Квантовая механика [2 ed.] 5785500280, 1704020000

Citation preview

И здание второе, переработанное и дополненное Д о п у щ е н о М и н и сте р ством вы с ш е го и с р е д н е го спе ци ально го о б р а зо ва н и я Б С С Р в качестве у ч е б ­ ного п о со б и я дл я студентов ф и зи ч ески х специ аль­ ностей вы сш их учеб ны х заведений

rt-Б Т -ш -И !

Б М ИНСК И З Д А Т Е Л Ь С Т В О «У Н И В Е Р С И Т Е Т С К О Е »

1988

ББК 22.314я73 Б 82 У Д К 530.145(075.8)

Рецензенты: кафедра теоретической физики Вильнюсского государственного уни­ верситета имени В. Капсукаса (зав. кафедрой А. А. Бандзайтис), А. А. Богуш, доктор физико-математических наук

Б 82

Борисоглебский Л . А. К вантовая механика: Учеб. пособие для физ. спец. вузов.— 2-е изд., перераб. и доп.— Мн.: Уни­ верситетское, 1988.— 623 с.: ил. IS B N 5-7855-0028-0 Подготовлено в соответствии с новой (1986 г.) университетской про­ граммой курса «Квантовая механика». Во втором издании значительно расширен материал отдельных глав, дается формулировка основ кван­ товой механики с использованием пространства Гильберта. Отличается от имеющихся учебных пособий методикой изложения материала. Для студентов физических специальностей вузов. Может быть ис­ пользовано аспирантами и преподавателями вузов. Первое издание вышло в 1981 г.

1704020000= 021_26_ 87

ббк

22.314я73

D М 317(03)—88 ISBN 5-7855-0028-0

© Издательство «Университетское», 1988

Второе издание учебного пособия «К вантовая м еха­ ника», переработанное и дополненное, отличается от первого главны м образом тем, что в пособие внесены из­ менения и дополнения в соответствии с новой п рограм ­ мой по квантовой механике д л я университетов издания 1986 г. И зменены преимущественно главы III, V, V II I— X. В гл. II I увеличено число представлений, в которых реш ается уравнение Ш редингера д л я линейного кван ­ тового гармонического осциллятора. В гл. V зн ачитель­ но ш ире и злагается теория возмущений (рассм атри ва­ ются адиабатическое, внезапное и другие случаи возм у­ щ ений). Более подробно рассм атривается уравнение К лейна— Фока в связи с применением его д л я описания движ ения бесспиновых микрочастиц (гл. V II I). З а счет вклю чения нескольких тем из нового программного м а ­ тери ала, посвященных применению теории системы оди­ наковых частиц, пополнена гл. IX. Н есколько ш ире ис­ пользуется метод вторичного квантования в гл. X (с по­ мощью этого метода, например, производится упрощ ен­ ный расчет лэмбовского сдвига энергетических уровней электрона в атоме во д о р о д а). Т ак к а к согласно новой программе в математическом ап п арате квантовой механики используется пространст­ во Гильберта, то в настоящ ее пособие вклю чена новая гл ава (гл. X II), посвящ енная этому пространству и при­ менению его в квантовой теории. Рассм отрен более подробно вопрос об определении волновой функции атомной системы до процесса изм е­ рений по результатам этих измерений, выполненных на чистом ансам бле таких систем. В связи с этим автор по­ считал нужным кратко излож ить квантовую теорию про­ цесса измерения (гл. X III).

К роме того, во второе издание внесено 11 новых до­ полнений (часть ж е прежних дополнений перенесена в основной тек ст). В большинстве из них рассм атрива­ ются те квантовомеханические задачи, реш ения которых связан ы с довольно большим числом промежуточных вы кладок. В новом издании исправлены так ж е замеченны е не­ точности, описки и опечатки. Автор в ы р а ж ае т глубокую благодарность рецензен­ там А. А. Б ан дзай ти су и А. А. Богуш у, членам кафедры теоретической физики Белгосуниверситета А. К. Горбацевичу, Л . И. К омарову, А. М. Солодухину, Г. В. Ш иш ­ кину, Г. С. Ш уляковскому и Н. М. Ш умейко за обсуж ­ дение рукописи, ценные зам ечания и советы. Автор

Г лава

I

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРИНЦИПЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

Квантовая м ехани ка — н аука о движ ении м икроча­ стиц (элементарны е частицы, атомы, атомны е яд р а, м о­ лекулы ) и взаимодействиях между ними. П оявлению квантовой механики предш ествовали откры тия в о б л а­ сти спектроскопии и атомной физики. Эти откры тия нель­ зя было объяснить в р ам ках классических физических представлений, что привело к кризису классической фи­ зики. К лассическая м еханика и электродинам ика к концу XIX в. достигли высокого уровня развития. С помощью классической механики были объяснены законы д ви ж е­ ния небесных тел, на ее основе разви лась кинетическая теория газов. С озданная ещ е в начале XIX в. волновая теория света объяснила все оптические диф ракционны е и интерференционные явления и приобрела прочную основу после откры тия М аксвеллом связи м еж ду опти­ ческими и электромагнитными явлениями. В дальнейш ем оказалось, что применение классиче­ ских теорий к объяснению процессов, происходящих в микромире, приводит во многих случаях к неверным результатам , а некоторые из этих процессов вообщ е нельзя объяснить, исходя из классических представле­ ний. Так, например, классическая электродинам ика д а ­ в ал а неправильное вы раж ение д ля спектральной плот­ ности излучения абсолю тно черного тела, не м огла о б ъ ­ яснить линейчатость спектров атомов, фотоэффект, э ф ­ ф ект Комптона, т. е. те явления, в которы х обн ару ж и ­ в ал ась корпускулярная природа света. Больш ие затр у д ­ нения возникли так ж е при рассмотрении процесса излу­ чения в атом ах (д аж е после установления Резерф ордом более совершенной — планетарной — м одели). Согласно

классической электродинам ике такие атомы долж ны быть неустойчивыми. К ризис классической физики привел к коренному пе­ ресм отру классических понятий, которы е оказались не­ применимыми при рассмотрении поведения микросистем и течения микропроцессов. П роявились качественно но­ вые свойства микрочастиц, например волновые. В связи с этим было изменено понятие состояния микрочастицы. С огласно квантовой механике состояние движ ущ ейся микрочастицы в фиксированный момент времени опреде­ л я е тся не значениями ее скорости (или импульса) и ко­ ординат, а волновой ф ункцией (см. 2.6) или матрицей плотности (см. дополнение II ). У становлен такж е п р и н ­ цип атомизма, на основании которого лю бы е вещ ества состоят из элем ентарны х частиц, обладаю щ их опреде­ ленны ми дискретными значениями массы покоя, зар яд а, собственными механическими и магнитными моментами. Эти элем ентарны е частицы могут находиться в таких состояниях, которы е характеризую тся дискретными квантованны м и значениями энергии и других физиче­ ских величин. Впоследствии оказалось, что все атомные явления мож но объяснить на основе новых идей и новой теории. Т акой теорией и яви лась квантовая механика. К ван то вая м еханика возникла в 20-е гг. XX в. Ее возникновению предш ествовали такие неполные, част­ ные, менее строгие квантовые теории, к а к квантовая теория света и теория Бора. С начала возникли д ва в а ­ рианта строгой квантовой теории: «м атричная» механи­ к а (р азр аб о тан н ая Гейзенбергом) и волновая механика (построением этой теории зан и м ался Ш редингер). З а ­ тем о казалось, что эти обе теории представляю т собой д ве различны е формы одной и той ж е механики; одни и те ж е зад ач и реш ались, по сути дел а, в различны х «си­ стем ах отсчета» или, к а к говорят, в различны х представ­ л е н и я х *>, т. е. при нахождении волновой функции в д ан ­ ный момент времени в качестве независимы х перемен•> Понятие «представление» есть некоторое своеобразное обоб­ щение понятия «система отсчета». Целесообразность введения этого понятия обусловлена тем, что в квантовой механике применяются такие системы отсчета, в которых в качестве независимых перемен­ н ы х -ар гу м ен то в волновой функции — используются различные ме­ ханические величины, меняющиеся даже дискретным образом (меха­ нические величины такого типа и использовал для построения «мат­ ричной» механики Гейзенберг).

ных, в которых она задается, или иначе — в качестве аргументов этой функции, брались различны е механиче­ ские величины *). В начале разви валась нерелятивистская квантовая м еханика — квантовая механика микрочастиц, д ви ж у­ щихся с малыми скоростями (по сравнению со ско­ ростью св ета), а затем релятивистская — кван товая м е­ ханика микрочастиц, движ ущ ихся с любыми возм ож ны ­ ми скоростями. П остроенная в основном в 30-е гг., р ел я­ тивистская квантовая м еханика (Д ирак, Фок) сы грала значительную роль в объяснении тех атомных явлений, в которых наблю дались релятивистские эффекты . О дн а­ ко наиболее тонкие из этих эффектов, а так ж е взаимопревращ аемость элементарны х частиц смогли теоретиче­ ски строго обосновать лишь квантовая электродинам ика и квантовая теория поля, возникш ие из релятивистской квантовой механики и развиваю щ иеся уж е более 40 лет.

§ 1. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ КВАНТОВЫЕ ТЕОРИИ

1.1. Квантовая теория света П ланк, исследуя законы теплового излучения, вы вел в 1900 г. подтвержденную экспериментом ф орм улу д л я спектральной плотности излучения абсолютно черного тела: и{о , Т ) = ------- р - ------- ,

(1.1)

где 0 — циклическая частота световой волны; Т — аб ­ солю тная тем пература; с — скорость света в вакуум е; k — постоянная Больцм ана; h — постоянная П л ан ка h, деленная на 2л (Й = 1,054-10~ 27э р г-с ). П ри выводе формулы (1.1) П лан к предполагал, что излучаю щ ий гармонический осциллятор (системе таких осцилляторов в отношении излучения эквивалентно из­ лучаю щ ее тело) мож ет находиться лиш ь в состояниях с дискретными значениями энергии, а при переходе из одного более высокого состояния в другое он излучает. Причем энергии осциллятора, отвечающие этим состояСледует отметить, что механические величины, определяю­ щие представление, должны быть в принципе одновременно точно измеримы, что согласно законам квантовой механики, как мы пока­ жем ниже (см. 6.4), имеет место не всегда. ------ '

ниям, кратны величине £ = ftc o , назы ваемой квантом энергии. Впоследствии оказалось, что можно объяснить и ряд других явлений, если дополнительно предположить, что при взаимодействии света с веществом, например при рассеянии, поглощении и излучении света атомами, све­ товой кван т ведет себя как частица (фотон) с энергией Е = п ( и (гипотеза Эйнш тейна). Согласно соотношению м еж ду массой и энергией Е = т с 2, установленному Эйн­ ш тейном, фотон с энергией £ = й ю долж ен обладать массой движ ения т=Нш1с2 и импульсом, равным по ве­ личине p = m c = h ( a l c = n k , где k — длина волнового век­ тора, направленного вдоль н аправления распростране­ ния света. Очевидно, имеет место соотношение Е=ср

( п ':

и масса покоя фотона т 0, как следует из выражения для энергии релятивистской частицы £ = с]/*р 2+ т 2с2, долж­ на равняться нулю. К процессам взаимодействия фотонов с микрочасти­ цами, рассм атриваем ы м и как столкновения меж ду клас­ сическими точечными *) частицами, применяем законы сохранения энергии и импульса: Н(й-\-Е=Н(й'-\-Е';

( 1.2)

Й к + Р ^ Й к '+ Р ',

(1.3)

где Е и Е ' — н ач альн ая и конечная энергии микрочасти­ цы, а Р и Р ' — ее начальны й и конечный импульсы; як, Як' и йю, — импульсы и энергии фотона соответст­ венно. И з (1.2) и (1.3) можно объяснить фотоэффект ( о /= 0 ) . П о классической электродинам ике на электрон в поле электром агнитной волны действует сила e g , где е — за р я д электрон а;

В настоящем пособии, если специально не будет оговорено, электрон, фотон и остальные элементарные частицы, а также состав* ные частицы — атомные ядра будем считать точечными и эта идеа­ лизация не помешает описывать с достаточной точностью атомные явления. Если же применить квантовую механику для описания внутриядерных процессов, то конечные размеры ядер учитывать не­ обходимо.

магнитной

волны.

Тогда

энергия

электрона

д олж н а

быть пропорциональна =0. Следовательно, согласно (1.7) долж но быть и к = 0 , что противоречит предположению о том, что k=j£0. 1.2. Теория Бора К а к у ж е упоминалось, классическая электродинам и­ к а не см огла объяснить линейчатые спектры атом а, так к а к на основании ее законов нельзя было понять у ста­ новленны е эмпирически формулы д л я спектральны х се­ рий атомов. В частности, для водородоподобных атомов эти ф ормулы имею т вид (1.14) где т и п — лю бы е целые, полож ительные, не равные д ру г другу и отличные от нуля числа; v ft= v / c = l / X —* волновое число; — постоянная Р идберга *>; Z — з а р я ­ довое число. Соотношение (1.14) иллю стрирует извест­ ный к ом бинационны й принцип Ридберга — Ритца, со­ гласно котором у волновое число записы вается как р а з ­ ность т а к назы ваем ы х термов Тп и Tm: v„n = Т п — Т т. К лассическая электродинам ика не см огла объяснить т а к ж е устойчивость излучаю щ его атом а. В 1911 г. Р е ­ зер ф о рд обосновал планетарную модель атом а. Такой атом согласно электродинам ике долж ен быть неустой­ чив. Д ви ж у щ и еся ускоренно электроны излучаю т, их энергия непрерывно уменьш ается, и в конце концов все они д о лж н ы были бы упасть на ядро. В 1913 г. Бор впер­ вые теоретически получил формулу (1.14) и объяснил устойчивость атом а. В основе его теории л е ж а т следую ­ щ ие постулаты : 1) атом м ож ет пребывать длительно только в ста­ ционарны х состояниях с определенными дискретными значениям и энергии E it £ 2, . . . . Е п> • • •, Е т, причем в этих состояниях он не излучает; 2) поглощ ение и испускание излучения атомом про­ исходит скачкообразно при его переходе из одного ста­ ционарного состояния в другое. Ч астота испускаемого *> Индекс оо означает: при выводе формулы (1.14) предполага­ лось, что масса ядра бесконечно велика (ядро неподвижно).

или поглощ аемого атомом света при переходах опреде­ ляется формулой Vrnn= {Ещ—E n )jh

(1.15)

(условие частот Б о р а ), где Е т и Е п — энергии атом а в т- и л-состояниях, причем Е т>>Еп\ h — постоянная П ланка. И з второго постулата вы текает комбинационный принцип Ридберга — Р итца, если полож ить E m= — chTm и E n = — chTn (см. (1.14)). Ф ормула (1.15), по сути д ел а, вы раж ает закон со­ хранения энергии. Энергия излучаемого кван та равн а убыли энергии атом а: Е т-—Е п = к ы тп, где (i)mn=2jivm n. П рименяя эти постулаты к атом у водорода и водородо­ подобным атомам и вводя дополнительное условие — так назы ваемое условие квантования, Бор теоретически получил формулы д л я спектральны х серий. Если счи­ тать, что в атоме электроны движ утся по окруж ностям, то условие квантования Б ора гласит: m 0v r = n h ,

(1.16)

где m 0vr — момент количества движ ения электрона; то — масса электрона; v — скорость электрона; г — р а ­ диус орбиты; п = 1, 2, 3, . . . — квантовы е числа Ч В 1915 г. Вильсон и Зом м ерф ельд независимо д руг от друга обобщили условие квантования Б ор а в прим е­ нении к движению электрона по эллипсу и к периодиче­ скому движению в системах с любым числом степеней свободы. Обобщенное условие квантования имеет вид j p i d q i — riih,

(1.17)

где pi — обобщенный импульс, отвечаю щий обобщенной координате И нтеграл (1.17) берется по всей области изменения координаты; число значений индекса i равно числу степеней свободы; щ — целые числа, назы ваемы е так ж е квантовыми числами. Л егко видеть из формулы (1.17), что она переходит в формулу (1.16) в случае равномерного движ ения частицы по окружности. И сходя из постулатов Б ора и условия квантования, можно легко получить д л я спектральны х серий формулу *> Условие квантования фактически определяет те стационар­ ные состояния атома и соответствующие им энергии Е й Ег, £ з......... о которых говорится в первом постулате Бора.

(1.14). П олн ая энергия электрона в поле неподвижного я д р а в водородоподобном атоме равна E = — ~

+

(1.18)

П о второму закону Ньютона имеем (1.19) где v2Jr — центростремительное ускорение; Ze2//-2 — кул оновская сила. И з (1.19) следует m0v2

Zea

~ 2

( 1.2 0 )

2Т '

П одставляя (1.20) в (1.18), получаем с.

-Z e2

,

Ze*

-Z &

м otN

£ = -г ~ + — = И з (1.19) имеем m0uV = Ze2.

( L 21 > (1.22)

Однако по условию квантования (1.16): m l v 2rz = n 2h \

(1.23)

Р азд ел и в левы е и правы е части формул (1.22) д р у г на друга, получим г = г п = г$ Щ т ъ £ ё г-.

(1.23)

и

(1.24)

П олож им Z = 1, п — 1. Тогда ф ормула (1.24) примет вид r* = - £ ? r , s a '

О -24')

где а — атом ная единица длины (радиус первой боровской орбиты в атом е водород а), численно равн ая 0,529’ Ю-8 см. П од ставл яя (1.24) в (1.21), будем иметь р

-

•с * —

где r L — постоянная. (1.25) получим 4ясЙ»

т. е. ф орм улу (1.14). 14

- Z * m 0e* 2п Ч г

На

_ ~

,

(1.25)

п2

основании

условий

(1.15) и

d - 26)

И так, с помощью теории Бора мы объяснили ком би­ национный принцип Ридберга — Ритца д л я водородо­ подобных атомов. П остоянная Ридберга согласно этой теории равна i?oo=m 0eV4ncft3= 109737,3 с м -1.

(1.27)

Эксперимент ж е д ает несколько меньшее значение этой постоянной. Если учесть движение яд р а (оно счи­ талось до сих пор неподвиж ны м ), то согласие с экспе­ риментом будет значительно лучш е (см. 14.4). Зам етим , что частота обращ ения электрона по п -й орбите Б ора вокруг ядра не будет совпадать ни с одной «боровской» частотой, задаваем ой (1.15). Д ей ствитель­ но, разделив равенство (1.22) на (1.16), с учетом (1.24) получим =

(1-28)

а из (1.26) будем иметь =

(1.29)

Таким образом, частота излучения не совп адает с ч а ­ стотой обращ ения электрона, что противоречит выводам классической электродинамики, согласно которой х о ­ тя бы одна из частот излучения (основной тон) д олж н а совпадать с частотой обращ ения электрона. Вычислим теперь частоту o)n+i,n, соответствующ ую переходу электрона м еж ду двум я соседними орбитами с большими квантовыми числами п и я + 1 . П олучим (1-30) П ри больших п эта частота будет почти совпадать с частотой обращ ения электрона (1.28). С ледовательно, если квантовые числа п достаточно велики, то мож но ск азать, что атом при переходе электрона м еж ду сосед­ ними уровнями, излучая, ведет себя в пределе как к л а с ­ сическая система. Это второй пример проявления прин­ ципа соответствия, о котором уж е упоминалось в 1.1. П остулат Бора о наличии дискретных энергетических уровней у атомов п одтверж дается многими эксперименг там и, в частности известными опытами Ф ран ка и Герца (в этих опытах доказано сущ ествование дискретны х

энергетических уровней атома ртути [1]). Впоследствии опыты подтвердили, что не только энергия, но и другие физические величины, характеризую щ ие микросистему, принимаю т дискретны е значения. Н апример, опыт Ш тер­ на и Г ерлаха устанавливает дискретность проекций м аг­ нитного и механического моментов атомов на некоторое направление. В дальнейш ем оказалось, что и абсолю т­ ные величины этих моментов такж е принимают дискрет­ ные значения. Теория Б о р а сы грала большую роль в развитии кван ­ товой атомной теории. Однако она не лиш ена недостат­ ков. Э та теория не могла описать атом с числом элек­ тронов, большим единицы, реш ить вопрос об интенсивно­ сти излучения атом ов и т. п. Кроме того, она и непосле­ д овательна, к а к это видно из приведенного выше расче­ та, в котором н ар яд у с квантовыми законам и применя­ ю тся и классические.

§ 2. ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ. ПОНЯТИЕ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ

2.1. Длина волны д е Бройля Во многих случаях на опыте световые волны, как уж е упоминалось, ведут себя как частицы (фотоны ). П ри этом имею т место соотношения Е = Ы о, р = т5 к ,

(2.1)

где Е — энергия фотона; со — частота; h — постоянная П л ан ка, д елен н ая на 2л; р — импульс фотона; к — вол­ новой вектор. В н ач ал е 20-х гг. д е Бройль в связи с двойственным характером света предполож ил, что эта двойственность (или, к а к говорят, корпускулярно-волновой дуализм) м ож ет быть присущ а и другим физическим объектам. Он допустил, что физические объекты, обычно ведущие себя к а к корпускулы , могут об ладать так ж е и волновы­ ми свойствами. У д е Б ройля появилась идея связать с движ ением лю бой свободной частицы некоторую моно. — кг)®) хроматическую плоскую волну aj)=ip0e * , причем со и к связан ы с энергией Е и импульсом р частицы так, *> Почему плоскую монохроматическую волну записываем в та­ ком виде, объясним позже (см. 6.5).

к а к и в случае квантовой теории света (S}— E{h и к = р /? 1 Тогда о[) =

(см. 1.2), т. е.

(£ ,

( 2.2 ' )

где V — ускоряю щий потенциал в вольтах. И з ф ормулы (2.2') видно, что электронам с энергиями порядка 1 эВ соответствуют длины волн д е Б ройля п орядка н есколь­ ких ангстрем (порядка длин волн рентгеновских лу чей ). П оэтому д л я наблю дения дифракции электронов следу­ ет использовать кристаллические реш етки. П ервы е опы ­ ты по дифракции электронов провели Д эвиссон и Д ж ер мер, Томсон и Тартаковский. 2.2. Опыты Дэвиссона и Д ж ерм ера Н а поверхность м онокристалла п ад ает монохромати­ ческий пучок электронов *> (рис. 2, я ) , т. е. пучок элек­ тронов, обладаю щ их одинаковыми импульсами р. О тр а­ женны е электроны затем улавливаю тся с помощью ф арадеева цилиндра, соединенного с гальваном етром. О к а­ зы вается, что число отраж енны х электронов м аксим аль*> Монохроматичность пучка электронов, источником которых, например, является накаленная металлическая нить, достигается в достаточной степени, если предварительно пропустить их через уско­ ряющее поле, сообщающее им скорости, значительно большие теп­ ловых, а затем неоднократно диафрагмировать. Небольшим откло­ нением от монохроматичности здесь и в дальнейшем будем прене­ брегать.

но в определенных направлениях их распространения. Р асп ределен и е максимумов числа электронов подчиня­ лось обычной дифракционной ф ормуле д л я рентгенов­ ских лучей. В этих опытах использовались медленные электроны с энергией 30—400 эВ. П оэтому большинство электрон ов отр аж ал ось от первой плоскости кристалла, не прони кая в глубь его (рис. 2, б ). Н а рис. 2, б ft — "5

Рис. 2

угол отраж ен ия, d — постоянная кристаллической р е­ ш етки (д л я N aC l d - 2 , 8 - 10-8 см ). Р азн о сть хода м еж ду соседними лучам и равн а rfsin O'. И з условия интерференционных максимумов ^ s i n r&=rtX, где п — 1, 2, 3, . . . , мож но определить углы соответ­ ствую щ ие этим максимумам. П олож им п = 1, тогда d sin '0 '= A ,= 12,2'10- 8 CM/J^K (согласно (2 .2 ')). Д л я опре­ деленного кристалла d — величина постоянная, вследствие чего из последнего соотношения получаем У Т sin О = const.

