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EL

TEOREMA DE

ERGODICO

BIRKHOFF Y

EL ORIGEN

DE

LA

TEORIA

ERGODICA

ELEONORA

LICENCIATURA

en

FACULTAD

HUM.

DE

CATSIGERAS

HMATEMATICA Y

CIENCIAS

Montevideo,

setiembre

de

1989

OE

LEEEOOLEOOLEDEOO

ASOODOODDDYIIIDDIDDDIID

NOTA En

ideas el

esta

ague

monografia

inspiraron

matemAtico

contribuyeron

se

al

presentan

teorêma

George

D.

a

origen

dar

algunas

ergédico

Birkhoff a

de

las

demostrado

(1884-1944), la

por yy

Teoria

ague

Ergeédica

MatemAtica.

Se

han

detalilado

concentrado

vy

critico

de

“ergodicidad"”

introducida

el

siglo

su

la

prueba

se

inciuye

da

ese

de

puntos

mas,

hacia admite Las en

son

tuvo

en

teorema

Estadistica

en

el

teorema forma

ergAdico,

V

complementaria vinculados

resultados

precisamente

el

nacimiente

de

en

presentaci

la

Teoria

varios

pruebas

de

Matemêtica

mês de

y

son

el

en

forma

a

muy

reglas

la

en

sa

vinculacidn

estên

no

por

gue esta

usuales

de

el

del una

tema

elegido. exposiciën

causa

presentar

natural

orientados

aungue

diferentes

rigurosas

Pero

mês

nada,

anélisig

intentado lo

guisês

criterio

Dinêmicos,

lo

exigiria.

matemêtico

aus

El

y

Birkhaff,.

enfogues todo

rTêpidamente,

résefas.

Sistemas

otros no

restringirse

las

contrario,

el

Por

exhaustivo.

mencionados

La

ha

son

el

menos

Contenido

posible,

aungue

organizaciën

sin

v

economia

es

original;

términos. El

contenidc

de

los

fue

extraido

de

la

del

trabajo.

Nc

obstante,

coriticos,

s&

Mecêanica

de

ergédico

Se

las

la

histérica

cuenta,

precisas.

de

centrales:

En

ser

omitidos

selecciën el

con

anAlisis

puntos

mismo.

marca

pretende

se

Nc

con

daue

la

el

Erg6dica.

Teorta

muchos

al

resefia

teorema,

algunos

por

vinculaciën

Birkhoff

una

los

en

I

Con

XIX,

esfuerzos

fruto

conclusicnes EXpOnER

Los

Vv

temas

bibliografia

de

se

expuestos no aue

se

incluyen

interpretacicones

en

general

son

detalla varios

y

final

comentarios

personales,

primarias

al

no

vy

aunaue

nNovedosas,

fundamentan.

numeros

entre

corchetes

:

[1],

(21,

etc,

son

referencias cual

se

a

la

extrajo

bibliografia, parte

o

todc

e el

indican

la

fuente

contenide

del

de

la

pêrrafo

respectivo. Las pêgiria,

vy

liamadas: muchas

particulares,

no

* ? ete, wveces

incluidas

indican

contienen en

la

notas citas

al.

pie

de

bibliograficas

bibliografia

general.

EL TEOREMA ERGODICO DE BIRKHOFF Y EL ORIGEN DE LA TEORIA ERGODICA INDICE NOTA INTRODUGCGION Parte

1

ORIGEN

DE

LA

TEORIA

ERGODICA

1.1

Significado

del

términc

1.2

La

mecê&nica

estadistica

1.3

La

hiplétesis

ergédica

“"ersédico". en

de

el

la

siglo

IX.

MecAnica

Estadistica. 1.46

45

Antecedentes

resultados

1.4.1

histéricos

de

la

Algunos medidas

1.4.2

teoria

Parte

2..EL

El

2.2

Sobre

el

2.3

Ideas

previas.,

2.4

Comentarios

de

promedios.

25

DE

BIREKHOFF.

30 30

autor. 33

sobre

RESULTADOS

3.1

lInterpretaciones

3.2

Otros

3,3

Refinamientos

BIBLIOGRAFIA

sobre'

enunciado.

OTROS

COMENTARIO

21

sobre

resultados

ERGODICO

2,1

3.

ergédica.

invariantes.

Primeros

TEOREMA

primeros

antecedentes

Convergencia Parte

y

FINAL

teoremas

la EN del

prueba,

TEORIA

35

ERGODICA.

teorema

de

ergAidicos. de

la

ergodicidad.

Birkhoff.

é1 é1 “5 S1

55

be

Et

ELEOLG

DA NP DPEY DOOD IIRYDDDDARA EEOOLEOSDSEOEROOOO

INTRODUCCION

ics

abiertog

espacio

también

la

estructura

estudio

de

lo

de

aue

Teorta

es

dar

para

surgido

como

resultados

de

comun

de

la

Teoria

Sistemas

Dinaêmicos.

respuesta

a

algunos se

enseguida

aunague

oltimos,

los sus

los

objeto

el

Diferenciable.

Ergédica

rama

una

sino

medida, es

Este

una

o

aauslias

la

preservan

de

Y

ha

interpretaron

de

estructura

una

interesan

Teorfia

llama

se

Ergédica

de

problemas

sea

medida

Ssuperficie

diferenciable.

Probabilidades

Histéricamente

éste

due

la

gue

una

es

solo

no

gue

transformaciones

La

tiene

entonces

“suave),

variedad

ademês e&iemplo

(por

diferenciable

ejiemplo

tanto

positiva).

sea

el

Si

(por

ella

a

respecto

“natural”

del

medida

medida

la

gue

vy

topoldgica

estructura

cierta

tenga

essta

toma

sino

total,

espacio

del

medida

la

eg

cuAnto

del

interesa

no

CcCasos

otros

En

1).

es

total

espacio

adecuada

la

cuando

&s

(eso

probabilidad

una

como

mEedida

las

se

particulares

CaBSes

ciertos

En

espaCcio.

medida

una

preservan

gue

transformaciones

de

dinAmica

la

estudia

Ergédica

Teorta

La

leyes

de

para

el

la

de

Teoria

Probabilidades.

siglo

gran

con

sistemas

temporales

promedios

son

macroscépicas

evoluciona promedio

“promedio La hipftesis

el

de

en

llamado

el por

fines

del

de

Mecênica

los

observables espaciales doende

constante

espacio la

de

Este

fases.

Estadistica

fase".

btsaueda fue

es

,

promedios

los energia

de

movimiento

espacial,

a

iguales

superficies

las

variables

las

de

estudio

ergédica":

"hipétesis

llamada

la

a

particulas,

de

cantidad

enuncia

pasado

sobre

Estadistica,

Mecênica

La

una

de

la

de

las

fundamentaciën motivaciones

matemêtica principales

de en

esta el

origen

de

la

Teoria

ergédicos

dan

hipBtesis

ergAdica

COMO

una

Ergédica.

Los

formulaciën

veremos,

de

la

no

Pprimeros

matemê&tica

Mecê&nica el

Se teorema

denominan

teoremas

ergédico

de

suficientes en

forma

[é].

para

modo

CoOnvergencia

108

el

medida

Anilisis de

el

de

la

o

Sspacio,

nula).

Pero

Funcional,

`o

tambiën

y

a

la

a

estudian

la

enbierto

eSbacio

funcional

normadao:

la

Peguefia

norma

al

el

Si ,

Una

ff VY

es

punto

de

del

P). largo

punto

La

BP

(medible

de

la

de

gue

valores

travectoria,

da

SON de

de

la

modos

limite

Sn en

en

forma

SUuUCcesivas si

mismo.

el

espacio

Punto

P

TB,

promedios:

f

dinémicos

“trayectoria"

funciën

de

"norma"

generadas

cada

por

al

arbitrariamente

definida

lleva

formada

CONIjUNto

en

tiene

espacio

TOP),

todos

ergédicos

aplicar

llamaremos

TOP),

(cuando

Probabilidad,

sistemas

del

limite

particular

los

real)

€spacio,

(travectoria

sucesiën

en

ES

obtienen

su

un

Af

Cantidades

transformaciën

P'

de

transformaciën

P, Cada

vista

se

funciën

una

en

,

LN

el

Eeneradas

para

CoOnvergencia

diferencia

las

POrduë

una

Tes

otro

punto

misma

sumo

n

discretos,

estacionaria Veces

la

crecer

Desde llamados

de

IG

Cuando

Como

PUunto"”"

teoremas

medios

,

Condiciones

variables

de

Vvalores

SU

Principalmente

todo

interesa

los

de

UB

es

lo

Teoria

débiles;

los

especifican

de

excepto

aungue,

Ccantidades

"casi

sucesiën

del

ET

de

CONvergencia

"puntual",

convergencia

a

definen

Converjia,

la

ERGODICA

ergAdicos

promedio

de

limite

puntos

de

due

TEORIA

Birkhoff,

estacionaria

El

@xiste

LA

a

problema

fundamentaciën.

DE

precisa

Estadistica,

resuelven

OBJETO

teoremas

los

en

a:

para iterados

medible

f,

de

a

lo

NA

FOBIEE sucesidën

vista

de

de

la

@gtocAstice

Teoria

se

promedio

temporal

operador

U

gue

ergidicos.

de

a

un

modos

trayectorias, Son

cuandoe

t-0,

curvag

Bon

y

una

la

de

liamadas

intervalo,

otros

de

sistema

dinAmicc

con

par&metro

obtienen

al

aAcotaciën),duse

y

de

acttia

un

la

contrae

los

teoremas

Muchas

puede a

veces

un

formularse

las

de

travectorias

a

un

une

procese

referide

a

tl,

ia

en

sucesiones

par

sobre

pasan

'tiempos

cada

a de

gue la

de

por

existe

condiciona durante

solamente

dongitud

EE,

PLOEP,t,),t-te),

al el

de

de

instante

F

ËEstas

P

drbita,

del

las

tt.

punte

dependa

eleccidn

#IP,t)s

su

aue

discretas

gus

los

considera

los

estacionariedad

punto

v

DinAmicos

ia eee

'inicial

para

tada

E,-

tal

#@(P.t),

se

las

auténomas:

dP

ciertas

hace

llama

continuc.

considerar

(can

de

#ip,t),

La

(Es

Un

diferenciales

ser

v

BEP, t,) no

gue

aguéllos

@rhbitas,

términos:

inicial

Sistemas

todcs

tiempo

pero

atm

ultime,

para

cada

aplicacién

DFrOCEEO

donde

referido

por

continuas

definidas

inicial

vy

de

de

instante

otra,

lugar

curvaa

de

(co

referido

sistemas:

desplazamiento

En

uno,

los

ellas.

te

de

funcionales.

de

en

norma

Ergeiédica

de

posiciën

punto

un

funcionales,

Teoria

sola

intervalo

el

estacionariedad

operadores.

&spacios

tipo

de

esos

dinAmico;

Tecria

otro

puntOoS,

a

distintos:

en

idea

la

estacionario;

operadores

adem&s

la

reformulaciones

de

sistema

La

desde

Probabilidades,

espacios

referidos

estoc&sticc

una

aplica

preserva

resultado

varios

constituye,

de

obteniéndose

mismo

ECTTOPY).

sstacionario.

También

(41),

promedics

fluio,

Eiemplos

corresponder

de

X(P)

condiciones

a

cada

o

sistema

importantes

soluciones /dts

Lu

Esta

j

GES

, de

ecuaciones

donde

X

es

resularidad

punto

sea

P

un

una y

vecetar

velocidad. Dado constante

éspacio

un

fluio,

la

funcidtn

(P,t),

del

tiempo

t,

origina

una

en

si

mismo,

Ccorrespondiente t.

Se

las

dice

aue

el

su

#

punto

,

la

de

sistema

vista

llamada

propiedad

Desde

a

tiempo

cuando

cada

todas

funciën desde

Probabilidades,

de

parimetro

de

Tr de

vista

parêmetro

de

la las

"ergAédico"” mis

de

las

dada,

respecto

el

al

un

continuo.

estacionariedad,

T,

la

verifica

la

los

identidad. ,

se

puede

continuo,

reales

interpretar

Como

(el

Una

al

aEEiaAn

tiempo),

en

el

puntos.

todas

especial;

de

del

P

#eT, oonstituys,

continuas

li

aditivo de

medida

funciones

T,

&rupo:

punte

dinémico

De

an

este

transcurre

Para

transformaciones

valor

punto

hacen.

condiciën

de

cada

medida

Teoria

cada

transformacidn

la

estacionario

T,eT,

espacio

lo

la

la

de.

preserva

de

de

a

familia

grupc

cuando

familia

Debido

del

érbita

T,

estocAstico

sistema

'lleva

fluic

transformaciones

medible el

en

gue

para

transformaciones

Teoria

Ergédica

llamadas

esa

medida.

como

usado

sinénimo

aue

divistble

en

dos

posittva.

Es

fécil

éste). partes ver

T

aué

preservan

distingue

unma

transformaciones Hoy de

en

dia

disjuntas, una

gue

adjietivo

espaeio

invartantes

condicilën so

el

métrico"”, el

clase

“ergédicas"

emplea

“transitivo

Significa

gue

se

una

da

(y

es

noe

as

medida

eguivalente

es

P

n PnEéD

tedes

A

Hy.

B

subeconjuntos

Te

Para

de

medida

positiva.

For

lo

tanto,

recorre

si

'todas

observaciën SE

vondiciën

En

de

casos pero

de

la

Hemos més

amplia

En

su

medida,

y

`positiva.

due se

naturales,

adietive

incluir de

la

esté&

buscan

para

Par

Esta para

la

dada

la

con d iciones

las

ese

"@rgédico"

la

hasta

du la

bastante

significado de

cansidera

la

embargo,

dista

nacimientc

medida

entonees

cuales

motivo

a

la

la

alguncs

medida

er

transformaciën.

auerido

Sin

“&rgédico”,

nula,.

“transitividad',

ereé&dica.

el

posible

Brgoedica".

no

sea

aplican

a

se

medidas

transtformaciën

de

nombre 1

no

indivisikiitidad.

e@xistencia

lugar

medida

tmartes . de

justifica sl . EN

algunaus

autores

tiene

las

transformacidën de

A

estA

ahora

s&

definicidën

lo

entiende

por

'"reoria

actual

del

término

acepcidën del

una

original,

y

estrecehamente

la

evoluciën

vinculada

al

Teoria.

MOTAS: Salvo

La

en,

estensta

tedos

eENdicienes

tronsitividad los

de

medibles

particularss

TmÊtrica, trayectortas

de

medida

por

del'

si

sola,

individuales

positiva.

