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EL
TEOREMA DE
ERGODICO
BIRKHOFF Y
EL ORIGEN
DE
LA
TEORIA
ERGODICA
ELEONORA
LICENCIATURA
en
FACULTAD
HUM.
DE
CATSIGERAS
HMATEMATICA Y
CIENCIAS
Montevideo,
setiembre
de
1989
OE
LEEEOOLEOOLEDEOO
ASOODOODDDYIIIDDIDDDIID
NOTA En
ideas el
esta
ague
monografia
inspiraron
matemAtico
contribuyeron
se
al
presentan
teorêma
George
D.
a
origen
dar
algunas
ergédico
Birkhoff a
de
las
demostrado
(1884-1944), la
por yy
Teoria
ague
Ergeédica
MatemAtica.
Se
han
detalilado
concentrado
vy
critico
de
“ergodicidad"”
introducida
el
siglo
su
la
prueba
se
inciuye
da
ese
de
puntos
mas,
hacia admite Las en
son
tuvo
en
teorema
Estadistica
en
el
teorema forma
ergAdico,
V
complementaria vinculados
resultados
precisamente
el
nacimiente
de
en
presentaci
la
Teoria
varios
pruebas
de
Matemêtica
mês de
y
son
el
en
forma
a
muy
reglas
la
en
sa
vinculacidn
estên
no
por
gue esta
usuales
de
el
del una
tema
elegido. exposiciën
causa
presentar
natural
orientados
aungue
diferentes
rigurosas
Pero
mês
nada,
anélisig
intentado lo
guisês
criterio
Dinêmicos,
lo
exigiria.
matemêtico
aus
El
y
Birkhaff,.
enfogues todo
rTêpidamente,
résefas.
Sistemas
otros no
restringirse
las
contrario,
el
Por
exhaustivo.
mencionados
La
ha
son
el
menos
Contenido
posible,
aungue
organizaciën
sin
v
economia
es
original;
términos. El
contenidc
de
los
fue
extraido
de
la
del
trabajo.
Nc
obstante,
coriticos,
s&
Mecêanica
de
ergédico
Se
las
la
histérica
cuenta,
precisas.
de
centrales:
En
ser
omitidos
selecciën el
con
anAlisis
puntos
mismo.
marca
pretende
se
Nc
con
daue
la
el
Erg6dica.
Teorta
muchos
al
resefia
teorema,
algunos
por
vinculaciën
Birkhoff
una
los
en
I
Con
XIX,
esfuerzos
fruto
conclusicnes EXpOnER
Los
Vv
temas
bibliografia
de
se
expuestos no aue
se
incluyen
interpretacicones
en
general
son
detalla varios
y
final
comentarios
personales,
primarias
al
no
vy
aunaue
nNovedosas,
fundamentan.
numeros
entre
corchetes
:
[1],
(21,
etc,
son
referencias cual
se
a
la
extrajo
bibliografia, parte
o
todc
e el
indican
la
fuente
contenide
del
de
la
pêrrafo
respectivo. Las pêgiria,
vy
liamadas: muchas
particulares,
no
* ? ete, wveces
incluidas
indican
contienen en
la
notas citas
al.
pie
de
bibliograficas
bibliografia
general.
EL TEOREMA ERGODICO DE BIRKHOFF Y EL ORIGEN DE LA TEORIA ERGODICA INDICE NOTA INTRODUGCGION Parte
1
ORIGEN
DE
LA
TEORIA
ERGODICA
1.1
Significado
del
términc
1.2
La
mecê&nica
estadistica
1.3
La
hiplétesis
ergédica
“"ersédico". en
de
el
la
siglo
IX.
MecAnica
Estadistica. 1.46
45
Antecedentes
resultados
1.4.1
histéricos
de
la
Algunos medidas
1.4.2
teoria
Parte
2..EL
El
2.2
Sobre
el
2.3
Ideas
previas.,
2.4
Comentarios
de
promedios.
25
DE
BIREKHOFF.
30 30
autor. 33
sobre
RESULTADOS
3.1
lInterpretaciones
3.2
Otros
3,3
Refinamientos
BIBLIOGRAFIA
sobre'
enunciado.
OTROS
COMENTARIO
21
sobre
resultados
ERGODICO
2,1
3.
ergédica.
invariantes.
Primeros
TEOREMA
primeros
antecedentes
Convergencia Parte
y
FINAL
teoremas
la EN del
prueba,
TEORIA
35
ERGODICA.
teorema
de
ergAidicos. de
la
ergodicidad.
Birkhoff.
é1 é1 “5 S1
55
be
Et
ELEOLG
DA NP DPEY DOOD IIRYDDDDARA EEOOLEOSDSEOEROOOO
INTRODUCCION
ics
abiertog
espacio
también
la
estructura
estudio
de
lo
de
aue
Teorta
es
dar
para
surgido
como
resultados
de
comun
de
la
Teoria
Sistemas
Dinaêmicos.
respuesta
a
algunos se
enseguida
aunague
oltimos,
los sus
los
objeto
el
Diferenciable.
Ergédica
rama
una
sino
medida, es
Este
una
o
aauslias
la
preservan
de
Y
ha
interpretaron
de
estructura
una
interesan
Teorfia
llama
se
Ergédica
de
problemas
sea
medida
Ssuperficie
diferenciable.
Probabilidades
Histéricamente
éste
due
la
gue
una
es
solo
no
gue
transformaciones
La
tiene
entonces
“suave),
variedad
ademês e&iemplo
(por
diferenciable
ejiemplo
tanto
positiva).
sea
el
Si
(por
ella
a
respecto
“natural”
del
medida
medida
la
gue
vy
topoldgica
estructura
cierta
tenga
essta
toma
sino
total,
espacio
del
medida
la
eg
cuAnto
del
interesa
no
CcCasos
otros
En
1).
es
total
espacio
adecuada
la
cuando
&s
(eso
probabilidad
una
como
mEedida
las
se
particulares
CaBSes
ciertos
En
espaCcio.
medida
una
preservan
gue
transformaciones
de
dinAmica
la
estudia
Ergédica
Teorta
La
leyes
de
para
el
la
de
Teoria
Probabilidades.
siglo
gran
con
sistemas
temporales
promedios
son
macroscépicas
evoluciona promedio
“promedio La hipftesis
el
de
en
llamado
el por
fines
del
de
Mecênica
los
observables espaciales doende
constante
espacio la
de
Este
fases.
Estadistica
fase".
btsaueda fue
es
,
promedios
los energia
de
movimiento
espacial,
a
iguales
superficies
las
variables
las
de
estudio
ergédica":
"hipétesis
llamada
la
a
particulas,
de
cantidad
enuncia
pasado
sobre
Estadistica,
Mecênica
La
una
de
la
de
las
fundamentaciën motivaciones
matemêtica principales
de en
esta el
origen
de
la
Teoria
ergédicos
dan
hipBtesis
ergAdica
COMO
una
Ergédica.
Los
formulaciën
veremos,
de
la
no
Pprimeros
matemê&tica
Mecê&nica el
Se teorema
denominan
teoremas
ergédico
de
suficientes en
forma
[é].
para
modo
CoOnvergencia
108
el
medida
Anilisis de
el
de
la
o
Sspacio,
nula).
Pero
Funcional,
`o
tambiën
y
a
la
a
estudian
la
enbierto
eSbacio
funcional
normadao:
la
Peguefia
norma
al
el
Si ,
Una
ff VY
es
punto
de
del
P). largo
punto
La
BP
(medible
de
la
de
gue
valores
travectoria,
da
SON de
de
la
modos
limite
Sn en
en
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SUuUCcesivas si
mismo.
el
espacio
Punto
P
TB,
promedios:
f
dinémicos
“trayectoria"
funciën
de
"norma"
generadas
cada
por
al
arbitrariamente
definida
lleva
formada
CONIjUNto
en
tiene
espacio
TOP),
todos
ergédicos
aplicar
llamaremos
TOP),
(cuando
Probabilidad,
sistemas
del
limite
particular
los
real)
€spacio,
(travectoria
sucesiën
en
ES
obtienen
su
un
Af
Cantidades
transformaciën
P'
de
transformaciën
P, Cada
vista
se
funciën
una
en
,
LN
el
Eeneradas
para
CoOnvergencia
diferencia
las
POrduë
una
Tes
otro
punto
misma
sumo
n
discretos,
estacionaria Veces
la
crecer
Desde llamados
de
IG
Cuando
Como
PUunto"”"
teoremas
medios
,
Condiciones
variables
de
Vvalores
SU
Principalmente
todo
interesa
los
de
UB
es
lo
Teoria
débiles;
los
especifican
de
excepto
aungue,
Ccantidades
"casi
sucesiën
del
ET
de
CONvergencia
"puntual",
convergencia
a
definen
Converjia,
la
ERGODICA
ergAdicos
promedio
de
limite
puntos
de
due
TEORIA
Birkhoff,
estacionaria
El
@xiste
LA
a
problema
fundamentaciën.
DE
precisa
Estadistica,
resuelven
OBJETO
teoremas
los
en
a:
para iterados
medible
f,
de
a
lo
NA
FOBIEE sucesidën
vista
de
de
la
@gtocAstice
Teoria
se
promedio
temporal
operador
U
gue
ergidicos.
de
a
un
modos
trayectorias, Son
cuandoe
t-0,
curvag
Bon
y
una
la
de
liamadas
intervalo,
otros
de
sistema
dinAmicc
con
par&metro
obtienen
al
aAcotaciën),duse
y
de
acttia
un
la
contrae
los
teoremas
Muchas
puede a
veces
un
formularse
las
de
travectorias
a
un
une
procese
referide
a
tl,
ia
en
sucesiones
par
sobre
pasan
'tiempos
cada
a de
gue la
de
por
existe
condiciona durante
solamente
dongitud
EE,
PLOEP,t,),t-te),
al el
de
de
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F
ËEstas
P
drbita,
del
las
tt.
punte
dependa
eleccidn
#IP,t)s
su
aue
discretas
gus
los
considera
los
estacionariedad
punto
v
DinAmicos
ia eee
'inicial
para
tada
E,-
tal
#@(P.t),
se
las
auténomas:
dP
ciertas
hace
llama
continuc.
considerar
(can
de
#ip,t),
La
(Es
Un
diferenciales
ser
v
BEP, t,) no
gue
aguéllos
@rhbitas,
términos:
inicial
Sistemas
todcs
tiempo
pero
atm
ultime,
para
cada
aplicacién
DFrOCEEO
donde
referido
por
continuas
definidas
inicial
vy
de
de
instante
otra,
lugar
curvaa
de
(co
referido
sistemas:
desplazamiento
En
uno,
los
ellas.
te
de
funcionales.
de
en
norma
Ergeiédica
de
posiciën
punto
un
funcionales,
Teoria
sola
intervalo
el
estacionariedad
operadores.
