Математическое просвещение [Серия 3, Выпуск 1]

Citation preview

íáåíáéþåóëïå ðòïó÷åýåîéå ÒÅÔØÑ ÓÅÒÉÑ

×ÙÕÓË 1

íãîíï 1997

òÅÄÁË ÉÏÎÎÁÑ ËÏÌÌÅÇÉÑ

âÕÇÁÅÎËÏ ÷.ï. ÷ÑÌÙÊ í.î. åÇÏÒÏ× á.á. ëÏÎÓÔÁÎÔÉÎÏ× î.î. óÏÌÏ×ØÅ× à.ð. ûÁÒÙÇÉÎ é.æ.

÷ÁÓÉÌØÅ× î.â. çÌÅÊÚÅÒ ç.ä. éÌØÑÛÅÎËÏ à.ó. òÏÚÏ× î.è. óÏÓÉÎÓËÉÊ á.â. ñÝÅÎËÏ é.÷.

÷ÉÎÂÅÒÇ ü.â. çÕÓÅÊÎ-úÁÄÅ ó.í. ëÁÎÅÌØ-âÅÌÏ× á.ñ. óÁ×ÉÎ á.ð. ÉÈÏÍÉÒÏ× ÷.í.

áÄÒÅÓ ÒÅÄÁË ÉÉ:

121002, íÏÓË×Á, â. ÷ÌÁÓØÅ×ÓËÉÊ ÅÒ., Ä.11, Ë. 211 (Ó ÏÍÅÔËÏÊ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉŁ) Email:

matprosm

me.ru

ðÏÌÎÙÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÅÒ×ÏÇÏ ÎÏÍÅÒÁ ÎÏ×ÏÊ ÓÅÒÉÉ ÓÂÏÒÎÉËÁ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉŁ (ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÁÑ ÕÂÌÉËÁ ÉÑ ÅÒ×ÏÇÏ ÎÏÍÅÒÁ: íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ, ÓÅÒ. 3, ×Ù. 1, í.: ÉÚÄ-×Ï íë îíõ, 1995). ðÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÓÂÏÒÎÉËÉ ÎÏ×ÏÊ ÓÅÒÉÉ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс ÂÕÄÕÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÍÁÔÅÒÉÁÌÙ Ï ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÒÁÚÄÅÌÁÍ: ÒÏÂÌÅÍÙ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÏÕÌÑÒÎÙÅ ÌÅË ÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ× É ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ÍÁÔÅÒÉÁÌÙ Ï ÉÓÔÏÒÉÉ É ÍÅÔÏÄÏÌÏÇÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÒÏÂÌÅÍÙ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ÎÁÕÞÎÏ-ÍÅÔÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, ÈÒÏÎÉËÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÖÉÚÎÉ, ÏÌÉÍÉÁÄÙ É ÄÒÕÇÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÑ, ÚÁÄÁÞÉ É ÒÏÂÌÅÍÙ. âÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÜÔÉÈ ÒÁÚÄÅÌÏ× ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ É × ÄÁÎÎÏÍ ÓÂÏÒÎÉËÅ. èÏÔÑ ÓÂÏÒÎÉË É ÒÁÓÓÞÉÔÁÎ ÎÁ ÛÉÒÏËÉÊ ËÒÕÇ ÌÀÂÉÔÅÌÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ: ÛËÏÌØÎÉËÏ×, ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÅÊ, ÕÒÏ×ÅÎØ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÓÔÁÔÅÊ × ÎÅÍ, ×ÒÏÞÅÍ, ÔÒÅÂÕÅÔ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÙÈ ÕÓÉÌÉÊ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÙ ÞÉÔÁÔÅÌÑ. ðÏÄÏÂÎÏÅ ÞÔÅÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅËÏÍÅÎÄÏ×ÁÎÏ ÔÅÍ, ËÔÏ ÈÏÞÅÔ ×ÓÅÒØÅÚ ÒÁÚÂÉÒÁÔØÓÑ Ó ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍÉ ×ÏÒÏÓÁÍÉ, ÚÁÔÒÁÇÉ×ÁÅÍÙÍÉ × ÓÔÁÔØÑÈ ÓÂÏÒÎÉËÁ.

ISBN

5-900916-15-4

íãîíï,

÷ÙÕÓË ÄÁÎÎÏÇÏ ÓÂÏÒÎÉËÁ ÏÄÄÅÒÖÁÎ ÇÒÁÎÔÏÍ òÏÓÓÉÊÓËÏÇÏ æÏÎÄÁ æÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÈ éÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ (ÎÏÍÅÒ ÒÏÅËÔÁ 96-01-14087)

1997 Ç.

ï ÎÏ×ÏÊ ÓÅÒÉÉ ÓÂÏÒÎÉËÏ× €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉŁ

ÒÁÄÉ ÉÑ ÉÚÄÁÎÉÑ ÏÕÌÑÒÎÏÊ É ÎÁÕÞÎÏ-ÏÕÌÑÒÎÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÉÍÅÅÔ ÄÁ×ÎÀÀ É ÂÏÇÁÔÕÀ ÉÓÔÏÒÉÀ. õÏÍÑÎÅÍ Ï ×ÙÈÏÄÉ×ÛÉÈ × ÄÏÒÅ×ÏÌÀ ÉÏÎÎÏÊ òÏÓÓÉÉ ÓÂÏÒÎÉËÁÈ €îÏ×ÙÅ ÉÄÅÉ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËŁ ÏÄ ÒÅÄÁË ÉÅÊ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÄÅÑÔÅÌÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÑ ÒÏÆÅÓÓÏÒÁ á. ÷. ÷ÁÓÉÌØÅ×Á, Ï ÖÕÒÎÁÌÁÈ €÷ÅÓÔÎÉË ÏÙÔÎÏÊ ÆÉÚÉËÉ É ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËɁ É €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉŁ, ÇÄÅ ÏÂÓÕÖÄÁÌÉÓØ ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÂÌÅÍÙ; Ï ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÈ ÉÚÄÁÎÉÑÈ ÓÏ×ÅÔÓËÏÇÏ ÅÒÉÏÄÁ: ÓÅÒÉÉ €ðÏÕÌÑÒÎÙÅ ÌÅË ÉÉ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËŁ, ÇÄÅ ÅÞÁÔÁÌÉÓØ ÌÅË ÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×, ÞÉÔÁ×ÛÉÅÓÑ ÚÎÁÍÅÎÉÔÙÍÉ ÕÞÅÎÙÍÉ; ÓÂÏÒÎÉËÁÈ ÏÄ ÎÁÚ×ÁÎÉÅÍ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉŁ (Ä×Å ÓÅÒÉÉ | ÄÏ×ÏÅÎÎÁÑ É ÓÅÒÉÑ 1958{1961 ÇÇ.); Ï ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÎÎÏÍ × ËÏÎ Å ÛÅÓÔÉÄÅÓÑÔÙÈ ÇÏÄÏ× ÖÕÒÎÁÌÅ €ë×ÁÎԁ. òÅÄÁË ÉÑ ÎÏ×ÏÊ ÓÅÒÉÉ ÓÂÏÒÎÉËÏ× €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉŁ ÎÁÄÅÅÔÓÑ ÒÏÄÏÌÖÉÔØ ÜÔÕ ÓÌÁ×ÎÕÀ ÔÒÁÄÉ ÉÀ. íÙ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÓÂÏÒÎÉËÉ ÎÏ×ÏÊ ÓÅÒÉÉ ÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ËÁË Ó×ÑÚÕÀÝÅÅ Ú×ÅÎÏ ÍÅÖÄÕ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÊ É ÏÕÌÑÒÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÏÊ. óÔÁÔØÉ × ÓÅ ÉÁÌØÎÙÈ ÖÕÒÎÁÌÁÈ ÏÂÙÞÎÏ ÎÅÄÏÓÔÕÎÙ ÎÅÓÅ ÉÁÌÉÓÔÁÍ, ÏÕÌÑÒÎÙÅ ÍÁÔÅÒÉÁÌÙ ÏÂÙÞÎÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÙ ÖÅÓÔËÉÍ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÅÍ €ÜÔÏ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÏÎÑÔÎÏ ÛËÏÌØÎÉËՁ. íÙ ÎÁÄÅÅÍÓÑ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÉÎÏÊ ÒÉÎ É €ÜÔÏ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÏÎÑÔÎÏ ×ÄÕÍÞÉ×ÏÍÕ É ÎÁÓÔÏÊÞÉ×ÏÍÕ ÞÉÔÁÔÅÌÀ, ÄÁÖÅ ÒÉ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÉ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÊ ÏÄÇÏÔÏ×ËɁ. ðÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ×ËÌÀÞÁÔØ × ÓÂÏÒÎÉËÉ ÓÔÁÔØÉ Ï ÎÏ×ÙÈ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÈ, ÎÏ×ÙÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑÈ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ÞÉÓÔÏÊ É ÒÉËÌÁÄÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ïÓÏÂÅÎÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÎÁÍ ËÁÖÅÔÓÑ ÒÏÑÓÎÑÔØ Ó×ÑÚÉ ÍÅÖÄÕ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÏÎÑÔÉÑÍÉ É ÏÂÌÁÓÔÑÍÉ ÎÁÕËÉ. éÍÅÎÎÏ ÛÉÒÏËÁÑ ÜÒÕÄÉ ÉÑ (Á ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÕÚËÉÊ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌÉÚÍ) ÅÓÔØ ÔÁ ÏÔÌÉÞÉÔÅÌØÎÁÑ ÞÅÒÔÁ ÔÒÁÄÉ ÉÏÎÎÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ × òÏÓÓÉÉ, ËÏÔÏÒÕÀ ÈÏÞÅÔÓÑ ÓÏÈÒÁÎÉÔØ. ïÇÒÏÍÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÏÕÌÑÒÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÉÚÄÁÎÉÊ ×ÙÈÏÄÉÌÏ É ×ÙÈÏÄÉÔ ÎÙÎÅ ÚÁ ÒÕÂÅÖÏÍ. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÚ×ÁÔØ €Ameri an Mathemati al Monthly É €Mathemati al Intelligen er, ÉÚÄÁÀÝÉÅÓÑ × óûá, ÁÎÇÌÉÊÓËÕÀ €Mathemati al Gazette, ÆÒÁÎËÏ-Û×ÅÊ ÁÒÓËÉÊ ÖÕÒÎÁÌ €L'Enseignement mathematique. òÅÄÁË ÉÑ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс ÎÁÄÅÅÔÓÑ ÏÚÎÁËÏÍÉÔØ ÞÉÔÁÔÅÌÑ Ó ÜÔÉÍÉ ÉÚÄÁÎÉÑÍÉ, ÏÍÅÝÁÑ × ÓÂÏÒÎÉËÉ ÅÒÅ×ÏÄÙ ÓÔÁÔÅÊ ÉÚ ÎÉÈ. ðÏÍÉÍÏ ÓÔÁÔÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÑ, ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÕÂÌÉËÁ ÉÑ ÍÁÔÅÒÉÁÌÏ×, ÏÔÒÁÖÁÀÝÉÈ ÒÅÁÌØÎÏÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ (ÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, × ÓÅ ÉÁÌÉÚÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ËÌÁÓÓÁÈ É ÛËÏÌÁÈ, Á ÔÁËÖÅ × ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÉÎÓÔÉÔÕÔÁÈ É ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁÈ). óÅÊÞÁÓ Ï ×ÓÅÊ òÏÓÓÉÉ ÒÏÈÏÄÉÔ ÎÅÍÁÌÏ ÎÁÕÞÎÙÈ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÊ ÛËÏÌØÎÉËÏ×, ÕÞÅÂÎÙÈ ÌÅÔÎÉÈ ÛËÏÌ, ÒÁÚÌÉÞÎÏÇÏ ÒÏÄÁ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÊ Ï ÒÅÛÅÎÉÀ ÚÁÄÁÞ; ÍÙ ÏÓÔÁÒÁÅÍÓÑ ÏÔÒÁÖÁÔØ ÏÙÔ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÕÄÁÞÎÙÈ ÍÅÒÏÒÉÑÔÉÊ ÔÁËÏÇÏ ÒÏÄÁ. ðÒÉÇÌÁÛÅÎÉÅ Ë ÓÏÔÒÕÄÎÉÞÅÓÔ×Õ

éÚÄÁÎÉÅ, ÚÁÍÙÓÅÌ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÉÚÌÏÖÅÎ ×ÙÛÅ, ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÂÅÚ ÁËÔÉ×ÎÏÊ ÞÉÔÁÔÅÌØÓËÏÊ ÏÄÄÅÒÖËÉ. íÙ ÖÄÅÍ ÏÔ ÷ÁÓ, ÞÉÔÁÔÅÌØ, ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÊ, ÓÏ×ÅÔÏ×, ÍÁÔÅÒÉÁÌÏ×.

óÏÄÅÒÖÁÎÉÅ

èÒÏÎÉËÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÖÉÚÎÉ

á. â. óÏÓÉÎÓËÉÊ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ãÅÎÔÒ × ÎÏ×ÏÍ ÚÄÁÎÉÉ

. . .. . . .. . .. . . .. .

6

óÔÕÄÅÎÞÅÓËÉÅ ÞÔÅÎÉÑ

÷. é. áÒÎÏÌØÄ ï ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÓÅ×ÄÏÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ

. . . . . . . . 10

ìÅË ÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ× ïÌÉÍÉÁÄÙ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

ÅÍÁ ÎÏÍÅÒÁ: ÏÓÎÏ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÁÌÇÅÂÒÙ

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×, ÷. ÷. õÓÅÎÓËÉÊ äÅÓÑÔØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ

å. á. çÏÒÉÎ

. . . . . . . . . . 50

ïÔ ÓÅËÔÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÁÄÉÕÓÁ Ë ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ ÁÌÇÅÂÒÙ

á. ÷. ðÕÈÌÉËÏ×

. . . . . . . 71

€÷ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏŁ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ

ð. å. ðÕÛËÁÒØ

. . . . 85

ï ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÁÈ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

ðÏ-ÎÏ×ÏÍÕ Ï ÓÔÁÒÏÍ: ÆÒÁÇÍÅÎÔÙ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ

ó. à. ïÒÅ×ËÏ× æÉÚÉÞÅÓËÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ õÉÔÎÉ Ï ÌÏÓËÉÈ ËÒÉ×ÙÈ

â. ò. æÒÅÎËÉÎ

éÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ ÓÔÅÅÎÉ: ÎÅÏÞÅ×ÉÄÎÏÅ × ÏÞÅ×ÉÄÎÏÍ

÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×

. . 96

. . . . . . . . . . . 103

ÅÏÒÅÍÁ Ï ÕÞËÅ ËÏÎÉË, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ 4 ÔÏÞËÉ

. . . . . . . . . . 109

îÁÛ ÓÅÍÉÎÁÒ: ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÓÀÖÅÔÙ

î. î. áÎÄÒÅÅ×, ÷. á. àÄÉÎ üËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÔÏÞÅË ÎÁ ÓÆÅÒÅ

ä. î. áÎÄÒÅÅ×

. . . . . . . . . . . . 115

ï ÏÄÎÏÊ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÊ ÎÕÍÅÒÁ ÉÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ× äÉÏÆÁÎÔÏ×Ù ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

ëÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ

. . . . . . . . . . . . . . . . 135

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

ëÏÎËÕÒÓÙ É ÏÌÉÍÉÁÄÙ

î. î. ëÏÎÓÔÁÎÔÉÎÏ× ÕÒÎÉÒ ÇÏÒÏÄÏ× É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ

. . . . . . . . . . . . . 164

ðÒÏÂÌÅÍÙ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ

ç. ä. çÌÅÊÚÅÒ, î. è. òÏÚÏ× ÷ÏÓØÍÏÊ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÊ ËÏÎÇÒÅÓÓ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

úÁÄÁÞÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ

õÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

îÏ×ÙÅ ÉÚÄÁÎÉÑ

å. ç. ëÏÚÌÏ×Á, ÷. ÷. ðÒÏÉÚ×ÏÌÏ× íéòïó ×ÁÛÅÍÕ ÄÏÍÕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

èÒÏÎÉËÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÖÉÚÎÉ

íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ãÅÎÔÒ × ÎÏ×ÏÍ ÚÄÁÎÉÉ

á. â. óÏÓÉÎÓËÉÊ

ìÀÂÉÔÅÌÉ ÒÏÇÕÌÑÔØÓÑ Ï ÓÔÁÒÙÍ ÁÒÂÁÔÓËÉÍ ÅÒÅÕÌËÁÍ ÄÁ×ÎÏ ÏÂÒÁÔÉÌÉ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÎÁ ÎÏ×ÏÅ ÎÁÒÑÄÎÏÅ ÞÅÔÙÒÅÈÜÔÁÖÎÏÅ ÚÄÁÎÉÅ ÎÁ âÏÌØÛÏÍ ÷ÌÁÓØÅ×ÓËÏÍ ÅÒÅÕÌËÅ. ïÎÏ ÓÔÏÉÔ ÎÅÄÁÌÅËÏ ÏÔ ÔÏÇÏ ÍÅÓÔÁ, ÇÄÅ ÷ÌÁÓØÅ×ÓËÉÊ ÕÉÒÁÅÔÓÑ × óÉ× Å× ÷ÒÁÖÅË, ÎÏ ÎÅ Õ ÓÁÍÏÊ ÒÏÅÚÖÅÊ ÞÁÓÔÉ, Á × ÇÌÕÂÉÎÅ, ÏÔÄÅÌÅÎÎÏÅ ÏÔ ÍÏÓÔÏ×ÏÊ ÎÅÂÏÌØÛÉÍ ÓË×ÅÒÉËÏÍ ÓÏ ÓÔÁÒÙÍÉ ÌÉÁÍÉ É ÎÅÂÏÌØÛÉÍÉ ÅÌÑÍÉ. îÁ ÕÄÁÞÎÏ ÓËÁÄÒÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÆÏÔÏÇÒÁÆÉÉ (ÓÍ. ÚÁÓÔÁ×ËÕ) ÄÁÖÅ ÓÏÚÄÁÅÔÓÑ ×ÅÞÁÔÌÅÎÉÅ, ÞÔÏ ÄÏÍ ÓÔÏÉÔ ÎÅ × ÅÎÔÒÅ ÓÔÏÌÉ Ù, Á ÇÄÅ-ÎÉÂÕÄØ × ðÏÄÍÏÓËÏ×ØÅ. ðÒÏÈÏÖÉÊ, ÎÅ ÒÁÚÏÂÒÁ×ÛÉÊ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ ÎÅ-

íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ãÅÎÔÒ × ÎÏ×ÏÍ ÚÄÁÎÉÉ

7

ÂÏÌØÛÕÀ ×Ù×ÅÓËÕ Õ ÁÒÁÄÎÏÊ ×ÈÏÄÎÏÊ Ä×ÅÒÉ, ÍÙÓÌÅÎÎÏ ÏÔÎÏÓÉÔ ÚÄÁÎÉÅ Ë ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÂÏÇÁÔÙÈ ËÏÍÍÅÒÞÅÓËÉÈ ÓÔÒÕËÔÕÒ, ÕÓÔÒÁÉ×ÁÀÝÉÈ × ÏÓÌÅÄÎÅÅ ×ÒÅÍÑ €Å×ÒÏÒÅÍÏÎԁ ÓÔÁÒÙÈ ÁÒÂÁÔÓËÉÈ ÏÓÏÂÎÑËÏ×. ïÄÎÁËÏ ÎÁ ×Ù×ÅÓËÅ ÎÁÉÓÁÎÏ €íÏÓËÏ×ÓËÉÊ ãÅÎÔÒ îÅÒÅÒÙ×ÎÏÇÏ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ïÂÒÁÚÏ×ÁÎÉс, É ×ÈÏÖÉ ÔÕÄÁ ÎÅ ÂÉÚÎÅÓÍÅÎÙ ÒÉ ÇÁÌÓÔÕËÁÈ É × ÔÒÏÊËÁÈ, Á ÌÀÄ Ó ×ÉÄÕ ÏÒÏÝÅ { ÒÁÚÎÏËÁÌÉÂÅÒÎÙÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÏÔ ÛËÏÌØÎÉËÏ×, ÕÞÉÔÅÌÅÊ É ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÄÏ ×ÓÅÍÉÒÎÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÕÞÅÎÙÈ (×ÒÏÞÅÍ, ÎÁÒÕÖÎÏÓÔØÀ Ó×ÏÅÊ ×Ï×ÓÅ ÎÅ ÒÉÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÈ). þÔÏ ÜÔÏ ÚÁ ãÅÎÔÒ, ÞÅÍ ÔÁÍ ÚÁÎÉÍÁÀÔÓÑ, ËÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÅÍÕ ÄÏÓÔÁÌÏÓØ ÜÔÏ ×ÎÏ×Ø ÏÔÓÔÒÏÅÎÎÏÅ (ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÎÁ €Å×ÒÏÕÒÏ×ÎŁ) ÏÍÅÝÅÎÉÅ? ðÒÅÄÉÓÔÏÒÉÑ

éÄÅÑ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÅÎÔÒÁ, ËÁË É ÍÎÏÇÉÅ ÄÒÕÇÉÅ Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ Ó ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÅ ÎÁÞÉÎÁÎÉÑ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ î. î. ëÏÎÓÔÁÎÔÉÎÏ×Õ. ÷ ãÅÎÔÒÅ îÉËÏÌÁÊ îÉËÏÌÁÅ×ÉÞ ×ÉÄÅÌ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÏÎÎÕÀ ÏÓÎÏ×Õ Ó×ÏÅÊ ÍÎÏÇÏÌÁÎÏ×ÏÊ ÎÅÆÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÒÏÓ×ÅÔÉÔÅÌØÓËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ: ËÒÕÖËÉ, ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ËÌÁÓÓÙ É ÓÅ ÉÁÌÉÚÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÛËÏÌÙ, ÒÁÂÏÔÁ Ó ÕÞÉÔÅÌÑÍÉ, íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÊ ÕÒÎÉÒ çÏÒÏÄÏ× (íç), ÕÒÎÉÒ ìÏÍÏÎÏÓÏ×Á, ÏÌÉÍÉÁÄÙ, îÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÊ íÏÓËÏ×ÓËÉÊ õÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ (îíõ). îÏ ËÁË ÍÏÇÌÉ ÎÅ ÉÍÅÀÝÉÅ ÓÅÒØÅÚÎÏÇÏ ÆÉÎÁÎÓÉÒÏ×ÁÎÉÑ €ÎÅÆÏÒÍÁÌف ÏÌÕÞÉÔØ × ÅÎÔÒÅ íÏÓË×Ù ÏÍÅÝÅÎÉÅ? úÄÅÓØ ÒÅÛÁÀÝÕÀ ÒÏÌØ ÓÙÇÒÁÌÉ, ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÙ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×, ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ËÒÕÖËÏ× Ù É ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÉ ÍÁÔÛËÏÌ áÌÅËÓÁÎÄÒ ûÅÎØ É é×ÁÎ ñÝÅÎËÏ (×ÒÏÞÅÍ, ÞÔÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÎÏ, ÏÂÁ { ÅÝÅ É ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ-ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌÉ ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ), Á ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÙ ÍÏÓËÏ×ÓËÏÊ ÁÄÍÉÎÉÓÔÒÁ ÉÉ { ÒÅÆÅËÔ ãÅÎÔÒÁÌØÎÏÇÏ ïËÒÕÇÁ á. é. íÕÚÙËÁÎÔÓËÉÊ, ÏËÏÎÞÉ×ÛÉÊ × Ó×ÏÅ ×ÒÅÍÑ ÍÅÈÍÁÔ íçõ. ïÎ ÒÁÓÏÒÑÄÉÌÓÑ ÄÏÒÅÍÏÎÔÉÒÏ×ÁÔØ ÓÏ×ÅÔÓËÉÊ ÄÏÌÇÏÓÔÒÏÊ, ÍÎÏÇÉÅ ÇÏÄÙ ÎÅ ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÊ Ó×ÏÉÍ ×ÌÁÄÅÌØ ÅÍ, äÅÁÒÔÁÍÅÎÔÏÍ ïÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ íÏÓË×Ù, ÎÅ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏÂÙ ÚÄÁÎÉÅ ÚÁÔÅÍ ×ÙÇÏÄÎÏ ÏÔÄÁÔØ ËÁËÏÊ-ÌÉÂÏ ÂÏÇÁÔÏÊ ËÏÍÍÅÒÞÅÓËÏÊ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ, Á ÒÏÓÔÏ ÎÁ ÂÌÁÇÏ ×ÓÅÊ ÍÏÓËÏ×ÓËÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÂÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ. úÁ ÄÏÓÔÒÏÊËÏÊ É ÏÔÄÅÌËÏÊ ÚÄÁÎÉÑ, ËÁË É ÚÁ ×ÙÂÏÒÏÍ ÏÂÏÒÕÄÏ×ÁÎÉÑ É ÍÅÂÅÌÉ, Ó ÎÅÏÔÓÔÕÎÙÍ ×ÎÉÍÁÎÉÅÍ ÓÌÅÄÉÌ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ×ÙÕÓËÎÉË ÍÅÈÍÁÔÁ, ËÁÚÎÁÞÅÊ ãÅÎÔÒÁ ÷ÉËÔÏÒ æÕÒÉÎ. ëÁË ×ÏÄÉÔÓÑ, ÏÔËÒÙÔÉÅ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚ ÏÔËÌÁÄÙ×ÁÌÏÓØ, ÎÏ ÄÏÌÇÏÖÄÁÎÎÙÊ ÄÅÎØ ÎÁËÏÎÅ ÎÁÓÔÕÉÌ. ÷ÓÏÍÎÉÍ, ËÁË ÜÔÏ ÂÙÌÏ. ïÔËÒÙÔÉÅ ãÅÎÔÒÁ

ïÆÉ ÉÁÌØÎÏÅ ÏÔËÒÙÔÉÅ ÂÙÌÏ ÎÁÚÎÁÞÅÎÏ ÎÁ 19 ÞÁÓÏ× 26 ÓÅÎÔÑÂÒÑ 1996 Ç. ë ÜÔÏÍÕ ×ÒÅÍÅÎÉ ÅÒÅÄ ÓÉÑÀÝÉÍ ÎÏ×ÏÊ ËÒÁÓËÏÊ ÚÄÁÎÉÅÍ ÓÏÂÒÁÌÓÑ ×ÅÓØ ÍÏÓËÏ×ÓËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÂÏÍÏÎÄ. úÄÅÓØ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ Õ×ÉÄÅÔØ É ÍÁÓÔÉÔÙÈ ÕÞÅÎÎÙÈ ÉÚ ÂÙ×ÛÅÇÏ ÓÏ×ÅÔÓËÏÇÏ ÉÓÔÅÂÌÉÛÍÅÎÔÁ, É ÁÓÉÒÁÎÔÏ× × ÓÔÁÒÙÈ ÄÖÉÎÓÁÈ, ÉÓÁÞËÁÎÎÙÈ ÍÅÌÏÍ ÒÉ ÒÏ×ÅÄÅÎÉÉ ÛËÏÌØÎÙÈ ËÒÕÖËÏ×,

8

á. â. óÏÓÉÎÓËÉÊ

ÓÔÕÄÅÎÔÏ× îÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÇÏ õÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ, ÅÝÅ ÎÅ ÏÂÖÉ×ÛÉÈ ÎÏ×ÏÅ ÚÄÁÎÉÅ, ÖÕÒÎÁÌÉÓÔÏ× É ÄÁÖÅ ÄÉÌÏÍÁÔÏ×. ðÒÏÛÌÏ ÎÁÚÎÁÞÅÎÎÏÅ ×ÒÅÍÑ, Á ÔÏÒÖÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÅÒÅÍÏÎÉÑ ÒÁÚÒÅÚÁÎÉÑ ÌÅÎÔÙ, ËÏÔÏÒÕÀ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÌÉ ÒÏÉÚ×ÅÓÔÉ ÍÜÒ ÇÏÒÏÄÁ àÒÉÊ ìÕÖËÏ× É ÒÅÄÓÅÄÁÔÅÌØ ðÏÅÞÉÔÅÌØÓËÏÇÏ óÏ×ÅÔÁ ãÅÎÔÒÁ ÷ÌÁÄÉÍÉÒ áÒÎÏÌØÄ, ×ÓÅ ÎÅ ÎÁÞÉÎÁÌÁÓØ. íÜÒ ÏÁÚÄÙ×ÁÌ. ÷ÓËÏÒÅ ÏÓÔÕÉÌÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ, ÞÔÏ ÅÇÏ É ÎÅ ÂÕÄÅÔ: ÚÁÄÅÒÖÁÌÉ ÂÏÌÅÅ ×ÁÖÎÙÅ ÏÌÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÄÅÌÁ. C ËÒÁÔËÉÍ ×ÓÔÕÉÔÅÌØÎÙÍ ÓÌÏ×ÏÍ ÔÏÇÄÁ ×ÙÓÔÕÉÌ áÌÅËÓÁÎÄÒ íÕÚÙËÁÎÔÓËÉÊ (× ÞÅÍ ÂÙÌÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÄÏÌÑ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔÉ, ×ÅÄØ ÚÄÁÎÉÅ ãÅÎÔÒÁ | ÅÇÏ ÄÅÔÉÝÅ), É ÏÎ ÖÅ ×ÍÅÓÔÅ Ó áÒÎÏÌØÄÏÍ ÒÁÚÒÅÚÁÌ-ÔÁËÉ ÓÉÍ×ÏÌÉÞÅÓËÕÀ ÌÅÎÔÕ. úÁÔÅÍ ×ÓÅ ÒÉÇÌÁÛÅÎÎÙÅ ÏÄÎÑÌÉÓØ × ËÏÎÆÅÒÅÎ -ÚÁÌ ÄÌÑ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÑ ÏÆÉ ÉÁÌØÎÏÊ ÞÁÓÔÉ. îÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÉÅ ÂÏÌØÛÏÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ×ÁÖÎÙÈ ÌÉ ÉÚ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ É ÏËÏÌÏÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÉÒÁ, ÏÔËÒÙÔÉÅ ÒÏÛÌÏ × ÍÁÖÏÒÎÏÊ ÔÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ, ÏÞÅÎØ ÖÉ×Ï É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÙÓÔÒÏ, ÎÅ ÂÙÌÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÎÙÈ ÄÌÑ ÏÄÏÂÎÙÈ ÍÅÒÏÒÉÑÔÉÊ ÄÌÉÎÎÙÈ É ÓËÕÞÎÙÈ ÒÅÞÅÊ. óÒÅÄÉ ×ÙÓÔÕÁÀÝÉÈ ÂÙÌÉ É ÒÅÚÉÄÅÎÔ òÏÓÓÉÊÓËÏÊ áËÁÄÅÍÉÉ îÁÕË ÁËÁÄÅÍÉË à. ó. ïÓÉÏ×, ÄÅËÁÎ îíõ à. ó. éÌØÑÛÅÎËÏ, ÏÔÍÅÔÉ×ÛÉÊ ÒÅÅÍÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÈ ÔÒÁÄÉ ÉÊ ÍÏÓËÏ×ÓËÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÛËÏÌÙ × ÄÅÌÁÈ îíõ É ãÅÎÔÒÁ, ÓÅËÒÅÔÁÒØ ïÔÄÅÌÅÎÉÑ íÁÔÅÍÁÔÉËÉ òáî ÁËÁÄÅÍÉË á. á. çÏÎÞÁÒ, ÁÔÔÁÛÅ Ï ËÕÌØÔÕÒÅ É ÎÁÕËÅ æÒÁÎ ÕÚÓËÏÇÏ ðÏÓÏÌØÓÔ×Á ÇÏÓÏÄÉÎ ð. áÒÎÕ, ÒÅËÔÏÒ íÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ çÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ õÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ ÞÌÅÎ-ËÏÒÒÅÓÏÎÄÅÎÔ òáî ÷. á. óÁÄÏ×ÎÉÞÉÊ. ÷ÙÓÔÕÌÅÎÉÅ ÒÅËÔÏÒÁ íçõ ×ÙÚ×ÁÌÏ ÚÁÍÅÔÎÙÊ ÉÎÔÅÒÅÓ Õ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÅÊ É ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× îÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÇÏ õÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ: ÂÙÌÏ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÏÄÞÅÒËÎÕÔÏ, ÞÔÏ ÏÂÁ ÕÞÅÂÎÙÈ ÚÁ×ÅÄÅÎÉÑ ×ÙÏÌÎÑÀÔ, ËÁÖÄÙÊ Ï Ó×ÏÅÍÕ, ÏÂÝÅÅ ÄÅÌÏ, ÎÏ ÏÂÅÝÁÎÁ ËÏÎËÒÅÔÎÁÑ ÏÍÏÝØ × ÏÞÅÎØ ÓÌÏÖÎÏÍ ÄÌÑ îíõ ×ÏÒÏÓÅ | ÒÏÈÏÖÄÅÎÉÉ ×ÏÅÎÎÏÇÏ ÄÅÌÁ (Õ îíõ ÎÅÔ Ó×ÏÅÊ ×ÏÅÎÎÏÊ ËÁÆÅÄÒÙ). îÏ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÉÎÔÅÒÅÓ ×ÙÚ×ÁÌÏ ×ÙÓÔÕÌÅÎÉÅ ÷. é. áÒÎÏÌØÄÁ. ÷ÌÁÄÉÍÉÒ éÇÏÒÅ×ÉÞ ÂÙÌ × ÕÄÁÒÅ, ÅÇÏ ÒÅÞØ ÎÅÏÄÎÏËÒÁÔÎÏ ÒÅÒÙ×ÁÌÏÓØ ÓÍÅÈÏÍ É ÁÌÏÄÉÓÍÅÎÔÁÍÉ. ÏÒÖÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÚÁ×ÅÒÛÉÌÁÓØ ÒÉÓÕÖÄÅÎÉÅÍ ÓÔÉÅÎÄÉÊ ÍÏÓËÏ×ÓËÏÊ ÍÜÒÉÉ ÛËÏÌØÎÉËÁÍ | ÏÂÅÄÉÔÅÌÑÍ íÏÓËÏ×ÓËÉÈ ÏÌÉÍÉÁÄ É ÕÒÎÉÒÁ çÏÒÏÄÏ×, Á ÔÁËÖÅ ÌÕÞÛÉÍ ÓÔÕÄÅÎÔÁÍ îíõ. îÁ ÜÔÏÍ ÏÔËÒÙÔÉÅ ÎÅ ÚÁËÏÎÞÉÌÏÓØ. õÞÁÓÔÎÉËÉ É ÇÏÓÔÉ ÒÁÚÂÒÅÌÉÓØ Ï ËÏÒÉÄÏÒÁÍ ÎÏ×ÏÇÏ ÚÄÁÎÉÑ, ÕËÒÁÛÅÎÎÙÍ ÓÅÒØÅÚÎÙÍÉ É ÛÕÔÌÉ×ÙÍÉ ÌÏÚÕÎÇÁÍÉ (ÓÒÅÄÉ ÏÓÌÅÄÎÉÈ ÚÁÏÍÎÉÌÓÑ ÔÁËÏÊ: €÷ÓÑËÏÅ ÌÉ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÏ?), Ó ÔÅÍ ÞÔÏÂÙ ÏÓÅÔÉÔØ ÎÅÂÏÌØÛÉÅ ×ÙÓÔÁ×ËÉ, ÏÔÒÁÖÁÀÝÉÅ ÒÁÚÎÙÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ ãÅÎÔÒÁ. ÷ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ËÏÍÎÁÔÁÈ, Ó ÏÍÏÝØÀ ÌÁËÁÔÏ×, ÆÏÔÏÇÒÁÆÉÊ, ÓÈÅÍ É ÄÒÕÇÉÈ ÎÁÇÌÑÄÎÙÈ ÍÁÔÅÒÉÁÌÏ×, ÂÙÌÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÒÁÂÏÔÁ ËÒÕÖËÏ× É ÏÌÉÍÉÁÄ, ÕÒÎÉÒÁ çÏÒÏÄÏ×, ÕÒÎÉÒÁ ìÏÍÏÎÏÓÏ×Á É îÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÇÏ õÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ. úÄÅÓØ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÌÉ ÅÚÒÅÔØ ÌÅÇÅÎÄÁÒÎÙÊ 20-ÌÉÔÒÏ×ÙÊ ÓÁÍÏ×ÁÒ, ÎÅÒÅ-

íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ãÅÎÔÒ × ÎÏ×ÏÍ ÚÄÁÎÉÉ

9

ÍÅÎÎÙÊ ÓÕÔÎÉË ëÏÎÓÔÁÎÔÉÎÏ×ÓËÉÈ ËÏÌÌÅËÔÉ×ÎÙÈ ×ÙÌÁÚÏË ÎÁ ÒÉÒÏÄÕ, ÉÌÉ ÏÇÒÏÍÎÕÀ ÇÅÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÕÀ ËÁÒÔÕ ÍÉÒÁ, ÕÔÙËÁÎÎÕÀ ×ÅÔÎÙÍÉ ÆÌÁÖËÁÍÉ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÝÉÍÉ ÔÅ ÍÅÓÔÁ, ÇÄÅ × ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÇÏÄÙ ÒÏ×ÏÄÉÌÓÑ íç. âÏÌØÛÅ ×ÓÅÇÏ ÎÁÒÏÄÕ, ÏÄÎÁËÏ, ÂÙÌÏ ÎÁ ÜËÓÏÚÉ ÉÉ îíõ, ÒÁÚ×ÅÒÎÕÔÏÊ × ÞÉÔÁÌØÎÏÍ ÚÁÌÅ ÂÉÂÌÉÏÔÅËÉ. ðÒÉ×ÌÅËÁÌÉ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ËÁË ÏÇÒÏÍÎÙÊ ÓÔÅÎÄ Ó ÆÏÔÏÇÒÁÆÉÑÍÉ ÏÄ ËÒÁÔËÉÍ ÎÁÚ×ÁÎÉÅÍ €íف, ÇÄÅ ÂÙÌÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÅÌÁÑ ËÏÌÌÅË ÉÑ ×ÉÄÏ×ÙÈ ÆÏÔÏÇÒÁÆÉÊ ÜËÚÏÔÉÞÅÓËÉÈ ÍÅÓÔ, × ËÏÔÏÒÙÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÓÕÄØÂÁ ÚÁÂÒÁÓÙ×ÁÌÁ × ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÇÏÄÙ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÅÊ îíõ, ÔÁË É ÓÔÅÎÄ Ï ÏÂÍÅÎÁÈ ÓÔÕÄÅÎÔÁÍÉ ÓÏ ÚÎÁÍÅÎÉÔÏÊ ðÁÒÉÖÓËÏÊ üËÏÌØ îÏÒÍÁÌØ óÀÅÒØÅÒ (îíõ É üîó { ÏÒÏÄÎÅÎÎÙÅ ×ÕÚÙ) ÉÌÉ ÒÏÓËÏÛÎÏ ÉÚÄÁÎÎÙÅ ËÎÉÇÉ, ÏÄÁÒÅÎÎÙÅ îíõ áÍÅÒÉËÁÎÓËÉÍ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ïÂÝÅÓÔ×ÏÍ. ï ×ÙÓÏËÏÍ ÎÁÕÞÎÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ ÒÏÆÅÓÓÕÒÙ îÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÇÏ Ó×ÉÄÅÔÅÌØÓÔ×Ï×ÁÌÉ ×ÙÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÎÁ ÏËÁÚ ÏÔÔÉÓËÉ ÉÈ ÓÔÁÔÅÊ É ËÎÉÇÉ, × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ ÎÁ ÁÎÇÌÉÊÓËÏÍ ÑÚÙËÅ { ÅÞÁÌØÎÏÅ ÚÎÁÍÅÎÉÅ ÎÁÛÉÈ ÔÒÕÄÎÙÈ ×ÒÅÍÅÎ. ÷ÓÅ ÄÅÊÓÔ×Ï ÚÁ×ÅÒÛÉÌÏÓØ, ËÁË ÒÉÎÑÔÏ, ÒÉÅÍÏÍ (× ÏÍÅÝÅÎÉÉ ÂÕÄÕÝÅÊ ÓÔÏÌÏ×ÏÊ ãÅÎÔÒÁ): ÛÁÍÁÎÓËÏÅ, ÉÚÙÓËÁÎÎÙÅ ÕÇÏÝÅÎÉÑ, ÏËÏÌÏÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÚÇÏ×ÏÒÙ ×ÙÓÏËÉÈ É ÂÏÌÅÅ ÓËÒÏÍÎÙÈ ÇÏÓÔÅÊ, ÏÂÍÅÎ ×ÅÞÁÔÌÅÎÉÑÍÉ. îÁÓÔÒÏÅÎÉÅ ÂÙÌÏ, ÅÓÌÉ ÍÏÖÎÏ ÔÁË ×ÙÒÁÚÉÔÓÑ, ÒÉÏÄÎÑÔÏ-ÉÚÕÍÌÅÎÎÏÅ: × ÎÁÛÅ ×ÒÅÍÑ, É ×ÄÒÕÇ ÔÁËÏÊ ÏÄÁÒÏË ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÀ É ÎÁÕËÅ! á ÞÔÏ ÓÅÊÞÁÓ?

óÏ ×ÒÅÍÅÎÉ ÏÔËÒÙÔÉÑ ÒÏÛÅÌ ÏÞÔÉ ÅÌÙÊ ÕÞÅÂÎÙÊ ÇÏÄ. îÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÊ õÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ ÒÏÞÎÏ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÌÓÑ ÎÁ âÏÌØÛÏÍ ÷ÌÁÓØÅ×ÓËÏÍ. ëÒÏÍÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÙÈ ÌÅË ÉÊ É ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ, ÔÁÍ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏ ÒÏ×ÏÄÑÔÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÎÁÕÞÎÙÈ ÓÅÍÉÎÁÒÏ×, ÒÏÈÏÄÑÔ ÁÒÁÄÎÙÅ ÎÁÕÞÎÙÅ ÄÏËÌÁÄÙ ÒÉÅÚÖÉÈ ÏÔÅÞÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ É ÚÁÒÕÂÅÖÎÙÈ ÕÞÅÎÙÈ, Ó ÂÏÌØÛÉÍ ÕÓÅÈÏÍ ÉÄÕÔ ÚÁÎÑÔÉÑ Ï ÆÒÁÎ ÕÚÓËÏÍÕ ÑÚÙËÕ. ðÏÍÉÍÏ ÚÁÎÑÔÉÊ ÓÏ ÓÔÕÄÅÎÔÁÍÉ, ÚÄÅÓØ ×ÅÄÕÔÓÑ (ÚÁÞÁÓÔÕÀ ÔÅÍÉ ÖÅ ÓÔÕÄÅÎÔÁÍÉ) ËÒÕÖËÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ× 6{10 ËÌÁÓÓÏ×. ãÅÎÔÒ ÓÔÁÌ ÒÉ×ÙÞÎÙÍ ÍÅÓÔÏÍ ÓÂÏÒÁ ×ÅÄÕÝÉÈ ÍÏÓËÏ×ÓËÉÈ ÕÞÉÔÅÌÅÊ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ ÎÁ ÅÖÅÎÅÄÅÌØÎÙÈ ÚÁÓÅÄÁÎÉÑÈ ÍÅÔÏÄÉÞÅÓËÏÇÏ ÓÅÍÉÎÁÒÁ é. æ. ûÁÒÙÇÉÎÁ. ó ÕÓÅÈÏÍ × ãÅÎÔÒÅ ÒÏÛÌÁ ÏÞÅÒÅÄÎÁÑ óÏÒÏÓÏ×ÓËÁÑ ïÌÉÍÉÁÄÁ. ÷ ÎÅÍ ÔÅÅÒØ ËÏÎ ÅÎÔÒÉÒÕÅÔÓÑ ÏÒÇÒÁÂÏÔÁ ÕÒÎÉÒÁ çÏÒÏÄÏ× É ÕÒÎÉÒÁ ìÏÍÏÎÏÓÏ×Á, ÚÄÅÓØ ÒÏÈÏÄÉÌÉ ÚÁÓÅÄÁÎÉÑ ÍÅÔÏÄÉÞÅÓËÏÊ ËÏÍÉÓÓÉÉ É ÏÒÇËÏÍÉÔÅÔÁ íÏÓËÏ×ÓËÏÊ ÇÏÒÏÄÓËÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÙ. áÔÍÏÓÆÅÒÁ ÎÅÒÉÎÕÖÄÅÎÎÏÓÔÉ, ÂÌÁÇÏÖÅÌÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ É ÎÁÄÅÖÄÙ, ÁÒÉ×ÛÁÑ ÎÁ ÏÔËÒÙÔÉÉ, × ÓÏÞÅÔÁÎÉÉ Ó ÎÁÓÔÒÏÅÍ ÎÁ ÓÁÍÏÏÔ×ÅÒÖÅÎÎÕÀ ÒÁÂÏÔÕ, ÓÏÈÒÁÎÉÌÁÓØ × ÄÏÍÅ ÎÁ âÏÌØÛÏÍ ÷ÌÁÓØÅ×ÓËÏÍ É ÒÅ×ÒÁÔÉÌÁ ÅÇÏ × ÒÉÔÑÇÁÔÅÌØÎÙÊ ÅÎÔÒ ÄÌÑ ÌÕÞÛÉÈ ÌÀÄÅÊ, ÚÁÎÉÍÁÀÝÉÈÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ × íÏÓË×Å.

óÔÕÄÅÎÞÅÓËÉÅ ÞÔÅÎÉÑ

ï ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÓÅ×ÄÏÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ

áËÁÄÅÍÉË òáî ÷. é. áÒÎÏÌØÄ

ìÅË ÉÑ, ÒÏÞÉÔÁÎÎÁÑ ÓÔÕÄÅÎÔÁÍ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ëÏÌÌÅÄÖÁ îÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÇÏ íÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ õÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ 14 ÁÒÅÌÑ 1992 Ç.

ïÄÉÎ ÉÚ ÍÏÉÈ ÕÞÉÔÅÌÅÊ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, é×ÁÎ çÅÏÒÇÉÅ×ÉÞ ðÅÔÒÏ×ÓËÉÊ, ÇÏ×ÏÒÉÌ: €÷ÓÅÍ, ÞÔÏ Ñ ÓÄÅÌÁÌ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, Ñ ÏÂÑÚÁÎ ÎÅ ÓÔÏÌØËÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ Ñ ÞÔÏ-ÔÏ ÚÎÁÌ, ÓËÏÌØËÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ Ñ ÞÅÇÏ-ÔÏ ÎÅ ÚÎÁ́. é ÄÏÂÁ×ÌÑÌ: €÷ÁÖÎÅÊÛÅÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÅÊ Ï ÒÏÂÌÅÍÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÎÅ ÒÅÛÅÎÁ. ÷ ÜÔÏÊ ÌÅË ÉÉ Ñ ÏÓÔÁÒÁÀÓØ ÒÁÓÓËÁÚÁÔØ Ï ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÒÅÛÅÎÎÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ €ÓÅ×ÄÏÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉɁ. ðÓÅ×ÄÏÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÔÏÏÌÏÇÉÑ Ó×ÑÚÁÎÁ Ó Ë×ÁÚÉËÒÉÓÔÁÌÌÁÍÉ, Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÑÍÉ æÅÒÍÉ ÆÉÚÉËÉ Ô×ÅÒÄÏÇÏ ÔÅÌÁ, ÈÁÏÓÏÍ × ÔÅÏÒÉÉ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÉÈ ÓÉÓÔÅÍ É Ó ÔÅÏÒÉÅÊ ÞÉÓÅÌ. þÅÍ ÚÁÎÉÍÁÅÔÓÑ ÓÅ×ÄÏÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÔÏÏÌÏÇÉÑ, Ñ ÏÓÔÁÒÁÀÓØ ÓÅÊÞÁÓ ÏÂßÑÓÎÉÔØ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÕÀ ÒÅÛÅÔËÕ Zn ⊂ Rn. ðÏÄ ÅÒÉÏÄÉÞÎÏÓÔØÀ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÂßÅËÔÁ (Ó×ÏÊÓÔ×Á) ÂÕÄÅÍ ÏÎÉÍÁÔØ ÅÇÏ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÓÔØ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÄ×ÉÇÏ× ÎÁ ×ÅËÔÏÒÙ ÉÚ Zn . îÁÒÉÍÅÒ, ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ax + by ÎÅ ÅÒÉÏÄÉÞÎÁ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÎÏ ËÁÒÔÉÎÁ ÅÅ ÌÉÎÉÊ ÕÒÏ×ÎÑ ax + by = = onst ÅÒÉÏÄÉÞÎÁ (ÓÍ. ÒÉÓ. 1). åÓÌÉ a=b | ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ ËÁÒÔÉÎÁ ÏÞÅÎØ ÒÏÓÔÁ: ÒÁÚÎÅÓÅÎÎÁÑ ÓÄ×ÉÇÁÍÉ ÒÑÍÁÑ ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÕÚÌÙ ÒÅÛÅÔËÉ (ÒÉÓ. 2). åÓÌÉ a=b ÉÒÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏ, ËÁÒÔÉÎÁ ÕÓÔÒÏÅÎÁ ÓÌÏÖÎÅÅ; × ÌÀÂÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ ÅÅ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ.

ï ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÓÅ×ÄÏÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ

òÉÓ. 1. ðÅÒÉÏÄÉÞÎÏÓÔØ ÓÉÓÔÅÍÙ

11

òÉÓ. 2. òÅÚÏÎÁÎÓÎÁÑ ÌÉÎÉÑ ÕÒÏ×ÎÑ.

ÌÉÎÉÊ ÕÒÏ×ÎÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ.

õÒÁÖÎÅÎÉÅ 1.

÷ÙÑ×ÉÔÅ Ó×ÑÚØ ËÁÒÔÉÎÙ ÌÉÎÉÊ ÕÒÏ×ÎÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ

ÆÕÎË ÉÉ Ó ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅÍ

a=b × ÅÎÕÀ ÄÒÏÂØ.

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ n-ÍÅÒÎÙÊ ÔÏÒ Tn = Rn=Zn (ÆÁËÔÏÒÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï). ÷ ÓÌÕÞÁÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÑ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÍÙ ×ÙÒÅÚÁÅÍ ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉË É ÓËÌÅÉ×ÁÅÍ ÅÇÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÅ ÓÔÏÒÏÎÙ (ÒÉÓ. 3). ðÒÉ ÜÔÏÍ ÒÑÍÁÑ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÒÅ×ÒÁÔÉÔÓÑ × ÏÂÍÏÔËÕ ÔÏÒÁ. åÓÌÉ a=b ÉÒÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏ, ÔÏ ÜÔÁ ÏÂÍÏÔËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÓÀÄÕ ÌÏÔÎÏÊ ÎÁ ÔÏÒÅ. ÷ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ (ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ × n-ÍÅÒÎÏÍ) ÓÌÕÞÁÅ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ ×ÓÀÄÕ ÌÏÔÎÏÇÏ ÚÁÏÌÎÅÎÉÑ ÔÏÒÁ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØÀ ÕÒÏ×ÎÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ ÒÅÚÏÎÁÎÓÁ. òÅÚÏÎÁÎÓÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ ÎÅÎÕÌÅ×ÁÑ ÔÒÏÊËÁ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ k; l; m, ÞÔÏ ak + bl + m = 0; ÚÄÅÓØ a; b; | ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ax + by + z .

òÉÓ. 3.

ÏÒ ËÁË ÆÁËÔÏÒ ÌÏÓËÏÓÔÉ Ï ÒÅÛÅÔËÅ.

12

÷. é. áÒÎÏÌØÄ

ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. æÕÎË ÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ

ÓÅ×ÄÏÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ, ÅÓÌÉ

ÏÎÁ

ÅÓÔØ ÓÕÍÍÁ ÎÅÒÅÚÏÎÁÎÓÎÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ É ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ (Ó ÒÁ×ÎÙÍÉ ÅÄÉÎÉ Å ÅÒÉÏÄÁÍÉ Ï ×ÓÅÍ ÅÒÅÍÅÎÎÙÍ) ÆÕÎË ÉÊ.

îÁÒÉÍÅÒ, × ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÅ×ÄÏÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑ ax + b · sin 2x. ÷ ÓÌÕÞÁÅ Ä×ÕÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÓÅ×ÄÏÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ ÂÕÄÅÔ ÆÕÎË ÉÑ ax + by + f (x; y), ÇÄÅ

f (x + k; y + l) = f (x; y)

∀ (k; l) ∈ Z2 :

ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÓÄ×ÉÇÁÈ ÌÉÎÉÉ ÕÒÏ×ÎÑ ÓÅ×ÄÏÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÅÒÅÈÏÄÑÔ ÓÎÏ×Á × ÌÉÎÉÉ ÕÒÏ×ÎÑ, ÜÔÉ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÌÉÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÎÁ ÔÏÒÅ. ÷ÓÅÇÄÁ ÌÉ ÒÉ ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÌÉÎÉÉ ÕÒÏ×ÎÑ ÎÁ ÔÏÒ ÂÕÄÅÔ ÏÌÕÞÁÔØÓÑ ÇÌÁÄËÁÑ ËÒÉ×ÁÑ? þÔÏÂÙ Ó×ÏÂÏÄÎÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÔØÓÑ × ÏÄÏÂÎÙÈ ×ÏÒÏÓÁÈ, ÎÁÄÏ ÒÅ×ÒÁÔÉÔØ ÆÕÎË ÉÉ × ÒÉ×ÙÞÎÕÀ ÒÅÁÌØÎÏÓÔØ! îÁÒÉÍÅÒ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÊÔÅ ÓÅÂÅ ÆÕÎË ÉÀ Ä×ÕÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ËÁË ÇÏÒÎÕÀ ÓÔÒÁÎÕ. ÏÇÄÁ ×Ù Õ×ÉÄÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÉÎÉÉ ÕÒÏ×ÎÑ ×ÙÓÏÔÙ ×Ï×ÓÅ ÎÅ ÏÂÑÚÁÎÙ ÂÙÔØ ÇÌÁÄËÉÍÉ (ÒÉÓ. 4). úÁÄÁÞÁ. ÷ ÔÏÍ ÍÅÓÔÅ, ÇÄÅ ÒÅËÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÏÚÅÒÁ, ÅÇÏ ÂÅÒÅÇÁ ÏÂÙÞÎÏ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÕÇÏÌ ÍÅÎØÛÅ ÒÁÚ×ÅÒÎÕÔÏÇÏ (îÅ×Á, ó×ÉÒØ, áÎÇÁÒÁ). ÷ ÍÅÓÔÅ ×ÁÄÅÎÉÑ ÜÔÏ ÎÅ ÔÁË. ðÏÞÅÍÕ?

ïÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ × ÔÅÈ ÍÅÓÔÁÈ, ÇÄÅ ËÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ ÌÏÓËÏÓÔØ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÁ, Ô. Å. fx′ = fy′ = 0. ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÄÏÂÁ×ËÁ f Ë ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ax + by ×ÏÌÎÅ ÍÏÖÅÔ ÓÄÅÌÁÔØ ËÁÓÁÔÅÌØÎÕÀ ÌÏÓËÏÓÔØ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÏÊ: ÔÁÍ, ÇÄÅ a + fx′ = b + fy′ = 0. éÔÁË, ÌÉÎÉÉ ÎÁ ÔÏÒÅ ÍÏÇÕÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ËÁË ÇÌÁÄËÉÍÉ (ÒÉÍÅÒ: f = 0), ÔÁË É Ó ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÑÍÉ (ÒÉÓ. 5).

òÉÓ. 4. ïÓÏÂÙÅ É ÎÅÏÓÏÂÙÅ ÌÉÎÉÉ

ÕÒÏ×ÎÑ ×ÙÓÏÔÙ.

òÉÓ. 5. ðÓÅ×ÄÏÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ

ËÒÉ×ÙÅ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ É ÉÈ ÒÏÅË ÉÉ ÎÁ ÔÏÒ.

ï ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÓÅ×ÄÏÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ

òÉÓ. 6. óÔÁÎÄÁÒÔÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ

×ÙÓÏÔÙ ÎÁ ÓÆÅÒÅ.

13

òÉÓ. 7. æÕÎË ÉÑ ×ÙÓÏÔÙ ÎÁ

ÒÏÄÅÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÓÆÅÒÅ.

÷ ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÅÞØ ÉÄÅÔ Ï ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÑÈ, ÌÉÎÉÑÈ ÉÈ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÅÊ É Ô. . üÔÁ ÓÉÔÕÁ ÉÑ ÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÎÅÒÅÛÅÎÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÇÌÁÄËÕÀ ÆÕÎË ÉÀ ÎÁ ÓÆÅÒÅ. ðÒÏÓÔÅÊÛÉÍ ÒÉÍÅÒÏÍ ÔÁËÏÊ ÆÕÎË ÉÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑ z ×ÙÓÏÔÙ; ÎÁ ÒÉÓ. 6 ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÙ ÅÅ ÌÉÎÉÉ ÕÒÏ×ÎÑ. ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÇÌÁÄËÕÀ ÆÕÎË ÉÀ ÔÏÖÅ ÍÏÖÎÏ ÉÎÔÅÒÒÅÔÉÒÏ×ÁÔØ ËÁË ×ÙÓÏÔÕ ÎÁ ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÏ ÒÏÄÅÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÓÆÅÒÅ. ðÒÏÄÅÌÁ× ÏÂÒÁÔÎÕÀ ÄÅÆÏÒÍÁ ÉÀ, ÏÌÕÞÉÍ ÎÁ ÓÆÅÒÅ ËÁÒÔÉÎÕ ÌÉÎÉÊ ÕÒÏ×ÎÑ (ÒÉÓ. 7). úÁÊÍÅÍÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÌÉÎÉÊ ÕÒÏ×ÎÑ. ÷ ÓÌÕÞÁÅ ÆÕÎË ÉÉ z ÎÁ ÓÆÅÒÅ ÏÎÏ ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÕÅÔÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ ÆÕÎË ÉÉ, É ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ËÏÍÏÎÅÎÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÏÔÒÅÚÏË (ÒÉÓ. 8). äÌÑ ÒÉÍÅÒÁ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉÓ. 7, ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ËÏÍÏÎÅÎÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÂÕË×Õ €Y (ÒÉÓ. 9).

òÉÓ. 8. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ËÏÍÏÎÅÎÔ

ÌÉÎÉÊ ÕÒÏ×ÎÑ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ

òÉÓ. 9. äÅÒÅ×Ï ËÏÍÏÎÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×

ÕÒÏ×ÎÑ ÆÕÎË ÉÉ ×ÙÓÏÔÙ.

14

÷. é. áÒÎÏÌØÄ

òÉÓ. 10. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ËÏÍÏÎÅÎÔ ÌÉÎÉÊ ÕÒÏ×ÎÑ ÆÕÎË ÉÉ ×ÙÓÏÔÙ ÎÁ ÔÏÒÅ.

ÅÏÒÅÍÁ. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ËÏÍÏÎÅÎÔ ÇÌÁÄËÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÏÂÝÅÇÏ ÏÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÓÆÅÒÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÄÅÒÅ×ÏÍ; ÌÀÂÏÅ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÒÅÁÌÉÚÕÅÔÓÑ ÏÄÈÏÄÑÝÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ.

õÒÁÖÎÅÎÉÅ 2. äÁÊÔÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ ÎÁ 1 ÂÏÌØÛÅ ÞÉÓÌÁ ÒÅÂÅÒ.

úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÏÄ ÆÕÎË ÉÅÊ ÏÂÝÅÇÏ ÏÌÏÖÅÎÉÑ ÏÎÉÍÁÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑ ÉÚ ÏÄÈÏÄÑÝÅÇÏ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ×ÓÀÄÕ ÌÏÔÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÆÕÎË ÉÊ. ÁËÕÀ ÆÕÎË ÉÀ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ËÁÖÄÏÊ ËÒÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ ÏÄÈÏÄÑÝÅÊ ÚÁÍÅÎÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÍÏÖÎÏ ÒÉ×ÅÓÔÉ Ë ×ÉÄÕ ±(x2 + y2 ) ÉÌÉ xy. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ (ÆÏÒÍÕÌÁ üÊÌÅÒÁ). äÌÑ ÇÌÁÄËÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÎÁ ÓÆÅÒÅ (ÞÉÓÌÏ ÍÁËÓÉÍÕÍÏ×)

+

(ÞÉÓÌÏ ÍÉÎÉÍÕÍÏ×)

− (ÞÉÓÌÏ ÓÅÄÅÌ)

= 2:

ÅÅÒØ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÇÌÁÄËÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ÎÁ ÔÏÒÅ. äÌÑ ÆÕÎË ÉÉ ×ÙÓÏÔÙ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ËÏÍÏÎÅÎÔ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 10. ðÒÉÓÔÒÁÉ×ÁÑ Ë ÜÔÏÍÕ ÉËÌÕ ÄÅÒÅ×ØÑ, ÏÌÕÞÉÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ËÏÍÏÎÅÎÔ ÄÌÑ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ. ÅÏÒÅÍÁ. äÌÑ ÌÀÂÏÊ ÇÌÁÄËÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÏÂÝÅÇÏ ÏÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÔÏÒÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ËÏÍÏÎÅÎÔ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÉËÌÁ Ó ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÍÉ ÄÅÒÅ×ØÑÍÉ.

ðÒÉ ÏÙÔËÅ ÄÏËÁÚÁÔØ ÜÔÉ ÔÅÏÒÅÍÙ ÎÁÉÂÏÌØÛÕÀ ÎÅÒÉÑÔÎÏÓÔØ ÄÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ €ËÒÁÔÅÒف (ÒÉÓ. 11). îÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÙ ×ÉÄ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎË ÉÉ, ÌÉÎÉÉ ÕÒÏ×ÎÑ (ÞÅÒÔÏÞËÁ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÍÉÎÕÓ-ÇÒÁÄÉÅÎÔÁ,

ï ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÓÅ×ÄÏÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ

òÉÓ. 11.

15

ìÉÎÉÉ ÕÒÏ×ÎÑ É ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ËÏÍÏÎÅÎÔ ×ÂÌÉÚÉ ËÒÁÔÅÒÁ.

Ô. Å. ÂÙÓÔÒÅÊÛÅÇÏ ÕÂÙ×ÁÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ; × ËÁÒÔÏÇÒÁÆÉÉ ÅÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ €ÂÅÒÇÛÔÒÉȁ), Á ÔÁËÖÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ËÏÍÏÎÅÎÔ. óÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÑÓÎÙÍ ÈÏÄ ÏÂÏÂÝÅÎÉÊ. äÌÑ €ËÒÅÎÄÅÌс (ÒÉÓ. 12) ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ËÏÍÏÎÅÎÔ ÓÏÄÅÒÖÉÔ Ä×Á ÉËÌÁ, : : : , ÄÌÑ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÒÏÄÁ n (€ÓÆÅÒÁ Ó n ÒÕÞËÁÍɁ ÉÌÉ €ËÒÅÎÄÅÌØ Ó n ÄÙÒËÁÍɁ) | n ÉËÌÏ×. äÏ ÓÉÈ ÏÒ ÍÙ ÚÁÎÉÍÁÌÉÓØ ÓÌÕÞÁÅÍ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ (a = b = = 0). åÓÌÉ ÖÅ ÆÕÎË ÉÑ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ Ï-ÎÁÓÔÏÑÝÅÍÕ ÓÅ×ÄÏÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ (ÏÄÉÎ ÉÚ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÞÁÓÔÉ ÎÅ 0), ÔÏ ÏÎÁ ÕÖÅ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ÔÏÒÅ. ïÄÎÁËÏ, ÎÁ ÔÏÒÅ ÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÒÅÎÅÓÅÎÎÁÑ Ó ÌÏÓËÏÓÔÉ ÓÉÓÔÅÍÁ ÌÉÎÉÊ ÕÒÏ×ÎÑ ÆÕÎË ÉÉ g(x; y) = ax + by + f (x; y), ÇÄÅ f | ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ. åÓÌÉ f = 0, ÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ g = onst ÚÁÄÁÅÔ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÓÉÓÔÅÍÕ ÒÑÍÙÈ, ÅÓÌÉ f 6= 0, ÎÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÁÌÁ (ÍÁÌÏÅ ×ÏÚÍÕÝÅÎÉÅ), ÔÏ ÜÔÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÌÉÎÉÊ ÕÒÏ×ÎÑ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÅÊ. úÁÄÁÞÁ. ðÕÓÔØ |fx′ |

ÓÔÅÍÁ ÌÉÎÉÊ

< a; |fy′ | < b. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÉ-

g = onst ÎÁ ÔÏÒÅ ×ÙÒÑÍÌÑÅÍÁ,

òÉÓ. 12.

Ô. Å. ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÇÌÁÄËÁÑ

ëÒÅÎÄÅÌØ (ÓÆÅÒÁ Ó Ä×ÕÍÑ ÒÕÞËÁÍÉ).

16

÷. é. áÒÎÏÌØÄ

òÉÓ. 13. îÅ×ÏÚÍÕÝÅÎÎÁÑ ÂÅÒÅÇÏ×ÁÑ

òÉÓ. 14. ÷ÏÚÍÕÝÅÎÎÁÑ

ÌÉÎÉÑ.

ÓÅ×ÄÏÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÂÅÒÅÇÏ×ÁÑ ÌÉÎÉÑ.

ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÚÁÍÅÎÁ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÁÑ ÓÉÓÔÅÍÕ ÌÉÎÉÊ

g = onst

ÎÁ ÔÏÒÅ × ÓÉÓÔÅÍÕ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÒÑÍÙÈ.

òÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÉÍÅÅÔÓÑ, ÎÁÒÉÍÅÒ, × [2℄. çÏÒÁÚÄÏ ÉÎÔÅÒÅÓÎÅÊ ÓÌÕÞÁÊ ÂÏÌØÛÏÇÏ ×ÏÚÍÕÝÅÎÉÑ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï M = {(x; y) : ax + by + f (x; y) < }. åÇÏ ÌÅÇËÏ ÓÅÂÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÎÁÇÌÑÄÎÏ. çÏÒÎÕÀ ÓÔÒÁÎÕ | ÇÒÁÆÉË ÆÕÎË ÉÉ g | ÚÁÔÏÉÍ ×ÏÄÏÊ ÄÏ ÕÒÏ×ÎÑ . ðÏÌÕÞÉÍ ×ÏÄÕ, ÓÕÛÕ É ÂÅÒÅÇÏ×ÕÀ ÌÉÎÉÀ. îÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ f = 0, ÔÏ ÂÅÒÅÇÏ×ÏÊ ÌÉÎÉÅÊ ÂÕÄÅÔ ÒÑÍÁÑ (ÒÉÓ. 13), × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ËÁÒÔÉÎÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÓÌÏÖÎÏÊ (ÒÉÓ. 14). îÁÒÉÍÅÒ, ÎÁ ÓÕÛÅ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÏÚÅÒÁ, ÎÁ ÏÚÅÒÁÈ | ÏÓÔÒÏ×Á, × ÍÏÒÅ | ÏÓÔÒÏ×Á, ÎÁ ÏÓÔÒÏ×ÁÈ | ÏÚÅÒÁ É Ô. . åÓÌÉ | ÎÅÏÓÏÂÙÊ ÕÒÏ×ÅÎØ, ÔÏ ÉÍÅÅÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÛÉÒÉÎÙ ÏÌÏÓÁ ×ÏÚÍÕÝÅÎÉÑ, ×ÎÅ ËÏÔÏÒÏÊ Ó ÏÄÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ | ÔÏÌØËÏ ÓÕÛÁ, Á Ó ÄÒÕÇÏÊ | ÔÏÌØËÏ ×ÏÄÁ. éÎÔÅÒÅÓÎÏ ÉÚÕÞÉÔØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ ÜÔÏÊ ÏÌÏÓÙ. úÁÒÁÎÅÅ ÎÅ ÑÓÎÏ, ÍÏÖÅÔ ÌÉ × ÍÏÒÅ ÂÙÔØ ÒÉÈÏÄÑÝÁÑ ÉÚ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ €ËÏÓÁ, ÉÌÉ ÎÁ ÓÕÛÅ | ÒÉÈÏÄÑÝÉÊ ÉÚ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ €ËÁÎÁ́? æÏÒÍÁÌØÎÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÌÉ ÏÔÌÉÞÎÙÅ ÏÔ ÏËÅÁÎÁ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á M ? úÁÄÁÞÁ. ðÕÓÔØ

a=b

6∈ Q, ÆÕÎË ÉÑ

f

ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÁÑ ËÏÍÏÎÅÎÔÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á

| ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÇÌÁÄËÁÑ. ÏÇÄÁ

í

ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÁ.

úÁÄÁÞÁ. ÷ÅÒÎÏ ÌÉ ÜÔÏ ÄÌÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÊ f ?

(ïÔ×ÅÔ: ÎÅ×ÅÒÎÏ.) õÒÁÖÎÅÎÉÅ 3. ðÕÓÔØ

a=b

∈ Q. ðÏÓÔÒÏÊÔÅ ÒÉÍÅÒ, ËÏÇÄÁ ÎÅÏÇÒÁ-

ÎÉÞÅÎÎÙÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ ÂÏÌØÛÅ ÏÄÎÏÊ.

÷ ÓÌÕÞÁÅ ÇÌÁÄËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ n ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ ÔÏÖÅ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÊ (ÓÍ. [3℄).

ï ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÓÅ×ÄÏÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ

17

÷ÏÔ ÅÝÅ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÚÁÄÁÞ ÓÅ×ÄÏÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ ÌÏÓËÉÈ ËÒÉ×ÙÈ. úÁÄÁÞÁ. ðÕÓÔØ

f

| ÇÌÁÄËÁÑ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÔÒÅÈ ÅÒÅÍÅÎ-

ÎÙÈ Ó ÅÒÉÏÄÏÍ 1 Ï ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÎÉÈ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅÏÓÏÂÕÀ ËÒÉ×ÕÀ

f (x; y; ax + by) = 0 (x; y) (a; b; 1 ÎÅÓÏÉÚÍÅÒÉÍÙ, ÔÁË ÞÔÏ pa + + qb + r 6= 0 ÒÉ ÅÌÙÈ p; q; r 6= 0). ÷ÅÒÎÏ ÌÉ, ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÅÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÁ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ

Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÌÅÖÉÔ × ÏÌÏÓÅ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ Ä×ÕÍÑ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÍÉ ÒÑÍÙÍÉ (ÇÉÏÔÅÚÁ ó. ð. îÏ×ÉËÏ×Á) [4℄ 1) ?

úÁÄÁÞÁ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÑÔØ ×ÅËÔÏÒÏ×

vi ,

×ÅÄÕÝÉÈ ÉÚ ÅÎÔÒÁ × ×ÅÒ-

ÛÉÎÙ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ. óÏÓÔÁ×ÉÍ ÆÕÎË ÉÀ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ

H (z ) =

5 X

i=1

oshvi ; z i

(ÇÄÅ ÓËÏÂËÉ ÏÚÎÁÞÁÀÔ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ) | ÓÕÍÍÕ ÑÔÉ ÌÏÓËÉÈ ×ÏÌÎ Ó ÎÏÒÍÁÌÑÍÉ

vi .

÷ÅÒÎÏ ÌÉ, ÞÔÏ ×ÓÅ Ó×ÑÚÎÙÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÅÅ ÌÉÎÉÊ

ÕÒÏ×ÎÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÙ? óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ ÓËÏÌØ ÕÇÏÄÎÏ ÂÏÌØÛÁÑ ËÏÍÏÎÅÎÔÁ, ÏÈ×ÁÔÙ×ÁÀÝÁÑ ÎÕÌØ?

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÅÒØ ÓÅ×ÄÏÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ËÒÉ×ÙÅ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÌÉÎÉÉ ÕÒÏ×ÎÑ ÁÒÙ ÓÅ×ÄÏÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ 

ax + by + z + f (x; y; z ); px + qy + rz + g(x; y; z );

ÇÄÅ f; g | ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ÅÒÉÏÄÁ 1 Ï ËÁÖÄÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ. ðÒÉ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÉ ×ÏÚÍÕÝÅÎÉÊ (f = g = 0) ÜÔÉ ÌÉÎÉÉ | ÒÑÍÙÅ, ËÁË ÌÉÎÉÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ ÕÒÏ×ÎÑ ËÁÖÄÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ Ï ÏÔÄÅÌØÎÏÓÔÉ. åÓÌÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÎÅÓÏÉÚÍÅÒÉÍÙ, ÔÏ ÒÏÅË ÉÑ ËÁÖÄÏÊ ÔÁËÏÊ ÒÑÍÏÊ ÎÁ ÔÒÅÈÍÅÒÎÙÊ ÔÏÒ ×ÓÀÄÕ ÌÏÔÎÁ ÎÁ ÎÅÍ. åÓÌÉ ×ÏÚÍÕÝÅÎÉÑ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ, ÔÏ ×ÓÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ËÒÉ×ÏÊ ÕÒÏ×ÎÑ ÌÅÖÁÔ × ÒÅÄÅÌÁÈ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÏÔ ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ÒÑÍÏÊ, ÔÁË ËÁË ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÏÔÄÅÌØÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÅÅ ÇÒÁÆÉË ÏÔËÌÏÎÑÅÔÓÑ ÎÁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÏÔ ÎÅ×ÏÚÍÕÝÅÎÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ðÒÏÂÌÅÍÁ. óËÏÌØËÏ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ ÜÔÁ

ËÒÉ×ÁÑ? 1)

÷ 1993 Ç. é.äÙÎÎÉËÏ× ÄÏËÁÚÁÌ ÜÔÕ ÇÉÏÔÅÚÕ ÄÌÑ ÏÞÔÉ ×ÓÅÈ

ÔÏÒÙÈ ÉÓËÌÀÞÉÔÅÌØÎÙÈ

a=b ÏÎÁ ÎÅ×ÅÒÎÁ (í.

a; b,

äÙÎÎÉËÏ×, ç. ãÁÒÅ×).

ÏÄÎÁËÏ ÄÌÑ ÎÅËÏ-

18

÷. é. áÒÎÏÌØÄ

òÉÓ. 15. îÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÅ ÌÉÎÉÉ

òÉÓ. 16. îÅ×ÏÚÍÕÝÅÎÎÏÅ

ÕÒÏ×ÎÑ ÁÒÙ

ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á

ÓÅ×ÄÏÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÈ

ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ É ÅÇÏ ÓÌÏÉ.

ÆÕÎË ÉÊ.

çÉÏÔÅÚÁ. ïÄÎÕ. äÏËÁÚÁÎÏ [7℄, ÞÔÏ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ2) . åÓÌÉ ÆÕÎË ÉÉ f; g ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÅ (Ô. Å. ÒÁÚÌÁÇÁÀÔÓÑ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÉ × ÓÈÏÄÑÝÉÊÓÑ ÒÑÄ ÅÊÌÏÒÁ), ÔÏ ÌÀÂÁÑ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÁÑ ËÏÍÏÎÅÎÔÁ ÌÉÂÏ ÚÁÍËÎÕÔÁ, ÌÉÂÏ ÕÈÏÄÉÔ ÏÂÏÉÍÉ ËÏÎ ÁÍÉ × ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔØ (ÒÉÓ. 15). äÌÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÇÌÁÄËÉÈ f; g ÜÔÏ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ÔÁË (ÏÞÅÍÕ?). ðÒÉÍÅÒ. åÓÌÉ f = 0, ÔÏ ÍÏÖÎÏ Ó×ÅÓÔÉ ×ÏÒÏÓ Ë ÓÌÕÞÁÀ ÍÅÎØÛÅÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ. éÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ ax + by + z = onst ×ÙÒÁÚÉÍ z : z = x + y É ÏÄÓÔÁ×ÉÍ ×Ï ×ÔÏÒÕÀ ÆÕÎË ÉÀ, ÏÌÕÞÉÍ

p~x + q~y + g(x; y; x + y) = 0; ÇÄÅ ÆÕÎË ÉÑ g ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ Ï ÔÒÅÍ ÅÒÅÍÅÎÎÙÍ. üÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ p~x + q~y + g~(x; y) = 0: ðÒÁ×ÄÁ, ÆÕÎË ÉÑ g~ ÕÖÅ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ, ÎÏ ÏÎÁ ÂÕÄÅÔ ÏÞÔÉ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ. úÁÄÁÞÁ. óËÏÌØËÏ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ ËÒÉ×ÁÑ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ

(x; y),

ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÜÔÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ? íÏÖÅÔ ÌÉ ÉÈ ÞÉÓÌÏ

ÂÙÔØ ÂÏÌØÛÅ 1? 2)

ä. ðÁÎÏ×ÙÍ (ÓÍ. [8℄) ÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ËÏÍÏÎÅÎÔ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÓËÏÌØ ÕÇÏÄÎÏ

×ÅÌÉËÏ.

ï ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÓÅ×ÄÏÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ

òÉÓ. 17. óÌÏÉ ×ÏÚÍÕÝÅÎÎÏÇÏ

ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ.

19

òÉÓ. 18. ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ Ë

ÓÌÏÀ.

üÔÏÔ ×ÏÒÏÓ ÏÔËÒÙÔ3) ÄÁÖÅ ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÑ, ËÏÇÄÁ g | ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ (ÅÓÔØ ÇÉÏÔÅÚÁ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ËÏÍÏÎÅÎÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ 1). îÏ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒÙ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙ É × ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ g | ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÔÒÅÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÅÒØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ: R3 → R2

: (x; y; z ) 7→ (x; y):

ÒÁÓÓÌÁÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÅ ÒÑÍÙÅ | ÒÏÏÂÒÁÚÙ ÔÏÞÅË; ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÒÑÍÙÅ ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÙ ÔÏÞËÁÍÉ ÌÏÓËÏÓÔÉ R2 (ÒÉÓ. 16). ÅÅÒØ ÌÏËÁÌØÎÏ ×ÏÚÍÕÔÉÍ ÎÁÛÅ ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ, Ô. Å. ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ  u = x + f (x; y; z ); v = y + g(x; y; z ); R3

ÇÄÅ f; g | ÇÌÁÄËÉÅ ÆÉÎÉÔÎÙÅ (Ô. Å. ÏÔÌÉÞÎÙÅ ÏÔ 0 ÌÉÛØ × ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ) ÆÕÎË ÉÉ. ðÒÏÏÂÒÁÚÁÍÉ ÔÏÞÅË ÔÅÅÒØ ÓÔÁÎÕÔ ËÒÉ×ÙÅ, ÓÏ×ÁÄÁÀÝÉÅ Ó ÉÓÈÏÄÎÙÍÉ ÒÑÍÙÍÉ ×ÎÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ (ÒÉÓ. 17). üÔÉ ËÒÉ×ÙÅ ÍÏÇÕÔ ÉÍÅÔØ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ËÁÖÄÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ËÁË ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ ÕÒÏ×ÎÑ ËÁÖÄÏÊ ÆÕÎË ÉÉ Ï ÏÔÄÅÌØÎÏÓÔÉ. ìÉÎÉÑ ÉÈ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÇÌÁÄËÁÑ × ÔÅÈ ÔÏÞËÁÈ, ÇÄÅ ÉÍÅÅÔÓÑ ËÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ. á ËÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ ÎÁ×ÅÒÎÑËÁ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÔÁÍ, ÇÄÅ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ Ë Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÑÍ ÒÁÚÌÉÞÎÙ: ÒÑÍÁÑ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÜÔÉÈ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ É ÅÓÔØ ËÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ Ë ÎÁÛÅÊ ËÒÉ×ÏÊ (ÒÉÓ. 18). ÁÍ ÖÅ, ÇÄÅ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ, ÍÏÇÕÔ ÏÑ×ÉÔØÓÑ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ ËÒÉ×ÏÊ. 3)

ðÏÓÌÅ ÔÏÇÏ, ËÁË ÜÔÁ ÌÅË ÉÑ ÂÙÌÁ ÒÏÞÉÔÁÎÁ, ÜÔÏÔ ×ÏÒÏÓ ÂÙÌ ÒÅÛÅÎ é. äÙÎÎÉËÏ-

×ÙÍ: ËÏÍÏÎÅÎÔÁ ×ÓÅÇÄÁ ÏÄÎÁ. ïÄÎÁËÏ ÏÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ, × ËÏÔÏÒÏÊ É ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÏÔËÒÙÔÏÊ.

f, É g

ÎÅ ÒÁ×ÎÙ 0,

20

÷. é. áÒÎÏÌØÄ

ðÒÉÍÅÒ. îÕÌÅ×ÁÑ ÌÉÎÉÑ ÕÒÏ×ÎÑ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ z = xy ÉÍÅÅÔ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔØ (ÒÉÓ. 19).

áÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÎÅÓÏ×ÁÄÅÎÉÑ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ ÅÓÔØ ÕÓÌÏ×ÉÅ, ÞÔÏ ÒÁÎÇ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÉÚ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ (ÓÏÏÂÒÁÚÉÔÅ, ËÁËÏÊ) ÒÁ×ÅÎ Ä×ÕÍ.

f; g ÏÂÝÅÇÏ ÏÌÏÖÅÎÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÓÏËÁÓÁÔÅÌØÎÙÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ u = onst;

ÅÏÒÅÍÁ. äÌÑ ÁÒÙ ÆÕÎË ÉÊ ÂÙÈ ÔÏÞÅË ÓÌÏÅ× (ÇÄÅ

v = onst ÓÏ×ÁÄÁÀÔ)

Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÌÁÄËÏÊ ËÒÉ×ÏÊ.

äÁÌÅÅ, ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÉÍÉ, ËÁË × ÓÌÕÞÁÅ ÍÏÄÅÌØÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ u = z; v = z + x2 + y2 , É ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÍÉ, ËÁË × ÓÌÕÞÁÅ u = z; v = z + x2 − y2 . ÷ÉÄ ÓÌÏÅ× × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ É ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ ÏËÁÚÁÎ ÎÁ ÒÉÓ. 20, 21 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÷ÄÏÌØ ÌÉÎÉÉ ÏÓÏÂÙÈ ÔÏÞÅË ÉÈ ÈÁÒÁËÔÅÒ ÍÏÖÅÔ ÍÅÎÑÔØÓÑ (ÒÉÓ. 22). äÌÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ u = z; v = z + x − zx + y ÔÅÞÅÎÉÅÍ €×ÒÅÍÅÎɁ ÒÏÉÓÈÏÄÑÔ ÅÒÅÓÔÒÏÊËÉ (ÒÉÓ. 23). ðÒÉÍÅÒ.

÷ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÅ ÒÏÂÌÅÍÙ: . îÁÊÔÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ËÏÍÏÎÅÎÔ (× ÎÅ×ÏÚÍÕÝÅÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÜÔÏ ÌÏÓËÏÓÔØ, × ÏÂÝÅÍ | ÎÅËÏÔÏÒÙÊ Ä×ÕÍÅÒÎÙÊ ËÏÍÌÅËÓ; ÎÁÄÏ ÅÇÏ ÏÉÓÁÔØ). . ëÁË ×ÌÉÑÅÔ ÔÏÏÌÏÇÉÑ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑ-ÒÏÏÂÒÁÚÁ (R3 × ÎÁÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ) ÎÁ ÜÔÏÔ ËÏÍÌÅËÓ? äÌÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ u = z; v = z + x3 + (z 2 − 1)x + y2 ËÏÍÌÅËÓ ËÏÍÏÎÅÎÔ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ ÌÏÓËÏÓÔÉ Ó ÒÉËÌÅÅÎÎÙÍ Ï ÄÉÁÍÅÔÒÕ ÏÌÕËÒÕÇÏÍ (ÒÉÓ. 24). ÏÞËÉ ÏÌÕËÒÕÇÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ËÏÍÏÎÅÎÔÁÍ, ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÀÝÉÍ ÅÇÏ ÄÕÇÉ | ÔÏÞÅÞÎÙÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ (ÒÉÓ. 25). ðÒÉÍÅÒ.

äÅ òÁÍ É âÀÒÌÅ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÌÉ ÇÉÏÔÅÚÕ ðÕÁÎËÁÒÅ (ÏÄÎÏÓ×ÑÚÎÏÅ ÚÁÍËÎÕÔÏÅ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÅ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅ ÄÉÆÆÅÏÍÏÒÆÎÏ ÓÆÅÒÅ) × ÔÁËÉÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ: ×ÓÑËÏÅ ÚÁÍËÎÕÔÏÅ ÏÄÎÏÓ×ÑÚÎÏÅ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÅ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅ ÉÍÅÅÔ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ, Õ ËÏÔÏÒÏÇÏ ×ÓÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÉÅ

[5℄.

úÁÄÁÞÁ. ÷ÅÒÎÏ ÌÉ, ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÚÁÍËÎÕÔÁÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÁÑ ËÏÍÏÎÅÎÔÁ ÒÏÏÂÒÁÚÁ ÔÏÞËÉ ÒÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ ÏÂÝÅÇÏ ÏÌÏÖÅÎÉÑ ×ÁÄÁÀÝÅÍ Ó ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÒÁÓÓÌÏÅÎÉÅÍ

(x; y; z ) 7→ (x; y)

R3 → R2 , ÓÏ-

×ÎÅ ÛÁÒÁ, ÚÁ ÅÌÅ-

ÎÁ Ó ËÒÉ×ÏÊ ÏÓÏÂÙÈ ÔÏÞÅË? éÍÅÅÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÚÁ ÅÌÅÎÉÑ Ó ÎÅÊ?

ï ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÓÅ×ÄÏÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ

òÉÓ. 19. îÅÇÌÁÄËÏÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ

ÁÒÁÂÏÌÏÉÄÁ É ÌÏÓËÏÓÔÉ.

òÉÓ. 21. óÌÏÉ ×ÂÌÉÚÉ

òÉÓ. 20. óÌÏÉ ×ÂÌÉÚÉ ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ

ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÉ.

òÉÓ. 22. ðÅÒÅÓÔÒÏÊËÁ ÎÁ ÇÒÁÎÉ Å

ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÊ ÏÓÏÂÏÊ

ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÈ É

ÔÏÞËÉ.

ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÓÏÂÙÈ ÔÏÞÅË.

òÉÓ. 23. ðÅÒÅÓÔÒÏÊËÁ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÌÉÎÉÊ ÕÒÏ×ÎÑ ÇÌÁÄËÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÎÁ

ÌÏÓËÏÓÔÉ.

21

22

÷. é. áÒÎÏÌØÄ

òÉÓ. 24.

ëÏÍÌÅËÓ ËÏÍÏÎÅÎÔ.

òÉÓ. 25. ñÞÅÊËÁ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ÓÌÏÅ× É

ÏÓÏÂÙÅ ÓÌÏÉ.

úÁÄÁÞÁ. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ R3 → R2 , ÓÏ×ÁÄÁÀÝÅÅ Ó ÌÉ-

ÎÅÊÎÙÍ ÒÁÓÓÌÏÅÎÉÅÍ

(x; y; z ) 7→ (x; y) ×ÎÅ ÛÁÒÁ, ÉÍÅÀÝÅÅ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÅ

É ÎÅ ÉÍÅÀÝÅÅ ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÓÏÂÙÈ ÔÏÞÅË?

(ïÔ×ÅÔ: ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ.) ëÁË ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ËÏÍÌÅËÓ? (õËÁÚÁÎÉÅ: ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ ×ÉÄ ×ÏÓØÍÅÒËÉ.) úÁÄÁÞÁ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÓÅ×ÄÏÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÈ ËÒÉ×ÙÈ { ÓÌÏÅ× (ÒÏÏÂÒÁÚÏ× ÔÏÞÅË) ÒÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ

(x; y; z ) 7→ ÇÄÅ

a; b; ; d; e; f



u = ax + by + z + g(x; y; z ); v = dx + ey + fz + h(x; y; z );

| ÞÉÓÌÁ ÏÂÝÅÇÏ ÏÌÏÖÅÎÉÑ,

g

É

h

| 1-ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ

Ï ÔÒÅÍ ÅÒÅÍÅÎÎÙÍ ÇÌÁÄËÉÅ ÆÕÎË ÉÉ. ÷ÅÒÎÏ ÌÉ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÎÅÏÓÏÂÙÊ ÓÌÏÊ

(u = u0 ; v = v0 )

ÉÍÅÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÕ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÕÀ ËÏÍÏÎÅÎ-

ÔÕ? (ëÏÎÅÞÎÏ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ

f = 1; e = 0.)

b = 1; = 0;

úÁÄÁÞÁ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÉ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÏÓÏÂÙÈ ÔÏÞÅË. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ×ÙÒÑÍÌÑÅÔÓÑ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÍ ÄÉÆÆÅÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á (ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÉÄÕ, ÇÄÅ

g

É

h ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ).

óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

[1℄

ëÒÏÎÒÏÄ á. ç.

1950. ó. 24{134.

ï ÆÕÎË ÉÑÈ Ä×ÕÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ // õíî. . 5, ×Ù. 1.

ï ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÓÅ×ÄÏÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ

[2℄ [3℄ [4℄ [5℄ [6℄ [7℄ [8℄

23

ëÏÌÍÏÇÏÒÏ× á. î. ï ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÉÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ Ó ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÍ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏÍ ÎÁ ÔÏÒÅ // äáî óóóò. . 93, ‚5. 1953. ó. 763{766. áÒÎÏÌØÄ ÷. é. ÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ É ÜÒÇÏÄÉÞÅÓËÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÚÁÍËÎÕÔÙÈ 1ÆÏÒÍ Ó ÎÅÓÏÉÚÍÅÒÉÍÙÍÉ ÅÒÉÏÄÁÍÉ // æÕÎË . ÁÎÁÌÉÚ É ÅÇÏ ÒÉÌÏÖ. . 25, ×Ù. 2. 1991. ó. 1{12. Topologo al Methods in Modern Mathemati s // J. Milnor's Jubiley Volume. Houston: Publish or Perish. 1993. Burlet O., De Rham G. Sur ertains appli ations g eneriques d'une variete

lose a 3 dimensions dans le plan // Enseignement Mathematique. XX. 1974. P. 275{292. áÒÎÏÌØÄ ÷. é. ðÏÌÉÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÙÅ ÏÔÏËÉ // áÌÇÅÂÒÁ É ÁÎÁÌÉÚ. . 4, ×Ù. 6. 1992. ó. 54{62. äÙÎÎÉËÏ× é. á. ï ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑÈ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ ÕÒÏ×ÎÑ ÓÅ×ÄÏÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ // õíî. . 49, ×Ù. 1. 1994. ó. 213{214. ðÁÎÏ× ä. á. íÎÏÇÏËÏÍÏÎÅÎÔÎÙÅ ÓÅ×ÄÏÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ // æÕÎË . ÁÎÁÌÉÚ É ÅÇÏ ÒÉÌÏÖ. . 30, ×Ù. 1. 1996. ó. 30{38.

ìÅË ÉÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×

ïÌÉÍÉÁÄÙ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

ìÅË ÉÑ, ÒÏÞÉÔÁÎÎÁÑ ÕÞÁÓÔÎÉËÁÍ LVI íÏÓËÏ×ÓËÏÊ ÇÏÒÏÄÓËÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÙ 27 ÍÁÒÔÁ 1993 ÇÏÄÁ.

1. îÅÓËÏÌØËÏ ÓÌÏ× Ï ÉÓÔÏÒÉÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÏÌÉÍÉÁÄ

ëÁË ×Ù ÄÕÍÁÅÔÅ, ÞÔÏ ×ÏÚÎÉËÌÏ ÒÁÎØÛÅ | ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÉÌÉ ÏÌÉÍÉÁÄÙ? ëÁÚÁÌÏÓØ ÂÙ, ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ, ÉÂÏ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÍÏÖÎÏ ×ÓÔÒÅÔÉÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, × ÅÇÉÅÔÓËÉÈ ÁÉÒÕÓÁÈ, ÎÁÉÓÁÎÎÙÈ ÚÁÄÏÌÇÏ ÄÏ ÔÏÇÏ, ËÁË ÒÏÄÉÌÁÓØ ×ÅÌÉËÁÑ ÁÎÔÉÞÎÁÑ É×ÉÌÉÚÁ ÉÑ. îÏ × ÜÔÉÈ ÓÔÁÒÉÎÎÙÈ ÔÅËÓÔÁÈ ÎÅ ÂÙÌÏ ÓÁÍÏÊ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ, ËÏÔÏÒÁÑ, ËÁË ÒÉÎÑÔÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÏÔÌÉÞÁÅÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ ÏÔ ÄÒÕÇÉÈ ÎÁÕË | ÎÅ ÂÙÌÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×. á ÂÅÚ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× | ÒÁÚ×Å ÜÔÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ? á ËÏÇÄÁ ÏÑ×ÉÌÉÓØ ÅÒ×ÙÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á? üÔÏ ÂÙÌÏ ÔÏÖÅ ÔÁË ÄÁ×ÎÏ, ÞÔÏ ÉÓÔÉÎÁ ÒÁÓÌÙ×ÁÅÔÓÑ × ÔÕÍÁÎÅ ×ÒÅÍÅÎ. é ×ÓÅ ÖÅ ÌÅÇÅÎÄÁ ÕÏÒÎÏ ÒÉÉÓÙ×ÁÅÔ ÞÅÓÔØ ÂÙÔØ ÅÒ×ÙÍ €ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÎÙ́ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÍ ÚÎÁÍÅÎÉÔÏÍÕ ÍÕÄÒÅ Õ æÁÌÅÓÕ. ðÒÉ ÜÔÏÍ Ó ÏÒÁÚÉÔÅÌØÎÏÊ ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÄÁÔÙ ÅÇÏ ÖÉÚÎÉ: 625{527 ÄÏ ÎÁÛÅÊ ÜÒÙ (ÔÏÇÄÁ ËÁË ×ÒÅÍÑ ÖÉÚÎÉ, ÓËÁÖÅÍ, ðÉÆÁÇÏÒÁ ÉÌÉ å×ËÌÉÄÁ ÄÁÔÉÒÕÅÔÓÑ ÏÞÅÎØ ÒÉÂÌÉÚÉÔÅÌØÎÏ). á ÅÒ×ÙÅ ïÌÉÍÉÁÄÙ | ÒÁÚÄÎÅÓÔ×Á × ÞÅÓÔØ úÅ×ÓÁ, ËÏÇÄÁ ÒÅËÒÁÓÎÙÅ ÀÎÏÛÉ ÓÏÓÔÑÚÁÌÉÓØ × ÓÏÒÔÅ É ÉÓËÕÓÓÔ×ÁÈ, ×ÏÚÎÉËÌÉ ÞÕÔØ ÒÁÎØÛÅ ÒÏÖÄÅÎÉÑ æÁÌÅÓÁ: ÅÒ×ÁÑ ïÌÉÍÉÁÄÁ, ËÁË ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ, ÓÏÓÔÏÑÌÁÓØ × 776 ÇÏÄÕ ÄÏ ÎÁÛÅÊ ÜÒÙ (É ÓÎÏ×Á | ÔÏÞÎÁÑ ÄÁÔÁ!).

ïÌÉÍÉÁÄÙ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ

25

ÅÅÒØ ÕÍÅÓÔÎÏ ÚÁÄÁÔØÓÑ ×ÏÒÏÓÏÍ Ï ÔÏÍ, ËÏÇÄÁ ÖÅ ×ÏÚÎÉËÌÉ ÅÒ×ÙÅ ïÌÉÍÉÁÄÙ. ðÅÒ×ÙÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÎËÕÒÓ ÄÌÑ ×ÙÕÓËÎÉËÏ× ÌÉ ÅÅ× ÂÙÌ ÒÏ×ÅÄÅÎ × òÕÍÙÎÉÉ × 1889 ÇÏÄÕ, Á ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÌÉÍÉÊÓËÏÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÒÏÄÉÌÏÓØ × âÕÄÁÅÛÔÅ ÞÕÔØ ÏÚÖÅ, × 1894 ÇÏÄÕ, ËÏÇÄÁ ÷ÅÎÇÅÒÓËÏÅ ÆÉÚÉËÏ{ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÂÝÅÓÔ×Ï ÒÉÎÑÌÏ ÒÅÛÅÎÉÅ Ï ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ ÓÏÓÔÑÚÁÎÉÊ ÄÌÑ ×ÙÕÓËÎÉËÏ× ÇÉÍÎÁÚÉÊ, É ÜÔÉ ÓÏÓÔÑÚÁÎÉÑ ÓÔÁÌÉ ÔÒÁÄÉ ÉÅÊ. îÁ ÜÔÉÈ ÓÏÓÔÑÚÁÎÉÑÈ ÏÔÌÉÞÉÌÉÓØ ÍÎÏÇÉÅ ÀÎÏÛÉ, ×ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ ÓÔÁ×ÛÉÅ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÍÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍÉ ÎÁÛÅÇÏ ×ÅËÁ. ÷ óóóò ÅÒ×ÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ ÓÏÓÔÏÑÌÁÓØ × ìÅÎÉÎÇÒÁÄÅ × 1934 ÇÏÄÕ (ÔÁË ÞÔÏ ÎÁ ÂÕÄÕÝÉÊ1) ÇÏÄ ÍÏÖÎÏ ÂÕÄÅÔ ÏÔÒÁÚÄÎÏ×ÁÔØ ÛÅÓÔÉÄÅÓÑÔÉÌÅÔÉÅ ÎÁÛÅÇÏ €ÏÌÉÍÉÊÓËÏÇÏ Ä×ÉÖÅÎÉс), Á ÅÒ×ÁÑ ÍÏÓËÏ×ÓËÁÑ ÇÏÒÏÄÓËÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ ÂÙÌÁ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÎÁ × 1935 ÇÏÄÕ. îÙÎÅÛÎÑÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ ÉÍÅÌÁ ÎÏÍÅÒ LVI (× 1942 É 43 ÇÏÄÁÈ ÏÌÉÍÉÁÄÙ ÎÅ ÒÏ×ÏÄÉÌÉÓØ, ÂÙÌÏ ÎÅ ÄÏ ÎÉÈ)2) . ó 1961 ÇÏÄÁ ÎÁÞÁÌÁ ÒÏ×ÏÄÉÔØÓÑ ÷ÓÅÓÏÀÚÎÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ. (íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÌÉÍÉÁÄÙ ÒÏÈÏÄÑÔ Ó 1959 ÇÏÄÁ.) ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ

ÁËÏ×Á ÉÓÔÏÒÉÑ ÏÌÉÍÉÁÄ. ïÓÔÁÌÏÓØ ÓËÁÚÁÔØ ÅÝÅ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÌÏ× Ï ÉÓÔÏÒÉÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÉÂÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ (ÔÁË ÕÖ ×ÙÛÌÏ) ÎÁÞÁÌÁÓØ ÉÍÅÎÎÏ Ó ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. ÷ ÎÁÞÁÌØÎÙÊ ÅÒÉÏÄ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ×ÙÄ×ÉÎÕÌÁ ÍÎÏÇÉÈ Ó×ÏÉÈ Ô×ÏÒ Ï×, ÎÏ ÂÏÌØÛÅ ×ÓÅÇÏ ÓËÌÏÎÑÀÔ ÏÂÙÞÎÏ ÔÒÉ (ÕÖÅ ÎÁÚ×ÁÎÎÙÈ) ÉÍÅÎÉ: æÁÌÅÓ, ðÉÆÁÇÏÒ É å×ËÌÉÄ. âÙÌÏ ÓËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ æÁÌÅÓÕ ÒÉÉÓÙ×ÁÀÔ ÅÒ×ÙÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á. ïÎ ÄÏËÁÚÁÌ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÞÔÏ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÅ ÕÇÌÙ ÒÁ×ÎÙ, ÞÔÏ × ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÏÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ ÕÇÌÙ ÒÉ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÒÁ×ÎÙ, ÞÔÏ ÕÇÏÌ, ÏÉÒÁÀÝÉÊÓÑ ÎÁ ÄÉÁÍÅÔÒ, | ÒÑÍÏÊ É ÅÝÅ | ÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ, Ó×ÑÚÙ×ÁÅÍÕÀ Ó ÅÇÏ ÉÍÅÎÅÍ ÏÞÔÉ ×Ï ×ÓÅÈ ÕÞÅÂÎÉËÁÈ, | ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ÏÄÏÂÉÉ. óÞÉÔÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ðÉÆÁÇÏÒ ÂÙÌ ÅÒ×ÙÍ ÓÏÚÄÁÔÅÌÅÍ ÎÁÕÞÎÏÊ ÛËÏÌÙ. ÷ ÜÔÏÊ ÛËÏÌÅ ÂÙÌÁ ÏÔËÒÙÔÁ ÔÅÏÒÅÍÁ, ÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÎÙÎÅ ×ÓÅÍ ËÁË ÔÅÏÒÅÍÁ ðÉÆÁÇÏÒÁ. å×ËÌÉÄ ÎÁÉÓÁÌ ÅÒ×ÙÊ ÕÞÅÂÎÉË Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÇÄÅ ÏÎ ÒÁÚ×ÉÌ ÔÏ, ÞÔÏ ÎÙÎÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁËÓÉÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÅÔÏÄÏÍ, ËÏÇÄÁ ×ÓÅ ÉÓÈÏÄÉÔ Ó ÉÚÎÁÞÁÌØÎÙÈ, ÎÅÏÒÅÄÅÌÑÅÍÙÈ ÏÎÑÔÉÊ, ÚÁÔÅÍ ÉÈ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ ÁËÓÉÏÍÁÍÉ, Á ÏÓÔÁÌØÎÏÅ ÓÔÒÏÇÏ ×Ù×ÏÄÉÔÓÑ ÞÉÓÔÏ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÕÔÅÍ. á ÏÔÏÍ ÛÁÇ ÚÁ ÛÁÇÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÄÏÓÔÉÇÌÁ ÔÅÈ ×ÅÒÛÉÎ, ËÏÔÏÒÙÅ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÕËÒÁÛÅÎÉÅ ×ÓÅÊ ÏÂÝÅÞÅÌÏ×ÅÞÅÓËÏÊ ËÕÌØÔÕÒÙ. îÏ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ, 1) 2)

îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÌÅË ÉÑ ÂÙÌÁ ÒÏÞÉÔÁÎÁ × 1993 ÇÏÄÕ ÏÓÌÅ ÏËÏÎÞÁÎÉÑ ÏÌÉÍÉÁÄÙ. á ÏÌÉÍÉÁÄÁ ÎÙÎÅÛÎÅÇÏ, 1997 ÇÏÄÁ ÉÍÅÌÁ ÎÏÍÅÒ LX | ÛÅÓÔØÄÅÓÑÔ!

26

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

ÚÁÌÏÖÅÎÎÙÅ × Ô×ÏÒÅÎÉÑÈ æÁÌÅÓÁ, ðÉÆÁÇÏÒÁ, å×ËÌÉÄÁ É ÄÒÕÇÉÈ ÒÏÄÏÎÁÞÁÌØÎÉËÏ× ÎÁÛÅÊ ÎÁÕËÉ, ÓÏÈÒÁÎÉÌÉ Ó×ÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ É × ÎÁÛÉ ÄÎÉ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÉÈ ÔÅÏÒÅÍÙ (ÅÓÌÉ ÉÈ ÚÎÁÔØ É ÕÍÅÔØ ÉÍÉ ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ) ÏÍÏÇÌÉ ÂÙ ÍÎÏÇÉÍ ÒÅÛÉÔØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ LVI ÏÌÉÍÉÁÄÙ. îÏ × ÎÁÛÅ ×ÒÅÍÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÅÒÅÖÉ×ÁÅÔ ÔÒÕÄÎÙÅ ×ÒÅÍÅÎÁ. îÁÒÉÍÅÒ, ÎÁ ÜÔÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÅ ÂÙÌÏ ÏÌÕÞÅÎÏ ÏÞÅÎØ ÍÁÌÏ ÒÅÛÅÎÉÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ. îÏ ÒÅÖÄÅ, ÞÅÍ ËÁÓÁÔØÓÑ ÏÌÉÍÉÁÄÎÙÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ ÜÔÏÇÏ ÇÏÄÁ, ÓÄÅÌÁÅÍ ÌÉËÂÅÚ | ÏÂÚÏÒ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ É ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÔÅÏÒÅÍ ÄÒÅ×ÎÏÓÔÉ É ÓÌÅÄÓÔ×ÉÊ ÉÚ ÎÉÈ. 2. ÅÏÒÅÍÙ æÁÌÅÓÁ, ðÉÆÁÇÏÒÁ É å×ËÌÉÄÁ

äÁ×ÁÊÔÅ ÄÏËÁÖÅÍ ×ÓÅ ÜÔÉ ÔÅÏÒÅÍÙ: ÏÎÉ ×ÅÄØ ÏÞÅÎØ ÒÏÓÔÙ (ÎÏ É ËÒÁÓÉ×Ù!). ÅÏÒÅÍÁ 1. (æÁÌÅÓ | ÓÍ. €îÁÞÁÌÁ, ËÎ.1, ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 53) ) ÷ ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÏÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ ÕÇÌÙ ÒÉ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÒÁ×ÎÙ.

