Математическое просвещение [Серия 3, Выпуск 10]

Citation preview

íáåíáéþåóëïå ðòïó÷åýåîéå ÒÅÔØÑ ÓÅÒÉÑ

×ÙÕÓË 10

íÏÓË×Á éÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Ï íãîíï 2006

õäë 51.009 ââë 22.1 í34

éÚÄÁÎÉÅ ÏÓÕÝÓÔ×ÌÅÎÏ ÒÉ ÏÄÄÅÒÖËÅ òææé

(ÉÚÄÁÔÅÌØÓËÉÊ ÒÏÅËÔ ‚ 05{01{14083). Р

88

И

òÅÄÁË ÉÏÎÎÁÑ ËÏÌÌÅÇÉÑ âÕÇÁÅÎËÏ ÷. ï. çÁÌØÅÒÉÎ ç. á. äÏÒÉÞÅÎËÏ ó. á. ëÁÎÅÌØ-âÅÌÏ× á. ñ. òÏÚÏ× î. è. æÒÅÎËÉÎ â. ò.

÷ÉÎÂÅÒÇ ü. â. çÌÅÊÚÅÒ ç. ä. åÇÏÒÏ× á. á. ëÏÎÓÔÁÎÔÉÎÏ× î. î. óÏÓÉÎÓËÉÊ á. â. ñÝÅÎËÏ é. ÷.

çÌÁ×ÎÙÊ ÒÅÄÁËÔÏÒ: ü. â. ÷ÉÎÂÅÒÇ

÷ÑÌÙÊ í. î. çÕÓÅÊÎ-úÁÄÅ ó. í. éÌØÑÛÅÎËÏ à. ó. ðÒÁÓÏÌÏ× ÷. ÷. ÉÈÏÍÉÒÏ× ÷. í.

ïÔ×. ÓÅËÒÅÔÁÒØ: í. î. ÷ÑÌÙÊ

áÄÒÅÓ ÒÅÄÁË ÉÉ: 119002, íÏÓË×Á, â. ÷ÌÁÓØÅ×ÓËÉÊ ÅÒ., Ä. 11, Ë. 301 (Ó ÏÍÅÔËÏÊ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉŁ) Email: matprosm

me.ru Web-page: www.m

me.ru/free-books

í34

íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ.

í.: íãîíï, 2006. | 288 Ó. ISBN 5-94057-227-8

ÒÅÔØÑ ÓÅÒÉÑ, ×Ù. 10. |

÷ ÓÂÏÒÎÉËÁÈ ÓÅÒÉÉ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉŁ ÕÂÌÉËÕÀÔÓÑ ÍÁÔÅÒÉÁÌÙ Ï ÒÏÂÌÅÍÁÈ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÉÚÌÏÖÅÎÎÙÅ ÎÁ ÄÏÓÔÕÎÏÍ ÄÌÑ ÛÉÒÏËÏÊ ÁÕÄÉÔÏÒÉÉ ÕÒÏ×ÎÅ, ÚÁÍÅÔËÉ Ï ÉÓÔÏÒÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÏÂÓÕÖÄÁÀÔÓÑ ÒÏÂÌÅÍÙ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. õäë 51.009 ââë 22.1

ISBN 5-94057-227-8



íãîíï, 2006.

óÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÷ÌÁÄÉÍÉÒÕ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÕ ÉÈÏÍÉÒÏ×Õ 70 ÌÅÔ

ç. ç. íÁÇÁÒÉÌ-éÌØÑÅ×

ðÑÔØ ÓÀÖÅÔÏ× Ï Ô×ÏÒÞÅÓÔ×Å ÷ÌÁÄÉÍÉÒÁ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÁ ÉÈÏÍÉÒÏ×Á

8

ðÒÏÂÌÅÍÙ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

áÌÇÅÂÒÁ, ÁÎÁÌÉÚ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (ÓÉÎÔÅÔÉÞÅÓËÉÊ ËÕÒÓ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

á. â. óËÏÅÎËÏ×

ïÌÉÍÉÁÄÙ É ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÉÒ

á. â. óÏÓÉÎÓËÉÊ I H E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 îÁÛ ÓÅÍÉÎÁÒ: ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÓÀÖÅÔÙ

÷. á. õÓÅÎÓËÉÊ

þÅÔÙÒÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÈ ÌÉ Á ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ . . . . . . . . . . . . . . 71

ç. à. ðÁÎÉÎÁ

áÌÇÅÂÒÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

é. ÷. éÚÍÅÓÔØÅ×

ï ÓÕÍÍÅ ÕÇÌÏ× ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

ïÂÏÂÝÅÎÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÷ÁÎ ÄÅÒ ÷ÁÒÄÅÎÁ . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

á. í. ðÅÔÒÕÎÉÎ, ó. å. òÕËÛÉÎ

õÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÆÉÇÕÒÙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

á. ëÁÉÂÈÁÎÏ×, á. óËÏÅÎËÏ×

ðÒÉÍÅÒÙ ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

á. ñ. âÅÌÏ×

æÏÒÍÕÌÁ ÄÌÑ ÏÂßÅÍÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ËÕÂÁ Ó ÏÌÕÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ . . . . 185

í. î. ÷ÑÌÙÊ

ï ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ÞÉÓÅÌ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ Ä×ÕÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× . . . . . . . . 190

í. û. ãÁÌÅÎËÏ

ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 ëÏÎËÕÒÓÙ É ÏÌÉÍÉÁÄÙ

óÔÕÄÅÎÞÅÓËÉÊ ËÏÎËÕÒÓ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ 2004{2005 ÇÇ. . . . . . . . . . 206

ì. ÷. òÁÄÚÉ×ÉÌÏ×ÓËÉÊ

ïÂÏÂÝÅÎÉÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á É ÍÏÎÇÏÌØÓËÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

ó. á. äÏÒÉÞÅÎËÏ

éÚÂÒÁÎÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ 27 ÕÒÎÉÒÁ çÏÒÏÄÏ× . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 ðÏ ÍÏÔÉ×ÁÍ ÚÁÄÁÞÎÉËÁ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс

é. é. âÏÇÄÁÎÏ×, ç. ò. þÅÌÎÏËÏ×

ïÂÏÂÝÅÎÎÙÅ ÓÕÅÒÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ . . . . . . . . 232

ð. ûÏÌØ Å

ï ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÑÈ ÎÁ ÒÅÛÅÔËÅ . . . . . . 236

å. ä. ëÕÌÁÎÉÎ

ï ÒÑÍÙÈ óÉÍÓÏÎÁ, ËÒÉ×ÏÊ ûÔÅÊÎÅÒÁ É ËÕÂÉËÅ íÁË-ëÜÑ . . . . . . 243

í. áÅÌØÂÁÕÍ, ÷. öÕÒÁ×Ì£×, ð. óÁÍÏ×ÏÌ

ï ÏÄÎÏÍ Ó×ÏÊÓÔ×Å ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÏÊ ÆÕÎË ÉÉ . . . . . . . . . . . . . . 265

á. ñ. ëÁÎÅÌØ

ëÏÍÍÅÎÔÁÒÉÊ Ë ÓÔÁÔØÅ í. áÅÌØÂÁÕÍÁ, ÷. öÕÒÁ×Ì£×Á É ð. óÁÍÏ×ÏÌÁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 îÁÍ ÉÛÕÔ

é. é. âÏÇÄÁÎÏ×

âÏÌÅÅ ËÏÒÏÔËÉÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÉÚ ÚÁÄÁÞÎÉËÁ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

á. ë. ëÏ×ÁÌØÄÖÉ

úÁÄÁÞÁ Ï ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÌÁÈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

á. óËÏÅÎËÏ×

éÓÒÁ×ÌÅÎÉÑ Ë ÓÔÁÔØÅ á. óËÏÅÎËÏ×Á €÷ÏËÒÕÇ ËÒÉÔÅÒÉÑ ëÕÒÁÔÏ×ÓËÏÇÏ ÌÁÎÁÒÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÏׁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 úÁÄÁÞÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ

õÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 òÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ×ÙÕÓËÏ× . . . . . . . . . . . . . . . . 281 îÏ×ÙÅ ÉÚÄÁÎÉÑ

286

÷ÌÁÄÉÍÉÒÕ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÕ ÉÈÏÍÉÒÏ×Õ 70 ÌÅÔ

÷ 2005 ÇÏÄÕ ÏÔÍÅÞÁÌÓÑ ÀÂÉÌÅÊ ÁËÁÄÅÍÉËÁ òÏÓÓÉÊÓËÏÊ ÁËÁÄÅÍÉÉ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÎÁÕË, ÒÏÆÅÓÓÏÒÁ íÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ, ÚÁ×ÅÄÕÀÝÅÇÏ ËÁÆÅÄÒÏÊ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ É ÇÌÁ×ÎÏÇÏ ÒÅÄÁËÔÏÒÁ ÎÁÛÅÇÏ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс, ÷ÌÁÄÉÍÉÒÁ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÁ ÉÈÏÍÉÒÏ×Á. ÒÕÄÎÏ Ï×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÜÔÏÍÕ ËÒÁÓÉ×ÏÍÕ, ÍÏÌÏÖÁ×ÏÍÕ É ÏÌÎÏÍÕ ÜÎÅÒÇÉÉ ÞÅÌÏ×ÅËÕ ÕÖÅ ÓÅÍØÄÅÓÑÔ. ÷ÌÁÄÉÍÉÒ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÒÏÄÏÌÖÁÅÔ ÁËÔÉ×ÎÏ É Ô×ÏÒÞÅÓËÉ ÒÁÂÏÔÁÔØ ËÁË ÍÁÔÅÍÁÔÉË-ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØ, ÞÉÔÁÔØ ÌÅË ÉÉ ÎÅ ÔÏÌØËÏ × íçõ, ÎÏ É × îÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÍ ÍÏÓËÏ×ÓËÏÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ, ÎÁ ÌÅÔÎÅÊ ÛËÏÌÅ × äÕÂÎÅ É (× ÔÅËÕÝÅÍ ÓÅÍÅÓÔÒÅ) × âÒÅÍÅÎÓËÏÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ, ×ÄÏÈÎÏ×ÅÎÎÏ ×ÅÓÔÉ ÍÎÏÇÏÓÔÏÒÏÎÎÀÀ ÏÂÝÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÒÁÂÏÔÕ. òÅÄËÏÌÌÅÇÉÑ íð, ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÉ îíõ É íÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ ÅÎÔÒÁ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÖÅÌÁÀÔ ÷ÌÁÄÉÍÉÒÕ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÕ × ÅÒ×ÕÀ ÏÞÅÒÅÄØ ÄÏÂÒÏÇÏ ÚÄÏÒÏ×ØÑ. îÅÔ ÎÕÖÄÙ Ñ×ÎÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÔØ ÒÉÎÑÔÙÅ × ÔÁËÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÒÏÞÉÅ ÏÖÅÌÁÎÉÑ | ÚÎÁÑ ÷ÌÁÄÉÍÉÒÁ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÁ, ÍÙ Õ×ÅÒÅÎÙ, ÞÔÏ É €ÄÁÌØÎÅÊÛÉÅ Ô×ÏÒÞÅÓËÉÅ ÕÓÅÈɁ, É €ÄÏÌÇÉÅ ÇÏÄÙ ÓÞÁÓÔÌÉ×ÏÊ É ÌÏÄÏÔ×ÏÒÎÏÊ ÖÉÚÎɁ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÒÉÌÏÖÁÔÓÑ, ÂÙÌÏ ÂÙ ÚÄÏÒÏ×ØÅ.

******

Å, ËÔÏ ÕÞÉÌÓÑ ÎÁ ÍÅÈÍÁÔÅ íçõ × ÑÔÉÄÅÓÑÔÙÅ É ÛÅÓÔÉÄÅÓÑÔÙÅ ÇÏÄÙ ÒÏÛÌÏÇÏ ÓÔÏÌÅÔÉÑ, ÒÅËÒÁÓÎÏ ÏÍÎÑÔ ÓÔÕÄÅÎÔÁ, Á ÚÁÔÅÍ ÁÓÉÒÁÎÔÁ É ÁÓÓÉÓÔÅÎÔÁ ÷ÏÌÏÄÀ ÉÈÏÍÉÒÏ×Á | ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÚÁÍÅÔÎÙÈ ÌÀÄÅÊ ÎÁ ÆÁËÕÌØÔÅÔÅ. îÅÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÏ ËÒÁÓÉ×ÙÊ, ÓÔÒÅÍÉÔÅÌØÎÙÊ É ÏÔËÒÙÔÙÊ ÞÅÌÏ×ÅË, ÏÎ ÓÞÉÔÁÌÓÑ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÓÁÍÙÈ ÔÁÌÁÎÔÌÉ×ÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× Ó×ÏÅÇÏ ÏËÏÌÅÎÉÑ É ÂÙÌ, ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ, ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÁËÔÉ×ÎÙÈ ÏÂÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÄÅÑÔÅÌÅÊ ÍÅÈÍÁÔÁ. åÇÏ ÂÏÌØÛÁÑ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÏÎÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ Ï ËÏÍÓÏÍÏÌØÓËÏÊ ÌÉÎÉÉ ÎÅ ×ÙÚÙ×ÁÌÁ, ÏÄÎÁËÏ, ÎÉ ÏÓÕÖÄÅÎÉÑ, ÎÉ ÒÁÚÄÒÁÖÅÎÉÑ ÓÔÕÄÅÎÞÅÓËÏÊ ÜÌÉÔÙ ÜÔÏÇÏ ÅÒÉÏÄÁ, × ÅÌÏÍ ÎÁÓÔÒÏÅÎÎÏÊ ÓËÅÔÉÞÅÓËÉ ÉÌÉ ÁÎÔÁÇÏÎÉÓÔÉÞÅÓËÉ Ë ÔÅÍ, ËÔÏ ÓÏÔÒÕÄÎÉÞÁÌ Ó ËÏÍÍÕÎÉÓÔÉÞÅÓËÏÊ ×ÌÁÓÔØÀ. äÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ × Ó×ÏÅÊ ÏÂÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÷ÏÌÏÄÑ ÎÅ ÓÔÒÅÍÉÌÓÑ Ë ×ÙÏÌÎÅÎÉÀ ÕËÁÚÁÎÉÊ ÉÄÕÝÉÈ Ó×ÅÒÈÕ, Á ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ÏÌØÚÏ×ÁÌÓÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÓÔÒÕËÔÕÒÁÍÉ ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ×ÏÌÏÝÁÔØ × ÖÉÚÎØ ÏÌÅÚÎÙÅ ÉÎÉ ÉÁÔÉ×Ù ÉÄÕÝÉÅ ÏÔ ÎÅÇÏ É ÅÇÏ ÄÒÕÚÅÊ | ÔÅÈ, ËÏÍÕ ÉÓÏÌÎÉÌÏÓØ Ä×ÁÄ ÁÔØ Ë ÎÁÞÁÌÕ €ÈÒÕÝÅ×ÓËÏÊ

6

ÏÔÔÅÅÌɁ. òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÷ÏÌÏÄÑ ÎÅ ÚÁÎÉÍÁÌÓÑ ËÏÍÓÏÍÏÌØÓËÏÊ ÒÁÂÏÔÏÊ Ó ÅÌØÀ ÓÄÅÌÁÔØ ËÁÒØÅÒÕ | ×ÒÏÞÅÍ, ÅÍÕ ÂÙ ÜÔÏ ÎÅ ÕÄÁÌÏÓØ: ÁÒÔÉÊÎÏÊ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ ÆÁËÕÌØÔÅÔÁ ÏÞÅÎØ ÎÅ ÎÒÁ×ÉÌÉÓØ ÅÇÏ ÞÅÓÔÎÏÓÔØ É ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ, €Ó×ÏÉ́ ÏÎÉ ÎÉËÁË ÎÅ ÍÏÇÌÉ ÅÇÏ ÒÉÚÎÁÔØ. îÏ ÇÌÁ×ÎÙÍ × ÜÔÏÔ ÅÒÉÏÄ ÖÉÚÎÉ ÷ÌÁÄÉÍÉÒÁ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÁ | ËÁË, ×ÒÏÞÅÍ, É ×Ï ×ÓÅÊ ÅÇÏ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÊ ÖÉÚÎÉ | ÂÙÌÁ ÎÁÕÞÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ. åÍÕ × ÜÔÏÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ÓÒÁÚÕ Ï×ÅÚÌÏ: ÕÖÅ ÎÁ ÍÌÁÄÛÉÈ ËÕÒÓÁÈ ÎÁ ÎÅÇÏ ÏÂÒÁÔÉÌ ×ÎÉÍÁÎÉÅ áÎÄÒÅÊ îÉËÏÌÁÅ×ÉÞ ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×, É ÷ÏÌÏÄÑ ÓÔÁÌ ÅÇÏ ÕÞÅÎÉËÏÍ É ÓÏÒÁÔÎÉËÏÍ. ðÅÒ×ÙÅ ÒÁÂÏÔÙ ÀÎÏÇÏ ÉÈÏÍÉÒÏ×Á, ÓÒÁÚÕ ÒÉÎÅÓÛÉÅ ÅÍÕ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÓÔØ, ÂÙÌÉ ×ÙÏÌÎÅÎÙ ÏÄ ÒÕËÏ×ÏÄÓÔ×ÏÍ á. î. ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Á, ÄÁ É × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ×ÌÉÑÎÉÅ ÅÇÏ ÕÞÉÔÅÌÑ ÂÙÌÏ ÏÇÒÏÍÎÙÍ. ÁË, ÔÒÉ ÉÚ ÑÔÉ ÓÀÖÅÔÏ× ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ Ô×ÏÒÞÅÓÔ×Á ÉÈÏÍÉÒÏ×Á, ÏÉÓÁÎÎÙÈ × ÓÔÁÔØÅ ç. ç. íÁÇÁÒÉÌ-éÌØÑÅ×Á (ÓÍ. ÓÓ. 8{22 ÎÉÖÅ), ÒÏÄÏÌÖÁÀÔ É ÒÁÚ×É×ÁÀÔ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÂÏÔÙ ÅÇÏ ÕÞÉÔÅÌÑ. óÔÏÉÔ ÏÔÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ëÏÌÍÏÇÏÒÏ× ÏËÁÚÁÌ ÏÇÒÏÍÎÏÅ ×ÌÉÑÎÉÅ ÎÁ ÷ÌÁÄÉÍÉÒÁ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÁ ÎÅ ÔÏÌØËÏ × ÎÁÕÞÎÏÍ ÌÁÎÅ, ÎÏ É × ÞÅÌÏ×ÅÞÅÓËÏÍ | É × ÓÍÙÓÌÅ ÖÉÚÎÅÎÎÏÊ ÆÉÌÏÓÏÆÉÉ, É × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ Ë ËÕÌØÔÕÒÅ. ÷ÓÑ ÄÁÌØÎÅÊÛÁÑ ÖÉÚÎØ ÷ÌÁÄÉÍÉÒÁ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÁ ÏËÁÚÁÌÁÓØ Ó×ÑÚÁÎÎÏÊ Ó ÍÅÈÁÎÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÆÁËÕÌØÔÅÔÏÍ íçõ. úÄÅÓØ ÏÎ ÓÒÁÚÕ ÏÓÌÅ ÁÓÉÒÁÎÔÕÒÙ ÚÁÝÉÔÉÌ ËÁÎÄÉÄÁÔÓËÕÀ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÀ, × 36 ÌÅÔ ÚÁÝÉÔÉÌ ÄÏËÔÏÒÓËÕÀ, ÓÔÁÌ ÄÏ ÅÎÔÏÍ É ÒÏÆÅÓÓÏÒÏÍ, ÚÁ×ÅÄÕÀÝÉÍ ËÁÆÅÄÒÏÊ. ëÁÆÅÄÒÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÂÙÌÁ ÓÏÚÄÁÎÁ ÒÉ ÅÇÏ ÁËÔÉ×ÎÏÍ ÕÞÁÓÔÉÉ × 1966 ÇÏÄÕ. ðÅÒ×ÙÍ ÚÁ×ÅÄÕÀÝÉÍ ËÁÆÅÄÒÏÊ ÓÔÁÌ ÁËÁÄÅÍÉË ÷. á. ÒÁÅÚÎÉËÏ×, ÏÄÎÁËÏ Ó ÓÁÍÏÇÏ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ËÁÆÅÄÒÏÊ ÒÅÁÌØÎÏ ÒÕËÏ×ÏÄÉÌ ÷ÌÁÄÉÍÉÒ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ. ÷ 1989 ÏÎ ×ÏÚÇÌÁ×ÉÌ ËÁÆÅÄÒÕ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÄÅ-ÆÁËÔÏ, ÎÏ É ÄÅ-ÀÒÅ. ëÁÆÅÄÒÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÍÅÈÍÁÔÁ íçõ | ÌÀÂÉÍÏÅ ÄÅÔÉÝÅ ÷ÌÁÄÉÍÉÒÁ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÁ. ïÎ ÓÕÍÅÌ ÒÉ×ÌÅÞØ Ë ÎÅÊ ×ÅÓØÍÁ Ë×ÁÌÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ×, × ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ Ó×ÏÉÈ ÌÕÞÛÉÈ ÕÞÅÎÉËÏ×, ÓÏÚÄÁÔØ ÄÏÂÒÏÖÅÌÁÔÅÌØÎÕÀ Ô×ÏÒÞÅÓËÕÀ ÁÔÍÏÓÆÅÒÕ, ×ÚÑ× ÎÁ ÓÅÂÑ ×ÓÅ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ ÁÄÍÉÎÉÓÔÒÁÔÉ×ÎÏÊ ÒÁÂÏÔÙ × ÎÅÒÏÓÔÙÅ ÒÏÛÅÄÛÉÅ É ÎÙÎÅÛÎÉÅ ×ÒÅÍÅÎÁ. ÷ÓÅ ÜÔÉ ÇÏÄÙ ÷ÌÁÄÉÍÉÒ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÒÏÄÏÌÖÁÌ ÚÁÎÉÍÁÔØÓÑ ÏÂÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÒÁÂÏÔÏÊ, ËÁË ÎÁ ÆÁËÕÌØÔÅÔÅ, ÔÁË É ×ÎÅ ÎÅÇÏ. éÚ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÊ ÜÔÏÊ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ | ÎÅÉÚÍÅÎÎÏ ÏÌÅÚÎÏÊ É ÄÏÓÔÏÊÎÏÊ Õ×ÁÖÅÎÉÑ | ÍÙ ÏÔÍÅÔÉÍ ÚÄÅÓØ ÌÉÛØ ÏÄÎÏ: ÒÁÂÏÔÕ Ï ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÀ ÎÁÓÌÅÄÉÑ ÍÏÓËÏ×ÓËÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÛËÏÌÙ (É ËÏÎËÒÅÔÎÏ ÎÁÕÞÎÏÇÏ ÎÁÓÌÅÄÉÑ á. î. ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Á) É Ï ÉÓÔÏÒÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ×ÏÏÂÝÅ. íÎÏÇÉÅ ÏÍÎÑÔ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÅ ×ÅÞÅÒÁ ÁÍÑÔÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÍÏÓËÏ×ÓËÉÈ ÕÞÅÎÙÈ, ËÏÔÏÒÏÅ ÏÎ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×Ù×ÁÌ É ÒÏ×ÏÄÉÌ × ãÅÎÔÒÁÌØÎÏÍ ÄÏÍÅ ÕÞÅÎÙÈ, Á ÞÉÔÁÔÅÌÉ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс ÚÎÁÀÔ ÜÔÕ ÓÔÏÒÏÎÕ ÅÇÏ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ Ï ÅÇÏ ÉÓÔÏÒÉÞÅÓËÉÍ ÓÔÁÔØÑÍ, ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÎÙÍ × ÎÁÛÅÍ ÓÂÏÒÎÉËÅ:

7

Ï á. î ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Å, ì. ó. ðÏÎÔÒÑÇÉÎÅ (‚2), á. ï. çÅÌØÆÏÎÄÅ, ì. ç. ûÎÉÒÅÌØÍÁÎÅ (‚4), ì. á. ìÀÓÔÅÒÎÉËÅ (‚5), á. ó. ëÒÏÎÒÏÄÅ, ì. ÷. ëÁÎÔÏÒÏ×ÉÞÅ (‚6), é. í. çÅÌØÆÁÎÄÅ (‚8), é. æ. ûÁÒÙÇÉÎÅ (‚9). ÷ÌÁÄÉÍÉÒ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÒÅËÒÁÓÎÙÊ ÓÅÍØÑÎÉÎ. Å, ËÏÍÕ ÏÓÞÁÓÔÌÉ×ÉÌÏÓØ ÂÙ×ÁÔØ × ÅÇÏ ÇÏÓÔÅÒÉÉÍÎÏÍ ÄÏÍÅ, ÒÁÄÕÀÔÓÑ ÁÒÑÝÅÊ × ÎÅÍ ÔÅÌÏÊ ÁÔÍÏÓÆÅÒÅ É ÏÂÝÅÎÉÅÍ Ó ÖÅÎÏÊ ÷ÌÁÄÉÍÉÒÁ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÁ îÁÔÁÛÅÊ É Ó ÉÈ Ä×ÕÍÑ ÄÏÞÅÒØÍÉ. ÷ÙÓÔÕÁÑ ÎÁ ×ÅÓØÍÁ ÎÅÔÒÁÄÉ ÉÏÎÎÏÍ ÀÂÉÌÅÊÎÏÍ ×ÅÞÅÒÅ, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÏÍ ÅÇÏ ÓÅÍÉÄÅÓÑÔÉÌÅÔÉÀ, Ó ÅÎÁÒÉÊ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÎ ÓÁÍ É ÒÉÄÕÍÁÌ, ÷ÌÁÄÉÍÉÒ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÏÔÍÅÔÉÌ, ÞÔÏ ÅÇÏ ÖÉÚÎØ ÂÙÌÁ ÕÄÉ×ÉÔÅÌØÎÏ ÓÞÁÓÔÌÉ×ÏÊ. á ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÄÏÂÁ×ÉÔØ | ÓÞÁÓÔÌÉ×ÏÊ É ÑÒËÏÊ, É ÏÖÅÌÁÔØ ÓÁÍÉÍ ÓÅÂÅ ËÁË ÍÏÖÎÏ ÞÁÝÅ Ó ÎÅÊ ÓÏÒÉËÁÓÁÔØÓÑ.

8

ðÑÔØ ÓÀÖÅÔÏ× Ï Ô×ÏÒÞÅÓÔ×Å ÷ÌÁÄÉÍÉÒÁ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÁ ÉÈÏÍÉÒÏ×Á ç. ç. íÁÇÁÒÉÌ-éÌØÑÅ×

íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ Ô×ÏÒÞÅÓÔ×Ï ÷ÌÁÄÉÍÉÒÁ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÁ ÉÈÏÍÉÒÏ×Á ÏÞÅÎØ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÏ, ÎÏ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÉÎÔÅÒÅÓÙ ÅÇÏ Ó×ÑÚÁÎÙ Ó ÔÅÏÒÉÅÊ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÊ, ÔÅÏÒÉÅÊ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÈ ÚÁÄÁÞ É ×ÙÕËÌÙÍ ÁÎÁÌÉÚÏÍ. ÷ Ó×ÏÅÊ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÷ÌÁÄÉÍÉÒ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ×ÓÅÇÄÁ ÒÕËÏ×ÏÄÓÔ×ÕÅÔÓÑ ÉÄÅÅÊ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏÅ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ ÎÅÂÏÌØÛÏÍ ÞÉÓÌÅ ÏÂÝÉÈ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÈ ÒÉÎ ÉÏ×, Á ËÏÎËÒÅÔÎÙÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÈÏÒÏÛÏ ÒÁÚ×ÉÔÙÈ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÊ. úÄÅÓØ ÂÕÄÅÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÀÖÅÔÏ×, ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÀÝÉÈ Ï ÒÏÂÌÅÍÁÈ, ËÏÔÏÒÙÍÉ ÚÁÎÉÍÁÌÓÑ ÷ÌÁÄÉÍÉÒ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ × ÒÁÚÎÙÅ ×ÒÅÍÅÎÁ É ÇÄÅ ÅÇÏ ×ÌÉÑÎÉÅ ÂÙÌÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ × ÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÉ É/ÉÌÉ ÒÁÚ×ÉÔÉÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÔÅÍÁÔÉËÉ. üÔÉÈ ÓÀÖÅÔÏ× ÑÔØ, É ÜÔÏ Ó×ÑÚÁÎÏ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ ÷ÌÁÄÉÍÉÒ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÌÀÂÉÔ, ÞÔÏÂÙ × ÌÀÂÏÍ ÓÉÓËÅ (Á ÏÎ ÉÈ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÞÁÓÔÏ É Ï ÓÁÍÙÍ ÒÁÚÎÙÍ Ï×ÏÄÁÍ) ÞÉÓÌÏ ÕÎËÔÏ× ÂÙÌÏ ËÒÁÔÎÏ ÑÔÉ. 1. ðÏÅÒÅÞÎÉËÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×. ÷ 1936 ÇÏÄÕ á. î. ëÏÌÍÏÇÏÒÏ× ××ÅÌ ÏÎÑ-

ÔÉÅ ÏÅÒÅÞÎÉËÁ | ×ÅÌÉÞÉÎÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÅÔ ÎÁÉÌÕÞÛÅÅ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÏÅÒÅÞÎÉËÁ ÔÁËÏ×Ï. ðÕÓÔØ X | ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, C | ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X É n | ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ. ÷ÅÌÉÞÉÎÁ dn (C; X ) = inf sup inf kx − kX ; Ln x∈C  ∈Ln

ÇÄÅ ÅÒ×ÁÑ ÎÉÖÎÑÑ ÇÒÁÎØ ÂÅÒÅÔÓÑ Ï ×ÓÅÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍ Ln × X ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÎÅ ×ÙÛÅ n, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ n-ÏÅÒÅÞÎÉËÏÍ Ï ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á C × X . äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÌÕÞÛÅ ÏÞÕ×ÓÔ×Ï×ÁÔØ ÓÍÙÓÌ ÜÔÏÇÏ ÏÎÑÔÉÑ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÉÍÅÒ. ðÕÓÔØ X | ÌÏÓËÏÓÔØ Ó Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÎÏÒÍÏÊ | · | É C | ÜÌÌÉÓ (ÓÍ. ÒÉÓ. 1). íÙ ÈÏÔÉÍ ÎÁÉÌÕÞÛÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÉÂÌÉÚÉÔØ C ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÍÉ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ (Ô. Å. ÒÑÍÙÍÉ L, ÒÏÈÏÄÑÝÉÍÉ ÞÅÒÅÚ ÎÏÌØ). üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÏÎÉÍÁÔØ ÔÁË. æÉËÓÉÒÕÅÍ ËÁËÕÀ-ÎÉÂÕÄØ ÒÑÍÕÀ L É ÕÓÔØ x ∈ C . òÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ ÏÔ x ÄÏ L × ÍÅÔÒÉËÅ X ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ d(x; C; X ) = inf ∈L |x −  |, Á ×ÅÌÉÞÉÎÁ d(C; L; X ) = supx∈C d(x; L; X )

ðÑÔØ ÓÀÖÅÔÏ× Ï Ô×ÏÒÞÅÓÔ×Å ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×Á

C

L

x

9

Lb

òÉÓ. 1.

| ÕËÌÏÎÅÎÉÅÍ C ÏÔ L × ÍÅÔÒÉËÅ X . îÁÓ ÉÎÔÅÒÅÓÕÅÔ ÔÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Lb, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÜÔÏ ÕËÌÏÎÅÎÉÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏ. íÙ ÇÏ×ÏÒÉÍ ÔÏÇÄÁ, ÞÔÏ Lb ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔ ÎÁÉÌÕÞÛÅÅ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÅ ÜÌÌÉÓÁ C ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÍÉ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ Lb ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÓØÀ ÁÂÓ ÉÓÓ É ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÕËÌÏÎÅÎÉÅ ÒÁ×ÎÏ ÄÌÉÎÅ ÍÁÌÏÊ ÏÌÕÏÓÉ ÜÌÌÉÓÁ, ÞÔÏ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ ×ÙÛÅ É ÅÓÔØ 1-ÏÅÒÅÞÎÉË Ï ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ ÜÌÌÉÓÁ C × Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÎÏÒÍÅ. ðÏÑ×ÌÅÎÉÅ ÒÁÂÏÔÙ ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Á ÏÚÎÁÍÅÎÏ×ÁÌÏ ÎÁÞÁÌÏ ÎÏ×ÏÇÏ ÜÔÁÁ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÊ, Ó×ÑÚÁÎÎÏÇÏ Ó ÏÉÓËÁÍÉ ÎÁÉÌÕÞÛÅÇÏ ÍÅÔÏÄÁ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ. ó 1936 ÇÏÄÁ É ×ÌÏÔØ ÄÏ ÛÅÓÔÉÄÅÓÑÔÙÈ ÇÏÄÏ× ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÅ ÂÙÌÏ ÕÂÌÉËÁ ÉÊ ÎÁ ÔÅÍÕ Ï ÏÅÒÅÞÎÉËÁÈ. îÏ ÚÁÔÅÍ, ÏÄ ×ÌÉÑÎÉÅÍ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ Ó ÒÏÂÌÅÍÏÊ çÉÌØÂÅÒÔÁ Ï ÓÕÅÒÏÚÉ ÉÑÈ ÆÕÎË ÉÊ É ÍÏÄÎÏÊ ÔÏÇÄÁ ÔÅÏÒÉÅÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÜÔÁ ÔÅÍÁÔÉËÁ ÓÔÁÌÁ ÁËÔÉ×ÎÏ ÒÁÚ×É×ÁÔØÓÑ. ÷ ÜÔÏÔ ÅÒÉÏÄ ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ× ÕÂÌÉËÕÅÔ ÒÑÄ ÒÁÂÏÔ, ËÏÔÏÒÙÅ ÓÔÁÌÉ ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÉÍÉ ÄÌÑ ÅÅ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ. ïÎ ××ÅÌ ÒÑÄ ×ÅÌÉÞÉÎ, ËÏÔÏÒÙÅ Ó ÒÁÚÎÙÈ ÔÏÞÅË ÚÒÅÎÉÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÀÔ ÁÒÏËÓÉÍÁÔÉ×ÎÙÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á (ÒÏÅË ÉÏÎÎÙÊ ÏÅÒÅÞÎÉË, ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÅÞÎÉË, ÏÅÒÅÞÎÉË Ï çÅÌØÆÁÎÄÕ, Ï âÅÒÎÛÔÅÊÎÕ É ÄÒ.) É ÏÌÕÞÉÌ ÒÑÄ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÄÌÑ ÎÉÈ, ÏÓÎÏ×Ù×ÁÑÓØ ÎÁ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎÎÙÈ ÉÍ ÖÅ ÍÅÔÏÄÁÈ, ËÏÔÏÒÙÅ ×ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ ÍÎÏÇÏËÒÁÔÎÏ ÒÉÍÅÎÑÌÉÓØ É ÏÂÏÂÝÁÌÉÓØ × ÄÅÓÑÔËÁÈ ÒÁÂÏÔ. ïÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÔÏÇ ÜÔÏÇÏ ÜÔÁÁ Ó×ÏÅÊ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÷ÌÁÄÉÍÉÒ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÏÄ×ÅÌ × ÍÏÎÏÇÒÁÆÉÉ [1℄. úÄÅÓØ ÍÙ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÏÄÉÎ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×Á, ËÏÔÏÒÙÊ ÄÁÅÔ ÏÂÝÉÊ ÏÄÈÏÄ Ë Ï ÅÎËÁÍ ÏÅÒÅÞÎÉËÏ× ÓÎÉÚÕ É ÏËÁÖÅÍ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ, ËÁË ÏÎ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ. ÅÏÒÅÍÁ (ÉÈÏÍÉÒÏ×Á Ï ÏÅÒÅÞÎÉËÅ ÛÁÒÁ). ðÕÓÔØ X | ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, Ln+1 | (n + 1)-ÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï X ,

> 0 É BLn+1 = {x ∈ Ln+1 | kxkX 6 }. ÏÇÄÁ

dn ( BLn+1; X ) = :

10

ç. ç. íÁÇÁÒÉÌ-éÌØÑÅ×

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÉÍÅÒ. ðÕÓÔØ X = C ([0; 1℄) | ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ x(·) ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 1℄ Ó ÎÏÒÍÏÊ kx(·)kC ([0;1℄) = 1 ([0; 1℄) | ËÌÁÓÓ ÆÕÎË ÉÊ x(·) ÎÁ [0; 1℄, = maxt∈[0;1℄ |x(t)|, C = W∞ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ ìÉÛÉ Á (Ó ËÏÎÓÔÁÎÔÏÊ ÅÄÉÎÉ Á), Ô. Å. |x(t) − x(t′ )| 6 |t − t′ | ÄÌÑ ×ÓÅÈ t; t′ ∈ [0; 1℄. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ n>1 dn (W∞1 ([0; 1℄); C ([0; 1℄)) = 21n :

ï ÅÎËÁ ÓÎÉÚÕ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Ln+1 ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÌÏÍÁÎÙÈ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 1℄ Ó ÉÚÌÏÍÁÍÉ × ÔÏÞËÁÈ tk = k=n, k = 1; : : : ; n − 1. ìÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ Ln+1 ÒÁ×ÎÁ n + 1 É ÞÔÏ ÅÓÌÉ x(·) ∈ Ln+1 É ÍÁËÓÉÍÕÍ ÍÏÄÕÌÅÊ ÕÇÌÏ×ÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× Ú×ÅÎØÅ× ÌÏÍÁÎÏÊ x(·) ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÅÄÉ1 ([0; 1℄). ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ kx(·)kC ([0;1℄) 6 1=2n, ÔÏ ÎÉ Ù, ÔÏ x(·) ∈ W∞ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÍÁËÓÉÍÕÍ ÍÏÄÕÌÅÊ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÅÄÉÎÉ Ù 1 ([0; 1℄). ïÔÓÀÄÁ, ÕÞÉÔÙ×ÁÑ ÏÞÅ×ÉÄÎÏÅ Ó×ÏÊÉ ÚÎÁÞÉÔ, (1=2n)BLn+1 ⊂ W∞ ÓÔ×Ï ÏÅÒÅÞÎÉËÁ: ÅÓÌÉ C1 ⊂ C2 , ÔÏ dn (C1 ; X ) 6 dn (C2 ; X ), ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ Ï ÔÅÏÒÅÍÅ ÉÈÏÍÉÒÏ×Á Ï ÏÅÒÅÞÎÉËÅ ÛÁÒÁ:   dn(W 1 ([0; 1℄); C ([0; 1℄)) > dn 1 BLn+1; C ([0; 1℄) = 1 :

2n

∞

2n

ï ÅÎËÁ Ó×ÅÒÈÕ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Ln ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÌÏÍÁÎÙÈ Ó ÉÚÌÏÍÁÍÉ × ÔÏÞËÁÈ k = (2k − 1)=2n, k = 1; : : : ; n − 1, É ÏÓÔÏÑÎÎÙÈ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÁÈ [0; 1 ℄ É [n−1 ; 1℄. ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ Ln | n-ÍÅÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ x(·) ∈ W∞1 ([0; 1℄). óÏÏÓÔÁ×ÉÍ ÜÔÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÌÏÍÁÎÕÀ (·) ∈ Ln ÔÁËÕÀ, ÞÔÏ  (k ) = x(k ), k = 1; : : : ; n − 1. ðÒÏÓÔÏÊ ÏÄÓÞÅÔ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ kx(·) −  (·)kC ([0;1℄) 6 1=2n. ÏÇÄÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÏÔ x(·) ÄÏ Ln × ÍÅÔÒÉËÅ C ([0; 1℄) ÔÅÍ ÂÏÌÅÅ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ 1=2n, Ô. Å. d(x(·); Ln ; C ([0; 1℄)) 6 1=2n. ðÅÒÅÈÏÄÑ ÓÌÅ×Á × ÜÔÏÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Å Ë ×ÅÒÈÎÅÊ ÇÒÁÎÉ Ï ×ÓÅÍ x(·) ∈ W∞1 ([0; 1℄), Á ÚÁÔÅÍ Ë ÎÉÖÎÅÊ ÇÒÁÎÉ Ï ×ÓÅÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÎÅ ×ÙÛÅ n, ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ dn (W 1 ([0; 1℄); C ([0; 1℄)) 6 1 : ∞

2n

÷ÍÅÓÔÅ Ó Ï ÅÎËÏÊ ÓÎÉÚÕ ÜÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÎÕÖÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ. 2. óÒÅÄÎÑÑ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ É ÎÁÉÌÕÞÛÉÅ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÑ ÎÁ ÎÅËÏÍÁËÔÎÙÈ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑÈ. ÷ ÔÅÏÒÉÉ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÊ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÒÁÂÏÔ

ó. î. âÅÒÎÛÔÅÊÎÁ, ÉÚÕÞÁÀÔÓÑ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÑ ÏÔÄÅÌØÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ É ËÌÁÓÓÏ× ÆÕÎË ÉÊ, ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÎÁ ×ÓÅÊ ÒÑÍÏÊ R. óÁÍ âÅÒÎÛÔÅÊÎ ××ÅÌ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÅËÉÊ ÁÎÁÌÏÇ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÏÌÉÎÏÍÏ×, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï B (R),  > 0, ËÏÔÏÒÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÕÖÅÎÉÑ ÅÌÙÈ ÆÕÎË ÉÊ f ÎÁ R, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ: ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ " > 0 ÎÁÊÄÅÔÓÑ

ðÑÔØ ÓÀÖÅÔÏ× Ï Ô×ÏÒÞÅÓÔ×Å ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×Á

11

ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ C" = C"(f ) > 0, ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ z ∈ C ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï |f (z )| 6 C" exp( + ")|z |. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ B (R) ÔÁËÏ×Ï: ÜÔÏ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÆÕÎË ÉÊ f ÎÁ R, Õ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ æÕÒØÅ (ËÁË ÏÂÏÂÝÅÎÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ) ÓÏÓÒÅÄÏÔÏÞÅÎÏ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [−; ℄. ÷ ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÇÏÄÙ ÏÑ×ÉÌÉÓØ ÄÒÕÇÉÅ ÓÒÅÄÓÔ×Á ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÑ ËÌÁÓÓÏ× ÆÕÎË ÉÊ ÎÁ ÒÑÍÏÊ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÓÌÁÊÎÏ× É ×ÅÊ×ÌÅÔÏ×. ëÕÓÏÞÎÏ-ÏÓÔÏÑÎÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ É ÌÏÍÁÎÙÅ | ÒÏÓÔÅÊÛÉÅ ÒÉÍÅÒÙ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÓÌÁÊÎÏ×. üÔÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á É ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á B (R) ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙ, Á ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ ÆÕÎË ÉÊ (ÓËÁÖÅÍ, ÓÏÂÏÌÅ×ÓËÉÅ ËÌÁÓÓÙ ÆÕÎË ÉÊ ÎÁ ÒÑÍÏÊ), ÄÌÑ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÎÉ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ | ÎÅËÏÍÁËÔÎÙ. ëÁË × ÜÔÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÓÒÅÄÓÔ×Á ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÑ? ïÄÉÎ ÉÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÏÄÈÏÄÏ× ÏÓÎÏ×ÁÎ ÎÁ ÏÎÑÔÉÉ ÓÒÅÄÎÅÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÉÓÔÏËÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ ×ÏÓÈÏÄÑÔ Ë ÒÁÂÏÔÁÍ ë. ûÅÎÎÏÎÁ Ï ÔÅÏÒÉÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÇÄÅ ÏÎ ÄÁÌ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ €ÜÎÔÒÏÉÉ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ ×ÒÅÍÅÎɁ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÓÉÇÎÁÌÁ ÎÁ ÒÑÍÏÊ Ó ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÍ ÓÅËÔÒÏÍ (Ô. Å. ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÉ ÜÔÏÇÏ ÓÉÇÎÁÌÁ ËÁË ÒÁÚ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ B (R)). ÷ 1956 ÇÏÄÕ á. î. ëÏÌÍÏÇÏÒÏ× ÍÏÄÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÌ ÜÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÄÌÑ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÏÂÙÞÎÙÈ (ÎÅ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ) ÆÕÎË ÉÊ. ðÅÒ×ÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ × ÜÔÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ | ÜÎÔÒÏÉÑ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ ×ÒÅÍÅÎÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÉÚ B (R) | ÂÙÌ ÏÌÕÞÅÎ ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×ÙÍ [2℄. ÷ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ ÷ÌÁÄÉÍÉÒ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ××ÅÌ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÕ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÕÀ ËÏÌÍÏÇÏÒÏ×ÓËÏÊ, ÎÏ ÏÔÒÁ×ÌÑÀÝÕÀÓÑ ÎÅ ÏÔ ÜÎÔÒÏÉÉ, Á ÏÔ ÏÅÒÅÞÎÉËÁ Ï ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ, ËÏÔÏÒÁÑ É ÏÌÕÞÉÌÉ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÓÒÅÄÎÅÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. óÕÔØ ÄÅÌÁ ÔÁËÏ×Á. îÁÞÎÅÍ Ó ÒÏÓÔÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ. ðÕÓÔØ Lh | ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÌÏÍÁÎÙÈ ÎÁ R Ó ÉÚÌÏÍÁÍÉ × ÔÏÞËÁÈ {kh}, k ∈ Z, h > 0. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ T > 0 ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ LhT ÓÕÖÅÎÉÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Lh ÎÁ ÏÔÒÅÚÏË [−T; T ℄. ìÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ LhT ÒÁ×ÎÁ 2T=h + 3, ÅÓÌÉ T=h | ÅÌÏÅ, É 2[T=h℄ + 3 (ÇÄÅ [T=h℄ | ÅÌÁÑ ÞÁÓÔØ T=h), ÅÓÌÉ T=h | ÎÅ ÅÌÏÅ, É ÏÔÓÀÄÁ ÌÅÇËÏ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ limT →∞ (dim LhT )=2T = h−1 . üÔÏ ÞÉÓÌÏ É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÒÅÄÎÅÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØÀ (ÉÌÉ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØÀ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ ×ÒÅÍÅÎÉ) ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Lh (ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÙ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÏÌÕÞÉÍ ÔÏÔ ÖÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ, ÅÓÌÉ ÂÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÔÏÌØËÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÅ ÌÏÍÁÎÙÅ). üÔÁ ÒÏ ÅÄÕÒÁ (Ó ÚÁÍÅÎÏÊ × ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÆÏÒÍÕÌÅ ÒÅÄÅÌÁ ÎÁ ÎÉÖÎÉÊ ÒÅÄÅÌ) ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÓÒÅÄÎÀÀ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÌÀÂÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÓÕÖÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁ [−T; T ℄ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ T > 0. óÉÔÕÁ ÉÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÌÏÖÎÅÅ, ÅÓÌÉ ÓÕÖÅÎÉÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁ [−T; T ℄ ÎÅ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÓÔÕÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÕÓÔØ L | ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÓËÁÖÅÍ, ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á C b(R) ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ x(·) ÎÁ ÒÑÍÏÊ Ó ÎÏÒÍÏÊ kx(·)kC b (R) = supt∈R |x(t)| É BC b(R) | ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ÛÁÒ × C b(R). ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ (L ∩ BC b(R))T |

12

ç. ç. íÁÇÁÒÉÌ-éÌØÑÅ×

ÓÕÖÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á L ∩ BC b(R) ÎÁ ÏÔÒÅÚÏË [−T; T ℄ É ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÓÕÖÅÎÉÅ ËÏÍÁËÔÎÏ × C ([−T; T ℄) (ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÎÁ [−T; T ℄ Ó ÏÂÙÞÎÏÊ ÎÏÒÍÏÊ) ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ T > 0. ÏÇÄÁ ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ Ó ÌÀÂÏÊ ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÒÉÂÌÉÚÉÔØ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÍÉ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ É ÚÎÁÞÉÔ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ " > 0 ËÏÎÅÞÎÁ ×ÅÌÉÞÉÎÁ K"(T; L; C b(R)) = min{n ∈ Z+ | dn ((L ∩ BC b(R))T ; C ([−T; T ℄)) < "}; ÇÄÅ dn ((L ∩ BC b(R))T ; C ([−T; T ℄)) | n-ÏÅÒÅÞÎÉË Ï ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á (L ∩ BC b(R))T × ÍÅÔÒÉËÅ C ([−T; T ℄). ñÓÎÏ, ÞÔÏ K" (T; L; C b (R)) | ÍÉÎÉÍÁÌØÎÁÑ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÁÒÏËÓÉÍÉÒÕÀÝÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï (L ∩ BC b (R))T Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ". ìÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ " → K" (T; L; C b (R)) ÎÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ ÒÉ ËÁÖÄÏÍ T > 0. óÒÅÄÎÅÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØÀ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á L × C b (R) ÎÁÚÏ×ÅÍ ×ÅÌÉÞÉÎÕ C (R)) dim(L; C b (R)) = lim lim inf K" (T; L; : 2T "→0 T →∞ ìÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÓÕÖÅÎÉÅ L ÎÁ [−T; T ℄ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏ, ÔÏ ÄÁÎÎÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÄÁÎÎÏÍÕ ×ÙÛÅ. ÷ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÓÒÅÄÎÅÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×Á, Ï ËÏÔÏÒÏÍ ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ ×ÙÛÅ, Ú×ÕÞÉÔ ÔÁË dim(B (R) ∩ C b(R); C b (R)) =  : b

ðÕÓÔØ  > 0. ÏÇÄÁ ÏÔÓÀÄÁ É ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ h É  ÔÁËÏ×Ù, ÞÔÏ 1=h = = =  , ÔÏ ÓÒÅÄÎÉÅ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ÌÏÍÁÎÙÈ É ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÉÚ B (R) ÒÁ×ÎÙ  . òÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÑ ×ÓÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÆÕÎË ÉÊ ÎÁ ÒÑÍÏÊ, Õ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÒÅÄÎÑÑ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ  , ÍÏÖÎÏ ÇÏ×ÏÒÉÔØ Ï ×ÙÂÏÒÅ ÎÁÉÌÕÞÛÅÇÏ ÓÒÅÄÉ ÎÉÈ ÄÌÑ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÉ ÔÏÇÏ ÉÌÉ ÉÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ÆÕÎË ÉÊ ÎÁ ÒÑÍÏÊ. ÏÞÎÅÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÓÒÅÄÎÉÊ  -ÏÅÒÅÞÎÉË Ï ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ É ÄÒÕÇÉÅ ÓÒÅÄÎÉÅ ÏÅÒÅÞÎÉËÉ É ÏÓÔÁ×ÉÔØ ÔÅ ÖÅ ×ÏÒÏÓÙ, ÞÔÏ É × ËÏÍÁËÔÎÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ: ÔÏÞÎÙÅ É ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉ ÔÏÞÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÜÔÉÈ ÏÅÒÅÞÎÉËÏ×, ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á É Ô. . üÔÏ ÏÒÅÄÅÌÉÌÏ ÎÏ×ÏÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ × ÔÅÏÒÉÉ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÊ | ÎÁÉÌÕÞÛÉÅ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÑ ÎÅËÏÍÁËÔÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ× ÆÕÎË ÉÊ. úÄÅÓØ ÏÌÕÞÅÎÏ ÍÎÏÇÏ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ×. ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÁËÔÉ×ÎÏ ÜÔÁ ÔÅÍÁÔÉËÁ ÒÁÚ×É×ÁÅÔÓÑ × ëÉÔÁÅ. 3. ðÒÉÎ É ìÁÇÒÁÎÖÁ. ÷ 1897 ÇÏÄÕ ìÁÇÒÁÎÖ ×ÙÓËÁÚÁÌ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ

ÒÉÎ É: €åÓÌÉ ÉÝÅÔÓÑ ÍÁËÓÉÍÕÍ ÉÌÉ ÍÉÎÉÍÕÍ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÍÎÏÇÉÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ ÍÅÖÄÕ ÜÔÉÍÉ ÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ ÉÍÅÅÔÓÑ Ó×ÑÚØ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÁÑ ÏÄÎÉÍ ÉÌÉ ÎÅÓËÏÌØËÉÍÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ, ÎÕÖÎÏ ÒÉÂÁ×ÉÔØ

ðÑÔØ ÓÀÖÅÔÏ× Ï Ô×ÏÒÞÅÓÔ×Å ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×Á

13

Ë ÆÕÎË ÉÉ, Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ, ÆÕÎË ÉÉ, ÚÁÄÁÀÝÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó×ÑÚÉ, ÕÍÎÏÖÅÎÎÙÅ ÎÁ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ, É ÉÓËÁÔØ ÚÁÔÅÍ ÍÁËÓÉÍÕÍ É ÍÉÎÉÍÕÍ ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÊ ÓÕÍÍÙ, ËÁË ÅÓÌÉ ÂÙ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ ÂÙÌÉ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ. ðÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÅ Ë ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ Ó×ÑÚÉ, ÏÓÌÕÖÁÔ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÓÅÈ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙȁ. ïÂÄÕÍÙ×ÁÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ × ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ, ÷ÌÁÄÉÍÉÒ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÒÉÛÅÌ Ë ×Ù×ÏÄÕ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÒÉÎ É (ÅÓÌÉ ÒÉÄÁÔØ ÅÍÕ ÞÕÔØ ÂÏÌÅÅ ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÏÅ ÔÏÌËÏ×ÁÎÉÅ) ÉÍÅÅÔ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÊ ÈÁÒÁËÔÅÒ: ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ×ÓÅ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÆÏÒÍÁÌØÎÏ ×Ù×ÅÄÅÎÙ, ÏÌØÚÕÑÓØ ÒÅ ÅÔÏÍ ìÁÇÒÁÎÖÁ. óÌÏ×Á ìÁÇÒÁÎÖÁ ÏÔÎÏÓÉÌÉÓØ Ë ÚÁÄÁÞÁÍ ×ÉÄÁ f0(x) → extr; fi(x) = 0; i = 1; : : : ; m; ÇÄÅ extr ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÌÉÂÏ ÍÁËÓÉÍÕÍ, ÌÉÂÏ ÍÉÎÉÍÕÍ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÒÅËÏÍÅÎÄÁ ÉÑÍ ÎÁÄÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÆÕÎË ÉÀ (ÆÕÎË ÉÀ ìÁÇÒÁÎÖÁ) ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ: Pm L(x; ) = i=0 i fi (x) (ÒÁÚÕÍÎÏ ÓÔÁ×ÉÔØ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ É Õ f0 ; ÜÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÒÏÄ×ÉÖÅÎÉÅ ÓÏ ×ÒÅÍÅÎ ìÁÇÒÁÎÖÁ, ÎÏ, ÒÁ×ÄÁ, ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ), ÇÄÅ  = (0 ; : : : ; m ) | ÎÁÂÏÒ €ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅʁ (ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ìÁÇÒÁÎÖÁ). äÁÌÅÅ ÎÁÄÏ ÉÓËÁÔØ ÍÁËÓÉÍÕÍ É ÍÉÎÉÍÕÍ ÆÕÎË ÉÉ L Ï x €ËÁË ÅÓÌÉ ÂÙ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ ÂÙÌÉ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍف, ÄÌÑ ÞÅÇÏ ÓÎÁÞÁÌÁ ÎÁÄÏ ×ÙÉÓÁÔØ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ: ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÎÕÌÀ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ. åÓÌÉ fi | ÆÕÎË ÉÉ n ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, ÔÏ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ n ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ. ïÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ i ÜÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙ É ÏÜÔÏÍÕ ÏÄÉÎ ÉÚ ÎÉÈ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÓËÁÖÅÍ, ÒÁ×ÎÙÍ ÅÄÉÎÉ Å. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÉÍÅÅÍ n + m ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (m ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó×ÑÚÉ) ÄÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ n + m ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ. ÏÞÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ (ÒÁ×ÉÌÏ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ìÁÇÒÁÎÖÁ) Ú×ÕÞÉÔ ÔÁË: ÅÓÌÉ ÆÕÎË ÉÉ fi, i = 0; 1; : : : ; m, ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÙ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ xb É × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÌÏËÁÌØÎÙÊ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ, ÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÎÁÂÏÒ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ìÁÇÒÁÎÖÁ P  =m (0 ; : : : ; m ), ÞÔÏ xb ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Lx(xb; ) = 0, Ô. Å. i=0 i fi′(xb) = 0, ÇÄÅ fi′ (xb) | ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ (ÇÒÁÄÉÅÎÔÙ ) ÆÕÎË ÉÊ fi, 0 6 i 6 m, × ÔÏÞËÅ xb. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÅÒØ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÕÀ ÚÁÄÁÞÕ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ Z t1 t0

f (t; x(t); u(t)) dt → min; x_ = '(t; x; u); u(t) ∈ U; x(t0 ) = x1 ; x(t1) = x1; (3.1)

É ÏÒÏÂÕÅÍ ÏÎÑÔØ ×ÉÄ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÍÉÎÉÍÕÍÁ × ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅ, ÓÌÅÄÕÑ ÆÏÒÍÁÌØÎÏ ÒÅËÏÍÅÎÄÁ ÉÑÍ ìÁÇÒÁÎÖÁ. ÷ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅ f É ' | ÆÕÎË ÉÉ ÔÒÅÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, U | ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÁ ÒÑÍÏÊ. ðÅÒÅÍÅÎÎÁÑ u ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÅÍ, Á x | ÆÁÚÏ×ÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ. éÎÔÅÒÅÓ Ë ÔÁËÏÇÏ ÓÏÒÔÁ ÚÁÄÁÞÁÍ ×ÏÚÎÉË × ÑÔÉÄÅÓÑÔÙÅ ÇÏÄÙ

14

ç. ç. íÁÇÁÒÉÌ-éÌØÑÅ×

ÒÏÛÌÏÇÏ ×ÅËÁ × ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ÚÁÒÏÓÙ ÒÁËÔÉËÉ: ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ÏÔÉÍÁÌØÎÏ (× ÔÏÍ ÉÌÉ ÉÎÏÍ ÓÍÙÓÌÅ) ÕÒÁ×ÌÑÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÒÏ ÅÓÓÁÍÉ, ÕÞÉÔÙ×ÁÑ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÓÔØ ÒÅÓÕÒÓÏ× (ÍÁÔÅÒÉÁÌØÎÙÈ, ÜÎÅÒÇÅÔÉÞÅÓËÉÈ É Ô. .). ÷ ÎÁÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÏ ÅÓÓ ÏÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ x_ = '(t; x; u) (ÎÁ €×ÈÏā ÏÄÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÅ u(·), ÎÁ €×ÙÈÏÄŁ ÏÌÕÞÁÅÍ x(·)). íÙ ÈÏÔÉÍ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÏÅ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÅ ub(·), ÞÔÏÂÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÆÁÚÏ×ÁÑ ÅÒÅÍÅÎÎÁÑ xb(·) × ÎÁÞÁÌØÎÙÊ É ËÏÎÅÞÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔÙ ×ÒÅÍÅÎÉ t0 É t1 ÒÉÎÉÍÁÌÁ ÚÎÁÞÅÎÉÑ x0 É x1 , ÞÔÏÂÙ ub(·) ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ t ∈ [t0 ; t1 ℄ ÎÅ ×ÙÈÏÄÉÌÏ ÚÁ ÒÅÄÅÌÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á U (ÏÔÒÁÖÁÀÝÅÇÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÓÔØ ÎÁÛÉÈ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ) É, ÎÁËÏÎÅ , ÞÔÏÂÙ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÂÙÌÏ ÏÔÉÍÁÌØÎÏ × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÎÁ ÁÒÅ (xb(·); ub(·)) ÒÉÎÉÍÁÌ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ. îÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÍÉÎÉÍÕÍÁ × ÏÄÏÂÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÂÙÌÉ ÏÌÕÞÅÎÙ × ÑÔÉÄÅÓÑÔÙÅ ÇÏÄÙ É ÏÌÕÞÉÌÉ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÒÉÎ ÉÁ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ ðÏÎÔÒÑÇÉÎÁ. üÔÏ ÏÄÎÏ ÉÚ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÑÒËÉÈ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÊ ÔÅÏÒÉÉ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÈ ÚÁÄÁÞ. âÕÄÅÍ ÓÍÏÔÒÅÔØ ÎÁ ÚÁÄÁÞÕ (3.1) ËÁË ÎÁ ÚÁÄÁÞÕ ÍÉÎÉÍÉÚÁ ÉÉ ÆÕÎË ÉÉ Ä×ÕÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x(·) É u(·), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍ. ïÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ x_ (t) − '(t; x(t); u(t)) = 0, t ∈ [t0 ; t1 ℄, ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ËÁË ËÏÎÔÉÎÕÕÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×, ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁÄÏ ÕÍÎÏÖÉÔØ ÎÁ €ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌ؁, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ (ÓÌÅÄÕÑ ÔÒÁÄÉ ÉÉ) p(t) É €ÓÌÏÖÉÔ؁, Ô. Å. ÒÏÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÔØ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÆÕÎË ÉÑ ìÁÇÒÁÎÖÁ ÚÁÄÁÞÉ (3.1) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ Z t1

L(x(·); u(·); )=

t0

(0 f (t; x(t); u(t)) + p(t)(x_ (t) − '(t; x(t); u(t))))dt+

+ 0 (x(t0 ) − x0 ) + 1 (x(t1 ) − x1 ); ÇÄÅ  = (0 ; p(·); 0 ; 1 ) | ÎÁÂÏÒ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ìÁÇÒÁÎÖÁ. ðÕÓÔØ (xb(·); ub(·)) | ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ. ÷ÙÉÛÅÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÍÉÎÉÍÕÍÁ ÆÕÎË ÉÉ ìÁÇÒÁÎÖÁ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ ÏÔÄÅÌØÎÏ Ï x(·) É Ï u(·). ðÏ x(·) | ÜÔÏ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ÚÁÄÁÞÁ âÏÌØ Á | ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÇÏ ×ÁÒÉÁ ÉÏÎÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ. åÓÌÉ ÏÂÏÚÎÁÞÉÔØ ÞÅÒÅÚ L ÏÄÙÎÔÅÇÒÁÌØÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ, ÔÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ × ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ −

db L (t) + Lbx(t) = 0 dt x_

⇔

p_(t) = −p(t)'bx(t) − 0fbx(t)

(3.2)

p(t0 ) = 0; p(t1 ) = −1:

(3.3)

(ÇÄÅ Lb x_ (t) = Lx_ (t; xb(t); xb_ (t); ub(t); 0 ; p(t)) É ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÄÌÑ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ Ó ËÒÙÛËÏÊ) É

Lbx_ (t0 ) = 0 ; Lbx_ (t1 ) = −1

⇔

îÅÔÒÕÄÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ub(·) ÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÍÉÎÉÍÕÍ Ï u(·) ÆÕÎË ÉÉ ìÁÇÒÁÎÖÁ, ÔÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ (É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ), ÞÔÏÂÙ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ t,

ðÑÔØ ÓÀÖÅÔÏ× Ï Ô×ÏÒÞÅÓÔ×Å ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×Á

15

ÇÄÅ ÆÕÎË ÉÑ ub(·) ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁ, ÆÕÎË ÉÑ L ÄÏÓÔÉÇÁÌÁ ÍÉÎÉÍÕÍÁ Ï u ∈ U × ÔÏÞËÅ ub(t), Ô. Å. min(0 f (t; xb(t); u) − p(t)'(t; xb(t); u)) = u∈U

= 0 f (t; xb(t); ub(t)) − p(t)'(t; xb(t); ub(t)): (3.4) íÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ ÜÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ × ÆÏÒÍÅ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ, ÏÍÅÎÑ× ÚÎÁËÉ ÅÒÅÄ 0 f É p' ÎÁ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÅ. óÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (3.2), (3.3) É (3.4) (× ÆÏÒÍÅ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ) É ÅÓÔØ ÒÉÎ É ÍÁËÓÉÍÕÍÁ ðÏÎÔÒÑÇÉÎÁ ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. ÏÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ÒÉ×ÏÄÉÔØ, ÎÏ ÓÕÔØ ÅÅ (ËÁË É × ÒÁ×ÉÌÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ìÁÇÒÁÎÖÁ) × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÎÁÂÏÒ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ìÁÇÒÁÎÖÁ , ÞÔÏ ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÑ (3.2){(3.4). òÅÛÅÎÉÅ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÒÉÎ ÉÁ ìÁÇÒÁÎÖÁ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, Ï ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÈÅÍÅ: ×ÙÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ, ÏÔÏÍ ÏÎÉ ÁÎÁÌÉÚÉÒÕÀÔÓÑ É × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÎÁÈÏÄÑÔ €ÏÄÏÚÒÅ×ÁÅÍÙʁ ÎÁ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÏÂßÅËÔ (ÓËÁÖÅÍ, ÆÕÎË ÉÀ). ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÒÏ×ÅÒÑÀÔ, ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÎÎÙÊ ÏÂßÅËÔ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÅÓÔØ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ (× ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÓÀÖÅÔÅ ÂÕÄÅÔ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎ ÒÉÍÅÒ). ÷ÁÖÎÏ ÒÉ ÜÔÏÍ ÏÔÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÚÁÞÁÓÔÕÀ ÎÁÍ ÎÕÖÎÁ ÌÉÛØ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ, ÄÌÑ ÞÅÇÏ ×ÏÌÎÅ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÌÁÄÅÎÉÑ ÒÉÎ ÉÏÍ ìÁÇÒÁÎÖÁ, Á ÎÅ ÚÎÁÎÉÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÔÏÞÎÏÇÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÉÎÏÇÄÁ ÔÁËÏÇÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ ÒÏÓÔÏ ÎÅÔ, Á ÒÉÎ É ìÁÇÒÁÎÖÁ ÄÁÅÔ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÏÒÉÅÎÔÉÒ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ. ÷ ÔÅÞÅÎÉÉ ÍÎÏÇÉÈ ÌÅÔ ÷ÌÁÄÉÍÉÒ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÒÏÁÇÁÎÄÉÒÕÅÔ ÒÉÎ É ìÁÇÒÁÎÖÁ ËÁË ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÊ ÒÉÅÍ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÁÍÙÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÈ ÚÁÄÁÞ. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÏËÁ ÅÇÏ ÉÄÅÑ: €ðÏÞÔÉ ×ÓÅ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ ÕÓÔÒÏÅÎÙ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï É ÒÅÛÁÀÔÓÑ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎρ ÅÝÅ ÎÅ €Ï×ÌÁÄÅÌÁ ÍÁÓÓÁÍɁ. äÏ ÓÉÈ ÏÒ ÏÑ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÁÂÏÔÙ, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÀ ÔÏÊ ÉÌÉ ÉÎÏÊ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÓÕÔØ ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ ÎÁ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÒÉÎ ÉÁ ìÁÇÒÁÎÖÁ. ïÓÏÂÅÎÎÏ ×ÁÖÎÏ ÏÎÉÍÁÎÉÅ ÒÉÎ ÉÁ ìÁÇÒÁÎÖÁ ÄÌÑ €ÏÔÒÅÂÉÔÅÌÅʁ ÔÅÏÒÉÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ (ÉÎÖÅÎÅÒÏ×, ÜËÏÎÏÍÉÓÔÏ×, ÕÒÁ×ÌÅÎ Å×), ËÏÔÏÒÙÍ ÜÔÁ ÔÅÏÒÉÑ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÒÅÏÄÎÏÓÉÔÓÑ ËÁË ÎÁÂÏÒ ÏÔÄÅÌØÎÙÈ ÒÅ ÅÔÏ× ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÔÏÇÏ ÉÌÉ ÉÎÏÇÏ ÔÉÁ. òÁÚÌÉÞÎÙÅ ×ÏÒÏÓÙ ÔÅÏÒÉÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÒÉÎ É ìÁÇÒÁÎÖÁ ÷ÌÁÄÉÍÉÒ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ ÒÏÄÕÍÙ×ÁÌ ÓÏ ÍÎÏÇÉÍÉ Ó×ÏÉÍÉ ÕÞÅÎÉËÁÍÉ É ËÏÌÌÅÇÁÍÉ, É × ÅÒ×ÕÀ ÏÞÅÒÅÄØ ÚÄÅÓØ ÓÌÅÄÕÅÔ ÎÁÚ×ÁÔØ áÌÅËÓÁÎÄÒÁ äÁ×ÉÄÏ×ÉÞÁ éÏÆÆÅ É ÷ÌÁÄÉÍÉÒÁ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÁ áÌÅËÓÅÅ×Á. óÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÉÚÌÏÖÅÎÉÅ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ × ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÒÉÎ ÉÁ ìÁÇÒÁÎÖÁ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ × ÍÏÎÏÇÒÁÆÉÉ [3℄.

16

ç. ç. íÁÇÁÒÉÌ-éÌØÑÅ×

4. îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ. îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ×ÉÄÁ kx(k) (·)kLq (T ) 6 K kx(·)kLp (T ) kx(n) (·)k Lr (T ) ;

(4.1)

ÇÄÅ 0 6 k < n, 1 6 p; q; r 6 ∞, T = R+ ÉÌÉ R É  > 0, > 0 (ÒÉ ÜÔÏÍ  É ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ k; n; p; q; r), ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ ËÏÌÍÏÇÏÒÏ×ÓËÏÇÏ ÔÉÁ ÉÌÉ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ ìÁÎÄÁÕ { ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Á. ÁËÏÅ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ × 1913 ÇÏÄÕ ü. ìÁÎÄÁÕ ÄÏËÁÚÁÌ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (4.1) ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÑ k = 1, n = 2, q = p = r = ∞ É T = R+ É ÎÁÛÅÌ ÎÁÉÌÕÞÛÕÀ (Ô. Å. ÎÁÉÍÅÎØÛÕÀ ÉÚ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ) ËÏÎÓÔÁÎÔ K × ÜÔÏÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Å, ËÏÔÏÒÁÑ ÏËÁÚÁÌÁÓØ ÒÁ×ÎÏÊ 2, Á × 1938 ÇÏÄÕ á. î. ëÏÌÍÏÇÏÒÏ× ÎÁÛÅÌ ÔÏÞÎÕÀ ËÏÎÓÔÁÎÔÕ × ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Å (4.1) ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÅÌÙÈ k É n, 1 6 k < n, q = p = r = ∞ É T = R . îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ×ÉÄÁ (4.1) ÒÉ×ÌÅËÁÌÉ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÍÎÏÇÉÈ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× (áÄÁÍÁÒ, îÁÄØ, èÁÒÄÉ, ìÉÔÔÌØ×ÕÄ, ðÏÌÉÁ É ÄÒ.). ÷ÓÌÅÓË ÉÎÔÅÒÅÓÁ Ë ÜÔÉÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍ ÒÏÉÚÏÛÅÌ × ÛÅÓÔÉÄÅÓÑÔÙÅ ÇÏÄÙ ÒÏÛÌÏÇÏ ×ÅËÁ × Ó×ÑÚÉ Ó ÚÁÄÁÞÅÊ Ï ÎÁÉÌÕÞÛÅÍ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÉ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ (ÏÂÙÞÎÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÑ) ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÍÉ ÏÅÒÁÔÏÒÁÍÉ, ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ó. â. óÔÅÞËÉÎÙÍ. âÙÌ ÏÌÕÞÅÎ ÒÑÄ ÎÏ×ÙÈ ÔÏÞÎÙÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ×. îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (4.1) ÉÇÒÁÀÔ ×ÁÖÎÕÀ ÒÏÌØ × ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÏÒÏÓÁÈ ÁÎÁÌÉÚÁ É ÔÅÏÒÉÉ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÊ. îÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ÔÏÞÎÏÊ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ × ÔÁËÏÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Å ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÒÅÛÅÎÉÀ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ kx(k) (·)kLq (T ) → max; kx(·)kLp (T ) 6 1 ; kx(n) (·)kLr (T ) 6 2 (4.2) ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ 1 > 0 É 2 > 0. ÷ ÎÁÞÁÌÅ ÓÅÍÉÄÅÓÑÔÙÈ ÇÏÄÏ× ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ× ÏÓÔÁ×ÉÌ ÏÂÝÕÀ ÚÁÄÁÞÕ kD 0 x(·)kLp0 (T ) → max; kD i x(·)kLpi (T ) 6 i ; i = 1; : : : ; m (ÇÄÅ D | ÏÅÒÁÔÏÒ (×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ) ÄÒÏÂÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÑ, T | ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÒÑÍÁÑ ÉÌÉ ÏÌÕÒÑÍÁÑ, ÎÏ, ÓËÁÖÅÍ, ÏÔÒÅÚÏË ÉÌÉ ×ÓÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Rn ) É ÒÅÄÌÏÖÉÌ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÅÅ, ÏÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÏÂÝÉÅ ÒÉÎ ÉÙ ÔÅÏÒÉÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÏÓÎÏ×ÎÁÑ ÅÌØ, ËÏÔÏÒÕÀ ÒÅÓÌÅÄÏ×ÁÌ ÷ÌÁÄÉÍÉÒ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ, ÚÁËÌÀÞÁÌÁÓØ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÉÓÙÔÁÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÉÉ, ÔÁË ËÁË ÒÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ pi ÍÏÄÅÌÉÒÕÅÔÓÑ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ×ÅÓØ ÓÅËÔÒ ÚÁÄÁÞ, ËÏÔÏÒÙÅ × ÎÅÊ ÉÚÕÞÁÀÔÓÑ (ÚÁÄÁÞÉ ×ÁÒÉÁ ÉÏÎÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ, ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ, ×ÙÕËÌÙÅ ÚÁÄÁÞÉ, ÚÁÄÁÞÉ Ó ÆÁÚÏ×ÙÍÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍÉ É Ô. Ä.). îÅ ÏÓÌÅÄÎÀÀ ÒÏÌØ ÉÇÒÁÌÁ, ËÏÎÅÞÎÏ, É ÜÓÔÅÔÉÞÅÓËÁÑ ÓÔÏÒÏÎÁ ÄÅÌÁ: ÔÏÞÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ËÒÁÓÉ×ÏÊ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ | ×ÓÅÇÄÁ ÎÅÍÁÌÏÅ ÕÄÏ×ÏÌØÓÔ×ÉÅ. þÅÒÅÚ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ×ÒÅÍÑ ×ÙÑÓÎÉÌÏÓØ, ÞÔÏ ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ ×ÓÅ ÒÅÛÅÎÎÙÅ Ë ÔÏÍÕ ×ÒÅÍÅÎÉ ÚÁÄÁÞÉ ×ÉÄÁ (4.2) ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ, Ï ÓÕÔÉ ÄÅÌÁ, ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ ÎÁ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÒÉÎ ÉÁ ìÁÇÒÁÎÖÁ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÔÁËÏÊ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎ-

ðÑÔØ ÓÀÖÅÔÏ× Ï Ô×ÏÒÞÅÓÔ×Å ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×Á

17

ÎÙÊ ÏÄÈÏÄ (ÒÅÛÅÎÉÅ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÍÅÔÏÄÁÍÉ ÔÅÏÒÉÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ) ÏÚ×ÏÌÉÌ ÓÒÁÚÕ Õ×ÉÄÅÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÏÂÏÂÝÅÎÉÑ ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ×, ÒÏÄ×ÉÎÕÔØÓÑ × ÒÅÛÅÎÉÉ ÎÏ×ÙÈ ÚÁÄÁÞ É Õ×ÉÄÅÔØ Ó×ÑÚÉ ÉÈ Ó ÄÒÕÇÉÍÉ ÚÁÄÁÞÁÍÉ ÔÅÏÒÉÉ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÊ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ ÎÁÊÄÅÍ ÔÏÞÎÕÀ ËÏÎÓÔÁÎÔÕ × ÏÄÎÏÊ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏÓÔÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ, ÎÏ ÒÉ ÜÔÏÍ ×ÁÖÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÓÈÅÍÁ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ ÂÕÄÅÔ ÔÁËÏÊ ÖÅ É ÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÌÀÂÏÇÏ ÄÒÕÇÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, ÇÄÅ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÔÏÞÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉ. äÏËÁÖÅÍ ÔÏÞÎÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï √ 1=2 1=2 kx(·)kC b (R+ ) 6 2 kx(·)kL2 (R+ ) kx_ (·)kL2 (R+ ) ; (4.3) ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÅ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÌÏËÁÌØÎÏ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ (Ô. Å. ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÏÔÒÅÚËÅ) ÆÕÎË ÉÊ x(·) ∈ L2 (R+ ), Õ ËÏÔÏÒÙÈ ÅÒ×ÁÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ x_ (·) ÔÁËÖÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ L2 (R+ ). ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÜÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÞÅÒÅÚ W21 (R+ ). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÁ W21 (R+ ) ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ Z Z 2 x(0) → max; x (t) dt 6 1; x_ 2(t) dt 6 1: (4.4) R+

R+

åÓÌÉ ÍÙ ÎÁÊÄÅÍ ÒÅÛÅÎÉÅ xb(·) ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÏÂÒÁÝÁÀÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, ÔÏ ÄÏËÁÖÅÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÔÏÞÎÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÕÓÔØ x(·) ∈ W21 (R+ ) É x(·) 6= 0. ÏÇÄÁ ÌÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ y(t) = ax(bt), ÇÄÅ a = (kx(·)kL2 (R+ ) kx_ (·)kL2 (R+ ) )−1=2 É b = kx(·)kL2 (R+ ) =kx_ (·)kL2 (R+ ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏÕÓÔÉÍÏÊ × (4.4) É ÏÜÔÏÍÕ y(0) = ax(0) 6 xb(0), ÉÌÉ x(0) 6 xb(0)kx(·)k1L=22(R+)kx_ (·)k1L=22(R+) : (4.5) ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÔÁËÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï 1=2 1=2 kx(·)kC b (R+ ) 6 x b(0)kx(·)kL2 (R+ ) kx_ (·)kL2 (R+ ) : (4.6) ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ x(·) ∈ W21 (R+ ) ÜÔÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÎÅ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ, ÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ  ∈ R+ , ÞÔÏ x( ) ÂÕÄÅÔ ÂÏÌØÛÅ ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ × (4.6) ÒÉ x(·) = x(·). îÏ ÎÁ ÆÕÎË ÉÉ x(t) = x(t− ) ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ × (4.6), ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÎÅ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÎÁ x(·), Á ÔÁË ËÁË x(0) = x( ), ÔÏ ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ Ó ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ (4.5). éÔÁË, ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á (4.3) ÏÓÔÁÌÏÓØ√ÎÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ (4.4) É ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ × ÎÕÌÅ ÒÁ×ÎÏ 2. æÕÎË ÉÑ ìÁÇÒÁÎÖÁ ÚÁÄÁÞÉ (4.4) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ Z  Z  2 2 L(x(·); ) = 0 x(0) + 1 x (t) dt − 1 + 2 x_ (t) dt − 1 ; R+

R+

18

ç. ç. íÁÇÁÒÉÌ-éÌØÑÅ×

ÇÄÅ  = (0 ; 1 ; 2 ). óÏÇÌÁÓÎÏ ÒÉÎ ÉÕ ìÁÇÒÁÎÖÁ, ÅÓÌÉ xb(·) | ÒÅÛÅÎÉÅ (4.4), ÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ×ÅËÔÏÒ , ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ ìÁÇÒÁÎÖÁ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÍÉÎÉÍÕÍÁ × ÔÏÞËÅ xb(·). úÁÄÁÞÁ ÍÉÎÉÍÉÚÁ ÉÉ ÆÕÎË ÉÉ ìÁÇÒÁÎÖÁ | ÜÔÏ ÚÁÄÁÞÁ âÏÌØ Á (Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ ÕÖÅ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÓÀÖÅÔÅ), ÒÁ×ÄÁ, ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍ ÒÏÍÅÖÕÔËÅ. îÅ ÏÂÒÁÝÁÑ ÎÁ ÜÔÏ ×ÎÉÍÁÎÉÑ, ×ÙÉÛÅÍ ÆÏÒÍÁÌØÎÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÍÉÎÉÍÕÍÁ. ïÎÉ ÚÁËÌÀÞÁÀÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÄÏÌÖÎÏ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ üÊÌÅÒÁ: b(t) + 21 xb(t) = 0 −22 x (4.7) É ÕÓÌÏ×ÉÅ ÔÒÁÎÓ×ÅÒÓÁÌØÎÏÓÔÉ:

22 xb_ (0) = 0 :

(4.8)

ðÒÏÁÎÁÌÉÚÉÒÕÅÍ ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, 1 É 2 ÎÅ ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ, ÉÂÏ, ÅÓÌÉ 1 = 0, ÔÏ ÉÚ (4.7) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÌÉÂÏ 2 = 0, ÌÉÂÏ xb(·) = 0. ÷ ÅÒ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÚ (4.8) ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ 0 = 0, Ô. Å. ×ÓÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ìÁÇÒÁÎÖÁ ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ, ÞÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ. ÷Ï ×ÔÏÒÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ xb(t) = at + b. îÏ ÜÔÁ ÆÕÎË ÉÑ ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ L2 (R+ ), ÅÓÌÉ ab 6= 0, Á ÅÓÌÉ a = b = 0, ÔÏ xb(·) = 0, ÞÔÏ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÔÏÖÅ ÎÅ ÔÁË Ï ÓÍÙÓÌÕ ÚÁÄÁÞÉ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ, ÞÔÏ É 2 6= 0. äÁÌÅÅ, 1 É 2 ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÏÄÎÏÇÏ ÚÎÁËÁ, ÔÁË ËÁË × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÉËÁËÏÅ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ (4.7) ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ L2 (R+ ). ðÏÓËÏÌØËÕ × ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÈ (4.7) É (4.8) ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ìÁÇÒÁÎÖÁ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÑ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ 1 > 0 É 2 > 0. ÏÇÄÁ ÉÚ (4.7) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ √

√

xb(t) = C1e−  = t + C2 e  = t: √ îÏ xb(·) ∈ L2 (R+ ), ÏÜÔÏÍÕ C2 = 0 É ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ xb(t) = C1 e−  = t . ÁË ËÁË xb(·) 6= 0, ÔÏ ÏÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ xb_ (0) 6= 0 É Ï ÓÍÙÓÌÕ ÚÁÄÁÞÉ ÑÓÎÏ, ÞÔÏ xb_ (0) < 0. ÏÇÄÁ ÉÚ (4.8) ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ 0 < 0 É ÍÏÖÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ 0 = −1. ëÏÎÓÔÁÎÔÙ C1 , 1 É 2 ÎÁÊÄÅÍ ÉÚ (4.8) É ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ 1

2

1

2

1

Z

R+

xb2(t) dt = 1;

Z

R+

üÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÊ ÏÄÓÞÅÔ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ

xb_2 (t) dt = 1:

xb(t) = 2e−t ; 1 = 2 = 2√1 2 : √

ñÓÎÏ, ÞÔÏ xb(·) ∈ W21 (R+ ).

2

ðÑÔØ ÓÀÖÅÔÏ× Ï Ô×ÏÒÞÅÓÔ×Å ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×Á

19

äÏËÁÖÅÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ xb(·) ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÚÁÄÁÞÉ (4.4). ïÎÁ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ (4.7). õÍÎÏÖÉÍ ÏÂÅ ÅÇÏ ÞÁÓÔÉ ÎÁ x(·) ∈ W21 (R+ ), ÒÏÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍ Ï R+, ÚÁÔÅÍ ÒÏÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍ × ÅÒ×ÏÍ ÓÌÁÇÁÅÍÏÍ Ï ÞÁÓÔÑÍ1) É ÏÄÓÔÁ×ÉÍ ×ÍÅÓÔÏ xb(·), 1 , 2 ÉÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ. ÏÇÄÁ ÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ x(·) ∈ W21 (R+ ) ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï Z Z −t x(0) = e x(t) dt − e−t x_ (t) dt: R+

R+

(ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔØ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÌÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ É ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ). ðÕÓÔØ x(·) | ÄÏÕÓÔÉÍÁÑ ÆÕÎË ÉÑ × ÚÁÄÁÞÅ (4.4). ðÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ ëÏÛÉ { âÕÎÑËÏ×ÓËÏÇÏ Z 1=2 x(0) 6 e−2t dt kx(·)kL2 (R+)+ R+ Z 1=2 √ −2t + e dt kx_ (·)kL2 (R+) 6 √12 + √12 = 2: R+

√

îÏ xb(0) = 2 É ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, xb(·) | ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ (4.4). îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (4.3) ÄÏËÁÚÁÎÏ. ïÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÄÈÏÄÁ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉÎ ÉÅ ìÁÇÒÁÎÖÁ, Ë ÚÁÄÁÞÁÍ Ï ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÈ ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ É ÉÈ ×ÚÁÉÍÏÓ×ÑÚÑÍ Ó ÄÒÕÇÉÍÉ ÚÁÄÁÞÁÍÉ ÔÅÏÒÉÉ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÊ ÓÍ. × [4℄.

5. ÷ÙÕËÌÙÊ ÁÎÁÌÉÚ. ÷ÙÕËÌÙÊ ÁÎÁÌÉÚ | ÒÁÚÄÅÌ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÇÄÅ ÉÚÕÞÁÀÔ ×ÙÕËÌÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ×ÙÕËÌÙÅ ÆÕÎË ÉÉ É ×ÙÕËÌÙÅ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ. òÁÂÏÔÙ ÷ÌÁÄÉÍÉÒÁ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÁ Ï ×ÙÕËÌÏÍÕ ÁÎÁÌÉÚÕ ÏÞÅÎØ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙ É Ó×ÑÚÁÎÙ ËÁË ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ Ó ÒÁÚ×ÉÔÉÅÍ ÜÔÏÊ ÄÉÓ ÉÌÉÎÙ, ÔÁË É Ó ÒÉÌÏÖÅÎÉÑÍÉ ÅÅ Ë ÚÁÄÁÞÁÍ ÔÅÏÒÉÉ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÊ É ÔÅÏÒÉÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ. îÏ ×ÁÖÎÏ É ÔÏ, ÞÔÏ ÏÄ ×ÌÉÑÎÉÅÍ ÜÔÉÈ ÒÁÂÏÔ ÓÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÌÓÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ×ÚÇÌÑÄ ÎÁ ÒÅÄÍÅÔ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÏËÁÚÁÌÓÑ ×ÅÓØÍÁ ÌÏÄÏÔ×ÏÒÎÙÍ, ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÄÌÑ ÒÉÌÏÖÅÎÉÊ. óÕÔØ ÜÔÏÇÏ ×ÚÇÌÑÄÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÓÎÏ×ÎÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ | ÜÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× É ÏÒÏÖÄÅÎÎÏÅ ÉÍÉ ×ÙÕËÌÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ. ðÏÑÓÎÉÍ ÓËÁÚÁÎÎÏÅ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÓÏÒÑÖÅÎÉÑ ÄÌÑ ËÏÎÕÓÏ× É ÚÁÔÅÍ ÒÉÍÅÎÉÍ ÜÔÏ Ë ×ÏÒÏÓÕ Ï ËÒÉÔÅÒÉÑÈ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÒÅÛÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×.

õÞÉÔÙ×ÁÑ,R ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÉ ÉÚ W (R ) ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÙ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, R t x( ) x_ ( ) d = R = x ( )|t − t x( ) x_ ( ) d . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, 2 t x( ) x_ ( ) d = x (t) − x (0). ïÔÓÀÄÁ, ÒÉÍÅÎÑÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ëÏÛÉ { âÕÎÑËÏ×ÓËÏÇÏ, ÏÌÕÞÉÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï x (t) 6 x (0) + R  = R  = + 2 + x ( ) d ÄÌÑ ×ÓÅÈ t ∈ R . + x_ ( ) d 1)

1 2

2

0

0

2

R

+

2

0

1 2

2

R

0

2

1 2

+

2

2

20

ç. ç. íÁÇÁÒÉÌ-éÌØÑÅ×

ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Rn ÏÂÙÞÎÏÅ Å×ËÌÉÄÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ×ÅËÔÏÒx1  ÓÔÏÌ Ï× x = ... , Á ÞÅÒÅÚ (Rn )′ | Å×ËÌÉÄÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ×ÅËÔÏÒxn P ÓÔÒÏË y = (y1 ; : : : ; yn ). åÓÌÉ y ∈ (Rn )′ , ÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ x 7→ y ·x = ni=1 yixi ÅÓÔØ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ É ÌÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ ÎÁ Rn ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ × ÔÁËÏÍ ×ÉÄÅ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÅÍ (Rn )′ Ó ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ×ÓÅÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÏ× ÎÁ Rn É ÇÏ×ÏÒÉÍ, ÞÔÏ (Rn )′ | Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ë Rn . óÏÏÓÔÁ×ÉÍ ËÁÖÄÏÍÕ ×ÙÕËÌÏÍÕ ËÏÎÕÓÕ C ∈ Rn ËÏÎÕÓ C ∗ ∈ (Rn )′ (ËÏÔÏÒÙÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÍ ËÏÎÕÓÏÍ Ë C ) Ï ÆÏÒÍÕÌÅ: C ∗ = = { y ∈ (Rn )′ | y · x > 0; ∀ x ∈ C }. ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÜÔÏ ×ÙÕËÌÙÊ ËÏÎÕÓ (É ÄÁÖÅ ÚÁÍËÎÕÔÙÊ). óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ € ∗ . ðÏ×ÔÏÒÎÏÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ËÏÎÕÓÕ C ∗∗ = (C ∗ )∗ = = { x ∈ Rn | y · x > 0; ∀ y ∈ C ∗ }. üÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏ ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ, ÞÔÏ C ⊂ C ∗∗ . óÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ C | ×ÙÕËÌÙÊ ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ËÏÎÕÓ, ÔÏ C ∗∗ = C: (5.1) äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÅÓÔØ ÒÏÓÔÏÅ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ ÏÔÄÅÌÉÍÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ ÏÔ ÚÁÍËÎÕÔÏÇÏ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. åÓÌÉ C1 É C2 | ×ÙÕËÌÙÅ ËÏÎÕÓÙ, ÔÏ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, C1 + C2 É C1 ∩ C2 | ÔÁËÖÅ ×ÙÕËÌÙÅ ËÏÎÕÓÙ. äÁÌÅÅ, ÅÓÌÉ C | ×ÙÕËÌÙÊ ËÏÎÕÓ × Rn É A : Rn → Rm | ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ (ËÏÔÏÒÙÊ ÂÕÄÅÍ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÔØ Ó ÅÇÏ ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÒÁÚÍÅÒÁ m × n × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÂÁÚÉÓÁÈ Rn É Rm É ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÔÏ ÖÅ ÂÕË×ÏÊ), ÔÏ ÏÂÒÁÚ (ÒÏÏÂÒÁÚ) C ÒÉ ÄÅÊÓÔ×ÉÉ A, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ AC (CA), ÅÓÔØ ÓÎÏ×Á ×ÙÕËÌÙÊ ËÏÎÕÓ × Rm (Rn). ÷ÙÕËÌÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÓÌÕÞÁÑ | ÜÔÏ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÈ ËÏÎÕÓÏ× ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ. äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÉÈ ×ÙÉÓÁÔØ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÅÝÅ ÏÅÒÁÔÏÒ A∗ : (Rm )′ → (Rn )′ | ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÊ Ë A, ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÊ Ï ÒÁ×ÉÌÕ A∗ y = yA. éÔÁË, ÆÏÒÍÕÌÙ ×ÙÇÌÑÄÑÔ ÔÁË: (a) (C1 ∩ C2 )∗ = C1∗ + C2∗ (b) (C1 + C2 )∗ = C1∗ ∩ C2∗ ( ) (AC )∗ = C ∗ A∗ (d) (CA)∗ = A∗ C ∗ : æÏÒÍÕÌÙ (b) É ( ) ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÂÅÚ ËÁËÉÈ-ÌÉÂÏ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÊ (É ÒÏ×ÅÒÑÀÔÓÑ ÂÅÚ ÔÒÕÄÁ). äÌÑ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔÉ ÆÏÒÍÕÌ (a) É (d) ÔÒÅÂÕÀÔÓÑ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ, ÎÏ ÏÎÉ ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ËÏÎÕÓÙ ÏÌÉÜÄÒÁÌØÎÙ, Ô. Å. Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑÍÉ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ÏÌÕÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×. íÏÖÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ×ÙÛÅ ÏÅÒÁ ÉÉ ÅÒÅ×ÏÄÑÔ ÏÌÉÜÄÒÁÌØÎÙÅ ËÏÎÕÓÙ × ÏÌÉÜÄÒÁÌØÎÙÅ. ðÅÒÅÊÄÅÍ Ë ÒÉÌÏÖÅÎÉÑÍ. åÓÌÉ A | ÍÁÔÒÉ Á ÒÁÚÍÅÒÁ m × n É b ∈ Rm , ÔÏ ÓÉÓÔÅÍÙ m ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ É ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× Ó n ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ

ðÑÔØ ÓÀÖÅÔÏ× Ï Ô×ÏÒÞÅÓÔ×Å ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×Á

21

ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÚÁÉÓÁÎÙ ÔÁË: Ax = b É Ax 6 b, ÇÄÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÏÎÉÍÁÅÔÓÑ ÏËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏ. ðÅÒ×ÏÅ, ÞÔÏ ÍÙ ×ÙÑÓÎÉÍ | ÜÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Õ ÓÉÓÔÅÍÙ Ax = b ÉÌÉ, ÄÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ËÏÇÄÁ b ∈ ARn+ , ÇÄÅ Rn+ = {x ∈ Rn | x > 0}. ñÓÎÏ, ÞÔÏ Rn+ | ÏÌÉÜÄÒÁÌØÎÙÊ ËÏÎÕÓ. ÷ ÓÉÌÕ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (5:1), ÆÏÒÍÕÌÙ ( ) É ÏÞÅ×ÉÄÎÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (Rn+ )∗ = Rn+, ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ ARn+ = ((ARn+)∗ )∗ = (Rn+A∗ )∗ ; Ô. Å. b ∈ ARn+ × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ y · b > 0 ÄÌÑ ÔÅÈ y ∈ (Rm )′ , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ A∗ y > 0. üÔÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ íÉÎËÏ×ÓËÏÇÏ { æÁÒËÁÛÁ. óÌÅÄÕÀÝÉÊ ×ÏÒÏÓ: ËÁËÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÒÅÛÅÎÉÑ Õ ÓÉÓÔÅÍÙ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× Ax 6 b? äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ËÏÇÄÁ b ∈ ARn + Rm + ? ÷ ÓÉÌÕ (5:1), (b), ( ) É ÔÏÇÏ, ÞÔÏ (Rn )∗ = {0}, ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ ARn + Rm+ = ((ARn + Rm+ )∗ )∗ = ((Rn)∗ A∗ ∩ (Rm+ )∗ )∗ = (0A∗ ∩ Rm+ )∗: îÏ 0A∗ | ÜÔÏ ÑÄÒÏ A∗ É ÏÜÔÏÍÕ b ∈ ARn + Rm + × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ∗ × ÔÏÍ m ′ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ y · b > 0 ÄÌÑ ÔÅÈ y ∈ (R ) , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ y > 0 É A y = 0. üÔÏ ÔÁËÖÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ëÉ æÁÎÑ (æÁÎØ ãÚÉ). îÁËÏÎÅ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÓÔÁ×ÉÔØ ×ÏÒÏÓ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Õ ÓÉÓÔÅÍÙ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× Ax 6 b, Ô. Å. ËÏÇÄÁ b ∈ ARn+ + Rm +? ÷ ÓÉÌÕ (5:1), (b) É ( ) ÏÌÕÞÉÍ ARn+ + Rm+ = ((ARn+ + Rm+ )∗ )∗ = ((Rn+)∗ A∗ ∩ (Rm+ )∗ )∗ = (Rn+A∗ ∩ Rm+ )∗ É ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, b ∈ ARn+ + Rm × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ y · b > 0 + × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ m ′ ∗ ÄÌÑ ÔÅÈ y ∈ (R ) , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ y > 0 É A y > 0. üÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ËÁË ÔÅÏÒÅÍÁ çÅÊÌÁ. åÓÌÉ ×ÙÕËÌÙÊ ËÏÎÕÓ | ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÔÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÊ ËÏÎÕÓ | ÜÔÏ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒ ÄÁÎÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ×ÙÕËÌÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÏÌÕÞÉÔØ ËÒÉÔÅÒÉÉ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÒÅÛÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ. íÎÏÇÉÅ ÆÁËÔÙ ÔÅÏÒÉÉ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÊ É ÔÅÏÒÉÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎÙ ËÁË ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ É ÆÏÒÍÕÌ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÄÌÑ ÔÅÈ ÉÌÉ ÉÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÈ ×ÙÕËÌÙÅ ÏÂßÅËÔÙ (×ÙÕËÌÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á É ×ÙÕËÌÙÅ ÆÕÎË ÉÉ) × ÓÅÂÑ. ÷ ÍÏÎÏÇÒÁÆÉÑÈ [5℄{[8℄ ÏÔÒÁÖÅÎÙ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ×ÏÚÚÒÅÎÉÑ ÷ÌÁÄÉÍÉÒÁ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞÁ ÎÁ ÒÅÄÍÅÔ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ É ÅÇÏ ×ÚÁÉÍÏÓ×ÑÚÉ Ó ÁÎÁÌÉÚÏÍ, ÇÅÏÍÅÔÒÉÅÊ, ÔÅÏÒÉÅÊ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ É ÔÅÏÒÉÅÊ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÊ.

22

ç. ç. íÁÇÁÒÉÌ-éÌØÑÅ×

óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

[1℄ ÉÈÏÍÉÒÏ× ÷. í. îÅËÏÔÏÒÙÅ ×ÏÒÏÓÙ ÔÅÏÒÉÉ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÊ . éÚÄ-×Ï íçõ, 1976. 304 Ó. [2℄ ÉÈÏÍÉÒÏ× ÷. í. ï "-ÜÎÔÒÏÉÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ËÌÁÓÓÏ× ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ // äáî óóóò, Ô. 117, ‚2, 1957, Ó. 191{194. [3℄ áÌÅËÓÅÅ× ÷. í., ÉÈÏÍÉÒÏ× ÷. í., æÏÍÉÎ ó. ÷. ïÔÉÍÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÅ . îÁÕËÁ, íÏÓË×Á, 1979. 429 Ó. [4℄ íÁÇÁÒÉÌ-éÌØÑÅ× ç. ç., ÉÈÏÍÉÒÏ× ÷. í. ï ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÈ ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ËÏÌÍÏÇÏÒÏ×ÓËÏÇÏ ÔÉÁ // íÁÔ. ÓÂÏÒÎÉË, Ô. 188, ‚12, 1997, Ó. 73{106. [5℄ éÏÆÆÅ á. ä., ÉÈÏÍÉÒÏ× ÷. í. ÅÏÒÉÑ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÈ ÚÁÄÁÞ . îÁÕËÁ, íÏÓË×Á, 1974. 479 Ó. [6℄ ÉÈÏÍÉÒÏ× ÷. í. ÷ÙÕËÌÙÊ ÁÎÁÌÉÚ . éÔÏÇÉ ÎÁÕËÉ É ÔÅÈÎÉËÉ. óÅÒÉÑ óÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. æÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙË ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ. ÷éîéé, íÏÓË×Á, 1987, Ó. 5{101. [7℄ íÁÇÁÒÉÌ-éÌØÑÅ× ç. ç., ÉÈÏÍÉÒÏ× ÷. í. ÷ÙÕËÌÙÊ ÁÎÁÌÉÚ É ÅÇÏ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ . õòóó, íÏÓË×Á, 2003 (2-ÏÅ ÉÚÄ.), 176 Ó. [8℄ Magaril-Il'yaev G. G., Tikhomirov V. M. Convex Analysis : Theory and Appli ations . AMS, Translations of Mathemati al Monographs, vol. 222, 2003, 183 p.

ç. ç. íÁÇÁÒÉÌ-éÌØÑÅ×, íÏÓËÏ×ÓËÉÊ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÉÎÓÔÉÔÕÔ ÒÁÄÉÏÔÅÈÎÉËÉ, ÜÌÅËÔÒÏÎÉËÉ É Á×ÔÏÍÁÔÉËÉ (ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ)

ðÒÏÂÌÅÍÙ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ

áÌÇÅÂÒÁ, ÁÎÁÌÉÚ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (ÓÉÎÔÅÔÉÞÅÓËÉÊ ËÕÒÓ) ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

÷×ÅÄÅÎÉÅ

ëÁË ÎÁÄÏ ÕÞÉÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ É ÞÅÍÕ? äÁ×ÁÊÔÅ ÏÒÁÚÍÙÛÌÑÅÍ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÓÔÏÉÔ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÂÏÇÁÔÅÊÛÉÍ ÏÙÔÏÍ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÎÁ ÍÅÈÁÎÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÆÁËÕÌØÔÅÔÅ íçõ. îÁÞÎÕ Ó ×ÏÓÏÍÉÎÁÎÉÊ. ñ ÏÓÔÕÉÌ ÎÁ ÍÅÈÁÎÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÆÁËÕÌØÔÅÔ íçõ × 1952 ÇÏÄÕ. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÔÄÅÌÅÎÉÅ ÍÅÈÍÁÔÁ ÓÏÓÔÏÑÌÏ × ÔÕ ÏÒÕ ÉÚ ×ÏÓØÍÉ ËÁÆÅÄÒ: ÁÎÁÌÉÚÁ (ÚÁ×ÅÄÕÀÝÉÍ ËÁÆÅÄÒÏÊ ÂÙÌ ÔÏÇÄÁ á. ñ. èÉÎÞÉÎ), ×ÙÓÛÅÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÔÏÏÌÏÇÉÉ (ð. ó. áÌÅËÓÁÎÄÒÏ×), ÁÌÇÅÂÒÙ (á. ç. ëÕÒÏÛ), ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ (÷. æ. ëÁÇÁÎ), ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (é. ç. ðÅÔÒÏ×ÓËÉÊ), ÔÅÏÒÉÉ ÆÕÎË ÉÊ É ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ (ä. å. íÅÎØÛÏ×), ÔÅÏÒÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ (á. î. ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×), ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ (á. ï. çÅÌØÆÏÎÄ). ÷ÁÖÎÕÀ ÒÏÌØ × ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÉ ÉÇÒÁÌÉ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÙÅ ËÕÒÓÙ. ÷ÏÔ ÓÉÓÏË ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÙÈ ËÕÒÓÏ×, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ, × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ, ÓËÌÁÄÙ×ÁÌÏÓØ ÍÏÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ: ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÁÎÁÌÉÚ (ÌÅËÔÏÒÙ ì. á. ÕÍÁÒËÉÎ É á. é. íÁÒËÕÛÅ×ÉÞ), ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ (ð. ó. áÌÅËÓÁÎÄÒÏ×), ÁÌÇÅÂÒÁ (á. ç. ëÕÒÏÛ), ÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (÷. ÷. îÅÍÙ ËÉÊ), ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ (ð. ë. òÁÛÅ×ÓËÉÊ), ÁÎÁÌÉÚ III (á. î. ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×), ÔÅÏÒÉÑ ÆÕÎË ÉÊ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ

24

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

ÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ (á. ï. çÅÌØÆÏÎÄ), ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÞÁÓÔÎÙÍÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÍÉ (ï. á. ïÌÅÊÎÉË), ×ÁÒÉÁ ÉÏÎÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ (é. í. çÅÌØÆÁÎÄ), ÔÅÏÒÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ (à. ÷. ðÒÏÈÏÒÏ×). ñ ÎÅÄÁÒÏÍ ÒÉ×ÅÌ ÓÉÓËÉ ÚÁ×ÅÄÕÀÝÉÈ ËÁÆÅÄÒÁÍÉ É ÌÅËÔÏÒÏ×. ðÏ-ÍÏÅÍÕ, ÏÎÉ Ó×ÉÄÅÔÅÌØÓÔ×ÕÀÔ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÍÅÈÍÁÔ íçõ × ÔÕ ÏÒÕ ÂÙÌ ÎÅÓÒÁ×ÎÅÎÎÙÍ Ï ËÏÎ ÅÎÔÒÁ ÉÉ ×ÙÄÁÀÝÉÈÓÑ ÕÞÅÎÙÈ ÓÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÏ× ÍÉÒÁ. ÷ ÏÄÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÒÉ×ÅÄÕ ÓÌÏ×Á ÷. é. áÒÎÏÌØÄÁ: €ðÌÅÑÄÁ ×ÅÌÉËÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×, ÓÏÂÒÁÎÎÙÈ ÎÁ ÏÄÎÏÍ ÆÁËÕÌØÔÅÔÅ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ Ñ×ÌÅÎÉÅ ÉÓËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏÅ, É ÍÎÅ ÎÅ ÒÉ×ÏÄÉÌÏÓØ ×ÓÔÒÅÞÁÔØ ÎÉÞÅÇÏ ÏÄÏÂÎÏÇÏ ÎÉÇÄÅ. (÷. é. áÒÎÏÌØÄ, €éÚÂÒÁÎÎÏÅ{60. í.: æÁÚÉÓ, 1997, Ó. 714.) é ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÄÁ×ÁÌÏÓØ × ÔÅ ÇÏÄÙ, ÂÙÌÏ ÏÞÅÎØ ×ÙÓÏËÏÇÏ ÒÁÎÇÁ. üÔÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÚÁËÌÁÄÙ×ÁÌÏÓØ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÎÁ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÙÈ ËÕÒÓÁÈ. úÎÁÎÉÑ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÎÁ ÎÉÈ, ÏÄËÒÅÌÑÌÉÓØ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÓÅÍÉÎÁÒÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ×ÅÌÉ ÏÙÔÎÅÊÛÉÅ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÉ-ÄÏ ÅÎÔÙ, ÉÍÅ×ÛÉÅ ÍÎÏÇÏÌÅÔÎÉÊ ÓÔÁÖ ÒÁÂÏÔÙ. îÁÚÏ×Õ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ: î. ä. áÊÚÅÎÛÔÁÔ, ÷. â. äÅÍÉÄÏ×ÉÞ, ó. á. çÁÌØÅÒÎ, ú. í. ëÉÛËÉÎÁ, á. ó. ðÁÒÈÏÍÅÎËÏ, é. ÷. ðÒÏÓËÕÒÑËÏ× É ÄÒÕÇÉÅ. îÏ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔØÀ ÍÅÈÍÁÔÁ íçõ ÔÏÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ ÂÙÌÏ ÉÚÏÂÉÌÉÅ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÈ ËÕÒÓÏ× É ÓÅ ÉÁÌØÎÙÈ ÓÅÍÉÎÁÒÏ×. óÒÅÄÉ ÓÅÍÉÎÁÒÏ×, ÓÙÇÒÁ×ÛÉÈ ×ÙÄÁÀÝÕÀÓÑ ÒÏÌØ × ÉÓÔÏÒÉÉ ÏÔÅÞÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ | ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÊ ËÒÕÖÏË ð. ó. áÌÅËÓÁÎÄÒÏ×Á, ÓÅÍÉÎÁÒ Ï ÔÅÏÒÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ á. î. ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Á É á. ñ. èÉÎÞÉÎÁ, ÓÅÍÉÎÁÒ Ï ÔÅÏÒÉÉ ÆÕÎË ÉÊ î. ë. âÁÒÉ É ä. å. íÅÎØÛÏ×Á, ÓÅÍÉÎÁÒ Ï ËÏÍÌÅËÓÎÏÍÕ ÁÎÁÌÉÚÕ í. á. ìÁ×ÒÅÎÔØÅ×Á É á. é. íÁÒËÕÛÅ×ÉÞÁ, ÓÅÍÉÎÁÒ Ï ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ Ó ÞÁÓÔÎÙÍÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÍÉ é. ç. ðÅÔÒÏ×ÓËÏÇÏ, ó. ì. óÏÂÏÌÅ×Á É á. î. ÉÈÏÎÏ×Á, ÓÅÍÉÎÁÒ Ï ×ÓÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ é. í. çÅÌØÆÁÎÄÁ É ÍÎÏÇÉÅ, ÍÎÏÇÉÅ ÄÒÕÇÉÅ. îÏ ×ÅÒÎÅÍÓÑ Ë ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÙÍ ËÕÒÓÁÍ. ïÎÉ, ËÁË ÜÔÏ ÍÏÖÎÏ ÕÓÍÏÔÒÅÔØ ÉÚ ÓÏÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÊ ÉÈ ÎÁÚ×ÁÎÉÊ Ó ÎÁÚ×ÁÎÉÑÍÉ ËÁÆÅÄÒ, ÒÁÓÒÅÄÅÌÑÌÉÓØ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, Ï ËÁÆÅÄÒÁÍ. ëÁÆÅÄÒÙ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ É ÔÅÏÒÉÉ ÆÕÎË ÉÊ É ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ ÉÍÅÌÉ Ä×Á ËÕÒÓÁ (ÅÒ×ÁÑ | Ï ÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ Ó ÞÁÓÔÎÙÍÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÍÉ, ×ÔÏÒÁÑ | Ï ËÏÍÌÅËÓÎÏÍÕ ÅÒÅÍÅÎÎÏÍÕ É ×ÁÒÉÁ ÉÏÎÎÏÍÕ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÀ). ëÕÒÓ €áÎÁÌÉÚ III, ÞÉÔÁ×ÛÉÊÓÑ ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×ÙÍ, ÂÙÌ ÏÓÏÂÅÎÎÙÍ. üÔÏ ÂÙÌ ÓÉÎÔÅÔÉÞÅÓËÉÊ ËÕÒÓ , ÓÏÅÄÉÎÑ×ÛÉÊ × ÓÅÂÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÔÅÏÒÉÉ ÆÕÎË ÉÊ, ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ É ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (ÒÁÎØÛÅ ÜÔÉ ÄÉÓ ÉÌÉÎÙ ÞÉÔÁÌÉÓØ ÏÒÏÚÎØ).

******

÷ ÔÅÞÅÎÉÅ ÏÓÌÅÄÎÉÈ Ä×ÕÈ ÌÅÔ ÍÎÅ ÄÏ×ÅÌÏÓØ ÒÅÏÄÁ×ÁÔØ × Ä×ÕÈ ÎÅÏÂÙÞÎÙÈ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁÈ | íÏÓËÏ×ÓËÏÍ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ É íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ âÒÅÍÅÎÁ. ÷ ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÅ ÏÔÒÁÖÅÎÙ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÄÅÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ×ÏÚÎÉËÌÉ Õ ÍÅÎÑ × Ó×ÑÚÉ Ó ÜÔÉÍ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÅÍ.

áÌÇÅÂÒÁ, ÁÎÁÌÉÚ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

25

óÌÏÖÉ×ÛÁÑÓÑ Õ ÎÁÓ × òÏÓÓÉÉ ÓÉÓÔÅÍÁ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÓËÏÇÏ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ (ÄÁ É ÍÎÏÇÏÇÏ ÄÒÕÇÏÇÏ) ÏÓÔÒÏÅÎÁ Ï ÔÁË ÓËÁÚÁÔØ €ÆÅÄÅÒÁÔÉ×ÎÏÍՁ ÒÉÎ ÉÕ, ËÏÇÄÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ, ËÁË ÓÔÒÁÎÁ, ÒÁÚÄÅÌÅÎÎÁÑ ÎÁ ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÅ ÛÔÁÔÙ: áÎÁÌÉÚÁ, áÌÇÅÂÒÙ, çÅÏÍÅÔÒÉÉ, äÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ÅÏÒÉÉ ÆÕÎË ÉÊ É ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ, ÅÏÒÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ. . . ÷ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ âÒÅÍÅÎÁ ××ÅÄÅÎ ÏÓÏÂÙÊ ËÕÒÓ, ËÏÔÏÒÙÊ Ñ ÎÅ ×ÓÔÒÅÞÁÌ × ÄÒÕÇÉÈ ÍÅÓÔÁÈ. ïÎ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ \òerspe tives of Mathemati s". üÔÏ ËÕÒÓ ÂÅÚ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÙ, ÞÉÔÁÅÍÙÊ Ï ÏÞÅÒÅÄÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ×ÓÅÍÉ ÒÏÆÅÓÓÏÒÁÍÉ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ ÄÌÑ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ÏÌÕÞÉ×ÛÉÈ ÕÖÅ ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÙÅ ÚÎÁÎÉÑ Ï ÁÎÁÌÉÚÕ É ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÅ. é ÍÎÅ ÒÉÛÌÁ × ÇÏÌÏ×Õ ÉÄÅÑ ÒÏÞÉÔÁÔØ ÓÉÎÔÅÔÉÞÅÓËÉÊ ËÕÒÓ Ï ×ÓÅÊ ÔÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ËÏÔÏÒÏÊ ÍÅÎÑ ÕÞÉÌÉ ÎÁ ÅÒ×ÙÈ Ä×ÕÈ ËÕÒÓÁÈ ÍÏÉ ÕÞÉÔÅÌÑ ÑÔØÄÅÓÑÔ Ó ÌÉÛÎÉÍ ÌÅÔ ÔÏÍÕ ÎÁÚÁÄ. ðÒÉ ÜÔÏÍ Ñ ÉÓÈÏÄÉÌ ÉÚ ÉÄÅÉ, ÞÔÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ | ÜÔÏ ÅÄÉÎÁÑ ÓÔÒÁÎÁ, ÅÄÉÎÏÅ ÕÎÉÔÁÒÎÏÅ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×Ï, É ÏÔÏÍÕ ×ÓÅ ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÓÏÅÄÉÎÉÔØ × ÅÄÉÎÏÍ ÉËÌÅ ÌÅË ÉÊ. úÄÅÓØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ ËÏÎÓÅËÔ ÞÅÔÙÒÅÈ ÌÅË ÉÊ ÜÔÏÇÏ ËÕÒÓÁ. ÷ ÅÒ×ÏÊ ÌÅË ÉÉ ÒÅÞØ ÉÄÅÔ Ï ÒÅÛÅÎÉÉ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ×Ï ×ÔÏÒÏÊ | Ï ËÏÎÉËÁÈ É Ë×ÁÄÒÉËÁÈ, ÚÁÔÅÍ Ï ÎÁÞÁÌÁÈ ÁÎÁÌÉÚÁ É, ÎÁËÏÎÅ , Ï ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÈ. ëÁÖÄÁÑ ÌÅË ÉÑ ÏÄÒÁÚÄÅÌÑÅÔÓÑ ÎÁ ÞÅÔÙÒÅ ÞÁÓÔÉ. ÷ €ÎÕÌÅ×Ïʁ ÞÁÓÔÉ ÒÅÞØ ÉÄÅÔ Ï ÒÅÄÙÓÔÏÒÉÉ, ÜÔÏ €ÇÕÍÁÎÉÔÁÒÎÙʁ ÆÒÁÇÍÅÎÔ, ÎÅ ÔÒÅÂÕÀÝÉÊ ËÁËÉÈ-ÔÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÎÁÎÉÊ. ïÎ ÅÝÅ ÁÄÒÅÓÏ×ÁÎ É ÄÅÄÕÛËÁÍ Ó ÂÁÂÕÛËÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÞÔÏ-ÔÏ ÈÏÔÑÔ ÒÅÏÄÁÔØ Ó×ÏÉÍ ×ÎÕËÁÍ. ÷ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÞÁÓÔÉ ÍÙ ×ËÒÁÔ Å ËÁÓÁÅÍÓÑ ÉÓÔÏËÏ× ÔÅÏÒÉÉ, É ÔÁÍ ÍÙ ÏÉÒÁÅÍÓÑ, × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ, ÎÁ ÛËÏÌØÎÙÅ ÚÎÁÎÉÑ. úÁÔÅÍ ÒÅÞØ ÉÄÅÔ Ï ÒÁÚ×ÉÔÉÉ ÔÅÍÙ; ÏÎÁ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÂÙ×ÁÅÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ × ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ×ÕÚÏ×ÓËÏÍ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ É ÎÁ ÅÒ×ÙÈ ËÕÒÓÁÈ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÏ×. ÷ ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÞÁÓÔÉ ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ, ÞÉÔÁÅÍÙÅ, ÄÁ É ÔÏ ÄÁÌÅËÏ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ, ÎÁ ÓÔÁÒÛÉÈ ËÕÒÓÁÈ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÏ×. ÷ ËÏÎ Å ÓÔÁÔØÉ ×ËÒÁÔ Å ÏÂÓÕÖÄÁÀÔÓÑ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÙÈ × ÎÅÊ ×ÏÒÏÓÏ× Ë ÄÒÕÇÉÍ ÒÁÚÄÅÌÁÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ É Ë ÅÓÔÅÓÔ×ÏÚÎÁÎÉÀ. ÷ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÞÁÓÔÑÈ ÌÅË ÉÊ ÒÅÞØ ÚÁÈÏÄÉÔ Ï ÚÎÁÍÅÎÉÔÙÈ ÔÒÕÄÁÈ, ÔÁËÉÈ ËÁË ÁÉÒÕÓ òÁÊÎÄÁ | ÄÒÅ×ÎÅÊÛÉÊ ÚÁÄÁÞÎÉË, ÉÚ×ÅÓÔÎÙÊ × ÉÓÔÏÒÉÉ ÎÁÕËÉ, €ëÏÎÉËɁ áÏÌÌÏÎÉÑ, \Nova methodus" ìÅÊÂÎÉ Á (ÅÒ×ÁÑ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÎÁÑ ÓÔÁÔØÑ Ï ÁÎÁÌÉÚÕ) É \Method of Flu tions" îØÀÔÏÎÁ, ÄÁÌÅÅ ÕÏÍÉÎÁÀÔÓÑ ÔÒÕÄÙ üÊÌÅÒÁ, ìÁÇÒÁÎÖÁ É ëÏÛÉ. ÷ ÚÁËÌÀÞÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÁÓÔÑÈ ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×Á æÒÅÄÇÏÌØÍÁ, ÔÅÏÒÅÍÁ çÉÌØÂÅÒÔÁ { ûÍÉÄÔÁ Ï ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁÔÏÒÁÈ, ÏÂÏÂÝÅÎÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ìÀÓÔÅÒÎÉËÁ Ï ÏÂÒÁÔÎÏÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ, ÔÅÏÒÅÍÙ ëÏÛÉ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ, ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ, ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÊ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÏÊ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÒÅÛÅÎÉÊ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ.

26

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

ïÓÎÏ×ÎÏÊ ÞÁÓÔÉ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÁÚÄÅÌ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÙÅ Ó×ÅÄÅÎÉÑ, × ËÏÔÏÒÏÍ ××ÏÄÑÔÓÑ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, × ËÏÔÏÒÙÈ ÒÅÄÓÔÏÉÔ ÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÔØ, Á ÔÁËÖÅ ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÀÔÓÑ ÔÒÉ ÒÉÎ ÉÁ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÔÒÉ ÒÉÎ ÉÁ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÚ ÜÔÉÈ ÒÉÎ ÉÏ× É ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÒÑÍÙÅ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ ÉÚ ÎÉÈ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ × ÒÉÌÏÖÅÎÉÉ. ÷ ÓÁÍÏÍ ËÏÎ Å ÓÔÁÔØÉ ÍÙ ×ÏÚ×ÒÁÝÁÅÍÓÑ Ë ×ÏÒÏÓÕ Ï ÔÏÍ, ÞÅÍÕ É ËÁË ÎÁÄÏ ÕÞÉÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ. ðÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÙÅ Ó×ÅÄÅÎÉÑ úÄÅÓØ ÓÏÂÒÁÎÙ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ, Á ÔÁËÖÅ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÆÁËÔÙ ÏÂÝÅÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ É ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÍ ÏÎÁÄÏÂÑÔÓÑ ÄÁÌÅÅ × ÚÁËÌÀÞÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÁÓÔÑÈ ÌÅË ÉÊ. ñ ÒÁÓÓÞÉÔÙ×ÁÀ ÎÁ ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ, ÉÍÅÀÝÉÈ ËÁËÏÅ-ÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ Ë ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÎÁ ÛËÏÌØÎÉËÏ×, ÅÊ ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÝÉÈÓÑ. üÔÏÊ ËÁÔÅÇÏÒÉÉ ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ ÉÓÈÏÄÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ × ÔÏÊ ÉÌÉ ÉÎÏÊ ÍÅÒÅ ÚÎÁËÏÍÙ, ÔÁË ÞÔÏ Ë ÍÁÔÅÒÉÁÌÕ ÜÔÏÇÏ ÒÁÚÄÅÌÁ ÏÎÉ ÍÏÇÕÔ ÏÂÒÁÝÁÔØÓÑ Ï ÍÅÒÅ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÉ ÞÔÅÎÉÉ ÓÔÁÔØÉ (ÉÌÉ ÅÅ ÏÔÄÅÌØÎÙÈ ÞÁÓÔÅÊ, ËÏÔÏÒÙÅ × ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ). é ÏÔÏÍÕ ×ÓÅ ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÙÅ Ó×ÅÄÅÎÉÑ ÎÁÂÒÁÎÙ ÅÔÉÔÏÍ.1) óÔÏÉÔ ÔÁËÖÅ ÒÅÄÕÒÅÄÉÔØ ÞÉÔÁÔÅÌÑ, ÞÔÏ ÞÁÓÔØ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÂÅÚ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, ÉÌÉ ÄÁÅÔÓÑ ÌÉÛØ ÏÓÎÏ×ÎÁÑ ÉÄÅÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á. ÁËÉÅ ÒÏÕÝÅÎÎÙÅ ÄÅÔÁÌÉ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÒÅËÏÍÅÎÄÕÅÔÓÑ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á É ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ

ïÓÎÏ×ÎÙÍ, ×ÁÖÎÅÊÛÉÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÄÌÑ ÎÁÓ Ñ×ÉÔÓÑ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ R. ÷ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÍÏÖÎÏ ÓËÌÁÄÙ×ÁÔØ, ×ÙÞÉÔÁÔØ É ÄÅÌÉÔØ (ÎÅÌØÚÑ, ×ÒÏÞÅÍ, ÄÅÌÉÔØ ÎÁ ÎÕÌØ). ÷ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÂÕÄÕÔ ÄÌÑ ÎÁÓ ÒÉÍÅÒÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ, ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÇÏ, ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ É ÂÁÎÁÈÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁÓ ÖÄÕÔ ×ÅÒÅÄÉ. n É (Rn ) . ëÒÏÍÅ R ÍÙ ÏÓÔÏÑÎÎÏ ÂÕÄÅÍ xÓÔÁÌËÉ×ÁÔØÓÑ Ó ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ R 1! üÌÅÍÅÎÔÙ Rn ÜÔÏ ÓÔÏÌ ٠... ÉÚ n ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ; ×ÅÓØ ÔÁËÏÊ ÓÔÏÌÂÅ x ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÏÄÎÏÊ ÂÕË×ÏÊ x nÉ ÉÓÁÔØ ÒÉ ÜÔÏÍ x ∈ Rn . ÁËÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ T ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ . åÓÌÉ x ∈ R , ÔÏ ÞÅÒÅÚ x ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÓÔÒÏËÁ (x ; : : : ; xn ). óÔÏÌ ٠ÍÏÖÎÏ ÏËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏ ÓËÌÁÄÙ×ÁÔØ É ÕÍÎÏÖÁÔØ ÎÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ: ÅÓÌÉ ! ! y1 x1 x1 ! x1 y1 ! .. , Á ÅÓÌÉ  ∈ R, ÔÏ x = ... . x = ... É y = ... , ÔÏ x + y = . ′

n

×ÅËÔÏÒÁÍÉ

1

+

xn

yn

xn +yn

xn

ó×ÅÄÅÎÉÑ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅÓÑ × ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ, ÉÚÌÏÖÅÎÙ × ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Å ÕÞÅÂÎÙÈ ËÎÉÇ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ. èÏÔÅÌ ÂÙ ÏÒÅËÏÍÅÎÄÏ×ÁÔØ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÓÔÁÔØÉ €âÁÎÁÈÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ρ, €÷ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ρ, €çÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ρ, €ëÏÍÁËÔÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ρ, €ëÏÍÁËÔÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏҁ, €íÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ρ, €ÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ρ × ËÎ. €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ üÎ ÉËÌÏÅÄÉс, 5ÔÔ., í.: óÏ×ÅÔÓËÁÑ ÜÎ ÉËÌÏÅÄÉÑ, 1977. 1)

áÌÇÅÂÒÁ, ÁÎÁÌÉÚ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

27

ëÒÏÍÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Rn ×ÅËÔÏÒÏ×-ÓÔÏÌ Ï× ÂÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï (Rn ) ×ÅËÔÏÒÏ×-ÓÔÒÏË. Rn É (Rn ) ÄÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÒÉÍÅÒÙ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, Ô. Å. ÍÎÏÖÅÓÔ× X Ó Ä×ÕÍÑ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ | ÓÌÏÖÅÎÉÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ Ó ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÁËÓÉÏÍÁÍÉ (ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ, ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ, ÎÁÌÉÞÉÑ ÎÕÌÑ É ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÄÌÑ ÓÌÏÖÅÎÉÑ É ÁËÓÉÏÍ ( )x = ( x), ( + )x = x + x É (x + y) = x + y, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÉÈ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ ÏÅÒÁ ÉÉ ÓÌÏÖÅÎÉÑ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÞÉÓÌÏ). ðÏÍÉÍÏ ×ÅËÔÏÒÏ× ÎÁÍ ×ÓÔÒÅÔÑÔÓÑ ÔÁÂÌÉ Ù ÒÁÚÍÅÒÏ× n × m, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ :   a ::: a n . ..  A=  .. . : ′

′

ÍÁÔ-

ÒÉ ÁÍÉ

11

1

am1 : : : amn

÷ÅËÔÏÒÙ ÉÚn ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ, ËÁË ÍÁÔÒÉ Ù ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÓÔÏÌ Á É n ÓÔÒÏË, ×ÅËÔÏÒÙ ÉÚ (R ) | ËÁË ÍÁÔÒÉ Ù ÉÚ ÏÄÎÏÊ ÓÔÒÏËÉ É n ÓÔÏÌ Ï×. ïÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÏÅÒÁ ÉÑ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ Ù A ÎÁ ×ÅËÔÏÒ. ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉ Ù A =1 a1 x ÎÁ ×ÅËÔÏÒ x ∈ Rn ÒÁ×ÎÏ ×ÅËÔÏÒÕ Ax =  ... ; ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÁ y ∈ (Rm ) Rn ′

Pn

j j

j

′

j =1 amj xj Pm P m a y yA a y ; : : : ; j =1 j 1 j j =1 jn j x·y y ∈ Rn

Pn

ÎÁ A | ÜÔÏ ×ÅËÔÏÒ = ( ). n , ÔÏ ÞÅÒÅÚ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ åÓÌÉ x ∈ (R ) , a √ ÓÕÍÍÕ x y + : : : + xn yn (ÜÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÒÁ×ÉÌÕ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ ). ÷ÅÌÉÞÉÎÕ xT · x ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ |x| É ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ×ÅËÔÏÒÁ x. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á R; Rn É (Rn ) ÄÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÒÉÍÅÒÙ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×. ÷ÏÔ ÞÔÏ ÜÔÏ ÔÁËÏÅ. ðÕÓÔØ ÚÁÄÁÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X É × ÎÅÍ ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×  , ÏÂÌÁÄÁÀÝÁÑ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ: Á) ÕÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï É ×Ó£ X ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ  , b) ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÌÀÂÏÊ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÉÚ  É ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÉÚ  ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ  . ÁËÁÑ ÁÒÁ (X;  ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ . íÎÏÖÅÓÔ×Á ÉÚ  ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ , ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ Ë ÏÔËÒÙÔÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ . ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ , ÅÓÌÉ ÉÚ ÌÀÂÏÇÏ ÅÇÏ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÏËÒÙÔÉÑ ÍÏÖÎÏ ×ÙÄÅÌÉÔØ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÏÄÏËÒÙÔÉÅ. ðÒÉÍÅÒÏÍ ËÏÍÁËÔÁ ÎÁ R ÍÏÖÅÔ ÓÌÕÖÉÔØ ÏÔÒÅÚÏË [a; b℄, −∞ < a < b < ∞. îÅÔÒÕÄÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Rn É (Rn ) , × ËÏÔÏÒÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔËÒÙÔÙÍ, ÅÓÌÉ ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÁÖÄÏÊ Ó×ÏÅÊ ÔÏÞËÏÊ  ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÔËÒÙÔÙÊ ÛÁÒ U (; ") = = {x ∈ Rn | |x − | < "} Ó ÅÎÔÒÏÍ ×  ÒÁÄÉÕÓÁ " ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ " > 0 (ÚÁ×ÉÓÑÝÅÍ ÏÔ ), ÓÔÁÎÏ×ÑÔÓÑ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÍÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ. ÷ÁÖÎÙÍ ÒÉÍÅÒÏÍ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. | ÜÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X , ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÆÕÎË ÉÑ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ, ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÁÑ ÁÒÅ (x ; x ) ∈ X × X ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ d(x ; x ) (ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ x É x ), ÒÁ×ÎÏÅ ÎÕÌÀ, ÅÓÌÉ É ÌÉÛØ ÅÓÌÉ x = x , ÏÂÌÁÄÁÀÝÅÅ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ d(x ; x ) = d(x ; x ) (ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ x É x ) É ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ: d(x ; x ) 6 d(x ; x ) + d(x ; x ) ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ x ; x ; x . íÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÍ, ÅÓÌÉ ÏÔËÒÙÔÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á × ÎÅÍ ÏÒÅÄÅÌÑÔØ, ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ËÏÔÏÒÙÅ ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÁÖÄÏÊ Ó×ÏÅÊ ÔÏÞËÏÊ  ÓÏÄÅÒÖÁÔ U (; ") = {x | d(x;  ) < "} (Ó ÅÎÔÒÏÍ ×  ÒÁÄÉÕÓÁ " ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ " > 0, ÚÁ×ÉÓÑÝÅÍ ÏÔ  ). ðÒÉÍÅÒÁÍÉ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÍÏÇÕÔ ÓÌÕÖÉÔØ ÒÑÍÁÑ R ( d(x; y) = |x − y|) É n-ÍÅÒÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Rn ÉÌÉ (Rn ) Ó d(x; y) = |x − y| = (Pni (xi − yi ) ) = . ′

1 1

ÍÏÄÕÌÅÍ

′

ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ

ÏÔËÒÙÔÙÍÉ

ÚÁÍËÎÕÔÙÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ËÏÍÁËÔÏÍ

′

íÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï

1

1

2

1

2

1

1

2

2

1

3

1

1

1

2

2

2

2

3

1

2

3

ÏÔËÒÙÔÙÊ ÛÁÒ

′

=1

2 1 2

2

28

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

þÁÓÔÎÙÍ ÓÌÕÞÁÅÍ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. üÔÏ ×ÅËÔÏÒÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á (X; k · kX ), × ËÏÔÏÒÙÈ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÏÒÍÁ k · kX : X → R , ÒÁ×ÎÁÑ ÎÕÌÀ ÌÉÛØ ÎÁ ÎÕÌÅ×ÏÍ ÜÌÅÍÅÎÔÅ É ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ ÁËÓÉÏÍÁÍ: kxkX = = || kxkX , ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ  ∈ R, x ∈ X É kx + x kX 6 kxkX + kx kX ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ x; x ∈ X . íÅÔÒÉËÁ × ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ d(x; x ) = kx − x kX . çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ n-ÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁPn×ÅËÔÏÒÏ×-ÓÔÒÏË x = (x ; : : : ; xn ), ÏÓÎÁÝÅÎÎÏÇÏn hx; y i = k xk yk (ÜÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ E ). ïÎÏ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÂÁÎÁÈÏ×ÙÍ, ÅÓÌÉ ÎÏÒÍÕ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ËÁË kxkE = phx; xi. ÷ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï (X; h·; ·i) ÓÏ ÓËÁÌÑÒÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ h·; ·i, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÍ ÁËÓÉÏÍÁÍ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (hx; xi > 0 ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ x ∈ X , ÒÉÞÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÌÉÛØ ÎÁ ÎÕÌÅ×ÏÍ ×ÅËÔÏÒÅ), ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ (hx; x i = hx ; xi ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ x; x ∈ X ) É ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ (hx +  x ; x i = hx; x i +  hx ; x i) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ . ïÂßÅËÔÏÍ ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÂÕÄÕÔ ÄÁÌÅÅ É ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ ÎÁ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÉÌÉ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ. ðÏÎÑÔÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ÉÌÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ (ËÁË É ÏÎÑÔÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á) ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ Ë ÞÉÓÌÕ ÉÚÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÏÎÑÔÉÊ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ. åÓÌÉ ÄÁÎÙ Ä×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X É Y , ÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ ÉÚ X × Y ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ f , ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ËÁÖÄÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ x ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X ÓÏÏÔÎÅÓÅÎÏ ÌÉÂÏ ÕÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÌÉÂÏ ÏÄÉÎ ÜÌÅÍÅÎÔ f (x) ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y . ðÒÉ ÜÔÏÍ ÉÛÕÔ: f : X → Y . (éÎÁÞÅ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ f : X → Y ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÁÒ (x; y) ( X×Y (x; y)), ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ËÁÖÄÏÍÕ x ∈ X ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÂÏ ÕÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÌÉÂÏ ÏÄÎÁ ÁÒÁ (x; y); ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÁÒ (x; f (x)) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ f ). ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÉÚ X × R ÎÁÚÙ×ÁÀÔ , Á ÅÓÌÉ X = Rn , ÔÏ . ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï dom f ⊂ X ÔÅÈ x, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ f (x) 6= ∅, | f ; ÅÓÌÉ A ⊂ X , ÔÏ {y ∈ Y | ∃ x ∈ A : y = f (x)} | A ⊂ X ÒÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ f (ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ f (A)), Á {x ∈ X | f (x) ∈ B } | B ⊂ Y (ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ f (B )). åÓÌÉ f (A) = Y , ÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f ÎÁÚÙ×ÁÀÔ . ðÕÓÔØ (X ;  ) É (X ;  ) | ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f : X → X ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ , ÅÓÌÉ ÒÏÏÂÒÁÚ ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÉÚ  ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ  (€ÒÏÏÂÒÁÚ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÏÔËÒÙԁ). æÕÎË ÉÑ f : X → R (ÇÄÅ X | ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ( ), ÅÓÌÉ ÅÅ ÌÅÂÅÇÏ×ÓËÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á L (f ) = {x | f (x) 6 } (M (f ) = {x | f (x) > }) ÚÁÍËÎÕÔÙ ÒÉ ÌÀÂÏÍ  ∈ R. ÷ ÓÌÕÞÁÅ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÂÏÌÅÅ ÒÉ×ÙÞÎÏÍÕ (Ó " É Æ). ðÕÓÔØ (X; d) | ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï É f | ÆÕÎË ÉÑ ÎÁ X . ïÎÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ  ∈ X , ÅÓÌÉ ÄÌÑ ×ÓÑËÏÇÏ " > 0 ÎÁÊÄÅÔÓÑ Æ > 0 ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ d(x;  ) < Æ , ÔÏ |f (x) − f ( )| < ". åÓÌÉ f ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ⊂ X , ÏÎÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ A. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ F : X → X ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á (X; d) × ÓÅÂÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ , ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ , 0 <  < 1, ÞÔÏ d(F (x); F (x )) 6 d(x; x ) ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ x; x ∈ X . íÎÏÖÅÓÔ×Ï × ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å (X; d) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ × X , ÅÓÌÉ ÅÇÏ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó X ; ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ⊂ X ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ X , ÅÓÌÉ ËÁÖÄÏÅ ÏÔËÒÙÔÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × X ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÔËÒÙÔÙÊ ÛÁÒ, ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÊÓÑ Ó A. ÷ÁÖÎÅÊÛÉÍ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï C ([a; b℄) ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [a; b℄, ÇÄÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ: d(f; g) = maxx a;b |f (x) − g(x)|. ðÕÓÔØ (X; d) | ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× {xn }n ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ , ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÜÌÅÍÅÎÔ x ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ nlim d(xn ; x) = = 0; ÏÎÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ , ">0 N ∈N ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ

+

′

′

′

′

Å×ËÌÉÄÏ×Á

ÓËÁÌÑÒÎÙÍ

1

ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ

′

=1

n

′

′ ′

′′

′′

′

′

′

′

′′

ÒÅÄÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÙÍ

ÄÅËÁÒÔÏ×Á ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ

×ÓÅÈ ÁÒ

ÇÒÁÆÉËÏÍ

ÏÎÁÌÁÍÉ

ÆÕÎË É-

ÆÕÎË ÉÑÍÉ

ÏÂÌÁÓÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ

ÏÂÒÁÚ

ÒÏ-

−1

ÏÂÒÁÚ

ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÙÍ 1

1

2

2

1

ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÍ

2

2

ÏÌÕÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÊ ÓÎÉÚÕ

Ó×ÅÒÈÕ

ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÊ × ÔÏÞËÅ

ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÊ ÎÁ

ÓÖÉÍÁÀÝÉÍ

′

′

′

×ÓÀÄÕ ÌÏÔÎÙÍ

ÎÉÇÄÅ ÎÅ ÌÏÔÎÙÍ ×

∈[

∈N

℄

ÓÈÏÄÑÝÅÊÓÑ

ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÏÊ

ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ

→∞ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÎÏÍÅÒ

1

áÌÇÅÂÒÁ, ÁÎÁÌÉÚ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

29

, n; m > N , d(xm ; xn ) < " ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÓÈÏÄÑÝÁÑÓÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÁ. íÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï (X; d) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ , ÅÓÌÉ × Î£Í ÌÀÂÁÑ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÈÏÄÑÝÅÊÓÑ. ðÒÉÍÅÒÁÍÉ ÏÌÎÙÈ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÑÍÁÑ R, ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á R É (Rn ) É ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï C ([a; b℄). ðÏÌÎÙÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÍÅÔÒÉËÉ d(x; x ) = kx − x kX ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ . åÓÌÉ X | ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÔÏ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ X ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÏ× ÎÁ ÎÅÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÁÎÁÈÏ×ÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ. äÅÊÓÔ×ÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ x ∈ X ÎÁnÜÌÅÍÅÎÔ X ∈ X ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ hx ; xi. ïÂÏÂÝÅÎÉÅÍ Å×ËÌÉÄÏ×ÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× E Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï | ×ÅËÔÏÒÎÏÅpÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÓÏ ÓËÁÌÑÒÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ, ÏÌÎÏÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÍÅÔÒÉËÉ d(x; y ) = hx − y; x − y i. çÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙÍ ÓÏ Ó×ÏÉÍ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÍ. é × ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÄÁÄÉÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÏÓÎÏ×ÎÏÇÏ ÏÎÑÔÉÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ | ÏÎÑÔÉÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ. ðÕÓÔØ X | ÏÄÎÏ ÉÚ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÒÅÞØ ÛÌÁ ×ÙÛÅ: ÌÉÂÏ R, ÌÉÂÏ Rn , ÌÉÂÏ ÂÁÎÁÈÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï (X; k · kX ), U | ÏÔËÒÙÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ÔÏÞËÕ xb É f : U → R { ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ fnÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÁ × ÔÏÞËÅ xb, ÅÓÌÉ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ a, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ | ×ÅËÔÏÒ a ∈ (R ) ÉÌÉ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ a ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å X ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ f (xb + x) = f (xb) + a[x℄ + r(x), ÇÄÅ a[x℄ × ÓÌÕÞÁÅ R ÜÔÏ ÒÏÓÔÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÞÉÓÅÌ a É x, × ÓÌÕÞÁÅ Rn | ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ a · x ×ÅËÔÏÒÁ a ∈ (Rn ) ÎÁ ×ÅËÔÏÒ a ∈ Rn , × ÂÁÎÁÈÏ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ | ÜÔÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ a ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔ x (Ô.Å. ha; xi), a r(x) = o(x), Á ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ xlim |rk(xxk)| = 0 (ÇÄÅ kxk × ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ |x|, Á × ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÍ | kxkX . ÔÁËÏÊ

ÞÔÏ ÅÓÌÉ

ÔÏ

.

ÏÌÎÙÍ

′

′

′

ÂÁÎÁÈÏ×ÙÍÉ

∗

∗

∗

∗

′

′

k k→0

ðÒÉÎ ÉÙ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ

.

I. ðÒÉÎ É ËÏÍÁËÔÎÏÓÔÉ ÷ÅÊÅÒÛÔÒÁÓÓÁ { ìÅÂÅÇÁ { âÜÒÁ ðÏÌÕÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÓÎÉÚÕ ÎÁ ËÏÍÁËÔÅ ÆÕÎË ÉÑ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ Ó×ÏÅÊ ÎÉÖÎÅÊ ÇÒÁÎÉ

.

.

II. ðÒÉÎ É ÒÁÚÒÅÖÅÎÎÏÓÔÉ âÜÒÁ ðÏÌÎÏÅ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÏ ËÁË ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÓÞÅÔÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÎÉÇÄÅ ÎÅ ÌÏÔÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×

.

. . ïÔÓÀÄÁ ÌÅÇËÏ ×Ù×ÏÄÉÔÓÑ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÓÔÅÅÎØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÖÉÍÁÀÝÅÊ, ÔÏ ÓÁÍÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÕÀ ÔÏÞËÕ. III. ðÒÉÎ É ÓÖÉÍÁÀÝÉÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ðÉËÁÒÁ { ëÁÞÞÉÏÏÌÌÉ { âÁÎÁÈÁ

óÖÉÍÁÀÝÅÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÏÌÎÏÇÏ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á × ÓÅÂÑ ÉÍÅÅÔ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÕÀ ÔÏÞËÕ

ÒÉ ÒÉÎ ÉÁ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ Ä×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A É B × ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å X ÓÔÒÏÇÏ ÏÔÄÅÌÉÍÙ , ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ x∗ ∈ X ∗ É ÞÉÓÌÏ " > 0 ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ minx∈Ahx∗; xi > maxx∈B hx∗ ; xi + ".

(ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÒÉÎ ÉÁ èÁÎÁ { âÁÎÁÈÁ). , . óÌÅÄÓÔ×ÉÅÍ ÜÔÏÇÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÁËÔ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÓÔÉ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÁ L = {x ∈ X | ∀x ∈ L hx ; xi = 0}: L X, X, L 6= {0} (ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÒÉÎ ÉÁ ÏÔËÒÙÔÏÓÔÉ âÁÎÁÈÁ). X Y : X → Y , , R: Y → X C, Ry = y kR(y)kX 6 C kykY y∈Y ðÒÉÎ É ÏÔÄÅÌÉÍÏÓÔÉ

úÁÍËÎÕÔÏÅ ×Ù-

ÕËÌÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÂÁÎÁÈÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÓÔÒÏÇÏ ÏÔÄÅÌÉÍÏ ÏÔ ÔÏÞËÉ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÅÊ ⊥ ∗

ÎÅ ÓÏ×ÁÄÁÀÝÅÅ Ó

∗

ÔÏ

∗

⊥

ÅÓÌÉ

| ÚÁÍËÎÕÔÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï

.

ÅÏÒÅÍÁ Ï ÒÁ×ÏÍ ÏÂÒÁÔÎÏÍ

É

| ÂÁÎÁÈÏ×Ù ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á,

ðÕÓÔØ

| ÌÉÎÅÊÎÙÊ

ÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ. ÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÔÁËÉÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÞÔÏ

,

ÅÍÕ ÎÅ

ÄÌÑ ×ÓÅÈ

.

ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÊ

ÓÀÒßÅËÔÉ×-

É ËÏÎÓÔÁÎÔÁ

30

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

ÏÏÌÏÇÉÑ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å X , ÓÏÒÑÖÅÎÎÏÍ Ë ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÏÍÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ X , ÏÒÏÖÄÅÎÎÁÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ (x; ) = {x | hx ; xi < }, x ∈ X ,  > 0 É ÉÈ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑÍÉ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ . . , , . ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ.

∗

∗

∗

ÓÌÁÂÏÊ

ðÒÉÎ É ËÏÍÁËÔÎÏÓÔÉ âÁÎÁÈÁ { áÌÁÏÇÌÕ ïÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÅ ×ÙÕËÌÏÅ ÚÁÍËÎÕÔÏÅ

ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÓÏÒÑÖÅÎÎÏÇÏ Ë ÂÁÎÁÈÏ×Õ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ ËÏÍÁËÔÎÏ × ÓÌÁÂÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ

1. ÅÏÒÉÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ 1.0. úÁÄÁÞÁ ÉÚ ÁÉÒÕÓÁ òÁÊÎÄÁ É ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÏÄÎÉÍ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ

äÒÅ×ÎÅÊÛÅÊ ÒÕËÏÉÓØÀ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÏÂÓÕÖÄÁÀÔÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ×ÏÒÏÓÙ, ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ €ðÁÉÒÕÓ òÁÊÎÄÁ (ÎÁÚ×ÁÎÎÙÊ Ï ÉÍÅÎÉ ÅÇÏ ×ÌÁÄÅÌØ Á, ÅÇÉÔÏÌÏÇÁ ç. òÁÊÎÄÁ), ÎÁÉÓÁÎÎÙÊ, ËÁË ÏÌÁÇÁÀÔ, 4000 ÌÅÔ ÔÏÍÕ ÎÁÚÁÄ. ÷ ÎÅÍ ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ. ÷ÏÔ ÚÁÄÁÞÁ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÁÉÒÕÓÁ: þÉÓÌÏ É ÓÅÄØÍÁÑ ÞÁÓÔØ ÜÔÏÇÏ ÞÉÓÌÁ × ÓÕÍÍÅ ÒÁ×ÎÙ ÄÅ×ÑÔÎÁÄ ÁÔÉ. þÅÍÕ ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÏ ?

(åÓÌÉ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÚÁÈÏÞÅÔÓÑ ÕÚÎÁÔØ, ËÁË ÅÇÉÔÑÎÉÎ ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÌ ÒÅÛÁÔØ ÜÔÕ ÚÁÄÁÞÕ, ÏÎ ÍÏÖÅÔ ÒÏÞÉÔÁÔØ Ï ÜÔÏÍ × ËÎÉÇÅ ç. ÷ÉÌÅÊÔÎÅÒÁ €èÒÅÓÔÏÍÁÔÉÑ Ï ÉÓÔÏÒÉÉ ÎÁÕËɁ, í.{ì.: ïîé, 1935, Ó. 14). äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁÄÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÏÄÎÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÏÄÎÉÍ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ: Ax = b; (1.1) 8 1 × ËÏÔÏÒÏÍ A = 1 + 7 = 7 É b = 19 ÉÚ×ÅÓÔÎÙ, Á x ÎÁÄÏ ÎÁÊÔÉ. ï ÔÏÍ, ËÁË ÒÅÛÁÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÏÄÎÉÍ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ, ÍÎÏÇÉÅ ÕÚÎÁÀÔ ÅÝÅ ÄÏ ÛËÏÌÙ: ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÒÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (1:1), ÎÁÄÏ ÏÄÅÌÉÔØ b ÎÁ A (É ÔÏÇÄÁ ÎÁÊÄÅÔÓÑ x = Ab ). ÷ ÚÁÄÁÞÅ ÉÚ ÁÉÒÕÓÁ òÁÊÎÄÁ x = 19 : 87 = 16 58 . 1.1. €óÅÍØ ÞÁÓÔÅÊ ÉÓËÕÓÓÔ×Á ÍÁÔÅÍÁÔÉËɁ É ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ Ä×ÕÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó Ä×ÕÍÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ

÷ ËÉÔÁÊÓËÏÍ ÕÞÅÂÎÉËÅ €óÅÍØ ÞÁÓÔÅÊ ÉÓËÕÓÓÔ×Á ÍÁÔÅÍÁÔÉËɁ, ÎÁÉÓÁÎÎÏÍ ×Ï ×ÒÅÍÑ ÄÉÎÁÓÔÉÉ èÁÎØ Ó×ÙÛÅ ×ÏÓÅÍÎÁÄ ÁÔÉ ×ÅËÏ× ÔÏÍÕ ÎÁÚÁÄ, ÅÓÔØ ÚÁÄÁÞÁ: ÷ ËÌÅÔËÅ ÆÁÚÁÎÙ É ËÒÏÌÉËÉ. õ ÎÉÈ ×ÍÅÓÔÅ 35 ÇÏÌÏ× É 94 ÎÏÇÉ. óËÏÌØËÏ × ËÌÅÔËÅ ÆÁÚÁÎÏ× É ÓËÏÌØËÏ ËÒÏÌÉËÏ× ? òÅÛÁÔØ ÔÁËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁÓ ÕÞÁÔ × ÛËÏÌÅ. ÷ ÍÏÅ ×ÒÅÍÑ ÄÅÔÅÊ ÕÞÉÌÉ ÒÅÛÁÔØ ÉÈ Ä×ÕÍÑ ÓÏÓÏÂÁÍÉ: ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉ (× ÞÅÔ×ÅÒÔÏÍ É ÑÔÏÍ ËÌÁÓÓÅ) É ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ (ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÛÅÓÔÏÇÏ). ðÒÉ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÍ ÒÅÛÅÎÉÉ ÎÁÄÏ ÂÙÌÏ ÒÁÓÓÕÖÄÁÔØ, ÓËÁÖÅÍ, ÔÁË. åÓÌÉ ÂÙ ×ÍÅÓÔÏ ËÒÏÌÉËÏ× ÂÙÌÉ ÂÙ

áÌÇÅÂÒÁ, ÁÎÁÌÉÚ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

31

ËÕÒÙ, Õ ÎÉÈ Ó ÆÁÚÁÎÁÍÉ ×ÍÅÓÔÅ ÂÙÌÏ ÂÙ ÓÅÍØÄÅÓÑÔ ÎÏÇ, ÎÁ Ä×ÁÄ ÁÔØ ÞÅÔÙÒÅ ÎÏÇÉ ÍÅÎØÛÅ. üÔÉ Ä×ÁÄ ÁÔØ ÞÅÔÙÒÅ ÎÏÇÉ ÏÌÕÞÉÌÉÓØ ÚÁ ÓÞÅÔ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ËÒÏÌÉËÏ× ÂÙÌÏ Ä×ÅÎÁÄ ÁÔØ, Á ÆÁÚÁÎÏ×, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Ä×ÁÄ ÁÔØ ÔÒÉ. ðÒÏ×ÅÒËÁ: Õ Ä×ÁÄ ÁÔÉ ÔÒÅÈ ÆÁÚÁÎÏ× ÓÏÒÏË ÛÅÓÔØ ÎÏÇ, Õ Ä×ÅÎÁÄ ÁÔÉ ËÒÏÌÉËÏ× | ÓÏÒÏË ×ÏÓÅÍØ, Á ×ÓÅÇÏ ÄÅ×ÑÎÏÓÔÏ ÞÅÔÙÒÅ. úÁÄÁÞÁ ÒÅÛÅÎÁ ÒÁ×ÉÌØÎÏ. þÔÏÂÙ ÒÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ €ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËɁ, ÎÁÄÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ Ä×Á ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó Ä×ÕÍÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ. åÓÌÉ ÞÉÓÌÏ ÆÁÚÁÎÏ× ÏÂÏÚÎÁÞÉÔØ ÞÅÒÅÚ x1 , Á ÞÉÓÌÏ ËÒÏÌÉËÏ× ÞÅÒÅÚ x2 , ÍÙ ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ: x1 +x2 = 35, 2x1 +4x2 = 94. ÷ ÏÂÝÅÍ ×ÉÄÅ Ä×Á ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó Ä×ÕÍÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ ÚÁÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ ÔÁË: a11 x1 + a12 x2 = b1, a21x1 + a22 x2 = b2 , ÇÄÅ aij , 1 6 i; j 6 2, É bi, i = 1; 2, ÉÚ×ÅÓÔÎÙ, Á x1 É x2 ÎÁÄÏ ÎÁÊÔÉ. üÔÕ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ (1.1), ÔÏÌØËÏ A ÂÕÄÅÔ ÕÖÅ ÎÅ ÞÉÓÌÏÍ, Á ÔÁÂÌÉ ÅÊ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÞÉÓÅÌ A = ( aa1121 aa1222 ) (ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÊ ÍÁÔÒÉ ÅÊ ). ðÒÉ ÜÔÏÍ x É b | ÜÔÏ ÔÏÖÅ ÎÅ x 1 ÞÉÓÌÁ,
Á ×ÅËÔÏÒÙ | ÁÒÙ ÞÉÓÅÌ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÅ × ÓÔÏÌÂÅ x = ( x2 ), b = = bb12 . äÌÑ ÍÁÔÒÉ Ù A É ×ÅËÔÏÒÁ x ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Ax: ÎÁÄÏ ÅÒ×ÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ×ÅÒÈÎÅÊ ÓÔÒÏËÉ ÕÍÎÏÖÉÔØ ÎÁ x1 , Á ×ÔÏÒÏÊ ÎÁ x2 , ÏÌÕÞÉ× ÅÒ×ÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ×ÅËÔÏÒÁ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ, Á ÏÔÏÍ ÔÏ ÖÅ ÒÏÄÅÌÁÔØ ÓÏ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉ Ù A ÎÁ ×ÅËÔÏÒ
a 11 x1 +a12 x2 x ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ×ÅËÔÏÒÕ Ax = a21 x1+a22 x2 , É ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (1:1) ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÓÉÓÔÅÍÕ: Ax = b ⇔ a11 x1 + a12 x2 = b1; a21x1 + a22 x2 = b2 : (1:1′ ) ûËÏÌØÎÉËÏ× ÕÞÁÔ ÒÅÛÁÔØ ÏÄÏÂÎÙÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÍÅÔÏÄÏÍ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ. îÁÒÉÍÅÒ, ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÒÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ ÒÏ ÆÁÚÁÎÏ× É ËÒÏÌÉËÏ×, ÒÁÚÕÍÎÏ ÉÚ ÅÒ×ÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÙÒÁÚÉÔØ x2 ÞÅÒÅÚ x1 É, ÏÄÓÔÁ×É× ×Ï ×ÔÏÒÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÎÁÊÔÉ x1 . ÁË ÉÌÉ ÒÉÍÅÒÎÏ ÔÁË ÒÅÛÁÀÔ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ (ÇÄÅ ÉÎÏÇÄÁ ×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ ÚÁÄÁÞÉ Ó ÍÉÌÌÉÏÎÁÍÉ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ). îÏ ÅÓÔØ ÕÔØ, ÉÍÅÀÝÉÊ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÊ ÉÎÔÅÒÅÓ, ËÏÔÏÒÙÊ ×ÅÄÅÔ Ë Ñ×ÎÏÍÕ ×ÙÒÁÖÅÎÉÀ ÒÅÛÅÎÉÊ ÎÅ ÔÏÌØËÏ Ä×ÕÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó Ä×ÕÍÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ, ÎÏ ÌÀÂÏÇÏ ÞÉÓÌÁ n ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó n ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ ÞÅÒÅÚ €ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌɁ. ðÒÏÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÕÅÍ ÅÇÏ ÓÎÁÞÁÌÁ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ Ä×ÕÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó Ä×ÕÍÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ. b1
, ÉÚÏÂÒÁÚÉÍ ÜÔÉ ×ÅËÔÏ2 = ( aa12 ïÂÏÚÎÁÞÉ× a1 = ( aa11 21 ), a 22 ) É b = b2 ÒÙ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ × ÄÅËÁÒÔÏ×ÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ (ÓÍ. ÒÉÓ. 1). ðÕÓÔØ V (a1 ; a2 ) ÏÚÎÁÞÁÅÔ (ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÕÀ) ÌÏÝÁÄØ ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÁ, ÏÒÏÖÄÅÎÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ a1 É a2 . æÕÎË ÉÑ (a1 ; a2 ) → V (a1 ; a2 ) ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ: a) ÅÓÌÉ e1 = ( 10 ), e2 = ( 01 ), ÔÏ V (e1 ; e2 ) = 1; b) V (e1 ; e2 ) = −V (e2 ; e1 );

) V (1 a1 +  1 a1 ; a2 ) = 1 V (a1 ; a2 ) +  1 V (a1 ; a2 ).

32

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

b a x2

2

a1 òÉÓ. 1.

