ÌÏÓËÏÓÔØ Ï ÒÑÍÏÊ m. ïÕÓÔÉÍ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒ ÉÚ A ÎÁ m, ÕÓÔØ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÁ A′ . ÒÅÕÇÏÌØÎÉË A′ W A | ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÊ, |W O| | ÅÇÏ ×ÙÓÏÔÁ, ÏÔÓÀÄÁ |W O| · |W O| = |ïA′ | · |ïA|. ðÏÜÔÏÍÕ, ÅÓÌÉ ÍÙ ÏÔÏÂÒÁÚÉÍ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ï ÒÑÍÕÀ m, ÔÏ ÏÌÕÞÉÍ ËÁË ÒÁÚ ÏÌÑÒÕ Ë ÔÏÞËÅ A. ÅÍ ÓÁÍÙÍ ÔÏÞËÅ É ÏÌÑÒÎÏÊ Ë ÎÅÊ ÒÑÍÏÊ ÍÏÖÎÏ ÓÏÏÓÔÁ×ÉÔØ ÒÑÍÕÀ É ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÕÀ ÅÊ ÌÏÓËÏÓÔØ W -ÕÞËÁ. ïÔÓÀÄÁ ÓÒÁÚÕ ÓÌÅÄÕÀÔ ÕËÁÚÁÎÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÌÑÒ. íÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÌÉ ÌÉÛØ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ A ÌÅÖÉÔ ×ÎÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. åÓÌÉ ÖÅ A ÌÅÖÉÔ ×ÎÕÔÒÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÔÏ ÕÄÏÂÎÏ ÎÁÚ×ÁÔØ ÅÅ ÏÌÑÒÏÊ ÔÁËÕÀ ÒÑÍÕÀ, ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÑËÏÊ ÔÏÞËÉ ÷ ÎÁ ÜÔÏÊ ÒÑÍÏÊ, ÏÌÑÒÁ Ë ÷ ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ A (ÉÚ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ ×ÙÛÅ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÁËÉÈ ÔÏÞÅË ÅÓÔØ ÒÑÍÁÑ). äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï Ó×ÏÊÓÔ× ÏÌÑÒÎÙÈ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÑ ÎÕÖÎÙÅ ÓÅÞÅÎÉÑ ÌÏÓËÏÓÔÑÍÉ ÓÆÅÒÙ S 2 , ÉÌÉ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÑ ÞÅÔÙÒÅÈÍÅÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÕÞÏË ÒÑÍÙÈ É ÔÒÅÈÍÅÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÄÁÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ, É ÏÒÅÄÅÌÑÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÒÑÍÏÊ É ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÏÇÏ ÅÊ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á.

îÁÛ ÓÅÍÉÎÁÒ: ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÓÀÖÅÔÙ ÷ÎÉÍÁÎÉÀ ÞÉÔÁÔÅÌÑ ÒÅÄÌÁÇÁÀÔÓÑ Ä×Å ÓÔÁÔØÉ | í. ì. çÅÒ×ÅÒÁ É á. â. óËÏÅÎËÏ×Á, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÙÅ ÚÎÁÍÅÎÉÔÏÊ ÒÏÂÌÅÍÅ ë. âÏÒÓÕËÁ: ×ÅÒÎÏ ÌÉ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × d-ÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ d + 1 ÞÁÓÔÅÊ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ ? ÷ÉÄÎÙÊ ÏÌØÓËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË ëÁÒÏÌ âÏÒÓÕË ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÌ ÜÔÏÔ ×ÏÒÏÓ × 1933 ÇÏÄÕ É ÓÁÍ ÏÌÕÞÉÌ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ÎÅÇÏ ÒÉ d = 2 (ÄÌÑ ÌÏÓËÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×). ðÒÏÂÌÅÍÏÊ âÏÒÓÕËÁ ÚÁÎÉÍÁÌÉÓØ ÍÎÏÇÉÅ ×ÙÄÁÀÝÉÅÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÎÁÛÅÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ð. üÒÄÅÛ | ÞÅÌÏ×ÅË, ÒÅÛÉ×ÛÉÊ ÚÁ Ó×ÏÀ ÖÉÚÎØ ×ÅÌÉËÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÏÂÌÅÍ ÏÌÉÍÉÁÄÎÏÇÏ ÔÉÁ. âÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌÅÊ ÏÌÁÇÁÌÏ, ÞÔÏ ÒÏÂÌÅÍÁ âÏÒÓÕËÁ ÉÍÅÅÔ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ × ÌÀÂÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ. îÏ üÒÄÅÛ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÌ ÓÏÍÎÅÎÉÑ. é ÏÎ ÏËÁÚÁÌÓÑ ÒÁ×. óÕÓÔÑ 60 ÌÅÔ ÏÓÌÅ ÔÏÇÏ, ËÁË âÏÒÓÕË ×ÙÄ×ÉÎÕÌ Ó×ÏÀ ÇÉÏÔÅÚÕ | × 1993 ÇÏÄÕ | ä. ëÁÎ É ç. ëÁÌÁÉ ÏÓÔÒÏÉÌÉ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒ Ë ÎÅÊ: ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × 1325-ÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÅÌØÚÑ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ 1326 ÞÁÓÔÅÊ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ ! ÷ÓËÏÒÅ × ÒÁÂÏÔÅ á. îÉÌÌÉ ÂÙÌ ÕËÁÚÁÎ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÏÊ ÕÔØ Ë ÏÓÔÒÏÅÎÉÀ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒÏ×, É ÓÁÍÁÑ ÍÁÌÅÎØËÁÑ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÇÉÏÔÅÚÁ âÏÒÓÕËÁ ÏËÁÚÁÌÁÓØ ÏÒÏ×ÅÒÇÎÕÔÏÊ, ÓÔÁÌÁ ÒÁ×ÎÁ 946. ÷ ÓÔÁÔØÅ óËÏÅÎËÏ×Á ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ ÕÒÏÝÅÎÎÏÅ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÒÉÍÅÒÁ á. îÉÌÌÉ. óÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÛÁÇ ÂÙÌ ÓÄÅÌÁÎ × 1997 ÇÏÄÕ ÓÔÕÄÅÎÔÏÍ ÍÅÈÁÎÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÆÁËÕÌØÔÅÔÁ á. òÁÊÇÏÒÏÄÓËÉÍ. ïÎ ÏÎÉÚÉÌ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ Ó 946 ÄÏ 561. ÷ ÓÔÁÔØÅ í. ì. çÅÒ×ÅÒÁ ÒÉ×ÏÄÑÔÓÑ ÍÏÄÉÆÉËÁ ÉÉ ÒÉÍÅÒÏ× á. îÉÌÌÉ É á. òÁÊÇÏÒÏÄÓËÏÇÏ. í. ì. çÅÒ×ÅÒ ÓÏÓÔÁ×ÉÌ Ï ÍÏÔÉ×ÁÍ ÒÏÂÌÅÍÙ âÏÒÓÕËÁ ÉËÌ ÚÁÄÁÞ ÄÌÑ X ÌÅÔÎÅÊ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ ÕÒÎÉÒÁ çÏÒÏÄÏ×, ÓÏÓÔÏÑ×ÛÅÊÓÑ × 1998 ÇÏÄÕ × çÁÍÂÕÒÇÅ. ãÉËÌ çÅÒ×ÅÒÁ ×ÙÚ×ÁÌ ÂÏÌØÛÏÊ ÉÎÔÅÒÅÓ Õ ÛËÏÌØÎÉËÏ×, ÕÞÁÓÔ×Ï×Á×ÛÉÈ × ÜÔÏÊ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ. éÍÉ ÂÙÌÉ ÏÌÕÞÅÎÙ ÎÏ×ÙÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÙÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ Ï ÒÏÂÌÅÍÅ âÏÒÓÕËÁ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÂÙÌÏ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÒÏÂÌÅÍÁ âÏÒÓÕËÁ ÉÍÅÅÔ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ d > 561. üÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ (ËÏÔÏÒÙÊ ×ÓËÏÒÅ ÏÓÌÅ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ ÏÌÕÞÉÌÉ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ ÛËÏÌØÎÉËÉ óÁÛÁ çÁÊÆÕÌÌÉÎ ÉÚ òÏÓÓÉÉ É äÉÍÁ çÕÒÅ×ÉÞ ÉÚ éÚÒÁÉÌÑ) ÕÂÌÉËÕÅÔÓÑ ÎÉÖÅ × ÓÔÁÔØÅ çÅÒ×ÅÒÁ1) . îÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÔ ÛËÏÌØÎÉËÏ× ÔÏÔ ÖÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÂÙÌ ÏÌÕÞÅÎ òÁÊÇÏÒÏÄÓËÉÍ2). ÷ÏÒÏÓ Ï ÔÏÍ, ËÁË ÒÁÚÒÅÛÁÅÔÓÑ ÒÏÂÌÅÍÁ âÏÒÓÕËÁ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ 4 6 d 6 560 ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÏÔËÒÙÔÙÍ. íÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÞÉÔÁÔÅÌÉ ÎÁÛÅÇÏ ÖÕÒÎÁÌÁ ÓÍÏÇÕÔ ÓÄ×ÉÎÕÔØ ÅÇÏ Ó ÍÅÒÔ×ÏÊ ÔÏÞËÉ? ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ× 1) ÷ ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ É ÄÒÕÇÉÅ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÅ ÆÁËÔÙ, ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÎÙÅ ÛËÏÌØÎÉËÁÍÉ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÎÏ×ÏÅ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ âÏÒÓÕËÁ × ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ 3, ÒÉÄÕÍÁÎÎÏÅ ÎÁ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ íÁËÓÉÍÏÍ äÁ×ÙÄÏ×ÙÍ É òÕÓÌÁÎÏÍ âÁÔÒÛÉÎÙÍ ÉÚ õËÒÁÉÎÙ. 2) ïÎ ÕÂÌÉËÕÅÔÓÑ × ÖÕÒÎÁÌÅ €õÓÅÈÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÎÁÕˁ; ÏÍÉÍÏ ÏÔÍÅÞÅÎÎÏÇÏ ×ÙÛÅ ÆÁËÔÁ, × ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÅ òÁÊÇÏÒÏÄÓËÏÇÏ ÉÍÅÀÔÓÑ É ÄÒÕÇÉÅ ×ÁÖÎÙÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ.

168

í. ì. çÅÒ×ÅÒ

ï ÒÁÚÂÉÅÎÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁ ÞÁÓÔÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ: ÔÅÏÒÅÍÙ É ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒÙ

í. ì. çÅÒ×ÅÒ äÉÁÍÅÔÒÏÍ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á M ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ D, ÏÂÌÁÄÁÀÝÅÅ ÔÅÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÔÏÞÅË ÉÚ M ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ D. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× M , ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ ÉÚ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÔÏÞÅË, ÄÉÁÍÅÔÒ D ÒÁ×ÅÎ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÍÕ ÉÚ ÏÁÒÎÙÈ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÁÍÉ M . îÅÔÒÕÄÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÌÀÂÕÀ ÆÉÇÕÒÕ (ÌÀÂÏÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï) ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ ÔÒÉ ÞÁÓÔÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ ∗) É ÞÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÌÏÓËÉÅ ÆÉÇÕÒÙ ÎÅÌØÚÑ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ Ä×Å ÞÁÓÔÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ . ðÒÏÓÔÅÊÛÁÑ ÉÚ ÔÁËÉÈ ÆÉÇÕÒ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÒÅÈ ÔÏÞÅË | ÔÒÅÈ ×ÅÒÛÉÎ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. þÅÔÙÒÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ÄÁÀÔ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÊ ÒÉÍÅÒ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å (ÅÇÏ ÎÅÌØÚÑ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ ÔÒÉ ÞÁÓÔÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ), Á d +1 ×ÅÒÛÉÎ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ d-ÍÅÒÎÏÇÏ ÓÉÍÌÅËÓÁ | ÒÉÍÅÒ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÅÌØÚÑ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ d ÞÁÓÔÅÊ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ. çÉÏÔÅÚÁ âÏÒÓÕËÁ

÷ 1933 Ç. ÏÌØÓËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË ëÁÒÏÌ âÏÒÓÕË ×ÙÓËÁÚÁÌ ÇÉÏÔÅÚÕ: ìÀÂÏÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ ÞÅÔÙÒÅ ÞÁÓÔÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ. é ×ÏÏÂÝÅ: ÌÀÂÏÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × d-ÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ d + 1 ÞÁÓÔÅÊ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ. ÷ 1955 Ç. è. üÇÇÌÓÔÏÎ É × 1957 Ç. â. çÒÀÎÂÁÕÍ É á. èÅÅÛ ÄÏËÁÚÁÌÉ ÇÉÏÔÅÚÕ âÏÒÓÕËÁ ÒÉ d = 3. á ÅÝÅ ÒÁÎØÛÅ ÏÎÁ ÎÁÛÌÁ ÏÄÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÅÎÔÒÁÌØÎÏ-ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× É ×ÓÅÈ ÇÌÁÄËÉÈ ×ÙÕËÌÙÈ ÔÅÌ (ç. èÁÄ×ÉÇÅÒ, 1946 Ç.) [1℄. ÁË ËÁË ×ÙÕËÌÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ ÌÀÂÏÇÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á M ÉÍÅÅÔ ÔÏÔ ÖÅ ÄÉÁÍÅÔÒ, ÞÔÏ É ÓÁÍÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï M , ÔÏ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ Ï ×ÙÕËÌÏÓÔÉ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅÍ : ÇÉÏÔÅÚÕ âÏÒÓÕËÁ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÄÌÑ ×ÙÕËÌÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×. ëÁÚÁÌÏÓØ ÂÙ, ÏÓÔÁ×ÁÌÏÓØ ÓÄÅÌÁÔØ ÎÅÍÎÏÇÏ | ÉÚÂÁ×ÉÔØÓÑ ÏÔ ÄÏÕÝÅÎÉÑ Ï ÇÌÁÄËÏÓÔÉ : : : ëÏÎÔÒÒÉÍÅÒÙ Ë ÇÉÏÔÅÚÅ âÏÒÓÕËÁ

ïÄÎÁËÏ × 1993 Ç. ÓÌÕÞÉÌÏÓØ ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÏÅ: ä. ëÁÎ É ç. ëÁÌÁÉ ÏÓÔÒÏÉÌÉ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒ Ë ÇÉÏÔÅÚÅ âÏÒÓÕËÁ ÒÉ d = 1 325 É ÄÌÑ ×ÓÅÈ d > 2 014 [2℄. ∗) úÄÅÓØ É ÄÁÌÅÅ ÓÓÙÌËÉ ÔÉÁ ÏÔÓÙÌÁÀÔ Ë ëÏÍÍÅÎÔÁÒÉÑÍ | ÚÁËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏÍÕ ÒÁÚÄÅÌÕ ÓÔÁÔØÉ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÏÍÕ ÅÒÅÄ ðÒÉÌÏÖÅÎÉÑÍÉ 1{3.

ï ÒÁÚÂÉÅÎÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁ ÞÁÓÔÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ

169

÷ [3℄ É [4℄ ÂÙÌÉ ÏÓÔÒÏÅÎÙ ÎÏ×ÙÅ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒÙ | ÒÉ d = 946 É d = 561 . îÉÖÅ ÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ ÍÏÄÉÆÉËÁ ÉÑ ÜÔÉÈ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒÏ×. âÕÄÅÔ ÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÇÉÏÔÅÚÁ âÏÒÓÕËÁ ÎÅ×ÅÒÎÁ ÒÉ ×ÓÅÈ d > 561. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÂÕÄÅÔ ÒÉ×ÅÄÅÎÏ ÎÏ×ÏÅ | ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÏÅ, ÞÅÍ ÒÅÖÎÉÅ, | ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÇÉÏÔÅÚÙ âÏÒÓÕËÁ ÒÉ d = 3. ÷ÏÒÏÓ €þÔÏ ×ÅÒÎÏ | ÔÅÏÒÅÍÁ ÉÌÉ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒ | ÒÉ 4 6 d 6 560 ? ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÏÔËÒÙÔÙÍ. éÄÅÑ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒÁ

ðÏÌÏÖÉÍ d = 561 É ÏÓÔÒÏÉÍ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Y ⊂ Rd ÄÉÁÍÅÔÒÁ D, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÅÌØÚÑ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ d + 1 ÞÁÓÔÅÊ ÄÉÁÍÅÔÒÁ ÍÅÎØÛÅ D. íÎÏÖÅÓÔ×Ï Y ÂÕÄÅÔ ÓÏÓÔÏÑÔØ ÉÚ |Y | = H ÔÏÞÅË. ðÒÅ×ÒÁÔÉÍ Y × ÇÒÁÆ , ÓÏÅÄÉÎÑÑ ×ÅÒÛÉÎÙ y; y′ ∈ Y ÒÅÂÒÏÍ × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ |yy′| < < D, É ÉÓÓÌÅÄÕÅÍ ËÌÉËÉ , ÉÌÉ ÏÌÎÙÅ ÏÄÇÒÁÆÙ ÇÒÁÆÁ , Ô. Å. ÔÁËÉÅ ÏÄÇÒÁÆÙ, × ËÏÔÏÒÙÈ ËÁÖÄÙÅ Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÏÅÄÉÎÅÎÙ ÒÅÂÒÏÍ. îÁÍ ÕÄÁÓÔÓÑ Ï ÅÎÉÔØ ÞÉÓÌÏ q ×ÅÒÛÉÎ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÊ (ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ) ËÌÉËÉ ÇÒÁÆÁ , ÕËÁÚÁ× ÔÁËÏÅ Q, ÞÔÏ q 6 Q; H=Q > d + 1: (1) < 4 > éÚ (1), ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÓÌÅÄÕÅÔ : ÅÓÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Y ÒÁÚÂÉÔÏ ÎÁ ÞÁÓÔÉ, ÄÉÁÍÅÔÒ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÅÎØÛÅ D, ÔÏ ÞÉÓÌÏ ÔÁËÉÈ ÞÁÓÔÅÊ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÂÏÌØÛÅ d + 1, ÔÁË ÞÔÏ Y | ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒ Ë ÇÉÏÔÅÚÅ âÏÒÓÕËÁ. ðÌÁÎ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒÁ

÷ÏÚØÍÅÍ n = 33, ÔÁË ÞÔÏ d = 561 = Cn2+1 . îÁÒÑÄÕ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ Y ⊂ Rd ÂÕÄÅÔ ÏÓÔÒÏÅÎÏ ×ÓÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X ⊂ Rn+1 . ÷×ÅÄÅÍ × Rn+1 ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ x0 ; x1 ; : : : ; xn , ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ËÕÂ Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ {xj }nj=0 , xj = ±1, É ÏÒÅÄÅÌÉÍ X ËÁË ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ n-ÍÅÒÎÏÊ ÇÒÁÎÉ x0 = 1 ÜÔÏÇÏ (n + 1)-ÍÅÒÎÏÇÏ ËÕÂÁ [−1; 1℄n+1: ÷ÅÒÛÉÎÁ {xj }nj=0 , xj = ±1Q , ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ Ë X , ÅÓÌÉ x0 = 1 É ÞÉÓÌÏ ÍÉÎÕÓ ÅÄÉÎÉ ÓÒÅÄÉ {xj }nj=1 ÞÅÔÎÏ: nj=1 xj = 1. ÅÍ ÓÁÍÙÍ X ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ 2n−1 = 232 ÔÏÞÅË . óÔÏÌØËÏ ÖÅ ÔÏÞÅË ÂÕÄÅÔ É × Y : |X | = |Y | = H = 2n−1 = 232 : ðÒÉ ÜÔÏÍ Y ÂÕÄÅÔ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ×ÅÒÛÉÎ d-ÍÅÒÎÏÇÏ ËÕÂÁ Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ {yk }dk=1 , yk = ±1: Y ⊂ [−1; 1℄d. íÅÖÄÕ X É Y ÂÕÄÅÔ ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÏ ÔÁËÏÅ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ x = (x0 ; x1 ; : : : ; xn ) ←→ y; x′ = (x′0 ; x′1 ; : : : ; x′n ) ←→ y′ ; (2) ÞÔÏ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÙÍ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ | ÎÁÈÏÄÑÝÉÍÓÑ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ D | ÔÏÞËÁÍ y; y′ ∈ Y ÂÕÄÕÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÔØ x; x′ ∈ X ÓÏ ÓËÁÌÑÒÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ±2: (x; x′ ) = x0 x′0 + x1 x′1 + · · · + xn x′n = ±2 ←→ |yy′| = D: (3) éÍÅÎÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ (2) ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ (3) ÏÚ×ÏÌÉÔ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (1). ó ÜÔÏÊ ÒÏ×ÅÒËÉ ÍÙ É ÎÁÞÎÅÍ, Á ÕÖÅ ÏÔÏÍ ÏÓÔÒÏÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Y É ÕÓÔÁÎÏ×ÉÍ ÍÅÖÄÕ X É Y ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ (2), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÀ (3).

170

í. ì. çÅÒ×ÅÒ

íÁËÓÉÍÁÌØÎÁÑ ËÌÉËÁ ÇÒÁÆÁ

÷×ÉÄÕ (2), (3), ÇÒÁÆ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ Ï-ÎÏ×ÏÍÕ (ÎÅ ÉÚ Y , Á ÉÚ X ), ÓÏÅÄÉÎÉ× ÒÅÂÒÁÍÉ ×ÓÅ ÁÒÙ x; x′ ∈ X , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ (x; x′ ) 6= ±2.

÷ÓÅ ÒÏÞÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ (x; x′ ) ÒÉ x 6= x′ | ÜÔÏ ÞÉÓÌÁ ±6, ±10, ±14, ±18, ±22, ±26 É ±30, Á ÓËÁÌÑÒÎÙÊ Ë×ÁÄÒÁÔ (x; x) ÒÁ×ÅÎ 34. éÔÁË, × ÇÒÁÆÅ Ä×Å ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ x É x′ ÓÏÅÄÉÎÑÀÔÓÑ ÒÅÂÒÏÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ (x; x′ ) = ±6; ±10; ±14; ±18; ±22; ±26; ±30: (4) úÁÍÅÞÁÎÉÅ.

k (×ÓËÏÒÅ ÓÔÁÎÅÔ ÑÓÎÏ, ÏÔËÕÄÁ ÂÅÒÅÔÓÑ ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ) É ðÏÌÏÖÉÍ Q = 7k=0 C33 ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ q ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÊ ËÌÉËÉ {a1 ; : : : ; aq } ÇÒÁÆÁ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ Q.

P

g1 ; : : : ; gq ëÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ aj ; 1 6 j 6 q; ÓÏÏÓÔÁ×ÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ gj (x) Ï ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÒÁ×ÉÌÕ. æÉËÓÉÒÕÅÍ aj . ðÒÉ x = (x0 = 1; x1 ; : : : ; xn ) ∈ X ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ s = = sj (x) ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ (aj ; x) É ÏÌÏÖÉÍ F (s) = (s + 6)(s + 10)(s + 14)(s + 18)(s + 22)(s + 26)(s + 30); Gj (x) = F (sj (x)); 1 6 j 6 q: (5) úÁÉÓÁ× Gj (x) × ×ÉÄÅ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ ÏÄÎÏÞÌÅÎÏ× É ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÒÉÍÅÎÑÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ x2i = 1, 1 6 i 6 n, ÏÌÕÞÁÅÍ ÎÏ×ÙÊ, ÒÁ×ÎÙÊ Gj (x) ÎÁ X , ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ gj (x), Ñ×ÌÑÀÝÉÊÓÑ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÅÊ ÆÕÎË ÉÊ xhj11 xhj22 : : : xhj77 ; 1 6 j1 < j2 < · · · < j7 6 n = 33; hm = 0 ÉÌÉ 1; 1 6 m 6 7: (6) P k, ÷ÓÅÇÏ × (6), ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÉÍÅÅÔÓÑ Q ÆÕÎË ÉÊ, ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÂÁÚÉÓ, Q = 7k=0 C33 É ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï q 6 Q ÂÕÄÅÔ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÅÓÌÉ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ g1 ; : : : ; gq ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ ÎÁÄ ËÏÌØ ÏÍ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ , Ô.Å. ÅÓÌÉ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï

1 g1(x) + · · · + q gq (x) ≡ 0; ÇÄÅ 1 ; : : : ; q | ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ, (7) < 8 ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÌÉÛØ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ 1 ; : : : ; q × (7) ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ > . íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ

g1; : : : ; gq íÎÏÇÏÞÌÅÎ F (s) × (5) ×ÙÂÒÁÎ ÔÁË, ÞÔÏ ÓÒÅÄÉ ÞÉÓÅÌ s = (x; x′ ) ÉÚ (4) ×ÓÅ s < 0 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÒÎÑÍÉ F (s), Á ×ÓÅ s > 0 ÔÁËÏ×Ù, ÞÔÏ F (s) ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 27: F (s) ≡ 0 (mod 27) ÒÉ s = 6; 10; 14; 18; 22; 26; 30; ÏÓÌÅÄÎÅÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÌÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÔÁÂÌÉ Ù 1, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ ×ÓÅ ËÒÁÔÎÙÅ ÞÉÓÌÕ 3 ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÉ F (s) ÄÌÑ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ s. éÚ ÔÏÊ ÖÅ ÔÁÂÌÉ Ù ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ F (34) 6≡ 0 (mod 27). ÷ ÔÅÒÍÉÎÁÈ gj (x) ÄÌÑ x ÉÚ ËÌÉËÉ {a1 ; : : : ; aq } ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á F (s) ÏÚÎÁÞÁÀÔ: åÓÌÉ j 6= k; ÔÏ gj (ak ) ≡ 0 (mod 27); gj (aj ) 6≡ 0 (mod 27): (8) ìÉÎÅÊÎÁÑ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ g1 (x); : : : ; gq (x) ÌÅÇËÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÏÔÓÀÄÁ: ÄÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ × (7) ÎÅ ×ÓÅ j ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ, É ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÄÏÕÝÅÎÉÅ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ (8). ìÉÎÅÊÎÁÑ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ

ï ÒÁÚÂÉÅÎÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁ ÞÁÓÔÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ

171

s s + 6 s + 10 s + 14 s + 18 s + 22 s + 26 s + 30 6 12 24 36 10 24 36 14 24 36 18 24 36 48 22 36 48 26 36 48 30 36 48 60 34 48 60 ÁÂÌÉ Á 1.

äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏ ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÎÅ ×ÓÅ j ËÒÁÔÎÙ ÞÉÓÌÕ 3 (ÅÓÌÉ ÜÔÏ ÎÅ ÔÁË, ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ×ÓÅ j ÎÁ ÏÂÝÉÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ). ðÕÓÔØ, ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ, 1 ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × (7) x = a1 , ÏÌÕÞÁÅÍ: 1 g1(a1 ) + · · · + q gq (a1 ) ≡ 0. ÁË ËÁË, ××ÉÄÕ (8),

2 g2 (a1 )+ · · · + q gq (a1 ) ≡ 0 (mod 27); ÔÏ, ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ, É 1 g1 (a1 ) ≡ 0 (mod 27); Á ÚÎÁÞÉÔ, ÓÎÏ×Á ××ÉÄÕ (8), 1 ≡ 0 (mod 3), | ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. éÔÁË, ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï q 6 Q (ÅÒ×ÏÅ ÉÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× (1)) ÄÏËÁÚÁÎÏ. ÷ÔÏÒÏÅ ÉÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× (1) ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÄÓÞÅÔÏÍ:

H = 232 = 4 294 967 296; Q =

7 X

k=0

k = 5 663 890; H=Q > 758: C33

(9)

ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒÁ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Y É ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÍÅÖÄÕ X É Y ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ (2), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÀ (3).

X ÉY ðÕÓÔØ, ËÁË É ÒÅÖÄÅ, n = 33. ðÏÓÔÒÏÉÍ Ë×ÁÄÒÁÔÎÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ (n+1)×(n+1). åÅ ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌ ٠ÚÁÎÕÍÅÒÕÅÍ ÞÉÓÌÁÍÉ i; j = 0; 1; : : : n. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ËÌÅÔËÉ (i; j ) × ×ÅÒÈÎÅÊ ÏÌÏ×ÉÎÅ ÔÁÂÌÉ Ù (ÎÁÄ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÀ (i; i), 0 6 i 6 n, ÉÄÕÝÅÊ ÉÚ ÌÅ×ÏÇÏ 2 = 561. ×ÅÒÈÎÅÇÏ × ÒÁ×ÙÊ ÎÉÖÎÉÊ ÕÇÏÌ). éÈ ÞÉÓÌÏ ÒÁ×ÎÏ d = (34 · 34 − 34)=2 = C34 n ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ ÆÉËÓÉÒÕÅÍ x = {xj }j=0 ∈ X É × ËÌÅÔËÕ ÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ ÓÔÒÏËÉ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ i − 1 É ÓÔÏÌ Á Ó ÎÏÍÅÒÏÍ j ÏÍÅÓÔÉÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ xi−1 xj , 1 6 i 6 6 j 6 n. üÔÉ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÏÂßÑ×ÉÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ yk , 1 6 k = k (i; j ) 6 d, ÔÏÞËÉ y = y(x) ∈ Y . ðÏÏÞÅÒÅÄÎÏ ÅÒÅÂÒÁ× ÔÁË ×ÓÅ x ∈ X , ÏÌÕÞÁÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Y , Ñ×ÌÑÀÝÅÅÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ×ÅÒÛÉÎ d-ÍÅÒÎÏÇÏ ËÕÂÁ [−1; 1℄d. ÁË ËÁË x0 = 1 ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ x ∈ X , ÔÏ yk(1;j) = xj ÒÉ ×ÓÅÈ j = 1; : : : ; n, Ô. Å. ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÏ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ (2) ÍÅÖÄÕ X É Y . äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÏÎÏ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ (3). ë×ÁÄÒÁÔ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÍÅÖÄÕ y = {yk } É y′ = {yk′ } ÒÁ×ÅÎ ÓÕÍÍÅ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÒÁÚÎÏÓÔÅÊ yk − yk′ , 1 6 k 6 d. ëÁÖÄÏÅ ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ × ÜÔÏÊ ÓÕÍÍÅ ÒÁ×ÎÏ ÌÉÂÏ 0 (ÅÓÌÉ yk = yk′ ), ÌÉÂÏ 4 (ÅÓÌÉ yk 6= yk′ ), Ô.Å. ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ y É y′ ÔÅÍ ÂÏÌØÛÅ, óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ

172

í. ì. çÅÒ×ÅÒ

ÞÅÍ ÂÏÌØÛÅ ÎÅÓÏ×ÁÄÁÀÝÉÈ yk É yk′ . âÅÚ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÅÒ×ÙÅ s ËÏÏÒÄÉÎÁÔ xj É x′j ÓÏ×ÁÄÁÀÔ (×ËÌÀÞÁÑ x0 = x′0 = 1), Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ n + 1 − s ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙ. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÅ ÄÏÕÝÅÎÉÅ (ÓÒÁ×ÎÉÍ Ó ): a) ×ÓÅ xj (Á ÚÎÁÞÉÔ, É ×ÓÅ yk ) ÒÁ×ÎÙ 1, b) ÅÒ×ÙÅ s ËÏÏÒÄÉÎÁÔ x′j ÒÁ×ÎÙ 1, Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ n + 1 − s ËÏÏÒÄÉÎÁÔ x′j ÒÁ×ÎÙ −1. ÏÇÄÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ y É y′ ÔÅÍ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÂÏÌØÛÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ yk′ , ÒÁ×ÎÙÈ −1. ðÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ a) É b) ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ yk′ = −1 ÚÁÏÌÎÑÀÔ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉË × ×ÅÒÈÎÅÊ ÏÌÏ×ÉÎÅ ÎÁÛÅÊ ÔÁÂÌÉ Ù. €ðÌÏÝÁÄ؁ ÜÔÏÇÏ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÁ (ÞÉÓÌÏ ÍÉÎÕÓ ÅÄÉÎÉ × ÎÅÍ) ÔÅÍ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÂÏÌØÛÅ ÏÎ ÏÈÏÖ ÎÁ Ë×ÁÄÒÁÔ. ÷ ÔÏÞÎÏÓÔÉ Ë×ÁÄÒÁÔ ÏÌÕÞÉÔØÓÑ ÎÅ ÍÏÖÅÔ , Á ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉË, ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÏÈÏÖÉÊ ÎÁ Ë×ÁÄÒÁÔ, ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ, ÅÓÌÉ s = 18, n + 1 − s = 16, ÌÉÂÏ s = 16, n + 1 − s = 18 (Ô. Å. ÅÓÌÉ (x; x′ ) = ±2). éÔÁË, ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ |yy′| ÍÅÖÄÕ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ y = y(x); y′ = y(x′ ) ∈ Y ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ÒÁ×ÎÏ ÄÉÁÍÅÔÒÕ D ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y , ËÏÇÄÁ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ (x; x′ ) = ±2. ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒÁ Y ÚÁËÏÎÞÅÎÏ. ÒÁËÔÕÑ Y ËÁË ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï d-ÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÒÉ 561 6 d 6 757, ×ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ (9) ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÇÉÏÔÅÚÁ âÏÒÓÕËÁ ÎÅ×ÅÒÎÁ ÒÉ ×ÓÅÈ d, 561 6 d 6 757. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ÓËÏÒÅ ÎÁÍ ÏÎÁÄÏÂÉÔÓÑ ÔÏÞÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÄÉÁÍÅÔÒÁ D ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y : √ D2 = 4 · 16 · 18; D = diam Y = 24 2: (10)

Q ×ÅÒÛÉÎ îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï q 6 Q (Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× g1 ; : : : ; gq Ó ÞÉÓÌÏÍ Q ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× × ÂÁÚÉÓÅ (6)), ÓÌÕÖÉÔ, ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÔÏÞÎÏÊ (ÎÅÕÌÕÞÛÁÅÍÏÊ ) Ï ÅÎËÏÊ ÞÉÓÌÁ ×ÅÒÛÉÎ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÊ ËÌÉËÉ ÇÒÁÆÁ : ÏÉÒÁÑÓØ ÎÁ (4), ÒÅÄßÑ×ÉÍ ËÌÉËÕ  ÇÒÁÆÁ , ÓÏÄÅÒÖÁÝÕÀ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ Q ×ÅÒÛÉÎ. äÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÉ x = {xj }nj=0 ∈ X ÓÒÅÄÉ xj ÉÍÅÅÔÓÑ p ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÒÁ×ÎÙÈ +1, É m ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÒÁ×ÎÙÈ −1, ÇÄÅ p > 0 É m > 0 | ÞÅÔÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, p + m = n +1, ÔÁË ÞÔÏ m = 0; 2; : : : ; n − 1 = 32: (11) ÷ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó (11) ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á Xm ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X , m = 0; 2; : : : ; 2 ÔÏÞÅË: ×ÓÅ xj , : : : ; 32: ë X0 ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ ÏÄÎÁ ÔÏÞËÁ: ×ÓÅ xj = 1; Ë X2 ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ C33 4 ËÒÏÍÅ Ä×ÕÈ, ÒÁ×ÎÙ 1; Ë X4 ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ C33 ÔÏÞÅË: ×ÓÅ xj , ËÒÏÍÅ ÞÅÔÙÒÅÈ, ÒÁ×ÎÙ 1 É Ô. Ä. îÅÔÒÕÄÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÏÄÇÒÁÆ , ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ x ∈ X0 ∪ X2 ∪ X4 ∪ X6 ∪ X26 ∪ X28 ∪ X30 ∪ X32 ; (12) ′ ′ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÌÉËÏÊ: (x; x ) 6= ±2 ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ x; x ∈ . ðÒÉ ÜÔÏÍ ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ (12) P7 k (ÏÓËÏÌØËÕ C k = C 33−k , k = 32; 30; 28; 26). ÒÁ×ÎÏ Q = k=0 C33 33 33 úÁÍÅÞÁÎÉÅ. èÏÔÑ ÓÁÍÁ Ï ÅÎËÁ q 6 Q ÎÅÕÌÕÞÛÁÅÍÁ, ÍÏÖÎÏ ÏÙÔÁÔØÓÑ ÕÓÏ×ÅÒÛÅÎÓÔ×Ï×ÁÔØ ÓÏÓÏ ÅÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ: ×ÒÑÄ ÌÉ ÒÉ ÒÁÚÂÉÅÎÉÉ ÇÒÁÆÁ ÎÁ ËÌÉËÉ ×ÓÅ ÏÎÉ ÍÏÇÕÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÍÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÍÉ | ËÁÖÄÁÑ | Ï ëÌÉËÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ

ï ÒÁÚÂÉÅÎÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁ ÞÁÓÔÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ

173

Q ×ÅÒÛÉÎ, ÔÁË ÞÔÏ ÚÄÅÓØ, ×ÉÄÉÍÏ, ÅÓÔØ ÏÔÅÎ ÉÁÌØÎÁÑ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÏÓÔÒÏÉÔØ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒ × Rd ÄÌÑ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ d < 561 .

d > 860 ÷ÍÅÓÔÏ ÁÒÙ (n = 33; d = 561) ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÁÒÕ (n = 41; d = 861). ÁË ÖÅ, ËÁË ÒÅÖÄÅ , ÏÓÔÒÏÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X ⊂ [−1; 1℄41; Y ⊂ [−1; 1℄861; |Y | = |X | = = H = 240; ÒÉ ÜÔÏÍ | ×ÍÅÓÔÏ (9) | ÏÌÕÞÁÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ: òÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ

Q=

9 X

k=0

k = 473 732 328; H = 240 = 1 099 511 627 776; H=Q > 2 320: C41

(13)

ðÏÓËÏÌØËÕ Y ÍÏÖÎÏ ÔÒÁËÔÏ×ÁÔØ ËÁË ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Rd ÒÉ 861 6 d 6 6 2 319, ÔÏ ÉÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (13) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÇÉÏÔÅÚÁ âÏÒÓÕËÁ ÎÅ×ÅÒÎÁ ÒÉ ×ÓÅÈ d, 861 6 d 6 2 319, Á ÔÁËÖÅ ÒÉ d = 860 . úÎÁÞÉÔ, Ó ÕÞÅÔÏÍ [2℄, ÏÎÁ ÎÅ×ÅÒÎÁ ÒÉ ×ÓÅÈ d > 860. éÔÁË, ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒÙ Ë ÇÉÏÔÅÚÅ âÏÒÓÕËÁ ÏÓÔÒÏÅÎÙ ÒÉ ×ÓÅÈ d, 561 6 d 6 6 757 É d > 860. äÏ Á×ÇÕÓÔÁ 1998 Ç. ×ÏÒÏÓ €þÔÏ ×ÅÒÎÏ | ÔÅÏÒÅÍÁ ÉÌÉ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒ | ÒÉ 757 < d < 860 ? ÏÓÔÁ×ÁÌÓÑ ÏÔËÒÙÔÙÍ. òÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÛËÏÌØÎÉËÏ× | ÏÂÅÄÉÔÅÌÅÊ XIX ÕÒÎÉÒÁ çÏÒÏÄÏ×

÷ Á×ÇÕÓÔÅ 1998 Ç. × çÁÍÂÕÒÇÅ ÓÏÓÔÏÑÌÁÓØ X ÌÅÔÎÑÑ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÑ ÕÒÎÉÒÁ çÏÒÏÄÏ× ∗) . îÁ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ Ñ ÒÅÄÌÏÖÉÌ ÅÅ ÕÞÁÓÔÎÉËÁÍ, ÏÂÅÄÉÔÅÌÑÍ XIX ÕÒÎÉÒÁ çÏÒÏÄÏ×, ÒÑÄ ÚÁÄÁÞ Ï ÒÁÚÂÉÅÎÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁ ÞÁÓÔÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ, ×ËÌÀÞÁÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÎÅÒÅÛÅÎÎÙÅ ×ÏÒÏÓÙ (× ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ, Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÑÈ d, 757 < d < 860). ÷ çÁÍÂÕÒÇÅ ÕËÒÁÉÎÓËÉÅ ÛËÏÌØÎÉËÉ òÕÓÌÁÎ âÁÔÒÛÉÎ É íÁËÓÉÍ äÁ×ÙÄÏ× (Ç. ìØ×Ï×) ÎÁÛÌÉ ÎÏ×ÏÅ | ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÏÅ, ÞÅÍ ÒÅÖÎÉÅ, | ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÇÉÏÔÅÚÙ âÏÒÓÕËÁ ÒÉ d = 3 (ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÉ×ÅÄÅÎÏ × ËÏÎ Å ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÉ, ÓÍ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ 3). á ×ÓËÏÒÅ ÏÓÌÅ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ ÛËÏÌØÎÉËÉ äÉÍÁ çÕÒÅ×ÉÞ (Ç. ÅÌØ-á×É×, éÚÒÁÉÌØ) É óÁÛÁ çÁÊÆÕÌÌÉÎ (Ç. öÕËÏ×ÓË, òÏÓÓÉÑ) ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ ÏÌÕÞÉÌÉ ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ×ÏÒÏÓ Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÑÈ d, 757 < d < 860: ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÜÔÉÈ d ÏÎÉ ÏÓÔÒÏÉÌÉ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒÙ Ë ÇÉÏÔÅÚÅ âÏÒÓÕËÁ. éÈ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÂÁÚÉÒÕÅÔÓÑ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ, ÓÏ×ÓÅÍ ÒÏÓÔÏÊ, ÌÅÍÍÅ: ìÅÍÍÁ. ðÕÓÔØ × ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ ABC ÇÉÏÔÅÎÕÚÁ AB (|AB | = D) É ËÁÔÅÔÙ AC É BC (|AC | = r; |BC | = R) Ó×ÑÚÁÎÙ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ r 6 R, ÉÌÉ, ÞÔÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ, 2r2 6 D2 . ðÕÓÔØ ÔÏÞËÁ T ËÁÔÅÔÁ BC ÔÁËÏ×Á, ÞÔÏ |T A| = |T B | = . ÏÇÄÁ 22 6 D2 . ìÅÍÍÁ ÓÒÁÚÕ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÏÄÏÂÉÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ABC É T BS , ÇÄÅ S | ÓÅÒÅÄÉÎÁ AB (ÒÉÓ. 1), Á ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÅÅ ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ ÔÏÍ, ÞÔÏ Y (ÎÁÛ 561-ÍÅÒÎÙÊ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒ Ë ÇÉÏÔÅÚÅ âÏÒÓÕËÁ) ÌÅÖÉÔ ÎÁ 560-ÍÅÒÎÏÊ ÓÆÅÒÅ ÒÁÄÉÕÓÁ r (r2 = 561) É, Ó ÕÞÅÔÏÍ (10), r É diam Y =D Ó×ÑÚÁÎÙ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ 2r2 6 D2 (r2 = 561 = = 17 · 33 < 18 · 32 = D2 =2). ∗) ðÏÄÒÏÂÎÙÊ ÒÁÓÓËÁÚ Ï ÕÒÎÉÒÅ çÏÒÏÄÏ× (ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÉ ÛËÏÌØÎÉËÏ× ÓÔÁÒÛÉÈ ËÌÁÓÓÏ×, ËÏÔÏÒÏÅ ÒÏ×ÏÄÉÔÓÑ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó 1980 Ç.) ÍÏÖÎÏ × ÎÁÊÔÉ × [5℄.

174

í. ì. çÅÒ×ÅÒ

òÉÓ. 1.

ÏÞÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ä. çÕÒÅ×ÉÞÁ{á. çÁÊÆÕÌÌÉÎÁ ÔÁËÏ×Á: õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï M ÄÉÁÍÅÔÒÁ D ÌÅÖÉÔ × k -ÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÎÁ (k − 1)-ÍÅÒÎÏÊ ÓÆÅÒÅ s ÒÁÄÉÕÓÁ r, ÒÉÞÅÍ r2 6 D2 =2; (14) É ÕÓÔØ M Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒÏÍ Ë ÇÉÏÔÅÚÅ âÏÒÓÕËÁ: M ÎÅÌØÚÑ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ k + 1 ÞÁÓÔÅÊ, ÄÉÁÍÅÔÒ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÅÎØÛÅ D. ÏÇÄÁ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒ Ë ÇÉÏÔÅÚÅ âÏÒÓÕËÁ × Rd ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÒÉ ÌÀÂÏÍ d > k. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ. îÁ ÒÉÓ. 1 (k − 1)-ÍÅÒÎÁÑ ÓÆÅÒÁ s ÕÓÌÏ×ÎÏ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ × ×ÉÄÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÒÁÄÉÕÓÁ r. íÎÏÖÅÓÔ×Ï M = M1 ÄÉÁÍÅÔÒÁ D (ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒ Ë ÇÉÏÔÅÚÅ âÏÒÓÕËÁ × Rk ) ÌÅÖÉÔ ÎÁ s, ÒÉÞÅÍ 2r2 6 D2 . äÏÂÁ×ÌÑÑ ÏÄÎÕ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ É ÄÏÂÁ×ÌÑÑ Ë M1 ÏÄÎÕ ÔÏÞËÕ N , ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÕÀ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ D ÏÔ ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË s, ÏÌÕÞÁÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï M2 ∈ Rk+1 , ËÏÔÏÒÏÅ Ï-ÒÅÖÎÅÍÕ ÉÍÅÅÔ ÄÉÁÍÅÔÒ D É ËÏÔÏÒÏÅ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÎÅÌØÚÑ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ k + 2 ÞÁÓÔÉ ÄÉÁÍÅÔÒÁ ÍÅÎØÛÅ D. ÅÍ ÓÁÍÙÍ, M2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒÏÍ Ë ÇÉÏÔÅÚÅ âÏÒÓÕËÁ × Rk+1 . ÁË ËÁË (Ï ÌÅÍÍÅ) M2 ÌÅÖÉÔ ÎÁ k-ÍÅÒÎÏÊ ÓÆÅÒÅ, ÄÌÑ ÒÁÄÉÕÓÁ ËÏÔÏÒÏÊ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ (14), ÔÏ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅ | Ï ÏÄÎÏÊ | ÎÏ×ÙÈ ÔÏÞÅË (Ó Õ×ÅÌÉÞÅÎÉÅÍ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ) ÍÏÖÎÏ ÒÏÄÏÌÖÉÔØ Ï ÉÎÄÕË ÉÉ. á. çÁÊÆÕÌÌÉÎ ÄÏËÁÚÁÌ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ×ÅÒÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÚÁÍÅÎÉÔØ × ÎÅÍ (14) ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ r2 6 3D2 =4: (15) îÅËÏÔÏÒÙÅ ÎÅÒÅÛÅÎÎÙÅ ×ÏÒÏÓÙ

îÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÕÓÅÈÉ ÏÓÌÅÄÎÉÈ ÌÅÔ, ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÒÑÄ ÎÅÒÅÛÅÎÎÙÈ ×ÏÒÏÓÏ×, Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ Ó ÚÁÄÁÞÅÊ âÏÒÓÕËÁ. ÷ÏÔ | ÏÓÎÏ×ÎÙÅ Ä×Á ÉÚ ÎÉÈ: 1. þÔÏ ×ÅÒÎÏ | ÔÅÏÒÅÍÁ ÉÌÉ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒ | ÒÉ 4 6 d 6 560 ? 2. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ f (d) ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÉÚ ÔÁËÉÈ ÞÉÓÅÌ m, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × d−ÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÍÏÖÎÏ√ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ m ÞÁÓÔÅÊ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ. ÷ [2℄ ÏÌÕÞÅÎÁ Ï ÅÎËÁ f (d) > (1;2) d , ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ√ d. îÅÄÁ×ÎÏ ÏÎÁ ÕÔÏÞÎÅÎÁ × [7℄: ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ r(d), 1 6 r(d) = o(e d ), ÞÔÏ √ √ √ f (d) > r(d) · (2= 3) 2d > (1;2255) d: ëÁË ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÒÁÓÔÅÔ f (d) Ó ÒÏÓÔÏÍ d?

ï ÒÁÚÂÉÅÎÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁ ÞÁÓÔÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ

175

ëÏÍÍÅÎÔÁÒÉÉ

1. ðÕÓÔØ M | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÉÁÍÅÔÒÁ D ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÕÀ ÒÑÍÕÀ L1 , ÓÏÄÅÒÖÁÝÕÀ ÈÏÔØ ÏÄÎÕ ÇÒÁÎÉÞÎÕÀ ÔÏÞËÕ M É ÔÁËÕÀ, ÞÔÏ ÎÁÄ L1 ÎÅÔ ÔÏÞÅË M . ðÏÄ L1 ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏ L1 ÒÏ×ÅÄÅÍ ÒÑÍÕÀ L′1 ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ D ÏÔ L1 . ðÏÄ L′1 , ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÎÅÔ ÔÏÞÅË M , Ô.Å. ÍÙ ÚÁËÌÀÞÉÌÉ M × ÏÌÏÓÕ P1 ÛÉÒÉÎÙ D. ðÏÓÔÒÏÉ× ÔÁË ÖÅ ÅÝÅ 2 ÏÌÏÓÙ P2 É P3 ÛÉÒÉÎÙ D, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÅ ÏÄ ÕÇÌÏÍ 60◦ Ë P1 , ÚÁËÌÀÞÉÍ M × 6-ÕÇÏÌØÎÉË S (Ñ×ÌÑÀÝÉÊÓÑ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅÍ ÔÒÅÈ ÏÌÏÓ ÛÉÒÉÎÙ D). õ ÔÁËÏÇÏ 6-ÕÇÏÌØÎÉËÁ S ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ÏÁÒÎÏ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ, Á ÄÌÉÎÙ ÓÔÏÒÏÎ a É b (a 6 b) ÞÅÒÅÄÕÀÔÓÑ: a − b − a − b − a − b. ïÕÓËÁÑ ÉÚ ÅÎÔÒÁ S ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÙ ÎÁ ÓÔÏÒÏÎÙ ÄÌÉÎÙ b, ÍÙ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÍ S (Á ÚÎÁÞÉÔ, É M ) ÎÁ ÔÒÉ ÞÁÓÔÉ ÄÉÁÍÅÔÒÁ ÍÅÎØÛÅ D, ÒÉÓ. 2.

òÉÓ. 2. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. óÔÁÎÄÁÒÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÊ ÛÁÇ: ×ÒÁÝÁÑ 6-ÕÇÏÌØÎÉË S , ÄÏÂÉ×ÁÀÔÓÑ, ÞÔÏÂÙ ÏÎ ÓÔÁÌ ÒÁ×ÉÌØÎÙÍ. äÌÑ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ S É M ÎÁ 3 ÞÁÓÔÉ ÄÉÁÍÅÔÒÁ ÍÅÎØÛÅ D ÜÔÏÔ ÛÁÇ ÎÅ ÎÕÖÅÎ. äÒÕÇÉÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÍ. × ðÒÉÌÏÖÅÎÉÉ 1. 2. þÅÒÅÚ ËÁÖÄÕÀ ÇÒÁÎÉÞÎÕÀ ÔÏÞËÕ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á V × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÍÏÖÎÏ ÒÏ×ÅÓÔÉ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÕ ÏÏÒÎÕÀ ÌÏÓËÏÓÔØ (Ô.Å. ÔÁËÕÀ ÌÏÓËÏÓÔØ, ÞÔÏ V ÌÅÖÉÔ Ï ÏÄÎÕ ÓÔÏÒÏÎÕ ÏÔ ÎÅÅ). þÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÕ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÕ ËÕÂÁ) ÒÏÈÏÄÉÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÏ ÏÏÒÎÙÈ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ. ÷ÙÕËÌÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï (ÉÌÉ ×ÙÕËÌÏÅ ÔÅÌÏ) V ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÌÁÄËÉÍ , ÅÓÌÉ ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÕÀ ÇÒÁÎÉÞÎÕÀ ÔÏÞËÕ V ÒÏÈÏÄÉÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÏÏÒÎÁÑ ÌÏÓËÏÓÔØ. ÷ ðÒÉÌÏÖÅÎÉÉ 2 ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÇÌÁÄËÏÅ ×ÙÕËÌÏÅ ÔÅÌÏ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ 4 ÞÁÓÔÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ. ÅÏÒÅÍÁ èÁÄ×ÉÇÅÒÁ × d-ÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ. 3. ÷ [3℄ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒÙ ÏÓÔÒÏÅÎÙ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ d = C42p , ÇÄÅ p | ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÂÏÌØÛÅÅ ÉÌÉ ÒÁ×ÎÏÅ 11; × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÒÉ p = 11 ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ d = 2. = 946 = C44 4. ëÁË ÂÙ ÎÉ ÒÁÚÂÉÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Y , ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ H ÔÏÞÅË, ÎÁ d + 1 ÞÁÓÔÅÊ Y1 , . . . , Yd+1 , ÈÏÔÑ ÂÙ × ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÎÉÈ (ÓËÁÖÅÍ, × Yj ) ÏËÁÖÅÔÓÑ, ××ÉÄÕ (1), ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ q ÔÏÞÅË; ÚÎÁÞÉÔ, Yj ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÌÉËÏÊ ÇÒÁÆÁ , É | Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÇÒÁÆÁ | × Yj ÎÁÊÄÕÔÓÑ ÔÏÞËÉ y, y′ , ÏÔÓÔÏÑÝÉÅ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ D = diam Y . ÅÍ ÓÁÍÙÍ ÄÉÁÍÅÔÒ Yj ÒÁ×ÅÎ ÄÉÁÍÅÔÒÕ Y , Ô. Å. (1) ÄÁÅÔ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒ Ë ÇÉÏÔÅÚÅ âÏÒÓÕËÁ.

176

í. ì. çÅÒ×ÅÒ

5. úÎÁËÉ {xj }32 ×ÙÂÉÒÁÀÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ, Á ÚÎÁË x33 ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏÚÎÁÞj =1 Q33 ÎÏ | ÔÁË, ÞÔÏÂÙ j=1 xj = 1. ÅÍ ÓÁÍÙÍ X ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ 232 ÔÏÞÅË. 6. äÌÑ ÌÀÂÙÈ x = {xj } É x′ = {x′j } ÉÚ X ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ

(x; x′ ) = x0 x′0 + x1 x′1 + · · · + xn x′n ; ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ÓËÁÌÑÒÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ (e; e′ ), ÇÄÅ e = {ej } É e′ = = {e′j } | ÔÏÞËÉ × Rn+1 Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ ej , ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÙÍÉ 1, É ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ e′j , ÒÁ×ÎÙÍÉ xj x′j ÒÉ ×ÓÅÈ j . ïÂÅ ÔÏÞËÉ | É e, É e′ | ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ X , ÏÓËÏÌØËÕ

e0 = e′0 = 1 É

n Y

j =1

e′j =

n Y

j =1

xj ·

n Y

j =1

x′j = 1:

åÓÌÉ e′j = 1 ÒÉ ×ÓÅÈ j , ÔÏ (e; e′ ) = 34; ÅÓÌÉ e′j = 1 ÒÉ ×ÓÅÈ j , ËÒÏÍÅ Ä×ÕÈ, ÔÏ (e; e′) = 30; ÅÓÌÉ e′j = 1 ÒÉ ×ÓÅÈ j , ËÒÏÍÅ ÞÅÔÙÒÅÈ, ÔÏ (e; e′) = 26 É Ô. Ä. 7. îÁÏÍÎÀ: ×ÓÅ xi = ±1, ÏÜÔÏÍÕ x2i = 1, 1 6 i 6 n. 8. ëÁÖÄÙÊ ÉÚ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× gj (x) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÅÊ Ó ÅÌÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÏÄÎÏÞÌÅÎÏ× (6), Ô.Å. ÏÄÎÏÞÌÅÎÏ× 1; x1 ; x2 ; : : : ; xn ; xr xs (1 6 r < s 6 n); xr xs xt (1 6 r < s < t 6 n); : : :

ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÉÈ e1 ; e2 ; : : : ; eQ , ÇÄÅ Q = 7k=0 Cnk , n = 33. 0 = 1 | ÉÍÅÅÔÓÑ 1 ÏÄÎÏÞÌÅÎ, óÍÙÓÌ ËÁÖÄÏÇÏ ÓÌÁÇÁÅÍÏÇÏ × ÜÔÏÊ ÓÕÍÍÅ ÑÓÅÎ: C33 1 ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÙÊ 1; C33 = 33 ÏÄÎÏÞÌÅÎÁ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ÆÕÎË ÉÑÍÉ; 2 ÏÄÎÏÞÌÅÎÏ× | ÏÁÒÎÙÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ xr xs ; 1 6 r < s 6 n; C 3 ÏÄÎÏÞÌÅÎÏ× | C33 33 ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ xr xs xt ; 1 6 r < s < t 6 n; É Ô. Ä. ÷ ÜÔÉÈ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ gj (x) = K1;j e1 + · · · + KQ;j eQ ; K1;j ; : : : ; KQ;j | ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ; 1 6 j 6 q: åÓÌÉ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï (7) ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÔÏÌØËÏ ÒÉ ÔÏÍ ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ 1 ; : : : ; q ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ, ÔÏ ÄÌÑ ÔÅÈ, ËÔÏ ÚÎÁÅÔ ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÁÌÇÅÂÒÕ, ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï q 6 Q ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ: e1 ; : : : ; eQ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ ÉÚ Q ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, É ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× q × ÓÉÓÔÅÍÅ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ g1 ; : : : ; gq ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÂÏÌØÛÅ Q. äÏËÁÖÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï q 6 Q, ÎÅ ÏÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÜÔÏÔ ÆÁËÔ. ðÅÒÅÉÓÙ×ÁÑ (7) × ×ÉÄÅ

1 (K1;1 e1 + · · · + KQ;1 eQ ) + · · · + q (K1;q e1 + · · · + KQ;q eQ ) = ( 1 K1;1 + · · · + q K1;q )e1 + · · · + ( 1 KQ;1 + · · · + q KQ;q )eQ ≡ 0; ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ (7) ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ

1 Ki;1 + · · · + q Ki;q = 0 ÒÉ ×ÓÅÈ i; 1 6 i 6 Q: (16) âÕÄÅÍ ÔÒÁËÔÏ×ÁÔØ (16) ËÁË ÓÉÓÔÅÍÕ Q ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó ÅÌÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ Ki;j ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ q ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ 1 ; : : : ; q . úÁÄÁÞÁ ÂÕÄÅÔ ÒÅÛÅÎÁ, ÅÓÌÉ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ q > Q (Ô.Å. ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ) ÓÉÓÔÅÍÁ (16) ÉÍÅÅÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ 1 ; : : : ; q . á ÜÔÏ, ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÔÁË, ÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÊ (ÉÍÅÀÝÅÊ ÈÏÔØ ÏÄÎÏ ÒÅÛÅÎÉÅ) ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ×ÅÒÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÅÅ P

ï ÒÁÚÂÉÅÎÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁ ÞÁÓÔÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ

177

õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ. óÏ×ÍÅÓÔÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ Q ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ É ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ ÒÁ×ÙÍÉ ÞÁÓÔÑÍÉ ÉÍÅÅÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ × ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÌÁÈ, ÅÓÌÉ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ. ðÒÉ Q = 1 ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, É ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔØ ÅÇÏ Ï ÉÎÄÕË ÉÉ ÒÉ Q > 1. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÉÓÔÅÍÕ Q ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ X1 ; : : : ; Xq ; q > Q, Ó ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ Ri;j É ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ ÒÁ×ÙÍÉ ÞÁÓÔÑÍÉ Ri , 1 6 i 6 Q, 1 6 j 6 q: R1;1 X1 + · · · + R1;q Xq = R1 ; R2;1 X1 + · · · + R2;q Xq = R2 ; :::::::::::::::::::::::::::::: RQ;1 X1 + · · · + RQ;q Xq = RQ : ðÕÓÔØ ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÁ É ÎÅ ×ÓÅ Ri;j ÒÁ×ÎÙ 0 (ÓÌÕÞÁÊ Ri;j ≡ 0 É Ri ≡ 0 ÔÒÉ×ÉÁÌÅÎ). íÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ (ÅÓÌÉ ÎÕÖÎÏ, ÉÚÍÅÎÉ× ÎÕÍÅÒÁ ÉÀ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ É ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ), ÞÔÏ R1;1 6= 0. ÷ÙÞÉÔÁÑ ÅÒ×ÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÕÍÎÏÖÅÎÎÏÅ ÎÁ Ri;1 =R1;1 ÉÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ i, 2 6 i 6 Q, ÉÓËÌÀÞÉÍ X1 ÉÚ ×ÓÅÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ËÒÏÍÅ ÅÒ×ÏÇÏ, É ÅÒÅÊÄÅÍ Ë ÓÉÓÔÅÍÅ R1;1 X1 + R1;2 X2 + · · · + R1;q Xq = R1 ; r2;2 X2 + · · · + r2;q Xq = r2 ; ::::::::::::::::::::::::::: rQ;2 X2 + · · · + rQ;q Xq = rQ : ðÏ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ, ÎÅ ×ÓÅ ÒÁ×ÎÙÅ ÎÕÌÀ, ÞÉÓÌÁ X2 ; : : : ; Xq ; q > Q, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ ×ÓÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ, ËÒÏÍÅ ÅÒ×ÏÇÏ; ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÉÈ × ÅÒ×ÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÎÁÈÏÄÉÍ ÔÁËÖÅ É X1 . äÌÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ (Ó ÒÁ×ÙÍÉ ÞÁÓÔÑÍÉ Ri = 0) ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÉÚ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ. 9. ë×ÁÄÒÁÔ ÏÌÕÞÉÌÓÑ ÂÙ ÒÉ s = n + 1 − s = 17, ÎÏ s ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÞÅÔÎÙÍ, ÏÓËÏÌØËÕ x ∈ X . 10. åÓÌÉ | ×ÍÅÓÔÏ ÁÒÙ (n = 33; d = 561) | ÏÒÏÂÏ×ÁÔØ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÁÒÕ (n = 29; d = 435), ÔÏ | ×ÍÅÓÔÏ ÔÁÂÌÉ Ù, ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÎÏÊ ÒÉ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÉ Ó×ÏÊÓÔ× ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F (s) ÉÚ (5), | ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÔÁÂÌÉ Á 2, ÉÌÉ, ÞÔÏ ÔÏ ÖÅ, ÔÁÂÌÉ-

s s + 6 s + 10 s + 14 s + 18 s + 22 s + 26 6 12 16 20 24 28 32 10 16 20 24 28 32 36 14 20 24 28 32 36 40 18 24 28 32 36 40 44 22 28 32 36 40 44 48 26 32 36 40 44 48 52 30 36 40 44 48 52 56 ÁÂÌÉ Á 2.

178

í. ì. çÅÒ×ÅÒ

s 6 10 14 18 22 26 30

s+6 3 · 22 24 5 · 22 3 · 23 7 · 22 25 9 · 22

s + 10 24 5 · 22 3 · 23 7 · 22 25 9 · 22 5 · 23

s + 14 5 · 22 3 · 23 7 · 22 25 9 · 22 5 · 23 11 · 22

s + 18 3 · 23 7 · 22 25 9 · 22 5 · 23 11 · 22 3 · 24

s + 22 7 · 22 25 9 · 22 5 · 23 11 · 22 3 · 24 13 · 22

s + 26 25 9 · 22 5 · 23 11 · 22 3 · 24 13 · 22 7 · 23

ÁÂÌÉ Á 3.

Á 3, ÏÚ×ÏÌÑÀÝÁÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ (ÎÏ×ÏÇÏ | 6-Ê ÓÔÅÅÎÉ) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F (s) = (s + 6)(s + 10)(s + 14)(s + 18)(s + 22)(s + 26) ÒÉ s = 6; 10; 14; 18; 22; 26 ÄÅÌÑÔÓÑ ÎÁ 217 , Á F (30) ÄÅÌÉÔÓÑ ÌÉÛØ ÎÁ 216 É ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 217 ; ÏÄÎÁËÏ | ×ÍÅÓÔÏ (9) | ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÌÉÛØ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

q6Q=

6 X

k=0

k = 621 616; H = 228 = 268 435 456; H=Q > 431: C29

ï ÅÎËÁ H=Q > 431 ÞÕÔØ ÈÕÖÅ, ÞÅÍ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÄÌÑ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒÁ × Rd ÒÉ d = 435. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÁÒÁ (n = 29; d = 435) ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ €ÅÒÓÅËÔÉ×ÎÏʁ: ÅÄ×Á ÌÉ ÒÉ ÒÁÚÂÉÅÎÉÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÇÒÁÆÁ ÎÁ ËÌÉËÉ ×ÓÅ ÏÎÉ ÍÏÇÕÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÍÉ, É ÅÓÌÉ ÂÙ ÕÄÁÌÏÓØ ÓÏÓÞÉÔÁÔØ, ÓËÏÌØËÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ËÌÉË, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ | ËÁÖÄÁÑ | Ï Q ×ÅÒÛÉÎ, ÔÏ ÞÉÓÌÏ 431 × ÏÓÌÅÄÎÅÊ Ï ÅÎËÅ, ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÕÄÁÌÏÓØ ÂÙ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÞÉÓÌÏÍ 436 . 11. ðÏÄÒÏÂÎÅÅ ÜÔÉ ÓÌÏ×Á ÏÚÎÁÞÁÀÔ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ. a) ðÒÉ n = 41 ×ÌÏÖÉÍ n-ÍÅÒÎÙÊ ËÕ [−1; 1℄n × (n + 1)-ÍÅÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ {xj }nj=0 , É, ÔÒÁËÔÕÑ [−1; 1℄41 ËÁË 41-ÍÅÒÎÕÀ ÇÒÁÎØ x0 = 1 ËÕÂÁ [−1; 1℄42, ÏÒÅÄÅÌÉÍ X ÏÄÏÂÎÏ ÔÏÍÕ, ËÁË ÜÔÏ ÂÙÌÏ ÓÄÅÌÁÎÏ ÒÅÖÄÅ: ×ÅÒÛÉÎÁ {xj }nj=0 , xj = ±1, ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ Ë X , ÅÓÌÉ x0 = 1 É ÞÉÓÌÏ ÍÉÎÕÓ ÅÄÉÎÉ ÓÒÅÄÉ {xj }nj=1 ÞÅÔÎÏ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ X ÓÏÄÅÒÖÉÔ H = 2n−1 ÔÏÞÅË: |X | = H = 240 . b) ÁË ÖÅ, ËÁË ÒÅÖÄÅ, ÏÔÏÂÒÁÚÉÍ X ÎÁ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Y ×ÅÒÛÉÎ d-ÍÅÒÎÏÇÏ 2 = 861. ËÕÂÁ [−1; 1℄d, d = C42 òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï P ×ÓÅÈ ÁÒ (i; j ); 1 6 i 6 j 6 n = 41 (ÞÉÓÌÏ ÔÁËÉÈ ÁÒ ÒÁ×ÎÏ d, ÔÁË ÞÔÏ ÉÈ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÎÕÍÅÒÏ×ÁÔØ ÞÉÓÌÁÍÉ k = k(i; j ); 1 6 k 6 d) É ×ÅÒÛÉÎÅ x = {xj }nj=0 ∈ X ÓÏÏÓÔÁ×ÉÍ ÔÏÞËÕ y = y(x) ∈ Y Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ yk = yk(i;j) = xi−1 xj ; (i; j ) ∈ P; 1 6 k = k(i; j ) 6 d: íÎÏÖÅÓÔ×Ï Y , ËÁË É X , ÓÏÄÅÒÖÉÔ H ÔÏÞÅË: |Y | = |X | = H = 240 .

) äÌÑ x; x′ ∈ X ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ (x; x′ ) = nj=0 xj x′j ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ 42; ±38; ±34; ±30; ±26; ±22; ±18; ±14; ±10; ±6; ±2: (17) P

179

ï ÒÁÚÂÉÅÎÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁ ÞÁÓÔÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ

ó×ÑÚÁÎÎÙÊ Ó ÎÉÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ 9-Ê ÓÔÅÅÎÉ F (s) = (s + 6)(s + 10)(s + 14)(s + 18)(s + 22)(s + 26)(s + 30)(s + 34)(s + 38) (18) ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ: F (s) ≡ 0 (mod 11) ÒÉ ×ÓÅÈ s > 0 ÉÚ (17), ËÒÏÍÅ s = 42, É F (42) 6≡ 0 (mod 11). d) òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ |yy′ | ÍÅÖÄÕ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ y = y(x); y′ = y(x′ ) ∈ Y ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ÒÁ×ÎÏ ÄÉÁÍÅÔÒÕ D ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y , ËÏÇÄÁ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ (x; x′ ) = = ±2. e) ðÒÅ×ÒÁÔÉÍ X × ÇÒÁÆ , ÓÏÅÄÉÎÉ× ÒÅÂÒÁÍÉ ×ÓÅ ÁÒÙ ×ÅÒÛÉÎ x; x′ ∈ X , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ (x; x′ ) 6= ±2. þÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÊ ËÌÉËÉ ÇÒÁÆÁ ÒÁ×ÎÏ P9 k Q = k=0 C41 . Ï, ÞÔÏ ÉÈ ÎÅ ÂÏÌØÛÅ Q, ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ Ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ Ó×ÏÊÓÔ× ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F (s) ÉÚ (18); ÔÏ, ÞÔÏ ÉÈ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ Q, ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ (ÓÒÁ×ÎÉÍ Ó (12)) ÒÉÍÅÒ ËÌÉËÉ X0 ∪ X2 ∪ X4 ∪ X6 ∪ X8 ∪ X32 ∪ X34 ∪ X36 ∪ X38 ∪ X40 : 12. æÉËÓÉÒÕÑ ÌÀÂÕÀ ÉÚ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ yk , ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ Y ÎÁ Ä×Á ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y + É Y − ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ 860 (ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ yk = +1 É yk = −1). èÏÔØ ÏÄÎÏ ÉÚ ÎÉÈ ÎÅÌØÚÑ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ 861 ÞÁÓÔØ ÄÉÁÍÅÔÒÁ ÍÅÎØÛÅ D | ÉÎÁÞÅ (×ÏÒÅËÉ (13)) Y ÒÁÚÂÉÌÏÓØ ÂÙ ÎÁ 1 722 ÔÁËÉÈ ÞÁÓÔÉ. üÔÏ ÄÁÅÔ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒ (Y + ÉÌÉ Y − ) Ë ÇÉÏÔÅÚÅ âÏÒÓÕËÁ ÄÌÑ d = 860. 13. ðÒÉ ÒÁÚÂÉÅÎÉÉ M2 ÎÁ ÞÁÓÔÉ ÄÉÁÍÅÔÒÁ ÍÅÎØÛÅ D ÔÏÞËÁ N ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÏÁÓÔØ × ÏÄÎÕ ÞÁÓÔØ ÎÉ Ó ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÔÏÞÅË M1 , ÔÁË ËÁË ÕÄÁÌÅÎÁ ÏÔ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÎÉÈ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ D. 14. ÷ d-ÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ××ÅÄÅÍ ÄÅËÁÒÔÏ×Ù ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ {uj }dj=1 . óÆÅÒÕ s × k-ÍÅÒÎÏÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å uj = 0, k + 1 6 j 6 d, ÚÁÄÁÄÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ k X j =1

u2j = r2 :

ðÕÓÔØ d > k + 1 (ÓÌÕÞÁÊ d = k + 1 ÂÕÄÅÔ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎ ÏÔÄÅÌØÎÏ). ðÏÌÏÖÉÍ n = d − k − 1 (ÔÁË ÞÔÏ n > 1 É k + n = d − 1), ÏÒÅÄÅÌÉÍ h > 0 ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ r2 + D2 =4 + h2 = D2 (19) (××ÉÄÕ (15) ÔÁËÏÅ h ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ) É × (n + 1)-ÍÅÒÎÏÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å u1 = : : : = = uk = 0 ×ÏÚØÍÅÍ (n − 1)-ÍÅÒÎÕÀ ÓÆÅÒÕ s′ ÄÉÁÍÅÔÒÁ D kX +n

j =k+1

u2j = D2 =4; ud = h:

õÓÌÏ×ÉÅ (19) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÏÔ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ P

P = (u1 ; : : : ; uk ; 0; : : : ; 0; 0); ÄÏ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ Q ∈ s′ ,

Q = (0; : : : ; 0; uk+1 ; : : : ; uk+n ; ud = h);

k X j =1

∈ s,

u2j = r2 ; kX +n

j =k+1

u2j = D2 =4;

180

í. ì. çÅÒ×ÅÒ

ÒÁ×ÎÏ D: |P Q|2



=

k X j =1





u2j  + 

kX +n

j =k+1



u2j  + h2 = r2 + D2 =4 + h2 = D2 :

(20)

ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á M ⊂ s ÓÏ ÓÆÅÒÏÊ s′ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ M ′ ; Ï ÏÓÔÒÏÅÎÉÀ ÄÉÁÍÅÔÒ M ′ ÒÁ×ÅÎ D. ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ M ÎÅÌØÚÑ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ k + 1 ÞÁÓÔÅÊ ÄÉÁÍÅÔÒÁ ÍÅÎØÛÅ D. óÆÅÒÕ s′ ÎÅÌØÚÑ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ n ÞÁÓÔÅÊ ÄÉÁÍÅÔÒÁ ÍÅÎØÛÅ D. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÒÉ ÒÁÚÂÉÅÎÉÉ M É s′ ÎÁ ÞÁÓÔÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÞÁÓÔÅÊ ÒÁ×ÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ p(M ) > k + 2 É n + 1. ðÏÜÔÏÍÕ (×ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ (20)) ÄÌÑ M ′ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÞÁÓÔÅÊ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ ÒÁ×ÎÏ p(M ) + n + 1 > k + n + 3 = d + 2, ÔÏ ÅÓÔØ M ′ | ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒ Ë ÇÉÏÔÅÚÅ âÏÒÓÕËÁ × d-ÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å: M ′ ÎÅÌØÚÑ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ d + 1 ÞÁÓÔÅÊ ÄÉÁÍÅÔÒÁ ÍÅÎØÛÅ D; (21) É ÜÔÏ ÄÏËÁÚÁÎÏ | ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ (15) | ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ d > k + 1. þÔÏÂÙ ÏÌÕÞÉÔØ (21) ÄÌÑ d = k + 1, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ ×ÙÏÌÎÑÌÏÓØ ÕÓÌÏ×ÉÅ r 6 D. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ M ′ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ M ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÉ

Q = 0; : : : ; 0; ud = uk+1 = D2 − r2 ; 

p

ÌÅÖÁÝÅÊ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ D ÏÔ ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË ÓÆÅÒÙ s.



ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ 1. ÅÏÒÅÍÁ âÏÒÓÕËÁ ×

R2

É ×

R3 .

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ ÄÌÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×

÷ ðÒÉÌÏÖÅÎÉÉ 3 ÒÉ×ÅÄÅÎÏ ÎÏ×ÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÇÉÏÔÅÚÙ âÏÒÓÕËÁ × R3 . þÔÏÂÙ ÒÁÚÏÂÒÁÔØÓÑ × ÎÅÍ, ÏÌÅÚÎÏ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ ÅÒÅÎÅÓÔÉ (ÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ É ÄÏËÁÚÁÔØ) ÌÅÍÍÙ ÉÚ ðÒÉÌÏÖÅÎÉÑ 3 ÎÁ ÓÌÕÞÁÊ R2 . ðÏÓËÏÌØËÕ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒÙ Ë ÇÉÏÔÅÚÅ âÏÒÓÕËÁ ÂÙÌÉ ÏÓÔÒÏÅÎÙ ÄÌÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÏÓÏÂÙÊ ÉÎÔÅÒÅÓ ×ÙÚÙ×ÁÀÔ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÄÌÑ ÔÁËÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×. îÁ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ × çÁÍÂÕÒÇÅ ÕÖÅ ÕÏÍÉÎÁ×ÛÉÊÓÑ × ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÅ äÉÍÁ çÕÒÅ×ÉÞ ÒÅÄÌÏÖÉÌ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÌÁÎ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ âÏÒÓÕËÁ ÄÌÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×. ðÕÓÔØ M | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × d-ÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, diam M = D. ðÒÅ×ÒÁÔÉÍ M × ÇÒÁÆ G = G(M ), ÓÏÅÄÉÎÑÑ ÔÏÞËÉ P , Q ÉÚ M ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ |P Q| = D (ÉÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÒÏ×ÅÄÅÍ ×ÓÅ €ÏÔÒÅÚËÉ { ÄÉÁÍÅÔÒف × M ). îÁÚÏ×ÅÍ ÓÉÔÕÁ ÉÀ ÏÓÏÂÏÊ, ÅÓÌÉ ÓÔÅÅÎØ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÇÒÁÆÁ G ÎÅ ÍÅÎØÛÅ d + 1. d ìÅÍÍÁ. åÓÌÉ × R ÏÓÏÂÁÑ ÓÉÔÕÁ ÉÑ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÁ, ÔÏ ÇÉÏÔÅÚÁ âÏÒÓÕËÁ ×ÅÒÎÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á M ⊂ Rd. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. éÎÄÕË ÉÑ Ï ÞÉÓÌÕ ÔÏÞÅË M . 2 3 ÅÏÒÅÍÁ. ïÓÏÂÁÑ ÓÉÔÕÁ ÉÑ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÁ × R É × R . óÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ a) ×ÅÒÎÁ É ÂÅÚ ÔÒÕÄÁ ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ × R2 ; b) ×ÅÒÎÁ É ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÓÌÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ × R3 (ÎÁ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ × çÁÍÂÕÒÇÅ ÄÏËÁÚÁÔØ ÅÅ × R3 ÎÉËÏÍÕ ÎÅ ÕÄÁÌÏÓØ);

ï ÒÁÚÂÉÅÎÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁ ÞÁÓÔÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ

181

òÉÓ. 3.

) ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÎÅ ÏÂÏÂÝÁÅÔÓÑ ÎÁ Rd ÒÉ d > 4; ÄÌÑ ÜÔÉÈ d ÌÅÇËÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒÙ Ë ÔÅÏÒÅÍÅ, ÎÏ ÏÎÉ ÎÅ ÄÁÀÔ ÎÉËÁËÏÇÏ ÒÏÄ×ÉÖÅÎÉÑ × ÚÁÄÁÞÅ âÏÒÓÕËÁ. éÚ ÔÅÏÒÅÍÙ É ÉÚ ÌÅÍÍÙ ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ âÏÒÓÕËÁ × R2 É × R3 ÄÌÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×. óÁÍÁ ÔÅÏÒÅÍÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ A É B: A. ðÕÓÔØ M ⊂ R2 ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ n ÔÏÞÅË; ÔÏÇÄÁ × G(M ) ÍÁËÓÉÍÕÍ n ÒÅÂÅÒ. B. ðÕÓÔØ M ⊂ R3 ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ n ÔÏÞÅË; ÔÏÇÄÁ × G(M ) ÍÁËÓÉÍÕÍ 2n − 2 ÒÅÂÒÁ.∗) ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ 2. ÅÏÒÅÍÁ èÁÄ×ÉÇÅÒÁ

óÎÁÞÁÌÁ ÒÁÚÏÂØÅÍ ÔÒÅÈÍÅÒÎÙÊ ÛÁÒ ÎÁ 4 ÞÁÓÔÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ. ïÄÎÏ ÎÕÖÎÏÅ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ÛÁÒÁ ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 3a. äÒÕÇÏÅ (ÂÏÌÅÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ) ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÔÁË: ×ÉÛÅÍ × ÛÁÒ Ó ÅÎÔÒÏÍ O ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒ ABCD; ÞÅÔÙÒÅ ÔÒÅÈÇÒÁÎÎÙÈ ÕÇÌÁ OBCD, OACD, OABD É OABC, ÏÄ ËÏÔÏÒÙÍÉ ×ÉÄÎÙ ÉÚ ÅÎÔÒÁ ÇÒÁÎÉ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ, ÒÁÓÓÅËÁÀÔ ÛÁÒ ÎÁ 4 ÞÁÓÔÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ (ÒÉÓ. 3b). ÅÅÒØ, ÓÌÅÄÕÑ [1℄, ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ×ÅÒÎÁ 3 ÅÏÒÅÍÁ èÁÄ×ÉÇÅÒÁ × R . ìÀÂÏÅ ÇÌÁÄËÏÅ ×ÙÕËÌÏÅ ÔÅÌÏ V ÄÉÁÍÅÔÒÁ D × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ 4 ÞÁÓÔÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. òÁÚÏÂØÅÍ ÛÁÒ U ÄÉÁÍÅÔÒÁ D ÎÁ ÞÅÔÙÒÅ ÞÁÓÔÉ U1 ; U2 ; U3 , U4 ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ. ëÁÖÄÏÊ ÇÒÁÎÉÞÎÏÊ ÔÏÞËÅ v ∈ V ÓÏÏÓÔÁ×ÉÍ ÔÁËÕÀ ÇÒÁÎÉÞÎÕÀ ÔÏÞËÕ u = u(v) ∈ U , ÞÔÏ ÏÏÒÎÁÑ ÌÏÓËÏÓÔØ Ë V × ÔÏÞËÅ v ÁÒÁÌÌÅÌØÎÁ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ Ë U × ÔÏÞËÅ u (ÒÉ ÜÔÏÍ u ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ U É V ÌÅÖÁÌÉ Ï ÏÄÎÕ ÓÔÏÒÏÎÕ ÏÔ ÜÔÉÈ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ). ÏÞËÕ v ÎÁ ÇÒÁÎÉ Å V ÏÔÎÅÓÅÍ Ë Vj , ÅÓÌÉ u(v) ∈ Uj , 1 6 j 6 4. äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ diam Vj < D; 1 6 j 6 4: (22) äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÉ ËÁËÏÍ-ÎÉÂÕÄØ j ÜÔÏ ÎÅ ÔÁË É diam Vj = D. ðÕÓÔØ A É B | Ä×Å ÇÒÁÎÉÞÎÙÅ ÔÏÞËÉ Vj , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ |AB | = D. ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÞÅÒÅÚ A É B Ä×Å ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÅ ÏÔÒÅÚËÕ AB . ñÓÎÏ, ÞÔÏ V ÌÅÖÉÔ × ÏÌÏÓÅ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ (ÉÎÁÞÅ diam V > D). ðÏÜÔÏÍÕ ÒÏ×ÅÄÅÎÎÙÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÏÒÎÙÍÉ ∗) õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ

A É B ÄÏËÁÚÁÎÙ × [6, ÚÁÄÁÞÉ 87 a, b℄; ÓÍ. ÔÁËÖÅ [6, ÚÁÄÁÞÉ 101, 102℄.

182

í. ì. çÅÒ×ÅÒ

Ë V . úÎÁÞÉÔ, ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ Ë ÛÁÒÕ × ÔÏÞËÁÈ u(A) É u(B ) (ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÅ ÒÏ×ÅÄÅÎÎÙÍ ÏÏÒÎÙÍ ÌÏÓËÏÓÔÑÍ) ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ, Ô.Å. u(A) É u(B ) | ÄÉÁÍÅÔÒÁÌØÎÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÛÁÒÁ U . ðÏÜÔÏÍÕ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ÒÁ×ÎÏ D. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, Ï ÏÓÔÒÏÅÎÉÀ u(A) É u(B ) ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ Uj , ÔÁË ÞÔÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ÍÅÎØÛÅ D. ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ (22). ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ O | ÌÀÂÁÑ ÔÏÞËÁ ×ÎÕÔÒÉ V . óÏÅÄÉÎÉÍ O ÏÔÒÅÚËÁÍÉ ÓÏ ×ÓÅÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ v ∈ Vj É ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÜÔÉÈ ÏÔÒÅÚËÏ× ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Wj , 1 6 j 6 4. ñÓÎÏ, ÞÔÏ, ××ÉÄÕ (22), diam Wj < D. ðÏÓÔÒÏÅÎÎÙÅ €ËÏÎÕÓف Wj ÚÁÏÌÎÑÀÔ ×ÓÅ ×ÙÕËÌÏÅ ÔÅÌÏ V , Ô. Å. ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ V ÎÁ 4 ÞÁÓÔÉ ÄÉÁÍÅÔÒÁ ÍÅÎØÛÅ D. R3 ÷ Á×ÇÕÓÔÅ 1998 ÇÏÄÁ ÎÁ X ÌÅÔÎÅÊ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ ÕÒÎÉÒÁ çÏÒÏÄÏ× × çÁÍÂÕÒÇÅ ÌØ×Ï×ÓËÉÅ ÛËÏÌØÎÉËÉ òÕÓÌÁÎ âÁÔÒÛÉÎ É íÁËÓÉÍ äÁ×ÙÄÏ× ÏÌÕÞÉÌÉ ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ 3. ÅÏÒÅÍÁ âÏÒÓÕËÁ ×

ÎÏ×ÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÇÉÏÔÅÚÙ âÏÒÓÕËÁ ×

R3 .

ðÕÓÔØ M | ÚÁÍËÎÕÔÏÅ ×ÙÕËÌÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × R3 , D | ÄÉÁÍÅÔÒ M . ÏÇÄÁ M ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ 4 ÞÁÓÔÉ | ËÁÖÄÁÑ ÄÉÁÍÅÔÒÁ ÍÅÎØÛÅ D. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷×ÅÄÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ: B0 | ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÛÁÒ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ M , S0 | ÅÇÏ ÓÆÅÒÁ, R0 | ÅÇÏ ÒÁÄÉÕÓ, V | ÚÁÍËÎÕÔÁÑ ×ÙÕËÌÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ M ∩ S0 (Ô.Å. ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÚÁÍËÎÕÔÏÅ ×ÙÕËÌÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á M , ÏÁ×ÛÉÅ ÎÁ ÓÆÅÒÕ S0 ). ìÅÍÍÁ 1. V ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÅÎÔÒ 0 ÛÁÒÁ B0 . ìÅÍÍÁ 2. ÷ÏÚÍÏÖÎÙ ÔÒÉ ÓÌÕÞÁÑ: (a) V | ÏÔÒÅÚÏË ÄÌÉÎÙ 2R0, (b) V | ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË × ÜË×ÁÔÏÒÉÁÌØÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ B0 , ( ) V ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÉÓÁÎÎÙÊ × ÛÁÒ B0 ÔÅÔÒÁÜÄÒ T ∋ 0. ìÅÍÍÁ 3 (Ï ÍÉÎÉÍÁËÓÅ). ðÕÓÔØ T0 | ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒ, ×ÉÓÁÎÎÙÊ × ÛÁÒ B0 , 0 | ÄÌÉÎÁ ÅÇÏ ÒÅÂÒÁ; T | ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒ, ×ÉÓÁÎÎÙÊ × ÛÁÒ B0 É ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÅÎÔÒ 0 ÛÁÒÁ B0 ,  | ÄÌÉÎÁ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÇÏ ÒÅÂÒÁ T . ÏÇÄÁ  > 0 . éÓÏÌØÚÕÑ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÀ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÕÀ ÎÁ ÒÉÓ. 3b (ÓÍ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ 2), ÒÁÚÄÅÌÉÍ ÛÁÒ B0 ÎÁ ÞÅÔÙÒÅ ÞÁÓÔÉ C1 , C2 , C3 , C4 . ìÅÍÍÁ 4. diam Cj = 0 , 1 6 j 6 4. ÷ ÓÌÕÞÁÑÈ (a) É (b) (ÓÍ. ÌÅÍÍÕ 2) ÔÅÏÒÅÍÁ âÏÒÓÕËÁ ÌÅÇËÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÌÅÍÍÙ 4. ÷ ÓÌÕÞÁÅ ( ), ÅÓÌÉ ÔÅÔÒÁÜÄÒ T × ÌÅÍÍÅ 2 | ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÙÊ, ÔÅÏÒÅÍÁ âÏÒÓÕËÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÌÅÍÍ 3 É 4. îÁËÏÎÅ , ÕÓÔØ T × ÓÌÕÞÁÅ ( ) | ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒ ABCD (Ó ÒÅÂÒÏÍ 0 ), ÔÁË ÞÔÏ diam M > 0 . ÏÇÄÁ ÏÓÔÒÏÉÍ ÔÅÔÒÁÜÄÒ T ′ = A′ B ′ C ′ D′ , ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÊ T ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÅÎÔÒÁ 0 ÛÁÒÁ B0 . éÓÈÏÄÑ ÉÚ T ′, ÒÏ×ÅÄÅÍ ÔÁËÏÅ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ, ËÁË ÎÁ ÒÉÓ. 3b, É ÒÉÍÅÎÉÍ ÌÅÍÍÕ 4. åÓÌÉ diam(M ∩ Cj ) < 0 , 1 6 j 6 4, ÔÏ ÔÅÏÒÅÍÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ. ÅÏÒÅÍÁ.

ï ÒÁÚÂÉÅÎÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁ ÞÁÓÔÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ

183

åÓÌÉ diam(M ∩ Cj ) = 0 ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ j , ÔÏ M ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÒÅÂÒÏ T ′. ðÕÓÔØ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ ÜÔÏ | ÒÅÂÒÏ, ×ÙÈÏÄÑÝÅÅ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ A′ . ÏÇÄÁ M ⊃ AA′ , ÔÁË ÞÔÏ diam M = 2R0 > 0 , É ÔÅÏÒÅÍÁ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÔÏÖÅ ÄÏËÁÚÁÎÁ. ÷ÁÖÎÏÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ. ìÅÍÍÙ 1{3 ÏÂÏÂÝÁÀÔÓÑ ÎÁ ×ÓÅ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ d > 3, É ÌÉÛØ ÒÉ ÏÂÏÂÝÅÎÉÉ ÌÅÍÍÙ 4 ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÎÅ ÒÏÈÏÄÉÔ ÕÖÅ ÄÌÑ d = 4. óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

[1℄ âÏÌÔÑÎÓËÉÊ ÷. ç., çÏÈÂÅÒÇ é. ã. ÅÏÒÅÍÙ É ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. í.: îÁÕËÁ, 1965. [2℄ Kahn J., Kalai G. // Bull. AMS (N. S.) Vol. 29. No 1. 1993. P. 60-62. [3℄ Nilli A. // Contemp. Math. Vol. 178. 1994. P. 209-210. [4℄ òÁÊÇÏÒÏÄÓËÉÊ á. // õíî. . 52. ÷Ù. 6. 1997. ó. 181-182. [5℄ ëÏÎÓÔÁÎÔÉÎÏ× î. î. // íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ. óÅÒ 3, ×Ù. 1, 1997. ó. 164-174. [6℄ ûËÌÑÒÓËÉÊ ä. ï., þÅÎ Ï× î. î., ñÇÌÏÍ é. í. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ Ï ÅÎËÉ É ÚÁÄÁÞÉ ÉÚ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. í.: îÁÕËÁ, 1974. [7℄ òÁÊÇÏÒÏÄÓËÉÊ á. // õíî, 1999. ÷ ÅÞÁÔÉ.