(2.3)

М ен яя ускоряю щ ий потенциал, изм еряем угол, под ко­ торы м н аб лю д ается первый или вообщ е любой фиксиро­ ванный максимум. Оказывается, произведение y V s i n d действительно равно постоянной величине. 2.3. Опыты Томсона и Тартаковского В этих опы тах исследовалась д иф ракц ия электронов на поликристаллической пластинке м алой толщины (око­ ло 10-5 см ) (рис. 3, а ). П оэтому поглощ ение электронов бы ло гораздо меньшим, чем в предыдущ ем опыте. О тра­ ж ение электронов происходит здесь не только от первой плоскости, но и от внутренних плоскостей (рис. 3, б ).

Л егко найти условие м аксимума Вульфа) (см. рис. 3, б ) :

(условие Б рэгга —

(2.4) 2d sin {р=?Л, где п — 1, 2, 3 , . . . . П оликристаллическая пластинка спрессована из м о­ нокристалликов, плоскости которых ориентированы р а з ­

4

J

о

о

о

о

Рис. 3

личным образом. П оэтому на экране появляю тся д и ­ фракционные кольца. Д и ам етр кольца D определяется из следующего соотношения: ф / 2 ) : L = tg 2 < p (см. рис. 3, а ). П ол агая п = 1 и учиты вая, что угол (р м ал, по­ лучаем с учетом (2.2') и (2.4)

откуда (2 .4 ') D Y V = const. Опыт показы вает, что эта связь м еж ду D и V дейст­ вительно имеет место. Следовательно, рассмотренными выше опытами подтверж даю тся волновые свойства элек­ трона и тем самым гипотеза д е Бройля. Бы ли выполне­ ны такж е аналогичны е опыты по диф ракции молекул Нг и Не на кристаллах LiF, «тепловых» нейтронов — на кристаллах N aCl. Эти опыты подтвердили наличие вол­ новых свойств у молекул, атом ов и нейтронов. Таким об­ разом установлено, что волновыми свойствами о б л ад а­ ют в сущности лю бые микрочастицы. Волновые свойства электронов в дальнейш ем были использованы д л я изучения поведения электронны х пуч­ ков в различны х электромагнитных полях. В озникла но­ вая отрасль физики и техники — электронная оптика. В ажнейш им достижением электронной оптики является

создан и е электронного микроскопа, даю щ его ввиду м а­ лости длин электронны х волн м аксимальное увеличение в 1 миллион раз, в то время к а к с помощью обычных оптических микроскопов достигается м аксимальное уве­ личение лиш ь в 2 тысячи раз. Ещ е большим увеличением, чем электронны е микроскопы, обладаю т протонные мик­ роскопы, конструкция которых основана на использова­ нии волновых свойств протонов. 2.4. Дисперсия волн д е Бройля Одно из основных свойств волн д е Б ройля — их дис­ персия. В олна де Б рой ля д ается формулой (см. (2.1')) ■ф = ■ф0е - 1'(“^-Ьг) ,

(2.5)

где (!)= £ /« , k = p Jft. Д л я простоты рассмотрим волну де Б р о й л я, распространяю щ ую ся вдоль оси х: (2.5') Д л я определенного значения ф азы с р = С имеет место mt— k x = C -

(2.6)

П родиф ф еренцировав это равенство по времени, по­ лучим со—k { d x / d t ) = 0, откуда ф азовая скорость волны д е Б ро й л я равна u = d x ld t= v jk . (2.60 Д исперсия световых волн определяется зависимостью ф азовой скорости от длины волны в веществе. В случае волн д е Брой ля имеет место равенство (д л я нереляти­ вистских электронов) Е

“

р2

Л ~~ 2т0п “ откуда согласно (2.6') и

k ”

йк2

/п

2т0 '

(2 *7 )

_ »&** 2mnk ~~ 2тп ‘

/ 9 7 *Ч >

*) Отметим, что определения частоты и фазовой скорости волны де Бройля не однозначны и зависят от того, рассматриваем ли энер­ гию частицы в нерелятивистском (см. (2.7) и (2.7')) или релятивист­ ском случае. Для релятивистской частицы (й= Е /Я = (с/й)У Р ^'^'т%(?. Отсюда в нерелятивистском приближении имеем to = £ /f t~ (юос2/А) + + (р2/2;иой), что отличается от со, задаваемой (2.7), на постоянную величину тосЩ. Однако вследствие того, что во всех опытах по дифракции и интерференции волн де Бройля существенную роль играет лишь разность их фаз, а не полные значения этих фаз, ука­ занная неоднозначность не влияет на результаты эксперимента.

П оскольку 6 = (о /с = 2 л /Я , то согласно (2.7') и ~ 1Д. С ле­ довательно, в отличие от световых волн волны д е Б ро й ­ л я обладаю т дисперсией д а ж е в вакууме, т. е. волны де Б ройля различной длины распространяю тся с разной скоростью. К ак видно из (2 .7 '), ф азовая скорость волны де Б ройля не р авн а скорости частицы. Какой ж е физический смысл имеет волна де Бройля? Это плоская монохроматическая волна с постоянной амплитудой, которая зан и м ает все пространство; д ви ж у ­ щ аяся ж е частица ло кал и зован а в определенной ограни­ ченной области пространства. И м ела место попытка тес­ нее св язать частицу и волны де Бройля. В начале стре­ мились отож дествлять частицу с пакетом волн де Б ройля на том основании, что групповая скорость п акета совпа­ д а л а со скоростью частицы. Рассмотрим подробнее эту попытку. 2.5. Пакет волн д е Бройля Пусть Ео и ро — энергия и импульс соответствует волна д е Б ройля (2.5') — Eolh и волновым вектором к0= р 0М. вой пакет (группу волн) в виде (так, в оптике [29]) ■ф =

частицы, которой с частотой а>о= Построим волно­ к а к это д ел ается

j c ( k )e -^ ■)

равной скорости частицы. По определению, (d(oldk)h=h0 н азы вается групповой скоростью волнового пакета. Л ег­ ко видеть из (2.10), что первые минимумы величин А и Л 2 будут в точках x t и х 2, леж ащ их слева и справа от точки, зад аваем ой соотношением (2.10'), причем ( ( - з - L / - * ) л* - ( ( - £ - ) « . * - * ) А к= -

“•

Очевидно, расстояние м еж ду х% и х\ равно: Xz— X i = A x = 2 n l A k

(2.117)

и определяет разм ер области главного максим ум а к в ад ­ р ата амплитуды А 2 волнового п акета (2.10) в данны й м о­ мент времени t. Обозначим величину этого м аксимума через Б 0 (В0 = (^о)шах). а величины остальных максиму­ мов — через Bi, В 2 , В з , . . . , В п, . . . . И з (2.10) видно, что эти максимумы будут находиться в точках, в которых $\n((d(i)ldk)h=h0t — x ) & k = z b h т. е. в точках, в которых имеет место равенство

где п = 1, 2, 3, . . . . И спользуя это равенство и соотно­ шение (2.10), легко показать, что величина n -го м акси­ мума В п будет меньше В 0 в ((2п-\-1)/2)2п2 раз. Т ак, н а ­ пример, £ i/B 0= 4 /9 * 2< l / 2 0 ; 5 2/ 5 0= 4 /2 5 л 2< 1 /6 0 ; В 3/В 0< < 1 /1 0 0 и т. д. М алость всех максимумов с п = 1, 2, 3, . . . по сравнению с главны м максимумом Во д ает основание пренебречь ими (вместе с принадлеж ащ им и им о б л астя­ м и ), что мы и сделаем. Тогда рассм атриваем ы й пакет волн д е Бройля в данны й момент времени t будет л о к а ­ лизован на отрезке Ах, причем очевидно, что в принципе можно подобрать такое Ak согласно ф ормуле (2.1 1'), чтобы отрезок А х был равен разм еру частицы. П осколь­ ку эта область локали зац и и волнового п акета дви ж ется согласно (2.11) со скоростью частицы, то, казал ось бы, создается возмож ность отож дествления п акета волн д е Б ройля с самой частицей. О дн ако это оказы вается в о з­ можным лиш ь д л я такого пром еж утка времени, д л я ко­ торого при подстановке (2.9) в (2.8) третьим членом в разлож ении (2.9) по сравнению со вторым членом м ^ж но пренебречь. Л егко видеть, что третий член в подынтегральном вы раж ении (2.8) играет значительную роль, если после истечения некоторого пром еж утка в ре­ мени A t будет иметь место соотношение [6] ( 2 . 12 )

И спользуя (2.11) и (2.11'), получаем из (2.12) д л я времени «расплы вания» A t п акета волн д е Б ройля ф ор­ мулу ( 2 . 12 ' )

Д л я макроскопической частицы с т 0= 1 г при Д а'= 1 мм врем я «расплы вания» пакета равно Дt ы 1024 с и, зн а­ чит, волновой пакет весьма устойчив. Д л я электро­ на с т 0 си 9 *10- 28 г при Д я = 1 0 ~ 13 см ( Д * = г о = е 2/ т 0с2 — «классический» радиус электрона) будем иметь A t ^ си Ю-27 с, т. е. волновой пакет «расплы вается» почти мгновенно. Следовательно, отож дествить электрон с п а­ кетом волн д е Брой ля невозможно. В заклю чение следует отметить, что в релятивистском случае групповая скорость волнового пакета так ж е р ав­ на скорости частицы, так как имеет место соотношение d) dE ^ d m k=kQ \ dP Jp~pa

cp° Vpl~\-m\c~

—v< c.

Ч то касается фазовой скорости волнового пакета, описываю щ его свободную релятивистскую частицу с мас­ сой покоя m o # 0, то она, оказы вается, будет больше ско­ рости света в вакуум е. В самом деле,

У _ Юр _ k0

likо

_ Ер _ р$

с V Рр-МПрС2 Ро

__

= с У 1 + m lc2t p l > с. Э тот ф акт, однако, не противоречит частной теории относительности, т а к к а к скорость распространения вол­ нового сигнала, к а к известно, определяется скоростью переноса энергии волны и, значит, скоростью перемещ е­ ния к в а д р а т а ее амплитуды (т. е. групповой скоростью, равной скорости частицы v < c t а не скоростью ф азы ). Н аконец, укаж ем , что только в случае релятивист­ ской частицы, обладаю щ ей нулевой массой покоя (т 0= = 0 ) , в частности, фотона, ф азовая и групповая скорости равны д р у г другу. Д ействительно,

2.6. Вероятностная интерпретация волн д е Бройля. Волновая функция Д л я простоты рассмотрим дифракцию электронов, обладаю щ их одной и той ж е энергией и импульсом, на щ ели (мысленный опыт, эквивалентный опытам по д и ­ ф ракции электронов на кри сталлах). Эти электроны пе­

ред щ елью описываю тся первичными волнами д е Бройля с определенной частотой ® = E l h и волновым вектором k = p / n вида ■ф=

ta -w r),

(2.5")

где постоянная ам плитуда волны а|з0 определяется из условий нормировки (как это делается, будет показано п озж е), а ось х в зята в направлении движ ения электро­ нов (рис. 4 ). Д л я простоты предположим, что ш ирина щ ели сравним а с длиной X — 2зxftfp волны де Бройля, задаваем ой (2.5")* Тогда ни длины волн де Бройля, ни соответствующ ие им импуль­ сы электронов по абсолю т­ ной величине при д и ф рак­ ции не изменяю тся [1]. Явление дифракции элек­ тронов на щели из-за их бес­ спорно установленных вол­ новых свойств объясняется согласно принципу Гюйген­ са — Ф ренеля возникновени­ ем вторичных волн де Брой­ л я и их интерференцией. В результате последней на экране, достаточно у дален ­ ном от щели, получается хорош о известная из курса оптики диф ракционная картин а (схематически п редстав­ л ен н ая на рис. 4 ), которую в принципе мож но наблю дать на опыте при достаточно больш ом количестве ди ф р аги ­ руемых электронов в виде соответствующ их почернений различной интенсивности на фотопластинке и которую можно объяснить, соп оставляя каж дом у прош едш ему через щель электрону с импульсом р ', попадаю щ ем у на фотопластинку, волну де Брой ля типа V

(г, t) = с{р ')

(й-р'г)-,

(2.5")

где | р ' | = |р |; с ( р ') — амплитуда. Очевидно, вели­ чина | (г, t) |2 = | с (р ') |2 определяет интенсивность этих волн д е Б рой ля, которая будет различной д л я р а з ­ ных направлений импульсов электронов и, следователь­ но, различной д л я разны х точек на экране. В начале отметим, что волновыми свойствами о б лада­ ет каж ды й отдельный дифрагируемы й электрон. Если бу­

дем пропускать через щель только по одному электрону вместо больш ого их числа, но так, чтобы полное число электронов, прош едш их через щ ель, осталось тем ж е, то результирую щ ая диф ракционная картина, например р ас­ пределение почернений на фотопластинке, полученное за врем я экспозиции, не изменится. Подобный эксперимент был проделан Биберманом, Сушкиным и Ф абрикантом [11]. В их опыте каж д ы й акт рассеяния электрона кри­ сталлом был отделен от предыдущ его промежутком времени, в 30 000 р аз большим, чем врем я, необходимое д л я прохож дения электроном пути от источника к д е­ тектору. П окаж ем , что нельзя отож дествлять интенсивность |с ( р ') |2 = |-фР' (г, t) |2 волны де Бройля, описывающей падаю щ ий на экр ан в определенной точке электрон с определенным импульсом р ', с самим электроном, точ­ нее, с плотностью электрона, к а к это, казалось, можно сделать, гл яд я на дифракционную картину, представлен­ ную на рис. 4. С этой целью обратим внимание на про­ хож дение через щ ель одного из диф рагируемы х элек­ тронов. П роходя через щель, волна д е Бройля, описы­ в аю щ ая падаю щ ий электрон, подвергается дифракции, т. е. порож дает совокупность вторичных волн де Бройля. С огласно общей теории диф ракции волн вторичные вол­ ны д е Б ройля интерферирую т и долж ны д ать ту ж е дифракционную картину на достаточно удаленном от щ ели экране, что и в случае прохож дения через щ ель ' больш ого количества электронов (см. рис. 4 ), но с го­ разд о менее интенсивными интерференционными поло­ сами. Т ак к а к интенсивности | с ( р ') | 2 волн д е Бройля, являю щ ихся результатом интерференции вторичных волн д е Б ройля, отличны от нуля во многих точках эк р а­ на, то и электрон (если плотность его отождествить с |с ( р ') | 2) д олж ен бы л бы одновременно находиться в этих ж е точках, т. е. долж ен разделиться на части, что реш ительно противоречит опыту. 1. Ф изическая интерпретация волн де Бройля, сво­ бодная от указан ны х противоречий, впервы е д ан а Б о р­ ном. О на н азы вается статистической или вероятностной. Д л я ее обоснования вернемся снова к случаю дифракции электронов на щели (см. рис. 4 ). И з дифракционной к а р ­ тины видно, что каж ды й из дифрагируемы х электронов мож ет перем ещ аться лиш ь в том направлении, в каком интенсивность | с ( р ') ]2 = |i j y (г, t) |2 волн де Бройля, зад аваем ы х (2.б " ') , будет отлична от нуля. И так, в н а­

правлении максимумов \%> (г, /)|2 будет д ви гаться наи­ больш ее число электронов, в направлении минимумов не будет двигаться ни один электрон. О тсю да следует, что для каж дого электрона наиболее вероятно, что он устремится в направлении одного из максимумов, а веро­ ятность того, что он полетит к одному из минимумов, р а в ­ на нулю. И меется некоторая отличная от нуля вероят­ ность, что электроны будут двигаться и в других н ап рав­ лениях. Если учесть, что к а ж д а я точка на плоском экран е коррелирована с направлением импульса р ' электрона, т. е. с углом диф ракции ft (например, на рис. 4 координата у любой точки на экран е связан а с углом зависимостью * / = / t g d , где / — расстояние экран а от щ ели, a tg -& = = ру/рх), то на основании рассмотренного нами опыта по дифракции электронов на щ ели напраш ивается сам а со­ бой следую щ ая интерпретация волн д е Бройля. И нтен­ сивность волн д е Бройля, равн ая |t |y ( r , ? )|2, в какой-то точке пространства в данны й момент времени пропорцио­ нальн а вероятности обнаруж ения частицы в этой точке. Необходимо т а к ж е отметить, что на основании изло­ женного выше величина | с ( р ') | 2, очевидно, м ож ет быть интерпретирована к а к величина, пропорциональная в е ­ роятности получить при измерении импульса ди ф р аги ­ руемого электрона значение р ' (тем самы м и вероятно­ сти того, что этот электрон описывается волной д е Б р ой ­ ля, задаваем ой соотношением (2 .5 "')). 2. К ак показано выше, свободные микрочастицы об­ л ад аю т волновыми свойствами. Если микрочастица нахо­ дится в различны х полях, то описать ее волновы е свой­ ства с помощью таких простых функций, к а к волна д е Бройля, мож ет о казаться невозможным. Функцию, кото­ р ая описывает волновые свойства несвободной частицы, более целесообразно н азвать не волной, а волн о во й ф унк ­ цией. Она является некоторой функцией от х, у, z и t, определенной во всех точках пространства и во времени. Будем обозначать ее через ^(лг, у, z, t). Естественно при­ нять, что в любом случае квад рат модуля волновой ф унк­ ции ^(лс, у , z, t ) | 2, как и в случае волн д е Брой ля (см. вы ш е), будет пролорционален вероятности найти части­ цу в точке (х, у, z ) в заданны й момент времени t. В е­ роятность ж е найти частицу в бесконечно м алом объеме d v, располож енном в окрестности точки (дг, у, z ) , про­ порциональна этому объему. Конечно, -ф(х, у, z, t) в лю ­ бой точке бесконечно малого объема d v будет одинакова

(ввиду бесконечной малости об ъ ем а). Тогда вероятность d W найти частицу в объеме d v будет пропорциональна |t|) |2cfo, откуда видно, что d W / d v = \ t y ( x , у , z , t) | 2 можно р ассм атри вать к а к плотность вероятности найти частицу в точке (лг, у , г) в момент времени t (если коэффициент пропорциональности полож ить равным единице). Н о для такой трактовки согласно теории вероятностей необходи­ мо, чтобы ф ункция яр (я, у , z, t) удовлетворяла опреде­ ленному условию нормировки. Это условие нормировки получаем на основании утверж дения, что вероятность найти частицу в какой-то точке всего объем а равн а еди­ нице, т. е. согласно теореме слож ения вероятностей W = ^ \ 2dv = 1, v

(2.13)

где W — полная вероятность; V — объем, в котором с пол­ ной достоверностью находится частица. Если W =^\ty\2d v = v = В у Ь 1 (т. е. волновая функция *ф(я, у, z, t) не норми­ р о в ан а), то и в этом случае нетрудно д ать определение плотности вероятности найти частицу в точке (х,' у, г) в момент времени t\ она будет равна (2.1 3') V

И з (2.13') видно, что волновые функции т|э и Оф, где С — произвольное постоянное число, описываю т одно и то ж е состояние частицы, поскольку плотность вероятно­ сти в обоих случаях остается неизменной *). К ак будет п оказано ниж е, волновые функции -ф удовлетворяю т определенным дифф еренциальны м уравнениям — урав­ нениям Ш редингера. И з того, что функции -ф и Со|> опи­ сы ваю т одно и то ж е состояние микрочастицы, вытекает, что они долж ны быть при любом С одновременно реше; ниями одного и того ж е дифференциального уравнения? Очевидно, это возмож но лишь тогда, когда указанное уравнение будет линейным и однородным. Н аконец, следует обратить внимание на то, что, если ' *> Остаются также без изменения и средние значения различных механических величин, характеризующих состояние частицы (см. 6.6). Следует отметить, что в классической механике функции W(x) и СЧг(д;), описывающие какое-то волновое движение, относились бы к различным состояниям этого движения.

волновая функция частицы -ф тождественно равна нулю во всей области изменений ее аргументов, то вероятность найти частицу в этой области равна нулю и, значит, функция ф = 0 не описывает никакого состояния частицы. Хотя в действительности частица всегда находится в каком-то конечном объеме пространства, однако в тео­ рии часто бы вает важ н о условие нормировки волновой функции отнести ко всему бесконечному пространству, т. е. полож ить f \ t y \ 2d v = \ . И з вероятностной трактовки волновой функции следует, что она д олж н а быть непрерывной, однозначной и конечной во всем простран­ стве изменений ее аргументов. При интегрировании по конечному объему V непрерывной функции условие нормировки всегда выполняется (т. е. интеграл f |t y |2dv V

не расходится). П ри интегрировании |ф | 2 по бесконеч­ ному объему интеграл f \ t y \ 2a v мож ет быть бесконечно большой величиной. Тогда пронормировать функцию ф обычным способом невозможно. П римером является волна де Бройля ij> = рг ) , где т|)0— константа. Действительно, |'ф |2= |г|>о|2 и /|-ф о |М у = о о . В таких слу­ чаях нормировка волн по всему пространству м ож ет быть осущ ествлена с помощью т а к назы ваем ой 8-функции Д и ­ р ака (см. н и ж е), но |"ф|2 у ж е не будет плотностью веро­ ятности. В этом случае можно сказать, что величина | ф | 2 пропорциональна вероятности найти частицу в д ан ­ ный момент времени в данной точке пространства (в том смысле, что отношение величин |i|>|2 д л я различны х то ­ чек пространства д аст относительную вероятность найти частицу в этих то ч к ах ). Волновая функция д олж н а удовлетворять условиям непрерывности, однозначности и конечности в том про­ странстве, в котором она определена. Эти условия н азы ­ ваю т стандартными. Н о на волновую функцию н ал ага­ ются и другие условия. Так, например, если заран ее предположить, что вероятность нахож дения частицы в бесконечно удаленных точках бесконечного пространст­ ва равна нулю, то от описывающей ее волновой функ­ ции -ф требуется и квадратичная интегрируемость (при взятии интеграла f \ ^ \ 2dv по всему бесконечному про­ странству). Тогда на бесконечности волновая функция долж на равняться нулю. У словия последнего типа назы ­ ваю тся граничными. Следует отметить, что сформулированные выше тр е­ бования, предъявляем ы е к волновой функции, имеют

место в тех случаях, когда волновая функция задается не только в координатном представлении, но и во всех других представлениях, в которых в качестве аргументов волновой функции взяты независимые механические пе­ ременны е, меняю щ иеся непрерывным образом (о волно­ вых ф ункциях в остальны х представлениях см. § 6). 2.7. Принцип суперпозиции состояний В классической механике д л я зад ан и я состояния ме­ ханической системы необходимо зн ать координаты и ско­ рости (или импульсы) всех частиц данной системы в д ан ­ ный момент времени. В квантовой механике этого сде­ л а т ь нельзя, т а к к а к м еж ду канонически сопряженными импульсами и координа­ там и микрочастиц имеет место, как покаж ем ниже, соотношение неопределен­ ностей *>. И з этого соот­ нош ения следует, что им­ пульс и полож ение микро­ частицы не могут быть определены одновременно точно и микрочастица, т а ­ ким образом, не обладает траекторией. Отсутствие траекторий у микрочас­ тиц объясняется н али ­ чием у них волновых свойств, что можно пока­ Рис. 5 зать на следую щем опыте по диф ракции электронов. Ч ерез две щели в диаф рагм е пропускаю тся электроны (рис. 5 ). Если пропускать пучок электронов через одну щ ель, зак ры в другую, а затем наоборот, то на экране получаем две различны е интерференционные картины (д л я одной и другой щ ели) (см. рис. 5, а ). Если ж е про­ пускать одновременно оба пучка электронов через обе щели, то интерференционная картина на экран е окаж ет­ ся отличной от предыдущих. Н ар яд у с преж ним распре­ делением интенсивностей волн д е Бройля, являю щ имся Под канонически сопряженными импульсами и координатами подразумеваются те импульсы и координаты, классическая скобка Пуассона которых равна единице, например, [рх, х] = [ру, у] = =

[Рг, Z] = 1.