üÔÉ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÔÏÍÕ, ÞÔÏ V = V (a1 ; a2) = V (a11 e1 + a21 e2 ; a12 e1 + a22 e2) = = (a11 a22 − a12 a21 )V (e1 ; e2 ) = a11 a22 − a12 a21 :

äÁÎÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÅÔÅÒÍÉÎÁÎÔÏÍ (ÉÌÉ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÅÍ ) 2 11 a12 ÍÁÔÒÉ Ù A = ( aa21 a22 ), ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍÙÍ det A. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ V1 = V (b; a ) 1 ′ 1 2 É V2 = V (a ; b). õÒÁ×ÎÅÎÉÅ (1:1 ) ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ a x1 + a x2 = b. éÚ ÒÉÓ. 1 ÍÏÖÎÏ ÕÓÍÏÔÒÅÔØ, ÞÔÏ x2 = VV2 É ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÞÔÏ x1 = VV1 , ÒÉÞÅÍ ÏÂÁ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÓÒÁÚÕ ×Ù×ÏÄÑÔÓÑ ÉÚ ÓÁÍÉÈ Ó×ÏÊÓÔ× Á){Ó). ÷ ÚÁÄÁÞÅ ÒÏ ÆÁÚÁÎÏ× É ËÒÏÌÉËÏ× V = 2, V1 = 46, V2 = 24, ÏÔËÕÄÁ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ × ËÌÅÔËÅ 23 ÆÁÚÁÎÁ É 12 ËÒÏÌÉËÏ×. üÔÏ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÌÏÖÎÅÅ, ÞÅÍ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ, ÎÏ ÏÎÏ, Ï×ÔÏÒÀÓØ, ×ÁÖÎÏ ÄÌÑ ÍÎÏÇÉÈ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÊ. òÁÓÓËÁÖÅÍ ÔÅÅÒØ Ï ÓÉÓÔÅÍÁÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÓÏ ÍÎÏÇÉÍÉ ÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ. ÅÏÒÉÑ ÔÁËÉÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÁÞÁÌÁ ÓËÌÁÄÙ×ÁÔØÓÑ × 18 ×ÅËÅ, Á ÚÁ×ÅÒÛÉÌÁÓØ × ÄÅ×ÑÔÎÁÄ ÁÔÏÍ. ó ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÉÅÊ ÚÎÁËÏÍÑÔ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ×Ï ÍÎÏÇÉÈ ×ÕÚÁÈ ÉÎÖÅÎÅÒÎÏÇÏ, ÜËÏÎÏÍÉÞÅÓËÏÇÏ É ÍÎÏÇÉÈ ÄÒÕÇÉÈ ÒÏÆÉÌÅÊ, ÇÄÅ ÉÚÕÞÁÀÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ (É, ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, × ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁÈ).

n ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó n ÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ óÉÓÔÅÍÕ n ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó n ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ ÔÁËÖÅ ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ (1.1), ÔÏÌØËÏ A ÂÕÄÅÔ ÕÖÅ ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÒÁÚÍÅÒÁ n × n:   a11 : : : a1n . ..  A=  .. . ; an1 : : : ann x É b | ÜÔÏ n-ÍÅÒÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ-ÓÔÏÌ ٠    x1 b1  ..   ..  x =  . ; b =  . ; xn bn 1.2. óÉÓÔÅÍÙ

áÌÇÅÂÒÁ, ÁÎÁÌÉÚ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

33

a ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉ Ù A ÎÁ ×ÅËÔÏÒ x, ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÏÅ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ Ä×ÕÍÅÒÎÏÍÕ ÓÌÕÞÁÀ, ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ×ÅËÔÏÒÕ   a11 x1 + : : : + a1nxn  .. Ax =   ; . an1x1 + : : : + annxn É ÔÏÇÄÁ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (1.1) ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÓÉÓÔÅÍÕ:

Ax = b

⇔

n X j =1

a1j xj = b1; : : : ;

n X j =1

anj xj = bn;

(1.2)

ðÏÒÏÂÕÅÍ ÒÅÛÉÔØ ÓÉÓÔÅÍÕ (1.2) ÍÅÔÏÄÏÍ, ÏÂÏÂÝÁÀÝÉÍ ÒÉÅÍ, ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ÒÏÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÒÁÚÄÅÌÅ, ËÏÇÄÁ n ÒÁ×ÎÑÌÏÓØ Ä×ÕÍ. !  a11   a1n  b1 ïÂÏÚÎÁÞÉÍ a1 = ... ; : : : ; an = ... É b = ... . an1 ann bn n n ÷×ÅÄÅÍ ÆÕÎË ÉÀ V : (R ) → R, V = V (a1 ; : : : ; an ) €ÏÂßÅÍÁ ÓÉÓÔÅÍÙ ×ÅËÔÏÒÏ× {aj }nj=1 . ä×ÕÍÅÒÎÙÅ É ÔÒÅÈÍÅÒÎÙÅ ÒÉÍÅÒÙ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ, ÞÔÏ ÒÁÚÕÍÎÏ ÏÔÒÅÂÏ×ÁÔØ ÏÔ ÜÔÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÔÁËÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ: Á) ÕÓÌÏ×ÉÑ ÎÏÒÍÉÒÏ×ËÉ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ËÏÔÏÒÏÍÕ ÏÂßÅÍ ËÕÂÁ  1ÅÄÉÎÉÞÎÏÇÏ   0 1 n 1 n . ÄÏÌÖÅÎ ÒÁ×ÎÑÔØÓÑ ÅÄÉÎÉ Å: V (e ; : : : ; e ) = 1, ÇÄÅ e = .. ; : : : ; e = ... 0 1 | ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÊ ÂÁÚÉÓ × Rn; b) ÕÓÌÏ×ÉÑ €ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔɁ: V (e1 ; : : : ; ei−1 ; ei ; ei+1 ; ei+2 ; : : : ; en ) = −V (e1 ; : : : ; ei−1 ; ei+1 ; ei ; ei+2 ; : : : ; en ); Ó) ÕÓÌÏ×ÉÑ ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ Ï ËÁÖÄÏÍÕ ×ÅËÔÏÒÎÏÍÕ ÁÒÇÕÍÅÎÔÕ, ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÔÒÅÂÏ×ÁÔØ, ÞÔÏÂÙ V (a1 + a1 ; a2 ; : : : ; an ) = V (a1 ; a2 ; : : : ; an ) +  V (a1 ; a2 ; : : : ; an ): ÁËÖÅ, ËÁË × Ä×ÕÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÉÚ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ÁËÓÉÏÍ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ×Ù×ÏÄÉÔÓÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ÏÂßÅÍÁ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ, ÏÒÏÖÄÅÎÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ a1 ; a2 É a3 × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ: V (a1 ; a2 ; a3 ) = = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a32 a23 : ðÒÏÄÏÌÖÁÑ Ï ÉÎÄÕË ÉÉ, ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÔÁËÏÍÕ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÕ: ÓÕÝÅÓÔ×Õn ), ËÏÔÏÒÁÑ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÁËÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ V = V (a1 ; : : : ; aP ÓÉÏÍÁÍÉ Á)-Ó). üÔÁ ÆÕÎË ÉÑ ÒÁ×ÎÁ ÓÕÍÍÅ P (−1)sign P ni=1 aiP (i) , ×ÚÑÔÏÊ Ï ×ÓÅÍ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍ P ÅÒ×ÙÈ n ÞÉÓÅÌ {1; 2; : : : ; n} ÓÏ ÚÎÁËÏÍ, ÒÁ×ÎÙÍ (−1)sign P , ÇÄÅ ÞÉÓÌÏ sign P ÒÁ×ÎÏ ÎÕÌÀ, ÅÓÌÉ ÅÒÅÈÏÄ ÏÔ {1; 2; : : : ; n}

34

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

Ë {P (1); P (2); : : : ; P (n)} ÔÒÅÂÕÅÔ ÞÅÔÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÊ ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, É ÅÄÉÎÉ Å, ÅÓÌÉ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÊ (ÓËÁÖÅÍ, ÞÌÅÎ a21 a32 a13 ÉÍÅÅÔ ÚÎÁË +, ÉÂÏ ÅÒÅÈÏÄ ÏÔ (312) Ë (123) ÔÒÅÂÕÅÔ Ä×ÕÈ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÊ: (312) → (132) → (323)). ÷ÙÉÓÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÁËÓÉÏÍÁÍ Á){Ó). ïÎÁ É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÅÔÅÒÍÉÎÁÎÔÏÍ ÉÌÉ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÅÍ ÍÁÔÒÉ Ù A É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ det A. äÌÑ ÔÒÅÎÉÒÏ×ËÉ ÞÉÔÁÔÅÌØ, ËÏÔÏÒÙÊ ÓÔÁÌËÉ×ÁÅÔÓÑ Ó ÜÔÉÍ ÏÎÑÔÉÅÍ ×ÅÒ×ÙÅ, ÍÏÖÅÔ ÓÏÓÞÉÔÁÔØ ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÞÅÔ×ÅÒÔÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÉÌÉ ×ÙÉÓÁÔØ ÏÔ×ÅÔ × ÏÂÝÅÍ ×ÉÄÅ (ÒÉÄÅÔÓÑ ÒÏÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÔØ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÉÚ Ä×ÁÄ ÁÔÉ ÞÅÔÙÒÅÈ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ). ïÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ, ËÁÓÁÀÝÉÊÓÑ ÓÉÓÔÅÍ n ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó n ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ | ÒÁ×ÉÌÏ ëÒÁÍÅÒÁ2) | ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ: ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 1.1. a) åÓÌÉ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÓÉÓÔÅÍÙ V = V (a1 ; : : : ; an ) ÏÔÌÉÞÅÎ ÏÔ ÎÕÌÑ, ÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ax = b ÒÁÚÒÅÛÉÍÏ É ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ V ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ xi = i , ÇÄÅ Vi = V (a1 ; : : : ; ai−1 ; b; ai+1 : : : ; an ). V b) éÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×Á : ÌÉÂÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ax = b ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÒÁÚÒÅÛÉÍÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ b ∈ Rn , ÌÉÂÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ Ax = 0 ÉÍÅÅÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ ÚÁÄÁÎÁ ÍÁÔÒÉ Á

A = (aij )16i;j6n, Õ ËÏÔÏ1 n ÒÏÊ det A = V (a ; : : : ; a ) 6= 0. éÚ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÓÍÙÓÌÁ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ (É, ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÉÚ ÅÇÏ ÁËÓÉÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ Ó×ÏÊÓÔ×) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ×ÍÅÓÔÏ aj ÏÄÓÔÁ×ÉÔØ × V (a1 ; : : : ; an ) ×ÅËÔÏÒ ak , k 6= j , ÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÎÕÌØ. ðÕÓÔØ Vij | ÏÂßÅÍ ÓÉÓÔÅÍÙ ×ÅËÔÏÒÏ× {a1 ; : : : ; ai−1 ; ej ; ai+1 ; : : : ; an }. åÓÌÉ ÏÍÎÏÖÉÔØ Vij ÎÁ aij É ÒÁÓËÒÙÔØ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ Vij , ÔÏ ÓÏÂÅÒÕÔÓÑ ×ÓÅ ÞÌÅÎÙ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ ÍÁÔÒÉ Ù A, ËÏÔÏÒÙÅ P ÓÏÄÅÒÖÁÔ × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ ÜÌÅÍÅÎÔ aij . ÅÅÒØ, ÅÓÌÉ ÒÏÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÔØ ni=1 aij VijP, ÔÏ ÓÏÂÅÒÕÔÓÑ ×ÓÅ ÞÌÅÎÙ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ ÍÁÔÒÉ Ù A; ÅÓÌÉ ÖÅ ×ÚÑÔØ ÓÕÍÍÕ ni=1 aik Vij ÄÌÑ k 6= j , ÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÍÁÔÒÉ Ù Ó Ä×ÕÍÑ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍÉ ÓÔÏÌÂP V n ÁÍÉ ak , Ô. Å. ÎÕÌØ. ïÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ej = i=1 Vij ai , ÇÄÅ ej | j -Ê ÂÁÚÉÓÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ, Á Vij | ÏÂßÅÍ ÓÉÓÔÅÍÙ ×ÅËÔÏÒÏ× {a1 ; : : : ; ai−1 ; ej ; ai+1 ; : : :, an},P Á ÚÎÁÞÉÔ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (1.2) ÒÁÚÒÅÛÉÍÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ b = nj=1 bj ej . ðÒÉ ÜÔÏÍ ÏÄÎÏÒÏÄÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ, ÉÂÏ ÜÔÏ ÎÅÓÏ×ÍÅÓÔÉÍÏ Ó ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ ÎÕÌÀ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ. úÁP P V ÏÄÎÏ ÍÙ ÄÏËÁÚÁÌÉ ÒÁ×ÉÌÏ ëÒÁÍÅÒÁ, ÉÂÏ b = nj=1 bj ej = ni;j =1 bj Vij aj = P V = nj=1 Vj aj . çÁÂÒÉÜÌØ ëÒÁÍÅÒ (1704{1752) | Û×ÅÊ ÁÒÓËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË; ÕÓÔÁÎÏ×ÉÌ É ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÌ (× 1750 ÇÏÄÕ) ÒÁ×ÉÌÏ ÒÅÛÅÎÉÑ n ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó n ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ, ÚÁÌÏÖÉ× ÏÓÎÏ×Ù ÔÅÏÒÉÉ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÅÊ. 2)

áÌÇÅÂÒÁ, ÁÎÁÌÉÚ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

35

ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ (1.2) ÒÁÚÒÅÛÉÍÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ b, Á ÏÄÎÏÒÏÄÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ x1 . ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ L1 ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ. òÅÛÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ax2 = x1 . ÏÇÄÁ x2 ∈ L2 \ L1 , ÇÄÅ L2 | ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÒÅÛÅÎÉÊ A2 x = 0. òÅÛÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ax3 = x2 É ÄÁÌÅÅ ÂÕÄÅÍ ÏÓÔÕÁÔØ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, É × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ (×ÒÏÄÅ ÂÙ) ÏÓÔÒÏÉÍ ÌÀÂÏÅ ÞÉÓÌÏ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× {xk }k∈N . îÏ ÜÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÉÂÏ V (x1 ; : : : ; xn ) 6= 0 (ÞÔÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ) É ÔÏÇÄÁ Ï ÄÏËÁÚÁÎÎÏÍÕ ×ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÄÏÌÖÎÙ ×ÙÒÁÖÁÔØÓÑ ÞÅÒÅÚ {xm }nm=1 .  ðÒÏ×ÅÄÅÎÎÏÅ ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÁÚÉÓÎÙÍ × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÁÎÁÌÏÇÁ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ, ÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ËÁË ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×Á æÒÅÄÇÏÌØÍÁ. ó ÜÔÏÊ ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÏÊ (ÄÁ É ÔÏ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ) ÚÎÁËÏÍÑÔ ÌÉÛØ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÏ× (× ÔÏ ×ÒÅÍÑ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ ëÒÁÍÅÒÁ ÒÏÈÏÄÑÔ ×ÓÀÄÕ | ÏÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÏÊ ËÕÒÓÁ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ3) ). 1.3. áÌØÔÅÒÎÁÔÉ×Á æÒÅÄÇÏÌØÍÁ

ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ìÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ : X → X , ÇÄÅ (X; k · kX ) | ÂÁÎÁÈÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÍÁËÔÎÙÍ , ÅÓÌÉ ÏÎ ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔ

ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ÛÁÒ X × ËÏÍÁËÔÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï.

ÅÏÒÅÍÁ 1 (ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×Á æÒÅÄÇÏÌØÍÁ). ðÕÓÔØ X ÜÔÏ ÂÁÎÁÈÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, : X → X ËÏÍÁËÔÎÙÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ É A = I − − , ÇÄÅ I | ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ. ÏÇÄÁ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×Á : ÌÉÂÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ax = b ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÒÁÚÒÅÛÉÍÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ b ∈ X , ÌÉÂÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ Ax = 0 ÉÍÅÅÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. åÓÌÉ Ker A 6= {0}, ÔÏÇÄÁ ÎÅÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÓÔØ ÓÌÅÄÕÅÔ

ÕÖÅ ÄÌÑ b = 0. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ax = b ÒÁÚÒÅÛÉÍÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ b, ÔÏ Ker A = {x ∈ X | Ax = 0} = {0}. äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÎÅ ÔÁË É ÕÓÔØ x1 6= 0 É x1 ∈ Ker A. îÁÊÄÅÍ x2 = Ax1 . ÏÇÄÁ x2 ∈ Ker A2 \ Ker A. ðÒÏÄÏÌÖÁÑ ÜÔÏÔ ÒÏ ÅÓÓ, ÎÁÊÄÅÍ ÅØ ÓÔÒÏÇÏ ×ÌÏÖÅÎÎÙÈ ÄÒÕÇ × ÄÒÕÇÁ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× Ker A ⊂ Ker A2 : : : ⊂ Ker An ⊂ : : : ìÅÇËÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ × ËÁÖÄÏÍ ÂÁÎÁÈÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÎÅ ÓÏ×ÁÄÁÀÝÅÇÏ ÓÏ ×ÓÅÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ, ÎÁÊÄÅÔÓÑ ×ÅËÔÏÒ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÄÌÉÎÙ, ÎÁÈÏÄÑÝÉÊÓÑ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ, ÓËÏÌØ ÕÇÏÄÎÏ ÂÌÉÚËÏÍ Ë ÅÄÉÎÉ Å ÏÔ ÜÔÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ÷ÙÂÅÒÅÍ × ËÁÖÄÏÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ker An ÜÌÅÍÅÎÔ xn ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÎÏÒÍÙ, ÎÁÈÏÄÑÝÉÊÓÑ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ > 1=2 ÏÔ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á

óÌÅÄÕÅÔ ÓËÁÚÁÔØ ÒÉ ÜÔÏÍ, ÞÔÏ ÒÁ×ÉÌÏÍ ëÒÁÍÅÒÁ × ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÒÁÓÞÅÔÁÈ ÎÉËÔÏ ÎÅ ÏÌØÚÕÅÔÓÑ. 3)

36

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

Ker An−1 . åÓÌÉ m > n, ÔÏ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ z = xn − Axn − Axm ∈ Ker An−1 É ÚÎÁÞÉÔ, kxm − xn kX = kz − xm kX > 1=2, ÞÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ××ÉÄÕ ËÏÍÁËÔÎÏÓÔÉ .  äÏËÁÚÁÎÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ × ÁÎÁÌÉÚÅ. ï ÎÉÈ ÍÙ ÏÇÏ×ÏÒÉÍ × ËÏÎ Å. áÌØÔÅÒÎÁÔÉ×Á æÒÅÄÇÏÌØÍÁ ÂÙÌÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ Û×ÅÄÓËÉÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÍ é×ÁÒÏÍ æÒÅÄÇÏÌØÍÏÍ (1866{1927) × 1900 ÇÏÄÕ ÄÌÑ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÈ Rb ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ æÒÅÄÇÏÌØÍÁ ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ ×ÉÄÁ x(t) − a K (t;  )x( )d = b(t) Ó ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÍÉ K É b, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å C ([a; b℄)). ÷ ÒÁÂÏÔÅ æÒÅÄÇÏÌØÍÁ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÌÏÓØ ÔÁËÖÅ É ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ R ( ) − ab K (; t)(t)dt = ( ) É ÄÏËÁÚÙ×ÁÌÁÓØ ×ÔÏÒÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ æÒÅÄÇÏÌØÍÁ, Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÏÓÎÏ×ÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÅÒ×ÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×Ù, ÔÏ ÏÎ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ É ÄÌÑ ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÞÉÓÌÏ ÖÅ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÏÓÎÏ×ÎÏÇÏ É ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÊ ËÏÎÅÞÎÏ É ÏÄÉÎÁËÏ×Ï (ÓÍ. é. ç. ðÅÔÒÏ×ÓËÉÊ, €ìÅË ÉÉ Ï ÔÅÏÒÉÉ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉʁ, í.: õòóó, 2003; × ÜÔÏÊ ËÎÉÇÅ ÔÅÏÒÅÍÁ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÅÔÏÄÏÍ ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÈ ÑÄÅÒ). óÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÕÀ ×ÙÛÅ ÅÒ×ÕÀ ÞÁÓÔØ ×ÔÏÒÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ æÒÅÄÇÏÌØÍÁ ÌÅÇËÏ ÍÏÖÎÏ ×Ù×ÅÓÔÉ ÉÚ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ, ÄÏËÁÚÁÎÎÏÇÏ ÎÁÍÉ. áÌØÔÅÒÎÁÔÉ×Á æÒÅÄÇÏÌØÍÁ Ñ×ÉÌÁÓØ ÉÔÏÇÏÍ ÂÏÌØÛÉÈ ÕÓÉÌÉÊ ÍÎÏÇÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× ×ÔÏÒÏÊ ÏÌÏ×ÉÎÙ 19 ×ÅËÁ, É ÜÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÌÓÑ ÔÏÇÄÁ ËÁË ×ÙÄÁÀÝÅÅÓÑ ÓÏÂÙÔÉÅ, ×ÅÎÞÁÀÝÅÅ ÔÅÏÒÉÀ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ.

******

÷ÏÔ ÍÙ É ÓÏ×ÅÒÛÉÌÉ Ó×ÏÅ ÅÒ×ÏÅ ÞÅÔÙÒÅÈÓÔÕÅÎÎÏÅ ×ÏÓÈÏÖÄÅÎÉÅ Ë ÏÄÎÏÊ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÎÁÕËÉ. ðÏ×ÔÏÒÀÓØ: ÅÒ×ÁÑ ÓÔÕÅÎØ ÎÁÛÅÇÏ €×ÏÓÈÏÖÄÅÎÉс ÒÅÏÄÏÌÅ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÙÞÎÏ ÅÝÅ ÄÏ ÛËÏÌÙ, ×ÔÏÒÁÑ | ÎÁ ÕÒÏËÁÈ ÁÒÉÆÍÅÔÉËÉ É ÁÌÇÅÂÒÙ × ÛËÏÌÅ, ÔÒÅÔØÑ | × ×ÕÚÁÈ, ÇÄÅ ÒÅÏÄÁÀÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ, ÞÅÔ×ÅÒÔÁÑ | × ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁÈ. îÁÍÉ ÂÙÌÁ ÒÅÄÒÉÎÑÔÁ ÏÙÔËÁ ÒÅÏÄÏÌÅÔØ ×ÅÓØ ÜÔÏÔ ÕÔØ | ÏÔ ÁÉÒÕÓÁ òÁÊÎÄÁ Ë ÎÁÞÁÌÕ Ä×ÁÄ ÁÔÏÇÏ ×ÅËÁ | × ÏÄÎÏÊ ÌÅË ÉÉ. õÄÁÌÁÓØ ÌÉ ÜÔÁ ÏÙÔËÁ, ÓÕÄÉÔØ ÞÉÔÁÔÅÌÀ. 2. ÅÏÒÉÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ. ëÏÎÉËÉ É Ë×ÁÄÒÉËÉ

üÔÏÔ ÒÁÚÄÅÌ ÍÙ ÎÁÞÉÎÁÅÍ ÎÅ Ó ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÇÏ, Á Ó Ä×ÕÍÅÒÎÏÇÏ ÓÌÕÞÁÑ, Ó ÌÏÓËÏÓÔÉ, Ó ÌÏÓËÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, É ÜÔÏ Õ×ÅÄÅÔ ÎÁÓ ÓÎÁÞÁÌÁ × ÍÉÒ ÁÎÔÉÞÎÏÓÔÉ. á ÄÁÌÅÅ ÎÁÍ ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ ÓÄÅÌÁÔØ ×ÓÅÇÏ Ä×Á ÛÁÇÁ | × n-ÍÅÒÎÙÊ, Á ÚÁÔÅÍ × ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÊ ÍÉÒ.

áÌÇÅÂÒÁ, ÁÎÁÌÉÚ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

37

2.0. îÅÓËÏÌØËÏ ÓÌÏ× Ï €ëÏÎÉËÁȁ áÏÌÌÏÎÉÑ

áÏÌÌÏÎÉÊ (ÏË. 250 ÄÏ Î.Ü. { ÏË. 170 ÄÏ Î.Ü.), ÎÁÒÑÄÕ Ó å×ËÌÉÄÏÍ É áÒÈÉÍÅÄÏÍ, | ÏÄÉÎ ÉÚ ÔÒÅÈ ×ÅÌÉÞÁÊÛÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× ÄÒÅ×ÎÏÓÔÉ. åÇÏ ÍÎÏÇÏÔÏÍÎÙÊ ÔÒÕÄ €ëÏÎÉËɁ (ËÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÓÅÞÅÎÉÑ) (Õ×Ù, ÎÅ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÄÏÛÅÄÛÉÊ ÄÏ ÎÁÓ), Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÅÚÕÓÌÏ×ÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ ÁÎÔÉÞÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ÁÍ ÂÙÌÉ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÙ ÌÏÓËÉÅ ÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÏÇÏ ËÒÕÇÏ×ÏÇÏ ËÏÎÕÓÁ | ÜÌÌÉÓÙ, ÇÉÅÒÂÏÌÙ É ÁÒÁÂÏÌÙ, | ÔÁËÉÅ ÉÍÅÎÁ ÄÁÌ ÜÔÉÍ ËÒÉ×ÙÍ áÏÌÌÏÎÉÊ. ï áÏÌÌÏÎÉÉ É ÅÇÏ ×ÅÌÉËÏÍ ÔÒÕÄÅ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÍÏÖÅÔ ÕÚÎÁÔØ ÉÚ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÊ ËÎÉÇÉ â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄÁ €áÏÌÌÏÎÉÊ ðÅÒÇÓËÉʁ, í.: íãîíï, 2004. íÎÏÇÏÅ × ÔÒÕÄÅ áÏÌÌÏÎÉÑ ÏÒÁÖÁÅÔ É ÎÁÛÅÇÏ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÉËÁ. îÁÒÉÍÅÒ, × ÑÔÏÊ ËÎÉÇÅ áÏÌÌÏÎÉÊ ÏÉÓÙ×ÁÅÔ ËÒÉ×ÕÀ, ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÕÀ Ä×Å ÌÏÓËÉÅ ÏÂÌÁÓÔÉ, ÉÚ ÔÏÞÅË ÏÄÎÏÊ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÏÖÎÏ ÒÏ×ÅÓÔÉ Ä×Å ÎÏÒÍÁÌÉ Ë ÜÌÌÉÓÕ, ÉÚ ÔÏÞÅË ÄÒÕÇÏÊ | ÞÅÔÙÒÅ (Á ÎÁ ÓÁÍÏÊ ËÒÉ×ÏÊ | ÔÒÉ). îÙÎÅ ÜÔÁ ËÒÉ×ÁÑ (ÏÇÉÂÁÀÝÁÑ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÎÏÒÍÁÌÅÊ Ë ÜÌÌÉÓÕ) ÉÚ×ÅÓÔÎÁ, ËÁË ÁÓÔÒÏÉÄÁ. áÏÌÌÏÎÉÀ ÕÄÁÌÏÓØ ÏÉÓÁÔØ ÁÓÔÒÏÉÄÕ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÊ  2=3  2=3 x1 + xa2 = 1 ÂÙÌÏ ×ÙÉÓÁÎÏ × ÓÅÍÎÁÄ ÁÔÏÍ ×ÅËÅ. ëÁË ×ÓÅÇÏ ÜÔÏÇÏ a1 2 ÍÏÖÎÏ ÄÏÂÉÔØÓÑ, ÎÅ ÒÁÓÏÌÁÇÁÑ ÓÒÅÄÓÔ×ÁÍÉ ÁÌÇÅÂÒÙ, ÞÉÓÔÏ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ, | ÎÅÏÓÔÉÖÉÍÏ ÕÍÕ ÎÁÛÅÇÏ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÉËÁ. îÏ ÍÙ-ÔÏ × ÛËÏÌÅ ÒÏÈÏÄÉÍ ÁÌÇÅÂÒÕ, É ÎÁÍ ÂÕÄÅÔ ÏÌÅÇÞÅ ÉÚÕÞÁÔØ ËÒÉ×ÙÅ áÏÌÌÏÎÉÑ Ó ÅÅ ÏÍÏÝØÀ. 2.1. äÅËÁÒÔ É ÔÅÏÒÉÑ ÌÏÓËÉÈ Ë×ÁÄÒÉË

÷ ÓÅÍÎÁÄ ÁÔÏÍ ×ÅËÅ Ô×ÏÒÉÌÉ Ä×Á ×ÅÌÉËÉÈ ÆÒÁÎ ÕÚÓËÉÈ ÕÞÅÎÙÈ | òÅÎÅ äÅËÁÒÔ (1596{1650) É ðØÅÒ æÅÒÍÁ (1601{1665). éÍ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÁÑ ÄÌÑ ×ÓÅÇÏ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÉÄÅÑ ÁÒÉÆÍÅÔÉÚÁ ÉÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ . ïÎÉ ÏÓÔÒÏÉÌÉ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÅ ÍÏÄÅÌÉ ÌÏÓËÏÓÔÉ É ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. âÌÁÇÏÄÁÒÑ ÜÔÏÊ ÉÄÅÅ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÏËÁÚÁÌÏÓØ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍ ÒÅÛÁÔØ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÍÉ ÓÒÅÄÓÔ×ÁÍÉ. îÁÏÍÎÉÍ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÄÅËÁÒÔÏ×Á ÍÏÄÅÌØ ÌÏÓËÏÓÔÉ. îÁÓ × ÛËÏÌÅ ÕÞÁÔ, ËÁË ÒÏ×ÅÓÔÉ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÅ ÒÑÍÙÅ. íÙÓÌÅÎÎÏ ÒÏ×ÅÄÅÍ ÉÈ É ×ÙÂÅÒÅÍ ÎÁ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÎÉÈ (ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÊ) ÍÁÓÛÔÁÂ. ÏÇÄÁ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÓÏÏÔÎÅÓÅÔÓÑ ÁÒÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ (x1 ; x2 ) | ÅÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ, Á ËÁÖÄÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÉÇÕÒÅ | ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÁËÉÈ ÁÒ. ä×Å ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÆÉÇÕÒÙ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÄÒÅ×ÎÉÈ | ÒÑÍÙÅ É ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ | ÏÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ ÔÁË: ÒÑÍÙÅ | ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ a1 x1 + + a2 x2 = b, Á ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ | ÓÅ ÉÁÌØÎÙÍÉ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÍÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ: (x1 − 1 )2 + (x2 − 2 )2 = r2 . åÓÌÉ ÚÁÆÉËÓÉÒÏ×ÁÔØ ÄÅËÁÒÔÏ×Õ ÓÉÓÔÅÍÕ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÔÏ ÔÏÞËÉ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÎÁÚ×ÁÔØ Ï-ÄÒÕÇÏÍÕ | ×ÅËÔÏÒÁÍÉ. éÈ ÍÏÖÎÏ

38

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

ÓËÌÁÄÙ×ÁÔØ Ï ÒÁ×ÉÌÕ ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÁ É ÍÏÖÎÏ ÕÍÎÏÖÁÔØ ÎÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. ÷ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÍÏÄÅÌÉ äÅËÁÒÔÁ ÓÌÏÖÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ×ÅËÔÏÒÏ× x = (x1 ; x2 ) É x′ = (x′i ; x′2 ) ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ×ÅËÔÏÒÕ x + x′ = (x1 + x′1 , x2 + x′2 ), Á ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÁ x = (x1; x2 ) ÎÁ ÞÉÓÌÏ a ÄÁÅÔ ×ÅËÔÏÒ ax = (ax1 ; ax2 ). ïÒÅÄÅÌÉÍ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ hx; x′ i ×ÅËÔÏÒÏ× x = (x1 ; x2) É x′ = (x′1 ; x′2) ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ hx; x′ i = x1 x′1 + x2x′2. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÓÏ ÓËÁÌÑÒÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ × ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ Å×ËÌÉÄÏ×ÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ , Á × ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÍ (ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ ÏÌÎÏÔÙ) | ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÙÍ . íÙ ÏÓÔÒÏÉÌÉ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ Ä×ÕÍÅÒÎÏÅ Å×ËÌÉÄÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ËÏÔÏÒÏÅ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ E2 . åÓÌÉ hx; x′ i = 0 (Ô. Å. ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÏ× ÒÁ×ÎÏ ÎÕÌÀ), ×ÅËÔÏÒÙ x É x′ ÉÚ E2 ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÍÉ , Á ×ÅËÔÏÒ x ∈ E2 ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ hx; xi = 1, ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÅÄÉÎÉÞÎÙÍ . üÔÉ ÔÅÒÍÉÎÙ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ×ÚÇÌÑÄÏÍ ÎÁ Å×ËÌÉÄÏ×Õ ÌÏÓËÏÓÔØ, × ËÏÔÏÒÏÊ pÄÌÉÎÁ ×ÅËÔÏÒÁ p x = (x1 ; x2 ), ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ ðÉÆÁÇÏÒÁ, ÒÁ×ÎÁ 2 2 |x| = x1 + x2 = hx; xi. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÏ×, ËÁË ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ, ÒÁ×ÎÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ ÄÌÉÎ ×ÅËÔÏÒÏ× ÎÁ ËÏÓÉÎÕÓ ÕÇÌÁ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ. ðÏÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÅÒØ ËÁË ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÏÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ ÎÁ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ËÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÓÅÞÅÎÉÑ áÏÌÌÏÎÉÑ. ÷ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÔÒÏÅË (x1 ; x2 ; x3 ) ÒÑÍÏÊ ËÒÕÇÏ×ÏÊ ËÏÎÕÓ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ x21 + x22 − − x23 = 0. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÇÏ ÓÅÞÅÎÉÑ ÌÏÓËÏÓÔÑÍÉ x3 = 1 x1 + 2 x2 + . ðÏÄÓÔÁ×É× × ÜÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÍÅÓÔÏ x3 ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ 1 x1 + 2 x2 + , ÏÓÌÅ ×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÑ × Ë×ÁÄÒÁÔ É ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ ÏÄÏÂÎÙÈ ÏÌÕÞÉÍ ÔÁËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ: Q(x) = a11 x21 + 2a12 x1x2 + a22 x22 + 2b1 x1 + 2b2x2 + = 0. æÕÎË ÉÉ x 7→ Q(x) ÎÁÚÙ×ÁÀÔ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÅÓËÉÍÉ , ÆÕÎË ÉÉ x 7→ q(x) = a11 x21 + 2a12 x1 x2 + a12 + a22 x22 = hAx; xi4) , ÇÄÅ A = ( aa11 21 a22 ) ; a21 = a12 ; ÎÁÚÙ×ÁÀÔ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÍÉ ÆÏÒÍÁÍÉ. íÁÔÒÉ Õ A ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ a21 = a12 ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ . ëÁÖÄÁÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÏÒÏÖÄÁÅÔ Ó ÏÄÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ ÏÂßÅËÔ ÁÌÇÅÂÒÙ É ÁÎÁÌÉÚÁ | Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕ (Ô. Å. ÆÕÎË ÉÀ Ä×ÕÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x 7→ hAx; xi), Á Ó ÄÒÕÇÏÊ | ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÏÂßÅËÔ | ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ: x 7→ Ax, ËÏÇÄÁ ÔÏÞËÁ x = (x1 ; x2 ) ÌÏÓËÏÓÔÉ ÅÒÅÈÏÄÉÔ × ÔÏÞËÕ Ax = (a11 x1 + a12 x2 ; a21 x1 + a22 x2 ). üÔÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ: hAx; x′ i = hx; Ax′ i. ÏÇÄÁ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ A ÚÁÄÁÅÔ ÓÉÍÍÅÒÉÞÅÓËÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ, ÒÅÏÂÒÁÚÕÀÝÉÊ ÌÏÓËÏÓÔØ × ÓÅÂÑ. ëÏÎÉËÉ × ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÍÏÄÅÌÉ äÅËÁÒÔÁ | ÜÔÏ ÌÉÎÉÉ ÕÒÏ×ÎÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ, ÉÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÜÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÔÏÞÅË, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ Q(x) = 0, ÇÄÅ Q(x) = hAx; xi +2hb; xi + | Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ

ðÒÁ×ÉÌØÎÅÅ ÂÙÌÏ ÂÙ ÉÓÁÔØ (× ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÒÅÄÙÄÕÝÉÍ ÒÁÚÄÅÌÏÍ) h(AxT )T ; xi, ÎÏ ÍÙ ÚÄÅÓØ ÒÉ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÉ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÇÏ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÓÌÕÞÁÑ ÏÚ×ÏÌÑÅÍ ÓÅÂÅ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÕÀ ÚÁÉÓØ. 4)

áÌÇÅÂÒÁ, ÁÎÁÌÉÚ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

39

ÆÕÎË ÉÑ, É ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÚÁÄÁÞÁ ÒÉ×ÅÓÔÉ ÓÁÍÕ ÆÕÎË ÉÀ É ÉÚÏÂÒÁÖÁÅÍÕÀ ÅÀ ËÒÉ×ÕÀ Ë ÂÏÌÅÅ €ÕÄÏÂÎÏÍՁ ×ÉÄÕ. óÄÅÌÁÅÍ ÜÔÏ × ×ÁÖÎÅÊÛÅÍ, ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÍÁÔÒÉ Á A ÏÂÒÁÔÉÍÁ (Ô. Å. det A 6= 0). óÎÁÞÁÌÁ ÒÏÓÔÅÊÛÅÊ ÚÁÍÅÎÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x = y + a ⇔ x1 = y1 + + a1 ; x2 = y2 + a2 ÏÒÏÂÕÅÍ ÉÚÂÁ×ÉÔØÓÑ ÏÔ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÞÌÅÎÏ×. éÍÅÅÍ: 0 = = hAx; xi +2hb; xi + = hA(y + a); (y + a)i +2hb; (y + a)i + . òÁÓËÒÙ×ÁÑ ÓËÏÂËÉ É ÒÉ×ÏÄÑ ÏÄÏÂÎÙÅ ÞÌÅÎÙ, ÏÌÕÞÉÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï hAy; yi +2hb + Aa; yi + = 0. ÷ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÏÌÏÖÉÔØ ba = −A−1 b É ′ = + 2hb; bai, ÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ × ÎÏ×ÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ËÒÉ×ÏÊ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ×ÉÄ: hAy; yi + ′ = 0. ðÒÏÄÏÌÖÉÍ ÎÁÛÉ ÁÌÇÅÂÒÏ-ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ, Á ÏÔÏÍ ×ÓËÒÏÅÍ ÉÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ. éÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 2.1. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÁÒÁ ÅÄÉÎÉÞÎÙÈ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× e1 É e2 , ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ q(y) = hAy; yi ÒÉÏÂÒÅÔÁÅÔ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÊ ×ÉÄ :

ÇÄÅ 1 ; 2 6= 0.

q(y) = 1hy; e1 i2 + 2 hy; e2 i2 ;

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ: ÎÁÊÔÉ ÍÁËÓÉÍÕÍ ÆÕÎË ÉÉ q ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ y12 + y22 = 1 (ÎÅ ÏÇÒÁÎÉÞÉ× ÓÅÂÑ ×

ÏÂÝÎÏÓÔÉ, ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÓÒÅÄÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ q ÅÓÔØ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ). éÚ ÔÅÏÒÅÍÙ ÷ÅÊÅÒÛÔÒÁÓÓÁ Ï ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÉ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÎÁ ËÏÍÁËÔÅ (ÓÍ. Ó. 29) ×ÙÔÅËÁÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ (ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÅÇÏ e1 ) (ÓÍ. ÒÉÓ. 2). ÅÅÒØ ÎÁÄÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÒÁ×ÉÌÏ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ìÁÇÒÁÎÖÁ. åÓÌÉ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÎÅ ÚÎÁÅÔ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÔÁËÏÅ, ÅÍÕ ÓÌÅÄÕÅÔ ÓÎÁÞÁÌÁ ÒÏÞÉÔÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÁÚÄÅÌ, ÇÄÅ ÜÔÏ ÒÁ×ÉÌÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ É × Ä×ÕÍÅÒÎÏÍ, É × ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÏÍ, É × ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. ÷ ÒÉÍÅÎÅÎÉÉ Ë ÎÁÛÅÊ ÚÁÄÁÞÅ ÒÁ×ÉÌÏ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ ìÁÇÒÁÎÖÁ 1 , ÞÔÏ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ Ï x ÆÕÎË ÉÉ ìÁÇÒÁÎÖÁ e1 e2

òÉÓ. 2.

40

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

L(x; 1 ) = −hAx; xi + 1 hx; xi ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ (Ï ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ Ä×ÕÈ É ÍÎÏÇÉÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÓÍ. Ó. 29; ÒÏÓÔÙÅ ×ÙËÌÁÄËÉ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ, ÞÔÏ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÆÕÎË ÉÉ x 7→ hAx; xi ÒÁ×ÎÁ 2Ax, ÆÕÎË ÉÉ hb; xi ÒÁ×ÎÁ b, ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ). ïÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ Ae1 = 1 e1 É ÒÉ ÜÔÏÍ 1 | ÜÔÏ ÍÁËÓÉÍÕÍ × ÚÁÄÁÞÅ (ÉÂÏ hAe1 ; e1 i = 1 > 0). ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ e2 | ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ, ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÊ e1 (ÄÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÔÁËÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ÎÁÄÏ ÒÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ hx; e1 i = 0; hx; xi = 1). ÏÇÄÁ hAe2 ; e1 i = = he2 ; Ae1 i = 1 he2 ; e1 i = 0, Ô. Å. Ae2 É e2 ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ ÞÅÒÅÚ 2 . úÎÁÞÉÔ, y = hy; e1 ie1 + hy; e2 ie2 , ÏÔËÕÄÁ É ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ q(y) = 1 hy; e1 i2 + 2 hy; e2 i2 , 1 ; 2 6= 0.  îÅÔÒÕÄÎÏ ÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ×ÅËÔÏÒ 2 e2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÍÉÎÉÍÕÍÅ ÆÕÎË ÉÉ q ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ y12 + y22 = 1. ÷ÅËÔÏÒÙ ei , i = 1; 2, ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÅ ÎÁÍÉ (ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ Aei = = i ei ), ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ ÏÅÒÁÔÏÒÁ A. äÏËÁÚÁÎÎÙÊ ÎÁÍÉ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÔÁË: ËÁÖÄÙÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅ-

ÓËÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÎÁ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÂÁÚÉÓÏÍ ÉÚ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× .

ÅÅÒØ ÅÒÅ×ÅÄÅÍ ×Ó£ ÜÔÏ ÎÁ ÑÚÙË ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. íÏÄÅÌØÀ ËÕÓËÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÍÏÖÅÔ ÓÌÕÖÉÔØ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ ÓÔÏÌÁ, ÚÁ ËÏÔÏÒÙÍ ÎÁÍ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÒÁÂÏÔÁÔØ. íÙÓÌÅÎÎÏ ÎÁÒÉÓÕÅÍ ÎÁ ÜÔÏÍ ÓÔÏÌÅ ÄÅËÁÒÔÏ×Õ ÓÉÓÔÅÍÕ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. îÏ ÎÁÍ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÜËÚÅÍÌÑÒ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ðÉÓØÍÅÎÎÙÅ ÓÔÏÌÙ ÉÎÏÇÄÁ ÎÁËÒÙ×ÁÀÔ ÒÏÚÒÁÞÎÙÍ ÓÔÅËÌÏÍ. ÷ÏÏÂÒÁÚÉÍ ÓÅÂÅ ÔÁËÏÊ ÒÏÚÒÁÞÎÙÊ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÔÏÎËÉÊ É × ÔÏ ÖÅ ×ÒÅÍÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÖÅÓÔËÉÊ ÞÅÒÅÚ ×ÓÅ ÒÏÎÉËÁÀÝÉÊ ËÕÓÏË ÌÏÓËÏÓÔÉ. óÎÉÍÅÍ ÅÇÏ Ó ÎÁÛÅÇÏ ÉÓØÍÅÎÎÏÇÏ ÓÔÏÌÁ É ÏÄÎÅÓÅÍ Ë ËÏÎÕÓÕ (ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÏÍÕ ÔÁËÖÅ ÇÄÅ-ÔÏ ÎÅÄÁÌÅËÏ ÏÔ ÎÁÓ). ðÅÒÅÓÅÞÅÍ ÜÔÉÍ ËÕÓËÏÍ ÌÏÓËÏÓÔÉ ×ÓÅ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÅ ËÏÎÕÓÁ, ÏÂ×ÅÄÅÍ ×ÅÔÎÙÍ ËÁÒÁÎÄÁÛÏÍ Ï ËÏÎÔÕÒÕ ÓÅÞÅÎÉÑ É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÔÏÞËÕ ÎÁ ÎÁÛÅÍ ËÕÓËÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÇÄÅ ÏÎ ÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ Ó ÅÎÔÒÁÌØÎÏÊ ÏÓØÀ ËÏÎÕÓÁ. îÁ ÎÁÛÅÍ ÒÏÚÒÁÞÎÏÍ ËÕÓËÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÌÁÓØ ËÒÉ×ÁÑ, ËÏÔÏÒÕÀ áÏÌÌÏÎÉÊ ÎÁÚ×ÁÌ ÜÌÌÉÓÏÍ, É ×ÎÕÔÒÉ ÜÔÏÇÏ ÜÌÌÉÓÁ ÒÁÓÏÌÏÖÉÌÓÑ ÅÇÏ ÅÎÔÒ. ðÏÌÏÖÉÍ ÔÅÅÒØ ÏÑÔØ ÎÁÛ ËÕÓÏË ÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ ÎÁÛÅÇÏ ÉÓØÍÅÎÎÏÇÏ ÓÔÏÌÁ, ÒÏÒÉÓÕÅÍ ËÏÎÔÕÒ ÜÌÌÉÓÁ Ó ÒÏÚÒÁÞÎÏÇÏ ËÕÓËÁ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ ÓÔÏÌÁ É ×ÅÒÎÅÍÓÑ Ë ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÍ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑÍ. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÜÌÌÉÓÁ × ÓÉÓÔÅÍÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÁ ÓÔÏÌÅ, ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ hAx; xi + 2hb; xi + = 0. ðÅÒ×ÏÅ, ÞÔÏ ÍÙ ÓÄÅÌÁÌÉ, ÉÚÂÁ×ÉÌÉÓØ ÏÔ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÞÌÅÎÏ×. îÁ ÑÚÙËÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÍÙ ÏÍÅÓÔÉÌÉ ÎÏ×ÕÀ ÄÅËÁÒÔÏ×Õ ÓÉÓÔÅÍÕ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ × ÅÎÔÒ ÜÌÌÉÓÁ (ÎÁÒÁ×É× ÏÓÉ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏ ÉÚÎÁÞÁÌØÎÙÍ). á ÄÁÌÅÅ, ×ÚÇÌÑÎÕ× ÎÁ ÜÌÌÉÓ Ó ÎÏ×ÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ (ÓÍ. ÒÉÓ. 2), ÏÍÅÝÅÎÎÏÊ × ÅÇÏ ÅÎÔÒ, ÍÙ ÚÁÏÄÏÚÒÉÌÉ, ÞÔÏ ÒÑÍÁÑ, ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÙÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÅÎÔÒÁ ÔÏÞËÉ É

áÌÇÅÂÒÁ, ÁÎÁÌÉÚ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

41

ÒÑÍÁÑ, ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÙÅ ÏÔ ÅÎÔÒÁ ÔÏÞËÉ, ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ. üÔÏÔ ÆÁËÔ ÍÙ É ÄÏËÁÚÁÌÉ Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÁ×ÉÌÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ìÁÇÒÁÎÖÁ. ðÏ×ÅÒÎÕ× ÏÓÉ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÎÉ ÏÛÌÉ Ï ÒÑÍÙÍ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÍ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ É ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÙÅ ÔÏÞËÉ, × ÎÏ×ÙÈ ÏÓÑÈ ÏÌÕÞÉÌÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ 1hy; e1 i2 + 2hy; e2 i2 = − ′. ÷ ÓÌÕÞÁÅ ÜÌÌÉÓÁ −i= ′ > 0; i = 1; 2. á ÅÓÌÉ ÂÙ ÍÙ ÓÒÁÚÕ ÎÁÛ ÜÌÌÉÓ, ÎÁÒÉÓÏ×ÁÎÎÙÊ ÎÁ ÒÏÚÒÁÞÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ, €ÒÉ×ÅÚÌɁ Ï ÓÔÏÌÕ É ÒÁÓÏÌÏÖÉÌÉ × ÓÔÁÒÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÅÇÏ ÏÓÉ  2   ÕÓÔÉ×  2 Ï ÏÓÑÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÔÏ ÏÌÕÞÉÌÉ ÂÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ x21 + x22 = 1. åÓÌÉ a1 a2 ′ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙ, ÔÏ ÏÌÕÞÉÌÉ ÂÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÇÉÅÒÂÏÌÙ: ÖÅ ÚÎÁËÉ −  = i  2  2 x1 x2 − = 1. a21 a22 íÙ ÄÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÁÑ (É ÎÅ Ñ×ÌÑÀÝÁÑÓÑ ÔÏÞËÏÊ x21 + x22 = 0 ÉÌÉ ÕÓÔÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ x21 + x22 = −1) ËÒÉ×ÁÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ | ÌÉÂÏ ÜÌÌÉÓ, ÌÉÂÏ ÇÉÅÒÂÏÌÁ. 2.2. íÎÏÇÏÍÅÒÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ×ÅËÔÏÒÏ× x = (x1 ; : : : ; xn ) É ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ P hx; x′ i ×ÅËÔÏÒÏ× x = (x1 ; : : : ; xn ) É x′ = (x′1 ; : : : ; x′n ) ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ hx; x′ i = nk=1 xk x′k . åÓÌÉ hx; x′ i = 0, ×ÅËÔÏÒÙ x É x′ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÍÉ, ×ÅËÔÏÒ x ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ hx; xi = 1, ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÅÄÉÎÉÞÎÙÍ. ðÕÓÔØ A = (aij )16i;j6n, aij = aji, | ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÍÁÔÒÉ Á, Á q(x) = Pni;j=1 aij xixj | ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÅÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ. éÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÁÎÁÌÏÇ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 2.1: ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 2.2. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÂÁÚÉÓ ÉÚ ÅÄÉÎÉÞÎÙÈ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× {ek }nk=1 ,PÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ q(x) = ni;j =1 aij xi xj ÒÉÏÂÒÅÔÁÅÔ ×ÉÄ :

q(x) =

n X k=1

k hx; ek i2 ; k ∈ R:

÷ÅËÔÏÒÙ ek , 1 6 k 6 n, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ ÏÅÒÁÔÏÒÁ A, ÔÁË ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ × Rn ÉÍÅÅÔÓÑ ÏÒÔÏÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÂÁÚÉÓ ÉÚ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÏÅÒÁÔÏÒÁ A. üÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ ×ÙÄÁÀÝÉÈÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× 19 ×ÅËÁ | ëÁÒÌÕ ñËÏÂÉ (1804{1851). äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÅÇÏ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ Ä×ÕÍÅÒÎÏÍÕ, ÎÏ ÍÙ ÅÇÏ ÎÅ ÒÉ×ÏÄÉÍ, ÉÂÏ ÓÁÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÁÓÔÎÙÍ ÓÌÕÞÁÅÍ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÏÂÏÂÝÅÎÉÑ, Ë ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÀ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÙ ÅÒÅÈÏÄÉÍ.

42

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

2.3. âÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ. ÅÏÒÅÍÁ çÉÌØÂÅÒÔÁ { ûÍÉÄÔÁ

ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ (X; h·; ·i) | ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï. ìÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ A : X → X ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍ ÅÓÌÉ hAx; x′ i = = hx; Ax′ i ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ x; x′ ∈ X . ÅÏÒÅÍÁ 2. ðÕÓÔØ (X; h·; ·i) | ÓÅÁÒÁÂÅÌØÎÏÅ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï É A : X → X | ËÏÍÁËÔÎÙÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁ-

ÔÏÒ. ÏÇÄÁ × X ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÂÁÚÉÓ {ei } ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÏÅÒÁÔÏÒÁ A. (çÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÅÁÒÁÂÅÌØÎÙÍ , ÅÓÌÉ ÏÎÏ

ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÓÞÅÔÎÏÅ ×ÓÀÄÕ ÌÏÔÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï). üÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÂÙÌ ÏÌÕÞÅÎ çÉÌØÂÅÒÔÏÍ (1906) × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å l2 ÂÅÓP ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× x = (x1 ; : : : ; xn ; : : :) ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ k∈N x2k < ∞. ÷ ÜÔÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Ï ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ P ××ÏÄÉÔÓÑ ′ ′ ÆÏÒÍÕÌÅ hx; x i = k∈N xk xk , Á ÏÅÒÁÔÏÒ A ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉ ÅÊ (aij )i;j ∈N . úÁÔÅÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ çÉÌØÂÅÒÔÁ ÂÙÌ ÏÂÏÂÝÅÎ ÅÇÏ ÕÞÅÎÉËÏÍ ûÍÉÄÔÏÍ ÎÁ ÏÂÝÉÊ ÓÌÕÞÁÊ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. (óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÅÇÅÎÄÁ, ÞÔÏ ËÏÇÄÁ ûÍÉÄÔ ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÌ Ï ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ ÎÁ ÓÅÍÉÎÁÒÅ, çÉÌØÂÅÒÔ ÓÒÏÓÉÌ: €ûÍÉÄÔ, Ï ËÁËÏÍ-ÔÁËÏÍ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÷Ù ÇÏ×ÏÒÉÔÅ? ñ ÎÅ ÏÎÉÍÁÀ). äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ Ï ÍÁËÓÉÍÕÍÅ ÍÏÄÕÌÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÎÁ ÅÄÉÎÉÞÎÏÍ ÛÁÒÅ: |hAx; xi| → max; hx; xi 6 1: (1) éÚ ËÏÍÁËÔÎÏÓÔÉ ÏÅÒÁÔÏÒÁ A ÓÌÅÄÕÅÔ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÓÔØ ÆÕÎË ÉÉ x 7→ hAx; xi. éÚ ÒÉÎ ÉÁ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ âÁÎÁÈÁ { áÌÁÏÇÌÕ (ÓÍ. Ó. 30; ÎÁÄÏ ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ ÒÉ ÜÔÏÍ, ÞÔÏ ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ Ó×ÏÉÍ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÍ, Á ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ÛÁÒ | ×ÙÕËÌÏÅ ÚÁÍËÎÕÔÏÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï) ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÅÛÅÎÉÅ e1 ÚÁÄÁÞÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. éÚ ÒÁ×ÉÌÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ìÁÇÒÁÎÖÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ 1 , ÞÔÏ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ Ï x ÆÕÎË ÉÉ ìÁÇÒÁÎÖÁ L(x; 1 ) = −hAx; xi + 1 hx; xi ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ, ÞÔÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ae1 = 1 e1 . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÏ×ÕÀ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ |hAx; xi| → max; hx; xi 6 1; hx; e1 i = 0: (2) ðÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÒÉÎ ÉÁ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÒÁ×ÉÌÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ìÁÇÒÁÎÖÁ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ Ae2 = 2 e2 . ðÒÏÄÏÌÖÁÑ ÒÏ ÅÓÓ ÄÁÌØÛÅ, ÂÕÄÅÍ ÏÌÕÞÁÔØ ÓÉÓÔÅÍÕ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÓÔÒÅÍÑÝÕÀÓÑ Ë ÎÕÌÀ (ÉÚ-ÚÁ ËÏÍÁËÔÎÏÓÔÉ ÏÅÒÁÔÏÒÁ). úÁÔÅÍ ÎÁÄÏ ×ÚÑÔØ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÅ ×ÓÅÍ ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÍ ek Ó ÎÅ ÒÁ×ÎÙÍÉ ÎÕÌÀ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ, É ×ÙÂÒÁÔØ × ÎÅÍ ÏÒÔÏÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÂÁÚÉÓ (Ó ÎÕÌÅ×ÙÍÉ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ). üÔÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÉÓËÏÍÏÍÕ ÂÁÚÉÓÕ × X . 

áÌÇÅÂÒÁ, ÁÎÁÌÉÚ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

43

þÉÔÁÔÅÌÀ, ÚÎÁËÏÍÑÝÅÍÕÓÑ Ó ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÏÊ ×ÅÒ×ÙÅ, ÒÅËÏÍÅÎÄÕÅÔÓÑ ÒÏ×ÅÓÔÉ ÏÄÒÏÂÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ.

******

ðÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅÉÓÞÉÓÌÉÍÙ | Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÓÍÅÛÁÎÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÄÌÑ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ËÒÁÅ×ÙÈ ÚÁÄÁÞ ÄÌÑ ÁÒÁÂÏÌÉÞÅÓËÉÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, Ë ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÍÕ ÁÎÁÌÉÚÕ, ÔÅÏÒÉÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÊ, Ë×ÁÎÔÏ×ÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÅ É Ô. Ä., É Ô. . ëÏÅ-ËÁËÉÅ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÍÙ ÏÂÓÕÄÉÍ ÄÁÌÅÅ.

******

ÁË ÚÁ×ÅÒÛÉÌÁÓØ ÎÁÛÁ ×ÔÏÒÁÑ ÜËÓËÕÒÓÉÑ ÏÔ áÏÌÌÏÎÉÑ Ë çÉÌØÂÅÒÔÕ É ûÍÉÄÔÕ. 3. îÁÞÁÌÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ 3.0. îØÀÔÏÎ É ìÅÊÂÎÉ | ÒÏÖÄÅÎÉÅ ÁÎÁÌÉÚÁ

ðÅÒ×ÏÊ ÕÂÌÉËÁ ÉÅÊ Ï ÁÎÁÌÉÚÕ ÂÙÌÁ ËÏÒÏÔÅÎØËÁÑ ÚÁÍÅÔËÁ ìÅÊÂÎÉ Á, ÏÑ×É×ÛÁÑÓÑ × 1684 ÇÏÄÕ × ÖÕÒÎÁÌÅ \A ta Eruditotum" | ÏÄÎÏÍ ÉÚ ÅÒ×ÙÈ ÎÁÕÞÎÙÈ ÖÕÒÎÁÌÏ× × ÉÓÔÏÒÉÉ ÎÁÕËÉ. óÔÁÔØÑ ÂÙÌÁ ÏÚÁÇÌÁ×ÌÅÎÁ ÔÁË: \Nova metodus pro maximis et minimis itemque tangentibus, quae ne fra tas ne irrationales quantitates moratur, et singulare proillis al ulus gemes" (îÏ×ÙÊ ÍÅÔÏÄ ÒÏ ÍÁËÓÉÍÕÍÙ É ÍÉÎÉÍÕÍÙ É ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ, ÎÅ ÉÚÍÅÎÑÀÝÉÊ × ÓÌÕÞÁÅ ÄÒÏÂÎÙÈ ÉÌÉ ÉÒÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ É ÓÅ ÉÁÌØÎÙÊ ÓÏÓÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ Ë ÎÅÍÕ; ×ÙÄÅÒÖËÉ ÉÚ ÎÅÅ ÍÏÖÎÏ ÒÏÞÉÔÁÔØ × ÕÏÍÑÎÕÔÏÊ × ÅÒ×ÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ËÎÉÇÅ ÷ÉÌÅÊÔÎÅÒÁ ÎÁ Ó. 272). ÷ ÚÁÇÌÁ×ÉÉ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ ÓÌÏ×Ï \ al ulus" | ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ . ó ÞÕÔØ ÂÏÌÅÅ ÏÚÄÎÅÊ ÏÒÙ ÔÁË É Ï×ÅÌÏÓØ: \dierential and integral al ulus" | ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÅ É ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ. îÁÚ×ÁÎÉÅ ÚÁÍÅÔËÉ Ó×ÉÄÅÔÅÌØÓÔ×ÕÅÔ Ï ÓÔÉÍÕÌÁÈ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÕËÏ×ÏÄÉÌÉ ÅÅ Á×ÔÏÒÏÍ ÒÉ ÓÏÚÄÁÎÉÉ ÁÎÁÌÉÚÁ: ÜÔÏ | ÚÁÄÁÞÉ ÎÁ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ (Ô. Å. ÎÁ ÍÁËÓÉÍÕÍ É ÍÉÎÉÍÕÍ) É ÒÏÂÌÅÍÙ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. îÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ Ä×ÕÍÑ ÄÅÓÑÔÉÌÅÔÉÑÍÉ ÒÁÎÅÅ Ë ÏÓÎÏ×ÎÙÍ ËÏÎ Å ÉÑÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÏ×ÓÅÍ Ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ ÒÉÛÅÌ îØÀÔÏÎ. ÷ 1671 ÇÏÄÕ ÏÎ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÌ ÒÕËÏÉÓØ ÒÁÂÏÔÙ \The Method of Flu tions and in nite Series with its Appli ations to the Geometry of Curves-Lines" (íÅÔÏÄ ÆÌÀËÓÉÊ É ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÒÑÄÏ× Ó ÒÉÌÏÖÅÎÉÅÍ Ë ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ËÒÉ×ÙÈ | ÓÍ. é. îØÀÔÏÎ, €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÂÏÔف, í.-ì., ïîé, 1937), ÓÏÈÒÁÎÉ×ÛÅÊ Ó×ÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ É × ÎÁÛÅ ×ÒÅÍÑ. îÅ ÕËÁÚÙ×ÁÀ ÎÉ ÉÍÅÎ, ÎÉ ÌÅÔ ÖÉÚÎÉ ÜÔÉÈ Ä×ÕÈ ×ÅÌÉËÉÈ ÕÞÅÎÙÈ | ÜÔÏ ÄÏÌÖÅÎ ÚÎÁÔØ ËÁÖÄÙÊ, ÎÅ ÉÛÕ Ï ÉÈ ÎÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÒÉÎÁÄÌÅÖÎÏÓÔÉ, ÉÂÏ ÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÏÎÉ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ×ÓÅÍÕ ÞÅÌÏ×ÅÞÅÓÔ×Õ. îØÀÔÏÎ Ó ÓÁÍÏÇÏ ÎÁÞÁÌÁ ÓÔÒÏÉÌ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÅ É ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ, ËÁË ÁÁÒÁÔ ÅÓÔÅÓÔ×ÏÚÎÁÎÉÑ. (ï ÔÏÍ, ËÁË ÕÓÔÒÏÅÎ ÎØÀÔÏÎÏ×

44

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

ÍÉÒ, ÞÉÔÁÔÅÌØ ÍÏÖÅÔ ÕÚÎÁÔØ ÉÚ ÅÇÏ \Prin ipia" | €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÎÁÞÁÌÁÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÊ ÆÉÌÏÓÏÆÉɁ (1687) (ÓÍ. óÏÂÒÁÎÉÅ ÓÏÞÉÎÅÎÉÊ ÔÒÕÄÏ× á. î. ëÒÙÌÏ×Á, ÔÏÍ VII, ÇÄÅ ÏÍÅÝÅÎ ÅÒÅ×ÏÄ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÎÁÞÁ́; ìÁÇÒÁÎÖ ÎÁÚ×ÁÌ ÜÔÏ ÓÏÞÉÎÅÎÉÅ îØÀÔÏÎÁ €×ÅÌÉÞÁÊÛÉÍ ÉÚ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ ÞÅÌÏ×ÅÞÅÓËÏÇÏ ÕÍÁ). €äÌÑ ÏÑÓÎÅÎÉÑ ÉÓËÕÓÓÔ×Á ÁÎÁÌÉÚÁ, | ÉÓÁÌ îØÀÔÏÎ, | ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÒÉ×ÅÓÔÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÍÅÒÙ ÚÁÄÁÞ [. . . ℄. 1) ðÕÓÔØ ÄÌÉÎÁ ÕÔÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ. îÕÖÎÏ ÕÚÎÁÔØ ÓËÏÒÏÓÔØ × ÄÁÎÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉ. 2) ðÕÓÔØ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ ÓËÏÒÏÓÔØ Ä×ÉÖÅÎÉÑ. îÁÄÏ ÕÚÎÁÔØ ÄÌÉÎÕ ÒÏÊÄÅÎÎÏÇÏ ÕÔÉ. (óÍ. é. îØÀÔÏÎ, €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÂÏÔف, í.-ì., ïîé, Ó. 45.) é ×ÅÄØ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ ÏÙÔÁÔØÓÑ ÏÓÍÙÓÌÉÔØ ÏÎÑÔÉÅ €ÓËÏÒÏÓÔÉ × ÄÁÎÎÙÊ ÍÏÍÅÎԁ ÏÂßÅËÔÁ, Ä×ÉÖÕÝÅÇÏÓÑ ÎÅÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ, ÔÏ ÎÅÉÚÂÅÖÎÏ ÒÉÈÏÄÉÛØ Ë ÉÄÅÅ ÒÅÄÅÌÁ ÓÒÅÄÎÅÊ ÓËÏÒÏÓÔÉ ÚÁ ÍÁÌÙÊ ÒÏÍÅÖÕÔÏË ×ÒÅÍÅÎÉ ÒÉ ÓÔÒÅÍÌÅÎÉÉ ÜÔÏÇÏ ÒÏÍÅÖÕÔËÁ Ë ÎÕÌÀ . éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÅÓÌÉ ÏÂßÅËÔ Ä×ÉÖÅÔÓÑ Ï ÒÑÍÏÌÉÎÅÊÎÏÊ ÄÏÒÏÇÅ ÎÅÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ, É x(t) | ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÅÇÏ ÏÔ ËÁËÏÊ-ÔÏ ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ × ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉ t, ÔÏ ÓËÏÒÏÓÔØ v(t) × ÍÏÍÅÎÔ t ÜÔÏ ÒÅÄÅÌ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÓÒÅÄÎÉÈ ÓËÏÒÏÓÔÅÊ ÚÁ ÍÁÌÙÊ ÒÏÍÅÖÕÔÏË ×ÒÅÍÅÎÉ ÒÉ ÓÔÒÅÍÌÅÎÉÉ ÜÔÏÇÏ ÒÏÍÅÖÕÔËÁ Ë ÎÕÌÀ, Ô. Å. lim x(t +

t)t − x(t) ÒÉ
t ÓÔÒÅÍÑÝÅÍÓÑ Ë ÎÕÌÀ. üÔÕ ×ÅÌÉÞÉÎÕ ÓÔÁÌÉ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ x′ (t) (Á îØÀÔÏÎ ÏÂÏÚÎÁÞÁÌ x_ (t)). (é ÓÁÍÏ ÏÎÑÔÉÅ ÒÅÄÅÌÁ îØÀÔÏÎ ÏÓÏÚÎÁ×ÁÌ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÏÔÞÅÔÌÉ×Ï. ÷ÏÔ ÅÇÏ ÓÌÏ×Á: €ëÏÌÉÞÅÓÔ×Á [. . . ℄, ËÏÔÏÒÙÅ × ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ ÌÀÂÏÇÏ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ ÏÓÔÏÑÎÎÏ ÓÔÒÅÍÑÔÓÑ Ë ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ É ÒÁÎÅÅ ËÏÎ Á ÜÔÏÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ ÒÉÂÌÉÖÁÀÔÓÑ ÄÒÕÇ Ë ÄÒÕÇÕ ÂÌÉÖÅ, ÎÅÖÅÌÉ ÎÁ ÌÀÂÕÀ ÚÁÄÁÎÎÕÀ ×ÅÌÉÞÉÎÕ, ÂÕÄÕÔ × ÒÅÄÅÌÅ ÒÁ×ÎÙ. üÔÏ ÏÞÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÒÅÄÅÌÁ Ï ëÏÛÉ, ËÏÔÏÒÏÍÕ ÎÁÓ ÕÞÁÔ ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ËÕÒÓÅ.) âÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÆÁËÔÏ× ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÉÍÅÀÔ ÆÉÚÉÞÅÓËÕÀ ÉÌÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÀ. óËÁÖÅÍ, ×ÏÔ ×Ù ÉÄÅÔÅ ÓÏ ÓËÏÒÏÓÔØÀ v Ï ×ÁÇÏÎÕ ÏÅÚÄÁ, Ä×ÉÖÕÝÅÇÏÓÑ ÓÏ ÓËÏÒÏÓÔØÀ V . ÏÇÄÁ ×ÁÛÁ ÓËÏÒÏÓÔØ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ úÅÍÌÉ ÒÁ×ÎÁ V + v. ÁË ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ: ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÓÕÍÍÙ ÒÁ×ÎÁ ÓÕÍÍÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ . €ëÏÇÄÁ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÇÏ ÉÌÉ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, × ÜÔÏÔ ÍÏÍÅÎÔ ÏÎÁ ÎÅ ÔÅÞÅÔ ÎÉ ×ÅÒÅÄ, ÎÉ ÎÁÚÁā (ÓÍ. €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÂÏÔف, Ó. 73). üÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÎÁ ÆÉÚÉÞÅÓËÏÍ ÑÚÙËÅ ×ÙÒÁÖÁÅÔ ÔÏ, ÞÔÏ × ËÕÒÓÁÈ ÁÎÁÌÉÚÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÅÏÒÅÍÏÊ æÅÒÍÁ: × ÔÏÞËÅ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ (Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÓËÁÚÁÎÏ Ï ÜÔÏÍÕ Ï×ÏÄÕ ÓÁÍÉÍ æÅÒÍÁ ÓÍ. × ËÎÉÇÅ ÷ÉÌÅÊÔÎÅÒÁ ÎÁ Ó. 256). åÓÌÉ ×Ù ËÕÄÁ-ÔÏ ÅÚÄÉÌÉ Ï ÒÑÍÏÌÉÎÅÊÎÏÊ ÄÏÒÏÇÅ É ×ÅÒÎÕÌÉÓØ ÏÂÒÁÔÎÏ, ÔÏ × ËÁËÏÊ-ÔÏ ÍÏÍÅÎÔ ×Ù ÏËÁÚÁÌÉÓØ × ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÕÄÁÌÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ ÏÔ ÎÁÞÁÌÁ. ÁÍ ×Ù €ÎÅ ÔÅËÌÉ ÎÉ ÎÁÚÁÄ, ÎÉ ×ÅÒÅā, ×ÁÛÁ ÓËÏÒÏÓÔØ ÒÁ×ÎÑÌÁÓØ ÎÕÌÀ. üÔÏ | ÆÉÚÉÞÅÓËÁÑ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÑ

áÌÇÅÂÒÁ, ÁÎÁÌÉÚ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

45

ÔÅÏÒÅÍÙ òÏÌÌÑ: ÅÓÌÉ ÆÕÎË ÉÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ, ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÁ ×ÎÕÔÒÉ ÎÅÇÏ É ÎÁ ËÏÎ ÁÈ ÏÔÒÅÚËÁ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÔÏ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ ÔÏÞËÅ ÅÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ .

îÏ ÄÏ×ÏÌØÎÏ Ï ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÍ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÉ. óËÁÖÅÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÌÏ× Ï ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ | ËÁË ÎÁÊÔÉ ÕÔØ Ï ÓËÏÒÏÓÔÉ. é ÓÎÏ×Á, ÅÓÌÉ ÚÁÄÕÍÁÔØÓÑ Ï ÜÔÏÍ, ÔÏ ÎÉËÁËÏÊ ÄÒÕÇÏÊ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÎÅ ÒÉÄÕÍÁÔØ, ËÁË ÔÏÌØËÏ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ×ÒÅÍÑ ÎÁ ÍÅÌËÉÅ ËÕÓÏÞËÉ É ÓÞÉÔÁÔØ ÓËÏÒÏÓÔØ ÎÁ ÜÔÉÈ ÍÁÌÅÎØËÉÈ ÕÞÁÓÔËÁÈ ÏÓÔÏÑÎÎÏÊ, ÒÁ×ÎÏÊ ÚÎÁÞÅÎÉÀ ÅÅ × ËÁËÏÊ-ÔÏ ÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÏÊ ÔÏÞËÅ, Á ÏÔÏÍ R t1 ÕÍÅÎØÛÁÔØ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ É ÅÒÅÈÏÄÉÔØ Ë ÒÅÄÅÌÕ, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ: t0 v(t)dt (t0 | ÎÁÞÁÌØÎÁÑ ÔÏÞËÁ Ä×ÉÖÅÎÉÑ, t1 | ËÏÎÅÞÎÁÑ, v(t) | ÓËÏÒÏÓÔØ × ÍÏÍÅÎÔ t) É ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÏÔ ÓËÏÒÏÓÔÉ v(·) × ÒÅÄÅÌÁÈ ÏÔ t0 ÄÏ t1 . ðÏÄ×ÅÄÅÍ ÉÔÏÇ: ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÕÔÉ Ï ×ÒÅÍÅÎÉ x′ (t) | ÜÔÏ ÓËÏÒÏÓÔØ v(t), Á ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ, ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÀÝÉÊ ÒÏÊÄÅÎÎÙÊ ÕÔØ x(t) Ï ÓËÏÒÏÓÔÉ | ÜÔÏ ÌÏÝÁÄØ ÏÄ ÇÒÁÆÉËÏÍ ÓËÏÒÏÓÔÉ. é ÅÓÌÉ ÔÅÅÒØ ÓÏÏÓÔÁ×ÉÔØ ×ÓÅ ÓËÁÚÁÎÎÏÅ, ÔÏ ÍÙ ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÔÁËÏÍÕ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÕ:

x(t1 ) − x(t0 ) =

Z t1 t0

v(t)dt =

Z t1 t0

x′(t)dt:

üÔÏ ÎÅ ÞÔÏ ÉÎÏÅ, ËÁË ÚÎÁÍÅÎÉÔÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ îØÀÔÏÎÁ { ìÅÊÂÎÉ Á, ËÏÔÏÒÕÀ ÉÎÏÇÄÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ . ïÎÁ Ó×ÑÚÙ×ÁÅÔ Ä×Á ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ. á ÔÅÅÒØ ÅÒÅÊÄÅÍ Ë ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÀ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ×ÁÖÎÅÊÛÉÈ ÔÅÏÒÅÍ ÁÎÁÌÉÚÁ | ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÏÂÒÁÔÎÏÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ. úÄÅÓØ ÍÙ ÓÏÂÉÒÁÅÍÓÑ Ï×ÔÏÒÉÔØ (É ÄÁÖÅ Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÕÓÉÌÅÎÉÅÍ) ÔÏ, ÞÔÏ ÕÖÅ Ä×ÁÖÄÙ ÄÅÌÁÌÉ: ÓÎÁÞÁÌÁ ÍÙ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÔÅÏÒÅÍÕ × ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÚÁÔÅÍ × ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÏÍ, É ÎÁËÏÎÅ , × ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, Á ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ×ÓÅ ÜÔÉ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÂÕÄÅÍ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ, É ÞÉÔÁÔÅÌØ ÕÂÅÄÉÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ × ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÎÅ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÇÏ, ÎÁÄÏ ÔÏÌØËÏ ÚÎÁÔØ Ï €ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÓÔɁ ÎÅÞÔÏ ÒÏÓÔÏ ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍÏÅ, ÎÏ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÏÅ. ðÕÓÔØ X = Y = R, ÉÌÉ X = Rn; Y = Rm ; m 6 n, ÉÌÉ (X; k · kX ) É (Y; k · kY ) | ÂÁÎÁÈÏ×Ù ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, U | ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÎÕÌÑ × X , F : U → Y , F (0X ) = 0Y . ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ F ÓÔÒÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÁ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á X (É ÉÛÕÔ F ∈ SD1 (0)) ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÞÉÓÌÏ F ′(0) (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ | ÍÁÔÒÉ Á F ′ (0) ÉÌÉ × ÓÁÍÏÍ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ | ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ F ′ (0): X → Y ) ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ " > 0 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ Æ > 0, ÞÔÏ kF (x′ ) − F (x) − F ′(0)(x′ − x)kY < < "kx′ − xkX , ÅÓÌÉ ÔÏÌØËÏ kxkX < Æ, kx′ kX < Æ, ÇÄÅ × ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ kxkX = |x| É kykY = |y|.

46

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÔÒÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÁÑ × xb ÆÕÎË ÉÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÁ × ÔÏÞËÅ xb É ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ xb. îÅ ×ÓÑËÁÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÓÔÒÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÁ, ÜÔÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÒÉÍÅÒ ÆÕÎË ÉÉ F (x) = x2 D(x), ÇÄÅ D(x) | ÆÕÎË ÉÑ äÉÒÉÈÌÅ, ÒÁ×ÎÁÑ ÎÕÌÀ × ÉÒÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÔÏÞËÁÈ É ÅÄÉÎÉ Å × ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ. (æÕÎË ÉÑ F ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÁ × ÎÕÌÅ É ÒÁÚÒÙ×ÎÁ ×ÓÀÄÕ, ËÒÏÍÅ ÎÕÌÑ.) 3.1. ÅÏÒÅÍÁ Ï ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ × ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ

ÅÏÒÅÍÁ 3 a) Ï ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ. ðÕÓÔØ U | ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÎÕÌÑ × R, F : U → R | ÓÔÒÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÁÑ × ÎÕÌÅ ÆÕÎË ÉÑ, ÒÉÞÅÍ F ′(0) 6= 0. ÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÔÁËÉÅ ÞÉÓÌÁ " > 0, Æ > 0 É K > 0 ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÞÉÓÌÁ |y| < Æ ÎÁÊÄÅÔÓÑ (ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ) ÞÉÓÌÏ x = x(y), |x| < " ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ F (x) = y É |x| 6 K |y|.

ÅÏÒÅÍÁ 3 Á) ×ÏÓÈÏÄÉÔ Ë îØÀÔÏÎÕ. ïÎ ÉÚÌÏÖÉÌ (ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y3 − 2y − 5 = 0) ÍÅÔÏÄ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ËÏÒÎÑ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÎÙÎÅ ×ÓÅÍ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÊ ËÁË ÍÅÔÏÄ îØÀÔÏÎÁ , × Ó×ÏÅÊ ÒÁÂÏÔÅ €áÎÁÌÉÚ Ó ÏÍÏÝØÀ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ. . .  (€íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÂÏÔف, Ó. 9). îØÀÔÏÎ ÂÙÌ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÍ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌÅÍ. ÷ ÓÅÒÅÄÉÎÅ ÓÅÍÉÄÅÓÑÔÙÈ ÇÏÄÏ× ÓÅÍÎÁÄ ÁÔÏÇÏ ×ÅËÁ ÎÁÞÁÌ ÔÌÅÔØ ÒÉÏÒÉÔÅÔÎÙÊ ÓÏÒ ÍÅÖÄÕ îØÀÔÏÎÏÍ É ìÅÊÂÎÉ ÅÍ Ï ÏÔËÒÙÔÉÉ ÁÎÁÌÉÚÁ. ó ÚÁÒÏÓÏÍ Ï Ï×ÏÄÕ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ îØÀÔÏÎÕ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÁÎÁÌÉÚÅ, ÏÂÒÁÔÉÌÓÑ Ë ÎÅÍÕ ÕÞÅÎÙÊ ÓÅËÒÅÔÁÒØ ëÏÒÏÌÅ×ÓËÏÇÏ ÏÂÝÅÓÔ×Á ïÌØÄÅÎÂÕÒÇ. îØÀÔÏÎ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚ ÏÔ×ÅÞÁÌ Ó×ÏÅÍÕ ÒÅÓÏÎÄÅÎÔÕ. ÷Ï ×ÔÏÒÏÍ ÉÓØÍÅ ïÌØÄÅÎÂÕÒÇÕ, ÏÔÒÁ×ÌÅÎÎÏÍ \24 ÏËÔÑÂÒÑ 1676 Ç. ÏÔ òÏÖÄÅÓÔ×Á èÒÉÓÔÏ×Á" (É ÏÄÌÅÖÁÝÅÍ, ËÁË ÕËÁÚÙ×ÁÅÔ îØÀÔÏÎ, ÂÙÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÎÙÍ ìÅÊÂÎÉ Õ, Ï ÎÅÍ ÍÙ ÅÝÅ ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ Ï×ÏÄ ×ÓÏÍÎÉÔØ), îØÀÔÏÎ ÉÛÅÔ, ÞÔÏ €ÍÎÅ ÒÑÍÏ ÓÔÙÄÎÏ ÒÉÚÎÁÔØÓÑ, ÄÏ ËÁËÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÚÎÁËÏ× Ñ ÄÏ×ÅÌ ÎÁ ÄÏÓÕÇÅ ÜÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉс (ÒÅÞØ ÛÌÁ Ï ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÌÏÇÁÒÉÆÍÏ× | ÓÍ. €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÂÏÔف, Ó. 237). îÉÖÅ ÍÙ ÉÚÌÁÇÁÅÍ ÍÅÎÅÅ ÂÙÓÔÒÙÊ, ÞÅÍ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ ÍÅÔÏÄ îØÀÔÏÎÁ, ÎÏ ÂÏÌÅÅ ÕÄÏÂÎÙÊ ÍÅÔÏÄ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ. îÁÍ ÎÁÄÌÅÖÉÔ ÒÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ F (x) = y. âÕÄÅÍ ÉÓËÁÔØ ÅÇÏ ÉÔÅÒÁÔÉ×ÎÏ xn = xn−1 + F ′1(0) (y − F (xn−1 )), n ∈ N, x0 = 0. üÔÁ ÒÏ ÅÄÕÒÁ (ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ÍÏÄÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÍÅÔÏÄÏÍ îØÀÔÏÎÁ), ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 3. (÷ ÍÅÔÏÄÅ îØÀÔÏÎÁ xn = xn−1 + F ′ (x1 ) (y − F (xn−1 )), n ∈ N, x0 = 0). n−1 ïÓÔÁ×ÉÍ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÉÅ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÍÏÄÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ îØÀÔÏÎÁ Ë x(y) ÄÏ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÒÁÚÄÅÌÁ, ÇÄÅ ÂÕÄÅÍ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÔÅÏÒÅÍÕ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ × ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÍ, ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÏÍ É ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÑÈ.

áÌÇÅÂÒÁ, ÁÎÁÌÉÚ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

Y y

47

F

x0 = 0

x1

x2

X

òÉÓ. 3.

3.2. íÎÏÇÏÍÅÒÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÞÁÓÔÎÙÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÏÇÏ ÓÌÕÞÁÑ, ËÏÇÄÁ n = m. ðÕÓÔØ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÒÅÛÉÔØ ÓÉÓÔÅÍÕ ÉÚ n ÎÅÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ f1(x1 ; : : : ; xn) = y1; : : : ; fn(x1 ; : : : ; xn ) = yn: ÷×ÅÄÅÍ, ËÁË ÍÙ ÎÅ ÒÁÚ ÕÖÅ ÄÅÌÁÌÉ, ÓÏËÒÁÝÅÎÎÙÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ:       f1(x) x1 y1  ..   ..   ..  F (x) =  .  ; x =  .  ; y =  .  : fn(x) xn yn ÏÇÄÁ ÎÁÛÁ ÚÁÄÁÞÁ ÒÉÍÅÔ ÔÁËÏÊ ×ÉÄ: ÒÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ F (x) = y. òÅÛÅÎÉÅ ÂÕÄÅÍ ÉÓËÁÔØ ÔÏÞÎÏ ÔÁËÖÅ | ÍÏÄÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÍÅÔÏÄÏÍ îØÀÔÏÎÁ: xn = xn−1 +(F ′ (0))−1 (y − F (xn−1 )), n ∈ N, x0 = 0, ÇÄÅ (F ′ (0))−1 ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÏÂÒÁÔÎÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÏ×ÅÄÅÍ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÒÁÚÄÅÌÅ. 3.3. ïÂÝÉÊ ÓÌÕÞÁÊ (ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÊ, ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÊ É ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÊ; ÒÁ×ÉÌÏ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ìÁÇÒÁÎÖÁ)

ðÕÓÔØ X = Rn , a Y = Rm É A : X → Y | ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ. ÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÁ×ÙÊ ÏÂÒÁÔÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ R : Y → X ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ ARy = y É |R(y)| 6 C |y| (ÇÄÅ C | ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ). äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÎÁÄÏ ×ÚÑÔØ ÂÁÚÉÓ {ei }m f i, 1 6 i 6 m, ÉÚ i=1 × Y , ÜÌÅÍÅÎÔÙ P P m i ÒÏÏÂÒÁÚÁ A−1 ei É ÄÌÑ y = i=1 yi ei ÏÌÏÖÉÔØ R(y) = m i=1 yi f . (ÏÇÄÁ Pm √ |R(y )| 6 i=1 |yi | max16i6m |f i | 6 m max16i6m |f i ||y |). åÓÌÉ ÖÅ (X; k · kX ), (Y; k · kY ) | ÂÁÎÁÈÏ×Ù ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á É A : X → Y | ÌÉÎÅÊÎÙÊ, ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÊ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ

48

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

ÒÁ×ÏÇÏ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ Ó ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÍÉ ×ÙÛÅ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÅÓÔØ ÆÁËÔ, ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÙÊ ÒÉÎ ÉÕ ÏÔËÒÙÔÏÓÔÉ âÁÎÁÈÁ (ÓÍ. Ó. 29 É ÒÉÌÏÖÅÎÉÅ). ÅÏÒÅÍÁ 3 b) (Ï ÏÂÒÁÔÎÏÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ). ðÕÓÔØ X = Y = R, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ X = Rn , Y = Rm , m 6 n, ÉÌÉ × ÓÁÍÏÍ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ (X; k · kX ) É (Y; k · kY ) | ÂÁÎÁÈÏ×Ù ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, U | ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÎÕÌÑ × X , F : U → Y , F ∈ SD1 (0), F (0X ) = 0Y É ÂÏÌÅÅ ÔÏÇÏ F ′ (0)X = Y (× ÓÌÕÞÁÅ X = Y = R ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ F ′ (0) 6= 0, × ÓÌÕÞÁÅ X = Y = Rn, ÞÔÏ det F ′ (0) 6= 0 (ÓÍ. 1.2)). ÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÔÁËÉÅ " > 0, Æ > 0 É K > 0, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÞÉÓÌÁ |y| < Æ (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ×ÅËÔÏÒÁ |y| < Æ × ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÌÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁ kykY < Æ × ÂÁÎÁÈÏ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÞÉÓÌÏ x = x(y), |x| < " (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ | ×ÅËÔÏÒ x = x(y), |x| < " ÉÌÉ ÜÌÅÍÅÎÔ x = x(y ) ∈ X , kxkX < ") ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ F (x) = y É |x| 6 K |y | × ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÍ É kxkX 6 K ky kY × ÂÁÎÁÈÏ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ × ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ

R | ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ F ′1(0) ,

× ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ m = n, | ÍÁÔÒÉ Á (F ′ (0))−1 , Á × ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ | ÒÁ×ÙÊ ÏÂÒÁÔÎÙÊ ÄÌÑ F ′ (0) ÏÅÒÁÔÏÒ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÓÔÒÏÇÏÊ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÏÓÔÉ ×ÌÅÞÅÔ ÚÁ ÓÏÂÏÊ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÔÁËÏÇÏ Æ > 0, ÞÔÏ ÅÓÌÉ kxkX < Æ, kx′ kX < Æ, ÔÏ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï kF (x′ ) − F (x) − F ′ (0)(x′ − x)kY

< 21C kx′ − xkX ;

(i)

ÇÄÅ C | ËÏÎÓÔÁÎÔÁ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÒÁ×ÏÍ ÏÂÒÁÔÎÏÍ (ÓÍ. Ó. 29). ðÕÓÔØ ÒÉ ÜÔÏÍ UX (0; Æ) = {x ∈ X | kxkX < Æ} ⊂ U É F ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁ × UX (0; Æ). ÷ÙÂÒÁ× " < 8ÆC , ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÉÔÅÒÁÔÉ×ÎÕÀ ÒÏ ÅÄÕÒÕ ÍÏÄÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ îØÀÔÏÎÁ: (ii) xn+1 = xn + R(y − F (xn)); n > 0; x0 = 0; ÇÄÅ × ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ k · k = | · |. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ xj , j ∈ N, ÌÅÖÁÔ × UX (0; Æ). ðÒÉÍÅÎÉÍ ÍÅÔÏÄ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ. éÍÅÅÍ: kx1 kX 6 6 C ky kY < Æ , ÚÎÁÞÉÔ, x1 ∈ UX (0; Æ ). ðÕÓÔØ xk ∈ UX (0; Æ ), 1 6 k 6 n. ÏÇÄÁ ÏÌÕÞÉÍ (ii) −y + F (xk−1 ) − F ′ (0)(xk − xk−1 ) = 0; 1 6 k 6 n (iii) É ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, def R (iii) kxn+1 − xn kX 6 C ky − F (xn )kY = (i) = C ky − F (xn ) − y + F (xn−1 ) + F ′ (0)(xn − xn−1 )kY 6 1=2kxn − xn−1 kX 6 6 1=4kxn−1 − xn−2 kX 6 : : : 6 1=2n−1 kx1 kX : (iv )

áÌÇÅÂÒÁ, ÁÎÁÌÉÚ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

49

éÚ (iv) É ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ kxn+1 kX < 2kx1 | < Æ; (v) Ô. Å. ÜÌÅÍÅÎÔÙ xn ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ ÄÌÑ ×ÓÅÈ n, a kxn − xn+m kX 6 1=2n−1 kx1 kX , ÏÔËÕÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ {xn }n∈N | ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ. ðÅÒÅÈÏÄ Ë ÒÅÄÅÌÕ × (ii) (ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÉÚ-ÚÁ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ F × U (0X ; Æ)) ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ F (x(y)) = y, Á ÅÒÅÈÏÄ Ë ÒÅÄÅÌÕ × (v), ÕÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ kx1 kX 6 C kykY , ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÅÔ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï kx(y)kX 6 6 K ky kY K = 2C .  ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÏÄÎÏ ÉÚ ×ÁÖÎÅÊÛÉÈ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÊ ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ: ÒÁ×ÉÌÏ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ìÁÇÒÁÎÖÁ. ðÕÓÔØ X É Y ÜÔÏ R2 É R ÉÌÉ Rn É Rm , m < n, ÉÌÉ ÂÁÎÁÈÏ×Ù ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á (X; k · kX ) É (Y; k · kY ), U | ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÔÏÞËÉ xb × X , f0 : U → R, F : U → Y . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÚÁÄÁÞÕ Ï ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÉ ÔÏÞÅË ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ (Ô. Å. ÍÁËÓÉÍÕÍÁ ÉÌÉ ÍÉÎÉÍÕÍÁ ÆÕÎË ÉÉ f0 ÒÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÉ ÔÉÁ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á F = 0): f0(x) → extr; F (x) = 0: (P ) çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔ xb ÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÌÏËÁÌØÎÙÊ ÍÉÎÉÍÕÍ (ÍÁËÓÉÍÕÍ) ÚÁÄÁÞÅ (P ) (É ÉÛÕÔ xb ∈ lo min (lo max)), ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ V ÔÏÞËÉ xb, ÞÔÏ ÄÌÑ ÔÏÞËÉ x ∈ V , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ F (x) = 0, ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï f0 (x) > f0 (xb), (f0 (x) 6 f0 (xb)). åÓÌÉ X = R2 , Y = R, ÏÌÏÖÉÍ F (x) = f1 (x) É L(x; ) = f0(x) + f1 (x) (ÚÄÅÓØ  |ÞÉÓÌÏ); ÅÓÌÉ X =PRn , Y = Rm ÏÌÏÖÉÍ F (x) = (f1 (x); : : : ; fm(x))T É L(x; ) = f0(x) + mi=1 ifi(x) (ÚÄÅÓØ  = (1; : : : ; m ) | ×ÅËÔÏÒ); ÅÓÌÉ (X; k · kX ) É (Y; k · kY ) | ÂÁÎÁÈÏ×Ù ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÏÌÏÖÉÍ L(x; ) = f0 (x) + h; F (x)i, ÇÄÅ  | ÜÌÅÍÅÎÔ ÓÏÒÑÖÅÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Y ∗, Á h·; ·i | ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÁÑ ÂÉÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÎÁ Y ∗ × Y (h; xi | ÜÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÅ x ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ ). îÁÉÓÁÎÎÙÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÆÕÎË ÉÅÊ ìÁÇÒÁÎÖÁ ÚÁÄÁÞÉ (P ).

óÌÅÄÓÔ×ÉÅ (ÒÁ×ÉÌÏ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ìÁÇÒÁÎÖÁ). ðÕÓÔØ × (P ) f0 , F ∈ SD1(0), F ′ (0)X = Y . åÓÌÉ xb ÌÏËÁÌØÎÙÊ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ (P ), ÔÏÇÄÁ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ ìÁÇÒÁÎÖÁ  (ÞÉÓÌÏ, ×ÅËÔÏÒ ÉÌÉ ÜÌÅÍÅÎÔ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Y ∗ , ÓÏÒÑÖÅÎÎÏÇÏ Ó Y ), ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ Lx (x b; ) = 0: (3.1) òÁÓÛÉÆÒÕÅÍ ÓËÁÚÁÎÎÏÅ × ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ. åÓÌÉ X = R2 , Y = = R, ÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (3.1) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ f0′ (xb) + f1 (xb), Ô. Å., ÞÔÏ ÇÒÁÄÉÅÎÔÙ f0′ (xb) É f1′ (xb) ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙ (É ÅÓÌÉ ÏÎÉÍÁÔØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ

ÓÍÙÓÌ ÇÒÁÄÉÅÎÔÁ ÆÕÎË ÉÉ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÔÏ ÜÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÏÞÔÉ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ), Á ÅÓÌÉ X = Rn ; Y = Rm , ÔÏ (3.1) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ

50

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

f0′ (xb) + Pmi=1 fi′(xb) = 0, Ô. Å., ÞÔÏ ÇÒÁÄÉÅÎÔ f0′ (xb) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉ-

ÎÁ ÉÅÊ ÇÒÁÄÉÅÎÔÏ× ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ ×Ï ×ÓÅÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÓÈÏÄÎÙ É ÒÏÓÔÙ. åÓÌÉ ÂÙ × ÓÌÕÞÁÅ X = R2 , Y = R ÇÒÁÄÉÅÎÔÙ ÎÅ ÂÙÌÉ ÂÙ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙ, ÔÏ Ë ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÀ (x) = (f0 (x); f1 (x)) ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ÏÂÒÁÔÎÏÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ É ÎÁÊÔÉ ÜÌÅÍÅÎÔ x ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ (x) = (; 0), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ f0 (x ) = , f1 (x ) = 0 É |x | 6 K ||, Á ÜÔÏ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ xb ∈ lo extr. óÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ ×Ï ×ÔÏÒÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÇÒÁÄÉÅÎÔ f0′ (xb) ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÅÊ ÇÒÁÄÉÅÎÔÏ× ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ (É ÇÒÁÄÉÅÎÔÙ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ). á × ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÌÉÂÏ ′ (xb)X = Y ×R, ÌÉÂÏ ÎÅÔ. ÷ ÅÒ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÉÍÅÎÑÅÍ ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ÏÂÒÁÔÎÏÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ É ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ, Á ×Ï ×ÔÏÒÏÍ ÎÁÄÏ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÓÔØÀ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÁ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ′ (xb)X ⊂ Y .  ÷ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÁ×ÉÌÏ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ìÁÇÒÁÎÖÁ ÂÙÌÏ ÄÏËÁÚÁÎÏ ì. á. ìÀÓÔÅÒÎÉËÏÍ.

******

îÁÛÅ ÔÒÅÔØÅ ÕÔÅÛÅÓÔ×ÉÅ ÄÌÉÌÏÓØ ÂÏÌÅÅ, ÞÅÍ Ä×Á Ó ÏÌÏ×ÉÎÏÊ ÓÔÏÌÅÔÉÑ Ó 1671 ÇÏÄÁ, ËÏÇÄÁ îØÀÔÏÎ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÌ €íÅÔÏÄ ÆÌÀËÓÉʁ Ï 1934 Ç., ËÏÇÄÁ ì. á. ìÀÓÔÅÒÎÉË ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÌ ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ÒÁ×ÉÌÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ìÁÇÒÁÎÖÁ × ÂÁÎÁÈÏ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. îÏ ÎÁÛ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÕÔØ ÂÕÄÅÔ ËÏÒÏÞÅ, ÈÏÔÑ ÏÎ ÂÕÄÅÔ ÍÅÎÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÅÎ. 4. äÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ 4.0. ï ÏÌØÚÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ

÷ 17 ×ÅËÅ ÂÙÌÏ ÒÉÎÑÔÏ ÚÁÛÉÆÒÏ×Ù×ÁÔØ Ó×ÏÉ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÍÙÓÌÉ × ÁÎÁÇÒÁÍÍÁÈ. ÷ ÔÏÍ ÓÁÍÏÍ ×ÔÏÒÏÍ ÉÓØÍÅ ïÌØÄÅÎÂÕÒÇÕ, Ï ËÏÔÏÒÏÍ ÍÙ ÕÏÍÉÎÁÌÉ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÒÁÚÄÅÌÅ, îØÀÔÏÎ ÉÛÅÔ: €óÕÝÎÏÓÔØ ÜÔÉÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ [. . . ℄ Ñ ÌÕÞÛÅ ÅÒÅÄÁÍ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÓËÒÙÔÏÍ ×ÉÄÅ: 6a

dae13e7i3l9n4o4qrr4s9t12vx. ÅËÓÔ ÁÎÁÇÒÁÍÍÙ, ÒÁÓËÒÙÔÙÊ ÉÍ ×ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ, ÔÁËÏ×: Data aequatione quot unque uentes quantitates involvente uxiones invenire et vi e versa. ÷ÏÔ ÅÒÅ×ÏÄ ÜÔÏÊ ÆÒÁÚÙ: Ï ÄÁÎÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÍÕ ÆÌÀÅÎÔÙ, ÎÁÊÔÉ ÆÌÀËÓÉÉ É ÏÂÒÁÔÎÏ. ÅÒÍÉÎÙ €ÆÌÀÅÎÔÁ É €ÆÌÀËÓÉс ÂÙÌÉ ××ÅÄÅÎÙ ÓÁÍÉÍ îØÀÔÏÎÏÍ. æÌÀÅÎÔÁ Ï îØÀÔÏÎÕ | ÉÚÍÅÎÑÀÝÁÑÓÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ, ÓÅÊÞÁÓ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏ ÅÒÅ×ÏÄÉÍÁÑ ÓÌÏ×ÏÍ €ÆÕÎË Éс. æÌÀËÓÉÑ | ÜÔÏ ÓËÏÒÏÓÔØ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÆÌÀÅÎÔÙ, ÔÁË ÞÔÏ Ï ÓÕÔÉ ÄÅÌÁ × Ó×ÏÅÊ ÁÎÁÇÒÁÍÍÅ îØÀÔÏÎ Ï×ÔÏÒÑÅÔ ÔÏ, Ï ÞÅÍ ÍÙ ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÉ: ÓÕÔØ ÁÎÁÌÉÚÁ × ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÉ ÓËÏÒÏÓÔÉ Ï ÕÔÉ É ÎÁÏÂÏÒÏÔ.

áÌÇÅÂÒÁ, ÁÎÁÌÉÚ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

51

ïÄÉÎ ÉÚ ËÒÕÎÅÊÛÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÓÔÉ | ÷. é. áÒÎÏÌØÄ | ÒÅÄÌÏÖÉÌ ÔÁËÏÊ ×ÏÌØÎÙÊ ÅÒÅ×ÏÄ ÁÎÁÇÒÁÍÍÙ îØÀÔÏÎÁ: €ðÏÌÅÚÎÏ ÒÅÛÁÔØ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ  (÷. é. áÒÎÏÌØÄ, €éÚÂÒÁÎÎÏÅ{60. í.: æÁÚÉÓ, 1997, Ó. 319.). ÷ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÜÔÉÍ €ÏÌÅÚÎÙÍ ÓÏ×ÅÔḮ îØÀÔÏÎÁ { áÒÎÏÌØÄÁ, ÔÅÍ ÂÏÌÅÅ, ÞÔÏ ÇÌÁ×ÎÕÀ ËÏÎ Å ÉÀ €òrin ipia ÍÏÖÎÏ ×ÙÒÁÚÉÔØ ÓÌÏ×ÁÍÉ: €íÉÒ ÕÒÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÍÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍɁ. ðÕÓÔØ f = f (t; x): Rn+1 → Rn (t ∈ R; x ∈ Rn). äÁÌÅÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÉÄÁ x_ = f (t; x). úÁÄÁÞÁ: ÒÅÛÉÔØ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ x_ = f (t; x) Ó ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ x(t0 ) = x0 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÁÄÁÞÅÊ ëÏÛÉ . 4.1. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ

îÁÞÎÅÍ Ó ÒÏÓÔÅÊÛÉÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ. ðÒÏÓÔÅÊÛÅÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ x_ = v, x(t0 ) = x0 ÏÂÓÕÖÄÁÌÏÓØ R t × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÒÁÚÄÅÌÅ. åÇÏ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÅÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ x(t) = x0 + t0 v(s)ds. úÄÅÓØ ÍÙ ÎÁÞÎÅÍ Ó ÒÏÓÔÅÊÛÅÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ: x_ = x. äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ëÏÛÉ x_ = x, x(0) = 1 ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ Rt F : C ([−a; a℄) → C ([−a; a℄), F (x(·))(t) = 1 + 0 x(s)ds. îÅÔÒÕÄÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÓÔÅÅÎØ F n ÜÔÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ (ÚÁ×ÉÓÑÝÁÑ ÏÔ a) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÖÉÍÁÀÝÅÊ, É ÚÎÁÞÉÔ, × ÓÉÌÕ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ ÉÚ ÒÉÎ ÉÁ ÓÖÉÍÁÀÝÉÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ É ÏÌÎÏÔÙ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á C ([−a; a℄), ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ xb(·) ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ F (xb(·))(t) = xb(t), ÏÌÕÞÁÅÍÙÊ ÉÔÅÒÁ ÉÑÍÉ xn+1(t) = F (xn(·))(t), n > 0, x0 (·) | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ. åÓÌÉ ÎÁÞÁÔØ ÉÔÅÒÁÔÉ×ÎÕÀ ÒÏ ÅÄÕÒÕ Ó ÆÕÎË ÉÉ x0 (t) = 1, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ 2 k x1(t) = 1+ t, x2(t) = 1+ t + t2 , : : :, xn(t) = Pnk=0 tk! . üÔÉ ÓÕÍÍÙ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ÓÈÏÄÑÔÓÑ Ë ÆÕÎË ÉÉ t → et . òÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ëÏÛÉ x + x = 0, x(0) = 0, x_ (0) = 1 ÄÌÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÓ ÉÌÌÑÔÏÒÁ (×ÙÒÁÖÁÀÝÅÇÏ ×ÔÏÒÏÊ ÚÁËÏÎ îØÀÔÏÎÁ ÄÌÑ ÞÁÓÔÉ Ù, ÒÉÔÑÇÉ×ÁÀÝÅÊÓÑ Ë ÎÁÞÁÌÕ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÚÁËÏÎÕ çÕËÁ) R t Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÀ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F (x(·))(t) = t − 0 (t − s)x(s)ds. óÔÁÒÔÕÑ ÏÔ x0 (t) = t, ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÒÑÄÕ ÄÌÑ ÓÉÎÕÓÁ (ÕÂÅÄÉÔÅÓØ × ÜÔÏÍ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ). äÌÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x_ = A(t)x, ÇÄÅ A(·) | ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, ÉÔÅRt A ( s ÒÁÔÉ×ÎÁÑ ÒÏ ÅÄÕÒÁ ÒÉ×ÅÄÅÔ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ x(t) = Ce t0 )ds . äÌÑ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x_ = A(t)x + a(t) ×ÙÉÛÅÔÓÑ ÔÏÔ ÖÅ ÏÔ×ÅÔ, ÞÔÏ É ÍÅÔÏÄÏÍ ìÁÇÒÁÎÖÁ ×ÁÒÉÁ ÉÉ ÏÓÔÏÑÎÎÙÈ. óÉÓÔÅÍÕ Ä×ÕÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ: x_ 1 = a11x1 + a12x2 , x_ 2 = a21 x1 + a22 x2, x1(t0 ) = 1 , x2 (t0) = 2 Ó ÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÍÏÖÎÏ Ó×ÅÓÔÉ Ë ÏÄÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ ×ÔÏÒÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ: x + px_ + q = 0. åÓÌÉ ËÏÒÎÉ i , i = 1; 2, ÒÁÚÌÉÞÎÙ, ÔÏ ÏÂÝÅÅ

52

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

ÒÅÛÅÎÉÅ x(t; C1 ; C2 ) = C1 e1 t + C2 e2 t , Á ÅÓÌÉ ËÏÒÎÉ ÏÄÉÎÁËÏ×Ù É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÅ ÒÁÓÁÄÁÅÔÓÑ, ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÔÁËÏ×Ï: x(t; C1 ; C2 ) = et (C1 + C2 t). üÔÉ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ, × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ, üÊÌÅÒÕ. 4.2. ïÂÝÁÑ ÔÅÏÒÉÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ

äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ëÏÛÉ x_ = A(t)x + y(t); x(t0) = x0; (4.1) ÇÄÅ A(·) | ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÒÁÚÍÅÒÁ n × n ÍÁÔÒÉÞÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, Á y(·) | ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ n-ÍÅÒÎÁÑ ×ÅËÔÏÒ-ÆÕÎË ÉÑ, ÓÎÏ×Á ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ R F : C ([−a; a℄; Rn) → C ([−a; a℄; Rn ), F (x(·))(t) = x0 + 0t (A(s)x(s) + y(s)) ds. ðÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÓÔÅÅÎØ F Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÖÉÍÁÀÝÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ. éÚ ÒÉÎ ÉÁ ÓÖÉÍÁÀÝÉÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÓÌÅÄÕÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÏÊ ÔÏÞËÉ, ÞÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÇÌÏÂÁÌØÎÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ëÏÛÉ ÄÌÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁ ×ÓÅÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (−a; a) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ (4.1). 4.3. ïÂÝÁÑ ÔÅÏÒÉÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ, ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÁÑ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÒÅÛÅÎÉÊ) ÅÏÒÅÍÁ 4 a) (ÌÏËÁÌØÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÒÅÛÅÎÉÊ). ðÕÓÔØ ÎÁ ÏÔËÒÙÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å G ⊂ R × Rn ÆÕÎË ÉÑ f : G → Rn, f = f (t; x), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ ìÉÛÉ Á ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ x: |f (t; x) − − f (t; x′ )| 6 M |x − x′ | ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ x; x′ ∈ G, É ÕÓÔØ ËÏÍÁËÔ K ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ G. ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ (bt; xb) ∈ K ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÔÁËÉÅ ÞÉÓÌÏ Æ > 0 É ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ V ÔÏÞËÉ xb, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ (t0; x0 ), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÊ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ |t0 − bt| < Æ É x0 ∈ V , ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ t 7→ x(t; t0 ; x0 ) ÚÁÄÁÞÉ ëÏÛÉ :

x_ = f (t; x); x(t0) = x0; (4.3) ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÅ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [t0 − Æ; t0 + Æ℄ É ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÅ Ï ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔÉ

ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ.

b) (Ï ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÊ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÔ ÁÒÁÍÅÔÒÏ×).

ðÕÓÔØ

G ⊂ R × Rn | ÏÔËÒÙÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, A | ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, f : G × A → Rn | ÆÕÎË ÉÑ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ (t; x; ); t ∈ R; x ∈ Rn;  ∈

A, ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁ Ï ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔÉ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ É ÓÔÒÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÁ

x ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ Ï  × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ [t0 ; t1 ℄ ÎÁ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ W ÔÏÞËÉ (xb; b) (ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÏÍ × G × A). ÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ

Ï

áÌÇÅÂÒÁ, ÁÎÁÌÉÚ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

53

A0 ⊂ A, ÞÔÏ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ëÏÛÉ

ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÎÁ

x_ = f (t; x; ); x(t0) = x0 ÏÔÒÅÚËÅ [t0 ; t1 ℄ É ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ

ÏÔ ÁÒÁÍÅÔÒÁ

.

óÔÒÏÇÁÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÏÓÔØ, ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÁÑ Ï ÁÒÁÍÅÔÒÕ , ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ " > 0 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ W0 ⊂ W ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ |f (t; x; ) − f (t; x′ ; ′ ) − fx (t; x b(t);  b)(x − x′ )| < "|x − x′ |, ÅÓÌÉ t ∈ [t0 ; t1 ℄, ′ (x; ) É (x ; ) ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ W0 . Ó) (Ï ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÒÅÛÅÎÉÊ ÏÔ ÁÒÁÍÅÔÒÏ× É ÇÒÁÎÉÞÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ).

ðÕÓÔØ U ⊂ Rm | ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÎÕÌÑ × Rm É f : [t0 ; t1 ℄ → G×U | ÆÕÎË ÉÑ, ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÁÑ Ï ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔÉ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. åÓÌÉ xb(·) | ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ëÏÛÉ, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ Æ > 0 É ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ |u| < Æ | ÒÅÛÅÎÉÅ x(·; u; w) ÚÁÄÁÞÉ ëÏÛÉ x_ = f (t; x; u), x(t0 ) = w, ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÏ ÚÁ×ÉÓÑÝÅÅ ÏÔ ÇÒÁÎÉÞÎÏÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ w É ÁÒÁÍÅÔÒÁ u.

äÁÄÉÍ ÎÁÂÒÏÓÏË ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ÔÅÏÒÅÍ a) É b).

R

a) òÁÓÓÍÏÔÒÅ× ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ F (x(·))(t) = x(t) − x0 − tt0 f (s; x(s))ds, ÕÂÅÖÄÁÅÍÓÑ, ÞÔÏ ÒÉ ÍÁÌÏÍ d ÏÎÏ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÓÖÉÍÁÅÍÏÓÔÉ × C ([t0 − d; t0 + d℄; Rn ), É ÔÅÏÒÅÍÁ Á) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÒÉÎ ÉÁ ÓÖÉÍÁÀÝÉÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ (É ÏÌÎÏÔÙ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á C ([t0 − d; t0 + d℄; Rn ). äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ b) ÎÁÄÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÍÅÔÏÄ îØÀÔÏÎÁ Ë R ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÀ F ((x(·); ))(t) = xb(t) + x(t) − x0 − tt0 f (s; xb(s) + x(s); )ds ÉÚ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á C ([t0 ; t1 ℄; Rn ) × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï C 1 ([t0 ; t1 ℄; Rn ) ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ F = 0, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÆÕÎË ÉÉ x0 (t) ≡ 0. ïÓÎÏ×ÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÒÉÍÅÎÉÍÏÓÔÉ ÍÅÔÏÄÁ îØÀÔÏÎÁ Ï ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ F ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ, ÉÂÏ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÜÔÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ F ′ (0; b))(t) = x(t) − Rt b(s);  b)x(s)ds ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï C ([t0 ; t1 ℄; Rn ) ÎÁ ÒÏ− t0 fx (s; x ÓÔÒÁÎÓÔ×Ï C 1 ([t0 ; t1 ℄; Rn ) × ÓÉÌÕ ÔÅÏÒÅÍÙ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÄÌÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ. ÅÏÒÅÍÁ Ó) ÔÁËÖÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÑÍÙÍ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅÍ ÍÅÔÏÄÁ îØÀÔÏÎÁ.

******

ïÓÔÁÎÏ×ÉÍÓÑ ÚÄÅÓØ, ÞÔÏÂÙ ÏÄ×ÅÓÔÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÔÏÇÉ. ëÁË Ó×ÑÚÁÎÙ ÞÅÔÙÒÅ ÎÁÛÉ ÔÅÏÒÅÍÙ Ó ÏËÒÕÖÁÀÝÉÍ ÎÁÓ ÍÉÒÏÍ? îØÀÔÏÎ ÎÁÕÞÉÌ ÎÁÓ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ Ü×ÏÌÀ ÉÏÎÎÙÅ ÒÏ ÅÓÓÙ É Ñ×ÌÅÎÉÑ ÏÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ (ÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÙÍÉ) ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÍÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ. ÷ÔÏÒÏÊ ÚÁËÏÎ îØÀÔÏÎÁ ÏÉÓÙ×ÁÅÔ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÞÁÓÔÉ . ÅÏÒÅÍÁ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ëÏÛÉ (ÔÅÏÒÅÍÁ 4) ×ÙÒÁÖÁÅÔ ÉÄÅÀ ÌÁÌÁÓÏ×ÓËÏÇÏ ÄÅÔÅÒÍÉÎÉÚÍÁ: ÅÓÌÉ ÂÙ îÅËÔÏ ÍÏÇ × ÏÄÎÏ ÍÇÎÏ×ÅÎÉÅ ÕÚÎÁÔØ ×ÓÅ ÓËÏÒÏÓÔÉ É ÏÌÏÖÅÎÉÑ ÞÁÓÔÉ íÉÒÁ, ÏÎ ÚÎÁÌ ÂÙ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÂÙÌÏ × ÒÏÛÌÏÍ É ÕÚÎÁÌ ÂÙ, ×ÓÅ, ÞÔÏ ÓÌÕÞÉÔÓÑ × ÂÕÄÕÝÅÍ. üÔÏ

54

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

×ÏÌØÎÙÊ ÅÒÅÓËÁÚ ÔÏÇÏ, Ï ÞÅÍ ÎÅ ÒÁÚ ÇÏ×ÏÒÉÌ ìÁÌÁÓ. ä×Á ÓÔÏÌÅÔÉÑ ÉÄÅÑ ÒÅÄÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ ÂÙÌÁ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÆÉÌÏÓÏÆÓËÉÈ ÄÏÍÉÎÁÎÔ (ÓÏ×ÓÅÍ ÎÅÄÁ×ÎÏ, ËÁËÉÈ-ÔÏ ÏÌÓÔÏÌÅÔÉÑ ÔÏÍÕ ÎÁÚÁÄ, ×ÓÅ ÄÏÒÏÇÉ ×ÅÌÉ Ë ËÏÍÍÕÎÉÚÍÕ). é ÌÉÛØ ÎÅÄÁ×ÎÏ × ÅÒÉÏÄ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÏÂÎÁÒÕÖÉÌÏÓØ, ÞÔÏ ÞÁÝÅ ×ÓÅÇÏ ÄÅÔÅÒÍÉÎÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÒÏ ÅÓÓÙ × ÉÔÏÇÅ ÚÁÕÔÙ×ÁÀÔÓÑ É ÓËÏÒÅÅ ÎÁÏÍÉÎÁÀÔ ÈÁÏÔÉÞÅÓËÏÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ. îÏ ÜÔÏ ÕÖÅ ÄÒÕÇÁÑ ÉÓÔÏÒÉÑ. üÊÌÅÒ ÉÓÁÌ ËÁË-ÔÏ, ÞÔÏ × ÍÉÒÅ ÎÅ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÎÉÞÅÇÏ, × ÞÅÍ ÎÅ ÂÙÌ ÂÙ ×ÉÄÅÎ ÓÍÙÓÌ ËÁËÏÇÏ-ÎÉÂÕÄØ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ ÉÌÉ ÍÉÎÉÍÕÍÁ. óÒÅÄÉ ÒÏÞÅÇÏ ÉÍÅÌÉÓØ × ×ÉÄÕ ×ÁÒÉÁ ÉÏÎÎÙÅ ÒÉÎ ÉÙ × ÅÓÔÅÓÔ×ÏÚÎÁÎÉÉ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÔÅÏÒÉÑ ÏÉÒÁÅÔÓÑ ÎÁ ÒÁ×ÉÌÏ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ìÁÇÒÁÎÖÁ (ÓÍ. ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ 3). é ÍÙ ÜÔÉÍ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅÍ ÏÄÏÛÌÉ ÓÏ×ÓÅÍ ÂÌÉÚËÏ Ë ÔÏÍÕ, ÞÔÏÂÙ ÏÈ×ÁÔÉÔØ ÏÓÎÏ×Ù ×ÁÒÉÁ ÉÏÎÎÏÊ ÔÅÏÒÉÉ É ÅÅ ÒÉÌÏÖÅÎÉÊ Ë ÅÓÔÅÓÔ×ÏÚÎÁÎÉÀ. ÑÖÅÌÙÊ ÕÄÁÒ €ÒÅÄÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔɁ ÒÉÍÅÒÎÏ ÓÔÏÌÅÔÉÅ ÔÏÍÕ ÎÁÚÁÄ ÂÙÌ ÎÁÎÅÓÅÎ ÚÁÒÏÖÄÁ×ÛÅÊÓÑ Ë×ÁÎÔÏ×ÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÏÊ. ÷ Ä×ÁÄ ÁÔÙÅ ÇÏÄÙ ÒÏÄÉÌÉÓØ Ä×Å ÔÅÏÒÉÉ | çÅÊÚÅÎÂÅÒÇÁ É ûÒ£ÄÉÎÇÅÒÁ, ÎÅ ÓÌÉÛËÏÍ ÏÈÏÖÉÅ ÄÒÕÇ ÎÁ ÄÒÕÇÁ. é ×ÏÔ ×ÅÄØ ËÁËÁÑ ÓÌÕÞÉÌÁÓØ ÕÄÁÞÁ: ÏÄÉÎ ÉÚ ÍÏÌÏÄÙÈ ÌÀÄÅÊ, ËÔÏ ÉÍÅÌ ËÏÎÔÁËÔÙ Ó Ô×ÏÒ ÁÍÉ Ë×ÁÎÔÏ×ÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÉ, Á ÉÍÅÎÎÏ íÁËÓ âÏÒÎ, ËÏÇÄÁ-ÔÏ × çÅÔÔÉÎÇÅÎÅ ÓÌÕÛÁÌ çÉÌØÂÅÒÔÁ É ûÍÉÄÔÁ ÒÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ. ïÎ-ÔÏ É ÏÎÑÌ, ÞÔÏ × ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑÈ ÜÔÉÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× × ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å É ÌÅÖÉÔ ÒÏÄÓÔ×Ï Ä×ÕÈ ×ÅÔ×ÅÊ ÔÅÏÒÉÉ. ÁËÕÀ ÒÏÌØ (ÓÒÅÄÉ ÍÎÏÇÉÈ ÉÎÙÈ) ÓÙÇÒÁÌÁ ÎÁÛÁ ÔÅÏÒÅÍÁ 2. á ÅÝÅ Ó ÅÅ ÏÍÏÝØÀ ÒÅÛÁÀÔÓÑ ÓÍÅÛÁÎÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (ÓÍ. ï. á. ïÌÅÊÎÉË, €ìÅË ÉÉ Ï ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÈ Ó ÞÁÓÔÎÙÍÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÍɁ, í.: âéîïí, 2005), ËÒÁÅ×ÙÅ ÚÁÄÁÞÉ ÔÅÏÒÉÉ ÁÒÁÂÏÌÉÞÅÓËÉÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ. ðÏÍÉÍÏ ÞÁÓÔÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÔÅÌÁ | ÓÔÒÕÎÙ, ÂÁÌËÉ, ÍÅÍÂÒÁÎÙ É ×ÓÅ ÔÁËÏÅ ÒÏÞÅÅ. é ÞÁÓÔÏ ÓÌÕÞÁÅÔÓÑ ÔÁË, ÞÔÏ ÏÄÏÂÎÏ ÔÏÍÕ, ËÁË ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÀ, ÔÁË ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó ÞÁÓÔÎÙÍÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÍÉ ÏÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÍÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ (ÓÍ. ÕÏÍÉÎÁ×ÛÕÀÓÑ ËÎÉÇÕ ðÅÔÒÏ×ÓËÏÇÏ Ï ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ). é ÚÄÅÓØ ×ÁÖÎÅÊÛÕÀ ÒÏÌØ ÉÇÒÁÅÔ ÔÅÏÒÅÍÁ 1. é ×ÓÅ ÜÔÏ ÌÉÛØ ÄÏÌÑ ÔÏÊ ÏÌØÚÙ, ËÏÔÏÒÕÀ ÍÏÇÕÔ ÒÉÎÅÓÔÉ ÜÔÉ ÔÅÏÒÅÍÙ. ÁË ÞÔÏ ÍÙ ÉÈ ÄÏËÁÚÙ×ÁÌÉ ÎÅ ÚÒÑ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ðÒÉÎ ÉÙ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ðÒÉÎ É ËÏÍÁËÔÎÏÓÔÉ ÷ÅÊÅÒÛÔÒÁÓÓÁ { ìÅÂÅÇÁ { âÜÒÁ. æÕÎË ÉÑ, ÏÌÕÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÓÎÉÚÕ ÎÁ ËÏÍÁËÔÅ, ÒÉÎÉÍÁÅÔ Ó×ÏÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ Un := X \ Ln (f ), n ∈ Z. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ · · · ⊂ Un ⊂ Un−1 ⊂ · · · . éÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÏÌÕÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ ÓÎÉÚÕ ÓÌÅÄÕÅÔ,

áÌÇÅÂÒÁ, ÁÎÁÌÉÚ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

55

ÞÔÏ Un ÏÔËÒÙÔÙ, Ô. Å. {Un }n∈Z | ÏÔËÒÙÔÏÅ ÏËÒÙÔÉÅ X . ÏÇÄÁ ÉÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÍÁËÔÎÏÓÔÉ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ m ∈ Z, ÞÔÏ X = Um , Ô. Å. f ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ ÓÎÉÚÕ. ðÕÓÔØ  = inf f ÎÁ X . åÓÌÉ f (x) 6= , ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ Vn := X \ L+(1=n) (f ), n ∈ N: éÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÊ ÏÌÕÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ ÓÎÉÚÕ É ÎÉÖÎÅÊ ÇÒÁÎÉ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ {Vn }n∈N | ÏÔËÒÙÔÏÅ ÏËÒÙÔÉÅ X . úÎÁÞÉÔ, × ÓÉÌÕ ËÏÍÁËÔÎÏÓÔÉ, ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ s ∈ N, ÞÔÏ X = Vs , Ô. Å. f >  + 1=s. ðÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ  = inf f .  ðÒÉÎ É ÓÖÉÍÁÀÝÉÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ðÉËÁÒÁ { ëÁÞÞÉÏÏÌÌÉ { âÁÎÁÈÁ. óÖÉÍÁÀÝÅÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÏÌÎÏÇÏ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á × ÓÅÂÑ ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÕÀ ÔÏÞËÕ .

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ÚÑ× ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ x0 ∈ X , ÏÌÏÖÉÍ xn = = F (xn−1 ), n ∈ N. ÏÇÄÁ

d(xn+m ; xm ) 6 d(xn+m ; xn+m−1 )+d(xn+m−1 ; xn+m−2 )+: : :+d(xm+1 ; xm ) = = d(F (xn+m−1 ); F (xn+m−2 )) + : : : + d(F (xm ); F (xm−1 )) 6 6 d(x1 ; x0 )( n+m−1 + : : : +  m−1 ):

úÄÅÓØ ÅÒ×ÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï | ÜÔÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, Á ×ÔÏÒÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÓÖÉÍÁÅÍÏÓÔÉ. ðÏÌÕÞÅÎÎÁÑ Ï ÅÎËÁ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ {xn }n∈N ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÁ É ÓÈÏÄÉÔÓÑ Ë ÜÌÅÍÅÎÔÕ xb ∈ X . éÍÅÅÍ: d(F (xb); xn+1 ) = d(F (xb); F (xn )) 6 d(xb; xn) → 0, ÚÎÁÞÉÔ, d(F (xb); xb) = 0, ÞÔÏ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ xb = F (xb). åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÌÅÇËÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÓÖÉÍÁÅÍÏÓÔÉ. 

******

é × ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÌÏ× Ï ÔÏÍ, ËÁË, Ï ÍÏÅÍÕ ÍÎÅÎÉÀ, É ÞÅÍÕ ÎÁÄÏ ÕÞÉÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ. ñ ÂÙ ×ÙÄÅÌÉÌ ÑÔØ ÓÔÁÄÉÊ | ÞÅÔÙÒÅ, ËÁË × ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÍÏÉÈ ÌÅË ÉÊ, É ÅÝÅ ÑÔÕÀ. äÏ ÛËÏÌÙ É × ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ÛËÏÌÅ ÒÁÚÕÍÎÏ ÎÁÕÞÉÔØ ÄÉÔÑ ÓÞÉÔÁÔØ É ÄÁÔØ ÉÍÕÌØÓ Ë ÒÁÚÍÙÛÌÅÎÉÀ. íÏÉ ÎÁÞÁÌØÎÙÅ ÆÒÁÇÍÅÎÔÙ ÌÅË ÉÊ ÒÉÚ×ÁÎÙ ÄÁÔØ ÔÁËÉÅ ÉÍÕÌØÓÙ Ë ÒÁÚÍÙÛÌÅÎÉÑÍ. ëÏÍØÀÔÅÒÁÍ ÄÅÔÉ ÎÁÕÞÁÀÔÓÑ ÓÁÍÉ, ÎÏ ÌÏÇÉËÕ, ÏÎÉÍÁÎÉÅ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÅÓÔØ ÎÁÕÞÎÁÑ ÉÓÔÉÎÁ, ÞÅÌÏ×ÅË (ÏËÁ ÅÝÅ) ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÉÚ×ÌÅÞØ ÉÚ ÍÁÛÉÎÙ, ÅÇÏ ÎÁÄÏ ÜÔÏÍÕ ÕÞÉÔØ, ÎÁÞÉÎÁÑ ÓÏ ÛËÏÌÙ. îÁ ËÁËÏÍ-ÔÏ ÕÒÏ×ÎÅ ËÁÖÄÏÍÕ ÎÁÄÏ ÓÄÅÌÁÔØ ×ÙÂÏÒ Ó×ÏÅÊ ÖÉÚÎÅÎÎÏÊ ÄÏÒÏÇÉ | ÇÕÍÁÎÉÔÁÒÎÏÊ ÉÌÉ ÎÁÕÞÎÏ-ÔÅÈÎÉÞÅÓËÏÊ. ÷Ï ×ÔÏÒÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÁÚÕÍÎÏ ÒÉÓÔÕÉÔØ Ë ÉÚÕÞÅÎÉÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ. ÷ÔÏÒÙÅ ÆÒÁÇÍÅÎÔÙ ÍÏÉÈ ÌÅË ÉÊ ÏÂÒÁÝÅÎÙ Ë ÔÅÍ, ËÔÏ ÈÏÞÅÔ ÕÚÎÁÔØ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ËÁË Ï ÒÅÄÍÅÔÅ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÍ ×ÙÂÏÒÕ ÉÈ ÖÉÚÎÅÎÎÏÇÏ ÕÔÉ. îÁ ÅÒ×ÙÈ ËÕÒÓÁÈ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÈ, ÜËÏÎÏÍÉÞÅÓËÉÈ É ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ-ÎÁÕÞÎÙÈ ÉÎÓÔÉÔÕÔÏ× É ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÏ× ÎÁÄÏ ÏÓ×ÏÉÔØ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÅ ÏÓÎÏ×Ù ÎÁÛÅÊ

56

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

ÎÁÕËÉ (ÎÁÞÁÌÁ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÊ, ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ, ÔÅÏÒÉÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ËÏÍÌÅÓÎÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ É ÔÅÏÒÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ). ÷ ÔÒÅÔØÉÈ ÒÁÚÄÅÌÁÈ ÍÏÉÈ ÌÅË ÉÊ ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ï ÎÁÞÁÌÁÈ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ, ÁÎÁÌÉÚÁ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ. á ÏÔÏÍ, × ÉÎÓÔÉÔÕÔÁÈ Ó ÈÏÒÏÛÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ É × ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁÈ Ñ ÒÅÄÌÏÖÉÌ ÂÙ ÞÉÔÁÔØ ÎÅËÉÊ Ó×ÏÄÎÙÊ ËÕÒÓ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÇÄÅ ×ÓÅ ×ÙÓÔÒÁÉ×ÁÌÏÓØ ÂÙ × ÅÄÉÎÕÀ ÇÁÒÍÏÎÉÞÎÕÀ ËÁÒÔÉÎÕ. éÚ ÆÒÁÇÍÅÎÔÏ× ÔÁËÏÇÏ ËÕÒÓÁ ÓÏÓÔÏÑÔ ÞÅÔ×ÅÒÔÙÅ ÞÁÓÔÉ ÍÏÉÈ ÌÅË ÉÊ, × ËÏÔÏÒÙÈ Ñ ÏÓÔÏÑÎÎÏ ÏÄÞÅÒËÉ×ÁÌ, ÞÔÏ ÄÉÓÔÁÎ ÉÑ ÍÅÖÄÕ ÉÓÔÏËÏÍ É ÔÁË ÓËÁÚÁÔØ €ÕÓÔØǺ × ËÁÖÄÏÊ ÎÁÛÅÊ ÔÅÍÅ ÂÙÌÁ ÎÅ×ÅÌÉËÁ. ðÏ-×ÉÄÉÍÏÍÕ, ÏÔÏËÉ ÞÅÌÏ×ÅÞÅÓËÏÊ ÍÙÓÌÉ ÓÌÉÛËÏÍ ÒÉÞÕÄÌÉ×Ù É ÏÔÏÍÕ ÔÁË ÄÏÌÇÏ ÔÅËÌÉ ÏÔ Ó×ÏÅÇÏ ÎÁÞÁÌÁ Ë ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÍÕ ËÏÎ Õ. ÷ÏÔ ×ÁÍ ÞÅÔÙÒÅ ÓÔÁÄÉÉ: ÎÁÞÁÌØÎÁÑ ÛËÏÌÁ, ÓÒÅÄÎÑÑ É ÓÅ ÉÁÌÉÚÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÛËÏÌÁ, ÒÏÅÄÅ×ÔÉÞÅÓËÏÅ ÉÎÓÔÉÔÕÔÓËÏÅ ÉÌÉ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÓËÏÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ É Ó×ÏÄÎÙÊ ËÕÒÓ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. á ÑÔÁÑ | ÏÂÅÝÁÎÎÁÑ | ÞÁÓÔØ? ðÑÔÁÑ ÞÁÓÔØ | ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ . ëÁË ÕÞÉÔØ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ É ÞÅÍÕ? ÷ÏÔ ×ÏÒÏÓ. äÁ×ÁÊÔÅ ÏÒÁÚÍÙÛÌÑÅÍ. îÏ × ÄÒÕÇÏÊ ÒÁÚ.

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×, ÍÅÈÍÁÔ íçõ E-mail: tikhomirm

me.ru

57

ïÌÉÍÉÁÄÙ É ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ á. â. óËÏÅÎËÏ×

ðÅÒÅÄ ÕÞÉÔÅÌÑÍÉ É ÒÕËÏ×ÏÄÉÔÅÌÑÍÉ ËÒÕÖËÏ×, ÚÁÎÉÍÁÀÝÉÍÉÓÑ Ó ÓÉÌØÎÙÍÉ ÛËÏÌØÎÉËÁÍÉ, ×ÓÔÁÅÔ ×ÏÒÏÓ: ËÁË ÏÄÇÏÔÏ×ÉÔØ ÛËÏÌØÎÉËÏ× Ë ÏÌÉÍÉÁÄÁÍ ÉÌÉ Ë €ÓÅÒØÅÚÎÏʁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ? îÅËÏÔÏÒÙÅ ÄÕÍÁÀÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÅÒ×ÏÇÏ ÎÁÄÏ ÒÏÒÅÛÉ×ÁÔØ ÚÁÄÁÞÉ ÏÓÌÅÄÎÉÈ ÏÌÉÍÉÁÄ, ÄÌÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÎÁÄÏ ÞÉÔÁÔØ ÎÁÕÞÎÕÀ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÕ, É ÞÔÏ ××ÉÄÕ ÒÉÎ ÉÉÁÌØÎÏÊ ÒÁÚÎÉ Ù ÅÒ×ÏÇÏ É ×ÔÏÒÏÇÏ ÂÅÓÓÍÙÓÌÅÎÎÏ ÙÔÁÔØÓÑ ÄÏÓÔÉÞØ É ÔÏÇÏ, É ÄÒÕÇÏÇÏ. á×ÔÏÒ ÜÔÏÊ ÚÁÍÅÔËÉ ÒÉÄÅÒÖÉ×ÁÅÔÓÑ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÎÏÇÏ ÍÎÅÎÉÑ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÜÔÉ ÏÄÈÏÄÙ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙ É ÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ×ÒÅÄÎÙÍ €ÏÂÏÞÎÙÍ ÜÆÆÅËÔÁ́: ÛËÏÌØÎÉËÉ ÌÉÂÏ ÞÒÅÚÍÅÒÎÏ Õ×ÌÅËÁÀÔÓÑ ÓÏÒÔÉ×ÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ × ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞ, ÌÉÂÏ ÉÚÕÞÁÀÔ ÑÚÙË ×ÙÓÛÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ×ÍÅÓÔÏ ÅÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ. íÎÅ ËÁÖÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÏÓÎÏ×Õ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÓÉÌØÎÏÇÏ ÕÞÅÎÉËÁ ÄÏÌÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÔØ ÒÅÛÅÎÉÅ É ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÅ ÍÏÔÉ×ÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÄÌÑ ÕÞÅÎÉËÁ ÚÁÄÁÞ, × ÒÏ ÅÓÓÅ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÎ ÚÎÁËÏÍÉÔÓÑ Ó ×ÁÖÎÙÍÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÉÄÅÑÍÉ É ÔÅÏÒÉÑÍÉ. üÔÏ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÏÄÇÏÔÏ×ÉÔ ÛËÏÌØÎÉËÁ É

Ë ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÎÁÕËÅ, É Ë ÏÌÉÍÉÁÄÁÍ, É ÎÅ ÎÁÎÅÓÅÔ ×ÒÅÄ ÅÇÏ ÒÁÚ×ÉÔÉÀ × ÅÌÏÍ; ÜÔÏ ÂÕÄÅÔ ÂÏÌÅÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ É ÄÌÑ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÑ ÕÓÅÈÁ ÔÏÌØËÏ × ÏÌÉÍÉÁÄÁÈ ÉÌÉ ÔÏÌØËÏ × ÎÁÕËÅ (ÅÓÌÉ ÎÅ ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ ÂÏÌØÛÏÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÄÒÕÇÉÈ ÆÁËÔÏÒÏ×, ËÒÏÍÅ ÒÁÚÕÍÎÏÊ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ ÚÁÎÑÔÉÊ). ëÁË É ÒÉ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÒÁÚ×ÉÔÉÉ ÓÁÍÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ËÁÖÄÁÑ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÍÏÔÉ×ÉÒÏ×ÁÎÁ ÌÉÂÏ ÒÁËÔÉËÏÊ, ÌÉÂÏ ÕÖÅ ÒÅÛÅÎÎÙÍÉ ÚÁÄÁÞÁÍÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ÕÞÅÎÉË, ÚÁÎÉÍÁÀÝÉÊÓÑ €ÍÏÔÉ×ÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÄÌÑ ÎÅÇρ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ (ÏÂÙÞÎÏ ÂÏÌÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ, ÎÏ ÏÂÙÞÎÏ ÓÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÏÊ É ÏÔÏÍÕ ÏÂÙÞÎÏ ÓÌÏÖÎÏÊ) ×ÍÅÓÔÏ €ÎÅÍÏÔÉ×ÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÄÌÑ ÎÅÇρ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ (ÏÂÙÞÎÏ ÍÅÎÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ, ÎÏ ÏÂÙÞÎÏ ÑÚÙËÏ×ÏÊ É ÏÔÏÍÕ ÏÂÙÞÎÏ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÊ), ÉÍÅÅÔ ÒÅÉÍÕÝÅÓÔ×Ï × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÊ ÕÞÅÂÅ É ÎÁÕÞÎÏÊ ÒÁÂÏÔÅ. ïÌÉÍÉÁÄÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÏÞÅÎØ ÍÎÏÇÏ, ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÉÚ ÎÉÈ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙ ÛËÏÌØÎÉËÕ É ÓÒÅÄÉ ÎÉÈ ÍÎÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÓÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÙÈ. ÁËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÍÏÇÕÔ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÏÓÎÏ×Õ ÉÚÕÞÁÅÍÏÇÏ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁ. ïÄÎÁËÏ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÌÉÍÉÁÄÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÂÅÚ ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÉÄÅÊ É ÔÅÏÒÉÊ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÄÁÖÅ ÄÌÑ €ÞÉÓÔÏʁ ÏÄÇÏÔÏ×ËÉ Ë ÏÌÉÍÉÁÄÁÍ (ÎÁ ÄÏÌÇÉÈ | ÇÏÄ É ÂÏÌÅÅ | ÒÏÍÅÖÕÔËÁÈ ×ÒÅÍÅÎÉ, ËÁË É ×ÏÏÂÝÅ ÒÅÛÅÎÉÅ

58

á. â. óËÏÅÎËÏ×

ÓÉÀÍÉÎÕÔÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÂÅÚ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÏÇÏ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ). ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Õ ÌÀÄÅÊ ÌÅÇÞÅ ÄÏÓÔÉÞØ ÕÓÅÈÁ ÎÁ ÏÌÉÍÉÁÄÁÈ (ËÁË É × ÄÒÕÇÉÈ ×ÉÄÁÈ Ô×ÏÒÞÅÓËÏÊ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ) × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÏÎÉ ÎÅ ÓÞÉÔÁÀÔ ÕÓÅÈ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÅÌØÀ. óÌÏÖÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ ÌÅÇÞÅ ÒÅÛÉÔØ, ÅÓÌÉ ÓÏËÏÊÎÏ ÄÕÍÁÔØ Ï ÓÁÍÏÊ ÚÁÄÁÞÅ, Á ÎÅ Ï ÎÁÇÒÁÄÅ, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÓÌÅÄÕÅÔ ÚÁ ÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅÍ. ðÏÜÔÏÍÕ ÛËÏÌØÎÉË, ÍÏÔÉ×ÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÂÏÌÅÅ ×ÙÓÏËÏÊ ÅÌØÀ, ÞÅÍ ÕÓÅÈ ÎÁ ÏÌÉÍÉÁÄÅ, ÉÍÅÅÔ ÎÁ ÜÔÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÅ ÓÉÈÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÒÅÉÍÕÝÅÓÔ×Ï. ëÁË ÕÄÁÞÎÏ ÏÄÏÂÒÁÔØ ÚÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÏÂÕÞÅÎÉÑ ÕÞÅÎÉËÏ×? üÔÏÔ ×ÏÒÏÓ ÕÞÉÔÅÌÑ ÚÁÄÁ×ÁÌÉ ÓÅÂÅ ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÄÅÓÑÔØ ÔÙÓÑÞ ÌÅÔ [2, ÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ℄, [4℄, [5, Ó. 26{33℄, [7, ÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ℄. òÁÓÓËÁÖÕ É Ñ Ï ÞÁÓÔÉ Ó×ÏÅÇÏ ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÙÔÁ, ÎÁÈÏÄÑÝÅÇÏÓÑ × ÒÕÓÌÅ ÏÙÔÁ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ Á×ÔÏÒÉÔÅÔÏ×. ÷ íÏÓËÏ×ÓËÏÍ ÅÎÔÒÅ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ (íãîíï) ÏÄ ÒÕËÏ×ÏÄÓÔ×ÏÍ Á×ÔÏÒÁ ÜÔÏÊ ÚÁÍÅÔËÉ ÒÏÈÏÄÉÔ ËÒÕÖÏË €ïÌÉÍÉÁÄÙ É íÁÔÅÍÁÔÉËÁ. íÏÉÍÉ ÁÓÓÉÓÔÅÎÔÁÍÉ × ÒÁÚÎÏÅ ×ÒÅÍÑ ÂÙÌÉ É Ñ×ÌÑÀÔÓÑ á. áËÏÑÎ, á. úÁÓÏÒÉÎ, ä. ðÅÒÍÑËÏ×, ó. óÉÒÉÄÏÎÏ× É é. ûÎÕÒÎÉËÏ×. üÔÏ ÓÔÕÄÅÎÔÙ ÍÅÈÁÎÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÆÁËÕÌØÔÅÔÁ íÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ, × ÒÏÛÌÏÍ ÏÂÅÄÉÔÅÌÉ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÈ É ÷ÓÅÒÏÓÓÉÊÓËÉÈ ÏÌÉÍÉÁÄ ÛËÏÌØÎÉËÏ×. âÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÉÚ ÎÉÈ ÏÔÌÉÞÎÉËÉ, ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÎÉÈ ÕÖÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ Á×ÔÏÒÁÍÉ ÎÁÕÞÎÙÈ ÒÁÂÏÔ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÊ ËÒÕÖÏË €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ óÅÍÉÎÁҁ Ñ ×ÅÄÕ × ÆÉÚÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÛËÏÌÅ-ÉÎÔÅÒÎÁÔÅ ÉÍ. á. î. ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Á (óõîã íçõ) Ó 1994 ÇÏÄÁ (ÄÏ 2001 ÇÏÄÁ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏ Ó ÷. î. äÕÂÒÏ×ÓËÉÍ). õÞÁÓÔ×Ï×ÁÔØ × ËÒÕÖËÅ €ïÌÉÍÉÁÄÙ É íÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÉÍÅÅÔ ÒÁ×Ï ÌÀÂÏÊ ÖÅÌÁÀÝÉÊ. ïÄÎÁËÏ ÕÒÏ×ÅÎØ ÚÁÎÑÔÉÊ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ×ÙÓÏË; ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÎÁÛÅÇÏ ËÒÕÖËÁ | ÕÞÅÎÉËÉ 8{11 ËÌÁÓÓÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÉÍÅÀÔ ÛÁÎÓ ÒÏÊÔÉ ÎÁ ÷ÓÅÒÏÓÓÉÊÓËÕÀ ÏÌÉÍÉÁÄÕ. áËÔÉ×ÎÏÅ ÕÞÁÓÔÉÅ × ËÒÕÖËÅ ÔÒÅÂÕÅÔ ÚÁÔÒÁÔ ×ÒÅÍÅÎÉ É ÓÉÌ, ÏÜÔÏÍÕ ÅÇÏ ÖÅÌÁÔÅÌØÎÏ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÔØ Ó ÒÏÄÉÔÅÌÑÍÉ É ÕÞÉÔÅÌÑÍÉ. îÁ ÚÁÎÑÔÉÑÈ ËÒÕÖËÁ ÛËÏÌØÎÉËÉ ÕÞÁÔÓÑ ÒÅÛÁÔØ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ, ÏÄÏÂÒÁÎÎÙÅ ÔÁË, ÞÔÏ × ÒÏ ÅÓÓÅ ÉÈ ÒÅÛÅÎÉÑ É ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÑ ÕÞÅÎÉËÉ ÚÎÁËÏÍÑÔÓÑ Ó ×ÁÖÎÙÍÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÉÄÅÑÍÉ É ÔÅÏÒÉÑÍÉ. ÷ ÎÁÞÁÌÅ ËÁÖÄÏÊ ÔÅÍÙ ÒÅÛÁÀÔÓÑ É ÒÁÚÂÉÒÁÀÔÓÑ × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ ÚÁÄÁÞÉ, ÒÅÄÌÁÇÁ×ÛÉÅÓÑ ÒÁÎÅÅ ÎÁ ÏÌÉÍÉÁÄÁÈ (ÉÌÉ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÔÁËÏ×ÙÍ). á × ËÏÎ Å ÄÅÌÏ ÞÁÓÔÏ ÄÏÈÏÄÉÔ ÄÏ ÚÁÄÁÞ ÄÌÑ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ . íÙ ÕÄÅÌÑÅÍ ÍÎÏÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ ÉÎÄÉ×ÉÄÕÁÌØÎÙÍ ÚÁÎÑÔÉÑÍ, ÒÁÚÂÉÒÁÑ ÌÉÞÎÏ Ó ËÁÖÄÙÍ ÛËÏÌØÎÉËÏÍ ÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ É ÄÁ×ÁÑ ÅÍÕ ÏÄÓËÁÚËÉ É/ÉÌÉ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ, Á ÔÁËÖÅ ÚÁÎÉÍÁÅÍÓÑ ÓÏ ÛËÏÌØÎÉËÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÅÛÁÀÔ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÓËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ (É ×ÙÓÔÕÁÀÔ ÓÏ Ó×ÏÉÍÉ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÍÉ ÎÁ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÑÈ ÛËÏÌØÎÉËÏ×). âÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÏ Ï ÚÁÄÁÞÁÈ ÄÌÑ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÓÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ, [6℄. úÁÎÑÔÉÑ ËÒÕÖËÁ ÏÂßÅÄÉÎÑÀÔÓÑ × ÉËÌÙ ÉÚ 1{3 ÚÁÎÑÔÉÊ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ ÏÂÝÅÊ ÔÅÍÏÊ ÉÌÉ ÉÄÅÅÊ. òÁÚÎÙÅ ÉËÌÙ ÏÞÔÉ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ, Á ÉÈ ÁÎÎÏÔÁ ÉÉ ÏÂßÑ×ÌÑÀÔÓÑ ÚÁÒÁÎÅÅ (ÏÜÔÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ÉÚÕÞÁÔØ ÔÏÌØËÏ ÔÅ ÉËÌÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÛËÏÌØÎÉËÕ ÎÁÉÂÏÌÅÅ

ïÌÉÍÉÁÄÙ É ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ

59

ÉÎÔÅÒÅÓÎÙ). îÅËÏÔÏÒÙÅ ÍÁÔÅÒÉÁÌÙ ËÒÕÖËÁ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÙ × ÖÕÒÎÁÌÁÈ €ë×ÁÎԁ, €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉŁ, €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉŁ É \Quantum". ÷ ÈÏÒÏÛÕÀ ÏÇÏÄÕ ÚÁÎÑÔÉÑ ËÒÕÖËÁ ÞÁÓÔÏ ÒÏ×ÏÄÑÔÓÑ Ó ×ÙÅÚÄÏÍ ÎÁ ÒÉÒÏÄÕ. ÷ÁÖÎÏÊ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÊ ËÒÕÖËÁ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÙÅÚÄÎÙÅ ÛËÏÌÙ. úÁÎÑÔÉÑ ÎÁ ÜÔÉÈ ÛËÏÌÁÈ ×ÅÄÕÔ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ É ÕÞÉÔÅÌÑ, ÔÁÍ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÎÏ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÎ ÂÙÔ É ÄÏÓÕÇ ÛËÏÌØÎÉËÏ×. ðÒÉÇÌÁÛÁÀÔÓÑ ÔÕÄÁ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÁËÔÉ×ÎÙÅ ÕÞÁÓÔÎÉËÉ ËÒÕÖËÁ, Á ÔÁËÖÅ ÔÅ ÏÂÅÄÉÔÅÌÉ íÏÓËÏ×ÓËÏÊ É ÷ÓÅÒÏÓÓÉÊÓËÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄ, ËÏÔÏÒÙÅ ÖÉ×ÕÔ × íÏÓË×Å ÉÌÉ ÂÌÉÖÎÅÍ ðÏÄÍÏÓËÏ×ØÅ É ÎÅ ÚÁÎÉÍÁÀÔÓÑ × ËÒÕÖËÅ. ðÏÄÞÅÒËÎÕ, ÞÔÏ ÕÓÅÛÎÏÅ ÕÞÁÓÔÉÅ × ËÒÕÖËÅ ÎÅ ÕÞÉÔÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÉ ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÉ ËÏÍÁÎÄÙ íÏÓË×Ù ÎÁ ÷ÓÅÒÏÓÓÉÊÓËÕÀ ïÌÉÍÉÁÄÕ. îÏ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÏÎÏ ÏÍÏÖÅÔ ÕÓÅÛÎÏ ×ÙÓÔÕÉÔØ ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÅ. ðÒÉ×ÅÄÕ ÒÉÍÅÒ Ä×ÕÈ ÉËÌÏ× ÚÁÄÁÞ ÉÚ ÒÁÚÂÉÒÁ×ÛÉÈÓÑ ÎÁ ËÒÕÖËÅ. ðÅÒ×ÙÊ ÉËÌ ÏÄ×ÏÄÉÔ ÛËÏÌØÎÉËÁ Ë ÏÔËÒÙÔÉÀ ÌÅÍÍÙ âÅÒÎÓÁÊÄÁ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÕÞÅÂÎÉËÁÈ (× ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×) ÉÚÕÞÅÎÉÅ ÒÉÌÏÖÅÎÉÊ ÌÅÍÍÙ âÅÒÎÓÁÊÄÁ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó ÎÅÍÏÔÉ×ÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÏÎÑÔÉÊ É ÔÅÏÒÉÉ. ëÁÖÄÁÑ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÓÅÒÉÑ ×ÙÄÁ×ÁÌÁÓØ ÛËÏÌØÎÉËÁÍ ÏÓÌÅ ÒÁÚÂÏÒÁ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ. ÷ÔÏÒÏÊ ÉËÌ ÏÄ×ÏÄÉÔ ÛËÏÌØÎÉËÁ Ë ÏÎÑÔÉÀ ÅÎÏÊ ÄÒÏÂÉ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÅÌÙÈ ÔÏÞÅË €ÏÄ ÒÑÍÏÊ y = x. äÒÕÇÉÅ ÉËÌÙ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ × ÉÎÔÅÒÎÅÔÅ ÎÁ ÓÔÒÁÎÉ Å www.m

me.ru/ ir les/oim . (íÎÏÇÉÅ ÍÁÔÅÒÉÁÌÙ ÎÁ ÜÔÏÊ ÓÔÒÁÎÉ Å ÎÅ ÒÅÔÅÎÄÕÀÔ ÎÁ ÏÒÉÇÉÎÁÌØÎÏÓÔØ. îÅ ×ÓÅ ÍÁÔÅÒÉÁÌÙ ÔÁÍ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÍÎÏÊ; ÉÍÅÎÁ ÄÒÕÇÉÈ ÓÏÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ ÕËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ. âÌÁÇÏÄÁÒÀ ÚÁ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ É ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÑ, ÓÏÓÏÂÓÔ×Ï×Á×ÛÉÅ ÕÌÕÞÛÅÎÉÀ ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÚÁÍÅÔËÉ, í. î. ÷ÑÌÏÇÏ, ÷. î. äÏÂÒÏ×ÏÌØÓËÕÀ É ÅÅ ÎÁÕÞÎÏÇÏ ÒÕËÏ×ÏÄÉÔÅÌÑ á. á. òÕÓÁËÏ×Á, Á ÔÁËÖÅ ×ÓÅÈ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ËÒÕÖËÁ €ïÌÉÍÉÁÄÙ É íÁÔÅÍÁÔÉËÁ. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ ËÌÁÓÓÏ× ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ 1-Ñ ÓÅÒÉÑ. 1. óËÏÌØËÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓËÒÁÓÉÔØ ÇÒÁÎÉ ËÕÂÁ × ËÒÁÓÎÙÊ É ÓÅÒÙÊ ×ÅÔÁ? òÁÓËÒÁÓËÉ, ÓÏ×ÍÅÝÁÀÝÉÅÓÑ × (ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ) ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, ÓÞÉÔÁÀÔÓÑ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍÉ. 2. îÁÊÄÉÔÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÓËÒÁÓÏË ËÁÒÕÓÅÌÉ ÉÚ n ×ÁÇÏÎÞÉËÏ× × a ×ÅÔÏ× (Ô. Å. ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁÓËÒÁÓÏË ×ÅÒÛÉÎ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ n-ÕÇÏÌØÎÉËÁ × a ×ÅÔÏ×, ÅÓÌÉ ÒÁÓËÒÁÓËÉ, ÓÏ×ÍÅÝÁÀÝÉÅÓÑ Ï×ÏÒÏÔÏÍ, ÎÅÏÔÌÉÞÉÍÙ) ÄÌÑ (a) n = 5; (b) n = 4; ( ) n = 6.

60

á. â. óËÏÅÎËÏ×

îÁÊÄÉÔÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÚÁËÒÁÓÏË × a ×ÅÔÏ× (a) ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÒÁÚÂÉÔÏÇÏ ÓÒÅÄÎÉÍÉ ÌÉÎÉÑÍÉ ÎÁ 4 ÒÁ×ÎÙÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. (b) ÔÏ ÖÅ ÄÌÑ 9 ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×. (Ó) Ë×ÁÄÒÁÔÁ, ÒÁÚÂÉÔÏÇÏ ÓÒÅÄÎÉÍÉ ÌÉÎÉÑÍÉ ÎÁ 4 ÒÁ×ÎÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÁ. (d) ÔÏ ÖÅ ÄÌÑ 9 ÒÁ×ÎÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×. 4.* îÁÊÄÉÔÅ ÞÉÓÌÏ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ Ó×ÑÚÎÙÈ ÌÏÍÁÎÙÈ Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ × ×ÅÒÛÉÎÁÈ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ p-ÕÇÏÌØÎÉËÁ (ÇÄÅ p | ÒÏÓÔÏÅ). ìÏÍÁÎÙÅ, ÓÏ×ÍÅÝÁÀÝÉÅÓÑ Ï×ÏÒÏÔÏÍ, ÎÅÏÔÌÉÞÉÍÙ. 3.

2-Ñ ÓÅÒÉÑ.

áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÉÄÕÍÁÎÎÏÍÕ ×ÁÍÉ ÓÏÓÏÂÕ ÍÏÖÎÏ ÒÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ 2 ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ n, ÏÄÎÁËÏ ÒÅÛÅÎÉÅ ÂÕÄÅÔ ÇÒÏÍÏÚÄËÉÍ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÏÊ (ÄÌÑ €ÏÞÅÎØ ÎÅÒÏÓÔÙȁ n) ÓÏÓÏ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ 2 . ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ X ÉÓËÏÍÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÓËÒÁÓÏË. îÁÚÏ×ÅÍ ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÒÁÓËÒÁÓËÏÊ ÒÁÓËÒÁÓËÕ ËÁÒÕÓÅÌÉ ÉÚ ÛÅÓÔÉ ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÙÈ ×ÁÇÏÎÞÉËÏ×. ÏÇÄÁ ×ÓÅÇÏ ÅÓÔØ a6 ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÒÁÓËÒÁÓÏË. äÌÑ ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÒÁÓËÒÁÓËÉ  ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ [℄ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÎÅÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÕÀ ÒÁÓËÒÁÓËÕ. ðÏÓÞÉÔÁÅÍ Ä×ÕÍÑ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ÞÉÓÌÏ P ÁÒ (; n), × ËÏÔÏÒÙÈ n ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5} É  | ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÒÁÓËÒÁÓËÁ, ÅÒÅÈÏÄÑÝÁÑ × ÓÅÂÑ ÒÉ Ï×ÏÒÏÔÅ ÎÁ 2n=6. ðÕÓÔØ stab  | ÞÉÓÌÏ ÔÅÈ n ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5}, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ Ï×ÏÒÏÔ ÎÁ 2n=6 ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÕÀ ÒÁÓËÒÁÓËÕ  × ÓÅÂÑ. ÏÇÄÁ

P=

X

stab  =

X

X

stab[℄ =

X

6 = 6X: stab stab

ÒÁÓËÒÁÓËÁÍ {:[℄= } ÒÁÓËÒÁÓËÁÍ ðÒÅÄÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÙÏÌÎÅÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ { ÄÌÑ ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÒÁÓËÒÁÓÏË 1 É 2 , ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÈÓÑ ÄÒÕÇ × ÄÒÕÇÁ Ï×ÏÒÏÔÁÍÉ, stab 1 = stab 2 (ÜÔÉ ÒÁ×ÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔÓÑ stab[1 ℄), É 

{ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÒÁÓËÒÁÓÏË, ÏÌÕÞÁÀÝÉÈÓÑ Ï×ÏÒÏÔÁÍÉ 6 . ÉÚ ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÒÁÓËÒÁÓËÉ , ÒÁ×ÎÏ stab  äÏËÁÖÉÔÅ ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, Ï×ÏÒÏÔ ÎÁ 2n=6 ÅÒÅ×ÏÄÉÔ × ÓÅÂÑ ÒÏ×ÎÏ a(n;6) 5 (n;6) P ÚÁËÒÅÌÅÎÎÙÈ ÒÁÓËÒÁÓÏË, ÏÜÔÏÍÕ P = a . éÔÁË, n=0 X = 16 (a6 + 2a + 2a2 + a3 ): 5.

ïÌÉÍÉÁÄÙ É ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ

61

6. îÁÊÄÉÔÅ ÞÉÓÌÏ (a) ÒÁÓËÒÁÓÏË ËÁÒÕÓÅÌÉ ÉÚ n ×ÁÇÏÎÞÉËÏ× × a ×ÅÔÏ×. (b) a- ×ÅÔÎÙÈ ÏÖÅÒÅÌÉÊ ÉÚ n ÂÕÓ. 7. óËÏÌØËÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓËÒÁÓÉÔØ × a ×ÅÔÏ× ÇÒÁÎÉ (a) ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ; (b) ËÕÂÁ? òÁÓËÒÁÓËÉ, ÓÏ×ÍÅÝÁÀÝÉÅÓÑ ×ÒÁÝÅÎÉÅÍ (ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ) ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÓÞÉÔÁÀÔÓÑ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍÉ. 8. óËÏÌØËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ (Ô. Å. ÎÅÉÚÏÍÏÒÆÎÙÈ) (ÎÅ)ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÇÒÁÆÏ× Ó 4 ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ? á Ó 5? n 9.* ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ {0; 1} → {0; 1} (Ô. Å. ÆÕÎË ÉÉ ÁÌÇÅÂÒÙ ÌÏÇÉËÉ ÏÔ n ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ) ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ËÏÎÇÒÕÜÎÔÎÙÍÉ , ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÓÔÁÎÏ×ÑÔÓÑ ÒÁ×ÎÙÍÉ ÏÓÌÅ ÅÒÅÉÍÅÎÏ×ÁÎÉÑ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. (a) îÁÊÄÉÔÅ ÞÉÓÌÏ bn ÆÕÎË ÉÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ÌÏÇÉËÉ ÏÔ n ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ËÏÎÇÒÕÜÎÔÎÏÓÔÉ. (b) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ nlim n! bn=22n É ÎÁÊÄÉÔÅ ÜÔÏÔ ÒÅÄÅÌ. →∞ 10. óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÊÔÅ ÏÂÝÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ, ËÏÔÏÒÕÀ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÒÉÍÅÎÑÔØ ×ÍÅÓÔÏ Ï×ÔÏÒÅÎÉÑ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ 2 .

3-Ñ ÓÅÒÉÑ. ÷ÏÔ ÏÔ×ÅÔ.

ìÅÍÍÁ âÅÒÎÓÁÊÄÁ. ðÕÓÔØ ÚÁÄÁÎÙ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï M É ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï {g1 = id M; g2 ; : : : ; gn } ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÜÔÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÚÁÍËÎÕÔÏÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ É ×ÚÑÔÉÑ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ. îÁÚÏ×ÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á M ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍÉ, ÅÓÌÉ ÏÄÉÎ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅ×ÅÓÔÉ × ÄÒÕÇÏÊ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÄÁÎÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ. ÏÇÄÁ ÞÉÓÌÏ ËÌÁÓÓÏ× ÜË×É×Án 1P ÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÎÏ x(gi ), ÇÄÅ x(gi ) | ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á n k=1 M , ËÏÔÏÒÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ gi ÅÒÅ×ÏÄÉÔ × ÓÅÂÑ.