äÏËÁÖÅÍ ÜÔÕ ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ìØÀÉÓÕ ëÜÒÏÌÌÕ, ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÍÕ ×ÙÄÕÍÝÉËÕ É ÓËÁÚÏÞÎÉËÕ, ÉÍÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ-ÚÁ ÅÇÏ €áÌÉÓÙ × ÓÔÒÁÎÅ ÞÕÄÅӁ. (îÏ ÍÁÌÏ ËÏÍÕ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÏÎ ÂÙÌ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÍ.) äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ëÜÒÏÌÌÁ ÒÏ×ÏÄÉÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ : : : ÎÏÖÎÉ . ðÕÓÔØ ÄÁÎ ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ABC , ÒÉÞÅÍ AB = BC . B

A

B

C

C

A

òÉÓ. 1.

äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ÎÁÒÉÓÏ×ÁÎ ÎÁ ÌÉÓÔÅ ÂÕÍÁÇÉ. ÷ÙÒÅÖÅÍ ÅÇÏ. ðÅÒÅ×ÅÒÎÅÍ É ÏÒÏÂÕÅÍ ÚÁÔËÎÕÔØ ÏÂÒÁÚÏ×Á×ÛÕÀÓÑ ÄÙÒÕ. üÔÏ ÎÁÍ ÕÄÁÓÔÓÑ, ÎÅ ÒÁ×ÄÁ ÌÉ? óÔÏÒÏÎÁ BC ÏÊÄÅÔ Ï €ÂÙ×ÛÅʁ ÓÔÏÒÏÎÅ AB , É ÔÏÞËÁ C ÓÏ×ÁÄÅÔ Ó €ÂÙ×ÛÅʁ ÔÏÞËÏÊ A, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÔÏÞËÁ A ÎÁ ×ÙÒÅÚÁÎÎÏÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ ÓÏ×ÁÄÅÔ Ó €ÂÙ×ÛÅʁ ÔÏÞËÏÊ C . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, 3)

ðÅÒÅ×ÏÄÞÉË å×ËÌÉÄÏ×ÙÈ €îÁÞÁ́ ÉÛÅÔ (ÓÍ. ÓÎÏÓËÕ Ë ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 5): €ó×ÏÊÓÔ×Ï

ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÍÏÅ × ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÉ 5, Ï Ó×ÉÄÅÔÅÌØÓÔ×Õ ðÒÏËÌÁ, ÏÂÎÁÒÕÖÉÌ ÅÝÅ æÁÌÅÓ. úÄÅÓØ É ÄÁÌÅÅ ÉÔÉÒÕÅÔÓÑ ËÎÉÇÁ: €îÁÞÁÌÁ å×ËÌÉÄÁ, ËÎÉÇÉ I-IV. ðÅÒÅ×ÏÄ Ó ËÏÍÍÅÎÔÁÒÉÑÍÉ ä. ä. íÏÒÄÕÈÁÊ-âÏÌÔÏ×ÓËÏÇÏ. í.: ïçéú çéì, 1948.

ïÌÉÍÉÁÄÙ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ

27

×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÂÙ×ÛÅÇÏ É ÅÒÅ×ÅÒÎÕÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÓÏ×ÁÄÕÔ, Ô. Å. ÅÒÅ×ÅÒÎÕÔÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ÚÁÔËÎÅÔ-ÔÁËÉ ÏÂÒÁÚÏ×Á×ÛÕÀÓÑ ÄÙÒÕ, Á ÚÎÁÞÉÔ, ÕÇÏÌ C ÚÁÊÍÅÔ ÍÅÓÔÏ ÕÇÌÁ A. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÕÇÏÌ C ÒÁ×ÅÎ ÕÇÌÕ A. ÅÏÒÅÍÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ. á ÔÅÅÒØ ÄÏËÁÖÅÍ ÅÝÅ ÏÄÎÕ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ. óÞÉÔÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÂÙÌÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ ðÉÆÁÇÏÒÕ. (îÏ ÜÔÏ, ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÎÅ €ÔÁ, ÚÎÁÍÅÎÉÔÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ). ÅÏÒÅÍÁ 2. (ðÉÆÁÇÏÒ | ÓÍ.€îÁÞÁÌÁ, ËÎ.1, ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 32) óÕÍÍÁ ÕÇÌÏ× ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÒÁ×ÎÁ Ä×ÕÍ ÒÑÍÙÍ.

é ÓÎÏ×Á ÄÏËÁÖÅÍ ÜÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ Ó ÏÍÏÝØÀ ÎÏÖÎÉ , ×ÒÏÞÅÍ, ÎÁÍ ÅÝÅ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÉÒËÕÌØ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ ÎÁÍ ÄÁÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ABC . ðÒÏÄÏÌÖÉÍ ÏÔÒÅÚÏË AB ÚÁ ×ÅÒÛÉÎÕ B , ÏÔÒÅÚÏË BC ÚÁ ×ÅÒÛÉÎÕ C É ÏÔÒÅÚÏË CA ÚÁ ×ÅÒÛÉÎÕ A.

A

B C òÉÓ. 2.

÷ÚÑ× ËÁËÏÊ-ÔÏ ÒÁÓÔ×ÏÒ ÉÒËÕÌÑ, ÎÁÒÉÓÕÅÍ ÔÒÉ ÓÅËÔÏÒÁ ÏËÏÌÏ ×ÅÒÛÉÎ A, B É C , ËÁË ÜÔÏ ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÎÁÛÅÍ ÒÉÓÕÎËÅ 2. ÷ÙÒÅÖÅÍ ÜÔÉ ÓÅËÔÏÒÙ. é ÎÁÞÎÅÍ ÅÒÅÍÅÝÁÔØ ÓÅËÔÏÒ Ó ÅÎÔÒÏÍ × B , ÅÒÅÎÏÓÑ ÅÇÏ ×ÄÏÌØ ÓÔÏÒÏÎÙ AB ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÔÏÞËÁ B ÏÁÌÁ × ÔÏÞËÕ A. úÁÔÅÍ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ ÒÏÄÅÌÁÅÍ Ó ÓÅËÔÏÒÏÍ Ó ÅÎÔÒÏÍ × C , ÅÒÅÎÏÓÑ ÅÇÏ ×ÄÏÌØ CA ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÔÏÞËÁ C ÏÁÌÁ ÂÙ ÔÁËÖÅ × ÔÏÞËÕ A. ÷ ÓÉÌÕ ÚÎÁÍÅÎÉÔÏÊ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÁËÓÉÏÍÙ Ï ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ A ÍÏÖÎÏ ÒÏ×ÅÓÔÉ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÕ ÒÑÍÕÀ, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÕÀ BC , ÚÎÁÞÉÔ, ×ÓÅ ÔÒÉ ÓÅËÔÏÒÁ ÂÕÄÕÔ ÒÉÍÙËÁÔØ ÄÒÕÇ Ë ÄÒÕÇÕ, ÏÂÒÁÚÕÑ ÅÌÙÊ ËÒÕÇ. éÔÁË, ÔÒÉ ×ÎÅÛÎÉÈ ÕÇÌÁ Ë ÕÇÌÁÍ A, B É C × ÓÕÍÍÅ ÄÁÀÔ 4d (ÚÄÅÓØ d | ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÒÑÍÏÇÏ ÕÇÌÁ). á ÅÓÌÉ ÒÉÓÏÅÄÉÎÉÔØ Ë ÎÉÍ ÉÓËÏÍÕÀ ÓÕÍÍÕ ÓÁÍÉÈ ÕÇÌÏ× A, B É C , ÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÓÕÍÍÁ ÔÒÅÈ ÒÁÚ×ÅÒÎÕÔÙÈ ÕÇÌÏ×, Ô. Å. 6d. úÎÁÞÉÔ, ∠A + ∠B + ∠C = 2d, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ.

28

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

óÌÅÄÓÔ×ÉÅ (ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ×ÎÅÛÎÅÍ ÕÇÌÅ). ÷ÅÌÉÞÉÎÁ ×ÎÅÛÎÅÇÏ ÕÇÌÁ ÒÁ×ÎÁ ÓÕÍÍÅ ×ÅÌÉÞÉÎ Ä×ÕÈ ÕÇÌÏ× ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÎÅ ÓÍÅÖÎÙÈ Ó ÎÉÍ.

÷ÎÅÛÎÉÊ ÕÇÏÌ Ë ÕÇÌÕ C × ÓÕÍÍÅ Ó ÓÁÍÉÍ ÕÇÌÏÍ C ÒÁ×ÅÎ 2d É ÕÇÏÌ C × ÓÕÍÍÅ Ó ÕÇÌÁÍÉ A É B ÒÁ×ÅÎ 2d, Ô. Å. ∠A + ∠B = ×ÅÌÉÞÉÎÅ ×ÎÅÛÎÅÇÏ ÕÇÌÁ Ë C. é ÏÓÌÅÄÎÑÑ ÔÅÏÒÅÍÁ | ÏÎÁ ÉÍÅÅÔÓÑ × €îÁÞÁÌÁȁ å×ËÌÉÄÁ. íÙ ÔÁËÖÅ ÄÏËÁÖÅÍ ÅÅ Ó ÏÍÏÝØÀ ÎÏÖÎÉ . ÅÏÒÅÍÁ 3. (å×ËÌÉÄ | ÓÍ.€îÁÞÁÌÁ, ËÎ.1, ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 4). åÓÌÉ Ä×Å ÓÔÏÒÏÎÙ ÏÄÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÄÌÉÎÙ Ó Ä×ÕÍÑ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ ÄÒÕÇÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, É ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÕÇÌÏ×, ÓÔÑÇÉ×ÁÅÍÙÈ ÜÔÉÍÉ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ, ÔÁËÖÅ ÏÄÉÎÁËÏ×Ù, ÔÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ÒÁ×ÎÙ.

üÔÏ É ÅÓÔØ ÒÉÚÎÁË ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ Ï Ä×ÕÍ ÓÔÏÒÏÎÁÍ É ÕÇÌÕ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÚÄÅÓØ ÎÁÒÁÛÉ×ÁÅÔÓÑ. îÁÄÏ ×ÙÒÅÚÁÔØ ÏÄÉÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË A1 ; B1 ; C1 É ÄÁÌÅÅ ÓÏ×ÍÅÓÔÉÔØ A1 Ó A, ÕÓÔÉÔØ A1 B1 Ï AB É ÔÏÇÄÁ (× ÓÉÌÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÕÇÌÏ×) A1 C1 ÏÊÄÅÔ Ï AC . ÷ ÉÔÏÇÅ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÏ×ÍÅÓÔÑÔÓÑ, ÞÔÏ É ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×. ÅÏÒÅÍÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ. ÷ÓÅ ÔÒÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ÎÁÍÉ ÔÅÏÒÅÍÙ ÄÏËÁÚÁÎÙ ÎÅ ÓÏ×ÓÅÍ Ï ÕÞÅÂÎÉËÕ, ÄÁ É ÓÁÍ å×ËÌÉÄ ÒÁÓÓÕÖÄÁÌ ÎÅ ÓÏ×ÓÅÍ ÔÁË (ÈÏÔÑ ÏÈÏÖÅ). ïÂÙÞÎÏ ×ÓÅ ÜÔÏ ×Ù×ÏÄÑÔ ÉÚ ÁËÓÉÏÍ, ÎÏ ÄÌÑ ÔÁËÏÇÏ ÁËËÕÒÁÔÎÏÇÏ ×Ù×ÏÄÁ ÎÕÖÎÁ ÎÅÍÁÌÁÑ ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ, ÚÁÞÁÓÔÕÀ ÏÞÅÎØ ÎÅÉÎÔÅÒÅÓÎÁÑ É ÒÁÓÓÌÁÂÌÑÀÝÁÑ. íÙ ÖÅ ÁÅÌÌÉÒÏ×ÁÌÉ ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ Ë ÚÄÒÁ×ÏÍÕ ÓÍÙÓÌÕ. é ÏÌÕÞÉÌÏÓØ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÕÂÅÄÉÔÅÌØÎÏ, ÎÅ ÒÁ×ÄÁ ÌÉ? îÏ ×ÏÔ ÞÔÏ ÉÎÔÅÒÅÓÎÏ: ÍÙ ËÁË ÂÙ ÍÉÍÏÈÏÄÏÍ ÚÁÂÒÁÌÉÓØ ÎÁ ÔÁËÕÀ ×ÙÓÏÔÕ, ÞÔÏ ÔÅÅÒØ ÍÏÖÅÍ Ä×ÉÇÁÔØÓÑ ÏÞÅÎØ ÄÁÌÅËÏ ×ÅÒÅÄ ÕÖÅ ÂÅÚ €ÎÏÖÎÉ , ÉÓÏÌØÚÕÑ ÌÉÛØ ÜÔÉ ÔÅÏÒÅÍÙ É ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÔÏÞÎÙÅ ÚÁËÏÎÙ ÌÏÇÉËÉ. é × ÉÔÏÇÅ ÍÙ ÒÅÛÉÍ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ×ÓÅ ÎÁÛÉ ÏÌÉÍÉÊÓËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ, ÎÏ ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ ÇÏÔÏ×Ù ÒÅÛÉÔØ ÏÞÔÉ ÌÀÂÕÀ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÚÁÄÁÞÕ ×ÏÏÂÝÅ, ÎÁÄÏ ÌÉÛØ ÏÓ×ÏÉÔØÓÑ ÅÝÅ Ó ÏÎÑÔÉÅÍ ÏÄÏÂÉÑ. îÏ ÓÎÁÞÁÌÁ, ÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÅÒÅÈÏÄÉÔØ Ë €ÏÌÉÍÉÊÓËÏʁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ×Ù×ÅÄÅÍ (ÔÅÅÒØ ÕÖÅ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÓÔÒÏÇÏ, ÎÉ ÏÄÉÎ ÌÀÂÉÔÅÌØ ÓÔÒÏÇÏÓÔÉ ÎÅ ÓËÁÖÅÔ ÎÁÍ ÎÉ ÓÌÏ×Á ÕÒÅËÁ) ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÊ ÉÚ ÔÒÅÈ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ÎÁÍÉ ÔÅÏÒÅÍ. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 1. (æÁÌÅÓ | ÓÍ. €îÁÞÁÌÁ, ËÎ.3, ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 31). õÇÏÌ, ÏÉÒÁÀÝÉÊÓÑ ÎÁ ÄÉÁÍÅÔÒ, | ÒÑÍÏÊ.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÇÏ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ ÏÉÒÁÅÔÓÑ ÎÁ Ä×Á ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ÄÏËÁÚÁÎÎÙÈ ÆÁËÔÁ: ÔÅÏÒÅÍÕ 1 É ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ 2.

ïÌÉÍÉÁÄÙ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ

O

A

29

ðÕÓÔØ ÕÇÏÌ C ÏÉÒÁÅÔÓÑ ÎÁ ÄÉÁÍÅÔÒ AB , O | ÅÎÔÒ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. óÏÅÄÉÎÉÍ O ó. ÏÇÄÁ ∠C = ∠ACO + ∠OCB . ÷ ÓÉÌÕ ÔÅÏÒÅÍÙ 1 ∠ACO = ∠CAO, Á ∠OCB = = ∠CBO. ðÒÉ ÜÔÏÍ × ÓÉÌÕ ÔÅÏÒÅÍÙ 2 ∠ACO + ∠CAO = ∠COB , Á ∠OCB + + ∠CBO = ∠COA. îÏ ÕÇÌÙ COB É COA | ÓÍÅÖÎÙÅ, ÉÈ ÓÕÍÍÁ ÒÁ×ÎÁ 2d. úÎÁÞÉÔ, ∠C ÅÓÔØ ÏÌÏ×ÉÎÁ ÜÔÏÇÏ ÕÇÌÁ, Ô. Å. d.

B

C òÉÓ. 3.

C ÏÉÒÁAB . ÏÇÄÁ ÅÇÏ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ×Ä×ÏÅ ÍÅÎØÛÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÅÎÔÒÁÌØÎÏÇÏ ÕÇÌÁ AOB . óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 2 (ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ×ÉÓÁÎÎÏÍ ÕÇÌÅ). ðÕÓÔØ ÕÇÏÌ

ÅÔÓÑ ÎÁ ÄÕÇÕ

üÔÁ ÔÅÏÒÅÍÁ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÞÔÉ ÔÁËÖÅ, ËÁË ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ 1, É ÍÙ ÌÉÛØ ÏÇÒÁÎÉÞÉÍÓÑ ÞÅÒÔÅÖÏÍ (ÒÉÓ. 4). C

O

B

A

∠AOD = 2∠ACD; ∠BOD = 2∠DCB; ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ∠ACB = 1=2∠AOB:

D

òÉÓ. 4.

ðÒÏÄÕÍÁÊÔÅ ÔÅÅÒØ ÔÁËÏÊ ×ÏÒÏÓ. ðÕÓÔØ ÄÁÎÙ Ä×Á ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC É A′ BC , Õ ËÏÔÏÒÙÈ ∠A = ∠A′ . ÏÇÄÁ ÞÅÔÙÒÅ ÔÏÞËÉ A; A′ ; B É ó ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. üÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÁÚ×ÁÔØ ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÏÊ Ï ×ÉÓÁÎÎÏÍ ÕÇÌÅ. þÅÒÅÚ ËÏÒÏÔËÏÅ ×ÒÅÍÑ ÍÙ ÒÏÄÏÌÖÉÍ ÎÁÛ ÜËÓËÕÒÓ × ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ, Á ÏËÁ ÕÂÅÄÉÍÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ É ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÎÁÍÉ ÚÎÁÎÉÊ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÒÅÛÉÔØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ LVI ÏÌÉÍÉÁÄÙ ÚÁ 8{10 ËÌÁÓÓÙ.

30

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

3. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÌÉÍÉÁÄÎÙÈ ÚÁÄÁÞ

÷ 8 ËÌÁÓÓÅ ÂÙÌÁ ÒÅÄÌÏÖÅÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÚÁÄÁÞÁ (Á×ÔÏÒ ÅÅ | é. æ. áËÕÌÉÞ): ïËÒÕÖÎÏÓÔØ Ó ÅÎÔÒÏÍ D ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ A; B É ÅÎÔÒ O ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , ËÁÓÁÀÝÅÊÓÑ ÅÇÏ ÓÔÏÒÏÎÙ BC É ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÊ ÓÔÏÒÏÎ AB É AC . äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÔÏÞËÉ A; B; C É D ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. òÅÛÅÎÉÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ∠D = ∠ADB . éÍÅÅÍ (ÒÉÓ. 5): Ï ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ×ÉÓÁÎÎÏÍ ÕÇÌÅ ∠AOB = 1=2∠D; (i) AO | ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÁ, ÚÎÁÞÉÔ, ∠BAO = 1=2∠A;

(ii)

Ï ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ÓÕÍÍÅ ÕÇÌÏ× ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÉÚ (i){(ii) ∠F BO = 1=2(∠D + ∠A);

(iii)

BO ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÁ, ÚÎÁÞÉÔ, ∠F BO

= 1=2∠F BC ;

(iv)

É, ÎÁËÏÎÅ (ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ×ÎÅÛÎÅÍ ÕÇÌÅ) ∠F BC

= ∠A + ∠C;

(v)

ÚÎÁÞÉÔ (ÉÚ (iii){(v)), ∠D = ∠C , Ô. Å. Ï ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ×ÉÓÁÎÎÏÍ ÕÇÌÅ ÔÏÞËÉ A; B; C É D ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. úÁÄÁÞÁ ÒÅÛÅÎÁ. B A

O

C D

òÉÓ. 5.

ïÌÉÍÉÁÄÙ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ

31

á ×ÏÔ ÚÁÄÁÞÁ 9 ËÌÁÓÓÁ (Á×ÔÏÒ é. æ. ûÁÒÙÇÉÎ): äÁÎ ×ÙÕËÌÙÊ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË ABMC , × ËÏÔÏÒÏÍ AB = BC , ∠BAM = 30◦ , ∠ACM = 150◦ . äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ AM | ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÁ ÕÇÌÁ BMC . òÅÛÅÎÉÅ. óÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ ÏÔÒÁÚÉÍ ÔÏÞËÕ B ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ AM . B

A

M

B′

C òÉÓ. 6.

ðÏ ÒÉÚÎÁËÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× |AB | = |AB ′ | É ∠BAB ′ = = 60◦ . úÎÁÞÉÔ, ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ABB ′ ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÊ É A, B ′ , C ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ B . úÎÁÞÉÔ, Ï ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ×ÉÓÁÎÎÏÍ ÕÇÌÅ ∠ACB ′ = 30◦ , Ô. Å. B ′ , C É M ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ MB ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ MA. úÎÁÞÉÔ, MA | ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÁ ÕÇÌÁ BMC . úÁÄÁÞÁ ÒÅÛÅÎÁ. é, ÎÁËÏÎÅ , ÚÁÄÁÞÁ 10 ËÌÁÓÓÁ, ËÏÔÏÒÕÀ ÔÁËÖÅ ÒÉÄÕÍÁÌ é. æ. ûÁÒÙÇÉÎ. îÁ ÓÔÏÒÏÎÅ AB ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ×ÎÅÛÎÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÓÔÒÏÅÎ Ë×ÁÄÒÁÔ Ó ÅÎÔÒÏÍ O . ÏÞËÉ M É N | ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÓÔÏÒÏÎ AC É BC ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, Á ÄÌÉÎÙ ÜÔÉÈ ÓÔÏÒÏÎ ÒÁ×ÎÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ b É a. îÁÊÄÉÔÅ ÍÁËÓÉÍÕÍ ÓÕÍÍÙ OM + ON , ËÏÇÄÁ ÕÇÏÌ ACB ÍÅÎÑÅÔÓÑ. òÅÛÅÎÉÅ. úÄÅÓØ ÎÁÍ ÒÉÄÅÔÓÑ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÎÅÄÏËÁÚÁÎÎÙÍ ÒÁÎÅÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ (ÎÏ ÏÞÅÎØ ÒÏÓÔÙÍ), Á ÉÍÅÎÎÏ, ÔÅÏÒÅÍÏÊ Ï ÓÒÅÄÎÅÊ ÌÉÎÉÉ. ðÏ ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ OM = 1=2CB ′ , Á ON = 1=2CA′ (ÓÍ. ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÔÒÁÎÉ Å ÒÉÓ. 7 a)). ðÏÓÔÒÏÉÍ ÎÁ ÓÔÏÒÏÎÁÈ CB É AC ×ÎÅÛÎÉÅ Ë×ÁÄÒÁÔÙ CBB ′′C ′′ É ACC ′′′ A′′′ . óÏÅÄÉÎÉÍ A Ó B ′′ , ÓÍ. ÒÉÓ. 7 Â). ðÏ ÒÉÚÎÁËÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× (AB = BB ′; CB = BB ′′ ; ∠ABB ′′ = ∠CBB ′) ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË B ′ CB ÒÁ×ÅÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÕ ABB ′′. úÎÁÞÉÔ, ÄÌÉÎÁ CB ′ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÁÑ, ËÏÇÄÁ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÁ ÄÌÉÎÁ B ′′ A, Á ÏÎÁ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÁ, ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ∠ACB ÒÁ×ÅÎ 135◦ , ÓÍ. ÒÉÓ. 7 ×). é ÒÏ CA′ ÍÙ ÄÏËÁÖÅÍ ÔÏÞÎÏ ÔÁËÏÊ ÖÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ABA′′′ É ACA′ . éÔÁË, √ ÍÁËÓÉÍÕÍ 1 + 2 ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÒÉ ∠ACB = 135◦ É ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÎÙÍ (a + b). 2

32

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

A

A

A′ C

B′

A′

B′

O

A′′′

A A M

B′

O B B

C

A′ C

N

C

A′′′ B ′′

C ′′′ C ′′ òÉÓ.7 Á)

A A M

O B B

C C

N

A′′′ B ′′

C ′′′

A A M

B B C

N

C B ′′

C ′′′

C ′′ 7 Â)

C ′′ 7 ×)

4. ðÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ ÜËÓËÕÒÓÁ-ÌÉËÂÅÚÁ É ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ 9 É 10 ËÌÁÓÓÏ×

íÙ ÒÅÛÉÌÉ ×ÓÅ ÚÁÄÁÞÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ. òÅÛÅÎÉÑ ÂÙÌÉ ÏÞÅÎØ ËÏÒÏÔËÉÍÉ (ÒÏÁÎÁÌÉÚÉÒÕÊÔÅ: ËÁÖÄÏÅ ÓÏÓÔÏÑÌÏ ÎÅ ÂÏÌÅÅ, ÞÅÍ ÉÚ ÓÅÍÉ ÛÁÇÏ×). îÏ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÜÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÞÅÎØ ÎÅÒÏÓÔÏ ÎÁÊÔÉ. ðÏÄÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅÍ ÔÏÍÕ ÓÌÕÖÉÔ ÏÙÔ LVI ÏÌÉÍÉÁÄÙ. úÁÄÁÞÕ 8 ËÌÁÓÓÁ ÎÅ ÒÅÛÉÌ ÎÉ ÏÄÉÎ ÞÅÌÏ×ÅË. úÁÄÁÞÕ 9 ËÌÁÓÓÁ ÒÅÛÉÌ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÀÎÏÛÁ (ÎÏ ÎÅ ÔÁË, ËÁË ÂÙÌÏ ÏËÁÚÁÎÏ, Á ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉ) É ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÀÎÏÛÁ €ÏÞÔɁ ÒÅÛÉÌ ÅÅ (Ï ÜÔÏÍ ÍÙ ÒÁÓÓËÁÖÅÍ ÞÕÔØ ÏÚÖÅ). úÁÄÁÞÕ 10 ËÌÁÓÓÁ ÒÅÛÉÌÏ ÍÅÎØÛÅ 10 ÛËÏÌØÎÉËÏ×. é ÓÒÅÄÉ ÒÅÛÅÎÉÊ ÌÉÛØ ÏÄÎÏ ÂÙÌÏ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ. ñ ÈÏÞÕ ÚÄÅÓØ ÏÂÓÕÄÉÔØ ÏÄÉÎ ×ÁÖÎÙÊ ÔÅÚÉÓ. ÷ÓÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÒÅÛÅÎÙ ÞÉÓÔÏ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ, ÂÅÚ ÞÅÒÔÅÖÅÊ É ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ÏÓÔÒÏÅÎÉÊ, ÔÁË ÓËÁÚÁÔØ, ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÒÉÍÅÒÎÏ × 2/3 ÓÌÕÞÁÑÈ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÏÝÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅ-

üÔÏÔ ÔÅÚÉÓ Ñ ÈÏÞÕ ÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÏ×ÁÔØ ÓÎÏ×Á ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ Ä×ÕÈ ÔÒÅÔÅÊ ÎÁÛÉÈ ÚÁÄÁÞ, ÔÏÞÎÅÅ | ÎÁ ÚÁÄÁÞÁÈ 9 É 10 ËÌÁÓÓÏ×. îÏ ÓÎÁÞÁÌÁ ÍÙ ÄÏÌÖÎÙ ÅÝÅ ËÏÅ-ÞÅÍÕ ÎÁÕÞÉÔØÓÑ. îÁÞÎÅÍ ÍÙ, ÏÖÁÌÕÊ, Ó ÓÁÍÏÊ ÚÎÁÍÅÎÉÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ: ÔÅÏÒÅÍÙ ðÉÆÁÇÏÒÁ. ÓËÉÈ.

ÅÏÒÅÍÁ 4. ë×ÁÄÒÁÔ ÇÉÏÔÅÎÕÚÙ ÒÁ×ÅÎ ÓÕÍÍÅ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ËÁÔÅÔÏ×.

é ÓÎÏ×Á ÄÏËÁÖÅÍ ÜÔÕ ÔÅÏÒÅÍÕ Ó ÏÍÏÝØÀ ÎÏÖÎÉ . ðÕÓÔØ ËÁÔÅÔÙ ÎÁÛÅÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÒÁ×ÎÙ a É b. ðÏÓÔÒÏÉÍ Ë×ÁÄÒÁÔ ABCD ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ a + b É ÎÁÒÉÓÕÅÍ × ÎÅÍ ÞÅÔÙÒÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ËÁË ÜÔÏ ÓÄÅÌÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 8 Á) ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÔÒÁÎÉ Å.

ïÌÉÍÉÁÄÙ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ

33

ðÏ ÒÉÚÎÁËÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ A′ BB ′, B ′ AC ′ , C DD′ , D′ CA′ ÒÁ×ÎÙ ÎÁÛÅÍÕ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÕ É, ÚÎÁÞÉÔ, ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÀ. éÚ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÓÕÍÍÅ ÕÇÌÏ× ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ËÁË ÌÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÕÇÌÙ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ A′ B ′C ′ D′ ÒÁ×ÎÙ d. úÎÁÞÉÔ, ÜÔÏ Ë×ÁÄÒÁÔ, ÅÇÏ ÌÏÝÁÄØ ÒÁ×ÎÁ 2 , ÇÄÅ | ÄÌÉÎÁ ÇÉÏÔÅÎÕÚÙ. ÷ÙÒÅÖÅÍ ÔÅÅÒØ ÎÁÛÉ ÞÅÔÙÒÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÒÉÌÏÖÉÍ Ë Ë×ÁÄÒÁÔÁÍ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ a É b, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 8 Â). é ÓÒÁÚÕ ÏÌÕÞÁÅÍ ÔÏÇÄÁ, ÞÔÏ a2 + b2 = 2 . ÅÏÒÅÍÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ. ′

A′ a

b

B a

C a

B′

A′ a

b

B a B′

b

b

b

A

C a

b

a C′

b

D a D



A

a C′

òÉÓ. 8 Á)

b

D′ a D

8 Â)

îÁÏÍÎÉÍ ÔÏÍÕ, ËÔÏ Ï ÜÔÏÍ ÓÌÙÛÁÌ, É ÕÓÔØ ÚÁÏÍÎÉÔ ÔÏÔ, ËÔÏ ÓÌÙÛÉÔ Ï ÜÔÏÍ ×ÅÒ×ÙÅ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÒÏÔÉ×ÏÌÅÖÁÝÅÇÏ ÕÇÌÕ ' ËÁÔÅÔÁ Ë ÇÉÏÔÅÎÕÚÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÉÎÕÓÏÍ ÕÇÌÁ ' (sin '), Á ÒÉÌÅÖÁÝÅÇÏ | ËÏÓÉÎÕÓÏÍ ÕÇÌÁ ' ( os '); Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, tg ' = sin '= os '. ÅÏÒÅÍÁ 5. ðÕÓÔØ ÄÁÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË

ABC

ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ

a; b

É

(ÓÍ. ÒÉÓ. 9 ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÔÒÁÎÉ Å). ÏÇÄÁ ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ:

a b

= = sin A sin B sin C

2 = a2 + b2 − 2ab os '

(ÔÅÏÒÅÍÁ ÓÉÎÕÓÏ×), (ÔÅÏÒÅÍÁ ËÏÓÉÎÕÓÏ×).

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ïÉÛÅÍ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ×ÏËÒÕÇ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ; ÕÓÔØ B ′ | ÔÏÞËÁ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ B ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÅÎÔÒÁ, ÓÍ. ÒÉÓ. 9. ÏÇÄÁ Ï ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ×ÉÓÁÎÎÏÍ ÕÇÌÅ É ÉÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÉÎÕÓÁ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ

= sin C = 2R, Ô. Å. a=sin A = b=sin B = C=sin C = 2R, ÞÔÏ É ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÔÅÏÒÅÍÕ ÓÉÎÕÓÏ×. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÏÕÓÔÉÍ ×ÙÓÏÔÕ BD ÉÚ ÔÏÞËÉ B ÎÁ AC (ÒÉÓ. 10).

34

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

éÚ ÔÅÏÒÅÍÙ ðÉÆÁÇÏÒÁ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÓÉÎÕÓÁ É ÓÉÎÕÓÁ É ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ sin2 ' + os2 ' = 1 (ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÓÒÁÚÕ ÏÑÔØ-ÔÁËÉ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ ðÉÆÁÇÏÒÁ), ÏÌÕÞÁÅÍ ÔÅÏÒÅÍÕ ËÏÓÉÎÕÓÏ×:

2 = = (b − a os ')2 + (a sin ')2 = a2 (sin2 ' + os2 ') + b2 − 2ab os ' = = a2 + b2 − 2ab os ';

ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ.

B

B

O ϕ

C A

C

D

A B′ òÉÓ. 9.

òÉÓ. 10.

á ÔÅÅÒØ ÄÁÄÉÍ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ 9 É 10 ËÌÁÓÓÏ×. áÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ 9 ËÌÁÓÓÁ. óÍ. ÒÉÓÕÎÏË 11 ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÔÒÁÎÉ Å. éÚ ÔÅÏÒÅÍÙ ÓÉÎÕÓÏ× ÄÌÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABM ÏÌÕÞÁÅÍ: a b = = 2b; sin ' sin 30◦ Á ÉÚ ÔÏÊ ÖÅ ÔÅÏÒÅÍÙ ÄÌÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ BMC ÏÌÕÞÁÅÍ b a = : sin (90◦ + ) sin (' + ) éÚ ÜÔÉÈ Ä×ÕÈ ÒÁ×ÅÎÓÔ× ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ

2 sin ' os = sin (' + ) ⇒ tg ' = tg

(éÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ ÒÏÓÔÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ:

sin 30◦ = 1=2; sin (90◦ + ) = os ;

⇒'=

∠BCM

:

= 90◦ +

ïÌÉÍÉÁÄÙ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ

35

É ×ÁÖÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ, ×ÒÏÞÅÍ, ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ: sin (' + ) = sin ' os + os ' sin :) B a

b



A

30

ϕ ψ

M

C òÉÓ. 11.

áÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ 10 ËÌÁÓÓÁ.

éÍÅÅÍ (Ï ÔÅÏÒÅÍÅ ËÏÓÉÎÕÓÏ×): |CB ′ |2 = d2 = a2 + 2 − 2a os( + 90◦ ) = = a2 + 2 + 2a sin ; (i) 2 2 2

= a + b − 2ab os ': (ii)

óÍ. ÒÉÓ. 12.

A′

B′

c

îÏ Ï ÔÅÏÒÅÍÅ ÓÉÎÕÓÏ× A B χ

b ϕ = ⇒ sin  = b sin ': (iii) a sin  sin ' b C úÎÁÞÉÔ (ÉÚ (i){(iii)), òÉÓ. 12. d2 = 2a2 + b2 + 2ab(sin ' − os '): áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, d′ 2 = 2b2 + a2 + 2ab(sin ' − os '); ÇÄÅ d′ = CA′ : ïÂÁ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÄÏÓÔÉÇÁÀÔ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ: '^ = 135◦ , ÉÂÏ √ sin ' − os ' = 2 os(135◦ − '); Á ÏÓÌÅÄÎÅÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ÒÉ ' = 135◦ . ÏÇÄÁ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ √ √ d1 + d2 = ((2b2 + a2 + 2 2ab)1=2 + (2a2 + b2 + 2 2ab))1=2 = √ √ √ = 2b + 2a + b + a = ( 2 + 1)(a + b) ⇒ √ 2+1 |OM | + |ON | = (a + b): 2 úÁÄÁÞÁ ÒÅÛÅÎÁ. îÅ ÒÁ×ÄÁ ÌÉ, ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÅ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÉÌØÎÏ ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ (ÈÏÔÑ ÏÂÁ ÕÔÉ ×ÅÄÕÔ Ë ÅÌÉ)?

36

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

5. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÚÁËÌÀÞÉÔÅÌØÎÙÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ É ËÏÍÍÅÎÔÁÒÉÉ

ïÂÓÕÖÄÁÅÍÙÍÉ ÔÒÅÍÑ ÚÁÄÁÞÁÍÉ ÎÅ ÉÓÞÅÒÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÔÅÍÁ ÎÁ LVI ÏÌÉÍÉÁÄÅ. ÁÍ ÂÙÌÁ ÛÁÒÙÇÉÎÓËÁÑ (€ÕÔÅÛÉÔÅÌØÎÁс) ÚÁÄÁÞÁ × 9 ËÌÁÓÓÅ. ïÎÁ ÒÏÛÌÁ ÈÏÒÏÛÏ, ÂÙÌÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÊ. é ÂÙÌÁ ÏÞÅÎØ ÏÎÒÁ×É×ÛÁÑÓÑ ×ÓÅÍ ÕÞÁÓÔ×ÕÀÝÉÍ × ÏÔÂÏÒÅ ÚÁÄÁÞ ÏÑÔØ-ÔÁËÉ ÛÁÒÙÇÉÎÓËÁÑ (€ÏÓÏÂÏ ÔÒÕÄÎÁс) ÚÁÄÁÞÁ × 11 ËÌÁÓÓÅ: íÕÈÁ ÌÅÔÁÅÔ ×ÎÕÔÒÉ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ Ó ÒÅÂÒÏÍ a. ëÁËÏÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÏÎÁ ÍÏÖÅÔ ÒÏÌÅÔÅÔØ, ÞÔÏÂÙ ÏÂÙ×ÁÔØ ÎÁ ËÁÖÄÏÊ ÇÒÁÎÉ É ×ÅÒÎÕÔØÓÑ × ÉÓÈÏÄÎÕÀ ÔÏÞËÕ?

üÔÏ | ÏÞÅÎØ ÓÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÁÑ É ÉÎÔÅÒÅÓÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ. úÁÄÁÞÉ Ó ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ ËÏÍÏÎÅÎÔÁÍÉ ÂÙÌÉ É ÏÍÉÍÏ ÎÁÚ×ÁÎÎÙÈ. îÏ ÔÅ ÚÁÄÁÞÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÒÁÚÂÉÒÁÌÉ, ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÏÄÎÏÊ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔØÀ: ÏÎÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍÉ, ÔÁËÉÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÕÞÅÂÎÉËÁÈ, ËÁËÉÅ ÒÅÛÁÀÔ × ÛËÏÌÅ. ðÏ ÉÄÅÅ ÌÀÂÕÀ ÉÚ ÎÉÈ ÄÏÌÖÅÎ ÕÍÅÔØ ÒÅÛÁÔØ ËÁÖÄÙÊ, ËÔÏ ÌÀÂÉÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ. é ÔÏ, ÞÔÏ ÎÁ ÏÌÉÍÉÁÄÅ ÒÅÛÅÎÉÊ ÂÙÌÏ ÓÏ×ÓÅÍ ÎÅÍÎÏÇÏ, Ó×ÉÄÅÔÅÌØÓÔ×ÕÅÔ: ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ × ÕÁÄËÅ. á ÖÁÌØ! íÎÅ ÈÏÔÅÌÏÓØ ÏËÁÚÁÔØ Ó×ÏÉÍ ÓÌÕÛÁÔÅÌÑÍ, ËÁË ÍÁÌÏ, × ÓÕÝÎÏÓÔÉ, ÎÁÄÏ ÚÎÁÔØ, ÞÔÏÂÙ ÉÍÅÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÒÅÛÁÔØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÄÁÖÅ ÔÏÊ Ï×ÙÛÅÎÎÏÊ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÁÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÎÁ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞ íÏÓËÏ×ÓËÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÙ. ÷ ÔÅÞÅÎÉÅ ÞÁÓÁ ÌÅË ÉÉ ÍÙ ÒÏÛÌÉ ÕÔØ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÏÌÏÖÉÌÉ ÄÌÑ ÎÁÓ æÁÌÅÓ, ðÉÆÁÇÏÒ, å×ËÌÉÄ É ÄÒÕÇÉÅ ÎÁÛÉ ÄÁÌÅËÉÅ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉËÉ, É ÄÏÂÁ×ÉÌÉ Ë ÔÏÍÕ ÅÝÅ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÅÄÅÎÉÑ, ÓÔÁ×ÛÉÅ ÏÂÝÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ ÔÏÌØËÏ × XIV ×ÅËÅ, ËÏÇÄÁ ÂÙÌÁ ÒÁÚ×ÉÔÁ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÑ. á ÏÍÉÍÏ ×ÓÅÇÏ ÜÔÏÇÏ (ÎÁ ÒÏÔÑÖÅÎÉÉ ÏÄÎÏÊ ÔÏÌØËÏ ÌÅË ÉÉ!) ÍÙ ÒÅÛÉÌÉ ×ÓÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ (ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ, ÎÏ ÔÒÕÄÎÙÅ) ÚÁÄÁÞÉ ÏÌÉÍÉÁÄÙ, ÒÉÞÅÍ Ä×Å ÉÚ ÎÉÈ | Ä×ÕÍÑ ÓÏÓÏÂÁÍÉ. é (ÎÅ ÚÎÁÀ, ËÁË ÍÏÉÍ ÓÌÕÛÁÔÅÌÑÍ) ÍÎÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ, ÞÔÏ × ÒÅÛÅÎÉÑÈ | É ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ, É ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÈ | ÂÙÌÏ ×ÓËÒÙÔÏ ÍÎÏÇÏ ËÒÁÓÉ×ÏÇÏ, ÚÁÏÍÉÎÁÀÝÅÇÏÓÑ. îÉÞÅÇÏ ÔÁËÏÇÏ, Ï ÞÅÍ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ×ÏÓËÌÉËÎÕÔØ: €îÕ, ËÁË ÄÏ ÜÔÏÇÏ ÍÏÖÎÏ ÄÏÇÁÄÁÔØÓÑ?, É ×ÍÅÓÔÅ Ó ÔÅÍ ×ÓÅ ÜÔÉ ÚÁÄÁÞÉ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙ, ÏÎÉ ×ÙÚÙ×ÁÌÉ ÂÏÌØÛÏÅ €ÓÏÒÏÔÉ×ÌÅÎÉŁ ÄÁÖÅ Õ ÔÅÈ, ËÔÏ ÓÞÉÔÁÌÓÑ ÒÉÚÎÁÎÎÙÍ ÜËÓÅÒÔÏÍ Ï ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÎÉËÔÏ ÉÚ ÎÁÓ, ÏÒÇÁÎÉÚÁÔÏÒÏ×, ÎÅ ÎÁÛÅÌ ÔÏÇÏ ÒÏÓÔÅÊÛÅÇÏ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ 9-ÇÏ ËÌÁÓÓÁ, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÙ ÒÉ×ÅÌÉ. åÇÏ €ÏÞÔɁ ÎÁÛÅÌ ÏÄÉÎ ÛËÏÌØÎÉË, ËÏÔÏÒÙÊ ËÒÏÍÅ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÓÄÅÌÁÌ, ÉÍÅÌ ÓÌÏÛÎÙÅ ÎÕÌÉ É Ä×Á ± (Ï ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅ É ÅÝÅ Ï ÏÄÎÏÊ). ÁËÉÅ ÒÁÂÏÔÙ ÏÂÙÞÎÏ ÎÅ ÏÞÅÎØ ×ÎÉÍÁÔÅÌØÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ ÒÉ Ï×ÔÏÒÎÏÊ ÒÏ×ÅÒËÅ. îÏ ÚÄÅÓØ ÒÏÉÚÏÛÅÌ ÏÓÏ-

ïÌÉÍÉÁÄÙ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ

37

ÂÙÊ ÓÌÕÞÁÊ: ÓÔÁÒÛÉÊ ÒÏ×ÅÒÑÀÝÉÊ ÏÓÔÁÒÁÌÓÑ ×ÎÉËÎÕÔØ × ÓÕÔØ ÄÅÌÁ É ÏÂÎÁÒÕÖÉÌ, ÞÔÏ ÀÎÏÛÁ ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ ÄÏÂÒÁÌÓÑ ÄÏ ËÏÎ Á (ÏÎ ÏÌÕÞÉÌ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï 2 sin ' os  = sin(' + ), Á ÚÁÔÅÍ ÕÛÅÌ ËÕÄÁ-ÔÏ × ÓÔÏÒÏÎÕ). á ÄÁÌØÛÅ ÂÙÌÏ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÅ | ÓÌÅÄÕÅÔ ÌÉ ÏÔÍÅÔÉÔØ ÜÔÕ ÒÁÂÏÔÕ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÊ ÒÅÍÉÅÊ ÚÁ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÔÄÅÌØÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÉÌÉ ÎÅÔ. íÎÏÇÉÍ €ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÙ́ ÏÌÉÍÉÊ ÁÍ ÜÔÏ ÒÅÛÅÎÉÅ ËÁÚÁÌÏÓØ €ÎÅÏÌÉÍÉÊÓËÉ́. îÏ ÓÅ ÒÅÍÉÑ ×ÓÅ-ÔÁËÉ ÂÙÌÁ ÒÉÓÕÖÄÅÎÁ. ï ÔÏÍ, ÎÁÓËÏÌØËÏ €ÏÌÉÍÉÊÓËÏÅ ÍÙÛÌÅÎÉŁÏÔÏÒ×ÁÎÏ ÏÔ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÔÁËÏÊ ÆÁËÔ: ÏÄÉÎ ÉÚ ÏÂÅÄÉÔÅÌÅÊ-ÄÅÓÑÔÉËÌÁÓÓÎÉËÏ×, ÎÅ ÒÅÛÉ×ÛÉÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÚÁÄÁÞÕ, ×ÏÓËÌÉËÎÕÌ, ËÏÇÄÁ ÅÍÕ ÂÙÌÏ ÒÉ×ÅÄÅÎÏ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ: €á ÒÁÚ×Å ËÏÇÄÁ-ÎÉÂÕÄØ ÎÁ ÏÌÉÍÉÁÄÁÈ ÂÙÌÉ ÚÁÄÁÞÉ, ÇÄÅ ÎÁÄÏ ÂÙÌÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÔÅÏÒÅÍÕ ËÏÓÉÎÕÓÏ×?

ëÏ ×ÓÅÍÕ ÒÏÞÅÍÕ ÍÎÅ ÈÏÔÅÌÏÓØ ÄÏÎÅÓÔÉ ÄÏ ÓÌÕÛÁÔÅÌÅÊ Ä×Å ÉÄÅÉ. ðÅÒ×ÁÑ (Ï×ÔÏÒÀÓØ) ÔÁËÏ×Á: ÒÉÍÅÒÎÏ 2/3 ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ ÄÏÕÓËÁÀÔ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÏÅ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. ÁË ÞÔÏ ÓÔÏÉÔ ÏÍÎÉÔØ Ï ÔÅÏÒÅÍÅ ÓÉÎÕÓÏ× É ÔÅÏÒÅÍÅ ËÏÓÉÎÕÓÏ×.

é ×ÔÏÒÁÑ:

ÔÒÕÄÎÅÅ ×ÓÅÇÏ ÆÏÒÍÁÌÉ-

ÚÕÀÔÓÑ É ÄÏÕÓËÁÀÔ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ Ó ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÍÉ.

îÏ ÔÁÍ ×ÁÖÎÅÊÛÕÀ ÒÏÌØ ÒÉ ÉÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÍ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÉ ÉÇÒÁÅÔ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ×ÉÓÁÎÎÏÍ ÕÇÌÅ, ×ÏÓÈÏÄÑÝÁÑ Ë ÒÏÄÏÎÁÞÁÌØÎÉËÕ ÎÁÛÅÊ ÎÁÕËÉ | ÉÏÎÉÊÓËÏÍÕ ËÕ Õ É ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ ÓÅÍÉ ÍÕÄÒÅ Ï× ÄÒÅ×ÎÏÓÔÉ | æÁÌÅÓÕ. ïÄÎÁ ÉÚ ÅÒ×ÙÈ ÔÅÏÒÅÍ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÚÁÍÅÎÉÍÏÊ! á × ÅÌÏÍ ÍÎÅ ÈÏÔÅÌÏÓØ ÂÙ ×ÙÒÁÚÉÔØ ÎÁÄÅÖÄÕ, ÞÔÏ LVI ÏÌÉÍÉÁÄÁ ÂÙÌÁ ÒÁÚÄÎÉËÏÍ É ÄÌÑ ÔÅÈ, ËÔÏ ÕÞÁÓÔ×Ï×ÁÌ × ÎÅÊ, É ÄÌÑ ÔÅÈ, ËÔÏ ÅÅ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×Ù×ÁÌ. á ÉÍÅÎÎÏ × ÜÔÏÍ É ÓÏÓÔÏÉÔ ÅÌØ ×ÓÑËÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÙ, ÎÅ ÔÁË ÌÉ?

38

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

äÏÏÌÎÅÎÉÅ

íÏÑ ÌÅË ÉÑ ÅÒÅÄ ÛËÏÌØÎÉËÁÍÉ ÚÁËÏÎÞÉÌÁÓØ ÓÅÔÏ×ÁÎÉÑÍÉ ÎÁ ÔÒÕÄÎÏÓÔØ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ Ó ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÍÉ. îÁ ÓÁÍÏÍ ÖÅ ÄÅÌÅ ÍÎÏÇÉÅ ÉÚ ÔÁËÉÈ ÚÁÄÁÞ ÕÓÅÛÎÏ ÒÅÛÁÀÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. ÷ ÜÔÏÍ ÄÏÏÌÎÅÎÉÉ Ñ ÈÏÞÕ ÒÁÓÓËÁÚÁÔØ Ï ÔÏÍ, ËÁË ÏÍÏÇÁÀÔ ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÒÅÛÁÔØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ. ëÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÓÅÊÞÁÓ ÎÅ ×ÈÏÄÑÔ × ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÕÀ ÛËÏÌØÎÕÀ ÒÏÇÒÁÍÍÕ, ÏÜÔÏÍÕ ÓÎÁÞÁÌÁ ÓËÁÖÅÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÌÏ× Ï ÓÁÍÏÊ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ëÏÍÌÅËÓÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ×ÉÄÁ a + bi, ÇÄÅ a É b | ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, Á i | ÓÉÍ×ÏÌ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÊ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ i2 = = −1. þÉÓÌÁ a É b ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ É ÍÎÉÍÏÊ ÞÁÓÔØÀ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ z = a + bi ; ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ: a = Re z; b = Im z . ðÅÒÅÍÎÏÖÁÀÔ ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ Ï ÏÂÙÞÎÙÍ ÒÁ×ÉÌÁÍ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÓËÏÂÏË É ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ ÏÄÏÂÎÙÈ ÞÌÅÎÏ×, ÚÁÍÅÎÑÑ ËÁÖÄÙÊ ÒÁÚ i2 ÎÁ −1; Ô. Å. (a+bi)( +di) = (a −bd)+(ad+b )i. ëÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÍÏÖÎÏ ÄÅÌÉÔØ (ËÒÏ(a + bd) + (b − ad)i ÍÅ, ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ ÎÕÌØ): (a + bi) : ( + di) = :

2 + d2 þÉÓÌÏ z = a − bi ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÍ Ë z = a + bi.

åÓÌÉ ×ÙÂÒÁÔØ ÄÅËÁÒÔÏ×Õ ÓÉÓÔÅÍÕ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÔÏ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ËÏÍÌÅËÓÎÙÍÉ ÞÉz | ÓÌÁÍÉ É ÔÏÞËÁÍÉ ÌÏÓËÏÓÔÉ : (a; b) 7→ (a + bi). |z r= ðÒÉ ÜÔÏÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ËÏÍÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ z z arg ϕ= ÒÉÏÂÒÅÔÁÅÔ ÔÁËÕÀ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÉÎÔÅÒx O ÒÅÔÁ ÉÀ. ðÕÓÔØ r | ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÏÔ z ÄÏ ÎÕÌÑ, Á ' | ÕÇÏÌ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÊ ÎÁÄÏ Ï×ÅÒÎÕÔØ òÉÓ. 13. ÌÕÞ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÕÀ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÏÌÕÏÓØ {z | z = a + 0i; a > 0}, ÞÔÏÂÙ Ï×ÅÒÎÕÔÙÊ ÌÕÞ ÒÏÛÅÌ ÞÅÒÅÚ z (ÓÍ. ÒÉÓ. 13). þÉÓÌÁ r É ' ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÍÏÄÕÌÅÍ É ÁÒÇÕÍÅÎÔÏÍ ÞÉÓÌÁ z (ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ: r = |z |; ' = argz ). çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÀ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÍÏÖÎÏ ÔÅÅÒØ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÔÁË: ÒÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÉ ËÏÍÌÅËÓy

ÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÉÈ ÍÏÄÕÌÉ ÅÒÅÍÎÏÖÁÀÔÓÑ, Á ÁÒÇÕÍÅÎÔÙ | ÓËÌÁÄÙ×ÁÀÔÓÑ.

ðÒÉ ÜÔÏÍ × ÁÎÁÌÉÚÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÕ z ÍÏÖÎÏ ÒÉÄÁÔØ ÔÁËÕÀ ÆÏÒÍÕ: z = rei' = r( os ' + i sin '): ðÏÌÕÞÉÌÁÓØ, ËÁË ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÍÏÄÅÌØ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÇÄÅ ÔÏÞËÉ | ÜÔÏ ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ z , Á ÓÁÍÁ ÌÏÓËÏÓÔØ | ÜÔÏ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ (ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍÁÑ C). õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ × ÓÉÓÔÅÍÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ Oxy ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:

ïÌÉÍÉÁÄÙ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ

39

A(x2 + y2 ) + 2Bx + 2Cy + D = 0; ÇÄÅ A; B; C É D | ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. üÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ × ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÆÏÒÍÅ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ (z = x + iy): Az z + (B − iC )z + (B + iC )z + D = 0:

õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÒÑÍÏÊ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ  É  ′ (ÜÔÕ ÒÑÍÕÀ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ  ′) ÍÏÖÎÏ ÚÁÄÁÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ  (′ − z) −  ′( − z) + z ( − ′ ) = 0;

ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ Ó ÅÎÔÒÏÍ ×  É ÒÁÄÉÕÓÏÍ r ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ (z −  )(z − = r2 ; ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÒÑÍÏÊ, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÊ ÒÑÍÏÊ az + az = É ÒÏÈÏ ÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ  , ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ az + az = a + a: åÓÌÉ ×Ù ÚÁÂÙÌÉ ËÁËÕÀ-ÎÉÂÕÄØ ÔÅÏÒÅÍÕ ÉÌÉ ÆÏÒÍÕÌÕ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÉÓËÁÔØ ÅÅ × ÕÞÅÂÎÉËÅ | ÅÅ ÏÂÙÞÎÏ ÌÅÇËÏ ×Ù×ÅÓÔÉ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ (ÎÁÄÏ ÌÉÛØ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÏÓÎÏ×ÎÙÍÉ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÉ É ÆÏÒÍÕÌÏÊ üÊÌÅÒÁ: ei' = os ' + i sin '): ÷ÏÔ ÒÉÍÅÒÙ Ä×ÕÈ ×ÁÖÎÙÈ ÆÏÒÍÕÌ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ×Ù×ÅÄÅÍ ÔÁËÉÍ ÓÏÓÏÂÏÍ (ÒÁÎÅÅ ÏÎÉ ÂÙÌÉ ×Ù×ÅÄÅÎÙ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ). ÅÏÒÅÍÁ ËÏÓÉÎÕÓÏ×. üÔÁ ÔÅÏÒÅÍÁ, ËÁË ÍÙ ÏÍÎÉÍ, ×ÙÒÁÖÁÅÔ ÄÌÉÎÕ ÓÔÏÒÏÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÞÅÒÅÚ ÄÌÉÎÙ Ä×ÕÈ ÄÒÕÇÉÈ ÓÔÏÒÏÎ É ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ. äÌÑ ×Ù×ÏÄÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÏÍÅÓÔÉÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ABC ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ a; b É ÕÇÌÏÍ ' ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ C = 0, A = = bei' , Á B = a: ÏÇÄÁ −)

= 2 = |a − bei' |2 = (a − bei' )(a − be−i' ) = a2 + b2 − 2ab os ' = |AC |2 + |BC |2 − 2|AC ||BC | os ': ðÏÌÕÞÉÌÉ ÔÅÏÒÅÍÕ ËÏÓÉÎÕÓÏ×. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ ' = =2, ÏÌÕÞÁÅÍ ÔÅÏÒÅÍÕ ðÉÆÁÇÏÒÁ: 2 = a2 + b2 : ÅÏÒÅÍÁ ÓÉÎÕÓÏ×. ïÎÁ ÄÁÅÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ Ä×Å ÓÔÏÒÏÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÚÎÁÑ ÔÒÅÔØÀ ÓÔÏÒÏÎÕ É Ä×Á ÕÇÌÁ ÒÉ ÜÔÏÊ ÓÔÏÒÏÎÅ. äÌÑ ×Ù×ÏÄÁ ÆÏÒÍÕÌÙ ÏÉÛÅÍ ×ÏËÒÕÇ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ (ÕÓÔØ ÅÅ ÒÁÄÉÕÓ R) É ÏÍÅÓÔÉÍ ÎÕÌØ × ÅÎÔÒ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. ÏÇÄÁ A = Rei'1 ; B = = Rei'2 ; C = Rei'3 É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, |AB |2

|BC |2

= R2 |ei'2 − ei'3 |2 = R2 (ei'2 − ei'3 )(e−i'2 − e−i'3 ) = ' − '3 = 2R2 (1 − os('2 − '3 )) = 4R2 sin2 2 : 2

40

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

éÔÁË, |BC | = 2R sin A, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ |AC | = 2R sin B; |AB | = 2R sin C; ÏÔËÕÄÁ É ÓÌÅÄÕÅÔ ÔÅÏÒÅÍÁ ÓÉÎÕÓÏ×: sin A sin B sin C = = : a b

÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ a = b, ÏÌÕÞÁÅÍ ÔÅÏÒÅÍÕ æÁÌÅÓÁ (ÓÍ. ×ÙÛÅ ÔÅÏÒÅÍÕ 1): × ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÏÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ ÕÇÌÙ ÒÉ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÒÁ×ÎÙ. íÙ ÒÉÏÂÒÅÌÉ ÅÝÅ ÏÄÉÎ, €ËÏÍÌÅËÓÎÙʁ, ËÌÀÞ ÒÅÛÅÎÉÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ. îÏ ÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÒÏÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÏ×ÁÔØ, ËÁË ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÜÔÉÍÉ ËÌÀÞÁÍÉ | ÄÅËÁÒÔÏ×ÙÍ É ËÏÍÌÅËÓÎÙÍ, | ×ÙÉÛÅÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÏÌÅÚÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ. íÙ ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÉÈ × ×ÉÄÅ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÉÈ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙ É ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÞÉÔÁÔÅÌÀ. îÏ ÓÎÁÞÁÌÁ Ä×Á ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ. ðÕÓÔØ z1 ; z2 ; z3 | ÔÒÉ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÌÁ. ÷ÙÒÁÖÅÎÉÅ

z1 − z3 z2 − z3 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏÓÔÙÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÜÔÉÈ ÞÉÓÅÌ. åÓÌÉ ÖÅ z1 ; z2 ; z3 ; z4 | ÞÅÔ×ÅÒËÁ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ z −z z −z (z1 ; z2 ; z3 ; z4 ) := 1 3 : 1 4 z2 − z3 z2 − z4 (Ô. Å. ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÒÏÓÔÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ (z1 ; z2 ; z3 ) É (z1 ; z2 ; z4 )) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ä×ÏÊÎÙÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÜÔÉÈ ÞÉÓÅÌ. éÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ É ÆÏÒÍÕÌÙ: 1. äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÔÏÞËÉ z1 ; z2 É z3 ÌÅÖÁÌÉ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ (z1 ; z2 ; z3 ) :=

(z1 ; z2 ; z3 ) = (z1 ; z2 ; z3 ) (1) (ÉÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÞÔÏÂÙ ÒÏÓÔÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (z1 ; z2 ; z3 ) ÂÙÌÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ). é ÅÝÅ ÏÄÎÁ ÆÏÒÍÁ ÔÏÇÏ ÖÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. äÌÑ z = x + iy; w =  + i ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ det{zw} = x − y. ÏÞËÉ z1 ; z2 ; z3 ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ det{z1 z2 } + det{z2 z3 } + det{z2 z3 } = 0:

(2)

üÔÏÔ ÆÁËÔ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÄÅÔÅÒÍÉÎÁÎÔÁ: det{zw} ÅÓÔØ ÎÅ ÞÔÏ ÉÎÏÅ, ËÁË ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÌÏÝÁÄØ ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÁ, ÎÁÔÑÎÕÔÏÇÏ ÎÁ ×ÅËÔÏÒÙ Oz É Ow. ó ÕÞÅÔÏÍ ÜÔÏÇÏ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ ÎÁÉÓÁÎÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÌÏÝÁÄÅÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× Oz1 z2 , Oz2 z3 É Oz3 z1 ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ.

ïÌÉÍÉÁÄÙ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ

41

2. äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÞÅÔÙÒÅ ÔÏÞËÉ {z1 ; z2 ; z3 ; z4 } ÌÅÖÁÌÉ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ ÉÌÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ Ä×ÏÊÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (z1 ; z2 ; z3 ; z4 ) ÂÙÌÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ. 3. åÓÌÉ z | ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ × ÔÏÞËÁÈ  É  ′ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÔÏ 2 (3) 1= + 1= ′ (ÉÎÁÞÅ: z ÅÓÔØ ÓÒÅÄÎÅÅ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÅ  É  ′ , ËÏÔÏÒÏÅ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ

(;  ′ ) (ÒÉÓ. 14)).

z=

z

e

ζ

b

c

ζ′ a d

òÉÓ. 14.

òÉÓ. 15.

4. åÓÌÉ ÎÁ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ |z | = 1 ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ ÞÅÔÙÒÅ ÔÏÞËÉ a, b, , d, ÔÏ ÔÏÞËÕ e ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ ab É d (ÓÍ. ÒÉÓ. 15) ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ (a + b) − ( + d) e= : (4) ab − d 5. õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÓÒÅÄÉÎÎÏÇÏ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÁ Ë ÏÔÒÅÚËÕ [z1 ; z2 ℄ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ

z (z2 − z1 ) + z(z2 − z1 ) = |z2 |2 − |z1 |2 :

(5)

6. ãÅÎÔÒ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ z1 ; z2 ; z3 ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÉÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ

z (z2 − z1 )+ z(z2 − z1 ) = |z2 |2 − |z1 |2 ; z (z3 − z2 )+ z(z3 − z2 ) = |z2 |3 − |z2 |2 : (6) z |2 z − |z2 |2 z1 ðÒÉ z3 ÏÌÕÞÁÅÍ z = 1 2 : z2 z1 − z1 z2 7. åÓÌÉ ÔÏÞËÉ A; B É D ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ É a; b; d | ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÉÍ ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÔÏ ÞÉÓÌÏ z , ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ

42

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

ÏÓÎÏ×ÁÎÉÀ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÁ, ÏÕÝÅÎÎÏÇÏ ÉÚ ÔÏÞËÉ D ÎÁ ÒÑÍÕÀ AB , ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ:

z = (a + b + d − abd)=2:

(7)

ðÅÒÅÄ ÔÅÍ, ËÁË ÅÒÅÈÏÄÉÔØ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÚÁÄÁÞ, ×ÓÏÍÎÉÍ ÏÄÎÕ ÚÁÂÁ×ÎÕÀ ÉÓÔÏÒÉÀ. ÷ 1960 ÇÏÄÕ ×ÙÛÅÌ ÑÔÙÊ ÔÏÍ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс, ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉËÁ ÎÁÓÔÏÑÝÅÇÏ ÉÚÄÁÎÉÑ. ÷ ÜÔÏÍ ÔÏÍÅ ÂÙÌÁ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÁ ÒÏÇÒÁÍÍÎÁÑ ÓÔÁÔØÑ îÉËÏÌÑ âÕÒÂÁËÉ €áÒÈÉÔÅËÔÕÒÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËɁ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÍÁÓÔÉÔÙÊ ÕÞÅÎÙÊ (ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ âÕÒÂÁËÉ | ÜÔÏ ÓÅ×ÄÏÎÉÍ ÇÒÕÙ ÆÒÁÎ ÕÚÓËÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×) ÒÁÓÓÕÖÄÁÌ Ï ÔÏÍ, ËÁË ÕÓÔÒÏÅÎÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ × ÅÌÏÍ. ðÏÓÌÅÄÎÑÑ ÆÒÁÚÁ ÓÔÁÔØÉ × ÅÒÅ×ÏÄÅ Ú×ÕÞÉÔ ÔÁË: €üÔÏ [ÒÅÞØ ÛÌÁ Ï ÁËÓÉÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÍÅÔÏÄÅ℄ | ÉÔÁÔÅÌØÎÙÊ ÓÏË ÏÒÇÁÎÉÚÍÁ × ÏÌÎÏÍ ÅÇÏ ÒÁÚ×ÉÔÉÉ, ÏÄÁÔÌÉ×ÙÊ É ÌÏÄÏÔ×ÏÒÎÙÊ ÉÎÓÔÒÕÍÅÎÔ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÊ ÓÏÚÎÁÔÅÌØÎÏ ÉÓÏÌØÚÕÀÔ × Ó×ÏÅÊ ÒÁÂÏÔÅ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó çÁÕÓÓÁ, ×ÓÅ ×ÅÌÉËÉÅ ÍÙÓÌÉÔÅÌÉ-ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ×ÓÅ ÔÅ, ËÔÏ ÓÌÅÄÕÑ ÆÏÒÍÕÌÅ ìÅÖÅÎÁ äÉÒÉÈÌÅ ×ÓÅÇÄÁ ÓÔÒÅÍÉÌÉÓØ "ÉÄÅÉ ÚÁÍÅÎÉÔØ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÍÉ\. óÕÖÄÅÎÉÅ Ï ×ÅÌÉÞÉÉ ÁËÓÉÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏ ÈÏÔÑ ÂÙ ÕÖÅ Ï ÔÏÊ ÒÏÓÔÏÊ ÒÉÞÉÎÅ, ÞÔÏ ÚÁ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÕÀ ÉÄÅÀ (×ÙÒÁÖÅÎÎÕÀ, ÓËÁÖÅÍ, × ÔÁËÏÊ ÆÏÒÍÅ: €×ÓÅ ×ÅÌÉËÉÅ ÍÙÓÌÉÔÅÌÉ-ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó îØÀÔÏÎÁ, ÚÁÎÉÍÁÌÉÓØ ËÏÎËÒÅÔÎÙÍÉ ÚÁÄÁÞÁÍÉ, Á ÎÅ ÁËÓÉÏÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÛÅÌÕÈÏʁ) ÍÏÖÎÏ ÔÁËÖÅ Õ×ÅÒÅÎÎÏ ÄÅÒÖÁÔØÓÑ, ËÁË ÚÁ ÂÅÚÕÓÌÏ×ÎÕÀ ÉÓÔÉÎÕ. îÏ × ÎÁÉÓÁÎÎÏÍ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÉ ÅÓÔØ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÉËÁÎÔÎÙÊ ÎÀÁÎÓ: ÓÁÍ äÉÒÉÈÌÅ ×ÙÓËÁÚÁÌ ÎÅÞÔÏ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÅ: ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÎÅÍÕ ÎÁÄÏ €×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÚÁÍÅÎÑÔØ ÉÄÅÑÍɁ! îÏ ÍÎÅ ÈÏÞÅÔÓÑ (× ÒÉÍÅÎÅÎÉÉ Ë ÍÏÅÊ ÓËÒÏÍÎÏÊ ÅÌÉ) ÏÄÄÅÒÖÁÔØ ÅÒÅ×ÏÄÞÉËÁ: ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÏÇÒÏÍÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ (×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÎÅ ×ÓÅÈ, ÎÏ ÜÔÏ, ËÁË ÇÏ×ÏÒÉÔÓÑ, ÎÅ ÄÏËÁÚÁÎÏ), ÎÁÒÑÄÕ Ó €ÉÄÅÊÎÙ́ ÒÅÛÅÎÉÅÍ, ÇÄÅ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ ×ÏÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, Ä×ÉÖÅÎÉÅ, ÏÔÒÁÖÅÎÉÅ É ×ÓÑËÁÑ ÒÏÞÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ËÒÁÓÏÔÁ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÕÔÉÎÎÏÅ, ÂÅÚÙÄÅÊÎÏÅ, ÓËÕÞÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÉÄÅÉ ÚÁÍÅÎÑÀÔÓÑ ÒÏÓÔÙÍÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÍÉ. é ÜÔÏ ÔÏÖÅ ÏÌÅÚÎÏ ÉÍÅÔØ × ×ÉÄÕ! ÷ÏÔ ×ÁÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÉÍÅÒÏ× ÔÁËÉÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÚÁÄÁÞ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ Ó ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ ÉÌÉ ÄÁÖÅ ×ÅÌÉËÉÍÉ ÉÍÅÎÁÍÉ. úÁÄÁÞÁ îØÀÔÏÎÁ. ÷ ÏÉÓÁÎÎÏÍ ÏËÏÌÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÅ ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÄÉÁÇÏÎÁÌÅÊ ËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙ (Ô. Å. ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ) Ó ÅÎÔÒÏÍ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ

(ÒÉÓ. 16 ÎÁ Ó. 43).

ðÒÑÍÁÑ üÊÌÅÒÁ. ÷ ÌÀÂÏÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ ÅÎÔÒ ÔÑÖÅÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÅÇÏ ÏÒÔÏ ÅÎÔÒ É ÅÎÔÒ ÏÉÓÁÎÎÏÇÏ ËÒÕÇÁ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ

(ÒÉÓ. 17 ÎÁ Ó. 43).

ïÌÉÍÉÁÄÙ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ

43

A = beiϕ

ζ3 z3

z2

ϕ2

ϕ1

ϕ3

ζ1

ζ2

ζ4

z4 òÉÓ. 16.

ζ3

ζ2

z1 ζ1

C=0

úÁÄÁÞÁ îØÀÔÏÎÁ.

B=a

òÉÓ. 17.

ðÒÑÍÁÑ üÊÌÅÒÁ.

E c0

b

B A d

a0

MN C

b0

a

c

O

D

F òÉÓ. 18.

ðÒÑÍÁÑ óÉÍÓÏÎÁ.

òÉÓ. 20.

òÉÓ. 19.

ÅÏÒÅÍÁ ðÁÓËÁÌÑ.

ðÒÑÍÁÑ çÁÕÓÓÁ.

44

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

ðÒÑÍÁÑ óÉÍÓÏÎÁ. ðÕÓÔØ ÉÚ ÔÏÞËÉ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÏÊ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÏÌÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÏÕÝÅÎÙ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÙ ÎÁ ÅÇÏ ÓÔÏÒÏÎÙ. ÏÇÄÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ÜÔÉÈ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÏ× ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ

(ÒÉÓ. 18 ÎÁ Ó. 43).

ABCD | ×ÅÒÛÉÎÙ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ, E | ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ AB É CD , F | ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ BC É AD , M | ÓÅÒÅÄÉÎÁ AC , N | ÓÅÒÅÄÉÎÁ BD , O | ÓÅÒÅÄÉÎÁ EF . ÏÇÄÁ ÔÏÞËÉ M , N , O ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ (ÒÉÓ. 19 ÎÁ Ó. 43). ðÒÑÍÁÑ çÁÕÓÓÁ. ðÕÓÔØ

ÅÏÒÅÍÁ ðÁÓËÁÌÑ. ÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ÒÏ-

ÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ×ÉÓÁÎÎÏÇÏ × ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÌÅ-

(ÒÉÓ. 20 ÎÁ Ó. 43). ëÁËÏÅ ÂÌÉÓÔÁÔÅÌØÎÏÅ ÓÏÚ×ÅÚÄÉÅ ÉÍÅÎ, ËÁËÏÅ ×ÅÌÉËÏÌÅÎÏÅ ÓÏÂÒÁÎÉÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÛÅÄÅ×ÒÏ×! ðÏÒÏÂÕÊÔÅ ÒÅÛÉÔØ ÜÔÉ ÚÁÄÁÞÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ, ÚÁÍÅÎÑÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÉÄÅÑÍÉ. åÓÌÉ ×ÁÍ ÜÔÏ ÕÄÁÓÔÓÑ, ×Ù ÏÌÕÞÉÔÅ ÉÓÔÉÎÎÏÅ ÎÁÓÌÁÖÄÅÎÉÅ. îÏ ÔÅÈ ÚÎÁÎÉÊ, ËÏÔÏÒÙÍÉ ÍÙ Ï×ÌÁÄÅÌÉ × ÔÅÞÅÎÉÅ ÓÔÏÌØ ËÏÒÏÔËÏÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ, ÔÅÈ ÆÏÒÍÕÌ, ËÏÔÏÒÙÅ ÕÍÅÝÁÀÔÓÑ ÎÁ ÏÌÏ×ÉÎÅ ÓÔÒÁÎÉ Ù, ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÓÒÁÚÕ ÏÎÑÔØ, ËÁË ÒÅÛÁÔØ ×ÓÅ ÜÔÉ ÚÁÄÁÞÉ, Á ÄÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÄÅÌÁ ÄÏ ËÏÎ Á ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÒÅÄÍÅÔÏÍ ÎÅÓÌÏÖÎÏÊ ÔÅÈÎÉËÉ. ÷ ÚÁÄÁÞÅ îØÀÔÏÎÁ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (3): ÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ

1 = (z1 ; z4 ); 2 = (z1 ; z2 ); 3 = (z2 ; z3 ); 4 = (z3 ; z4 ): á ÄÁÌÅÅ ÄÌÑ ÔÏÞÅË (1 + 3 )=2; 0; (2 + 4 )=2 ÒÉÍÅÎÉÔØ ÆÏÒÍÕÌÕ(1). åÓÌÉ ÈÏÔÉÔÅ, ÜÔÏ €ÉÄÅс, Á ÔÅÅÒØ | ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ. ðÕÓÔØ '1 | ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ z1 É z2 ; '2 | ÍÅÖÄÕ z2 É z3 ; '3 | ÍÅÖÄÕ z3 É z4 . îÅ ÏÇÒÁÎÉÞÉ× ÓÅÂÑ × ÏÂÝÎÏÓÔÉ, ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ z1 = 1. éÍÅÅÍ:

1 + 2 (1 + e−i'1 )(e−i('1 +'2 ) + e−i('1 +'2 +'3 ) ) = = 2 + 4 (1 + e−i('1 +'2 +'3 ) )(e−i'1 + e−i('1 +'2 )

os '1 =2 os '3 =2 = ∈ R:

os('1 + '2 + '3 )=2 os '2 =2 ÷ ÚÁÄÁÞÅ üÊÌÅÒÁ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÎÏ×Á ÎÁÒÁÛÉ×ÁÅÔÓÑ: ÏÍÅÓÔÉÍ ÔÏÞËÕ C × ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÓÔÏÒÏÎÕ AC ÕÓÔÉÍ Ï ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÏÓÉ. ÏÇÄÁ B = a; A = bei' . âÅÚ ÏÓÏÂÙÈ ÕÓÉÌÉÊ ×Ù ÎÁÊÄÅÔÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ É ÅÎÔÒÁ ÔÑÖÅÓÔÉ, É ÅÎÔÒÁ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ É ÏÒÔÏ ÅÎÔÒÁ: ÅÎÔÒ ÔÑÖÅÓÔÉ b os ' + a + ib sin ' , ÏÒÔÏ ÅÎÔÒ 1 = b os ' + i(a − b os ') tg '; ÅÎÔÒ 3 = 3 a b − a os ' ÏÉÓÁÎÎÏÇÏ ËÒÕÇÁ 2 = +i . é ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ 2 2 sin '

ïÌÉÍÉÁÄÙ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ: post s riptum

45

×ÓÅ ÏÎÉ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ. âÅÚ ÏÓÏÂÏÇÏ ÔÒÕÄÁ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÄÏËÁÖÅÔ, ÞÔÏ 1 − 3 = 2. 2 − 3 ÷ ÚÁÄÁÞÅ çÁÕÓÓÁ ÎÁÄÏ ÔÒÉÖÄÙ | ÄÌÑ ÔÏÞÅË M , N , O | ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (2) É ÏÔÏÍ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (2) ÄÌÑ ÞÅÔÙÒÅÈ ÔÒÏÅË ÔÏÞÅË, ÌÅÖÁÝÉÈ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ. ðÏÄÒÏÂÎÅÅ: ÚÁÉÓÁ× ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ (2) ÄÌÑ ÔÏÞÅË M , N É O, ÏÌÕÞÉÍ det{(A + C )=2 (B + D)=2} + det{(B + D)=2 (E + F )=2} + 1 + det{(E + F )=2 (A + C )=2} = (det{AB } + det{CB }+ 4 +det{AD} + det{CD} + det{BE } + det{DE }+ +det{BF } + det{DF } + det{EA} + det{F A} + det{EC } + det{F C }); Á ÄÁÌÅÅ ÎÕÖÎÏ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (2) ÄÌÑ ÔÒÏÅË {A; B; E }; {C; B; F }; {A; D; F }; {C; D; E };

ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ. äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ óÉÍÓÏÎÁ ÎÁÄÏ ÔÒÉÖÄÙ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (7) É ÚÁÔÅÍ | ÆÏÒÍÕÌÏÊ (1). îÁËÏÎÅ , ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ ðÁÓËÁÌÑ ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (4):

a + b − (d + e)  b + − (e + f )

+ d − (f + a) h = ; k= ; g = : ab − de b − ef

d − fa óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,

h − k ∈ R; k − g ÔÁË ËÁË a = 1=a É Ô. Ä. äÌÑ ÚÁ×ÅÒÛÅÎÉÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÆÏÒÍÕÌÕ (1). é ×ÅÄØ ×ÓÅ ÎÁÛÉ ÈÏÄÙ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÎÁÒÁÛÉ×ÁÀÔÓÑ, ÎÅ ÔÁË ÌÉ? Post s riptum

îÅ ÈÏÔÅÌ ÂÙ ÓËÒÙ×ÁÔØ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÅÎÉÑ ÏÔ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÎÁÉÓÁÎÎÏÅ ÍÎÏÀ €äÏÏÌÎÅÎÉŁ ×ÄÏÈÎÏ×ÉÌÏ ÔÁËÏÇÏ ÞÉÓÔÏÇÏ çÅÏÍÅÔÒÁ, ËÁË îÉËÏÌÁÊ âÏÒÉÓÏ×ÉÞ ÷ÁÓÉÌØÅ×, ÄÏÏÌÎÉÔØ €äÏÏÌÎÅÎÉŁ ÉÚÑÝÎÙÍÉ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ Ä×ÕÈ ËÒÁÓÉ×ÙÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ!

46

î. â. ÷ÁÓÉÌØÅ×

íÙ ×ÉÄÅÌÉ, ËÁË ÍÎÏÇÉÅ ÔÒÕÄÎÙÅ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ ÌÁÎÉÍÅÔÒÉÉ ×Ù×ÏÄÑÔÓÑ ÂÏÌÅÅ ÉÌÉ ÍÅÎÅÅ Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÍÁÎÉÕÌÑ ÉÑÍÉ Ó ËÏÍÌÅËÓÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ. åÝÅ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÅÅ ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ × ÔÅÈ ÚÁÄÁÞÁÈ, × ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÒÅÛÅÎÉÑÈ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÍÏÇÁÀÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ: ×ÅÄØ z → iz | ÜÔÏ Ï×ÏÒÏÔ ÎÁ ÒÑÍÏÊ ÕÇÏÌ, z → az ÒÉ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ a | ÇÏÍÏÔÅÔÉÑ Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ Á; ÒÉ ËÏÍÌÅËÓÎÏÍ a | ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ É Ï×ÏÒÏÔÁ (Ó ÅÎÔÒÏÍ ï), É ÔÁË ÄÁÌÅÅ. îÏ ×ÍÅÓÔÏ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÒÁÚ×É×ÁÔØ ÜÔÕ ÔÅÍÕ, | ÏÎÁ ÚÁÓÌÕÖÉ×ÁÅÔ ÏÔÄÅÌØÎÏÊ ÓÔÁÔØÉ ÉÌÉ ÄÁÖÅ ËÎÉÖËÉ, | ÍÙ ÚÁËÏÎÞÉÍ ÒÉÍÅÒÁÍÉ Ä×ÕÈ ÚÁÄÁÞ, ÒÅÄÌÁÇÁ×ÛÉÈÓÑ ÎÁ ÏÌÉÍÉÁÄÁÈ ×ÅÓÎÏÊ 1997 ÇÏÄÁ, Ó ËÏÔÏÒÙÍÉ ÓÒÁ×ÉÌÏÓØ ÌÉÛØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ×. íÅÖÄÕ ÔÅÍ, ÄÌÑ ÌÀÂÉÔÅÌÅÊ ×ÓÅ ÒÅ×ÒÁÝÁÔØ × ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ Ó ËÏÍÌÅËÓÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ ÏÎÉ ÎÅ ÓÏÓÔÁ×ÉÌÉ ÂÙ ÎÉËÁËÏÇÏ ÔÒÕÄÁ. 1. (LX íÏÓËÏ×ÓËÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ, 10 ËÌÁÓÓ.) ëÁÖÄÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ n-ÕÇÏÌØÎÉËÁ × ÒÏ ÅÓÓÅ ÏÂÈÏÄÁ ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ ÒÏÄÏÌÖÉÌÉ ÎÁ ÅÅ ÄÌÉÎÕ. ïËÁÚÁÌÏÓØ, ÞÔÏ ËÏÎ Ù ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÈ ÏÔÒÅÚËÏ× ÓÌÕÖÁÔ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ n-ÕÇÏÌØÎÉËÁ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÉÓÈÏÄÎÙÊ n-ÕÇÏÌØÎÉË | ÔÏÖÅ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ. òÅÛÅÎÉÅ. íÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ×ÅÒÛÉÎÙ ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ n-ÕÇÏÌØÎÉËÁ | ÔÏÞËÉ 1; "; "2 ; : : : "n−1 ÎÁ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÇÄÅ " | ËÏÒÅÎØ n-Ê ÓÔÅÅÎÉ ÉÚ 1 Ó ÁÒÇÕÍÅÎÔÏÍ 2=n (ÉÌÉ −2=n ), Ô. Å. " = e2=n ÉÌÉ " = e−2=n : ðÕÓÔØ z0 ; z1 ; : : : zn−1 | ×ÅÒÛÉÎÙ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÒÉÞÅÍ ÅÒ×ÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÎÏ×ÏÇÏ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ | ÔÏÞËÁ z1 + (z1 − z0 ) = 1: ÏÇÄÁ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÏÌÕÞÁÅÍ ÔÁËÕÀ € ÉËÌÉÞÅÓËÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ: 2z1 − z0 = 1; 2z2 − z1 = "; 2z3 − z2 = "2 ; : : : ; 2zk − zk−1 = "k ; 2zk+1 − zk = "k+1 ; : : : ; 2z0 − zn = "n−1 : õÍÎÏÖÉ× ÜÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÅÒ×ÏÇÏ, ÎÁ ÞÉÓÌÁ 1; 2; 22 ; : : : 2n−1 É ÓÌÏÖÉ×, ÏÌÕÞÉÍ z0 (2n − 1) = 1 + 2" + 4"2 + · · · + 2n−1 "n−1 . åÓÌÉ ÖÅ ÕÍÎÏÖÉÔØ ÉÈ ÎÁ ÔÅ ÖÅ ÞÉÓÌÁ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó k-ÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (Ï ÉËÌÕ | ÚÁ n-Í ÓÌÅÄÕÅÔ ÅÒ×ÏÅ, ÔÁË ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÎÉÍ ÂÕÄÅÔ (k − 1)-Å), ÏÌÕÞÉÍ | ÕÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ "n = 1 :

z0 (2n − 1) = "k (1 + 2" + 4"2 + · · · ∗ 2n−1 "n−1 ):

ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, zk = "k z0 (ÄÌÑ k = 0; 1; : : : ; n − 1), ÏÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÉÓÈÏÄÎÙÊ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË | ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ. 2. (III óÏÒÏÓÏ×ÓËÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ, ×ÔÏÒÏÊ (ÏÞÎÙÊ) ÔÕÒ, 9 ËÌÁÓÓ.) ÷ÎÕÔÒÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABD ÌÅÖÉÔ ÔÏÞËÁ ó: éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ABC |

ïÌÉÍÉÁÄÙ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ: post s riptum

47

ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÊ É ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÙÊ, Ó ÇÉÏÔÅÎÕÚÏÊ AB = 2, É ÞÔÏ CD = 1. îÁ ÌÕÞÅ, ÒÏ×ÅÄÅÎÎÏÍ ÉÚ ÔÏÞËÉ C; ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÏÍ ÏÔÒÅÚËÕ AD É ÅÇÏ ÅÒÅÓÅËÁÀÝÅÍ, ÏÔÌÏÖÅÎ ÏÔÒÅÚÏË CK = AD. ÏÞÎÏ ÔÁË ÖÅ, ÎÁ ÌÕÞÅ, ÒÏ×ÅÄÅÎÎÏÍ ÉÚ ÔÏÞËÉ C; ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÏÍ ÏÔÒÅÚËÕ ÷D É ÅÇÏ ÅÒÅÓÅËÁÀÝÅÍ, ÏÔÌÏÖÅÎ ÏÔÒÅÚÏË CM = BD. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÔÏÞËÉ K; D; M ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ. òÅÛÅÎÉÅ ÅÄ×Á ÌÉ ÎÅ ËÏÒÏÞÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ. âÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÔÏÞËÁÍ, ÔÅÍÉ ÖÅ (ÎÏ ÍÁÌÅÎØËÉÍÉ) ÂÕË×ÁÍÉ. âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ = 0, a = −1 − i, b = 1 − i É ÕÞÔÅÍ, ÞÔÏ |d| = 1: ÏÇÄÁ

k − d = i(d − a) − d = d(i − 1) − a = (d + 1)(i − 1); m − d = −i(d − 1) − d = −d(i + 1) + bi = (1 − d)(i + 1); É ÌÅÇËÏ Õ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜÔÉÈ Ä×ÕÈ ÞÉÓÅÌ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÅÓÌÉ |d| = 1 | Ô. Å. d ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ Ó ÄÉÁÍÅÔÒÏÍ [−1; 1℄; | ÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (d +1)=(d − 1) ÞÉÓÔÏ ÍÎÉÍÏÅ (×ÅÄØ ÕÇÏÌ, ÏÄ ËÏÔÏÒÙÍ ÉÚ ÔÏÞËÉ d ×ÉÄÅÎ ÄÉÁÍÅÔÒ, | ÒÑÍÏÊ. ÷ÒÏÞÅÍ, ËÏÎ Ï×ËÕ ÔÏÖÅ ÌÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅÍ, ÎÅ ÒÉ×ÌÅËÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ.)

ÅÍÁ ÎÏÍÅÒÁ: ÏÓÎÏ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÁÌÇÅÂÒÙ

÷ÅÒ×ÙÅ ÏÓÎÏ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÁÌÇÅÂÒÙ ÂÙÌÁ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÁ × XVII ×ÅËÅ | ÓÎÁÞÁÌÁ öÉÒÁÒÏÍ (1629), Á ÚÁÔÅÍ äÅËÁÒÔÏÍ, × ÅÇÏ ÚÎÁÍÅÎÉÔÏÊ €çÅÏÍÅÔÒÉɁ, ÉÚÄÁÎÎÏÊ × 1637 Ç. (îÅÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÂÙÌ ÌÉ äÅËÁÒÔ ÚÎÁËÏÍ Ó ÔÒÕÄÏÍ öÉÒÁÒÁ.) ÷ÏÔ ËÁË ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÔ äÅËÁÒÔ ÜÔÕ ÔÅÏÒÅÍÕ: €úÎÁÊÔÅ, ÞÔÏ × ËÁÖÄÏÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÓÔÏÌØËÏ ËÏÒÎÅÊ, ËÁËÏ×Á ÅÇÏ ÓÔÅÅÎØ. [. . . ℄ îÏ ÉÎÏÇÄÁ ÓÌÕÞÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÜÔÉÈ ËÏÒÎÅÊ ÌÏÖÎÙ [ÔÁË äÅËÁÒÔ ÎÁÚÙ×ÁÅÔ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ℄, ÉÌÉ ÄÁÖÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ ÎÉÞÔÏ [ÚÄÅÓØ ÒÅÞØ ÉÄÅÔ Ï ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ËÏÒÎÑÈ℄. ÷ ÓÔÁÔØÑÈ, ÓÏÂÒÁÎÎÙÈ × ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ, ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ ÏÌÔÏÒÁ ÄÅÓÑÔËÁ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ, ÕÔ×ÅÒÖÄÁÀÝÅÊ (ÎÁ ÎÁÛÅÍ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÍ ÑÚÙËÅ), ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ ÂÏÌØÛÅ 0 Ó ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ É ÄÁÖÅ ËÏÍÌÅËÓÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÉÍÅÅÔ ËÏÍÌÅËÓÎÙÊ ËÏÒÅÎØ (ÉÌÉ ÅÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ×ÁÒÉÁÎÔÁ: ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ R ÒÁÚÌÁÇÁÅÔÓÑ ÎÁ ÌÉÎÅÊÎÙÅ É Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ). ä×Å ×ÅÌÉËÉÅ Å×ÒÏÅÊÓËÉÅ ÎÁ ÉÉ | çÅÒÍÁÎÉÑ É æÒÁÎ ÉÑ | ÓÏÒÑÔ ÚÁ ÞÅÓÔØ ÅÒ×ÏÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ. æÒÁÎ ÕÚÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÅÅ ÔÅÏÒÅÍÏÊ äÁÌÁÍÂÅÒÁ, ÎÅÍ Ù | ÔÅÏÒÅÍÏÊ çÁÕÓÓÁ. îÏ ÎÁÄÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÉÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÄÅÉ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÌÉÓØ ÅÝÅ × XVIII ×ÅËÅ üÊÌÅÒÏÍ É ìÁÇÒÁÎÖÅÍ. á × XIX É XX ××. ÓÔÁÌÁ ÑÓÎÁ Ó×ÑÚØ ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÓÏ ×ÓÅÍÉ ËÒÕÎÙÍÉ ÒÁÚÄÅÌÁÍÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÓÍÙÓÌ É ÅÌØ ÔÁËÏÇÏ ÏÂÉÌÉÑ ÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ ÄÁÌÅÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× | ÎÅ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÌÉÛÎÉÊ ÒÁÚ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔÉ ÔÅÏÒÅÍÙ, Á É × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÔØ ÞÉÔÁÔÅÌÑ Ó ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙÍÉ ÏÎÑÔÉÑÍÉ É ÉÄÅÑÍÉ ÁÌÇÅÂÒÙ, ÁÎÁÌÉÚÁ, ÔÅÏÒÉÉ ÆÕÎË ÉÊ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ, ÔÏÏÌÏÇÉÉ, ÔÅÏÒÉÉ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÅÊ, ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ, Ï-Ó×ÏÅÍÕ ÏÂßÑÓÎÑÀÝÉÍÉ ÜÔÕ ×ÅÌÉËÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ. ïÄÎÉÍ ÉÚ Ï×ÏÄÏ× Ë ÏÑ×ÌÅÎÉÀ ÜÔÏÊ ÔÅÍÙ ÓÔÁÌÉ ÎÏ×ÙÅ €×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, ÉÓÏÌØÚÕÀÝÉÅ ÉÄÅÏÌÏÇÉÀ ÔÅÏÒÉÉ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÅÊ ÇÌÁÄËÉÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ, Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁÓÓËÁÚÁÎÏ × ÓÔÁÔØÑÈ á. ÷. ðÕÈÌÉËÏ×Á É (ÞÕÔØ ÉÎÁÞÅ) ð. å. ðÕÛËÁÒÑ. ðÏÑÓÎÉÍ ÚÄÅÓØ ÓÏ×ÓÅÍ ËÏÒÏÔËÏ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÓÎÏ×ÁÎÙ ÜÔÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á.

49

ïÓÎÏ×ÏÊ ÍÎÏÇÉÈ €ËÏÍÌÅËÓÎÙȁ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ ÓÌÕÖÉÔ ÔÏÔ ÆÁËÔ, ÞÔÏ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ ÇÌÁÄËÉÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ C → C | ÜÔÏ ÔÏÞËÉ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ z 7→ z 2 (ÉÌÉ z 7→ z n ), × ËÏÔÏÒÙÈ ÏÂÒÁÚ ÍÁÌÅÎØËÏÇÏ ËÒÕÖËÁ ×ÏËÒÕÇ ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÉ | ÔÁËÏÊ ÖÅ ËÒÕÖÏË, ÔÁË ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ €ÏÔËÒÙÔρ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ. á × ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÂÒÁÚÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ | ÍÁÌÅÎØËÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ 0 | ÄÌÑ ÓÁÍÏÊ ÒÏÓÔÏÊ ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÉ ÔÉÁ x 7→ x2 ÓÌÕÖÉÔ ÏÌÕÉÎÔÅÒ×ÁÌ, Ô. Å. ÏÂÒÁÚÕÅÔÓÑ ÓËÌÁÄËÁ; ÜÔÁ ÓÉÔÕÁ ÉÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÎÁ É ÄÌÑ ÇÌÁÄËÉÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ Rn → Rn . ïÂßÑÓÎÉÍ Ó ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ, ÏÞÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ x2 + px + q = 0 (ÚÄÅÓØ É ÄÁÌÅÅ ×ÓÅ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙ) ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ÉÍÅÅÔ ËÏÒÎÉ. æÏÒÍÕÌÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ (x − a)(x − b) = x2 + px + q ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÇÌÁÄËÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ (a; b) 7→ (p; q), ÏÂÒÁÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ | ÏÂÌÁÓÔØ p2 > 4q; ×ÎÕÔÒÅÎÎÏÓÔØ ÜÔÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏËÒÙ×ÁÅÔÓÑ × Ä×Á ÓÌÏÑ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈÓÑ ÓËÌÁÄËÏÊ ÎÁ ÌÉÎÉÉ p2 = 4q. ðÏÞÅÍÕ ÖÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÉÌÉ, ÓËÁÖÅÍ, ÔÒÅÈ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÈ ÔÒÅÈÞÌÅÎÏ× (x2 + ax + b)(x2 + x + d)(x2 + ex + f ) = x6 + (a + + e)x5 + · · · + bdf ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÀ (a; b; : : : ; f ) 7→ (a + + e; : : : ; bdf ) 6-ÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á R6 ÎÁ R6 ? úÄÅÓØ ÔÁËÖÅ ÅÓÔØ ÏÂÌÁÓÔÉ, ÏËÒÙÔÙÅ ÎÅÓËÏÌØËÉÍÉ ÌÉÓÔÁÍÉ (ÅÓÌÉ ×ÓÅ 6 ËÏÒÎÅÊ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙ É ÒÁÚÌÉÞÎÙ, ÔÏ 15 ÌÉÓÔÁÍÉ, ÏÓËÏÌØËÕ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÛÅÓÔÉ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ÍÏÖÎÏ 15 ÓÏÓÏÂÁÍÉ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ ÔÒÉ ÁÒÙ), ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÅÓÔØ É ÓËÌÁÄËÉ. îÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ €ÏÂÙÞÎÏʁ ÔÏÞËÉ ÓËÌÁÄËÉ ÓÒÅÄÉ ÅÅ ÒÏÏÂÒÁÚÏ× ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ ÔÏÞËÁ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÎÅÔ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ (Ô. Å. ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔÓÑ ÎÁ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ), ÔÁË ÞÔÏ ÎÉ ÏÄÎÁ ÉÚ ÓËÌÁÄÏË ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÓÌÕÖÉÔØ ÇÒÁÎÉ ÅÊ ÏÂÒÁÚÁ. (ëÏÎÅÞÎÏ, ËÒÏÍÅ ÒÏÓÔÙÈ ÏÓÏÂÙÈ ÔÏÞÅË, ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÓËÌÁÄËÉ, ÅÓÔØ É ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÅ, ÎÏ ÏÎÉ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅ ÍÅÎØÛÅÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÇÒÁÎÉ ÅÊ ÏÂÌÁÓÔÉ × R6 .)

50

äÅÓÑÔØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×

÷. ÷. õÓÅÎÓËÉÊ

1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ

÷ÓÑËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ > 1 Ó ËÏÍÌÅËÓÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÉÍÅÅÔ ËÏÍÌÅËÓÎÙÊ ËÏÒÅÎØ. üÔÕ ÔÅÏÒÅÍÕ ÞÁÓÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ . üÔÏ ÏÄÉÎ ÉÚ ÓÁÍÙÈ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ×Ï ×ÓÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ. óÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÒÁÚÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ Ï ×ÏÒÏÓÕ Ï ÔÏÍ, ËÔÏ ÅÒ×ÙÍ ÄÏËÁÚÁÌ ÜÔÕ ÔÅÏÒÅÍÕ (É ÞÔÏ ×ÏÏÂÝÅ ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ: €ÄÏËÁÚÁÔØ ÔÅÏÒÅÍՁ). åÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ É €ÔÅÏÒÅÍÏÊ äÁÌÁÍÂÅÒÁ [16℄, É €ÔÅÏÒÅÍÏÊ üÊÌÅÒÁ{ ìÁÇÒÁÎÖÁ [3℄, ÏÄÎÁËÏ ÞÁÝÅ ×ÓÅÇÏ Ó×ÑÚÙ×ÁÀÔ Ó ÉÍÅÎÅÍ çÁÕÓÓÁ (ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ çÁÕÓÓ ÄÁÌ ÞÅÔÙÒÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ). äÁÄÉÍ ÓÌÏ×Ï æÅÌÉËÓÕ ëÌÅÊÎÕ [4, Ó. 69℄: €ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÁÌÇÅÂÒÙ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÁ É × ÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ÍÅÒÅ ÄÏËÁÚÁÎÁ äÁÌÁÍÂÅÒÏÍ × ÅÇÏ Re her hes sur le al ul integral\ ( éÓÓÌÅÄÏ" " ×ÁÎÉÑ Ï ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÍÕ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÀ\, 1746 Ç.). < · · · > æÒÁÎ ÕÚÙ ÏÜÔÏÍÕ É ÓÅÊÞÁÓ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÜÔÕ ÔÅÏÒÅÍÕ ÔÅÏÒÅÍÏÊ äÁÌÁÍÂÅÒÁ\, Á çÁÕÓÓ " ÎÁÚ×ÁÌ Ó×ÏÀ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÀ demonstratio nova\ ( ÎÏ×ÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï\), " " ÞÅÍ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÄÞÅÒËÎÕÌ, ÞÔÏ ÏÎ ÎÉËÏÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÎÅ ÒÅÔÅÎÄÕÅÔ ÎÁ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÔÁË ÞÁÓÔÏ ÅÍÕ ÒÉÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ, | ÓÏÚÄÁÎÉÅ ÅÒ" ×ÏÇÏ ÓÔÒÏÇÏÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á\ ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ. òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÅÇÏ ÓÏÞÉÎÅÎÉÅ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ ÏÄÒÏÂÎÏÊ ËÒÉÔÉËÏÊ ×ÓÅÈ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔׁ.

á ×ÏÔ ÞÔÏ ÉÛÅÔ Ï ÜÔÏÍÕ Ï×ÏÄÕ î. âÕÒÂÁËÉ [2, Ó. 161{162℄ ( ÉÔÉÒÕÅÍ Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍÉ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑÍÉ): €÷ ÔÅÞÅÎÉÅ XVII É XVIII ××. ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÏÓÔÅÅÎÎÏ ÒÉÈÏÄÑÔ Ë ÕÂÅÖÄÅÎÉÀ, ÞÔÏ ÍÎÉÍÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÄÁÀÝÉÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÒÅÛÁÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ, ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÔÁËÖÅ ÒÅÛÁÔØ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÌÀÂÏÊ ÓÔÅÅÎÉ. ÷ XVIII ×. ÂÙÌÉ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÙ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÏÙÔËÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ; ÓÒÅÄÉ ÎÉÈ ÎÅ ÂÙÌÏ ÎÉ ÏÄÎÏÊ, ËÏÔÏÒÁÑ ÂÙ ÎÅ ×ÙÚÙ×ÁÌÁ ÓÅÒØÅÚÎÙÈ ×ÏÚÒÁÖÅÎÉÊ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ×ÎÉÍÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÉÚÕÞÅÎÉÑ ×ÓÅÈ ÏÙÔÏË ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× É ÄÅÔÁÌØÎÏÊ ËÒÉÔÉËÉ ÉÈ ÒÏÂÅÌÏ× çÁÕÓÓ ÏÓÔÁ×ÉÌ ÅÌØÀ Ó×ÏÅÊ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÉ (ÎÁÉÓÁÎÎÏÊ × 1797 Ç., ÉÚÄÁÎÎÏÊ × 1799 Ç.) ÄÁÔØ, ÎÁËÏÎÅ , ÓÔÒÏÇÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ÚÑ× ÚÁ ÏÓÎÏ×Õ ÉÄÅÀ, ×ÙÓËÁÚÁÎÎÕÀ ÍÉÍÏÈÏÄÏÍ äÁÌÁÍÂÅÒÏÍ, ÏÎ ÚÁÍÅÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÔÏÞËÉ (a; b) ÌÏÓËÏÓÔÉ,

äÅÓÑÔØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ

51

ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ a + bi Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÒÎÑÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ P (x + yi) = X (x; y ) + +iY (x; y ), ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ËÒÉ×ÙÈ X = 0 É Y = 0. ðÕÔÅÍ ËÁÞÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÜÔÉÈ ËÒÉ×ÙÈ ÏÎ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ËÒÉ×ÙÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ. üÔÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï Ï Ó×ÏÅÊ ÑÓÎÏÓÔÉ É ÏÒÉÇÉÎÁÌØÎÏÓÔÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÊ ÒÏÇÒÅÓÓ Ï ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ ÓÏ ×ÓÅÍÉ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÉÍÅÒÏÍ ÞÉÓÔÏ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ, ÒÉÍÅÎÅÎÎÏÇÏ Ë ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÂÌÅÍÅ.