E&sSspario

de

ne

medida,

tmpliee auE

La

rEeEerrar

CELEEEEEEELLOELEEEOOOOCCOOODODODOODDODDDODIDDDIDYIYIDIYIIYD

ORIGEN 1.1 Los

primeros

Se 1

ss”

son

de

el

del

H

es

En

Ad

d

t

8

de

estos

constante

no

valores

El

sobre

asumimos

oGrbitas Por

"conservativos"

mantienen

con

variables esP,

Las

su

forma

en

un

H

ë

ê

dt

“hamiltoniano",

sistemas

una

N

funciën

explicitamente

son

hamiltonianos,

primera"

del

mantienen

en

de

de

de

t,

28).

del

Lo

la

2s

MV

funciën

sistema: las

dimensiën

con

dicho

H

[61].

puede

Asst,

contenidas este (o

estado

Cconstante

motivo

'inmersas

se

deduce

pues

no

los

en los

otro,

la

enersia

puntos

sistemas

no

en la

total,

las H en

All

evolucionan energia

sentido

se

el

fisicamente

de

disipan,

-

implican

hamiltonianos el

es

fêcilmente

ellas

superficies

disipativos),

a

todas

interpretarse

todos

H

'“superficies"

28-1,

movimiento,

hamiltoniano

energia

de

las

Pass

P;

A

dimensiën

Constante.

pasar

la

regularidad.

ecuaciones

la

de

mecAnico

de

P:

gue

teoremas

Hamiltoniana,

dH/dt s 0. como

de

sistema

sd

,

medidas

modelo:

del los

depende

se

(gue

de

las

su

H

llamado

'`“iptegral

trayectorias

de

movimiento

&.

aue

Condiciones

espacio

toma

Gee

d

el

variables,

una

Mecé&nica

por

d,:

busaueda

y

SON:

CanNbNICa,

donde

de

la

“ERGODICO'

transformaciones

estado

libertad,

“hamiltonianas'": ecuaciones

de

Estadistica

describe

grados

de

ERGODICA

TERMINO

obieëto

provinieron

Fisica

DEL

eiemplos

gue

ergédicos, la

DE

SIGNIFICADO

invariantes,

cCual

PARTE 1 LA TEORIA

aue

sino originé

son al gue el

griego

del

proviene

(gue

'“ergédico”

nombre

del

uso

“ergos”,energia).

de

(iniciada

Estadistica Hipetesis

ErgAédica

constante

estaba

supuesto,

este

Dieho

brbitas.

son

dinéAmica.

Aaui

el

poraue

es

Un

XIK,

de

las

embargo

la

idea

transitividad

una

con

constante

energia

'importante

probado

antes

por

due

ste

en

definida

Structure

Tronsformattons

de

Math.

idea

Primer

Pures

a

conceptos

los

genmerales.

' G. D. Birkhoff-p, A. Smith sourn

la

matemAtico

surgieran

dinAmicos

a

el

en

encuentra

se

sistemas

de

través

1928

Smith”.

antecedente

Liouville,

2

vy

la

Sin

sistema.

del

de

a

definida

dinémica

superficies

germen

el

invariante

de

la

serta

incorrecta,

matemAticamente

es

en

temporales

promedios

los

aue

demostrar

est

Ergédica"

“Hipêtesis

esa

aunaue

3,

su

definiendo

detaliaremos

Como

etimoldésico.

energia

de

"ergédico"

adietivo

al

las

a

caracterisa

sistema,

del

soluciones

Bajio

dArbita.

ecuaciones

las

forma,

sentido

las

Birkhoff

siglo

otra

energia

de

Gnica

una

energia

ia

Esta

cientificos).

superficie

por

de

diferenciales

'"ilenar"

érbita,

por

de

contradice

ecuaciones de

valor

Mecanica

la

de

dos la

aue

espaciales,

los

a

igualan

estog

el

para

suficiente

por

constituida

i.

parégrafo

construccidën

entonces,

el

en

la

supuso

las

constante

aplicado

NOTAS:

en

fundamental

fue

due

Boltzmann",

Mawwell-

de

Ergédica

“Hipêtesis

1lamada

la.

introdujo

conservativo,

mecAnico

sistema

un

de

fases

de

espacio

él

en

espaciales,

por

temporales

promedios

sustituciën

la

justificar

para

Boltsmann,

1872,

En

Appl.

medida

Teorema

de

mediados

del

de

medida,

e@nunciaremos

Lo

; Analysis et

de

of -

1pz8

Y

en

surface

términos

coherentes

hipêtesis

algo

En

mês

wn

stistema

obtenida

del

flujo

tleva

espacto

el

[6].

espacio

(Lebesgue

volumen

(o

Si

sea

se

generales

gue

igual

superficie

de

definen

subsistema

medida

de

usara

Liouville:

instante

t,

mite, un

T,,

MV

Gous

Preserva

el

subeonjunto

transforma,

otro

bajo

del

despuës

subconiunto

de

de igual

medida). va

todo

constante

para

Esta

"Area"

en

no

energia

invariante.

regiones

t,

el si

se

Y

transformaeién

forma,

medible), tiempo

due

la

en

otra

considera,

un

las

#tjfando

pumtos de

de

cContexwto,

hamtltoentano, #(EB,t)

Dicho

el

nuestro

de

volwmen

transcurrido

con

el las

el

espacio,

sino

trayectorias

én

tcual

medida

es

positiva,

Yy

'tambiën

ella

existe

positiva” es

una

solo

una

en

preservada

las

por

el

flujio.

Ya se

hemos

denomina

dicho Teoria

transformaciones ahora gus

aue

no

tal

son

de

se de

ser

energta

E

casi

todo

La

medida

diferencial,

superficie

la

preservan

la

aplica

y

sistemas

abusiva

dicho

a

los

sistemas

mêtrico"”.

conservativos:

muy

generales,

del

y

significado

decir

gue

el

espacio,

entonces

las

dada integral

ca

Pero

través tnvariante,

gue

el

adietivo

indivisibles,

si

es

tel.

Observamos

cConservativos,

tambiën

trivial,

energta

las

"ergédico".

no

est

de

medida.

extensiën

"transitivo nunca

abarca

actualmente

estudio

siguiera

hemos

EoN

de

al

ni

palabra

aun,

“@rgédico"” sinénimo

una

Introduccidën),gue

Ergédica

denominaciëén

ser

Mês

pueden

gue

la

hamiltonianos,

pareceria original

(en

estos se

no

sistemas

TIG

conservara

fuera

regiones

de

como

una

constante

(

una definida

E

%

en

const

28—1

?

forma en

ta

serian el

propias,

dieron

son

sistemas

divisible,

o

sea

al

no

de

use

del

e&l1

partir

Ergédico

de

de

con

atm,

permite

tambiën

es

condicidn

invariante de

los

sistema

donde

'interesa

temporales

métrica

de

sustituye

f

ella,

v

a

Maxwell-Boltzmann,

una

porgue

para

T

correeto, de

los

promedios

transitividad since

pretende

vy

eriste

energla

(

estas

en

aue

agaue ella

es

una

medida

como

es

el

eEgpacioc,

de la

el

superficies

todo

Luego,

vieja

Teorema

aue

limites

subsistemas

la

ha

integrable”.

noe

espaciales.

estos

se

de

los

del

la

hamiltonianos),

sustituir

por

si

superficies

en

de

COMO dar

sustituciëén,

conservativo

sistemas Es

esta

funciën

es

las

subsistemas.

hacer

necesaria

toda

sobre

sabido

Mê&s

sole

son

es

limites

no

el

publicacidn

los

métrica

Si

lIntentaremos

sustituir espaciales.

para

se

'"ergédico"

métricos

por

oaso

la

transitivos

legitima

entonces

términc

(31,

temporales

sea

aué

ejiemplos

gue

sisuiente;

lo

1931,

mateméticamente,

Luego,

hamiltonianos,

"ergédico",

métrico"?

Birkhoff

sistemas

sistemas

del

positiva.

transitivo.

no

&POr

empleo

observando

medida

vocablo

“transitivo

respuesta,

los

transitivos,

generalisado

A

de

precisamente

origen

sinénimoe

vy

serta

sistema

Si

invariantes

promedios

transitividad

la

Condicidn

gus

Hiplétesis

Ergoédica

de

permite

tfundamentar

agusila

NOTAS: d

Arnold

en

transitive, invariantes,

aus vale promedio

rs]

observa;

entonces disjuntos,

41 en temporal

EoNIJUNtos Son depende de la cost todos le promedio espacial.

el 1

es

Si La

de

.

se UNLON

medida

asume de positiva.

)

el

sistema dos

Tie

ooPNjuNtos La

funeitn

Primer Eonjunte vy DO en el otro, tiene Y Oo respectivanmente, ya gue estos invariantes. Entonces el promedio temporal econdieiën inicial, Y No es constante en puntos, Ne puede aal cELNEetdir Eon el

sustitueidn.

Esto como

justifica

sinAénimos,

sistema

due el

uso

cuando

Y

exypiica

vocablos, s&

de

a

los

tambiën

para

gue

vy

'"transitivao

referidos,

extensidn

las su

dentro

subsistemas

la

descuidando

reguieren

"ergédico”

estin

conservativo,

constante. ambos

el

de

en

un

energia

el

condiciones

significado

de

empleo

de

particulares matemêAtico

séa

etimolbgico.

ls

LA

La

complesjiidad

mecé&nicos ios

dus

MECANICA

con

gran

de

en

el

cantidad

interesan

busagueda

ESTADISTICA

a

la

métodos

de

comportamiento

macroscipico

de

especificar

valor

(los

datos

pasado

el

de

comenzé

sistem&tica

a

desde

habta

idea

sido

Rumford aclarada

un

de

punto

comprendido

La forma

1650

de

gue

y

R.J.

Davy

entre

teoria

1860,

vy

aporta

trabajos

vy

la por

Al

nuevas

resultado

de

estado,

Como

motivaron

la

deducciones sin

sobre

necesidad

variables

del

mismo

mediados

del

sigle

en

forma

TermoedinAmica vista

ËÉEsta

en

una

macroscépico

1842

forma

del

1799)

y

yy vy

de

siglo fue

Joule

energia, XVIII

va (C.

explicitamente en

el

periodo

1849.

Termodinêmica Clasius

y

luego mismo

técnicas slobal

de

teoria

fue

Clasius,

es

fisicos

en

recibid

Gases

particulas.

1843

de

(1876-1878).

el

calof

Maver

Gibbs

como

el por

consistente

a

sistemas

|

1798

por

a en

sugerida

en

las

investigar

de

sistema,

Asi,

fenomenoldgico.

La

del

XIX

log

gases,

hacer

todas

microscëpicos).

se

de

SIGLO

de

variables

permitan

el

EL

estudio

Cinética

due

EN

Maxwell

Kelvin,

el

tiempo, gue la

fue

10

en

la

década

de

importante

aporte

de

Cinética

de

la

en

Teortia

consideran

dinAmica

desarrollada vy

formulada

Boltzmann.

de

al

sus a

Ssistema numerosas

través

de

los

Maxwell

enuncia

la

ley

de

distribuciën

velocidades

moleculareg

en

1859.

Lueso

su

ecuacidn

fundamental

en

1872,

ee

de

la

la

Cinética

MecAnica

Estadistica,

de

La

Mecé&nica

ËEstadistica

a

1)

problema

liamado

consiste

en

sustitucidn &spacic 2)

el

materia

de

con

Muy

pocG

se

aus

su

log

en

es

problemas

va

[71:

hemos

rigurosa por

dicho, de

espaciales

GonEcerniente de

eficiencia

medio con

sobre

o

las

sus

la

se

de

la

en

el

analitico

de

estructura

de

Fisica,

la

levyes

los

La

de

interacciones

interacciën,

solo

Ep

estas

de

condiciones

investigacidn

impensable

hasta

estudiar

diferencialeg entonces

usados

introducir

falta

de

las

mutuas,

excepto

de

necesario

naturalesa

inevitable,

del

ecuaciones

la

los

dimensiën

Era

métodos

cuales

'investigar

particulas,

grande,

las

la

volvié

esas

débiles.

la

en

usuales

entonces

los a

de

hipotéticamente.

Fue

para

aparato

para

particulas,

comrletamente

v

ui

estadisticos

matem&ticos

movimiento.

informaciën

particulas, no

ctros

restringiera

y

al Su

[7]. primerag

aplicaban

Khintchine fueron

gus

Khintchine

como

preponderante

estructura,

Mecé&nica.

de

&extremadamente

por

Las

aus,

molecular

afirmar

fenémenos

carê&cter

general

asinteticas.

teoria

rol

determinarse

métodos,

no

un

podia

su

resultaron

del

la

numerosas

métodos

esos

desarrolio

dos

A.

temporales

creaciën

métodos

numere

podian

ses

justificaciën

férmilas

tomé

sistemas

la

aue

de

v

presenta

ergAédico

una

de

Despuëés

espacio

matemêAtica,

promedics

problema

necesidad

mês

formula

fases.

construccidn

la

la

dar de

de

ésta

el

las

Gases.

fundamentales el

Boltsmann

inicia

teoria

de

usados

investigaciones

sistemêticamente [71:

& en

algunos forma

de

métodos

Maxwell

11

vy

Boltzmann

estadisticos.

argumentos

'timida

vy

Segtn

probabilisticos

bastante

vaga.

Las

Caracteristicas demasiado

colisidn, en

la

embargo

importantes

necesidad el

Nc

de

sélo

dinAmica

particulas

formas

posibies

eaguiiibrio. evolucidn

aue del

primera

formulacidn,

por

la

sistema.

Teorfia de

dinAmicos

ergédicos,.

a

la

sgeneralidad

problemas de

la

més

clara.

por

la

En

fue vy

estudia

a

la

dstallaremos

condiciones estudia

la

determinar

las

con

un

hacia

Su

régimen

de

los

posibles

imprecisa

mediados

de

de

en

este

sigleae

mateméAticamente para

su

la

los

sistemas

la

MecAnica

3.3).

sisteméAtica

de

extensamente por

Gibbs”

en

potencia.

En

esos

conexidën

con

empezaban

Gibbs

muestra

matemética,

“Elementary vale University

intentara

sistema

bastante

ideas

plantea

gus

defirir

dada

en

libro,

fundamentaciën

” Gibbs: mechanics”

&

Estadistica su

primera

("mixing”),

(cf

principales

MecAnica

al

aplicaciones

Termodinêmica,

otorgé

idea,

exposiciën

con

algunas

'uniformizar"

tomada

`mezclado”

primera

Estadistica,

es

Ergidica,

condiciën

La

Esta

nociones

2)

forma

precisam.

'intentando

a

Ccuvas

y

Ereédica

dei

las

en

forma

irreversibilidad

tienda

de

usadas

Boltzmann

evolucidn la

estados

gue

procesos.

de

Vincula

en

promedios,

sino

de

las

teoria)

dguien

de

parêgrafo,

eran

Teoria

es

irreversibilidad de

la

Hipdtesis

elêsticas,

intraduce

la

sustitucidën

préximao

de

1)

interacciën

elêstica,

aparecen

luego

la

son:

esferas

Boltzmann

gus

fundamentar.

no

a

como

tambiën

gue

pericdoe

respectc

construccidn

Probabilidad, Sin

en

primer

(representadas

de

Esencial de

este

restrictivas

particulas levyes

de

a

1903,

le los

fundamentaciën

aparecer esa

of

dguien

'tiempos

apareciendo

Principles Press 102

12

la

desarroiladas

ën

forma

preocupaciën el

problema

statistteal

de

la

mAs

Hipeftesis

dificil

La

interpretaciën vy

Sistemas

su

[7]:

considere

la

criticadc

por

cuAl

La

liamada

E1

sea

ser

a

un v

sistema

fenbmEenos

teoricoes Un medida

Mecê&nica

rama

la

de

la

es

de

veoces debe

& (8e

Regula

el

independientemente

la

gue

lo

causan.

Mecênica,

es

una

fisica

sistemas

del

mecê&nicos

comparativamente

podria

ser

suficientemente Se

a

se

&

naturalesza

ios

los

Mec&nicav

fuerzas

de

es

so

Clêsica)

las

de

Estadistica

Perc

de

como

a

reciente.

partir

descubrid

mês

de

leves

concreta tarde

para

gue

la

diferentem.