&spacios
tipo
de
esos
dinAmico;
Tecria
otro
puntOoS,
a
distintos:
en
idea
la
estacionario;
operadores
adem&s
la
reformulaciones
de
sistema
La
desde
Probabilidades,
espacios
referidos
estoc&sticc
una
aplica
preserva
resultado
varios
constituye,
de
obteniéndose
mismo
ECTTOPY).
sstacionario.
También
(41),
promedics
fluio,
Eiemplos
corresponder
de
X(P)
condiciones
a
cada
o
sistema
importantes
soluciones /dts
Lu
Esta
j
GES
, de
ecuaciones
donde
X
es
resularidad
punto
sea
P
un
una y
vecetar
velocidad. Dado constante
éspacio
un
fluio,
la
funcidtn
(P,t),
del
tiempo
t,
origina
una
en
si
mismo,
Ccorrespondiente t.
Se
las
dice
aue
el
su
#
punto
,
la
de
sistema
vista
llamada
propiedad
Desde
a
tiempo
cuando
cada
todas
funciën desde
Probabilidades,
de
parimetro
de
Tr de
vista
parêmetro
de
la las
"ergAédico"” mis
de
las
dada,
respecto
el
al
un
continuo.
estacionariedad,
T,
la
verifica
la
los
identidad. ,
se
puede
continuo,
reales
interpretar
Como
(el
Una
al
aEEiaAn
tiempo),
en
el
puntos.
todas
especial;
de
del
P
#eT, oonstituys,
continuas
li
aditivo de
medida
funciones
T,
&rupo:
punte
dinémico
De
an
este
transcurre
Para
transformaciones
valor
punto
hacen.
condiciën
de
cada
medida
Teoria
cada
transformacidn
la
estacionario
T,eT,
espacio
lo
la
la
de.
preserva
de
de
a
familia
grupc
cuando
familia
Debido
del
érbita
T,
estocAstico
sistema
'lleva
fluic
transformaciones
medible el
en
gue
para
transformaciones
Teoria
Ergédica
llamadas
esa
medida.
como
usado
sinénimo
aue
divistble
en
dos
posittva.
Es
fécil
éste). partes ver
T
aué
preservan
distingue
unma
transformaciones Hoy de
en
dia
disjuntas, una
gue
adjietivo
espaeio
invartantes
condicilën so
el
métrico"”, el
clase
“ergédicas"
emplea
“transitivo
Significa
gue
se
una
da
(y
es
noe
as
medida
eguivalente
es
P
n PnEéD
tedes
A
Hy.
B
subeconjuntos
Te
Para
de
medida
positiva.
For
lo
tanto,
recorre
si
'todas
observaciën SE
vondiciën
En
de
casos pero
de
la
Hemos més
amplia
En
su
medida,
y
`positiva.
due se
naturales,
adietive
incluir de
la
esté&
buscan
para
Par
Esta para
la
dada
la
con d iciones
las
ese
"@rgédico"
la
hasta
du la
bastante
significado de
cansidera
la
embargo,
dista
nacimientc
medida
entonees
cuales
motivo
a
la
la
alguncs
medida
er
transformaciën.
auerido
Sin
“&rgédico”,
nula,.
“transitividad',
ereé&dica.
el
posible
Brgoedica".
no
sea
aplican
a
se
medidas
transtformaciën
de
nombre 1
no
indivisikiitidad.
e@xistencia
lugar
medida
tmartes . de
justifica sl . EN
algunaus
autores
tiene
las
transformacidën de
A
estA
ahora
s&
definicidën
lo
entiende
por
'"reoria
actual
del
término
acepcidën del
una
original,
y
estrecehamente
la
evoluciën
vinculada
al
Teoria.
MOTAS: Salvo
La
en,
estensta
tedos
eENdicienes
tronsitividad los
de
medibles
particularss
TmÊtrica, trayectortas
de
medida
por
del'
si
sola,
individuales
positiva.
E&sSspario
de
ne
medida,
tmpliee auE
La
rEeEerrar
CELEEEEEEELLOELEEEOOOOCCOOODODODOODDODDDODIDDDIDYIYIDIYIIYD
ORIGEN 1.1 Los
primeros
Se 1
ss”
son
de
el
del
H
es
En
Ad
d
t
8
de
estos
constante
no
valores
El
sobre
asumimos
oGrbitas Por
"conservativos"
mantienen
con
variables esP,
Las
su
forma
en
un
H
ë
ê
dt
“hamiltoniano",
sistemas
una
N
funciën
explicitamente
son
hamiltonianos,
primera"
del
mantienen
en
de
de
de
t,
28).
del
Lo
la
2s
MV
funciën
sistema: las
dimensiën
con
dicho
H
[61].
puede
Asst,
contenidas este (o
estado
Cconstante
motivo
'inmersas
se
deduce
pues
no
los
en los
otro,
la
enersia
puntos
sistemas
no
en la
total,
las H en
All
evolucionan energia
sentido
se
el
fisicamente
de
disipan,
-
implican
hamiltonianos el
es
fêcilmente
ellas
superficies
disipativos),
a
todas
interpretarse
todos
H
'“superficies"
28-1,
movimiento,
hamiltoniano
energia
de
las
Pass
P;
A
dimensiën
Constante.
pasar
la
regularidad.
ecuaciones
la
de
mecAnico
de
P:
gue
teoremas
Hamiltoniana,
dH/dt s 0. como
de
sistema
sd
,
medidas
modelo:
del los
depende
se
(gue
de
las
su
H
llamado
'`“iptegral
trayectorias
de
movimiento
&.
aue
Condiciones
espacio
toma
Gee
d
el
variables,
una
Mecé&nica
por
d,:
busaueda
y
SON:
CanNbNICa,
donde
de
la
“ERGODICO'
transformaciones
estado
libertad,
“hamiltonianas'": ecuaciones
de
Estadistica
describe
grados
de
ERGODICA
TERMINO
obieëto
provinieron
Fisica
DEL
eiemplos
gue
ergédicos, la
DE
SIGNIFICADO
invariantes,
cCual
PARTE 1 LA TEORIA
aue
sino originé
son al gue el
griego
del
proviene
(gue
'“ergédico”
nombre
del
uso
“ergos”,energia).
de
(iniciada
Estadistica Hipetesis
ErgAédica
constante
estaba
supuesto,
este
Dieho
brbitas.
son
dinéAmica.
Aaui
el
poraue
es
Un
XIK,
de
las
embargo
la
idea
transitividad
una
con
constante
energia
'importante
probado
antes
por
due
ste
en
definida
Structure
Tronsformattons
de
Math.
idea
Primer
Pures
a
conceptos
los
genmerales.
' G. D. Birkhoff-p, A. Smith sourn
la
matemAtico
surgieran
dinAmicos
a
el
en
encuentra
se
sistemas
de
través
1928
Smith”.
antecedente
Liouville,
2
vy
la
Sin
sistema.
del
de
a
definida
dinémica
superficies
germen
el
invariante
de
la
serta
incorrecta,
matemAticamente
es
en
temporales
promedios
los
aue
demostrar
est
Ergédica"
“Hipêtesis
esa
aunaue
3,
su
definiendo
detaliaremos
Como
etimoldésico.
energia
de
"ergédico"
adietivo
al
las
a
caracterisa
sistema,
del
soluciones
Bajio
dArbita.
ecuaciones
las
forma,
sentido
las
Birkhoff
siglo
otra
energia
de
Gnica
una
energia
ia
Esta
cientificos).
superficie
por
de
diferenciales
'"ilenar"
érbita,
por
de
contradice
ecuaciones de
valor
Mecanica
la
de
dos la
aue
espaciales,
los
a
igualan
estog
el
para
suficiente
por
constituida
i.
parégrafo
construccidën
entonces,
el
en
la
supuso
las
constante
aplicado
NOTAS:
en
fundamental
fue
due
Boltzmann",
Mawwell-
de
Ergédica
“Hipêtesis
1lamada
la.
introdujo
conservativo,
mecAnico
sistema
un
de
fases
de
espacio
él
en
espaciales,
por
temporales
promedios
sustituciën
la
justificar
para
Boltsmann,
1872,
En
Appl.
medida
Teorema
de
mediados
del
de
medida,
e@nunciaremos
Lo
; Analysis et
de
of -
1pz8
Y
en
surface
términos
coherentes
hipêtesis
algo
En
mês
wn
stistema
obtenida
del
flujo
tleva
espacto
el
[6].
espacio
(Lebesgue
volumen
(o
Si
sea
se
generales
gue
igual
superficie
de
definen
subsistema
medida
de
usara
Liouville:
instante
t,
mite, un
T,,
MV
Gous
Preserva
el
subeonjunto
transforma,
otro
bajo
del
despuës
subconiunto
de
de igual
medida). va
todo
constante
para
Esta
"Area"
en
no
energia
invariante.
regiones
t,
el si
se
Y
transformaeién
forma,
medible), tiempo
due
la
en
otra
considera,
un
las
#tjfando
pumtos de
de
cContexwto,
hamtltoentano, #(EB,t)
Dicho
el
nuestro
de
volwmen
transcurrido
con
el las
el
espacio,
sino
trayectorias
én
tcual
medida
es
positiva,
Yy
'tambiën
ella
existe
positiva” es
una
solo
una
en
preservada
las
por
el
flujio.