çÁÕÓÓ, ËÒÉÔÉËÕÑ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ äÁÌÁÍÂÅÒÁ, ÄÏÂÁ×ÌÑÅÔ, ÞÔÏ €ÉÓÔÉÎÎÙÊ ÓÔÅÒÖÅÎØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÎÅ ÚÁÔÒÁÇÉ×ÁÅÔÓÑ ×ÓÅÍÉ ÜÔÉÍÉ ×ÏÚÒÁÖÅÎÉÑÍɁ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, Ó ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÒÏÂÅÌÙ × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å äÁÌÁÍÂÅÒÁ ÌÅÇËÏ ÕÓÔÒÁÎÉÔØ. óÕÔØ ÜÔÏÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÁËÏ×Á. ðÕÓÔØ p(z ) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Ó ËÏÍÌÅËÓÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÏÞËÕ a, × ËÏÔÏÒÏÊ ÆÕÎË ÉÑ |p(z )| ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ ÍÉÎÉÍÕÍÁ. ÏÇÄÁ p(a) = 0, ÔÁË ËÁË ÉÎÁÞÅ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÎÁÊÔÉ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ, ÒÉ Ä×ÉÖÅÎÉÉ ×ÄÏÌØ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÉÚ ÔÏÞËÉ a ÍÏÄÕÌØ ÆÕÎË ÉÉ p(z ) ÕÍÅÎØÛÁÌÓÑ ÂÙ. úÄÅÓØ ×ÓÅ ÒÁ×ÉÌØÎÏ, ÎÏ ÏÞÅÍÕ |p(z )| ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ ÍÉÎÉÍÕÍÁ? óÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ËÒÁÔÏË: Ï ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍ ËÏÍÁËÔÎÏÓÔÉ. ïÄÎÁËÏ × 1746 Ç., ËÏÇÄÁ ÏÑ×ÉÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï äÁÌÁÍÂÅÒÁ, ÄÏ ÔÅÏÒÅÍÙ âÏÌØ ÁÎÏ{÷ÅÊÅÒÛÔÒÁÓÓÁ: ×ÓÑËÁÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔ ÒÅÄÅÌØÎÕÀ ÔÏÞËÕ | ÏÓÔÁ×ÁÌÏÓØ ÅÝÅ ÏËÏÌÏ ×ÅËÁ. ðÒÉ×ÙÞÎÏÅ ÖÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ËÏÍÁËÔÎÏÓÔÉ: ×ÓÑËÏÅ ÏÔËÒÙÔÏÅ ÏËÒÙÔÉÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÏÄÏËÒÙÔÉÅ | ÏÑ×ÉÌÏÓØ ÕÖÅ × ÎÁÛÅÍ ×ÅËÅ, ËÏÇÄÁ ð. C. áÌÅËÓÁÎÄÒÏ× É ð. ó. õÒÙÓÏÎ ÒÉÎÑÌÉ ÚÁ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÏÔÒÅÚËÁ, ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÎÏÅ âÏÒÅÌÅÍ É ìÅÂÅÇÏÍ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á üÊÌÅÒÁ É ìÁÇÒÁÎÖÁ ÔÁËÖÅ ÓÏÄÅÒÖÁÌÉ €ÉÓÔÉÎÎÙÅ ÓÔÅÒÖÎɁ, ÎÏ ÉÍÅÌÉ É ÓÅÒØÅÚÎÙÅ ÕÕÝÅÎÉÑ Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÈ ÏÎÑÔÉÊ Ï ÓÔÒÏÇÏÓÔÉ. ÷ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÔÏ ÖÅ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ É Ï ÇÁÕÓÓÏ×ÓËÉÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÁÈ: ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÎÙÅ × ÎÉÈ €ÏÞÅ×ÉÄÎÙŁ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÆÁËÔÙ ÎÕÖÄÁÀÔÓÑ × ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ. ÷ÒÏÞÅÍ, ×Ï ×ÔÏÒÏÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å çÁÕÓÓÁ ×ÓÅ Ó×ÏÄÉÌÏÓØ Ë ÍÉÎÉÍÕÍÕ: Ë ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÏÌÉÎÏÍ ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÉÍÅÅÔ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ËÏÒÅÎØ. óÅÊÞÁÓ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÍÎÏÇÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ; ÎÉÖÅ ÍÙ ÒÉ×ÏÄÉÍ ÄÅÓÑÔØ ÉÚ ÎÉÈ. òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÞÔÏÂÙ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ËÁËÏÇÏ-ÌÉÂÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ, × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÄÎÏÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á (ÜÔÏ ÏÔÌÉÞÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÏÔ ÉÓÔÏÒÉÞÅÓËÏÊ ÎÁÕËÉ ÓÙÇÒÁÌÏ ×ÁÖÎÕÀ ÒÏÌØ ÒÉ ×ÙÂÏÒÅ ×ÅÌÉËÉÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÍ á. î. ëÏÌÍÏÇÏÒÏ×ÙÍ Ó×ÏÅÊ ÒÏÆÅÓÓÉÉ | ÓÍ. [17, Ó. 4℄). îÏ ÎÁÛÁ ÅÌØ ÓÏÓÔÏÉÔ ËÁË ÒÁÚ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÏËÁÚÁÔØ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÉÅ ÍÅÔÏÄÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ, É ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ Ó×ÑÚÉ ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ Ó ÔÏÏÌÏÇÉÅÊ, ËÏÍÌÅËÓÎÙÍ ÁÎÁÌÉÚÏÍ É ÄÒÕÇÉÍÉ ÏÂÌÁÓÔÑÍÉ

52

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×, ÷. ÷. õÓÅÎÓËÉÊ

ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. òÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÁÑ ÎÁÍÉ ÔÅÏÒÅÍÁ ËÁË ÎÉËÁËÁÑ ÄÒÕÇÁÑ ÏÄÈÏÄÉÔ ÄÌÑ ÏÄÏÂÎÙÈ ÅÌÅÊ. îÁÛÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÓÉÌØÎÏ ×ÁÒØÉÒÕÀÔÓÑ Ï ÕÒÏ×ÎÀ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ, É ÏÔÏÍÕ ÎÅ ×ÓÅ ÏÎÉ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÈÏÒÏÛÏ ÏÄÈÏÄÑÔ ÄÌÑ ÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÏÇÏ ÚÎÁËÏÍÓÔ×Á Ó ÔÅÏÒÅÍÏÊ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á 1 É 7 ÏÉÒÁÀÔÓÑ ÎÁ ÍÉÎÉÍÕÍ ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÙÈ Ó×ÅÄÅÎÉÊ, Á × ÄÒÕÇÉÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÁÈ ÍÙ ÓÓÙÌÁÅÍÓÑ ÎÁ ÔÅÏÒÉÀ çÁÌÕÁ ÉÌÉ ÎÁ ÔÅÏÒÅÍÕ ìÅÆÛÅ Á Ï ÎÅÏÄ×ÉÖÎÏÊ ÔÏÞËÅ, ÎÅ ÓÍÕÝÁÑÓØ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÏÎÑÔÉÑ ÎÅ ×ÈÏÄÑÔ × ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÕÀ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÓËÕÀ ÒÏÇÒÁÍÍÕ. úÁÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÎÎÙÊ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÓÕÍÅÅÔ ÎÁÊÔÉ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ Ó×ÅÄÅÎÉÑ × ÉÔÉÒÕÅÍÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ. ÷Ï ÍÎÏÇÉÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÁÈ ÍÙ ÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÏÎÑÔÉÅÍ ÇÏÌÏÍÏÒÆÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ É ÒÉÍÁÎÏ×ÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ; ÜÔÉ ÏÎÑÔÉÑ ×ÏÓÈÏÄÑÔ Ë ëÏÛÉ, òÉÍÁÎÕ É çÅÒÍÁÎÕ ÷ÅÊÌÀ. ÷ ÏÓÎÏ×Å ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Á ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ ÌÅÖÉÔ ÉÄÅÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ: ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ Ó ÌÏÓËÏÓÔØÀ. üÔÁ ÉÄÅÑ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ çÁÕÓÓÕ É ÒÁÚ×É×ÁÅÔ ×ÅÌÉËÕÀ ÍÙÓÌØ äÅËÁÒÔÁ Ï ÅÄÉÎÓÔ×Å ÁÌÇÅÂÒÙ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ: ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÉÌÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÁ×ÉÔØ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÞÉÓÌÁ | ÅÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ, ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÑÚÙË ÁÌÇÅÂÒÙ É ÑÚÙË ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÓÔÁÎÏ×ÑÔÓÑ ×ÚÁÉÍÏÚÁÍÅÎÑÅÍÙÍÉ. óÅÊÞÁÓ ÜÔÏ ËÁÖÅÔÓÑ ÎÁÓÔÏÌØËÏ ÒÉ×ÙÞÎÙÍ, ÞÔÏ ÔÒÕÄÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ, ÎÁÓËÏÌØËÏ ÒÅ×ÏÌÀ ÉÏÎÎÙÍÉ ÂÙÌÉ ÜÔÉ ÉÄÅÉ × Ó×ÏÅ ×ÒÅÍÑ. 2. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ

ðÏÎÑÔÉÅ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÍÙ ÓÞÉÔÁÅÍ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ (ÓÍ. [7, 5℄). îÁÏÍÎÉÍ ÌÉÛØ, ÞÔÏ ×ÓÑËÏÅ ËÏÍÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ a + bi, ÇÄÅ a É b | ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, Á i | ÍÎÉÍÁÑ ÅÄÉÎÉ Á, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ i2 = −1. ëÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÍÏÖÎÏ ÓËÌÁÄÙ×ÁÔØ É ÕÍÎÏÖÁÔØ Ï ÏÂÙÞÎÙÍ ÒÁ×ÉÌÁÍ, ÒÉ ÜÔÏÍ ËÁÖÄÏÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ËÏÍÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ z ÉÍÅÅÔ ÏÂÒÁÔÎÏÅ z −1 . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÏÌÅ. üÔÏ ÏÌÅ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ C. äÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÏÌÑ K ÞÅÒÅÚ K [X ℄ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ËÏÌØ Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁÄ K (ÉÌÉ Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ × K ). íÎÏÇÏÞÌÅÎ Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ × K | ÜÔÏ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ×ÉÄÁ

p(X ) = an X n + · · · + a1 X + a0 ; ÇÄÅ a0 ; : : : ; an ∈ K: ÁËÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÆÕÎË ÉÀ ÉÚ K × K , ËÏÔÏÒÁÑ ËÁÖÄÏÍÕ x ∈ K ÓÔÁ×ÉÔ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔ p(x) = an xn +· · ·+a1 x+a0 ∈ K . ëÏÒÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ p(X ) | ÜÔÏ ÔÁËÏÅ x ∈ K , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ p(x) = 0.

äÅÓÑÔØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ

53

ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ p(X ) | ÜÔÏ ÔÁËÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ n, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ p(X ) = an X n + · · · + a0 É an 6= 0. óÔÅÅÎØ

ìÅÍÍÁ 1. þÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÅÇÏ ÓÔÅÅÎÉ.

äÏËÁÖÅÍ ÌÅÍÍÕ ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï ÓÔÅÅÎÉ n ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ p(X ) = an X n + · · · + a0 ÓÔÅÅÎÉ n ÉÍÅÅÔ Ï ÍÅÎØÛÅÊ ÍÅÒÅ n + 1 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ a1 ; : : : ; an+1 . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ q(X ) = = an (X − a1 ) : : : (X − an ). ÏÇÄÁ p 6= q, ÔÁË ËÁË p(an+1 ) = 0 6= q(an+1 ). òÁÚÎÏÓÔØ r = p − q Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÓÔÅÅÎÉ < n, ÉÍÅÀÝÉÍ Ï ÍÅÎØÛÅÊ ÍÅÒÅ n ËÏpÎÅÊ a1 ; : : : ; an . üÔÏ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ. åÓÌÉ ÏÌÅ K ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ (Ï ÓÔÒÏÅÎÉÉ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÏÌÅÊ ÓÍ. [5, 9℄), ÔÏ ×ÓÑËÉÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ p(X ) ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÕÀ ÆÕÎË ÉÀ (ÏÓËÏÌØËÕ ÞÉÓÌÏ ËÏÒÎÅÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ p(X ) ËÏÎÅÞÎÏ) É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ. íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÎÕÌÅ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÀÔÓÑ Ó ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÏÌÑ K É ËÏÒÎÅÊ ÎÅ ÉÍÅÀÔ. ÷ÓÑËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÉÍÅÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ËÏÒÅÎØ. ÷ÓÑËÉÊ ÌÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ > 2 ÉÍÅÅÔ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÉÎ ËÏÒÅÎØ? ïÔ×ÅÔ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÏÌÑ K . ðÕÓÔØ R | ÏÌÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ (ÉÌÉ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ) ÞÉÓÅÌ. íÎÏÇÏÞÌÅÎ X 2 + 1, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÊ ËÁË ÜÌÅÍÅÎÔ ËÏÌØ Á R[X ℄, ÎÅ ÉÍÅÅÔ ËÏÒÎÅÊ × R, É ÉÍÅÎÎÏ ÜÔÏ ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÓÔ×Ï ÍÏÔÉ×ÉÒÕÅÔ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ ÏÌÑ R ÄÏ ÏÌÑ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ C, × ËÏÔÏÒÏÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ X 2 + 1 ÉÍÅÅÔ ËÏÒÎÉ i É −i. éÚ ËÁÖÄÏÇÏ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÍÏÖÎÏ ÉÚ×ÌÅÞØ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÊ ËÏÒÅÎØ, ÏÜÔÏÍÕ ÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ×ÓÑËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÉÚ C[X ℄ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÉÍÅÅÔ ËÏÒÅÎØ × C. åÓÌÉ ÂÙ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÌ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ p ÉÚ C[X ℄ ÓÔÅÅÎÉ > 2, ÎÅ ÉÍÅÀÝÉÊ ËÏÒÎÅÊ × C, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ ÏÌÑ C, × ËÏÔÏÒÏÍ p ÉÍÅÅÔ ËÏÒÅÎØ (Ï ÁÎÁÌÏÇÉÉ Ó ÔÅÍ, ËÁË ÓÁÍÏ ÏÌÅ C ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅÍ Ë R ËÏÒÎÅÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ X 2 + 1). ëÏÎÅÞÎÏÅ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ ÏÌÑ K | ÜÔÏ ÏÌÅ L, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ K × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÄÏÌÑ É ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ L Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÎÁÄ K . òÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á L ÎÁÄ K ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÔÅÅÎØÀ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÑ L É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ [L : K ℄. ïÄÎÁ ÉÚ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÈ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÏË ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ Õ ÏÌÑ C ÎÅÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ (Ô. Å. ÏÔÌÉÞÎÙÈ ÏÔ ÓÁÍÏÇÏ ÏÌÑ C) ËÏÎÅÞÎÙÈ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÊ. ÅÅÒØ ÄÁÄÉÍ ÏÂÝÅÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ: ÏÌÅ K ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ , ÅÓÌÉ ×ÓÑËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ > 0 Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ × K

54

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×, ÷. ÷. õÓÅÎÓËÉÊ

ÉÍÅÅÔ ËÏÒÅÎØ × K . üË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ, ÏÌÅ K ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÏ, ÅÓÌÉ Õ ÎÅÇÏ ÎÅÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÊ. îÁÍ ÂÕÄÅÔ ÕÄÏÂÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÅÝÅ Ä×Å ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÁ ÉÉ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ÏÌÅÊ. íÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ K ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÍ , ÅÓÌÉ ÏÎ ÉÍÅÅÔ ÓÔÅÅÎØ > 0 É ÎÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ × ×ÉÄÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÉÚ K [X ℄ ÓÔÅÅÎÉ > 0. îÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ × ËÏÌØ Å K [X ℄ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙ ÒÏÓÔÙÍ ÞÉÓÌÁÍ × ËÏÌØ Å Z ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ: ×ÓÑËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÉÚ K [X ℄ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ, ÒÉÞÅÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÏÒÑÄËÁ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ É ÉÈ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÉÚ K . üÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ËÏÌØ Á K [X ℄ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ K [X ℄ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÌØ ÏÍ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× : ËÁÖÄÙÊ ÉÄÅÁÌ ÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÏÄÎÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ. ÷ÓÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÓÔÅÅÎÉ 1 ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙ, Á ÏÂÒÁÔÎÏÅ ×ÅÒÎÏ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÌÅ K ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÏ. ðÕÓÔØ E | ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ ÏÌÅÍ K É A : E → E | ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ. ÷ÅËÔÏÒ v ∈ E ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ ÏÅÒÁÔÏÒÁ A, ÅÓÌÉ v 6= 0 É Av = v ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ  ∈ K . ÅÏÒÅÍÁ 1. äÌÑ ×ÓÑËÏÇÏ ÏÌÑ 1) ×ÓÑËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÉÚ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÏÌÅ 2) ÅÓÌÉ

E

K

K [X ℄

K

ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÙ:

ÓÔÅÅÎÉ

>0

ÉÍÅÅÔ ËÏÒÅÎØ ×

| ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ

ÄÑÝÅÅÓÑ Ë ÎÕÌÀ, ÔÏ ×ÓÑËÉÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ

A:E

ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ; 3) ÏÌÅ

K

K

(ÉÎÙÍÉ

ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÏ);

ÎÅ ÉÍÅÅÔ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÊ, ÏÔÌÉÞÎÙÈ ÏÔ

4) ×ÓÑËÉÊ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ

K

K , ÎÅ Ó×ÏE ÉÍÅÅÔ



K;

ÉÍÅÅÔ ÓÔÅÅÎØ

1.

1) =⇒ 2). ðÕÓÔØ A : E → E | ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ É p(X ) = = det(X · 1E − A) | ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÅÒÁÔÏÒÁ A. úÄÅÓØ 1E | ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ × E . åÓÌÉ K ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÏ, ÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ p ÉÍÅÅÔ ËÏÒÅÎØ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ  ∈ K ÏÅÒÁÔÏÒ  · 1E − A ÉÍÅÅÔ ÎÕÌÅ×ÏÊ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ É ÏÔÏÍÕ ( · 1E − A)v = 0 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ v ∈ E . ÏÇÄÁ Av = v, ÔÁË ÞÔÏ v | ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ ÏÅÒÁÔÏÒÁ A. 2) =⇒ 3). ðÕÓÔØ L | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ ÏÌÑ K . úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ x ∈ L, É ÕÓÔØ A : L → L | ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ x, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ A(y) = xy. óÏÇÌÁÓÎÏ 2), Õ ÏÅÒÁÔÏÒÁ A ÅÓÔØ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ ÎÁÄ K . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, xv = Av = v ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ; v ∈ K , v 6= 0. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, x =  ∈ K É L = K .

äÅÓÑÔØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ

55

3) =⇒ 4). åÓÌÉ p ∈ K [X ℄ | ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ n > 1, ÔÏ ÆÁËÔÏÒËÏÌØ Ï ËÏÌØ Á K [X ℄ Ï ÉÄÅÁÌÕ, ÏÒÏÖÄÅÎÎÏÍÕ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ p, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅÍ ÏÌÑ K (ÓÔÅÅÎÉ n). 4) =⇒ 1). üÔÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ×ÓÑËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÒÁÚÌÁÇÁÅÔÓÑ × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ. íÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÏÓÎÏ×ÎÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÔÁË: ÏÌÅ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÔÅÏÒÅÍÙ 1. íÏÖÎÏ ÄÁÔØ ÅÝÅ ÏÄÎÕ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Õ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ, ÏÔÎÏÓÑÝÕÀÓÑ ÕÖÅ Ë ÏÌÀ R ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ: ×ÓÑËÉÊ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ R ÉÍÅÅÔ ÓÔÅÅÎØ 6 2. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÚÁÍËÎÕÔÏÓÔÉ ÏÌÑ C. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ a ∈ C ÕÓÔØ pa ∈ R[X ℄ | ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÞÉÓÌÁ a, Ô. Å. ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ×ÏÚÍÏÖÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ, ÉÍÅÀÝÉÊ a Ó×ÏÉÍ ËÏÒÎÅÍ. çÌÁ×ÎÙÊ ÉÄÅÁÌ {p ∈ R[X ℄ : p(a) = 0} ËÏÌØ Á R[X ℄ ÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ pa . éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ×ÓÑËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÉÚ R[X ℄, ÉÍÅÀÝÉÊ a Ó×ÏÉÍ ËÏÒÎÅÍ, ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ pa . åÓÌÉ a ∈ R, ÔÏ pa = X − a, ÅÓÌÉ ÖÅ a ∈ C\R, ÔÏ pa = (X − a)(X − a), ÇÄÅ a ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÞÉÓÌÏ, ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÏÅ Ë a (ÅÓÌÉ a = x + yi, x; y ∈ R, ÔÏ a = x − yi). ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ÔÅÅÒØ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ, ÞÔÏ ÏÌÅ C ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÏ. ðÕÓÔØ q ∈ R[X ℄ | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ > 2. ÏÇÄÁ q ÉÍÅÅÔ ËÏÒÅÎØ a ∈ C. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, q ÄÅÌÉÔÓÑ × R[X ℄ ÎÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ pa ÓÔÅÅÎÉ 6 2 É ÏÔÏÍÕ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÍ. ïÂÒÁÔÎÏ, ÕÓÔØ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ × R[X ℄ ÉÍÅÀÔ ÓÔÅÅÎØ 6 2. ÏÇÄÁ ×ÓÑËÉÊ ÏÔÌÉÞÎÙÊ ÏÔ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÉÚ R[X ℄ ÒÁÚÌÁÇÁÅÔÓÑ × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ 6 2 É ÏÔÏÍÕ ÉÍÅÅÔ ËÏÒÅÎØ × C. ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ p | ÏÔÌÉÞÎÙÊ ÏÔ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ C, Á p | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÉÚ p ÚÁÍÅÎÏÊ ×ÓÅÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÎÁ ËÏÍÌÅËÓÎÏ-ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÅ. íÎÏÇÏÞÌÅÎ pp ÉÍÅÅÔ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÍÅÅÔ ËÏÒÅÎØ a ∈ C. þÉÓÌÏ a Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÌÉÂÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ p, ÌÉÂÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ p. ÷ ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÓÌÕÞÁÅ a Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÄÌÑ p. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, p ÉÍÅÅÔ ËÏÒÅÎØ. 3.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á

ðÕÓÔØ p(z ) = z n + an−1 z n−1 + · · · + a0 | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ n > 1 Ó ËÏÍÌÅËÓÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ (ÓÔÁÒÛÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÍÙ ÓÞÉÔÁÅÍ ÒÁ×ÎÙÍ ÅÄÉÎÉ Å, ÜÔÏ ÎÅ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÅÔ ÏÂÝÎÏÓÔÉ). ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ p ÎÅ ÉÍÅÅÔ ËÏÒÎÅÊ, É ÒÉÄÅÍ Ë ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ. ðÕÓÔØ z ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ Ä×ÉÖÅÔÓÑ Ï ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÒÁÄÉÕÓÁ R Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÎÕÌÅ × ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ (Ô. Å. ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ). ÏÞËÁ z n ÂÕÄÅÔ ÒÉ ÜÔÏÍ Ä×ÉÇÁÔØÓÑ Ï ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÒÁÄÉÕÓÁ Rn Ó ÕÇÌÏ×ÏÊ ðÅÒ×ÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.



56

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×, ÷. ÷. õÓÅÎÓËÉÊ

ÓËÏÒÏÓÔØÀ, × n ÒÁÚ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÅÊ ÕÇÌÏ×ÕÀ ÓËÏÒÏÓÔØ ÔÏÞËÉ z . üÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ z × €ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍŁ: ÅÓÌÉ z = R( os ' + + sin '), ÔÏ z n = Rn ( os n' + sin n'). ëÏÇÄÁ z ÓÏ×ÅÒÛÁÅÔ ÏÄÉÎ ÏÌÎÙÊ ÏÂÏÒÏÔ, ÔÏÞËÁ z n ÓÏ×ÅÒÛÁÅÔ n ÏÂÏÒÏÔÏ× ×ÏËÒÕÇ ÎÕÌÑ. ðÏÌÏÖÉÍ b(z ) = = an−1 z n−1 + · · · + a0 . ðÒÉ ÂÏÌØÛÉÈ R ÞÉÓÌÏ b(z ) ÒÅÎÅÂÒÅÖÉÍÏ ÍÁÌÏ Ï ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó z n , ÏÜÔÏÍÕ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÔÏÞËÉ p(z ) = z n + b(z ), ÅÓÌÉ ÎÁÂÌÀÄÁÔØ ÅÇÏ ÉÚÄÁÌÅËÁ, ÂÕÄÅÔ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÅÏÔÌÉÞÉÍÏ ÏÔ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÔÏÞËÉ z n . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÔÏÞËÁ p(z ) ÓÏ×ÅÒÛÁÅÔ ÓÔÏÌØËÏ ÖÅ ÏÂÏÒÏÔÏ× ×ÏËÒÕÇ ÎÕÌÑ, ÓËÏÌØËÏ É z n , Ô. Å. n ÏÂÏÒÏÔÏ×. óÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÚÄÅÓØ ÔÏ, ÞÔÏ ÏÔÒÅÚÏË, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÊ p(z ) Ó z n , ÎÅ ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ 0 (ÒÉ |b(z )| < |z n |), ÏÜÔÏÍÕ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÔÏÞÅË p(z ) É z n ÍÏÖÎÏ ÒÏÄÅÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÔØ ÏÄÎÏ × ÄÒÕÇÏÅ, ÎÅ ÒÏÈÏÄÑ ÒÉ ÜÔÏÍ ÞÅÒÅÚ 0 É ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÎÅ ÍÅÎÑÑ ÞÉÓÌÁ ÏÂÏÒÏÔÏ×. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÅÓÌÉ R ÂÌÉÚËÏ Ë ÎÕÌÀ, ÔÏ p(z ) ÂÌÉÚËÏ Ë a0 . ëÏÇÄÁ z ÓÏ×ÅÒÛÁÅÔ ÏÌÎÙÊ ÏÂÏÒÏÔ Ï ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÍÁÌÏÇÏ ÒÁÄÉÕÓÁ, p(z ) ÏÉÓÙ×ÁÅÔ ÚÁÍËÎÕÔÕÀ ËÒÉ×ÕÀ ×ÂÌÉÚÉ a0 . ðÏÓËÏÌØËÕ a0 6= 0 (ÉÎÁÞÅ p ÉÍÅÌ ÂÙ ËÏÒÅÎØ 0), ÔÁËÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ÎÅ ÏÈ×ÁÔÙ×ÁÅÔ ÎÕÌÑ, ÔÁË ÞÔÏ ÒÉ ÍÁÌÙÈ R ÔÏÞËÁ p(z ) ÓÏ×ÅÒÛÁÅÔ 0 ÏÂÏÒÏÔÏ× ×ÏËÒÕÇ ÎÕÌÑ. âÕÄÅÍ ÔÅÅÒØ ÍÅÎÑÔØ R É ÓÌÅÄÉÔØ ÚÁ ÔÅÍ, ËÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ n(R) ÏÂÏÒÏÔÏ× ÓÏ×ÅÒÛÁÅÔ ÔÏÞËÁ p(z ) ×ÏËÒÕÇ ÎÕÌÑ, ËÏÇÄÁ z ÄÅÌÁÅÔ ÏÄÉÎ ÏÌÎÙÊ ÏÂÏÒÏÔ Ï ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÒÁÄÉÕÓÁ R. €þÉÓÌÏ ÏÂÏÒÏÔÏׁ ÔÏÞËÉ p(z ) ×ÏËÒÕÇ ÎÕÌÑ ÂÙÌÏ ÂÙ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ, ÅÓÌÉ ÂÙ ÜÔÁ ÔÏÞËÁ ÒÉ Ó×ÏÅÍ Ä×ÉÖÅÎÉÉ ÒÏÈÏÄÉÌÁ ÞÅÒÅÚ ÎÕÌØ. ÁË ËÁË ÍÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ p(z ) 6= 0 ÒÉ ×ÓÅÈ z , ÔÏ n(R) ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÒÉ ×ÓÅÈ R. ñÓÎÏ, ÞÔÏ n(R) ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ R. ðÏÓËÏÌØËÕ ÆÕÎË ÉÑ n(R) ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÔÏÌØËÏ ÅÌÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÏÎÁ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÏÓÔÏÑÎÎÁ. ïÄÎÁËÏ ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ, ÞÔÏ n(R) = n ÒÉ ÂÏÌØÛÉÈ R É n(R) = 0 ÒÉ ÍÁÌÙÈ R | ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. ◮ üÔÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ × [6℄. îÅÑÓÎÏ, ËÔÏ ÒÉÄÕÍÁÌ ÅÇÏ ÅÒ×ÙÍ; ëÏÌÍÏÇÏÒÏ× ÉÚÌÁÇÁÌ ÅÇÏ × Ó×ÏÉÈ ÌÅË ÉÑÈ × 30-Å ÇÏÄÙ. ÷ÏÔ ËÁË ÉÛÕÔ Ï ÜÔÏÍ ÷. ç. âÏÌÔÑÎÓËÉÊ É é. í. ñÇÌÏÍ [8, Ó.11℄: €÷ 1937 ÇÏÄÕ × Ó×ÏÅÊ ÌÅË ÉÉ "ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÁÌÇÅÂÒÙ\ ÁËÁÄÅÍÉË á. î. ëÏÌÍÏÇÏÒÏ× ÉÚÌÏÖÉÌ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Õ ÏÌÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ËÏÒÎÑ Õ ×ÓÑËÏÇÏ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. üÔÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï, ÏÌÕÞÉ×ÛÅÅ × ÛËÏÌØÎÏÍ ËÒÕÖËÅ ÎÁÉÍÅÎÏ×ÁÎÉÅ "äÁÍÁ Ó ÓÏÂÁÞËÏÊ\ (ÅÓÌÉ ÄÁÍÁ ÇÕÌÑÅÔ ×ÏËÒÕÇ ÄÏÍÁ Ó ÓÏÂÁÞËÏÊ ÎÁ Ï×ÏÄËÅ, ÔÏ ÓÏÂÁÞËÁ ÂÕÄÅÔ ×ÙÎÕÖÄÅÎÁ ÓÄÅÌÁÔØ ÓÔÏÌØËÏ ÖÅ ÏÂÏÒÏÔÏ× ×ÏËÒÕÇ ÄÏÍÁ, ÓËÏÌØËÏ É ÓÁÍÁ ÄÁÍÁ) ×ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ ÔÏÞÎÏ × ÔÁËÏÊ ÖÅ ÆÏÒÍÅ ÂÙÌÏ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÏ × [6℄. ãÅÎÉÔÅÌÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÓÔÒÏÇÏÓÔÉ ÍÏÇÕÔ ÏÓÔÁÔØÓÑ ÎÅÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÅÎÎÙÍÉ ÔÁËÉÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅÍ: ×ÅÄØ ÍÙ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÉÌÉ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ €ÞÉÓÌÏ ÏÂÏëÏÍÍÅÎÔÁÒÉÊ.

äÅÓÑÔØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ

57

ÒÏÔÏׁ, É ÎÅ ÄÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÏÎÏ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÏÓÔÏÑÎÎÙÍ ÒÉ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÄÅÆÏÒÍÁ ÉÑÈ. õËÁÖÅÍ, ËÁË ÕÓÔÒÁÎÉÔØ ÜÔÉ ÎÅÄÏÓÔÁÔËÉ. ðÕÓÔØ f | ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ËÏÍÌÅËÓÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 1℄ É ÒÉÎÉÍÁÀÝÁÑ ÒÁ×ÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÁ ËÏÎ ÁÈ ÏÔÒÅÚËÁ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ f (t) 6= 0 ÒÉ ×ÓÅÈ t. ÏÇÄÁ ÞÉÓÌÏ ÏÂÏÒÏÔÏ× ×ÏËÒÕÇ ÎÕÌÑ, ÓÏ×ÅÒÛÁÅÍÙÈ ÔÏÞËÏÊ f (t) ÒÉ Ä×ÉÖÅÎÉÉ t ÏÔ 0 Ë 1 (ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ W (f )), ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÕÓÔØ U = {z ∈ C : |z | = 1} | ÅÄÉÎÉÞÎÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, É e : R → U | ÆÕÎË ÉÑ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ e(t) = os 2t + i sin 2t (ÜÔÁ ÆÕÎË ÉÑ €ÎÁÍÁÔÙ×ÁÅԁ ÒÑÍÕÀ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ). ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ÓÅÒ×Á, ÞÔÏ f ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ × U, ÔÏ ÅÓÔØ ÞÔÏ |f (t)| = 1 ÒÉ ×ÓÅÈ t. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ h : [0; 1℄ → R, ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ f (t) = e(h(t)) ÄÌÑ ×ÓÅÈ t ∈ [0; 1℄. åÓÌÉ h′ | ÄÒÕÇÁÑ ÆÕÎË ÉÑ Ó ÔÁËÉÍ ÖÅ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ÔÏ h′ = h + ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ (Ñ×ÌÑÀÝÅÊÓÑ ÅÌÙÍ ÞÉÓÌÏÍ), ÏÜÔÏÍÕ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ W (f ) = h(1) − h(0) ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ. üÔÏ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏÍ ÏÂÏÒÏÔÏ×. ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ f ÎÅÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÌÅÖÁÔ × U, ÏÌÁÇÁÅÍ W (f ) = W (g), ÇÄÅ g : [0; 1℄ → U | ÆÕÎË ÉÑ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ g(t) = f (t)=|f (t)|. ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ s ∈ [0; 1℄ ÚÁÄÁÎa ÆÕÎË ÉÑ fs : [0; 1℄ → C\{0}, ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ fs(0) = fs (1). ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï {fs } ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÁÒÁÍÅÔÒÁ s × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ F (s; t) = fs (t) ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ Ë×ÁÄÒÁÔÅ [0; 1℄2 . ÏÇÄÁ W (fs) ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ s (ÜÔÏ É ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ÏÂÏÒÏÔÏ× ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ ÒÉ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÄÅÆÏÒÍÁ ÉÑÈ). äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ F ÌÅÖÁÔ × U (ÏÂÝÉÊ ÓÌÕÞÁÊ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÜÔÏÍÕ ÚÁÍÅÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ F ÎÁ F=|F |). óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ H : [0; 1℄2 → R, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ F = e ◦ H . ãÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ W (fs) = H (s; 1) − H (s; 0) ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ s É ÏÔÏÍÕ ÏÓÔÏÑÎÎÏ. ðÒÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÞÉÓÌÁ W (f ) É ÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÅÇÏ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÓÔÉ ÒÉ ÄÅÆÏÒÍÁ ÉÑÈ ÍÙ ÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÆÕÎË ÉÉ e : R → U: ÅÓÌÉ X | ÏÔÒÅÚÏË ÉÌÉ Ë×ÁÄÒÁÔ É F : X → U | ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ H : X → R ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ F = e ◦ H . ÁËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ H ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÎÑÔÉÅÍ ÆÕÎË ÉÉ F ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ e. óÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÏÄÎÑÔÉÊ × ÎÁÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ: ÎÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ X | Ë×ÁÄÒÁÔ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ X ÎÁ ÍÁÌÅÎØËÉÅ Ë×ÁÄÒÁÔÉËÉ, ÏÂÒÁÚ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÉ F Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ U, É ÓÔÒÏÉÔØ ÏÄÎÑÔÉÅ H ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÎÁ ÜÔÉÈ Ë×ÁÄÒÁÔÉËÁÈ, ÒÏÈÏÄÑ ÉÈ ÒÑÄ ÚÁ ÒÑÄÏÍ. îÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ e Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÉÍÅÒÏÍ ÎÁËÒÙÔÉÑ , É ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÌÁÔØÓÑ ÎÁ ÏÂÝÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ: ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÏÄÎÏÓ×ÑÚÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ×ÓÅÇÄÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÄÎÑÔÏ × ÎÁËÒÙÔÉÅ [15, 13℄.

58

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×, ÷. ÷. õÓÅÎÓËÉÊ

íÙ ÏÒÅÄÅÌÉÌÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ e ÞÅÒÅÚ ÓÉÎÕÓ É ËÏÓÉÎÕÓ. ðÒÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÏÓÎÏ× ÁÎÁÌÉÚÁ ÂÏÌÅÅ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÓÔÕÉÔØ ÎÁÏÂÏÒÏÔ: ÓÅÒ×Á ××ÅÓÔÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ e, Á ÚÁÔÅÍ ÞÅÒÅÚ ÎÅÇÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÓÉÎÕÓ P n É ËÏÓÉÎÕÓ [12℄. éÍÅÎÎÏ, e(t) = e2it , ÇÄÅ ez = ∞ n=0 z =n! ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ z . ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÎÁËÒÙÔÉÅ e : R → U Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÇÒÕ. ◭ íÎÏÇÏÞÌÅÎ p ∈ C[X ℄ ÓÔÅÅÎÉ n ÚÁÄÁÅÔ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÓÔÅÅÎÉ n ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÒÑÍÏÊ × ÓÅÂÑ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÜÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏ ÒÉ n > 0. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ p(z ) = 0 ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ. ◮

÷ÔÏÒÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï [10℄.

ðÏÑÓÎÉÍ ÏÎÑÔÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÙ × ÜÔÏÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å. äÌÑ ÎÁÛÉÈ ÅÌÅÊ ËÏÍÌÅËÓÎÕÀ ÒÏÅËÔÉ×ÎÕÀ ÒÑÍÕÀ CP 1 ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÒÏÓÔÏ ËÁË ÏÄÎÏÔÏÞÅÞÎÕÀ ËÏÍÁËÔÉÆÉËÁ ÉÀ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á C. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, CP 1 = C ∪ {∞}, ÒÉÞÅÍ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÑÍÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÓÌÕÖÁÔ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ ÄÏ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× × C. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï CP 1 ÉÍÅÅÔ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÌÁÄËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑ, ÒÉ ÜÔÏÍ CP 1 ÄÉÆÆÅÏÍÏÒÆÎÏ Ä×ÕÍÅÒÎÏÊ ÓÆÅÒÅ. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ p : C → C ÒÏÄÏÌÖÁÅÔÓÑ ÄÏ ÇÌÁÄËÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ p^ : CP 1 → CP 1 ÔÁËÏÇÏ, ÞÔÏ p^(∞) = ∞. ëÁÖÄÏÍÕ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÍÕ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÀ ÍÅÖÄÕ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÍÉ ËÏÍÁËÔÎÙÍÉ Ó×ÑÚÎÙÍÉ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÍÉ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑÍÉ ÏÄÎÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÅ ÓÔÅÅÎØÀ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ. ÷ ÅÒ×ÏÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÍÙ ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ ××ÅÌÉ (ÏÄ ÎÁÚ×ÁÎÉÅÍ €ÞÉÓÌÏ ÏÂÏÒÏÔÏׁ) ÏÎÑÔÉÅ ÓÔÅÅÎÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ × ÓÅÂÑ. äÌÑ ÇÌÁÄËÉÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÇÌÁÄËÉÈ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÊ ÓÔÅÅÎØ ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÕÓÔØ f : M → N | ÇÌÁÄËÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ kÍÅÒÎÙÍÉ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÍÉ ËÏÍÁËÔÎÙÍÉ Ó×ÑÚÎÙÍÉ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑÍÉ. ÏÞËÁ x ∈ M ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÒÉÔÉÞÅÓËÏÊ , ÅÓÌÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌ dfx , Ñ×ÌÑÀÝÉÊÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Tx M × ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Tf (x) N , ×ÙÒÏÖÄÅÎ. ÏÞËÁ y ∈ N ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ , ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÒÁÚÏÍ ÎÉËÁËÏÊ ËÒÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ x ∈ M . éÚ ÔÅÏÒÅÍÙ óÁÒÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ [10℄, ÞÔÏ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ. ðÕÓÔØ y ∈ N ÒÅÇÕÌÑÒÎÏ. ÏÇÄÁ ÞÉÓÌÏ ÔÏÞÅË x ∈ X , ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ f (x) = y, ËÏÎÅÞÎÏ. ðÕÓÔØ x1 ; : : : ; xp ; xp+1 ; : : : ; xp+q | ×ÓÅ ÔÁËÉÅ ÔÏÞËÉ, ÒÉÞÅÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÀ × ÔÏÞËÁÈ x1 ; : : : ; xp É ÏÂÒÁÝÁÅÔ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÀ × ÔÏÞËÁÈ xp+1 ; : : : ; xp+q . óÔÅÅÎØÀ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ p − q. äÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÇÏ y ∈ N . åÓÌÉ f (M ) ÏÔÌÉÞÎÏ ÏÔ N , ÔÏ ÓÔÅÅÎØ ëÏÍÍÅÎÔÁÒÉÊ.

äÅÓÑÔØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ

59

ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ, ÔÁË ËÁË ÌÀÂÏÅ y ∈ N \ f (M ) ÒÅÇÕÌÑÒÎÏ, Á ÄÌÑ ÔÁËÏÇÏ y ÍÙ ÉÍÅÅÍ p = q = 0. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÅÓÌÉ ÓÔÅÅÎØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f : M → N ÏÔÌÉÞÎÁ ÏÔ ÎÕÌÑ, ÔÏ f (M ) = N . äÌÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ p^ : CP 1 → CP 1 ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ ÓÌÕÖÁÔ ÎÕÌÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ p′ É (ÒÉ n > 1) ÔÏÞËÁ ∞. ÁËÉÈ ÔÏÞÅË ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. ÷Ï ×ÓÑËÏÊ ÎÅËÒÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÅ z ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÎÁ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ËÏÍÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ p′ (z ) É ÏÔÏÍÕ ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÀ. ïÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÔÅÅÎØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ^Ò ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ^Ò ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏ. îÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÓÔÅÅÎØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ p^ ÒÁ×ÎÁ n. üÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÇÏ y ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ p(z ) = y ÉÍÅÅÔ n ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ p^ : CP 1 → CP 1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ n-ÌÉÓÔÎÙÍ ÒÁÚ×ÅÔ×ÌÅÎÎÙÍ ÎÁËÒÙÔÉÅÍ [14℄. äÌÑ ÔÁËÉÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÔÅÅÎÉ (Ô. Å. ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ y) ÏÞÅ×ÉÄÎÁ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÏ×ÅÄÅÎÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÉÍÅÅÔ ×ÁÒÉÁÎÔ, ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÝÉÊ ÏÔ ÏÂÝÅÇÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÔÅÅÎÉ. ÒÅÔØÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. òÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ, ÎÁÍÅÞÅÎÎÏÅ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÁÂÚÁ Å, ÍÏÖÎÏ ÏÂÏÂÝÉÔØ. ◭ îÅÏÓÔÏÑÎÎÏÅ ÇÏÌÏÍÏÒÆÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ËÏÍÁËÔÎÙÍÉ Ó×ÑÚÎÙÍÉ ÒÉÍÁÎÏ×ÙÍÉ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÑÍÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ n-ÌÉÓÔÎÙÍ ÒÁÚ×ÅÔ×ÌÅÎÎÙÍ ÎÁËÒÙÔÉÅÍ ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ n > 0 É ÏÔÏÍÕ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏ [14℄. ðÒÉÍÅÎÉÍ ÜÔÕ ÔÅÏÒÅÍÕ Ë ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÀ p^ : CP 1 → CP 1 , ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÍÕ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ p ÓÔÅÅÎÉ n > 0. ëÏÍÌÅËÓÎÁÑ ÒÏÅËÔÉ×ÎÁÑ ÒÑÍÁÑ CP 1 ÉÍÅÅÔ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ËÏÍÁËÔÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÊ ÒÉÍÁÎÏ×ÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, Á ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ p^ ÇÏÌÏÍÏÒÆÎÏ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, p^ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, p ÉÍÅÅÔ ËÏÒÅÎØ. ◮ òÉÍÁÎÏ×Á Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ | ÜÔÏ ÇÏÌÏÍÏÒÆÎÏÅ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ 1. ÁËÏÅ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏËÒÙÔÏ ÏÔËÒÙÔÙÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ, ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÂÉÇÏÌÏÍÏÒÆÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ (Ô. Å. ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ËÁË ÒÉÍÁÎÏ×Á Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ) ÏÔËÒÙÔÏÍÕ ÅÄÉÎÉÞÎÏÍÕ ËÒÕÇÕ U × C. ÷ÓÑËÏÅ ÇÏÌÏÍÏÒÆÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f : X → Y ÏÄÎÏÊ ÒÉÍÁÎÏ×ÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÄÒÕÇÕÀ ÌÏËÁÌØÎÏ ÕÓÔÒÏÅÎÏ ÔÁË ÖÅ, ËÁË ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ z 7→ z k ÉÚ U × ÓÅÂÑ ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ k > 0 [14, ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 2.1℄. ÏÞÎÅÅ, ÕÓÔØ x ∈ X É y = f (x). åÓÌÉ f ÎÅÏÓÔÏÑÎÎÏ ÎÁ ËÏÍÏÎÅÎÔÅ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ X , ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ ÔÏÞËÕ x, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ Ox É Oy ÔÏÞÅË x É y ÎÁ X É Y , ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÙ ÒÉÍÁÎÏ×ÙÈ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ ' : U → Ox É : Oy → U É ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ k > 0, ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ '(0) = x, ëÏÍÍÅÎÔÁÒÉÊ.

60

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×, ÷. ÷. õÓÅÎÓËÉÊ

(y) = 0, f (Ox) = Oy É f'(z ) = z k ÄÌÑ ×ÓÅÈ z ∈ U . ëÁÖÄÁÑ ÔÏÞËÁ × Oy \ {y} ÉÍÅÅÔ ÒÏ×ÎÏ k ÒÏÏÂÒÁÚÏ× × Ox. þÉÓÌÏ k ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎÄÅËÓÏÍ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f × ÔÏÞËÅ x. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÜÔÏÔ ÉÎÄÅËÓ ÞÅÒÅÚ ef (x). åÓÌÉ ef (x) > 0, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ f ÒÁÚ×ÅÔ×ÌÅÎÏ × x. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ X É Y ËÏÍÁËÔÎÙ É Ó×ÑÚÎÙ. ðÕÓÔØ y ∈ Y , f −1(y) = {x1 ; : : : ; xp }, ki = ef (xi ), i = 1; : : : ; p. õ ÔÏÞËÉ y ÅÓÔØ ÔÁËÁÑ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ Oy, ÞÔÏ f −1 (Oy) = Ox1 ∪ · · · ∪ Oxp , ÒÉÞÅÍ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ Ox1 ; : : : ; Oxp ÏÁÒÎÏ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f |Oxi : Oxi → Oy ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÀ z 7→ z k ËÒÕÇÁ U × ÓÅÂÑ, i = 1; : : : ; p. ðÏÌÏÖÉÍ n = n(y) = k1 + · · · + kp. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ y′ ∈ Oy \ {y} ÒÏÏÂÒÁÚ f −1 (y′ ) ÓÏÓÔÏÉÔ ÒÏ×ÎÏ ÉÚ n ÔÏÞÅË, × ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f ÎÅ ÒÁÚ×ÅÔ×ÌÅÎÏ, ÏÜÔÏÍÕ n(y′ ) = n. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÆÕÎË ÉÑ n(y) ÌÏËÁÌØÎÏ ÏÓÔÏÑÎÎÁ ÎÁ Y . ÷×ÉÄÕ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ Y ÏÎÁ ÏÓÔÏÑÎÎÁ É ×ÓÀÄÕ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ n. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, n(y) > 0 ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ y ∈ Y , ÔÁË ÞÔÏ f ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏ. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ÞÔÏ f Ñ×ÌÑÅÔÓÑ n-ÌÉÓÔÎÙÍ ÒÁÚ×ÅÔ×ÌÅÎÎÙÍ ÎÁËÒÙÔÉÅÍ, ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ f ÕÓÔÒÏÅÎÏ ÔÁË, ËÁË ÏÉÓÁÎÏ ×ÙÛÅ. i

◭ íÎÏÇÏÞÌÅÎ p ÓÔÅÅÎÉ n ÚÁÄÁÅÔ ÍÅÒÏÍÏÒÆÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ ÎÁ CP 1 Ó ÏÌÀÓÏÍ ÏÒÑÄËÁ n × ÔÏÞËÅ ∞. íÅÒÏÍÏÒÆÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÎÁ ËÏÍÁËÔÎÏÊ ÒÉÍÁÎÏ×ÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÕÌÅÊ É ÏÌÀÓÏ×, ÅÓÌÉ ËÁÖÄÙÊ ÎÕÌØ É ÏÌÀÓ ÓÞÉÔÁÔØ ÓÔÏÌØËÏ ÒÁÚ, ËÁËÏ×Á ÅÇÏ ËÒÁÔÎÏÓÔØ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ p ÉÍÅÅÔ, Ó ÕÞÅÔÏÍ ËÒÁÔÎÏÓÔÅÊ, ÒÏ×ÎÏ n ÎÕÌÅÊ. ◮

þÅÔ×ÅÒÔÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï [14, 16℄.

íÅÒÏÍÏÒÆÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÎÁ ÒÉÍÁÎÏ×ÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ X | ÜÔÏ ÔÁËÁÑ ÇÏÌÏÍÏÒÆÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f : X \ D, ÞÔÏ D ÚÁÍËÎÕÔÏ É ÄÉÓËÒÅÔÎÏ × X , Á f ÉÍÅÅÔ ÏÌÀÓ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ a ∈ D, Ô. Å. limx→a |f (x)| = ∞. ÁËÕÀ ÆÕÎË ÉÀ ÍÏÖÎÏ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÉÔØ Ó ÇÏÌÏÍÏÒÆÎÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ ÉÚ X × CP 1 , ËÏÔÏÒÕÀ ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÓÎÏ×Á ÞÅÒÅÚ f . ïÒÅÄÅÌÉÍ ÏÒÑÄÏË ordx f ÆÕÎË ÉÉ f × ÔÏÞËÅ x ∈ X . ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ÄÌÑ ÒÏÓÔÏÔÙ, ÞÔÏ X = U É x = 0. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏ ÔÁËÏÅ ÅÌÏÅ k, ÞÔÏ f (z ) = z k g(z ) ÒÉ ×ÓÅÈ z ∈ U \ {0}, ÇÄÅ g | ÇÏÌÏÍÏÒÆÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ × U , ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ g(0) 6= 6= 0. ðÏÌÁÇÁÅÍ ordx f = k . üÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÅÒÅÎÏÓÉÔÓÑ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÒÉÍÁÎÏ×Ù Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. åÓÌÉ k = ordx f > 0, ÔÏ f ÉÍÅÅÔ ÎÕÌØ ÏÒÑÄËÁ k (ÉÌÉ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ k) × ÔÏÞËÅ x, ÅÓÌÉ ordx f = −k < 0, ÔÏ f ÉÍÅÅÔ ÏÌÀÓ ÏÒÑÄËÁ k. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ÞÔÏ ÍÅÒÏÍÏÒÆÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f ÎÁ ËÏÍÁËÔÎÏÊ ÒÉÍÁÎÏ×ÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ X ÉÍÅÅÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÕÌÅÊ É ÏÌÀÓÏ×, ÏÚÎÁÞÁÅÔ, P ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ x∈X ordx f , × ËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÌØËÏ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÞÌÅÎÏ× ÏÔÌÉÞÎÏ ÏÔ ÎÕÌÑ, ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ. âÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ f ËÁË ÇÏÌÏÍÏÒÆÎÏÅ ëÏÍÍÅÎÔÁÒÉÊ.

äÅÓÑÔØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ

61

ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÉÚ X × CP 1 . åÓÌÉ x | ÎÕÌØ ÆÕÎË ÉÉ f , ÔÏ ÉÎÄÅËÓ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ ef (x) ÒÁ×ÅÎ ÏÒÑÄËÕ P ordx (f ), ÅÓÌÉ x | ÏÌÀÓ, ÔÏ ef (x) = − ordx (f ). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï x∈X ordx f = 0 ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÎÏÇÏ × ÒÅP ÄÙÄÕÝÅÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÏÓÔÏÑÎÓÔ×Á ÆÕÎË ÉÉ y 7→ n(y) = f (x)=y e(x), ËÏÔÏÒÁÑ ËÁÖÄÏÍÕ y ∈ CP 1 ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÕÍÍÕ ÉÎÄÅËÓÏ× ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ Ï ×ÓÅÍ ÔÏÞËÁÍ x ∈ f −1 (y). äÁÄÉÍ ÄÒÕÇÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÇÏ ÆÁËÔÁ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÏÅ ÎÁ ÏÎÑÔÉÉ ×ÙÞÅÔÁ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÙ É ÎÁ ÔÅÏÒÅÍÅ óÔÏËÓÁ. ◭ íÅÒÏÍÏÒÆÎÁÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ! × ÏÔËÒÙÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å X ⊂ C ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ! = f dz , ÇÄÅ f | ÍÅÒÏÍÏÒÆÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ × X . ÷ÙÞÅÔ resx ! ÆÏÒÍÙ ! × ÔÏÞËÅ x ∈ X | ÜÔÏ ÄÅÌÅÎÎÙÊ ÎÁ 2i ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÆÏÒÍÙ ! Ï ËÒÁÀ P ÍÁÌÅÎØËÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ x. åÓÌÉ f ÉÍÅÅÔ ÏÌÀÓ n × ÔÏÞËÅ x É f (z ) = ∞ n=k an (z − x) , ÇÄÅ k = ordx f < 0, ÔÏ resx f dz = a−1 . åÓÌÉ f ÇÏÌÏÍÏÒÆÎÁ × x, ÔÏ resx f dz = 0. ðÏÎÑÔÉÅ ÍÅÒÏÍÏÒÆÎÏÊ ÆÏÒÍÙ É ÅÅ ×ÙÞÅÔÁ × ÔÏÞËÅ ÅÒÅÎÏÓÉÔÓÑ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÒÉÍÁÎÏ×Ù Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ ×ÙÞÅÔÏ× ÍÅÒÏÍÏÒÆÎÏÊ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÎÁ ËÏÍÁËÔÎÏÊ ÒÉÍÁÎÏ×ÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ. ðÕÓÔØ ! | ÍÅÒÏÍÏÒÆÎÁÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÎÁ ËÏÍÁËÔÎÏÊ ÒÉÍÁÎÏ×ÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ X , É x1 ; : : : ; xn ∈ X | ×ÓÅ ÏÌÀÓÁ ÆÏÒÍÙ !. ïËÒÕÖÉÍ ËÁÖÄÙÊ ÏÌÀÓ xj ÍÁÌÅÎØËÏÊ ÏÔËÒÙÔÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØÀ Vj Ó ÇÌÁÄËÏÊ ÇÒÁÎÉ ÅÊ É ÏÌÏÖÉÍ V = V1 ∪ · · · ∪ Vn . ÏÇÄÁ X

x∈X

resx ! =

n X j =1

resx ! = j

n Z X

j =1 Vj

!=2i =

Z

V

!=2i:

ðÒÉ ÜÔÏÍ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ V ÉÍÅÅÔ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÀ ÒÉÍÁÎÏ×ÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, Á V ÉÍÅÅÔ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÀ ËÒÁÑ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ËÏÍÁËÔÎÏÅ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅ Ó ËÒÁÅÍ Y = X \ V . åÇÏ ËÒÁÅÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅ Y = −V , ÇÄÅ ÚÎÁË ÍÉÎÕÓ ÕËÁÚÙ×ÁÅÔ ÎÁ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ. ðÒÉÍÅÎÉÍ ÔÅÏÒÅÍÕ óÔÏËÓÁ Ë RÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÀ Y É R ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ !. óÏÇÌÁÓÎÏ ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ, Y ! = Y d!. æÏÒÍÁ ! ÇÏÌÏÍÏÒÆÎÁ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ X \{x1 ; : : : ; xn } ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑ Y É ÏÔÏÍÕ ÚÁÍËÎÕÔÁ: d! = 0. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, X

x∈X

resx ! =

Z

V

!=2i = −

Z

Y

!=2i = 0;

ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ. ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ f | ÍÅÒÏÍÏÒÆÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÎÁ ËÏÍÁËÔÎÏÊ ÒÉÍÁÎÏ×ÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ X . äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ f ÉÍÅÅÔ P ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÕÌÅÊ É ÏÌÀÓÏ× (Ó ÕÞÅÔÏÍ ËÒÁÔÎÏÓÔÅÊ), Ô. Å. ÞÔÏ x∈X ordx f = 0. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÅÒÏÍÏÒÆÎÕÀ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ! = df=f . üÔÁ ÆÏÒÍÁ ÉÍÅÅÔ ÏÌÀÓÁ

62

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×, ÷. ÷. õÓÅÎÓËÉÊ

× ÎÕÌÑÈ É ÏÌÀÓÁÈ ÆÕÎË ÉÉ f , ÒÉÞÅÍ resx ! = ordx f ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ x ∈ X . äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÜÔÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÍÏÖÎÏ ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØÓÑ ÓÌÕÞÁÅÍ, ËÏÇÄÁ x = 0 É f (z ) = z k g(z ), ÇÄÅ g(z ) ÇÏÌÏÍÏÒÆÎÁ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÎÕÌÑ É g(0) 6= 0. ÏÇÄÁ ! = df=f = kdz=z + dg=g. æÏÒÍÁ dg=g ÇÏÌÏÍÏÒÆÎÁ × ÎÕÌÅ, ÏÜÔÏÍÕ res0 ! = res0 kdz=z = k = ord0 f . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, X

x∈X

ordx f =

X

x∈X

resx ! = 0:



íÙ ×ÉÄÅÌÉ, ÞÔÏ ÏÓÎÏ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÁÌÇÅÂÒÙ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÆÁËÔÁ: ×ÓÑËÏÅ ÎÅÏÓÔÏÑÎÎÏÅ ÇÏÌÏÍÏÒÆÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f : M → N ÍÅÖÄÕ ËÏÍÁËÔÎÙÍÉ Ó×ÑÚÎÙÍÉ ÒÉÍÁÎÏ×ÙÍÉ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÑÍÉ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏ. ÷Ù×ÅÄÅÍ ÜÔÏÔ ÆÁËÔ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÏÔËÒÙÔÏÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ: f ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÏÔËÒÙÔÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á × ÏÔËÒÙÔÙÅ. ◭ éÚ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÏÔËÒÙÔÏÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ f (M ) ÏÔËÒÙÔÏ × N . ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÔÁË ËÁË M ËÏÍÁËÔÎÏ, ÔÏ É f (M ) ËÏÍÁËÔÎÏ É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÚÁÍËÎÕÔÏ × N . ÁË ËÁË N Ó×ÑÚÎÏ, Ô. Å. ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÎÅÕÓÔÙÈ ÏÔËÒÙÔÏ-ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÔÏ f (M ) = N .◮ ðÑÔÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï [14℄.

ðÏ ÓÕÔÉ ÄÅÌÁ, ÜÔÏ É ÅÓÔØ €ÉÓÔÉÎÎÙÊ ÓÔÅÒÖÅÎ؁ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á äÁÌÁÍÂÅÒÁ. äÌÑ äÁÌÁÍÂÅÒÁ ÂÙÌ, ×ÅÒÏÑÔÎÏ, ÏÞÅ×ÉÄÅÎ ÔÏÔ ÆÁËÔ, ÞÔÏ f (C) ÚÁÍËÎÕÔÏ, É ÔÏÇÄÁ (× ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÑ ËÏÒÎÑ) ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÔÏÞËÕ ÜÔÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÂÌÉÖÁÊÛÕÀ Ë ÎÕÌÀ. á ÄÁÌÅÅ äÁÌÁÍÂÅÒ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÌ, ÞÔÏ ÜÔÏ ×ÅÄÅÔ Ë ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ, Ï ÓÕÔÉ ÄÅÌÁ, ÄÏËÁÚÙ×ÁÑ ÏÔËÒÙÔÏÓÔØ f . äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÏÎ ÒÁÚÌÁÇÁÌ ÏÂÒÁÔÎÕÀ Ë f ÆÕÎË ÉÀ × ÒÑÄ Ï ÄÒÏÂÎÙÍ ÓÔÅÅÎÑÍ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÎÅ ÚÎÁÑ ÔÏÇÏ, ÞÅÍÕ ÓÅÊÞÁÓ ÕÞÁÔ Õ ÎÁÓ ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ËÕÒÓÅ, äÁÌÁÍÂÅÒ ÎÅ ÍÏÇ ÄÏËÁÚÁÔØ Ó×ÏÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÌÕÞÉÔØ ÈÏÒÏÛÕÀ Ï ÅÎËÕ Õ ÒÉÄÉÒÞÉ×ÏÇÏ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÇÏ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÑ, ÎÏ ÓÕÔØ ÄÅÌÁ ÏÎ ÏÎÉÍÁÌ ÒÅËÒÁÓÎÏ! ëÏÍÍÅÎÔÁÒÉÊ.

ðÒÅÄÙÄÕÝÅÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÉÍÅÅÔ ×ÁÒÉÁÎÔ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÓÓÙÌËÁ ÎÁ ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ÏÔËÒÙÔÏÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÓÓÙÌËÏÊ ÎÁ ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ. ◭ ðÕÓÔØ p | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ > 0, f = p^ : CP 1 → CP 1 | ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÅ ÜÔÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ. ðÕÓÔØ X ⊂ CP 1 | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ×ÓÅÈ ÎÕÌÅÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ p′ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ p É ÉÚ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ. ÷ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ x ∈ CP 1 \ X ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎ, É ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ f Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÏËÁÌØÎÙÍ ÄÉÆÆÅÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ × ÔÏÞËÅ x. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, f

ûÅÓÔÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

äÅÓÑÔØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ

63

ÏÔËÒÙÔÏ × x, Ô. Å. ÏÂÒÁÚ ÌÀÂÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ x Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØÀ ÔÏÞËÉ f (x). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï V = f (CP 1 \ X ) ÏÔËÒÙÔÏ × CP 1 . ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï F = f (CP 1 ) ËÏÍÁËÔÎÏ É ÏÔÏÍÕ ÚÁÍËÎÕÔÏ. ÁË ËÁË F = V ∪ f (X ), ÒÁÚÎÏÓÔØ F \ V ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × f (X ) É ÏÔÏÍÕ ËÏÎÅÞÎÁ. ðÏÓËÏÌØËÕ CP 1 ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÏ Ä×ÕÍÅÒÎÏÊ ÓÆÅÒÅ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÌÅÍÍÕ: ìÅÍÍÁ. ðÕÓÔØ

V

É

F

| ÔÁËÉÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á Ä×ÕÍÅÒÎÏÊ ÓÆÅÒÙ

ÞÔÏ V ÏÔËÒÙÔÏ É ÎÅÕÓÔÏ, F F = S2 .

ÚÁÍËÎÕÔÏ,

V

⊂F É

F \V

S2 ,

ËÏÎÅÞÎÏ. ÏÇÄÁ

ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ÒÏÔÉ×ÎÏÅ: ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÏÞËÁ a ∈ S2 \ F . ÷ÏÚØÍÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÔÏÞËÕ b ∈ V . ÏÞËÉ a É b ÍÏÖÎÏ ÓÏÅÄÉÎÉÔØ ÎÁ ÓÆÅÒÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÕÔÅÊ, ÏÁÒÎÏ ÎÅ ÉÍÅÀÝÉÈ ÏÂÝÉÈ ÔÏÞÅË, ËÒÏÍÅ a É b. ëÁÖÄÙÊ ÉÚ ÜÔÉÈ ÕÔÅÊ ÄÏÌÖÅÎ ÅÒÅÓÅËÁÔØÓÑ Ó ÇÒÁÎÉ ÅÊ V ÍÎÏÖÅÓÔ×Á V . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË × V . üÔÏ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ V ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ËÏÎÅÞÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å F \ V . ◮ ◭

ðÏ-×ÉÄÉÍÏÍÕ, ÓÁÍÏÅ ÒÏÓÔÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï, ËÏÔÏÒÏÅ ÞÁÝÅ ÄÒÕÇÉÈ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ × ÕÞÅÂÎÉËÁÈ, ÔÁËÏ×Ï [7, 12℄. ◭ ðÕÓÔØ, ËÁË É ÒÁÎØÛÅ, p(z ) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ n > 0. ÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÏÞËÁ a ∈ C, × ËÏÔÏÒÏÊ ÆÕÎË ÉÑ |p(z )| ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ ÍÉÎÉÍÕÍÁ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÔÁË ËÁË |p(z )| ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ ÒÉ z , ÓÔÒÅÍÑÝÅÍÓÑ Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ, ÔÏ inf z∈C |p(z )| = inf z∈B |p(z )|, ÇÄÅ B | ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÊ ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ËÒÕÇ. îÉÖÎÑÑ ÇÒÁÎØ inf z∈B |p(z )| ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ × ÓÉÌÕ ËÏÍÁËÔÎÏÓÔÉ ËÒÕÇÁ B . ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ p(a) 6= 0. úÁÍÅÎÑÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ p(z ) ÎÁ p(z + a)=p(a), ÍÙ Ó×ÏÄÉÍ ÄÅÌÏ Ë ÓÌÕÞÁÀ, ËÏÇÄÁ p(0) = 1 É |p(z )| > 1 pÉ ×ÓÅÈ z . ðÕÓÔØ p(z ) = 1+ak z k +· · ·+an z n , ÇÄÅ ak 6= 0. ó×ÅÄÅÍ ÄÅÌÏ Ë ÓÌÕÞÁÀ, ËÏÇÄÁ ak = −1. éÚ ËÁÖÄÏÇÏ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÍÏÖÎÏ ÉÚ×ÌÅÞØ ËÏÒÅÎØ k-Ê ÓÔÅÅÎÉ (ÜÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÚÁÉÓÉ ÞÉÓÌÁ × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ). ðÕÓÔØ | ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÞÔÏ k = −1=ak . úÁÍÅÎÑÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ p(z ) ÎÁ p( z ) = 1 − z k + : : : · · · + an n z n , ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ak = −1. úÁÉÛÅÍ p(z ) × ×ÉÄÅ p(z ) = 1 − z k + b(z ). ëÏÇÄÁ z ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë ÎÕÌÀ, |b(z )| ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÁÌÏ Ï ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó |z k |. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ x | ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÁÌÏÅ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ |b(x)| < xk . ðÒÉ ÔÁËÉÈ x ÉÍÅÅÍ |p(x)| = |1 − xk + b(x)| 6 1 − xk + |b(x)| < 1 | ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. ◮ óÅÄØÍÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

üÔÏ ÕÒÏÝÅÎÉÅ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÉÄÅÉ äÁÌÁÍÂÅÒÁ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ Û×ÅÊ ÁÒÓËÏÍÕ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ áÒÇÁÎÕ (1814). îÏ É ÏÎ (× ÎÁÞÁÌÅ ÒÏÛÌÏÇÏ

ëÏÍÍÅÎÔÁÒÉÊ.

64

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×, ÷. ÷. õÓÅÎÓËÉÊ

×ÅËÁ) ÎÅ ÓÍÏÇ ÂÙ ËÁË ÓÌÅÄÕÅÔ ÏÂßÑÓÎÉÔØ, ÏÞÅÍÕ ÚÁÄÁÞÁ ÎÁ ÍÉÎÉÍÕÍ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ. ÷ÅÄØ ÔÏÇÄÁ ÅÝÅ ÎÅ ÒÏÄÉÌÉÓØ ÷ÅÊÅÒÛÔÒÁÓÓ, äÅÄÅËÉÎÄ É ëÁÎÔÏÒ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÓÔÒÏÉÌÉ ÔÅÏÒÉÀ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï p(a) = 0, ÇÄÅ a | ÔÏÞËÁ, × ËÏÔÏÒÏÊ |p(z )| ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ ÍÉÎÉÍÕÍÁ, ×ÙÔÅËÁÅÔ ÔÁËÖÅ ÉÚ ÒÉÎ ÉÁ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ ÍÏÄÕÌÑ . óÏÇÌÁÓÎÏ ÜÔÏÍÕ ÒÉÎ ÉÕ, ÍÏÄÕÌØ ÎÅÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ÇÏÌÏÍÏÒÆÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ × Ó×ÑÚÎÏÍ ÏÔËÒÙÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å, ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÄÏÓÔÉÇÁÔØ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ. ÷ ÎÁÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁÄÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÜÔÏÔ ÒÉÎ É Ë ÆÕÎË ÉÉ 1=p. æÕÎË ÉÑ 1=p ÆÉÇÕÒÉÒÕÅÔ É × ÎÁÛÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å. ◭ ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ p(z ) ÓÔÅÅÎÉ > 0 ÎÅ ÉÍÅÅÔ ËÏÒÎÅÊ. ÏÇÄÁ ÆÕÎË ÉÑ 1=p ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÒÉ ×ÓÅÈ z ∈ C, ÇÏÌÏÍÏÒÆÎÁ É ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë ÎÕÌÀ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ. ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ ìÉÕ×ÉÌÌÑ ÜÔÁ ÆÕÎË ÉÑ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ | ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. ◮

÷ÏÓØÍÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï [14, 16℄.

ëÏÍÍÅÎÔÁÒÉÊ. ÅÏÒÅÍÁ ìÉÕ×ÉÌÌÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÁÑ ÇÏÌÏÍÏÒÆÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÒÉ ×ÓÅÈ z ∈ C, ÏÓÔÏÑÎÎÁ. åÓÔØ É ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÁÑ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ: ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÁÑ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÎÁ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Rn , ÏÓÔÏÑÎÎÁ. ëÏÍÌÅËÓÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f , ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ × ÏÔËÒÙÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å U ⊂ Rn , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÊ , ÅÓÌÉ ÏÎÁ Ä×ÁÖÄÙ P ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÁ É ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ ìÁÌÁÓÁ ni=1  2 f=x2i = 0. îÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f , ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ × U , Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÄÌÑ ÎÅÅ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÓÒÅÄÎÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ: ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÛÁÒÁ B , ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏÓÑ × U , ÚÎÁÞÅÎÉÅR ÆÕÎË ÉÉ f × ÅÎÔÒÅ ÛÁÒÁ ÒÁ×ÎÏ ÅÅ €ÓÒÅÄÎÅÍÕ Ï ÛÁÒՁ, Ô. Å. ÉÎÔÅÇÒÁÌÕ B f , ÄÅÌÅÎÎÏÍÕ ÎÁ ÏÂßÅÍ ÛÁÒÁ. ëÁÖÄÁÑ ÇÏÌÏÍÏÒÆÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÊ. äÏËÁÖÅÍ ÔÅÏÒÅÍÕ ìÉÕ×ÉÌÌÑ Ï ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÑÈ, ÉÓÈÏÄÑ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÓÒÅÄÎÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ. ðÕÓÔØ f | ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÎÁ Rn. äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ |f (x)| 6 M ÒÉ ×ÓÅÈ x ∈ Rn , É ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ f ÏÓÔÏÑÎÎÁ. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ a; b ∈ Rn . ðÕÓÔØ A É B | ÛÁÒÙ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÇÏ ÂÏÌØÛÏÇÏ ÒÁÄÉÕÓÁ Ó ÅÎÔÒÁÍÉ a É b. ðÏÌÏÖÉÍ C = A ∩ B . îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ m(A \ C )=m(A) ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë ÎÕÌÀ, ËÏÇÄÁ ÒÁÄÉÕÓÙ ÛÁÒÏ× A É B ÓÔÒÅÍÑÔÓÑ Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ (ÞÅÒÅÚ m(X ) ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍR ÏÂßÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á XR). óÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ Ï R ÓÒÅÄÎÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ, f (a) = A f=m(A) = ( C f + A\C f )=m(A). óÌÁÇÁÅR ÍÏÅ A\C f=m(A) 6 m(A \ C )M=m(A) ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë ÎÕÌÀ Ó ÒÏÓÔÏÍ ÒÁR ÄÉÕÓÁ ÛÁÒÁ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, f (a) ÒÁ×ÎÏ ÒÅÄÅÌÕ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ C f=m(A).

äÅÓÑÔØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ

65

ðÏ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÒÉÞÉÎÁÍ f (b) ÒÁ×ÎÏ ÜÔÏÍÕ ÖÅ ÒÅÄÅÌÕ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, f (a) = f (b). ðÏÎÑÔÉÅ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÊ ÆÕÎË ÉÉ É ÔÅÏÒÅÍÁ ìÉÕ×ÉÌÌÑ ÅÒÅÎÏÓÑÔÓÑ ÎÁ ÆÕÎË ÉÉ ÓÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ÂÁÎÁÈÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ðÕÓÔØ X | ËÏÍÌÅËÓÎÏÅ ÂÁÎÁÈÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, B (X ) | ÂÁÎÁÈÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÉÚ X × ÓÅÂÑ. óÅËÔÒÏÍ ÏÅÒÁÔÏÒÁ A ∈ B (X ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÅÈ  ∈ C, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒ A −  · 1X ÎÅÏÂÒÁÔÉÍ. íÙ ×ÉÄÅÌÉ × ÒÁÚÄÅÌÅ 2, ÞÔÏ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÁÑ ÚÁÍËÎÕÔÏÓÔØ ÏÌÑ C ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ Ó×ÏÊÓÔ×Õ: ÅÓÌÉ E | ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ C ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ > 0, ÔÏ ×ÓÑËÉÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ A : E → E ÉÍÅÅÔ ÎÅÕÓÔÏÊ ÓÅËÔÒ. ðÏÜÔÏÍÕ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÕÀ é. í. çÅÌØÆÁÎÄÕ, ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÕÓÉÌÅÎÉÅ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ: ÅÓÌÉ X | ËÏÍÌÅËÓÎÏÅ ÂÁÎÁÈÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÎÅ Ó×ÏÄÑÝÅÅÓÑ ÎÕÌÀ, ÔÏ ×ÓÑËÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ A ∈ B (X ) ÉÍÅÅÔ ÎÅÕÓÔÏÊ ÓÅËÔÒ. üÔÁ ÔÅÏÒÅÍÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ ìÉÕ×ÉÌÌÑ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÏÅÒÁÔÏÒ f () = A −  · 1X ÏÂÒÁÔÉÍ ÄÌÑ ×ÓÅÈ  ∈ C. ÏÇÄÁ ÆÕÎË ÉÑ g : C → B (X ), ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ g() = f ()−1 , ÇÏÌÏÍÏÒÆÎÁ É ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë ÎÕÌÀ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ. ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ ìÉÕ×ÉÌÌÑ ÏÎÁ ÄÏÌÖÎÁ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÑÔØÓÑ ÎÕÌÀ | ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. ÷ÅÒÎÅÍÓÑ Ë ÉÚÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÀ ÜÔÏÇÏ ÕÎËÔÁ, ÞÔÏÂÙ ÒÉÄÁÔØ ÞÕÔØ ÄÒÕÇÕÀ ÆÏÒÍÕ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ. ◭ ðÕÓÔØ Ï-ÒÅÖÎÅÍÕ p | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ ÂÏÌØÛÅ 0, ÎÅ ÉÍÅÀÝÉÊ ËÏÒÎÅÊ. éÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ 1=p ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë ÎÕÌÀ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ, ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ Z dz 1 → 0: 6 2 max |z |=R zp(z ) |z |=R p(z ) R→∞ ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÆÕÎË ÉÑ 1=zp(z ) ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÏÌÀÓ × ÎÕÌÅ Ó ×ÙÞÅÔÏÍ 1=p(0), É Ï ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ×ÙÞÅÔÁÈ Z

dz = 2i zp (z ) |z |=R

ÌÀÂÏÇÏ R > 0 | ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ.◮ éÄÅÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ×ÏÓÈÏÄÉÔ Ë ëÏÛÉ. íÙ ÏËÁÚÁÌÉ × ÒÁÚÄÅÌÅ 2, ÞÔÏ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÁÑ ÚÁÍËÎÕÔÏÓÔØ ÏÌÑ C ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ: ÅÓÌÉ E | ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ C ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ n + 1, ÔÏ ×ÓÑËÉÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ A : E → E ÉÍÅÅÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ. íÏÖÎÏ äÅ×ÑÔÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.



66

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×, ÷. ÷. õÓÅÎÓËÉÊ

ÒÅÄÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ ÏÅÒÁÔÏÒ A ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎ, ÔÁË ËÁË × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ: ÔÁËÏ×Ù ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÑÄÒÁ. ðÕÓÔØ P (E ) = CP n | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× × E . üÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ n-ÍÅÒÎÙÍ ËÏÍÌÅËÓÎÙÍ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ É ÉÍÅÅÔ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ËÏÍÁËÔÎÏÇÏ ÇÌÁÄËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑ. ïÅÒÁÔÏÒ A ÉÎÄÕ ÉÒÕÅÔ ÇÌÁÄËÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ A^ : CP n → CP n. óÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÏÅÒÁÔÏÒÁ A ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÍ ÔÏÞËÁÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ A^. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁÍ ÎÁÄÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ A^ ÉÍÅÅÔ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÕÀ ÔÏÞËÕ. üÔÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ ìÅÆÛÅ Á. ◮ îÅÏÄ×ÉÖÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X × ÓÅÂÑ | ÜÔÏ ÔÁËÏÅ x ∈ X , ÞÔÏ f (x) = x. ÅÏÒÅÍÁ ìÅÆÛÅ Á ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f : X → X ËÏÍÁËÔÎÏÇÏ ÏÌÉÜÄÒÁ × ÓÅÂÑ ÉÍÅÅÔ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÕÀ ÔÏÞËÕ, ÅÓÌÉ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÅ ÞÉÓÌÏ ìÅÆÛÅ Á L(f ) ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f ÏÔÌÉÞÎÏ ÏÔ ÎÕÌÑ [13, 11℄. íÙ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ÏÒÅÄÅÌÑÔØ ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ f , Á ÏÇÒÁÎÉÞÉÍÓÑ ÓÌÕÞÁÅÍ, ËÏÇÄÁ f ÇÏÍÏÔÏÎÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÍÕ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÀ idX (Ô. Å. f É idX ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÓÏÅÄÉÎÅÎÙ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÍ ÕÔÅÍ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å C (X; X ) ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ X × ÓÅÂÑ). ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ L(f ) ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÜÊÌÅÒÏ×ÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÏÊ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á X . üÊÌÅÒÏ×Á ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÁ (X ) ËÏÍÁËÔÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑ X ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÕÓÔØ F0 ⊂ F1 ⊂ : : : ⊂ Fn = X | ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× × X , ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ Fk \ Fk−1 ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÁ ÄÉÚßÀÎËÔÎÏÊ ÓÕÍÍÅ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ak ÜËÚÅÍÌÑÒÏ× ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Rk . íÙ ÓÞÉÔÁÅÍ, P ÞÔÏ F−1 = ∅, ÔÁË ÞÔÏ F0 | ÜÔÏ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. ÏÇÄÁ (X ) = nk=0 (−1)k ak . üÔÏ ÞÉÓÌÏ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ F0 ; : : : ; Fn . îÕÖÎÙÊ ÎÁÍ ×ÁÒÉÁÎÔ ÔÅÏÒÅÍÙ ìÅÆÛÅ Á ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÔÁË: ÅÓÌÉ X | ËÏÍÁËÔÎÏÅ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÜÊÌÅÒÏ×ÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ, ÔÏ ×ÓÑËÏÅ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f : X → X , ÇÏÍÏÔÏÎÏÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÍÕ, ÉÍÅÅÔ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÕÀ ÔÏÞËÕ. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÔÅÏÒÅÍÁ ÒÉÍÅÎÉÍÁ Ë ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÀ A^ : CP n → CP n , ÉÎÄÕ ÉÒÏ×ÁÎÎÏÍÕ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÍ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ A : E → E . üÊÌÅÒÏ×Á ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÁ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á CP n ÒÁ×ÎÁ n +1. üÔÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ ÅÏÞËÉ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× CP 0 ⊂ CP 1 ⊂ : : : CP n , × ËÏÔÏÒÏÊ ËÁÖÄÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ CP k \ CP k−1 ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÁ Ck . ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÇÒÕÁ GL(E ) ×ÓÅÈ ÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÉÚ E × ÓÅÂÑ Ó×ÑÚÎÁ. üÔÏ ÌÅÇËÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á E . íÏÖÎÏ ÔÁËÖÅ ÒÁÓÓÕÖÄÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÕÓÔØ L = L(E; E ) | ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅëÏÍÍÅÎÔÁÒÉÊ.

äÅÓÑÔØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ

67

ÎÉÊ ÉÚ E × ÓÅÂÑ. çÒÕÁ GL(E ) ÓÌÕÖÉÔ ÄÏÏÌÎÅÎÉÅÍ × L Ë ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ D = {B ∈ L : det B = 0}. íÎÏÖÅÓÔ×Ï D ÉÍÅÅÔ × L ËÏÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ 2 É ÏÔÏÍÕ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÒÁÚÂÉ×ÁÔØ L. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÔÏÞÅË x; y ∈ GL(E ) = L \ D ËÏÍÌÅËÓÎÁÑ ÒÑÍÁÑ l ⊂ L, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÁÑ x É y, ÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ Ó D Ï ËÏÎÅÞÎÏÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ, ÏÜÔÏÍÕ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÏÍÁÎÁÑ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÁÑ x y × l É ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÝÁÑÓÑ Ó D. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × ÇÒÕÅ GL(E ) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÕÔØ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÊ ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ Ó A. ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÕÔØ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÊ A^ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å C (CP n; CP n ) Ó ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ, Ô. Å. ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ A^ ÇÏÍÏÔÏÎÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÍÕ. ðÒÏ×ÅÄÅÎÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÍÏÖÎÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ × ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÅÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ. ðÕÓÔØ G | Ó×ÑÚÎÁÑ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÕÁ, H | ÔÁËÁÑ ÚÁÍËÎÕÔÁÑ ÏÄÇÒÕÁ × G, ÞÔÏ ÆÁËÔÏÒÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï G=H Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÍÁËÔÎÙÍ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅÍ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÜÊÌÅÒÏ×ÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ. ÏÇÄÁ ËÁÖÄÏÅ g ∈ G ÓÏÒÑÖÅÎÏ Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÉÚ H . äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, Ï ÔÅÏÒÅÍÅ ìÅÆÛÅ Á ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ xH 7→ gxH ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á G=H × ÓÅÂÑ ÉÍÅÅÔ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÕÀ ÔÏÞËÕ aH . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, gaH = aH , ÏÔËÕÄÁ a−1 ga ∈ H . ÷ÙÛÅ ÍÙ ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÌÉ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ G = GL(E ), Á H | ÏÄÇÒÕÁ ×ÓÅÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ A ∈ G, ÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÊ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÕÀ ÒÑÍÕÀ × E . ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÆÁËÔÏÒÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï G=H ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ Ó ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ CP n , ÇÄÅ n = dim E − 1. íÏÖÎÏ ÄÁÔØ ÅÝÅ ÏÄÎÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ, ÒÉÎÑ× ÚÁ H ÏÄÇÒÕÕ ×ÓÅÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÉÚ G, ÉÍÅÀÝÉÈ ×ÅÒÈÎÅÔÒÅÕÇÏÌØÎÙÅ ÍÁÔÒÉ Ù (Ô. Å. Ó ÎÕÌÑÍÉ ÎÉÖÅ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ) ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ × E . ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÆÁËÔÏÒÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï G=H Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÍ €ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅÍ ÆÌÁÇÏׁ. ïÎÏ ËÏÍÁËÔÎÏ É ÉÍÅÅÔ ÜÊÌÅÒÏ×Õ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÕ (n+1)!. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÅ g ∈ G ÓÏÒÑÖÅÎÏ Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÏÄÇÒÕÙ H , ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ g ∈ G ÉÍÅÅÔ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ. üÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ ÁÌÇÅÂÒÙ. õËÁÖÅÍ ÅÝÅ ÏÄÎÏ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ×ÙÛÅ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÇÒÕÁÈ. ðÕÓÔØ G | Ó×ÑÚÎÁÑ ËÏÍÁËÔÎÁÑ ÇÒÕÁ ìÉ (Ô. Å. ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÕÁ, Ñ×ÌÑÀÝÁÑÓÑ ÇÌÁÄËÉÍ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅÍ). ÏÒÏÍ × G ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÇÒÕÁ, ÉÚÏÍÏÒÆÎÁÑ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÇÒÕÙ R=Z. åÓÌÉ T | ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÔÏÒ × G, ÔÏ ÜÊÌÅÒÏ×Á ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á G=H ÒÁ×ÎÁ ÏÒÑÄËÕ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÊ ÇÒÕÙ ÷ÅÊÌÑ ÇÒÕÙ G É, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÏÔÌÉÞÎÁ ÏÔ ÎÕÌÑ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, G ÏËÒÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÇÒÕÁÍÉ, ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÍÉ Ó T . ïÔÓÀÄÁ ÌÅÇËÏ ×Ù×ÅÓÔÉ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÅ ÔÏÒÙ × G ÓÏÒÑÖÅÎÙ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ [1℄.

68

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×, ÷. ÷. õÓÅÎÓËÉÊ

îÁÛÅ ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÂÕÄÅÔ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÍ. òÏÌØ ÔÏÏÌÏÇÉÉ ÒÉ ÜÔÏÍ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÍÉÎÉÍÕÍÕ. íÙ ÉÓÏÌØÚÕÅÍ ÌÉÛØ Ó×ÑÚÎÏÓÔØ ÒÑÍÏÊ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÆÏÒÍÅ: ÅÓÌÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ äÅÓÑÔÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï [9℄.

Ó ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÍÅÎÑÅÔ ÚÎÁË (Ô. Å. ÒÉÎÉÍÁÅÔ ËÁË ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ, ÔÁË É ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ), ÔÏ ÏÎ ÉÍÅÅÔ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ËÏÒÅÎØ.

üÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÏÌÑ R ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÅïÎÏ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÀ Ä×ÕÈ Ó×ÏÊÓÔ×:

ÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÚÁÍËÎÕÔÏÓÔØÀ .

×ÓÑËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÉÍÅÅÔ ËÏÒÅÎØ, É ×ÓÑËÏÅ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ.

ëÁÖÄÏÅ ËÏÍÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ. ÷ÙÛÅ ÍÙ ÕÖÅ ÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÉÍ ÆÁËÔÏÍ: ÉÚ ËÁÖÄÏÇÏ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÍÏÖÎÏ ÉÚ×ÌÅÞØ ËÏÒÅÎØ ÌÀÂÏÊ ÅÌÏÊ ÓÔÅÅÎÉ n > 0. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÍÙ ÓÓÙÌÁÌÉÓØ ÎÁ ÚÁÉÓØ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ. ïÄÎÁËÏ ÔÅÅÒØ ÍÙ ÈÏÔÉÍ ÄÁÔØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï, ËÏÔÏÒÏÅ ÇÏÄÉÌÏÓØ ÂÙ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ÏÌÅÊ É ÎÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÏ ÂÙ ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ. ðÕÓÔØ a; b ∈ R. îÁÍ ÎÁÄÏ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÉÅ x; y ∈ R, ÞÔÏ (x + iy)2 = a + ib. üÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÓÉÓÔÅÍÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ x2 − y2 = a É 2xy √ = b. ðÕÓÔØ x É y√ | Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÅ ËÏÒÎÉ ÉÚ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ (a + a2 + b2 )=2 É (−a + a2 + b2 )=2. ÏÇÄÁ x2 − y2 = a É x2 y2 = b2 =4, ÏÔËÕÄÁ 2xy = ±b. åÓÌÉ 2xy = −b, ÉÚÍÅÎÉÍ ÚÎÁË Õ x ÉÌÉ y. éÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ×ÓÑËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÉÚ R[X ℄ ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÉÍÅÅÔ ËÏÒÅÎØ, ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ Õ ÏÌÑ R ÎÅÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÊ ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ. éÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ×ÓÑËÏÅ z ∈ C Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ, ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ Õ ÏÌÑ C ÎÅÔ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÊ ÓÔÅÅÎÉ 2. ðÏËÁÖÅÍ, ËÁË ×Ù×ÅÓÔÉ ÏÔÓÀÄÁ, ÞÔÏ ÏÌÅ C ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÏ. éÄÅÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ×ÏÓÈÏÄÉÔ Ë üÊÌÅÒÕ. üÔÁ ÉÄÅÑ ÂÙÌÁ ÕÓÏ×ÅÒÛÅÎÓÔ×Ï×ÁÎÁ ìÁÇÒÁÎÖÁ, Á ÚÁÔÅÍ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÂÅÚÕÒÅÞÎÏ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÎÁ çÁÕÓÓÏÍ × ÅÇÏ ×ÔÏÒÏÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å (1815 Ç.) ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ. éÚÌÏÖÅÎÉÅ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÏÅ ÎÁ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÈ, ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ × [7, 5℄. íÙ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï áÒÔÉÎÁ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÏÅ ÎÁ ÔÅÏÒÉÉ çÁÌÕÁ É ÔÅÏÒÅÍÅ óÉÌÏ×Á. ◭ îÁÏÍÎÉÍ ÓÅÒ×Á ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÆÁËÔÙ ÔÅÏÒÉÉ çÁÌÕÁ. ðÕÓÔØ L | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ ÏÌÑ K . ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ G(L=K ) ÇÒÕÕ ×ÓÅÈ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× f ÏÌÑ L, ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ f (x) = x ÄÌÑ ×ÓÅÈ x ∈ K . üÔÁ ÇÒÕÁ ËÏÎÅÞÎÁ. äÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÏÄÇÒÕÙ H ⊂ G = G(L=K ) ÕÓÔØ LH | ÎÅÏÄ×ÉÖÎÏÅ ÏÌÅ ÇÒÕÙ H , Ô. Å. ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ x ∈ L, ÞÔÏ f (x) = x ÄÌÑ ×ÓÅÈ f ∈ H . ëÏÎÅÞÎÏÅ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ L ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅÍ çÁÌÕÁ , ÅÓÌÉ LG = K . ðÕÓÔØ L | ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ çÁÌÕÁ ÏÌÑ K . ÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ×ÚÁÉÍÎÏ-ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ P ×ÓÅÈ ÏÄÏÌÅÊ ÏÌÑ L, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ K , É ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ H ×ÓÅÈ ÏÄÇÒÕ ÇÒÕÙ G. ëÁÖÄÏÊ ÇÒÕÅ H ∈ H ÓÏÏÓÔÁ×ÉÍ ÏÌÅ LH ∈ P . ëÁÖÄÏÍÕ

äÅÓÑÔØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ

ÏÌÀ P H → P

69

∈ P ÓÏÏÓÔÁ×ÉÍ ÇÒÕÕ G(L=P ) ∈ H. õËÁÚÁÎÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ P → H ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÂÒÁÔÎÙ. åÓÌÉ H1 ; H2 | ÏÄÇÒÕÙ ÇÒÕÙ ⊂ H2 , ÔÏ ÄÌÑ ÏÌÅÊ P1 É P2 , ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ H1 É H2 , ÉÍÅÅÍ

É

G É H1 P2 ⊂ P1 , É ÓÔÅÅÎØ [P1 : P2 ℄ ÒÁ×ÎÁ ÉÎÄÅËÓÕ (H2 : H1 ). óÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 1, ÎÁÍ ÎÁÄÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ, ÞÔÏ Õ ÏÌÑ C ÎÅÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÊ. ðÕÓÔØ K | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ ÏÌÑ C. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ L ÏÌÑ K , ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ L | ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ çÁÌÕÁ ÏÌÑ R. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÇÒÕÕ çÁÌÕÁ G = G(L=R). ÁË ËÁË Õ ÏÌÑ R ÎÅÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÊ ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ, ÔÏ × ÇÒÕÅ G ÎÅÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÏÄÇÒÕ ÎÅÞÅÔÎÏÇÏ ÉÎÄÅËÓÁ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÉÌÏ×ÓËÁÑ 2-ÏÄÇÒÕÁ ÇÒÕÙ G ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó G, Ô. Å. G Ñ×ÌÑÅÔÓÑ 2-ÇÒÕÏÊ. ðÕÓÔØ H = G(L=C) | ÏÄÇÒÕÁ ÉÎÄÅËÓÁ 2 × G, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÏÌÀ C. ÁË ËÁË Õ ÏÌÑ C ÎÅÔ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÊ ÓÔÅÅÎÉ 2, ÔÏ × ÇÒÕÅ H ÎÅÔ ÏÄÇÒÕ ÉÎÄÅËÓÁ 2. ïÄÎÁËÏ × ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÊ ËÏÎÅÞÎÏÊ p-ÇÒÕÅ ×ÓÅÇÄÁ ÅÓÔØ ÏÄÇÒÕÁ ÉÎÄÅËÓÁ p, ÏÜÔÏÍÕ H Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÅÄÉÎÉ Å. ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ L = K = C. ◮ óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

[1℄ [2℄ [3℄ [4℄ [5℄ [6℄ [7℄ [8℄ [9℄ [10℄

ìÅË ÉÉ Ï ÇÒÕÁÍ ìÉ. M.: îÁÕËÁ. 1979. âÕÒÂÁËÉ î. ïÞÅÒËÉ Ï ÉÓÔÏÒÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. M.: éÚÄ-×Ï ÉÎÏÓÔÒ. ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ. 1963. âÕÒÂÁËÉ î. áÌÇÅÂÒÁ. íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ É ÏÌÑ. õÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÇÒÕÙ. M.: îÁÕËÁ. 1965. ëÌÅÊÎ æ. ìÅË ÉÉ Ï ÒÁÚ×ÉÔÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ × XIX ÓÔÏÌÅÔÉÉ. M.: îÁÕËÁ. 1989. ëÏÓÔÒÉËÉÎ á. é. ÷×ÅÄÅÎÉÅ × ÁÌÇÅÂÒÕ. M.: îÁÕËÁ. 1994. ëÕÒÁÎÔ ò., òÏÂÂÉÎÓ ç. þÔÏ ÔÁËÏÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ? M.: ðÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ. 1967. ëÕÒÏÛ á. ç. ëÕÒÓ ×ÙÓÛÅÊ ÁÌÇÅÂÒÙ. M.: îÁÕËÁ. 1971. óÂÏÒÎÉË ÚÁÄÁÞ ÍÏÓËÏ×ÓËÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÌÉÍÉÁÄ /ÏÄ ÒÅÄ. á.á. ìÅÍÁÎÁ. í.: ðÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ. 1965. ìÅÎÇ ó. áÌÇÅÂÒÁ. M.: íÉÒ. 1968. íÉÌÎÏÒ äÖ. ÏÏÌÏÇÉÑ Ó ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ // íÉÌÎÏÒ äÖ., õÏÌÌÅÓ á. äÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÁÑ ÔÏÏÌÏÇÉÑ. í.: íÉÒ. 1972. áÄÁÍÓ äÖ.

70

[11℄ [12℄ [13℄ [14℄ [15℄

÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×, ÷. ÷. õÓÅÎÓËÉÊ

ðÏÎÔÒÑÇÉÎ ì. ó. ïÓÎÏ×Ù

ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ. í.: îÁÕËÁ. 1976. òÕÄÉÎ õ. ïÓÎÏ×Ù ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ. í.: íÉÒ. 1966. óÅÎØÅÒ ü. áÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÁÑ ÔÏÏÌÏÇÉÑ. í.: íÉÒ. 1971. æÏÒÓÔÅÒ ï. òÉÍÁÎÏ×Ù Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. M.: íÉÒ. 1980. æÏÍÅÎËÏ á. ., æÕËÓ ä. â. ëÕÒÓ ÇÏÍÏÔÏÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ. í.: îÁÕËÁ. 1989. [16℄ û×ÁÒ ì. áÎÁÌÉÚ. í.: íÉÒ. 1972. [17℄ ñÎÉÎ ÷. ì. ðÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ // ëÏÌÍÏÇÏÒÏ× á. î. îÏ×ÇÏÒÏÄÓËÏÅ ÚÅÍÌÅ×ÌÁÄÅÎÉÅ XV ×ÅËÁ. í.: îÁÕËÁ. 1994.

71

ïÔ ÓÅËÔÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÁÄÉÕÓÁ Ë ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ ÁÌÇÅÂÒÙ

å. á. çÏÒÉÎ

÷ ÒÁÍËÁÈ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ ÍÏÖÎÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÄÌÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ Cn × ÏÂÈÏÄ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ.

÷×ÅÄÅÎÉÅ

ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÁÌÇÅÂÒÙ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÊ ÏÌÉÎÏÍ ÎÁÄ ÏÌÅÍ C ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÉÍÅÅÔ ËÏÒÅÎØ. éÓÔÏÒÉËÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÀÔ, ÞÔÏ ÏÓÎÏ×ÎÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ ÁÌÇÅÂÒÙ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÌ á. öÉÒÁÒ ÅÝÅ × 30-Å ÇÏÄÙ XVII ×ÅËÁ. ðÒÉÎÑÔÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÅÒ×ÏÅ ÓÔÒÏÇÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÚÎÁÍÅÎÉÔÏÊ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÉ ë.-æ. çÁÕÓÓÁ 1799 ÇÏÄÁ; ÎÅ ÓÌÕÞÁÊÎÏ ÏÓÎÏ×ÎÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ ÁÌÇÅÂÒÙ ÞÁÓÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÅÏÒÅÍÏÊ çÁÕÓÓÁ. íÅÖÄÕ ÔÅÍ, ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ × ÓÅÒÅÄÉÎÅ XVIII ×ÅËÁ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÌ ö. äÁÌÁÍÂÅÒ, É × ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÈ ËÕÒÓÁÈ ÁÌÇÅÂÒÙ ÏÂÙÞÎÏ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÏÅ ÎÁ €ÌÅÍÍÅ äÁÌÁÍÂÅÒÁ, ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÀÝÅÊ ÏÔËÒÙÔÏÓÔØ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÇÏ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ëÔÏ-ÔÏ ÏÓÔÒÏÕÍÎÏ ÚÁÍÅÔÉÌ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÒÁÚÄÅÌ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÉÍÅÅÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, × ÔÅÏÒÉÉ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÏÓÎÏ×ÎÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ ÁÌÇÅÂÒÙ ÌÀÂÑÔ ×Ù×ÏÄÉÔØ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ ìÉÕ×ÉÌÌÑ, × ÔÏÏÌÏÇÉÉ | ÉÚ ÏÂÝÉÈ ÆÁËÔÏ× Ï ×ÒÁÝÅÎÉÉ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÏÌÅÊ, Á ÁÌÇÅÂÒÁÉÓÔ ÍÏÖÅÔ ÎÁÞÁÔØ Ó ÏÓÎÏ× ÔÅÏÒÉÉ çÁÌÕÁ. ëÁË ÂÙ ÔÏ ÎÉ ÂÙÌÏ, × ÏÄÉÎ ÉÚ ÒÅÛÁÀÝÉÈ ÍÏÍÅÎÔÏ× ÍÁÔÅÒÉÁÌÉÚÕÅÔÓÑ ÏÌÅ R ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ É ÒÉ×ÌÅËÁÀÔÓÑ ÂÏÌÅÅ ÉÌÉ ÍÅÎÅÅ ÄÅÌÉËÁÔÎÙÅ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ Ó analysis situs (ÔÁË ÒÁÎØÛÅ ÎÁÚÙ×ÁÌÉ ÔÏÏÌÏÇÉÀ). åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÒÏÓÉÔØ, ÒÅÁÌÉÚÕÅÔÓÑ ÌÉ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ×ÙÛÅ ÔÅÚÉÓ × ÒÁÍËÁÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ (ÏÒÏÓÔÕ ÇÏ×ÏÒÑ, |

72

å. á. çÏÒÉÎ

ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ, ËÏÔÏÒÁÑ ÎÅ ÂÏÉÔÓÑ ÒÅÄÅÌØÎÙÈ ÅÒÅÈÏÄÏ×). íÙ ÈÏÔÉÍ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÔÁË. ðÒÉ×ÏÄÉÍÏÅ ÎÉÖÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÄÎÏÇÏ ×ÅÓØÍÁ ÏÂÝÅÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÎÅ ÅÒÅÇÒÕÖÅÎÏ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÍÉ ÉÚÙÓËÁÍÉ, Á ÉÚ ÔÏÏÌÏÇÉÉ ÉÓÏÌØÚÕÅÔ ÌÉÛØ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÓÔØ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ (ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ) ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÏÓÎÏ×ÎÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ ÁÌÇÅÂÒÙ. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÁÌÇÅÂÒÏÊ ÎÁÄ ÏÌÅÍ C ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÍÌÅËÓÎÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï A, × ËÏÔÏÒÏÍ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ x · y, Ó×ÑÚÁÎÎÏÅ Ó ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ

x(yz ) = (xy)z; x(y + z ) = xy + xz; (x + y)z = xz + yz; (x)y = (xy) = x(y) ÄÌÑ ×ÓÅÈ x; y; z ∈ A É  ∈ C. íÙ ÂÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÔÏÌØËÏ ÁÌÇÅÂÒÙ Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ 1 (ÎÅ ÉÓÏÌØÚÕÑ ÄÌÑ ÅÄÉÎÉ Ù ÁÌÇÅÂÒÙ ÎÉËÁËÉÈ ÛÒÉÆÔÏ×ÙÈ ×ÙÄÅÌÅÎÉÊ). üÌÅÍÅÎÔ x ∈ A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÒÁÔÉÍÙÍ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ y ∈ A, ÞÔÏ xy = = yx = 1. ÁËÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ y, ÅÓÌÉ ÏÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎ Ï x É ÏÂÙÞÎÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ x−1 . óÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÇÒÕÕ (Ï ÕÍÎÏÖÅÎÉÀ). ëÏÍÌÅËÓÎÕÀ ÁÌÇÅÂÒÕ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ, ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ (ÌÉÎÅÊÎÙÍ) ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÎÁÄ ÏÌÅÍ C, ÒÉÞÅÍ ÜÔÉ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ Ó×ÑÚÁÎÙ ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ kxy k 6 kxk · ky k É k1k = 1. óÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÄÒÕÇÉÅ ÓÏÓÏÂÙ ÏÉÓÁÎÉÑ ÔÁËÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ ÓÔÒÕËÔÕÒ, ÎÏ ÍÙ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ÚÄÅÓØ ÜÔÏ ÏÂÓÕÖÄÁÔØ, ÏÓËÏÌØËÕ ÎÉÞÅÇÏ, ËÒÏÍÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ (× ËÏÔÏÒÏÅ ËÁË ÒÁÚ É ÚÁÒÑÔÁÎÁ ÉÄÅÏÌÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÂÏÍÂÁ), ÎÁÍ ÎÅ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ. ÷×ÅÄÅÎÎÙÊ ËÌÁÓÓ ÏÞÅÎØ ÛÉÒÏË, ÏÓËÏÌØËÕ ÍÙ ÎÅ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ ÏÌÎÏÔÙ ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. óËÁÖÅÍ, × ËÁÞÅÓÔ×Å A ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ ÁÌÇÅÂÒÕ C[z ℄ ×ÓÅÈ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÏÌÉÎÏÍÏ×, ÏÎÉÍÁÑ ÏÄ ÎÏÒÍÏÊ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÓÕÍÍÕ ÍÏÄÕÌÅÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ×. ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÁÎÁÌÉÚÁ, ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÂÏÌÅÅ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙ ÂÁÎÁÈÏ×Ù ÁÌÇÅÂÒÙ, × ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏ ×ËÌÀÞÁÅÔÓÑ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÅ ÏÌÎÏÔÙ ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ïÓÎÏ×ÏÏÌÏÖÎÉË ÁÂÓÔÒÁËÔÎÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ÂÁÎÁÈÏ×ÙÈ ÁÌÇÅÂÒ é. í. çÅÌØÆÁÎÄ ÎÁÚÙ×ÁÌ ÉÈ ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÍÉ ËÏÌØ ÁÍÉ, ÎÏ ÓÏ ×ÒÅÍÅÎÅÍ ÜÔÏ ÎÁÉÍÅÎÏ×ÁÎÉÅ ×ÙÛÌÏ ÉÚ ÕÏÔÒÅÂÌÅÎÉÑ.

ïÔ ÓÅËÔÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÁÄÉÕÓÁ Ë ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ ÁÌÇÅÂÒÙ

73

ðÏÌÎÏÔÁ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÚÁÍÅÔÎÏ ÕÒÏÝÁÅÔ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, ÏÎÁ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ËÌÁÓÓÕ Ó ÞÒÅÚ×ÙÞÁÊÎÏ ËÒÁÓÉ×ÏÊ ÁÒÈÉÔÅËÔÕÒÏÊ É ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÍÉ ÌÏÄÏÔ×ÏÒÎÙÍÉ ËÏÎÔÁËÔÁÍÉ Ó ÄÒÕÇÉÍÉ ÒÁÚÄÅÌÁÍÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ÷ÍÅÓÔÅ Ó ÔÅÍ, ÄÌÑ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÆÁËÔÏ× ÏÌÎÏÔÙ ÎÅ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ. ðÕÓÔØ A | ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ É x ∈ A. óÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ  ∈ C, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔ  · 1 − x ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÒÁÔÉÍÙÍ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÅËÔÒÏÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁ x. äÌÑ ÓÅËÔÒÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁ x ∈ A ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ Spe A (x). ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÓÅËÔÒ | ÏÎÑÔÉÅ ÞÉÓÔÏ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÅ, ÏÄÎÁËÏ × ÓÌÕÞÁÅ ÂÁÎÁÈÏ×ÙÈ ÁÌÇÅÂÒ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÅÓÎÁÑ Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ÓÅËÔÒÁÌØÎÙÍÉ, ÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ É ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÍÉ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁÍÉ ÁÌÇÅÂÒÙ. ÅÅÒØ ÍÙ ÅÒÅÞÉÓÌÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÓÈÏÄÎÙÅ ÆÁËÔÙ ÔÅÏÒÉÉ ÂÁÎÁÈÏ×ÙÈ ÁÌÇÅÂÒ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ ÔÅËÓÔÅ ×ÓÅ ÏÎÉ ÂÕÄÕÔ ÄÏËÁÚÁÎÙ (É ÏÄÞÅÒËÎÅÍ, ÞÔÏ ÚÁ ÒÁÍËÁÍÉ ÜÔÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ ÏÓÔÁÎÕÔÓÑ ÏÞÔÉ ×ÓÅ ÒÉÎ ÉÉÁÌØÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ ÔÅÏÒÉÉ). ÅÏÒÅÍÁ çÅÌØÆÁÎÄÁ{íÁÚÕÒÁ. âÁÎÁÈÏ×Ï ÏÌÅ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ×ÉÄÁ

 · 1 É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÏÌÀ ËÏÍÌÅËÓ-

ÎÙÈ ÞÉÓÅÌ .

ÅÏÒÅÍÁ çÅÌØÆÁÎÄÁ Ï ÎÅÕÓÔÏÔÅ ÓÅËÔÒÁ. óÅËÔÒ ËÁÖÄÏÇÏ ÜÌÅ-

ÍÅÎÔÁ ÂÁÎÁÈÏ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ÎÅ ÕÓÔ É ËÏÍÁËÔÅÎ .

æÏÒÍÕÌÁ çÅÌØÆÁÎÄÁ ÄÌÑ ÓÅËÔÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÁÄÉÕÓÁ. òÁÄÉÕÓ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ËÒÕÇÁ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ

0, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ

ÓÅËÔÒ ÜÌÅÍÅÎÔÁ

x

ÂÁÎÁÈÏ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÞÉÓÌÅÎ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ

|x|∞ (ÒÅÄÅÌ ÓÒÁ×Á ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ) .

= nlim kxn k1=n →∞

ó. íÁÚÕÒ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÌ ÅÒ×ÏÅ ÉÚ ÜÔÉÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ × 1938 Ç. ÷ÓËÏÒÅ é. í. çÅÌØÆÁÎÄ ÄÁÌ (ÓÒÅÄÉ ÒÏÞÅÇÏ) ÏÌÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÒÅÈ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÎÅÕÓÔÏÔÅ ÓÅËÔÒÁ ÏËÒÙ×ÁÅÔ ÔÅÏÒÅÍÕ çÅÌØÆÁÎÄÁ{íÁÚÕÒÁ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ Ï ÎÅÕÓÔÏÔÅ ÓÅËÔÒÁ (ÎÏ ÎÅ Ï ËÏÍÁËÔÎÏÓÔÉ) ÓÏÈÒÁÎÑÅÔÓÑ ÂÅÚ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ Ï ÏÌÎÏÔÅ, Ô. Å. ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÁÌÇÅÂÒ. îÁËÏÎÅ , ÅÓÌÉ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ €ÓÅËÔÒÁÌØÎÙÊ ÒÁÄÉÕӁ ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ×ÙÛÅ ÆÏÒÍÕÌÏÊ çÅÌØÆÁÎÄÁ, ÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ, ÞÔÏ ÎÁ ÇÒÁÎÉ Å ËÒÕÇÁ

 ∈ C || 6 |x|∞







ÉÍÅÀÔÓÑ ÔÏÞËÉ ÓÅËÔÒÁ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÔ ÔÏÇÏ, ÏÌÎÁ ÁÌÇÅÂÒÁ ÉÌÉ ÎÅÔ.