ERGODICA

lado

las

ladco

cuando

la

MECANICA

una

en

la

sus

no

durante

fisica,

un

con

promedios para NO

intervalo

para

variables

la

Mecênica

observaciën,

cantidad

since

a

cen

de

de

observaciën

rê&pidamenté

. medidcs,

sine co

grande

suceden

ESTADISTICA

prê&cticas

complejidad

lisvan

valores

experimento

instanté&neamente,

LA

dificultades

se

instantêneos,

una

DE

extremadamente

otro

los

de

de

comentario

limitativoe.

de

una

microscépicos,

Ccomparar

la

deducciën

nimero

por

siguieënte

materiales,

cientifico.

un

del

una

HIPOTESIS

Pr

estado,

los

general

gus

es

LA

Teoria

levyes

teoria

no

interés

@studiar

de

fisicos

mecênicoe,

para

Esta

la

MecéAnica

,

rige

situacitbn

del

la

presuponia

1.3

uno

sistema

las

naturaleza

generales

tener

un

particulas

yy

generales.

tan

de

abstraccidr

se

como

sistemas

gue

priori

DinAmica

fendmenc,

Antes

objieto

como

a

la

los con

hecho

materia

de

Completa

a

&

refiriendo

movimiento

de

es

incomprensidn

de

Boltzmann

vinculacidn

DinAmicos,

Khintchine

est&

de

solucidn.

mecinicos,

la

Ergiédica

numercosos Estadistica

los

valores

temporales. obtener se

la

realiza

muy

largo

desde

el

punto

sistema.

del

Los

espacic

vista

valores

de

observado. MecArnica

de

En

tendran

evolucidn

por

observables,

de

poco

dificultad

Estadistica

variables

la

momentaneos

fases esta

de

se

los

la

en

interna

funciën

comamn

origina

promedios

de

Con

el

estado

el

valor

interés

temporales

déespreocupêrdose

del

de

de de

sus

la las

valores

instantineos.

Sea

ff

una

funciën

macroscApica). el

estado

TIP),

Si

P.

v

el

del

estadc

sistema

evoluciona

se

T(BY.TPOP),.... TB), 1

el i

f Con

N

Muv

de

este

en

la

grande.

Pero

promedio

prêctica,

cantidad

(BV

N

Cconstante

ai N

10

antes

de

es

necesario

interesa

aue

la

sucesiën

de

entre

limite

inferior

y

n

un

2m.

es

es

decir

muy

gue de

existencia

del

limite

teorema

de

n

*

la

cornieturar ics

f

superior

Mec&Anica

de

otra

OP)

no

Por

promedios

esta

forma oscile

distinto,

cuarmdo

esta

Estadistica

los

aue

razonablemente

Dicho

limite,

valor

observados

certesa

promedios une

el

valores

tenmer

grande.

de

instantes

gue

SUponerse

tenga

fundamentacidën

los

P,

;

a

puede

n

en

estados

EE)

comparable

si

los

an

promedio:

Nd

es

tebrica,

(variable

inicislmente

por

etc.

interesa

sistema

encuentra

pasande N

O,1,2,A...,BHB,...

del

TrTazéAn

la

por

la

pasa

temporales

cuando

oo, El

f

Birkhoff

EL tsorema de Burkhoff bastante restringida:

el

P

fO,nl.

t, OP) /n tiempe

a Come

para acumailads

tuna

regin

UP

gue,

enUNEiade

vast

todo de

del

vieite

casi

Primere

punte

espaeio.

para

PP, de

durante

s

todo

eN

forma

dende

t, OP)

La

trayectoeria

el

intervalo

el

bimitte

eorolarior

St

el

es

Constante

sistema

es

sn

transitivoe

cast

dode

P-

indica

por

Lim

asegura

fue



Existe

EG

metrieo,

Punte.

entonces

punte

P

pusde

déepender

na

del

espacico de

dificultad

P,

m

no

de

Hd

O

D

GT et

Mm HT

P

La asumeE

[7?.

v

aus.

en

bromedics

tambien

E.

Hepf:

PH.

“On

the

Siende

la

trvariantss

P.E de

Yi

dende,

Ad

(BY

dP

ouande

des sd

EUusge,

T,

time

se

limf dj

Ti

ir

superftsis

Et

MecêAnica

nersia

stlo

gon

de

los

iheorem

in

medida

du

-s

promedias

Dmapios”

(Firiitep

(BY)

dP

casi

lim

Ad

Sina

Proe.

19az

18

(EP)

los

pgrêcticamenta

limite

pere

Hopf”

constante

el

1

el

Fstadistica

limite)!

EET ID

/I

E.

el

-A

di

aus

auiste

nd

-

embargo

sea

vol

.

$fi

svrliicitamente.

la de

(BP)

F

los Sin

hasta

no

Le

2n

S

f

3 4 EP)

He

v okliesrse

lim

f $

de

average

Sciences,

ef,

la

srac

probiema.

sehalaran

(cc

superfiie oen

de

f OP) n

of

con

observadc

EBEntonces

Acad.

Nat,

the

para

Eet

principio.

Gitima

suberficies

de

de

ei

erehdica

temporaies

independientes

of

fue otros

las

levantar

d

este

hipAtesis

de

determinar

Desde d

siguiers

Kkhintoinine

Ppero

travectao T

UCGionandeo.

ni

eriste,

a

Hecênica

partida

ern

primers

limits

1

da

aué

este

dificil

pusede

por

&

aguivalente,.

mês

de

syperimentador estadce

fases,

esstado

muchac

fundamentacien

el

de

4

s

teda

£f

Sm

# £(P) punte

'B)

tromste

sobre

dB

P:

dy

s

sepaeial

ed

slla

f

SR

(BY

du

ef

soebrz

Sy.

limite

y

la

integrat

de

Y

sep

`iercambiables

Ee

Tr

eAdante

del

iEorema o.

na

on fumneAn

de GEED simple

GERVErgenEi oENtrarië B.

in

rtud aootade.

Per

sade,

cuande

T

AEL

BAELMEELLIR

de

s

Durante

toda

la

Estadistica,

ERa

cantidad

interpretaciën

teërica

dar

argumentces

definitiva: del

teorema

de

de

Fo

a

para

se

la

igualdad

métricamente del

igualdad.

Perco

Estadistica

en

teorta

Koopman”

de

basada

de

en

la

Sin

embargo,

preocupaciën

por

sustitucidn

demostrar

existid expresar

de

gue

los

tlamada

Ergédica":

eguivale del

a

sistema,él

Compatibles

constituidas

suponer

con

gue,

sin

recorrerê su

nivel

fines

e

ague

limite sistemas

COME

La

por

una

esa

del

obligaciën

justificaran intentos

introduce

Brbita.

claro,

Esta inicial

posibies, de

BG. B.BirkhoffB.O.Koopman: Recent ceontributtions to Team” Ergodic (Proceedings of the National Academy BeieancEs)

ipaz

16

la

energia

condiciën estados

Es

per

CGumpiirse

Unica

energia.

unua

pasado,

de

los

B.O.

teortia.

debian

la

los

como

superficies

na

a

y

siglo

gus

esa

Mec&nica

exitoscs

Boltzmann

importar todos

de

log

incluso

las

de

el

verifica

de

condiciones asi

generales

promedios

efectos

promedios,

del

légicamente

Birkhoff

de

desde

Es

estin

va

conduce.

obligatoriamente.

constante

parte

En

se

condicicnes

EBas

"Hiptesis

no

sustituciën a

En

existencia

aue

resultados

ella

indispensable,

la

particulares.

los

sin

transitivos),

Birkhoff

condiciën,

vista

io P).,

(Oo

la

ff,

mecAnicos

inicial

sistemags

esa

califican

Ooperaciën

esa

son

asume

sino

la

teorema

a

Tasones

promedios

estado

de

primera

hay

indivisibies,

Corolario

aue

del

la

sistemas

de

COME

jiustifiguen.

matemêtica

no

Mec&nica

medidos

le

de

los

en

gue

independieënte

iégica,

aus

pero

la

aSumida

valores

través

Birkhoff,

verifigue

los

hay explicaciën

obligatorias

sea

de

de

Es

matem&ticos

si

limite

exposicidn

alli,

the cf

gue

el

promedic

temporal

iniciali,

y

promedio

espacial

Ergegédica

de

para

la

por

validers

un

expuesto en

de

eësa

la

(incluyendo

por

ferenciable: vna

es

ejiemplo

la

fo

Después hipÊtesis

por

tedos si

bien

Ya

elementos

como 1891,

tnica

id

z

P. &

T.

T.

explicaremos Kelvin

Wissenschaften,

de

de

un

a

dos

la

recta

drbita,

real

(los

la superficie de energia cuando la #Aimensiin de

los

des

41.

constante, so

punte

(intersecta

Pero

esta

es

agaue

hipétesis,

promedios,

no

es

adelante.

idea

la

inviabilidad

de

la

a

la

Poincaré'”,

modificar

esa

cuasi-ergodicidad. observan

excepto

Sciences.

debido

Luego

para de

1911

f

no

denso;

periëdicas.

en

la

aundue

energia

direccidën la

introdujo

Boltzmann",

Hs Encyklepadie Pa-

de

maês

promedios,

Generale

Soo,

se

trayectoria,

Maxweli-

érbitas

Ehrerfest: N

entre

manifiesta

Ehrenfest',

Revus

Oo

con

hamiltonianos),di-

reemplazar

posible

sustituir

Poincaré,

cbligataria

superior

cualguier

para

v

H.

gus

Yfuera tuna Unica

superficie).

Tambiën

io

al

promedios.

sistemas

la

de

introduciendo

poder

suficiente

topoligicamente

hipêtesis, P.

condicidn

menos

superficie

de

Ergédica

presencia la

Hipltesis

observacidn,

la

necesaria

en

la

contradictoria

muntos de imoosible

esta

entorno

“Hipetesis

indica

de

todo

suficiente,

igual

mavor).

conjunto

es

posibie

los

biunivoca

un

los

mucho

superficie

totalmente

constituye pasa

a

de

estada

es

dimensiën

"cuasi-ergidica":

complete

limite

una

es

de

inmersidn

dos

es

del

Luego,

sustitucidn

tiempos) y todos los conetente, lo cual es ella

es

dinAmico:

si

su

superficie.

conservativo,

habria

antes,

condiciën

sistema

sistema

la

independiente

Maxweil-Boltzmann

Pero, para

lo

es

gue

algunas

para

curvas

1894

der

Mothematiischen

excepcionales, energia

todas

constante

superficie.

pasar

tambitën

débpil:

promedio

@érbitas

deben

Ellos

demasiado

las

por

gue

Cumplirse

varia

de

la

superficie

de

los

elementos

de

e&sta

condiciën

es

todos

observan

puede

temporal

de

una

'tambiëén regidëén

cuando

a

otra

el

de

la

superficie. En

sintesis,

Birkhoff,

la

estaba

decir

(i.e.

pasa

por

demasiado podria

es

mê&s

Birkhoff

1931,

alcanza

aue

recorra

` todas

la

transitividad

atn

como

algunas

analizaremos

mês

La

gue

de

Êrbita

por

lo

tante,

6rbitas, fue

medida

de

@rbitas,

eguivalente por

profundas del

y

por

ergédico:

positiva.

resultado

gus para

dada

teorema

de gue

intermedia

formulacidtn,

mê&s

Ergédica

una y

Su

pasan

insuficiente,

trivial

es

del

gue

Més a

si

la sola,

obtenido

Dor

relevantes

son

teorema,

ague

mismo

adelante.

cuasi-ergédica

topolégica"

bastante

incluyendo

los

es

no

consecuencias

topolégicos

topolBgica

pero

varias

de

de

Esta

hipetesis

“transitividad

hipPttesis

respuesta

ergodicidad

creemcs

otras

La

partes

importancia

Pero

o

corolario

métrica.

la

la

Condicidn

conjunto

las

matemêAtico,

imposible

1a

de

vista

Hipetesis

algunas

cualauier

precisamente,

Birkhoff.

es

es

a

la

Mec&nica

érbitas

existencia

ergodicidad?

en

muestra

Y la

Cu&l

de

necesaria

puntos)

solicitarse la

es

(i.e.

los

la

de

sustituciën

de

existencia

teorema

por la

punto

débil;

fuerte.

asegurar

el

la

abiertos)

todos

como

del

Ccondiciones:

los

Maxweil-Boltszmann

aparicidn

reguerida

dos

Cuasi-ergédica

es

desde

entre

todos

1a

(entendiéndola

promedios) acotada

de

ergodicidad

Estadistica

por

antes

por

generales

espacics

eguivalente

la

Matemêtica.

(separables

e@uclideos,

a

la

18

es

condiciën

la

vy

1lamada En

eSspacios

de

Baire),

transitividad

siguiente:

(1)

Dados

U

las

Grbitas

y

V

gus

Ademês.

No

eyisten

sentido

gue

no

Veamos

se

entonces

indivisible

medida

positiva,

conjuntoe

dinAmico de

Cantor

topoisbgico,

i2

EN

pero

efecto:

entoncss

diep

&

VV.

verifiea

OD,

La

con

Si

la

el

Chicos)

del

vinculo la

medida

topologia

sobre

del

abiertos),

ergodicidad

invariantes

implica

el

érbita

dos

gue

positiva,

de

abiertos

reciproco

densa

un

disjiuntas

tampoEo

medida

brbita

por

1

es

false:

exciuya

es

de

tiales

V

Poor

N

un

transitivo

ND

U

es

DEP

Y

Lade;,

dense

Baeire.

P

gue

Ps-tU,

otre

abierteo

separable

punte

s8

es

OD.

un

UunN

v

Pep

condtein

espacio

en

métries.

ali

es

mês

(el

cuasi-ergodicidad:

embargo

una

'instantes

LA

del

ne

pe

ta

U

base

st

exwisten

Sin

o

Oo

admite

con

a

positiva

partes

disjuntos.

'invariantes

abiertos

métrica,

ND

espacio

indivisible,

respecto

Borel,

en

de

tiempo

cualauier

matemêtica

topoliégica

sistema

algUtn

cuasi-ergodicidad.

natural de

en

disjiuntos

justificaciën la

V

conjiunto

siguiente:

subsistemas

v

el

(en

admite

transitividad

sistema

la

abiertos

transitividad

invariantes

es

topclégicamente

medida

la

a

a

es

forma

(una

Ccorta

condiciëén

la

en

espacio

un

por

ergodicidad

elige

la

U,

dos

dinêAmicc

la

pasan

eguivalsnte

sistema

entre

cualesauiera,

esta

topoigico), (IT)

abiertos

si

para

coada

densa,

SE

U

entonces se

y

se

verifica

AL

de

La

Luego,

DEAL

L es

denso,

brbitas 13

En

en

H

Y

E6fecto: abiertos

DAL

son

Bi

es

entonces

b

eorstrueeiën,

no

se

invariantes

condtEeidn

p

por

todos

sus

puntos

P

tienen

depsas.

el

miLSmEe

X.

ewisten

G

abiertes

LI

y

U

no

IE,

el

sistema

Y

V

entonces

eorta

aa

si

NO

Reciprocaments,

abiertos

p &

verifica

disjuntos

U

y

V

tales

da

Lmvariantes,

centradieen

MV,

es

divisible

contradiciende se

veriftiea

La TE

gus

son la

disjuntos. eondieien

IT.

Come

ademês

Le

SXDUESTO

Cuasi-ergodicidad

Como

ya

condiciën

de

Estudic

1970

de

Ya.

simrle

dos

las

paredes

gus

su

perao

es

hasta

el

sa

modeilos

para

no

au&

la

de

es

una

sases

de

la

dias.