Ya se
hemos
denomina
dicho Teoria
transformaciones ahora gus
aue
no
tal
son
de
se de
ser
energta
E
casi
todo
La
medida
diferencial,
superficie
la
preservan
la
aplica
y
sistemas
abusiva
dicho
a
los
sistemas
mêtrico"”.
conservativos:
muy
generales,
del
y
significado
decir
gue
el
espacio,
entonces
las
dada integral
ca
Pero
través tnvariante,
gue
el
adietivo
indivisibles,
si
es
tel.
Observamos
cConservativos,
tambiën
trivial,
energta
las
"ergédico".
no
est
de
medida.
extensiën
"transitivo nunca
abarca
actualmente
estudio
siguiera
hemos
EoN
de
al
ni
palabra
aun,
“@rgédico"” sinénimo
una
Introduccidën),gue
Ergédica
denominaciëén
ser
Mês
pueden
gue
la
hamiltonianos,
pareceria original
(en
estos se
no
sistemas
TIG
conservara
fuera
regiones
de
como
una
constante
(
una definida
E
%
en
const
28—1
?
forma en
ta
serian el
propias,
dieron
son
sistemas
divisible,
o
sea
al
no
de
use
del
e&l1
partir
Ergédico
de
de
con
atm,
permite
tambiën
es
condicidn
invariante de
los
sistema
donde
'interesa
temporales
métrica
de
sustituye
f
ella,
v
a
Maxwell-Boltzmann,
una
porgue
para
T
correeto, de
los
promedios
transitividad since
pretende
vy
eriste
energla
(
estas
en
aue
agaue ella
es
una
medida
como
es
el
eEgpacioc,
de la
el
superficies
todo
Luego,
vieja
Teorema
aue
limites
subsistemas
la
ha
integrable”.
noe
espaciales.
estos
se
de
los
del
la
hamiltonianos),
sustituir
por
si
superficies
en
de
COMO dar
sustituciëén,
conservativo
sistemas Es
esta
funciën
es
las
subsistemas.
hacer
necesaria
toda
sobre
sabido
Mê&s
sole
son
es
limites
no
el
publicacidn
los
métrica
Si
lIntentaremos
sustituir espaciales.
para
se
'"ergédico"
métricos
por
oaso
la
transitivos
legitima
entonces
términc
(31,
temporales
sea
aué
ejiemplos
gue
sisuiente;
lo
1931,
mateméticamente,
Luego,
hamiltonianos,
"ergédico",
métrico"?
Birkhoff
sistemas
sistemas
del
positiva.
transitivo.
no
&POr
empleo
observando
medida
vocablo
“transitivo
respuesta,
los
transitivos,
generalisado
A
de
precisamente
origen
sinénimoe
vy
serta
sistema
Si
invariantes
promedios
transitividad
la
Condicidn
gus
Hiplétesis
Ergoédica
de
permite
tfundamentar
agusila
NOTAS: d
Arnold
en
transitive, invariantes,
aus vale promedio
rs]
observa;
entonces disjuntos,
41 en temporal
EoNIJUNtos Son depende de la cost todos le promedio espacial.
el 1
es
Si La
de
.
se UNLON
medida
asume de positiva.
)
el
sistema dos
Tie
ooPNjuNtos La
funeitn
Primer Eonjunte vy DO en el otro, tiene Y Oo respectivanmente, ya gue estos invariantes. Entonces el promedio temporal econdieiën inicial, Y No es constante en puntos, Ne puede aal cELNEetdir Eon el
sustitueidn.
Esto como
justifica
sinAénimos,
sistema
due el
uso
cuando
Y
exypiica
vocablos, s&
de
a
los
tambiën
para
gue
vy
'"transitivao
referidos,
extensidn
las su
dentro
subsistemas
la
descuidando
reguieren
"ergédico”
estin
conservativo,
constante. ambos
el
de
en
un
energia
el
condiciones
significado
de
empleo
de
particulares matemêAtico
séa
etimolbgico.
ls
LA
La
complesjiidad
mecé&nicos ios
dus
MECANICA
con
gran
de
en
el
cantidad
interesan
busagueda
ESTADISTICA
a
la
métodos
de
comportamiento
macroscipico
de
especificar
valor
(los
datos
pasado
el
de
comenzé
sistem&tica
a
desde
habta
idea
sido
Rumford aclarada
un
de
punto
comprendido
La forma
1650
de
gue
y
R.J.
Davy
entre
teoria
1860,
vy
aporta
trabajos
vy
la por
Al
nuevas
resultado
de
estado,
Como
motivaron
la
deducciones sin
sobre
necesidad
variables
del
mismo
mediados
del
sigle
en
forma
TermoedinAmica vista
ËÉEsta
en
una
macroscépico
1842
forma
del
1799)
y
yy vy
de
siglo fue
Joule
energia, XVIII
va (C.
explicitamente en
el
periodo
1849.
Termodinêmica Clasius
y
luego mismo
técnicas slobal
de
teoria
fue
Clasius,
es
fisicos
en
recibid
Gases
particulas.
1843
de
(1876-1878).
el
calof
Maver
Gibbs
como
el por
consistente
a
sistemas
|
1798
por
a en
sugerida
en
las
investigar
de
sistema,
Asi,
fenomenoldgico.
La
del
XIX
log
gases,
hacer
todas
microscëpicos).
se
de
SIGLO
de
variables
permitan
el
EL
estudio
Cinética
due
EN
Maxwell
Kelvin,
el
tiempo, gue la
fue
10
en
la
década
de
importante
aporte
de
Cinética
de
la
en
Teortia
consideran
dinAmica
desarrollada vy
formulada
Boltzmann.
de
al
sus a
Ssistema numerosas
través
de
los
Maxwell
enuncia
la
ley
de
distribuciën
velocidades
moleculareg
en
1859.
Lueso
su
ecuacidn
fundamental
en
1872,
ee
de
la
la
Cinética
MecAnica
Estadistica,
de
La
Mecé&nica
ËEstadistica
a
1)
problema
liamado
consiste
en
sustitucidn &spacic 2)
el
materia
de
con
Muy
pocG
se
aus
su
log
en
es
problemas
va
[71:
hemos
rigurosa por
dicho, de
espaciales
GonEcerniente de
eficiencia
medio con
sobre
o
las
sus
la
se
de
la
en
el
analitico
de
estructura
de
Fisica,
la
levyes
los
La
de
interacciones
interacciën,
solo
Ep
estas
de
condiciones
investigacidn
impensable
hasta
estudiar
diferencialeg entonces
usados
introducir
falta
de
las
mutuas,
excepto
de
necesario
naturalesa
inevitable,
del
ecuaciones
la
los
dimensiën
Era
métodos
cuales
'investigar
particulas,
grande,
las
la
volvié
esas
débiles.
la
en
usuales
entonces
los a
de
hipotéticamente.
Fue
para
aparato
para
particulas,
comrletamente
v
ui
estadisticos
matem&ticos
movimiento.
informaciën
particulas, no
ctros
restringiera
y
al Su
[7]. primerag
aplicaban
Khintchine fueron
gus
Khintchine
como
preponderante
estructura,
Mecé&nica.
de
&extremadamente
por
Las
aus,
molecular
afirmar
fenémenos
carê&cter
general
asinteticas.
teoria
rol
determinarse
métodos,
no
un
podia
su
resultaron
del
la
numerosas
métodos
esos
desarrolio
dos
A.
temporales
creaciën
métodos
numere
podian
ses
justificaciën
férmilas
tomé
sistemas
la
aue
de
v
presenta
ergAédico
una
de
Despuëés
espacio
matemêAtica,
promedics
problema
necesidad
mês
formula
fases.
construccidn
la
la
dar de
de
ésta
el
las
Gases.
fundamentales el
Boltsmann
inicia
teoria
de
usados
investigaciones
sistemêticamente [71:
& en
algunos forma
de
métodos
Maxwell
11
vy
Boltzmann
estadisticos.
argumentos
'timida
vy
Segtn
probabilisticos
bastante
vaga.
Las
Caracteristicas demasiado
colisidn, en
la
embargo
importantes
necesidad el
Nc
de
sélo
dinAmica
particulas
formas
posibies
eaguiiibrio. evolucidn
aue del
primera
formulacidn,
por
la
sistema.
Teorfia de
dinAmicos
ergédicos,.
a
la
sgeneralidad
problemas de
la
més
clara.
por
la
En
fue vy
estudia
a
la
dstallaremos
condiciones estudia
la
determinar
las
con
un
hacia
Su
régimen
de
los
posibles
imprecisa
mediados
de
de
en
este
sigleae
mateméAticamente para
su
la
los
sistemas
la
MecAnica
3.3).
sisteméAtica
de
extensamente por
Gibbs”
en
potencia.
En
esos
conexidën
con
empezaban
Gibbs
muestra
matemética,
“Elementary vale University
intentara
sistema
bastante
ideas
plantea
gus
defirir
dada
en
libro,
fundamentaciën
” Gibbs: mechanics”
&
Estadistica su
primera
("mixing”),
(cf
principales
MecAnica
al
aplicaciones
Termodinêmica,
otorgé
idea,
exposiciën
con
algunas
'uniformizar"
tomada
`mezclado”
primera
Estadistica,
es
Ergidica,
condiciën
La
Esta
nociones
2)
forma
precisam.