74

å. á. çÏÒÉÎ

èÏÔÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á é. í. çÅÌØÆÁÎÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÆÁËÔÙ ÔÅÏÒÉÉ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ (ÔÅÏÒÅÍÁ ìÉÕ×ÉÌÌÑ, ÆÏÒÍÕÌÁ ëÏÛÉ{áÄÁÍÁÒÁ), ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÓÔ×Ï ÎÁ×ÏÄÉÔ ÎÁ ÍÙÓÌØ ÏÉÓËÁÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÎÅÕÓÔÏÔÅ ÓÅËÔÒÁ ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÁÌÇÅÂÒ. ÁËÉÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÂÙÌÉ ÎÁÊÄÅÎÙ ÅÝÅ × ÓÅÒÅÄÉÎÅ 50-È ÇÏÄÏ×, ÏÄÎÏ ÉÚ ÎÉÈ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ þ. òÉËËÁÒÔÕ [3℄. úÄÅÓØ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ ÕÒÏÝÅÎÎÙÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÜÔÏÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á. óÎÁÞÁÌÁ Á×ÔÏÒ ÒÅÄÏÌÁÇÁÌ ÉÚÌÏÖÉÔØ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï, ÎÅ ÏÞÅÎØ ÓÌÏÖÎÏÅ × ÓÌÕÞÁÅ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÈ ÁÌÇÅÂÒ, ÏÄÎÁËÏ, ÅÝÅ ÒÁÚ ÏÂÄÕÍÁ× ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï òÉËËÁÒÔÁ, ÏÎÑÌ, ËÁË ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÕÒÏÓÔÉÔØ, É ÒÅÛÉÌ ÏÔËÁÚÁÔØÓÑ ÏÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÅÓÎÉ. ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÁÌÇÅÂÒÙ ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ÎÅÕÓÔÏÔÅ ÓÅËÔÒÁ ÄÌÑ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÈ ÁÌÇÅÂÒ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÕÓÔØ M (n; C) | ÁÌÇÅÂÒÁ ×ÓÅÈ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÈ ÍÁÔÒÉ ÏÒÑÄËÁ n. óÏÇÌÁÓÎÏ ËÁÎÏÎÁÍ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ, ÍÁÔÒÉ Á T ∈ M (n; C) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ÏÂÒÁÔÉÍÁ, ËÏÇÄÁ det(T ) 6= 0. ðÏÜÔÏÍÕ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ Ï ÎÅÕÓÔÏÔÅ ÓÅËÔÒÁ ÄÌÑ ÁÌÇÅÂÒÙ M (n; C) ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ Ï ÒÁÚÒÅÛÉÍÏÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ det( · 1 − T ) = 0, É ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÏÌÉÎÏÍ ÓÏ ÓÔÁÒÛÉÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ, ÒÁ×ÎÙÍ, 1 ÒÅÁÌÉÚÕÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ det( · 1 − T ) ÒÉ ÏÄÈÏÄÑÝÉÈ n É T . ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÏÓÎÏ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÁÌÇÅÂÒÙ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÎÅÕÓÔÏÔÅ ÓÅËÔÒÁ. îÁÛ ÄÁÌØÎÅÊÛÉÊ ÌÁÎ ÔÁËÏ×. ÷ . 1 ÍÙ ÏÂßÑÓÎÑÅÍ, ËÁË Ó×ÅÓÔÉ ÒÏÂÌÅÍÕ Ï ÎÅÕÓÔÏÔÅ ÓÅËÔÒÁ Ë ÓÌÕÞÁÀ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÈ ÁÌÇÅÂÒ É ÒÉ×ÏÄÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á (ËÏÔÏÒÙÅ ÓÏÈÒÁÎÑÀÔ ÓÍÙÓÌ × ËÏÎÔÅËÓÔÅ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÈ ËÏÌÅ ). ÷ . 2 ÒÉ×ÏÄÑÔÓÑ ÆÁËÔÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ Ë ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÍÕ ÁÎÁÌÉÚÕ É ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ××ÅÓÔÉ ÏÎÑÔÉÅ ÓÅËÔÒÁÌØÎÏÇÏ ÉÎÄÉËÁÔÏÒÁ. çÌÁ×ÎÙÊ ÒÉÍÅÒ | ÓÅËÔÒÁÌØÎÙÊ ÒÁÄÉÕÓ × ÓÌÕÞÁÅ ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÁÌÇÅÂÒ, ÅÓÌÉ ÏÓÌÅÄÎÉÊ ÏÒÅÄÅÌÑÔØ ÆÏÒÍÕÌÏÊ çÅÌØÆÁÎÄÁ. óÕÍÍÉÒÕÑ ÜÔÏ ÎÅÍÎÏÇÏÅ, × . 3 ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ×ÁÒÉÁÎÔ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÎÅÕÓÔÏÔÅ ÓÅËÔÒÁ. ÷ . 4 ÍÙ ÏÉÓÙ×ÁÅÍ Ä×Á ÓÏÓÏÂÁ (ÏÄÉÎ ÉÚ ÎÉÈ ×ËÒÁÔ Å ÎÁÍÅÞÅÎ ×ÙÛÅ) ×Ù×ÅÓÔÉ ÏÓÎÏ×ÎÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ ÁÌÇÅÂÒÙ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÎÅÕÓÔÏÔÅ ÓÅËÔÒÁ ÄÌÑ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÈ ÁÌÇÅÂÒ (ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÏ ÏÂßÑÓÎÑÅÔÓÑ, ÏÞÅÍÕ ÄÌÑ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÈ ÁÌÇÅÂÒ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ Ï ÎÅÕÓÔÏÔÅ ÓÅËÔÒÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÏÂÝÅÊ ÔÅÏÒÅÍÙ).

ïÔ ÓÅËÔÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÁÄÉÕÓÁ Ë ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ ÁÌÇÅÂÒÙ

75

îÁËÏÎÅ , . 5 ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÅÂÏÌØÛÏÅ ÎÏÓÔÁÌØÇÉÞÅÓËÏÅ €ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ Ï Ï×ÏÄՁ. ÷ ÜÔÏÍ ÔÅËÓÔÅ ÌÅÍÍÙ É ÆÏÒÍÕÌÙ ÉÍÅÀÔ ÓÌÏÛÎÕÀ ÎÕÍÅÒÁ ÉÀ, Á ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ ÎÅ ÎÕÍÅÒÕÀÔÓÑ ×Ï×ÓÅ. ÷ ÒÁÎÇ ÔÅÏÒÅÍÙ ×ÏÚ×ÅÄÅÎÏ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ. ñ ÈÏÔÅÌ ÂÙ ÏÂÌÁÇÏÄÁÒÉÔØ ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×Á, ÂÅÚ ÂÌÁÇÏÖÅÌÁÔÅÌØÎÏÊ ÎÁÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÜÔÁ ÚÁÔÅÑ ×ÒÑÄ ÌÉ ÂÙÌÁ ÂÙ ÄÏ×ÅÄÅÎÁ ÄÏ ËÏÎ Á, É î. â. ÷ÁÓÉÌØÅ×Á, ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÂÕÄÉÌÉ ÍÅÎÑ ÏÔËÁÚÁÔØÓÑ ÏÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÚÌÉÛÅÓÔ× ÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÏÇÏ ×ÁÒÉÁÎÔÁ. ñ ÂÌÁÇÏÄÁÒÀ ÷. ñ. ìÉÎÁ | ÎÁ ÓÅÊ ÒÁÚ ÚÁ ÝÅÄÒÕÀ TEX-ÎÉÞÅÓËÕÀ ÏÄÄÅÒÖËÕ ÉÚÄÁÌÅËÁ. îÁËÏÎÅ , Ñ ÒÉÚÎÁÔÅÌÅÎ í. î. ÷ÑÌÏÍÕ, ËÏÔÏÒÙÊ ÕÈÉÔÒÉÌÓÑ ÒÉ×ÅÓÔÉ ÍÏÊ TEX × ÒÉÓÔÏÊÎÙÊ ×ÉÄ. 1. îÅÓËÏÌØËÏ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ÔÏÖÄÅÓÔ×

÷ ÜÔÏÍ ÕÎËÔÅ, ÏËÁ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÏÇÏ×ÏÒÅÎÏ ÒÏÔÉ×ÎÏÅ, ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ A | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ËÏÌØ Ï Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ 1; ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÏÓÔÏ, ÞÔÏ ÍÙ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÁÈ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÓËÁÌÑÒÙ. ÷ ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ÎÅÕÓÔÏÔÅ ÓÅËÔÒÁ ÒÅÞØ ÉÄÅÔ Ï ÏÂÒÁÔÉÍÏÓÔÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÓÅ ÉÁÌØÎÏÇÏ ×ÉÄÁ. óÌÅÄÕÀÝÅÅ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ (Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ, ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉ) ÒÏÂÌÅÍÁ ÏÂÒÁÔÉÍÏÓÔÉ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÀ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÈ ÏÂßÅËÔÏ×. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÎÅÕÓÔÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï S ⊂ A. ãÅÎÔÒÁÌÉÚÁÔÏÒÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï

Z (S ) def = x ∈ A xy = yx ÄÌÑ ×ÓÅÈ y ∈ S : 





ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ Z (S ) | ËÏÌØ Ï Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ 1. äÁÌÅÅ, ÅÓÌÉ S1 ⊂ S2 , ÔÏ Z (S2 ) ⊂ Z (S1 ). ïÔÓÀÄÁ ÓÒÁÚÕ ÓÌÅÄÕÅÔ ìÅÍÍÁ 1. åÓÌÉ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ S ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ), ÔÏ Z (Z (S )) | ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ ÏÄËÏÌØ Ï, É ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ S ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ÏÂÒÁÔÉÍ × A, ËÏÇÄÁ ÏÎ ÏÂÒÁÔÉÍ × Z (Z (S )). ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ A | ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ ËÏÌØ Ï Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ 1. ñÓÎÏ, ÞÔÏ

a−1 − b−1 = −(a − b) · a−1 · b−1 ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× a; b ∈ A.

(1)

76

å. á. çÏÒÉÎ

ðÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ x ∈ A ÏÌÏÖÉÍ

ra = ra (x) def = (a − x)−1 ;

ÅÓÌÉ ÜÌÅÍÅÎÔ a − x ÏÂÒÁÔÉÍ. ÷ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ, ÞÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔÙ a − x É b − x ÏÂÁ ÏÂÒÁÔÉÍÙ, ÉÚ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á (1) ×ÙÔÅËÁÅÔ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï

ra − rb = −(a − b) · ra · rb ;

(2)

ËÏÔÏÒÏÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÏÍ çÉÌØÂÅÒÔÁ. æÉËÓÉÒÕÅÍ ÔÁËÏÊ ÎÁÂÏÒ {z1 ; z2 ; : : : ; zn } ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ A, ÞÔÏ

zkn = 1

É

n X k=1

(1 6 k 6 n)

zkm = 0

(1 6 m < n):

(3) (4)

ñÓÎÏ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ zk ÏÂÒÁÔÉÍÙ É ÞÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (4) ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ ÒÉ ×ÓÅÈ m, ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ É ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ, ËÒÏÍÅ ËÒÁÔÎÙÈ n. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ wk = zk−1 , ÔÏ ÜÔÏÔ ÎÁÂÏÒ ÔÁËÖÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ (3) É (4). òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÒÉÍÅÒ | ÎÁÂÏÒ ËÏÒÎÅÊ n-Ê ÓÔÅÅÎÉ ÉÚ 1; × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ (3) É (4) ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÔÓÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ îØÀÔÏÎÁ. ðÒÉ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ n ÏÌÏÖÉÍ

'n (u) def = 1 + u + u2 + · · · + un−1 :

äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÌÅÍÍÙ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÅÒÅÓÔÁ×ÉÔØ ÏÒÑÄÏË ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÒÁ×Á. ìÅÍÍÁ 2 (ï ËÏÒÎÑÈ ÉÚ ÅÄÉÎÉ Ù). äÌÑ ÌÀÂÙÈ x; y ∈ A ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï



nX −1 0

xk · yn−k−1 =

X z

z · 'n (zx) · 'n (zy);

× ËÏÔÏÒÏÍ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÓÒÁ×Á ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÓÑ Ï ×ÓÅÍ ÞÅÎÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ.

(5)

z = zk

ÉÚ ÏÔÍÅ-

éÚ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á (5) ÒÉ x = y ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ

n2 · xn−1 =

X z

z · 'n (zx)2 :

(6)

ïÔ ÓÅËÔÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÁÄÉÕÓÁ Ë ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ ÁÌÇÅÂÒÙ

z = zk

ìÅÍÍÁ 3. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÔÉÍÙ. ÏÇÄÁ

n2 · xn−1 = (1 − xn )2 ·

X z

ÜÌÅÍÅÎÔÙ

z · rz2 :

77

z−x

ÏÂÒÁ-

(7)

âÕÄÅÍ ÉÓÁÔØ w ×ÍÅÓÔÏ z −1 . ðÏÓËÏÌØËÕ ÎÁÂÏÒ {w} ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÔÅÍ ÖÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ, ÞÔÏ É ÎÁÂÏÒ {z }, ÉÚ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á (6) ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ X n2 · xn−1 = w · 'n (wx)2 : äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

w

üÌÅÍÅÎÔÙ 1 − wx ÏÂÒÁÔÉÍÙ, ÒÉÞÅÍ (1 − wx)−1 = z (z − x)−1 = zrz : ÁË ËÁË (1 − wx)'n (wx) = 1 − xn, ÔÏ 'n (wx) = (1 − xn )zrz . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, X n2 · xn−1 = w · 'n (wx)2 = w

= (1 − xn )2 ·

É ÌÅÍÍÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ.

X z

z · rz2 ;

åÓÌÉ A | ÁÌÇÅÂÒÁ ÎÁÄ ÏÌÅÍ C ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, Á zk = k | ËÏÒÎÉ ÉÚ 1, ÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ (7) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÉÓÁÎÁ × ×ÉÄÅ

n · xn−1 = (1 − xn )2 · úÄÅÓØ

Z

T

 · r 2 dn :

(8)

=  ∈ C || = 1 | ÅÄÉÎÉÞÎÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, n | ÍÅÒÁ èÁÁÒÁ ÇÒÕÙ ËÏÒÎÅÊ n-Ê ÓÔÅÅÎÉ ÉÚ 1, Ô. Å. ÅÄÉÎÉÞÎÁÑ ÍÅÒÁ ÎÁ T, ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÁÑ ËÏÒÎÀ ÍÁÓÓÕ 1=n. ïÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ x ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ Spe A (x) ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ Ó ÜÔÏÊ ÇÒÕÏÊ. ëÁË É ÏÌÁÇÁÅÔÓÑ × ÄÁÎÎÏÍ ËÏÎÔÅËÓÔÅ, ÒÉ  ∈ C ÞÅÒÅÚ r ÚÄÅÓØ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÒÅÚÏÌØ×ÅÎÔÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁ x ∈ A, Ô. Å. ÜÌÅÍÅÎÔ ( · 1 − x)−1 , ÅÓÌÉ ÔÁËÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. üÔÏ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ É × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ. íÎÏÇÉÅ ÆÁËÔÙ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ×ÙÔÅËÁÀÔ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÓÒÅÄÎÅÍ, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ëÏÛÉ × ÒÉÍÅÎÅÎÉÉ Ë ÅÎÔÒÕ ÅÄÉÎÉÞÎÏÇÏ ÄÉÓËÁ. ëÏÎÅÞÎÙÅ ÕÓÒÅÄÎÅÎÉÑ ÔÉÁ (8) ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÞÁÓÔÏ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÏÂÏÊÔÉÓØ ÂÅÚ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ, Á ÔÏ É ÄÏÏÌÎÉÔØ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ. îÁÛ ÓÀÖÅÔ | ÎÁ ÜÔÕ ÔÅÍÕ. T

def







78

å. á. çÏÒÉÎ

2. óÅËÔÒÁÌØÎÙÊ ÉÎÄÉËÁÔÏÒ

óÌÅÄÕÀÝÁÑ ÒÏÓÔÁÑ, ÎÏ ×ÅÓØÍÁ ÏÌÅÚÎÁÑ ÌÅÍÍÁ ÉÎÏÇÄÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÅÍÍÏÊ æÅËÅÔÅ. ìÅÍÍÁ 4. ðÕÓÔØ { k } | ÔÁËÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØ-

ÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÞÔÏ

ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ

k

k+l 6 k · l

(9)

É l. ÏÇÄÁ

lim 1=k k→∞ k

= inf 1k=k

(10)

k

É, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ

1=k { k } ÉÍÅÅÔ ÒÅÄÅÌ.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÌÑ ÕÄÏÂÓÔ×Á ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ 0 = 1. æÉËÓÉÒÕÅÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ m. åÓÌÉ k > m, ÔÏ k = ms + r, ÇÄÅ 0 6 r < m. ðÏÜÔÏÍÕ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ (9), 1k=k 6 1r=k · s=k m : ðÒÉ k → ∞ ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ (10) Ó ÚÁÍÅÎÏÊ ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÎÁ 1m=m , É ÔÅÅÒØ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ×ÚÑÔØ ÎÉÖÎÀÀ ÇÒÁÎØ Ï m ÓÒÁ×Á. ìÅÍÍÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ.

ðÕÓÔØ A | ÁÌÇÅÂÒÁ Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ 1 ÎÁÄ ÏÌÅÍ C ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. îÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ p ÎÁ A ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÓÕÂÎÏÒÍÏÊ, ÅÓÌÉ ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ: 1. îÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÓÔØ: p(1) > 0. 2. ïÄÎÏÒÏÄÎÏÓÔØ: p(x) = || · p(x) ÄÌÑ ×ÓÅÈ x; y ∈ A É ×ÓÅÈ  ∈ C. 3. óÕÂÁÄÄÉÔÉ×ÎÏÓÔØ: p(x + y) 6 p(x) + p(y) ÄÌÑ ×ÓÅÈ x; y ∈ A. 4. óÕÂÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏÓÔØ: p(xy) 6 p(x) · p(y) ÄÌÑ ×ÓÅÈ x; y ∈ A. îÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ  ÎÁ A ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÓÅËÔÒÁÌØÎÙÍ ÉÎÄÉËÁÔÏÒÏÍ, ÅÓÌÉ 1. (1) = 1. 2. (xn ) = (x)n ÄÌÑ ×ÓÅÈ x ∈ A É ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ n. 3. óÕÖÅÎÉÅ  ÎÁ ËÁÖÄÕÀ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÕÀ ÏÄÁÌÇÅÂÒÕ | ÓÕÂÎÏÒÍÁ.

p | ÓÕÂÎÏÒÍÁ x ∈ A ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÅÄÅÌ

ìÅÍÍÁ 5. ðÕÓÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÁ

É ÜÔÏÔ ÒÅÄÅÌ



ÎÁ ÁÌÇÅÂÒÅ

(x) def = nlim p(xn )1=n ; →∞

| ÓÅËÔÒÁÌØÎÙÊ ÉÎÄÉËÁÔÏÒ.

A.

ÏÇÄÁ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ

ïÔ ÓÅËÔÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÁÄÉÕÓÁ Ë ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ ÁÌÇÅÂÒÙ

79

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. óÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÒÅÄÅÌÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅÍ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÌÅÍÍÙ. õÓÌÏ×ÉÑ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÓÔÉ É ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÓÔÉ ÏÞÅ×ÉÄÎÙ. éÚ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÒÅÄÅÌÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ (xk ) = (x)k . åÓÌÉ xy = yx, ÔÏ ÉÚ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÒÅÄÅÌÁ É ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÄÌÑ p ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (xy) 6 (x) · (y). îÁËÏÎÅ , ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÁÄÏ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ €ÂÉÎÏÍ îØÀÔÏÎÁ.

åÓÌÉ A | ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ, ÔÏ ÓÅËÔÒÁÌØÎÙÊ ÉÎÄÉËÁÔÏÒ, ÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ ÎÏÒÍÏÊ, | ÜÔÏ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ €ÓÅËÔÒÁÌØÎÙÊ ÒÁÄÉÕӁ, ÅÓÌÉ ÏÓÌÅÄÎÉÊ ÏÒÅÄÅÌÑÔØ ÆÏÒÍÕÌÏÊ çÅÌØÆÁÎÄÁ. óÔÁÎÄÁÒÔÎÙÊ ÒÉÍÅÒ ÍÁÔÒÉ     0 1 0 1 x= 0 0 É y= 0 0

úÁÍÅÞÁÎÉÅ.

ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÅËÔÒÁÌØÎÙÊ ÉÎÄÉËÁÔÏÒ, ÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ ÓÕÂÎÏÒÍÏÊ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÓÕÂÎÏÒÍÏÊ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ. üÔÏÔ ÒÉÍÅÒ ÔÉÉÞÅÎ. ÷ÍÅÓÔÅ Ó ÔÅÍ, ÄÌÑ (ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ) ÁÌÇÅÂÒÙ ×ÅÒÈÎÉÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÙÈ ÍÁÔÒÉ ×ÔÏÒÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÓÅËÔÒÁÌØÎÙÊ ÉÎÄÉËÁÔÏÒ, ÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÎÏÒÍÏÊ, ÂÕÄÅÔ ÓÕÂÎÏÒÍÏÊ. 3. ÅÏÒÅÍÁ Ï ÎÅÕÓÔÏÔÅ ÓÅËÔÒÁ

ðÕÓÔØ A | ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ É  | ÓÅËÔÒÁÌØÎÙÊ ÉÎÄÉËÁÔÏÒ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ,  Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÕÂÎÏÒÍÏÊ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ (a) < 1 (× ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ), ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅ ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÔ ÏÂÒÁÔÉÍÏÓÔÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁ 1 − a. ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÜÔÏÊ ÏÇÏ×ÏÒËÉ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÌÅÍÍÁ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÁ. ìÅÍÍÁ 6. åÓÌÉ (1 − a) · b = 1 É  (a) < 1, ÔÏ

(b) < äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, b = 1 + ab, ÔÁË ÞÔÏ

1 : 1 − (a)

(b) 6 1 + (a) · (b): æÉËÓÉÒÕÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ x ∈ A. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï C\Spe A (x) ÎÅ ÕÓÔÏ. üÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÈ

ÔÏÞÅË ÜÌÅÍÅÎÔÁ x É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÌÁÓÔØÀ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÒÅÚÏÌØ×ÅÎÔÙ

r = ( · 1 − x)−1 :

80

å. á. çÏÒÉÎ

 → (r ) ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÈ x É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ

ìÅÍÍÁ 7. æÕÎË ÉÑ ÔÏÞÅË ÜÌÅÍÅÎÔÁ

ËÏÍÁËÔÎÏÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÜÔÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

ÖÄÅÓÔ×Õ çÉÌØÂÅÒÔÁ,

åÓÌÉ ;  | ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÅ ÔÏÞËÉ, ÔÏ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÔÏ-

r = (1 − ( − )r )−1 · r : ðÏÜÔÏÍÕ, ÅÓÌÉ | − | (r ) < 1, ÔÏ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÅÝÅ ÒÁÚ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï çÉÌØÂÅÒÔÁ É, ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÌÅÍÍÕ 6, ÏÌÕÞÁÅÍ  (r ) −  (r ) 6  (r − r ) = =  −  · (r · r ) 6 6

É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÚÁËÏÎÞÅÎÏ.

| − |  (r )2 ; 1 − | − | (r )

îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÞÅÒÅÚ T ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÕÀ ÅÄÉÎÉÞÎÕÀ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÎÁ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ C. ÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ A | ËÏÍÌÅËÓÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÎÁ A ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÅËÔÒÁÌØÎÙÊ ÉÎÄÉËÁÔÏÒ  . ÏÇÄÁ Spe A (x) 6= ∅ ÄÌÑ ×ÓÅÈ x ∈ A. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÓÅËÔÒ ËÁÖÄÏÇÏ

ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÎÅ ÕÓÔ, ÅÓÌÉ ÁÌÇÅÂÒÁ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÓÕÂÎÏÒÍÏÊ.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÏ ÌÅÍÍÅ 1, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ ÁÌÇÅÂÒÁ A ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁ. ðÕÓÔØ x ∈ A. åÓÌÉ (x) = 0, ÔÏ x ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÂÒÁÔÉÍÙÍ, ÔÁË ÞÔÏ 0 ∈ Spe A (x). ðÏÜÔÏÍÕ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ (x) = 1. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ T ÉÍÅÅÔÓÑ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÁ ÔÏÞËÁ ÓÅËÔÒÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁ x. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ T ÂÕÄÕÔ ÔÏÞËÁÍÉ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÓÔÉ. ðÏ ÌÅÍÍÅ 7, ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ > 0, ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ  ∈ T ÂÕÄÅÔ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (r ) 6 . îÏ ÔÁË ËÁË (x) = 1, ÔÏ ÜÔÏ ÓÒÁÚÕ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ Ó ÌÅÍÍÏÊ 3. ðÏ ÌÅÍÍÅ 5, ×ÔÏÒÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅÍ ÅÒ×ÏÇÏ. ÅÏÒÅÍÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. äÌÑ ÂÁÎÁÈÏ×ÙÈ ÁÌÇÅÂÒ ÔÅÏÒÅÍÁ çÅÌØÆÁÎÄÁ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÂÏÌØÛÅ | ÓÅËÔÒ ÎÅ ÕÓÔ É ËÏÍÁËÔÅÎ. ïÄÎÁËÏ × ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÓÅËÔÒ ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÚÁÍËÎÕÔ ÉÌÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎ. ÷ÍÅÓÔÅ Ó ÔÅÍ, ÜÔÕ

ïÔ ÓÅËÔÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÁÄÉÕÓÁ Ë ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ ÁÌÇÅÂÒÙ

81

ÔÅÏÒÅÍÕ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÕ ÉÒÏ×ÁÔØ Ë ÔÅÏÒÅÍÅ çÅÌØÆÁÎÄÁ: ËÁÖÄÁÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ ÓÏ ÓÅËÔÒÁÌØÎÙÍ ÉÎÄÉËÁÔÏÒÏÍ ÉÍÅÅÔ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ × ÂÁÎÁÈÏ×Õ, ÔÏÇÄÁ ËÁË ÎÉËÁËÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÅÓÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÙ Ó ÕÓÔÙÍ ÓÅËÔÒÏÍ, ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÈ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× × ÁÌÇÅÂÒÕ ÂÅÚ ÔÁËÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× (ÉÍÅÀÔÓÑ × ×ÉÄÕ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÙ, €ÓÏÈÒÁÎÑÀÝÉÅ ÅÄÉÎÉ Õ). ÷ÒÏÞÅÍ, É ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÄÏ ÓÄÅÌÁÔØ, ÞÔÏÂÙ ×Ù×ÅÓÔÉ ÉÚ ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÎÁÚ×ÁÎÎÙÅ ×ÙÛÅ ÔÅÏÒÅÍÙ çÅÌØÆÁÎÄÁ, ÎÅ ×ÅÌÉËÉ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ A | ÂÁÎÁÈÏ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ É |x|∞ < 1, ÔÏ ÒÑÄ îÅÊÍÁÎÁ y = 1 + x + x2 + : : : ÓÈÏÄÉÔÓÑ É (1 − x)y = y(1 − x) = 1. ÷ÍÅÓÔÅ Ó ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÍÉ ×ÙÛÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ ÜÔÏ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ, ÞÔÏ ÇÒÕÁ ÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÁÌÇÅÂÒÙ A ÏÔËÒÙÔÁ × A É ÞÔÏ ÇÒÕÏ×ÙÅ ÏÅÒÁ ÉÉ × ÎÅÊ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙ. ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÓÅËÔÒÕ ËÁÖÄÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÏÔËÒÙÔÏ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÅÝÅ ÒÁÚ ÒÑÄ îÅÊÍÁÎÁ, ÌÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔ  · 1 − x ÏÂÒÁÔÉÍ, ÅÓÌÉ || > |x|∞ . 4. . . . É ÏÓÎÏ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÁÌÇÅÂÒÙ

ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÁÌÇÅÂÒÙ ×Ù×ÏÄÉÔÓÑ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÎÅÕÓÔÏÔÅ ÓÅËÔÒÁ ÄÌÑ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÈ ÁÌÇÅÂÒ. òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÍÙ ÄÏÌÖÎÙ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ Ë ÔÁËÉÍ ÁÌÇÅÂÒÁÍ ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÎÅÕÓÔÏÔÅ ÓÅËÔÒÁ ÒÉÍÅÎÉÍÁ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÊ ÓÕÂÎÏÒÍÙ ÎÁ ËÁÖÄÏÊ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÅ (ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ ×ÓÅ ÔÁËÉÅ ÁÌÇÅÂÒÙ ÎÁÄÅÌÑÀÔÓÑ ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ ÂÁÎÁÈÏ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ). íÙ ÎÁÞÎÅÍ Ó ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ ÒÉÍÅÒÁ, × ËÏÔÏÒÏÍ ×ÓÅ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÏÄÎÁËÏ ×ÓËÏÒÅ ×ÙÑÓÎÉÔÓÑ, ÞÔÏ ÏÂÝÉÊ ÓÌÕÞÁÊ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÜÔÏÍÕ. óÎÁÂÄÉÍ Cn ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÎÏÒÍÏÊ; ÎÏÒÍÕ ×ÅËÔÏÒÁ  ∈ Cn ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ | |. ðÕÓÔØ B = B (Cn) | ÁÌÇÅÂÒÁ ×ÓÅÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× T : Cn → Cn. üÔÁ ÁÌÇÅÂÒÁ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ ÁÌÇÅÂÒÅ M (n; C) Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÈ ÍÁÔÒÉ ÏÒÑÄËÁ n. ÷ÓÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ T ∈ B ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙ, É ÌÅÇËÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÏÎÉ ÉÍÅÀÔ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÎÏÒÍÕ kT k

= sup |T  | ;

def

| |=1

É, ÓÎÁÂÖÅÎÎÁÑ ÜÔÏÊ ÎÏÒÍÏÊ, B ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÂÁÎÁÈÏ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÏÊ. íÙ ÎÅ ÒÉ×ÅÌÉ ÚÄÅÓØ ÏÄÒÏÂÎÙÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×, ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ×ÓÅ ÏÎÉ ÒÏ×ÏÄÑÔÓÑ €ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎρ. äÌÑ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ (ÓÍ. ÎÉÖÅ) ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÏÒÍÉÒÕÅÍÏÓÔÉ ÁÌÇÅÂÒÙ B . ïÄÎÁËÏ ÄÌÑ ÏÌÎÏÔÙ

82

å. á. çÏÒÉÎ

ËÁÒÔÉÎÙ (É ÄÌÑ ÂÏÌØÛÅÊ Ó×ÏÂÏÄÙ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ), ÍÙ ÏÑÓÎÉÍ, ËÁË ÍÏÖÎÏ ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÔØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÕÀ ÁÌÇÅÂÒÕ A (Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ). ðÕÓÔØ dim(A) = n. ÏÇÄÁ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ A ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ Cn . óÏÏÓÔÁ×ÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÕ a ∈ A ÏÅÒÁÔÏÒ Ta : x → xa. éÓÏÌØÚÕÑ ÕËÁÚÁÎÎÙÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ €ÅÒÅÎÅÓÔɁ ÜÔÉ ÏÅÒÁÔÏÒÙ × ÁÌÇÅÂÒÕ B = B (Cn); × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÔÏÞÎÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÁÌÇÅÂÒÙ A × B , É A ÎÁÄÅÌÑÅÔÓÑ ÎÏÒÍÏÊ. ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÅÒÅÈÏÄÉÔØ Ë ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÁÍ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ, ÓÄÅÌÁÅÍ ÅÝÅ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÚÁÍÅÞÁÎÉÊ ÏÂÝÅÇÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÁ. ÷ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Cn ÍÙ (ÍÏÌÞÁÌÉ×Ï) ÚÁÆÉËÓÉÒÏ×ÁÌÉ ÂÁÚÉÓ, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÞÅÇÏ É ×ÏÚÎÉË ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÍÅÖÄÕ B = B (Cn ) É M (n; C). ïÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÑ ÏÅÒÁÔÏÒ T ∈ B Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉ ÅÊ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÉÓÁÔØ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ×ÒÏÄÅ det(T ); ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÂÁÚÉÓÁ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ. ÷ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÒÁ×ÉÌÁÍÉ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ, ÏÅÒÁÔÏÒ T ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ÂÕÄÅÔ ÏÂÒÁÔÉÍÙÍ, ËÏÇÄÁ det(T ) 6= 0. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Spe B (T ) ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ËÏÒÎÉ (ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ) ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ det( · 1 − T ) = 0: óÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÍ ÖÅ ÒÁ×ÉÌÁÍ, ÜÔÉ ËÏÒÎÉ | €ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉс, É, ËÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÊ ÍÅÔÏÄ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÉÓÏÌØÚÕÅÔ ÒÁÚÒÅÛÉÍÏÓÔØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. õ ÎÁÓ ÅÓÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÏÂÒÁÔÉÔØ ÜÔÏÔ ÕÔØ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÉÚ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ ×ÙÛÅ Ï Ï×ÏÄÕ ÁÌÇÅÂÒÙ B = B (Cn) ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ Ë ÜÔÏÊ ÁÌÇÅÂÒÅ ÒÉÍÅÎÉÍÁ ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÎÅÕÓÔÏÔÅ ÓÅËÔÒÁ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÅËÔÒ ËÁÖÄÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ T ∈ B ÎÅ ÕÓÔ, Õ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÅÓÔØ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, Á ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ËÏÒÎÉ. þÔÏÂÙ ×Ù×ÅÓÔÉ ÏÔÓÀÄÁ ÏÓÎÏ×ÎÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ ÁÌÇÅÂÒÙ, ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÏÌÉÎÏÍ

f () = n + 1 n−1 + · · · + n−1  + n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ. îÁÒÉÍÅÒ, ÒÉ n = 4 ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÍÁÔÒÉ Õ

 0 0 4 −1  0 3     0 −1  2  0 0 −1  + 1 



ïÔ ÓÅËÔÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÁÄÉÕÓÁ Ë ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ ÁÌÇÅÂÒÙ

83

ÅÅÒØ ÍÙ ÈÏÔÉÍ ×ËÒÁÔ Å ÏÉÓÁÔØ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÓÏÓÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÏÓÎÏ×ÎÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ ÁÌÇÅÂÒÙ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÎÅÕÓÔÏÔÅ ÓÅËÔÒÁ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ C[z ℄ ÁÌÇÅÂÒÕ ×ÓÅÈ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÏÌÉÎÏÍÏ×. èÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÏÌÉÎÏÍÙ ÍÏÖÎÏ ÄÅÌÉÔØ Ó ÏÓÔÁÔËÏÍ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ f; g ∈ C[z ℄, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÔÁËÉÅ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÏÌÉÎÏÍÙ h É q, ÞÔÏ g = fh + q, ÒÉÞÅÍ deg(q) < deg(f ) (ÏÌÉÎÏÍÕ, ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÏÍÕ 0, ÒÉÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÔÅÅÎØ −∞). æÉËÓÉÒÕÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÊ ÏÌÉÎÏÍ f É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ (f ) ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÏÌÉÎÏÍÏ×, ÄÅÌÑÝÉÈÓÑ ÎÁ f ÂÅÚ ÏÓÔÁÔËÁ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï (f ) ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÉÄÅÁÌ × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ (f ) ÅÓÔØ ÏÄÁÌÇÅÂÒÁ (ÂÅÚ ÅÄÉÎÉ Ù) Ó ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ: ÅÓÌÉ g ∈ (f ), ÔÏ gh ∈ (f ), ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÏÌÉÎÏÍÁ h ∈ C[z ℄. çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÏÌÉÎÏÍÙ g1 ; g2 ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ (ÔÏÞÎÅÅ, ÓÒÁ×ÎÉÍÙ Ï ÍÏÄÕÌÀ (f )), ÅÓÌÉ g1 − g2 ∈ (f ). ÷ÏÚÎÉËÁÀÝÉÅ ËÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÁÌÇÅÂÒÕ ÏÔÎÏÓÉ ÔÅÌØÎÏ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÂÙÞÎÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ C[z ℄ (f ). éÚ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ×ÙÛÅ ÒÏ ÅÄÕÒÙ ÄÅÌÅÎÉÑ Ó ÏÓÔÁÔËÏÍ ÌÅÇËÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÜÔÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ÒÁ×ÎÁ deg(f ). ðÏ×ÔÏÒÎÏÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÒÏ ÅÄÕÒÙ ÄÅÌÅÎÉÑ Ó ÏÓÔÁÔËÏÍ (ÁÌÇÏÒÉÔÍ å×ËÌÉÄÁ) ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ, ÞÔÏ C[z ℄ (f ) | ÏÌÅ, ÅÓÌÉ ÏÌÉÎÏÍ f ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ, Ô. Å. ÎÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÏÌÉÎÏÍÏ×. ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ çÅÌØÆÁÎÄÁ | íÁÚÕÒÁ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÅÅ ÏÌÅ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ f ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ, ÔÏ deg(f ) = 1, É ÏÓÎÏ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÁÌÇÅÂÒÙ ÅÝÅ ÒÁÚ ÄÏËÁÚÁÎÁ. ÷ ËÕÒÓÅ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ×ÔÏÒÏÊ ÓÏÓÏ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÂÏÌÅÅ ÒÅÄÏÞÔÉÔÅÌØÎÙÍ: ×Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÒÉ×ÌÅËÁÀÔÓÑ ÏÌÅÚÎÙÅ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÏÂÝÉÅ ÏÎÑÔÉÑ, Á ×Ï-×ÔÏÒÙÈ, ÎÅ ÎÁÄÏ ×ÙÈÏÄÉÔØ ÚÁ ÒÁÍËÉ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÈ ÏÂßÅËÔÏ×. 5. îÅÂÏÌØÛÏÅ ÏÓÌÅÓÌÏ×ÉÅ

ëÏÎËÒÅÔÎÙÅ ÁÌÇÅÂÒÙ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× × ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÎÁÞÁÌÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÅÝÅ × ÎÁÞÁÌÅ 30-È ÇÏÄÏ×. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÆÏÎ îÅÊÍÁÎÁ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÏÓÎÏ×ÁÍ Ë×ÁÎÔÏ×ÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÉ | ÜÔÏ ÔÅÏÒÉÑ ÓÁÍÏÓÏÒÑÖÅÎÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ÷ÓËÏÒÅ ÏÓÌÅ ÔÏÇÏ ËÁË ÒÏÑÓÎÉÌÉÓØ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÒÉÎ ÉÙ ÔÅÏÒÉÉ ÂÁÎÁÈÏ×ÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÒÑÄÏÍ Á×ÔÏÒÏ× ÂÙÌÏ ××ÅÄÅÎÏ (ÏÄ ÒÁÚÎÙÍÉ ÎÁÚ×ÁÎÉÑÍÉ) É ÏÎÑÔÉÅ ÂÁÎÁÈÏ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ, ÏÄÎÁËÏ ÎÏ×ÙÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅÍ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÔÅÏÒÉÅÊ, Ó×ÑÚÁ×ÛÅÊ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÒÁÚÒÏÚÎÅÎÎÙÅ ÆÁËÔÙ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÇÏ É ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ, ÁÌÇÅÂÒÙ É ÔÏÏÌÏÇÉÉ, ÜÔÁ

84

å. á. çÏÒÉÎ

ÎÁÕËÁ ÓÔÁÌÁ ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ ÒÅÛÁÀÝÅÍÕ ×ËÌÁÄÕ é. í. çÅÌØÆÁÎÄÁ. èÁÒÁËÔÅÒÎÁÑ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔØ Ô×ÏÒÞÅÓÔ×Á é. í. çÅÌØÆÁÎÄÁ ÒÏÑ×ÉÌÁÓØ ÚÄÅÓØ ÏÞÅÎØ ÑÒËÏ: ÏÎ ÕÓÌÙÛÁÌ ËÌÀÞÅ×ÏÅ ÓÌÏ×Ï. ÷ ÏÂÝÅÊ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÅ, ÇÌÁ×ÎÏÊ ÍÏÄÅÌØÀ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÌÕÖÉÔ ÔÅÏÒÉÑ ÞÉÓÅÌ, ÅÎÔÒÁÌØÎÏÅ ÏÎÑÔÉÅ, Ñ×ÌÑÀÝÅÅÓÑ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅÍ ÏÎÑÔÉÑ ÒÏÓÔÏÇÏ ÞÉÓÌÁ, | ÒÏÓÔÏÊ ÉÄÅÁÌ. ïÔËÒÙÔÉÅ é. í. çÅÌØÆÁÎÄÁ ÓÏÓÔÏÑÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ €ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÈ ËÏÌÅ , ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÈ × ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÁÎÁÌÉÚÁ, ÒÅÛÁÀÝÕÀ ÒÏÌØ ÉÇÒÁÅÔ ÏÎÑÔÉÅ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ×ÙÛÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ | ÜÔÏ ×ÓÅÇÏ ÌÉÛØ ÏÄßÅÚÄÎÙÅ ÕÔÉ Ë ÓÔÒÏÉÔÅÌØÓÔ×Õ. ÷ ÕÏÍÑÎÕÔÏÊ ×ÙÛÅ ÍÏÎÏÇÒÁÆÉÉ þ. òÉËËÁÒÔÁ [3℄ ÄÁÎÁ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÏÌÎÁÑ ÂÉÂÌÉÏÇÒÁÆÉÑ Ï ÂÁÎÁÈÏ×ÙÍ ÁÌÇÅÂÒÁÍ Ë ÎÁÞÁÌÕ 60-È ÇÏÄÏ×. ë ÎÁÓÔÏÑÝÅÍÕ ×ÒÅÍÅÎÉ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÏÄÏÂÎÙÊ ÓÉÓÏË ÎÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍ. ó ÏÓÎÏ×ÁÍÉ ÔÅÏÒÉÉ ÔÅÅÒØ ÍÏÖÎÏ ÏÚÎÁËÏÍÉÔØÓÑ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ Ï ÌÀÂÏÍÕ ÂÏÌÅÅ ÉÌÉ ÍÅÎÅÅ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÍÕ ËÕÒÓÕ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ (ÓÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ, òÕÄÉÎ [4℄). åÓÔØ, ÏÄÎÁËÏ, ÏÓÏÂÁÑ ÒÅÌÅÓÔØ × ÒÉËÏÓÎÏ×ÅÎÉÉ Ë ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÍ ÉÓÔÏÞÎÉËÁÍ. íÎÅ × Ó×ÏÅ ×ÒÅÍÑ Ï×ÅÚÌÏ: ÓÎÁÞÁÌÁ (Ï ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÓÔ×ÁÍ) Ñ ÒÏÞÅÌ ÏÓÎÏ×ÎÕÀ ÒÁÂÏÔÕ é. í. çÅÌØÆÁÎÄÁ [1℄, ÚÁÔÅÍ, ÒÏÓÉÄÅ× ÍÅÓÑ × ÂÉÂÌÉÏÔÅËÅ ÍÅÈÍÁÔÁ, ËÕÉÌ × ËÉÏÓËÅ ÎÁ íÏÈÏ×ÏÊ ÎÏÍÅÒ €õÓÅÈÏׁ ÓÏ ÓÔÁÔØÅÊ é. í. çÅÌØÆÁÎÄÁ, ä. á. òÁÊËÏ×Á É ç. å. ûÉÌÏ×Á [2℄. üÔÏÔ ÜËÚÅÍÌÑÒ ÄÏÖÉÄÁÌÓÑ Ó×ÏÅÇÏ ÞÁÓÁ ÏËÏÌÏ 10 ÌÅÔ. óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

[1℄ [2℄

Normierte Ringe // íÁÔ. ÓÂ. 9 (51):1, 1941. ó. 3{23. çÅÌØÆÁÎÄ é. í., òÁÊËÏ× ä. á., ûÉÌÏ× ç. å. ëÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÅ ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ËÏÌØ Á // õíî. I, 2(12), 1946. ó. 48{146. [3℄ Ri kart C. E. General Theory of Bana h Algebras. Prin eton, N.J.: D. van Nostrand. 1960. [4℄ Rudin W. Fun tional Analysis. N. Y.: M Graw-Hill. 1973. òÕÄÉÎ õ. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÊ ÁÎÁÌÉÚ / ÅÒ. Ó ÁÎÇÌ. ÷. ñ. ìÉÎÁ ÏÄ ÒÅÄ. å. á. çÏÒÉÎÁ. í.: íÉÒ. 1975. Gelfand I.

85

€÷ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏŁ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ

á. ÷. ðÕÈÌÉËÏ×

ãÅÌØ ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÚÁÍÅÔËÉ | ÄÏËÁÚÁÔØ ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÚÁÍËÎÕÔÏÓÔÉ ÏÌÑ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ C, ÎÅ ÉÓÏÌØÚÕÑ (ÄÁÖÅ ÎÅÑ×ÎÏ) ÓÁÍÏ ÏÎÑÔÉÅ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ. èÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÔÅÏÒÅÍÁ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ, ÞÉÓÔÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍÕ ÆÁËÔÕ. ÅÏÒÅÍÁ. ìÀÂÏÊ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ

p(x) = xn + a1 xn−1 + · · · + an ;

ai ∈ R;

ai ∈ R, ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÙÈ É Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ (×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ) ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ:

p(x) = ÇÄÅ

i ; pj ; qi ∈ R.

Y

(x − i ) ·

Y

(x2 + pj x + qj );

õÖÅ ÓÁÍÁ ÜÔÁ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎÏ ÓÒÅÄÓÔ×ÁÍÉ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ. üÔÏ ÍÙ É ÓÏÂÉÒÁÅÍÓÑ ÓÄÅÌÁÔØ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÍÙ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ × ×ÉÄÅ ÓÅÒÉÉ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ-ÚÁÄÁÞ, ÄÅÔÁÌØÎÁÑ ÒÏ×ÅÒËÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÞÉÔÁÔÅÌÀ. ïÔÍÅÔÉÍ Ï ÈÏÄÕ ÄÅÌÁ, ÞÔÏ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ÏÉÒÁÅÔÓÑ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÏÓÔÏÊ ÆÁËÔ. õÒÁÖÎÅÎÉÅ 1. ìÀÂÏÊ (×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÉÍÅÅÔ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ËÏÒÅÎØ.

õËÁÚÁÎÉÅ.

÷ÏÓÏÌØÚÕÊÔÅÓØ ÔÅÏÒÅÍÏÊ Ï ÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ.

ðÒÉ×ÏÄÉÍÏÅ ÎÉÖÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÎÉËÁË ÎÅ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÞÅÔÎÏÓÔØÀ ÓÔÅÅÎÉ.

86

á. ÷. ðÕÈÌÉËÏ×

âÕÄÅÍ ÒÁÓÓÕÖÄÁÔØ ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï ÓÔÅÅÎÉ n ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ p. äÌÑ n = 1; 2 ÔÅÏÒÅÍÁ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÁ. óÞÉÔÁÅÍ ÏÜÔÏÍÕ, ÞÔÏ n > 3 É ÄÌÑ ÍÅÎØÛÉÈ ÓÔÅÅÎÅÊ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÅÒØ k-ÍÅÒÎÏÅ ÁÆÆÉÎÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Pk ×ÓÅÈ (×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ k:

Pk ∋ g = xk + a1 xk−1 + · · · + ak : äÌÑ ÕÄÏÂÓÔ×Á ×ÓÅÇÄÁ ÏÌÁÇÁÅÍ a0 = 1. ëÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ai ÚÁÄÁÀÔ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÅÎÉÅ

Pk ∼ = Rk ; Pk ∋ g 7→ (a1 ; : : : ; ak ); ÔÁË ÞÔÏ ÎÁÂÏÒ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× (a1 ; : : : ; ak ) ÍÙ ÍÏÖÅÍ (É ÂÕÄÅÍ) ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÁ Pk . ÷ ÏÓÎÏ×Å ÎÁÛÅÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÌÅÖÉÔ ÁÎÁÌÉÚ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ

k : Pk × Pn−k → Pn ; k : (g; h) 7→ gh; ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÇÏ ÁÒÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÉÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Pn ÏËÒÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÒÁÚÁÍÉ Zk ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ k , k = 1; : : : ; n − 1, ÉÂÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÏÖÎÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ ÉÎÄÕË ÉÉ. éÔÁË, ÏÌÏÖÉÍ

Z=

n[ −1 k=1

Zk :

Z ⊂ Pn ÅÓÔØ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ n, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ ÔÅÏÒÅÍÙ. (üÔÏ ÏÞÔÉ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏ.)

úÁÄÁÞÁ 1. ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ

îÁÍ ÎÕÖÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ Z = Pn . ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. îÅÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ

ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ,

ÅÓÌÉ ÒÏÏÂÒÁÚ ÌÀÂÏÇÏ ËÏÍÁËÔÁ ÅÓÔØ ËÏÍÁËÔ.

x ' : R → R, ÎÅ Ñ×ÌÑÀÝÅÅÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ.

õÒÁÖÎÅÎÉÅ 2. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ

úÁÄÁÞÁ 2. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ

k

7→

sin x

ÚÁÄÁÅÔ

Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ.

€÷ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏŁ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ

87

õËÁÚÁÎÉÅ. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏËÁÚÁÔØ (ÏÞÅÍÕ?), ÞÔÏ ÒÏÏÂÒÁÚ ÌÀÂÏÇÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ k ÅÓÔØ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × Pk × Pn−k ∼ = Rn . ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÎÅ ÔÁË. ÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ Ä×Å ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×

gm = am;0 xk + am;1 xk−1 + · · · + am;k

É

hm = bm;0 xn−k + bm;1 xn−k−1 + · · · + bm;n−k ;

am;0 = bm;0 = 1, ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ 1) tm = max{|am;i |; |bm;j |} → ∞ ÒÉ m → ∞, i;j

2) ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× (gm ; hm ) ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÙ Ï ÍÏÄÕÌÀ ËÏÎÓÔÁÎÔÏÊ, ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÝÅÊ ÏÔ m. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ, ÅÒÅÈÏÄÑ Ë ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÄÏÂÉÔØÓÑ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ Ó×ÏÊÓÔ× €ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÓÔɁ Ï×ÅÄÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ×: 1) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÎÄÅËÓÏ× s É r (0 6 s 6 k, 0 6 r 6 n − k) ÁÂÓÏÌÀÔÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ |am;r | É |bm;s | ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙ ÄÌÑ ×ÓÅÈ m ÓÒÅÄÉ |am;i | É |bm;j | ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÒÉÞÅÍ ÏÂÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ |am;r | É |bm;s | ÎÅ ÕÂÙ×ÁÀÔ; 2) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÉÎÄÅËÓÁ i ÉÌÉ j (0 6 i 6 k, 0 6 j 6 n − k) ×ÙÏÌÎÅÎÏ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÏÄÎÏ ÉÚ Ä×ÕÈ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÊ: ÌÉÂÏ |am;r | = O(|am;i |) (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, |bm;s | = O (|bm;j |)), × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÜÔÏÔ ÉÎÄÅËÓ (i ÉÌÉ j ) ÂÏÌØÛÉÍ, ÌÉÂÏ |am;i | = o(|am;r |) (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, |bm;j | = o(|bm;s |)), É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÜÔÏÔ ÉÎÄÅËÓ (i ÉÌÉ j ) ÍÁÌÙÍ. ÅÅÒØ ×ÏÚØÍÉÔÅ Ä×Á ÎÁÉÍÅÎØÛÉÈ ÂÏÌØÛÉÈ ÉÎÄÅËÓÁ u 6 r É v 6 s. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÒÉ xn−u−v × ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÈ gm hm ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ! üÔÏ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÚÁ×ÅÒÛÉÔ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. úÁÄÁÞÁ 3. íÎÏÖÅÓÔ×Á

Zk

(É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,

Z ) ÚÁÍËÎÕÔÙ × Pn .

üÔÏ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ. éÍÅÎÎÏ ÏÜÔÏÍÕ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÂÙÔØ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÔÏÌØ ×ÁÖÎÙÍ. éÔÁË, Z | ÚÁÍËÎÕÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. èÏÔÅÌÏÓØ ÂÙ, ÞÔÏÂÙ ÏÎÏ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ É ÏÔËÒÙÔÙÍ: ÔÏÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ Ó×ÑÚÎÏÓÔØÀ Pn ∼ = Rn É ÏÌÕÞÉÔØ ÖÅÌÁÅÍÏÅ ÓÏ×ÁÄÅÎÉÅ Z = Pn . íÙ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÍ ÞÕÔØ ÂÏÌÅÅ ÓÌÁÂÙÊ ÆÁËÔ.

88

á. ÷. ðÕÈÌÉËÏ×

ðÕÓÔØ f ∈ Zk | ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ,

f = gh; k −1 + · · · + b ; g 1x k n −k n −k −1 h = x + 1 x + · · · + n−k : = xk + b

õÒÁÖÎÅÎÉÅ 3. ÷ÙÉÛÉÔÅ Ñ×ÎÏ ÍÁÔÒÉ Õ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌÁ (ÑËÏÂÉÁÎ) ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ

× ÔÏÞËÅ

k : Pk × Pn−k ∼ = Rn → Pn ∼ = Rn

(g; h) ∈ Pk × Pn−k

ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ ËÏÏÒÄÉ-

ÎÁÔ | ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×.

úÁÄÁÞÁ 4. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ

dk

ÎÅ×ÙÒÏ-

ÖÄÅÎÏ (ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÑÄÒÁ) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ

g; h

×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙ.

õËÁÚÁÎÉÅ. æÉËÓÉÒÕÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ q ∈ Pm , ÍÙ ÒÅ×ÒÁÝÁÅÍ ÁÆÆÉÎÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Pm × ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÚÁÉÓÙ×ÁÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ q + w, ÇÄÅ w | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÅÊ m − 1. ìÉÎÅÊÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ, ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÅÊ l ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Pl . ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ k ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÔÅÅÒØ ÚÁÉÓÁÎÏ ÔÁË:

(g + u; h + v) 7→ gh + (gv + hu) + uv: ðÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ×ÉÄ ÑËÏÂÉÁÎÁ dk : Rn ∼ = Pk−1 × Pn−k−1 ∋ (u; v) 7→ gv + hu ∈ Pn−1 ∼ = Rn :

ïÔÓÀÄÁ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ×Ù×ÏÄÉÔÓÑ ÂÅÚ ÔÒÕÄÁ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÞÁ 4 É ÕÒÁÖÎÅÎÉÅ 3 ÓÕÔØ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÁÑ ÔÅÏÒÉÑ ÒÅÚÕÌØÔÁÎÔÁ Ä×ÕÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×: ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÑËÏÂÉÅ×ÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù dk ÅÓÔØ ÎÅ ÞÔÏ ÉÎÏÅ ËÁË ÒÅÚÕÌØÔÁÎÔ R(g; h) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× g É h. úÁÄÁÞÁ 5. ðÕÓÔØ ÏÇÄÁ

Z

f ∈Z

ÄÏÕÓËÁÅÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ

ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÔÏÞËÉ

õËÁÚÁÎÉÅ.

f.

f = gh, (g; h) = 1.

ðÒÉÍÅÎÉÔÅ ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ÎÅÑ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ.

f ∈ Z ÎÅ ÄÏÕÓËÁÅÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ f = gh, (g; h) = f = (x − a)n ; ÌÉÂÏ n ÞÅÔÎÏ, n = 2l, É f = (x2 + bx + )l .

úÁÄÁÞÁ 6. ðÕÓÔØ

= 1. ÏÇÄÁ ÌÉÂÏ

€÷ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏŁ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ

89

ðÕÓÔØ Y ⊂ Pn | (ÚÁÍËÎÕÔÏÅ) ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, ÏÉÓÁÎÎÙÈ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÅ. úÁÄÁÞÁ 7.

Pn \ Y

Ó×ÑÚÎÏ.

õËÁÚÁÎÉÅ. ïÔËÒÙÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Pn \ Y ÌÉÎÅÊÎÏ Ó×ÑÚÎÏ: ÏÓÔÒÏÊÔÅ Ñ×ÎÏ ÕÔØ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÉÊ Ä×Å ÔÏÞËÉ. éÔÁË, ÍÙ ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ Z \ Y ÏÔËÒÙÔÏ × Pn \ Y (ÚÁÄÁÞÁ 5) É ÚÁÍËÎÕÔÏ × Pn \ Y (ÚÁÄÁÞÁ 3). ÷ ÓÉÌÕ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÉ (É ÎÅÕÓÔÏÔÙ Z \ Y !) ÉÍÅÅÍ

Z \ Y = Pn \ Y: óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, Z = Pn . ÅÏÒÅÍÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ. á×ÔÏÒ ÂÌÁÇÏÄÁÒÅÎ á. é. ëÏÓÔÒÉËÉÎÕ É á. ç. èÏ×ÁÎÓËÏÍÕ ÚÁ ÉÎÔÅÒÅÓ Ë ÜÔÏÍÕ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ, Á ÔÁËÖÅ á. â. óÏÓÉÎÓËÏÍÕ ÚÁ ÏÌÅÚÎÙÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ É ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ Ï ÕÌÕÞÛÅÎÉÀ ÉÚÌÏÖÅÎÉÑ.

90

ï ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÁÈ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ

ð. å. ðÕÛËÁÒØ∗

÷×ÅÄÅÎÉÅ

ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÁÌÇÅÂÒÙ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ × ÏÌÅ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÌÀÂÏÅ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ËÏÒÅÎØ. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÁÑ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ: ÌÀÂÏÊ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÏÌÉÎÏÍ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÙÈ É Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ | ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÄÏËÁÚÁÎÁ ÂÅÚ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÏÎÑÔÉÑ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ (ÓÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ, ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï á. ÷. ðÕÈÌÉËÏ×Á [1℄). ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÚÁÍÅÔËÅ ÍÙ ÏÂÓÕÖÄÁÅÍ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÆÁËÔÙ, ÌÅÖÁÝÉÅ × ÏÓÎÏ×Å ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á á. ÷. ðÕÈÌÉËÏ×Á É ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÄÒÕÇÉÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ, É ÒÅÄÌÁÇÁÅÍ ÄÒÕÇÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ, ÔÁËÖÅ ÎÅ ÉÓÏÌØÚÕÀÝÅÅ ÏÎÑÔÉÅ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ (ÏÓÎÏ×ÁÎÎÏÅ ÎÁ ÏÎÑÔÉÉ ÓÔÅÅÎÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ). ðÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÅ × ÓÔÁÔØÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ ÏÑ×ÉÌÏÓØ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÂÄÕÍÙ×ÁÎÉÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á á. ÷. ðÕÈÌÉËÏ×Á, ËÏÔÏÒÏÅ ÂÙÌÏ ÒÁÚÂÉÔÏ ÎÁ ÚÁÄÁÞÉ, ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÙÅ ÓÔÕÄÅÎÔÁÍ ×ÔÏÒÏÇÏ ËÕÒÓÁ íë îíõ ÎÁ ÓÅÍÉÎÁÒÁÈ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÁÎÁÌÉÚÕ. á×ÔÏÒ ÂÌÁÇÏÄÁÒÅÎ á. ç. èÏ×ÁÎÓËÏÍÕ ÚÁ ÏÍÏÝØ É ×ÎÉÍÁÎÉÅ Ë ÜÔÏÊ ÚÁÍÅÔËÅ. 1.

ï ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÆÁËÔÁÈ ÌÅÖÁÝÉÈ × ÏÓÎÏ×Å

€×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇρ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ.

óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÒÏÏÂÒÁÚ ÌÀÂÏÇÏ ËÏÍÁËÔÁ | ËÏÍÁËÔ. ∗

òÁÂÏÔÁ ÏÄÄÅÒÖÁÎÁ òÏÓÓÉÊÓËÉÍ æÏÎÄÏÍ æÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÈ éÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ (ÒÏ-

ÅËÔ 96{01{01104) É ÇÒÁÎÔÏÍ INTAS{94{4373.

ï ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÁÈ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ

91

ðÕÓÔØ M n+k ; M n | ÇÌÁÄËÉÅ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ n + k É n ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ (k > 0); f : M n+k → M n | ÇÌÁÄËÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ. ÏÞËÕ ÏÂÒÁÚÁ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f ÎÁÚÏ×ÅÍ ÓÉÌØÎÏ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ, ÅÓÌÉ ÓÒÅÄÉ ÅÅ ÒÏÏÂÒÁÚÏ× ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÏÞËÁ, ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f × ËÏÔÏÒÏÊ ÉÍÅÅÔ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÒÁÎÇ (ÒÁ×ÎÙÊ n). ÏÞËÕ ÏÂÒÁÚÁ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÓÉÌØÎÏ ÏÓÏÂÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ, ÅÓÌÉ ×Ï ×ÓÅÈ ÅÅ ÒÏÏÂÒÁÚÁÈ ÒÁÎÇ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌÁ ÎÅ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ (ÍÅÎØÛÅ n). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÒÁÚÂÉÌÉ ÏÂÒÁÚ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f ÎÁ Ä×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÉÌØÎÏ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f É ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÉÌØÎÏ ÏÓÏÂÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f . õÒÁÖÎÅÎÉÅ. ëÁËÉÍ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÉÌØÎÏ ÏÓÏÂÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ

f : R → R; f (x) = xn + a1 xn−1 + · · · + an ?

óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÆÁËÔ, ÌÅÖÁÝÉÊ × ÏÓÎÏ×Å ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ÎÉÖÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ. ÅÏÒÅÍÁ 1. ðÕÓÔØ ÂÒÁÖÅÎÉÅ, ÞÔÏ:

f : M n+k → M n ÔÁËÏÅ ÇÌÁÄËÏÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÔÏ-

Á) ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ ÄÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÓÉÌØÎÏ ÏÓÏÂÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ Ó×ÑÚÎÏ, Â) ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÉÌØÎÏ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÏÇÄÁ ÏÂÒÁÚ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ

f

f

ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅÍ

f

ÎÅÕÓÔÏ.

M n.

äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÉÌØÎÏ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÔËÒÙÔÏ É ÚÁÍËÎÕÔÏ × ÄÏÏÌÎÅÎÉÉ Ë ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÓÉÌØÎÏ ÏÓÏÂÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ. 1. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÉÌØÎÏ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÔËÒÙÔÏ × M n . üÔÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏÅ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÎÅÑ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÜÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÔËÒÙÔÏ É × ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å M n | ÄÏÏÌÎÅÎÉÉ ÄÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÓÉÌØÎÏ ÏÓÏÂÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f . 2. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÉÌØÎÏ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÚÁÍËÎÕÔÏ × ÄÏÏÌÎÅÎÉÉ Ë ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÓÉÌØÎÏ ÏÓÏÂÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÉÌØÎÏ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ (xi ) ÓÈÏÄÑÝÕÀÓÑ Ë ÔÏÞËÅ a, ÎÅ ÌÅÖÁÝÅÊ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÓÉÌØÎÏ ÏÓÏÂÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f . ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÞÌÅÎÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (xi ) É ÔÏÞËÉ a | ËÏÍÁËÔ × M n . ÁË ËÁË ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ, ÅÇÏ ÒÏÏÂÒÁÚ | ËÏÍÁËÔ × M n+k . ÷ÙÂÅÒÅÍ Ï ÒÏÏÂÒÁÚÕ yi ÔÏÞËÉ xi . õ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (yi ) ÅÓÔØ ÓÈÏÄÑÝÁÑÓÑ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (ÚÄÅÓØ, ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ, É ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f ), ÓÈÏÄÑÝÁÑÓÑ Ë ÔÏÞËÅ z . ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ f (z ) = a. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

92

ð. å. ðÕÛËÁÒØ

ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, a ÌÅÖÉÔ × ÏÂÒÁÚÅ f É ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÓÉÌØÎÏ ÏÓÏÂÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ a ÓÉÌØÎÏ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f . õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ Ï ÚÁÍËÎÕÔÏÓÔÉ ÄÏËÁÚÁÎÏ. ÷ ÓÉÌÕ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÔÅÏÒÅÍÙ 1 É ÄÏËÁÚÁÎÎÙÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÉÌØÎÏ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÔËÒÙÔÏ, ÚÁÍËÎÕÔÏ É ÎÅ ÕÓÔÏ × ÄÏÏÌÎÅÎÉÉ ÄÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÓÉÌØÎÏ ÏÓÏÂÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f . ðÏÓËÏÌØËÕ ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ Ó×ÑÚÎÏ, ÔÏ ÏÎÏ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÓÉÌØÎÏ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f . ÅÏÒÅÍÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ. äÏËÁÖÅÍ ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÔÅÏÒÅÍÙ 1 ÏÓÎÏ×ÎÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ ÁÌÇÅÂÒÙ. 1. €ëÏÍÌÅËÓÎÏŁ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f : C → C; f (z ) = z n + a1 z n−1 + · · · + an . ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f | ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ. üÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ Ï ÅÎËÉ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ËÏÒÎÅÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÞÅÒÅÚ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (ÓÍ. [2℄). íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÉÌØÎÏ ÏÓÏÂÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f ËÏÎÅÞÎÏ, ÔÁË ËÁË ÓÉÌØÎÏ ÏÓÏÂÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÎÅ ÂÏÌØÛÅ ÞÅÍ ËÏÒÎÅÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÉÌØÎÏ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÎÅ ÕÓÔÏ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, f (C) = C É ÔÅÏÒÅÍÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ. 2. ïÂÓÕÄÉÍ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ | ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï á. ÷. ðÕÈÌÉËÏ×Á. óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ: õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 1. ìÀÂÏÊ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÏÌÉÎÏÍ ÓÔÅÅÎÉ n > 3 ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ × ×ÉÄÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÏÌÉÎÏÍÏ× ÍÅÎØÛÅÊ ÓÔÅÅÎÉ.

ðÌÁÎ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á: ïÔÏÖÄÅÓÔ×ÉÍ ÏÌÉÎÏÍÙ ÓÔÅÅÎÉ i ÓÏ ÓÔÁÒÛÉÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ ÒÁ×ÎÙÍ ÅÄÉÎÉ Å Ó Ri (ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÅÍ ÏÌÉÎÏÍ Ó ÅÇÏ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ i : Ri ×Rn−i → Rn ; (f; g) → f · g. nS −1 ïÒÅÄÅÌÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ  : Ri × Rn−i → Rn ËÁË ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, i=1 ÓÏ×ÁÄÁÀÝÅÅ ÎÁ ËÁÖÄÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÅ Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ i . îÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ €ÎÁ. íÙ ÈÏÔÉÍ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÔÅÏÒÅÍÏÊ 1. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÉÓÁÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÉÌØÎÏ ÏÓÏÂÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ . úÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÊ ÆÁËÔ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ i × ÔÏÞËÅ (f; g) ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎ, ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÏÂÝÉÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ ÏÌÉÎÏÍÏ× f É g ÒÁ×ÅÎ 1 (ÓÍ. [1℄). üÔÏ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÏÉÓÁÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÉÌØÎÏ ÏÓÏÂÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ .

ï ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÁÈ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ

93

ðÒÉ ÎÅÞÅÔÎÏÍ n ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÉÌØÎÏ ÏÓÏÂÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ  ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÌÉÎÏÍÁÍÉ ×ÉÄÁ (x + a)n , Á ÒÉ ÞÅÔÎÏÍ n ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÏÌÉÎÏÍÏ× ×ÉÄÁ (x2 + ax + b)n=2 . äÏÏÌÎÅÎÉÅ ÄÏ ÜÔÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× Ó×ÑÚÎÏ (ÏÕÞÉÔÅÌØÎÏÅ ÕÒÁÖÎÅÎÉÅ). ÷Ï-×ÔÏÒÙÈ, ÎÕÖÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ  | ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ (ÓÍ. [1℄ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÏÄÏÂÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÔÅÏÒÅÍÙ 2 ÎÉÖÅ). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÔÅÏÒÅÍÕ 1, ÞÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 1. îÅÆÏÒÍÁÌØÎÏÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÔÅÏÒÅÍÙ 1 × ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ, × ÞÁÓÔÉ ËÁÓÁÀÝÅÊÓÑ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ ÄÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÓÉÌØÎÏ ÏÓÏÂÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, ×ÙÚÙ×ÁÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÕÄÉ×ÌÅÎÉÅ. ÁË, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÓÏÂÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÄÌÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÏÂÝÅÇÏ ÏÌÏÖÅÎÉÑ ÏÄÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑ × ÄÒÕÇÏÅ | ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ (Ó ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÑÍÉ) (ÓÍ. [4℄) É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÏÖÅÔ ÄÅÌÉÔØ ÏÂÒÁÚ. ÷ÓÅ ÄÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÉÌØÎÏ ÏÓÏÂÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÍÅÎØÛÅ (× ÓÍÙÓÌÅ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ), ÞÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÓÏÂÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ, Á €ÎÁ ÓËÏÌØËÏ ÍÅÎØÛÅ Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔɁ | ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÞÉÓÌÁ €ÌÉÓÔÏׁ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ. ÷ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÖÅ ÓÉÔÕÁ ÉÉ ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ÎÅ ÄÅÌÉÔ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï É ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÔÅÏÒÅÍÙ 1 ÎÅ ×ÙÚÙ×ÁÅÔ ×ÏÒÏÓÏ×. 2. ï ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÁÈ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÈ ÎÁ ÏÎÑÔÉÉ ÓÔÅÅÎÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ.

÷ ÜÔÏÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ ÍÙ ÏÂÓÕÄÉÍ ËÏÍÌÅËÓÎÏÅ É ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÅ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÍ ÆÁËÔÅ:

M n ; N n | ÇÌÁÄËÉÅ Ó×ÑÚÎÙÅ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎf : M n → N n ÇÌÁÄËÏÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ,

õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 2. ðÕÓÔØ ÎÙÅ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑ,

ÓÔÅÅÎØ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÅ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ. ÏÇÄÁ

f

| ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ €ÎÁ (f (M n )

= N n ).

îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÇÌÁÄËÉÈ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÊ ÓÔÅÅÎØ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÏÂÙÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÎÕÖÎÏ ×ÚÑÔØ ÒÅÇÕÌÑÒÎÕÀ ÔÏÞËÕ × ÏÂÒÁÚÅ É ÏÄÓÞÉÔÁÔØ ÞÉÓÌÏ ÅÅ ÒÏÏÂÒÁÚÏ× Ó ÕÞÅÔÏÍ ÚÎÁËÁ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌÁ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ (ÓÍ. ÏÄÒÏÂÎÏÓÔÉ × [3℄). Ï, ÞÔÏ ÓÔÅÅÎØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ËÏÒÒÅËÔÎÏ | ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÓÌÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ

94

ð. å. ðÕÛËÁÒØ

(× ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÔÅÏÒÅÍÙ 1) ÔÅÏÒÅÍÁ. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 2 | ÏÞÅ×ÉÄÎÏ (Ï ÍÏÄÕÌÀ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÔÅÅÎÉ) É ÏÂÝÅÉÚ×ÅÓÔÎÏ. ÷Ù×ÅÄÅÍ ÉÚ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ 2 ÏÓÎÏ×ÎÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ ÁÌÇÅÂÒÙ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï([3℄): òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f : C → C, ÇÄÅ f (z ) = z n + a1 z n−1 + · · · + an . ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f | ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ. óÔÅÅÎØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f ÒÁ×ÎÁ n, ÔÁË ËÁË f ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ ÇÏÍÏÔÏÎÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÀ z → z n , ÓÔÅÅÎØ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÌÅÇËÏ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÎÁÈÏÄÉÍÓÑ × ÒÁÍËÁÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ 2. ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÁÌÇÅÂÒÙ ÄÏËÁÚÁÎÁ. äÏËÁÖÅÍ ÔÅÅÒØ ÏÓÎÏ×ÎÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ ÁÌÇÅÂÒÙ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÊ €×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏʁ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ ÅÏÒÅÍÁ 2. ìÀÂÏÊ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÏÌÉÎÏÍ ÓÔÅÅÎÉ ÅÔÓÑ × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ

n ÏÌÉÎÏÍÏ×

2n ÒÁÓËÌÁÄÙ×Á-

×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ.

ïÔÏÖÄÅÓÔ×ÉÍ ÏÌÉÎÏÍ x2 + ax + b Ó ÔÏÞËÏÊ (a; b) ÌÏÓËÏÓÔÉ R2 . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

u : (R2 )n → R2n

(f1 ; f2 ; : : : ; fn ) 7→ f1 · f2 · · · · · fn:

íÙ ÈÏÔÉÍ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ u | ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ €ÎÁ. 1. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ u ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ. ïÔÏÖÄÅÓÔ×ÉÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÏÔÌÉÞÎÙÈ ÏÔ ÎÕÌÑ ÏÌÉÎÏÍÏ× ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ Ï ÍÏÄÕÌÀ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÏÔÌÉÞÎÙÅ ÏÔ ÎÕÌÑ ÞÉÓÌÁ Ó ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔØÀ RP 2 . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ

u^ : (RP 2 )n → RP 2n; ([f1 ℄; : : : ; [fn ℄) 7→ [f1 · · · · · fn℄: ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ u^ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ, ÔÁË ËÁË ÏÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÎÁ ËÏÍÁËÔÎÏÍ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÉ É ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ u^ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ €ËÏÍÁËÔÉÆÉ ÉÒÕÅԁ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ u. (RP 2 )n ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ R2n É €ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÏÊ ÞÁÓÔɁ B1 , Á RP 2n ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ R2n É €ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÏÊ ÞÁÓÔɁ B2 . ðÒÉ ÜÔÏÍ ÎÁ (R2 )n u^ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó u É, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, u^(B1 ) ⊂ B2 . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ u ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ, ÔÁË ËÁË ÒÏÏÂÒÁÚ ËÏÍÁËÔÁ ÒÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ u ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÒÏÏÂÒÁÚÏÍ ËÏÍÁËÔÁ ÒÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ u^. 2. óÔÅÅÎØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ u Ï ÍÏÄÕÌÀ ÒÁ×ÎÁ n!. ïÒÉÅÎÔÉÒÕÅÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÏÌÉÎÏÍÏ× ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÓÏ ÓÔÁÒÛÉÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ 1 (ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ ÜÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÞÅÒÅÚ R2 ) ËÁË-ÎÉÂÕÄØ, Á (R2 )n ÏÒÉÅÎÔÉÒÕÅÍ ËÁË ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÊ.

ï ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÁÈ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ

ìÅÍÍÁ. ðÏÌÉÎÏÍ ÎÉÑ

u.

õÒÁÖÎÅÎÉÅ.

p=

n Q

i=1

(x2 + i)

95

| ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅ-

äÏËÁÖÉÔÅ ÌÅÍÍÕ.

õËÁÚÁÎÉÅ: ÷ÏÓÏÌØÚÕÊÔÅÓØ ÏÉÓÁÎÉÅÍ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÈ ÔÏÞÅË ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ i ÉÚ ÌÁÎÁ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ 1. õ ÏÌÉÎÏÍÁ p ÅÓÔØ n! ÒÏÏÂÒÁÚÏ× | ×ÓÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÎÁÂÏÒÙ ÏÌÉÎÏÍÏ× (x2 + i); i = 1; : : : ; n: äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÏÎÉ ×ÎÏÓÑÔ × ÓÔÅÅÎØ ÏÄÉÎ ÚÎÁË. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ u ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÀ (ÕÒÁÖÎÅÎÉÅ), ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÚÎÁË ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌÁ ×Ï ×ÓÅÈ ÒÏÏÂÒÁÚÁÈ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ. ðÒÉÍÅÎÑÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 2 Ë ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÀ u, ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÅÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ. óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

[1℄

ðÕÈÌÉËÏ× á. ÷. €÷ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏŁ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÌÇÅÂÒÙ. | óÔÁÔØÑ × ÜÔÏÍ ÎÏÍÅÒÅ. [2℄ ëÕÒÏÛ á. ç. ëÕÒÓ ×ÙÓÛÅÊ ÁÌÇÅÂÒÙ. | í.: îÁÕËÁ. 1975. [3℄ äÕÂÒÏ×ÉÎ â. á., îÏ×ÉËÏ× ó. ð., æÏÍÅÎËÏ á. . óÏ×ÒÅÍÅÎÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ. | í.: îÁÕËÁ. 1979. [4℄ áÒÎÏÌØÄ ÷. é., ÷ÁÒÞÅÎËÏ á. î., çÕÓÅÊÎ-úÁÄÅ ó. í. ïÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ. ëÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÑ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÈ ÔÏÞÅË, ËÁÕÓÔÉË É ×ÏÌÎÏ×ÙÈ ÆÒÏÎÔÏ×. | í.: îÁÕËÁ, 1982.

ðÏ-ÎÏ×ÏÍÕ Ï ÓÔÁÒÏÍ: ÆÒÁÇÍÅÎÔÙ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ

æÉÚÉÞÅÓËÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ õÉÔÎÉ Ï ÌÏÓËÉÈ ËÒÉ×ÙÈ

ó. à. ïÒÅ×ËÏ×

þÁÓÔÏ ÆÉÚÉÞÅÓËÉÅ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÏÍÏÇÁÀÔ ÒÅÛÉÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÕÀ ÚÁÄÁÞÕ, ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÕÀ ÞÉÓÔÏ ÁÂÓÔÒÁËÔÎÏ, É, ÎÁ ÅÒ×ÙÊ ×ÚÇÌÑÄ, ÄÁÌÅËÕÀ ÏÔ ÆÉÚÉËÉ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÉÎÏÇÄÁ ÆÉÚÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ ÔÏÌØËÏ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÕÇÁÄÁÔØ ÏÔ×ÅÔ, ÎÏ ÉÎÏÇÄÁ ÉÈ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÄÏ×ÅÓÔÉ É ÄÏ ÓÔÒÏÇÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÊ ÒÉÍÅÒ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÓÔÅÒÅÏÍÅÔÒÉÉ. úÁÄÁÞÁ. äÁÎ ×ÙÕËÌÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË É ÔÏÞËÁ ×ÎÕÔÒÉ ÅÇÏ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÓÅÇÄÁ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ ÇÒÁÎØ, ÞÔÏ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÅ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÁ, ÏÕÝÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÎÅÅ ÉÚ ÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ, ÏÁÄÁÅÔ ×ÎÕÔÒØ ÜÔÏÊ ÇÒÁÎÉ.

òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÌÏÖÉÍ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË ÎÁ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÕÀ ÌÏÓËÏÓÔØ É ÒÁÓÒÅÄÅÌÉÍ × ÎÅÍ ÍÁÓÓÕ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÅÎÔÒ ÔÑÖÅÓÔÉ ÓÏ×ÁÌ Ó ÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÏÊ. ÏÇÄÁ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË ÏËÁÔÉÔÓÑ É ÂÕÄÅÔ ËÁÔÉÔØÓÑ ÄÏ ÔÅÈ ÏÒ, ÏËÁ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÁÑ ÒÏÅË ÉÑ ÅÎÔÒÁ ÔÑÖÅÓÔÉ ÎÅ ÏÁÄÅÔ ×ÎÕÔÒØ ÔÏÊ ÇÒÁÎÉ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË ÌÅÖÉÔ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÄÏÌÇÏ ËÁÔÉÔØÓÑ ÎÅ ÍÏÖÅÔ, ÜÔÏ ÒÁÎÏ ÉÌÉ ÏÚÄÎÏ ÒÏÉÚÏÊÄÅÔ. ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÓÔÁÔØÅ ÏËÁÚÁÎÏ, ËÁË ÉÚ ÆÉÚÉÞÅÓËÉÈ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÄÎÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÇÌÁÄËÉÅ ÚÁÍËÎÕÔÙÅ ËÒÉ×ÙÅ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ×ÏÚÍÏÖÎÏ, Ó ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑÍÉ, Ô. Å. ËÒÉ×ÙÅ, ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÙÍÉ

ÅÏÒÅÍÁ õÉÔÎÉ

97

ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S1 × ÌÏÓËÏÓÔØ R2 , ÓÏ ×ÓÀÄÕ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ ÓËÏÒÏÓÔÉ (ÔÁËÉÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÏÇÒÕÖÅÎÉÑÍÉ). ðÏÇÒÕÖÅÎÉÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ × ÌÏÓËÏÓÔØ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÁÒÏÊ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÙÈ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ Ó ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍÉ ÅÒÉÏÄÁÍÉ, ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÉÇÄÅ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÎÅ ÏÂÒÁÝÁÀÔÓÑ × ÎÕÌØ. ëÏÇÄÁ Ä×Å ÔÁËÉÅ ËÒÉ×ÙÅ ÍÏÖÎÏ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ ÒÏÄÅÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÔØ ÏÄÎÕ × ÄÒÕÇÕÀ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ × ÒÏ ÅÓÓÅ ÄÅÆÏÒÍÁ ÉÉ ÍÙ × ËÁÖÄÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉ ÉÍÅÌÉ ÂÙ ËÒÉ×ÕÀ ÉÚ ÔÏÇÏ ÖÅ ËÌÁÓÓÁ? (ÁËÉÅ ÄÅÆÏÒÍÁ ÉÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÍÉ ÇÏÍÏÔÏÉÑÍÉ.) äÌÑ ÏÇÒÕÖÅÎÉÑ f : S1 → R2 ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÅÇÏ ÞÉÓÌÏ ×ÒÁÝÅÎÉÑ N (f ) ËÁË ×ÚÑÔÏÅ ÓÏ ÚÎÁËÏÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÂÏÒÏÔÏ×, ËÏÔÏÒÏÅ ×ÅËÔÏÒ ÓËÏÒÏÓÔÉ f_(t) ÄÅÌÁÅÔ ×ÏËÒÕÇ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË t ÏÄÉÎ ÒÁÚ ÒÏÂÅÇÁÅÔ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ × ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, N (f ) ÅÓÔØ ÏÂÒÁÚ ÇÏÍÏÔÏÉÞÅÓËÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f_ : S1 → R2 − {0} ÒÉ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÅ 1 (R2 − {0}) → Z. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ ÒÉ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÊ ÇÏÍÏÔÏÉÉ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÊ ÇÏÍÏÔÏÎÏÓÔÉ Ä×ÕÈ ÏÇÒÕÖÅÎÉÊ | ÓÏ×ÁÄÅÎÉÅ ÉÈ ÞÉÓÅÌ ×ÒÁÝÅÎÉÑ. ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÜÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ. ÅÏÒÅÍÁ (õÉÔÎÉ). ËÏÓÔØ

R

2

ä×Á ÏÇÒÕÖÅÎÉÑ

f

É

g

ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ

S1

× ÌÏÓ-

ÒÅÇÕÌÑÒÎÏ ÇÏÍÏÔÏÎÙ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÉÈ ÞÉÓÌÁ

×ÒÁÝÅÎÉÑ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ:

N (f ) = N (g).

ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ n ÒÅÁÌÉÚÕÅÔÓÑ ËÁË ÞÉÓÌÏ ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÇÒÕÖÅÎÉÑ. åÓÌÉ n 6= 0, ÔÏ ÜÔÏ ÒÏÓÔÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, ÒÏÊÄÅÎÎÁÑ |n| ÒÁÚ × ÔÕ ÉÌÉ ÄÒÕÇÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÚÎÁËÁ n. åÓÌÉ n = 0, ÔÏ ÜÔÏ €×ÏÓØÍÅÒËÁ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÆÕÎË ÉÑ N ÚÁÄÁÅÔ ×ÚÁÉÍÎÏ-ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ËÌÁÓÓÏ× ÒÅÇÕÌÑÒÎÏ ÇÏÍÏÔÏÎÙÈ ÏÇÒÕÖÅÎÉÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ × ÌÏÓËÏÓÔØ É ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ. ÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÜÔÁ ÔÅÏÒÅÍÁ õÉÔÎÉ ÂÙÌÁ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÏÂÏÂÝÅÎÁ óÍÅÊÌÏÍ, èÉÒÛÅÍ, çÒÏÍÏ×ÙÍ É ÄÒÕÇÉÍÉ Á×ÔÏÒÁÍÉ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÚÁÄÁÞÁ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ ÏÇÒÕÖÅÎÉÊ ÌÀÂÙÈ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÊ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÊ ÇÏÍÏÔÏÉÉ ÏÌÎÏÓÔØÀ Ó×ÅÄÅÎÁ Ë ÚÁÄÁÞÅ ÇÏÍÏÔÏÉÞÅÓËÏÊ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×. îÁÒÉÍÅÒ, ÏÇÒÕÖÅÎÉÑ ÓÆÅÒÙ Sn × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Rm ËÌÁÓÓÉÆÉ ÉÒÕÀÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÇÏÍÏÔÏÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÙ n (Vn (Rm )) ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑ ûÔÉÆÅÌÑ n-ÒÅÅÒÏ× × Rm (ÏÓËÏÌØËÕ 2 (V2 (R3 )) = 2 (S3 ) = 0, ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ Ä×ÕÍÅÒÎÕÀ ÓÆÅÒÕ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÊ ÇÏÍÏÔÏÉÅÊ ÍÏÖÎÏ ×Ù×ÅÒÎÕÔØ ÎÁÉÚÎÁÎËÕ!)

98

ó. à. ïÒÅ×ËÏ×

òÉÓ. 1.

ðÅÒÅÊÄÅÍ Ë ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÔÅÏÒÅÍÙ õÉÔÎÉ. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÓÅÂÅ, ÞÔÏ ×ÄÏÌØ ËÒÉ×ÏÊ ÕÌÏÖÉÌÉ ËÏÌØ Ï, ÓÄÅÌÁÎÎÏÅ ÉÚ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÕÒÕÇÏÊ ÓÔÁÌØÎÏÊ ÒÏ×ÏÌÏËÉ, É ÚÁÖÁÌÉ ÅÇÏ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÌÁÓÔÉÎÁÍÉ, ÒÉÞÅÍ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÒÏ×ÏÌÏËÉ (× ËÏÔÏÒÏÍ ÏÎÁ ÂÙÌÁ ÚÁËÁÌÅÎÁ) | ÒÑÍÏÅ. òÁÚÄ×ÉÎÅÍ ÞÕÔØ-ÞÕÔØ ÌÁÓÔÉÎÙ, ÔÁË ÞÔÏÂÙ ÒÏ×ÏÌÏÞÎÏÅ ËÏÌØ Ï ÓÍÏÇÌÏ Ó×ÏÂÏÄÎÏ Ä×ÉÇÁÔØÓÑ × ÏÂÒÁÚÏ×Á×ÛÅÊÓÑ ÝÅÌÉ, ÏÓÔÁ×ÁÑÓØ ÒÉ ÜÔÏÍ ×ÓÅ ×ÒÅÍÑ × ÏÄÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ÏÇÄÁ ÏÎÏ ÎÁÞÎÅÔ Ä×ÉÇÁÔØÓÑ É ÞÅÒÅÚ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ×ÒÅÍÑ ÒÉÄÅÔ × ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÅ ÏÌÏÖÅÎÉÅ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÍÙ ÓÄÅÌÁÅÍ ÄÏÕÝÅÎÉÅ (ÎÅ ×ÌÉÑÀÝÅÅ ÎÁ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ õÉÔÎÉ), ÞÔÏ × ÒÏ ÅÓÓÅ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÎÉËÁËÉÅ ÕÞÁÓÔËÉ ÒÏ×ÏÌÏËÉ ÎÅ ÂÕÄÕÔ ÚÁ ÅÌÑÔØÓÑ ÔÁË, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 1. (éÌÉ ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÒÁÚ, ËÏÇÄÁ ÒÉÂÌÉÖÁÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ ÎÅÖÅÌÁÔÅÌØÎÏÅ ÓÏÂÙÔÉÅ, ËÔÏ-ÔÏ ÏÞÅÎØ ÂÙÓÔÒÏ ÒÁÚÒÅÚÁÅÔ ÒÏ×ÏÌÏËÕ ÎÁ ÏÄÎÏÍ ÉÚ ÜÔÉÈ ÕÞÁÓÔËÏ×, ÒÏÄÅ×ÁÅÔ ÄÒÕÇÏÊ ÞÅÒÅÚ ÏÂÒÁÚÏ×Á×ÛÉÊÓÑ ÒÁÚÒÅÚ É ÔÕÔ ÖÅ ÚÁÁÉ×ÁÅÔ ÏÑÔØ.) ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÅÌÏÇÏ n Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ Ä×ÉÖÅÎÉÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÏ ÏÌÏÖÅÎÉÅ ÒÁ×ÎÏ×ÅÓÉÑ Ó ÞÉÓÌÏÍ ×ÒÁÝÅÎÉÑ, ÒÁ×ÎÙÍ n. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÏÌÏÖÅÎÉÉ ÒÁ×ÎÏ×ÅÓÉÑ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÍÉÎÉÍÕÍ ÏÔÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÜÎÅÒÇÉÉ, ËÏÔÏÒÁÑ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ Z

K 2 ds;

ÇÄÅ K | ËÒÉ×ÉÚÎÁ, ds | ÜÌÅÍÅÎÔ ÄÌÉÎÙ, É ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÂÅÒÅÔÓÑ ×ÄÏÌØ ËÒÉ×ÏÊ. âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÄÌÉÎÁ ËÒÉ×ÏÊ ÒÁ×ÎÁ ÅÄÉÎÉ Å, É ÕÓÔØ x(t), y(t) | ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁ ÉÑ ËÒÉ×ÏÊ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÍ ÁÒÁÍÅÔÒÏÍ, Ô. Å. Ä×Å ÔÁËÉÅ ÇÌÁÄËÉÅ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ Ó ÅÒÉÏÄÏÍ 1 ÆÕÎË ÉÉ, ÞÔÏ

x_ (t)2 + y_ (t)2 = 1

ÅÏÒÅÍÁ õÉÔÎÉ

99

ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ Ï t. úÁÉÛÅÍ ×ÅËÔÏÒ ÓËÏÒÏÓÔÉ × ÏÌÑÒÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ:

x_ (t) = os '(t) ; y_ (t) = sin '(t): ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁÛÁ ËÒÉ×ÁÑ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ (Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÇÏ ÅÒÅÎÏÓÁ) ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÇÌÁÄËÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ '(t):

x(t) =

Z t 0

os '( )d ; y(t) =

Z t 0

sin '( )d:

ðÒÉ ÜÔÏÍ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÅÒÉÏÄÉÞÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÊ x(t), y(t) ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ËÁË Z

1 0

os '(t)dt =

Z

0

1

sin '(t)dt = 0 ;

(1)

Á ÕÓÌÏ×ÉÅ ÅÒÉÏÄÉÞÎÏÓÔÉ ÉÈ ÅÒ×ÙÈ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ |

'(t + 1) = '(t) + 2n ; n ∈ Z;

(2)

ÇÄÅ n = N (f ) ÅÓÔØ ÞÉÓÌÏ ×ÒÁÝÅÎÉÑ ËÒÉ×ÏÊ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ '(t). ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ K = '_ (t). ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ×ÁÒÉÁ ÉÏÎÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ: ÎÁÊÔÉ ÆÕÎË ÉÀ '(t), ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 1℄, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ

Z

0

ÒÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÈ (1), (2).

1

'_ (t)2 dt

óÏÇÌÁÓÎÏ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÍÕ ×ÁÒÉÁ ÉÏÎÎÏÍÕ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÀ1) , ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÒÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÈ (1) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÏÓÔÏÑÎÎÙÈ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ìÁÇÒÁÎÖÁ 1 , 2 , ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ ÌÁÇÒÁÎÖÉÁÎ

L('; '_ ) = '_ 2 + 21 os ' + 22 sin '

(3)

ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ üÊÌÅÒÁ{ìÁÇÒÁÎÖÁ

d L L = : dt  '_ '

(4)

ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ (4) × (3), ÏÌÕÞÁÅÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÔÏÒÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ' = −1 sin ' + 2 os ': 1)

óÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ, ÉÈÏÍÉÒÏ× ÷. í. òÁÓÓËÁÚÙ Ï ÍÁËÓÉÍÕÍÁÈ É ÍÉÎÉÍÕÍÁÈ. â-ËÁ ë×ÁÎ-

ÔÁ, ×Ù. 56. í.: îÁÕËÁ, 1986.

100

ó. à. ïÒÅ×ËÏ×

ϕ˙

ϕ

òÉÓ. 2.

ïÎÏ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÉÄÕ

' = − sin(' − '0 ); ÇÄÅ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ  É '0 ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÉÚ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ

2 = 21 + 22 ; os '0 = 1 = ; sin '0 = 2 = : ðÏ×ÅÒÎÕ×, ÅÓÌÉ ÎÁÄÏ, ×ÓÀ ËÒÉ×ÕÀ ÎÁ ÕÇÏÌ '0 , ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ '0 = = 0. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÉ  6= 0 ÆÕÎË ÉÑ '(t) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÆÉÚÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÁÑÔÎÉËÁ

' = − sin ';

(5)

Á ÒÉ  = 0 | ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ' = 0, Ô. Å. ÌÉÎÅÊÎÁ. óÌÕÞÁÀ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ '(t) ÏÞÅ×ÉÄÎÏ ÏÔ×ÅÞÁÀÔ ÔÅ É ÔÏÌØËÏ ÔÅ ÏÇÒÕÖÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚ ÏÂÈÏÄÑÔ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ × ÔÏÍ ÉÌÉ ÉÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ. ÁËÉÈ ÏÇÒÕÖÅÎÉÊ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ Ä×ÉÖÅÎÉÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÅÌÏÇÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ ×ÒÁÝÅÎÉÑ. òÁÚÂÅÒÅÍ ÔÅÅÒØ ÓÌÕÞÁÊ  6= 0. íÙ ÓÎÁÞÁÌÁ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ËÒÉ×ÁÑ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ üÊÌÅÒÁ{ìÁÇÒÁÎÖÁ, ÔÏ ÏÎÁ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ ×ÏÓØÍÅÒËÉ, ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÒÏÊÄÅÎÎÏÊ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚ, Á ÚÁÔÅÍ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÔÁËÉÅ ËÒÉ×ÙÅ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏ ÇÏÍÏÔÏÎÙ. éÔÁË, ÕÓÔØ '(t) | ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (5), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ (1) É (2). äÌÑ ËÁÞÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÒÅÛÅÎÉÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÆÉÚÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÁÑÔÎÉËÁ ÕÄÏÂÎÏ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ÅÇÏ ÆÁÚÏ×ÙÊ ÏÒÔÒÅÔ, Ô. Å. ÌÏÓËÏÓÔØ Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ ('; '_ ), ÎÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ '(t) ÎÁÒÉÓÏ×ÁÎÁ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÑ ÔÏÞËÉ Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ ('(t); '_ (t)). (üÔÉ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÆÁÚÏ×ÙÍÉ ËÒÉ×ÙÍÉ.)

ÅÏÒÅÍÁ õÉÔÎÉ

101

ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ×ÄÏÌØ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (5) ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÚÁËÏÎ ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÑ ÜÎÅÒÇÉÉ:

'_ 2 −  os ' = onst: 2 ðÏÜÔÏÍÕ ÆÁÚÏ×ÙÅ ËÒÉ×ÙÅ ÉÄÕÔ ×ÄÏÌØ ÌÉÎÉÊ ÕÒÏ×ÎÑ ÜÎÅÒÇÉÉ E = onst (ÒÉÓ. 2). (úÄÅÓØ ÉÍÅÅÔÓÑ × ×ÉÄÕ ÜÎÅÒÇÉÑ ÆÉÚÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÁÑÔÎÉËÁ, Ä×ÉÖÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ (5); ÜÔÁ ÜÎÅÒÇÉÑ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÎÉËÁËÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ Ë ÏÔÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÜÎÅÒÇÉÉ ÓÏÇÎÕÔÏÊ ÒÏ×ÏÌÏËÉ, ÍÉÎÉÍÕÍ ËÏÔÏÒÏÊ ÍÙ ÉÝÅÍ.) ðÕÓÔØ Umax | ÏÔÅÎ ÉÁÌØÎÁÑ ÜÎÅÒÇÉÑ ÍÁÑÔÎÉËÁ × ×ÅÒÈÎÅÊ (ÎÅÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÊ) ÔÏÞËÅ ÒÁ×ÎÏ×ÅÓÉÑ. éÚ ÒÉÓÕÎËÁ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (5) ÒÉ E < Umax ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ, Á ÒÉ E > Umax | ÍÏÎÏÔÏÎÎÙÅ, ÒÉÞÅÍ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ '_ (t) ÎÉÇÄÅ ÎÅ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ. äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ×Ï ×ÔÏÒÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅ ÍÏÇÕÔ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ (1) É (2). äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ÒÏÔÉ×ÎÏÅ. ÏÇÄÁ, ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÑ (5) Ï t, ÄÅÌÑ ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÎÁ '_ (ÉÍÅÎÎÏ ÚÄÅÓØ ÍÙ ÉÓÏÌØÚÕÅÍ, ÞÔÏ '_ ÎÉÇÄÅ ÎÅ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ), É ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × (1), ÏÌÕÞÁÅÍ: E ('; '_ ) =

1 1 d 1 ' 1 d 1 ' 0 = −  os 'dt = (') dt = − ' ( )dt = ( )2 dt: dt ' _ ' _ dt ' _ '_ 0 0 0 0 0 úÄÅÓØ ÍÙ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ Ï ÞÁÓÔÑÍ É ÔÅÍ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÉ '_ É ' ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ (ÜÔÏ ×ÉÄÎÏ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÉÚ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (2)), Á ÚÎÁÞÉÔ, ÒÉÒÁÝÅÎÉÅ '=  '_ ÚÁ ÅÒÉÏÄ ÒÁ×ÎÏ ÎÕÌÀ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÏÖÅÔ ÄÏÓÔÉÇÁÔØÓÑ ÌÉÛØ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ '(t) | ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÎÅÏÓÔÏÑÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. îÏ ÒÉ  6= 0 ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (5) ÔÁËÉÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÎÅ ÉÍÅÅÔ. ðÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ.

Z

A

Z

1

B



1

A

B òÉÓ. 3.

A

Z

Z

B

A

B

102

ó. à. ïÒÅ×ËÏ×

ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÌÕÞÁÀ  6= 0 ÏÔ×ÅÞÁÀÔ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (5), ÒÉÞÅÍ ÉÈ ÆÁÚÏ×ÙÅ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ ÚÁÍËÎÕÔÙ É ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÀÔ ×ÙÕËÌÕÀ ÏÂÌÁÓÔØ. îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÔÁËÉÍ ÒÅÛÅÎÉÑÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ËÒÉ×ÙÅ, ÉÍÅÀÝÉÅ ×ÉÄ ×ÏÓØÍÅÒËÉ, ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÒÏÊÄÅÎÎÏÊ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚ × ÔÏÍ ÉÌÉ ÄÒÕÇÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÔÁËÉÅ ËÒÉ×ÙÅ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏ ÇÏÍÏÔÏÎÙ. îÁ ÒÉÓ. 3 ÎÁ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÓÔÒÁÎÉ Å ÏËÁÚÁÎÏ, ËÁË ÉÚ ÄÕÇÉ AB × ÎÉÖÎÅÊ ÞÁÓÔÉ ×ÏÓØÍÅÒËÉ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÊ ÇÏÍÏÔÏÉÅÊ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ×ÓÀ ×ÏÓØÍÅÒËÕ, Õ ËÏÔÏÒÏÊ ÜÔÁ ÄÕÇÁ ÒÏÊÄÅÎÁ Ä×ÁÖÄÙ. ðÒÉÍÅÎÑÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÜÔÕ ÏÅÒÁ ÉÀ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÉÚ ÏÄÎÏËÒÁÔÎÏ ÒÏÊÄÅÎÎÏÊ ×ÏÓØÍÅÒËÉ ÏÌÕÞÉÔØ ×ÏÓØÍÅÒËÕ, ÒÏÊÄÅÎÎÕÀ ÌÀÂÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁÚ × ÔÏÍ ÖÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ. þÔÏÂÙ ÓÍÅÎÉÔØ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÏÂÈÏÄÁ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÓÅ Ï×ÅÒÎÕÔØ ÎÁ 180◦ . ÅÏÒÅÍÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ. ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ õÉÔÎÉ ÓÔÒÏÇÉÍ? îÅ ÓÏ×ÓÅÍ. ïÓÔÁÌÏÓØ ÎÅÄÏËÁÚÁÎÎÙÍ, ÞÔÏ ÒÏ×ÏÌÏËÁ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÒÉÄÅÔ × ÏÄÎÏ ÉÚ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÙÈ ÏÌÏÖÅÎÉÊ. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÏÇÒÕÖÅÎÉÅ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏ ÇÏÍÏÔÏÎÏ ÏÇÒÕÖÅÎÉÀ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÍÉÎÉÍÕÍ ÏÔÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÜÎÅÒÇÉÉ. æÉÚÉÞÅÓËÉ ÜÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ËÁÖÅÔÓÑ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ÒÁ×ÄÏÏÄÏÂÎÙÍ, ÈÏÔÑ, ÓÔÒÏÇÏ ÇÏ×ÏÒÑ, a priori ÎÅÑÓÎÏ, ÏÞÅÍÕ ÎÅÌØÚÑ ÔÁË ÉÚÏÇÎÕÔØ ÒÏ×ÏÌÏËÕ, ÞÔÏÂÙ ÒÉ ÏÔÕÓËÁÎÉÉ ÏÎÁ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÓÌÏÍÁÌÁÓØ ÉÚ-ÚÁ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÇÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÑ ËÒÉ×ÉÚÎÙ × ËÁËÏÍ-ÔÏ ÍÅÓÔÅ. ÷ ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÏÖÎÏ ÓÔÒÏÇÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÔÁËÏÇÏ ÎÅ ÒÏÉÚÏÊÄÅÔ, ÈÏÔÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÎÅ ÓÏ×ÓÅÍ ÒÏÓÔÏÅ.

103

éÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ ÓÔÅÅÎÉ: ÎÅÏÞÅ×ÉÄÎÏÅ × ÏÞÅ×ÉÄÎÏÍ

â. ò. æÒÅÎËÉÎ

ãÅÌØ ÜÔÏÊ ÚÁÍÅÔËÉ

òÅÞØ ÏÊÄÅÔ Ï ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ×ÚÁÉÍÏÓ×ÑÚÑÈ ÍÅÖÄÕ ÏÂÝÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÆÁËÔÁÍÉ. óÁÍÉ ÜÔÉ ×ÚÁÉÍÏÓ×ÑÚÉ, ÏÄÎÁËÏ, ÎÅ ÏÂÝÅÉÚ×ÅÓÔÎÙ (É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÎÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÙ). á×ÔÏÒ ÒÉÚÎÁÔÅÌÅÎ á. ë. ëÏ×ÁÌØÄÖÉ ÚÁ ÌÏÄÏÔ×ÏÒÎÏÅ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÒÉ×ÅÌÏ Ë ÕÌÕÞÛÅÎÉÀ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×, Á ÔÁËÖÅ ÆÏÒÍÙ ÉÚÌÏÖÅÎÉÑ × ÅÌÏÍ. ëÁÖÄÙÊ, ËÔÏ ÉÚÕÞÁÌ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÁÎÁÌÉÚ, ÚÎÁÅÔ, ÞÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ ÓÔÅÅÎÉ Ó ÏËÁÚÁÔÅÌÅÍ −1 ÅÓÔØ, Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ, ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÊ ÌÏÇÁÒÉÆÍ, Á ÒÉ ÄÒÕÇÉÈ ÏËÁÚÁÔÅÌÑÈ | ÓÔÅÅÎØ Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ. üÔÏÔ ÆÁËÔ ÓÏÏÂÝÁÅÔÓÑ ÎÁÓÔÏÌØËÏ ÒÁÎÏ, ÞÔÏ ÎÅ ÏÒÏÖÄÁÅÔ ÎÉËÁËÉÈ ×ÏÒÏÓÏ×. á ÍÅÖÄÕ ÔÅÍ ÓÉÔÕÁ ÉÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÁÒÁÄÏËÓÁÌØÎÁ. ëÌÁÓÓ ÓÔÅÅÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ Ï Ó×ÏÅÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÅ, ÎÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÎÉÈ ÉÍÅÅÔ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÉÎÏÊ ×ÉÄ, ÞÅÍ Õ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ. îÁ×ÅÒÎÏÅ, × ÏÓÎÏ×Å ÌÅÖÉÔ ËÁËÏÊ-ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÆÁËÔ, ËÏÔÏÒÙÊ ÄÏÌÖÅÎ ÒÏÑ×ÉÔØÓÑ É × ÄÒÕÇÉÈ ÓÉÔÕÁ ÉÑÈ. èÏÞÅÔÓÑ ÏÎÑÔØ, × ÞÅÍ ÏÎ ÓÏÓÔÏÉÔ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÂÙÌÏ ÂÙ ÉÎÔÅÒÅÓÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÓÔÅÅÎÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÅÄÉÎÏÏÂÒÁÚÎÏÇÏ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ, ÒÉÇÏÄÎÏÇÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏËÁÚÁÔÅÌÑ ÓÔÅÅÎÉ. (÷ ËÕÒÓÅ ÁÎÁÌÉÚÁ ÏÔÄÅÌØÎÏ ×ÙÞÉÓÌÑÀÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÏÔ ÓÔÅÅÎÉ É ÌÏÇÁÒÉÆÍÁ, É ËÁË ÂÙ ÓÌÕÞÁÊÎÏ × ÏÂÏÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÓÔÅÅÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ.) ÷ ÚÁÍÅÔËÅ ÍÙ ×ÙÑÓÎÉÍ ÜÔÉ ×ÏÒÏÓÙ, ÏÂÒÁÔÉ×ÛÉÓØ Ë ÔÅÍ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ, ËÏÔÏÒÙÍ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÓÔÅÅÎØ É ÌÏÇÁÒÉÆÍ. ÷ÓÅ ÚÎÁÀÔ, ÞÔÏ ÓÔÅÅÎØ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÒÁ×ÎÁ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ ÓÔÅÅÎÅÊ, Á ÌÏÇÁÒÉÆÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ | ÓÕÍÍÅ ÌÏÇÁÒÉÆÍÏ×. ïÔÓÀÄÁ ÕÄÁÅÔÓÑ ÏÌÕÞÉÔØ ÉÓËÏÍÙÊ ÅÄÉÎÏÏÂÒÁÚÎÙÊ ÓÏÓÏ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÔÅÅÎÉ. ÷ÙÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ÓÔÅÅÎØÀ É ÌÏÇÁÒÉÆÍÏÍ, Ó ÏÄÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, É ÇÏÍÏÔÅÔÉÅÊ É ÓÄ×ÉÇÏÍ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÒÑÍÏÊ | Ó ÄÒÕÇÏÊ. úÁÇÁÄÏÞÎÁÑ €ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔ؁ ÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÓÔÅÅÎÅÊ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÒÁÖÅÎÉÅÍ ×ÏÌÎÅ ÏÎÑÔÎÏÇÏ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÆÁËÔÁ: ÓÕÍÍÁ ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ É ÓÄ×ÉÇÁ ÌÉÂÏ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ, ÌÉÂÏ ÅÒ×ÏÅ ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ × ÎÅÊ | ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ (É ÔÏÇÄÁ ÏÎÁ ÅÓÔØ ÓÄ×ÉÇ).