EN

un

modelo

muy

entre

si

con

de

v

Con jetura

n

prueba

sobre da

contiene. para

(o

objeto

de

coliden

esterast* oe, de

ello.

Este

Boltzmanp-Gibbs.

“Lillares"

importantes

métrica

nmuestros

tambiën

la la

interrogante

Bsta

las

existe

modelo

enuncia

justificar

ergodicidad

gus

lilamadaos

investigaciones

Birkhoff

pie

la

ersodicidad.

hasta

elésticos

momento

si

en

la

cierto

Gus

transitividad

Brgegddica

es

de

condiciën.

recipiente

precisamente

Estos

la

demuestra

resuitado

la

teorema

permanece

discos

del

aue

reaguerirse

Teoria

Sinai”” de

sl

verifican

la

entonsiss

débil

promedios: Pero

mcdslos

més

debe

ergodicidad). agué

es

diiimos,

ague

sustitucidn

ErueEeba

SON

Teoria

objeta

Ereëédica

de

en

sl

V.

T.

presente.

Finalmente [51]:

&

conjeturat

(la

estudiados

cuando

tiende

el Ambos

Eregiédica.

3

Yv.

sinai:

Ergodic SUrveays

t4

bis

for Math.

El

a

segundo

estA

Dynamteal -

Ergédica

sistemas

Estadistica) el

problema

fue

bien

de

(lo

gue

mecêénicos

&

ocasiond

la

aplicaciën

valorado.

Se

el

NUMEro

cuande le

esta

interesa)

trata de &

vy

no

infinitom. 'importantes resuelto

Systems

of

'Teoria

de

with

seattering

a

de

partir

esltastie

btiltiaords.

la

Teoria

del

Teorema

reflteottons.

Russ.

Math.

1670

Y,sinai: (NM dynamteal Dokl. ed

a

problemas

properties 26

infinito?

tiende

son

no

refleiin

los

asintéticc a

tiempo

de

Perc

Estadistica

comportamiento

particuilas

la

MecéAnica

discusiones.

MecAnica

del

la

una

de

ergcdicidad



F

the jfoundattons of system of stottstieal

1oaa

)

la

principio

por

profundas a

Al

NI

Arnold

transcribimos

the

ergodie

meehantecs

hypothesis Bmwoviat

de

Birkhoff;

el

abierto.

La

ergodicidad

por

mucho

gueda

billares

cCaso

el

en

atun

y

elegido,

de

modelos

los

de

simplificade

estA

mec&Anico

modelo

del

depender&

primero

investigar.

TEORIA

de

(medidas

medida

Probabilidades,

de

Teoria

moderna

década

de

pleno v

Haar),

de

vy

de

Teoria

la

v

de

topologta

la

Borel,

de

Lebesgue,

forma

en

estaban

Oo

vincularon

aue

teortas

desarrollo,

la

en

inicia

se

conocidas,

va

eran

cuando

1930,

con

ErgAédica,

resultados.

de

coherente

cuerpo

LA

ERGODICA

Teorta

la

de

desarrollo

El

DE

RESULTADOS

PRIMEROS

VY

HISTORICOS

ANTECEDENTES

1.

la

la

Sistemas

Dinaêmicos,

potentes

Algunogs

Ya

hemos

Liouville,

ague

vincula

llamé 1899,

en

ciertas

15. vol

poinearê: 2a

a

antecedentes

mencionado, mediados

la

“medida"

introduce, ser

teëricos

muy

generales,.

su la

del

dinAmica en

el

para

Mêthodes

en

un

espacio.

discusidn nocidn

sobre

$&#

siglo

de

medidas

aue

el

teorema

XIX,

es

un

antecedente

Con

lo

sistema Ppero

del

todos

los

Nouvelles

1869

invariantes

1.1,

tambiën

aue

de

de

la

se

de

se en

recurrente,

propiedades

puntos,

luegc

Poincareé'”

movimiento

fundamental

ie]

1.4.1

y

entonces

estudiados

Trecursos

con

diferente,

dptica

una

desde

son

Ergeédica,

Teoria

la

a

origen

Hi

dar

a

contribuyeron

ague

Mecênica,

la

de

problemas

Los

aue,

sin

cumplen

Eon

Mêcontague

Celeste

probabilidad integraal La

de

de

Anslisis

Brel,

del

la

por G.

teoremas

vy

ha

sido

admiten

Luego,

antes,

siglo.

vy

se

introduiera

enorme

formaliza

en

sl

Poincaré,

la

década

la del

probabilidad

de

1919,

en

EN

aAvance la

estudio

en

de

en

cieërtas

una

los

sistemas

reformula

términos

de

asociadas de

travectoria estar

Bste

del

(un en

ios

la

'Teoria

el

travectorias

T

general,

espacto,

infinitas

Varios

Sur

differentielles 1-2 vol rie et 4

cast

parte

cast

tode

punta

todo

tiempos

es

vers PY,

ma

pumto

positivos, Admite

espacios

A

zu

transitividad

futuro.

a

v

cuando

inicial

la

el

medida,

ma

tosiciAn

antecedentes

aue

preservan

topaiireicos.

ë:

la

de

infinitas

los

Si

una

de

medida

parte

medible

de

A

vueluve

A.

otros

transformaciones espacios

a

su

solamente

sntonces

veres

de

referida

preserva

invariante.

recurrente

vuelve

hacia

les

Ya

courbes

our. de 1BB5-188s.

Math.

IN

St

wvolumen

es

aus

recurrencia:

entonces

P

1iamaba

dinAmicos

de

reformular

es

finita:

el

ha

gus

volumen,

teorema

cerca

permite

mês

Oo

futura,

tonsiderandoe

versin

el

punto

topolibgica, decir,

Poincarél”

sistemas

eëpacie,

arbitrariamente teorema

a

preserva

tnuvariante

1880,

Area,

establece

transformaciën

reeurrente

de

transformaciones,

intesral

Poincaré

ocotada

del

Gue

furdamentada

un

Carathéodory,

"conservativas",

2a

Lebessue,

Peincaré

pruebas

a2studiado

as

antes

Medida. Ya

la

idea

de

presente

esaguematizada dinAmicos.

esta

Lebesgue.

integraal

medida

de

Expuso

o

la

1.

los

una

sêrie

eiemplios

medida

grieëgos,

defints 28

dan

utilizaban

par vals

natural

les 7-aA

18B1

de en las

BUGELSIS 1882

ML

AVIIED

UE

AUS

LL

di

EA

Y

VEAEIMERE

invariabilidad

por

coinciden

jiguales

.

geëmetras

griegos

decirse

son ague

los

invariantes,

pere

especiales, responde

Lebesgus

de

esas

ésta

analistas.

una

Pero,

Para

Erelédica,

Teoria

condicidn

aus

En los

ocupa

1812,

K.

desarrolios

problema

en

la

existencia aguella

de

hasta de

los de

secundaria

en

la

[121].

ésta

es

la

investigaciën

la

due

(en

de

encuentra

un

transformaciën

del

a

cada

fraccionaria

de

de

propiedad

es

a

mismo,

medida

dominio

continuas,

comprenden una

lIntegral

plano.

vinculado

parte

muwy

Cavalieri

la

motivada

si

el

contrario,

fracciones

en

investigaciones

&l

primer

Gauss?”,

[0,1]

corresponder

de

términos

X

hace

1/X%.

Sus

modernos)

prcbabilidad

la

'invariante

por

transformacidn,

En

el

grupos

siglo

de

Y

pasado,

para

R.

En

polinomios

tales 1897

invariantes

para

no

declinar

A.

de

la

siglo

KX,

y

1924,

con

la

efectuada

una

espacio

de

de

log

Schur

a

los

v

H.

&

a

de Las

los

grupos

medidas ideas

tal a

de

de

ver

del

principio

del

ctonocer

WevlY

rectas

obtener

causa

invariantes

empezaria

medida

ortogonal,observa

Lie. a

por

las

existencia

inmediato,

de

se

grupo

la

grupos

eco

teoria

I.

el

un

Cartan,

ewtensidn

por

interesa

determina

en

por

Ciertos

reciëén

se

Hurwitz ”,intentando

de

tuvieron

y

grupos

invariantes

independientemente

Hurwitz

E,Cartan

desplazamientos

invariante R”

al

probabilistico

intervalo

de

por

medidas

preocupaciones

transformaciones

gus puede

con

Gélculo

desde

elios,

SU

cosas

moderno

ampliar

yy

d

subconjuntos

el

las

para

por

la

de

de

invariabilidad

para

aue

medidas,

seré&

Las

trabaiaban

sélo

necesidad

&

lensuaje

considerarse

la

definiciën

En

definidags

Puede a

desplazamientos:

Ad AdEAHUAdS

su lLde

(Bourbaki

valor

en

compactos,

127).

NOTAS: 17 18

io

K.

Aauss

EE.

Cartan.

;

Werke

K

F

f

f Oeuvres

A. Hurwitz: llber die Integratton sott. Nachr.

1842 ceompletes

£rsengung £897.

Ek

Paris

1953

der

'

lInvartonten

dureh

Dtra medida

V.

corriente

de

Lusin,

respecto

a

lievo

demuestra

gue

medida

continuas

coRSstituve

unc

relacionan

la

de

de

por

i

subconiunto .

En .

"medida"

naturaleza, existencia

localmente

compactos

para

aplicar

bastaba

conocer

regueria

la

Neuman

para

tarde

Case

de

eiemplo

estudia

definiendc

medida

&l

una

"medias"”

Estos

fue

22

T. von

medio

primeros

23

.

A. Weil:

ses

24

it

de

"de

una

due

tambiën

se

un

por

J.von

método

de

continuas.

la

Mas

métodos

unicidad

en

el

compactos. [42]

invariante

con

en

borde

anillao"

integraal

son

gue,

no

G.Birkhoff”*

billar

eijiemplos

le

probleme

Neumanm ZUM Ctompos, Math

I

ihe

ONLIID

de

la

obieto

due

Dor

1927, CONVERO,

preserva

la

invariante.

de

mesure.

Hoorschan t.I 1984

estudic

de

lo

unigueness

Mess.

of

Fund. Math.

t. IV

; topologisehen

Ln

Haar's

meosure

Mat.

188.

FEE

,

L'integratton

applications

3. BLrkheff:

Acta

del

gsrupos

eficaz,

medida

por

la

T

Sur

Neumann:

Sbornik

dada

problema

-

es, BERE io23 24 d. Von Gruppen.

de

Para

siguiendo

localmente

importante

de

forma

funciones

simultAneamente

e&ël d

demostrar

demostrado

Weil”,

por

observé

utilizando

de

VvOA.

por

fue

compactos,

transformaciën

definida

sine

tode

gus

1833

se

en

nula,

Ideas

&n

Pero

Haar

punto

topolAégicos

transformaciën

auien

Este

R'.

invariante

existencia,

obtuvieron

Dtro

una

su

ninguna

ara

muestra 2

A.Haar.

de

ague

idénticamente

Ry

separables.

grupos

grupos

definida

y

teorema

egiste

y

a

medida

no

20

de

'jimportantes

no

en

(Con

limite

Este

R',

S8.Banach

existe

Neumann

diferentes.

en

medida

la

mediante

J.von

gaue

una

unicidad.

definiciën

prueba

permitieron de

mas

1a

generales.

el

COMPAaCtTO.

medida.

de

medibles

son

la

1923,

mês

funcines

traslacicnes

tal

poder

con

partir

métodos

resultados

aditiva

R`.

a

Lebesgue)

1914,

3

de

contrario,

la

en

a

soporte

topologia

coniunto

invariante

misma

con

surgida

las

de

los

Hausdorff,

funciën

ideas

lLebesgue,

la

funciones

de

On

bhe

Malhemolica

et.

actual

.

dens Beient.

pertodie 1687

les

vol

Sroupes sl

ind.

motiens 56. “Eg. DM

Bee

of

,

topolestmes pars

sat

1640

Hynamteatl

SUS Eems

estadistica

tenddtia

una

muestran

de

la

reciprocamente,

la

teortia

la

1.4.2

la

siguiente:

el

investigaciëén

de

iniciales.

datos

de

determinaciën

para

definidos

como

problemas

vista

de

punto

un

de

la

proposiciones

Muchas

Gus

datos

de

de

especiales

Medida.”

la

de

Teoria

la

considerarse

pueden

formal,

peculiar,

forma

una

tienen

de

parte

dependen

no

trayectoriasm...&

la

de

mayorta

la

valores

asumen

gaue

o

particulares,

Y

estocAsticos

lo

la

casi

gue

caracteristicas

aauellas

a

eguivalente

alguna

sus

interesa

modo,

otro

de

Expresado

teorema

Probabilidad,

en

de

movimiento,

del

dependencia

El

es

DinéAmica

la

de

principal

problema

definida.

comprendida

est

razén

La

Dinémica.

de

sistema,.

del

con

forma,

en

coincide,

estacionarios

la

dn Ccondici

procesos

de

v

métcdos

Los

&

de

Teorta

teorema

cierto

Dinêmica

formalmente

es

Birkhoff

de

fundamental

la

libertad

de

grados

de

ntmero

al

concerniente

particularmente

ninguna

sin

AU

General,

DiniAmica

la

Es

[7]:

Khintchine

por

exwplicada

es

Medida

entre

vinculacidn

la

cAmo

interesante

Eraédica.

Teoria

llama

se

hoy

ague

Primeros

resultados

gobre

convergeneia

de

promedios Otro

paso

investigaciën R,O.

en

Koopman”

operadores medida

al

s

B.O.

Broc.

U,

Koopman: of

the

Nat.

del

la

fue

of

Sciences

25

en

de

la

1931

una

Si

medida

Systems vol.

i?

and -19a1

mediante

'T

vv,

funcionales

la por

preservaciën

Funcional:

espacios

, j Hamtitltontan

dade

para

interpretacidn,

An&lisis

preserva

los

Arcad.

significativo

funcionales,

aue en

Yy

ErgAédica,

intrcducir

términos

transformacidën

2

Teoria

lineales

en

operador

interesante

de es

define de

, Hilbert

la una el

cuadrado

Spares

integrable

e?

operador

e).

por

la

"unitario”

Adem&s,

y

funcional,

condiciëén (i.e.

aaui

el

preserva

est&

la

conocimientoe

El

sobre

primere

oo

la

fundamentalmente

J.von

Neumann”,

definido

por

promedio:

positiva)

auien

Koopman,

Si

travyvectoria

t

OP)

por

P,

durante

converge

segtm

t(P).

decir;:

Es

la

N

Ademêés

P,

es

A

gue todo

punto

Neumann,

t AT.

26

T

ao ET of

A

del

fue

operador

estadia

espacio

(con

st

a

U

del

de

la

medida

entonces

de

.

norma,

erglédico

de

2E

ague

del

([0,n],

ese

Ccaso del

t

(OP) /n

un

de

y

como

solo U,

Proof Acad.

es

of of

sistema

es

la

igual

limite

el

limite

lo

ague

en

establece

.

si

Estadistica,

este

de

Birkhoff

[3],

(para

casi

necesita,

segtim

estadisticos

precisamente

:

el

subespacio

vA)Y/V

finita).

puntual

términos

casi

transitiwvo

cocdiente

supuesta

teorema

de

es

al

MecAnica

del

resultadc

.

independiente

espacio,

conversencia

si

es

el

efecto,

operador

Nat.

extraer

general, en

teorema

tiempo

T(P)

si

util

En

la

EE the

enfogue

permite

teorema

funcional

euwistencia

P).