'intentando
a
Ccuvas
y
Ereédica
dei
las
en
forma
irreversibilidad
tienda
de
usadas
Boltzmann
evolucidn la
estados
gue
procesos.
de
Vincula
en
promedios,
sino
de
las
teoria)
dguien
de
parêgrafo,
eran
Teoria
es
irreversibilidad de
la
Hipdtesis
elêsticas,
intraduce
la
sustitucidën
préximao
de
1)
interacciën
elêstica,
aparecen
luego
la
son:
esferas
Boltzmann
gus
fundamentar.
no
a
como
tambiën
gue
pericdoe
respectc
construccidn
Probabilidad, Sin
en
primer
(representadas
de
Esencial de
este
restrictivas
particulas levyes
de
a
1903,
le los
fundamentaciën
aparecer esa
of
dguien
'tiempos
apareciendo
Principles Press 102
12
la
desarroiladas
ën
forma
preocupaciën el
problema
statistteal
de
la
mAs
Hipeftesis
dificil
La
interpretaciën vy
Sistemas
su
[7]:
considere
la
criticadc
por
cuAl
La
liamada
E1
sea
ser
a
un v
sistema
fenbmEenos
teoricoes Un medida
Mecê&nica
rama
la
de
la
es
de
veoces debe
& (8e
Regula
el
independientemente
la
gue
lo
causan.
Mecênica,
es
una
fisica
sistemas
del
mecê&nicos
comparativamente
podria
ser
suficientemente Se
a
se
&
naturalesza
ios
los
Mec&nicav
fuerzas
de
es
so
Clêsica)
las
de
Estadistica
Perc
de
como
a
reciente.
partir
descubrid
mês
de
leves
concreta tarde
para
gue
la
diferentem.
ERGODICA
lado
las
ladco
cuando
la
MECANICA
una
en
la
sus
no
durante
fisica,
un
con
promedios para NO
intervalo
para
variables
la
Mecênica
observaciën,
cantidad
since
a
cen
de
de
observaciën
rê&pidamenté
. medidcs,
sine co
grande
suceden
ESTADISTICA
prê&cticas
complejidad
lisvan
valores
experimento
instanté&neamente,
LA
dificultades
se
instantêneos,
una
DE
extremadamente
otro
los
de
de
comentario
limitativoe.
de
una
microscépicos,
Ccomparar
la
deducciën
nimero
por
siguieënte
materiales,
cientifico.
un
del
una
HIPOTESIS
Pr
estado,
los
general
gus
es
LA
Teoria
levyes
teoria
no
interés
@studiar
de
fisicos
mecênicoe,
para
Esta
la
MecéAnica
,
rige
situacitbn
del
la
presuponia
1.3
uno
sistema
las
naturaleza
generales
tener
un
particulas
yy
generales.
tan
de
abstraccidr
se
como
sistemas
gue
priori
DinAmica
fendmenc,
Antes
objieto
como
a
la
los con
hecho
materia
de
Completa
a
&
refiriendo
movimiento
de
es
incomprensidn
de
Boltzmann
vinculacidn
DinAmicos,
Khintchine
est&
de
solucidn.
mecinicos,
la
Ergiédica
numercosos Estadistica
los
valores
temporales. obtener se
la
realiza
muy
largo
desde
el
punto
sistema.
del
Los
espacic
vista
valores
de
observado. MecArnica
de
En
tendran
evolucidn
por
observables,
de
poco
dificultad
Estadistica
variables
la
momentaneos
fases esta
de
se
los
la
en
interna
funciën
comamn
origina
promedios
de
Con
el
estado
el
valor
interés
temporales
déespreocupêrdose
del
de
de de
sus
la las
valores
instantineos.
Sea
ff
una
funciën
macroscApica). el
estado
TIP),
Si
P.
v
el
del
estadc
sistema
evoluciona
se
T(BY.TPOP),.... TB), 1
el i
f Con
N
Muv
de
este
en
la
grande.
Pero
promedio
prêctica,
cantidad
(BV
N
Cconstante
ai N
10
antes
de
es
necesario
interesa
aue
la
sucesiën
de
entre
limite
inferior
y
n
un
2m.
es
es
decir
muy
gue de
existencia
del
limite
teorema
de
n
*
la
cornieturar ics
f
superior
Mec&Anica
de
otra
OP)
no
Por
promedios
esta
forma oscile
distinto,
cuarmdo
esta
Estadistica
los
aue
razonablemente
Dicho
limite,
valor
observados
certesa
promedios une
el
valores
tenmer
grande.
de
instantes
gue
SUponerse
tenga
fundamentacidën
los
P,
;
a
puede
n
en
estados
EE)
comparable
si
los
an
promedio:
Nd
es
tebrica,
(variable
inicislmente
por
etc.
interesa
sistema
encuentra
pasande N
O,1,2,A...,BHB,...
del
TrTazéAn
la
por
la
pasa
temporales
cuando
oo, El
f
Birkhoff
EL tsorema de Burkhoff bastante restringida:
el
P
fO,nl.
t, OP) /n tiempe
a Come
para acumailads
tuna
regin
UP
gue,
enUNEiade
vast
todo de
del
vieite
casi
Primere
punte
espaeio.
para
PP, de
durante
s
todo
eN
forma
dende
t, OP)
La
trayectoeria
el
intervalo
el
bimitte
eorolarior
St
el
es
Constante
sistema
es
sn
transitivoe
cast
dode
P-
indica
por
Lim
asegura
fue
—
Existe
EG
metrieo,
Punte.
entonces
punte
P
pusde
déepender
na
del
espacico de
dificultad
P,
m
no
de
Hd
O
D
GT et
Mm HT
P
La asumeE
[7?.
v
aus.
en
bromedics
tambien
E.
Hepf:
PH.
“On
the
Siende
la
trvariantss
P.E de
Yi
dende,
Ad
(BY
dP
ouande
des sd
EUusge,
T,
time
se
limf dj
Ti
ir
superftsis
Et
MecêAnica
nersia
stlo
gon
de
los
iheorem
in
medida
du
-s
promedias
Dmapios”
(Firiitep
(BY)
dP
casi
lim
Ad
Sina
Proe.
19az
18
(EP)
los
pgrêcticamenta
limite
pere
Hopf”
constante
el
1
el
Fstadistica
limite)!
EET ID
/I
E.
el
-A
di
aus
auiste
nd
-
embargo
sea
vol
.
$fi
svrliicitamente.
la de
(BP)
F
los Sin
hasta
no
Le
2n
S
f
3 4 EP)
He
v okliesrse
lim
f $
de
average
Sciences,
ef,
la
srac
probiema.
sehalaran
(cc
superfiie oen
de
f OP) n
of
con
observadc
EBEntonces
Acad.
Nat,
the
para
Eet
principio.
Gitima
suberficies
de
de
ei
erehdica
temporaies
independientes
of
fue otros
las
levantar
d
este
hipAtesis
de
determinar
Desde d
siguiers
Kkhintoinine
Ppero
travectao T
UCGionandeo.
ni
eriste,
a
Hecênica
partida
ern
primers
limits
1
da
aué
este
dificil
pusede
por
&
aguivalente,.
mês
de
syperimentador estadce
fases,
esstado
muchac
fundamentacien
el
de
4
s
teda
£f
Sm
# £(P) punte
'B)
tromste
sobre
dB
P:
dy
s
sepaeial
ed
slla
f
SR
(BY
du
ef
soebrz
Sy.
limite
y
la
integrat
de
Y
sep
`iercambiables
Ee
Tr
eAdante
del
iEorema o.
na
on fumneAn
de GEED simple
GERVErgenEi oENtrarië B.
in
rtud aootade.
Per
sade,
cuande
T
AEL
BAELMEELLIR
de
s
Durante
toda
la
Estadistica,
ERa
cantidad
interpretaciën
teërica
dar
argumentces
definitiva: del
teorema
de
de
Fo
a
para
se
la
igualdad
métricamente del
igualdad.
Perco
Estadistica
en
teorta
Koopman”
de
basada
de
en
la
Sin
embargo,
preocupaciën
por
sustitucidn
demostrar
existid expresar
de
gue
los
tlamada
Ergédica":
eguivale del
a
sistema,él
Compatibles
constituidas
suponer
con
gue,
sin
recorrerê su
nivel
fines
e
ague
limite sistemas
COME
La
por
una
esa
del
obligaciën
justificaran intentos
introduce
Brbita.
claro,
Esta inicial
posibies, de
BG. B.BirkhoffB.O.Koopman: Recent ceontributtions to Team” Ergodic (Proceedings of the National Academy BeieancEs)
ipaz
16
la
energia
condiciën estados
Es
per
CGumpiirse
Unica
energia.
unua
pasado,
de
los
B.O.
teortia.
debian
la
los
como
superficies
na
a
y
siglo
gus
esa
Mec&nica
exitoscs
Boltzmann
importar todos
de
log
incluso
las
de
el
verifica
de
condiciones asi
generales
promedios
efectos
promedios,
del
légicamente
Birkhoff
de
desde
Es
estin
va
conduce.
obligatoriamente.
constante
parte
En
se
condicicnes
EBas
"Hiptesis
no
sustituciën a
En
existencia
aue
resultados
ella
indispensable,
la
particulares.
los
sin
transitivos),
Birkhoff
condiciën,
vista
io P).,
(Oo
la
ff,
mecAnicos
inicial
sistemags
esa
califican
Ooperaciën
esa
son
asume
sino
la
teorema
a
Tasones
promedios
estado
de
primera
hay
indivisibies,
Corolario
aue
del
la
sistemas
de
COME
jiustifiguen.
matemêtica
no
Mec&nica
medidos
le
de
los
en
gue
independieënte
iégica,
aus
pero
la
aSumida
valores
través
Birkhoff,
verifigue
los
hay explicaciën
obligatorias
sea
de
de
Es
matem&ticos
si
limite
exposicidn
alli,
the cf
gue
el
promedic
temporal
iniciali,
y
promedio
espacial
Ergegédica
de
para
la
por
validers
un
expuesto en
de
eësa
la
(incluyendo
por
ferenciable: vna
es
ejiemplo
la
fo
Después hipÊtesis
por
tedos si
bien
Ya
elementos
como 1891,
tnica
id
z
P. &
T.