результатом интерференции вторичных волн де Б рой ля, возникает согласно общей теории дифракции волн новое распределение максимумов и минимумов этих интенсив­ ностей (см. рис. 5, б ). Это было бы невозможно, если бы электроны обладали траекторией. В самом д еле, если предположить обратное, то возник бы естественный во­ прос, каким образом поток движ ущ ихся независимо друг от друга электронов, каж ды й из которых проходит только через одну щель, м ож ет образовы вать интерф е­ ренционную картину, наблю даемую лиш ь при наличии обеих щелей, и на этот вопрос у нас не было бы ответа. И з сказанного следует, что классическое понятие со­ стояния микрочастицы в квантовой механике не прим е­ нимо. В квантовой механике считается, что если извест­ на волновая функция микрочастицы, то тем самы м пол­ ностью определено ее состояние (один из основных по­ стулатов квантовой м еханики). Основанием д л я такого утверж дения мож ет служить то обстоятельство, что в о л ­ новая функция, к а к это следует из опытов по диф ракции и интерференции волн де Бройля, определяет полностью волновые свойства микрочастицы. Кроме того, зн ая вол­ новую функцию микрочастицы (см. н и ж е), мож но опре­ делить в данны й момент времени вероятность получить тот или иной результат при измерении лю бы х ф изиче­ ских величин, характеризую щ их движ ение микрочасти­ цы *), и вычислить их точные средние значения (а так ж е получить точные значения некоторых из них). Отметим, однако, что частицы могут пребы вать в т а ­ ких состояниях, которые нельзя описать волновыми функциями. Эти состояния определяю тся так н азы в а е­ мой матрицей плотности (см. дополнение II ). В н астоя­ щей книге будут рассм атриваться, главны м образом , те состояния частиц, которые описываю тся волновыми функциями. Естественно остановиться на вопросе об определении волновой функций в данны й момент времени. И з общ его вы раж ения д л я волны де Б ройля (2.1), описываю щ ей свободную частицу, видно, что волна д е Б рой ля будет определена как функция от координат с точностью д о нормирующего множ ителя в том случае, если будут из­ вестны численные значения компонент импульса части ­ цы рх, р у и рг (в вы раж ение для волны д е Б рой л я они В дальнейшем будем использовать термин «частица» вместо «микрочастица», если это не будет приводить к недоразумению.

входят к а к п ар ам етры ). Таким образом, число независи­ мых физических величин *), принимающ их одновременно определенны е численные значения и определяю щ их вол­ ну д е Б рой ля, а значит, и состояние свободной частицы в данны й момент времени, в квантовой механике в два р а за меньш е (рх, р у>рг), чем в классической (рх, р у, р2, х, у, г ) , и равно числу степеней свободы частицы **>. Н е­ посредственный расчет волновых функций лю бых атом­ ных систем д о казы в ает это утверждение. О совокупности независимы х физических величин, определяю щ их состоя­ ние атомной системы в данный момент времени, говорят, что они составляю т полны й набор таких величин. Одним из основных принципов квантовой механики явл яется п р и н ц и п суперпозиции состояний, который гл а­ сит: если какая-ли б о частица или вообщ е атом ная си­ стема м ож ет находиться в состояниях, описываемых вол­ новыми ф ункциями ij)i, ijj2, “фз, • • •, то она м ож ет нахо­ диться и в состоянии, описываемом волновой функцией il>=:Ciil>i+C2^M-C3%+ • ■•.

(2-14)

где коэффициенты с\, с2, Сз, • . • — в общем случае ком ­ плексны е числа. Если волновые функции i})i, -фг. “фз* определяю тся совокупностями значений одного и того ж е полного н аб о ра физических величин, то величина |с * |2 пропорциональна или равна вероятности того, что части­ ца будет обнаруж ен а в состоянии, описываемом волно­ вой функцией -ф{ (в первом случае 2 1 с* 12< 00* а в0 вт0" i ром — 2 1 с*12== Е сли функции 1}п, входящ ие в суперi

позицию, описываю т состояния, которы е бесконечно м а­ ло отличаю тся д руг от друга, то сумма (2.14) превра­ щ ается в интеграл по непрерывно меняю щ имся п ар а­ метрам, определяю щ им эти состояния. В качестве прим ера проявления принципа суперпози­ ции рассмотрим (см. 2.6) опыт по дифракции монохро­ матического пучка электронов на щели, ш ирина которой порядка длины волны де Бройля, описывающей каж ды й •> Под физическими величинами здесь и в дальнейшем будем подразумевать как механические величины, так и их функции. **> Если учесть, что частица может находиться в различных состояниях, определяемых значениями дополнительных чисто кван­ товых независимых физических величин, то число степенен свободы ее увеличится на число этих величин. Без учета чисто квантовых физических величин число степеней свободы частицы имеет тот же смысл, что н в классической механике.

из этих электронов. Тогда на достаточно далеком р ас­ стоянии от щели состояние каж дого из диф рагируемы х электронов м ож ет быть описано волновой функцией •гЬ(дг, у, z, t), являю щ ейся суперпозицией волн де Б рой ля типа (2 .5"') = У {х, У, z, t) = J c ( p ') e ( - ‘/ “ >(£'-P'r)rfp ', (2 .1 4 ') где в общем случае d p ' *=dpxdpydp'xt причем величина I с (р ') |2 пропорциональна вероятности обнаружения элек­ трона в состоянии, описываемом волной де Бройля e{-iih)(Et-р'г) (в состоянии с определенным импульсом р ') . Следует отметить, что величина |c ( p ') | 2d p ' пропорцио­ нальна вероятности обнаружения электрона с компонен­ тами импульса, лежащими в интервалах р'х, рх + dp'x ; p'Jy Р у - \ - & Р у ; р г , Рг - f- d p z J-

Принцип суперпозиции имеет место и в классической механике. В результате суперпозиции функций, зад аю ­ щ их зависимость координат макрочастицы от времени и тем самым описываю щ их различны е ее состояния, об­ разуется функция, описы ваю щ ая новое состояние м акр о ­ частицы. Однако принцип суперпозиции в классической механике существенно отличается от квантовом еханиче­ ского. П окаж ем это на примере суперпозиции двух разл и ч ­ ных линейных гармонических колебаний макрочастицы и двух различны х волновых функций микрочастицы. Д опустим д л я простоты, что слагаем ы е колебания м а к ­ рочастицы происходят вдоль оси х с одинаковой часто­ той to, но с различными ам плитудами а\ и и начальны ­ ми ф азам и ф! и фг. Тогда функцию x ( i ) , описывающую результирую щ ее колебание, можно представить согласно теории колебаний в виде x { t) = А s i n (со^-Ьф) —

sin (eo /+ q > i)+ a 2 sin(co/+

где амплитуда А и н ач альн ая ф а за ф не равны a t и и ф! и фг соответственно. И наче обстоит дело при суперпо­ зиции двух различны х волновы х функций микрочастицы •ф! и i|52. Пусть функция ojH описывает состояние м икроча­ стицы, в котором при одновременном измерении ф изиче­ Отметим также, что при измерении импульса у электрона по­ следний переходит из состояния, описываемого волновым пакетом (2.14'), в состояние с совершенно определенным импульсом р", опи­ сываемое соответствующей компонентой волнового пакета (2.14'). Такой переход называется редукцией волнового пакета. 2 Зак. 36

33

ских величин, образую щ их полный набор, получим сово­ купность их численных значений %и ць vi, а функция трг описы вает состояние микрочастицы, в котором при изме­ рении этих ж е физических величин будем иметь совокуп­ ность их численных значений Хц, ^ 2. У2 - О бразуем супер­ позицию 1р=йф1+С211)2. Тогда функция будет описы­ вать новое состояние микрочастицы, в котором при изме­ рении у казан ны х физических величин получим, однако, одну из двух указанны х совокупностей их численных значений Xi, vi или Хг, ц2, v2, но с различны ми вероят­ ностям и, пропорциональными величинам |c i | 2 n |сг[2. В заклю чение следует отметить, что принцип супер­ позиции, к а к видно из (2.14) и сказанного в 2.6, мож ет иметь место лиш ь в том случае, если волновые функции 'фь 'фг, а так ж е и волновая функция ф удовлетво­ ряю т линейным однородным дифф еренциальны м уравне­ ниям, какими и являю тся уравнения Ш редингера. 2.8. Аналогия м еж ду механикой и оптикой. Уравнение Ш редингера для частицы, движущейся в потенциальном поле Волновой функцией, описывающ ей свободную части­ цу, яв л яется волна д е Бройля. В озникает вопрос, как найти волновую функцию несвободной частицы, тяапример частицы , движ ущ ейся в потенциальном поле? Ш редингер получил диф ф еренциальное уравнение д л я волновой функции частицы, движ ущ ейся в потенци­ альном поле, на основе аналогии м еж ду оптикой и ме­ ханикой *). П окаж ем , к а к это мож но сделать. Потенци­ альную энергию частицы запиш ем в виде U (x, у, z ) . П усть частица в данны й момент времени описывается волновой функцией -ф(*, у, г ) , дифф еренциальное ур ав ­ нение д л я которой надо установить. Р еш а я это дифф е­ ренциальное уравнение, находим функцию ip (я, у , z ). И звестно, что при движении частицы в потенциальном поле ее полная энергия сохраняется (т. е. £ = c o n s t ) . Т акое движ ение аналогично движ ению свободной части­ цы, д л я которой так ж е имеем £ = c o n s t . Н а основании этой аналогии предположим, что зависимость от времени волновой функции частицы с определенным значением энергии в потенциальном поле та к а я ж е, к а к и для волны *> Идея использования оптико-механической аналогии для по­ строения волновой механики принадлежит де Бройлго.

де Бройля ф = */«> (£у , z ) — const, а импульс равен

(2.17)

р = v 2m0 (Е — U(x, у, г)). Тогда принцип наименьшего действия для наш его сл у ч ая запиш ем в виде (см. (2.16)) 2

j1] / 2т0 (Е — U(x, у,

2 )) d s

= m in.

(2.18)

i

И сходя из (2.18), реш ение задачи об определении действительного пути движ ения частицы в потенциаль­ ном поле находится вариационным методом. Сведем реш ение этой задачи к решению аналогичной оптической зад ач и . Поступим ф ормально. Р азделим (2.18) на постоянную Е:

|

V

2 m 0 ( E

- m

x

, j

L

J )

)

_

d s

=

m

i n _

( 2 1 9 )

1

Р азм ерность поды нтегральной величины равна [1/^3* Ф орм ально вводим скорость: / 2 m0( E - U [ x , у , г))

к

;

2

Тогда (2.19) примет вид принципа Ферма f(ds/w ') = min l д л я случая движ ения света в неоднородной среде, так к а к имеет место v ' = v f (x, у, z ) . П оскольку реш ения зад ач геометрической оптики, как показано, могут быть сведены к реш ениям соответствую­ щ их зад ач классической механики, естественно предпо­ лож ить, что и реш ения задач волновой оптики долж ны свестись к реш ениям соответствующ их зад ач некоторой ещ е неизвестной волновой (или квантовой) механики. С ледовательно, д о лж н а сущ ествовать аналогия меж ду основным волновым уравнением волновой оптики и основным неизвестным нам ещ е волновым уравнением квантовой механики. Н айдем его д л я случая движ ения частицы в потенциальном поле. Основное уравнение волновой оптики (волновое ур ав ­ нение) имеет вид — (1/^а) ^ = 0 (2.20) д л я света, движ ущ егося в однородной среде со скоростью V. Если в этом уравнении заменить постоянную v на v ' = = г /(л г , у , г ) , то уравнение будет относиться к распро­ странению света в неоднородной среде:

Д ^ — (1 /и '2)-ф = 0.

( 2 .21 )

П усть скорость световой волны зад ается формулой (2.19')» т. е. предполож им, что результат перехода от не­ известного нам уравнения волновой механики д л я части­ цы, движ ущ ейся в потенциальном поле, к соответствую­ щ ему основному уравнению волновой оптики известен. Тогда, п одставляя (2.19') в уравнение (2.21) и отож дест­ вл яя в последнем функцию -ф с квантовомеханической волновой функцией частицы *ф(я, у, z, t ), можно н ад еять­ ся, что получим волновое уравнение волновой механики д л я частицы, движ ущ ейся в потенциальном поле. И так, будем иметь A $ (* j У* г, t)'-----2m°(£ ~ g f r у '

ф (х , У, г, 0 = 0.

Полагая гр (х, у , z, t) = *ф(х , у , z) (согласно примечанию в начале настоящего пункта), получаем A

t

»•

( - - £ - ) ♦ -О

и окончательно ( - й 2/ 2 т 0)Д ф + £ /(* , у , 2)1|)=£-ф,

(2.22)

где i|) = ^ (я , у , z). Соотношение (2.22) и есть уравнение Шредингера или квантовомеханическое волновое уравне­ ние для частицы, движущ ейся в потенциальном поле. Р е­ шая его, находим координатную часть волновой функции У, г, t) частицы. Временная зависимость этой функ­ ции задается множителем Функция i|)(at, у, г) дол­ ж н а быть непрерывной, однозначной и конечной во всем пространстве изменения х, у, z. П оскольку ■ф(х , у, г) удовлетворяет дифф еренциальному уравнению второго порядка (2.22), то она д олж н а обладать непрерывной первой производной. В ид функции -ф(д:, у, z ) , кром е того, будет зависеть от двух постоянных интегрирования, т. е. от двух граничных условий, налагаем ы х на нее при по­ становке той или иной конкретной квантовомеханической задачи. М ож ет о казаться, что решение, удовлетворяю щ ее всем упомянутым условиям, возможно только д л я опре­ деленных значений п арам етра Е, т. е. при Е п, где п = = 1, 2, 3, . . . . Тогда Е п — энергетические ур о в н и ч а­ стицы. Н ахож дение волновых функций и энергетических уровней квантовомеханических систем — одна из основ­ ных задач квантовой механики.

Глава

II

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ И ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

§ 3. ОПЕРАТОРЫ И ИХ СВОЙСТВА

3.1. Примеры операторов О ператор — символ, вы раж аю щ ий действие, с по­ мощ ью которого из одной функции получается другая. Т ак , если с помощью оператора L из функции полу­ чается ф ункция ф (я ), то пишут 1 л |> (* )= ф (* ).

(3.1)

Приведем некоторые примеры операторов: a, U{x, у, z)> d f d x , у , где а = const. Тогда согласно (3.1) ш)> = ф и U (я, г/, г ) 1|) = ф; а и U{x, у , z ) — операторы умножения. Оператор у , действуя на ^ (х ), дает V *!>(*) = ф (л;); опе­ ратор djdx, действуя на ^ (я ), дает dty(x)[dx = ф(я). В уравнении Ш редингера (см. (2.22)) А + £ /(* , /Л г ) |ф ( х , у , z ) = E \ 1>(х, у , г) оператором является н = ^ £ - А + и (х ’ у •*)■ И нтегральный оператор. Пусть / К ( х , |) ф ( |) £ ? £ = ф ( я ) , где J K { x , Qdh, — интегральный оператор; К { х , §) — его ядро.

Матричный оператор. Пусть

— /г-мерныи

=

\

'IV

вектор, записанный в виде матрицы-столбца. Рассмотрим линейное преобразование в к-мерном пространстве ф* =

= 2 а 1&Фд- Е го можно записать в виде Aty = tp, где А ■ к= 1 матрица, составленная из коэффициентов aih: #11 а1Ъ а01 °22 #nl

•

•

(*). О братны й оператор L~L по отношению к оператору L определяется из соотношения LL-1= L ~ 1L = / . Д л я м ат­ ричного оператора А обратный ему оператор А _1 суще­ ствует тогда, когда определитель \ А | ^ 0 . Если операторы L и М коммутируют и оператор M - i сущ ествует, то деление оператора L на оператор М опре­ делим к а к умножение оп ератора L на оператор М ~1, т. е. L : M — LM.-1. 3.3. Собственные значения и собственные функции операторов Л ю б ая постоянная величина при умножении ее на к а ­ кую-то функцию м ож ет рассм атриваться к а к оператор умнож ения. О днако иногда операторы, хотя и не являю т­ ся постоянными, в результате действия на некоторые

функции приводят к умножению этих функций на по­ стоянную величину, именно 1-'ф=Х'ф.

(3.4)

При решении квантовомеханических зад ач в коорди­ натном представлении (см. 1.1, 2.6) обычно оперирую т функциями, которы е подчиняю тся стандартны м требо­ ваниям непрерывности, однозначности и конечности во всей области изменения их непрерывно меняю щ ихся аргументов. Ч асто требуется от функций выполнения еще одного условия — квадратичной интегрируемости. Если функция -ф в (3.4) подчиняется стандартны м или всем указанны м требованиям, она назы вается собственной функцией оператора L, а число X — собственным зн а ч е­ нием этого оператора. Говорят, что собственная ф унк­ ция я|) оп ератора L п ринадлеж ит собственному значению оператора, равном у X. П риведем пример. Н апиш ем у р а в ­ нение Ш редингера д л я частицы, движ ущ ейся в потенци­ альном поле: { (—h2'/2mo)A-\-U(x, у, 2 ) } ^ = £ t j ) (см. (2 .2 2 )). Обозначим оператор (—А2/2 т о )Д + £ /(* , у , z ) че­ рез Н. О ператор Я обычно назы ваю т оператором Г а ­ мильтона (почему т ак , объясним н и ж е). Тогда у равн е­ ние Ш редингера прим ет вид #я|>— £ ф .

.

(3.5)

В потенциальном поле энергия частицы остается по­ стоянной. С ледовательно, постоянное число Е — собст­ венное значение оператора Н; — его собственная ф унк­ ция. Одна из основных зад ач квантовой механики — н а­ хождение собственных функций и собственных значений оператора Гамильтона. Пусть /д|>п=Лп1|>п. (3.6) Если Хп принимает только дискретный ряд численных значений Xit Я г,. . . , Хп, . . . , а функции i{>n удовлетворяю т стандартны м условиям и условию квадратичной интегри­ руемости, то говорят, что оператор об ладает дискретны м спектром собственных значений (дискретный спектр мо­ ж ет быть бесконечны м). Если ж е L-ф(лг, X) = Хт|) (я, X),

(3.6')

где X м ож ет принимать лю бы е значения в некотором интервале изменения п арам етра X, а ф ункция ij)(*, Я) удовлетворяет стандартны м условиям (без вклю чения

услови я квадратичной интегрируемости)*), то говорят, что оператор L об ладает сплошным (непрерывным) спектром собственных значений в этом интервале. М огут быть и такие случаи, когда в одном интервале изм енения п арам етра Я собственные значения Я опера­ т о р а L м огут и зм еняться непрерывным образом , а в д р у ­ гом — образовы вать дискретный спектр. Е сли одному и тому ж е собственному значению Я» о п ер ато р а соответствует несколько линейно независимых собственны х функций, то говорят о вырождении собст­ венного зн ачен ия Яп. Пусть Z/фт» = Япфпь где i == = 1, 2, 3, т п. Тогда целое число т п назы вается кратностью вырождения. Н етрудно показать, что собственные значения опера­ то р а L-1 будут обратными к собственным значениям Яп. т. е. равны м и Я71. В самом деле, имеет место 1Х _1фп= = L~lL\jj„ = L ~lXntyn = ф т откуда *Фп —

'Фп*

(3.6")

И з (3.6") вы текает, что оператор L-1 сущ ествует лиш ь п ри условии, если ни одно из собственных значений Яп о п ер ато р а L не равно нулю. 3.4. Линейные операторы О ператор L н азы вается линейны м, если удовлетворя' ет следую щ им условиям: L (a ty )= a L ty ; L (-ф! + фг) = £ф! + ’

(3.7) (3.8)

где а — постоянная. Если оператор не удовлетворяет условиям (3.7) и (3 .8 ), то он не является линейным. Н априм ер, опера­ тор Y нелинейный, так как Y a t y ^ a Y t y ; оператор ( )2 т а к ж е нелинейный, ибо ( a o j j ) а (*ф)2. Примером линей­ ного оп ератора явл яется d/dx, т а к как имеют место со­ отнош ения

В отличие от собственных функций функции гр (дг, X) в ма­ тематике называются обобщенными собственными функциями. Тер­ мин «обобщенные» в дальнейшем будем опускать.

О ператор Л ап л аса А — линейный оператор. М атрич­ ные и интегральные операторы так ж е линейны. Л и ней ­ ные операторы играю т важ ную роль в квантовой м еха­ нике в силу того, что не наруш аю т принципа суперпози­ ции (см. 2.7). 3.5. Скалярное произведение двух функций П од скалярны м произведением функций на бесконечно­ сти долж ны обращ аться в нуль. ч В ыраж ение (ЗЛО) назы вается нормой функции. Если в волновой функции частицы г|)(х ) необходимо учесть еще зависимость ее от чисто квантовой ф изиче­ ской переменной, меняю щ ейся дискретным образом (н а­ пример, от проекции спина частицы ), то волновую ф унк­ цию -ф(л:) обычно записы ваю т в виде матрицы -столбца (х)~ ^2

Ч>(*) =

(х)

(3.11)

где число компонент tyi(jt), ^a(jc), • • • > Ф »М > • ■• д о л ж ­ но равняться числу возмож ны х значений указанной д о ­

полнительной переменной. Тогда скалярное произведение д ву х так и х функций ф и ^ определяется так: (ф, $ ) =

2 J п —аг

^

(х ) d x ‘

(з л 2 )

Вводя понятие матрицы-строки q>*= (ф ь ф2 , •••» Фп» •••)» со о тн о ш ен и е. (3.12) молено записать формально такж е в виде (3.9). К а к будет показано ниж е (см. § 6 ), сущ ествую т такие п редставлен и я, в которых волновая функция (лс) может бы ть зап и сан а в виде м атрицы -столбца (3.11) с постоян­ ными компонентами с1г Cz, сп, . . . , а ф* —. в виде м ат­ рицы-строки с постоянными компонентами b\, bl, bn, т. е. ф * = (& ь bl, bn, ...)• Тогда скалярное произ­ ведение (ф, 1|)) определяется так: (ф, 'Ф) = 2 6 "Ci*

(3.1 2')

(

О пределением скалярного произведения ф(*> У>z ) и-ф(*, у , г) является равенство

функций

(ф> ^ ) = / / / ф * ( * > У. z ) ^ { x , у, z )d x d y d z .

(3.13)

Н о р м а функции в трехмерном случае определяется ан алоги чн о (3.10). О бобщ ение понятия скалярного про­ изведени я на я-мерны й случай тривиально. С войства скалярного произведения функций. С каляр­ ное произведение двух функций ф И 1|) об ладает следую ­ щими элем ентарны м и свойствами: 1) (ч>.1|)) = (ф,ф)*; 2) (ф.'ЧЧ-'Фг) =

(ф ,

■ф1) + (ф) % );

3) (Ф1 +Ф 2, ,Ф) = (фь 4>)-b(q>2, -ф); 4) (Яф, -ф) =Л.*-(ф* -ф), X = c o n st;

(3.14)

5) (q>, Яф) = ^ ( ф , ф ). Эти свойства очевидны и справедливы д л я всех опре­ делений скалярн ого произведения. 3.6. Сопряженные линейные операторы П усть А и В — линейные операторы. Если выполня­ ется условие (Лф, ч15) = (ф, (3.15)

то говорят, что операторы А к В сопряж ены д руг к д р у ­ гу: В = А + и Л = В +, индекс «-{-» — зн ак сопряж ения. Примеры. 1. П усть оператор С есть число. Н айдем С+. И меем (Ф, С ф )= /ф * (* )С т 1 > (* №

(С+ф, ^Ф) = /С + * ф * (jc) -ф(л) dx. Следовательно, С + * = С или С +=С *.