Fe

espacio

transformaciën

ayuda

intervalo

gue

en

tan

su

del

parte

fines

ergodica 1

en

medida

la

es

Y

es

propio

Proc.

la

asegura

U

la

el

el

solo

vy

es

el

un

|

vy

.los

resultado

la

denota

prueba

si

V

en

es

del

convergencia

con

norma

Este

OD

métricamente, (donde

la

una

norma

de

un

demuestra

el

1im

todo

de

la

operador

establecié

trata

foT.

oe

ergodicidad

due

-

importancia

del

,

Cconclusiones

Uf

de

z

gus

EoN

von de

la

valer

unidimensional.

the

Sciences

26

(tmuast1iPa2

Ergodiec

Hypothesis

“desviacitn

estAndar"”

€&l

vista

punto

fases,

de

como

es

temporales

(Et, n

fue

Alii mavor

probado

de

ergidico la

teoria

con

no

funcicnales;

detaiiarê&

mês

eytratdos

de

Poincaré, En

&el

ComunNica

22

obtenido

por

liamamcs

E.HOp£””,

Neumann

E.Hoepf: Nat.

On Acad.

no

sino

dos

the of

Neumann,

en

autor

unitarios

lo

cambio

prueba

sefala

octubre

de

1931,

(diciembre

los

(como

se

completamente

de

las

diferencias

J.vorn

Neumann

Ergedico de

el

geométricos,

estags

Teorema

se.

de

recurrencia

Birkhoff

por

en

dominio

métodos

la

su

En

le si

pertenêce

el

mediante

utilisa

la

propiedades

antes

Birkhoff,

j time Sciences

del

tratamieënto

décadas vy

Birkhoff

Anêlisis.

subsecuente

el

aue

U,

Casi

the

es

el

operador

28

del

aue

1931)

nuevos,

del

&

se el

ha due

Ereédico.%

desarrollo

Neumann,

Neumann.

operadores

despuësv

métodos

Tecrema

Un

von

Poco

lo

el

de

personalmente

Promediom...s&

von

de

conocimiento

de

von

este

(v/V).

ergidico de

de

promedios

individualegs

tratando

[11],

gases,

el

von

su

de

espaciales es

entra

adelante)

trayectorias.

por

Desde

espacio

sustituir

de

ténicas

nm.

el

cinética

@6rbitas

aue

para en

para

teorema

Birkhoff

aclara:

teoria

grande)

las

espacios

y

la

profundidad

a

anula

estadistica

n

el

teorema

teorema

se

Dinimica,

de

naturaleza

y

a

la

probabilistico

El

la

con

a

interesa.

tn

suficiente

Pero

su

de

interesa

resultado

alcanza

de

Vol

48

mê&s

de

isa2

dad

de por

espectral

del

inmediatas.

los

teoremas

ewistian

Theorem -

ersédico

simplificado

resoluciën

va

average

teorema

7 'n

ergédicos

,resultados

) Dynamtes

de de

Proe. of

conversgencia

de

particulares:

En

circunferencia, teorema

de

Sierpinski

promedios,

el

si

estudiados

cCaso

el

del

problema

'"eguiparticiën",

v H.

Weyl

t

el

todo

P,

donde

MA)

es

su

medida,

al

conjunto

acumulado

de

visita

[O0,ni,

un

punto

de

posicin

P,

vy

irracional. toro

(ce

ergidicas

carecen

respecto

a

érbitas

de

t OP)

A,

W.

durante se

sgue

en

lag

'la

medida

el

el

intervalo

encuentra con

en

todas

si

sus

la

pendiente

traslaciones

Lebesgue,

en

tiempo

en

circunferencia),

de

y

medibie

es

traslacidën

perildicas,

resolver

perihelio,

P.Bohl:

ein

este el

surge

,

in

problem

“Py. weyls Sur la mêeanigue H. weyl: Liber Annalen

aue

,

Lber

vErkommendes

Math.

subconjunto

Y

por

la

P.BOR17”,

el

v

el son

solo

d@rbitas

si

son

[5]

intento

2e

a

la

LAS

un

tambiën

Histêéricamente,

del

es

Trotaciones

de

unidimensional),

inicialmente

mueve

Muestran

de

densas

gus

se

las

A

(o

(P)

Ee

Ty

punto

toro,

es

ejemplios

gue:

NR NO

para

tore

debido

afirma

en

dar

eiemplo

problema al

estudiar

Theorte

4. Reine

de

und

der

se

origina

Lagrange, las

!

del

el

promedio

perturbaciones

Sakularen

Angew. Math.

en

storungen

185 - 1609.

wme application de ta thêorte des nombres ca statistitguë Enseign. Math. 15 -ie14 die Gletchveirtettigwms von Zahlen mod. 77

-

1916

de

@rbitas

planetarias

estan

geometria

e@espacio,

resulitan

del

traducibles

Similares Ergédica.

aue

en

se

en

variedades,

o

algunos

CON

medibies, algebraicas.

las

ague

si

bien

trabaia,

distintas

ramas

la

por

mês

vinculadas

a

la

las

en

son

la

y

en

el

general,

MateméAtica

sino

espacios

topolégicas las

en

toro,

en

y

propiedades

topoligicas

de

resultados

asi,

Teortia

transformaciones

particulares

cbtener

ergidicas

en

estructuras

conecta de

la

gEeométricas,

permiten

Ergédica

y

simples.

precisamente

a

medida

la

circunferencia

junto

algebraicas,

Teorta

la

Aprovecha

medibleas,

donde

en

de

usuales

interesa

no

otrag

sélo

muy

scn

definidas

ague

mês

condiciones

términos

recursos

Esta

las

las

due

observamos

estrechamente

tan

transformaciën

primeros

los

de

ejiemplo,

este

en

aue,

Sucede

medida.

transformaciën,

geométricas,

son

aprovecha

se

aue

la

de

embargo

involucradas

propiedades

eguiparticiBn,

el

uno

([S1,

Sin

ergédicos.

teoremas

de

en

simetria

la

V.Arnold

segin

constituye

teorema

particular

y

toro

del

geometria

la

El

muy

ctaso

un

en

obtenido

”.

los

espacios

profundos.

forma

O

La

sorprendente,

moederna.

MOTAS: Lagrongs Limites

regueria de

Considêrese

en

poligenal problema segmentes,

An

el

es

tada angular er

el

Al Wi).

instante

del

a

k

veoelor

es Ak

eomplejo

ewistencia sfeetuar

Los

per en el

it

dende

la al

plane

formada censiste al fijer

puntos Ai velocidad ACo

eoenoocer

promedies,

puntes

Los n ostudiar extreme

Y

el

estLmeaeion stguiente

AGALAZ,.

- AN,

segmentos AiL-1 el movimiento AO Y gLrar

relativamente alrededoer de Lo velocidad' angular

de planieor

Y

ta

Al. de todos

El SSos Les

AL—1, del

CON vector

D:

Lim

E

Oo

*

ne

Arg

Sa d

nulte,

Ak.

29

of $

determinade

por

de

posieiën

EL

PARTE 2 ERGODICO

TEOREMA 2.4

para

Uno

de

los

el

teorema

Khintehine””, manera

general

compatible

vy

sea

Sea

T

fe

e”

.

formuldé

(i.e.:

ff hy

ewiste para

es

"

F(P)

casi

actualmente

la

se

de

debe

la

notacidn

a

siguiente para

hacerla

contexto):

transformaciën

,

(i)

lo

empleados Birkhoff,

modificado

nuestro

una

de

1933

(hemos

con

mê&s

eërgédico

en

BIRKHOFF

ENUNCIADO

enunciados

duien

DE

aue

preserva

integrable). nd

ga

-

4

iim

todo

EF

punto

fi

la

medida

pv

Entonces: #feT”

j (P)

P

me

di)

7

es se”

vy

la

(converge

convergencia en

norma

en

(41i) 7 dy - ff du (iv)

Si

T

es

transitivo

es

el

tambiën

&spacio

parte dio

Birkhoff

probé

esencial

del

su

primer

bastante

mês

es

métricamente

la

(eo

restrictivo sistema

medida

de

Lebesgue);

la

trayectoria

n-ésgima

ver

a

Zu -

Y

la

vy

casi

todo

(iv),

Khintchine

aue

lo

punto.

contiene

completé

vy

la

le

(dado

dinAmico

regidén

por

Birkhoff),

fue

[3]:

sea

due

EP)

iniciada v

32

A. Khintehine: Math. ANN.407

(i)

@nunciado

un

de

tesig

en

ergédico),

actual.

Sea

demora

constante

teorema,

formulaciën El

la

#

se

funcional)

ee

entonces

en

Birkhoff's 1988

del

preserva

el en

espacio

, Lossung

30

el

tiempo P,

(positivo) en

(est&

des

volumen

volver definido

(o

de por en

Ergodenproblen

casi

de

toda

punto

Poincaré).

acumulado en

la

P,

Sea

de

las

regiën

el

es

volumen

casi

Primero

(P)

sus

gue

Ly(ft

esa

casi

tiempo

trayectoria

tedo

en

py)

P

P,

e

Adem&s

ese

igual

supuesto

a

si

el

promedio

es

m/T,

donde

"V

finito.

gue

GcoOmvergen

para

casi

ello

su

Aaguli

es

TtTiempos

la

gue

Creemos

Es

.

todo

P,

sucesiëfn

de

Fo —

fe ” ET

preserva

esa

el

de TY

importante

vêlida

funciones

si

aditividad. T

nd

,

sy

#foT);

agregada

est se

integrables

(i.e.: es

medida).

f

observacidën

eës

donde

la

caao

muy

demostraciën

pero

condiciën

incluye

aue

la

misma

due

se

tesis. finales;

cualguier

transformaciën

Et

el

(P)

los

por

tal

comentaric

punto

comentarios

verifiaguen

2

de

estadia

demostré

--s-de

para

sustituye

,

11

dedujo

exvpuesta

recurrencia

t,(P)

para

espacio,

N

V

1

de

todo

del

t

Ti

Uuio

de

métricamente,

Birkhoff

ees luego

aue

estadias

de

transitivo

indica

y

menor

exviste

temporal

para

t

teorema

t. (OP)

constante el

,

ss

ED

promedioco

sistema

t, OP)

del

Entoeneces:

lim (es

virtud

anteriores

v.

N

en

una este

Con en

lugar

por

Birkhoff

de a

1

CoOntinuaciën enunciado

PA Ese

Li mite

de

su

prueba,

general

due

tarmbién

puede

condensa

actualmente

formularse

en se

da

buena a

su

parte

el

teorema.

eomo

(y . (BP) Li vn

EE

ke en

i

"

VV,

de

La

donds

TE

F

traysctoria

es

el

Boor

[Or].

31

tiempoe

P,

acumulado

durante

de

el

estadtia

tntervalo

2.2

Los

intereses

numerosos

aspeetos.

publicados

[1],

actividad,

su

matemê&tica

&

opinidtn

y

ergëdico,

gue

sus

las

su

esta

del

sobre

estA razén

en

de

titimo

su

M.

al de

en

construceiën

teorema

logros

Poincaré,

no

lo

son

de

mis

Riemann de

las

estabilidad

Todos

puede

su

[21]:

dos de

la

y

Sobre

estudio

teoria

para

1905,

Morse

probiema

la

es suficiente

en

teorema

mucho

el

holardeses,

importantes, el

en

de

atenciën

aus

fundada

importante

1907.[Z1

geométricas,... las

una

Harvard

comentario la

investigacidn

hijo

contribuciën.

Efectivamente,

Y

el

abarcaron

1944.

en

Aunaue

cCoORSECUENTIIAaS

Ergédica

vy

Chicago

diferenciales,

estructuras

1904

trabajios:

generalisado, ecuacicnes

en

de de

Michigan,

pruebas

otros

Birkhoff

producto

enfoca

sus

de

gradué

Ccitamos

popular

teorema

AUTOR

trabaios

entre

se

importantes:

el

el

doctorade

obra

cien

Overisel,

D.Birkhoff

finaliszd

La

Casi son

en

EL

cientificos

desarroilada

Nacido

George

SOBRE

y

envuelven

construirse.% de

la

ergédico

enfocar

de

en

TEoria

Birkhoff.

él1

nuestra

atenceidn.

del

después. (31.

E1

teorema

Est&A

teorema

es

un

de

incluye

segundo

en

se

el

due

&n

en Ccada

un uno

expone

resultado

Analizsaremos esCcritos

el

parcial

articulo

apovyé&ndose

en

recurrencia

resultado

mismo de

1931,

ergédico,

contenida

primero

un

de

ambos

dos

fue

comunicé

vy

la

demostraciën

sistemas

transitivos.

del

teorema

ergédico.

prueba

poco

consecutivos

para

la

la

publicada

articulos

enunciado

de

este

gue

no

de Este

En

el

teorema,

anterior. articulos,

centewto ellos

Birkhoff ague

hay

y

va

publicados

referencias

Ki

prueba

1” de diciembre

LY

El

sole

juntos, al

otro.

fueron sino

MI

3

El

IDEAS

teorema

PREVIAS

ergidico

después

de

la

obtener

un

resultado

de

los

es

prueba.

tiempos

problema

y

utiliszada sistema

el

t4

`&firifndose EE

Si

se

de de

tiempos corte

es

llamada

a

o

lag

El

desde

ese

teorema

el

punto

de

una

medida

de

la

dinAmica

de

UI

fluio

soluciën

de

la

donde

variedad

el de

invariante

X

M,

es

un

también

una

es

CAMDO

analitica,

soebre a

"de

donde

Er

MH),

Poincaré",

Poincaré co

medida

tienen

due

en

'infinitas

se

casi &

primer

produce

todos

construida

veces

la

de

CoOrta

trayectoriags

El

(cf.

analitica

Y

precisamente

vy

Estudiar,

entonces

grandes

es

de

M,

una

cortar

T

a

“superficie”

trayectorias,

arbitrariamente

TIP),

Eroblema

recurrencia

(considerando

vuelven

E.

,

nada

Cuantitativo

ergédico.

el

conNtenida

aaguéila

futuro,

una

selecciona

nd;

partir

de

gue

resolviendo

Birkhoff

(se)

resultade

transversalmente

el

en

*

es

teorema

introduioc

al

dimensiën

a

y

Birkhoff

mês

comportamiento

por

sr

por

n.

Birkhoff

puntos

buscaba

por

dado

defirnidoe

dimensiën

dos

autor

conocimiento

diferencial

Si.s.i):

enunciado

el

el

ERGODICO

fus

ewristencia

continuo,

analitico

de

la

para

ecuacidn

`.

analisado

dinAmico:

TEOREMA

recurrencia,

surgidé

presentadc

Vista

El sobre

de

como

AL

gue,

en

ce

EN

a Punto

de

transformacidn

en

&l

instante

t,(PISEOP).-

de

los

primer

fue

estimar

tiempos

de

articulo

transitivo &n

casi

este

un

mencionames,lo

enunciado,

"pericdo”

[3],

punto en

`

primero

cuantitativamente

recurrencia

métrice,

tode

dus

t

demuestra entonces P,

v

es

términos

asintético

de

OP).

el

'interesé

si el

E1

dinAmicos

es

recurrencia,

el

en

sistema

limite

constante.

a

compertamiento

Efectivamente,

gue

existe

LO

Birkhoff

ya

LY

Como

de

aus

ewistencia

es

eg

tntP)/n

significado la

su

el

de de

mismo

para

casi

toedces

generaliza

de

ese

1os

no

La

&s

En

1im

ets

existe

necesariamente

hipÊétesis

de

"transitividad

mayor

exigencia

respecto

Destaca

efectivamente

el

cual

a

la

realizable”,

ademês,

un

Birkhoff teorema

ergédico

todavia

nc

se

27) ,destacando

tal

E.

de

COME

Hopf,

auien

de

habia

pubiicado

(cf.

referencia

al

Néumann,

aue

1.4.2

nota

von

es

en

convergencia.

eswplicita

resultadc

por

comportamieënto'”,

promedio,

ese

en su

definida

a

resulitadc

hace

llamada

hipetesis

del

gue

punto,

resaltar

topol@gica

de

el

es

para

esta

eiemplio

tambiën

hiptesis

tcdo

métrica

refiriëndose

verificaba

articulo,.

la

casi

fuerte"”,

Birkhoff

suministrado

de

en

transitividad

articulcs

habia

segundo

constante.

etos

FoincareÊ,

el

resultado, prescindiendo t (P)

transitividad:

aunaguEe

puntos.