T.
explicaremos Kelvin
Wissenschaften,
de
de
un
a
dos
la
recta
drbita,
real
(los
la superficie de energia cuando la #Aimensiin de
los
des
41.
constante, so
punte
(intersecta
Pero
esta
es
agaue
hipétesis,
promedios,
no
es
adelante.
idea
la
inviabilidad
de
la
a
la
Poincaré'”,
modificar
esa
cuasi-ergodicidad. observan
excepto
Sciences.
debido
Luego
para de
1911
f
no
denso;
periëdicas.
en
la
aundue
energia
direccidën la
introdujo
Boltzmann",
Hs Encyklepadie Pa-
de
maês
promedios,
Generale
Soo,
se
trayectoria,
Maxweli-
érbitas
Ehrerfest: N
entre
manifiesta
Ehrenfest',
Revus
Oo
con
hamiltonianos),di-
reemplazar
posible
sustituir
Poincaré,
cbligataria
superior
cualguier
para
v
H.
gus
Yfuera tuna Unica
superficie).
Tambiën
io
al
promedios.
sistemas
la
de
introduciendo
poder
suficiente
topoligicamente
hipêtesis, P.
condicidn
menos
superficie
de
Ergédica
presencia la
Hipltesis
observacidn,
la
necesaria
en
la
contradictoria
muntos de imoosible
esta
entorno
“Hipetesis
indica
de
todo
suficiente,
igual
mavor).
conjunto
es
posibie
los
biunivoca
un
los
mucho
superficie
totalmente
constituye pasa
a
de
estada
es
dimensiën
"cuasi-ergidica":
complete
limite
una
es
de
inmersidn
dos
es
del
Luego,
sustitucidn
tiempos) y todos los conetente, lo cual es ella
es
dinAmico:
si
su
superficie.
conservativo,
habria
antes,
condiciën
sistema
sistema
la
independiente
Maxweil-Boltzmann
Pero, para
lo
es
gue
algunas
para
curvas
1894
der
Mothematiischen
excepcionales, energia
todas
constante
superficie.
pasar
tambitën
débpil:
promedio
@érbitas
deben
Ellos
demasiado
las
por
gue
Cumplirse
varia
de
la
superficie
de
los
elementos
de
e&sta
condiciën
es
todos
observan
puede
temporal
de
una
'tambiëén regidëén
cuando
a
otra
el
de
la
superficie. En
sintesis,
Birkhoff,
la
estaba
decir
(i.e.
pasa
por
demasiado podria
es
mê&s
Birkhoff
1931,
alcanza
aue
recorra
` todas
la
transitividad
atn
como
algunas
analizaremos
mês
La
gue
de
Êrbita
por
lo
tante,
6rbitas, fue
medida
de
@rbitas,
eguivalente por
profundas del
y
por
ergédico:
positiva.
resultado
gus para
dada
teorema
de gue
intermedia
formulacidtn,
mê&s
Ergédica
una y
Su
pasan
insuficiente,
trivial
es
del
gue
Més a
si
la sola,
obtenido
Dor
relevantes
son
teorema,
ague
mismo
adelante.
cuasi-ergédica
topolégica"
bastante
incluyendo
los
es
no
consecuencias
topolégicos
topolBgica
pero
varias
de
de
Esta
hipetesis
“transitividad
hipPttesis
respuesta
ergodicidad
creemcs
otras
La
partes
importancia
Pero
o
corolario
métrica.
la
la
Condicidn
conjunto
las
matemêAtico,
imposible
1a
de
vista
Hipetesis
algunas
cualauier
precisamente,
Birkhoff.
es
es
a
la
Mec&nica
érbitas
existencia
ergodicidad?
en
muestra
Y la
Cu&l
de
necesaria
puntos)
solicitarse la
es
(i.e.
los
la
de
sustituciën
de
existencia
teorema
por la
punto
débil;
fuerte.
asegurar
el
la
abiertos)
todos
como
del
Ccondiciones:
los
Maxweil-Boltszmann
aparicidn
reguerida
dos
Cuasi-ergédica
es
desde
entre
todos
1a
(entendiéndola
promedios) acotada
de
ergodicidad
Estadistica
por
antes
por
generales
espacics
eguivalente
la
Matemêtica.
(separables
e@uclideos,
a
la
18
es
condiciën
la
vy
1lamada En
eSspacios
de
Baire),
transitividad
siguiente:
(1)
Dados
U
las
Grbitas
y
V
gus
Ademês.
No
eyisten
sentido
gue
no
Veamos
se
entonces
indivisible
medida
positiva,
conjuntoe
dinAmico de
Cantor
topoisbgico,
i2
EN
pero
efecto:
entoncss
diep
&
VV.
verifiea
OD,
La
con
Si
la
el
Chicos)
del
vinculo la
medida
topologia
sobre
del
abiertos),
ergodicidad
invariantes
implica
el
érbita
dos
gue
positiva,
de
abiertos
reciproco
densa
un
disjiuntas
tampoEo
medida
brbita
por
1
es
false:
exciuya
es
de
tiales
V
Poor
N
un
transitivo
ND
U
es
DEP
Y
Lade;,
dense
Baeire.
P
gue
Ps-tU,
otre
abierteo
separable
punte
s8
es
OD.
un
UunN
v
Pep
condtein
espacio
en
métries.
ali
es
mês
(el
cuasi-ergodicidad:
embargo
una
'instantes
LA
del
ne
pe
ta
U
base
st
exwisten
Sin
o
Oo
admite
con
a
positiva
partes
disjuntos.
'invariantes
abiertos
métrica,
ND
espacio
indivisible,
respecto
Borel,
en
de
tiempo
cualauier
matemêtica
topoliégica
sistema
algUtn
cuasi-ergodicidad.
natural de
en
disjiuntos
justificaciën la
V
conjiunto
siguiente:
subsistemas
v
el
(en
admite
transitividad
sistema
la
abiertos
transitividad
invariantes
es
topclégicamente
medida
la
a
a
es
forma
(una
Ccorta
condiciëén
la
en
espacio
un
por
ergodicidad
elige
la
U,
dos
dinêAmicc
la
pasan
eguivalsnte
sistema
entre
cualesauiera,
esta
topoigico), (IT)
abiertos
si
para
coada
densa,
SE
U
entonces se
y
se
verifica
AL
de
La
Luego,
DEAL
L es
denso,
brbitas 13
En
en
H
Y
E6fecto: abiertos
DAL
son
Bi
es
entonces
b
eorstrueeiën,
no
se
invariantes
condtEeidn
p
por
todos
sus
puntos
P
tienen
depsas.
el
miLSmEe
X.
ewisten
G
abiertes
LI
y
U
no
IE,
el
sistema
Y
V
entonces
eorta
aa
si
NO
Reciprocaments,
abiertos
p &
verifica
disjuntos
U
y
V
tales
da
Lmvariantes,
centradieen
MV,
es
divisible
contradiciende se
veriftiea
La TE
gus
son la
disjuntos. eondieien
IT.
Come
ademês
Le
SXDUESTO
Cuasi-ergodicidad
Como
ya
condiciën
de
Estudic
1970
de
Ya.
simrle
dos
las
paredes
gus
su
perao
es
hasta
el
sa
modeilos
para
no
au&
la
de
es
una
sases
de
la
dias.
EN
un
modelo
muy
entre
si
con
de
v
Con jetura
n
prueba
sobre da
contiene. para
(o
objeto
de
coliden
esterast* oe, de
ello.
Este
Boltzmanp-Gibbs.
“Lillares"
importantes
métrica
nmuestros
tambiën
la la
interrogante
Bsta
las
existe
modelo
enuncia
justificar
ergodicidad
gus
lilamadaos
investigaciones
Birkhoff
pie
la
ersodicidad.
hasta
elésticos
momento
si
en
la
cierto
Gus
transitividad
Brgegddica
es
de
condiciën.
recipiente
precisamente
Estos
la
demuestra
resuitado
la
teorema
permanece
discos
del
aue
reaguerirse
Teoria
Sinai”” de
sl
verifican
la
entonsiss
débil
promedios: Pero
mcdslos
més
debe
ergodicidad). agué
es
diiimos,
ague
sustitucidn
ErueEeba
SON
Teoria
objeta
Ereëédica
de
en
sl
V.
T.
presente.
Finalmente [51]:
&
conjeturat
(la
estudiados
cuando
tiende
el Ambos
Eregiédica.
3
Yv.
sinai:
Ergodic SUrveays
t4
bis
for Math.
El
a
segundo
estA
Dynamteal -
Ergédica
sistemas
Estadistica) el
problema
fue
bien
de
(lo
gue
mecêénicos
&
ocasiond
la
aplicaciën
valorado.
Se
el
NUMEro
cuande le
esta
interesa)
trata de &
vy
no
infinitom. 'importantes resuelto
Systems
of
'Teoria
de
with
seattering
a
de
partir
esltastie
btiltiaords.
la
Teoria
del
Teorema
reflteottons.
Russ.
Math.
1670
Y,sinai: (NM dynamteal Dokl. ed
a
problemas
properties 26
infinito?
tiende
son
no
refleiin
los
asintéticc a
tiempo
de
Perc
Estadistica
comportamiento
particuilas
la
MecéAnica
discusiones.
MecAnica
del
la
una
de
ergcdicidad
—
F
the jfoundattons of system of stottstieal
1oaa
)
la
principio
por
profundas a
Al
NI
Arnold
transcribimos
the
ergodie
meehantecs
hypothesis Bmwoviat
de
Birkhoff;
el
abierto.
La
ergodicidad
por
mucho
gueda
billares
cCaso
el
en
atun
y
elegido,
de
modelos
los
de
simplificade
estA
mec&Anico
modelo
del
depender&
primero
investigar.