104

â. ò. æÒÅÎËÉÎ

éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ É ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

éÔÁË, ÕÓÔØ F (x) = x | ÓÔÅÅÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ Ó ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏËÁÚÁÔÅÌÅÍ, ÚÁÄÁÎÎÁÑ × ÏÂÌÁÓÔÉ x > 0 (ÞÔÏÂÙ ÎÅ ÉÍÅÔØ ÄÅÌÁ Ó ÒÁÚÒÙ×ÏÍ × ÎÕÌÅ ÒÉ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÍ ). ðÕÓÔØ G(x) | ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÁÑ ÄÌÑ F (x); ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÄÏÂÎÙÍ ×ÙÂÒÁÔØ ÅÅ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ

G(1) = 0:

(1)

óÔÅÅÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ

F (xy) = F (x)F (y):

(2)

åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÖÉÄÁÔØ, ÞÔÏ É ÅÅ ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÁÑ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ËÁËÏÍÕ-ÎÉÂÕÄØ ÒÏÓÔÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ | ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÔÁËÖÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÍÕ xy. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÒÏÂÕÅÍ ×ÙÒÁÚÉÔØ G(xy) ÞÅÒÅÚ G(x) É G(y). ó ÕÞÅÔÏÍ (1) É (2) ÉÍÅÅÍ:

G(xy) = = G(y) +

Z xy 1

Z x 1

F (t)dt =

Z y 1

F (t)dt +

Z xy y

F (ty)d(ty) = G(y) + F (y)y = G(y) + y +1 G(x):

F (t)dt =

Z x 1

F (t)dt =

äÌÑ ËÒÁÔËÏÓÔÉ ÏÌÏÖÉÍ = + 1. íÙ ÏÌÕÞÉÌÉ, ËÁË É ÓÔÒÅÍÉÌÉÓØ, ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÄÌÑ G:

G(xy) = y G(x) + G(y):

(3)

ðÏÓËÏÌØËÕ xy = yx, ÔÏ y G(x) + G(y) = x G(y) + G(x), Á

G(x)(y − 1) = G(y)(x − 1):

(4)

åÓÌÉ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ × ÓËÏÂËÁÈ ÎÅ ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ, ÔÏ

G(x) G(y) = ; x − 1 (y − 1)

Ô. Å. ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÞÁÓÔÅÊ ÜÔÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÈÏÄÑÝÅÊ × ÎÅÅ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ. ÏÇÄÁ ÉÓËÏÍÁÑ ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÁÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ

G(x) = (x − 1) Ó ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ËÏÎÓÔÁÎÔÏÊ .

(5)

éÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ ÓÔÅÅÎÉ: ÎÅÏÞÅ×ÉÄÎÏÅ × ÏÞÅ×ÉÄÎÏÍ

105

ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ ÏÄÎÁ ÉÚ ÓËÏÂÏË × (4) ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ | ÎÁÒÉÍÅÒ, x − 1 = 0: ÏÇÄÁ ÌÉÂÏ x = 1, ÎÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ (5) ÒÏÄÏÌÖÁÅÔ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ××ÉÄÕ (1); ÌÉÂÏ = 0, É (3) ÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ

G(xy) = G(x) + G(y):

(6)

ðÒÉ ÜÔÏÍ G(x), ËÁË ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÁÑ ÄÌÑ 1=x, ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁ É ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÎÕÌÅÍ. èÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÓÒÅÄÉ ÔÁËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (6) ×ÙÄÅÌÑÅÔ ÌÏÇÁÒÉÆÍÙ. ïÓÎÏ×ÁÎÉÅ ÌÏÇÁÒÉÆÍÁ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ, ÔÁË ËÁË ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (3) ×ÙÄÅÒÖÉ×ÁÅÔ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ G ÎÁ ËÏÎÓÔÁÎÔÕ. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÕÖÎÏ ÒÏÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÔØ ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ É ÏÓÍÏÔÒÅÔØ, ÒÉ ËÁËÏÍ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÌÏÇÁÒÉÆÍÁ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑ F . óËÁÚÁÎÎÏÅ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ É Ë ËÏÎÓÔÁÎÔÅ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ (5). éÔÁË, ÄÏÓÔÉÇÎÕÔÁ ÏÄÎÁ ÉÚ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ ÅÌÅÊ: ÍÙ ÎÁÛÌÉ ÅÄÉÎÏÏÂÒÁÚÎÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ, ÏÚ×ÏÌÑÀÝÅÅ ÒÏÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÔØ ÓÔÅÅÎÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ Ó ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏËÁÚÁÔÅÌÅÍ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÄÌÑ ÓÔÅÅÎÉ É ÌÏÇÁÒÉÆÍÁ. ïÄÎÁËÏ Ï-ÒÅÖÎÅÍÕ ÎÅÑÓÎÏ, ËÁËÁÑ ÉÄÅÑ ÒÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ × ÒÁÓÝÅÌÅÎÉÉ ÎÁ Ä×Á ÓÌÕÞÁÑ: = −1 É ×ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÏÅ. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÁÆÆÉÎÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ

÷ÅÒÎÅÍÓÑ Ë ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ (3). æÉËÓÉÒÕÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅ y. ÏÇÄÁ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ Ó ÆÕÎË ÉÅÊ G(x) ÒÉ ÚÁÍÅÎÅ x ÎÁ xy: ÅÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÄ×ÅÒÇÁÅÔÓÑ ÁÆÆÉÎÎÏÍÕ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ (Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ, ÚÁ×ÉÓÑÝÉÍÉ ÏÔ y). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÜÔÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÏÄÒÏÂÎÅÅ. ðÒÉ = 0 ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÓÄ×ÉÇ, É G(x) ÅÓÔØ ÌÏÇÁÒÉÆÍ. ÷ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÕÍÍÕ ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ É ÓÄ×ÉÇÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÒÑÍÏÊ. îÏ ÔÁËÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ P | ÁÆÆÉÎÎÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÒÑÍÏÊ,

P x = ax + b;

(7Á)

P x − = a(x − );

(7Â)

ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ , ÞÔÏ Á ÉÍÅÎÎÏ:

= b=(1 − a): ÷×ÉÄÕ (7Â) P Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏÍÏÔÅÔÉÅÊ Ó ÅÎÔÒÏÍ .

(7×)

106

â. ò. æÒÅÎËÉÎ

éÔÁË, ÅÓÌÉ 6= 0, ÔÏ ÒÉ ËÁÖÄÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ y ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (3) ÚÁÄÁÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÇÏÍÏÔÅÔÉÀ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÚÎÁÞÅÎÉÊ G(x). îÅÏÄ×ÉÖÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÜÔÏÊ ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ ÆÏÒÍÁÌØÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ y. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÔÁËÏÊ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÎÅÔ. ðÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ×ÉÄÁ (3) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÕÍÎÏÖÅÎÉÀ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x ÎÁ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ y É ÏÔÏÍÕ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ. îÏ ÅÓÌÉ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ P; Q ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ É ÉÍÅÀÔ Ï ÏÄÎÏÊ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÏÊ ÔÏÞËÅ, ÔÏ ÜÔÉ ÔÏÞËÉ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÕÓÔØ | (ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ) ÎÅÏÄ×ÉÖÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÄÌÑ P . ÏÇÄÁ P (Q ) = Q(P ) = Q , Ô. Å. Q | ÎÅÏÄ×ÉÖÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÄÌÑ P É ÏÔÏÍÕ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó . úÎÁÞÉÔ, | ÎÅÏÄ×ÉÖÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÄÌÑ Q, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ. éÔÁË, ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ (3) ÉÍÅÀÔ ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÕÀ ÔÏÞËÕ ÒÉ ×ÓÅÈ y > 0. üÔÏ ÚÎÁÞÉÔ (ÓÍ. (7Á){(7Â)), ÞÔÏ

G(xy) − = y (G(x) − ); Ô. Å. ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ G(x) − ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÎÁ y ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÚÎÁÞÅÎÉÊ. îÏ ÔÏÇÄÁ ÆÕÎË ÉÑ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÔÅÅÎÎÏÊ (Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ), ÏÄÏÂÎÏ ÔÏÍÕ, ËÁË × ÓÌÕÞÁÅ ÓÄ×ÉÇÁ ÏÎÁ Ñ×ÌÑÌÁÓØ ÌÏÇÁÒÉÆÍÏÍ. (úÄÅÓØ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÕÖÄÁÔØ Ï ÁÎÁÌÏÇÉÉ Ó ÅÒ×ÏÊ ÞÁÓÔØÀ ÚÁÍÅÔËÉ: ÏÍÅÎÑÅÍ ÍÅÓÔÁÍÉ x É y, ÒÁÚÄÅÌÉÍ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ É × ÉÔÏÇÅ ×ÙÑÓÎÉÍ ×ÉÄ G(x) − . îÏ ÍÏÖÎÏ ÔÁËÖÅ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ××ÉÄÕ (3), (7Á) É (7×)

= G(x)=(1 − x ), ÏÔËÕÄÁ G(x) = (1 − x ).) íÙ ÏÌÕÞÉÌÉ, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÔÏÔ ÖÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ, ÞÔÏ É ÒÁÎØÛÅ. ðÒÏÉÇÒÁ× × ÆÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÒÏÓÔÏÔÅ, ÍÙ ÚÁÔÏ ×ÙÑ×ÉÌÉ ÓÕÔØ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÇÏ Ñ×ÌÅÎÉÑ. ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÏËÁÚÁÔÅÌÑ ÓÔÅÅÎÉ ÍÏÖÎÏ ÓÏÏÓÔÁ×ÉÔØ ÁÆÆÉÎÎÙÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÍ ÒÑÍÏÊ Ó ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÒÉ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ. ðÒÉ = −1 ÜÔÏ ÓÄ×ÉÇ, × ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ | ÇÏÍÏÔÅÔÉÑ. óÄ×ÉÇ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÌÏÇÁÒÉÆÍÕ, Á ÇÏÍÏÔÅÔÉÑ | ÓÔÅÅÎÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ. €ëÁÔÁÓÔÒÏÆÁ ÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÓÔÅÅÎÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ × ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÁÆÆÉÎÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÒÑÍÏÊ: ÓÕÍÍÁ ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ É ÓÄ×ÉÇÁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÎÅ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ Ó×ÏÅÇÏ ËÒÁÊÎÅÇÏ ÓÌÕÞÁÑ | ÞÉÓÔÏÊ ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ, ÅÓÌÉ ÔÏÌØËÏ ÏÎÁ ÎÅ ÂÙÌÁ ÚÁÄÁÎÁ ËÁË ÄÒÕÇÏÊ ËÒÁÊÎÉÊ ÓÌÕÞÁÊ | ÞÉÓÔÙÊ ÓÄ×ÉÇ.

éÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ ÓÔÅÅÎÉ: ÎÅÏÞÅ×ÉÄÎÏÅ × ÏÞÅ×ÉÄÎÏÍ

107

äÏÏÌÎÅÎÉÅ 1: ï ÏÄÎÏÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÍ ÏÂÏÂÝÅÎÉÉ

óÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ G(x) É G(xy), ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ (3), ÉÍÅÅÔ ÓÅ ÉÆÉÞÅÓËÉÊ ×ÉÄ: × ÎÅÍ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ G(y) É ÓÔÅÅÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ ÓÏÓÔÏÑÌÏ ÂÙ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ. ðÏÒÏÂÕÅÍ ÎÁÊÔÉ ×ÓÅ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ G(x), ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ (× ÏÂÌÁÓÔÉ x > 0) ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ G(xy) = A(y)G(x) + B (y) (8) Ó ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÍÉ ÆÕÎË ÉÑÍÉ A(y); B (y). ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÄÌÑ G(x) ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ (8), ÔÏ É ÄÌÑ G(x)+ onst ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (É Ó ÔÏÊ ÖÅ ÆÕÎË ÉÅÊ A(y)). ðÏÜÔÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ G(1) = 0: (9) ðÏÌÏÖÉ× ÔÏÇÄÁ x = 1, ÏÌÕÞÉÍ

G(y) = B (y):

(10)

äÁÌÅÅ ÍÙ ÍÏÇÌÉ ÂÙ, ËÁË É ×ÙÛÅ, ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔØ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ, ÎÏ ÂÏÌÅÅ ÉÚÑÝÎÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ ÅÇÏ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ. éÚ (8) É (10) ÓÌÅÄÕÅÔ,ÞÔÏ

G(xyz ) = A(xy)G(z ) + G(xy) = A(xy)G(z ) + A(x)G(y) + G(x); G(xyz ) = A(x)G(yz ) + G(x) = A(x)A(y)G(z ) + A(x)G(y) + G(x): óÒÁ×ÎÉ× ÜÔÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÌÉÂÏ G(z ) | ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÎÕÌØ, ÌÉÂÏ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï A(xy) = A(x)A(y). ÷ ÅÒ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ A(x) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÌÀÂÏÊ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ. ÷Ï ×ÔÏÒÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, A(x) | ÌÉÂÏ ÓÔÅÅÎØ, ÌÉÂÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÎÕÌØ. îÏ ÅÓÌÉ A(x) | ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÎÕÌØ,ÔÏ ÏÌÏÖÉÍ × (8) y = 1. ÏÇÄÁ ÉÚ (10) É (9) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ É G(x) | ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÎÕÌØ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÂÝÅÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (8) Ï ÓÕÝÅÓÔ×Õ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ (3): G(x) ÏÓÌÅ ÓÄ×ÉÇÁ ÎÁ ËÏÎÓÔÁÎÔÕ ÌÉÂÏ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÎÕÌÅÍ, ÌÉÂÏ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó B (x), ÒÉÞÅÍ × ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÓÌÕÞÁÅ A(x) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÔÅÅÎØÀ.

108

â. ò. æÒÅÎËÉÎ

äÏÏÌÎÅÎÉÅ 2: üËÓÏÎÅÎÔÁ É ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ | ÒÉÍÅÒ ÎÁ ÔÕ ÖÅ ÔÅÍÕ

ñ×ÌÅÎÉÅ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÏÅ × ÚÁÍÅÔËÅ, ÍÏÖÎÏ ÎÁÂÌÀÄÁÔØ É × ÄÒÕÇÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ. îÁÒÉÍÅÒ, ÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÜËÓÏÎÅÎÔÙ e x ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ (Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁ É ÁÄÄÉÔÉ×ÎÏÊ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ) ÜËÓÏÎÅÎÔÁ, ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÓÌÕÞÁÑ = 0, ËÏÇÄÁ ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. úÄÅÓØ ÍÏÖÎÏ ÒÏ×ÅÓÔÉ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÉÚÌÏÖÅÎÎÙÍ ×ÙÛÅ. îÕÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ

e (x+y) = e x e y ; (x + y) = (x) + (y): òÁÓÓÍÏÔÒÅ× ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÕÀ H × ÔÏÞËÅ x + y, ÏÌÕÞÁÅÍ ÄÌÑ ÎÅÅ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ H (x + y) = e y H (x) + H (y) É ÄÁÌÅÅ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÍ ËÁË ÒÉ ÁÎÁÌÉÚÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (3). ÷ ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÜËÓÏÎÅÎÔÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ, Á ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ | ÓÄ×ÉÇÕ.

109

ÅÏÒÅÍÁ Ï ÕÞËÅ ËÏÎÉË, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ 4 ÔÏÞËÉ

÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×

ëÏÎÉÞÅÓËÉÍ ÓÅÞÅÎÉÅÍ

×ÁÅÍÁÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ

ÉÌÉ ÒÏÓÔÏ

ËÏÎÉËÏÊ

ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÒÉ×ÁÑ, ÚÁÄÁ-

ax2 + bxy + y2 + dx + ey + f = 0: óÅÍÅÊÓÔ×Ï ËÏÎÉË, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÙ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÄÏÕÓËÁÅÔ ÒÏÓÔÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ. âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÒÑÍÁÑ AB ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ lAB = 0. ÏÇÄÁ ×Ï ×ÓÅÈ ×ÅÒÛÉÎÁÈ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ ABCD ÏÂÒÁÝÁÀÔÓÑ × ÎÕÌØ ËÁË ÆÕÎË ÉÑ lAB · lCD , ÔÁË É ÆÕÎË ÉÑ lBC · lAD . ðÏÜÔÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ lAB · lCD + lBC · lAD = 0 ÚÁÄÁÅÔ ËÏÎÉËÕ, ÒÏÈÏÄÑÝÕÀ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÙ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ ABCD. ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ×ÅÒÎÏ É ÏÂÒÁÔÎÏÅ. ÅÏÒÅÍÁ 1. ðÕÓÔØ ÎÉËÁËÉÅ ÔÒÉ ÉÚ ÔÏÞÅË A; B; C É D ÎÅ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ. ÏÇÄÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÌÀÂÏÊ ËÏÎÉËÉ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ

A; B; C

D, ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ lAB · lCD + lBC · lAD = 0: äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. íÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÒÑÍÙÅ AB É AD ÚÁÄÁÎÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ y = 0 É x = 0 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ (ÓÉÓÔÅÍÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÁÑ). ðÕÓÔØ f = 0 { ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÊ ËÏÎÉËÉ. ïÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÊ f É lAB · lCD + lBC · lAD = ylCD + xlBC ÎÁ ÌÀÂÕÀ ÉÚ ÏÓÅÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÍÉ ÔÒÅÈÞÌÅÎÁÍÉ Ó Ä×ÕÍÑ ÏÂÝÉÍÉ ËÏÒÎÑÍÉ (A É B ÉÌÉ A É D). ðÏÜÔÏÍÕ ÞÉÓÌÁ  É  ÍÏÖÎÏ ÏÄÏÂÒÁÔØ ÔÁË, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ P (x; y) = f (x; y) − ylCD (x; y) − xlBC (x; y) ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ ËÁË ÒÉ x = 0, ÔÁË É ÒÉ y = 0. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÎ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ xy, Ô. Å. P (x; y) = xyQ, ÇÄÅ Q { ËÏÎÓÔÁÎÔÁ. ÷ ÔÏÞËÅ C ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ P ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ, Á xy 6= 0. ðÏÜÔÏÍÕ Q = 0, Ô. Å. f = lAB · lCD + lBC · lAD : É

110

÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×

M

K A

B O

B C

L

A

D

N òÉÓ. 1.

òÉÓ. 2.

óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 1. ðÕÓÔØ

f=0

É

g=0

{ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÏ-

ÎÉË, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÙ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ

ABCD. ÏÇÄÁ ÕÒÁ×ÎÅABCD,

ÎÉÅ ÌÀÂÏÊ ËÏÎÉËÉ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÙ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ

f + g = 0.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ëÏÎÉËÉ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÅ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÙ ÞÅÔÙÒ ÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ ABCD, ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÒÏÅËÔÉ×ÎÕÀ ÒÑÍÕÀ, ÏÒÏÖÄÅÎÎÕÀ ÔÏÞËÁÍÉ lAB · lCD = 0 É lAD · lBC = 0. üÔÁ ÒÑÍÁÑ ÏÒÏÖÄÅÎÁ ÔÁËÖÅ ÁÒÏÊ ÌÀÂÙÈ ÄÒÕÇÉÈ ÔÏÞÅË, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÔÏÞËÁÍÉ f = 0 É g = 0.

ÅÏÒÅÍÁ 1 ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÄÁÔØ ÒÏÓÔÙÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÍÎÏÇÉÈ ÄÒÕÇÉÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÔÅÏÒÅÍ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÔÁËÉÈ ÒÉÍÅÒÏ×. ÅÏÒÅÍÁ Ï ÂÁÂÏÞËÅ

÷ Ó×ÑÚÉ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ ÎÁ ÒÉÓ. 1 ÍÏÖÎÏ ÒÉ ÖÅÌÁÎÉÉ Õ×ÉÄÅÔØ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÂÁÂÏÞËÉ, ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÞÁÓÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÅÏÒÅÍÏÊ Ï ÂÁÂÏÞËÅ. ÅÏÒÅÍÁ 2. ðÕÓÔØ ÈÏÒÄÙ ÄÙ

AB

ÒÑÍÕÀ

KL É MN

ÒÏÈÏÄÑÔ ÞÅÒÅÚ ÓÅÒÅÄÉÎÕ

ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. ÏÇÄÁ ÒÑÍÙÅ

AB

KN O.

É

ML

O ÈÏÒ-

ÅÒÅÓÅËÁÀÔ

× ÔÏÞËÁÈ, ÒÁ×ÎÏÕÄÁÌÅÎÎÙÈ ÏÔ ÔÏÞËÉ

þÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ K; L; M; É N ÒÏÈÏÄÑÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÔÒÉ ËÏÎÉËÉ: ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ f = 0, g = lKL · lMN = 0 É h = lKN · lML = 0. ðÏÜÔÏÍÕ h = f + g. üÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÅÒÎÏ É ÄÌÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÎÁ ÒÑÍÕÀ AB . ÷×ÅÄÅÍ ÎÁ AB ËÏÏÒÄÉÎÁÔÕ x, ÒÉÎÑ× ÔÏÞËÕ O äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

ÅÏÒÅÍÁ Ï ÕÞËÅ ËÏÎÉË, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ 4 ÔÏÞËÉ

111

ÚÁ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. ÏÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ f = x2 − a É g = x2 , ÏÜÔÏÍÕ h = bx2 − . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ËÏÒÎÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ h = 0 ÒÁ×ÎÏÕÄÁÌÅÎÙ ÏÔ ÔÏÞËÉ O. ðÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÂÁÂÏÞËÅ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÄÏËÁÚÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÅÅ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÎÉËÁËÏÊ ÂÁÂÏÞËÉ ÕÖÅ ÎÅ ×ÉÄÎÏ. 4 ÏÂÝÉÈ ÔÏÞËÉ. ðÒÑÍÁÑ AB ×ÙÓÅËÁO. ÏÇÄÁ ÔÏÞËÁ O ×ÙÓÅËÁÅÍÏÊ AB ÎÁ ÔÒÅÔØÅÊ ËÏÎÉËÅ.

ÅÏÒÅÍÁ 3. ÒÉ ËÏÎÉËÉ ÉÍÅÀÔ

ÅÔ ÎÁ Ä×ÕÈ ÉÚ ÎÉÈ ÈÏÒÄÙ, ÉÍÅÀÝÉÅ ÏÂÝÕÀ ÓÅÒÅÄÉÎÕ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ ÓÅÒÅÄÉÎÏÊ ÈÏÒÄÙ,

ÅÏÒÅÍÁ Ï Ä×ÕÈ ÂÁÂÏÞËÁÈ

ëÁË ÍÙ ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÉ, ÓÁÍÏÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÊÓÑ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË ÄÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÎÁÏÍÉÎÁÅÔ ÂÁÂÏÞËÕ. ðÏÜÔÏÍÕ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÉÎÏÇÄÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÅÏÒÅÍÏÊ Ï Ä×ÕÈ ÂÁÂÏÞËÁÈ. ÅÏÒÅÍÁ 4. ðÕÓÔØ ÓÔÏÒÏÎÙ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉ-

K ′ L′ M ′ N ′ ; ×ÉÓÁÎÎÙÈ × ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, ÅÒÅÓÅËÁÀÔ ÈÏÒÄÕ AB ÜÔÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ × ÔÏÞËÁÈ P; Q; R; S É P ′ ; Q′ ; R′ ; S ′ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÏÇÄÁ ÅÓÌÉ ÔÒÉ ÉÚ ÔÏÞÅË P; Q; R; S ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÔÒÅÍÑ ÉÚ ÔÏÞÅË P ′ ; Q′ ; R′ ; S ′ ; ÔÏ É ÏÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ ÔÏÞËÉ ÔÏÖÅ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ.

ËÏ×

KLMN

É

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

óÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 1,

lKLlMN + lKN lML = f = ′ lK ′ L′ lM ′ N ′ + ′ lK ′ N ′ lM ′ L′ : òÁÓÓÍÏÔÒÅ× ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÎÁ ÒÑÍÕÀ AB; ÏÌÕÞÉÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÉÄÁ

(x − p)(x − q) + (x − r)(x − s) = ′ (x − p)(x − q) + ′ (x − r)(x − s′ ): (1) ðÒÉ ÜÔÏÍ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ s = s′ : òÁ×ÅÎÓÔ×Ï (1) ÍÏÖÎÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÔØ Ë ×ÉÄÕ

′′ (x − p)(x − q) = (x − r)[ (x − s) − ′ (x − s′ )℄: ÷ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÔÏÞËÉ P; Q; R; S ÏÁÒÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙ, (x − p)(x − q) ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ (x − r): ðÏÜÔÏÍÕ (x − s) − ′ (x − s′ ) = 0: óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, s = s′ :

112

÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×

ÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ ðÁÓËÁÌÑ

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÉË ABCDEF , ×ÅÒÛÉÎÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ËÏÎÉËÅ f = 0. þÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÉ ABCD, AF ED É BEF C ×ÉÓÁÎÙ × ÜÔÕ ËÏÎÉËÕ, ÏÜÔÏÍÕ f ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ÌÀÂÏÍ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ×ÉÄÏ×:

f = 1 lAB · lCD + 1 lAD · lBC ;

(1)

f = 2 lAF · lED + 2 lAD · lEF ; f = 3 lBE · lCF + 3 lBC · lEF : ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ (1) É (2), ÏÌÕÞÁÅÍ

(2) (3)

1 lAB · lCD − 2 lAF · lED = (1 lBC − 2 lEF )lAD : ðÕÓÔØ X | ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ AB É ED. ÷ ÔÏÞËÅ X ÏÂÒÁÝÁÀÔÓÑ × ÎÕÌØ ÆÕÎË ÉÉ lAB · lCD É lAF · lED , Á ÆÕÎË ÉÑ lAD × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ × ÎÕÌØ ÎÅ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, × ÔÏÞËÅ X ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ ÆÕÎË ÉÑ 1 lBC − 2 lEF , Ô. Å. ÔÏÞËÁ X ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÒÑÍÏÊ 1 lBC = 2 lEF . áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÎÁ ÒÑÍÏÊ 1 lBC = 2 lEF ÌÅÖÉÔ ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ CD É AF . ïÞÅ×ÉÄÎÏ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ BC É EF ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÒÑÍÏÊ 1 lBC = 2 lEF . ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ.

A; B; C; D; E É F ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÒÑÍÙÈ AB É DE , BC É EF , CD É

ÅÏÒÅÍÁ 5 (ðÁÓËÁÌØ). åÓÌÉ ÔÏÞËÉ ÎÏÊ ËÏÎÉËÅ, ÔÏ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ

F A ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ.

îÏ ÒÏÄÏÌÖÉÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ÄÁÌØÛÅ. ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ (2) É (3), ÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ AF É BE , ED É CF , AD É BC ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÒÑÍÏÊ 2 lAD = 3 lBC . á ÒÉÒÁ×ÎÑ× (1) É (3), ÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ AB É CF , CD É BE , AD É EF ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÒÑÍÏÊ 1 lAD = 3 lEF . ìÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÒÑÍÙÅ

1 lBC = 2 lEF ; 2 lAD = 3 lBC É 1 lAD = 3 lEF ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÅÓÌÉ X { ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÅÒ×ÙÈ Ä×ÕÈ ÉÚ ÜÔÉÈ ÒÑÍÙÈ, ÔÏ

1 2 lBC (x)lAD (x) = 2 3 lEF (x)lBC (x): óÏËÒÁÔÉ× ÎÁ 2 lBC (x), ÏÌÕÞÉÍ 1 lAD (x) = 3 lEF (x) (ÍÙ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ÏÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÔØÓÑ ÎÁ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÉ ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÇÏ ÓÌÕÞÁÑ, ËÏÇÄÁ 2 lBC (x) = 0).

ÅÏÒÅÍÁ Ï ÕÞËÅ ËÏÎÉË, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ 4 ÔÏÞËÉ

113

âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÒÑÍÏÊ ðÁÓËÁÌÑ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁ, ×ÉÓÁÎÎÏÇÏ × ËÏÎÉËÕ, ÒÑÍÕÀ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÌÅÖÁÔ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÁÒ ÅÇÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÓÔÏÒÏÎ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÉËÏÍ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ É ÚÁÍËÎÕÔÕÀ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅËÁÀÝÕÀÓÑ ÌÏÍÁÎÕÀ. äÏËÁÚÁÎÎÏÅ ×ÙÛÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ.

A; B; C; D; E; F ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ËÏÎÉËÅ. ÏÇÄÁ ÒÑÍÙÅ ðÁÓËÁÌÑ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÉËÏ× ABCDEF , ADEBCF É ADCF EB ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ. ÅÏÒÅÍÁ 6 (ûÔÅÊÎÅÒ). ðÕÓÔØ ÔÏÞËÉ

îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÉÓÈÏÄÎÙÍÉ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁÍÉ ÂÙÌÉ ABCD; AF ED É BEF C . íÏÖÎÏ ÉÓÈÏÄÉÔØ ÔÁËÖÅ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÏ× ABF E; ABDC É CDF E . ÏÇÄÁ ÏÌÕÞÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ. ÅÏÒÅÍÁ 7 (ëÉÒËÍÁÎ). ðÒÑÍÙÅ ðÁÓËÁÌÑ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÉËÏ×

ABF DCE; AEF BDC

É

ABDF EC

ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ.

îÅÔÒÕÄÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÙÍ ÛÅÓÔÉ ÔÏÞËÁÍ ÎÁ ËÏÎÉËÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ 60 ÒÑÍÙÈ ðÁÓËÁÌÑ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ËÁÖÄÁÑ ÒÑÍÁÑ ðÁÓËÁÌÑ ×ÈÏÄÉÔ ÒÏ×ÎÏ × ÏÄÎÕ ÔÒÏÊËÕ ûÔÅÊÎÅÒÁ É × ÔÒÉ ÔÒÏÊËÉ ëÉÒËÍÁÎÁ. ëÏÎÉËÉ Ó ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÍÉ ÏÓÑÍÉ

ÅÏÒÅÍÁ 8. åÓÌÉ Ä×Å ËÏÎÉËÉ ÉÍÅÀÔ ÞÅÔÙÒÅ ÏÂÝÉÈ ÔÏÞËÉ, ÔÏ ÜÔÉ ÔÏÞËÉ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÓÉ ËÏÎÉË ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙ.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. îÁ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÏÓÅÊ ËÏÎÉËÉ ×ÌÉÑÀÔ ÌÉÛØ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÅ ÞÌÅÎÙ ÅÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÏÜÔÏÍÕ ÂÕÄÅÍ ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ ÔÏÌØËÏ ÉÈ. íÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ËÏÎÉË ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ ax2 + by2 + · · · = 0. åÓÌÉ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ a1 x2 +b1 y2 + 1 xy +· · · =

= 0 ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ x2 + y2 + · · · = 0, ÔÏ 1 = 0, Ô. Å. ÏÓÉ ËÏÎÉË ÅÒÅÎÄÉËÕa−b ÌÑÒÎÙ. ðÕÓÔØ, ÎÁÏÂÏÒÏÔ, 1 = 0. ðÏÌÏÖÉÍ  = − (ÓÌÕÞÁÊ a1 = b1 a1 − b1 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ). ÏÇÄÁ a + a1 = b + b1 . ïÓÔÁÅÔÓÑ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ a + a1 = b + b1 = 0, ÔÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÅ ËÏÎÉËÉ ÉÍÅÀÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ Ä×ÕÈ ÏÂÝÉÈ ÔÏÞÅË, ÔÁË ËÁË ÓÒÅÄÉ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÊ ÉÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ.

114

÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×

çÉÅÒÂÏÌÙ Ó ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÍÉ ÁÓÉÍÔÏÔÁÍÉ

ÅÏÒÅÍÁ 9. ìÀÂÁÑ ËÏÎÉËÁ, ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

ABC

É ÔÏÞËÕ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÅÇÏ ×ÙÓÏÔ

H , Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÉÅÒÂÏÌÏÊ Ó ÅÒÅÎ-

ÄÉËÕÌÑÒÎÙÍÉ ÁÓÉÍÔÏÔÁÍÉ.

îÅÔÒÕÄÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ËÏÎÉËÁ ax2 + bxy + y2 + · · · = 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÉÅÒÂÏÌÏÊ Ó ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÍÉ ÁÓÉÍÔÏÔÁÍÉ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ a + = 0. ðÏÜÔÏÍÕ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÇÉÅÒÂÏÌ Ó ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÍÉ ÁÓÉÍÔÏÔÁÍÉ ÔÏÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ÇÉÅÒÂÏÌÙ Ó ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÍÉ ÁÓÉÍÔÏÔÁÍÉ. ÷ ÕÞËÅ ËÏÎÉË, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ A; B; C É H , ÅÓÔØ Ä×Å (×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÈ) ÇÉÅÒÂÏÌÙ Ó ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÍÉ ÁÓÉÍÔÏÔÁÍÉ, Á ÉÍÅÎÎÏ, lAB · lCH = 0 É lBC · lAH = 0. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÓÅ ËÏÎÉËÉ ÜÔÏÇÏ ÕÞËÁ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÇÉÅÒÂÏÌÁÍÉ Ó ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÍÉ ÁÓÉÍÔÏÔÁÍÉ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

ãÅÎÔÒÙ ËÏÎÉË ÏÄÎÏÇÏ ÕÞËÁ

ÅÏÒÅÍÁ 10. ãÅÎÔÒÙ ËÏÎÉË, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ËÏÎÉËÕ

A; B; C

É

D,

.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ëÏÎÉËÁ, ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ A; B; C É D , ÉÍÅÅÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ F = 0, ÇÄÅ F = lAB · lCD + lBC · lAD . ãÅÎÔÒ ÜÔÏÊ ËÏÎÉËÉ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Fx = 0; Fy = 0; ÏÂÁ ÜÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÌÉÎÅÊÎÙ Ï x; y É . ÷ÙÒÁÚÉ×  ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÏÄÓÔÁ×É× ÜÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ×Ï ×ÔÏÒÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÏÌÕÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÔÏÒÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÅÅ x É y. ÷ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÒÅÄÌÁÇÁÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌÑÍ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ËÏÎÉËÉ . 1. ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ 6 ÓÅÒÅÄÉÎ ÏÔÒÅÚËÏ×, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ÁÒÙ ÄÁÎÎÙÈ ÔÏÞÅË, É ÞÅÒÅÚ 3 ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ÁÒÙ ÄÁÎÎÙÈ ÔÏÞÅË. 2. ãÅÎÔÒ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÅÎÔÒÏÍ ÍÁÓÓ ÔÏÞÅË A; B; C É D. 3. åÓÌÉ D | ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ×ÙÓÏÔ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , ÔÏ | ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÄÅ×ÑÔÉ ÔÏÞÅË ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. 4. åÓÌÉ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË ABCD ×ÉÓÁÎÎÙÊ, ÔÏ | ÇÉÅÒÂÏÌÁ Ó ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÍÉ ÁÓÉÍÔÏÔÁÍÉ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÓÉ ×ÓÅÈ ËÏÎÉË ÕÞËÁ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ ÁÓÉÍÔÏÔÁÍ .

îÁÛ ÓÅÍÉÎÁÒ: ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÓÀÖÅÔÙ

üËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÔÏÞÅË ÎÁ ÓÆÅÒÅ

î. î. áÎÄÒÅÅ×

÷. á. àÄÉÎ

÷×ÅÄÅÎÉÅ

éÍÅÅÔÓÑ ÅÌÙÊ ÒÑÄ ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÚÁÄÁÞ: ËÁË ÒÁÓÏÌÏÖÉÔØ N ÔÏÞÅË ÎÁ ÓÆÅÒÅ, ÞÔÏÂÙ Á) ÓÕÍÍÁ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ÓÔÁÌÏ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÍ? Â) ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÁÍÉ ÓÔÁÌÏ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÍ (ÚÁÄÁÞÁ Ï ÄÉËÔÁÔÏÒÁÈ)? ×) ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ÂÙÌÏ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÍ? ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÓÔÁÔØÅ ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÏÒÏÓ Ï ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÉ ÔÏÞÅË, ÍÉÎÉÍÉÚÉÒÕÀÝÉÈ ÏÔÅÎ ÉÁÌØÎÕÀ ÜÎÅÒÇÉÀ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ ÚÁÒÑÄÏ×. äÁÌÅÅ ÞÅÒÅÚ ab ÂÕÄÅÔ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØÓÑ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÏ× a; b √ ÉÚ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á R3 , |a| = aa | ÄÌÉÎÁ ×ÅËÔÏÒÁ a; S = {(x; y; z ) ∈ R3 | x2 + y2 + z 2 = 1} | ÅÄÉÎÉÞÎÁÑ ÓÆÅÒÁ ÉÚ R3 . úÁÄÁÞÁ. ðÕÓÔØ ÎÁ ÓÆÅÒÅ €ÒÉÂÉÔÙ Ç×ÏÚÄÑÍɁ ÒÑÄÏ×

q1 ; : : : ; qN

× ÔÏÞËÁÈ

a ;:::;a (1)

N

ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÚÁ-

N ) . ðÏ ÚÁËÏÎÕ ëÕÌÏÎÁ ÏÔÅÎ ÉÁÌØÎÁÑ

(

ÜÎÅÒÇÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ ÚÁÒÑÄÏ× ÒÁ×ÎÁ

W= ÇÄÅ

|a(i) −

a(j ) |

qi qj ; i (j ) i6=j |a − a |

X

( )

| ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÁÍÉ

a(i)

É

a(j ) ,

Ô. Å. ÄÌÉÎÁ

ÏÔÒÅÚËÁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÇÏ ÜÔÉ ÔÏÞËÉ. þÔÏ ÒÏÉÚÏÊÄÅÔ Ó ÚÁÒÑÄÁÍÉ, ÅÓÌÉ

116

î. î. áÎÄÒÅÅ×, ÷. á. àÄÉÎ

€Ç×ÏÚÄÉ ×ÙÄÅÒÎÕÔ؁? ë ËÁËÉÍ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑÍ ÂÕÄÕÔ ÓÔÒÅÍÉÔØÓÑ ÚÁÒÑÄÙ, ÓÔÒÅÍÑÓØ ÍÉÎÉÍÉÚÉÒÏ×ÁÔØ ÏÔÅÎ ÉÁÌØÎÕÀ ÜÎÅÒÇÉÀ ÓÉÓÔÅÍÙ?

÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÏÇÒÁÎÉÞÉÍÓÑ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅÍ ÒÁ×ÎÙÈ ÚÁÒÑÄÏ×. ÷ ÎÁÞÁÌÅ ×ÅËÁ äÖ. äÖ. ÏÍÓÏÎ [1℄ ÒÏ×ÏÄÉÌ ÜËÓÅÒÉÍÅÎÔ Ï ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÀ ÎÁÉÌÕÞÛÉÈ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÊ ÄÌÑ ÎÅÂÏÌØÛÉÈ ËÏÌÉÞÅÓÔ× ÚÁÒÑÄÏ×. ÁË, ÒÉ N = = 4; 6; 12 ÏÌÕÞÉÌÉÓØ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÅ ËÏÎÆÉÇÕÒÁ ÉÉ: ÔÅÔÒÁÜÄÒ, ÏËÔÁÜÄÒ É ÉËÏÓÁÜÄÒ. éÎÔÅÒÅÓÎÏ ÏÔÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ N (ÎÁÒÉÍÅÒ N = 5) ÜËÓÅÒÉÍÅÎÔÙ ÒÉ×ÏÄÉÌÉ Ë ÒÁÚÌÉÞÎÙÍ ËÏÎÆÉÇÕÒÁ ÉÑÍ. âÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÚÁÄÁÞÕ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÓÆÅÒÅ N ÔÏÞÅË a(1) ; : : : ; a(N ) , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÜÎÅÒÇÉÑ X 1 W= ( i ) |a − a(j ) | i6=j

ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÅÅ W (N ). ëÁË ÒÅÛÁÔØ ÔÁËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ? ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ N | ÏÔ×ÅÔ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÅÎ. äÌÑ ÍÁÌÙÈ N : N = 2; 3; 4 ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÄÏÇÁÄÁÔØÓÑ, É Ó ÏÍÏÝØÀ ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× Ï ÓÒÅÄÎÅÍ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÍ, ÓÒÅÄÎÅÍ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÍ É ÓÒÅÄÎÅÍ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÍ ÄÏËÁÚÁÔØ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÏÓÔØ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÊ: N = 2 | Ä×Å ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÎÁ ÓÆÅÒÅ; N = 3 | ÔÒÉ ×ÅÒÛÉÎÙ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÅ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÄÕÇÅ ÂÏÌØÛÏÇÏ ËÒÕÇÁ ÓÆÅÒÙ; N = 4 | ÞÅÔÙÒÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ, ×ÉÓÁÎÎÏÇÏ × ÓÆÅÒÕ. úÄÅÓØ ÍÙ ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ N = 6; 12 ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÅ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ ÚÁÄÁÀÔÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÏËÔÁÜÄÒÁ É ÉËÏÓÁÜÄÒÁ, ×ÉÓÁÎÎÙÈ × ÓÆÅÒÕ. äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÎÁÍ ÏÔÒÅÂÕÀÔÓÑ Ó×ÅÄÅÎÉÑ Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÈ ìÅÖÁÎÄÒÁ É ÉÎÔÅÒÏÌÑ ÉÏÎÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÈ üÒÍÉÔÁ. íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ìÅÖÁÎÄÒÁ

ïÒÅÄÅÌÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ Pn , ÇÄÅ n | ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÆÏÒÍÕÌ: 1 1 P0 = 1; P1 = t; P2 = (3t2 − 1); P3 = (5t3 − 3t); : : : ; 2 2 (n + 1)Pn+1 = (2n + 1)tPn − nPn−1 : íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ P0 ; P1 ; P2 ; : : : , ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÉÍÅÅÔ ÓÔÅÅÎØ, ÕËÁÚÁÎÎÕÀ ÅÇÏ ÉÎÄÅËÓÏÍ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ ìÅÖÁÎÄÒÁ. íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ìÅÖÁÎÄÒÁ ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÒÑÄÏÍ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÈ Ó×ÏÊÓÔ×. îÁÍ ÏÎÁÄÏÂÉÔÓÑ

üËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÔÏÞÅË ÎÁ ÓÆÅÒÅ

117

ó×ÏÊÓÔ×Ï ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÌÏÖÉÔÅÌØ-

ÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ n É ÌÀÂÏÇÏ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á M ÔÏÞÅË ÓÆÅÒÙ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï X Pn (ab) > 0: (∗) a;b∈M

÷ ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÇÏÄÙ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (∗) É ÅÇÏ ÁÎÁÌÏÇÏ× ÒÉ×ÅÌÉ Ë ÔÏÞÎÏÍÕ ÒÅÛÅÎÉÀ ÒÑÄÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÔÅÏÒÉÉ ËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ. ∗

÷×ÉÄÕ ×ÁÖÎÏÓÔÉ ( ) ÒÉ×ÅÄÅÍ ÅÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÉÚÉËÅ ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ [2, ÓÔÒ. 484℄ ÆÏÒÍÕÌÁ ìÁÌÁÓÁ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÎÁ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ

k+1 Pk (ar)Pk (br) dr; r = (x; y; z ); k = 0; 1; 2; : : : : 4 S k = 0; 1; 2; : : : , ÓËÌÁÄÙ×ÁÑ ÜÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÄÌÑ a; b ∈ M , ÎÁÊÄÅÍ:

Pk (ab) = äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ

Z

2

X

Pk (ab) =

a;b∈M

=



îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ( ) ÄÏËÁÚÁÎÏ.

k+1 4

2

k+1 4

2

Z

S

 

X

a;b∈M



Pk (ar)Pk (br) dr =

2 Z X Pk (ar) dr > 0: S a∈M

éÎÔÅÒÏÌÑ ÉÏÎÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ

ðÕÓÔØ {ti }qi=1 ⊂ (a; b); t1 < t2 < · · · < tq , | q ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞÅË ÉÚ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ (a; b). áÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ hq−1 (t) ÓÔÅÅÎÉ q − 1 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎÔÅÒÏÌÑ ÉÏÎÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ìÁÇÒÁÎÖÁ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ y(t) × ÔÏÞËÁÈ t1 ; : : : ; tq , ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÔÏÞËÁÍÉ ÉÎÔÅÒÏÌÑ ÉÉ, ÅÓÌÉ h(t1 ) = y(t1 ); : : : ; h(tq ) = y(tq ): åÓÌÉ ÖÅ ÓÔÅÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÒÁ×ÎÁ 2q − 1 É × ÔÏÞËÁÈ {ti }qi=1 ×ÙÏÌÎÅÎÙ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÓÏ×ÁÄÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ h′ (t1 ) = y′ (t1 ); : : : ; h′ (tq ) = y′ (tq ); ÔÏ ÏÎ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎÔÅÒÏÌÑ ÉÏÎÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ üÒÍÉÔÁ. á. á. íÁÒËÏ× ÎÁÛÅÌ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÕËÌÏÎÅÎÉÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ üÒÍÉÔÁ ÏÔ ÆÕÎË ÉÉ y(t). ÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ y (t) | ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [t1 ; tq ℄ | ÉÍÅÅÔ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÏÒÑÄËÁ 2q ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (t1 ; tq ). ÏÇÄÁ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÏÞËÁ ;  ∈ (t1 ; tq ), ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ y(2q) ( ) y(t) − h2q−1 (t) = (t − t1 )2 : : : (t − tq )2 : (2q)!

118

î. î. áÎÄÒÅÅ×, ÷. á. àÄÉÎ

éÚ ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ y(2q) ( ) > 0; t1 < <  < tq , ÔÏ y(t) > h2q−1 (t); t1 6 t 6 tq ; Ô. Å. ÇÒÁÆÉË ÉÎÔÅÒÏÌÑ ÉÏÎÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ üÒÍÉÔÁ ×ÓÅÇÄÁ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎ ÎÉÖÅ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎË ÉÉ y(t). äÌÑ ÎÁÛÉÈ ÅÌÅÊ ÏÎÁÄÏÂÉÔÓÑ ÎÅÂÏÌØÛÏÅ ×ÉÄÏÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ. ÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ

[t0 ; h℄; t0 < t1 < · · · < tq 6 h, É ÉÍÅÅÔ 2q + 1 ÎÁ (t0 ; h); 2) ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ h2q ÓÔÅÅÎÉ 2q ÔÁËÏ×, ÞÔÏ h2q (ti ) = y(ti ); i = 0; 1; : : : ; q; h′2q (ti ) = y′ (ti ); i = 1; 2; : : : ; q: ÏÇÄÁ ÎÁ (t0 ; h) ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÏÞËÁ  ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ y(2q+1) ( ) y(t) − h2q (t) = (t − t0 )(t − t1 )2 : : : (t − tq )2 : (∗∗) (2q + 1)! äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ t ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ t 6= ti ; i = 0; 1; : : : ; q . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ y(t) − h2q (t) !( ); z ( ) = y( ) − h2q ( ) − !(t) ÇÄÅ !( ) = ( − t0 )( − t1 )2 : : : ( − tq )2 . ðÏÎÑÔÎÏ, ÞÔÏ z (t) = 0; z (tj ) = 0; j = 0; 1; : : : q: úÎÁÞÉÔ, Ï ÔÅÏÒÅÍÅ òÏÌÌÑ, ÕÔ×ÅÒÖÄÁÀÝÅÊ, ÞÔÏ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÎÕÌÑÍÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÌÅÖÉÔ ÎÏÌØ ÅÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ q +1 ÔÏÞËÁ, ÎÉ ÏÄÎÁ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÔÏÞËÁÍÉ t0 ; : : : ; tq , × ËÏÔÏÒÙÈ z ′ ( ) ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÏÌØ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÉÚ ×ÔÏÒÏÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÔÅÏÒÅÍÙ É ×ÉÄÁ ÆÕÎË ÉÉ !( ) ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ z ′ (t1 ) = · · · = z ′ (tq ) = 0. ÷ ÉÔÏÇÅ ÉÍÅÅÍ, ÞÔÏ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ z ′ ( ) ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÏÌØ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ × 2q + 1 ÒÁÚÌÉÞÎÏÊ ÔÏÞËÅ ÉÚ (t0 ; h). ðÒÉÍÅÎÑÑ ÔÅÏÒÅÍÕ òÏÌÌÑ ÅÝÅ ÒÁÚ, ÎÁÈÏÄÉÍ, ÞÔÏ z ′′ ( ) ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÏÌØ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ × 2q ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞËÁÈ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ (t0 ; h). ðÒÉÍÅÎÑÑ ÔÅÏÒÅÍÕ òÏÌÌÑ ÅÝÅ 2q − 1 ÒÁÚ, ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÏÞËÁ ;  ∈ (t0 ; h), × ËÏÔÏÒÏÊ z (2q+1) ( ) = 0. ÁË ËÁË ÓÔÅÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ h2q (t) ÒÁ×ÎÁ 2q, ÔÏ h2q (2q+1) (t) = 0. óÔÅÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ !( ) ÒÁ×ÎÁ 2q +1, ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ  2q+1 ÒÁ×ÅÎ 1, É ÚÎÁÞÉÔ !(2q+1) ( ) = (2q +1)!. õÞÉÔÙ×ÁÑ ÜÔÏ, ÏÌÕÞÁÅÍ y(t) − h2q (t) 0 = z (2q+1) ( ) = y(2q+1) ( ) − (2q + 1)!; !(t) ÏÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ. 1) æÕÎË ÉÑ

y(t)

ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ

ÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÏÒÑÄËÁ

üËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÔÏÞÅË ÎÁ ÓÆÅÒÅ

119

úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÕÓÔØ > 0; K > 0, q | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ −1 6 t < 1

y(t) = K (1 − t)− > h2q (t);

ÇÄÅ h2q | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÊ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÔÅÏÒÅÍÙ 1. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ×ÏÚØÍÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ −1 = t0 < t1 < · · · < tq 6 h < 1. æÕÎË ÉÑ y(t) ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÍÏÎÏÔÏÎÎÁ ÎÁ (−1; 1), Ô. Å. ÅÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÌÀÂÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (−1; 1). ÏÇÄÁ ÉÚ (∗∗) ÎÁÈÏÄÉÍ, ÞÔÏ y(t) − h2q (t) > 0 ÄÌÑ −1 6 t 6 h. éÓÏÌØÚÕÑ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÅ ×ÙÛÅ Ó×ÅÄÅÎÉÑ, ÅÒÅÊÄÅÍ Ë ÔÏÞÎÏÍÕ ÒÅÛÅÎÉÀ ÎÁÛÅÊ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. ï ÅÎËÁ ÓÎÉÚÕ

ÅÅÒØ ÒÅÄÌÏÖÉÍ ÍÅÔÏÄ, ÏÚ×ÏÌÑÀÝÉÊ ÎÁÈÏÄÉÔØ Ï ÅÎËÕ ÓÎÉÚÕ ×ÅÌÉÞÉÎÙ W (N ) | ÏÔÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÜÎÅÒÇÉÉ ÓÉÓÔÅÍÙ ÉÚ N ÒÁ×ÎÙÈ ÚÁÒÑÄÏ×, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÈ ÎÁ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÓÆÅÒÅ.

hm (t) ÔÁËÏ×, ÞÔÏ

ÅÏÒÅÍÁ 1. ðÕÓÔØ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ 1) ëÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÁÔÅÌØÎÙ, Ô. Å.

hm (t) Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍ ìÅÖÁÎÄÒÁ ÎÅÏÔÒÉ-

hm (t) = 0 P0 (t) + 1 P1 (t) + · · · + m Pm (t);

ÇÄÅ

i > 0; 0 > 0:

2) óÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

hm (t) 6 y(t) = (1 − t)−1=2 ; ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ

N; N

−1 6 t 6 1:

>2

N (N 0 − h(1)) : 2 äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÎÁÂÏÒ ÉÚ N ÔÏÞÅË (i) {a(i) }N i=1 , ÌÅÖÁÝÉÈ ÎÁ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÓÆÅÒÅ S . ÁË ËÁË a ∈ S , ÔÏ W (N ) >

|a i − a(j ) | = ( )

q



|a(i) − a(j ) |2 √ √

=

p

a(i) a(i) − 2a(i) a(j ) + a(j ) a(j ) =

= 2 1 − t; ÇÄÅ t = a(i) a(j ) ;

120

î. î. áÎÄÒÅÅ×, ÷. á. àÄÉÎ

É ÉÚ ×ÔÏÒÏÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÔÅÏÒÅÍÙ ÎÁÈÏÄÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ i 6= j 1

|a i − a(j ) | ( )

=

1 1 y(a(i) a(j ) ) > √ hm (a(i) a(j ) ): 2 2



îÁÂÏÒ ÔÏÞÅË ÂÙÌ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÌÑ ×ÅÌÉÞÉÎÙ W (N ) ÏÌÕÞÁÅÍ Ï ÅÎËÕ ÓÎÉÚÕ:

W (N ) =

N X

i;j =1 i6=j

1

|a(i) − a(j ) |

>

N X

i;j =1 i6=j

1 hm (a(i) a(j ) ) = 2







N N X 1 X =√  hm (a(i) a(j ) ) − hm (a(i) a(i) ) : 2 i;j =1 i=1

ÁË ËÁË ÒÉ i = j a(i) a(j ) = 1, ÔÏ

W (N ) =

N N X X 1

0 1 + 1 P1 (a(i) a(j ) ) + : : : 2 i;j =1 i;j =1



· · · + m

N X

i;j =1

!

Pm (a(i) a(j ) ) − Nh(1) :

÷ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× i É ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ìÅÖÁÎÄÒÁ ÉÍÅÅÍ  1 W (N ) > √ N 2 0 − Nh(1) ; 2 ÞÔÏ É ÄÁÅÔ Ï ÅÎËÕ ÓÎÉÚÕ.

ï ÅÎËÁ Ó×ÅÒÈÕ ÂÕÄÅÔ ÄÁ×ÁÔØÓÑ ËÏÎËÒÅÔÎÙÍÉ ÒÉÍÅÒÁÍÉ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÚÁÒÑÄÏ×. ÷ ÓÌÕÞÁÅ N = 6; 12 Ï ÅÎËÉ Ó×ÅÒÈÕ ÓÏ×ÁÄÕÔ Ó Ï ÅÎËÁÍÉ ÓÎÉÚÕ, É ÚÎÁÞÉÔ, ÜÎÅÒÇÉÑ × ÜÔÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÂÕÄÅÔ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÎÑÔØÓÑ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÍ ×ÅÌÉÞÉÎÁÍ. ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ

W (6)

ðÏÍÅÓÔÉÍ ÛÅÓÔØ ÚÁÒÑÄÏ× × ×ÅÒÛÉÎÙ ÏËÔÁÜÄÒÁ, Ñ×ÌÑÀÝÉÅÓÑ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ÏÓÅÊ Ó ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÓÆÅÒÏÊ: × ÔÏÞËÉ ±(1; 0; 0); ±(0; 1; 0); ±(0; 0; 1). îÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÏÄÓÞÅÔ √ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÚÁÒÑÄÏ× ÜÎÅÒÇÉÑ ÒÁ×ÎÁ 3+12 2. üÔÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ï ÅÎËÏÊ W (6) Ó×ÅÒÈÕ.

üËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÔÏÞÅË ÎÁ ÓÆÅÒÅ

121

ðÏÌÕÞÉÍ Ï ÅÎËÕ ÓÎÉÚÕ. ó ÜÔÏÊ ÅÌØÀ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ h2 (t), ÂÕÄÅÍ ÓÔÒÏÉÔØ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ h2 (−1) = y(−1); h2 (0) = y(0); h′2 (0) = y′ (0); ÇÄÅ y(t) = (1 − t)−1=2 : üÔÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÎÁÊÔÉ Ñ×ÎÙÊ ×ÉÄ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ×ÔÏÒÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ É ÒÁÚÌÏÖÉÔØ ÅÇÏ Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍ ìÅÖÁÎÄÒÁ:     2 1 1 1 5 1 √ − h2 (t) = P2 (t) + P1 (t) + + √ P0 (t): 3 2 6 3 2 2 2 ÷ÓÅ ÔÒÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁ 0 ; 1 ; 2 ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙ. ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 1 ×ÙÏÌÎÅÎÏ É ×ÔÏÒÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ 2, ÞÔÏ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÎÁÍ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÅÀ. ÷ÙÞÉÓÌÑÑ h2 (1) = 1 + √12 ÎÁÈÏÄÉÍ, ÞÔÏ √ 6 5 1 1 W (6) > √ 6 + √ − 1 − √ = 3 + 12 2: 6 3 2 2 2 √ ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ W (6) = 3 + 12 2.  



÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ



W (12)

÷ ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÍ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÅÍ ÔÏÞÅË ÂÕÄÅÔ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÅ ÉÈ × ×ÅÒÛÉÎÁÈ ÉËÏÓÁÜÄÒÁ. éËÏÓÁÜÄÒ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÑÔÉ ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ× É ÉÍÅÅÔ 12 ×ÅÒÛÉÎ, 20 ÇÒÁÎÅÊ É 30 ÒÅÂÅÒ. ëÁË × ÜÔÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ ÓÔÒÏÉÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ? ÁË ËÁË ÄÌÑ ÔÏÞÅË a; b ∈ S ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ab ÒÁ×ÎÏ ËÏÓÉÎÕÓÕ ÕÇÌÁ ÍÅÖÄÕ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ Ó ËÏÎ ÁÍÉ × ÔÏÞËÁÈ a; b, ÔÏ ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÏ ÎÕÖÎÏ ÒÁÚÏÂÒÁÔØÓÑ × ÕÇÌÁÈ ÍÅÖÄÕ 12 ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÉËÏÓÁÜÄÒÁ. þÅÒÅÚ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÚÏÌÏÔÏÅ ÓÅÞÅÎÉÅ | ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ËÏÒÅÎØ √ 1+ 5 2 ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ = + 1. ÏÇÄÁ = 2 . ä×ÅÎÁÄ ÁÔØ ×ÅÒÛÉÎ ÉËÏÓÁÜÄÒÁ ÉÍÅÀÔ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ: ±( ; 1; 0), ±(0; ; 1), ±(1; 0; ), ±( ; −1; 0), ±(0; ; −1), ±(−1; 0; ). √ þÔÏÂÙ ÏÎÉ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÌÉ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÓÆÅÒÅ, ÏÄÅÌÉÍ ×ÓÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÎÁ 2 + 1. îÅÔÒÕÄÎÏ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÓËÁÌÑÒÎÙÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ×ÅËÔÏÒÏ×, ÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÙÈ ÉÚ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ × ×ÅÒÛÉÎÙ √ ÉËÏÓÁÜÄÒÁ, ÄÁÀÔ ÞÉÓÌÁ ±1= 5 É ±1. üÔÏ ÏÄÓËÁÚÙ×ÁÅÔ ÎÁÍ ÓÏÓÏ ×ÙÂÏÒÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ × ÔÅÏÒÅÍÅ 2: ÏÎ ÄÏÌÖÅÎ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ 1 1 1 1 h(−1) = y(−1); h(± √ ) = y(± √ ); h′ (± √ ) = y′ (± √ ): 5 5 5 5 üÔÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔ ÕÖÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÞÅÔ×ÅÒÔÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ. äÌÑ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ÎÕÖÎÏ Ï×ÔÏÒÉÔØ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ, ÒÏ×ÅÄÅÎÎÙÅ ÎÁÍÉ ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÑ N = 6, ÎÏ ××ÉÄÕ ÇÒÏÍÏÚÄËÉÈ ×ÙËÌÁÄÏË ÍÙ ÉÈ ÏÕÓÔÉÍ. îÁÉÛÅÍ ÌÉÛØ ÏÔ×ÅÔ: q q √ √ W (12) = 6 + 15 10 − 2 5 + 15 10 + 2 5:

122

î. î. áÎÄÒÅÅ×, ÷. á. àÄÉÎ

äÉÚÁÊÎÙ

÷ Ó×ÑÚÉ Ó ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÒÑÄÁ ÚÁÄÁÞ ÉÚ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÒÁÚÄÅÌÏ× ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ×ÏÚÎÉËÌÏ ÏÎÑÔÉÅ ÄÉÚÁÊÎÁ. ðÏÓÔÁÒÁÅÍÓÑ ÏÚÎÁËÏÍÉÔØ ÷ÁÓ Ó ÜÔÉÍ ÏÎÑÔÉÅÍ. ÷ ËÁËÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÏÉÓÁÎÎÙÊ ×ÙÛÅ ÍÅÔÏÄ ÄÁÅÔ ÔÏÞÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ? ðÒÉ ÏÌÕÞÅÎÉÉ Ï ÅÎËÉ ÓÎÉÚÕ ÍÙ ÉÓÏÌØÚÕÅÍ Ä×Á ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á: y(t) > h(t) É P a;b∈M Pk (ab) > 0. úÎÁÞÉÔ, ÔÏÞÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ×ÏÚÍÏÖÅÎ ÌÉÛØ × ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÏÎÉ ÏÂÒÁÝÁÀÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï. äÌÑ ÏÂÒÁÝÅÎÉÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÅÒ×ÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÍÙ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ×ÙÂÉÒÁÌÉ ÔÏÞËÉ ÉÎÔÅÒÏÌÑ ÉÉ. îÁÄÏ ÅÝÅ ÔÁË ×ÙÂÉÒÁÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï M , ÞÔÏÂÙ É ×ÔÏÒÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÏÂÒÁÝÁÌÏÓØ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï. ÁË ÍÙ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÏÎÑÔÉÀ ÄÉÚÁÊÎÁ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË D = {d(i) }N i=1 ; D ⊂ S ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÚÁÊÎÏÍ ÏÒÑÄËÁ q , ÅÓÌÉ ×ÙÏÌÎÅÎÙ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á N X i=1

Pk (xd(i) ) ≡ 0; k = 1; : : : ; q;

x ∈ S. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍ ÅÍÕ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ

ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË

D = {d(i) }Ni=1 ; D ⊂ S

ÅÔÓÑ ÄÉÚÁÊÎÏÍ ÏÒÑÄËÁ

q, ÅÓÌÉ ×ÙÏÌÎÅÎÙ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

N X

Pk (d(i) d(j ) ) ≡ 0; k = 1; : : : ; q:

i;j =1 i6=j

ÎÁÚÙ×Á-

äÉÚÁÊÎ ÏÒÑÄËÁ q ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÈ ÄÌÑ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÔÏÖÄÅÓÔ×. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, Ï ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÈ ÄÉÚÁÊÎÁÈ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÏÞÅÎØ ÍÁÌÏ. éÚ×ÅÓÔÅÎ ÌÉÛØ ÉÈ ËÏÎÅÞÎÙÊ ÎÁÂÏÒ. ìÀÂÙÅ Ä×Å ÄÉÁÍÅÔÒÁÌØÎÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÎÁ ÓÆÅÒÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÄÉÚÁÊÎÏÍ ÅÒ×ÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ. ÷ÅÒÛÉÎÙ ×ÉÓÁÎÎÏÇÏ × ÓÆÅÒÕ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÉÍÅÒÏÍ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÄÉÚÁÊÎÁ ×ÔÏÒÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ, ×ÅÒÛÉÎÙ ×ÉÓÁÎÎÏÇÏ × ÓÆÅÒÕ ÏËÔÁÜÄÒÁ | ÄÉÚÁÊÎ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÏÒÑÄËÁ, Á 12 ÔÏÞÅË | ×ÅÒÛÉÎ ×ÉÓÁÎÎÏÇÏ × ÓÆÅÒÕ ÉËÏÓÁÜÄÒÁ | Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÄÉÚÁÊÎÏÍ ÑÔÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ. äÅÌØÓÁÒÔ ÎÁÛÅÌ ÎÉÖÎÀÀ ÇÒÁÎÉ Õ ÄÌÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á N = N (q) ÔÏÞÅË ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÄÉÚÁÊÎÁ ÏÒÑÄËÁ q:  1)(k + 2); q = 2k + 1; N (q) > ((kk + + 1)2 ; q = 2k:

üËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÔÏÞÅË ÎÁ ÓÆÅÒÅ

123

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ q = 1; 2; 3; 5 ÜÔÁ Ï ÅÎËÁ ÔÏÞÎÁ, Ô. Å. ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË, ÄÁ×ÁÅÍÙÈ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ Ï ÅÎËÏÊ, ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÔÏÞÅË ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÈ ÄÉÚÁÊÎÏ× ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÏÒÑÄËÏ×. ïÄÎÁËÏ ÜÔÏ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ÔÁË. ÷ Ó×ÑÚÉ Ó ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÚÁÄÁÞÁÍÉ, × ÒÏÛÌÏÍ ×ÅËÅ ÓÔÁÒÁÌÉÓØ ÎÁÉÓÁÔØ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á (x2 + y2 + z 2 )s =

N X k=1

(xa1(k) + ya(2k) + za(3k) )2s

É ÏÄÏÂÎÙÅ ÉÍ Ó ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ, ×ÅÒÎÙÅ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÞÉÓÅÌ x; y; z . ÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, × 1859 ÇÏÄÕ ìÉÕ×ÉÌÌØ ÄÏËÁÚÁÌ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á 24(x21 + x22 + x23 + x24 )2 = 16x41 + 16x42 + 16x43 + 16x44 + 8 (x1 ± x2 ± x3 ± x4 )4 ;

ÇÄÅ ÚÎÁË 8 ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÈ ÞÌÅÎÏ×. éÎÔÅÒÅÓÎÏ, ÞÔÏ ÏÄÏÂÎÙÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á ÏËÁÚÁÌÉÓØ ÔÅÓÎÏ Ó×ÑÚÁÎÎÙÍÉ Ó ÏÎÑÔÉÅÍ ÄÉÚÁÊÎÁ. ÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÏÇÒÁÎÉÞÉÍÓÑ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍÉ ÄÉÚÁÊÎÁÍÉ ÎÅÞÅÔÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ. äÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÄÉÚÁÊÎ ÎÅÞÅÔÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÍÉÎÉÍÁÌÅÎ, ÔÏ ÏÎ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÁÍÏÄ×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÍ. íÙ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÂÅÚ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÍÏÖÅÔ ÎÁÍ ÏÂÏÂÝÉÔØ ÏÎÑÔÉÅ ÄÉÚÁÊÎÁ. ÅÅÒØ ÎÁÍ ÂÕÄÅÔ ÕÄÏÂÎÅÅ ÚÁÉÓÙ×ÁÔØ ÔÏÞËÉ ÏÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ ÉÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, Ô. Å. k-Ñ ÔÏÞËÁ ÂÕÄÅÔ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØÓÑ (a(1k) ; a(2k) ; a(3k) ), Á ÚÁÉÓØ {±(a(1k) ; a(2k) ; a(3k) )} ÂÕÄÅÔ ÚÎÁÞÉÔØ, ÞÔÏ × ÎÁÛÅÍ ÎÁÂÏÒÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ËÁË ÔÏÞËÁ (a(1k) ; a(2k) ; a(3k) ), ÔÁË É ÔÏÞËÁ (−a(1k) ; −a(2k) ; −a(3k) ). ÅÏÒÅÍÁ. óÉÓÔÅÍÁ

2N

ÔÏÞÅË

ÄÉÚÁÊÎÏÍ ÎÅÞÅÔÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ

q

(k ) (k ) (k ) {±(a1 ; a2 ; a3 )}N k=1 ⊂

S

Ñ×ÌÑÅÔÓÑ

ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ (ËÏÎÅÞÎÏ ÖÅ, Ó

ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ×ÒÁÝÅÎÉÑ), ËÏÇÄÁ ×ÅÒÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

(x2 + y2 + z 2 ) ÇÄÅ

q −1

2

=

N X k=1

(xa(1k) + ya(2k) + za(3k) )q−1 ;

| ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÚÁ×ÉÓÑÝÅÅ ÔÏÌØËÏ ÏÔ ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÔÏ-

ÞÅË. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÅÓÌÉ ÄÉÚÁÊÎ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ, ÔÏ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÓÕÍÍÉÒÕÅÔÓÑ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ÄÌÑ ÔÁËÏÇÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÞÉÓÌÏ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ.

ðÒÉÍÅÒÏÍ ÍÏÖÅÔ ÓÌÕÖÉÔØ ÓÉÓÔÅÍÁ ÔÏÞÅË | ×ÅÒÛÉÎ ÉËÏÓÁÜÄÒÁ | Ñ×ÌÑÀÝÁÑÓÑ ÄÉÚÁÊÎÏÍ ÑÔÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (x2 + y2 + z 2 )2 =

6 5X (a(k) x + a(2k) y + a(3k) z )4 6 k=1 1

124

î. î. áÎÄÒÅÅ×, ÷. á. àÄÉÎ

×ÅÒÎÏ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÔÏÞËÉ {±(a(1k) ; a(2k) ; a(3k) )}6k=1 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÉËÏÓÁÜÄÒÁ, ×ÉÓÁÎÎÏÇÏ × ÅÄÉÎÉÞÎÕÀ ÓÆÅÒÕ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. üÔÉ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÏÂÏÂÝÉÔØ ÏÎÑÔÉÅ ÄÉÚÁÊÎÁ ÎÅÞÅÔÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÎÁ ÓÌÕÞÁÊ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÁ ÉÚ

2N

ÎÁÂÏÒÏ× ÞÉÓÅÌ

ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ

(k ) (k ) {±(a1 ; : : : ; ad )}N k=1 ,

(a(1k) )2 + (a(2k) )2 + · · · + (a(dk) )2 = 1; 1 6 k 6 N ; PN −1 (k ) (k ) (k ) q −1 2) (x21 + x22 + · · · + x2d ) 2 = C k=1 (a1 x1 + a2 x2 + · · · + ad xd ) Ó ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ËÏÎÓÔÁÎÔÏÊ C , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÚÁÊÎÏÍ ÏÒÑÄËÁ q ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ d. 1)

q

ÅÍ ÓÁÍÙÍ × ÜÔÉÈ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÉËÏÓÁÜÄÒ | ÜÔÏ ÄÉÚÁÊÎ 5-ÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ 3. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÉÍÅÒÏ× ÔÁËÉÈ ÄÉÚÁÊÎÏ×. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï s+1 (2s s!)2 X 2 2 s (x + y ) = (a(k) x + a(2k) y)2s (s + 1)(2s)! k=1 1

×ÅÒÎÏ × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÔÏÞËÉ {±(a(1k) ; a(2k) )}sk+1 Ñ×ÌÑÀÔ=1 ÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ (2s + 2){ÕÇÏÌØÎÉËÁ, ×ÉÓÁÎÎÏÇÏ × ÅÄÉÎÉÞÎÕÀ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÎÕÌÅ. üÔÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÔÏÞÅË ÉÍÅÅÔ ÎÁÇÌÑÄÎÕÀ ÆÉÚÉÞÅÓËÕÀ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÀ: ÅÓÌÉ ÏÍÅÓÔÉÔØ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ k ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÚÁÒÑÄÏ× É ÒÁÚÒÅÛÉÔØ ÉÍ Ä×ÉÇÁÔØÓÑ Ï ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÔÏ ÏÎÉ ÒÁÓÏÌÏÖÁÔÓÑ × ×ÅÒÛÉÎÁÈ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ k{ÕÇÏÌØÎÉËÁ. äÒÕÇÏÊ ÎÁÇÌÑÄÎÙÊ ÒÉÍÅÒ ÄÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ

x + x + · · · + xd = 2 1

2 2

2

d X k=1

(a(1k) x1 + a(2k) x2 + · · · + a(dk) xd )2 ;

ÇÄÅ d | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, Á ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (k ) (k ) (k ) {(a1 ; a2 ; : : : ; ad )}dk=1

ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍ (a(1k) )2 + (a(2k) )2 + · · · + (a(dk) )2 = 1 ÄÌÑ 1 6 k 6 d; a(1i) a(1j ) + a(2i) a(2j ) + · · · + a(di) a(dj ) = 0 ÄÌÑ i 6= j: îÁÒÉÍÅÒ × ËÁÞÅÓÔ×Å k-ÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÞÉÓÅÌ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁ k-Í ÍÅÓÔÅ ÓÔÏÉÔ 1, Á ÎÁ ×ÓÅÈ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÍÅÓÔÁÈ | ÎÕÌÉ.

üËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÔÏÞÅË ÎÁ ÓÆÅÒÅ

125

ðÒÉ n = 3 ÜÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ÂÕÄÅÔ ÄÁ×ÁÔØ ÕÖÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÊ ÎÁÍ ÄÉÚÁÊÎ: ÛÅÓÔØ ÎÁÂÏÒÏ× {±(1; 0; 0); ±(0; 1; 0); ±(0; 0; 1)} Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ ×ÅÒÛÉÎ ÏËÔÁÜÄÒÁ, ×ÉÓÁÎÎÏÇÏ × ÅÄÉÎÉÞÎÕÀ ÓÆÅÒÕ. á ÒÅËÏÒÄÎÙÍ Ï ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ÔÏÞÅË Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÉÚÁÊÎ 11 ÏÒÑÄËÁ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ 24, ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ 98280 ÎÁÂÏÒÏ× ÞÉÓÅÌ, ÄÁÀÝÉÈ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÒÅÄÙÄÕÝÉÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÄÌÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ (x21 + · · · + x224 )5 : äÉÚÁÊÎÙ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ É ÄÒÕÇÉÈ ÚÁÄÁÞ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÜÔÏ ÏÎÑÔÉÅ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÁÖÎÙÍ É ×Ï ÍÎÏÇÉÈ ÄÒÕÇÉÈ ÏÂÌÁÓÔÑÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÔÙÓËÁÎÉÅ ÎÏ×ÙÈ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÈ ÄÉÚÁÊÎÏ× Ñ×ÌÑÅÔÓÑ É ÉÎÔÅÒÅÓÎÏÊ, É ×ÁÖÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ. óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

[1℄

Unique arrangements of points on a sphere // The Amer. Math. Monthly. 1952. Vol. 59, no. 9. P. 606{611. [2℄ óÏÂÏÌÅ× ó.ì. ÷×ÅÄÅÎÉÅ × ÔÅÏÒÉÀ ËÕÂÁÔÕÒÎÙÈ ÆÏÒÍÕÌ. í.: îÁÕËÁ, 1974. [3℄ ÏÔ ì.æ. òÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÎÁ ÓÆÅÒÅ É × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. í. 1958. [4℄ Rezni k B. Sums of even powers of real linear forms // Memoirs of Amer. Math. So . 1992. Vol. 96, no. 463. Whyte L. L.

126

ï ÏÄÎÏÊ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÊ ÎÕÍÅÒÁ ÉÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ

ä. î. áÎÄÒÅÅ×

÷×ÅÄÅÎÉÅ

óÞÅÔÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ { ÜÔÏ ÏÄÉÎ ÉÚ ÓÁÍÙÈ ÅÒ×ÙÈ ÆÁËÔÏ×, Ó ËÏÔÏÒÙÍÉ ÚÎÁËÏÍÑÔ ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÈ ÉÚÕÞÁÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÏÓÎÏ×Ù ÔÅÏÒÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×. ðÒÉ ÜÔÏÍ, ÏÄÎÁËÏ, ×ÓÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ Á×ÔÏÒÕ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÜÔÏÇÏ ÆÁËÔÁ ÄÏ×ÏÌØÓÔ×ÕÀÔÓÑ ÌÉÛØ ÄÅÍÏÎÓÔÒÁ ÉÅÊ ÒÉÎ ÉÉÁÌØÎÏÊ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÎÕÍÅÒÁ ÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÔÁË ÉÌÉ ÉÎÁÞÅ Ó×ÏÄÑ ÄÅÌÏ Ë ×ÏÒÏÓÕ Ï ÎÕÍÅÒÁ ÉÉ ÁÒ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ (Ó ÎÁÄÌÅÖÁÝÉÍ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅÍ ÎÁ ÉÈ ÚÎÁËÉ). ÷ ÔÏ ÖÅ ×ÒÅÍÑ, ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉÛØ Ó ÁÒÁÍÉ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ (ÔÁËÖÅ Ó ÎÕÖÎÙÍ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅÍ ÎÁ ÚÎÁËÉ), É ÜÔÏ ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÉ ÌÀÂÏÍ €ÓÔÁÎÄÁÒÔÎḮ ÓÏÓÏÂÅ ÎÕÍÅÒÁ ÉÉ ÄÅÌÁÅÔ ÚÁÄÁÞÕ ÒÅÁÌØÎÏÇÏ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÎÏÍÅÒÁ ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ | ÉÌÉ, ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ Ï ÚÁÄÁÎÎÏÍÕ ÅÇÏ ÎÏÍÅÒÕ | ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÂÅÚÎÁÄ£ÖÎÏÊ. ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÒÁÂÏÔÅ ÓÔÒÏÉÔÓÑ É ÉÚÕÞÁÅÔÓÑ ÏÄÉÎ ÓÏÓÏ ÎÕÍÅÒÁ ÉÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÊ ÅÌÙÍ ÒÑÄÏÍ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÈ Ó×ÏÊÓÔ×. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, × ÜÔÏÊ ÎÕÍÅÒÁ ÉÉ ÕÏÍÑÎÕÔÙÅ ×ÙÛÅ ÚÁÄÁÞÉ ÒÅÛÁÀÔÓÑ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ: ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ÎÏÍÅÒÁ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ p=q ÔÒÅÂÕÅÔ ÌÉÛØ O(log max(p; q)) ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ, Á ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ Ï ÅÇÏ ÎÏÍÅÒÕ n ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÚÁ O(log n) ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ. äÁÌÅÅ, ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÀÝÁÑ ÎÕÍÅÒÁ ÉÀ, ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÒÁÚÉÔÅÌØÎÏ €ÇÌÁÄËÏʁ × ÓÕÍÍÁÔÏÒÎÏÍ ÓÍÙÓÌÅ: ÏÎÁ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÓÒÅÄÎÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ, ÎÏ É ÉÍÅÅÔ ×ÓÅÇÏ ÌÉÛØ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÞÅÓËÉÊ ÏÓÔÁÔÏÞÎÙÊ ÞÌÅÎ ÓÕÍÍÁÔÏÒÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ! îÁËÏÎÅ , ÜÔÁ ÎÕÍÅÒÁ ÉÑ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÒÏÓÔÏÊ É ËÒÁÓÉ×ÏÊ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ ÒÉÎ ÉÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ ÄÌÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ.

îÕÍÅÒÁ ÉÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ

1.

127

ðÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÙÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ

íÙ ÏÚ×ÏÌÉÍ ÓÅÂÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÂÅÚ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÈ ÓÓÙÌÏË ÒÏÓÔÅÊÛÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÊ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ × (ËÏÎÅÞÎÙÅ) ÅÎÙÅ ÄÒÏÂÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ × ÌÀÂÏÍ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÍ ËÕÒÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ. þÅÒÅÚ N ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÞÅÒÅÚ Q+ { ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. óÉÍ×ÏÌÏÍ ⋆ ÏÔÍÅÞÁÅÔÓÑ ËÏÎÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á. ëÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÌÀÂÏÅ ÏÔÌÉÞÎÏÅ ÏÔ ÎÕÌÑ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁÚÌÏÖÅÎÏ × ÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÕÀ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÅÎÕÀ ÄÒÏÂØ [q0 ; q1 ; : : : ; ql ℄ def = q0 +

1

q1 +

1

(1)

1 ql ÒÏ×ÎÏ Ä×ÕÍÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ, ÏÄÉÎ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÄÒÕÇÏÇÏ ÚÁÍÅÎÏÊ ql > 1 (ÉÌÉ q0 = 1 ÒÉ l = 0) ÎÁ (ql − 1) + 11 . îÅÔÒÕÄÎÏ ÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÒÉ ÔÁËÏÊ ÚÁÍÅÎÅ ÓÕÍÍÁ q0 + · · · + ql ÎÅ ÉÚÍÅÎÑÅÔÓÑ; ÏÜÔÏÍÕ ËÏÒÒÅËÔÎÙÍ ÂÕÄÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ÷ÙÓÏÔÏÊ h(r ) ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ r ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÓÕÍÍÕ q0 + · · · + ql ×ÓÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÅÇÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ × ÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÕÀ ÅÎÕÀ ÄÒÏÂØ ×ÉÄÁ (1). îÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ××ÅÄ£ÎÎÏÇÏ ÏÎÑÔÉÑ (ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÞÉÔÁÔÅÌÀ): ó×ÏÊÓÔ×Ï 1. h(r ) ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÔÏÌØËÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÒÉÞ£Í ×ÓÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÓÌÕÖÁÔ ÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ. ó×ÏÊÓÔ×Ï 2. h(r ) = 1 ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ r = 1.   1 ó×ÏÊÓÔ×Ï 3. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ r ∈ Q+ ÉÍÅÅÍ: h = h(r); h(r + 1) = r = h(r) + 1. ...

+

2. ïÓÎÏ×ÎÁÑ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÑ

ïÒÅÄÅÌÉÍ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÕÀ ÆÕÎË ÉÀ r(n) ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÏÌÏÖÉÍ r(1) = 1, É ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ n ∈ N ÕÓÔØ r(2n) = r(n) + 1; r(2n + 1) = 1 = . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÜÔÉ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÄÌÑ ×ÓÅÈ n ∈ N ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔ r(n) + 1 ÚÎÁÞÅÎÉÅ r(n), Ñ×ÌÑÀÝÅÅÓÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ.

128

ä. î. áÎÄÒÅÅ×

ÅÏÒÅÍÁ 1. æÕÎË ÉÑ r (n) ÒÉÎÉÍÁÅÔ ËÁÖÄÏÅ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÏÄÉÎ É ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. 1) äÏËÁÖÅÍ ÓÅÒ×Á, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ r ∈ Q+ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ n ∈ N, ÞÔÏ r(n) = r. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÏ×ÅÄ£Í ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï ×ÅÌÉÞÉÎÅ h(r). âÁÚÁ ÉÎÄÕË ÉÉ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ, ÏÓËÏÌØËÕ ÒÉ h(r) = 1 ÉÍÅÅÍ r = 1, É ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ n = 1, ÔÁË ËÁË r(1) = 1. ðÕÓÔØ h > 1; ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ h(r) < h ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ÕÖÅ ÄÏËÁÚÁÎÏ, É ×ÏÚØÍ£Í ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ r, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ h(r) = h; ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ r 6= 1, ÔÁË ËÁË h > 1. åÓÌÉ r > 1, ÔÏ h = h(r) = h(r − 1) + 1, ÏÔËÕÄÁ h(r − 1) = h − 1; Ï ÉÎÄÕËÔÉ×ÎÏÍÕ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ, ÎÁÊÄ£ÔÓÑ ÔÁËÏÅ n′ ∈ N, ÞÔÏ r(n′ ) = r − 1, É, ×ÚÑ× n = = 2n′ , ÏÌÕÞÉÍ r(n) = r (2n′ ) = r(n′) + 1 = r. åÓÌÉ ÖÅ r 1; ÔÏÇÄÁ h = h(r) = h 1r = h 1r − 1 + 1, ÏÔËÕÄÁ h 1r − 1 = h − 1; Ï ÉÎÄÕËÔÉ×ÎÏÍÕ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ, ÎÁÊÄ£ÔÓÑ ÔÁËÏÅ n′ ∈ N, ÞÔÏ r(n′ ) = 1r − 1, 1 É, ×ÚÑ× n = 2n′ + 1, ÏÌÕÞÉÍ r(n) = r(2n′ + 1) = = r. ′ r(n ) + 1 2) äÏËÁÖÅÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ m ∈ N ÉÍÅÅÍ r(n) 6= r(m) ÒÉ n ∈ N; n 6= m; ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÏ×ÅÄ£Í ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï m. âÁÚÁ ÉÎÄÕË ÉÉ ÚÄÅÓØ ÔÁËÖÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ: ÅÓÌÉ n 6= 1, ÔÏ ÌÉÂÏ n = 2n′ Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍ n′ ∈ N, É ÔÏÇÄÁ r(n) = r(2n′ ) = r(n′ ) + 1 > 1, ÌÉÂÏ n = 2n′ + 1 Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍ 1 n′ ∈ N, É ÔÏÇÄÁ r(n) = r(2n′ + 1) = < 1. ðÕÓÔØ m > 1, É ÕÓÔØ ′ r(n ) + 1 ÄÌÑ ×ÓÅÈ m′ < m ÕÖÅ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ r(n) 6= r(m′ ) ÒÉ n ∈ N; n 6= m′ . ÷ÏÚØÍ£Í ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ n ∈ N; n 6= m. åÓÌÉ m Þ£ÔÎÏ, ÔÏ m = 2m′ , ÇÄÅ m′ ∈ N É m′ < m; ÔÅÅÒØ ÒÉ ÎÅÞ£ÔÎÏÍ n ÉÍÅÅÍ r(n) 6 1 < r(m), Á ÒÉ Þ£ÔÎÏÍ n ÏÌÏÖÉÍ n = 2n′ , ÇÄÅ n′ ∈ N, É, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, n′ 6= m′ , ÏÔËÕÄÁ r(n) − r(m) = r(2n′ ) − r(2m′ ) = r(n′ ) − r(m′ ) 6= 0 Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ. åÓÌÉ ÖÅ m ÎÅÞ£ÔÎÏ, ÔÏ m = 2m′ + 1, ÇÄÅ m′ ∈ N É m′ < m; ÔÅÅÒØ ÒÉ Þ£ÔÎÏÍ n ÉÍÅÅÍ r(n) > 1 > r(m), Á ÒÉ ÎÅÞ£ÔÎÏÍ n ÏÌÏÖÉÍ n = 2n′ + 1, ÇÄÅ n′ ∈ N, É, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, n′ 6= m′ , ÏÔËÕÄÁ

r(n) − r(m) =

= r(2n′ + 1) − r(2m′ + 1) =

1 1 − = ′ r(n ) + 1 r(m ) + 1 r(m′ ) − r(n′ ) = 6 0 = (r(m′ ) + 1)(r (n′ ) + 1) ′

Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ. ⋆ ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÏÓÔÒÏÅÎÎÁÑ ÎÁÍÉ ÆÕÎË ÉÑ r(n) ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔ ÎÕÍÅÒÁ ÉÀ ×ÓÅÈ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÎÁ Q+ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÏÂÒÁÔÎÁÑ ÅÊ ÆÕÎË ÉÑ ÓÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ × N, ËÏÔÏÒÕÀ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ n(r).

îÕÍÅÒÁ ÉÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ

3.

129

÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÎÕÍÅÒÁ ÉÉ

ÅÅÒØ ÚÁÊÍ£ÍÓÑ ×ÏÒÏÓÏÍ Ï ÔÏÍ, ËÁË Ó×ÑÚÁÎÙ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÊ n = n(r) É r = r(n). ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÜÔÁ Ó×ÑÚØ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÞÉÓÌÁ n É ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ × ÅÎÕÀ ÄÒÏÂØ ÞÉÓÌÁ r ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ, ÞÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, €ÒÏÞÉÔÁÎف ÏÄÎÏ Ï ÄÒÕÇÏÍÕ. ÅÏÒÅÍÁ 2. ðÕÓÔØ n ∈ N É r ∈ Q+ ÔÁËÏ×Ù, ÞÔÏ r = r (n) É n = n(r ). óÔÁÎÄÁÒÔÎÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ n × Ä×ÏÉÞÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÓÞÉÓÌÅÎÉÑ: n = 2m0 + + 2m1 + · · · + 2m , ÇÄÅ 0 6 m0 < · · · < ml , É €ÄÌÉÎÎÏŁ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ r × ÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÕÀ ÅÎÕÀ ÄÒÏÂØ: r = [q0 ; q1 ; : : : ; ql′ −1 ; ql′ ℄, ÇÄÅ ql′ = 1, Ó×ÑÚÁÎÙ ÔÁË, ÞÔÏ l′ = l + 1, É ÄÌÑ ×ÓÅÈ k; 1 6 k 6 l, ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï mk = q0 + · · · + qk . äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÅÒÅÆÒÁÚÉÒÕÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÅ ÉÚÒÅÞÅÎÉÅ äÖ. é. ìÉÔÌ×ÕÄÁ Ï ÔÏÖÄÅÓÔ×ÁÈ, ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏ, { ÏÓÌÅ ÔÏÇÏ, ËÁË ÏÎÁ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÁ; ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÙ ÒÏ×ÅÄ£Í ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï n, Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÕÔÉÎÎÏÊ ÒÏ×ÅÒËÅ. âÁÚÁ ÉÎÄÕË ÉÉ ÕÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ: ÄÌÑ n = 1 = 20 ÉÍÅÅÍ r = 1 = [0; 1℄, ÔÁË ÞÔÏ l = 0; m0 = 0; l′ = 1; q0 = 0, É ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔØ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÔÅÏÒÅÍÙ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ. ðÕÓÔØ n > 1; ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ n′ ∈ N; n′ < n ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÕÖÅ ÄÏËÁÚÁÎÏ. åÓÌÉ n Þ£ÔÎÏ, ÔÏ n = 2n′ , ÇÄÅ n′ ∈ N; n′ < n; ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, m0 > 0 É n′ = 2m0 −1 + · · · + 2m −1 ; ÏÓËÏÌØËÕ, Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ, ÄÌÑ r′ = r(n′ ) ÉÍÅÅÍ r′ = [m0 − 1; m1 − m0 ; : : : : : : ; ml − ml−1 ; 1℄, ÔÏ r = r′ + 1 = [m0 ; m1 − m0 ; : : : ; ; ml − ml−1 ; 1℄, ÞÔÏ É ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔÓÑ. åÓÌÉ ÖÅ n ÎÅÞ£ÔÎÏ, ÔÏ n = 2n′ + 1, ÇÄÅ n′ ∈ N; n′ < n; ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, m0 = 0 É n′ = 2m1 −1 + · · · +2m −1 ; ÏÓËÏÌØËÕ, Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ, ÄÌÑ r′ = r(n′ ) ÉÍÅÅÍ r′ = [m1 − 1; m2 − m1 ; : : : ; ml − ml−1 ; 1℄, ÔÏ 1 r= ′ = [0; m1 − 0; : : : ; ; ml − ml−1 ; 1℄, ÞÔÏ É ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔÓÑ. ⋆ r +1 óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ n(r ) Ï r É r (n) Ï n ÄÏÓÔÁÔÏÞÅÎ ÏÂß£Í ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ, ÉÍÅÀÝÉÊ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÞÅÓËÉÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÄÁÎÎÏÇÏ ÏÒÑÄÏË. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÞÉÓÌÁ r = p=q × ÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÕÀ ÅÎÕÀ ÄÒÏÂØ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ å×ËÌÉÄÁ, ËÏÔÏÒÙÊ, ËÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÚÁ O(log max(p; q)) ÛÁÇÏ× Ó ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÛÁÇÅ, Á ÎÁÍ ÄÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ n ÏÎÁÄÏÂÉÔÓÑ ÄÏÂÁ×ÉÔØ × ËÁÖÄÙÊ ÛÁÇ ÔÁËÖÅ ÌÉÛØ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÏÅÒÁ ÉÊ. þÔÏ ÖÅ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ n × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÅ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ, ÔÏ ÏÎÏ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÁ O(log n) ÛÁÇÏ× Ó ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ, Á ÎÁÍ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ r, ËÏÔÏÒÏÅ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë l

l

l

130

ä. î. áÎÄÒÅÅ×

Ó×ÏÒÁÞÉ×ÁÎÉÀ ÅÎÏÊ ÄÒÏÂÉ × ÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÕÀ, ÏÎÁÄÏÂÉÔÓÑ ÄÏÂÁ×ÉÔØ × ËÁÖÄÙÊ ÛÁÇ ÔÁËÖÅ ÌÉÛØ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÏÅÒÁ ÉÊ. 4. óÒÅÄÎÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ

úÄÅÓØ ÍÙ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ r(n) ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÓÒÅÄÎÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ, É ÏÌÕÞÉÍ ÎÅÕÌÕÞÛÁÅÍÕÀ Ï ÅÎËÕ ÏÓÔÁÔÏÞÎÏÇÏ ÞÌÅÎÁ Å£ ÓÕÍÍÁÔÏÒÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÓÎÏ×Ù×ÁÅÔÓÑ ÎÁ ÒÑÄÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×, ËÏÔÏÒÙÍ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÆÕÎË ÉÑ r(n) É ÄÒÕÇÉÅ, Ó ÎÅÊ Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ; ÍÙ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÉÈ × ×ÉÄÅ ÏÔÄÅÌØÎÙÈ ÌÅÍÍ. ìÅÍÍÁ 1.

äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ k ∈ N ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï: r(4k + 1) + r(4k + 3) = 1:

1 + = r(2k) + 1 1 1 1 1 r(k) + 1 + = + = + = 1. ⋆ 1 r(2k + 1) + 1 r(k) + 2 r ( k ) + 2 r (k) + 2 +1 r(k) + 1 äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÉÍÅÅÍ: r (4k +1)+r (4k +3)

ìÅÍÍÁ 2.

äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ k ∈ N ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï:

r(4k) + r(4k + 1) + r(4k + 2) + r(4k + 3) = r(2k) + r(2k + 1) + 3:

(2)

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. éÚ ÌÅÍÍÙ 1 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ r(4k) + r(4k + 1) + r(4k + 2) + r(4k + 3) = r(2k) + 1 + r(2k + 1) + 1 + 1 = = r(2k) + r(2k + 1) + 3. ⋆ ïÔÓÀÄÁ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÔÏÌØËÏ ÞÉÓÌÏ 3=2 ÍÏÖÅÔ ÒÅÔÅÎÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÒÏÌØ ÓÒÅÄÎÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ r(n). ïÂÏÚÎÁÞÁÑ ÞÅÒÅÚ R(n) ÓÕÍÍÁÔÏÒÎÕÀ

ÆÕÎË ÉÀ ÄÌÑ r(n), Ô. Å. R(n) =

k P

k6n

16 3 2

r(k), ÍÙ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÌÉ ÂÙ ÒÁÓ-

ÓÍÏÔÒÅÔØ ÔÅÅÒØ ÒÁÚÎÏÓÔØ R(n) − n ; ÏÄÎÁËÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÍÙ ÓÏÂÉÒÁÅÍÓÑ ×Ù×ÅÓÔÉ ÔÏÞÎÙÅ ÇÒÁÎÉ Ù ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÏÓÔÁÔÏÞÎÏÇÏ ÞÌÅÎÁ, ÎÁÍ ÂÕÄÅÔ ÕÄÏÂÎÏ ×ÚÑÔØ ÅÇÏ × ÎÅÓËÏÌØËÏ ÍÏÄÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ×ÉÄÅ, ÏÌÏÖÉ× R(n) = 3n − 1 + (n) = , ÔÁË ÞÔÏ ÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ ÞÌÅÎÏÍ × ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ÜÔÏÇÏ 2 (n) − 1 ÓÌÏ×Á ÂÕÄÅÔ ÎÅ (n), Á . 2

îÕÍÅÒÁ ÉÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ

ìÅÍÍÁ 3.

131

äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ m ∈ N ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á:

1 R(4m) = R(2m) + 3m + ; 2 1 1 ; R(4m + 1) = R(2m + 1) + 3m + − 2 (r (m) + 1)(r (m) + 2) 3 1 R(4m + 2) = R(2m + 1) + 3m + + ; 2 r(m) + 2 5 R(4m + 3) = R(2m + 1) + 3m + : 2 äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

ÉÍÅÅÍ:

R(4m + 3) = R(3) +

(3)

ðÒÉÍÅÎÑÑ ÆÏÒÍÕÌÕ (2), ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ m > 1 k X

(r(4k) + r(4k + 1) + r(4k + 2) + r(4k + 3)) =

k6m

16

k X

k 7 7 X = + (r(2k) + r(2k + 1) + 3) = 3m + + (r(2k) + r(2k + 1)) = 2 16k6m 2 16k6m

k k X X 5 5 = 3m + + r(1) + (r (2k) + r(2k + 1)) = 3m + + r (k ) = 2 2 16k 6m 16k 62m+1 5 = R(2m + 1) + 3m + : 2

îÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ×ÅÒÎÁ ÔÁËÖÅ É ÒÉ m = 0; ÏÜÔÏÍÕ, ÚÁÍÅÎÑÑ × ÎÅÊ m ÎÁ m − 1, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ m > 1 5 1 ÏÌÕÞÉÍ: R(4m − 1) = R(2m − 1) + 3(m − 1) + = R(2m − 1) + 3m − . 2 2 ïÔÓÀÄÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÏÌÕÞÉÍ: 1 R(4m) = R(4m − 1) + r(m) = R(2m − 1) + 3m − + r(2m) + 1 = 2 1 = R(2m) + 3m + ; 2 1 1 R(4m + 1) = R(4m) + r(4m + 1) = R(2m) + 3m + + = 2 r(2m) + 1 1 1 = R(2m) + 3m + + ; 2 r(m) + 2

132

ä. î. áÎÄÒÅÅ×

R(4m + 2) = R(4m + 1) + r(4m + 2) = 1 1 = R(2m) + 3m + + + r(2m + 1) + 1 = 2 r(m) + 2 3 1 = R(2m + 1) + 3m + + : 2 r(m) + 2

ÅÅÒØ ÏÓÔÁÌÏÓØ ×ÙÒÁÚÉÔØ R(4m + 1) ÎÅ ÞÅÒÅÚ R(2m), Á ÞÅÒÅÚ R(2m + 1); ÉÍÅÅÍ: 1 1 = R(4m + 1) = R(2m + 1) − r(2m + 1) + 3m + + 2 r(m) + 2 1 1 1 = R(2m + 1) − + 3m + + = r(m) + 1 2 r(m) + 2 1 1 = R(2m + 1) + 3m + − : 2 (r (m) + 1)(r (m) + 2) ⋆ ìÅÍÍÁ 4.

äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ m ∈ N ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á: (4m) = (2m) + 1 ;

r(m)(r (m) + 3) ; (r(m) + 1)(r (m) + 2) 2 (4m + 2) = (2m + 1) + ; r(m) + 2 (4m + 3) = (2m + 1) − 1 :

(4m + 1) = (2m + 1) +

(4)

ðÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÏÊ × 3n − 1 + (n) ÆÏÒÍÕÌÙ (3) ×ÓÀÄÕ ×ÍÅÓÔÏ R(n) É ×ÙÏÌÎÅÎÉÅÍ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÈ 2 ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ. ⋆ ÅÏÒÅÍÁ 3. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÅÌÏÇÏ l > 0 ÒÉ ×ÓÅÈ n ÉÚ ÒÏÍÅÖÕÔËÁ 2l 6 6 n < 2l+1 ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï |(n)| 6 l, ÒÉÞ£Í ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (n) = l ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÒÉ n = 2l , Á ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (n) = −l { ÔÏÌØËÏ ÒÉ n = 2l+1 − 1. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÔÅÏÒÅÍÕ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï l. äÌÑ l = 0 É l = 1 ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ: ÔÁË ËÁË r(1) = 1; r(2) = 2; r(3) = 1=2, ÔÏ R(1) = 1; R(2) = 3; R(3) = 7=2, É, ÚÎÁÞÉÔ, (1) = 0; (2) = 1; (3) = −1, ÔÁË ÞÔÏ × ÜÔÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÔÅÏÒÅÍÁ ×ÅÒÎÁ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

îÕÍÅÒÁ ÉÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ

133

ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ l > 1, É ÕÓÔØ ÕÖÅ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ |(n)| 6 l − 1 ÒÉ 2l−1 6 n < 2l , ÒÉÞ£Í (n) = l − 1 ÔÏÌØËÏ ÒÉ n = 2l−1 , Á (n) = −(l − 1) ÔÏÌØËÏ ÒÉ n = 2l −1. ÏÇÄÁ, Ï ÆÏÒÍÕÌÁÍ (4), ÉÍÅÅÍ (2l ) = (2l−1 )+1 = l É (2l+1 − 1) = (2l − 1) − 1 = −l, ÔÁË ÞÔÏ × ÜÔÏÊ ÞÁÓÔÉ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ ×ÅÒÎÏ. åÓÌÉ ÖÅ 2l < n < 2l+1 − 1, ÔÏ, × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ×ÙÞÅÔÁ n mod 4, ÉÍÅÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ: 0) ÒÉ n = 4m, ××ÉÄÕ n > 2l , ÂÕÄÅÔ 2l + 4 6 n 6 2l+1 − 4, ÏÔËÕÄÁ l − 1 2 < 2m < 2l − 1, É, ÚÎÁÞÉÔ, −(l − 1) < (2m) < l − 1, Á ÔÁË ËÁË Ï ÆÏÒÍÕÌÁÍ (4) ÉÍÅÅÍ (n) = (2m) + 1, ÔÏ ÏÔÓÀÄÁ −(l − 2) < (n) < l, ÔÁË ÞÔÏ |(n)| < l; 1) ÒÉ n = 4m + 1 ÂÕÄÅÔ 2l + 1 6 n 6 2l+1 − 3, ÏÔËÕÄÁ 2l−1 < 2m + 1 6 6 2l − 1, É, ÚÎÁÞÉÔ, −(l − 1) 6 (2m + 1) < l − 1, Á ÔÁË ËÁË Ï ÆÏÒÍÕÌÁÍ r(r + 3) (4) ÉÍÅÅÍ (n) = (2m + 1) + 1 , ÇÄÅ 0 < 1 < 1 (ÉÂÏ 1 = (r + 1)(r + 2) ÒÉ r = r(m) ), ÔÏ ÏÔÓÀÄÁ −(l − 1) < (n) < l, ÔÁË ÞÔÏ |(n)| < l; 2) ÒÉ n = 4m + 2 ÂÕÄÅÔ 2l + 2 6 n 6 2l+1 − 2, ÏÔËÕÄÁ 2l−1 < 2m + 1 6 l 6 2 − 1, É, ÚÎÁÞÉÔ, −(l − 1) 6 (2m + 1) < l − 1, Á ÔÁË ËÁË Ï ÆÏÒÍÕÌÁÍ (4) 2 ÉÍÅÅÍ (n) = (2m +1)+ 2 , ÇÄÅ 0 < 2 < 1 (ÉÂÏ 2 = ÒÉ r = r(m) ), r+2 ÔÏ ÏÔÓÀÄÁ −(l − 1) < (n) < l, ÔÁË ÞÔÏ |(n)| < l; 3) ÒÉ n = 4m +3, ××ÉÄÕ n < 2l+1 − 1, ÂÕÄÅÔ 2l +3 6 n 6 2l+1 − 5, ÏÔËÕÄÁ l − 1 2 < 2m + 1 < 2l − 1, É, ÚÎÁÞÉÔ, −(l − 1) < (2m + 1) < l − 1, Á ÔÁË ËÁË Ï ÆÏÒÍÕÌÁÍ (4) ÉÍÅÅÍ (n) = (2m + 1) − 1, ÔÏ ÏÔÓÀÄÁ −l < (n) < l − 2, ÔÁË ÞÔÏ |(n)| < l. ⋆ óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. äÌÑ ×ÓÅÈ n ∈ N ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á: 3n − 1 − ⌊log2 n⌋ 3n − 1 + ⌊log2 n⌋ 6 R(n) 6 ; (5) 2 2 × ËÏÔÏÒÙÈ ËÁË ÓÌÅ×Á, ÔÁË É ÓÒÁ×Á ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÒÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÉÈ n. 5. ðÒÉÎ É ÉÎÄÕË ÉÉ

ðÏÓÔÒÏÅÎÎÁÑ ÎÁÍÉ ÚÄÅÓØ ÎÕÍÅÒÁ ÉÑ Q+ ÒÉ×ÏÄÉÔ ÎÁÓ Ë ÍÙÓÌÉ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ××ÏÄÉÍÙÊ ÅÀ, × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, €ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙʁ ÏÒÑÄÏË ÄÏÌÖÅÎ ÒÉ×ÏÄÉÔØ ÎÁÓ Ë ÓÔÏÌØ ÖÅ €ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÍՁ ÒÏ ÅÓÓÕ ÉÎÄÕËÔÉ×ÎÏÇÏ ÅÒÅÈÏÄÁ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, Ï ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó N ÕÓÌÏÖÎÅÎÉÅ ÎÅ×ÅÌÉËÏ: Ë ÏÅÒÁ ÉÉ Õ×ÅÌÉÞÅÎÉÑ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ ÄÏÂÁ×ÉÌÁÓØ ÏÅÒÁ ÉÑ ×ÚÑÔÉÑ ÏÂÒÁÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ, É ÏÎÉ, ÓÌÁÖÅÎÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÑ × ÁÒÅ, ËÁË ÈÏÒÏÛÉÅ ÍÏÌÏÔÏÂÏÊ Ù, ×ÙËÏ×Ù×ÁÀÔ ÏÄÎÏ ÚÁ ÄÒÕÇÉÍ × ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ ×ÓÅ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó 1. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÁÍ ÂÕÄÅÔ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ

134

ä. î. áÎÄÒÅÅ×

É ÄÏËÁÚÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÙ ×ÒÁ×Å ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÒÉÎ ÉÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ ÄÌÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. ÅÏÒÅÍÁ 4. ðÕÓÔØ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ r ÚÁÄÁÎÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ r . åÓÌÉ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 1 ÉÓÔÉÎÎÏ, É ÉÚ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ r ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ r+1 É 1=r , ÔÏ ×ÓÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ r ÉÓÔÉÎÎÙ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ  äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. n n∈N , ÇÄÅ n { ÜÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ €r ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ r = r(n); ÑÓÎÏ, ÞÔÏ, × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ, ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ r { ÜÔÏ, Ï ÓÕÝÅÓÔ×Õ, ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ € n ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ n = n(r). äÏËÁÖÅÍ ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï n, ÞÔÏ ×ÓÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ n ×ÅÒÎÙ. âÁÚÁ ÉÎÄÕË ÉÉ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ { 1 ×ÅÒÎÏ, ÔÁË ËÁË r(1) = 1, Á Ï ÕÓÌÏ×ÉÀ 1 ×ÅÒÎÏ. ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ n > 1; ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ m ÕÖÅ ÄÏËÁÚÁÎÙ ÄÌÑ 1 6 m < n. åÓÌÉ n Þ£ÔÎÏ, ÔÏ n = 2m, ÇÄÅ m < n; ÕÓÔØ r = r(n) É r′ = r(m). ðÏ ÉÎÄÕËÔÉ×ÎÏÍÕ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ, m ×ÅÒÎÏ, Ô. Å. ×ÅÒÎÏ r′ , Á ÔÁË ËÁË Ï ÕÓÌÏ×ÉÀ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ×ÅÒÎÏ r′ +1 = r , ÔÏ ×ÅÒÎÏ É n . åÓÌÉ ÖÅ n ÎÅÞ£ÔÎÏ, ÔÏ n = m +1, ÇÄÅ m Þ£ÔÎÏ É m < n; ÕÓÔØ r = r(n) É r′ = r(m). ðÏ ÉÎÄÕËÔÉ×ÎÏÍÕ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ, m ×ÅÒÎÏ, Ô. Å. ×ÅÒÎÏ r′ , Á ÔÁË ËÁË Ï ÕÓÌÏ×ÉÀ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ×ÅÒÎÏ 1=r′ = r , ÔÏ ×ÅÒÎÏ É n . ⋆ úÁÍÅÞÁÎÉÅ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÕÓÌÏ×ÉÅÍ €ÉÚ r ÓÌÅÄÕÅÔ 1=r  ÍÙ ÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ ÔÏÌØËÏ ÒÉ r > 1: ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÄÌÑ Þ£ÔÎÏÇÏ m ÉÍÅÅÍ r(m) = r( m2 )+1 > 1. ðÏÜÔÏÍÕ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ ÔÅÏÒÅÍÙ ÍÏÖÎÏ ÓÌÅÇËÁ ÏÓÌÁÂÉÔØ: ÅÓÌÉ ÉÓÔÉÎÎÏ 1 , ÉÚ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ r ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ r+1 , É ÉÚ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ r ÒÉ r > 1 ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ 1=r , ÔÏ ×ÓÅ r ÉÓÔÉÎÎÙ. 6.