(3.16)

Сопряженный оператор к постоянной есть число, я в ­ ляю щ ееся комплексным сопряж ением о т постоянной. 2. Возьмем оператор умножения. U { x ). Н айдем U + (x). А налогичны м.рассуж дением можно п оказать, что £/+(.v) = U * { x ) . С ледовательно, если L — оператор ум но­ ж е н и я /т о L + = L * . 3. Н айдем (d jd x )+. Имеем

] ((“| г ) + равн а нулю на ± о о . И з (3.17') следует равенство (ф- - Щ

= < - ч* ( - f f - *

45

которое непосредственно д оказы вается путем переноса п р а з оп ератора d j d x от действия на функцию ^ к дейст­ вию на функцию ф и использования неоднократно (3.17'). 4. П усть дан матричный оператор А в пространстве функций ф и ф, заданны х в виде матриц-столбцов (3.12'). У словие сопряж енности (3.15) в этом случае гласит: (Л+ф, *ф) = (ф, Лф); (ф, АЦ) i.k (Л+ф, -ф)

________ где A i k и Л 5 — матричные элементы. М ен яя порядок суммирования в первой сумме, полу­ чаем

с, k

ij_k_______

Сравнивая подчеркнутые выражения, имеем ЛЙ* = ЛЛ|, Atk = A h , т. e. Л+ = Л * ,

(3.19)

где Л — матрица, транспонированная по отношению к мат­ рице А. И так , чтобы получить соп ряж ен н ей оператор Л+ к м атричному оператору Л, необходимо матричные эле­ менты оператора Л транспонировать и взять от них ком­ плексны е сопряж ения. Л егко д о казать, что если L = f K ( x , £ ) d |, то L + = = / # * ( £ > x)d%. С праведливо следую щ ее соотношение: (Л £ )+ = В + Л + .

(3.20)

которое д оказы вается так: (ф, Л£т|>) = (Л+ф, £ ф ) = (В+Л+ф, 1]>) = ( (ЛВ)+ф, t|j) ; 3.7. Эрмитовы (самосопряженные] операторы О ператор L назы вается эрмитовым (самосопряоюенн ы м ), если L + = L , т. е. (см. (3.15)) (Хдр,

ф

) =

(*ф, £ф ),

(3.21)

причем -ф и ф обращ аю тся в нуль на ± о о . В квантовой механике обычно употребляю тся линей­

ные самосопряж енны е операторы , важ нейш ее свойство «котор-ьцс.— вещественность ю г собственных значений. Д ействительно, пусть в соотношении (3.21) -ф — собствен­ н ая функция оператора тогда согласно (3.21) (ta[>, i|>) = (^ , Э Д или с учетом (3.14) A.*(t{>, ■ф)=Я (,ф, tj>). О тсю да следует, что т а к как всегда (ф, гр) > О (^=£0)*>. Пусть оператор С равен постоянной величине. С опря­ женный оператор к нему С+ = С*. Д л я того чтобы опера­ тор С был эрмитовым, долж но С = С + . С ледовательно, С = С * . Л ю бая операция умнож ения на вещественную постоянную — самосопряж енны й оператор. Координаты х , у , z — линейные сам осопряж енны е операторы (а*, у , z — вещ ественны ). Е сли оператор умнож ения U ( x , у , z ) — вещ ественная функция, то она так ж е является самосопряж енны м опе­ ратором (см. 3.6, пример 2). О ператор d f d x не есть самосопряж енны й, т а к как d dx

Операторы, д л я которых выполняется равенство Л += —А, назы ваю тся антиэрмитовыми, например d jd x и I. Если взять произведение двух антиэрмитовы х (или эрмитовы х) операторов, то м ож ет оказаться, что новый оператор будет эрмитовым. П окаж ем , когда это имеет место. Если Л + = —А , В + = — В, то согласно (3.20) ( Л В ) + = В + Л + = ( - .В ) { - А ) = В А .

(3.22)

К ак видно из (3.22), произведение антиэрмитовых (или эрмитовых) операторов А В будет сам осопряж ен­ ным оператором, если операторы А и В коммутируют. Н априм ер, i{djdx) — самосопряж енны й, т. е. эрмитовый, оператор. Этот оператор есть произведение ан ти ­ эрмитовых и коммутирующ их операторов. О ператор (djdx) (dfdx) — dz(dx2 — эрмитовый оператор. Он так ж е является произведением антиэрмитовых коммутирующ их операторов. Очевидно, что алгебраическая сумма эрм и­ товых операторов является эрмитовым оператором. П о ­ этому из эрмитовости операторов dz}dxz, d 2/d y 2, d 2f d z 2 *> Обычно функции \|) являются волновыми функциями или вхо­ дят в них в качестве множителя (см. 4.1). Волновые ж е функции тождественно не могут равняться нулю (см. 2.6).

следует, что А = {дУдх*)-\-(д21ду2)-\-{д 21дг2) — эрмито­ вым (или самосопряж енны й) оператор. О ператор Я = = — {fi?J2mo)k-\-U(x, у , z ) — самосопряж енны й оператор, т а к к а к потенциальная энергия U (x, у, г) — веществен­ н ая функция координат, а А — эрмитовый оператор. С ле­ довательно, собственные значения оператора Н, т. е. энергетические уровни, вещ ественны (как это и долж но б ы ть). И з (3.22) вы текает, что если оператор L — сам о­ сопряж енны й, то и оператор L z тож е будет самосопря­ женны й. П усть теперь L z— I, где I— единичный оператор. Тог­ д а собственные значения X оп ератора L равны ± 1 . Д ля д о казател ьств а напиш ем уравнение д л я собственных функций и собственных значений % оператора L 1д1)=Ъ|)

(3.23)

и подействуем на это уравнение слева и справа операто­ ром L. Будем иметь, с одной стороны, /А |)= Я 2,ф, а с дру­ г о й — Л2'ф ='ф , откуда следует Х2= 1 и Х = ± 1 . Если L+ = L -1, т. е. L+L = I, то оператор L назы вается унитарным. Собственные значения унитарного оператора по м одулю равны единице. Д ей стви тел ьн о,. если. L i|)= =X t|). ТО (■ф, i]j) = (ij>, Ш лЮ = (Lik Lt|))=X*X(iI), 1])) = [Л |2(т1), -ф), откуда |Х | = 1. § 4. ОСНОВНЫЕ АКСИОМЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

4.1. Формулировка аксиом и их обсуж дение П ер вая основная аксиома квантовой механики состо­ ит из двух утверж дений: а) каждой физической величине классической меха­ н и к и в квантовой м еханике сопоставляется линейный самосопряженный оператор; б) соотношения между ф изическими величинами классической м ехани ки однозначно переходят в кванто­ вой м еха ник е в такие же соотношения между изобра­ жающими их операторами, если в эти соотношения не входят произведения физических величин, операторы ко­ торых не коммутируют. Н а вопрос, в какое соотношение м еж ду некоммути­ рующими операторам и переходит произведение физиче­

ских величин классической физики, можно ответить, ис­ пользуя различны е дополнительные свойства этих ве­ личин (см. 4.2), н ал агая н а произведение операторов условия эрмитовости или, наконец, прим еняя специаль­ ные методы [51]. И злож ение этих методов выходит за рамки настоящ его пособия. П ер вая часть (а) основной аксиомы квантовой м ех а­ ники необратима, т а к к а к существуют таки е линейные самосопряж енны е операторы , которые и зображ аю т чи­ сто квантовы е физические величины и которы м в кл асси ­ ческой механике прямо не мож ет быть сопоставлена ни одна физическая величина (например, оператор собст­ венного магнитного момента электрона jis). О днако этим чисто квантовым физическим величинам иногда соответ­ ствуют определенные классические аналоги. Т ак, "напри­ мер, классическим аналогом оп ератора собственного магнитного момента электрона р,8 будет орбитальны й магнитный момент цг заряж енной точечной частицы. Тог­ д а вторая часть (б) аксиомы в применении к операторам чисто квантовых физических величин, обладаю щ их к л а с ­ сическими аналогам и, м ож ет быть переформ улирована следующим образом: б') операторы чисто квантовых ф изических ве ли чин удовлетворяют тем же соотношениям, что и и х кла сси ­ ческие аналоги и операторы этих аналогов. Примеры. 1. П усть зад ан орбитальны й магнитный момент ^ к а ­ кой-то точечной частицы. Тогда магнитное поле, со зд а­ ваемое этой частицей, к а к в классической, т а к и в квантовой (в операторной форме) теории будет равно H t = = r o t А/, где A i = i u X r f r 3 — векторный потенциал. С оглас­ но утверждению б ') магнитное поле, создаваем ое электро­ ном из-за наличия у него собственного магнитного м о­ мента, задаваем ого оператором jxs, будет так ж е удовле­ творять соотношению / f s = ro tA s, где А 8= ц 8Хт/г3. 2. Если на частицу с орбитальны м магнитным моментом [if действует заданное внешнее магнитное поле Я , то энергия магнитного взаимодействия частицы с внеш ­ ним полем равн а (в квантовой механике согласно утверждению б) это равенство будет у ж е опе­ раторн ы м ). Такое лее выралсение имеем и д л я оператора энергии магнитного взаимодействия^собственного м а г­ нитного момента электрона с полем И , т. е. W 8= — (|Astf ) .

Т аким образом , при формулировке первой основной аксиом ы вы деляю тся математические аспекты квантовой механики. Ф изическое содерж ание этой аксиомы, связь ее с экспериментом раскры вает вторая аксиома. В то р ая основная аксиом а квантовой механики гл а ­ сит: если при сколь угодно многократном измерении не­ которой физической величины L , производимом над атом ной системой, описываемой волновой функцией ф, в сегда получается одно и то ж е число К, то это число — д

собственное значение оператора L, изображ аю щ его эту ф изическую величину, а -ф — собственная функция опел р ато р а L (или линейная комбинация этих функций в слуд

чае вы рож ден и я), т. е. L ф = Я ф (« Д » — зн ак, который бу­ дем иногда употреблять д л я указан и я того, что имеем д е­ л о с оп ератором ). В торая аксиома обратима. П одробнее остановимся на понятии многократного изм ерения в квантовой механике, поскольку оно отлича­ ется от классического. Д ел о в том, что воздействия изм е­ рительного прибора на макро- и микрочастицы в процес­ се изм ерения различны . Если воздействием измеритель­ ного прибора на м акрочастицу при определенных усло­ виях опы та можно пренебречь, т. е. мож но считать состояние м акрочастицы после измерения не изменив­ ш им ся, то этого обычно нельзя сд елать в отношении мик­ рочастицы . В оздействие измерительного прибора на мик­ рочастицу (или атомную систему) настолько велико, что он а, к а к правило, переходит в процессе измерения в но­ вое состояние. П о к аж ем это на прим ерах измерений им­ пульсов свободно движ ущ ихся макро- и микрочастиц. П усть свободная нерелятивистская макрочастица с массой М движ ется вдоль некоторой ш калы (силу тя­ готения не учиты ваем ). Фиксируя полож ения м акроча­ стицы с помощью мгновенных фотоснимков, получае­ мых через очень м алы е равные промеж утки времени, мож но неоднократно измерить с достаточной точностью ее скорость, а затем , ум н ож ая скорость на массу части­ цы М, и ее импульс, убедиться, что при использовании очень чувствительных фотопленок и достаточно слабой освещ енности скорость и импульс макрочастицы не ме­ няю тся в процессе измерения. С ледовательно, воздейст­ виями световых фотонов на макрочастицу, имевшими место при фотосъемках, можно пренебречь. И наче обстоит д ело с микрочастицей. Если, например,

измерять импульс свободного электрона, используя з а ­ коны сохранения импульса и энергии при столкновении его с фотоном по известным энергиям и импульсам этого фотона до и после столкновения (см. 1.1, рис. 1, а та к ж е 7.2), то конечный импульс электрона будет другим по сравнению с начальны м. И следовательно, электрон в процессе измерения его импульса переходит в другое состояние. Таким образом , в связи с изложенным возникает во­ прос, к а к произвести многократное измерение физиче­ ской величины, характеризую щ ей атомную систему, о которой говорится во второй аксиоме, в частности, им ­ пульса свободно движ ущ егося электрона? Обычно име­ ются две возможности выполнения такого измерения. Во-первых, мож но повторить измерение импульса у о д ­ ного и того ж е электрона, но д л я этого необходимо к а ж ­ дый р а з после выполнения измерения подействовать на него таким образом, чтобы он возвратился в то ж е со­ стояние, в котором пребы вал до измерения. Во-вторых, многократным измерением импульса у электрона мож но считать измерение импульсов у достаточно больш ого чис­ л а электронов, о которых достоверно известно, что все они находятся в одинаковых состояниях (т. е. об ладаю т одинаковыми импульсами) *>. Очевидно, что во втором случае выполнить многократное измерение значительно легче, чем в первом. О днако следует отметить, что в последнее врем я [19] разрабаты вается теория «невозмущ аю щ их» измерений, производимых над одной атомной системой. И зм еритель­ ный прибор конструируется таким образом , чтобы повто­ рение измерения некоторых физических величин не при­ водило к изменению их значений (см. 8.2). И з второй аксиомы следует, что собственные значения линейного самосопряж енного оператора, и зображ аю щ его физическую величину, являю тся возможными р езу л ьта­ тами измерения этой величины на опыте. И менно это следствие из второй аксиомы обычно и проверяется экспериментально. У ж е упоминалось, что вид волновой функции зависит от того, в каком представлении она за д ан а (какие н еза­ висимые переменные физические величины взяты в к а ­ честве ее аргументов (см. 2 .6 )). Вид операторов так ж е *) Без учета спиновых свойств электрона (они рассматриваются в гл. V III—X).

зав и си т от представления, в котором они задаю тся. О д­ н ако операторы обладаю т весьма важ ны м и свойствами: соотнош ения м еж ду ними и их собственные значения о стаю тся неизменными при переходе от одного представ­ л ен и я к другому (см. 6.3). П оследнее обстоятельство и п озволило сф орм улировать обе основные аксиомы н еза­ висимо от представления, в котором одновременно за д а ­ ны волновы е функции и операторы , изображ аю щ ие фи­ зические величины. Н аконец, из второй аксиомы вЫтеА

кает, что собственная функция ф оператора L , изобра­ ж аю щ его какую -то физическую величину, которая х ар а к ­ тери зует состояние частицы, или линейная комбинация эти х функций, п рин ад леж ащ ая одному и тому ж е соб­ ственном у значению X, м ож ет быть ее волновой функцией или входить в эту волновую функцию в качестве множи-

л

тел я (ведь /л1) = А/ф— линейное однородное уравнение). • 4.2.

Операторы простейших физических величин

Л инейны е операторы , изображ аю щ ие согласно пер­ вой аксиом е различны е физические величины, долж ны бы ть сам осопряж енны ми, поскольку их собственные зн а ­ чения к а к возмож ны е результаты измерения согласно второй аксиом е долж ны быть вещественными. Н айдем их в координатном представлении. Ф изические величины в этом представлении изображ аю тся линейными само­ сопряж енны м и операторами, действую щими на волновую функцию к а к на функцию, от координат (декартовых, сф ерических и д р .). Общий метод нахож дения операто­ ров будет д ан в теории представлений (§ 6 ). З д есь ж е д л я этого используем основные аксиомы и некоторое до­ полнительное предполож ение об операторах физических величин, .определяю щ их представление. Это дополнительное предположение гласит: линей­ ными самосопряж енны ми операторами, изображ аю щ им и координаты х, у , z (независимы е перем енны е), будут операторы умнож ения, т. е. сами координаты (перемен­ н ы е )4). И так: л

д

л

х = х; у = у; z = z.

(4.1)

*) Что касается переменной t, то в квантовой механике обычно предполагается, •что эта величина в любом представлении — опера­ тор умножения (фактически является параметром).

. . В дальнейш ем п о к аж ем .(см . 6.3), что любой оп ера­ тор, обладаю щ ий непрерывным спектром собственных значений, в своем собственном представлении — оп ера­ тор умножения. Функции координат U (x, у , г) так ж е являю тся оп ера­ торам и умножения. .

л

Оператор импульса. Найдем р — оператор импульса частицы. Пусть рх — ^-компонента импульса. Д л я нахож•

Л

дения оператора рх в представлении координат х, у, z можно использовать вторую основную аксиому. Д олж но Л

"

•

быть рх\J) = рх^ , если ij)—собственная функция оператора л

л

Рх* Рх — собственное значение оператора р х. Пусть -ф — волна д е Б рой ля, распространяю щ аяся вдоль оси х и равн ая ■ф=

{Et~ pxx\

-ф0 = const.

П о определению, она явл яется волновой функцией, описывающ ей свободную частицу, обладаю щ ую опреде­ ленны м импульсом рх. Тогда согласно второй основной аксиом е квантовой механики эту функцию можно считать А собственной функцией оператора рх, отвечающей его соб­ ственному значению р х, и написать-: • Р А / ~ ‘,П)

= Р Ж е '~ ‘,Л) Л

Отсюда видно, что рх = — Щ д /д х ). Аналогично нахоЛ

л

дим р у = — ih (д/ду) и р г = — ih ( d /d z ) . Р ан ее было доказано, что оператор i(d /d x ) — сам осо­ пряж енны й, следовательно, операторы компонент импульа л л с а рх, pyt рг— такж е самосопряженные операторы. Оператор импульса равен р = — fftv. где у = i (д/дх) - f l{djdy) + k(d/dz); i, ], k — орты.

(4 -2 )

Эрм итизация операторов. П ри рассмотрении вопроса об определении оп ератора L произведения двух физиче­ ских величин, изображ аем ы х некоммутирующ ими линейл

л

яыми самосопряженными операторами-А и В (см. аксио­ м у б)), возникают два затруднения. С одной стороны, не­

известно, какой оператор сопоставить этому произведению: л л л л А В или В А (имеет место неоднозначность, о которой уж е упом иналось), а с другой — оба этих оператора не я в л я­ ются самосопряж енны ми и поэтому не могут и зо бр аж ать физические величины. И з этих затруднений выйти весьма просто. Н аписав следую щее, имеющее место в классиче­ ской ф изике очевидное тож дество L = A B = - ^ - ( A B + BA) и зам енив правую сторону его операторами, получим опе­ ратор А

Л А

1

А л

L = -L -(A B -\-B A ).

(4.3)

л Нетрудно доказать, что L — самосопряженный тор. Действительно, А ,

А

1

А

А А

,

А ,

1

А ,

А ,

опера­

А .

L+= - i - {АВ + ВЛ)+= - f - (В А + А* В*) = 1

А А

А

А

А

= ^ - { A B + B A )= L . А

(4 .3 ')

А

Л егко заметить, что если А и В являю тся эрмитовым и антиэрмитовым некоммутирующ ими операторами со­ ответственно, то с их помощью можно построить сле­ дующий самосопряж енны й оператор (см. (34.42) и [7, с. 166]): А

1

Л А

А Л

Ь = - ± - ( А В — В А ).

(4.3")

Операторы энергии. Д л я нахож дения оператора ки­ нетической энергии воспользуемся вторым утверж дени­ ем первой аксиомы. Тогда с учетом (4.2) получим А

2 = ^ _ д

2т0

2mQ v

,

2т0

Н айдем оператор полной энергии частицы, движ ущ ей­ ся в потенциальном поле (потенциальная энергия части­ цы U (x , у, z ) ) . И з классической механики известно, что в этом случае полная энергия частицы равн а ее функции Гамильтона, т. е. Е == Я = p3/2m0 + U (х, у , г). СледоваА

тельно, оператор Я с учетом (4.4) равен •54

Я = - 2 й Г л + 1 / (*- У- г>-

= ЯЧ>.

(4-5')

и является уравнением д л я собственных функций и соб­ ственных значений оператора полной энергии — оп ера­ тора Гамильтона. В дальнейш ем покаж ем , что если ч а ­ стица находится в любом стационарном состоянии, т. е. в состоянии с определенным значением энергии, то коор­ д и н атн ая часть ее волновой функции будет собственной функцией оператора полной энергии. О ператор орбитального м омента количества дви ж е­ ния. В классической м еханике вектор момента количест­ в а движ ения частицы определяется следующим образом :

L=rXp{Lx= y p z—zpy,

Ly— zpx~-xpz, Lz— xpy~ y p x) .

Тогда в соответствии со вторым утверж дением п ер­ вой аксиомы квантовой механики (см. 4.1) оператор век­ тора момента равен

L=rXp = rX(—(ftv) = “ Йг XV-

(4.6)

Н азовем его оператором орбитального момента ко­ личества движ ения микрочастицы (чтобы отличить от оператора собственного механического момента колил

чества движения или спина частицы). Оператор ^ -к о м ­ поненты орбитального момента количества движ ения з а ­ пиш ется в виде А

АЛ

АЛ

Аг =

УРг ~

г Р у = У

(—

ih V z) — 2 ( —

i h V tf) =

Л

Л

Аналогично запишем L u= — ih(z{dfdx)— х(д!дг)) и Ьг = А

Л

Л

А

= — Щ х [ д /д у ) — у(д}дх)). Значит, L = \ L x -{-jLff + kLz — эрмитов оператор, так к а к состоит из суммы произведе­ ний взаимокоммутирую щ их антиэрмитовых операторов

ihxi и d z { d / d x j ) t i¥=j, умноженных соответственно на орты i, j, к. Зам ети м , что в операторы компонент момен­ та количества движ ения входят произведения коммути­ рую щих операторов, следовательно, оператор момента количества движ ения определяется однозначно. О ператор орбитального магнитного момента. В клас­ сической электродинам ике магнитный момент цг за р я ­ ж енной частицы пропорционален ее механическому мо­ менту L и зад ается формулой

где т о , е — м асса и за р я д частицы соответственно; с — скорость света; е / 2 т 0с — так назы ваем ое гиромагнитное отношение. С огласно первой основной аксиоме соотно­ ш ение (4.7) в квантовой механике перейдет в аналогич­ ное соотнош ение м еж ду операторами, а именно (см. (4.6)) =

=

( 4- Г )

В отличие от оператора собственного магнитного мол мента микрочастицы оператор р.г назовем оператором ее орбитального магнитного момента. К вантовы е скобки П уассона. В классической меха­ нике скобки П уассона определяю тся в тесной связи с функцией Г ам ильтона. К ак известно, функция Гамиль­ тона механической системы является функцией обобщ ен­ ных координат, импульсов и времени: Н = Н { р и qu t). Если известно Н, то уравнения движ ения системы в к л ас­ сической м еханике можно записать так (в форме Гам иль­ тона) : дН dpt

~

dqj dt

дН___________ d p i_ dqi ~~ dt ‘

. ’

.. R

Н айдем полную производную по времени от какой-то функции F (pi, qu t ) : dF dt

_ dF ~ ~di

■ у п / dF

dpt

dpt di

dF dqt

,

dqi dt

i

T.

dF

dH

,

dH

dF

dpi

dqi

r

dpi

dqi

e. T

= - l- + №

f l'

(4 -9 )

где вы раж ение,,

назы ваю т классическими скобками Пуассона. Воспользуемся первой основной аксиомой квантовой •

•

Л

Л

механики. Тогда если F — какой-либо оператор а Я— оператор Гамильтона, то в соответствии с (4.9) имеет место следующее равенство: л л А-"\ HF ЯР Л Л - 5 r = - ! - + № f ]■ Л

л

З д е сь и в дальнейш ем будем считать: если пределы интегри­ рования не указан ы явн о, то п одразум евается интегрирование по в сем у бесконечному пространству.

Т а к к а к собствен н ы е функции определены из у р авн е­ ния (5 .3 ) с точностью д о постоянного м н ож ителя, м ож н о потребовать, чтобы вы п олн ялось услови е нормировки f\tyn\2d v = \ . Д оп усти м , что f\tyn\zd v = C , гд е С — по­ стоянная (вещ ествен ное полож ительное ч и сл о ). Ф унк­ ция т|)п д о л ж н а у д о вл етво р я ть стандартны м требовани ям (см . 2 .6 ) и быть квадратичн о интегрируема. П олож и м = С Л , где Сп такое, что J [ ^ | M a = l , т . е. Л С „ | 2 1

fd v = 1; ( 5 .4 )

I

рJ I

= I С„ |г-С = 1,

откуда получим |С„| = ^

.