TEORIA
de
(medidas
medida
Probabilidades,
de
Teoria
moderna
década
de
pleno v
Haar),
de
vy
de
Teoria
la
v
de
topologta
la
Borel,
de
Lebesgue,
forma
en
estaban
Oo
vincularon
aue
teortas
desarrollo,
la
en
inicia
se
conocidas,
va
eran
cuando
1930,
con
ErgAédica,
resultados.
de
coherente
cuerpo
LA
ERGODICA
Teorta
la
de
desarrollo
El
DE
RESULTADOS
PRIMEROS
VY
HISTORICOS
ANTECEDENTES
1.
la
la
Sistemas
Dinaêmicos,
potentes
Algunogs
Ya
hemos
Liouville,
ague
vincula
llamé 1899,
en
ciertas
15. vol
poinearê: 2a
a
antecedentes
mencionado, mediados
la
“medida"
introduce, ser
teëricos
muy
generales,.
su la
del
dinAmica en
el
para
Mêthodes
en
un
espacio.
discusidn nocidn
sobre
$&#
siglo
de
medidas
aue
el
teorema
XIX,
es
un
antecedente
Con
lo
sistema Ppero
del
todos
los
Nouvelles
1869
invariantes
1.1,
tambiën
aue
de
de
la
se
de
se en
recurrente,
propiedades
puntos,
luegc
Poincareé'”
movimiento
fundamental
ie]
1.4.1
y
entonces
estudiados
Trecursos
con
diferente,
dptica
una
desde
son
Ergeédica,
Teoria
la
a
origen
Hi
dar
a
contribuyeron
ague
Mecênica,
la
de
problemas
Los
aue,
sin
cumplen
Eon
Mêcontague
Celeste
probabilidad integraal La
de
de
Anslisis
Brel,
del
la
por G.
teoremas
vy
ha
sido
admiten
Luego,
antes,
siglo.
vy
se
introduiera
enorme
formaliza
en
sl
Poincaré,
la
década
la del
probabilidad
de
1919,
en
EN
aAvance la
estudio
en
de
en
cieërtas
una
los
sistemas
reformula
términos
de
asociadas de
travectoria estar
Bste
del
(un en
ios
la
'Teoria
el
travectorias
T
general,
espacto,
infinitas
Varios
Sur
differentielles 1-2 vol rie et 4
cast
parte
cast
tode
punta
todo
tiempos
es
vers PY,
ma
pumto
positivos, Admite
espacios
A
zu
transitividad
futuro.
a
v
cuando
inicial
la
el
medida,
ma
tosiciAn
antecedentes
aue
preservan
topaiireicos.
ë:
la
de
infinitas
los
Si
una
de
medida
parte
medible
de
A
vueluve
A.
otros
transformaciones espacios
a
su
solamente
sntonces
veres
de
referida
preserva
invariante.
recurrente
vuelve
hacia
les
Ya
courbes
our. de 1BB5-188s.
Math.
IN
St
wvolumen
es
aus
recurrencia:
entonces
P
1iamaba
dinAmicos
de
reformular
es
finita:
el
ha
gus
volumen,
teorema
cerca
permite
mês
Oo
futura,
tonsiderandoe
versin
el
punto
topolibgica, decir,
Poincarél”
sistemas
eëpacie,
arbitrariamente teorema
a
preserva
tnuvariante
1880,
Area,
establece
transformaciën
reeurrente
de
transformaciones,
intesral
Poincaré
ocotada
del
Gue
furdamentada
un
Carathéodory,
"conservativas",
2a
Lebessue,
Peincaré
pruebas
a2studiado
as
antes
Medida. Ya
la
idea
de
presente
esaguematizada dinAmicos.
esta
Lebesgue.
integraal
medida
de
Expuso
o
la
1.
los
una
sêrie
eiemplios
medida
grieëgos,
defints 28
dan
utilizaban
par vals
natural
les 7-aA
18B1
de en las
BUGELSIS 1882
ML
AVIIED
UE
AUS
LL
di
EA
Y
VEAEIMERE
invariabilidad
por
coinciden
jiguales
.
geëmetras
griegos
decirse
son ague
los
invariantes,
pere
especiales, responde
Lebesgus
de
esas
ésta
analistas.
una
Pero,
Para
Erelédica,
Teoria
condicidn
aus
En los
ocupa
1812,
K.
desarrolios
problema
en
la
existencia aguella
de
hasta de
los de
secundaria
en
la
[121].
ésta
es
la
investigaciën
la
due
(en
de
encuentra
un
transformaciën
del
a
cada
fraccionaria
de
de
propiedad
es
a
mismo,
medida
dominio
continuas,
comprenden una
lIntegral
plano.
vinculado
parte
muwy
Cavalieri
la
motivada
si
el
contrario,
fracciones
en
investigaciones
&l
primer
Gauss?”,
[0,1]
corresponder
de
términos
X
hace
1/X%.
Sus
modernos)
prcbabilidad
la
'invariante
por
transformacidn,
En
el
grupos
siglo
de
Y
pasado,
para
R.
En
polinomios
tales 1897
invariantes
para
no
declinar
A.
de
la
siglo
KX,
y
1924,
con
la
efectuada
una
espacio
de
de
log
Schur
a
los
v
H.
&
a
de Las
los
grupos
medidas ideas
tal a
de
de
ver
del
principio
del
ctonocer
WevlY
rectas
obtener
causa
invariantes
empezaria
medida
ortogonal,observa
Lie. a
por
las
existencia
inmediato,
de
se
grupo
la
grupos
eco
teoria
I.
el
un
Cartan,
ewtensidn
por
interesa
determina
en
por
Ciertos
reciëén
se
Hurwitz ”,intentando
de
tuvieron
y
grupos
invariantes
independientemente
Hurwitz
E,Cartan
desplazamientos
invariante R”
al
probabilistico
intervalo
de
por
medidas
preocupaciones
transformaciones
gus puede
con
Gélculo
desde
elios,
SU
cosas
moderno
ampliar
yy
d
subconjuntos
el
las
para
por
la
de
de
invariabilidad
para
aue
medidas,
seré&
Las
trabaiaban
sélo
necesidad
&
lensuaje
considerarse
la
definiciën
En
definidags
Puede a
desplazamientos:
Ad AdEAHUAdS
su lLde
(Bourbaki
valor
en
compactos,
127).
NOTAS: 17 18
io
K.
Aauss
EE.
Cartan.
;
Werke
K
F
f
f Oeuvres
A. Hurwitz: llber die Integratton sott. Nachr.
1842 ceompletes
£rsengung £897.
Ek
Paris
1953
der
'
lInvartonten
dureh
Dtra medida
V.
corriente
de
Lusin,
respecto
a
lievo
demuestra
gue
medida
continuas
coRSstituve
unc
relacionan
la
de
de
por
i
subconiunto .
En .
"medida"
naturaleza, existencia
localmente
compactos
para
aplicar
bastaba
conocer
regueria
la
Neuman
para
tarde
Case
de
eiemplo
estudia
definiendc
medida
&l
una
"medias"”
Estos
fue
22
T. von
medio
primeros
23
.
A. Weil:
ses
24
it
de
"de
una
due
tambiën
se
un
por
J.von
método
de
continuas.
la
Mas
métodos
unicidad
en
el
compactos. [42]
invariante
con
en
borde
anillao"
integraal
son
gue,
no
G.Birkhoff”*
billar
eijiemplos
le
probleme
Neumanm ZUM Ctompos, Math
I
ihe
ONLIID
de
la
obieto
due
Dor
1927, CONVERO,
preserva
la
invariante.
de
mesure.
Hoorschan t.I 1984
estudic
de
lo
unigueness
Mess.
of
Fund. Math.
t. IV
; topologisehen
Ln
Haar's
meosure
Mat.
188.
FEE
,
L'integratton
applications
3. BLrkheff:
Acta
del
gsrupos
eficaz,
medida
por
la
T
Sur
Neumann:
Sbornik
dada
problema
-
es, BERE io23 24 d. Von Gruppen.
de
Para
siguiendo
localmente
importante
de
forma
funciones
simultAneamente
e&ël d
demostrar
demostrado
Weil”,
por
observé
utilizando
de
VvOA.
por
fue
compactos,
transformaciën
definida
sine
tode
gus
1833
se
en
nula,
Ideas
&n
Pero
Haar
punto
topolAégicos
transformaciën
auien
Este
R'.
invariante
existencia,
obtuvieron
Dtro
una
su
ninguna
ara
muestra 2
A.Haar.
de
ague
idénticamente
Ry
separables.
grupos
grupos
definida
y
teorema
egiste
y
a
medida
no
20
de
'jimportantes
no
en
(Con
limite
Este
R',
S8.Banach
existe
Neumann
diferentes.
en
medida
la
mediante
J.von
gaue
una
unicidad.
definiciën
prueba
permitieron de
mas
1a
generales.
el
COMPAaCtTO.
medida.
de
medibles
son
la
1923,
mês
funcines
traslacicnes
tal
poder
con
partir
métodos
resultados
aditiva
R`.
a
Lebesgue)
1914,
3
de
contrario,
la
en
a
soporte
topologia
coniunto
invariante
misma
con
surgida
las
de
los
Hausdorff,
funciën
ideas
lLebesgue,
la
funciones
de
On
bhe
Malhemolica
et.
actual
.
dens Beient.
pertodie 1687
les
vol
Sroupes sl
ind.
motiens 56. “Eg. DM
Bee
of
,
topolestmes pars
sat
1640
Hynamteatl
SUS Eems
estadistica
tenddtia
una
muestran
de
la
reciprocamente,
la
teortia
la
1.4.2
la
siguiente:
el
investigaciëén
de
iniciales.
datos
de
determinaciën
para
definidos
como
problemas
vista
de
punto
un
de
la
proposiciones
Muchas
Gus
datos
de
de
especiales
Medida.”
la
de
Teoria
la
considerarse
pueden
formal,
peculiar,
forma
una
tienen
de
parte
dependen
no
trayectoriasm...&
la
de
mayorta
la
valores
asumen
gaue
o
particulares,
Y
estocAsticos
lo
la
casi
gue
caracteristicas
aauellas
a
eguivalente
alguna
sus
interesa
modo,
otro
de
Expresado
teorema
Probabilidad,
en
de
movimiento,
del
dependencia
El
es
DinéAmica
la
de
principal
problema
definida.
comprendida
est
razén
La
Dinémica.
de
sistema,.
del
con
forma,
en
coincide,
estacionarios
la
dn Ccondici
procesos
de
v
métcdos
Los
&
de
Teorta
teorema
cierto
Dinêmica
formalmente
es
Birkhoff
de
fundamental
la
libertad
de
grados
de
ntmero
al
concerniente
particularmente
ninguna
sin
AU
General,
DiniAmica
la
Es
[7]:
Khintchine
por
exwplicada
es
Medida
entre
vinculacidn
la
cAmo
interesante
Eraédica.