(þÔÏÂÙ ÓÄÅÌÁÔØ ÜÔÏÔ É ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÍÅÎÅÅ ÄÏÓÔÕÎÙÍÉ, ÉÈ ÏÂÙÞÎÏ ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÀÔ É ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÔ ÎÁ ÑÚÙËÅ ÔÅÏÒÉÉ ÁÂÓÔÒÁËÔÎÙÈ ÇÒÕ.) îÁÚÏ×ÅÍ (ËÏÎÅÞÎÏÊ) ÇÒÕÏÊ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ (Ô. Å. ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË) ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÚÁÍËÎÕÔÏÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ É ×ÚÑÔÉÑ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ. äÁÌØÎÅÊÛÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙ ÔÅÍ, ËÔÏ ÕÖÅ ÒÅÛÁÌ ÚÁÄÁÞÉ ÒÏ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ. 11. (a) ìÀÂÁÑ ÇÒÕÁ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ. (b) åÓÌÉ ÞÉÓÌÏ n ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ × ÇÒÕÅ G ÒÏÓÔÏÅ, ÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÅÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ g ∈ G ÉÍÅÅÍ G = {g; g2 ; : : : ; gn = id}. åÓÌÉ × ÇÒÕÅ G ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ g, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ G = {g; g2 ; : : : ; gn = id}, ÔÏ ÇÒÕÁ G ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ . çÒÕÁ G ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÂÉ ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ (ÜÔÏÔ ÔÅÒÍÉÎ ÎÅ ÏÂÝÅÒÉÎÑÔ), ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÅÌÙÈ

62

á. â. óËÏÅÎËÏ×

p > 1 É q > 1 É ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ g; h ∈ G ×ÙÏÌÎÅÎÏ gh = hg, gp = id, hq = id É G = {gk hl | 1 6 k 6 p; 1 6 l 6 q}.

ðÒÉ×ÅÄÉÔÅ ÒÉÍÅÒ ÂÉ ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÙ ÉÚ 4 ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. 13. ìÀÂÁÑ ÌÉ ÇÒÕÁ ÉÚ n ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÉÌÉ ÂÉ ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÄÌÑ (a) n = 4; (b) n = 6; ( ) n = 8; (d)* n = 9; (e) n = 10; (f)* n = 15? 14.* ÅÏÒÅÍÁ ìÁÇÒÁÎÖÁ. åÓÌÉ H | ÏÄÇÒÕÁ ÇÒÕÙ G (Ô. Å. ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÇÒÕÙ G, ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÀÝÅÅÓÑ ÇÒÕÏÊ), ÔÏ #G ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ #H . k 15.* ÅÏÒÅÍÙ óÉÌÏ×Á. ðÕÓÔØ p | ÒÏÓÔÏÅ, n ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p É ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ k +1 ÎÁ p , Á G | ÇÒÕÁ ÉÚ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ (a) ÷ G ÉÍÅÅÔÓÑ ÏÄÇÒÕÁ ÉÚ pk ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. (b) þÉÓÌÏ ÔÁËÉÈ ÏÄÇÒÕ ÓÒÁ×ÎÉÍÏ Ó 1 Ï ÍÏÄÕÌÀ p. ( ) äÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÔÁËÉÈ ÏÄÇÒÕ H É H ′ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ g ∈ G, ÞÔÏ H ′ = {ghg−1 | h ∈ H }. (d) åÓÌÉ p É q | ÒÏÓÔÙÅ, p < q É q − 1 ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p, ÔÏ ÌÀÂÁÑ ÇÒÕÁ ÉÚ pq ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÉÌÉ ÂÉ ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ. 12.

ãÅÌÙÅ ÔÏÞËÉ ÏÄ ÒÑÍÏÊ üÔÉ ÚÁÄÁÞÉ ÏÄ×ÏÄÑÔ ÛËÏÌØÎÉËÁ Ë ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ n f(n) = P [k℄, Ô. Å. ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÅÌÙÈ ÔÏÞÅË €ÏÄ ÒÑÍÏÊ y = x. þÅÒÅÚ k=1 [x℄ É {x} ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔÓÑ ÅÌÁÑ É ÄÒÏÂÎÁÑ ÞÁÓÔÉ ÞÉÓÌÁ x, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ìÁÔÉÎÓËÉÅ ÂÕË×Ù ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ. áÌÇÏÒÉÔÍ ÓÔÒÏÉÔÓÑ × ÚÁÄÁÞÁÈ 2ab , ÚÁÄÁÞÁ 1 ÏÌÅÚÎÁ €ÄÌÑ ÒÁÚÏÇÒÅ×Á. 1. îÁÊÄÉÔÅ f (n) ÄÌÑ (a) ÅÌÏÇÏ ; (b) ÅÌÏÇÏ 2; ( ) ÅÌÏÇÏ 3; f (n) (d)  = a=n ÄÌÑ ÄÁÎÎÙÈ ÅÌÙÈ a É n; (e) îÁÊÄÉÔÅ nlim . 2 →∞ 2.

(a) (b)

äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ

n

f(n) = f{} (n) + 12 [℄n(n + 1): f(n) + f 1 ([n℄) − [ nq ℄ = n[n℄; 

ÇÄÅ q | ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ ÎÅÓÏËÒÁÔÉÍÏÊ ÄÒÏÂÉ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÊ ÞÉÓÌÏ , ÅÓÌÉ  ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏ, É q = ∞ (Ô. Å. [ nq ℄ = 0), ÅÓÌÉ  ÉÒÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏ. õËÁÚÁÎÉÅ: ÏÓÞÉÔÁÊÔÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÅÌÙÈ ÔÏÞÅË × ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÅ 1 6 x 6 n, 1 6 y 6 [n℄. ( ) îÁÊÄÉÔÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ f (n). õËÁÚÁÎÉÅ:

f2=3 (n) = n[ 23n ℄ + [ n3 ℄ − f3=2([ 23n ℄);

ïÌÉÍÉÁÄÙ É ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ

63

f3=2([ 23n ℄) = 12 [ 23n ℄([ 23n ℄ + 1) + f1=2 ([ 23n ℄); f1=2 ([ 23n ℄) = [ 23n ℄[ n3 ℄ + [ n3 ℄ − f2([ n3 ℄);

2n

[ ℄ ÏÓËÏÌØËÕ [[x℄=n℄ = [x=n℄ ÄÌÑ ÅÌÏÇÏ n > 0 É, ÚÎÁÞÉÔ, [ 32 ℄ = [ n3 ℄;

f2([ n3 ℄) = [ n3 ℄([ n3 ℄ + 1):

(d) îÁÊÄÉÔÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ

n P

{k }.

k=1

úÁÍÅÞÁÎÉÑ. þÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á 2b (ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÏÓÎÏ×ÁÎ ÒÅÄÌÁÇÁÅÍÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ) ÄÌÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÎÅÞÅÔÎÙÈ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ p < q,  = p=q É n = (q − 1)=2 (ÔÏÇÄÁ [n℄ = (p − 1)=2) ÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÚÁËÏÎÁ ×ÚÁÉÍÎÏÓÔÉ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ×ÙÞÅÔÏ× [1, ×ÏÒÏÓ 1Â Ë ÇÌÁ×Å II É V.2.l℄; ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÂÝÅÇÏ ÓÌÕÞÁÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ. óÕÍÍÁ ÉÚ 2d ×ÙÞÉÓÌÅÎÁ (ÂÏÌÅÅ ÇÒÏÍÏÚÄËÉÍ ÓÏÓÏÂÏÍ, ÞÅÍ ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÙÊ ÚÄÅÓØ) × [3℄.

[1℄ [2℄ [3℄ [4℄ [5℄ [6℄

[7℄

óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ ÷ÉÎÏÇÒÁÄÏ× é. í. ïÓÎÏ×Ù ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ . í.: îÁÕËÁ, 1972. çÅÎËÉÎ ó. á., éÔÅÎÂÅÒÇ é. ÷., æÏÍÉÎ ä. ÷. ìÅÎÉÎÇÒÁÄÓËÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ËÒÕÖËÉ . ëÉÒÏ×, 1994. äÏÂÒÏ×ÏÌØÓËÁÑ ÷. î. îÅÏÌÎÙÅ ÓÕÍÍÙ ÄÒÏÂÎÙÈ ÄÏÌÅÊ // þÅÂÙÛÅ×ÓËÉÊ ÓÂÏÒÎÉË, 2004. . 5, ‚2(10). ó. 42{48. óÕÄÚÕËÉ ä. ïÓÎÏ×Ù ÄÚÜÎ-ÂÕÄÄÉÚÍÁ. îÁÕËÁ äÚÜÎ | ÕÍ ÄÚÜÎ . ëÉÅ×, 1992. ðÌÁÔÏÎ. æÅÄÏÎ , × ËÎ. æÅÄÏÎ, ðÉÒ, æÅÄÒ, ðÁÒÍÅÎÉÄ. í.: íÙÓÌØ, 1999. óËÏÅÎËÏ× á. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÓËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ× // €ÅÚÉÓÙ ÄÏËÌÁÄÏ× ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÏÊ 100-ÌÅÔÉÀ ó. í. îÉËÏÌØÓËÏÇρ. í.: íé òáî, 2005. üÌÅËÔÒÏÎÎÙÊ ×ÁÒÉÁÎÔ: www.m

me.ru/ ir les/oim/100.ps ûËÌÑÒÓËÉÊ ä. ï., þÅÎ Ï× î. î., ñÇÌÏÍ é. í. éÚÂÒÁÎÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ É ÔÅÏÒÅÍÙ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. áÒÉÆÍÅÔÉËÁ É ÁÌÇÅÂÒÁ . í.: æÉÚÍÁÔÌÉÔ, 2001.

á. â. óËÏÅÎËÏ×, ËÁÆÅÄÒÁ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÒÉÌÏÖÅÎÉÊ, ÍÅÈÁÎÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÆÁËÕÌØÔÅÔ, íÏÓËÏ×ÓËÉÊ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ; îÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÊ ÍÏÓËÏ×ÓËÉÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ; íÏÓËÏ×ÓËÉÊ ÉÎÓÔÉÔÕÔ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. E-mail: skopenkom

me.ru

íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÉÒ

 S IHE á. â. óÏÓÉÎÓËÉÊ

éÎÓÔÉÔÕÔ ÷ÙÓÛÉÈ îÁÕÞÎÙÈ éÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ ÏÄ ðÁÒÉÖÅÍ

ðÑÔØÄÅÓÑÔ ÌÅÔ ÔÏÍÕ ÎÁÚÁÄ, × ÓÅÒÅÄÉÎÅ ÒÏÛÌÏÇÏ ×ÅËÁ, ÆÒÁÎ ÕÚÓËÉÊ ÒÏÍÙÛÌÅÎÎÉË ÒÕÓÓËÏÇÏ ÒÏÉÓÈÏÖÄÅÎÉÑ ìÅ× íÏÝÁÎ (Leon Mot hane) Õ×ÌÅËÓÑ ÉÄÅÅÊ ÓÏÚÄÁÔØ ×Ï æÒÁÎ ÉÉ ÁÎÁÌÏÇ ÚÎÁÍÅÎÉÔÏÇÏ ÁÍÅÒÉËÁÎÓËÏÇÏ IAS1) . ÷ 1958 ÇÏÄÕ ÔÁËÏÊ ÅÎÔÒ, ÎÁÚ×ÁÎÎÙÊ IHE S2) , ÂÙÌ ÓÏÚÄÁÎ, É ìÅ× íÏÝÁÎ ÓÔÁÌ ÅÇÏ ÅÒ×ÙÍ ÄÉÒÅËÔÏÒÏÍ. ï ÉÓÔÏÒÉÉ É Ï ÓÅÇÏÄÎÑÛÎÅÍ ÄÎÅ ÜÔÏÇÏ ÕÎÉËÁÌØÎÏÇÏ ÎÁÕÞÎÏÇÏ ÅÎÔÒÁ ÎÁÛ ÒÁÓÓËÁÚ.

Institute for Advan ed Studies { ðÒÉÎÓÔÏÎÓËÉÊ éÎÓÔÉÔÕÔ ÷ÙÓÛÉÈ éÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ. Institut des Hautes E tudes S ienti ques { éÎÓÔÉÔÕÔ ÷ÙÓÛÉÈ îÁÕÞÎÙÈ éÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ, ÓÅÇÏÄÎÑ ÎÁÈÏÄÑÝÉÊÓÑ × Bures-sur-Yvette ÏÄ ðÁÒÉÖÅÍ. 1) 2)

S IHE

65

 îÅÍÎÏÇÏ Ï ÉÓÔÏÒÉÉ IHES

 ìÅ× íÏÝÁÎ îÁ×ÅÒÎÏÅ, ÓÔÏÉÔ ÓËÁÚÁÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÌÏ× Ï ÓÏÚÄÁÔÅÌÅ IHES. ÒÏÄÉÌÓÑ × óÁÎËÔ-ðÅÔÅÒÂÕÒÇÅ × 1900 ÇÏÄÕ. üÍÉÇÒÉÒÏ×Á× ÉÚ òÏÓÓÉÉ ×Ï ×ÒÅÍÑ ÇÒÁÖÄÁÎÓËÏÊ ×ÏÊÎÙ, × 1918 ÇÏÄÕ ÏÎ ÏËÁÚÁÌÓÑ × û×ÅÊ ÁÒÉÉ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÂÅÚ ÓÒÅÄÓÔ× Ë ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÀ. ÏÇÄÁ ÏÎ ÎÅ ÉÍÅÌ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÏÌÕÞÉÔØ ÎÁÕÞÎÏÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ, Ë ËÏÔÏÒÏÍÕ Ó ÀÎÙÈ ÌÅÔ ÓÔÒÅÍÉÌÓÑ. ðÒÉÛÌÏÓØ ÓÒÁÚÕ ÚÁÒÁÂÁÔÙ×ÁÔØ ÎÁ ÖÉÚÎØ, ÓÎÁÞÁÌÁ × û×ÅÊ ÁÒÉÉ, Á ÚÁÔÅÍ ×Ï æÒÁÎ ÉÉ, ËÕÄÁ íÏÝÁÎ ÅÒÅÂÒÁÌÓÑ × 1924 ÇÏÄÕ. é ÏÎ × ÜÔÏÍ ÒÅÕÓÅÌ: × ÏÓÌÅ×ÏÅÎÎÙÅ ÇÏÄÙ Leon Mot hane ÕÖÅ ÂÙÌ ËÒÕÎÙÍ ÆÒÁÎ ÕÚÓËÉÍ ÒÏÍÙÛÌÅÎÎÉËÏÍ. âÕÄÕÞÉ ÏÂÅÓÅÞÅÎÎÙÍ ÞÅÌÏ×ÅËÏÍ, ÏÎ ×ÅÒÎÕÌÓÑ Ë Ó×ÏÅÊ ÀÎÏÛÅÓËÏÊ ÌÀÂ×É Ë ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ É, ÒÅÄÓÔÁ×ØÔÅ ÓÅÂÅ, × ×ÏÚÒÁÓÔÅ 54 ÌÅÔ (!), ÚÁÝÉÔÉÌ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÀ Õ ×ÙÄÁÀÝÅÇÏÓÑ ÆÒÁÎ ÕÚÓËÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ çÀÓÔÁ×Á ûÏËÅ (Gustave Choquet). ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÏÎ É ÚÁÇÏÒÅÌÓÑ ÍÅÞÔÏÊ ÓÏÚÄÁÔØ ×Ï æÒÁÎ ÉÉ ÎÁÕÞÎÙÊ ÅÎÔÒ ÎÁÏÄÏÂÉÅ IAS, É ÒÉÌÏÖÉÌ Ë ÜÔÏÊ ÅÌÉ Ó×ÏÉ ÎÅÚÁÕÒÑÄÎÙÅ ÄÅÌÏ×ÙÅ É ÏÒÇÁÎÉÚÁÔÏÒÓËÉÅ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔÉ.  ÕÄÁÌÏÓØ ÎÅ ÓÒÁÚÕ. îÅÓËÏÌØËÏ ÌÅÔ ÕÛÌÏ ÎÁ ×ÙÂÉ×ÁÎÉÅ óÏÚÄÁÔØ IHES ÄÅÎÅÇ (ËÁÉÔÁÌÁ ÓÁÍÏÇÏ íÏÝÁÎÁ, ËÏÎÅÞÎÏ ÖÅ, ÄÌÑ ÜÔÏÊ ÅÌÉ ÂÙÌÏ ÍÁÌÏ) É ÎÁ ÕÇÏ×ÁÒÉ×ÁÎÉÅ ×ÌÁÓÔÅÊ ÏÄÄÅÒÖÁÔØ ÚÁÔÅÀ. ÷ÁÖÎÕÀ ÒÏÌØ ÓÙÇÒÁÌÁ ÏÄÄÅÒÖËÁ òÏÂÅÒÔÁ ïÅÎÇÅÊÍÅÒÁ (Robert Oppenheimer), ÚÎÁÍÅÎÉÔÏÇÏ ÁÍÅÒÉËÁÎÓËÏÇÏ ÆÉÚÉËÁ, × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ÄÉÒÅËÔÏÒÁ IAS, É öÁÎÁ äØ£ÄÏÎÎÅ, ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÏÓÎÏ×ÁÔÅÌÅÊ ÇÒÕÙ âÕÒÂÁËÉ3) É, ÏÖÁÌÕÊ, ÓÁÍÏÇÏ ÁËÔÉ×ÎÏÇÏ ÆÒÁÎ ÕÚÓËÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÓÅÒÅÄÉÎÙ XX ×ÅËÁ. îÁËÏÎÅ , × 1958 ÇÏÄÕ, IHE S ÏÔËÒÙÌ Ó×ÏÉ ÏÆÉÓÙ, ÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÏ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÅ × ÅÎÔÒÅ ðÁÒÉÖÁ, É ÔÕÄÁ ÎÁÞÁÌÉ ÒÉÅÚÖÁÔØ ÎÁ ÏÄÉÎ, Ä×Á, ÉÌÉ ÔÒÉ ÍÅÓÑ Á ×ÅÄÕÝÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ×ÓÅÇÏ ÍÉÒÁ. ïÒÅÄÅÌÉÌÁÓØ ÁÄÍÉÎÉÓÔÒÁÔÉ×ÎÁÑ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ É ÒÉÎ ÉÙ ÎÁÕÞÎÏÊ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ ÅÎÔÒÁ. âÙÌÉ ÎÁÚÎÁÞÅÎÙ ÅÒ×ÙÅ Ä×Á ÏÓÔÏÑÎÎÙÈ ÒÏÆÅÓÓÏÒÁ IHE S: ÉÍÉ ÓÔÁÌÉ äØ£ÄÏÎÎÅ É ×ÅÌÉËÉÊ ÆÒÁÎ ÕÚÓËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË á. çÒÏÔÅÎÄÉË (Alexandre Grothendie k). ÷ÁÖÎÏÊ ×ÅÈÏÊ × ÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÉ IHE S ÓÔÁÌÏ ÒÉÏÂÒÅÔÅÎÉÅ × ÍÅÓÔÅÞËÅ âÀÒ-ÓÀÒ-é×ÅÔÔ (Ä×ÁÄ ÁÔØ ÑÔØ ÍÉÎÕÔ ÏÔ ÅÎÔÒÁ ðÁÒÉÖÁ ÎÁ ÚÁÇÏÒÏÄÎÏÍ ÍÅÔÒÏ) ÄÅÓÑÔÉÇÅËÔÁÒÎÏÇÏ ÌÅÓÎÏÇÏ ÕÞÁÓÔËÁ âÕÁ íÁÒÉ, ËÕÄÁ ÅÒÅÅÈÁÌÉ ×ÓÅ ÓÌÕÖÂÙ ÅÎÔÒÁ É ÇÄÅ ÏÎ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ Ï ÓÅÊ ÄÅÎØ. õÖÅ × ÓÅÍÉÄÅÓÑÔÙÅ ÇÏÄÙ Ë ÜÔÏÊ ÎÅÄ×ÉÖÉÍÏÓÔÉ ÒÉÂÁ×ÉÌÓÑ ÄÒÕÇÏÊ ÕÞÁÓÔÏË, ïÒÍÁÊ (Residen e Ormaille), × ÄÅÓÑÔÉ ÍÉÎÕÔÁÈ ÈÏÄÁ ÏÔ âÕÁ íÁÒÉ; × ïÒÍÁÊ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ Ë×ÁÒÔÉÒÙ ÒÉÅÚÖÁÀÝÉÈ ÕÞÅÎÙÈ. ÷ 1974 ÇÏÄÕ ìÅ× íÏÝÁÎ ÕÛÅÌ ÎÁ ÅÎÓÉÀ, ÅÇÏ ÎÁ ÄÏÌÖÎÏÓÔÉ ÄÉÒÅËÔÏÒÁ ÓÍÅÎÉÌ ÇÏÌÌÁÎÄÓËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË î. ëÕÊÅÒ (Ni olas Kuiper), ÅÇÏ × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ ÚÁÍÅÎÉÌ ÚÎÁÍÅÎÉÔÙÊ ÆÒÁÎ ÕÚÓËÉÊ ÇÅÏÍÅÔÒ í. âÅÒÖÅ (Mar el

ï ÇÒÕÅ âÕÒÂÁËÉ ÍÏÖÎÏ ÒÏÞÉÔÁÔØ × €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ðÒÏÓ×ÅÝÅÎÉɁ, ×Ù. 2, 1998; Ó. 4{12. 3)

66

á. â. óÏÓÉÎÓËÉÊ

Berger). ó 1994 ÇÏÄÁ ÆÒÁÎ ÕÚÓËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË ö.-ð. âÕÒÇÉÎØÏÎ (JeanPierre Bourguignon) | ÄÉÒÅËÔÏÒ IHE S.  ëÁË ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÎ IHES

 ÓÏ×ÓÅÍ ÎÅÂÏÌØÛÏÊ ÛÔÁÔ ÏÓÔÏÑÎÎÙÈ ÒÁÂÏÔÎÉËÏ×: ÄÉÒÅËÔÏÒ, ÷ IHES ÎÅÓËÏÌØËÏ ÌÉ , ÚÁÎÉÍÁÀÝÉÈ ÁÄÍÉÎÉÓÔÒÁÔÉ×ÎÙÅ É ÓÅËÒÅÔÁÒÓËÉÅ ÄÏÌÖÎÏÓÔÉ, ÒÁÂÏÔÎÉËÉ ÂÙÔÏ×ÙÈ ÓÌÕÖÂ É ×ÓÅÇÏ ÛÅÓÔØ ÏÓÔÏÑÎÎÙÈ ÒÏÆÅÓÓÏÒÏ×. ïÓÎÏ×ÎÕÀ ÖÅ ÞÁÓÔØ ÒÁÂÏÔÁÀÝÉÈ × ÅÎÔÒÅ ÌÀÄÅÊ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÒÉÇÌÁÛÅÎÎÙÅ ÕÞÅÎÙÅ: ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ É ÆÉÚÉËÉ-ÔÅÏÒÅÔÉËÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÙÓÏËÏÇÏ ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÏ×ÎÑ, ÏÄÁ×ÛÉÅ ÉÎÄÉ×ÉÄÕÁÌØÎÙÅ ÚÁÑ×ËÉ É ÒÉÇÌÁÛÅÎÎÙÅ × IHE S ÅÇÏ õÞÅÎÙÍ óÏ×ÅÔÏÍ (×ÏÚÇÌÁ×ÌÑÅÍÙÍ ÄÉÒÅËÔÏÒÏÍ É ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÍ × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ ÉÚ ÏÓÔÏÑÎÎÙÈ ÒÏÆÅÓÓÏÒÏ×). ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÏÓÔÏÑÎÎÙÅ ÒÏÆÅÓÓÏÒÁ IHE S ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ: ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ { ÆÒÁÎ ÕÚ á. ëÏÎÎ (Alain Connes), ÒÕÓÓËÉÅ íÉÈÁÉÌ çÒÏÍÏ× É íÁËÓÉÍ ëÏÎ Å×ÉÞ, ÆÒÁÎ ÕÚ ì. ìÁÆÆÏÒÇ (Laurent Laorgue) É ÆÉÚÉËÉ | ÆÒÁÎ ÕÚ . äÁÍÕÒ (Thibault Damour) É ÒÏÓÓÉÑÎÉÎ îÉËÉÔÁ îÅËÒÁÓÏ×. ÷ÓÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ (ËÒÏÍÅ çÒÏÍÏ×Á) | ÌÁÕÒÅÁÔÙ ×ÙÓÛÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÎÁÇÒÁÄÙ | ÒÅÍÉÉ æÉÌÄÓÁ; çÒÏÍÏ× ÖÅ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ËÒÕÎÅÊÛÉÍ ÇÅÏÍÅÔÒÏÍ XX ×ÅËÁ (×ÒÏÞÅÍ, Õ ÎÅÇÏ ÅÓÔØ ÒÅËÒÁÓÎÙÅ ÒÁÂÏÔÙ É Ï ÁÌÇÅÂÒÅ, É Ï ÁÎÁÌÉÚÕ). ðÒÉÍÅÞÁÔÅÌØÎÏ, ÞÔÏ ÓÒÅÄÉ ÛÅÓÔÉ ÎÁÚ×ÁÎÎÙÈ ×ÙÛÅ ÒÏÆÅÓÓÏÒÏ× | ÔÒÏÅ  Á ÒÏÒÕÓÓËÉÈ. üÔÏ ÓÏ×ÓÅÍ ÎÅ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÒÏÉÓÈÏÖÄÅÎÉÅÍ ÏÓÎÏ×ÁÔÅÌÑ IHES, ÓÔÏ, ËÁË ÍÎÅ ËÁÖÅÔÓÑ, ÏÂßÑÓÎÑÅÔÓÑ ÏÂÝÅÒÉÚÎÁÎÎÙÍ ×ÙÓÏËÉÍ ÕÒÏ×ÎÅÍ ÒÏÓÓÉÊÓËÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÛËÏÌÙ (× ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ | ÛËÏÌÙ ÷. á. òÏÈÌÉÎÁ × óÁÎËÔ-ðÅÔÅÒÂÕÒÇÅ É é. í. çÅÌØÆÁÎÄÁ × íÏÓË×Å), Á ÔÁËÖÅ ÅÞÁÌØÎÙÍ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅÍ €ÚÁÂÏÔف ×ÌÁÓÔÅÊ Ï ÏÔÅÞÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÎÁÕËÅ, ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ ×ÙÎÕÖÄÁÀÝÅÊ ÌÕÞÛÉÈ ÍÏÌÏÄÙÈ ÎÁÕÞÎÙÈ ÔÁÌÁÎÔÏ× Ë ÜÍÉÇÒÁ ÉÉ (É çÒÏÍÏ×, É ëÏÎ Å×ÉÞ | ÆÒÁÎ ÕÚÓËÉÅ ÇÒÁÖÄÁÎÅ, É Ñ ÎÅ ÓÏÍÎÅ×ÁÀÓØ, ÞÔÏ ×ÓËÏÒÅ ÔÁËÏ×ÙÍ ÓÔÁÎÅÔ îÅËÒÁÓÏ×). ÷ ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÄÒÕÇÉÈ ÏÄÏÂÎÙÈ ÅÎÔÒÏ×, ×ÙÂÏÒ ÒÉÇÌÁÛÅÎÎÙÈ ÕÞÅÎÙÈ (ÏÎÉ ÒÉÅÚÖÁÀÔ ÎÁ ÍÅÓÑ ÉÌÉ Ä×Á, × ×ÉÄÅ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÑ É ÎÁ ÂÏÌØÛÉÅ ÓÒÏËÉ) ÓÏÚÎÁÔÅÌØÎÏ ÎÏÓÉÔ ÓÔÉÈÉÊÎÙÊ ÈÁÒÁËÔÅÒ: ÎÅ ÒÏ×ÏÄÑÔÓÑ ÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ, ÎÅ ÏÒÇÁÎÉÚÕÀÔÓÑ ÓÅÍÅÓÔÒÙ ÉÌÉ ÔÒÉÍÅÓÔÒÙ Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ÒÁÚÄÅÌÁÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÉÌÉ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÉÚÉËÉ | ÒÉÅÚÖÁÀÝÉÅ ÕÞÅÎÙÅ ×ÓÔÒÅÞÁÀÔ ÔÁÍ × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ ÎÅÚÎÁËÏÍÙÈ ËÏÌÌÅÇ, ÒÁÂÏÔÁÀÝÉÈ × ÓÍÅÖÎÙÈ (ÉÌÉ ÄÁÌÅËÉÈ) ÏÂÌÁÓÔÑÈ. üÔÏÔ ÎÅÏÂÙÞÎÙÊ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÏÎÎÙÊ ÒÉÎ É, ×ÏÓÈÏÄÑÝÉÊ, ×ÉÄÉÍÏ, Ë ÏÓÎÏ×ÁÔÅÌÀ IHE S ìØ×Õ íÏÝÁÎÕ, ÄÏËÁÚÁÌ Ó×ÏÀ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ. òÕËÏ×ÏÄÉÔÅÌÉ ÅÎÔÒÁ ÓÞÉÔÁÀÔ ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÙÅ ×ÓÔÒÅÞÉ ÕÞÅÎÙÈ, ÕÓÔØ ÄÁÌÅËÉÈ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ Ï ÔÅÍÁÔÉËÅ, ÂÏÌÅÅ ÌÏÄÏÔ×ÏÒÎÙÍÉ, ÂÏÌÅÅ ×ÚÒÙ×ÎÙÍÉ, ÞÅÍ ÏÂÝÅÎÉÅ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ× É ÔÁË ÚÎÁËÏÍÙÈ Ó ÒÁÂÏÔÁÍÉ É ÍÅÔÏÄÁÍÉ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÁ. ÷ IHE S ÏÓÔÏÑÎÎÏ ÒÁÂÏÔÁÀÔ Ä×Á ÉÌÉ ÔÒÉ ÓÅÍÉÎÁÒÁ, ÇÄÅ ÍÏÖÎÏ ×ÙÓÔÕÉÔØ ÉÌÉ ÏÓÌÕÛÁÔØ ËÏÌÌÅÇ.

S IHE

67

òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÉÍÅÅÔÓÑ ÈÏÒÏÛÁÑ ËÏÍØÀÔÅÒÎÁÑ ÏÄÄÅÒÖËÁ ÒÁÂÏÔÙ ÒÉÅÚÖÉÈ. åÓÔØ ÎÅÌÏÈÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÂÉÂÌÉÏÔÅËÁ ÒÑÍÏ × âÕÁ íÁÒÉ, É ÏÔÌÉÞÎÁÑ | × ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ ïÒÓÜ (Universite Paris-Sud a Orsay). åÓÔØ  (ËÏÔÏÕÄÏÂÎÙÊ ÓÏÓÏ ÕÂÌÉËÁ ÉÉ | ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ ÒÅÒÉÎÔÙ IHES ÒÙÅ × ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÇÏÄÙ ÒÅ×ÒÁÔÉÌÉÓØ ÉÚ ÂÕÍÁÖÎÙÈ × ÞÉÓÔÏ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÅ). óÌÏ×ÏÍ, ÓÏÚÄÁÎÙ ÉÄÅÁÌØÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÄÌÑ ÎÁÕÞÎÏÊ ÒÁÂÏÔÙ | ÖÉ×É, ÍÏÌ, É Ô×ÏÒÉ!  öÉÚÎØ × IHES

þÔÏ ×ÁÓ ÖÄÅÔ, ÅÓÌÉ ×ÁÓ ÒÉÇÌÁÓÑÔ × IHE S? ðÒÉÅÈÁ× × âÀÒ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÇÌÁÛÅÎÎÏÇÏ ÒÏÆÅÓÓÏÒÁ, ×Ù ÏÌÕÞÉÔÅ ÏÔÄÅÌØÎÙÊ ÏÆÉÓ × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ ÚÄÁÎÉÉ × âÕÁ-íÁÒÉ É ÕÄÏÂÎÕÀ Ë×ÁÒÔÉÒÕ × ïÒÍÁÊ (ÅÓÌÉ ×Ù Ó ÓÅÍØÅÊ É ÄÅÔØÍÉ | ËÏÔÔÅÄÖ). ÷ ÏÄÉÎ ÉÚ ÅÒ×ÙÈ ÄÎÅÊ ×Ù ÓËÏÒÅÊ ×ÓÅÇÏ ÓÄÅÌÁÅÔÅ ÄÏËÌÁÄ ÎÁ ÏÄÎÏÍ ÉÚ ÏÓÔÏÑÎÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÓÅÍÉÎÁÒÏ×, ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÏÚÎÁËÏÍÉÔÅÓØ Ó ÞÁÓÔØÀ ÄÒÕÇÉÈ ÎÁÈÏÄÑÝÉÈÓÑ × ÜÔÏ ×ÒÅÍÑ × IHE S ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× É ÆÉÚÉËÏ×.4) öÉÚÎØ ÒÉÅÚÖÁÀÝÉÈ ÕÞÅÎÙÈ ÎÉÞÅÍ ÎÅ ÒÅÇÌÁÍÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÁ. ÷Ù ÍÏÖÅÔÅ ÎÅ ÒÉÈÏÄÉÔØ × Ó×ÏÊ ÏÆÉÓ, ÇÕÌÑÔØ ÅÌÙÍÉ ÄÎÑÍÉ Ï ÏÇÒÏÍÎÏÍÕ ÌÅÓÎÏÍÕ ÕÞÁÓÔËÕ âÕÁ íÁÒÉ ÉÌÉ ÒÏÁÄÁÔØ × ðÁÒÉÖÅ, ÏÔ ËÕÌØÔÕÒÎÙÈ ÓÏÂÌÁÚÎÏ× ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÉËÔÏ ×ÁÓ ÏÔÇÏ×ÁÒÉ×ÁÔØ ÎÅ ÂÕÄÅÔ (ÒÁÚ×Å ÞÔÏ ÓÏ×ÅÓÔØ). îÏ ×ÓËÏÒÅ ×Ù ÕÚÎÁÅÔÅ, ÞÔÏ ÈÏÔØ É ÎÅÔ ÖÅÓÔËÉÈ ÒÁ×ÉÌ, ÚÁÔÏ ÅÓÔØ ÔÒÁÄÉ ÉÉ, Ó ËÏÔÏÒÙÍÉ ÓÌÅÄÕÅÔ ÓÞÉÔÁÔØÓÑ. ðÅÒ×ÁÑ É ÇÌÁ×ÎÁÑ ÉÚ ÎÉÈ | ÏÂÅÄ. îÁ ÎÅÇÏ ÒÉÎÑÔÏ ÈÏÄÉÔØ. ðÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÏÎ × ÞÁÓ ÄÎÑ × ÓÔÏÌÏ×ÏÊ ÒÑÄÏÍ Ó ÁÄÍÉÎÉÓÔÒÁÔÉ×ÎÙÍ ÚÄÁÎÉÅÍ. óÔÏÌÏ×ÁÑ ÞÅÍ-ÔÏ ÎÁÏÍÉÎÁÅÔ ÍÏÎÁÛÅÓËÕÀ ÔÒÁÅÚÎÕÀ: ÏÞÅÎØ ÄÌÉÎÎÙÅ ÄÅÒÅ×ÑÎÎÙÅ ÓÔÏÌÙ ÂÅÚ ÓËÁÔÅÒÔÅÊ, ×ÄÏÌØ ÎÉÈ ÓËÁÍÅÊËÉ. ïÂÅÄ ÉÄÅÔ ÎÅÔÏÒÏÌÉ×Ï. íÅÎÀ ÍÅÎÑÅÔÓÑ ÉÚÏ ÄÎÑ × ÄÅÎØ, ÎÏ ÎÁ ÄÁÎÎÙÊ ÄÅÎØ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÏ. îÅÉÚÍÅÎÎÏ ÏÄÁÅÔÓÑ ÎÅÌÏÈÏÅ ÓÔÏÌÏ×ÏÅ ×ÉÎÏ. úÁ ËÁÖÄÙÍ ÉÚ ÓÔÏÌÏ× ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÉÄÕÔ Ä×Á ÉÌÉ ÔÒÉ ÒÁÚÇÏ×ÏÒÁ ÎÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ É ÏËÏÌÏÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÅÍÙ. ïÄÉÎ ÉÚ ÍÏÉÈ ÆÒÁÎ ÕÚÓËÉÈ ËÏÌÌÅÇ ËÁË-ÔÏ ÍÎÅ ÓËÁÚÁÌ, ÞÔÏ, Ï ÅÇÏ Ï ÅÎËÁÍ, ÚÁ ÜÔÉÍÉ ÓÔÏÌÁÍÉ ÚÁ ÏÓÌÅÄÎÉÅ 50 ÌÅÔ ÒÏÄÉÌÏÓØ ÂÏÌØÛÅ ÔÅÏÒÅÍ, ÞÅÍ × ÌÀÂÏÍ ÄÒÕÇÏÍ ÍÅÓÔÅ × ÍÉÒÅ. íÏÖÅÔ ÂÙÔØ, ÜÔÏ É ÒÅÕ×ÅÌÉÞÅÎÉÅ, ÎÏ, ×Ï

ñ ÏÍÎÀ, ËÁËÏÅ ×ÅÞÁÔÌÅÎÉÅ ×ÓÅ ÜÔÏ ÒÏÉÚ×ÅÌÏ ÎÁ ÍÅÎÑ, ËÏÇÄÁ Ñ ×ÅÒ×ÙÅ ÏËÁÚÁÌÓÑ × âÀÒÅ × 1992 ÇÏÄÕ. íÎÅ ÄÁÌÉ ÏÆÉÓ ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ÜÔÁÖÅ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÆÉÌÄÓÏ×ÓËÉÍÉ ÌÁÕÒÅÁÔÁÍÉ | ëÏÎÎÏÍ É ò. ÏÍÏÍ (Rene Thom), ÎÁ ÍÏÅÍ ÅÒ×ÏÍ ÄÏËÌÁÄÅ ÁËÔÉ×ÎÏ ÕÞÁÓÔ×Ï×ÁÌÉ × ÄÉÓËÕÓÓÉÉ É âÅÒÖÅ, É ÏÍ, É çÒÏÍÏ×. ñ ×ÎÁÞÁÌÅ ÞÕ×ÓÔ×Ï×ÁÌ ÓÅÂÑ Ñ×ÎÏ ÎÅ ÎÁ ÍÅÓÔÅ, ÜÄÁËÉÍ ÓÁÍÏÚ×ÁÎ ÅÍ, ÏÂÍÁÎÏÍ ÒÏÎÉËÛÉÍ × ËÒÕÇ ÉÚÂÒÁÎÎÙÈ. îÏ ×ÓËÏÒÅ ÎÅÒÉÎÕÖÄÅÎÎÁÑ ÏÂÓÔÁÎÏ×ËÁ IHE S ÍÅÎÑ ÕÓÏËÏÉÌÁ É Ñ ÏÌÕÞÉÌ ÏÔ ÔÏÇÏ ÒÅÂÙ×ÁÎÉÑ ÍÎÏÇÏ ÕÄÏ×ÏÌØÓÔ×ÉÑ É ÏÌØÚÙ. á ÍÅÓÑ ÓÕÓÔÑ, ÕÖÅ × íÏÓË×Å, ×ÎÏ×Ø ×ÓÏÍÎÉÌ ÏÄÒÏÂÎÏÓÔÉ ÖÉÚÎÉ × ïÒÍÁÊ É ÒÁÓÈÏÈÏÔÁÌÓÑ, ËÏÇÄÁ ñËÏ× çÒÉÇÏÒØÅ×ÉÞ óÉÎÁÊ, ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ×ÅÒÎÕ×ÛÉÊÓÑ ÉÚ âÀÒÁ, ÍÎÅ ÓËÁÚÁÌ: €ì£ÛÁ, Á Ñ ÍÅÓÑ ÓÁÌ × Ô×ÏÅÊ ÏÓÔÅÌɁ (ÅÇÏ ÏÓÅÌÉÌÉ × ÔÏÊ ÖÅ Ë×ÁÒÔÉÒÅ, ÞÔÏ É ÍÅÎÑ). 4)

68

á. â. óÏÓÉÎÓËÉÊ

×ÓÑËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÂÀÒÏ×ÓËÉÅ ÏÂÅÄÙ ÂÅÓÓÏÒÎÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÉÌØÎÙÍ ËÁÔÁÌÉÚÁÔÏÒÏÍ ÎÁÕÞÎÏÇÏ Ô×ÏÒÞÅÓÔ×Á É ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÕÞÅÎÙÈ. ÷ÏÔ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÒÉÍÅÒ. ÷ 1998 ÇÏÄÕ íÁËÓÉÍ ëÏÎ Å×ÉÞ ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÌ ÓÉÄÑÝÉÍ ÚÁ ÅÇÏ ÓÔÏÌÏÍ × ÔÒÁÅÚÎÏÊ IHE S ÒÏ ÚÁÎÑÔÉÑ îÁÏÌÅÏÎÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ É Ï ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÊ €ÔÅÏÒÅÍÅ îÁÏÌÅÏÎÁ, ÂÕÄÔÏ ÂÙ ×ÅÒ×ÙÅ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÊ ÂÕÄÕÝÉÍ ÆÒÁÎ ÕÚÓËÉÍ ÉÍÅÒÁÔÏÒÏÍ. åÇÏ Ó ÉÎÔÅÒÅÓÏÍ ÓÌÕÛÁÌ ëÏÎÎ, ËÏÔÏÒÙÊ Ï ÜÔÏÍ ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÚÎÁÌ, É ÏÒÏÓÉÌ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÔÅÏÒÅÍÕ. ëÏÎ Å×ÉÞ Ï ÏÛÉÂËÅ ×ÍÅÓÔÏ ÔÅÏÒÅÍÙ îÁÏÌÅÏÎÁ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÌ ÏÈÏÖÕÀ, ÎÏ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÂÏÌÅÅ ÔÒÕÄÎÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ íÏÒÌÉ. ëÏÎÎ ÒÉÚÁÄÕÍÁÌÓÑ ÎÁÄ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÏÍ, ËÏÔÏÒÏÅ ÅÍÕ ÄÁÌÏÓØ ÎÅ ÓÒÁÚÕ, ÎÏ, ×ÉÄÉÍÏ, ÏÄÇÏÎÑÅÍÙÊ ÍÙÓÌØÀ | ÅÓÌÉ îÁÏÌÅÏÎ ÓÍÏÇ, ÔÏ ÎÅÕÖÅÌÉ Ñ ÎÅ ÓÍÏÇÕ? | ÎÁËÏÎÅ ÎÁÛÅÌ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. åÇÏ ÍÏÖÎÏ ÒÏÞÉÔÁÔØ × 9-Í ×ÙÕÓËÅ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс, 2005, Ó. 100{104. ëÓÔÁÔÉ, ×Ï ××ÅÄÅÎÉÉ Ë ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÅ ëÏÎÎ ÏÔÍÅÞÁÅÔ ×ÁÖÎÕÀ ÒÏÌØ ÏÂÅÄÏ× × IHE S. íÅÎÅÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏÊ, ÎÏ ÔÏÖÅ ×ÁÖÎÏÊ ÔÒÁÄÉ ÉÅÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÖÅÄÎÅ×ÎÏÅ ÞÁÅÉÔÉÅ | ÆÁÊ×-Ï-ËÌÏË | ÒÏÉÓÈÏÄÑÝÅÅ, ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, × 17:00 × ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÇÏÓÔÉÎÙÈ ÁÄÍÉÎÉÓÔÒÁÔÉ×ÎÏÇÏ ÚÄÁÎÉÑ, ÒÑÄÏÍ Ó ÏÆÉÓÏÍ ÄÉÒÅËÔÏÒÁ. þÁÊ ÉÌÉ ËÏÆÅ, ÉÒÏÖÎÙÅ, ÅÞÅÎØÑ, ÒÁÚÂÒÏÓÁÎÎÙÅ Ï ÂÏÌØÛÏÊ ÕÀÔÎÏÊ ËÏÍÎÁÔÅ Ó ËÁÍÉÎÏÍ ÖÕÒÎÁÌØÎÙÅ ÓÔÏÌÉËÉ, ÄÉ×ÁÎÙ É ËÒÅÓÌÁ, ÁÒÁ ÎÅÂÏÌØÛÉÈ ÄÏÓÏË Ó ÍÅÌÏÍ. ëÔÏ-ÔÏ ÓÉÄÉÔ, ËÔÏ-ÔÏ ÓÔÏÉÔ ÉÌÉ ÒÁÓÈÁÖÉ×ÁÅÔ, Õ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÄÏÓÏË ÓÏÂÒÁÌÏÓØ Ä×Á-ÔÒÉ ÞÅÌÏ×ÅËÁ, ÏÖÉ×ÌÅÎÎÏ ÏÂÓÕÖÄÁÀÝÉÅ ÎÁÉÓÁÎÎÙÅ ÎÁ ÎÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ËÁÒÁËÕÌÉ. úÄÅÓØ ÔÏÖÅ, ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ, ÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÏÞÅÒÅÄÎÏÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÔËÒÙÔÉÅ. ó ËÁÍÉÎÏÍ Ó×ÑÚÁÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÉÓÔÏÒÉÑ, ÒÏÉÚÏÛÅÄÛÁÑ ÌÅÔ ÛÅÓÔØ ÔÏÍÕ ÎÁÚÁÄ × ÜÔÏÊ ÇÏÓÔÉÎÏÊ. ÏÇÄÁ Ñ ÞÕ×ÓÔ×Ï×ÁÌ ÓÅÂÑ ÕÖÅ Ó×ÏÉÍ ÞÅÌÏ×ÅËÏÍ × ÎÅÒÉÎÕÖÄÅÎÎÏÊ ÏÂÓÔÁÎÏ×ËÅ IHE S É ÂÙÌ ÎÅ ÒÏÞØ ÄÁÖÅ ÏÛÕÔÉÔØ, ËÁË ÇÏ×ÏÒÉÔÓÑ, ÎÁ ÇÒÁÎÉ ÆÏÌÁ. îÁÈÏÄÑÓØ ÎÁ ÞÁÅÉÔÉÉ, Ñ ÏÂÒÁÔÉÌ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÎÁ ÍÅÔÁÌÌÉÞÅÓËÕÀ ÍÏÄÅÌØ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ëÏÎÎÅÌÉ, ÌÅÖÁÝÕÀ ÒÑÄÏÍ Ó ËÁÍÉÎÏÍ, Ñ×ÎÏ × ÒÏÌÉ ÍÅÈÏ×. ÷ ÅÎÔÒÅ ÇÏÓÔÉÎÏÊ ÄÉÒÅËÔÏÒ IHE S âÕÒÇÉÎØÏÎ ÂÅÓÅÄÏ×ÁÌ Ó ð. ëÁÒÔØÅ (Pierre Cartier), ÚÎÁÍÅÎÉÔÙÍ ÆÒÁÎ ÕÚÓËÉÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÍ, ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÅÒ×ÙÈ ÁËÔÉ×ÉÓÔÏ× âÕÒÂÁËÉ. ñ ÏÄÏÛÅÌ Ë ÎÉÍ É ÏÞÅÎØ ÇÒÏÍËÏ, ÞÔÏÂÙ ÂÙÌÏ ÓÌÙÛÎÏ ×Ï ×ÓÅÊ ÇÏÓÔÉÎÉ Å, ÚÁÑ×ÉÌ: { þÔÏ ÜÔÏ ÚÁ ÂÅÚÏÂÒÁÚÉÅ Õ ×ÁÓ ÌÅÖÉÔ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÍÅÈÏ× ÒÑÄÏÍ Ó ËÁÍÉÎÏÍ?! åÇÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ Ó ÜÔÏÊ ÅÌØÀ ÂÒÏÓÁÅÔ ÔÅÎØ ÎÁ Ë×ÁÌÉÆÉËÁ ÉÀ ÄÉÒÅË ÉÉ ÜÔÏÇÏ ÉÎÓÔÉÔÕÔÁ É ÎÁ ËÏÍÅÔÅÎÔÎÏÓÔØ ÅÇÏ ÎÁÕÞÎÙÈ ÓÏÔÒÕÄÎÉËÏ×! { ëÁË, óÏÓÉÎÓËÉÊ, ÎÅÕÖÅÌÉ ÔÙ ÎÅ ÕÚÎÁÌ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË ëÏÎÎÅÌÉ, | ÎÁÌÅÔÅÌ ÈÏÒÏÛÏ ÚÎÁÀÝÉÊ ÍÅÎÑ ëÁÒÔØÅ, | ÜÔÏ ÖÅ ÚÎÁÍÅÎÉÔÙÊ ÒÉÍÅÒ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ ÉÚÇÉÂÁÅÍÏÇÏ ÏÌÉÜÄÒÁ, ËÏÔÏÒÙÊ. . . { úÎÁÀ, ÚÎÁÀ, ÎÏ ×Ù ÖÅ ÈÏÔÉÔÅ ÅÇÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÍÅÈÏ×! { îÕ É ÞÔÏ? { á ÔÏ, ÞÔÏ ÍÏÓËÏ×ÓËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË éÄÖÁÔ óÁÂÉÔÏ× ÎÅÄÁ×ÎÏ ÄÏËÁÚÁÌ, ÞÔÏ ÏÂßÅÍ ÔÁËÉÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× ÎÅ ÉÚÍÅÎÑÅÔÓÑ ÒÉ ÉÚÇÉÂÁÎÉÉ, ÏÜÔÏÍÕ

S IHE

69

ÓËÏÌØËÏ ÎÉ ËÁÞÁÊ ÜÔÉ €ÍÅÈɁ, ÎÉËÁËÏÇÏ ÄÕÎÏ×ÅÎÉÑ ×ÏÚÄÕÈÁ ÔÙ ÎÅ ÓÏÚÄÁÛØ. ÷ÏÔ Ñ É ÇÏ×ÏÒÀ ÒÏ Ë×ÁÌÉÆÉËÁ ÉÀ ÄÉÒÅË ÉÉ É ÕÞÅÎÙÈ. . .  ÞÔÏ ÎÉ ëÁÒÔØÅ, ÎÉ âÕÒÇÉÎØÏÎ ÎÅ ÏÂÉÄÅÌÉÓØ ÎÁ èÁÒÁËÔÅÒÎÏ ÄÌÑ IHES, ÍÏÀ ×ÙÈÏÄËÕ, ÏÞÅÎØ ÓÍÅÑÌÉÓØ, Á ÏÔÏÍ ÒÏÓÉÌÉ ÍÅÎÑ ÒÁÓÓËÁÚÁÔØ ÒÁÂÏÔÕ óÁÂÉÔÏ×Á ÎÁ ÓÅÍÉÎÁÒÅ. . . ëÏÎÅÞÎÏ, ÏÔËÒÙÔÉÑ ÞÁÓÔÏ ÒÏÉÓÈÏÄÑÔ É ÂÏÌÅÅ ÔÒÁÄÉ ÉÏÎÎÏÍ ÏÂÒÁÚÏÍ | × ÎÅÒÉÎÕÖÄÅÎÎÙÈ ÁÒÎÙÈ ÂÅÓÅÄÁÈ ÚÁ ÄÏÓËÏÊ × ÏÆÉÓÁÈ, ÉÌÉ × ÒÁÚÍÅÒÅÎÎÙÈ ÒÏÇÕÌËÁÈ Ï ÁÌÌÅÑÍ ÈÏÌÍÉÓÔÏÊ ÔÅÒÒÉÔÏÒÉÉ ÌÅÓÁ âÕÁ-íÁÒÉ. ÷ÅÞÅÒÏÍ ÚÄÅÓØ ÂÙÓÔÒÏ ×ÓÅ ÚÁÔÉÈÁÅÔ | ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, × ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Å Ó×ÏÅÍ €ÓÏ×ف, ÂÄÑÔ ÄÏÏÚÄÎÁ ÚÁ Ó×ÏÉÍÉ ËÏÍØÀÔÅÒÁÍÉ. ïÔ×ÌÅËÁÀÝÉÈ ÍÏÍÅÎÔÏ× ×ÅÞÅÒÏÍ × ÔÉÈÏÍ âÀÒ-ÓÀÒ-é×ÅÔÔ ÒÏÓÔÏ ÎÅÔ ÎÉËÁËÉÈ. äÎÅÍ, ÒÁ×ÄÁ, ÌÀÂÉÔÅÌÉ ÅÌÌÕÌÏÉÄÎÏÇÏ ÛÁÒÉËÁ ÇÏÎÑÀÔ ÅÇÏ Ï ÉÎÇ-ÏÎÇÏ×ÏÍÕ ÓÔÏÌÕ, Á ÉÎÏÇÄÁ × ïÒÍÁÊ ÒÏÉÓÈÏÄÑÔ ×ÏÌÅÊÂÏÌØÎÙÅ ÓÒÁÖÅÎÉÑ, ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÚÁÈ×ÁÔÙ×ÁÀÝÉÅ, ËÏÇÄÁ ÉÈ ÏÒÇÁÎÉÚÕÅÔ áÌÅËÓÁÎÄÒ áÌÅËÓÁÎÄÒÏ×ÉÞ ëÉÒÉÌÌÏ×, ÎÅÒÅ×ÚÏÊÄÅÎÎÙÊ Ï ÜÔÏÍÕ ÄÅÌÕ ÍÁÓÔÅÒ. ÷ÁÛ ÓÒÏË | ÍÅÓÑ ÉÌÉ Ä×Á | ÒÏÌÅÔÁÅÔ ÎÅÚÁÍÅÔÎÏ. óÌÉÛËÏÍ ÂÙÓÔÒÏ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ×ÏÚ×ÒÁÝÁÔØÓÑ Ë ÏÂÙÞÎÏÊ ÖÉÚÎÉ Õ ÓÅÂÑ ÄÏÍÁ. . . úÁÓÉÌØÅ ÒÕÓÓËÏÇÏ×ÏÒÑÝÉÈ

÷ ÏÓÌÅÄÎÉÊ ÒÉÅÚÄ × IHE S (ÎÅ ÂÕÄÕÞÉ ÒÉÇÌÁÛÅÎÎÙÍ ÒÏÆÅÓÓÏÒÏÍ, Ñ ÎÁÈÏÄÉÌÓÑ × ðÁÒÉÖÅ ÒÏÅÚÄÏÍ ÏÓÌÅ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ × îÅÁÏÌÅ É ÚÁÅÈÁÌ ÏÂÅÓÅÄÏ×ÁÔØ Ó çÒÏÍÏ×ÙÍ), Ñ ÏÄÓÞÉÔÁÌ (Ï ÏÓÔÏÑÎÎÏ ÏÂÎÏ×ÌÑÅÍÏÊ ÁÄÒÅÓÎÏÊ ËÎÉÖËÅ ïÒÍÁÊ) ÒÏ ÅÎÔ ÒÕÓÓËÏÇÏ×ÏÒÑÝÉÈ ÓÒÅÄÉ ÒÉÇÌÁÛÅÎÎÙÈ ÒÏÆÅÓÓÏÒÏ×: ÉÈ ÏËÁÚÁÌÏÓØ ÏËÏÌÏ Ä×ÁÄ ÁÔÉ ÑÔÉ ÞÅÌÏ×ÅË ÉÚ ÛÅÓÔÉÄÅÓÑÔÉ Ó ÌÉÛÎÉÍ | ÏËÏÌÏ ÔÒÉÄ ÁÔÉ ÒÏ ÅÎÔÏ×! üÔÏ ÏÂßÑÓÎÑÅÔÓÑ ÕÖÅ ÏÔÍÅÞÅÎÎÏÊ ÍÎÏÊ ×ÙÓÏËÏÊ ÒÅÕÔÁ ÉÅÊ ÎÁÛÉÈ (ÎÙÎÅÛÎÉÈ É ÂÙ×ÛÉÈ) ÓÏÇÒÁÖÄÁÎÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×, Á ÔÁËÖÅ ÉÈ ÖÅÌÁÎÉÅÍ ÎÁ ÒÏÄÎÏÍ ÑÚÙËÅ ÏÏÂÝÁÔØÓÑ Ó ÔÁËÉÍÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍÉ Ú×ÅÚÄÁÍÉ, ËÁË çÒÏÍÏ× É ëÏÎ Å×ÉÞ. ëÁË ÚÁÍÅÔÉÌ ÏÄÉÎ ÍÏÊ ÏÓÔÒÏÕÍÎÙÊ ÍÏÓËÏ×ÓËÉÊ ËÏÌÌÅÇÁ: €ÍÙ ÜËÓÏÒÔÉÒÕÅÍ ÛÁÈÍÁÔÉÓÔÏ×, ÎÅÆÔØ É ÇÁÚ, ÈÏËËÅÉÓÔÏ× É ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏׁ. âÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÉÚ ÒÕÓÓËÏÇÏ×ÏÒÑÝÉÈ ÒÉÅÚÖÁÀÔ ÎÅ ÉÚ òÏÓÓÉÉ, Á ÉÚ óûá, ÉÌÉ éÚÒÁÉÌÑ, ÉÌÉ çÅÒÍÁÎÉÉ | ÉÚ ÔÏÊ ÓÔÒÁÎÙ, ËÕÄÁ ÉÈ ÚÁÂÒÏÓÉÌÁ ÉÈ ÜÍÉÇÒÁÎÔÓËÁÑ ÓÕÄØÂÁ. âÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÎÅ ÉÓÙÔÙ×ÁÅÔ ÏÓÏÂÏÊ ÎÏÓÔÁÌØÇÉÉ Ï ÏËÉÎÕÔÏÍÕ ÉÍÉ ÓÏ×ÅÔÓËÏÍÕ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×Õ, Ó ÔÅÈ ÏÒ ËÁÎÕ×ÛÅÍÕ × ìÅÔÕ, ÏÎÉ ÕÖÅ ÓÔÁÌÉ ÇÒÁÖÄÁÎÁÍÉ ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÒÁÎÙ, ÎÏ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÉÌÉ ÄÕÛÅ×ÎÏÇÏ ÏÂÝÅÎÉÑ ÎÁ ÒÏÄÎÏÍ ÑÚÙËÅ | ÏÊ ËÁË ÎÅ È×ÁÔÁÅÔ. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÜÔÏ ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÍÕ Ñ×ÌÅ òÕÓÓËÏÑÚÙÞÎÙÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÄÅÒÖÁÔÓÑ ÎÅÎÉÀ × ÎÙÎÅÛÎÅÊ ÖÉÚÎÉ IHES. ÓËÏÌØËÏ ÏÂÏÓÏÂÌÅÎÏ É ÏÂÝÁÀÔÓÑ ÒÅÉÍÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ (ÄÁ ÅÝÅ ÎÁ ÎÅÏÎÑÔÎÏÍ ÒÕÓÓËÏÍ ÑÚÙËÅ!), ÞÔÏ ×ÙÚÙ×ÁÅÔ ×ÏÌÎÅ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÎÏÅ

70

á. â. óÏÓÉÎÓËÉÊ

ÒÁÚÄÒÁÖÅÎÉÅ ÍÎÏÇÉÈ ËÏÌÌÅÇ. ðÏËÁ ÏÙÔËÉ ëÏÎÎÁ, ìÁÆÆÏÒÇÁ É ÄÁÖÅ çÒÏÍÏ×Á ËÁË-ÔÏ ÕÌÁÄÉÔØ ÜÔÕ ÒÏÂÌÅÍÕ Ë ÕÓÅÈÕ ÎÅ ÒÉ×ÏÄÑÔ. îÅÓÏÍÎÅÎÎÏ, ÒÉÑÔÎÏ ÏÓÏÚÎÁ×ÁÔØ ÚÎÁÞÉÍÏÓÔØ ÒÏÓÓÉÊÓËÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÛËÏÌÙ, ËÁË É ÒÉÑÔÎÏ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÏÄ ðÁÒÉÖÅÍ × €ÒÉ×ÉÌÅÇÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÓÏ×ÅÔÓËÏÍ ÎÁÕÞÎÏÍ ÄÏÍÅ ÏÔÄÙÈÁ (Ï ÍÅÔËÏÍÕ ×ÙÒÁÖÅÎÉÀ ÏÄÎÏÇÏ ÍÏÅÇÏ ËÏÌÌÅÇÉ). îÏ, ËÏÎÅÞÎÏ, IHE S ÎÅÌØÚÑ ÓÞÉÔÁÔØ ÅÎÔÒÏÍ, ÓÏÚÄÁÎÎÙÍ ×ÙÈÏÄ ÅÍ ÉÚ òÏÓÓÉÉ ÄÌÑ ×ÙÈÏÄ Å× ÉÚ òÏÓÓÉÉ | ÜÔÏ ÕÎÉËÁÌØÎÏÅ ÍÅÓÔÏ ×ÓÔÒÅÞÉ ÌÕÞÛÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× (É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÆÉÚÉËÏ×) ÍÉÒÁ, ÓÏ Ó×ÏÉÍÉ Ó×ÏÅÏÂÒÁÚÎÙÍÉ ÔÒÁÄÉ ÉÑÍÉ É ÕÄÉ×ÉÔÅÌØÎÏÊ ÎÁÕÞÎÏÊ ÁÕÒÏÊ.

á. â. óÏÓÉÎÓËÉÊ, ÷ëí îíõ E-mail: absdiffiety.a .ru

îÁÛ ÓÅÍÉÎÁÒ: ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÓÀÖÅÔÙ

þÅÔÙÒÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÈ ÌÉ Á ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ ÷. á. õÓÅÎÓËÉÊ

÷×ÅÄÅÎÉÅ åÓÌÉ ËÔÏ-ÌÉÂÏ ÓËÁÖÅÔ ÎÁÍ, ÞÔÏ ÏÎ ÏÄÂÒÏÓÉÌ €ÞÅÓÔÎÕÀ ÍÏÎÅÔÕ Ä×ÁÄ ÁÔØ ÒÁÚ É, ÏÂÏÚÎÁÞÉ× ÇÅÒ ÅÄÉÎÉ ÅÊ, Á ÒÅÛÅÔËÕ ÎÕÌÅÍ, ÏÌÕÞÉÌ ÔÁËÏÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ: 10001011101111010000 (I) ÉÌÉ ÔÁËÏÊ: 01111011001101110001; (II) ÍÙ ×ÒÑÄ ÌÉ ÂÕÄÅÍ ÕÄÉ×ÌÅÎÙ. ïÄÎÁËÏ ÅÓÌÉ ÎÁÍ ÓËÁÖÕÔ, ÞÔÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÂÒÏÓÁÎÉÊ ÂÙÌ ÔÁËÉÍ: 00000000000000000000 (III) ÉÌÉ ÔÁËÉÍ: 01010101010101010101 (IV) | ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÒÁÖÅÎÙ É ×ÏÏÂÝÅ ÎÅ Ï×ÅÒÉÍ ÉÌÉ ÖÅ ÕÓÏÍÎÉÍÓÑ × ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ ÜËÓÅÒÉÍÅÎÔÁ. ÷ÏÚÎÉËÁÅÔ ×ÏÒÏÓ: ÏÞÅÍÕ? ðÏ-×ÉÄÉÍÏÍÕ, ÅÏÞËÉ (I) É (II) ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÀÔÓÑ ËÁË ÓÌÕÞÁÊÎÙÅ, Á ÅÏÞËÉ (III) É (IV) | ËÁË ÎÅÓÌÕÞÁÊÎÙÅ. îÏ ÞÔÏ ÏÚÎÁÞÁÀÔ ÓÌÏ×Á €×ÏÓÒÉÎÉÍÁÅÔÓÑ ËÁË ÓÌÕÞÁÊÎÁс? ëÌÁÓÓÉÞÅÓËÁÑ ÔÅÏÒÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÎÅ ÄÁÅÔ ÏÔ×ÅÔÁ ÎÁ ÜÔÏÔ ×ÁÖÎÙÊ ×ÏÒÏÓ. îÅ ÓÔÏÌØ ÒÅÄËÏ ÍÏÖÎÏ ÕÓÌÙÛÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÏÂßÑÓÎÅÎÉÅ: ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÅÏÞÅË (III) É (IV) ÓÌÉÛËÏÍ ÍÁÌÁ, ÏÎÁ ÒÁ×ÎÁ 2−20 , ÞÔÏ ÍÅÎØÛÅ ÏÄÎÏÊ ÍÉÌÌÉÏÎÎÏÊ. îÏ ×ÅÄØ ÒÏ×ÎÏ ÔÁËÕÀ ÖÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÉÍÅÀÔ ÅÏÞËÉ (I) É (II).

72

÷. á. õÓÅÎÓËÉÊ

ÒÉ ×ÁÖÎÙÈ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, ×ÅÞÁÔÌÅÎÉÅ ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ. åÓÌÉ ÏÄÎÁ ÓÔÏÒÏÎÁ ÍÏÎÅÔÙ ÔÑÖÅÌÅÅ ÄÒÕÇÏÊ ÉÌÉ ÅÓÌÉ ÞÅÌÏ×ÅË × ÒÏ ÅÓÓÅ ÂÒÏÓÁÎÉÑ ÎÁÕÞÁÅÔÓÑ ÏÄËÉÄÙ×ÁÔØ ÍÏÎÅÔÕ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÎÁ ÁÄÁÌÁ ÎÁ ÎÕÖÎÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ, ÔÏ ÏÑ×ÌÅÎÉÅ ÅÏÞÅË (III) ÉÌÉ (IV) ÍÏÖÅÔ ÓÔÁÔØ ×ÏÌÎÅ ÏÖÉÄÁÅÍÙÍ. ÷ÎÁÞÁÌÅ | ÄÌÑ ÒÏÓÔÏÔÙ | ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÚÁÎÉÍÁÔØÓÑ ÌÉÛØ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÍÉ ÂÒÏÓÁÎÉÑÍÉ Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍÉ ÏÄÎÁ ×ÔÏÒÁÑ ÄÌÑ ÇÅÒÂÁ É ÏÄÎÁ ×ÔÏÒÁÑ ÄÌÑ ÒÅÛÅÔËÉ. ÷Ï-×ÔÏÒÙÈ, ÇÏ×ÏÒÉÔØ Ï ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔ ÓÍÙÓÌ ÌÉÛØ × ÒÉÍÅÎÅÎÉÉ Ë ÏÞÅÎØ ÄÌÉÎÎÙÍ ÅÏÞËÁÍ. âÅÓÓÍÙÓÌÅÎÎÏ ÓÒÁÛÉ×ÁÔØ, ËÏÔÏÒÁÑ ÉÚ ÅÏÞÅË 00, 01, 10, 11 ÂÏÌÅÅ ÓÌÕÞÁÊÎÁ, ÞÅÍ ÄÒÕÇÉÅ. ÷-ÔÒÅÔØÉÈ, ÔÏÞÎÏÊ ÇÒÁÎÉ Ù ÍÅÖÄÕ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍÉ É ÎÅÓÌÕÞÁÊÎÙÍÉ (× ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÏÍ ÓÍÙÓÌÅ) ÅÏÞËÁÍÉ ÎÅÔ É ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ. ÷ÅÄØ ÅÓÌÉ × ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ÅÏÞËÅ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÏÄÉÎ ÚÎÁË, ÏÎÁ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ. îÏ, ÚÁÍÅÎÑÑ ÍÎÏÇÏ ÒÁÚ, ÍÙ ÏÔ ÌÀÂÏÊ ÅÏÞËÉ ÍÏÖÅÍ ÒÉÊÔÉ Ë (III) ÉÌÉ (IV). üÔÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÊ ÁÒÁÄÏËÓ ËÕÞÉ. éÔÁË, ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÔÏÌØËÏ ÏÞÅÎØ ÄÌÉÎÎÙÅ ÅÏÞËÉ, Á × ÉÄÅÁÌÅ | ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÅ. (÷ÏÏÂÝÅ, ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔØ | ÜÔÏ ÔÁËÏÅ ÏÌÅÚÎÏÅ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÅ Ó×ÅÒÈÕ Ë ÏÞÅÎØ ÂÏÌØÛÏÍÕ ËÏÎÅÞÎÏÍÕ.) âÅÓËÏÎÅÞÎÙÅ ÅÏÞËÉ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÍÉ. ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÕÖÅ ÍÏÖÎÏ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÏÓÍÙÓÌÅÎÎÏ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÎÁ ÓÌÕÞÁÊÎÙÅ É ÎÅÓÌÕÞÁÊÎÙÅ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÍÏÖÎÏ ÎÅ ÂÅÚ ÕÓÅÈÁ ÙÔÁÔØÓÑ ÎÁÊÔÉ ÓÔÒÏÇÏÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÄÌÑ ÏÎÑÔÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÕÌÅÊ É ÅÄÉÎÉ \. ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÍ ÏÞÅÒËÅ ÍÙ "ÉÚÌÏÖÉÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÔÁËÉÈ ÏÙÔÏË, ÒÅÄÒÉÎÑÔÙÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ Á×ÔÏÒÁÍÉ. ïÄÎÁËÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÞÅÓÔÎÏ ÒÉÚÎÁÔØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÒÉÌÏÖÅÎÉÊ ÉÎÔÅÒÅÓ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÉÍÅÎÎÏ ËÏÎÅÞÎÙÅ ÓÌÕÞÁÊÎÙÅ ÅÏÞËÉ É ÏÔÏÍÕ ÉÄÅÁÌÉÚÁ ÉÑ, ÒÏÉÓÈÏÄÑÝÁÑ ÒÉ ÅÒÅÈÏÄÅ Ë ÅÏÞËÁÍ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ ÄÌÉÎÙ, ÎÅÉÚÂÅÖÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÁ Ó €ÏÔÒÙ×ÏÍ ÏÔ ÖÉÚÎɁ. ÷ÒÏÞÅÍ, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÊ ÏÔÒÙ× ×ÏÚÎÉËÁÅÔ É ÒÉ ÉÚÕÞÅÎÉÉ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔÉ ×ÓÅÈ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÅÏÞÅË, ÏÓËÏÌØËÕ × ÖÉÚÎÉ ×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ ÌÉÛØ ÅÏÞËÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ÄÌÉÎÙ, Á × ÏÞÅÎØ ÄÌÉÎÎÙÈ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÅÏÞËÁÈ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ ÔÁËÉÅ ÜÆÆÅËÔÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÇÕÔ É ÎÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÔØ ÎÁÉ×ÎÙÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑÍ Ï ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ. óÄÅÌÁ× ÜÔÏ ÒÉÚÎÁÎÉÅ, ÒÉÓÔÕÉÍ Ë ÉÚÌÏÖÅÎÉÀ. îÁÍ ÂÕÄÕÔ ÏÌÅÚÎÙ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÔÅÒÍÉÎÙ É ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ. ÷ÓÑËÁÑ ËÏÎÅÞÎÁÑ ÅÏÞËÁ hi1 ; : : : ; in i ÎÕÌÅÊ É ÅÄÉÎÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ Ä×ÏÉÞÎÙÍ ÓÌÏ×ÏÍ, Á ÞÉÓÌÏ n | ÄÌÉÎÏÊ ÜÔÏÇÏ ÓÌÏ×Á. äÌÉÎÁ ÓÌÏ×Á x ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÔÁË: |x|. äÌÉÎÁ ÓÌÏ×Á ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ; ÓÌÏ×Ï ÄÌÉÎÙ ÎÕÌØ ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÓÔÙÍ. ðÕÓÔÏÅ ÓÌÏ×Ï ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÂÕË×ÏÊ . íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÓÌÏ× ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÂÕË×ÏÊ . íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÕÌÅÊ É ÅÄÉÎÉ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÂÕË×ÏÊ .

þÅÔÙÒÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÈ ÌÉ Á ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ

73

äÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ha1 ; a2 ; a3 ; a4 ; : : :i ËÁÖÄÏÅ ÉÚ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÓÌÏ× Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÅ ÎÁÞÁÌÏÍ . ðÕÓÔØ x ∈  | Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÓÌÏ×Ï. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÅÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÉÚ , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ x ÓÌÕÖÉÔ ÎÁÞÁÌÏÍ, ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ x. ëÁÖÄÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÉÄÁ x, ÇÄÅ x ∈ , ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÛÁÒÏÍ . ûÁÒÕ x ÒÉÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÇÏ ÏÂß£Í v(x), ÒÁ×ÎÙÊ 2−|x|. óÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÏ, ËÁÖÄÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÚ ÍÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ ËÁË ÓÅÒÉÀ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÂÒÏÓÁÎÉÊ ÍÏÎÅÔÙ. åÝÅ ÒÁÚ ÏÄÞÅÒËÎÅÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÎÁÇÌÑÄÎÏÓÔÉ ÍÙ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÅÍÓÑ ÎÁ ÅÒ×ÙÈ ÏÒÁÈ ÓÉÔÕÁ ÉÅÊ, ËÏÇÄÁ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ×ÓÅÈ ÂÒÏÓÁÎÉÊ ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙ. îÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÑÚÙËÅ ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÎÁ ÚÁÄÁÎÏ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÅ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÅ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ | Á ÜÔÏ, × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ, ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ: ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÛÁÒÁ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÓÌÕÞÁÊÎÏ ×ÙÂÒÁÎÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÚ ÏÁÄÅÔ × ÜÔÏÔ ÛÁÒ, ÒÁ×ÎÁ ÏÂßÅÍÕ ÜÔÏÇÏ ÛÁÒÁ. îÁÛÁ ÅÌØ | ÏÙÔÁÔØÓÑ ×ÙÄÅÌÉÔØ ÉÚ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÔÏÞÎÏ ÏÉÓÁÎÎÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÒÅÔÅÎÄÕÀÝÅÅ ÎÁ ÒÏÌØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÓÅÈ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ. ÒÁÄÉ ÉÏÎÎÁÑ ÔÅÏÒÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÎÅ ÒÉÂÌÉÖÁÅÔÓÑ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ, ÎÏ ÄÁÖÅ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÅÅ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ × Ó×ÏÉÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ. îÁ ÏÍÏÝØ ÒÉÈÏÄÉÔ ÔÅÏÒÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. íÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÁÒÁÄÏËÓÁÌØÎÙÍ, ÞÔÏ ÏÎÑÔÉÅ ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ ÕÔÏÞÎÑÅÔÓÑ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÔÁËÏÇÏ ÞÕÖÄÏÇÏ ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ ÏÎÑÔÉÑ, ËÁË ÁÌÇÏÒÉÔÍ, | ÔÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÄÅÌÏ ÏÂÓÔÏÉÔ ÉÍÅÎÎÏ ÔÁË: ×ÓÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÄÏ ÓÉÈ ÏÒ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ ÉÎÄÉ×ÉÄÕÁÌØÎÏÇÏ ÏÂßÅËÔÁ (× ÎÁÛÅÍ ÒÉÍÅÒÅ | ÉÎÄÉ×ÉÄÕÁÌØÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÕÌÅÊ É ÅÄÉÎÉ ) ÏÉÒÁÀÔÓÑ ÎÁ ÏÎÑÔÉÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. þÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ, ÏÓÔÕÁÀÔ ÔÁË. æÏÒÍÕÌÉÒÕÀÔ ÎÅËÏÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï, ËÏÔÏÒÙÍ ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÓÌÕÞÁÊÎÙÅ (× ÎÅÆÏÒÍÁÌØÎÏÍ, ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÏÍ ÓÍÙÓÌÅ) ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. á ÚÁÔÅÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÅ ÜÔÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, É ÏÂßÑ×ÌÑÀÔ | Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ | ÓÌÕÞÁÊÎÙÍÉ. ëÁËÉÍÉ ÖÅ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÓÌÕÞÁÊÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÕÌÅÊ É ÅÄÉÎÉ ? ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÏÎÁ ÞÁÓÔÏÔÏÕÓÔÏÊÞÉ×Á . ÷ÏÔ ÞÔÏ ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÄÌÑ ÔÏÇÏ ÒÏÓÔÅÊÛÅÇÏ ÓÌÕÞÁÑ, ËÏÇÄÁ ÎÕÌÉ É ÅÄÉÎÉ Ù ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙ: ÞÁÓÔÏÔÁ ÎÕÌÅÊ, ËÁË É ÞÁÓÔÏÔÁ ÅÄÉÎÉ , ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë ÏÄÎÏÊ ×ÔÏÒÏÊ. (þÁÓÔÏÔÁ ÎÕÌÅÊ | ÜÔÏ ÉÈ ÄÏÌÑ × ÎÁÞÁÌØÎÏÍ ÏÔÒÅÚËÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ.) îÏ ÂÏÌÅÅ ÔÏÇÏ: × ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÕËÁÚÁÎÎÁÑ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔØ ÞÁÓÔÏÔ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ × ÅÌÏÍ, ÎÏ É ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÅÅ ÚÁËÏÎÎÏÊ, ÒÁÚÕÍÎÏÊ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ÷Ï-×ÔÏÒÙÈ, ÏÎÁ ÈÁÏÔÉÞÎÁ . üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÓÌÏÖÎÏ ÕÓÔÒÏÅÎÁ É ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ ÒÁÚÕÍÎÏÇÏ ÏÉÓÁÎÉÑ. ðÓÉÈÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÍÕ ÜËÓÅÒÉÍÅÎÔÕ, Ó ËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÙ ÎÁÞÁÌÉ, ëÏÌÍÏÇÏÒÏ× ÄÁÌ ÔÁËÏÅ ÏÂßÑÓÎÅÎÉÅ. ãÅÏÞËÉ (I) É (II) ÏÔÏÍÕ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÀÔÓÑ ËÁË ÓÌÕÞÁÊÎÙÅ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÓÌÏÖÎÙ, ÉÈ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Ï ha1 ; a2 ; : : : ; an i

74

÷. á. õÓÅÎÓËÉÊ

ÎÅÌØÚÑ ËÏÒÏÔËÏ ÏÉÓÁÔØ. á ×ÏÔ ÅÏÞËÉ (III) É (IV) ÉÍÅÀÔ ÒÏÓÔÏÅ, ÌÅÇËÏ ÏÉÓÙ×ÁÅÍÏÅ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Ï. ÷-ÔÒÅÔØÉÈ, ÏÎÁ ÔÉÉÞÎÁ . üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÌÀÂÏÍÕ ÒÁÚÕÍÎÏÍÕ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Õ. ÷-ÞÅÔ×ÅÒÔÙÈ, ÏÎÁ ÎÅÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÁ . üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÉÇÒÁÑ ÒÏÔÉ× ÎÅÅ ÎÁ ÄÅÎØÇÉ (Ô. Å. ÙÔÁÑÓØ ÕÇÁÄÁÔØ ÞÌÅÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ É ÄÅÌÁÑ ÓÔÁ×ËÉ), ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÏÂÙÇÒÁÔØ, ËÁËÏÊ ÂÙ ÒÁÚÕÍÎÏÊ ÓÔÒÁÔÅÇÉÅÊ ÎÉ ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ. óÌÏ×Ï €ÒÁÚÕÍÎÙʁ, ×ÓÔÒÅÞÁÀÝÅÅÓÑ × ÏÂßÑÓÎÅÎÉÑÈ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÞÅÔÙÒÅÈ Ó×ÏÊÓÔ×, ËÏÎÅÞÎÏ, ÎÕÖÄÁÅÔÓÑ × ÕÔÏÞÎÅÎÉÉ. ÅÏÒÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ËÁË ÒÁÚ É ÒÅÄÌÁÇÁÅÔ ÔÁËÉÅ ÕÔÏÞÎÅÎÉÑ, ÎÁÏÌÎÑÑ ÜÔÏ ÓÌÏ×Ï ÔÏÞÎÙÍ ÓÍÙÓÌÏÍ | Ó×ÏÉÍ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÎÁÛÉÈ ÞÅÔÙÒÅÈ Ó×ÏÊÓÔ×. ÅÍ ÓÁÍÙÍ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ ÞÅÔÙÒÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÈ Ó×ÏÊÓÔ×Á: ÞÁÓÔÏÔÎÁÑ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔØ , ÈÁÏÔÉÞÎÏÓÔØ , ÔÉÉÞÎÏÓÔØ , ÎÅÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÏÓÔØ . ëÁÖÄÏÅ ÉÚ ÎÉÈ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ Ó×ÏÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÏÅ ÌÉ Ï ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ, É ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÎÉÈ Ó ÂÏÌØÛÉÍÉ ÉÌÉ ÍÅÎØÛÉÍÉ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑÍÉ ÍÏÖÅÔ ÒÅÔÅÎÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÒÏÌØ ÓÔÒÏÇÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÏÎÑÔÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ. íÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ É ÔÁË: ×ÏÚÎÉËÁÀÔ ÞÅÔÙÒÅ ÔÏÞÎÏ ÏÞÅÒÞÅÎÎÙÈ ËÌÁÓÓÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ, ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÅÔÅÎÄÕÅÔ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏÂÙ ÓÌÕÖÉÔØ €ÉÓÔÉÎÎÙ́ ËÌÁÓÓÏÍ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ; ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÜÔÉÈ ÒÅÔÅÎÚÉÊ ÂÏÌÅÅ ÏÒÁ×ÄÁÎÙ, ÞÅÍ ÄÒÕÇÉÅ. ìÉ Ï ðÅÒ×ÏÅ: þÁÓÔÏÔÏÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔØ É ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÎÏÓÔØ ðÏ-×ÉÄÉÍÏÍÕ, ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÅÒ×ÙÈ ÏÓÔÁ×ÉÌ ×ÏÒÏÓ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÏÔÄÅÌØÎÏ ×ÚÑÔÁÑ ÓÌÕÞÁÊÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÊ ÎÅÍÅ ËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË òÉÈÁÒÄ ÆÏÎ íÉÚÅÓ × ÎÁÞÁÌÅ XX ×ÅËÁ | × 1919 Ç. ÷Ï ×ÓÑËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÉÍÅÎÎÏ ÏÎ ÅÒ×ÙÍ ÒÅÄÌÏÖÉÌ ÓÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÏ ÕÄÁÞÎÏÅ (ÈÏÔÑ É ÎÅÓÔÒÏÇÏÅ) ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ, ÏÓÌÕÖÉ×ÛÅÅ ÏÔÒÁ×ÎÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÄÌÑ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ. íÉÚÅÓ ÉÓÈÏÄÉÌ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÒÉÓÕÝÁ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔØ ÞÁÓÔÏÔ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÄÏÌÑ ÅÄÉÎÉ (ËÁË É ÄÏÌÑ ÎÕÌÅÊ) × ÎÁÞÁÌØÎÏÍ ÏÔÒÅÚËÅ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÏÌÖÎÁ ÓÔÒÅÍÉÔØÓÑ Ë ÏÄÎÏÊ ×ÔÏÒÏÊ ÒÉ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÍ Õ×ÅÌÉÞÅÎÉÉ ÄÌÉÎÙ ÎÁÞÁÌØÎÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ. îÏ ÜÔÏÇÏ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ. îÁÒÉÍÅÒ, ÜÔÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔÉ ÞÁÓÔÏÔ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÎÅÓÌÕÞÁÊÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 0; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 1; : : : : ïÞÅ×ÉÄÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ, ÞÔÏÂÙ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔØÀ ÞÁÓÔÏÔ ÏÂÌÁÄÁÌÁ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ×ÓÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÅÌÉËÏÍ, ÎÏ É ÅÅ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ïÄÎÁËÏ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔØÀ ÞÁÓÔÏÔ ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÏÂÌÁÄÁÔØ × Å ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ×ÏÚØÍÅÍ ÓÁÍÕÀ ÞÔÏ ÎÉ ÎÁ ÅÓÔØ ÓÌÕÞÁÊÎÕÀ

þÅÔÙÒÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÈ ÌÉ Á ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ

75

ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ É ÏÔÂÅÒÅÍ × ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÔÅ ÅÅ ÞÌÅÎÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ. . . úÎÁÞÉÔ, ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÄÏÌÖÎÁ ÓÏÂÌÀÄÁÔØÓÑ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔØ ÞÁÓÔÏÔ, ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÒÁÚÕÍÎÏÊ, ÉÌÉ ÄÏÕÓÔÉÍÏÊ. îÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ ÏÔÏÂÒÁÔØ × ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ×ÓÅ ÔÅ ÞÌÅÎÙ, ÞØÉ ÎÏÍÅÒÁ ÓÕÔØ ÒÏÓÔÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÉÌÉ ÖÅ ×ÓÅ ÔÅ ÞÌÅÎÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÌÅÄÕÀÔ ÚÁ ÎÕÌÅ×ÙÍÉ, ÔÏ ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ÜÔÉÈ Ä×ÕÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏÕÓÔÉÍÏÊ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔØ ÞÁÓÔÏÔ ÓÏÂÌÀÄÁÅÔÓÑ ×Ï ×ÓÅÈ ÅÅ ÄÏÕÓÔÉÍÙÈ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÈ, ëÏÌÍÏÇÏÒÏ× ÒÅÄÌÏÖÉÌ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÉÍÉ . óÁÍ íÉÚÅÓ ÏÂßÑÓÎÑÌ, ËÁËÉÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÓÌÅÄÕÅÔ ÓÞÉÔÁÔØ ÄÏÕÓÔÉÍÙÍÉ, × ÒÁÓÌÙ×ÞÁÔÙÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ. ðÅÒ×ÏÅ ÕÔÏÞÎÅÎÉÅ ÒÅÄÌÏÖÉÌ × 1940 Ç. ÁÍÅÒÉËÁÎÓËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË áÌÏÎÚÏ þ£ÒÞ | ÏÄÉÎ ÉÚ ÓÏÚÄÁÔÅÌÅÊ ÔÅÏÒÉÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. þ£ÒÞ ÒÅÄÌÏÖÉÌ, ÞÔÏÂÙ ÄÏÕÓÔÉÍÙÅ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÓÔÒÏÉÌÉÓØ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔØ ÞÁÓÔÏÔ ÎÁÂÌÀÄÁÅÔÓÑ ×Ï ×ÓÅÈ ÄÏÕÓÔÉÍÙÈ Ï þ£ÒÞÕ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÈ, ÏÌÕÞÉÌÉ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÉÈ Ï þ£ÒÞÕ . ïÄÎÁËÏ ÏËÁÚÁÌÏÓØ, ÞÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ þ£ÒÞÁ ÓÌÉÛËÏÍ ÛÉÒÏËÏ: ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÁÑ Ï þ£ÒÞÕ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÅÒÅÓÔÁÀÝÁÑ ÂÙÔØ ÔÁËÏ×ÏÊ ÏÓÌÅ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÅÅ ÞÌÅÎÏ×. ÷ 1963 Ç. ëÏÌÍÏÇÏÒÏ× ÕÓÏ×ÅÒÛÅÎÓÔ×Ï×ÁÌ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÀ þ£ÒÞÁ, ÒÅÄÌÏÖÉ× ÂÏÌÅÅ ÏÂÛÉÒÎÙÊ ËÌÁÓÓ ÄÏÕÓÔÉÍÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÏÔÂÏÒÁ ÞÌÅÎÏ× ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ × ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ É ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÎÅ ÍÅÎØÛÉÊ (Á ÎÁ ÄÅÌÅ ÂÏÌÅÅ ÏÂÛÉÒÎÙÊ) ËÌÁÓÓ ÄÏÕÓÔÉÍÙÈ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ; × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ËÏÌÍÏÇÏÒÏ×ÓËÉÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁÚÒÅÛÁÅÔ ÞÌÅÎÁÍ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÉÍÅÔØ ÉÎÏÊ ÏÒÑÄÏË ÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ, ÞÅÍ × ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ËÌÁÓÓ ×ÓÅÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ, ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ (Ô. Å. ÔÁËÉÈ, Õ ËÏÔÏÒÙÈ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔØ ÞÁÓÔÏÔ ÎÁÂÌÀÄÁÅÔÓÑ ×Ï ×ÓÅÈ ÄÏÕÓÔÉÍÙÈ Ï ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÈ), Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄËÌÁÓÓÏÍ ËÌÁÓÓÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ, ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÉÈ Ï þ£ÒÞÕ, | ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÄÁÖÅ ÓÔÒÏÇÉÍ ÏÄËÌÁÓÓÏÍ, Ô. Å. ÎÅ ÓÏ×ÁÄÁÀÝÉÍ Ó ÏÂßÅÍÌÀÝÉÍ ËÌÁÓÓÏÍ. äÌÑ ÄÁÌØÎÅÊÛÉÈ ÓÓÙÌÏË ËÌÁÓÓ ×ÓÅÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ, ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ, ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÂÕË×ÏÊ S. ÷ÙÑÓÎÉÌÏÓØ, ÞÔÏ ËÌÁÓÓ S ÔÁËÖÅ ÓÌÉÛËÏÍ ÛÉÒÏË. ïËÁÚÁÌÏÓØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÞÔÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÓÔÒÏÅÎÁ ÔÁËÁÑ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÁÑ Ï ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, × ËÁÖÄÏÍ ÎÁÞÁÌØÎÏÍ ÏÔÒÅÚËÅ ËÏÔÏÒÏÊ ÅÄÉÎÉ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÎÕÌÅÊ; Á ÜÔÏ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ËÁË ÉÎÔÕÉ ÉÉ, ÔÁË É ÚÁËÏÎÁÍ ÔÅÏÒÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÚÁËÏÎÕ ×ÏÚ×ÒÁÔÎÏÓÔÉ ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ ÒÉ ÓÌÕÞÁÊÎÏÍ ÂÌÕÖÄÁÎÉÉ). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÁÖÅ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÒÏÄ×ÉÎÕÔÏÅ ÉÚ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÎÁ ÓÅÇÏÄÎÑÛÎÉÊ ÄÅÎØ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÓÔÒÏÇÉÈ ÕÔÏÞÎÅÎÉÊ ÉÄÅÊ íÉÚÅÓÁ ÎÅ ÄÁÅÔ ÏÌÎÏÇÏ ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÏÇÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ Ï ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ (ÈÏÔÑ É ÜÔÏ ÎÅÏÌÎÏÅ ÏÔÒÁÖÅÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÏÌÅÚÎÙÍ).

76

÷. á. õÓÅÎÓËÉÊ

äÌÑ ÂÏÌØÛÅÊ ÑÓÎÏÓÔÉ ÒÉ×ÅÄÅÍ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ þ£ÒÞÁ É ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Á. ãÅÎÔÒÁÌØÎÙÍ ÄÌÑ ÏÂÅÉÈ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕËÁÚÁÎÉÅ ÔÅÈ ÒÁ×ÉÌ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ËÏÔÏÒÙÍ ÉÚ ÞÌÅÎÏ× ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÄÏÕÓÔÉÍÙÅ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ðÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÏÅ ÔÁËÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔ ÏÔÂÏÒ ÞÌÅÎÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ ÉÈ × ÄÏÕÓÔÉÍÕÀ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÓÁÍÉ ÜÔÉ ÒÁ×ÉÌÁ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÄÏÕÓÔÉÍÙÍÉ ÒÁ×ÉÌÁÍÉ ÏÔÂÏÒÁ . äÌÑ ÎÁÇÌÑÄÎÏÓÔÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÓÅÂÅ, ÞÔÏ ÞÌÅÎÙ ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÁÉÓÁÎÙ ÎÁ ËÁÒÔÁÈ. ëÁÒÔÙ ÌÅÖÁÔ ÏÄÎÁ ÚÁ ÄÒÕÇÏÊ, ÌÉ Å×ÏÊ ÓÔÏÒÏÎÏÊ ×ÎÉÚ, ÔÁË ÞÔÏ ÍÙ ÎÅ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÎÁ ÎÉÈ ÎÁÉÓÁÎÏ. îÁÛÁ ÅÌØ | ÏÔÏÂÒÁÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÜÔÉÈ ËÁÒÔ É ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÉÚ ÎÉÈ ÄÒÕÇÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ | ÄÏÕÓÔÉÍÕÀ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ. (ëÁË ÍÙ Õ×ÉÄÉÍ, × ÓÌÕÞÁÅ ËÏÌÍÏÇÏÒÏ×ÓËÏÊ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ ÔÅÒÍÉÎ €ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔ؁ ÉÍÅÅÔ ÂÏÌÅÅ ÛÉÒÏËÉÊ ÓÍÙÓÌ, ÞÅÍ ÜÔÏ ÏÂÙÞÎÏ ÒÉÎÑÔÏ.) äÏÕÓÔÉÍÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ÏÔÂÏÒÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÜÔÁÅ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÅÄÉÓÙ×ÁÅÔ, ×Ï-ÅÒ×ÙÈ, ËÏÔÏÒÕÀ ÉÚ ËÁÒÔ ÎÁÄÌÅÖÉÔ ÏÔËÒÙÔØ É, ×Ï-×ÔÏÒÙÈ, ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÌÉ ÎÅÔ ×ËÌÀÞÁÔØ ÜÔÕ ÏÔËÒÙ×ÁÅÍÕÀ ËÁÒÔÕ × ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ. ÷ÈÏÄÏÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÓÌÕÖÉÔ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ Ï ×ÓÅÈ ÕÖÅ ÏÔËÒÙÔÙÈ Ë ÜÔÏÍÕ ÍÏÍÅÎÔÕ ËÁÒÔÁÈ. íÏÖÅÔ ÓÌÕÞÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÔÂÅÒÅÔ ÌÉÛØ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÞÌÅÎÏ× ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ; × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÎÉËÁËÏÊ ÄÏÕÓÔÉÍÏÊ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÌÏÓØ. (îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÉÓÈÏÄÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÒÉÚÎÁ£ÔÓÑ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÏÊ ÒÉ ÎÁÌÉÞÉÉ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔÉ ÞÁÓÔÏÔ × ÌÀÂÏÊ ÅÅ ÄÏÕÓÔÉÍÏÊ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ.) ðÅÒÅÈÏÄÉÍ Ë ÂÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏÍÕ ÏÉÓÁÎÉÀ. æÕÎË ÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ, ËÏÌØ ÓËÏÒÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÙÞÉÓÌÑÀÝÉÊ ÅÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ÆÕÎË ÉÀ f , ËÏÌØ ÓËÏÒÏ ÏÎ ÅÒÅÒÁÂÁÔÙ×ÁÅÔ ×ÓÑËÉÊ ÅÅ ÁÒÇÕÍÅÎÔ x, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÆÕÎË ÉÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ, × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ f (x) É ÎÅ ×ÙÄÁÅÔ ÎÉËÁËÏÇÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ × ÒÉÍÅÎÅÎÉÉ ËÏ ×ÓÑËÏÍÕ ÔÁËÏÍÕ ÁÒÇÕÍÅÎÔÕ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÆÕÎË ÉÑ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ. éÓÓÌÅÄÕÅÍÕÀ ÎÁ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ a1 ; a2 ; a3; : : : , ÔÁË ÞÔÏ ÎÁ n-Ê ËÁÒÔÅ ÚÁÉÓÁÎÁ ÉÆÒÁ an, ÒÁ×ÎÁÑ 0 ÉÌÉ 1. äÏÕÓÔÉÍÏÅ Ï þ£ÒÞÕ ÒÁ×ÉÌÏ ÏÔÂÏÒÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ G, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å  ×ÓÅÈ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÓÌÏ× É ÒÉÎÉÍÁÀÝÅÊ ÏÄÎÏ ÉÚ Ä×ÕÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ: äÁ É îÅÔ. ëÁÒÔÙ ÏÔËÒÙ×ÁÀÔÓÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÄÎÁ ÚÁ ÄÒÕÇÏÊ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÅÒ×ÏÊ, É ËÁÖÄÙÊ ÒÁÚ | ÄÏ ÏÔËÒÙÔÉÑ ÏÞÅÒÅÄÎÏÊ ËÁÒÔÙ | ÒÅÛÁÅÔÓÑ ×ÏÒÏÓ, ×ËÌÀÞÁÔØ ÌÉ ÜÔÕ ËÁÒÔÕ × ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ. ÷ÏÒÏÓ ÜÔÏÔ ÒÅÛÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÕÓÔØ ÕÖÅ ÏÔËÒÙÔÙ n ËÁÒÔ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÉÓÁÎÙ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÉÆÒÙ a1 ; : : : ; an . åÓÌÉ G(a1 ; : : : ; an ) ÅÓÔØ îÅÔ, ÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ, (n + 1)-Ñ ËÁÒÔÁ ÎÅ ×ËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ. åÓÌÉ G(a1 ; : : : ; an ) ÅÓÔØ äÁ,

þÅÔÙÒÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÈ ÌÉ Á ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ

77

ÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ, (n + 1)-Ñ ËÁÒÔÁ ×ËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÞÅÒÅÄÎÏÇÏ ÞÌÅÎÁ. ÷ËÌÀÞÁÔØ ÉÌÉ ÎÅ ×ËÌÀÞÁÔØ × ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÞÌÅÎ a1 , ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ G(). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÁ×ÉÌÕ G ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÁÑ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (× ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÔÁËÏ×ÁÑ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÌÁÓØ) an(1) ; an(2) ; an(3) ; : : : , ÇÄÅ ÞÉÓÌÁ n(1), n(2), n(3), . . . ÏÂÒÁÚÕÀÔ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÕÀ ÉÚ ×ÓÅÈ ÞÉÓÅÌ n, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ G(a1 ; : : : ; an−1 ) = äÁ. éÚÌÏÖÅÎÉÀ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Á ÒÅÄÏÛÌÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ ÏÎÑÔÉÑ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ïÂÏÂÝÅÎÎÏÊ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ a1 ; a2 ; : : : ; an ; : : : ÎÁÚÏ×ÅÍ ×ÓÑËÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ a'(1) ; a'(2) ; : : : ; a'(k) ; : : : ; ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ i < j =⇒ '(i) 6= '(j ): äÌÑ ÏÂÙÞÎÏÊ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (ËÏÔÏÒÁÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÁÓÔÎÙÍ ÓÌÕÞÁÅÍ ÏÂÏÂÝÅÎÎÏÊ) ÜÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÚÁÍÅÎÅÎÏ ÎÁ ÂÏÌÅÅ ÓÉÌØÎÏÅ | Ó ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔØÀ '(i) < '(j ). ëÁÖÄÏÅ ÄÏÕÓÔÉÍÏÅ Ï ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ ÒÁ×ÉÌÏ ÏÔÂÏÒÁ ÉÍÅÅÔ ÅÌØÀ ÓÏÚÄÁÔØ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÏÂÏÂÝÅÎÎÕÀ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. íÙ ÏÔÏÍÕ ÎÁÉÓÁÌÉ €ÉÍÅÅÔ ÅÌØÀ ÓÏÚÄÁÔ؁, Á ÎÅ €ÓÏÚÄÁÅԁ, ÞÔÏ ÒÏ ÅÓÓ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÍÏÖÅÔ ÒÅÒ×ÁÔØÓÑ, É ÔÏÇÄÁ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÒÁ×ÉÌÁ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÎÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, Á ËÏÒÔÅÖ (Ô. Å. ËÏÎÅÞÎÙÊ ÎÁÂÏÒ), ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÊ ÉÚ ÞÌÅÎÏ× ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. äÌÑ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÎÏÓÔÉ Ï ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔØ ÞÁÓÔÏÔ × ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÄÏÕÓÔÉÍÙÈ, Ô. Å. ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÈ ËÁËÉÍ-ÌÉÂÏ ÄÏÕÓÔÉÍÙÍ Ï ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ ÒÁ×ÉÌÏÍ, ÏÂÏÂÝÅÎÎÙÈ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ. óÁÍÏ ËÏÌÍÏÇÏÒÏ×ÓËÏÅ (Ô. Å. ÄÏÕÓÔÉÍÏÅ Ï ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ) ÒÁ×ÉÌÏ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ Ä×ÕÈ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÈ ÆÕÎË ÉÊ: F É G. ðÅÒ×ÁÑ ÓÌÕÖÉÔ ÄÌÑ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÎÅËÏÊ ×ÓÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÏÊ ÏÂÏÂÝÅÎÎÏÊ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÁÑ ÖÅ ÏÂÏÂÝÅÎÎÁÑ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÆÕÎË ÉÉ G × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÂÙÞÎÏÊ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ×ÓÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÏÊ ÏÂÏÂÝÅÎÎÏÊ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. áÒÇÕÍÅÎÔÁÍÉ ÆÕÎË ÉÊ F É G ÓÌÕÖÁÔ Ä×ÏÉÞÎÙÅ ÓÌÏ×Á, ÔÁË ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÜÔÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ Ó×ÏÅÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÍÎÏÖÅÓÔ×Á . úÎÁÞÅÎÉÑÍÉ ÆÕÎË ÉÉ F ÓÌÕÖÁÔ ÅÌÙÅ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, Õ ÆÕÎË ÉÉ G Ä×Á ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑ: äÁ É îÅÔ. óÅÒ×Á ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ n(1); n(2); n(3); : : : : n(1) = F (); n(2) = F (an(1) ); : : : ; n(k + 1) = F (an(1) ; : : : ; an(k) ): ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÅËÒÁÝÁÅÔÓÑ (É ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ËÏÎÅÞÎÙÊ ËÏÒÔÅÖ), ËÁË ÔÏÌØËÏ ÎÁÓÔÕÁÅÔ ÏÄÉÎ ÉÚ ÔÒÅÈ ÓÌÕÞÁÅ×:

78

÷. á. õÓÅÎÓËÉÊ

. ÚÎÁÞÅÎÉÅ F (an(1) ; : : : ; an(k) ) ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ; . ÚÎÁÞÅÎÉÅ G(an(1) ; : : : ; an(k) ) ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ; . ÚÎÁÞÅÎÉÅ F (an(1) ; : : : ; an(k) ) ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÞÉÓÅÌ n(1); : : : ; n(k).

åÓÌÉ ÖÅ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ × ÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÎÅ ÒÏÉÚÏÛÌÏ É ×ÏÚÎÉËÌÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÏÍÅÒÏ× n(1); n(2); n(3); : : : , ÔÏ ÄÁÌÅÅ ÓÔÒÏÉÔÓÑ ×ÓÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÁÑ ÏÂÏÂÝÅÎÎÁÑ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ an(1) ; an(2) ; an(3) ; : : : . éÚ ÎÅÅ, ÎÁËÏÎÅ , ÏÔÂÉÒÁÀÔÓÑ | × ÏÒÑÄËÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÑ k | ÔÅ ÅÅ ÞÌÅÎÙ an(k) , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï G(an(1) ; : : : ; an(k−1) ) = äÁ. ìÉ Ï ÷ÔÏÒÏÅ: èÁÏÔÉÞÎÏÓÔØ ÷ÅÒÎÅÍÓÑ Ë ÒÉÍÅÒÁÍ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÅÏÞÅË ÉÚ ÷×ÅÄÅÎÉÑ É ×ÓÏÍÎÉÍ ÏÂßÑÓÎÅÎÉÅ, ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÏÅ ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×ÙÍ: ÅÏÞËÉ (I) É (II) ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÀÔÓÑ ËÁË ÓÌÕÞÁÊÎÙÅ, ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ÏÎÉ ÓÌÏÖÎÙ; ÅÏÞËÉ (III) É (IV) ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÀÔÓÑ ËÁË ÎÅÓÌÕÞÁÊÎÙÅ, ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ÏÎÉ ÒÏÓÔÙ . ðÏ-×ÉÄÉÍÏÍÕ, ÍÙ ÏÖÉÄÁÅÍ, ÞÔÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÜËÓÅÒÉÍÅÎÔÁ ÏËÁÖÅÔÓÑ ÓÌÏÖÎÙÍ, É ÕÄÉ×ÌÑÅÍÓÑ, ËÏÇÄÁ ÏÌÕÞÁÅÍ ÞÔÏ-ÔÏ ÒÏÓÔÏÅ. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÏÂßÅËÔÙ ÍÏÖÎÏ Ë×ÁÌÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÔØ ËÁË ÂÏÌØÛÉÅ ÉÌÉ ÍÁÌÅÎØËÉÅ, ÄÒÕÇÉÅ | ËÁË ÔÑÖÅÌÙÅ ÉÌÉ ÌÅÇËÉÅ, ÔÒÅÔØÉ | ËÁË ÓÌÏÖÎÙÅ ÉÌÉ ÒÏÓÔÙÅ. ÷ ÎÁÞÁÌÅ 60-È ÇÏÄÏ× ëÏÌÍÏÇÏÒÏ× ÎÁÍÅÔÉÌ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÕÀ ÔÅÏÒÉÀ, ÏÚ×ÏÌÑÀÝÕÀ Ï ÅÎÉ×ÁÔØ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÏÂßÅËÔÏ×. óÅÊÞÁÓ ÜÔÁ ÔÅÏÒÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÅÏÒÉÅÊ ËÏÌÍÏÇÏÒÏ×ÓËÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ. ÷ ÏÓÎÏ×Å ÔÅÏÒÉÉ ËÏÌÍÏÇÏÒÏ×ÓËÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÌÅÖÉÔ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÒÏÓÔÁÑ É ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÉÄÅÑ: ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÏÂßÅËÔÁ ÉÚÍÅÒÑÅÔÓÑ ÄÌÉÎÏÊ ÅÇÏ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÏÉÓÁÎÉÑ . ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ËÁÖÄÙÊ ÏÂßÅËÔ ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ ÓËÏÌØ ÕÇÏÄÎÏ ÓÌÏÖÎÙÅ ÏÉÓÁÎÉÑ, ÎÏ ÓÌÏÖÎÙÊ ÏÂßÅËÔ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÏÉÓÁÔØ ËÏÒÏÔËÏ. ðÕÓÔØ Y | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÏÂßÅËÔÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ, Á X | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÍÙÓÌÉÍÙÈ ÏÉÓÁÎÉÊ ÜÔÉÈ ÏÂßÅËÔÏ×. þÅÒÅÚ |x| ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÄÌÉÎÕ ÏÉÓÁÎÉÑ x. óÌÏÖÎÏÓÔØ ÏÂßÅËÔÁ y ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ Comp (y). ÷ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ ÓÏ ÓËÁÚÁÎÎÙÍ, {|x| : x ÅÓÔØ ÏÉÓÁÎÉÅ ÄÌÑ y }: Comp (y) = min x

åÓÌÉ ÏÂßÅËÔ y ÎÅÏÉÓÕÅÍ, Ô. Å. ÄÌÑ ÎÅÇÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÉÓÁÎÉÑ, ÔÏ, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÅÇÏ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÒÁ×ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ. òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÄÌÉÎÙ ÎÁÄÏ ÍÅÒÉÔØ ÅÄÉÎÏÏÂÒÁÚÎÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÎÅ ÏÌÕÞÉÌÏÓØ, ÞÔÏ ÏÉÓÁÎÉÅ ÏÄÎÏÇÏ É ÔÏÇÏ ÖÅ ÏÂßÅËÔÁ ÉÍÅÅÔ ÎÁ ËÉÔÁÊÓËÏÍ ÑÚÙËÅ ÄÌÉÎÕ ÅÄÉÎÉ Á (ÏÄÉÎ ÉÅÒÏÇÌÉÆ), Á ÎÁ ÒÕÓÓËÏÍ | ÓÏÒÏË (ÓÏÒÏË ÂÕË×). ðÏÜÔÏÍÕ ×ÓÅ ÏÉÓÁÎÉÑ ËÏÄÉÒÕÀÔÓÑ × Ä×ÏÉÞÎÏÍ ÁÌÆÁ×ÉÔÅ | × ×ÉÄÅ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÅÏÞÅË. ÷ÏÔ ÜÔÉ-ÔÏ Ä×ÏÉÞÎÙÅ ËÏÄÙ ÍÙ É ÂÕÄÅÍ ÏÔÎÙÎÅ ÓÞÉÔÁÔØ ÏÉÓÁÎÉÑÍÉ, ÔÁË ÞÔÏ ÏÔÎÙÎÅ X = .

þÅÔÙÒÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÈ ÌÉ Á ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ

79

íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÁÒ hx; yi, ÞÔÏ x ÓÌÕÖÉÔ ÏÉÓÁÎÉÅÍ ÄÌÑ y, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÑÚÙËÏÍ ÏÉÓÁÎÉÑ . úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ É ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÏÂßÅËÔ ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ × ÄÁÎÎÏÍ ÑÚÙËÅ ÍÎÏÇÏ ÏÉÓÁÎÉÊ, É ÏÄÎÏ É ÔÏ ÖÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÓÌÕÖÉÔØ ÏÉÓÁÎÉÅÍ ÍÎÏÇÉÈ ÏÂßÅËÔÏ× | ÔÁËÏ×Ï, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÏÉÓÁÎÉÅ: €Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÓÌÏ×Ï, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÔÏÌØËÏ ÉÚ ÎÕÌÅʁ (Á, ÓËÁÖÅÍ, ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ €Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÓÌÏ×ρ ÇÏÄÉÔÓÑ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÉÓÁÎÉÑ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÓÌÏ×Á). ÷Ó£ ÓËÁÚÁÎÎÏÅ ÎÏÓÉÌÏ ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÙÊ ÈÁÒÁËÔÅÒ, ÞÔÏÂÙ ÏÒÁ×ÄÁÔØ ÎÉÖÅÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÅ ÉÚÌÏÖÅÎÉÅ. ÷ ÄÅËÁÒÔÏ×ÏÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ  × Y ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï E , ËÏÔÏÒÏÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ ÑÚÙËÏÍ ÏÉÓÁÎÉÑ . åÓÌÉ hx; yi ∈ E , ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ x Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÉÓÁÎÉÅÍ ÏÂßÅËÔÁ y. óÌÏÖÎÏÓÔØ CompE ÏÂßÅËÔÁ y ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÑÚÙËÁ E ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÔÁË: CompE (y) = min {|x| : hx; y i ∈ E }: x

îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÍÉÎÉÍÕÍ Ï ÕÓÔÏÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÒÉÎÑÔÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÒÁ×ÎÙÍ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ. äÌÑ ÑÚÙËÁ E =  × Y , × ËÏÔÏÒÏÍ ËÁÖÄÏÅ x ÓÌÕÖÉÔ ÏÉÓÁÎÉÅÍ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ y, ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÌÀÂÏÇÏ ÏÂßÅËÔÁ y ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÏÉÓÁÎÉÊ ÜÔÏÇÏ y Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÓÔÏÅ ÓÌÏ×Ï; ÔÁËÏÊ ÑÚÙË ÍÙÓÌÉÍ, ÎÏ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ×ÓÔÒÅÞÁÔØÓÑ × ÔÅÈ ÓÅÍÅÊÓÔ×ÁÈ ÑÚÙËÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÓÅÂÅ Ä×Á ÑÚÙËÁ, ÒÉÞÅÍ ÏÉÓÁÎÉÅ ËÁËÏÇÏ-ÌÉÂÏ ÏÂßÅËÔÁ ÎÁ ×ÔÏÒÏÍ ÑÚÙËÅ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÕÔÅÍ ÕÄ×ÏÅÎÉÑ ÏÉÓÁÎÉÑ ÜÔÏÇÏ ÖÅ ÏÂßÅËÔÁ ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ÑÚÙËÅ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ×ÔÏÒÏÊ ÑÚÙË €ÈÕÖŁ ÅÒ×ÏÇÏ. ðÒÅÄÏÞÔÉÔÅÌØÎÅÅ ÔÅ ÑÚÙËÉ, ËÏÔÏÒÙÅ × ÓÏÓÔÏÑÎÉÉ ÄÁ×ÁÔØ ÂÏÌÅÅ ËÏÒÏÔËÉÅ ÏÉÓÁÎÉÑ. âÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÑÚÙË A ÎÅ ÈÕÖÅ ÑÚÙËÁ B É ÉÓÁÔØ A 6 B , ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ , ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÑËÏÇÏ y ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï CompA (y) < CompB (y) + , Ô. Å. ÅÓÌÉ ∃ ∀y CompA (y ) < CompB (y ) + :

åÓÌÉ ÒÉÎÑÔØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÑÚÙËÏ×, Ô. Å. ÄÌÑ ÔÅÈ, ËÏÔÏÒÙÍÉ ÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÞÅÌÏ×ÅÞÅÓÔ×Ï, ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÙ ÒÁ×ÉÌÁ ÅÒÅ×ÏÄÁ Ó ÏÄÎÏÇÏ ÑÚÙËÁ ÎÁ ÄÒÕÇÏÊ, ÔÏ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÜÔÉÈ ÑÚÙËÏ× ÎÅ ÈÕÖÅ ÄÒÕÇÏÇÏ. ÷ÅÄØ, ÓËÁÖÅÍ, ÔÕÒÅ ËÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ËÁËÏÇÏ-ÌÉÂÏ ÏÂßÅËÔÁ ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÔÁË: ×ÚÑÔØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÑÏÎÓËÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÏÂßÅËÔÁ É ÄÏÏÌÎÉÔØ ÅÇÏ ÒÁ×ÉÌÁÍÉ ÑÏÎÏÔÕÒÅ ËÏÇÏ ÅÒÅ×ÏÄÁ. é ÔÕÒÅ ËÏÅ, É ÑÏÎÓËÏÅ ÏÉÓÁÎÉÑ, É ÒÁ×ÉÌÁ ÅÒÅ×ÏÄÁ ÓÞÉÔÁÀÔÓÑ ÚÁËÏÄÉÒÏ×ÁÎÎÙÍÉ × ×ÉÄÅ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÓÌÏ×. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÉÎÁ ÔÁËÏÇÏ ÔÕÒÅ ËÏÇÏ ÏÉÓÁÎÉÑ ÒÁ×ÎÁ ÄÌÉÎÅ ÑÏÎÓËÏÇÏ ÏÉÓÁÎÉÑ ÌÀÓ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÝÁÑ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÏÂßÅËÔÁ ÄÌÉÎÁ ÒÁ×ÉÌ ÅÒÅ×ÏÄÁ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÑÏÎÓËÏÇÏ

80

÷. á. õÓÅÎÓËÉÊ

ÏÉÓÁÎÉÑ ×ÙÂÅÒÅÍ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÅ. ÷ ÉÔÏÇÅ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÔÕÒÅ ËÉÊ ÑÚÙË ÎÅ ÈÕÖÅ ÑÏÎÓËÏÇÏ. ÷ÓÔÁÅÔ ×ÏÒÏÓ Ï ×ÙÂÏÒÅ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÑÚÙËÁ | ÔÁËÏÇÏ, ËÏÔÏÒÙÊ ÎÅ ÈÕÖÅ ÌÀÂÏÇÏ ÄÒÕÇÏÇÏ. ðÕÓÔØ L | ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÑÚÙËÏ×ÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï, Ô. Å. ÏÒÏÓÔÕ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÑÚÙËÏ×. ñÚÙË A ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á L ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÍ (ÄÌÑ L), ÅÓÌÉ ÏÎ ÎÅ ÈÕÖÅ ÌÀÂÏÇÏ ÄÒÕÇÏÇÏ ÑÚÙËÁ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á, Ô. Å. ÅÓÌÉ ∀B ∈ L

A 6 B:

åÓÌÉ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÊ ÑÚÙË ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÔÏ ÉÍÅÎÎÏ Ó ÅÇÏ ÏÍÏÝØÀ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚÍÅÒÑÔØ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ. óÌÏÖÎÏÓÔØ ÏÂßÅËÔÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÈ ÑÚÙËÏ× ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÏÊ ÜÎÔÒÏÉÅÊ ÜÔÏÇÏ ÏÂßÅËÔÁ. üÎÔÒÏÉÀ É ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔ ËÁË ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÕÀ ÉÓËÏÍÕÀ ÍÅÒÕ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ | × ÒÁÍËÁÈ ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÑÚÙËÏ×ÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á. äÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ×ÁÖÎÙÈ ÑÚÙËÏ×ÙÈ ÓÅÍÅÊÓÔ× ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÑÚÙËÁ, Á ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ É ÜÎÔÒÏÉÉ. üÔÁ ÔÅÏÒÅÍÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÅÏÒÅÍÏÊ óÏÌÏÍÏÎÏ×Á { ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Á . äÌÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÍÏÖÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÔØ ÍÎÏÇÏ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÈ ÑÚÙËÏ× É ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÍÎÏÇÏ ÜÎÔÒÏÉÊ. ïÄÎÁËÏ, × ÓÉÌÕ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÓÔÉ, ÌÀÂÙÅ Ä×Å ÜÎÔÒÏÉÉ (×ÚÑÔÙÅ ÄÌÑ ÏÄÎÏÇÏ É ÔÏÇÏ ÖÅ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÑÚÙËÏ×ÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á) ÒÁÚÌÉÞÁÀÔÓÑ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ÎÁ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÕÀ ËÏÎÓÔÁÎÔÕ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÅÓÌÉ A É B ÓÕÔØ Ä×Á ÏÔÉÍÁÌØÎÙÈ ÄÌÑ L ÑÚÙËÁ, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ , ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ y | CompA (y ) − CompB (y )| < : úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÎÅÒÉÑÔÎÏ, ÞÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÁÑ ÜÎÔÒÏÉÑ, ÒÅÔÅÎÄÕÀÝÁÑ ÎÁ ÒÏÌØ €ÉÓÔÉÎÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔɁ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÎÅ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ, Á ×ÓÅÇÏ ÌÉÛØ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÏÊ ÄÏÂÁ×ËÉ, ÎÅ ÒÅ×ÙÛÁÀÝÅÊ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ. ïÄÎÁËÏ ÏÙÔËÉ ÎÁÊÔÉ ÓÒÅÄÉ ÜÎÔÒÏÉÊ €ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÏÔÉÍÁÌØÎÕÀ ÏËÁ ÞÔÏ ÎÉ Ë ÞÅÍÕ ÈÏÒÏÛÅÍÕ ÎÅ ÒÉ×ÅÌÉ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ×ÅÄØ, ÓËÁÖÅÍ, É ÄÌÉÎÁ, É ×ÅÓ ÔÁËÖÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ ÎÅ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ, Á Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏÊ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ, ÚÁ×ÉÓÑÝÅÊ ÏÔ ×ÙÂÒÁÎÎÏÊ ÅÄÉÎÉ Ù ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ (10 ÓÍ=100 ÍÍ; 2 ËÇ=2000 Ç; É Ô. .).

éÚ Õ×ÁÖÅÎÉÑ Ë ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÕÀ ÜÎÔÒÏÉÀ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ÏÂÙÞÎÏ ÂÕË×ÏÊ K; ÉÎÏÇÄÁ Ë ÜÔÏÊ ÂÕË×Å K ÄÏÂÁ×ÌÑÀÔ ÅÝÅ ×ÔÏÒÕÀ ÂÕË×Õ, ÕËÁÚÙ×ÁÀÝÕÀ ÔÏ ÑÚÙËÏ×ÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï, Ë ËÏÔÏÒÏÍÕ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÁÑ ÜÎÔÒÏÉÑ. åÓÌÉ K′ É K′′ ÓÕÔØ Ä×Å ÜÎÔÒÏÉÉ, ÏÔÎÏÓÑÝÉÅÓÑ Ë ÏÄÎÏÍÕ É ÔÏÍÕ ÖÅ ÑÚÙËÏ×ÏÍÕ ÓÅÍÅÊÓÔ×Õ, ÔÏ, ËÁË ÏÔÍÅÞÁÌÏÓØ, |K′ − K′′ | < :

þÅÔÙÒÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÈ ÌÉ Á ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ

81

ëÏÌÍÏÇÏÒÏ× ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÌ ÏÎÑÔÉÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÏÊ ÜÎÔÒÏÉÉ ÏÂßÅËÔÁ, ÎÏ É ÒÉÍÅÎÉÌ ÅÇÏ Ë ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÀ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ. îÁÂÌÀÄÅÎÉÅ ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Á ÓÏÓÔÏÑÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ × ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÜÎÔÒÏÉÑ ÎÁÞÁÌØÎÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ ÒÁÓÔÅÔ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÙÓÔÒÏ ÒÉ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÍ Õ×ÅÌÉÞÅÎÉÉ ÄÌÉÎÙ ÜÔÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ. (îÉÞÅÇÏ ÎÅ ÏÄÅÌÁÅÛØ, ÓÌÕÞÁÊÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÍÏÖÅÔ ÎÁÞÉÎÁÔØÓÑ Ó ÍÉÌÌÉÏÎÁ ÎÕÌÅÊ | ÎÏ É ÜÔÏÔ ÍÉÌÌÉÏÎ ÎÉÞÔÏ ÅÒÅÄ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔØÀ, É ÅÓÌÉ ×ÚÑÔØ ×ÓÅ ÎÁÞÁÌØÎÙÅ ÏÔÒÅÚËÉ × ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔÉ, ÔÏ ÉÈ ÜÎÔÒÏÉÑ ÎÅÉÚÂÅÖÎÏ ÂÕÄÅÔ ÒÁÓÔÉ.) éÔÁË, × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÉÓÙ×ÁÅÍÙÈ ÏÂßÅËÔÏ× ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ Ä×ÏÉÞÎÙÅ ÅÏÞËÉ | ÔÁËÉÅ, ËÁË (I), (II), (III), (IV) É Ô. . ðÏÜÔÏÍÕ ÏÔÎÙÎÅ Y = . åÓÌÉ ÑÚÙË ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÁÒÕ hz; z i, ÔÏ ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÏÒÏÓÔÕ, ÞÔÏ ÅÏÞËÁ z ÏÉÓÙ×ÁÅÔ ÓÁÍÏ£ ÓÅÂÑ. ñÚÙË D, ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÉÚ ÁÒ ÔÁËÏÇÏ ×ÉÄÁ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÍ (ÔÅÒÍÉÎ ÉÚ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ), ÉÌÉ Á×ÔÏÎÉÍÎÙÍ (ÔÅÒÍÉÎ ÉÚ ÌÉÎÇ×ÉÓÔÉËÉ). äÌÑ ÔÁËÏÇÏ ÑÚÙËÁ CompD (y) = |y|. ïÇÒÁÎÉÞÉÍÓÑ ÑÚÙËÏ×ÙÍÉ ÓÅÍÅÊÓÔ×ÁÍÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÍÉ Á×ÔÏÎÉÍÎÙÊ ÑÚÙË (ÔÁËÉÍ ÂÕÄÅÔ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÍÏÎÏÔÏÎÎÙÈ ÑÚÙËÏ×, ÏÉÓÁÎÎÏÅ ÎÉÖÅ). ÏÇÄÁ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÜÎÔÒÏÉÉ K, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÜÔÏÍÕ ÓÅÍÅÊÓÔ×Õ, É ÏÄÈÏÄÑÝÅÊ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ Ó ÂÕÄÅÔ ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï: K(y) < |y| + : ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÅÓÌÉ ÒÅÎÅÂÒÅÞØ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÏÊ ËÏÎÓÔÁÎÔÏÊ, ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÄÌÑ ÜÎÔÒÏÉÉ ÅÏÞËÉ ÒÁ×ÎÏ ÄÌÉÎÅ ÅÏÞËÉ. ëÏÌÍÏÇÏÒÏ× ÒÅÄÏÌÏÖÉÌ, ÞÔÏ Õ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÜÎÔÒÏÉÑ ÎÁÞÁÌØÎÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ ÜÔÏÇÏ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ, ÔÏ ÅÓÔØ ÒÁ×ÎÁ ÄÌÉÎÅ ÜÔÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ, | ÏÑÔØ-ÔÁËÉ, ÒÉ ÒÅÎÅÂÒÅÖÅÎÉÉ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÏÊ ËÏÎÓÔÁÎÔÏÊ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÏÓÔÏÑÌÁ ÏÓÎÏ×ÎÁÑ ÉÄÅÑ ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Á ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÈÁÏÔÉÞÎÏÓÔÉ. éÔÁË, ÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÑÚÙËÏ×ÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï É ÏÄÎÕ ÉÚ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÜÔÏÍÕ ÓÅÍÅÊÓÔ×Õ ÜÎÔÒÏÉÊ K. îÁÚÏ×ÅÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ a1 ; a2 ; : : : ; an ; : : : ÈÁÏÔÉÞÅÓËÏÊ , ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ , ÞÔÏ K(a1 ; a2 ; : : : ; an ) > n − : ïÞÅ×ÉÄÎÏ, Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÈÁÏÔÉÞÎÏÓÔÉ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÒÁÎÎÏÊ ÜÎÔÒÏÉÉ, Á ÔÏÌØËÏ ÏÔ ×ÙÂÒÁÎÎÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á. ïËÁÚÁÌÏÓØ, ÞÔÏ ÒÉ ÏÄÈÏÄÑÝÅ ×ÙÂÒÁÎÎÏÍ ÑÚÙËÏ×ÏÍ ÓÅÍÅÊÓÔ×Å ÓÔÒÏÇÏÅ ÏÎÑÔÉÅ ÈÁÏÔÉÞÎÏÓÔÉ ÈÏÒÏÛÏ ÏÔÒÁÖÁÅÔ ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ Ï ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ. óÏÚÄÁ×ÁÑ ÔÅÏÒÉÀ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÏÂßÅËÔÏ×, ëÏÌÍÏÇÏÒÏ× ÒÉÄÁÌ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ "ÏÉÓÁÎÉÅ { ÏÂßÅËÔ\ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÊ ÈÁÒÁËÔÅÒ. óÌÅÄÕÑ ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ, ÏÇÒÁÎÉÞÉÍÓÑ ÅÒÅÞÉÓÌÉÍÙÍÉ ÑÚÙËÁÍÉ. ðÏÎÑÔÉÅ ÅÒÅÞÉÓÌÉÍÏÇÏ

82

÷. á. õÓÅÎÓËÉÊ

ÍÎÏÖÅÓÔ×Á | ÜÔÏ ÏÄÎÏ ÉÚ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÏÎÑÔÉÊ ÔÅÏÒÉÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× (ÄÁ É

ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ × ÅÌÏÍ). üÔÏÍÕ ÏÎÑÔÉÀ ÍÏÖÎÏ ÄÁÔØ ÔÁËÏÅ ÎÁÇÌÑÄÎÏÅ ÏÂßÑÓÎÅÎÉÅ. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÓÅÂÅ ÂÅÚÏÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏ ÒÁÂÏÔÁÀÝÉÊ ÒÉÎÔÅÒ, ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÅÞÁÔÁÀÝÉÊ ÓÌÏ×Á. ðÏÓÌÅ ÎÁÅÞÁÔÁÎÉÑ ÓÌÏ×Á ÒÉÎÔÅÒ ÄÅÌÁÅÔ ÒÏÂÅÌ, ÔÁË ÞÔÏ ÓÌÏ×Á ÏÔÄÅÌÅÎÙ ÏÄÎÏ ÏÔ ÄÒÕÇÏÇÏ. ðÅÒÅÄ ÎÁÅÞÁÔÁÎÉÅÍ ÏÞÅÒÅÄÎÏÇÏ ÓÌÏ×Á ÒÉÎÔÅÒ ÂÅÒ£Ô ×ÒÅÍÑ ÎÁ ÒÁÚÍÙÛÌÅÎÉÅ. üÔÏ ×ÒÅÍÑ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÍ, É ÔÏÇÄÁ ÓÌÏ×Ï ÎÅ ÅÞÁÔÁÅÔÓÑ ×Ï×ÓÅ; × ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁÅÞÁÔÁÎÎÙÍ ÂÕÄÅÔ ÌÉÛØ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÌÏ× | × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÕÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÅÓÌÉ ÒÉÎÔÅÒ × ÓÁÍÏÍ ÎÁÞÁÌÅ Ó×ÏÅÊ ÒÁÂÏÔÙ ÚÁÄÕÍÁÌÓÑ ÎÁ×ÓÅÇÄÁ. ÁË ×ÏÔ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ËÏÇÄÁ-ÌÉÂÏ ÎÁÅÞÁÔÁÎÎÙÈ ÔÁËÉÍ ÒÉÎÔÅÒÏÍ ÓÌÏ× ÏËÁÖÅÔÓÑ ÅÒÅÞÉÓÌÉÍÙÍ | É ×ÓÑËÏÅ ÅÒÅÞÉÓÌÉÍÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎÏ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÉ ÏÄÓÏÅÄÉÎÅÎÉÉ ÒÉÎÔÅÒÁ Ë €ÉÄÅÁÌØÎÏÍÕ ËÏÍØÀÔÅÒՁ. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÍÏ É ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍ ÌÀÂÏÊ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÔÅÏÒÉÉ. úÄÅÓØ ÎÅÔ ÍÅÓÔÁ ÒÁÚßÑÓÎÑÔØ, ÎÉ ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÉÄÅÁÌØÎÙÊ ËÏÍØÀÔÅÒ, ÎÉ ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÆÏÒÍÁÌØÎÁÑ ÔÅÏÒÉÑ. îÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÏÎÑÔÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï\ ÍÙ ÓÅÊÞÁÓ ÒÉ×ÅÄÅÍ. "ÅÒÅÞÉÓÌÉÍÏÅ äÌÑ ÎÁÇÌÑÄÎÏÓÔÉ ÎÁÞÎÅÍ Ó ÔÅÒÍÉÎÁ €ÓÞÅÔÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×ρ. ÅÒÍÉÎ ÜÔÏÔ ÉÍÅÅÔ Ä×Á ×ÁÒÉÁÎÔÁ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. ÷ ÅÒ×ÏÍ, ÂÏÌÅÅ ÕÚËÏÍ (É ÂÏÌÅÅ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÎÏÍ) ÚÎÁÞÅÎÉÉ ÓÞÅÔÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï | ÜÔÏ ÔÁËÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÁ×ÉÔØ ×Ï ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ Ó ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÍ ÒÑÄÏÍ. ÷Ï ×ÔÏÒÏÍ, ÂÏÌÅÅ ÛÉÒÏËÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ ÓÞÅÔÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï | ÜÔÏ ÔÁËÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÁ×ÉÔØ ×Ï ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ Ó ËÁËÉÍ-ÌÉÂÏ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÏÔÒÅÚËÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÏÔÒÅÚËÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï M ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ×ÍÅÓÔÅ ÓÏ ×ÓÑËÉÍ Ó×ÏÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ É ×ÓÅ ÍÅÎØÛÉÅ ÞÉÓÌÁ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, É ×ÅÓØ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÊ ÒÑÄ, É ÕÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÁÞÁÌØÎÙÍÉ ÏÔÒÅÚËÁÍÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÉ ×ÔÏÒÏÍ ÏÎÉÍÁÎÉÉ ÓÞÅÔÎÏÓÔÉ ×ÓÅ ËÏÎÅÞÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, × ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ ÕÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÞÅÔÎÙÍÉ. éÍÅÎÎÏ ÜÔÏ ×ÔÏÒÏÅ, ÂÏÌÅÅ ÛÉÒÏËÏÅ ÏÎÉÍÁÎÉÅ ÓÞÅÔÎÏÓÔÉ ÕÄÏÂÎÏ ÄÌÑ ÎÁÛÉÈ ÅÌÅÊ; ÅÇÏ ÍÙ É ÒÉÍÅÍ. á ÔÏÇÄÁ ÓÞÅÔÎÏÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÍÏÖÎÏ ÄÁÔØ É ÔÁËÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ: ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÞÅÔÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÌÉÂÏ ÕÓÔÏ, ÌÉÂÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÏ × ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (Ô. Å. Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÞÌÅÎÏ× ËÁËÏÊ-ÌÉÂÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ). îÁÒÉÍÅÒ, ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {a; b; } ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÏÌÏÖÉÔØ × ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ a; b; ; ; ; ; : : : . úÁÍÅÎÑÑ × ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÏÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÓÞÅÔÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÔÅÒÍÉÎ €ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔ؁ ÎÁ ÔÅÒÍÉÎ €×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔ؁, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÅÒÅÞÉÓÌÉÍÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. þÔÏ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÔÅÒÍÉÎÁ €×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔ؁, ÔÏ ÏÎÏ ÓÅÊÞÁÓ ÂÕÄÅÔ ÄÁÎÏ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ w1 ; w2 ; : : : ; wn ; : : : ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ , ËÏÌØ ÓËÏÒÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ×ÙÞÉÓÌÑÀÝÉÊ ÅÅ n-Ê ÞÌÅÎ wn Ï ÅÇÏ ÎÏÍÅÒÕ n.

þÅÔÙÒÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÈ ÌÉ Á ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ

83

ðÏÜÔÏÍÕ ÏÎÑÔÉÅ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÍ ÁÎÁÌÏÇÏÍ ÉÌÉ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÍ ÁÎÁÌÏÇÏÍ ÏÎÑÔÉÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, Á ÏÎÑÔÉÅ ÅÒÅÞÉÓÌÉÍÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á | ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÍ ÁÎÁÌÏÇÏÍ ÉÌÉ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÍ ÁÎÁÌÏÇÏÍ ÏÎÑÔÉÑ ÓÞÅÔÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÍÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÔÁËÖÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÓÞÅÔÎÙÍÉ . ðÏ×ÔÏÒÉÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ: ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÒÅÞÉÓÌÉÍÙÍ, ÉÌÉ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÓÞÅÔÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÌÉÂÏ ÕÓÔÏ, ÌÉÂÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÏ × ×ÙÞÉÓÌÉÍÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (Ô. Å. Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÞÌÅÎÏ× ËÁËÏÊ-ÌÉÂÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ). ÷ÓÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÅ ÎÁÍÉ ÑÚÙËÉ ÓÕÔØ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÄÅËÁÒÔÏ×Á ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ  ×  É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÞÅÔÎÙ. éÄÅÏÌÏÇÉÑ ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Á ÓÏÓÔÏÑÌÁ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÔÏÌØËÏ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÓÞÅÔÎÙÅ (ÏÎÉ ÖÅ | ÅÒÅÞÉÓÌÉÍÙÅ) ÑÚÙËÉ. ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÎÁÄÌÅÖÁÝÉÊ ×ÙÂÏÒ ÑÚÙËÏ×ÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÒÏÉÚ×ÅÌ ËÏÌÍÏÇÏÒÏ×ÓËÉÊ ÕÞÅÎÉË ìÅÏÎÉÄ ìÅ×ÉÎ. éÍÅÎÎÏ, × 1973 Ç. ÏÎ ××ÅÌ × ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÍÏÎÏÔÏÎÎÙÈ ÑÚÙËÏ× É ÉÚÕÞÉÌ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÜÔÏÍÕ ÓÅÍÅÊÓÔ×Õ ÏÎÑÔÉÅ ÈÁÏÔÉÞÎÏÓÔÉ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ. âÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ Ä×ÏÉÞÎÙÅ ÓÌÏ×Á u É v ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÙ É ÉÓÁÔØ u ≈ v, ÅÓÌÉ ÏÄÎÏ ÉÚ ÜÔÉÈ ÓÌÏ× ÅÓÔØ ÎÁÞÁÌÏ ÄÒÕÇÏÇÏ. ñÚÙË E ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÏÎÏÔÏÎÎÙÍ , ÅÓÌÉ ÏÎ ÅÒÅÞÉÓÌÉÍ É ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ: [hx1 ; y1 i ∈ E & hx2 ; y2 i ∈ E & (x1 ≈ x2 )℄ =⇒ [y1 ≈ y2 ℄: ÷ÓÑËÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, Ñ×ÌÑÀÝÕÀÓÑ ÈÁÏÔÉÞÅÓËÏÊ ÄÌÑ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÍÏÎÏÔÏÎÎÙÈ ÑÚÙËÏ×, ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÒÏÓÔÏ ÈÁÏÔÉÞÅÓËÏÊ . áÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÁÑ ÜÎÔÒÏÉÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÓÅÍÅÊÓÔ×Õ ÍÏÎÏÔÏÎÎÙÈ ÑÚÙËÏ×, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÊ ÜÎÔÒÏÉÅÊ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ KM. õÓÌÏ×ÉÅ ÈÁÏÔÉÞÎÏÓÔÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ha1 ; a2 ; a3 ; : : :i ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ ÔÁË: ∃ ∀n KM(a1 ; a2 ; : : : ; an ) > n − : ëÌÁÓÓ ×ÓÅÈ ÈÁÏÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÂÕË×ÏÊ C. óÞÉÔÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÓÔÒÏÇÏÅ ÏÎÑÔÉÅ ÈÁÏÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÍÏÖÅÔ ÓÌÕÖÉÔØ ÈÏÒÏÛÉÍ ÏÔÒÁÖÅÎÉÅÍ ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÏÇÏ ÏÎÑÔÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ë ÔÏÍÕ ÅÓÔØ Ä×Á ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÏÔÄÅÌØÎÏ ×ÚÑÔÏÊ ÈÁÏÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÚÁËÏÎÙ ÔÅÏÒÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ. ÷Ï-×ÔÏÒÙÈ, ËÌÁÓÓ ÈÁÏÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÄÒÕÇÉÍ €ÒÅÔÅÎÄÅÎÔḮ ÎÁ ÒÏÌØ ÓÔÒÏÇÏÇÏ ÁÎÁÌÏÇÁ ÒÁÓÌÙ×ÞÁÔÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ | Á ÉÍÅÎÎÏ, Ó ËÌÁÓÓÏÍ T ×ÓÅÈ ÔÉÉÞÅÓËÉÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ (Ï Î£Í ÂÕÄÅÔ ÒÁÓÓËÁÚÁÎÏ ÄÁÌÅÅ): C = T:

84

÷. á. õÓÅÎÓËÉÊ

ðÏÜÔÏÍÕ ÈÁÏÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÎÁÚÙ×ÁÔØ

ÔÉÉÞÅÓËÏ-ÈÁÏÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÉÌÉ ÈÁÏÔÉÞÅÓËÏ-ÔÉÉÞÅÓËÉÍÉ , Á ÓÁÍ ËÌÁÓÓ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ TC ÉÌÉ CT. üÔÏÔ ËÌÁÓÓ ÕÖÅ ËÌÁÓÓÁ S ×ÓÅÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ,

ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ (ÏÓÌÅÄÎÉÊ, ËÁË ÕÖÅ ÏÔÍÅÞÁÌÏÓØ, ÓÌÉÛËÏÍ ÛÉÒÏË): TC ⊂ S; TC 6= S: ìÉ Ï ÒÅÔØÅ: ÉÉÞÎÏÓÔØ

óËÁÚÁÔØ ÒÏ ËÁËÏÊ-ÌÉÂÏ ÏÂßÅËÔ, ÞÔÏ ÏÎ ÔÉÉÞÅÎ | ÜÔÏ ÚÎÁÞÉÔ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÏÎ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ Ë ÌÀÂÏÍÕ ÏÄÁ×ÌÑÀÝÅÍÕ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Õ. îÁÒÉÍÅÒ, ÔÉÉÞÎÙÊ ÞÅÌÏ×ÅË, ×ÓÔÒÅÞÅÎÎÙÊ ÎÁ ÍÏÓËÏ×ÓËÏÊ ÕÌÉ Å, ÉÍÅÅÔ ÒÏÓÔ ÍÅÎÅÅ Ä×ÕÈ ÍÅÔÒÏ× (Ô. Å. ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ Ë ÏÄÁ×ÌÑÀÝÅÍÕ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Õ ÌÀÄÅÊ, ÉÍÅÀÝÉÈ ÒÏÓÔ ÍÅÎÅÅ Ä×ÕÈ ÍÅÔÒÏ×), ×ÏÚÒÁÓÔ ÂÏÌÅÅ ÔÒÅÈ ÌÅÔ (Ô. Å. ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ Ë ÏÄÁ×ÌÑÀÝÅÍÕ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Õ ÌÀÄÅÊ, ÉÍÅÀÝÉÈ ×ÏÚÒÁÓÔ ÂÏÌÅÅ ÔÒÅÈ ÌÅÔ) É Ô. Ä. ëÏÎÅÞÎÏ, ÌÀÂÏÅ ÉÚ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×, Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÉÄÅÔ ÒÅÞØ, ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÒÁÚÕÍÎÙÍ: ×ÅÄØ ËÁËÏÊ ÏÂßÅËÔ ÎÉ ×ÏÚØÍÉ, ÏÎ ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ Ë ÏÄÁ×ÌÑÀÝÅÍÕ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Õ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÍÕ ×ÓÅÍÉ ÏÓÔÁÌØÎÙÍÉ, ÏÔÌÉÞÎÙÍÉ ÏÔ ÄÁÎÎÏÇÏ, ÏÂßÅËÔÁÍÉ. íÙ ÉÓÈÏÄÉÍ ÉÚ ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÏÇÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÓÌÕÞÁÊÎÙÊ ÏÂßÅËÔ ÄÏÌÖÅÎ ÏÂÌÁÄÁÔØ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÔÉÉÞÎÏÓÔÉ. îÁÛÁ ÅÌØ | ÄÁÔØ ÓÔÒÏÇÏÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÕÌÅÊ É ÅÄÉÎÉ ÒÉ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÍ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÔÁËÉÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ ÜÔÏÍÕ ÓÔÒÏÇÏÍÕ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÔÉÉÞÅÓËÉÍÉ , ÏÓÔÁ×ÌÑÑ ÓÌÏ×Ï ÔÉÉÞÎÙÊ ÄÌÑ ÕÏÔÒÅÂÌÅÎÉÑ ÎÁ ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ. ÷ ÓÉÌÕ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ ×ÙÛÅ, ÎÁÍ ÎÁÄÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÓÅÒ×Á, ÞÔÏ ÅÓÔØ ÏÄÁ×ÌÑÀÝÅÅ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ, Á ÚÁÔÅÍ | ËÁËÉÅ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Á ÓÌÅÄÕÅÔ ÓÞÉÔÁÔØ ÒÁÚÕÍÎÙÍÉ. á ÔÏÇÄÁ ËÌÁÓÓ ÔÉÉÞÅÓËÉÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÏÒÅÄÅÌÉÔÓÑ ËÁË ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÒÁÚÕÍÎÙÈ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×. ïÓÔÁ×ÌÑÑ ÔÅÒÍÉÎ €ÏÄÁ×ÌÑÀÝÅÅ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×ρ ÄÌÑ ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÏÇÏ ÕÏÔÒÅÂÌÅÎÉÑ, ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ Ï ÂÏÌØÛÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ. äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÂÏÌØÛÏÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÄÏ ×ÓÅÇÏ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÍÁÌÙÍ . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÍÁÌÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, | Á ÔÏÇÄÁ ÂÏÌØÛÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÏÒÅÄÅÌÑÔÓÑ ËÁË ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ Ë ÍÁÌÙÍ. éÔÁË, ÕÓÔØ ÄÁÎÏ ËÁËÏÅ-ÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Q ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ, Q ⊂ . íÙ ÈÏÔÉÍ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ, ËÏÇÄÁ ÅÇÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÓÞÉÔÁÔØ ÍÁÌÙÍ . ÷ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÔÅÏÒÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÍÙ ÓËÁÚÁÌÉ ÂÙ, ÞÔÏ Q ÍÁÌÏÅ, ËÏÌØ ÓËÏÒÏ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÏÁÄÁÎÉÑ × Q ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ. ÷ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÔÅÏÒÉÉ ÍÅÒÙ ÍÙ ÓËÁÚÁÌÉ ÂÙ, ÞÔÏ Q ÍÁÌÏÅ, ËÏÌØ ÓËÏÒÏ ÏÎÏ ÉÍÅÅÔ ÍÅÒÕ ÎÕÌØ. íÙ, ÏÄÎÁËÏ, ÏÓÔÁÒÁÅÍÓÑ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÍÁÌÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÙÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ.

þÅÔÙÒÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÈ ÌÉ Á ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ

85

íÎÏÖÅÓÔ×Ï Q ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÁÌÙÍ , ÅÓÌÉ ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÏËÒÙÔØ ÛÁÒÁÍÉ, ÓÕÍÍÁ ÏÂßÅÍÏ× ËÏÔÏÒÙÈ ÓËÏÌØ ÕÇÏÄÎÏ ÍÁÌÁ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÍÁÌÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÍÏÖÎÏ ÄÁÔØ ÔÁËÕÀ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ: ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Q ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÁÌÙÍ , ÅÓÌÉ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ m ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÓÌÏ× hx(1); x(2); : : : ; x(n); : : :i, ÞÔÏ [ Q ⊂ x(n); X n

v( x(n) ) =

n X n

2−|x(n)|

< m1 :

ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ËÁÖÄÁÑ ÏÔÄÅÌØÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÚ ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÍÁÌÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, Á ÏÔÏÍÕ ÏÎÑÔÉÅ ÂÏÌØÛÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÒÅÔÅÎÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÒÏÌØ ÕÔÏÞÎÅÎÉÑ ÏÎÑÔÉÑ ÒÁÚÕÍÎÏÇÏ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Á. ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÂÏÌØÛÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÕÓÔÏ. €òÁÚÕÍÎÏÓÔ؁ ××ÏÄÉÔÓÑ ÕÔÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ËÏÒÒÅËÔÉÒÏ×ËÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÏÔÒÅÂÕÅÍ, ÞÔÏÂÙ ÕÏÍÉÎÁÅÍÁÑ × ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÓÌÏ× hx(1); x(2); : : : ; x(n); : : :i ÂÙÌÁ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÍÙ ÔÒÅÂÕÅÍ, ÞÔÏÂÙ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÌ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ×ÙÞÉÓÌÑÀÝÉÊ ÅÅ n-Ê ÞÌÅÎ xn Ï ÅÇÏ ÎÏÍÅÒÕ n. ÷Ï-×ÔÏÒÙÈ, ÏÔÒÅÂÕÅÍ, ÞÔÏÂÙ ÔÁËÁÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÅ ÒÏÓÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÌÁ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ m, ÎÏ ÓÔÒÏÉÌÁÓØ ÂÙ Ï ÜÔÏÍÕ m ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ. óÌÏ×Ï €ÜÆÆÅËÔÉ×Îρ ÏÚÎÁÞÁÅÔ Ó ÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ\. úÄÅÓØ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙ ÒÁÚßÑÓÎÅÎÉÑ. äÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ "ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÏÌÕÞÁÀÝÉÊ ÎÁ ×ÈÏÄ m É ×ÙÄÁÀÝÉÊ ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ ÔÒÅÂÕÅÍÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÎÅ×ÏÚÍÏÖÅÎ ÒÏÓÔÏ ÏÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ | ÜÔÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÊ ÏÂßÅËÔ, Á ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÏÅÒÉÒÕÀÔ ÌÉÛØ Ó ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÏÂßÅËÔÁÍÉ. ïÄÎÁËÏ × ÎÁÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁ, ÔÏ Õ ÎÅÅ ÅÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÅÅ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ | ÄÁÖÅ ÏÞÅÎØ ÍÎÏÇÏ ÔÁËÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. áÌÇÏÒÉÔÍÙ (× ÄÒÕÇÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÔÅÒÍÉÎÏ× | ÒÏÇÒÁÍÍÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÏÂßÅËÔÁÍÉ É ÏÔÏÍÕ ×ÏÌÎÅ ÏÓÍÙÓÌÅÎÎÏ ÇÏ×ÏÒÉÔØ Ï ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ, ËÏÔÏÒÙÊ Ï ÞÉÓÌÕ m, ÏÓÔÕÉ×ÛÅÍÕ ÎÁ ÅÇÏ ×ÈÏÄ, ×ÙÄÁÅÔ ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ ÏÄÉÎ ÉÚ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× (× ÄÒÕÇÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÔÅÒÍÉÎÏ× | ÏÄÎÕ ÉÚ ÒÏÇÒÁÍÍ), ×ÙÞÉÓÌÑÀÝÉÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ hx(1); x(2); : : : ; x(n); : : :i. ÷ÎÅÓÑ × ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÍÁÌÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÜÔÉ Ä×Á ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÑ, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÍÁÌÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á | Á ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ É ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÂÏÌØÛÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÕÓÔÙÍ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÏÎÏ ÓÁÍÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÂÏÌØÛÉÍ. üÔÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÓÒÅÄÉ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× É ÅÓÔØ ÉÓËÏÍÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï T ×ÓÅÈ ÔÉÉÞÅÓËÉÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ. ÉÉÞÅÓËÉÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÁËÖÅ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍÉ Ï íÁÒÔÉÎ-ì£ÆÕ | Ï ÉÍÅÎÉ ÕÞÅÎÉËÁ ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Á, ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÇÏ Û×ÅÄÓËÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ðÅÒÁ íÁÒÔÉÎ-ì£ÆÁ, ËÏÔÏÒÙÊ × 1966 Ç. ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÌ ÔÏÌØËÏ

86

÷. á. õÓÅÎÓËÉÊ

ÞÔÏ ÉÚÌÏÖÅÎÎÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÔÉÉÞÎÏÓÔÉ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÓÔÒÏÇÏÇÏ ÕÔÏÞÎÅÎÉÑ ÏÎÑÔÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ. ëÁË ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ, ËÌÁÓÓ T ×ÓÅÈ ÔÉÉÞÅÓËÉÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ËÌÁÓÓÏÍ C ×ÓÅÈ ÈÁÏÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ: T = C: ðÏÜÔÏÍÕ, ËÁË ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ, ÔÉÉÞÅÓËÉÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÉÍÅÎÏ×ÁÔØ ÔÁËÖÅ ÈÁÏÔÉÞÅÓËÏ-ÔÉÉÞÅÓËÉÍÉ ÉÌÉ ÔÉÉÞÅÓËÏ-ÈÁÏÔÉÞÅÓËÉÍÉ , Á ÓÁÍ ËÌÁÓÓ ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ CT ÉÌÉ TC. ëÁË ÍÙ ÕÖÅ ÚÎÁÅÍ, CT ⊂ S; CT 6= S: ìÉ Ï þÅÔ×ÅÒÔÏÅ: îÅÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÏÓÔØ ÷ÏÔ ÎÁÞÁÌÏ €ä×ÅÎÁÄ ÁÔÉ ÓÔÕÌØÅׁ éÌØÆÁ É ðÅÔÒÏ×Á: €÷ ÕÅÚÄÎÏÍ ÇÏÒÏÄÅ N ÂÙÌÏ ÔÁË ÍÎÏÇÏ ÁÒÉËÍÁÈÅÒÓËÉÈ ÚÁ×ÅÄÅÎÉÊ É ÂÀÒÏ ÏÈÏÒÏÎÎÙÈ ÒÏ ÅÓÓÉÊ, ÞÔÏ ËÁÚÁÌÏÓØ, ÖÉÔÅÌÉ ÇÏÒÏÄÁ ÒÏÖÄÁÀÔÓÑ ÌÉÛØ ÚÁÔÅÍ, ÞÔÏÂÙ ÏÂÒÉÔØÓÑ, ÏÓÔÒÉÞØÓÑ, ÏÓ×ÅÖÉÔØ ÇÏÌÏ×Õ ×ÅÖÅÔÁÌÅÍ É ÕÍÅÒÅÔ؁. óÕÖÄÅÎÉÅ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ×ÅÒÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÚÁÍÅÎÉÔØ N ÎÁ íÏÓË×Õ, ÁÒÉËÍÁÈÅÒÓËÉÅ ÎÁ ÚÁÌÙ ÉÇÒÏ×ÙÈ Á×ÔÏÍÁÔÏ×, ÏÈÏÒÏÎÎÙÅ ÂÀÒÏ ÎÁ ËÁÚÉÎÏ, Á ÅÌØ ÒÏÖÄÅÎÉÑ ÎÁ €ÉÇÒÁÔ؁. üÔÏÔ ÅÞÁÌØÎÙÊ ÆÁËÔ, ÏÄÎÁËÏ, ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÎÁÇÌÑÄÎÏ ÏÂßÑÓÎÉÔØ ÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ ÎÅÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÏÓÔØÀ. éÎÔÕÉÔÉ×ÎÏ ÑÓÎÏ, ÞÔÏ ×ÓÑËÁÑ ÓÌÕÞÁÊÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÏÊ × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ × ËÁËÏÍ ÂÙ ÏÒÑÄËÅ ÍÙ ÎÉ ×ÙÂÉÒÁÌÉ ÅÅ ÞÌÅÎÙ, ÚÎÁÎÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÕÖÅ ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ÞÌÅÎÏ× ÎÅ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÅÄÓËÁÚÁÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÔÏÇÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÞÌÅÎÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÙ ÎÁÍÅÒÅ×ÁÅÍÓÑ ×ÙÂÒÁÔØ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ëÁÚÉÎÏ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÅÅ ÔÁËÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ É ÒÅÄÌÁÇÁÀÝÅÅ éÇÒÏËÕ ÕÇÁÄÙ×ÁÔØ ÅÅ ÞÌÅÎÙ É ÄÅÌÁÔØ ÒÉ ÜÔÏÍ ÄÅÎÅÖÎÙÅ ÓÔÁ×ËÉ, ÎÅ ÒÁÚÏÒÉÔÓÑ; ÇÏ×ÏÒÑ ÂÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏ, ëÁÚÉÎÏ Õ×ÅÒÅÎÏ, ÞÔÏ ÎÉËÁËÏÊ éÇÒÏË ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÏÂÌÁÄÁÔØ ÔÁËÏÊ ÓÔÒÁÔÅÇÉÅÊ ÉÇÒÙ, ËÏÔÏÒÁÑ ÒÉ×ÅÄÅÔ Ë ÒÁÚÏÒÅÎÉÀ ëÁÚÉÎÏ, ËÁËÉÍ ÂÙ ËÁÉÔÁÌÏÍ ÏÎÏ ÎÉ ÏÂÌÁÄÁÌÏ. îÅÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÏÓÔØ ËÁËÏÊ-ÌÉÂÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÉÇÒÙ, ËÏÔÏÒÕÀ éÇÒÏË ×ÅÄÅÔ ÒÏÔÉ× ÏÂÌÁÄÁÀÝÅÇÏ ÜÔÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ ëÁÚÉÎÏ, ÉÌÉ, ÄÌÑ ËÒÁÔËÏÓÔÉ | ÒÏÔÉ× ÄÁÎÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. éÔÁË, ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÓÅÂÅ ÞÔÏ éÇÒÏË ÒÉÈÏÄÉÔ × ëÁÚÉÎÏ. ëÁÖÄÁÑ ÉÚ ÓÔÏÒÏÎ | É ëÁÚÉÎÏ, É éÇÒÏË | ÏÂÌÁÄÁÅÔ Ó×ÏÉÍ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ËÁÉÔÁÌÏÍ. ëÁÚÉÎÏ ÒÁÓÏÌÁÇÁÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ, ÎÏ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ éÇÒÏËÕ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ ÎÕÌÅÊ É ÅÄÉÎÉ , É ÒÅÄÌÁÇÁÅÔ éÇÒÏËÕ ÒÅÄÓËÁÚÙ×ÁÔØ ÅÅ ÞÌÅÎÙ | ÎÅÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ × ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ ÉÈ ÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ É ÄÁÖÅ ÎÅÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ×ÓÅ ÅÅ ÞÌÅÎÙ.

þÅÔÙÒÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÈ ÌÉ Á ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ

87

äÌÑ ÎÁÇÌÑÄÎÏÓÔÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÓÅÂÅ, ÞÔÏ ÞÌÅÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÁÉÓÁÎÙ ÎÁ ËÁÒÔÁÈ, ËÏÔÏÒÙÅ ÌÅÖÁÔ ÒÕÂÁÛËÁÍÉ ××ÅÒÈ, ÔÁË ÞÔÏ éÇÒÏË ÎÅ ×ÉÄÉÔ, ÞÔÏ ÔÁÍ ÎÁÉÓÁÎÏ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÒÅÄÓÔÁÅÔ ÅÒÅÄ éÇÒÏËÏÍ × ×ÉÄÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÒÑÄÁ ÔÁËÉÈ ËÁÒÔ. éÇÒÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ éÇÒÏË ÎÁ ËÁÖÄÏÍ Ó×ÏÅÍ ÈÏÄÕ ÕËÁÚÙ×ÁÅÔ ÔÕ ËÁÒÔÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÏÔËÒÙÔÁ, ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÒÅÄÓËÁÚÙ×ÁÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÏÂÎÁÒÕÖÉÔÓÑ ÎÁ ÜÔÏÊ ËÁÒÔÅ, É ÏÂßÑ×ÌÑÑ ÒÁÚÍÅÒ ÄÅÎÅÖÎÏÊ ÓÔÁ×ËÉ. åÓÌÉ ÒÅÄÓËÁÚÁÎÉÅ ÏËÁÖÅÔÓÑ ÒÁ×ÉÌØÎÙÍ, ëÁÚÉÎÏ ×ÙÌÁÞÉ×ÁÅÔ éÇÒÏËÕ ÓÕÍÍÕ ÓÔÁ×ËÉ, ÅÓÌÉ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÙÍ | éÇÒÏË ×ÙÌÁÞÉ×ÁÅÔ ÜÔÕ ÓÕÍÍÕ ëÁÚÉÎÏ. óÞÉÔÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ éÇÒÏË ×ÙÉÇÒÁÌ , ÅÓÌÉ ÏÎ ÓÕÍÅÌ ÒÁÚÏÒÉÔØ ëÁÚÉÎÏ. òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÅÓÌÉ éÇÒÏËÕ ÏÔËÒÙÔ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÊ ËÒÅÄÉÔ, ÏÎ ×ÓÅÇÄÁ ÍÏÖÅÔ ÒÁÚÏÒÉÔØ ëÁÚÉÎÏ, ÕÄ×ÁÉ×ÁÑ ÓÔÁ×ËÉ. îÏ éÇÒÁ ÉÄÅÔ ÎÁ ÎÁÌÉÞÎÙÅ, ÔÁË ÞÔÏ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÓÔÁ×ËÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ ÔÅËÕÝÉÍ ËÁÉÔÁÌÏÍ éÇÒÏËÁ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÏÊ , ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÙÉÇÒÙ×ÁÀÝÉÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÉÇÒÙ. ÷ÙÉÇÒÙ×ÁÀÝÉÍ ÍÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÓÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ: ËÁËÉÍ ÂÙ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ËÁÉÔÁÌÏÍ ÎÉ ÏÂÌÁÄÁÌÏ ëÁÚÉÎÏ, ÏÎÏ ÒÁÎÏ ÉÌÉ ÏÚÄÎÏ ÂÕÄÅÔ ÒÁÚÏÒÅÎÏ, ÅÓÌÉ éÇÒÏË ÒÉÍÅÎÉÔ ÜÔÏÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÏÊ , ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÏÊ. îÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÑÚÙËÅ ÓÉÔÕÁ ÉÑ ÏÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁË. òÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÕÌÅÊ É ÅÄÉÎÉ a = ha1 ; a2 ; a3 ; : : :i: ðÒÉ ËÁÖÄÏÍ ÈÏÄÅ éÇÒÏËÁ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÔÒÏÊËÁ ÞÉÓÅÌ ÇÄÅ

hn; i; v i;

n ∈ N; i ∈ {0; 1}; v ∈ Q; v > 0: óÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÏ: ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ n ÅÓÔØ ÎÏÍÅÒ ÔÏÇÏ ÞÌÅÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÊ ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÓÔÁ×ËÁ; i ÅÓÔØ ÒÅÄÓËÁÚÙ×ÁÅÍÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÞÌÅÎÁ; ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÅ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ v ÅÓÔØ ÒÁÚÍÅÒ ÓÔÁ×ËÉ.