184

á. â. óËÏÅÎËÏ×

n-ÍÅÒÎÙÊ ËÕÂ, ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ É ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ âÏÒÓÕËÁ

á. â. óËÏÅÎËÏ× 1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ

÷ 1993 Ç. ä. ëÁÎ É ç. ëÁÌÁÉ [5℄, ÓÌÅÄÕÑ ÉÄÅÑÍ âÏÌÔÑÎÓËÏÇÏ, üÒÄÅÛÁ É ìÁÒÍÁÎÁ, ÏÓÔÒÏÉÌÉ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒ Ë ÇÉÏÔÅÚÅ âÏÒÓÕËÁ. ïÎÉ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ d ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ d-ÍÅÒÎÏÇÏ ËÕÂÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁÚÂÉÔÏ ÎÁ ÞÁÓÔÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ, ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÞÁÓÔÅÊ ÒÁÓÔÅÔ ×ÍÅÓÔÅ Ó d ÒÉÍÅÒÎÏ √ ËÁË 1;2 d . üÔÏ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÂÏÌØÛÅ d + 1 ÄÌÑ ÂÏÌØÛÉÈ d. ëÏÎËÒÅÔÎÏ, ÄÌÑ d = 1325 ÇÉÏÔÅÚÁ âÏÒÓÕËÁ ÎÅ×ÅÒÎÁ. ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ëÁÎÁ É ëÁÌÁÉ (ÓÍ. [5, 8℄) ÂÙÌÏ ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ ð. æÒÜÎËÌÁ É ò. ÷ÉÌØÓÏÎÁ [3℄. éÚÒÁÉÌØÓËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË áÌÏÎ îÉÌÌÉ ÒÁÚÏÂÒÁÌÓÑ × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÔÅÏÒÅÍÙ æÒÜÎËÌÁ { ÷ÉÌØÓÏÎÁ. üÔÏ ÏÚ×ÏÌÉÌÏ ÅÍÕ ÕÒÏÓÔÉÔØ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ëÁÎÁ É ëÁÌÁÉ, Á ÔÁËÖÅ ÓÎÉÚÉÔØ ÎÁÉÍÅÎØÛÕÀ ÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÇÉÏÔÅÚÁ âÏÒÓÕËÁ ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÎÅ×ÅÒÎÁ, Ó 1325 ÄÏ 946 [6℄. äÁÌØÎÅÊÛÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ × ÜÔÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ ÂÙÌÉ ÏÌÕÞÅÎÙ á. çÁÊÆÕÌÌÉÎÙÍ, ä. çÕÒÅ×ÉÞÅÍ É á. òÁÊÇÏÒÏÄÓËÉÍ [4, 7℄. ãÅÌØ ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÓÔÁÔØÉ | ×ÏÓÒÏÉÚ×ÅÓÔÉ (ÕÒÏÝÅÎÎÏÅ) ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï îÉÌÌÉ1). üÔÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï | ÓÁÍÏÅ ÒÏÓÔÏÅ ÉÚ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÓÅÇÏÄÎÑ, ÈÏÔÑ ÄÒÕÇÉÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÄÁÀÔ ÂÏÌÅÅ ÓÉÌØÎÙÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ [4, 7℄. îÁÉÂÏÌÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÛÁÇÉ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÙ × ×ÉÄÅ ÚÁÄÁÞ. ú×ÅÚÄÏÞËÏÊ ÏÔÍÅÞÅÎÙ ÚÁÄÁÞÉ, ÎÅ ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÅ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ. 2. ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒÁ

îÁÞÎÅÍ Ó ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÈ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÊ. ÏÞËÏÊ (ÉÌÉ, ÞÔÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ, ×ÅËÔÏÒÏÍ) x = (x1 ; : : : ; xn ) n-ÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÊ ÎÁÂÏÒ n ÞÉÓÅÌ. òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ p ÔÏÞËÁÍÉ x = (x1 ; : : : ; xn ) É y = (y1 ; : : : ; yn ) ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ |x; y| = (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 . îÁÍ ÏÎÁÄÏÂÉÔÓÑ ÔÁËÖÅ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÏ× x = (x1 ; : : : ; xn ) É y = (y1 ; : : : ; yn ), ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÏÅ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (x; y) = x1 y1 + · · · + xn yn . ðÏÌÅÚÎÏÓÔØ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÄÌÑ ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ (Á, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, É ÄÉÁÍÅÔÒÏ×) ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (∗) |x; y |2 = x21 + · · · + x2n + y12 + · · · + yn2 − 2(x; y ): ðÕÓÔØ E2n = {(x1 ; : : : ; xn )| xi = ±1} | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ n-ÍÅÒÎÏÇÏ ËÕÂÁ. îÁÞÉÎÁÑ Ó ÜÔÏÇÏ ÍÏÍÅÎÔÁ, ÞÅÒÅÚ x É y ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ×ÅÒÛÉÎÙ n-ÍÅÒÎÏÇÏ ËÕÂÁ (Á 1) ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒÁ Ë ÇÉÏÔÅÚÅ âÏÒÓÕËÁ | ÕÄÉ×ÉÔÅÌØÎÙÊ ÒÉÍÅÒ ×ÁÖÎÏÇÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ × ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÎÅ ÔÒÅÂÕÀÝÅÇÏ ÄÌÑ ÏÌÎÏÇÏ ÏÎÉÍÁÎÉÑ ÏÌÕÇÏÄÏ×ÏÇÏ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÓËÏÇÏ ËÕÒÓÁ (ÏÓÌÅ Ä×ÕÈÇÏÄÏ×ÏÇÏ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏÇÏ ËÕÒÓÁ).

n-ÍÅÒÎÙÊ ËÕÂ, ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ É ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ âÏÒÓÕËÁ

185

ÎÅ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÔÏÞËÉ n-ÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á). äÌÑ ×ÅÒÛÉÎ n-ÍÅÒÎÏÇÏ ËÕÂÁ ÆÏÒÍÕÌÁ (∗) ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÒÏÓÔÏ: (∗∗) |x; y |2 = 2n − 2(x; y ): 2 ëÏÎÔÒÒÉÍÅÒ Ë ÇÉÏÔÅÚÅ âÏÒÓÕËÁ ÂÕÄÅÔ ÓÔÒÏÉÔØÓÑ ÎÅ × E2n , Á × E2n . ÷ÅÒÛÉÎÙ n2 -ÍÅÒÎÏÇÏ ËÕÂÁ ÕÄÏÂÎÏ ÚÁÄÁ×ÁÔØ ÎÁÂÏÒÁÍÉ (zij ), × ËÏÔÏÒÙÈ ÉÎÄÅËÓÙ i; j ÒÏÂÅÇÁÀÔ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÞÉÓÌÁ ÏÔ 1 ÄÏ n (×ÍÅÓÔÏ ÎÁÂÏÒÏ× (zi ), × ËÏÔÏÒÙÈ ÉÎÄÅËÓ i ÒÏÂÅÇÁÅÔ ÞÉÓÌÁ ÏÔ 1 ÄÏ n2 ). ðÏÓÔÁ×ÉÍ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ x = (x1 ; : : : ; xn ) ÉÚ n-ÍÅÒÎÏÇÏ ËÕÂÁ ×ÅÒÛÉÎÕ fx = (xi xj ) ÉÚ n2 -ÍÅÒÎÏÇÏ ËÕÂÁ. úÁÄÁÞÁ 2.1.a) îÁÊÄÉÔÅ f (1; −1; −1) É f (−1; 1; 1). b) fx = f (−x), ÇÄÅ −(x1 ; : : : ; xn ) = (−x1 ; : : : ; −xn ).

) åÓÌÉ fx = fy, ÔÏ y = ±x. d) ðÕÓÔØ M ′ = {(x1 ; : : : ; xn ) ∈ E2n | x1 = 1} | (n − 1)-ÍÅÒÎÁÑ ÇÒÁÎØ n-ÍÅÒÎÏÇÏ ËÕÂÁ. ÏÇÄÁ fx 6= fy ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞÅË x; y ∈ M ′ . e) åÓÌÉ (zij ) = fx, ÔÏ zii = 1 É zij = zji . ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f ÍÏÔÉ×ÉÒÕÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÅÇÏ ËÒÁÓÉ×ÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ. 2 úÁÄÁÞÁ 2.2. (fx; fy ) = (x; y ) . ëÏÎÔÒÒÉÍÅÒÏÍ Ë ÇÉÏÔÅÚÅ âÏÒÓÕËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ f -ÏÂÒÁÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á M = {x ∈ E2n | x1 = 1 É ÓÒÅÄÉ ÞÉÓÅÌ x1 ; : : : ; xn ÞÉÓÌÏ ÍÉÎÕÓ ÅÄÉÎÉ ÞÅÔÎÏ} (ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ n, ÄÅÌÑÝÉÈÓÑ ÎÁ 4). úÁÄÁÞÁ 2.1.d ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÔ, ÏÞÅÍÕ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á í ÍÙ ×ÚÑÌÉ ÎÅ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ n-ÍÅÒÎÏÇÏ ËÕÂÁ, Á ÔÏÌØËÏ ×ÅÒÛÉÎÙ x Ó x1 = 1. óÌÅÄÕÀÝÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÏÑÓÎÑÅÔ, ÏÞÅÍÕ ÍÙ ×ÚÑÌÉ n ËÒÁÔÎÙÍ 4, É ×ÚÑÌÉ ÔÏÌØËÏ ×ÅÒÛÉÎÙ x = (x1 ; : : : ; xn ) ÞÅÔÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÍÉÎÕÓ ÅÄÉÎÉ ÓÒÅÄÉ x1 ; : : : ; xn . úÁÄÁÞÁ 2.3. åÓÌÉ n ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 4 É × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ÎÁÂÏÒÏ× x = (x1 ; : : : ; xn ); y = (y1 ; : : : ; yn ) ∈ E2n ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÍÉÎÕÓ ÅÄÉÎÉ , ÔÏ (x; y) ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 4. n−2 , ÇÄÅ ÞÅÒÅÚ |X | ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅúÁÄÁÞÁ 2.4. |M | = 2 ÓÔ×Á X . ÅÏÒÅÍÁ. äÌÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÇÏ ÒÏÓÔÏÇÏ ÞÉÓÌÁ p É n = 4p ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï fM × n2 -ÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÎÅÌØÚÑ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ n2 + 1 ÞÁÓÔØ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ. 3. éÄÅÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á

ÅÏÒÅÍÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ îÁÂÌÀÄÅÎÉÑ, ïÓÎÏ×ÎÏÊ ìÅÍÍÙ É úÁÄÁÞÉ 3.2. îÁÂÌÀÄÅÎÉÅ. åÓÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï fM ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ k ÞÁÓÔÅÊ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ, ÔÏ M ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ k ÞÁÓÔÅÊ, ËÁÖÄÁÑ (ÏÄÎÁ) ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÁÒÙ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ×. þÔÏÂÙ ÓÄÅÌÁÔØ îÁÂÌÀÄÅÎÉÅ, ÎÁÞÎÅÍ Ó ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÁÍÉ ∗∗) É ÚÁÄÁÞÉ 2.2 ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á fM É ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ. éÚ (√ |fx; fy |2 = 2n2 − 2(x; y )2 . ðÏÜÔÏÍÕ |fx; fy | 6 n 2 ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ x; y ∈ E2n . âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, √ (∗∗∗) |fx; fy | = n 2 ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ (x; y ) = 0

186

á. â. óËÏÅÎËÏ×

(ÔÁËÉÅ ×ÅËÔÏÒÙ x; y ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÍÉ). îÁÞÉÎÁÑ Ó ÜÔÏÇÏ ÍÏÍÅÎÔÁ, ÕÓÔØ n ÞÅÔÎÏ. ÏÇÄÁ × M ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÁÒÁ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× (ÚÁÍÅÔÉÍ, ÈÏÔÑ ÜÔÏ É ÎÅ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ, ÞÔÏ ÒÉ ÎÅÞÅÔÎÏÍ n × M ÎÅ ÎÁÊÄÅÔÓÑ √ ÁÒÙ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ×). éÚ ÜÔÏÇÏ É (∗∗∗) ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ diam fM = n 2. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÁÍÉ fx; fy ∈ fM ÒÁ×ÎÏ diam fM ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ (x; y) = 0. åÓÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï fM ÒÁÚÂÉÔÏ ÎÁ k ÞÁÓÔÅÊ A1 ; : : : ; Ak , ÔÏ ÉÈ ÒÏÏÂÒÁÚÙ f −1A1 , f −1A2 : : : ; f −1 Ak ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á M ÎÁ k ÞÁÓÔÅÊ.√éÚ ÚÁÄÁÞÉ 2.1.d ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ |Ai | = |f −1 Ai |. éÚ (∗∗∗) É ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á diam fM = n 2 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÞÁÓÔÅÊ Ai ÉÍÅÅÔ ÄÉÁÍÅÔÒ, ÍÅÎØÛÉÊ diam M , ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ × ËÁÖÄÏÊ (ÏÄÎÏÊ) ÉÚ ÞÁÓÔÅÊ f −1 Ai ÎÉËÁËÉÅ Ä×Á ×ÅËÔÏÒÁ ÎÅ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙ. éÔÁË, îÁÂÌÀÄÅÎÉÅ ÓÄÅÌÁÎÏ. íÙ ÈÏÔÉÍ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ k ×ÅÌÉËÏ (ÔÏÞÎÅÅ, k > n2 + 1). äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ n−2 ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ |f −1 Ai | = |Ai | ÍÁÌÏ (ÔÏÞÎÅÅ, |Ai | < |2M | = 22 ) ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ n +1 n +1 i = 1; : : : ; k. ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÚÁÍÅÞÅÎÎÏÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á f −1Ai (ÎÉËÁËÉÅ Ä×Á ÅÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ÎÅ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙ) ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÌÑ ÎÕÖÎÏÊ ×ÅÒÈÎÅÊ Ï ÅÎËÉ ÎÁ |f −1 Ai |. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÒÏÓÔÏÊ ÒÉÍÅÒ. ðÕÓÔØ A ⊂ M É ÎÉËÁËÉÅ Ä×Á ×ÅËÔÏÒÁ ÉÚ A ÎÅ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙ. ÏÇÄÁ ÉÚ ÚÁÄÁÞ 2.4 É 3.1 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ |A| 6 2n−2 − 1 (ÏÜÔÏÍÕ k > 2). óÌÅÄÕÀÝÁÑ ÌÅÍÍÁ ÕÓÉÌÉ×ÁÅÔ ÜÔÕ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÕÀ Ï ÅÎËÕ. ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÌÅÍÍÁ. ðÕÓÔØ p | ÒÏÓÔÏÅ (ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÂÏÌØÛÏÅ!), n = 4p, A ⊂ M É ÎÉËÁËÉÅ Ä×Á ×ÅËÔÏÒÁ ÉÚ A ÎÅ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙ. ÏÇÄÁ n −1

|A| 6 (n) = Cn0−1 + Cn1−1 + · · · + Cn4−1 n−2

:

< 2 ÄÌÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ n n (ÕËÁÚÁÎÉÅ: ÉÓÏÌØÚÕÊÔÅ ÆÏÒÍÕÌÕ óÔÉÒÌÉÎÇÁ limn→∞ √ n n −n = 1). úÁÄÁÞÁ

3.2. (ï ÅÎËÁ) (n)
0; kxk = 0 ⇐⇒ x = 0 (Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ); Â) ∀x ∈ X ∀ ∈ R kxk = || · kxk (Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÓÔÉ); ×) ∀x ∈ X ∀y ∈ X kx + yk 6 kxk + kyk (ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ). åÓÌÉ ÔÅÅÒØ ÏÌÏÖÉÔØ d(x; y) := kx − yk, ÔÏ ÍÅÔÒÉËÁ d ÂÕÄÅÔ ÏÂÌÁÄÁÔØ ×ÓÅÍÉ ÔÒÅÂÕÅÍÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ: ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ (d(x; y) > 0 É d(x; y) = 0 ⇐⇒ x = y) , ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔØÀ (d(x; y) = d(y; x)) É ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ (d(x; y) 6 6 d(x; z ) + d(y; z )), ÔÁË ÞÔÏ (X; d), Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, | ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÄÌÑ ××ÅÄÅÎÎÏÊ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÍÅÔÒÉËÉ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á d(x + z; y + z ) = d(x; y) É d(x; y) = ||d(x; y), ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ × ÌÉÎÅÊÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ðÁÒÁ (X; k · k) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ. ÷ ÏÄÎÏÍ É ÔÏÍ ÖÅ ÌÉÎÅÊÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å X ÎÏÒÍÕ ÍÏÖÎÏ ××ÅÓÔÉ ÍÎÏÇÉÍÉ ÒÁÚÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÉÍÅÒÏ× ÎÏÒÍ × ÏÂÙÞÎÏÍ n-ÍÅÒÎÏÍ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Rn , ÓÏÓÔÏÑÝÅÍ ÉÚ ×ÅËÔÏÒÏ× x = (x1 ; : : : ; xn ) Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ xk ∈ R: P I. kxk = ( nk=1 x2k )1=2 ; P II. kxk = nk=1 |xk |; III. kxk = max16k6n |xk |:

ëÒÉÔÅÒÉÉ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔÉ ÂÁÎÁÈÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á

191

íÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ É ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, × ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÍ ÌÉÎÅÊÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å C [0; 1℄ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ f , ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 1℄, ÎÏÒÍÕ ÔÁËÖÅ ÍÏÖÎÏ ××ÅÓÔÉ ÒÁÚÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ: R IV. kf k = ( 01 f 2 (x)dx)1=2 ;

V. kf k = 01 |f (x)|dx; VI. kf k = maxx∈[0;1℄ |f (x)| (ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÁÑ, ÉÌÉ ÞÅÂÙÛÅ×ÓËÁÑ ÎÏÒÍÁ). ðÒÏ×ÅÒËÁ Ó×ÏÊÓÔ× Á), Â), ×) ÎÏÒÍÙ × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ÒÉÍÅÒÏ× I { VI ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÉÔÁÔÅÌÀ. åÄÉÎÉÞÎÙÊ ÛÁÒ B = {x ∈ X : kxk 6 1} ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á X ×ÓÅÇÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÙÕËÌÙÍ ÅÎÔÒÁÌØÎÏ-ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍ (ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÕÌÑ) ÏÇÌÏÝÁÀÝÉÍ (∀x ∈ X ∃ > 0 : x ∈ B ) ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÍ (∀x ∈ X ∃ > 0 : x 6∈ B ) ÔÅÌÏÍ × X . (÷ÙÕËÌÏÓÔØ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ x; y ∈ B , ÔÏ ÄÌÑ 0 6 6 1 ÉÍÅÅÍ k x + (1 − )y k 6×) k xk + k(1 − )y k =Â) kxk + (1 − )ky k 6 + (1 − ) = 1; Ô. Å. ×ÅÓØ ÏÔÒÅÚÏË Ó ËÏÎ ÁÍÉ x; y ÅÌÉËÏÍ ÌÅÖÉÔ × B ; ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÉÚ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÈ Ó×ÏÊÓÔ× ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÙ.) îÁÒÉÍÅÒ, × ÓÌÕÞÁÅ ÎÏÒÍÙ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ I É ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ × X = Rn ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ÛÁÒ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÂÙÞÎÙÍ ÛÁÒÏÍ Ó ÅÎÔÒÏÍ × 0 É ÒÁÄÉÕÓÏÍ 1 (ÅÓÌÉ ÓÉÓÔÅÍÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁ, ÔÏ B Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÌÌÉÓÏÉÄÏÍ). åÄÉÎÉÞÎÙÅ ÛÁÒÙ ÄÌÑ ÎÏÒÍ II É III | ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ; × ÞÁÓÔÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ n = 3 É ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ × X = R3 ÎÏÒÍÁ II ÄÁÅÔ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÏËÔÁÜÄÒ Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÎÁ ÏÓÑÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, Á ÎÏÒÍÁ III | ËÕÂ Ó ÒÅÂÒÁÍÉ ÄÌÉÎÙ 2, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÍ ÏÓÑÍ. ÷ÅÒÎÏ É ÏÂÒÁÔÎÏÅ (Ï ÜÔÏÍ ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ ×Ï ××ÅÄÅÎÉÉ): ËÁÖÄÏÅ ×ÙÕËÌÏÅ ÅÎÔÒÁÌØÎÏ-ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ ÏÇÌÏÝÁÀÝÅÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B × ÌÉÎÅÊÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å X ÚÁÄÁÅÔ × X ÎÏÒÍÕ k · kB , × ËÏÔÏÒÏÊ ÏÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ €ÏÞÔɁ ÅÄÉÎÉÞÎÙÍ ÛÁÒÏÍ: {x : kxkB < 1} ⊆ B ⊆ {x : kxkB 6 1}. éÍÅÎÎÏ, ÎÁÄÏ ÏÌÏÖÉÔØ x kxkB = inf { > 0 :  ∈ B }. ðÒÏ×ÅÒËÁ Ó×ÏÊÓÔ× ÎÏÒÍÙ Á), Â), ×) É ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÇÏ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÉÔÁÔÅÌÀ. ìÉÎÅÊÎÏÅ ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï (X; k·k) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÌÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÓÅ Ó×ÏÉ ÒÅÄÅÌØÎÙÅ ÔÏÞËÉ (Ô. Å. ÅÓÌÉ ÄÌÑ ×ÓÑËÏÊ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ {xn } ∈ X , Ô. Å. ÔÁËÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÞÔÏ kxn − xm k → 0 ÒÉ n; m → 0, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÜÌÅÍÅÎÔ x ∈ X , Ë ËÏÔÏÒÏÍÕ ÜÔÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÈÏÄÉÔÓÑ: kxn − xk → 0). ëÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÅ ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ×ÓÅÇÄÁ ÏÌÎÏ, Á ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÅ | ÎÅÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ. îÁÒÉÍÅÒ, ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï C [0; 1℄ ÏÌÎÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÏÒÍÙ VI, ÎÏ ÎÅ ÏÌÎÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÏÒÍ IV ÉÌÉ V (ÒÏ×ÅÒØÔÅ!). ìÀÂÏÅ ÎÅÏÌÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï X ÍÏÖÎÏ €ÏÏÌÎÉÔ؁, ÄÏÂÁ×É× ÒÅÄÅÌØÎÙÅ ÔÏÞËÉ, ÉÌÉ, ÄÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ×ÌÏÖÉÔØ × ÏÌÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï X Ó ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÅÍ ÎÏÒÍÙ, ÔÁË ÞÔÏ X ÌÏÔÎÏ × X (ÓÍ., ÎÁÒ., [1, ÇÌ.II, § 3℄). ðÏÌÎÙÅ ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÂÁÎÁÈÏ×ÙÍÉ, × ÞÅÓÔØ ×ÙÄÁÀÝÅÇÏÓÑ ÏÌØÓËÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ C. âÁÎÁÈÁ. ÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÔÏÌØËÏ ÂÁÎÁÈÏ×Ù ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. îÏÒÍÁ × ÌÉÎÅÊÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å X ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÈÏÒÏÛÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ, ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÏÒÏÖÄÅÎÁ ÓËÁÌÑÒÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ. óËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ | ÜÔÏ ÆÕÎË ÉÑ (·; ·) : X × X → R, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑÍ: R

192

ð. á. âÏÒÏÄÉÎ, ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

i) ∀x ∈ X (x; x) > 0 É (x; x) = 0 ⇐⇒ x = 0 (Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ); ii) ∀x; y ∈ X (x; y) = (y; x) (Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ); iii) ∀x; y; z ∈ X ∀ ; ∈ R ( x + y; z ) = (x; y) + (y; z ) (Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ). p óËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÏÒÏÖÄÁÅÔ ÎÏÒÍÕ kxk = (x; x) (ÒÏ×ÅÒËÁ Ó×ÏÊÓÔ× Á), Â), ×) ÎÏÒÍÙ ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÞÉÔÁÔÅÌÀ). ÁË, ÎÏÒÍÁ ÉÚ P ÒÉÍÅÒÁ I ÏÒÏÖÄÅÎÁ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍ ÓËÁÌÑÒÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ × Rn: (x; y) = nk=1 xR k yk , Á ÎÏÒÍÁ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ IV | ÓËÁÌÑÒÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÆÕÎË ÉÊ: (f; g) = 01 f (x)g(x)dx. ìÀÂÏÅ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ R2 ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÔÁË: ÅÓÌÉ x = (x1 ; x2 ), y = (y1 ; y2 ), ÔÏ (x; y) = a11 x1 y1 + a12 x1 y2 + a21 x2 y1 + a22x2 y2 , ÇÄÅ a12 = a21 É (ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ) a11 > 0, a11 a22 − a212 > 0. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ÛÁÒ, Ô. Å. ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÔÅÈ x ∈ R2 , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ (x; x) 6 1, | ×ÎÕÔÒÅÎÎÏÓÔØ ÜÌÌÉÓÁ. ÷ÏÏÂÝÅ, ÌÀÂÏÅ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ × Rn ÚÁÄÁÅÔÓÑ P ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ A(x; y) = = ni;j=1 aij xi yj (aij = aji ∈ R, ∀x 6= 0 A(x; x) > 0). éÍÅÀÔÓÑ ËÒÉÔÅÒÉÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ ÆÏÒÍÙ A | ÎÁÒÉÍÅÒ, × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÍÉÎÏÒÏ× ÍÁÔÒÉ Ù aij (ËÒÉÔÅÒÉÊ óÉÌØ×ÅÓÔÒÁP| ÓÍ., ÎÁÒ., [2℄). åÄÉÎÉÞÎÙÊ ÛÁÒ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÎÏÒÍÅ | {x ∈ Rn : aij xi xj 6 1} | ÜÌÌÉÓÏÉÄ Ó ÅÎÔÒÏÍ × 0, ×ÍÅÓÔÅ ÓÏ Ó×ÏÅÊ ×ÎÕÔÒÅÎÎÏÓÔØÀ. ïÂÒÁÔÎÏ, ÌÀÂÏÊ ÜÌÌÉÓÏÉÄ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÎÕÌÅ ÚÁÄÁÅÔ ÎÏÒÍÕ, ÏÒÏÖÄÅÎÎÕÀ ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÓËÁÌÑÒÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ. âÁÎÁÈÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, × ËÏÔÏÒÏÍ ÎÏÒÍÁ ÚÁÄÁÎÁ ÓËÁÌÑÒÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ, × ÞÅÓÔØ ×ÅÌÉËÏÇÏ ÎÅÍÅ ËÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ä. çÉÌØÂÅÒÔÁ. îÏÒÍÁ × ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÍÎÏÇÉÍÉ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÚÁÞÁÓÔÕÀ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÄÌÑ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔÉ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÊ ÒÉÍÅÒ ÔÁËÏÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á. ìÅÍÍÁ A (ð. êÏÒÄÁÎ, äÖ. ÆÏÎ îÅÊÍÁÎÎ, [3℄). âÁÎÁÈÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï X Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÙÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ×ÅËÔÏÒÏ× x; y ∈ X ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÁ: kx + y k2 + kx − y k2 = 2(kxk2 + ky k2 ) (ÓÕÍÍÁ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÄÉÁÇÏÎÁÌÅÊ ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÁ ÒÁ×ÎÁ ÓÕÍÍÅ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÅÇÏ ÓÔÏÒÏÎ). äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÁ × ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ. ïÂÒÁÔÎÏ, ÕÓÔØ × ÂÁÎÁÈÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÁ. ðÏÌÏÖÉÍ (x; y) := 41 (kx + yk2 − kx − yk2) É ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÆÕÎË ÉÑ Ä×ÕÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ×ÓÅÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ. ó×ÏÊÓÔ×Á a) É b) ÏÞÅ×ÉÄÎÙ. äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ) ÕÓÔÁÎÏ×ÉÍ ×ÎÁÞÁÌÅ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÏÓÔØ: (x + y; z ) = (x; z ) + (y; z ); ËÏÔÏÒÁÑ × ÎÁÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ kx + y + z k2 − kx + y − z k2 = kx + z k2 − kx − z k2 + ky + z k2 − ky − z k2 : (1)

ëÒÉÔÅÒÉÉ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔÉ ÂÁÎÁÈÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á

193

úÁÉÛÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÁ ÄÌÑ ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÏ×, ÎÁÔÑÎÕÔÙÈ ÎÁ ÁÒÙ ×ÅËÔÏÒÏ× x + z É y, y + z É x, x − z É y, y − z É x: kx + z + y k2 + kx + z − y k2 = 2(kx + z k2 + ky k2 ); ky + z + xk2 + ky + z − xk2 = 2(ky + z k2 + kxk2 ); kx − z + y k2 + kx − z − y k2 = 2(kx − z k2 + ky k2 ); ky − z + xk2 + ky − z − xk2 = 2(ky − z k2 + kxk2 ): ÷ÙÞÉÔÁÑ ÉÚ ÓÕÍÍÙ ÅÒ×ÙÈ Ä×ÕÈ ÒÁ×ÅÎÓÔ× ÓÕÍÍÕ ÏÓÌÅÄÎÉÈ Ä×ÕÈ ÒÁ×ÅÎÓÔ×, ÏÌÕÞÁÅÍ (1). ïÓÔÁ×ÛÅÅÓÑ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÓÔÉ (x; y) = (x; y) ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÔÁË: ÄÌÑ ÅÌÙÈ  ÏÎÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ; ÏÔ ÅÌÙÈ  ÌÅÇËÏ ÅÒÅÊÔÉ Ë ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍ , Á ÏÔ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ, Ï ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ, ËÏ ×ÓÅÍ  ∈ R. ÅÅÒØ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ××ÅÄÅÎÎÏÅ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ (x; y) ÏÒÏÖÄÁÅÔ ÉÓÈÏÄÎÕÀ ÎÏÒÍÕ. ìÅÍÍÁ A ÄÏËÁÚÁÎÁ. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. åÓÌÉ ËÁÖÄÏÅ Ä×ÕÍÅÒÎÏÅ (ÉÌÉ ËÁÖÄÏÅ n-ÍÅÒÎÏÅ, n > 2) ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÂÁÎÁÈÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á X ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï, ÔÏ É ÓÁÍÏ X ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï. ïÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÏÄÎÁ ÉÚ ÕÏÍÑÎÕÔÙÈ ×Ï ××ÅÄÅÎÉÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉË ÜÌÌÉÓÏÉÄÁ: ÅÓÌÉ ÌÀÂÏÅ ÌÏÓËÏÅ ÓÅÞÅÎÉÅ ×ÙÕËÌÏÊ ÅÎÔÒÁÌØÎÏ-ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÅÓÔØ ÜÌÌÉÓ, ÔÏ ÓÁÍÁ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ | ÜÌÌÉÓÏÉÄ. ó ÏÍÏÝØÀ ÌÅÍÍÙ A ÌÅÇËÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÉÚ ÒÉÍÅÒÏ× II, III, V, VI ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÙÍÉ ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ. çÉÌØÂÅÒÔÏ×Ù ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÉÚÕÞÁÀÔÓÑ É ÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ × ÓÁÍÙÈ ÒÁÚÎÙÈ ÏÂÌÁÓÔÑÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, É ÏÞÅÎØ ÞÁÓÔÏ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ, ÏÄÏÂÎÙÅ ÌÅÍÍÅ A, | ËÏÇÄÁ ËÁËÏÅ-ÌÉÂÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ É ËÌÁÄÅÔÓÑ × ÏÓÎÏ×Õ ËÒÉÔÅÒÉÑ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔÉ ÂÁÎÁÈÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÚ ÜÔÉÈ ËÒÉÔÅÒÉÅ× | ÉÍÅÎÎÏ, ËÒÉÔÅÒÉÅ×, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÈ ÉÚ ÔÅÏÒÉÉ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÊ, | É ÏÓ×ÑÝÅÎÁ ÎÁÓÔÏÑÝÁÑ ÒÁÂÏÔÁ. îÅÓËÏÌØËÏ ÓÌÏ× Ï ÉÓÔÏÒÉÉ. óËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ (ÏÄ ÎÁÚ×ÁÎÉÅÍ inner produ t | €×ÎÕÔÒÅÎÎÅÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉŁ, ÜÔÏ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÓÏÈÒÁÎÉÌÏÓØ × ÁÎÇÌÏÑÚÙÞÎÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ ÄÏ ÓÉÈ ÏÒ) ××ÅÌ çÁÍÉÌØÔÏÎ × 1853 Ç. çÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÂÙÌÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ × ÎÁÞÁÌÅ XX ×ÅËÁ × ÒÁÂÏÔÁÈ çÉÌØÂÅÒÔÁ É ûÍÉÄÔÁ. ðÏÓÌÅÄÎÉÊ × 1908 Ç. ××ÅÌ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ k · k ÄÌÑ ÎÏÒÍÙ. îÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÂÙÌÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ âÁÎÁÈÏÍ É ÷ÉÎÅÒÏÍ × 1922 Ç. çÉÌØÂÅÒÔÏ×Ù ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ×ÙÄÅÌÑÀÔÓÑ ÓÒÅÄÉ ÂÁÎÁÈÏ×ÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÂÏÇÁÔÓÔ×ÏÍ Ó×ÏÊÓÔ×, ÎÏ É €ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÓÔØÀ: ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ (Ô. Å. ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ×ÚÁÉÍÎÏ-ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ, ÓÏÈÒÁÎÑÀÝÅÅ ÎÏÒÍÕ).PÁË, ÌÀÂÏÅ n-ÍÅÒÎÏÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÓÏ ÓËÁÌÑÒÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ aij xi yj ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅn ÓËÉ ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ P ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÍÕ (Å×ËÌÉÄÏ×Õ) ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ R ÓÏ ÓËÁÌÑÒÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ xk yk (ÄÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÌÀÂÕÀ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÕÀ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÂÉÌÉÎÅÊÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÍÏÖÎÏ ÒÉ×ÅÓÔÉ Ë ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÍÕ ×ÉÄÕ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÚÁÍÅÎÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ | ÓÍ., ÎÁÒ., [2℄). ìÀÂÏÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÅ ÓÅÁÒÁÂÅÌØÎÏÅ (Ô. Å. ÏÂÌÁÄÁÀÝÅÅ ÓÞÅÔÎÙÍ ×ÓÀÄÕ ÌÏÔÎÙÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ) ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï | × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÏÏÌÎÅÎÉÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á C [0; 1℄ Ï ÎÏÒÍÅ IV | ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ l2 , ÓÏÓÔÏÑÝÅÍÕ ÉÚ ×ÅËÔÏÒÏ× (x1 ; x2 ; : : : ) ÓÏ

194

ð. á. âÏÒÏÄÉÎ, ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

ÓÞÅÔÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ k∞=1 x2k < ∞ (ÓÍ., ÎÁÒ., [1, ÇÌ.III, P § 4℄). óËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ × ÜÔÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÔÁË: (x; y) = ∞ k=1 xk yk . ÁËÁÑ ÕÎÉËÁÌØÎÏÓÔØ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÄÁÅÔ ÅÝÅ ÏÄÉÎ Ï×ÏÄ Ë ÏÔÙÓËÁÎÉÀ ËÒÉÔÅÒÉÅ× ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔÉ. îÅÌØÚÑ ÎÅ ÕÏÍÑÎÕÔØ ÅÝÅ Ï ÏÄÎÏÍ ÂÁÎÁÈÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, ËÏÔÏÒÏÅ Ï Ó×ÏÅÊ ÚÎÁÞÉÍÏÓÔÉ, ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ, ÓÒÁ×ÎÉÍÏ Ó ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÙÍÉ, | ÉÍÅÎÎÏ, Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å C [0; 1℄ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ Ó ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÊ ÎÏÒÍÏÊ (ÒÉÍÅÒ VI). äÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÓÅÁÒÁÂÅÌØÎÏÅ ÂÁÎÁÈÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÍÕ (Ó×ÏÅÍÕ) ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á C [0; 1℄ (ÔÅÏÒÅÍÁ âÁÎÁÈÁ { íÁÚÕÒÁ). ÁËÁÑ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÓÔØ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á C [0; 1℄ ÄÅÌÁÅÔ ÅÇÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÍ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Õ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ Ï ÍÎÏÇÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍ (ÓÍ. ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ × ËÏÎ Å ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÕÎËÔÁ). ÷ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ××ÏÄÎÏÊ ÞÁÓÔÉ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÔÏÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ Ä×ÕÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉË ÜÌÌÉÓÏÉÄÏ× × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ ×Ï ××ÅÄÅÎÉÉ. îÁ ÎÉÈ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÉÒÁÔØÓÑ ÄÁÌÅÅ ÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ËÒÉÔÅÒÉÅ× ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔÉ. 3 ÅÏÒÅÍÁ A. ðÕÓÔØ × R ÚÁÄÁÎÁ Ä×ÕÍÅÒÎÁÑ ×ÙÕËÌÁÑ ÚÁÍËÎÕÔÁÑ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ S , ËÏÔÏÒÁÑ ËÁÓÁÅÔÓÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÏÉÓÁÎÎÏÇÏ ×ÏËÒÕÇ ÎÅÅ ÉÌÉÎÄÒÁ Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ, ÌÅÖÁÝÅÍÕ × Ä×ÕÍÅÒÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ÏÇÄÁ S | ÜÌÌÉÓÏÉÄ (Ô. Å. ÚÁÄÁÅÔÓÑ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÕÒÏ×ÎÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ). üÔÁ ÔÅÏÒÅÍÁ ÏÂÙÞÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÅÏÒÅÍÏÊ âÌÑÛËÅ Ï ÜÌÌÉÓÏÉÄÅ. óÁÍ ÷. âÌÑÛËÅ [4℄ ÄÏËÁÚÁÌ ÅÅ ÄÌÑ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÇÏ Ï×ÁÌÏÉÄÁ (ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÊ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ×ÙÕËÌÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ Ó ×ÅÚÄÅ ÏÔÌÉÞÎÏÊ ÏÔ ÎÕÌÑ ËÒÉ×ÉÚÎÏÊ). ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÔÅÏÒÅÍÁ A ÄÏËÁÚÁÎÁ á. ä. áÌÅËÓÁÎÄÒÏ×ÙÍ [5℄. åÓÌÉ ÉÎÔÅÒÒÅÔÉÒÏ×ÁÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, Ï ËÏÔÏÒÏÍÕ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ S ÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ Ó ÏÉÓÁÎÎÙÍ ×ÏËÒÕÇ ÎÅÅ ÉÌÉÎÄÒÏÍ, ËÁË ÇÒÁÎÉ Õ €ÔÅÎɁ S ÒÉ ÏÓ×ÅÝÅÎÉÉ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÍ ÕÞËÏÍ Ó×ÅÔÁ, ÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÙÍ Ï ÏÂÒÁÚÕÀÝÅÊ ÜÔÏÇÏ ÉÌÉÎÄÒÁ, ÔÏ ÔÅÏÒÅÍÁ A ÂÕÄÅÔ Ú×ÕÞÁÔØ ÔÁË: ×ÓÑËÁÑ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ Ó ÌÏÓËÉÍÉ ÇÒÁÎÉ ÁÍÉ ÔÅÎÅÊ | ÜÌÌÉÓÏÉÄ (ÜÔÏÊ ÁÎÁÌÏÇÉÅÊ É ÏÂßÑÓÎÑÅÔÓÑ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÓÔÁÔØÉ [5℄). ÷ÅÒÎÏ É ÏÂÒÁÔÎÏÅ: ÌÀÂÏÊ ÜÌÌÉÓÏÉÄ ÉÍÅÅÔ ÌÏÓËÉÅ ÇÒÁÎÉ Ù ÔÅÎÅÊ (ÄÏËÁÖÉÔÅ!). 3 ÚÁÄÁÎÁ Ä×ÕÍÅÒÎÁÑ ×ÙÕËÌÁÑ ÚÁÍËÎÕÔÁÑ Ï×ÅÒÈÅÏÒÅÍÁ B. ðÕÓÔØ × R ÎÏÓÔØ S , ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ O. åÓÌÉ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ Ä×ÕÍÅÒÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ , ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ O, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ  ( ), ÏÏÒÎÏÅ Ë S ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞËÁÈ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ S ∩ , ÔÏ S | ÜÌÌÉÓÏÉÄ. üÔÕ ÔÅÏÒÅÍÕ ÏÂÙÞÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÅÏÒÅÍÏÊ âÌÑÛËÅ { ëÁËÕÔÁÎÉ. óÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×Á×ÛÉÊ ÅÅ ó. ëÁËÕÔÁÎÉ [6℄ ÎÅ ÄÁÌ ÏÌÎÏÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, ÌÉÛØ ÕËÁÚÁ× ÎÁ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ Ó×ÅÄÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ Ë ÔÅÏÒÅÍÅ A. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ B ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × [7, ÇÌ. 5℄. ÷Ù×ÏÄ ÔÅÏÒÅÍÙ B ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ A ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÅÎ × [8℄. P

2. íÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÒÏÅË ÉÑ É ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔØ

ðÕÓÔØ (X; k · k) | ÂÁÎÁÈÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, Y | ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X , (x; Y ) = inf y∈Y kx − yk | ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÏÔ ÜÌÅÍÅÎÔÁ x ∈ X ÄÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y , PY (x) = {y ∈ Y : kx − yk = (x; Y )} { ÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÒÏÅË ÉÑ x ÎÁ Y , Ô. Å. ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÂÌÉÖÁÊÛÉÈ Ë x ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × Y (ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÁÉÌÕÞÛÅÇÏ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÑ). äÌÑ

ëÒÉÔÅÒÉÉ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔÉ ÂÁÎÁÈÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á

195

ÄÁÎÎÏÇÏ x ÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÒÏÅË ÉÑ PY (x) ÍÏÖÅÔ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÎÉ ÏÄÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÉÌÉ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ, Á ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ PY : x → PY (x), ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÅ ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÎÅ ÎÁ ×ÓÅÍ X , ÍÎÏÇÏÚÎÁÞÎÏ É ÄÁÖÅ ÒÁÚÒÙ×ÎÏ. åÓÌÉ ÖÅ X | ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, Á Y | ÅÇÏ ÚÁÍËÎÕÔÏÅ (Ô. Å. ÏÌÎÏÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÏÒÍÙ) ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï (×ÏÏÂÝÅ, ×ÅÚÄÅ ÎÉÖÅ ÓÌÏ×Ï ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÂÕÄÅÔ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÚÁÍËÎÕÔÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï), ÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á PY ÒÅÄÅÌØÎÏ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÙ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÁË ÍÙ ÓÅÊÞÁÓ ÏËÁÖÅÍ, ÏÅÒÁÔÏÒ PY ÏÒÅÄÅÌÅÎ ÎÁ ×ÓÅÍ X , ÏÄÎÏÚÎÁÞÅÎ, ÌÉÎÅÅÎ É ÉÍÅÅÔ ÎÏÒÍÕ 1. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÕÓÔØ x ∈ X ,  = (x; Y ) É ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ {yn} ÔÁËÏ×Á, ÞÔÏ kx − yn k → . ðÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÁ, kyn − ym k2 = 2(kx − yn k2 + kx − ym k2 ) − k2x − yn − ym k2 = = 2(kx − yn k2 + kx − ymk2 ) − 4kx − 12 (yn + ym )k2 6

2(kx − yn k2 + kx − ymk2 ) − 42 → 0 ÒÉ n; m → ∞; ÔÁË ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ yn ÓÈÏÄÉÔÓÑ Ï ÎÏÒÍÅ Ë ÎÅËÏÔÏÒÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ y ∈ Y (ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Y ÚÁÍËÎÕÔÏ). ïÞÅ×ÉÄÎÏ, kx − yk = , Ô. Å. y ∈ PY (x). ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ y′ ∈ Y É ÌÀÂÏÇÏ ÞÉÓÌÁ  ÉÍÅÅÍ kx − y + y ′ k2 = kx − y k2 + ||2 ky ′ k2 + 2(x − y; y ′ ) > 2 = kx − y k2 : ðÒÉ ÍÁÌÙÈ  ÜÔÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÏÖÅÔ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ÌÉÛØ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ (x − y; y′) = 0. ïÔÓÀÄÁ kx − y + y′ k > kx − yk =  ÒÉ ×ÓÅÈ y′ 6= 0 É  6= 0. éÔÁË, ÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÒÏÅË ÉÑ PY (x) ÓÏÓÔÏÉÔ ÒÏ×ÎÏ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ y, ÒÉÞÅÍ ∀y′ ∈ Y (x − y; y′) = 0. ðÏÌÏÖÉÍ Y ⊥ = {z ∈ X : ∀y′ ∈ Y (z; y′ ) = 0} | ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÅ ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ Y , Ñ×ÌÑÀÝÅÅÓÑ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÏÄL ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ. ëÁË ÍÙ ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ÏËÁÚÁÌÉ, X = Y Y ⊥ , Ô. Å. ÌÀÂÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ x ∈ X ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÒÁÚÌÁÇÁÅÔÓÑ × ÓÕÍÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÁ y = PY (x) ∈ Y É ÜÌÅÍÅÎÔÁ x − y ∈ Y ⊥ . ìÉÎÅÊÎÏÓÔØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ x 7→ y = PY (x) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ Y ⊥ . ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÏÅÒÁÔÏÒ PY ÉÍÅÅÔ ÎÏÒÍÕ 1: kPY k := supkxk=1 kPY (x)k = 1, ÏÓËÏÌØËÕ 1 = kxk2 = kx − y + yk2 = kx − yk2 + kyk2 + 2(x − y; y) = kx − yk2 + kyk2 > kyk2, Á Ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÅÓÌÉ x ∈ Y , ÔÏ PY (x) = x É kPY (x)k = kxk. éÔÁË, × ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÅÒÁÔÏÒ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ PY : X → Y ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Y , ÏÄÎÏÚÎÁÞÅÎ, ÌÉÎÅÅÎ É ÉÍÅÅÔ ÎÏÒÍÕ 1. (ëÏÎÅÞÎÏ, × ÎÁÛÅÍ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÜÔÏ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÎÁÛÉÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑÍ: ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÁÑ ÒÏÅË ÉÑ ÔÏÞËÉ x ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ Y Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÂÌÉÖÁÊÛÅÊ Ë x ÔÏÞËÏÊ × Y .) ÷ÏÚÎÉËÁÅÔ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ×ÏÒÏÓ: ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ËÁËÏÅ-ÎÉÂÕÄØ ÉÚ ÜÔÉÈ Ó×ÏÊÓÔ× | ÓËÁÖÅÍ, ÌÉÎÅÊÎÏÓÔØ ÏÅÒÁÔÏÒÁ PY ÉÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÅËÔÏÒÁ X → Y ÎÏÒÍÙ 1 | ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÄÌÑ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á? éÌÉ ×ÄÒÕÇ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÄÒÕÇÉÅ ÂÁÎÁÈÏ×Ù ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Ó ÔÁËÉÍÉ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ? òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÅ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï X = R3 , ÎÏÒÍÁ × ËÏÔÏÒÏÍ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÅÄÉÎÉÞÎÙÍ ÛÁÒÏÍ | ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÜÌÌÉÓÏÉÄÏÍ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Y ⊂ X , ÏÒÏÖÄÁÅÍÏÇÏ ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ v, ÏÅÒÁÔÏÒ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ PY ÌÉÎÅÅÎ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Ker(PY ) = {q ∈ X : PY (q) = 0} = Y ⊥ | Ä×ÕÍÅÒÎÏÅ 6