úÁËÌÀÞÅÎÉÅ

÷ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÒÅÄÌÁÇÁÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÚÁÄÁÞ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ; ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅÓÑ × ÎÉÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÒÏÌÉ×ÁÀÔ, ËÁË ÎÁÍ ËÁÖÅÔÓÑ, ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÊ Ó×ÅÔ ÎÁ ÒÉÞÉÎÙ ÓÔÏÌØ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÈ Ó×ÏÊÓÔ× ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÊ ÎÁÍÉ ÎÕÍÅÒÁ ÉÉ Q+. úÁÄÁÞÁ 1. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ h ∈ N ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ 2h−1 ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ×ÙÓÏÔÙ h, Á ÉÈ ÎÏÍÅÒÁ n(r) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍ 2h−1 6 n(r) < 2h . úÁÄÁÞÁ 2. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ r ∈ Q+ ; 0 < r < 1, ÉÍÅÅÍ h(1 − r) = h(r) É n(1 − r) = n(r) + 2 sgn( 12 − r).

135

äÉÏÆÁÎÔÏ×Ù ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×

÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×

íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÍÎÏÇÉÍÉ ÉÚ Ó×ÏÊÓÔ×, ËÏÔÏÒÙÍÉ ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. îÁÒÉÍÅÒ, ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ, ÄÌÑ ÁÒÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÒÅÄÅÌÅÎ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÏÂÝÉÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ É Ô. Ä. ÷ Ó×ÑÚÉ Ó ÜÔÉÍ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÁ×ÉÔØ ÚÁÄÁÞÉ, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ ÚÁÄÁÞÁÍ É ÒÏÂÌÅÍÁÍ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ. ëÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÚÁÄÁÞÁ ÒÅÛÁÅÔÓÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÏÝÅ. îÁÒÉÍÅÒ, ÚÎÁÍÅÎÉÔÁÑ ÇÉÏÔÅÚÁ æÅÒÍÁ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÒÉ n > 3 ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ xn + yn = z n ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÊ × ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÌÁÈ, ÂÙÌÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ ÌÉÛØ ÓÏ×ÓÅÍ ÎÅÄÁ×ÎÏ. á Å£ ÁÎÁÌÏÇ (ÎÅÒÁÚÒÅÛÉÍÏÓÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ f n + gn = hn ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×), ËÁË ÍÙ ÓÅÊÞÁÓ Õ×ÉÄÉÍ, ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÏ ÒÏÓÔÏ. ïÉÓÁÎÉÅ ×ÓÅÈ ÔÒÏÅË ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ , , , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ f + g = h ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f , g, h ÉÍÅÅÔ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÂÙÌÏ ÏÌÕÞÅÎÏ × ËÏÎ Å ÒÏÛÌÏÇÏ ×ÅËÁ. íÙ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÂÏÌÅÅ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÕÀ ×ÅÒÓÉÀ ÜÔÏÊ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ. ðÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÎÅÒÁÚÒÅÛÉÍÏÓÔÉ ÍÎÏÇÉÈ ÄÉÏÆÁÎÔÏ×ÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ×ÅÓØÍÁ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÍ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ. ÅÏÒÅÍÁ 1 (íÅÊÓÏÎ). ðÕÓÔØ

a(x), b(x)

É

(x)

| ÏÁÒÎÏ ×ÚÁÉÍÎÏ

ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ

a(x) + b(x) + (x) = 0: ÏÇÄÁ ÓÔÅÅÎØ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÜÔÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ

n0 (ab ) − 1, ÇÄÅ n0

| ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÏÌÏÖÉÍ f = a= É g = b= . ÏÇÄÁ f É g | ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ f + g + 1 = 0. ðÒÏÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×Á× ÜÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï, ÏÌÕÞÉÍ f ′ = −g′ . ðÏÜÔÏÍÕ

b g f ′ =f = =− ′ : a f g =g

136

÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×

òÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ fQ É g ÉÍÅÀÔ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÊ ×ÉÄ (x − i )r , ri ∈ Z. äÌÑ ÆÕÎË ÉÉ R(x) = (x − i )r ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï Q

i

R′ X ri = : R x − i

i

ðÕÓÔØ a(x) = (x − i )a , b(x) = (x − j )b , (x) = (x − k ) . ÏÇÄÁ X k X ai − f ′ =f = ; x − i x − k X k X bj − : g′ =g = x − j x − k Q

Q

i

j

Q

k

ðÏÜÔÏÍÕ ÏÓÌÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ

N0 =

Y

(x − i )(x − j )(x − k )

ÓÔÅÅÎÉ n0 (ab ) ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ f ′ =f É g′ =g ÓÔÁÎÏ×ÑÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ ÓÔÅÅÎÉ ÎÅ ×ÙÛÅ n0 (ab ) − 1. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÚ ×ÚÁÉÍÎÏÊ ÒÏÓÔÏÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× a(x) É b(x) É ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

N f=f ′ b =− 0 ′ a N0 g=g ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÓÔÅÅÎØ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× a(x) É b(x) ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ n0 (ab ) − 1. äÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ (x) ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ.

éÚ ÔÅÏÒÅÍÙ 1 ÍÏÖÎÏ ÉÚ×ÌÅÞØ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÅ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ËÁË ÔÅÏÒÅÍÙ 2{4. ÅÏÒÅÍÁ 2 (äÜ×ÅÎÏÒÔ). ðÕÓÔØ

f

É

g

| ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÇÏ-

ÞÌÅÎÙ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ. ÏÇÄÁ

1 deg(f 3 − g2 ) > deg f + 1: 2 äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. åÓÌÉ deg f 3 6= deg g 2 , ÔÏ 1 deg(f 3 − g2 ) > deg f 3 = 3 deg f > deg f + 1: 2 ðÏÜÔÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ deg f 3 = deg g2 = 6k. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ F = f 3 , G = g2 É H = F − G = f 3 − g2 . ñÓÎÏ, ÞÔÏ deg H 6 6k. óÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 1, max(deg F; deg G; deg H ) 6 n0 (F GH ) − 1 6 deg f + deg g + deg H − 1;

äÉÏÆÁÎÔÏ×Ù ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×

137

Ô. Å.

6k 6 2k + 3k + deg H − 1: ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, deg H > k + 1 = 12 deg f + 1. úÁÍÅÞÁÎÉÅ.

äÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×

f (t) = t2 + 2; g(t) = t3 + 3t ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï äÜ×ÅÎÏÒÔÁ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï. ÅÏÒÅÍÁ 3. ðÕÓÔØ

f , g É h | ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, ÒÉÞÅÍ

ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÉÎ ÉÚ ÎÉÈ | ÎÅ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ. ÏÇÄÁ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

f n + g n = hn n > 3. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. óÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 1, ÓÔÅÅÎØ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f n, gn É hn ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ÒÉ

deg f + deg g + deg h − 1:

óÌÏÖÉ× ÜÔÉ ÔÒÉ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, ÏÌÕÞÉÍ

n(deg f + deg g + deg) 6 3(deg f + deg g + deg h − 1):

óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, n < 3.

äÉÏÆÁÎÔÏ×Ï ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ f + g = h ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f; g; h ÉÍÅÅÔ ÏÞÅ×ÉÄÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÅÓÌÉ ÏÄÎÏ ÉÚ ÞÉÓÅÌ ; ; ÒÁ×ÎÏ 1. ðÏÜÔÏÍÕ ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ; ; > 2. ÅÏÒÅÍÁ 4. ðÕÓÔØ

; ;

6 6 . ÏÇÄÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ

| ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÒÉÞÅÍ

26 6

f + g = h

ÉÍÅÅÔ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÌÉÛØ ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÎÁÂÏÒÏ×

( ; ; ): (2; 2; ), (2; 3; 3), (2; 3; 4)

É

(2; 3; 5).

ðÕÓÔØ a, b É | ÓÔÅÅÎÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f , g É h. ÏÇÄÁ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 1, äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

a b

6 6 6

a + b + − 1; a + b + − 1; a + b + − 1:

(1) (2) (3)

138

÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×

óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,

(a + b + ) 6 a + b +

6 3(a + b + ) − 3;

É ÚÎÁÞÉÔ, < 3. ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ > 2, ÏÜÔÏÍÕ = 2. ðÒÉ = 2 ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï 1 ÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ (4) a 6 b + − 1: óÌÏÖÉ× ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (4), (2) É (3), ÏÌÕÞÉÍ

b +

6 3(b + ) + a − 3:

õÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ 6 , É ÅÝÅ ÒÁÚ ÒÉÍÅÎÑÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (1), ÏÌÕÞÁÅÍ

(b + ) 6 4(b + ) − 4;

Á ÚÎÁÞÉÔ, 6 4, Ô. Å. = 2 ÉÌÉ 3. ïÓÔÁÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ = 3, ÔÏ 6 5. ðÒÉ = 3 ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (2) ÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ 2 6 a + − 1: (5) óÌÏÖÉ× ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (4) É (5), ÏÌÕÞÉÍ

b 6 2 − 2:

÷ ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (4) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ

a 6 3 − 3:

éÚ Ä×ÕÈ ÏÓÌÅÄÎÉÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× É ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (3) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ

6 6 − 6;

ÏÜÔÏÍÕ 6 5.

íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ f + g = h , ÔÅÓÎÏ Ó×ÑÚÁÎÙ Ó ÒÁ×ÉÌØÎÙÍÉ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁÍÉ. ðÏÄÒÏÂÎÏ ÜÔÁ Ó×ÑÚØ ÏÉÓÁÎÁ × ËÎÉÇÅ æ. ëÌÅÊÎÁ1) ; ÔÁÍ ÖÅ ÕËÁÚÁÎ ÓÏÓÏ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÜÔÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×. íÙ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÌÉÛØ ËÏÎÅÞÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ. óÌÕÞÁÊ = = 2, = n Ó×ÑÚÁÎ Ó ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÍ ÒÁ×ÉÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏÍ | ÌÏÓËÉÍ n-ÕÇÏÌØÎÉËÏÍ. ÒÅÂÕÅÍÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ  n  x +1 2

2

1)



 n  x −1 2

2

= xn:

ëÌÅÊÎ æ. ìÅË ÉÉ Ï ÉËÏÓÁÜÄÒÅ É ÒÅÛÅÎÉÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÑÔÏÊ ÓÔÅÅÎÉ. | í.: îÁÕËÁ.

1989.

äÉÏÆÁÎÔÏ×Ù ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×

139

óÌÕÞÁÊ = 2, = 3, = 3 Ó×ÑÚÁÎ Ó ÒÁ×ÉÌØÎÙÍ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏÍ. óÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ √





12i 3(x5 − x)2 + (x4 − 2i 3x2 + 1)3 = (x4 + 2i 3x2 + 1)3 : óÌÕÞÁÊ = 2, = 3, = 4 Ó×ÑÚÁÎ Ó ËÕÂÏÍ É ÒÁ×ÉÌØÎÙÍ ÏËÔÁÜÄÒÏÍ. óÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ (x12 − 33x8 − 33x4 + 1)2 + 108(x5 − x)4 = (x8 + 14x4 + 1)3 : óÌÕÞÁÊ = 2, = 3, = 5 Ó×ÑÚÁÎ Ó ÄÏÄÅËÁÜÄÒÏÍ É ÉËÏÓÁÜÄÒÏÍ. óÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ T 2 + h3 = 1728f 5 , ÇÄÅ

T = x30 + 1 + 522(x25 − x5 ) − 10005(x20 + x10 ); H = −(x20 + 1) + 228(x15 − x5 ) − 494x10 ; f = x(x10 + 11x5 − 1): ÅÏÒÅÍÁ 3 ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ xn + yn = z n ; ÇÄÅ x; y; z | ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ ÔÏÞÎÏ ÔÁËÏÅ ÖÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×. åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ×ÏÒÏÓ, ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÌÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ x + y = z ÉÍÅÔØ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÏÎÏ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ. ðÅÒ×ÙÊ ÒÉÍÅÒ ÏÂÎÁÄÅÖÉ×ÁÅÔ | ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ x2 + y3 = z 4 ÉÍÅÅÔ ËÁË ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ, ÔÁË É ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÂÅÓËÏÎÅÞÎÕÀ ÓÅÒÉÀ ÒÅÛÅÎÉÊ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ × ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÌÁÈ ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÏÌÏÖÉÍ x = n(n − 1)=2; y = n É z 2 = n(n + 1)=2: ÒÅÂÕÅÔÓÑ ÏÄÏÂÒÁÔØ ÞÉÓÌÏ n ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÞÉÓÌÏ z ÂÙÌÏ ÅÌÙÍ. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï 2z 2 = n(n + 1) ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ (2n + 1)2 − 2(2z )2 = 1: üÔÏ | ÚÎÁÍÅÎÉÔÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ æÅÒÍÁ{ðÅÌÌÑ, ËÏÔÏÒÏÅ ÉÍÅÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÊ. îÁÒÉÍÅÒ, ÒÉ n = 8 ÏÌÕÞÁÅÍ x = 28; y = 8; z = 6: ðÏÍÉÍÏ ÜÔÏÊ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ ÓÅÒÉÉ ÒÅÛÅÎÉÊ ÅÓÔØ É ÄÒÕÇÉÅ ÒÅÛÅÎÉÑ. îÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ x2 + y4 = z 6 ÏÒÏ×ÅÒÇÁÅÔ ÎÁÛÉ ÎÁÄÅÖÄÙ. õ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÅÔ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ, ÎÏ ÅÓÔØ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ. ïÄÎÏ ÉÚ ÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÊ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ x = 37 · 59 · 7 · 298 ; y = 2 · 33 · 55 · 294 ; z = 32 · 53 · 293 :

140

ëÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

îÁÄ ÆÕÎË ÉÑÍÉ, ËÁË É ÎÁÄ ÞÉÓÌÁÍÉ, ÍÏÖÎÏ ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔØ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÅÒÁ ÉÉ | ÓÌÏÖÅÎÉÅ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ. ïÄÎÁËÏ, ËÒÏÍÅ ÜÔÉÈ Ä×ÕÈ ÒÉ×ÙÞÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ, ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÆÕÎË ÉÊ, × ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÞÉÓÅÌ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÝÅ ÏÄÎÁ | ÏÅÒÁ ÉÑ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ. îÁÏÍÎÉÍ: ËÏÍÏÚÉ ÉÅÊ Ä×ÕÈ ÆÕÎË ÉÊ f É g ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑ f ◦ g ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ

f ◦ g(x) def = f (g(x)): âÕÄÅÍ ÒÉÄÅÒÖÉ×ÁÔØÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ. ÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ id (ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ id(x) ≡ x). ïÅÒÁ ÉÀ ×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÑ × ÓÔÅÅÎØ ÂÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÅÒÁ ÉÉ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ, Á ÎÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ, ËÁË ÜÔÏ ÏÂÙÞÎÏ ÄÅÌÁÅÔÓÑ, ÉÍÅÎÎÏ f n def = |f ◦ ·{z· · ◦ f} ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÔÕn ÒÁÚ

ÒÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ n. íÙ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ f −1 ÏÂÒÁÔÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ Ë ÆÕÎË ÉÉ f , Ô. Å. ÔÁËÕÀ, ÞÔÏ f −1 ◦ f = f ◦ f −1 = id (ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ). = id. ÷ÏÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ f (x) åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, f −n def = f| −1 ◦ ·{z· · ◦ f −}1 , f 0 def n ÒÁÚ

× n-À ÓÔÅÅÎØ × ÏÂÙÞÎÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ f (x)n. ïÅÒÁ ÉÑ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ, Ô. Å. ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÆÕÎË ÉÊ f , g É h ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (f ◦ g) ◦ h = = f ◦ (g ◦ h). ïÄÎÁËÏ ÒÉ×ÙÞÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ; ËÏÍÏÚÉ ÉÉ f ◦ g É g ◦ f , ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÆÕÎË ÉÑÍÉ. îÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ f (x) = x + 1, Á g(x) = x2 , ÔÏ f (g(x)) = x2 + 1, Á g(f (x)) = x2 + 2x + 1. äÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÁÒ ÆÕÎË ÉÊ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

f ◦g =g◦f

(1)

×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ. ÷ ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÆÕÎË ÉÉ f É g ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÍÉ.

ëÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ

141

ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÆÕÎË ÉÉ f É g Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÍÉ × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÓÌÕÞÁÅ×: Á) f (x) = g(x); Â) f (x) = x + a, g(x) = x + b ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ a É b; ×) f (x) = ax, g(x) = bx ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ a É b; Ç) f (x) = x , g(x) = x ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ É ; Ä) f (x) = hm (x), g(x) = hn (x) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÆÕÎË ÉÉ h É ÅÌÙÈ (ÅÓÌÉ ÆÕÎË ÉÑ h ÎÅÏÂÒÁÔÉÍÁ, ÔÏ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ) ÞÉÓÅÌ m É n. âÙ×ÁÅÔ ÔÁË, ÞÔÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ ËÏÍÍÕÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ Ä×ÕÈ ÆÕÎË ÉÊ ÂÅÚ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÒÏ×ÅÒËÉ ÎÅÒÏÓÔÏ. ðÒÉÍÅÒÏÍ ÔÁËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ x2 − 2 É x3 − 3x.

ñ×ÌÅÎÉÅ ËÏÍÍÕÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÅÄËÏ, É ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÏÒÏÓ ÏÉÓÁÎÉÑ ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÓÌÕÞÁÅ×, ÈÏÔÑ ÂÙ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×. üÔÁ ÚÁÄÁÞÁ ÂÙÌÁ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÁ ÅÝÅ × ÎÁÞÁÌÅ ×ÅËÁ É ÏÌÎÏÓÔØÀ ÒÅÛÅÎÁ äÖ. òÉÔÔÏÍ [1℄. ðÏÚÄÎÅÅ ÏÑ×ÉÌÏÓØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁÂÏÔ [2, 3, 4℄, ÇÄÅ ÒÅÄÌÁÇÁÌÉÓØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÜÔÏÊ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ. ïÄÎÁËÏ ×ÓÅ ÏÎÉ ÎÅÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙ. ÁË, ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï òÉÔÔÁ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÏ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÒÉÍÁÎÏ×ÙÈ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ, Á ÒÁÂÏÔÁ äÏÒÅÑ É õÜÊÌÓÁ [2℄ ÏÓÎÏ×ÁÎÁ ÎÁ ÔÅÏÒÉÉ ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÊ ÏÌÅÊ.

üÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÄÏ ÓÉÈ ÏÒ. ÷ 1977 ÇÏÄÕ ÛËÏÌØÎÉËÁÍ | ÕÞÁÓÔÎÉËÁÍ XI ÷ÓÅÓÏÀÚÎÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÙ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ | ÂÙÌÏ ÒÅÄÌÏÖÅÎÏ ÒÁÚÏÂÒÁÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÞÁÓÔÎÙÈ ÓÌÕÞÁÅ× ÜÔÏÊ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ. ÷ÏÔ ËÁË ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÌÁÓØ ÚÁÄÁÞÁ, ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÁÑ ÕÞÁÓÔÎÉËÁÍ ÏÌÉÍÉÁÄÙ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÏÔ ÏÄÎÏÇÏ ÅÒÅÍÅÎÎÏ-

x ÓÏ ÓÔÁÒÛÉÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ 1. âÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ Ä×Á ÔÁP É Q ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ, ÅÓÌÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ P (Q(x)) É Q(P (x)) ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÙ (Ô. Å. ÏÓÌÅ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÓËÏÂÏË É ÇÏ

ËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ

ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ Ë ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÍÕ ×ÉÄÕ ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÜÔÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÏ×ÁÄÁÀÔ). Á) äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÞÉÓÌÁ



ÎÅ

2, k | ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÓÔÅÅÎÉ k , ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÅÇÏ Ó P . ×) îÁÊÄÉÔÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÓÔÅÅÎÅÊ 4 É 8, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ Ó ÄÁÎÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÓÔÅÅÎÉ 2. Â) ðÕÓÔØ

P

Q ÓÔÅÅÎÉ P (x) = x2 − .

ÎÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ

×ÙÛÅ ÔÒÅÈ, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ Ó ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ

142

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

Ç) íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÞÌÅÎÏÍ

P

Q

R ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ Ó ÏÄÎÉÍ É ÔÅÍ ÖÅ 2. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÎÉ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ

É

ÓÔÅÅÎÉ

ÍÎÏÇÏÍÅÖÄÕ

ÓÏÂÏÊ. Ä) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ

k, × ËÏÔÏÒÏÊ ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ É P2 (x) = x − 2. ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×

P2 ; P3 ; P4 ; : : : ; Pk ; : : : , ÇÄÅ Pk

| ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ 2

÷ 1979 ÇÏÄÕ × ÖÕÒÎÁÌÅ €ë×ÁÎԁ ÂÙÌÁ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÁ ÓÔÁÔØÑ é. ñÎÔÁÒÏ×Á (ÓÅ×ÄÏÎÉÍ é. î. âÅÒÎÛÔÅÊÎÁ) [5℄. ÷ ÎÅÊ ÒÅÛÁÌÁÓØ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÚÁÄÁÞÁ ÷ÓÅÓÏÀÚÎÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÙ, É ÒÅÄÌÁÇÁÌÏÓØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ×ÏÒÏÓÏ×, ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÏÔ×ÅÔÙ ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ ÂÙÌÉ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙ. ïÄÎÉÍ ÉÚ ÔÁËÉÈ ×ÏÒÏÓÏ× ÂÙÌ: ÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ (×ÙÛÅ ÅÒ×ÏÊ), ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÊ Ó ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ x2 − ? æÁËÔÉÞÅÓËÉ, ÜÔÏÔ ×ÏÒÏÓ ÒÁ×ÎÏÓÉÌÅÎ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ ×ÓÅÈ ÁÒ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, ÏÄÉÎ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÉÍÅÅÔ ÓÔÅÅÎØ 2. ïÂÝÕÀ ÚÁÄÁÞÕ ÍÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÔÁË. úÁÄÁÞÁ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×. äÌÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ

P

ÎÁÊÔÉ ×ÓÅ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ Ó ÎÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ.

íÙ (ÎÅ ÄÅÌÁÑ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÈ ÏÇÏ×ÏÒÏË) ÂÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÌÉÛØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ. á×ÔÏÒ ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÓÔÁÔØÉ ÚÁÎÑÌÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ, ÂÕÄÕÞÉ ÛËÏÌØÎÉËÏÍ, ÏÄ ÒÕËÏ×ÏÄÓÔ×ÏÍ á. ë. ÏÌÙÇÏ É é. î. âÅÒÎÛÔÅÊÎÁ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÑ×ÉÌÏÓØ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ. ëÌÀÞÅ×ÁÑ ÉÄÅÑ, ÚÁ×ÅÒÛÉ×ÛÁÑ ÜÔÕ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÀ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ é. î. âÅÒÎÛÔÅÊÎÕ. éÚÌÏÖÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÅÌØÀ ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÓÔÁÔØÉ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÚÁÄÁÞÁ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ ÒÅÛÁÅÔÓÑ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÛÉÒÏËÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ËÕÂÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, Á ÔÁËÖÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÒÉÍÅÒÙ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× É ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ. òÅÚÕÌØÔÁÔÙ, ÉÚÌÏÖÅÎÎÙÅ × ÁÒÁÇÒÁÆÁÈ 4, 6 É 7, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ Á×ÔÏÒÕ, Á ÉÚÌÏÖÅÎÎÙÅ × ÁÒÁÇÒÁÆÅ 8 | é. î. âÅÒÎÛÔÅÊÎÕ. ïÎÉ ÂÙÌÉ ÏÌÕÞÅÎÙ × 1979 ÇÏÄÕ, ÏÄÎÁËÏ ÕÂÌÉËÕÀÔÓÑ ×ÅÒ×ÙÅ. ÷ ÅÒ×ÏÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ ÏËÁÚÁÎÏ, ËÁË Ó×ÅÓÔÉ ÚÁÄÁÞÕ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Ë ÂÏÌÅÅ ÕÚËÏÍÕ ËÌÁÓÓÕ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×. ðÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ x2 − ; ×ÓÀÄÕ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ, ËÒÏÍÅ ÁÒÁÇÒÁÆÏ× 7 É 9, ÚÁÄÁÞÁ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ ÂÕÄÅÔ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÔÁËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×.

ëÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ

143

÷ÔÏÒÏÊ ÁÒÁÇÒÁÆ ÏÓ×ÑÝÅÎ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ Ó ÄÁÎÎÙÍ ÓÔÁÒÛÉÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÅÇÏ Ó ÄÁÎÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ. ïÓÎÏ×ÎÙÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÁÒÁÇÒÁÆÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ: €ÅÓÌÉ Ä×Á ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ×ÔÏÒÏÊ

É ÅÇÏ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ÷ ÞÅÔ×ÅÒÔÏÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÊ Ó ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÂÏ ÞÅÔÎÙÍ, ÌÉÂÏ ÎÅÞÅÔÎÙÍ. ëÁË ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ×Ù×ÏÄÉÔÓÑ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ×ÓÅÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ Ó ÄÁÎÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÌÉÛØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ. ðÑÔÙÊ ÁÒÁÇÒÁÆ | ÓÁÍÙÊ €ËÏÎÓÔÒÕËÔÉ×ÎÙʁ. úÄÅÓØ ÒÉ×ÏÄÑÔÓÑ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÅ ÒÉÍÅÒÙ | ÅÏÞËÉ ÏÁÒÎÏ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÔÅÅÎÅÊ. ÷ ÛÅÓÔÏÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÊ ÍÅÔÏÄ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, ÉÓÏÌØÚÕÀÝÉÊ ÏÎÑÔÉÅ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÏÊ ÔÏÞËÉ. ó ÏÍÏÝØÀ ÎÅÇÏ ÒÅÛÁÅÔÓÑ ÚÁÄÁÞÁ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ ÄÌÑ €ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Á (× ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÍ ÓÍÙÓÌÅ) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ. ÷ ÓÅÄØÍÏÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÍÅÔÏÄ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÈ ÔÏÞÅË, ÒÅÛÁÅÔÓÑ ÚÁÄÁÞÁ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ×ÉÄÁ x3 + . ÷ ×ÏÓØÍÏÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ ÚÁÄÁÞÁ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÒÅÛÁÅÔÓÑ ÏÌÎÏÓÔØÀ. òÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ | ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÏÓÌÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ËÌÁÓÓ ÆÕÎË ÉÊ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÓÔÁ×ÉÔØ ×ÏÒÏÓ Ï ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ. åÓÔØ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ Ñ×ÌÅÎÉÅ ËÏÍÍÕÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ €ÞÁÝŁ, ÞÅÍ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×. ïÄÉÎ ÉÚ ÓÏÓÏÂÏ× ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÒÉÍÅÒÏ× ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ × ÄÅ×ÑÔÏÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ. ÓÔÅÅÎÉ, ÔÏ ÏÎÉ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏʁ

1. óÏÒÑÖÅÎÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ

åÓÌÉ H (x) = ax + b (a 6= 0) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ, ÔÏ ÄÌÑ 1 b ÎÅÇÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÂÒÁÔÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ H −1 (x) = x − . (îÅÔÒÕÄÎÏ ÄÏa a ËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ | ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÅ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÂÒÁÔÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÀÝÁÑÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ.) ó ÌÀÂÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ H ÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÍÏÖÎÏ Ó×ÑÚÁÔØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÓÅÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× × ÓÅÂÑ, ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÅÅ Ï ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÒÁ×ÉÌÕ. ëÁÖÄÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ P ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔÓÑ × ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ PH = H ◦ P ◦ H −1 . ÁËÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÒÑÖÅÎÉÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ P ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ H .

144

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

ä×Á ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ, ÏÄÉÎ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎ ÉÚ ÄÒÕÇÏÇÏ ÓÏÒÑÖÅÎÉÅÍ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÍÉ. ìÅÇËÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÕÀ ÓÔÅÅÎØ. îÅÔÒÕÄÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á: 1. P = Pid ; 2. åÓÌÉ Q = PH , ÔÏ P = QH −1 ; 3. åÓÌÉ Q = PH1 , a R = QH2 , ÔÏ R = PH2 ◦H1 . éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÓÏÒÑÖÅÎÎÏÓÔØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×. üÔÏ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÁÚÂÉÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁ ËÌÁÓÓÙ ÓÏÒÑÖÅÎÎÏÓÔÉ ÔÁË, ÞÔÏ ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÏÁÄÁÀÔ × ÏÄÉÎ ËÌÁÓÓ, Á ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ, ÎÅ Ñ×ÌÑÀÝÉÅÓÑ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÍÉ, | × ÒÁÚÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ. óÏÒÑÖÅÎÉÅ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ×ÁÖÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ | ÌÀÂÕÀ ÁÒÕ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÎÏ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ × ÁÒÕ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 1. åÓÌÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ

P

É

Q

ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ, Á

ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ, ÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ.

PH É QH

H

|

ÔÏÖÅ

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

(H ◦ P ◦ H −1 ) ◦ (H ◦ Q ◦ H −1 ) = = H ◦ P ◦ (H − 1 ◦ H ) ◦ Q ◦ H − 1 = H ◦ P ◦ Q ◦ H − 1 = H ◦ Q ◦ P ◦ H − 1 = = H ◦ Q ◦ (H −1 ◦ H ) ◦ P ◦ H −1 = (H ◦ Q ◦ H −1 ) ◦ (H ◦ P ◦ H −1 ): éÚ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 1 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÍÙ ÕÍÅÅÍ ÎÁÈÏÄÉÔØ ×ÓÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÄÁÎÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ P , ÔÏ ÍÙ ÕÍÅÅÍ ÔÁËÖÅ ÎÁÈÏÄÉÔØ É ×ÓÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ Ó ÌÀÂÙÍ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÍ Ó P ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÚÁÄÁÞÕ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ×ÓÅÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ Ó ÄÁÎÎÙÍ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÅÛÉÔØ ÄÌÑ ÏÄÎÏÇÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ÓÏÒÑÖÅÎÎÏÓÔÉ. åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÙÑÓÎÉÔØ, ÎÁÓËÏÌØËÏ ÍÏÖÎÏ ÕÒÏÓÔÉÔØ ÏÂÝÉÊ ×ÉÄ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Ó ÏÍÏÝØÀ ÓÏÒÑÖÅÎÉÑ. ìÅÍÍÁ 1. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÓÔÅÅÎÉ

n > 2 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÏÒÑ-

ÖÅÎÎÙÊ ÅÍÕ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÏ ÓÔÁÒÛÉÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ ÅÄÉÎÉ Á É ÎÕÌÅ×ÙÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ ÒÉ

(n − 1)-Ê ÓÔÅÅÎÉ.

ëÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

145

óÏÒÑÖÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ

P (x) = Axn + Bxn−1 + : : : ; ÇÄÅ ÍÎÏÇÏÔÏÞÉÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÞÌÅÎÙ ÓÔÅÅÎÉ ÎÉÖÅ n − 1, ÌÉÎÅÊÎÙÍ Ä×ÕÞÌÅÎÏÍ H (x) = ax + b. éÍÅÅÍ 1 b n 1 b n−1 PH (x) = a A x − +B x− + ::: + b = a a a a   nAb B A n = n−1 x + − n−1 + n−2 xn−1 + : : : a a a ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÓÔÁÒÛÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÅÄÉÎÉ Å, ÏÌÕÞÁÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ an−1 = A, ÏÔËÕÄÁ ÎÁÈÏÄÉÍ a. äÁÌÅÅ, ÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÎÕÌÀ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÁ b, ÉÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ aB ÎÁÈÏÄÉÍ b = . nA úÁÍÅÞÁÎÉÅ. íÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× | ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. åÓÌÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ Ó ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ, ÔÏ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÙÍ ÌÉÛØ ÄÌÑ ÞÅÔÎÙÈ n; ÒÉ ÎÅÞÅÔÎÙÈ n ×ÅÒÎÏ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÂÏÌÅÅ ÓÌÁÂÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÔÁÒÛÅÇÏ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁ | ÓÏÒÑÖÅÎÉÅÍ ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ ÒÁ×ÎÙÍ 1 ÉÌÉ −1. 





!



ax2 + bx + ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÓÏÒÑÖÅÎ 3 1 ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÕ x2 − , ÇÄÅ = b2 − b − a . 4 2 óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ìÀÂÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ

2. åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÅÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÄÁÎÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ

ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 2. äÌÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÅÌÏÇÏ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÄÁÎÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ

P

ÓÔÅÅÎÉ

2.

Q

ÓÔÅÅÎÉ

n,

ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÅÇÏ Ó

óÏÇÌÁÓÎÏ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 1 É ÌÅÍÍÅ 1, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÉ×ÅÓÔÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÑ P (x) = x2 − . ðÕÓÔØ äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

Q(x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an ; ÇÄÅ a0 6= 0:

ÏÇÄÁ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× P É Q (× ÏÄÎÏÍ É ÄÒÕÇÏÍ ÏÒÑÄËÅ) ÓÕÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÓÔÅÅÎÉ 2n

P ◦ Q(x) = b0 x2n + b1 x2n−1 + b2 x2n−2 + · · · + b2n−1 x + b2n ;

146

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

Q ◦ P (x) = 0 x2n + 1 x2n−1 + 2 x2n−2 + · · · + 2n−1 x + 2n ; ÉÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ bi É i Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑÍÉ ÏÔ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× É ai ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× P É Q. âÕÄÅÍ ÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÔØ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÜÔÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁÞÉÎÁÑ ÓÏ ÓÔÁÒÛÅÇÏ ÞÌÅÎÁ. îÅÔÒÕÄÎÏ ÎÁÊÔÉ Ñ×ÎÙÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÄÌÑ ÓÔÁÒÛÉÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ×: b0 = a20 , 0 = a0 . ðÏÌÕÞÁÅÍ a20 = a0 , ÏÔËÕÄÁ a0 = 1. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÔÁÒÛÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Q ÏÒÅÄÅÌÅÎ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ. ðÒÉÍÅÎÉÍ ÍÅÔÏÄ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ai Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ i < k ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ 0 < k 6 n ÕÖÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ. äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ak ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÉ ÜÔÏÍ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ. ÷ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁ bk ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ bk = ak a0 + : : : , ÇÄÅ ÍÎÏÇÏÔÏÞÉÅ ÚÁÍÅÎÑÅÔ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ÚÁ×ÉÓÑÝÅÅ ÔÏÌØËÏ ÏÔ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ai Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ i < k. ëÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÖÅ k ÚÁ×ÉÓÉÔ ÔÏÌØËÏ ÏÔ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ai Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ i 6 [k=2℄ (ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ, i < k) É, ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ, ÏÔ . ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ bk = k ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ ak , ÉÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÜÔÏÔ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ É ÕÖÅ ×ÙÒÁÖÅÎÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ai (i < k). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÚ ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ bi = i ÒÉ 0 6 i 6 n ÍÙ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÞÉÓÌÁ a0 , a1 , . . . , an . åÓÌÉ ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÂÕÄÕÔ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ bi = i ÒÉ n +1 6 i 6 2n, ÔÏ ÏÎÉ É ÂÕÄÕÔ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Q ÓÔÅÅÎÉ n, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÅÇÏ Ó P . ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÔÁËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 1. ðÕÓÔØ

P

| ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ

2.

ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ

k ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ 2k , ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÊ Ó P .

ÅÌÏÇÏ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÓÔÅÅÎÉ

íÎÏÇÏÞÌÅÎ P k ÂÕÄÅÔ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÏÂÌÁÄÁÔØ ÔÒÅÂÕÅÍÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ. åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 2. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 2. íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ Ó ÎÙ

xn (n = 1; 2; : : : ) É ÔÏÌØËÏ ÏÎÉ.

x2 , | ÜÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅ-

ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ×ÉÄÁ xn ËÏÍÍÕÔÉÒÕÅÔ Ó x . ðÏÓËÏÌØËÕ ÓÔÅÅÎÉ ÔÁËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ×ÓÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ ÄÒÕÇÉÈ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ Ó x2 ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. 2

ðÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 2 ÂÅÚ ÔÒÕÄÁ ÅÒÅÎÏÓÉÔÓÑ É ÎÁ ÓÌÕÞÁÊ, ÅÓÌÉ P | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ ×ÙÛÅ ×ÔÏÒÏÊ, ×ÓÀÄÕ, ËÒÏÍÅ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÔÁÒÛÅÇÏ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Q. ÏÞÎÅÅ, ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ.

ëÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ

m > 2. óÕÝÅÓÔ×ÕQ ÄÁÎÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ n Ó ÄÁÎÎÙÍ ÓÔÁÒÛÉÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ a, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÅÇÏ Ó P . óÔÁÒÛÉÊ ÞÌÅÎ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Q ÍÏÖÅÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ m − 1 ÚÎÁÞÅÎÉÅ. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 3. ðÕÓÔØ

P

147

| ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ

ÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

ðÕÓÔØ

P (x) = A0 xm + A1 xm−1 + · · · + Am−1 x + Am ; Q(x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an :

ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÓÔÁÒÛÉÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× P ◦ Q É Q ◦ R, ÏÌÕÞÁÅÍ m−1 = An−1 , ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, a ÍÏÖÅÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ n A0 am 0 0 = a0 A0 , ÏÔËÕÄÁ a0 0 ÎÅ ÂÏÌÅÅ m − 1 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ. ëÁÖÄÙÊ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ak (1 6 k 6 n) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Q(x) ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÞÅÒÅÚ ÒÁÎÅÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ai (0 6 6 i < k ) É ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ Ai ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ P (x) ÉÚ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÒÉ (mn − k)-Ê ÓÔÅÅÎÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× P ◦ Q É Q ◦ P . äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ xmn−k ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ P ◦ Q(x) ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ak ÌÉÎÅÊÎÏ (É ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ai Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ i > k), Á ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ xmn−k ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Q ◦ P (x) ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ai ÒÉ i > k. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 4. ðÕÓÔØ

P

ÏÎÁÌØÎÙÍÉ) ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ,

| ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Ó ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÍÉ (ÒÁ É-

Q

| ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÊ Ó ÎÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ.

ðÕÓÔØ ÒÉ ÜÔÏÍ ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÏÄÎÏ ÉÚ Ä×ÕÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ: Á)

deg P = 2;

Â) ÓÔÁÒÛÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍ) ÞÉÓÌÏÍ. ÏÇÄÁ ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ

Q Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÍ (ÒÁQ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙ (ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙ).

æÏÒÍÕÌÙ, ×ÙÒÁÖÁÀÝÉÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Q × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÁÈ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÊ 2 É 3, ÎÅ ×Ù×ÏÄÑÔ ÚÁ ÒÁÍËÉ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ (ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ) ÞÉÓÅÌ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

3. ÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔØ ËÏÍÍÕÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ

îÁÞÎÅÍ Ó ÒÏÓÔÏÇÏ, ÎÏ ÏÞÅÎØ ×ÁÖÎÏÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á, ÏÚ×ÏÌÑÀÝÅÇÏ, ÉÍÅÑ ÒÉÍÅÒÙ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, ÓÔÒÏÉÔØ ÎÏ×ÙÅ.

Q É R ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ Ó ÏÄÎÉÍ É P , ÔÏ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ Q ◦ R ÔÏÖÅ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÅÔ Ó P .

ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 5. åÓÌÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÔÅÍ ÖÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ

148

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÅÏÞËÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×

(Q ◦ R) ◦ P = = Q ◦ (R ◦ P ) = Q ◦ (P ◦ R) = (Q ◦ P ) ◦ R = (P ◦ Q) ◦ R = = P ◦ (Q ◦ R): ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 6. åÓÌÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÎÏÍ

P

Q É R ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ Ó ÍÎÏÇÏÞÌÅ-

×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ, ÔÏ ÏÎÉ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ.

éÚ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 5 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ Q ◦ R É R ◦ Q ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ Ó P . ðÏÓËÏÌØËÕ ÜÔÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÕÀ ÓÔÅÅÎØ, ÉÚ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 2 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÒÁ×ÎÙ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

åÓÌÉ ÓÔÅÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ×ÙÛÅ ×ÔÏÒÏÊ, ÔÏ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ ÅÒÅÓÔÁÅÔ ÂÙÔØ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÙÍ. ÁË, ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ x2 É −x ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ Ó x3 , ÎÏ ÎÅ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ. ïÄÎÁËÏ, ÅÓÌÉ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÔÒÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ P , Q É R ÕÎÉÔÁÒÎÙ, Ô. Å. ÉÍÅÀÔ ÓÔÁÒÛÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÅÄÉÎÉ Á, ÔÏ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ × ÓÉÌÅ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ P ÌÀÂÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ×ÙÛÅ ÅÒ×ÏÊ. úÁÍÅÞÁÎÉÅ.

4. þÅÔÎÙÅ É ÎÅÞÅÔÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ

îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ f (x) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÅÔÎÏÊ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ x ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï f (−x) = f (x) É ÎÅÞÅÔÎÏÊ, ÅÓÌÉ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï f (−x) = −f (x). îÅÔÒÕÄÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÞÅÔÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ ÎÅÞÅÔÎÙÈ ÓÔÅÅÎÑÈ ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ, Á ÕÓÌÏ×ÉÅ ÎÅÞÅÔÎÏÓÔÉ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ ÞÅÔÎÙÈ ÓÔÅÅÎÑÈ ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÞÅÔÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ × ×ÉÄÅ Q(x2 ), ÇÄÅ Q | ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÎÅÞÅÔÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ × ×ÉÄÅ xQ(x2 ). îÁÏÍÎÉÍ ÔÁËÖÅ ÏÄÎÏ ÒÏÓÔÏÅ, ÎÏ ÏÞÅÎØ ×ÁÖÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, ËÏÔÏÒÏÅ ÂÕÄÅÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÎÁÍÉ ÎÅÏÄÎÏËÒÁÔÎÏ. ìÅÍÍÁ 2. åÓÌÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÏ×ÁÄÁÀÔ ÒÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ, ÔÏ ÜÔÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÙ.

òÁÚÎÏÓÔØ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÉÍÅÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÏ ËÏÒÎÅÊ. ÁË ËÁË ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ ÎÅ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÅÇÏ ÓÔÅÅÎØ, ÔÏ ÜÔÁ ÒÁÚÎÏÓÔØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÕÌÅ×ÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ. úÎÁÞÉÔ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÒÁ×ÎÙ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

ëÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ

149

Q(x), ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÊ P (x) = x2 − , Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÂÏ ÞÅÔÎÙÍ, ÌÉÂÏ ÎÅÞÅÔÎÙÍ.

ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 7. ìÀÂÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÞÌÅÎÏÍ

ÅÍ

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

Ó ÍÎÏÇÏ-

ðÏÓËÏÌØËÕ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ P (x) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÅÔÎÙÍ, ÉÍÅ-

P (Q(−x)) = P ◦ Q(−x) = Q ◦ P (−x) = Q ◦ P (x) = P ◦ Q(x) = P (Q(x)): òÁ×ÅÎÓÔ×Ï P (x1 ) = P (x2 ) ÏÚÎÁÞÁÅÔ x21 − = x22 − , ÏÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ x1 = = ±x2 . ÷ÚÑ× x1 = Q(−x), x2 = Q(x), ÏÌÕÞÁÅÍ Q(−x) = ±Q(x). ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ x. úÎÁÞÉÔ, ÄÌÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ x ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÌÉÂÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï Q(−x) = Q(x), ÌÉÂÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï Q(−x) = −Q(x). óÏÇÌÁÓÎÏ ÌÅÍÍÅ 2, ÅÓÌÉ ÅÒ×ÏÅ ÉÚ ÜÔÉÈ ÒÁ×ÅÎÓÔ× ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÄÌÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ x, ÔÏ Q(−x) ≡ Q(x), ÚÎÁÞÉÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Q(x) ÞÅÔÎÙÊ, Á ÅÓÌÉ ×ÔÏÒÏÅ, ÔÏ Q(−x) ≡ −Q(x), É ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Q(x) ÎÅÞÅÔÎÙÊ. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 8. ðÕÓÔØ

Ó

P.

| ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ

2n,

ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀ-

P (x) = x − . ÏÇÄÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Q ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁQ = Q′ ◦ P , ÇÄÅ Q′ | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ n, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÊ

ÝÉÊ Ó ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ

Q

2

éÚ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 7 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Q(x) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ ËÁË ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÔ x2 . óÄÅÌÁ× ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÚÁÍÅÎÕ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, ÏÌÕÞÁÅÍ Q(x) = Q′ (P (x)), ÇÄÅ Q′ | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ n. äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Q′ (x) ËÏÍÍÕÔÉÒÕÅÔ Ó P (x). ðÕÓÔØ y = P (x). ÏÇÄÁ äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

P ◦ Q′ (y) = P ◦ Q′ ◦ P (x) = P ◦ Q(x) = Q ◦ P (x) = Q′ ◦ P ◦ P (x) = Q′ ◦ P (y): úÎÁÞÅÎÉÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× P ◦ Q′ É Q′ ◦ P ÓÏ×ÁÄÁÀÔ ÒÉ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÉÚ ÏÂÌÁÓÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ P (x), ÚÎÁÞÉÔ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÌÅÍÍÅ 2, ÏÎÉ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÙ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ Ó ÄÁÎÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÊÔÉ ×ÓÅ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ Ó ÎÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ.

150

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

5. ãÅÏÞËÉ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×. íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ þÅÂÙÛ Å×Á

ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 9. ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ

äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ

Pn (x) ÓÔÅÅÎÉ n ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï

n

ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ

ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï

Pn (t + t−1 ) = tn + t−n : íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ

Pn (x) (n = 1; 2; : : : ) ÏÁÒÎÏ

ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. óÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÔÁËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÂÕÄÅÍ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï n. îÅÔÒÕÄÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÒÉ n = 1 É 2 ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ P1 (x) = x É P2 (x) = x2 − 2 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÉÓËÏÍÙÍÉ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÎÁÛÌÉ ÔÁËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ Pn (x) ÄÌÑ ×ÓÅÈ n 6 k. ÏÇÄÁ, ×ÏÓÏÌØÚÏ×Á×ÛÉÓØ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÏÍ

tk+1 + t−(k+1) = (t + t−1 )(tk + t−k ) − (tk−1 + t−(k−1) ); ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Pk+1 (x) = xPk (x) − Pk−1 (x) ÂÕÄÅÔ ÉÓËÏÍÙÍ ÒÉ n = k + 1. äÏËÁÖÅÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ Pn ÏÁÒÎÏ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ. ðÕÓÔØ x = t + t−1 . ÏÇÄÁ

Pm ◦ Pn (x) = Pm (tn + t−n ) = tmn + t−mn = Pn (tm + t−m ) = Pn ◦ Pm (x): ðÏÓËÏÌØËÕ ÞÉÓÅÌ, ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÙÈ × ×ÉÄÅ t + t−1 , ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÏ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÌÅÍÍÅ 2, ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ Pm ◦ Pn É Pn ◦ Pm ÒÁ×ÎÙ. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ÷ÓÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ Ó ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÓÕÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ

Pn (x) ÉÚ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 9.

x2 − 2,

óÒÅÄÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Pn ÉÍÅÅÔÓÑ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÕ ËÁÖÄÏÊ ÓÔÅÅÎÉ. úÎÁÞÉÔ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 2, ÄÒÕÇÉÈ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ Ó x2 − 2 ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÅÔ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

åÝÅ ÏÄÎÕ ÅÏÞËÕ ÏÁÒÎÏ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÒÉ ÌÀÂÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ n ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Tn , ÞÔÏ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï

os nx = Tn ( os x):

(2)

üÔÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ þÅÂÙÛÅ×Á. éÚ ÆÏÒÍÕÌÙ (2) ÌÅÇËÏ ×Ù×ÅÓÔÉ, ÞÔÏ ÜÔÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÏÁÒÎÏ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ. éÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÔÒÉ-

ëÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ

151

ÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÁÀÔ Ñ×ÎÙÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÄÌÑ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÅÒ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× þÅÂÙÛÅ×Á:

T1 (x) = x; T2 (x) = 2x2 − 1; T3 (x) = 3x3 − 4x:

ïÄÎÁËÏ ÅÏÞËÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Pn É ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× þÅÂÙÛÅ×Á ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÄÎÉÍ ÒÉÍÅÒÏÍ | ÏÄÎÁ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÄÒÕÇÏÊ Ó ÏÍÏÝØÀ ÓÏÒÑÖÅÎÉÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ 2x. äÏËÁÚÁÔØ ÜÔÏ ÍÏÖÎÏ ÍÎÏÇÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ, ÓÁÍÙÊ ÒÏÓÔÏÊ ÉÚ ÎÉÈ, ÏÖÁÌÕÊ, | ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ

eix + e−ix : 2 ðÒÉ ÎÅÞÅÔÎÙÈ n, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÍ ×ÙÛÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍ Pn É Tn , ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ Pn′ É Tn′ , ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÙÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ

os x =

É

Pn′ (t − t−1 ) = tn − t−n

sin nx = Tn′ (sin x): ïÄÎÁËÏ, É ÜÔÉ ÓÅÒÉÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÏÔ Ó×ÏÉÈ €ÒÏÄÓÔ×ÅÎÎÉËÏׁ Pn É Tn ÌÉÛØ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅÍ ÓÏÒÑÖÅÎÉÑ. ðÒÁ×ÄÁ, × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÏÒÑÇÁÔØ ÎÕÖÎÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ H (x) = ix Ó ËÏÍÌÅËÓÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÄÌÑ ÎÅÞÅÔÎÙÈ n ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÒÉ ÓÏÒÑÖÅÎÉÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÔÏÌØËÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ. æÁËÔÉÞÅÓËÉ, ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÉÍÅÒÏ× ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, ÏÔÌÉÞÎÙÈ ÏÔ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ. ïÓÎÏ×ÎÏÊ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÏÎÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ [1, 2, 3, 4℄ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÁÒÁ ÕÎÉÔÁÒÎÙÈ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÏÒÑÖÅÎÉÅÍ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ ÌÉÂÏ Ë ×ÉÄÕ (P n ; P m ) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ P É ÅÌÙÈ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ n É m, ÌÉÂÏ Ë ×ÉÄÕ (xn ; xm ) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÅÌÙÈ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ n É m, ÌÉÂÏ Ë ÁÒÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× þÅÂÙÛÅ×Á. äÌÑ ÓÌÕÞÁÑ, ËÏÇÄÁ ÓÔÅÅÎØ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÒÁ×ÎÁ Ä×ÕÍ, ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÇÏ ÆÁËÔÁ ÂÕÄÅÔ ÒÉ×ÅÄÅÎÏ × ÁÒÁÇÒÁÆÅ 8. 6. îÅÏÄ×ÉÖÎÙÅ ÔÏÞËÉ

÷ ÜÔÏÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ ÉÚÕÞÁÅÔÓÑ ×ÁÖÎÙÊ ÉÎÓÔÒÕÍÅÎÔ ÄÌÑ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× | ÍÅÔÏÄ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÈ ÔÏÞÅË. é ÈÏÔÑ ÆÏÒÍÁÌØÎÏ ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÚÄÅÓØ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ, ËÁÓÁÀÝÉÅÓÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ

152

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ, ÅÒÅËÒÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÍÉ ×ÏÓØÍÏÇÏ ÁÒÁÇÒÁÆÁ, ÉÚÕÞÅÎÉÅ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÈ ÔÏÞÅË ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÑÓÎÅÅ ÏÎÑÔØ ÓÉÔÕÁ ÉÀ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ ÜÔÏÔ ÍÅÔÏÄ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ËÕÂÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×. ëÏÒÎÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ P (x) = x ÍÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ P . ó×ÑÚØ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÈ ÔÏÞÅË Ó ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ ×ÉÄÎÁ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ.

 | ÎÅÏÄ×ÉÖÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ P , Q ËÏÍÍÕÔÉÒÕÅÔ Ó P . ÏÇÄÁ Q() | ÔÏÖÅ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ P . ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 10. ðÕÓÔØ

ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

= Q().

P (Q()) = P



Q() = Q ◦ P () = Q(P ()) =

þÉÓÌÏ x0 ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ P (x), ÅÓÌÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ

xn+1 = P (xn ) (n = 1; 2; : : : ); ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ. íÎÏÇÏÞÌÅÎ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÓËÏÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÅÇÏ ÞÉÓÌÏ. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 11. ðÕÓÔØ

ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÍ,

P (x) = x2 −

(3)

ÅÓÌÉ ÎÕÌØ | ÅÒÉÏÄÉÞÅ| ÎÅÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏ-

ÇÏÞÌÅÎ. îÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ Ó ÎÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ, ËÒÏÍÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ.

ðÕÓÔØ Q(x) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÊ Ó P (x). éÚ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 7 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ Q(x) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÞÅÔÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ, ÚÎÁÞÉÔ, ÅÇÏ Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ÞÌÅÎ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ, ÏÜÔÏÍÕ ÎÕÌØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÇÏ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÏÊ ÔÏÞËÏÊ. éÚ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 10 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÞÌÅÎ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (3) ÒÉ x0 = 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Q(x). üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Q(x) − x ÉÍÅÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÏ ËÏÒÎÅÊ, ÞÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ Q(x) ≡ x. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

óÌÅÄÕÀÝÅÅ ÒÏÓÔÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ×Ï ÍÎÏÇÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÎÅÅÒÉÏÄÉÞÎÏÓÔØ. ìÅÍÍÁ 3.

åÓÌÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔ ÓÔÒÏÇÏ ÍÏÎÏÔÏÎÎÕÀ

ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÓÁÍÁ ÍÏÎÏÔÏÎÎÁ), ÔÏ ÏÎÁ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ.

ëÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ

153

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÍÏÖÅÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÌÉÛØ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ, Á ÍÏÎÏÔÏÎÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ.

x2 − Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÍ × ËÁÓÌÕÞÁÅ× (× ÕÎËÔÁÈ Á) É ×) ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ÄÅÊ-

ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 12. íÎÏÇÏÞÌÅÎ ÖÄÏÍ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÔÒÅÈ

ÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ, Á × ÕÎËÔÅ Â) | ËÏÍÌÅËÓÎÙÍ):

< 0; Â) | | > 2, 6= 2; ×) 0 < < 1. Á)

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÏËÁÖÅÍ ÎÅÅÒÉÏÄÉÞÎÏÓÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ xn , ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ x0 = 0, xn+1 = x2n − . âÕÄÅÍ ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÒÉ ÜÔÏÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅÍ ÌÅÍÍÙ 3. a) ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ xn ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, x0 =

= 0 < − = x1 . åÓÌÉ 0 6 xk−1 < xk , ÔÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï xk < xk+1 ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ x2 − ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. Â) îÁÍ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÎÅÅÒÉÏÄÉÞÎÏÓÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ |xn |, ÏÓËÏÌØËÕ ÅÓÌÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÅÒÉÏÄÉÞÎÁ, ÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÍÏÄÕÌÅÊ ÅÅ ÞÌÅÎÏ× ÔÏÖÅ ÅÒÉÏÄÉÞÎÁ. äÏËÁÖÅÍ Ï ÉÎÄÕË ÉÉ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ |xn | ÓÔÒÏÇÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ. âÁÚÁ ÉÎÄÕË ÉÉ. ÷ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ > 2. éÍÅÅÍ | − 1| > | | − 1 > 1. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï × ÅÒ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ, ÅÓÌÉ | ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, Á ×Ï ×ÔÏÒÏÍ | ÅÓÌÉ | | = 2. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÓÔÒÏÇÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï | − 1| > 1. õÍÎÏÖÉ× ÅÇÏ ÎÁ | |, ÏÌÕÞÁÅÍ | 2 − | > | | ÉÌÉ |x2 | > |x1 |. ûÁÇ ÉÎÄÕË ÉÉ. éÚ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ ÉÎÄÕË ÉÉ (xk > xk −1 ) ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÌÉÛØ ÔÅÍ, ÞÔÏ |xk | > | |. ÏÇÄÁ |xk | − 1 > 1. ðÅÒÅÍÎÏÖÉ× Ä×Á ÏÓÌÅÄÎÉÈ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, ÏÌÕÞÁÅÍ |xk |2 − |xk | > | | ÉÌÉ |x2k | − | | > |xk |. ðÒÉÍÅÎÉ× ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÉÍÅÅÍ |x2k − | > |xk |, ÞÔÏ É ÏÚÎÁÞÁÅÔ |xk+1 | > |xk |. ×) ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ xn ÒÁÓÁÄÁÅÔÓÑ ÎÁ Ä×Å ÍÏÎÏÔÏÎÎÙÅ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ | ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÕÀ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ Ó ÎÅÞÅÔÎÙÍÉ ÎÏÍÅÒÁÍÉ É ÕÂÙ×ÁÀÝÕÀ Ó ÞÅÔÎÙÍÉ. îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á xn+2 < xn (ÒÉ ÞÅÔÎÏÍ n) É xn+2 > xn (ÒÉ ÎÅÞÅÔÎÏÍ n) ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï n ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ. âÁÚÁ ÉÎÄÕË ÉÉ (n = 0). îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï x2 = ( − 1) < 0 = x0 ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ 0 6 6 1. ûÁÇ ÉÎÄÕË ÉÉ. ðÏÓËÏÌØËÕ xn 6 0 ÄÌÑ ×ÓÅÈ n, Á ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ x2 − ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ÕÂÙ×ÁÅÔ, ÉÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

154

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

xk+2 > xk ÓÌÅÄÕÅÔ xk+3 < xk+1 , É ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ÉÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á xk+2 < xk ÓÌÅÄÕÅÔ xk+3 > xk+1 . ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 13. åÓÌÉ

| ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÅ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ

ÏÎÏ ÅÌÏÅ.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. åÓÌÉ ÞÉÓÌÏ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏ, ÔÏ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ×ÓÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ xn , ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ Ï ÆÏÒÍÕÌÁÍ (3) ÒÉ x0 = 0, ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. úÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ ËÁÖÄÏÇÏ ÞÌÅÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó x1 (ÅÓÌÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÅÇÏ × ×ÉÄÅ ÎÅÓÏËÒÁÔÉÍÏÊ ÄÒÏÂÉ), ÒÁ×ÅÎ Ë×ÁÄÒÁÔÕ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÑ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÞÌÅÎÁ. úÎÁÞÉÔ, ÅÓÌÉ ÎÅ ÅÌÏÅ, ÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅÊ ÓÔÒÏÇÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ, ÏÜÔÏÍÕ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ.

ðÅÒÉÏÄÉÞÎÏÓÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ x2 − Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ, ÎÏ ÎÅ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÍ, ÕÓÌÏ×ÉÅÍ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÑ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ Ó ÎÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ (ËÒÏÍÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ). ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 14. îÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ×ÙÛÅ ÅÒ×ÏÊ, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ Ó

x2 − 1.

ðÕÓÔØ Q(x) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ×ÙÛÅ ÅÒ×ÏÊ, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÊ Ó P (x) = x2 − 1. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

Q(x) = P (x)

(4)

É ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÅÇÏ ËÏÒÅÎØ . éÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

Q(P ()) = P (Q()) = P (P ()) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ P () | ÔÏÖÅ ÅÇÏ ËÏÒÅÎØ. úÎÁÞÉÔ,  | ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ P . ïÉÛÅÍ ×ÓÅ ÔÁËÉÅ ÞÉÓÌÁ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ '1;2 = √ 1± 5 | ËÏÒÎÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ x2 − x − 1 (ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅ= 2 ÎÁ P ). åÓÌÉ |x0 | > '1 , ÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (3) ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, xn+1 = P (xn ) > |xn |, ÔÁË ËÁË

P (xn ) − |xn | = x2n − |xn | − 1 = (|xn | − '1 )(|xn | − '2 ) > 0: ðÏÜÔÏÍÕ ÞÉÓÌÁ, ÂÏÌØÛÉÅ '1 , ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÍÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ P .

ëÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ

155

ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ |x0 | < '1 . åÓÌÉ x0 < 0, ÔÏ ÉÚÍÅÎÉÍ ÅÇÏ ÚÎÁË (ÒÉ ÜÔÏÍ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÞÌÅÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÅ ÉÚÍÅÎÑÔÓÑ), ÏÜÔÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ 0 < x0 < '1 . îÁÞÉÎÁÑ Ó ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÏÍÅÒÁ, ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ xn ÏÁÄÅÔ ×ÎÕÔÒØ ÏÔÒÅÚËÁ [−1; 0℄, ÏÓËÏÌØËÕ ÅÓÌÉ ÂÙ ×ÓÅ ÞÌÅÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÂÙÌÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙ, ÔÏ ÏÎÁ ÂÙÌÁ ÂÙ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ÕÂÙ×ÁÀÝÅÊ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, xn+1 = P (xn ) < xn , ÔÁË ËÁË '2 < xn < '1 , É ÏÜÔÏÍÕ

P (xn ) − xn = x2n − xn − 1 = (xn − '1 )(xn − '2 ) < 0: îÏ ÔÏÇÄÁ Ï ÔÅÏÒÅÍÅ âÏÌØ ÁÎÏ{÷ÅÊÅÒÛÔÒÁÓÓÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ xn ÉÍÅÌÁ ÂÙ ÒÅÄÅÌ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÊ ÏÌÕÉÎÔÅÒ×ÁÌÕ [0; '1 ). ïÄÎÁËÏ ÒÅÄÅÌÏÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ (3), ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÔÏÌØËÏ ËÏÒÅÎØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ P (x) = x, Á ÅÇÏ ÎÁ ÕËÁÚÁÎÎÏÍ ÏÌÕÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ ÎÅÔ. åÓÌÉ ÞÌÅÎ xk ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÌÅÖÁÝÉÊ × ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ [−1; 0℄ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÇÏ ËÏÎ ÏÍ ÉÌÉ ÎÅ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó '2 , ÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ xn ÎÅÅÒÉÏÄÉÞÎÁ, ÔÁË ËÁË ÅÅ ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ Ó ÞÅÔÎÙÍÉ É ÎÅÞÅÔÎÙÍÉ ÎÏÍÅÒÁÍÉ (ÎÁÞÉÎÁÑ Ó k-ÇÏ) ÍÏÎÏÔÏÎÎÙ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, xn+2 = P 2 (xn ). ÁË ËÁË P 2 (x) − x = (x + 1)(x − '2 )x(x − '1 );

ÔÏ P 2 (x) < x ÒÉ −1 < x < '2 É P 2 (x) > x ÒÉ −1 < x < '2 . ðÏÜÔÏÍÕ ÅÓÌÉ xn ∈ [−1; '2 ℄, ÔÏ xn+2 ∈ [−1; '2 ℄ É xn+2 < xn , Á ÅÓÌÉ xn ∈ ['2 ; 0℄, ÔÏ xn+2 ∈ ['2 ; 0℄ É xn+2 > xn . ðÏÜÔÏÍÕ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÍÉ ËÏÒÎÑÍÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (4) ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÔÏÌØËÏ ÔÅ ÞÉÓÌÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉ ÍÎÏÇÏËÒÁÔÎÏÍ ÒÉÍÅÎÅÎÉÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ P ÅÒÅÈÏÄÑÔ × '1 ÉÌÉ '2 (ÞÉÓÌÁ, ÅÒÅÈÏÄÑÝÉÅ × 0 ÉÌÉ −1, ÎÅ ÏÄÈÏÄÑÔ, ÔÁË ËÁË 0 ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ (4)). ðÕÓÔØ xn | ÅÒ×ÙÊ ÞÌÅÎ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÒÁ×ÎÙÊ 'i (i = 1 ÉÌÉ 2). ÏÇÄÁ xn−1 = −'i , ÔÁË ËÁË P (x) = ' ⇔ x = ±'. ïÄÎÁËÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á P ('i ) = Q('i ) É P (−'i ) = Q(−'i ) ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ÎÅ ÍÏÇÕÔ, ÏÓËÏÌØËÕ P | ÞÅÔÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, Q | ÎÅÞÅÔÎÙÊ, Á P ('i ) 6= 0. ðÏÜÔÏÍÕ '1 É '2 | ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ËÏÒÎÉ (4). ðÏ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 4 ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (4) ÉÍÅÅÔ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ, ÏÜÔÏÍÕ ËÏÒÎÉ '1 É '2 ÄÏÌÖÎÙ ÉÍÅÔØ ÏÄÉÎÁËÏ×ÕÀ ËÒÁÔÎÏÓÔØ. ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÄÏÌÖÎÏ ÉÍÅÔØ ÎÅÞÅÔÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ. ÷ ×ÏÓØÍÏÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ ÂÕÄÅÔ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÎÅÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ, | ÜÔÏ x2 É x2 − 2.

156

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

7. ëÕÂÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ

÷ ÜÔÏÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ ÍÙ ÅÒÅÞÉÓÌÉÍ ×ÓÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ Ó ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ×ÉÄÁ x3 + . (îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÓÏÒÑÖÅÎÉÅÍ ÌÀÂÏÊ ËÕÂÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÉÄÕ x3 + x + .)

P (x) = x3 + ( | ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ). ÷ÓÅ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ Ó P (x) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÓÕÔØ P n (x). ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 15. ðÕÓÔØ

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 7 ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÊ Ó P (x) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Q(x) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÔÏÌØËÏ ÒÉ ÓÔÅÅÎÑÈ x, ÄÁÀÝÉÈ ÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ ÎÁ 3 ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÏÓÔÁÔËÉ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, Q(x) ÉÍÅÅÔ ÏÄÉÎ ÉÚ ×ÉÄÏ× Q′ (x3 ), xQ′ (x3 ) ÉÌÉ x2 Q′ (x3 ). ðÕÓÔØ  | ÏÔÌÉÞÎÙÊ ÏÔ ÅÄÉÎÉ Ù (ËÏÍÌÅËÓÎÙÊ) ËÕÂÉÞÅÓËÉÊ ËÏÒÅÎØ ÉÚ ÅÄÉÎÉ Ù. ÏÇÄÁ P (x) = P (x) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ x. éÍÅÅÍ

P (Q(x)) = Q(P (x)) = Q(P (x)) = P (Q(x)); ÏÔËÕÄÁ Q(x)3 = Q(x)3 , ÚÎÁÞÉÔ, 0 = Q(x)3 − Q(x)3 = (Q(x) − Q(x))(Q(x) − Q(x))(Q(x) −  2 Q(x)): ÅÍ ÓÁÍÙÍ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÏÄÎÏ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×:

Q(x) = Q(x); Q(x) = Q(x); Q(x) =  2 Q(x):

(5) (6) (7)

ðÏÓËÏÌØËÕ ÏÄÎÏ ÉÚ ÜÔÉÈ ÒÁ×ÅÎÓÔ× ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÄÌÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ x, ÏÎÏ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÉ ×ÓÅÈ x. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ Q(x) × ×ÉÄÅ

Q(x) = Q0 (x3 ) + xQ1 (x3 ) + x2 Q2 (x3 ): ÏÇÄÁ

Q(x) = Q0 (x3 ) + xQ1 (x3 ) +  2 x2 Q2 (x3 ): åÓÌÉ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï Q(x) = Q(x), ÔÏ Q1 = Q2 ≡ 0, É ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Q(x) ÉÍÅÅÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÌÉÛØ ÒÉ ÓÔÅÅÎÑÈ, ÄÅÌÑÝÉÈÓÑ ÎÁ 3. åÓÌÉ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï Q(x) = Q(x), ÔÏ Q0 = Q2 ≡ 0, É ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Q(x) ÉÍÅÅÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÌÉÛØ ÒÉ ÓÔÅÅÎÑÈ, ÄÁÀÝÉÈ ÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ ÎÁ 3 ÏÓÔÁÔÏË 1. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï Q(x) = x2 Q(x) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ Q0 = Q1 ≡ 0 É ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Q(x) ÉÍÅÅÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÌÉÛØ ÒÉ ÓÔÅÅÎÑÈ, ÄÁÀÝÉÈ ÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ ÎÁ 3 ÏÓÔÁÔÏË 2.

ëÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ

157

äÁÌÅÅ ÔÁË ÖÅ, ËÁË É × ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÉ 8, ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Q ÓÔÅÅÎÉ 3n, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÊ Ó P , ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ Q′ ◦ P , ÇÄÅ Q′ | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ n, ÔÏÖÅ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÊ Ó P . úÁÄÁÞÁ Ó×ÅÌÁÓØ Ë ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÀ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ ÎÅ ËÒÁÔÎÏÊ ÔÒÅÍ, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ Ó P . îÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÔÁËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ (ÒÏ×ÅÒËÁ ÚÄÅÓØ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÁ, ÏÓËÏÌØËÕ ÔÅÏÒÅÍÁ 3 ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ ÌÉÛØ, ÞÔÏ ÔÁËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÅ ÂÏÌØÛÅ Ä×ÕÈ), ÚÎÁÞÉÔ, P n (x) | ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ 3n . éÚ ÜÔÏÇÏ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÍÙ ÎÁÊÄÅÍ ×ÓÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÓÔÅÅÎÉ n, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ Ó P , ÔÏ ÍÙ ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÎÁÊÄÅÍ ×ÓÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÓÔÅÅÎÅÊ 3k n, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ Ó P . ïÓÔÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ P ÎÅ ÉÍÅÅÔ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ ×ÙÛÅ ÅÒ×ÏÊ É ÎÅ ËÒÁÔÎÏÊ ÔÒÅÍ. ðÕÓÔØ Q | ÔÁËÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ. ÏÇÄÁ ÅÇÏ Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ÞÌÅÎ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ (ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÇÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÔÏÌØËÏ ÒÉ ÓÔÅÅÎÑÈ, ÄÁÀÝÉÈ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÏÓÔÁÔËÉ ÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ ÎÁ 3, Á ÓÔÁÒÛÁÑ ÓÔÅÅÎØ ÎÁ 3 ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ), ÏÜÔÏÍÕ ÎÕÌØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Q(x) = x. éÚ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 10 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ P ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÍ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÉÚ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ P ÓÌÅÄÕÅÔ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ xn, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ (3) ÒÉ x0 = 0 (ÏÎÁ ÕÂÙ×ÁÀÝÁÑ ÒÉ < 0 É ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÁÑ ÒÉ > 0). éÚ ÌÅÍÍÙ 3 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÅÅÒÉÏÄÉÞÎÁ, Á ÚÎÁÞÉÔ, ÎÅÅÒÉÏÄÉÞÅÎ É ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ P . ðÏÌÕÞÁÅÍ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 16. ÷ÓÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ Ó

±xn (n = 1; 2; : : : ).

x3 ,

| ÜÔÏ

ìÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÜÔÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ Ó x . üÔÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÉÍÅÅÔÓÑ Ï Ä×Á ËÁÖÄÏÊ ÓÔÅÅÎÉ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 3, ÄÒÕÇÉÈ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ Ó x3 ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÅÔ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. 3

8. ëÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ Ó Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ

ìÅÍÍÁ 4. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ (Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÕÍÎÏÖÅ-

−1) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F ÄÁÎÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ (x + 1)F (x)2 − 1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÞÅÔÎÙÍ. ÎÉÑ ÎÁ

n

ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ

ðÕÓÔØ F (x) = axn + bxn−1 + : : : (a 6= 0) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ n > 1, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÊ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÌÅÍÍÙ. ÏÇÄÁ äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

(x + 1)F (x)2 − 1 = a2 x2n+1 + (2ab + a2 )xn + : : :

158

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÅÍ ÎÕÌÀ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ 2n-Ê ÓÔÅÅÎÉ, ÏÌÕÞÁÅÍ a = −2b, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, b 6= 0. òÁÚÌÏÖÉÍ F × ÓÕÍÍÕ ÞÅÔÎÏÊ É ÎÅÞÅÔÎÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔ:

F (x) = U (x2 ) + xV (x2 ); ÔÏÇÄÁ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÌÅÍÍÙ ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ

U (t)2 + 2tU (t)V (t) + tV (t)2 = 1

(8)

(ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÉÌÉ t = x2 ). ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÓÔÁÒÛÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ U (t) ÞÅÒÅÚ u0 , Á ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ V (t) | ÞÅÒÅÚ v0 . ÏÇÄÁ ÅÓÌÉ n ÞÅÔÎÏ, ÔÏ u0 = a, v0 = b, ÚÎÁÞÉÔ, u0 = −2v0 É deg U = deg V + 1 = n=2; Á ÅÓÌÉ n ÎÅÞÅÔÎÏ, ÔÏ u0 = b, v0 = a, ÚÎÁÞÉÔ, v0 = −2u0 É deg U = deg V = (n − 1)=2. îÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ (U; V ) | ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (8), ÔÏ (U + 2tV; −2U + (1 − 4t)V ) É ((1 − 4t)U − 2tV; 2U + V ) | ÔÏÖÅ ÒÅÛÅÎÉÑ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÉÍÅÅÍ Ä×Á ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ + É − ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÓÅÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×. üÔÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÅÒÅ×ÏÄÑÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÌÅÍÍÙ, × ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, ÔÁËÖÅ ÅÍÕ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÂÕÄÅÍ ÉÈ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÔÏÌØËÏ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÔÁËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×. åÓÌÉ ÓÔÅÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÞÅÔÎÁ (É ÎÅ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ), ÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ + ÏÎÉÖÁÅÔ ÅÅ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÊ u0 = −2v0 É deg U = deg V + 1 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ deg(U + 2tV ) < deg U É deg(−2U + (1 − 4t)V ) 6 deg V . áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ − ÏÎÉÖÁÅÔ ÓÔÅÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ, ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÎÅÞÅÔÎÁ. îÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÜÔÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ (ÒÉ n > 2) ÏÎÉÖÁÀÔ ÓÔÅÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÎÁ 2. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÌÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÏÉÓÁÎÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ + É − Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÂÒÁÔÎÙÍÉ. ðÕÓÔØ F | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ (ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ ÔÏÌØËÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÌÅÍÍÙ). ÏÇÄÁ − (F ) | ÔÏÖÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ. ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ deg F = deg + (− (F )) < deg + (F ) < deg F: ðÏÜÔÏÍÕ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ − ÏÎÉÖÁÅÔ ÓÔÅÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÎÁ 2. âÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÎÁ 2 ÓÔÅÅÎØ ÏÎÉÚÉÔÓÑ ÎÅ ÍÏÖÅÔ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ + ÎÅ ÍÏÖÅÔ Ï×ÙÓÉÔØ ÓÔÅÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÂÏÌÅÅ, ÞÅÍ ÎÁ 2 (ÜÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ Ñ×ÎÏÇÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÄÌÑ + ). áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÓÌÕÞÁÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F ÞÅÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÉÍÅÎÑÑ ÍÎÏÇÏËÒÁÔÎÏ Ë ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÕ F , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÌÅÍÍÙ, ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ + ÉÌÉ − (× ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ

ëÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ

159

ÞÅÔÎÏÓÔÉ ÅÇÏ ÓÔÅÅÎÉ), ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÊ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÌÅÍÍÙ, ÅÒ×ÏÊ ÉÌÉ ÎÕÌÅ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ. úÎÁÞÉÔ, ÌÀÂÏÊ ÔÁËÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎ ÉÚ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÅÒ×ÏÊ ÉÌÉ ÎÕÌÅ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÍÎÏÇÏËÒÁÔÎÙÍ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅÍ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. îÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÉÓËÏÍÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÎÕÌÅ×ÏÊ É ÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ | ÜÔÏ ÔÏÌØËÏ ±1 É ±(2t − 1). úÎÁÞÉÔ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÔÁËÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ −1. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 17. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ (ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ) ÞÉÓÌÁ

6= 0 ÉÌÉ 2 ÎÅ

ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ×ÙÛÅ ÅÒ×ÏÊ, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÅÇÏ Ó

P (x) = x2 − .

ðÕÓÔØ Q(x) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ 2n + 1 (n > 1), ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÊ Ó P (x). éÚ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 7 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

Q(x) = xQ′ (x2 ); ÇÄÅ Q′ (x) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ n ÓÏ ÓÔÁÒÛÉÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ 1. õÓÌÏ×ÉÅ ËÏÍÍÕÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÚÁÉÛÅÍ × ×ÉÄÅ

x2 Q′ (x2 )2 = P (x)Q′ (P (x)2 ) + : ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ = 6 0, É ××ÅÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ y = = (y + 1). éÍÅÅÍ

P (x) , ÔÏÇÄÁ x2 =

(y + 1)Q′ ( y + )2 = yQ′ (( y)2 ) + 1: ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÄÁÌÅÅ F (y) = Q′ ( y + ) É G(y) = Q′ ( y). óÔÅÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F ÒÁ×ÎÁ n, Á ÓÔÁÒÛÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÁ×ÅÎ n . ðÏÌÕÞÁÅÍ (y + 1)F (y)2 = yG(y2 ) + 1:

(9)

÷ÏÚØÍÅÍ × ËÁÞÅÓÔ×Å Q(x) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Pn (x), ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÊ Ó x2 − 2, ÉÚ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 9. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÔÁÒÛÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F ÒÁ×ÅÎ 2n . ðÏÓËÏÌØËÕ × ÓÉÌÕ (9) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÌÅÍÍÙ 4, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÄÒÕÇÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Q(x) ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÔÏÔ ÖÅ ÓÁÍÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F , ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ, ÕÍÎÏÖÅÎÎÙÊ ÎÁ −1. üÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ n = ±2n . úÎÁÞÉÔ, | | = 2. ïÄÎÁËÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅÍ 12 Â) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ x2 − Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÍ, ÚÎÁÞÉÔ, ÎÅ ÉÍÅÅÔ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ×ÙÛÅ ÅÒ×ÏÊ. ïÂßÅÄÉÎÑÑ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ 2, ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 2, ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 9 É ÅÇÏ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ É ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÊ 8 É 17, ÏÌÕÞÁÅÍ ÏÓÎÏ×ÎÕÀ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÏÎÎÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ.

160

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

P (x) = x2 − . ÏÇÄÁ ×ÓÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ Ó P (x), ÓÕÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ×ÉÄÁ (n | ÅÌÏÅ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ): . xn , ÅÓÌÉ = 0; . Pn (x), ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ × ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÉ 9, ÅÓÌÉ = 2; . P n (x) × ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ. ó ÕÞÅÔÏÍ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 1 É ÌÅÍÍÙ 1, ÜÔÁ ÔÅÏÒÅÍÁ ÏÌÎÏÓÔØÀ ËÌÁÓÓÉÆÉ ÉÒÕÅÔ ×ÓÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ Ó ÄÁÎÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ. ÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ

9. ëÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ

ëÁË ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ, ÓÌÕÞÁÉ ËÏÍÍÕÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÞÅÎØ ÒÅÄËÉ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÏÄÉÎ ÓÏÓÏ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÒÉÍÅÒÏ× ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ËÒÉ×ÕÀ G, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÕÀ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ y2 = x3 + px + q. çÒÁÆÉË ÜÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÑ p = 1, q = 0 ÉÚÏÂÒÁÖÅÎ ÎÁ ÒÉÓ. 1. 6

"

C"′ "

" " " " " " B"" " " " " " "A

-

C òÉÓ. 1.

îÁ ËÒÉ×ÏÊ G ××ÅÄÅÍ ÏÅÒÁ ÉÀ €ÓÌÏÖÅÎÉÑ ÔÏÞÅˁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÕÓÔØ Ä×Å (ÎÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉ ÁÂÓ ÉÓÓ) ÔÏÞËÉ A É B ÌÅÖÁÔ ÎÁ ËÒÉ×ÏÊ G. ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÞÅÒÅÚ ÎÉÈ ÓÅËÕÝÕÀ (ÉÌÉ ËÁÓÁÔÅÌØÎÕÀ × ÓÌÕÞÁÅ ÓÏ×ÁÄÅÎÉÑ ÔÏÞÅË A É B ). ïÎÁ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ËÒÉ×ÕÀ G × ÔÏÞËÁÈ A, B É × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÔÒÅÔØÅÊ ÔÏÞËÅ C ′ . äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÜÔÏÊ (ÎÅ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÊ) ËÒÉ×ÏÊ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ×ÉÄ y = kx + b. ÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÒÑÍÏÊ Ó ËÒÉ×ÏÊ G ÓÕÔØ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ  2 y = x3 + px + q; y = kx + b:

ëÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ

161

ðÏÄÓÔÁ×É× × ÅÒ×ÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ×ÍÅÓÔÏ y ÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÉÚ ×ÔÏÒÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÏÌÕÞÁÅÍ ËÕÂÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ x. ä×Á (ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ, ÓÏ×ÁÄÁÀÝÉÈ) ÅÇÏ ËÏÒÎÑ | ÜÔÏ ÁÂÓ ÉÓÓÙ ÔÏÞÅË A É B . ÒÅÔÉÊ ËÏÒÅÎØ ÂÕÄÅÔ ÁÂÓ ÉÓÓÏÊ ÉÓËÏÍÏÊ ÔÏÞËÉ C ′ . ïÒÄÉÎÁÔÁ ÔÏÞËÉ C ′ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÉÚ ×ÔÏÒÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ. óÕÍÍÏÊ ÔÏÞÅË A É B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÏÞËÁ C , ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ ÔÏÞËÅ C ′ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉ ÁÂÓ ÉÓÓ. åÓÌÉ ÔÏÞËÉ A É B ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉ ÁÂÓ ÉÓÓ, ÔÏ ÉÈ ÓÕÍÍÏÊ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÎÁÑ Ë ËÒÉ×ÏÊ G ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÁÑ ÔÏÞËÁ. óÕÍÍÏÊ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ A É ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ÓÁÍÁ ÔÏÞËÁ A. ìÅÍÍÁ 5. ÷×ÅÄÅÎÎÁÑ ÏÅÒÁ ÉÑ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ÔÏÞÅË ÎÁ ËÒÉ×ÏÊ

G Ñ×ÌÑÅÔ-

ÓÑ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÊ.

íÙ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ÒÉ×ÏÄÉÔØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÜÔÏÊ ÌÅÍÍÙ, ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ×Ï ÍÎÏÇÉÈ ËÎÉÇÁÈ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ [6, 7℄. ëÁË ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÌÅÍÍÙ 5 ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ A ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÔÏÞËÁ nA = |A + A + {z· · · + A}. n ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÆÕÎË ÉÊ Fn ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ Fn (xA ) = = xnA (ÞÅÒÅÚ xA É xnA ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÙ ÁÂÓ ÉÓÓÙ ÔÏÞÅË A É nA ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ). ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 18. æÕÎË ÉÉ ÍÉ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ ÆÕÎË ÉÑÍÉ.

Fn

Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÁÒÎÏ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉ-

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ëÏÍÍÕÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎË ÉÊ Fi ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏÓÔÏ. ðÕÓÔØ x = xA ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÞËÉ A ∈ G. ÏÇÄÁ

Fm ◦ Fn (x) = Fm (xnA ) = xmnA = Fn (xmA ) = Fn ◦ Fm (x): òÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÓÔØ ÂÕÄÅÍ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï n. ïÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÂÕÄÅÍ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ, ÞÔÏ Ë×ÁÄÒÁÔ ÕÇÌÏ×ÏÇÏ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁ kn ÒÑÍÏÊ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ xA É xnA , Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ ÏÔ xA . âÁÚÁ ÉÎÄÕË ÉÉ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ F1 = id | ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, Á dy k1 (x) | ÜÔÏ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÆÕÎË ÉÉ, ÚÁÄÁÀÝÅÊ ËÒÉ×ÕÀ G. ðÏÜÔÏÍÕ dx

k1 (x) =

(x3 + px + q)′ 3x2 + p = ; (y2 )′ 2y

k12 (x) =

(3x2 + p)2 : 4(x3 + px + q)

162

÷. ï. âÕÇÁÅÎËÏ

ðÕÓÔØ Fn (x) É kn2 (x) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ ÆÕÎË ÉÑÍÉ ÏÔ x. ÏÞËÉ A, nA É −(n + 1)A ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÒÑÍÏÊ y = kn (xA )x + b, ÚÎÁÞÉÔ, ÉÈ ÁÂÓ ÉÓÓÙ xA , xnA = Fn (xA ) É x−(n+1)A = x(n+1)A = Fn+1 (xA ) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÒÎÑÍÉ ËÕÂÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (kn (xA )x + b)2 = x3 + px + q. ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ ÷ÉÅÔÁ xA + Fn (xA )+ Fn+1 (xA ) = kn (xA )2 . ðÏÜÔÏÍÕ Fn+1 (x)= = kn (x)2 − Fn (x) − x. ÁË ËÁË ÆÕÎË ÉÉ Fn (x) É kn (x)2 ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙ Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ, ÔÏ Fn+1 (x) | ÔÏÖÅ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÔÏÞËÉ A, nA É −(n +1)A ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ Ó ÕÇÌÏ×ÙÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ kn (xA ), ûÁÇ ÉÎÄÕË ÉÉ.

yA − ynA = kn (xA )(xA − xnA ); yA + y(n+1)A = kn (xA )(xA − x(n+1)A ): ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÔÏÞËÉ A É (n + 1)A ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÒÑÍÏÊ Ó ÕÇÌÏ×ÙÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ kn+1 (xA ), ÏÜÔÏÍÕ

yA − y(n+1)A = kn+1 (xA )(xA − x(n+1)A ): ðÅÒÅÍÎÏÖÉ× Ä×Á ÏÓÌÅÄÎÉÈ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, ÏÌÕÞÁÅÍ

yA2 − y(2n+1)A = kn (xA )kn+1 (xA )(xA − x(n+1)A )2 ; ÏÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ

yA2 − y(2n+1)A = (xA − x(n+1)A )2 kn (xA ) (x3A + pxA + q) − (x3(n+1)A + px(n+1)A + q) = = (xA − x(n+1)A )2 kn (xA ) (x2A + xA x(n+1)A + x2(n+1)A + p) : = (xA − x(n+1)A )kn (xA )

kn+1 (xA ) =

úÎÁÞÉÔ,

x2 + xFn+1 (x) + Fn+1 (x)2 + p : (x − Fn+1 (x))kn (x) ÷ÏÚ×ÅÄÑ ÏÓÌÅÄÎÀÀ ÆÏÒÍÕÌÕ × Ë×ÁÄÒÁÔ, ÉÚ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÊ kn (x)2 (Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ) É Fn+1 (x) (ÄÏËÁÚÁÎÎÏÊ ×ÙÛÅ) ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÓÔØ kn+1 (x)2 . kn+1 (x) =

÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ ÒÅÄÌÁÇÁÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÎÁÊÔÉ Ñ×ÎÙÊ ×ÉÄ ÆÕÎË ÉÊ Fn (x) ÄÌÑ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n.

ëÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ

163

óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

[1℄ [2℄ [3℄ [4℄ [5℄ [6℄ [7℄

Ritt J. Prime and Composite Polynomials // Trans. AMS. V. 23. 1922. P. 51{66. Dorey F., Whaples G. Prime and Composite Polynomials // J. Algebra. V. 28. 1972. P. 88{101. Engstrom H. T. Polynomial substitutions // Amer. J. Math. V. 63. 1941. P. 249{255. Levi H. Composite Polynomials with oeÆtients in an arbitrary eld of

hara teristi zero // Amer. J. Math. V. 64. 1942. P. 389{400. ñÎÔÁÒÏ× é. ëÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ // ë×ÁÎÔ. ‚4. 1979. ó. 19{ 23. ðÒÁÓÏÌÏ× ÷. ÷., óÏÌÏ×ØÅ× à. ð. üÌÌÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË ÉÉ. óÅ ÉÁÌØÎÙÊ ËÕÒÓ. í.: íë îíõ. 1993. òÉÄ í. áÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÄÌÑ ×ÓÅÈ. í.: íÉÒ. 1991.

ëÏÎËÕÒÓÙ É ÏÌÉÍÉÁÄÙ

ÕÒÎÉÒ ÇÏÒÏÄÏ× É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ

î. î. ëÏÎÓÔÁÎÔÉÎÏ×

1. þÅÍ ÈÏÒÏÛÏ É ÞÅÍ ÌÏÈÏ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÅ

îÁÕËÁ | ÜÔÏ ÁÒÅÎÁ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ×ÉÄÏ× ÂÏÒØÂÙ. üÔÏ | É ÂÏÒØÂÁ ÞÅÌÏ×ÅÞÅÓÔ×Á Ó ÎÅÚÎÁÎÉÅÍ, É ÂÏÒØÂÁ ÕÞÅÎÙÈ ÓÏ Ó×ÏÉÍÉ ÚÁÂÌÕÖÄÅÎÉÑÍÉ, É ÓÔÒÅÍÌÅÎÉÅ ÒÉÎÅÓÔÉ ÏÌØÚÕ ÌÀÄÑÍ, É ÏÉÓË ËÒÁÓÏÔÙ ÍÉÒÁ, É ÓÔÒÅÍÌÅÎÉÅ Ë ÓÌÁ×Å, É ÄÅÌÁÎÉÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÊ ËÁÒØÅÒÙ, É ÚÁÒÁÂÏÔÏË. þÔÏÂÙ ÎÁÕËÁ ÖÉÌÁ ÏÌÎÏ ÅÎÎÏ, ÎÕÖÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÅÅ ÏÄÄÅÒÖÉ×ÁÌÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÓÔÉÍÕÌÙ | ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÅ É ×ÎÅÛÎÉÅ. ëÁÖÄÏÇÏ ÕÞÅÎÏÇÏ ËÁËÏÊ-ÔÏ ÓÔÉÍÕÌ ÏÄÔÏÌËÎÕÌ × ÀÎÏÓÔÉ × ÓÔÏÒÏÎÕ ÎÁÕËÉ. é ÅÓÌÉ ÜÔÏÔ ÓÔÉÍÕÌ | ÁÎÔÉÎÁÕÞÎÙÊ É ÎÉÚÍÅÎÎÙÊ, ÂÏÌØÛÏÊ ÂÅÄÙ × ÜÔÏÍ ÎÅÔ. ÷ÁÖÎÏ ÔÏÌØËÏ, ÞÔÏÂÙ Ó×ÏÅ×ÒÅÍÅÎÎÏ ×ÏÚÎÉËÌÉ ÄÒÕÇÉÅ ÓÔÉÍÕÌÙ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ×ÙÓÛÅÍÕ ÎÁÚÎÁÞÅÎÉÀ ÎÁÕËÉ. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÌÉÍÉÁÄÙ ÉÓÏÌØÚÕÀÔ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÓÔÉÍÕÌÁ ÄÕÈ ÓÏÅÒÎÉÞÅÓÔ×Á | × ÜÔÏÍ ÓÉÌÁ É ÓÌÁÂÏÓÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÌÉÍÉÁÄ. óÉÌÁ ÏÔÏÍÕ, ÞÔÏ × ÄÅÔÓËÏÍ ×ÏÚÒÁÓÔÅ ÒÉÚÙ× ÏÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÔØÓÑ ÎÁÈÏÄÉÔ ÏÔËÌÉË × ÄÕÛÅ ÏÞÔÉ ËÁÖÄÏÇÏ ÞÅÌÏ×ÅËÁ. ðÏÞÔÉ ×Ï ×ÓÅÈ ÄÅÔÓËÉÈ ÉÇÒÁÈ ÅÓÔØ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÅ. üÔÉÍ É ÏÂßÑÓÎÑÅÔÓÑ ÏÇÒÏÍÎÙÊ ÕÓÅÈ ÏÌÉÍÉÁÄ. ïÎÉ ÎÁÓÔÏÌØËÏ ÏÎÒÁ×ÉÌÉÓØ, ÞÔÏ ÚÁ ÓÔÏ ÌÅÔ ÉÈ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÓÔÉÌØ ÉÈ ÒÏ×ÅÄÅÎÉÑ ÏÞÔÉ ÎÅ ÉÚÍÅÎÉÌÓÑ. ûËÏÌØÎÉËÉ, ËÏÔÏÒÙÅ Õ×ÌÅËÌÉÓØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ É ÕÖÅ ×ÔÑÎÕÌÉÓØ × ÏÌÉÍÉÁÄÙ, ÓÔÁÒÁÀÔÓÑ ÏÌÕÞÉÔØ ÎÁ ÎÉÈ ×ÓÅ ÂÏÌÅÅ ×ÙÓÏËÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ. äÕÈ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÑ ÏÄÔÁÌËÉ×ÁÅÔ ÉÈ Ë ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÍÕ ÎÁÒÑÖÅÎÉÀ ×ÓÅÈ ÓÉÌ ÒÉ ÏÄÇÏÔÏ×ËÅ Ë ÏÌÉÍÉÁÄÅ É ÎÁ ÓÁÍÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÅ. ÷ ÏÄÎÏÍ ÉÚ Ó×ÏÉÈ ÉÎÔÅÒ×ØÀ ç. ëÁÓÁÒÏ× ÓËÁÚÁÌ, ÞÔÏ ÛÁÈÍÁÔÁÍ ÏÎ ÏÂÑÚÁÎ ×ÓÅÍ, ÞÔÏ × ÎÅÍ ÅÓÔØ

ÕÒÎÉÒ ÇÏÒÏÄÏ× É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ

165

ÈÏÒÏÛÅÇÏ. é ÎÁ ÄÒÕÇÉÈ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÑÈ, ÓËÁÖÅÍ, ÎÁ ïÌÉÍÉÊÓËÉÈ ÉÇÒÁÈ, ÒÉÞÉÎÏÊ ÏÇÒÏÍÎÏÇÏ ÉÎÔÅÒÅÓÁ ÚÒÉÔÅÌÅÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÓÔÒÅÞÁ Ó ÌÀÄØÍÉ × ÍÏÍÅÎÔ ×ÙÓÛÅÇÏ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ ÉÈ ÍÏÂÉÌÉÚÏ×ÁÎÎÏÓÔÉ. õÍÅÎÉÅ ÄÏÓÔÉÇÁÔØ ÔÁËÏÇÏ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ ÏÞÅÎØ ×ÁÖÎÏ É ÄÌÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ. ÷ ÔÏ ÖÅ ×ÒÅÍÑ ×ÒÅÄ ÄÕÈÁ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÑ ÏÞÅ×ÉÄÅÎ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÎÁÕËÁ | ÏÒÉÝÅ ÎÁÓÔÏÌØËÏ ÛÉÒÏËÏÅ, ÞÔÏ ÌÀÄÑÍ ÎÁ ÎÅÍ ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÔÅÓÎÏ. äÕÈ ÖÅ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÑ ÓÔÁÌËÉ×ÁÅÔ ÔÏÌÙ ÌÀÄÅÊ ÎÁ ÏÄÎÕ ÕÚËÕÀ ÔÒÏÉÎËÕ. þÅÌÏ×ÅË × ÎÁÕËÅ ÅÎÅÎ Ó×ÏÅÊ ÕÎÉËÁÌØÎÏÓÔØÀ, ÍÅÖÄÕ ÔÅÍ ÄÕÈ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÑ ÔÏÌËÁÅÔ ÌÀÄÅÊ ÏÄÞÉÎÑÔØÓÑ ËÒÉÔÅÒÉÑÍ ÒÏÛÌÏÊ ÜÏÈÉ É ÇÎÁÔØÓÑ ÚÁ ÞÕÖÏÊ ÓÌÁ×ÏÊ, ÓÔÁÒÁÑÓØ ÅÅ Ï×ÔÏÒÉÔØ ×ÍÅÓÔÏ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ Ó×ÏÅ ÕÎÉËÁÌØÎÏÅ ÍÅÓÔÏ. ûËÏÌØÎÉË, Õ×ÌÅËÛÉÊÓÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁÍÉ, ÔÒÁÔÉÔ ÎÁ ÎÉÈ ×ÓÅ ÇÏÄÙ Ó×ÏÅÊ ÕÞÅÂÙ × ÓÔÁÒÛÉÈ ËÌÁÓÓÁÈ. äÁÖÅ ÅÓÌÉ ÏÎ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ ÎÁ ÎÉÈ ÒÅËÒÁÓÎÙÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ×, ÉÈ ÅÎÁ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÌÉÛËÏÍ ×ÙÓÏËÏÊ, ÔÁË ËÁË ÎÁ ÜÔÏ ÕÈÏÄÉÔ ÚÁÍÅÔÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÅÇÏ Ô×ÏÒÞÅÓËÏÊ ÖÉÚÎÉ. ïÒÇÁÎÉÚÁ ÉÑ ÏÌÉÍÉÁÄ, ×ËÌÀÞÁÑ ÎÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ É ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÅ ÏÌÉÍÉÁÄÙ, ÏÄÞÉÎÅÎÁ ÄÕÈÕ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÑ, É, ËÒÏÍÅ ×ÒÅÄÁ ÏÔ ÓÁÍÏÇÏ ÄÕÈÁ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÑ, ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÒÅÄ ÏÔ ÜÔÏÊ ÏÄÞÉÎÅÎÎÏÓÔÉ. óÒÅÄÉ ÄÅÓÑÔËÏ× ÔÙÓÑÞ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÜÔÉÈ ÏÌÉÍÉÁÄ ÏÞÔÉ ×ÓÅ (ËÒÏÍÅ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÄÅÓÑÔËÏ× ÕÞÁÝÉÈÓÑ, ÏÁ×ÛÉÈ ÎÁ ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÕÀ ÏÌÉÍÉÁÄÕ) ÎÁ ËÁËÏÍ-ÔÏ ÜÔÁÅ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÏ×ÁÌÉ×ÛÉÍÉÓÑ. üÔÏ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ × ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÉ Ó ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ ÏÌÉÍÉÁÄ | ÁËÔÉ×ÉÚÁ ÉÉ ÔÑÇÉ ÓÏÓÏÂÎÏÊ ÍÏÌÏÄÅÖÉ Ë ÎÁÕËÅ. íÎÏÇÏÓÔÕÅÎÞÁÔÏÓÔØ ÏÌÉÍÉÁÄ É ÉÈ ×ÙÓÏËÁÑ ÒÅÓÔÉÖÎÏÓÔØ ÒÉ×ÅÌÉ Ë ×ÏÚÎÉËÎÏ×ÅÎÉÀ ÏÓÏÂÏÊ ÒÏÆÅÓÓÉÉ ÏÌÉÍÉÁÄÞÉËÁ | ÒÏÆÅÓÓÏÒÁ Ï ÒÅÛÅÎÉÀ ÏÓÏÂÏÇÏ ÔÉÁ ÚÁÄÁÞ. óÁÍ ÜÔÏÔ ÔÉ ÚÁÄÁÞ ×ÏÚÎÉË ËÁË ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÚÁËÏÎÓÅÒ×ÉÒÏ×ÁÎÎÏÓÔÉ ÓÔÉÌÑ ÏÌÉÍÉÁÄ. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÏÌÉÍÉÁÄÞÉËÉ, × ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ ÒÏ×ÉÎ ÉÁÌÙ, Ó ÔÒÕÄÏÍ ÅÒÅËÌÀÞÁÀÔÓÑ ÎÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ, ÉÍÅÀÝÕÀ ÎÁÕÞÎÕÀ ÅÎÎÏÓÔØ. ïÌÉÍÉÁÄÙ ÏÒÏÄÉÌÉ Ä×Å ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÅ ÔÒÁÄÉ ÉÉ × ÏÄÂÏÒÅ ÚÁÄÁÞ: ÎÁÕÞÎÕÀ É ÁÎÔÉÎÁÕÞÎÕÀ. ÷ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÎÁÕÞÎÏÊ ÔÒÁÄÉ ÉÅÊ ÄÌÑ ÏÌÉÍÉÁÄ ÓÏÞÉÎÑÀÔÓÑ É ÏÄÂÉÒÁÀÔÓÑ ËÒÁÓÉ×ÙÅ É ÚÁÎÉÍÁÔÅÌØÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ × ËÏÎ ÅÎÔÒÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ×ÉÄÅ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÑÒËÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÆÁËÔÙ É ÉÄÅÉ. ÁËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁÄÏÌÇÏ ÚÁÏÍÉÎÁÀÔÓÑ. ïÎÉ ÄÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÒÁÄÏÓÔØ É ÛËÏÌØÎÉËÁÍ, É ÕÞÉÔÅÌÑÍ, É ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÙÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍ, É ÌÀÂÉÔÅÌÑÍ ÒÁÚÎÙÈ ËÒÁÓÉ×ÙÈ ×ÅÝÅÊ, ÔÁËÉÈ ËÁË ÛÁÈÍÁÔÎÙÅ ÜÔÀÄÙ ÉÌÉ ÇÏÌÏ×ÏÌÏÍËÉ. èÏÒÏÛÉÅ ÏÌÉÍÉÁÄÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ ÉÍÅÀÔ É ÞÉÓÔÏ ÎÁÕÞÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ | ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÉÎÏÇÄÁ ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÀÔ ÎÏ×ÙÅ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÅ ÆÁËÔÙ É Ó×ÑÚÉ × ÆÏÒÍÅ ÔÁËÉÈ ÚÁÄÁÞ. éÎÏÇÄÁ ÜÔÉ ÚÁÄÁÞÉ ÏÍÏÇÁÀÔ Ï-ÎÏ×ÏÍÕ ÏÓÍÏÔÒÅÔØ ÎÁ ÄÁ×ÎÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ×ÅÝÉ.