( 5 .4 ')

Таким об р азо м , подбирая Сп по ф ормуле ( 5 .4 ') , нор­ мируем собственную функцию г|эп к единице. О дн ако и услови е нормировки о ст а в л я е т некоторый произвол в в ы ­ боре собственной функции. К а к видно из уравнений ( 5 .3 ) , (5 .4 ) и ( 5 .4 ') , со б ствен н ая функция о п р еделяется с точностью д о произвольного ф азового м нож и теля eia(\eia \2 = 1), т . е . 'фп = |Сп \eiatyn. В с е ж е это обстоя­ тел ьство не приводит к каким -ли бо неопределенностям в физических р е зу л ьт а т а х теории, поскольку в р е зу л ь т а ­ ты расчетов, которы е ср авн и ваю тся с эксп ери м ен тальн ы ­ ми данными, в с е гд а вх о д я т к вад р аты модулей со б ствен ­ ных или волновы х функций, а не сам и функции. С ледовательн о, если собствен н ы е функции оператод pa L , принадлежащие дискретным собственным значеА ниям оператора L , при отсутствии вырождения пронор­ м ировать, то они будут у до вл етво р ять у слови ям : (фт> 'фл.)

6mn= 0, если

Smn= l , если т = п .

(5 .5 )

В этом сл у ч ае они н азы ваю т ся ортонормированными. С обственны е функции оператора L линейно н е за ­ висимы, т. е . л ю б ая их линейная комбинация 2 C n^n р а в ­ на нулю лиш ь в том сл у ч ае, если все коэффициенты Сп в ней равны нулю. Ч тобы д о к а за т ь это утверж ден и е, у м ­ ножим скалярн о р авен ство 2 С пг|>п= 0 на лю бую функ­ цию зл, находящ ую ся под знаком сум м ы . Т огд а вви ду

взаи м н о й ортогональности функций грл и у^пфн получим (Фл. ^ f n % ) = 2 СЛ >

it

% ) = Ch(y k> % ) = 0.

( 5 .5 ')

п

Т а к к ак ( % , % )^ = 0 , то Ch= 0 . П оскольку Ch— любое из С „, находящ ихся под знаком суммы утверж де-

п ние доказано.

5.2 . Дискретный спектр собственных значений оператора при наличии вырождения Л П у сть оператор L обладает дискретными собственными значениями и имеет м есто вырождение, т . е. =

(5 -6 )

гд е t = 1, 2, . . . , т п. З д е сь одному и том у ж е соб ствен ­ ном у значению Кп прин адлеж и т несколько собственны х функций i|jnlf -фпг, - . - , $птп, где т п — кратн ость вы р ож ­ дения. У равнению (5 .6 ) у довл етвор яет, очевидно, т а к ­ ж е л ю б а я линейная комбинация функций т|>П1» 'фп* • ..

тп 4 jw n> т . е. ^ 1 = 2 СЛ / - Нормировка выполняется /=I так ж е , к ак и в предыдущем случае. Если J |*фпг |2d t » # l, то

.

в кач естве собственной функции возьмем ipto = где Ci подбираем так, чтобы $\tyni\2dv = 1. Д оказательство того, что собственные функции, принадлежащие двум л различным собственным значениям оцератора L, ортого­ н альн ы , проводится т а к ж е , к а к и в 5.1. Д о к а з а т ь , что со б ствен н ы е функции, п рин адлеж ащ ие одному и том у лее со б ствен н о м у значению , ортогональны, н ельзя прежним, сп особом (см . 5 .1 ) . П о к а ж ем , что если данны е функции ijjni не ортогональны , то м ож ем зам ен и ть их п о сл ед ова­ тел ьн о стью функций, являю щ и хся их линейными комби­ нациями и удовлетворяю щ их уравнению ( 5 .6 ) , и потре­ б о ва ть , чтобы они были ортогональны . Р а ссм отр и м сл у ­ чай двукр атн ого вы рож дения. И м еет м есто

Lty! =

= M V

(5 .7 )

Д оп усти м , что % и ij)2 не ортогональны , т. е. (tyi, 1^2) ф

ФО. Т о гд а вм есто

и ф2 вы бер ем функции =% и — 'фх + аф*, удовлетворяющие уравнению ( 5 .7 ) . Выберем а так, чтобы (ф [, фг) = 0 , т . е. ( ф ! , т1)1+ат|з2 ) = 0 ;

( % , я | н ) - | - а ( т ^ , -ф2 ) = 0 ,

откуда а = — (фь 4>i)/(Ч*ь ^ 2) (учиты ваем , что по у сл о ­ вию (% , ф г ) ^ 0 ) . А налогично производится ортогонализац и я собственны х функций и при т „ -к р а т н о м вы р о ж д е­ нии. Полученные описанным вы ш е способом ортонормирод ванны е собственны е функции оператора I , к а к и в пре­ ды дущ ем случае, линейно н езави си м ы (д о к а за те л ь ств о ан алоги чн о).

5.3. Нормировка собственных функций оператора, обладаю щ его сплошным спектром собственных значений. б-Функция Дирака Р ассм отр и м вопрос о нормировке собствен н ы х функ­ ций в сплошном спектре собствен н ы х значений д л я про­ стоты в одномерном случае, т. е. д л я функций, з а в и с я ­ щих от одного аргум ента. а На собственные функции оператора L, обладающего сплош ным спектром собственны х значений, н ельзя (см . 2 .6 ) налож и ть обычное услови е нормировки по б ес­ конечному пространству. П оп ы таем ся н ал ож и ть это у сл о ­ вие на собственны е дифференциалы этих функций. С об ­ ственный дифференциал функции ib (* , Я ):Д тьЬ :, Я) = j* ^ (х ,

=

a,)£&. Если F%{x, Л )=ф (л:, Я ), где F%{x,X)—

i производная по аргум енту Я о т первообразной по отнош е­ нию к ф(д;, X) функции F {x , Я ), то Аг|)(^, X ) = F { x , Я- f + А Я)— F (x, Я ). П онятие собственного диф ф еренциала, к а за л о с ь бы, являю щ ееся чисто м атем атическим поня­ тием, на сам ом д ел е бо лее близко к ф изической реальн о ­ сти, чем, например, понятие м онохром атической волны д е Б ройля. П онятие собственного дифф еренциала в при­ менении к волне де Б рой ля, именно Д-ф(д:, р) = =

Р^ Р . U/fi)px , I с(р)е dpt р

.

св я зан о с тем ф актом , что

пред-

ставл ен и е о монохроматическом пучке электрон ов, ко то ­ рое мы все врем я использовали , по сути д е л а , я вл я ет ся идеализацией. В действительности д а ж е при сам ой со ­

верш енной монохроматизации пучка электронов (см. сн о ск у .в 2 .2 ) импульсы электронов л е ж а т в пределах .р и р + Д р , где Ар м ало , и ф актически «монохроматические» электрон ы оп и сы ваю тся не м онохроматической волной д е Б р о й ля, а очень узки м волновы м пакетом , имеющим ви д собствен н ого дифференциала: Р +Д Р

■ф=

J

с ( р ) е Ц/П)рхйр = А у(х, р).

р

И т ак , м ы определили собственны й дифференциал Д-ф(х,-X). Теперь во зьм ем второй собственный дифферен­ циал .

Aty(x, V ) = . . .

f ty{x, X')dX' Л'

и д о к а ж е м следую щ ую теорем у. > Т е о р ем а 5.2 . Е сл и интервалы { X, Я + Д Л ) и (X', V -j-ДА.') не п ер екр ы ваю тся, то собственны е дифференциалы А.) и Д-ф(х, X') ортогональны . И м еет м есто (Aij>(х, X'), Д ф (х, Х ) ) = 0 . Д оказательство.

(5.8)

П р едполож и м ,

что

+ АХ' Я ' + Д Я ' .

X'

Очевидно, что конечным результатом к ва н т о во м ех а ­ нических расчетов, сравним ы м непосредственно с э к сп е­ риментом, не м о ж ет быть вы раж ени е, со д ер ж а щ ее 6-функцию. Примеры. д 1. Рассмотрим оператор рх с непрерывным спектром собственных значений и собственные функции, соответ­ ствую щ ие этому оператору: яр(х) = {рх = Я ). Про­ нормируем эти собственные функции к 6-функции. И так#

РЛ (*) =

(х); р х = — ih

Найдем Д ф (я , Я) =

^_

Я+ДЛ j

% =

ix

е {Цй)Ьх

п

Теперь напиш ем вы р аж ен и е (Д-ф(х, Я ), Аф(;е, Я ) ) — ДЯ (предполож им , что Я '= Я и Д Я = Д Я /) . Т о гд а

IX

J

Х (е Ы ^ х^ — 1)йх = к%. В ы берем С так , чтобы это равен ство вы п олн ялось. П о ­ лучим

I = I С |2 j

{2-(е Ь ; ( 5 .2 0 ') для а < % < Ь .

№

П о ско льку %л еж и т в и нтервале а(je)|a (*. У. г, 0 = у = - е где

(-«•//»5 (1>*» Ч О = б, л Оператор Л задается так:

А ( х ) Ц х ) = ф(ж).

(6.18)

Р а вен ств о (6.18) д о л ж н о со б л ю д аться в л ю бо м пред­ ставлении. Р а зл о ж и м в ряды Ф урье по собственны м л функциям оператора L функции f(x ) и ф( я ) : W ’ Ф (*) = 2

/ (*) = 2 СА

п

аi

(*)•

(6 .1 9 )

Тогда

^ A

W

п

= 2 ^ ( 4

п

(6.20)

У м н ож ая (6.20) скаляр н о на *фт(*), будем иметь

Х сп ^ т {х)А ^ п{х )а х = = ^ Ь п {^т, tyn) = bm. ( 6 .21) П с ■» П л О бозначим интеграл Wm(x)Atyn(x)dx= A mn, гд е Атп— число. С овокупность в с е х чисел Атп п р едстави м в ви де квадратной матрицы: Л и Л 12

.

A%i ^22 * ( 6 .2 1 ')

Л' =

У а Л( 2 . • * t гд е А' — бесконечном ерная матрица (или конечномер­ н ая, если число соб ствен н ы х значений Хп ко н еч н о ). И та к , из (6 .2 1 ) имеем 2

п

^

тпс п = fr/n*

( 6 .2 2 )

В вед ем м атрицы -столбцы с и b следую щ его ви д а (см .

(6.19)):

Т о гд а символически вы раж ени я типа (6 .2 2 ) м ож но з а п и с а т ь в ви д е А 'с = Ь , где с — функция f(x ) в L -пред­ ставл ен и и ; b — функция то на основании (6 .2 8 ) м о ж ­ но написать св я зь Л ' с Л в виде

A '= S+ A S, (6 .2 9 ) т . е. матричный эл ем ен т Атп матрицы А' есть матричный элем ен т произведения тр ех непреры вных м атриц с з а м е ­ ной сум мирования по непрерывно м еняю щ им ся индексам х и х' интегрированием. Н епреры вная м атриц а 5 унитар­ на, т а к ’ к а к им еет м есто S * h S = l . В сам о м д ел е, S +S = 2 J 1Й(ж) 4>п( * ' ) dx = J 6 ( * ' — x )'d x = 1.

п

З д е сь и сп о льзо ван о соотнош ение (6 .3 ) . Таки м об р азо м , перевод оператора из одного пред­ ставл ен и я в д р уго е о су щ ествл я ется поср едством унитар­ ных преобразований типа (6 .2 6 ) или (6 .2 9 ) . Эти преоб­ разован и я сохр ан яю т р я д свой ств операторов (см . [2 ]). П о к а ж ем с помощ ью (6 .2 6 ) или ( 6 .2 9 ), что 1) сво й ства сам осоп ряж ен н ости опер атора, 2 ) его собствен н ы е з н а ­ чения и 3 ) алгебраические соотнош ения м еж д у оп ер ато­ рам и не м ен яю тся при переходе о т одного п редставлен ия к другому. 1. И з р аве н ст ва Л + = Л сл ед у ет Л '+ = Л '. В сам о м д е ­

л е , Л ' + = ( S + ^ S ) + = 5 + / l +5 = S +y 4 5 = / 4 '. З д е сь и сп о льзаван о соотнош ение (3. 2 0 ) . 2. Д а н о : Л-фа= т 1 > а, где а — определенное и звестн ое соб ствен н ое значение оператора А. Д о к а з а т ь : Л'ф0=аф а> гд е А' — оператор; фа — его собствен н ая функция в но­ вом представлении. У м н ож ая первое из соотношений на S + и в с т а в л я я м еж д у А и ф произведение S S + = ] , полу­ чаем 5 +Л55+'ф а= а 5 +'фа, откуда будем иметь Л '(5 + ф а) = = a ( S +i}5a). Т а к и м об р азо м , а о ст ает ся собственны м з н а ­ чением оператора Л и в новом представлении с ф о = 5 +т1>а. 3 . С п р авед л и во сть третьего утверж ден и я п о каж ем н а примере следую щ его соотношения м еж д у оп ер аторам и :

С=АВ.

(6 .3 0 )

В другом представлении согласн о (6 .2 9 ) будем и м еть

C '= S + C S , Л ' = 5 +Л 5 и Л ' = 5 + В 5 . Д о к а ж е м , что С'=А 'В'.

(6 .3 0 ')

У м н о ж ая сл ев а на S + и сп р ава на 5 соотнош ение (6 .3 0 ) и вс т а в л я я м еж д у Л и Б произведение SS + = \ , по­ л уч аем 5 + С 5 = 5 +Л 5 5 + В 5 , отк уд а и вы т ек а ет ( 6 .3 0 ') . В заклю ч ен и е отм етим , что именно наличие совокуп­ ности сво й ств операторов, сохраняю щ ихся при переходе от одного представлен и я к другому, и п о зво ляет нам сф орм улировать основны е аксиом ы кван товой м ехани ки н езави си м о от представлений (см . 4 .1 ). л л О ператор Л в представлении опер атора L, о б л ад аю ­ щ его непрерывным спектром собствен ны х значений. Н ай А

А

д ем оператор Л в L -представлении, если L о б л а д а ет не­ прерывным спектром собственны х значений, т. е.

Lty{x, А) = Х ф ( я , А).

( 6 .3 1 )

Функции (л:, X) нормированы к 6-функции. И сходим т а к ж е из уравнения ( 6 .1 8 ). Р а з л а г а я функции f(x ) и ф (я) в интегралы Ф урье по собственны м функциям о п ер ато А’ ра L, имеем

f { x ) = J c ( X ) ^ { x t X)d%\ (6 .3 2 ) Ф (д:) = f b (X) ij) (я, A.) dX, гд е с (А) — функция / ( * ) , а 6( A) — функция ф (я) представлении.

в

L-

П о д ст а вл я я f{x ) и (je, X)dx = $b{X)dX6{X'— X) = b{X'). О бозначим: |т|>*(я, X')Aty(x, X)dx = A{X\ X) ,

( 6 .3 3 ')

где A(X', А) — функция о т X' и X; A (V , А) н азы ваю т ино­ гда непрерывной матрицей. И так,

Jc{X )A [X ft X)dX = Ъ(Х').

(6 .3 4 )

л

Следовательно, оператор А в L -представлении прини­ мает вид интегрального оператора с ядром А{Х', X).

А

Найдем оператор L в своем собственном представлел

л

нии. Положим А==Ь. Т огд а согласно ( 6 .3 3 ')

А(Х\ X) = L(X\ X) = J 4 * ( * , X')Lty(xt X)dx = = §У*{х, V)Xty(x, X)dx = Xb(X' — X), (6 .3 5 ) откуда вы тек ает

fc (X )A (V , X )dX ^ fc{X )L{X ' X)dX= — f c {X)Xb {Xr—X) d X = b ( V ) . Б уд ем иметь V e ( b ') “ * ( b ') .

’

(6-36) Л

В своем собственном представлении оператор L п ере­ ходит в оператор ум нож ения. Н апример, в координатном Л

А

л

представлении х = х , у = у и z = z , т. е. дополнительное предполож ение, о котором говорилось в 4.1 , д о к а за н о . л

П р и м е р . И звестн о , что х = х в координатном пред­ ставлен ии . Р ассм отр и м , какой вид будет им еть опера-

Л

тор х

Л

в

ря-представлении. — —ih (d /d x ). И м еет м есто

И так,

А

L^px=

оператор

— m т х ^хРх) = Рхц(х, рх). (6 .3 7 ) л Собственной функцией оператора рх является прост­ ранственная часть волны д е Бройля: „и/..

„ ч

1

М х’ Р х)- ~ У Ш й Г е (ij? (а:, рх), *ф(л:, р'х)) = б (рх— рх)- Собственные л функции оператора рх нормированы к б-функции. А{Х , Я) причем

в нашем случае — функция х (р х, рх), которая равна: * ( * .

Рх) = - e b t J

=

И сп о л ьзу я соотнош ение ( 6 .3 4 ), получаем J Ф * ) x(Pz, рх) dpx = j с {рх) { - ^ Г - j л г'- '* ? 1.

dx } X

X d p x = b{p'x); J *< -'« > * r + * d x } dpx = b ( Й ;

f с (д )

~ !‘ftI c fe) -4 r

= ь

(л)-

И нтегрируя л еву ю ч асть последнего р авен ства по ч а­ стя м , находим

~ а [ ° {р*у4 г ' ь(-р* - р*) dp* = - ih° ш

8 t i c - p.)

+

гд е учтено, что б-ф ункция р авн а нулю на ± ° о . Следовательно,

окончательно

будем

иметь

ih X

X Сdc{px)fdpx) = Ь{рх) или хс(рх) = Ь(рх), т . е.

x ^ i h ( d / d p x).

(6 .3 8 )

И зл а га я элем ен ты теории представлений, мы упро-

щ али за д а ч у , а именно считали функции /, q>, i}> з а в и с я ­ щими тол ько о т одной переменной х (сл уч ай си стем с одной степенью с в о б о д ы ). О бобщ ение теории п р ед ста в­ лений на случай трех и бо лее степеней свобод ы п о каж ем ниж е. Д л я это го предварительно рассм отрим вопрос об условии возм ож н ости одновременного точного измерения ф изических величин.

0.4, Условие возмож ности одновременного точного измерения физических величин Д о к а ж е м следую щ ую теорем у. Т еор ем а. Е сл и д в а оператора о б л ад а ю т общ ей пол­ ной системой соб ствен н ы х функций, то они коммутирую т. Д ан о : Ltyn= X ntyn‘, Д о к а з а т ь : LM — —M L = 0. Д о к а з а т е л ь с т в о . И м еет м есто

М £.т|зтг= X пМ: п = X л [Д,пtJ)п I

LM'i])п ='фгс.£л])п== ЦгДпфп* О тсю да ЬМ^п—МЬфп\ (LM—ML) 'ф71= 0 , т. е. LM — — M L— 0, что и тр еб о вал о сь д о к а за т ь , т а к к а к лю бую функцию f(x ) мож н о р азл о ж и ть в р яд по собственны м функциям операторов L и М и

(LM — ML) f (х) - 2 cn(LM — ML)\J)n - 0. n

О братная тео р ем а. Е сл и д в а оператора L и М ком м у­ тирую т, то они о б л ад аю т общими собственны м и функ­ циями. П ервы й случай — вы р ож ден и е о тсутству ет. Д а н о : LM —M L = 0 ; L ^ n= X 7i^n. Д о к а з а т ь : Д о к а з а т е л ь с т в о . И сходим из уравнения .£/фп= — Xnii>n. Н еобходимо п о к азать, что тфл — соб ствен н ая функция оператора М. П одействуем на у к азан н о е у р а в ­ нение сл ев а оператором М. Н а основании у сл ови я M L = = L M имеем ML^n— XnM^nt тогда

Ц М $ п) = К № п ) 1 МЦп =

(6 .3 9 )

Функция орл = M ^ n* как видно из ( 6 .3 9 ), — собственная функция оператора L, принадлежащая собственному зна­ чению И так, tyn совпадает с ijv или отличается от нее постоянным множителем. Отсюда сл ед у ет, что:

2) — Спфп» ji.n— Сп. С лед о вател ьн о , функция -фп я вл я е т ся собственной функцией опер атора М. В торой случай — вы рож дение им еется. Д а н о : LM — —М Ь = 0; Lipni=Xnipni, t = l , 2 , т п. Д о к а з а т ь : М.фn гz= пфпг• Д о к а з а т е л ь с т в о . И м еет м есто Mbtyni=X nMtyni или L (M ijjni) • Видно, что — соб ствен ­ ны е функции опер атора L. Е сл и уИт|)п{= ф П£ или М-фпг- = = ^пфпг‘, то тео р ем а д о к а зы в а е т ся , к а к и в первом случае. Н акон ец, м о ж ет быть

тя

(6 .4 0 ) гд е тп — кр атн ость вы рож дения. К а к видно из ( 6 .4 0 ) , функции i|>ni у ж е не я вл я ю тся общ ими собственны м и функциями операторов L и М , однако фл* — собственные функции оператора L. В силу того что функция типа (6 .4 0 ) при л ю бы х коэффициентах Ci я в л я е т ся собственной функцией оператора L , вы берем d т а к , чтобы новы е функции были общими собственны ­ ми функциями оп ер аторов L и М, т. е. чтобы было

муп/ = р Л / ; (6 .4 1 )

т. п

гд е / = 1, 2 , 3 , ..., тп, а сц отличны от ct в соотношении ( 6 .4 0 ). У м н ож и в равенство (6 .4 1 ) скалярно на -фп/t» получим

т.71

ш.'п

так как предполагаем, что функции tynh и фп| ортонормированы. Здесь Mhi = J tynkMtynidx. И так, будем иметь

т . е. си стем у линейных однородных алгебраи ч ески х у р а в­ нений. Ч тобы она/ им ела ненулевые реш ения, д етер м и ­ нант, составленны й из коэффициентов при неизвестны х д ол ж ен р авн яться нулю:

м п— ма

ма . .

.

Л123 . .

.

И з уравнения (6 .4 3 ) находим (корни это го у р авн е­ н и я ). П о д ст авл я я поочередно различны е в си стем у уравнений (6 .4 2 ) и реш ая ее, находим в с е совокупности коэффициентов сц в функциях %}, / = 1, 2 , тп. Д о к а зан н у ю теорем у м ож но распространить на л ю бо е число взаим оком м утирую щ их операторов. Д о к а за т е л ь с т в о теорем ы проводилось д л я лю бы х опе­ р ато р о в (не о б язательн о сам о со п р яж ен н ы х ). Е сл и L и М — сам осоп ряж ен н ы е операторы, то их собствен ны е зн ачени я Хп и jxn д о л ж н ы быть вещ ественны м и. Т огд а в с е корни уравнения (6.4 3 ) долж н ы быть вещ ественны м и. В м атем ати ке д о к а зы в а е т ся , что это и им еет м есто, если М — сам осоп ряж ен ны й оператор. О тм етим т а к ж е , что ком мутирую щ ие операторы о б л ад аю т ещ е следую щ им сво й ство м : собственны е значения их су м м ы , отвечаю щ и е одной и той ж е собственной функции, равн ы су м м е их соб ствен н ы х значений. Это вы тек ает из р авен ства (L + M ) ty „ = L ij> n+ M ^ n= (?,n-i-n n )il3n.