Teoria
llama
se
hoy
ague
Primeros
resultados
gobre
convergeneia
de
promedios Otro
paso
investigaciën R,O.
en
Koopman”
operadores medida
al
s
B.O.
Broc.
U,
Koopman: of
the
Nat.
del
la
fue
of
Sciences
25
en
de
la
1931
una
Si
medida
Systems vol.
i?
and -19a1
mediante
'T
vv,
funcionales
la por
preservaciën
Funcional:
espacios
, j Hamtitltontan
dade
para
interpretacidn,
An&lisis
preserva
los
Arcad.
significativo
funcionales,
aue en
Yy
ErgAédica,
intrcducir
términos
transformacidën
2
Teoria
lineales
en
operador
interesante
de es
define de
, Hilbert
la una el
cuadrado
Spares
integrable
e?
operador
e).
por
la
"unitario”
Adem&s,
y
funcional,
condiciëén (i.e.
aaui
el
preserva
est&
la
conocimientoe
El
sobre
primere
oo
la
fundamentalmente
J.von
Neumann”,
definido
por
promedio:
positiva)
auien
Koopman,
Si
travyvectoria
t
OP)
por
P,
durante
converge
segtm
t(P).
decir;:
Es
la
N
Ademêés
P,
es
A
gue todo
punto
Neumann,
t AT.
26
T
ao ET of
A
del
fue
operador
estadia
espacio
(con
st
a
U
del
de
la
medida
entonces
de
.
norma,
erglédico
de
2E
ague
del
([0,n],
ese
Ccaso del
t
(OP) /n
un
de
y
como
solo U,
Proof Acad.
es
of of
sistema
es
la
igual
limite
el
limite
lo
ague
en
establece
.
si
Estadistica,
este
de
Birkhoff
[3],
(para
casi
necesita,
segtim
estadisticos
precisamente
:
el
subespacio
vA)Y/V
finita).
puntual
términos
casi
transitiwvo
cocdiente
supuesta
teorema
de
es
al
MecAnica
del
resultadc
.
independiente
espacio,
conversencia
si
es
el
efecto,
operador
Nat.
extraer
general, en
teorema
tiempo
T(P)
si
util
En
la
EE the
enfogue
permite
teorema
funcional
euwistencia
P).
Fe
espacio
transformaciën
ayuda
intervalo
gue
en
tan
su
del
parte
fines
ergodica 1
en
medida
la
es
Y
es
propio
Proc.
la
asegura
U
la
el
el
solo
vy
es
el
un
|
vy
.los
resultado
la
denota
prueba
si
V
en
es
del
convergencia
con
norma
Este
OD
métricamente, (donde
la
una
norma
de
un
demuestra
el
1im
todo
de
la
operador
establecié
trata
foT.
oe
ergodicidad
due
-
importancia
del
,
Cconclusiones
Uf
de
z
gus
EoN
von de
la
valer
unidimensional.
the
Sciences
26
(tmuast1iPa2
Ergodiec
Hypothesis
“desviacitn
estAndar"”
€&l
vista
punto
fases,
de
como
es
temporales
(Et, n
fue
Alii mavor
probado
de
ergidico la
teoria
con
no
funcicnales;
detaiiarê&
mês
eytratdos
de
Poincaré, En
&el
ComunNica
22
obtenido
por
liamamcs
E.HOp£””,
Neumann
E.Hoepf: Nat.
On Acad.
no
sino
dos
the of
Neumann,
en
autor
unitarios
lo
cambio
prueba
sefala
octubre
de
1931,
(diciembre
los
(como
se
completamente
de
las
diferencias
J.vorn
Neumann
Ergedico de
el
geométricos,
estags
Teorema
se.
de
recurrencia
Birkhoff
por
en
dominio
métodos
la
su
En
le si
pertenêce
el
mediante
utilisa
la
propiedades
antes
Birkhoff,
j time Sciences
del
tratamieënto
décadas vy
Birkhoff
Anêlisis.
subsecuente
el
aue
U,
Casi
the
es
el
operador
28
del
aue
1931)
nuevos,
del
&
se el
ha due
Ereédico.%
desarrollo
Neumann,
Neumann.
operadores
despuësv
métodos
Tecrema
Un
von
Poco
lo
el
de
personalmente
Promediom...s&
von
de
conocimiento
de
von
este
(v/V).
ergidico de
de
promedios
individualegs
tratando
[11],
gases,
el
von
su
de
espaciales es
entra
adelante)
trayectorias.
por
Desde
espacio
sustituir
de
ténicas
nm.
el
cinética
@6rbitas
aue
para en
para
teorema
Birkhoff
aclara:
teoria
grande)
las
espacios
y
la
profundidad
a
anula
estadistica
n
el
teorema
teorema
se
Dinimica,
de
naturaleza
y
a
la
probabilistico
El
la
con
a
interesa.
tn
suficiente
Pero
su
de
interesa
resultado
alcanza
de
Vol
48
mê&s
de
isa2
dad
de por
espectral
del
inmediatas.
los
teoremas
ewistian
Theorem -
ersédico
simplificado
resoluciën
va
average
teorema
7 'n
ergédicos
,resultados
) Dynamtes
de de
Proe. of
conversgencia
de
particulares:
En
circunferencia, teorema
de
Sierpinski
promedios,
el
si
estudiados
cCaso
el
del
problema
'"eguiparticiën",
v H.
Weyl
t
el
todo
P,
donde
MA)
es
su
medida,
al
conjunto
acumulado
de
visita
[O0,ni,
un
punto
de
posicin
P,
vy
irracional. toro
(ce
ergidicas
carecen
respecto
a
érbitas
de
t OP)
A,
W.
durante se
sgue
en
lag
'la
medida
el
el
intervalo
encuentra con
en
todas
si
sus
la
pendiente
traslaciones
Lebesgue,
en
tiempo
en
circunferencia),
de
y
medibie
es
traslacidën
perildicas,
resolver
perihelio,
P.Bohl:
ein
este el
surge
,
in
problem
“Py. weyls Sur la mêeanigue H. weyl: Liber Annalen
aue
,
Lber
vErkommendes
Math.
subconjunto
Y
por
la
P.BOR17”,
el
v
el son
solo
d@rbitas
si
son
[5]
intento
2e
a
la
LAS
un
tambiën
Histêéricamente,
del
es
Trotaciones
de
unidimensional),
inicialmente
mueve
Muestran
de
densas
gus
se
las
A
(o
(P)
Ee
Ty
punto
toro,
es
ejemplios
gue:
NR NO
para
tore
debido
afirma
en
dar
eiemplo
problema al
estudiar
Theorte
4. Reine
de
und
der
se
origina
Lagrange, las
!
del
el
promedio
perturbaciones
Sakularen
Angew. Math.
en
storungen
185 - 1609.
wme application de ta thêorte des nombres ca statistitguë Enseign. Math. 15 -ie14 die Gletchveirtettigwms von Zahlen mod. 77
-
1916
de
@rbitas
planetarias
estan
geometria
e@espacio,
resulitan
del
traducibles
Similares Ergédica.
aue
en
se
en
variedades,
o
algunos
CON
medibies, algebraicas.
las
ague
si
bien
trabaia,
distintas
ramas
la
por
mês
vinculadas
a
la
las
en
son
la
y
en
el
general,
MateméAtica
sino
espacios
topolégicas las
en
toro,
en
y
propiedades
topoligicas
de
resultados
asi,
Teortia
transformaciones
particulares
cbtener
ergidicas
en
estructuras
conecta de
la
gEeométricas,
permiten
Ergédica
y
simples.
precisamente
a
medida
la
circunferencia
junto
algebraicas,
Teorta
la
Aprovecha
medibleas,
donde
en
de
usuales
interesa
no
otrag
sélo
muy
scn
definidas
ague
mês
condiciones
términos
recursos
Esta
las
las
due
observamos
estrechamente
tan
transformaciën
primeros
los
de
ejiemplo,
este
en
aue,
Sucede
medida.
transformaciën,
geométricas,
son
aprovecha
se
aue
la
de
embargo
involucradas
propiedades
eguiparticiBn,
el
uno
([S1,
Sin
ergédicos.
teoremas
de
en
simetria
la
V.Arnold
segin
constituye
teorema
particular
y
toro
del
geometria
la
El
muy
ctaso
un
en
obtenido
”.
los
espacios
profundos.
forma
O
La
sorprendente,
moederna.
MOTAS: Lagrongs Limites
regueria de
Considêrese
en
poligenal problema segmentes,
An
el
es
tada angular er
el
Al Wi).
instante
del
a
k
veoelor
es Ak
eomplejo
ewistencia sfeetuar
Los
per en el
it
dende
la al
plane
formada censiste al fijer
puntos Ai velocidad ACo
eoenoocer
promedies,
puntes
Los n ostudiar extreme
Y
el
estLmeaeion stguiente
AGALAZ,.