166

î. î. ëÏÎÓÔÁÎÔÉÎÏ×

áÎÔÉÎÁÕÞÎÁÑ ÔÒÁÄÉ ÉÑ ÏÒÏÄÉÌÁ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ-ÕÒÏÄÙ, ÒÅÔÅÎÄÕÀÝÉÅ ÎÁ ÏÒÉÇÉÎÁÌØÎÏÓÔØ, ÎÏ ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÁÚÏÊÌÉ×Ï Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÅ ÏÄÎÉ É ÔÅ ÖÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÆÏËÕÓÙ. ëÏÍÁÎÄÕ ÛËÏÌØÎÉËÏ× ÍÏÖÎÏ ÓÅ ÉÁÌØÎÏ ÎÁÔÒÅÎÉÒÏ×ÁÔØ ÎÁ ÚÁÄÁÞÉ ÜÔÏÇÏ ÒÏÄÁ É ÄÏÂÉÔØÓÑ ÜÆÆÅËÔÎÙÈ ×ÎÅÛÎÉÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ×, ÎÏ ÔÁËÁÑ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÎÉËÁËÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ Ë ÒÏÁÇÁÎÄÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ÷ÓÅ ÜÔÉ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÒÉ×ÅÌÉ ÏÒÇÁÎÉÚÁÔÏÒÏ× ÕÒÎÉÒÁ ÇÏÒÏÄÏ× Ë ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ËÏÍÒÏÍÉÓÓÁÍ. ÷ ÒÁ×ÉÌÁÈ ÔÕÒÎÉÒÁ ÒÉÎÑÔÏ Ï ÅÎÉ×ÁÔØ ÒÁÂÏÔÙ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÔÏÌØËÏ Ï ÔÒÅÍ ÌÕÞÛÉÍ ÉÚ ÎÁÉÓÁÎÎÙÈ ÉÍÉ ÚÁÄÁÞ (ÏÂÝÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÚÁÄÁÞ | 4{5 × ÔÒÅÎÉÒÏ×ÏÞÎÏÍ ×ÁÒÉÁÎÔÅ É 6{7 × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ); ÒÉ ÜÔÏÍ ÛËÏÌØÎÉËÁÍ ÚÁÒÁÎÅÅ ÓÏÏÂÝÁÅÔÓÑ Ï ÅÎËÁ ÚÁÄÁÞÉ × ÂÁÌÌÁÈ (ÈÏÔÑ ÁÒÉÏÒÎÙÅ Ï ÅÎËÉ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÕÄÁÞÎÙÍÉ, ÏÎÉ ÕÖÅ ÎÅ ÉÚÍÅÎÑÀÔÓÑ ÏÓÌÅ ÒÏ×ÅÒËÉ). ëÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÜÔÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ×ÙÄÅÌÑÅÔÓÑ ÎÅ ÏÄÉÎ-Ä×Á ÏÂÅÄÉÔÅÌÑ, Á ÅÌÁÑ ÇÒÕÁ. ÁËÉÍ ÒÁ×ÉÌÏÍ × ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÒÉÇÌÕÛÁÅÔÓÑ ÓÏÒÔÉ×ÎÙÊ ÁÓÅËÔ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÑ, ÕÞÁÓÔÎÉËÉ ÍÏÇÕÔ ÓÏÓÒÅÄÏÔÏÞÉÔØ Ó×ÏÉ ÕÓÉÌÉÑ ÎÁ ÍÅÎØÛÅÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Å ÚÁÄÁÞ É ÏÌÕÞÉÔØ ÂÏÌØÛÅ ÕÄÏ×ÏÌØÓÔ×ÉÑ ÏÔ ÉÈ ÒÅÛÅÎÉÑ. ÕÒÎÉÒ ÇÏÒÏÄÏ× ÒÏ×ÏÄÉÔÓÑ × ÏÄÉÎ ÜÔÁ. ïÄÎÁËÏ ÕÞÅÎÉËÁÍ ÄÁÅÔÓÑ ÞÅÔÙÒÅ ÏÙÔËÉ: ÉÍÅÅÔÓÑ Ä×Á ÔÕÒÁ | ÏÓÅÎÎÉÊ É ×ÅÓÅÎÎÉÊ, É × ËÁÖÄÏÍ ÔÒÅÎÉÒÏ×ÏÞÎÙÊ É ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ×ÁÒÉÁÎÔÙ. ÷ÓÅ ÞÅÔÙÒÅ ÏÙÔËÉ ÏÔËÒÙÔÙ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÕÞÁÝÉÈÓÑ. ÷ ÚÁÞÅÔ ÕÞÅÎÉËÕ ÉÄÅÔ ÎÁÉ×ÙÓÛÉÊ ÉÚ ÚÁÒÁÂÏÔÁÎÎÙÈ ÉÍ ÂÁÌÌÏ×. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÁÂÏÔÁ ÕÞÅÎÉËÁ Ï ÅÎÉ×ÁÅÔÓÑ Ï ÅÇÏ ×ÚÌÅÔÁÍ, Á ÎÅ Ï ÒÏÍÁÈÁÍ. ÷ÙÓÛÉÅ ÎÁÇÒÁÄÙ ÎÅ ÏÄÒÁÚÄÅÌÑÀÔÓÑ ÎÁ ÓÔÅÅÎÉ (ÅÒ×ÁÑ ÒÅÍÉÑ, ×ÔÏÒÁÑ ÒÅÍÉÑ É Ô. Ä.), ÎÏ × ÄÉÌÏÍÅ ÕËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÝÉÊ ÚÁÒÁÂÏÔÁÎÎÙÊ ÂÁÌÌ. íÅÓÔÎÙÊ ÏÒÇËÏÍÉÔÅÔ ÓÁÍ ÒÅÛÁÅÔ ×ÏÒÏÓ, ÓÔÏÉÔ ÌÉ ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÔØ ÕÞÁÝÉÍÓÑ ÇÏÒÏÄÁ ×ÓÅ ÞÅÔÙÒÅ ÏÙÔËÉ. ÷ÏÌÎÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÞÔÏ × ÇÏÒÏÄÅ ÒÏ×ÏÄÉÔÓÑ ÍÎÏÇÏ ÌÅÇËÉÈ ÏÌÉÍÉÁÄ É ÎÅ È×ÁÔÁÅÔ ÔÒÕÄÎÏÊ. ÷ÏÚÍÏÖÎÏ, ÞÔÏ ÕÞÁÝÉÅÓÑ ÇÏÒÏÄÁ ÎÅ ÏÄÇÏÔÏ×ÌÅÎÙ Ë ÔÒÕÄÎÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÅ. ÷ÏÚÍÏÖÅÎ É ÔÁËÏÊ ×ÁÒÉÁÎÔ, ËÏÇÄÁ ÞÉÓÌÏ ÒÏ×ÏÄÉÍÙÈ × ÇÏÒÏÄÅ ÏÌÉÍÉÁÄ ÕÖÅ ×ÅÌÉËÏ, É ÒÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÅÝÅ ÞÅÔÙÒÅÈ ÒÉÎÅÓÅÔ ×ÒÅÄ. ÷ÙÂÉÒÁÑ ×ÁÒÉÁÎÔÙ, ÍÅÓÔÎÙÊ ÏÒÇËÏÍÉÔÅÔ ÒÉÓÏÓÁÂÌÉ×ÁÅÔ ÕÒÎÉÒ ÇÏÒÏÄÏ× Ë ÕÓÌÏ×ÉÑÍ Ó×ÏÅÇÏ ÇÏÒÏÄÁ. ðÒÁËÔÉËÁ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÕÞÁÓÔÉÅ × ÕÒÎÉÒÅ ÇÏÒÏÄÏ×, ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ ÒÉÇÌÕÛÅÎÎÏÓÔÉ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÔÅÌØÎÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ, ÔÒÅÂÕÅÔ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÎÅÒ×ÎÏÇÏ ÎÁÒÑÖÅÎÉÑ, ÞÅÍ ÕÞÁÓÔÉÅ × ÏÌÉÍÉÁÄÅ. ÕÒÎÉÒ ÇÏÒÏÄÏ× ÎÅ ÒÅÄÌÁÇÁÅÔ ÕÞÁÓÔÎÉËÁÍ ÅÒÓÅËÔÉ×Ù ×ÓÅ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÈ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÊ. ðÒÁ×ÄÁ, × ÕÒÎÉÒÅ ÍÏÖÎÏ ÕÞÁÓÔ×Ï×ÁÔØ ÄÏ ÞÅÔÙÒÅÈ ÌÅÔ ÏÄÒÑÄ | ÏËÁ ÕÞÅÎÉË ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÔÙÒÅ ÓÔÁÒÛÉÈ ËÌÁÓÓÁ ÓÒÅÄÎÅÊ

ÕÒÎÉÒ ÇÏÒÏÄÏ× É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ

167

ÛËÏÌÙ, ÉÌÉ ÄÁÖÅ ÂÏÌØÛÅ ÞÅÔÙÒÅÈ ÌÅÔ, ÅÓÌÉ ÕÞÅÎÉË ÒÁÎØÛÅ ÎÁÞÁÌ ÕÞÁÓÔ×Ï×ÁÔØ × ÕÒÎÉÒÅ. ÷ÏÚÍÏÖÎÏ, ÞÔÏ, ÕÞÁÓÔ×ÕÑ × ÕÒÎÉÒÅ ×ÅÒ×ÙÅ, ÕÞÅÎÉË ÅÝÅ ÎÅ ÏÄÇÏÔÏ×ÌÅÎ Ë ÚÁÄÁÞÁÍ ÏÓÎÏ×ÎÏÇÏ ×ÁÒÉÁÎÔÁ É ÄÏÒÁÓÔÅÔ ÄÏ ÎÉÈ ÔÏÌØËÏ ÒÉ ×ÔÏÒÏÍ ÉÌÉ ÔÒÅÔØÅÍ ÕÞÁÓÔÉÉ × ÎÅÍ. îÏ ËÏÇÄÁ ÕÞÅÎÉË ×ÅÒ×ÙÅ ÏÌÕÞÉÌ äÉÌÏÍ ÕÒÎÉÒÁ ÇÏÒÏÄÏ×, ÅÍÕ ÍÏÖÎÏ ÍÑÇËÏ ÏÒÅËÏÍÅÎÄÏ×ÁÔØ ÚÁÎÑÔÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ ÂÏÌÅÅ ÓÅÒØÅÚÎÙÅ, ÞÅÍ ÕÞÁÓÔÉÅ × ÏÌÉÍÉÁÄÁÈ. óÏÓÏÂÎÙÅ ÕÞÅÎÉËÉ ÏÄÈÏÄÑÔ Ë ÜÔÏÍÕ ÕÒÏ×ÎÀ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÉÍÅÒÎÏ ÇÏÄÁ ÕÓÅÛÎÙÈ ÚÁÎÑÔÉÊ × ÈÏÒÏÛÅÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ËÒÕÖËÅ ÉÌÉ ËÌÁÓÓÅ. óÒÅÄÉ ÔÁËÉÈ ÂÏÌÅÅ ÓÅÒØÅÚÎÙÈ ÚÁÎÑÔÉÊ | ÚÁÏÞÎÙÊ ËÏÎËÕÒÓ É ìÅÔÎÑÑ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÑ. îÁÒÑÄÕ Ó ÄÉÌÏÍÁÍÉ, ÒÉÓÕÖÄÁÅÍÙÍÉ ÏÔ ÉÍÅÎÉ ãÅÎÔÒÁÌØÎÏÇÏ ÖÀÒÉ ÕÒÎÉÒÁ, ÒÅÍÉÉ ÍÏÇÕÔ ÒÉÓÕÖÄÁÔØ ÍÅÓÔÎÙÅ ÖÀÒÉ. ÁËÉÍÉ ÒÅÍÉÑÍÉ ÍÏÇÕÔ ÏÔÍÅÞÁÔØÓÑ ÕÞÅÎÉËÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏËÁÚÁÌÉ Ó×ÏÀ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔØ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÎÅÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÚÁÄÁÞ É ËÏÔÏÒÙÍ ÂÅÚÕÓÌÏ×ÎÏ ÒÅËÏÍÅÎÄÕÅÔÓÑ ÚÁÎÉÍÁÔØÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ. ÷ íÏÓË×Å ÕÞÅÎÉË, ×ÅÒ×ÙÅ ÏÌÕÞÁÀÝÉÊ ÄÉÌÏÍ, ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ÉÚÂÒÁÎÎÙÍ × îÁÕÞÎÏÅ ÛËÏÌØÎÏÅ ÏÂÝÅÓÔ×Ï ÒÉ ÕÒÎÉÒÅ ÇÏÒÏÄÏ×. üÔÉÍ ÏÄÞÅÒËÉ×ÁÅÔÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÅÒ×ÏÇÏ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÄÉÌÏÍÁ | ÏÎÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ × ÖÉÚÎÉ, ËÁË ×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÅ × ÒÙ ÁÒÓËÏÅ Ú×ÁÎÉÅ. á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÓÎÉÖÁÅÔÓÑ ÓÍÙÓÌ ×ÔÏÒÏÇÏ É Ô. Ä. ÄÉÌÏÍÏ×. äÅÌÁÅÔÓÑ ÜÔÏ ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÎÅ ÏÄÔÁÌËÉ×ÁÔØ ÕÞÅÎÉËÏ× Ë ÏÌÉÍÉÁÄÎÏÍÕ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌÉÚÍÕ. äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÒÅÊÔÉÎÇÁ ÇÏÒÏÄÁ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÓÒÅÄÎÉÊ ÂÁÌÌ ÓÉÌØÎÅÊÛÅÊ ÇÒÕÙ ÕÞÁÝÉÈÓÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÇÏÒÏÄÁ. òÁÚÍÅÒ ÇÒÕÙ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÎÁÓÅÌÅÎÉÑ ÇÏÒÏÄÁ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÂÏÌØÛÏÊ ÇÏÒÏÄ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÏÄÎÑÔØ Ó×ÏÊ ÒÅÊÔÉÎÇ ÒÏÓÔÏ ÚÁ ÓÞÅÔ Ó×ÏÅÇÏ ÂÏÌØÛÏÇÏ ÎÁÓÅÌÅÎÉÑ, É ÍÁÌÅÎØËÉÅ ÇÏÒÏÄÁ ÍÏÇÕÔ ÎÁ ÒÁ×ÎÙÈ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÔØÓÑ Ó ÂÏÌØÛÉÍÉ. õÞÅÎÉËÕ ÎÅ ÎÁÄÏ ÄÏÂÉ×ÁÔØÓÑ ÒÁ×Á ×ÙÓÔÕÁÔØ ÚÁ Ó×ÏÊ ÇÏÒÏÄ. ðÒÏÓÔÏ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÈÏÒÏÛÏ ×ÙÓÔÕÉÌ × ÕÒÎÉÒÅ, ÅÇÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÏÊÄÅÔ × ÚÁÞÅÔ ÇÏÒÏÄÁ. åÓÌÉ ÖÅ ÕÞÅÎÉË ×ÙÓÔÕÉÌ ÓÌÁÂÏ, ÏÎ ÎÅ ÒÉÎÅÓ ÇÏÒÏÄÕ ÎÉËÁËÏÇÏ ×ÒÅÄÁ. ó ÒÁ×ÉÌÁÍÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÒÅÊÔÉÎÇÁ ÇÏÒÏÄÁ ÍÏÖÎÏ ÏÚÎÁËÏÍÉÔØÓÑ × ÌÀÂÏÍ ÉÚ ÏÔÞÅÔÏ× Ï ÕÒÎÉÒÅ ÇÏÒÏÄÏ× (×ÙÈÏÄÑÔ ÅÖÅÇÏÄÎÏ). îÁ ìÅÔÎÅÊ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ ×ÏÏÂÝÅ ÎÅ ÆÉËÓÉÒÕÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÓÔØ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÕÞÁÝÉÈÓÑ. õÞÅÎÉËÁÍ ÄÁÀÔÓÑ ÄÌÉÎÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁ ÎÅÄÅÌÀ, É ×ÙÓÏËÏ Ï ÅÎÉ×ÁÅÔÓÑ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÏÄ×ÉÖÅÎÉÅ × ÏÄÎÏÊ ËÁËÏÊÎÉÂÕÄØ ÚÁÄÁÞÅ. ïÓÏÂÅÎÎÏ ÉÎÔÅÒÅÓÎÏ, ÅÓÌÉ ÕÞÅÎÉËÉ ÏÌÕÞÉÌÉ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ, ÒÁÎÅÅ ÎÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ Á×ÔÏÒÁÍ ÚÁÄÁÞ. îÁ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ ÄÕÈ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÑ ÌÀÄÅÊ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ ÕÈÏÄÉÔ ÎÁ ×ÔÏÒÏÊ ÌÁÎ. ïÓÔÁÅÔÓÑ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÅ ÌÀÄÅÊ Ó ÒÉÒÏÄÏÊ. çÌÁ×ÎÙÍ ÓÔÉÍÕÌÏÍ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÉÎÔÅÒÅÓ Ë ÓÁÍÉÍ ÚÁÄÁÞÁÍ. úÁÏÞÎÙÊ ËÏÎËÕÒÓ ÅÓÔØ ÚÉÍÎÅÅ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ ìÅÔÎÅÊ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ.

168

î. î. ëÏÎÓÔÁÎÔÉÎÏ×

2. ðÒÉÍÅÒÙ ÚÁÄÁÞ

÷ÓÅ ÓËÁÚÁÎÎÏÅ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ Ë ÒÁ×ÉÌÁÍ ÒÏ×ÅÄÅÎÉÑ ÕÒÎÉÒÁ ÇÏÒÏÄÏ×, ÎÏ ÎÅ ËÁÓÁÅÔÓÑ ËÁÞÅÓÔ×Á ÚÁÄÁÞ. íÅÖÄÕ ÔÅÍ, ËÁË ÂÙ ÎÉ ÂÙÌÉ ÈÏÒÏÛÉ ÒÁ×ÉÌÁ, ÂÅÚ ÈÏÒÏÛÉÈ ÚÁÄÁÞ ÏÎÉ ÎÅ ÍÎÏÇÏ ÓÔÏÑÔ. íÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ ËÁË ×ÁÖÎÕÀ ÞÁÓÔØ ÏÂÝÅÞÅÌÏ×ÅÞÅÓËÏÊ ËÕÌØÔÕÒÙ. îÁ ÅÒ×ÙÊ ×ÚÇÌÑÄ, ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÚÁÎÉÍÁÀÔÓÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁÍÉ, ÞÔÏÂÙ ×ÅÒÂÏ×ÁÔØ ÓÅÂÅ ÂÕÄÕÝÉÈ ËÏÌÌÅÇ. îÏ ÜÔÏ | ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÁ ÉÚ ÚÁÄÁÞ, ÒÉÔÏÍ ÏÂÏÞÎÁÑ. ïÎÁ ×ÁÖÎÁ ÏÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÓÏÚÄÁÅÔ Õ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÚÁÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÎÎÏÓÔØ ×Ï ×ÌÏÖÅÎÉÉ Ó×ÏÉÈ ÓÉÌ × ÜÔÏ ÄÅÌÏ. çÌÁ×ÎÙÊ ÖÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÏÌÉÍÉÁÄ | ÓÏÚÄÁÎÉÅ × ÓÒÅÄÅ ÍÏÌÏÄÅÖÉ ÂÏÌÅÅ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ Ë ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ É ×ÏÏÂÝÅ Ë ÔÏÞÎÙÍ ÎÁÕËÁÍ. ðÏÄÁ×ÌÑÀÝÅÅ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÛËÏÌØÎÉËÏ×, Ó ËÏÔÏÒÙÍÉ ÍÙ ÒÁÂÏÔÁÅÍ, ÎÅ ÓÔÁÎÕÔ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍÉ, Á ÒÁÚÏÊÄÕÔÓÑ Ï ÒÁÚÎÙÍ ÖÉÚÎÅÎÎÙÍ ÄÏÒÏÖËÁÍ. îÏ ÎÁ ×ÓÀ ÖÉÚÎØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ ÉÈ ÄÒÕÖÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÓÕÔÎÉ ÅÊ. îÅËÏÔÏÒÙÍ ÉÚ ÎÉÈ ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ÒÉÄÅÔÓÑ ×ÓÏÍÎÉÔØ ÎÉ ÏÄÎÏÊ ÛËÏÌØÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ. îÏ ÉÈ ÏÍÏÝÎÉËÁÍÉ ÏÓÔÁÎÕÔÓÑ | ÕÍÅÎÉÅ ÏÔÌÉÞÉÔØ ÔÏÞÎÏ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÊ ×ÏÒÏÓ, ×ÉÄÅÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ ÏÄ ÎÅÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÏÊ, ÕÍÅÎÉÅ ÎÅ ÏÄÄÁ×ÁÔØÓÑ ÓÏÂÌÁÚÎÕ ÌÏÖÎÏÊ ÕÞÅÎÏÓÔÉ. éÓÈÏÄÑ ÉÚ ÜÔÉÈ ÒÅÄÏÓÙÌÏË, ÍÙ ÎÅ ÓÞÉÔÁÅÍ ×ÁÖÎÙÍ ÏÓÏ×ÒÅÍÅÎÉ×ÁÔØ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÚÁÄÁÞ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ | ÏÑ×ÉÌÉÓØ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁ ÇÒÁÆÙ, ÎÁ ×ÉÄÙ ÓÉÍÍÅÔÒÉÊ, ÎÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ. îÏ É ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÚÄÅÌÙ | × ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ | ÏÓÔÁÀÔÓÑ × ÏÞÅÔÅ. üÔÏ ÒÅËÒÁÓÎÁÑ ÎÁÕËÁ ÄÌÑ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ÕÍÁ, Á ÔÏ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÎÅ ÏÞÅÎØ ÎÕÖÎÁ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÍÕ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ É ÒÉËÌÁÄÎÉËÕ | ÄÅÌÏ ÇÌÕÂÏËÏ ×ÔÏÒÏÓÔÅÅÎÎÏÅ (Á ÓÁÍÁ ÜÔÁ ÎÅÎÕÖÎÏÓÔØ | ÏÄ ×ÏÒÏÓÏÍ). óÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ €ÈÏÒÏÛÁÑ ÚÁÄÁÞÁ, ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ. îÏ ËÏÇÄÁ ÚÁÄÁÞÁ ÒÅÄßÑ×ÌÅÎÁ, ÏÎÁ ÇÏ×ÏÒÉÔ ÓÁÍÁ ÚÁ ÓÅÂÑ (ÉÌÉ ÒÏÔÉ× ÓÅÂÑ). ÷ ÉÄÅÁÌÅ ÚÁÄÁÞÉ ÄÏÌÖÎÙ ÉÍÅÔØ ÎÁÕÞÎÕÀ ÅÎÎÏÓÔØ, ÂÙÔØ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÍÉ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏÓÔÙÍÉ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙÍÉ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÚÁÄÁÞÉ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÏÒÉÇÉÎÁÌØÎÙÍÉ. ðÏÓËÏÌØËÕ, ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÚÁÄÁÞÉ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÏÄÇÏÔÏ×ÌÅÎÙ Ë ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÍÕ ÓÒÏËÕ, ÉÄÅÁÌ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÎÅ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÓÒÅÄÉ ÚÁÄÁÞ, ÒÅÄÌÁÇÁ×ÛÉÈÓÑ ÎÁ ÕÒÎÉÒÅ ÇÏÒÏÄÏ×, ÄÏÌÑ ÈÏÒÏÛÉÈ ÚÁÄÁÞ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ×ÅÌÉËÁ. îÅ ÂÅÒÕÓØ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ Ñ ÚÄÅÓØ ÏÄÏÂÒÁÌ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÌÕÞÛÉÅ ÉÚ ÚÁÄÁÞ ÒÏÛÅÄÛÉÈ ÔÕÒÎÉÒÏ×, ÎÏ ×ÙÂÒÁÎÎÙÅ ÍÎÏÀ ÚÁÄÁÞÉ ÏÔÒÁÖÁÀÔ, ËÁË ÍÎÅ ËÁÖÅÔÓÑ, ÓÅ ÉÆÉËÕ ÎÁÛÅÇÏ ÏÄÈÏÄÁ. ÷ÏÔ ÒÉÍÅÒÙ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÄÁÞ ÒÅÄÏÓÌÅÄÎÅÇÏ (17-ÇÏ) ÕÒÎÉÒÁ ÇÏÒÏÄÏ×.

ÕÒÎÉÒ ÇÏÒÏÄÏ× É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ

169

1. îÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎ Ë×ÁÄÒÁÔ, É ÎÅ×ÉÄÉÍÙÍÉ ÞÅÒÎÉÌÁÍÉ ÎÁÎÅÓÅÎÁ ÔÏÞËÁ

ò.

þÅÌÏ×ÅË × ÓÅ ÉÁÌØÎÙÈ ÏÞËÁÈ ×ÉÄÉÔ ÔÏÞËÕ. åÓÌÉ ÒÏ-

×ÅÓÔÉ ÒÑÍÕÀ, ÔÏ ÏÎ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÎÁ ×ÏÒÏÓ, Ï ËÁËÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ ÏÔ ÎÅÅ ÌÅÖÉÔ

ò

(ÅÓÌÉ

ò

ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÒÑÍÏÊ, ÔÏ ÏÎ ÇÏ×ÏÒÉÔ, ÞÔÏ

ò

ÌÅÖÉÔ ÎÁ

ÒÑÍÏÊ). ëÁËÏÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ÔÁËÉÈ ×ÏÒÏÓÏ× ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÚÁÄÁÔØ, ÞÔÏÂÙ ÕÚÎÁÔØ, ÌÅÖÉÔ ÌÉ ÔÏÞËÁ

ò

×ÎÕÔÒÉ Ë×ÁÄÒÁÔÁ? (á. âÅÌÏ×)

üÔÁ ÚÁÄÁÞÁ ÎÅÓÌÏÖÎÁÑ; ÅÅ ÒÅÛÉÌÏ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÏÓÅÎÎÅÇÏ ÔÕÒÁ 17-ÇÏ ÕÒÎÉÒÁ ÇÏÒÏÄÏ×, ÉÓÁ×ÛÉÈ ÔÒÅÎÉÒÏ×ÏÞÎÙÊ ×ÁÒÉÁÎÔ. úÁÄÁÞÁ ÉÍÅÅÔ ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ (ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÔÒÅÈ ×ÏÒÏÓÏ×). ïÎÁ ÉÎÔÅÒÅÓÎÁ ËÁË ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×, ÔÁË É ÄÌÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× ×ÓÅÈ ×ÏÚÒÁÓÔÏ×. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÓÔÉ ÞÉÓÌÁ €ÔÒɁ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏÓÔÏÅ ÄÌÑ ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÈ. ëÏÍÍÅÎÔÁÒÉÊ.

2. Á) óÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÌÉ Ä×Á ÒÁ×ÎÙÈ ÓÅÍÉÕÇÏÌØÎÉËÁ, ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ, ÎÏ ÎÉËÁËÉÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ÎÅ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ? Â) á ÔÒÉ ÔÁËÉÈ ÓÅÍÉÕÇÏÌØÎÉËÁ? (îÁÏÍÉÎÁÎÉÅ: ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎ ÎÅÓÁÍÏÅÒÅÓÅËÁÀÝÅÊÓÑ ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ÌÏÍÁÎÏÊ). (÷. ðÒÏÉÚ×ÏÌÏ×). ëÏÍÍÅÎÔÁÒÉÊ. üÔÁ ÚÁÄÁÞÁ | ÓÒÅÄÎÅÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ (ÏÓÅÎÎÉÊ ÔÕÒ 17-ÇÏ ÕÒÎÉÒÁ ÇÏÒÏÄÏ×, ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÄÌÑ 8{9 ËÌÁÓÓÏ×). äÌÑ ÅÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÎÉËÁËÉÈ ÚÎÁÎÉÊ, ÎÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ×ÏÏÂÒÁÖÅÎÉÅ É ÓËÌÏÎÎÏÓÔØ Ë ÉÚÏÂÒÅÔÁÔÅÌØÓÔ×Õ.

3. îÁ ÂÅÒÅÇÕ ËÒÕÇÌÏÇÏ ÏÚÅÒÁ ÒÁÓÔÕÔ 6 ÓÏÓÅÎ. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ×ÚÑÔØ ÔÁËÉÅ Ä×Á ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÞÔÏ ×ÅÒÛÉÎÙ ÏÄÎÏÇÏ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÔÒÅÍÑ ÉÚ ÓÏÓÅÎ, Á ×ÅÒÛÉÎÙ ÄÒÕÇÏÇÏ | Ó ÔÒÅÍÑ ÄÒÕÇÉÍÉ, ÔÏ × ÓÅÒÅÄÉÎÅ ÏÔÒÅÚËÁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÇÏ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ×ÙÓÏÔ ÜÔÉÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×, ÎÁ ÄÎÅ ÏÚÅÒÁ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ËÌÁÄ. îÅÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÔÏÌØËÏ, ËÁË ÎÕÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÄÁÎÎÙÅ ÛÅÓÔØ ÔÏÞÅË ÎÁ Ä×Å ÔÒÏÊËÉ. óËÏÌØËÏ ÒÁÚ ÒÉÄÅÔÓÑ ÏÕÓÔÉÔØÓÑ ÎÁ ÄÎÏ ÏÚÅÒÁ, ÞÔÏÂÙ ÎÁ×ÅÒÎÑËÁ ÏÔÙÓËÁÔØ ËÌÁÄ? (ó. íÁÒËÅÌÏ×) ëÏÍÍÅÎÔÁÒÉÊ. üÔÏ | ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÔÒÕÄÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ (ÏÓÅÎÎÉÊ ÔÕÒ 17-ÇÏ ÕÒÎÉÒÁ ÇÏÒÏÄÏ×, ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ×ÁÒÉÁÎÔ 10{11 ËÌÁÓÓÏ×). îÁ ÅÒ×ÙÊ ×ÚÇÌÑÄ ÚÁÄÁÞÁ | ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÁÑ. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÕÞÅÎÉËÉ ÔÁË ÅÅ É ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÌÉ É ÓÞÉÔÁÌÉ, ÞÔÏ ÎÕÖÎÏ ÔÏÌØËÏ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÂÉÅÎÉÊ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÉÚ ÛÅÓÔÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÁ Ä×Å ÔÒÏÊËÉ. âÙÌÉ É ÔÁËÉÅ, ËÏÔÏÒÙÅ ÚÁÄÁÞÕ ÎÅ ÒÅÛÉÌÉ, ÎÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÌÉ ÜËÓÅÒÉÍÅÎÔÁÌØÎÏ, ÞÔÏ ÏÔ×ÅÔ | ÏÄÎÏ ÏÕÓËÁÎÉÅ. äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÎÕÖÎÙ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÚÎÁÎÉÑ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, Á ÔÁËÖÅ ÔÁËÏÊ ÆÁËÔ ÉÚ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ (ÉÌÉ ÉÚ ÍÅÈÁÎÉËÉ), ÞÔÏ ÅÎÔÒ ÔÑÖÅÓÔÉ ÓÉÓÔÅÍÙ ÔÏÞÅË ÍÏÖÎÏ ÎÁÈÏÄÉÔØ ÔÁË: ÒÁÚÂÉ×ÁÅÍ ÔÏÞËÉ ÎÁ Ä×Å ÏÄÓÉÓÔÅÍÙ, ÎÁÈÏÄÉÍ ÅÎÔÒÙ ÔÑÖÅÓÔÉ ÜÔÉÈ ÏÄÓÉÓÔÅÍ, Á ÚÁÔÅÍ ÎÁÈÏÄÉÍ ÏÂÝÉÊ ÅÎÔÒ ÔÑÖÅÓÔÉ Ä×ÕÈ ÔÏÞÅË | ÅÎÔÒÏ× ÔÑÖÅÓÔÉ ÜÔÉÈ ÏÄÓÉÓÔÅÍ (ÍÁÓÓÙ ÔÏÞÅË ÒÁ×ÎÙ ÍÁÓÓÁÍ ÏÄÓÉÓÔÅÍ). õ ÚÁÄÁÞÉ ÂÙÌ €ÔÒÏÉÞÅÓËÉÊ ×ÁÒÉÁÎԁ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÏÚÅÒÏ ÂÙÌÏ ÚÁÍÅÎÅÎÏ ËÒÕÇÌÙÍ ÏÓÔÒÏ×ÏÍ, ÓÏÓÎÙ | ÁÌØÍÁÍÉ, Á ÏÕÓËÁÎÉÅ ÎÁ ÄÎÏ | ËÏÁÎÉÅÍ ÑÍ. ÷ÏÏÂÝÅ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÎÏÅ ÏÆÏÒÍÌÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞ ÉÇÒÁÅÔ ÎÅ ÏÓÌÅÄÎÀÀ

170

î. î. ëÏÎÓÔÁÎÔÉÎÏ×

ÒÏÌØ × ÓÏÚÄÁÎÉÉ ÂÌÁÇÏÒÉÑÔÎÏÊ ÁÔÍÏÓÆÅÒÙ ÎÁ ÕÒÎÉÒÅ ÇÏÒÏÄÏ×. íÙ ÏËÁÚÙ×ÁÅÍ, ÞÔÏ Ï ÚÁÄÁÞÅ ÓÕÄÑÔ ÎÅ Ï ÏÄÅÖÄÅ, É ×ÎÅÛÎÑÑ ÎÁÕËÏÏÂÒÁÚÎÏÓÔØ É ×ÎÕÔÒÅÎÎÑÑ ÎÁÕÞÎÏÓÔØ | ÒÁÚÎÙÅ ×ÅÝÉ. èÏÒÏÛÏ, ËÏÇÄÁ ÚÁÄÁÞÁ ÚÁÎÉÍÁÔÅÌØÎÁ × ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÎÏÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ. ÷ÁÖÎÏ, ÏÄÎÁËÏ, ÞÔÏÂÙ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÁ ×ÓÅÇÄÁ ÏÓÔÁ×ÁÌÁÓØ ÎÁ ×ÔÏÒÏÍ ÌÁÎÅ.

îÅËÏÔÏÒÙÅ ÚÁÄÁÞÉ ÒÏÛÌÙÈ ÔÕÒÎÉÒÏ×. 4. éÍÅÅÔÓÑ Ä×Á ÄÏÍÁ, × ËÁÖÄÏÍ ÄÏÍÅ | Ä×Á ÏÄßÅÚÄÁ. öÉÔÅÌÉ ÄÅÒÖÁÔ ËÏÛÅË É ÓÏÂÁË. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ × ÅÒ×ÏÍ ÏÄßÅÚÄÅ ÅÒ×ÏÇÏ ÄÏÍÁ ÄÏÌÑ ËÏÛÅË (ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÞÉÓÌÁ ËÏÛÅË Ë ÏÂÝÅÍÕ ÞÉÓÌÕ ËÏÛÅË É ÓÏÂÁË) ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÄÏÌÑ ËÏÛÅË × ÅÒ×ÏÍ ÏÄßÅÚÄÅ ×ÔÏÒÏÇÏ ÄÏÍÁ, Á ×Ï ×ÔÏÒÏÍ ÏÄßÅÚÄÅ ÅÒ×ÏÇÏ ÄÏÍÁ ÄÏÌÑ ËÏÛÅË ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ×Ï ×ÔÏÒÏÍ ÏÄßÅÚÄÅ ×ÔÏÒÏÇÏ ÄÏÍÁ. íÏÖÎÏ ÌÉ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÄÏÌÑ ËÏÛÅË × ÅÒ×ÏÍ ÄÏÍÅ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÄÏÌÑ ËÏÛÅË ×Ï ×ÔÏÒÏÍ ÄÏÍÅ? (á. ëÏ×ÁÌØÄÖÉ).

äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÎÅ ÎÕÖÎÏ ÎÉÞÅÇÏ, ËÒÏÍÅ ÏÝÕÝÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ ËÁË ×ÅÌÉÞÉÎÙ (14-Ê ÔÕÒÎÉÒ ÇÏÒÏÄÏ×, ×ÅÓÅÎÎÉÊ ÔÕÒ, ÔÒÅÎÉÒÏ×ÏÞÎÙÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÄÌÑ 8{9 ËÌÁÓÓÏ×). òÅÛÉÔØ ÅÅ ÍÏÖÅÔ ÌÀÂÏÊ ÞÅÌÏ×ÅË, ÏÎÉÍÁÀÝÉÊ ÔÅËÓÔ. îÏ ÚÁÄÁÞÁ ÎÅ ÏÞÅÎØ ÌÅÇËÁÑ. ÷ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ ÏÎÁ ÔÒÕÄÎÁ ÄÌÑ ÔÅÈ, ËÔÏ, ÏÌØÚÕÑÓØ ËÁÌØËÕÌÑÔÏÒÏÍ, ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ÓÞÉÔÁÅÔ × ÕÍÅ. ëÁÌØËÕÌÑÔÏÒ, ËÁË É ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÄÒÕÇÉÅ ÈÉÝÎÙÅ ×ÅÝÉ ×ÅËÁ, ÒÉ×ÅÌ Ë ÄÅÇÒÁÄÁ ÉÉ ÕÍÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ÞÅÌÏ×ÅÞÅÓÔ×Á. ÷ ÔÕ ÖÅ ÓÔÏÒÏÎÕ ÄÅÊÓÔ×ÕÀÔ É ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÛËÏÌØÎÙÅ ÒÏÇÒÁÍÍÙ, ÏÔÍÅÎÑÀÝÉÅ ÕÞÅÎÉËÁÍ ×ÓÑËÕÀ ÏÔÒÅÂÎÏÓÔØ ÄÕÍÁÔØ, Ñ ÉÍÅÀ × ×ÉÄÕ × ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ ÏÔÍÅÎÕ ÓÔÁÒÏÇÏ ÒÅÄÍÅÔÁ | ÁÒÉÆÍÅÔÉËÉ, ÇÄÅ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÒÉÈÏÄÉÌÏÓØ ÎÁÈÏÄÉÔØ Ó×ÏÊ ÏÄÈÏÄ. ÅÅÒØ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ÍÅÔÏÄÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÉÈ ÚÁÄÁÞ. îÏ ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÜÔÏÔ ÒÅÄÍÅÔ ÓÔÁÌ ÒÏÓÔÏ ÎÅ ÎÕÖÎÙÍ. óÔÁÒÁÑ ÁÒÉÆÍÅÔÉËÁ ÕÍÅÒÌÁ, ÎÏ ÞÅÍ ÅÅ ÚÁÍÅÎÉÔØ? ïÔ×ÅÔÁ ÏËÁ ÎÅÔ, ÎÏ ÍÙ ÓÔÁÒÁÅÍÓÑ ÎÅ ÒÏÕÓËÁÔØ ÚÁÄÁÞÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÇÕÔ ×ÏÓÏÌÎÉÔØ ÒÏÂÅÌ. ëÏÍÍÅÎÔÁÒÉÊ.

5. ðÅÛÅÈÏÄ ÛÅÌ 3.5 ÞÁÓÁ, ÒÉÞÅÍ ÚÁ ËÁÖÄÙÊ ÒÏÍÅÖÕÔÏË ×ÒÅÍÅÎÉ × ÏÄÉÎ ÞÁÓ ÏÎ ÒÏÈÏÄÉÌ ÒÏ×ÎÏ 5 ËÍ. óÌÅÄÕÅÔ ÌÉ ÉÚ ÜÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÅÇÏ ÓÒÅÄÎÑÑ ÓËÏÒÏÓÔØ ÚÁ ×ÓÅ ×ÒÅÍÑ ÒÁ×ÎÁ 5 ËÍ/Þ? ëÏÍÍÅÎÔÁÒÉÊ. ÷ ÏÄÎÏÍ ÉÚ ÕÞÅÂÎÉËÏ× ÆÉÚÉËÉ ÄÌÑ ÓÒÅÄÎÅÊ ÛËÏÌÙ ÂÙÌÏ ÒÉ×ÅÄÅÎÏ ÎÅ×ÅÒÎÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÓÒÅÄÎÅÊ ÓËÏÒÏÓÔÉ. áÎÁÌÉÚ ÜÔÏÇÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÒÉ×ÅÌ Ë ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ (ÞÅÔ×ÅÒÔÙÊ ÔÕÒÎÉÒ ÇÏÒÏÄÏ×, 7{8 ËÌÁÓÓ, ×ÔÏÒÏÊ ÔÕÒ).

6. íÏÖÎÏ ÌÉ ÏÄÏÂÒÁÔØ ÞÅÔÙÒÅ ÎÅÒÏÚÒÁÞÎÙÈ ÏÁÒÎÏ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÛÁÒÁ ÔÁËÉÈ, ÞÔÏÂÙ ÉÍÉ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÚÁÇÏÒÏÄÉÔØ ÔÏÞÅÞÎÙÊ ÉÓÔÏÞÎÉË Ó×ÅÔÁ? ëÏÍÍÅÎÔÁÒÉÊ. ÒÅÂÕÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ×ÏÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, ÈÏÔÑ É ÚÎÁÎÉÅ ÛËÏÌØÎÏÇÏ ËÕÒÓÁ ÎÅ ÏÍÅÛÁÅÔ (ÔÒÅÎÉÒÏ×ÏÞÎÙÊ ÔÕÒ ÍÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ ×ÁÒÉÁÎÔÁ ÄÅ×ÑÔÏÇÏ ÔÕÒÎÉÒÁ, ÚÁÄÁÞÁ ÚÁÉÍÓÔ×Ï×ÁÎÁ ÉÚ ÌÅÎÉÎÇÒÁÄÓËÏÇÏ ÓÂÏÒÎÉËÁ).

ÕÒÎÉÒ ÇÏÒÏÄÏ× É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ

171

3. ÕÒÎÉÒ ÇÏÒÏÄÏ× É ÏÂÒÁÚÏ×ÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÔÅÎ ÉÁÌ

ïÂÒÁÚÏ×ÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÔÅÎ ÉÁÌ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎ × ÍÉÒÅ ËÒÁÊÎÅ ÎÅÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ. óÁÍÁÑ ÂÏÌØÛÁÑ × òÏÓÓÉÉ ËÏÎ ÅÎÔÒÁ ÉÑ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÈ ÌÀÄÅÊ ×ÓÅÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÊ ÉÍÅÅÔÓÑ × Ä×ÕÈ ÓÔÏÌÉ ÁÈ | íÏÓË×Å É ó.-ðÅÔÅÒÂÕÒÇÅ. îÁ ÎÉÈ × ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÌÅÖÉÔ ÎÁÇÒÕÚËÁ ÏÄÄÅÒÖÁÎÉÑ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÏÔÅÎ ÉÁÌÁ ×ÓÅÊ òÏÓÓÉÉ. åÓÔØ ÅÝÅ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÅÎÔÒÏ×, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÔÅÌØÎÙÊ ÕÒÏ×ÅÎØ ËÏÔÏÒÙÈ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÙÓÏË, ÞÔÏÂÙ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ×ÙÏÌÎÑÔØ ÒÏÌØ ÓÔÏÌÉ , × ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ × Ó×ÏÅÍ ÒÅÇÉÏÎÅ. ÷ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Å ÖÅ ÎÁÓÅÌÅÎÎÙÈ ÕÎËÔÏ× ÜÔÏÇÏ ÕÒÏ×ÎÑ ÎÅÔ. íÙ ÉÓÈÏÄÉÍ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÂÕÄÕÝÅÅ ÉÍÅÅÔ ÔÏ ÏÂÝÅÓÔ×Ï, ËÏÔÏÒÏÅ ÚÁÂÏÔÉÔÓÑ Ï Ó×ÏÅÍ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ. ðÏÄ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÍÙ ÉÍÅÅÍ × ×ÉÄÕ ×ÓÅ ÅÇÏ ÕÒÏ×ÎÉ | ÏÔ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÇÒÁÍÏÔÎÏÓÔÉ ÄÏ ÕÒÏ×ÎÑ ÂÏÌØÛÉÈ ÕÞÅÎÙÈ. ÷ÁÖÎÏ ÎÅ ÔÏÌØËÏ, ÞÔÏÂÙ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×Ï ÚÁÂÏÔÉÌÏÓØ Ï ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ ÎÁÒÏÄÁ. ÷ÁÖÎÏ, ÞÔÏÂÙ × ÓÒÅÄÅ ÍÏÌÏÄÅÖÉ ÂÙÌÁ ÔÑÇÁ Ë ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ. úÁ ÒÉÚÎÁË ÔÁËÏÊ ÔÑÇÉ ÞÁÓÔÏ ÒÉÎÉÍÁÀÔÓÑ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ËÏÎËÕÒÓÏ× × ×ÙÓÛÉÅ ÕÞÅÂÎÙÅ ÚÁ×ÅÄÅÎÉÑ. ÁËÏÊ ÏÄÈÏÄ ×ÏÌÎÅ ÎÏÒÍÁÌÅÎ ÄÌÑ ÌÀÄÅÊ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÙ | ÖÕÒÎÁÌÉÓÔÏ×, ÞÉÎÏ×ÎÉËÏ× É ÒÁÂÏÔÎÉËÏ× ÏÒÇÁÎÏ× ÓÔÁÔÉÓÔÉËÉ. îÏ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÉ ÒÅËÒÁÓÎÏ ÏÎÉÍÁÀÔ, ÞÔÏ ÔÁËÏÊ ÏÄÈÏÄ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏÞÅÎ. ÷ÁÖÎÏ ÎÅ ÔÏÌØËÏ É ÎÅ ÓÔÏÌØËÏ ÔÏ, ÓËÏÌØ ×ÅÌÉË ËÏÎËÕÒÓ ÞÉÓÌÅÎÎÏ, ÎÏ ÇÌÁ×ÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÔÏ, ËÔÏ ÒÉÛÅÌ × ÉÎÓÔÉÔÕÔ. ÷ ìÁÔ×ÉÉ, ÇÄÅ ÈÏÒÏÛÏ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÒÏÆÏÒÉÅÎÔÁ ÉÑ, ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ËÏÎËÕÒÓÁ ×ÏÏÂÝÅ ÎÅ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ (ÅÓÌÉ ÏÎ ÅÓÔØ, ÚÎÁÞÉÔ ËÔÏ-ÔÏ ÚÒÑ ÏÔÒÁÔÉÌ ×ÒÅÍÑ É ÓÉÌÙ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏÂÙ ÏÓÔÕÁÔØ | ÜÔÏ ÕËÏÒ ÓÉÓÔÅÍÅ ÒÏÆÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ). é × ÒÏÓÓÉÊÓËÏÊ ÒÁËÔÉËÅ ÅÓÔØ ÒÉÍÅÒÙ, ËÏÇÄÁ ÞÅÍ ÍÅÎØÛÅ ËÏÎËÕÒÓ, ÔÅÍ ÌÕÞÛÅ ÎÁÂÏÒ. üÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏ (É ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ) × ÓÌÕÞÁÑÈ, Ë ËÏÔÏÒÙÍ ÏÄÈÏÄÉÔ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÍÏÄÅÌØ ( ÉÆÒÙ ÒÉÍÅÒÎÙÅ): ÎÁÂÉÒÁÅÔÓÑ 300 ÞÅÌÏ×ÅË, ÒÉ ÜÔÏÍ 100 ÞÅÌÏ×ÅË ÚÎÁÀÔ, ËÕÄÁ ÉÄÕÔ, ÏÓÔÁÌØÎÙÅ | ÓÌÕÞÁÊÎÙÅ ÌÀÄÉ. åÓÌÉ ÉÈ 200 ÞÅÌÏ×ÅË, ÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÔÒÅÔÉÊ × ÎÏ×ÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÚÎÁÌ, ËÕÄÁ ÛÅÌ. åÓÌÉ ÉÈ 800 ÞÅÌÏ×ÅË, ÔÏ ÓÒÅÄÉ ÁÂÉÔÕÒÉÅÎÔÏ× ÌÀÄÉ ÅÒ×ÏÊ ÓÏÔÎÉ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÏÄÎÕ ÄÅ×ÑÔÕÀ ÞÁÓÔØ. ëÁËÏ×Á ÖÅ ÂÕÄÅÔ ÉÈ ÄÏÌÑ ÓÒÅÄÉ ÏÓÔÕÉ×ÛÉÈ? ïÎÁ ÍÏÖÅÔ ÒÁ×ÎÑÔØÓÑ ÔÏÊ ÖÅ ÏÄÎÏÊ ÄÅ×ÑÔÏÊ, ÅÓÌÉ ÜËÚÁÍÅÎ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÎ ÏÞÅÎØ ÌÏÈÏ É ÍÁÌÏ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÌÏÔÅÒÅÉ. ÷ ÓÉÓÔÅÍÅ ÚÁÂÏÔÙ ÏÂÝÅÓÔ×Á Ï Ó×ÏÅÍ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ ÕÒÎÉÒ ÇÏÒÏÄÏ× ÎÁÈÏÄÉÔ Ó×ÏÅ ÍÅÓÔÏ. åÇÏ ÒÏÌØ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ × ËÁÖÄÏÍ ÒÅÇÉÏÎÅ ËÁË ÍÏÖÎÏ ÂÏÌØÛÅ ×ÙÕÓËÎÉËÏ× ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÌÉ Ó×ÏÊ ÕÔØ. ðÒÁ×ÄÁ, ÏËÁ ÒÅÞØ ÉÄÅÔ ÔÏÌØËÏ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÎÏ É × ÜÔÏÍ ×ÏÒÏÓÅ ÕÒÎÉÒ ÇÏÒÏÄÏ× ÎÅ ÒÏ×Ï ÉÒÕÅÔ ÏÛÉÂËÉ, ÔÁË ËÁË ÏÎ ×Ï×ÓÅ ÎÅ ÎÁÓÔÒÁÉ×ÁÅÔ ×ÓÅÈ ÏÄÒÑÄ ×ÙÂÉÒÁÔØ ÜÔÕ ÒÏÆÅÓÓÉÀ. ÕÒÎÉÒ ÇÏÒÏÄÏ× ÏÍÏÇÁÅÔ ÕÞÁÝÉÍÓÑ ÒÁ×ÉÌØÎÏ Ï ÅÎÉÔØ Ó×ÏÊ ÕÒÏ×ÅÎØ É Ó×ÏÉ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ. ÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÇÏÒÏÄÁÈ

172

î. î. ëÏÎÓÔÁÎÔÉÎÏ×

ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÒÉ ÓÏÄÅÊÓÔ×ÉÉ ÕÒÎÉÒÁ ×ÏÛÌÁ × ÍÏÄÕ ÓÒÅÄÉ ÍÏÌÏÄÅÖÉ É ÓÔÁÌÁ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÎÙÍ Õ×ÌÅÞÅÎÉÅÍ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÜÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÌÉÛØ × ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÍÅÓÔÎÙÅ ÁËÔÉ×ÉÓÔÙ ÉÓÏÌØÚÕÀÔ ÚÁÌÏÖÅÎÎÙÅ × ÆÏÒÍÅ ÕÒÎÉÒÁ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ É ÏÉÒÁÀÔÓÑ ÎÁ ÍÅÓÔÎÙÅ ÔÒÁÄÉ ÉÉ. îÁÉÂÏÌÅÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÒÏÄÕÍÁÎÎÏÅ ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ×ÉÄÏ× ÒÁÂÏÔÙ, ÒÁÚÌÉÞÁÀÝÉÈÓÑ ÆÏÒÍÁÍÉ É ÕÒÏ×ÎÅÍ É ËÁÓÁÀÝÉÈÓÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÒÅÄÍÅÔÏ× (ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ). ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ ÒÁÂÏÔÙ × ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ ÄÒÕÇÉÈ ÒÅÄÍÅÔÏ× ÍÏÖÎÏ ÒÉ×ÅÓÔÉ ÕÒÎÉÒ ÉÍ. í. ÷. ìÏÍÏÎÏÓÏ×Á, ÒÏ×ÏÄÉÍÙÊ ÎÙÎÅ × Ä×ÕÈ ÇÏÒÏÄÁÈ | íÏÓË×Å É ëÉÒÏ×Å. ÷ íÏÓË×Å ÜÔÏÔ ÔÕÒÎÉÒ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÏÎÎÏ Ó×ÑÚÁÎ Ó ÕÒÎÉÒÏÍ ÇÏÒÏÄÏ×. üÔÏ ÎÅÓÌÏÖÎÏÅ ÍÎÏÇÏÒÅÄÍÅÔÎÏÅ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÅ ÓÔÁÒÛÉÈ ÛËÏÌØÎÉËÏ×. ïÎÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÉ×ÌÅËÁÔÅÌØÎÏ ËÁË ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×, ÅÝÅ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÉ×ÛÉÈ Ó×ÏÉÈ ÒÉÓÔÒÁÓÔÉÊ, ÔÁË É ÄÌÑ ÔÅÈ, ÞÅÊ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÉÎÔÅÒÅÓ ÕÖÅ ÏÒÅÄÅÌÉÌÓÑ É ÞØÑ ÌÀÂÏÚÎÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ×ÙÈÏÄÉÔ ÚÁ ÒÅÄÅÌÙ ÜÔÏÇÏ ÉÎÔÅÒÅÓÁ. ÕÒÎÉÒ ÉÍ. ìÏÍÏÎÏÓÏ×Á ÉÎÔÅÒÅÓÅÎ ÅÝÅ É ÔÅÍ, ÞÔÏ ÏÎ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÅÍ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÊ ÒÁÂÏÔÙ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÄÉÓ ÉÌÉÎ, ÞÔÏ ÏÌÅÚÎÏ É ÄÌÑ ÏÒÇÁÎÉÚÁÔÏÒÏ× ÜÔÏÇÏ ÍÅÒÏÒÉÑÔÉÑ. ûËÏÌØÎÉËÉ, ÒÉÎÑ×ÛÉÅ ÕÞÁÓÔÉÅ × ÕÒÎÉÒÅ ÉÍ. ìÏÍÏÎÏÓÏ×Á, ÏÏÌÎÑÀÔ ÚÁÔÅÍ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ËÒÕÖËÉ É ÏÌÉÍÉÁÄÙ Ï ÒÁÚÎÙÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑÍ. üÔÏ, × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ, ÄÁÅÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÒÏ×ÏÄÉÔØ ÈÏÒÏÛÉÅ ÎÁÂÏÒÙ × ÓÅ ÉÁÌØÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ É ÛËÏÌÙ É ÏÍÏÇÁÅÔ ÍÏÌÏÄÅÖÉ ÄÅÌÁÔØ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÊ ×ÙÂÏÒ ÒÏÆÅÓÓÉÉ. ïÂÓÕÖÄÅÎÉÅ ÒÁÂÏÔÙ × ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ ÄÒÕÇÉÈ ÒÅÄÍÅÔÏ× (ÎÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ) ÎÅ ×ÈÏÄÉÔ × ÔÅÍÕ ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÉ. óËÁÖÕ ÔÏÌØËÏ, ÞÔÏ × ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÕÖÅ ÒÁÂÏÔÁÀÔ ÕÒÎÉÒÙ ÇÏÒÏÄÏ× Ï ÆÉÚÉËÅ É ÈÉÍÉÉ É ÉÎÔÅÒÅÓ Ë ÎÉÍ ×ÙÓÏË. ÷ÓÅ ÓËÁÚÁÎÎÏÅ × Ó×ÑÚÉ Ó ÏÂÒÁÚÏ×ÁÔÅÌØÎÙÍ ÏÔÅÎ ÉÁÌÏÍ Ï ÕÒÎÉÒÅ ÇÏÒÏÄÏ× ÍÏÖÎÏ ÏÔÎÅÓÔÉ É Ë ÏÌÉÍÉÁÄÁÍ, × ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ ÔÅÍ, ËÏÔÏÒÙÅ ×ÈÏÄÑÔ × ÓÉÓÔÅÍÕ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÙ. îÏ ÆÏÒÍÁÔ ÕÒÎÉÒÁ ÇÏÒÏÄÏ× ÂÏÌÅÅ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎ Ó ÏÔÒÅÂÎÏÓÔÑÍÉ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ÞÅÍ ÆÏÒÍÁÔ ÓÉÓÔÅÍÙ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÙ. ÷ ÓÉÓÔÅÍÅ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÙ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÅÄÉÎÉ ÅÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×Ï. þÔÏÂÙ ÏÄÇÏÔÏ×ÉÔØ ËÏÍÁÎÄÕ ÎÁ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÕÀ ÏÌÉÍÉÁÄÕ, ÍÁÌÅÎØËÏÅ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×Ï ÄÏÌÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ×ÓÅÈ ÓÏÓÏÂÎÙÈ ÕÞÅÎÉËÏ× ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁ, É ×ÓÅ ÒÁ×ÎÏ ÉÈ ÎÅ È×ÁÔÁÅÔ ÄÌÑ ÕËÏÍÌÅËÔÏ×ÁÎÉÑ ËÏÍÁÎÄÙ. ÷ ÂÏÌØÛÏÍ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×Å, ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÏÓÔÒÁÑ ËÏÎËÕÒÅÎ ÉÑ ÍÅÖÄÕ ÕÞÅÎÉËÁÍÉ ÚÁ ÒÁ×Ï ÏÁÓÔØ ÎÁ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÕÀ ÏÌÉÍÉÁÄÕ. óÌÉÛËÏÍ ÂÏÌØÛÏÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÕÄÅÌÑÅÔÓÑ ×ÙÄÅÌÅÎÉÀ ÎÅÂÏÌØÛÏÊ ÇÒÕÙ, É × ÜÔÏÊ ÇÒÕÅ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÙÅ ×ÚÁÉÍÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. íÅÖÄÕ ÔÅÍ, ÂÏÌØÛÏÍÕ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×Õ ÎÕÖÎÙ ÓÏÔÎÉ É ÔÙÓÑÞÉ Ë×ÁÌÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ× ÄÌÑ ÚÁÏÌÎÅÎÉÑ ËÁÆÅÄÒ É ÎÁÕÞÎÙÈ ÅÎÔÒÏ×. ðÒÁ×ÉÌÁ ÕÒÎÉÒÁ

ÕÒÎÉÒ ÇÏÒÏÄÏ× É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ

173

ÇÏÒÏÄÏ×, ÁËÔÉ×ÉÚÉÒÕÑ ÍÅÓÔÎÙÈ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÅÊ ÛËÏÌ É ×ÕÚÏ×, ÓÏÓÏÂÓÔ×ÕÀÔ ÏÄÄÅÒÖÁÎÉÀ × ÓÔÒÁÎÅ ÓÒÅÄÙ, ËÏÔÏÒÁÑ ÚÁÂÏÔÉÔÓÑ Ï ÏÂÒÁÚÏ×ÁÔÅÌØÎÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ Ó×ÏÅÇÏ ÒÅÇÉÏÎÁ, Á ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ É ×ÓÅÊ ÓÔÒÁÎÙ. ÷ ÕÒÎÉÒÅ ÇÏÒÏÄÏ× ÔÙÓÑÞÉ ÕÞÁÝÉÈÓÑ ÒÁÚÎÙÈ ÇÏÒÏÄÏ× É ÓÔÒÁÎ ÂÅÚ ×ÓÑËÉÈ ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÙÈ ÜÔÁÏ× ÍÏÇÕÔ ÕÞÁÓÔ×Ï×ÁÔØ ÓÒÁÚÕ × ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÍ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÉ. üÔÏ ÏÍÏÇÁÅÔ ÉÍ É ÉÈ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÑÍ ×ÉÄÅÔØ Ó×ÏÅ ÏÌÏÖÅÎÉÅ × ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÏÔÓÞÅÔÁ É ÓÏÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÒÁÚ×ÉÔÉÀ ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÇÏ ÓÏÔÒÕÄÎÉÞÅÓÔ×Á É ÏÂÍÅÎÁ ÉÄÅÑÍÉ É ÔÒÁÄÉ ÉÑÍÉ. ðÒÉÇÌÁÛÅÎÉÅ Ë ÕÞÁÓÔÉÀ × ÕÒÎÉÒÅ ÇÏÒÏÄÏ×

ÕÒÎÉÒ ÇÏÒÏÄÏ× | ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÅ ÓÔÁÒÛÉÈ ÛËÏÌØÎÉËÏ×. ÕÒÎÉÒ ÇÏÒÏÄÏ× ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÎ ÇÒÕÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ × ÔÅÞÅÎÉÅ ÍÎÏÇÉÈ ÌÅÔ ÒÏ×ÏÄÉÌÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÌÉÍÉÁÄÙ ×ÓÅÈ ÕÒÏ×ÎÅÊ | ÏÔ ÛËÏÌØÎÙÈ ÄÏ ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÈ. üÔÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÏÎÑÌÉ, ÞÔÏ × ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÌÉÍÉÁÄÁÈ ÓÏÞÅÔÁÀÔÓÑ ÏÚÉÔÉ×ÎÙÅ É ÎÅÇÁÔÉ×ÎÙÅ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÅ. öÅÌÁÎÉÅ ÄÁÔØ ÏÌÉÍÉÁÄÁÍ ÎÏ×ÏÅ ÒÁÚ×ÉÔÉÅ, ÓÏÈÒÁÎÉ× ÏÚÉÔÉ×ÎÙÅ É ÕÓÔÒÁÎÉ× ÎÅÇÁÔÉ×ÎÙÅ ÉÈ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÒÉ×ÅÌÏ Ë ÓÏÚÄÁÎÉÀ × 1980 Ç. ÕÒÎÉÒÁ ÇÏÒÏÄÏ×. õÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÕÒÎÉÒÏÍ ÇÏÒÏÄÏ× Ä×ÕÈÕÒÏ×ÎÅ×ÏÅ | ÉÍÅÀÔÓÑ ãÅÎÔÒÁÌØÎÙÅ ïÒÇËÏÍÉÔÅÔ É öÀÒÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÀÔ ÏÂÝÉÅ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÒÁ×ÉÌÁ É ÅÄÉÎÙÅ ÚÁÄÁÎÉÑ É ÏÄ×ÏÄÑÔ ÏÂÝÉÅ ÉÔÏÇÉ, É ÍÅÓÔÎÙÅ ÏÒÇËÏÍÉÔÅÔÙ É ÖÀÒÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÒÇÁÎÉÚÕÀÔ ×ÓÀ ÒÁÂÏÔÕ ÎÁ ÍÅÓÔÁÈ. äÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ× ÏÄÎÏÇÏ ÇÏÒÏÄÁ ÕÒÎÉÒ ÇÏÒÏÄÏ× | ÜÔÏ ÏÞÎÁÑ ÏÌÉÍÉÁÄÁ, ÒÏ×ÏÄÉÍÁÑ × ÜÔÏÍ ÇÏÒÏÄÅ × ÏÂÝÉÅ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÇÏÒÏÄÏ× ÓÒÏËÉ É Ï ÅÄÉÎÙÍ ÚÁÄÁÎÉÑÍ. óÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÅ ÇÏÒÏÄÏ× ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ | ÚÁÏÞÎÏÅ, ÉÔÏÇÉ ÜÔÏÇÏ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÑ ÏÄ×ÏÄÑÔÓÑ ãÅÎÔÒÁÌØÎÙÍ öÀÒÉ Ï ÒÉÓÙÌÁÅÍÙÍ ÉÚ ÇÏÒÏÄÏ×-ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÌÕÞÛÉÍ ÒÁÂÏÔÁÍ ÛËÏÌØÎÉËÏ× É ÏÔÞÅÔÁÍ ÍÅÓÔÎÙÈ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÊ. ÷ ÓÉÓÔÅÍÅ ÕÒÎÉÒÁ ÇÏÒÏÄÏ× ÅÓÔØ ÅÝÅ ÒÑÄ ÍÅÒÏÒÉÑÔÉÊ, ÒÏ×ÏÄÉÍÙÈ ÍÅÓÔÎÙÍÉ É ÅÎÔÒÁÌØÎÙÍÉ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÑÍÉ ÕÒÎÉÒÁ. ÁË, ÍÏÓËÏ×ÓËÁÑ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÑ ÒÏ×ÏÄÉÔ ÍÁÓÓÏ×ÙÊ ÍÎÏÇÏÒÅÄÍÅÔÎÙÊ ÕÒÎÉÒ ÉÍ. í. ÷. ìÏÍÏÎÏÓÏ×Á, ÅÎÔÒÁÌØÎÁÑ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÑ ÒÏ×ÏÄÉÔ ÅÖÅÇÏÄÎÕÀ ìÅÔÎÀÀ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÀ, ÎÁ ËÏÔÏÒÕÀ ÒÉÇÌÁÛÁÀÔÓÑ ÕÞÁÓÔÎÉËÉ ÕÒÎÉÒÁ, ÄÏÂÉ×ÛÉÅÓÑ × ÕÒÎÉÒÅ ÎÁÉ×ÙÓÛÉÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ×, É ÉÈ ÕÞÉÔÅÌÑ. ðÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅÍ ìÅÔÎÅÊ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÁÏÞÎÙÊ ËÏÎËÕÒÓ Ï ÒÅÛÅÎÉÀ ÔÒÕÄÎÙÈ ÚÁÄÁÞ. ÕÒÎÉÒ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÓÔÅÒÖÎÅÍ, ×ÏËÒÕÇ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÒÇÁÎÉÚÕÅÔÓÑ ÅÌÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÒÁÂÏÔÙ ÓÏ ÛËÏÌØÎÉËÁÍÉ, ÒÉÓÏÓÏÂÌÅÎÎÁÑ Ë ÍÅÓÔÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ. åÓÌÉ × ÇÏÒÏÄÅ, ÎÅ ÒÉÎÉÍÁ×ÛÅÍ ÄÏ ÓÉÈ ÏÒ ÕÞÁÓÔÉÑ × ÕÒÎÉÒÅ ÇÏÒÏÄÏ×, ÎÁÊÄÕÔÓÑ ÉÎÉ ÉÁÔÏÒÙ (ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÓËÉÅ ÒÏÆÅÓÓÏÒÁ ÉÌÉ ÛËÏÌØÎÙÅ ÕÞÉÔÅÌÑ), ËÏÔÏÒÙÅ ×ÏÚØÍÕÔ ÎÁ ÓÅÂÑ ÆÕÎË ÉÉ ÍÅÓÔÎÏÇÏ ÏÒÇËÏÍÉÔÅÔÁ, ÔÏ ÜÔÏÔ

174

î. î. ëÏÎÓÔÁÎÔÉÎÏ×

ÇÏÒÏÄ ÍÏÖÅÔ ×ËÌÀÞÉÔØÓÑ × ÕÒÎÉÒ. ðÒÏ ÅÄÕÒÁ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ ÓÏÓÔÏÉÔ ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÎÕÖÎÏ ÓÏÏÂÝÉÔØ ãÅÎÔÒÁÌØÎÏÍÕ ÏÒÇËÏÍÉÔÅÔÕ ÉÍÑ ÏÒÇÁÎÉÚÁÔÏÒÁ É ÁÄÒÅÓ, Ï ËÏÔÏÒÏÍÕ ÓÌÅÄÕÅÔ ×ÙÓÙÌÁÔØ ÚÁÄÁÞÉ É ÄÒÕÇÉÅ ÍÁÔÅÒÉÁÌÙ. äÏÕÓËÁÅÔÓÑ ÒÏÂÎÏÅ ÕÞÁÓÔÉÅ ÂÅÚ ÆÉËÓÁ ÉÉ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× × ÏÂÝÅÍ ÏÔÞÅÔÅ. õÞÁÓÔÉÅ × ÕÒÎÉÒÅ ÂÅÓÌÁÔÎÏÅ ÄÌÑ ÔÅÈ, ËÔÏ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÚÁÌÁÔÉÔØ. ïÄÎÁËÏ Õ ÅÎÔÒÁÌØÎÙÈ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÊ ÕÒÎÉÒÁ ÎÅÔ ÉÎÙÈ ÓÒÅÄÓÔ×, ËÒÏÍÅ ÔÅÈ, ËÏÔÏÒÙÅ ×ÎÏÓÑÔÓÑ ÕÞÁÓÔÎÉËÁÍÉ, ÏÜÔÏÍÕ ÏÌÁÔÁ ×ÅÓØÍÁ ÖÅÌÁÔÅÌØÎÁ. ÷ÅÌÉÞÉÎÁ ÇÏÄÏ×ÏÇÏ ×ÚÎÏÓÁ ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÁ ÎÁ ÓÅÓÓÉÉ WFNMC (World Federation of Nation Mathemati s Competipions) × 1992 Ç. É ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ 50+3N ÄÏÌÌÁÒÏ× óûá (N = max(5; ÎÁÓ=100000), ÎÁÓ | ÎÁÓÅÌÅÎÉÅ ÇÏÒÏÄÁ). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÇÏÒÏÄ Ó ÎÁÓÅÌÅÎÉÅÍ ÄÏ 500 ÔÙÓ. ÖÉÔÅÌÅÊ ×ÎÏÓÉÔ 65 ÄÏÌÌÁÒÏ× óûá × ÇÏÄ. çÏÒÏÄÁ òÏÓÓÉÉ ÏÌÁÞÉ×ÁÀÔ Ó×ÏÅ ÕÞÁÓÔÉÅ, ÚÁËÌÀÞÁÑ ÄÏÇÏ×ÏÒ ÎÁ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÏÅ ÏÂÓÌÕÖÉ×ÁÎÉÅ Ó éÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÙÍ ÅÎÔÒÏÍ ÕÒÎÉÒÁ ÇÏÒÏÄÏ× (ÚÁÒÅÇÉÓÔÒÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÏÂÝÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÑ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÁÑ ÕÒÎÉÒ ÇÏÒÏÄÏ× × òÏÓÓÉÉ). ó×ÑÚÁÔØÓÑ Ó ãÅÎÔÒÁÌØÎÙÍ ïÒÇËÏÍÉÔÅÔÏÍ ÕÒÎÉÒÁ É öÀÒÉ ÍÏÖÎÏ Ï ÁÄÒÅÓÕ: 121002, íÏÓË×Á, â. ÷ÌÁÓØÅ×ÓËÉÊ ÅÒ., 11, Ë.211, "ÕÒÎÉÒ çÏÒÏÄÏ×"

ðÒÏÂÌÅÍÙ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ

÷ÏÓØÍÏÊ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÊ ËÏÎÇÒÅÓÓ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ

ç. ä. çÌÅÊÚÅÒ (òáï)

î. è. òÏÚÏ× (íçõ)

÷ÏÓØÍÏÊ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÊ ËÏÎÇÒÅÓÓ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ (8-th International Congress on Mathemati al Edu ation, ICME-8) ÒÏÈÏÄÉÌ Ó 14 Ï 21 ÉÀÌÑ 1996 ÇÏÄÁ × óÅ×ÉÌØÅ, éÓÁÎÉÑ. îÁ ÅÌÕÀ ÎÅÄÅÌÀ ÓÔÏÌÉ Á áÎÄÁÌÕÚÉÉ, ÏÄÉÎ ÉÚ ËÒÕÎÅÊÛÉÈ É ËÒÁÓÉ×ÅÊÛÉÈ ÉÓÁÎÓËÉÈ ÇÏÒÏÄÏ×, ÎÅÒÁÚÒÙ×ÎÏ ÁÓÓÏ ÉÉÒÕÀÝÉÊÓÑ Ó ÉÍÅÎÁÍÉ ÌÅÇÅÎÄÁÒÎÙÈ äÏÎ ëÉÈÏÔÁ É óÁÎÞÏ ðÁÎÓÁ, Ó ÂÅÓÓÍÅÒÔÎÙÍÉ ÏÅÒÁÍÉ €ëÁÒÍÅ΁ É €óÅ×ÉÌØÓËÉÊ ÉÒÀÌØÎÉˁ, ÒÅ×ÒÁÔÉÌÓÑ × ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÊ ÅÎÔÒ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. ÷ÓÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÁÑ É ÍÎÏÇÏÔÒÕÄÎÁÑ ÏÄÇÏÔÏ×ËÁ Ë ËÏÎÇÒÅÓÓÕ ÂÙÌÁ ÏÂÅÓÅÞÅÎÁ îÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍ ËÏÍÉÔÅÔÏÍ (National Committee; ÒÅÚÉÄÅÎÔ Gonzalo San hez Vazquez) É ïÒÇÁÎÉÚÁ ÉÏÎÎÙÍ ËÏÍÉÔÅÔÏÍ (LoÓal Organizing Committee; ÒÅÚÉÄÅÎÔ: Antonio Perez Jimenez); ËÒÏÏÔÌÉ×ÙÍ ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÑ ÒÁÂÏÔÙ ËÏÎÇÒÅÓÓÁ ÚÁÎÉÍÁÌÓÑ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÊ ÒÏÇÒÁÍÍÎÙÊ ËÏÍÉÔÅÔ (International Program Committee; ÒÅÚÉÄÅÎÔ Claudi Alsina). ÷ÓÑ ÜÔÁ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔØ ÒÏÈÏÄÉÌÁ ÏÄ ÒÕËÏ×ÏÄÓÔ×ÏÍ É ÒÉ ÕÞÁÓÔÉÉ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÊ ËÏÍÉÓÓÉÉ Ï ÏÂÕÞÅÎÉÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ (International Commission on Mathemati al Instru tion, ICMI; ÒÅÚÉÄÅÎÔ Miguel de Guzman) É ÒÉ ÁËÔÉ×ÎÏÍ ÓÏÄÅÊÓÔ×ÉÉ éÓÁÎÓËÏÊ ÆÅÄÅÒÁ ÉÉ ÏÂÝÅÓÔ× ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ∗∗∗

ðÒÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÈ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÈ ËÏÎÇÒÅÓÓÏ× Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ | ÏÄÎÏ ÉÚ ×ÁÖÎÅÊÛÉÈ ÍÅÒÏÒÉÑÔÉÊ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÇÏ

176

ç. ä. çÌÅÊÚÅÒ, î. è. òÏÚÏ×

ÓÏÀÚÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× (International MathematiÓal Union, IMU), ÕÓÔÕÁÀÝÅÅ Ï Ó×ÏÅÍÕ ÚÎÁÞÅÎÉÀ É ÏÕÌÑÒÎÏÓÔÉ ÒÁÚ×Å ÞÔÏ ÔÒÁÄÉ ÉÏÎÎÙÍ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÍ ËÏÎÇÒÅÓÓÁÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× (International Congress of Mathemati ians, ICM). ðÒÁ×ÄÁ, ÅÓÌÉ ÉÓÔÏÒÉÑ ÏÓÌÅÄÎÉÈ ÎÁÓÞÉÔÙ×ÁÅÔ ÕÖÅ 100 ÌÅÔ (ÏÎÉ ÒÏÈÏÄÑÔ ËÁÖÄÙÅ ÞÅÔÙÒÅ ÇÏÄÁ; ×ÅÒ×ÙÅ ÔÁËÏÊ ËÏÎÇÒÅÓÓ ÂÙÌ ÓÏÚ×ÁÎ × 1897 ÇÏÄÕ × ãÀÒÉÈÅ, Á ÏÞÅÒÅÄÎÏÊ ÎÁÍÅÞÅÎ ÎÁ 1998 ÇÏÄ × âÅÒÌÉÎÅ), ÔÏ ÌÅÔÏÉÓØ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÈ ËÏÎÇÒÅÓÓÏ× Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ ÓÏ×ÓÅÍ ÎÅ ÔÁË ÄÌÉÎÎÁ. ðÅÒ×ÙÊ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÊ ËÏÎÇÒÅÓÓ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ ÓÏÓÔÏÑÌÓÑ × 1969 ÇÏÄÕ × ìÉÏÎÅ (æÒÁÎ ÉÑ) | Ï ÒÅÛÅÎÉÀ, ÒÉÎÑÔÏÍÕ ×Ï ×ÒÅÍÑ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÇÏ ËÏÎÇÒÅÓÓÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× × íÏÓË×Å × 1966 ÇÏÄÕ. âÙÌÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÏ, ÞÔÏ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÅ ËÏÎÇÒÅÓÓÙ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ ÓÏÚÙ×ÁÀÔÓÑ ËÁÖÄÙÅ ÞÅÔÙÒÅ ÇÏÄÁ, × ÓÅÒÅÄÉÎÅ ÉËÌÁ ÍÅÖÄÕ ÏÞÅÒÅÄÎÙÍÉ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÍÉ ËÏÎÇÒÅÓÓÁÍÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×. äÁÌØÎÅÊÛÉÊ ÓÉÓÏË íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÈ ËÏÎÇÒÅÓÓÏ× Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ ÔÁËÏ×: . 2 ICME (1972 Ç.) | üËÓÅÔÅÒ (÷ÅÌÉËÏÂÒÉÔÁÎÉÑ); . 3 ICME (1976 Ç.) | ëÁÒÌÓÒÕÜ (çÅÒÍÁÎÉÑ); . 4 ICME (1980 Ç.) | âÅÒËÌÉ (óûá); . 5 ICME (1984 Ç.) | áÄÅÌÁÉÄÁ (á×ÓÔÒÁÌÉÑ); . 6 ICME (1988 Ç.) | âÕÄÁÅÛÔ (÷ÅÎÇÒÉÑ); . 7 ICME (1992 Ç.) | ë×ÅÂÅË (ëÁÎÁÄÁ). îÁ ÒÏÔÑÖÅÎÉÉ ÍÎÏÇÉÈ ÌÅÔ ÎÁÛÁ ÓÔÒÁÎÁ Ï ÒÁ×Õ ÒÉÚÎÁ×ÁÌÁÓØ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ×ÅÄÕÝÉÈ × ÍÉÒÅ × ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ × ÛËÏÌÁÈ É ×ÕÚÁÈ, × ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ ÒÁÂÏÔÙ Ó ÍÏÌÏÄÅÖØÀ, ÒÏÑ×ÌÑÀÝÅÊ ÉÎÔÅÒÅÓ É ÓËÌÏÎÎÏÓÔØ Ë ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, × ÏÄÇÏÔÏ×ËÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÎÁÕÞÎÙÈ ËÁÄÒÏ×. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÅÌØÚÑ Ó ÓÏÖÁÌÅÎÉÅÍ ÎÅ ÏÔÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÅÅ ÎÅÔ ÓÒÅÄÉ ÔÅÈ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÎÉÍÁÌÉ Õ ÓÅÂÑ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÊ ËÏÎÇÒÅÓÓ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ. íÙ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ÏÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÔØÓÑ ÚÄÅÓØ ÎÁ ÉÓÔÏÒÉÉ É ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÉ ×ÓÅÈ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÈ ËÏÎÇÒÅÓÓÏ× Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ. ïÔÍÅÔÉÍ ÔÏÌØËÏ, ÞÔÏ ÏÓ×ÑÝÅÎÎÙÅ ÉÍ ÕÂÌÉËÁ ÉÉ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ, ÎÁÒÉÍÅÒ, × ÖÕÒÎÁÌÅ €íÁÔÅÍÁÔÉËÁ × ÛËÏÌŁ. îÁÄÏ, ÏÄÎÁËÏ, ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÎÏÓÉÌÉ ÒÅÉÍÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÂÅÇÌÙÊ, ÏÂÚÏÒÎÏ-ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÙÊ ÈÁÒÁËÔÅÒ, ÚÁÞÁÓÔÕÀ ÎÅ ÒÁÓËÒÙ×ÁÌÉ ÄÅÔÁÌØÎÏ ÏÄÈÏÄÏ× (ÏÓÏÂÅÎÎÏ | ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÙÈ ÉÎÏÓÔÒÁÎÎÙÍÉ ÕÞÁÓÔÎÉËÁÍÉ) ËÏ ÍÎÏÇÉÍ ÚÁÔÒÏÎÕÔÙÍ ÎÁ ËÏÎÇÒÅÓÓÁÈ ×ÁÖÎÙÍ ÒÏÂÌÅÍÁÍ.

ICME-8

177

é ÜÔÏ ÏÞÅÎØ ÄÏÓÁÄÎÏ. îÁÒÉÍÅÒ, ÒÏÉÚÎÅÓÅÎÎÙÅ ÎÁ ICM ÄÏËÌÁÄÙ ÚÁÔÅÍ ÓÏÂÉÒÁÀÔÓÑ × ÓÅ ÉÁÌØÎÏ ÉÚÄÁ×ÁÅÍÙÈ ÔÏÍÁÈ (É ÄÁÖÅ ÅÒÅ×ÏÄÑÔÓÑ ÎÁ ÒÕÓÓËÉÊ ÑÚÙË) É ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ ÂÏÌØÛÏÅ ×ÌÉÑÎÉÅ ÎÁ ÒÁÚ×ÉÔÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÍÙÓÌÉ. á ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÅ É ÏÌÅÚÎÙÅ ÍÁÔÅÒÉÁÌÙ ICME | ÓÄÅÌÁÎÎÙÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, ÏÂÓÕÖÄÁ×ÛÉÅÓÑ ÉÄÅÉ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÊ ÏÙÔ | ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ ÍÁÌÏÄÏÓÔÕÎÙÍÉ ÄÌÑ ÛÉÒÏËÏÇÏ ËÒÕÇÁ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ × ÎÁÛÅÊ ÓÔÒÁÎÅ. îÅÓÏÍÎÅÎÎÏ, ÞÔÏ ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÎÙÊ ÁÎÁÌÉÚ ÔÁËÉÈ ÍÁÔÅÒÉÁÌÏ× É ×ÙÒÁÂÏÔËÁ ÎÁ ÉÈ ÏÓÎÏ×Å ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÒÅËÏÍÅÎÄÁ ÉÊ | ÁËÔÕÁÌØÎÁÑ ÔÅÍÁ ÂÕÄÕÝÉÈ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ Ï ÍÅÔÏÄÉËÅ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ∗∗∗

ïÓÎÏ×ÎÏÊ ÅÌØÀ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÈ ËÏÎÇÒÅÓÓÏ× Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÓÅÍÅÒÎÏÅ ÓÏÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍÕ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÓÔ×Ï×ÁÎÉÀ ÏÂÕÞÅÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÛÉÒÏËÏÍÕ ÏÂÍÅÎÕ ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÉÍ É ÍÅÔÏÄÉÞÅÓËÉÍ ÏÙÔÏÍ, ÏÚÎÁËÏÍÌÅÎÉÀ Ó ÎÏ×ÉÎËÁÍÉ ÕÞÅÂÎÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ É ÏÂÏÒÕÄÏ×ÁÎÉÑ, ×ÎÅÄÒÅÎÉÀ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉÚÁ ÉÏÎÎÙÈ É ËÏÍØÀÔÅÒÎÙÈ ÔÅÈÎÏÌÏÇÉÊ. ðÒÏÇÒÁÍÍÁ ËÏÎÇÒÅÓÓÏ× ×ÓÅÇÄÁ ×ËÌÀÞÁÌÁ × ÓÅÂÑ ÛÉÒÏËÉÊ ÓÅËÔÒ ÓÁÍÙÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÏÒÏÓÏ×, ÉÍÅÀÝÉÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ Ë ÏÂÕÞÅÎÉÀ É ÉÚÕÞÅÎÉÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ × ÛËÏÌÅ, Ë ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ ×ÎÅËÌÁÓÓÎÏÊ ÒÁÂÏÔÙ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, Ë ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÀ ËÁÞÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÏÄÇÏÔÏ×ËÉ ÕÞÉÔÅÌÅÊ É ÉÈ ÒÉ×ÌÅÞÅÎÉÀ Ë ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑÍ Ï ÍÅÔÏÄÉËÅ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, Ë ÓÁÍÏÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ É Ô×ÏÒÞÅÓÔ×Õ × ÏÂÌÁÓÔÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, Ë ÒÏÁÇÁÎÄÅ É ÏÕÌÑÒÉÚÁ ÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÎÁÎÉÊ, Ë ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ËÕÒÓÏ× ×ÙÓÛÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ × ×ÕÚÁÈ. ÁËÏÅ ÖÅ ÂÏÇÁÔÓÔ×Ï É ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÉÅ ÒÏÂÌÅÍ, ÏÄÈÏÄÏ×, ÉÄÅÊ, ËÏÎ Å ÉÊ, ÒÁÚÒÁÂÏÔÏË, ÍÁÔÅÒÉÁÌÏ× ÒÅÄÌÏÖÉÌÉ ÕÞÁÓÔÎÉËÁÍ É ÏÒÇÁÎÉÚÁÔÏÒÙ ËÏÎÇÒÅÓÓÁ × óÅ×ÉÌØÅ. ïÂÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ ÏÉÓÁÔØ ×ÓÀ ÅÇÏ ÎÁÕÞÎÕÀ ÒÏÇÒÁÍÍÕ, ÓÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÏ ÒÁÓÓËÁÚÁÔØ Ï ×ÓÅÈ ÄÏËÌÁÄÁÈ, ÓÏÏÂÝÅÎÉÑÈ É ÄÉÓËÕÓÓÉÑÈ × ÏÄÎÏÊ ÓÔÁÔØÅ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ | ËÁË ÂÙÌÏ ÆÉÚÉÞÅÓËÉ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÏÓÅÔÉÔØ ×ÓÅ ÚÁÓÅÄÁÎÉÑ É ×ÓÔÒÅÞÉ. íÙ ÏÙÔÁÅÍÓÑ ÚÄÅÓØ ÒÏÉÎÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÔØ ÞÉÔÁÔÅÌÑ ÌÉÛØ Ï ÎÁÉÂÏÌÅÅ ×ÁÖÎÙÈ É ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÈ | Ó ÎÁÛÅÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ | ÔÅÍÁÈ É ÁÓÅËÔÁÈ ÒÁÂÏÔÙ ICME-8. ïÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÎÁÍ ÈÏÔÅÌÏÓØ ÂÙ ÒÉ×ÌÅÞØ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÒÏÓÓÉÊÓËÉÈ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÅÊ É ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌÏ×, ÓÔÕÄÅÎÔÏ× É ÌÀÂÉÔÅÌÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ Ë ÒÑÄÕ ×ÁÖÎÙÈ ÒÏÂÌÅÍ, ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ × ÈÏÄÅ ËÏÎÇÒÅÓÓÁ, É Ë ÏÔÄÅÌØÎÙÍ ×Ù×ÏÄÁÍ É ÒÅËÏÍÅÎÄÁ ÉÑÍ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÁËÔÕÁÌØÎÙÍÉ. ∗∗∗

ïÆÉ ÉÁÌØÎÏÅ ÎÁÞÁÌÏ ÒÁÂÏÔÙ ÓÏÓÔÏÑÌÏÓØ 14 ÉÀÌÑ × ÇÒÁÎÄÉÏÚÎÏÍ ä×ÏÒ Å ËÏÎÇÒÅÓÓÏ× | ÏÄÎÏÍ ÉÚ ËÒÁÓÉ×ÅÊÛÉÈ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÈ ÓÏÏÒÕÖÅÎÉÊ óÅ-

178

ç. ä. çÌÅÊÚÅÒ, î. è. òÏÚÏ×

×ÉÌØÉ. ëÁË É ÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÎÁ ÔÏÒÖÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÏÔËÒÙÔÉÉ, ÚÄÅÓØ ÒÏÚ×ÕÞÁÌÉ ÓÅÒÄÅÞÎÙÅ ÒÉ×ÅÔÓÔ×ÉÑ É ÉÓËÒÅÎÎÉÅ ÏÖÅÌÁÎÉÑ × ÒÅÞÁÈ ðÒÅÄÓÅÄÁÔÅÌÑ ÒÁ×ÉÔÅÌØÓÔ×Á áÎÄÁÌÕÚÉÉ, ÒÕËÏ×ÏÄÉÔÅÌÅÊ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÓÔÒÕËÔÕÒ éÓÁÎÉÉ É ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÈ ÎÁÕÞÎÙÈ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÊ. ó ÏÓÏÂÙÍ ÉÎÔÅÒÅÓÏÍ ÂÙÌÏ ×ÓÔÒÅÞÅÎÏ ×ÙÓÔÕÌÅÎÉÅ ðÒÅÚÉÄÅÎÔÁ ICMI íÉÇÅÌÑ ÄÅ çÕÚÍÁÎÁ (éÓÁÎÉÑ), ÏÓ×ÑÝÅÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÄÌÑ ÒÏÇÒÅÓÓÁ ËÕÌØÔÕÒÙ É ÒÁÚ×ÉÔÉÑ É×ÉÌÉÚÁ ÉÉ. îÁ ICME-8 ÒÉÂÙÌÏ, Ï ÄÁÎÎÙÍ ÏÒÇÁÎÉÚÁÔÏÒÏ×, ÂÏÌÅÅ 4000 ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÉÚ ÏÞÔÉ 90 ÓÔÒÁÎ ÍÉÒÁ. íÏÖÎÏ ËÏÎÓÔÁÔÉÒÏ×ÁÔØ, ÞÔÏ ÉÎÔÅÒÅÓ Ë ËÏÎÇÒÅÓÓÁÍ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ ÏÓÔÏÑÎÎÏ ÒÁÓÔÅÔ. ÷ÏÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÆÒÙ ÄÌÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ: ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ËÏÎÇÒÅÓÓÅ × ìÉÏÎÅ ÒÉÓÕÔÓÔ×Ï×ÁÌÏ ÌÉÛØ ÏËÏÌÏ 600 ÞÅÌÏ×ÅË, ÎÁ ÒÅÄÏÓÌÅÄÎÅÍ, × ë×ÅÂÅËÅ, ÂÙÌÏ ÚÁÒÅÇÉÓÔÒÉÒÏ×ÁÎÏ ÏÒÑÄËÁ 3000 ÕÞÁÓÔÎÉËÏ×. üÔÁ ÔÅÎÄÅÎ ÉÑ Ó×ÉÄÅÔÅÌØÓÔ×ÕÅÔ Ï ×ÓÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÅÊ ÒÏÌÉ, ËÏÔÏÒÕÀ ÉÇÒÁÅÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ × ÓÔÒÁÎÁÈ ÍÉÒÁ, ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÅÒÅÄÏ×ÙÈ × ÔÅÈÎÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ, É Ï ÓÔÒÅÍÌÅÎÉÉ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ Ë ÔÅÓÎÏÍÕ ÓÏÔÒÕÄÎÉÞÅÓÔ×Õ É ÛÉÒÏËÏÍÕ ÏÂÍÅÎÕ ÉÄÅÑÍÉ. ëÏÎÅÞÎÏ, Ï ÞÉÓÌÕ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÌÉÄÉÒÏ×ÁÌÁ éÓÁÎÉÑ | ÓÔÒÁÎÁ-ÏÒÇÁÎÉÚÁÔÏÒ ÓÄÅÌÁÌÁ ×ÓÅ, ÞÔÏÂÙ ÅÅ ÕÞÉÔÅÌÑ É ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÓÍÏÇÌÉ ÒÉÓÕÔÓÔ×Ï×ÁÔØ ÎÁ ÜÔÏÍ ÆÏÒÕÍÅ. (ëÓÔÁÔÉ, ÒÁÂÏÞÉÍÉ ÑÚÙËÁÍÉ ËÏÎÇÒÅÓÓÁ ÂÙÌÉ ÏÂßÑ×ÌÅÎÙ ÁÎÇÌÉÊÓËÉÊ É ÉÓÁÎÓËÉÊ.) ïÓÏÂÅÎÎÏ ÛÉÒÏËÏ ÂÙÌÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÉÓÁÎÏÇÏ×ÏÒÑÝÉÅ É ÌÁÔÉÎÏÁÍÅÒÉËÁÎÓËÉÅ ÓÔÒÁÎÙ; ÕÞÁÓÔÉÅ ÍÎÏÇÉÈ ÓÔÒÁÎ å×ÒÏÙ ÏËÁÚÁÌÏÓØ ÍÅÎÅÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌØÎÙÍ, ÞÅÍ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÏÖÉÄÁÔØ. íÉÎÉÓÔÅÒÓÔ×Á É ×ÅÄÏÍÓÔ×Á òÏÓÓÉÉ, ÚÁÎÉÍÁÀÝÉÅÓÑ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ É ÎÁÕËÏÊ, ÎÉËÏÇÏ ÎÁ ICME-8 ÎÁÒÁ×ÌÑÔØ ÄÁÖÅ ÎÅ ÓÏÂÉÒÁÌÉÓØ (×ÒÏÞÅÍ, ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ ÂÙÌÏ 4 ÇÏÄÁ ÎÁÚÁÄ ×Ï ×ÒÅÍÑ ËÏÎÇÒÅÓÓÁ × ë×ÅÂÅËÅ). òÁÚ×Å ÜÔÏÔ ÕÄÉ×ÉÔÅÌØÎÙÊ ÆÁËÔ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÇÌÑÄÎÙÍ Ó×ÉÄÅÔÅÌØÓÔ×ÏÍ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ Ë ÓÕÄØÂÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ × ÓÔÒÁÎÅ? ìÉÛØ 13 ÒÏÓÓÉÑÎ ÓÍÏÇÌÉ ÒÉÅÈÁÔØ × óÅ×ÉÌØÀ | × ÞÁÓÔÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ, ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ ÎÁÊÄÅÎÎÏÊ ÓÏÎÓÏÒÓËÏÊ ÏÄÄÅÒÖËÅ. (îÁÒÉÍÅÒ, Á×ÔÏÒÁÍ ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÓÔÁÔØÉ ÕÄÁÌÏÓØ ÕÞÁÓÔ×Ï×ÁÔØ × ËÏÎÇÒÅÓÓÅ ÔÏÌØËÏ ÚÁ ÓÞÅÔ ÇÒÁÎÔÏ× íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÇÏ ÎÁÕÞÎÏÇÏ ÆÏÎÄÁ É ïÒÇËÏÍÉÔÅÔÁ ËÏÎÇÒÅÓÓÁ.) ëÁË ÜÔÏ ËÏÎÔÒÁÓÔÉÒÕÅÔ Ó ÓÉÔÕÁ ÉÅÊ ×Ï ×ÒÅÍÑ ËÏÎÇÒÅÓÓÁ × âÕÄÁÅÛÔÅ × 1988 ÇÏÄÕ, ËÕÄÁ ÒÉÂÙÌÉ ÏÆÉ ÉÁÌØÎÁÑ ÓÏ×ÅÔÓËÁÑ ÄÅÌÅÇÁ ÉÑ ÉÚ 26 ÞÅÌÏ×ÅË (×Ï ÇÌÁ×Å Ó ÁËÁÄ. ó. í. îÉËÏÌØÓËÉÍ) É ÂÏÌÅÅ 50 ÅÄÁÇÏÇÏ× Ï ÒÏÇÒÁÍÍÅ ÎÁÕÞÎÏÇÏ ÔÕÒÉÚÍÁ! ∗∗∗

ðÒÏÇÒÁÍÍÁ ICME-8 ÒÅÄÕÓÍÁÔÒÉ×ÁÌÁ 4 ÞÁÓÏ×ÙÈ ÌÅÎÁÒÎÙÈ ÄÏËÌÁÄÁ (plenary le tures), ×Ï ×ÒÅÍÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ÂÙÌÏ ÉÎÙÈ ÒÁÂÏÞÉÈ ÍÅÒÏÒÉÑÔÉÊ:

ICME-8

179

. á. Sierpinska (ëÁÎÁÄÁ; ×É Å-ÒÅÚÉÄÅÎÔ ICMI), €ëÕÄÁ ÉÄÅÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ?; . M. de Guzman (éÓÁÎÉÑ; ÒÅÚÉÄÅÎÔ ICMI), €ï ÒÏÌÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ × ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉɁ; . D. Tall (÷ÅÌÉËÏÂÒÉÔÁÎÉÑ), €éÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÁÑ ÔÅÈÎÏÌÏÇÉÑ É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ: ÎÁÄÅÖÄÙ, ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ É ÒÅÁÌÉɁ; . J. de Lange (îÉÄÅÒÌÁÎÄÙ), €òÅÁÌØÎÙÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÒÅÁÌØÎÏÇÏ ÍÉÒÁ. éÚÌÁÇÁÔØ ËÒÁÔËÏ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÜÔÉÈ ËÏÎ ÅÔÕÁÌØÎÙÈ ÄÏËÌÁÄÏ× | ÚÎÁÞÉÔ ÔÏÌØËÏ ÉÈ ÏÒÔÉÔØ, ÍÅÛÁÔØ ÏÙÔËÁÍ Á×ÔÏÒÏ× ÄÏÎÅÓÔÉ ÄÏ ÎÁÕÞÎÏÊ É ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÏÂÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ Ó×ÏÉ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÅ ×ÚÇÌÑÄÙ, ÂÅÚÕÓÌÏ×ÎÏ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÅ, ÈÏÔÑ ÏÄÞÁÓ É ÓÏÒÎÙÅ. âÕÄÅÍ ÎÁÄÅÑÔØÓÑ, ÞÔÏ ÅÒÅ×ÏÄÙ ÏÌÎÙÈ ÔÅËÓÔÏ× ÜÔÉÈ ÄÏËÌÁÄÏ× ×ÓÅ ÖÅ ÏÑ×ÑÔÓÑ ÎÁ ÒÕÓÓËÏÍ ÑÚÙËÅ × ËÁËÏÍÌÉÂÏ ÉÚ ÏÂÝÅÄÏÓÔÕÎÙÈ ÉÚÄÁÎÉÊ. (íÙ ÓÅ ÉÁÌØÎÏ ÒÉ×ÏÄÉÍ ÏÄÌÉÎÎÙÅ ÎÁÉÓÁÎÉÑ ÆÁÍÉÌÉÊ ÄÏËÌÁÄÞÉËÏ× ÎÁ ÔÏÔ ÓÌÕÞÁÊ, ÅÓÌÉ ×ÏÚÎÉËÎÅÔ ÖÅÌÁÎÉÅ ÏÚÎÁËÏÍÉÔØÓÑ Ó ÉÈ ÔÅËÓÔÁÍÉ Ï ÕÂÌÉËÁ ÉÑÍ ÎÁ ÑÚÙËÅ ÏÒÉÇÉÎÁÌÁ.) ∗∗∗

ðÒÏÇÒÁÍÍÁ ËÏÎÇÒÅÓÓÁ ×ËÌÀÞÁÌÁ × ÓÅÂÑ É 56 ÄÏËÌÁÄÏ× Ï ÒÉÇÌÁÛÅÎÉÀ (regular le tures). îÁ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÎÉÈ ×ÙÄÅÌÑÌÓÑ ÔÏÖÅ 1 ÞÁÓ, ÏÄÎÁËÏ ÏÎÉ ÒÏÈÏÄÉÌÉ ÕÖÅ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏ ÄÒÕÇÉÍ ÚÁÓÅÄÁÎÉÑÍ. ðÏÌÎÙÊ ÓÉÓÏË ÎÁÚ×ÁÎÉÊ ÜÔÉÈ ÄÏËÌÁÄÏ× ÂÙÌ ÂÙ ÞÒÅÚÍÅÒÎÏ ÄÌÉÎÎÙÍ, É ÍÙ ÏÇÒÁÎÉÞÉÍÓÑ ×ÏÓÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÌÉÛØ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÚ ÎÉÈ, ÞÔÏÂÙ ÏËÁÚÁÔØ ÛÉÒÏÔÕ ÏÈ×ÁÞÅÎÎÏÊ ÔÅÍÁÔÉËÉ (ÏÒÑÄÏË ÄÏËÌÁÄÏ× ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÒÏÇÒÁÍÍÅ ËÏÎÇÒÅÓÓÁ): . P. Broman (û×Å ÉÑ), €ðÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÅ É ÉÚÕÞÅÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÄÌÑ ÂÕÄÕÝÅÇρ; . C. Kieran (ëÁÎÁÄÁ), €íÅÎÑÀÝÅÅÓÑ ÌÉ Ï ÛËÏÌØÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒف; . Th. Cooney (óûá), €ëÏÎ ÅÔÕÁÌÉÚÁ ÉÑ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÓÔÁ ÕÞÉÔÅÌÅʁ; . J. L. Vi ente (éÓÁÎÉÑ), €çÅÏÍÅÔÒÉÑ É ÓÉÍ×ÏÌÉÞÅÓËÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉŁ; . Nguyen Dinh Tri (÷ØÅÔÎÁÍ), €îÅËÏÔÏÒÙÅ ÁÓÅËÔÙ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÓËÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÙ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÄÌÑ ÉÎÖÅÎÅÒÏׁ; . Zonghu Qiu (ëÉÔÁÊ), €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÑ × ëÉÔÁÅ | ÕÓÅÈÉ É ÔÒÕÄÎÏÓÔɁ; . G. Vergnaud (æÒÁÎ ÉÑ), €÷ÁÖÎÅÊÛÉÅ ËÏÇÎÉÔÉ×ÎÙÅ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ × ÉÚÕÞÅÎÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ: ÅÒÓÅËÔÉ×Ù ÒÁÚ×ÉÔÉс;

180

ç. ä. çÌÅÊÚÅÒ, î. è. òÏÚÏ×

. P. Bender (çÅÒÍÁÎÉÑ), €âÁÚÉÓÎÙÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ É ÕÔÉ ÏÎÉÍÁÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ËÏÎ Å ÉÊ ÎÁ ×ÓÅÈ ÕÒÏ×ÎÑÈ ÏÂÕÞÅÎÉс; . D. Moore (óûá), €îÏ×ÁÑ ÅÄÁÇÏÇÉËÁ É ÎÏ×ÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ: ÓÌÕÞÁÊ ÓÔÁÔÉÓÔÉËɁ; . G. Howson (÷ÅÌÉËÏÂÒÉÔÁÎÉÑ), €íÁÔÅÍÁÔÉËÁ É ÚÄÒÁ×ÙÊ ÓÍÙÓ́; . O. Skovsmose (äÁÎÉÑ), €ëÒÉÔÉËÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ | ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÆÉÌÏÓÏÆÓËÉÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉс; . J. Dalmaso (áÒÇÅÎÔÉÎÁ), €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÌÉÍÉÁÄÙ × áÒÇÅÎÔÉÎÅ: ÒÏÛÌÏÅ, ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ É ÂÕÄÕÝÅŁ; . A. Thompson (óûá), €ëÏÎ ÅÔÕÁÌØÎÁÑ É ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÁÑ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ × ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËɁ; . L. Arboleda (ëÏÌÕÍÂÉÑ), €ëÏÎ Å ÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ É ÏÙÔÁ Ï íÏÒÉÓÕ æÒÅÛŁ. íÏÖÎÏ ÌÉÛØ ÏÖÁÌÅÔØ, ÞÔÏ ÉÍÅÎÁ ÍÎÏÇÉÈ ÄÏËÌÁÄÞÉËÏ×, ËÁË É ÉÈ ÒÁÂÏÔÙ, ÏÌØÚÕÀÝÉÅÓÑ Á×ÔÏÒÉÔÅÔÏÍ × ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÏÍ ÍÉÒÅ (íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÊ ÒÏÇÒÁÍÍÎÙÊ ËÏÍÉÔÅÔ ÏÞÅÎØ ÔÝÁÔÅÌØÎÏ ÏÔÂÉÒÁÌ ËÁÎÄÉÄÁÔÕÒÙ ÒÉÇÌÁÛÁÅÍÙÈ), ÍÁÌÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ × ÎÁÛÅÊ ÓÔÒÁÎÅ. íÅÖÄÕ ÔÅÍ × ÉÈ ÄÏËÌÁÄÁÈ ÓÏÄÅÒÖÁÌÉÓØ ÎÅÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ× Ï ÅÄÁÇÏÇÉËÅ, ÍÅÔÏÄÉËÅ, ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ ÕÞÅÂÎÏÇÏ ÒÏ ÅÓÓÁ, ÏÒÉÇÉÎÁÌØÎÙÅ ÒÁÚÒÁÂÏÔËÉ ÄÉÄÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÍÁÔÅÒÉÁÌÏ×, ÏÓÏÂÉÊ, ÔÅÈÎÏÌÏÇÉÊ, ÏÌÅÚÎÙÊ ÏÙÔ ÒÁËÔÉËÏ× ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÑ. ÷ÓÅ ÜÔÏ ÏÞÅÎØ ×ÁÖÎÏ É ÄÌÑ ÒÏÓÓÉÊÓËÏÊ ÛËÏÌÙ. ëÁË ÞÁÓÔÏ ÍÙ ÞÉÔÁÅÍ × ÎÁÛÉÈ ÉÚÄÁÎÉÑÈ Ï ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÒÏÂÌÅÍÁÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ÓÏÒÉÍ Ï ÎÉÈ ÎÁ Ó×ÏÉÈ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÑÈ É ÓÅÍÉÎÁÒÁÈ! ïÄÎÁËÏ ÎÅ ÉÚÏÂÒÅÔÁÅÍ ÌÉ ÍÙ ÏÄÞÁÓ €×ÅÌÏÓÉÅā, ÒÏÓÔÏ ÎÅ ÚÎÁÑ | ÉÚ-ÚÁ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÏÌÎÏÇÏ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÑ ÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ËÁÞÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ Ï ÚÁÒÕÂÅÖÎÏÊ ÍÅÔÏÄÉÞÅÓËÏÊ ÍÙÓÌÉ | ×ÓÅ ÔÏ, ÞÔÏ ÚÁ ÇÒÁÎÉ ÅÊ ÌÅÇËÏÄÏÓÔÕÎÏ ÌÀÂÏÍÕ Ô×ÏÒÞÅÓËÉ ÁËÔÉ×ÎÏÍÕ ÕÞÉÔÅÌÀ? îÅ ÏÒÁ ÌÉ × ÎÁÛÉÈ ÕÞÒÅÖÄÅÎÉÑÈ, ÚÁÎÑÔÙÈ ÒÁÚÒÁÂÏÔËÏÊ ×ÏÒÏÓÏ× ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ×ÚÑÔØ ÚÁ ÒÁ×ÉÌÏ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉ ÇÏÔÏ×ÉÔØ ÄÌÑ ÕÂÌÉËÁ ÉÉ ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÎÙÅ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÂÚÏÒÙ (ÅÓÌÉ ÅÌÅÓÏÏÂÒÁÚÎÏ | ÔÏ É ÅÒÅ×ÏÄÙ) ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÈ ÓÔÁÔÅÊ ÉÚ ÄÅÓÑÔËÏ× ÖÕÒÎÁÌÏ× ÍÉÒÁ Ï ÜÔÏÊ ÔÅÍÁÔÉËÅ? é ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÅÞÁÌØÎÙÊ ÆÁËÔ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ËÏÎÓÔÁÔÉÒÏ×ÁÔØ, ÒÏÓÍÁÔÒÉ×ÁÑ ÓÉÓÏË ÒÉÇÌÁÛÅÎÎÙÈ ÄÏËÌÁÄÞÉËÏ×. îÁ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ËÏÎÇÒÅÓÓÁÈ ÎÅÉÚÍÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÒÅÓ ×ÙÚÙ×ÁÌÉ ÔÝÁÔÅÌØÎÏ ÏÄÇÏÔÏ×ÌÅÎÎÙÅ, ÓÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÙÅ É ÁËÔÕÁÌØÎÙÅ ×ÙÓÔÕÌÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ ÎÁÛÅÊ ÓÔÒÁÎÙ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÄÏ

ICME-8

181

ÓÉÈ ÏÒ ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ ÁËÔÕÁÌØÎÏÓÔØ ÌÅÎÁÒÎÙÊ ÄÏËÌÁÄ ÁËÁÄ. á. ð. åÒÛÏ×Á €ëÏÍØÀÔÅÒÉÚÁ ÉÑ ÛËÏÌÙ É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉŁ, ÒÏÞÉÔÁÎÎÙÊ ÎÁ ICME-6). óÅÇÏÄÎÑ ÒÏÓÓÉÊÓËÉÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌÉ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÎÁÄÅÖÎÏÊ ÍÁÔÅÒÉÁÌØÎÏÊ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÒÉÓÕÔÓÔ×Ï×ÁÔØ É ×ÙÓÔÕÁÔØ ÎÁ ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÈ ÆÏÒÕÍÁÈ Ó ÉÚÌÏÖÅÎÉÅÍ Ó×ÅÖÉÈ ÉÄÅÊ É ÎÏ×ÙÈ ÒÁÚÒÁÂÏÔÏË. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÏÎÉ ÍÁÌÏ ÕÂÌÉËÕÀÔÓÑ × ÚÁÒÕÂÅÖÎÙÈ ÉÚÄÁÎÉÑÈ (ÏÂÙÞÎÏ ÉÚÚÁ ÓË×ÅÒÎÏÇÏ ×ÌÁÄÅÎÉÑ ÉÎÏÓÔÒÁÎÎÙÍ ÑÚÙËÏÍ), Á ÏÔÅÞÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÎÁÕÞÎÁÑ ÅÒÉÏÄÉËÁ ×ÙÈÏÄÉÔ ÞÁÓÔÏ ÔÁËÉÍÉ ÔÉÒÁÖÁÍÉ, ÞÔÏ ÎÅ ×ÓÅÍ ÄÏÓÔÕÎÁ ÄÁÖÅ ÎÁ ÒÏÄÉÎÅ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÁÑ ÏÔÏÒ×ÁÎÎÏÓÔØ ÎÁÛÉÈ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ× ÏÔ ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÇÏ ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÓÔ×Á ÄÅÌÁÅÔ ÉÈ ÆÁÍÉÌÉÉ É ÒÁÂÏÔÙ ÍÁÌÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ × ÍÉÒÅ. üÔÏ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, É ÎÅ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÏÓÓÉÑÎÁÍ, ÁËÔÉ×ÎÏ É Ô×ÏÒÞÅÓËÉ ÚÁÎÉÍÁÀÝÉÍÓÑ ÔÅÏÒÉÅÊ É ÒÁËÔÉËÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ÏÁÓÔØ × ÞÉÓÌÏ ÄÏËÌÁÄÞÉËÏ×, ÏÄÂÉÒÁÅÍÙÈ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÍ ÒÏÇÒÁÍÍÎÙÍ ËÏÍÉÔÅÔÏÍ (ÈÏÔÑ Õ ÎÁÓ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÏÌÎÅ ÄÏÓÔÏÊÎÙÈ ËÁÎÄÉÄÁÔÕÒ). ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÎÅÔ ÎÉËÁËÏÊ Õ×ÅÒÅÎÎÏÓÔÉ, ÞÔÏ, ÄÁÖÅ ÏÌÕÞÉ× ÒÉÇÌÁÛÅÎÉÅ, ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÕÄÁÓÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÓÒÅÄÓÔ×Á ÄÌÑ ÕÞÁÓÔÉÑ × ËÏÎÇÒÅÓÓÅ. é ×ÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ: ÓÒÅÄÉ ÒÉÇÌÁÛÅÎÎÙÈ ÎÁ ICME-8 ÄÏËÌÁÄÞÉËÏ× ÂÙÌ ×ÓÅÇÏ ÏÄÉÎ (!) ÉÚ òÏÓÓÉÉ:

. ÷. æÉÒÓÏ× (òÏÓÓÉÑ), €òÏÓÓÉÊÓËÉÅ ÓÔÁÎÄÁÒÔÙ: ËÏÎ Å ÉÉ É ÒÅÛÅÎÉс. ÷ ÂÕÄÕÝÅÍ ÕÞÁÓÔÉÅ ÎÁÛÅÊ ÓÔÒÁÎÙ × ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÈ ËÏÎÇÒÅÓÓÁÈ ÄÏÌÖÎÏ ÓÔÁÔØ ÒÅÄÍÅÔÏÍ ÏÓÔÏÑÎÎÏÇÏ ×ÎÉÍÁÎÉÑ É ÒÅÁÌØÎÏÊ ÒÁÂÏÔÙ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÙÈ É ÎÁÕÞÎÙÈ ÏÒÇÁÎÏ×, ÒÉÚ×ÁÎÎÙÈ ÓÏÏÂÝÁ ÒÅÛÁÔØ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÏÎÎÏ-ÆÉÎÁÎÓÏ×ÙÅ ÒÏÂÌÅÍÙ É ÏÂÅÓÅÞÉÔØ ÄÏÓÔÏÊÎÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÏÓÓÉÊÓËÏÊ ÎÁÕËÉ. ∗∗∗

äÏËÌÁÄÙ, Ñ×ÌÑÑÓØ ËÁË ÂÙ ÆÁÓÁÄÏÍ ËÏÎÇÒÅÓÓÁ, ×ÙÚ×ÁÌÉ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÓÅ ÉÁÌØÎÙÊ ÉÎÔÅÒÅÓ, ÎÏ ÏÓÎÏ×ÎÁÑ, ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÄÉÎÁÍÉÞÎÁÑ É ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉ×ÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ÒÏÔÅËÁÌÁ, ËÁË ×ÓÅÇÄÁ, × ÂÏÌÅÅ ÕÚËÏÍ ÓÏÓÔÁ×Å, ÎÁ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÅ ÉÁÌÉÚÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÚÁÓÅÄÁÎÉÑÈ. äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÉÔØ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÎÙÅ ÚÁÒÏÓÙ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ËÏÎÇÒÅÓÓÁ, ÏÒÇÁÎÉÚÁÔÏÒÙ ÚÁÌÁÎÉÒÏ×ÁÌÉ ÏËÏÌÏ 200 ÚÁÓÅÄÁÎÉÊ, ×ÓÔÒÅÞ, ÄÉÓËÕÓÓÉÊ, ÒÏÄÏÌÖÉÔÅÌØÎÏÓÔØÀ 1{1,5{2 ÞÁÓÁ. ÷ÙÚÙ×ÁÅÔ ×ÏÓÈÉÝÅÎÉÅ ÔÝÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, Ó ËÏÔÏÒÏÊ ÏÄÂÉÒÁÌÁÓØ ÔÅÍÁÔÉËÁ ÜÔÉÈ ÚÁÓÅÄÁÎÉÊ. é ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÓÏÖÁÌÅÔØ, ÞÔÏ ÎÁ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÉÚ ÎÉÈ (ÎÅÓÏÍÎÅÎÎÏ, ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÈ É ×ÁÖÎÙÈ) ×ÓÅ ÒÁ×ÎÏ ÏÁÓÔØ, Õ×Ù, ÎÅ ÕÄÁÌÏÓØ ÉÚ-ÚÁ ÄÅÆÉ ÉÔÁ ×ÒÅÍÅÎÉ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, ÄÅÌÏ×ÏÅ ÏÂÝÅÎÉÅ ËÏÎÇÒÅÓÓÉÓÔÏ× ÂÙÌÏ ÒÁÓÓÒÅÄÏÔÏÞÅÎÏ Ï 26 ÒÁÂÏÞÉÍ ÇÒÕÁÍ (working groups) É 26 ÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÇÒÕÁÍ (topi

182

ç. ä. çÌÅÊÚÅÒ, î. è. òÏÚÏ×

groups). éÍÅÎÎÏ ÎÁ ÚÁÓÅÄÁÎÉÑÈ ÜÔÉÈ ÇÒÕ ÒÏÉÓÈÏÄÉÌÏ ÖÉ×ÏÅ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÅ ÒÁÚÎÙÈ ÁËÔÕÁÌØÎÙÈ ×ÏÒÏÓÏ×, ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÌÉÓØ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙÅ, ÏÄÞÁÓ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÁÝÉÅ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ, ÒÁÚÇÏÒÁÌÉÓØ ÇÏÒÑÞÉÅ ÚÁÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÎÎÙÅ ÄÉÓËÕÓÓÉÉ, ÒÏÈÏÄÉÌ ÏÂÍÅÎ ÎÁËÏÌÅÎÎÙÍ ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÏÙÔÏÍ. òÁÂÏÞÉÅ ÇÒÕÙ ÏÈ×ÁÔÙ×ÁÌÉ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ×ÓÅ ÁÓÅËÔÙ ÔÅÏÒÉÉ É ÒÁËÔÉËÉ, ÍÅÔÏÄÉËÉ É ÍÅÔÏÄÏÌÏÇÉÉ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ × ÓÒÅÄÎÉÈ É ×ÙÓÛÉÈ ÕÞÅÂÎÙÈ ÚÁ×ÅÄÅÎÉÑÈ, ÓÉÈÏÌÏÇÉÉ ÏÂÕÞÅÎÉÑ É ×ÏÓÒÉÑÔÉÑ, ËÕÌØÔÕÒÎÏÊ É ÓÏ ÉÁÌØÎÏÊ ÚÎÁÞÉÍÏÓÔÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÎÁÚ×ÁÎÉÑ ÒÁÂÏÞÉÈ ÇÒÕ, ÆÕÎË ÉÏÎÉÒÏ×Á×ÛÉÈ ×Ï ×ÒÅÍÑ ICME-8: . ëÏÍÍÕÎÉËÁÂÅÌØÎÏÓÔØ × ËÌÁÓÓÅ. . æÏÒÍÙ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÚÎÁÎÉÑ. . ïÔÎÏÛÅÎÉÅ É ÍÏÔÉ×Á ÉÑ ÕÞÁÝÉÈÓÑ Ë ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ. . úÁÔÒÕÄÎÅÎÉÑ ÕÞÁÝÉÈÓÑ ÒÉ ÉÚÕÞÅÎÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. . ðÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÅ × ËÌÁÓÓÁÈ Ó ÕÞÅÎÉËÁÍÉ ÒÁÚÎÙÈ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔÅÊ. . ðÏÌ É ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ. . íÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÄÌÑ ÓÏÓÏÂÎÙÈ ÕÞÁÝÉÈÓÑ. . íÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÄÌÑ ÕÞÁÝÉÈÓÑ Ó ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÉÎÔÅÒÅÓÁÍÉ. . éÎÎÏ×Á ÉÉ × Ï ÅÎËÅ ÚÎÁÎÉÊ. . ñÚÙËÉ É ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ. . ðÒÏÇÒÁÍÍÁ ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÕÒÏ×ÎÑ. . ü×ÏÌÀ ÉÑ ÒÏÇÒÁÍÍÙ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ × ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ÛËÏÌÅ. . ü×ÏÌÀ ÉÑ ÒÏÇÒÁÍÍÙ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ × ÓÒÅÄÎÅÊ ÛËÏÌÅ. . íÁÔÅÍÁÔÉËÁ É ÄÒÕÇÉÅ ÛËÏÌØÎÙÅ ÒÅÄÍÅÔÙ. . ÷ÌÉÑÎÉÅ ÔÅÈÎÏÌÏÇÉÊ ÎÁ ÒÏÇÒÁÍÍÕ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ. . òÏÌØ ÔÅÈÎÏÌÏÇÉÊ × ÒÏ ÅÓÓÅ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ. . òÏÌØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ × ×ÙÓÛÅÍ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ. . íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ×ÚÒÏÓÌÙÈ. . ðÏÄÇÏÔÏ×ËÁ É ÅÒÅÏÄÇÏÔÏ×ËÁ ÕÞÉÔÅÌÅÊ. . ï ÅÎÉ×ÁÎÉÅ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ, ÕÞÅÂÎÙÈ ÅÎÔÒÏ× É ÓÉÓÔÅÍ. . ðÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ É ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ËÕÌØÔÕÒÙ.