(6 .4 4 )

П ерейдем к ф изической интерпретации полученных р е зу л ьтато в. П усть L и М — сам осоп ряж ен н ы е оп ер ато­ ры , и зобр аж аю щ и е физические величины, и LM —M L— 0, т . е. L и М коммутирую т; тогда об а оп ер атор а, к а к у ж е д о к аза н о , о б л ад аю т общими собственны м и функциями:

Ltyn= K ty n ;

(6 .4 4 ')

причем Хп и ji n — во зм о ж н ы е резу льтаты измерения. Д л я вы яснения ф изического см ы сла доказан н ой теорем ы во сп ол ьзуем ся второй основной аксиом ой кван товой м е­ ханики. Уравнения (6 .4 4 ') означаю т, что при м ногократ­ ном одновременном измерении физических величин, изо­ б р а ж аем ы х операторам и L и М, выполненном н ад си сте­ мой в состоянии, опи сы ваем ом волновой функцией -фп, мы в с е врем я будем получать резу льтаты Хп и С л ед о ва ­ тельно, если операторы L п М коммутирую т, то физиче­

ски е величины, и зо б р аж аем ы е этими операторам и, одно­ временно точно измеримы . Н аоборот, если м ож но одно­ временно точно изм ерить д в е физические величины, то опер аторы , и зо бр аж аю щ и е их, коммутирую т. Т ак и м о б р азо м , необходимым и достаточн ы м у сл о ­ ви ем во зм о ж н о сти одновременной точной измеримости н еско льк и х ф изических величин я вл я ет ся ком м утати в­ ность и зо б р аж аю щ и х их операторов. П о п ы таем ся ответи ть на вопрос: что м ож н о ск а за т ь о р е зу л ь т а т а х изм ерения физических величин, х а р а к т е ­ ризую щ их частиц у и и зо б р аж аем ы х некоммутирую щ ими опер аторам и L и М в общ ем случае, если и звестн а во л ­ н о ва я функция f(x ) частицы ? П у сть операторы L и М не коммутирую т. С л е д о ва ­ тел ьн о, L и М не о б л а д а ю т общими собственны м и функ­ циями. П у сть •£д1>п=Хп'ф71 и пусть — во л н овая функ­ ция, оп и сы ваю щ ая частицу, т. е. / (л:) (дг). Запиш ем уравн ен и е д л я соб ствен н ы х функций и собствен н ы х зн а ­ чений оп ер атора М: Мфп=|л,пфп. Р а зл о ж и м фп в р яд Ф ур ье по собствен н ы м функциям оператора М: *фп = = 2 с * с р ь К а к и звестн о, \d\z есть вероятность получить при измерении ф изической величины М , выполненном над си стем ой, н ахо дящ ей ся в состоянии т|>п, число (х». Ч то к а с а е т с я ф изической величины L, то ее измерение д а е т точное значен ие, р авн ое %п. Т аки м об р азо м , если операторы L и М не ком м ути­ рую т и, значит, не им ею т общ их собствен н ы х функций, то соответствую щ и е им физические величины д а ж е при полном соверш ен стве измерительны х приборов н ельзя одновременно точно измерить. П оскольку при измерении физической величины М м ож н о получить л ю б о е ее в о з­ м о ж н о е значение, постольку мож но говорить, что эта в е ­ личина в р ассм атр и ваем ом сл учае неопределенна. Р а з ­ б р о с ее значений в принципе м о ж ет л е ж а т ь в пределах о т — оо до -j-o o . В св я зи с этим ф ормулировку о н евоз­ м ож ности одновременного точного измерения физических величин, и зо б р а ж а ем ы х некоммутирующ ими оператоЛ

/ч

рами L u M , в частности, координаты х и компоненты им п ульса рх частицы (см . в ы ш е ), ц елесообразн о изменить следую щ им о б р азо м : микрочастица не м о ж е т находиться в таки х состоян и ях, в которы х физические величины L Л

и-ч

и М при [L , М\ф 0 , в частности, координата х н ^-компо­ нента им пульса рх микрочастицы, имели бы одновремен-

но определенные значения. В ы во д квантовой механики о н евозм ож н ости одновременного точного определения д ву х физических величин, если их операторы не ком м у­ тируют, я вл я ет ся принципиально новым по сравнению с утверж дени ем класси ческой физики о принципиальной определяемости разли чны х физических величин.

6,5. Обобщ ение теории представлений на случай систем с трем я и б о л ее степенями своб оды и зависимости волновой функции от времени К а к у ж е упом и налось (см . 2 .7 ) , в кван товой м ехан и ке под чи слом степеней сво б о д ы атомной си стем ы обычно п о д р азу м евается то ж е , что и в класси ческой м ехан и ке, именно число н езави си м ы х д р уг от д р уга во зм о ж н ы х пе­ ремещений этой си стем ы . О днако отм етим , что часто учет спиновых и други х к ван то вы х х ар актер и сти к атом ­ ной си стем ы м о ж ет бы ть осущ ествлен путем вклю чения в основное число степеней свободы дополнительны х чи­ сто кван товом ехан и чески х степеней свобод ы . (П о к а эти дополнительные степени свободы принимать во вн и м а­ ние не будем .) Н а основании и злож енного вы ш е (см . 6.4 ) м ож но обобщ ить теорию представлений на случай, к о гд а волн о­ в а я функция — функция нескольких н езави си м ы х пере­ менных, т. е. когд а к ван т о вая си стем а о б л а д а е т н еско ль­ кими степенями свобод ы . П у сть во л н овая функция /(*» У> я) за д а н а в координатном представлении. П ерей ­ дем к д ругом у представлению , определяем ом у физиче­ скими величинами, и зо б р аж аем ы м и операторам и L, М, N> действую щ ими на переменные х, у, z. Т а к к а к эти физи­ ческие величины д ол ж н ы бы ть независим ы м и перемен­ ными, то и зобр аж аю щ и е их операторы д о л ж н ы бы ть т а к ­ ж е незави сим ы м и д р у г о т д р уга (т. е. не м о ж ет быть так , чтобы один оператор был функцией другого или функцией о стальн ы х о п ер ато р о в). Эти операторы о б я з а ­ тельно д ол ж н ы о б л а д а ть общими собственны м и функ­ циями, т а к к а к только в этом сл учае будет определена т а полная си стем а функций, по которой м ож н о р а зл о ­ ж и ть в р яд или интеграл ■Ф урье волновую функцию f(x , у, z ) . Н о если операторы L ,M и N о б л ад а ю т общими собственны ми функциями, то они д ол ж н ы комм утиро­ ва т ь . Т ак и м об р азо м , лю бы е н езави сим ы е д р у г о т друга операторы L, М, N, которы е взаим но коммутирую т, м о­ гут определять представление в том сл у чае, когд а во л ­

н о ва я функция описы вает атомную си стем у с трем я ст е­ пеням и свободы . С л ед у ет отм етить, что набор общ их собственны х ф ункций опер аторов L, М и N м о ж е т бы ть значительно б о га ч е, чем набор собственны х функций одного опера­ т о р а L, определяю щ его представление в одномерном сл у ­ ч ае. П о к а ж е м это на примере н ахож ден и я волновой нор­ м ированной функции f(x , у, z ) частицы в представлении о п ер ато р о в L, М и N, действую щ их соответствен н о на перем ен н ы е х, у, z и обладаю щ и х дискретными сп ектр а­ ми соб ствен н ы х значений. О ператоры L, М и N — н еза ­ ви си м ы е д р у г от д р у га и взаим оком м утирую щ ие оп ер а­ тор ы . Д оп усти м теперь, что решения уравнений д л я соб ­ стве н н ы х функций и собственны х значений эти х операто­ р о в, именно уравнений

L'tyn {х) : = Ап'фп (^) > ^фго {у) ^= Р'тофт(^/) > (6.45)

N%i{z)=vi%i (z), и звестн ы , причем ф п (я ), Фт(*/) и х * ( 2 ) ортонормированы. О чевидно, что общими собственными ортонормированными функциями операторов L , М и N будут функции tyn{x)qim{y)%i{z). Т о гд а, р а зл а га я в р я д Ф урье волновую ф ункцию f(x , у, z) по общим ортонормированным соб ­ ствен н ы м функциям операторов L, М и N, получаем

f{x, у, г) = 2 2 2 ^nmi п т i

( 6 .4 5 ')

гд е совокуп н ость коэффициентов cnmi и д а с т волновую функцию f(x , у, z ) в представлении операторов L, М и N. Е сл и в одномерном сл учае число коэффициентов Ф ур ье сп в р азлож ен и и (6.2) равн ял ось полному числу со б ствен н ы х функций i|>n> то в р ассм атр и ваем ом трехм ер­ ном сл у ч ае число коэффициентов спт{ будет равно произ­ ведению полны х чисел функций ф п (я ), Фт(у) и %i(z). А налогично рассм отренном у в 6.1 одномерному сл у ­ чаю величина \cnmi\z равна вероятности получить при одновременном измерении физических величин L, М и N их значения, равн ы е Хп, м-m и v< соответствен но. Очевидно, что вероятн ость получить при измерении тол ько одной из у к азан н ы х вы ш е величин, допустим L, к ако е-то ее ф иксированное значение Л.П/ будет р авн а: И М

= 2 2 К '" » Т -

т i

(6 .4 6 )

Теория представлений, определяем ы х операторам и с дискретны ми спектрами собствен н ы х значений, а н а л о ­ гично обобщ ается на случай систем с лю бы м числом с т е ­ пеней свободы (будем и сп о льзо вать ее при рассмотрении систем одинаковы х частиц, см . 2 8 .3 ). А налогично стр о ­ ится и теория представлений, определяем ы х нескольким и операторам и, обладаю щ ими непрерывным спектром со б ­ ственны х значений. И злож ен н ую теорию представлений нетрудно об об ­ щить на случай учета зави си м ости о т времени вол н овы х функций частицы, за д а в а е м ы х первоначально в коорди­ натном представлении, например, в сл у ч а я х f = f ( x , t) и f = f ( x , у, z, t). П о ско льку ортонормированны е со б ст­ венные функции операторов, определяю щ их п р е д ста в­ ления, не зави сят от времени, то зави си м о сть от времени функций f(x , t) или f {x, у, z, t) переносится н а коэффи­ циенты Ф урье в их р азл о ж ен и я х в р яд или интеграл Ф урье по указанн ы м вы ш е функциям. Т а к , например, ф ормулы (6 .2 ') и (6 .1 5 ) д л я коэффициентов Ф урье сп и c(7i) перейдут в формулы

сп (0 = I 'Й (Jf) f {х, t) dx;

(6.47)

c(X, t) = j > * (я, X) f (x, t) dx.

(6.47 ')

В кван товой м еханике и сп ользуется т а к ж е п р ед ста в­ ление, бази сн ы е функции которого з а в и с я т о т времени (та к н азы ваем ое представление Гей зен берга , см . 8.5 и 8 .6 ). В заклю чение рассм отрим вопрос, почему волна де Б ройля зап и сы вается в виде т|) =

(6 .4 8 )

а не в виде ■ф= -фо cos —jr - (Et — рг) или if) = % sin - j - (Et — p r ) . А

Л

Л

Л

Л

Л9

Л.

Т а к к ак операторы pxt pyi рг и Я = ( Рх+Р~у + Рг)/2т0 взаи м но коммутируют, то они д ол ж н ы о б л а д а т ь общими собственны ми функциями, т. е. д ол ж н ы вы п олн яться р а ­ вен ства Я ф = В|>; /у|> = /у1>; p f i = p f i ;

Р ^ = РА-

( 6 .4 8 ')

Очевидно, что последнее во зм о ж н о лиш ь в том сл у ­ ч ае, если волна д е Бройля будет з а д а в а т ь с я в ко м п л екс­ ном экспоненциальном виде.

6.6. Средние значения физических величин Н апомним, что в теории вероятностей вводи тся поня­ тие средних значений или м атем ати чески х ожиданий разли чн ы х величин. П у сть при измерении механической величины L Ni р а з получится р езу л ьтат hi, N2 р а за — Л-2, Nз р а з а — Я3 и т. д . П олное число измерений N=Ni-\+ ^ 2+ . . . . В ероятн ости получить р езу л ьтаты : Xi равн а тг = lim (N JN ), Х2 равна ад2 = lim (N2/N), ..., Хп равна

wn = lim (N JN ) и т . д ., причем

Тогда среднее ЛГ->со значение или м атем ати ч еско е ож идание измеряемой в е ­ личины L о п р еделяется по ф ормуле Z = 2 M ' i ’-

(6 .4 9 )

i

З ам ет и м , что в класси ческой м ехан и ке во зм о ж н ы е зн ачения Хи Х2, . . • м еханической величины L при и зм ер е­ нии, производимом н ад одним и тем ж е объектом , н а х о ­ д ящ и м ся в определенном состоянии, м ало отличаю тся д р у г о т д р у га и тем меньш е, чем более соверш енен и зм е­ рительный прибор. В кван товой м ехан и ке д ел о обстои т иначе. Е сл и нор­ м ирован н ая во л н о вая функция f(x ) не я вл я ет ся одной из ортонорм ированны х собствен н ы х функций оператора L , и зо б р аж аю щ его некоторую ф изическую величину, то при измерении этой ф изической величины, производимом над микросистемой, н аходящ ей ся в состоянии f(x ) , м ож но получить л ю бо е из собствен н ы х значений Хп оператора L, причем Хп м огут сильно отли чаться д р у г от д р уга и никаким усоверш енствованием измерительного прибора это разли чи е не м о ж е т быть уменьш ено. Т а к к а к имеет место 1 ‘Фп = Л,п'Фп и где |bn р — вероятп

ность получить при измерении ф изической величины ре­ зу л ь т а т Хп, то по ф ормуле (6.4 9 )

£ = 2 Х | М 2-

(6.49')

п

Поставим вопрос: нельзя ли найти L, не разлагая f(x) по собственным функциям оператора L, как это делалось до сих пор (см . 6.1 и 6 .2 )? С этой целью преобразуем сумму ( 6 .4 9 ') . Напишем ^ = ______________________

п

т

Учтем, что

•> В м е ст о С д л я м атем атического ож идан ия величины зу е т ся т а к ж е обозначение < L > , т. е. L = < L > .

L исполь­

I = 2 М « 2 М ' Ф П. Ф т) = ( 2 М А . 2 ^ т ) . п

т

п

Т ак как L f {х) = ^ 2 6 А

т

= ^ b nL^n = 2 М - Л .

п

п

то

п

L = {L f(x ), f{x)) = (f, Lf) (где I — самосопряженный опера­ тор). И так, £ = (/. L f ) = 5 f 4 x ) L f ( x ) d x ,

(6 .5 0 )

где f{x ) — норм ированная волн овая функция {(f, /) = 1 ), описы ваю щ ая данную си стем у в л:-представлении. И з ф ормулы (6 .5 0 ) вы т ек ает , что если и звестн а вол н овая функция си стем ы в ^-представлении, то м ож н о непо­ средствен н о найти среднее значение лю бой ф изической величины, характери зую щ ей систем у, например х и р х: * = I Г ( * ) * / ( * ) d x ; J x = — ih J f *{x)

dx.

С реднее значение м ож но определить и в сл у ч ае, если вол н овая функция /( х) не я вл я ется нормированной. П у сть (f, f ) = C . В о зьм е м вм есто f{x ) функцию f'(x) = = f ( x ) } y С, котор ая пронормирована к единице. Т а к к а к (/', f') = \t то им еет м есто I = ( Г , L f') =

(6 -5 1 )

И з формулы (6 .5 0 ) (или ( 6 .5 1 ) ) д л я ср еднего зн а ч е­ ния физической величины, и зобр аж аем ой оператором L, сл ед у ет, что если во л н овая функция f(x ) — соб ствен н ая функция оператора L, то среднее значение L р авн о со б ­ ственном у значению этого оператора. В заклю чение, исходя из формулы ( 6 .5 0 ) , найдем среднее значение оператора L в представлении оп ер а­ тора М , об лад аю щ его дискретными собственны м и зн ач е­ ниями J.11, Ц2, . . . , Цп, . . . . П усть Мфп = Цпфп, гд е фп — ортонормированные собственны е функции опер атора М. Тогда, подставляя разложения f{x) = 2 с пФп(*) 11 / *(*) = п

= 2 ст Ф т ( я ) в ( 6 .5 0 ) , будем иметь m

L = 1 2 c 1 2 c a W m

n

L y n{x)dx = 2 2 CmLmncn, ( 6 .5 0 ') in n

гд е £ тп = (фт , Z-фп). 4 Зак. 30

97

Е сл и операторы не коммутируют, то ф изические вели­ чины, и зо б р а ж а ем ы е этими операторам и, н ел ьзя одно­ временно точно определить (см . 6 .4 ). В о л н о ва я функция си стем ы не м о ж е т одновременно я в л я т ь ся собственной функцией эти х опер аторов и поэтому при одновременном измерении со ответствую щ и х им физических величин х о ­ т я бы д л я одной из них будем получать разли чн ы е ре­ зу л ь та т ы с той или иной вероятностью . П р еж д е всего вы берем м еру, характери зую щ ую в ср едн ем отклонения отдельны х р езу л ьтатов измерения некоторой ф изической величины, и зо бр аж аем о й операто­ ром L , от ее ср едн его значения L. В к ач еств е такой меры в стати сти ке уп отр ебл яется среднее квадратичн ое откло­ нение. С огласн о первой основной акси ом е кван товой м е­ ханики величина ( L — L ) 2 и зо б р а ж а ет ся оператором а

_

_

( L — L)* (зд есь мы учитываем, что L — число). Поэтому мерой неопределенности физической величины L в к ва н ­ товой м ехан и ке по аналогии с класси ческой будем счи­ тать число / “ И (L — L ) 2 > 0. “

a

(L — L)-. Но для этого необходимо, чтобы Напишем

среднее

значение

оператора

И

( L — L )2 (в дальнейшем будем опускать значок « Д » ) . По определению (6 .5 0 ) имеем

~ ( L - L f = (f , { L - L f f ) = { { L - L ) f , ( 1 - 1 ) / ) = = J| (L -L )/ p *> 0 . Е сл и ( L — £ ) / = 01 то L f = L [ , т. е. £ — собствен н ое зн а ­ чение оп ер атора L ( L — X), и, таким об р азом , ф изическая величина L будет в этом сл у ч ае точно определена. В о стальн ы х сл у ч ая х , когда во л н овая функция не я вл я е т ся собственной функцией оператора L , ф изическая величина L точно не определена и (L — L )2 больше нуля. П у сть операторы Р и Q не коммутирую т (но Р и Q эр м и т о вы ), т. е. PQ — Q P # 0 , и пусть во л н овая функция f (я ) не я в л я е т ся собственной функцией ни одного из этих опер аторов. М ерой неопределенности ф изической вели ­ чины Р будет V {Р — Р) , а физической величины Q —

У (Q — W - М ож но вычислить коммутатор PQ — QP = R.

П остави м вопрос: и м еется ли св я зь м еж д у мерами не­ определенности ф изических величин Р и Q и ком м утатором операторов Р и Q? О к азы вает ся , что т а к а я св я з ь им еется и в ы р а ж а е т ся т а к н азы ваем ы м соотнош ением неопределенностей, впервы е установленны м Г ейзенбергом.

7.1. Вывод соотношения неопределенностей Л е м м а . П усть имеем несам осопряж енны й оператор L и L + — оператор, сопряж енны й к L , т. е. (Z/ф, aj)) = = (т|>, L +1ф). Т огд а L L + > 0 . Д о к а з а т е л ь с т в о : L L + = (f, LL+f ) = { L +f, L +f) > ^ 0 . Применим л ем м у к оператору L=P%-\-iQ> гд е | — вещ ественный п ар ам етр ; Р и Q — сам осоп р яж ен н ы е не­ коммутирующ ие операторы . О ператор, сопряж енны й к L , будет L+=P%—iQ=£L. Д о л ж н о бы ть согласн о л ем м е

L L + > 0. Равенство L L + = 0 сл ед у ет исключить, так к а к при выполнении его Р и Q д ол ж н ы бы ли бы ком м у­ ти р овать, а они по условию не комм утирую т. Т о гд а имеем (Р £ -И 0 ) ( P £ - i Q ) > 0 или + i {QP—PQ)1 -ь Q2 > 0 .

LZ+ =

(7 .1 )

Р ассм отр и м , в како м сл учае трехчлен (7 .1 ) больш е нуля. Э то обычный квадратичны й трехчлен вида ах2-\- { - Ь л г + о О . И звестн о, что

К если а > 0

Ъ \2 * + -

й г

и 62 — 4 а с < 0

6 3 _ 4 с с -| ) ---------

(х = — Ь/2а при b 2 — 4ас = 0

исключается из-за L L + Ф 0 ). Согласно (7 .1 ) а ~ Р 2; с = = Q2; b = i(Q P — PQ)9) и, следовательно, — (QP — P Q f — 4P2Q* < 0 или P 2Q2 > ------ ®р - р3 1.

(7 .2 )

•> Заметим, что оператор i(QP-PQ) является самосопряжен­ ным, так как он равен произведению коммутирующих антиэрмитовых операторов t и (QP — PQ). Следовательно, величина i{QP — PQ) вещественна. 4*

99

Соотнош ение (7 .2 ) применимо к лю бы м физическим величинам , и зо б р аж аем ы м сам осопряж енны м и операто­ рами. В о зьм е м операторы A Q = Q —Q и Д Р = Р —Р в м е ­ сто Q и Р и подставим их в ( 7 .2 ) . Вы числим ком м утатор

AQAP-APAQ = (Q - Q ) ( Р - Р ) - ( Р - Р ) (Q — Q) = = Q P -P Q . У чи ты вая последн ее вы р аж ени е,

из

(7 .2 )

получаем

св я зь м еж ду мерами неопределенности V ( Д Р р и V (Д Q )2 ф изических величин, и зо б р аж аем ы х операторам и Р a Q и ком м утатор ом QP—PQ:

V (Д О Г2 V (Л Я Г 2 > - ± - У ^ Щ Р - Р С £ ) \

(7 .3 )

Соотнош ение (7 .3 ) и есть соотнош ение неопределен­ ностей в общ ем виде. П о определению , операторы Р и Q , д л я котор ы х к ван то вы е скобки П у ассо н а (см . (4 .1 3 )) у до вл етво р я ю т услови ю [.Р , Q ] = l , н а зы ваю тся канони­ чески сопряженными. У чи ты вая, что [Р , Q]— {i/h){P Q — — Q P )t имеем д л я канонически сопр яж енны х операторов PQ —Q P = —ih, и соотнош ение неопределенностей (7 .3 ) в этом сл у ч ае принимает вид

V W ? y W F > -f.

(7.4)

Соотнош ение (7.4) ч асто зап и сы ва ется прощ е:

A P A Q ^hl2.

(7 .4 ')

П римером канонически сопряж енн ы х операторов мо­ гут сл у ж и ть операторы лю бой составляю щ ей импульса и соответствую щ ей канонически сопряж енной ей коор­ динаты . Н апример, д л я координаты х и компоненты им­ пульса рх соотнош ение неопределенностей запиш ем т а к :

АхАрх >

Л/2.

(7 .5 )

А налогичны е соотнош ения имею т м есто и для других компонент им пульса и координат:

АуАру ^ Й/2 и AzApz > /г/2.

(7 .5 ')

И з эти х соотношений видно, что уменьш ение неопре­ деленности в положении частицы приводит к увеличению неопределенности для ее импульса и наоборот. Е сли точ­ но измерить координату х (Д л ;= 0 ) , то никаких сведений

об ^-компоненте импульса иметь не будем : Арх= о о , что нужно понимать так . При точном измерении координа­ ты х во здей стви е измерительного прибора на микро­ частицу приводит к тому, что она переходит в т ак о е со ­ стояние, в котором компонента импульса рх соверш енно не определена. М ногократное повторение измерения (см . 4 .1 ) величины рх, произведенного н ад м икрочасти­ цей с точно определенной координатой х , д а е т р а зб р о с значений рх, л еж ащ и х в принципе в пр еделах от — оо д о + о о (см . 6 . 4 ) 4

7.2.