$

mês

débil

ague

el

ideado

un

resuitado

de

SUYD. Es

ejemplc

asi

ague,

particular

CoNRvergencia ladc,

von

Neumann

d

N

f uerte

jempic

de

sg irkhoff

mis vy

Teorlta

Ergédica

por

Springer

ague

Berlin

habfa

verificaba

un

promediosg;

obtenidc

un

La

teorema

inspirado

tecorema

de

juicte

tef.

en

el

Nemann,

a

hipêtesis, KeRtraor— eN La

83.9

Un

su

de la

esta

trabajo fLujes

erg6dicos;

Getro

a

aparenta ser investigacienes

ningun Los en

es mis

von

de

por general

Birkhoff,

verificaeidn

este

vy

resuitado de

fue

stmples, Pposteriores

posteriormente, 1PB7.

Hopf

tiemros

sl

Birkheff estudi6

compertamientos

Hopf

gue

guisis

en

confirman

Ne meneiona partieular. Hopf presentan

aue

lado,

El v

COEOS muY air ei.

as

dade

habta débil.

remarca

salvo en dinariarmente

el

de

general,

Hopf

un

en

fuerte

convergencia ve

por

Libre

tal

de Hopf geodésicos,

en eue

eiempie

fue

Ergodentheorie,

pudo

ejiemplo

aauel

gue

geométrica

visidn

una

de

partir

suministrar.

El sido

métocdo

intentado

antes,

la

por

de

aue

tenia

sus

topoligica

percibir

agudesa

duda,

discipulo

obra,

vy

el

las

una

los

de

SOBRE

LA

lo

con

Y

sin de

1912

la Al

es,

large

ideas

PRUEBA

analizar

ergédico, las

vy

su

19358,

problemas

la

la

ideas

DE

BIRKHOFF

prueba

de

dividiremos empleadas

Birkhoff

en

por

el

cuatro autor

en

ellas:

b)

Reduccidëén

C)

Interpretacidn

d)

Prusba

del

del

de Vv

gue

de

propone

punto

con

teorema

lema

demostrar

previo,

notar

aguien

entre

las

y

interpretar

a

trabaios

densidad

problema.

de

am,

no

Poincaré,

Plante

todo

el

Poincaré, Mê&s

la

Poincaré,

logra

eyplicitamente

a)

presentadas hace

en

comentando

comentamos,

lema

de

intellectual.

Birkhoff

Ccasi

Birkhoff

ideas

efectos

de

halla

&

ES

entre por

causa

sistema.”

existente manejiada

la

la

de

lugar

se

en

condiciones

el

teorema

secciones,

las

afios

ewitosos:

al

COMENTARIOS

los

fueron

solicitar

por

2.4

no

sobre

donde

diez

reconoce

podia

toma

planteados

autor

aue

particular

Birkhoff

A

claridad

espacio

mavor

en

El

habia

uniformidad

intentos

métrica,

este

Birkhoff

aproximadamente

trayectorias,

transitividad

por

alguna

primers

en de

mismo,

probar

suficiente

precisamente

cada

é1

utilisado

trayectorias.

transitividad

para

prueba

agueriendo

recurrencia por

de

la

ese los

la

un

lema

aditividad

previo de

los

tiempos

previo

como la

la

a

primer

existencia

superficie

obietivo recursos

del

oo.

demostracidin

paso,

La de

parcial. empleadcs,

limite

SEE Un

va

de

tn

Er

a

un

reducciëén ese

Recién son

lema,

al

estêan

final,

aplicables

en

un

contezto

Camino

mês

general,

receorrida

conduce

a

la

vy

para

prueba

aue

,

por

alcansar

del

lo

tante,

ese

teorema

el

obietivo

mismo

parcial,

ergAédico.

a)Planteo

La para

convergencia

los

cuales

superior

no

elemental as

o

`”,

la

mayor

est&

los

se

obtendré

sucesidn agauëe

su

implicita

conjuntos

para

t OP) /n limite

cuando

medibles

Su

8,

su

la

P,

limite

Esta

idea

superficie

Hy

MA

nimeros

(B) zu

sr

sup

dim

(Peer

en

(con t

-

tenga

define,

y

puntos

inferior.

reales): Sy

aguellos

E EP) Y

es

Sy Estos

conjuntos

Poincaré'”,

n

Y

S.

j inf

imj

"

invariantes

Acauelios

para

puntos

alguna

elecciën

,

de

la

transformaciën

para

esté&n

gus

los

son

por

P

ME SA

ese

A

vy

cuales

de NG

de

intersecciën

la

en u

los

T

racionales,

con

`X

H.

due

mEnor

términos

de

definitiva,

medida,

los

tesis

de

su

conjunto

Su

ND S,R

convergencia,

EcOonocer

pOr

pasa

Birkhoff,

de

prueba

la

aue

asi

Es

en

son

convergencia,

hay

Peoeme

1

Traduce, al

en

siguiente

enunciado: Es

No

cero

la

medida

obstante,

explicitamente

en

su

de

ei

N

este

8:X

CUANdo

HY

Enunciado

articulo,

sino

gue

N

jefe Birkhoff

figura alarga

NOTAS: Ta

i

son

Poincaré, BT,

By

N

S/

son

cast

la cen superfieie

llamando de La

continta Birkhoff puntos recurrentes

tedos .

invariantes

EP)

sus

por

OS

letra

Oo

(per

puntos)

T

porgue

OEOP)

TE,

(TOPY) TY

al

EoNjuUNte

de

el

teorema

de

exwposicidn,

su

poce

un

tuna

elecciëén

justificar

para

racionales,

el

H

VY

A

de

use

eludiendo

de

numerable

CoNIUNTOS.

entonres:

ER YE.

GT

en

respecttvamente

f

EP

dv

2 uf

s

f

contenidos

invartantes

gubeonjuntos

son

SS

$y

Si

lema:

siguiente

al

problema

su

reduce

Birkhoff

previa

lema.

un

a

Reducciën

b)

da s

EP)

du

AT

oe OP

esta

reducciën

nada

lag

emplea

alli

Hasta

y

medida

para

de

@t OP)

s EOP) HOEOTOBYD

aus

es

B

y

S'

si

desigualdades

*EOTPY)

est

la

en

emplea,

forma

verificar

debe

aue

de

prueba

:

Eer

EOTPIT(P))

eguivalente:

en

a

eumple

Sy

N

&

as

tiempos

recurrencia:

de

el

lema;

Af PETO,

aditividad

sucesiën

lo

Alli

ergédico.

tiempos

de

esencia

la

los

previo

iema

del

juicio,

de

de

aditividad

la

de

condiciën

la

sustancial

una

a

si,

@so

invariantes.

partes

teorema

al

Birkhoff

S

aplicados,

nuestro

a

concentrada,

38

conjuntos,

demostraciën

la

En

o,

recursBos

Interpretaciën

c)

de

elementales

vtnicamente

de

eleccidén

adecuada

la

de

Algebra

recurrencia.

de

tiempos

los

de

particularidades

para

cuenta

en

tiene

no

y

simple

muy

es

justificar

para

autor

el

por

empleado

argumento

E1

ta

serien

s

medida

las

wvez

la

`

eondiciones

regueridas

entonces

dp

2

fEPJdv s de

s

een eentredietorias HA

ar

2zZud,dr s NE

la

fuera

elgeeion

cSro,

estas

ot

PP Esta

EP relacidn

funciones

EP):

superficie

corte,

Corte,

etc,

es

demostracidn

, ias

otra

Para

de

Sk

entre

éste

en

una

hasta

el

y

el

es

siguiente

m

y

2

ello,

Su

applicable

a

a

integrables

lema,

Birkkoff

condicin

Et, OP) es

Més

precisamente, tales

la

de

disjunta

las

F.

gus

idea

un

aditividad,

apropiada,

en

del

medible:

£&

0

oon

gracias

funciones

descomposici#n

corte

'tiempo

ergédico

la

de

condiciones

ague

del

para

medibles,

las

vy

de

traduce

-$PesS:

*

gaue

fisico

n-ésimo

tiempo

prueba adaue

el

del

teorema

cornjunto

siguiente

hasta suma

sucesiën

la

significado

la

go

procedimiento

ei

abstracto;

del

aa verifiguen.

términos

el

a

insiste

Carêcter

cualiguier

tiempo

igual

mês

Birkhoff de

refleia

el

o,

primer

son

TE TIP)

H-é£

arbitrario,

v

k

para

algtin

niimero

CceEnstruyse

n

$

k

natural. subconiuntos

U. is]

aue

NOTAS: BOER

195,

eendieiim esereia,

cendiein

ef.

2.2

Kingman

menes

sustituve

exigente:

coNsisie

en

yy

sustituir

generaliza

Le el

asli

La

aditividad,

por

"subaditividad" signo

el

“as”

UNA

(gus

per

RE

teorema

de

en eN

Let

Birkhoff

si

k

U

-

4,0

Observamcs

tambiëén

a

ni

ni

2 121

s mEG

es

2

aus

esa

funciones

mEncione atn

N

MT

m

d)

por

Para

TY

LU

(En

j

o]

N,

su

G

oa.

construccidën

subaditivas,

la

Prueba

T

misma

explicitamente.

interés

.

aungue

el

momento

no

es

applicable

autor

no

habia

lo

surgido

subaditividad).

del

lema

obtener

la

previo

tesis

del

lema,

Birkhoff

demuestra

gue f

t(BP)

do)

(u-e)

$

dv

S.. k

para

todos

los

Sk

S

definidos

antes,

k

vy

para

cualaguier

e

NOTAS: AO.

$

Birkhoff

U

T

define,

para

-

es

3

P

nai;i2;.

S.:

n

EP)

TP)

Go)

TE

Estos

ae E

U

n

U,

para

algin

% vd

y

es

probar

gue

una

AT

(U,

familia

la

misma

por

esa

primer

disjuntas

irndice

tal

i a



aus

,

148.

tambiEn BA. .ik

La

de

.. mi

Ham

Btrkhoff

ies

definir:

el

primer

indtce

tat

WED...

ki

aus

SU, j)

F

con

jsd;a;.

disjunta

. . Rd

EUyA

eentiene

otros

eonstrucciën

para

familia,

v

UNiÊN

puntos

la

fuera

parte

de

et

# primer

cubre

a

de

Up .

Reitera

No

cubierta

Ui

U,.

ty

definiende:

'

U

2

U:

j TIP)

eventualmente

mm

permiten

Pe

el

es

partes

adittvidad Cy P & U eon h EE TN j * 4%... m4

todo

U.sV

las

2 nee)

para

relaciones

,

es

Ee eondieidn de subaditividad)! implica, para : ay TIP) EE U, para algin b)

.k

ket, g ”

ss

Per

Pe

kat]3 T`

y también para la parte pase anterior. Finalmentie gue Birkhoff tlama U

j

de

(BP)

es s

2

39

ae

tal

3

U,f

cada Un reste cubrir

indire

ne Ura

cubierta parte

alin

en de

el Ui,

mMavor

son

gue

G

Los

argumentos

los

clêsicos

integsgral, un

vel

vy

la

da

transformacidën aditividad, ningin

puede

cambico

restrictivo teorema fruto

de

la

gue, la

prueba

a

ésta

va

de

las

abstractas

de

Teoria de

un

sistema.

Eereciente desigualdad

de

oconjuntos anterior

dinémica

en

con

la M condicin

la

subaditividad,

aparentemente

dio varias

posteriores.

la

Aprovecha

gus

la

aus

de

la

medida

aspecto

y

de

Birkhoff.

del

funciones,

parte,

Construcciones

por

contiene

generalisaciones

ia

ella. las

de

pesar

esta

aditividad

en

todas

demostraciën

aditividad

sobre

variable

sustituirse

en

ergédico, en

de

la

en

invariancia de la . Tambitén agui observamos

.

Concluimos

Birkhoff

céAlculo:

desarrolio,

anteriores,

sin

emplea

del

cambico

cdtimo

de

aus

el

Medida

Birkhoff

a

ideas

darên

(cf.

&

empleo

para

gue RB.AY;

de

su

ia

técnicas

obtener

resultadas

NOTAS: 41

Es

La donde,

ë

familia La

conNocidos

de

TEOP)

page

al

de

2

limite

:

en

(H-e)

integrales

d.d

TEOP) La otra aus, por Birkhoff. d2

El

destgualdad ser similar $

desarrolle

final

2

tema La

Oo

'

de

para

dbp

del

u

Birkhoff,

a

S de argumentos

Lebesgue todo

£

*

O;

Oo

sea

d.d

exigiria anterior,

i

de

k

S Aaproxima tmpltee, por

para

una es

probar

demostraeidn omttida por

el

Lema,

es

siguienter

d

-EOPYdP

EE

s

TT Did sm

N,

EITT(Pdp

d

3m

TM,

t(Pdp T

U

OT

2

ES N,

nEu-e)

Ty

dy

*

Ty j

(tu-e)

E n, j.m

f

f T

db U,

4

-

(H-e)

Et PIdP

4 VY,

N,

dv i,0

(He)

;

Vi

dP 1,0

40

Pd 1,0

dy

N)

s

(Pd? 1,0

1,0

jr

di

N)

EOPJdp

n,

#

ss

(Me)

Pd S

el

CELEOEEOLEELEOLEET

DOOD II AY AAI

PARTE 3 RESULTADOS DE LA TEORIA

OTROS El

estudio

primera

de

los

teoremas

(cronolésgicamente)

Ccomensada

en

Ya

por

semfalamos

particular ahora

1931

el

complstar

panorama

de

la

la

Neumann

algunos

detalle

ergédicos

de

von

marco

teoria

es

la

Teoria

y

rama

Ergeédica,

Birkhoff.

antecedentes

resultado

su

ERGODICA

de

y

analisamos

Birkhoff.

histérico,

con

lIntentamos

presentando

desarrollada

a

partir

UI

de

ese

resuitado.

3.1 El actual

INTERPRETACIONES teorema

Teoria

Ergédica,

interpretaciones, su

a la

aplicacidn.

la

dinAmica

tesis

de

el

promedio a

la

en

de

Birkhoff

punto

enunciëé

sistema

interesan

conNvergencia:

referida

segtun

un

von

es

y

en

y

el

da

norma,

Al

de

vimos,

Anilisis

formas

teorema

1a

variag

interëés

como

dos

El

la

refiriéndoloe

Obtuvo,

otras

de

admite

punto.

uniforme.

convergencia

base

resultado

todo

Neumann*?