ICME-8

183

. íÁÔÅÍÁÔÉËÁ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ, ÏÂÝÅÓÔ×Ï É ËÕÌØÔÕÒÁ. . óÏÔÒÕÄÎÉÞÅÓÔ×Ï ÓÔÒÁÎ É ÒÅÇÉÏÎÏ× × ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ. . ëÒÉÔÅÒÉÉ ËÁÞÅÓÔ×Á É ÁËÔÕÁÌØÎÏÓÔÉ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ. . íÅÔÏÄÉËÁ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ËÁË ÎÁÕÞÎÁÑ ÄÉÓ ÉÌÉÎÁ. . ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ÔÅÏÒÉÅÊ É ÒÁËÔÉËÏÊ × ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ. ÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÇÒÕÙ ÚÁÔÒÁÇÉ×ÁÌÉ ÏÄÁ×ÌÑÀÝÅÅ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÕÚÌÏ×ÙÈ ÒÏÂÌÅÍ, ËÁÓÁÀÝÉÈÓÑ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ×ÏÒÏÓÏ× ÒÏÇÒÁÍÍÙ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ × ÛËÏÌÅ É ×ÕÚÅ, ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÑ É ÆÏÒÍ ×ÎÅËÌÁÓÓÎÏÊ ÒÁÂÏÔÙ (ÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ | Ó ÔÁÌÁÎÔÌÉ×ÏÊ ÍÏÌÏÄÅÖØÀ), ÓÏÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÓÁÍÏÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ, ÁËÔÉ×ÉÚÁ ÉÉ ÒÏÁÇÁÎÄÙ É ÏÕÌÑÒÉÚÁ ÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÎÁÎÉÊ. ÷ÏÔ ËÁË ÂÙÌÉ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÙ ÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÇÒÕÙ, ÒÁÂÏÔÁ×ÛÉÅ × ÒÁÍËÁÈ ICME-8: . íÁÔÅÍÁÔÉËÁ × ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ÛËÏÌÅ. . íÁÔÅÍÁÔÉËÁ × ÓÒÅÄÎÅÊ ÛËÏÌÅ. . íÁÔÅÍÁÔÉËÁ × ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁÈ. . äÉÓÔÁÎ ÉÏÎÎÏÅ ÏÂÕÞÅÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ. . ïÂÕÞÅÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ × ÒÏ ÅÓÓÅ ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÊ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ. . ðÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ Ó ËÏÎÓÔÒÕËÔÉ×ÉÓÔÓËÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ. . ÷ÏÓÉÔÁÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ Ô×ÏÒÞÅÓÔ×Á. . äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÓÔØ: ÏÞÅÍÕ, ËÏÇÄÁ É ËÁË? . óÔÁÔÉÓÔÉËÁ É ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ × ÓÒÅÄÎÅÊ ÛËÏÌÅ. . òÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞ, ÒÅÄÕÓÍÏÔÒÅÎÎÙÈ ÒÏÇÒÁÍÍÏÊ. . âÕÄÕÝÅÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ. . âÕÄÕÝÅÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. . âÕÄÕÝÅÅ ÁÌÇÅÂÒÙ É ÁÒÉÆÍÅÔÉËÉ. . âÅÓËÏÎÅÞÎÙÅ ÒÏ ÅÓÓÙ, ÉÚÕÞÁÅÍÙÅ × ÒÁÍËÁÈ ÒÏÇÒÁÍÍÙ. . éÓËÕÓÓÔ×Ï É ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ. . éÓÔÏÒÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ É ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. . íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÅ É ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ.

184

ç. ä. çÌÅÊÚÅÒ, î. è. òÏÚÏ×

. òÏÌØ ËÁÌØËÕÌÑÔÏÒÏ× × ÒÏ ÅÓÓÅ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ. . ïÂÕÞÅÎÉÅ Ó ÏÍÏÝØÀ ËÏÍØÀÔÅÒÎÏÇÏ ÄÉÁÌÏÇÁ. . ÅÈÎÏÌÏÇÉÉ ÄÌÑ ÎÁÇÌÑÄÎÏÇÏ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ. . ïÂÕÞÅÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ Ó ÏÍÏÝØÀ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÏÎÎÙÈ ÍÁÔÅÒÉÁÌÏ×. . íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÉÇÒÙ É ÇÏÌÏ×ÏÌÏÍËÉ, . âÕÄÕÝÉÅ ÆÏÒÍÙ ÕÂÌÉËÁ ÉÊ × ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ. . íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÑ. . íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ËÌÕÂÙ. . íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÕÒÏ×ÎÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. ÷Ï ×ÒÅÍÑ ÚÁÓÅÄÁÎÉÊ ËÁÖÄÏÊ ÒÁÂÏÞÅÊ ÉÌÉ ÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÙ ÚÁÓÌÕÛÉ×ÁÌÉÓØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, ÚÁÑ×ÌÅÎÎÙÅ ÕÞÁÓÔÎÉËÁÍÉ É ÏÔÏÂÒÁÎÎÙÅ ÒÕËÏ×ÏÄÓÔ×ÏÍ ÇÒÕÙ. îÁ ×ÙÓÔÕÌÅÎÉÑ ÏÔ×ÏÄÉÌÏÓØ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, 15{30 ÍÉÎÕÔ É ÏÞÔÉ ×ÓÅ ÏÎÉ ÂÙÌÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÙ Ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÄÅÍÏÎÓÔÒÁ ÉÏÎÎÏÊ ÔÅÈÎÉËÉ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÜËÏÎÏÍÉÌÏ ×ÒÅÍÑ. ÷ÅÓØÍÁ ÓÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÙÍÉ ÂÙÌÉ É ÏÖÉ×ÌÅÎÎÙÅ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÑ, ×ÏÚÎÉËÁ×ÛÉÅ ÏÓÌÅ ÍÎÏÇÉÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ. óÔÏÉÔ ÕÏÍÑÎÕÔØ É ×ÓÅ ÛÉÒÅ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÑÀÝÕÀÓÑ ÓÒÅÄÉ ×ÙÓÔÕÁÀÝÉÈ ÒÁËÔÉËÕ ËÒÁÔËÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ Ó×ÏÅÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, Á ÚÁÔÅÍ ÒÁÚÄÁ×ÁÔØ ÚÁÒÁÎÅÅ ÒÁÚÍÎÏÖÅÎÎÙÊ ÔÅËÓÔ É ÄÒÕÇÉÅ ÏÄÇÏÔÏ×ÌÅÎÎÙÅ ÍÁÔÅÒÉÁÌÙ ÔÅÍ, ËÔÏ ÚÁÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÌÓÑ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÍÉ ÄÅÔÁÌÑÍÉ ÚÁÔÒÏÎÕÔÏÊ ÔÅÍÙ. òÁÓÓËÁÚÙ×ÁÑ Ï ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÈ É ÓÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÙÈ ÚÁÓÅÄÁÎÉÑÈ ÒÁÂÏÞÉÈ É ÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÇÒÕ, ÎÅÌØÚÑ Ó ÂÌÁÇÏÄÁÒÎÏÓÔØÀ ÎÅ ÏÄÞÅÒËÎÕÔØ ËÒÏÏÔÌÉ×ÕÀ É ×ÄÕÍÞÉ×ÕÀ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÈ ÒÕËÏ×ÏÄÉÔÅÌÅÊ ( hief organizer) É ÞÌÅÎÏ× ÂÀÒÏ (advisory panel). îÅÓÏÍÎÅÎÎÏ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÏÎÉ ÏËÁÚÁÌÉ ÓÅÂÑ ËÁË Õ×ÁÖÁÅÍÙÅ, ËÏÍÅÔÅÎÔÎÙÅ É Õ×ÌÅÞÅÎÎÙÅ ÌÀÄÉ. óÔÒÁÎÎÏ, ÏÄÎÁËÏ, ÞÔÏ ÓÒÅÄÉ ÏÞÔÉ Ä×ÕÈÓÏÔ ÞÅÌÏ×ÅË, ÒÉÇÌÁÛÅÎÎÙÈ ÏÒÇÁÎÉÚÁÔÏÒÁÍÉ ËÏÎÇÒÅÓÓÁ ÉÚ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÄÅÓÑÔËÏ× ÓÔÒÁÎ ÄÌÑ ÏÄÇÏÔÏ×ËÉ ÒÏÇÒÁÍÍ ÇÒÕ, ÎÅ ÏËÁÚÁÌÏÓØ ÎÉ ÏÄÎÏÇÏ ÒÏÓÓÉÑÎÉÎÁ. ïÚÎÁÞÁÅÔ ÌÉ ÜÔÏ, ÞÔÏ × òÏÓÓÉÉ ÎÅÔ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ× ÄÏÓÔÏÊÎÏÊ Ë×ÁÌÉÆÉËÁ ÉÉ? îÅÔ, ËÏÎÅÞÎÏ. äÅÌÏ, ×ÉÄÉÍÏ, × ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÉ ÎÁÛÅÇÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌØÓÔ×Á × ICMI É ÜÉÚÏÄÉÞÎÏÓÔÉ ÎÁÛÉÈ ÏÆÉ ÉÁÌØÎÙÈ ËÏÎÔÁËÔÏ× Ó ×ÅÄÕÝÉÍÉ ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÍÉ ÅÎÔÒÁÍÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ×ÓÅ × ÔÏÊ ÖÅ ÆÁËÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÏÓÔÉ ÎÁÛÉÈ ÍÅÔÏÄÉÞÅÓËÉÈ ÏÉÓËÏ× É ÍÁÌÏÉÚ×ÅÓÔÎÏÓÔÉ ÎÁÛÉÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ×.

ICME-8

185

ðÏÄÞÁÓ ÓÉÔÕÁ ÉÑ ÒÏÓÔÏ ÁÒÁÄÏËÓÁÌØÎÁ. ÷ òÏÓÓÉÉ ÔÒÁÄÉ ÉÏÎÎÏ ÏÄÄÅÒÖÉ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÓÏËÉÊ ÕÒÏ×ÅÎØ É ÍÁÓÓÏ×ÏÓÔØ ÏÌÉÍÉÁÄ É ÄÒÕÇÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÊ. ÷Ï ÍÎÏÇÉÈ ÓÔÒÁÎÁÈ ÏÌÕÞÉÌ ÛÉÒÏËÏÅ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÉÅ ÓÒÅÄÉ Õ×ÌÅÞÅÎÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ ÍÏÌÏÄÅÖÉ É ÚÁ×ÏÅ×ÁÌ ÚÁÓÌÕÖÅÎÎÕÀ ÏÕÌÑÒÎÏÓÔØ Õ ÅÄÁÇÏÇÏ× ÒÏÄÉ×ÛÉÊÓÑ × òÏÓÓÉÉ É ÒÏ×ÏÄÉÍÙÊ ÎÁÛÉÍÉ ÕÓÉÌÉÑÍÉ €ÕÒÎÉÒ ÇÏÒÏÄÏׁ. ïÄÎÁËÏ × ÒÕËÏ×ÏÄÓÔ×Å íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÊ ÆÅÄÅÒÁ ÉÉ ÎÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÊ (World Federation of National Mathemati s Competitions, WFNMC) ÍÙ ÎÅ ÉÍÅÅÍ ÎÉ ÏÄÎÏÇÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÑ (ÄÌÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ: âÏÌÇÁÒÉÑ ÉÍÅÅÔ ÔÁÍ Ä×ÏÉÈ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ). ÷ ÜÔÏÊ Ó×ÑÚÉ ÈÏÞÅÔÓÑ ×ÙÒÁÚÉÔØ ÎÁÄÅÖÄÕ, ÞÔÏ íÉÎÉÓÔÅÒÓÔ×Ï ÏÂÝÅÇÏ É ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ òÏÓÓÉÊÓËÏÊ æÅÄÅÒÁ ÉÉ, òÏÓÓÉÊÓËÁÑ ÁËÁÄÅÍÉÑ ÎÁÕË É òÏÓÓÉÊÓËÁÑ ÁËÁÄÅÍÉÑ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏ Ó ×ÅÄÕÝÉÍÉ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁÍÉ É ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÉÍÉ ÅÎÔÒÁÍÉ ÎÁÊÄÕÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÓÏÚÄÁÔØ ÅÄÉÎÙÊ ÅÎÔÒ, ËÏÔÏÒÙÊ ÂÕÄÅÔ ËÏÏÒÄÉÎÉÒÏ×ÁÔØ ÕÓÉÌÉÑ ÕÞÉÔÅÌÅÊ, ÍÅÔÏÄÉÓÔÏ×, ÕÞÅÎÙÈ, ÏÕÌÑÒÉÚÁÔÏÒÏ×, ÉÚÄÁÔÅÌÅÊ, ÏÒÇÁÎÉÚÁÔÏÒÏ× × ÏÂÌÁÓÔÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ÒÁÚ×É×ÁÔØ ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÅ ËÏÎÔÁËÔÙ, ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÔØ Ä×ÕÓÔÏÒÏÎÎÉÊ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÊ ÏÂÍÅÎ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÅÊ É ÏÙÔÏÍ. ïÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÅÄÒÉÎÑÔØ ÛÁÇÉ Ë ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÀ ÔÅÓÎÏÇÏ ÄÅÌÏ×ÏÇÏ É ÉÎÆÏÒÍÁÔÉÚÁ ÉÏÎÎÏÇÏ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÉÑ Ó ICMI É ÄÒÕÇÉÍÉ ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÍÉ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÑÍÉ É ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑÍÉ, ÚÁÎÉÍÁÀÝÉÍÉÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ. ∗∗∗

ðÏÍÉÍÏ ×ÙÓÔÕÌÅÎÉÊ ÎÁ ÚÁÓÅÄÁÎÉÑÈ ÇÒÕ, ÎÁ ËÏÎÇÒÅÓÓÅ ÒÅÄÕÓÍÁÔÒÉ×ÁÌÉÓØ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ €ÓÔÅÎÄÏ×ÙÅ ÄÏËÌÁÄف | ËÁË × ÔÒÁÄÉ ÉÏÎÎÏÊ ÆÏÒÍÅ ÉÓØÍÅÎÎÙÈ ÁÎÎÏÔÁ ÉÊ (posters), ÔÁË É ÎÁ ÂÁÚÅ ×ÉÄÅÏÔÅÈÎÉËÉ (videos) ÉÌÉ ËÏÍØÀÔÅÒÏ× (software). ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, × ÈÏÄÅ ËÏÎÇÒÅÓÓÁ ÒÏÈÏÄÉÌÉ: . ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÒÏÅËÔÏ× (proje ts reports) ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÍÅÒÏÒÉÑÔÉÊ, ÕÞÅÂÎÙÈ ËÏÍÌÅËÔÏ×, ÏÂÕÞÁÀÝÉÈ ËÏÍÌÅËÓÏ× É ÒÏÇÒÁÍÍÎÙÈ ÒÏÄÕËÔÏ× ÄÌÑ ÒÁÚÎÙÈ ÓÔÕÅÎÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ; . ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÛÉÒÏËÉÅ ÆÏÒÕÍÙ (meetings) Ï ËÏÎËÒÅÔÎÙÍ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÍ É ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÍ ×ÏÒÏÓÁÍ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÓÏÂÒÁÎÉÅ ÉÚÄÁÔÅÌÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÖÕÒÎÁÌÏ× ÄÌÑ ÀÎÏÛÅÓÔ×Á É ÄÒ.); . ËÒÕÇÌÙÅ ÓÔÏÌÙ (round tables) Ï ×ÅÓØÍÁ ÏÂÝÅÊ ÒÏÂÌÅÍÁÔÉËÅ; . ÚÁÓÅÄÁÎÉÑ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÓËÉÈ ÇÒÕ (study groups) É ÓÅÍÉÎÁÒÏ× (studies) ÏÄ ÜÇÉÄÏÊ ICMI (íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÁÑ ÇÒÕÁ Ï ÓÉÈÏÌÏÇÉÉ

186

ç. ä. çÌÅÊÚÅÒ, î. è. òÏÚÏ×

ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÁÑ ÇÒÕÁ Ï Ó×ÑÚÑÍ ÉÓÔÏÒÉÉ É ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÓÅÍÉÎÁÒ ÎÁ ÔÅÍÕ €þÔÏ ÔÁËÏÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ É ÞÔÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÇÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ? É ÄÒ.) . ÚÁÓÅÄÁÎÉÑ ÒÁÂÏÞÉÈ ÇÒÕ (workshops) Ï ÓÅ ÉÁÌØÎÏ ÏÔÏÂÒÁÎÎÏÊ ÔÅÍÁÔÉËÅ (€éÇÒÙ ×Ï ×ÒÅÍÑ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ × ËÌÁÓÓŁ, €íÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÈÁÏÓÁ, €ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ×ÏÏÂÒÁÖÅÎÉŁ É ÄÒ.). ðÁÒÁÌÌÅÌØÎÏ Ó ËÏÎÇÒÅÓÓÏÍ ÂÙÌÉ ÓÏÚ×ÁÎÙ ÚÁÓÅÄÁÎÉÑ ÒÑÄÁ ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÈ ÓÏÀÚÏ× É ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÊ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÓÏÓÔÏÑÌÉÓØ çÅÎÅÒÁÌØÎÁÑ ÁÓÓÁÍÂÌÅÑ ICMI, ÓÏ×ÅÝÁÎÉÅ ÒÕËÏ×ÏÄÉÔÅÌÅÊ ÎÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÊ, ÚÁÓÅÄÁÎÉÑ WFNMC (ÇÄÅ ÎÏ×ÙÍ ðÒÅÚÉÄÅÎÔÏÍ ÜÔÏÊ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ ÉÚÂÒÁÎ R. Dunkey, ëÁÎÁÄÁ), íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÊ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ €öÅÎÝÉÎÙ É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉŁ (International Organization of Women and Mathemati s Edu ation, IOWME), ïÂÝÅÓÔ×Á áÄÙ âÁÊÒÏÎ (Ada Byron So iety) É ÄÒ. âÙÌÉ ÕÞÒÅÖÄÅÎÙ É ÎÏ×ÙÅ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ: íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÊ ÓÏ×ÅÔ Ï ËÏÍØÀÔÅÒÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÅ × ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ (International Coun il for Computer Algebra in Mathemati s Edu ation, IC-CAME) É å×ÒÏÅÊÓËÁÑ ÁÓÓÏ ÉÁ ÉÑ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌÅÊ × ÏÂÌÁÓÔÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ (European Asso iation of Resear hers in Mathemati s Edu ation, ERCME). ÒÉ ÚÁÓÅÄÁÎÉÑ ÏÓ×ÑÝÁÌÉÓØ ÏÔÄÅÌØÎÙÍ ÓÔÒÁÎÁÍ (national presentation) | éÓÁÎÉÉ, á×ÓÔÒÁÌÉÉ É ÷ÅÎÇÒÉÉ, Á ÞÅÔÙÒÅ | ÓÅ ÉÁÌØÎÏÊ ÔÅÍÁÔÉËÅ (ÎÁÒÉÍÅÒ, €éÓÁÎÓËÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ èè ×ÅËÁ). îÁËÏÎÅ , ÖÅÌÁÀÝÉÅ ÍÏÇÌÉ ÏÓÅÔÉÔØ ÒÁÚ×ÅÒÎÕÔÕÀ ÎÁ ×ÒÅÍÑ ËÏÎÇÒÅÓÓÁ ÏÞÅÎØ ÉÎÔÅÒÅÓÎÕÀ ×ÙÓÔÁ×ËÕ (exhibition). ÁÍ ÂÙÌÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÆÉÒÍÙ, ÒÁÂÏÔÁÀÝÉÅ × ÓÆÅÒÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. ðÏÒÁÖÁÌÏ ÉÚÏÂÉÌÉÅ ÒÅËÒÁÓÎÏ ÉÚÄÁÎÎÙÈ ÎÏ×ÉÎÏË ÕÞÅÂÎÏÊ, ÓÒÁ×ÏÞÎÏÊ, ÏÕÌÑÒÎÏÊ, ÍÅÔÏÄÉÞÅÓËÏÊ É ÎÁÕÞÎÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ (ÈÏÔÑ Ï ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÉ ÔÒÕÄÎÏ ÓÕÄÉÔØ ÒÉ ÂÅÇÌÏÍ ÒÏÓÍÏÔÒÅ), ×ÅÌÉËÏÌÅÎÏ ×ÙÏÌÎÅÎÎÙÈ ÎÁÇÌÑÄÎÙÈ ÏÓÏÂÉÊ É ×ÓÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÙÈ ÍÁÔÅÒÉÁÌÏ×, ÓÒÅÄÓÔ× ÏÂÕÞÅÎÉÑ É ÏÂÏÒÕÄÏ×ÁÎÉÑ ÄÌÑ ËÁÂÉÎÅÔÏ× ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÎÏ×ÙÈ ÏÂÒÁÚ Ï× ÍÉËÒÏËÁÌØËÕÌÑÔÏÒÏ× É ËÏÍØÀÔÅÒÏ×. úÄÅÓØ ÖÅ ÂÙÌÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÑ × ÒÁÚÒÁÂÏÔËÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ËÏÍØÀÔÅÒÎÙÈ ÒÏÇÒÁÍÍ, ËÉÎÏ- É ×ÉÄÅÏÆÉÌØÍÏ×, ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÉÇÒ É ÒÁÚ×ÌÅÞÅÎÉÊ. òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÜËÓÏÎÁÔÏ× ÉÚ òÏÓÓÉÉ ÎÅ ÂÙÌÏ É × ÏÍÉÎÅ. ∗∗∗

ëÁÖÄÙÊ ÕÞÁÓÔÎÉË ICME-8 ÏÌÕÞÉÌ ÔÏÌÓÔÅÎÎÙÊ ÔÏÍ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÏÍÅÝÅÎÏ 685 ÚÁÂÌÁÇÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ ÁÎÎÏÔÁ ÉÊ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ (abstra ts of short presentations) ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÉÚ 64 ÓÔÒÁÎ ÍÉÒÁ. (÷ ÎÅÍ ÎÅÔ

ICME-8

187

ÒÅÚÀÍÅ ÄÏËÌÁÄÏ× É, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ, ÚÁÑ×ÌÅÎÎÙÈ ×Ï ×ÒÅÍÑ ËÏÎÇÒÅÓÓÁ, ×ÙÓÔÕÌÅÎÉÊ × ÈÏÄÅ ÄÉÓËÕÓÓÉÊ, ÎÁ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÓÔÒÅÞÁÈ É Ô. Ä.) ó ÓÏÖÁÌÅÎÉÅÍ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ËÏÎÓÔÁÔÉÒÏ×ÁÔØ, ÞÔÏ Ó×ÏÅ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÂÙÌÉ ÒÉÓÌÁÎÙ É ÏÁÌÉ × ËÎÉÇÕ ×ÓÅÇÏ 15 ÁÎÎÏÔÁ ÉÊ ÉÚ òÏÓÓÉÉ (ÄÌÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ: óûá { 78; âÒÁÚÉÌÉÑ { 68; ñÏÎÉÑ { 33; ëÉÔÁÊ { 23; âÏÌÇÁÒÉÑ { 10; çÏÎËÏÎÇ { 5). îÏ ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÅÞÁÌØÎÏ, ÞÔÏ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÅ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÉÈ Á×ÔÏÒÏ× ÔÁË É ÎÅ ÎÁÛÌÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÒÉÅÈÁÔØ × éÓÁÎÉÀ Ï ÆÉÎÁÎÓÏ×ÙÍ ÒÉÞÉÎÁÍ. ïÄÎÁËÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ Ï ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÈ É ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÈ ÒÏ×ÏÄÉÍÏÊ × ÎÁÛÅÊ ÓÔÒÁÎÅ ÒÁÂÏÔÙ × ÓÆÅÒÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ ÎÁ ËÏÎÇÒÅÓÓÅ ÂÙÌÁ ×ÓÅ ÖÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ. áËÔÉ×ÎÏ ÕÞÁÓÔ×Ï×ÁÌÉ × ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÚÁÓÅÄÁÎÉÑÈ É ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÑÈ î. ëÏÎÓÔÁÎÔÉÎÏ× (ÏÒÇÁÎÉÚÁÔÏÒ É ÒÕËÏ×ÏÄÉÔÅÌØ €ÕÒÎÉÒÁ ÇÏÒÏÄÏׁ), ç. çÌÅÊÚÅÒ (ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ËÁË ÜÌÅÍÅÎÔ ËÕÌØÔÕÒف É €îÏ×ÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ × ÛËÏÌŁ), ï. é×ÁÎÏ× (ÒÁÓÓËÁÚÁ×ÛÉÊ Ï ÒÁÚÒÁÂÁÔÙ×ÁÅÍÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÅ ÏÄÇÏÔÏ×ËÉ ÕÞÉÔÅÌÅÊ), á. óÅÍÅÎÏ× (ÒÕËÏ×ÏÄÉÔÅÌØ ËÏÌÌÅËÔÉ×Á ÓÏÚÄÁÔÅÌÅÊ ËÏÍØÀÔÅÒÎÙÈ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÒÏÄÕËÔÏ×), î. òÏÚÏ× (ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ €ü×ÏÌÀ ÉÑ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁ ÉÑ ÒÏÇÒÁÍÍÙ ÛËÏÌØÎÏÇÏ ËÕÒÓÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËɁ É €ðÒÏÂÌÅÍÙ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÊ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏׁ), é. æÅÄÏÒÅÎËÏ (ÏÒÇÁÎÉÚÁÔÏÒ ×ÎÅËÌÁÓÓÎÏÊ ÒÁÂÏÔÙ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ) É ÄÒ. ðÒÁ×ÄÁ, ÜÔÁ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ ÎÅ ÎÁÛÌÁ ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ × ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁÈ ICME-8: ÏÓËÏÌØËÕ ÄÏ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÍÏÍÅÎÔÁ ÎÅ ÂÙÌÏ ÑÓÎÏ, ÓÕÍÅÀÔ ÌÉ ÒÏÓÓÉÑÎÅ ÏÌÁÔÉÔØ ×ÓÔÕÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÚÎÏÓ É ÎÁÊÔÉ ÄÅÎØÇÉ ÎÁ ÄÏÒÏÇÕ, ÉÈ ÚÁÑ×ËÉ ÎÁ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÂÙÌÉ ÏÓÌÁÎÙ ÓÌÉÛËÏÍ ÏÚÄÎÏ. ∗∗∗

íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÏÓÔÏÑ×ÛÉÈÓÑ ÎÁ ICME-8 ×ÙÓÔÕÌÅÎÉÊ, ÎÅÓÏÍÎÅÎÎÏ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÎÏ ÏÎÏ, Ï-×ÉÄÉÍÏÍÕ, ÎÅÓÞÅÔÎÏ | × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ÎÉËÔÏ ÉÈ ÎÅ ÓÞÉÔÁÌ. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÒÏÁÎÁÌÉÚÉÒÏ×ÁÔØ ×ÓÅ ×ÙÓËÁÚÁÎÎÙÅ ÎÁ ËÏÎÇÒÅÓÓÅ ÍÙÓÌÉ É ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ. îÏ ÏÞÅÎØ ×ÁÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÚÎÁËÏÍÉÔØ | ÈÏÔÑ ÂÙ × ÓÖÁÔÏÊ ÆÏÒÍÅ | Ó ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅÍ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ, Ó ÉÔÏÇÁÍÉ ÄÉÓËÕÓÓÉÊ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÂÏÌÅÅ ÛÉÒÏËÉÊ ËÒÕÇ ÌÉ , Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ Ó ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ. óÁÍÙÊ ÒÏÓÔÏÊ É ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÊ ÕÔØ Ë ÜÔÏÍÕ | ÚÁ×ÅÓÔÉ ÒÁËÔÉËÕ ÏÓÌÅ ËÁÖÄÏÇÏ ÚÁÓÅÄÁÎÉÑ ÇÏÔÏ×ÉÔØ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÊ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉ×ÎÙÊ ÏÂÚÏÒ ÒÏÚ×ÕÞÁ×ÛÉÈ ×ÙÓÔÕÌÅÎÉÊ É ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÊ, Á ÚÁÔÅÍ ÕÂÌÉËÏ×ÁÔØ ÅÇÏ × ÄÏÓÔÕÎÙÈ ÒÏÆÉÌØÎÙÈ ÖÕÒÎÁÌÁÈ É ÏÍÅÝÁÔØ × Internet. îÁÍ, Ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÕÄÁÌÏÓØ ÒÏÓÌÕÛÁÔØ ÌÉÛØ ÏÔÄÅÌØÎÙÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ É, ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÍÙ ÎÅ ÒÁÓÏÌÁÇÁÅÍ ÉÓÞÅÒÙ×ÁÀÝÅÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÅÊ É ×ÓÅÍÉ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁÍÉ. éÚ-ÚÁ ÜÔÏÇÏ ÍÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ ÒÅÄÌÏÖÉÔØ ÞÉÔÁÔÅÌÑÍ ÏÄÒÏÂÎÙÊ ÁÎÁÌÉÚ ÉÔÏÇÏ× ËÏÎÇÒÅÓÓÁ É ÏÇÒÁÎÉÞÉÍÓÑ ÔÏÌØËÏ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÅÒÅÞÉÓÌÉÍ

188

ç. ä. çÌÅÊÚÅÒ, î. è. òÏÚÏ×

ÌÉÛØ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÏÂÓÕÖÄÁ×ÛÉÈÓÑ ÒÏÂÌÅÍ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÅÓÑ ÎÁÍ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ×ÁÖÎÙÍÉ ÄÌÑ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ × òÏÓÓÉÉ. 1. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÈÏÔÅÌÏÓØ ÂÙ ÏÔÍÅÔÉÔØ ÒÅÚËÏ ×ÏÚÒÏÓÛÉÊ ÉÎÔÅÒÅÓ Ë ÎÁÕÞÎÙÍ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑÍ × ÏÂÌÁÓÔÉ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ | ËÁË × ÓÒÅÄÎÅÊ, ÔÁË É × ×ÙÓÛÅÊ ÛËÏÌÅ. ïÓÏÂÅÎÎÏ ×ÁÖÎÏ ÏÄÞÅÒËÎÕÔØ, ÞÔÏ ÓÏÚÄÁÎÉÅÍ ÏÒÉÇÉÎÁÌØÎÙÈ ÕÞÅÂÎÙÈ ÍÅÔÏÄÉË É ÒÁÚÒÁÂÏÔËÏÊ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙÈ ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÜËÓÅÒÉÍÅÎÔÏ× ÚÁÎÉÍÁÀÔÓÑ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÔÅÏÒÅÔÉËÉ ÅÄÁÇÏÇÉËÉ É ÏÒÇÁÎÉÚÁÔÏÒÙ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ÎÏ É ÒÑÄÏ×ÙÅ ÕÞÉÔÅÌÑ, ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÉ ×ÕÚÏ×. ÷Ï ÍÎÏÇÉÈ ÓÔÒÁÎÁÈ ÒÏÂÌÅÍÙ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÑ É ÍÅÔÏÄÉËÉ ÏÂÕÞÅÎÉÑ ÒÉ×ÌÅËÁÀÔ ÒÉÓÔÁÌØÎÏÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ É ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌÏ×-ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏÓÍÏÔÒÅÔØ ÒÏÇÒÁÍÍÙ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÈ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÊ áÍÅÒÉËÁÎÓËÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÝÅÓÔ×Á, ÞÔÏÂÙ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ: ÎÁ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÎÉÈ ÌÁÎÉÒÕÀÔÓÑ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÅ ÓÅË ÉÉ €òÅÆÏÒÍÁ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉс, €íÅÔÏÄÉËÁ ÏÂÕÞÅÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËŁ, €éÎÎÏ×Á ÉÉ × ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉɁ, €ðÏÄÇÏÔÏ×ËÁ ÕÞÉÔÅÌÅʁ É Ô. . ïÄÎÁËÏ ÎÁÛÉ ×ÙÄÁÀÝÉÅÓÑ ÕÞÅÎÙÅ-ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÎÁÛÉ ×ÅÄÕÝÉÅ ÎÁÕÞÎÙÅ ÅÎÔÒÙ ÒÏÑ×ÌÑÀÔ Ë ÒÏÂÌÅÍÁÍ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÊ ÉÎÔÅÒÅÓ. 2. ïÓÏÂÅÎÎÏ ×ÁÖÎÏ ÏÄÞÅÒËÎÕÔØ, ÞÔÏ É ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÙ Ï ÍÅÔÏÄÉËÅ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, É ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌÙ-ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ×ÓÅ ÂÏÌØÛÅ ×ÎÉÍÁÎÉÑ ÕÄÅÌÑÀÔ ÒÏÂÌÅÍÁÍ ÎÅ ÓÅ ÉÁÌÉÚÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ, ÜÌÉÔÎÙÈ, Á ÏÂÝÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ, ÍÁÓÓÏ×ÙÈ ÛËÏÌ. éÍÅÎÎÏ ÔÁËÁÑ ÛËÏÌÁ ÒÅÁÌØÎÏ ÆÏÒÍÉÒÕÅÔ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÔÅÌØÎÙÊ, ÉÎÔÅÌÌÅËÔÕÁÌØÎÙÊ É ËÕÌØÔÕÒÎÙÊ ÕÒÏ×ÅÎØ €ÓÒÅÄÎÅÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÏÇρ ÇÒÁÖÄÁÎÉÎÁ ÓÔÒÁÎÙ, É ÂÅÚ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÒÏÇÒÁÍÍ É ÍÅÔÏÄÉË ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÚÄÅÓØ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÒÅÛÉÔØ ÒÏÂÌÅÍÕ Ï×ÙÛÅÎÉÑ ÜÔÏÇÏ ÕÒÏ×ÎÑ, ÞÔÏ ÁËÔÕÁÌØÎÏ ÎÁ ÏÒÏÇÅ XXI ×ÅËÁ. ðÒÏÂÌÅÍÁ ÕÌÕÞÛÅÎÉÑ ÏÂÕÞÅÎÉÑ × ÏÂÝÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÛËÏÌÁÈ, ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÎÁ ÓÅÌÅ É × ÎÅÂÏÌØÛÉÈ ÇÏÒÏÄËÁÈ, ÏÓÔÒÏ ÓÔÏÉÔ É × ÎÁÛÅÊ ÓÔÒÁÎÅ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÄÁÎÎÙÍ ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÈ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÉÈ ÓÌÕÖÂ, òÏÓÓÉÑ Ï ÕÒÏ×ÎÀ Ë×ÁÌÉÆÉËÁ ÉÉ ËÁÄÒÏ× ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÌÉÛØ × ËÏÎ Å ÞÅÔ×ÅÒÔÏÇÏ ÄÅÓÑÔËÁ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ× ÍÉÒÁ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÏÌÏÖÅÎÉÅ ÄÅÌ × ÅÒ×ÕÀ ÏÞÅÒÅÄØ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÁ ÅÌÅÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÁÑ ÏÌÉÔÉËÁ × ÏÂÌÁÓÔÉ ÛËÏÌØÎÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. 3. óÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÄÁÌØÎÅÊÛÉÊ ÒÏÇÒÅÓÓ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÅÎ ÂÅÚ ÇÌÕÂÏËÏÊ ËÏÍØÀÔÅÒÉÚÁ ÉÉ ÕÞÅÂÎÏÇÏ ÒÏ ÅÓÓÁ É ÛÉÒÏËÏÇÏ ×ÎÅÄÒÅÎÉÑ ËÏÍØÀÔÅÒÎÙÈ ÏÂÕÞÁÀÝÉÈ ÔÅÈÎÏÌÏÇÉÊ. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÄÁ×ÌÑÀÝÅÅ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÒÁÚÒÁÂÏÔÏË ÎÁ ÅÌÅÎÏ ÎÁ ×ÓÅÍÅÒÎÏÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÔÅÈÎÉËÉ ÄÌÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÕÞÅÂÎÏÇÏ ÒÏ ÅÓÓÁ | Ï×ÙÛÅÎÉÑ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ É ÕÇÌÕÂÌÅÎÉÑ ÕÓ×ÏÅÎÉÑ.

ICME-8

189

÷ ÜÔÏÊ Ó×ÑÚÉ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÁËÔÕÁÌØÎÏÊ ÚÁÄÁÞÁ ËÏÏÒÄÉÎÁ ÉÉ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÎÁÛÉÈ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÊ, ÚÁÎÑÔÙÈ ÓÏÚÄÁÎÉÅÍ ÒÏÇÒÁÍÍÎÏÊ ÏÄÄÅÒÖËÉ ÏÂÕÞÅÎÉÑ. 4. óÅÇÏÄÎÑ ÏÂÕÞÅÎÉÅ ÍÏÌÏÄÏÇÏ ÏËÏÌÅÎÉÑ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÏÂÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØÀ ËÁË ÁËÔÕÁÌØÎÁÑ ÍÉÒÏ×ÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ, Á ÅÄÁÇÏÇÉËÁ, ÍÅÔÏÄÉËÁ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÓÔÁÌÉ ÉÎÔÅÒÎÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ ÎÁÕËÁÍÉ. ÏÌØËÏ ÅÄÉÎÙÍ ÆÒÏÎÔÏÍ, ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÑ ÏÓÔÏÑÎÎÙÅ Ó×ÑÚÉ É ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÊ ÏÂÍÅÎ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÅÊ, ÍÏÖÎÏ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ, ÂÙÓÔÒÏ É ÜËÏÎÏÍÉÞÎÏ ÎÁÈÏÄÉÔØ ÕÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÍÎÏÇÉÈ ÒÏÂÌÅÍ ÛËÏÌÙ É ×ÕÚÁ. ÷ÓÅ ÜÔÏ ÔÒÅÂÕÅÔ ÏÔ ÎÁÓ ÒÅÁÌØÎÏ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÔØÓÑ × ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÅ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ, ×ÎÉÍÁÔÅÌØÎÏ ÉÚÕÞÁÔØ ÏÑ×ÌÑÀÝÉÅÓÑ ÕÂÌÉËÁ ÉÉ É ÛÉÒÏËÏ ÒÏÁÇÁÎÄÉÒÏ×ÁÔØ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÏÙÔ ÄÒÕÇÉÈ ÓÔÒÁÎ, ÒÅÚËÏ Ï×ÙÓÉÔØ ËÁÞÅÓÔ×Ï ÏÔÅÞÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÍÅÔÏÄÉÞÅÓËÉÈ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ, ÁËÔÉ×ÎÏ ÕÂÌÉËÏ×ÁÔØ ÉÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ × ÚÁÒÕÂÅÖÎÙÈ ÖÕÒÎÁÌÁÈ, ×ÓÅÍÅÒÎÏ ÏÏÝÒÑÔØ ÉÎÉ ÉÁÔÉ×Õ É Ô×ÏÒÞÅÓËÉÊ ÏÉÓË ÒÑÄÏ×ÙÈ ÕÞÉÔÅÌÅÊ. 5. íÉÒÏ×ÏÊ ÏÙÔ Ó×ÉÄÅÔÅÌØÓÔ×ÕÅÔ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÅÝÅ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÔÒÕÄÎÏÒÁÚÒÅÛÉÍÏÊ ÚÁÄÁÞÁ ÏÄÇÏÔÏ×ËÉ Ë×ÁÌÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÕÞÉÔÅÌÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. é ÎÁÍ ÓÌÅÄÕÅÔ ×ÎÉÍÁÔÅÌØÎÅÅ ÏÚÎÁËÏÍÉÔØÓÑ Ó ÔÅÍ, ËÁË × ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÔÒÁÎÁÈ ÙÔÁÀÔÓÑ ÏÂÅÓÅÞÉÔØ ÄÏÌÖÎÙÊ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÙÊ ÕÒÏ×ÅÎØ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÅÄÉÎÓÔÉÔÕÔÏ×, ÏÓÏÂÅÎÎÏ Ï ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ×ÙÓÏËÏÅ ËÁÞÅÓÔ×Ï ÉÈ ÍÅÔÏÄÉÞÅÓËÏÇÏ, ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÏÇÏ É ÓÉÈÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÕÞÅÎÉÑ, ÚÁÒÁÎÅÅ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÉÈ ×ÎÕÔÒÅÎÎÀÀ ÇÏÔÏ×ÎÏÓÔØ É ÒÅÁÌØÎÕÀ ÒÉÇÏÄÎÏÓÔØ Ë ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌØÓËÏÊ É ×ÏÓÉÔÁÔÅÌØÎÏÊ ÒÁÂÏÔÅ. ïÓÏÂÕÀ ÁËÔÕÁÌØÎÏÓÔØ ÒÉÏÂÒÅÔÁÅÔ ÚÁÄÁÞÁ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÒÏÇÒÁÍÍ ÏÂÕÞÅÎÉÑ ÂÕÄÕÝÉÈ ÕÞÉÔÅÌÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ × ÅÄÉÎÓÔÉÔÕÔÁÈ, ÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ | ÓÂÁÌÁÎÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÓÔÉ ÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ É ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÏÄÇÏÔÏ×ËÉ, Á ÔÁËÖÅ ÒÏÂÌÅÍÁ ÏÄÇÏÔÏ×ËÉ Ë ÒÁÂÏÔÅ × ÛËÏÌÅ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÆÁËÕÌØÔÅÔÏ× ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÈ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÏ×. 6. ÷ÙÓÔÁ×ËÁ ×Ï ×ÒÅÍÑ ËÏÎÇÒÅÓÓÁ ÒÏÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÏ×ÁÌÁ ÍÏÒÅ ÕÞÅÂÎÉËÏ×, ÕÞÅÂÎÙÈ ÏÓÏÂÉÊ É ÉÎÆÏÒÍÁÔÉÚÁ ÉÏÎÎÙÈ ÒÏÇÒÁÍÍ. òÙÎÏÞÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÁ ÉÚÄÁÔÅÌØÓËÏÍ ÏÒÉÝÅ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ×ÙÕÓËÁÔØ × Ó×ÅÔ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÕÀ, ÒÅËÒÁÓÎÏ ÏÆÏÒÍÌÅÎÎÕÀ ÒÏÄÕË ÉÀ | É ÜÔÏ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏ, ïÄÎÁËÏ ÅÞÁÌØÎÏ, ÞÔÏ ÄÁÌÅËÏ ÎÅ ×ÓÑ ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ËÁÞÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ, Á ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ Ë×ÁÌÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ, ÏÂßÅËÔÉ×ÎÏÇÏ É ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÂÌÉÞÎÏÇÏ ÒÅ ÅÎÚÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÜÔÏÊ ÒÏÄÕË ÉÉ ÏÄÞÁÓ ÓÔÁ×ÉÔ ÕÞÉÔÅÌÑ × ×ÅÓØÍÁ ÔÒÕÄÎÏÅ ÏÌÏÖÅÎÉÅ ËÁÉÔÁÎÁ, ÌÁ×ÁÀÝÅÇÏ Ï ÍÏÒÀ ÂÅÚ ËÏÍÁÓÁ É ËÁÒÔÙ. ëÁË ÚÄÅÓØ ÎÅ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ×Ï ÍÎÏÇÉÈ ÎÁÛÉÈ ÉÚÄÁÎÉÑÈ ÍÅÓÔÏ ÒÁÚÄÅÌÏ× ËÒÉÔÉËÉ É ÂÉÂÌÉÏÇÒÁÆÉÉ ÄÁ×ÎÏ ÕÖÅ ÚÁÎÑÌÁ ÒÏÓÔÁÑ (ÉÌÉ ÕÓÔÁÑ?) ÒÅËÌÁÍÁ ×ÙÈÏÄÑÝÅÊ ÕÞÅÂÎÏÊ É ÍÅÔÏÄÉÞÅÓËÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ?

190

ç. ä. çÌÅÊÚÅÒ, î. è. òÏÚÏ×

7. ÷ÓÅ ÒÉÚÎÁÀÔ, ÞÔÏ ÎÁÛÁ ÛËÏÌØÎÁÑ ÒÏÇÒÁÍÍÁ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÔÒÅÂÕÅÔ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ. îÏ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÓÏÒÙ Ï Ï×ÏÄÕ ÅÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÑ (ÒÏÅÄÅ×ÔÉËÁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÎÁÞÁÌ ÁÎÁÌÉÚÁ, ××ÅÄÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ É ÓÔÁÔÉÓÔÉËÉ É Ô. Ä.), ÈÁÒÁËÔÅÒÁ ÉÚÌÏÖÅÎÉÑ (×ÙÂÏÒ ÍÅÖÄÕ ÌÉÎÅÊÎÏÓÔØÀ É ËÏÎ ÅÎÔÒÉÞÎÏÓÔØÀ, ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ ÁËÓÉÏÍÁÔÉÞÎÏÓÔÉ É ÎÁÇÌÑÄÎÏÓÔÉ É ÄÒ.), ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÏÂÕÞÅÎÉÑ (ËÁË × ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÛËÏÌÅ, ÔÁË É × ÓÅ ÉÁÌÉÚÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÓÔÁÒÛÉÈ ËÌÁÓÓÁÈ) É Ï ÍÎÏÇÉÍ ÄÒÕÇÉÍ ×ÏÒÏÓÁÍ ×ÅÄÕÔÓÑ ÔÁË, ËÁË ÂÕÄÔÏ ÍÙ Ñ×ÌÑÅÍÓÑ ÅÒ×ÏÒÏÈÏÄ ÁÍÉ. íÅÖÄÕ ÔÅÍ ÌÕÞÛÉÊ ÚÁÒÕÂÅÖÎÙÊ ÏÙÔ | É ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÒÏÇÒÁÍÍ, É ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÕÞÅÂÎÉËÏ× | ÄÁ×ÎÏ ÓÌÅÄÏ×ÁÌÏ ÂÙ ÓÄÅÌÁÔØ ÄÏÓÔÕÎÙÍ ÎÁÛÉÍ ÕÞÉÔÅÌÑÍ, ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÕÂÌÉËÕÑ ÅÒÅ×ÏÄÙ ÜÔÉÈ ÍÁÔÅÒÉÁÌÏ×. 8. ïÄÎÕ ÒÏÂÌÅÍÕ ÈÏÞÅÔÓÑ ×ÙÄÅÌÉÔØ ÓÅ ÉÁÌØÎÏ | ÒÏÂÌÅÍÕ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ×, ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÝÉÈÓÑ ÇÕÍÁÎÉÔÁÒÎÙÍÉ ÒÅÄÍÅÔÁÍÉ, É ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ÉÚÂÒÁ×ÛÉÈ ÇÕÍÁÎÉÔÁÒÎÙÅ ÆÁËÕÌØÔÅÔÙ. ëÌÀÞÅ×ÏÊ ×ÏÒÏÓ: × ËÁËÏÊ ÍÅÒÅ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÊ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÊ, ËÕÌØÔÕÒÎÙÊ ÞÅÌÏ×ÅË ÄÏÌÖÅÎ ×ÌÁÄÅÔØ ÏÓÎÏ×ÁÍÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÎÁÕËÉ, Ñ×ÌÑÀÝÅÊÓÑ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÈ É×ÉÌÉÚÁ ÉÉ? ðÒÏÂÌÅÍÁ ÓÌÏÖÎÁÑ, ÎÅÒÁÚÒÙ×ÎÏ Ó×ÑÚÁÎÎÁÑ É Ó ÉÎÔÅÌÌÅËÔÕÁÌØÎÙÍ ÒÁÚ×ÉÔÉÅÍ ÍÏÌÏÄÅÖÉ, É Ó ÕÓÉÌÅÎÉÅÍ ÇÕÍÁÎÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ËÏÍÏÎÅÎÔÁ × ÏÂÕÞÅÎÉÉ, É Ó ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅÍ ÎÁÕÞÎÏÇÏ ËÒÕÇÏÚÏÒÁ. ï €ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÄÌÑ ÇÕÍÁÎÉÔÁÒÉÅׁ Õ ÎÁÓ ÓÅÊÞÁÓ ÔÏÖÅ ÍÎÏÇÏ ÉÛÕÔ É ÇÏ×ÏÒÑÔ. ïÄÎÁËÏ × ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Å ÓÌÕÞÁÅ× ÒÅÞØ ÉÄÅÔ Ï ÎÅËÉÈ ÁÌÌÉÁÔÉ×ÁÈ. é ÚÄÅÓØ ÂÙÌÏ ÂÙ ÏÌÅÚÎÏ ÒÏÁÎÁÌÉÚÉÒÏ×ÁÔØ ÎÁËÏÌÅÎÎÙÊ ÏÙÔ, ÏÊÔÉ ÎÅ Ï ÕÔÉ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÅÚÁÎÉÑ ÔÒÁÄÉ ÉÏÎÎÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÙ É ÅÅ ÏÏÌÎÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍÉ ÆÁËÔÁÍÉ Ó €ÇÕÍÁÎÉÔÁÒÎÏÊ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÅʁ, Á ÏÙÔÁÔØÓÑ ÓÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÔØ ËÁÞÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÏ×ÕÀ ËÏÎ Å ÉÀ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÑ É ×ÙÒÁÂÏÔÁÔØ ÒÉÎ ÉÉÁÌØÎÏ ÉÎÕÀ ÍÅÔÏÄÉËÕ ÎÅÆÏÒÍÁÌÉÚÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÒÅÏÄÎÅÓÅÎÉÑ. 9. ÒÕÄÎÏ ÓÅÂÅ ÄÁÖÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÔÏ ÉÚÏÂÉÌÉÅ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ É ×ÓÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÙÈ ÕÞÅÂÎÏ-ÍÅÔÏÄÉÞÅÓËÉÈ ÍÁÔÅÒÉÁÌÏ×, ËÏÔÏÒÏÅ ÒÅÄÌÁÇÁÀÔ ÛËÏÌÅ ÜÎÔÕÚÉÁÓÔÙ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÒÁÚÎÙÈ ÓÔÒÁÎ. îÅ ÔÁË ÄÁ×ÎÏ ÎÁÛÉ ËÎÉÇÉ É ÂÒÏÛÀÒÙ ÄÌÑ ×ÎÅËÌÁÓÓÎÏÊ ÒÁÂÏÔÙ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÓÞÉÔÁÌÉÓØ ÏÄÎÉÍÉ ÉÚ ÌÕÞÛÉÈ × ÍÉÒÅ, ÎÏ ÓÅÇÏÄÎÑ ÍÎÏÇÉÅ ÉÚ ÎÉÈ | ÂÉÂÌÉÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÁÑ ÒÅÄËÏÓÔØ, ËÏÔÏÒÕÀ ÍÏÖÎÏ Õ×ÉÄÅÔØ ÒÁÚ×Å ÞÔÏ Õ ÕÞÉÔÅÌÅÊ ÓÔÁÒÛÅÇÏ ÏËÏÌÅÎÉÑ. é ÅÓÌÉ ÎÁÌÁÄÉÔØ ÒÏÉÚ×ÏÄÓÔ×Ï ÎÁÇÌÑÄÎÙÈ ÏÓÏÂÉÑ É ÄÒÕÇÏÇÏ ÏÂÏÒÕÄÏ×ÁÎÉÑ ÓÅÊÞÁÓ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÔÒÕÄÎÏ, ÔÏ ÅÒÅÉÚÄÁÔØ É ÒÏÄÏÌÖÉÔØ ÚÏÌÏÔÏÊ ÆÏÎÄ ÎÁÕÞÎÏ-ÏÕÌÑÒÎÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ | ÎÁÛ ÄÏÌÇ. 10. âÏÌØÛÏÅ ÍÅÓÔÏ × ÒÁÂÏÔÅ ËÏÎÇÒÅÓÓÁ ÚÁÎÉÍÁÌÏ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÑ É ÆÏÒÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÊ ÛËÏÌØÎÉËÏ×. îÅÌØÚÑ ÎÅ ÏÔÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÎÁÛÉ ÕÓÅÈÉ ÎÁ ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÌÉÍÉÁÄÁÈ

ICME-8

191

× ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÇÏÄÙ ×ÙÇÌÑÄÑÔ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ÓËÒÏÍÎÏ, ÈÏÔÑ ÏÆÉ ÉÁÌØÎÏ ÒÏÄÏÌÖÁÀÔ ÒÁÓ ÅÎÉ×ÁÔØÓÑ ËÁË ÏÞÅÎØ ÈÏÒÏÛÉÅ. ÁË, × 1994 ÇÏÄÕ ËÏÍÁÎÄÁ òÏÓÓÉÉ ÚÁÎÑÌÁ 3-Å ÍÅÓÔÏ, ×ÓÅÇÏ ÎÁ 1 ÏÞËÏ ÏÂÏÊÄÑ âÏÌÇÁÒÉÀ, Á × 1996 ÇÏÄÕ ÍÙ ÕÖÅ ÏËÁÚÁÌÉÓØ ÎÁ 4-Í ÍÅÓÔÅ, ÒÏÕÓÔÉ× ×ÅÒÅÄ òÕÍÙÎÉÀ, óûá É ÷ÅÎÇÒÉÀ É ÏÂÏÊÄÑ ×ÓÅÇÏ ÎÁ 1 ÏÞËÏ áÎÇÌÉÀ, ÎÁ 7 ÏÞËÏ× ÷ØÅÔÎÁÍ É ÎÁ 11 ÏÞËÏ× àÖÎÕÀ ëÏÒÅÀ. íÅÖÄÕ ÔÅÍ, ÄÌÑ ÏÌÎÏÇÏ ÏÎÉÍÁÎÉÑ ÓÉÔÕÁ ÉÉ ÎÕÖÎÏ ÎÅ ÒÏÓÔÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÏÞËÉ, Á ÓÏÏÔÎÏÓÉÔØ ÉÈ Ó ÏÔÅÎ ÉÁÌÏÍ ÓÔÒÁÎÙ É ÞÉÓÌÅÎÎÏÓÔØÀ ÕÞÁÝÉÈÓÑ. ÷ÉÄÉÍÏ, ÎÁ ÜÔÉÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÈ ÎÅ ÍÏÇÌÉ ÎÅ ÓËÁÚÁÔØÓÑ ËÁË ÏÂÝÅÅ ÕÈÕÄÛÅÎÉÅ ÛËÏÌØÎÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ × ÓÔÒÁÎÅ É ÏÔÔÏË ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ËÁÄÒÏ× ÚÁ ÇÒÁÎÉ Õ, ÔÁË É ÕÓÉÌÉ×ÁÀÝÉÊÓÑ × ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÇÏÄÙ ÏÁÓÎÙÊ ÒÏ ÅÓÓ ÒÅ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÊ × Ó×ÏÅÏÂÒÁÚÎÙÊ ÓÏÒÔ ÚÁ ÓÞÅÔ ÉÈ ÏÔÄÁÌÅÎÉÑ ÏÔ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÚÁÎÑÔÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÏÒÉÅÊ. ∗∗∗

é ÅÝÅ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÌÏ× × ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ. ðÏÄÇÏÔÏ×ËÁ ËÏÎÇÒÅÓÓÁ ÒÏÈÏÄÉÌÁ ÏÄ ÁÔÒÏÎÁÖÅÍ ëÏÒÏÌÑ éÓÁÎÉÉ èÕÁÎÁ ëÁÒÌÏÓÁ I É ÒÉ ÏÄÄÅÒÖËÅ ÅÎÔÒÁÌØÎÏÇÏ É ÒÅÇÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÁ×ÉÔÅÌØÓÔ×, çÅÎÅÒÁÌØÎÏÇÏ ÄÉÒÅËÔÏÒÁ àîåóëï æ. íÁÊÏÒÁ, ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ óÅ×ÉÌØÉ (ÒÅÄÏÓÔÁ×É×ÛÅÇÏ ×ÓÅ Ó×ÏÉ ÏÍÅÝÅÎÉÑ), ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÈ É ÎÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÊ. îÏ ÏÓÎÏ×ÎÁÑ ÔÑÖÅÓÔØ ÌÁÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÁÂÏÔÙ ËÏÎÇÒÅÓÓÁ É ÞÅÔËÏÇÏ ÅÇÏ ÒÏ×ÅÄÅÎÉÑ ÌÅÖÁÌÁ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÎÁ ïÒÇÁÎÉÚÁ ÉÏÎÎÏÍ ËÏÍÉÔÅÔÅ. íÙ ÓÞÉÔÁÅÍ Ó×ÏÉÍ ÄÏÌÇÏÍ ÓÅ ÉÁÌØÎÏ ÏÔÍÅÔÉÔØ ÒÅËÒÁÓÎÕÀ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÀ ËÏÎÇÒÅÓÓÁ. âÙÌÉ ÒÅÄÕÓÍÏÔÒÅÎÙ ×ÓÅ ÍÅÌÏÞÉ ÂÙÔÁ, ÓÏÚÄÁÎÙ ×ÓÅ ÕÄÏÂÓÔ×Á ÄÌÑ ÒÁÂÏÔÙ, ÒÏÄÕÍÁÎÙ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÅ ÜËÓËÕÒÓÉÏÎÎÁÑ É ËÕÌØÔÕÒÎÁÑ ÒÏÇÒÁÍÍÙ. äÁÖÅ ÅÖÅÄÎÅ×ÎÏ ×ÙÈÏÄÉÌÁ (ÎÁ Ä×ÕÈ ÑÚÙËÁÈ) ÇÁÚÅÔÁ ÄÌÑ ËÏÎÇÒÅÓÓÉÓÔÏ× €Diario de Sevilla. ïÓÏÂÏÊ ÚÁÓÌÕÇÏÊ ÏÒÇÁÎÉÚÁÔÏÒÏ× ËÏÎÇÒÅÓÓÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÒÏÑ×ÉÌÉ ÎÅÓÔÁÎÄÁÒÔÎÕÀ ÚÁÂÏÔÕ Ï ÍÎÏÇÉÈ ÕÞÁÓÔÎÉËÁÈ ÉÚ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÔÒÁÎ ÍÉÒÁ É ÏÂÅÓÅÞÉÌÉ ÇÒÁÎÔÁÍÉ (×ËÌÀÞÁ×ÛÉÍÉ ÒÅÇÉÓÔÒÁ ÉÏÎÎÙÊ ×ÚÎÏÓ, ÒÏÖÉ×ÁÎÉÅ × ÏÂÝÅÖÉÔÉÉ É ÉÔÁÎÉÅ × ÓÔÕÄÅÎÞÅÓËÏÊ ÓÔÏÌÏ×ÏÊ) 7 ÒÏ ÅÎÔÏ× ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ËÏÎÇÒÅÓÓÁ. üÔÏÔ ÆÁËÔ ÄÁÌ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÅ ÎÁÚ×ÁÔØ ÆÏÒÕÍ × óÅ×ÉÌØÅ ëÏÎÇÒÅÓÓÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÓÏÌÉÄÁÒÎÏÓÔÉ. ïÆÉ ÉÁÌØÎÏ ÏÂßÑ×ÌÅÎÏ, ÞÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ, 9-Ê íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÊ ËÏÎÇÒÅÓÓ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ ÌÁÎÉÒÕÅÔÓÑ ÒÏ×ÅÓÔÉ ÌÅÔÏÍ 2000 ÇÏÄÁ × íÁËÕÈÁÒÉ (ñÏÎÉÑ). òÁÂÏÔÁ ÏÒÇËÏÍÉÔÅÔÁ Ï ÅÇÏ ÏÄÇÏÔÏ×ËÅ ÕÖÅ ÎÁÞÁÌÁÓØ.

úÁÄÁÞÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ

÷ ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ×ÎÉÍÁÎÉÀ ÞÉÔÁÔÅÌÑ ÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ ÏÄÂÏÒËÁ ÚÁÄÁÞ ÒÁÚÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ, × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ ÏÞÅÎØ ÔÒÕÄÎÙÈ. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÜÔÉÈ ÚÁÄÁÞ (ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÓÁÍÙÅ ÓÌÏÖÎÙÅ!) ÔÒÅÂÕÀÔ ÚÎÁÎÉÑ €ÎÅÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏʁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ | ÁÎÁÌÉÚÁ, ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ É Ô. . óÏÓÔÁ×ÉÔÅÌÑÍ ÜÔÏÊ ÏÄÂÏÒËÉ ËÁÖÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÒÅÄÌÁÇÁÅÍÙÅ ÎÉÖÅ ÚÁÄÁÞÉ ÏËÁÖÕÔÓÑ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÍÉ ËÁË ÄÌÑ ÓÉÌØÎÙÈ ÛËÏÌØÎÉËÏ×, ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÝÉÈÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ, ÔÁË É ÄÌÑ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×-ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×. ðÏÍÉÍÏ ÓÁÍÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÔÒÕÄÎÙÈ ÚÁÄÁÞ, × ×ÙÓÛÅÊ ÓÔÅÅÎÉ ÏÌÅÚÎÏ ÕÒÁÖÎÑÔØÓÑ × ÉÚÌÏÖÅÎÉÉ ÒÅÛÅÎÉÊ. íÙ ÓÏ×ÅÔÕÅÍ ×ÓÅÍ, ÒÅÛÉ×ÛÉÍ ËÁËÕÀÌÉÂÏ ÉÚ ÚÁÄÁÞ, ÏÒÏÂÏ×ÁÔØ ÚÁÉÓÁÔØ ÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ × ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ÒÏÓÔÏÍ É ÏÎÑÔÎÏÍ ×ÉÄÅ É ÒÉÓÌÁÔØ × ÒÅÄÁË ÉÀ. ÷ ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÎÏÍÅÒÁÈ ÍÙ ÏÕÂÌÉËÕÅÍ ÓÁÍÙÅ ÉÚÑÝÎÙÅ ÉÚ ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÎÁÍ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ Á×ÔÏÒÙ ÄÁÌÅËÏ ÎÅ ×ÓÅÈ ÒÅÄÌÁÇÁÅÍÙÈ ÎÉÖÅ ÚÁÄÁÞ. íÎÏÇÉÅ ÉÚ ÎÉÈ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÄÅÓÑÔÉÌÅÔÉÑ É ÓÔÁÌÉ ÞÁÓÔØÀ €ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÆÏÌØËÌÏÒÁ. ïÄÎÁ ÉÚ ÅÌÅÊ, ÒÅÓÌÅÄÕÅÍÙÈ ÓÏÓÔÁ×ÉÔÅÌÑÍÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÁÚÄÅÌÁ, | ÚÁÉÓÁÔØ ÜÔÏÔ €ÆÏÌØËÌÏҁ, ÍÎÏÇÉÅ ÞÁÓÔÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÔÒÅÍÉÔÅÌØÎÏ ÉÓÞÅÚÁÀÔ × ÎÁÛÅ ×ÒÅÍÑ. íÙ ÏÂÒÁÝÁÅÍÓÑ Ó ÒÏÓØÂÏÊ ËÏ ×ÓÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌÑÍ, ÉÍÅÀÝÉÍ Ó×ÏÉ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÏÄÂÏÒËÉ ÔÁËÉÈ ÚÁÄÁÞ, ÒÉÓÙÌÁÔØ ÉÈ × ÒÅÄÁË ÉÀ. é, ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÍÙ Ó ÕÄÏ×ÏÌØÓÔ×ÉÅÍ ÂÕÄÅÍ ÕÂÌÉËÏ×ÁÔØ Ó×ÅÖÉÅ Á×ÔÏÒÓËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ. öÄÅÍ ×ÁÛÉÈ ÉÓÅÍ. óÏÏÂÝÉÍ ÔÕ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï Á×ÔÏÒÁÈ ÚÁÄÁÞ, ËÏÔÏÒÏÊ ÒÁÓÏÌÁÇÁÅÍ (ÕÔÏÞÎÅÎÉÑ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÙ ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ ÒÉ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔÓÑ). åÓÌÉ Á×ÔÏÒ ÚÁÄÁÞÉ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÅÎ, ÍÙ ÕËÁÚÙ×ÁÅÍ ÔÏÇÏ, ËÔÏ ÒÅÄÌÏÖÉÌ ÜÔÕ ÚÁÄÁÞÕ. úÁÄÁÞÉ 1, 3 ÒÅÄÌÏÖÉÌ á. ëÁÎÅÌØ-âÅÌÏ×, ÏÎ ÖÅ Á×ÔÏÒ ÚÁÄÁÞ 2, 6Â), 9. úÁÄÁÞÁ 6Á) ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÷. á. óÅÎÄÅÒÏ×Õ, ÏÎ ÖÅ ÒÅÄÌÏÖÉÌ ÚÁÄÁÞÕ 10. úÁÄÁÞÕ 4 ÒÉÄÕÍÁÌ ó. íÁÒËÅÌÏ×, ÚÁÄÁÞÁ 5 | ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÅ ÉÚÏÂÒÅÔÅÎÉÅ á. ëÁÎÅÌÑ, á. âÅÌÏ×Á É á. ëÏ×ÁÌØÄÖÉ. úÁÄÁÞÕ 7 ÒÉÄÕÍÁÌ ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×. úÁÄÁÞÕ 8 ÒÅÄÌÏÖÉÌ á. ç. ëÕÌÁËÏ×.

193

õÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞ

1*. ûáèíáù ÷ ðòïóòáîó÷å

íÏÇÕÔ ÌÉ 1000 ÌÁÄÅÊ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÚÁÍÁÔÏ×ÁÔØ ËÏÒÏÌÑ?

2*. ëïîåã þéóìá

äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÏ N ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ 2N ÏËÁÎÞÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ N . 3. óéîõóù

íÏÖÅÔ ÌÉ ÓÕÍÍÁ ÞÉÓÅÌ√ ×ÉÄÁ a sin(k=n); ÇÄÅ a | ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, k; n | ÅÌÙÅ, ÒÁ×ÎÑÔØÓÑ 1997? 4. ÷óåçï ìéûø ðìáîéíåòéñ

äÁÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ABC . K | ÔÏÞËÁ ËÁÓÁÎÉÑ ×ÉÓÁÎÎÏÊ × ÎÅÇÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ É ÓÔÏÒÏÎÙ BC . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ä×Å ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ËÁÓÁÀÝÉÅÓÑ ÒÑÍÏÊ BC , ÌÕÞÁ AK É ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÏÉÓÁÎÎÏÊ ×ÏËÒÕÇ △ ABC (ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÙ ÕÎËÔÉÒÏÍ). äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÉÈ ÒÁÄÉÕÓÙ ÒÁ×ÎÙ. A

B

C K

194

5. òáúòåúáîéå

ìÉÎÉÑ ÄÅÌÉÔ Ë×ÁÄÒÁÔ ÎÁ Ä×Å ÒÁ×ÎÙÅ ÞÁÓÔÉ. ÷ÓÅÇÄÁ ÌÉ ÏÎÁ ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒ Ë×ÁÄÒÁÔÁ? ÏÔ ÖÅ ×ÏÒÏÓ ÄÌÑ ËÕÂÁ. 6. íîïçïþìåî

Á) ÄÁÎ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ P (X ). äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ X > 0: P (X ) > 0. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÞÔÏ P = Q=T , ÇÄÅ Q É T | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ Ó ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ. Â)* ÕÓÔØ P | Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÊ ÔÒÅÈÞÌÅÎ, | ÁÒÇÕÍÅÎÔ ÅÇÏ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ËÏÒÎÑ. ÏÇÄÁ ÓÔÅÅÎØ Q ÎÅ ÍÅÎØÛÅ 2= . 7. éîåçòáì

ðÕÓÔØ ÆÕÎË ÉÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÁ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 1℄,

f (0) = f (1) = 0;

Z

1 0

f ′(t) 2 dt 6 1: 

éÚÏÂÒÁÚÉÔØ ÎÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË, ÞÅÒÅÚ ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÅÔ ÒÏÈÏÄÉÔØ ÇÒÁÆÉË ÆÕÎË ÉÉ y = f (x). 8. óåíåêó÷á ðïäíîïöåó÷ îáõòáìøîïçï òñäá

Á) íÏÖÅÔ ÌÉ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ ÂÙÔØ ÎÅÓÞÅÔÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÏÄÎÏ ÓÔÒÏÇÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÄÒÕÇÏÍ? Â) ÏÔ ÖÅ ×ÏÒÏÓ, ÅÓÌÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× × ÓÅÍÅÊÓÔ×Å ËÏÎÅÞÎÏ. 9. òñä

P 1 éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÒÉ ÌÀÂÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ A, B ÒÑÄ |Axn + Byn | P 1 ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ. ïÂÑÚÁÎ ÌÉ ÒÁÓÈÏÄÉÔØÓÑ ÒÑÄ ? A ÞÔÏ ÅÓÌÉ A É B |xn | + |yn | ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ËÏÍÌÅËÓÎÙÍÉ? 10. íîïçïþìåî

æÕÎË ÉÑ, ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÎÁ ×ÓÅÊ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÒÑÍÏÊ, ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÁ. ÷ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ (ÎÏÍÅÒ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÍÏÖÅÔ ÚÁ×ÉÓÅÔØ ÏÔ ÔÏÞËÉ) ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÆÕÎË ÉÑ | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ.

îÏ×ÙÅ ÉÚÄÁÎÉÑ

íéòïó ×ÁÛÅÍÕ ÄÏÍÕ

å. ç. ëÏÚÌÏ×Á

÷. ÷. ðÒÏÉÚ×ÏÌÏ×

íÏÓËÏ×ÓËÉÊ ÉÎÓÔÉÔÕÔ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ (íéòïó) ÚÁÎÉÍÁÅÔÓÑ ÒÁÚÒÁÂÏÔËÏÊ ÎÅÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÏÄÈÏÄÏ× Ë ÏÂÕÞÅÎÉÀ ÛËÏÌØÎÉËÏ×. ÷ ÉÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Å íéòïó ×ÙÈÏÄÑÔ ËÎÉÇÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÏÔÒÁÖÁÀÔÓÑ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÅ ÜËÓÅÒÉÍÅÎÔÁÌØÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ. ÷ÏÔ ËÎÉÇÉ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ×ÙÕÝÅÎÎÙÅ íéòïóÏÍ. 1. úÁÄÁÞÉ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÄÌÑ ×ÎÅËÌÁÓÓÎÏÊ ÒÁÂÏÔÙ × V-VI ËÌÁÓÓÁÈ: ðÏÓÏÂÉÅ ÄÌÑ ÕÞÉÔÅÌÅÊ/ óÏÓÔ. ÷. à. óÁÆÏÎÏ×Á; ÏÄ ÒÅÄ. ä. â. æÕËÓÁ, á. ì. çÁ×ÒÏÎÓËÏÇÏ. | í.: íéòïó. | 1995. | 72 Ó.: ÉÌ. ãÅÎÁ 3000 Ò.

÷ ÏÓÏÂÉÉ ÉÚ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÉÓÔÏÞÎÉËÏ× ÓÏÂÒÁÎÏ ÏËÏÌÏ 300 ÎÅÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÚÁÄÁÞ, ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ Ó×ÅÄÅÎÉÊ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ × ÈÏÄÅ ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ × ÅÒ×ÙÈ ÑÔÉ ËÌÁÓÓÁÈ. óÂÏÒÎÉË ÒÉÚ×ÁÎ ÏÍÏÞØ ÕÞÉÔÅÌÀ × ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ×ÎÅËÌÁÓÓÎÏÊ ÒÁÂÏÔÙ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÉÎÔÅÒÅÓÁ Ë ÎÅÊ Õ ÕÞÁÝÉÈÓÑ. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÌÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÉÄÅÉ ËÁË ËÏÍÏÚÉ ÉÉ, ÔÁË É ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ. óÂÏÒÎÉË ÏÓ×ÑÝÅÎ ÇÌÁ×ÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÁÒÉÆÍÅÔÉËÅ, ÌÏÇÉËÅ É ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÅ | ÔÒÁÄÉ ÉÏÎÎÙÍ ÏÂÌÁÓÔÑÍ ÚÁÎÉÍÁÔÅÌØÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ðÒÏ×ÅÄÅÎÁ ÏÄÒÏÂÎÁÑ ÒÕÂÒÉËÁ ÉÑ ÚÁÄÁÞ | ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÒÅÄÒÉÎÑÔÁ ÏÙÔËÁ ÉÈ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ. ÷ ËÏÎ Å ÚÁÄÁÞÎÉËÁ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÓÏ×ÅÔÙ ÕÞÉÔÅÌÀ Ï ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÀ ÒÅÄÌÁÇÁÅÍÏÇÏ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁ × ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÊ ÒÁÂÏÔÅ. ëÎÉÇÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÌÅÚÎÁ ËÁË ÌÀÂÏÚÎÁÔÅÌØÎÙÍ ÛËÏÌØÎÉËÁÍ, ÔÁË É ÒÏÄÉÔÅÌÑÍ, ÓÌÅÄÑÝÉÍ ÚÁ ÒÁÚ×ÉÔÉÅÍ Ó×ÏÉÈ ÄÅÔÅÊ. 2. ëÏÚÌÏ×Á å. ç. óËÁÚËÉ É ÏÄÓËÁÚËÉ. úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ËÒÕÖËÁ. | í.: íéòïó. | 1995. | 128 Ó.: ÉÌ. ãÅÎÁ 5500 Ò.

óÂÏÒÎÉË ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÚÁÄÁÞÉ, ÒÅÄÌÁÇÁ×ÛÉÅÓÑ ÎÁ ÚÁÎÑÔÉÑÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ËÒÕÖËÁ ÄÌÑ ÕÞÁÝÉÈÓÑ 5{7 ËÌÁÓÓÏ× É ÒÅÛÅÎÎÙÅ ÄÅÔØÍÉ. ûÉÒÏËÉÊ ÄÉÁÁÚÏÎ ÕÒÏ×ÎÑ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ ÚÁÄÁÞ, ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ ÚÁÂÁ×ÎÏÓÔÉ ÕÓÌÏ×ÉÊ Ó ÓÅÒØÅÚÎÏÓÔØÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÑ, ÎÁÌÉÞÉÅ ÏÄÓËÁÚÏË É ÒÅÛÅÎÉÊ | ×ÓÅ ÜÔÏ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ

196

å. ç. ëÏÚÌÏ×Á, ÷. ÷. ðÒÏÉÚ×ÏÌÏ×

ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ËÎÉÇÕ ËÁË ÄÌÑ ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ Õ ÒÅÂÑÔ ÎÁÞÁÌØÎÏÇÏ ÉÎÔÅÒÅÓÁ Ë ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÔÁË É ÄÌÑ ÕÇÌÕÂÌÅÎÎÙÈ ÚÁÎÑÔÉÊ. ÷ÏÔ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÚÁÄÁÞÁ ÉÚ ÜÔÏÊ ËÎÉÇÉ: €÷ ÎÅÂÏÌØÛÏÍ ÛÏÔÌÁÎÄÓËÏÍ ÇÏÒÏÄËÅ ÓÔÏÑÌÁ ÛËÏÌÁ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÕÞÉÌÉÓØ ÒÏ×ÎÏ 1000 ÛËÏÌØÎÉËÏ×. õ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÎÉÈ ÂÙÌ ÛËÁÆ ÄÌÑ ÏÄÅÖÄÙ | ×ÓÅÇÏ 1000 ÛËÁÆÏ×, ÒÉÞÅÍ ÛËÁÆÙ ÂÙÌÉ ÒÏÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÙ ÞÉÓÌÁÍÉ ÏÔ 1 ÄÏ 1000. á ÅÝÅ × ÜÔÏÊ ÛËÏÌÅ ÖÉÌÉ ÒÉ×ÉÄÅÎÉÑ | ÒÏ×ÎÏ 1000 ÒÉ×ÅÄÅÎÉÊ. ëÁÖÄÙÊ ÛËÏÌØÎÉË, ÕÈÏÄÑ ÉÚ ÛËÏÌÙ, ÚÁÉÒÁÌ Ó×ÏÊ ÛËÁÆ, Á ÎÏÞØÀ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ ÎÁÞÉÎÁÌÉ ÉÇÒÁÔØ ÓÏ ÛËÁÆÁÍÉ, ÔÏ ÏÔÉÒÁÑ, ÔÏ ÚÁÉÒÁÑ ÉÈ. ïÄÎÁÖÄÙ ×ÅÞÅÒÏÍ ÛËÏÌØÎÉËÉ, ËÁË ÏÂÙÞÎÏ, ÏÓÔÁ×ÉÌÉ ÚÁÅÒÔÙÍÉ ×ÓÅ ÛËÁÆÙ. òÏ×ÎÏ × ÏÌÎÏÞØ ÏÑ×ÉÌÉÓØ ÒÉ×ÉÄÅÎÉÑ. óÎÁÞÁÌÁ ÅÒ×ÏÅ ÒÉ×ÉÄÅÎÉÅ ÏÔËÒÙÌÏ ×ÓÅ ÛËÁÆÙ; ÏÔÏÍ ×ÔÏÒÏÅ ÒÉ×ÉÄÅÎÉÅ ÚÁËÒÙÌÏ ÔÅ ÛËÁÆÙ, ÎÏÍÅÒ ËÏÔÏÒÙÈ ÄÅÌÉÌÓÑ ÎÁ 2; ÚÁÔÅÍ ÔÒÅÔØÅ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÅ ÏÍÅÎÑÌÏ ÏÚÉ ÉÉ (Ô. Å. | ÏÔËÒÙÌÏ ÛËÁÆ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÂÙÌ ÚÁËÒÙÔ, É ÚÁËÒÙÌÏ | ÅÓÌÉ ÏÎ ÂÙÌ ÏÔËÒÙÔ) ÔÅÈ ÛËÁÆÏ×, ÎÏÍÅÒ ËÏÔÏÒÙÈ ÄÅÌÉÌÓÑ ÎÁ 3; ÓÌÅÄÏÍ ÚÁ ÎÉÍ ÞÅÔ×ÅÒÔÏÅ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÅ ÏÍÅÎÑÌÏ ÏÚÉ ÉÉ ÔÅÈ ÛËÁÆÏ×, ÎÏÍÅÒ ËÏÔÏÒÙÈ ÄÅÌÉÌÓÑ ÎÁ 4, É Ô. Ä. ëÁË ÔÏÌØËÏ ÔÙÓÑÞÎÏÅ ÒÉ×ÉÄÅÎÉÅ ÏÍÅÎÑÌÏ ÏÚÉ ÉÀ ÔÙÓÑÞÎÏÇÏ ÛËÁÆÁ | ÒÏÅÌ ÅÔÕÈ É ×ÓÅ ÒÉ×ÉÄÅÎÉÑ ÓÒÏÞÎÏ ÕÂÒÁÌÉÓØ ×ÏÓ×ÏÑÓÉ. îÅ ÓËÁÖÅÔÅ ÌÉ ÷Ù, ÓËÏÌØËÏ ÏÓÔÁÌÏÓØ ÏÔËÒÙÔÙÈ ÛËÁÆÏ× ÏÓÌÅ ÏÓÅÝÅÎÉÑ ÒÉ×ÉÄÅÎÉÊ? 3. ûÁÒÙÇÉÎ é. æ., åÒÇÁÎÄÖÉÅ×Á ì. î. îÁÇÌÑÄÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ: õÞÅÂÎÏÅ ÏÓÏÂÉÅ ÄÌÑ ÕÞÁÝÉÈÓÑ V-VI ËÌÁÓÓÏ×. { í.: íéòïó. | 1995. { 240 Ó.: ÉÌ. ãÅÎÁ 6000 Ò.

ðÏÓÏÂÉÅ, ÎÅ ÉÍÅÀÝÅÅ ÁÎÁÌÏÇÏ× × ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÛËÏÌØÎÏÊ ÒÁËÔÉËÅ, ÒÉÚ×ÁÎÏ ÓÏÓÏÂÓÔ×Ï×ÁÔØ ÒÁÚ×ÉÔÉÀ Õ ÕÞÁÝÉÈÓÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÊ. îÁÉÓÁÎÎÏÅ ÖÉ×Ï É Õ×ÌÅËÁÔÅÌØÎÏ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ÍÎÏÇÏ ËÒÁÓÉ×ÙÈ ÚÁÄÁÞ, ÏÎÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÏ ËÁË ÎÁ ÕÒÏËÁÈ, ÔÁË É ×Ï ×ÎÅËÌÁÓÓÎÏÊ ÒÁÂÏÔÅ. íÎÏÇÏ ÏÌÅÚÎÏÇÏ × ÎÅÍ ÎÁÊÄÕÔ É ÛËÏÌØÎÉËÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÙÈ ÚÁÎÑÔÉÊ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÉÔÁÔ ÉÚ ËÎÉÇÉ. € ñ ÄÕÍÁÀ, ÞÔÏ ÎÉËÏÇÄÁ ÄÏ ÎÁÓÔÏÑÝÅÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ ÍÙ ÎÅ ÖÉÌÉ × ÔÁËÏÊ ÇÅÏ" ÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÅÒÉÏÄ. ÷ÓÅ ×ÏËÒÕÇ | ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ.\ üÔÉ ÓÌÏ×Á, ÓËÁÚÁÎÎÙÅ ×ÅÌÉËÉÍ ÆÒÁÎ ÕÚÓËÉÍ ÁÒÈÉÔÅËÔÏÒÏÍ ìÅ ëÏÒÂÀÚØÅ × ÎÁÞÁÌÅ èè ×., ÏÞÅÎØ ÔÏÞÎÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÀÔ ÎÁÛÅ ×ÒÅÍÑ. íÉÒ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÍÙ ÖÉ×ÅÍ, ÎÁÏÌÎÅÎ ÇÅÏÍÅÔÒÉÅÊ ÄÏÍÏ× É ÕÌÉ , ÇÏÒ É ÏÌÅÊ, Ô×ÏÒÅÎÉÑÍÉ ÒÉÒÏÄÙ É ÞÅÌÏ×ÅËÁ. ìÕÞÛÅ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÔØÓÑ × ÎÅÍ, ÏÔËÒÙ×ÁÔØ ÎÏ×ÏÅ, ÏÎÉÍÁÔØ ËÒÁÓÏÔÕ É ÍÕÄÒÏÓÔØ ÏËÒÕÖÁÀÝÅÇÏ ÍÉÒÁ ÏÍÏÖÅÔ ×ÁÍ ÜÔÁ ËÎÉÇÁ. €èÏÒÏÛÅÅ ×ÏÏÂÒÁÖÅÎÉÅ | ÜÔÏ ËÁÞÅÓÔ×Ï, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ × ÒÁ×ÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ É ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ, É ÏÜÔÕ. á ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ, ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ ÄÁÖÅ × ÂÏÌØÛÅÊ ÓÔÅÅÎÉ. ÷ÅÌÉËÉÊ ÆÒÁÎ ÕÚÓËÉÊ ÒÏÓ×ÅÔÉÔÅÌØ ÷ÏÌØÔÅÒ ËÁË-ÔÏ ÓËÁÚÁÌ: ÷ ÇÏÌÏ×Å Õ áÒÈÉÍÅÄÁ ÂÙÌÏ " ÇÏÒÁÚÄÏ ÂÏÌØÛÅ ×ÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, ÞÅÍ × ÇÏÌÏ×Å Õ çÏÍÅÒÁ.\ €÷ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÏÞÅÎØ ×ÁÖÎÏ ÕÍÅÔØ ÓÍÏÔÒÅÔØ É ×ÉÄÅÔØ, ÚÁÍÅÞÁÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÉÇÕÒ, ÄÅÌÁÔØ ×Ù×ÏÄÙ ÉÚ ÚÁÍÅÞÅÎÎÙÈ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÅÊ. üÔÉ ÕÍÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ×ÍÅÓÔÅ ÍÏÖÎÏ ÎÁÚ×ÁÔØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÚÒÅÎÉÅÍ\, " ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÓÔÏÑÎÎÏ ÔÒÅÎÉÒÏ×ÁÔØ É ÒÁÚ×É×ÁÔØ.

íéòïó ×ÁÛÅÍÕ ÄÏÍÕ

197

ðÁÒÁÇÒÁÆ Ï ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó ÏÔÒÙ×ËÁ ÉÚ ìØÀÉÓÁ ëÜÒÏÌÌÁ: €. . . îÏ ÉÎÔÅÒÅÓÎÏ, ÎÁ ËÁËÏÊ ÖÅ Ñ ÛÉÒÏÔÅ É ÄÏÌÇÏÔÅ? | ÒÏÄÏÌÖÁÌÁ áÌÉÓÁ. óËÁÚÁÔØ Ï ÒÁ×ÄÅ, ÏÎÁ ÏÎÑÔÉÑ ÎÅ ÉÍÅÌÁ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÛÉÒÏÔÁ É ÄÏÌÇÏÔÁ, ÎÏ ÅÊ ÏÞÅÎØ ÎÒÁ×ÉÌÉÓØ ÜÔÉ ÓÌÏ×Á. ïÎÉ Ú×ÕÞÁÌÉ ÔÁË ×ÁÖÎÏ É ËÒÁÓÉ×Ï! 4. ðÒÏÉÚ×ÏÌÏ× ÷. ÷. úÁÄÁÞÉ ÎÁ ×ÙÒÏÓÔ: õÞÅÂÎÏÅ ÏÓÏÂÉÅ ÄÌÑ ×ÎÅËÌÁÓÓÎÙÈ ÚÁÎÑÔÉÊ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ. | í.: íéòïó. | 1995. | 96 Ó.: ÉÌ. ãÅÎÁ 4800 Ò.

õÞÅÂÎÏÅ ÏÓÏÂÉÅ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÏ ÉÚ Á×ÔÏÒÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ, × ÒÁÚÎÙÅ ÇÏÄÙ ÅÞÁÔÁ×ÛÉÈÓÑ × ÖÕÒÎÁÌÅ €ë×ÁÎԁ. ðÏÒÁÚÉÔÅÌØÎÏ, ÓËÏÌØËÏ ÖÅ ÒÅËÒÁÓÎÙÈ ÚÁÄÁÞ, ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÎÅÓËÏÌØËÉÍ ÏËÏÌÅÎÉÑÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×, ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÅÒÕ Á×ÔÏÒÁ (ËÓÔÁÔÉ, × ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÔÒÅÈ ËÎÉÇÁÈ ÔÏ É ÄÅÌÏ ×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ ÚÁÄÁÞÉ ÷. ÷. ðÒÏÉÚ×ÏÌÏ×Á). äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ Ó×ÅÄÅÎÉÊ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÒÉ ÉÚÕÞÅÎÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ × 7{11 ËÌÁÓÓÁÈ. ðÏÓÏÂÉÅ ÂÕÄÅÔ ÏÌÅÚÎÏ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÌÀÂÏÚÎÁÔÅÌØÎÙÍ ÛËÏÌØÎÉËÁÍ, ÎÏ É ÕÞÉÔÅÌÑÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÇÕÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÎÅÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ É ÄÌÑ ×ÎÅËÌÁÓÓÎÏÊ ÒÁÂÏÔÙ, É ÄÌÑ ÏÖÉ×ÌÅÎÉÑ ÕÞÅÂÎÏÇÏ ÒÏ ÅÓÓÁ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÁ ÕÒÏËÅ. ÷ÏÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÚÁÄÁÞ ÉÚ ÜÔÏÊ ËÎÉÇÉ. 1. îÁ ÂÁÌÕ ËÁÖÄÙÊ ËÁ×ÁÌÅÒ ÔÁÎ Å×ÁÌ Ó ÔÒÅÍÑ ÄÁÍÁÍÉ, Á ËÁÖÄÁÑ ÄÁÍÁ | Ó ÔÒÅÍÑ ËÁ×ÁÌÅÒÁÍÉ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÁ ÂÁÌÕ ÞÉÓÌÏ ÄÁÍ ÒÁ×ÎÑÌÏÓØ ÞÉÓÌÕ ËÁ×ÁÌÅÒÏ×. 2. ÒÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÒÁÚÒÅÚÁÎÙ Ï ÒÁÚÎÏÉÍÅÎÎÙÍ ÍÅÄÉÁÎÁÍ. óÌÏÖÉÔÅ ÉÚ ÛÅÓÔÉ ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ËÕÓËÏ× ÏÄÉÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË. 3. îÁ ÓÔÏÌ ÏÌÏÖÉÌÉ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÌÉÓÔÏ× ÂÕÍÁÇÉ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÙ. ïËÁÚÁÌÏÓØ, ÞÔÏ ×ÅÒÈÎÉÊ ÌÉÓÔ ÏËÒÙ×ÁÅÔ ÂÏÌØÛÅ ÏÌÏ×ÉÎÙ ÌÏÝÁÄÉ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÌÉÓÔÏ×. íÏÖÎÏ ÌÉ × ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÏÔËÎÕÔØ ÂÕÌÁ×ËÕ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÎÁ ÒÏËÏÌÏÌÁ ×ÓÅ ÌÉÓÔÙ? 4. ãÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ a, b É ÔÁËÏ×Ù, ÞÔÏ ab + b + a = 0. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ab ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ × ×ÉÄÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÅÌÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÎÁ ËÕ ÅÌÏÇÏ ÞÉÓÌÁ. 5. ë×ÁÄÒÁÔÎÙÊ ÌÉÓÔ ÂÕÍÁÇÉ ÒÁÚÒÅÚÁÌÉ ÎÁ 6 ËÕÓËÏ× × ÆÏÒÍÅ ×ÙÕËÌÙÈ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏ×. ðÑÔØ ËÕÓËÏ× ÚÁÔÅÒÑÌÉÓØ, ÏÓÔÁÌÓÑ ÏÄÉÎ ËÕÓÏË × ÆÏÒÍÅ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ×ÏÓØÍÉÕÇÏÌØÎÉËÁ. íÏÖÎÏ ÌÉ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÜÔÏÍÕ ×ÏÓØÍÉÕÇÏÌØÎÉËÕ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÉÓÈÏÄÎÙÊ Ë×ÁÄÒÁÔ?

ëÎÉÇÉ, ×ÙÕÓËÁÅÍÙÅ íÏÓËÏ×ÓËÉÍ ÉÎÓÔÉÔÕÔÏÍ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ ÍÏÖÎÏ ÒÉÏÂÒÅÓÔÉ × ËÎÉÖÎÏÍ ÍÁÇÁÚÉÎÅ íéòïóÁ, Ï ÁÄÒÅÓÕ: 109104, íÏÓË×Á, îÉÖÎÑÑ òÁÄÉÝÅ×ÓËÁÑ ÕÌ., Ä. 10, ËÏÍÎ. 27 (100 Í ÏÔ ÓÔÁÎ ÉÉ ÍÅÔÒÏ €ÁÇÁÎÓËÁÑ-ËÏÌØ Å×Áс). óÒÁ×ËÉ Ï ÔÅÌ. 915-72-55, 915-69-57.

éÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Ï íÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ ãÅÎÔÒÁ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÅÈÎÉÞÅÓËÉÊ ÒÅÄÁËÔÏÒ í. î. ÷ÑÌÙÊ ìÉ ÅÎÚÉÑ ìò ‚040452 ÏÔ 21.05.92 Ç. ðÏÄÉÓÁÎÏ × ÅÞÁÔØ 05.06.97 Ç. æÏÒÍÁÔ 70×100/16 ðÅÞÁÔØ ÏÆÓÅÔÎÁÑ. ðÅÞ. Ì. 12.0. ÉÒÁÖ 1000. úÁËÁÚ íãîíï 121002, íÏÓË×Á, â. ÷ÌÁÓØÅ×ÓËÉÊ, 11.