196

ð. á. âÏÒÏÄÉÎ, ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

(ÌÉÎÅÊÎÏÅ) ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï. ÷ ÔÏ ÖÅ ×ÒÅÍÑ, Ker(PY ) | ÜÔÏ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÔÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ q ∈ X , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ kq +vk > kqk ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÞÉÓÌÅ , Ô. Å. ÔÅ ÔÏÞËÉ q, × ËÏÔÏÒÙÈ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÅ Y ÒÑÍÙÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÏÒÎÙÍÉ Ë ÓÆÅÒÅ {x ∈ X : kxk = kqk}. ÷ÏÔ ÍÙ É ÄÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÉÌÉÎÄÒ, ÏÉÓÁÎÎÙÊ ×ÏËÒÕÇ ÜÌÌÉÓÏÉÄÁ, ËÁÓÁÅÔÓÑ ÅÇÏ Ï ÌÏÓËÏÊ ËÒÉ×ÏÊ. îÏ Ï ÔÅÏÒÅÍÅ A ÉÚ . 1 ÜÔÏ ÅÓÔØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÜÌÌÉÓÏÉÄÁ! ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÅÓÌÉ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÂÁÎÁÈÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÏÅÒÁÔÏÒ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁ ËÁÖÄÏÅ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÌÉÎÅÅÎ, ÔÏ ÅÄÉÎÉÞÎÁÑ ÓÆÅÒÁ × ÜÔÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÔÅÏÒÅÍÙ A, Á ÚÎÁÞÉÔ, ÜÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï. îÉÖÅ ÍÙ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÅËÔÏÒÁ ÎÏÒÍÙ 1 ÎÁ ÌÀÂÏÅ Ä×ÕÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÂÁÎÁÈÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å X ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÅÄÉÎÉÞÎÁÑ ÓÆÅÒÁ S (X ) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÔÅÏÒÅÍÙ B | Ô. Å. ÏÑÔØ ÖÅ, ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔÉ X . ëÁËÉÅ ÖÅ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÂÕÄÕÔ ËÒÉÔÅÒÉÑÍÉ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔÉ × ÂÁÎÁÈÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ? ïÄÉÎ ÉÚ Á×ÔÏÒÏ× ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÉ (÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×) × ÎÁÞÁÌÅ 60-È ÇÏÄÏ× ÓÔÏÌËÎÕÌÓÑ Ó ÔÁËÏÊ ÒÏÂÌÅÍÏÊ, ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ó. í. îÉËÏÌØÓËÉÍ ÎÁ ËÏÎÇÒÅÓÓÅ × áÍÓÔÅÒÄÁÍÅ ([17, ÓÔÒ. 263℄). ðÕÓÔØ X | ÂÁÎÁÈÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, Y | ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï × X , C | ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × X . ïÒÅÄÅÌÉÍ ÕËÌÏÎÅÎÉÅ C ÏÔ Y × X : d(C; Y; X ) = supx∈C (x; Y ). åÓÌÉ X ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï, ÔÏ (x; Y ) = kx − PY (x)k, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÕËÌÏÎÅÎÉÅ d(C; Y; X ) ÒÁ×ÎÏ ×ÅÒÈÎÅÊ ÇÒÁÎÉ supx∈C kx − PY (x)k, ÇÄÅ PY | ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁ Y . ÷ ÄÒÕÇÉÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ, ÎÅ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÙÈ, ÄÅÌÏ ÏÂÓÔÏÉÔ ÓÌÏÖÎÅÅ, ÔÁË ËÁË ÂÌÉÖÁÊÛÉÊ Ë x ÜÌÅÍÅÎÔ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Y ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÒÉ ÏÍÏÝÉ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ. é ÚÄÅÓØ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÒÏÂÌÅÍÁ (ÉÛÅÔ ó. í. îÉËÏÌØÓËÉÊ): ÎÅÌØÚÑ ÌÉ ×ÓÅ ÖÅ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÔÁËÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ , ËÏÔÏÒÙÊ ÏÔÏÂÒÁÖÁÌ ÂÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï C × ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Y ÔÁË, ÞÔÏÂÙ d(C; Y; X ) = supx∈C kx − (x)k? ëÏÎÅÞÎÏ, ÄÌÑ ÏÔÄÅÌØÎÏÊ ÁÒÙ C; Y ÔÁËÏÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÍÏÖÅÔ ÎÁÊÔÉÓØ É × ÎÅÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å X | ÎÁÒÉÍÅÒ, × ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÏÅÒÁÔÏÒ PY ÄÏÕÓËÁÅÔ ÌÉÎÅÊÎÕÀ ×ÙÂÏÒËÕ (Ô. Å. ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ P : X → Y , ÞÔÏ P (x) ∈ PY (x) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ x ∈ X ). óËÁÖÅÍ, × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å C [−1; 1℄ Ó ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÊ ÎÏÒÍÏÊ (ÏÎÏ, ËÁË ÍÙ ÚÎÁÅÍ, ÎÅ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ×ÙÂÏÒËÁ ÉÚ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÞÅÔÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÉÚ C [−1; 1℄: f (x) 7→ f (x) +2f (−x) (ÒÏ×ÅÒØÔÅ!). ðÏÜÔÏÍÕ ×ÏÒÏÓ ó. í. îÉËÏÌØÓËÏÇÏ ÎÁÄÏ ÕÔÏÞÎÉÔØ: ËÁË ×ÅÌÉËÁ × ÎÅÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å X ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÁÒ {C; Y }, ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁÊÄÅÔÓÑ (Ó×ÏÊ) ÏÅÒÁÔÏÒ  Ó ÕËÁÚÁÎÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ? îÁ ÜÔÉ É ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÄÒÕÇÉÅ ×ÏÒÏÓÙ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÅÏÒÅÍÁ 1. ðÕÓÔØ X | ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÂÁÎÁÈÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, dimX > 3. óÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ: 0) X | ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï; 1) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ n ∈ N, n 6 dimX − 2, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ n-ÍÅÒÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Yn ⊂ X É ÌÀÂÏÇÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á C ⊂ X ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ  : X → Yn , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ supx∈C kx − (x)k = = d(C; Yn ; X );

ëÒÉÔÅÒÉÉ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔÉ ÂÁÎÁÈÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á

197

2) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ n ∈ N, n 6 dimX − 2, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ n-ÍÅÒÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Yn ⊂ X ÏÅÒÁÔÏÒ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ PYn ÄÏÕÓËÁÅÔ ÌÉÎÅÊÎÕÀ ×ÙÂÏÒËÕ; 3) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ k ∈ N, 2 6 k 6 dimX − 1, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ k-ÍÅÒÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Yk ⊂ X ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÒÏÅËÔÏÒ Yk : X → Yk ÎÏÒÍÙ 1. ÷ ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ Ï ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏÓÔÉ 0) É 1) ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÎÁ ×ÏÒÏÓ ó. í. îÉËÏÌØÓËÏÇÏ É ×ÙÔÅËÁÅÔ, ËÁË ÍÙ Õ×ÉÄÉÍ, ÉÚ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ 0) ⇐⇒ 2), ÄÏËÁÚÁÎÎÏÊ × [8℄ (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ 3 × [8℄ ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÔÓÑ × ÄÒÕÇÉÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ). äÏ ÜÔÏÇÏ òÕÄÉÎ É óÍÉÔ [9℄ ÎÁÛÌÉ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔÉ ÂÏÌÅÅ ÓÉÌØÎÏÅ, ÞÅÍ 2): ÏÎÉ ÔÒÅÂÏ×ÁÌÉ, ÞÔÏÂÙ ÓÁÍ ÏÅÒÁÔÏÒ PYn ÂÙÌ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÍ É ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ n-ÍÅÒÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Yn ⊂ X . õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ Ï ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏÓÔÉ 0) É 3) ÄÏËÁÚÁÎÏ × [8℄ É ÏÂÏÂÝÁÅÔ ÔÅÏÒÅÍÕ ëÁËÕÔÁÎÉ [6℄, × ËÏÔÏÒÏÊ ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÒÏÅËÔÏÒÁ Y ÎÏÒÍÙ 1 ÎÁ ÌÀÂÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Y ⊂ X . äÌÑ k = 2 ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ 0) ⇐⇒ 3) ÂÙÌÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ æÉÌÌÉÓÏÍ [10℄. ÷ ÒÁÂÏÔÅ [8℄ ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ ÔÁËÖÅ ÏÂÏÂÝÅÎÉÑ ÜÔÉÈ ËÒÉÔÅÒÉÅ× É ÂÌÉÚËÉÅ ÉÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ÙÏÌÎÅÎÉÅ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÊ 1), 2) É 3) × ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÕÖÅ ÏÔÍÅÞÁÌÏÓØ ×ÙÛÅ. äÏËÁÖÅÍ ÏÂÒÁÔÎÙÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ Ï ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÈÅÍÅ: 1) =⇒ 2) =⇒ 0) É 3) =⇒ 0). 1) =⇒ 2). ÷ÏÚØÍÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ n-ÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Yn ⊂ X É ÏÌÏÖÉÍ C = Yn + B , ÇÄÅ B = {x ∈ X : kxk 6 1} | ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ÛÁÒ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á X . óÏÇÌÁÓÎÏ 1), 1 = d(C; Yn ; X ) = supx∈C kx − (x)k, ÇÄÅ  : X → Yn | ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ. äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ  Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÙÂÏÒËÏÊ ÉÚ ÏÅÒÁÔÏÒÁ PYn ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Yn . ÷ÏÚØÍÅÍ ÌÀÂÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ x ∈ X , ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔ ÎÁÉÌÕÞÛÅÇÏ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÑ y ∈ PYn (x) É ÏÌÏÖÉÍ q = x − y. üÌÅÍÅÎÔ x′ = x=kqk = q=kqk + y=kqk = q′ + y′ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ C , Á ÚÎÁÞÉÔ, 1 > kx′ − (x′ )k = kq′ + (y′ − (x′ ))k. îÕÌÅ×ÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ × Yn ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÎÁÉÌÕÞÛÅÇÏ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÑ ÄÌÑ q, Á ÚÎÁÞÉÔ, É ÄÌÑ q′ , ÏÜÔÏÍÕ kq′ +(y′ − (x′ ))k > kq′ − 0k = kq′ k = 1. ÷ÍÅÓÔÅ Ó ÒÅÄÙÄÕÝÉÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ ÜÔÏ ÄÁÅÔ kx′ − (x′ )k = 1, ÏÔËÕÄÁ kx − (x)k = kqk kx′ − (x′ )k = kqk = (x; Yn ), Ô. Å. (x) ∈ PYn (x). éÔÁË, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ n-ÍÅÒÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Yn ⊂ X ÍÙ ÎÁÛÌÉ ÌÉÎÅÊÎÕÀ ×ÙÂÏÒËÕ ÉÚ ÏÅÒÁÔÏÒÁ PYn , ÔÁË ÞÔÏ X ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ 2) ÒÉ ÄÁÎÎÏÍ n. 2) =⇒ 0). íÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ dim X = n + 2. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÏÚØÍÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Xn+2 ⊂ X ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ n+2. ïÎÏ ÔÁËÖÅ ÂÕÄÅÔ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ ÕÓÌÏ×ÉÀ 2). äÏËÁÚÁ× ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔØ ÌÀÂÏÇÏ ÔÁËÏÇÏ Xn+2 , ÍÙ × ÓÉÌÕ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ ÉÚ ÌÅÍÍÙ A ÄÏËÁÖÅÍ É ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔØ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á X . éÔÁË, ÓÞÉÔÁÅÍ dim X = n +2. ÷ÏÚØÍÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Z ⊂ X ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ n − 1. ÷ ÆÁËÔÏÒÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å X=Z , ÓÏÓÔÏÑÝÅÍ ÉÚ ËÌÁÓÓÏ× ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ [x℄ = {x + z : z ∈ Z }, ËÁË ÏÂÙÞÎÏ (ÓÍ., ÎÁÒ., [1℄, ÇÌ. III, § 3), ××ÅÄÅÍ ÎÏÒÍÕ k[x℄k = inf z∈Z kx − z k (ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÎÏÒÍÁ, ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÉÔÁÔÅÌÀ). ìÀÂÏÅ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï × X=Z ÅÓÔØ Y=Z ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Y ⊂ X , dim Y = n. ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÒÏÅËÔÏÒ P : X → Y , ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ËÁÖÄÏÍÕ x ∈ X ËÁËÏÊ-ÔÏ

198

ð. á. âÏÒÏÄÉÎ, ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

ÜÌÅÍÅÎÔ ÎÁÉÌÕÞÛÅÇÏ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÑ P (x) ∈ PY (x). ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÒÏÅËÔÏÒ P~ : X=Z → Y=Z , P~ ([x℄) = [P (x)℄, ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÔÅÍ ÖÅ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ × ÆÁËÔÏÒÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å X=Z . äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ [y℄ ∈ Y=Z ÉÍÅÅÍ k[x℄ − P~ ([x℄) − [y ℄kX=Z = inf kx − P (x) − y − z k > inf kx − P (x)k = kx − P (x)k = z ∈Z

z ∈Z

= inf kx − P (x) − z k = k[x℄ − [P (x)℄kX=Z = k[x℄ − P~ ([x℄)kX=Z : z ∈Z

ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ (n − 1)-ÍÅÒÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Z ⊂ X ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï X~ = X=Z ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ 2) n = 1. åÓÌÉ ÍÙ ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÅ ÔÁËÏÅ X~ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï, ÔÏ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔØ X ÂÕÄÅÔ ×ÙÔÅËÁÔØ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÌÅÍÍÙ. ìÅÍÍÁ B ([8℄). ðÕÓÔØ X | ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÅ ÂÁÎÁÈÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ d 6 dim X − 2, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ d-ÍÅÒÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Z ⊂ X ÆÁËÔÏÒÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï X=Z ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï. ÏÇÄÁ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÙÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ É ÓÁÍÏ X . äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÌÅÍÍÙ B. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× f; g ∈ X ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÁ. ÷ÏÚØÍÅÍ × X ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ F , ÏÏÒÎÕÀ Ë ÛÁÒÕ {x ∈ X : kxk 6 kf k} × ÔÏÞËÅ f , É ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÕÀ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ G ÄÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁ g. ÷ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ F ∩ G ×ÙÂÅÒÅÍ d-ÍÅÒÎÕÀ ÌÏÓËÏÓÔØ, É ÕÓÔØ Z | d-ÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÅ ÜÔÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ðÌÏÓËÏÓÔØ Z + f ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÌÏÓËÏÓÔÉ F , Ô. Å. Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÏÒÎÏÊ Ë ÛÁÒÕ {x : kxk 6 kf k} × ÔÏÞËÅ f . üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ kf + z k > kf k ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ z ∈ Z . áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, kg + z k > kgk ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ z ∈ Z . ðÏÜÔÏÍÕ × ÆÁËÔÏÒÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å X=Z ÎÏÒÍÙ ËÌÁÓÓÏ× ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ [f ℄ É [g℄ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÎÏÒÍÁÍÉ ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× f É g: k[f ℄kX=Z = kf k, k[g℄kX=Z = kgk. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï X=Z | ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï, ÏÜÔÏÍÕ k[f ℄ + [g ℄k2 + k[f ℄ − [g ℄k2 = 2(k[f ℄k2 + k[g ℄k2 ) ÉÌÉ inf {kf + g + z k2} + inf {kf − g + z k2} = 2(kf k2 + kgk2): ïÔÓÀÄÁ

z ∈Z

z ∈Z

+ gk2 + kf − gk2 > 2(kf k2 + kgk2) ∀f; g ∈ X: úÁÉÛÅÍ ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï Ó ÚÁÍÅÎÏÊ f É g, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÁ (f + g)=2 É (f − g)=2: kf

kf k2 + kg k2 >

kf

g k2 + kf − g k2

: ðÏÓÌÅÄÎÉÅ Ä×Á ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ×ÍÅÓÔÅ ÄÁÀÔ ÉÓËÏÍÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÁ. ìÅÍÍÁ B ÄÏËÁÚÁÎÁ. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÌÅÍÍÕ B ÍÏÖÎÏ ÉÎÔÅÒÒÅÔÉÒÏ×ÁÔØ ÔÁË: ÅÓÌÉ ×ÙÕËÌÁÑ ÅÎÔÒÁÌØÎÏ-ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ S ⊂ Rn ÒÉ ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÉ ×ÄÏÌØ ÌÀÂÏÇÏ d-ÍÅÒÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á L (d 6 n − 2 | ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ) ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ (n − d)-ÍÅÒÎÕÀ ÌÏÓËÏÓÔØ  = (L) ÄÁÅÔ ÜÌÌÉÓÏÉÄ × , ÔÏ ÏÎÁ ÓÁÍÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÌÌÉÓÏÉÄÏÍ (ÓÒ. Ó ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ×Ï ××ÅÄÅÎÉÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉË ÜÌÌÉÓÏÉÄÏ× × R3 ). +

2

ëÒÉÔÅÒÉÉ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔÉ ÂÁÎÁÈÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á

199

÷ÅÒÎÅÍÓÑ Ë ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÔÅÏÒÅÍÙ. ïÓÔÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔØ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á X~ , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ 2) Ó n = 1. äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÅÄÉÎÉÞÎÁÑ ÓÆÅÒÁ S ÜÔÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á | ÜÌÌÉÓÏÉÄ. ÷ÏÚØÍÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Y ⊂ X~ É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÒÏÅËÔÏÒ P : X~ → Y , ~ P (x) ∈ PY (x). ñÄÒÏ ÜÔÏÇÏ ÒÏÅËÔÏÒÁ | ÎÅËÏÔÏÒÏÅ Ä×ÕÍÅÒÎÏÅ ÏÄ∀x ∈ X ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U = U (Y ). äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ u ∈ U ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÂÌÉÖÁÊÛÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × Y Ñ×ÌÑÅÔÓÑ 0, Ô. Å. ku + yk > ku + 0k = kuk ÒÉ ÌÀÂÏÍ y ∈ Y . üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÑÍÁÑ, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÁÑ Y É ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ u, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÏÒÎÏÊ Ë ÓÆÅÒÅ {x : kxk = kuk} × ÔÏÞËÅ u. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÓÆÅÒÙ S É ÏÉÓÁÎÎÏÇÏ ×ÏËÒÕÇ ÎÅÅ ÉÌÉÎÄÒÁ C (Y ) Ó ÏÂÒÁÚÕÀÝÅÊ Y ÅÌÉËÏÍ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ËÒÉ×ÕÀ S ∩ U , Ô. Å. (S ∩ C (Y )) ⊇ (S ∩ U ). äÌÑ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ Ë ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÔÅÏÒÅÍÙ A (ÓÍ. . 1) ÎÁÄÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ (S ∩ C (Y )) = (S ∩ U ). ðÕÓÔØ, ×ÏÒÅËÉ ÜÔÏÍÕ, ÒÑÍÁÑ l ÁÒÁÌÌÅÌØÎÁ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ Y É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÏÒÎÏÊ Ë ÓÆÅÒÅ S × ÔÏÞËÅ p 6∈ U . üÔÁ ÒÑÍÁÑ ÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ Ó U × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÞËÅ q. ëÁË ÍÙ ÚÎÁÅÍ, l Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÏÒÎÏÊ Ë ÓÆÅÒÅ {x : kxk = kqk} × ÔÏÞËÅ q, É × ÔÏ ÖÅ ×ÒÅÍÑ, Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ, ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÏÒÎÏÊ Ë S = {x : kxk = 1} × ÔÏÞËÅ p. ïÔÓÀÄÁ kqk = 1, ÏÔÒÅÚÏË pq ⊂ S (ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ÛÁÒ | ×ÙÕËÌÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï), Á ÒÑÍÁÑ l Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÏÒÎÏÊ Ë S ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞËÁÈ ÜÔÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ. ðÕÓÔØ  | Ä×ÕÍÅÒÎÁÑ ÌÏÓËÏÓÔØ, ÏÏÒÎÁÑ Ë S ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞËÁÈ ÏÔÒÅÚËÁ pq, Á | Ä×ÕÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÏÒÏÖÄÅÎÎÏÅ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ p É q. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Y ′ = 6 Y , ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÅ  É ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÅÍÕ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ′ (ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ (S ∩ C (Y ′ )) ⊇ (S ∩ U ′ )) ÎÅ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó . äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ (S ∩ ) ⊆ (S ∩ C (Y ′ )) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ Y ′ k , Y ′ 6= Y , ÔÏ Ï ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ (S ∩ ) ⊆ (S ∩ C (Y )), ÞÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÔÁË ËÁË Y ⊂ (ÏÔÒÅÚÏË pq k Y ). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÑÍÁÑ  ∩ U ′ É ÏÔÒÅÚÏË pq, ÌÅÖÁÝÉÅ × ÏÄÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ , ÎÅ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ. ëÁË É ×ÙÛÅ, ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ×ÓÑËÉÊ ÏÔÒÅÚÏË, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÊ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ Y ′ É ÉÍÅÀÝÉÊ ÏÄÉÎ ËÏÎÅ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ pq É ÄÒÕÇÏÊ ÎÁ ÒÑÍÏÊ  ∩ U ′ , ÅÌÉËÏÍ ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÓÆÅÒÅ S . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ  ∩ S ÉÍÅÅÔ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÅ ÔÏÞËÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ , Ô. Å. ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÕÀ (×ÙÕËÌÕÀ ÚÁÍËÎÕÔÕÀ) ÌÏÓËÕÀ ÏÂÌÁÓÔØ D. ÷ÏÚØÍÅÍ ×ÅËÔÏÒ v, ÎÅ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ , ÏÒÏÖÄÅÎÎÏÅ ÉÍ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Y (v) É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ Ä×ÕÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U (v) (ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ (S ∩ C (Y (v))) ⊇ (S ∩ U (v))). üÔÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U (v) ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÅÒÅÓÅËÁÔØ ÏÂÌÁÓÔØ D Ï ×ÎÕÔÒÅÎÎÏÓÔÉ, ÉÎÁÞÅ ÞÁÓÔØ D (Á ÚÎÁÞÉÔ, É ÓÆÅÒÙ S ) ÌÅÖÉÔ ×ÎÅ ÉÌÉÎÄÒÁ C (Y (v)), ÏÉÓÁÎÎÏÇÏ Ï ËÒÉ×ÏÊ S ∩ U (v). éÔÁË, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ v, ÎÅ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÇÏ , ÏÂÌÁÓÔØ D ÌÅÖÉÔ ×  Ï ÏÄÎÕ ÓÔÏÒÏÎÕ ÏÔ ÒÑÍÏÊ  ∩ U (v) (ÒÉ ÜÔÏÍ, ÅÓÌÉ ×ÅËÔÏÒ v, ÂÕÄÕÞÉ ÒÉÓÔÁ×ÌÅÎ Ë ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÔÏÞËÅ ÉÚ  ∩ U (v), €ÓÍÏÔÒÉԁ × ÔÏ ÉÚ Ä×ÕÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÇÄÅ ÌÅÖÉÔ S , ÔÏ ÅÇÏ ÒÏÅË ÉÑ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ  É ÏÂÌÁÓÔØ D ÌÅÖÁÔ ×  Ï ÒÁÚÎÙÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ÏÔ ÒÑÍÏÊ  ∩ U (v)). ðÏ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ ÜÔÏ É ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ v, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÇÏ . îÏ ÔÏÇÄÁ, ËÁË ÕÖÅ ÂÙÌÏ Ä×ÁÖÄÙ ÏËÁÚÁÎÏ ×ÙÛÅ × ÏÄÏÂÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ, ÏÂÌÁÓÔØ D ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÁÖÄÏÊ Ó×ÏÅÊ ÔÏÞËÏÊ p ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÔÒÅÚÏË pq, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÊ v É ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÊ p Ó ÔÏÞËÏÊ q ∈  ∩ U (v) (ÒÉ ÜÔÏÍ ×ÅËÔÏÒ pq ÓÏÎÁÒÁ×ÌÅÎ Ó v). éÔÁË, ÍÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÕÀ ×ÙÕËÌÕÀ ÚÁÍËÎÕÔÕÀ ÏÂÌÁÓÔØ D ⊂ , ËÏÔÏÒÁÑ Ï ÌÀÂÏÍÕ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÀ v, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÍÕ ÌÏÓËÏÓÔÉ , ÓÁÍÁ Ï ÓÅÂÅ ÒÏÅËÔÉÒÕÅÔÓÑ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÒÑÍÕÀ l(v) =  ∩ U (v), ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÝÕÀ ×ÎÕÔÒÅÎÎÏÓÔØ D. ÁËÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ (ÄÏËÁÖÉÔÅ!).

200

ð. á. âÏÒÏÄÉÎ, ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

éÔÁË, ÎÁÛÅ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ ÎÅ×ÅÒÎÏ, (S ∩ C (Y )) = (S ∩ U (Y )) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Y ⊂ X~ , É Ï ÔÅÏÒÅÍÅ A ÉÚ . 1 S | ÜÌÌÉÓÏÉÄ, Á X~ | ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï. éÍÌÉËÁ ÉÑ 2) =⇒ 0) ÏÌÎÏÓÔØÀ ÄÏËÁÚÁÎÁ. 3) =⇒ 0). ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ×ÎÁÞÁÌÅ, ÞÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï X ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ 3) Ó k = 2 (ÓÌÕÞÁÊ æÉÌÌÉÓÁ [10℄). ÏÇÄÁ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÌÀÂÏÅ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï X3 ⊂ X ÔÁËÖÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÜÔÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ. äÏËÁÚÁ× ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔØ ÌÀÂÏÇÏ ÔÁËÏÇÏ X3 , ÍÙ × ÓÉÌÕ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ ÉÚ ÌÅÍÍÙ A ÄÏËÁÖÅÍ É ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔØ X . éÔÁË, ÎÁÄÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔØ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ ÂÁÎÁÈÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, × ËÏÔÏÒÏÍ ÎÁ ËÁÖÄÏÅ Ä×ÕÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Y ÅÓÔØ ÒÏÅËÔÏÒ Y ÎÏÒÍÙ 1. óÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ Y ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÀ ÔÁËÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ  (Y ), ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÅÇÏ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÞÔÏ kyk = kY (y +  (Y ))k 6 ky +  (Y )k ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ y ∈ Y É ÌÀÂÏÇÏ ÞÉÓÌÁ . üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ  (Y ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÏÒÎÙÍ Ë ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÓÆÅÒÅ S = S (X3 ) ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞËÁÈ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ S ∩ Y . ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ B ÉÚ . 1, S | ÜÌÌÉÓÏÉÄ, Á ÚÎÁÞÉÔ, X3 | ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï X ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ 3) Ó k > 3. ÷ÏÚØÍÅÍ × X ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Y ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ k, Á × Y | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ (k−1)-ÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Y1 . ÷ÏÚØÍÅÍ ÔÁËÖÅ ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÜÌÅÍÅÎÔ

∈ Ker(Y L ), 6= 0, É ÏÒÏÖÄÅÎÎÏÅ ÉÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï < >. ðÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Z :=< > Y1 ÉÍÅÅÔ × X ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ k | ÔÕ ÖÅ, ÞÔÏ É Y . ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÏÅËÔÏÒ Z : X → Z ÎÏÒÍÙ 1. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ Y ◦ Z ÎÁ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Y . äÌÑ ×ÓÅÈ y ∈ Y ÉÍÅÅÍ Z (y) = y1 +  , ÇÄÅ y1 ∈ Y1 , Á  | ÞÉÓÌÏ. ïÔÓÀÄÁ Y ◦ Z (y) = Y (y1 )+ Y ( ) = y1 +  · 0 = y1 , Ô. Å. ÏÅÒÁÔÏÒ Y ◦ Z ÅÒÅ×ÏÄÉÔ Y × ÅÇÏ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Y1 . ðÏÓËÏÌØËÕ Y É Z ÎÅ Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÀÔ ÎÏÒÍÕ, ÔÏ ÉÈ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÔÁËÖÅ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÜÔÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ y1 ∈ Y1 ÉÍÅÅÍ Y ◦ Z (y1 ) = y1 . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Y ◦ Z = Y1 : Y → Y1 | ÒÏÅËÔÏÒ ÎÏÒÍÙ 1, Ô. Å. Y ËÁË ÂÁÎÁÈÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ 3) Ó k = 1. ðÒÉ ÜÔÏÍ × ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÍ ÓÌÕÞÁÅ Y ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÞÅÍ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏ. ÏÞÎÏ ÔÁË ÖÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ × ÌÀÂÏÍ (k − 1)-ÍÅÒÎÏÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÏÅËÔÏÒ ÎÏÒÍÙ 1 ÎÁ ÌÀÂÏÅ ÅÇÏ (k − 2)-ÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï. ðÒÏÄÏÌÖÁÑ ÔÁË ÄÁÌÅÅ, ÚÁ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÛÁÇÏ× ÍÙ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ × ÌÀÂÏÍ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å X3 ⊂ X ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÏÅËÔÏÒ ÎÏÒÍÙ 1 ÎÁ ÌÀÂÏÅ Ä×ÕÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, Ô. Å. ÒÉÄÅÍ Ë ÕÖÅ ÒÁÚÏÂÒÁÎÎÏÍÕ ÓÌÕÞÁÀ. íÏÖÎÏ ÏÂÏÊÔÉÓØ É ÂÅÚ ÉÎÄÕË ÉÉ, ÏËÁÚÁ×, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ (k − 3)-ÍÅÒÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U × k-ÍÅÒÎÏÍ Y × ÆÁËÔÏÒÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Y3 = Y=U ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÏÅËÔÏÒ V : Y3 → V ÎÏÒÍÙ 1 ÎÁ ÌÀÂÏÅ Ä×ÕÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V ⊂ Y3 . ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÌÅÍÍÕ B. ÅÏÒÅÍÁ 1 ÏÌÎÏÓÔØÀ ÄÏËÁÚÁÎÁ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÎÁ n É k × ÔÅÏÒÅÍÅ 1 ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙ. åÓÌÉ dim X = 6 ∞ É n = dim X − 1, ÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ n-ÍÅÒÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Y ⊂ X ÏÅÒÁÔÏÒ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ PY ÄÏÕÓËÁÅÔ ÌÉÎÅÊÎÕÀ ×ÙÂÏÒËÕ (ÉÍÅÎÎÏ, ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÄÏÌØ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ v 6= 0, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ PY (v) ∋ 0). ÷ ÕÓÌÏ×ÉÉ 3) ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï k = 1 ÔÁËÖÅ ÎÅ ÇÏÄÉÔÓÑ: × ÌÀÂÏÍ ÂÁÎÁÈÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å X ÅÓÔØ ÒÏÅËÔÏÒ Y ÎÏÒÍÙ 1 ÎÁ ÌÀÂÏÅ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Y (ÉÍÅÎÎÏ, ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÉÄÅÔ ×ÄÏÌØ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ, ÏÏÒÎÏÊ Ë ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÓÆÅÒÅ S × ÔÏÞËÁÈ S ∩ Y ).

201

ëÒÉÔÅÒÉÉ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔÉ ÂÁÎÁÈÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á

óÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ €ÁÎÔÉÏÄف ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× | ÂÁÎÁÈÏ×Ù ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, × ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× Y ËÏÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ > 1 Ó ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ PY : X → Y . ÁËÉÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï C [0; 1℄ Ó ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÊ ÎÏÒÍÏÊ [11℄. íÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ É (ÄÁÖÅ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÅ) ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï X , × ËÏÔÏÒÏÍ ÎÅÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× Y ËÏÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ > 1 Ó ÌÉÎÅÊÎÏÊ ×ÙÂÏÒËÏÊ ÉÚ ÏÅÒÁÔÏÒÁ PY . ÷ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÆÁËÔÁ ÍÙ ÒÅÄÌÁÇÁÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ. 3. ðÏÅÒÅÞÎÉËÉ É ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔØ

ðÕÓÔØ (X; k · k) | ÂÁÎÁÈÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, C | ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X ,  = {F } | ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÉÚ C × X . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÅÌÉÞÉÎÕ p (C; X ) = inf sup kx − F (x)k: (2) F ∈ x∈C

åÓÌÉ  | ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÈ (ÎÁ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÅ C ) ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ, ÏÂÒÁÚ ËÏÔÏÒÙÈ n-ÍÅÒÅÎ, ×ÅÌÉÞÉÎÁ (2) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÏÅÒÅÞÎÉËÏÍ n (C; X ); ÒÉ ÔÏÍ ÖÅ  ×ÅÌÉÞÉÎÁ dn (C; X ) = 12 inf F ∈ supx∈C diam[F −1 (F (x))℄ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÅÒÅÞÎÉËÏÍ Ï çÅÌØÆÁÎÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á C . åÓÌÉ  | ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ F , ÏÂÒÁÚ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ n-ÍÅÒÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ  = n (F ), ×ÅÌÉÞÉÎÕ (2) ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÏÅÒÅÞÎÉËÏÍ Ï ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ dn (C; X ). åÓÌÉ ÖÅ  | ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ, ÏÂÒÁÚ ËÏÔÏÒÙÈ | n-ÍÅÒÎÙÊ ËÏÍÌÅËÓ1), ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÊ × X , ÔÏ (2) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÌÅËÓÁÎÄÒÏ×ÓËÉÍ ÏÅÒÅÞÎÉËÏÍ (× ÞÅÓÔØ ð. ó. áÌÅËÓÁÎÄÒÏ×Á) É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ an (C; X ). ï Ó×ÏÊÓÔ×ÁÈ ÏÅÒÅÞÎÉËÏ× É ÉÈ ÒÏÌÉ × ÔÅÏÒÉÉ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÏÄÒÏÂÎÏ ÕÚÎÁÔØ × ÇÌ. 3 ÏÂÚÏÒÁ [12℄. úÄÅÓØ ÖÅ ÍÙ ÚÁÊÍÅÍÓÑ ÏÅÒÅÞÎÉËÁÍÉ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á É ÔÅÍÉ ÉÈ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÄÌÑ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔÉ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ F ÍÎÏÖÅÓÔ×Á C × n-ÍÅÒÎÕÀ ÌÏÓËÏÓÔØ L ×ÅÌÉÞÉÎÁ supx∈C kx − F (x)k ÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÕËÌÏÎÅÎÉÑ C ÏÔ L. ðÏÜÔÏÍÕ n (C; X ) > dn (C; X ) > > inf dim L=n d(C; L; X ). îÏ, ËÁË ÍÙ ÚÎÁÅÍ, × ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å d(C; L; X ) = supx∈C kx − PL (x)k, ÇÄÅ PL | ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁ L, ÏÔËÕÄÁ n (C; X ) 6 inf dim L=n d(C; L; X ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, n (C; X ) = dn (C; X ) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á C × ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å X . äÁÌÅÅ, ÄÌÑ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ PL ÉÍÅÅÍ 1 2

sup diam[PL−1 (PL (x))℄ 6 12 sup 2

x∈C

sup

x∈C z∈C :PL(z)=PL (x)

kz − PL (x)k =

sup kx − PL (x)k;

x∈C

ÏÔËÕÄÁ dn (C; X ) 6 dn (C; X ) (× ÓÌÕÞÁÅ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÂÁÎÁÈÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á X ÏÅÒÅÞÎÉËÉ dn É dn , ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÉËÁË ÎÅ Ó×ÑÚÁÎÙ). åÓÌÉ Y | ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï × ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å X , ÔÏ ÏÅÒÁÔÏÒ PY ÉÍÅÅÔ ÎÏÒÍÕ 1, ÏÔËÕÄÁ supx∈C kx − F (x)k > supx∈C kPY (x) − PY ◦ F (x)k. ïÔÓÀÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÅÒÅÞÎÉËÁ pn = n ; dn ; dn ; an ÓÌÅÄÕÅÔ, ×Ï-ÅÒ×ÙÈ, 1) ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÞÉÓÌÅ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ n-ÍÅÒÎÙÈ ÓÉÍÌÅËÓÏ×: ÔÏÞÅË (ÎÕÌØÍÅÒÎÙÅ ÓÉÍÌÅËÓÙ), ÏÔÒÅÚËÏ× (ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÅ ÓÉÍÌÅËÓÙ), ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× (Ä×ÕÍÅÒÎÙÅ ÓÉÍÌÅËÓÙ), ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ× (ÔÒÅÈÍÅÒÎÙÅ ÓÉÍÌÅËÓÙ) É Ô. Ä.

202

ð. á. âÏÒÏÄÉÎ, ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

ÞÔÏ pn (PY (C ); X ) 6 pn (C; X ), Á ×Ï-×ÔÏÒÙÈ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ C ⊂ Y , ÔÏ pn (C; Y ) = = pn (C; X ). ðÒÉ ÜÔÏÍ ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× C 6⊂ Y ÏÅÒÅÞÎÉË ÎÅ ÏÂÑÚÁÎ ÓÔÒÏÇÏ ÕÍÅÎØÛÁÔØÓÑ ÏÓÌÅ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï. äÏËÁÖÅÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÅÄÉÎÉÞÎÏÇÏ ÛÁÒÁ B É ÌÀÂÏÇÏ (n + 1)-ÍÅÒÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Y ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï an (B ∩ Y; X ) = an (B; X ) = 1. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, an (B ∩ Y; Y ) = an (B ∩ Y; X ) 6 an (B; X ) 6 1 (ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ F : B → {0} ÛÁÒÁ B × ÎÕÌØÍÅÒÎÙÊ ËÏÍÌÅËÓ {0} ÉÍÅÅÍ supx∈B kx − F (x)k = 1). ïÓÔÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï an (B ∩ Y; Y ) = 1. óÌÅÄÕÑ í. é. óÔÅÓÉÎÕ ([13, ÔÅÏÒÅÍÁ 1.1.7℄), ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ÒÏÔÉ×ÎÏÅ: ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ F ÛÁÒÁ BY = B ∩ Y × n-ÍÅÒÎÙÊ ËÏÍÌÅËÓ Kn ⊂ Y , ÞÔÏ kx − F (x)k 6 1 − Æ, Æ > 0, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ x ∈ BY . ÷ÏÚØÍÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ y ∈ Y , kyk 6 Æ=2, É ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ y ∈ F (BY ). åÓÌÉ y 6∈ F (BY ), F (x) ÔÏ G(x) := kyy − | ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÛÁÒÁ BY × ÓÅÂÑ, ÔÏÞÎÅÅ, × − F (x)k ÓÆÅÒÕ SY = {y : kyk = 1}. ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ âÒÁÕÜÒÁ Ï ÎÅÏÄ×ÉÖÎÏÊ ÔÏÞËÅ Õ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ G ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÁÑ ÔÏÞËÁ x0 : G(x0 ) = x0 , kx0 k = 1. ïÔÓÀÄÁ F (x0 ) = y − ky − F (x0 )kx0 , ÔÁË ÞÔÏ kx0 − F (x0 )k = kx0 (1 + ky − F (x0 )k) − y k >kx0 k(1 + ky − F (x0 )k) − ky k > >kx0 k − Æ=2 > 1 − Æ;

ÞÔÏ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÂÒÁÚ F (BY ) ÓÏÄÅÒÖÉÔ 2Æ -ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÎÕÌÑ É ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ n-ÍÅÒÎÙÍ ËÏÍÌÅËÓÏÍ (ÎÁÏÍÎÉÍ, ÎÁÛÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Y ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ n + 1), ÔÁË ÞÔÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ an (BY ; Y ) = 1. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ óÔÅÓÉÎÁ ÇÏÄÉÔÓÑ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ (n + 1)-ÍÅÒÎÏÇÏ ÂÁÎÁÈÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. åÓÌÉ X | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÂÁÎÁÈÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ó dim X > n + 1, ÔÏ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, an (B ∩ Y; X ) 6 1. ÷ ÔÏ ÖÅ ×ÒÅÍÑ ÄÌÑ ËÏÌÍÏÇÏÒÏ×ÓËÉÈ ÏÅÒÅÞÎÉËÏ× ×ÓÅÇÄÁ dn (B ∩ Y; X ) = 1. ëÁË ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ, ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÌÀÂÏÇÏ ÉÚ ×ÙÑ×ÌÅÎÎÙÈ ÎÁÍÉ (ÎÅ)ÒÁ×ÅÎÓÔ× ÒÉ ËÁËÏÍ-ÔÏ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×. ÅÏÒÅÍÁ 2. ðÕÓÔØ X | ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÂÁÎÁÈÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, dim X > 3. óÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ: 0) X | ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï; 1) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ n ∈ N, n 6 dim X − 2, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á C ⊂ X ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï dn (C; X ) = n (C; X ); 2) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ n ∈ N, n 6 dim X − 2, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á C ⊂ X ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï dn (C; X ) 6 dn (C; X ); 3) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ n ∈ Z+ , n 6 dim X − 3, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ (n + 2)ÍÅÒÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Y ⊂ X É ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á C ⊂ Y ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï dn (C; Y ) = dn (C; X ); 4) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ n ∈ N, n 6 dim X − 2, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ (n + 1)ÍÅÒÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Y ⊂ X ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï an (B ∩ Y; X ) = 1.  