BIRKHOFF

la

vista

mecAnico.

casi

DE

porgue

de

su

ademês

norma

TEOREMA

precisamente

Bikhoff

de

de

convergencia

Funcional

del

ergédico

DEL

de

ergédico

interpretacidn

Gomo

va

gsehfhalamos

en

Slk Cuando convergencia Funcional,

d3

ver

nota

32

se

ha

puntual, es

natural

obtenido

un

desde

ëptica

la

preguntarse

en

resultado

gué

del

sobre Anélisis

condiciones

esa

cuando

son

continuas.

obtenerse

la

convergencia

encuentran

los

comprendidos

Si

X

es

mm

continua

vy

st

los

E Worl ndt jEa

n

Este la

del

teorema,

los

gue

teorema

de

comportamientos

Weyl'”,

a

hemos

interpreta

v

(definiendc

funcional

#”

trabajos admite

de en

2

ft

ef,

y

en

la

Koopman”

en

contexto,

promedio a

una

corverge

1

&

U/

&l

El

jis

UI7,

-

jy

#

de

a

ff

#

.

partir

Si

st

casi

:

de

OP)



los

Birkhoff Para

todo

ademAs



espacio

el

de

la

1

toda punto,

es

wvalcr

te]

puede

N

en

ver

notas

ver

nola

arbitrariamente peguefio forma independiente de P. 2”

25

y

80

-

P. 2

hacerse elegible

da

preserva

enunciado:

N

s

y

Anêlisis

en

U

teorema

converge 2

esel

gue

a

siguiente

Ee

uniformemente

cëme

j#feT),

1931.

mês

Sierpinski

unitario

s

aus

&# 1.4.2)

transtformaciën

nd

funciën

$f

incluye

ague

Bohl,

1.4.2

operador

el ague

j

el

a

modo

ese

norma,

f

de

en

(cf.

fuerte

hipétesis

general

por

siglo.

mis

con

resultado

un

de

de

suoesién

lo

tesis

Birkhoff,

expuesto

Funcional

medida

una

estudiados

principios

Ya

es



enuncia

contiene

restrictivas,

T

st

K.

en

wmiformemente

converge

se

éstos

,

entoenees

eguteonttnuas,

functones

puede

promedtios nd

son

puntos,

compacto,

métrteo

espacto

de

teorema:

siguiente

el

shift

cambio,

Entre

uniforme.

en

la

los

en

eiemplos

otros

Para

En

transformacicnes

las

y

compacto

&@s

espacico

el

ain

la

todos

en

es

no

convergencia

esa

Bernoullii)

siguiera

los

para

ejiemplo

(por

casos

los

de

parte

mayor

del

uniforme.

la

menos

punto,

todo

en

convergencia

da

NS

Birkhoff

de

ergédico

teorema

tesis

la

uniforme*”.Perc

ademês

es

convergencia

para

todo

N

grande,

propio

simple

ergodicidad

Punto.

del

de

Son

T),

esa

anélisis

del

a

del

teorema

uniidad

Ccompacta).

teorema

ergédico

teorema

es

una

general

compacto,

de ley

ague

espacice

medida

p,

con

Casi

segura".

cCoONvergencia

probabilidad

Paris

aseguran

imagen

en

la

leyes

de

X:

la

difiera

the

1937

di]

X

mas

esfera

lugar, (una

un

el este

ley

teoria

fuerte

mcderna

e@espacic de

@

las

de son

leyes

en

casi

"convergencia

entre

#

Dynamieal Nat. Acad.

les en

la

CoOnvergencia

tratan,

de

de

primer

La

de

operadores

interpreta

Probabilidad

débiles

NeUuMaNN: proe. of

U

distinguen

prababilidad":

aue

los

medibles

la

Y

ConNVvEergeneia

por

como

Se

Krylov

importante

numeros

funciones

tratan por

N.

Birkhoff:

probabilidad Las

aue

"en

obtiene

de

aleatoriag.

Las

204

del

obtendriên

Gue

se

Egrandes

Krylov-N.Bogelioubowv: Sur suites de probabiliië Sci.

todc

partir

Funcional,

KRolmogorov).

de

llamada

de

la

. Erimero

se

Probabilidad

LY

Acad.

los

P()-1.

OD, Koopmean-y. ven CoNttnous speetra

1982 da N. des

O

agufllas

punto,

U

clage

la

de

de

variables

todo

casi

A

una

Birkhoff:

de

la

el

fuertes:

si

Teoria

define liamadas

Anêlisis

partir (U

mês

del

cuales

la

en

a

s guienes

generales

los

También

47

unitario

para

CCmpactos es

constante

funcional.

introducen

es

eduivalente

3.3).

Bogolioubov

uniforme

es

Neuman

condiciones

contexte

operadores

es

von

operador (cf.&

el

#

E-

N.

vy

(esto

interpretaciën

posteriormente ergodicidad

U

entonces

Koopman

realisan

En

operador

otras,

X,

de

si

un

de

la

nimero

Systems of Sciences

of 18

T proptetds ergodi ; oues chatne Comples Rendus

arbitraric

dado,

eligiende

n

p([X-Kn]

2

El grandes

puede

hacerse

suficientemente a&)

2

0

cuando

teorema

de

nuimeros,

n

*

de

generalisaciën es

ia

una valor

de

esperado

ceonverge

en

este

ley

sucesitn

mês

de

de

variables y

una

ley

dos

se

debe

en

a

0

de

los

antes

del

probabilidad . de variables

valor

Una

Tchebycheff,

ntmeros:

si

vy

X

es

independientes,

constantes, al

débil

siglos

a

grandes

aleatorias

probabilidad

MV

desee,

independientes.

los

variansa

sea

Ag sucesion

tsorema

débpil

se

oo

convergencia

Bernouiii

de

moderna

primera

conocido

ergidico. Afirma la N . 1 , promedio ES , para ` k—d

aleatorias

(

comc

).

Bernculli,

@ra

pêaguehfia

grande

teorema del

tan

entonces

esperado.

con

-

EK

[10]

En 1909 E. Borel'” demostré gue en las hipbtesig del teorema

de

Bernoulli,

probabilidad,

ley

fuerte

sine

aus

Kolmogorov

`:

no

tambiën

K

E y AK;

come de

tuna la

valor

teorema ley

una

esperado

preserva

la

los Si

finitoe

probalhilidad,

*Pg. Bere: Sur applteattons

de | de

X, |

vy

T

sea

es

finita,

H.

-

por

con

entonces a

es

variable una

después

variables

les

E.

interpretado

nimeras,

una

tuna

distribuidas,

Birkhoff

es

en

es

de

seguramente

grandes X

va

enunciada

idénticamente

ergédicc

EX]

Esta

gsucesiën

casi

forma:

conmvergencia

segura.

cConvergEn

de

hay

la

variansa

fuerte

siguiente

a

&s

pendientes

El

casi

antecede Bi

sAéla

enunciëndolo aleatoria

cen

transformacië MoT?,

Entonces

les probabilités dêénombrables art thmettgues Rend. Cemp. Mat.

eat 26

ague los

leurs Palermo

190%

So

A. Kolmogorev:

Compt.

Rand.

Acad.

Grunmndbaegrigtjie Mot.

2

-

Suyr

la

Scien.

Paris

der

lot

jforte

44

1980

des

grandes

Wahrscheintiehkeitsreehnuns

1ima8



nombres Ergebn,.

der

n

La

GE,Noonvergen

jle

promedios

Teoria

variables

és

la

gue

la

el

para

teorema

OE

se

pueden

otros

ergidico

de

tratan

sobre

fueron

obtenidos

conversencia desde

dias.

aplicaciones

mês

esel

Algunos

y

o

otrcs

ae)

en

todao

procesog T

en

del

su

teorema

ERGODICOS

o

menos

generales,

acotaciën

de

de

dar

gus

promedios,

Birkhoff

hasta

generalisaciones,

permiten

gue

[8]

teorema

son

re

discute

traducciën

TEOREMAS

los

transformaciën

probabilistico.

OTROS

de

establece

estos

tambiën la

1953

valido

gue

alguna

a

eene

en

es

encontrar

resultados,

la

Doob”!

de

estocastica

VR

Birkhoff

relativos

contewto

Y

Doob

sucesiën

probabilidad

I.

de

la

proceso

X

vm.

obtener

3.2

nuestros

n

probabilidad.

Numerosos

Un de

es

al

tépicos

al

Rg

ergédicc

siempre

la

COMO

tcdcs

estacionario,

preserva

interpreta

distribuciën

proceso

1ibro

OE)

aleatorios

misma,

seguramente.

Probabilidad

aleatorias

estacionario:

vertores

de

casi

pruebas

otros

breves

de

aguël. En forma

1939,

general

ergédico

J.Boob:

“`N, Vosida sa

(4)

maximalt

A. Kolmogorovi

S Kakutani ””

y

Ein

BirRhoff-Khuntehine' (44) 1087

Este

probado

processes

j S.Kekutent: ergodtc

resultado,

[9].

enunciado

y

y

siguiente

) Stoehastte

s2

the

el

maximal"”

particuiar,

s1

K.Yosida

habia

por

. Wiley

,

. Birkhoff's

presentaron llamado

sido,

'"teorema

en

un

esguema

Kolmogorov

en

taar”,

ies

ergodic

theerem

theorem Proe. Imp, Akad. Tokyo 15 ; vereiniachter

schên

Ergodensataes

4S

en

and

1pae

$ Beweis

Mat. Sborn

des

URSS

z

Sea

TT

aue

preserva

la

medida

vm,

NA

intesgrable

real.

Sea

1

MA

Y

ff

unia

YfunCiin

; &

s

.

£oT)

(promedio

temporal)

vy

funciën

f

oe

f s

max (Ëf,.

Ee

f .).

Entonces,

E

f

dr

2Z

9

Di: f (EO) Significa integrable alguno

&8

de

el

la

negativa

se

promedio a

pesar

Ps

dar

nueva

de

la

ne

trata

sine

una

de

su

ff.

Su

breve

una

del

&spacic

es

no

la

convergenicia

importancia

Este

de

entre

teorema

las

sllaos

reside

aparentemente

del

donde

negativo.

vinculaciën

enunciado

prueba

de

regidn

temporales

ëéspacial

permite,

espacial

en

observa,

temporales

una

media

promedios

come

promedios y

no

sus

teorema,

gue

en

mas

gua

débDil,

ergidico

de

Birkhoff. Argumentos

teorema

mês

ergédico

dadas

E.

Hopf””

en

base

varticular

otros

problemas.

del en

una

teorema forma

por Hof,

demostracidn

simrle

Finalmente,

ergédicoe

simple

demcstraciën

generalizaciones

otros. a

la

y

fueron

liegé

para

mavimal,

Contirnuo, En

simples

v

una

mazimal

&lesgante

vy

v el

a

a

TE,

Ries

ideas

de

encontré

aplicaciën

tecorema

de

tiempo entre

H.

Pitt”,

aplicaciones

demostraciën

su

del

muy para Birkhoff

a

breve praobar fue

NOTAS:

Sa

E. Hepf:

Baover Se

Akad.

F.Riesz:

Mat.

Lber

eine

Wiss,

Sur

Ungletehung

Math.

Sur

4?

Ergodentheorie

8itzber

—iDAT

auelguss

Fliz.Lapok.

,

der

-

la

problemes

de

la

théorte

ergoditaue

1iod2

thêerie

ergoediague

Comm.Mat.Helv.

17-

104 Generalisatiens Philos,

Soe.

BB

of

the

-ieaz

(N

Pitt:

Gambridges

Ie

Og,

ergedie

theorem

Broe,

dada

por

A.

Eli

Garsia””

teorema

f&cilmente

Wiener`”* una

el

en pv

1965.

ergiédicc teorema

1939:

medida

en

maxwimal

permite

ergédico

Sea

T

una

(finita),

Y

dominante

para

supts 1

Ned

7eeP,

deducir

probado

transformaciën

sea,

My Fe -

tambiën

gus Con

por

preserva

pi,

foT” t

s

N

Entonces

Me

#P

y

ademAs,

deed Este en

teorema los

de

permite

espacicos

una

de

#.

cual

es

integrable

no

teorema

uniforme

radica

donde en

j We

acotacidn

Wiener

anterior

Funcionai,

EN.

funcionales

temporales My

si

el

norma

uniforme

EF,

de

dic

un

cuande

p-i

[9].

su

puede

ser

eiemplo E1

tan

Gtil

para

interes al

de

una

come

la

norma

promedics

aplicabilidad

econocimiento

la

los

tambien

en

para

el del

Anlisis

acotacidin cCoOnNvErgencia

puntual. Tambiën llamado

a

Wiener

"desigualdad

hipeétesis

del

mês

aue

aplicado

débil

gue

relacidn

a

potente

para

la

la

f

puede

a

la

dar

IF]

una

en

del

0)

teorema una

(ya de

ergédico tesis

aue

$£),

prueba

mismas

cumple

tiene

lugar

las

(oa:

f-a,

nueva

se

d

teorema

Ea

resultade

Bajo

mawimal,

cobtenerse

aauel de

siguiente

maximal"”*,

funciën

de

media

el

ergédico

as

resulitado,

maximal,

debe

ergédica

teorema

DI, Este

se

acota

pero

alge en

es

afm

teorema

de

formulados

con

del

Birkhoff.[(4]

parêmetro

GErEteR

theorem

sa

N. Wiener:

los

teoremas

discreto

continue.

Ta,

de

Una

A

admiten

clase

stmple

J. Mat. Mec.

he

ergédicos versiones

particular

proof 14

, e@rgodic

-

of

de:

E.Hopf's

Con

tales

parimetro

teoremas

maximat

theorem

Duke

Mat. Jourmal

S

-

es

ergodic

1ipss

Ie ]

Muchos

ioae

introducida

por

Wiener

preservan

la

locales".

'Tratan

temporales, sehiala

cimo,

la

del

En los

teoremas

Kingman”

se

SE

1 Z|

en

un

una

una

reales

presgerva

come

abriëé

Esta

espacio la

de

ergidicos

de

cuandoe

promedios 20.

vista,

gue

Wiener

el

teorema

dit af) i

O

origin6

funciones

punto

# FU6, (ED)

ergédicos.

aplicaciones.

flujos

calculo:

interpretado

1968

los

“teoremas

[0,#],

este

£0

ser

a

Corvergeniia

intervalos

desde

aplicada

llamada

de

limj admite

1939,

medida,

sobre

fundamental

en

teorema

nueva

El

&tapa

teorema

€orriente

referido

a

integrables

donde medida

el

Ef,

sucesidn

(

Oo

local

estudio

de

de de

nuevas

subaditiva

proceso

sucesin

de

subaditivo)

transformaciën

Tal

.[4]

subaditivo

considerable

una

v.

en

ergédico

unia

actfa

ergédicae

T,

cumpie,

gue por

definicidn,

dae Nm f

s

inf

se

Me Kingma The processes stochastic i GO. KinNgman

FE€F,

?

eon

define

DEitk)

La

en

|

T

'

2

s

TrTm

dp

f.

as

mm

sT

K

TY

(Nota

ergodie theory SO Mat.Soc. J.Rey. Ee subaditividad

estos

GO

of - 1psa

del

proeese

subaddi

ar ttve

estoc&stieo

terminos

1]

:

F.

ik

se

observa

Kingman

y

gus la

tomando

ewpuesta

en

F el

f

o,n

iewto

ivd,krd

son

4E

n

,

La

eguivalertes.

definieiën

de

El

teorema

todo

de

Kingman

punto,

generalisa

de al

asegura

la

teorema

de

para

verifican

la

Birkhoff,

SE fer)

observado, se

basa

tf

generalisa,

la

descoemposiciëén

otre

ne

negative

También teorema de

lo

sucede

procescs alcanza

probar

una

”,

maximal

”.