èÏÄÙ ÄÅÌÁÀÔÓÑ ÄÒÕÇ ÚÁ ÄÒÕÇÏÍ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÅÒ×ÏÇÏ; ÔÒÏÊËÁ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÁÑ ÎÁ k-Í ÈÏÄÕ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ hn(k); i(k); v(k)i. âÏÌÅÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÇÒÁÍÏÔÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÈÏÄ ÅÓÔØ ÔÒÏÊËÁ ÞÉÓÅÌ, É ÞÔÏ ÈÏÄÙ ÎÅ ÄÅÌÁÀÔÓÑ, Á ÒÅÄßÑ×ÌÑÀÔÓÑ . ëÁÉÔÁÌ éÇÒÏËÁ ÅÒÅÄ k-Í ÈÏÄÏÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ V (k − 1). âÅÚ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÎÁÞÁÌØÎÙÊ ËÁÉÔÁÌ éÇÒÏËÁ ÒÁ×ÅÎ ÅÄÉÎÉ Å: V (0) = 1. ðÏÓÌÅ ËÁÖÄÏÇÏ ÈÏÄÁ ËÁÉÔÁÌ éÇÒÏËÁ ÍÅÎÑÅÔÓÑ (ÅÓÌÉ ÔÏÌØËÏ ÓÔÁ×ËÁ ÎÅ ÂÙÌÁ ÎÕÌÅ×ÏÊ). á ÉÍÅÎÎÏ: . ÅÓÌÉ i(k) = an(k) (éÇÒÏË ÕÇÁÄÁÌ), ÔÏ V (k) = V (k − 1) + v(k); . ÅÓÌÉ i(k) 6= an(k) (éÇÒÏË ÎÅ ÕÇÁÄÁÌ), ÔÏ V (k) = V (k − 1) − v(k).

88

÷. á. õÓÅÎÓËÉÊ

é ÅÝÅ Ä×Á ÒÉÂÁ×ÌÅÎÉÑ Ë ÓËÁÚÁÎÎÏÍÕ. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÈÏÄÙ ÂÙ×ÁÀÔ ËÏÒÒÅËÔÎÙÅ É ÎÅËÏÒÒÅËÔÎÙÅ , É ÞÔÏÂÙ ÉÇÒÁ ÒÏÄÏÌÖÁÌÁÓØ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ, ÞÔÏÂÙ ÈÏÄ ÂÙÌ ËÏÒÒÅËÔÎÙÍ. á ÉÍÅÎÎÏ, k-Ê ÈÏÄ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ËÏÒÒÅËÔÎÙÍ , ÅÓÌÉ ×ÙÏÌÎÅÎÙ ÏÂÁ ÎÉÖÅÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑ: 1) ÎÏÍÅÒ ÏÔËÒÙ×ÁÅÍÏÊ ËÁÒÔÙ ËÏÒÒÅËÔÅÎ ; ÜÔÏ ÚÎÁÞÉÔ, ÞÔÏ ÏÄÌÅÖÁÝÁÑ ÏÔËÒÙÔÉÀ ËÁÒÔÁ ÎÅ ÂÙÌÁ ÕÖÅ ÏÔËÒÙÔÁ ÒÁÎÅÅ, Ô. Å. n(k) ÎÅ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÎÉ Ó ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÞÉÓÅÌ n(1); : : : ; n(k − 1);

2) ÄÅÌÁÅÍÁÑ éÇÒÏËÏÍ ÓÔÁ×ËÁ ËÏÒÒÅËÔÎÁ ; ÜÔÏ ÚÎÁÞÉÔ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÍÅÎØÛÅ ÅÇÏ ÔÅËÕÝÅÇÏ ËÁÉÔÁÌÁ, Ô. Å. v(k) < V (k − 1). åÓÌÉ ÖÅ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏ ÉÚ ÜÔÉÈ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÊ ÎÅ ×ÙÏÌÎÅÎÏ, ÈÏÄ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ÎÅËÏÒÒÅËÔÎÙÍ . ïÓÎÏ×ÎÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ. åÓÌÉ éÇÒÏË ÓÏ×ÅÒÛÁÅÔ ÎÅËÏÒÒÅËÔÎÙÊ ÈÏÄ, ÉÇÒÁ ÏÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ. ðÒÉ ÜÔÏÍ éÇÒÏË ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÒÉ ÉÍÅÀÝÅÍÓÑ Õ ÎÅÇÏ Ë ÄÁÎÎÏÍÕ ÍÏÍÅÎÔÕ ËÁÉÔÁÌÅ | É ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÎÅ ×ÙÉÇÒÙ×ÁÅÔ. ÷Ï-×ÔÏÒÙÈ, ÎÅ ÉÓËÌÀÞÁÅÔÓÑ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ éÇÒÏË ×ÏÏÂÝÅ ÎÅ ÄÅÌÁÅÔ ÏÞÅÒÅÄÎÏÇÏ ÈÏÄÁ (ÄÁÖÅ ÓÁÍÏÇÏ ÅÒ×ÏÇÏ ÈÏÄÁ!), É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ éÇÒÏË ÔÁËÖÅ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÒÉ ÉÍÅÀÝÅÍÓÑ Õ ÎÅÇÏ Ë ÄÁÎÎÏÍÕ ÍÏÍÅÎÔÕ ËÁÉÔÁÌÅ É, ËÁË É × ÓÌÕÞÁÅ ÎÅËÏÒÒÅËÔÎÏÇÏ ÈÏÄÁ, ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÎÅ ×ÙÉÇÒÙ×ÁÅÔ. ïÄÎÁËÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ | × ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÓÌÕÞÁÑ ÎÅËÏÒÒÅËÔÎÏÇÏ ÈÏÄÁ | ÍÙ ÉÚÂÅÇÁÅÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ €ÉÇÒÁ ÏÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓс. äÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÓÉÔÕÁ ÉÀ ÎÅÄÅÌÁÎÉÑ ÈÏÄÁ ÍÏÖÎÏ ÎÁÇÌÑÄÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÓÅÂÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÅÒÅÄ ËÁÖÄÙÍ Ó×ÏÉÍ ÈÏÄÏÍ éÇÒÏË ÒÅÛÁÅÔ, ËÁËÏÊ ÈÏÄ ÅÍÕ ÓÌÅÄÕÅÔ ÄÅÌÁÔØ. òÅÛÅÎÉÅ ÔÒÅÂÕÅÔ ÏÂÄÕÍÙ×ÁÎÉÑ, É éÇÒÏË ÂÅÒÅÔ ×ÒÅÍÑ ÎÁ ÏÂÄÕÍÙ×ÁÎÉÅ. ÷ÒÅÍÑ ÜÔÏ ÎÉÞÅÍ ÎÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏ, É ÒÏ ÅÓÓ ÒÁÚÍÙÛÌÅÎÉÑ ÍÏÖÅÔ ÚÁÔÑÎÕÔØÓÑ ÄÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ. ÷ ÔÅÞÅÎÉÅ ×ÒÅÍÅÎÉ ÏÂÄÕÍÙ×ÁÎÉÑ ÈÏÄÁ ËÁÉÔÁÌ éÇÒÏËÁ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ. ðÏÜÔÏÍÕ ÅÓÌÉ éÇÒÏË ÎÉ ÚÁ ËÁËÏÅ ËÏÎÅÞÎÏÅ ×ÒÅÍÑ ÎÅ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÒÅÛÅÎÉÑ Ï Ó×ÏÅÍ ÈÏÄÅ, ÅÇÏ ËÁÉÔÁÌ ÚÁÓÔÙ×ÁÅÔ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÙÉÇÒÙÛÁ éÇÒÏËÁ ÒÏÉÚÏÊÔÉ ÎÅ ÍÏÖÅÔ. ïÄÎÁËÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ (× ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÓÌÕÞÁÑ ÎÅËÏÒÒÅËÔÎÏÇÏ ÈÏÄÁ) ÎÅ ÎÁÓÔÕÁÅÔ ÍÏÍÅÎÔÁ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÉÇÒÙ | ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ÏÓÔÕÁÅÔ ÓÉÇÎÁÌÁ Ï ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Õ ÉÇÒÙ ÅÓÔØ ÔÒÉ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ Ó ÅÎÁÒÉÑ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ: 1) éÇÒÏË ÄÅÌÁÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÈÏÄÏ×; 2) éÇÒÏË ÄÅÌÁÅÔ ÌÉÛØ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÈÏÄÏ×, É ÒÉÞÉÎÏÊ ÜÔÏÇÏ ÓÌÕÖÉÔ ÔÏ, ÞÔÏ ÂÙÌ ÓÄÅÌÁÎ ÎÅËÏÒÒÅËÔÎÙÊ ÈÏÄ; 3) éÇÒÏË ÄÅÌÁÅÔ ÌÉÛØ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÈÏÄÏ×, É ÒÉÞÉÎÏÊ ÜÔÏÇÏ ÓÌÕÖÉÔ ÔÏ, ÞÔÏ ÎÁ ËÁËÏÍ-ÔÏ ÜÔÁÅ ÉÇÒÙ éÇÒÏË ÎÅ × ÓÏÓÔÏÑÎÉÉ ÒÉÊÔÉ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ Ï ÏÞÅÒÅÄÎÏÍ ÈÏÄÅ. òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÓËÁÚÁÎÎÏÅ ÎÏÓÉÔ ÉÌÌÀÓÔÒÁÔÉ×ÎÙÊ ÈÁÒÁËÔÅÒ, É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ÎÅ ×ËÌÀÞÁÅÔ × ÓÅÂÑ ÓÓÙÌËÕ ÎÁ ÔÁËÉÅ ÏÎÑÔÉÑ, ËÁË "ÒÅÛÁÔØ\, "ÏÂÄÕÍÙ×ÁÔØ\ É Ô. .

þÅÔÙÒÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÈ ÌÉ Á ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ

89

ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, éÇÒÏË ×ÙÉÇÒÙ×ÁÅÔ (ÒÉ ÉÇÒÅ ÒÏÔÉ× a), ÅÓÌÉ sup V (k) = +∞;

Ô. Å. ÅÓÌÉ

k

∀W ∃k V (k ) > W:

óÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÏ ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ éÇÒÏË ÒÁÚÏÒÑÅÔ ëÁÚÉÎÏ, ËÁËÉÍ ÂÙ ÉÓÈÏÄÎÙÍ ËÁÉÔÁÌÏÍ W ëÁÚÉÎÏ ÎÉ ÏÂÌÁÄÁÌÏ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ éÇÒÏË × ÓÏÓÔÏÑÎÉÉ ×ÙÉÇÒÁÔØ ÌÉÛØ ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ ×ÓÑËÉÊ ÒÁÚ, ËÏÇÄÁ ÅÍÕ ÒÅÄÓÔÏÉÔ ÄÅÌÁÔØ ÈÏÄ, ÏÎ ÅÇÏ ÄÅÌÁÅÔ É ÜÔÏÔ ÈÏÄ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÒÒÅËÔÎÙÍ. ëÁË ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÉÇÒÁ, ÍÙ ÏÉÓÁÌÉ. ðÅÒÅÊÄÅÍ ÔÅÅÒØ Ë ÏÎÑÔÉÀ ÓÉÓÔÅÍÙ ÉÇÒÙ, ÉÌÉ ÓÔÒÁÔÅÇÉÉ . óÍÙÓÌ ÓÔÒÁÔÅÇÉÉ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÉÚÂÁ×ÉÔØ éÇÒÏËÁ ÏÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÒÅÛÅÎÉÑ: ÓÔÒÁÔÅÇÉÑ ÂÅÒÅÔ ÜÔÕ ÆÕÎË ÉÀ ÎÁ ÓÅÂÑ. óÔÒÁÔÅÇÉÑ ÅÓÔØ ÒÁ×ÉÌÏ, ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÈÏÄÁ ÕËÁÚÙ×ÁÀÝÅÅ éÇÒÏËÕ, ËÁËÏÊ ÎÁ ÜÔÏÍ ÈÏÄÕ ÏÎ ÄÏÌÖÅÎ ÓÄÅÌÁÔØ ÈÏÄ (Ô. Å. ËÁËÕÀ ÔÒÏÊËÕ ÒÅÄßÑ×ÉÔØ). òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÓÔÒÁÔÅÇÉÑ ×ÙÄÁÅÔ ÔÁËÏÅ ÕËÁÚÁÎÉÅ ÌÉÛØ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÈÏÄ ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÓÄÅÌÁÎ. ÷ÙÛÅ ÕÖÅ ÏÔÍÅÞÁÌÁÓØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÎÉËÁËÏÇÏ ÈÏÄÁ ÎÅ ÄÅÌÁÅÔÓÑ; × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÓÔÒÁÔÅÇÉÑ ÎÅ ×ÙÄÁÅÔ ÎÉËÁËÏÇÏ ÕËÁÚÁÎÉÑ. ðÒÉ ÕËÁÚÁÎÉÉ ÈÏÄÁ ÓÔÒÁÔÅÇÉÑ ÏÉÒÁÅÔÓÑ ÎÁ ×ÓÀ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÉÓÔÏÒÉÀ ÉÇÒÙ. éÓÔÏÒÉÑ ÖÅ ÉÇÒÙ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÕÖÅ ÓÄÅÌÁÎÎÙÈ Ë ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÍÕ ÍÏÍÅÎÔÕ ÈÏÄÏ× É ÉÚ ×ÓÅÈ ÓÔÁ×ÛÉÈ ÕÖÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ ÞÌÅÎÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. íÙ ÌÉÛØ ÏÔÏÍÕ ÎÅ ×ËÌÀÞÁÅÍ × ÉÓÔÏÒÉÀ ÉÇÒÙ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ËÁÉÔÁÌÅ éÇÒÏËÁ ÎÁ ËÁÖÄÙÊ ÍÏÍÅÎÔ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ ÌÅÇËÏ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÉÚ ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÈ Ó×ÅÄÅÎÉÊ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÓÔÏÒÉÀ ÉÇÒÙ ÅÒÅÄ k-Í ÈÏÄÏÍ ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ ÔÁÂÌÉ Ù n(1) n(2) : : : n(k − 1) i(1) i(2) : : : i(k − 1) v(1) v(2) : : : v(k − 1) an(1) an(2) : : : an(k−1) (åÓÌÉ k = 0, ÔÁÂÌÉ Á ÕÓÔÁ.) îÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÑÚÙËÅ ÓÔÒÁÔÅÇÉÑ ÅÓÔØ ÆÕÎË ÉÑ, ËÏÔÏÒÁÑ ËÁÖÄÏÊ ÏÄÏÂÎÏÊ ÔÁÂÌÉ Å (× ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ ÕÓÔÏÊ) ÌÉÂÏ ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÓÔÁ×ÉÔ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ, ÌÉÂÏ ÓÔÁ×ÉÔ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÈÏÄ, Ô. Å. ÔÒÏÊËÕ hn; i; vi. ðÏÄ €ËÁÖÄÏÊ ÏÄÏÂÎÏÊ ÔÁÂÌÉ Åʁ ÍÙ ÏÎÉÍÁÅÍ ÏÔÎÀÄØ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÔÁËÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÔÒÁÖÁÅÔ ÒÅÁÌØÎÏÅ ÔÅÞÅÎÉÅ ÉÇÒÙ, Á ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ, × ËÏÔÏÒÏÊ × ÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÓÔÏÑÔ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ, × ÔÒÅÔØÅÊ | ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÅ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, Á ×Ï ×ÔÏÒÏÊ É ÞÅÔ×ÅÒÔÏÊ | ÎÕÌÉ É ÅÄÉÎÉ Ù. åÓÌÉ ÔÁÂÌÉ Á ÒÅÁÌØÎÏ ×ÓÔÒÅÔÉÌÁÓØ × ÒÏ ÅÓÓÅ ÉÇÒÙ (× ËÁÞÅÓÔ×Å ÉÓÔÏÒÉÉ ÉÇÒÙ ÎÁ ËÁËÏÍ-ÔÏ ÜÔÁÅ) É ÅÓÌÉ ÚÁÄÁÎÁ ÓÔÒÁÔÅÇÉÑ, ÔÏ ÅÒ×ÙÅ ÔÒÉ

90

÷. á. õÓÅÎÓËÉÊ

ÓÔÒÏËÉ ÔÁÂÌÉ Ù ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÀÔÓÑ Ï ÅÅ ÞÅÔ×ÅÒÔÏÊ ÓÔÒÏËÅ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÓÔÒÁÔÅÇÉÉ Ë ÕÓÔÏÊ ÔÁÂÌÉ Å ÄÁÅÔ ÎÁÍ ÅÒ×ÙÊ ÈÏÄ hn(1); i(1); v(1)i. ÅÍ ÓÁÍÙÍ | ÏÓËÏÌØËÕ ÞÅÔ×ÅÒÔÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ | ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÉÓÔÏÒÉÀ ÉÇÒÙ ÅÒÅÄ ×ÔÏÒÙÍ ÈÏÄÏÍ × ×ÉÄÅ ÔÁÂÌÉ Ù n(1) i(1) v(1) an(1) ÅÅÒØ Ë ÜÔÏÊ ÔÁÂÌÉ Å ÓÎÏ×Á ÒÉÍÅÎÑÅÍ ÓÔÒÁÔÅÇÉÀ, ÏÌÕÞÁÅÍ ×ÔÏÒÏÊ ÈÏÄ hn(2); i(2); v (2)i É ÔÁÂÌÉ Õ n(1) n(2) i(1) i(2) v(1) v(2) an(1) an(2) é ÔÁË ÄÁÌÅÅ. óËÁÚÁÎÎÏÅ ÄÁÅÔ ÎÁÍ ÒÁ×Ï ÒÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÓÔÒÁÔÅÇÉÉ ÂÒÁÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÎÅ ×ÓÀ ÔÁÂÌÉ Õ × ÅÌÏÍ, Á ÌÉÛØ ÅÅ ÞÅÔ×ÅÒÔÕÀ ÓÔÒÏËÕ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÜÔÏÊ ÞÅÔ×ÅÒÔÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÓÔÏÉÔ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÓÌÏ×Ï, Ô. Å. ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á . óÔÒÁÔÅÇÉÑ ÄÏÌÖÎÁ, ÉÍÅÑ ÜÔÏÔ ÜÌÅÍÅÎÔ, ÉÌÉ ÎÅ ×ÙÄÁ×ÁÔØ ÎÉÞÅÇÏ, ÉÌÉ ×ÙÄÁ×ÁÔØ ÈÏÄ, ËÏÔÏÒÙÊ ÅÓÔØ ÔÒÏÊËÁ, Ô. Å. ÜÌÅÍÅÎÔ ÄÅËÁÒÔÏ×Á ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ N×{0; 1}×Q>0 . úÄÅÓØ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ Q>0 ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. íÙ ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏÍÕ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÏÎÑÔÉÑ ÓÔÒÁÔÅÇÉÉ: ÓÔÒÁÔÅÇÉÑ ÅÓÔØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á  ×ÓÅÈ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÓÌÏ× × ÄÅËÁÒÔÏ×Ï ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ N × {0; 1} × Q>0 :  −→ N × {0; 1} × Q>0 : äÌÑ ÎÁÛÉÈ ÅÌÅÊ ÏÓÏÂÙÊ ÉÎÔÅÒÅÓ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ ÕËÁÚÁÎÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ËÁËÉÍ-ÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ. ðÏÑÓÎÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÚÎÁÞÉÔ. ðÕÓÔØ A | ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÎÁ ×ÈÏÄ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÏÇÕÔ ÏÄÁ×ÁÔØÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X , Á ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y . ÷ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å X ×ÙÄÅÌÑÅÔÓÑ ÏÂÌÁÓÔØ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ A, ÓÏÓÔÏÑÝÁÑ ÉÚ ÔÅÈ É ÔÏÌØËÏ ÔÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, × ÒÉÍÅÎÅÎÉÉ Ë ËÏÔÏÒÙÍ A ÄÁÅÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ. áÌÇÏÒÉÔÍ A ÚÁÄÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ: ÏÂÌÁÓÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÜÔÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÂÌÁÓÔØÀ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, É ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÜÔÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÎÁ ÜÔÏÍ ÜÌÅÍÅÎÔÅ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÔÅÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÒÉ ÒÉÍÅÎÅÎÉÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ Ë ÜÔÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ. åÓÌÉ ÓÔÒÁÔÅÇÉÑ ÚÁÄÁÎÁ ËÁËÉÍ-ÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ, ÏÎÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ . (åÓÌÉ ÏÄÁÔØ ÎÁ ×ÈÏÄ ÚÁÄÁÀÝÅÇÏ ÓÔÒÁÔÅÇÉÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÔÁËÕÀ

þÅÔÙÒÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÈ ÌÉ Á ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ

91

ÉÓÔÏÒÉÀ ÉÇÒÙ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÞÅÒÅÄÎÏÊ ÈÏÄ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎ, ÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÎÁ ÜÔÏÍ ×ÈÏÄÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÄÏÌÇÏ, ÎÅ ÒÉÈÏÄÑ ÎÉ Ë ËÁËÏÍÕ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÕ, ÎÏ É ÎÅ ×ÙÄÁ×ÁÑ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ Ï ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÉ ÔÁËÏ×ÏÇÏ. üÔÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ËÁË ÒÁÚ É ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÚÁ ÔÏ ×ÚÑÔÏÅ éÇÒÏËÏÍ ÎÁ ÏÂÄÕÍÙ×ÁÎÉÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ×ÒÅÍÑ, Ï ËÏÔÏÒÏÍ ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ ×ÙÛÅ.) óÔÒÁÔÅÇÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÉÇÒÙ×ÁÀÝÅÊ ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ a, ÅÓÌÉ éÇÒÏË, ÒÉÍÅÎÑÀÝÉÊ ÜÔÕ ÓÔÒÁÔÅÇÉÀ × ÉÇÒÅ ÒÏÔÉ× a, ×ÙÉÇÒÙ×ÁÅÔ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÏÊ , ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÎÅÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÙÉÇÒÙ×ÁÀÝÁÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÓÔÒÁÔÅÇÉÑ, É ÎÅÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÏÊ × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. ëÌÁÓÓ ×ÓÅÈ ÎÅÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÂÕË×ÏÊ U. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ×ÓÑËÁÑ ÎÅÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÏÊ Ï ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ (ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ËÌÁÓÓÕ S) É ÞÔÏ ×ÓÑËÁÑ ÔÉÉÞÅÓËÏ-ÈÁÏÔÉÞÅÓËÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ËÌÁÓÓÁ CT) ÎÅÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÁ: CT ⊂ U ⊂ S:

éÚ×ÅÓÔÎÏ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ËÌÁÓÓ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÛÉÒÅ ËÌÁÓÓÁ ÎÅÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÙÈ: S 6= U: ïÔËÒÙÔÙÍ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ×ÏÒÏÓ Ï ÓÏ×ÁÄÅÎÉÉ ËÌÁÓÓÏ× ÈÁÏÔÉÞÅÓËÉÈ (ÏÎ ÖÅ ËÌÁÓÓ ÔÉÉÞÅÓËÉÈ) É ÎÅÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ: CT = U?? üÔÁ ×ÁÖÎÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÖÄÅÔ Ó×ÏÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ. ï ÂÅÚÏÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙÈ ÓÔÒÁÔÅÇÉÑÈ. åÓÌÉ ÉÇÒÁ ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ÏÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ, ÏÎÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÂÅÚÏÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÊ . óÔÒÁÔÅÇÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÂÅÚÏÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÊ , ÅÓÌÉ ËÁËÏ×Á ÂÙ ÎÉ ÂÙÌÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÒÏÔÉ× ÎÅÅ ÜÔÏÊ ÓÔÒÁÔÅÇÉÉ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÂÅÚÏÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÊ ÉÇÒÅ. ÷ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØÓÑ ÂÅÚÏÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙÍÉ ÓÔÒÁÔÅÇÉÑÍÉ É ÄÁÔØ ÔÁËÕÀ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ: ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÏÊ , ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÎÅÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÙÉÇÒÙ×ÁÀÝÁÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÂÅÚÏÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÁÑ ÓÔÒÁÔÅÇÉÑ. þÔÏÂÙ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏÓÔÉ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÂßÑÓÎÉÔØ, ËÁË ÍÏÖÎÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍ A, ÚÁÄÁÀÝÉÊ ×ÙÉÇÒÙ×ÁÀÝÕÀ ÓÔÒÁÔÅÇÉÀ, ÅÒÅÄÅÌÁÔØ × ÁÌÇÏÒÉÔÍ B, ÚÁÄÁÀÝÉÊ ×ÙÉÇÒÙ×ÁÀÝÕÀ ÂÅÚÏÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÕÀ ÓÔÒÁÔÅÇÉÀ. ÁËÁÑ ÅÒÅÄÅÌËÁ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅÓØÍÁ ÒÏÓÔÏ. óÅÒ×Á, Ï ÏÓÔÕÉ×ÛÅÍÕ ÎÁ ×ÈÏÄ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ A Ä×ÏÉÞÎÏÍÕ ÓÌÏ×Õ ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ÉÓÔÏÒÉÑ ÉÇÒÙ, ÞÔÏ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÚÎÁÔØ ËÁË ÎÏÍÅÒÁ ×ÓÅÈ ÏÔËÒÙÔÙÈ ÒÁÎÅÅ ËÁÒÔ, ÔÁË É ×ÅÌÉÞÉÎÕ ÔÅËÕÝÅÇÏ ËÁÉÔÁÌÁ éÇÒÏËÁ. úÁÔÅÍ ×ÓÑËÉÊ ÈÏÄ, ÒÅÄÉÓÙ×ÁÅÍÙÊ ÉÓÈÏÄÎÙÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ A, ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ ÎÁ

92

÷. á. õÓÅÎÓËÉÊ

ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ, É ÅÓÌÉ ÏÎ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅËÏÒÒÅËÔÎÙÍ, ÔÏ ÎÏ×ÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ B ÎÉËÁËÏÇÏ ÈÏÄÁ ÎÅ ×ÙÄÁÅÔ, Á ÏÂßÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ÎÁ ÕËÁÚÁÎÎÏÍ Ä×ÏÉÞÎÏÍ ÓÌÏ×Å. ïÂÏÂÝÅÎÉÅ ÎÁ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÅ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ðÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÙÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ

äÏ ÓÉÈ ÏÒ, ÄÌÑ ÒÏÓÔÏÔÙ É ÂÏÌØÛÅÊ ÎÁÇÌÑÄÎÏÓÔÉ, ÍÙ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÌÉÓØ ÓÉÔÕÁ ÉÅÊ, ËÏÇÄÁ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ×ÓÅÈ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÂÙÌÏ ÚÁÄÁÎÏ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÅ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ . ÷ÓÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÉÄÅÉ ÂÙÌÉ ×ÉÄÎÙ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ ÜÔÏÊ ÒÏÓÔÅÊÛÅÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ. äÌÑ ÏÌÎÏÔÙ ËÁÒÔÉÎÙ ÍÙ ÎÁÍÅÒÅÎÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÔÅÅÒØ ÏÂÝÕÀ ÓÉÔÕÁ ÉÀ, ËÏÇÄÁ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÚÁÄÁÎÏ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÅ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ . þÔÏ ÜÔÏ ÔÁËÏÅ, ÂÕÄÅÔ ÒÁÚßÑÓÎÅÎÏ ÏÚÖÅ. á ÓÅÊÞÁÓ ÍÙ ÈÏÔÉÍ ÓËÁÚÁÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÌÏ×, ÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÙÈ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏÂÙ ÓÄÅÌÁÔØ ÉÚÌÏÖÅÎÉÅ ÄÏÓÔÕÎÙÍ É ÔÁËÏÍÕ þÉÔÁÔÅÌÀ, ËÏÔÏÒÙÊ ÎÅ ÚÎÁËÏÍ Ó ÏÂÝÉÍ ÏÎÑÔÉÅÍ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ , ÉÌÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÏÊ ÍÅÒÙ . çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å M ÚÁÄÁÎÁ ÍÅÒÁ , ËÏÌØ ÓËÏÒÏ, ×Ï-ÅÒ×ÙÈ, ×ÙÄÅÌÅÎ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ËÌÁÓÓ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á í , ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÉÚÍÅÒÉÍÙÍÉ , É, ×Ï-×ÔÏÒÙÈ, ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚÍÅÒÉÍÏÍÕ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Õ A ÏÔÎÅÓÅÎÏ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ (A), ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÅ ÍÅÒÏÊ ÜÔÏÇÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ, ÞÔÏÂÙ ×ÙÏÌÎÑÌÉÓØ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÁËÓÉÏÍÙ, ÒÉ×ÏÄÉÔØ ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÚÄÅÓØ ÎÅ ÂÕÄÅÍ; ÏÔÍÅÔÉÍ ÔÏÌØËÏ, ÞÔÏ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅÍ ÜÔÉÈ ÁËÓÉÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁËÏÊ ÆÁËÔ: ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÉÚÍÅÒÉÍÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÉÚÍÅÒÉÍÏ É ÅÇÏ ÍÅÒÁ ÒÁ×ÎÁ ÓÕÍÍÅ ÍÅÒ ÜÔÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×. åÓÌÉ (M ) = 1, ÍÅÒÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÏÊ , ÉÌÉ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ . ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ (A) ÓÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÏ ÔÒÁËÔÕÅÔÓÑ ËÁË ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÓÌÕÞÁÊÎÏ ×ÙÂÒÁÎÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á M ÏÁÄÁÅÔ × A. ëÁÖÄÁÑ ÍÅÒÁ ÎÁ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÅÔÓÑ ÍÅÒÁÍÉ ÛÁÒÏ×. ÁË, ÄÌÑ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ (É ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÎÅÇÏ) ∀x ∈  ( x) = 2−|x|. òÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÅ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÔÏÍÕ Ó ÅÎÁÒÉÀ, ËÏÇÄÁ ÎÕÌÉ É ÅÄÉÎÉ Ù ×ÏÚÎÉËÁÀÔ × ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ Ó ÒÁ×ÎÙÍÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍÉ. âÌÉÖÁÊÛÉÍ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅÍ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ âÅÒÎÕÌÌÉ , ÉÌÉ ÂÅÒÎÕÌÌÉÅ×ÓËÏÅ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ (ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÅ ÔÁËÖÅ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÍ ), ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÎÕÌÉ É ÅÄÉÎÉ Ù ×ÏÚÎÉËÁÀÔ Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ p ÄÌÑ ÅÄÉÎÉ Ù É ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ 1 − p ÄÌÑ ÎÕÌÑ; ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ p ÕÓÌÏ×ÉÍÓÑ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÁÒÁÍÅÔÒÏÍ ÂÅÒÎÕÌÌÉÅ×ÓËÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ. åÓÌÉ ÁÒÁÍÅÔÒ ÒÁ×ÅÎ ÏÄÎÏÊ ×ÔÏÒÏÊ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÅ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. çÏ×ÏÒÑ ÆÏÒÍÁÌØÎÏ, ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ âÅÒÎÕÌÌÉ Ó ÁÒÁÍÅÔÒÏÍ p ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ( x) = pk (1 − p)|x|−k , ÇÄÅ k | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÅÄÉÎÉ × ÓÌÏ×Å x.

þÅÔÙÒÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÈ ÌÉ Á ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ

93

óÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅÍ ÓÌÕÖÉÔ ËÌÁÓÓ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ Ë×ÁÚÉÂÅÒÎÕÌÌÉÅ×ÓËÉÍÉ . ðÕÓÔØ ÄÁÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ p = hp(1); p(2); : : : ; p(k); : : :i, 0 6 p(k) 6 1. ðÒÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ  ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÏÎÏ Ë×ÁÚÉÂÅÒÎÕÌÌÉÅ×ÓËÏÅ Ó ÁÒÁÍÅÔÒÏÍ p, ËÏÌØ ÓËÏÒÏ ÄÌÑ ×ÓÑËÏÇÏ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÓÌÏ×Á x = hx1 ; : : : ; xn i ÉÍÅÅÔ Q ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ( x ) = ii==1n ri , ÇÄÅ ri = p(i) ÒÉ xi = 1 É ri = 1 − p(i) ÒÉ xi = 0. îÁ ÓÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÅÄÉÎÉ Ù É ÎÕÌÉ ÏÑ×ÌÑÀÔÓÑ Ó ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ, ÚÁ×ÉÓÑÝÅÊ ÔÏÌØËÏ ÏÔ ÎÏÍÅÒÁ ÞÌÅÎÁ. äÌÑ ÑÓÎÏÓÔÉ: ÂÅÒÎÕÌÌÉÅ×ÓËÏÅ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ Ó ÁÒÁÍÅÔÒÏÍ p Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ë×ÁÚÉÂÅÒÎÕÌÌÉÅ×ÓËÉÍ Ó ÁÒÁÍÅÔÒÏÍ hp; p; : : : ; p; : : :i. ÷ ÜÔÏÊ ÇÌÁ×ËÅ ÍÙ ÕËÁÖÅÍ ËÁË ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÎÏÓÔÉ, ÈÁÏÔÉÞÎÏÓÔÉ, ÔÉÉÞÎÏÓÔÉ É ÎÅÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÏÓÔÉ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÒÁÓÛÉÒÅÎÙ ÄÌÑ ÏÂÝÅÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ (ÞÔÏ ÜÔÏ ÔÁËÏÅ, ÂÕÄÅÔ ÒÁÚßÑÓÎÅÎÏ ÎÉÖÅ). ïÂßÑ×ÉÍ ÎÁÅÒ£Ä, ÞÔÏ ÒÉ ÜÔÉÈ ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÙÈ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑÈ ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ  ÓÏÈÒÁÎÑÀÔÓÑ ÔÅ ÖÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÂÙÌÉ ×ÙÉÓÁÎÙ ×ÙÛÅ ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÑ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ: C() = T() ⊂ U() ⊂ S(); S() 6= U() (ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ ÍÅÒÁ ÌÀÂÏÇÏ ÛÁÒÁ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ). úÄÅÓØ ÞÅÒÅÚ C(), T(), U(), S() ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÙ ÔÅ ËÌÁÓÓÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ, ÈÁÏÔÉÞÅÓËÉÈ, ÔÉÉÞÅÓËÉÈ, ÎÅÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÙÈ, ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ , ËÏÉ ÂÕÄÕÔ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ ÎÉÖÅ. (÷ ÎÁÛÉÈ ÒÅÖÎÉÈ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ C = C(), T = T(), U = U() É S = S(), ÇÄÅ  ÅÓÔØ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÅ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ.) üÔÁ ÇÌÁ×ËÁ | ÄÌÑ ÌÀÂÉÔÅÌÅÊ ÏÂÏÂÝÅÎÉÊ, É ÍÙ ÒÉÚÙ×ÁÅÍ Õ×ÁÖÁÅÍÏÇÏ þÉÔÁÔÅÌÑ ÏÄÕÍÁÔØ, ÓÔÏÉÔ ÌÉ ÅÅ ÞÉÔÁÔØ. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÏÎÁ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÔÒÕÄÎÅÅ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÇÌÁ×ÏË. ÷Ï-×ÔÏÒÙÈ, ÓÁÍÁ ÚÁÄÁÞÁ Ï ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ ÓÔÒÏÇÏÇÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÔÅÍ ÍÅÎÅÅ ÑÓÎÏÊ, ÞÅÍ ÂÏÌÅÅ ÏÂÛÉÒÎÙÍ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ËÌÁÓÓ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÊ. ÷ÅÄØ ÓÁÍÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ Ï ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ ÉÎÄÉ×ÉÄÕÁÌØÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔ ÓËÏÌØËÏ-ÎÉÂÕÄØ ÑÓÎÙÊ ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÙÊ ÓÍÙÓÌ ÌÉÛØ ÄÌÑ ÒÏÓÔÅÊÛÉÈ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ | ÔÁËÉÈ, ËÁË ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÅ É ÅÇÏ ÂÌÉÖÁÊÛÉÅ ÏÂÏÂÝÅÎÉÑ. ÷ÙÞÉÓÌÉÍÙÅ ÍÅÒÙ É ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÅ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ èÏÔÅÌÏÓØ ÂÙ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÍÅÒÕ  ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ Ï ËÁÖÄÏÍÕ Ä×ÏÉÞÎÏÍÕ ÓÌÏ×Õ x ÄÁÅÔ ÍÅÒÕ ( x) ÛÁÒÁ x. ïÄÎÁËÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÉÍÅÔØ ÄÅÌÏ Ó ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ, Á ÔÏÌØËÏ Ó ÞÉÓÌÁÍÉ ÅÌÙÍÉ, ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ

94

÷. á. õÓÅÎÓËÉÊ

É Ô. . | ÓÔÒÏÇÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÄÁÖÅ ÎÅ Ó ÞÉÓÌÁÍÉ, Á Ó ÉÈ ÉÍÅÎÁÍÉ × ×ÉÄÅ ÓÌÏ× × ËÁËÏÍ-ÌÉÂÏ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ËÏÎÅÞÎÏÍ ÁÌÆÁ×ÉÔÅ. (óÌÏ×ÏÍ × ÄÁÎÎÏÍ ÁÌÆÁ×ÉÔÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÀÂÁÑ ËÏÎÅÞÎÁÑ ÅÏÞËÁ, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÁÑ ÉÚ ÂÕË× ÜÔÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ.) äÁÔØ ÖÅ ÉÍÅÎÁ ×ÓÅÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÍ ÞÉÓÌÁÍ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ ×ÓÅ ÓÌÏ×Á × Î£Í ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÌÉÛØ ÓÞÅÔÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ÔÒÅÂÏ×ÁÔØ ÌÉÛØ ÎÁÌÉÞÉÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÄÁÀÝÅÇÏ ÎÅ ÓÁÍÏ£ ÍÅÒÕ ÛÁÒÁ, Á ÓËÏÌØ ÕÇÏÄÎÏ ÔÏÞÎÏÅ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÅ Ë ÎÅÊ. ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÔÁËÏ×Ï. íÅÒÕ  ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ , ËÏÌØ ÓËÏÒÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÓÌÏ×Á x É ËÁÖÄÏÇÏ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ " ×ÙÄÁÅÔ ÔÁËÏÅ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ËÏÔÏÒÏÅ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÍÅÒÙ ( x) ÛÁÒÁ x ÎÅ ÂÏÌÅÅ, ÞÅÍ ÎÁ ". éÎÏÇÄÁ × ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÓÔÉ ×ËÌÀÞÁÀÔ ÅÝÅ É ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÅ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÔÁËÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÓÌÏ×Á x ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ, ÉÍÅÅÔ ÌÉ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ( x) = 0. ÷ÙÞÉÓÌÉÍÙÅ ÍÅÒÙ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ ÜÔÏÍÕ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÍÕ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÀ (ËÏÔÏÒÏÅ ÍÙ ÎÅ ×ËÌÀÞÁÅÍ × ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÓÔÉ), ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÓÉÌØÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÍÉ . úÁÍÅÔÉÍ. ÞÔÏ ÉÚ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÓÔÉ ÍÅÒÙ ÎÅ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ËÁË ÍÏÇÌÏ ÂÙ ÏËÁÚÁÔØÓÑ, ÅÅ ÓÉÌØÎÁÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÓÔØ. ÷ÁÖÎÙÍ ÏÄËÌÁÓÓÏÍ ËÌÁÓÓÁ ÓÉÌØÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÈ ÍÅÒ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÌÁÓÓ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏ-ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÍÅÒ. õÓÌÏ×ÉÍÓÑ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÍÅÒÕ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏ-ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ , ÅÓÌÉ ÍÅÒÁ ËÁÖÄÏÇÏ ÛÁÒÁ ÅÓÔØ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ×ÙÞÉÓÌÑÀÝÉÊ ÜÔÕ ÍÅÒÕ Ï ÚÁÄÁÎÎÏÍÕ ÛÁÒÕ, Ô. Å., ÎÁ ÂÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏÍ ÑÚÙËÅ, ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÓÌÏ×Á x ×ÙÄÁÅÔ ÄÒÏÂØ, ×ÙÒÁÖÁÀÝÕÀ ÍÅÒÕ ( x ) ÛÁÒÁ x . úÁÍÅÔÉÍ ÄÌÑ ÑÓÎÏÓÔÉ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÍÅÒÁ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁ, Á ÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÁ ÛÁÒÁÈ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙ, ÔÏ ÏÔÓÀÄÁ ÅÝÅ ÎÅ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÏÎÁ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏ-ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÁ: ÕÍÅÎÉÅ ÎÁÈÏÄÉÔØ ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÓËÏÌØ ÕÇÏÄÎÏ ÔÏÞÎÙÅ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÑ Ë ÎÅÍÕ ÅÝÅ ÎÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÕÍÅÎÉÑ ×ÙÉÓÁÔØ ÓÁÍÏ ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ × ×ÉÄÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ! ÅÅÒØ ÎÅÔ ÎÕÖÄÙ ÏÔÄÅÌØÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÔØ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÅ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ, | ÜÔÏ ÒÏÓÔÏ-ÎÁÒÏÓÔÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÁÑ ÍÅÒÁ. éÍÅÎÎÏ ÎÁ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÅ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÂÏÂÝÁÀÔÓÑ ÍÎÏÇÉÅ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ É ÆÁËÔÙ, ÉÚÌÏÖÅÎÎÙÅ ÎÁÍÉ ÄÌÑ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÅÒÎÙ ËÁË ÔÅÏÒÅÍÁ íÁÒÔÉÎ-ì£ÆÁ , ÕÔ×ÅÒÖÄÁÀÝÁÑ, ÞÔÏ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÓÁÍÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÂÏÌØÛÉÍ, ÔÁË É ÔÅÏÒÅÍÁ ìÅ×ÉÎÁ , ÕÔ×ÅÒÖÄÁÀÝÁÑ, ÞÔÏ ÔÉÉÞÎÏÓÔØ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÈÁÏÔÉÞÎÏÓÔÉ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÊ ÜÎÔÒÏÉÉ.

þÅÔÙÒÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÈ ÌÉ Á ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ

óÔÏÈÁÓÔÉÞÎÏÓÔØ

95

äÌÑ ËÁËÏÊ-ÌÉÂÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ e ÅÅ k-Ê ÞÌÅÎ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ ek ÉÌÉ, ÄÁÂÙ ÉÚÂÅÖÁÔØ ÍÎÏÇÏÜÔÁÖÎÙÈ ÉÎÄÅËÓÏ×, e(n). ÷ ÓÌÕÞÁÅ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÎÏÓÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÎÉÍÁÌÁÓØ ËÁË ÇÌÏÂÁÌØÎÁÑ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔØ ÞÁÓÔÏÔ , Ô. Å. ËÁË ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔØ ÞÁÓÔÏÔ × ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÄÏÕÓÔÉÍÙÈ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ. äÏÕÓÔÉÍÙÅ ÖÅ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ×ÏÚÎÉËÁÌÉ ÕÔÅÍ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÄÏÕÓÔÉÍÙÈ Ï ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ ÒÁ×ÉÌ ÏÔÂÏÒÁ. ÷ ÓÉÔÕÁ ÉÉ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÏÊ ÍÅÒÙ ÏÂÝÁÑ ÓÈÅÍÁ ÓÏÈÒÁÎÑÅÔÓÑ, ÔÏÌØËÏ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔØ ÞÁÓÔÏÔ ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÅÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï, Á ÉÍÅÎÎÏ | ÎÁ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÚÁËÏÎ ÂÏÌØÛÉÈ ÞÉÓÅÌ . ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÂÅÒÎÕÌÌÉÅ×ÓËÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ Ó ÁÒÁÍÅÔÒÏÍ p ÏÞÅ×ÉÄÎÏ: ÎÁÄÏ ÏÔÒÅÂÏ×ÁÔØ, ÞÔÏÂÙ × ËÁÖÄÏÊ ÄÏÕÓÔÉÍÏÊ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÓÏÂÌÀÄÁÌÁÓØ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔØ ÞÁÓÔÏÔ Ó ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ÒÅÄÅÌØÎÏÊ ÞÁÓÔÏÔÏÊ p. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÄÏÌÑ ÅÄÉÎÉ × ÎÁÞÁÌØÎÏÍ ÏÔÒÅÚËÅ ×ÓÑËÏÊ ÄÏÕÓÔÉÍÏÊ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÏÌÖÎÁ, ÒÉ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÍ ÕÄÌÉÎÅÎÉÉ ÏÔÒÅÚËÁ, ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë p. óÌÕÞÁÉ, ËÏÇÄÁ p = 0 ÉÌÉ p = 1 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÍÉ; ÄÌÑ ÅÒ×ÏÇÏ ÉÚ ÎÉÈ ÎÅ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, × ËÏÔÏÒÏÊ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÁ ÅÄÉÎÉ Á, ÄÌÑ ×ÔÏÒÏÇÏ | ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, × ËÏÔÏÒÏÊ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÉÎ ÎÏÌØ. æÏÎ íÉÚÅÓ ÏÎÉÍÁÌ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ËÁË ÒÅÄÅÌØÎÕÀ ÞÁÓÔÏÔÕ. ðÏÜÔÏÍÕ ÅÇÏ ÉÄÅÏÌÏÇÉÑ ÎÅ ÒÏÓÔÉÒÁÅÔÓÑ ÚÁ ÒÅÄÅÌÙ ÂÅÒÎÕÌÌÉÅ×ÓËÉÈ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÊ. íÏÓÔÏÍ Ë ÏÂÝÅÍÕ ÓÌÕÞÁÀ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÌÕÖÁÔ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ Ë×ÁÚÉÂÅÒÎÕÌÌÉÅ×ÓËÉÅ. éÍÉ É ÚÁÊÍÅÍÓÑ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ Ë×ÁÚÉÂÅÒÎÕÌÌÉÅ×ÓËÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÒÅÄÅÌØÎÏÊ ÞÁÓÔÏÔÙ × ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÍÏÖÅÔ É ÎÅ ÂÙÔØ, Á ÅÓÌÉ ÏÎÁ É ÅÓÔØ, ÔÏ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, × ËÁÖÄÏÊ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ | Ó×ÏÑ. ðÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÏÜÔÏÍÕ ÇÏ×ÏÒÉÔØ Ï ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÎÏÓÔÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÁ×ÉÌÁ ÏÔÂÏÒÁ. ðÕÓÔØ p | ÁÒÁÍÅÔÒ Ë×ÁÚÉÂÅÒÎÕÌÌÉÅ×ÓËÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁÑ×ÉÍ, ÞÔÏ ÎÅ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏÇÏ ÅÅ ÞÌÅÎÁ ÉÍÅÅÔ ÎÕÌÅ×ÕÀ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ. éÌÉ, ÇÏ×ÏÒÑ ÎÁ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÑÚÙËÅ: ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ a ÎÅ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÏÊ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ k, ÞÔÏ ÌÉÂÏ a(k) = 0 É p(k) = 1, ÌÉÂÏ a(k) = 1 É p(k) = 0. äÌÑ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÔÁËÏ×Ï. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ a ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÁ×ÉÌÁ ÏÔÂÏÒÁ , ËÏÌØ ÓËÏÒÏ ÅÅ ÏÂÏÂÝÅÎÎÁÑ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ b = ha(m1 ); a(m2 ); : : : ; a(mk ); : : :i; ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ Ï ÜÔÏÍÕ ÒÁ×ÉÌÕ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÀ ÚÁËÏÎÁ ÂÏÌØÛÉÈ

96

÷. á. õÓÅÎÓËÉÊ

ÞÉÓÅÌ:

a(m1 ) + · · · + a(mk ) p(m1 ) + · · · + p(mk ) − →0 k k ÒÉ k → ∞. äÁÌÅÅ, ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ a ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÏÊ (Ï ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ ), ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ËÏÌÍÏÇÏÒÏ×ÓËÏÇÏ ÒÁ×ÉÌÁ, ÒÉ×ÏÄÑÝÅÇÏ Ë

ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ ÏÂÏÂÝÅÎÎÏÊ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÜÔÏÇÏ ÒÁ×ÉÌÁ. (úÁÍÅÞÁÎÉÅ. óÌÏ×Ï €ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏʁ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÆÒÁÚÅ ÉÚÂÙÔÏÞÎÏ, ÔÁË ËÁË ×ÓÑËÁÑ ÏÂÏÂÝÅÎÎÁÑ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ, Á ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÂÅÓËÏÎÅÞÎÁ Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÎÏÇÄÁ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÜÔÏ ÆÏÒÍÁÌØÎÏ ÉÚÂÙÔÏÞÎÏÅ ÕÏÍÉÎÁÎÉÅ Ï ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ, ÄÁÂÙ ÏÄÞÅÒËÎÕÔØ, ÞÔÏ ÉÍÅÅÔÓÑ × ×ÉÄÕ ÉÍÅÎÎÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, Á ÎÅ ËÏÒÔÅÖ.) þÔÏÂÙ ÏÂßÑÓÎÉÔØ, ËÁË ÏÎÑÔÉÅ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÎÏÓÔÉ Ï ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ ÏÂÏÂÝÁÅÔÓÑ ÎÁ ÂÏÌÅÅ ÛÉÒÏËÉÊ ËÌÁÓÓ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÈ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÊ, ××ÅÄÅÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ. ðÕÓÔØ n(1); n(2); : : : ; n(k) ÓÕÔØ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ É ÕÓÔØ i(1); i(2); : : : ; (1);:::;n(k) ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÏÓÌÅÄÏi(k) ∈ {0; 1}. þÅÒÅÚ Ani(1) ;:::;i(k) ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ a ∈ , Õ ËÏÔÏÒÙÈ an(1) = i(1); an(2) = i(2); : : : ; an(k) = i(k): (∗) äÒÏÂØ (1); :::; n(k); m )=(An(1); :::; n(k) ) (Ani(1) ; :::; i(k); 1 i(1); :::; i(k)   m n (1) ; : : : ; n ( k ) ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ  1 i(1); : : : ; i(k) ; ÜÔÏ ÅÓÔØ ÕÓÌÏ×ÎÁÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ m-Ê ÞÌÅÎ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ a ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÅÎ 1 ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ (∗); ÜÔÁ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ, ËÏÌØ ÓËÏÒÏ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ ÄÒÏÂÉ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ä×Á ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ, ÎÏ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÏÂßÅËÔÁ: ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ a ∈ É ÄÏÕÓÔÉÍÏÅ Ï ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ ÒÁ×ÉÌÏ ÏÔÂÏÒÁ . îÁÛÁ ÅÌØ | ÒÉÄÁÔØ ÓÍÙÓÌ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÀ €ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ a ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÎÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÁ×ÉÌÁ . ðÒÏ ÅÓÓ, ÏÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÁ×ÉÌÏ  ÏÔÂÉÒÁÅÔ ÉÚ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ a ÞÌÅÎÙ ÏÂÏÂÝÅÎÎÏÊ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ b, ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ Ä×ÕÈ ÜÔÁÏ×. îÁ ÅÒ×ÏÍ ÜÔÁÅ ÓÔÒÏÉÔÓÑ ×ÓÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÁÑ ÏÂÏÂÝÅÎÎÁÑ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ , ÉÚ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÞÌÅÎÏ× ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁ ×ÔÏÒÏÍ ÜÔÁÅ É ÓÔÒÏÉÔÓÑ b. âÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÏ,

= han(1) ; an(2) ; : : : ; an(k) ; : : :i; ÇÄÅ ÎÏÍÅÒ n(k) ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉ Ï ËÏÒÔÅÖÕ han(1) ; an(2) ; : : : ; an(k−1) i. éÍÅÑ ÎÁ ×ÈÏÄÅ ÜÔÏÔ ÖÅ ËÏÒÔÅÖ, ÒÁ×ÉÌÏ  ÒÅÛÁÅÔ, ×ËÌÀÞÁÔØ ÉÌÉ ÎÅÔ ÞÌÅÎ an(k) × ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ b. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, b = ha(n(k1 )); a(n(k2 )); : : : ; a(n(kj )); : : :i:

þÅÔÙÒÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÈ ÌÉ Á ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ

97

îÁ ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ÏÂÏÉÈ ÜÔÁÏ× ÍÏÖÅÔ ÎÁÓÔÕÉÔØ ÍÏÍÅÎÔ, ËÏÇÄÁ ÒÁ×ÉÌÏ  ÎÅ ÄÁÓÔ ÎÉËÁËÏÇÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ, Ô. Å. ÎÅ ×ÙÄÁÓÔ ÎÏÍÅÒÁ ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ÜÔÁÅ ÉÌÉ ÎÅ ÒÉÍÅÔ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÁ ×ÔÏÒÏÍ ÜÔÁÅ. åÓÌÉ ÔÁËÏÅ ÒÏÉÚÏÊÄÅÔ, ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ b ÏËÁÖÅÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÏÊ | Ô. Å., ÇÏ×ÏÒÑ ÂÏÌÅÅ ÓÔÒÏÇÏ, ÏËÁÖÅÔÓÑ ÎÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ, Á ËÏÒÔÅÖÅÍ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÉËÁËÏÇÏ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑ Ë b ÎÅ ×ÙÄ×ÉÇÁÅÔÓÑ É, ÇÏ×ÏÒÑ ÆÏÒÍÁÌØÎÏ, a ÒÉÚÎÁ£ÔÓÑ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ . åÓÌÉ ÖÅ b ÏËÁÚÁÌÏÓØ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ, ÔÏ ÄÌÑ ÒÉÚÎÁÎÉÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ a ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ  ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÎÉÖÅÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ a. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ rj ×ÅÌÉÞÉÎÕ   n(1); n ( k ) n (2) : : : ; n ( k − 1) j j  1 a(n(1)); a(n(2)) : : : ; a(n(kj − 1)) : òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÁÚÎÏÓÔØ

Æj = r + r +j · · · + rj − a(n(k )) + a(n(k j)) + · · · + a(n(kj )) : ÷ÅÌÉÞÉÎÁ Æj ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ, ÅÓÌÉ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÁ ÉÚ ×ÅÌÉÞÉÎ r1; : : : ; rj . óËÁÖÅÍ, ÞÔÏ b ÏÄÞÉÎÑÅÔÓÑ ÚÁËÏÎÕ ÂÏÌØÛÉÈ ÞÉÓÅÌ, ÅÓÌÉ ×ÓÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ Æj ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ É Æj → 0 ÒÉ j → ∞. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ a ÎÁÚÏ×ÅÍ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÁ×ÉÌÁ , ÅÓÌÉ ÏÂÏÂÝÅÎÎÁÑ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ b, ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ ÉÚ a ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÒÁ×ÉÌÕ , ÏÄÞÉÎÑÅÔÓÑ ÚÁËÏÎÕ 1

2

1

2

ÂÏÌØÛÉÈ ÞÉÓÅÌ. îÁËÏÎÅ , ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ a ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÏÊ (Ï ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ ), ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÄÏÕÓÔÉÍÏÇÏ Ï ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ ÒÁ×ÉÌÁ ÏÔÂÏÒÁ ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÜÔÏÇÏ ÒÁ×ÉÌÁ | ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÒÁ×ÉÌÏ ÓÔÒÏÉÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÕÀ ÏÂÏÂÝÅÎÎÕÀ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (Á ÎÅ ËÏÎÅÞÎÙÊ ËÏÒÔÅÖ). úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÓÁÍÏÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÓÔØ ÍÅÒÙ ÎÅ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ. ïÄÎÁËÏ ÂÅÚ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ Ï ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÓÔÉ ÅÄ×Á ÌÉ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÔØ ÞÁÓÔÏÔÏÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔØ (ÏÎÁ ÖÅ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÎÏÓÔØ) Ó ÄÒÕÇÉÍÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÍÉ ÌÉ ÁÍÉ ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ. èÁÏÔÉÞÎÏÓÔØ

ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÈÁÏÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÍÅÒÙ , ÔÁËÏ×Ï. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ a = ha1 ; a2 ; a3 ; : : :i ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÈÁÏÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ , ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ (ÚÁ×ÉÓÑÝÁÑ ÏÔ ÍÅÒÙ ) ËÏÎÓÔÁÎÔÁ

, ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ n ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï KM(a1 ; a2 ; : : : ; an ) > − log ( a1 ;a2 ;:::;an ) − ; ÇÄÅ, ËÁË ×ÓÅÇÄÁ, ÚÎÁË ÌÏÇÁÒÉÆÍÁ ÂÅÚ ÎÉÖÎÅÇÏ ÉÎÄÅËÓÁ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÌÏÇÁÒÉÆÍ Ï ÏÓÎÏ×ÁÎÉÀ Ä×Á.

98

÷. á. õÓÅÎÓËÉÊ

íÏÔÉ×ÉÒÏ×ËÁ ÜÔÏÇÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ, ÉÍÅÀÝÅÇÏ ÓÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÙÊ ÓÍÙÓÌ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÈ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÈ ÍÅÒ, ÔÁËÁÑ ÖÅ, ËÁË É × ÓÌÕÞÁÅ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ. äÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÑËÏÊ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÏÊ ÍÅÒÙ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ: ∃ ∀x ∈  KM(x) < − log ( x ) + : ÉÉÞÎÏÓÔØ

ðÏÎÑÔÉÅ ÔÉÉÞÎÏÓÔÉ ÏÂÏÂÝÁÅÔÓÑ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÍÅÒÕ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ | ÎÁÄÏ ÒÏÓÔÏ × ÔÏÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÔÉÉÞÅÓËÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÏÅ ÄÁ×ÁÌÏÓØ ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÑ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ, ÚÁÍÅÎÉÔØ ÏÂß£Í ÛÁÒÁ ÎÁ ÅÇÏ ÍÅÒÕ. óÅÒ×Á ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÏÎÑÔÉÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÍÁÌÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. íÎÏÖÅÓÔ×Ï Q ⊂ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÍÁÌÙÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÍÅÒÙ , ËÏÌØ ÓËÏÒÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ A, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÊ ÎÉÖÅÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÀ. ðÒÉ ÏÓÔÕÌÅÎÉÉ ÎÁ ×ÈÏÄ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ A ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ m ÎÁ ÅÇÏ ×ÙÈÏÄÅ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÔÁËÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÓÌÏ× hx(1); x(2); : : : ; x(n); : : :i (Ô. Å. ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÔÁËÏÊ ÆÕÎË ÉÉ n 7→ x(n)), ÞÔÏ

Q⊂

X n

[ n

x(n) ;

( x(n)) < m1 :

äÁÌÅÅ, ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÂÏÌØÛÏÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÍÅÒÙ  ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ (ÄÏ ) Ë ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÍÁÌÏÍÕ. äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÈ ÍÅÒ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÔÅÏÒÅÍÁ íÁÒÔÉÎ-ì£ÆÁ : ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÍÁÌÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÍÁÌÙÍ, Á ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ | ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÂÏÌØÛÉÍ. óÕÝÅÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÂÏÌØÛÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ËÏÎÓÔÒÕËÔÉ×ÎÙÍ ÎÏÓÉÔÅÌÅÍ ÍÅÒÙ . ÷ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ  | ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÅ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ, ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ ËÏÎÓÔÒÕËÔÉ×ÎÏÍÕ ÎÏÓÉÔÅÌÀ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ , É ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÉÉÞÅÓËÉÍÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÜÔÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, T() ÅÓÔØ ÎÅ ÞÔÏ ÉÎÏÅ ËÁË ËÏÎÓÔÒÕËÔÉ×ÎÙÊ ÎÏÓÉÔÅÌØ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ . îÅÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÏÓÔØ

úÄÅÓØ ÍÙ ÕËÁÖÅÍ, ÞÔÏ, ÒÉ ÅÒÅÈÏÄÅ Ë ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑÍ, ÎÕÖÎÏ ÄÏÂÁ×ÉÔØ Ë ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑÍ, ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÄÌÑ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÓÌÕÞÁÑ. ÁËÉÈ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÊ ÂÕÄÅÔ Ä×Á: ÎÅËÉÊ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÙÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ (ÄÌÑ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÏÎ ÒÁ×ÅÎ ÅÄÉÎÉ Å É ÏÔÏÍÕ ÎÅ

þÅÔÙÒÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÈ ÌÉ Á ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ

99

ÎÕÖÅÎ) É ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ (× ÓÌÕÞÁÅ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÏÎÏ ÏÔÏÍÕ ÎÅ ÎÕÖÎÏ, ÞÔÏ ÎÅ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÔÁËÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÎÏ ÍÏÇÌÏ ÂÙ ÂÙÔØ ÒÉÍÅÎÅÎÏ). òÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ×ÌÉÑÅÔ ÎÁ ÒÁ×ÉÌÏ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ËÁÉÔÁÌÁ éÇÒÏËÁ ÏÓÌÅ ÏÞÅÒÅÄÎÏÇÏ ÈÏÄÁ. åÓÌÉ éÇÒÏË ÎÅ ÕÇÁÄÁÌ, ÅÇÏ ËÁÉÔÁÌ ÕÍÅÎØÛÁÅÔÓÑ ÎÁ ÓÕÍÍÕ ÓÄÅÌÁÎÎÏÊ ÉÍ ÓÔÁ×ËÉ | ÔÁË ÖÅ, ËÁË É × ÓÌÕÞÁÅ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ. îÏ ÅÓÌÉ éÇÒÏË ÕÇÁÄÁÌ, ÔÏ ÒÉÒÏÓÔ ÅÇÏ ËÁÉÔÁÌÁ ÒÁ×ÎÑÅÔÓÑ ÓÔÁ×ËÅ, ÕÍÎÏÖÅÎÎÏÊ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ. üÔÏÔ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÓÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÏ ×ÅÌÉË, ÅÓÌÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÕÇÁÄÁÔØ ÂÙÌÁ ÎÉÚËÁ, É ÓÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÏ ÍÁÌ, ÅÓÌÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÕÇÁÄÁÔØ ÂÙÌÁ ×ÙÓÏËÁ. äÌÑ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÕÇÁÄÁÔØ ×ÓÅÇÄÁ ÒÁ×ÎÁ ÏÄÎÏÊ ×ÔÏÒÏÊ, Á ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ×ÓÅÇÄÁ ÒÁ×ÅÎ ÅÄÉÎÉ Å. ÏÞÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ ÒÁ×ÉÌÁ ÒÉÒÏÓÔÁ ËÁÉÔÁÌÁ ÂÕÄÅÔ ÓÅÊÞÁÓ ÉÚÌÏÖÅÎÁ. äÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ a ÅÅ k-Ê ÞÌÅÎ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ ak , ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ a′ ÅÅ k-Ê ÞÌÅÎ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ a′k , É Ô. Ä. èÏÄ, ÄÅÌÁÅÍÙÊ ÎÁ j -Í ÈÏÄÕ, ÅÓÔØ ÔÒÏÊËÁ hn(j ); i(j ); v(j )i. ðÕÓÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ËÏÔÏÒÏÊ ÒÁÓÏÌÁÇÁÅÔ ëÁÚÉÎÏ, ÅÓÔØ a. ðÏÌÏÖÉÍ A(k − 1) = {a′ ∈ : a′n(j) = an(j) ÒÉ j = 1; 2 : : : ; k − 1} (ÔÁË ÞÔÏ A(0) = ), Ai(k) = {a′ ∈ A(k − 1) : a′n(k) = i} ÄÌÑ i = 0; 1: òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÜÔÉ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÉÍÅÀÔ ÓÍÙÓÌ × ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÕÞÁÓÔ×ÕÀÝÉÅ × ÉÈ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑÈ ÎÏÍÅÒÁ n(l) ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ. ðÏÌÅÚÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ

= A(0) ⊃ A(1) ⊃ A(2) ⊃ : : : ; (1) 1 = (A(0)) > (A(1)) > (A(2)) > : : : ; (2) ÅÓÌÉ éÇÒÏË ÎÁ k-Í ÈÏÄÕ ÕÇÁÄÁÌ, ÔÏ i(k) = an(k) ; Ai(k) (k) = A(k); (3) ÅÓÌÉ éÇÒÏË ÎÁ k-Í ÈÏÄÕ ÎÅ ÕÇÁÄÁÌ, ÔÏ i(k) 6= an(k) ; A1−i(k) (k) = A(k); (4) A(k − 1) = A0(k) ∪ A1 (k): (5) ÷ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ i(k) = an(k) (ÒÏÇÎÏÚ éÇÒÏËÁ ÎÁ ÅÇÏ k-Í ÈÏÄÅ ÏÒÁ×ÄÁÌÓÑ | ÏÎ ÕÇÁÄÁÌ), ËÁÉÔÁÌ éÇÒÏËÁ Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÅÔÓÑ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ V (k) = V (k − 1) + v(k)(A1−i(k) (k))=(Ai(k) (k)): (6) îÁÛÁ ÆÏÒÍÕÌÁ (6) ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÔ €ÞÅÓÔÎÏÓÔ؁ ÉÇÒÙ: ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÖÉÄÁÎÉÅ ×ÙÉÇÒÙÛÁ, ÔÏ ÅÓÔØ ÒÉÒÏÓÔÁ ËÁÉÔÁÌÁ, ÚÁ ÏÄÉÎ ÈÏÄ ÒÁ×ÎÏ ÎÕÌÀ. ïÄÎÁËÏ ÎÁ ÕÔÉ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÎÁÓ ÏÄÓÔÅÒÅÇÁÅÔ ÎÅÒÉÑÔÎÏÓÔØ, ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÁÑ ÄÌÑ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ | ËÁË É ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ

100

÷. á. õÓÅÎÓËÉÊ

ÏÚÉÔÉ×ÎÏÊ ÍÅÒÙ (ÍÅÒÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÚÉÔÉ×ÎÏÊ, ÅÓÌÉ ÍÅÒÁ ÌÀÂÏÇÏ ÛÁÒÁ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ). îÅÒÉÑÔÎÏÓÔØ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÓÔÏÑÝÁÑ × ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ (Ai(k) (k)) ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÒÁ×ÎÏÊ ÎÕÌÀ. üÔÁ ÎÅÒÉÑÔÎÏÓÔØ ÕÓÔÒÁÎÑÅÔÓÑ ÕÔÅÍ ××ÅÄÅÎÉÑ äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÁ×ÉÌÁ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÙ ÓÅÊÞÁÓ ÒÉ×ÅÄÅÍ. ÷ ÓÌÕÞÁÅ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÜÔÏ ÒÁ×ÉÌÏ ÂÙÌÏ ÉÚÌÉÛÎÉÍ, ÏÓËÏÌØËÕ ÒÅÄÕÓÍÏÔÒÅÎÎÁÑ × Î£Í ÓÉÔÕÁ ÉÑ ÎÅ ÍÏÇÌÁ ×ÓÔÒÅÔÉÔØÓÑ. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ. ïÎÏ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ × ÈÏÄÅ ÉÇÒÙ ×ÅÒ×ÙÅ ÎÁÓÔÕÁÅÔ ÔÁËÁÑ ÓÉÔÕÁ ÉÑ, ÞÔÏ (A(k)) = 0 (ÒÏÓÉÍ þÉÔÁÔÅÌÑ ×ÚÇÌÑÎÕÔØ ÎÁ ÆÏÒÍÕÌÕ (2)). ðÕÓÔØ (A(k − 1)) 6= 0, (A(k)) = 0. ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÈÏÄ, ËÏÔÏÒÙÊ ÂÙÌ ÓÄÅÌÁÎ, ÉÍÅÌ ÎÏÍÅÒ k. äÅÌÁÑ ÜÔÏÔ ÈÏÄ, éÇÒÏË ÏÂßÑ×ÉÌ Ó×ÏÊ ÒÏÇÎÏÚ i(k). åÓÌÉ ÒÏÇÎÏÚ ÏËÁÚÁÌÓÑ ×ÅÒÎÙÍ, ÔÏ ÅÓÔØ ÏËÁÚÁÌÏÓØ, ÞÔÏ i(k) = an(k) , ÉÇÒÁ ÏÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ, Á ËÁÉÔÁÌ éÇÒÏËÁ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ×ÏÚÒÏÓÛÉÍ ÄÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ: V (k) = +∞. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ éÇÒÏË ÏÂßÑ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÙÉÇÒÁ×ÛÉÍ. åÓÌÉ ÖÅ ÒÏÇÎÏÚ ÏËÁÚÁÌÓÑ ÎÅ×ÅÒÎÙÍ, Ô. Å. ÏËÁÚÁÌÏÓØ, ÞÔÏ i(k) 6= an(k) (ÉÌÉ, ÞÔÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ, 1 − i(k) = an(k) ), ÉÇÒÁ ÏÑÔØ-ÔÁËÉ ÏÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ, ÎÏ Ó ÔÅÍ ËÁÉÔÁÌÏÍ éÇÒÏËÁ V (k), ËÏÔÏÒÙÊ Õ ÎÅÇÏ ÂÙÌ Ë ÜÔÏÍÕ ÍÏÍÅÎÔÕ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ éÇÒÏË ÎÅ ×ÙÉÇÒÙ×ÁÅÔ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÒÏÂÌÅÍÁ Ó ÎÕÌÅ×ÙÍ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅÍ × ÆÏÒÍÕÌÅ (6) ÕÓÔÒÁÎÑÅÔÓÑ ÜÔÉÍ ÒÁ×ÉÌÏÍ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÆÏÒÍÕÌÁ (6) ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÌÉÛØ × ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ i(k) = an(k) . ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ (3), Ai(k) (k) = A(k). ðÏÜÔÏÍÕ ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÝÉÊ ÎÁÓ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÎÕÌÅ×ÙÍ ÌÉÛØ × ÓÉÔÕÁ ÉÉ, ËÏÇÄÁ (A(k)) = 0. îÏ ÉÍÅÎÎÏ ÜÔÁ ÓÉÔÕÁ ÉÑ ËÁË ÒÁÚ É ÒÅÇÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÎÅ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (6), Á ÎÁÛÉÍ äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÍ ÒÁ×ÉÌÏÍ. (íÏÖÎÏ, ×ÒÏÞÅÍ, ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ É ÆÏÒÍÕÌÏÊ (6), | ÅÓÌÉ ÒÁÚÒÅÛÉÔØ ÄÅÌÅÎÉÅ ÎÁ ÎÕÌØ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ (A1−i(k) (k)) É ÒÉÎÑÔØ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ ÔÁËÏÇÏ ÄÅÌÅÎÉÑ.) ïÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÔÒÁÔÅÇÉÉ, ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ ÓÔÒÁÔÅÇÉÉ, ÂÅÚÏÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÊ ÓÔÒÁÔÅÇÉÉ, ×ÙÉÇÒÙ×ÁÀÝÅÊ ÓÔÒÁÔÅÇÉÉ ÏÓÔÁÀÔÓÑ, Ó ÕÞÅÔÏÍ ÓÄÅÌÁÎÎÙÈ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÊ, ÄÌÑ ÏÂÝÅÇÏ ÓÌÕÞÁÑ ÔÅÍÉ ÖÅ, ËÁË É ÄÌÑ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÓÌÕÞÁÑ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ. ï ÂÅÚÏÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙÈ ÓÔÒÁÔÅÇÉÑÈ. ÷ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÒÏËÏÍÍÅÎÔÉÒÕÅÍ ÔÅ

ÒÅÄÕÓÍÏÔÒÅÎÎÙÅ ÒÁ×ÉÌÁÍÉ ÓÉÔÕÁ ÉÉ, ËÏÇÄÁ ÉÇÒÁ ÏÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÎÅ ×ËÌÀÞÅÎÙ × ÏÎÑÔÉÅ ÓÔÒÁÔÅÇÉÉ. óÔÒÁÔÅÇÉÑ ÌÉÛØ ÕËÁÚÙ×ÁÅÔ ÏÞÅÒÅÄÎÏÊ ÈÏÄ ÉÌÉ ÎÅ ÕËÁÚÙ×ÁÅÔ ÎÉÞÅÇÏ, ÅÓÌÉ ÔÁËÏ×ÏÊ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎ; ÎÏ × ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÇÒÁ ÎÅ ÏÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ, Á ÒÏÓÔÏ éÇÒÏË ÚÁÄÕÍÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ×ÅÞÎÏ | ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ ÓÔÒÁÔÅÇÉÉ ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, × ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ, ÞÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÕËÁÚÁÎÉÑ ÈÏÄÁ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÂÅÚÏÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏ, ÎÅ ÒÉÈÏÄÑ ÎÉ Ë ËÁËÏÍÕ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÕ. ïÓÔÁÎÏ×ËÉ ÖÅ ÒÅÇÕÌÉÒÕÀÔÓÑ

þÅÔÙÒÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÈ ÌÉ Á ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ

101

Ó×ÏÉÍÉ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÒÁ×ÉÌÁÍÉ, €×ÎÅÛÎÉÍɁ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë ÓÔÒÁÔÅÇÉÉ. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁÛÉ ÒÁ×ÉÌÁ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÉÈ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÏÚ×ÏÌÑÀÝÉÊ × ÌÀÂÏÊ ÍÏÍÅÎÔ ÏÒÅÄÅÌÑÔØ, ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÌÉ ÎÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÏÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÔØ ÉÇÒÕ, × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÅÎ. ëÏÎËÒÅÔÎÏ, ÄÌÑ ïÓÎÏ×ÎÏÇÏ ÒÁ×ÉÌÁ ÒÅÞØ ÉÄÅÔ Ï ÒÏ×ÅÒËÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÅÇÏ ÓÔÁ×ËÕ É ËÁÉÔÁÌ, Á ÄÌÑ äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÁ×ÉÌÁ | Ï ÒÏ×ÅÒËÅ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÍÅÒÙ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÍÅÒÁ ÓÉÌØÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁ, ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÓÏ ×ÔÏÒÏÊ ÉÚ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÒÏ×ÅÒÏË ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÄÌÑ ×ÓÑËÏÊ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏ-ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ (× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÊ) ÍÅÒÙ ÏÞÅ×ÉÄÎÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÏÂÅÉÈ ÒÏ×ÅÒÏË, ÎÏ, Ï×ÔÏÒÑÅÍ, ÏÄÏÂÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÍÏÇÕÔ É ÏÔÓÕÔÓÔ×Ï×ÁÔØ × ÓÌÕÞÁÅ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÏ ÕÓÔÒÏÅÎÎÏÊ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ ÍÅÒÙ. ÷×ÉÄÕ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÉÎÔÅÒÅÓ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÒÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÏÎÑÔÉÑ ÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØÓÑ ÏÄÎÉÍÉ ÔÏÌØËÏ ÂÅÚÏÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙÍÉ ÓÔÒÁÔÅÇÉÑÍÉ. éÍÅÎÎÏ ÄÌÑ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ÜÔÏÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÎÁÍ É ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ Ï ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÓÔÉ ÍÅÒÙ (ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÏ ÓÉÈ ÏÒ ÏÎÏ ÎÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÏÓØ). ÷ ÜÔÏÍ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ ÍÙ ÓÅÊÞÁÓ ÕËÁÖÅÍ, ËÁËÉÍ ÓÏÓÏÂÏÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ A, ÚÁÄÁÀÝÉÊ ×ÙÉÇÒÙ×ÁÀÝÕÀ ÓÔÒÁÔÅÇÉÀ, ÅÒÅÄÅÌÙ×ÁÅÔÓÑ × ÁÌÇÏÒÉÔÍ B, ÚÁÄÁÀÝÉÊ ×ÙÉÇÒÙ×ÁÀÝÕÀ ÂÅÚÏÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÕÀ ÓÔÒÁÔÅÇÉÀ. éÔÁË, ÎÁÍ ÚÁÄÁÎ ÁÌÇÏÒÉÔÍ A, ÎÁ ×ÈÏÄ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÓÔÕÁÅÔ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÓÌÏ×Ï x ∈ , Á ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ, × ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ, ÌÉÂÏ ÎÅ ÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÉÞÅÇÏ, ÌÉÂÏ ÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÞÅÒÅÄÎÏÊ ÈÏÄ. óÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÏ, Ä×ÏÉÞÎÙÅ ÉÆÒÙ, ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÜÔÏ ÓÌÏ×Ï, ÓÕÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÕÖÅ ÏÔËÒÙÔÙÈ Ë ÜÔÏÍÕ ÍÏÍÅÎÔÕ ÞÌÅÎÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ëÁË ÍÙ ÚÎÁÅÍ, Ï ÓÌÏ×Õ x ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ×ÓÑ ÒÅÄÙÄÕÝÁÑ ÉÓÔÏÒÉÑ ÉÇÒÙ, Ô. Å. ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ n(k), i(k), v(k), V (k) ÒÉ k 6 s = |x|. òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÜÔÉ ÞÉÓÌÁ ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÀÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÔÏÌØËÏ ÏÎÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ (ËÓÔÁÔÉ, ÍÏÖÎÏ ×ÓÅÇÄÁ ÒÅÄÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÏÎÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ, ÅÓÌÉ ÔÏÌØËÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎ É ËÏÒÒÅËÔÅÎ s-Ê ÈÏÄ, ËÁËÏ×ÏÊ ÅÓÔØ ÔÒÏÊËÁ hn(s); i(s); v (s)i). þÔÏÂÙ ÏÄÞÅÒËÎÕÔØ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÏÔ x, ÂÕÄÅÍ ÉÓÁÔØ n(x; k), i(x; k), v(x; k), V (x; k); ×ÅÄØ ËÏÇÄÁ ÍÙ ÒÁÎÅÅ ÉÓÁÌÉ ÒÏÓÔÏ n(k), i(k) É Ô. Ä., ÍÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÌÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÔÕ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÒÏÔÉ× ËÏÔÏÒÏÊ ÉÄÅÔ ÉÇÒÁ É €ÞÁÓÔØÀ ËÏÔÏÒÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÏ×Ï x. ÷ÍÅÓÔÅ Ó ÕËÁÚÁÎÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ, ÒÉ ×ÓÅÈ k 6 s, É ÔÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ËÏÔÏÒÙÅ ÄÌÑ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÌÉ ÒÁÎÅÅ ËÁË A(k); ÔÅÅÒØ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÉÈ A(x; k). îÁÛÁ ÅÌØ | ÅÒÅÄÅÌÁÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍ A × ÁÌÇÏÒÉÔÍ B, ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ÒÉ×ÏÄÑÝÉÊ Ë ÓÉÔÕÁ ÉÉ, ÔÒÅÂÕÀÝÅÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÉÇÒÙ É ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ A ÂÙÌ ×ÙÉÇÒÙ×ÁÀÝÉÍ, ÔÏ É B | ×ÙÉÇÒÙ×ÁÀÝÉÊ. äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏ-ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÍÅÒÙ ÅÒÅÄÅÌËÁ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ: ÏÌÕÞÉ× ÎÁ ×ÈÏÄ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÓÌÏ×Ï x, ÒÏ×ÅÒÑÅÍ,

102

÷. á. õÓÅÎÓËÉÊ

ÎÅ ÒÉ×ÏÄÉÔ ÌÉ ÈÏÄ, ÕËÁÚÁÎÎÙÊ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÓÌÏ×Á ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ A, Ë ÓÉÔÕÁ ÉÉ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ; ÅÓÌÉ ÎÅ ÒÉ×ÏÄÉÔ, ÏÂßÑ×ÌÑÅÍ, ÞÔÏ B ÕËÁÚÁÌ ÎÁÍ ÜÔÏÔ ÈÏÄ; ÅÓÌÉ ÒÉ×ÏÄÉÔ, ÏÂßÑ×ÌÑÅÍ, ÞÔÏ B ÎÁ x ÎÅ ÄÁÅÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ. ÷ ÏÂÝÅÍ ÖÅ ÓÌÕÞÁÅ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ ÍÅÒÙ ÅÒÅÄÅÌËÁ A × B ÔÒÅÂÕÅÔ ÂÏÌÅÅ ÉÚÏÝÒÅÎÎÏÇÏ ÒÉ£ÍÁ. îÏ×ÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ B ÂÕÄÅÔ ÒÁÂÏÔÁÔØ ÔÁË. ÷ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÈÏÄ, ÕËÁÚÁÎÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ A, ÎÅ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÓÉÔÕÁ ÉÉ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ, ÜÔÏÔ ÈÏÄ | ËÁË É ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏ-ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÍÅÒÙ | ÏÂßÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ B. ïÄÎÁËÏ × ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ A Ë x ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÓÉÔÕÁ ÉÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ, ÎÏ×ÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ B ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÄÁ×ÁÔØ ÎÉËÁËÏÇÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ × ÒÉÍÅÎÅÎÉÉ Ë x. ÅÍ ÓÁÍÙÍ ÏËÁÖÅÔÓÑ, ÞÔÏ B ÚÁÄÁÅÔ ÂÅÚÏÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÕÀ ÓÔÒÁÔÅÇÉÀ. äÌÑ ÎÁÇÌÑÄÎÏÓÔÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÓÅÂÅ, ÞÔÏ A É B ÒÁÂÏÔÁÀÔ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏ. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ A ÎÁÍ ÚÁÄÁÎ, B ÍÙ ÓÔÒÏÉÍ. ðÕÓÔØ ÎÁ ×ÈÏÄ ÏÂÏÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÏÓÔÕÉÌÏ ÓÌÏ×Ï x, |x| = s. åÓÌÉ A ÎÅ ÄÁÅÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ × ÒÉÍÅÎÅÎÉÉ Ë ÜÔÏÍÕ ÓÌÏ×Õ, ÔÏ É B ÏÂßÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅ ÄÁÀÝÉÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ. åÓÌÉ ÖÅ A × ÒÉÍÅÎÅÎÉÉ Ë x ×ÙÄÁÅÔ ÏÞÅÒÅÄÎÏÊ ÈÏÄ, ÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍ B ÙÔÁÅÔÓÑ ÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÎÅ ×ÏÚÎÉËÌÁ ÌÉ ÓÉÔÕÁ ÉÑ, ÏÄÁÄÁÀÝÁÑ ÏÄ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÒÁ×ÉÌ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ. ðÒÏ×ÅÒËÁ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ ÎÏÍÅÒÁ ÎÅ ×ÙÚÙ×ÁÅÔ ÚÁÔÒÕÄÎÅÎÉÊ. åÓÌÉ ÎÏÍÅÒ n(x; s) ÏÔËÒÙ×ÁÅÍÏÊ ËÁÒÔÙ ÏËÁÚÁÌÓÑ ÎÅËÏÒÒÅËÔÎÙÍ, ÁÌÇÏÒÉÔÍ B ÏÂßÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅ ÄÁÀÝÉÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ ÎÁ ×ÈÏÄÅ x; ËÁÉÔÁÌ éÇÒÏËÁ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÅÒÅÓÔÁÅÔ ÍÅÎÑÔØÓÑ, ÏÎ ÚÁÓÔÙ×ÁÅÔ. åÓÌÉ ÖÅ ÎÏÍÅÒ ËÏÒÒÅËÔÅÎ, ×ËÌÀÞÁÅÔÓÑ ÒÏ×ÅÒËÁ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ ÓÔÁ×ËÉ. ó ÒÏ×ÅÒËÏÊ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ ÓÔÁ×ËÉ ÄÅÌÏ ÏÂÓÔÏÉÔ ÓÌÏÖÎÅÅ. ëÁË ÕÖÅ ÏÔÍÅÞÁÌÏÓØ, ÍÏÖÅÔ É ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÏÔ×ÅÞÁÀÝÅÇÏ ÎÁ ×ÏÒÏÓ, ÍÅÎØÛÅ ÌÉ ÄÅÌÁÅÍÁÑ ÓÔÁ×ËÁ ÔÅËÕÝÅÇÏ ËÁÉÔÁÌÁ éÇÒÏËÁ. ïÄÎÁËÏ ÎÅ ×Ó£ ÔÁË ÌÏÈÏ. ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÓÄÅÌÁÔØ ÓÔÁ×ËÕ, éÇÒÏËÕ ÓÌÅÄÕÅÔ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÎÁÍÅÞÅÎÎÁÑ ÓÔÁ×ËÁ ÍÅÎØÛÅ ÔÅËÕÝÅÇÏ ËÁÉÔÁÌÁ, É ÔÏÌØËÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÅÅ ÏÂßÑ×ÉÔØ. éÚÌÏÖÉÍ ÎÏ×ÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ B Ï×ÅÄÅÎÉÑ éÇÒÏËÁ ÂÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏ. íÙ ÏÉÒÁÅÍÓÑ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÆÁËÔ: ÅÓÌÉ ÍÅÒÁ  ×ÙÞÉÓÌÉÍÁ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄßÑ×ÉÔØ ÔÁËÏÊ ×ÓÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ C (ÚÁ×ÉÓÑÝÉÊ ÏÔ A), ËÏÔÏÒÙÊ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ x ÙÔÁÅÔÓÑ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÌÉ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï v(x; s) < V (x; s), É ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ ÒÉ ÜÔÏÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÜÆÆÅËÔÁ: ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÉÈÏÄÉÔ Ë ËÁËÏÍÕ-ÔÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÕ (ÓËÁÖÅÍ, Ë ÒÅÚÕÌØÔÁÔÕ äÁ), ÅÓÌÉ ÕËÁÚÁÎÎÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ, É ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ×ÒÅÍÑ, ÎÅ ÒÉÈÏÄÑ ÎÉ Ë ËÁËÏÍÕ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÕ, ÅÓÌÉ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï v(x; s) > V (x; s). óÏÂÉÒÁÑÓØ ÓÄÅÌÁÔØ Ó×ÏÊ s-Ê ÈÏÄ É ÏÌÕÞÉ× ÏÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ A ÒÅËÏÍÅÎÄÁ ÉÀ Ï ÓÔÁ×ËÅ v(x; s), éÇÒÏË, ÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÓÄÅÌÁÔØ ÈÏÄ, ×ËÌÀÞÁÅÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ C É ÖÄÅÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ. îÉËÁËÏÇÏ ÈÏÄÁ ÎÅ ÄÅÌÁÅÔÓÑ, ÏËÁ C ÎÅ ÒÅÄßÑ×ÉÔ ÅÍÕ Ó×ÏÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÁÌÇÏÒÉÔÍ B ÎÅ ×ÙÄÁÓÔ ÎÉËÁËÏÇÏ ÈÏÄÁ, ÅÓÌÉ A ÒÅÄÌÏÖÉÌ ÎÅËÏÒÒÅËÔÎÙÊ ÈÏÄ; × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ËÁÉÔÁÌ éÇÒÏËÁ ÚÁÓÔÙ×ÁÅÔ. åÓÌÉ ÖÅ ÒÁÂÏÔÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ C ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÅÔÓÑ, ÁÌÇÏÒÉÔÍ B ÒÅËÏÍÅÎÄÕÅÔ ÔÕ ÖÅ ÓÔÁ×ËÕ, ÞÔÏ É A, É ÒÉÓÔÕÁÅÔ

þÅÔÙÒÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÈ ÌÉ Á ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ

103

Ë ÒÏ×ÅÒËÅ ÔÏÇÏ, ÎÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÌÉ ÒÉÍÅÎÉÔØ äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ. áÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÁÑ ÓÉÔÕÁ ÉÑ Ó äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÍ ÒÁ×ÉÌÏÍ ÏÈÏÖÁ ÎÁ ÓÉÔÕÁ ÉÀ Ó ÒÁ×ÉÌÏÍ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ, ÄÅÌÁÅÍÏÊ Ï ÒÉÞÉÎÅ ÎÅËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ ÓÔÁ×ËÉ. áÌÇÏÒÉÔÍ, ÒÁÓÏÚÎÁÀÝÉÊ, ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÉÌÉ ÎÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (A(x; s)) = 0, ÌÅÇËÏ ÓÔÒÏÉÔÓÑ × ÓÌÕÞÁÑ ÓÉÌØÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ ÍÅÒÙ, ÏÓËÏÌØËÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A(x; s) ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÛÁÒÏ×, ÕËÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉ Ï ÁÒÅ hx; si. ÷ ÏÂÝÅÍ ÖÅ ÓÌÕÞÁÅ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ ÍÅÒÙ ÔÁËÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÍÏÖÅÔ É ÎÅ ÂÙÔØ. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÏÄÎÁËÏ, ÂÏÌÅÅ ÓÌÁÂÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ. éÍÅÎÎÏ, ÅÓÌÉ ÍÅÒÁ  ×ÙÞÉÓÌÉÍÁ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄßÑ×ÉÔØ ÔÁËÏÊ ×ÓÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ D (ÚÁ×ÉÓÑÝÉÊ ÏÔ A), ËÏÔÏÒÙÊ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ x ÙÔÁÅÔÓÑ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÌÉ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (A(x; s)) 6= 0, É ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ ÒÉ ÜÔÏÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÜÆÆÅËÔÁ: ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÉÈÏÄÉÔ Ë ËÁËÏÍÕ-ÔÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÕ (ÓËÁÖÅÍ, Ë ÒÅÚÕÌØÔÁÔÕ äÁ), ÅÓÌÉ ÕËÁÚÁÎÎÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ, É ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ×ÒÅÍÑ, ÎÅ ÒÉÈÏÄÑ ÎÉ Ë ËÁËÏÍÕ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÕ, ÅÓÌÉ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (A(x; s)) = 0. äÅÊÓÔ×ÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ B × Ó×ÑÚÉ Ó ÒÏ×ÅÒËÏÊ äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÁ×ÉÌÁ ÏÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ | × ÔÅÒÍÉÎÁÈ Ï×ÅÄÅÎÉÑ éÇÒÏËÁ | ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. éÇÒÏË ×ËÌÀÞÁÅÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ D É ÖÄÅÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ. äÏÖÄÁ×ÛÉÓØ, ÏÎ ÄÅÌÁÅÔ ÈÏÄ, ÒÉÍÅÎÑÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍ A. îÏ ÏÎ ÎÅ ÄÅÌÁÅÔ ÎÉËÁËÏÇÏ ÈÏÄÁ, ÏËÁ D ÎÅ ÒÅÄßÑ×ÉÔ ÅÍÕ Ó×ÏÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÁÌÇÏÒÉÔÍ B ×ÙÄÁÓÔ ÔÏÔ ÖÅ ÈÏÄ, ÞÔÏ É A, ÅÓÌÉ ÎÅ ×ÏÚÎÉËÌÏ ÓÉÔÕÁ ÉÉ, ÏÄÁÄÁÀÝÅÊ ÏÄ äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ, É ÎÅ ×ÙÄÁÓÔ ÎÉËÁËÏÇÏ ÈÏÄÁ, ÅÓÌÉ ÔÁËÁÑ ÓÉÔÕÁ ÉÑ ×ÏÚÎÉËÌÁ. åÓÌÉ ÈÏÄ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ, ÔÏ ËÁÉÔÁÌ éÇÒÏËÁ ÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÁ ÏÂÝÉÈ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑÈ | ÕÍÅÎØÛÁÅÔÓÑ ÎÁ ×ÅÌÉÞÉÎÕ ÓÔÁ×ËÉ ÉÌÉ Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÆÏÒÍÕÌÅ (6), ÒÉÞÅÍ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÁÓÎÙÊ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÎÅ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ. ÷ ÓÌÕÞÁÅ ÖÅ ÎÅÄÅÌÁÎÉÑ ÈÏÄÁ ËÁÉÔÁÌ éÇÒÏËÁ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÎÁÛÉÍ ÒÁ×ÉÌÁÍ, ÚÁÓÔÙ×ÁÅÔ, ÅÓÌÉ ÏÓÌÅÄÎÉÊ ÒÏÇÎÏÚ ÂÙÌ ÎÅ×ÅÒÅÎ, É ÏÂßÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÜÔÏÔ ÒÏÇÎÏÚ ÂÙÌ ×ÅÒÅÎ. ÏÌØËÏ ÞÔÏ ÏÉÓÁÎÎÏÅ Ï×ÅÄÅÎÉÅ ËÁÉÔÁÌÁ éÇÒÏËÁ ÍÏÖÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÉÓÁÔØ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ D. åÓÌÉ ÒÏÇÎÏÚ ÎÅ×ÅÒÅÎ (i(x) 6= an(x) ), ÔÏ ÏËÁ D ÒÁÂÏÔÁÅÔ, ËÁÉÔÁÌ éÇÒÏËÁ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÚÁÓÔÙ×ÛÉÍ. åÓÌÉ ÖÅ ÒÏÇÎÏÚ ×ÅÒÅÎ (i(x) = an(x) ), ÔÏ Ó ËÁÖÄÙÍ ÛÁÇÏÍ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ D ËÁÉÔÁÌ éÇÒÏËÁ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÁÉÔÁÌ ÂÕÄÅÔ ×ÏÚÒÁÓÔÁÔØ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏ (É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, éÇÒÏË ×ÙÉÇÒÁÅÔ), ÅÓÌÉ D ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ÚÁËÏÎÞÉÔ ÒÁÂÏÔÕ. îÏ ÅÓÌÉ É ËÏÇÄÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍ D ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ, ÒÏÓÔ ËÁÉÔÁÌÁ éÇÒÏËÁ ÒÅËÒÁÝÁÅÔÓÑ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÅÓØ ÒÏÉÚÏÛÅÄÛÉÊ ÚÁ ×ÒÅÍÑ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ D ÒÉÒÏÓÔ ËÁÉÔÁÌÁ éÇÒÏËÁ ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔÓÑ, ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÜÔÏÔ ËÁÉÔÁÌ ÒÉÒÁÓÔÁÅÔ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ (6). é ÅÝÅ: ÎÉËÁËÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÁÉÔÁÌÁ, ÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÏÅ ÍÅÖÄÕ ÄÅÌÁÅÍÙÍÉ ÈÏÄÁÍÉ (Ô. Å. ×ÏÚÎÉËÁÀÝÅÅ ×Ï ×ÒÅÍÑ ÚÁ×ÅÒÛÁÀÝÅÊÓÑ ÒÁÂÏÔÙ

104

÷. á. õÓÅÎÓËÉÊ

ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ D), ÎÅ ÄÏÌÖÎÏ ×ËÌÀÞÁÔØÓÑ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ËÁÉÔÁÌÁ, ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔØ ÓÕÒÅÍÕÍÁ ËÏÉÈ ×ÌÅÞÅÔ ×ÙÉÇÒÙÛ éÇÒÏËÁ (× ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ Õ éÇÒÏËÁ ÏÑ×ÉÌÁÓØ ÂÙ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÁÑ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ×ÙÉÇÒÙÛÁ ÚÁ ÓÞÅÔ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÄÌÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÍÅÖÄÕÈÏÄÏ×ÙÈ ÚÁÄÅÒÖÅË ÍÏÇÕÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÍÉ × ÉÈ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔÉ). îÁÛÅ ÎÏ×ÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ Ï×ÅÄÅÎÉÑ ËÁÉÔÁÌÁ éÇÒÏËÁ, ÒÅÄÏÌÁÇÁÀÝÅÅ ÒÏÓÔ ËÁÉÔÁÌÁ ×Ï ×ÒÅÍÑ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ D Ó ×ÏÚÍÏÖÎÙÍ ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÎÕÌÅÎÉÅÍ ÒÉÒÏÓÔÁ, ÍÏÖÅÔ ×ÙÚ×ÁÔØ Õ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÎÏÇÏ þÉÔÁÔÅÌÑ Ä×Á ÚÁËÏÎÎÙÈ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ. ðÅÒ×ÏÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ ÉÚÍÅÎÉÌÉ ÒÁ×ÉÌÁ ÉÇÒÙ | × ÔÏÊ ÉÈ ÞÁÓÔÉ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÇÏ×ÏÒÉÔÓÑ Ï ÏÒÑÄËÅ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ËÁÉÔÁÌÁ. óÏÇÌÁÓÉ×ÛÉÓØ Ó ÜÔÉÍ ÕÒÅËÏÍ þÉÔÁÔÅÌÑ, ÏÔ×ÅÔÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÔØ Ä×Å ÓÉÓÔÅÍÙ ÒÁ×ÉÌ, ÓÔÁÒÁÑ É ÎÏ×ÁÑ | Á ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ É Ä×Á ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÉÇÒÙ. îÏ × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÏÓÔÉ ÏÂÅ ÉÇÒÙ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÙ: ×ÓÑËÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÁÑ ÒÉ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÎÁÛÉÈ Ä×ÕÈ ÓÉÓÔÅÍ ÒÁ×ÉÌ, ÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÁ É ÒÉ ÄÒÕÇÏÊ. ÷ÔÏÒÏÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ Ï ÎÏ×ÙÍ ÒÁ×ÉÌÁÍ Ï×ÅÄÅÎÉÅ ËÁÉÔÁÌÁ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÓÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ D, Á ÓÁÍ ÜÔÏÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÁË ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÁÎÁÌÉÚ, ÚÁ×ÉÓÉÔ ÎÅ ÏÔ ÍÅÒÙ  ËÁË ÔÁËÏ×ÏÊ, Á ÏÔ ÚÁÄÁÀÝÅÇÏ ÅÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ | Ô. Å. ÏÔ ÔÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ × ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ ÍÅÒÙ, ËÏÔÏÒÙÊ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÛÁÒÁ ÎÁÈÏÄÉÔ ÓËÏÌØ ÕÇÏÄÎÏ ÔÏÞÎÙÅ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÑ Ë ÍÅÒÅ ÜÔÏÇÏ ÛÁÒÁ. ÷ÏÚÎÉËÁÅÔ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ×ÏÒÏÓ, ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÌÉ ÓÌÕÞÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÒÉ ÎÏ×ÙÈ ÒÁ×ÉÌÁÈ É ÏÎÑÔÉÅ ÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÏÓÔÉ ÏËÁÖÅÔÓÑ ÚÁ×ÉÓÑÝÉÍ ÎÅ ÏÔ ÓÁÍÏÊ ÍÅÒÙ, Á ÏÔ ÚÁÄÁÀÝÅÇÏ ÅÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. ïÔ×ÅÔ: ÎÅÔ, ÎÅ ÍÏÖÅÔ. ÷ÅÄØ ÔÅÞÅÎÉÅ ÉÇÒÙ ÒÉ ÏÄÎÏÍ ÚÁÄÁÀÝÅÍ ÍÅÒÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ ÍÏÖÅÔ ÏÔÌÉÞÁÔØÓÑ ÏÔ ÔÅÞÅÎÉÑ ÉÇÒÙ ÒÉ ÄÒÕÇÏÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ, ÚÁÄÁÀÝÅÍ ÔÕ ÖÅ ÍÅÒÕ, ÌÉÛØ ÄÌÉÔÅÌØÎÏÓÔØÀ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ× ÍÅÖÄÕ ÈÏÄÁÍÉ; ÞÔÏ ÖÅ ËÁÓÁÅÔÓÑ ËÁÉÔÁÌÁ éÇÒÏËÁ, ÔÏ ÒÁÚÎÉ Á ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÌÉÛØ × ÔÏÍ, ÓËÏÌØ ×ÅÌÉË ÏËÁÖÅÔÓÑ ÔÏÔ ÒÉÒÏÓÔ ËÁÉÔÁÌÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÄÌÅÖÉÔ ÁÎÎÕÌÉÒÏ×ÁÎÉÀ. éÓÔÏÒÉÑ É ÂÉÂÌÉÏÇÒÁÆÉÑ

[1℄ á. î. ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×, ÷. á. õÓÅÎÓËÉÊ. áÌÇÏÒÉÔÍÙ É ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔØ // ÅÏÒÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ É ÅÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ, 1987. . 32, ×Ù. 3, Ó. 425{455. [2℄ ÷. á. õÓÅÎÓËÉÊ, á. ì. óÅÍ£ÎÏ×. ÅÏÒÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×: ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÔËÒÙÔÉÑ É ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ. | í.: æÉÚÍÁÔÌÉÔ, 1987. | 288 . [3℄ ÷. á. õÓÅÎÓËÉÊ, á. ì. óÅÍ£ÎÏ×, á. è. ûÅÎØ. íÏÖÅÔ ÌÉ ÉÎÄÉ×ÉÄÕÁÌØÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÕÌÅÊ É ÅÄÉÎÉ ÂÙÔØ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ? // õÓÅÈÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÎÁÕË, 1990. . 45, ×Ù. 1, Ó. 105{162.

þÅÔÙÒÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÈ ÌÉ Á ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ

105

[4℄ V. A. Uspensky, A. Shen. Relations between varieties of Kolmogorov omplexities // Mathemati al Systems Theory, 1996. Vol. 29, no.3, p. 271{292. [5℄ An. A. Mu hnik, A. L. Semenov, V. A. Uspensky. Mathemati al metaphysi s of randomness // Theoreti al Computer S ien e, 1998. Vol. 207, p. 263{317. [6℄ á. ûÅÎØ. ï ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÈ ÍÅÖÄÕ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÍÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑÍÉ ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ // äÏËÌÁÄÙ áËÁÄÅÍÉÉ ÎÁÕË óóóò, 1988. . 302, ‚ 3, Ó. 548{552. [7℄ ÷. ÷. ÷ØÀÇÉÎ. áÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÁÑ ÜÎÔÒÏÉÑ (ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ) ËÏÎÅÞÎÙÈ ÏÂßÅËÔÏ× É ÅÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ Ë ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ É ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ // óÅÍÉÏÔÉËÁ É ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÁ. ÷ÙÕÓË 16. | í: ÷éîé-

é, 1981. | ó. 14{43. [8℄ M. Li, P. Vitanyi. An Introdu tion to Kolmogorov Complexity and Its Appli ations. | New York e. a.: Springer-Verlag, 1993. | xx+546 pp., 38 illustrations.; Se ond edition. | New York e. a.: Springer-Verlag, 1997. | xx+637pp., 41 illustrations.

óÁÍ ÜÔÏÔ ÓÉÓÏË ÉÚ ×ÏÓØÍÉ ÎÁÚ×ÁÎÉÊ ÎÉËÏÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÎÅ ÒÅÔÅÎÄÕÅÔ ÎÁ ÏÌÎÏÔÕ. ïÄÎÁËÏ × ÜÔÉÈ ÕÂÌÉËÁ ÉÑÈ (ÏÓÏÂÅÎÎÏ × [8℄) ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÄÁÌØÎÅÊÛÉÅ ÓÓÙÌËÉ, É ×ËÕÅ Ó ÜÔÉÍÉ ÓÓÙÌËÁÍÉ ÎÅËÏÅ ÏÄÏÂÉÅ ÏÌÎÏÔÙ ÕÖÅ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ. ÷ ËÎÉÇÅ [2℄ ÓÌÅÄÕÅÔ ÏÂÒÁÔÉÔØ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÎÁ x 2.6 €ðÒÉÌÏÖÅÎÉÑ Ë ÔÅÏÒÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ: ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔɁ. óÌÅÄÕÅÔ ÔÁËÖÅ ÉÍÅÔØ × ×ÉÄÕ, ÞÔÏ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÑ ÜÔÏÊ ËÎÉÇÉ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÁÒÈÁÉÞÎÁ: ÈÁÏÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÔÁÍ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍÉ Ï ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ , Á ÔÉÉÞÅÓËÉÅ | ÓÌÕÞÁÊÎÙÍÉ Ï íÁÒÔÉÎ-ì£ÆÕ . þÁÓÔÏÔÏÕÓÔÏÊÞÉ×ÙÅ, ÏÎÉ ÖÅ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÉÅ, ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ × [2℄ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍÉ Ï íÉÚÅÓÕ , ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÉÅ Ï þ£ÒÞÕ | ÓÌÕÞÁÊÎÙÍÉ Ï íÉÚÅÓÕ { þ£ÒÞÕ , ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÉÅ Ï ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ | ÓÌÕÞÁÊÎÙÍÉ Ï íÉÚÅÓÕ { ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ { ìÁ×ÌÜÎÄÕ (Á × [3℄ | ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÉÍÉ Ï ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ { ìÁ×ÌÜÎÄÕ; ä. ìÁ×ÌÜÎÄ hD. Lovelandi ÏÔËÒÙÌ ÜÔÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÔ ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Á, ÈÏÔÑ É ÏÚÖÅ: ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÓÔÁÔØÑ ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Á ÂÙÌÁ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÁ × 1963 Ç., ÓÔÁÔØÑ ìÁ×ÌÜÎÄÁ | × 1966 Ç.) þÔÏ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÎÅÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ | × ÔÏÍ ÔÏÞÎÏÍ ÏÎÉÍÁÎÉÉ, ËÁË ÂÙÌÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÏ ×ÙÛÅ, | ÔÏ ÏÎÉ × ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ËÎÉÇÅ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÑ×ÉÌÉÓØ × ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ ÌÉÛØ × 1998 Ç. × ÓÔÁÔØÅ [5℄. ðÒÉÍÅÒ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÏÊ Ï þ£ÒÞÕ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÅÒÅÓÔÁÀÝÅÊ ÂÙÔØ ÔÁËÏ×ÏÊ ÏÓÌÅ ÏÄÈÏÄÑÝÅ ×ÙÂÒÁÎÎÏÊ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÅÅ ÞÌÅÎÏ×, ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÌ × 1966 Ç. ä. ìÁ×ÌÜÎÄ. úÎÁÞÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÒÉÍÅÒÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÎÅ ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÎ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÎÅÁÄÅË×ÁÔÎÏÓÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ þ£ÒÞÁ, ÎÏ É × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÎ ÏÔËÒÙ×ÁÅÔ ÎÏ×ÏÅ ËÁÞÅÓÔ×Ï ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ, ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏÅ, ÎÏ ÒÁÎÅÅ ÎÅ ÚÁÍÅÞÅÎÎÏÅ: ÓÌÕÞÁÊÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÄÏÌÖÎÁ ÏÓÔÁ×ÁÔØÓÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ÏÓÌÅ ÌÀÂÏÊ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ (Ô. Å. ÚÁÄÁ×ÁÅÍÏÊ ËÁËÉÍ-ÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ) ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÅÅ ÞÌÅÎÏ×.

106

÷. á. õÓÅÎÓËÉÊ

ÅÏÒÉÑ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÏÂßÅËÔÏ× (× ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÕÖÅ ÒÁÚ×É×Á×ÛÅÊÓÑ × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ) ÂÙÌÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÁ ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×ÙÍ ÎÁ ÅÇÏ ÓÅÍÉÎÁÒÁÈ × íÏÓËÏ×ÓËÏÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ × ÎÁÞÁÌÅ 60-È ÇÏÄÏ× XX ×ÅËÁ É ÉÍÅÌÁ Ó×ÏÅÊ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÅÌØÀ ÅÒÅÓÔÒÏÊËÕ ÏÎÑÔÉÊÎÏÊ ÂÁÚÙ ÔÅÏÒÉÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ (ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÞÅÍ ÓÌÏÖÎÅÅ ÏÂßÅËÔ, ÔÅÍ ÂÏÌØÛÅ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÏÎ ÓÏÄÅÒÖÉÔ) Ó ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÒÉÌÏÖÅÎÉÅÍ Ë ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ. ÷ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÎÏÊ × 1969 Ç. ÓÔÁÔØÅ ëÏÌÍÏÇÏÒÏ× ÉÓÁÌ: 1) ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÄÏÌÖÎÙ É ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÙ ÂÅÚ ÏÍÏÝÉ ÏÂÒÁÝÅÎÉÑ Ë ÔÅÏÒÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ É ÔÁË, ÞÔÏ ÏÎÑÔÉÑ €ÜÎÔÒÏÉс É ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÉÍÅÎÉÍÙ Ë ÉÎÄÉ×ÉÄÕÁÌØÎÙÍ ÏÂßÅËÔÁÍ; 2) ××ÅÄÅÎÎÙÅ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÎÑÔÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÍÏÇÕÔ ÌÅÞØ × ÏÓÎÏ×Õ ÎÏ×ÏÊ ËÏÎ Å ÉÉ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÍÙÓÌÉ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔØ ÅÓÔØ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ ÚÁËÏÎÏÍÅÒÎÏÓÔÉ. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ ÉÚÍÅÒÑÔØ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÏÂßÅËÔÁ ÄÌÉÎÏÊ ÅÇÏ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÏÉÓÁÎÉÑ É ÏÎÑÔÉÅ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÑÚÙËÁ ÂÙÌÉ ÉÚÌÏÖÅÎÙ ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×ÙÍ × ÓÔÁÔØÅ 1965 Ç.; ÚÁ ÇÏÄ ÄÏ ÔÏÇÏ ÓÈÏÄÎÙÅ ÉÄÅÉ ÂÙÌÉ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÙ ÁÍÅÒÉËÁÎÓËÉÍ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌÅÍ òÜÅÍ óÏÌÏÍÏÎÏ×ÙÍ hRay Solomonoi, Ï ÒÁÂÏÔÁÈ ËÏÔÏÒÏÇÏ ëÏÌÍÏÇÏÒÏ× ÕÚÎÁÌ ÌÉÛØ ÏÚÖÅ. ÷×ÉÄÕ ÜÔÏÇÏ ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÑÚÙËÁ ÍÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ ÔÅÏÒÅÍÏÊ óÏÌÏÍÏÎÏ×Á { ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Á . ÷ ÜÔÉ ÖÅ ÇÏÄÙ (Ô. Å. × ÓÅÒÅÄÉÎÅ 60-È ÇÏÄÏ× XX ×.) ëÏÌÍÏÇÏÒÏ× ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÅÔ ÎÁ Ó×ÏÉÈ ÓÅÍÉÎÁÒÁÈ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÂÙÓÔÒÏÔÁ ÒÏÓÔÁ ÜÎÔÒÏÉÉ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÏÔÒÅÚËÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÍÏÖÅÔ ÓÌÕÖÉÔØ ËÒÉÔÅÒÉÅÍ ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ïÄÎÁËÏ ××ÅÄÅÎÎÏÅ ÉÍ × ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ ÑÚÙËÏ×ÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÒÉ×ÏÄÉÌÏ Ë ÜÎÔÒÏÉÉ, ÎÅÒÉÇÏÄÎÏÊ ÄÌÑ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÅÌÉ. ëÁË ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ ×ÙÛÅ, × ÇÌÁ×ËÅ Ï ÈÁÏÔÉÞÎÏÓÔÉ, ÇÏÄÎÏÅ ÄÌÑ ÜÔÏÊ ÅÌÉ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÏÂÎÁÒÕÖÉÌ × 1973 Ç. ìÅÏÎÉÄ ìÅ×ÉÎ, ××ÅÄÑ × ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ ÍÏÎÏÔÏÎÎÕÀ ÜÎÔÒÏÉÀ. ÉÉÞÅÓËÉÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (ÏÄ ÎÁÚ×ÁÎÉÅÍ \random", Ô. Å. €ÓÌÕÞÁÊÎÙŁ) ÂÙÌÉ, ËÁË ÕÖÅ ÏÔÍÅÞÁÌÏÓØ × ÇÌÁ×ËÅ Ï ÔÉÉÞÎÏÓÔÉ, ÏÔËÒÙÔÙ × 1966 Ç. ðÅÒÏÍ íÁÒÔÉÎ-ì£ÆÏÍ hPer Martin-Lofi. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ËÌÁÓÓ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ, ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×Õ, ÛÉÒÅ ËÌÁÓÓÁ ÔÉÉÞÅÓËÉÈ (ÏÎÉ ÖÅ | ÈÁÏÔÉÞÅÓËÉÅ) ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ, ÄÏËÁÚÁÌ áÌÅËÓÁÎÄÒ ûÅÎØ (ÓÍ. [6℄, Á ÔÁËÖÅ [3, . 6.2.4℄). ðÕÓÔØ K | ÜÎÔÒÏÉÑ × ËÁËÏÍ-ÔÏ ÉÚ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÜÔÏÇÏ ÏÎÑÔÉÑ. (÷ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÙ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÛÅÓÔÉ ÔÁËÉÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ×: ÒÏÓÔÁÑ, ÁÒÉÏÒÎÁÑ, ÍÏÎÏÔÏÎÎÁÑ, ÒÏ ÅÓÓÎÁÑ, ÒÅÆÉËÓÎÁÑ É ÜÎÔÒÏÉÑ ÒÁÚÒÅÛÅÎÉÑ; ×ÓÅ ÜÔÉ ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙ × ÔÏÍ ÔÏÞÎÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÜÎÔÒÏÉÊ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÈ ÌÀÂÙÍ Ä×ÕÍ ÉÚ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ×, ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ.) óËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ a1 ; a2 ; a3 ; : : : ; an : : : Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÈÁÏÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ K (ÒÉ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÍ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÉ!), ÅÓÌÉ ∃ ∀n K(a1 ; a2 ; a3 ; : : : ; an ) > n − : (úÁÍÅÔÉÍ ÄÌÑ ÑÓÎÏÓÔÉ, ÞÔÏ ÎÉ ÄÌÑ ÒÏÓÔÏÊ ÜÎÔÒÏÉÉ, ÎÉ ÄÌÑ ÜÎÔÒÏÉÉ ÒÁÚÒÅÛÅÎÉÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ Ó ÔÁËÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÎÅÔ ×Ï×ÓÅ, Á ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÞÅÔÙÒÅÈ ÜÎÔÒÏÉÊ ÈÁÏÔÉÞÎÏÓÔØ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÎÏÏÂßÅÍÎÏÊ ÔÉÉÞÎÏÓÔÉ.)

þÅÔÙÒÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÈ ÌÉ Á ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ

107

÷ ÔÏÊ ÖÅ ÓÔÁÔØÅ ìÅ×ÉÎÁ 1973 Ç., × ËÏÔÏÒÏÊ ÂÙÌÁ ××ÅÄÅÎÁ ÍÏÎÏÔÏÎÎÁÑ ÜÎÔÒÏÉÑ, ÓÏÄÅÒÖÁÌÏÓØ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÏÇÏ ÆÁËÔÁ, ÞÔÏ ÏÎÑÔÉÅ ÈÁÏÔÉÞÎÏÓÔÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÊ ÜÎÔÒÏÉÉ ÒÁ×ÎÏÏÂßÅÍÎÏ ÏÎÑÔÉÀ ÔÉÉÞÎÏÓÔÉ. îÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÔ ìÅ×ÉÎÁ × ÔÏÍ ÖÅ 1973 Ç. ëÌÁÕÓ-ðÅÔÅÒ ûÎÏÒÒ hClaus-Peter S hnorri ××ÅÌ × ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ Ó×ÏÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÜÎÔÒÏÉÉ, ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÕÀ ÒÏ ÅÓÓÎÕÀ ÜÎÔÒÏÉÀ (Õ ûÎÏÒÒÁ | pro ess omplexity ), É ÄÏËÁÚÁÌ (ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÔ ìÅ×ÉÎÁ, ÎÏ ÏÞÅÎØ ÏÈÏÖÉÍ ÓÏÓÏÂÏÍ), ÞÔÏ ÏÎÑÔÉÅ ÈÁÏÔÉÞÎÏÓÔÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÏ ÅÓÓÎÏÊ ÜÎÔÒÏÉÉ ÔÁËÖÅ ÒÁ×ÎÏÏÂßÅÍÎÏ ÏÎÑÔÉÀ ÔÉÉÞÎÏÓÔÉ. èÏÔÑ ÒÏ ÅÓÓÎÁÑ ÜÎÔÒÏÉÑ É ÍÏÎÏÔÏÎÎÁÑ ÜÎÔÒÏÉÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁÚÌÉÞÁÀÔÓÑ (ËÁË ÏËÁÚÁÌ ÷ÌÁÄÉÍÉÒ ÷ØÀÇÉÎ [7, Ó. 35, ÓÔÒÏËÉ 6{4 ÓÎÉÚÕ℄, ÉÈ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÎÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ ÎÉËÁËÏÊ ËÏÎÓÔÁÎÔÏÊ) É ÈÏÔÑ ×ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ ÓÁÍ ûÎÏÒÒ ÅÒÅÓÔÁÌ ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ Ó×ÏÅÊ ÒÏ ÅÓÓÎÏÊ ÜÎÔÒÏÉÅÊ, ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ ÏÔ ÎÅÅ ÏÔËÁÚÁ×ÛÉÓØ, ×ÙÛÅÕËÁÚÁÎÎÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ ìÅ×ÉÎÁ ÉÎÏÇÄÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÅÏÒÅÍÏÊ ìÅ×ÉÎÁ { ûÎÏÒÒÁ. ðÒÅÆÉËÓÎÕÀ ÜÎÔÒÏÉÀ ××ÅÌ × 1974 Ç. ìÅ×ÉÎ É ÇÏÄÏÍ ÏÚÖÅ (ÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÔ ìÅ×ÉÎÁ) çÒÅÇÏÒÉ þÜÊÔÉÎ hGregory J. Chaitini | ÓÍ. ÅÇÏ ÓÔÁÔØÀ A theory of program size formally identi al to information theory // Journal of the Asso iation of Computing Ma hinery, 1975, v. 22, no. 3, p. 329{340). ÷ ÔÏÊ ÖÅ ÓÔÁÔØÅ þÜÊÔÉÎ ××ÅÌ ÏÎÑÔÉÅ ÈÁÏÔÉÞÎÏÓÔÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÅÆÉËÓÎÏÊ ÜÎÔÒÏÉÉ É ÏÂßÑ×ÉÌ (ÂÅÚ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á), ÞÔÏ ÜÔÏÔ ×ÁÒÉÁÎÔ ÈÁÏÔÉÞÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÎÏÓÉÌÅÎ ÔÉÉÞÎÏÓÔÉ; ÅÒ×ÏÅ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÇÏ ÆÁËÔÁ ÏÑ×ÉÌÏÓØ × ÓÔÁÔØÅ ÷ØÀÇÉÎÁ [7℄: ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ 3.2 ÎÁ Ó. 38. ðÒÅÆÉËÓÎÁÑ ÜÎÔÒÏÉÑ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ËÁË ÜÎÔÒÏÉÑ ÄÌÑ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÒÅÆÉËÓÎÙÈ ÑÚÙËÏ×. ñÚÙË E ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅÆÉËÓÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÅÒÅÞÉÓÌÉÍ É ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ: [hx1 ; y1 i ∈ E & hx2 ; y2i ∈ E & (x1 ≈ x2 )℄ =⇒ [y1 = y2 ℄: úÁÍÅÔÉÍ ÅÝÅ, ÞÔÏ × ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ ÔÅÒÍÉÎ €ÓÌÏÖÎÏÓÔ؁ (\ omplexity") ÞÁÓÔÏ ÕÏÔÒÅÂÌÑÅÔÓÑ × ÓÍÙÓÌÅ "ÜÎÔÒÏÉÑ\, Ô. Å. × ÓÍÙÓÌÅ "ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÑÚÙËÁ\. îÅÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÙÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (× ÓÍÙÓÌÅ ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÓÔÁÔØÉ) ×ÅÒ×ÙÅ ×ÏÚÎÉËÌÉ ×ÅÓÎÏÊ 1991 Ç. × ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÍ ÄÏËÌÁÄÅ ÏÄ ÎÁÚ×ÁÎÉÅÍ \Randomness and Lawlessness" (€óÌÕÞÁÊÎÏÓÔØ É ÂÅÚÚÁËÏÎÎÏÓÔ؁), ËÏÔÏÒÙÊ áÎÄÒÅÊ íÕÞÎÉË, áÌÅËÓÅÊ óÅÍ£ÎÏ× É Á×ÔÏÒ ÜÔÉÈ ÓÔÒÏË ÓÄÅÌÁÌÉ ÎÁ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ × ëÁÌÉÆÏÒÎÉÉ. ëÏÎÆÅÒÅÎ ÉÑ ÂÙÌÁ ÏÓ×ÑÝÅÎÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑÍ ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ É ÒÏÈÏÄÉÌÁ Ó 4 Ï 7 ÍÁÒÔÁ × éÎÓÔÉÔÕÔÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ × ÓÏ ÉÁÌØÎÙÈ ÎÁÕËÁÈ (Institute for Mathemati al Studies in the So ial S ien es) óÔÁÎÆÏÒÄÓËÏÇÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ. óÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÄÏËÌÁÄÁ ÂÙÌÏ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÏ × 1998 Ç. × ×ÉÄÅ ÓÔÁÔØÉ [5℄. ÷ ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÅ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ÎÅÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÏÓÔÉ Ó ÄÒÕÇÉÍÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÍÉ ÌÉ ÁÍÉ ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÎÅÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÏÓÔÉ × ÎÁÛÅÍ ÎÁÓÔÏÑÝÅÍ ÏÞÅÒËÅ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏÊ ÄÅÔÁÌØÀ ÏÔ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ × [5℄. éÍÅÎÎÏ, × [5℄ ÄÌÑ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ ÓÔÁ×ËÉ ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÎÅ ÓÔÒÏÇÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á v(k) < V (k − 1), Á ÂÏÌÅÅ ÓÌÁÂÏÇÏ ÎÅÓÔÒÏÇÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á v(k) 6 V (k − 1). ëÌÁÓÓ ÎÅÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÏÄÎÉÍ É ÔÅÍ ÖÅ ÒÉ ÏÂÏÉÈ ÏÎÉÍÁÎÉÑÈ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ. úÁÍÅÎÁ × ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ ÎÅÓÔÒÏÇÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÎÁ ÓÔÒÏÇÏÅ ×ÙÚ×ÁÎÁ Ä×ÕÍÑ ÒÉÞÉÎÁÍÉ. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÓÁÍÁ ÉÇÒÁ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÂÏÌÅÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÏÊ: ×ÅÄØ × ÓÌÕÞÁÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÓÔÁ×ËÉ ÔÅËÕÝÅÍÕ ËÁÉÔÁÌÕ ÓÔÏÉÔ éÇÒÏËÕ ÏÛÉÂÉÔØÓÑ × Ó×ÏÅÍ ÒÅÄÓËÁÚÁÎÉÉ, ËÁË ÅÇÏ ËÁÉÔÁÌ ÏÂÎÕÌÉÔÓÑ, É ÏÎ ÂÕÄÅÔ ×ÙÎÕÖÄÅÎ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ

108

÷. á. õÓÅÎÓËÉÊ

ÄÅÌÁÔØ ÌÉÛØ ÎÕÌÅ×ÙÅ ÓÔÁ×ËÉ. ÷Ï-×ÔÏÒÙÈ, ÉÍÅÎÎÏ ÓÔÒÏÇÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÉ ÅÒÅÎÏÓÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÊ Ó ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏ-×ÙÞÉÓÌÉÍÙÈ ÍÅÒ (ËÁËÏ×ÙÅ ÔÏÌØËÏ É ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÌÉÓØ × [5℄) ÎÁ ÌÀÂÙÅ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÅ ÍÅÒÙ, ÓÏÈÒÁÎÉÔØ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ ÉÇÒÏËÁ. ÷ÅÄØ ËÁÖÄÙÊ ÒÁÚ éÇÒÏË ÄÏÌÖÅÎ ÕÄÏÓÔÏ×ÅÒÑÔØÓÑ × ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ ÈÏÄÁ. ðÏÌÕÞÉÔØ ÖÅ ÔÁËÏÅ ÕÄÏÓÔÏ×ÅÒÅÎÉÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÍ ÕÔÅÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÌÉÛØ × ×ÁÒÉÁÎÔÅ ÓÔÒÏÇÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á: ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÄÁÀÝÉÊ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ×ÏÒÏÓ €v(k) < V (k − 1)?, ËÏÇÄÁ É × ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ v(k) < V (k − 1); ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÄÁÀÝÅÇÏ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ×ÏÒÏÓ €v(k) 6 V (k − 1)?, ËÏÇÄÁ É × ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ v(k) 6 V (k − 1). óÁÍÁ ÉÄÅÑ Ï Ó×ÑÚÉ ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ Ó ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØÀ ÇÁÒÁÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ×ÙÉÇÒÙÛÁ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ: ÅÝÅ ÆÏÎ íÉÚÅÓ, ÎÅ ÄÁ×ÁÑ ÔÏÞÎÙÈ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÏË, ÇÏ×ÏÒÉÌ Ï €ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÓÉÓÔÅÍÙ ÉÇÒف. ÷ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ ×ÓÔÒÅÞÁÌÉÓØ É ÓÔÒÏÇÉÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ, ÏÄÎÁËÏ ×ÏÓÒÏÉÚ×ÏÄÉÍÁÑ ÚÄÅÓØ (Ó ËÏÓÍÅÔÉÞÅÓËÉÍ ÒÅÍÏÎÔÏÍ) ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ ÉÚ [5℄ ËÁÖÅÔÓÑ ÂÏÌÅÅ ÂÌÉÚËÏÊ Ë ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÏÍÕ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÀ Ï ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ. äÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÉÇÒÏ×ÙÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÌÉÂÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉ ÓÔÒÁÔÅÇÉÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÓÔØ (ÏÚÎÁÞÁÀÝÁÑ ÎÁÌÉÞÉÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÕËÁÚÙ×ÁÀÝÅÇÏ ÉÇÒÏËÕ ÅÇÏ ÏÞÅÒÅÄÎÏÊ ÈÏÄ) ÚÁÍÅÎÑÌÁÓØ ÎÁ ÄÒÕÇÏÅ (ÈÏÔÑ É Ó×ÑÚÁÎÎÏÅ Ó ÏÎÑÔÉÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÎÏ, ×ÉÄÉÍÏ, ÍÅÎÅÅ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ) ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÅ, ÌÉÂÏ ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÎÅ ÒÉ×ÏÄÉÌÉ Ë ËÌÁÓÓÕ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ, ÒÁ×ÎÏÏÂßÅÍÎÏÍÕ ËÌÁÓÓÕ ÔÉÉÞÅÓËÏ-ÈÁÏÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ. äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÎÅÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÏÓÔÉ ÉÚ [5℄ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÎÁÄÅÖÄÁ ÎÁ ÕËÁÚÁÎÎÕÀ ÒÁ×ÎÏÏÂßÅÍÎÏÓÔØ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÞÅÍ ÂÏÌØÛÉÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ €ÌÉ ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔɁ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÅÔÓÑ ËÁËÏÊ-ÔÏ ÔÏÞÎÏ ÏÞÅÒÞÅÎÎÙÊ ËÌÁÓÓ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ, ÔÅÍ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÎÅÅ ÒÁ×Ï ÜÔÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ÓÌÕÖÉÔØ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÍ ÁÎÁÌÏÇÏÍ ÒÁÓÌÙ×ÞÁÔÏÇÏ ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÏÇÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ Ï ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ.

÷. á. õÓÅÎÓËÉÊ, ÍÅÈÍÁÔ íçõ

109

áÌÇÅÂÒÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× ç. à. ðÁÎÉÎÁ

1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ

óÔÁÔØÑ ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÁ ÓÔÁÒÛÅËÌÁÓÓÎÉËÁÍ, ÅÌÅÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÏ ÚÁÎÉÍÁÀÝÉÍÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ, ÓÔÕÄÅÎÔÁÍ É ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÑÍ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÏÎÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅËÏÍÅÎÄÏ×ÁÎÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍ-ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌÁÍ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÌÅÇËÏÇÏ ÞÔÅÎÉÑ. äÌÑ ÕÄÏÂÓÔ×Á ÞÉÔÁÔÅÌÑ ÍÙ ÉÓÏÌØÚÕÅÍ Ä×ÕÈÕÒÏ×ÎÅ×ÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ: (ÍÅÎØÛÁÑ) ÞÁÓÔØ ÔÅËÓÔÁ ×ÙÄÅÌÅÎÁ ÍÅÌËÉÍ ÛÒÉÆÔÏÍ | ÜÔÏÔ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÊ ÍÁÔÅÒÉÁÌ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÏÕÝÅÎ ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÍÉ. á ×ÏÔ ÚÁÄÁÞÉ ÒÏÕÓËÁÔØ ÎÅÌØÚÑ | ÎÁÄ ÎÉÍÉ ÎÕÖÎÏ ÏÄÕÍÁÔØ (× ðÒÉÌÏÖÅÎÉÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÏÔ×ÅÔÙ É ÕËÁÚÁÎÉÑ Ë ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÚÁÄÁÞÁÍ). óÏ×ÓÅÍ ÎÅÄÁ×ÎÏ ÂÙÌÁ ÒÉÄÕÍÁÎÁ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÁÑ ×ÅÝØ | ÁÌÇÅÂÒÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×. ëÁË ÜÔÏ ÉÎÏÇÄÁ ÂÙ×ÁÅÔ Ó ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ×ÁÖÎÙÍÉ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÑÍÉ, ÅÅ ÒÉÄÕÍÁÌÉ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ É ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÒÁÚÎÙÅ ÌÀÄÉ | áÌÅËÓÁÎÄÒ ðÕÈÌÉËÏ× ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏ Ó áÓËÏÌØÄÏÍ èÏ×ÁÎÓËÉÍ É ðÉÔÅÒ íÁËíÁÌÌÅÎ (P. M Mullen). é ËÁË ÜÔÏ ÞÁÓÔÏ ÂÙ×ÁÅÔ, ÁÌÇÅÂÒÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× ÉÍÅÅÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ Ë ÒÁÚÎÙÍ ÏÂÌÁÓÔÑÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. îÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÔØ ÔÁËÏÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÓÔÉ: ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË ÒÁÚÒÅÛÁÅÔÓÑ ÒÁÚÒÅÚÁÔØ ÎÁ ËÕÓËÉ, Á ÚÁÔÅÍ, ÅÒÅÄ×ÉÇÁÑ ËÕÓËÉ Ó ÏÍÏÝØÀ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÅÒÅÎÏÓÏ×, ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÎÏ×ÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË. (ú×ÕÞÉÔ ÏÞÔÉ ËÁË ÔÒÅÔØÑ ÒÏÂÌÅÍÁ çÉÌØÂÅÒÔÁ, ÎÏ ÓÍÙÓÌ ÚÄÅÓØ ÉÎÏÊ). áÌÇÅÂÒÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×, ËÏÔÏÒÕÀ ÍÙ ÏÓÔÒÏÉÍ, ÏÍÏÇÁÅÔ ÎÁÊÔÉ ËÒÉÔÅÒÉÊ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ.

ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÁÌÇÅÂÒÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× ÔÅÓÎÏ Ó×ÑÚÁÎÁ Ó ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÅÊ ÔÏÒÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÊ. üÔÁ €×ÙÓÏËÁÑ ÎÁÕËÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÅÒÅ×ÅÄÅÎÁ ÎÁ ÒÏÓÔÏÊ É ÚÎÁËÏÍÙÊ ÑÚÙË ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× (ÔÁË ÖÅ, ËÁË ÄÅÌÁÀÔÓÑ ÅÒÅ×ÏÄÙ Ó ÏÄÎÏÇÏ ÑÚÙËÁ ÎÁ ÄÒÕÇÏÊ). ÷ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÍ €ÓÌÏ×ÁÒŁ ÔÅÒÍÉÎ €ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉˁ ÅÒÅ×ÏÄÉÔÓÑ ËÁË €ÏÞÅÎØ ÏÂÉÌØÎÙÊ ÕÞÏˁ. €óÌÏÖÅÎÉÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× Ï íÉÎËÏ×ÓËÏÍՁ ÅÒÅ×ÏÄÉÔÓÑ ËÁË €ÔÅÎÚÏÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÕÞËÏׁ. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÏÞÅÎØ ÏÂÉÌØÎÙÅ ÕÞËÉ ÍÏÖÎÏ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÔÅÎÚÏÒÎÏ ÅÒÅÍÎÏÖÁÔØ, ÎÏ É ÄÅÌÉÔØ ÄÒÕÇ ÎÁ ÄÒÕÇÁ | ÏÎÉ ÏÒÏÖÄÁÀÔ ÇÒÕÕ ðÉËÁÒÁ. åÓÌÉ ÅÒÅ×ÅÓÔÉ ÏÓÌÅÄÎÀÀ ÆÒÁÚÕ ÎÁ ÑÚÙË ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×, ÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ.

110

ç. à. ðÁÎÉÎÁ

÷ÙÕËÌÙÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ ÍÏÖÎÏ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÓËÌÁÄÙ×ÁÔØ, ÎÏ É ×ÙÞÉÔÁÔØ Ï íÉÎËÏ×ÓËÏÍÕ | ÏÎÉ ÏÒÏÖÄÁÀÔ ÇÒÕÕ ×ÉÒÔÕÁÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×. þÔÏ ÜÔÏ ÚÎÁÞÉÔ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ, ÂÕÄÅÔ ÒÁÓÓËÁÚÁÎÏ × ÁÒÁÇÒÁÆÅ 6. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÍÙ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ×ÙÕËÌÙÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ ÏÒÏÖÄÁÀÔ ÅÝÅ ÂÏÌÅÅ ÂÏÇÁÔÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ | ÇÒÁÄÕÉÒÏ×ÁÎÎÕÀ ÁÌÇÅÂÒÕ (ÜÔÏ É ÅÓÔØ ÁÌÇÅÂÒÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×). çÏ×ÏÒÑ ÒÏÓÔÙÍ ÑÚÙËÏÍ, Ï Ó×ÏÉÍ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ ÏÈÏÖÉ ÎÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ. îÁ ÒÉÍÅÒÅ ÜÔÏÊ ËÒÁÓÉ×ÏÊ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ ×Ù Õ×ÉÄÉÔÅ, ËÁË × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÓÔÁÒÁÑ ÄÅÔÓËÁÑ ÏÇÏ×ÏÒËÁ: €åÓÌÉ ÎÅÌØÚÑ, ÎÏ ÏÞÅÎØ ÈÏÞÅÔÓÑ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ. îÁÒÉÍÅÒ, ÎÅÌØÚÑ ×ÙÞÅÓÔØ Ï íÉÎËÏ×ÓËÏÍÕ ÉÚ ÍÁÌÅÎØËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ÂÏÌØÛÏÊ. îÏ ÅÓÌÉ ÒÉÄÕÍÁÔØ ËÁË, ÔÏ ÍÏÖÎÏ. ÷ÙÒÁÖÅÎÉÑ €ÌÏÇÁÒÉÆÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É €ÜËÓÏÎÅÎÔÁ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ | ÂÅÓÓÍÙÓÌÉ Á. îÏ ÅÓÌÉ ÒÏÑ×ÉÔØ ÆÁÎÔÁÚÉÀ, ÔÏ ÏÎÉ ÓÔÁÎÕÔ ÏÓÍÙÓÌÅÎÎÙÍÉ É ÏÚ×ÏÌÑÔ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÔØ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ × ÓÕÍÍÕ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ. éÚÌÏÖÅÎÉÅ ÏÔÎÀÄØ ÎÅ ÒÅÔÅÎÄÕÅÔ ÎÁ ÏÌÎÏÔÕ. îÁÛÁ ÚÁÄÁÞÁ | ÄÁÔØ ÏÂÝÅÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ Ï ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ É ÍÅÔÏÄÁÈ, ÏÕÔÎÏ ÎÁÕÞÉ× ÞÉÔÁÔÅÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÏÂÝÉÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÒÉÅÍÁÍ. 2. óÌÏÖÅÎÉÅ Ï íÉÎËÏ×ÓËÏÍÕ

÷ÓÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÏÂßÅËÔÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ, ÖÉ×ÕÔ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÉÌÉ Ä×ÕÍÅÒÎÏÍ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å | ×ÙÛÅ ÍÙ ÏÄÎÉÍÁÔØÓÑ ÎÅ ÂÕÄÅÍ.

÷ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ ÂÏÌØÛÅÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÄÅÌÏ ÏÂÓÔÏÉÔ ÔÏÞÎÏ ÔÁË ÖÅ É ÎÅ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÎÉËÁËÉÈ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ÜÆÆÅËÔÏ×.

óÞÉÔÁÑ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ï, ÄÌÑ ÕÄÏÂÓÔ×Á ÍÙ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÅÍ ÔÏÞËÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Ó ÅÅ ÒÁÄÉÕÓ-×ÅËÔÏÒÏÍ. ÷ÙÕËÌÙÍ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏÍ (× R2 ÉÌÉ R3 ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÕËÌÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ ÎÅÕÓÔÏÇÏ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÔÏÞÅË. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÔÏÞËÁ ÉÌÉ ÏÔÒÅÚÏË ÔÏÖÅ ÓÞÉÔÁÀÔÓÑ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁÍÉ, Á ÏÔËÒÙÔÙÊ Ë×ÁÄÒÁÔ (Ë×ÁÄÒÁÔ ÂÅÚ ÇÒÁÎÉ Ù) | ÎÅÔ. îÁÛÁ ÅÌØ | ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÔØ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ × ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ, Ô. Å. ÎÁÕÞÉÔØÓÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔØ Ó ÎÉÍÉ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ, ÏÄÞÉÎÅÎÎÙÅ ÏÂÙÞÎÙÍ ÁËÓÉÏÍÁÍ. ðÅÒ×ÏÅ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ | ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ Ï íÉÎËÏ×ÓËÏÍÕ. úÄÅÓØ ÉÍÅÅÔÓÑ ÉÓÔÏÒÉÞÅÓËÉ ÓÌÏÖÉ×ÛÁÑÓÑ ÕÔÁÎÉ Á: ÓËÏÒÏ ÍÙ Õ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ×Ï×ÓÅ ÎÅ ÓÌÏÖÅÎÉÅ, Á ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÙ ÉÓÏÌØÚÕÅÍ ÄÌÑ ÜÔÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ ÚÎÁË ⊗, ËÏÔÏÒÙÍ ÏÂÙÞÎÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ÔÅÎÚÏÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ É (ÉÎÏÇÄÁ) Ó×ÅÒÔËÕ.

áÌÇÅÂÒÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×

111

y

O

x+y

L

x K

K⊗L òÉÓ. 1.

ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. óÕÍÍÏÊ íÉÎËÏ×ÓËÏÇÏ (ÉÌÉ ×ÅËÔÏÒÎÏÊ ÓÕÍÍÏÊ) Ä×ÕÈ ×ÙÕËÌÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× K É L ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË K ⊗ L = {x + y | x ∈ K; y ∈ L}: úÁÄÁÞÁ 1. îÁÊÔÉ ÓÕÍÍÕ íÉÎËÏ×ÓËÏÇÏ Ä×ÕÈ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÏÔÒÅÚËÏ×. úÁÄÁÞÁ 2. îÁÊÔÉ ÓÕÍÍÕ íÉÎËÏ×ÓËÏÇÏ Ä×ÕÈ ÎÅÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÏÔÒÅÚËÏ×. úÁÄÁÞÁ 3. þÔÏ ÒÏÉÚÏÊÄÅÔ Ó ÓÕÍÍÏÊ íÉÎËÏ×ÓËÏÇÏ, ÅÓÌÉ ÏÄ×ÉÎÕÔØ ÏÄÎÏ ÉÚ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÍ ÅÒÅÎÏÓÏÍ? úÁÄÁÞÁ 4. îÁÊÔÉ ÓÕÍÍÕ íÉÎËÏ×ÓËÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÏÔÒÅÚËÁ, ÌÅÖÁÝÉÈ × ÏÄÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ. úÁÄÁÞÁ 5. îÁÊÔÉ ÓÕÍÍÕ íÉÎËÏ×ÓËÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÏÔÒÅÚËÁ, ÎÅ ÌÅÖÁÝÉÈ × ÏÄÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ. úÁÄÁÞÁ 6. þÔÏ ÒÏÉÚÏÊÄÅÔ Ó ÓÕÍÍÏÊ íÉÎËÏ×ÓËÏÇÏ, ÅÓÌÉ ÉÚÍÅÎÉÔØ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ? úÁÄÁÞÁ 7. ÷ÙÕËÌÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÏÊ ËÁËÉÈ ÔÏÞÅË Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÕÍÍÁ íÉÎËÏ×ÓËÏÇÏ Ä×ÕÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×? úÁÄÁÞÁ 8. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ K ⊗ K ÅÓÔØ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË K , ÇÏÍÏÔÅÔÉÞÎÏ ÒÁÓÔÑÎÕÔÙÊ × 2 ÒÁÚÁ. óÌÅÄÕÀÝÅÅ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ ÏÞÔÉ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 1. . ïÅÒÁ ÉÑ ⊗ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁ.

.

. .

óÕÍÍÁ íÉÎËÏ×ÓËÏÇÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ÏÓÌÅ ÏÄÈÏÄÑÝÅÇÏ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÇÏ ÅÒÅÎÏÓÁ.

óÕÍÍÁ íÉÎËÏ×ÓËÏÇÏ Ä×ÕÈ ×ÙÕËÌÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× | ×ÙÕËÌÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË. äÌÑ 1 = {O} É ÌÀÂÏÇÏ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ K ⊗ 1 = K.

K,

ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï :

112

ç. à. ðÁÎÉÎÁ

ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÞÔÏ Õ ÎÁÓ ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅÊÔÒÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ

1 | ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË, ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÉ O.

÷ÎÉÍÁÔÅÌØÎÙÊ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÕÖÅ ÚÁÍÅÔÉÌ, ÞÔÏ ÍÙ ÒÉÂÌÉÖÁÅÍÓÑ Ë ÏÎÑÔÉÀ €ÁÂÅÌÅ×Á ÇÒÕÁ, ÎÏ | Õ×Ù! | ×ÔÏÒÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ ÎÅ ÄÁÅÔ ÎÉËÁËÏÊ ÎÁÄÅÖÄÙ ÎÁ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ, ÔÁË ËÁË ÒÉ ÓÌÏÖÅÎÉÉ Ï íÉÎËÏ×ÓËÏÍÕ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ ÎÅ ÕÍÅÎØÛÁÀÔÓÑ. ðÏÜÔÏÍÕ × ËÌÁÓÓÅ ×ÙÕËÌÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× ÏÂÒÁÔÉÍÙ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÏÔÏÞÅÞÎÙÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ.

òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÏÌÕÇÒÕÁ ×ÙÕËÌÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ×ËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × Ó×ÏÀ ÇÒÕÕ çÒÏÔÅÎÄÉËÁ, Ô. Å. ÇÒÕÕ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ ×ÉÄÁ K ⊗L−1. îÁÛÁ ÚÁÄÁÞÁ | ÒÉÄÁÔØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ ÜÔÉÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑÍ. üÔÏ ÂÕÄÅÔ ÓÄÅÌÁÎÏ ÎÁ ÑÚÙËÅ ×ÉÒÔÕÁÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× (. 6) É ÎÁ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÑÚÙËÅ ÏÏÒÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ (. 3.) 3. ïÏÒÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ É ×ÅÅÒ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2. ïÏÒÎÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ K ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑ hK (x), ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÎÁ R2 (ÉÌÉ R3 , × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÔÏÇÏ, ÇÄÅ ÖÉ×ÅÔ K ) ÆÏÒÍÕÌÏÊ hK (x) = max(x; y): y∈K

(ÓËÏÂËÁ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÒÁÄÉÕÓ-×ÅËÔÏÒÏ×). äÌÑ ×ÅËÔÏÒÁ x ÍÁËÓÉÍÕÍ ÜÔÏÇÏ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ × ÔÏÞËÁÈ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ K É ÒÑÍÏÊ, ËÁÓÁÀÝÅÊÓÑ K É ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÊ x (ÓÍ. ÒÉÓ. 2). úÁÄÁÞÁ 9. ÷ÏÏÂÝÅ-ÔÏ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ Ä×Å ÒÑÍÙÅ Ó ÔÁËÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ. ëÁËÕÀ ÉÍÅÎÎÏ ÍÙ ÂÅÒÅÍ? ÷ÏÔ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÏÒÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ.

max ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ K

O

x òÉÓ. 2.

áÌÇÅÂÒÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×

113

ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 2.

1. ÷ ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÏÏÒÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ : hK (O) = 0.

2. äÌÑ  > 0 ÉÍÅÅÍ hK (x) = hK (x).

3. ïÏÒÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÏÄÎÏÔÏÞÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ | ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÇÒÁÆÉË ÏÏÒÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ÉÚ R2 ÅÓÔØ ÌÏÓËÏÓÔØ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å.

4. ìÀÂÁÑ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, ÒÉÎÉÍÁÀÝÁÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅ 0 × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÏÒÎÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÄÎÏÔÏÞÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ.

úÁÄÁÞÁ 10. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÏÒÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÓÕÍÍÙ íÉÎËÏ×ÓËÏÇÏ ÒÁ×ÎÁ ÓÕÍÍÅ ÏÏÒÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ: hK ⊗L = hK + hL : òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÌÏÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË K . ðÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ x ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ (ÓÍ. ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÏÏÒÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ) ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ Ó×ÏÅÇÏ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ A ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ K . åÓÌÉ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÔÉÈÏÎØËÕ Ï×ÏÒÁÞÉ×ÁÔØ ÒÁÄÉÕÓ-×ÅËÔÏÒ x, ÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ×ÒÅÍÑ ÍÁËÓÉÍÕÍ ÂÕÄÅÔ ÄÏÓÔÉÇÁÔØÓÑ × ÔÏÊ ÖÅ ×ÅÒÛÉÎÅ A, ÚÁÔÅÍ × ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÍÅÎÔ | ÎÁ ÅÌÏÍ ÒÅÂÒÅ, ÒÉÍÙËÁÀÝÅÍ Ë ×ÅÒÛÉÎÅ A, Á ÚÁÔÅÍ ÅÒÅÒÙÇÎÅÔ ÎÁ ÓÏÓÅÄÎÀÀ ×ÅÒÛÉÎÕ. üÔÏ ÚÎÁÞÉÔ, ÞÔÏ ÏÏÒÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ €ÓËÌÅÅÎÁ ÉÚ ËÕÓÏÞËÏ× ÏÏÒÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ×ÅÒÛÉÎ, Ô. Å. ÉÚ ËÕÓËÏ× ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï R2 ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁÚÂÉÔÏ ÎÁ ÌÏÓËÉÅ ËÏÎÕÓÁ (ÜÔÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ, ÞÔÏ ÌÏÓËÉÅ ÕÇÌÙ) Ó ÏÂÝÅÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÔÁË, ÞÔÏ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ËÏÎÕÓÏ× ÏÏÒÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÌÉÎÅÊÎÁ. ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÇÒÁÆÉË ÏÏÒÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÓËÌÅÅÎ ÉÚ ÌÏÓËÉÈ ËÕÓÏÞËÏ×, ÒÉÞÅÍ ÍÅÓÔÁ ÓËÌÅÊËÉ | ÌÕÞÉ, ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÒÅÂÒÁÍ K (ÒÉÓ. 3).

O

O

O

ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË K

×ÅÅÒ K

ÇÒÁÆÉË ÏÏÒÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ K

òÉÓ. 3.

114

ç. à. ðÁÎÉÎÁ

þÔÏ ÖÅ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, ËÁËÏ×Á ÏÏÒÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ K ? ðÒÉÎ ÉÉÁÌØÎÏ ÚÄÅÓØ ×Ó£ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ, ÔÏÌØËÏ ËÁÒÔÉÎËÁ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÂÏÇÁÞÅ: R3 ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁÚÂÉÔÏ ÎÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÙÅ ËÏÎÕÓÁ Ó ÏÂÝÅÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÔÁË, ÞÔÏ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ËÏÎÕÓÏ× ÏÏÒÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÌÉÎÅÊÎÁ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 3. üÔÏ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÅÅÒÏÍ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ K . õÄÏÂÎÏ ÒÉÓÏ×ÁÔØ ÎÅ ÓÁÍ ×ÅÅÒ, Á ÅÇÏ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ Ó ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÓÆÅÒÏÊ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ O (ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÊ ×ÅÅÒ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ K ). íÙ ÏÌÕÞÉÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ÓÆÅÒÙ ÎÁ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ (ËÌÅÔËÉ ×ÅÅÒÁ ). éÍÅÑ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË, ÌÅÇËÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÅÇÏ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÊ ×ÅÅÒ: 1. ïÔÍÅÔØÔÅ ÎÁ ÓÆÅÒÅ ËÏÎ Ù ×ÎÅÛÎÉÈ ÎÏÒÍÁÌÅÊ ÇÒÁÎÅÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ K . 2. óÏÅÄÉÎÉÔÅ ÎÁ ÓÆÅÒÅ ËÁÖÄÙÅ Ä×Å ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÔÏÞËÉ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÍ ÏÔÒÅÚËÏÍ (ËÕÓËÏÍ ÂÏÌØÛÏÇÏ ËÒÕÇÁ), ÅÓÌÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÇÒÁÎÉ ÄÅÌÑÔ ÒÅÂÒÏ. (äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÜÔÏÊ ÒÏ ÅÄÕÒÙ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÊ ×ÅÅÒ.) ïÂÒÁÔÉÔÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÎÁ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÕÀ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ É ÅÇÏ ×ÅÅÒÁ: . ×ÅÒÛÉÎÁÍ ×ÅÅÒÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÇÒÁÎÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ,

. ÒÅÂÒÁÍ ×ÅÅÒÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÒÅÂÒÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ, . ËÌÅÔËÁÍ ×ÅÅÒÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ×ÅÒÛÉÎÙ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ.

5 6

1 4

3

5 1 2 4 3 2 6

K

×ÅÅÒ K òÉÓ. 4.

áÌÇÅÂÒÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×

115

úÁÄÁÞÁ 11. ðÏÓÔÒÏÊÔÅ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÊ ×ÅÅÒ ËÕÂÁ, ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ, ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ (ÌÅÖÁÝÅÇÏ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å), ÏÔÒÅÚËÁ (ÌÅÖÁÝÅÇÏ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å). ÅÏÒÅÍÁ 1. 1. ïÏÒÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ×ÙÕËÌÁ. üÔÏ ÚÎÁÞÉÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ 0 6  6 1

hK (x1 + (1 − )x2 )) 6 hK (x1 ) + (1 − )hK (x2 );

ÉÌÉ (ÄÌÑ ÔÅÈ, ËÔÏ ÌÀÂÉÔ ËÁÒÔÉÎËÉ ÂÏÌØÛÅ ÆÏÒÍÕÌ ) ÞÔÏ ÇÒÁÆÉË ÆÕÎË ÉÉ hK | ×ÙÕËÌÁÑ ×ÎÉÚ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ.

2. ëÁÖÄÁÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ×ÙÕËÌÁÑ ÆÕÎË ÉÑ h, ÒÉÎÉÍÁÀÝÁÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅ 0 × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ËÏÔÏÒÁÑ ËÕÓÏÞÎÏ ÌÉÎÅÊÎÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ×ÅÅÒÁ (Ô. Å. ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁ ËÏÎÕÓÁ ), Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÏÒÎÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ. (íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÁËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ H.) 3. ïÏÒÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÏÄÎÏÔÏÞÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ | ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÇÒÁÆÉË ÏÏÒÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÔÏÞËÉ ÉÚ R2 ÅÓÔØ ÌÏÓËÏÓÔØ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ðÏÑÓÎÉÍ ÕÎËÔ 2. ÷ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË ÌÅÇËÏ: ÔÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÓËÌÅÅÎÁ h, ÄÁÀÔ ÎÁÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ×ÅÒÛÉÎ. ðÒÉ ÓÌÏÖÅÎÉÉ Ï íÉÎËÏ×ÓËÏÍÕ ×ÙÕËÌÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× ×ÅÅÒÁ ÄÒÏÂÑÔÓÑ: ÞÔÏÂÙ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÊ ×ÅÅÒ ÓÕÍÍÙ, ÎÕÖÎÏ ÎÁ ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ÓÆÅÒÅ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ×ÅÅÒÁ ÏÂÏÉÈ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ. íÙ ÏÎÑÌÉ, ÞÔÏ ÇÒÕÂÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ×ÙÕËÌÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË | ÜÔÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ, ÞÔÏ É ÅÇÏ ÏÏÒÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ: ÜÔÉ Ä×Á ÏÂßÅËÔÁ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÁ, ÒÉÞÅÍ ÓÌÏÖÉÔØ Ä×Á ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ Ï íÉÎËÏ×ÓËÏÍÕ | ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ, ÞÔÏ ÓÌÏÖÉÔØ ÉÈ ÏÏÒÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ.

ïÆÉ ÉÁÌØÎÏ ÜÔÏ Ú×ÕÞÉÔ ÔÁË: ÏÌÕÇÒÕÁ ×ÙÕËÌÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉ ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ ÏÌÕÇÒÕÅ ×ÙÕËÌÙÈ ËÕÓÏÞÎÏ-ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ H. üÔÏ ×ÌÅÞÅÔ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÇÒÕ çÒÏÔÅÎÄÉËÁ.

ïÂÒÁÝÁÔØ (É ×ÙÞÉÔÁÔØ) Ï íÉÎËÏ×ÓËÏÍÕ ×ÙÕËÌÙÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ ÍÙ ÏËÁ ÎÅ ÕÍÅÅÍ. îÏ ÚÁÔÏ ÍÏÖÎÏ ÚÁÒÏÓÔÏ ÂÒÁÔØ ÓÏ ÚÎÁËÏÍ €ÍÉÎÕӁ (É ×ÙÞÉÔÁÔØ ÄÒÕÇ ÉÚ ÄÒÕÇÁ) ÏÏÒÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ. þÔÏ ÒÉ ÜÔÏÍ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ? òÁÚÎÏÓÔØ Ä×ÕÈ ÆÕÎË ÉÊ ÉÚ H ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ, ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÊ É ËÕÓÏÞÎÏ-ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ×ÅÅÒÁ. á ×ÏÔ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ×ÙÕËÌÏÓÔÉ ÒÏÁÄÅÔ. úÁÂÁ×ÎÁÑ ÓÉÔÕÁ ÉÑ: ÍÙ ÏËÁ ÎÅ ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ ÚÁ ÏÂßÅËÔ €ÏÂÒÁÔÎÙÊ Ï íÉÎËÏ×ÓËÏÍÕ Ë ËÕÂՁ, ÎÏ ÕÖÅ ÏÎÑÌÉ, ÞÅÍÕ ÒÁ×ÎÁ ÅÇÏ ÏÏÒÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. èÏÔÅÌÏÓØ ÂÙ ÒÉÄÁÔØ ÜÔÏÍÕ ÏÂßÅËÔÕ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ. íÙ ÜÔÏ ÓÄÅÌÁÅÍ, ÎÏ × ÎÅÓËÏÌØËÏ ÈÏÄÏ×.