Иллюстрация соотношения неопределенностей

П роанализируем несколько эксперим ентов, иллю стри­ рую щ их соотнош ение неопределенностей. Д иф ракция электрон ов н а щели (см . рис. 4 ) . С во ­ бодны е электроны с определенным импульсом р д ви ­ ж у т с я в направлении оси х и оп и сы ваю тся волной де Бройля г|э = (Et~px), причем рх= р , ру~ 0 , рг— = 0 . П ер ед диаф рагмой |^|2= | C | 2 вер о ятн о сть найти электрон в лю бой точке пространства оди н акова. Ф акти ­ чески полож ение электрона не определено, а им пульс и з­ вестен. В тот момент, когда электрон проходит через диаф рагм у, м ож но ск а за т ь , что неопределенность его по­ лож ен и я или, точнее, координаты у будет ограничена по­ лушириной щ ели A y = d j 2. П редполож им , что им пульс электрон а после прохож дения через щ ель м ен яется т о л ь­ ко по направлению , но не по величине (что имеет м есто лиш ь в том случае, если ширина щели пор ядка длины волны д е Б рой ля (см . 2 . 6 ) ) . Н айдем Ару. П ер ед щ елью Ару= 0. П о сл е прохож дения электронов через щ ель на экр ан е возн и кает и звестн ая дифракционная картина (см . рис. 4 ) , исп ользуя которую определим Дp v. О к а зы в а е т ся ,

АруфО. О гран ичиваясь о б л астью , находящ ейся м еж д у вер х ­ ним и нижним первыми интерференционными миниму­ м ам и, что со о тветству ет уменьшению действительной не­ определенности Ару, получим Ару= р sin-fri (р у— О в силу си м м етр и и). И з у сл ови я интерференции сл ед у ет, что d sin $ i= % = 2 n h lp , откуда *> Е сл и учесть, что фактически частица всегд а находи тся в огра­ ниченном об ъ ем е пространства и об л адает конечным импульсом, то ее состояния с Д .¥ = о о или &рх— °° практически не реализую тся, но соотнош ения (7 .5 ) и (7 .5 ') останутся, конечно, справедливыми.

v

2

r

pd

2 ■

З д е с ь м о ж ет возникнуть следую щ ее во зр аж ен и е. Т а к к а к Ару^ .р , гд е р — абсолю тн ая величина и м п ульса, ко­ торую счи таем неизменной, то, к а за л о с ь бы, уменьш ив ширину щ ели д о величины d< .h /p , придем к противоре­ чию с соотнош ением неопределенностей. В д ей стви тел ь­ ности д ел о обстоит т а к . При достаточн о у зки х щ елях и м пульс электрон а после дифракции на щели м еняется н е тол ько по направлению , но и по величине. Точный р а сч е т согласн о [1] п о к азал , что и в этом сл у ч ае соотно­ ш ение неопределенностей имеет место. Р о л ь м ассы частицы в соотношении неопределен­ ностей. Д о п усти м , что имеем д ел о с макрочастицей. П у ст ь м а с с а м акрочастиц ы п г= 1 г, Д # = 1 0 ~ 5 см . Т огд а

AxmAvx ~

Avx c±

~ 10“ 22 см/с,

(7 .7 )

т . е. ск ор ость м акрочастицы мож но считать вполне опре­ деленной. Р ассм о тр и м электрон в атом е. М а с с а его т о ^ 9 - 1 0 _28 г, Д я ^ Ю - 8 см (р азм ер ы а т о м а ). Т огд а Ду ~ Ю8 см/с, т. е. неопределенность скорости электрона в ато м е порядка 10s см/с. С корость ж е электрон а в ато ­ м е ^ 1 0 8 см/с, т. е. неопределенность скорости порядка сам о й скорости. Т ак и м об р азом , соотношение неопреде­ лен н остей д л я м акрочасти ц не им еет никакого значения, в то вр ем я к а к д л я микрочастиц оно и грает больш ую роль. Д ви ж ен и е м икрочастицы в кам ере В и льсон а. Н а б л ю ­ д а я в к ам ер е В и л ьсо н а следы дви ж у щ и хся микрочастиц, м о ж н о подум ать, что частицы д ви ж у тся по достаточн о определенны м траектори ям , и импульсы эти х частиц м о ж н о довольно точно определить. О днако и зд е сь имеет м есто соотнош ение неопределенностей, т а к к а к м естопо­ л ож ен и я этих ч астиц в большой мере не определены. Траектор и ю м икрочастицы д аю т капельки ж и дкости , кон­ денсирую щ иеся на ионах. Р азм ер ы кап ель 10- 4 см . Т а ­ ким об р азо м , неопределенность в м естополож ении мик­ рочастицы порядка Ах ^ 1 0 "4 см , т. е. значительно боль­ ш е, чем в рассм отр енны х выш е сл у ч а я х ; неопределен­ н ость ж е скорости этой частицы, к а к легко вы числить и з соотнош ения неопределенностей, м ала по сравнению с о скор остью ч астиц ы , например, д л я электрона Ду с* ^ 103 см/с, т. е. им пульсы микрочастиц, дви ж у щ и хся в к ам ер е В и л ьсо н а, достаточн о точно определены, если

м икрочастицы о б л ад аю т достаточно больш ими ск ор о ­ стям и, что обычно и имеет место. И з соотношения неопределенностей вы тек ает, что микрочастица не о б л а д а ет траекторией. С огласн о к л а с ­ сической м еханике траектори я частицы м о ж ет бы ть точ­ но определена лиш ь в том случае, если в каж ды й момент времени бу­ дем зн ать точные значения коорди­ нат и импульса, т. е. точные зн ач е­ ния X, у , Z, рх, ру, p z или Хг ( 0 и P i { t ) , i = 1, 2, 3. П оскольку операторы Ли p i не комм утирую т, то Х{ и p i одн о­ врем енно точно не могут бы ть опре­ д елены , сл ед о вател ьн о, м икрочасти­ ца не м о ж ет о б л а д а ть траекторией. О на не м о ж ет н аходи ться в таки х состоян иях, в которы х ее импульс и координаты имели бы определенРис. 6 ные значения. Определение м естополож ени я м икрочастицы с по­ мощ ью м икроскопа. Р ассм отр и м частицы , находящ и еся в поле зрения м икроскопа. П олож ени я ч астиц опреде­ л яем с помощью рассеян ия на них пучка ф отонов с оди­ наковы м и импульсами |р ' ( — p x ^ p = h k = 2 n fifX (рис. 6 ) . С огласно теории дифракции св ет а на линзе полож ение к аж д о й из частиц, и зобр аж ен и е которой мы будем ви ­ деть, будет определено с точностью A * = V s i n е , гд е s — половина апертурного у гл а линзы (см . рис. 6 ) . И з этой ф ормулы следует, что чем больш е ли н за, тем меньш е дифракция на ее к р а я х и тем точнее будут определены м естополож ения частиц. В н а ч а л е направление им пульса фотона со вп ад ает с направлением оси х, т. е. рх= р . К о м ­ поненты рх им пульсов фотонов после р ассеян и я на ч а ­ сти ц ах будут л е ж а т ь в пределах от — р sin е д о р sin s , сл ед овател ьн о, неопределенность я-компоненты им пульса к аж д о го из фотонов к р х= р sin е *>. Э та неопределен­ ность передается части ц ам . П оэтом у д л я частиц будем иметь A^

=

i £

r

- ^

si" E > 4 -

|2 р авн а квад р ату коэффициента перед

М ) . С огласно вероятностной тр актовке волновой функции |^|2= | ij)(^ , t) 2 д а ет распределени е вероятно­ сти найти частицу в различны х то ч к ах на оси х в разные м ом енты времени. Р ассм отр и м зави си м о сть ]ij)|2 от х в какой -то определенный м ом ент врем ени t ([рис. 7 ) . В э то т м ом ен т t максим ум |т|>|2 будет в определенной точ к е x={d(3j/dk)!l=hot = x 0 (см . 2 .5 ) . К а к видно из рис. 7, вероятн ость обнаруж ить частиц у м акси м альн а в о б л а сти гл авн ого м акси м ум а, но есть некоторая вероят­ ность обн аруж и ть ее и в других м акси м ум ах. Б удем пре­ н ебрегать этой вероятностью . Т о гд а все равно сущ ествует неточность в определении м естополож ени я частицы Ах. П о к а ж е м , что э т а неопределенность св я за н а с неопреде­ ленн остью и м пульса т а к , что соотнош ение неопределен­ ностей им еет место. О бозначим x'— xq= A x (см . рис. 7 ). В точке х' имеем первый минимум функции |ij>|2 справа от .Vo (числитель в ам плитуде волн ового п акета равен нулю , а зн ам ен ател ь отличен о т н у л я ). Значит, (х '— — Л'о)A k—Ti\ AxAk=7it но px= h k , поэтому

АхАрх= п п > № * 1

(7 .9 ')

Соотнош ение неопределенностей вы п олняется. Р а в е н ­ ст во лее A xA k= n характерно д ля всякой волны и хорош о и звестн о в радиотехнике. Оно св я зы в а е т пространствен­ »> Т а к о е ж е соотношение получается, если учесть первый мини­ мум функцнн J-ф|2 сл ева от х0 и п олож ить дг0—я " = Л л .' (см . рис. 7 ) .

ную протяж енность радиосигнала с ди апазон ом волн о­ вы х чисел тех волн, на которы х этот радиосигнал м о ж ет быть воспринят. Временной волновой п акет. К а к известн о, простран­ ственный волновой п акет, описываю щ ий частиц у, д в и ж у ­ щ ую ся вд о ль оси х, строится исходя из ф ормулы (2 .8 ) (см . 2 .5 ) , представляю щ ей собой суперпозицию волн д е Б р о й ля с различными волновыми числам и, леж ащ и м и в пр еделах ko—k k , &о+Д&. Временной волновой п акет, определяющ ий распределение вероятностей найти ч а­ стицу в данной точке простран ства в зави си м ости от в р е ­ мени, строится аналогично, но п р ед ставл я ет собой супер­ позицию волн д е Б рой ля с различными ч астотам и в не­ котором небольш ом ди ап азон е ч астот 2Дю. В одном ер­ ном сл у ч ае он им еет вид (7 .1 0 ) С временным волновы м пакетом проделаем те ж е п реобразования, что и с пространственны м (см . 2 .5 ) : ci)= o > o -j-(ci)— hJ2 прим еняется т а к ж е для определения порядка ширины энергетических уровней

атом ов. К а к известно, атом ы могут находи ться на д и с­ кретны х уровнях Ей Ег, . . . . О к а зы в а ет ся , эти уровни о б л ад а ю т некоторой шириной, они р азм ы ты . А том ы не могут долго находиться на этих уровнях, оп у скаю тся спонтанно на более низкие уровни и в конце концов пере­ хо д я т на основной уровень. Ч ем короче врем я жизни атом а в возбуж ден н ом состоянии, тем уровень о б л ад ает больш ей fo /c р шириной со гл асн о соотношению ____ ^ х .. неопределенностей AE&t >■ t\J2. _____ ____ ^ П оскольку врем я ж изни атом а в ficj/c р 'х g основном состоянии бесконечно велико, то естествен н ая шириРис g ( на основного уровня бесконечно м ала. Определение и м пульса микрочастицы . Д л я простоты ограничимся одномерным случаем . И сп ользуем д л я опре­ деления им пульса частицы столкновение ее с фотоном. С читаем , что импульсы падаю щ его и рассеян н ого части ­ цей фотона известны . Запиш ем зак о н сохранения им пульса и закон со х р а ­ нения энергии в нерелятивистском сл у ч а е (рис. 9 ) :

- P ,+ - ^ - = p x -^ f~ ; +

= ^

'

+

(7 .1 5 )

. В заклю чен и е ц елесообразн о отм етить следую щ ее. Т а к к а к , зн ая волновую функцию микрочастицы в н а­ чальны й и лю бой последующ ий моменты времени, мы зн аем точны е средние значения лю бы х физических вели ­ чин, характери зую щ и х частицу (см . 6 .6 ) , в том числе и точные средние значения координат и импульса частиПричинность такого типа называют динамической. Эволюцию состояния микрочастицы во времени можно ана­ логично описать и матрицей плотности (см. дополнение II).

цы в эти ж е моменты времени, т о говорят, что причин­ ность в квантовой м еханике носит статистический х а ­ рактер.

§ 8. ЗАВИСИМОСТЬ ВО ЛН О ВЫ Х ФУНКЦИИ И ОПЕРАТОРОВ ОТ ВРЕМЕНИ

8.1. Временное уравнение Ш редингера — основное уравнение квантовой механики П усть известн а вол н овая функция, оп и сы ваю щ ая ч а ­ сти цу в какой-то определенный мом ент времени. Д о п у ­ сти м , что при / = 0 во л н овая функция ф = 0 ). Д опу­ сти м т а к ж е , что в интервале времени о т * = 0 д о б еско ­ нечно м алого At не п роизводятся никакие измерения. П о стави м за д а ч у найти волновую функцию в ближ айш ий мом ент времени At, т. е. ( х , A t) , где At бесконечно м ало. Е сл и бы э т а за д а ч а бы ла реш ена, м ож н о бы ло бы п о ста ­ ви ть за д а ч у о нахож дении ф в следующ ий мом ент в р е ­ мени, бесконечно близкий к моменту At, п о л агая , что и звестн о г|)(#, At), и решить ее т а к ж е , к а к и первую . П о вто р я я такую процедуру ск о л ь угодно больш ое число р а з, м ож н о найти ф актически волновую функцию в л ю ­ бой момент времени. Р а зл о ж и м Д/) к а к непрерывную функцию в ряд Тейлора в точке £ = 0 . При д остаточн о м алом At м ож н о ограничиться первыми д ву м я членами это го ряда: 0) + ( афа/ ° ) ,

А< + - .

(8 .1 )

О тсю да видно, что, зн а я производную , будем зн ать и функцию т|) ( * , At). С читаем , что принцип причинно­ сти имеет м есто в квантовой механике. Э то озн ач ает, что производную м ож но получить из функции яр (я, 0) д ей ­ стви ем какого-то определенного оператора G(x, 0 ) , т . е.

о= G (х, 0 )ij) (я , 0 ) .

Если вместо момен­

т а ? = 0 в зя т ь произвольный начальны й м ом ент вр е м е­ ни t, то, р а ссу ж д а я аналогично, получаем «Ж *- 0-

(8 .2 ) Л

Теперь задача сводится к нахождению оператора G (х, t), который н азы вается оператором сдвига во времени.

У т в е р ж д а ем , что оператор сд ви га во времени д ол ж ен су щ ество вать, т а к к а к принцип причинности вы полняет­ ся. Е стествен н о предполож ить, что принцип причинности оди н аков д л я всех к ван то вы х си стем . П оэтом у оператор сд ви га во времени д о л ж ен бы ть универсальным и при­ годным д л я лю бой функции г|)(лт, /). К ак о в ж е его вид? О ператор не м о ж ет бы ть первой производной по вр ем е­ ни, т а к к а к он не был бы тем оператором , который мы ищ ем. Н е м о ж е т он бы ть и второй или более вы сокого по­ рядка производной по времени, т а к к а к тогда надо было бы иметь д в а и более начальны х условия, а долж н о бы ть тол ько одно н ачальн ое у сл ови е ( ( 8 .2 ) я вл я ется дифф еренциальным уравнением первого порядка по вреЛ мени). Оператор G {х, t) не м ож ет быть интегральным опер атором , т а к к ак м ы находим только функцию в буду­ щ ем из одного н астоящ его ее значения, но не из всех ее значений в прош лом. Н а с не д ол ж н о , например, интере­ со в а т ь , к а к о ва бы ла функция в момент времени t < t o = 0 . л Д л я нахождения оператора G {х, t ) воспользуемся тем, что со гл асн о принципу причинности он д о л ж ен бы ть уни­ вер сал ьн ы м оператором . П оэтом у вполне достаточно у стан ови ть вид его хо тя бы д ля одной известной нам волновой функции, например волны д е Брой ля. С этой целью и спользуем волну д е Бройля вида о|>(х, 0 = Се{~*ш

(8 .3 )

и оператор Гам и л ьто н а свободной частицы,, описываемой этой волной д е Б рой ля, равный

п

2т0

2 т0

dx2 *

Л е гк о зам ети ть из (8 .3 ) и ( 8 .4 ), что им еет м есто

Щ {х , t) = E ty (x , t)

(8 .5 )

или

Щ {х ) = £ i!> (* ).

( 8 .5 ')

А

Найдем оператор G(x, t). Д олж но быть с учетом (8 .3 ) и (8 .5 )

= - = ± Е Ц (х, t) =

(X, t).

(8 .6 )

И з (8 .2 ) и (8 .6 ) сл ед у ет, что

G(x, t) =

(8 .7 )

П о д ст а вл я я (8 .7 ) в уравнение (8 .2 ) и у м н о ж а я его на ih, получаем т а к н азы ваем ое временное уравнение

Ш редингера ih

=

t),

( 8 .6 ')

которое д л я трехм ерного случая запи ш ется т а к :

ih

д ’ 2’ ** = Я я р(х, у, z, t).

(8 .8 )

Р еш а я уравнение ( 8 .8 ) , находим "ф к а к функцию от

х, у, z, t. У становленное нами на основании постулированного принципа причинности в квантовой м еханике (см . вы ш е) уравнение (8 .8 ) я вл я е т ся основным уравнением кванто­ вой механики (основны м волновы м у р авн ен и ем ). И сп ользуя временное уравнение Ш редингера, нетруд­ но д о к а за т ь сохранение во времени нормировки волновой функции частицы , т. е. правильность соотнош ения

У*

t)\2dv = 0,

(8 .9 )

обусловленного вероятностной трактовкой волновой функции ф (х, у , z t t) (вероятн ость найти части цу где-то в пространстве не д о л ж н а за ви сет ь от времени, части ц а не и с ч е за е т ). С этой целью вн ач ал е во зьм ем ком плексное сопряж ение от уравнения ( 8 .8 ): = (№ » *.

( 8 - 8 ')

Теперь ум нож им (8 .8 ) сл ев а на -ф*, а (8 .8 ') — сп р ава на а|), отнимем (8 .8 ') от (8 .8 ) сторонами и проинтегриру­ ем левую и правую стороны полученного соотнош ения по всем у пространству. И меем

у, z, t)\2dv = (^,

—

$)• ( 8 .9 ') л П оскольку оператор функции Гамильтона Я как опера­ тор физической вёличины сам осопряж енны й, то п р авая сторона (8 .9 ') р авн а нулю и соотнош ение (8 .9 ) д о к а ­ зано.

В р ем ен н ое уравнен ие Ш редингера (8 .6 ') зад ан о в координатном представлении. Н етрудно получить его и в лю бом L -представлении (см . § 6 ) , например, в том А

случае, когда оператор L обладает дискретным спектром со б ствен н ы х значений, т. е. когда им еет м есто л

£»(л:), получаем временное уравнение Ш редингера в задан н ом /.-представлении:

Ш_Ё ш Ш ^ = 2 » т , с М ,

( 8 .1 0 ')

Л

гд е =

(8. 11)

Н етрудно обобщ ить уравнение (ЗЛО ') и на трехм ер­ ный случай. Примеры. 1. И сх о д я из ф ормулы (8 .8 ) и у чи ты вая ( 4 .5 ) , м ож но н апи сать врем енное уравнение Ш редингера д л я частицы в потенциальном поле: й

^

h г- п =

( ^

А + и (х, у, z))i| > (*. У. г. (;с, у, z, t) у д о вл етво р я ет врем ен­ ному уравнению Ш редингера — дифф еренциальному уравнению первого порядка по времени. П оэтом у, чтобы его решить, д ол ж н о бы ть зад ан о одно н ачальн ое у слови е: необходимо зн ать волновую функцию в како й -то н ач аль­ ный момент времени ср азу ж е после процесса измерения, например при £ = 0 (см . 8 .1 ). О пределим функцию ф {х, у, г, / = 0 ) st|> (х, у, z , 0 ) . Определение волновой функции части цы в момент времени после процесса измерения. В том сл у ч а е, когда ста ви тся за д а ч а о получении определенной волновой функции i|)(x, у, z, 0 )*> в начальны й м ом ент времени (т. е. о «приготовлении» н ачальн ого состояния ч а­ сти ц ы ), это д ел ается следую щ им об р азо м . Д л я ее определения надо зн ать значения Я, \х, v одновре­ менно точно измеримы х и н езави си м ы х д р у г от друга трех физических величин L, М, N , хар актер и зу ю ­ щих частицу (см . 2 .7 ) и и зо б р аж аем ы х операторам и

А Л Л и М, N.

Значения %, jx и v берутся из опыта. И з теории предД

А

Л

ставлений (см. § 6 ) известно, что операторы L, М , N долСпиновых свой ств частицы не будем учитывать.

ж н ы быть т а к ж е независим ы м и д р уг от д р уга, взаи м оком м ути ровать и о б л а д а ть общей полной системой со б ст­ вен н ы х функций. С огласно ж е второй основной аксиом е кван товой механики X, jj, и v д ол ж н ы бы ть их собственны ­ ми значениями, а их общ ая соб ствен н ая функция — во л ­ новой функцией (см . 4 .1 ) , т. е. =

ДОф = рл]); jVi)) = у ф .

(8 .1 4 )

Л л А О ператоры L, М и N д ол ж н ы бы ть известны , и н ахо­ ж д ен и е волновой функции сво ди тся к решению уравнел а л ний ( 8 .1 4 ). Об оп ер ато р ах L, М я N тогд а говорят, что они о б р азу ю т полный набор (см . 2 .7 ) . В сл учае стац ио­ нарны х состояний (см . 8.4) обычно в к а ч еств е одного из у к азан н ы х оп ер аторов берут оператор Гам и льтон а, л а остальн ы е опер аторы ком м утирую т с Я и м еж д у собой. О стан ови м ся на воп р осе об определении X, р,, v из о пы та путем использован и я т а к н азы ваем ы х невозм у­ щ аю щ и х измерений, при повторении котор ы х результаты измерений не м ен яю тся. В это м сл у ч ае измерительный прибор д о л ж ен о б л а д а т ь следую щ ими свой ствам и . С о­ гл асн о квантовой теории п роцесса измерения (см . по­ дробно в [15] и [19] и гл . X I I I ) необходимо, чтобы такой прибор со сто ял из д в у х изм ерительны х систем — кван то ­ вой (к ван то в ая сч и ты ваю щ ая си стем а) и классической, причем оператор энергии взаи м о дей стви я квантовой сиЛ

Л

Л

Л

А

стем ы с частицей д о л ж е н им еть вид W = W {L , М, N; X, У, Z ) , гд е X, Y, Z — координаты квантовой измери­ тельной си стем ы , а взаи м оком м ути рую щ и е незави сим ы е А Л Л др уг от д р уга операторы L, М и N д ей ству ю т на коорди­ наты частицы . П ричем д ол ж н ы вы п олн яться р авен ства Л

Л

А

Л

А

Л

[ Я , L] = [ Я , М ] *= [ Я , N ]= О,

( 8 .1 4 ')

л гд е Я — оператор Гамильтона частицы. Очевидно, что дли тельн ость л ю б ы х измерений (в том числе и н ево зм у ­ щ аю щ и х) не м о ж е т превы ш ать по порядку величины ср еднее врем я ж и зн и частицы (или атомной систем ы ) в данном состоянии. П р и м е р . Д л я свободной частицы в кач естве операл л тор ов полного набора м ож но в зя т ь операторы L —px,

M = p y, N = p z. Запиш ем уравнения

д л я собственн ы х функций и собствен н ы х значений этих оп ер аторов: д

РхУ [х, у, z ) = p x^ { x t у, г); л

Ру^{х, У, г) =РуЧ>(х, у, г ); л

Pz$ {x , у , 2 ) = р $ ( х , У, г ), гд е значения рх, ру, рг берутся из опы та. И м еем : — ih(РГ (К б“ФУнкции) ;

^ . /

\

1

ф (х , у, г) = - у = - е

(*7й)рг ,

ч

(к единице),

гд е L 3 — куб периодичности; px= n x2nhlL\ p y— ny2nHfL\ 0 , ± 1, ± 2 , . . . . Т аки м об р азо м , на рассмотренном примере п оказан о, к а к полуэкспериментальны м и полутеоретическим путем оп ределяется во л н овая функция свободной частицы в на­ чальны й момент времени / = 0 . Л А Д Е сли ж е операторы L, М, N не действую т на отдель­ ны е переменные х, у , z, к ак это имело м есто в р а ссм о т ­ ренном примере, то в общ ем сл у ч ае д л я н ахож ден и я в о л ­ новой функции сл ед у ет решить три со вм естн ы х у р а в ­ нения:

p z = n z2jihjL ; пх, Пу, nz=

л

L'tya, р, v {.х* У, г) = Я (а , р, (у )ф «,р .¥ (х , у, г); д М ф а .р .т (*, У, г) = |х(а, Р, Y ) $ a .P .v ( * i У> 2)»' д У> 2 ) = v ( а , р, y )% ,fi,y {x , у, г)у

(8 .1 5 )

гд е а , В, v — парам етры , определяю щ ие общ ие собствен д д д ные функции операторов L, М п N. Волновая функция