ëÒÉÔÅÒÉÉ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔÉ ÂÁÎÁÈÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á

203

÷ ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ Ï ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏÓÔÉ 0) É 3) ÄÏËÁÚÁÎÏ × [14℄. óÔÁÔØÑ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ Á×ÔÏÒÏ× (÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×), × ËÏÔÏÒÏÊ ÂÙÌÉ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ 0) ⇐⇒ 1) ⇐⇒ 2), ÏÓÔÁÌÁÓØ ÎÅÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÎÏÊ. òÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏÓÔØ ÕÓÌÏ×ÉÊ 0) É 4) ÄÏËÁÚÁÎÁ í. é. óÔÅÓÉÎÙÍ [13℄. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ÙÏÌÎÅÎÉÅ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÊ 1), 2), 3) É 4) × ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÕÖÅ ÏÔÍÅÞÁÌÏÓØ ×ÙÛÅ. äÏËÁÖÅÍ ÏÂÒÁÔÎÙÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ. 1) =⇒ 0). ðÕÓÔØ Yn | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ n-ÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï × X . ðÏÌÏÖÉÍ C = Yn + B = {x ∈ X : (x; Yn ) 6 1}. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, dn (C; X ) = d(C; Yn ; X ) = 1. ïÔÓÀÄÁ n (C; X ) = 1, É ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Yn Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÍ ÔÁËÖÅ É ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÏÅÒÅÞÎÉËÁ (ÅÓÌÉ k | ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÒÏÅËÔÏÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á C ÎÁ nÍÅÒÎÙÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ Ynk É supx∈C kx − k (x)k → 1 ÒÉ k → ∞, ÔÏ ×ÓÅ Ynk k Yn , d(Ynk ; Yn ; X ) → 1, Á k (x) → P (x), ÇÄÅ P : C → Yn | ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÒÏÅËÔÏÒ, supx∈C kx − P (x)k = 1). éÔÁË, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÒÏÅËÔÏÒ P : X → Yn Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ ∀x ∈ C kx − P (x)k 6 1. òÁÓÓÕÖÄÁÑ ÔÏÞÎÏ ÔÁË ÖÅ, ËÁË ÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÉÍÌÉËÁ ÉÉ 1) =⇒ 2) × ÔÅÏÒÅÍÅ 1, ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÍ, ÞÔÏ P Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ×ÙÂÏÒËÏÊ ÉÚ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ PYn . ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 1 X | ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï. 2) =⇒ 0). ÷ÏÚØÍÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ (n +2)-ÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Xn+2 ⊂ X , Á × ÎÅÍ | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ n-ÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Yn . ðÏÌÏÖÉÍ ÏÑÔØ C = Yn +B . éÍÅÅÍ 1 = dn (B; X ) 6 dn (C; X ) 6 dn (C; X ) = 1, ÔÁË ÞÔÏ dn (C; X ) = 1. ðÕÓÔØ k = = 12 supx∈C diam[Fk−1 (Fk (x))℄ → 1, ÇÄÅ Fk : X → Yn(k) | ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÒÏÅËÔÏÒÙ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ n-ÍÅÒÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Yn(k) (ÒÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÏÅÒÅÞÎÉËÁ Ï çÅÌØÆÁÎÄÕ ÍÏÖÎÏ ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØÓÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍÉ ÔÏÌØËÏ ÎÁ n-ÍÅÒÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á). äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ q ∈ Ker(Fk )∩C ×ÅÓØ ÏÔÒÅÚÏË [−q; q℄ ⊂ (Ker(Fk )∩ C ), ÏÜÔÏÍÕ 12 diam[−q; q℄ 6 k , Ô. Å. kqk 6 k . ñÄÒÁ Ker(Fk ) ÔÒÁÎÓ×ÅÒÓÁÌØÎÙ Yn , ÏÜÔÏÍÕ × Xn+2 ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÒÏÅËÔÏÒÙ k : Xn+2 → Yn ×ÄÏÌØ Ä×ÕÍÅÒÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× Xn+2 ∩ Ker(Fk ). äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ x ∈ Xn+2 , x = y + q, y ∈ Yn , q ∈ Ker(Fk ) ÉÍÅÅÍ q kk (x) − xk = kq k 6 (q; Yn )k (q; Y ) k 6 (q; Yn )k = (x; Yn )k → (x; Yn ):

n

äÁÌÅÅ, × Xn+2 ÉÚ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ k ÍÏÖÎÏ ×ÙÄÅÌÉÔØ ÓÈÏÄÑÝÕÀÓÑ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, É ÄÌÑ ÒÅÄÅÌØÎÏÇÏ ÒÏÅËÔÏÒÁ  : Xn+2 → Yn ÂÕÄÅÔ k(x) − xk 6 6 (x; Yn ), ÔÁË ÞÔÏ  | ÌÉÎÅÊÎÁÑ ×ÙÂÏÒËÁ ÉÚ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ PYn : Xn+2 → Yn . ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 1 Xn+2 | ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï, Á ÚÎÁÞÉÔ, X ÔÏÖÅ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï. ÷ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ ÔÅÏÒÅÍÙ 2 ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÒÏÌØ ÂÕÄÅÔ ÉÇÒÁÔØ ÏÄÉÎ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ á. ì. çÁÒËÁ×É. ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÅÇÏ, ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÎÕÌÅ×ÏÊ ËÏÌÍÏÇÏÒÏ×ÓËÉÊ ÏÅÒÅÞÎÉË d0 (C; X ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ ÞÅÂÙÛÅ×ÓËÉÍ ÒÁÄÉÕÓÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á C (in mum ÒÁÄÉÕÓÏ× ÛÁÒÏ×, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ C ), Á ÔÏÞËÁ t = t(C ), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ d0 (C; X ) = supx∈C kx − tk, (ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ) | ÞÅÂÙÛÅ×ÓËÉÍ ÅÎÔÒÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á C . ìÅÍÍÁ C

X , dim X

>

(á. ì. çÁÒËÁ×É, [15℄). ÷ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÂÁÎÁÈÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï 3, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÙÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÄÌÑ

204

ð. á. âÏÒÏÄÉÎ, ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

ÌÀÂÙÈ ÔÒÅÈ ÔÏÞÅË ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÉÈ ÞÅÂÙÛÅ×ÓËÉÊ ÅÎÔÒ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÉÈ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÅ. ëÁË ×ÉÄÉÍ, ÚÄÅÓØ ËÒÉÔÅÒÉÅÍ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔÉ ×ÙÓÔÕÁÅÔ ÏÓÌÁÂÌÅÎÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ 3) ÒÉ n = 0 ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ 2. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÌÅÍÍÙ C. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÕÖÅ ÏÔÍÅÞÁÌÁÓØ. äÏËÁÖÅÍ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÓÔØ. ÷ÏÚØÍÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï X3 ⊂ X , Ä×ÕÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Y2 ⊂ X3 É ÔÏÞËÕ x ∈ X3 \ Y2 . ïÂÏÚÎÁÞÉÍ Sr = {y ∈ Y2 : kx − yk = r}. åÓÌÉ y1 ; y2 ; y3 ∈ Sr , ÔÏ ÛÁÒÙ B (yj ; r) = {z ∈ X3 : kz − yj k 6 r}, j = 1; 2; 3, ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÕÀ ÔÏÞËÕ × ÌÏÓËÏÓÔÉ Y2 (ÉÎÁÞÅ ÎÉËÁËÏÊ ÞÅÂÙÛÅ×ÓËÉÊ ÅÎÔÒ ÔÒÅÈ ÔÏÞÅË {yj }3j =1 ÎÅ ÌÅÖÉÔ × Y2 ). ïÔÓÀÄÁ Ï ÔÅÏÒÅÍÅ èÅÌÌÉ ([16, ÇÌ. I, § 7℄) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÂÝÁÑ ÔÏÞËÁ zr ∈ Y2 , ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÁÑ ×ÓÅÍ ÛÁÒÁÍ B (y; r) ÒÉ y ∈ Sr . äÏËÁÖÅÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÛÁÒÙ ×ÉÄÁ B (y; kx−yk), y ∈ Y2 , ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÕÀ ÔÏÞËÕ. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÜÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÔÒÅÈ ÛÁÒÏ× B (yj ; kx − yj k), j = 1; 2; 3 (Á ÏÔÏÍ ÏÑÔØ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÔÅÏÒÅÍÕ èÅÌÌÉ). ðÏÌÏÖÉÍ a = max{kx − yj k : j = 1; 2; 3}, É ÕÓÔØ yj′ | ÔÁËÁÑ ÔÏÞËÁ ÉÚ Sa , ÞÔÏ ÏÔÒÅÚÏË [za ; yj′ ℄ ÓÏÄÅÒÖÉÔ yj , j = 1; 2; 3 (ÒÉ ÜÔÏÍ, ËÏÎÅÞÎÏ, yj′ = yj Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÄÌÑ ÏÄÎÏÇÏ j ). éÍÅÅÍ kza − yj k +kyj − yj′ k 6 6 a = kx − yj′ k 6 kx − yj k + kyj′ − yj k, Ô. Å. kza − yj k 6 kx − yj k, Á ÚÎÁÞÉÔ, za ∈ B (yj ; kx − yj k), j = 1; 2; 3, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ. åÓÌÉ ÔÏÞËÁ z ∈ B (y; kx − yk) ∩ Y2 ÄÌÑ ×ÓÅÈ y ∈ Y2 (ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÔÁËÏÊ ÔÏÞËÉ ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ÄÏËÁÚÁÎÏ), ÔÏ ky − z k 6 ky − xk ÄÌÑ ×ÓÅÈ y ∈ Y2 . á ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÏÅËÔÏÒ  : X3 → Y2 ÎÏÒÍÙ 1. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ v ∈ X3 ÍÏÖÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ v = (x − z ) + y, ÇÄÅ y ∈ Y2 , Á | ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÞÉÓÌÏ, É ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ  : v → y. üÔÏ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÒÏÅËÔÏÒ, É ÅÇÏ ÎÏÒÍÁ ÒÁ×ÎÁ 1: y y kv k = k (x − z ) + y k = | |kx − (z − )k > | |kz − (z − )k = ky k = k (v )k:

éÔÁË, × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å X3 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÏÅËÔÏÒ ÎÏÒÍÙ 1 ÎÁ ËÁÖÄÏÅ Ä×ÕÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Y2 . ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 1 X3 | ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ (Ï ÓÌÅÄÓÔ×ÉÀ ÉÚ ÌÅÍÍÙ A), ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÙÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ É ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï X . ìÅÍÍÁ C ÄÏËÁÚÁÎÁ. ðÒÏÄÏÌÖÉÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ 2. 3) =⇒ 0). ðÕÓÔØ X ÎÅ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï. ðÏ ÌÅÍÍÅ C ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÔÒÉ ÔÏÞËÉ x1 ; x2 ; x3 ∈ X , ÎÉËÁËÏÊ ÞÅÂÙÛÅ×ÓËÉÊ ÅÎÔÒ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ÌÅÖÉÔ × ÉÈ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÅ. íÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ | Ä×ÕÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Y2 , 0 | ÞÅÂÙÛÅ×ÓËÉÊ ÅÎÔÒ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á C0 = {x1 ; x2 ; x3 } ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ Y2 É d0 (C0 ; Y2 ) = 1 > d0 (C0 ; X ). ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ kxj k = 1, j = 1; 2; 3. íÅÎÅÅ ÞÅÍ ÄÌÑ Ä×ÕÈ ÔÏÞÅË ÜÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ÎÅ ÍÏÖÅÔ, ÉÎÁÞÅ 0 ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÅÂÙÛÅ×ÓËÉÍ ÅÎÔÒÏÍ C0 × Y2 . ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ kx1 k = kx2 k = 1, Á kx3 k < 1. åÓÌÉ kx1 − x2 k < 2, ÔÏ ÄÌÑ z ( ) = x1 +2 x2 , ∈ (0; 1), ÒÉ j = 1; 2 ÉÍÅÅÍ x + x2 )k + k(1 − )x k = k x1 − x2 k + 1 − < 1; kxj − z ( )k 6 k (xj − 1 j 2

2

× ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË kx3 − z ( )k < 1 ÒÉ ×ÓÅÈ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÁÌÙÈ , ÔÁË ÞÔÏ ÏÑÔØ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ 0 | ÎÅ ÞÅÂÙÛÅ×ÓËÉÊ ÅÎÔÒ. åÓÌÉ ÖÅ kx1 − x2 k = 2, ÔÏ d0 (C0 ; X ) >

ëÒÉÔÅÒÉÉ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔÉ ÂÁÎÁÈÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á

> d0 ({x1 ; x2 }; X )

205

= 1, ÞÔÏ ÏÑÔØ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÎÁ ÔÏÞËÉ xj . ðÏÜÔÏÍÕ ÎÁÛÅ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ ÎÅ×ÅÒÎÏ, É ×ÓÅ ÔÒÉ ÔÏÞËÉ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÓÆÅÒÅ S (Y2 ) ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Y2 . åÓÌÉ × Y2 ÒÏ×ÅÓÔÉ ÒÑÍÙÅ lj , ÏÏÒÎÙÅ Ë S (Y2 ) × ÔÏÞËÁÈ xj , j = 1; 2; 3 (× ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÍÎÏÇÏ ÏÏÒÎÙÈ ÒÑÍÙÈ | ×ÙÂÅÒÅÍ ËÁËÕÀ-ÎÉÂÕÄØ), ÔÏ ÜÔÉ ÒÑÍÙÅ ÂÕÄÕÔ ÏÂÒÁÚÏ×Ù×ÁÔØ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË T , ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ×ÎÕÔÒÉ ÓÅÂÑ ÓÆÅÒÕ S (Y2 ) (ÄÏËÁÖÉÔÅ!). ÷ÏÚØÍÅÍ × X ËÁËÏÅ-ÎÉÂÕÄØ (n + 3)-ÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï X ′ (ÎÁÏÍÎÉÍ, dim X > n + 3), ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ Y2 , Á × ÎÅÍ | ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ j , ÏÏÒÎÙÅ Ë ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÓÆÅÒÅ S (X ′) × ÔÏÞËÁÈ xj É ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ × ÓÅÂÅ ÒÑÍÙÅ lj , j = 1; 2; 3. ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÔÒÅÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× 0j ⊂ X ′, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ j , Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ n-ÍÅÒÎÏ. ÷ÏÚØÍÅÍ × ÜÔÏÍ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ n-ÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Yn É ÏÌÏÖÉÍ C = C0 + Yn , Y = Y2 + Yn . òÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ Y ÒÁ×ÎÁ n + 2, ÏÓËÏÌØËÕ Yn ÔÒÁÎÓ×ÅÒÓÁÌØÎÏ Y2 . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, dn (C; X ) 6 d0 (C; X ) < 1. äÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÑ Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ 3) ÏÓÔÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ dn (C; Y ) = d0 (C0 ; Y2 ) = 1. åÓÌÉ dn (C; Y ) < 1, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ n-ÍÅÒÎÁÑ ÌÏÓËÏÓÔØ  ⊂ Y , ÁÒÁÌÌÅÌØÎÁÑ Yn , ÞÔÏ ∀x ∈ C (x; ) 6 1 − Æ, ÇÄÅ Æ > 0 (ÌÏÓËÏÓÔØ  ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÅ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÁ Yn , ÉÎÁÞÅ d(C; ; Y ) = ∞). üÔÏ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÏÔ ÔÏÞËÉ p =  ∩ Y2 ÄÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á C ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ 1 − Æ, ÏÔËÕÄÁ (p; j ) 6 (p; xj + Yn ) 6 1 − Æ, j = 1; 2; 3. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÔÏÞËÁ p ÒÉ ËÁÖÄÏÍ j ÌÅÖÉÔ × ÔÏÊ ÉÚ Ä×ÕÈ ÏÌÕÌÏÓËÏÓÔÅÊ × Y2 \ (Y2 ∩ 0j ), ÇÄÅ ÌÅÖÉÔ xj . îÏ ÜÔÉ ÔÒÉ ÏÌÕÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ ÉÍÅÎÎÏ × ÓÉÌÕ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË T , ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÊ ÒÑÍÙÍÉ lj , ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÎÕÔÒÉ ÓÅÂÑ ÓÆÅÒÕ S (Y2 ) (ÒÏ×ÅÒØÔÅ!). 4) =⇒ 0). âÕÄÅÍ ÏÑÔØ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÏÔ ÒÏÔÉ×ÎÏÇÏ: ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ X ÎÅ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï, ×ÏÚØÍÅÍ ÔÅ ÖÅ ÔÏÞËÉ x1 ; x2 ; x3 ∈ Y2 É ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË T , ÞÔÏ É × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÕÎËÔÅ. ëÁË É × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÕÎËÔÅ, ×ÏÚØÍÅÍ × X ËÁËÏÅ-ÎÉÂÕÄØ (n + 2)-ÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï X ′ (ÎÁÏÍÎÉÍ, dim X > n + 2), ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ Y2 , Á × ÎÅÍ | ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ j , ÏÏÒÎÙÅ Ë ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÓÆÅÒÅ S (X ′ ) × ÔÏÞËÁÈ xj É ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ × ÓÅÂÅ ÒÑÍÙÅ lj , j = 1; 2; 3. ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÔÒÅÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× 0j ⊂ X ′ , ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ j , Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ (n − 1)-ÍÅÒÎÏ. ÷ÏÚØÍÅÍ × ÜÔÏÍ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ (n − 1)-ÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Yn−1 É ÏÌÏÖÉÍ Y = Y2 + Yn−1 . òÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ Y ÒÁ×ÎÁ n + 1, ÏÓËÏÌØËÕ Yn−1 ÔÒÁÎÓ×ÅÒÓÁÌØÎÏ Y2 . éÚ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ B ∩ Y ⊂ T + Yn−1 ×ÙÔÅËÁÅÔ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï an (B ∩ Y; X ) 6 a1 (T; X ) (ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ F ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ T × ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÊ ËÏÍÌÅËÓ K1 ÉÍÅÅÍ s = supt∈T kt − F (t)k, ÔÏ ÄÌÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ F~ : x = t + z 7→ F (t) + z; t ∈ T; z ∈ Yn−1 ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ B ∩ Y × ÎÅËÏÔÏÒÙÊ n-ÍÅÒÎÙÊ ËÏÍÌÅËÓ ÉÚ ÓÕÍÍÙ K1 + Yn−1 ÂÕÄÅÔ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï supt∈B∩Y kt − F~ (t)k 6 s). äÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÑ Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ 4) ÏÓÔÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï a1 (T; X ) < 1. ÷ÏÚØÍÅÍ ËÁËÕÀ-ÎÉÂÕÄØ ÔÏÞËÕ w ∈ X Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ kw − xj k =  < 1, j = 1; 2; 3. ÁËÁÑ ÔÏÞËÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÏÓËÏÌØËÕ d0 (C0 ; X ) < 1, É ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÎÅ ÌÅÖÉÔ × Y2 . ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ yk ×ÅÒÛÉÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ T | ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÓÔÏÒÏÎÙ li É lj ÅÒÅÓÅËÁÌÉÓØ × ÔÏÞËÅ yk Ó k 6= i; j . ðÏÓÔÒÏÉÍ ÔÅÅÒØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ F ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ T × ËÏÍÌÅËÓ [w; y1 ℄ ∪ [w; y2 ℄ ∪ [w; y3 ℄ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: × ÍÁÌÅÎØËÏÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ x1 x2 x3 ⊂ T ÏÌÏÖÉÍ F (x) = w, Á × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ÔÒÅÈ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ

206

ð. á. âÏÒÏÄÉÎ, ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

ÍÁÌÅÎØËÉÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× xi xj yk ⊂ T , ÇÄÅ i; j; k | ÏÔÌÉÞÎÙÅ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ ÞÉÓÌÁ ÉÚ ÎÁÂÏÒÁ {1; 2; 3}, ÏÒÅÄÅÌÉÍ F (x) ËÁË ÔÁËÕÀ ÔÏÞËÕ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [w; yk ℄, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÔÒÅÚÏË [F (x); x℄ ÁÒÁÌÌÅÌÅÎ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ wxi xj . îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ F ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ É kx − F (x)k 6  ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ x ∈ T . ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï a1 (T; X ) < 1. ÅÏÒÅÍÁ 2 ÏÌÎÏÓÔØÀ ÄÏËÁÚÁÎÁ. éÚ×ÅÓÔÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÒÕÇÉÈ ËÒÉÔÅÒÉÅ× ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔÉ ÂÁÎÁÈÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á; × ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÉÈ ÞÉÓÌÏ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÓÏÔÅÎ É ÏÓÔÏÑÎÎÏ Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÅÔÓÑ. ÷ Ó×ÑÚÉ Ó ÜÔÉÍ ÅÎÎÏÓÔØ ËÁÖÄÏÇÏ ÎÏ×ÏÇÏ ËÒÉÔÅÒÉÑ ÎÅ×ÅÌÉËÁ, ÄÁ É ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ ÉÈ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ×ÅÓØÍÁ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙ. ïÄÎÉÍ ÉÚ ÎÅÍÎÏÇÉÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× × ÏÌØÚÕ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÜÔÏÇÏ ÔÉÁ ÍÏÖÅÔ ÓÌÕÖÉÔØ, ÏÖÁÌÕÊ, ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÉÚ ÎÉÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉË ÜÌÌÉÓÏÉÄÏ× × ËÌÁÓÓÅ ×ÓÅÈ ×ÙÕËÌÙÈ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ÅÎÔÒÁÌØÎÏ-ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÈ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ × ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ. ÁË, ÔÅÏÒÅÍÙ 1 É 2 ÄÁÀÔ ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÙÅ ÏÂÏÂÝÅÎÉÑ ÔÅÏÒÅÍ âÌÑÛËÅ-áÌÅËÓÁÎÄÒÏ×Á É âÌÑÛËÅ-ëÁËÕÔÁÎÉ (ÓÍ. [9℄, [8℄, [15℄). íÙ, ×ÒÏÞÅÍ, É ÎÅ ÓÔÒÅÍÉÌÉÓØ ÏÂÕÄÉÔØ ÞÉÔÁÔÅÌÑ ÚÁÎÑÔØÓÑ ÉÚÏÂÒÅÔÅÎÉÅÍ ÎÏ×ÙÈ ËÒÉÔÅÒÉÅ× ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔÉ, Á ÌÉÛØ ÈÏÔÅÌÉ ÏÚÎÁËÏÍÉÔØ ÅÇÏ Ó ÎÅÓËÏÌØËÉÍÉ ÉÚÑÝÎÙÍÉ ÆÁËÔÁÍÉ ÉÚ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÔÅÏÒÉÉ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÊ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÍÉ ÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÔÁËÉÈ ËÒÉÔÅÒÉÅ×. óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

[1℄ ëÏÌÍÏÇÏÒÏ× á. î., æÏÍÉÎ ó. ÷. üÌÅÍÅÎÔÙ ÔÅÏÒÉÉ ÆÕÎË ÉÊ É ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ. í.: îÁÕËÁ, 1989. [2℄ çÅÌØÆÁÎÄ é. í. ìÅË ÉÉ Ï ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÅ. í., 1971. [3℄ Jordan P., Neumann J. von. On inner produ ts in linear metri spa es // Ann. Math. (2). 1935. V. 36. P. 719-723. [4℄ âÌÑÛËÅ ÷. ëÒÕÇ É ÛÁÒ. í., 1967. [5℄ áÌÅËÓÁÎÄÒÏ× á. ä. ï ×ÙÕËÌÙÈ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÑÈ Ó ÌÏÓËÉÍÉ ÇÒÁÎÉ ÁÍÉ ÔÅÎÅÊ // íÁÔÅÍ. ÓÂÏÒÎÉË. 1939. . 5, ‚ 2. ó. 309-316. [6℄ Kakutani S. Some hara terizations of eu lidian spa es // Japan. J. Math. 1939. V. 16, No 2. P. 93-97. [7℄ âÕÒÂÁËÉ î. ÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ×ÅËÔÏÒÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. í., 1959. [8℄ âÏÒÏÄÉÎ ð. á. ë×ÁÚÉÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á É ÕÓÌÏ×ÉÑ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔÉ ÂÁÎÁÈÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á // íÁÔÅÍ. ÓÂÏÒÎÉË. 1997. . 188, ‚ 8. ó. 63-74. [9℄ Rudin W., Smith K. T. Linearity of best approximation: a hara terization of ellipsoids // Indag. Math. 1961. V. 23, No 1. P. 97-103. [10℄ Phillips R. S. A hara terization of eu lidian spa es // Bull. Amer. Math. So . 1940. V. 46, No 12. P. 930-933. [11℄ âÏÒÏÄÉÎ ð. á. ï ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁ ÞÅÂÙÛÅ×ÓËÉÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ L1 É C // íÁÔÅÍ. ÚÁÍÅÔËÉ. 1998. . 63, ×Ù. 6. ó. 812-820.

ëÒÉÔÅÒÉÉ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÓÔÉ ÂÁÎÁÈÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á

207

[12℄ ÉÈÏÍÉÒÏ× ÷. í. ÅÏÒÉÑ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÊ. éÔÏÇÉ ÎÁÕËÉ É ÔÅÈÎÉËÉ. óÅÒ. óÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. . 14. ÷éîéé, 1987. ó. 103-260. [13℄ óÔÅÓÉÎ í. é. áÌÅËÓÁÎÄÒÏ×ÓËÉÅ ÏÅÒÅÞÎÉËÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× × ÂÁÎÁÈÏ×ÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ. ëÁÎÄ. ÄÉÓÓ. í.,1975. [14℄ ÉÈÏÍÉÒÏ× ÷. í., éÓÍÁÇÉÌÏ× ò. ó., âÁÂÁÄÖÁÎÏ× ó. â. çÅÏÍÅÔÒÉÑ ÂÁÎÁÈÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á É ÏÅÒÅÞÎÉËÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× // éÚ×. áî õÚÂÅËÓËÏÊ óóò. óÅÒ. ÆÉÚ.-ÍÁÔ. 1979. ‚ 4. ó. 25-32. [15℄ çÁÒËÁ×É á. ì. ï ÞÅÂÙÛÅ×ÓËÏÍ ÅÎÔÒÅ É ×ÙÕËÌÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á // õíî, 1964. . 19, ‚ 6. ó. 139-145. [16℄ ìÅÊÈÔ×ÅÊÓ ë. ÷ÙÕËÌÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. í., 1985. [17℄ îÉËÏÌØÓËÉÊ ó. í. îÅËÏÔÏÒÙÅ ×ÏÒÏÓÙ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÊ ÏÌÉÎÏÍÁÍÉ // íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÊ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ëÏÎÇÒÅÓÓ × áÍÓÔÅÒÄÁÍÅ. í.: æÉÚÍÁÔÇÉÚ, 1961.

208

ç. òÁÊÔÅÒ, é. óÏÎÉÎ

îÁÇÌÑÄÎÁÑ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÎÁ ÇÒÁÆÁÈ

ç. òÁÊÔÅÒ

é. óÏÎÉÎ

(õÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ óÅ×ÅÒÎÏÊ ëÁÒÏÌÉÎÙ, Ç. ûÁÒÌÏÔ) âÏÌØÛÏÅ ÍÅÓÔÏ × ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÁÆÏ× ÚÁÎÉÍÁÀÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ. îÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÈ ÕÔÅÊ, ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÏÓÔÏ×ÎÙÈ ÄÅÒÅ×ØÅ× Ó ÎÕÖÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ, ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÁÒÏÓÏÞÅÔÁÎÉÊ, ÒÁÓËÒÁÓËÁ ×ÅÒÛÉÎ | ×ÏÔ ÄÁÌÅËÏ ÎÅ ÏÌÎÙÊ ÅÒÅÞÅÎØ ÚÁÄÁÞ, ÒÅÛÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÏÉÓÁÎÉÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÓÔÕÄÅÎÔÙ ÓÔÁÌËÉ×ÁÀÔÓÑ Ó ÔÒÕÄÎÏÓÔÑÍÉ ÒÉ ÏÎÉÍÁÎÉÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. ëÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÎÁ ÇÒÁÆÁÈ ÏÓÎÏ×ÁÎÙ ÎÁ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÒÏÓÔÙÈ ÉÄÅÑÈ. îÏ ÉÈ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÅ ÉÚÌÏÖÅÎÉÅ ÂÙ×ÁÅÔ ÄÌÉÎÎÙÍ, Á ÏÎÉÍÁÎÉÅ ÔÁËÏÇÏ ÉÚÌÏÖÅÎÉÑ ÍÏÖÅÔ ÔÒÅÂÏ×ÁÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÄÇÏÔÏ×ËÉ. åÝÅ ÏÄÎÁ ÔÒÕÄÎÏÓÔØ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÚÁÞÁÓÔÕÀ ÚÁÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ × ÓÅ×ÄÏËÏÄÅ | ÏÞÅÎØ ÕÄÏÂÎÏ ÄÌÑ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ËÏÍØÀÔÅÒÁ, ÎÏ ÎÅ ÄÌÑ ×ÏÓÒÉÑÔÉÑ ÞÅÌÏ×ÅËÏÍ. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÕÖÎÙ ËÁËÉÅ-ÔÏ ÍÎÅÍÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÒÉÅÍÙ ÄÌÑ ÏÂÌÅÇÞÅÎÉÑ ÚÁÏÍÉÎÁÎÉÑ É ÏÎÉÍÁÎÉÑ ÔÁËÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. îÁÛ ÏÄÈÏÄ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÉÎÔÅÒÒÅÔÉÒÏ×ÁÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÉÚ ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÁÆÏ× × ÚÎÁËÏÍÏÍ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Õ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ËÏÎÔÅËÓÔÅ: ×ÓÔÕÌÅÎÉÅ × ËÌÕÂ. ðÕÓÔØ G(V; E ) | ÇÒÁÆ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ×ÅÒÛÉÎ V É ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÒÅÂÅÒ E . ÷ÓÀÄÕ ÄÁÌÅÅ ÓÞÉÔÁÅÍ ÜÔÏÔ ÇÒÁÆ Ó×ÑÚÎÙÍ (× ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÏÖÎÏ ÒÏÓÔÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ×ÓÅ ÅÇÏ Ó×ÑÚÎÙÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ Ï ÏÔÄÅÌØÎÏÓÔÉ). îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÇÒÁÆ H ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÇÒÁÆÏÍ G, ÅÓÌÉ ÏÎ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ×ÙÂÏÒÏÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ×ÅÒÛÉÎ G É ÞÁÓÔÉ ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ÜÔÉ ×ÅÒÛÉÎÙ ÒÅÂÅÒ G. äÅÒÅ×Ï | ÜÔÏ Ó×ÑÚÎÙÊ ÇÒÁÆ ÂÅÚ ÉËÌÏ×. ïÓÔÏ×ÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÇÒÁÆÁ G | ÜÔÏ ÏÄÇÒÁÆ G, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ G É Ñ×ÌÑÀÝÉÊÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÏÓÔÏ×ÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á T ÇÒÁÆÁ G. ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÏÓÔÏ×ÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó ×ÙÄÅÌÅÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ, ËÏÔÏÒÕÀ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ËÏÒÎÅÍ ÄÅÒÅ×Á. éÄÅÑ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÉÎÔÅÒÒÅÔÉÒÏ×ÁÔØ V ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÌÀÄÅÊ. òÅÂÒÏ ÓÏÅÄÉÎÑÅÔ Ä×ÕÈ ÌÀÄÅÊ, ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÚÎÁËÏÍÙ. åÓÔØ ËÌÕÂ, × ËÏÔÏÒÙÊ ÈÏÔÑÔ ×ÓÔÕÉÔØ ×ÓÅ ÜÔÉ ÌÀÄÉ. ðÏÓÔÅÅÎÎÏ, ÏÄÉÎ ÚÁ ÄÒÕÇÉÍ, ÏÎÉ ÔÕÄÁ ×ÓÅ É ×ÓÔÕÑÔ. þÔÏÂÙ ÞÅÌÏ×ÅË u ÍÏÇ ×ÓÔÕÉÔØ × ËÌÕÂ, Õ ÎÅÇÏ ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÏÒÕÞÉÔÅÌØ : ÞÌÅÎ ËÌÕÂÁ v, ÚÎÁËÏÍÙÊ Ó u. þÌÅÎ ËÌÕÂÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÒÕÞÉÔÅÌÅÍ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÚÎÁËÏÍ ÈÏÔÑ ÂÙ Ó ËÅÍ-ÔÏ ÎÅ ÉÚ ËÌÕÂÁ, ÔÁËÏÇÏ ÞÌÅÎÁ ËÌÕÂÁ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÔËÒÙÔÙÍ. ëÏÎÅÞÎÏ, Ï ÍÅÒÅ ÒÏÓÔÁ ËÌÕÂÁ, ÏÔËÒÙÔÙÊ ÞÌÅÎ ËÌÕÂÁ ÍÏÖÅÔ ÅÒÅÓÔÁÔØ ÂÙÔØ ÔÁËÏ×ÙÍ, ÎÏ ÎÅ ÎÁÏÂÏÒÏÔ. ðÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÅ ÎÉÖÅ ÒÁ×ÉÌÁ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÍÏÍÅÎÔÁ, ËÔÏ ×ÓÔÕÁÅÔ × ËÌÕ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ É ËÔÏ ÅÇÏ ÏÒÕÞÉÔÅÌØ. îÁÛÅ ÏÓÎÏ×ÎÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ÏÒÏÖÄÁÅÔ ÛÉÒÏËÉÊ ËÌÁÓÓ ËÏÒÎÅ×ÙÈ ÏÓÔÏ×ÎÙÈ ÄÅÒÅ×ØÅ×. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ Ë ÏÓÎÏ×ÎÏÍÕ ÒÁ×ÉÌÕ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÔÁËÉÅ ðÅÒÅ×ÏÄ ÓÔÁÔØÉ Reiter H., Sonin I. The \Join the Club" Interpretation of Some Graph Algorithms. College Math. Journal, v. 27, No 1, 1996. ðÕÂÌÉËÕÅÔÓÑ Ó ÌÀÂÅÚÎÏÇÏ ÒÁÚÒÅÛÅÎÉÑ ÒÅÄÁË ÉÉ ÖÕÒÎÁÌÁ É Á×ÔÏÒÏ×.

îÁÇÌÑÄÎÁÑ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÎÁ ÇÒÁÆÁÈ

209

ÏÓÔÏ×ÎÙÅ ÄÅÒÅ×ØÑ ËÁË ÄÅÒÅ×Ï ÏÉÓËÁ × ÛÉÒÉÎÕ (Breadth First Sear h, BFS), ÄÅÒÅ×Ï ÏÉÓËÁ × ÇÌÕÂÉÎÕ (Depth First Sear h, DFS), ËÒÁÔÞÁÊÛÁÑ Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÁÑ ÓÅÔØ (Minimal Total, MT), ÄÅÒÅ×Ï ËÒÁÔÞÁÊÛÉÈ ÕÔÅÊ (Shortest Path, SP). üÔÉ ÄÅÒÅ×ØÑ ×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÍÎÏÇÉÈ ÚÁÄÁÞ. îÁÒÉÍÅÒ, ÄÅÒÅ×Ï ÏÉÓËÁ × ÛÉÒÉÎÕ ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÄÌÉÎÙ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ (ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ) ÕÔÉ ÉÚ ËÏÒÎÑ × ÌÀÂÕÀ ÄÒÕÇÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ. äÅÒÅ×Ï ÏÉÓËÁ × ÇÌÕÂÉÎÕ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÎÁÈÏÄÉÔØ ÍÏÓÔÙ × ÇÒÁÆÅ, Á × ÓÌÕÞÁÅ ÉÈ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÑ | ÏÓÔÒÏÉÔØ ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÕÀ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÀ ÇÒÁÆÁ. (íÏÓÔ | ÒÅÂÒÏ, ÕÄÁÌÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÄÅÌÁÅÔ ÇÒÁÆ ÎÅÓ×ÑÚÎÙÍ. ïÒÉÅÎÔÁ ÉÑ | ÒÉÉÓÙ×ÁÎÉÅ ÒÅÂÒÁÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ, ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÇÒÁÆ ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÅÎ, ÅÓÌÉ ÉÚ ÌÀÂÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÍÏÖÎÏ ÒÏÊÔÉ × ÌÀÂÕÀ Ï ÒÅÂÒÁÍ ×ÄÏÌØ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÎÁ ÎÉÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÊ, ÒÉÍÅÒ ÓÍ. ÎÁ ÒÉÓ. 3.) ïÓÎÏ×ÎÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ. åÓÔØ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÏÓÎÏ×ÁÔÅÌØ ËÌÕÂÁ. ÷ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ×ÓÔÕÁÀÔ × ËÌÕ Ï ÏÄÎÏÍÕ, ÏËÁ ÅÝÅ ÅÓÔØ ËÏÍÕ ×ÓÔÕÁÔØ. ëÁÖÄÙÊ ×ÓÔÕÁÀÝÉÊ × ËÌÕ ÉÍÅÅÔ ÏÒÕÞÉÔÅÌÑ.

ïÓÎÏ×ÎÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ÏÒÏÖÄÁÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÏÄÇÒÁÆÏ×. îÁÞÉÎÁÅÍ Ó ×ÙÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ËÏÒÎÑ (ÏÓÎÏ×ÁÔÅÌØ u0), ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÛÁÇÅ × ÏÄÇÒÁÆ ÄÏÂÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÁ ×ÅÒÛÉÎÁ (ÎÏ×ÙÊ ÞÌÅÎ) É ÏÄÎÏ ÒÅÂÒÏ (ÏÔ ÏÒÕÞÉÔÅÌÑ Ë ÎÏ×ÏÍÕ ÞÌÅÎÕ), ÒÉÓ. 1. áÌÇÏÒÉÔÍÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÏÂÓÕÄÉÍ, ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÒÅÄÉÓÁÎÉÑÍÉ Ï ×ÙÂÏÒÕ ÎÏ×ÏÇÏ ÞÌÅÎÁ É ÅÇÏ ÏÒÕÞÉÔÅÌÑ. åÓÌÉ Ä×Å ÉÌÉ ÂÏÌÅÅ ÁÒ €ÎÏ×ÙÊ ÞÌÅÎ { ÏÒÕÞÉÔÅÌ؁ ÉÍÅÀÔ ÒÁ×ÎÙÊ ÒÉÏÒÉÔÅÔ ×ÓÔÕÌÅÎÉÑ × ËÌÕÂ, ×ÙÂÉÒÁÅÍ ÏÄÎÕ ÉÚ ÎÉÈ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ. üÔÏ ÓÏÇÌÁÛÅÎÉÅ ÒÉÍÅÎÉÍÏ ËÏ ×ÓÅÍ ÏÂÓÕÖÄÁÅÍÙÍ ÄÁÌÅÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁÍ. äÁ×ÁÊÔÅ ÕÂÅÄÉÍÓÑ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÏÄÇÒÁÆ, ÏÌÕÞÁÅÍÙÊ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ïÓÎÏ×ÎÙÍ ÒÁ×ÉÌÏÍ É ÌÀÂÙÍ ÅÇÏ ÕÔÏÞÎÅÎÉÅÍ, | ÏÓÔÏ×ÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÌÀÂÏÊ ÍÏÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÞÌÅÎÏ× ËÌÕÂÁ É ÒÅÂÅÒ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ÞÌÅÎÏ× Ó ÉÈ ÏÒÕÞÉÔÅÌÑÍÉ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ó×ÑÚÎÙÍ ÏÄÇÒÁÆÏÍ ÇÒÁÆÁ G. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÏÓÌÅ ×ÓÔÕÌÅÎÉÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÞÌÅÎÁ u ÏÂÒÁÚÏ×ÁÌÓÑ ÉËÌ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ u ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÉÞØÉÍ ÏÒÕÞÉÔÅÌÅÍ | ÏÓÌÅ ÎÅÇÏ × ËÌÕ ÎÉËÔÏ ÎÅ ×ÓÔÕÁÌ. úÎÁÞÉÔ, ÏÂÁ ÞÌÅÎÁ ËÌÕÂÁ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ Ó u ÒÅÂÒÁÍÉ ÉËÌÁ, | ÅÇÏ ÏÒÕÞÉÔÅÌÉ, ÞÔÏ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ïÓÎÏ×ÎÏÍÕ ÒÁ×ÉÌÕ. ðÏÜÔÏÍÕ × ÌÀÂÏÊ ÍÏÍÅÎÔ ÍÙ ÉÍÅÅÍ Ó×ÑÚÎÙÊ Á ÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ÇÒÁÆ. îÁËÏÎÅ , ÅÓÌÉ × ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ÅÝÅ ÅÓÔØ ÎÅÞÌÅÎÙ ËÌÕÂÁ, ÔÏ | ×ÅÄØ ÇÒÁÆ G Ó×ÑÚÎÙÊ | ËÔÏ-ÔÏ ÉÚ ÞÌÅÎÏ× ËÌÕÂÁ ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÏÔËÒÙÔÙÍ. ÁË ÞÔÏ ÒÏ ÅÓÓ ÒÏÄÏÌÖÁÅÔÓÑ ÄÏ ÔÅÈ ÏÒ, ÏËÁ ×ÓÅ ÎÅÞÌÅÎÙ ×ÓÔÕÑÔ × ËÌÕÂ. é × ÜÔÏÔ ÍÏÍÅÎÔ ËÌÕ ÚÁÄÁÅÔ ÄÅÒÅ×Ï, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ G, | ÏÓÔÏ×ÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï G. u2

u5

u1

u6

u0

u8 u3

u9

u4

u7

òÉÓ. 1. ðÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÏÓÎÏ×ÎÏÇÏ ÒÁ×ÉÌÁ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÏÓÔÏ×ÎÏÍÕ ÄÅÒÅ×Õ (×ÙÄÅÌÅÎÏ ÖÉÒÎÙÍ). éÎÄÅËÓÙ ÕËÁÚÙ×ÁÀÔ ÎÁ ÏÒÑÄÏË ×ÓÔÕÌÅÎÉÑ × ËÌÕÂ

210

ç. òÁÊÔÅÒ, é. óÏÎÉÎ

ðÏÒÑÄÏË ×ÓÔÕÌÅÎÉÑ × ËÌÕ ÚÁÄÁÅÔ ÏÍÅÞÅÎÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï: ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÒÉÉÓÁÎÏ ÞÉÓÌÏ ÏÔ 0 ÄÏ n − 1 ÔÁË, ÞÔÏ ÎÁ ÕÔÉ ÏÔ ÏÓÎÏ×ÁÔÅÌÑ ÄÏ ÌÀÂÏÇÏ ÞÌÅÎÁ ÏÍÅÔËÉ ÉÄÕÔ × ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÅÍ ÏÒÑÄËÅ. óÌÅÄÕÀÝÉÅ Ä×Á ÒÁ×ÉÌÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÙ ÎÁ ÏÎÑÔÉÉ ÓÔÁÒÛÉÎÓÔ×Á. åÓÌÉ u ×ÓÔÕÉÌ × ËÌÕ ÒÁÎØÛÅ, ÞÅÍ v, ÔÏ u ÓÔÁÒÛÅ v (Á v ÍÌÁÄÛÅ u). ðÒÁ×ÉÌÏ ÓÔÁÒÛÉÎÓÔ×Á. ðÏÒÕÞÉÔÅÌÅÍ ÒÉ ×ÓÔÕÌÅÎÉÉ × ËÌÕ ×ÙÂÉÒÁÀÔ ÓÔÁÒÅÊÛÅÇÏ ÎÁ ÄÁÎÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÞÌÅÎÁ. ðÏÌÕÞÁÅÍÏÅ ÏÓÔÏ×ÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ ÏÉÓËÁ × ÛÉÒÉÎÕ, ÒÉÓ. 2. u2

u5

u4

u3

u1

u6

u1

u2

u0

u9

u0

u5

u3

u7

u8

u7

u4

u8

u9

u6

òÉÓ. 2. ðÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÒÁ×ÉÌÁ ÓÔÁÒ-

ÛÉÎÓÔ×Á ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÄÅÒÅ×Õ ÏÉÓËÁ × ÛÉÒÉÎÕ (×ÙÄÅÌÅÎÏ ÖÉÒÎÙÍ)

òÉÓ. 3. ðÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÒÁ×ÉÌÁ ÍÌÁÄÛÉÎÓÔ×Á ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÄÅÒÅ×Õ ÏÉÓËÁ × ÇÌÕÂÉÎÕ (×ÙÄÅÌÅÎÏ ÖÉÒÎÙÍ)

ðÒÁ×ÉÌÏ ÍÌÁÄÛÉÎÓÔ×Á. ðÏÒÕÞÉÔÅÌÅÍ ÒÉ ×ÓÔÕÌÅÎÉÉ × ËÌÕ ×ÙÂÉÒÁÀÔ ÓÁÍÏÇÏ ÍÌÁÄÛÅÇÏ ÎÁ ÄÁÎÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÞÌÅÎÁ. ðÏÌÕÞÁÅÍÏÅ Ï ÔÏ×ÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ ÏÉÓËÁ × ÇÌÕÂÉÎÕ (DFS). îÁ ÒÉÓ. 3 ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÏ DFS ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÏÊ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ. òÅÂÒÁ ÜÔÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÙ ÏÔ ÓÔÁÒÛÅÇÏ ÞÌÅÎÁ Ë ÍÌÁÄÛÅÍÕ. ïÓÔÁÌØÎÙÅ ÒÅÂÒÁ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÙ ÏÔ ÍÌÁÄÛÅÇÏ ÞÌÅÎÁ Ë ÓÔÁÒÛÅÍÕ. ìÀÂÏÊ ÇÒÁÆ ÂÅÚ ÍÏÓÔÏ× ÍÏÖÎÏ ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÔØ, ÏÓÔÒÏÉ× ÄÅÒÅ×Ï ÏÉÓËÁ × ÇÌÕÂÉÎÕ É ÚÁÄÁ× ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÀ ËÁË ÓËÁÚÁÎÏ ×ÙÛÅ. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ Ë ÓÅÔÑÍ, Ô. Å. ÔÁËÉÍ ÇÒÁÆÁÍ, ËÁÖÄÏÍÕ ÒÅÂÒÕ e ËÏÔÏÒÙÈ ÒÉÉÓÁÎ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÊ ×ÅÓ f (e) (ÄÌÉÎÁ ÒÅÂÒÁ). ëÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ u × ×ÅÒÛÉÎÕ v | ÜÔÏ ÕÔØ Ó ÎÁÉÍÅÎØÛÅÊ ÓÕÍÍÏÊ ×ÅÓÏ× ×ÈÏÄÑÝÉÈ × ÎÅÇÏ ÒÅÂÅÒ (Ï ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÏÓÔÁÌØÎÙÍÉ ÕÔÑÍÉ). þÔÏÂÙ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÒÁ×ÉÌÏ, ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÞÌÅÎ ÌÁÔÉÔ ×ÓÔÕÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÚÎÏÓ, ÒÁ×ÎÙÊ ×ÅÓÕ ÒÅÂÒÁ ÏÔ ÜÔÏÇÏ ÞÌÅÎÁ ÄÏ ÅÇÏ ÏÒÕÞÉÔÅÌÑ. ïÂÒÁÔÉÔÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ, ÞÔÏ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ×ÓÔÕÉÔÅÌØÎÏÇÏ ×ÚÎÏÓÁ ÍÏÖÅÔ ÚÁ×ÉÓÅÔØ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÏÒÕÞÉÔÅÌÑ. ðÅÒ×ÏÅ ÖÁÄÎÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ. ÷ ËÌÕ ×ÓÔÕÁÅÔ ÔÏÔ, Õ ËÏÇÏ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ×ÓÔÕÉÔÅÌØÎÏÇÏ ×ÚÎÏÓÁ ÎÁ ÄÁÎÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÊ. (ðÏÒÕÞÉÔÅÌÅÍ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÔÏÔ, ËÔÏ ÜÔÕ ×ÅÌÉÞÉÎÕ ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÅÔ.) ðÏÌÕÞÁÅÍÏÅ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÄÅÒÅ×ÏPT ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÊ Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÅÊ ÓÅÔØÀ (MT), ÓÍ. ÒÉÓ. 4. åÇÏ ×ÅÓ | ÜÔÏ e∈T f (e). öÁÄÎÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ | ÒÏÓÔÅÊÛÉÊ

îÁÇÌÑÄÎÁÑ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÎÁ ÇÒÁÆÁÈ

u1

u7

8 14

10

4

u6

12

20

u8

13

15 u0

211

4 7

18 5

9

13

1

u5

u4

4

10

17

2

6

u2

u9

13

u3

òÉÓ. 4. ðÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÅÒ×ÏÇÏ ÖÁÄÎÏÇÏ ÒÁ×ÉÌÁ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÏÓÔÏ×ÎÏÍÕ ÄÅÒÅ×Õ

ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÓÕÍÍÁÒÎÏÇÏ ×ÅÓÁ

ÓÏÓÏ ÏÉÓÁÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ðÒÉÍÁ ÄÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÏÓÔÏ×ÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ×ÅÓÁ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÏÇÏ, ÞÔÏ T × ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ MT, ÅÓÔØ × [3℄ ÉÌÉ [5℄. îÁÛÅ ÚÁËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ÏÉÓÙ×ÁÅÔ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÏÓÔÏ×ÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á, ÚÁÄÁÀÝÅÇÏ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÅ ÕÔÉ ÉÚ ËÏÒÎÑ × ÌÀÂÕÀ ÄÒÕÇÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ. þÔÏÂÙ ÅÇÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ, ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÎÏ×ÙÊ ÞÌÅÎ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÄÏÌÖÅÎ ÚÁÌÁÔÉÔØ ×ÓÔÕÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÚÎÏÓ, ÎÏ É ×ÅÒÎÕÔØ Ó×ÏÅÍÕ ÏÒÕÞÉÔÅÌÀ ×ÓÀ ÓÕÍÍÕ, ËÏÔÏÒÕÀ ÔÏÔ ÚÁÌÁÔÉÌ ÒÉ ×ÓÔÕÌÅÎÉÉ × ËÌÕÂ. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÂÝÁÑ ÓÕÍÍÁ, ×ÙÌÁÞÉ×ÁÅÍÁÑ ÎÏ×ÙÍ ÞÌÅÎÏÍ, ÒÁ×ÎÁ ÓÕÍÍÅ ×ÅÓÏ× ÒÅÂÅÒ ÎÁ ÕÔÉ (ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÍ) ÏÔ ÏÓÎÏ×ÁÔÅÌÑ ÄÏ ÜÔÏÇÏ ÎÏ×ÏÇÏ ÞÌÅÎÁ. ëÁË É ÒÁÎØÛÅ, ×ÅÌÉÞÉÎÁ ×ÙÌÁÔÙ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÏÒÕÞÉÔÅÌÑ. ÷ÔÏÒÏÅ ÖÁÄÎÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ. ÷ ËÌÕ ×ÓÔÕÁÅÔ ÔÏÔ, ËÏÍÕ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÌÁÔÉÔØ ÍÅÎØÛÅ ×ÓÅÇÏ ÎÁ ÄÁÎÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ. (ðÏÒÕÞÉÔÅÌÅÍ ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÔÏÔ, ËÔÏ ÔÁËÏÊ ÌÁÔÅÖ ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÅÔ.) ÷ÔÏÒÏÅ ÖÁÄÎÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ | ÜÔÏ ÎÁÛ ÓÏÓÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍ äÉÊËÓÔÒÙ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÏÓÔÏ×ÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ËÒÁÔÞÁÊÛÉÈ ÕÔÅÊ, ÓÍ. ÒÉÓ. 5. ÷ÓÅ ÜÔÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÍÏÖÎÏ ÒÉÍÅÎÑÔØ É Ë ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÇÒÁÆÁÍ, ÓÞÉÔÁÑ u1 (4)

4

8 10

u7 (14)

14 13

15 u0

18

7

9

u4 (12) 12 20 u8 (23) 4 13

u9 (26)

13

1 5u6 (14)

u4 (13) 10

4

2

17

6 u2 (5)

u3 (11)

òÉÓ. 5. ðÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ×ÔÏÒÏÇÏ ÖÁÄÎÏÇÏ ÒÁ×ÉÌÁ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÏÓÔÏ×ÎÏÍÕ ÄÅÒÅ×Õ Ó

ËÒÁÔÞÁÊÛÉÍÉ ÕÔÑÍÉ ÏÔ ËÏÒÎÑ ÄÏ ÌÀÂÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ. (÷ ÓËÏÂËÁÈ ÕËÁÚÁÎÙ ÌÁÔÅÖÉ ÒÉ ×ÓÔÕÌÅÎÉÉ.)