Pero

con

tecorema

el

la

mé&s

teorema

Birkhoff

probabiiisticos,

d. Kingman: s

Prob.14i-

fo

M. Abid: Line addtttfs et 287 - 4678

de

'teorema

en

de

Kingman

basadoc une

en

aditivo



a

ersédico

del

diferencia para

los

maximal

la

del

tesig aue

de la

ha

conseguido

vy

el

de

no

teorema

de

cConvEergendcia

para

de

Kingman la

los

proceësos

generalisar en

el

términos

Ccondicidën

de

. s3 exigente

menos

ergodie T

theoreme

gus,

Birkhoff,

se

una

subaditiva

puntual.

sustituyendo

por

Lne

prueba,

observa

amplia

Subaddtttve "

Y. Derrtenie:

ANN.

el

obtener

También

z

de

generalisaciones

algo

: estacionariedad

ceondiciën.

versiën

convergencia

subaditivos. de

demostraciën

subaditivo,

una

Consiguen

familia

esa

mêtedo

da

Pasteriores Kingman

la

subaditivo.

subaditivos a

un

proceso

Kingman

ergédico aue

gue en

thao Ann. ry' Prob.4 i

ergodigue

presgue

-1p78

sous

'

adAdT EL

'

1983 ?

%

theoreme ergodigjue pour les processus surstattonatres comp.Ren Acad. Sciene. d. Paris

UD

Y

or

82.4,

utilisande del

tempoerales,

mn

precisamente

lo

ague

funciones

promedios

YY

R

Birkhoff

en

las

ver

aditividad: ff

hemos

f&cil

cagi

170

T1 Fm

Ya

en

,

los

de

Es pues

NA

obtener

condiciën

convergencia

f sa”,

sucesiën

fTs calculadas

la

SOUS

Er

1968,

V.

En

1979,

y

multiplicativo sistemas

ergidico. del

derivan

erglidico

dinAmica

la

de

estudio

al

aplican

lo

la

teorema

el

para

prueba

de

de

diferenciables,

pudo

cémo

veremos

concluir,

a

obietoe

es

de

Para

teorema.

aguel

idea

la

también

métrica

transitividad

base

en

desarrollarse

de

Teoria

la

cémo

muestran

solos

si

por

aue

Birkhoff,

ergédico

teorema

del

derivaron

se

aue

resultados

los

de

algunos

resefa

esta

en

abreviado

Hemos

Ergeédica

una

Kingman

de

teorema

de

conteuto

Raghunathan”,

OM.

y

Ruelle””

D.

dinAmica estudio

el un

en

vez,

primera

por

hiperbolicidad,

Pesin”

subvariedades

sobre

con

actual

la

Va.

1877

En

diferenciables,

sistemas

ciertos

teorema

de

compleiidad

la

'interpreta

&

invariantes,

ergA“dico

llamado

resultadoe

un

éël,

de

obtiene

teorema

pilares

los

de

Diferenciable.

Ergédica

el

(tambiën

uno

es

gue

multirlicativo),

Teoria

demuestra

nombre

su

lieva

gue

Oseledec”

o

ergodicidad,

conseeUENtER

de

investigaciornes.

NOTAS: , , , d muitipltteattvs v. Oseledee: numbers Eharactertsttite Lyapunov

Gd

TranNs.

Moscowv

Mat. Soe.



1?

, theorem ergodie systems dynamtcal fer

Aoae

; exvponents Lyapumov Y. Pesin: Characteristie S2 - 1e?7 Russian Mat. Surv. theory ergodic ' n , Ge differenctiable of theory ËErgodic D.Ruelle ia

systems

s7

Ins.

des

Hautes

A M. Reghunatan: theorem @rgodic

Eld.

ond

Publ.

Seten.

of proof Iser. Jour. Mat.



Ba

Mat.

Oseltedec's — 1679

SO



and

smooth

dynamitEeAL

4979

multtplieattvs

3. En

REFINAMIENTO

$1.3

ergodicidad.

analisamos

El

teorema

la

transitividad

la

hipetesis

respuesta

la

Estadistica, reconocimiento determinado, tarea

sélo

de salvo

dificil

para

la

espectro

traducciën

demostrarse

abstractas

numerable, POP

CEmportamiento

ergédico.[13]

el

1937,

fibrado

Con

curvatura

G.Hedlund ”

no

cumple

parte

A

medible

de

cuando

relacién

a

Mé&s

unitario

prueba

el

con

para

la

tiempo

tiende

otra

So

E.Hopf:

Mot. Soo.

45

serie

ete)

variedad

flujo

de COR

fueron

geodésico

courvatura

Es

mês,

'"mezclado":

infinito,

en

Despuës,

CON

del

el

riemanniana,

ergédico.

medida

B

de

Dada

ESE una

transformado es

la

misma

en

medible.

precisamente:

Ergodentheorie.

da. Hedlund:

parte

una

avansado

Una

una

a

el

sistema hoy

ha

el

de

la

Perc

describir

constante.

condiciën

tuna

ergodicidaa

superficies

cualaguiera,

cualduier

atn

aue

es

a

MecAnica

un

Se

para

negativa,

p (TA

ca

de

necesariamente

sistema

A,

muestra

es

transformaciones

teoria

constante

io

negativa,

la

E.Hopf *$

tangente

es

K-transformaciones,

introducidas

En

la

dinamicos.

(“mezcelado",

no

de

la

aus

eauivalente

matemêtica.

Ergidica.

de

muestra

de

simpleês,

sistemas

idea

Esta

ergbdica

Teoria

de

la

dijimos,

ergodicidad

muy

al

clases

Ccondiciones

de

Ccasos

de

promedios.

cualidad

considerablemente,

Ciertas

de

una

la

Origen

matemAticamente

sustituciën

sino

ERGODIOIDAD

Birkhoff,

es

conjetura

LA

el

de

métrica

de

a

DE

7The

dese)

N B)

springer

,

Dynamics

of

.

S1

: Berlin

1987

;

geodesic

#flows

Bull. AT.

au

es

un

refinamiento razén

La la

ergodicidad

la

ersodicidad.

por

ia

oual

interpretacidën

irreversibilidad irreversihbilidad

es

la

intuitivos,

matemêAtica,

implica

particulas,

numerosas

métricamente),

sino

abandonen.

Esta

definiciones,

la

ergodicidad.

Esta

la

términos

(en

sistemas

los

(cf,8

XIX

siglo

el

en

de

condiciëén

estudiar

al

medida

de

Boltzmann

mansjado

imprecisos)

e&

de

fisicos

estas

habia

aue

idea

Con

[5].

nc

subconjuntos

como

traducida

es

dinéêmica

ague

fuerte

mês

las

nc

y

alcancen

las

ves

transitivo

ser

(

entontces

es

partes

las

todas

reciproco

el

es sus

a

erige

gue

en

ergAdicos

mesclado

el

recorrer

espacio

del

alguna

gue

de

sélo

no

triviales, positiva

condicidn

radica

siempreé

meszcladc

de

La

[131].

cierto

na

generales

aunaue

vw considerada,

medida

la

a

respecto

dinAmicas

son

condicidn,

@sa

verifican

aue

sistemas

Los

espacio.

del

regiones

las

todas

por

proeporciën,

jigual

en

reparte

se

A

significa

Este

0.

m(B)m

con

medibles,

B

y

A

todos

para

1 RY: interpretacidn

T tunico

verifica

ves

caracterizsaciën

da

un

aauella

U

&

1i.é&.B):

st

vy

solo

mesclado

1,

de

unitario

(cf.

st

et

stmple. criteria

cordicitn,

Y

para

lo

por

Las

propiedades

espectrales

fueron

estudiadas,

entre

ergodicidad. ergédicos

de

es

propte

valor

ef

funciaonal

condtietin

ta

cumple

Esta

se

espacio

ei

en

definido

UI KI

U

operador

del

medio

por

espectral,

Una

aAdmite

tambiën

mescladc

de

condicidm

La

otrog,

de

decidir

si

tanta

la

los

por

von

sistemas Neumann

v

Halmos,

otros.

y

El

eztendida “

teorema

sistemas

de

dinAmicos

isomorfos

si

Ccualguier

subgrupo

1

es

el

vy

si

1958

casi

de

Tuertes.

los

Al

oondiciën

mezclado,

Sinai”

prueba

verifican

la

Con condiciones

todos

1

san ademis

con

médula Asi

ios

introduce due

har

sistemas

por

gus

lo

se

gué

K-sistemas

gue

proriedades

estudia

tambiër

observande ague son

1

liamarian

tiene

tante

&xigentes

de

sistemas

luego

discretos,

SUS

verifican ergodicos,

ambas.

En

ia pera

i961i,

continuos

el

Y.

tagbiën

mezclado,

trabajos

suficientes

los

y

para

otros, la

se

han

ergodicidad

obtenide en

classes

Y. Sinai Properttes of speetra on ËErgodie Dynomieatl Systems pokl.Akad. Nauk.450 1638 Some remarks on the spee traliproperties of ergodic dynamtcal systems Russe. Math. #urv. #Bn.S 1668 74 . ; Fi A. B. Katok- A.M.Stepin On the approxrimations of Srgodie dynamical systems by periodieal MAPPLNES ECPDkl. Akad. Nouk 171- 1965 72 ; , Leetures

A. Kolmogorev: SVSieRS ana Dokl.

Akad.

Nauk

74

oe v. Sinat: Speetitra. Soe.

Serie

on

ergodie

Lheoryv

ee new metric AULOMOFrPRI Sms

A

sê Dynamteal Svstems Tzvestia Math. Nauk 2

-BA

Ohelsea

N. York

;

'martant of Of Lebesgus

1ess

Te transittve Spares

1658

#i6-



40e

UI fi]

Helmos:

73

; WItA 254961

coumtable transt

Y

dos

Y

ergédico.

Demuestra

los

condiciër

estog

compleics

introducirlos

vy

mês

dgue

ague

discreto,

espectros.

a

sistemas

condiciones

A.Btepin

afirma

espectro

los

clase

espectrales.

imponen

Halmos”

sistema

Y

propiedades de

de

A.Katok,

discrata.

una

K-

,



sus

un

regulares,

estoc&sticas de

son

A.Kolmogorov'

Come

70

con

numerable

E-sistemas,

caso

le

espectre

-

Neumann-

espectralments

con

En

Sinai

ergidicos,

espectro

erg6dicos

Y.

von

solo

Ccaracterisadc

ilama

por

Lebesgue Amer. Math.

modelo

sencillo

Ctros,

fueron

por

Gallavotti””,

por

Kramii,

y

Simênyi

recientemente v

dal

Szêsz

y

Cagos

los

interrogante una

como

billares,

el

yy

Boltzmann,

ur

de

ergcdicidad

la

y

modelos

ESstos

Bunimovich

por

estudiados

luego

una

dispersor.

billar

de

es

de

prueba

ague

el

en

Sinai”

de

trabajo

muchos

modelo

del

matemêtica

interpretaciën

son

los

a

81.3

en

mencinado

Hemos

abierta.

ergodicidad

la

gue

en

interesantes

embargo

Sin

sistemas.

de

aAbstractas

y

por

Sinai

por

Markarian

Yy

Sinai”,

Chernov”, Entre

OLTros,

s5

var

nota

14

£

,

PA

'

s

fundamentatl aa On ft. Burimovieh-Y. Sinai: Math. btLltiards dispersing of theory

In theorem Sbornik USSR

the 1e-

Lect. Notes

in

1973

77

Phys.

78

, , btlittard

497%

SBB-

oe Y.Sinai-

discs

dimensienat

two

. Properties

; Ergodie

N. COhernov:

of

systems

the

on

lLeetures

G.gallavotti:

three

and

, certain

Of

dimenstonat

balls Russ.

$

7E

,

ar

E

Krémli—N. Simênyi-D.sezdsz A. a K is torus n dimenstonal of

AD

the

Hung.

R. Markarian:

Atad.

of

Scliene. oo

amtlform

Mon Int.

;

1o87

d2

Surveys

Math.

Gonf.en

oE

Three flow

,

thê Inst.

on balls billtfard Math. SP Ppreprint

1eaa f

f

hvperboltertp PY'.

5

syst.

IMPA

f

n

,

BLlLitterds Brasil-

1PAD

COMENTARIO Al entre la

reconocer

otros,

valor

ergédicc

fue

y

(Aunaue

gue

creemos

fundamentaciën PFero

de

s6l1o

sino

grandes Campo

fértil 2)

la

ese

dinémico

de

propiedades

un

Sistemas

de 3)

mejorada

y

subaditivo

interpretar

y

La

cuestiën del

modelo

importancia

limite

del

a

de

en

Con

ague,

casi

elle

aungus

la

generaliza

por

Esta

una

ei

de

ser

sin

hipBtesis

las

leyes

Probabilidad,

y

no

de

de

los

abre

ur

sobre ves

el

primera

particularidad

nueva

comportaiento

forma

a

partir

hace

de

al

de

teorema

pensar

en

la

después

es

Dinamicos,

mê&s

é&)

Teoria

prueba

abreviada,

influencia

de

un

junto

también

una

resultados teorema

ergodicidad.

elecciën

de

resultado

inaugura

Fresenta

contribuciën

de

deië

a

interpreté

temporales.

tomaba

medibles.

Teoria

esa

momEnto:

presupuesto

sistema,

e

el

sentido.

un

novedoso,

centrar

el

sigsuiente:

promedios

la

a

con

a

contribuciën

hipftesis

existencia

gue

Obtiene

su

real

de

en

agaue

`la

Fisica

'nimeros

claro

encontramos

un

ergodicidad;

su

de

justifica la

en

hipltesis

lo

origind,

matemAtica

tiende

sino

en

se

efectivamente

matemêtica,

los

reconocerlo,

Es en

dicha

Demuestra para

nacidé se

discutida

Birkhoff,

punto,

aue

teorema

valiosa la

Ergdidica

fundamentaciën

teoria.

matemêticamente

mec&nico).

vy

este

existid

todo

la

Birkhoff,

de

aauella

1)

por

de

histérice

teorema

Teoria

Estadistica,

fundamentar

de

la

motivada

MecêAnica

teorema

gue

FINAL

gue,

contiene

potentes

y

de

Poincaré,

va

si

bien

el

sermen

generales

(como,

Kingman).

Aaui

cuyas

ideas

de

por

otras

ejiemplo,

resaltamos Birkhoff

la SUPpO

adaptar.

principal

razén

de

s2

la

importancia

histérica

del

tecrema

una

nueva

de

ideas

Es

la

fecurdidad

a

significado

mavor

matemAticas

corriente

de

primer

aguel

ague

juicio,

nuestro

a

es,

Birkhcff

Ergédica.

Teoria da

de

origira

constituyendo

lo

teoria

esta

en

teorema

el

gus

la

ague se

sustenta.

E1

siguiente

al

significado

lo

gus

&

El

base

hemos

interes al

décadas, nuevos campo

histérico intentadc

de

la

teorema muëstra problemas,

fértil

comentario

para

del

de

teorema

de

en

Birkhoff,

relaciën

resume

exponer:

literatura

el

matemêtica

de

ergédico aue

Khintchine,

tema

nuevas

en

Birkhoff,

durante

varias

a

iluminar

muchos

alcanzé

desconocidos

desarroliada

antes,

y

investigaciones.?

descubrit

un

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