116

ç. à. ðÁÎÉÎÁ

4. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ Ï ÜÊÌÅÒÏ×ÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÅ

üÊÌÅÒÏ×Á ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÁ | ÂÅÓÓÏÒÎÙÊ ÌÉÄÅÒ ÓÒÅÄÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÎÑÔÉÊ Ï ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ €ÒÏÓÔÏÔÁ { ÏÌÅÚÎÏÓÔ؁. ï ÜÔÏÍ ÚÎÁÅÔ ËÁÖÄÙÊ, ËÏÍÕ ÒÉÈÏÄÉÌÏÓØ ÒÉÞÅÓÙ×ÁÔØ ÅÖÉËÁ, ÒÁÓËÒÁÛÉ×ÁÔØ ËÁÒÔÙ ÉÌÉ ÕÞÉÔØÓÑ ÏÔÌÉÞÁÔØ ÔÏÒ ÏÔ ËÒÅÎÄÅÌÑ. ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, Ï ÜÊÌÅÒÏ×ÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÅ ÍÏÖÎÏ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÔØ, ÏÂÒÁÝÁÑÓØ Ó ÎÅÊ ËÁË Ó ÍÅÒÏÊ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 4. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÙÍ , ÅÓÌÉ ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÏÅÒÁ ÉÊ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ, ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ É ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ ÉÚ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ (ËÏÎÅÞÎÏÇÏ) ÎÁÂÏÒÁ ×ÙÕËÌÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 5. ëÌÅÔÏÞÎÙÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅÍ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á M ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ M ÎÁ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÙÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á (ËÌÅÔËÉ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ ) ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ ËÌÅÔËÁ ÅÓÔØ ÏÄÎÏ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×: 0: ÔÏÞËÁ (0-ÍÅÒÎÁÑ ËÌÅÔËÁ); 1: ÏÔËÒÙÔÙÊ ÏÔÒÅÚÏË (ÏÔÒÅÚÏË Ó ×ÙÂÒÏÛÅÎÎÙÍÉ ËÏÎ ÁÍÉ) (1-ÍÅÒÎÁÑ ËÌÅÔËÁ); 2: ÏÔËÒÙÔÙÊ Ä×ÕÍÅÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË (ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË Ó ÕÄÁÌÅÎÎÏÊ ÇÒÁÎÉ ÅÊ) (2-ÍÅÒÎÁÑ ËÌÅÔËÁ); 3: ÏÔËÒÙÔÙÊ ÔÒÅÈÍÅÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË (3-ÍÅÒÎÁÑ ËÌÅÔËÁ). ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 6. üÊÌÅÒÏ×ÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÏÊ ËÌÅÔÏÞÎÏÇÏ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á M ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ

(M ) = (ÞÉÓÌÏ 0-ÍÅÒÎÙÈ ËÌÅÔÏË) − (ÞÉÓÌÏ 1-ÍÅÒÎÙÈ ËÌÅÔÏË)+

+ (ÞÉÓÌÏ 2-ÍÅÒÎÙÈ ËÌÅÔÏË) − (ÞÉÓÌÏ 3-ÍÅÒÎÙÈ ËÌÅÔÏË): èÏÔÑ ÏÄÎÏ É ÔÏ ÖÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÏÖÎÏ Ï-ÒÁÚÎÏÍÕ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ ËÌÅÔËÉ, ÚÎÁÞÅÎÉÅ (M ) ÏÔ ÜÔÏÇÏ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ. (üÔÏ ÄÁÌÅËÏ ÎÅ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÊ ÆÁËÔ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÙ ÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÂÅÚ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á.) ïÞÅ×ÉÄÎÏÅ, ÎÏ ÏÞÅÎØ ×ÁÖÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÜÊÌÅÒÏ×ÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ | ÁÄÄÉÔÉ×ÎÏÓÔØ: (M1 ∪ M2 ) = (M1 ) + (M2 ) − (M1 ∩ M2 ): éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÔØ ÎÁÍ ÒÅÄÓÔÏÉÔ ÔÏÌØËÏ ÏÞÅÎØ ÒÏÓÔÏ ÕÓÔÒÏÅÎÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 7. ðÕÓÔØ f : M → Z | ÆÕÎË ÉÑ, ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å M , ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ f ÒÉÎÉÍÁÅÔ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ, ÒÉÞÅÍ ÒÏÏÂÒÁÚ ËÁÖÄÏÇÏ ÞÉÓÌÁ |

áÌÇÅÂÒÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×

117

ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. ÁËÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÙÍÉ , Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ, ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÎÁ ×ÓÅÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ M. ðÏÌÏÖÉÍ Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ Z X f (x) d(x) = a · (f −1(a)): M

a∈Z

üÔÏ É ÅÓÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÆÕÎË ÉÉ Ï ÜÊÌÅÒÏ×ÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÅ . é ×Ó£: ÎÅÔ ÎÉËÁËÉÈ ×ÅÒÈÎÉÈ É ÎÉÖÎÉÈ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÈ ÓÕÍÍ, ÎÉËÁËÉÈ ÅÒÅÈÏÄÏ× Ë ÒÅÄÅÌÕ, ÎÉËÁËÉÈ ÂÏÒÅÌÅ×ÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× (×ÓÅÈ ÁÔÒÉÂÕÔÏ× ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ìÅÂÅÇÁ). úÁÔÏ ÅÓÔØ ÒÉ×ÙÞÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ (ÄÏËÁÖÉÔÅ!): ÅÏÒÅÍÁ 2.

1. éÎÔÅÇÒÁÌ ÓÕÍÍÙ ÆÕÎË ÉÊ ÅÓÔØ ÓÕÍÍÁ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ Z

M

(f (x) + g(x)) d(x) =

Z

M

f (x) d(x) +

Z

M

g(x) d(x):

2. éÎÔÅÇÒÁÌ Ï ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÀ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÅÓÔØ ÓÕÍÍÁ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× Ï ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÎÉÈ Z

M ∪L

f (x) d(x) =

Z

M

f (x) d(x) +

Z

L

f (x) d(x):

3. (ÅÏÒÅÍÁ æÕÂÉÎÉ.) íÏÖÎÏ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÔØ ÓÎÁÞÁÌÁ Ï ËÁÖÄÏÍÕ ÓÌÏÀ, Á ÚÁÔÅÍ | ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ ÒÏÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÔØ Ï ÓÌÏÑÍ : Z

f (x; y) d(x; y) =

Z Z



f (x; y) d(x) d(y):

5. ïÔ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× Ë ÆÕÎË ÉÑÍ. óÌÏÖÅÎÉÅ Ï íÉÎËÏ×ÓËÏÍÕ ËÁË Ó×ÅÒÔËÁ Ï ÜÊÌÅÒÏ×ÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÅ ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 8. ó×ÅÒÔËÏÊ Ï ÜÊÌÅÒÏ×ÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÅ Ä×ÕÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ f É g ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑ f ⊗ g, ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ Z

f ⊗ g(x) = f (x − y)g(y) d(y): ó ËÁÖÄÙÍ ×ÙÕËÌÙÍ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏÍ K ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ Ó×ÑÚÁÎÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ IK | ÅÇÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ:  x ∈ K; IK = 10;; ÅÓÌÉ ÉÎÁÞÅ:

118

ç. à. ðÁÎÉÎÁ

ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 3. ðÕÓÔØ K É L | ×ÙÕËÌÙÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ. ÏÇÄÁ Ó×ÅÒÔËÁ IK É IL ÅÓÔØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÓÕÍÍÙ íÉÎËÏ×ÓËÏÇÏ K É L:

IK ⊗ IL = IK ⊗L:

éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÓÌÏÖÉÔØ Ä×Á ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ | ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ, ÞÔÏ Ó×ÅÒÎÕÔØ ÉÈ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË ÉÉ Ï ÜÊÌÅÒÏ×ÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÅ.

ðÏÜÔÏÍÕ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÚ×ÏÌÉÔØ ÓÅÂÅ ×ÏÌØÎÏÓÔØ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ×ÙÕËÌÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË K É ÅÇÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÕÀ ÆÕÎË ÉÀ IK ÏÄÎÉÍ É ÔÅÍ ÖÅ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ K . äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. îÁÍ ÎÕÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ  Z x ∈ K ⊗ L; IK (x − y)IL(y) d(y) = 10;; ÅÓÌÉ ÉÎÁÞÅ: ðÏÄ ÚÎÁËÏÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÓÔÏÉÔ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ×ÙÕËÌÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ x ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ, ÅÓÌÉ ÜÔÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ (É ÓÁÍÁ ÆÕÎË ÉÑ | ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÎÏÌØ), É ÒÁ×ÅÎ ÅÄÉÎÉ Å, ÅÓÌÉ ÏÄÙÎÔÅÇÒÁÌØÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ | ÎÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÎÏÌØ. ïÓÔÁÌÏÓØ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï IK (x − y)IL(y) = 1 ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ y ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ x ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÔÏÞÅË x − y É y ÉÚ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× K É L.  6. ïÂÒÁÝÅÎÉÅ Ï íÉÎËÏ×ÓËÏÍÕ. çÒÕÁ ×ÉÒÔÕÁÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×. ÷Ù×ÏÒÁÞÉ×ÁÎÉÅ ÎÁÉÚÎÁÎËÕ

ó ÜÔÏÇÏ ÍÏÍÅÎÔÁ ×ÙÕËÌÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË | ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË, ÎÏ É ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. üÔÏ ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÓÔ×Ï É ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÏÂÒÁÝÁÔØ ×ÙÕËÌÙÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ (ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ⊗), ÎÏ ÎÅ × ËÌÁÓÓÅ ×ÙÕËÌÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× (ÞÔÏ, ËÁË ÍÙ ÕÂÅÄÉÌÉÓØ, ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ), Á × ËÌÁÓÓÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ. á ÉÍÅÎÎÏ, ×ÅÒÎÁ ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÏÂÒÁÝÅÎÉÉ Ï íÉÎËÏ×ÓËÏÍÕ: ÅÏÒÅÍÁ 3. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ K −1 ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ

K ⊗ K − 1 = 1:

K

ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ

üÔÁ ÆÕÎË ÉÑ ÕÓÔÒÏÅÎÁ ÒÏÓÔÏ (ÓÍ. ÒÉÓ. 5), ÏÎÁ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÔÏÌØËÏ Ä×Á ÚÎÁÞÅÎÉÑ : ( dim K x ∈ Int(S (K )); −1 K = (−1) 0;; ÅÓÌÉ ÉÎÁÞÅ:

áÌÇÅÂÒÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×

1

119

1

0

1 1

O

K

0

0

(−1)dim K K −1

òÉÓ. 5.

ðÏÑÓÎÉÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ: dim K | ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ, S | ÅÎÔÒÁÌØÎÁÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, Int K | ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË K ÂÅÚ ÇÒÁÎÉ Ù (ÏÔ ÓÌÏ×Á \interior" | ×ÎÕÔÒÅÎÎÏÓÔØ). úÁÄÁÞÁ 12. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÔÅÏÒÅÍÁ ×ÅÒÎÁ { ÄÌÑ ÏÔÒÅÚËÏ× ÎÁ ÒÑÍÏÊ (ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×), { ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ. (ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÄÌÑ ÔÒÅÈÍÅÒÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× ÏÎÁ ÓÔÁÎÅÔ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ.) úÁÄÁÞÁ 13. ðÒÅÖÄÅ, ÞÅÍ ÞÉÔÁÔØ ÄÁÌØÛÅ, ÏÄÕÍÁÊÔÅ, ËÁË ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÒÁÚÎÏÓÔØ Ï íÉÎËÏ×ÓËÏÍÕ Ä×ÕÈ ×ÙÕËÌÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÚÄÅÓØ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ: ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 9. òÁÚÎÏÓÔØ íÉÎËÏ×ÓËÏÇÏ Ä×ÕÈ ×ÙÕËÌÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× K ⊗ L−1 ÅÓÔØ Ó×ÅÒÔËÁ ÆÕÎË ÉÊ K É L−1 . ÷ ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ Ë ×ÙÕËÌÏÍÕ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÕ (ËÏÔÏÒÙÊ, ÇÒÕÂÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅ ÓÉÌØÎÏ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ), ÒÁÚÎÏÓÔÉ íÉÎËÏ×ÓËÏÇÏ ÇÏÒÁÚÄÏ ÂÏÌÅÅ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙ. îÁÒÉÍÅÒ, ÒÁÚÎÏÓÔØ Ä×ÕÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× (ÏÄÉÎ ÉÚ ÎÉÈ | Ï×ÅÒÎÕÔÁÑ ËÏÉÑ ÄÒÕÇÏÇÏ) | ÒÁ×ÉÌØÎÁÑ Ú×ÅÚÄÁ Ó 8 ÌÕÞÁÍÉ (ÓÍ. ÒÉÓ. 6). îÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÕËÁÚÁÎÙ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÆÕÎË ÉÉ, ÎÏ ÎÅ ×ÓÅ | ÉÚ-ÚÁ ÎÅÈ×ÁÔËÉ ÍÅÓÔÁ. úÁÂÁ×ÎÏ ÒÏÓÌÅÄÉÔØ ×Ù×ÏÒÁÞÉ×ÁÎÉÅ ÎÁÉÚÎÁÎËÕ (ÓÍ. ÒÉÓ. 7): ×ÏÚØÍÅÍ ÔÒÁÅ ÉÀ É ×ÙÞÔÅÍ ÉÚ ÎÅÅ ÏÔÒÅÚÏË, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÊ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÀ. âÕÄÅÍ ÏÓÔÅÅÎÎÏ Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÔØ ÄÌÉÎÕ ×ÙÞÉÔÁÅÍÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ. ðÏËÁ ÏÔÒÅÚÏË ÍÁÌÅÎØËÉÊ, Õ ÎÁÓ ÂÕÄÅÔ ÏÌÕÞÁÔØÓÑ (×ÙÕËÌÁÑ) ÔÒÁÅ ÉÑ. ëÏÇÄÁ ÏÔÒÅÚÏË ÄÏÓÔÉÇÎÅÔ ÄÌÉÎÙ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ, ÒÁÚÎÏÓÔØ ×ÙÒÏÄÉÔÓÑ × ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË. úÁÔÅÍ ÏÑ×ÉÔÓÑ ÒÁÓÔÕÝÉÊ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÊ ËÕÓÏË, Á ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÂÕÄÅÔ ÕÍÅÎØÛÁÔØÓÑ, ÏËÁ ÎÅ ÉÓÞÅÚÎÅÔ ÓÏ×ÓÅÍ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï P ×ÓÅÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ, ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÙÈ × ×ÉÄÅ K ⊗ L−1 . ïÅÒÁ ÉÑ Ó×ÅÒÔËÉ Ï íÉÎËÏ×ÓËÏÍÕ ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔ P × ÁÂÅÌÅ×Õ ÇÒÕÕ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÍÙ ÕÖÅ ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÎÅÊÔÒÁÌØÎÙÊ

120

ç. à. ðÁÎÉÎÁ

−1

= )

−1 −2 −1

−3

−1 −2 −1

−1 −2 −1

(

⊗

−1 −2 −1

òÉÓ. 6.

⊗( ⊗( ⊗(

−1

)= −1

)= −1

) =1

0

−1

−1

1

−1 0

)=

⊗(

0 1 −1 −1

−1 0

)=

⊗( òÉÓ. 7.

0

1 −1

−1 0 −1 0

0

áÌÇÅÂÒÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×

121

ÜÌÅÍÅÎÔ, ÕÍÅÅÍ ÏÂÒÁÝÁÔØ ×ÙÕËÌÙÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ (Á ÚÎÁÞÉÔ, É ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ×ÉÄÁ K ⊗ L−1 ). ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 10. P ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÒÕÏÊ ×ÉÒÔÕÁÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× . 7. ÷ÅÅÒÁ ×ÉÒÔÕÁÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× þÔÏ ÔÁËÏÅ ÏÏÒÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ×ÉÒÔÕÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ, ÍÙ ÏÎÑÌÉ ÒÁÎØÛÅ, ÞÅÍ ÏÎÑÌÉ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÓÁÍ ×ÉÒÔÕÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË. çÒÕÁ P ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ ÇÒÕÅ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ, ËÕÓÏÞÎÏ-ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ×ÅÅÒÁ. ëÁË ÍÏÖÅÔ ×ÙÇÌÑÄÅÔØ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÊ ×ÅÅÒ ×ÉÒÔÕÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ K ⊗ L−1 ? îÁÎÅÓÅÍ ÎÁ ÓÆÅÒÕ ÌÉÎÉÉ ÉÚÌÏÍÁ ÆÕÎË ÉÊ hK É hL . ëÏÇÄÁ ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÌÉÎÉÉ ÉÚÌÏÍÁ ÆÕÎË ÉÉ hK − hL , ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÏÔÒÅÚËÉ ÍÏÇÕÔ ÉÓÞÅÚÎÕÔØ, ÚÄÅÓØ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÒÏÓÔÏÇÏ ÉÚÍÅÌØÞÅÎÉÑ, ËÁË ÒÉ ÓÌÏÖÅÎÉÉ ×ÙÕËÌÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×, É ËÌÅÔËÉ ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ×ÅÅÒÁ ×ÏÌÎÅ ÍÏÇÕÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÎÅ×ÙÕËÌÙÍÉ. ÷ÏÔ ËÒÁÓÉ×ÙÊ É ×ÁÖÎÙÊ ÒÉÍÅÒ. ðÒÉÍÅÒ 1. çÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒ. óÆÅÒÉÞÅÓËÉÊ €éÎØ É ñÎ؁. ÷ÏÚØÍÅÍ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒ
, ÏÔÍÅÔÉÍ Ä×Á ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÒÅÂÒÁ É ×ÙÞÔÅÍ ÉÚ
ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ Ò£ÂÒÁ. ÷ÅÅÒ ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ×ÉÒÔÕÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ (ÒÏ×ÅÒØÔÅ!) ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÒÁ×ÎÙÈ ÎÅ×ÙÕËÌÙÈ ÞÁÓÔÅÊ (ÓÍ. ÒÉÓ. 8). ó ×ÙÕËÌÙÍ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏÍ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ Ó×ÑÚÁÎÁ ×ÙÕËÌÁÑ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÁÑ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ | ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÅÇÏ ÇÒÁÎÅÊ. ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍÉ ÎÅ×ÙÕËÌÙÍÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÙÍÉ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÑÍÉ (ËÏÔÏÒÙÍ ÎÅ ÚÁÒÅÝÁÅÔÓÑ ÉÍÅÔØ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ) ÍÏÖÎÏ Ó×ÑÚÁÔØ ×ÉÒÔÕÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË.

òÉÓ. 8.

122

ç. à. ðÁÎÉÎÁ

üÔÏ ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÏÜÔÁÎÏ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ. íÏÖÅÔ ÏÌÕÞÉÔØÓÑ ÔÁË, ÞÔÏ ÏÞÅÒÅÄÎÏÊ ÛÁÇ ÎÅ×ÙÏÌÎÉÍ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ Ó ÄÁÎÎÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØÀ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ Ó×ÑÚÁÔØ ×ÉÒÔÕÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË. íÏÖÅÔ ÏÌÕÞÉÔØÓÑ ÔÁË, ÞÔÏ ×ÙÏÌÎÉÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÛÁÇ ÍÏÖÎÏ Ï-ÒÁÚÎÏÍÕ. úÎÁÞÉÔ, ×ÉÒÔÕÁÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×, Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ Ó ÜÔÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØÀ, ÎÅÓËÏÌØËÏ. (îÁÒÉÍÅÒ, Ó ÔÅÔÒÁÜÄÒÏÍ ÍÏÖÎÏ Ó×ÑÚÁÔØ 52 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÉÒÔÕÁÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ.) ûÁÇ 1. äÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÇÒÁÎÉ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÚÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÊ ÅÊ ×ÅËÔÏÒ. ûÁÇ 2. îÁÎÅÓÅÍ ËÏÎ Ù ×ÓÅÈ ÜÔÉÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÎÁ ÅÄÉÎÉÞÎÕÀ ÓÆÅÒÕ. ðÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÄÏÌÖÎÙ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ. ûÁÇ 3. ðÏÓÔÒÏÉÍ ×ÅÅÒ ÂÕÄÕÝÅÇÏ ×ÉÒÔÕÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ. óÏÅÄÉÎÉÍ ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÉÍÉ ÏÔÒÅÚËÁÍÉ (ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÍÉ!) Ï ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÒÁ×ÉÌÕ: ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ ËÁÒÔÉÎËÁ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÁ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÍÙ ÓÏÅÄÉÎÑÅÍ Ä×Å ÔÏÞËÉ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÇÒÁÎÉ ÄÅÌÑÔ ÒÅÂÒÏ. ûÁÇ 4. ðÏÓÔÒÏÉÍ ÔÅÅÒØ ËÕÓÏÞÎÏ-ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ h. ïÎÁ ÂÕÄÅÔ ÓËÌÅÅÎÁ ÉÚ ËÕÓËÏ× ÏÏÒÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ×ÅÒÛÉÎ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ÷ÏÚØÍÅÍ ËÌÅÔËÕ ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ×ÅÅÒÁ, ÎÁÔÑÎÅÍ ÎÁ ÎÅÅ ËÏÎÕÓ É ÏÌÏÖÉÍ ÆÕÎË ÉÀ h ÎÁ ËÌÅÔËÅ ÒÁ×ÎÏÊ ÏÏÒÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÎÁÛÅÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÁÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÜÔÏÊ ËÌÅÔËÅ. (Ï ÖÅ ÓÁÍÏÅ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ É × ×ÙÕËÌÏÍ ÓÌÕÞÁÅ). ðÒÏÄÅÌÁ× ÔÁË ÓÏ ×ÓÅÍÉ ËÌÅÔËÁÍÉ, ÏÌÕÞÉÍ ËÕÓÏÞÎÏ-ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ. ûÁÇ 5. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ h × ×ÉÄÅ ÒÁÚÎÏÓÔÉ Ä×ÕÈ ×ÙÕËÌÙÈ ÆÕÎË ÉÊ h = = h1 − h2 . (ðÏÞÅÍÕ ÜÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏ | ÏÔÄÅÌØÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ. òÅÛÉÔÅ ÅÅ.) æÕÎË ÉÉ h1 É h2 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ×ÙÕËÌÙÍ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁÍ K1 É K2. éÓËÏÍÙÊ ×ÉÒÔÕÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË ÒÁ×ÅÎ K1 ⊗ K2−1 . úÁÄÁÞÁ 14. ëÁËÉÍ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÑÍ (ÒÉÓ. 9) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ×ÉÒÔÕÁÌØÎÙÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ? 8. ïÔ ÇÒÕÙ Ë ÁÌÇÅÂÒÅ. éÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ èÁÄ×ÉÇÅÒÁ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ îÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÓÅÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÚÁÄÁÄÉÍ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÁÌÇÅÂÒÙ ÎÁÄ ÏÌÅÍ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÁÄÏ ÏÉÓÁÔØ ÔÒÉ ÏÅÒÁ ÉÉ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍ ÁËÓÉÏÍÁÍ, | ÓÌÏÖÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÆÕÎË ÉÊ, ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÆÕÎË ÉÊ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ÎÁ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ.

áÌÇÅÂÒÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×

ËÕÂ Ó ÔÅÔÒÁÜÄÒÁÌØÎÏÊ ÑÍËÏÊ

123

ÓËÌÅÊËÁ Ä×ÕÈ ÕÓÅÞÅÎÎÙÈ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ× òÉÓ. 9.

1. óÌÏÖÅÎÉÅ × ÁÌÇÅÂÒÅ | ÜÔÏ ÒÏÓÔÏ ÏÂÙÞÎÏÅ ÓÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÊ: (f + g)(x) = f (x) + g(x): 2. òÏÌØ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÉÇÒÁÅÔ Ó×ÅÒÔËÁ Ï ÜÊÌÅÒÏ×ÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÅ f ⊗ g. 3. õÍÎÏÖÁÔØ ÆÕÎË ÉÀ ÎÁ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÕÖÎÏ ÏÂÙÞÎÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ: (a · f )(x) = a · f (x): á ×ÏÔ ËÁË ÎÁÄÏ ÕÍÎÏÖÁÔØ ÎÁ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÏÂßÑÓÎÉÍ ÞÕÔØ ÏÚÖÅ | ÜÔÏ É ÅÓÔØ ÓÁÍÏÅ ÉÎÔÅÒÅÓÎÏÅ É ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÅ. ÷ ÎÁÛÅÊ ÁÌÇÅÂÒÅ ÅÓÔØ ÎÅÊÔÒÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ 1 | ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. úÁÄÁÞÁ 15. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ××ÅÄÅÎÎÙÅ ÏÅÒÁ ÉÉ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÁËÓÉÏÍÁÍ ÁÌÇÅÂÒÙ: 1. f ⊗ (g + h) = f ⊗ g + f ⊗ h. 2. f ⊗ g = g ⊗ f . ðÏÄÓËÁÚËÁ: ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔÉ ÁËÓÉÏÍ ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÑ, ËÏÇÄÁ f É g | ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ×ÙÕËÌÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×. îÁËÏÎÅ , ×ÁÖÎÙÊ ÚÁ×ÅÒÛÁÀÝÉÊ ÛÁÇ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÁÌÇÅÂÒÙ | ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÑ Ï ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÍ ÅÒÅÎÏÓÁÍ. õÓÌÏ×ÉÍÓÑ ÓÞÉÔÁÔØ × ÎÁÛÅÊ ÁÌÇÅÂÒÅ Ä×Á ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ (= ÉÈ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË ÉÉ) ÒÁ×ÎÙÍÉ, ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÎÁ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÊ ÅÒÅÎÏÓ.

íÙ ÆÁËÔÏÒÉÚÕÅÍ ËÏÌØ Ï ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ Ï ×ÓÅÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ ×ÉÄÁ

K − tK = 0, ÇÄÅ K | ×ÙÕËÌÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË, Á t | ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÊ ÅÒÅÎÏÓ.

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÉ ÜÔÏÍ Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÒÁ×ÎÙÍÉ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ ÓÔÁÎÏ×ÑÔÓÑ ÍÎÏÇÉÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ. ëÁÖÄÕÀ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÒÅÚÁÔØ ÎÁ ËÕÓËÉ, ÚÁÔÅÍ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏ ÅÒÅÎÅÓÔÉ ËÁÖÄÙÊ ËÕÓÏË (ÄÌÑ ÒÁÚÎÙÈ ËÕÓËÏ× ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÒÁÚÎÙÅ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÅ ÅÒÅÎÏÓÙ!), É ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÏËÁÖÅÔÓÑ ÒÁ×ÎÏÊ ÉÓÈÏÄÎÏÊ.

124

ç. à. ðÁÎÉÎÁ

0

0

0

1

1

0

1

1

0 1

1

0

0

0

1

1

0

1 1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1 òÉÓ. 10.

úÁÄÁÞÁ 16. ëÁËÉÅ ÉÚ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÈ ÎÁ

ÒÉÓ. 10, ÒÁ×ÎÙ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ × ÁÌÇÅÂÒÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×?

úÄÅÓØ ÕÍÅÓÔÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ ÏÔÓÔÕÌÅÎÉÅ. éÄÅÑ ÒÁÚÒÅÚÁÎÉÑ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× ÎÁ ËÕÓËÉ É ÓËÌÁÄÙ×ÁÎÉÑ ÉÚ ËÕÓËÏ× ÞÅÇÏ-ÔÏ ÎÏ×ÏÇÏ ÚÎÁËÏÍÁ ÔÅÍ, ËÔÏ ÚÎÁÅÔ Ï ÚÎÁÍÅÎÉÔÏÊ ÔÒÅÔØÅÊ ÒÏÂÌÅÍÅ çÉÌØÂÅÒÔÁ. ÒÅÔØÑ ÒÏÂÌÅÍÁ çÉÌØÂÅÒÔÁ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ × ÁÌÇÅÂÒÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×: ×Ï-ÅÒ×ÙÈ, ËÕÓËÉ ÒÁÚÒÅÛÁÅÔÓÑ ÅÒÅÄ×ÉÇÁÔØ, ÏÌØÚÕÑÓØ ÌÀÂÙÍÉ Ä×ÉÖÅÎÉÑÍÉ ÌÏÓËÏÓÔÉ, Á ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÍÉ ÅÒÅÎÏÓÁÍÉ, ×Ï-×ÔÏÒÙÈ, × ÁÌÇÅÂÒÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× ÕÞÉÔÙ×ÁÀÔÓÑ ËÕÓËÉ ×ÓÅÈ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ (ÔÏÞËÉ É ÏÔÒÅÚËÉ ÎÅ ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ), ÔÏÇÄÁ ËÁË × ÔÒÅÔØÅÊ ÒÏÂÌÅÍÅ çÉÌØÂÅÒÔÁ ÉÍÉ ÒÅÎÅÂÒÅÇÁÀÔ. ðÏÓÌÅ ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÉ Ï ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÍ ÅÒÅÎÏÓÁÍ × ÁÌÇÅÂÒÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× ÓÔÁÌÏ ÔÒÕÄÎÏ ÒÁÚÌÉÞÁÔØ ÆÕÎË ÉÉ: ÏÓÌÅ ÒÁÚÒÅÚÁÎÉÑ ÎÁ ËÕÓËÉ É ÅÒÅÍÅÛÉ×ÁÎÉÑ ËÁÒÔÉÎËÁ ÍÏÖÅÔ ÉÚÍÅÎÉÔØÓÑ ÎÅÕÚÎÁ×ÁÅÍÏ. äÌÑ ÒÁÓÏÚÎÁ×ÁÎÉÑ ÒÁ×ÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ××ÅÄÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ. ä×Á ÉÚ ÎÉÈ ÒÏÓÔÙÅ. ðÏÌÏÖÉÍ Z h0 (f ) = f (x) d(x) É Z h2 (f ) = f (x) dx:

üÔÉ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÎÕÌÅ×ÙÍ É ×ÔÏÒÙÍ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏÍ èÁÄ×ÉÇÅÒÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ f . ÷Ï ×ÔÏÒÏÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÅ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÏÂÙÞÎÏÅ, Ï ÍÅÒÅ ìÅÂÅÇÁ. ÷ÅÌÉÞÉÎÕ h2 (f ) ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÌÏÝÁÄØÀ ÆÕÎË ÉÉ f .

áÌÇÅÂÒÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×

125

÷×ÅÄÅÍ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÊ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔ, ×ÅÒÎÅÅ ÅÌÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÔÁËÏ×ÙÈ. ðÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÅÄÉÎÉÞÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÅ  ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÄÌÉÎÕ ÒÅÂÒÁ Ó ÎÏÒÍÁÌØÀ  ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ × Ä×Á ÒÉÅÍÁ: 1. ðÕÓÔØ K | ×ÙÕËÌÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË. ðÏÌÏÖÉÍ Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ h1 (K;  ) ÒÁ×ÎÙÍ ÄÌÉÎÅ ÒÅÂÒÁ K , ×ÎÅÛÎÑÑ ÎÏÒÍÁÌØ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÁ×ÎÁ  . 2. ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀPÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ f ÒÁÚÌÏÖÉÍ ÎÁ ×ÙÕËÌÙÅ ÍÎÏÇÏP ÇÒÁÎÎÉËÉ f = i ai Ki É ÏÌÏÖÉÍ h1 (f;  ) = i ai h1 (Ki ;  ). æÕÎË ÉÑ h1 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÒ×ÙÍ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏÍ èÁÄ×ÉÇÅÒÁ . úÁÄÁÞÁ 17∗ . äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏ: ÚÎÁÞÅÎÉÅ h1 ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ f × ×ÉÄÅ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×. ÅÏÒÅÍÁ 4. óÉÓÔÅÍÁ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× èÁÄ×ÉÇÅÒÁ ÏÌÎÁ, Ô. Å. Ä×Å ÍÎÏÇÏÇÒÁÎ2 ÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ f É g , ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÎÁ R , ÒÁ×ÎÙ (ÏÓÌÅ ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÉ ) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ h0 (f ) = h0 (g); h2 (f ) = h2 (g); h1 (f;  ) = h1 (g;  ); ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ  . úÁÄÁÞÁ 18∗ . äÏËÁÖÉÔÅ ÜÔÕ ÔÅÏÒÅÍÕ. ÷ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ ÂÏÌØÛÅÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÓÉÔÕÁ ÉÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÁÑ: ÔÁÍ ÔÏÖÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× èÁÄ×ÉÇÅÒÁ, Ñ×ÌÑÀÝÁÑÓÑ ÏÌÎÏÊ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔ hk ÔÁËÖÅ €ÏÔ×ÅÞÁÅԁ ÚÁ ÇÒÁÎÉ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ hk ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ, ÎÏ ÒÏÌØ ÁÒÁÍÅÔÒÁ  ÉÇÒÁÅÔ ÎÅ ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ, Á ÆÌÁÇ. úÁÄÁÞÁ 19. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ èÁÄ×ÉÇÅÒÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÈ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ 10. 9. ðÙÔÁÅÍÓÑ ÕÍÎÏÖÁÔØ ÎÁ ÄÒÏÂÉ þÔÏÂÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÒÅ×ÒÁÔÉÔØ × ÁÌÇÅÂÒÕ ÎÁÄ Q, ÎÁÄÏ ÚÁÄÁÔØ ÏÅÒÁ ÉÀ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÎÁ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÎÁÄÏ ÏÂÅÓÅÞÉÔØ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÁËÓÉÏÍ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ q · (f + g) = q · f + q · g É ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ (qr) · f = q · (r · f ): ëÁË ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ, ÕÍÎÏÖÉÔØ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ ÎÁ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ ÌÅÇËÏ | ÎÕÖÎÏ ÒÏÓÔÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÏÔÏÞÅÞÎÏÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ: (n · f )(x) = nf (x): ó ÄÒÏÂÑÍÉ ÄÅÌÏ ÏÂÓÔÏÉÔ ÓÌÏÖÎÅÅ. ðÕÓÔØ f | ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ.

126

ç. à. ðÁÎÉÎÁ

ðÏÒÏÂÕÅÍ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ 1=n · f ÄÌÑ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ n (ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÌÑ ÕÍÅÎÉÑ ÕÍÎÏÖÁÔØ ÎÁ ÌÀÂÙÅ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ). íÙ ÄÏÌÖÎÙ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÕÀ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ g, ÞÔÏ × ÎÁÛÅÊ ÁÌÇÅÂÒÅ ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï n · g = f . ðÒÏÓÔÏ ÕÍÎÏÖÉÔØ f ÎÁ 1=n ÎÅÌØÚÑ: Õ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÅÌÙÅ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÉÓËÏÍÁÑ ÆÕÎË ÉÑ g ÍÏÖÅÔ ×ÏÏÂÝÅ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÔØ: ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ Z

Z

f (x) d(x) = n g(x) d(x); R Ô. Å. f (x) d(x) ËÒÁÔÎÏ n, ÞÔÏ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ×ÅÒÎÏ.

úÎÁÞÉÔ, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ ÛÁÎÓ ÎÁÕÞÉÔØÓÑ ÕÍÎÏÖÁÔØ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÄÒÏÂÉ R ÌÉÛØ ÔÅ ÆÕÎË ÉÉ, Õ ËÏÔÏÒÙÈ f (x) d(x) = 0. îÁÞÎÅÍ Ó ÒÉÍÅÒÏ×. úÁÄÁÞÁ 20. îÁÊÔÉ 1=2 · f , ÇÄÅ f | ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ { ÏÌÕÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ; { Ë×ÁÄÒÁÔÁ Ó ×ÙËÉÎÕÔÙÍÉ Ä×ÕÍÑ ÓÍÅÖÎÙÍÉ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ; { ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ Ó ×ÙËÉÎÕÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ; { ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ Ó ×ÙËÉÎÕÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ. úÁÄÁÞÁ 21. îÁÊÔÉ 1=n · f , ÇÄÅ f | ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ { ÏÌÕÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ; { ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÁ Ó ×ÙËÉÎÕÔÙÍÉ Ä×ÕÍÑ ÓÍÅÖÎÙÍÉ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ; { ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ Ó ×ÙËÉÎÕÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ; { ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ Ó ×ÙËÉÎÕÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ. þÔÏÂÙR ÕÍÎÏÖÉÔØ ÎÁ 1=n ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ f , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ f (x) d(x) = 0, ÎÁÄÏ ÒÏÄÅÌÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ.

. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ f × ×ÉÄÅ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ ÏÌÕÏÔËÒÙÔÙÈ ÏÔÒÅÚËÏ×,

ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× Ó ×ÙËÉÎÕÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ, É ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ× Ó ×ÙËÉÎÕÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ.

. õÍÎÏÖÉÔØ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ÎÁ 1=n. . ÷ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔØÀ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÍÙ ÏÞÔÉ ××ÅÌÉ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÁÌÇÅÂÒÙ ÎÁÄ ÏÌÅÍ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. óÌÏ×Ï €ÏÞÔɁ ÏÔÎÏR ÓÉÔÓÑ Ë ÔÏÍÕ ÆÁËÔÕ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÉ Ó ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ f (x) d(x) ÎÅÌØÚÑ ÕÍÎÏÖÉÔØ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÄÒÏÂØ.

áÌÇÅÂÒÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×

127

10. ìÏÇÁÒÉÆÍ É ÜËÓÏÎÅÎÔÁ îÁ ÅÒ×ÙÊ ×ÚÇÌÑÄ, ÜÔÏ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÄÉËÁÑ ÎÅÒÅÁÌÉÚÕÅÍÁÑ ÉÄÅÑ: ÍÙ Ó ÂÏÌØÛÉÍ ÔÒÕÄÏÍ ÓÒÁ×ÉÌÉÓØ Ó ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÎÁ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, Á ÚÄÅÓØ ÕÞÁÓÔ×ÕÅÔ ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ e, É ×ÏÏÂÝÅ ÎÅÑÓÎÏ, ËÁË ×ÏÚ×ÅÓÔÉ ÞÉÓÌÏ × ÓÔÅÅÎØ €ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉˁ. îÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ××ÅÄÅÎÉÅ ÌÏÇÁÒÉÆÍÁ É ÜËÓÏÎÅÎÔÙ | ÈÏÒÏÛÉÊ ÒÉÍÅÒ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÞÁÓÔÏ ÏÂÝÅÅ ÂÙ×ÁÅÔ ÒÏÝÅ ÞÁÓÔÎÏÇÏ. üÔÏÔ ÒÉÅÍ ÂÕÄÅÔ ÒÁÂÏÔÁÔØ ÎÅ ÔÏÌØËÏ × ÁÌÇÅÂÒÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×, ÎÏ É × ÌÀÂÏÊ ÄÒÕÇÏÊ ÇÒÁÄÕÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÅ Ó ÏÂÒÙ×ÁÀÝÅÊÓÑ ÇÒÁÄÕÉÒÏ×ËÏÊ. R ðÕÓÔØ f | ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ f (x) d(x) = 0. ïÒÅÄÅÌÉÍ ÌÏÇÁÒÉÆÍ f +1, ÍÉÎÕÑ ÞÉÓÌÏ e. éÚ ËÕÒÓÁ ÁÎÁÌÉÚÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ x ÓÔÅÅÎÎÏÊ ÒÑÄ ∞ X

n

(−1)n−1 xn

n=1

ÓÈÏÄÉÔÓÑ Ë ln(x + 1). (þÉÔÁÔÅÌÀ ÍÏÖÎÏ ÎÅ ×ÓÏÍÉÎÁÔØ ÏÄÒÏÂÎÏÓÔÉ ×ÏÒÏÓÏ× ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÏ×, ÎÁÍ ×ÁÖÅÎ ÌÉÛØ ÅÇÏ ×ÉÄ). üËÓÏÎÅÎÔÁ ÔÏÖÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÁ × ×ÉÄÅ ÒÑÄÁ: ∞ X xn

exp x =

n=0

n!

þÔÏ ÅÓÌÉ ÏÙÔÁÔØÓÑ ÏÄÓÔÁ×ÉÔØ × ÜÔÉ ÒÑÄÙ ÆÕÎË ÉÀ f ? íÙ ÕÖÅ ÕÍÅÅÍ ÅÒÅÍÎÏÖÁÔØ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ É ÓËÌÁÄÙ×ÁÔØ ÉÈ, ÎÏ ËÁË ÂÙÔØ Ó ÅÒÅÈÏÄÏÍ Ë ÒÅÄÅÌÕ? á ÚÄÅÓØ ÎÁÓ ÖÄÅÔ ÏÄÁÒÏË ÓÕÄØÂÙ (ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÍÙ ÏÕÓÔÉÍ, ÏÄÁÒÏË ÔÁË ÏÄÁÒÏË): ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 4. äÌÑ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ

K

(K − 1)4 = 0: úÎÁÞÉÔ, ×ÍÅÓÔÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÒÑÄÁ Õ ÎÁÓ ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ ÒÏÓÔÁÑ ËÏÎÅÞÎÁÑ ÓÕÍÍÁ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 11. ðÕÓÔØ f | ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ Z

f (x) d(x) = 0:

ðÏÌÏÖÉÍ Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ln(f + 1) =

def

∞ X

n=1

(−1)n−1 f

n

n

;

exp f =

def

∞ X fn

n=0

n!

:

÷×ÅÄÅÎÎÙÅ ÎÁÍÉ ÌÏÇÁÒÉÆÍ É ÜËÓÏÎÅÎÔÁ ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÚÎÁËÏÍÙÍÉ ÓÏ ÛËÏÌÙ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ:

128

ç. à. ðÁÎÉÎÁ

f É g ÔÁËÏ×Ù, ÞÔÏ f (x) d(x) = g(x) d(x) = 0:

ÅÏÒÅÍÁ 5. ðÕÓÔØ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ Z

ÏÇÄÁ

Z

ln((f + 1) ⊗ (g + 1)) = ln(f + 1) + ln(g + 1). exp(f + g) = exp f ⊗ exp g. ln(exp f ) = f . exp(0) = 1. úÁÄÁÞÁ 22. äÏËÁÖÉÔÅ ÜÔÕ ÔÅÏÒÅÍÕ. üÔÏ ÎÁÄÏ ÄÅÌÁÔØ × ÌÏÂ, ËÁË × ÑÔÏÍ ËÌÁÓÓÅ ÎÁ ÕÒÏËÁÈ ÁÌÇÅÂÒÙ: ÒÑÍÏ ÏÄÓÔÁ×ÉÔØ ÓÔÅÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ, ÒÁÓËÒÙÔØ ÓËÏÂËÉ, ÒÉ×ÅÓÔÉ ÏÄÏÂÎÙÅ ÞÌÅÎÙ É ÎÅ ÚÁÂÙÔØ ÒÉ ÜÔÏÍ, ÞÔÏ ÂÏÌØÛÉÅ ÓÔÅÅÎÉ ÏÂÎÕÌÑÀÔÓÑ. 1. 2. 3. 4.

11. çÒÁÄÕÉÒÏ×ËÁ × ÁÌÇÅÂÒÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×

íÙ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÏÓÔÒÏÅÎÎÁÑ ÎÁÍÉ ÁÌÇÅÂÒÁ ÏÈÏÖÁ ÎÁ ÁÌÇÅÂÒÕ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×. ðÏÄÏÂÎÏ ÔÏÍÕ, ËÁË ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÏÄÎÏÞÌÅÎÏ× ÒÁÚÎÙÈ ÓÔÅÅÎÅÊ, ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÙ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ, ÔÁË ÖÅ ËÁË É ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, €ÌÏ×ÑÔÓс ÇÏÍÏÔÅÔÉÑÍÉ. îÁÞÎÅÍ Ó ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÇÏ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ. ðÕÓÔØ f (x) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÏ×ÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ (2)f (x), ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÇÏÍÏÔÅÔÉÞÎÙÍ ÓÖÁÔÉÅÍ ÏÓÉ x: (2)f (x) = f (2x) ðÒÉ ÜÔÏÍ Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ÞÌÅÎ ÎÏ×ÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÒÅÖÎÉÍ, ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ x Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÅÔÓÑ × 2 ÒÁÚÁ, ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ x2 Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÅÔÓÑ × 4 ÒÁÚÁ, É ÔÁË ÄÁÌÅÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÄÎÏÞÌÅÎÙ ÓÒÅÄÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÌÅÇËÏ ÒÁÓÏÚÎÁÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÁÓÔÑÇÉ×ÁÎÉÑ ÇÏÍÏÔÅÔÉÅÊ ÏÓÉ x: ÎÁÒÉÍÅÒ, ÏÄÎÏÞÌÅÎ ÔÒÅÔØÅÊ ÓÔÅÅÎÉ | ÜÔÏ ÔÁËÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÉ ÄÅÊÓÔ×ÉÉ (2) Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÅÔÓÑ × 8 ÒÁÚ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÏÞÅ×ÉÄÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ: ÅÏÒÅÍÁ 6. ÌÉÔØ

1.

÷ ÁÌÇÅÂÒÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×

F

ÏÔ ÏÄÎÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ÍÏÖÎÏ ×ÙÄÅ-

(ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ) ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á F0 , F1 , F2 , : : :

ëÁÖÄÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ

, ÞÔÏ

ÔÁËÉÅ

f ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ × ×ÉÄÅ f =

fi ∈ F i . 2. åÓÌÉ fi ∈ Fi , fj ∈ Fj , ÔÏ fi · fj ∈ Fi+j .

P

i fi ,

3. äÅÊÓÔ×ÉÅ (2) Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÅÔ ÜÌÅÍÅÎÔÙ Fi × 2i ÒÁÚ. (÷ ÔÁËÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÅÓÔØ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ ÇÒÁÄÕÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ.) íÎÏÖÅÓÔ×Ï Fi ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍÉ ËÏÍÏÎÅÎÔÁÍÉ ÓÔÅÅÎÉ i ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×.

áÌÇÅÂÒÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×

129

îÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÅÓÔØ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ: ÏÌÏÖÉÍ (2)f (x) = f (x=2). úÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÊ É ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÊ ÆÁËÔ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× ÔÁËÖÅ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÁÎÁÌÏÇ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ËÏÍÏÎÅÎÔÁÈ. ÅÏÒÅÍÁ 7. ÷ ÁÌÇÅÂÒÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× M ÍÏÖÎÏ ×ÙÄÅÌÉÔØ (ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ) ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á Mi , i = 0; 1; 2; 3 ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ 1. ëÁÖÄÁÑ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÁ × P ×ÉÄÅ f = f ; f ∈ M . i i i i 2. åÓÌÉ fi ∈ Mi , fj ∈ Mj , ÔÏ fi · fj ∈ Mi+j . 3. äÅÊÓÔ×ÉÅ (2) Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÅÔ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ fi ∈ Mi × 2i ÒÁÚÁ : f ∈ Mi ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ (2)f = 2i f . íÎÏÖÅÓÔ×Ï Mi ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× ÓÔÅÅÎÉ i. üÌÅÍÅÎÔÙ Mi Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÁÍÉ ÏÄÎÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ i. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÏÒÏÂÕÅÍ ÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÉÚ ÓÅÂÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× (ÁÎÁÌÏÇÉ ÏÄÎÏÞÌÅÎÏ× × ÁÌÇÅÂÒÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×). ðÕÓÔØ K | ×ÙÕËÌÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ,

(2) ln K = 2 · ln K: 2 · ln K = ln(K ⊗ K ) = ln((2)K ) = (2) ln K:

úÁÄÁÞÁ 23.

É ÞÔÏ

äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ

(2)(ln K ⊗ ln K ) = 4 · (ln K ⊗ ln K )

(2)((ln K )i ) = 2i · ((ln K )i ) îÁËÏÎÅ ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ (2)1 = 1. (äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÔÏÞËÁ ÒÉ ÒÁÓÔÑÇÉ×ÁÎÉÉ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ). ðÏÜÔÏÍÕ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÚÁÄÁÔØ Mi ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÊ ÆÕÎË ÉÊ ×ÉÄÁ (ln K )i , ÇÄÅ K | ×ÙÕËÌÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË. îÁÍ ÎÁÄÏ ÎÁÕÞÉÔØÓÑ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÔØ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ f × ÓÕÍÍÕ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÞÌÅÎÏ×. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏÄÅÌÁÔØ ÜÔÏ ÄÌÑ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ K . ðÏÌÏÖÉÍ p = ln K . ÏÇÄÁ K = exp(ln K ) =

4 X pi

i=0

i! :

üÔÏ É ÅÓÔØ ÉÓËÏÍÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ.

130

ç. à. ðÁÎÉÎÁ

ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ïÔ×ÅÔÙ É ÕËÁÚÁÎÉÑ úÁÄÁÞÁ 1. óÕÍÍÁ íÉÎËÏ×ÓËÏÇÏ ÅÓÔØ ÏÔÒÅÚÏË ÓÕÍÍÁÒÎÏÊ ÄÌÉÎÙ. úÁÄÁÞÁ 2. ðÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍ. úÁÄÁÞÁ 4. ðÑÔÉÕÇÏÌØÎÉË. úÁÄÁÞÉ 6 É 3. óÕÍÍÁ ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ ÔÏÊ ÖÅ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÇÏ

ÅÒÅÎÏÓÁ.

úÁÄÁÞÁ 11. ÷ÅÅÒ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎ ÎÁ ÒÉÓ. 11. ÷ÅÅÒ ÏÔÒÅÚËÁ | ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ÓÆÅÒÙ ÂÏÌØÛÉÍ ËÒÕÇÏÍ (ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÍ ÏÔÒÅÚËÕ) ÎÁ Ä×Å ÏÌÕÓÆÅÒÙ. ÷ÅÅÒ ËÕÂÁ | ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ÓÆÅÒÙ ÔÒÅÍÑ ÂÏÌØÛÉÍÉ ËÒÕÇÁÍÉ. ÷ ÜÔÏÍ ÍÏÖÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÏÌØÚÕÑÓØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ, ÎÏ ÒÏÝÅ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ËÕ ÅÓÔØ ÓÕÍÍÁ íÉÎËÏ×ÓËÏÇÏ ÔÒÅÈ ÏÔÒÅÚËÏ×, ×ÅÅÒÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÙ ÕÖÅ ÚÎÁÅÍ. úÁÄÁÞÁ 14. ÷ÉÒÔÕÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ×ÔÏÒÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÓÍ. ÒÉÓ. 12. úÁÄÁÞÁ 16. ðÅÒ×ÙÅ Ä×Å. úÁÄÁÞÁ 20. { ðÏÌÕÏÔËÒÙÔÙÊ ÏÔÒÅÚÏË ÒÁ×ÅÎ ÓÕÍÍÅ Ä×ÕÈ ÏÌÕÏÔËÒÙÔÙÈ ÏÔÒÅÚËÏ× ÏÌÏ×ÉÎÎÏÊ ÄÌÉÎÙ. { ÁËÏÊ ÏÌÕÏÔËÒÙÔÙÊ ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍ ÌÅÇËÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ Ä×Å ÒÁ×ÎÙÅ ÞÁÓÔÉ ÒÁÚÒÅÚÏÍ, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÍ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÓÔÏÒÏÎ. { ðÒÅÄÓÔÁ×ØÔÅ ÜÔÏÔ ÏÌÕÏÔËÒÙÔÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ËÁË ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ Ä×ÕÈ (ÇÏÍÏÔÅÔÉÞÎÏ × 2 ÒÁÚÁ ÍÅÎØÛÉÈ) ÏÌÕÏÔËÒÙÔÙÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× É ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÁ. { áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÅÄÙÄÕÝÅÍÕ ÕÎËÔÕ, ÒÅÄÓÔÁ×ØÔÅ ÔÅÔÒÁÜÄÒ × ×ÉÄÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ Ä×ÕÈ (ÇÏÍÏÔÅÔÉÞÎÏ × 2 ÒÁÚÁ ÍÅÎØÛÉÈ) ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ× É Ä×ÕÈ ÒÉÚÍ, Ó ÔÒÅÕÇÏÌØÎÙÍ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÅÍ É ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÏÍ × ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ. ðÒÉÚÍÙ ÒÅÖÕÔÓÑ ÏÏÌÁÍ ÌÅÇËÏ. úÁÄÁÞÁ 21. óÍ. ÕËÁÚÁÎÉÑ Ë ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÅ.

òÉÓ. 11.

áÌÇÅÂÒÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×

131

òÉÓ. 12.

óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ [1℄ ðÕÈÌÉËÏ× á., èÏ×ÁÎÓËÉÊ á. ëÏÎÅÞÎÏ-ÁÄÄÉÔÉ×ÎÙÅ ÍÅÒÙ ×ÉÒÔÕÁÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× // áÌÇÅÂÒÁ É áÎÁÌÉÚ, 1992. . 4, ‚2. ó. 161{185. [2℄ M Mullen P. The polytope algebra // Adv. Math., 1989. V. 78, no 1. P. 76{ 130. [3℄ Panina G. New ounterexamples to A.D. Alexandrov's hypothesis // ádv. in Geometry, 2005. V. 5. P. 301{317.

ðÁÎÉÎÁ çÁÑÎÜ àÒØÅ×ÎÁ, óÁÎËÔ-ðÅÔÅÒÂÕÒÇÓËÉÊ ÉÎÓÔÉÔÕÔ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÉ É Á×ÔÏÍÁÔÉÚÁ ÉÉ òáî. ó. ðÅÔÅÒÂÕÒÇ 199178, 14 ÌÉÎÉÑ ÷.ï. 39 ÆÁËÓ (812)3284450 Ä. ÔÅÌ. (812)5504571 e-mail: paninaiias.spb.su

132

ï ÓÕÍÍÅ ÕÇÌÏ× ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ é. ÷. éÚÍÅÓÔØÅ×∗

ðÒÅÏÄÎÏÓÑ ÓÀÒÒÉÚ óÕÍÍÏÊ Ó×ÏÉÈ ÕÇÌÏ×, ÷ÅÝØ ×ÙÁÄÁÅÔ ÉÚ îÁÛÅÇÏ ÍÉÒÁ ÓÌÏ×.

éÏÓÉÆ âÒÏÄÓËÉÊ, îÁÔÀÒÍÏÒÔ VII

1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ ÷ ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÅ ÍÙ ÄÏËÁÖÅÍ ÒÑÄ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÉÈ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÈ ÕÇÌÏ× ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ. óÁÍÏÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÅ ÉÚ ÎÉÈ (Ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÍÅÎÅÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÅ, ÞÅÍ ÏÎÏ ÔÏÇÏ ÚÁÓÌÕÖÉ×ÁÅÔ) | ÆÏÒÍÕÌÁ çÒÁÍÁ. äÌÑ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ÏÎÁ ÇÌÁÓÉÔ: ÅÏÒÅÍÁ 1.

X e

e −

X

v = 2(F − 2); (1) ÇÄÅ e | Ä×ÕÇÒÁÎÎÙÊ ÕÇÏÌ ÒÉ ÒÅÂÒÅ e, v | ÔÅÌÅÓÎÙÊ ÕÇÏÌ ÒÉ ×ÅÒÛÉÎÅ v, F | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÇÒÁÎÅÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ, ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÅÄÅÔÓÑ Ï 2

v

×ÓÅÍ ×ÅÒÛÉÎÁÍ É ÒÅÂÒÁÍ.

îÁÒÉÍÅÒ, ËÕ ÉÍÅÅÔ 12 ÒÅÂÅÒ Ó ÕÇÌÁÍÉ Ï =2, 8 ×ÅÒÛÉÎ Ó ÕÇÌÁÍÉ ÔÁËÖÅ Ï =2 É 6 ÇÒÁÎÅÊ. ðÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ ÜÔÉÈ ×ÅÌÉÞÉÎ × ÆÏÒÍÕÌÕ (1) ÄÁÅÔ ×ÅÒÎÏÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï. æÏÒÍÕÌÁ çÒÁÍÁ ÏÂÏÂÝÁÅÔÓÑ ÎÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ ÂÏÌÅÅ ×ÙÓÏËÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÁÍ ÎÁÄÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ×ÅÌÉÞÉÎÕ ÕÇÌÁ ÒÉ ËÁÖÄÏÊ ÇÒÁÎÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ. íÏÖÎÏ ÏÓÔÕÉÔØ ÔÒÁÄÉ ÉÏÎÎÏ: ÅÓÌÉ ÌÏÓËÉÊ (É ×ÍÅÓÔÅ Ó ÎÉÍ Ä×ÕÇÒÁÎÎÙÊ) ÕÇÏÌ ÉÚÍÅÒÑÅÔÓÑ ÄÌÉÎÏÊ ÄÕÇÉ, Á ÔÅÌÅÓÎÙÊ ÌÏÝÁÄØÀ ÏÂÌÁÓÔÉ, ×ÙÓÅËÁÅÍÏÊ ÎÁ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÓÆÅÒÅ, ÔÏ ÏÌÎÙÊ k-ÍÅÒÎÙÊ ÕÇÏÌ ÓÌÅÄÕÅÔ ÏÌÏÖÉÔØ ÒÁ×ÎÙÍ ÌÏÝÁÄÉ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ k-ÍÅÒÎÏÊ ÓÆÅÒÙ. ïÄÎÁËÏ ÉÎÏÇÄÁ ÕÄÏÂÎÏ ÕÇÌÙ ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÔØ, ÒÉÎÑ× ×ÅÌÉÞÉÎÕ ÏÌÎÏÇÏ ÕÇÌÁ ÚÁ ÅÄÉÎÉ Õ. ÷ ÎÁÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÜÔÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÜÌÅÇÁÎÔÎÏÍÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ.

òÁÂÏÔÁ ×ÙÏÌÎÅÎÁ × ÒÁÍËÁÈ ÒÏÅËÔÁ €ðÏÌÉÜÄÒÁÌØÎÙÅ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔɁ, ÆÉÎÁÎÓÉÒÕÅÍÏÇÏ DFG (çÅÒÍÁÎÓËÉÍ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÓËÉÍ ÏÂÝÅÓÔ×ÏÍ). ∗

ï ÓÕÍÍÅ ÕÇÌÏ× ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ

133

ÅÏÒÅÍÁ 2 (æÏÒÍÕÌÁ çÒÁÍÁ). n X k=0

(−1)k 'k = 0;

(2)

ÇÄÅ 'k | ÓÕÍÍÁ (ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ) ×ÅÌÉÞÉÎ ÕÇÌÏ× ÒÉ k-ÍÅÒÎÙÈ ÇÒÁÎÑÈ ÄÁÎÎÏÇÏ n-ÍÅÒÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ.

äÁÄÉÍ ÂÏÌÅÅ ÓÔÒÏÇÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÕÇÌÁ. ðÕÓÔØ P | n-ÍÅÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË, Q | ÅÇÏ k-ÍÅÒÎÁÑ ÇÒÁÎØ. ÷ÙÂÅÒÅÍ ÔÏÞËÕ x ×ÎÕÔÒÉ Q É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÛÁÒ B ÍÁÌÏÇÏ ÒÁÄÉÕÓÁ Ó ÅÎÔÒÏÍ × x. ÷ÅÌÉÞÉÎÁ ÕÇÌÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P ÒÉ ÇÒÁÎÉ Q ÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÎÏÊ ÄÏÌÅ ÏÂßÅÍÁ ÛÁÒÁ B , ÎÁÈÏÄÑÝÅÊÓÑ ×ÎÕÔÒÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P : B ∩ P) 'Q(P ) = vol(vol( : B)

üË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÍÁÌÕÀ ÓÆÅÒÕ Ó ÅÎÔÒÏÍ × x É ÏÒÅÄÅÌÉÔØ, ËÁËÁÑ ÄÏÌÑ ÅÅ ÌÏÝÁÄÉ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ×ÎÕÔÒÉ P . äÁÎÎÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÒÏÑÓÎÑÅÔ ÓÍÙÓÌ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ 'n−1 É 'n × ÆÏÒÍÕÌÅ (2). óÌÅÄÕÑ ÅÍÕ, ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÕÇÌÏ× ÒÉ (n − 1)-ÍÅÒÎÙÈ ÇÒÁÎÑÈ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ×ÅÌÉÞÉÎÕ 1=2. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÍÙ ÕÓÌÁ×ÌÉ×ÁÅÍÓÑ ÓÞÉÔÁÔØ ÓÁÍ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË Ó×ÏÅÊ (ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ) n-ÍÅÒÎÏÊ ÇÒÁÎØÀ, ÏÔËÕÄÁ Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÎÁÈÏÄÉÍ 'n = 1. ÅÅÒØ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÂÅÚ ÔÒÕÄÁ ÍÏÖÅÔ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ, ÞÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ (1) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÁÓÔÎÙÍ ÓÌÕÞÁÅÍ ÆÏÒÍÕÌÙ (2). ëÒÏÍÅ ÆÏÒÍÕÌÙ çÒÁÍÁ, ÍÙ ÄÏËÁÖÅÍ É ÄÒÕÇÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ×ÅÌÉÞÉÎÁÍÉ ÕÇÌÏ× ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ, ÆÏÒÍÕÌÙ äÅÎÁ { óÏÍÍÅÒ×ÉÌÑ. ïÎÉ ÏÑ×ÌÑÀÔÓÑ × ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÑÈ ÎÁÞÉÎÁÑ Ó 4, É ÍÙ ÏÔÌÏÖÉÍ ÉÈ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ ÄÏ ÂÏÌÅÅ ÕÄÏÂÎÏÇÏ ÍÏÍÅÎÔÁ.

******

äÌÑ ÏÌÎÏÔÙ ÉÚÌÏÖÅÎÉÑ ÄÁÄÉÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ É ÅÇÏ ÇÒÁÎÅÊ. îÉÖÅ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÔÁËÖÅ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÓÏÇÌÁÛÅÎÉÑ, ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÅ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. ÷ÙÕËÌÙÍ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏÍ × Rn ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÇÒÁ-

ÎÉÞÅÎÎÏÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÏÌÕÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×. íÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ n-ÍÅÒÎÙÍ , ÅÓÌÉ ÏÎ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Rm ⊂ Rn ÍÅÎØÛÅÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ. ÷ÓÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ × ÓÔÁÔØÅ ÂÕÄÕÔ ÒÅÄÏÌÁÇÁÔØÓÑ ×ÙÕËÌÙÍÉ. ëÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÍÙ ÔÁËÖÅ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØÀ ÏÂßÅÍÌÀÝÅÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. üÔÏ ×ÁÖÎÏ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÒÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÕÇÌÁ ÒÉ ÇÒÁÎÉ.

134

é. ÷. éÚÍÅÓÔØÅ×

ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2. ïÏÒÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔØÀ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P ⊂ Rn ÎÁÚÙ-

×ÁÅÔÓÑ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ (ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ n − 1), ÉÍÅÀÝÁÑ ÎÅÕÓÔÏÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ Ó P É ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ P ÌÅÖÉÔ Ï ÏÄÎÕ ÓÔÏÒÏÎÕ ÏÔ ÎÅÅ. çÒÁÎØÀ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ P Ó ÌÀÂÏÊ ÅÇÏ ÏÏÒÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔØÀ. éÎÏÇÄÁ Ë ÇÒÁÎÑÍ ÏÔÎÏÓÑÔ ÔÁËÖÅ ÓÁÍ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË P É/ÉÌÉ ÕÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. ëÁÖÄÁÑ ÇÒÁÎØ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ÓÁÍÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏÍ É ÉÍÅÅÔ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÕÀ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ. (òÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÕÓÔÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÕÄÏÂÎÏ ÏÌÏÖÉÔØ ÒÁ×ÎÏÊ −1.) çÒÁÎÉ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ 0 | ÜÔÏ ×ÅÒÛÉÎÙ. çÒÁÎÉ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ n − 1 × n-ÍÅÒÎÏÍ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÅÇÏ ÆÁÓÅÔÁÍÉ. íÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ ËÁË ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÏÌÕÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÇÒÁÎÉÞÎÙÅ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÄÁÀÔÓÑ ÆÁÓÅÔÁÍÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ. ÁËÖÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÙÕËÌÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÏÊ Ó×ÏÉÈ ×ÅÒÛÉÎ. €óÁÍÙÊ ÍÁÌÅÎØËÉʁ n-ÍÅÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË × Rn | ÜÔÏ ÓÉÍÌÅËÓ, ÉÍÅÀÝÉÊ n + 1 ÆÁÓÅÔÕ É n + 1 ×ÅÒÛÉÎÕ. åÓÌÉ ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÙÕËÌÕÀ ÏÂÏÌÏÞËÕ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÔÏÞÅË × ÏÂÝÅÍ ÏÌÏÖÅÎÉÉ, ÔÏ ×ÓÅ ÇÒÁÎÉ ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ, ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ, ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ, ÅÇÏ ÓÁÍÏÇÏ, ÂÕÄÕÔ ÓÉÍÌÅËÓÁÍÉ (ÒÉÍÅÒ: ÏËÔÁÜÄÒ, Ó ÏÛÅ×ÅÌÅÎÎÙÍÉ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ, ÅÓÌÉ ÍÙ ÎÁÓÔÁÉ×ÁÅÍ ÎÁ ÏÂÝÅÍ ÏÌÏÖÅÎÉÉ). ÁËÏÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÉÍÌÉ ÉÁÌØÎÙÍ. ï ÓÉÍÌÉ ÉÁÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁÈ ÏÊÄÅÔ ÒÅÞØ × ËÏÎ Å ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÉ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÂÅÚ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÆÏÒÍÕÌÕ üÊÌÅÒÁ ÄÌÑ

n-ÍÅÒÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ. åÓÌÉ ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ fk , k = 0; 1; : : : ; n ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï k-ÍÅÒÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ ÄÁÎÎÏÇÏ n-ÍÅÒÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P , ÔÏ ÜÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ÇÌÁÓÉÔ:

n X k=0

(−1)k fk = 1:

(3)

ðÏÓËÏÌØËÕ fn = 1 (ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ó×ÏÅÊ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ n-ÍÅÒÎÏÊ ÇÒÁÎØÀ), ÜÔÕ ÆÏÒÍÕÌÕ ÞÁÓÔÏ ÚÁÉÓÙ×ÁÀÔ × ×ÉÄÅ −1 nX (−1)k fk = 1 + (−1)n−1 : k=0 ÷ ÏÄÎÏÍ ÉÚ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× (ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ûÅÁÒÄÁ × ÁÒÁÇÒÁÆÅ 3) ÍÙ ÒÉÍÅÎÉÍ ÆÏÒÍÕÌÕ üÊÌÅÒÁ × ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÅÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ, ËÏÇÄÁ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ÎÁ ÂÏÌÅÅ ÍÅÌËÉÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ, É fk ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï k-ÍÅÒÎÙÈ ÞÁÓÔÅÊ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ. âÏÌÅÅ ÂÌÉÚËÏ Ó ×ÏÓÈÉÔÉÔÅÌØÎÙÍ É ÄÏ ÓÉÈ ÏÒ ÚÁÇÁÄÏÞÎÙÍ ÍÉÒÏÍ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× ÞÉÔÁÔÅÌØ ÍÏÖÅÔ ÏÚÎÁËÏÍÉÔØÓÑ Ï ËÎÉÇÅ [8℄.

ï ÓÕÍÍÅ ÕÇÌÏ× ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ

135

2. æÏÒÍÕÌÁ çÒÁÍÁ ÄÌÑ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ

÷ ÜÔÏÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ ÍÙ ÄÏËÁÖÅÍ ÔÅÏÒÅÍÕ 1. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÁÍ ÏÎÁÄÏÂÉÔÓÑ ×ÓÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ: ìÅÍÍÁ 1. äÌÑ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ
ÎÁ ÓÆÅÒÅ ÅÄÉÎÉÞÎÏÇÏ ÒÁÄÉÕÓÁ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÇÄÅ

S (
) | ÌÏÝÁÄØ

S (
) =  + + − ; ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, Á , É

(4) | ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÅÇÏ ÕÇÌÏ×.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ÏÇÒÁÎÉÞÅÎ ÄÕÇÁÍÉ ÂÏÌØÛÉÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ. éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ,
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅÍ ÔÒÅÈ ÏÌÕÓÆÅÒ ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ ÉÈ ÇÒÁÎÉÞÎÙÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ. ðÕÓÔØ H1 ; H2 ; H3 | ÜÔÉ ÏÌÕÓÆÅÒÙ. ÏÇÄÁ ÉÍÅÅÍ H1 ∩ H2 ∩ H3 =
; H1 ∪ H2 ∪ H3 = S2 \
′: úÄÅÓØ S2 | ÓÆÅÒÁ,
′ | ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË, ÅÎÔÒÁÌØÎÏ-ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÕ
ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÅÎÔÒÁ ÓÆÅÒÙ (ÒÉÓ. 1). òÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÑ ÞÁÓÔÉ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ ÄÅÌÑÔ ÓÆÅÒÕ ÇÒÁÎÉ Ù ÏÂÌÁÓÔÅÊ H1 ; H2 É H3 , ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï S (H1 ∪ H2 ∪ H3) = S (H1) + S (H2) + S (H3) − S (H1 ∩ H2) − −S (H2 ∩ H3 ) − S (H3 ∩ H1 ) + S (H1 ∩ H2 ∩ H3 ) (ÆÏÒÍÕÌÁ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ-ÉÓËÌÀÞÅÎÉÑ). ïÄÎÁËÏ S (Hi ) = 2 ÄÌÑ i = 1; 2; 3, Á S (Hi ∩ Hj ) ÒÁ×ÎÑÅÔÓÑ ÕÄ×ÏÅÎÎÏÍÕ ÕÇÌÕ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ
ÒÉ ×ÅÒÛÉÎÅ,

òÉÓ. 1.

óÆÅÒÉÞÅÓËÉÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË É ÅÇÏ ÁÎÔÉÏÄ

136

é. ÷. éÚÍÅÓÔØÅ×

ÌÅÖÁÝÅÊ ÎÁ ÇÒÁÎÉ Å ÏÌÕÓÆÅÒ Hi É Hj . ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÜÔÉ É ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ×ÙÛÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, ÏÌÕÞÁÅÍ 4 − S (
′ ) = 3 · 2 − 2 − 2 − 2 + S (
): ðÏÓËÏÌØËÕ S (
′ ) = S (
), ÏÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (4).  úÁÄÁÞÁ 1. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÏÝÁÄØ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÇÏ n-ÕÇÏÌØÎÉËÁ M ÎÁ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÓÆÅÒÅ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ

S (M ) =

n X

i − (n − 2);

i=1 ÇÄÅ i , i = 1; : : : ; n | ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÕÇÌÏ× ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ. (ðÏÄÓËÁÚËÁ: òÁÚÒÅÖØÔÅ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË ÎÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ.) äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ 1. äÌÑ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ v ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ×ÏÚØÍÅÍ ÓÆÅÒÕ ÍÁÌÏÇÏ ÒÁÄÉÕÓÁ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ v. ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÓÆÅÒÙ Ó ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏÍ. õ×ÅÌÉÞÉÍ ÓÆÅÒÕ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÅÅ ÒÁÄÉÕÓ ÓÔÁÌ ÒÁ×ÎÙÍ ÅÄÉÎÉ Å É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË ÞÅÒÅÚ Mv . ðÏ ÚÁÄÁÞÅ 1 ÉÍÅÅÍ

S (Mv ) =

nv X i=1

i(v) − (nv − 2);

ÇÄÅ nv | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÔÏÒÏÎ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ Mv , Á i (v) | ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÅÇÏ ÕÇÌÏ×. ðÒÉ ÜÔÏÍ i (v) ÒÁ×ÎÙ, ËÁË ÎÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ×ÅÌÉÞÉÎÁÍ Ä×ÕÇÒÁÎÎÙÈ ÕÇÌÏ× ÒÉ ÒÅÂÒÁÈ, ÉÓÈÏÄÑÝÉÈ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ v, Á S (Mv ) ÒÁ×ÎÑÅÔÓÑ Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ×ÅÌÉÞÉÎÅ v ÔÅÌÅÓÎÏÇÏ ÕÇÌÁ ÒÉ v. ðÒÏÓÕÍÍÉÒÏ×Á× ×ÓÅ ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, ÏÌÕÞÁÅÍ: X XX X v = e −  (nv − 2): v

v e⊃ v

v

ðÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ e ÓÏÄÅÒÖÉÔ Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ, Ä×ÕÇÒÁÎÎÙÊ ÕÇÏÌ e ÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÒÏ×ÎÏ Ä×Á ÒÁÚÁ. ÏÞÎÏ ÔÁË ÖÅ ÉÍÅP ÅÍ v nv = 2E , ÇÄÅ E | ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÅÒÅÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ X X v = 2 e − 2(E − V ); v

e

ÇÄÅ V ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ. ðÒÉÎÉÍÁÑ ×Ï ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÆÏÒÍÕÌÕ üÊÌÅÒÁ V − E + F = 2, ÍÙ ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ (1).  äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÌÅÍÍÙ 1 ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÂÏÂÝÅÎÏ ÎÁ ÂÏÌÅÅ ×ÙÓÏËÉÅ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ, ËÁË ÜÔÏ ÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ ÓÄÅÌÁÔØ ÞÉÔÁÔÅÌÀ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÚÁÄÁÞÅ. úÁÄÁÞÁ 2. ðÕÓÔØ Sn | ÅÄÉÎÉÞÎÁÑ ÓÆÅÒÁ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ n (ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ 1 ÏÔ ÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ × (n + 1)-ÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å).

ï ÓÕÍÍÅ ÕÇÌÏ× ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ

137

óÆÅÒÉÞÅÓËÉÍ ÓÉÍÌÅËÓÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ (n + 1)-Ê ÏÌÕÓÆÅÒÙ ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ ÎÉ ÏÄÎÁ ÔÏÞËÁ ÓÆÅÒÙ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÈ ÏÂÝÅÊ ÇÒÁÎÉÞÎÏÊ ÔÏÞËÏÊ. ðÕÓÔØ
| ÓÉÍÌÅËÓ ÎÁ Sn . äÏËÁÖÉÔÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï n X k=0

vol(
) : (−1)k 'k = (1 + (−1)n ) vol( Sn )

(5)

úÄÅÓØ vol ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÏÂßÅÍ1) , 'k | ÓÕÍÍÁ ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ ÕÇÌÏ× ÒÉ k-ÍÅÒÎÙÈ ÇÒÁÎÑÈ ÓÉÍÌÅËÓÁ
. õÇÌÙ ÒÉ ÇÒÁÎÑÈ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ÉÚÍÅÒÑÀÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÕÇÌÁÍ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ, ÓÍÏÔÒÉ ××ÅÄÅÎÉÅ. æÏÒÍÕÌÁ (5) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ çÒÁÍÁ ÄÌÑ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÓÉÍÌÅËÓÁ. úÁÍÅÔØÔÅ, ÞÔÏ × ÎÅÞÅÔÎÙÈ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÑÈ ÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ × ÎÅÊ ÒÁ×ÎÁ 0. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÁÎÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ÎÅ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ×ÙÒÁÚÉÔØ ÏÂßÅÍ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÓÉÍÌÅËÓÁ ÞÅÒÅÚ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÅÇÏ ÕÇÌÏ×. ðÏÙÔËÁ ÏÂÏÂÝÉÔØ ÄÁÎÎÏÅ ×ÙÛÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÆÏÒÍÕÌÙ çÒÁÍÁ ÎÁ ×ÙÓÛÉÅ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÎÁÔÁÌËÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ ÓÅÒØÅÚÎÙÅ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ (ÏÓÏÚÎÁÊÔÅ, ËÁËÉÅ!). ðÏÜÔÏÍÕ ÍÙ ÄÏÌÖÎÙ ÏÊÔÉ ÄÒÕÇÉÍ ÕÔÅÍ. 3. ä×Á ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÆÏÒÍÕÌÙ çÒÁÍÁ × ×ÙÓÛÉÈ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÑÈ äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï óÏÍÍÅÒ×ÉÌÑ

ðÅÒ×ÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÆÏÒÍÕÌÙ (2) ÄÌÑ ×ÙÕËÌÏÇÏ n-ÍÅÒÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P ÒÉ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ n ÂÙÌÏ ÒÅÄÌÏÖÅÎÏ óÏÍÍÅÒ×ÉÌÅÍ × [6℄. ïÎÏ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ Ä×ÕÈ ÜÔÁÏ×. ìÅÍÍÁ 2. æÏÒÍÕÌÁ çÒÁÍÁ ×ÅÒÎÁ ÄÌÑ ÓÉÍÌÅËÓÁ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ çÒÁÍÁ ÄÌÑ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÓÉÍÌÅËÓÁ (5) ×ÅÒÎÁ ÎÁ ÓÆÅÒÅ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÒÁÄÉÕÓÁ: ÒÉ ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÕÇÌÏ× ÓÉÍÌÅËÓÁ ÎÅ ÍÅÎÑÀÔÓÑ, ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÏÂßÅÍÁ ÓÉÍÌÅËÓÁ Ë ÏÂßÅÍÕ ÓÆÅÒÙ ÔÁËÖÅ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÎÅÉÚÍÅÎÎÙÍ. éÄÅÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÄÁÎÎÙÊ Å×ËÌÉÄÏ× ÓÉÍÌÅËÓ ËÁË ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÊ ÎÁ ÓÆÅÒÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÒÁÄÉÕÓÁ. ïÂßÅÍ ÔÁËÏÊ ÓÆÅÒÙ ÂÅÓËÏÎÅÞÅÎ, ÏÜÔÏÍÕ ÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (5) ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × 0. âÏÌÅÅ ÓÔÒÏÇÏ: ÏÍÅÓÔÉÍ n-ÍÅÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Rn ×ÍÅÓÔÅ Ó ÌÅÖÁÝÉÍ × ÎÅÍ Å×ËÌÉÄÏ×ÙÍ ÓÉÍÌÅËÓÏÍ
R × (n + 1)-ÍÅÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Rn+1 . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÆÅÒÕ ÒÁÄÉÕÓÁ R × Rn+1 , ËÁÓÁÀÝÕÀÓÑ Rn ×ÂÌÉÚÉ ÓÉÍÌÅËÓÁ, ÓËÁÖÅÍ, × ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÅÇÏ ÔÏÞÅË. óÒÏÅ ÉÒÕÅÍ ÓÉÍÌÅËÓ ÎÁ ÓÆÅÒÕ ÒÉ

äÌÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÓÆÅÒÙ Sn ÍÙ ÇÏ×ÏÒÉÍ Ï ÅÇÏ ÏÂßÅÍÅ, Á ÎÅ Ï ÌÏÝÁÄÉ, ÏÓËÏÌØËÕn ×ÓÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÅ ÚÄÅÓØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, É ÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÓÉÍÌÅËÓ
, ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ × S ; ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Rn ÉÇÒÁÅÔ ×ÓÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÕÀ ÒÏÌØ. 1)

+1

138

é. ÷. éÚÍÅÓÔØÅ×

ÏÍÏÝÉ ÒÏÅË ÉÉ ÉÚ ÅÅ ÅÎÔÒÁ. çÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ × Rn ÅÒÅÊÄÕÔ ÒÉ ÒÏÅË ÉÉ × ÂÏÌØÛÉÅ ÇÉÅÒÓÆÅÒÙ (ÔÏÞÎÅÅ, × ÉÈ ÏÌÏ×ÉÎÙ), ÏÜÔÏÍÕ ÏÂÒÁÚÏÍ
R ÂÕÄÅÔ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÉÍÌÅËÓ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ
S. ÅÅÒØ ÂÕÄÅÍ Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÔØ ÒÁÄÉÕÓ ÓÆÅÒÙ, ÓÌÅÄÑ ÒÉ ÜÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÏÎÁ Ï-ÒÅÖÎÅÍÕ ËÁÓÁÌÁÓØ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Rn × ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÔÏÞÅË ÓÉÍÌÅËÓÁ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÒÉ ÜÔÏÍ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÕÇÌÏ× ÓÉÍÌÅËÓÁ
S ÓÔÒÅÍÑÔÓÑ Ë ×ÅÌÉÞÉÎÁÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÕÇÌÏ× ÓÉÍÌÅËÓÁ
R , ÏÂßÅÍ
S ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë ÏÂßÅÍÕ
R , Á ÏÂßÅÍ ÓÆÅÒÙ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ. ðÏÜÔÏÍÕ × ÒÅÄÅÌÅ ÆÏÒÍÕÌÁ (5) ÅÒÅÈÏÄÉÔ × ÆÏÒÍÕÌÕ (2).  ÷ÔÏÒÏÊ ÜÔÁ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÓÏÓÔÏÉÔ × ÒÁÚÂÉÅÎÉÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P ÎÁ ÓÉÍÌÅËÓÙ É ×Ù×ÏÄÅ ÆÏÒÍÕÌÙ çÒÁÍÁ ÄÌÑ ÅÌÏÇÏ P ÉÚ ÆÏÒÍÕÌ ÄÌÑ ÅÇÏ ÞÁÓÔÅÊ. Ï ÓÅ ÉÁÌØÎÏÅ ÏÄÒÁÚÄÅÌÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ, ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÕÔÅÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ ÇÒÁÎÅÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ. ðÕÓÔØ Q | ÇÒÁÎØ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P . ÷ÙÂÅÒÅÍ ×ÎÕÔÒÉ Q ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÔÏÞËÕ Q É ÏÓÔÒÏÉÍ ÉÒÁÍÉÄÙ Ó ×ÅÒÛÉÎÏÊ Q ÎÁÄ ×ÓÅÍÉ ÇÒÁÎÑÍÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÍÉÓÑ × Q. üÔÁ ÏÅÒÁ ÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ú×ÅÚÄÎÙÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅÍ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P × ÇÒÁÎÉ Q. çÒÁÎÑÍÉ ÏÌÕÞÁÀÝÅÇÏÓÑ ÏÄÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ×ÓÅ ÇÒÁÎÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P , ÏÔÌÉÞÎÙÅ ÏÔ Q (É, ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÅ ÚÁÔÒÏÎÕÔÙÅ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅÍ), Á ÔÁËÖÅ ×ÓÅ ÏÌÕÞÉ×ÛÉÅÓÑ ÉÒÁÍÉÄÙ É ÇÒÁÎÉ ÜÔÉÈ ÉÒÁÍÉÄ. âÕÄÅÍ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÔØ Ú×ÅÚÄÎÙÅ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ × ÇÒÁÎÑÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P × ÏÒÑÄËÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÑ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ: ÓÎÁÞÁÌÁ ÏÄÒÁÚÄÅÌÉÍ Ï ÏÞÅÒÅÄÉ ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ, ÚÁÔÅÍ ×ÓÅ Ä×ÕÍÅÒÎÙÅ ÇÒÁÎÉ, É Ô. Ä. ÷ ËÏÎ Å ÒÏÉÚ×ÅÄÅÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ × ÓÁÍÏÍ P , ×ÙÂÒÁ× ÔÏÞËÕ P × ÅÇÏ ×ÎÕÔÒÅÎÎÏÓÔÉ. òÉÓÕÎÏË 2 ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÔ ÏÌÕÞÁÀÝÉÅÓÑ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ (ÚÄÅÓØ ÓÎÁÞÁÌÁ ÒÁÚÂÉÔÙ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ, ÚÁÔÅÍ ×ÓÅ ÇÒÁÎÉ, ÏÓÌÅÄÎÉÊ ÛÁÇ Ó ÔÏÞËÏÊ P ÏÕÝÅÎ). ðÏÓÌÅ ËÁÖÄÏÇÏ ÛÁÇÁ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÎÏ×ÏÅ, ÂÏÌÅÅ ÍÅÌËÏÅ ÏÄÒÁÚÄÅÌÅÎÉÅ P . ú×ÅÚÄÎÏÅ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ × ÇÒÁÎÉ ÔÅËÕÝÅÇÏ ÏÄÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ

âÁÒÉ ÅÎÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÏÄÒÁÚÄÅÌÅÎÉÅ ËÁË ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ Ú×ÅÚÄÎÙÈ ÒÁÚÂÉÅÎÉÊ òÉÓ. 2.

ï ÓÕÍÍÅ ÕÇÌÏ× ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ

139

ÔÁË ÖÅ, ËÁË É ×ÙÛÅ × ÓÌÕÞÁÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ. îÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÕÇÌÁ ÒÉ ÇÒÁÎÉ ÏÄÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÔÏÖÅ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÕÇÌÁ ÒÉ ÇÒÁÎÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÁÌØÔÅÒÎÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÓÕÍÍÁ ×ÅÌÉÞÉÎ ÕÇÌÏ× ÒÉ ÇÒÁÎÑÈ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ ÒÉ Ú×ÅÚÄÎÏÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÉ. ðÕÓÔØ 'k | ÓÕÍÍÁ ×ÅÌÉÞÉÎ ÕÇÌÏ× ÒÉ k-ÍÅÒÎÙÈ ÇÒÁÎÑÈ ÏÄÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ, ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÅÒ×ÙÈ ÛÁÇÏ×, '′k | ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÁÑ ÓÕÍÍÁ ÏÓÌÅ Ú×ÅÚÄÎÏÇÏ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ × ÏÞÅÒÅÄÎÏÊ ÇÒÁÎÉ Q. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ fk (Q) ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï k-ÍÅÒÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ ÔÅËÕÝÅÇÏ ÏÄÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈÓÑ × ÇÒÁÎÉ Q, É ÞÅÒÅÚ  | ÕÇÏÌ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P ÒÉ ÇÒÁÎÉ Q. ÏÇÄÁ ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á: ÒÉ l > k; '′k = 'k + (fk−1(Q) − 1); '′l = 'l '′l = 'l + fl−1(Q) ÒÉ k > l > 0; '′0 = '0 + : óÕÍÍÉÒÕÑ Ó ÞÅÒÅÄÕÀÝÉÍÉÓÑ ÚÎÁËÁÍÉ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï n X k=0

(−1)k '′k =

n X

(−1)k 'k +

k=0 + (1 − f0 (Q) + · · · + (−1)k−1 fk−2(Q) + (−1)k (fk−1(Q) − 1)): ÁË ËÁË f0 (Q) = 1, ÉÚ ÆÏÒÍÕÌÙ üÊÌÅÒÁ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ Q ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ  ÒÁ×ÅÎ 0. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, n X k=0

(−1)k '′k

=

n X

(−1)k 'k :

k=0 Pn k k=0 (−1) 'k

ÅÅÒØ ÏÄÓÞÉÔÁÅÍ ÓÕÍÍÕ ÏÓÌÅ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ. îÅÔÒÕÄÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ n ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P , ÞÔÏ n-ÍÅÒÎÙÅ ÇÒÁÎÉ ÏÌÕÞÉ×ÛÅÇÏÓÑ ÏÄÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ | ÓÉÍÌÅËÓÙ Ó ÎÁÂÏÒÁÍÉ ×ÅÒÛÉÎ ( Q0 ; Q1 ; : : : ; Qn ), ÇÄÅ Qk | ÏÄÎÁ ÉÚ k-ÍÅÒÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P É Qk ⊂ Qk+1 (ÔÁËÏÅ ÏÄÒÁÚÄÅÌÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÂÁÒÉ ÅÎÔÒÉÞÅÓËÉÍ, ÅÓÌÉ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÔÏÞËÉ Q ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÅÎÔÒ ÍÁÓÓ ÇÒÁÎÉ Q). ëÁÖÄÁÑ ÇÒÁÎØ ÏÄÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÒÁÎØÀ ÏÄÎÏÇÏ ÉÌÉ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÉÚ ÔÁËÉÈ ÓÉÍÌÅËÓÏ×. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÑÓÎÏ, ÞÔÏ ÕÇÏÌ ÒÉ ËÁÖÄÏÊ ÇÒÁÎÉ ÒÁ×ÅÎ ÓÕÍÍÅ ÕÇÌÏ× ÒÉ ÎÅÊ ×ÓÅÈ ÓÉÍÌÅËÓÏ×, ËÏÔÏÒÙÍ ÏÎÁ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ. ðÏÜÔÏÍÕ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï n n X XX (−1)k 'k = (−1)k '
k ; k=0
k=0 ÇÄÅ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÅÄÅÔÓÑ Ï ×ÓÅÍ n-ÍÅÒÎÙÍ ÓÉÍÌÅËÓÁÍ ÏÄÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ, Á '
k ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÓÕÍÍÕ ÕÇÌÏ× ÒÉ k-ÍÅÒÎÙÈ ÇÒÁÎÑÈ ÓÉÍÌÅËÓÁ
. ðÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÈ ÓÕÍÍ ÒÁ×ÎÁ 0 Ï ÒÁÎÅÅ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÍÕ, ÉÍÅÅÍ P n (−1)k ' = 0 ÄÌÑ ÏÌÕÞÉ×ÛÅÇÏÓÑ ÏÄÒÁÚÄÅÌÅÎÉÑ, Á ÚÎÁÞÉÔ É ÄÌÑ ÍÎÏk k=0 ÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P . æÏÒÍÕÌÁ çÒÁÍÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ.

140

é. ÷. éÚÍÅÓÔØÅ×

******

þÅÒÅÚ 40 ÌÅÔ ÏÓÌÅ ÕÂÌÉËÁ ÉÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï óÏÍÍÅÒ×ÉÌÑ ÂÙÌÏ ÎÅÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÓÏÞÔÅÎÏ ÏÛÉÂÏÞÎÙÍ. ÷ÅÒÏÑÔÎÏ, ÒÉÞÉÎÏÊ ÏÓÌÕÖÉÌÏ ÔÏ, ÞÔÏ óÏÍÍÅÒ×ÉÌØ ÕÏÔÒÅÂÌÑÌ ÔÅÒÍÉÎ €ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉˁ ÄÌÑ ÏÄÒÁÚÄÅÌÅÎÉÊ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÈ × ÒÏ ÅÓÓÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, É ÜÔÏ ÎÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÌÏ Ï×ÙÓÉ×ÛÉÍÓÑ ÓÔÁÎÄÁÒÔÁÍ ÓÔÒÏÇÏÓÔÉ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÑ×ÉÌÉÓØ ÎÏ×ÙÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÆÏÒÍÕÌÙ çÒÁÍÁ. ïÄÎÏ ÉÚ ÎÉÈ, ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÎÏÅ ûÅÁÒÄÏÍ × [7℄ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÓÏÂÏÊ ÜÌÅÇÁÎÔÎÏÓÔØÀ, É ÍÙ ÅÇÏ ÚÄÅÓØ ÒÉ×ÅÄÅÍ.2) äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ûÅÁÒÄÁ

÷ÅÒÎÅÍÓÑ Ë ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÕÇÌÁ 'Q (P ) ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P ÒÉ ÇÒÁÎÉ Q. çÒÁÎÉ Q ÍÏÖÎÏ ÓÏÏÓÔÁ×ÉÔØ ËÏÎÕÓ LQ , ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÊ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÑÍÉ ÆÁÓÅÔ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ Q. ëÏÎÕÓ LP | ÜÔÏ ×ÓÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Rn , ËÏÎÕÓ ÆÁÓÅÔÙ | ÏÌÕÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï. åÓÌÉ Q | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÔÏÞËÁ ×ÎÕÔÒÉ ÇÒÁÎÉ Q, ÔÏ ÍÙ ÉÍÅÅÍ B ∩ LQ ) ; 'Q(P ) = vol(vol( B)

ÇÄÅ B | ÛÁÒ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÒÁÄÉÕÓÁ Ó ÅÎÔÒÏÍ × Q . ÷ÙÂÒÁ× Ï ÔÏÞËÅ

Q × ËÁÖÄÏÊ ÇÒÁÎÉ Q, ÅÒÅÎÅÓÅÍ ËÁÖÄÙÊ ËÏÎÕÓ LQ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÔÏÞËÁ Q ÏÁÌÁ × ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. ÏÇÄÁ ÆÏÒÍÕÌÁ çÒÁÍÁ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ X (−1)dim Q vol(B ∩ (LQ − Q )) = 0; (6) Q

ÇÄÅ B ÎÁ ÜÔÏÔ ÒÁÚ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÛÁÒ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÄÌÑ (ÏÞÔÉ) ÌÀÂÏÇÏ ÌÕÞÁ, ÉÓÈÏÄÑÝÅÇÏ ÉÚ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÓÕÍÍÁ ±1, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÔÅÍ ËÏÎÕÓÁÍ, ×ÎÕÔÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÜÔÏÔ ÌÕÞ, ÒÁ×ÎÁ 0. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÏËÒÙÔÉÅ ÛÁÒÁ B ËÏÎÕÓÁÍÉ LQ − Q , ×ÚÑÔÙÍÉ Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÚÎÁËÁÍÉ, ÉÍÅÅÔ × ÏÞÔÉ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÅ ËÒÁÔÎÏÓÔØ 0. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÌÕÞ x, ÎÅ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÊ ÎÉ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÆÁÓÅÔ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P . ÏÞËÉ ÛÁÒÁ B , ÎÅ ÌÅÖÁÝÉÅ ÎÁ ÔÁËÉÈ ÌÕÞÁÈ, ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÏÂßÅÍÁ, ÏÜÔÏÍÕ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÌÕÞÉ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ ÜÔÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ. óÒÏÅ ÉÒÕÅÍ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË P × ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ x ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ, ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÕÀ x. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÒÏÅË ÉÀ ÞÅÒÅÚ P x . îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÌÕÞ x ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ËÏÎÕÓÅ LQ − Q × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ Q = P ÉÌÉ ÅÓÌÉ ÇÒÁÎØ Q €ÏÓ×ÅÝÅÎÁ ÌÕÞÁÍÉ, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÍÉ x (ÇÒÁÎÉ, ÒÏÅË ÉÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÇÒÁÎÉ Å P x, ÏÓ×ÅÝÅÎÎÙÍÉ ÎÅ ÓÞÉÔÁÀÔÓÑ). òÉÓÕÎÏË 3 ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÔ ÓÉÔÕÁ ÉÀ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ûÅÁÒÄÁ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÔÁËÖÅ × ÅÒÅ×ÏÄÅ ÎÁ ÁÎÇÌÉÊÓËÉÊ ÑÚÙË ËÎÉÇÉ ÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×Á É ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×Á €çÅÏÍÅÔÒÉс [5℄. çÏÔÏ×ÉÔÓÑ ÅÅ ÒÕÓÓËÏÅ ÅÒÅÉÚÄÁÎÉÅ. 2)

ï ÓÕÍÍÅ ÕÇÌÏ× ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ

141

x

òÉÓ. 3. ó×ÅÔ É ÔÅÎØ. òÅÂÒÁ, Ï ËÏÔÏÒÙÍ Ó×ÅÔ €ÓËÏÌØÚÉԁ, ÓÞÉÔÁÀÔÓÑ ÚÁÔÅÎÅÎÎÙÍÉ

ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ fkx ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÓ×ÅÝÅÎÎÙÈ k-ÍÅÒÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ, ÏÌÏÖÉ× fnx = 1. ÒÅÂÕÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï Pnk=0(−1)k fkx = 0. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÚÁÔÅÎÅÎÎÙÅ ÇÒÁÎÉ. ÷ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ k ÉÈ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁ×ÎÏ fk − fkx . ÷ ÔÏ ÖÅ ×ÒÅÍÑ ÉÈ ÒÏÅË ÉÉ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ (n − 1)-ÍÅÒÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P x . ðÏÜÔÏÍÕ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ üÊÌÅÒÁ ÉÍÅÅÍ n X

(−1)k (fk − fkx) = 1:

k=0 P ÷ÙÞÉÔÁÑ ÜÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÉÚ ÆÏÒÍÕÌÙ üÊÌÅÒÁ nk=0 (−1)k fk = 1 ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P , ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÔÒÅÂÕÅÍÏÍÕ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (6) ÄÏËÁÚÁÎÏ, Á ×ÍÅÓÔÅ Ó ÎÉÍ É ÆÏÒÍÕÌÁ çÒÁÍÁ.

4. óÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ äÅÎÁ { óÏÍÍÅÒ×ÉÌÑ ÷ÅÒÎÅÍÓÑ Ë ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÍÕ ÓÉÍÌÅËÓÕ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ n:
= ∩ni=0 Hi ; (7) ÇÄÅ H0 ; H1 ; : : : ; Hn | ÏÌÕÓÆÅÒÙ n-ÍÅÒÎÏÊ ÓÆÅÒÙ Sn. æÏÒÍÕÌÁ çÒÁÍÁ (5) ÄÌÑ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÓÉÍÌÅËÓÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÏÂßÅÍÏ× ÓÉÍÌÅËÓÁ
É ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÇÏ ÅÍÕ ÓÉÍÌÅËÓÁ
′ (ÓÍ. ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÌÅÍÍÙ 1). ïÄÎÁËÏ ÇÒÁÎÉ Ù ÏÌÕÓÆÅÒ Hi ÄÅÌÑÔ ÓÆÅÒÕ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÒÕÇÉÈ ÏÂÌÁÓÔÅÊ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁÒÎÙÊ ÏÂßÅÍ ÞÁÓÔÅÊ, k-ËÒÁÔÎÏ ÏËÒÙ×ÁÅÍÙÈ ÏÌÕÓÆÅÒÁÍÉ Hi, ÒÁ×ÅÎ ÓÕÍÍÁÒÎÏÍÕ ÏÂßÅÍÕ

142

é. ÷. éÚÍÅÓÔØÅ×

ÞÁÓÔÅÊ, ÏËÒÙÔÙÈ n + 1 − k ÒÁÚ. üÔÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÅÌÏÍÕ ÎÁÂÏÒÕ ÎÏ×ÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÍÅÖÄÕ ÕÇÌÁÍÉ ÓÉÍÌÅËÓÁ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ (ÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ) ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ äÅÎÁ { óÏÍÍÅÒ×ÉÌÑ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ äÅÎÁ { óÏÍÍÅÒ×ÉÌÑ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÑÀÔÓÑ ÎÁ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÕÇÌÏ× ÓÉÍÌÉ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ. îÏ ÎÁÉÂÏÌØÛÕÀ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÓÔØ ÏÎÉ ÏÌÕÞÉÌÉ ËÁË ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÇÒÁÎÅÊ ÄÁÎÎÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ÔÁËÏÇÏ ×ÉÄÁ. ïÂÏ ×ÓÅÍ ÜÔÏÍ É ÏÊÄÅÔ ÒÅÞØ × ÄÁÎÎÏÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Si ÇÒÁÎÉÞÎÕÀ ÓÆÅÒÕ ÏÌÕÓÆÅÒÙ Hi . çÒÁÎÉ ÓÉÍÌÅËÓÁ (7) ÄÏÕÓËÁÀÔ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÏÉÓÁÎÉÅ. ðÕÓÔØ I | ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÉÎÄÅËÓÏ× {0; 1; : : : ; n}, ÎÅ ÓÏ×ÁÄÁÀÝÅÅ ÓÏ ×ÓÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ. ðÏÌÏÖÉÍ FI = (∩i∈I Si) ∩
: ÏÇÄÁ FI | ÇÒÁÎØ ÓÉÍÌÅËÓÁ
, ÉÍÅÀÝÁÑ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ n − |I |. çÒÁÎÉ FI ÍÙ ÓÏÏÓÔÁ×ÉÍ ÅÅ ÌÕÎËÕ HI = ∩i∈I Hi (ÓÒÁ×ÎÉÔÅ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ ËÏÎÕÓÁ ÇÒÁÎÉ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ). îÅÔÒÕÄÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÏÂßÅÍÁ ÌÕÎËÉ Ë ÏÂßÅÍÕ ÓÆÅÒÙ ÅÓÔØ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÕÇÌÁ ÒÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÇÒÁÎÉ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÍÅÅÍ X 'l = vol(1Sn) vol(HI ): |I |=n−l òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÅÒØ ÏÂÌÁÓÔÉ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ ÒÁÚÂÉ×ÁÀÔ ÓÆÅÒÕ Sn ÅÅ ÏÄÓÆÅÒÙ Si. ëÁÖÄÏÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ J ⊂ {0; 1; : : : ; n} ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÏÂÌÁÓÔØ GJ = (∩j∈J Hj ) ∩ (∩j∈=J Hj ); ÇÄÅ Hj ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÏÌÕÓÆÅÒÕ, ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÕÀ Hj . ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÅÎÔÒÁ ÓÆÅÒÙ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÏÂÌÁÓÔØ GJ × ÏÂÌÁÓÔØ G{0;1;:::;n}\J . ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ×ÅÌÉÞÉÎ 1 X vol(G ) J k = vol(Sn ) |J |=k (ÄÏÌÑ ÏÂßÅÍÁ ÓÆÅÒÙ, ÏËÒÙÔÏÇÏ ÏÌÕÓÆÅÒÁÍÉ Hi ÒÏ×ÎÏ k ÒÁÚ) ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á k = n+1−k : åÓÌÉ ÍÙ ÓÍÏÖÅÍ ×ÙÒÁÚÉÔØ ×ÅÌÉÞÉÎÙ { k } ÞÅÒÅÚ ÎÁÂÏÒ ×ÅÌÉÞÉÎ {'l }, ÔÏ ÏÌÕÞÁÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ×ÅÌÉÞÉÎÁÍÉ ÕÇÌÏ× ÓÉÍÌÅËÓÁ
. ÷ËÌÀÞÅÎÉÅ GJ ⊂ Hi ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ i ∈ J . ðÏÜÔÏÍÕ

GJ ⊂ HI ⇔ J ⊃ I: óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ |J | = k, ÔÏ ÌÕÎËÉ HI , ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÅ (n − l)-ÍÅÒÎÙÍ

ï ÓÕÍÍÅ ÕÇÌÏ× ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ

143




ÇÒÁÎÑÍ, ÏËÒÙ×ÁÀÔ ÄÁÎÎÕÀ ÏÂÌÁÓÔØ GJ Ó ËÒÁÔÎÏÓÔØÀ kl . üÔÏ ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÅ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ×ÙÒÁÚÉÔØ ÓÕÍÍÁÒÎÙÊ ÏÂßÅÍ (n − l)-ÌÕÎÏË ÞÅÒÅÚ ÏÂßÅÍÙ ÏÂÌÁÓÔÅÊ GJ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: nX +1 k 'n−l = (8) k: l k=l (îÁÒÉÍÅÒ, ÄÌÑ l = n ÉÍÅÅÍ '0 = n + (n + 1) n+1 .) úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ n+1 = vol(
)= vol(Sn ). äÌÑ ÕÄÏÂÓÔ×Á ××ÅÄÅÍ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÕÀ ×ÅÌÉÞÉÎÕ vol(
) : '−1 = vol( Sn )

ÏÇÄÁ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (8) ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÉ ×ÓÅÈ l ÏÔ 0 ÄÏ n + 1 É ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÉÚ (n + 2) ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ 0 ; 1 ; : : : ; n+1 . åÅ ÍÏÖÎÏ ÒÅÛÉÔØ ÕÔÅÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó n+1 . ïÄÎÁËÏ ÅÓÔØ ÒÉÅÍ, ÏÚ×ÏÌÑÀÝÉÊ ÒÅÛÉÔØ ÓÉÓÔÅÍÕ ÂÙÓÔÒÅÅ É ÚÁÉÓÁÔØ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÕÇÌÁÍÉ × ÂÏÌÅÅ ÚÁÏÍÉÎÁÀÝÅÊÓÑ ÆÏÒÍÅ. õÍÎÏÖÉÍ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ× (8) ÎÁ tl É ÒÏÓÕÍÍÉÒÕÅÍ Ï l ÏÔ 0 ÄÏ n + 1. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÉÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï nX +1 nX +1 k 'n−l tl = k (t + 1) : l=0 k=0 ðÒÏÉÚ×ÏÄÑ ÚÁÍÅÎÕ t → t − 1 É ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÓÔÅÅÎÑÈ t, ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍ   nX +1 l −k l (−1) (9) k= k 'n−l ÒÉ k = 0; 1; : : : ; n + 1: l=k ðÏÌÕÞÁÀÝÉÅÓÑ ÏÔÓÀÄÁ ÒÉ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÅ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á k = n+1−k ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÕÇÌÁÍÉ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÓÉÍÌÅËÓÁ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÅÒÅÎÅÓÅÎÙ ÎÁ Å×ËÌÉÄÏ× ÓÌÕÞÁÊ. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÔÏÞÎÏ ÔÁË ÖÅ, ËÁË ÍÙ ÜÔÏ ÄÅÌÁÌÉ ÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÌÅÍÍÙ 2, ÒÉÂÌÉÚÉÔØ Å×ËÌÉÄÏ× ÓÉÍÌÅËÓ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÍ ÎÁ ÓÆÅÒÅ ÂÏÌØÛÏÇÏ ÒÁÄÉÕÓÁ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ×ÅÌÉÞÉÎÁ '−1 , ÒÁ×ÎÁÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ÏÂßÅÍÁ ÓÉÍÌÅËÓÁ Ë ÏÂßÅÍÕ ÓÆÅÒÙ, ÏÂÎÕÌÑÅÔÓÑ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁÍÉ ÄÏËÁÚÁÎÁ ÅÏÒÅÍÁ 3 (óÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ äÅÎÁ { óÏÍÍÅÒ×ÉÌÑ ÄÌÑ ÓÉÍÌÅËÓÁ). ðÕÓÔØ 'k , k = 0; : : : ; n, | ÓÕÍÍÁ ×ÅÌÉÞÉÎ ÕÇÌÏ× ÒÉ k-ÍÅÒÎÙÈ ÇÒÁÎÑÈ n-ÍÅÒÎÏÇÏ ÓÉÍÌÅËÓÁ
(ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÉÌÉ Å×ËÌÉÄÏ×Á ). ÷×ÅÄÅÍ ÔÁËÖÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ ( vol(
) n × ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ,

'−1 = vol(S ) 0

× Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ.

144

é. ÷. éÚÍÅÓÔØÅ×

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ

'(t) = P +1 k É ÏÌÏÖÉÍ '(t − 1) = nk=0 kt tn+1

éÌÉ, × ÂÏÌÅÅ Ñ×ÎÏÍ ×ÉÄÅ, k

=

n+1−k

k=0

'n−k tk

= (t). ÏÇÄÁ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (t−1 ) = (t): (10) ÒÉ

îÁËÏÎÅ , × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ×ÅÌÉÞÉÎ 'k : n+1 X

nX +1

k = 0; 1; : : : ; ⌊ n2 ⌋ :

  k l ' =X k −l n + 1 − l ' ; ( − 1) l −1 k n−l l=0 k−l l=k ÔÁËÖÅ ÒÉ k = 0; 1; : : : ; ⌊n=2⌋.

(−1)l−k

 

(11) (12)

ðÒÏÁÎÁÌÉÚÉÒÕÅÍ, ÓËÏÌØËÏ ÎÏ×ÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÈ äÅÎÁ { óÏÍÍÅÒ×ÉÌÑ. íÏÖÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ⌊(n + 2)=2⌋ ÒÁ×ÅÎÓÔ× (12) ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ.3) ïÄÎÁËÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÄÌÑ k = 0 ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ 0 = n+1 É ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÆÏÒÍÕÌÅ çÒÁÍÁ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÉÚ ÆÏÒÍÕÌÙ (8) ÒÉ l = 0; 1 É ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ (11) ÓÌÅÄÕÅÔ: nX +1 nX +1 n+1 'n−1 = k k = n +2 1 k = 2 'n ; k=1 k=0 ÞÔÏ ×ÏÌÎÅ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ 'n = 1 É 'n−1 = = (n + 1)=2 (Õ ÓÉÍÌÅËÓÁ n + 1 ÆÁÓÅÔÁ, É ÕÇÏÌ ÒÉ ËÁÖÄÏÊ ÒÁ×ÅÎ 1=2). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÓÌÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÉÚ ÓÉÓÔÅÍÙ (12) ÍÏÖÎÏ ÉÓËÌÀÞÉÔØ ÏÄÎÏ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï, Á ÏÄÎÏ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ× (ÆÏÒÍÕÌÁ çÒÁÍÁ) ÂÙÌÏ ÎÁÍ ÕÖÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ. éÔÏÇÏ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ⌊n=2⌋ − 1 ÎÏ×ÙÈ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ. ÷ €ÏÓÑÚÁÅÍÙȁ ÓÌÕÞÁÑÈ n = 2 É n = 3 ÍÙ, ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÅ ÏÌÕÞÁÅÍ ÎÉÞÅÇÏ ÎÏ×ÏÇÏ; × ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÑÈ 4 É 5 ÉÍÅÅÔÓÑ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÎÏ×ÏÍÕ ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ. ÷ÍÅÓÔÅ Ó ÆÏÒÍÕÌÏÊ çÒÁÍÁ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÒÁ×ÅÎÓÔ×:

'0 − '1 + '2 − 32 = 2'−1 ; ÒÉ n = 4; 2'1 − 3'2 + 5 = 0  '0 − '1 + '2 − '3 + 2 = 0; '2 − 2'3 + 5 = 0 ÒÉ n = 5: (

äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ × ÜÔÏÍ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÕÄÏÂÎÏ ÅÒÅÊÔÉ ÏÔ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ 'l Ë ÅÒÅÍÅÎÎÙÍ k . 3)

ï ÓÕÍÍÅ ÕÇÌÏ× ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ

145

ÅÏÒÅÍÕ (3) ÍÏÖÎÏ ÏÂÏÂÝÉÔØ ÎÁ ÓÌÕÞÁÊ ÓÉÍÌÉ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ n ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÉÍÌÉ ÉÁÌØÎÙÍ , ÅÓÌÉ ×ÓÅ ÅÇÏ ÇÒÁÎÉ, ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ ÅÇÏ ÓÁÍÏÇÏ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÉÍÌÅËÓÁÍÉ. ÅÏÒÅÍÁ 4 (óÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ äÅÎÁ { óÏÍÍÅÒ×ÉÌÑ ÄÌÑ ÓÉÍÌÉ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ). ðÕÓÔØ P | n-ÍÅÒÎÙÊ ÓÉÍÌÉ ÉÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË (ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÊ ÉÌÉ Å×ËÌÉÄÏ× ). ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ fk , k = 0; 1, : : : ; n, ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÅÇÏ k-ÍÅÒÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ, ÞÅÒÅÚ 'k ÓÕÍÍÕ ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ ÕÇÌÏ× ÒÉ k-ÍÅÒÎÙÈ ÇÒÁÎÑÈ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÏÌÏÖÉÍ f−1 = 1 É ( vol(P ) × ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, n

'−1 = vol(S )

0 × Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ.

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ

'(t) =

nX +1

f (t) =

k=0 n X

'(t − 1) =

nX +1

É ÏÌÏÖÉÍ

f (t − 1) = ÏÇÄÁ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

k=0

k=0 n X k=0

'n−k tk ; fn−k−1tk kt

k

= (t);

hk tk = h(t):

tn+1( (t−1 ) + h(t−1 ) − 1) = (t) + h(t) − 1:

÷ ÂÏÌÅÅ Ñ×ÎÏÍ ×ÉÄÅ,

(13)

= hn+1−k − hk ÒÉ k = 1; : : : ; ⌊ n2 ⌋ ; (14) 0 − n+1 = hn+1 − h0 + 1: úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á × (14) ÒÁ×ÎÙ 0 Ï ÆÏÒÍÕÌÁÍ üÊÌÅÒÁ É çÒÁÍÁ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ÙÂÅÒÅÍ ×ÎÕÔÒÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ÔÏÞËÕ P É ÒÁÚÏÂØÅÍ P ÎÁ n-ÍÅÒÎÙÅ ÓÉÍÌÅËÓÙ | ÉÒÁÍÉÄÙ Ó ×ÅÒÛÉÎÏÊ P É ÆÁÓÅÔÁÍÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÓÎÏ×ÁÎÉÊ. ðÏÄÓÞÉÔÁÅÍ ÓÕÍÍÙ ×ÅÌÉÞÉÎ ÕÇÌÏ× ×ÓÅÈ ÓÉÍÌÅËÓÏ× ÒÉ ÇÒÁÎÑÈ ÄÁÎÎÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ. õÇÌÙ ÒÉ ×ÅÒÛÉÎÁÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÉÚ ÕÇÌÏ× ÒÉ ×ÅÒÛÉÎÁÈ ÓÉÍÌÅËÓÏ×, ÒÉ k − n+1−k

146

é. ÷. éÚÍÅÓÔØÅ×

ÜÔÏÍ ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÅÝÅ ÕÇÌÙ ÓÉÍÌÅËÓÏ× ÒÉ ÉÈ ÏÂÝÅÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÏÎÉ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÏÌÎÙÊ ÕÇÏÌ, ÏÜÔÏÍÕ ÉÍÅÅÍ

P . ÷ÍÅÓÔÅ

X

'0 (
) = '0 + 1:
÷ÏÏÂÝÅ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ k ÏÔ 0 ÄÏ n − 1 ÕÇÌÙ ÒÉ k-ÍÅÒÎÙÈ ÇÒÁÎÑÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÉÚ ÕÇÌÏ× ÒÉ k-ÍÅÒÎÙÈ ÇÒÁÎÑÈ ÓÉÍÌÅËÓÏ× ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ. ëÁÖÄÁÑ ÉÚ ÎÅ ÕÞÔÅÎÎÙÈ ÒÉ ÜÔÏÍ k-ÍÅÒÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ ÓÉÍÌÅËÓÏ× ÎÁÔÑÎÕÔÁ ÎÁ ×ÅÒÛÉÎÕ P É ÎÅËÏÔÏÒÕÀ (k − 1)-ÍÅÒÎÕÀ ÇÒÁÎØ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÕÇÌÙ ÇÒÕÉÒÕÀÔÓÑ × fk−1 ÏÌÎÙÈ ÕÇÌÏ×. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á X 'k (
) = 'k + fk−1 ÒÉ k = 0; : : : ; n − 1:
ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, X 'n (
) = fn−1 ;
X '−1 (
) = '−1 :
ïÂÏÚÎÁÞÁÑ '-ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÄÌÑ ÓÉÍÌÅËÓÁ
ÞÅÒÅÚ '
(t), ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ X '
(t) = '(t) + f (t) − 1:
ÅÏÒÅÍÁ 4 ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÔÅÅÒØ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅÍ ÔÅÏÒÅÍÙ 3 Ë ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÓÉÍÌÅËÓÏ×
.  úÁÄÁÞÁ 3. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ h(t) ÄÌÑ n-ÍÅÒÎÏÇÏ ÓÉÍÌÅËÓÁ. ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ h ÔÁËÖÅ ÏÂÌÁÄÁÀÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ, ÏÄÏÂÎÙÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍ k = n+1−k ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ . üÔÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÂÏÌÅÅ ÛÉÒÏËÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ, ÞÅÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÕÇÌÁÍÉ ÓÉÍÌÉ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ, É ÉÍÅÎÎÏ ÉÈ ÉÍÅÀÔ × ×ÉÄÕ, ÇÏ×ÏÒÑ Ï ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÈ äÅÎÁ { óÏÍÍÅÒ×ÉÌÑ. ÅÏÒÅÍÁ 5 (ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ äÅÎÁ { óÏÍÍÅÒ×ÉÌÑ). ðÕÓÔØ P | n-ÍÅÒÎÙÊ ÓÉÍÌÉ ÉÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ fk , k = 0; 1; : : : ; n, ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÅÇÏ k-ÍÅÒÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ É ÏÌÏÖÉÍ f−1 = 1. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ

f (t) =

n X k=0

fn−k−1tk

ï ÓÕÍÍÅ ÕÇÌÏ× ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ

147

É ÏÌÏÖÉÍ

f (t − 1) = ÏÇÄÁ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÷ ÂÏÌÅÅ Ñ×ÎÏÍ ×ÉÄÅ,

n X k=0

hk tk = h(t):

tnh(t−1 ) = h(t):

(15)

hk = hn−k :

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÔÅÏÒÅÍÏÊ 4. ðÏÓËÏÌØËÕ ÎÁÓ ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÔ ÔÏÌØËÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÇÒÁÎÅÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÒÅÄÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× ÄÁÎÎÏÇÏ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÇÏ ÔÉÁ ×ÙÂÒÁÔØ ÔÁËÏÊ, ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÕÇÌÏ× ËÏÔÏÒÏÇÏ ÌÅÇËÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÌÉ Ï ÅÎÉÔØ. ÷ ÓÌÕÞÁÅ ÕÄÁÞÎÏÇÏ ×ÙÂÏÒÁ ÉÚ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÔÅÏÒÅÍÙ 4 ÂÕÄÕÔ ÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÕÖÎÙÅ ÎÁÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. ðÕÓÔØ P | ÄÁÎÎÙÊ Å×ËÌÉÄÏ× ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË × Rn. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ n-ÍÅÒÎÕÀ ÓÆÅÒÕ, ËÁÓÁÀÝÕÀÓÑ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Rn ×Ï ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ ÔÏÞËÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P , É ÓÒÏÅ ÉÒÕÅÍ P ÎÁ ÓÆÅÒÕ ÉÚ ÅÅ ÅÎÔÒÁ. åÓÌÉ ÒÁÄÉÕÓ ÓÆÅÒÙ r ÍÁÌ, ÔÏ ÏÌÕÞÁÀÝÉÊÓÑ ÒÉ ÒÏÅË ÉÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË PS ÚÁÎÉÍÁÅÔ ÏÞÔÉ ×ÓÀ ÏÌÕÓÆÅÒÕ, ÏÂÒÁÝÅÎÎÕÀ Ë ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ Rn. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÍÏÖÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÕÇÌÏ× ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P ÒÉ ×ÓÅÈ ÇÒÁÎÑÈ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ ÏÔ 0 ÄÏ n − 1 ÓÔÒÅÍÑÔÓÑ Ë 1=2 ÒÉ ÓÔÒÅÍÌÅÎÉÉ ÒÁÄÉÕÓÁ ÓÆÅÒÙ Ë 0. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, lim 'k = 12 fk ÒÉ k = 0; : : : ; n − 1: r →0 úÁÍÅÔÉÍ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ limr→0 '−1 = 1=2 É 'n = 1 ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÔ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÒÁÄÉÕÓÁ. ïÔÓÀÄÁ ÏÌÕÞÁÅÍ 



lim ('(t) + f (t) − 1) = 2t f (t) + 1 + f (t) − 1 = 2t + 1 f (t); r →0 ÇÄÅ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÏÎÉÍÁÅÔÓÑ ËÁË ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, lim ( (t) + h(t) − 1) = t +2 1 h(t): r →0 ÏÇÄÁ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (13) ÓÌÅÄÕÅÔ −1 tn+1 t + 1 h(t−1 ) = t + 1 h(t);

2

2

ÏÔËÕÄÁ ÎÁÒÑÍÕÀ ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (15).  ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ äÅÎÁ { óÏÍÍÅÒ×ÉÌÑ ÂÙÌÉ ×ÅÒ×ÙÅ ÄÏËÁÚÁÎÙ óÏÍÍÅÒ×ÉÌÅÍ × [6℄, ÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÔ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÔÅÏÒÅÍÙ 4. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÕÏÍÑÎÕÔØ, ÞÔÏ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ óÏÍÍÅÒ×ÉÌÑ ÂÙÌÉ

148

é. ÷. éÚÍÅÓÔØÅ×

×ÄÏÈÎÏ×ÌÅÎÙ ÒÁÂÏÔÏÊ äÅÎÁ [2℄. äÅÎ ÄÏËÁÚÁÌ ÔÅÏÒÅÍÕ 3 ÄÌÑ n = 4 É n = 5, ÕËÁÚÁ× ÔÁËÖÅ ÎÁ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÏÂÏÂÝÅÎÉÑ ÎÁ ÓÌÕÞÁÊ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ n. íÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ äÅÎÁ { óÏÍÍÅÒ×ÉÌÑ ÄÏËÁÚÁÎÙ ÔÁËÖÅ × ÓÔÁÔØÅ [4℄ ÄÌÑ €Ë×ÁÚÉÓÉÍÌÉ ÉÁÌØÎÙȁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× | n-ÍÅÒÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×, Õ ËÏÔÏÒÙÈ ×ÓÅ ÇÒÁÎÉ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÍÅÎØÛÅÊ ÌÉÂÏ ÒÁ×ÎÏÊ n−2 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÉÍÌÅËÓÁÍÉ. 5. äÒÕÇÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÕÇÌÁÍÉ

ëÒÏÍÅ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÇÏ ÕÇÌÁ ÒÉ ÇÒÁÎÉ Q ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P , ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÔÁËÖÅ É ×ÎÅÛÎÉÊ ÕÇÏÌ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÎÏÒÍÁÌØÎÙÊ ËÏÎÕÓ NQ(P ) ÇÒÁÎÉ Q ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ P ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ:

NQ(P ) =

nX

o

aini | ai > 0 ;

ÇÄÅ ni | ×ÎÅÛÎÉÅ ÎÏÒÍÁÌÉ Ë ÆÁÓÅÔÁÍ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÍ ÇÒÁÎØ Q. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ: ×ÏÚØÍÅÍ ÔÏÞËÕ x ×Ï ×ÎÕÔÒÅÎÎÏÓÔÉ ÇÒÁÎÉ Q É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Rn, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ x | ÂÌÉÖÁÊÛÁÑ ÔÏÞËÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P . üÔÉ ÔÏÞËÉ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï x+NQ (P ). îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ËÏÎÕÓÁ NQ (P ) ÒÁ×ÎÁ dim P − dim Q. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÎÏÒÍÁÌØÎÙÅ ËÏÎÕÓÙ ×ÅÒÛÉÎ ÉÍÅÀÔ ÏÌÎÕÀ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ. éÚ ×ÔÏÒÏÇÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÎÅÛÎÅÇÏ ÕÇÌÁ ÎÅÔÒÕÄÎÏ Õ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÎÏÒÍÁÌØÎÙÅ ËÏÎÕÓÙ ×ÅÒÛÉÎ ÏËÒÙ×ÁÀÔ ×ÓÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÅÒÅÓÅËÁÑÓØ ÌÉÛØ Ï ËÏÎÕÓÁÍ ÍÅÎØÛÅÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ. ðÏÜÔÏÍÕ, ÅÓÌÉ ÍÙ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ×ÅÌÉÞÉÎÕ ×ÎÅÛÎÅÇÏ ÕÇÌÁ ÒÉ ÇÒÁÎÉ Q ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÔÏ ÏÌÕÞÉÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

B ∩ NQ ) Q(P ) = vol(vol( ; B) X v

v (P ) = 1;

(16)

ÇÄÅ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÅÄÅÔÓÑ Ï ×ÓÅÍ ×ÅÒÛÉÎÁÍ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ P . ÷ ÓÌÕÞÁÅ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ÆÏÒÍÕÌÁ (16) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÉÓËÒÅÔÎÙÍ ÁÎÁÌÏÇÏÍ ÆÏÒÍÕÌÙ çÁÕÓÓÁ { âÏÎÎÅ ÄÌÑ ÓÆÅÒÙ. îÁËÏÎÅ , ÕÏÍÑÎÅÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ×Ï×ÌÅËÁÀÝÉÅ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÅ É ×ÎÅÛÎÉÅ ÕÇÌÙ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ. îÁ ÜÔÏÔ ÒÁÚ ÕÓÔØ P | ÏÌÉÜÄÒÁÌØÎÙÊ ËÏÎÕÓ (ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÏÌÕÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ). çÒÁÎÉ ËÏÎÕÓÁ P , Á ÔÁËÖÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÈ É ×ÎÅÛÎÉÈ ÕÇÌÏ× ÒÉ ÇÒÁÎÑÈ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÉÔÅÒ íÁËÍÁÌÌÅÎ ÄÏËÁÚÁÌ × [3℄ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

ï ÓÕÍÍÅ ÕÇÌÏ× ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ

149

X

'0(Q)Q (P ) = 1;

Q X (−1)dim Q ' Q X Q

0 (Q)Q (P ) = 0;

(−1)dim Q 0 (Q)'Q (P ) = 0;

ÇÄÅ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÅÄÅÔÓÑ ËÁÖÄÙÊ ÒÁÚ Ï ×ÓÅÍ ÇÒÁÎÑÍ ËÏÎÕÓÁ P , Á ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ËÁË ÇÒÁÎØ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ËÏÎÕÓÏ×. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÏÌÉÜÄÒÁÌØÎÙÊ ËÏÎÕÓ | ÜÔÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ, ÞÔÏ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË (ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÇÏ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÓÏ ÓÆÅÒÏÊ S Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ). ðÒÉ ÜÔÏÍ ×ÅÌÉÞÉÎÁÍ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÈ ÕÇÌÏ× '0 (Q) ÏÔ×ÅÞÁÀÔ ÏÂßÅÍÙ ÇÒÁÎÅÊ S ∩ P , Á ×ÎÅÛÎÉÅ ÕÇÌÙ ÏÓÔÁÀÔÓÑ ×ÎÅÛÎÉÍÉ ÕÇÌÁÍÉ. åÓÌÉ ÓÌÏÖÉÔØ ÅÒ×ÏÅ É ×ÔÏÒÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á íÁËÍÁÌÌÅÎÁ, ÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ×Ï×ÌÅËÁÀÝÅÅ ÔÏÌØËÏ ÇÒÁÎÉ ÞÅÔÎÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ. üÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÉÓËÒÅÔÎÙÍ ÁÎÁÌÏÇÏÍ ÆÏÒÍÕÌÙ çÁÕÓÓÁ { âÏÎÎÅ ÄÌÑ ×ÙÓÛÉÈ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÆÏÒÍÕÌÙ çÁÕÓÓÁ { âÏÎÎÅ É ÆÏÒÍÕÌÙ çÒÁÍÁ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ × ÇÌÁ×Å 7 ËÎÉÇÉ [1℄. ÁÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ ÓÌÕÞÁÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ. á×ÔÏÒ ÒÉÚÎÁÔÅÌÅÎ ü. â. ÷ÉÎÂÅÒÇÕ, í. î. ÷ÑÌÏÍÕ É ÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×Õ ÚÁ ÅÎÎÙÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ. óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ [1℄ áÌÅËÓÅÅ×ÓËÉÊ ä. ÷., ÷ÉÎÂÅÒÇ ü. â., óÏÌÏÄÏ×ÎÉËÏ× á. ó. çÅÏÍÅÔÒÉÑ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ . éÔÏÇÉ ÎÁÕËÉ É ÔÅÈÎ. óÏ×Ò. ÒÏÂÌÅÍÙ ÍÁÔÅÍ. æÕÎÄ. ÎÁÒ., Ô. 29. í.: ÷éîéé, 1988.

[2℄ Dehn M. Die Eulers he Formel im Zusammenhang mit dem Inhalt in der ni hteuklidis hen Geometrie // Math. Ann., 1906. B. 61. S. 561{586. [3℄ M Mullen P. Non-linear angle-sum relations for polyhedral ones and polytopes // Math. Pro . Cambridge Philos. So ., 1975. Vol. 78, no. 2. P. 247{261. [4℄ Perles M. A., Shephard G. C. Angle sums of onvex polytopes // Math. S and., 1967. Vol. 21. P. 199{218. [5℄ Prasolov V. V., Tikhomirov V. M. Geometry . Translations of Mathemati al Monographs, 200. Ameri an Mathemati al So iety, Providen e, RI, 2001.

150

é. ÷. éÚÍÅÓÔØÅ×

[6℄ Sommerville D. M. Y. The relations onne ting the angle-sums and volume of a polytope in spa e of n dimensions // Pro eedings Royal So . London, Ser. A, 1927. Vol. 115. P. 103{119. [7℄ Shephard G. C. An elementary proof of Gram's theorem for onvex polytopes // Can. J. Math., 1967. Vol. 19. P. 1214{1217. [8℄ Ziegler G. M. Le tures on polytopes . Graduate Texts in Mathemati s. 152. Berlin: Springer-Verlag, 1995.

éÚÍÅÓÔØÅ× é×ÁÎ ÷., Institut fur Mathematik MA 8-3, Te hnis he Universitat Berlin, Str. des 17. Juni 136 D-10623 Berlin Germany e-mail: izmestiemath.tu-berlin.de

151

ïÂÏÂÝÅÎÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÷ÁÎ ÄÅÒ ÷ÁÒÄÅÎÁ ÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

÷×ÅÄÅÎÉÅ

÷ Ä×ÁÄ ÁÔÙÈ ÇÏÄÁÈ ÒÏÛÌÏÇÏ ×ÅËÁ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× ÒÉ×ÌÅËÌÁ ÚÁÄÁÞÁ Ó ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÏÊ, ÒÅÛÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÊ ÄÌÉÔÅÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ ÎÁÊÔÉ ÎÅ ÕÄÁ×ÁÌÏÓØ. ÷ÏÔ ÜÔÁ ÚÁÄÁÞÁ. ðÕÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ ÒÁÓËÒÁÛÅÎÏ × ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ×ÅÔÏ×. ÏÇÄÁ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÁÑ ÒÏÇÒÅÓÓÉÑ ÓËÏÌØ ÕÇÏÄÎÏ ÂÏÌØÛÏÊ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÄÌÉÎÙ, ÞÌÅÎÙ ËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÁÛÅÎÙ × ÏÄÉÎ ×ÅÔ.

ðÏÓÌÅ ÕÏÒÎÙÈ ÕÓÉÌÉÊ ÚÁÄÁÞÕ ÕÄÁÌÏÓØ ÒÅÛÉÔØ ÍÏÌÏÄÏÍÕ ÇÏÌÌÁÎÄÓËÏÍÕ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ â. ì. ÷ÁÎ ÄÅÒ ÷ÁÒÄÅÎÕ. òÅÛÅÎÉÅ ÏËÁÚÁÌÏÓØ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍ, ÎÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÓÌÏÖÎÙÍ. éÓÔÏÒÉÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÒÉ×ÅÄÅÎÁ × ËÎÉÇÅ á. ñ. èÉÎÞÉÎÁ [3℄, Á × ÉÚÌÏÖÅÎÉÉ ÓÁÍÏÇÏ ÷ÁÎ ÄÅÒ ÷ÁÒÄÅÎÁ | × ÄÏÏÌÎÅÎÉÉ Ë ËÎÉÇÅ ò. çÒÜÈÅÍÁ [1℄. ÷ ÏÂÅÉÈ ÜÔÉÈ ËÎÉÇÁÈ ÍÏÖÎÏ ÔÁËÖÅ ÎÁÊÔÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ. ëÁË ÞÁÓÔÏ ÂÙ×ÁÅÔ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÞÔÏÂÙ ÕÒÏÓÔÉÔØ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ, ÎÕÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÅÅ ÄÌÑ ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÅÇÏ ÓÌÕÞÁÑ. ðÅÒ×ÙÍ ÛÁÇÏÍ Ë ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÓÁÍÏÇÏ ÷ÁÎ ÄÅÒ ÷ÁÒÄÅÎÁ (É, Ï ×ÉÄÉÍÏÍÕ, ËÏ ×ÓÅÍ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÁÍ) ÂÙÌÁ ÄÏÇÁÄËÁ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÎÕÖÎÏ ÂÏÌÅÅ ÓÉÌØÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, Á ÉÍÅÎÎÏ: ÒÅÄÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ ÒÁÓËÒÁÛÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÅ ×ÓÑ ÞÉÓÌÏ×ÁÑ ÒÑÍÁÑ, Á ÌÉÛØ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÅÅ ËÏÎÅÞÎÙÊ ËÕÓÏË, ÒÁÚÍÅÒ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ×ÅÔÏ× ÒÁÓËÒÁÓËÉ É ÄÌÉÎÙ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ. íÙ ÏÂÏÂÝÉÍ ÚÁÄÁÞÕ ÓÒÁÚÕ × ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑÈ, ÇÌÁ×ÎÙÍ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÂÕÄÅÔ ×ÙÈÏÄ ÉÚ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÒÑÍÏÊ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ. ÷ÍÅÓÔÏ ÒÁÓËÒÁÓËÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÁÓËÒÁÓËÕ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÒÅÛÅÔËÉ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ × ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ×ÅÔÏ×. ÷ÙÂÒÁ× × ÜÔÏÊ ÒÅÛÅÔËÅ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÆÉÇÕÒÕ M (ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË), ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÏÄÏÂÎÏÊ ÅÊ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÏÊ ÆÉÇÕÒÙ. îÁÛÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÂÕÄÅÔ × ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÉÄÅÑÈ Ï×ÔÏÒÑÔØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÷ÁÎ ÄÅÒ ÷ÁÒÄÅÎÁ, ÎÏ ÒÉÏÂÒÅÔÅÔ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÎÁÇÌÑÄÎÏÓÔØ, ÕÔÅÒÑÎÎÕÀ × ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÍ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÄÒÕÇÉÅ ÏÂÏÂÝÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÂÕÄÕÔ ÓÄÅÌÁÎÙ. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÑÓÎÏ, ÞÔÏ ÅÒÅÊÄÑ ÏÔ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÏÄÉÎ Ë ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ Ä×Á, ÍÏÖÎÏ

152

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

Ä×ÉÎÕÔØÓÑ É ÄÁÌØÛÅ Ë ÓÌÕÞÁÀ ÒÅÛÅÔËÉ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÌÀÂÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ. ÷Ï-×ÔÏÒÙÈ, ÕÓÌÏ×ÉÅ ÏÄÏÂÉÑ ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÎÁ ÂÏÌÅÅ ÓÉÌØÎÏÅ | ÇÏÍÏÔÅÔÉÞÎÏÓÔØ Ó ÅÌÙÍ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ. (÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ, ÇÏ×ÏÒÑ Ï ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ, ÍÙ ×ÓÅÇÄÁ ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ × ×ÉÄÕ ÇÏÍÏÔÅÔÉÀ Ó ÅÌÙÍ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ.) äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÉÚÑÝÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÁËÏÇÏ ÏÂÏÂÝÅÎÉÑ ÔÅÏÒÅÍÙ ÂÙÌÏ ÒÉ×ÅÄÅÎÏ ð. áÎÄÅÒÓÏÎÏÍ [4℄, ËÏÔÏÒÙÊ, ÓÓÙÌÁÑÓØ ÎÁ ò. òÁÄÏ, ÒÉÉÓÙ×ÁÅÔ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ç. çÒÕÎ×ÁÌØÄÕ. úÁÔÅÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï áÎÄÅÒÓÏÎÁ ÂÙÌÏ ÅÒÅÓËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÕÓÓËÏÍ ÑÚÙËÅ ÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×ÙÍ [2℄. íÙ ÏÊÄÅÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÄÁÌØÛÅ É ÂÕÄÅÍ ÒÅÄÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ €ÏÂßÅËÔÏÍ ÒÁÓËÒÁÓËɁ ÍÏÖÅÔ ÓÌÕÖÉÔØ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÒÅÛÅÔËÁ, ÎÏ É ×Ó£ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï (ÒÉ ÜÔÏÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÁÑ ÆÉÇÕÒÁ M ÍÏÖÅÔ ÎÅ ×ËÌÁÄÙ×ÁÔØÓÑ ÎÉ × ËÁËÕÀ ÒÅÛÅÔËÕ × ÜÔÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å). ÷ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÔÁËÏÅ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ×Ù×ÅÓÔÉ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ ÄÌÑ ÒÅÛÅÔËÉ. ðÒÅÄÌÁÇÁÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÓÄÅÌÁÔØ ÜÔÏ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ (ÓÍ. ÕÒÁÖÎÅÎÉÅ 4). íÙ ÖÅ, ÍÏÄÅÒÎÉÚÉÒÏ×Á× ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï áÎÄÅÒÓÏÎÁ, ÄÏÂØÅÍÓÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÏÎÏ ÓÒÁÚÕ ÇÏÄÉÌÏÓØ ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÑ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÒÅÛÅÔËÉ, ÎÏ É ×ÓÅÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÕÖÅ ÕÏÍÑÎÕÔÏÍÕ ÕÓÉÌÅÎÉÀ ÉÓÈÏÄÎÏÊ (ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ) ÔÅÏÒÅÍÙ ÷ÁÎ ÄÅÒ ÷ÁÒÄÅÎÁ, ÂÕÄÅÍ ÒÅÄÏÌÁÇÁÔØ × ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ ËÒÁÓÉÔÓÑ ÎÅ ×Ó£ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, Á ÌÉÛØ ËÏÎÅÞÎÁÑ ÆÉÇÕÒÁ × Î£Í (ÚÁ×ÉÓÑÝÁÑ ÏÔ ÄÁÎÎÏÊ × ÕÓÌÏ×ÉÉ ÆÉÇÕÒÙ É ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ×ÅÔÏ× ÒÁÓËÒÁÓËÉ). ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ L ÏÂßÅËÔ ÒÁÓËÒÁÓËÉ | ÌÉÂÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÌÀÂÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ, ÌÉÂÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÕÀ ÒÅÛÅÔËÕ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. âÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, c ⊂ L Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÏÎÏÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÎÁËÒÙ×ÁÀÝÅÊ ÒÁÎÇÁ k ÞÔÏ ÆÉÇÕÒÁ M ÆÉÇÕÒÙ M ⊂ L, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÒÁÓËÒÁÓËÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á (ÉÌÉ ÒÅÛÅÔc, ÇÏÍÏÔÅÔÉÞÎÁÑ ËÉ) L × k ×ÅÔÏ× ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÁÑ ÆÉÇÕÒÁ F ⊂ M M . úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÚÙ ÍÏÎÏÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÎÁËÒÙ×ÁÀÝÅÊ ÒÉ ÓÄ×ÉÇÅ É ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÍÏÎÏÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÎÁËÒÙ×ÁÀÝÉÍÉ ÔÏÊ ÖÅ ÆÉÇÕÒÙ ÔÏÇÏ ÖÅ ÒÁÎÇÁ. ÅÅÒØ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÏÓÎÏ×ÎÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ. ÅÏÒÅÍÁ. äÌÑ ÌÀÂÏÊ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÆÉÇÕÒÙ M ⊂ L É ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ k ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÅ ËÏÎÅÞÎÁÑ ÍÏÎÏÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÎÁËÒÙ×ÁÀÝÁÑ ÒÁÎÇÁ k. þÁÓÔÎÙÅ ÓÌÕÞÁÉ

÷ ÜÔÏÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ ÍÙ ÄÏËÁÖÅÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÞÁÓÔÎÙÈ ÓÌÕÞÁÅ× ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ. îÁÞÁ× Ó ÒÏÓÔÅÊÛÅÇÏ ÓÌÕÞÁÑ ÔÅÏÒÅÍÙ ÷ÁÎ ÄÅÒ ÷ÁÒÄÅÎÁ ÄÌÑ Ä×ÕÈ ×ÅÔÏ× É ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ ÉÚ ÔÒÅÈ ÞÌÅÎÏ×, ÍÙ ÏÂÏÂÝÉÍ ÅÇÏ × ÔÒÅÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑÈ: ×ÙÈÏÄ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ, Õ×ÅÌÉÞÅÎÉÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ×ÅÔÏ× É Õ×ÅÌÉÞÅÎÉÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÔÏÞÅË. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÏÇÏ, ÞÔÏ

ïÂÏÂÝÅÎÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÷ÁÎ ÄÅÒ ÷ÁÒÄÅÎÁ

A11 A12 A13

A21 A22 A23

153

A33

òÉÓ. 1.

× ÒÁÓËÒÁÛÅÎÎÏÊ × Ä×Á ×ÅÔÁ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÒÅÛÅÔËÅ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÊ Ë×ÁÄÒÁÔ. ÅÍ ÓÁÍÙÍ, Ó ÏÄÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÂÕÄÅÔ ÒÅÛÅÎÁ ÎÅÒÏÓÔÁÑ ÚÁÄÁÞÁ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÁÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÙÊ ÉÎÔÅÒÅÓ, Á Ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÂÕÄÕÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÙ ×ÓÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÉÄÅÉ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÂÕÄÅÔ ÒÉ×ÅÄÅÎÏ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ. éÌÌÀÓÔÒÁ ÉÑÍÉ Ë ÎÅÍÕ ÍÏÇÕÔ ÓÌÕÖÉÔØ ÎÉÖÅÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÅ ÒÉÍÅÒÙ. öÅÌÁÀÝÉÅ ÓÒÁÚÕ ÅÒÅÊÔÉ Ë ÏÂÝÅÍÕ ÓÌÕÞÁÀ, ÍÏÇÕÔ ÜÔÏÔ ÁÒÁÇÒÁÆ ÒÏÕÓÔÉÔØ. 1. ÷ ÒÁÓËÒÁÛÅÎÎÏÍ × Ä×Á ×ÅÔÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÁÊÄÕÔÓÑ ÔÒÉ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÈ ÞÉÓÌÁ, ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÅ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÕÀ ÒÏÇÒÅÓÓÉÀ.

üÔÏ ÒÏÓÔÁÑ ÚÁÄÁÞÁ, ÄÏÕÓËÁÀÝÁÑ ÍÎÏÇÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ. íÙ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÒÅÛÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÓÔÁÎÅÔ ÏÓÎÏ×ÏÊ ÄÌÑ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ÏÂÏÂÝÅÎÉÑ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÁ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÒÑÍÏÊ (ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ, ×ÍÅÓÔÏ ÞÉÓÅÌ ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ Ï ÔÏÞËÁÈ) ÄÅ×ÑÔØ ÔÒÏÅË ÔÏÞÅË ×ÉÄÁ (x; x + 1; x + 2) (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÄÌÑ 1 6 x 6 9). óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ 23 = 8 ÓÏÓÏÂÏ× ÒÁÓËÒÁÓËÉ ÔÁËÏÊ ÔÒÏÊËÉ ÔÏÞÅË, ÏÜÔÏÍÕ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÒÉÎ ÉÕ äÉÒÉÈÌÅ, ËÁËÉÅ-ÔÏ Ä×Å ÉÚ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ÔÒÏÅË ÒÁÓËÒÁÛÅÎÙ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, × ËÁÖÄÏÊ ÔÒÏÊËÅ ÎÁÊÄÕÔÓÑ Ä×Å ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÅ ÔÏÞËÉ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ÞÅÔÙÒÅ ÔÏÞËÉ A11 , A12 , A21 É A22 , ÒÁÓËÒÁÛÅÎÎÙÅ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï (ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ −−−−→ −−−−→ ÓËÁÖÅÍ, × ÂÅÌÙÊ ×ÅÔ), ÒÉÞÅÍ A11 A12 = A21 A22 (ÒÉÓ. 1). ïÔÍÅÔÉÍ ÔÁËÖÅ ÔÏÞËÉ A13 É A23 ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÔÒÏÊËÉ A11 ; A12 ; A13 É A21 ; A22 ; A23 ÏÂÒÁÚÏ×Ù×ÁÌÉ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ. åÓÌÉ ËÁËÁÑ-ÔÏ ÉÚ ÜÔÉÈ Ä×ÕÈ ÔÏÞÅË ÂÅÌÁÑ, ÔÏ ÉÓËÏÍÁÑ ÔÒÏÊËÁ ÎÁÊÄÅÎÁ. åÓÌÉ ÖÅ ÏÎÉ ÏÂÅ ÞÅÒÎÙÅ, ÔÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÏÞËÕ A33 , ÏÂÒÁÚÕÀÝÕÀ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÕÀ ÒÏÇÒÅÓÓÉÀ Ó ÔÏÞËÁÍÉ A13 É A23 . åÓÌÉ ÔÏÞËÁ A33 ÞÅÒÎÁÑ, ÔÏ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÏÊ ÂÕÄÅÔ ÔÒÏÊËÁ ÔÏÞÅË (A13 ; A23 ; A33 ), Á ÅÓÌÉ ÂÅÌÁÑ, ÔÏ ÔÒÏÊËÁ (A11 ; A22 ; A33 ). ëÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÏÊ ×ÙÛÅ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ ÌÅÖÁÔ × ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ ÍÅÖÄÕ 1 É 21, ÏÜÔÏÍÕ ÍÏÎÏÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÎÁËÒÙ×ÁÀÝÅÊ ÒÁÎÇÁ 2 ÄÌÑ ÔÒÅÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÅÌÙÈ ÔÏÞÅË ÎÁ ÒÑÍÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÉÚ 21 ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÊ ÅÌÏÊ ÔÏÞËÉ.

2. ÷ ÒÁÓËÒÁÛÅÎÎÏÊ × Ä×Á ×ÅÔÁ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÒÅÛÅÔËÅ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÊ ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÙÊ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË.

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÑÍÕÀ, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÕÀ ÏÓÉ ÒÅÛÅÔËÉ, É ÎÁ ÎÅÊ ÎÁÊÄÅÍ ÞÅÔÙÒÅ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÅ ÔÏÞËÉ A11 , A12 , A21 É A22 , ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÅ ÔÁË ÖÅ, ËÁË É × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÒÉÍÅÒÅ. ÏÞËÉ A13 , A23 É A33 ×ÙÂÅÒÅÍ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ A11 A12 A13 , A21 A22 A23 É A13 A23 A33 ÂÙÌÉ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÍÉ

154

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

A33

A13

A23

A11 A12

A21 A22 òÉÓ. 2.

ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÙÍÉ (ÒÉÓ. 2). äÁÌØÎÅÊÛÅÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï Ï×ÔÏÒÑÅÔ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ ÉÚ . 1. ÷ÓÅ ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÌÅÖÁÔ ×ÎÕÔÒÉ Ë×ÁÄÒÁÔÁ 11 × 11, ÏÜÔÏÍÕ ÍÏÎÏÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÎÁËÒÙ×ÁÀÝÅÊ ÒÁÎÇÁ 2 ÄÌÑ ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÏÇÏ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÂÕÄÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÒÅÛÅÔËÉ, ÚÁÏÌÎÑÀÝÉÈ Ë×ÁÄÒÁÔ 11 × 11.

úÁÍÅÞÁÎÉÅ. îÅÔÒÕÄÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÓÌÕÞÁÊ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÅ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÒÁÚÏÂÒÁÎÎÏÇÏ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÕÓÌÏ×ÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÁÆÆÉÎÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ, Á ×ÓÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ÁÆÆÉÎÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ. óÌÅÄÕÅÔ ÌÉÛØ ÕÔÏÞÎÉÔØ × ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÅÛÅÔËÉ ÎÕÖÎÏ ×ÚÑÔØ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÕÀ ÒÅÛÅÔËÕ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ËÏÓÏÕÇÏÌØÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. 3. ÷ ÒÁÓËÒÁÛÅÎÎÏÊ × ÔÒÉ ×ÅÔÁ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÒÅÛÅÔËÅ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÊ ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÙÊ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË.

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÊ (ÓÍÙÓÌ ÓÌÏ× €ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÏʁ ÂÕÄÅÔ ÕÔÏÞÎÅÎ ÎÉÖÅ) Ë×ÁÄÒÁÔ, €ÎÉÖÎÑс ÓÔÏÒÏÎÁ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏÓÉ ÁÂÓ ÉÓÓ, É ÅÇÏ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÓÄ×ÉÇÉ ÎÁ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ ×ÄÏÌØ ÜÔÏÊ ÏÓÉ. óÒÅÄÉ ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÎÁÊÄÕÔÓÑ Ä×Á ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÏËÒÁÛÅÎÎÙÈ, ÏÓËÏÌØËÕ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÒÁÓËÒÁÓÏË Ë×ÁÄÒÁÔÁ ËÏÎÅÞÎÏ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÜÔÉ Ë×ÁÄÒÁÔÙ 1 É 2 . áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ×ÎÕÔÒÉ Ë×ÁÄÒÁÔÁ 1 ÎÁÊÄÅÍ Ä×Á ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÒÁÓËÒÁÛÅÎÎÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÁ 11 É 12 ÍÅÎØÛÅÇÏ ÒÁÚÍÅÒÁ (ÔÁËÖÅ ÉÍÅÀÝÉÅ Ï ÓÔÏÒÏÎÅ ÎÁ ÏÓÉ ÁÂÓ ÉÓÓ). óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÉÍ Ë×ÁÄÒÁÔÙ ×ÎÕÔÒÉ Ë×ÁÄÒÁÔÁ 2 ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ 21 É 22 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. îÁ ÓÔÏÒÏÎÅ Ë×ÁÄÒÁÔÁ 11 , ÌÅÖÁÝÅÊ ÎÁ ÏÓÉ ÁÂÓ ÉÓÓ, ÎÁÊÄÅÍ Ä×Å ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÅ ÔÏÞËÉ A111 É A112 (ÕÓÌÏ×ÉÅÍ ÉÈ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÒÁÚÍÅÒÙ ×ÓÅÈ ÕÏÍÉÎÁÅÍÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, Ë×ÁÄÒÁÔ 11 ÄÏÌÖÅÎ ÉÍÅÔØ ÒÁÚÍÅÒ 4 × 4). óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÅ ÁÒÙ

ïÂÏÂÝÅÎÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÷ÁÎ ÄÅÒ ÷ÁÒÄÅÎÁ

155

A333

1

2 A233

A133

11

12

21

22

A113

A123

A213

A223

A111 A112

A121 A122

A211 A212

A221 A222

òÉÓ. 3.

(A121 ; A122 ), (A211 ; A212 ) É (A221 ; A222 ) ÂÕÄÕÔ ×ÎÕÔÒÉ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× 12 , 21 É 22 (ÒÉÓ. 3). ðÏÓÔÒÏÉÍ ÔÏÞËÉ Ai1 i2 3 (1 6 i1 ; i2 6 2) ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ Ai1 i2 1 Ai1 i2 2 Ai1 i2 3 ÂÙÌÉ ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÙÍÉ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÍÉ. äÁÌÅÅ ÓÔÒÏÉÍ ÔÏÞËÉ Ai1 33 (1 6 i1 6 2) ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ Ai1 13 Ai1 23 Ai1 33 ÂÙÌÉ ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÙÍÉ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÍÉ. îÁËÏÎÅ , ÎÁÈÏÄÉÍ ÔÏÞËÕ A333 , ÞÔÏÂÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË A133 A233 A333 ÂÙÌ ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÙÍ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÍ. ðÏÌÕÞÉ×ÛÁÑÓÑ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÑ ÉÚ 15 ÔÏÞÅË Ai1 i2 i3 ÓÏÄÅÒÖÉÔ 8 ÔÏÞÅË, ÉÎÄÅËÓÙ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÎÙ 1 ÉÌÉ 2 (ÉÈ ÍÙ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÏÓÎÏ×ÎÙÍÉ ), É 7 ÔÏÞÅË, ÉÍÅÀÝÉÈ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÉÎ ÉÎÄÅËÓ, ÒÁ×ÎÙÊ 3 (Á ÉÈ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÄÏÂÁ×ÏÞÎÙÍÉ ). ÷ÓÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÅ. åÓÌÉ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÁ ÉÚ ÄÏÂÁ×ÏÞÎÙÈ ÔÏÞÅË ÔÏÇÏ ÖÅ ×ÅÔÁ, ÔÏ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ÌÅÇËÏ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ. ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÎÉÈ ÏËÒÁÛÅÎÁ × ÏÄÉÎ ÉÚ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ Ä×ÕÈ ×ÅÔÏ×, ÒÉ ÜÔÏÍ Ë ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ ÉÚ ÄÏÂÁ×ÏÞÎÙÈ ÔÏÞÅË ÍÏÖÎÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ÉÚ . 2. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÎÁÒÁÝÉ×ÁÑ ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÕÀ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÀ, ÍÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÊ ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÙÊ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÉ ÒÁÓËÒÁÓËÅ ÒÅÛÅÔËÉ × ÌÀÂÏÅ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ×ÅÔÏ×. íÙ ÂÕÄÅÍ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÜÔÏÔ ÆÁËÔ × . 4, ÈÏÔÑ ÓÔÒÏÇÏÅ ÅÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÔÌÏÖÉÍ ÄÏ ÏÂÝÅÇÏ ÓÌÕÞÁÑ.

156

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

A333

A34 A33 A31 A32

A14 A13

A24 A23

A11 A12

A21 A22

òÉÓ. 4.

4. ÷ ÒÁÓËÒÁÛÅÎÎÏÊ × Ä×Á ×ÅÔÁ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÒÅÛÅÔËÅ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÊ Ë×ÁÄÒÁÔ.

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÏ×ÕÀ ÒÁÓËÒÁÓËÕ ÒÅÛÅÔËÉ, ÏÌÕÞÁÅÍÕÀ ÉÚ ÄÁÎÎÏÊ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ã×ÅÔ ÔÏÞËÉ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ×ÅÔÏÍ Ë×ÁÄÒÁÔÁ 11 × 11 Ó ÌÅ×ÙÍ ÎÉÖÎÉÍ ÕÇÌÏÍ × ÎÅÊ. ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅÔÏ× ÔÁËÏÊ ÒÁÓËÒÁÓËÉ ÒÁ×ÎÏ 2121 . îÁÊÄÅÔÓÑ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÊ (× ÓÍÙÓÌÅ ÜÔÏÊ ÒÁÓËÒÁÓËÉ) ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÙÊ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË. üÔÏ ÚÎÁÞÉÔ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÔÒÉ ÒÁ×ÎÙÈ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÏËÒÁÛÅÎÎÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÁ 11 × 11, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÈ × ×ÉÄÅ ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÏÇÏ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. ÷ ÌÀÂÏÍ ÉÚ ÎÉÈ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ . 2, ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÊ ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÙÊ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË. ÷ÙÂÅÒÅÍ ÔÁËÏÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË × ÏÄÎÏÍ ÉÚ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×, × ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÅÍÕ ÒÉ ÎÁÌÏÖÅÎÉÉ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×. íÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÔÒÉ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÈ (ÂÅÌÙÈ) ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÙÈ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ A11 A12 A13 , A21 A22 A23 É A31 A32 A33 (ÒÉÓ. 4). äÏÏÌÎÉÍ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÎÉÈ ÄÏ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÔÏÞËÁÍÉ A14 , A24 É A34 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. åÓÌÉ ÏÄÎÁ ÉÚ ÜÔÉÈ ÔÏÞÅË ÂÅÌÁÑ, ÔÏ ÉÓËÏÍÙÊ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÊ Ë×ÁÄÒÁÔ ÎÁÊÄÅÎ. åÓÌÉ ÖÅ ×ÓÅ ÏÎÉ ÞÅÒÎÙÅ, ÔÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÏÞËÕ A44 , ÄÏÏÌÎÑÀÝÕÀ ÄÏ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË A14 A24 A34 . åÓÌÉ ÜÔÁ ÔÏÞËÁ ÞÅÒÎÁÑ, ÔÏ ÉÓËÏÍÙÍ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÍ Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ ÂÕÄÅÔ A14 A24 A34 A44 , Á ÅÓÌÉ ÂÅÌÁÑ | ÔÏ A11 A22 A33 A44 . äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ

ðÅÒÅÊÄÅÍ Ë ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ, ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÎÁ Ó. 152. âÕÄÅÍ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÉÎÄÕË ÉÀ Ï ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ÔÏÞÅË ÆÉÇÕÒÙ M , ËÏÔÏÒÏÅ ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ n.

ïÂÏÂÝÅÎÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÷ÁÎ ÄÅÒ ÷ÁÒÄÅÎÁ

157

âÁÚÁ ÉÎÄÕË ÉÉ (n = 2) ÏÞÅ×ÉÄÎÁ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÕÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï M ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ Ä×ÕÈ ÔÏÞÅË. îÁ ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÊ ÉÈ ÒÑÍÏÊ ÏÔÌÏÖÉÍ k + 1 ÔÏÞËÕ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÓÏÓÅÄÎÉÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ ÂÙÌÉ ÒÁ×ÎÙ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÀ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÁÍÉ ÆÉÇÕÒÙ M . óÏÇÌÁÓÎÏ ÒÉÎ ÉÕ äÉÒÉÈÌÅ, ÓÒÅÄÉ ÜÔÉÈ ÔÏÞÅË ÎÁÊÄÕÔÓÑ Ä×Å ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÅ. ïÎÉ É ÂÕÄÕÔ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÔØ ÆÉÇÕÒÕ, ÇÏÍÏÔÅÔÉÞÎÕÀ M . úÎÁÞÉÔ, ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÉÚ k +1 ÔÏÞËÉ É ÂÕÄÅÔ ÍÏÎÏÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÎÁËÒÙ×ÁÀÝÅÊ ÒÁÎÇÁ k. ûÁÇ ÉÎÄÕË ÉÉ. ðÕÓÔØ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ k É ÆÉÇÕÒÕ M = = {M1 ; M2 ; : : : ; Mn+1 }, ÓÏÄÅÒÖÁÝÕÀ n + 1 ÔÏÞËÕ. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ × L ÔÏÞËÕ O, ËÏÔÏÒÕÀ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ−−ÎÁÞÁÌÏÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. òÁÄÉÕÓ-×ÅËÔÏÒÙ ÔÏÞÅË → ÆÉÇÕÒÙ M ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ~vi = OMi . óÏÇÌÁÓÎÏ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ, ÄÌÑ ÆÉÇÕÒÙ M ′ = {M1 ; M2 ; : : : ; Mn }, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ n ÔÏÞÅË, ÍÏÎÏÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÎÁËÒÙ×ÁÀÝÁÑ ÌÀÂÏÇÏ ÒÁÎÇÁ (Á ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÒÁÎÇÁ k) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. ðÒÉ ÎÁÌÉÞÉÉ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÌÀÂÁÑ ËÏÎÅÞÎÁÑ ÆÉÇÕÒÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÄÁÎÁ ÎÁÂÏÒÏÍ ×ÅËÔÏÒÏ×, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÒÁÄÉÕÓ-×ÅËÔÏÒÏ× ÅÅ ÔÏÞÅË. âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÆÉÇÕÒÕ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ó ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÎÁÞÁÌÏÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÛÁÂÌÏÎÏÍ . ûÁÂÌÏÎ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ €ÒÉÌÏÖÅ΁ Ë ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ. üÔÁ ÏÅÒÁ ÉÑ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÅÇÏ ÓÄ×ÉÇ ÎÁ ×ÅËÔÏÒ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÊ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ Ó ÔÏÞËÏÊ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ. ÷ÓÑËÉÊ ÛÁÂÌÏÎ ÉÚ n ÔÏÞÅË × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, ÒÁÓËÒÁÛÅÎÎÏÍ × k ×ÅÔÏ×, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÒÏÖÄÁÅÔ ÎÏ×ÕÀ ÒÁÓËÒÁÓËÕ × kn ×ÅÔÏ×. ã×ÅÔ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÉ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÎÁÂÏÒÏÍ ×ÅÔÏ× (× ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÒÁÓËÒÁÓËÅ) ÒÉÌÏÖÅÎÎÏÇÏ Ë ÎÅÊ ÛÁÂÌÏÎÁ. ÷ÙÂÅÒÅÍ × L ËÏÎÅÞÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÛÁÂÌÏÎÏ× (j ) (j = 0, 1, . . . , k) ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ûÁÂÌÏÎ (0) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÍ (ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÉ | ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ). ðÒÉ j > 1 ÛÁÂÌÏÎ (j ) ÓÔÒÏÉÍ (ÉÓÏÌØÚÕÑ ÕÖÅ ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÊ ÛÁÂÌÏÎ (j −1) ) ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. óÎÁÞÁÌÁ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÆÉÇÕÒÕ ′′(j ) ËÁË ÍÏÎÏÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÕÀ ÎÁËÒÙ×ÁÀÝÕÀ ÒÁÎÇÁ k|(j−1) | ÆÉÇÕÒÙ M ′ (ÚÎÁË ÍÏÄÕÌÑ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË, ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀS ′ ( j ) ÝÉÈ ÆÉÇÕÒÕ). úÁÔÅÍ ÏÓÔÒÏÉÍ ÆÉÇÕÒÕ  = (Aj −1) | ÏÂßÅÄÉÎÅA∈′′(j ) ÎÉÅ ÛÁÂÌÏÎÏ× (j −1) , ÒÉÌÏÖÅÎÎÙÈ ËÏ ×ÓÅÍ ÔÏÞËÁÍ ÆÉÇÕÒÙ ′′(j ) . îÁËÏÎÅ ÒÁÓÛÉÒÉÍ ′(j ) ÄÏ (j ) ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÇÏÍÏÔÅÔÉÞÎÏÇÏ ÏÂÒÁÚÁ {A1 ; A2 ; : : : ; An+1 } ÍÎÏÖÅÓÔ×Á M , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ {A1 ; A2 ; : : : ; An } ⊂ ′(j ) , ÂÙÌÏ ×ÙÏÌÎÅÎÏ An+1 ∈ (j ) . äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ (k) É ÂÕÄÅÔ ÍÏÎÏÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÎÁËÒÙ×ÁÀÝÅÊ ÒÁÎÇÁ k ÆÉÇÕÒÙ M . äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÏÓÔÒÏÉÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÆÉÇÕÒ Cj (j = 0, 1, . . . , k), ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÎÁÚÏ×ÅÍ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÑÍÉ . ëÁÖÄÁÑ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÑ Cj ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÏÞÅË Ai1 i2 :::ij (ÉÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÔÏÞËÉ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ Cj ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÂÕË×ÏÊ A Ó j ÉÎÄÅËÓÁÍÉ). éÎÄÅËÓÙ ÉÚÍÅÎÑÀÔÓÑ ÏÔ 1 ÄÏ n + 1, ÎÏ ÓÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅÍ, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÙ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ ÍÁÖÏÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ : ÅÓÌÉ ËÁËÏÊ-ÌÉÂÏ ÉÎÄÅËÓ ÒÁ×ÅÎ n + 1, ÔÏ É ×ÓÅ ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÅ

158

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

ÔÁËÖÅ ÒÁ×ÎÙ n + 1. ÏÞËÉ, ×ÓÅ ÉÎÄÅËÓÙ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÔ n, ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÓÎÏ×ÎÙÍÉ , Á ÉÍÅÀÝÉÅ ÉÎÄÅËÓ ÒÁ×ÎÙÊ n + 1 | ÄÏÂÁ×ÏÞÎÙÍÉ . ðÒÉ ÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÄÏÂÉ×ÁÔØÓÑ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÉÚÏÔÒÏÎÏÓÔÉ : ÞÔÏÂÙ ÛÁÂÌÏÎ (k−j ) ÂÙÌ ÏËÒÁÛÅÎ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï, ÂÕÄÕÞÉ ÒÉÌÏÖÅÎÎÙÍ ËÏ ×ÓÅÍ ÏÓÎÏ×ÎÙÍ ÔÏÞËÁÍ ÆÉÇÕÒÙ Cj . ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÂÕÄÅÍ ÏÑÔØ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÔØ Ï ÉÎÄÕË ÉÉ. ëÏÎÓÔÒÕË ÉÑ C0 ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÉ A (ÂÅÚ ÉÎÄÅËÓÏ×). õÓÌÏ×ÉÅ ÉÚÏÔÒÏÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÏÄÎÏÔÏÞÅÞÎÏÊ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ. âÅÚ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÔÏÞËÁ A ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÎÁÞÁÌÏÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ O. ïÉÛÅÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ Cj × ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ, ÞÔÏ Cj−1 ÕÖÅ ÏÓÔÒÏÅÎÁ. ë ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ Cj−1 ÒÉÌÏÖÉÍ ÛÁÂÌÏÎ (k−j +1) . äÌÑ ×ÓÅÈ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÔÏÞÅË ÜÔÉ ÛÁÂÌÏÎÙ ÏËÒÁÛÅÎÙ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï, ÏÓËÏÌØËÕ Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÉÚÏÔÒÏÎÏÓÔÉ ÄÌÑ Cj−1 ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ. óÕÚÉÍ ÏÄÉÎ ÉÚ ÜÔÉÈ ÛÁÂÌÏÎÏ× (ÒÉÌÏÖÅÎÎÙÊ Ë ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ×ÙÂÒÁÎÎÏÊ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÏÞËÅ T ) ÄÏ ÛÁÂÌÏÎÁ ′(k−j +1), Á × Î£Í ÎÁÊÄÅÍ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÕÀ Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÒÁÓËÒÁÓËÉ, ÏÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ÛÁÂÌÏÎÏÍ (k−j ) (ÜÔÏ ÏÂÅÓÅÞÉÔ ÉÚÏÔÒÏÎÏÓÔØ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÛÁÇÅ), ÇÏÍÏÔÅÔÉÞÎÕÀ M ′ ÆÉÇÕÒÕ. úÁÔÅÍ ÏÌÕÞÉ×ÛÕÀÓÑ ÆÉÇÕÒÕ ÄÏÏÌÎÉÍ ÄÏ ÆÉÇÕÒÙ, ÇÏÍÏÔÅÔÉÞÎÏÊ M , ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÅÊ ÉÓÈÏÄÎÏÍÕ ÎÅÓÕÖÅÎÎÏÍÕ ÛÁÂÌÏÎÕ (k−j +1) . ÷ÅËÔÏÒ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÊ ÔÏÞËÕ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÛÁÂÌÏÎÁ Ó ÅÎÔÒÏÍ ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ, ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ uj , Á ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ j . ðÅÒÅÎÅÓÅÍ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏ ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÆÉÇÕÒÕ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÓÄ×ÉÇÁÍÉ, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÍÉ ×ÙÂÒÁÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ T ×Ï ×ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÔÏÞËÉ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ Cj−1 (× ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ É ÄÏÂÁ×ÏÞÎÙÅ). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÁÖÄÁÑ ÔÏÞËÁ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ Cj −1 ÏÒÏÄÉÔ n + 1 ÄÏÞÅÒÎÀÀ ÔÏÞËÕ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÉÈ, ÒÉÉÓÙ×ÁÑ Ë ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÀ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÍÁÔÅÒÉÎÓËÏÊ ÔÏÞËÉ ÏÞÅÒÅÄÎÏÊ j -Ê ÉÎÄÅËÓ, ÉÚÍÅÎÑÀÝÉÊÓÑ ÏÔ 1 ÄÏ n + 1. ÏÇÄÁ ×ÅËÔÏÒÙ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÅ ÔÏÞËÉ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ Cj −1 Ó ÄÏÞÅÒÎÉÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ, ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ −−−−−−−−−−−−−−−→ Ai1 i2:::ij−1 Ai1 i2 :::ij−1 ij = ~uj + j~vij ; ÏÔËÕÄÁ ÌÅÇËÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÒÁÄÉÕÓ-×ÅËÔÏÒÁ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ: −−−−−−→ OAi1i2 :::ij = (~u1 + ~u2 + · · · + ~uj ) + 1~vi1 + 2~vi2 + · · · + j~vij : (1) îÁËÏÎÅ , ÉÚ ×ÓÅÈ ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÔÏÞÅË Ai1 i2 :::ij ÓÏÔÒÅÍ ÔÅ, ÞÅÊ ÎÁÂÏÒ ÉÎÄÅËÓÏ× ÎÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÍÁÖÏÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÉÓËÏÍÕÀ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÀ Cj . îÁÍ ÏÎÁÄÏÂÑÔÓÑ ÔÒÉ ×ÓÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÙÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ. ìÅÍÍÁ 1. ÏÞËÁ Ai1 i2 :::ik ÒÉ ÌÀÂÏÍ j ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÛÁÂÌÏÎÕ (j ) , ÒÉÌÏÖÅÎÎÏÍÕ Ë ÔÏÞËÅ Ai1 i2 :::ik−j . ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ (j = k), ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ Ck ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ (k) .

ïÂÏÂÝÅÎÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÷ÁÎ ÄÅÒ ÷ÁÒÄÅÎÁ

159

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÒÉÍÅÎÉÍ ÉÎÄÕË ÉÀ Ï j . âÁÚÁ (j = 0) ÏÞÅ×ÉÄÎÁ: ÌÀÂÁÑ ÔÏÞËÁ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÒÉÌÏÖÅÎÎÏÍÕ Ë ÎÅÊ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÍÕ ÛÁÂÌÏÎÕ. ûÁÇ ÉÎÄÕË ÉÉ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÛÁÂÌÏÎ (j ) , ÒÉÌÏÖÅÎÎÙÊ Ë ÔÏÞËÅ Ai1 i2:::ik−j ÓÏÄÅÒÖÉÔ × ÓÅÂÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÆÉÇÕÒ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÒÉÌÏÖÅÎÉÅÍ ÛÁÂÌÏÎÁ (j −1) Ë ÎÅÓËÏÌØËÉÍ ÔÏÞËÁÍ, × ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ É Ë Ai1 i2 :::ik−j+1 . ìÅÍÍÁ 2. ðÕÓÔØ ÓÒÅÄÉ ÔÏÞÅË Ai1 i2 :::ik ×ÙÂÒÁÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÉÚ n + 1 ÔÏÞËÉ ÔÁË, ÞÔÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÎÄÅËÓÁ ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÏÄÎÏ ÉÚ Ä×ÕÈ : ÌÉÂÏ ÏÎ ÏÄÉÎÁËÏ× ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÌÉÂÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÉ ÏÎ ÒÁ×ÅÎ ÅÅ ÎÏÍÅÒÕ. ÏÇÄÁ ×ÙÂÒÁÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÇÏÍÏÔÅÔÉÞÎÏ M .

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ×ÙÂÒÁÎÎÙÅ ÔÏÞËÉ F1 , F2 , . . . , Fn+1 . ðÕÓÔØ ÉÎÄÅËÓÙ (× ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ×ÔÏÒÏÊ ÉÚ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ × ÕÓÌÏ×ÉÉ ÓÌÕÞÁÅ×, ÉÍÅÀÔ ÎÏÍÅÒÁ j1 , j2 , . . . , jr . ÏÇÄÁ ÉÚ ÆÏÒÍÕÌÙ (1) ÓÌÅÄÕÅÔ r −−→ −−→ −−→ X FsFt = OFt − OFs = ji (~vt − ~vs) = i=1

r X i=1

!

− → ji − M−−sM t:

á ÜÔÏ É ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ×ÙÂÒÁÎÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÆÉÇÕÒÕ, ÇÏÍÏÔÅÔÉÞr P ÎÕÀ M Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ ji . i=1 ìÅÍÍÁ 3. éÚÍÅÎÅÎÉÅ ÎÅ ÒÁ×ÎÏÇÏ n +1 ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÌÀÂÏÇÏ ÉÎÄÅËÓÁ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ ÎÁ ÄÒÕÇÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ÔÁËÖÅ ÎÅ ÒÁ×ÎÏÅ n + 1, ÎÅ ÍÅÎÑÅÔ ÅÅ ×ÅÔÁ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÏÞËÉ Ai1 :::i′j :::ik É Ai1 :::i′′j :::ik , ÏÔÌÉÞÁÀÝÉÅÓÑ ÌÉÛØ × j -Í ÉÎÄÅËÓÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ ÛÁÂÌÏÎÁ (k−j ), ÒÉÌÏÖÅÎÎÏÇÏ Ë ÔÏÞËÁÍ Ai1 :::i′j É Ai1 :::i′′j . îÏ Ï ÕÓÌÏ×ÉÀ ÉÚÏÔÒÏÎÏÓÔÉ ÜÔÉ ÛÁÂÌÏÎÙ ÒÁÓËÒÁÛÅÎÙ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï, ÚÎÁÞÉÔ É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÉÈ ÔÏÞËÉ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙ. ðÅÒÅÊÄÅÍ Ë ÚÁ×ÅÒÛÅÎÉÀ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÌÅÍÍÅ 1, ÛÁÂÌÏÎ (k) ÓÏÄÅÒÖÉÔ × ÓÅÂÅ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÀ Ck . éÚ ÌÅÍÍÙ 3 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÜÔÏÊ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ ÏËÒÁÛÅÎÙ × ÏÄÉÎ ×ÅÔ. îÁÚÏ×ÅÍ ÜÔÏÔ ×ÅÔ ÅÒ×ÙÍ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÄÏÂÁ×ÏÞÎÕÀ ÔÏÞËÕ Ai1 i2:::ik . ÷×ÅÄÅÍ ÄÌÑ ÎÅÅ ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÏÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ Fn+1 , É ÏÓÔÒÏÉÍ n ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÔÏÞÅË Fs (s = 1; 2; : : : ; n), ÏÌÕÞÁÅÍÙÈ ÉÚ Fn+1 ÚÁÍÅÎÏÊ × ÉÎÄÅËÓÁÈ ÅÅ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ Ai1 i2 :::ik ×ÓÅÈ ÞÉÓÅÌ n + 1 ÎÁ s. ðÏ ÌÅÍÍÅ 2, ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË F = {F1 ; F2 ; : : : ; Fn+1 } ÇÏÍÏÔÅÔÉÞÎÏ M . úÎÁÞÉÔ, ÅÓÌÉ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÁ ÄÏÂÁ×ÏÞÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÏËÒÁÛÅÎÁ × ÅÒ×ÙÊ ×ÅÔ, ÔÏ ÉÓËÏÍÏÅ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÁÊÄÅÎÏ. ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÁËÉÈ ÄÏÂÁ×ÏÞÎÙÈ ÔÏÞÅË, Õ ËÏÔÏÒÙÈ ÔÏÌØËÏ ÏÓÌÅÄÎÉÊ ÉÎÄÅËÓ ÒÁ×ÅÎ n + 1. ïÑÔØ ÖÅ, Ï ÌÅÍÍÅ 3 ÏÎÉ ×ÓÅ ÏËÒÁÛÅÎÙ × ÏÄÉÎ ×ÅÔ;

160

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

ÎÁÚÏ×ÅÍ ÅÇÏ ×ÔÏÒÙÍ. òÁÓÓÕÖÄÁÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ×Ï ×ÔÏÒÏÊ ×ÅÔ ÏËÒÁÛÅÎÁ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÁ ÉÚ ÔÏÞÅË, Õ ËÏÔÏÒÏÊ ÞÉÓÌÕ n + 1 ÒÁ×ÎÙ Ä×Á ÏÓÌÅÄÎÉÈ ÉÎÄÅËÓÁ, ÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÄÏËÁÚÁÎÏ. ðÒÏÄÏÌÖÁÑ ÜÔÉ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ (ÓÔÒÏÇÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÒÉÍÅÎÑÑ ÉÎÄÕË ÉÀ), ÍÙ ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ×Ù×ÏÄÕ, ÞÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÅÓÌÉ ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ s 6 k × ÏÄÉÎ ÉÚ ÅÒ×ÙÈ s ×ÅÔÏ× (ÏÒÑÄÏË ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÅÔÏ× ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÒÉ ÜÔÏÍ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ) ÏËÒÁÛÅÎÁ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÁ ÔÏÞËÁ, Õ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÓÌÅÄÎÉÅ s ÉÎÄÅËÓÏ× ÒÁ×ÎÙ n + 1. ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÖÅ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÉ s = k, ÏÓËÏÌØËÕ ÔÏÞËÁ An+1;n+1;:::;n+1 ÏËÒÁÛÅÎÁ × ÏÄÉÎ ÉÚ ÄÁÎÎÙÈ k ×ÅÔÏ×. á×ÔÏÒ ÂÌÁÇÏÄÁÒÉÔ ÷. A. ëÌÅ ÙÎÁ É í. î. ÷ÑÌÏÇÏ ÚÁ ÏÌÅÚÎÙÅ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÑ. õÒÁÖÎÅÎÉÑ

1. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÔÅÏÒÅÍÁ ÷ÁÎ ÄÅÒ ÷ÁÒÄÅÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÁÓÔÎÙÍ ÓÌÕÞÁÅÍ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ. 2. íÏÖÎÏ ÌÉ ÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÔÅÏÒÅÍÙ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÂÁÚÙ ÉÎÄÕË ÉÉ ×ÚÑÔØ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÏÊ ÓÌÕÞÁÊ n = 1? 3. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÔÏÞÅË Ai1 i2 :::ik ÉÚ ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÏÊ × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ ÍÏÇÕÔ ÓÏ×ÁÄÁÔØ. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÓÔÁÅÔÓÑ × ÓÉÌÅ. 4. ÷ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ, ÞÔÏ ÔÅÏÒÅÍÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÑ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÒÅÛÅÔËÉ, ÒÉ×ÅÄÉÔÅ ËÏÒÏÔËÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ, ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÝÅÅ ÅÅ × ÏÌÎÏÊ ÏÂÝÎÏÓÔÉ. õËÁÚÁÎÉÅ : ÒÅÛÅÔËÁ ÂÏÌØÛÅÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÌÏÖÅÎÁ (ÎÁÒÉÍÅÒ, Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÏÅ ÉÒÏ×ÁÎÉÑ) × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÍÅÎØÛÅÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ.

[1℄ [2℄ [3℄ [4℄

óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ ò. çÒÜÈÅÍ. îÁÞÁÌÁ ÔÅÏÒÉÉ òÁÍÓÅÑ. í. íÉÒ. 1984. ÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×. òÁÓÓËÁÚÙ Ï ÞÉÓÌÁÈ, ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÈ É ÆÉÇÕÒÁÈ. í. æÁÚÉÓ. 1997. á. ñ. èÉÎÞÉÎ. ÒÉ ÖÅÍÞÕÖÉÎÙ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ. í. îÁÕËÁ. 1979. P. G. Anderson. A generalizatoion of Baudet's onje ture (Van der Waerden theorem). Amer. Math. Monthly, 1976, 83, 359{361.

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ, íÏÓËÏ×ÓËÉÊ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ E-mail: bugaenkom

me.ru

161

õÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÆÉÇÕÒÙ á. í. ðÅÔÒÕÎÉÎ, ó. å. òÕËÛÉÎ

÷ ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÅ ÍÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÓÔÉ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÙÕËÌÙÈ ÌÏÓËÉÈ ÆÉÇÕÒ. ðÅÒ×ÙÍ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ × ÜÔÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ ÂÙÌÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï æ. âÏÊÑÉ É ð. çÅÒ×ÉÎÏÍ (1832) ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ: Ä×Á ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÉÍÅÀÝÉÅ ÒÁ×ÎÙÅ ÌÏÝÁÄÉ, ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÙ (Ô. Å. ÏÄÉÎ ÉÚ ÎÉÈ ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÒÅÚÁÔØ ÎÁ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÙÈ ÞÁÓÔÅÊ, ÅÒÅÌÏÖÉ× ËÏÔÏÒÙÅ, ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÄÒÕÇÏÊ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË ). ó ÒÏÂÌÅÍÏÊ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÓÔÉ ÔÒÅÈÍÅÒÎÙÈ ÔÅÌ Ó×ÑÚÁÎÁ ÚÎÁÍÅÎÉÔÁÑ ÔÒÅÔØÑ ÒÏÂÌÅÍÁ çÉÌØÂÅÒÔÁ [1℄. ëÁË ÏËÁÚÁÌ × 1900 Ç. íÁËÓ äÅÎ, ÄÁÖÅ ÄÌÑ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏ× ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÏÂßÅÍÏ× ÎÅ ×ÌÅÞÅÔ ÉÈ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÓÔÉ. ÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÔÅÏÒÅÍÁ âÏÊÑÉ { çÅÒ×ÉÎÁ É ÄÒÕÇÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ Ó ÔÒÅÔØÅÊ ÒÏÂÌÅÍÏÊ çÉÌØÂÅÒÔÁ, ÏÂÏÂÝÁÌÉÓØ × ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑÈ [1℄. ÁË, × ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÆÏÌØËÌÏÒÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ: ËÒÕÇ ÎÅ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎ ÎÉËÁËÏÍÕ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÕ. ÷ ÒÏ ÅÓÓÅ ÏÂÏÂÝÅÎÉÑ ÔÅÏÒÅÍÙ âÏÊÑÉ { çÅÒ×ÉÎÁ ÎÁ ÓÌÕÞÁÊ ËÒÕÇÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏ× [7℄, ÇÒÁÎÉ Á ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÏÔÒÅÚËÏ× É ÄÕÇ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ, ÕÄÁÌÏÓØ ÕÓÉÌÉÔØ ÜÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ÄÏËÁÚÁ×, ÞÔÏ ËÒÕÇ ÎÅ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎ ÎÉËÁËÏÊ ×ÙÕËÌÏÊ ÆÉÇÕÒÅ, ÏÔÌÉÞÎÏÊ ÏÔ ËÒÕÇÁ . ÁËÉÅ ×ÙÕËÌÙÅ ÆÉÇÕÒÙ, ÎÅ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÎÉËÁËÏÊ ÄÒÕÇÏÊ ×ÙÕËÌÏÊ ÆÉÇÕÒÅ, ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÕÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÍÉ. ÷ ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÅ ÍÙ ÄÁÄÉÍ ÏÌÎÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ÔÁËÉÈ ÆÉÇÕÒ. üÔÉ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÂÙÌÉ ÏÌÕÞÅÎÙ ÎÁÍÉ ÏÞÔÉ 20 ÌÅÔ ÎÁÚÁÄ [6℄. úÎÁËÏÍÓÔ×Ï Ó ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÊ ÒÁÂÏÔÏÊ [12℄ ÏÚ×ÏÌÉÌÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÕÒÏÓÔÉÔØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÌÑ ÏÎÉÍÁÎÉÑ ÂÏÌØÛÅÊ ÞÁÓÔÉ ÓÔÁÔØÉ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÚÎÁÎÉÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ âÏÊÑÉ { çÅÒ×ÉÎÁ, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ, ÎÁÒÉÍÅÒ, × ËÎÉÖËÁÈ âÏÌÔÑÎÓËÏÇÏ [1℄ ÉÌÉ [2℄. äÌÑ ÕÒÏÝÅÎÉÑ ×ÏÓÒÉÑÔÉÑ ÍÙ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÔÅÏÒÅÍ, ËÁÖÄÁÑ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÂÏÂÝÁÅÔ ÒÅÄÙÄÕÝÕÀ. 1. ïÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ É ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ F ÂÕÄÅÔ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÌÏÓËÕÀ É ÞÁÝÅ ×ÓÅÇÏ ×ÙÕËÌÕÀ ÆÉÇÕÒÕ, S (F ) ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÌÏÝÁÄØ F , F ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ËÒÉ×ÕÀ, ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÀÝÕÀ F . ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. ä×Å ÌÏÓËÉÈ ÆÉÇÕÒÙ F É G ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÍÉ (ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ F ∼ G), ÅÓÌÉ ÏÄÎÕ ÉÚ ÎÉÈ ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÒÅÚÁÔØ ÏÔÒÅÚËÁÍÉ ÒÑÍÏÊ ÎÁ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÞÁÓÔÅÊ É ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÉÚ ÜÔÉÈ ÞÁÓÔÅÊ ÄÒÕÇÕÀ.

162

á. í. ðÅÔÒÕÎÉÎ, ó. å. òÕËÛÉÎ

íÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ É ÄÒÕÇÉÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÓÔÉ. ÷ÍÅÓÔÏ ÒÁÚÒÅÚÏ× Ï ÏÔÒÅÚËÁÍ ÒÑÍÏÊ ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÒÅÛÉÔØ ÒÁÚÒÅÚÙ ×ÄÏÌØ ÓÒÑÍÌÑÅÍÙÈ ÖÏÒÄÁÎÏ×ÙÈ ËÒÉ×ÙÈ, ÉÌÉ ×ÏÏÂÝÅ ×ÄÏÌØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÖÏÒÄÁÎÏ×ÙÈ ËÒÉ×ÙÈ. ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÜÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÄÁÀÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ ÆÉÇÕÒ. îÏ, ËÁË ÂÙÌÏ ÄÏËÁÚÁÎÏ × [12℄, ÄÌÑ ×ÙÕËÌÙÈ ÆÉÇÕÒ ÜÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÙ, Ô. Å. ÅÓÌÉ Ä×Å ×ÙÕËÌÙÅ ÆÉÇÕÒÙ €ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎف Ï ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ ÎÏ×ÙÈ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÊ, ÔÏ ÏÎÉ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÙ É × ÓÍÙÓÌÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ 1. òÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏÓÔØ ÜÔÉÈ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÇÌÕÂÏËÉÍ ÆÁËÔÏÍ, É ÉÍÅÎÎÏ ÏÎÁ ÏÚ×ÏÌÉÌÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÕÒÏÓÔÉÔØ ÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÙÅ Á×ÔÏÒÓËÉÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á: ÕÄÁÌÏÓØ ÏÔËÁÚÁÔØÓÑ ÏÔ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÏÄÒÏÂÎÏÓÔÅÊ É ÏÓÔÁ×ÉÔØ ÔÏÌØËÏ ÎÁÇÌÑÄÎÙÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ, ÉÚÌÏÖÅÎÎÙÅ × ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÓÔÁÔØÅ. ë ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÉÎÙÍ ÜÆÆÅËÔÁÍ ÒÉ×ÏÄÉÔ ÔÅÏÒÅÔÉËÏ-ÍÎÏÖÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÓÔÉ. îÁÚÏ×ÅÍ ÒÁ×ÎÏÒÁÚÌÏÖÉÍÙÍÉ Ä×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÔÏÞÅË X É Y , ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ X ÎÁ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A1 ; A2 ; : : : ; An É Y ÎÁ B1 ; B2 ; : : : ; Bn ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Bi ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÉÚ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ Ai ÏÄÈÏÄÑÝÉÍÉ Ä×ÉÖÅÎÉÑÍÉ fi : Bi = f (Ai). úÎÁÍÅÎÉÔÙÊ ÁÒÁÄÏËÓ âÁÎÁÈÁ { ÁÒÓËÏÇÏ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÛÁÒ × R3 ÒÁ×ÎÏÒÁÚÌÏÖÉÍ Ó ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÛÁÒÏ× ÔÏÇÏ ÖÅ ÒÁÄÉÕÓÁ (ÓÍ. [11℄). ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ×ÏÏÂÝÅ ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á × R3 , ÉÍÅÀÝÉÅ ÎÅÕÓÔÕÀ ×ÎÕÔÒÅÎÎÏÓÔØ, ÒÁ×ÎÏÒÁÚÌÏÖÉÍÙ. ïÔÓÙÌÁÅÍ ÚÁÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÞÉÔÁÔÅÌÑ Ë ËÎÉÇÅ [10℄. ÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÏÉÓÁÎÉÉ ÕÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ ÆÉÇÕÒ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÎÉÍÁÔØ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÓÔØ ÉÓËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ × ÓÍÙÓÌÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ 1. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2. ÷ÙÕËÌÁÑ ÆÉÇÕÒÁ F ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ , ÅÓÌÉ ÌÀÂÁÑ ×ÙÕËÌÁÑ ÆÉÇÕÒÁ, ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÁÑ F , Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎÇÒÕÜÎÔÎÏÊ F . ëÁË ÍÙ ÕÖÅ ÕÏÍÉÎÁÌÉ, Ë ÕÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÍ ÆÉÇÕÒÁÍ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ ËÒÕÇ. ÷ [12℄ ÄÏËÁÚÁÎÁ ÕÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÓÔØ ÜÌÌÉÓÁ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 3. ä×Å ËÒÉ×ÙÅ (ÉÌÉ Ä×Á ÎÁÂÏÒÁ ËÒÉ×ÙÈ)  É ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÍÉ (ÉÌÉ  ∼ ), ÅÓÌÉ ÅÒ×ÕÀ(ÙÊ) ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÄÕÇ É ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÉÚ ÎÉÈ ×ÔÏÒÕÀ(ÏÊ). ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 4. ä×Å ËÒÉ×ÙÅ  É ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÔÁÂÉÌØÎÏ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÍÉ (ÉÌÉ  ≈ ), ÅÓÌÉ ÉÚ ÎÉÈ ÍÏÖÎÏ ÉÓËÌÀÞÉÔØ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÏÔÒÅÚËÏ× ÒÑÍÏÊ ÔÁË, ÞÔÏ ÏÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ Ä×Á ÎÁÂÏÒÁ ËÒÉ×ÙÈ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÙ. óÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÓÔÙÍ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅÍ ÔÅÏÒÅÍÙ âÏÊÑÉ { çÅÒ×ÉÎÁ, ÕÔ×ÅÒÖÄÁÀÝÅÊ, ÞÔÏ ÒÁ×ÎÏ×ÅÌÉËÉÅ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÉ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÙ, (ÓÍ. [1℄ ÉÌÉ [2℄):

õÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÆÉÇÕÒÙ

163

õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 5. ä×Å ×ÙÕËÌÙÅ ÆÉÇÕÒÙ F É G ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÉÈ ÌÏÝÁÄÉ ÒÁ×ÎÙ É ËÒÉ×ÙÅ, ÉÈ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÀÝÉÅ, ÓÔÁÂÉÌØÎÏ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÙ. éÌÉ F ∼ G ⇔ S (F ) = S (G) É F ≈ G: äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ: ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ËÒÉ×ÙÈ, ÏÇÒÁ-

ÎÉÞÉ×ÁÀÝÉÈ ËÕÓËÉ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ, ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÄÕÇ ÅÒ×ÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ÌÀÓ ËÁËÏÅÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï €×ÎÕÔÒÅÎÎÉȁ ÏÔÒÅÚËÏ× ÒÑÍÏÊ, É ÉÚ ÔÅÈ ÖÅ ËÕÓËÏ× ÓÏÓÔÏÉÔ É ×ÔÏÒÁÑ ÆÉÇÕÒÁ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÅÓÌÉ ÉÚ ÇÒÁÎÉ Ù F ×ÙÒÅÚÁÔØ ÏÔÒÅÚËÉ ÒÑÍÏÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ €×ÎÕÔÒÅÎÎÉ́ ÏÔÒÅÚËÁÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ G, É ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÓÔÕÉÔØ Ó ÇÒÁÎÉ ÅÊ G, ÔÏ ÏÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ ËÕÓËÉ ÇÒÁÎÉ ÂÕÄÕÔ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÙ. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏÓÔØ: ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ÇÒÁÎÉ F É G ËÁË × ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÓÔÁÂÉÌØÎÏÊ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÓÔÉ. åÓÌÉ Ë ËÁÖÄÏÊ ÔÁËÏÊ ÄÕÇÅ ÆÉÇÕÒ F É G ÒÏ×ÅÓÔÉ ÈÏÒÄÕ, ÔÏ ÏÂÒÁÚÏ×Á×ÛÉÅÓÑ ÇÏÒÂÕÛËÉ (ÓÅÇÍÅÎÔÙ) ÄÌÑ ÒÁ×ÎÙÈ ÄÕÇ ÒÁ×ÎÙ. ÁË ËÁË S (F ) = S (G), ÔÏ É ÌÏÝÁÄÉ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÒÁ×ÎÙ, Á ÚÎÁÞÉÔ, ÏÎÉ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÙ Ï ÔÅÏÒÅÍÅ âÏÊÑÉ { çÅÒ×ÉÎÁ.  2. õÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÓÔØ ËÒÕÇÁ ÅÏÒÅÍÁ 6. ëÒÕÇ ÕÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎ.

äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÎÁÍ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÌÅÍÍÁ:

ìÅÍÍÁ 7. åÓÌÉ ÇÒÁÎÉ Á ×ÙÕËÌÏÊ ÆÉÇÕÒÙ F ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÏÔÒÅÚËÏ× ÒÑÍÏÊ É ÄÕÇ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÒÁÄÉÕÓÁ R Ó ÏÂÝÅÊ ÕÇÌÏ×ÏÊ ÍÅÒÏÊ 360◦ , ÔÏ ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ R-ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØÀ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, F ÓÏÄÅÒÖÉÔ × ÓÅÂÅ ËÒÕÇ ÒÁÄÉÕÓÁ R.

óÎÁÞÁÌÁ ÍÙ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÔÅÏÒÅÍÁ 6 ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÌÅÍÍÙ: äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ 6. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ K ËÒÕÇ ÒÁÄÉÕÓÁ R. ðÕÓÔØ F ÅÓÔØ ×ÙÕËÌÁÑ ÆÉÇÕÒÁ, ÔÁËÁÑ ÞÔÏ K ∼ F . ÏÇÄÁ ÉÚ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ 5 ÍÙ ÉÍÅÅÍ: S (F ) = S (K ) É ÇÒÁÎÉ Á F ÓÔÁÂÉÌØÎÏ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÒÁÄÉÕÓÁ R. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, F ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÌÅÍÍÅ 7. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, F ÓÏÄÅÒÖÉÔ × ÓÅÂÅ ËÏÉÀ K . ÁË ËÁË S (F ) = S (K ), ÏÌÕÞÁÅÍ K∼  = F. ÷ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÌÅÍÍÙ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÆÁËÔÏÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÄÏËÁÚÁÔØ ÞÉÔÁÔÅÌÀ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ: õÒÁÖÎÅÎÉÅ 8. ðÕÓÔØ A1 A2 : : : An ÅÓÔØ ÚÁÍËÎÕÔÁÑ ÌÏÍÁÎÁÑ, ËÏÔÏÒÁÑ ÒÉ ÏÂÈÏÄÅ Ï ÎÅÊ Ï×ÏÒÁÞÉ×ÁÅÔ ×Ó£ ×ÒÅÍÑ ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ, É ÏÂÝÉÊ ÕÇÏÌ Ï×ÏÒÏÔÁ ÒÁ×ÅÎ 360◦ | ÔÏÇÄÁ ÌÏÍÁÎÁÑ A1 A2 · · · An ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÅÔ ×ÙÕËÌÙÊ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË.

164

á. í. ðÅÔÒÕÎÉÎ, ó. å. òÕËÛÉÎ

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÌÅÍÍÙ 7. ðÕÓÔØ  ÅÓÔØ ×ÙÕËÌÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ÓÔÁÂÉÌØÎÏ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÒÁÄÉÕÓÁ R. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ËÒÉ×ÁÑ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÕÇÌÏ×ÙÈ ÔÏÞÅË. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÒÉ ÏÂÈÏÄÅ ×ÏËÒÕÇ ËÒÉ×ÏÊ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ Ï×ÅÒÎÕÔØ ÎÁ 360◦ , É ÒÏ×ÎÏ ÎÁ ÜÔÏÔ ÖÅ ÕÇÏÌ ÍÙ Ï×ÏÒÁÞÉ×ÁÅÍ, ÒÏÊÄÑ Ï ×ÓÅÍ ÄÕÇÁÍ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ; ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁ ÕÇÌÙ ÎÅ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÍÅÓÔÁ (Ô. Å., ÅÓÌÉ ÂÙ ÉÍÅÌÁÓØ ÅÝÅ É ÕÇÌÏ×ÁÑ ÔÏÞËÁ, ÔÏ ÏÂÝÉÊ ÕÇÏÌ Ï×ÏÒÏÔÁ ÂÙÌ ÂÙ ÂÏÌØÛÅ ÞÅÍ 360◦ , ÞÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÒÉ×ÁÑ  ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÏÏÞÅÒÅÄÎÏ ÓÍÅÎÑÀÝÉÈÓÑ ÄÕÇ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ É ÏÔÒÅÚËÏ× ÒÑÍÙÈ, ÔÁË ÞÔÏ ÏÔÒÅÚËÉ É ÄÕÇÉ ÒÏÄÏÌÖÁÀÔ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÁ × ÔÏÍ ÖÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ (ÓÍ. ÒÉÓ. 1). äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ ÒÑÍÏÊ ×  ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÇÏ òÉÓ. 1. ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÊ ÅÒÅÎÏÓ × ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ ×ÎÕÔÒØ ÆÉÇÕÒÙ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ R. ðÒÉ ÜÔÏÍ ËÏÎ Ù ÏÔÒÅÚËÏ×, ÓÏÓÅÄÎÉÅ ÞÅÒÅÚ ÄÕÇÕ, ÅÒÅÊÄÕÔ × ÏÄÎÕ ÔÏÞËÕ, É ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÚÁÍËÎÕÔÕÀ ÌÏÍÁÎÕÀ ÉÚ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÅÒÅÎÏÓÏ× ×ÓÅÈ ÏÔÒÅÚËÏ× . ú×ÅÎØÑ ÜÔÏÊ ÌÏÍÁÎÏÊ Ï×ÏÒÁÞÉ×ÁÀÔ × ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÓÔÏÒÏÎÕ (ÔÁË ÖÅ ËÁË É ), É, ÔÁË ÖÅ ËÁË Õ , ÏÂÝÉÊ ÕÇÏÌ Ï×ÏÒÏÔÁ ÂÕÄÅÔ 360◦ . ÷ÏÓÏÌØÚÏ×Á×ÛÉÓØ ÕÒÁÖÎÅÎÉÅÍ 8, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÌÏÍÁÎÁÑ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÅÔ ×ÙÕËÌÙÊ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÅÇÏ M , É ÉÚ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÌÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÓÁÍÁ ÆÉÇÕÒÁ F ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ R ÏÔ M . 

3. õÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÓÔØ ÌÉÎÚÙ óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÆÁËÔ ÉÍÅÅÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï: ÅÏÒÅÍÁ 9. ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ËÒÕÇÏ× ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÇÏ ÒÁÄÉÕÓÁ ÅÓÔØ ÕÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÁÑ ÆÉÇÕÒÁ.

äÌÑ ËÒÁÔËÏÓÔÉ, ÄÁ×ÁÊÔÅ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ËÒÕÇÏ× ÒÁÄÉÕÓÁ R ÌÉÎÚÏÊ É ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÅÅ L! , ÇÄÅ ! ÅÓÔØ ÕÇÌÏ×ÁÑ ÍÅÒÁ ÄÕÇ, ÅÅ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÀÝÉÈ (× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, L2 ÅÓÔØ ËÒÕÇ ÒÁÄÉÕÓÁ R). ó ÏÍÏÝØÀ ÔÏÞÎÏ ÔÁËÏÇÏ ÖÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ, ÞÔÏ É × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÔÅÏÒÅÍÙ 6, ÔÅÏÒÅÍÁ 9 Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÌÅÍÍÅ:

ìÅÍÍÁ 10. åÓÌÉ ×ÙÕËÌÁÑ ÆÉÇÕÒÁ F ÉÍÅÅÔ ÇÒÁÎÉ Õ, ÓÔÁÂÉÌØÎÏ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÕÀ ÇÒÁÎÉ Å ÌÉÎÚÙ L! , ÔÏ S (F ) > S (L! ). âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÅÓÌÉ S (F ) = S (L! ), ÔÏ F ∼ = L! .

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÂÕÄÅÔ ÒÏ×ÅÄÅÎÏ × Ä×Á ÛÁÇÁ. óÎÁÞÁÌÁ ÍÙ ÄÏËÁÖÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ, ÂÏÌÅÅ ÓÌÁÂÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, Á ÕÖÅ ÏÔÏÍ ÒÉÓÔÕÉÍ Ë ÏÂÝÅÍÕ ÓÌÕÞÁÀ.

õÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÆÉÇÕÒÙ

165

ìÅÍÍÁ 11. åÓÌÉ ÅÎÔÒÁÌØÎÏ-ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ ×ÙÕËÌÁÑ ÆÉÇÕÒÁ F ÉÍÅÅÔ ÇÒÁÎÉ Õ, ÓÔÁÂÉÌØÎÏ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÕÀ ÇÒÁÎÉ Å ÌÉÎÚÙ L! , ÔÏ S (F ) > S (L! ). âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÅÓÌÉ S (F ) = S (L! ), ÔÏ F ∼ = L! . äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÍÙ ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ Ä×ÕÍÑ ÒÏ ÅÄÕÒÁÍÉ: €×ÙÒÅÚÁÎÉÅÍ ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÁ (ÓÍ. ÒÉÓ. 2) É €ÞÅÔÙÒÅÈÛÁÒÎÉÒÎÙÍ ÍÅÔÏÄḮ (ÓÍ. ÒÉÓ. 3). ðÅÒ×ÙÊ (ÒÉÍÅÎÅÎÎÙÊ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚ) ÚÁÍÅÎÉÔ ÆÉÇÕÒÕ F ÎÁ ÆÉÇÕÒÕ F1 Ó ÔÅÍÉ ÖÅ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ, ÞÔÏ É F , ÎÏ Ó ÍÅÎØÛÅÊ ÌÏÝÁÄØÀ É ÂÅÚ ÏÔÒÅÚËÏ× ÒÑÍÙÈ ÎÁ ÇÒÁÎÉ Å. ÷ÔÏÒÏÊ (ÔÁËÖÅ ÒÉÍÅÎÅÎÎÙÊ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚ) ÚÁÍÅÎÉÔ ÕÖÅ ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ F1 ÎÁ F2 Ó ÔÅÍÉ ÖÅ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ, ÞÔÏ É F1 , ÎÏ Ó ÍÅÎØÛÅÊ ÌÏÝÁÄØÀ É Ó ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ Ä×ÕÍÑ ÕÇÌÏ×ÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ ÎÁ ÇÒÁÎÉ Å (ÜÔÏ ÎÅÍÅÄÌÅÎÎÏ ×ÌÅÞÅÔ, ÞÔÏ F2 ∼ = L! ). ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÎÁ ÇÒÁÎÉ Å F ÅÓÔØ ÏÔÒÅÚÏË ÒÑÍÏÊ AB , É ÕÓÔØ A′ B ′ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÅÎÔÒÁÌØÎÏ-ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÊ ÅÍÕ ÏÔÒÅÚÏË. ÏÇÄÁ ÉÚ F ÍÏÖÎÏ ×ÙÒÅÚÁÔØ ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍ ABA′ B ′ É ÉÚ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ Ä×ÕÈ ËÕÓËÏ× ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÅÎÔÒÁÌØÎÏ-ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÕÀ ×ÙÕËÌÕÀ ÆÉÇÕÒÕ F ′ . ðÒÉ ÜÔÏÍ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, S (F ′ ) < S (F ) É F ′ ≈ F (Ô. Å. ÉÈ ÇÒÁÎÉ Ù ÓÔÁÂÉÌØÎÏ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÙ). ðÏ×ÔÏÒÉ× ÜÔÕ ÏÅÒÁ ÉÀ ÓÔÏÌØËÏ ÒÁÚ, ÓËÏÌØËÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ×ÙÂÉÒÁÑ ËÁÖÄÙÊ ÒÁÚ ÎÏ×ÕÀ ÁÒÕ ÏÔÒÅÚËÏ×, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÅÎÔÒÁÌØÎÏ-ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÕÀ ×ÙÕËÌÕÀ ÆÉÇÕÒÕ F1 ÂÅÚ ÏÔÒÅÚËÏ× ÒÑÍÏÊ ÎÁ ÇÒÁÎÉ Å ÔÁËÕÀ, ÞÔÏ S (F1 ) 6 S (F ) É F1 ≈ F . ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÎÁ ÇÒÁÎÉ Å F ′ ÅÓÔØ Ä×Å ÁÒÙ ÅÎÔÒÁÌØÎÏ-ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÈ ÕÇÌÏ×ÙÈ ÔÏÞÅË A; A′ É B; B ′ . òÁÚÒÅÚÁ× F ′ ÏÔÒÅÚËÁÍÉ AB , BA′ , A′ B ′ É B ′ A,

B A

A′

B

A′

B′

÷ÙÒÅÚÁÎÉÅ ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÁ

òÉÓ. 2.

òÉÓ. 3.



A

B′

þÅÔÙÒÅÈÛÁÒÎÉÒÎÙÊ ÍÅÔÏÄ

166

á. í. ðÅÔÒÕÎÉÎ, ó. å. òÕËÛÉÎ

ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍ ABA′ B ′ É ÞÅÔÙÒÅ ÇÏÒÂÕÛËÉ (ÓÍ. ÒÉÓ. 3). îÅ ÕÍÁÌÑÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ, ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÕÇÏÌ ∠ABA′ ÔÕÏÊ. ðÕÓÔØ  ÅÓÔØ ×ÎÅÛÎÉÊ ÕÇÏÌ ÇÒÁÎÉ Ù F ÒÉ B . ðÒÅÄÓÔÁ×ØÔÅ, ÞÔÏ × ×ÅÒÛÉÎÙ ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÁ ×ÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÛÁÒÎÉÒÙ, Á ÓÔÏÒÏÎÙ ÓÄÅÌÁÎÙ ÉÚ ÖÅÓÔËÏÇÏ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁ, ÒÉ ÜÔÏÍ ÇÏÒÂÕÛËÉ ÖÅÓÔËÏ ÒÉÄÅÌÁÎÙ Ë ÓÔÏÒÏÎÁÍ. äÁ×ÁÊÔÅ Ï×ÅÒÎÅÍ ÓÔÏÒÏÎÕ AB ×ÏËÒÕÇ B ÎÁ ÕÇÏÌ  ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÕÇÏÌ ∠ABA′ Õ×ÅÌÉÞÉÌÓÑ. ÏÇÄÁ ÌÏÝÁÄØ ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÁ ABA′ B ′ , Á ÚÎÁÞÉÔ É ÌÏÝÁÄØ ÆÉÇÕÒÙ F1′ , ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÊ ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÏÍ É ÞÅÔÙÒØÍÑ ÇÏÒÂÕÛËÁÍÉ, ÕÍÅÎØÛÉÔÓÑ; ÒÉ ÜÔÏÍ ÔÏÞËÉ B É B ′ ÅÒÅÓÔÁÎÕÔ ÂÙÔØ ÕÇÌÏ×ÙÍÉ. ðÏ×ÔÏÒÉ× ÜÔÕ ÒÏ ÅÄÕÒÕ ÓÔÏÌØËÏ ÒÁÚ, ÓËÏÌØËÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ×ÙÂÉÒÁÑ ËÁÖÄÙÊ ÒÁÚ ÎÏ×ÕÀ ÁÒÕ ÁÒ ÅÎÔÒÁÌØÎÏ-ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÈ ÕÇÌÏ×ÙÈ ÔÏÞÅË, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÆÉÇÕÒÕ F ′′ ÔÁËÕÀ, ÞÔÏ: Á) F ′′ ÉÍÅÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÊ ÁÒÙ ÕÇÌÏ×ÙÈ ÔÏÞÅË; Â) F ′′ ÅÎÔÒÁÌØÎÏ-ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁ; ×) S (F ′′ ) 6 S (F ′ ); Ç) ÇÒÁÎÉ Á F ′′ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÇÒÁÎÉ Å F ′ (× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, F ′′ ≈ F É Õ F ′′ ÎÅÔ ÏÔÒÅÚËÏ× ÒÑÍÏÊ ÎÁ ÇÒÁÎÉ Å). éÚ ÜÔÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ F ′′ ∼ = L! . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ′ ′′ S (F ) > S (F ) > S (F ) = S (L! ): ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ F ′′ ÂÙÌÁ ÏÌÕÞÅÎÁ ÉÚ F ËÁË ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÛÁÇÏ×, × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÌÏÝÁÄØ ÕÍÅÎØÛÁÌÁÓØ. úÎÁÞÉÔ, × ÓÌÕÞÁÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á S (F ) = S (L! ) ÍÙ ×Ï×ÓÅ ÎÅ ÄÅÌÁÌÉ ÎÉ ÏÄÎÏÇÏ ÛÁÇÁ, ÔÏ ÅÓÔØ ∼ F ′′ ∼  F∼ = F′ = = L! : äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÌÅÍÍÙ 10. ðÕÓÔØ F ÅÓÔØ ÆÉÇÕÒÁ ÏÉÓÁÎÎÏÇÏ ÔÉÁ. ðÒÏ×ÅÄÅÍ Ä×Å ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÅ ÒÑÍÙÅ a É b ÔÁË, ÞÔÏ ×ÓÑ F ÌÅÖÉÔ × ÏÌÏÓÅ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ, É ÏÂÅ ÒÑÍÙÅ ËÁÓÁÀÔÓÑ F . ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ A É B ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ F ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ Ó a É b (ÅÓÌÉ ÒÑÍÁÑ ÓÏÒÉËÁÓÁÅÔÓÑ Ó F ×ÄÏÌØ ÏÔÒÅÚËÁ, ÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ×ÙÂÒÁÔØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÔÏÞËÕ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ). ðÕÓÔØ  É ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÂÝÕÀ ÕÇÌÏ×ÕÀ ×ÅÌÉÞÉÎÕ ×ÓÅÈ ÄÕÇ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÎÁ ÕÞÁÓÔËÁÈ ÇÒÁÎÉ Ù F ÏÔ A ÄÏ B É ÏÔ B ÄÏ A ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ. õÒÁÖÎÅÎÉÅ 12. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÁÒÕ A; B ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ Ó ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ÞÔÏ  = .

ðÏÄÓËÁÚËÁ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÁÄÏ ÒÏÓÔÏ ÒÏËÒÕÔÉÔØ ÁÒÕ A; B ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ ×ÏËÒÕÇ F , ÔÁË, ÞÔÏÂÙ A ÅÒÅÛÌÏ ÂÙ × B , Á B × A, É ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÓÅ ÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. (íÙ ÓÏ×ÅÔÕÅÍ ÏÓÍÏÔÒÅÔØ ÓÔÁÔØÀ âÏÌÔÑÎÓËÏÇÏ É óÁ×ÉÎÁ [3℄, × ËÏÔÏÒÏÊ ÏÂÓÕÖÄÁÀÔÓÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ, × ÒÅÛÅÎÉÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ ÓÈÏÖÉÅ ÉÄÅÉ.)

ÅÅÒØ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ  = = !=2. òÁÚÒÅÖÅÍ F ÏÔÒÅÚËÏÍ AB ÎÁ Ä×Å ÞÁÓÔÉ F− É F+ . éÚ Ä×ÕÈ ËÏÉÊ F− ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÅÎÔÒÁÌØÎÏ-

õÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÆÉÇÕÒÙ

167

ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÕÀ ÆÉÇÕÒÕ Fe− . áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÓÔÕÉÍ Ó F+ É ÏÌÕÞÉÍ ÆÉÇÕÒÕ Fe+ . óÏÇÌÁÓÎÏ ÌÅÍÍÅ 11 ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÆÉÇÕÒ Fe− É Fe+ ÉÍÅÅÔ ÌÏÝÁÄØ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ ÌÉÎÚÁ L! . á ÚÎÁÞÉÔ S (F ) = S (F+) + S (F− ) = 12 (S (Fe+ ) + S (Fe− )) > S (L! ) (ÓÍ. ÔÁËÖÅ ÒÉÓ. 4).

2×

=

+

> 2×

òÉÓ. 4.

ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÏÖÅÔ ÄÏÓÔÉÇÁÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ × ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÏÂÅ ÆÉÇÕÒÙ Fe− É Fe+ ËÏÎÇÒÕÜÎÔÎÙ L! , Á ÚÎÁÞÉÔ F ÉÍÅÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ Ä×ÕÈ ÕÇÌÏ×ÙÈ ÔÏÞÅË É ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÏÔÒÅÚËÏ× ÒÑÍÏÊ ÎÁ ÇÒÁÎÉ Å, Á ÚÎÁÞÉÔ F ∼  = L! . 4. ëÒÕÇÏ×ÙÅ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÉ

íÙ ÒÉÓÔÕÁÅÍ Ë ÉÚÕÞÅÎÉÀ ËÒÕÇÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏ×. îÁÞÎÅÍ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÊ: ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 13. ÷ÙÕËÌÁÑ ÆÉÇÕÒÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÒÕÇÏ×ÙÍ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏÍ , ÅÓÌÉ ÅÅ ÇÒÁÎÉ Á ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÁ ËÏÎÅÞÎÏÍÕ ÎÁÂÏÒÕ ÄÕÇ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ É ÏÔÒÅÚËÏ× ÒÑÍÏÊ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 14. ëÒÕÇÏ×ÏÊ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË M ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ï×ÁÌØÎÙÍ (ÉÌÉ Ï×ÁÌÏÍ ), ÅÓÌÉ ÏÎ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ: Á) ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÏÔÒÅÚËÏ× ÒÑÍÏÊ ÎÁ ÇÒÁÎÉ Å; Â) ÉÍÅÅÔ Ä×Å ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÅ ÏÓÉ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ a É b (ÉÈ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Ó ÇÒÁÎÉ ÅÊ M ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ A, A′ É B , B ′, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 5); ×) ÅÓÌÉ ÇÒÁÎÉ Á M ÉÍÅÅÔ ÕÇÌÏ×ÙÅ ÔÏÞËÉ, ÔÏ ÏÎÉ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÎÁ ÏÓÉ a, Ô. Å. × ÔÏÞËÁÈ A É A′ ; Ç) ÒÁÄÉÕÓÙ ÄÕÇ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ, ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÀÝÅÊ M , ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÔ ÏÔ A ÄÏ B .

168

á. í. ðÅÔÒÕÎÉÎ, ó. å. òÕËÛÉÎ

B A′

a

b

(t)

'(t) A

B′ òÉÓ. 5.

ï×ÁÌ

ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ËÒÕÇÏ×ÏÊ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË Ï×ÁÌÅÎ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ Ï×ÁÌØÎÁ ÅÇÏ ËÒÕÇÏ×ÁÑ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ. ÅÏÒÅÍÁ 15. ëÒÕÇÏ×ÏÊ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË ÕÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎ Ï×ÁÌÅÎ.

÷ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÍÙ ÏÂÏÂÝÉÍ ÜÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÎÁ ÓÌÕÞÁÊ ×ÓÅÈ ×ÙÕËÌÙÈ ÆÉÇÕÒ. îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ × ËÌÁÓÓÅ ËÒÕÇÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÓÏ ÓÔÁÂÉÌØÎÏ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÇÒÁÎÉ ÅÊ ÅÓÔØ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ, Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ËÏÎÇÒÕÜÎÔÎÏÓÔÉ, Ï×ÁÌ. ëÁË É × ÓÌÕÞÁÑÈ ËÒÕÇÁ É ÌÉÎÚÙ, ÔÅÏÒÅÍÁ 11 ÄÌÑ ËÒÕÇÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÎÅÍÅÄÌÅÎÎÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÁÎÁÌÏÇÁ ÌÅÍÍÙ 10: ìÅÍÍÁ 16. åÓÌÉ ËÒÕÇÏ×ÏÊ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË M ÉÍÅÅÔ ÇÒÁÎÉ Õ, ÓÔÁÂÉÌØÎÏ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÕÀ ÇÒÁÎÉ Å Ï×ÁÌÁ V , ÔÏ S (M ) > S (V ): âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÅÓÌÉ S (M ) = S (V ), ÔÏ M ∼ =V. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Ï×ÁÌÙ ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ: ÓÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ËÒÕÇÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÓÏ ÓÔÁÂÉÌØÎÏ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÇÒÁÎÉ ÅÊ Ï×ÁÌÙ ÉÍÅÀÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÕÀ ÌÏÝÁÄØ. ëÁË É × ÓÌÕÞÁÅ Ó ÌÉÎÚÏÊ, ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÂÕÄÅÔ ÒÏ×ÅÄÅÎÏ × Ä×Á ÛÁÇÁ; ÓÎÁÞÁÌÁ ÍÙ ÄÏËÁÖÅÍ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÂÏÌÅÅ ÓÌÁÂÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ:

M

ìÅÍÍÁ 17. åÓÌÉ ÅÎÔÒÁÌØÎÏ-ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÊ ËÒÕÇÏ×ÏÊ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË ÉÍÅÅÔ ÇÒÁÎÉ Õ, ÓÔÁÂÉÌØÎÏ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÕÀ ÇÒÁÎÉ Å Ï×ÁÌÁ V , ÔÏ

S (M ) > S (V ): âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÅÓÌÉ S (M ) = S (V ), ÔÏ M ∼ =V.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÌÅÍÍÙ 17 ÒÏÈÏÄÉÔ ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ÄÕÇ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÒÁÄÉÕÓÏ× ÎÁ ÇÒÁÎÉ Å M , ÒÉ ÜÔÏÍ ÍÙ ÓÞÉÔÁÅÍ ÕÇÌÏ×ÙÅ ÔÏÞËÉ ÚÁ ÄÕÇÉ ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÒÁÄÉÕÓÁ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÄÌÑ ËÒÕÇÁ ÍÏÖÎÏ ÒÉÎÑÔØ ÚÁ ÂÁÚÕ ÉÎÄÕË ÉÉ, Á ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÄÌÑ ÌÉÎÚÙ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÞÁÓÔØ ÅÒ×ÏÇÏ ÛÁÇÁ × ÜÔÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ (ÎÁ ÇÒÁÎÉ Å ÌÉÎÚÙ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÄÕÇÉ ÒÁÄÉÕÓÁ R É ÒÁÄÉÕÓÁ 0). ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÕÞÁÓÔ×ÕÅÔ ÅÝÅ ÁÒÁ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ÉÄÅÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÍ ÎÅ ÂÙÌÉ ÎÕÖÎÙ ÒÁÎØÛÅ.

õÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÆÉÇÕÒÙ

169

÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÎÁÍ ÏÔÒÅÂÕÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ, ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÍÙ ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌÀ: õÒÁÖÎÅÎÉÅ 18. ðÕÓÔØ F É G ÓÕÔØ ×ÙÕËÌÙÅ ÆÉÇÕÒÙ Ó ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÇÒÁÎÉ ÅÊ, a FR É GR | ÉÈ R-ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ; ÔÏÇÄÁ F ∼ G ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ FR ∼ GR . õÒÁÖÎÅÎÉÅ 19. åÓÌÉ ×ÙÕËÌÁÑ ÆÉÇÕÒÁ F ÉÍÅÅÔ ÇÒÁÎÉ Õ, ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÕÀ ÇÒÁÎÉ Å Ï×ÁÌÁ V , ÔÏ ÄÉÁÍÅÔÒ F ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÄÉÁÍÅÔÒÁ V . âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, × ÓÌÕÞÁÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÄÉÁÍÅÔÒÏ×, F ËÏÎÇÒÕÜÎÔÎÁ V . äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÌÅÍÍÙ 17. ðÕÓÔØ M ÅÓÔØ ËÒÕÇÏ×ÏÊ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË Ó n ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÒÁÄÉÕÓÁÍÉ ÄÕÇ ÎÁ ÇÒÁÎÉ Å. ëÁË É × ÓÌÕÞÁÅ ÌÉÎÚÙ, ÒÉÍÅÎÉ× ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚ €×ÙÒÅÚÁÎÉÅ ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÁ, ÍÙ Ó×ÏÄÉÍ ÚÁÄÁÞÕ Ë ÓÌÕÞÁÀ, ËÏÇÄÁ ÎÁ ÇÒÁÎÉ Å M ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÏÔÒÅÚËÉ ÒÑÍÏÊ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ ÞÔÏ ÇÒÁÎÉ Á M , ÕÖÅ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÓÔÁÂÉÌØÎÏ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÁ, ÎÏ É ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÇÒÁÎÉ Å V . åÓÌÉ ÎÁ ÇÒÁÎÉ Å ËÒÕÇÏ×ÏÇÏ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ M ÎÅÔ ÕÇÌÏ×ÙÈ ÔÏÞÅË, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÒÕÇÏ×ÏÊ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË M ′ , ÔÁËÏÊ ÞÔÏ M = MR′ (ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ MR′ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ R-ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ M ′ ). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÚ ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ 18 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÌÅÍÍÕ ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÑ, ËÏÇÄÁ ÎÁ ÇÒÁÎÉ Å M ÅÓÔØ ÕÇÌÏ×ÙÅ ÔÏÞËÉ. åÓÌÉ Õ M ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÊ ÁÒÙ ÕÇÌÏ×ÙÈ ÔÏÞÅË, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚ €þÅÔÙÒÅÈÛÁÒÎÉÒÎÙÊ ÍÅÔÏā É Ó×ÅÓÔÉ ÚÁÄÁÞÕ Ë ÓÌÕÞÁÀ, ËÏÇÄÁ ÎÁ ÇÒÁÎÉ Å M ÅÓÔØ ÒÏ×ÎÏ Ä×Å ÕÇÌÏ×ÙÅ ÔÏÞËÉ. äÁÌÅÅ, ÕÓÔØ A, A′ ÅÓÔØ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÁÒÁ ÕÇÌÏ×ÙÈ ÔÏÞÅË M , ÕÓÔØ  ÅÓÔØ ×ÎÅÛÎÉÊ ÕÇÏÌ ÒÉ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÜÔÉÈ ÔÏÞÅË, É r1 ÅÓÔØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÒÁÄÉÕÓ ÄÕÇ ÎÁ ÇÒÁÎÉ Å M . òÁÚÒÅÖÅÍ ÇÒÁÎÉ Õ M ÎÁ Ä×Å ÄÕÇÉ Ï ÔÏÞËÁÍ A É A′ É ÒÏÄÏÌÖÉÍ ÏÂÁ ËÏÎ Á ÅÒ×ÏÊ ÉÚ ÄÕÇ Ä×ÕÍÑ ÄÕÇÁÍÉ ÒÁÄÉÕÓÁ r1 Ó ÕÇÌÏ×ÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÏÊ . ë ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÄÕÇÅ ÍÏÖÎÏ ÒÉÓÔÁ×ÉÔØ ×ÔÏÒÕÀ ÉÚ ÄÕÇ ÏÔ A ÄÏ A′ ÄÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ×ÙÕËÌÏÊ ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ÂÅÚ ÕÇÌÏ×ÙÈ ÔÏÞÅË (ÒÉÓ. 6). ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ M ÆÉÇÕÒÕ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÕÀ ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ. 

òÉÓ. 6.

170

á. í. ðÅÔÒÕÎÉÎ, ó. å. òÕËÛÉÎ

ðÒÏÄÅÌÁÅÍ ÔÕ ÖÅ ÏÅÒÁ ÉÀ Ó Ï×ÁÌÏÍ V , ÏÌÕÞÉÍ Ï×ÁÌ V Ó ÇÒÁÎÉ ÅÊ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ M . úÁÍÅÔÉÍ ÞÔÏ ÒÉ ÜÔÏÍ S (V ) − S (V ) > S (M ) − S (M ); ÒÉÞÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ M ËÏÎÇÒÕÜÎÔÎÁ V . äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ: V ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ V ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ ËÒÕÇÏ×ÙÈ ÓÅÇÍÅÎÔÏ× É ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÁ Ó ÏÄÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÏÊ, ÒÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÍÅÔÒÕ V , É ÄÒÕÇÏÊ, ÒÁ×ÎÏÊ 2r1 sin(=2). ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, M ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ M ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÔÅÈ ÖÅ Ä×ÕÈ ÓÅÇÍÅÎÔÏ× É ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÁ Ó ÏÄÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÏÊ, ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÅÊ ÄÉÁÍÅÔÒÁ V (× ÓÉÌÕ ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ 19), É ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÏÊ, ÔÁËÖÅ ÒÁ×ÎÏÊ 2r1 sin(=2). ÅÅÒØ ÍÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ËÒÕÇÏ×ÏÊ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË M Ó n − 1 ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÒÁÄÉÕÓÁÍÉ ÄÕÇ ÎÁ ÇÒÁÎÉ Å. ðÏ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ, S (M ) > S (V ): óÌÏÖÉ× ÜÔÉ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, ÏÌÕÞÁÅÍ S (M ) > S (V ): óÌÕÞÁÊ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ×ÏÚÍÏÖÅÎ, ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ÄÉÁÍÅÔÒ M ÒÁ×ÅÎ ÄÉÁÍÅÔÒÕ V . úÎÁÞÉÔ, × ÓÉÌÕ ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ 19, M ∼  = V: óÌÅÄÕÀÝÅÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÞÅÎØ ÏÈÏÖÅ ÎÁ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÌÅÍÍÙ 10 ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÑ ÌÉÎÚÙ, ÎÏ × Î£Í ÕÞÁÓÔ×ÕÅÔ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÚÁÂÁ×ÎÙÊ ÔÒÀË. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÌÅÍÍÙ 16. ðÕÓÔØ M ÅÓÔØ ËÒÕÇÏ×ÏÊ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË. ðÕÓÔØ A É B ÓÕÔØ ÔÏÞËÉ ÎÁ ÇÒÁÎÉ Å M , ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ ÞÅÒÅÚ ÎÉÈ ÍÏÖÎÏ ÒÏ×ÅÓÔÉ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÅ ÒÑÍÙÅ ÔÁË, ÞÔÏ ×ÓÑ M ÂÕÄÅÔ ÌÅÖÁÔØ × ÏÌÏÓÅ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ. òÁÚÒÅÖÅÍ M ÏÔÒÅÚËÏÍ AB ÎÁ Ä×Å ÞÁÓÔÉ M− É M+ . éÚ Ä×ÕÈ f− . ËÏÉÊ M− ÓÏÓÔÁ×ÉÍ ÅÎÔÒÁÌØÎÏ-ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÕÀ ×ÙÕËÌÕÀ ÆÉÇÕÒÕ M f áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÓÔÕÉÍ Ó M+ É ÏÌÕÞÉÍ ÆÉÇÕÒÕ M+ . äÁ×ÁÊÔÅ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Ve+ É Ve− Ï×ÁÌÙ Ó ÇÒÁÎÉ ÅÊ, ÓÔÁÂÉÌØÎÏ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÓÏÏÔ×ÅÔf+ É M f− . ÓÔ×ÅÎÎÏ M äÉÁÍÅÔÒÙ Ï×ÁÌÏ× Ve+ É Ve− ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÔÏÞÅË A É B . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÏËÒÕÞÉ×ÁÎÉÅÍ A É B ×ÏËÒÕÇ M , ÔÁËÖÅ ËÁË × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÄÌÑ ÌÉÎÚÙ, ÍÏÖÎÏ ÄÏÂÉÔØÓÑ ÔÁËÏÇÏ ×ÙÂÏÒÁ A É B , ÞÔÏ ÄÉÁÍÅÔÒÙ Ve− É Ve+ ÓÏ×ÁÄÕÔ. òÁÚÒÅÚÁ× Ve− Ä×ÕÍÑ ÏÓÑÍÉ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÞÅÔÙÒÅ ÞÅÔ×ÅÒÔÉÎËÉ, ËÏÎÇÒÕÜÎÔÎÙÅ, ÓËÁÖÅÍ Ve−1=4 . áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÓÔÕÉÍ Ó Ve− , ÏÌÕÞÉÍ ÞÅÔÙÒÅ ÞÅÔ×ÅÒÔÉÎËÉ, ËÏÎÇÒÕÜÎÔÎÙÅ Ve+1=4 . éÚ Ä×ÕÈ ËÏÉÊ Ve−1=4 É Ä×ÕÈ ËÏÉÊ Ve+1=4 ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÅÎÔÒÁÌØÎÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÊ ËÒÕÇÏ×ÏÊ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË N , ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 7:

õÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÆÉÇÕÒÙ

171

= 2×

+ òÉÓ. 7.

ðÒÉÍÅÎÉ× ÌÅÍÍÕ 17 Ë N , ÏÌÕÞÁÅÍ:

f+ ) + S (M f− )) > S (M ) = S (M+ ) + S (M− ) = 12 (S (M 1 > (S (Ve+ ) + S (Ve− )) = S (N ) > S (V ): 2

ïÓÔÁÅÔÓÑ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï × ÏÂÏÉÈ ÜÔÉÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÈ ×ÌÅÞÅÔ ËÏÎÇÒÕÜÎÔÎÏÓÔØ M É V , ÞÔÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ. íÙ ÄÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ Ï×ÁÌØÎÙÊ ËÒÕÇÏ×ÏÊ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÆÉÇÕÒÏÊ. ïÓÔÁÅÔÓÑ ÅÝÅ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÄÒÕÇÉÈ ÕÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ ËÒÕÇÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏ×. ðÒÉÍÅÎÉ× ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 5, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ËÒÕÇÏ×ÏÊ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎ ÎÁÂÏÒÕ ÉÚ Ï×ÁÌÁ É Ë×ÁÄÒÁÔÁ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÅÄßÑ×ÉÔØ Ä×Å ÎÅËÏÎÇÒÕÜÎÔÎÙÅ ×ÙÕËÌÙÅ ÆÉÇÕÒÙ, ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÎÁÛÅÍÕ ÎÁÂÏÒÕ ÉÚ Ë×ÁÄÒÁÔÁ É Ï×ÁÌÁ. ÷ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ  ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ âÏÊÑÉ { çÅÒ×ÉÎÁ. 5. îÁÂÒÏÓÏË ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÏÂÝÅÇÏ ÓÌÕÞÁÑ

üÔÏ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÊ É ÎÁÉÍÅÎÅÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÒÁÚÄÅÌ ÓÔÁÔØÉ. äÌÑ ÅÇÏ ÏÎÉÍÁÎÉÑ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÚÎÁÎÉÅ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÏÂßÅÍÅ ÔÅÏÒÉÉ ÆÕÎË ÉÊ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ (ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÅÒ×ÙÈ ÞÅÔÙÒÅÈ ÇÌÁ× ËÎÉÇÉ [4℄), Á ÔÁËÖÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ Ó×ÏÊÓÔ× ÍÅÔÒÉËÉ èÁÕÓÄÏÒÆÁ (ËÏÔÏÒÕÀ ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ dH ), ÄÌÑ ËÏÍÁËÔÎÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÌÏÓËÏÓÔÉ (ÓÍ. ÎÁÒÉÍÅÒ, [8℄). ðÕÓÔØ  : [0; T ) → R2 ÅÓÔØ ÇÒÁÎÉ Á ×ÙÕËÌÏÊ ÆÉÇÕÒÙ, ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÁÑ ÄÌÉÎÏÊ × ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ. õ  ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÒÁ×ÁÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ + (t). ïÒÅÄÅÌÉÍ ÕÇÏÌ Ï×ÏÒÏÔÁ ËÒÉ×ÏÊ '(t) ËÁË ÕÇÏÌ ÏÔ + (0) ÄÏ + (t) (ÉÚÍÅÒÑÅÍÙÊ ÏÔ 0 ÄÏ 2 ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ). éÚ ×ÙÕËÌÏÓÔÉ  ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ '(t) ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. üÔÏ ÄÁÅÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ €×ÅÒÈÎÀÀ ËÒÉ×ÉÚÎՁ k(t) ËÁË ×ÅÒÈÎÉÊ ÒÅÄÅÌ '(t) − '(t ) k(t0 ) = tlim : t−t →t 0

0

0

ÁË ËÁË ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÉÍÅÅÔ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ × ÏÞÔÉ ×ÓÅÈ ÔÏÞËÁÈ, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ k(t) ËÏÎÅÞÎÁ ÄÌÑ ÏÞÔÉ ×ÓÅÈ t.

172

á. í. ðÅÔÒÕÎÉÎ, ó. å. òÕËÛÉÎ

ïÒÅÄÅÌÉÍ €ÎÉÖÎÉÊ ÒÁÄÉÕÓ ËÒÉ×ÉÚÎف ÞÅÒÅÚ R(t) = 1=k(t) (ÓÞÉÔÁÑ 0 = 1=∞). üÔÏ ÄÁÅÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÏÂÏÂÝÉÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ Ï×ÁÌÁ (ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 14) ÎÁ ÓÌÕÞÁÊ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ×ÙÕËÌÏÊ ÆÉÇÕÒÙ F . óÌÅÄÕÅÔ ÔÏÌØËÏ ÏÍÅÎÑÔØ ÕÎËÔ Ç ) ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ: Ç) ÎÉÖÎÉÊ ÒÁÄÉÕÓ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ËÒÉ×ÏÊ, ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÀÝÅÊ F , ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ

×ÏÚÒÁÓÔÁÀÔ ÏÔ

A ÄÏ B .

üÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÔÁË: ÅÓÌÉ ×Ù ÅÄÅÔÅ ÎÁ ÍÁÛÉÎÅ ÏÔ A ÄÏ B Ï ÇÒÁÎÉ Å F , ÔÏ ×ÁÍ ÒÉÄÅÔÓÑ ×Ó£ ×ÒÅÍÑ ËÒÕÔÉÔØ ÒÕÌØ ÔÏÌØËÏ ×ÒÁ×Ï. ÷ÁÛÉ ËÏÌ£ÓÁ ×Ó£ ×ÒÅÍÑ ÂÕÄÕÔ Ï×ÅÒÎÕÔÙ ×ÌÅ×Ï, ÉÎÁÞÅ F ÂÙÌÁ ÂÙ ÎÅ ×ÙÕËÌÏÊ, ÎÏ ÓÁÍ ÒÕÌØ ×ÁÍ ÒÉÄÅÔÓÑ ËÒÕÔÉÔØ ×ÒÁ×Ï, ÕÍÅÎØÛÁÑ ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ÅÒÅÄÎÉÍÉ É ÚÁÄÎÉÍÉ ËÏÌÅÓÁÍÉ. ÷ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÇÒÁÎÉ Á F | ÇÌÁÄËÁÑ ËÒÉ×ÁÑ, ÕÓÌÏ×ÉÅ Ç) ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÏÎÏÔÏÎÎÙÍ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÅÍ ÏÂÙÞÎÏÇÏ ÒÁÄÉÕÓÁ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ÏÔ A ÄÏ B . íÙ, ÎÁËÏÎÅ , ÇÏÔÏ×Ù ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÇÌÁ×ÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÉ: ÅÏÒÅÍÁ 20. ÷ÙÕËÌÁÑ ÆÉÇÕÒÁ ÕÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎÁ Ï×ÁÌØÎÁ.

÷ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÎÁÍ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÏÎÑÔÉÅ €ÒÏÆÉÌØ ×ÙÕËÌÏÊ ÆÉÇÕÒف. ðÕÓÔØ F ÅÓÔØ ×ÙÕËÌÁÑ ÆÉÇÕÒÁ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ F (r) ÕÇÌÏ×ÕÀ ÍÅÒÕ ÕÞÁÓÔËÁ ÇÒÁÎÉ Ù F Ó ÎÉÖÎÉÍ ÒÁÄÉÕÓÏÍ ËÒÉ×ÉÚÎÙ 6 r. æÕÎË ÉÑ F : R+ → [0; 2℄ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏÆÉÌÅÍ ÆÉÇÕÒÙ F . îÁÒÉÍÅÒ, ÒÏÆÉÌØ ËÒÕÇÁ ÒÁÄÉÕÓÁ R ÅÓÔØ  r R; Á ÒÏÆÉÌØ ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÅÎ 2. ÷ ÓÌÕÞÁÅ ËÒÕÇÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÒÏÆÉÌØ ÇÒÁÎÉ Ù ÅÓÔØ ÓÔÕÅÎÞÁÔÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÒÏÆÉÌÅÊ ÇÒÁÎÉ ËÒÕÇÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÓÔÁÂÉÌØÎÏÊ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÓÔÉ ÉÈ ÇÒÁÎÉ . ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÜÔÏ ÕÖÅ ÎÅ ÔÁË. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, €ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÒÏÆÉÌÅʁ ×ÙÕËÌÙÈ ÆÉÇÕÒ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÏÞÔÉ ÔÁË ÖÅ, ËÁË €ÓÔÁÂÉÌØÎÁÑ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÓÔØ ÇÒÁÎÉ , Ô. Å. ×ÅÒÅÎ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÁÎÁÌÏÇ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ 1: õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 21. óÌÅÄÕÀÝÉÅ Ä×Á Ó×ÏÊÓÔ×Á ÁÒÙ ×ÙÕËÌÙÈ ÆÉÇÕÒ F G ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÙ : (Á ) F É G ÉÍÅÀÔ ÒÁ×ÎÙÅ ÒÏÆÉÌÉ ÇÒÁÎÉ É ÒÁ×ÎÕÀ ÌÏÝÁÄØ, ( ) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ " > 0 ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÁÒÁ ÆÉÇÕÒ F ′ É G′ , "-ÂÌÉÚËÉÈ Ï èÁÕÓÄÏÒÆÕ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ Ë F É G É ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ F ∼ G′ É G ∼ F ′ .

É

ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÌÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ × ËÌÁÓÓÅ ×ÙÕËÌÙÈ ÆÉÇÕÒ Ó ÒÁ×ÎÙÍ ÒÏÆÉÌÅÍ (ÎÅ ÒÁ×ÎÙÍ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ 2) ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ, Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ËÏÎÇÒÕÜÎÔÎÏÓÔÉ, Ï×ÁÌ.

õÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÆÉÇÕÒÙ

173

ÁËÖÅ ËÁË × ÓÌÕÞÁÅ ËÒÕÇÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏ×, ÔÅÏÒÅÍÁ 20 ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÏÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á Ï×ÁÌÏ×, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÇÏ ÌÅÍÍÅ 16:

ìÅÍÍÁ 22. åÓÌÉ ×ÙÕËÌÁÑ ÆÉÇÕÒÁ F ÉÍÅÅÔ ÒÏÆÉÌØ, ÒÁ×ÎÙÊ ÒÏÆÉÌÀ Ï×ÁÌÁ V , ÔÏ S (F ) > S (V ). âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÅÓÌÉ S (F ) = S (V ), ÔÏ F ∼ =V.

îÁÂÒÏÓÏË ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á. ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ×ÙÕËÌÕÀ ÆÉÇÕÒÕ F ÍÏÖÎÏ ÒÉÂÌÉÚÉÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ ËÒÕÇÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏ× Mi , ÔÁË ÞÔÏ ÒÏÆÉÌÉ Mi ÓÈÏÄÑÔÓÑ Ë ÒÏÆÉÌÀ F . (üÔÏ ÏÞÔÉ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÉÚÍÅÒÉÍÕÀ ÆÕÎË ÉÀ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ ÍÏÖÎÏ ÒÉÂÌÉÚÉÔØ (Ï ÍÅÒÅ) ÓÔÕÅÎÞÁÔÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ.) ðÕÓÔØ Vi ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ Ï×ÁÌÙ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ Mi . îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ Vi ÓÈÏÄÑÔÓÑ Ï èÁÕÓÄÏÒÆÕ Ë ÎÅËÏÔÏÒÏÍÕ Ï×ÁÌÕ V . âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ Ï×ÁÌ V ÉÍÅÅÔ ÔÏÔ ÖÅ ÒÏÆÉÌØ, ÞÔÏ F . éÚ ÌÅÍÍÙ 16 ÏÌÕÞÁÅÍ S (Vi ) 6 S (Mi ) É, ÅÒÅÊÄÑ Ë ÒÅÄÅÌÕ, S (V ) 6 S (F ). ïÓÔÁÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ × ÓÌÕÞÁÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á V É F ËÏÎÇÒÕÜÎÔÎÙ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÁÄÏ ÓÌÅÇËÁ ÕÔÏÞÎÉÔØ ÌÅÍÍÕ 16: ìÅÍÍÁ 23. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ " > 0 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ Æ > 0 ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ, ÅÓÌÉ

M ÅÓÔØ ËÒÕÇÏ×ÏÊ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË, É V ÅÓÔØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÅÍÕ Ï×ÁÌ, ÔÏ dH (V; M ) > "h ×ÌÅÞÅÔ S (M ) − S (V ) > Æh2 , ÇÄÅ h ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÛÉÒÉÎÕ Ï×ÁÌÁ V .

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÏÊ ÖÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÛÁÇÏ×, ÞÔÏ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÓÉÌØÎÏÇÏ ×ÁÒÉÁÎÔÁ ÌÅÍÍÙ 3.  6. ðÒÏÄ×ÉÎÕÔÙÅ ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ 1. áÆÆÉÎÎÁÑ ÕÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÓÔØ. ðÏÎÑÔÉÅ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎ-

ÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÔÁËÖÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÄÌÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÇÒÕ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ËÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÄÌÑ ÇÒÕÙ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÅÒÅÎÏÓÏ× ÉÌÉ ÇÒÕÙ ÏÄÏÂÉÊ. äÏ×ÏÌØÎÏ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÍ ÓÌÕÞÁÅÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÒÕÁ SL(2; R) ÜË×ÉÁÆÆÉÎÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ, Ô. Å. ÁÆÆÉÎÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ, ÓÏÈÒÁÎÑÀÝÉÈ ÌÏÝÁÄØ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÔÁËÉÍÉ ÁÆÆÉÎÎÏ-ÕÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÍÉ ÆÉÇÕÒÁÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÜÌÌÉÓÙ. äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ ×ÁÍ ÏÎÁÄÏÂÉÔÓÑ ÏÎÑÔÉÅ €ÁÆÆÉÎÎÏÊ ÄÌÉÎف, (ÓÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ, ËÎÉÇÕ æÅÊÅÛÁ ÏÔÁ [9℄.) 2. õÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÎÁÂÏÒÙ ÆÉÇÕÒ. õÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÓÔØ ÍÏÖÎÏ ÏÂÏÂÝÉÔØ ÎÁ ÎÁÂÏÒÙ ÉÚ n ×ÙÕËÌÙÈ ÆÉÇÕÒ: ÎÁÂÏÒ ÉÚ n ×ÙÕËÌÙÈ ÆÉÇÕÒ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÉÚ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ×ÔÏÒÏÍÕ ÎÁÂÏÒÕ ÉÚ n ×ÙÕËÌÙÈ ÆÉÇÕÒ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÆÉÇÕÒ ÅÒ×ÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ËÏÎÇÒÕÜÎÔÎÁ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÆÉÇÕÒ ×ÔÏÒÏÇÏ .

174

á. í. ðÅÔÒÕÎÉÎ, ó. å. òÕËÛÉÎ

îÁÂÏÒ ÉÚ n ×ÙÕËÌÙÈ ÆÉÇÕÒ ÕÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ËÏÎÇÒÕÜÎÔÎÙÈ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ Ï×ÁÌÏ×. 3. õÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÔÅÌÁ.

Á) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÔÅÌÁ × R3 ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ

ÂÌÉÚËÏÅ (× ÍÅÔÒÉËÅ èÁÕÓÄÏÒÆÁ) ÕÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÅ ×ÙÕËÌÏÅ ÔÅÌÏ. Â) ðÏÒÏÂÕÊÔÅ ÎÁÊÔÉ ÔÏÞÎÙÊ ÓÍÙÓÌ ÓÌÏ× €ÏÞÔÉ ×ÓŁ É ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ €ÏÞÔÉ ×ÓÅ ×ÙÕËÌÙÅ ÔÅÌÁ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÕÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÍɁ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ×ÁÍ ÒÉÄÅÔÓÑ ÕÚÎÁÔØ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ËÁÔÅÇÏÒÉÑ âÜÒÁ; ÜÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ, ÏÞÉÔÁ× ËÎÉÖËÕ [5℄. 4. òÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÓÔØ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ÆÉÇÕÒ. üÔÕ ÚÁÄÁÞÕ ÒÅÄÌÏÖÉÌ ÎÁÍ á. ÷. çÉÌØ. òÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÓÔØ ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÄÌÑ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ÆÉÇÕÒ, ÄÏÕÓËÁÑ ÒÁÚÒÅÚÁÎÉÑ ×ÄÏÌØ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÌÕÞÅÊ É ÏÔÒÅÚËÏ× ÒÑÍÙÈ. Á) óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÊÔÅ É ÄÏËÁÖÉÔÅ ÁÎÁÌÏÇ ÔÅÏÒÅÍÙ âÏÊÑÉ { çÅÒ×ÉÎÁ ÄÌÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏ× , Ô. Å. ÄÌÑ ÆÉÇÕÒ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÌÕÞÅÊ É ÏÔÒÅÚËÏ×. éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÁÊÄÉÔÅ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÓÔÉ Ä×ÕÈ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏ×. Â) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÁÑ ×ÙÕËÌÁÑ ÆÉÇÕÒÁ F ÕÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÁ, ÔÏ ÉÚ ËÁÖÄÏÊ ÅÅ ÔÏÞËÉ ÉÓÈÏÄÉÔ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÌÕÞ, ÅÌÉËÏÍ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊÓÑ × F . ×) ïÉÛÉÔÅ ×ÓÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÅ ÕÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ×ÙÕËÌÙÅ ÆÉÇÕÒÙ. á×ÔÏÒÙ ×ÙÒÁÖÁÀÔ ÂÌÁÇÏÄÁÒÎÏÓÔØ á. ÷. çÉÌÀ, ÏÂÒÁÔÉ×ÛÅÍÕ ÉÈ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÎÁ ËÌÁÓÓ ÚÁÄÁÞ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ Ó ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÓÔØÀ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ÆÉÇÕÒ, É æ. ÷. ðÅÔÒÏ×Õ ÚÁ ÏÌÅÚÎÙÅ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÑ É ÒÅÄÁËÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏÇÏ ×ÁÒÉÁÎÔÁ ÔÅËÓÔÁ. óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

[1℄ âÏÌÔÑÎÓËÉÊ ÷. ç. ÒÅÔØÑ ÒÏÂÌÅÍÁ çÉÌØÂÅÒÔÁ . í.: îÁÕËÁ, 1977. [2℄ âÏÌÔÑÎÓËÉÊ ÷. ç. òÁ×ÎÏ×ÅÌÉËÉÅ É ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÆÉÇÕÒÙ . í.: çÏÓÔÅÈÉÚÄÁÔ, 1956. €ðÏÕÌÑÒÎÙÅ ÌÅË ÉÉ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËŁ, ×Ù. 22. [3℄ âÏÌÔÑÎÓËÉÊ ÷. ç., óÁ×ÉÎ á. ð. óÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ É ËÒÁÈ ÇÉÏÔÅÚÙ âÏÒÓÕËÁ // ë×ÁÎÔ ‚3, 1994, Ó. 3{7. [4℄ îÁÔÁÎÓÏÎ é. ð. ÅÏÒÉÑ ÆÕÎË ÉÊ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ . í.: îÁÕËÁ, 1974. [5℄ ïËÓÔÏÂÉ äÖ. íÅÒÁ É ËÁÔÅÇÏÒÉÑ . í.: íÉÒ, 1974.

õÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÆÉÇÕÒÙ

175

[6℄ ðÅÔÒÕÎÉÎ A. í., òÕËÛÉÎ ó. å. õÎÉËÁÌØÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ×ÙÕËÌÙÅ ÆÉÇÕÒÙ // IX ÷ÓÅÓÏÀÚÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÑ. ëÉÛÉÎÅ×: ûÔÉÉÎ Á, 1988. ó. 242{243. [7℄ ðÅÔÒÕÎÉÎ A. í., òÕËÛÉÎ ó. å. ï ÒÁ×ÎÏÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÓÔÉ ËÒÕÇÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏ× // úÁÄÁÞÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ × ÅÌÏÍ ÄÌÑ ÏÇÒÕÖÅÎÎÙÈ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÊ. óðÂ: òçðõ, 1991. ó. 111{118. [8℄ óË×ÏÒ Ï× ÷. á. ðÒÉÍÅÒÙ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× . í.: íãîíï, 2002. âÉÂÌÉÏÔÅËÁ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉŁ, ×Ù. 16. [9℄ æÅÊÅÛ ÏÔ ì. òÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÎÁ ÓÆÅÒÅ É × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å . í.: æÉÚÍÁÔÌÉÔ, 1958. [10℄ ñÝÅÎËÏ é. ÷. ðÁÒÁÄÏËÓÙ ÔÅÏÒÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× . í.: íãîíï, 2002. âÉÂÌÉÏÔÅËÁ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉŁ, ×Ù. 20. [11℄ Bana h S., Tarski A. Sur la de omposition des ensembles de points en parties respe tivement ongruentes // Fundamenta Mathemati ae, 1924. Vol. 6. P. 244{277. [12℄ Dubins L., Hirs h M., Karush J. S issor ongruen e // Israel J. Math., 1963. Vol. 1. P. 239{247. [13℄ Rukshin S. Some remarks about Hilbert' third problem and equide omposable onvex gures // Bull. Math. de la So . S i. Math. de Roumanie, 1998. Vol. 41(89), No 4. P. 285{288.

á. í. ðÅÔÒÕÎÉÎ, Penn State University, USA ó. å. òÕËÛÉÎ, òçðõ ÉÍ. çÅÒ ÅÎÁ, çÏÒÏÄÓËÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÅÎÔÒ ÄÌÑ ÏÄÁÒÅÎÎÙÈ ÛËÏÌØÎÉËÏ×, óÁÎËÔ-ðÅÔÅÒÂÕÒÇ E-mail: sergertwell.ru

176

ðÒÉÍÅÒÙ ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ á. ëÁÉÂÈÁÎÏ×

á. óËÏÅÎËÏ×∗

Wenn Sie unterri hten und davon ausgehen, dass si h parallele Linien im Unendli hen ber uhren, ergibt si h do h, das m ussen Sie zugeben, so etwas wie Transzendenz.

G. Grass,

Katz und Maus

åÓÌÉ ÷Ù ÕÞÉÔÅ, ÞÔÏ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÅ ÌÉÎÉÉ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ, ÔÏ ÷Ù ×Ó£ ÖÅ ÄÏÌÖÎÙ ÓÏÇÌÁÓÉÔØÓÑ: ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÎÅÞÔÏ ÎÅÏÓÔÉÖÉÍÏÅ.

ç. çÒÁÓÓ,

ëÏÛËÁ É ÍÙÛËÁ

ðÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ ÒÏÓÔÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÏÓÔÉ ÞÉÓÌÁ ìÉÕ×ÉÌÌÑ É ÎÏ×ÏÅ ÒÏÓÔÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÏÓÔÉ ÞÉÓÌÁ íÁÌÅÒÁ. ÷×ÅÄÅÎÉÅ

þÉÓÌÏ x ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ att + at−1 t−1 + · · · + a1  + a0 = 0 Ó ÅÌÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ at 6= 0; at−1 ; : : : ; a0 . ÷ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ ÉÌÉ ÄÁÖÅ × ÓÔÁÒÛÉÈ ËÌÁÓÓÁÈ ÉÚÕÞÁÅÔÓÑ ÔÅÏÒÅÔÉËÏÍÎÏÖÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ [2, çÌ. 2, x6℄. üÔÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÎÅ ÄÁÅÔ ËÏÎËÒÅÔÎÏÇÏ ÒÉÍÅÒÁ ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ. ðÒÉ×ÅÄÅÎÉÅ Ñ×ÎÙÈ ÒÉÍÅÒÏ× ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÉÈ ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÏÌÅÅ ÔÒÕÄÎÙÍ ÍÁÔÅÒÉÁÌÏÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ×ÈÏÄÉÔ ÄÁÖÅ × ÒÏÇÒÁÍÍÕ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÓËÏÇÏ

á. óËÏÅÎËÏ× ÏÄÄÅÒÖÁÎ òÏÓÓÉÊÓËÉÍ æÏÎÄÏÍ æÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÈ éÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ, ÇÒÁÎÔÙ ÎÏÍÅÒ 05-01-00993 É 04-01-00682, ÇÒÁÎÔÁÍÉ ðÒÅÚÉÄÅÎÔÁ òæ îû-1988.2003.1 É íä-3938.2005.1, Á ÔÁËÖÅ ÓÔÉÅÎÄÉÅÊ ð. äÅÌÉÎÑ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÏÊ ÎÁ ÅÇÏ ðÒÅÍÉÉ âÁÌØÚÁÎÁ 2004 ÇÏÄÁ. ∗

ðÒÉÍÅÒÙ ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ

177

ËÕÒÓÁ. ÷ ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÍÅÔËÅ ÍÙ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÔÁËÉÅ ÒÉÍÅÒÙ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÉÈ ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÂÕÄÕÔ ÏÎÑÔÎÙ ÄÁÖÅ ÓÔÁÒÛÅËÌÁÓÓÎÉËÁÍ. üÔÏÔ ÁÂÚÁ ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎ ÞÉÔÁÔÅÌÑÍ, ÎÅ ÚÎÁËÏÍÙÍ Ó ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÙÍ. þÉÓÌÏ y ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÍ , ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÎÅ ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÏ. ðÏÜÔÏÍÕ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ÞÉÓÌÁ | ÎÅÞÔÏ ÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÏÅ ÍÅÖÄÕ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ É ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍÉ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ. úÁÞÅÍ ÎÕÖÎÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÏÓÔØ ÞÉÓÅÌ? ïÄÎÏÊ ÉÚ ÍÏÔÉ×ÉÒÏ×ÏË Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏ, ÞÔÏ ×ÓÑËÏÅ ÏÓÔÒÏÉÍÏÅ ÞÉÓÌÏ (Ô. Å. ÞÉÓÌÏ, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÓÔÒÏÅÎÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÉÒËÕÌÑ É ÌÉÎÅÊËÉ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÍ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÌÀÂÏÅ ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÅ ÏÓÔÒÏÉÍÏ [2, çÌ. 2, x6 É çÌ. 3, x3℄. ðÅÒ×ÙÊ Ñ×ÎÙÊ ÒÉÍÅÒ ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÂÙÌ ÒÉ×ÅÄÅÎ öÏÚÅÆÏÍ ìÉÕ×ÉÌÌÅÍ × 1835 Ç. [2, çÌ. 2, x6℄. ÅÏÒÅÍÁ ìÉÕ×ÉÌÌÑ. þÉÓÌÏ

=

∞ P

n=0

2−n! ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÏ.

ìÉÕ×ÉÌÌØ ÄÏËÁÚÁÌ ÔÁËÖÅ ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÉÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ. ðÒÉ×ÏÄÉÍÁÑ ÎÉÖÅ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ ÏÂÝÅÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ìÉÕ×ÉÌÌÑ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ × ÎÁÓÔÏÑÝÅÍ ÔÅËÓÔÅ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÍÏÔÉ×ÉÒÏ×ËÉ ÎÉÖÅÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÔÅÏÒÅÍÙ íÁÌÅÒÁ. ïÂÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ìÉÕ×ÉÌÌÑ. ðÕÓÔØ z | ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ, Ñ×ÌÑÀÝÅÅÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÓÔÅÅÎÉ n > 1. ÏÇÄÁ z ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÉ1 p ÂÌÉÖÅÎÏ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÌÕÞÛÅÊ, ÞÅÍ n+1 ; ÄÒÕÇÉq q ÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÒÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ ÅÌÙÈ q ÎÅÒÅÍÅÎÎÏ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ p 1 ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï z − > n+1 . [2, çÌ. 2, x6℄. q q

÷ 1929 Ç. ëÕÒÔ íÁÌÅÒ ÄÏËÁÚÁÌ ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÏÓÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÞÉÓÌÁ [4℄.

ÅÏÒÅÍÁ íÁÌÅÒÁ. þÉÓÌÏ

=

∞ P

2−2n ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÏ.

n=0 ÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ ÞÉÓÌÁ íÁÌÅÒÁ ÎÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÏÂÝÅÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ìÉÕ×ÉÌÌÑ, Á ÔÁËÖÅ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍ ÕÜ, úÉÇÅÌÑ É òÏÔÁ [2, çÌ. 2, x6℄, [3℄. ÷ ÒÁÂÏÔÅ [4℄ ÂÙÌ ÏÌÕÞÅÎ ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÉÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï × [4℄ (ÔÁË ÖÅ ËÁË É × [5℄) ÎÅÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏ É ÄÌÉÎÎÏ (ÓÒ. [1℄). çÌÁ×ÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÍÅÔËÉ | ËÏÒÏÔËÏÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÏÓÔÉ ÞÉÓÌÁ íÁÌÅÒÁ (ÏÓÎÏ×ÁÎÎÏÅ ÎÁ Ä×ÏÉÞÎÏÊ ÚÁÉÓÉ). ÷ÉÄÉÍÏ, ÜÔÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÏ×ÙÍ. ïÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ × ÒÁÚÄÅÌÅ €äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ íÁÌÅÒÁ É ÎÅ ÉÓÏÌØÚÕÅÔ ÏÓÔÁÌØÎÏÊ ÞÁÓÔÉ ÚÁÍÅÔËÉ. îÏ ÄÌÑ ÕÄÏÂÓÔ×Á ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ ÍÙ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÄÅÉ ÜÔÏÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á × ÒÁÚÄÅÌÁÈ €éÄÅÑ ÒÏÓÔÏÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ íÁÌÅÒÁ É €ïÓÎÏ×ÎÏÅ ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÅ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ

178

á. ëÁÉÂÈÁÎÏ×, á. óËÏÅÎËÏ×

íÁÌÅÒÁ. îÁÛÉ ÉÄÅÉ ÄÁÀÔ ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÉÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ × ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÒÁÚÄÅÌÅ. íÙ ÔÁËÖÅ ÒÉ×ÅÄÅÍ ËÏÒÏÔËÏÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÏÓÔÉ ÞÉÓÌÁ ìÉÕ×ÉÌÌÑ. üÔÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÒÁÚÄÅÌÅ É ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÁÍ, ÏÄÎÁËÏ ÍÙ ÎÅ ÎÁÛÌÉ ÅÇÏ × ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÎÏÍ ×ÉÄÅ. äÁÎÎÁÑ ÚÁÍÅÔËÁ ÂÙÌÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ × 2002 Ç. á. ëÁÉÂÈÁÎÏ×ÙÍ ÎÁ ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÊ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ Intel ISEF (óûá, ìÕÉÓ×ÉÌÌØ), Á ÔÁËÖÅ é. îÉËÏËÏÛÅ×ÙÍ É á. óËÏÅÎËÏ×ÙÍ ÎÁ ìÅÔÎÅÊ ëÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ ÕÒÎÉÒÁ çÏÒÏÄÏ× (òÏÓÓÉÑ, âÅÌÏÒÅ Ë). íÙ ×ÙÒÁÖÁÅÍ ÂÌÁÇÏÄÁÒÎÏÓÔØ á. çÁÌÏÞËÉÎÕ É ä. ìÅÛËÏ ÚÁ ÏÌÅÚÎÙÅ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÑ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ ìÉÕ×ÉÌÌÑ s P

2−n! . ïÂÏÚÎÁÞÉÍ s = n=0 óÎÁÞÁÌÁ ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ìÉÕ×ÉÌÌÑ  ÉÒÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏ . ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÎÁÒÏÔÉ×, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f (x) = bx + Ó ÅÌÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ b 6= 0 É ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ f () = 0. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ËÏÒÅÎØ, ÚÎÁÞÉÔ f (s ) 6= 0 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ s > |b|. íÙ ÏÌÕÞÉÍ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ s > |b|: 2−s! 6 |f (s )| = |f () − f (s )| = |b| · ( − s ) < 2|b| · 2−(s+1)! : ðÅÒ×ÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÅÒÎÏ, ÔÁË ËÁË f (s ) 6= 0 ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ ËÁË ÄÒÏÂØ ÓÏ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅÍ 2s! . ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÅÒÎÏ, ÔÁË ËÁË ∞ X 0 <  − s < 2−(s+1)! 2−n = 2 · 2−(s+1)! : n=0 ÅÅÒØ ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ìÉÕ×ÉÌÌÑ  ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÉÒÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÓÔØÀ , Ô. Å. ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ f (x) = = ax2 + bx + = 0 Ó ÅÌÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ a 6= 0, b É . ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÎÁÒÏÔÉ×, ÞÔÏ  Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÔÁËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ÁË ËÁË Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ Ä×ÕÈ ËÏÒÎÅÊ, ÔÏ f (s) 6= 0 ÄÌÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ s. ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ s ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×: 2−2s! 6 |f (s )| = |f () − f (s )| = ( − s ) · |a( + s) + b| < < (2|a| + |b|) · 2 · 2−(s+1)! : ðÅÒ×ÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÅÒÎÏ, ÔÁË ËÁË f (s ) 6= 0 ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ ËÁË ÄÒÏÂØ ÓÏ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅÍ 22s! . ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÓÌÕÞÁÀ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ.

ðÒÉÍÅÒÙ ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ

179

îÁËÏÎÅ , ÒÉ×ÅÄÅÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÏÓÔÉ ÞÉÓÌÁ ìÉÕ×ÉÌÌÑ . ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÎÁÒÏÔÉ×, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ  Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÁÌÇÅÂÒÁ-

ÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ f (x) = at xt + at−1 xt−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 Ó ÅÌÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ a0 ; : : : ; at−1 ; at 6= 0. ÁË ËÁË ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÌÉÛØ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ËÏÒÎÅÊ, ÔÏ f (s ) 6= 0 ÄÌÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ s. ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ s ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×: X −ts! n −1−i i 2 6 |f (s )| = |f () − f (s)| = ( − s) · an s < C · 2−(s+1)! ; 06i 0 ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ n − 2r ∈ Uq−1 .

1

182

á. ëÁÉÂÈÁÎÏ×, á. óËÏÅÎËÏ×

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÞÉÓÌÁ n ∈ Uq : n = 2wk + 2wk−1 + · · · + 2w1 ; ÇÄÅ wk > wk−1 > · · · > w1 > 0 É k 6 q: ïÂÏÚÎÁÞÉÍ w0 = −1. ÁË ËÁË n − 2r < 0 ÄÌÑ r > wk , ÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ i = 1; 2; :::; k ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ q ÅÌÙÈ r ∈ [wi−1 + 1; wi ℄ ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ n − 2r ∈ Uq−1 . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ i = 1; 2; :::; k É r ∈ [wi−1 + 1; wi − q℄ ÉÍÅÅÍ n − 2r 6∈ Uq−1. þÔÏÂÙ ÄÏËÁÚÁÔØ ÜÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ 2wi − 2r = 2wi −1 + + 2wi −2 · · · + 2r ÅÓÔØ ÓÕÍÍÁ wi − r > q ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÔÅÅÎÅÊ Ä×ÏÊËÉ, ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÂÏÌØÛÅ 2wi−1 É ÍÅÎØÛÅ 2wi < 2wi+1 . ðÏÜÔÏÍÕ ÞÉÓÌÏ n − 2r ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ q − 1 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÔÅÅÎÅÊ Ä×ÏÊËÉ. úÎÁÞÉÔ, n − 2r 6∈ Uq−1 .  ïÂÏÂÝÅÎÉÅ ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÄÁÎÁ ÓÔÒÏÇÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ {an } ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. ðÕÓÔØ ÄÁÎÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ q. îÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ m ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ q-ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÙÍ , ÅÓÌÉ m ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ q ÞÌÅÎÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ {ai}: m = ai1 + ai2 + · · · + aiq . üÔÉ ÞÌÅÎÙ ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÞÉÓÌÏ m = a2 + a2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ 2-ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÙÍ). ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ {ai } ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ q-ÒÁÚÒÅÖÅÎÎÏÊ , ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÅÌÏÇÏ M ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÒÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ q-ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÙÈ ÞÉÓÌÁ a, b É

, ÒÏÍÅÖÕÔËÉ ÍÅÖÄÕ ËÏÔÏÒÙÍÉ ÂÏÌØÛÅ M (Ô. Å. ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ b − a > M É

− b > M ). ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ {ai } ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁÚÒÅÖÅÎÎÏÊ , ÅÓÌÉ ÏÎÁ q-ÒÁÚÒÅÖÅÎÎÁÑ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ q. îÁÒÉÍÅÒ, ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ai = i ×ÓÅÈ ÅÌÙÈ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ 1-ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÏÊ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÜÔÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÅ 1-ÒÁÚÒÅÖÅÎÁ É ÔÅÍ ÂÏÌÅÅ ÎÅ ÒÁÚÒÅÖÅÎÁ. ðÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÔÅÏÒÅÍÙ íÁÌÅÒÁ ÂÙÌÏ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2i Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁÚÒÅÖÅÎÎÏÊ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ {an } ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ q-ÒÙÈÌÏÊ , ÅÓÌÉ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÏÓÏÂÏ× ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ n × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ q ÞÌÅÎÏ× ÜÔÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ) ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ Cq , ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÝÅÊ ÏÔ n (ÎÏ, ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÚÁ×ÉÓÑÝÅÊ ÏÔ q). óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÜÔÏ ÎÅÍÎÏÇÏ Ï-ÄÒÕÇÏÍÕ. äÌÑ ÌÀÂÙÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ q É n ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ dn (q) ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÊ ÞÉÓÌÁ n × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ q (ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ) ÞÌÅÎÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ {ai } Ó ÕÞÅÔÏÍ

ðÒÉÍÅÒÙ ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ

183

ÏÒÑÄËÁ. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, dn (q) | ÜÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÎÁÂÏÒÏ× (ai1 ; : : : ; aiq ) Ó n = ai1 + · · · + aiq . ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ {ai } ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ q-ÒÙÈÌÏÊ , ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÞÉÓÌÏ Cq ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ dn(q) < Cq ÒÉ ÌÀÂÏÍ n. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ {ai } ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÙÈÌÏÊ , ÅÓÌÉ ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ q-ÒÙÈÌÏÊ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ q. îÁÒÉÍÅÒ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ai = i ÎÅ ÒÙÈÌÁÑ É ÄÁÖÅ ÎÅ 2-ÒÙÈÌÁÑ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ n ÉÍÅÅÔ ÎÅ ÍÅÎÅÅ n=2−1 ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÊ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ Ä×ÕÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ dn (2) > n=2 − 1. éÚ ÌÅÍÍÙ Ï ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2i Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÙÈÌÏÊ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÏÍÕ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÔÅÏÒÅÍÙ íÁÌÅÒÁ ÍÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ. ÅÏÒÅÍÁ. åÓÌÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ {an } ÒÙÈÌÁÑ É ÒÁÚÒÅÖÅÎÎÁÑ, ÔÏ

ÞÉÓÌÏ

∞ P

n=0

2−an ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÏ.

âÙÌÏ ÂÙ ÉÎÔÅÒÅÓÎÏ ÏÂÏÂÝÉÔØ ÎÁÛÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÏÓÔÉ ÞÉÓÌÁ íÁÌÅÒÁ É ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÄÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÏÓÔÉ ÞÉÓÌÁ, ×ËÌÀÞÁÀÝÅÇÏ Ä×Á €ÈÏÒÏÛÉȁ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÑ ÜÔÏÇÏ ÞÉÓÌÁ. á×ÔÏÒÙ ÎÅ ÚÎÁÀÔ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÞÉÓÌÁ ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÙÍÉ (ÉÌÉ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÍÉ ÉÒÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÓÔÑÍÉ):

dn2−2n ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (a) n=0 ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. ∞ P

(b) ( ) (d) (e)

∞ P

n=0 ∞ P

n=0 ∞ P

n=0 ∞ P

dn2−2n ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 0 6 dn 6 n.

(−1)n 2−2n .

n=0 ∞ P

dn ÅÌÙÈ

"n2−2n ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ "n ∈ {±1}. 2−[1;1n ℄ .

(f) 2−fn , ÇÄÅ n=0 æÉÂÏÎÁÞÞÉ.

fn+2 = fn+1 + fn, f0 = f1 = 1 | ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ

184

á. ëÁÉÂÈÁÎÏ×, á. óËÏÅÎËÏ×

óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

[1℄ çÁÌÏÞËÉÎ á. ï ÍÅÒÅ ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÏÓÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÊ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ // íÁÔ. úÁÍÅÔËÉ, 1980. . 27, ‚2. ó. 175{183. [2℄ ëÕÒÁÎÔ ò., òÏÂÂÉÎÓ ç. þÔÏ ÔÁËÏÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ? í.: íãîíï, 2001. [3℄ æÅÌØÄÍÁÎ î. áÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ É ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÙÅ ÞÉÓÌÁ // ë×ÁÎÔ, ‚7, 1983. ó. 2{7. [4℄ Mahler K. Arithmetis he Eigens haften der Losungen einer Klasse von Funktionalglei hungen // Mathematis he Annalen, 1929. Bd. 1. S. 342{ 366. [5℄ Nishioka K. Mahler fun tions and trans enden e. Le ture Notes in Math., 1631. Berlin { New York, 1996.

á. â. óËÏÅÎËÏ×, ËÁÆÅÄÒÁ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÒÉÌÏÖÅÎÉÊ, ÍÅÈÁÎÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÆÁËÕÌØÔÅÔ, íÏÓËÏ×ÓËÉÊ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ, íÏÓË×Á, 119992, òÏÓÓÉÑ; îÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÊ ÍÏÓËÏ×ÓËÉÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ, â. ÷ÌÁÓØÅ×ÓËÉÊ ÅÒ., 11, íÏÓË×Á, 119002, òÏÓÓÉÑ. E-mail: skopenkom

me.ru á. ëÁÉÂÈÁÎÏ×, ËÁÆÅÄÒÁ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÒÉÌÏÖÅÎÉÊ, ÍÅÈÁÎÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÆÁËÕÌØÔÅÔ, íÏÓËÏ×ÓËÉÊ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ, íÏÓË×Á, 119992, òÏÓÓÉÑ. E-mail: kaibmail.ru

185

æÏÒÍÕÌÁ ÄÌÑ ÏÂßÅÍÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ËÕÂÁ Ó ÏÌÕÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ á. ñ. âÅÌÏ×

÷ Ó×ÏÅ ×ÒÅÍÑ Ñ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÌ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ÍÁÓÓÉ×Á ÇÏÒÎÙÈ ÏÒÏÄ ÓÉÓÔÅÍÁÍÉ ÔÒÅÝÉÎ. ëÁÖÄÁÑ ÔÁËÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÌÁÓØ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÒÁ×ÎÏÏÔÓÔÏÑÝÉÈ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ. óÌÕÞÁÊ ÔÒÅÈ ÓÉÓÔÅÍ ÔÒÉ×ÉÁÌÅÎ | ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁ ÒÁ×ÎÙÅ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÙ. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÂÏÌØÛÉÍ ÞÉÓÌÏÍ ÓÉÓÔÅÍ (ÍÎÅ ËÁÖÅÔÓÑ) ÏÞÔÉ ÎÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÌÉÓØ (ÈÏÔÑ ÔÁËÉÅ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ ÄÏÌÖÎÙ ÉÍÅÔØ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ Ë Ë×ÁÚÉËÒÉÓÔÁÌÌÁÍ). îÁ ÒÁËÔÉËÅ ÎÁÂÌÀÄÁÌÓÑ ÓÌÕÞÁÊ ÞÅÔÙÒÅÈ ÓÉÓÔÅÍ ÒÑÍÙÈ. íÅÎÑ ÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÌÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÂÌÏËÏ× Ï ÏÂßÅÍÁÍ. ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÁÆÆÉÎÎÏÇÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÅÒ×ÙÅ ÔÒÉ ÓÉÓÔÅÍÙ ÒÁÚÂÉ×ÁÀÔ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁ ÅÄÉÎÉÞÎÙÅ ËÕÂÙ, ÞÅÔ×ÅÒÔÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÈ ÄÏÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ. ÁË Ñ ÒÉÛÅÌ Ë ÆÏÒÍÕÌÅ ÏÂßÅÍÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ËÕÂÁ Ó ÏÌÕÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ, ËÏÔÏÒÁÑ ÉÍÅÅÔ ËÒÁÓÉ×ÏÅ n-ÍÅÒÎÏÅ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ËÕ K : K = {(x1 ; : : : ; xn ) ÏÌÕÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Pd , ÚÁÄÁ×ÁÅÍÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ X

|

0

6

xi

6

1} É

aixi 6 d:

÷ÙÂÅÒÅÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÏÓÅÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ

ai ÓÔÁÌÉ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÍÉ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÏÓÔÕÉÍ ÔÁË. åÓÌÉ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ai ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÊ, ÔÏ ÓÄÅÌÁÅÍ ÚÁÍÅÎÕ xi → 1 − xi ; ÒÉ ÜÔÏÍ ai ÚÁÍÅÎÉÔÓÑ ÎÁ −ai , ËÕ K ÅÒÅÊÄÅÔ × ÓÅÂÑ, Á Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ÞÌÅÎ d ÓÔÁÎÅÔ ÒÁ×ÎÙÍ d + ai . åÓÌÉ ÖÅ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ai ÂÏÌØÛÅ ÏÄÎÏÇÏ, ÏÓÔÕÉÍ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ: ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á I ⊂ {1; : : : ; n} ÉÎÄÅËÓÏ× i, ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ ai < 0, ÓÄÅÌÁÅÍ ÔÕ ÖÅ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ xi → 1 − xi , ÏÓÔÁ×É× ×ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ xi ÂÅÚ ÉÚÍÅÎÅÎÉÊ. ëÁË É ÒÁÎØÛÅ, ËÕ K ÅÒÅÊÄÅÔ ×PÓÅÂÑ, Á ÏÌÕÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Pd | × ÏÌÕÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Pd′ = {(x1 ; : : : ; xn ) | i∈I a′i xi 6 d′ }. ðÏÓÌÅ ÔÁËÏÇÏ ÒÅ′ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ P ÏÂßÅÍÙ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ K ∩′ Pd É K ∩ Pd ÂÕÄÕÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍÉ, ′ d = d + i∈I ai, Á ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ai = |ai | ÓÔÁÎÕÔ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÍÉ, ÞÅÇÏ ÍÙ É ÄÏÂÉ×ÁÌÉÓØ. äÁÌÅÅ, ÅÓÌÉ ai = 0 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ i, ÔÏ ÏÌÕÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Pd ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏ i-Ê ÏÓÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ É n-ÍÅÒÎÙÊ ÏÂßÅÍ K ∩ Pd ÒÁ×ÅÎ (n − 1)-ÍÅÒÎÏÍÕ

186

á. ñ. âÅÌÏ×

ÏÂßÅÍÕ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Pd Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÇÒÁÎØÀ ËÕÂÁ, ÔÁË ÞÔÏ ÓÉÔÕÁ ÉÑ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÍÅÎØÛÅÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ. ÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÓÞÉÔÁÅÍ ÏÜÔÏÍÕ, ÞÔÏ ai > 0 ÒÉ ×ÓÅÈ i = 1; 2; : : : ; n. qP P 2 òÁÚÄÅÌÉ× ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á i∈I ai xi 6 d ÎÁ i∈I ai , ÒÉÈÏÄÉÍ qP 2 Ë ÓÌÕÞÁÀ, ËÏÇÄÁ i∈I ai = 1. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ Vn (d) | ÏÂßÅÍ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ K ∩ Pd | ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ:

Vn(d) = n! Qn1 ai i=1



X

|I |

(−1)

I ⊆{1;:::;n}



d−

X

n 

ai + : i∈I

(1)

úÄÅÓØ ×ÓÅ ai ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙ, x+ = max(x; 0), P Á |I | | ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á I ; ÅÓÌÉ I = ∅, ÔÏ ÏÌÁÇÁÅÍ |I | = 0 É i∈I ai = P0. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ d 6 0, ÔÏ Vn (d) = 0, a ÅÓÌÉ d > ni=1 ai , ÔÏ Vn (d) = 1.

É

÷ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÑÈ n = 1, 2 É 3 ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ÏÂßÅÍÁ ÒÅ×ÒÁÝÁÀÔÓÑ × ÔÁËÉÅ. åÓÌÉ n = 1, ÔÏ ÄÌÉÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÅÄÉÎÉÞÎÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ É ÌÕÞÁ x 6 d ÒÁ×ÎÁ V1 (d) = d+ − (d − 1)+ : ÷ Ä×ÕÍÅÒÎÏÍ É ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÑÈ ÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ:   V2 (d) = 12 (a1 a2 ) · d2+ − (d − a1 )2+ − (d − a2 )2+ + (d − a1 − a2 )2+

V3 (d) = 16 (a1 a2 a3 )−1 · d3+ − (d − a1 )3+ − (d − a2 )3+ − (d − a3 )3+ + 

+ (d − a1 − a2 )3+ + (d − a2 − a3 )3+ + (d − a3 − a1 )3+ +  − (d − a1 − a2 − a3 )3+ ; ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. éÚ ÆÏÒÍÕÌÙ (1) ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÌÏÝÁÄÉ ÓÅÞÅÎÉÑ ËÕÂÁ ÇÒÁÎÉ ÅÊ ÏÌÕÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Pd . äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ d ÅÓÔØ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÏÔ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ O ÄÏ ÇÒÁÎÉ Ù ÏÌÕÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Pd , Á ÒÁÚÎÏÓÔØ ÏÂßÅÍÏ× V (d +
d) − V (d) = S (d)
d + o(
), ÇÄÅ S (d) | ÉÓËÏÍÁÑ ÌÏÝÁÄØ ÓÅÞÅÎÉÑ ËÕÂÁ. ðÒÏÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×Á× ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (1) Ï ÁÒÁÍÅÔÒÕ d, ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÌÏÝÁÄÉ ÓÅÞÅÎÉÑ:

S (d) = (n − 1)!1Qn



X



n−1



ai +  : (2) i∈I I ⊆{1;:::;n} P òÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÎÕÌÀ S (d) ÒÉ d > ai (Ô.Å. ËÏÇÄÁ ÇÒÁÎÉ Á Pd ÏÌÕÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ËÕÂÁ K ) ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÚÁÂÁ×ÎÏÅ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï:  X X  n− 1 (−1)|I | d − ai ≡ 0: (3) i=1 ai

I ⊆{1;:::;n}



(−1)|I |

i∈I

d−

X

æÏÒÍÕÌÁ ÄÌÑ ÏÂßÅÍÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ËÕÂÁ Ó ÏÌÕÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ

187

(îÉÖÎÉÅ ÚÎÁÞËÉ €+ ÓÎÑÔÙ, ÉÂÏ ×ÓÅ ÞÌÅÎÙ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙ, ÏÜÔÏÍÕ ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÔ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ d É ai , ÇÄÅ i = 1; : : : ; n. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÎÕÌÀ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ × ÏÔËÒÙÔÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ×ÌÅÞÅÔ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÎÕÌÀ). äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÆÏÒÍÕÌÙ (1)

Q  −1 ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ n1! ni=1 ai · dn+ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÅÔ ÏÂßÅÍ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Pd Ó ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ÏÒÔÁÎÔÏÍ Q = {(x1 ; : : : ; xn ) | xi > 0}: ÷ÅÌÉÞÉÎÁ !n n −1 n X 1 Y

n!

i=1

ai

d−

i=1

ai fi

+ ÒÁ×ÎÁ ÏÂßÅÍÕ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Pd ÓÏ ÓÄ×ÉÇÏÍ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÏÒÔÁÎÔÁ Q ~ ÎÁ ×ÅËÔÏÒ f = (f1 ; : : : ; fn ) (Ô. Å. Ó ÏÂÌÁÓÔØÀ {(x1 ; : : : ; xn ) | xi > fi}). ðÕÓÔØ VId | ÏÂßÅÍ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Pd Ó ÏÂÌÁÓÔØÀ UI = {(x1 ; : : : ; xn ) | xi > 0; i ∈= I; xi > 1; i ∈ I }: ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, U∅ = {(x1 ; : : : ; xn ) | xj > 0}. ÏÇÄÁ ÆÏÒÍÕÌÁ (1) ÒÉÍÅÔ ×ÉÄ:

Qf~

Vn(d) =

X

(−1)|I | VId :

I ⊆{1;:::;n}

ðÕÓÔØ Qi = {(x1 ; : : : ; xn ) | xj > 0; j 6= i; xi > 1}. ÏÇÄÁ UI = ∩i∈I Qi É ÆÏÒÍÕÌÁ (1) ÏËÁÖÅÔÓÑ ÞÁÓÔÎÙÍ ÓÌÕÞÁÅÍ (ËÏÇÄÁ  = Pd ) ÆÏÒÍÕÌÙ Vol(K ∩ ) = Vol( ∩ U∅) +

X

(−1)k · Vol( ∩ Qi1 ∩ : : : ∩ Qik ): (4)

16k6n; 16i1 b − qd > 0. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, q ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÞÁÓÔÎÙÍ ÏÔ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÄÅÌÅÎÉÑ b ÎÁ d. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÎÁÞÁÌÅ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ b ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ d: b = qd + r, 0 < r < d. ðÏÓËÏÌØËÕ ad − b2 = 1,  ′ ′ det ab′ db ′ = 1 (9)

(ÜÔÁ ÍÁÔÒÉ Á ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÍÁÔÒÉ Ù Ó ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÅÍ 1 ÎÁ Ä×Å ÍÁÔÒÉ Ù Ó ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÅÍ −1). ðÏÜÔÏÍÕ ÉÚ a′ = d > 0, b′ = r > 0 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ É d′ > 0. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, a′ = d > r = b′ . ïÓÔÁÌÏÓØ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï r = b′ > d′ . åÓÌÉ d′ > b′, ÔÏ a′ d′ > (b′ + 1)2 > b′2 + 1, ÞÔÏ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ (9). ÅÅÒØ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ b ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ d. ÏÇÄÁ   ′ ′  ′ a b = a 0 : b′ d′ 0 d′ ïÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÜÔÏÊ (ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÊ) ÍÁÔÒÉ Ù ÒÁ×ÅÎ 1, ÏÜÔÏÍÕ a′ = d′ = 1. úÁÍÅÔÉÍ,  ′ ′ ÞÔÏ ÌÅÍÍÕ 2 ÍÏÖÎÏ ÒÉÍÅÎÑÔØ ÉÎÄÕËÔÉ×ÎÏ: ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ab′ db ′ ÌÉÂÏ ÅÄÉÎÉÞÎÁÑ, ÌÉÂÏ ÔÏÖÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÌÅÍÍÙ. ðÒÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÍ ÒÉÍÅÎÅÎÉÉ ÌÅÍÍÙ 2 ×ÎÅÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÕÂÙ×ÁÀÔ, ËÁË ×ÉÄÎÏ ÉÚ (8). ðÏÜÔÏÍÕ ÒÁÎÏ ÉÌÉ ÏÚÄÎÏ ÍÁÔÒÉ Á ÓÔÁÎÅÔ

ï ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ÞÉÓÅÌ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ Ä×ÕÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×

193

ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÔÁËÏÇÏ ÒÏ ÅÓÓÁ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù, ÉÍÅÀÝÅÅ ×ÉÄ            a b = q0 1 q1 1 · : : : · qn 1 qn 1 · : : : · q1 1 q0 1 b d 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 (10) ÅÅÒØ ×ÅÒÎÅÍÓÑ Ë ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÉÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ üÒÍÉÔÁ { óÅÒÒÅ. âÅÚ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ z < n=2. ÏÇÄÁ k = (z 2 + 1)=n 6 z . ðÏÜÔÏÍÕ ÉÚ ÌÅÍÍÙ 2 ÓÌÅÄÕÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÇÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÄÌÑ ÍÁÔÒÉ Ù            n z = q0 1 q1 1 · : : : · qn 1 qn 1 · : : : · q1 1 q0 1 : z k 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 (11) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ        x u q 1 q 1 q 1 n 1 0 A = y v = 1 0 · ::: · 1 0 1 0 : ÏÇÄÁ     

n z = At A = x y z k u v

x u : y v

úÎÁÞÉÔ, n = x2 + y2 . ÁË ËÁË ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ×ÉÄÁ (6) ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏ, ÔÏ ÉÚ (5) ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ x = an+1 , y = an+2 , ÇÄÅ ai | ÏÓÔÁÔËÉ × ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ å×ËÌÉÄÁ, ÒÉÍÅÎÅÎÎÏÍ Ë ÁÒÅ a0 = n, a1 = z . ñÓÎÏ, ÞÔÏ a2n+k 6 n ÒÉ k > 1. äÌÑ ÚÁ×ÅÒÛÅÎÉÑ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ üÒÍÉÔÁ { óÅÒÒÅ ÏÓÔÁÌÏÓØ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ a2i > n√ ÒÉ i 6 n. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ an = qnan+1 + an+2 > n. é ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, a2n = (qnx + y)2 > (x + y)2 = n + 2xy > n: úÁÍÅÞÁÎÉÑ.

1. õ ÅÎÙÈ ÄÒÏÂÅÊ ÅÓÔØ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÑ (ÓÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ, [1℄.) éÎÔÅÒÅÓÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ×ÙÒÁÚÉÔØ Ñ×ÎÏ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ ÌÅÍÍÙ 2. 2. éÚ (11) ÍÏÖÎÏ ×Ù×ÅÓÔÉ ÕÏÍÉÎÁ×ÛÉÊÓÑ ×ÙÛÅ ÆÁËÔ, ÞÔÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ n=z × ÅÎÕÀ ÄÒÏÂØ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ. 3. ÷ ËÎÉÇÅ äÜ×ÅÎÏÒÔÁ [2℄ ÒÉ×ÅÄÅÎÏ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÏÓÏÂÏ× ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ × ÓÕÍÍÕ Ä×ÕÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×. ÷ÓÅ ÏÎÉ ÔÁË ÉÌÉ ÉÎÁÞÅ ÉÓÏÌØÚÕÀÔ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ × ÅÎÙÅ ÄÒÏÂÉ É ÎÅÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙ × ÓÍÙÓÌÅ ÔÅÏÒÉÉ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ: ×ÒÅÍÑ ÒÁÂÏÔÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÄÌÉÎÙ ×ÈÏÄÁ (ËÏÔÏÒÁÑ ÒÉÍÅÒÎÏ ÒÁ×ÎÁ ÌÏÇÁÒÉÆÍÕ ÞÉÓÌÁ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ Ä×ÕÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×).

194

í. î. ÷ÑÌÙÊ

4. ÷ ÓÌÕÞÁÅ ÒÏÓÔÏÇÏ n ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ çÁÕÓÓÁ, ÄÏËÁÚÁÎÎÁÑ ëÏÛÉ É ñËÏÂÛÔÁÌÅÍ. ðÕÓÔØ n = 4k + 1 | ÒÏÓÔÏÅ,   1 x ≡ 2 2k (mod n); y ≡ (2k)!x (mod n); |x|; |y| < n=2:

k

ÏÇÄÁ x2 + y2 = n. îÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ €Ñ×ÎÙʁ ×ÉÄ ÆÏÒÍÕÌÙ çÁÕÓÓÁ, ÏÎÁ ÔÁËÖÅ ÎÅ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÍÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, × [2℄ ÎÅ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÆÏÒÍÕÌÙ çÁÕÓÓÁ, Á ÌÉÛØ ÓÏÏÂÝÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÎÅ ÏÞÅÎØ ÒÏÓÔÙ. ÷ÏÚÍÏÖÎÏ, ËÔÏ-ÎÉÂÕÄØ ÉÚ ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс ÒÉÄÕÍÁÅÔ ÒÏÓÔÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÇÏ ÆÁËÔÁ? á×ÔÏÒ ÂÌÁÇÏÄÁÒÅÎ à. á. æÌ£ÒÏ×Õ, ÚÁÉÎÔÒÉÇÏ×Á×ÛÅÇÏ ÅÇÏ ×ÏÒÏÓÏÍ Ï ÁÌÇÏÒÉÔÍÁÈ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ × ÓÕÍÍÕ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×, Á ÔÁËÖÅ é. âÏÇÄÁÎÏ×Õ, ÷. âÕÇÁÅÎËÏ, ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×Õ ÚÁ ÉÎÔÅÒÅÓ Ë ÓÔÁÔØÅ É ÅÎÎÙÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ. [1℄ [2℄ [3℄ [4℄

óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ áÒÎÏÌØÄ ÷. é. ãÅÎÙÅ ÄÒÏÂÉ . âÉÂ-ËÁ íÁÔÅÍ. ÒÏÓ×., ×Ù. 14. í.: íãîíï, 2001. äÜ×ÅÎÏÒÔ ç. ÷ÙÓÛÁÑ ÁÒÉÆÍÅÔÉËÁ . í.: îÁÕËÁ, 1965. But her J. C. MATHEMATICAL MINIATURE 14: Sums of two squares revisited . www.math.au kland.a .nz/~ but her/miniature/miniature14.pdf van der Poorten A. J. The Hermite{Serret Algorithm and 122 + 332 // Cryptography and Computational Number Theory. Springer Verlag, 2001. P. 129{136.

÷ÑÌÙÊ í. î., ÷ã òáî, ÷ëí îíõ e-mail: vyalyim

me.ru

195

ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ í. û. ãÁÌÅÎËÏ

ïÓÔÁÔËÉ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÞÌÅÎÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ, ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ, ÎÁ ÄÁÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ k ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ðÒÉÍÅÒÁÍÉ ÍÏÇÕÔ ÓÌÕÖÉÔØ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÅ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ, ÓÔÅÅÎÎÙÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ nm , × ËÏÔÏÒÙÈ n ÒÏÂÅÇÁÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ 0; 1; 2; : : : , Á m Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ÅÌÙÍ ÞÉÓÌÏÍ, ÞÉÓÌÁ æÉÂÏÎÁÞÞÉ É ÍÎÏÇÉÅ ÄÒÕÇÉÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. îÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ÅÒÉÏÄÏ× ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÍÏÊ ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÉ. íÁÔÅÒÉÁÌ ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÉ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎ × ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ËÒÕÖËÁÈ. ïÎ ÔÁËÖÅ ÏÌÅÚÅÎ É ÄÏÓÔÕÅÎ ÕÞÁÝÉÍÓÑ ÓÔÁÒÛÉÈ ËÌÁÓÓÏ×, ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÝÉÍÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ É ÒÉÎÉÍÁÀÝÉÍ ÕÞÁÓÔÉÅ × ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÑÈ. 1. òÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ íÙ ÂÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ ÉÌÉ, ÄÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÆÕÎË ÉÉ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÅÌÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ, ÒÉÎÉÍÁÀÝÉÅ ÅÌÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. ðÏ ÔÒÁÄÉ ÉÉ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÔÁËÏÊ ÆÕÎË ÉÉ a ÎÁ ÞÉÓÌÅ n (n-Ê ÜÌÅÍÅÎÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ) ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ an . ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÊ , ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ an+k = 1 an+k−1 + 2an+k−2 + · · · + k a0 ; ÇÄÅ 1 ; : : : ; k | ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. ðÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ÜÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÎÁ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÒÉÍÅÒÁÈ. ðÒÏÓÔÅÊÛÉÊ ÒÉÍÅÒ | ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÁÑ ÒÏÇÒÅÓÓÉÑ, ËÏÔÏÒÁÑ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ an+1 = an + d. åÅ ÍÏÖÎÏ ÚÁÄÁÔØ É Ï-ÄÒÕÇÏÍÕ, ÉÓËÌÀÞÉ× d: an+2 − 2an+1 + an = 0. áÎÁÌÏÇÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÍÏÖÎÏ ÎÁÉÓÁÔØ É ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× an = n2 : an+3 − 3an+2 − 3an+1 + an = 0. úÁÄÁÞÁ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ k ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ an = nk ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÍÕ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ k X i=0

(−1)i

 

k a = 0: i n+i

196

í. û. ãÁÌÅÎËÏ

òÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ É ÍÎÏÇÉÅ ÄÒÕÇÉÅ ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ×ÉÄÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ, ÓËÁÖÅÍ, ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ an+1 = qan ÉÌÉ ÞÉÓÌÁ æÉÂÏÎÁÞÞÉ an+2 = an+1 + an , a0 = 0, a1 = 1. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÅÒÉÏÄÉÞÎÙ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ an+2 = an+1 − an; a0 = 2; a1 = 1 ÅÒÉÏÄÉÞÎÁ Ó ÅÒÉÏÄÏÍ 6 (ÒÏ×ÅÒØÔÅ!). õÒÁÖÎÅÎÉÅ. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÏÓÔÁÔËÉ, ÏÂÒÁÚÕÅÍÙÅ ÞÉÓÌÁÍÉ æÉÂÏÎÁÞÞÉ ÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ ÎÁ 2, 3, 4 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ Ó ÅÒÉÏÄÁÍÉ 3, 8, 12. 2. óÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ï ÍÏÄÕÌÀ çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ a É b ÓÒÁ×ÎÉÍÙ Ï ÍÏÄÕÌÀ n > 1, ÅÓÌÉ ÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ ÎÁ n ÏÎÉ ÄÁÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÊ ÏÓÔÁÔÏË (ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ a ≡ b (mod n)). ïÔÎÏÛÅÎÉÅ ÓÒÁ×ÎÉÍÏÓÔÉ Ï ÌÀÂÏÍÕ ÍÏÄÕÌÀ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÓÕÍÍÁ ÏÓÔÁÔËÏ× ÓÒÁ×ÎÉÍÁ Ó ÏÓÔÁÔËÏÍ ÏÔ ÓÕÍÍÙ É ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÏÓÔÁÔËÏ× ÓÒÁ×ÎÉÍÏ Ó ÏÓÔÁÔËÏÍ ÏÔ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ. ëÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ Ï ÍÏÄÕÌÀ n ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ËÌÁÓÓÁÍÉ ×ÙÞÅÔÏ× ÉÌÉ ÒÏÓÔÏ ×ÙÞÅÔÁÍÉ Ï ÍÏÄÕÌÀ n. ÷ÙÞÅÔÙ ÍÏÖÎÏ ÓËÌÁÄÙ×ÁÔØ É ÕÍÎÏÖÁÔØ Ï ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÒÁ×ÉÌÁÍ [a℄ + [b℄ = [a + b℄; [a℄ · [b℄ = [ab℄: íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ Z É ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÙÞÅÔÏ× Zn ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ × ÁÌÇÅÂÒÅ ËÏÌØ ÁÍÉ, Á ÓÏÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÞÉÓÌÕ a ËÌÁÓÓÁ ×ÙÞÅÔÏ× [a℄, ËÏÔÏÒÏÍÕ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÏÓÔÁÔÏË ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ a ÎÁ n, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ËÏÌØ Á ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ Z ÎÁ ËÏÌØ Ï ×ÙÞÅÔÏ× Zn . ÷ÙÞÅÔ [a℄ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ ÎÕÌÑ × Zn , ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÊ ×ÙÞÅÔ [b℄, ÞÔÏ [a℄ · [b℄ = [0℄. ÷ÙÞÅÔ [a℄ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÒÁÔÉÍÙÍ × Zn , ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÊ ×ÙÞÅÔ [b℄, ÞÔÏ [a℄ · [b℄ = [1℄. íÏÖÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ×ÙÞÅÔ ÌÉÂÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ ÎÕÌÑ, ÌÉÂÏ ÏÂÒÁÔÉÍ. ïÂÒÁÔÉÍÙÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÔÅ ×ÙÞÅÔÙ [a℄, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ a ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÏ Ó n. ÷ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÜÔÏÇÏ ÆÁËÔÁ ÏÌÅÚÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÎÁÉÂÏÌØÛÅÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ÄÅÌÉÔÅÌÑ (a; b) ÞÉÓÅÌ a É b: (a; b) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ ua + vb ÞÉÓÅÌ a É b. 3. ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ îÁÚÏ×ÅÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ a0 ; : : : ; an ; : : : ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ , ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ T > 0, ÞÔÏ an+T = an ÄÌÑ ×ÓÅÈ n ÂÏÌØÛÉÈ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ n0: (1)

ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ

197

îÁÉÍÅÎØÛÅÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ÞÉÓÌÏ T , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ (1), ÎÁÚÏ×ÅÍ ÅÒÉÏÄÏÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ an . éÓÏÌØÚÕÑ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÎÁÉÂÏÌØÛÅÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ÄÅÌÉÔÅÌÑ, ÕÏÍÑÎÕÔÏÅ ×ÙÛÅ, É ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÆÁËÔ:

ÅÏÒÅÍÁ 1. åÓÌÉ ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ an ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ Ä×Á ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÌÁ T1 É T2 , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ (1), ÔÏ ÄÌÑ D = = (T1 ; T2 ) ÔÁËÖÅ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ (1).

ðÏÜÔÏÍÕ ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ T , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ (1), ËÒÁÔÎÙ ÅÒÉÏÄÕ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ.

ÅÏÒÅÍÁ 2. ðÕÓÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ an ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ an+t = 1 an+t−1 + 2 an+t−2 + · · · + t a0 , × ËÏÔÏÒÏÍ ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ 1 ; : : : ; t | ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ. åÓÌÉ a0 ; a1 ; : : : ; at−1 | ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÔÏ ×ÓÅ ÞÌÅÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÅÌÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ, ÏÓÔÁÔËÉ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁ ÌÀÂÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ.

ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÔÅÏÒÅÍÕ 2, ÒÁÚÂÅÒÅÍ ÓÌÕÞÁÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ an . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÓÔÁÔËÉ ÓÔÅÅÎÅÊ a Ï ÍÏÄÕÌÀ k. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ [a℄n = [an ℄ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÞÌÅÎÙ (ÔÁË ËÁË ×ÙÞÅÔÏ× Ï ÍÏÄÕÌÀ k ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ). úÎÁÞÉÔ, ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï [a℄m1 = [a℄m2 (2) ÒÉ m1 6= m2 . âÅÚ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ T = m1 − m2 > 0. õÍÎÏÖÁÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (2) ÎÁ [a℄n−m2 , ÕÂÅÖÄÁÅÍÓÑ, ÞÔÏ [a℄n+T = [a℄n ÒÉ n > m2. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÓÔÁÔËÏ× ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ an ÎÁ k ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ. ðÏÄÒÏÂÎÅÅ ÜÔÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ É ÉÈ ÅÒÉÏÄÙ ÏÂÓÕÖÄÁÀÔÓÑ ÎÉÖÅ × ÒÁÚÄÅÌÅ 5. ðÒÉÍÅÒ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 1; 2; 22 ; : : : É ÍÏÄÕÌÑ 4 ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÅ Ï×ÔÏÒÅÎÉÅ ÎÅ ÏÂÑÚÁÎÏ ÎÁÞÉÎÁÔØÓÑ Ó ÓÁÍÏÇÏ ÎÁÞÁÌÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ: × ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÏÓÔÁÔËÏ× ÅÓÔØ 1; 2; 0; 0; : : : äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ 2. ïÎÏ ÏÂÏÂÝÁÅÔ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÅ ×ÙÛÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ Ï ÏÓÔÁÔËÁÈ ÞÌÅÎÏ× ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ. äÌÑ ÏÓÔÁÔËÏ× ÞÌÅÎÏ× ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÔÁËÖÅ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ [an+t ℄ = [ 1 ℄ · [an+t−1 ℄ + [ 2 ℄ · [an+t−2 ℄ + · · · + [ t ℄ · [a0 ℄; ÏÜÔÏÍÕ ÌÀÂÙÅ t ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÞÉÓÌÏ × ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. îÏ ÎÁÂÏÒÏ× ÉÚ t ÏÓÔÁÔËÏ× (ËÏÒÔÅÖÅÊ ÄÌÉÎÙ t) ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ k

198

í. û. ãÁÌÅÎËÏ

ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ | kt . úÎÁÞÉÔ, ËÁËÏÊ-ÔÏ ÎÁÂÏÒ ×ÓÔÒÅÔÉÔÓÑ Ä×ÁÖÄÙ, ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÓÔÁÎÕÔ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉ Ï×ÔÏÒÑÔØÓÑ.  ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 4. óÔÅÅÎÎÙÅ

ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ an = nm Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍÉ, ÔÁË ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÓÔÁÔËÏ× rn = nm (mod k) ÅÒÉÏÄÉÞÎÙ × ÓÉÌÕ ÔÅÏÒÅÍÙ 2. ìÅÍÍÁ 1. a ) ðÅÒÉÏÄ T ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ rn = nm (mod k) Ñ×ÌÑ-

ÅÔÓÑ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ k. b ) íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÏÓÔÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÅÒÉÏÄÁ T ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÒÏÓÔÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ
2k .
m Ó ) óÕÍÍÁ mT + 2 T + · · · + mm−1 T m−1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ k. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. Á) äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ i = 0; 1; 2; : : : ÉÍÅÅÍ:

m im−1 k + mim−2 k2 + · · · + km ≡ im (mod k): 1 2 ðÏ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÀ ÔÅÏÒÅÍÙ 1 ÅÒÉÏÄ T Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ k. ðÏÜÔÏÍÕ ÉÚ ÎÁÉÓÁÎÎÏÇÏ ×ÙÛÅ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ (i + T )m ≡ im (mod k) ÄÌÑ ×ÓÅÈ i > 0. b) åÓÌÉ T Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÒÉÏÄÏÍ, ÔÏ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÒÉ i = 0 ÉÍÅÅÍ: 0m = 0 ≡ (0 + T )m = T m (mod k): óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÞÉÓÌÏ T m ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ k É ÏÜÔÏÍÕ ÓÒÅÄÉ ÒÏÓÔÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ T ÄÏÌÖÎÙ ÎÁÈÏÄÉÔØÓÑ ×ÓÅ ÒÏÓÔÙÅ ÄÅÌÉÔÅÌÉ k. éÚ Á) ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ×ÅÒÎÏ É ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÏÓÔÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ k É T (i + k)m

= im +

 

ÓÏ×ÁÄÁÀÔ. Ó) åÓÌÉ T | ÅÒÉÏÄ, ÔÏ ÒÉ i = 1 ÉÍÅÅÍ:  

1 = 1m ≡ (1+T )m = 1+mT ++

m T 2 +· · ·+ m T m−1 +T m (mod k): 2 m−1

óÏËÒÁÝÁÑ 1 × ÏÂÅÉÈ ÞÁÓÔÑÈ ÜÔÏÇÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ É T m ÞÁÓÔÉ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÎÕÖÎÏÅ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ.

≡

0 (mod k) × ÒÁ×ÏÊ

ÅÏÒÅÍÁ 3. ïÓÔÁÔËÉ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÞÌÅÎÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÌÎÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÎÁ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ k > 1 ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÅÒÉÏÄ T ËÏÔÏÒÏÊ ÒÁ×ÅÎ k, ÅÓÌÉ k ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 4, É ÒÁ×ÅÎ k=2, ÅÓÌÉ k ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 4. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ ÓÉÌÕ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ Á) ÌÅÍÍÙ 1 ÅÒÉÏÄ T Ñ×ÌÑÅÔÓÑ

ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ k. åÓÌÉ T < k, ÔÏ T 6 k=2. ðÏÜÔÏÍÕ 2T 6 k. ÷ ÓÉÌÕ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ Ó) ÌÅÍÍÙ 1 2T > k, Ô. Å. 2T = k. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÞÉÓÌÏ k ÞÅÔÎÏ. ÷ ÓÉÌÕ

ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ

36 33 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 00

2

4

6

8 òÉÓ. 1.

199

10

12

14

16

18

x2 (mod 18)

25 20 15 10 5 00

5

10 òÉÓ. 2.

15

20

25

x2 (mod 25)

ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ b) ÌÅÍÍÙ 1 ÅÒÉÏÄ ÔÏÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÅÔÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ. ðÏÜÔÏÍÕ k ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 4, Á ÅÒÉÏÄ T ÒÁ×ÅÎ k=2. ÷Ï ×ÓÅÈ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ T = k. úÁÄÁÞÁ. ðÒÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ P (x) Ó ÅÌÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ P (1) = 2. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ P (7) ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÎÙÍ Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ.

ðÅÒÅÊÄÅÍ ÔÅÅÒØ Ë ÏÂÝÅÍÕ ÓÌÕÞÁÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ an = nm , m > 2. ëÁË ÕÖÅ ÏÔÍÅÞÁÌÏÓØ, ×ÓÑËÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ an Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÅÊ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ, ÒÉÎÉÍÁÀÝÅÇÏ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÅ ÅÌÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. çÒÁÆÉË ÔÁËÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÔÏÞÅË. ëÁË ×ÉÄÎÏ ÉÚ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÊ n2m ≡ (−n)2m ≡ (T − n)2m (mod k), × ÓÌÕÞÁÅ ÓÔÅÅÎÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ Ó ÞÅÔÎÙÍ ÏËÁÚÁÔÅÌÅÍ ÞÁÓÔØ ÇÒÁÆÉËÁ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÅÒÉÏÄÕ (ÏÔ 0 ÄÏ T ) ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÑÍÏÊ x = T=2. îÁ ÒÉÓ. 1 É 2 ÍÏÖÎÏ Õ×ÉÄÅÔØ ÜÔÕ ÓÉÍÍÅÔÒÉÀ (ËÕÓËÉ ÁÒÁÂÏÌ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÙ €ÄÌÑ ËÒÁÓÏÔف).

200

í. û. ãÁÌÅÎËÏ

ÅÅÒØ ÏÓÔÒÏÉÍ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ T , ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÏÓÔÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÒÏÓÔÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÞÉÓÌÁ k É mT ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ k. ðÕÓÔØ k = p1 1 p2 2 · : : : · ps s , ÇÄÅ p1 ; p2 ; : : : ; ps | ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÒÏÓÔÙÅ ÞÉÓÌÁ, Á ÏËÁÚÁÔÅÌÉ ÓÔÅÅÎÅÊ 1 ; : : : ; s ÂÏÌØÛÅ ÎÕÌÑ. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ m × ×ÉÄÅ m = p 1 1 p 2 2 · : : : · p s s m1, ÄÏÕÓËÁÑ ÄÌÑ ÏËÁÚÁÔÅÌÅÊ ÓÔÅÅÎÅÊ 1; : : : ; s ÚÎÁÞÅÎÉÅ 0. ðÏÌÏÖÉÍ T (k; m) = p 11 p 22 ·: : :·p ss ; ÇÄÅ i = i− i; ÅÓÌÉ i > i; É i = 1; ÅÓÌÉ i 6 i: ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ T (k; m) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ k, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÍ ÕËÁÚÁÎÎÙÍÉ ×ÙÛÅ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ d(k; m) = k=T (k; m). ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ m ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ d(k; m) É d(k; m) = pÆ11 pÆ22 ·: : : ·pÆss ; ÇÄÅ Æi = i; ÅÓÌÉ i > i ; É Æi = i −1; ÅÓÌÉ i 6 i; ÅÏÒÅÍÁ 4. ðÅÒÉÏÄ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ rn = nm (mod k) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ ÞÉÓÌÁ T (k; m). äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÌÑ ÕÒÏÝÅÎÉÑ ÚÁÉÓÉ ×ÍÅÓÔÏ

T (k; m) É d(k; m)

ÂÕÄÅÍ ÉÓÁÔØ T É d. ÷ ÓÉÌÕ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ ÔÅÏÒÅÍÙ 1 ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÅÌÏÇÏ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÇÏ i ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ (i + T )m ≡ im (mod k). ÁË ËÁË (i + T )m = im +

 

m Tim−1 + · · · + mT l im−l + · · · + T m; 1 l


ÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ ml T l ÄÅÌÑÔÓÑ ÎÁ k = dT ÒÉ 1 6 l 6 m. ÷ÎÁÞÁÌÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÕÞÁÊ l < m. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ q = m=d. ÁË ËÁË   m T l = m(m − 1) · : : : · (m − l + 1) T l = (dT )m − 1 · q T l−1; l · (l − 1)! l l−1 l
ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ A = ml−−11 · ql T l−1 | ÅÌÏÅ. ëÁË ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ   m = d ·  m − 1 · q ; l l−1 l × ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ A × ×ÉÄÅ ÎÅÓÏËÒÁÔÉÍÏÊ ÄÒÏÂÉ ÍÏÇÕÔ ×ÈÏÄÉÔØ ÔÏÌØËÏ ÄÅÌÉÔÅÌÉ k (ÅÓÌÉ p ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ k, ÔÏ p ÔÁËÖÅ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ d). îÏ ÅÓÌÉ k ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p, ÔÏ T l−1 ÄÅÌÉÔÓÑ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÎÁ pl−1. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, p ÍÏÖÅÔ ×ÈÏÄÉÔØ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ l ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÎÅ ÂÏÌÅÅ, ÞÅÍ ⌊logp l⌋ ÒÁÚ (ÚÄÅÓØ ⌊ ⌋ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÅÌÕÀ ÞÁÓÔØ ÞÉÓÌÁ). éÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á logp l 6 log2 l 6 l − 1 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ A | ÅÌÏÅ.

ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ

201

ïÓÔÁÅÔÓÑ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ T m ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ k. åÓÌÉ p | ÒÏÓÔÏÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ k, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÊ m ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ, ÔÏ p ×ÈÏÄÉÔ × T × ÔÏÊ ÖÅ ÓÔÅÅÎÉ, ÞÔÏ É × k. åÓÌÉ ÖÅ p | ÏÂÝÉÊ ÒÏÓÔÏÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ k É m, ÔÏ p ×ÈÏÄÉÔ × T Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÉÎ ÒÁÚ. åÓÌÉ  6 (ÄÌÑ ÕÒÏÝÅÎÉÑ ÚÁÉÓÉ ÉÎÄÅËÓÙ ÏÕÝÅÎÙ), ÔÏ p ×ÈÏÄÉÔ × T × ÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ. ÏÇÄÁ p ×ÈÏÄÉÔ × T m Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ p ÒÁÚ. ÁË ËÁË p > 2 É > , ÔÏ p > 2 > > , É T m ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p . åÓÌÉ  > , ÔÏ p ×ÈÏÄÉÔ × T Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ( − )p ÒÁÚ. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ( − )p > . ÁË ËÁË 6 p − 1, ÔÏ 1= > 1=(p − 1). õÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ  − > 1, ÏÌÕÞÁÅÍ 1 +  −

1

>1+ p −1

⇔

 p > p −1

⇔

( − )p > :

ÅÍ ÓÁÍÙÍ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ T m ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ k. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 1. åÓÌÉ k = p1 p2 · : : : · ps, ÇÄÅ p1 ; p2 ; : : : ; ps | ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ, ÔÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ m ÅÒÉÏÄ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ an = nm (mod k) ÒÁ×ÅÎ k. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 2. åÓÌÉ k É m ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙ, ÔÏ ÅÒÉÏÄ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ an = nm (mod k) ÒÁ×ÅÎ k. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÅÒÉÏÄ T ÍÅÎØÛÅ k. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÏÓÔÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ Õ T ÔÁËÏÅ ÖÅ, ËÁË Õ k (ÌÅÍÍÁ 1b). ðÏÜÔÏÍÕ ÂÅÚ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ k = p2 q É T Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ T1 = pq. ÏÇÄÁ im ≡ (i + T1 )m (mod k), Á ÔÁË ËÁË T12 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ k, ÔÏ   m T 2 + · · · + T m ≡ 1 + mT (mod k): 1m ≡ (1 + T1 )m = 1 + mT1 + 1 1 2 1 úÎÁÞÉÔ, mT1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ k. ðÏÓËÏÌØËÕ k É m ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙ, ÔÏ É T1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ k. ðÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ, ÔÁË ËÁË T1 < k. ÷ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ m É k ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÉÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ, ÅÒÉÏÄ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÍÅÎØÛÅ T (k; m), ËÁË ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÉÍÅÒ. åÓÌÉ k = = 32 = 25 É m = 8 = 23 , ÔÏ T (32; 8) = 4. ïÄÎÁËÏ ÅÒÉÏÄ T = 2, ËÁË ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ: n 0 1 2 3 4 rn 0 1 0 1 0 åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÎÅÏÞÅ×ÉÄÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï × ÜÔÏÊ ÔÁÂÌÉ Å: 38 ≡ 1 (mod 32). ïÎÏ ÌÅÇËÏ ÕÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÉÚ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ 38 − 1 = (3 − 1)(3 + 1)(32 + 1)(34 + 1): ÷ÓÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÞÅÔÎÙ, Á 3 + 1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 4.

202

í. û. ãÁÌÅÎËÏ

óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 3. åÓÌÉ k = p1 1 p2 2 · : : : · ps s , m = p 1 1 p 2 2 ·· · · · p s s , i > i − 1 ÄÌÑ ×ÓÅÈ i = 1; 2; : : : ; s, ÔÏ ÅÒÉÏÄ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ an = nm (mod k) ÒÁ×ÅÎ p1 p2 · · · · · ps .

5. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ

éÚ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ ÓÔÅÅÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ, ÞÔÏ ÅÒÉÏÄ ×ÓÅÇÄÁ Ó×ÑÚÁÎ Ó ÍÏÄÕÌÅÍ k. ïÄÎÁËÏ ÕÖÅ ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÑ ÏËÁÚÁÔÅÌØÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ (ÉÌÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÇÒÅÓÓÉÊ) an = mn , m > 1, ÅÒÉÏÄ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÏÞÅ×ÉÄÎÏÊ Ó×ÑÚÉ Ó ÍÏÄÕÌÅÍ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÞÌÅÎ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÅÄÙÄÕÝÉÍ, ÅÒÉÏÄÏÍ an ÂÕÄÅÔ ÔÁËÏÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ T > 0, ÞÔÏ (3) mi(mT − 1) ≡ 0 (mod k) ÒÉ ×ÓÅÈ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ i. ÷ÎÁÞÁÌÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ m ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÏ Ó k. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ T ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÒÑÄËÏÍ [m℄ × ËÏÌØ Å Zk , Ô. Å. ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ r, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ [m℄r = [1℄. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÏÒÑÄÏË Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÞÉÓÅÌ, ÍÅÎØÛÉÈ k É ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÈ Ó k. üÔÏ ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÞÉÓÌÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ '(k) É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÅÊ üÊÌÅÒÁ . æÕÎË ÉÑ üÊÌÅÒÁ ÏÂÌÁÄÁÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ : ÄÌÑ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÈ x, y ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ '(xy) = '(x)'(y). éÚ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÌÅÇËÏ ×Ù×ÅÓÔÉ ÆÏÒÍÕÌÕ üÊÌÅÒÁ '(p1 1 p2 2 · : : : · ps s ) = (p1 1 − p11 −1)(p2 2 − p2 2−1 ) · : : : · (ps s − ps s −1); ÇÄÅ pi | ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÒÏÓÔÙÅ ÞÉÓÌÁ. ðÏÓËÏÌØËÕ T ÄÅÌÉÔ '(k), ÔÏ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ m'(k) ≡ 1 (mod k), ËÏÔÏÒÏÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÅÏÒÅÍÏÊ üÊÌÅÒÁ . åÓÌÉ k | ÒÏÓÔÏÅ, ÔÏ '(k) = = k − 1 É ÔÅÏÒÅÍÁ üÊÌÅÒÁ ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÍÁÌÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ æÅÒÍÁ : mk−1 ≡ 1 (mod k). ÷ÓÅ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÅ ×ÙÛÅ ÆÁËÔÙ ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ, É ÉÈ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ×Ï ÍÎÏÇÉÈ ËÎÉÇÁÈ Ï ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ, ÓËÁÖÅÍ, × ËÎÉÇÅ î. â. áÌÔÕÆÏ×ÏÊ, á. ÷. õÓÔÉÎÏ×Á €áÌÇÅÂÒÁ É ÔÅÏÒÉÑ ÞÉÓÅÌ. óÂÏÒÎÉË ÚÁÄÁÞ ÄÌÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÛËÏÌ., í.: íãîíï, 2002. ïÂÝÉÊ ÓÌÕÞÁÊ ÌÅÇËÏ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÕÖÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÏÍÕ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÅÌÏÇÏ k > 1 ÏÌÏÖÉÍ k = p1 1 p2 2 · : : : · ps s k1 , ÇÄÅ p1 ; p2 ; : : : ; ps | ×ÓÅ ÏÂÝÉÅ ÒÏÓÔÙÅ ÄÅÌÉÔÅÌÉ m É k, Á 1 ; 2 ; : : : ; s | ÎÁÉÂÏÌØÛÉÅ ÓÔÅÅÎÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÜÔÉ ÄÅÌÉÔÅÌÉ ×ÈÏÄÑÔ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ k ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ. ÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ p1 1 p2 2 · : : : · ps s ÂÕÄÅÔ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØÓÑ ÞÅÒÅÚ b(m; k) ÉÌÉ ÒÏÓÔÏ ÞÅÒÅÚ b. þÉÓÌÏ k1 ÒÁ×ÎÏ k=b(m; k).

ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ

203

ÅÏÒÅÍÁ 5. ðÅÒÉÏÄ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÓÔÁÔËÏ× rn = mn (mod k), ÇÄÅ m É k | ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÂÏÌØÛÉÅ 1, ÒÁ×ÅÎ ÏÒÑÄËÕ [m℄ × Zk1 .

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÏÓËÏÌØËÕ b(m; k ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÓÔÅÅÎÅÊ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ, ×ÈÏÄÑÝÉÈ × m, ×ÓÅ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÅ ÓÔÅÅÎÉ m ÄÅÌÑÔÓÑ ÎÁ b(m; k). îÏ ÔÏÇÄÁ ÉÚ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ (3) ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ mT − 1 ≡ 0 (mod k1 ).

ðÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ 5 ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÒÉÍÅÒÅ. ðÕÓÔØ k = 12. åÓÌÉ m = 2, ÔÏ k1 = 4 É b = 4. ÏÇÄÁ ÅÒÉÏÄ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÓÔÁÔËÏ×, ÏÌÕÞÁÀÝÉÈÓÑ ÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ ÞÉÓÅÌ 2n ÎÁ 12, ÒÁ×ÅÎ 2, ÔÁË ËÁË ×ÙÞÅÔ [2℄ ÉÍÅÅÔ ÏÒÑÄÏË 2 × Z3 . åÓÌÉ m = 3, ÔÏ k1 = 4 É b = 3, É ÔÏÇÄÁ ÅÒÉÏÄ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 3n (mod 12) ÔÁËÖÅ ÒÁ×ÅÎ 2, ÔÁË ËÁË ×ÙÞÅÔ [3℄ ÉÍÅÅÔ ÏÒÑÄÏË 2 × Z4 . ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÔÅÏÒÅÍÁ 5 ÏÂßÑÓÎÑÅÔ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÔÏÔ ÆÁËÔ, ÞÔÏ ËÒÉÔÅÒÉÉ ÄÅÌÉÍÏÓÔÉ ÎÁ ÒÁÚÎÙÅ ÞÉÓÌÁ k ÉÍÅÀÔ ÒÁÚÎÕÀ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ: ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ËÒÉÔÅÒÉÑ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ×ÅÌÉÞÉÎÏÊ ÏÒÑÄËÁ ×ÙÞÅÔÁ [10℄ × Zk1 . îÁÒÉÍÅÒ, [10℄ ÉÍÅÅÔ ÏÒÑÄÏË 2 × Z11 É ÏÒÑÄÏË 6 × Z7 . 6. þÉÓÌÁ æÉÂÏÎÁÞÞÉ

îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÞÉÓÅÌ æÉÂÏÎÁÞÞÉ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ an+2 = an+1 + an É ÎÁÞÁÌØÎÙÍÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ a0 = 0, a1 = 1. ÷ ÓÉÌÕ ÔÅÏÒÅÍÙ 2 ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ k ÏÓÔÁÔËÉ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÓÔÁÔËÉ ÞÉÓÅÌ æÉÂÏÎÁÞÞÉ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÔÏÍÕ ÖÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÍÕ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ï ÌÀÂÏÍÕ ÍÏÄÕÌÀ. üÔÏ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÕÒÏÓÔÉÔØ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÞÌÅÎÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÓÔÁÔËÏ×. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÞÌÅÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÞÉÓÅÌ æÉÂÏÎÁÞÞÉ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔ ×ÓÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ: ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÞÌÅÎÙ am , am+1 ÔÏ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÎÅ ÔÏÌØËÏ am+2 , am+3 , . . . , ÎÏ É am−1 , am−2 , . . . , ÏÓËÏÌØËÕ ÉÚ am+1 = am + am−1 ÓÌÅÄÕÅÔ am−1 = am+1 − am . éÚ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ ÓÒÁÚÕ ÓÌÅÄÕÀÔ Ä×Á ×ÁÖÎÙÈ ×Ù×ÏÄÁ: Á) ÏÓÔÁÔËÉ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÅÒ×ÙÊ ÅÒÉÏÄ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó ÞÌÅÎÏ× a0 É a1 ; Â) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÏ ÞÉÓÅÌ æÉÂÏÎÁÞÞÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÄÅÌÑÔÓÑ ÎÁ ÌÀÂÏÅ ÚÁÄÁÎÎÏÅ k. ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÏÔÍÅÞÅÎÏ ÔÁËÖÅ × ËÎÉÇÅ î. î. ÷ÏÒÏÂØ£×Á €þÉÓÌÁ æÉÂÏÎÁÞÞɁ.