212

ç. òÁÊÔÅÒ, é. óÏÎÉÎ

ÞÔÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÒÅÂÒÏ hu; vi ÏÚ×ÏÌÑÅÔ u ÂÙÔØ ÏÒÕÞÉÔÅÌÅÍ v, ÎÏ ÎÅ ÎÁÏÂÏÒÏÔ. äÒÕÇÉÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÎÁ ÇÒÁÆÁÈ ÔÁËÖÅ ÍÏÖÎÏ ÏÂßÑÓÎÑÔØ ÎÁ ÑÚÙËÅ ËÌÕÂÏ× É ÞÌÅÎÏ×. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÁÌÇÏÒÉÔÍ æÏÒÄÁ{æÁÌËÅÒÓÏÎÁ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÔÏËÁ (ÉÌÉ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÁÚÒÅÚÁ), ÒÁ×ÎÏ ËÁË É ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ×Ú×ÅÛÅÎÎÏÇÏ ÁÒÏÓÏÞÅÔÁÎÉÑ, ÉÓÏÌØÚÕÅÔ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÏÓÔÏ×ÎÙÈ ÄÅÒÅ×ØÅ× ËÁË ÞÁÓÔØ ÏÂÝÅÊ ÒÏ ÅÄÕÒÙ, ÓÍ. [3, 5℄. ðÒÏÓÔÏÊ ÓÏÓÏ ÏÉÓÁÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÏÓÔÏ×ÎÙÈ ÄÅÒÅ×ØÅ× Ó ÎÕÖÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÏÂÌÅÇÞÁÅÔ ÏÎÉÍÁÎÉÅ ÜÔÉÈ, ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÈ, ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. íÙ ÎÁÄÅÅÍÓÑ, ÞÔÏ ÎÁÛÉ ÞÉÔÁÔÅÌÉ Ó ÒÁÄÏÓÔØÀ ×ÓÔÕÑÔ × ËÌÕ ÔÅÈ, ËÔÏ ÚÎÁÅÔ É ÕÍÅÅÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÁÆÏ×. óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

[1℄ K. P. Bogart. Introdu tory Combinatori s. 2nd ed. Har ourt Bra e Jovanovi h, New York, 1990. [2℄ G. Chartand, L. Lesniak. Graphs and Digraphs. 2nd ed. Wadsworth & Brooks/Cole, Monterey, CA, 1986. [3℄ A. Gibbons. Algorithmi graph theory. Cambridge University Press, Cambridge, 1985. [4℄ F. Harary. Graph theory. Addison{Wesley, Reading, MA, 1969. [5℄ J. A. M Hugh Algorithmi graph theory. Prenti e Hall, Englewood Cli s, NJ, 1990. [6℄ F. S. Roberts Applied Combinatori s. Prenti e Hall, Englewood Cli s, NJ, 1984. äÏÂÁ×ÌÅÎÏ ÒÉ ÅÒÅ×ÏÄÅ:

[7℄ [8℄ [9℄ [10℄

á. á. úÙËÏ×. ïÓÎÏ×Ù ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÁÆÏ×. í.: îÁÕËÁ, 1987. æ. èÁÒÁÒÉ. ÅÏÒÉÑ ÇÒÁÆÏ×. í.: íÉÒ, 1973. î. ëÒÉÓÔÏÆÉÄÅÓ. ÅÏÒÉÑ ÇÒÁÆÏ×. áÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÊ ÏÄÈÏÄ. í.: íÉÒ, 1978. á. áÈÏ, äÖ. èÏËÒÏÆÔ, äÖ. õÌØÍÁÎ. ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ É ÁÎÁÌÉÚ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. í.: íÉÒ, 1979.

ëÏÎËÕÒÓÙ É ÏÌÉÍÉÁÄÙ

÷ÎÉÍÁÎÉÀ ÞÉÔÁÔÅÌÑ ÒÅÄÌÁÇÁÀÔÓÑ ÚÁÄÁÞÉ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÏÌÉÍÉÁÄ ÒÏÛÅÄÛÅÇÏ 1998 ÇÏÄÁ. ÷ÙÂÒÁÎÙ ÏÌÉÍÉÁÄÙ, Ë ÒÏ×ÅÄÅÎÉÀ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÑÍÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ €ÍÏÓËÏ×ÓËÁс ÇÒÕÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×. óÌÏ×Ï €ÍÏÓËÏ×ÓËÁс ÒÉÍÅÎÉÍÏ Ë ÎÅÊ ÌÉÛØ ÕÓÌÏ×ÎÏ: ÏÄÎÉ ÒÁÚßÅÈÁÌÉÓØ, Á ÄÒÕÇÉÅ ÎÉËÏÇÄÁ É ÎÅ ÂÙÌÉ ÍÏÓË×ÉÞÁÍÉ. ïÄÎÁËÏ ÜÔÁ ÇÒÕÁ ÍÏÖÅÔ ÎÁÚÙ×ÁÔØÓÑ ÍÏÓËÏ×ÓËÏÊ, ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ÏÎÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÔÒÁÄÉ ÉÑÍ ÍÏÓËÏ×ÓËÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÌÉÍÉÁÄ. üÔÏ ÓËÁÚÁÎÏ ÎÅ ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÒÏÔÉ×ÏÏÓÔÁ×ÉÔØ ÍÏÓËÏ×ÓËÉÅ ÏÌÉÍÉÁÄÙ ËÁËÉÍ-ÌÉÂÏ ÄÒÕÇÉÍ. óËÁÖÅÍ, ÍÅÖÄÕ ÍÏÓËÏ×ÓËÉÍÉ É ÉÔÅÒÓËÉÍÉ ÏÌÉÍÉÁÄÁÍÉ ÎÁ ÏÂÝÅÍÉÒÏ×ÏÍ ÆÏÎÅ ÇÏÒÁÚÄÏ ÂÏÌØÛÅ ÓÈÏÄÓÔ×Á, ÞÅÍ ÒÁÚÌÉÞÉÊ. çÌÁ×ÎÏÅ × ÍÏÓËÏ×ÓËÉÈ ÔÒÁÄÉ ÉÑÈ, ÎÁ ÍÏÊ ×ÚÇÌÑÄ, ÜÔÏ ÓÔÒÅÍÌÅÎÉÅ, ÞÔÏÂÙ ÚÁÄÁÞÉ ÂÙÌÉ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÅ É ÓÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÙÅ. ïÌÉÍÉÁÄÁ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÒÁÚÄÎÉËÏÍ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ× É ×ÓÅÈ, ËÔÏ ÒÏ×ÏÄÉÔ ÏÌÉÍÉÁÄÕ, | ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ÁÓÉÒÁÎÔÏ×, ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÅÊ. üÔÏ ÎÅ ÒÏ×ÅÒËÁ ÕÓ×ÏÅÎÉÑ, ÎÅ ÏÔÂÏÒ ÎÁ ÏÌÉÍÉÁÄÕ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÕÒÏ×ÎÑ, ÎÅ ×ÙÄÅÌÅÎÉÅ ÞÅÍÉÏÎÏ×, ÈÏÔÑ ÔÁËÉÅ ÏÂÏÞÎÙÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÔÏÖÅ ÄÏÓÔÉÇÁÀÔÓÑ. çÌÁ×ÎÏÅ | ÜÔÏ ÒÁÄÏÓÔØ ÏÂÝÅÎÉÑ Ó ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ, Ó ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÍÉ ÚÁÄÁÞÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÈÏÞÅÔÓÑ ÏÒÅÛÁÔØ, ÒÁÓÓËÁÚÁÔØ ÉÈ ÄÒÕÚØÑÍ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÉÄÅÁÌ ÒÅÄËÏ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ, ÔÁË ËÁË ÚÁÄÁÞÉ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ Ë ÔÏÍÕ ÖÅ ÎÅ ÓÌÉÛËÏÍ ÔÒÕÄÎÙÅ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙÅ É ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ Ë ÓÒÏËÕ ÏÄÇÏÔÏ×ÌÅÎÙ. ÷ÓÅ ÖÅ ÏÓÔÏÑÎÎÁÑ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÑ ÍÏÓËÏ×ÓËÏÊ ÇÒÕÙ ÎÁ ËÁÞÅÓÔ×Ï ÚÁÄÁÞ ÄÁÅÔ Ó×ÏÉ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ. üÔÉ ÚÁÄÁÞÉ ÏÕÌÑÒÎÙ × òÏÓÓÉÉ É ÚÁ ÒÕÂÅÖÏÍ. ûËÏÌØÎÉËÁÍ Ñ ÓÏ×ÅÔÕÀ ÒÏÂÏ×ÁÔØ ÒÅÛÁÔØ ÜÔÉ ÚÁÄÁÞÉ, ÎÅ ÚÁÇÌÑÄÙ×ÁÑ × ÒÅÛÅÎÉÑ. ÷ ÎÉÈ ÓÔÏÉÔ ÓÍÏÔÒÅÔØ, ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ÕÖÅ ÒÅÛÉÌ ÚÁÄÁÞÕ ÉÌÉ ÅÓÌÉ ÏÓÌÅ ÄÏÌÇÉÈ ÏÙÔÏË ÕÖÅ ÏÔÅÒÑÌ ×ÓÑËÕÀ ÎÁÄÅÖÄÕ. á ÞÔÏ ÚÎÁÞÉÔ €ÄÏÌÇÉȁ | ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÈÁÒÁËÔÅÒÁ ÞÅÌÏ×ÅËÁ É ÉÎÔÅÒÅÓÁ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÚÁÄÁÞ. åÓÌÉ ÚÁÄÁÞÁ ÉÎÔÅÒÅÓÎÁ, ÔÏ É ×ÒÅÍÅÎÉ ÎÁ ÎÅÅ ÎÅ ÖÁÌËÏ. î. î. ëÏÎÓÔÁÎÔÉÎÏ×, ÒÅÚÉÄÅÎÔ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÎÉÒÁ çÏÒÏÄÏ×

214

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

éÚÂÒÁÎÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÊ 1998 ÇÏÄÁ × íÏÓË×Å

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ íÙ ×ÙÂÒÁÌÉ ÚÁÄÁÞÉ, ËÏÔÏÒÙÅ, ÎÁ ÎÁÛ ×ÚÇÌÑÄ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÍÉ ÉÌÉ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÍÉ. ë ÎÉÍ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÏÌÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ, Á Ë ÎÅËÏÔÏÒÙÍ | ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ. ÷ ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÙ ÓÔÁÒÁÌÉÓØ, ÞÔÏÂÙ ÅÒ×ÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÂÙÌÏ ÂÏÌÅÅ ÛËÏÌØÎÙÍ | ÔÁËÉÍ, ËÁËÏÅ, ÓËÏÒÅÅ ×ÓÅÇÏ, ÒÉÄÕÍÁÅÔ ÕÞÁÓÔÎÉË ÏÌÉÍÉÁÄÙ, Á ÄÒÕÇÉÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏËÁÚÙ×ÁÌÉ ÚÁÄÁÞÕ Ó ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÅÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ, ÉÎÏÇÄÁ ÄÁÖÅ ×ÙÈÏÄÑ ÚÁ ÒÁÍËÉ ÛËÏÌØÎÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÙ. ðÒÉ ÏÄÇÏÔÏ×ËÅ ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÉ ÍÎÏÇÉÅ ÌÀÄÉ ÏÍÏÇÁÌÉ ÓÏ×ÅÔÁÍÉ É ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÍÉ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁÍÉ. üÔÏ × ÅÒ×ÕÀ ÏÞÅÒÅÄØ: ó. ó. áÎÉÓÏ×, í. î. ÷ÑÌÙÊ, á. ñ. ëÁÎÅÌØ-âÅÌÏ×, ì. ü. íÅÄÎÉËÏ×, í. à. ðÁÎÏ×, á. ÷. ûÁÏ×ÁÌÏ×, ç. ò. þÅÌÎÏËÏ×. õÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞ 1. (LXI íÏÓËÏ×ÓËÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ, 9 ËÌ.) îÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 1℄ ÏÔÍÅÞÅÎÏ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞÅË. ðÒÉ ÜÔÏÍ ËÁÖÄÁÑ ÏÔÍÅÞÅÎÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÁ ÌÉÂÏ ÒÏ×ÎÏ ÏÓÅÒÅÄÉÎÅ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÄÒÕÇÉÍÉ ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ (ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÓÏÓÅÄÎÉÍÉ Ó ÎÅÊ), ÌÉÂÏ ÒÏ×ÎÏ ÏÓÅÒÅÄÉÎÅ ÍÅÖÄÕ ÏÔÍÅÞÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÏÊ É ËÏÎ ÏÍ ÏÔÒÅÚËÁ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙ. ÷. ðÒÏÉÚ×ÏÌÏ× 2. (LXI íÏÓËÏ×ÓËÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ, 10 ËÌ.; äÅ×ÑÔÎÁÄ ÁÔÙÊ ÕÒÎÉÒ çÏÒÏÄÏ×, ×ÅÓÅÎÎÉÊ ÔÕÒ, 10{11 ËÌ.) ë×ÁÄÒÁÔ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ 1 ÒÁÚÒÅÚÁÌÉ ÎÁ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÉ, Õ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÔÍÅÔÉÌÉ ÏÄÎÕ ÓÔÏÒÏÎÕ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ ÄÌÉÎ ×ÓÅÈ ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ ÓÔÏÒÏÎ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÍÅÎØÛÅ 1. ÷. ðÒÏÉÚ×ÏÌÏ× 3. (LXI íÏÓËÏ×ÓËÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ, 10 ËÌ.) äÏÒÏÇÁ ÒÏÔÑÖÅÎÎÏÓÔØÀ 1 ËÍ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÏÓ×ÅÝÅÎÁ ÆÏÎÁÒÑÍÉ, ÒÉÞÅÍ ËÁÖÄÙÊ ÆÏÎÁÒØ ÏÓ×ÅÝÁÅÔ ÏÔÒÅÚÏË ÄÏÒÏÇÉ ÄÌÉÎÏÊ 1 Í. ëÁËÏÅ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÆÏÎÁÒÅÊ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÁ ÄÏÒÏÇÅ, ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÏÓÌÅ ×ÙËÌÀÞÅÎÉÑ ÌÀÂÏÇÏ ÆÏÎÁÒÑ ÄÏÒÏÇÁ ÂÕÄÅÔ ÏÓ×ÅÝÅÎÁ ÕÖÅ ÎÅ ÏÌÎÏÓÔØÀ? ó. áÇÅÅ× 4. (LXI íÏÓËÏ×ÓËÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ, 10 ËÌ.) îÁ ÏÌ ÏÌÏÖÉÌÉ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ABC , ×ÙÉÌÅÎÎÙÊ ÉÚ ÆÁÎÅÒÙ. ÷ ÏÌ ×ÂÉÌÉ ÔÒÉ Ç×ÏÚÄÑ (Ï ÏÄÎÏÍÕ ×ÌÏÔÎÕÀ Ë ËÁÖÄÏÊ ÓÔÏÒÏÎÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ) ÔÁË, ÞÔÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ Ï×ÅÒÎÕÔØ, ÎÅ ÏÔÒÙ×ÁÑ ÏÔ ÏÌÁ. ðÅÒ×ÙÊ Ç×ÏÚÄØ ÄÅÌÉÔ ÓÔÏÒÏÎÕ AB × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ 1 : 3, ÓÞÉÔÁÑ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ A, ×ÔÏÒÏÊ ÄÅÌÉÔ ÓÔÏÒÏÎÕ BC × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ 2 : 1, ÓÞÉÔÁÑ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ B . ÷ ËÁËÏÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ÄÅÌÉÔ ÓÔÏÒÏÎÕ AC ÔÒÅÔÉÊ Ç×ÏÚÄØ? á. ûÅÎØ 5. (LXI íÏÓËÏ×ÓËÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ, 10-11 ËÌ.) îÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÏÔ 1 ÄÏ n ÒÁÓÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ × ÒÑÄ × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ (ÞÉÓÌÏ n ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÏ). òÁÓÓÔÁÎÏ×ËÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÏÈÏÊ, ÅÓÌÉ × ÎÅÊ ÍÏÖÎÏ ÏÔÍÅÔÉÔØ 10

éÚÂÒÁÎÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÊ 1998 ÇÏÄÁ × íÏÓË×Å

215

ÞÉÓÅÌ (ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÓÔÏÑÝÉÈ ÏÄÒÑÄ), ÉÄÕÝÉÈ × ÏÒÑÄËÅ ÕÂÙ×ÁÎÉÑ. ïÓÔÁÌØÎÙÅ ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ËÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÈÏÒÏÛÉÍÉ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÈÏÒÏÛÉÈ ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ÏË ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ 81n . á. ëÁÎÅÌØ-âÅÌÏ× 6. (äÅ×ÑÔÎÁÄ ÁÔÙÊ ÕÒÎÉÒ çÏÒÏÄÏ×, ×ÅÓÅÎÎÉÊ ÔÕÒ, 8{9 ËÌ.) úÁ ËÒÕÇÌÙÍ ÓÔÏÌÏÍ ÓÉÄÑÔ ÄÅÓÑÔØ ÞÅÌÏ×ÅË, ÅÒÅÄ ËÁÖÄÙÍ | ÎÅÓËÏÌØËÏ ÏÒÅÈÏ×. ÷ÓÅÇÏ ÏÒÅÈÏ× | ÓÔÏ. ðÏ ÏÂÝÅÍÕ ÓÉÇÎÁÌÕ ËÁÖÄÙÊ ÅÒÅÄÁÅÔ ÞÁÓÔØ Ó×ÏÉÈ ÏÒÅÈÏ× ÓÏÓÅÄÕ ÓÒÁ×Á: ÏÌÏ×ÉÎÕ | ÅÓÌÉ Õ ÎÅÇÏ ÂÙÌÏ ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÉÌÉ ÏÄÉÎ ÏÒÅÈ ÌÀÓ ÏÌÏ×ÉÎÕ ÏÓÔÁÔËÁ | ÅÓÌÉ ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. ÁËÁÑ ÏÅÒÁ ÉÑ ÒÏÄÅÌÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÔÏÒÏÊ ÒÁÚ, ÚÁÔÅÍ ÔÒÅÔÉÊ É ÔÁË ÄÁÌÅÅ, ÄÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÞÅÒÅÚ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ×ÒÅÍÑ Õ ×ÓÅÈ ÓÔÁÎÅÔ Ï ÄÅÓÑÔØ ÏÒÅÈÏ×. á. ûÁÏ×ÁÌÏ× 7. (äÅ×ÑÔÎÁÄ ÁÔÙÊ ÕÒÎÉÒ çÏÒÏÄÏ×, ×ÅÓÅÎÎÉÊ ÔÕÒ, 10{11 ËÌ.) ÷ÎÕÔÒÅÎÎÑÑ ÔÏÞËÁ M ×ÙÕËÌÏÇÏ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ ABCD ÔÁËÏ×Á, ÞÔÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ AMB É CMD | ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÙÅ (AM = MB , CM = MD) É Õ ËÁÖÄÏÇÏ ÕÇÏÌ ÒÉ ×ÅÒÛÉÎÅ M ÒÁ×ÅÎ 120◦. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÏÞËÁ N ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ BNC É DNA | ÒÁ×ÉÌØÎÙÅ. é. ûÁÒÙÇÉÎ 8. (äÅ×ÑÔÎÁÄ ÁÔÙÊ ÕÒÎÉÒ çÏÒÏÄÏ×, ×ÅÓÅÎÎÉÊ ÔÕÒ, 10{11 ËÌ.) a) ä×ÏÅ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ ËÁÒÔÏÞÎÙÊ ÆÏËÕÓ. ðÅÒ×ÙÊ ÓÎÉÍÁÅÔ ÑÔØ ËÁÒÔ ÉÚ ËÏÌÏÄÙ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ 52 ËÁÒÔÙ (ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÏ ÅÒÅÔÁÓÏ×ÁÎÎÏÊ ËÅÍ-ÔÏ ÉÚ ÚÒÉÔÅÌÅÊ), ÓÍÏÔÒÉÔ × ÎÉÈ É ÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ×ÙËÌÁÄÙ×ÁÅÔ ÉÈ × ÒÑÄ ÓÌÅ×Á ÎÁÒÁ×Ï, ÒÉÞÅÍ ÏÄÎÕ ÉÚ ËÁÒÔ ËÌÁÄÅÔ ÒÕÂÁÛËÏÊ ××ÅÒÈ, Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ | ËÁÒÔÉÎËÏÊ ××ÅÒÈ. ÷ÔÏÒÏÊ ÕÞÁÓÔÎÉË ÆÏËÕÓÁ ÏÔÇÁÄÙ×ÁÅÔ ÚÁËÒÙÔÕÀ ËÁÒÔÕ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÍÏÇÕÔ ÔÁË ÄÏÇÏ×ÏÒÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ×ÔÏÒÏÊ ×ÓÅÇÄÁ ÂÕÄÅÔ ÕÇÁÄÙ×ÁÔØ ËÁÒÔÕ. Â) ÷ÔÏÒÏÊ ÆÏËÕÓ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÅÒ×ÏÇÏ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÅÒ×ÙÊ ÕÞÁÓÔÎÉË ×ÙËÌÁÄÙ×ÁÅÔ ÓÌÅ×Á ÎÁÒÁ×Ï ÞÅÔÙÒÅ ËÁÒÔÙ ËÁÒÔÉÎËÏÊ ××ÅÒÈ, Á ÏÄÎÕ ÎÅ ×ÙËÌÁÄÙ×ÁÅÔ. íÏÇÕÔ ÌÉ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÕÞÁÓÔÎÉËÉ ÆÏËÕÓÁ ÔÁË ÄÏÇÏ×ÏÒÉÔØÓÑ, ÞÔÏÂÙ ×ÔÏÒÏÊ ×ÓÅÇÄÁ ÕÇÁÄÙ×ÁÌ ÎÅ×ÙÌÏÖÅÎÎÕÀ ËÁÒÔÕ? ç. çÁÌØÅÒÉÎ 9. (ÕÒÎÉÒ ÉÍ. ìÏÍÏÎÏÓÏ×Á, 8{11 ËÌ.) {a1 ; a2 ; : : : ; an } | ÎÁÂÏÒ ÅÌÙÈ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. óÔÒÏÉÍ ÎÏ×ÙÊ ÎÁÂÏÒ ÞÉÓÅÌ {b0 ; b1 ; b2 ; : : : } Ï ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÒÁ×ÉÌÕ: b0 | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÞÉÓÅÌ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÂÏÌØÛÅ 0, b1 | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÞÉÓÅÌ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÂÏÌØÛÅ 1, b2 | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÞÉÓÅÌ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÂÏÌØÛÅ 2, É Ô. Ä., ÏËÁ ÎÅ ÏÊÄÕÔ ÎÕÌÉ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ ×ÓÅÈ ÞÉÓÅÌ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÒÁ×ÎÁ ÓÕÍÍÅ ×ÓÅÈ ÞÉÓÅÌ ÎÏ×ÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ. ÆÏÌØËÌÏÒ 10. (ä×ÁÄ ÁÔÙÊ ÕÒÎÉÒ çÏÒÏÄÏ×, ÏÓÅÎÎÉÊ ÔÕÒ, 8{9 ËÌ.) ûÁÊËÁ ÒÁÚÂÏÊÎÉËÏ× ÏÔÏÂÒÁÌÁ Õ ËÕ Á ÍÅÛÏË ÍÏÎÅÔ. ëÁÖÄÁÑ ÍÏÎÅÔÁ ÓÔÏÉÔ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ ÇÒÏÛÅÊ. ïËÁÚÁÌÏÓØ, ÞÔÏ ËÁËÕÀ ÂÙ ÍÏÎÅÔÕ ÎÉ ÏÔÌÏÖÉÔØ, ÏÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ ÍÏÎÅÔÙ ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÍÅÖÄÕ ÒÁÚÂÏÊÎÉËÁÍÉ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ËÁÖÄÙÊ ÏÌÕÞÉÌ ÏÄÉÎÁËÏ×ÕÀ ÓÕÍÍÕ × ÇÒÏÛÁÈ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÏÔÌÏÖÉÔØ ÏÄÎÕ ÍÏÎÅÔÕ, ÔÏ ÞÉÓÌÏ ÍÏÎÅÔ ÒÁÚÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÂÏÊÎÉËÏ×. á. ûÁÏ×ÁÌÏ× 11. (ä×ÁÄ ÁÔÙÊ ÕÒÎÉÒ çÏÒÏÄÏ×, ÏÓÅÎÎÉÊ ÔÕÒ, 10{11 ËÌ.) âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ €ÒÁÚÍÅÒḮ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÇÏ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ ÓÕÍÍÕ ÔÒÅÈ ÅÇÏ ÉÚÍÅÒÅÎÉÊ | ÄÌÉÎÙ, ÛÉÒÉÎÙ É ×ÙÓÏÔÙ. íÏÖÅÔ ÌÉ ÓÌÕÞÉÔØÓÑ, ÞÔÏ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÍ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÅ ÏÍÅÓÔÉÔÓÑ ÂÏÌØÛÉÊ Ï ÒÁÚÍÅÒÕ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÊ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄ? á. ûÅÎØ 12. (ä×ÁÄ ÁÔÙÊ ÕÒÎÉÒ çÏÒÏÄÏ×, ÏÓÅÎÎÉÊ ÔÕÒ, 10{11 ËÌ.) äÁÎÁ ÆÕÎË ÉÑ f (x) = (x2 + ax + b)=(x2 + x + d), ÇÄÅ ÔÒÅÈÞÌÅÎÙ x2 + ax + b É x2 + x + d ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÉÈ ËÏÒÎÅÊ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ä×Á ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÙ: 1) ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÉÎÔÅÒ×ÁÌ, Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ;

216

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

2) f (x) ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÁ × ×ÉÄÅ: f (x) = f1 (f2 (: : : fn−1 (fn (x)) : : : )), ÇÄÅ ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÆÕÎË ÉÊ fi (x) ÅÓÔØ ÆÕÎË ÉÑ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ×ÉÄÏ×: ki x + bi ; x−1 ; x2 . á. ëÁÎÅÌØ-âÅÌÏ× òÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ 1. íÙ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÔÒÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. ðÅÒ×ÏÅ ÂÕÄÅÔ ÞÉÓÔÏ €ÛËÏÌØÎÙ́ É ÎÅ ÏÔÒÅÂÕÅÔ ÎÉËÁËÉÈ ÚÎÁÎÉÊ, ×ÙÈÏÄÑÝÉÈ ÚÁ ÒÁÍËÉ ÛËÏÌØÎÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÙ. äÌÑ ÏÎÉÍÁÎÉÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÚÎÁÎÉÅ ÔÅÏÒÉÉ ÓÉÓÔÅÍ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, Á ÔÒÅÔØÅ ÔÒÅÂÕÅÔ ÚÎÁÎÉÑ ÏÓÎÏ× ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ. ðÅÒ×ÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ËÏÎ Ï× ÏÔÒÅÚËÁ É ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ ÔÏÞÅË ÞÅÒÅÚ x0 , x1 , . . . , xn+1 (0 = x0 < x1 < · · · < xn+1 = 1). õÓÌÏ×ÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ n ÒÁ×ÅÎÓÔ× ×ÉÄÁ

xi = (ai + bi ) (i = 1; 2; : : : ; n); 1

2

ÇÄÅ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÓÉÍ×ÏÌÏ× ai É bi ÏÚÎÁÞÁÅÔ ËÁËÏÅ-ÔÏ ÉÚ ÞÉÓÅÌ xj (j = 0, 1, . . . . . . , n + 1), ÒÉ ÜÔÏÍ ai < xi < bi . ÷Ï ×ÓÅ ÒÁ×ÙÅ ÞÁÓÔÉ ÜÔÉÈ ÒÁ×ÅÎÓÔ×, × ËÏÔÏÒÙÈ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ x1 , ÏÄÓÔÁ×ÉÍ ÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÉÚ ÅÒ×ÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á. ðÏÌÕÞÉÍ ÎÏ×ÙÊ ÎÁÂÏÒ ÒÁ×ÅÎÓÔ× (Ó ÔÅÍÉ ÖÅ ÌÅ×ÙÍÉ ÞÁÓÔÑÍÉ, ÞÔÏ É × ÓÔÁÒÏÍ), ÒÁ×ÙÅ ÞÁÓÔÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÕÖÅ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔ x1 . åÓÌÉ ÒÉ ÜÔÏÍ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÏÑ×ÉÔÓÑ ÞÌÅÎ ×ÉÄÁ x2 , ÔÏ ÅÒÅÎÅÓÅÍ ÅÇÏ × ÌÅ×ÕÀ ÞÁÓÔØ É ÒÁÚÄÅÌÉÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÎÁ 1 − (ÎÉÖÅ ÍÙ ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ 6= 1). úÁÔÅÍ ×Ï ×ÓÅ ÒÁ×ÙÅ ÞÁÓÔÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ x2 , ÏÄÓÔÁ×ÉÍ ÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÉÚ ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ, ÕÖÅ ÉÚÍÅÎÅÎÎÏÇÏ ÏÓÌÅ ÅÒ×ÏÊ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ). äÁÌÅÅ ÔÏ ÖÅ ÒÏÄÅÌÁÅÍ ÄÌÑ x3 É Ô. Ä. ÷ ÌÀÂÏÊ ÍÏÍÅÎÔ ËÁÖÄÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ×ÉÄ xi = 0 x0 + 1 x1 + · · · + n xn + n+1 xn+1 ; (∗ ) ÇÄÅ ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ j (j = 0; 1; : : : ; n + 1) ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙ, ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙ É ÎÅ ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÄÌÑ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÜÔÏ ×ÅÒÎÏ. äÅÌÁÑ ÏÞÅÒÅÄÎÕÀ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ ÉÚ j -ÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÍÙ ÚÁÍÅÎÑÅÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ j ÎÁ 0, Á ÌÀÂÏÊ ÄÒÕÇÏÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ k ÎÁ k +  j , ÇÄÅ  | ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ xk × j -Í ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ. òÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÓÔØ É ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÒÉ ÜÔÏÍ ÓÏÈÒÁÎÑÀÔÓÑ, Á ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÎÏÍÅÒ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁ ÎÅ ÕÍÅÎØÛÁÅÔÓÑ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÓÅÇÄÁ ÂÏÌØÛÅ i. ðÒÉ ÅÒÅÎÏÓÅ × ÌÅ×ÕÀ ÞÁÓÔØ ÞÌÅÎÁ i xi ÏÌÕÞÁÅÍ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ×ÓÅ xj ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙ, Á ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ j ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙ, ÒÉÞÅÍ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÉÎ ÉÚ ÎÉÈ ÓÔÒÏÇÏ ÏÌÏÖÉÔÅÌÅÎ. úÎÁÞÉÔ, ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÔÏÖÅ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ, ÏÜÔÏÍÕ 1 − j > 0. ðÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ ÏÂÅÉÈ ÞÁÓÔÅÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÁ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ 1− j ×ÓÅ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÔÁËÖÅ ÓÏÈÒÁÎÑÀÔÓÑ. ðÒÏÄÅÌÁ× ÕËÁÚÁÎÎÙÅ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ n ÒÁÚ, ÍÙ ÄÏÂØÅÍÓÑ, ÞÔÏÂÙ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ j (j = 1; : : : ; n) × ÒÁ×ÙÈ ÞÁÓÔÑÈ ÒÁ×ÅÎÓÔ× (∗) ÒÁ×ÎÑÌÉÓØ ÎÕÌÀ, ÔÏÇÄÁ ÜÔÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÂÕÄÕÔ ÉÍÅÔØ ×ÉÄ xi = 0 x0 + n+1 xn+1 . úÎÁÞÉÔ, xi | ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. ÷ÔÏÒÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÉÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ ÔÏÞÅË. äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ. ðÕÓÔØ (x′1 ; : : : x′n ) É (x′′1 ; : : : x′′n ) | ËÁËÉÅ-ÔÏ Ä×Á ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÅÅ ÒÅÛÅÎÉÑ.

éÚÂÒÁÎÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÊ 1998 ÇÏÄÁ × íÏÓË×Å

217

ïÒÅÄÅÌÉÍ ÓÍÅÝÅÎÉÅ i-Ê ÔÏÞËÉ ÆÏÒÍÕÌÏÊ di = |x′i − x′′i | (i = 1; 2; : : : ; n). óÍÅÝÅÎÉÅ ËÏÎ Ï× ÏÔÒÅÚËa ÓÞÉÔÁÅÍ ÒÁ×ÎÙÍ ÎÕÌÀ. ðÕÓÔØ d > 0 | ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ÉÚ ÓÍÅÝÅÎÉÊ. óÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË ÓÏ ÓÍÅÝÅÎÉÅÍ d ×ÙÂÅÒÅÍ ÓÁÍÕÀ ÒÁ×ÕÀ. ïÎÁ ÌÅÖÉÔ ÏÓÅÒÅÄÉÎÅ ÍÅÖÄÕ ËÁËÉÍÉ-ÔÏ Ä×ÕÍÑ ÄÒÕÇÉÍÉ ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ, ÓÍÅÝÅÎÉÅ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ Ï ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÅ d, Á ÄÒÕÇÏÊ | ÓÔÒÏÇÏ ÍÅÎØÛÅ d. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÅÅ ÓÍÅÝÅÎÉÅ ÄÏÌÖÎÏ ÒÁ×ÎÑÔØÓÑ ÓÒÅÄÎÅÍÕ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÓÍÅÝÅÎÉÊ ÜÔÉÈ Ä×ÕÈ ÔÏÞÅË. ðÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. åÓÌÉ ÖÅ ÓÉÓÔÅÍÁ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÔÏ ÏÎÏ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ Ï ÆÏÒÍÕÌÁÍ ëÒÁÍÅÒÁ ÞÅÒÅÚ ÅÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ (×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÏ ÎÕÖÎÏ ÏÔÂÒÏÓÉÔØ ÞÁÓÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ), ÏÜÔÏÍÕ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍ. ÒÅÔØÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÁÂÏÒ ÔÏÞÅË, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÊ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÚÁÄÁÞÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÉÒÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÌÉÎÅÊÎÏÅ (ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ) ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ × ÓÅÂÑ, ÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ÎÁ ÍÅÓÔÅ ×ÓÅ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ É ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ × ÞÉÓÌÏ, ÂÏÌØÛÅÅ 1 ÉÌÉ ÍÅÎØÛÅÅ 0. ðÒÉÍÅÎÉ× ÜÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ Ë ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ ÔÏÞÅË, ÏÌÕÞÉÍ ÎÏ×ÙÊ ÎÁÂÏÒ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÊ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÚÁÄÁÞÉ É ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÔÏÞËÉ ×ÎÅ ÏÔÒÅÚËÁ [0; 1℄. ïÄÎÁËÏ, ÜÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÔÁË ËÁË ËÒÁÊÎÑÑ ÉÚ ÜÔÉÈ ÔÏÞÅË (ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÕÄÁÌÅÎÎÁÑ ÏÔ ËÏÎ Ï× ÏÔÒÅÚËÁ) ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÌÅÖÁÔØ ÏÓÅÒÅÄÉÎÅ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÄÒÕÇÉÍÉ. 2. ðÅÒ×ÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. ÁË ËÁË ÄÌÉÎÙ ÓÔÏÒÏÎ ÏÌÕÞÉ×ÛÉÈÓÑ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÔ 1, ÔÏ ÌÏÝÁÄØ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÎÉÈ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÄÌÉÎÙ ÍÅÎØÛÅÊ ÓÔÏÒÏÎÙ. úÎÁÞÉÔ, ÓÕÍÍÁ ÄÌÉÎ ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ ÓÔÏÒÏÎ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÓÕÍÍÙ ÉÈ ÌÏÝÁÄÅÊ, Ô. Å. 1. ÷ÔÏÒÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. ðÒÏ×ÅÄÅÍ Ä×Å ÒÑÍÙÅ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ÓÍÅÖÎÙÅ ÓÔÏÒÏÎÙ Ë×ÁÄÒÁÔÁ. óÒÏÅ ÉÒÕÅÍ ËÁÖÄÙÊ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉË ÎÁ ÔÕ ÉÚ ÒÏ×ÅÄÅÎÎÙÈ ÒÑÍÙÈ, ËÏÔÏÒÏÊ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÁ ÅÇÏ ÏÔÍÅÞÅÎÎÁÑ ÓÔÏÒÏÎÁ. åÓÌÉ ÒÏÅË ÉÉ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÏËÒÙÌÉ ÏÄÎÕ ÉÚ ÓÔÏÒÏÎ Ë×ÁÄÒÁÔÁ, ÔÏ ÕÖÅ ÓÕÍÍÁ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÅÊ ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ ÓÔÏÒÏÎ ÂÏÌØÛÅ 1. åÓÌÉ ÖÅ ÎÁ Ä×ÕÈ ÓÔÏÒÏÎÁÈ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÅÓÔØ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ï ÔÏÞËÅ, ÎÅ ÏËÒÙÔÏÊ ÒÏÅË ÉÑÍÉ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÏ×, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÏÞËÁ ×ÎÕÔÒÉ Ë×ÁÄÒÁÔÁ, ÒÏÅË ÉÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁ ÓÔÏÒÏÎÙ ÎÅ ÏËÒÙÔÙ. ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÏÎÁ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÎÉ × ÏÄÎÏÍ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÅ. üÔÏ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ, ÚÎÁÞÉÔ ÜÔÏÔ ÓÌÕÞÁÊ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÅÎ. 3. ïÔ×ÅÔ: 1998 ÆÏÎÁÒÅÊ. âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÆÏÎÁÒÉ ÓÔÏÑÔ × ÓÅÒÅÄÉÎÁÈ ÏÓ×ÅÝÁÅÍÙÈ ÉÍÉ ÏÔÒÅÚËÏ×. ðÒÏÎÕÍÅÒÕÅÍ ÆÏÎÁÒÉ × ÏÒÑÄËÅ ÉÈ ÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ×ÄÏÌØ ÄÏÒÏÇÉ. ÏÇÄÁ ÏÔÒÅÚËÉ, ÏÓ×ÅÝÁÅÍÙÅ k-Í É (k + 2)-Í ÆÏÎÁÒÑÍÉ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ (ÔÁË ËÁË × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÉ ×ÙËÌÀÞÅÎÉÉ (k + 1)-ÇÏ ÆÏÎÁÒÑ ÏÓ×ÅÝÅÎÎÁÑ ÏÂÌÁÓÔØ ÎÅ ÉÚÍÅÎÉÌÁÓØ ÂÙ). úÎÁÞÉÔ, ÓÕÍÍÁ ÄÌÉÎ ÏÔÒÅÚËÏ×, ÏÓ×ÅÝÅÎÎÙÈ ÆÏÎÁÒÑÍÉ Ó ÎÅÞÅÔÎÙÍÉ ÎÏÍÅÒÁÍÉ, ÍÅÎØÛÅ ÄÌÉÎÙ ÄÏÒÏÇÉ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÈ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ 999. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÆÏÎÁÒÅÊ Ó ÞÅÔÎÙÍÉ ÎÏÍÅÒÁÍÉ ÔÁËÖÅ ÎÅ ÂÏÌØÛÅ 999. ðÏÜÔÏÍÕ ×ÓÅÇÏ ÆÏÎÁÒÅÊ ÎÅ ÂÏÌØÛÅ 1998. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, 1998 ÆÏÎÁÒÅÊ ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ. îÁÒÉÍÅÒ, ÕÓÔØ ÅÒ×ÙÊ É ÏÓÌÅÄÎÉÊ ÆÏÎÁÒÉ ÓÔÏÑÔ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ ÏÌÍÅÔÒÁ ÏÔ ËÏÎ Ï× ÄÏÒÏÇÉ, Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ×ÄÏÌØ ÄÏÒÏÇÉ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÓÏ999 ÓÅÄÎÉÍÉ ÆÏÎÁÒÑÍÉ ÒÁ×ÎÏ 1997 Í, ÞÔÏ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÏÌÍÅÔÒÁ. úÎÁÞÉÔ, ÏÂÌÁÓÔÉ,

218

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

ÏÓ×ÅÝÁÅÍÙÅ i-Í É (i +2)-Í ÆÏÎÁÒÑÍÉ, ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ. úÁÚÏÒ ÍÅÖÄÕ ÜÔÉÍÉ ÏÂÌÁÓÔÑÍÉ ÏÓ×ÅÝÁÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ (i + 1)-Í ÆÏÎÁÒÅÍ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÉ ×ÙËÌÀÞÅÎÉÉ ÌÀÂÏÇÏ ÆÏÎÁÒÑ ÏÑ×ÑÔÓÑ ÎÅÏÓ×ÅÝÅÎÎÙÅ ÕÞÁÓÔËÉ ÄÏÒÏÇÉ. 4. îÁÊÄÅÍ ÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ×ÂÉÔÙÊ × ÔÏÞËÅ M ÎÁ ÓÔÏÒÏÎÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ Ç×ÏÚÄØ €ÍÅÛÁÅԁ Ï×ÅÒÎÕÔØ ÜÔÏÔ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ×ÏËÒÕÇ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ ÔÏÞËÉ O. ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ Ó ÅÎÔÒÏÍ × O, ÒÏÈÏÄÑÝÕÀ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ M . ðÕÓÔØ ÜÔÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÓÔÏÒÏÎÕ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÔÁË, ÞÔÏ Ä×ÉÇÁÑÓØ Ï ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ Ï ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÅ ÏÔ ÔÏÞËÉ M , ÍÙ ÏÁÄÁÅÍ ×ÎÕÔÒØ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ (ÒÉÓ. 1 a). ÏÇÄÁ ÒÉ Ï×ÏÒÏÔÅ ÎÁ ÍÁÌÅÎØËÉÊ ÕÇÏÌ ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ,

O

O

M

O M

Á)

Â) òÉÓ. 1.

M

×)

M2

M3

M3

M1

M2 M1

Á)

Â)

òÉÓ. 2.

× ÔÏÞËÕ, ÒÏÂÉÔÕÀ Ç×ÏÚÄÅÍ, ÏÁÄÁÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ×ÎÕÔÒÅÎÎÑÑ ÔÏÞËÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ Ç×ÏÚÄØ ÒÅÑÔÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÍÕ Ï×ÏÒÏÔÕ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. ðÏ×ÅÒÎÕÔØ ÖÅ ÅÇÏ ÎÁ ÍÁÌÅÎØËÉÊ ÕÇÏÌ Ï ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÅ ÜÔÏÔ Ç×ÏÚÄØ ÎÅ ÍÅÛÁÅÔ. åÓÌÉ ÖÅ Ä×ÉÇÁÑÓØ Ï ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ Ï ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÅ, ÍÙ ÏÁÄÁÅÍ ÎÁÒÕÖÕ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ (ÒÉÓ. 1 Â), ÔÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ÍÏÖÎÏ Ï×ÅÒÎÕÔØ ×ÏËÒÕÇ ÔÏÞËÉ O ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ, ÎÏ ÎÅÌØÚÑ × ÏÂÒÁÔÎÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ. îÁËÏÎÅ , ÅÓÌÉ ÒÏ×ÅÄÅÎÎÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÓÔÏÒÏÎÙ × ÔÏÞËÅ M (ÒÉÓ. 1 ×), ÔÏ Ï×ÅÒÎÕÔØ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ×ÏËÒÕÇ ÔÏÞËÉ O ÎÅÌØÚÑ ÎÉ × ËÁËÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ. ÷ÏÓÓÔÁ×ÉÍ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒ Ë ÓÔÏÒÏÎÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ × ÔÏÞËÅ M . ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ O, ÌÅÖÁÝÅÊ ÎÁ ÜÔÏÍ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÅ, Ï×ÏÒÏÔ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÅÅ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÅÎ. äÌÑ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÔÏÞÅË ×ÏÚÍÏÖÅÎ Ï×ÏÒÏÔ × ÏÄÎÕ ÉÌÉ × ÄÒÕÇÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÔÏÇÏ, Ï ËÁËÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ ÏÔ ×ÏÓÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÇÏ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÁ ÌÅÖÉÔ ÔÏÞËÁ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÅÓÌÉ ÔÏÞËÁ O ÌÅÖÉÔ Ï ÒÁ×ÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ ÏÔ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÁ (ÅÓÌÉ ÓÍÏÔÒÅÔØ ×ÎÕÔÒØ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÏÔ ÅÇÏ ÓÔÏÒÏÎÙ), ÔÏ ×ÏÚÍÏÖÅÎ Ï×ÏÒÏÔ Ï ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÅ, Á ÅÓÌÉ Ï ÌÅ×ÕÀ, ÔÏ ÒÏÔÉ×. ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ ÔÒÉ Ç×ÏÚÄÑ ×ÂÉÔÙ × ÔÏÞËÁÈ M1 , M2 É M3 ÎÁ ÓÔÏÒÏÎÁÈ AB , BC É CA ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. åÓÌÉ ÔÒÉ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÁ, ×ÏÓÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ × ÜÔÉÈ ÔÏÞËÁÈ Ë ÓÔÏÒÏÎÁÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ, ÔÏ ÓÒÅÄÉ ÞÁÓÔÅÊ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ ÏÎÉ ÒÁÚÂÉ×ÁÀÔ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÉÍÅÅÔÓÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË, ÌÅÖÁÝÉÊ ÓÔÒÏÇÏ ×ÎÕÔÒÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. ëÁÖÄÁÑ ÔÏÞËÁ ×ÎÕÔÒÉ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÌÅÖÉÔ Ï ÏÄÎÕ ÓÔÏÒÏÎÕ ÏÔ ×ÓÅÈ ÔÒÅÈ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÏ×: ÌÉÂÏ Ï ÌÅ×ÕÀ (ÒÉÓ. 2 Á), ÌÉÂÏ Ï ÒÁ×ÕÀ (ÒÉÓ. 2 Â). úÎÁÞÉÔ, × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÏÚÍÏÖÅÎ Ï×ÏÒÏÔ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÞÔÏ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÚÁÄÁÞÉ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÔÒÉ ×ÏÓÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÁ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÄÌÑ ÔÏÞËÉ, ×ÚÑÔÏÊ × ÌÀÂÏÊ ÉÚ ÛÅÓÔÉ ÏÂÌÁÓÔÅÊ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÙ ÄÅÌÑÔ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË, Ï×ÏÒÏÔÕ ×ÏËÒÕÇ ÎÅÅ × ËÁÖÄÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ ÒÅÑÔÓÔ×ÕÅÔ ËÁËÏÊ-ÔÏ Ç×ÏÚÄØ.

éÚÂÒÁÎÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÊ 1998 ÇÏÄÁ × íÏÓË×Å

C

219

C2

M2 C1 M3 A2

A A1

M1

B1 M

B2

B

òÉÓ. 3.

äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÅ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÙ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ, ÔÏ AM1 + BM2 + CM3 = M1 B + M2C + M3 A: ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÑÍÙÅ, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÅ ÓÔÏÒÏÎÁÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ M ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÏ×. ÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÜÔÉÈ ÒÑÍÙÈ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 , ËÁË ÎÁ ÒÉÓ. 3. ÏÇÄÁ A1 M1 = M1B2 , B1 M2 = M2 C2 , C1 M3 = M3 A2 , ÏÓËÏÌØËÕ ×ÙÓÏÔÙ ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× A1 MB2 , B1 MC2 É C1 MA2 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÁËÖÅ ÍÅÄÉÁÎÁÍÉ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, AA1 = C2 C , BB1 = A2 A, CC1 = B2 B , ËÁË ÂÏËÏ×ÙÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÙÈ ÔÒÁÅ ÉÊ. óËÌÁÄÙ×ÁÑ ÛÅÓÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×, ÏÌÕÞÁÅÍ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ. M3 A = 5 . ïÔÓÀÄÁ ÏÌÕÞÁÅÍ M 3C 7 5. ó ËÁÖÄÏÊ ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÞÉÓÅÌ ÏÔ 1 ÄÏ n Ó×ÑÖÅÍ Ä×Å ËÏÎÅÞÎÙÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ {ai } É {bj } (1 6 i; j 6 n). ïÒÅÄÅÌÉÍ ai (ÇÌÕÂÉÎÕ ÞÉÓÌÁ i) ËÁË ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÞÉÓÅÌ × ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ËÅ, ÉÄÕÝÉÈ × ÏÒÑÄËÅ ÕÂÙ×ÁÎÉÑ, ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÎÏ i, Á bj (ÇÌÕÂÉÎÕ ÍÅÓÔÁ j ) ËÁË ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÞÉÓÅÌ × ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ËÅ, ÉÄÕÝÉÈ × ÏÒÑÄËÅ ÕÂÙ×ÁÎÉÑ, ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÔÏÉÔ ÎÁ j -Í ÍÅÓÔÅ. úÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ {ai } É {bj }, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÉÓÈÏÄÎÕÀ ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ËÕ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÎÁ ËÁÖÄÏÅ ÍÅÓÔÏ ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÁ×ÉÔØ ÔÏÌØËÏ ÞÉÓÌÏ, ÉÍÅÀÝÅÅ ÔÕ ÖÅ ÇÌÕÂÉÎÕ, ÞÔÏ É ÜÔÏ ÍÅÓÔÏ. òÁÓÓÔÁ×ÉÔØ ÖÅ ÞÉÓÌÁ ÄÁÎÎÏÊ ÇÌÕÂÉÎÙ Ï ÍÅÓÔÁÍ ÜÔÏÊ ÖÅ ÇÌÕÂÉÎÙ ÍÏÖÎÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ | × ÏÒÑÄËÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÑ, ÉÎÁÞÅ ÍÙ ÒÉÄÅÍ Ë ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ ÇÌÕÂÉÎÙ. äÌÑ ÈÏÒÏÛÅÊ ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ËÉ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ {ai } É {bj } ÍÏÇÕÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÏÔ 1 ÄÏ 9. ÁËÉÈ ÁÒ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ×ÓÅÇÏ ÉÍÅÅÔÓÑ (9n )2 = 81n. ðÒÉ ÜÔÏÍ ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÎÉÈ ÍÏÖÅÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÔØ ÎÅ ÂÏÌÅÅ, ÞÅÍ ÏÄÎÏÊ ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ËÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÈÏÒÏÛÉÈ ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ÏË ÎÅ ÂÏÌØÛÅ. 6. ðÅÒ×ÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ N ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÒÅÈÏ×, ÉÍÅÀÝÉÈÓÑ × ÄÁÎÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ Õ ÏÄÎÏÇÏ ÞÅÌÏ×ÅËÁ. ðÅÒÅËÌÁÄÙ×ÁÎÉÑ ÏÒÅÈÏ× ÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÉÚÍÅÎÅÎÉÀ N . ðÒÏÓÌÅÄÉÍ ÚÁ ÜÔÉÍÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑÍÉ. äÏËÁÖÅÍ ÓÎÁÞÁÌÁ, ÞÔÏ N ÎÅ ÍÏÖÅÔ ×ÏÚÒÁÓÔÉ ÏÓÌÅ ÅÒÅËÌÁÄÙ×ÁÎÉÑ ÏÒÅÈÏ×. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ N ÞÅÔÎÏ, ÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÞÅÌÏ×ÅË ÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÅÂÅ ÎÅ ÂÏÌÅÅ N=2 ÏÒÅÈÏ×, Á ÏÌÕÞÁÅÔ ÔÁËÖÅ ÎÅ

220

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

ÂÏÌÅÅ N=2 ÏÒÅÈÏ×, Á ÅÓÌÉ N ÎÅÞÅÔÎÏ, ÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÞÅÌÏ×ÅË ÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÅÂÅ ÎÅ ÂÏÌÅÅ (N − 1)=2 ÏÒÅÈÏ×, Á ÏÌÕÞÁÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ (N + 1)=2 ÏÒÅÈÏ×. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ N > 10. ÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÞÅÌÏ×ÅË, ÉÍÅÀÝÉÊ ÍÅÎØÛÅ 10 ÏÒÅÈÏ× (× ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÂÝÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÒÅÈÏ× ÂÙÌÏ ÂÙ ÂÏÌØÛÅ 100). äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÏÓÌÅ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÅÒÅËÌÁÄÙ×ÁÎÉÊ N ÕÍÅÎØÛÉÔÓÑ. éÚ ÜÔÏÇÏ ÓÒÁÚÕ ÓÌÅÄÕÅÔ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ, ÏÓËÏÌØËÕ × ÌÀÂÏÍ ÓÌÕÞÁÅ N > 10. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÅÒÉÀ ÅÒÅËÌÁÄÙ×ÁÎÉÊ, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÊ N ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ. þÔÏÂÙ ÓÄÅÌÁÔØ ÁÎÁÌÉÚ ÎÁÇÌÑÄÎÙÍ, ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÞÅÌÏ×ÅË ÄÅÒÖÉÔ ÆÌÁÖÏË: ÓÉÎÉÊ, ÅÓÌÉ Õ ÎÅÇÏ N ÏÒÅÈÏ×, ÂÅÌÙÊ | ÅÓÌÉ (N −1) ÏÒÅÈ, ËÒÁÓÎÙÊ | × ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ. þÅÌÏ×ÅË, ÉÍÅÀÝÉÊ ÎÅ ÂÏÌÅÅ 9 ÏÒÅÈÏ×, ÍÏÖÅÔ ÄÅÒÖÁÔØ ÔÏÌØËÏ ËÒÁÓÎÙÊ ÆÌÁÖÏË. ðÏÜÔÏÍÕ ÈÏÔÑ-ÂÙ ÏÄÉÎ ËÒÁÓÎÙÊ ÆÌÁÖÏË ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ. âÕÄÅÍ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ, ÞÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÉÎÉÈ ÆÌÁÖËÏ× ÕÍÅÎØÛÁÅÔÓÑ, ÔÁË ÞÔÏ ÓÅÒÉÑ ÒÁÎÏ ÉÌÉ ÏÚÄÎÏ ÚÁ×ÅÒÛÉÔÓÑ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÄÅÌØÎÏ Ä×Á ÓÌÕÞÁÑ. ðÅÒ×ÙÊ ÓÌÕÞÁÊ: N ÞÅÔÎÏ É N > 12. óÉÎÉÅ ÆÌÁÖËÉ ÎÅ ÄÏÂÁ×ÌÑÀÔÓÑ (ÄÅÒÖÁÝÉÊ ÎÅ ÓÉÎÉÊ ÆÌÁÖÏË ÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ Õ ÓÅÂÑ ÎÅ ÂÏÌÅÅ (N=2−1), Á ÏÌÕÞÁÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ N=2 ÏÒÅÈÏ×) É ÎÅ Ä×ÉÇÁÀÔÓÑ, Ô. Å. ÏÓÌÅ ÏÞÅÒÅÄÎÏÇÏ ÅÒÅËÌÁÄÙ×ÁÎÉÑ ÓÉÎÉÅ ÆÌÁÖËÉ ÂÕÄÕÔ ÔÏÌØËÏ Õ ÔÅÈ, ËÔÏ ÉÈ ÄÅÒÖÁÌ ÄÏ ÅÒÅËÌÁÄÙ×ÁÎÉÑ. ëÒÁÓÎÙÅ ÆÌÁÖËÉ €Ä×ÉÇÁÀÔÓс (ÔÏÔ, ËÔÏ ÓÉÄÉÔ ÏÓÌÅ ÞÅÌÏ×ÅËÁ Ó ËÒÁÓÎÙÍ ÆÌÁÖËÏÍ, ÏÌÕÞÁÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ (N=2 − 2), Á ÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ N=2 ÏÒÅÈÏ×, ÔÁË ÞÔÏ ÏÓÌÅ ÜÔÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ ÏÎ ×ÏÚØÍÅÔ × ÒÕËÉ ËÒÁÓÎÙÊ ÆÌÁÖÏË). ÁË ËÁË ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÉÎ ËÒÁÓÎÙÊ ÆÌÁÖÏË ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÄÅÒÖÁÝÉÈ ÓÉÎÉÅ ÆÌÁÖËÉ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÕÍÅÎØÛÉÔÓÑ ÏÓÌÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÛÁÇÏ× (ÓÉÎÉÊ É ËÒÁÓÎÙÊ ÆÌÁÖÏË ÎÅÍÉÎÕÅÍÏ €ÓÔÏÌËÎÕÔÓс). ÷ÔÏÒÏÊ ÓÌÕÞÁÊ: N ÎÅÞÅÔÎÏ. ÷ ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÅÒ×ÏÇÏ ÓÌÕÞÁÑ, ÎÏ×ÙÅ ÓÉÎÉÅ ÆÌÁÖËÉ ÍÏÇÕÔ ÏÑ×ÌÑÔØÓÑ. éÚÍÅÎÉÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁ×ÉÌÁ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÅÒÅÄ ÔÅÍ, ËÁË ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÔØ ÅÒÅÄÁÞÕ ÏÒÅÈÏ×, ËÁÖÄÙÊ ÅÒÅÄÁÌ ×ÓÀ ÉÍÅÀÝÕÀÓÑ Õ ÎÅÇÏ ËÕÞÕ Ó×ÏÅÍÕ ÓÏÓÅÄÕ ÓÌÅ×Á. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÔÁËÁÑ ÏÅÒÁ ÉÑ ÎÅ ×ÌÉÑÅÔ ÎÁ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÏÒÅÈÏ× ÍÅÖÄÕ ÌÀÄØÍÉ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÕÖÅ ÒÁÚÏÂÒÁÎÎÏÍÕ. ÷ÔÏÒÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ f+ (n) ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÒÅÈÏ×, ËÏÔÏÒÏÅ ÄÏÌÖÅÎ ÏÔÄÁÔØ Ó×ÏÅÍÕ ÒÁ×ÏÍÕ ÓÏÓÅÄÕ, ÞÅÌÏ×ÅË, ÉÍÅÀÝÉÊ n ÏÒÅÈÏ×, Á ÞÅÒÅÚ f− (n) ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÒÅÈÏ×, ËÏÔÏÒÏÅ ÒÉ ÜÔÏÍ ÏÎ ÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÅÂÅ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ  n  n   ÅÓÌÉ n ÞÅÔÎÏ, ÅÓÌÉ n ÞÅÔÎÏ,  2;  2; f+(n) = n + 1 f− (n) = n − 1     ; ÅÓÌÉ n ÎÅÞÅÔÎÏ; ; ÅÓÌÉ n ÎÅÞÅÔÎÏ. 2 2 ðÒÏÎÕÍÅÒÕÅÍ ÌÀÄÅÊ ÚÁ ÓÔÏÌÏÍ ÞÉÓÌÁÍÉ ÏÔ 1 ÄÏ 10 ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ ai = 10 + bi ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÒÅÈÏ× Õ i-ÇÏ ÞÅÌÏ×ÅËÁ. úÁÍÅÔÉÍ,

ÞÔÏ

10 X i=1

bi = 0. ðÕÓÔØ ÏÓÌÅ ÏÄÎÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÒÅÈÏ× Õ i-ÇÏ ÞÅÌÏ×Å-

ËÁ ÓÔÁÌÏ a′i = 10 + b′i . ÏÇÄÁ ÌÅÇËÏ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ a′i = f− (ai ) + f+ (ai−1 ), b′i = f−(bi ) + f+(bi−1 ) (ÍÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ÎÕÍÅÒÁ ÉÑ ÌÀÄÅÊ ÒÏ×ÅÄÅÎÁ €Ï ÍÏÄÕÌÀ 10; × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÎÕÌÅ×ÏÊ ÞÅÌÏ×ÅË ÓÕÔØ ÄÅÓÑÔÙÊ). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÕÍÍÕ S =

10 X i=1

|bi | =

10 X i=1

|ai − 10| É ÒÏÓÌÅÄÉÍ, ËÁË ÏÎÁ ÉÚÍÅÎÑÅÔÓÑ

ÒÉ ËÁÖÄÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ. ÷ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÒÉ ÜÔÏÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ Ï ÍÏÄÕÌÅ ÓÕÍÍÙ É

221

éÚÂÒÁÎÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÊ 1998 ÇÏÄÁ × íÏÓË×Å

ÔÅÍ, ÞÔÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÅÌÏÍ n ÞÉÓÌÁ f−(n) É f+ (n) ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÒÁÚÎÙÈ ÚÎÁËÏ×, ÏÔËÕÄÁ n = |f+(n)| + |f− (n)|. äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ×ÅÌÉÞÉÎÁ S ÎÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ: 10 X i=1

|b′i | =

10 X i=1

6

|f− (bi ) + f+ (bi−1 )| 6

10 X i=1

(|f− (bi )| + |f+ (bi−1 )|) = =

10 X i=1

|f− (bi )| +

10 X i=1

10 X i=1

|f− (bi )| +

|f+ (bi )| =

10 X i=1

10 X i=1

|f+ (bi−1 )| =

(|f− (bi )| + |f+ (bi )|) =

10 X i=1

|bi |:

äÏËÁÖÅÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÎÅ ×ÓÅ bi ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ, ÔÏ S ÕÍÅÎØÛÉÔÓÑ (ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ, ÏÓÌÅ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ). ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÒÅÄÉ bi ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÞÉÓÌÁ ËÁË ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ, ÔÁË É ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÅ (× ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÈ ÓÕÍÍÁ ÎÅ ÍÏÇÌÁ ÂÙ ÒÁ×ÎÑÔØÓÑ ÎÕÌÀ), ÉÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÅÓÔØ ÌÀÄÉ, ÉÍÅÀÝÉÅ ÂÏÌØÛÅ 10 ÏÒÅÈÏ×, É ÌÀÄÉ, ÉÍÅÀÝÉÅ ÍÅÎØÛÅ 10 ÏÒÅÈÏ×. ÏÇÄÁ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÎÁÊÄÕÔÓÑ ÔÁËÉÅ j É i, ÞÔÏ aj > 10, aj+1 = aj+2 = : : : = ai−1 = 10 É ai < 10 (ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÏÔÓÁÄÉ× ×ÓÅÈ, ÉÍÅÀÝÉÈ Ï 10 ÏÒÅÈÏ×, É Ä×ÉÇÁÑÓØ ×ÄÏÌØ ÓÔÏÌÁ ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ, ÍÙ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ × ËÁËÏÊ-ÔÏ ÍÏÍÅÎÔ ÅÒÅÊÄÅÍ ÏÔ ÞÅÌÏ×ÅËÁ, ÉÍÅÀÝÅÇÏ ÂÏÌØÛÅ 10 ÏÒÅÈÏ×, Ë ÞÅÌÏ×ÅËÕ, ÉÍÅÀÝÅÍÕ ÍÅÎØÛÅ 10 ÏÒÅÈÏ×). îÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÛÁÇÕ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ aj+1 > 10 (ÔÁË ËÁË (j +1)-Ê ÞÅÌÏ×ÅË ÏÔÄÁÌ 5 ÏÒÅÈÏ×, Á ÏÌÕÞÉÌ ÂÏÌØÛÅ), aj+2 = : : : = ai−1 = 10 (ÏÓËÏÌØËÕ ×ÓÅ ÜÔÉ ÌÀÄÉ ÏÔÄÁÌÉ É ÏÌÕÞÉÌÉ Ï 5 ÏÒÅÈÏ×) É, Ï-ÒÅÖÎÅÍÕ, ai < 10 (ÔÁË ËÁË i-Ê ÞÅÌÏ×ÅË, ÏÔÄÁ×ÁÑ ÏÒÅÈÉ, ÏÓÔÁ×ÉÌ ÓÅÂÅ ÎÅ ÂÏÌØÛÅ ÞÅÔÙÒÅÈ, Á ÏÌÕÞÉÌ 5). úÎÁÞÉÔ, ÞÅÒÅÚ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÛÁÇÏ× ÏËÁÖÅÔÓÑ ai−1 > 10, ai < 10, Ô. Å. bi−1 > 0, bi < 0. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ f+ (bi−1 ) > 0 É f− (bi ) < 0, ÏÜÔÏÍÕ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï Ï ÍÏÄÕÌÅ ÓÕÍÍÙ, ËÏÔÏÒÙÍ ÍÙ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ, ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÓÔÒÏÇÏÅ. úÎÁÞÉÔ, ×ÅÌÉÞÉÎÁ S ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÛÁÇÕ ÕÍÅÎØÛÉÔÓÑ. ðÏÓËÏÌØËÕ ×ÅÌÉÞÉÎÁ S ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÕÍÅÎØÛÁÔÓÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÄÏÌÇÏ, × ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ×ÓÅ ÌÀÄÉ ÚÁ ÓÔÏÌÏÍ ÂÕÄÕÔ ÉÍÅÔØ Ï 10 ÏÒÅÈÏ×. 7. ðÅÒ×ÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ∠AMB = ∠CMD , ÒÉÂÁ×É× Ë ÏÂÅÉÍ ÞÁÓÔÑÍ ÜÔÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ∠BMC , ÏÌÕÞÁÅÍ ∠AMC = ∠BMD. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, AM = = BM É CM = DM , ÏÜÔÏÍÕ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ AMC É BMD ÒÁ×ÎÙ Ï Ä×ÕÍ ÓÔÏÒÏÎÁÍ É ÕÇÌÕ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ. úÎÁÞÉÔ, AC = BD É ∠MAC = ∠MBD. ðÕÓÔØ O | ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÄÉÁÇÏÎÁÌÅÊ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ ABCD (ÒÉÓ. 4 a). éÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ∠MAO = ∠MBO É ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ×ÉÓÁÎÎÏÍ ÕÇÌÅ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÔÏÞËÉ A, B , O É M ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, É ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ∠AOB = ∠AMB = 120◦. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÁËÕÀ ÔÏÞËÕ N (ÌÅÖÁÝÕÀ Ï ÔÕ ÖÅ ÓÔÏÒÏÎÕ ÏÔ ÒÑÍÏÊ AD, ÞÔÏ É ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË ABCD), ÞÔÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ADN ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÊ (ÒÉÓ. 4 Â). óÏÅÄÉÎÉÍ ÅÅ ÓÏ ×ÓÅÍÉ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ ABCD. ðÏÓËÏÌØËÕ ∠AND = = 60◦ = 180◦ − ∠AOB = ∠AOD, ÉÚ ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ×ÉÓÁÎÎÏÍ ÕÇÌÅ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÔÏÞËÉ A, D, N É O ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÚÎÁÞÉÔ ∠OAN = ∠ODN . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ANC É DNB ÒÁ×ÎÙ Ï Ä×ÕÍ ÓÔÏÒÏÎÁÍ É ÕÇÌÕ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ∠DNB = ∠ANC , ×ÙÞÉÔÁÑ ÉÚ ÏÂÅÉÈ ÞÁÓÔÅÊ ÜÔÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ∠DNC , ÏÌÕÞÁÅÍ ∠CNB = ∠AND = 60◦ . ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, CN = BN . üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË CNB ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ. ÏÞËÁ N Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÓËÏÍÏÊ.

222

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

D

D

C M

O

O

C

N A

Á)

B

A

Â)

B

òÉÓ. 4.

÷ÔÏÒÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ.

äÏËÁÖÅÍ ÓÎÁÞÁÌÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ. −−−→

−−−→

ðÕÓÔØ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÏÔÒÅÚËÉ A1 B1 É A2 B2 ÉÍÅÀÔ ÒÁ×ÎÙÅ ÄÌÉÎÙ, É ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ÒÁ×ÅÎ . ÏÇÄÁ ÉÈ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅ×ÅÓÔÉ ÄÒÕÇ × ÄÒÕÇÁ Ï×ÏÒÏÔÏÍ ÎÁ ÕÇÏÌ ×ÏËÒÕÇ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÞËÉ. ìÅÍÍÁ.

−−−→

−−−→

ðÅÒÅ×ÅÄÅÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÙÊ ÏÔÒÅÚÏË A1 B1 × A2 B2 Ó ÏÍÏÝØÀ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ Ä×ÕÈ ÏÓÅ×ÙÈ ÓÉÍÍÅÔÒÉÊ. ïÓØÀ ÅÒ×ÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ ×ÏÚØÍÅÍ ÓÅÒÅÄÉÎÎÙÊ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒ Ë ÏÔÒÅÚËÕ A1 A2 , ÒÉ ÜÔÏÍ ÔÏÞËÁ A1 ÅÒÅÊÄÅÔ × A2 , Á B1 | × ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÔÏÞËÕ B ′ . ïÓØ ×ÔÏÒÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ | ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÁ ÕÇÌÁ B ′ A2 B2 . ëÏÍÏÚÉ ÉÑ Ä×ÕÈ ÏÓÅ×ÙÈ ÓÉÍÍÅÔÒÉÊ | ÜÔÏ ÌÉÂÏ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÊ ÅÒÅÎÏÓ (ÅÓÌÉ ÏÓÉ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ), ÌÉÂÏ Ï×ÏÒÏÔ ÎÁ ÕÇÏÌ (ÅÓÌÉ ÏÓÉ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ ÏÄ ÕÇÌÏÍ =2). ÷ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÉ ÒÉÍÅÎÅÎÉÉ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ Ä×ÕÈ ÏÓÅ×ÙÈ ÓÉÍÍÅÔÒÉÊ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ ×ÅËÔÏ−−−→ ÒÁ A1 A2 ÉÚÍÅÎÉÌÏÓØ ÎÁ ÕÇÏÌ , ÏÜÔÏÍÕ ÜÔÏ ÍÏÇ ÂÙÔØ ÔÏÌØËÏ Ï×ÏÒÏÔ ÎÁ ÕÇÏÌ . ìÅÍÍÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ. æÁËÔÉÞÅÓËÉ ÍÙ ÄÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÓÏÈÒÁÎÑÀÝÅÅ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÀ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÂÏ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÍ ÅÒÅÎÏÓÏÍ, ÌÉÂÏ Ï×ÏÒÏÔÏÍ. üÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÅÏÒÅÍÏÊ ûÁÌÑ. ðÅÒÅÊÄÅÍ ÔÅÅÒØ Ë ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ. éÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÒÉ Ï×ÏÒÏÔÅ ÎÁ ÕÇÏÌ 120◦ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÏÞËÉ M ×ÅÒÛÉÎÁ A ÅÒÅÈÏÄÉÔ × −→ B , Á ó × D. úÎÁÞÉÔ, ÒÉ ÜÔÏÍ Ï×ÏÒÏÔÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÙÊ ÏÔÒÅÚÏË AC ÅÒÅÈÏÄÉÔ × −−→ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÙÊ ÏÔÒÅÚÏË BD, ÏÜÔÏÍÕ ÉÈ ÄÌÉÎÙ ÒÁ×ÎÙ, Á ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ÒÁ×ÅÎ −→ −−→ 120◦. úÎÁÞÉÔ, ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÙÍÉ ÏÔÒÅÚËÁÍÉ AC É DB ÒÁ×ÅÎ 60◦. óÏÇÌÁÓÎÏ ÌÅÍÍÅ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÏÞËÁ N , ÒÉ Ï×ÏÒÏÔÅ ×ÏËÒÕÇ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁ 60◦ ÔÏÞËÁ A ÅÒÅÊÄÅÔ × D, Á C × B . ïÎÁ É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÓËÏÍÏÊ. 8. Á) ðÑÔØ ËÁÒÔ ÍÏÖÎÏ ×ÙÌÏÖÉÔØ × ÒÁÚÌÉÞÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ 120 ÓÏÓÏÂÁÍÉ, Á ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ËÁÒÔ, ÉÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÕÖÎÏ ÏÔÇÁÄÁÔØ ÚÁËÒÙÔÕÀ, ÒÁ×ÎÏ 48. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÊÔÉ ÓÏÓÏ ÚÁËÏÄÉÒÏ×ÁÔØ ÚÁËÒÙÔÕÀ ËÁÒÔÕ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÒÑÄËÁ ×ÙËÌÁÄÙ×ÁÎÉÑ ÑÔÉ ËÁÒÔ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, ÆÏËÕÓÎÉËÉ ÄÏÇÏ×ÁÒÉ×ÁÀÔÓÑ Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÉÉ Ï ËÁËÏÍÕ-ÌÉÂÏ ÒÁ×ÉÌÕ ×ÓÅÈ ËÁÒÔ ËÏÌÏÄÙ, ÒÉ ÜÔÏÍ ËÁÖÄÁÑ ËÁÒÔÁ ÏÌÕÞÉÔ ÎÏÍÅÒ ÏÔ 1 ÄÏ 52. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÏÎÉ ÎÕÍÅÒÕÀÔ ×ÓÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÉÚ ÑÔÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÞÉÓÌÁÍÉ ÏÔ 1 ÄÏ 120.

éÚÂÒÁÎÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÊ 1998 ÇÏÄÁ × íÏÓË×Å

223

ðÕÓÔØ ÅÒ×ÙÊ ÆÏËÕÓÎÉË ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÏÄÎÕ ÉÚ ÑÔÉ ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ËÁÒÔ (ËÏÔÏÒÕÀ ÏÎ ÏÓÔÁ×ÉÔ ÚÁËÒÙÔÏÊ) É ÎÁÈÏÄÉÔ ÅÅ ÎÏÍÅÒ N . óÏÏÓÔÁ×É× ÏÓÔÁ×ÛÉÍÓÑ ÞÅÔÙÒÅÍ ËÁÒÔÁÍ ÉÆÒÙ 1, 2, 3 É 4 Ï ÓÔÁÒÛÉÎÓÔ×Õ, Á ÚÁËÒÙÔÏÊ ËÁÒÔÅ | ÉÆÒÕ 5, ÏÎ ×ÙËÌÁÄÙ×ÁÅÔ ÉÈ × ÏÒÑÄËÅ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÍ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÅ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ N . ÷ÔÏÒÏÊ ×ÉÄÉÔ ÏÒÑÄÏË ×ÙËÌÁÄÙ×ÁÎÉÑ ËÁÒÔ É ÏÜÔÏÍÕ ÍÏÖÅÔ ÏÔÇÁÄÁÔØ ÚÁËÒÙÔÕÀ ËÁÒÔÕ. Â) åÓÌÉ ÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÔØ ÔÁË ÖÅ, ËÁË É × ÕÎËÔÅ Á) | ÙÔÁÔØÓÑ ÚÁËÏÄÉÒÏ×ÁÔØ ÎÏÍÅÒ ÚÁËÒÙÔÏÊ ËÁÒÔÙ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÒÑÄËÁ ×ÙËÌÁÄÙ×ÁÎÉÑ ÞÅÔÙÒÅÈ ËÁÒÔ, ÔÏ ÜÔÏÇÏ ÎÅ ÏÌÕÞÉÔÓÑ: ÚÁËÒÙÔÏÊ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÏÄÎÁ ÉÚ 48 ËÁÒÔ, Á ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÏÓÏÂÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÇÏ ×ÙËÌÁÄÙ×ÁÎÉÑ ÞÅÔÙÒÅÈ ËÁÒÔ ×ÓÅÇÏ 24. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÏÔ×ÅÔ É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÆÏËÕÓÎÉËÁÍ ÎÕÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÔÏ, ÞÔÏ ×ÙÂÏÒ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÑÔÉ ËÁÒÔ, ËÏÔÏÒÕÀ ÎÕÖÎÏ ÂÕÄÅÔ ÏÔÇÁÄÙ×ÁÔØ, ÔÏÖÅ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ × ÉÈ ÒÕËÁÈ. ïÑÔØ ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ ËÁÒÔÙ × ËÏÌÏÄÅ É ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÒÏÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÙ. ðÕÓÔØ ÅÒ×ÙÊ ÆÏËÕÓÎÉË ÏÌÕÞÁÅÔ ÑÔØ ËÁÒÔ, ÎÏÍÅÒÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÎÙ a1 , a2 , a3 , a4 É a5 (× ÏÒÑÄËÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÑ). åÓÌÉ a5 − a4 6 24, ÔÏ ÏÎ ÏÔËÌÁÄÙ×ÁÅÔ ÓÔÁÒÛÕÀ ËÁÒÔÕ (Ó ÎÏÍÅÒÏÍ a5 ) É ×ÙËÌÁÄÙ×ÁÅÔ ÏÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ ÞÅÔÙÒÅ × ÏÒÑÄËÅ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÍ ÞÉÓÌÕ a5 − a4 . åÓÌÉ ÖÅ a5 − a4 > 25, ÔÏ ÔÏÇÄÁ a5 − a1 > 28, ÏÜÔÏÍÕ 52 + a1 − a5 6 24. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÅÒ×ÙÊ ÆÏËÕÓÎÉË ÏÔËÌÁÄÙ×ÁÅÔ ÍÌÁÄÛÕÀ ËÁÒÔÕ (Ó ÎÏÍÅÒÏÍ a1 ) É ×ÙËÌÁÄÙ×ÁÅÔ ÞÅÔ×ÅÒËÕ ËÁÒÔ × ÏÒÑÄËÅ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÍ ÞÉÓÌÕ 52 + a1 − a5 . ÅÅÒØ ×ÔÏÒÏÍÕ ÆÏËÕÓÎÉËÕ, ÞÔÏÂÙ ÕÚÎÁÔØ ÎÏÍÅÒ ÚÁËÒÙÔÏÊ ËÁÒÔÙ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ Ë ÎÏÍÅÒÕ ËÁÒÔÙ, ÓÔÁÒÛÅÊ × ×ÙÌÏÖÅÎÎÏÊ ÞÅÔ×ÅÒËÅ, ÒÉÂÁ×ÉÔØ ÎÏÍÅÒ ×ÙÌÏÖÅÎÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ É, ÅÓÌÉ ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÂÏÌØÛÅ 52, ×ÙÞÅÓÔØ 52. 9. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÀ. ÷ÏÚØÍÅÍ ÎÁÂÏÒ ËÕÂÉËÏ× É ÂÕÄÅÍ ÓÔÒÏÉÔØ ÉÚ ÎÉÈ €ÂÁÛÅÎËɁ | ÓÔÏÌ ٠×ÙÓÏÔÏÊ a1 , a2 , . . . , an (ÒÉÓ. 5). ðÏÓÞÉÔÁÅÍ Ä×ÕÍÑ ÓÏÓÏÂÁÍÉ, ÓËÏÌØËÏ ËÕÂÉËÏ× ÎÁÍ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÏÎÁÄÏÂÉÔÓÑ. óÞÉÔÁÑ Ï ÓÔÏÌ ÁÍ, ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ËÕÂÉËÏ× ÒÁ×ÎÏ ÓÕÍÍÅ ÞÉÓÅÌ ÅÒ×ÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ. äÒÕÇÏÊ ÓÏÓÏ ÏÄÓÞÅÔÁ | Ï ÓÌÏÑÍ. ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ËÕÂÉËÏ× × ÅÒ×ÏÍ ÓÌÏÅ (ÓÔÏÑÝÉÈ ÎÁ ÏÌÕ) ÒÁ×ÎÏ b0 = n, × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÓÌÏÅ | b1 , É Ô. Ä., ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ËÕÂÉËÏ× × i-Í ÓÌÏÅ ÒÁ×ÎÏ bi . ðÏÜÔÏÍÕ ÏÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ËÕÂÉËÏ× ÒÁ×ÎÏ ÓÕÍÍÅ ÞÉÓÅÌ ×ÔÏÒÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ. úÎÁÞÉÔ, ÓÕÍÍÙ ÞÉÓÅÌ ÏÂÏÉÈ ÎÁÂÏÒÏ× bk ÓÏ×ÁÄÁÀÔ. .. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÏÈÏÖÁÑ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÑ ÉÓ. ÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÒÉ ××ÅÄÅÎÉÉ ÏÎÑÔÉÑ ÉÎÔÅÇÒÁ- b ::: ÌÁ. þÔÏÂÙ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ ÌÏÝÁÄØ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊ- b1 0 ÎÏÊ ÆÉÇÕÒÙ ÏÄ ÇÒÁÆÉËÏÍ ÆÕÎË ÉÉ (ÉÎÔÅa1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 : : : an ÇÒÁÌ), ÅÅ ÒÉÂÌÉÖÁÀÔ ÓÔÕÅÎÞÁÔÙÍÉ ÆÕÎËòÉÓ. 5. ÉÑÍÉ, ÇÒÁÆÉËÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏÓÔÏÑÔ ÉÚ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÙÈ ÏÔÒÅÚËÏ×. ðÌÏÝÁÄØ ÆÉÇÕÒÙ ÏÄ ÓÔÕÅÎÞÁÔÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ (ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÕÀ ÓÕÍÍÕ) ÍÏÖÎÏ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ Ä×ÕÍÑ ÓÏÓÏÂÁÍÉ, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÍ × ÒÅÛÅÎÉÉ ÓÏÓÏÂÁÍ ÏÄÓÞÅÔÁ ÞÉÓÌÁ ËÕÂÉËÏ×. ðÏÌÕÞÁÅÍÙÅ ÒÅÄÅÌÙ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÈ ÓÕÍÍ × ÜÔÉÈ Ä×ÕÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ òÉÍÁÎÁ É ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ìÅÂÅÇÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. 10. íÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÍÏÎÅÔ × ÇÒÏÛÁÈ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÉÍÅÀÔ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÏÂÝÉÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ d > 1, ÔÏ ÄÅÎÏÍÉÎÉÒÕÅÍ

224

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

ÇÒÏÛ, ÒÉÒÁ×ÎÑ× ÏÄÉÎ ÎÏ×ÙÊ Ë d ÓÔÁÒÙÍ. ÏÇÄÁ ×ÓÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞÉ Ï-ÒÅÖÎÅÍÕ ×ÙÏÌÎÅÎÙ, ÎÏ ÎÏ×ÙÅ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÍÏÎÅÔ ÂÕÄÕÔ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÍÉ. ðÕÓÔØ n ÒÁÚÂÏÊÎÉËÏ× ÏÔÎÑÌÉ m ÍÏÎÅÔ ÎÁ ÏÂÝÕÀ ÓÕÍÍÕ × g ÇÒÏÛÅÊ. ÁË ËÁË ÒÉ ×ÙÞÉÔÁÎÉÉ ÉÚ g ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÌÀÂÏÊ ÍÏÎÅÔÙ ÏÌÕÞÉÍ ÞÉÓÌÏ, ËÒÁÔÎÏÅ n, ÔÏ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ×ÓÅÈ ÍÏÎÅÔ ÄÁÀÔ ÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ ÎÁ n ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÏÓÔÁÔÏË r. ÁË ËÁË ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÉÚ m − 1 ÍÏÎÅÔÙ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ n, ÔÏ (m − 1)r ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ n. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, r É n ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙ, ÏÓËÏÌØËÕ ÌÀÂÏÊ ÉÈ ÏÂÝÉÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÝÉÍ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ×ÓÅÈ ÍÏÎÅÔ. ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ m − 1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ n. 11. ïÔ×ÅÔ: ÎÅ ÍÏÖÅÔ. ′ ðÅÒ×ÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÊ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄ P , ÌÅÖÁÝÉÊ ×ÎÕÔÒÉ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÇÏ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ P . ï ÅÎÉÍ Ä×ÕÍÑ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ÓÕÍÍÕ l ÄÌÉÎ ÒÏÅË ÉÊ ÔÒÅÈ ×ÚÁÉÍÎÏ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÈ ÒÅÂÅÒ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ P ′ ÎÁ ÔÒÉ ÒÑÍÙÈ, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÒÅÂÒÁÍ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ P . ó ÏÄÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÓÕÍÍÁ ÒÏÅË ÉÊ ÔÒÅÈ ×ÚÁÉÍÎÏ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÈ ÒÅÂÅÒ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ P ′ ÎÁ ÌÀÂÏÅ ÒÅÂÒÏ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ P ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÄÌÉÎÙ ÜÔÏÇÏ ÒÅÂÒÁ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÒÏÅË ÉÑ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÇÏ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ ÎÁ ÌÀÂÏÅ ÒÅÂÒÏ ×ÎÅÛÎÅÇÏ ÅÓÔØ ÏÔÒÅÚÏË, ËÏÎ Ù ËÏÔÏÒÏÇÏ | ÜÔÏ ÒÏÅË ÉÉ Ä×ÕÈ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ. ïÔ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÎÉÈ ÄÏ ÄÒÕÇÏÊ ÍÏÖÎÏ ÒÏÊÔÉ Ï ÔÒÅÍ ×ÚÁÉÍÎÏ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÍ ÒÅÂÒÁÍ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÁÑ ÒÏÅË ÉÑ ÒÁ×ÎÁ ÓÕÍÍÅ ÒÏÅË ÉÊ ÜÔÉÈ ÔÒÅÈ ÒÅÂÅÒ, ÏÎÁ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÎÅ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÄÌÉÎÁ ÒÅÂÒÁ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÅ ÍÙ ÒÏÅ ÉÒÕÅÍ. úÎÁÞÉÔ, l ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÒÁÚÍÅÒÁ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ P . ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÄÌÉÎÁ ÌÀÂÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÓÕÍÍÙ ÅÇÏ ÒÏÅË ÉÊ ÎÁ ÔÒÉ ×ÚÁÉÍÎÏ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÁÚÍÅÒ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ P ′ ÎÅ ÂÏÌØÛÅ l. éÔÁË, ÒÁÚÍÅÒ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÇÏ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ ÎÅ ÂÏÌØÛÅ ÒÁÚÍÅÒÁ ×ÎÅÛÎÅÇÏ. ÷ÔÏÒÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. óÎÁÞÁÌÁ ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÌÏÝÁÄØ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÇÏ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ ÎÅ ÂÏÌØÛÅ ÌÏÝÁÄÉ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ×ÎÅÛÎÅÇÏ. ðÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÅ ÎÉÖÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÇÏÄÉÔÓÑ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏÓÑ ×ÎÕÔÒÉ ÄÒÕÇÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ. îÁÄÅÎÅÍ ÎÁ ËÁÖÄÕÀ ÇÒÁÎØ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ €ÛÁËՁ. ûÁËÏÊ ÍÙ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÌÕÞÅÊ Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÎÁ ÇÒÁÎÉ, ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÈ ÅÊ É ÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÙÈ ÎÁÒÕÖÕ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÛÁËÁ | ÜÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË, ÒÏÅË ÉÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ ÇÒÁÎÉ ÌÅÖÁÔ ×ÎÕÔÒÉ ÇÒÁÎÉ É ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ Ï ÄÒÕÇÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ ÏÔ ÜÔÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÞÅÍ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË. éÚ ×ÙÕËÌÏÓÔÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÔÏÞËÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÌÅÖÉÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ, ÞÅÍ × ÏÄÎÏÊ ÛÁËÅ. ëÕÓËÉ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ×ÎÅÛÎÅÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ, ÏÁ×ÛÉÅ ×ÎÕÔÒØ ËÁÖÄÏÊ ÛÁËÉ, ÓÒÏÅ ÉÒÕÅÍ ÎÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÇÒÁÎØ. éÈ ÌÏÝÁÄØ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÌÏÝÁÄÉ ÜÔÏÊ ÇÒÁÎÉ, ÔÁË ËÁË ÒÏÅË ÉÉ ÏËÒÏÀÔ ×ÓÀ ÇÒÁÎØ, Á ÒÉ ÒÏÅ ÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÌÏÝÁÄØ ÎÅ Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÅÔÓÑ. ðÒÏÓÕÍÍÉÒÏ×Á× ÜÔÉ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÇÒÁÎÅÊ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ, ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÌÏÝÁÄØ ÅÇÏ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÌÏÝÁÄÉ ÞÁÓÔÉ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ×ÎÅÛÎÅÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ, ÏÁ×ÛÅÊ ×ÎÕÔÒØ ÛÁÏË, ËÏÔÏÒÁÑ, × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ, ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÌÏÝÁÄÉ ×ÓÅÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ×ÎÅÛÎÅÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ. ðÕÓÔØ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÊ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄ Ó ÒÅÂÒÁÍÉ a′ , b′ É ′ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ×ÎÕÔÒÉ

éÚÂÒÁÎÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÊ 1998 ÇÏÄÁ × íÏÓË×Å

225

ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÇÏ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ Ó ÒÅÂÒÁÍÉ a, b É . ÏÇÄÁ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÍÕ 2(a′ b′ + a′ ′ + b′ ′ ) 6 2(ab + a + b ): ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÄÉÁÍÅÔÒ (Ô. Å. ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÕÄÁÌÅÎÎÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ) ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÇÏ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÄÉÁÍÅÔÒÁ ×ÎÅÛÎÅÇÏ. äÉÁÍÅÔÒÏÍ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÇÏ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÌÉÎÁ ÅÇÏ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ, ÏÜÔÏÍÕ, ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÙ ÄÉÁÇÏÎÁÌÅÊ, ÉÍÅÅÍ a′ 2 + b′ 2 + ′ 2 6 a2 + b2 + 2 : óÌÏÖÉ× ÜÔÉ Ä×Á ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, ÏÌÕÞÁÅÍ (a′ + b′ + ′ )2 6 (a + b + )2 : úÎÁÞÉÔ, a′ + b′ + ′ 6 a + b + . ÒÅÔØÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. îÁÚÏ×ÅÍ "-ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØÀ ÆÉÇÕÒÙ F ÆÉÇÕÒÕ F" , ÓÏÓÔÏÑÝÕÀ ÉÚ ÔÏÞÅË, ÏÔÓÔÏÑÝÉÈ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÎÅ ÂÏÌØÛÅ " ÏÔ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÆÉÇÕÒÙ F (× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, F0 = F ). ìÀÂÁÑ ÔÏÞËÁ M ÉÚ "-ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ P" ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P ÉÍÅÅÔ ÏÄÉÎ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÞÅÔÙÒÅÈ ÔÉÏ× × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÔÏÇÏ, ËÁËÏÅ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ: . M ÌÅÖÉÔ ×ÎÕÔÒÉ P ;

. ÂÌÉÖÁÊÛÁÑ Ë M ÔÏÞËÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÅÇÏ ÇÒÁÎÉ; . ÂÌÉÖÁÊÛÁÑ Ë M ÔÏÞËÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÅÇÏ ÒÅÂÒÕ; . ÂÌÉÖÁÊÛÁÑ Ë M ÔÏÞËÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÏÊ. îÁÊÄÅÍ ÏÂßÅÍ vol P" "-ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ P" ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÇÏ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ P Ó ÒÅÂÒÁÍÉ a, b É . äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÁÚÒÅÖÅÍ ÅÇÏ ÎÁ ÞÅÔÙÒÅ ÞÁÓÔÉ P 0 , P 1 , P 2 É P 3 , Ñ×ÌÑÀÝÉÈÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÔÏÞÅË ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ×ÙÛÅ ÔÉÏ× ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ïÂßÅÍ P 0 ÒÁ×ÅÎ ab . P 1 ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÛÅÓÔÉ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÈ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÏ×, ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ËÏÔÏÒÙÈ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÇÒÁÎÑÍÉ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ P , Á ×ÙÓÏÔÙ ÒÁ×ÎÙ ", ÏÜÔÏÍÕ vol P 1 = 2(ab + a + b )". P 2 | ÜÔÏ Ä×ÅÎÁÄ ÁÔØ €ÞÅÔ×ÅÒÔÕÛÅˁ ÉÌÉÎÄÒÏ× ÒÁÄÉÕÓÁ ", ×ÙÓÏÔÙ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÕÔØ ÒÅÂÒÁ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ. úÎÁÞÉÔ, vol P 2 = (a + b + )"2 . P 3 | ÜÔÏ ×ÏÓÅÍØ €ÏÓØÍÕÛÅˁ ÛÁÒÁ ÒÁÄÉÕÓÁ " (ËÁÖÄÁÑ €ÏÓØÍÕÛËÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÏËÔÁÎÔÁ Ó ×ÅÒÛÉÎÏÊ × ×ÅÒÛÉÎÅ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ É ÛÁÒÁ ÒÁÄÉÕÓÁ " Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÎÅÊ ÖÅ). ðÏÜÔÏÍÕ vol P 3 = "3 | ÜÔÏ ÏÂßÅÍ ÛÁÒÁ ÒÁÄÉÕÓÁ ". ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÉÍÅÅÍ vol P" = "3 + (a + b + )"2 + 2(ab + a + b )" + ab : 4

3

4 3

åÓÌÉ F ⊂ F , ÔÏ F"′ ⊂ F" ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ". ðÕÓÔØ P | ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÊ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄ Ó ÒÅÂÒÁÍÉ a, b É , Á P ′ | ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊÓÑ × ÎÅÍ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÊ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄ Ó ÒÅÂÒÁÍÉ a′ , b′ É ′ . ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ " ÆÉÇÕÒÁ P"′ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ×ÎÕÔÒÉ P" , É ÏÜÔÏÍÕ vol P"′ 6 vol P" . ïÂÅ ÞÁÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÔÒÅÔØÅÊ ÓÔÅÅÎÉ ÏÔ " Ó ÒÁ×ÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÒÉ ÓÔÁÒÛÅÍ ÞÌÅÎÅ. úÎÁÞÉÔ, ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ "2 × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÎÅ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ "2 × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ a′ + b′ + ′ 6 a + b + , Ô. Å. ÒÁÚÍÅÒ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ P ′ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÒÁÚÍÅÒÁ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ P . ′

226

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÄÒÏÂÎÏ-ÌÉÎÅÊÎÁÑ + b (Ô. Å. ÉÍÅÀÝÁÑ ×ÉÄ f (x) = ax

x + d ) ÆÕÎË ÉÑ, ÎÅ Ñ×ÌÑÀÝÁÑÓÑ ËÏÎÓÔÁÎÔÏÊ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÆÕÎË ÉÊ Ä×ÕÈ ÅÒ×ÙÈ ×ÉÄÏ× (ÌÉÎÅÊÎÙÈ É ×ÚÑÔÉÑ ÏÂÒÁÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ). åÓÌÉ = 0, ÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ (ÆÕÎË ÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ). åÓÌÉ ad = b , ÔÏ ÆÕÎË ÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎÓÔÁÎÔÏÊ. ÷ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ 12. ðÅÒ×ÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ.