У» z) будет р авн а той функции ife.p.vC*» У. *)> для которой парам етр ы a , р, у будут у довл етвор ять ал геб р а­ ическим уравнениям Х ' = Х ( а , р,

7

) ; ц/ = ц(сс, р,

7

) ; v '= - v ( a f р,

7

),

(8.150

гд е V , i i ' u v ' — экспери м ентальны е данные. О пределение волновой функции частицы в момент времени д о п р оц есса измерения. П ростоты ради р ассм о ­ трим это т вопрос д л я одномерного сл у чая. О бозначим вол н овую функцию частицы через / (я ). П о п ы таем ся определить функцию / (я ) путем измерения некоторой фи­ зической величины, характеризую щ ей состояни е частицы л и и зо бр аж аем о й оператором L. Причем им еет м есто сол отнош ение i-il5n ( ^ ) = ^ n ^ n ( ^ ) , гд е Хп — невы рож денное л собственное значение оператора L ; ч|>п — со о тветству ю ­ щ ая со б ствен н ая функция этого оператора. Т огд а со­ гл асн о общ ей кван товом ехан и ческой теории функцию f (я) м о ж н о представи ть в виде f ( * ) = 2 M ) n (x)

(8 -16)

и определение ее св ед ет ся к нахож дению коэффициен­ т о в сп. Ч тобы найти их, необходимо произвести изм ере­ ния ф изической величины L над д остаточн о большим числом частиц, о которы х известно, что все они пребы ва­ ю т в одном и том ж е состоянии (чистый ан сам бль, (см . 6 . 1 ) ) . При этом м огут быть д в а случая. 1. Е сл и после достаточн о больш ого числа одновре­ менных измерений физической величины L , выполнен­ ных на чистом ан сам б л е частиц, получено одно и то ж е число К =пг> т. е. в с е |ста12* з а исключением \сп~п>|2, бу­ д у т равн ы нулю, то согласн о второй основной аксиом е кван товой м еханики (см . 4.1) вол н овая функция частицы

Л

р авн а собственной функции т|>А=л' оператора L. Таким об­ р азо м , во л н овая функция частицы после измерения (та к н а зы в а е м а я «приготовленная» волн овая функция) и во л ­ н о вая функция частицы до процесса измерения равны д р у г другу. 2. Р ассм отр и м теперь случай, когда при одновремен­ ных изм ерениях ф изической величины L, выполненных на чистом а н сам б л е частиц, получены различны е зн ач е­ ния Кп этой величины. Т о гд а, выполнив одновременно больш ое число измерений, м ож но установить N разли ч­ ив

ных, отличных от нуля значений |сп |2 и, сл ед о вател ьн о, определить коэффициенты сп с точностью до н еи звест­ ны х ф азовы х множ ителей е1а1Хп\ причем N м о ж ет бы ть ск о л ь угодно больш им. Ч тобы найти эти неизвестны е ф а­ зо вы е множ ители, необходимо над оставш и м ся т о ж е больш им числом частиц одновременно другим изм ери­ тельны м прибором произвести измерения лю бой физичел ской величины, и зо бр аж аем о й оператором Му не ком м ул тирующ им с оператором L и обладаю щ им н евы р ож д ен ­ ными собственными значениями [in и соответствую щ им и собственны м и функциями фп . В р езу л ьтате больш ого числа измерений получим N' различны х, отличных от нуля значений \Ьп\\ гд е Ьп — коэффициенты в р а з л о ж е ­ нии в ряд Ф урье функции f{x ) по собственны м функциям л опер атора М (см . [16])

!{х)

= 2

Ь*Уп{х)

( 8 -1 6 ')

с неизвестными ф азовы ми м нож ителям и е‘р(Дп). Д о п у ­ стим , что N '^ N . Т о гд а, чтобы определить N'-{-N н еиз­ вестн ы х ф азовы х м нож ителей, необходимо и сп ользовать и звестн ы е из общей теории зави си м ости фп от с о г л а с­ но ф ормуле ф » = 2 с пй1();{, (8 .1 7 ) гд е коэффициенты cnh и звестн ы . П о д ст а вл я я (8 .1 7 ) в (8 .1 6 ') и используя ( 8 .1 6 ), получаем 2 N уравнений д л я неи звестн ы х ф азовы х множ ителей:

ch=l>Cnhbnt £ = 1 , 2 ...........N. З десь учитывается, что е‘а(?'п) и

(8 .1 7 ') — комплексные

числа. Если N' = N , то число неизвестных eia{%n) и бгР(11п) в уравнениях (8 .1 7 ') равно числу уравнений. Р еш ая их, находим неизвестны е ф азовы е множители и, сл ед о ва тел ь ­ но, определяем волновую функцию /(*)> описываю щ ую частицу в м омент времени перед процессом измерения. При N '< N число неизвестны х ф аз меньш е числа уравнений. С истема уравнений (8 .1 7 ') д ол ж н а быть р а з ­ решимой, если действительно имеем д ел о с чистым ан ­ са м б л ем частиц. л л При N ' > N роли операторов L и М меняются. При­

меняя м етод, излож енный вы ш е, со ста в л я ем 2N' у р а в­ нений д л я неизвестны х ф аз, а за те м находим их, реш ая эти уравнения. В заклю ч ен и е м ож н о отметить следую щ ее: поскольку пары ф изических величин L и М, характеризую щ их д ви ­ ж ен и е частицы и и зобр аж ен н ы х некоммутирующ ими опе­ р ато р ам и , м огут бы ть лю быми *), а вол н овая функция ч астиц ы , котор ая н аходи тся путем их измерений различ­ ными изм ерительны ми приборами (различны м и ср ед ст­ вам и н аб л ю д ен и я ), одна и та ж е , то м ож но сд ел ать вы ­ во д , что во л н овая функция, о п р еделяем ая вы ш еи злож ен ­ ным сп особом , не зави си т от ср ед ств наблю дения. О тм етим т а к ж е , что в общ ем сл у ч ае, когда кван то вая си стем а о б л а д а ет числом степеней свобод ы N > 1 , ее в о л ­ н о вая функция перед процессом измерения определяется из оп ы та аналогично — путем измерения д в у х полных на­ боров ф изических величин, и зо б р а ж а ем ы х операторами А

Л

Л

Л

Л

л

Lu Ми Nu . . . и Lz, М 2, N2 , . . . соответствен н о, причем опе­ ратор ы первого набора не коммутирую т с операторами втор ого набора и к аж д о м у полному набору соб ствен ­ ны х значений опер аторов прин адлеж и т лиш ь одна их о б щ а я соб ствен н ая функция. К а к и в одномерном случае, изм ерения прои зводятся на чистом ан сам б л е систем д ву ­ м я различны м и измерительны ми приборами (одним при­ бором и зм ер яю тся ф изические величины Lu Ми Nu •••» а другим — 1 2, М2, N2, . , . . ) .

8.3.

Законы сохранения в квантовой механике

В класси ческой электродинам и ке им еет м есто закон сохранения з а р я д а (dpfdt)-\-div j = 0 (та к н азы ваем ая диф ф еренциальная ф орма этого з а к о н а ), где р — плот­ ность з а р я д а ; j — плотность тока **>. Сформулируем в т а ­ * ) С л у ч ай , когда д л я определения волновой функции f(x) исполь­ зу ю тс я измерения физических величин, изображаемых некоммутируюЛ

Л

щими операторами L и М, которые обладаю т непрерывными спектра­ ми невы рож денны х собствен ны х значений, рассм отрен в дополне­ нии I I I . * * ) В интегральной форме закон сохранения заряда имеет вид

(— d fd t) j* pdu =^>jnds и интерпретируется следующ им образом: убы ль у s за р я д а в данном об ъ ем е в единицу времени равна полному току, в ы ­ хо д я щ ем у через зам кн утую поверхность, ограничивающую этот объем .

ком виде несколько закон ов сохранения в квантовой м е ­ ханике. З ако н сохранения вероятности. Н апиш ем врем енное уравнение Ш редингера для частицы , н аходящ ей ся в си ­ ловом поле, зави сящ ем от времени. Б уд ем иметь

ih

= |~^

2 А + {/ (*,

У, z, 0

(8 -1 8 )

гд е (зд есь и в дальнейш ем) -ф='ф(л:, г/, г , t). Запиш ем уравнение (8 .1 8 ) д л я комплексно-соп,ряженной функ­ ции г|з*: -

1Й - ^ - = р = | - Д + £ / (*,

у, z, t) |ф *. ( 8 .1 8 ')

У м н ож ая уравнение (8 .1 8 ) на о|)*, а (8 .1 8 ') — на и вы ч и тая второе уравнение из первого, получаем с у ч е­ том Д = V 2 =

(8 .1 9 )

Если умнож им (8 .1 9 ) на 1/ih сл ев а и сп р а ва , то сл ев а получим изменение плотности вероятности в единицу времени (если обозначим |-ф|2 = р , то сл ев а стоит {dpfdt)), а сп р ава — d iv j, если через j обозначим с л е ­ дующий вектор: 5=

( 8 -2 0 )

Т о гд а этот вектор интерпретируется к а к вектор плот­ ности ток а вероятности. И так, будем иметь

dp/dt — — div j.

( 8 .2 1 )

Р а вен ств о (8 .2 1 ) будем интерпретировать к а к закон сохранения вероятности. В интегральной форме этот з а ­ кон м ож но зап и сать в виде ------- 1 —J p dv = j j nds.

( 8 .2 2 )

Л е в а я сторона (8.2 2 ) озн ач ает убы ль вероятности в 1 с найти частицу в о бъем е V, а п р авая — вероятн ость в ы ­ х о д а этой частицы из об ъем а V. П рименим теорем у о среднем . П усть р — средняя плотность вероятности, т. е. р = (l/V )§pdv. М ожно записать ^/nd s = j'd i v jd o = (d iv j)V 1

v

v

откуда d iv j = (fpjnds/V. И так, из (8 .2 2 ) получим s

— dpldt = div ].

(8.22')

При д остаточн о м ал ы х о б ъ ем ах соотношение (8 .2 2 ') переходи т в соотнош ение ( 8 . 2 1 ) и последнее м ож н о ин­ тер п р ети р овать следую щ им об р азо м : убы ль средней плотности вероятности в 1 с равн а среднем у значению плотности тока вероятности. З а к о н сохранения ч и сл а частиц. Д о сих пор мы р а с­ см атр и вал и одну частицу, описы ваем ую волновой функ­ цией ф. Б уд ем счи тать, что у н ас много частиц ( N ) в од ­ ном и том ж е состоянии ф. Д опусти м , что в этом сл у ч ае волн овую функцию молено пронормировать к числу ч а­ сти ц f\ty\2d v = N . Т о гд а ]ф|2 = р , у интерпретируется к а к число ч астиц , приходящ ееся на единицу о б ъ ем а в данной точке. П ри м еняя зак о н сохранения вероятности д л я сл у ­ ч а я , когд а функция нормирована к числу частиц, полу­ чаем зак о н сохранения числа ч астиц (с учетом ск азан н о ­ го в преды дущ ем пункте) d p x ld t= — d iv jV (см . ( 8 .2 1 ) ) . Э то уравнен ие м ож но интерпретировать т а к : убы ль в 1 с средней плотности числа частиц р авн а среднем у потоку ч асти ц через п лощ адку 1 см 2 в I с. В интегральной фор­ ме зак о н сохранения числа частиц имеет вид -------J r f PNdv

V

(8 .2 3 )

s

У б ы л ь в единицу времени числа ч астиц в данном о б ъ ­ ем е р авн а числу частиц, покинувш их в это ж е врем я д ан ­ ный объем . И нтегрирование в (8.2 3 ) распространим на в е сь бесконечный о б ъ ем и предполож им, что на б еско ­ нечности во л н овая функция р авн а нулю. Т огд а (ЬО п на бесконечно удаленной поверхности равн а нулю и “

9Ndv " - i r № ^ dv = °*

* — Ф*уЧ0- (8 -2 4 ')

Б уд ем иметь

dpe/dt = — div j e.

(8 .2 5 )

Соотношение (8 .2 5 ) в квантовой м еханике интерпре­ тируется к ак зак о н сохранения за р я д а в дифференци­ альной форме. Е сл и -ф — вол н овая функция электрон а, то величины ре=е\л^\г и j< ?= e j часто интерпретирую тся к а к плотности з а р я д а и т о к а т а к н азы ваем ого «электрон ­ ного о б л а к а». П олный з а р я д этого о б л ак а равен J p edv. К понятию электронного о б л ака мож но прийти сл ед у ю ­ щим образом . К а к известн о, |ij)|2 — плотность вероятн о­ сти найти электрон в какой-то точке. Р асп р еделен и е в е ­ роятности во всем простран стве м ож н о п р едстави ть н а­ глядно в виде некоторого о б л а к а , плотность которого р авн а |т|>|2. Т а м , гд е |-ф|2 больш е, о б л ак о гущ е, и наобо­ рот. П оскольку электрон о б л а д а ет зар я д о м , то р а с см а ­ три ваем ом у о б лаку м ож но приписать распределенны й в пространстве зар я д , плотность которого р авн а е|г|)|2, гд е е — за р я д электрона. П онятие электронного об лака и спользуется д л я наглядного п редставления строгой квантовомеханической м одели атома. О бозначим ч е­ рез j о плотность ток а з а р я д а электронного об л ака. Ф орм улу (8 .2 5 ) б олее наглядн о мож но интерпретиро­ в а т ь , если применить ее к больш ом у числу частиц, равн о­ м у N, и волн овая функция будет у до вл етво р ять соотнош е­ нию /|-ф|2d v = N . Запи ш ем закон сохранения за р я д о в д ля данного случая в интегральной форме: — (d/dt)\ped v =

v = ф lends. Слева будем иметь убыль зарядов в 1 с в объ-

S

ем е V, сп р ава — то к через поверхность, огран ичи ваю ­ щ ую этот объем (чем больш е число ч астиц N, тем к ва н ­ т о в а я ф ормулировка б л и ж е к известной ф ормулировке зак о н а сохранения з а р я д а в класси ческой электроди н а­ м ике) . Закон сохранения массы. У множ им (8 .2 0 ) на м ассу частицы т0. В во д я обозначения:

™оР = Pm =

I ^ I2;

= Зт = “ Г " ( W * — 'I’V l ’)»

получаем 0Pm/d* + d iv jm = O.

(8 .2 6 )

Это и есть закон сохранения м ассы в квантовой м ех а ­ нике, где рт — плотность м ассы ; jm — плотность тока м ассы . Вектор плотности т о к а вероятности для частицы , дви­ ж ущ ей ся во внеш нем электромагнитном поле. Сформули­

руем зак о н сохранения вероятности д л я частицы , д ви ж у ­ щ ейся в электром агнитном поле (см . ( 8 .1 3 ') ) . И меем

Д альн ей ш и е р асчеты аналогичны р асч етам , проведен­ ным выш е. Н апиш ем уравнение для комплексно-сопряж енной функции

У м н ож им первое уравнение на я|>*, второе — на ф и вы чтем из первого. С учетом преобразования

(р— г АГ = ( р - -4- А) ( р - -т - А) = Р * - т АР ------ ^ A p - b - ^ - A 2 = - f t V + -^ -A V + - f

+ 4

L VA +

А*.

гд е А — оператор умнож ения, получим

= ^

1 №* V2^ _ ^ V V ) + ^

+ фуАф*) +

( ф*уАФ +

(4>*Ayi|) + Ч>Ауф*)-

(8.27)

Соединив один аково подчеркнутые члены в равен ст­ в е (8 .2 7 ) и р азд ел и в л евую и правую части его на ih, это р авен ство м ож но за п и са т ь так :

а |ф 12_ = _ у

(-фуф* — у * ? ^) — ~ - с AH>*i])j, (8 .2 8 )

т. е. в виде уравнения непрерывности, гд е вектор плот­ ности ток а вероятности равен

J = - 5 S r ( ’l’V 4>*-'l>*V 4>)------s ^ r A*4>.

(8.29)

8.4. Стационарные состояния атомных систем Стационарны ми состояниями в класси ческой м ехани­ к е н азы ваю тся так и е состояния дви ж ен и я частицы, в ко­ тор ы х полная энергия определена и о стается постоянной 124

во времени. Т ак о е ж е определение стационарного со сто я ­ ния о ставл яем в си ле и в квантовой м ехани ке. И з классической механики т а к ж е известн о, ч то м е х а ­ ническая си стем а, котор ая м о ж ет находи ться в стац и о­ нарных состояниях, о б л ад ает ве сьм а важ н ы м свой ством : ее функция Гам и льтон а не зави си т явно от времени и им еет см ы сл полной энергии, т. е. Н — Н {ри qi), гд е р,и qi — обобщ енные импульсы и координаты систем ы . Т а к к ак d H fd t = 0, то полная производная по времени от Я р авн а нулю : dH Jdt=dH fdi-\-[H t Я ] = 0 . С огласн о первой основной аксиом е квантовой механики функция Г а м и л ь ­ тона Н (ри qi) в квантовой м еханике переходит в линей-

д л

л

ный сам осопряж енны й оператор Я (р ,-, q i), т а к ж е не з а ­ висящ ий явно от времени и имеющий см ы сл оператора полной энергии. Н апиш ем уравнение Ш редингера д л я стационарны х состояний. Д л я простоты ограничимся одномерным сл у ­ чаем : (8 .3 0 ) д д д З д есь для краткости обозначено: Я {рх, х) = Н (х ). Счи­ т а ем , что оператор Гам и л ьтон а атомной си стем ы и зве­ стен. Н ай дем решение уравнения (8.3 0 ) в виде

y ( x ,t) = ^ { x )f( t) . П о д ста вл яя (8 .3 1 ) в переменные:

(8 .3 1 )

( 8 .3 0 ), мож но л егк о раздели ть

гА (-^ )ф М = {Д М Ч > М }Я О . откуда

in

1

№

д/(0 _

dt

~

Н{х) Ф (х) _ р ад

- £ ’

fS 31 'Ч

'

гд е £ = c o n s t . (Д в е функции от разли чн ы х переменных м огут быть равными д р уг другу, если об е они будут р а в ­ ны одной и той ж е кон стан те.) И з (8 .3 1 ') получаем д в а уравнения:

i h - ^ - = E f(t); Я (я ) ij) (х, Е )

( х, Е ) ,

(8 .3 2 ) (8 .3 3 )

где Я — кон стан та; ф (я , Е) — собствен н ая функция опе­ ратора Я , при н адлеж ащ ая собственном у значению , р а в ­

ному £ . У равнение (8 .3 3 ) н азы вается уравнением Ш ре­ дингера для стационарных состояний. Э то уравнение и м еет т о т ж е вид, что и уравнение Ш редингера д ля ч а­ стицы , дви ж ущ ей ся в потенциальном поле (см . ( 4 .5 ') ) О д н ако уравнение t f i j) = £ i j) имеет такой ж е вид и для лю бой атомной си стем ы , оператор Н которой не зави си т явн о от времени. П остоянная Е имеет см ы сл полной энер­ гии (собствен н ое значение оператора полной энерги и). В сл у ч ае дискретного сп ектра энергии уравнение (8 .3 3 ) примет вид

Н ( * ) -ф„ ( * ) = £ nil>n М ■

(8.34)

Р е ш а я уравнения (8 .3 3 ) и (8 .3 4 ) и п о д ставл я я най­ денны е таким об р азом значения £ или £ п в уравнение ( 8 .3 2 ) , после его интегрирования находим функцию f{ t ) :

f(t) = e l~i/ri}Ei

(8 .3 5 )

или (8.36) причем констан ту интегрирования вклю чаем в простран­ ствен ную ч асть волновой функции. Т ак и м об р азо м , ч астн ы е реш ения уравнения (8.30) б у д у т им еть вид % ( * , о = ’ К * . £ ) е (- г/й )И

(8.37)

0 = ’ 1>»М е‘- '/А1В” '.

(8-38)

или

О бщ ие ж е реш ения дифференциального уравнения (8 .3 0 ) и з-за его линейности будут в ы р а ж а т ь ся через ч а ­ стн ы е решения (8 .3 7 ) или (8 .3 8 ) следую щ им об р азом : ■ф{х, t) = J с ( £ ) ф {х, Е) e(W/A )mdE

(8 .3 9 )

или •ф(*, О = 2 Сп% (х) е(_,/й )Еъ*, п

(8 .4 0 )

гд е коэффициенты с{Е ) и сп не за в и ся т от времени. В этом м ож н о у беди ться непосредственной подстановкой (8 .3 9 ) или (8 .4 0 ) в ( 8 .3 0 ) . В олн овы е функции вида (8.37) или (8 .3 8 ) опи сы ваю т стационарны е состояния атомны х си стем , а функции (8 .3 9 ) и (8 .4 0 ) — суперпозиции этих состояний. О чевидно, что полны е энергии атомны х си стем , опи­ сы ва ем ы х волновыми функциями вида (8 .3 9 ) или (8 .4 0 ),

не явл я ю тся определенными и не сохран яю тся во вр ем е­ ни. Н етрудно п о к азать, что средние значения эти х пол­ ных энергий при определенных с(Е ) в (8 .3 9 ) и сп в (8 .4 0 ) не будут за ви сет ь от времени. П усть д л я определенности состояние атомной систем ы опи сы вается волновой функ­ цией ( 8 .4 0 ), тогд а, по определению (см . 6 . 6 ) , среднее значение полной энергии ее будет равно: # = J 4 * ( * > 0 ЭД>(*. ^ ) ^ = К 2 с ^ ( х ) е ((7л)£« ' ) х п

X ( S cmE J p m {х) e {~ilh)E^ ) dx =

= % с : е ш Ь)Е*{% с тЕ у - ^ Егп\^т, ^ ) = S | Cn|*Еп. (8 .4 1 ) п

т

п

В уравнении (8 .4 1 ) у ч и ты вал ась ортонормированность функций "фп, т. е. соотнош ение (i|)m, o|)n) = 6 mn. И з (8 .4 1 ) видно, что действительно ср еднее значение полной энергии Я вполне определенно и не зави си т от времени. А том ная си стем а, н ах о д я щ ая ся в стационарном со ­ стоянии, т. е. оп и сы ваем ая волновой функцией типа (8 .3 7 ) или (8 .3 8 ), о б л ад ает рядом сво й ств, к р ассм о тр е­ нию которы х и перейдем. И з вида волновой функции м ож н о заклю ч и ть, что она гармонически зави си т от вр е­ мени. П о к а ж ем , что д л я стационарного состояния им ею т место у твер ж д ен и я: плотность тока вероятности и плот­ ность вероятности не за в и ся т от времени. Д оп усти м , что имеем дело с движ ением частицы в потенциальном поле и дискретным спектром собственны х значений операто­ ра энергии. Т огд а согласно (8 .2 0 ) с учетом (8 .3 8 ) при £ = 0 и лю бом другом t плотность ток а вероятности и плотность вероятности одни и те ж е . Д ей стви тельн о, имеем 0 — 'ЧьС*. O v W * .

=

{ ‘Фл (X, 0 ) v 4 £ ( * . 0 ) —

(х,

0)

(X, 0 ) } ;

рт1= | т М * , 0 | 2 = I 1M * ) I 2 — I 'M * » ° ) | 2-

t)} = (8 .4 2 ) (8 .4 2 ')

И з (8 .4 2 ) и (8 .4 2 ') вы тек ает, что ре= е р и \е= е j т а к ­ ж е не за в и ся т от времени, т. е. зар я ж ен н ая м икрочасти­ ца, н ах о д я щ ая ся в стационарном состоянии, в отношении

сво и х электром агн и тн ы х свой ств п р ед ставл я ет собой си­ стем у стати чески распределенны х за р я д о в и постоянных ток ов. Р ассм о тр и м ещ е одно свойство стационарного со стоя­ ния си стем ы . Е сл и и звестн а вол н овая функция ф (лг, /) = = "ф (я , £ ) описывающая какую -то систему, то чтобы найти распределени е вероятностей во зм о ж н ы х ре­ зу л ь т а т о в изм ерения физической величины, которая и зо б р а ж а е т ся оператором L , удовлетворяю щ им у р авн е­ нию L