204

í. û. ãÁÌÅÎËÏ

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÞÌÅÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÞÉÓÅÌ æÉÂÏÎÁÞÞÉ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙ . üÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ Ó ÏÍÏ-

ÝØÀ ÍÅÔÏÄÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ m ÎÏÍÅÒ ×ÔÏÒÏÇÏ ÞÉÓÌÁ æÉÂÏÎÁÞÞÉ, ËÏÔÏÒÏÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ k (ÅÒ×ÙÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ a0 = 0). þÉÓÌÏ am−1 ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÏ Ó am × ÓÉÌÕ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ ×ÙÛÅ É ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÏ Ó k, ÔÁË ËÁË am ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÎÁÛÅÍÕ ×ÙÂÏÒÕ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ k. úÎÁÞÉÔ, ×ÙÞÅÔ [am−1 ℄ ÏÂÒÁÔÉÍ × Zk , ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ p ÅÇÏ ÏÒÑÄÏË. ÅÏÒÅÍÁ 6. ÷ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ, ××ÅÄÅÎÎÙÈ ×ÙÛÅ, ÅÒÉÏÄ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÓÔÁÔËÏ×, ÏÌÕÞÁÀÝÉÈÓÑ ÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ ÞÉÓÅÌ æÉÂÏÎÁÞÞÉ ÎÁ k > 1, ÒÁ×ÅÎ

pm.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÅÒ×ÙÊ ÅÒÉÏÄ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÁÍÉ 0, 1 É ÄÏÌÖÅÎ ËÏÎÞÁÔØÓÑ ÞÉÓÌÏÍ 1, ÔÁË ËÁË 1 + 0 = 1. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ r ÏÓÔÁÔÏË ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ am−1 ÎÁ k. ÏÇÄÁ ÞÌÅÎÙ Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ m − 1, m, m + 1, m + 2 × ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÓÔÁÔËÏ× ×ÙÇÌÑÄÑÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: r; 0; r; r; 2r (mod k): úÎÁÞÉÔ, ÏÓÔÁÔÏË Ó ÎÏÍÅÒÏÍ m + i, 0 6 i < m ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÏÓÔÁÔËÁ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ i ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÎÁ r É ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ×ÚÑÔÉÅÍ ÏÓÔÁÔËÁ Ï ÍÏÄÕÌÀ k. ðÏÜÔÏÍÕ ÅÒÅÄ ÔÒÅÔØÉÍ ÎÕÌÅÍ × ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÓÔÁÔËÏ× ÏÑ×ÉÔÓÑ ÏÓÔÁÔÏË ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ r2 ÎÁ k. ðÒÏÄÏÌÖÁÑ ÄÁÌØÛÅ, ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÏÓÌÅ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÎÕÌÑ ÎÁÞÁÌØÎÙÊ ÏÔÒÅÚÏË ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÕÍÎÏÖÁÅÔÓÑ ÎÁ r2 (Ó ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ×ÚÑÔÉÅÍ ÏÓÔÁÔËÁ Ï ÍÏÄÕÌÀ k) É Ô. Ä. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, 1 ÏÑ×ÉÔÓÑ ÅÒ×ÙÊ ÒÁÚ ÅÒÅÄ ÎÕÌÅÍ × ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÓÔÁÔËÏ×, ËÏÇÄÁ ÅÒÅÄ ÎÕÌÅÍ ÏËÁÖÅÔÓÑ [rp℄. ÁË ËÁË ×ÔÏÒÏÍÕ ÎÕÌÀ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÔ m ÞÉÓÅÌ É ÜÔÉ ÞÉÓÌÁ ÕÍÎÏÖÁÀÔÓÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÎÁ r, r2 , . . . rp−1, ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ÞÉÓÅÌ × ÅÒÉÏÄÅ ÒÁ×ÎÏ mp, ÞÔÏ É ÕÔ×ÅÒÖÄÁÌÏÓØ. ðÏËÁÖÅÍ ÎÁ ÒÉÍÅÒÁÈ, ËÁË ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÅÒÉÏÄ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÓÔÁÔËÏ× ÞÉÓÅÌ æÉÂÏÎÁÞÞÉ, ÏÌÕÞÁÀÝÉÈÓÑ ÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ ÎÁ ÞÉÓÌÏ k. ðÕÓÔØ k = 3. ÷ÔÏÒÏÊ ÞÌÅÎ × ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÞÉÓÅÌ æÉÂÏÎÁÞÞÉ, ËÏÔÏÒÙÊ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3, ÉÍÅÅÔ ÎÏÍÅÒ 4. ðÒÅÄÙÄÕÝÉÊ ÞÌÅÎ ÒÁ×ÅÎ 2. ÁË ËÁË 22 ≡ 1 (mod 3), ÔÏ ÏÒÑÄÏË ÜÔÏÇÏ ÞÌÅÎÁ ÒÁ×ÅÎ 2. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Ï ÔÅÏÒÅÍÅ 6 ÅÒÉÏÄ ÒÁ×ÅÎ 4 · 2 = 8. äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÅÒÉÏÄÁ ÎÅÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÚÎÁÔØ ×ÔÏÒÏÅ ÞÉÓÌÏ am , ËÏÔÏÒÏÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ k. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÚÎÁÔØ ÔÏÌØËÏ ÏÓÔÁÔÏË rm−1 ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ am−1 ÎÁ k, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÓÔÁÔËÉ Ó×ÑÚÁÎÙ ÔÅÍ ÖÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ, ÞÔÏ É ÓÁÍÉ ÞÉÓÌÁ æÉÂÏÎÁÞÞÉ. ðÒÏÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÕÅÍ ÓËÁÚÁÎÎÏÅ ÄÌÑ ÞÉÓÌÁ k = 10. ÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÏÓÔÁÔËÏ×: i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ri 0 1 1 2 3 5 8 3 1 4 5 9 4 3 7 0

ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ

205

óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, m = 15 É ÏÓÔÁÌÏÓØ ÎÁÊÔÉ ÏÒÑÄÏË [7℄ × ËÏÌØ Å Z10 . ÁË ËÁË 72 ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ 9, 73 | ÎÁ 3, 74 | ÎÁ 1, ÏÒÑÄÏË ÒÁ×ÅÎ 4. ðÏÜÔÏÍÕ ÅÒÉÏÄ ÒÁ×ÅÎ 15 · 4 = 60. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÔÁÂÌÉ Õ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÒÉÏÄÁ ÄÌÑ k = 2; : : : ; 15. ÷ ÜÔÏÊ ÔÁÂÌÉ Å, ËÁË É ×ÙÛÅ, | m ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÎÏÍÅÒ ×ÔÏÒÏÇÏ ÞÌÅÎÁ × ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ æÉÂÏÎÁÞÞÉ, ËÏÔÏÒÙÊ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ÚÁÄÁÎÎÏÅ k, am | ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÞÉÓÌÏ æÉÂÏÎÁÞÞÉ, p | ÏÒÑÄÏË [am−1 ℄ × Zk , T (k) | ÅÒÉÏÄ. k m am p T (k) = mp 2 3 2 1 3·1 =3 3 4 3 2 4·2 =3 4 6 8 2 6 · 2 = 12 5 5 5 4 5 · 4 = 20 6 12 144 2 12 · 2 = 24 7 8 21 2 8 · 2 = 16 8 6 8 2 6 · 2 = 12 9 12 144 2 12 · 2 = 24 10 15 610 4 15 · 4 = 60 11 10 55 1 10 · 1 = 10 12 12 144 2 12 · 2 = 24 13 7 13 4 7 · 4 = 28 14 24 46368 2 24 · 2 = 48 15 20 6765 2 20 · 2 = 40 á×ÔÏÒ ÇÌÕÂÏËÏ ÂÌÁÇÏÄÁÒÅÎ ç. á. çÁÌØÅÒÉÎÕ, ÔÝÁÔÅÌØÎÏ ÒÏÞÉÔÁ×ÛÅÍÕ ÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÙÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÒÕËÏÉÓÉ É ÓÄÅÌÁ×ÛÅÍÕ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÂÙÌÉ ÕÞÔÅÎÙ ÒÉ ÄÏÒÁÂÏÔËÅ ÔÅËÓÔÁ ÓÔÁÔØÉ.

Mi hael Tsalenko E-mail: mtsalenkosb global.net

ëÏÎËÕÒÓÙ É ÏÌÉÍÉÁÄÙ

óÔÕÄÅÎÞÅÓËÉÊ ËÏÎËÕÒÓ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ 2004{2005 ÇÇ.

ï ÒÁ×ÉÌÁÈ ËÏÎËÕÒÓÁ

÷ÎÉÍÁÎÉÀ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ ÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ ÄÏÍÁÛÎÉÊ ËÏÎËÕÒÓ. ðÏÄÏÂÎÙÅ ËÏÎËÕÒÓÙ ÒÏ×ÏÄÉÌÉÓØ ÎÅÏÄÎÏËÒÁÔÎÏ × ÒÏÛÌÏÍ. (îÁÒÉÍÅÒ, Ï ËÏÎËÕÒÓÅ 2001{2002 ÇÇ. ÓÏÏÂÝÁÌÏÓØ × €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉɁ, ×Ù. 7, 2003, Ó. 177{181.) óÒÅÄÉ ÉÈ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÅÓÔØ ËÁË ÎÅÄÁ×ÎÉÅ, ÔÁË É ÏÞÅÎØ ÄÁ×ÎÉÅ ×ÙÕÓËÎÉËÉ ÍÁÔ-ÍÅÈÁ. éÄÅÑ ËÏÎËÕÒÓÁ (× ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÏÌÉÍÉÁÄ) × ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞ, × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ, ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÓËÏÇÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÒÅÛÁÀÔÓÑ ÏÄÎÉÍ ÒÉÅÍÏÍ, Á ÔÒÅÂÕÀÔ ÓÅÒØÅÚÎÙÈ É ÎÅÓÅÛÎÙÈ ÒÁÚÄÕÍÉÊ. ëÏÎËÕÒÓ ÒÏ×ÏÄÉÔÓÑ ÏÄ ÜÇÉÄÏÊ óÁÎËÔ-ðÅÔÅÒÂÕÒÇÓËÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÝÅÓÔ×Á. ïÂÝÅÓÔ×Ï ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÖÀÒÉ É ×ÙÄÅÌÑÅÔ ÄÅÎÅÖÎÙÅ ÒÉÚÙ ÄÌÑ ÎÁÇÒÁÖÄÅÎÉÑ ÏÂÅÄÉÔÅÌÅÊ. ÷ ËÏÎËÕÒÓÅ ÍÏÇÕÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÕÞÁÓÔÉÅ ÓÔÕÄÅÎÔÙ ×ÓÅÈ ËÕÒÓÏ×. éÔÏÇÉ ÓÒÅÄÉ ÅÒ×ÏËÕÒÓÎÉËÏ× ÏÄ×ÏÄÉÌÉÓØ ÏÔÄÅÌØÎÏ. äÏÕÓËÁÌÉÓØ ËÏÌÌÅËÔÉ×ÎÙÅ (ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÔÒÅÈ ÞÅÌÏ×ÅË) ÒÁÂÏÔÙ. îÉÖÅ ÒÉ×ÏÄÑÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞ ËÏÎËÕÒÓÁ 2004{2005 ÇÇ. ÷ ÒÅÄÌÁÇÁÅÍÏÍ ÓÉÓËÅ ÉÍÅÀÔÓÑ ÚÁÄÁÞÉ ÒÁÚÌÉÞÎÏÊ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ, ÏÔ ÓÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÏ ÎÅÓÌÏÖÎÙÈ ÄÏ ÎÅÒÅÛÅÎÎÙÈ ÒÏÂÌÅÍ. õÞÁÓÔÎÉËÉ ÍÏÇÕÔ ×ÙÂÒÁÔØ ÚÁÄÁÞÉ Ï ×ËÕÓÕ É ÏÄÁ×ÁÔØ ÒÅÛÅÎÉÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÚÁÄÁÞ, ÄÁÖÅ ÏÄÎÏÊ . ðÒÉÎÉÍÁÀÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÞÁÓÔÅÊ ÚÁÄÁÞ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ ÉÚ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÕÎËÔÏ×.

ó.-ðÅÔÅÒÂÕÒÇÓËÏÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÂÝÅÓÔ×Ï, ðïíé òáî, íÁÔ-ÍÅÈ óðÂçõ, 2004

óÔÕÄÅÎÞÅÓËÉÊ ËÏÎËÕÒÓ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ 2004{2005 ÇÇ.

207

õÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞ úÁÄÁÞÁ 1. äÁÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ⊂ R ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ ÍÅÒÙ ìÅÂÅÇÁ. æÕÎË ÉÑ f : R → R ÔÁËÏ×Á, ÞÔÏ ÒÉ ×ÓÅÈ x ∈ R É ÒÉ ×ÓÅÈ a ∈ A f (x − a) = f (x) + f (a) − 1:

äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ f (x) ≡ 1. úÁÄÁÞÁ 2. æÕÎË ÉÑ f : (−1; 1) → R ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÁ É ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ k = 0, 1, 2, . . . ÔÏÞËÁ x = 0 | ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ËÏÒÅÎØ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ f (k) (x). äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ∀" > 0 |f ′ |1+" = o(f ) ÒÉ x → 0 : úÁÄÁÞÁ 3. äÁÎÙ ÞÉÓÌÁ 0 < a < b. õÂÙ×ÁÀÝÁÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ y(x): [0; 1℄ → [0; 1℄ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ xa − xb = ya − yb . äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Z

0

1

ln y dx = − 2 : x 3ab

úÁÄÁÞÁ 4. ÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÕÚÌÁÈ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÒÅÛÅÔËÉ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ ÔÏÞÅÞÎÙÅ ÉÓÔÏÞÎÉËÉ Ó×ÅÔÁ, Á × ÎÅËÏÔÏÒÙÈ | ÔÏÞÅÞÎÙÅ ÚÁÓÌÏÎËÉ. éÓÔÏÞÎÉËÉ Ó×ÅÔÁ ÏÂÒÁÚÕÀÔ Ë×ÁÄÒÁÔÎÕÀ ÏÄÒÅÛÅÔËÕ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ M , Á ÚÁÓÌÏÎËÉ | Ë×ÁÄÒÁÔÎÕÀ ÏÄÒÅÛÅÔËÕ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ N (ÓÔÏÒÏÎÙ ×ÓÅÈ ÒÅÛÅÔÏË ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÍ ÏÓÑÍ). éÓÔÏÞÎÉË É ÚÁÓÌÏÎËÁ ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÎÁÈÏÄÉÔØÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ. ÷ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÎÅÚÁÎÑÔÙÈ ÔÏÞÅË ÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÎÁÂÌÀÄÁÔÅÌØ. îÁÂÌÀÄÁÔÅÌØ ×ÉÄÉÔ ÉÓÔÏÞÎÉË Ó×ÅÔÁ, ÅÓÌÉ ÎÁ ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÍ ÉÈ ÏÔÒÅÚËÅ ÎÅÔ ÎÉ ÏÄÎÏÊ ÚÁÓÌÏÎËÉ. ðÒÉ ËÁËÉÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÈ M=N ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÅ ÒÅÛÅÔÏË É ÎÁÂÌÀÄÁÔÅÌÑ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÔÁËÉÍ, ÞÔÏ ÎÁÂÌÀÄÁÔÅÌØ Á) ÎÅ ×ÉÄÉÔ ÎÉ ÏÄÎÏÇÏ ÉÓÔÏÞÎÉËÁ Ó×ÅÔÁ? Â) ÎÅ ×ÉÄÉÔ ÎÉ ÏÄÎÏÇÏ ÉÓÔÏÞÎÉËÁ Ó×ÅÔÁ ×ÎÕÔÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÕÇÌÁ Ó ×ÅÒÛÉÎÏÊ × ÔÏÞËÅ, ÇÄÅ ÏÎ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ? úÁÄÁÞÁ 5. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ T ÅÄÉÎÉÞÎÕÀ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ T = {z ∈ C : |z | = 1}. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ ÉÚÍÅÒÉÍÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f : T → T , ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÏÊ ÆÕÎË ÉÉ h : T → T (ÍÏÖÎÏ ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØÓÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÍÉ h) ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ nk , ÞÔÏ

Z

T

|f nk (t) − h(t)| dt → 0

ÒÉ k → +∞:

(úÄÅÓØ f n | ÏÂÙÞÎÏÅ ×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÅ × ÓÔÅÅÎØ.) úÁÄÁÞÁ 6. Á) äÁÎ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ a, b, É ÒÏÔÉ×ÏÌÅÖÁÝÉÍÉ ÕÇÌÁÍÉ s , s , s . õÇÌÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ a, b, ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ , , . äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ s −  6 ( s − ) + ( s − ): Â) ÷ÅÒÎÏ ÌÉ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÄÌÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÎÁ Ä×ÕÈ ÓÆÅÒÁÈ ÒÁÚÎÙÈ ÒÁÄÉÕÓÏ×? äÌÑ ÌÏÓËÏÓÔÉ É ÌÏÓËÏÓÔÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ? k

208 úÁÄÁÞÁ 7. Á) äÁÎ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ P (x; y ), ÉÍÅÀÝÉÊ × ÔÏÞËÅ (0; 0) ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÎÕÌØ (Ô. Å. P (0; 0) = 0 É P (x; y) 6= 0 × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÒÏËÏÌÏÔÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ (0; 0)). äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÔÁËÉÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ n É ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ C > 0, ÞÔÏ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÎÕÌÑ ×ÅÒÎÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï |P (x; y )| > C (x2 + y 2 )n : (∗) Â) îÁÊÄÉÔÅ Ï ÅÎËÉ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÏËÁÚÁÔÅÌÑ n = n(k), k → +∞, ÔÁËÏÇÏ ÞÔÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (∗) ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× P ÓÔÅÅÎÉ k. úÁÄÁÞÁ 8. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ n-ÚÎÁÞÎÙÅ ÞÉÓÌÁ × k -ÉÞÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÓÞÉÓÌÅÎÉÑ (ÅÒ×ÏÊ ÉÆÒÏÊ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ É 0). îÁÚÏ×ÅÍ ÞÉÓÌÏ ÈÏÒÏÛÉÍ, ÅÓÌÉ ÌÀÂÙÅ Ä×Å ÅÇÏ ÓÏÓÅÄÎÉÅ ÉÆÒÙ ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ÎÁ 1. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ n-ÚÎÁÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ A ÏÒÅÄÅÌÉÍ f (A) ËÁË ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ÉÆÒ, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ × ÎÅÍ ÚÁÞÅÒËÎÕÔØ, ÞÔÏÂÙ ÏÌÕÞÉ×ÛÅÅÓÑ ÞÉÓÌÏ ÓÔÁÌÏ ÈÏÒÏÛÉÍ. Á) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ > 0 ÎÁÂÌÀÄÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ Ñ×ÌÅÎÉÅ ËÏÎ ÅÎÔÒÁ ÉÉ: 1 X |f (A)=n − | → 0; ÒÉ n → +∞; kn

A

ÇÄÅ ÓÕÍÍÁ ÂÅÒÅÔÓÑ Ï ×ÓÅÍ n-ÚÎÁÞÎÙÍ ÞÉÓÌÁÍ. √ Â) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ k = 3 ËÏÎÓÔÁÎÔÁ ÒÁ×ÎÁ 1=3 − 5=15. ×) ðÏÌÕÞÉÔÅ ËÁË ÍÏÖÎÏ ÌÕÞÛÉÅ Ï ÅÎËÉ ÄÌÑ ÒÉ k > 3. úÁÄÁÞÁ 9. ðÕÓÔØ ÆÕÎË ÉÑ f ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁ × ÚÁÍËÎÕÔÏÍ ÅÄÉÎÉÞÎÏÍ ËÒÕÇÅ D É ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ ÎÁ ÅÇÏ ÇÒÁÎÉ Å. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ × ÔÏÞËÁÈ a É b, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÈ Int D, ÏÎÁ ÉÍÅÅÔ ÌÏËÁÌØÎÙÅ ÍÁËÓÉÍÕÍÙ. Á) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ f ∈ C 2 (D), ÔÏ × Int D ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÝÅ ÏÄÎÁ (ÏÔÌÉÞÎÁÑ ÏÔ a É b) ÓÔÁ ÉÏÎÁÒÎÁÑ ÔÏÞËÁ f . Â) ÷ÅÒÎÏ ÌÉ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÕÎËÔÁ Á), ÅÓÌÉ f ∈ C 1 (Int D)? úÁÄÁÞÁ 10. úÁÍËÎÕÔÙÅ ÎÅÓÁÍÏÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÇÌÁÄËÉÅ ËÒÉ×ÙÅ × R2 Ó ËÒÉ×ÉÚÎÏÊ ÍÅÎØÛÅ 1 ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÌÁ×ÎÙÍÉ. Á) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × ËÒÕÇ ÒÁÄÉÕÓÁ 2.1 ÎÅÌØÚÑ ×ÉÓÁÔØ ÌÁ×ÎÕÀ ËÒÉ×ÕÀ ÄÌÉÎÙ ÂÏÌØÛÅ 100. îÁÊÄÉÔÅ ÂÏÌÅÅ ÒÁÚÕÍÎÕÀ Ï ÅÎËÕ Ó×ÅÒÈÕ ÄÌÉÎÙ ÌÁ×ÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ, ËÏÔÏÒÕÀ ÍÏÖÎÏ ÏÍÅÓÔÉÔØ × ÜÔÏÔ ËÒÕÇ. Â) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × ËÒÕÇ ÒÁÄÉÕÓÁ 2.2 ÍÏÖÎÏ ×ÉÓÁÔØ ÌÁ×ÎÕÀ ËÒÉ×ÕÀ ÓËÏÌØ ÕÇÏÄÎÏ ÂÏÌØÛÏÊ ÄÌÉÎÙ. ×) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ ` > 2, ÞÔÏ × ËÒÕÇ ÒÁÄÉÕÓÁ 2.2 ÎÅÌØÚÑ ×ÉÓÁÔØ ÌÁ×ÎÕÀ ËÒÉ×ÕÀ ÄÌÉÎÙ `. Ç) ÷ÅÒÎÏ ÌÉ, ÞÔÏ ÌÀÂÙÅ Ä×Å ÌÁ×ÎÙÅ ËÒÉ×ÙÅ, ÌÅÖÁÝÉÅ × ËÒÕÇÅ ÂÏÌØÛÏÇÏ ÒÁÄÉÕÓÁ, ÇÏÍÏÔÏÎÙ × ËÌÁÓÓÅ ÌÁ×ÎÙÈ ËÒÉ×ÙÈ? úÁÄÁÞÁ
11. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ n ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÞÉÓÅÌ ëÁÔÁÌÁÎÁ: n = 2n 1 = n+1 n . äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ 

0 1

2 : : : n 

2

3 : : : n+1   1

3 : : : : : : n+2  det   2  = 1: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

n n+1 n+2 : : : 2n

óÔÕÄÅÎÞÅÓËÉÊ ËÏÎËÕÒÓ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ 2004{2005 ÇÇ.

209

úÁÄÁÞÁ 12. Á) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ m, n ∈ N ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f : S n−1 → Rm É ÔÏÞËÉ x1 , x2 , . . . , xn−m+2 ÎÁ ÓÆÅÒÅ S n−1 , ÞÔÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ Ï×ÏÒÏÔÁ U ∈ SO(n), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ f (Ux1 ) = f (Ux2 ) = · · · = f (Uxn−m+2 ): Â) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ f : S 2 → R2 É ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÔÏÞÅË x1 É x2 ÎÁ ÓÆÅÒÅ S 2 , ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ Ï×ÏÒÏÔ U ∈ SO(2), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ f (Ux1 ) = f (Ux2 ). ×) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ f : S 2 → R ÎÁÊÄÕÔÓÑ ÔÒÉ ÔÏÞËÉ x1 , x2 É x3 ÎÁ ÓÆÅÒÅ S 2 , Ñ×ÌÑÀÝÉÅÓÑ ËÏÎ ÁÍÉ ÏÒÔÏ×, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ f (x1 ) = f (x2 ) = f (x3 ). Ç) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ f : S 2 → R É ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÔÒÅÈ ÔÏÞÅË x1 , x2 É x3 ÎÁ ÓÆÅÒÅ S 2 , ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ Ï×ÏÒÏÔ U ∈ SO(3), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ f (Ux1 ) = f (Ux2 ) = f (Ux3 ). Ä) äÏËÁÖÉÔÅ ÅÝÅ ÄÌÑ ËÁËÉÈ-ÎÉÂÕÄØ m, n É ËÏÎÆÉÇÕÒÁ ÉÊ ÉÚ k = n − m + 1 ÔÏÞÅË x1 , . . . , xk ÎÁ ÓÆÅÒÅ S n−1 É ÌÀÂÏÊ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ f : S n−1 → Rm , ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ Ï×ÏÒÏÔ U ∈ SO(n), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ f (Ux1 ) = f (Ux2 ) = · · · = f (Uxk ): úÁÄÁÞÁ 13. Á) îÁÚÏ×ÅÍ ×ÙÕËÌÙÊ ÅÎÔÒÁÌØÎÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË × Rn ÓÌÁ×ÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÎÁ ÓÆÅÒÅ S n−1 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÂÏÒÅÌÅ×ÓËÁÑ ÍÅÒÁ , ÔÁËÁÑ ÞÔÏ ÒÉ ×ÓÅÈ x ∈ Rn Z kxk = |hx; y i| d(y );

ÇÄÅ ÞÅÒÅÚ k · k ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÁ ÎÏÒÍÁ, ÏÒÏÖÄÁÅÍÁÑ ÜÔÉÍ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏÍ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË ÓÌÁ×ÅÎ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÉÎ É ÕÓÒÅÄÎÅÎÉÑ: ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÔÏÞÅË x1 , x2 , . . . , xk ∈PRn É ÌÀÂÙÈ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ 1 , 2 , . . . , k ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ, ÞÔÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï i |hxi ; yi| > 0 ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÄÌÑ P ÌÀÂÏÇÏ y ∈ Rn , ÓÌÅÄÕÅÔ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï i kxi k > 0. Â) ïÓÔÁÎÅÔÓÑ ÌÉ × ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÅÒÎÙÍ, ÅÓÌÉ ×ÍÅÓÔÏ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ ×ÚÑÔØ ÌÀÂÏÅ ÅÎÔÒÁÌØÎÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ ×ÙÕËÌÏÅ ÔÅÌÏ? úÁÄÁÞÁ 14. ðÕÓÔØ F | ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÎÁ [0; 1℄,  2 | ÅÇÏ ÄÉÓÅÒÓÉÑ, Á 4 | ÞÅÔ×ÅÒÔÙÊ ÅÎÔÒÁÌØÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ 4 + 34 6 2 ; ÒÉÞÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÉÌÉ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ.

210

ïÂÏÂÝÅÎÉÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á É ÍÏÎÇÏÌØÓËÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ì. ÷. òÁÄÚÉ×ÉÌÏ×ÓËÉÊ

ðÏÓÌÅ ÒÏÞÔÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÉ ×ÁÍ ÓÔÁÎÕÔ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÍÎÏÇÉÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×. ÷ÓÅ ÏÎÉ ÂÕÄÕÔ ×ÙÔÅËÁÔØ × ÏÄÎÕ-Ä×Å ÓÔÒÏÞËÉ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÒÏÓÔÏÇÏ ÒÉÎ ÉÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÂßÑÓÎÑÅÔÓÑ × ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÅ. ÷ÏÔ ÒÉÍÅÒÙ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÓÔÁÎÅÔ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ: 1. x5 + y5 + z 5 > x3 y2 + y3x2 + z 3 x2 (ÚÄÅÓØ É ÄÁÌÅÅ ÞÉÓÌÁ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙ). y

x

2.

z

x

y

z

1 + x2 + 1 + y2 + 1 + z2 6 1 + y2 + 1 + z2 + 1 + x2 .
3. (a1 + a2 + · · · + an ) a1 + a1 + · · · + a1 > n2 . n 1

2

4. (a31 + a32 + · · · + a3n )(a1 + a2 + · · · + an ) 6 n(a41 + a42 + · · · + a4n ). 

 







5. 1 + aa1 · 1 + aa2 · : : : · 1 + aan > (1 + a1 ) · (1 + a2 ) · : : : · (1 + an ). 2 3 1 (16-Ê ÕÒÎÉÒ çÏÒÏÄÏ×, ÏÓÅÎØ, ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ×ÁÒÉÁÎÔ, ÓÔÁÒÛÉÅ ËÌÁÓÓÙ, ÚÁÄÁÞÁ ‚4, ì. ä. ëÕÒÌÑÎÄÞÉË). √ √ √ √ √ √ 6. x + 2x + y + 2y + z + 2z 6 y + 2x + z + 2y + x + 2z . 7. äÁÎÁ ÔÁÂÌÉ Á n × n, ÚÁÏÌÎÅÎÎÁÑ ÞÉÓÌÁÍÉ Ï ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÒÁ×ÉÌÕ: × ËÌÅÔËÅ, ÓÔÏÑÝÅÊ × i-Ê ÓÔÒÏËÅ É j -Í ÓÔÏÌ ŠÔÁÂÌÉ Ù, ÚÁÉÓÁÎÏ ÞÉÓÌÏ (i + j − 1) − 1. ÷ ÔÁÂÌÉ Å ÚÁÞÅÒËÎÕÌÉ n ÞÉÓÅÌ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏ ÎÉËÁËÉÅ Ä×Á ÚÁÞÅÒËÎÕÔÙÈ ÞÉÓÌÁ ÎÅ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ × ÏÄÎÏÍ ÓÔÏÌ ŠÉÌÉ × ÏÄÎÏÊ ÓÔÒÏËÅ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ ÚÁÞÅÒËÎÕÔÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ 1. (13Ê ÕÒÎÉÒ çÏÒÏÄÏ×, ×ÅÓÎÁ, ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ×ÁÒÉÁÎÔ, ÓÔÁÒÛÉÅ ËÌÁÓÓÙ, ÚÁÄÁÞÁ ‚3, ó. é×ÁÎÏ×) ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÍÙ ÄÏËÁÖÅÍ ÍÏÎÇÏÌØÓËÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï. üÔÏ ÕÖÅ ÚÁÊÍÅÔ ÎÅ ÏÄÎÕ ÓÔÒÏÞËÕ, ÎÏ ×Ó£ ÒÁ×ÎÏ ÂÕÄÅÔ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÒÏÚÒÁÞÎÏ. ï ÉÓÔÏÒÉÉ ÍÏÎÇÏÌØÓËÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á É Ï Ä×ÕÈ ÅÇÏ ÓÌÏÖÎÙÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÁÈ ÎÁÉÓÁÎÏ × ÓÔÁÔØÅ á. é. èÒÁÂÒÏ×Á [4℄. ñ ÎÁÍÅÒÅÎÎÏ ÎÅ ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÀ ÆÁËÔÙ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÍ ÓÏÓÏÂÏÍ, Á ÒÅÄÏÞÉÔÁÀ €Ï×ÏÚÉÔØÓс É ÒÁÓÓËÁÚÁÔØ ×Ó£ × ÔÏÍ ÏÒÑÄËÅ, × ËÏÔÏÒÏÍ Ñ ÜÔÏ ÏÓÏÚÎÁ×ÁÌ. íÙ ÎÁÞÎÅÍ Ó ÞÁÓÔÎÙÈ ÓÌÕÞÁÅ× É ÅÒÅÊÄÅÍ Ë ÏÂÝÉÍ ÔÅÏÒÅÍÁÍ, 2

2

2

ðÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÅ É ÍÏÎÇÏÌØÓËÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

211

Á ÎÅ ÎÁÏÂÏÒÏÔ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÖÁÌØ ÂÕÍÁÇÕ, ÂÁÊÔÙ É ÌÅÓÁ, ÎÏ ÉÍÅÎÎÏ €×ÏÚÎс ÓÏÓÏÂÓÔ×ÕÅÔ ÒÁÚ×ÉÔÉÀ ÉÎÔÕÉ ÉÉ. þÔÏ ÎÅ ÏÔÎÉÍÁÔØ Õ ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ ÕÄÏ×ÏÌØÓÔ×ÉÑ €Ï×ÏÚÉÔØÓс, Ñ ÏÕÓÔÉÌ ÍÎÏÇÏ ÄÅÔÁÌÅÊ. ðÏÜÔÏÍÕ, ÞÔÏÂÙ ÏÎÑÔØ ÜÔÏÔ ÔÅËÓÔ, ×ÁÍ ÏÎÁÄÏÂÉÔÓÑ ÒÕÞËÁ É ÂÕÍÁÖËÁ. ðÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

ðÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ (ÉÚ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ×) ÍÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ ÂÉÅËÔÉ×ÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÞÉÓÅÌ {1; 2; 3; : : : ; n} × ÓÅÂÑ. óÌÏ×Ï €ÂÉÅËÔÉ×ÎÁс ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ×Ï ×ÓÑËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÏÄ ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ ÜÔÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÅÒÅÈÏÄÉÔ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÏ ÞÉÓÌÏ. ïÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ Ñ ÂÕÄÕ ÇÒÅÞÅÓËÏÊ ÂÕË×ÏÊ  (ÓÉÇÍÁ). þÉÓÌÁ (1), (2), . . . , (n) | ÜÔÏ ÔÅ ÖÅ ÞÉÓÌÁ 1, 2, . . . , n, ÎÏ ÅÒÅÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ × ÄÒÕÇÏÍ ÏÒÑÄËÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ä×Á ÎÁÂÏÒÁ ÞÉÓÅÌ: a1 ; a2 ; : : : ; an É b1 ; b2 ; : : : ; bn . âÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÎÁÂÏÒÙ a1 ; a2 ; : : : ; an É b1 ; b2 ; : : : ; bn ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ €ÏÄÉÎÁËÏ×ρ, ÅÓÌÉ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÍÕ ÞÉÓÌÕ × ÅÒ×ÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ×Ï ×ÔÏÒÏÍ (Ô. Å. ÉÎÄÅËÓÙ Õ ÎÉÈ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ), ×ÔÏÒÏÍÕ Ï ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÞÉÓÌÕ × ÅÒ×ÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ×ÔÏÒÏÅ Ï ×ÅÌÉÞÉÎÅ, É Ô. Ä., Á ÎÁÉÍÅÎØÛÅÍÕ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ. îÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ a1 > a2 > · · · > an É b1 > b2 > · · · > bn, ÔÏ ÎÁÂÏÒÙ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ. äÒÕÇÏÊ ÒÉÍÅÒ: ÎÁÂÏÒÙ a; b; É a3 ; b3 ; 3 ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ. âÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÎÁÂÏÒÙ ÏÂÒÁÔÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ, ÅÓÌÉ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÍÕ ÞÉÓÌÕ × ÅÒ×ÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ×Ï ×ÔÏÒÏÍ, ×ÔÏÒÏÍÕ Ï ×ÅÌÉÞÉÎÅ × ÅÒ×ÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ×ÔÏÒÏÅ Ó ËÏÎ Á ×Ï ×ÔÏÒÏÍ É Ô. Ä., Á ÎÁÉÍÅÎØÛÅÍÕ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ. îÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ a1 > a2 > · · · > an É b1 6 b2 6 · · · 6 bn, ÔÏ ÎÁÂÏÒÙ ÏÂÒÁÔÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ. îÁÂÏÒÙ a; b; É 1=a; 1=b; 1= ÔÁËÖÅ ÏÂÒÁÔÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ. äÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÎÁÂÏÒÏ× a1 > a2 > · · · > an É b1 6 b2 6 · · · 6 bn ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ €ÓÁÍÁÑ ÒÁ×ÉÌØÎÁс ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ , ÞÔÏ ÎÁÂÏÒÙ a1 ; a2 ; : : : ; an É b(1) ; b(2) ; : : : b(n) ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÎÁÂÏÒÏ× ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ É €ÓÁÍÕÀ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÕÀ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ , ÒÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁÂÏÒÙ a1 ; a2 ; : : : ; an É b(1) ; b(2) ; : : : b(n) ÏÂÒÁÔÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ. ëÁËÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×Ó£ ÜÔÏ Ë ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×? á ×ÏÔ ËÁËÏÅ: ÅÏÒÅÍÁ 1 (ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÉÚ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ÏÇÄÁ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ a1 b(1) + a2b(2) + · · · + anb(n) ÂÕÄÅÔ ÓÁÍÙÍ ÂÏÌØÛÉÍ, ËÏÇÄÁ ÞÉÓÌÁ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï, É ÓÁÍÙÍ ÍÁÌÅÎØËÉÍ, ËÏÇÄÁ ÞÉÓÌÁ ÏÂÒÁÔÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ.

212

ì. ÷. òÁÄÚÉ×ÉÌÏ×ÓËÉÊ

éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÒÉ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÈ, ÎÅ ÂÏÌØÛÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÒÉ €ÓÁÍÏÊ ÒÁ×ÉÌØÎÏʁ, É ÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÒÉ €ÓÁÍÏÊ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÏʁ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÅ. îÁÒÉÍÅÒ, ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ a=b + b= + =a > 3: ×ÅÄØ a; b; É 1=Á; 1=b; 1= ÏÂÒÁÔÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ, Á ÚÎÁÞÉÔ, ÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ a=Á + b=b + = ÏÌÕÞÅÎÁ ÒÉ ÓÁÍÏÊ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÅ É ÏÔÏÍÕ ÄÁÅÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ. äÒÕÇÉÅ ÒÉÍÅÒÙ ÄÁÀÔ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á 1 É 2 ÉÚ ÓÉÓËÁ × ÎÁÞÁÌÅ ÓÔÁÔØÉ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÏÄÏÂÎÙÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÍÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ É ÄÒÕÇÉÍÉ ÍÅÔÏÄÁÍÉ. îÏ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÅÄÉÎÏÏÂÒÁÚÎÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÍÎÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×. üÔÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÏÞÅÎØ ×ÅÞÁÔÌÉÌÏ ÍÅÎÑ × ÅÒ×ÙÊ ÖÅ ÒÁÚ, ËÏÇÄÁ Ñ Ó ÎÉÍ ÓÔÏÌËÎÕÌÓÑ, Ó×ÏÅÊ ÍÏÝØÀ É ÏÂÝÎÏÓÔØÀ. õÚÎÁÌ Ñ ÅÇÏ × 11-Í ËÌÁÓÓÅ ÛËÏÌÙ ûÅ×ÁÈ-íÏÆÅÔ (ÅÌØ-á×É×) ÎÁ ÏÞÅÎØ ÉÎÔÅÒÅÓÎÏÍ ÕÒÏËÅ Ï ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍ. ðÒÏ×ÏÄÉÌ ÜÔÏÔ ÕÒÏË íÉÈÁÉÌ òÏÚÅÎÂÅÒÇ (ÕÞÉÔÅÌØ ÜÔÏÊ ÖÅ ÛËÏÌÙ). ðÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ (ÎÅÔ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ). éÎÔÕÉÔÉ×ÎÏ ÌÅÇËÏ ÏÞÕ×ÓÔ×Ï×ÁÔØ ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔØ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á: ÅÓÌÉ ×Ù ÈÏÔÉÔÅ ÏÌÕÞÉÔØ ÞÉÓÌÏ ÏÂÏÌØÛÅ, ÔÏ ÒÉÓÔÁ×ØÔÅ Ë ÂÏÌØÛÉÍ ÞÉÓÌÁÍ ÂÏÌØÛÉÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÉ. üÔÏ ×ÙÇÏÄÎÅÊ, ÞÅÍ ÔÒÁÔÉÔØ ÂÏÌØÛÉÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÎÁ ÍÁÌÅÎØËÉÅ ÞÉÓÌÁ. óÔÒÏÇÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÔÁËÖÅ ÎÅÓÌÏÖÎÏ. ìÅÍÍÁ. ðÕÓÔØ a1 > a2 , b1 > b2 . ÏÇÄÁ a1 b1 + a2 b2 > a1 b2 + a2 b1 . äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÅÒÅÎÅÓÅÍ ×Ó£ × ÌÅ×ÕÀ ÞÁÓÔØ: a1 b1 + a2 b2 − a1 b2 − a2 b1 > 0; (a1 − a2 )(b1 − b2 ) > 0: îÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ, É ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÉÓÈÏÄÎÏÍÕ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á. ÷ÏÚØÍÅÍ Ä×Á ÎÁÂÏÒÁ ÞÉÓÅÌ. åÓÌÉ ÅÓÔØ ÔÁËÁÑ ÁÒÁ ÉÎÄÅËÓÏ× i, k, ÞÔÏ ÏÒÑÄÏË ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÙÊ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ai > ak , bk > bi ), ÔÏ ÍÙ ÏÍÅÎÑÅÍ ÉÈ ÍÅÓÔÁÍÉ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÓÕÍÍÁ ×ÏÚÒÁÓÔÅÔ (ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÌÅÍÍÅ). âÕÄÅÍ Ï×ÔÏÒÑÔØ ÔÁËÉÅ ÏÅÒÁ ÉÉ, ÏËÁ ÜÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏ (× €ËÏÍØÀÔÅÒÎÏÊ ÎÁÕËŁ ÜÔÏÔ ÒÏ ÅÓÓ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ €ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÁ). åÓÌÉ ÜÔÏ ÕÖÅ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ (ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÁ ÚÁËÏÎÞÉÌÁÓØ), ÔÏ ÌÅÇËÏ ÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÏÒÑÄÏË ÓÔÁÌ ÒÁ×ÉÌØÎÙÍ. îÏ ÍÙ ÎÁÞÉÎÁÌÉ Ó ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ É ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚ Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÌÉ ÎÁÛÅ ÞÉÓÌÏ! úÎÁÞÉÔ, ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÏÒÑÄÏË ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÓÁÍÏÍÕ ÂÏÌØÛÏÍÕ ÚÎÁÞÅÎÉÀ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á. ðÒÏÓÔÏ ÎÁÄÏ ÚÁÕÓÔÉÔØ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÕ ÎÁÏÂÏÒÏÔ: ËÁÖÄÙÊ ÒÁÚ,

ðÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÅ É ÍÏÎÇÏÌØÓËÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

213

ÅÓÌÉ ÅÓÔØ ÈÏÔØ ÏÄÎÁ ÒÁ×ÉÌØÎÁÑ ÁÒÁ ÉÎÄÅËÓÏ×, ÎÕÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ ÉÚ ÎÅÅ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÕÀ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÌÅÍÍÅ ÞÉÓÌÏ ÂÕÄÅÔ ÏÓÔÏÑÎÎÏ ÕÂÙ×ÁÔØ. ÷ ËÏÎ Å ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÓÁÍÙÊ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÏÒÑÄÏË É ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÂÕÄÅÔ ÍÅÎØÛÅ. á ×ÅÄØ ÍÙ ÎÁÞÉÎÁÌÉ Ó ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ. õÒÁÖÎÅÎÉÅ. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ×ÎÉÍÁÔÅÌØÎÏ É ÏÊÍÉÔÅ, ËÏÇÄÁ × ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Å ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï. õÒÁÖÎÅÎÉÅ. ÷ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÈ 1 É 2 × ÎÁÞÁÌÅ ÓÔÁÔØÉ ÍÙ ÏÔÒÅÂÏ×ÁÌÉ, ÞÔÏÂÙ ÞÉÓÌÁ ÂÙÌÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍÉ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÌÉ ÜÔÏ ÎÕÖÎÏ? çÄÅ €ÓÌÏÍÁÅÔÓс ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï, ÅÓÌÉ ÍÙ €ÚÁÕÓÔÉ́ × ÎÅÇÏ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ? ÅÏÒÅÍÁ 2 (ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï þÅÂÙÛ£×Á). ðÕÓÔØ ÎÁÂÏÒÙ a1 ; a2 ; : : : ; an É b1 ; b2 ; : : : ; bn ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï. ÏÇÄÁ n(a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn) > (a1 + · · · + an)(b1 + · · · + bn): åÓÌÉ ÖÅ ÏÎÉ ÏÂÒÁÔÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ, ÔÏ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï Ó ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÍ ÚÎÁËÏÍ. ÷ÏÏÂÝÅ-ÔÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ þÅÂÙÛ£×Á ÒÁ×ÉÌØÎÅÅ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÅÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (ÓÍ. [3℄), ÎÏ ÜÔÏ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÕÖÅ ÒÉÖÉÌÏÓØ (ÓÍ., ÓËÁÖÅÍ, [2℄). äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ ÅÒ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ a1 b1 + a2 b2 + · · · + anbn > a1b1 + a2b2 + · · · + anbn; a1 b1 + a2 b2 + · · · + anbn > a1b2 + a2b3 + · · · + anb1 ;

:::

a1 b1 + a2 b2 + · · · + anbn > a1bn + a2 b1 + · · · + anbn−1:

óÕÍÍÉÒÕÑ ×Ó£ ÜÔÏ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÉÓËÏÍÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ. åÓÌÉ ÖÅ ÎÁÂÏÒÙ ÏÂÒÁÔÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ, ÔÏ ÚÎÁËÉ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÅÒÅ×ÅÒÎÕÔÓÑ ×Ï ×ÓÅÈ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ É × ÓÕÍÍÅ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÎÅÍÅÄÌÅÎÎÙÈ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÊ ÏÌÕÞÁÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á 3 É 4 ÉÚ ÓÉÓËÁ × ÎÁÞÁÌÅ ÓÔÁÔØÉ É ÍÎÏÇÉÅ ÄÒÕÇÉÅ. ðÏÍÅÎÑÅÍ ÓÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï 5 ÉÚ ÓÉÓËÁ × ÎÁÞÁÌÅ ÓÔÁÔØÉ:



1 + aa1 2 2

   a2  a2  · 1 + 2 · : : : · 1 + n > (1 + a1 ) · (1 + a2 ) · : : : · (1 + an ):

a3

a1

ëÁË ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ, ÜÔÁ ÚÁÄÁÞÁ ÒÅÄÌÁÇÁÌÁÓØ ÎÁ 16-Í ÕÒÎÉÒÅ çÏÒÏÄÏ×, × ËÏÔÏÒÏÍ Ñ ÕÞÁÓÔ×Ï×ÁÌ. íÎÅ ÏËÁÚÁÌÏÓØ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÕÍÎÏÖÉÔØ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÞÉÓÅÌ. ðÏÌÕÞÉÍ: (a2 + a21 ) · (a3 + a22 ) · : : : · (a1 + a2n ) > (a1 + a21 ) · (a2 + a22 ) · : : : · (an + a2n ):

214

ì. ÷. òÁÄÚÉ×ÉÌÏ×ÓËÉÊ

èÏÔÑ Ñ ÎÅ ÓÍÏÇ ÔÏÇÄÁ ÄÏËÁÚÁÔØ ÜÔÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï, Õ ÍÅÎÑ ×ÏÚÎÉËÌÏ ÏÝÕÝÅÎÉÅ, ÞÔÏ €ÜÔÏ ×ÓÅÇÄÁ ÔÁˁ. ë ÔÏÍÕ ×ÒÅÍÅÎÉ Ñ ÅÝÅ ÎÅ ÚÎÁÌ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÞÉÔÁÔÅÌÉ ÕÖÅ, ÎÁ×ÅÒÎÏÅ, ÄÏÇÁÄÁÌÉÓØ, ËÁË ÅÇÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ × ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅ. ÅÏÒÅÍÁ 3. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ä×Á ÎÁÂÏÒÁ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ a1 ; a2 ; : : : , an É b1 ; b2 ; : : : ; bn É ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÞÉÓÅÌ ×ÔÏÒÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ.

úÎÁÞÅÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ

Y



ai + b(i) ÂÕÄÅÔ ÓÁÍÙÍ ÂÏÌØÛÉÍ, ËÏÇÄÁ ÎÁÂÏÒÙ a1 ; a2 ; : : : ; an É b(1) ; b(2) ; : : : ; b(n)

ÏÂÒÁÔÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ, Á ÓÁÍÙÍ ÍÁÌÅÎØËÉÍ | ËÏÇÄÁ ÜÔÉ ÎÁÂÏÒÙ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ÍÅÓÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÞÉÓÅÌ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÔÒÅÂÏ×ÁÔØ, ÞÔÏÂÙ ÄÌÑ ×ÓÑËÉÈ Ä×ÕÈ ÉÎÄÅËÓÏ× i; k ÞÉÓÌÏ ai + bk ÂÙÌÏ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ. ïÂÒÁÔÉÔÅ ÔÁËÖÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ, ÞÔÏ ÚÎÁËÉ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á × ÔÅÏÒÅÍÅ 3 Ï ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ ÅÒÅ×ÅÒÎÕÔÙ. ïÂßÑÓÎÅÎÉÅ ÜÔÏÍÕ ÂÕÄÅÔ ÄÁÎÏ ÎÉÖÅ.

ÅÏÒÅÍÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÌÅÍÍÙ, ËÏÔÏÒÁÑ ÅÓÔØ ÅÅ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÄÌÑ n = 2: ìÅÍÍÁ. ðÕÓÔØ a1

< (a1 + b2)(a2 + b1).

> a2 > 0, b1 > b2 > 0. ÏÇÄÁ (a1 + b1)(a2 + b2)
(a1 + a21 ) · (a2 + a22 ) · : : : · (an + a2n ):

ñ ÏÄÏÚÒÅ×ÁÀ, ÞÔÏ Á×ÔÏÒ ÚÁÄÁÞÉ 5 ÉÍÅÌ × ×ÉÄÕ ÄÒÕÇÏÅ ÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, 2 2 ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ, ÉÓÏÌØÚÕÀÝÅÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï 1 + ab > (11++ab) . ðÕÓÔØ, ÓËÁÖÅÍ, ÎÁÓ ÏÒÏÓÉÌÉ ÄÏËÁÚÁÔØ   5  5 5  1 + a13 · 1 + a23 · : : : · 1 + an3 > (1 + a21 ) · (1 + a22 ) · : : : · (1 + a2n ): a2 a3 a1

õÒÁÖÎÅÎÉÅ. (Á) äÏËÁÖÉÔÅ ÜÔÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÞÅÒÅÚ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï. 2 2 (Â) á ÔÅÅÒØ ÞÅÒÅÚ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á 1 + ab > (11++ab) . ëÁËÏÅ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ? óÁÍÉ ÄÏÇÁÄÁÊÔÅÓØ!

ðÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÅ É ÍÏÎÇÏÌØÓËÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

215

òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÕÎËÔ (Á) ÒÏÝÅ É ÔÒÅÂÕÅÔ ÍÅÎØÛÅ ÉÚÏÂÒÅÔÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. îÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÎÁÉÓÁÔØ É ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï, ËÏÔÏÒÏÅ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ 3 ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, Á ÄÏËÁÚÁÔØ ÅÇÏ ÎÁÒÑÍÕÀ ÓÏ×ÓÅÍ ÔÑÖÅÌÏ. ÅÅÒØ ×ÏÚØÍÅÍÓÑ ÚÁ ÚÁÄÁÞËÕ 7 ÉÚ ÓÉÓËÁ × ÎÁÞÁÌÅ ÓÔÁÔØÉ. úÁÞÅÒËÎÕÔØ ÞÉÓÌÁ ÔÁË, ËÁË ÓËÁÚÁÎÏ × ÕÓÌÏ×ÉÉ ÚÁÄÁÞÉ, | ÜÔÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ, ÞÔÏ ÒÁÓÓÔÁ×ÉÔØ ÎÁ ÄÏÓËÅ n ÌÁÄÅÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÂØÀÔ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÁ. îÏ ÒÁÓÓÔÁ×ÉÔØ ÌÁÄØÉ | ÜÔÏ ×ÅÄØ, Ï ÓÕÔÉ ÄÅÌÁ, ×ÙÂÒÁÔØ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ. á ËÁËÁÑ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ ÄÁÓÔ ÓÁÍÏÅ ÍÁÌÅÎØËÏÅ ÞÉÓÌÏ? óÁÍÁÑ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÁÑ. éÔÁË: ÅÏÒÅÍÁ 4. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ä×Á ÎÁÂÏÒÁ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ a1 ; a2 ; : : : , an É b1 ; b2 ; : : : ; bn É ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÞÉÓÅÌ ×ÔÏÒÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ.

úÎÁÞÅÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ

X

1

ai + b(i)

ÂÕÄÅÔ ÓÁÍÙÍ ÂÏÌØÛÉÍ, ËÏÇÄÁ ÎÁÂÏÒÙ a1 ; a2 ; : : : ; an É b(1) ; b(2) ; : : : ; b(n) ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ, Á ÓÁÍÙÍ ÍÁÌÅÎØËÉÍ | ËÏÇÄÁ ÜÔÉ ÎÁÂÏÒÙ ÏÂÒÁÔÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ. é ÔÅÏÒÅÍÁ, É ÚÁÄÁÞÁ Ï ÔÁÂÌÉ Å ÌÅÇËÏ ÓÌÅÄÕÀÔ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÌÅÍÍÙ. ìÅÍÍÁ.

1 + 1 >1+ 1 : k+x m+x x k+m+x

÷ÓÅ ÄÅÔÁÌÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÌÅÍÍÙ, ÔÅÏÒÅÍÙ É ÚÁÄÁÞÉ ÒÏ ÔÁÂÌÉ Õ ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÞÉÔÁÔÅÌÀ. ïÎÉ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÎÏ×ÙÈ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÈ ÉÄÅÊ. åÓÔØ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÓÏÓÏ ÒÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ ÒÏ ÔÁÂÌÉ Õ, ×ÏÓÏÌØÚÏ×Á×ÛÉÓØ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ   (a1 + a2 + · · · + an ) 1 + 1 + · · · + 1 > n2 : a1

a2

an

ïÎÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ 2. îÏ ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ É ÞÅÒÅÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ëÏÛÉ-âÕÎÑËÏ×ÓËÏÇÏ, É Ó ÏÍÏÝØÀ Ä×ÕÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× ëÏÛÉ, É ÄÒÕÇÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ. ÷ÒÏÞÅÍ, ÍÙ ÏÔ×ÌÅËÌÉÓØ ÏÔ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÉÄÅÉ. ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÉÄÅÑ ÖÅ, ËÁË ÎÁ×ÅÒÎÑËÁ ÕÖÅ ÓÏÏÂÒÁÚÉÌÉ ÓÁÍÙÅ ÄÏÇÁÄÌÉ×ÙÅ ÉÚ ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ, ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÈÏÔÑ ÔÅÏÒÅÍÙ 1, 3, 4 É ×ÙÇÌÑÄÑÔ ÏÞÅÎØ ÏÂÝÉÍÉ, ÎÏ ×ÓÅ ÏÎÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÕÚËÉÍÉ ÞÁÓÔÎÙÍÉ ÓÌÕÞÁÑÍÉ ÞÅÇÏ-ÔÏ ÇÏÒÁÚÄÏ ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÅÇÏ. é Õ ÜÔÏÇÏ €ÇÏÒÁÚÄÏ ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÅÇρ ÍÁÓÓÁ ÔÁËÉÈ ÞÁÓÔÎÙÈ ÓÌÕÞÁÅ×. îÏ ÄÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÜÔÏ €ÇÏÒÁÚÄÏ ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÅŁ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÚÎÁÔØ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ×ÙÕËÌÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÞÉÔÁÔÅÌÉ, ÎÁ×ÅÒÎÏÅ, ÚÎÁËÏÍÙ Ó ×ÙÕËÌÙÍÉ ÆÕÎË ÉÑÍÉ, ÎÏ ÎÁ ×ÓÑËÉÊ ÓÌÕÞÁÊ ÍÙ ÎÁÏÍÎÉÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ É ÏÓÎÏ×ÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á.

216

ì. ÷. òÁÄÚÉ×ÉÌÏ×ÓËÉÊ

÷ÙÕËÌÙÅ É ×ÏÇÎÕÔÙÅ ÆÕÎË ÉÉ îÁÄÇÒÁÆÉË ÆÕÎË ÉÉ f (x) | ÜÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÁËÉÈ ÔÏÞÅË (x; y), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ y > f (x) (Ô. Å. ÏÎÉ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ €ÎÁÄ ÇÒÁÆÉËḮ). ÷ÙÕËÌÁÑ ÆÕÎË ÉÑ | ÜÔÏ ÔÁËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, Õ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁÄÇÒÁÆÉË | ×ÙÕËÌÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÅÓÌÉ ÓÏÅÄÉÎÉÔØ Ä×Å ÔÏÞËÉ ÎÁ ÇÒÁÆÉËÅ ÉÌÉ ÎÁÄ ÇÒÁÆÉËÏÍ ÏÔÒÅÚËÏÍ, ÔÏ ×ÅÓØ ÏÔÒÅÚÏË ÂÕÄÅÔ ÌÅÖÁÔØ × ÎÁÄÇÒÁÆÉËÅ. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÔÒÅÂÏ×ÁÔØ ÜÔÏÇÏ ÄÌÑ ÔÏÞÅË, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÈ ÇÒÁÆÉËÕ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÆÕÎË ÉÑ ÄÏÌÖÎÁ ÌÅÖÁÔØ ÏÄ €ÈÏÒÄÏʁ. íÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ ÜÔÏ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ: ÅÓÌÉ 0 < t < 1, ÔÏ t · f (x1) + (1 − t) · f (x2) > f (t · x1 + (1 − t) · x2): ÷ÏÇÎÕÔÁÑ ÆÕÎË ÉÑ | ÜÔÏ ÔÁËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, ÞÔÏ, ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ÏÄÇÒÁÆÉË (ËÏÔÏÒÙÊ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÎÁÄÇÒÁÆÉËÕ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÙÕËÌÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ, Ô. Å. t · f (x1) + (1 − t) · f (x2) 6 f (t · x1 + (1 − t) · x2): æÕÎË ÉÑ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÕËÌÏÊ ÉÌÉ ×ÏÇÎÕÔÏÊ ËÁË ÎÁ ×ÓÅÊ ÒÑÍÏÊ, ÔÁË É ÎÁ ËÁËÏÍ-ÔÏ ÏÔÒÅÚËÅ ÉÌÉ ÌÕÞÅ. óÌÏ×Á €×ÙÕËÌÁс É €×ÏÇÎÕÔÁс ÏÞÅÎØ ÏÈÏÖÉ. þÔÏÂÙ ÎÅ ÚÁÕÔÁÔØÓÑ, ËÁËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ×ÙÕËÌÁÑ, Á ËÁËÁÑ ×ÏÇÎÕÔÁÑ, ÍÏÖÎÏ ÄÕÍÁÔØ Ï ×ÅÓÅÌÙÈ É ÇÒÕÓÔÎÙÈ ÆÕÎË ÉÑÈ É ×ÓÏÍÉÎÁÔØ ÒÏÔ Õ ÎÕÖÎÏÇÏ ÓÍÁÊÌÉËÁ (ÓÍ. ÒÉÓ. 1). ðÒÉÍÅÒÙ ×ÙÕËÌÙÈ ÆÕÎË ÉÊ: ex , ax, |x|, x2 , x2k (k | ÅÌÏÅ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ) ÎÁ ×ÓÅÊ ÒÑÍÏÊ, tg(x) ÎÁ ÒÏÍÅÖÕÔËÅ [0; =2), 1=x É xn (n | ÅÌÏÅ) ÎÁ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÌÁÈ. ðÒÉÍÅÒÙ ×ÏÇÎÕÔÙÈ ÆÕÎË ÉÊ: ln(x) É loga (x) ÎÁ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÌÁÈ, sin(x) ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; ℄, os(x) ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [−=2; =2℄, ar tg(x) ÎÁ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÌÁÈ. ÷ÏÏÂÝÅ, ÆÕÎË ÉÑ È ÎÁ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÌÁÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÏÇÎÕÔÏÊ, ÅÓÌÉ  ÌÅÖÉÔ ÍÅÖÄÕ 0 É 1, É ×ÙÕËÌÏÊ × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÍ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ×ÙÕËÌÙÈ ÆÕÎË ÉÊ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ. (÷Ó£, ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ Ï ×ÙÕËÌÙÈ ÆÕÎË ÉÑÈ, ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ É Ï ×ÏÇÎÕÔÙÈ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÎÕÖÎÏ ÅÒÅ×ÅÒÎÕÔØ ÚÎÁË ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á.)

1. îÁÄÇÒÁÆÉË | ×ÙÕËÌÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï.

Á) òÉÓ. 1.

Â)

Á) ×ÅÓÅÌÁÑ (×ÙÕËÌÁÑ) É Â) ÇÒÕÓÔÎÁÑ (×ÏÇÎÕÔÁÑ) ÆÕÎË ÉÉ

ðÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÅ É ÍÏÎÇÏÌØÓËÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

217

2. æÕÎË ÉÑ ÌÅÖÉÔ ÏÄ ÈÏÒÄÏÊ: ÅÓÌÉ 0 < t < 1, ÔÏ t · f (x1) + (1 − t) · f (x2) > f (t · x1 + (1 − t) · x2 ): 3. æÕÎË ÉÑ ÌÅÖÉÔ ÎÁÄ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅÍ ÈÏÒÄÙ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÅÓÌÉ t < 0 ÉÌÉ 1 < t, ÔÏ t · f (x1) + (1 − t) · f (x2) 6 f (t · x1 + (1 − t) · x2 ):   4. f (x1 ) +2 f (x2 ) > f x1 +2 x2 . äÌÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÆÕÎË ÉÑ ÂÙÌÁ ×ÙÕËÌÏÊ, Á × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ | ÎÅÔ. îÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ×ÙÕËÌÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÜÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ | ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÄÓÔÁ×ÉÔØ t = 1=2.

 m · f (x2 ) k · x1 + m · x2  5. k · f (x1k) + >f . úÄÅÓØ k, m | ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉ+m k+m ÓÌÁ. ïÂÏÂÝÅÎÉÅ ÕÎËÔÁ 4 É ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÕÎËÔÁ 2. îÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÜÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ×Ù×ÏÄÉÔÓÑ (ÎÏ ÓÌÏÖÎÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ) ÉÚ ÕÎËÔÁ 4.

 m · f (x2 ) n · x1 − m · x2  6. n · f (x1n) − 6 f . úÄÅÓØ −m n−m ÞÉÓÌÁ. þÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÕÎËÔÁ 3.

n > m | ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ

7. åÓÌÉ Õ ×ÙÕËÌÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÅÓÔØ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ, ÔÏ ÆÕÎË ÉÑ ÌÅÖÉÔ ÎÁÄ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ, Ô. Å. f (x) > f (x0) + f ′(x0 ) · (x − x0 ): 8. åÓÌÉ Õ ÆÕÎË ÉÉ ÅÓÔØ ×ÔÏÒÁÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ, ÔÏ ÏÎÁ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÁ. úÎÁÞÉÔ, ÅÓÌÉ ÅÓÔØ ×ÔÏÒÁÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ É ÏÎÁ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÁ (ÈÏÔÑ ÂÙ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ), ÔÏ ÆÕÎË ÉÑ ÕÖÅ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÙÕËÌÏÊ. ó ÏÍÏÝØÀ ÜÔÏÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÒÏÝÅ ×ÓÅÇÏ ÒÏ×ÅÒÑÔØ ×ÙÕËÌÏÓÔØ. 9. îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï êÅÎÓÅÎÁ:

 f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) x + x2 + · · · + xn  >f 1 : n n

ãÅÎÔÒ ÔÑÖÅÓÔÉ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ, ×ÅÒÛÉÎÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÇÒÁÆÉËÅ ÆÕÎË ÉÉ, ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÎÁÄ ÇÒÁÆÉËÏÍ. á ËÕÄÁ ÅÍÕ ÄÅÔØÓÑ? îÁÄÇÒÁÆÉË ÖÅ ×ÙÕËÌÙÊ. 10. îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï êÅÎÓÅÎÁ Ó ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍÉ ×ÅÓÁÍÉ:

 w1 f (x1 ) + w2 f (x2 ) + · · · + wn f (xn ) w x + w2 x2 + · · · + wn xn  >f 1 1 : w1 + w2 + · · · + wn w1 + w2 + · · · + wn

11. f (a) +2 f (b)

Rb

>a

f (x) dx b−a

>f



a + b

2

:

218

ì. ÷. òÁÄÚÉ×ÉÌÏ×ÓËÉÊ

þÔÏÂÙ ÂÙÌÏ ÉÎÔÅÒÅÓÎÅÊ, ÎÕÖÎÏ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ËÁËÉÅ ÆÕÎË ÉÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÙÕËÌÙÍÉ, Á ËÁËÉÅ | ×ÏÇÎÕÔÙÍÉ (Á ÎÅ ×ÅÒÉÔØ Á×ÔÏÒÕ ÎÁ ÓÌÏ×Ï), É ÞÔÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÜÔÏÇÏ É ÉÚ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ×ÙÛÅ Ó×ÏÊÓÔ×. ë ÒÉÍÅÒÕ, ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï êÅÎÓÅÎÁ ÄÌÑ ÜËÓÏÎÅÎÔÙ ÉÌÉ ÌÏÇÁÒÉÆÍÁ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ ëÏÛÉ (ÓÒÅÄÎÅÅ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÅ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ ÓÒÅÄÎÅÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ). éÚ ×ÓÅÈ n-ÕÇÏÌØÎÉËÏ×, ×ÉÓÁÎÎÙÈ × ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, ÎÁÉÂÏÌØÛÉÅ ÌÏÝÁÄØ É ÅÒÉÍÅÔÒ | Õ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ (ÜÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á êÅÎÓÅÎÁ ÄÌÑ ÓÉÎÕÓÁ). á ÉÚ ×ÓÅÈ n-ÕÇÏÌØÎÉËÏ×, ÏÉÓÁÎÎÙÈ ×ÏËÒÕÇ ÄÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÎÁÉÍÅÎØÛÉÅ ÌÏÝÁÄØ É ÅÒÉÍÅÔÒ | Õ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ (ÜÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á êÅÎÓÅÎÁ ÄÌÑ ÔÁÎÇÅÎÓÁ). éÚ ÕÎËÔÁ 7 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ex > x + 1, ÉÌÉ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÞÔÏ ex > ex. ïÔÓÀÄÁ ÍÏÖÎÏ ÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÂÏÌØÛÅ: e ÉÌÉ e. ÷ÅÄØ e=e−1 > =e. éÎÔÅÒÅÓÎÏ ÔÁËÖÅ ÏÄÓÔÁ×ÉÔØ xn ÉÌÉ ÅÈ × ÕÎËÔ 11. ÷ÏÏÂÝÅ, ÍÙ ÚÎÁÅÍ ÍÎÏÇÏ ×ÙÕËÌÙÈ É ×ÏÇÎÕÔÙÈ ÆÕÎË ÉÊ, Á Õ ÎÉÈ ÍÎÏÇÏ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÈ Ó×ÏÊÓÔ×, É ÏÔÓÀÄÁ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÍÎÏÇÏ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ×ÓÅÈ Ó×ÏÊÓÔ×, ÉÈ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÄÌÑ ×ÏÇÎÕÔÙÈ ÆÕÎË ÉÊ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÞÁÓÔÎÙÈ ÓÌÕÞÁÅ× ÄÌÑ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ É ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ ÉÚ ÎÉÈ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÍÏÖÅÔ ÏÌÕÞÉÔØ ÓÁÍ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ. þÅÍ ÂÏÌØÛÅ ×ÒÅÍÅÎÉ ×Ù ÏÔÒÁÔÉÔÅ ÎÁ ÜÔÏ ÕÒÁÖÎÅÎÉÅ, ÔÅÍ ÂÏÌØÛÅ ÏÎÏ ÄÏÓÔÁ×ÉÔ ×ÁÍ ÒÁÄÏÓÔÉ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÞÉÔÁÔÅÌØ ÄÏÌÖÅÎ ÓÁÍ ÏÎÑÔØ, ËÏÇÄÁ × ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÈ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï É ÞÅÍ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÓÔÒÏÇÏ ×ÙÕËÌÁÑ ÆÕÎË ÉÑ (ÔÁËÁÑ, ËÁË x2 ) ÏÔ ÎÅÓÔÒÏÇÏ ×ÙÕËÌÏÊ (ÔÁËÏÊ, ËÁË |x|). ïÂÝÅÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï éÔÁË, ÍÙ ÇÏÔÏ×Ù ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ É ÄÏËÁÚÁÔØ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍ 1, 3 É 4. ÅÏÒÅÍÁ 5. ðÕÓÔØ f | ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. óÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ. (Á) úÎÁÞÅÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ f (a1 + b(1) ) + f (a2 + b(2) ) + · · · + f (an + b(n) ) ÂÕÄÅÔ ÓÁÍÙÍ ÂÏÌØÛÉÍ, ËÏÇÄÁ ÞÉÓÌÁ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï. (Â) úÎÁÞÅÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ f (a1 + b(1) ) + f (a2 + b(2) ) + · · · + f (an + b(n) ) ÂÕÄÅÔ ÓÁÍÙÍ ÍÁÌÅÎØËÉÍ, ËÏÇÄÁ ÞÉÓÌÁ ÏÂÒÁÔÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ. (×) åÓÌÉ a1 > a2 , b1 > b2 , ÔÏ f (a1 +b1 )+f (a2 +b2 ) > f (a1 +b2 )+f (a2 +b1 ). (Ç) f ×ÙÕËÌÁ. îÕ É ËÏÎÅÞÎÏ, ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ Ó ÏÂÒÁÔÎÙÍ ÚÎÁËÏÍ. ÅÏÒÅÍÁ 5′ . ðÕÓÔØ f | ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. óÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ. (Á) úÎÁÞÅÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ f (a1 + b(1) ) + f (a2 + b(2) ) + · · · + f (an + b(n) ) ÂÕÄÅÔ ÓÁÍÙÍ ÂÏÌØÛÉÍ, ËÏÇÄÁ ÞÉÓÌÁ ÏÂÒÁÔÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ.

ðÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÅ É ÍÏÎÇÏÌØÓËÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

219

(Â) úÎÁÞÅÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ f (a1 + b(1) ) + f (a2 + b(2) ) + · · · + f (an + b(n) ) ÂÕÄÅÔ ÓÁÍÙÍ ÍÁÌÅÎØËÉÍ, ËÏÇÄÁ ÞÉÓÌÁ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï. (×) åÓÌÉ a1 > a2 , b1 > b2 , ÔÏ f (a1 +b1 )+f (a2 +b2 ) 6 f (a1 +b2 )+f (a2 +b1 ). (Ç) f ×ÏÇÎÕÔÁ. åÓÌÉ ÆÕÎË ÉÑ ×ÙÕËÌÁ/×ÏÇÎÕÔÁ ÔÏÌØËÏ ÎÁ ËÁËÏÍ-ÔÏ ÒÏÍÅÖÕÔËÅ, Á ÎÅ ÎÁ ×ÓÅÊ ÒÑÍÏÊ, ÎÕÖÎÏ ÏÔÒÅÂÏ×ÁÔØ ×Ï ×ÓÅÈ ÕÎËÔÁÈ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÔÅÏÒÅÍ, ÞÔÏÂÙ ÄÌÑ ×ÓÑËÉÈ Ä×ÕÈ ÉÎÄÅËÓÏ× i, k ×ÅÌÉÞÉÎÁ ai + bk ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÌÁ ÒÏÍÅÖÕÔËÕ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÆÕÎË ÉÑ ×ÙÕËÌÁ/×ÏÇÎÕÔÁ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÎËÔ (×) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÁÓÔÎÙÍ ÓÌÕÞÁÅÍ ÕÎËÔÁ (Á) É ÞÁÓÔÎÙÍ ÓÌÕÞÁÅÍ ÕÎËÔÁ (Â) ÒÉ n = 2. îÏ É ÏÂÒÁÔÎÏ: ÉÚ ÕÎËÔÁ (×) ×Ù×ÏÄÑÔÓÑ ÕÎËÔÙ (Á) É (Â) ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ. üÔÏ ÍÙ ÕÖÅ ÄÅÌÁÌÉ. ïÓÔÁÌÏÓØ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ ÕÎËÔÏ× (×) É (Ç). ïÂÏÚÎÁÞÉÍ x = a2 + b2 , k = a1 − a2 , m = b1 − b2 . ÏÇÄÁ ÆÏÒÍÕÌÁ (×) ÒÉÏÂÒÅÔÁÅÔ ×ÉÄ f (x + k + m) + f (x) > f (x + k) + f (x + m). ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ k = m É ÏÌÕÞÉÍ ÏÄÎÏ ÉÚ Ó×ÏÊÓÔ× ×ÙÕËÌÏÊ ÆÕÎË ÉÉ (ÎÏÍÅÒ 4 × ÎÁÛÅÍ ÓÉÓËÅ). ïÎÏ ×ÏÏÂÝÅ-ÔÏ ÓÌÁÂÅÅ ×ÙÕËÌÏÓÔÉ, ÎÏ ÄÌÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÜÔÉ Ä×Á Ó×ÏÊÓÔ×Á ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÙ. úÎÁÞÉÔ, ÉÚ (×) ÓÌÅÄÕÅÔ (Ç). þÔÏÂÙ ÉÚ (Ç) ×Ù×ÅÓÔÉ (×), ÎÁÍ ÏÎÁÄÏÂÉÔÓÑ ×ÚÇÌÑÎÕÔØ ÎÁ ËÁÒÔÉÎËÕ (ÒÉÓ. 2). îÁ ÇÒÁÆÉËÅ ÏÔÍÅÞÅÎÏ 4 ÔÏÞËÉ: (x; f (x)); (x + k; f (x + k)); (x + m; f (x + m)); (x + k + m; f (x + k + m)): ä×Å ÓÒÅÄÎÉÅ ÔÏÞËÉ ÌÅÖÁÔ ÏÄ ÈÏÒÄÏÊ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÊ Ä×Å ËÒÁÊÎÉÅ ÔÏÞËÉ (x; f (x)) É (x + k + m; f (x + k + m)) | ×ÅÄØ ÆÕÎË ÉÑ ÌÅÖÉÔ ÏÄ ÈÏÒÄÏÊ. úÎÁÞÉÔ, ÓÅÒÅÄÉÎÁÏÔÒÅÚËÁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÇÏ Ä×Å ÓÒÅÄÎÉÅ ÔÏÞËÉ | x + k + x + m f (x + k) + f (x + m)  Á ÏÎÁ ÉÍÅÅÔ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ; , | ÌÅÖÉÔ ÏÄ 2 2 ÏÔÒÅÚËÏÍ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÍ Ä×Å ËÒÁÊÎÉÅ ÔÏÞËÉ. óÅÒÅÄÉÎÁ ×ÅÒÈÎÅÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ

x

x+k

x+m x+k+m òÉÓ. 2.

220



ì. ÷. òÁÄÚÉ×ÉÌÏ×ÓËÉÊ

x + k + x + m f (x + k + m) + f (x) 

;

ÉÍÅÅÔ ÔÁËÕÀ ÖÅ ÁÂÓ ÉÓÓÕ. îÏ ÏÎÁ ×ÙÛÅ, ÞÅÍ ÓÅÒÅÄÉÎÁ ÎÉÖÎÅÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ! úÎÁÞÉÔ,

2

2

f (x + k + m) + f (x)

2

>

f (x + k) + f (x + m)

2

;

ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ. ðÏÌÎÏÓÔØÀ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÅÏÒÅÍÁ 5′ . õÒÁÖÎÅÎÉÅ. ðÏÄÓÔÁ×ØÔÅ ×ÙÕËÌÕÀ ÆÕÎË ÉÀ ÅÈ × ÔÅÏÒÅÍÕ 5 É ÏÌÕÞÉÔÅ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÔÅÏÒÅÍÙ 1, ËÏÇÄÁ ÞÉÓÌÁ × ÎÁÂÏÒÁÈ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙ. ÷Ù×ÅÄÉÔÅ ÏÂÝÉÊ ÓÌÕÞÁÊ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÞÁÓÔÎÏÇÏ. õÒÁÖÎÅÎÉÅ. ðÏÄÓÔÁ×ØÔÅ ×ÏÇÎÕÔÕÀ ÆÕÎË ÉÀ ln(x) × ÔÅÏÒÅÍÕ 5 É ÏÌÕÞÉÔÅ ÔÅÏÒÅÍÕ 3. ÷ÏÔ ÏÞÅÍÕ ÚÎÁËÉ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× × ÔÅÏÒÅÍÁÈ 1 É 3 ÒÁÚÎÙÅ: ÜËÓÏÎÅÎÔÁ €×ÅÓÅÌÁс, Á ÌÏÇÁÒÉÆÍ €ÇÒÕÓÔÎÙʁ. õÒÁÖÎÅÎÉÅ. ðÏÄÓÔÁ×ØÔÅ 1=x × ÔÅÏÒÅÍÕ 5 É ÏÌÕÞÉÔÅ ÔÅÏÒÅÍÕ 4. √ õÒÁÖÎÅÎÉÅ. ðÏÄÓÔÁ×ØÔÅ ÆÕÎË ÉÀ x (ÏÎÁ ÇÒÕÓÔÎÁÑ) × ÔÅÏÒÅÍÕ 5 É ÏÌÕÞÉÔÅ ÎÏ×ÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ. õÒÁÖÎÅÎÉÅ. ðÏÉÇÒÁÊÔÅ Ó ÄÒÕÇÉÍÉ ÆÕÎË ÉÑÍÉ É ÏÌÕÞÉÔÅ ÅÝÅ ÍÎÏÇÏ ÒÁÚÎÙÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×. íÏÎÇÏÌØÓËÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ðÕÓÔØ a1 > a2 > · · · > an . ÏÇÄÁ

a1 + a2 a2 + a3

2

·

2

6

· ::: ·

an + a1

2

6

a1 + a2 + a3 a2 + a3 + a4

3

·

3

a + an + a1 an + a1 + a2 · : : : · n− 1 ·

3

3

:

õÓÌÏ×ÉÅ a1 > a2 > · · · > an ÎÅÌØÚÑ ÏÔÂÒÏÓÉÔØ. îÁÒÉÍÅÒ, ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 100, 1, 100, 1, 100, 1, . . . ÎÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÜÔÏÍÕ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ. ÷ ÕÏÍÉÎÁ×ÛÅÊÓÑ ×ÙÛÅ ÓÔÁÔØÅ [4℄ ÒÁÓÓËÁÚÁÎÁ ÉÓÔÏÒÉÑ ÜÔÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á É ÄÁÎÙ Ä×Á ÓÌÏÖÎÙÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á. ïÄÎÏ ÉÚ ÎÉÈ ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ ÍÏÎÇÏÌØÓËÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á. ÷ÏÚØÍÅÍ ÌÏÇÁÒÉÆÍ ÏÔ ÏÂÅÉÈ ÞÁÓÔÅÊ:       ln a1 +2 a2 + ln a2 +2 a3 + · · · + ln an +2 a1 6   a + a2 + a3  a2 + a3 + a4  6 ln 1 + ln + ··· 3 3 · · · + ln



an−1 + an + a1 

3

  + ln an + a31 + a2 :

ðÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÅ É ÍÏÎÇÏÌØÓËÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

221

íÙ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÌÏÇÁÒÉÆÍÁ, ÎÏ É ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÇÒÕÓÔÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ. á ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ×ÅÓÅÌÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÔÁËÏÅ ÖÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï, ÎÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÍ ÚÎÁËÏÍ. ÁË ×ÏÔ, × ÓÔÁÔØÅ èÒÁÂÒÏ×Á ÜÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ëÁÒÁÍÁÔÙ, ËÏÔÏÒÏÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÝÉÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ ÄÌÑ ×ÙÕËÌÙÈ ÆÕÎË ÉÊ. õ ÎÁÓ ÅÓÔØ Ó×ÏÅ, ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÏÂÝÅÅ, ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÄÌÑ ×ÙÕËÌÙÈ ÆÕÎË ÉÊ, Á ÉÍÅÎÎÏ ÔÅÏÒÅÍÁ 5. úÎÁÞÉÔ, ÍÏÖÎÏ ÏÒÏÂÏ×ÁÔØ ×Ù×ÅÓÔÉ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ ÍÏÎÇÏÌØÓËÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ 5. üÔÏ ÒÉÍÅÒÎÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ, ÞÔÏ É ×Ù×ÅÓÔÉ ÓÁÍÏ ÍÏÎÇÏÌØÓËÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ 3. íÙ ÄÌÑ ÎÁÇÌÑÄÎÏÓÔÉ ÒÁÚÂÅÒÅÍ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ (×Ù×ÏÄ ÍÏÎÇÏÌØÓËÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ 3), Á ÏÂÝÉÊ ÓÌÕÞÁÊ ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÔÏÞÎÏ ÔÁË ÖÅ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÍÏÎÇÏÌØÓËÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á. ðÕÓÔØ a2 a3 an−1 an an a1 a2

x1 = 3 + 6 ; x2 = 3 + 6 ; : : : ; xn−1 = 3 + 6 ; xn = 3 + a6 ; y1 = a6 + a3 ; y2 = a6 + a3 ; : : : ; yn−1 = an6− + a3n ; yn = a6n + a3 : 1

2

2

1

3

1

1

ÏÇÄÁ ÍÏÎÇÏÌØÓËÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÒÉÏÂÒÅÔÁÅÔ ×ÉÄ (x1 + y1 ) · (x2 + y2 ) · : : : · (xn + yn ) 6 (x1 + y2 ) · (x2 + y3 ) · : : : · (xn + y1 ) úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ x1 > x2 > x3 > · · · > xn−1 É y1 > y2 > y3 > · · · > yn−1. îÏ, Ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÍÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ xn−1 > xn ÉÌÉ yn−1 > > yn , | ÜÔÏ ÒÏÓÔÏ ÎÅ×ÅÒÎÏ. íÙ ÍÏÖÅÍ ÔÏÌØËÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ x1 > xn , Á yn−1 6 yn. åÓÌÉ ÍÙ ÏÔÓÏÒÔÉÒÕÅÍ ÎÁÂÏÒÙ ÞÉÓÅÌ Ï ÕÂÙ×ÁÎÉÀ, ÔÏ ÞÉÓÌÏ xn ÚÁÊÍÅÔ × ÓÉÓËÅ ÉËÓÏ× ÍÅÓÔÏ m (ÎÅ ÅÒ×ÏÅ), Á ÞÉÓÌÏ yn ÚÁÊÍÅÔ × ÓÉÓËÅ ÉÇÒÅËÏ× ÍÅÓÔÏ k (ÎÅ ÏÓÌÅÄÎÅÅ). úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ xi > yi ÒÉ i 6 n − 1, ÎÏ xn 6 yn. úÎÁÞÉÔ, ÍÅÓÔÏ xn × ÓÉÓËÅ ÉËÓÏ× ÎÅ ÂÌÉÖÅ Ë ÎÁÞÁÌÕ, ÞÅÍ ÍÅÓÔÏ yn × ÓÉÓËÅ ÉÇÒÅËÏ×, Ô. Å. k 6 m. ðÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÁÑ ÌÅ×ÕÀ ÞÁÓÔØ, ÂÕÄÅÔ ×ÙÇÌÑÄÅÔØ ÔÁË: m k

(ÓÁÍÙÊ ÂÏÌØÛÏÊ Ó ÓÁÍÙÍ ÂÏÌØÛÉÍ, ×ÔÏÒÏÊ ÓÏ ×ÔÏÒÙÍ É Ô. Ä., ÎÏ ÎÏÍÅÒ m Ó ÎÏÍÅÒÏÍ k). á ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ ÉÚ ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ×ÏÔ ÔÁË (ÒÏ×ÅÒØÔÅ):

222

ì. ÷. òÁÄÚÉ×ÉÌÏ×ÓËÉÊ

m k

é ÎÉ ÏÄÎÁ ÉÚ ÜÔÉÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÁÍÏÊ ÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÉÌÉ ÓÁÍÏÊ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÏÊ. úÎÁÞÉÔ, ÍÏÎÇÏÌØÓËÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÎÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ 3. õ×Ù. íÙ ÏÈ×ÁÓÔÁÌÉÓØ, ÞÔÏ ÉÚ ÎÁÛÉÈ ÏÂÝÉÈ ÔÅÏÒÅÍ ÓÌÅÄÕÅÔ ÍÏÎÇÏÌØÓËÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï, Á ÏÎÏ ÉÚ ÎÉÈ ÎÅ ÓÌÅÄÕÅÔ. îÏ ÍÙ ÎÅ ÓÄÁÄÉÍÓÑ. ÷ÓÏÍÎÉÍ ÎÅ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ, Á ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ 3, ËÏÔÏÒÏÅ, ËÁË ÏÔÍÅÞÅÎÏ ×ÙÛÅ, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÔÅÏÒÅÍÙ 1. ÁÍ ÍÙ €ÕÌÕÞÛÁÌɁ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ, É ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÍÅÎÑÌÏÓØ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ. ÷Ï ×ÔÏÒÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÅ ×ÅÒÈÎÅÅ m Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÎÉÖÎÉÍ 1, a ×ÅÒÈÎÅÅ m − 1 Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÎÉÖÎÉÍ m + 1. üÔÏ €ÎÅÒÁ×ÉÌØÎρ. äÁ×ÁÊÔÅ ÏÍÅÎÑÅÍ ÉÈ ÍÅÓÔÁÍÉ. m

k

ÅÅÒØ ×ÅÒÈÎÅÅ m − 1 Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÎÉÖÎÉÍ 1, a ×ÅÒÈÎÅÅ m − 2 Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÎÉÖÎÉÍ m. üÔÏ ÏÑÔØ €ÎÅÒÁ×ÉÌØÎρ. äÁ×ÁÊÔÅ ÏÍÅÎÑÅÍ É ÉÈ ÍÅÓÔÁÍÉ. m

k

é ÔÁË ÄÁÌÅÅ, ÏËÁ ÓÁÍÙÊ ÂÏÌØÛÏÊ ÉÇÒÅË ÎÅ ÏËÁÖÅÔÓÑ × ÁÒÅ Ó ÓÁÍÙÍ ÂÏÌØÛÉÍ ÉËÓÏÍ. m

k

ÅÅÒØ k-Ê Ï ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÉÇÒÅË ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ × ÁÒÅ Ó ÓÁÍÙÍ ÍÁÌÅÎØËÉÍ ÉËÓÏÍ. á ÏÓÌÅÄÎÉÊ ÉÇÒÅË × ÁÒÅ Ó ÒÅÄÏÓÌÅÄÎÉÍ ÉËÓÏÍ. õÌÕÞÛÉÍ ÜÔÏ. m

k

ðÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÅ É ÍÏÎÇÏÌØÓËÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

223

óÅÊÞÁÓ k-Ê ÉÇÒÅË ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ × ÁÒÅ Ó (n − 1)-Í ÉËÓÏÍ, Á (n − 1)-Ê ÉÇÒÅË × ÁÒÅ Ó (n − 2)-Í ÉËÓÏÍ. õÌÕÞÛÉÍ É ÜÔÏ. ÁË ÚÁ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÛÁÇÏ× ÒÉÄÅÍ Ë ÅÒ×ÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÅ. éÔÁË, ÈÏÔÑ ÅÒ×ÁÑ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ É ÎÅ €ÓÁÍÁÑ ÒÁ×ÉÌØÎÁс, Á ×ÔÏÒÁÑ ÎÅ €ÓÁÍÁÑ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÁс, ÎÏ ÅÒ×ÁÑ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ €ÒÁ×ÉÌØÎÅŁ, ÞÅÍ ×ÔÏÒÁÑ. á ÌÏÇÁÒÉÆÍ | ÆÕÎË ÉÑ ÇÒÕÓÔÎÁÑ, ÚÎÁÞÉÔ, ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÍÅÎØÛÅ ÒÁ×ÏÊ. þÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ. (íÏÒÁÌØ ÔÁËÏ×Á: ÎÕÖÎÏ ÚÎÁÔØ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ ÔÅÏÒÅÍ, ÎÏ É ÉÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á). æÕÎË ÉÑ ln(1 + ex ) ÷ÓÏÍÎÉÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÎÏÍÅÒ 5 ÉÚ ÓÉÓËÁ × ÎÁÞÁÌÅ ÓÔÁÔØÉ:



1 + aa1 2 2

   a2  a2  · 1 + 2 · : : : · 1 + n > (1 + a1 ) · (1 + a2 ) · : : : · (1 + an ):

a3

a1

ðÅÒÅÄ ÔÅÍ ËÁË ÅÇÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ, ÍÙ ÕÍÎÏÖÉÌÉ ÅÇÏ ÎÁ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ. îÏ, ËÁË ÚÁÍÅÔÉÌ éÌØÑ çÒÉÎÇÌÁÚ, ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ É ÎÁÒÑÍÕÀ. á ÉÍÅÎÎÏ,  Q 1+ b(i) =ai ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ ÍÉÎÉÍÕÍÁ ÒÉ ÓÁÍÏÊ ÒÁ×ÉÌØÎÏÊ, Á ÍÁËÓÉÍÕÍÁ ÒÉ ÓÁÍÏÊ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÅ. üÔÏ ÔÏÖÅ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ ÎÁÛÅÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, É ÏÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ  ÔÅÏÒÅÍÅ 3. ïÂÏÚÎÁÞÁÑ i = 1=ai , ÒÉÈÏÄÉÍ Q 1 + i · b(i) ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ ÒÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÍ, Á Ë ×Ù×ÏÄÕ, ÞÔÏ ÍÉÎÉÍÕÍÁ | ÒÉ ÏÂÒÁÔÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ. üÔÏÔ ÆÁËÔ, × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ, ÜË×É×ÁÌÅÎÔÅÎ ×ÙÕËÌÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÉ ln(1 + ex ). ÷ÙÕËÌÏÓÔØ ÆÕÎË ÉÉ ln(1+ ex ) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ êÅÎÓÅÎÁ ÄÌÑ ÜÔÏÊ ÆÕÎË ÉÉ, Ô. Å.  P x xi =n 6 ln(1 + e i ) : n p pQ Q n ðÒÉÍÅÎÉÍ ÜËÓÏÎÅÎÔÕ É ÏÌÕÞÉÍ 1+ ai 6 n (1 + ai), ÇÄÅ ai 

ln 1 + e

P

= exi . á ÜÔÏ | ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï çÀÊÇÅÎÓÁ (Ï ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Å çÀÊÇÅÎÓÁ ÓÍ. [1℄). åÇÏ ÌÅÇËÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÎÁÒÑÍÕÀ. åÓÌÉ ×ÏÚ×ÅÓÔÉ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï × n-À ÓÔÅÅÎØ, ÔÏ ÏÎÏ ÌÅÇËÏ ÒÁÚÏÂØÅÔÓÑ × ÓÕÍÍÕ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÓÌÅÄÕÀÔ ÉÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ëÏÛÉ. ÁË ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÔÅÏÒÅÍÁ 3 ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ çÀÊÇÅÎÓÁ. íÙ ÎÅ ÓÔÁÎÅÍ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÜÔÏÇÏ ÁÒÁÇÒÁÆÁ, Á ÏÓÔÁ×ÉÍ ÉÈ ÞÉÔÁÔÅÌÑÍ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ.

224

[1℄ [2℄ [3℄ [4℄

ì. ÷. òÁÄÚÉ×ÉÌÏ×ÓËÉÊ

óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ âÁÌË í. â., ðÁÒÁ×ÑÎ î. á. îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á çÀÊÇÅÎÓÁ É ÉÈ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ // íÁÔÅÍÁÔÉËÁ × ÛËÏÌÅ, 1974. ‚2. ó. 70{74. íÁÒÛÁÌÌ á., ïÌËÉÎ é. îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á: ÔÅÏÒÉÑ ÍÁÖÏÒÉÚÁ ÉÉ É ÅÅ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ . í.: íÉÒ, 1983. èÁÒÄÉ ç. ç., ìÉÔÔÌØ×ÕÄ äÖ. å., ðÏÌÉÁ ç. îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á . í.: éì, 1948. èÒÁÂÒÏ× á. é. ÷ÏËÒÕÇ ÍÏÎÇÏÌØÓËÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á // íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ, ÓÅÒ. 3, 2003. ÷Ù. 7. ó. 149{162.

ì. ÷. òÁÄÚÉ×ÉÌÏ×ÓËÉÊ, ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÓÔ, Aspe tus, Petah-Tikva, Israel. E-mail: levr78hotmail. om ICQ: 129069668

225

éÚÂÒÁÎÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ 27 ÕÒÎÉÒÁ çÏÒÏÄÏ× ó. á. äÏÒÉÞÅÎËÏ

÷ ÜÔÏÊ ÎÅÂÏÌØÛÏÊ ÚÁÍÅÔËÅ ÒÉ×ÏÄÑÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÑ É ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ËÒÁÓÉ×ÙÈ ÚÁÄÁÞ, ÒÅÄÌÁÇÁ×ÛÉÈÓÑ × ÏËÔÑÂÒÅ 2005 ÇÏÄÁ ÕÞÁÓÔÎÉËÁÍ ÏÓÅÎÎÅÇÏ ÏÓÎÏ×ÎÏÇÏ ÔÕÒÁ 27 ÕÒÎÉÒÁ ÇÏÒÏÄÏ×. ðÏ ËÒÁÀ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÏÇÏ ÓÔÏÌÁ ÏÌÚÕÔ Ä×Á ÍÕÒÁ×ØÑ. ÷ÓÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ÓÔÏÌÁ ÄÌÉÎÎÅÅ 1 Í, Á ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÍÕÒÁ×ØÑÍÉ ×ÓÅÇÄÁ ÒÏ×ÎÏ 10 ÓÍ. óÎÁÞÁÌÁ ÏÂÁ ÍÕÒÁ×ØÑ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÓÔÏÒÏÎ ÓÔÏÌÁ. Á) ðÕÓÔØ ÓÔÏÌ ×ÙÕËÌÙÊ. ÷ÓÅÇÄÁ ÌÉ ÍÕÒÁ×ØÉ ÓÍÏÇÕÔ ÒÏÏÌÚÔÉ Ï ËÒÁÀ ÓÔÏÌÁ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ËÒÁÑ ÏÂÙ×ÁÌ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÍÕÒÁ×ØÅ× ? Â) ðÕÓÔØ ÓÔÏÌ ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ×ÙÕËÌÙÊ. ÷ÓÅÇÄÁ ÌÉ ÍÕÒÁ×ØÉ ÓÍÏÇÕÔ ÒÏÏÌÚÔÉ Ï ËÒÁÀ ÓÔÏÌÁ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÎÁ ËÒÁÀ ÎÅ ÏÓÔÁÌÏÓØ ÔÏÞÅË, × ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ÏÂÙ×ÁÌ ÎÉ ÏÄÉÎ ÉÚ ÍÕÒÁ×ØÅ× ? (á. ÷. áËÏÑÎ)

ïÔ×ÅÔ × ÏÂÏÉÈ ÕÎËÔÁÈ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÊ, ÈÏÔÑ ÍÎÏÇÉÅ ÛËÏÌØÎÉËÉ ÙÔÁÌÉÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ ÏÂÒÁÔÎÏÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÅÒ×ÏÇÏ ÍÕÒÁ×ØÑ ÂÕË×ÏÊ P , Á ×ÔÏÒÏÇÏ | ÂÕË×ÏÊ Q. ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÄÌÉÎÁ ÏÔÒÅÚËÁ PQ ×ÓÅÇÄÁ ÒÁ×ÎÁ 10 ÓÍ. Á) òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÏÍ ABCD, ÇÄÅ AC = 5 ÓÍ, BD = 2 Í, ÉÚÎÁÞÁÌØÎÏ ÍÕÒÁ×ØÉ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÓÔÏÒÏÎ. äÌÑ ÕÄÏÂÓÔ×Á ÏÂßÑÓÎÅÎÉÑ ÒÁÓÏÌÏÖÉÍ ÒÏÍ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÄÉÁÇÏÎÁÌØ BD ÂÙÌÁ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÏÊ. ðÏÓÍÏÔÒÉÍ, ËÁË ÍÏÖÅÔ Ä×ÉÇÁÔØÓÑ ÏÔÒÅÚÏË PQ. ðÕÓÔØ ÓÎÁÞÁÌÁ P ÌÅ×ÅÅ Q. åÓÌÉ ÂÙ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÍÕÒÁ×ØÅ× P ÏËÁÚÁÌÓÑ ÒÁ×ÅÅ Q, ÔÏ × ÒÏ ÅÓÓÅ ÜÔÏÇÏ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÏÔÒÅÚÏË PQ × ËÁËÏÊ-ÔÏ ÍÏÍÅÎÔ ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÌ ÂÙÔØ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÍ (ÞÔÏ ÑÓÎÏ ÉÚ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ Ä×ÉÖÅÎÉÑ). îÏ ÜÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ: ÓÁÍÙÊ ÄÌÉÎÎÙÊ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÊ ÏÔÒÅÚÏË Ó ËÏÎ ÁÍÉ ÎÁ C D A òÉÓ. 1.

P

Q

íÕÒÁ×ØÉ ÏÌÚÁÀÔ Ï ËÒÁÀ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÓÔÏÌÁ

B

226

ó. á. äÏÒÉÞÅÎËÏ

B C Q

D òÉÓ. 2.

A P

íÕÒÁ×ØÉ ÏÌÚÁÀÔ Ï ËÒÁÀ ÎÅ×ÙÕËÌÏÇÏ ÓÔÏÌÁ

ÓÔÏÒÏÎÁÈ ÒÏÍÂÁ | ÜÔÏ AC , Á ÅÇÏ ÄÌÉÎÁ ÍÅÎØÛÅ 10 ÓÍ. úÎÁÞÉÔ P ×ÓÅÇÄÁ ÂÕÄÅÔ ÌÅ×ÅÅ Q, ÏÔËÕÄÁ Q ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ÏÁÄÅÔ × ÌÅ×ÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ÒÏÍÂÁ (Á P | × ÒÁ×ÕÀ). Â) òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅ×ÙÕËÌÙÊ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË ABCD, ÏÈÏÖÉÊ ÎÁ ÕÚËÕÀ É ×ÙÔÑÎÕÔÕÀ ÂÕË×Õ V, Ï×ÅÒÎÕÔÕÀ ÎÁ 90◦ ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ: ÄÉÁÇÏÎÁÌØ AC ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÁ É ÉÍÅÅÔ ÄÌÉÎÕ 5 ÓÍ, A ÒÁ×ÅÅ C , ÄÉÁÇÏÎÁÌØ BD ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÁ É ÔÏÖÅ ÉÍÅÅÔ ÄÌÉÎÕ 5 ÓÍ; CB = CD = 2 Í (ÔÏÞËÉ A É C ÏÂÅ ÒÁ×ÅÅ B ). ðÕÓÔØ ÉÚÎÁÞÁÌØÎÏ ÍÕÒÁ×ØÉ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÎÁ ÓÔÏÒÏÎÅ AD, P ÒÁ×ÅÅ Q. ëÁË É × ÕÎËÔÅ Á), ÏÔÒÅÚÏË PQ ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÍ. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÕÒÁ×ÅÊ P ÓÎÏ×Á ×ÓÅÇÄÁ ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÅÅ Q. äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÎÉ ÏÄÉÎ ÉÚ ÍÕÒÁ×ØÅ× ÎÅ ÓÍÏÖÅÔ ÏÁÓÔØ × ÔÏÞËÕ C . åÓÌÉ ÂÙ ÏÄÉÎ ÍÕÒÁ×ÅÊ ÏÁÌ × ÔÏÞËÕ C , ÄÒÕÇÏÊ × ÜÔÏÔ ÍÏÍÅÎÔ ÂÙÌ ÂÙ ÌÅ×ÅÅ ÅÇÏ (ÔÁË ËÁË ÓÁÍÁÑ ÄÁÌØÎÑÑ ÏÔ C ÔÏÞËÁ ÎÅ ÌÅ×ÅÅ ÅÅ | ÜÔÏ ÔÏÞËÁ A, ÎÏ AC < 10 ÓÍ). ðÏÜÔÏÍÕ ÍÕÒÁ×ÅÊ Q ÎÅ ÓÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ × C : ×ÅÄØ ÏÎ ÔÏÇÄÁ ÂÙÌ ÂÙ ÒÁ×ÅÅ P . á ÍÕÒÁ×ÅÊ P ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ × C , ÏÓËÏÌØËÕ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÏËÉÎÕÔØ ÓÔÏÒÏÎ AD É AB : ÏÁÓÔØ ÎÁ Ä×Å ÏÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ ÓÔÏÒÏÎÙ ÏÎ ÍÏÇ ÂÙ ÔÏÌØËÏ ÞÅÒÅÚ ÏÄÎÕ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎ B ÉÌÉ D, ÎÏ × ÜÔÏÔ ÍÏÍÅÎÔ Q ÏËÁÚÁÌÓÑ ÂÙ ÒÁ×ÅÅ P .

åÝÅ ÏÄÉÎ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÊ ×ÏÒÏÓ ÎÅ ÂÙÌ ×ËÌÀÞÅÎ × ÏÌÉÍÉÁÄÕ ÉÚ-ÚÁ ÅÇÏ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ: ×ÓÅÇÄÁ ÌÉ ÍÕÒÁ×ØÉ ÓÍÏÇÕÔ ÒÏÏÌÚÔÉ Ï ËÒÁÀ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÓÔÏÌÁ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÎÁ ËÒÁÀ ÎÅ ÏÓÔÁÌÏÓØ ÔÏÞÅË, × ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ÏÂÙ×ÁÌ ÎÉ ÏÄÉÎ ÉÚ ÍÕÒÁ×ØÅ× ? á ×Ï ×ÔÏÒÏÊ ÏÌÏ×ÉÎÅ ÒÏÛÌÏÇÏ ×ÅËÁ ÎÁ ÓÅÍÉÎÁÒÅ å. í. ìÁÎÄÉÓÁ × íÏÓËÏ×ÓËÏÍ çÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÏÍ õÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ ÒÁÚÂÉÒÁÌÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ, ÂÌÉÚËÉÊ Ï ÔÅÍÅ, ×ÏÒÏÓ: îÁ ÒÑÍÏÊ ÄÁÎÁ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f , ÒÁ×ÎÁÑ ÎÕÌÀ ×ÎÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ [a; b℄. îÁ ÏÓÉ ÁÂÓ ÉÓÓ ÓÌÅ×Á ÏÔ ÏÔÒÅÚËÁ [a; b℄ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎ ÏÔÒÅÚÏË l . ÷ÓÅÇÄÁ ÌÉ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÄ×ÉÎÕÔØ ÅÇÏ × ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÅÇÏ ËÏÎ Ù ×ÓÅ ×ÒÅÍÑ ÏÓÔÁ×ÁÌÉÓØ ÎÁ ÇÒÁÆÉËÅ ÆÕÎË ÉÉ f É Ä×ÉÇÁÌÉÓØ ÂÙ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ, Á × ÉÔÏÇÅ l ÏËÁÚÁÌÓÑ ÂÙ ÎÁ ÏÓÉ ÁÂÓ ÉÓÓ ÓÒÁ×Á ÏÔ ÏÔÒÅÚËÁ [a; b℄? ðÒÅÄÌÁÇÁÅÍ ÖÅÌÁÀÝÉÍ ÞÉÔÁÔÅÌÑÍ ÏÔ×ÅÔÉÔØ ÎÁ ÜÔÉ ×ÏÒÏÓÙ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ!

éÚÂÒÁÎÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ 27 ÕÒÎÉÒÁ çÏÒÏÄÏ×

227

õ ëÁÒÌÓÏÎÁ ÅÓÔØ 1000 ÂÁÎÏË Ó ×ÁÒÅÎØÅÍ. âÁÎËÉ ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ, ÎÏ × ËÁÖÄÏÊ ÎÅ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ 1=100 ÞÁÓÔØ ×ÓÅÇÏ ×ÁÒÅÎØÑ. îÁ ÚÁ×ÔÒÁË ëÁÒÌÓÏÎ ÍÏÖÅÔ ÓßÅÓÔØ ÏÒÏ×ÎÕ ×ÁÒÅÎØÑ ÉÚ ÌÀÂÙÈ 100 ÂÁÎÏË. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ëÁÒÌÓÏÎ ÍÏÖÅÔ ÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÔØ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÚÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÚÁ×ÔÒÁËÏ× ÓßÅÓÔØ ×Ó£ ×ÁÒÅÎØÅ. (ä. íÕÓÁÔÏ×)

úÁÄÁÞÁ ÂÙÌÁ ÒÅÄÌÏÖÅÎÁ ÕÞÅÎÉËÁÍ 8 É 9 ËÌÁÓÓÏ×, ÎÏ ÏËÁÚÁÌÁÓØ ÏÞÅÎØ ÓÌÏÖÎÏÊ: ÏËÁ ÅÅ ÒÅÛÉÌ ÌÉÛØ ÏÄÉÎ ÕÞÁÓÔÎÉË (Ë ÍÏÍÅÎÔÕ ÎÁÉÓÁÎÉÑ ÜÔÏÊ ÚÁÍÅÔËÉ ÂÙÌÉ ÒÏ×ÅÒÅÎÙ ÎÅ ×ÓÅ ÒÁÂÏÔÙ). ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÎÁÉÓÁÎÎÏÅ ÞÌÅÎÏÍ ÖÀÒÉ ÕÒÎÉÒÁ çÏÒÏÄÏ× á. ÷. îÉËÏÌÁÅ×ÙÍ.

ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ëÁÒÌÓÏÎ ÕÍÅÅÔ ÓßÅÄÁÔØ ×ÓÅ ×ÁÒÅÎØÅ, ÅÓÌÉ ×ÍÅÓÔÏ 1=100 É 100 × ÕÓÌÏ×ÉÉ ÕËÁÚÁÎÏ 1=99 É 99 (ÏÂÝÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÂÁÎÏË ÎÅ×ÁÖÎÏ, ÇÌÁ×ÎÏÅ, ÞÔÏ ÉÈ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÎÏÇÏ, ÎÅ ÍÅÎØÛÅ 100). âÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ ÒÏ ÜÔÉ ÚÁÄÁÞÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ €ÚÁÄÁÞÁ-100 É €ÚÁÄÁÞÁ-99. ïÂßÑÓÎÉÍ, ËÁË ÔÏÇÄÁ ÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÔØ ëÁÒÌÓÏÎÕ × ÓÌÕÞÁÅ €ÚÁÄÁÞÉ-100. ïÎ ÍÙÓÌÅÎÎÏ ÄÅÌÉÔ ×ÓÅ ÂÁÎËÉ ×ÁÒÅÎØÑ ÎÁ ÓÁÍÕÀ ÂÏÌØÛÕÀ (Ï ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ×ÁÒÅÎØÑ) É ÏÓÔÁÌØÎÙÅ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ €ÏÓÔÁÌØÎÙȁ ÂÁÎÏË ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÅ €ÚÁÄÁÞÉ-99 (×ÅÄØ × €ÏÓÔÁÌØÎÙȁ ÂÁÎËÁÈ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ 99=100 ×ÓÅÇÏ ×ÁÒÅÎØÑ, É × ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÜÔÉÈ ÂÁÎÏË ÎÅ ÂÏÌÅÅ 1=100 ×ÓÅÇÏ ×ÁÒÅÎØÑ, ÔÏ ÅÓÔØ ÎÅ ÂÏÌÅÅ (1=100) · (100=99) = 1=99 ÏÔ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ×ÁÒÅÎØÑ × €ÏÓÔÁÌØÎÙȁ ÂÁÎËÁÈ). ðÏÜÔÏÍÕ ëÁÒÌÓÏÎ ÍÏÇ ÂÙ ÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÔØ ÔÁË: ÓßÅÓÔØ ÉÚ €ÏÓÔÁÌØÎÙȁ ÂÁÎÏË ×ÓÅ ×ÁÒÅÎØÅ Ï ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ €ÚÁÄÁÞÉ 99, ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÛÁÇÅ ÂÅÒÑ ÎÁÂÏÒ 99 ÂÁÎÏË ÉÚ €ÏÓÔÁÌØÎÙȁ É ÄÏÂÁ×ÌÑÑ ×ÓÅ ×ÒÅÍÑ ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÓÏÔÕÀ ÂÁÎËÕ | €ÓÁÍÕÀ ÂÏÌØÛÕÀ. äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ×ÁÒÅÎØÅ × €ÓÁÍÏÊ ÂÏÌØÛÏʁ ÂÁÎËÅ É €ÏÓÔÁÌØÎÙȁ ËÏÎÞÉÌÏÓØ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ, ÞÔÏÂÙ × ÎÅÊ ÂÙÌÏ ÒÏ×ÎÏ × 99 ÒÁÚ ÍÅÎØÛÅ ×ÁÒÅÎØÑ, ÞÅÍ ÓÕÍÍÁÒÎÏ × €ÏÓÔÁÌØÎÙȁ ÂÁÎËÁÈ (ÏÓËÏÌØËÕ, ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÉÚ ÎÅÅ ËÁÖÄÙÊ ÒÁÚ ÓßÅÄÁÅÔÓÑ × 99 ÒÁÚ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ ÉÚ €ÏÓÔÁÌØÎÙȁ). Ï ÅÓÔØ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ, ÞÔÏÂÙ × €ÓÁÍÏÊ ÂÏÌØÛÏʁ ÂÁÎËÅ ÉÚÎÁÞÁÌØÎÏ ÂÙÌÁ ÒÏ×ÎÏ 1=100 ÄÏÌÑ ÏÔ ÏÂÝÅÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ×ÁÒÅÎØÑ. ïÂßÑÓÎÉÍ, ËÁË ëÁÒÌÓÏÎÕ ÄÏÂÉÔØÓÑ ÜÔÏÇÏ. ðÕÓÔØ × €ÓÁÍÏÊ ÂÏÌØÛÏʁ ÂÁÎËÅ ÍÅÎØÛÅ 1=100 ÏÂÝÅÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ×ÁÒÅÎØÑ. ëÁÒÌÓÏÎ ÂÕÄÅÔ ×ÙÂÉÒÁÔØ 100 ÎÅÕÓÔÙÈ ÂÁÎÏË ÉÚ €ÏÓÔÁÌØÎÙȁ É ÓßÅÄÁÔØ ÉÚ ÎÉÈ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÁÒÅÎØÑ. äÏÌÑ ×ÁÒÅÎØÑ × €ÓÁÍÏÊ ÂÏÌØÛÏʁ ÂÁÎËÅ ÒÉ ÜÔÏÍ ÂÕÄÅÔ Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÔØÓÑ. ðÏËÁÖÅÍ, ËÁË ÅÍÕ ÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÔØ, ÞÔÏÂÙ ÇÁÒÁÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏ ÄÏ×ÅÓÔÉ ÜÔÕ ÄÏÌÀ ÄÏ 1=100. åÓÌÉ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÁÒÅÎØÑ × ÓÁÍÏÊ ÍÁÌÅÎØËÏÊ ÂÁÎËÅ (ÉÚ ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ÓÔÁ) ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÓßÅÓÔØ ÞÁÓÔØ ×ÁÒÅÎØÑ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÄÏÌÑ €ÓÁÍÏÊ ÂÏÌØÛÏʁ ÂÁÎËÉ ÓÔÁÌÁ ÒÁ×ÎÁ 1=100, ÏÎ ÔÁË É ÄÅÌÁÅÔ. éÎÁÞÅ ÓßÅÄÁÅÔ ×ÓÅ ×ÁÒÅÎØÅ ÉÚ ÓÁÍÏÊ ÍÁÌÅÎØËÏÊ ÂÁÎËÉ, ÕÍÅÎØÛÁÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÎÅÕÓÔÙÈ ÂÁÎÏË. ëÏÇÄÁ ÏÎ ÏÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ? ìÉÂÏ ËÏÇÄÁ ÄÏÂØÅÔÓÑ ÔÒÅÂÕÅÍÏÇÏ, ÌÉÂÏ ËÏÇÄÁ ÎÅÕÓÔÙÈ ÂÁÎÏË ÓÒÅÄÉ €ÏÓÔÁÌØÎÙȁ ÓÔÁÎÅÔ ÍÅÎØÛÅ 100. îÏ × ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÄÏÌÑ €ÓÁÍÏÊ ÂÏÌØÛÏʁ ÔÏÞÎÏ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ 1=100, Ô. Å. ëÁÒÌÓÏÎ ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÌ ÏÓÔÁÎÏ×ÉÔØÓÑ ÒÁÎØÛÅ.

228

ó. á. äÏÒÉÞÅÎËÏ

éÔÁË, ÓÎÁÞÁÌÁ ëÁÒÌÓÏÎ ÏÄÇÏÔÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÂÁÎËÉ: ÄÏÂÉ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏÂÙ × €ÓÁÍÏÊ ÂÏÌØÛÏʁ ÂÁÎËÅ ÂÙÌÁ ÒÏ×ÎÏ 1=100 ÄÏÌÑ ÏÔ ÏÂÝÅÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ×ÁÒÅÎØÑ (ÒÉ ÜÔÏÍ ÕÓÌÏ×ÉÅ €ÚÁÄÁÞÉ 100, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÂÕÄÅÔ Ï-ÒÅÖÎÅÍÕ ×ÙÏÌÎÅÎÏ). úÁÔÅÍ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍ €ÚÁÄÁÞÉ-99, ÓßÅÄÁÅÔ ×ÓÅ ×ÁÒÅÎØÅ, ËÁË ÎÁÉÓÁÎÏ ×ÙÛÅ. äÌÑ ÚÁ×ÅÒÛÅÎÉÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÓÔÁÌÏÓØ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÍÙ ÎÁÕÞÉÌÉÓØ Ó×ÏÄÉÔØ €ÚÁÄÁÞÕ-100 Ë €ÚÁÄÁÞÅ-99, ÎÏ ÔÏÞÎÏ ÔÁËÖÅ ÍÏÖÎÏ Ó×ÅÓÔÉ ÅÅ ÔÅÅÒØ Ë €ÚÁÄÁÞÅ-98, ÔÕ × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ Ë €ÚÁÄÁÞÅ-97, É Ô. Ä. îÕ Á €ÚÁÄÁÞÁ-1 ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ. îÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÒÁÓÓÔÁ×ÌÅÎÏ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ÂÏÌØÛÅ 1. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÎÁ ÔÒÉ ÄÕÇÉ ÔÁË, ÞÔÏ ÓÕÍÍÙ ÞÉÓÅÌ ÎÁ ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÄÕÇÁÈ ÂÕÄÕÔ ÏÔÌÉÞÁÔØÓÑ ÎÅ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÎÁ 1. (úÁÍÅÞÁÎÉÅ. åÓÌÉ ÎÁ ÄÕÇÅ ÎÅÔ ÞÉÓÅÌ, ÔÏ ÓÕÍÍÁ ÎÁ ÎÅÊ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÎÏÊ ÎÕÌÀ.) (í. é. íÁÌËÉÎ)

÷ÅÒÎÁ É ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÁÑ ÚÁÄÁÞÁ: × ÔÅÈ ÖÅ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÍÏÖÎÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ n ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÎÁ n ÄÕÇ ÔÁË, ÞÔÏ ÓÕÍÍÙ ÞÉÓÅÌ ÎÁ ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÄÕÇÁÈ ÂÕÄÕÔ ÏÔÌÉÞÁÔØÓÑ ÎÅ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÎÁ 1. óÎÁÞÁÌÁ ÒÁÚÏÂßÅÍ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÎÁ n ÄÕÇ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÕÓÔØ ÎÁÊÄÕÔÓÑ Ä×Å ÓÏÓÅÄÎÉÅ ÄÕÇÉ, ÓÕÍÍÙ ÞÉÓÅÌ ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÎÁ 1. ÏÇÄÁ ÅÒÅÄ×ÉÎÅÍ ÇÒÁÎÉ Õ ÜÔÉÈ ÄÕÇ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÎÁ ÄÕÇÅ Ó ÂÏÌØÛÅÊ ÓÕÍÍÏÊ ÓÔÁÌÏ ÎÁ ÏÄÎÏ ÞÉÓÌÏ ÍÅÎØÛÅ, Á ÎÁ ÄÕÇÅ Ó ÍÅÎØÛÅÊ ÓÕÍÍÏÊ | ÎÁ ÜÔÏ ÖÅ ÏÄÎÏ ÞÉÓÌÏ ÂÏÌØÛÅ. åÓÌÉ É ÏÓÌÅ ÔÁËÏÇÏ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÎÁÊÄÕÔÓÑ ÓÏÓÅÄÎÉÅ ÄÕÇÉ Ó ÒÁÚÎÏÓÔØÀ, ÂÏÌØÛÅÊ 1, ÓÎÏ×Á ÓÄÅÌÁÅÍ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ, É Ô.Ä. ïÓÔÁÅÔÓÑ ×ÏÒÏÓ: ÒÉ×ÅÄÅÔ ÌÉ ÎÁÛ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ËÏÇÄÁ-ÎÉÂÕÄØ Ë ÅÌÉ, ÉÌÉ ÏÎ ÍÏÖÅÔ ÒÏÄÏÌÖÁÔØÓÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÄÏÌÇÏ? á×ÔÏÒ ÚÁÄÁÞÉ í. é. íÁÌËÉÎ ÒÉÄÕÍÁÌ ÒÏÓÔÏÅ É ËÒÁÓÉ×ÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. úÁÎÕÍÅÒÕÅÍ ÄÕÇÉ (ÞÉÓÌÁÍÉ ÏÔ 1 ÄÏ n) É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÕÍÍÕ x21 + : : : + x2n , ÇÄÅ xi | ÓÕÍÍÁ ÞÉÓÅÌ ÎÁ i-Ê ÄÕÇÅ. ðÕÓÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, xi+1 − xi > 1. ðÒÉÍÅÎÉ× ÎÁÛ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÏÌÕÞÉÍ Ä×Å ÎÏ×ÙÅ ÓÏÓÅÄÎÉÅ ÄÕÇÉ Ó ÓÕÍÍÁÍÉ xi+1 − a É xi + a. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÒÁÚÎÉ Á ÍÅÖÄÕ ÓÔÁÒÏÊ ÓÕÍÍÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× É ÎÏ×ÏÊ ÒÁ×ÎÁ x2i+1 + x2i − (xi+1 − a)2 − (xi + a)2 = = 2a(xi+1 − xi − a) > 0, ÏÓËÏÌØËÕ xi+1 − xi > 1 É 0 6 a < 1. úÎÁÞÉÔ, ÓÕÍÍÁ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÕÍÅÎØÛÉÌÁÓØ. îÏ ÓÕÍÍÁ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÍÏÖÅÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÌÉÛØ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÚÎÁÞÅÎÉÊ (ÏÓËÏÌØËÕ ÅÓÔØ ÌÉÛØ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÓÏÓÏÂÏ× ÒÁÚÂÉÔØ ÞÉÓÌÁ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÎÁ n ÞÁÓÔÅÊ) É ÚÎÁÞÉÔ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÕÍÅÎØÛÁÔØÓÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚ. ðÏÜÔÏÍÕ × ËÏÎ Å ËÏÎ Ï× ÍÙ ÒÉÊÄÅÍ Ë ÉÓËÏÍÏÍÕ ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÀ.

ÏÞÎÏ ÔÁË ÖÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÆÁËÔ: ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ n ÌÀÂÏÊ ËÏÎÅÞÎÙÊ ÎÁÂÏÒ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÉÈ 1, ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ n ÞÁÓÔÅÊ (ÓÒÅÄÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÕÓÔÙÅ, Ó ÎÕÌÅ×ÏÊ ÓÕÍÍÏÊ) ÔÁË, ÞÔÏ ÓÕÍÍÙ ÞÉÓÅÌ × ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÞÁÓÔÑÈ ÂÕÄÕÔ ÏÔÌÉÞÁÔØÓÑ ÎÅ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÎÁ 1.

éÚÂÒÁÎÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ 27 ÕÒÎÉÒÁ çÏÒÏÄÏ×

229

éÓÔÏÒÉÑ ÏÞÅÒÅÄÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÏÞÅÎØ ÉÎÔÅÒÅÓÎÁ. ÷ ÖÕÒÎÁÌÅ €ë×ÁÎԁ ‚8 ÚÁ 1983 ÇÏÄ é. æ. ûÁÒÙÇÉÎ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÌ ÓÔÁÔØÀ €÷ÏËÒÕÇ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓف, × ËÏÔÏÒÏÊ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÌ ÚÁÂÁ×ÎÙÊ ×ÏÒÏÓ, ÍÁÌÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÊ ÔÏÇÄÁ ÄÁÖÅ ÓÒÅÄÉ ÌÀÂÉÔÅÌÅÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ: ðÒÏ ÄÁÎÎÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÊ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑÍÉ ÅÇÏ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÙÍ. íÏÖÎÏ ÌÉ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ É ÄÁÎÎÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÙÊ ? é. æ. ûÁÒÙÇÉÎ ÄÏËÁÚÁÌ, ÞÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ ÜÔÏ ÎÅÌØÚÑ (ÏÄÒÏÂÎÏÓÔÉ ÓÍ. ÎÁÒÉÍÅÒ × ÅÇÏ ËÎÉÇÅ €çÅÏÍÅÔÒÉÑ. ðÌÁÎÉÍÅÔÒÉÑ. 9{11 ËÌÁÓÓف, äÒÏÆÁ, 2001, ÚÁÄÁÞÁ 500), ÎÏ ÎÅ ÓÕÍÅÌ ÏÓÔÒÏÉÔØ ËÏÎËÒÅÔÎÏÇÏ ÒÉÍÅÒÁ ÎÅÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ (Ô. Å. ÔÏÞÎÏ ÕËÁÚÁÔØ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ×ÓÅÈ ÅÇÏ ÕÇÌÏ×) Ó ÔÁËÉÍ ÜËÚÏÔÉÞÅÓËÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ. îÅÄÁ×ÎÏ ÒÉÍÅÒ ÕÄÁÌÏÓØ ÏÓÔÒÏÉÔØ ó. é. ÏËÁÒÅ×Õ, ÒÉÞÅÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ÏËÁÚÁÌÓÑ ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ ÌÀÂÉÔÅÌÑÍ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. ÁË ×ÏÚÎÉËÌÁ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÚÁÄÁÞÁ: äÁÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ABC , AA1 , BB1 É CC1 | ÅÇÏ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÙ. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÕÇÌÏ× A, B É C ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ ËÁË 4 : 2 : 1. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ A1 B1 = A1 C1. (ó. é. ÏËÁÒÅ×)

ïÉÛÅÍ ×ÏËÒÕÇ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ. õÇÌÙ ÎÁÛÅÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÒÁ×ÎÙ 4=7, 2=7 É =7; ÏÜÔÏÍÕ, ÒÁÚÄÅÌÉ× ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÎÁ 7 ÒÁ×ÎÙÈ ÄÕÇ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÔÏÞËÉ A, ÏÌÕÞÉÍ ×ÉÓÁÎÎÙÊ × ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÓÅÍÉÕÇÏÌØÎÉË ABXY ZCT . X úÁÍÅÔÉÍ ÓÎÁÞÁÌÁ, ÞÔÏ AA1 | ÂÉÓB ÓÅËÔÒÉÓÁ ÕÇÌÁ A, É ÚÎÁÞÉÔ ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ Y | ÓÅÒÅÄÉÎÕ ÄÕÇÉ BC . áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ BB1 | ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÁ ÕÇÌÁ B , É Y C1 A1 ÚÎÁÞÉÔ ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ T | ÓÅÒÅÄÉÎÕ ÄÕÇÉ AC . A äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ △ BCC1 = △AY B1 . äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, BC = AY ÉÚ ÓÉÍÍÅÔB1 ÒÉÉ; ∠C1 BC = 2=7 = ∠B1 AY (ÏÉÒÁ- Z ÀÔÓÑ ÎÁ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÄÕÇÉ), É ∠BCC1 = = =14 = ∠AY B1 (ÅÒ×ÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï T ×ÅÒÎÏ, ÔÁË ËÁË CC1 | ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÁ ÕÇÌÁ C C , ×ÔÏÒÏÅ | ÔÁË ËÁË Y B1 | ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÁ ÕÇÌÁ AY T ÉÚ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ). ÅÍ ÓÁÍÙÍ òÉÓ. 3. ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ÒÁ×ÎÙ Ï ×ÔÏÒÏÍÕ ÒÉÚÎÁËÕ. á ÚÎÁÞÉÔ Y B1 = CC1 . îÏ ÔÏÇÄÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ Y A1 B1 É CA1 C1 ÒÁ×ÎÙ Ï ÅÒ×ÏÍÕ ÒÉÚÎÁËÕ (∠A1 Y B1 = =14 = ∠A1 CC1 , A1 Y = A1 C ÉÚ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ, Y B1 = CC1 Ï ÄÏËÁÚÁÎÎÏÍÕ). ïÔËÕÄÁ A1 B1 = A1 C1 , ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ. ó. á. äÏÒÉÞÅÎËÏ, ÕÒÎÉÒ çÏÒÏÄÏ×, îíõ, ÛËÏÌÙ ‚57 É ‚179 Ç.íÏÓË×Ù E-mail: dsam

me.ru

ðÏ ÍÏÔÉ×ÁÍ ÚÁÄÁÞÎÉËÁ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс

÷ ÜÔÏÍ ÎÏÍÅÒÅ ÍÙ ÒÉ×ÏÄÉÍ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ 5.9 ÉÚ ÚÁÄÁÞÎÉËÁ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс. üÔÁ ÚÁÄÁÞÁ Ó×ÑÚÁÎÁ Ó ÄÉÓËÒÅÔÎÙÍ ÁÎÁÌÏÇÏÍ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ , Ô. Å. ÆÕÎË ÉÊ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ ìÁÌÁÓÁ
f = 0: çÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÊ ÎÁ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÒÅÛÅÔËÅ Zn ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f : Zn → R, ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÊ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÒÁ×ÎÏ ÓÒÅÄÎÅÍÕ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÏÓÅÄÅÊ:

f (x1; : : : ; xn ) = 21n

n  X i=1



f (x1; : : : ; xi − 1; : : : ; xn ) + f (x1; : : : ; xi + 1; : : : ; xn ) :

óÕÅÒÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÊ ÎÁ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÒÅÛÅÔËÅ Zn ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ

ÆÕÎË ÉÑ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ×ÍÅÓÔÏ ÎÁÉÓÁÎÎÏÇÏ ×ÙÛÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï > × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ (x1 ; : : : ; xn ). ÷ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÄÌÑ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÔÅÏÒÅÍÁ ìÉÕ×ÉÌÌÑ: ×ÓÑËÁÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÁÑ ÎÁ Rn ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÏÓÔÏÑÎÎÁ . äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÁÖÅ ÏÔÒÅÂÏ×ÁÔØ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÊ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÓÔÉ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ É ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÊ, ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÈ ÎÁ ÒÅÛÅÔËÅ: ÅÓÌÉ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÁÑ ÎÁ ÒÅÛÅÔËÅ ÆÕÎË ÉÑ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÁ, ÔÏ ÏÎÁ ÏÓÔÏÑÎÎÁ . þÁÓÔÎÙÍÉ ÓÌÕÞÁÑÍÉ ÜÔÏÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÕÎËÔÙ Â) É ×) ÚÁÄÁÞÉ 5.91) . åÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï, ÎÁÊÄÅÎÎÏÅ ÇÅÒÍÁÎÓËÉÍ ÛËÏÌØÎÉËÏÍ ð. ûÏÌØ Å, ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ ÎÉÖÅ. äÒÕÇÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÇÏ ÆÁËÔÁ, ÉÓÏÌØÚÕÀÝÅÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÕÀ ×ÙÕËÌÕÀ ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ, ÎÁÍÅÞÅÎÏ × ËÎÉÇÅ å. â. äÙÎËÉÎÁ, á. á. àÛËÅ×ÉÞÁ €ÅÏÒÅÍÙ É ÚÁÄÁÞÉ Ï ÒÏ ÅÓÓÁÈ íÁÒËÏ×Á, í.: îÁÕËÁ, 1966. ÷ ÜÔÏÊ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÊ ËÎÉÇÅ ÏÂßÑÓÎÑÅÔÓÑ Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÍÉ É ÓÕÅÒÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÍÉ ÆÕÎË ÉÑÍÉ ÎÁ ÒÅÛÅÔËÅ É ÓÌÕÞÁÊÎÙÍÉ ÂÌÕÖÄÁÎÉÑÍÉ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÎÁ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ É Ä×ÕÍÅÒÎÏÊ ÒÅÛÅÔËÁÈ ×ÓÅ ÓÕÅÒÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ ÏÓÔÏÑÎÎÙ . îÁÞÉÎÁÑ Ó ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ 3, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÎÅÏÓÔÏÑÎÎÙÅ ÓÕÅÒÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ. (òÁÚÎÉ Á ÍÅÖÄÕ ÍÁÌÙÍÉ É ÂÏÌØÛÉÍÉ

ïÔÍÅÔÉÍ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÕÎËÔ Â) ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ × ÚÁÄÁÞÎÉËÅ ×ÔÏÒÏÊ ÓÅÒÉÉ ÓÂÏÒÎÉËÏ× €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉŁ (×Ù. 3, 1958, Ó. 269, ÚÁÄÁÞÁ 20). 1)

231

ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÑÍÉ ÏÂÕÓÌÏ×ÌÅÎÁ × ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÏÚ×ÒÁÔÎÏÓÔØÀ ÉÌÉ ÎÅ×ÏÚ×ÒÁÔÎÏÓÔØÀ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÂÌÕÖÄÁÎÉÑ.) ÷ ÓÔÁÔØÅ é. é. âÏÇÄÁÎÏ×Á É ç. ò. þÅÌÎÏËÏ×Á ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÎËÔÁ Á) ÚÁÄÁÞÉ 5.9. ÁÍ ÒÅÞØ ÉÄÅÔ Ï ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÏÂÏÂÝÅÎÉÉ ÏÎÑÔÉÑ ÓÕÅÒÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÎÁ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÒÅÛÅÔËÅ. óÒÅÄÉ ÔÁËÉÈ ÏÂÏÂÝÅÎÎÙÈ ÓÕÅÒÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ×ÓÀÄÕ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ, ËÁË É × ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÔÁËÖÅ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ, ÉÚÕÞÁÑ ÓÌÕÞÁÊÎÙÅ ÂÌÕÖÄÁÎÉÑ ÎÁ ÒÅÛÅÔËÅ. òÅÄËÏÌÌÅÇÉÑ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс ÌÁÎÉÒÕÅÔ ÒÏÄÏÌÖÉÔØ ÕÂÌÉËÁ ÉÉ ÎÁ ÜÔÕ ÔÅÍÕ. ÅÍ, ËÔÏ ÚÁÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÌÓÑ ÄÉÓËÒÅÔÎÙÍÉ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÍÉ ÆÕÎË ÉÑÍÉ, ÓÏ×ÅÔÕÅÍ ÔÁËÖÅ ÒÏÞÉÔÁÔØ ÓÔÁÔØÀ á. é. èÒÁÂÒÏ×Á €äÉÓËÒÅÔÎÙÅ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË ÉɁ × ÓÂÏÒÎÉËÅ €úÁÄÁÞÉ óÁÎËÔ-ðÅÔÅÒÂÕÒÇÓËÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÙ ÛËÏÌØÎÉËÏ× Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ 2005 ÇÏÄÁ, óðÂ: îÅ×ÓËÉÊ ÄÉÁÌÅËÔ, âè÷ðÅÔÅÒÂÕÒÇ, 2005; Ó. 112{145.

232

ïÂÏÂÝÅÎÎÙÅ ÓÕÅÒÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ é. é. âÏÇÄÁÎÏ×

ç. ò. þÅÌÎÏËÏ×

÷ ÜÔÏÊ ÚÁÍÅÔËÅ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ 5.9Á) ÉÚ ÚÁÄÁÞÎÉËÁ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс. îÁÏÍÎÉÍ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ: ÷ ËÌÅÔËÁÈ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ ËÌÅÔÞÁÔÏÊ ÌÅÎÔÙ ÚÁÉÓÁÎÙ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÓÒÅÄÎÅÇÏ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÔÒÅÈ ÓÏÓÅÄÅÊ ÓÌÅ×Á É ÔÒÅÈ ÓÒÁ×Á. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÁ ÒÁ×ÎÙ. æÏÒÍÁÌØÎÏ ÞÉÓÌÁ, ÚÁÉÓÁÎÎÙÅ × ËÌÅÔËÁÈ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ ËÌÅÔÞÁÔÏÊ ÌÅÎÔÙ, ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÌÉÂÏ ËÁË ÆÕÎË ÉÉ Z → R ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÌÉÂÏ ËÁË ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÅ × ÏÂÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ : : : ; f−n; : : : ; f−1; f0 ; f1; : : : ; fn; : : : íÙ ×ÙÂÉÒÁÅÍ ×ÔÏÒÏÊ ÓÏÓÏÂ É ÄÁÌÅÅ ÇÏ×ÏÒÉÍ ÔÏÌØËÏ Ï ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÈ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ F | ÎÅÕÓÔÏÅ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÕÌÑ, ÒÉÞÅÍ ÞÉÓÌÁ × F ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙ × ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔÉ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ an ÎÁÚÏ×ÅÍ F -ÓÕÅÒÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÊ , ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ n ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

an > |F1 |

X

f ∈F

an+f :

îÁÒÉÍÅÒ, {−1; +1}-ÓÕÅÒÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ | ÜÔÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ, ÞÔÏ ÓÕÅÒÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÎÁ Z1 ÆÕÎË ÉÉ. ÅÏÒÅÍÁ. åÓÌÉ F -ÓÕÅÒÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÁ, ÔÏ ÏÎÁ ÏÓÔÏÑÎÎÁ.

úÁÄÁÞÁ 5.9Á) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÁÓÔÎÙÍ ÓÌÕÞÁÅÍ ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ, × ËÏÔÏÒÏÍ

F = {−3; −2; −1; 1; 2; 3}. äÌÑ ÒÏÓÔÏÔÙ ÉÚÌÏÖÅÎÉÑ ÍÙ ÒÉ×ÏÄÉÍ ÔÏÌØËÏ

ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÇÏ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÓÌÕÞÁÑ. ïÂÝÅÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ.

ïÂÏÂÝÅÎÎÙÅ ÓÕÅÒÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ

233

âÅÓËÏÎÅÞÎÙÅ × ÏÂÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÞÉÓÅÌ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÅÒÁ ÉÊ ÏËÏÍÏÎÅÎÔÎÏÇÏ ÓÌÏÖÅÎÉÑ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ×ÓÅÈ ÞÌÅÎÏ× ÎÁ ËÏÎÓÔÁÎÔÕ. úÁÄÁÄÉÍ ÎÁ ÜÔÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ X ÓÄ×ÉÇÁ ×ÌÅ×Ï: X (an ) = (bn ), ÇÄÅ bn = an+1. îÁÓ ÂÕÄÕÔ ÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÏÔ X ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ: ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÅÓÔØ ÉÈ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÏÅÒÁÔÏÒ X 2 ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ( n ) × ( n+2 ); ÓÌÏÖÅÎÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ × ÓÕÍÍÕ ÅÅ ÏÂÒÁÚÏ×, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÏÅÒÁÔÏÒ X 2 +2X +1 ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ( n ) × ( n+2 +2 n+1 + n); ÞÉÓÌÏ  ÏÎÉÍÁÅÔÓÑ ËÁË ÏÅÒÁÔÏÒ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÞÌÅÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÁ . ëÁÖÄÙÊ ÔÁËÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, Ô. Å. ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× P (X ) É Q(X ) ÅÓÔØ ÏÅÒÁÔÏÒ PQ(X ). îÁÒÉÍÅÒ, X 2 +3X +2 = (X +1)(X +2), Ô. Å., ÏÄÅÊÓÔ×Ï×Á× ÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÎÁÞÁÌÁ ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ X + 1, Á ÚÁÔÅÍ X + 2 (ÉÌÉ ÎÁÏÂÏÒÏÔ), ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÔÏÔ ÖÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ, ËÁË ÒÉ ÄÅÊÓÔ×ÉÉ ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ X 2 + 3X + 2. îÁ ÜÔÏÍ ÑÚÙËÅ ÕÄÏÂÎÏ ÚÁÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ ÍÎÏÇÉÅ ÏÎÑÔÉÑ. ÁË, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ Ó ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ un+k = a0 un + a1 un+1 + · · · + ak−1 un+k−1 | ÜÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ X k (un) = (a0 + a1 X + · · · + ak−1X k−1)(un ); ÉÌÉ, ÒÏÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÒÏÓÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ, ÏÂÎÕÌÑÅÍÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ X k − ak−1 X k−1 − · · · − a1 X − a0 , Ô. Å. ÅÇÏ ÑÄÒÏ. ïÔÓÀÄÁ, ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÑ ÜÔÏÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÉ, ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÏÂÝÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ. õÓÌÏ×ÉÅ ÚÁÄÁÞÉ 5.9Á) ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÔÅÅÒØ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ×ÉÄÅ. äÁÎÁ ÔÁËÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (an ) ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÞÔÏ 6an+3 > an + an+1 + an+2 + an+4 + an+5 + an+6 ; ÉÌÉ, ÄÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ P (X ) = 1 + X + X 2 − 6X 3 + X 4 + X 5 + X 6 Ë ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (an ) ÄÁÅÔ ÎÅÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ. ÒÅÂÕÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ (an ) ÅÓÔØ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ.1) úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ P (x) = (x − 1)2 Q(x), ÒÉÞÅÍ ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ Q(x) ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙ.2) äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÜÔÏÔ ÆÁËÔ ÄÌÑ

ðÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÔÅÏÒÅÍÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ P (X ) ÎÕÖÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÎÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ F ×ÏÚ×ÒÁÔÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ (F -ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ). áÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï É ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ F -ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï Ï×ÔÏÒÑÅÔÓÑ ÏÞÔÉ ÄÏÓÌÏ×ÎÏ. 1) 2)

234

é. é. âÏÇÄÁÎÏ×, ç. ò. þÅÌÎÏËÏ×

ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× xk+r − 2xk + xk−r , ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ P (x) = (x6 − 2x3 + 1) + + (x5 − 2x3 + x) + (x4 − 2x3 + x2 ). äÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÕËÁÚÁÎÎÏÇÏ ×ÉÄÁ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ: xk+r − 2xk + xk−r = xk−r (xr − 1)2 = (x − 1)2 xk−r (xr−1 + xr−2 + · · · + 1)2 : äÁÌÅÅ, ËÏÒÎÉ Q(z ) Ï ÍÏÄÕÌÀ ÎÅ ÒÁ×ÎÙ 1, Ô. Å. Q(z ) 6= 0 ÒÉ ÌÀÂÏÍ ËÏÍÌÅËÓÎÏÍ z , |z | = 1. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, |P (z )| > |6z 3 | − 1 − |z | − |z 2 | − |z 4 | − − |z 5 | − |z 6 | = 0, ÒÉÞÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÏÖÅÔ ÄÏÓÔÉÇÁÔØÓÑ ÌÉÛØ ËÏÇÄÁ ÞÉÓÌÁ 1 É z ÉÍÅÀÔ ÒÁ×ÎÙÅ ÁÒÇÕÍÅÎÔÙ, Ô. Å. z = 1. îÏ Q(1) 6= 0 ÉÚ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ×.3) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ Q(X )(an ) = (bn ). ÏÇÄÁ ÜÌÅÍÅÎÔÙ (bn ) ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× (an ) ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÅÊ Ó ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ (Á ÉÍÅÎÎÏ, Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Q); ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (bn ) ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ. ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ, ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (dn ) = = (X − 1)2 (bn ) = P (X )(an ) ÎÅÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ (bn ) ÏÓÔÏÑÎÎÁÑ. ðÕÓÔØ ( n ) = (X − 1)(bn ), ÔÏÇÄÁ (dn ) = (X − 1)( n ). ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÏÌÕÞÁÅÍ dn = n+1 − n 6 0, Ô. Å. ( n ) ÎÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ k 6= 0. åÓÌÉ k < 0, ÔÏ É ×ÓÅ l 6 k < 0 ÒÉ l > k. ÏÇÄÁ bl+1 − bl 6 k ÒÉ l > k, Ô. Å. bl Ó ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÅÍ l ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÛÁÇÅ ÕÂÙ×ÁÅÔ ÈÏÔÑ ÂÙ ÎÁ | k |; ÜÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÔÁË ËÁË (bn ) ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÅÓÌÉ k > 0, ÔÏ ÒÉ ×ÓÅÈ l < k Ó ÕÍÅÎØÛÅÎÉÅÍ l ×ÅÌÉÞÉÎÁ bl ÕÍÅÎØÛÁÅÔÓÑ ÈÏÔÑ ÂÙ ÎÁ k , ÞÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ. éÔÁË, k ≡ 0, ÞÔÏ É ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ (bn ) ÏÓÔÏÑÎÎÁÑ. ÁË ËÁË ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ qi ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Q(x) É ÞÌÅÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (an ) ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙ, ÔÏ bn = q0 an +q1an+1 +· · · > q0 an , Ô. Å. an 6 bn =q0 = = b0 =q0 , É ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (an ) ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ. äÁÌÅÅ, ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÁ Q(X ) Ë ÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÕÍÎÏÖÁÅÔ ÅÅ ÎÁ Q(1). ðÏÓËÏÌØËÕ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ Q(X )(an ) ÏÓÔÏÑÎÎÁÑ É Q(1) 6= 0, ÔÏ ÉÚ (an ) ÍÏÖÎÏ ×ÙÞÅÓÔØ ÏÓÔÏÑÎÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ = b0 =Q(1) É ÏÌÕÞÉÔØ ÔÁËÕÀ (ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÕÀ!) ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ a′n = an − , ÞÔÏ Q(X )(a′n ) = (0). òÅÛÅÎÉÅ ÈÏÔÅÌÏÓØ ÂÙ ÚÁËÏÎÞÉÔØ ÔÁË. íÙ ÏÌÕÞÉÌÉ, ÞÔÏ (a′n ) ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÁ, Õ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÅÔ ËÏÒÎÅÊ, Ï ÍÏÄÕÌÀ ÒÁ×ÎÙÈ 1. ðÒÉÍÅÎÉ× ÏÂÝÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ, ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ (a′n ) ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ×ÉÄÁ (R(n)n ), ÇÄÅ  ÒÏÂÅÇÁÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ËÏÒÎÅÊ Q(x), Á R(n) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ. ëÁÚÁÌÏÓØ ÂÙ, ÏÓËÏÌØËÕ || = 6 1, ÔÏ ÔÁËÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ

ðÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÎÕÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ F -ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ. ÷ ÜÔÏÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÅ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÁ ÉÚ F ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙ. äÁÌØÎÅÊÛÉÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ ÏÉÒÁÀÔÓÑ ÎÁ ÕËÁÚÁÎÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á F -ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, Á × ÏÓÔÁÌØÎÏÍ ÏÔ ×ÉÄÁ F ÏÎÉ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÔ. 3)

ïÂÏÂÝÅÎÎÙÅ ÓÕÅÒÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ

235

ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ ÌÉÛØ ËÏÇÄÁ a′n ≡ 0. üÔÏ É × ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ×ÅÒÎÏ, ÎÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÎÁÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÏÓÎÏ×ÁÎÙ ÎÁ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÔÏÎËÉÈ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑÈ Ó ÒÉÍÅÎÅÎÉÅÍ ÔÅÏÒÅÍÙ ëÒÏÎÅËÅÒÁ. ðÏÜÔÏÍÕ ÚÁ×ÅÒÛÉÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÎÅÓËÏÌØËÏ ÉÎÁÞÅ (É ÒÏÝÅ). íÙ ÄÏÌÖÎÙ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ, ÒÉÍÅÎÑÑ Q(X ) Ë ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÎÅÌØÚÑ ÏÌÕÞÉÔØ (0). òÁÚÌÏÖÉÍ Q(x) ÎÁ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ; ÔÏÇÄÁ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÜÔÏ ÄÌÑ ÏÄÎÏÇÏ ÔÁËÏÇÏ ÍÎÏÖÉÔÅ6 1 (ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÜÔÏÔ ÏÅÒÁÔÏÒ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÌÑ X − , ÇÄÅ || = ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ × ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÅ, ÔÏ Ï ÉÎÄÕË ÉÉ ÓÒÁÚÕ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ). ïÄÎÁËÏ X − , ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÏÂÎÕÌÑÅÔ ÌÉÛØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ un = n u0 , ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉ || = 6 1 É u0 6= 0 ÎÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÙ, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÏÈÏÖÉÍÉ ÍÅÔÏÄÁÍÉ ÌÅÇËÏ ÒÅÛÁÅÔÓÑ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÚÁÄÁÞÁ 7.11 ÉÚ ÚÁÄÁÞÎÉËÁ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс. îÁÏÍÎÉÍ ÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ: BÓÅ ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ËÏÒÎÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ A0 X n + A1 X n−1 + · · · + An = 0 Ï ÍÏÄÕÌÀ ÓÔÒÏÇÏ ÍÅÎØÛÅ 1. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ {vk = A0 uk+n + + A1 uk+n−1 + · · · + An uk } | ÓÈÏÄÉÔÓÑ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ {uk } ÔÏÖÅ ÓÈÏÄÉÔÓÑ. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÎÁ ËÌÁÓÓÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ×ÅÒÎÏ ÏÅÒÁÔÏÒÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (1 − aX )(1 + aX + a2 X 2 + : : : ) = 1, ÅÓÌÉ |a| < 1.

é. é. âÏÇÄÁÎÏ×, íæé e-mail: iibogdanovyahoo. om ç. ò. þÅÌÎÏËÏ×

236

ï ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÑÈ ÎÁ ÒÅÛÅÔËÅ ð. ûÏÌØ Å

çÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÊ ÎÁ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÒÅÛÅÔËÅ Zn ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ ÆÕÎË-

ÉÑ f : Zn → R, ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÊ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÒÁ×ÎÏ ÓÒÅÄÎÅÍÕ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÏÓÅÄÅÊ:

f (x1; : : : ; xn ) = 21n

n  X i=1



f (x1; : : : ; xi − 1; : : : ; xn ) + f (x1; : : : ; xi + 1; : : : ; xn ) :

äÁÎÎÁÑ ÚÁÍÅÔËÁ ÏÓ×ÑÝÅÎÁ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ, ÉÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÓÌÅÄÕÀÔ ÕÎËÔÙ Â) É ×) ÚÁÄÁÞÉ 5.9 ÚÁÄÁÞÎÉËÁ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс. ÅÏÒÅÍÁ. çÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÁÑ ÎÁ ÒÅÛÅÔËÅ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÏÓÔÏÑÎÎÁ.

áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÍÕ ÓÌÕÞÁÀ (ÓÍ. ÒÅÄÙÄÕÝÕÀ ÓÔÁÔØÀ é. é. âÏÇÄÁÎÏ×Á É ç. ò. þÅÌÎÏËÏ×Á) ÍÙ ××ÅÄÅÍ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÓÄ×ÉÇÁ X1 , . . . , Xn , ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÎÁ ÎÁÛÉÈ ÆÕÎË ÉÑÈ Ï ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÒÁ×ÉÌÕ: (Xi f )(x1 ; : : : ; xn ) = f (x1 ; : : : ; xi + 1; : : : ; xn ): ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Xi €ÓÄ×ÉÇÁÅԁ ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ËÕ ÞÉÓÅÌ × ÕÚÌÁÈ ÒÅÛÅÔËÉ ÎÁ 1 Ï i-Ê ËÏÏÒÄÉÎÁÔÅ. õÓÌÏ×ÉÅ ÇÁÒÍÏÎÉÞÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÉ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÓÄ×ÉÇÁ ËÁË (X1 + X1−1 + X2 + X2−1 + · · · + Xn + Xn−1 )f = 2nf ÉÌÉ (X1 + X1−1 + X2 + X2−1 + · · · + Xn + Xn−1 − 2n)f = 0; ÇÄÅ 0 | ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÕÌÅ×ÁÑ ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ËÁ. ïÅÒÁÔÏÒÙ ÓÄ×ÉÇÁ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÏÔ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× Xi ; Xi−1 Ó ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ, ÏÎÉÍÁÑ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ËÁË ËÏÍÏÚÉ ÉÀ, Á ÓÌÏÖÅÎÉÅ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÞÉÓÌÏ | ËÁË ÓÌÏÖÅÎÉÅ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÞÉÓÌÏ ÆÕÎË ÉÊ Z → Rn .

ðÅÒÅ×ÏÄ É ÒÅÄÁËÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ é. é. âÏÇÄÁÎÏ×Á.

ï ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÑÈ ÎÁ ÒÅÛÅÔËÅ

237

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ, ÒÉÍÅÎÑÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÔ ÓÄ×ÉÇÏ× Xi ; Xi−1 Ë ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÊ ÆÕÎË ÉÉ, ÍÙ ÏÑÔØ ÏÌÕÞÁÅÍ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÕÀ ÆÕÎË ÉÀ. ðÒÉ ÜÔÏÍ, ÅÓÌÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ É ÉÓÈÏÄÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙ, ÔÏ É ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÁ. íÙ ÂÕÄÅÍ ×ÅÓÔÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï n. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÄÌÑ n = 1 ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÄÎÏÍÅÒÎÁÑ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÌÉÎÅÊÎÁ, Á ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÁÑ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÏÓÔÏÑÎÎÁ. äÌÑ ÛÁÇÁ ÉÎÄÕË ÉÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ f ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÔÅÏÒÅÍÙ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ 2(n − 1)f > (X2 + X2−1 + · · · + Xn + Xn−1 )f (1) (ÏÄÏÂÎÙÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÍÙ ×ÓÅÇÄÁ ÂÕÄÅÍ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ÏÔÏÞÅÞÎÏ; × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÄÁÎÎÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÉ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÁ×ÏÊ). äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÔÏÇÄÁ ÉÚ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÔÁËÏÇÏ ÖÅ ×ÉÄÁ Ó ÚÁÍÅÎÏÊ ÉÎÄÅËÓÁ 1 ÎÁ i; ÒÏÓÕÍÍÉÒÏ×Á× Ï ×ÓÅÍ i, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ (2n − X1 − X1−1 − X2 − X2−1 − · · · − Xn − Xn−1 )f > 0: ðÏÓËÏÌØËÕ ÜÔÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï, ÔÏ ÏÂÒÁÝÁÌÉÓØ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï É ×ÓÅ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ, Ô. Å. ÒÉ ÌÀÂÏÍ j X  (Xi + Xi−1 ) f = 2(n − 1)f: i6=j úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ a ∈ Z. ÏÇÄÁ ÆÕÎË ÉÑ f1 : (x2 ; : : : ; xn) 7→ f (a; x2; : : : ; xn) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÊ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ ÎÁ (n − 1)-ÍÅÒÎÏÊ ÒÅÛÅÔËÅ, Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ ÏÎÁ ÏÓÔÏÑÎÎÁ; Ï ÔÅÍ ÖÅ ÒÉÞÉÎÁÍ É ÆÕÎË ÉÑ f2 : (x1; x3 ; : : : ; xn) 7→ f (x1; a; x2 ; : : : ; xn) ÏÓÔÏÑÎÎÁ. á ÔÏÇÄÁ É ÆÕÎË ÉÑ f ÔÁËÖÅ ÏÓÔÏÑÎÎÁ. ïÓÔÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (1). ÷×ÅÄÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ m(x2 ; : : : ; xn ) = (2n − 2) − x2 − x−2 1 − · · · − xn − x−n 1 É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ M ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÅÍÕ ÏÅÒÁÔÏÒ m(X2 ; : : : ; Xn ). îÁÍ ÎÕÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ Mf > 0. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ (Mf )(x1 ; x2 ; : : : ; xn ) ÚÁ×ÉÓÉÔ ÔÏÌØËÏ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ ÒÉ ÄÁÎÎÏÍ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ x1 . óÕÍÍÁ ÓÄ×ÉÇÏ× ×ÄÏÌØ ÅÒ×ÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ (X1 + X1−1 )f ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÓÄ×ÉÇÉ f ×ÄÏÌØ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ; ÉÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÓÕÍÍÁ Ä×ÕÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ f × ÔÏÞËÁÈ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÈ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ x1 = a, ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÚÎÁÞÅÎÉÑ f × ÜÔÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ÷ÙÑÓÎÉÍ, ËÁË ÉÍÅÎÎÏ ÏÎÁ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ.

238

ð. ûÏÌØ Å

÷×ÅÄÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ p0(t) = 2; p1(t) = 2 + t; pk+2(t) = (2 + t)pk+1(t) − pk (t): ðÏÌÏÖÉÍ Pk = pk (M ). ìÅÍÍÁ 1. Pk f = (X1k + X1−k )f ÒÉ ÌÀÂÏÍ k . ëÁË ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ, Pk f > 0. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. éÎÄÕË ÉÑ Ï n. äÌÑ n = 0; 1 ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ. äÌÑ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n ÉÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÏÌÕÞÁÅÍ (X1k + X1−k )f = = (X1k−1 (X1 + X1−1 ) − X1k−2 + X1−k+1 (X1 + X1−1 ) − X1−k+2 )f = = −(X1k−2 + X1k−1 (X2 + X2−1 + · · · + Xn + Xn−1 − 2n))f − − (X1−k+2 + X1−k+1 (X2 + X2−1 + · · · + Xn + Xn−1 − 2n))f = = (X1k−1 + X1−k+1 )(2 + M )f − (X1k−2 + X12−k )f = = ((2 + M )Pk−1 − Pk−2 )f = Pk f; ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ.  úÁÍÅÞÁÎÉÅ. éÚ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÌÅÍÍÙ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÌÀÂÕÀ ÆÕÎË ÉÀ, ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ x1 = 0, ÍÏÖÎÏ ÒÏÄÏÌÖÉÔØ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÎÁ ×ÓÀ ÏÂÌÁÓÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ: ÏÎÁ ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ÉÚ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÊ ÌÅÍÍÙ, ÅÓÌÉ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ , ÞÔÏ ÏÎÁ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÜÔÏÊ ÖÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ðÒÉ ÜÔÏÍ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÏÎÁ ÎÅ ÏÂÑÚÁÎÁ ÂÙÔØ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÊ, ÄÁÖÅ ÅÓÌÉ ÉÓÈÏÄÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ ÂÙÌÉ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÍÉ. ÅÅÒØ ÍÙ ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÚÁÂÕÄÅÍ ÒÏ ÏÅÒÁÔÏÒÙ Pk É ×ÙÑÓÎÉÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ Ó×ÏÊÓÔ× ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× pk (t). ìÅÍÍÁ 2. pk (2 os  − 2) = 2 os(k). äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. éÎÄÕË ÉÑ Ï k . ðÒÉ k = 0 É k = 1 ÜÔÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ. éÓÏÌØÚÕÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× pk (t), ÏÌÕÞÁÅÍ

pk+2(2 os  − 2) = 2 os  pk+1(2 os  − 2) − pk (2 os  − 2) = = 2(2 os  os(k + 1) − os k) = 2( os(k + 2) + os k − os k) = = 2 os(k + 2)

ÉÚ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ ÉÎÄÕË ÉÉ. 
t úÁÍÅÞÁÎÉÅ. éÚ ÌÅÍÍÙ 2 ÓÒÁÚÕ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ pk (t) = 2Tk + 1 , ÇÄÅ 2 Tk (t) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ þÅÂÙÛ£×Á ÓÔÅÅÎÉ k.

2j − 2. ëÁË ìÅÍÍÁ 3. pk (t) = 2 + (t − t1 ) · : : : · (t − tk ), ÇÄÅ tj = 2 os k ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ, pk (t) > 2 ÒÉ t > 0.