ax + b = f (f (f (x))); 1 2 3

x + d

2 t + d . ÇÄÅ f1 (t) = t + a , f2 (t) = t−1 , f3 (t) = b − ad b − ad

ïÂÒÁÔÎÏ, ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÌÀÂÏÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ É ×ÚÑÔÉÑ ÏÂÒÁÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÒÏÂÎÏ-ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÓÁÍÉ Ï ÓÅÂÅ ÜÔÉ ÆÕÎË ÉÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÄÒÏÂÎÏ-ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ, É ÉÈ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ Ó ÌÀÂÏÊ ÄÒÏÂÎÏÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÒÏÂÎÏ-ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ. äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ 2) ⇒ 1). ðÕÓÔØ ÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f (x) ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÁ × ×ÉÄÅ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ, ×ÚÑÔÉÑ ÏÂÒÁÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ É ×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÑ × Ë×ÁÄÒÁÔ. ÁË ËÁË f (x) ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÒÏÂÎÏ-ÌÉÎÅÊÎÏÊ, ÔÏ ×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÅ × Ë×ÁÄÒÁÔ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ. ðÏÓËÏÌØËÕ Ë×ÁÄÒÁÔ ÆÕÎË ÉÉ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÔÏÌØËÏ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÎÔÅÒ×ÁÌ, Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÒÉÓÕÔÓÔ×ÉÅ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ, Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ, ÓÏÈÒÁÎÑÅÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÍÙ ÒÉÍÅÎÑÅÍ Ë ÎÅÊ ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ ÉÌÉ ×ÚÑÔÉÅ ÏÂÒÁÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ. ÅÅÒØ ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ 1) ⇒ 2). ðÕÓÔØ ÉÍÅÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑ f (x), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÉÎÔÅÒ×ÁÌ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÊ. ïÑÔØ ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ f (x) 6= onst. æÕÎË ÉÅÊ, ÏÂÒÁÔÎÏÊ Ë '(t) = t−1 , Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÎÁ ÓÁÍÁ, Á ÏÂÒÁÔÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ Ë ÌÉÎÅÊÎÏÊ (ÎÏ ÎÅ Ñ×ÌÑÀÝÅÊÓÑ ËÏÎÓÔÁÎÔÏÊ) | ÔÏÖÅ ÌÉÎÅÊÎÁÑ. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ Ë×ÁÄÒÁÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÄÒÏÂÎÏ-ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ËÁË ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ É ×ÚÑÔÉÊ ÏÂÒÁÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ Ó ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ f (x). ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ×ÙÞÉÔÁÅÍ ÉÚ f (x) ÅÄÉÎÉ Õ É ÏÂÒÁÝÁÅÍ ÄÒÏÂØ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÆÕÎË2 + x + d ÉÀ ×ÉÄÁ x px . äÁÌÅÅ, ÅÓÌÉ p = 0, ÔÏ ÒÉÍÅÎÑÅÍ ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ qt+ + q +

 2

4

−d



2

É ÏÌÕÞÁÅÍ ÏÌÎÙÊ Ë×ÁÄÒÁÔ x + 2 . åÓÌÉ ÖÅ p 6= 0, ÔÏ ÄÅÌÁÅÍ ÌÉ

2

ÎÅÊÎÕÀ ÚÁÍÅÎÕ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x′ = x + pq É ÏÌÕÞÁÅÍ x + rx′ + s . ðÒÉ ÜÔÏÍ s 6= 0, px ÔÁË ËÁË Ï ÕÓÌÏ×ÉÀ ÞÉÓÌÉÔÅÌØ É ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÉÈ ËÏÒÎÅÊ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ä×Á ÓÌÕÞÁÑ. p r ðÅÒ×ÙÊ ÓÌÕÞÁÊ: s > 0, ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ s = u2 . ðÒÉÍÅÎÉÍ ÆÕÎË ÉÀ t − u u ′



′ É ÓÄÅÌÁÅÍ ÎÏ×ÕÀ ÚÁÍÅÎÕ x′′ = xu . ðÏÌÕÞÉÍ

x′′ 2 + 1 = x′′

÷ÔÏÒÏÊ ÓÌÕÞÁÊ:

4



2

x′′ − 1

+1

2

+ 2: −1

′′ 2 s < 0. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÆÕÎË ÉÀ x ′′− . îÅÏÓÒÅÄ-

x

1

éÚÂÒÁÎÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÊ 1998 ÇÏÄÁ × íÏÓË×Å

227

2

ÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÏ×ÅÒÑÅÍ, ÞÔÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ  ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ x ′′− 1 =  ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ. x úÎÁÞÉÔ, ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ, Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ. ÷ÔÏÒÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. äÏËÁÖÅÍ ÔÏÌØËÏ ÉÍÌÉËÁ ÉÀ 1) ⇒ 2). äÌÑ ÎÁÞÁÌÁ Ó×ÅÄÅÍ ÚÁÄÁÞÕ Ë ÓÌÕÞÁÀ, ËÏÇÄÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ f (x) ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÕÓÔØ f (x) ÎÅ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÉÚ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ −1 x + x2 1 ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ Ó×ÅÒÈÕ ÞÉÓÌÏÍ (x1 ; x2 ), ÔÏÇÄÁ ÆÕÎË ÉÑ g(x) = f (x) − 2 ′′

x2 − x1 . 2

äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÞÅÔÙÒÅ ÔÏÞËÉ Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ (a; b), ( ; d), (a′ ; b′ ) É ( ′ ; d′ )  2 2 ′ ′ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ, ÔÏ x2 + ax + b = ' x2 + a′ x + b′ , ÇÄÅ ' | ÄÒÏÂÎÏx + x + d x + x+d ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, a = a′ + (1 − ) ′ ; b = b′ + (1 − )d′ ;

= a′ + (1 −  ) ′ ; d = b′ + (1 −  )d′ ; ÏÔËÕÄÁ 2 ′ ′  x2 + a′ x + b′ + (1 − ) 2 x + ax + b = x + x + d : x2 + x + d  x2 + a′x + b′ + (1 −  ) x2 + ′ x + d′ 2 ðÕÓÔØ f (x) = x2 + ax + b | ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ x + x + d

ÕÓÌÏ×ÉÀ 1). éÚ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÓÔÉ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ ÎÅ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÊ ÔÒÅÈÞÌÅÎ ÉÍÅÅÔ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÊ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ ( 2 < 4d). üÔÏ ÚÎÁÞÉÔ, ÞÔÏ ÔÏÞËÁ ( ; d) ÌÅÖÉÔ €×ÎÕÔÒɁ ÁÒÁÂÏÌÙ y = x2 =4. ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÎÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÒÑÍÕÀ, ÒÏÈÏÄÑÝÕÀ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ (a; b) É ( ; d). ïÎÁ ÄÏÌÖÎÁ ÅÒÅÓÅÞØ ÁÒÁÂÏÌÕ; ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ (a′ ; b′ ) É ( ′ ; d′ ). ÏÇÄÁ Ï ÄÏËÁÚÁÎÎÏÍÕ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ f (x) ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÄÒÏÂÎÏ-ÌÉÎÅÊÎÏÊ 2 ′ ′ ÆÕÎË ÉÉ ÏÔ x2 + a′ x + b′ , Á ÏÓÌÅÄÎÑÑ ÄÒÏÂØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ ÄÒÏÂÎÏ-ÌÉÎÅÊx + x+d ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ, ÔÁË ËÁË É × ÞÉÓÌÉÔÅÌÅ, É × ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÊ ÔÒÅÈÞÌÅÎ Ó ÎÕÌÅ×ÙÍ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔÏÍ. ïÔÄÅÌØÎÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ ÒÏ×ÅÄÅÎÎÁÑ ÒÑÍÁÑ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÁÒÁÂÏÌÕ ÌÉÛØ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ, Ô. Å. Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÊ. ÏÇÄÁ a = , É ÜÔÏÔ ÓÌÕÞÁÊ ÌÅÇËÏ ÒÁÚÂÉÒÁÅÔÓÑ. ÒÅÔØÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. ïÂÌÁÓÔØÀ ÚÎÁÞÅÎÉÊ E (f ) ÆÕÎË ÉÉ f (x) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÌÉÂÏ ×ÓÑ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÁÑ ÒÑÍÁÑ, ÌÉÂÏ ÏÔÒÅÚÏË, ÌÉÂÏ ÌÕÞ, ÌÉÂÏ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÌÕÞÅÊ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, E (f ) | ÜÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ y, ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ x2 + ax + b = y(x2 + x + d) ÉÍÅÅÔ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ËÏÒÎÉ. üÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ ÏÌÕÞÁÀÝÅÇÏÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ x ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌÅÎ, É ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÉÓÁÎÏ × ×ÉÄÅ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ y. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÉÚ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ×ÉÄÏ×. ÷ ÌÀÂÏÍ ÉÚ ÜÔÉÈ ÓÌÕÞÁÅ×, ÒÉÍÅÎÉ× ÄÒÏÂÎÏ-ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÅÒÅ×ÅÓÔÉ ÏÂÌÁÓÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ × ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÕÀ ÏÌÕÏÓØ.

228

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ E (f ) = [0; +∞), ÔÏ f (x) ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ Ë×ÁÄÒÁP (x) ÔÁ ÄÒÏÂÎÏ-ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÉÔÅÌØ ÄÒÏÂÉ f (x) = Q (x) ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÒÁÚÎÙÈ ÚÎÁËÏ×. úÎÁÞÉÔ, ÅÇÏ ÇÒÁÆÉË ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÏÓØ ÁÂÓ ÉÓÓ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÞËÅ x0 , Ñ×ÌÑÀÝÅÊÓÑ ÅÇÏ ËÏÒÎÅÍ. ðÏÓËÏÌØËÕ x0 ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÑ, ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ Q(x), Á ÚÎÁÞÉÔ, É ×ÓÑ ÄÒÏÂØ, ÒÉÎÉÍÁÅÔ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ x0 ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÒÁÚÎÙÈ ÚÎÁËÏ×, ÞÔÏ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÒÉÎÑÔÏÍÕ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ Ï ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÒÁÚÎÙÈ ÚÎÁËÏ×. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÞÉÓÌÉÔÅÌØ ÄÏÌÖÅÎ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÎÕÌÅ×ÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ÔÁË ËÁË ÎÕÌØ ×ÈÏÄÉÔ × ÏÂÌÁÓÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÄÒÏÂÉ. úÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ ÔÁËÖÅ ÄÏÌÖÅÎ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÎÕÌÅ×ÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ÔÁË ËÁË × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÄÒÏÂÉ ÂÙÌÉ ÂÙ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÙ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÞÉÓÌÉÔÅÌØ É ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ | Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÅ ÔÒÅÈÞÌÅÎÙ, ÉÈ ÏÂÌÁÓÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÕÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. üÔÏ ÚÎÁÞÉÔ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÏÂÁ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔÁÍÉ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. óÔÒÏÇÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÎÅ ×ÏÌÎÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏ É ÔÒÅÂÕÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÕÔÏÞÎÅÎÉÑ. íÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ × ÒÁ×ÏÊ É ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÑÈ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á



P (x) Q(x)

 −1

=

Q(x) ; P (x)



( )

ÓÔÏÑÔ ÒÁ×ÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ, ÈÏÔÑ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÉÈ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ. þÔÏÂÙ ÉÚÂÅÖÁÔØ ÜÔÏÊ ÒÏÂÌÅÍÙ, ÍÏÖÎÏ ÒÉÎÑÔØ ÏÄÎÏ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÊ: 1) ÓÞÉÔÁÔØ Ä×Å ÆÕÎË ÉÉ ÒÁ×ÎÙÍÉ, ÅÓÌÉ ÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ ÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ ÉÈ ÏÂÌÁÓÔÅÊ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ; ÒÉ ÜÔÏÍ ÄÏÕÓÔÉÔØ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÄÌÑ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ; 2) ÄÏÏÌÎÉÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÅÝÅ ÏÄÎÉÍ €ÞÉÓÌḮ ÒÑÀÝÉÍ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍ

a



= 0 É

a 0

=



(ÒÉ

∞, ÕÄÏ×ÌÅÔ×Ïa= 6 0 ÉÌÉ ∞),

É ÓÞÉÔÁÔØ ×ÓÔÒÅÞÁÀÝÉÅÓÑ × ÚÁÄÁÞÅ ÆÕÎË ÉÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ É ÒÉÎÉÍÁÀÝÉÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ × ÔÁËÏÍ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ; 3) ÓÞÉÔÁÔØ ×ÓÔÒÅÞÁÀÝÉÅÓÑ × ÚÁÄÁÞÅ ÄÒÏÂÉ

P (x) Q(x)

ÎÅ ÆÕÎË ÉÑÍÉ, Á ÆÏÒÍÁÌØÎÙÍÉ

ÚÁÉÓÑÍÉ, ÎÁÄ ËÏÔÏÒÙÍÉ ÍÏÖÎÏ ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔØ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÅÒÁ ÉÉ Ï ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎ-



ÎÙÍ ÒÁ×ÉÌÁÍ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ×ÚÑÔÉÅ ÏÂÒÁÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ( ); ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÆÕÎË ÉÊ ÎÁ ÉÈ ÏÂÝÅÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÌÅÞÅÔ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÚÁÉÓÅÊ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÞÉÓÌÉÔÅÌÑ É ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÑ ÎÁ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ.

ïÔËÌÉËÉ

ó×ÑÚØ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ Ó ÔÅÏÒÉÅÊ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÇÒÕ

â. ò. æÒÅÎËÉÎ ÅÍÏÊ ÅÒ×ÏÇÏ ×ÙÕÓËÁ ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÓÅÒÉÉ ÓÔÁÌÁ ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÚÁÍËÎÕÔÏÓÔÉ ÏÌÑ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ [1, Ó. 30 { 95℄. ëÁË ÏÔÍÅÞÅÎÏ × ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÓÔÁÔÅÊ ÕËÁÚÁÎÎÏÇÏ ×ÙÕÓËÁ, €ËÁÖÄÙÊ ÒÁÚÄÅÌ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÉÍÅÅÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒف [1, Ó. 71, å. á. çÏÒÉÎ €ïÔ ÓÅËÔÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÁÄÉÕÓÁ Ë ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ ÁÌÇÅÂÒف℄. âÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÜÔÉÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ÎÅ ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÏ, ÔÁË ÓËÁÚÁÔØ, ÄÌÑ ÅÒ×ÏÇÏ ÚÎÁËÏÍÓÔ×Á Ó ÔÅÏÒÅÍÏÊ, ÏÓËÏÌØËÕ ÓÁÍÉ ÏÎÉ ÏÉÒÁÀÔÓÑ ÎÁ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ. éÈ ÓÍÙÓÌ × ÄÒÕÇÏÍ: ×ÙÑ×ÉÔØ Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÆÁËÔÁÍÉ, ÎÁ ÅÒ×ÙÊ ×ÚÇÌÑÄ ÄÁÌÅËÉÍÉ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ. ðÏ ÍÅÎØÛÅÊ ÍÅÒÅ Ä×Á ÔÁËÉÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ Ï Ó×ÏÅÊ ÌÏÇÉËÅ, ÍÏÖÎÏ ÒÏ×ÅÓÔÉ É × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÔÅÏÒÉÉ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÇÒÕ. ÅÏÒÅÍÁ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ËÏÒÎÑ Õ ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ Ó ËÏÍÌÅËÓÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ: ÏÌÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÈ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ×ÙÛÅ Ä×ÕÈ. ÷ ÔÁËÏÊ ÆÏÒÍÅ ÍÙ É ÂÕÄÅÍ ÅÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ. ðÕÓÔØ

S | ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ ÏÌÑ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. éÎÙS - ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ËÏÎÅÞÎÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ N > 2,

ÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ,

ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏ ××ÅÄÅÎÁ ÏÅÒÁ ÉÑ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÓÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ:

S ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÄÏÌÅ R, ÉÚÏÍÏÒÆÎÏÅ ÏÌÀ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ R ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÎÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á (É ÏÔÏÍÕ R Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÍ

1) ×ÙÏÌÎÅÎÙ ÁËÓÉÏÍÙ ÏÌÑ; 2) ÞÉÓÅÌ; 3)

ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÙ

× ÓÍÙÓÌÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ

ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ). ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÏÅÒÁ ÉÀ Ó ÔÁËÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÍÏÖÎÏ ××ÅÓÔÉ ÌÉÛØ ÒÉ

N

= 2.

ïÅÒÁ ÉÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ É ×ÚÑÔÉÑ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙ × ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á

S.

þÉÔÁÔÅÌØ ÍÏÖÅÔ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÜÔÏÍ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÓÔØ ÏÅ-

ÒÁ ÉÊ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ×ÅËÔÏÒÏ× É ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ (ÓÍ. ÔÁËÖÅ

S ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÔÏÏG. ïÎÁ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁ, ÏÓËÏÌØËÕ S Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÅÍ. ÷×ÉÄÕ Ó×ÏÊÓÔ×Á 2) × G ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÏÄÇÒÕÁ H , ÉÚÏÍÏÒÆÎÁÑ ÇÒÕÅ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ Ï ÕÍÎÏÖÅÎÉÀ. éÚ Ó×ÏÊÓÔ×Á 3) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ H Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔËÒÙÔÙÍ ÌÕÞÏÍ, ÉÓÈÏÄÑÝÉÍ ÉÚ ÎÕÌÑ. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÄÇÒÕÁ H ÚÁÍËÎÕÔÁ × G É ÆÁËÔÏÒÇÒÕÁ F = G=H Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÊ ÇÒÕÏÊ. ïÎÁ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁ É ÒÉ ÜÔÏÍ

äÏÏÌÎÅÎÉÅ × ËÏÎ Å ÚÁÍÅÔËÉ). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÌÏÇÉÞÅÓËÕÀ ÇÒÕÕ Ï ÕÍÎÏÖÅÎÉÀ

230

â. ò. æÒÅÎËÉÎ

ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÁ ÓÆÅÒÅ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÛØ ÒÉ

N

= 2.

N − 1. îÏ, ËÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÇÒÕÁ Ó ÔÁËÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ

äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÓÆÅÒÁ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ËÏÍÁËÔÎÁ, Ó×ÑÚÎÁ É ÌÏËÁÌØÎÏ Å×ËÌÉÄÏ×Á (Ô. Å. ÌÏËÁÌØÎÏ ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÁ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÍÕ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍÕ ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ). îÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ ÇÒÕÁ Ó ÔÁËÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÇÒÕ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. üÔÏÔ ÆÁËÔ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ ÔÅÏÒÅÍÙ 36 × [2, Ó. 90℄; ÓÍ. ÔÁËÖÅ [3, . 270, ÔÅÏÒÅÍÁ 49℄. åÇÏ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÁÎÁÌÏÇ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÁÂÅÌÅ×ÏÊ ÇÒÕÙ × ÒÑÍÕÀ ÓÕÍÍÕ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÉËÌÉÞÅÓËÉÈ ÇÒÕ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÅÓÌÉ ÎÁ ÓÆÅÒÅ ÚÁÄÁÎÁ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÕÁ, ÔÏ ÓÆÅÒÁ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÒÏÍ. îÏ ÔÏÇÄÁ ÜÔÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ (ÎÁ ÓÆÅÒÅ ÂÏÌØÛÅÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÌÀÂÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÓÔÑÇÉ×ÁÅÔÓÑ × ÔÏÞËÕ, Á ÄÌÑ ÔÏÒÁ ÜÔÏ ÎÅ×ÅÒÎÏ). ëÁË ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÁÑ ×ÙÛÅ ÇÒÕÁ

S ÒÁ×ÎÁ Ä×ÕÍ, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ.

F

ÏÄÎÏÍÅÒÎÁ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á

ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÉ ÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÔÅÏÒÉÉ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÇÒÕ ÎÅ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÏÎÑÔÉÅ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ, ÔÁË ÞÔÏ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÊ ËÒÕÇ × ÉÚÌÏÖÅÎÎÏÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÉ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÅÎ. ÷ÏÌÎÅ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÔÕÉ ÉÉ, ÞÔÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÎÁ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÑ ÏÌÑ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÉÚ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÎÁ ÔÏÏÌÏÇÉÀ ÉÈ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÙÈ ÇÒÕ. îÏ ÏÓÌÅÄÎÉÊ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÛÁÇ (ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÓÆÅÒÙ Ó ÔÏÒÏÍ) ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅÍ, ËÏÔÏÒÏÅ ×ÙÑ×ÌÑÅÔ ÅÝÅ ÏÄÎÕ ÉÎÔÅÒÅÓÎÕÀ ÁÎÁÌÏÇÉÀ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ

F

Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ÏÄÎÏÊ ÇÒÕÙ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ.

ÏÇÄÁ ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÎÉÈ ÓÏÄÅÒÖÉÔ Ä×Á Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÈ ËÏÒÎÑ ÉÚ ÅÄÉÎÉ Ù. îÏ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ

F ÔÁËÉÈ ËÏÒÎÅÊ ÂÏÌÅÅ Ä×ÕÈ. r - ÌÀÂÏÊ ÉÚ ÎÉÈ, s - ÅÇÏ ÒÏÏÂÒÁÚ × G. ÏÇÄÁ s2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÏÄÇÒÕÙ H , É ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÉÔØ Ó ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ. òÁÚÄÅÌÉÍ s ÎÁ ÜÔÉÈ ÇÒÕ ÓÏÓÔÏÉÔ ÔÏÌØËÏ ÉÚ ÅÄÉÎÉ Ù, ÏÜÔÏÍÕ ×ÓÅÇÏ × ðÕÓÔØ

ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÊ ËÏÒÅÎØ ÉÚ ÔÏÇÏ ÖÅ ÞÉÓÌÁ. íÙ ÏÌÕÞÉÍ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÊ ËÏÒÅÎØ ÉÚ ÅÄÉÎÉ Ù ×

G, ËÏÔÏÒÙÊ ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÏÂÒÁÚÏÍ r. ëÁË ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ, × G ÂÏÌÅÅ Ä×ÕÈ

Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ ÉÚ ÅÄÉÎÉ Ù. îÏ × ÏÌÅ ÜÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ. ðÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ (× ËÏÔÏÒÏÍ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ËÏÒÎÉ ÌÀÂÏÊ ÂÏÌØÛÅÊ

ÓÔÅÅÎÉ) ÎÁÏÍÉÎÁÅÔ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï

ÔÏÇÏ ÆÁËÔÁ,

ÞÔÏ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÁÑ

ÇÒÕÁ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÏÌÑ ÉËÌÉÞÎÁ [4, Ó. 144 { 145℄. ÷ ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÅÓÔÏ ÉËÌÉÞÎÏÓÔÉ ÚÁÎÉÍÁÅÔ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÓÔØ, Á ÍÅÓÔÏ ËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ ÏÌÑ - ÅÇÏ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÓÔØ ÎÁÄ ÏÌÅÍ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ É ÒÏÉÓÈÏÄÑÝÁÑ ÏÔÓÀÄÁ ËÏÍÁËÔÎÏÓÔØ ÇÒÕÙ

F . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,

ÏÓÎÏ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÁÌÇÅÂÒÙ Ó×ÑÚÁÎÁ - ÞÅÒÅÚ ÏÓÒÅÄÓÔ×Ï ÔÅÏÒÉÉ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÇÒÕ ÓÏ ÓÔÏÌØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ×ÏÒÏÓÁÍÉ, ËÁË ÔÏÏÌÏÇÉÑ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÊ É ÓÔÒÏÅÎÉÅ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÏÌÅÊ.

äÏÏÌÎÅÎÉÅ. ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á

x



a.

S

îÅÒÅÒÙ×ÎÏÓÔØ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ É ×ÚÑÔÉÑ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ × ÔÏÏÌÏÇÉÉ ÍÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÔÁË. æÉËÓÉÒÕÅÍ ×

ÏÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ

x−a

× ×ÉÄÅ

N P

j =1

S ÂÁÚÉÓ e1 ; : : : ; eN . ðÕÓÔØ a; b ∈ S; j ej , ÇÄÅ j → 0 (j = 1; : : : ; N ). ó

ÕÞÅÔÏÍ Ó×ÏÊÓÔ× 1), 3) É ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ ÏÅÒÁ ÉÊ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á

x − a)b =

(

N X j =1

(

j ej )b =

N X

j =1

j (ej b) → 0:

ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÓÔØ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ.

xi → a 6= 0 ÒÉ i → ∞, ÎÏ x−i 1 ÎÅ ÓÔÒÅÍÑÔÓÑ Ë a−1 . íÁËÓÉÍÕÍ ÍÏÄÕÌÑ Mi . åÓÌÉ Mi ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÙ × ÓÏ×Ï−1 ËÕÎÏÓÔÉ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ xi ÓÔÒÅÍÑÔÓÑ Ë −1 ÎÅËÏÔÏÒÏÍÕ ÒÅÄÅÌÕ b 6= a . äÌÑ ÎÅÅ, Ó ÕÞÅÔÏÍ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÊ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ, ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ

ËÏÏÒÄÉÎÁÔ

x−i 1

× ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ

231

ó×ÑÚØ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ Ó ÔÅÏÒÉÅÊ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÇÒÕ

1 =

xi x−i 1

ab 6= Mi →



ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ

1, ÞÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ. ðÏÜÔÏÍÕ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ,

∞.

õ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×

yi = x−i 1 Mi−1

ÍÁËÓÉÍÕÍ ÍÏÄÕ-

ÌÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÒÁ×ÅÎ 1, É ÉÚ ÎÉÈ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÓÈÏÄÑÝÕÀÓÑ Ë ÎÅËÏÔÏÒÏÍÕ ÒÅÄÅÌÕ

6= 0.

äÌÑ ÎÅÅ 0 =

lim

i→∞

Mi−1

=

lim

i→∞

xi yi

=

a

6=

0. ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ

ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ × ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ ×ÚÑÔÉÅ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ | ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÏÅÒÁ ÉÑ. á×ÔÏÒ ÒÉÚÎÁÔÅÌÅÎ í. î. ÷ÑÌÏÍÕ ÚÁ ÏÌÅÚÎÏÅ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÅ.

óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ [1℄

íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ. ÒÅÔØÑ ÓÅÒÉÑ, ×ÙÕÓË I. // í.: íãîíï, 1997.

[2℄

íÏÒÒÉÓ ó. ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ðÏÎÔÒÑÇÉÎÁ É ÓÔÒÏÅÎÉÅ ÌÏËÁÌØÎÏ ËÏÍÁËÔÎÙÈ ÁÂÅÌÅ×ÙÈ ÇÒÕ. í.: íÉÒ, 1980.

[3℄

ðÏÎÔÒÑÇÉÎ ì.ó. îÅÒÅÒÙ×ÎÙÅ ÇÒÕÙ. í.: îÁÕËÁ, 1973.

[4℄

ìÅÎÇ ó. áÌÇÅÂÒÁ. í.: íÉÒ, 1968.

úÁÄÁÞÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ

÷ ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ×ÎÉÍÁÎÉÀ ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ ÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ ÏÄÂÏÒËÁ ÚÁÄÁÞ ÒÁÚÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ, × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ ÔÒÕÄÎÙÈ. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÜÔÉÈ ÚÁÄÁÞ (ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÓÁÍÙÅ ÓÌÏÖÎÙÅ!) ÔÒÅÂÕÀÔ ÚÎÁÎÉÑ €ÎÅÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏʁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ | ÁÎÁÌÉÚÁ, ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ É Ô. . óÏÓÔÁ×ÉÔÅÌÑÍ ÜÔÏÊ ÏÄÂÏÒËÉ ËÁÖÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÒÅÄÌÁÇÁÅÍÙÅ ÎÉÖÅ ÚÁÄÁÞÉ ÏËÁÖÕÔÓÑ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÍÉ ËÁË ÄÌÑ ÓÉÌØÎÙÈ ÛËÏÌØÎÉËÏ×, ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÝÉÈÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ, ÔÁË É ÄÌÑ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×-ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×. ðÏÍÉÍÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ, × ×ÙÓÛÅÊ ÓÔÅÅÎÉ ÏÌÅÚÎÏ ÕÒÁÖÎÑÔØÓÑ × ÉÚÌÏÖÅÎÉÉ ÒÅ-

ÛÅÎÉÊ. íÙ ÓÏ×ÅÔÕÅÍ ×ÓÅÍ, ÒÅÛÉ×ÛÉÍ ËÁËÕÀ-ÌÉÂÏ ÉÚ ÚÁÄÁÞ, ÏÓÔÁÒÁÔØÓÑ ÚÁÉÓÁÔØ Å£ ÒÅÛÅÎÉÅ × ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ÒÏÓÔÏÍ É ÏÎÑÔÎÏÍ ×ÉÄÅ É ÒÉÓÌÁÔØ × ÒÅÄÁË ÉÀ. ÷ ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÎÏÍÅÒÁÈ ÍÙ ÏÕÂÌÉËÕÅÍ ÓÁÍÙÅ ÉÚÑÝÎÙÅ ÉÚ ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÎÁÍ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ Á×ÔÏÒÙ ÄÁÌÅËÏ ÎÅ ×ÓÅÈ ÒÅÄÌÁÇÁÅÍÙÈ ÎÉÖÅ ÚÁÄÁÞ. íÎÏÇÉÅ ÉÚ ÎÉÈ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÄÅÓÑÔÉÌÅÔÉÑÍÉ É ÓÔÁÌÉ ÞÁÓÔØÀ €ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÆÏÌØËÌÏÒÁ. ïÄÎÁ ÉÚ ÅÌÅÊ, ÒÅÓÌÅÄÕÅÍÙÈ ÓÏÓÔÁ×ÉÔÅÌÑÍÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÁÚÄÅÌÁ, | ÚÁÉÓÁÔØ ÜÔÏÔ €ÆÏÌØËÌÏҁ, ÍÎÏÇÉÅ ÞÁÓÔÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÔÒÅÍÉÔÅÌØÎÏ ÉÓÞÅÚÁÀÔ × ÎÁÛÅ ×ÒÅÍÑ. íÙ ÏÂÒÁÝÁÅÍÓÑ Ó ÒÏÓØÂÏÊ ËÏ ×ÓÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌÑÍ, ÉÍÅÀÝÉÍ Ó×ÏÉ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÏÄÂÏÒËÉ ÔÁËÉÈ ÚÁÄÁÞ, ÒÉÓÙÌÁÔØ ÉÈ × ÒÅÄÁË ÉÀ. é, ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÍÙ Ó ÕÄÏ×ÏÌØÓÔ×ÉÅÍ ÂÕÄÅÍ ÕÂÌÉËÏ×ÁÔØ Ó×ÅÖÉÅ Á×ÔÏÒÓËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ. öÄÅÍ ×ÁÛÉÈ ÉÓÅÍ. ÷ ÓËÏÂËÁÈ ÏÓÌÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ ÆÁÍÉÌÉÑ Á×ÔÏÒÁ (ÕÔÏÞÎÅÎÉÑ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÙ ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ ÒÉ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔÓÑ). åÓÌÉ Á×ÔÏÒ ÚÁÄÁÞÉ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÅÎ, ÍÙ ÕËÁÚÙ×ÁÅÍ ÔÏÇÏ, ËÔÏ ÒÅÄÌÏÖÉÌ ÜÔÕ ÚÁÄÁÞÕ.

1. A, B , C | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÍÁÔÒÉ Ù ÒÁÚÍÅÒÁ 2 × 2. äÏËÁÖÉÔÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï èÏÌÌÁ: [[A; B ℄2 ; C ℄ = 0. (þÅÒÅÚ [A; B ℄ def = AB − BA ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÏÒ). (ÆÏÌØËÌÏÒ) 2. ðÕÓÔØ P |"i | < 1 É ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÒÑÄ "i ?

Q

(1 − "i ) ÓÈÏÄÉÔÓÑ. ÷ÅÒÎÏ ÌÉ, ÞÔÏ ÓÈÏÄÉÔÓÑ (á. âÅÌÏ×)

3. Á) óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f (x), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ: f (f (f (x))) = e−x. Â) ÏÔ ÖÅ ×ÏÒÏÓ ÄÌÑ ÒÁÚÒÙ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ. ×) é ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ, ÉÍÅÀÝÅÊ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÔÏÞÅË ÒÁÚÒÙ×Á. (ë. íÁÌØËÏ×) 4. Á) ðÕÓÔØ p > 3 { ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÁ ÔÏÒÉÞÅÓËÏÊ ÛÁÈÍÁÔÎÏÊ ÄÏÓËÅ ÒÁÚÍÅÒÁ p × p ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÔÁ×ÉÔØ p ÆÅÒÚÅÊ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÎÉ ÎÅ ÂÉÌÉ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÁ. Â) îÁÚÏ×ÅÍ ÍÁÇÁÒÁÄÖÅÊ ÆÉÇÕÒÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÉÚ ËÌÅÔËÉ (0; 0) ÚÁ ÏÄÉÎ ÈÏÄ ÍÏÖÅÔ ÏÁÓÔØ × ËÌÅÔËÉ (0; ±k), (±k; 0), (±k; ±k), (±k; ±2k), (±2k; ±k) (k | ÅÌÏÅ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ). ïÔ×ÅÔØÔÅ ÎÁ ×ÏÒÏÓ ÕÎËÔÁ Á) ÄÌÑ ÍÁÇÁÒÁÄÖ É ÒÉ p > 7. (á. âÅÌÏ×)

233

úÁÄÁÞÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ

5. äÁÎ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Ó ËÏÍÌÅËÓÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ËÏÒÎÉ ÅÇÏ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÌÅÖÁÔ ×ÎÕÔÒÉ ×ÙÕËÌÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÉ ËÏÒÎÅÊ ÓÁÍÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ. (ÆÏÌØËÌÏÒ) 6. (úÁÄÁÞÁ ÎÁ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ). ðÒÉ ËÁËÉÈ n É k ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÚÁÍËÎÕÔÁÑ n-Ú×ÅÎÎÁÑ ÌÏÍÁÎÁÑ, ÅÒÅÓÅËÁÀÝÁÑ ËÁÖÄÏÅ Ó×ÏÅ Ú×ÅÎÏ ÒÏ×ÎÏ k ÒÁÚ (ÔÁËÕÀ ÌÏÍÁÎÕÀ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÌÏÍÁÎÏÊ ÔÉÁ (n; k)). Á) åÓÌÉ n É k ÏÂÁ ÎÅÞÅÔÎÙ, ÔÏ ÜÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ. Â) åÓÌÉ nk ÞÅÔÎÏ, É n > 3k, ÔÏ ÜÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏ. ×) ðÏÓÔÒÏÊÔÅ ÌÏÍÁÎÕÀ ÔÉÁ (8,2). Ç) óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ ÌÏÍÁÎÁÑ ÔÉÁ (6,2). ðÒÉ×ÅÄÉÔÅ ÒÁÚÎÙÅ ÄÒÕÇÉÅ ÒÉÍÅÒÙ. (á. ë. ëÏ×ÁÌØÄÖÉ) 7. ä×Å ËÒÉ×ÙÅ ×ÔÏÒÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÒÏÈÏÄÑÔ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ A, B , C , D. þÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ O ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ AC É BD ÒÏ×ÅÄÅÎÙ ÈÏÒÄÙ KM , LN ÏÄÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ É K ′M ′ , L′N ′ ÄÒÕÇÏÊ. ðÒÑÍÙÅ KL É K ′ L′ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÔÏÞËÅ P , MN É M ′ N ′ | × ÔÏÞËÅ Q. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÔÏÞËÉ P , Q, O ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ. (á. úÁÓÌÁ×ÓËÉÊ) 8. ÷ÎÕÔÒÉ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁ ÒÏ×ÅÄÅÎÙ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉË, ÒÏÅËÔÉ×ÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÊ ÉÓÈÏÄÎÏÍÕ. (ä. ìÀÂÛÉÎ) 9. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÁ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ×ÓÅÇÄÁ ÅÓÔØ 5 ÔÏÞÅË, Ñ×ÌÑÀÝÉÈÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁ. (éÚ ÅÒÅÉÓËÉ ó. íÁÒËÅÌÏ×Á Ó ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌÅÍ áÎÔÁÒËÔÉÄÙ) 10. a0 = 1; an+1 = 9an ; x = a1 . äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × ÄÅÓÑÔÉÞÎÏÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ i ÞÉÓÌÁ x ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ ÌÀÂÁÑ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑ ÉÆÒ. (á. åÒÏÛÉÎ É á. âÅÌÏ×) 11. ∗∗ Á) ðÌÏÓËÏÓÔØ ÒÁÓËÒÁÛÅÎÁ × 3 ×ÅÔÁ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ ÕËÁÚÁÔØ ÔÁËÏÊ ×ÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÇÏ r ÎÁÊÄÕÔÓÑ Ä×Å ÔÏÞËÉ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ ÒÏ×ÎÏ r, ÏËÒÁÛÅÎÎÙÅ × ÜÔÏÔ ×ÅÔ. Â) ðÒÉ×ÅÄÉÔÅ ÒÉÍÅÒ ÒÁÓËÒÁÓËÉ × 6 ×ÅÔÏ×, ËÏÇÄÁ ÜÔÏ ÎÅ ÔÁË. (ÆÏÌØËÌÏÒ) P

îÏ×ÙÅ ÉÚÄÁÎÉÑ

éÚÄÁÎÉÑ íãîíï × 1998 ÇÏÄÕ

íÏÓËÏ×ÓËÉÊ ãÅÎÔÒ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ É ÷ÙÓÛÉÊ ëÏÌÌÅÄÖ íÁÔÅÍÁÔÉËÉ îÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÇÏ íÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ ÁËÔÉ×ÎÏ ÉÚÄÁÀÔ ÕÞÅÂÎÕÀ É ÎÁÕÞÎÕÀ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÕ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ. úÄÅÓØ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ ÓÉÓÏË ÉÚÄÁÎÉÊ íãîíï É ÷ëí îíõ, ×ÙÛÅÄÛÉÈ ×Ï ×ÔÏÒÏÊ ÏÌÏ×ÉÎÅ 1998 ÇÏÄÁ É ÎÁÞÁÌÅ 1999 ÇÏÄÁ, Á ÔÁËÖÅ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ Ï ÉÚÄÁÎÉÑÈ, ËÏÔÏÒÙÅ ÄÏÌÖÎÙ ÏÑ×ÉÔØÓÑ × ÂÌÉÖÁÊÛÅÅ ×ÒÅÍÑ. óÏ×ÍÅÓÔÎÏ Ó îíõ

. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÌÌÅÄÖ îíõ | ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ ÄÌÑ ÏÓÔÕÁÀÝÉÈ. . óÅÒÉÑ €óÔÕÄÅÎÞÅÓËÉÅ ÞÔÅÎÉс { à. é. íÁÎÉÎ. òÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ËÒÉ×ÙÅ, ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÉÅ ËÒÉ×ÙÅ É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ðÅÎÌÅ×Å. 2-Ê ×Ù. { á. á. ëÉÒÉÌÌÏ×. íÅÔÏÄ ÏÒÂÉÔ É ËÏÎÅÞÎÙÅ ÇÒÕÙ. 3-Ê ×Ù. . ìÅË ÉÏÎÎÙÅ ËÕÒÓÙ îíõ { à. í. âÕÒÍÁÎ, â. ì. æÅÊÇÉÎ. âÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÅ ÁÌÇÅÂÒÙ ìÉ. { é. í. ðÁÒÁÍÏÎÏ×Á, ï. ë. ûÅÊÎÍÁÎ. úÁÄÁÞÉ ÓÅÍÉÎÁÒÁ €áÌÇÅÂÒÙ ìÉ É ÉÈ ÒÉÌÏÖÅÎÉс. { ó. í. îÁÔÁÎÚÏÎ. çÅÏÍÅÔÒÉÑ Ä×ÕÍÅÒÎÙÈ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÔÅÏÒÉÊ ÏÌÑ. ðÅÒÅÉÚÄÁÎÉÑ

. . . .

ü. â. ÷ÉÎÂÅÒÇ. îÁÞÁÌÁ ÁÌÇÅÂÒÙ. (óÏ×ÍÅÓÔÎÏ Ó õòóó.) úÁÄÁÞÉ Ï ÁÌÇÅÂÒÅ / ðÏÄ ÒÅÄ. ü. â. ÷ÉÎÂÅÒÇÁ. (óÏ×ÍÅÓÔÎÏ Ó õòóó.) é. í. çÅÌØÆÁÎÄ. ìÅË ÉÉ Ï ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÅ. (óÏ×ÍÅÓÔÎÏ Ó €äÏÂÒÏÓ×Åԁ.) ÷. á. úÏÒÉÞ. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÁÎÁÌÉÚ. II ÞÁÓÔØ. îÏ×ÙÅ ÉÚÄÁÎÉÑ

. . . .

ü. ëÁÒÔÁÎ. éÚÂÒÁÎÎÙÅ ÔÒÕÄÙ. ÷×ÅÄÅÎÉÅ × ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÀ / ðÏÄ ÒÅÄ. ÷. ÷. ñÝÅÎËÏ. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ. óÅÒ. 3, ×Ù. 2. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÁÎÁÌÉÚ × 57 ÛËÏÌÅ / ðÏÄ ÒÅÄ. â. í. äÁ×ÉÄÏ×ÉÞÁ.

235

îÏ×ÙÅ ÉÚÄÁÎÉÑ

ïÌÉÍÉÁÄÙ

. 4-Ñ óÏÒÏÓÏ×ÓËÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ (1997{1998). . ÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ. ÕÒÎÉÒÙ ÉÍ. ìÏÍÏÎÏÓÏ×Á. (ðÅÒÅÉÚÄ., ÄÏ.) . é. ÷. ñÝÅÎËÏ. ðÒÉÇÌÁÛÅÎÉÅ ÎÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÒÁÚÄÎÉË. äÌÑ ÁÂÉÔÕÒÉÅÎÔÏ×

÷. ÷. ËÁÞÕË. íÁÔÅÍÁÔÉËÁ | ÁÂÉÔÕÒÅÎÔÕ. (ðÅÒÅÉÚÄ., ÄÏ.) äÒÕÇÉÅ ÉÚÄÁÎÉÑ

ìÅÔÎÉÅ ÛËÏÌØÎÙÅ ÒÁËÔÉËÉ Ï ÂÏÔÁÎÉËÅ. íÅÔÏÄ. ÏÓÏÂÉÅ. | ðÏÄ. ÒÅÄ. ð. à. öÍÙÌÅ×Á, ÓÏÓÔÁ×ÉÔÅÌØ á. â. ûÉÕÎÏ×. çÏÔÏ×ÑÔÓÑ Ë ÉÚÄÁÎÉÀ

.

ó. ð. îÏ×ÉËÏ×. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ûÒÅÄÉÎÇÅÒÁ É ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ. (óÅÒÉÑ €óÔÕÄÅÎÞÅÓËÉÅ ÞÔÅÎÉс.)

. . . . . . . .

á. á. âÅÌÁ×ÉÎ, á. ç. ëÕÌÁËÏ×. ìÅË ÉÉ Ï ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÉÚÉËÅ. ÷. ÷. ûÍÉÄÔ. ÷×ÅÄÅÎÉÅ × ÔÅÏÒÉÀ Ó×ÅÒÈÒÏ×ÏÄÎÉËÏ×. ÷×ÅÄÅÎÉÅ × ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ. ðÅÒÅ×ÏÄ ÏÄ. ÒÅÄ. á. ûÅÎÑ.

÷. á. ÷ÁÓÉÌØÅ×. ìÁÇÒÁÎÖÅ×Ù É ÌÅÖÁÎÄÒÏ×Ù ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ËÌÁÓÓÙ. M. Deza. Geometry of uts and metri s. (ðÅÒÅ×ÏÄ.) î. ÷ÅÒÅÝÁÇÉÎ, á. ûÅÎØ. ìÏÇÉËÁ. ó. í. ìØ×Ï×ÓËÉÊ. ÷×ÅÄÅÎÉÅ × ËÏÇÏÍÏÌÏÇÉÉ ÕÞËÏ×. ä. ÷. áÎÏÓÏ×. ìÉÎÅÊÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ (ËÏÎÓÅËÔ ÌÅË ÉÊ).

ïÅÞÁÔËÉ, ÚÁÍÅÞÅÎÎÙÅ × ‚2 óÔÒÁÎÉ Á,

óÔÒÏËÁ

îÁÅÞÁÔÁÎÏ

137, 3 Ó×ÅÒÈÕ −1 P 181, 2 ÓÎÉÚÕ ÓÅÎÉ R1

d k(

t)P t)(1 − t d l (

2

)

d−3 2

óÌÅÄÕÅÔ ÞÉÔÁÔØ R1

−1

Pkd(t)Pld (t)(1 − t2 )

ÓÔÅÅÎÉ

éÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Ï íÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ ãÅÎÔÒÁ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ éÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Ï €þÅòρ

äÉÒÅËÔÏÒ ÉÚÄÁÔÅÌØÓËÏÇÏ ÒÏÅËÔÁ é. ÷. ñÝÅÎËÏ ÅÈÎÉÞÅÓËÉÊ ÒÅÄÁËÔÏÒ í. î. ÷ÑÌÙÊ

ìÉ ÅÎÚÉÑ ìò ‚071150 ÏÔ 11.04.95 Ç. ðÏÄÉÓÁÎÏ × ÅÞÁÔØ

.02.99 Ç. æÏÒÍÁÔ 70

× 100=16

âÕÍÁÇÁ ÏÆÓÅÔÎÁÑ ‚1. ðÅÞÁÔØ ÏÆÓÅÔÎÁÑ. ðÅÞ. Ì. 15,0 ÉÒÁÖ 1000. úÁËÁÚ ‚

íãîíï 121002, íÏÓË×Á, âÏÌØÛÏÊ ÷ÌÁÓØÅ×ÓËÉÊ ÅÒ., Ä. 11 ïï €þÅòρ

òÅÄÁË ÉÏÎÎÏ-ÉÚÄÁÔÅÌØÓËÉÊ ÏÔÄÅÌ 121002, íÏÓË×Á, â. ÷ÌÁÓØÅ×ÓËÉÊ ÅÒ., Ä. 11, ËÏÍÎ. 208 ÅÌ. 241 33 90, 241 18 69

ïÔÄÅÌ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÉ 118899, íÏÓË×Á, ÕÌ. áËÁÄ. èÏÈÌÏ×Á, Ä. 11 ÅÌ. 939 47 09, 939 34 93

d− 3 2

dt