ï ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÑÈ ÎÁ ÒÅÛÅÔËÅ

239

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. óÏÇÌÁÓÎÏ ÌÅÍÍÅ 2, ËÏÒÎÑÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ pk (t) − 2 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ tj = 2 os 2ki − 2, i = 0; 1; : : : ; k − 1. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÞÉÓÌÁ ×ÓÔÒÅÞÁ-

ÀÔÓÑ ÓÒÅÄÉ ÓÉÓËÁ tj Ä×ÁÖÄÙ. ïÄÎÁËÏ, ÅÓÌÉ d = tr = tj , ÔÏ r + j = k, É −4 < d < 0; ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÉ t ∈ [−4; 0℄ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï  t + 2  |p(t)| = 2 os k ar

os 6 2;

2

Á p(d) − 2 = 0, ÏÜÔÏÍÕ d | ×ÎÕÔÒÅÎÎÑÑ ÔÏÞËÁ ÌÏËÁÌØÎÏÇÏ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ pk (t) − 2 É, ËÁË ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ, ÅÇÏ ËÏÒÅÎØ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ 2. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÎÁÓÞÉÔÁÌÉ k ËÏÒÎÅÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ pk (t) − 2; ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÅÇÏ ÓÔÁÒÛÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÁ×ÅÎ 1 (ÉÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ). ÏÇÄÁ pk (t) = 2 + (t − t1 ) · : : : · (t − tk ). ðÒÉ ÜÔÏÍ ×ÓÅ ti ÎÅÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙ, ÏÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ×ÔÏÒÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÌÅÍÍÙ.  ðÕÓÔØ r | ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (M + r)g > 0 ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÊ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÊ ÆÕÎË ÉÉ g. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ (M +2)g = (X1 + X1−1 )g > 0 ÉÚ ÌÅÍÍÙ 1; ÏÜÔÏÍÕ r ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ 2. ÒÅÂÕÅÍÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (1) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ r = 0. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ r > 0. òÁÚÄÅÌÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ pk (t) Ó ÏÓÔÁÔËÏÍ ÎÁ (t − 2(n − 1))(t + r): (2) pk (t) = (t − 2(n − 1))(t + r)qk (t) + rk (t); deg rk 6 1: ìÅÍÍÁ 4. qk (t) ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ k −2 X qk (t) = Al pl (t); l=0 ÇÄÅ Al > 0. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ × (2) t = 2 os  − 2 É ÏÌÏÖÉÍ z = ei . ÏÇÄÁ t = z + z −1 − 2, Á pk (t) = z k + z −k . óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÞÁÓÔÎÏÅ qk ÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ

qk (z + z−1 − 2) = (z +z z−+ z− 2n−)(rzk (+z z+−z + (−r 2)− 2)) = = Ak−2 (z k−2 + z −k+2 ) + Ak−3 (z k−3 + z −k+3 ) + · · · + A0 ; (3) ÏÓËÏÌØËÕ qk (z + z −1 − 2) ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÚÁÍÅÎÙ z 7→ z −1 . úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÔÏÇÄÁ qk (t) = Ak−2 pk−2(t)+ · · · + A0 , ÉÂÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ t ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ (×ÏÚÍÏÖÎÏ, ËÏÍÌÅËÓÎÏÅ) z , ÞÔÏ t = z + z −1 − 2. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÁÍ ÎÁÄÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× Al . ðÒÉ z → ∞ ÉÍÅÅÍ qk (z + z−1 − 2) = Ak−2zk−2 + Ak−3zk−3 + · · · + A1z + A0 + o(1): k

−k

1

−1

1

240

ð. ûÏÌØ Å

ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, qk (z + z−1 − 2) = =

z −k − rk (z + z −1 − 2) zk + (z + z−1 − 2n)(z + z−1 + (r − 2)) (z + z−1 − 2n)(z + z−1 + (r − 2)) = zk = (z + z−1 − 2n)(z + z−1 + (r − 2)) + o(1);

ÏÓËÏÌØËÕ rk (t) ÎÅ ÂÏÌÅÅ, ÞÅÍ ÌÉÎÅÅÎ. úÎÁÞÉÔ, ÒÉ z → ∞

(z + z

−1

zk = Ak−2 z k−2 + Ak−3 z k−3 + · · · + A1 z + A0 + o(1): − 2n)(z + z −1 + (r − 2))

ðÏÄÓÔÁ×É× x = 1=z É ÄÏÍÎÏÖÉ× ÎÁ xk−2 , ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÉ x → 0

1

k −3 + A

0 xk−2 + + o(xk−2 );

(x + 1 − 2nx)(x2 + 1 + (r − 2)x) = Ak−2 + Ak−3 x + · · · + A1 x 2

Ô. Å. Al ÅÓÔØ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÑÄÁ íÁËÌÏÒÅÎÁ ÆÕÎË ÉÉ

1

(x + 1 − 2nx)(x2 + 1 + (r − 2)x) = 2 1 = u(x)v(x): = x2 − 2x + 1 · 2 2 x − 2nx + 1 (x − 2x + 1)(x + (r − 2)x + 1) 2

äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÒÑÄ íÁËÌÏÒÅÎÁ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌÅÎ. ðÕÓÔØ 1 > 1, 2 = 1=1 | ËÏÒÎÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ x2 − 2nx + 1, ÔÏÇÄÁ − 2)x u(x) = xx −−22nxx ++11 = 1 + (1 − (2 nx)(1 = −  x) 2

2

= 1 + (2n − 2)x 1 − 2

1



1 1 − 1 x −

2

2 2n − 2 = 1 + 1 − 2 x 1 − 2 

∞ X

l=1

= 1 + 2n−−2 1

ÇÄÅ ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ v(x). úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ Õ ÒÑÄÁ 1 = 1 + 2x + 3x2 + : : :

1 − 2x + x2

1l xl −

×ÓÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙ. ÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ

2

∞ X

l=1

∞ X

l=1

!

2l xl =

(1l − 2l )xl ;

r = 0, ÔÏ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌØ

ï ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÑÈ ÎÁ ÒÅÛÅÔËÅ

241

v(x), ÒÁ×ÎÙÊ Ë×ÁÄÒÁÔÕ ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ, ÏÌÏÖÉÔÅÌÅÎ. åÓÌÉ ÖÅ r > 0, ÔÏ xv(x) = (x2 + 1 − 2x)(xx2 + 1 + (r − 2)x) = 1r



1

áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÏ×ÅÄÅÎÎÙÍ ×ÙÛÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÍ, ÉÍÅÅÍ

rxv(x) =

∞ X

l=0

(l + 1)xl −

1

 −  −1

∞ X

l=0



1 1 − 2x + x2 − 1 + (r − 2)x + x2 :

( l+1 −  −l−1)xl = =

∞  X

l=0

l+1 − l− 1 l + 1 −   −−−1



xl ;

ÇÄÅ  ,  −1 | ËÏÒÎÉ ÔÒÅÈÞÌÅÎÁ x2 +1+(r −2)x (ÏÎÉ ÒÉ 0 < r 6 2 ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÙ). ïÓÔÁÌÏÓØ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ  l+1 −  −l−1 l l−2 + · · · +  −l | 6 l + 1;  −  −1 = | + 

ÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ (ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ!) ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÒÑÄÁ ×ÅÎÓÔ×Ï

l+1− 

l+1 −  −l−1

 −  −1

rxv(x) ×ÅÒÎÏ ÎÅÒÁ-

> 0;

Á ÚÎÁÞÉÔ, É ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÑÄÁ v(x) ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙ.



òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÅÒÁÔÏÒÙ Qk = qk (M ), Rk = rk (M ) É ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÕÀ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÕÀ ÆÕÎË ÉÀ g. ìÅÍÍÁ 5.

Rk g > 0.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. éÍÅÅÍ

Rk g = Pk g + (M + r)(2n − 2 − M )Qk g = = Pk g + (M + r)(X2 + X2−1 + · · · + Xn + Xn−1 )Qk g: úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ Pi g > 0 ÉÚ ÌÅÍÍÙ 1, Á ÏÜÔÏÍÕ Qk g > 0 ÉÚ ÌÅÍÍÙ 4. ÏÇÄÁ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÁ (M + r) Ë ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÊ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ (X2 + X2−1 + · · · + Xn + Xn−1 )Qk g ÄÁÅÔ ÓÎÏ×Á ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ. ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÌÅÍÍÙ.



úÁ×ÅÒÛÉÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ. éÔÁË, ÍÙ ÒÅÄÏÌÏÖÉÌÉ, ÞÔÏ

r > 0. ÏÇÄÁ 0 < ' = ar

os 2 −2 r 6 , É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ k, ÞÔÏ =2 < k' 6 . ðÒÉ ÜÔÏÍ k ÉÍÅÅÍ pk (−r) = 2 os k' < 0 ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÌÅÍÍÅ 2. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÉÚ ÌÅÍÍÙ 3 ÏÌÕÞÁÅÍ pk (2n − 2) > 2.

242

ð. ûÏÌØ Å

ðÏÄÓÔÁ×É× × (2) t = 2(n − 1) É t = −r, ÏÌÕÞÁÅÍ rk (2(n − 1)) = pk (2(n − 1)); rk (−r) = pk (−r); ÏÔËÕÄÁ ÏÇÄÁ

rk (t) = pk (2(n − 1)) + (x − 2(n − 1)) pk (2(2(n n−−1))1)−+prk (−r) :

Rk g = pk (2(2(n n−−1))1)−+prk (−r) Mg+ 

n − 1)) − pk (−r) + pk (2(n − 1)) − 2(n − 1) pk (2(2( n − 1) + r



g > 0;

ÒÉÞÅÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ M × ÜÔÏÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌÅÎ. òÁÚÄÅÌÉ× ÎÁ ÜÔÏÔ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ, ÏÌÕÞÁÅÍ ïÄÎÁËÏ





M + pk (2(n − 1)) pk (2(2(n n−−1))1)−+prk (−r) − 2(n − 1) g > 0:

pk (2(n − 1)) pk (2(2(n n−−1))1)−+prk (−r) − 2(n − 1) =

n − 1)) − 2(n − 1) < = (2(n − 1) + r) p (2(pnk−(2(1)) − pk (− r ) k < 2(n − 1) + r − 2(n − 1) = r; ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ, ÉÂÏ pk (2(n − 1)) > 2 > 0 > pk (−r). ðÏÌÕÞÁÅÍ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ Ó ×ÙÂÏÒÏÍ r. úÎÁÞÉÔ, r = 0, ÏÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (1), ÉÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ, ËÁË ÂÙÌÏ ÏËÁÚÁÎÏ ×ÙÛÅ, É ÓÌÅÄÕÅÔ ÔÅÏÒÅÍÁ.

Peter S holze e-mail: Peter.S holzeweb.de

243

ï ÒÑÍÙÈ óÉÍÓÏÎÁ, ËÒÉ×ÏÊ ûÔÅÊÎÅÒÁ É ËÕÂÉËÅ íÁË-ëÜÑ å. ä. ëÕÌÁÎÉÎ

÷ ÓÔÁÔØÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ ×ÏÒÏÓÙ, ÚÁÔÒÏÎÕÔÙÅ × [3℄, Á ÔÁËÖÅ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ 8.4 ÉÚ ÚÁÄÁÞÎÉËÁ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс. 1. ÷×ÏÄÎÙÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ îÁÏÍÎÉÍ ÓÎÁÞÁÌÁ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ. ðÕÓÔØ P | ÔÏÞËÁ × ÌÏÓËÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , A1 , B1 , C1 | ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÏ×, ÏÕÝÅÎÎÙÈ ÉÚ ÔÏÞËÉ P ÎÁ ÒÑÍÙÅ BC , CA, AB ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÏÇÄÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË A1 B1 C1 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÄÁÌØÎÙÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏÍ ÔÏÞËÉ P ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . ðÒÑÍÙÅ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÅ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÕ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÇÌÁ É ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÙ ÜÔÏÇÏ ÕÇÌÁ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÍÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÜÔÏÇÏ ÕÇÌÁ. ïËÒÕÖÎÏÓÔØ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÌÅÖÁÔ ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÓÔÏÒÏÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ÅÇÏ ×ÙÓÏÔ É ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÏÔÒÅÚËÏ× ÏÔ ×ÅÒÛÉÎ ÄÏ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ×ÙÓÏÔ (ÏÒÔÏ ÅÎÔÒÁ), ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ üÊÌÅÒÁ ÉÌÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ ÄÅ×ÑÔÉ ÔÏÞÅË ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ ÔÅÈ ÔÅÏÒÅÍ ÉÚ [3℄, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÎÁÄÏÂÑÔÓÑ ÎÁÍ × ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÅ. öÅÌÁÀÝÉÅ ÍÏÇÕÔ ÎÁÊÔÉ ÉÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á × [3℄, ÄÌÑ ÞÅÇÏ × ÓËÏÂËÁÈ ÒÉ×ÏÄÑÔÓÑ ÎÏÍÅÒÁ ÜÔÉÈ ÔÅÏÒÅÍ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÎÉ ÉÍÅÀÔ × [3℄. ÅÏÒÅÍÁ 1 (7). ðÕÓÔØ P | ÔÏÞËÁ, ÎÅ ÌÅÖÁÝÁÑ ÎÁ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . ÏÇÄÁ ÒÑÍÙÅ, ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÑÍÙÍ PA, PB , PC ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÕÇÌÏ× A, B , C ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ P ′ . ÏÞËÉ P É P ′ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ÉÌÉ ÒÏÓÔÏ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ. ÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÍÙ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÔÏÞËÁ P ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , ÔÏ ÒÑÍÙÅ, ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÒÑÍÙÍ PA, PB , PC ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÕÇÌÏ× A, B , C , ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ. ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÅÎÔÒ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÅÇÏ ×ÙÓÏÔ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÙ.

244

å. ä. ëÕÌÁÎÉÎ

P É P ′ | ÔÏÞËÉ, ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , Á A1 B1 C1 É A′1 B1′ C1′ | ÅÄÁÌØÎÙÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ÜÔÉÈ ÔÏÞÅË. ÏÇÄÁ ×ÅÒÛÉÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× A1 B1 C1 É A′1 B1′ C1′ ÅÏÒÅÍÁ 2 (9). ðÕÓÔØ

ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. ÁË ËÁË ÅÎÔÒ O ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÔÏÞËÁ H ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÅÇÏ ×ÙÓÏÔ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙ, ÔÏ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ 2 ÓÒÁÚÕ ÖÅ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÓÔÏÒÏÎ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ÅÇÏ ×ÙÓÏÔ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ AH1 , BH2, CH3 ×ÙÓÏÔÙ ÎÅÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . ÏÇÄÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ AH2 H3 , BH3H1, CH1H2 ÏÄÏÂÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÕ ABC Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÏÄÏÂÉÑ | os A|, | os B |, | os C | ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ AH2 H3 , BH3H1 , CH1 H2 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÕÍÅÎØÛÅÎÎÙÍÉ ËÏÉÑÍÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , ÏÜÔÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÔÏÞËÉ, ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÄÏÂÎÙÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ABC , AH2 H3 , BH3H1 , CH1H2 . ÅÏÒÅÍÁ 3 (10). ðÕÓÔØ A1 , B1 , C1 | ÒÏÅË ÉÉ ÔÏÞËÉ P ÎÁ ÓÔÏÒÏÎÙ (ÉÌÉ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÑ ÓÔÏÒÏÎ) BC , CA, AB ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ; P1 , P2 , P3 | ÔÏÞËÉ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ P ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÅÒÅÄÉÎ ÓÔÏÒÏÎ B1 C1 , C1 A1 , A1 B1 ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ A1 B1 C1 ; H1 , H2 , H3 | ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ×ÙÓÏÔ AH1 , BH2 , CH3 ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . ÏÇÄÁ ÔÏÞËÉ P , P1 , P2 , P3 ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁÍ ABC , AH2 H3 , BH3 H1 , CH1 H2 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 1. ðÕÓÔØ A1 , B1 , C1 | ÒÏÅË ÉÉ ÔÏÞËÉ P ÎÁ ÓÔÏÒÏÎÙ (ÉÌÉ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÑ ÓÔÏÒÏÎ) BC , CA, AB ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ; H1 , H2 , H3 | ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ×ÙÓÏÔ AH1 , BH2, CH3 ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . ÏÇÄÁ ÔÏÞËÉ P1 , P2 , P3 , ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÅ Ó ÔÏÞËÏÊ P Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁÍ AH2H3, BH3H1, CH1H2, ABC , ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÏÒÔÏ ÅÎÔÒÁÍÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× AB1 C1, BC1A1 , CA1B1. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 2 (5). ðÕÓÔØ H1 , H2 , H3 | ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ×ÙÓÏÔ AH1 , BH2 , CH3 ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ; ÔÏÞËÉ P , P1, P2 , P3 ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁÍ ABC , AH2 H3 , BH3 H1 , CH1 H2 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÏÇÄÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË P1 P2 P3 ÒÁ×ÅÎ ÅÄÁÌØÎÏÍÕ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÕ A1 B1C1 ÔÏÞËÉ P ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , ÒÉÞÅÍ ÓÔÏÒÏÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× P1 P2 P3 É A1 B1 C1 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ. ÅÏÒÅÍÁ 4 (11). ðÕÓÔØ P | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÔÏÞËÁ × ÌÏÓËÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , ÎÅ ÌÅÖÁÝÁÑ ÎÁ ÅÇÏ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ; AH1 , BH2, CH3 | ÅÇÏ ×ÙÓÏÔÙ, ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ × ÔÏÞËÅ H ; E1, E2 , E3 | ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÏÔÒÅÚËÏ× AH , BH , CH ; P1 , P2 , P3 | ÔÏÞËÉ, ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÅ Ó P ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× AH2 H3, BH3H1, CH1H2, ABC ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÏÇÄÁ ÒÑÍÙÅ E1 P1 , E2 P2 , E3 P3 ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÔÁËÏÊ ÔÏÞËÅ K

ï ÒÑÍÙÈ óÉÍÓÏÎÁ, ËÒÉ×ÏÊ ûÔÅÊÎÅÒÁ É ËÕÂÉËÅ íÁË-ëÜÑ

245

ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , ÞÅÒÅÚ ËÏÔÏÒÕÀ ÒÏÈÏÄÉÔ ÏÉÓÁÎÎÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÅÄÁÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÔÏÞËÉ P ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . 2. ðÒÑÍÙÅ óÉÍÓÏÎÁ

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÅÒØ ËÏÎÆÉÇÕÒÁ ÉÀ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÕÀ ÎÁ ÒÉÓ. 1. ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÞÅÒÅÚ ÏÒÔÏ ÅÎÔÒ H ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ÒÑÍÕÀ, ËÏÔÏÒÁÑ ÅÒÅÓÅÞÅÔ ÏÉÓÁÎÎÙÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× AH2 H3 , BH3 H1 , CH1H2 × ÔÏÞËÁÈ Pa , Pb, P ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÁË ËÁË ∠Pa HH2 = ∠P HH2 = ∠Pb HB , Á ∠AH2 H3 = ∠CH2H1 = = ∠H1 BH3, ÔÏ ÔÏÞËÉ Pa , Pb , P ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÄÏÂÎÙÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× AH2 H3 , BH3 H1 , CH1 H2 . ðÕÓÔØ P | ÔÏÞËÁ, ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÁÑ Ó ÔÏÞËÁÍÉ Pa , Pb , P ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ABC , AH2H3, BH3H1, CH1H2; Ha, Hb, H | ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÏ×, ÏÕÝÅÎÎÙÈ ÉÚ ÔÏÞËÉ P ÎÁ ÒÑÍÙÅ BC , CA, AB ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÏÇÄÁ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÀ 1 ÔÏÞËÉ Pb , P , Pa ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÏÒÔÏ ÅÎÔÒÁÍÉ Ha B

P

Pb

H H3 H

Pb′

H1

P A

Hb

H2 Pa òÉÓ. 1.

C

246

å. ä. ëÕÌÁÎÉÎ

ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× Ha BH , Ha CHb , H AHb ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, Ô. Å. BPb ⊥ Ha H , CP ⊥ HaHb, APa ⊥ HbH . îÏ ∠BPbH = ∠CP H = ∠APa H = 90◦ ËÁË ×ÉÓÁÎÎÙÅ ÕÇÌÙ, ÏÉÒÁÀÝÉÅÓÑ ÎÁ ÄÉÁÍÅÔÒÙ ÏÉÓÁÎÎÙÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× BH3 H1 , CH1H2 , AH2 H3 , ÏÜÔÏÍÕ Ha H k Pb H , Ha Hb k P H , HbH k Pa H . ÷ÓÏÍÎÉ×, ÞÔÏ ÔÏÞËÉ Pa , Pb , P , H ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ, ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ É ÔÏÞËÉ Ha , Hb , H ÔÁËÖÅ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, Ha Hb = Pa Pb , Hb H = Pb P , H Ha = P Pa ËÁË ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÏ× Pa Hb Ha Pb , P Hb H Pb , Pa H Ha P . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ 2 ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï É × ÓÌÕÞÁÅ ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÇÏ ÅÄÁÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. éÔÁË, ÍÙ ÒÉÛÌÉ Ë ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÕ: ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÏ×, ÏÕÝÅÎÎÙÈ ÉÚ ÔÏÞËÉ, ×ÚÑÔÏÊ ÎÁ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÎÁ ÅÇÏ ÓÔÏÒÏÎÙ ÉÌÉ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÑ ÓÔÏÒÏÎ, ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ. üÔÁ ÒÑÍÁÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ óÉÍÓÏÎÁ. ÅÏÒÅÍÁ 5. ðÒÑÍÁÑ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞËÉ P ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÓÅÒÅÄÉÎÕ ÏÔÒÅÚËÁ PH , ÇÄÅ H | ÏÒÔÏ ÅÎÔÒ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ÅÒÎÅÍÓÑ Ë ÎÁÛÅÊ ËÏÎÆÉÇÕÒÁ ÉÉ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÊ ÎÁ ÒÉÓ. 1. íÙ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÌÉ, ÞÔÏ ÒÑÍÁÑ Pa Pb P ÁÒÁÌÌÅÌØÎÁ ÒÑÍÏÊ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞËÉ P , ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÏÊ Ó ÔÏÞËÁÍÉ Pa , Pb , P ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ABC , AH2 H3 , BH3H1 , CH1H2 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÏÜÔÏÍÕ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 3 ÔÏÞËÉ Pa , Pb , P ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙ ÔÏÞËÅ P ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÅÒÅÄÉÎ ÏÔÒÅÚËÏ× Ha Hb , HbH , Ha Hb . äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÒÑÍÁÑ óÉÍÓÏÎÁ Hb H Ha ÔÏÞËÉ P ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÏÔÒÅÚËÏ× PPa , PPb , PP , Á, ÚÎÁÞÉÔ, É ÞÅÒÅÚ ÓÅÒÅÄÉÎÕ ÏÔÒÅÚËÁ PH (ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÒÑÍÁÑ Pa Pb P ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ H ).  ′ äÁÌÅÅ, ÕÓÔØ Pb | ÔÏÞËÁ, ÄÉÁÍÅÔÒÁÌØÎÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÁÑ Pb ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ BH3 H1 . ÏÇÄÁ ∠Pb′ HPb = = 90◦ , Ô. Å. Pb′ H ⊥ Pb H , ÎÏ Pb′ H ÁÒÁÌÌÅÌØÎÁ ÒÑÍÏÊ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞËÉ P ′ , ÄÉÁÍÅÔÒÁÌØÎÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÊ ÔÏÞËÅ P ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÌÕÞÅÎÏ ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 1. ðÒÑÍÙÅ óÉÍÓÏÎÁ ÄÉÁÍÅÔÒÁÌØÎÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÔÏÞÅË ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙ. ðÕÓÔØ ÔÏÞËÁ P Ä×ÉÖÅÔÓÑ ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ Ï ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC Ó ÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ÕÇÌÏ×ÏÊ ÓËÏÒÏÓÔØÀ !. ÏÇÄÁ ÕÇÌÏ×ÙÅ ÍÅÒÙ ÄÕÇ BP É BPb ÒÁ×ÎÙ É ∠BHPb = 12 ^BPb = 12 !t. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÑÍÁÑ Pa P HPb ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ ×ÏËÒÕÇ ÔÏÞËÉ H Ï ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÅ Ó ÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ÕÇÌÏ×ÏÊ ÓËÏÒÏÓÔØÀ !=2. ðÒÑÍÁÑ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞËÉ P , ÁÒÁÌÌÅÌØÎÁÑ

ï ÒÑÍÙÈ óÉÍÓÏÎÁ, ËÒÉ×ÏÊ ûÔÅÊÎÅÒÁ É ËÕÂÉËÅ íÁË-ëÜÑ

247

ÒÑÍÏÊ Pa Pb , ÔÁËÖÅ ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ Ó ÕÇÌÏ×ÏÊ ÓËÏÒÏÓÔØÀ !=2 Ï ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÅ ×ÏËÒÕÇ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ ÅÎÔÒÁ ×ÒÁÝÅÎÉÑ. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÅÓÌÉ ÒÁÄÉÕÓ OP ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ Ó ÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ÕÇÌÏ×ÏÊ ÓËÏÒÏÓÔØÀ !, ÔÏ ÒÑÍÁÑ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞËÉ P ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ Ó ÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ÕÇÌÏ×ÏÊ ÓËÏÒÏÓÔØÀ −!=2. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 2. ðÒÑÍÁÑ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞËÉ P , ÌÅÖÁÝÅÊ ÎÁ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÁ ÒÑÍÙÍ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍ ÒÑÍÙÍ PA, PB , PC ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓ ÕÇÌÏ× A, B , C ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÏÔÒÅÚËÉ APa , BPb , CP . ÁË ËÁË ÏÔÒÅÚËÉ AH , BH , CH Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÄÉÁÍÅÔÒÁÍÉ ÏÉÓÁÎÎÙÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× AH2 H3 , BH3 H1 , CH1H2 , ÔÏ ∠APa H = ∠BPb H = ∠CP H = 90◦ É ÏÜÔÏÍÕ ÏÔÒÅÚËÉ APa , BPb , CP ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ. îÏ ÏÓËÏÌØËÕ ÔÏÞËÉ P , Pa , Pb , P ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ABC , AH2H3, BH3H1, CH1H2, ÔÏ ÒÑÍÙÅ APa , BPb , CP ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙ ÒÑÍÙÍ AP , BP , CP ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓ ÕÇÌÏ× A, B , C ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . ïÓÔÁÌÏÓØ ÔÏÌØËÏ ×ÓÏÍÎÉÔØ, ÞÔÏ ÒÑÍÁÑ Pa P HPb ÁÒÁÌÌÅÌØÎÁ ÒÑÍÏÊ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞËÉ P .  éÓÏÌØÚÏ×Á× ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÒÑÍÙÈ, ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 2 ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 3. ðÒÑÍÁÑ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞËÉ P , ÌÅÖÁÝÅÊ ÎÁ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÁ ÒÑÍÙÍ, ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÍ ÒÑÍÙÍ PA, PB , PC ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÕÇÌÏ× A, B , C ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÕÔÎÏ ÍÙ ÄÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÔÏÞËÉ P ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ÒÑÍÙÅ, ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÒÑÍÙÍ PA, PB , PC ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÕÇÌÏ× A, B , C ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ. âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÅ ÒÑÍÙÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ. ÏÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÔÏÞËÁ P ′ , ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÁÑ ÔÏÞËÅ P , ÌÅÖÁÝÅÊ ÎÁ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÁ. ÷ÅÒÎÏ É ÏÂÒÁÔÎÏÅ, Ô. Å. ÔÏÞËÁ P , ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÁÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ P ′ , ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 4. ðÒÑÍÙÅ `a , `b , ` , ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÍ ÒÑÍÙÍ `′a , `′b , `′ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÔÏÞËÅ, ÌÅÖÁÝÅÊ ÎÁ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. îÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅÍ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 4 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÏÒÅÍÁ 6. ðÕÓÔØ ÒÑÍÁÑ `, ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÁ Ó ÒÑÍÙÍÉ `a ,

248

å. ä. ëÕÌÁÎÉÎ

`b, ` ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ABC , AH2H3, BH3H1, CH1H2. ÏÇÄÁ ÒÑÍÙÅ `a , `b , ` ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÔÏÞËÅ, ÌÅÖÁÝÅÊ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ E | ÅÎÔÒ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ, Á H | ÏÒÔÏ ÅÎÔÒ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ; E1 , E2 , E3 | ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÏÔÒÅÚËÏ× AH , BH , CH . ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ E ÒÑÍÕÀ `1 , ÁÒÁÌÌÅÌØÎÕÀ `, Á ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ E1 , E2 , E3 | ÒÑÍÙÅ `a , `b , ` , ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÅ Ó ÒÑÍÏÊ ` ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ABC , AH2H3, BH3H1, CH1H2. ðÏÓËÏÌØËÕ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ AH2 H3 , BH3H1 , CH1H2 ÒÉ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ÅÒÅÈÏÄÑÔ × ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ, ÇÏÍÏÔÅÔÉÞÎÙÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÕ ABC , ÔÏ ÒÑÍÙÅ `a , `b , ` ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ E1 E2 E3 ÒÑÍÙÍ `′a , `′b , `′ , ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÍ ÒÑÍÏÊ `1 É ÒÏÈÏÄÑÝÉÍ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ E1 E2 E3 . ðÏÜÔÏÍÕ × ÓÉÌÕ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 4 ÒÑÍÙÅ `a , `b , ` ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÔÏÞËÅ, ÌÅÖÁÝÅÊ ÎÁ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ E1 E2 E3 , ÓÏ×ÁÄÁÀÝÅÊ Ó ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC .  ÅÏÒÅÍÁ 7. ðÕÓÔØ P | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ; AH1 , BH2 , CH3 | ÅÇÏ ×ÙÓÏÔÙ, ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ × ÔÏÞËÅ H ; E1 , E2 , E3 | ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÏÔÒÅÚËÏ× AH , BH , CH ; P1 , P2 , P3 | ÔÏÞËÉ, ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÅ Ó P ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× AH2 H3 , BH3H1, CH1H2, ABC ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÏÇÄÁ ÒÑÍÙÅ E1P1 , E2P2 , E3 P3 ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÔÁËÏÊ ÔÏÞËÅ K ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , ÞÅÒÅÚ ËÏÔÏÒÕÀ ÒÏÈÏÄÉÔ ÒÑÍÁÑ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞËÉ P ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ A1 , B1 , C1 ÒÏÅË ÉÉ ÔÏÞËÉ P ÎÁ ÓÔÏÒÏÎÙ BC , CA, AB ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , ∠CAB = , ∠ABC = , ∠BCA = (ÒÉÓ. 2). ÁË ËÁË P2 É P3 | ÏÒÔÏ ÅÎÔÒÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× A1 BC1 É B1 CA1 (ÓÍ. ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ 1), ÔÏ

P2 A1 P3 = ∠P2A1 C + ∠P3 A1C = 90◦ − ∠C1 P2 A1 + 90◦ − = = 180◦ − ∠C1 P2 A1 − : îÏ ∠C1 P2 A1 = ∠C1 PA1 ËÁË ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÅ ÕÇÌÙ ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÁ PA1 P2C1 , Á ∠C1PA1 + ∠C1 BA1 = 180◦ , ÏÓËÏÌØËÕ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË PA1 BC1 ×ÉÓÁÎÎÙÊ (∠PA1 B + ∠PC1 B = 90◦ + 90◦ = 180◦ ). ðÏÜÔÏÍÕ ◦ ∠P2 A1 P3 = (180 − ∠C1 P2 A1 ) − = ∠C1 BA1 − = = 180◦ − − =  = ∠E2 KE3 = ∠P2 KP3 : éÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÕÇÌÏ× P2 KP3 É P2 A1 P3 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÔÏÞËÉ P2 , K , A1 , P3 ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÔÏÞËÉ P3 , B1, P1 , K ÔÁËÖÅ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. ∠

ï ÒÑÍÙÈ óÉÍÓÏÎÁ, ËÒÉ×ÏÊ ûÔÅÊÎÅÒÁ É ËÕÂÉËÅ íÁË-ëÜÑ

249

A1 

P

B P2

C1 E2 H 

K A

P3

E1 B1

E3 C



P1 òÉÓ. 2.

äÁÌÅÅ, ÔÁË ËÁË ÔÏÞËÁ C1 ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÒÑÍÏÊ óÉÍÓÏÎÁ A1 B1 , ÔÏ ∠B1 C1 P + + ∠PC1 A1 = 180◦ , ÎÏ ∠B1 C1 P = ∠A1 P2 P3 , ∠A1 C1 P = ∠B1 P1 P3 ËÁË ÕÇÌÙ Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÍÉ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ, Á ÉÚ ×ÉÓÁÎÎÙÈ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÏ× A1 P2 P3 K É B1 P1 P3 K ÎÁÈÏÄÉÍ ◦ ◦ ∠P3 KA1 = 180 − ∠A1 P2 P3 = 180 − ∠B1 C1 P = ∠PC1 A1 ; ◦ ◦ ∠P3 KB1 = 180 − ∠B1 P1 P3 = 180 − ∠A1 C1 P = ∠PC1 B1 : ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÏÌÕÞÁÅÍ ∠B1 KP3 + ∠P3 KA1 = ∠PC1 A1 + ∠PC1 B1 = 180◦ , ÏÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÔÏÞËÁ K ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÒÑÍÏÊ óÉÍÓÏÎÁ A1 B1 .  ðÒÑÍÙÅ óÉÍÓÏÎÁ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÏÉÓÁÎÎÙÍÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÍÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÇÏ ÒÁÄÉÕÓÁ ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÈ ÅÄÁÌØÎÙÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×, ÏÜÔÏÍÕ ÔÅÏÒÅÍÁ 7 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÏÍ ÔÅÏÒÅÍÙ 4, É, ÂÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÜÔÉ ÔÅÏÒÅÍÙ ÍÏÖÎÏ ÏÂßÅÄÉÎÉÔØ × ÏÄÎÕ: ÅÏÒÅÍÁ 8. ðÕÓÔØ P | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÔÏÞËÁ × ÌÏÓËÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ; AH1 , BH2 , CH3 | ÅÇÏ ×ÙÓÏÔÙ, ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ × ÔÏÞËÅ H ; E1 , E2, E3 | ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÏÔÒÅÚËÏ× AH , BH , CH ; P1 , P2 , P3 | ÔÏÞËÉ, ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÅ Ó P ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× AH2 H3 , BH3H1 ,

250

å. ä. ëÕÌÁÎÉÎ

CH1H2, ABC ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÏÇÄÁ ÒÑÍÙÅ E1P1 , E2P2 , E3P3 ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÔÁËÏÊ ÔÏÞËÅ K ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , ÞÅÒÅÚ

ËÏÔÏÒÕÀ ÒÏÈÏÄÉÔ ÏÉÓÁÎÎÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÅÄÁÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÔÏÞËÉ P ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . ÅÏÒÅÍÕ 8 ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÅÏÒÅÍÁ 9. ðÕÓÔØ P | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÔÏÞËÁ × ÌÏÓËÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ; AH1 , BH2 , CH3 | ÅÇÏ ×ÙÓÏÔÙ, ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ × ÔÏÞËÅ H ; E1 , E2 , E3 | ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÏÔÒÅÚËÏ× AH , BH , CH ; O | ÅÎÔÒ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ; `1 , `2 , `3 | ÒÑÍÙÅ, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÅ ÒÑÍÏÊ OP É ÒÏÈÏÄÑÝÉÅ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ E1 , E2 , E3 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ; `′1 , `′2 , `′3 | ÒÑÍÙÅ, ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ `1 , `2 , `3 ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ E1 E2 E3 . ÏÇÄÁ ÒÑÍÙÅ `′1 , `′2 , `′3 ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÔÁËÏÊ ÔÏÞËÅ K ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , ÞÅÒÅÚ ËÏÔÏÒÕÀ ÒÏÈÏÄÉÔ ÏÉÓÁÎÎÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÅÄÁÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÔÏÞËÉ P ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . ÅÏÒÅÍÁ 10. ðÒÑÍÙÅ óÉÍÓÏÎÁ ÄÉÁÍÅÔÒÁÌØÎÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÔÏÞÅË P É P ′ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙ É ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÔÏÞËÅ, ÌÅÖÁÝÅÊ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , ÒÉÞÅÍ ×ÔÏÒÙÅ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÜÔÉÈ ÒÑÍÙÈ Ó ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ üÊÌÅÒÁ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÎ ÁÍÉ ÅÅ ÄÉÁÍÅÔÒÁ, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÇÏ PP ′ . äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. óÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 7 ÒÑÍÙÅ óÉÍÓÏÎÁ ÄÉÁÍÅÔÒÁÌØÎÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÔÏÞÅË P É P ′ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÔÏÞËÅ K , ÌÅÖÁÝÅÊ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . îÏ, ËÁË ÂÙÌÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÏ ×ÙÛÅ (ÓÍ. ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 1), ÒÑÍÙÅ óÉÍÓÏÎÁ ÄÉÁÍÅÔÒÁÌØÎÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÔÏÞÅË ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙ, ÏÜÔÏÍÕ K1 K1′ | ÄÉÁÍÅÔÒ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ, ÇÄÅ K1 É K1′ | ×ÔÏÒÙÅ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞÅË P É P ′ Ó ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ üÊÌÅÒÁ (ÒÉÓ. 3). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÑÍÕÀ óÉÍÓÏÎÁ ` ÔÏÞËÉ P . ÏÞËÁ K ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÒÑÍÏÊ Ó ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ üÊÌÅÒÁ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÔÏÞËÏÊ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ E1 P1, E2 P2, E3 P3 , ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÈ Ó ÒÑÍÏÊ OP ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× AH2 H3 , BH3H1 , CH1 H2 , ABC (O | ËÁË ×ÓÅÇÄÁ ÅÎÔÒ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ). ÷ÔÏÒÁÑ ÔÏÞËÁ K1 ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÏÊ óÉÍÓÏÎÁ ` ÔÏÞËÉ P Ó ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ üÊÌÅÒÁ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 5 Ó ÓÅÒÅÄÉÎÏÊ ÏÔÒÅÚËÁ PH , ÇÄÅ H | ÏÒÔÏ ÅÎÔÒ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÔÏÞËÁ K1′ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÓÅÒÅÄÉÎÏÊ ÏÔÒÅÚËÁ P ′ H , É, ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÉÁÍÅÔÒ K1 K1′ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÒÅÄÎÅÊ ÌÉÎÉÅÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ PHP ′ É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÁÒÁÌÌÅÌÅÎ ÄÉÁÍÅÔÒÕ PP ′ .  ′ úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÕÓÔØ P | ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÁÑ ÔÏÞËÁ, ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÁÑ ÔÏÞËÅ P . ÏÇÄÁ ÔÏÞËÁ K1 , ÓÏ×ÁÄÁÀÝÁÑ Ó ÓÅÒÅÄÉÎÏÊ ÏÔÒÅÚËÁ PH , ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÁ Ó P ′ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ E1 E2 E3 (ÓÍ.

ï ÒÑÍÙÈ óÉÍÓÏÎÁ, ËÒÉ×ÏÊ ûÔÅÊÎÅÒÁ É ËÕÂÉËÅ íÁË-ëÜÑ

251

P `

B

K1 E2 O

E

E3

E1 K

A

H

K1′

C

KH P′ òÉÓ. 3.

ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 2{4). ÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ ÓÞÉÔÁÔØ ÒÑÍÕÀ óÉÍÓÏÎÁ ` ÔÏÞËÉ P ÏÂÝÅÊ ÅÄÁÌØÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ ÔÏÞÅË P É P ′ , ÔÏ ÔÅÏÒÅÍÁ 9 ÂÕÄÅÔ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Á É ÄÌÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ P ′ . îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÔÏÞËÏÊ ÅÂÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ ÔÏÞËÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , × ËÏÔÏÒÏÊ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ ÒÑÍÙÅ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× AH2 H3 , BH1H3 , CH1H2 , ÇÄÅ H1 , H2 , H3 | ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ×ÙÓÏÔ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 3. ðÕÓÔØ ÒÑÍÁÑ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÅÇÏ ÏÉÓÁÎÎÕÀ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ × ÔÏÞËÁÈ P É P ′ . ÏÇÄÁ ÒÑÍÙÅ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞÅË P É P ′ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÔÏÞËÅ ÅÂÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 4. ðÒÑÍÙÅ óÉÍÓÏÎÁ ËÏÎ Ï× ÄÉÁÍÅÔÒÁ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÇÏ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒ ÅÇÏ ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ ×Ï ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ ÔÏÞËÅ æÅÊÅÒÂÁÈÁ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, Á ÒÑÍÙÅ óÉÍÓÏÎÁ ËÏÎ Ï× ÄÉÁÍÅÔÒÏ×, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒÙ ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÙÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ, ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ ×Ï ×ÎÅÛÎÉÈ ÔÏÞËÁÈ æÅÊÅÒÂÁÈÁ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ.

252

å. ä. ëÕÌÁÎÉÎ

P É P ′ | ÄÉÁÍÅÔÒÁÌØÎÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , K | ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞÅË P É P ′ , ÌÅÖÁÝÁÑ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , K1 É K1′ | ×ÔÏÒÙÅ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞÅË P É P ′ Ó ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ üÊÌÅÒÁ, KH | ÔÏÞËÁ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ ÏÒÔÏ ÅÎÔÒÕ H ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÏÞËÉ K . ÏÇÄÁ ÒÑÍÁÑ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞËÉ KH ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÁ ÄÉÁÍÅÔÒÕ K1 K1′ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ÅÒÎÅÍÓÑ Ë ÒÉÓ. 3. ðÕÓÔØ K | ÔÏÞËÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , Á KH | ÔÏÞËÁ, ÇÏÍÏÔÅÔÉÞÎÁÑ K Ó ÅÎÔÒÏÍ ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ H É ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ 2. ëÁË ÍÙ ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÉ, ÒÑÍÙÅ KE1 , KE2 , KE3 ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙ ÄÉÁÍÅÔÒÁÌØÎÏÊ ÒÑÍÏÊ PP ′ . ðÏÜÔÏÍÕ É ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÅ ÉÍ ÒÑÍÙÅ KH A, KH B , KH C ÔÁËÖÅ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙ ÜÔÏÊ ÒÑÍÏÊ. îÏ, ËÁË ÍÙ ÚÎÁÅÍ (ÓÍ. ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 2), ÒÑÍÁÑ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞËÉ P ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÁ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÍ ÒÑÍÙÍ, ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÍ ÒÑÍÙÍ PA, PB , PC . ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÒÑÍÁÑ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞËÉ KH ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÁ ÄÉÁÍÅÔÒÕ PP ′ , Á, ÚÎÁÞÉÔ, É ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÍÕ ÅÍÕ ÄÉÁÍÅÔÒÕ K1 K1′ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC .  óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 5. ðÕÓÔØ TH | ÔÏÞËÁ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ ÏÒÔÏ ÅÎÔÒÕ ÏÔÎÏÓÉÅÏÒÅÍÁ 11. ðÕÓÔØ

ÔÅÌØÎÏ ÔÏÞËÉ ÅÂÏ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. ÏÇÄÁ ÒÑÍÁÑ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞËÉ TH ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÁ ÒÑÍÏÊ üÊÌÅÒÁ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ.

óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 6. ðÒÑÍÁÑ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞËÉ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÏÒÔÏ ÅÎÔÒÕ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÅÇÏ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ ÔÏÞËÉ æÅÊÅÒÂÁÈÁ, ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÁ ÒÑÍÏÊ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒÙ ×ÉÓÁÎÎÏÊ É ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ.

äÏËÁÖÅÍ ÔÅÅÒØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ: ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 5. ðÕÓÔØ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ

ABC É A′B ′C ′ Ó ÏÒÔÏ ÅÎÔÒÁ-

ÍÉ H É H ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÕÀ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ üÊÌÅÒÁ. ÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ ËÁËÉÅ-ÌÉÂÏ Ä×Å ×ÚÁÉÍÎÏ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÅ ÒÑÍÙÅ óÉÍÓÏÎÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ÓÏ×ÁÄÁÀÔ ËÁËÉÍÉ-ÌÉÂÏ Ä×ÕÍÑ ×ÚÁÉÍÎÏ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÍÉ ÒÑÍÙÍÉ óÉÍÓÏÎÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ A′ B ′ C ′ , ÔÏ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ É ×ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÒÑÍÙÅ óÉÍÓÏÎÁ ÜÔÉÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×. ′

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ëÁË ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ 10, ÓÏ×ÁÄÁÀÝÉÅ ÒÑÍÙÅ óÉÍÓÏÎÁ P1 K É P2 K ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ABC É A′ B ′ C ′ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÑÍÙÍÉ óÉÍÓÏÎÁ ËÏÎ Ï× ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÄÉÁÍÅÔÒÏ× ÏÉÓÁÎÎÙÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ABC É A′ B ′ C ′ , ÏÌÕÞÁÀÝÉÈÓÑ ÉÚ ÄÉÁÍÅÔÒÁ P1 P2 ÉÈ ÏÂÝÅÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÇÏÍÏÔÅÔÉÑÍÉ Ó ÅÎÔÒÁÍÉ × ÔÏÞËÁÈ H É H ′ É ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ 2 (ÒÉÓ. 4).

ï ÒÑÍÙÈ óÉÍÓÏÎÁ, ËÒÉ×ÏÊ ûÔÅÊÎÅÒÁ É ËÕÂÉËÅ íÁË-ëÜÑ

253

K P1 H

E H′

P2

òÉÓ. 4.

îÁÞÎÅÍ ×ÒÁÝÁÔØ ÜÔÉ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÅ ÄÉÁÍÅÔÒÙ ×ÏËÒÕÇ ÅÎÔÒÏ× ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ × ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÓÔÏÒÏÎÕ Ó ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ ÕÇÌÏ×ÏÊ ÓËÏÒÏÓÔØÀ, ÔÏÇÄÁ Ó ÔÏÊ ÖÅ ÕÇÌÏ×ÏÊ ÓËÏÒÏÓÔØÀ É × ÔÕ ÖÅ ÓÔÏÒÏÎÕ ÂÕÄÅÔ ×ÒÁÝÁÔØÓÑ É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÜÔÉÍ ÄÉÁÍÅÔÒÁÍ ÄÉÁÍÅÔÒ P1 P2 ÏÂÝÅÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ABC É A′ B ′ C ′ . ðÒÑÍÙÅ óÉÍÓÏÎÁ ËÏÎ Ï× ×ÒÁÝÁÀÝÉÈÓÑ ÄÉÁÍÅÔÒÏ× ÂÕÄÕÔ ÒÏÈÏÄÉÔØ ÞÅÒÅÚ ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÏÔÒÅÚËÏ×, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ÜÔÉ ËÏÎ Ù Ó ÔÏÞËÁÍÉ H É H ′ (ÄÌÑ ËÏÎ Ï× ÄÉÁÍÅÔÒÁ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC | Ó H , Á ÄÌÑ ËÏÎ Ï× ×ÔÏÒÏÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ | Ó H ′ ), Ô. Å. ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ P1 É P2 . îÏ, ËÁË ÂÙÌÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÏ ÒÁÎÅÅ, ÒÑÍÙÅ óÉÍÓÏÎÁ ËÏÎ Ï× ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÄÉÁÍÅÔÒÏ× ÂÕÄÕÔ ×ÒÁÝÁÔØÓÑ ×ÏËÒÕÇ ÔÏÞÅË P1 É P2 × ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ Ó ÕÇÌÏ×ÏÊ ÓËÏÒÏÓÔØÀ × Ä×Á ÒÁÚÁ ÍÅÎØÛÅÊ ÓËÏÒÏÓÔÉ ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÄÉÁÍÅÔÒÏ×. éÔÁË, ÒÑÍÙÅ óÉÍÓÏÎÁ ËÏÎ Ï× ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÄÉÁÍÅÔÒÏ× ÏÉÓÁÎÎÙÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ABC É A′ B ′ C ′ × ÎÁÞÁÌØÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ, Á ÚÁÔÅÍ ÎÁÞÉÎÁÀÔ ×ÒÁÝÁÔØÓÑ ×ÏËÒÕÇ ÏÄÎÉÈ É ÔÅÈ ÖÅ ÔÏÞÅË P1 É P2 × ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÓÔÏÒÏÎÕ Ó ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍÉ ÕÇÌÏ×ÙÍÉ ÓËÏÒÏÓÔÑÍÉ É ÏÜÔÏÍÕ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ × ÌÀÂÏÊ ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉ. âÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏ: ÕÓÔØ O É O′ | ÅÎÔÒÙ ÏÉÓÁÎÎÙÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ABC É A′ B ′ C ′. ÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ Ä×ÕÈ ÔÏÞÅË P É P ′ , ÌÅÖÁÝÉÈ ÎÁ ÏÉÓÁÎÎÙÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ABC É A′ B ′ C ′ , ×ÅËÔÏÒÙ OP É O′P ′ ÓÏÎÁÒÁ×ÌÅÎÙ, ÔÏ ÒÑÍÙÅ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞÅË P É P ′ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ.  3. ëÁÓÁÎÉÅ ÒÑÍÙÈ óÉÍÓÏÎÁ Ó ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ üÊÌÅÒÁ ÄÁÎÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ îÁÏÍÎÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÆÁËÔ, Ñ×ÌÑÀÝÉÊÓÑ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅÍ ÔÅÏÒÅÍ 2 É 9. ðÕÓÔØ P É P ′ | ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . ÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ ÒÑÍÁÑ PP ′ ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒ ÏÉÓÁÎÎÏÊ

254

å. ä. ëÕÌÁÎÉÎ

ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÔÏ ÏÂÝÁÑ ÅÄÁÌØÎÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÔÏÞÅË P É P ′ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . ÷ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ P ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , ÒÑÍÙÅ, ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÒÑÍÙÍ PA, PB , PC , ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ, Ô. Å. ÔÏÞËÁ P ′ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÁ, Á ÏÂÝÁÑ ÅÄÁÌØÎÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÔÏÞÅË P É P ′ ×ÙÒÏÖÄÁÅÔÓÑ × ÒÑÍÕÀ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞËÉ P . ëÁË ÍÙ ÕÖÅ ÚÎÁÅÍ (ÓÍ. ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ ÏÓÌÅ ÔÅÏÒÅÍÙ 10), ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ P ′ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÏÊ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞËÉ P Ó ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , ÓÏ×ÁÄÁÀÝÁÑ Ó ÓÅÒÅÄÉÎÏÊ ÏÔÒÅÚËÁ PH , ÇÄÅ H | ÏÒÔÏ ÅÎÔÒ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . ÷ÔÏÒÁÑ ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÏÊ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞËÉ P Ó ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ üÊÌÅÒÁ ÏÌÕÞÉÔÓÑ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ E1 P1 , E2 P2 , E3 P3 , ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÒÑÍÏÊ OP ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÕÇÌÏ× E1 , E2 , E3 ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ E1 E2E3 (ÚÄÅÓØ, ËÁË É ÒÁÎØÛÅ, E1, E2, E3 | ÔÏÞËÉ üÊÌÅÒÁ, Ô. Å. ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÏÔÒÅÚËÏ× AH , BH , CH ). ðÒÑÍÁÑ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞËÉ P ÂÕÄÅÔ ËÁÓÁÔØÓÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÜÔÉ Ä×Å ÔÏÞËÉ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ, Á ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÒÑÍÙÅ, ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÒÑÍÙÍ AP , BP , CP ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÕÇÌÏ× A, B , C ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , ÂÙÌÉ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ OP . äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÒÑÍÁÑ OP ÄÏÌÖÎÁ ÒÏÈÏÄÉÔØ ÞÅÒÅÚ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ P ′ , Ô. Å. É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÑÍÁÑ PP ′ ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒ O ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . ÅÏÒÅÍÁ 12. óÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ÒÑÍÙÈ óÉÍÓÏÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØ-

ÎÉËÁ ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ ÔÒÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ËÁÓÁÀÔÓÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. ÏÞËÉ ËÁÓÁÎÉÑ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. åÓÌÉ , , | ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÕÇÌÏ× ÄÁÎÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ( < < ), ÔÏ ÓÔÏÒÏÎÙ ÜÔÏÇÏ ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÏÂÒÁÚÕÀÔ Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÕÇÌÙ, ÒÁ×ÎÙÅ ( − )=3, ( − )=3, ( − )=3. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ AL | ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÁ ÕÇÌÁ

BAC , N | ÔÏÞËÁ, ÄÉÁÍÅÔÒÁÌØÎÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÁÑ P , K | ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ AL É PN , 1=2^ áP = '1 (ÒÉÓ. 5). ðÒÑÍÙÅ AP É OP ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÕÇÌÁ BAC ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ∠PAK = ∠PKA. ðÏÓËÏÌØËÕ PN | ÄÉÁÍÅÔÒ, ÔÏ ∠PAN = 90◦ É ∠APK = ∠APN = 90◦ − ∠ANP = 90◦ − '1 É, ÒÅÄÏÌÁÇÁÑ, ÞÔÏ ∠PAK = ∠PKA, ÎÁÊÄÅÍ PAK = 12 (180◦ − ∠APK ) = 12 (180◦ − (90◦ − '1 )) =

∠

= 12 (90◦ + '1 ) = 45◦ + 12 '1 :

ï ÒÑÍÙÈ óÉÍÓÏÎÁ, ËÒÉ×ÏÊ ûÔÅÊÎÅÒÁ É ËÕÂÉËÅ íÁË-ëÜÑ

P

B

'1

L

O

255

'2 R

K A

C '3

Q

N

òÉÓ. 5.

ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ,

PAK = ∠PAB + ∠BAL = 12 ^PB + 12 ∠BAC = = 12 ^ APB − 12 ^ AP + 21  = − '1 + 12 : ðÏÜÔÏÍÕ 45◦ + '1 =2 = − '1 + =2, ÏÔËÕÄÁ 3'1 =2 = + =2 − 45◦ , '1 = 2=3( + =2) − 30◦ = 2=3 + =3 − 30◦ . ÏÞÎÏ ÔÁË ÖÅ ÎÁÊÄÅÍ ÅÝÅ Ä×Å ÔÏÞËÉ R É Q, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÉÈ ÒÑÍÙÅ óÉÍÓÏÎÁ ËÁÓÁÀÔÓÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . ïÎÉ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ '2 = 1=2^ BK = 2=3 + =3 − 30◦ , '3 = 1=2^ CQ = = 2=3 + =3 − 30◦ (ËÁË ×ÓÅÇÄÁ, ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ  < < ). îÁÊÄÅÍ ÕÇÌÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ PQR: ∠

PQR = 12 ^PR = 12 ^PB + 12 ^BR = − '1 + '2 = = − (2=3 + 1=3 − 30◦ ) + 2=3 + =3 − 30◦ = = =3 + =3 + =3 = ( + + )=3 = 180◦ =3 = 60◦ : áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ∠PRQ = ∠QPR = 60◦ . éÔÁË, ÍÙ ÏÌÕÞÉÌÉ, ÞÔÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË PQR ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÊ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÔÏÞËÉ ËÁÓÁÎÉÑ P1 , Q1 , R1 ÒÑÍÙÈ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞÅË P , Q, R Ó ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÅÒÅÄÉÎÁÍÉ ÏÔÒÅÚËÏ× PH , QH , RH , ÇÄÅ H | ÏÒÔÏ ÅÎÔÒ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , ÔÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ PQR É P1 Q1 R1 ÇÏÍÏÔÅÔÉÞÎÙ É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË P1 Q1 R1 ÔÁËÖÅ ÒÁ×∠

ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÊ.

256

å. ä. ëÕÌÁÎÉÎ

P

B

D '1

'2 R

O

A

C '3

Q òÉÓ. 6.

îÁÊÄÅÍ ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ PR É AC ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× PQR É ABC . äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÏ×ÅÄÅÍ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ R ÈÏÒÄÕ RD, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÕÀ AC (ÓÍ. ÒÉÓ. 6). ÏÇÄÁ

PRD = 12 ^PD = 12 ^AP − 12 ^AD = 12 ^AP − 12 ^CR = = 12 ^ AP − ( 12 ^ BC − 12 BK ) = '1 − ( − '2 ) = = 2=3 + 1=3 − 30◦ − ( − (2=3 + =3 − 30◦ )) = = 2=3 + =3 − 30◦ − =3 + =3 − 30◦ = = ( +  + )=3 + =3 − =3 − 60◦ = 180◦ =3 + ( − )=3 − 60◦ = ( − )=3: áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÕÇÌÙ ÍÅÖÄÕ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ QR É AB , PQ É BC ÒÁ×ÎÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ( − )=3 É ( − )=3. ∠

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÈÏÄÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ 12 ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÏ, ÞÔÏ ÎÁ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ËÁÖÄÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÒÏ×ÎÏ ÔÒÉ ÔÏÞËÉ, ÒÑÍÙÅ óÉÍÓÏÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ËÁÓÁÀÔÓÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÒÉÞÅÍ ÜÔÉ ÔÏÞËÉ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. äÁÎÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ 8.4 ÚÁÄÁÞÎÉËÁ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс (×Ù. 9, 2004, Ó. 246). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÕÔÎÏ ÍÙ ÒÉ×ÅÌÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÍÅÓÔÏ ÔÏÞÅË P ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ ÒÑÍÁÑ PP ′ , ÇÄÅ P ′ | ÔÏÞËÁ, ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÁÑ P , ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÕÂÉËÏÊ íÁË-ëÜÑ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. éÚ ÔÅÏÒÅÍ 2 É 9 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ËÕÂÉËÁ íÁË-ëÜÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ

ï ÒÑÍÙÈ óÉÍÓÏÎÁ, ËÒÉ×ÏÊ ûÔÅÊÎÅÒÁ É ËÕÂÉËÅ íÁË-ëÜÑ

257

`′

M′

` 

L

E

K

M

=2 

 N

òÉÓ. 7.

Ó ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÍÅÓÔÏÍ ÔÏÞÅË P , ÏÂÏÂÝÅÎÎÁÑ ÅÄÁÌØÎÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ËÏÔÏÒÙÈ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. ÁË ËÁË ÒÑÍÙÅ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞÅË P , Q, R ÇÄÅ P , Q, R | ×ÅÒÛÉÎÙ ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÌÅÖÁÝÉÅ ÎÁ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , ËÁÓÁÀÔÓÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÔÏ ÔÏÞËÉ P , Q, R ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ËÕÂÉËÅ íÁË-ëÜÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÕÂÉËÁ íÁË-ëÜÑ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÏÉÓÁÎÎÕÀ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ × ÔÒÅÈ ÔÏÞËÁÈ, Ñ×ÌÑÀÝÉÈÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÅÒØ ÏÄÎÕ ÉÚ ÒÑÍÙÈ óÉÍÓÏÎÁ, ËÁÓÁÀÝÉÈÓÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÄÁÎÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ × ÔÏÞËÅ M (ÒÉÓ. 7). ðÕÓÔØ ÜÔÁ ÒÑÍÁÑ óÉÍÓÏÎÁ ` Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞËÉ P , ÌÅÖÁÝÅÊ ÎÁ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , É ÕÓÔØ ÒÁÄÉÕÓ OP Ï×ÅÒÎÕÌÓÑ ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ ÎÁ ÕÇÏÌ  ÔÁË, ÞÔÏ ÔÏÞËÁ P ÒÉÎÑÌÁ ÏÌÏÖÅÎÉÅ P ′ . ÏÇÄÁ × ÓÉÌÕ ÇÏÍÏÔÅÔÉÞÎÏÓÔÉ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC É ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ×ÙÓÏÔ H ÒÑÍÁÑ óÉÍÓÏÎÁ `′ ÔÏÞËÉ P ′ ÂÕÄÅÔ ÒÏÈÏÄÉÔØ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ M ′ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÔÁËÕÀ, ÞÔÏ ^ MM ′ = . ðÒÉ ÜÔÏÍ, ËÁË ÕÖÅ ÎÅÏÄÎÏËÒÁÔÎÏ ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ, ÒÑÍÁÑ `′ Ï×ÅÒÎÅÔÓÑ ×ÏËÒÕÇ ÔÏÞËÉ M ′ ÎÁ ÕÇÏÌ =2, Ô. Å., ÅÓÌÉ ÒÏ×ÅÓÔÉ ÈÏÒÄÕ M ′N , ÁÒÁÌÌÅÌØÎÕÀ `, ÔÏ ∠KM ′N = =2 É ′ ^ KN = . äÕÇÉ M M É MN ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ LM , ÏÜÔÏÍÕ ^ NM = ^ MM ′ =  É ^KM = ^KN + ^NM =  +  = 2. éÔÁË, ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 6. ðÕÓÔØ M | ÔÏÞËÁ ËÁÓÁÎÉÑ ÒÑÍÏÊ óÉÍÓÏÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ Ó ÅÇÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ üÊÌÅÒÁ. ÏÇÄÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÒÑÍÁÑ óÉÍÓÏÎÁ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÅÇÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ üÊÌÅÒÁ × ÔÏÞËÁÈ K É Q ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ ÔÏÞËÉ K É Q ÌÅÖÁÔ Ï ÒÁÚÎÙÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ÏÔ ÄÉÁÍÅÔÒÁ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÇÏ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ M É ^ KM = 2^ MQ.

258

å. ä. ëÕÌÁÎÉÎ

4. ï ËÕÂÉËÅ íÁË-ëÜÑ É ËÒÉ×ÏÊ ûÔÅÊÎÅÒÁ

÷ ÜÔÏÍ ÕÎËÔÅ ÎÁÍ ÏÎÁÄÏÂÉÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÉÚ [3℄. ÅÏÒÅÍÁ 13 (12). éÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÑÍÏÊ `, ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC É ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÑÑ ÇÉÅÒÂÏÌÁ, ÏÉÓÁÎÎÁÑ ÏËÏÌÏ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÒÉÞÅÍ ÁÓÉÍÔÏÔÁÍÉ ÜÔÏÊ ÇÉÅÒÂÏÌÙ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÑÍÙÅ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞÅË ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÏÊ ` Ó ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÁÒÕ ×ÚÁÉÍÎÏ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÈ ÒÑÍÙÈ óÉÍÓÏÎÁ, ÏÄÎÁ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÄÁÎÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , Á ×ÔÏÒÁÑ ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒ ÜÔÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ (ÒÉÓ. 8). ÏÇÄÁ ÜÔÉ ÒÑÍÙÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÁÓÉÍÔÏÔÁÍÉ ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÊ ÇÉÅÒÂÏÌÙ , ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÏÌÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC É ÓÏ×ÁÄÁÀÝÅÊ Ó ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÑÍÏÊ `, ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒ O ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏ ÔÏÊ ÁÓÉÍÔÏÔÅ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÌÅÖÉÔ ÅÎÔÒ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. ðÒÑÍÁÑ ` ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ P ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÇÉÅÒÂÏÌÙ Ó ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , ÅÎÔÒ O ÜÔÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ É ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ P ′ , ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÕÀ ÔÏÞËÅ P , ÏÜÔÏÍÕ ÔÏÞËÉ P É P ′ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ËÕÂÉËÅ íÁË-ëÜÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . åÓÌÉ ×ÒÁÝÁÔØ ÒÑÍÕÀ ` ×ÏËÒÕÇ ÔÏÞËÉ O Ï ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÅ, ÔÏ ÒÑÍÁÑ

`

B

P O E A

C

òÉÓ. 8.

ï ÒÑÍÙÈ óÉÍÓÏÎÁ, ËÒÉ×ÏÊ ûÔÅÊÎÅÒÁ É ËÕÂÉËÅ íÁË-ëÜÑ

259

P′

B

P O E A

C

òÉÓ. 9.

óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞËÉ P ÎÁÞÎÅÔ ×ÒÁÝÁÔØÓÑ ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ (ÓÍ. ÎÁÞÁÌÏ ÕÎËÔÁ 2), ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ ÂÕÄÅÔ ×ÒÁÝÁÔØÓÑ É ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÁÑ ÅÊ ÒÑÍÁÑ. ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÒÑÍÁÑ ` ÅÒÅÓÅÞÅÔ ÇÉÅÒÂÏÌÕ , Ñ×ÌÑÀÝÕÀÓÑ ÅÅ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × Ä×ÕÈ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÔÏÞËÁÈ P É P ′ (ÒÉÓ. 9). ÁË ËÁË ÒÑÍÁÑ ` ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , ÔÏ ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÔÏÞËÉ P É P ′ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ËÕÂÉËÅ íÁË-ëÜÑ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. îÏ ÏÓÌÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÁÌÏÇÏ Ï×ÏÒÏÔÁ ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ ` ×ÏËÒÕÇ ÔÏÞËÉ O ÔÏÞËÁ P ′ ÂÕÄÅÔ ÍÁÌÏ ÏÔÌÉÞÁÔØÓÑ ÏÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ, ÞÅÒÅÚ ËÏÔÏÒÕÀ ÒÏÈÏÄÉÔ ÉÓÈÏÄÎÁÑ ÇÉÅÒÂÏÌÁ , Á ÔÁËÖÅ ÅÅ ÁÓÉÍÔÏÔÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ ÅÎÔÒ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC É ÔÏÞËÕ ËÁÓÁÎÉÑ ÜÔÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ Ó ÒÑÍÏÊ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞËÉ P . éÚ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÅÏÒÅÍÁ 14. ëÕÂÉËÁ íÁË-ëÜÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÉÍÅÅÔ ÔÒÉ ÁÓÉÍÔÏÔÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÅÎÔÒÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ

260

å. ä. ëÕÌÁÎÉÎ

ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÒÏÈÏÄÑÔ ÞÅÒÅÚ ÔÒÉ ÔÏÞËÉ ËÁÓÁÎÉÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ Ó ÒÑÍÙÍÉ óÉÍÓÏÎÁ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÅÒØ ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÀÀ ÇÉÅÒÂÏÌÕ É ÉÚ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ I ÜÔÏÊ ÇÉÅÒÂÏÌÙ ËÁË ÉÚ ÅÎÔÒÁ ÒÏ×ÅÄÅÍ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, ÒÏÈÏÄÑÝÕÀ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒ O ÇÉÅÒÂÏÌÙ (ÒÉÓ. 10). ðÕÓÔØ D | ÔÏÞËÁ ÇÉÅÒÂÏÌÙ, ÄÉÁÍÅÔÒÁÌØÎÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÁÑ I , Á ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ Ó ÅÎÔÒÏÍ I É ÒÁÄÉÕÓÏÍ ID ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÔÕ ×ÅÔ×Ø ÇÉÅÒÂÏÌÙ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÌÅÖÉÔ ÅÅ ÅÎÔÒ I , × ÔÏÞËÁÈ A É B , C | ×ÔÏÒÁÑ ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ Ó ÄÒÕÇÏÊ ×ÅÔ×ØÀ ÇÉÅÒÂÏÌÙ . ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ABC ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ. ïÕÓÔÉÍ ÉÚ ÔÏÞËÉ D ÎÁ ÒÑÍÕÀ AB ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒ, ËÏÔÏÒÙÊ ÅÒÅÓÅÞÅÔ ÇÉÅÒÂÏÌÕ × ÔÏÞËÅ H . ÏÇÄÁ H | ÏÒÔÏ ÅÎÔÒ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ADB É ÔÏÞËÁ H ′, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ H ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÅÎÔÒÁ O ÇÉÅÒÂÏÌÙ, ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÜÔÏÊ ÇÉÅÒÂÏÌÅ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÏÓËÏÌØËÕ ÅÎÔÒ O ÇÉÅÒÂÏÌÙ ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ADB , ×ÉÓÁÎÎÏÇÏ × ÜÔÕ ÇÉÅÒÂÏÌÕ (ÓÍ. ÌÅÍÍÕ 1 × [3℄), Á ÏÉÓÁÎÎÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÇÏÍÏÔÅÔÉÞÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ Ó ÅÎÔÒÏÍ H É ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ 2, ÔÏ ÔÏÞËÁ H ′ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÔÏÞËÏÊ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ADB Ó ÇÉÅÒÂÏÌÏÊ , Ô. Å. Ó ÔÏÞËÏÊ C . îÏ ÔÏÇÄÁ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ ICDH ÄÅÌÑÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ O ÏÏÌÁÍ É, ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,

A

H O D C

òÉÓ. 10.

I

B

ï ÒÑÍÙÈ óÉÍÓÏÎÁ, ËÒÉ×ÏÊ ûÔÅÊÎÅÒÁ É ËÕÂÉËÅ íÁË-ëÜÑ

261

ICDH | ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍ. ÁË ËÁË CI k DH , Á DH ⊥ AB , ÔÏ É CI ⊥ AB . ðÏÓËÏÌØËÕ I ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÇÉÅÒÂÏÌÅ , ÏÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ I | ÏÒÔÏ ÅÎÔÒ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . ÷ÓÏÍÎÉ×, ÞÔÏ I | ÅÎÔÒ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , ÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ × ÜÔÏÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ ÏÒÔÏ ÅÎÔÒ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÅÎÔÒÏÍ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ABC |

ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÊ. éÔÁË, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË, ×ÉÓÁÎÎÙÊ × ÇÉÅÒÂÏÌÕ É ÏÉÓÁÎÎÙÊ ÏËÏÌÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ I , ÏÜÔÏÍÕ Ï ÔÅÏÒÅÍÅ ðÏÎÓÅÌÅ (ÓÍ. [4, Ó. 166℄) ÔÁËÉÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÏ: ÚÁ ×ÅÒÛÉÎÕ A ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ ÌÀÂÕÀ ÔÏÞËÕ ÇÉÅÒÂÏÌÙ, ÌÅÖÁÝÕÀ ×ÎÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ I É ÒÏ×ÅÓÔÉ ÞÅÒÅÚ A ÒÑÍÙÅ ÄÏ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Ó ÇÉÅÒÂÏÌÏÊ × ÔÏÞËÁÈ B É C . ÏÇÄÁ ÒÑÍÁÑ BC ÂÕÄÅÔ ËÁÓÁÔØÓÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ I (ÒÉÓ. 10). ÅÏÒÅÍÁ 15. ðÕÓÔØ I | ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ Ó ÅÎÔÒÏÍ ÎÁ ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÊ ÇÉÅÒÂÏÌÅ , ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒ F ÜÔÏÊ ÇÉÅÒÂÏÌÙ. ÏÇÄÁ ÁÓÉÍÔÏÔÙ ËÕÂÉË íÁË-ëÜÑ ×ÓÅÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×, ×ÉÓÁÎÎÙÈ × ÇÉÅÒÂÏÌÕ É ÏÉÓÁÎÎÙÈ ÏËÏÌÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ I , ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ, Á ÉÈ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÒÑÍÏÊ FI . äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ABC , ×ÉÓÁÎÎÙÊ × ÇÉÅÒÂÏÌÕ É ÏÉÓÁÎÎÙÊ ÏËÏÌÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ I . ðÏÓËÏÌØËÕ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒ F ÇÉÅÒÂÏÌÙ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÓÏ ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ I ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÔÏ Ï ÔÅÏÒÅÍÅ æÅÊÅÒÂÁÈÁ ÜÔÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ËÁÓÁÀÔÓÑ × ÔÏÞËÅ F É, ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÔÏÞËÁ F ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÔÏÞÅË æÅÊÅÒÂÁÈÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÅÎÔÒ E ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÒÑÍÏÊ FI , ÎÏ Ï ÔÅÏÒÅÍÅ 14 ÅÎÔÒ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÁÓÉÍÔÏÔ ËÕÂÉËÉ íÁË-ëÜÑ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , ×ÉÓÁÎÎÏÇÏ × ÇÉÅÒÂÏÌÕ É ÏÉÓÁÎÎÏÇÏ ÏËÏÌÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ I , ÇÉÅÒÂÏÌÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÑÍÏÊ OI , ÇÄÅ O | ÅÎÔÒ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . ÁË ËÁË ÒÑÍÁÑ OI ËÁÓÁÅÔÓÑ ÇÉÅÒÂÏÌÙ × ÔÏÞËÅ I , ÔÏ ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÅÎÔÒÙ ÏÉÓÁÎÎÙÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ABC ÌÅÖÁÔ ÎÁ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ Ë ÇÉÅÒÂÏÌÅ × ÔÏÞËÅ I , Á ÁÓÉÍÔÏÔÙ ÜÔÏÊ ÇÉÅÒÂÏÌÙ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÒÑÍÙÍÉ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞÅË ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ Ó ÏÉÓÁÎÎÙÍÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÍÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ABC . ðÒÉÍÅÎÉÍ Ë ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÕ ABC ÇÏÍÏÔÅÔÉÀ Ó ÅÎÔÒÏÍ F , ÅÒÅ×ÏÄÑÝÕÀ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ üÊÌÅÒÁ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ × ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ I . ÏÇÄÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ A1 B1 C1 , ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÜÔÏÊ ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ, ÓÏ×ÁÄÅÔ Ó ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ I , Ñ×ÌÑÀÝÅÊÓÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ üÊÌÅÒÁ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ×ÉÓÁÎÎÏÇÏ × ÇÉÅÒÂÏÌÕ É ÏÉÓÁÎÎÏÇÏ ÏËÏÌÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ I . ÁË ËÁË, ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÁÓÉÍÔÏÔÙ ÇÉÅÒÂÏÌÙ ÂÕÄÕÔ

262

å. ä. ëÕÌÁÎÉÎ

ÒÑÍÙÍÉ óÉÍÓÏÎÁ ÏÂÏÉÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×, ÔÏ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 5 ÓÏ×ÁÄÕÔ É ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÒÑÍÙÅ óÉÍÓÏÎÁ ÜÔÉÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×. ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÓÏ×ÁÄÕÔ ÔÁËÖÅ ÔÏÞËÉ ËÁÓÁÎÉÑ ÒÑÍÙÈ óÉÍÓÏÎÁ ÜÔÉÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× Ó ÉÈ ÏÂÝÅÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ üÊÌÅÒÁ É Ï ÔÅÏÒÅÍÅ 14 ÓÏ×ÁÄÕÔ ÁÓÉÍÔÏÔÙ ÉÈ ËÕÂÉË íÁË-ëÜÑ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ABC ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÉÚ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× A1 B1 C1 ÇÏÍÏÔÅÔÉÅÊ Ó ÅÎÔÒÏÍ F , ÔÏ ÁÓÉÍ ÔÏÔÙ ÉÈ ËÕÂÉË íÁË-ëÜÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ. ëÒÉ×ÏÊ ûÔÅÊÎÅÒÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÒÅÈÒÏÇÁÑ ÇÉÏ ÉËÌÏÉÄÁ, Ô. Å. ËÒÉ×ÁÑ, ÏÉÓÙ×ÁÅÍÁÑ ÔÏÞËÏÊ M ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÒÁÄÉÕÓÁ r, ËÏÔÏÒÁÑ ËÁÔÉÔÓÑ Ï ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÒÁÄÉÕÓÁ 3r ÂÅÚ ÓËÏÌØÖÅÎÉÑ, ×ÓÅ ×ÒÅÍÑ ËÁÓÁÑÓØ ÅÅ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ÅÏÒÅÍÁ 16. ðÕÓÔØ S É S1 | ËÏÎ ÅÎÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÒÁÄÉÕÓÏ× 3r É r ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, K | ËÒÉ×ÁÑ ûÔÅÊÎÅÒÁ Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S , ËÁÓÁÀÝÁÑÓÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S1 × ÔÏÞËÅ M . ÏÇÄÁ ËÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ Ë ËÒÉ×ÏÊ ûÔÅÊÎÅÒÁ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ S1 × Ä×ÕÈ ÔÏÞËÁÈ N É P ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ ^ PM = 2^ NM . äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ S2 ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÒÁÄÉÕÓÁ r, ËÁÓÁÀÝÕÀÓÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S1 ×ÎÅÛÎÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ × ÔÏÞËÅ M É ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ × ÔÏÞËÅ M1 (ÒÉÓ. 11). ëÒÉ×ÁÑ ûÔÅÊÎÅÒÁ, ÕËÁÚÁÎÎÁÑ × ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÔÒÁÅËÔÏÒÉÅÊ ÔÏÞËÉ M ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S2 ÒÉ ËÁÞÅÎÉÉ

M′

K

S2′ 3

S1



E P

S òÉÓ. 11.



O′

N M

M1′

S2

M1

ï ÒÑÍÙÈ óÉÍÓÏÎÁ, ËÒÉ×ÏÊ ûÔÅÊÎÅÒÁ É ËÕÂÉËÅ íÁË-ëÜÑ

263

×ÎÕÔÒÅÎÎÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S2 Ï ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S ÂÅÚ ÓËÏÌØÖÅÎÉÑ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ S2 ÏÓÌÅ Ï×ÏÒÏÔÁ ÒÉÎÑÌÁ ÏÌÏÖÅÎÉÅ S2′ É ÓÔÁÌÁ ËÁÓÁÔØÓÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ S1 É S × ÔÏÞËÁÈ N É K ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÒÉ ÜÔÏÍ ∠KEM1 = , ÇÄÅ E | ÅÎÔÒ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ S É S1 , Á ÔÏÞËÉ M É M1 ÅÒÅÛÌÉ × M ′ É M1′ . ÁË ËÁË K | ÅÎÔÒ ÍÇÎÏ×ÅÎÎÏÇÏ ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S2′ , ÔÏ ×ÅËÔÏÒ ÓËÏÒÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ M ′ , ÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÙÊ Ï ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ Ë ÅÅ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ, ÓÏ×ÁÄÁÀÝÅÊ Ó ËÒÉ×ÏÊ ûÔÅÊÎÅÒÁ, ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÅÎ ÒÑÍÏÊ M ′ K . îÏ ∠NM ′ K = = 90◦ , ËÁË ×ÉÓÁÎÎÙÊ ÕÇÏÌ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S2′ , ÏÉÒÁÀÝÉÊÓÑ ÎÁ ÅÅ ÄÉÁÍÅÔÒ NK , ÏÜÔÏÍÕ ÒÑÍÁÑ M ′N Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ Ë ËÒÉ×ÏÊ ûÔÅÊÎÅÒÁ × ÔÏÞËÅ M ′ . ðÕÓÔØ P | ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ M ′ N Ó ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ S1 , Á O′ | ÅÎÔÒ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S2′ . éÚ-ÚÁ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÑ ÓËÏÌØÖÅÎÉÑ ÄÕÇÁ KM1 ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S ÒÁ×ÎÁ ÄÕÇÅ KM1′ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S2′ : ^KM1 = ^KM1′ ÉÌÉ  · 3r = · r, ÏÔËÕÄÁ = ∠KO′ M1′ = 3 = ∠M ′ O′ N . äÁÌÅÅ, ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÙÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× PEN É M ′ O1 N ×Ù×ÏÄÉÍ, ÞÔÏ ∠PEN = ∠M ′ O′ N = 3, ÏÔËÕÄÁ ÏÌÕÞÁÅÍ: ∠PEM = = ∠PEN − ∠MEN = 3 −  = 2 É, ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ^ PM = 2^ NM .  éÚ ÔÅÏÒÅÍÙ 12, ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 6 É ÔÅÏÒÅÍÙ 16 ×ÙÔÅËÁÅÔ ÅÏÒÅÍÁ 17. ïÇÉÂÁÀÝÅÊ ÒÑÍÙÈ óÉÍÓÏÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÒÉ×ÁÑ ûÔÅÊÎÅÒÁ, ËÁÓÁÀÝÁÑÓÑ ÅÇÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ × ÔÒÅÈ ÔÏÞËÁÈ. îÁ ÒÉÓ. 12 ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË, ÅÇÏ ÏÉÓÁÎÎÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ üÊÌÅÒÁ É ËÒÉ×ÁÑ ûÔÅÊÎÅÒÁ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. ÷ Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍ 14 É 17 ×Ù×ÏÄÉÔÓÑ óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 7. áÓÉÍÔÏÔÙ ËÕÂÉËÉ íÁË-ëÜÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÏÓÑÍÉ ËÒÉ×ÏÊ ûÔÅÊÎÅÒÁ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ, ËÁË ×ÓÅÇÄÁ, ÞÅÒÅÚ H ÏÒÔÏ ÅÎÔÒ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC . ÏÇÄÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÓÔÏÒÏÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ABC , ABH , BCH , CAH É ÏÜÔÏÍÕ ÜÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÕÀ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ üÊÌÅÒÁ. ïÔÍÅÔÉÍ ÂÅÚ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, ÞÔÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ABC , ABH , BCH , CAH ÉÍÅÀÔ ÔÁËÖÅ ÏÂÝÕÀ ËÒÉ×ÕÀ ûÔÅÊÎÅÒÁ, Á ÉÈ ËÕÂÉËÉ íÁË-ëÜÑ | ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÂÝÉÅ ÁÓÉÍÔÏÔÙ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ × ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÊ ÆÁËÔ. ëÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÒÑÍÙÅ, ËÏÔÏÒÙÅ ÄÅÌÑÔ ÕÇÏÌ ÎÁ ÔÒÉ ÒÁ×ÎÙÅ ÞÁÓÔÉ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÔÒÉÓÅËÔÒÉÓÁÍÉ ÜÔÏÇÏ ÕÇÌÁ. ÅÏÒÅÍÁ íÏÒÌÅÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÔÒÉÓÅËÔÒÉÓÙ ÕÇÌÏ× ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÒÉÌÅÖÁÝÉÅ Ë ÅÇÏ ÓÔÏÒÏÎÁÍ, ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÔÒÅÈ ÔÏÞËÁÈ, Ñ×ÌÑÀÝÉÈÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ (ÂÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÏ Ï ÔÅÏÒÅÍÅ íÏÒÌÅÑ ÓÍ. [2℄ É [1℄). îÁÚÏ×ÅÍ ÜÔÏÔ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏÍ

264

å. ä. ëÕÌÁÎÉÎ

òÉÓ. 12.

íÏÒÌÅÑ. ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÓÔÏÒÏÎÙ ÅÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ íÏÒÌÅÑ É ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ×ÅÒÛÉÎÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ËÒÉ×ÏÊ ûÔÅÊÎÅÒÁ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ. óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

[1℄ ëÏÎÎ á. îÏ×ÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ íÏÒÌÉ // íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ. ÒÅÔØÑ ÓÅÒÉÑ. ÷Ù. 9. 2005. [2℄ ëÕÌÁÎÉÎ å. ä. ÷ÏËÒÕÇ ÔÅÏÒÅÍÙ íÏÒÌÅÑ // ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ €íÁÔÅÍÁÔÉËÁ Ë ÇÁÚÅÔÅ €ðÅÒ×ÏÅ ÓÅÎÔÑÂÒс, ‚24{25, 1995. [3℄ ëÕÌÁÎÉÎ å. ä. ï ÏÉÓÁÎÎÙÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÈ ÞÅ×ÉÁÎÎÙÈ É ÅÄÁÌØÎÙÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× É ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ËÒÉ×ÙÈ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ Ó ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏÍ // íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ. ÒÅÔØÑ ÓÅÒÉÑ. ÷Ù. 9. 2005. [4℄ ðÒÁÓÏÌÏ× ÷. ÷., ÉÈÏÍÉÒÏ× ÷. í. çÅÏÍÅÔÒÉÑ . í.: íãîíï, 1997.

å. ä. ëÕÌÁÎÉÎ, íÏÓËÏ×ÓËÉÊ ÇÏÒÏÄÓËÏÊ ÓÉÈÏÌÏÇÏ-ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ e-mail: lu as03mail.ru

265

ï ÏÄÎÏÍ Ó×ÏÊÓÔ×Å ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÏÊ ÆÕÎË ÉÉ í. áÅÌØÂÁÕÍ

÷. öÕÒÁ×Ì£×

ð. óÁÍÏ×ÏÌ

÷ ÜÔÏÊ ÚÁÍÅÔËÅ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ 9.10 ÉÚ ÚÁÄÁÞÎÉËÁ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс. îÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÑÈ ÓÁÍÏÇÏ ÒÁÚÎÏÇÏ ÕÒÏ×ÎÑ ×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ ÚÁÄÁÞÉ Ó ÎÅÓËÏÌØËÏ ÁÒÁÄÏËÓÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÏÊ. îÁÒÉÍÅÒ, × ËÎÉÇÅ [1, Ó. 105℄ ÎÁÈÏÄÉÍ: úÁÄÁÞÁ 1. ïÄÉÎ ÞÅÌÏ×ÅË ËÁÖÄÙÊ ÍÅÓÑ ÚÁÉÓÙ×ÁÌ Ó×ÏÊ ÄÏÈÏÄ É ÒÁÓÈÏÄ. íÏÖÅÔ ÌÉ ÂÙÔØ ÔÁË, ÞÔÏ ÚÁ ÌÀÂÙÅ ÑÔØ ÉÄÕÝÉÈ ÏÄÒÑÄ ÍÅÓÑ Å× ÅÇÏ ÏÂÝÉÊ ÄÏÈÏÄ ÒÅ×ÙÛÁÌ ÄÏÈÏÄ, Á × ÅÌÏÍ ÚÁ ÇÏÄ ÅÇÏ ÄÏÈÏÄ ÒÅ×ÙÓÉÌ ÒÁÓÈÏÄ? (÷ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ á. á. åÇÏÒÏ×Á ÚÁÄÁÞÁ Ú×ÕÞÉÔ ÂÏÌÅÅ ÉÎÔÒÉÇÕÀÝÅ: €ËÁË ÄÏÌÇÏ ÍÏÖÅÔ ÚÁËÏÎÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÔØ ÂÉÚÎÅÓ-ÓÏÏÂÝÅÓÔ×Ï, ÅÓÌÉ Ï ÉÔÏÇÁÍ ÒÁÂÏÔÙ ÚÁ ÌÀÂÙÅ 5 ÍÅÓÑ Å× Õ ÓÏÏÂÝÅÓÔ×Á ÅÓÔØ ÒÉÂÙÌØ, ÎÏ ÚÁ ÇÏÄ × ÎÁÌÏÇÏ×ÕÀ ÉÎÓÅË ÉÀ ÓÏÏÂÝÅÓÔ×Ï ÏÄÁ£Ô ÏÔÞ£Ô Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÒÉÂÙÌÉ ÎÅÔ É ÎÁÌÏÇÉ ÌÁÔÉÔØ ÎÅ ÉÚ ÞÅÇÏ. . . ) ÷ÔÏÒÏÊ ÒÉÍÅÒ ÒÅÄÌÁÇÁÌÓÑ ÎÁ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÊ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ïÌÉÍÉÁÄÅ (IMO) 1977 ÇÏÄÁ × âÅÌÇÒÁÄÅ (6 ÏÞËÏ×), ÓÍ. [2, Ó. 5, ‚19.2℄: úÁÄÁÞÁ 2. ÷ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÓÕÍÍÁ ÌÀÂÙÈ ÓÅÍÉ ÉÄÕÝÉÈ ÏÄÒÑÄ ÞÌÅÎÏ× ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÁ, Á ÓÕÍÍÁ ÌÀÂÙÈ ÏÄÉÎÎÁÄ ÁÔÉ ÉÄÕÝÉÈ ÏÄÒÑÄ ÞÌÅÎÏ× ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ. îÁÊÔÉ ÎÁÂÏÌØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ÞÌÅÎÏ× ÄÁÎÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ÷ ûÅÓÔÎÁÄ ÁÔÏÍ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÍ ÕÒÎÉÒÅ ÇÏÒÏÄÏ× (1994{1995, ÏÓÅÎÎÉÊ ÔÕÒ) ÎÁÈÏÄÉÍ ÚÁÄÁÞÕ: úÁÄÁÞÁ 3. (á. ëÁÎÅÌØ-âÅÌÏ×) ðÅÒÉÏÄÙ Ä×ÕÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ | 7 É 13. ëÁËÏ×Á ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÁÑ ÄÌÉÎÁ ÎÁÞÁÌØÎÏÇÏ ËÕÓËÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÖÅÔ Õ ÎÉÈ ÓÏ×ÁÄÁÔØ? (ðÅÒÉÏÄ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ {an } | ÜÔÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ p ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÏÍÅÒÁ n ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï an = an+p). íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÕÀ ÉÄÅÀ ×ÓÅÈ ÄÁÎÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÍÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÔÁË. äÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÚÁÉÓÁÎÎÙÈ × ÓÔÒÏÞËÕ, ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ (∗):

266

í. áÅÌØÂÁÕÍ, ÷. öÕÒÁ×Ì£×, ð. óÁÍÏ×ÏÌ

1. ÓÕÍÍÁ ÌÀÂÙÈ m ÉÄÕÝÉÈ ÏÄÒÑÄ ÞÌÅÎÏ× ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÁ; 2. ÓÕÍÍÁ ÌÀÂÙÈ n ÉÄÕÝÉÈ ÏÄÒÑÄ ÞÌÅÎÏ× ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ. þÅÍÕ ÒÁ×ÎÏ Nmax | ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÞÌÅÎÏ× ÄÁÎÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ? ÷ ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÅ ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÝ£ ÏÄÎÕ ×ÅÒÓÉÀ ÄÁÎÎÏÊ ÒÏÂÌÅÍÙ. úÁÄÁÞÁ 4. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ ÔÁËÁÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ y = f (x), ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÏÒÅÄÅÌ£ÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ ÜÔÏÊ ÆÕÎË ÉÉ Ï ÌÀÂÏÍÕ ÏÔÒÅÚËÕ ÄÌÉÎÙ m = 3 ÏÔÒÉ ÁÔÅÌÅÎ, Á Ï ÌÀÂÏÍÕ ÏÔÒÅÚËÕ ÄÌÉÎÙ n = 5 | ÏÌÏÖÉÔÅÌÅÎ?

ÁËÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ. áÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÎÉÈ É ÒÉÍÅÒÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÅÅ ÇÒÁÆÉËÁ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÎÉÖÅ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ 1. çÒÁÆÉË ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÎ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÑÍÏÊ x = 3. ëÁÖÄÁÑ ÉÚ ÞÁÓÔÅÊ ÇÒÁÆÉËÁ ÔÁËÖÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁ: ÅÒ×ÁÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÑÍÏÊ x = 1;5, ×ÔÏÒÁÑ (ÒÁ×ÁÑ) ÞÁÓÔØ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÑÍÏÊ x = 4; 5. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÄÌÑ x ∈ [0; 3℄ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï f (x) = f (x + 3) (ÅÒÉÏÄÉÞÎÏÓÔØ). ðÏÜÔÏÍÕ aZ+3 a+3 Z3 Z Z3 Za Z3 f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx = f (x) dx: a a a 3 0 0 (úÄÅÓØ É ÄÁÌÅÅ ÍÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ ÄÌÑ ÔÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÁÒÁÍÅÔÒÏ×, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÔÒÅÚËÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÁÄÁÀÔ × ÏÂÌÁÓÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ.)  − 6;      180x − 186;      12;      −180x + 354;    − 6; f (x) =  − 6;      180x − 726;     12;      −180x + 894;     − 6;

y ÒÉ 0 6 x < 1; 12 ÒÉ 1 6 x < 1;1; ÒÉ 1;1 6 x < 1;9; ÒÉ 1;9 6 x < 2; ÒÉ 2 6 x < 3; ÒÉ 3 6 x < 4; 1 0 ÒÉ 4 6 x < 4;1; ÒÉ 4;1 6 x < 4;9; ÒÉ 4; 9 6 x < 5; −6 ÒÉ 5 6 x 6 6: òÉÓ. 1.

2 3 4

5 6

x

ï ÏÄÎÏÍ Ó×ÏÊÓÔ×Å ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÏÊ ÆÕÎË ÉÉ

267

ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÆÕÎË ÉÑ f (x) ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÏÄÎÏ É ÔÏ ÖÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÁÈ [0; 1℄ É [5; 6℄. ðÏÜÔÏÍÕ a+5 Z Z5 f (x) dx = f (x) dx (0 6 a 6 1): a 0 éÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÒÁ×ÅÎ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ ÄÌÉÎÙ ÏÔÒÅÚËÁ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁ ÏÌÕÓÕÍÍÕ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ × ËÏÎ ÁÈ ÏÔÒÅÚËÁ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ. ðÏÜÔÏÍÕ Z3 f (x) dx = 1 · (−6) + 0;1 · −6 +2 12 + 0;8 · 12 + 0;1 · −6 +2 12 + 1 · (−6) = 0 = −12 + 9;6 + 2 · 0;3 = −1;8 < 0; Á Z5 f (x) dx = −1;8 + 1 · (−6) + 2 · 0;3 + 9;6 = 2;4 > 0: 0 ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÌÀÂÏÊ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ Ï ÏÔÒÅÚËÕ ÄÌÉÎÙ 3 ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÊ, Á Ï ÏÔÒÅÚËÕ ÄÌÉÎÙ 5 | ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ. äÏËÁÖÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ. ÅÏÒÅÍÁ 1. éÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁÑ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; ℄ ÆÕÎË ÉÑ f (x) ÔÁËÏ×Á, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ Ï ÏÔÒÅÚËÕ ÄÌÉÎÙ n ÏÌÏÖÉÔÅÌÅÎ, Á Ï ÏÔÒÅÚËÕ ÄÌÉÎÙ m ÏÔÒÉ ÁÔÅÌÅÎ, > m > n > 0. ÏÇÄÁ a ) < m + n; b ) ÅÓÌÉ m É n ÓÏÉÚÍÅÒÉÍÙ, Ô. Å. m=n = q=p, ÇÄÅ p, q | ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÅ ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÔÏ < m + n − m=q. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï a): ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ > m+n. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ F (x) ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÕÀ ÆÕÎË ÉÉ f (x), Á ÞÅÒÅÚ (x) | ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÕÀ ÆÕÎË ÉÉ F (x). éÓÏÌØÚÕÑ ÆÏÒÍÕÌÕ îØÀÔÏÎÁ { ìÅÊÂÎÉ Á É ÕÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌÅÎ, ÏÔ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÊ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌÅÎ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ:   Zm xZ+n Zm 0 <  f (y) dy dx = (F (x + n) − F (x)) dx = 0 x 0 = (m + n) − (m) − (n) + (0) =   Zn Zn yZ+m (F (y + m) − F (y)) dy =  f (x) dx dy < 0: 0 0 y éÔÁË, < m + n. −6

268

í. áÅÌØÂÁÕÍ, ÷. öÕÒÁ×Ì£×, ð. óÁÍÏ×ÏÌ

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï b). ðÏÌÁÇÁÅÍ d = m=q = n=p, ÔÁË ÞÔÏ m = qd, n = pd. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ

Sd;k =

Zkd

f (x) dx;

k ∈ N; d > 0; kd 6 :

(k−1)d òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ Sd;1; Sd;2 ; Sd;3; : : : ; Sd;p+q−1: (2) óÏÇÌÁÓÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÔÅÏÒÅÍÙ ÜÔÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍ: 1. ÓÕÍÍÁ ÌÀÂÙÈ ÏÄÒÑÄ ÉÄÕÝÉÈ Ò ÅÅ ÞÌÅÎÏ× ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ; 2. ÓÕÍÍÁ ÌÀÂÙÈ ÏÄÒÑÄ ÉÄÕÝÉÈ q ÅÅ ÞÌÅÎÏ× ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÁ. îÏ, ËÁË ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÒÉ×ÏÄÉÍÏÊ ÎÉÖÅ ÌÅÍÍÙ, ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ Ó ÔÁËÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ (ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÁÑ ÄÌÉÎÁ ÔÁËÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÎÁ p + q − (p; q) − 1). ðÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ. ÅÅÒØ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ É ÄÏËÁÖÅÍ ÕÏÍÑÎÕÔÕÀ ÌÅÍÍÕ. ìÅÍÍÁ 1. âÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×Õ ∗(n; m), ÅÓÌÉ ÓÕÍÍÁ ÌÀÂÙÈ n ÉÄÕÝÉÈ ÏÄÒÑÄ ÞÌÅÎÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ, Á ÓÕÍÍÁ ÌÀÂÙÈ

m ÉÄÕÝÉÈ ÏÄÒÑÄ ÞÌÅÎÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÁ. åÓÌÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ai , 1 6 i 6 N ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×Õ ∗(n; m), ÔÏ N 6 m + n − d − 1, ÇÄÅ d = (m; n) | ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÏÂÝÉÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ ÞÉÓÅÌ n É m. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. âÅÚ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ m > n. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÒÉ ×ÙÏÌÎÅÎÉÉ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÌÅÍÍÙ ÞÉÓÌÁ m É n ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ËÒÁÔÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ. ðÏÜÔÏÍÕ n > d = (m; n). ïÂÏÚÎÁÞÉÍ n = n1 d, m = m1d, (m1 ; n1) = 1.

âÕÄÅÍ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÌÅÍÍÕ ÏÔ ÒÏÔÉ×ÎÏÇÏ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ × ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ n + m − d = d(m1 + n1 − 1) ÞÌÅÎÏ×. òÁÚÏÂßÅÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁ m1 + n1 − 1 ÇÒÕ Ï d ÞÉÓÅÌ × ËÁÖÄÏÊ ÇÒÕÅ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÌÅÍÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ ÞÉÓÅÌ × ÌÀÂÙÈ m1 ÇÒÕÁÈ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ, Á ÓÕÍÍÁ ÞÉÓÅÌ × ÌÀÂÙÈ n1 ÇÒÕÁÈ | ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÁ. ðÏ ÓÕÔÉ ÄÅÌÁ ÍÙ Ó×ÅÌÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï Ë ÞÁÓÔÎÏÍÕ ÓÌÕÞÁÀ ÌÅÍÍÙ, ËÏÇÄÁ n, m ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙ. ðÏÜÔÏÍÕ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÉ ÍÙ ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ (n; m) = 1 É ÇÏ×ÏÒÉÍ Ï ÞÌÅÎÁÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÌÉÎÙ n + m − 1. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÌÀÂÙÅ m − n ÏÄÒÑÄ ÉÄÕÝÉÈ ÞÌÅÎÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ëÒÏÍÅ ÎÉÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÏÄÅÒÖÉÔ (m + n − 1) − (m − n) = 2n − 1 ÞÌÅÎÏ×. ÁË ËÁË ÞÉÓÌÏ 2n − 1 ÎÅÞÅÔÎÏÅ, ÔÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÉ ÜÔÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÎÁ Ä×Á ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ÏÄÎÏ ÉÚ ÎÉÈ ÂÕÄÅÔ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ n. ÁË ÞÔÏ ÓÌÅ×Á

ï ÏÄÎÏÍ Ó×ÏÊÓÔ×Å ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÏÊ ÆÕÎË ÉÉ

269

ÉÌÉ ÓÒÁ×Á ÏÔ ×ÙÂÒÁÎÎÏÊ ÇÒÕÙ ÉÚ m − n ÞÌÅÎÏ× ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÅÝÅ ÎÅ ÍÅÎÅÅ n ÞÌÅÎÏ×. óÕÍÍÁ ÌÀÂÙÈ n ÏÄÒÑÄ ÉÄÕÝÉÈ ÞÌÅÎÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ. åÓÌÉ ÄÏÂÁ×ÉÔØ n ÞÌÅÎÏ× Ë ×ÙÂÒÁÎÎÏÊ ÇÒÕÅ ÉÚ m − n ÞÌÅÎÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÔÏ ÓÕÍÍÁ ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÉÚ m ÏÄÒÑÄ ÉÄÕÝÉÈ ÞÌÅÎÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÂÕÄÅÔ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÁ. ðÏÜÔÏÍÕ ÓÕÍÍÁ ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ m − n ÞÌÅÎÏ× ÄÏÌÖÎÁ ÔÁËÖÅ ÂÙÔØ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÊ. éÔÁË, ÄÌÑ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÈ m, n ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×Õ ∗(n; m), ÔÏ ÏÎÁ ÔÁËÖÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×Õ ∗(n; m − n). äÁÌÅÅ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÍ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÚÁÍÅÎÑÑ ÂÏÌØÛÅÅ ÉÚ ÞÉÓÅÌ m, n ÎÁ ÉÈ ÒÁÚÎÏÓÔØ. ðÏÌÕÞÁÅÍ ÔÁËÕÀ ÖÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÁÒ ÞÉÓÅÌ, ËÁË × ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ å×ËÌÉÄÁ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÉÓÈÏÄÎÙÅ ÞÉÓÌÁ n, m | ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÅ, ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×Õ ∗(q; 1), ÞÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ (ÅÓÌÉ ×ÓÅ ÞÌÅÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙ, ÔÏ ÌÀÂÁÑ ÉÈ ÓÕÍÍÁ ÔÁËÖÅ ÂÕÄÅÔ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÊ).  úÁÍÅÞÁÎÉÅ 1. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÏÉÓÁÎÎÁÑ × ÎÁÞÁÌÅ ÓÔÁÔØÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÉÄÅÑ ÍÏÖÅÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÓÁÍÙÅ ÒÁÚÎÙÅ ÆÏÒÍÙ. ÷ÍÅÓÔÅ Ó ÔÅÍ ÅÒÅÈÏÄ × €ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÕÀ ÔÅÍÁÔÉËՁ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÓÌÕÞÁÊ ÎÅÓÏÉÚÍÅÒÉÍÙÈ ÒÅÄÅÌÏ× ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ. ï ÅÎËÉ × ÔÅÏÒÅÍÅ 1 ÎÅÌØÚÑ ÕÌÕÞÛÉÔØ. âÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ f (x), ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; ℄, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÍÕ Ó×ÏÊÓÔ×Õ ∗(n; m), ÅÓÌÉ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ f (x) Ï ÌÀÂÏÍÕ ÏÔÒÅÚËÕ ÄÌÉÎÙ n ÏÌÏÖÉÔÅÌÅÎ, Á Ï ÌÀÂÏÍÕ ÏÔÒÅÚËÕ ÄÌÉÎÙ m ÏÔÒÉ ÁÔÅÌÅÎ. ÅÏÒÅÍÁ 2. 1) åÓÌÉ m É n ÓÏÉÚÍÅÒÉÍÙ, Ô. Å. m=n = q=p, ÇÄÅ p, q | ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÅ ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ " > 0, m + n − m=q > ", ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÕÀ ÆÕÎË ÉÀ f (x) ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; m + n − m=q − "℄, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÕÀ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÍÕ Ó×ÏÊÓÔ×Õ ∗(m; n). 2) åÓÌÉ m É n ÎÅÓÏÉÚÍÅÒÉÍÙ, ÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ " > 0, m + n > ", ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÕÀ ÆÕÎË ÉÀ f (x) ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; m + n − "℄, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÕÀ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÍÕ Ó×ÏÊÓÔ×Õ ∗(m; n). äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÓÔÒÏÉÔØ ÆÕÎË ÉÉ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ ÕÓÉÌÅÎÎÏÍÕ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÍÕ Ó×ÏÊÓÔ×Õ ∗(m; n). á ÉÍÅÎÎÏ, ÆÕÎË ÉÅÊ ÔÉÁ (L; m; Sm ; n; Sn ) ÎÁÚÏ×ÅÍ ÆÕÎË ÉÀ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÕÀ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; L℄, É ÔÁËÕÀ, ÞÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ ÜÔÏÊ ÆÕÎË ÉÉ Ï ÌÀÂÏÍÕ ÏÔÒÅÚËÕ ÄÌÉÎÙ m ÒÁ×ÅÎ Sm , Á Ï ÌÀÂÏÍÕ ÏÔÒÅÚËÕ ÄÌÉÎÙ n ÒÁ×ÅÎ Sn . úÁÍÅÞÁÎÉÅ 2. åÓÌÉ ÏÓÔÒÏÅÎÁ ÆÕÎË ÉÑ ÔÉÁ (L; m; Sm ; n; Sn ) ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ L, m, n | ÅÌÙÅ, Sm < 0, Sn > 0, ÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ÏÔ ÜÔÏÊ ÆÕÎË ÉÉ Ï ÏÔÒÅÚËÁÍ [k; k + 1℄ ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÒÉÍÅÒ €ÁÒÁÄÏËÓÁÌØÎÏʁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (ÓÍ. [4℄). ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ 2 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ Ï ÅÎËÁ × ÌÅÍÍÅ 1 ÔÏÞÎÁ. ðÒÉ×ÏÄÉÍÏÅ ÎÉÖÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ 2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ

270

í. áÅÌØÂÁÕÍ, ÷. öÕÒÁ×Ì£×, ð. óÁÍÏ×ÏÌ

ÒÑÍÙÍ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ €ÁÒÁÄÏËÓÁÌØÎÙȁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÉÚ [4℄. ìÅÍÍÁ 2. ðÕÓÔØ L < m + n É ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ A; B ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÆÕÎË ÉÑ ÔÉÁ (L; m; A; n; B ), m > n. ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ A; B ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÆÕÎË ÉÉ ÔÉÏ× (L + m; m; A; n + m; B ) É (L + n; m; A; n + m; B ). äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ f ÉÍÅÅÔ ÔÉ (L; m; A; n; B ). ÏÇÄÁ ÆÕÎË ÉÑ  0 6 x < m; g(x) = ff ((xx)−; m); ÅÓÌÉ ÅÓÌÉ m 6 x < L + m; ÉÍÅÅÔ ÔÉ (L + m; m; A; n + m; A + B ). äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ b − a = m, a < m, ÔÏ Zb a

Zm

Zb

Zm

g(x) dx = g(x) dx + g(x) dx = f (x) dx + a

m

a

bZ−m

f (x) dx = A;

0

Á ÅÓÌÉ b − a = n + m, ÔÏ ÉÚ L < m + n ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ a < m, Á ÚÎÁÞÉÔ bZ−m aZ+n Zb Zm Zm g(x) dx = f (x) dx + f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx = a a a 0 0 aZ+n Za Zm = f (x) dx + f (x) dx + f (x) dx = A + B: a a 0 äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ  n + m); ÅÓÌÉ 0 6 x < n; g(x) = ff ((xx − − n); ÅÓÌÉ n 6 x < L + n; ÉÍÅÅÔ ÔÉ (L + n; m; A; n + m; A + B ). åÓÌÉ b − a = m, a < n, ÔÏ Zb a

Zn

Zb

g(x) dx = g(x) dx + g(x) dx = a

n

Zm

a+m−n

f (x) dx +

b−n Z

0

f (x) dx = A;

Á ÅÓÌÉ b − a = n + m, ÔÏ ÉÚ L < m + n ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ a < n, Á ÚÎÁÞÉÔ b−n aZ+m Zb Zm Z Zm g(x) dx = f (x) dx + f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx = a a+m−n a+m−n 0 0 aZ+m m a + m Z Z = f (x) dx + f (x) dx + f (x) dx = B + A: a+m−n a+m 0

ï ÏÄÎÏÍ Ó×ÏÊÓÔ×Å ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÏÊ ÆÕÎË ÉÉ

271

ÅÅÒØ ÌÅÍÍÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ ÆÁËÔÁ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ (A; B ) 7→ (A; A + B ) ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ.  äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ 2. äÌÑ n < m < L = 2n − Æ ÚÁÄÁÄÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f ÔÉÁ (L; m; A; n; B ) Ñ×ÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ:  0 6 x < n − Æ ÉÌÉ n 6 x 6 L; (3) f (x) = b;a; ÅÓÌÉ ÅÓÌÉ n − Æ 6 x < n: éÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ f Ï ÌÀÂÏÍÕ ÏÔÒÅÚËÕ ÄÌÉÎÙ n ÒÁ×ÅÎ B = Æa + (n − Æ)b, Á Ï ÌÀÂÏÍÕ ÏÔÒÅÚËÕ ÄÌÉÎÙ m ÒÁ×ÅÎ A = Æa + (m − Æ)b. ðÏÌÕÞÁÀÝÁÑÓÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ É ÏÜÔÏÍÕ ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÉ ÌÀÂÙÈ A; B . ðÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ÏÉÓÁÎÎÙÅ × ÌÅÍÍÅ 2, ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÍÅÎÑÀÔ ÓÕÍÍÕ m + n É ÄÌÉÎÕ L. äÌÑ ÆÕÎË ÉÉ ÉÚ (3) ÒÁÚÎÏÓÔØ m + n − L ÒÁ×ÎÁ m − n + Æ. ðÏÜÔÏÍÕ, ÍÎÏÇÏËÒÁÔÎÏ ÒÉÍÅÎÑÑ ÌÅÍÍÕ 2 É ÉÓÏÌØÚÕÑ ÆÕÎË ÉÀ ÉÚ (3), ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ: ÅÓÌÉ ÁÒÁ (m; n) ÅÒÅÈÏÄÉÔ × ÁÒÕ (m` ; n` ), n` < m` < 2n` − ", ÏÓÌÅ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ×ÉÄÁ (m; n) 7→ (m − n; n) ÉÌÉ (m; n) 7→ (m; m − n); (4) ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÆÕÎË ÉÉ ÔÉÁ (n + m − (m` − n` ) − "; n; A; m; B ) ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ A, B É 0 < " < n + m − (m` − n`). ðÒÉÍÅÎÉÍ ÜÔÏ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÕÎËÔÁ 1) ÔÅÏÒÅÍÙ. ðÏÌÏÖÉÍ d = m=q = n=p, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ n = pd É m = qd. ÷ÙÂÅÒÅÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ N , ÔÁËÏÅ ÞÔÏ 0 < d=N < ". òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ m1 = Nq É n1 = Np. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ N = (m1 ; n1 ). ðÏÓÔÒÏÉÍ ÆÕÎË ÉÀ y = f1 (x) ÔÉÁ (m1 + n1 − N − 1; m1 ; A; n1 ; B ). ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÉÓËÏÍÏÊ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÆÕÎË ÉÀ y = f (x) = f1 (dx=N ), ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÕÀ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ h







i 0; m1 + n1N− N − 1 d = 0; m + n − mq − Nd ⊃ 0; m + n − mq − "



:

áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÎËÔ 2) ÔÅÏÒÅÍÙ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ × ÓÉÌÕ ÎÅÓÏÉÚÍÅÒÉÍÏÓÔÉ m, n ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ (4) ÒÏÄÏÌÖÁÅÔÓÑ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏ: (m; n) 7→ (m1 ; n1 ) 7→ (m2 ; n2 ) 7→ : : : 7→ (m` ; n` ) 7→ : : : ; ÒÉÞÅÍ m` + n` → 0 ÒÉ ` → ∞ É ÓËÏÌØ ÕÇÏÄÎÏ ÞÁÓÔÏ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï n` < m` < 2n` . ÷ÙÂÒÁ× ÔÁËÏÅ `, ÞÔÏ m` + n` < "=2 É n` < m` < 2n` , ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÔÁË ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÆÕÎË ÉÉ ÔÉÁ (n + m − "; n; A; m; B ) ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ A, B É 0 < " < n + m.  úÁÍÅÞÁÎÉÅ 3. ðÏÓÔÒÏÅÎÎÙÅ × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÓÔÕÅÎÞÁÔÙÅ ÆÕÎË ÉÉ ÍÏÖÎÏ ÂÅÚ ÔÒÕÄÁ ÒÅ×ÒÁÔÉÔØ × ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÅ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ.

272

í. áÅÌØÂÁÕÍ, ÷. öÕÒÁ×Ì£×, ð. óÁÍÏ×ÏÌ

÷ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÒÅÄÌÁÇÁÅÍ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ËÁË ÚÁÄÁÞÕ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ. úÁÄÁÞÁ. äÌÑ ËÁËÉÈ ÏÂÌÁÓÔÅÊ 1 , 2 , 3 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f Ó ÏÂÌÁÓÔØÀ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ 3 É ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ f Ï ÌÀÂÏÍÕ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÍÕ ÅÒÅÎÏÓÕ 1 , ÌÅÖÁÝÅÍÕ × 3 , ÏÌÏÖÉÔÅÌÅÎ, Á ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ f Ï ÌÀÂÏÍÕ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÍÕ ÅÒÅÎÏÓÕ 2 , ÌÅÖÁÝÅÍÕ × 3 , ÏÔÒÉ ÁÔÅÌÅÎ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÔÅ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ 1 | ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉË, Á 2 | ËÒÕÇ. á×ÔÏÒÙ ×ÙÒÁÖÁÀÔ ÂÌÁÇÏÄÁÒÎÏÓÔØ ÒÏÆÅÓÓÏÒÕ ëÁÎÅÌØ-âÅÌÏ×Õ (íÏÓËÏ×ÓËÉÊ éÎÓÔÉÔÕÔ ïÔËÒÙÔÏÇÏ ïÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ) ÚÁ ÕÞÁÓÔÉÅ × ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÉ ÜÔÏÊ ÒÏÂÌÅÍÙ. [1℄ [2℄ [3℄ [4℄ [5℄

óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ ÷ÁÓÉÌØÅ× î. â., çÕÔÅÎÍÁÈÅÒ ÷. ì., òÁÂÂÏÔ ö. í., ÏÏÍ á. ì. úÁÏÞÎÙÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÌÉÍÉÁÄÙ . í.: îÁÕËÁ, 1997. C. 105, 108{109. íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÌÉÍÉÁÄÙ . óÏÓÔ. á. á. æÏÍÉÎ, ç. í. ëÕÚÎÅ Ï×Á. í.: äÒÏÆÁ, 2000. ó. 5, 34{35. ðÒÏÉÚ×ÏÌÏ× ÷., óÉ×ÁË á. õÓÒÅÄÎÅÎÉÅ Ï ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ // ë×ÁÎÔ, 1998. ‚1, Ó. 29{31. óÁÍÏ×ÏÌ ð., áÅÌØÂÁÕÍ í., öÕËÏ× á. ëÁË ÏÓÔÒÏÉÔØ ÁÒÁÄÏËÓÁÌØÎÙÊ ÒÉÍÅÒ // ë×ÁÎÔ, 2005. ‚1, Ó. 35{37. íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÊ ÕÒÎÉÒ ÇÏÒÏÄÏ×, 1994{1995 (ïÓÅÎÎÉÊ ÔÕÒ). http://www.turgor.ru/16/turnir16.php#turnir16otm

Dr. Peter Samovol, Ben-Gurion University of Negev, Beer-Sheva, Israel Kaye A ademi College of Edu ation, Beer-Sheva, Israel E-mail: Pet12012.net.il Dr. Mark Applebaum, Kaye A ademi College of Edu ation, Beer- Sheva, Israel E-mail: Amark012.net.il öÕÒÁ×Ì£× ÷ÁÌÅÒÉÊ íÉÈÁÊÌÏ×ÉÞ (Ë.Æ.-Í.Î.), ïáï €óÉÂÉÒÓËÏ-õÒÁÌØÓËÁÑ ÎÅÆÔÅÇÁÚÏÈÉÍÉÞÅÓËÁÑ ËÏÍÁÎÉс, Ç. íÏÓË×Á, òÏÓÓÉÑ E-mail: Zhuravlevsibur.ru

273

ëÏÍÍÅÎÔÁÒÉÊ Ë ÓÔÁÔØÅ í. áÅÌØÂÁÕÍÁ, ÷. öÕÒÁ×Ì£×Á É ð. óÁÍÏ×ÏÌÁ á. ñ. ëÁÎÅÌØ

úÁÄÁÞÁ ÉÎÔÅÒÅÓÎÁ É ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÑ ÎÅÓÔÒÏÇÉÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ËÁÒÔÉÎÁ ÔÁËÏ×Á. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ f (x), ÏÒÅÄÅÌ£ÎÎÕÀ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ ÄÌÉÎÙ , ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ ËÏÔÏÒÏÊ Ï ÌÀÂÏÍÕ ÏÔÒÅÚËÕ ÄÌÉÎÙ  ÎÅÏÌÏÖÉÔÅÌÅÎ, Á Ï ÌÀÂÏÍÕ ÏÔÒÅÚËÕ ÄÌÉÎÙ | ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌÅÎ. åÓÌÉ = ∈= Q, É >  + , ÔÏ f (x) ≡ 0. (üÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÇÏ × ÓÔÁÔØÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á.) (á ÅÓÌÉ <  + , ÔÏ ÓÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÙÅ ÒÉÍÅÒÙ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ.) ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ ×ÅÌÉÞÉÎÙ  É ÓÏÉÚÍÅÒÉÍÙ. ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ Æ > 0,  = nÆ, = nÆ, (m; n) = 1. éÚ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÓÔÁÔØÉ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ >  + , ÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ f Ï ÌÀÂÏÍÕ ÏÔÒÅÚËÕ ÄÌÉÎÙ Æ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ, Á ÆÕÎË ÉÑ f ÅÒÉÏÄÉÞÎÁ ÎÁ Ó×ÏÅÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ Ó ÅÒÉÏÄÏÍ Æ. óÌÕÞÁÊ 6  + − Æ ÏËÒÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÍÉ ÓÔÁÔØÉ, ÕÓÔØ = =  + − Æ + ", " < Æ . ÏÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ ÔÏÌØËÏ, ÞÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ f Ï ÌÀÂÏÍÕ ÓÄ×ÉÇÕ ÎÁÞÁÌØÎÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ ÄÌÉÎÙ Æ ÎÁ ×ÅÌÉÞÉÎÕ kÆ +  , ÇÄÅ  6 ", ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÒÉÍÅÒÙ ÆÕÎË ÉÉ Ó ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÔÁËÏÇÏ ÓÄ×ÉÇÁ.

îÁÍ ÉÛÕÔ

âÏÌÅÅ ËÏÒÏÔËÉÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÉÚ ÚÁÄÁÞÎÉËÁ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс é. é. âÏÇÄÁÎÏ×

úÁÄÁÞÁ 1.6Â). (á×ÔÏÒ ÒÅÛÅÎÉÑ | á. âÁÄÚÑÎ.)

ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ÒÏÔÉ×ÎÏÅ. ðÕÓÔØ z0 | ËÏÒÅÎØ P (x) ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ . ÏÇÄÁ Arg z0n ∈ (0; ) ÒÉ ÌÀÂÏÍ 0 < n < =, Ô. Å. Im z0n > 0. ÁË ËÁË Q(x) | ÎÅËÏÎÓÔÁÎÔÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ, ÍÅÎØÛÅÊ = Ó ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ, ÔÏ Im Q(z0 ) > 0, Ô. Å. Q(z0 ) 6= 0 É Q(x) ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ P (x). ðÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. úÁÄÁÞÁ 7.3. (á×ÔÏÒ ÒÅÛÅÎÉÑ | é. âÏÇÄÁÎÏ×.) ðÕÓÔØ P (x) | ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÁÔÒÉ Ù AAT , ÔÏÇÄÁ AT P (AAT )A = Q(AT A) = 0; ÇÄÅ Q(x) = xP (x). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÅÓÌÉ  | ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ AT A, ÔÏ Q() = 0, Á, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, É P () = 0, Ô. Å.  | ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ AAT . ïÂÒÁÔÎÏÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ.

******

ïÔ ÒÅÄËÏÌÌÅÇÉÉ îÁÏÍÎÉÍ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÚÁÄÁÞÉ 1.6: Á) äÁÎ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ P (X ). äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ X > 0: P (X ) > > 0. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÞÔÏ P = Q=T , ÇÄÅ Q É T | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ Ó ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ. Â)* ÕÓÔØ P | Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÊ ÔÒÅÈÞÌÅÎ,  | ÁÒÇÕÍÅÎÔ ÅÇÏ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ËÏÒÎÑ. ÏÇÄÁ ÓÔÅÅÎØ Q ÎÅ ÍÅÎØÛÅ 2=.

òÅÛÅÎÉÅ á. âÁÄÚÑÎÁ ÏËÁÚÁÌÏÓØ ÄÌÑ ÎÁÓ ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÏÓÔØÀ: ÒÁÎÅÅ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ 1.6.Â) ÚÁÎÉÍÁÅÔ Ó×ÙÛÅ Ä×ÕÈ ÓÔÒÁÎÉ . íÙ ÒÉÚÙ×ÁÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ ÒÉÓÙÌÁÔØ Ó×ÏÉ ÒÅÛÅÎÉÑ: ÑÓÎÙÅ, ÏÎÑÔÎÙÅ, Ó ËÒÁÓÉ×ÙÍÉ ÉÄÅÑÍÉ É, Ï ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ, ËÒÁÔËÉÅ (ÌÏÈÉÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÍÙ É ÓÁÍÉ ÎÁÉÛÅÍ). åÓÌÉ ÷Ù ÒÅÛÉÌÉ ÎÅ ÂÕË×ÁÌØÎÏ ÔÕ ÚÁÄÁÞÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÂÙÌÁ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÁ × €úÁÄÁÞÎÉËŁ, Á ÂÌÉÚËÕÀ Ë ÎÅÊ, ÔÏ ×Ó£ ÒÁ×ÎÏ ÒÉÓÙÌÁÊÔÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. üÔÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÎÔÅÒÅÓÎÏ ÓÁÍÏ Ï ÓÅÂÅ, Á ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, × ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÚÁÄÁÞ ×ÓÔÒÅÞÁÌÉÓØ ÏÛÉÂËÉ.

275

úÁÄÁÞÁ Ï ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÌÁÈ á. ë. ëÏ×ÁÌØÄÖÉ

ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ É ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ 7.3 ÉÚ ÚÁÄÁÞÎÉËÁ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс. úÁÄÁÞÁ (ÔÅÏÒÅÍÁ). ðÕÓÔØ A | ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á, A′ | ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á, ÔÏÇÄÁ ÍÁÔÒÉ Ù AA′ É A′ A ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÎÁÂÏÒÙ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ Ó ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍÉ ËÒÁÔÎÏÓÔÑÍÉ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ AA′ v = v, ÇÄÅ v | ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ,  | ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. ÏÇÄÁ á′ áá′ v = á′v, (á′ á)(á′ v) = (á′ v). úÎÁÞÉÔ, ËÁÖÄÏÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÍÁÔÒÉ Ù AA′ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÍÁÔÒÉ Ù A′ A É ÎÁÏÂÏÒÏÔ. äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ ÞÉÓÅÌ, ÉÓÈÏÄÑ ÉÚ ÉÄÅÉ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÇÏ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÁÔÒÉ Õ B ÔÁËÏÇÏ ÖÅ ÒÁÚÍÅÒÁ ËÁË A, ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÉÎÏÒ ËÏÔÏÒÏÊ | ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á Ó ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ, Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ | ÎÕÌÉ. ÷ÓÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÍÁÔÒÉ Ù BB ′ ÒÁÚÌÉÞÎÙ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÁÔÒÉ Õ C = (1 − )B + A, ÇÄÅ  | ÁÒÁÍÅÔÒ, 0 6  6 1. ðÒÉ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÍ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ  ÏÔ 0 ÄÏ 1 ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ CC ′ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ ÍÅÎÑÀÔÓÑ ÏÔ ÎÁÂÏÒÁ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ BB ′ ÄÏ ÎÁÂÏÒÁ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ BB ′, ÒÉÞÅÍ, ÒÉ  = 0 ×ÓÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÒÁÚÌÉÞÎÙ, Á ÒÉ  = 1 ÏÎÉ €ÓËÌÅÉ×ÁÀÔÓс É ÏÌÕÞÁÀÔ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÍÅÖÄÕ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ CC ′ É C ′ C ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ, É ÏÎÉ ÍÅÎÑÀÔÓÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ, ÔÏ ÒÉ ËÁÖÄÏÊ €ÓËÌÅÊËŁ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÂÕÄÅÔ ÓÏÈÒÁÎÑÔØÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÉÈ ËÒÁÔÎÏÓÔÅÊ. ÅÏÒÅÍÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. üÔÁ ÔÅÏÒÅÍÁ ×ÁÖÎÁ ÄÌÑ ÒÉËÌÁÄÎÙÈ ÚÁÄÁÞ, ÎÁÒÉÍÅÒ ÄÌÑ ÍÅÔÏÄÁ ÇÌÁ×ÎÙÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ, ÏÓËÏÌØËÕ ÍÁÔÒÉ Á AA′ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÏÞÅÎØ ÂÏÌØÛÏÇÏ ÒÁÚÍÅÒÁ, É, ÞÔÏÂÙ ÎÁÒÑÍÕÀ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÅÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ É ×ÅËÔÏÒÙ, ÎÅ È×ÁÔÉÔ ÒÅÓÕÒÓÏ× ËÏÍØÀÔÅÒÁ, Á ÍÁÔÒÉ Á A′ A | ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÍÁÌÅÎØËÏÇÏ ÒÁÚÍÅÒÁ, ÔÏÇÄÁ, ×ÙÞÉÓÌÉ× ÅÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ i É ×ÅËÔÏÒÙ vi , ÍÙ ÌÅÇËÏ ÎÁÊÄÅÍ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ É ×ÅËÔÏÒÙ AA′ , ÒÁ×ÎÙÅ i É Avi .

276

éÓÒÁ×ÌÅÎÉÑ Ë ÓÔÁÔØÅ á. óËÏÅÎËÏ×Á €÷ÏËÒÕÇ ËÒÉÔÅÒÉÑ ëÕÒÁÔÏ×ÓËÏÇÏ ÌÁÎÁÒÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÏׁ á. óËÏÅÎËÏ×

÷ ÕÏÍÑÎÕÔÕÀ ÓÔÁÔØÀ (‚9, ÓÓ. 116{128) ÓÌÅÄÕÅÔ ×ÎÅÓÔÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÉÓÒÁ×ÌÅÎÉÑ. ó. 119, ÓÔÒÏËÁ 3. ðÅÒÅÄ ÓÌÏ×ÏÍ €ðÒÅÄÏÌÏÖÉ́ ÓÌÅÄÕÅÔ ÄÏÂÁ×ÉÔØ €âÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÇÒÁÆÙ Ó ÅÔÌÑÍÉ É ËÒÁÔÎÙÍÉ ÒÅÂÒÁÍÉ. ó. 119, ÓÔÒÏËÁ 5. ÷ÍÅÓÔÏ €Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÒÅÂÅҁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÞÉÔÁÔØ €Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÒÅÂÅÒ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ. ó. 125, ÓÔÒÏËÁ 7 ÓÎÉÚÕ. ÷ÍÅÓÔÏ €òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ N Ä×ÕÍÅÒÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ 2-ÏÌÉÜÄÒÁ N . ðÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÇÒÁÆÏ× K5 É K3;3 ×ÌÏÖÉÍ É × ÔÏÒ, É × ÌÉÓÔ íÅÂÉÕÓÁ, ÔÏ N ÅÓÔØ ÎÅÓ×ÑÚÎÏÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÄÉÓËÏ×. úÁÍÅÎÉÍ ËÁÖÄÙÊ ÄÉÓË ÎÁ "ËÏÌÅÓÏ\. ÓÌÅÄÕÅÔ ÞÉÔÁÔØ €ÁË ËÁË N ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÚÏÎÔÉËÁ, ÔÏ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ × N Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ ÄÉÓËÏ× É ÏÔÒÅÚËÏ×, ÓËÌÅÅÎÎÙÈ ÚÁ ÏÄÎÕ ÔÏÞËÕ (ÒÉÓ. 1.a). åÓÌÉ ÜÔÉÈ ÄÉÓËÏ× ÂÏÌØÛÅ ÏÄÎÏÇÏ, ÔÏ ÚÁÍÅÎÉÍ ÜÔÕ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÎÁ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÕÀ ÎÁ ÒÉÓ. 1.b. ïÂÒÁÔÎÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÔÑÇÉ×ÁÎÉÅÍ "Ú×ÅÚÄÙ Ó ÎÅÓËÏÌØËÉÍÉ ÌÕÞÁÍÉ\ É ÏÜÔÏÍÕ ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ ÌÁÎÁÒÎÏÓÔØ. úÎÁÞÉÔ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÌÁÎÁÒÎÏÓÔØ ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ÚÁÍÅÎÏÊ 2-ÏÌÉÜÄÒÁ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ N ÅÇÏ Ä×ÕÍÅÒÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ.

(a)

(b) òÉÓ. 1.

éÓÒÁ×ÌÅÎÉÑ Ë ÓÔÁÔØÅ á. óËÏÅÎËÏ×Á

277

ÏÇÄÁ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ × N Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÉÓËÏÍ. úÎÁÞÉÔ, Ï ÔÅÏÒÅÍÅ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ N Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÓ×ÑÚÎÙÍ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ ÓÆÅÒ Ó ÒÕÞËÁÍÉ, ÌÅÎËÁÍÉ í£ÂÉÕÓÁ É ÄÙÒËÁÍÉ. ðÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÇÒÁÆÏ× K5 É K3;3 ×ÌÏÖÉÍ É × ÔÏÒ Ó ÄÙÒËÏÊ, É × ÌÉÓÔ íÅÂÉÕÓÁ, ÔÏ N ÅÓÔØ ÎÅÓ×ÑÚÎÏÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÄÉÓËÏ× Ó ÄÙÒËÁÍÉ. úÁÍÅÎÉÍ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÜÔÉÈ ÄÉÓËÏ× Ó ÄÙÒËÁÍÉ ÎÁ ÇÒÁÆ Ó ÒÉÓ. 2.

òÉÓ. 2.

á×ÔÏÒ ÒÉÎÏÓÉÔ ÉÚ×ÉÎÅÎÉÑ ÚÁ ÄÏÕÝÅÎÎÕÀ ÎÅÂÒÅÖÎÏÓÔØ.

úÁÄÁÞÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ

÷ ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ×ÎÉÍÁÎÉÀ ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ ÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ ÏÄÂÏÒËÁ ÚÁÄÁÞ ÒÁÚÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ, × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ ÔÒÕÄÎÙÈ. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÜÔÉÈ ÚÁÄÁÞ (ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÓÁÍÙÅ ÓÌÏÖÎÙÅ!) ÔÒÅÂÕÀÔ ÚÎÁÎÉÑ €ÎÅÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏʁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ | ÁÎÁÌÉÚÁ, ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ É Ô. . óÏÓÔÁ×ÉÔÅÌÑÍ ÜÔÏÊ ÏÄÂÏÒËÉ ËÁÖÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÒÅÄÌÁÇÁÅÍÙÅ ÎÉÖÅ ÚÁÄÁÞÉ ÏËÁÖÕÔÓÑ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÍÉ ËÁË ÄÌÑ ÓÉÌØÎÙÈ ÛËÏÌØÎÉËÏ×, ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÝÉÈÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ, ÔÁË É ÄÌÑ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×-ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×. íÙ ÏÂÒÁÝÁÅÍÓÑ Ó ÒÏÓØÂÏÊ ËÏ ×ÓÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌÑÍ, ÉÍÅÀÝÉÍ Ó×ÏÉ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÏÄÂÏÒËÉ ÔÁËÉÈ ÚÁÄÁÞ, ÒÉÓÙÌÁÔØ ÉÈ × ÒÅÄÁË ÉÀ. é, ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÍÙ Ó ÕÄÏ×ÏÌØÓÔ×ÉÅÍ ÂÕÄÅÍ ÕÂÌÉËÏ×ÁÔØ Ó×ÅÖÉÅ Á×ÔÏÒÓËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ. ÷ ÓËÏÂËÁÈ ÏÓÌÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ ÆÁÍÉÌÉÑ Á×ÔÏÒÁ (ÕÔÏÞÎÅÎÉÑ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÙ ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ ÒÉ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔÓÑ). åÓÌÉ Á×ÔÏÒ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁÍ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÅÎ, ÔÏ × ÓËÏÂËÁÈ ÕËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ €ÆÏÌØËÌÏҁ. 1. ÷ ×ÅÒÛÉÎÁÈ ËÕÂÁ ÎÁÉÓÁÎÙ ÞÉÓÌÁ. ÷ÍÅÓÔÏ ËÁÖÄÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÚÁÉÓÙ×ÁÀÔ ÓÒÅÄÎÅÅ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÅÌ, ÓÔÏÑÝÉÈ × ÔÒÅÈ ÓÏÓÅÄÎÉÈ ×ÅÒÛÉÎÁÈ (ÞÉÓÌÁ ÚÁÍÅÎÑÀÔ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ). ðÏÓÌÅ 10 ÔÁËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ × ×ÅÒÛÉÎÁÈ ÏËÁÚÁÌÉÓØ ÉÓÈÏÄÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÔÁËÉÅ ÞÉÓÌÁ. (á. ë. ëÏ×ÁÌØÄÖÉ ) 2. ëÒÉ×ÁÑ C ÚÁÄÁÎÁ × R4 ÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ xi = Pi ( ), i = 1; 2; 3; 4, ÇÄÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ Pi ( ) ÉÍÅÀÔ ÓÔÅÅÎØ 3. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ C ÖÉ×ÅÔ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ (Ô. Å. ÎÁÊÄÅÔÓÑ 3-ÍÅÒÎÏÅ ÁÆÆÉÎÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ËÏÔÏÒÏÅ ÅÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ). (á. ñ. âÅÌÏ× ) 3. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÉËÌÉÞÅÓËÉÅ ÓÌÏ×Á Ó ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÍ ÎÁÞÁÌÏÍ ÉÚ 0 É 1 Ó ÞÅÔÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÎÕÌÅÊ. ðÒÉÉÛÅÍ ÅÄÉÎÉ ÁÍ ÓÌÏ×Á ÚÎÁËÉ + É − ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÚÎÁËÉ ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÅÄÉÎÉ ÓÏ×ÁÄÁÌÉ ÉÌÉ ÏÔÌÉÞÁÌÉÓØ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÞÅÔÎÏÓÔÉ ÞÉÓÌÁ ÎÕÌÅÊ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÉÄÕÝÉÅ ÏÄÒÑÄ ÅÄÉÎÉ Ù ÂÅÒÕÔÓÑ Ó ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍ ÚÎÁËÏÍ). óÉÇÎÁÔÕÒÏÊ ÓÌÏ×Á ÎÁÚÏ×ÅÍ ÁÂÓÏÌÀÔÎÕÀ ×ÅÌÉÞÉÎÕ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÓÕÍÍÙ ÅÄÉÎÉ . äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ÓÌÏ× ÄÌÉÎÙ n É ÓÉÇÎÁÔÕÒÙ n − 2k ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÉÚ n Ï k ÒÉ n − 2k > 0 É ×Ä×ÏÅ ÍÅÎØÛÅ ÒÉ n − 2k = 0. (ü. â. ÷ÉÎÂÅÒÇ ) 4. îÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÒÏ×ÅÄÅÎÙ n ÓÉÓÔÅÍ ÒÁ×ÎÏÏÔÓÔÏÑÝÉÈ ÒÑÍÙÈ; i-Ñ ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÒÑÍÙÈ ×ÉÄÁ ai x + bi y = i + k, k ∈ Z. ðÒÉ

õÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞ

279

ÜÔÏÍ ÎÉËÁËÉÅ ÔÒÉ ÒÑÍÙÈ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ, É ÎÉËÁËÉÅ Ä×Å ÓÉÓÔÅÍÙ ÎÅ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ. üÔÉ ÓÉÓÔÅÍÙ ÒÁÚÂÉ×ÁÀÔ ÌÏÓËÏÓÔØ ÎÁ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÉ. ðÕÓÔØ S | ÓÒÅÄÎÑÑ ÌÏÝÁÄØ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ, Sij | ÌÏÝÁÄØ ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÁ ÒÅÛÅÔËÉ, ÏÒÏÖÄÅÎÎÏÊ i-Ê É j -Ê ÓÉÓÔÅÍÁÍÉ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ X S −1 = Sij−1 i 2 ÄÙÒËÁÍÉ. (í. ì. ëÏÎ Å×ÉÞ ) 8.4. õÓÌÏ×ÉÅ. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÎÁ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ËÁÖÄÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÔÒÉ ÔÏÞËÉ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÒÑÍÙÅ óÉÍÓÏÎÁ ËÁÓÁÀÔÓÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÄÅ×ÑÔÉ ÔÏÞÅË ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÒÉÞÅÍ ÜÔÉ ÔÏÞËÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. òÅÛÅÎÉÅ. äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÁÍ ÏÎÁÄÏÂÑÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ä×Á ÆÁËÔÁ Ï ÒÑÍÙÈ óÉÍÓÏÎÁ. 1◦ . åÓÌÉ H | ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ×ÙÓÏÔ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , P | ÔÏÞËÁ ÎÁ ÅÇÏ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÔÏ ÒÑÍÁÑ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞËÉ P ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÓÅÒÅÄÉÎÕ ÏÔÒÅÚËÁ PH (ÒÉÓ. 1). 2◦ . åÓÌÉ P1 É P2 | ÔÏÞËÉ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , s1 É s2 | ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÉÍ ÒÑÍÙÅ óÉÍÓÏÎÁ, ÔÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ÒÑÍÙÍÉ s1 É s2 (ÉÚÍÅÒÅÎÎÙÊ ÏÔ s1 Ë s2 ) ÒÁ×ÅÎ ÏÌÏ×ÉÎÅ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÕÇÌÁ P2 OP1 (O | ÅÎÔÒ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ), ÒÉÓ. 2. éÓÏÌØÚÕÑ ÜÔÉ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ (ÉÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ, ÎÁÒÉÍÅÒ, × ËÎÉÇÅ ÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×Á €úÁÄÁÞÉ Ï ÌÁÎÉÍÅÔÒÉɁ, ÚÁÄÁÞÉ 5.92 É 5.96), ÏÌÕÞÉÔØ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÏÞÅÎØ ÌÅÇËÏ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÅÇÏ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÇÏÍÏÔÅÔÉÅÊ Ó ÅÎÔÒÏÍ H É ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ 1=2, ÔÏ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ 1◦ , ÌÀÂÁÑ ÒÑÍÁÑ óÉÍÓÏÎÁ ÉÍÅÅÔ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÕ ÏÂÝÕÀ ÔÏÞËÕ Ó ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ üÊÌÅÒÁ (ÎÁ ÒÉÓ. 3 ÜÔÁ ÔÏÞËÁ | ÓÅÒÅÄÉÎÁ ÏÔÒÅÚËÁ PH | ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÁ ÞÅÒÅÚ L). þÔÏÂÙ ÒÑÍÁÑ óÉÍÓÏÎÁ ËÁÓÁÌÁÓØ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ, ÜÔÁ ÔÏÞËÁ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÉÈ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÏÂÝÅÊ ÔÏÞËÏÊ, Ô. Å. ÒÑÍÁÑ óÉÍÓÏÎÁ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÁ ÏÔÒÅÚËÕ EL (E | ÅÎÔÒ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÅÒØ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË OHP ; ÏÓËÏÌØËÕ HE = EO, ÏÔÒÅÚÏË EL Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÇÏ ÓÒÅÄÎÅÊ ÌÉÎÉÅÊ, ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ, EL k OP . úÎÁÞÉÔ, ÒÑÍÁÑ óÉÍÓÏÎÁ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎÁ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÁ ÏÔÒÅÚËÕ OP .

òÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ×ÙÕÓËÏ×

283

P

C

P2

C

s2 s1 A

H

O P1

A

B

B

òÉÓ. 2.

òÉÓ. 1.

C

C P1 P2

P

O L A

O

EE H

B

A

B P3

òÉÓ. 3.

òÉÓ. 4.

òÉÓ. 5.

284

úÁÄÁÞÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ

éÓÏÌØÚÕÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 2◦ : ÒÉ ÒÏÈÏÄÅ ÔÏÞËÏÊ P ×ÓÅÊ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ (Ô. Å. ËÏÇÄÁ ÏÔÒÅÚÏË OP Ï×ÏÒÁÞÉ×ÁÅÔÓÑ ×ÏËÒÕÇ O ÎÁ 360◦ ) ÒÑÍÁÑ óÉÍÓÏÎÁ Ï×ÏÒÏÞÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ −180◦ . ðÒÉ ÜÔÏÍ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÏÓÔÉ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ ÔÒÉÖÄÙ, ÒÉÞ£Í ÍÅÖÄÕ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÏÌÏÖÅÎÉÑÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ P (ÎÁ ÒÉÓ. 4 ÏÎÉ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÙ P1 , P2 , P3 ) ÏÔÒÅÚÏË OP Ï×ÏÒÁÞÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ 120◦ . ÁË ÞÔÏ P1 P2 P3 | ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË. úÁÍÅÞÁÎÉÑ. 1. ðÕÓÔØ ×ÅÒÛÉÎÁÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ a, b, , Á ÅÎÔÒÕ ÅÇÏ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ | 0. íÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÔÏÇÄÁ ÔÏÞËÁÍ P1 , P2 , P3 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÔÒÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ √ 3 −ab . 2. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÇÉÂÁÀÝÅÊ ÒÑÍÙÈ óÉÍÓÏÎÁ ÄÁÎÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÌØÔÏÉÄÁ (ÇÉÏ ÉËÌÏÉÄÁ Ó ÔÒÅÍÑ ÏÓÔÒÉÑÍÉ), ÏÉÓÁÎÎÁÑ ×ÏËÒÕÇ ÅÇÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ, ÒÉÓ. 5. (í. à. ðÁÎÏ× ) ∞ 9.4. õÓÌÏ×ÉÅ. äÁÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ {ak }k=1 , ÔÁËÁÑ ÞÔÏ Á1 = 1, Ák = ak−1 + a[k=2℄ ÒÉ k > 1. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÉ ÏÄÉÎ ÅÅ ÞÌÅÎ ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 4. ðÅÒ×ÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ n = 2k m, ÇÄÅ m | ÎÅÞÅÔÎÏ. äÏËÁÖÅÍ ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï n, ÞÔÏ 1. ÅÓÌÉ k ÎÅÞÅÔÎÏ, ÔÏ an ≡ 2 (mod 4); 2. ÅÓÌÉ k ÞÅÔÎÏ É ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÉÆÒ × Ä×ÏÉÞÎÏÊ ÚÁÉÓÉ ÞÉÓÌÁ n ÎÅÞÅÔÎÏ, ÔÏ an ≡ 1 (mod 4); 3. ÅÓÌÉ k ÞÅÔÎÏ É ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÉÆÒ × Ä×ÏÉÞÎÏÊ ÚÁÉÓÉ ÞÉÓÌÁ n ÞÅÔÎÏ, ÔÏ an ≡ 3 (mod 4). ðÏÓÌÅÄÎÉÅ Ä×Á ÓÌÕÞÁÑ ÍÏÖÎÏ ÏÂßÅÄÉÎÉÔØ × ÏÄÉÎ: ÅÓÌÉ k ÞÅÔÎÏ, ÔÏ an ≡ 2s(n) − 1 (mod 4), ÇÄÅ s(n) | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÉÆÒ × Ä×ÏÉÞÎÏÊ ÚÁÉÓÉ ÞÉÓÌÁ n. âÁÚÁ n = 1 ÏÞÅ×ÉÄÎÁ.ðÅÒÅÈÏÄ: ÕÓÔØ ÜÔÏ ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ 1; 2; : : : ; n − 1, ÄÏËÁÖÅÍ ÄÌÑ n = 2k m. 1. åÓÌÉ k ÎÅÞÅÔÎÏ, ÔÏ Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ an ≡ 2s(n − 1) − 1 + +2s(n=2) − 1 (mod 4). õÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ s(n=2) = s(n), s(n − 1) = s(n)+ k − 1, ÏÌÕÞÁÅÍ 2s(n − 1) − 1+2s(n=2) − 1 = 2s(n) − 1+2s(n) − 1+2k − 2 = 2k ≡ 2 (mod 4): 2. åÓÌÉ k ÞÅÔÎÏ É k > 0, ÔÏ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ an ≡ 2s(n − 1) − 1+2 (mod 4). éÚ s(n − 1) = s(n) + k − 1 ÏÌÕÞÁÅÍ 2s(n − 1) − 1 + 2 = 2s(n) + 2k − 1 ≡ 2s(n) − 1 (mod 4): åÓÌÉ k = 0, ÔÏ ÏÌÁÇÁÅÍ n − 1 = 2` s, ÇÄÅ s ÎÅÞÅÔÎÏ.

òÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ×ÙÕÓËÏ×

285

åÓÌÉ `−1 ÎÅÞÅÔÎÏ, ÔÏ ÉÚ an ≡ 2+2s(n−1)−1 (mod 4) É s(n−1) = s(n)−1 ÏÌÕÞÁÅÍ 2 + 2s(n − 1) − 1 = 2s(n) − 1: åÓÌÉ ` − 1 ÞÅÔÎÏ, ÔÏ ÉÚ an ≡ 2 + 2s([(n − 1)=2℄) − 1 (mod 4) É s([(n − 1)=2℄) = s(n) − 1 ÏÌÕÞÁÅÍ 2 + 2s([(n − 1)=2℄) − 1 = 2s(n) − 1: éÎÄÕËÔÉ×ÎÙÊ ÅÒÅÈÏÄ ÄÏËÁÚÁÎ. úÎÁÞÉÔ, an ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 4. (á. âÁÄÚÑÎ ) ÷ÔÏÒÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÏÇÏ, ÞÔÏ an ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 4, ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÒÅÈ ÆÁËÔÏ×. 1. åÓÌÉ n ÎÅÞÅÔÎÏÅ, ÔÏ an ÎÅÞÅÔÎÏÅ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÒÉ k > 0 ÉÍÅÅÍ a2k+1 = a2k + ak = a2k−1 + 2ak , ÔÁË ÞÔÏ a2k+1 É a2k−1 ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÕÀ ÞÅÔÎÏÓÔØ. ðÏÓËÏÌØËÕ a1 ÎÅÞÅÔÎÏ, ÔÏ É ×ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ a2k+1 ÔÁËÖÅ ÎÅÞÅÔÎÙ. 2. ðÒÉ k > 0 ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ a4k ≡ ak (mod 4). äÌÑ k = 1 ÜÔÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ. äÌÑ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ k ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ Ï ÉÎÄÕË ÉÉ:

a4k+4 = a4k+3 + a2k+2 = a4k+2 + 2a2k+1 + ak+1 = = a4k+1 + 3a2k+1 + ak+1 = a4k + 3a2k+1 + a2k + ak+1 = = a4k + 4a2k+1 + ak+1 − ak ; ÏÜÔÏÍÕ a4k+4 − ak+1 ≡ a4k − ak (mod 4). 3. åÓÌÉ n ÞÅÔÎÏ, ÎÏ ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 4, ÔÏ ÄÌÑ an ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ:

ÏÎÏ ÞÅÔÎÏ É ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 4. éÚ . 2 ÏÌÕÞÁÅÍ:

a4k+2 = a4k+1 + a2k+1 = a4k + a2k + a2k+1 = = (a4k − ak ) + 2a2k+1 ≡ 2a2k+1 (mod 4);

ÄÁÌÅÅ ÒÉÍÅÎÉÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ . 1. ÅÅÒØ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÍÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÏÔ ÒÏÔÉ×ÎÏÇÏ: ÅÓÌÉ n | ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ an ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 4, ÔÏ n ÄÏÌÖÎÏ ÄÅÌÉÔØÓÑ ÎÁ 4 (× ÓÉÌÕ . 1 É 3), ÎÏ ÔÏÇÄÁ × ÓÉÌÕ . 2 an=4 ÔÁËÖÅ ÄÏÌÖÎÏ ÄÅÌÉÔØÓÑ ÎÁ 4. ðÏÌÕÞÉÌÉ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ×ÓÅ an ÎÅ ÄÅÌÑÔÓÑ ÎÁ 4. (á. úÅÌÅ×ÉÎÓËÉÊ )

îÏ×ÙÅ ÉÚÄÁÎÉÑ

ëÎÉÇÉ ÉÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Á íãîíï (2005 Ç.):

÷. é. áÒÎÏÌØÄ. úÁÄÁÞÉ ÓÅÍÉÎÁÒÁ 2003{2004. 56 Ó. í. âÁËÉÎÇÜÍ, ë. ëÏÆÍÁÎ. óÎÁÞÁÌÁ ÎÁÄÏ ÎÁÒÕÛÉÔØ ×ÓÅ ÒÁ×ÉÌÁ! þÔÏ ÌÕÞÛÉÅ × ÍÉÒÅ ÍÅÎÅÄÖÅÒÙ ÄÅÌÁÀÔ Ï-ÄÒÕÇÏÍÕ? ðÅÒ. Ó ÁÎÇÌ. ä. ä. íÕÈÉÎÏÊ. 328 Ó. á. â. âÏÇÁÔÙÒ£×. üËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ É ÒÉÍÁÎÏ×Ù Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. 176 Ó. ä. ÷ÁÎ, þ. ìÉ, û.-î. þÏÕ. îÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÆÏÒÍÙ É ÂÉÆÕÒËÁ ÉÉ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÏÌÅÊ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ðÅÒ. Ó ÁÎÇÌÉÊÓËÏÇÏ ÏÄ ÒÅÄÁË ÉÅÊ à. ó. éÌØÑÛÅÎËÏ. 416 Ó. äÖ. õ. ÷ÉË. ÅÏÒÉÑ ÇÏÍÏÌÏÇÉÊ. ÷×ÅÄÅÎÉÅ × ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÕÀ ÔÏÏÌÏÇÉÀ. ðÅÒ. Ó ÁÎÇÌ. ð. á. ëÏÌÇÕÛËÉÎÁ. 288 Ó. â. ð. çÅÊÄÍÁÎ, é. ü. íÉÛÁÒÉÎÁ. íÅÔÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÒÅËÏÍÅÎÄÁ ÉÉ Ï ÒÁÂÏÔÅ Ó ËÏÍÌÅËÔÏÍ ÕÞÅÂÎÉËÏ× €íÁÔÅÍÁÔÉËÁ. 3 ËÌÁÓӁ. 136 Ó. €çÌÏÂÕӁ ïÂÝÅÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÓÅÍÉÎÁÒ. ðÏÄ ÒÅÄ. í. á. ãÆÁÓÍÁÎÁ É ÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×Á. ÷ÙÕÓË 2. 216 Ó. î. ÷. çÏÒÂÁÞÅ×. óÂÏÒÎÉË ÏÌÉÍÉÁÄÎÙÈ ÚÁÄÁÞ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ. 560 Ó. ÷. á. çÏÒÄÉÎ. ëÁË ÜÔÏ ÏÓÞÉÔÁÔØ? ïÂÒÁÂÏÔËÁ ÍÅÔÅÏÒÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÎÁ ËÏÍØÀÔÅÒÅ. éÄÅÉ, ÍÅÔÏÄÙ, ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ, ÚÁÄÁÞÉ. 280 Ó. à. ó. éÌØÑÛÅÎËÏ. áÔÔÒÁËÔÏÒÙ É ÉÈ ÆÒÁËÔÁÌØÎÁÑ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ. 16 Ó. á. â. ëÁÔÏË, â. èÁÓÓÅÌÂÌÁÔ. ÷×ÅÄÅÎÉÅ × ÔÅÏÒÉÀ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÉÈ ÓÉÓÔÅÍ Ó ÏÂÚÏÒÏÍ ÏÓÌÅÄÎÉÈ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÊ. ðÅÒ. Ó ÁÎÇÌ. ÏÄ ÒÅÄ. á. ó. çÏÒÏÄÅ ËÏÇÏ. 464 Ó. ÷. ç. ëÁ . ÷ÅÒÔÅËÓÎÙÅ ÁÌÇÅÂÒÙ ÄÌÑ ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÈ. ðÅÒ. Ó ÁÎÇÌ. é. í. ðÁÒÁÍÏÎÏ×ÏÊ. 200 Ó. ÷. ç. ëÁ , ð. þÅÎ. ë×ÁÎÔÏ×ÙÊ ÁÎÁÌÉÚ. ðÅÒ. Ó ÁÎÇÌ. æ. à. ðÏÅÌÅÎÓËÏÇÏ É ö. ç. ÏÔÒÏ×ÏÊ. 128 Ó. íÁÔÅÍÁÔÉËÁ É ÂÅÚÏÁÓÎÏÓÔØ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÙÈ ÔÅÈÎÏÌÏÇÉÊ. íÁÔÅÒÉÁ-

384 Ó. . íÉ×Á, í. äÖÉÍÂÏ, ü. äÁÔÜ. óÏÌÉÔÏÎÙ: ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ É ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÅ ÁÌÇÅÂÒÙ. ðÅÒ. Ó ÁÎÇÌ. ó. ú. ðÁËÕÌÑË. 112 Ó. ÌÙ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ × íçõ 28-29 ÏËÔÑÂÒÑ 2004 Ç.

îÏ×ÙÅ ÉÚÄÁÎÉÑ

287

î. M. íÉÛÁÞÅ×, ñ. í. üÌÉÁÛÂÅÒÇ. ÷×ÅÄÅÎÉÅ × h-ÒÉÎ É. ðÅÒ. Ó ÁÎÇÌ. î. í. íÉÛÁÞÅ×Á. 232 Ó. ó. ð. îÏ×ÉËÏ×, é. á. ÁÊÍÁÎÏ×. óÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ É ÏÌÑ. 584 Ó. á. í. òÏÍÁÎÏ×. úÁÎÉÍÁÔÅÌØÎÙÅ ×ÏÒÏÓÙ Ï ÁÓÔÒÏÎÏÍÉÉ É ÎÅ ÔÏÌØËÏ. 415 Ó. á. â. óÏÓÉÎÓËÉÊ. õÚÌÙ. èÒÏÎÏÌÏÇÉÑ ÏÄÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÏÒÉÉ. 112 Ó. ÷. ç. ÕÒÁÅ×. ÷×ÅÄÅÎÉÅ × ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ËÒÕÞÅÎÉÑ. ðÅÒ. Ó ÁÎÇÌ. ó. ë. ìÁÎÄÏ ÏÄ ÒÅÄ. ÷. á. ÷ÁÓÉÌØÅ×Á. 136 Ó. äÖ. èÁÒÒÉÓ. áÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ. îÁÞÁÌØÎÙÊ ËÕÒÓ. ðÅÒ. Ó ÁÎÇÌ. ÏÄ ÒÅÄ. æ. ì. úÁËÁ. 400 Ó. ç. ó. ûÁÒÏ×, á. í. ûÅÌÅÈÏ×, í. á. ûÅÓÔÁËÏ×Á. óÂÏÒÎÉË ÚÁÄÁÞ Ï ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. 112 Ó. á. ûÅÎØ. ìÏÇÁÒÉÆÍ É ÜËÓÏÎÅÎÔÁ. 24 Ó. á. ûÅÎØ. ðÒÏÓÔÙÅ É ÓÏÓÔÁ×ÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. 16 Ó. ó. á. ûÅÓÔÁËÏ×. ÷ÅËÔÏÒÙ ÎÁ ÜËÚÁÍÅÎÁÈ. 112 Ó. XXVII ÕÒÎÉÒ ÉÍ. í. ÷. ìÏÍÏÎÏÓÏ×Á 26 ÓÅÎÔÑÂÒÑ 2004 ÇÏÄÁ. úÁÄÁÎÉÑ, ÒÅÛÅÎÉÑ, ËÏÍÍÅÎÔÁÒÉÉ.

óÏÓÔ. á. ë. ëÕÌÙÇÉÎ. 192 Ó.

óÅÒÉÑ €âÉÂÌÉÏÔÅËÁ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ\ " ÷Ù. 30. à. ð. óÏÌÏ×Ø£×. îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á. 16 Ó. ÷Ù. 31. ÷. à. ðÒÏÔÁÓÏ×. íÁËÓÉÍÕÍÙ É ÍÉÎÉÍÕÍÙ × ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. 56 Ó. ÷Ù. 32. á. ÷. èÁÞÁÔÕÒÑÎ. çÅÏÍÅÔÒÉÑ çÁÌÉÌÅÑ. 32 Ó.

******

ðÏ ×ÏÒÏÓÁÍ ÒÉÏÂÒÅÔÅÎÉÑ ÜÔÉÈ ËÎÉÇ ÏÂÒÁÝÁÔØÓÑ Ï ÁÄÒÅÓÕ: 119002, íÏÓË×Á, âÏÌØÛÏÊ ÷ÌÁÓØÅ×ÓËÉÊ ÅÒÅÕÌÏË, ÄÏÍ 11, ÍÁÇÁÚÉÎ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ËÎÉÇÁ. ÅÌ.: (495)-241-7285, ÆÁËÓ: (495)-291-6501, e-mail: bibliom

me.ru

ïÅÞÁÔËÉ, ÚÁÍÅÞÅÎÎÙÅ × ‚9

, óÔÒÏËÁ 30, 1,2 ÓÎÉÚÕ ÓÌÅÄÕÅÔ ×ÙÞÅÒËÎÕÔØ 141, ÆÏÒÍÕÌÁ (29) + (ÅÒ×ÙÅ 3 ×ÈÏÖÄÅÎÉÑ) · 157, ÌÅ×ÙÊ ×ÅÒÈÎÉÊ ÒÉÓ. ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÓÍ. ÎÁ ÓÁÊÔÅ 224, 5 Ó×ÅÒÈÕ á. ÷. óÉ×ÁË

óÔÒÁÎÉ Á

îÁÅÞÁÔÁÎÏ

óÌÅÄÕÅÔ ÞÉÔÁÔØ

òÅÄÁËÔÏÒ ÷. ÷. ñÝÅÎËÏ ðÏÄÇÏÔÏ×ËÁ ÏÒÉÇÉÎÁÌ-ÍÁËÅÔÁ: LATEX2", METAPOST, í. î. ÷ÑÌÙÊ ðÏÄÉÓÁÎÏ × ÅÞÁÔØ 13.02.2006 Ç. æÏÒÍÁÔ 70 × 100=16. âÕÍÁÇÁ ÏÆÓÅÔÎÁÑ ‚1. ðÅÞÁÔØ ÏÆÓÅÔÎÁÑ. ðÅÞ. Ì. 18,0. ÉÒÁÖ 1000. éÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Ï íÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ ãÅÎÔÒÁ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ 119002, íÏÓË×Á, âÏÌØÛÏÊ ÷ÌÁÓØÅ×ÓËÉÊ ÅÒ., 11. ÅÌ. (495) 241 74 83

ïÔÅÞÁÔÁÎÏ Ó ÇÏÔÏ×ÙÈ ÄÉÁÏÚÉÔÉ×Ï× × çõð €ïÂÌÉÚÄÁԁ 248640, Ç. ëÁÌÕÇÁ, Ì. óÔÁÒÙÊ ÏÒÇ, 5 úÁËÁÚ ‚