- AN,
segmentos AiL-1 el movimiento AO Y gLrar
relativamente alrededoer de Lo velocidad' angular
de planieor
Y
ta
Al. de todos
El SSos Les
AL—1, del
CON vector
D:
Lim
E
Oo
*
ne
Arg
Sa d
nulte,
Ak.
29
of $
determinade
por
de
posieiën
EL
PARTE 2 ERGODICO
TEOREMA 2.4
para
Uno
de
los
el
teorema
Khintehine””, manera
general
compatible
vy
sea
Sea
T
fe
e”
.
formuldé
(i.e.:
ff hy
ewiste para
es
"
F(P)
casi
actualmente
la
se
de
debe
la
notacidn
a
siguiente para
hacerla
contexto):
transformaciën
,
(i)
lo
empleados Birkhoff,
modificado
nuestro
una
de
1933
(hemos
con
mê&s
eërgédico
en
BIRKHOFF
ENUNCIADO
enunciados
duien
DE
aue
preserva
integrable). nd
ga
-
4
iim
todo
EF
punto
fi
la
medida
pv
Entonces: #feT”
j (P)
P
me
di)
7
es se”
vy
la
(converge
convergencia en
norma
en
(41i) 7 dy - ff du (iv)
Si
T
es
transitivo
es
el
tambiën
&spacio
parte dio
Birkhoff
probé
esencial
del
su
primer
bastante
mês
es
métricamente
la
(eo
restrictivo sistema
medida
de
Lebesgue);
la
trayectoria
n-ésgima
ver
a
Zu -
Y
la
vy
casi
todo
(iv),
Khintchine
aue
lo
punto.
contiene
completé
vy
la
le
(dado
dinAmico
regidén
por
Birkhoff),
fue
[3]:
sea
due
EP)
iniciada v
32
A. Khintehine: Math. ANN.407
(i)
@nunciado
un
de
tesig
en
ergédico),
actual.
Sea
demora
constante
teorema,
formulaciën El
la
#
se
funcional)
ee
entonces
en
Birkhoff's 1988
del
preserva
el en
espacio
, Lossung
30
el
tiempo P,
(positivo) en
(est&
des
volumen
volver definido
(o
de por en
Ergodenproblen
casi
de
toda
punto
Poincaré).
acumulado en
la
P,
Sea
de
las
regiën
el
es
volumen
casi
Primero
(P)
sus
gue
Ly(ft
esa
casi
tiempo
trayectoria
tedo
en
py)
P
P,
e
Adem&s
ese
igual
supuesto
a
si
el
promedio
es
m/T,
donde
"V
finito.
gue
GcoOmvergen
para
casi
ello
su
Aaguli
es
TtTiempos
la
gue
Creemos
Es
.
todo
P,
sucesiëfn
de
Fo —
fe ” ET
preserva
esa
el
de TY
importante
vêlida
funciones
si
aditividad. T
nd
,
sy
#foT);
agregada
est se
integrables
(i.e.: es
medida).
f
observacidën
eës
donde
la
caao
muy
demostraciën
pero
condiciën
incluye
aue
la
misma
due
se
tesis. finales;
cualguier
transformaciën
Et
el
(P)
los
por
tal
comentaric
punto
comentarios
verifiaguen
2
de
estadia
demostré
--s-de
para
sustituye
,
11
dedujo
exvpuesta
recurrencia
t,(P)
para
espacio,
N
V
1
de
todo
del
t
Ti
Uuio
de
métricamente,
Birkhoff
ees luego
aue
estadias
de
transitivo
indica
y
menor
exviste
temporal
para
t
teorema
t. (OP)
constante el
,
ss
ED
promedioco
sistema
t, OP)
del
Entoeneces:
lim (es
virtud
anteriores
v.
N
en
una este
Con en
lugar
por
Birkhoff
de a
1
CoOntinuaciën enunciado
PA Ese
Li mite
de
su
prueba,
general
due
tarmbién
puede
condensa
actualmente
formularse
en se
da
buena a
su
parte
el
teorema.
eomo
(y . (BP) Li vn
EE
ke en
i
"
VV,
de
La
donds
TE
F
traysctoria
es
el
Boor
[Or].
31
tiempoe
P,
acumulado
durante
de
el
estadtia
tntervalo
2.2
Los
intereses
numerosos
aspeetos.
publicados
[1],
actividad,
su
matemê&tica
&
opinidtn
y
ergëdico,
gue
sus
las
su
esta
del
sobre
estA razén
en
de
titimo
su
M.
al de
en
construceiën
teorema
logros
Poincaré,
no
lo
son
de
mis
Riemann de
las
estabilidad
Todos
puede
su
[21]:
dos de
la
y
Sobre
estudio
teoria
para
1905,
Morse
probiema
la
es suficiente
en
teorema
mucho
el
holardeses,
importantes, el
en
de
atenciën
aus
fundada
importante
1907.[Z1
geométricas,... las
una
Harvard
comentario la
investigacidn
hijo
contribuciën.
Efectivamente,
Y
el
abarcaron
1944.
en
Aunaue
cCoORSECUENTIIAaS
Ergédica
vy
Chicago
diferenciales,
estructuras
1904
trabajios:
generalisado, ecuacicnes
en
de de
Michigan,
pruebas
otros
Birkhoff
producto
enfoca
sus
de
gradué
Ccitamos
popular
teorema
AUTOR
trabaios
entre
se
importantes:
el
el
doctorade
obra
cien
Overisel,
D.Birkhoff
finaliszd
La
Casi son
en
EL
cientificos
desarroilada
Nacido
George
SOBRE
y
envuelven
construirse.% de
la
ergédico
enfocar
de
en
TEoria
Birkhoff.
él1
nuestra
atenceidn.
del
después. (31.
E1
teorema
Est&A
teorema
es
un
de
incluye
segundo
en
se
el
due
&n
en Ccada
un uno
expone
resultado
Analizsaremos esCcritos
el
parcial
articulo
apovyé&ndose
en
recurrencia
resultado
mismo de
1931,
ergédico,
contenida
primero
un
de
ambos
dos
fue
comunicé
vy
la
demostraciën
sistemas
transitivos.
del
teorema
ergédico.
prueba
poco
consecutivos
para
la
la
publicada
articulos
enunciado
de
este
gue
no
de Este
En
el
teorema,
anterior. articulos,
centewto ellos
Birkhoff ague
hay
y
va
publicados
referencias
Ki
prueba
1” de diciembre
LY
El
sole
juntos, al
otro.
fueron sino
MI
3
El
IDEAS
teorema
PREVIAS
ergidico
después
de
la
obtener
un
resultado
de
los
es
prueba.
tiempos
problema
y
utiliszada sistema
el
t4
`&firifndose EE
Si
se
de de
tiempos corte
es
llamada
a
o
lag
El
desde
ese
teorema
el
punto
de
una
medida
de
la
dinAmica
de
UI
fluio
soluciën
de
la
donde
variedad
el de
invariante
X
M,
es
un
también
una
es
CAMDO
analitica,
soebre a
"de
donde
Er
MH),
Poincaré",
Poincaré co
medida
tienen
due
en
'infinitas
se
casi &
primer
produce
todos
construida
veces
la
de
CoOrta
trayectoriags
El
(cf.
analitica
Y
precisamente
vy
Estudiar,
entonces
grandes
es
de
M,
una
cortar
T
a
“superficie”
trayectorias,
arbitrariamente
TIP),
Eroblema
recurrencia
(considerando
vuelven
E.
,
nada
Cuantitativo
ergédico.
el
conNtenida
aaguéila
futuro,
una
selecciona
nd;
partir
de
gue
resolviendo
Birkhoff
(se)
resultade
transversalmente
el
en
*
es
teorema
introduioc
al
dimensiën
a
y
Birkhoff
mês
comportamiento
por
sr
por
n.
Birkhoff
puntos
buscaba
por
dado
defirnidoe
dimensiën
dos
autor
conocimiento
diferencial
Si.s.i):
enunciado
el
el
ERGODICO
fus
ewristencia
continuo,
analitico
de
la
para
ecuacidn
`.
analisado
dinAmico:
TEOREMA
recurrencia,
surgidé
presentadc
Vista
El sobre
de
como
AL
gue,
en
ce
EN
a Punto
de
transformacidn
en
&l
instante
t,(PISEOP).-
de
los
primer
fue
estimar
tiempos
de
articulo
transitivo &n
casi
este
un
mencionames,lo
enunciado,
"pericdo”
[3],
punto en
`
primero
cuantitativamente
recurrencia
métrice,
tode
dus
t
demuestra entonces P,
v
es
términos
asintético
de
OP).
el
'interesé
si el
E1
dinAmicos
es
recurrencia,
el
en
sistema
limite
constante.
a
compertamiento
Efectivamente,
gue
existe
LO
Birkhoff
ya
LY
Como
de
aus
ewistencia
es
eg
tntP)/n
significado la
su
el
de de
mismo
para
casi
toedces
generaliza
de
ese
1os
no
La
&s
En
1im
ets
existe
necesariamente
hipÊétesis
de
"transitividad
mayor
exigencia
respecto
Destaca
efectivamente
el
cual
a
la
realizable”,
ademês,
un
Birkhoff teorema
ergédico
todavia
nc
se
27) ,destacando
tal
E.
de
COME
Hopf,
auien
de
habia
pubiicado
(cf.
referencia
al
Néumann,
aue
1.4.2
nota
von
es
en
convergencia.
eswplicita
resultadc
por
comportamieënto'”,
promedio,
ese
en su
definida
a
resulitadc
hace
llamada
hipetesis
del
gue
punto,
resaltar
topol@gica
de
el
es
para
esta
eiemplio
tambiën
hiptesis
tcdo
métrica
refiriëndose
verificaba
articulo,.
la
casi
fuerte"”,
Birkhoff
suministrado
de
en
transitividad
articulcs
habia
segundo
constante.
etos
FoincareÊ,
el
resultado, prescindiendo t (P)
transitividad:
aunaguEe
puntos.
$
mês
débil
ague
el
ideado
un
resuitado
de
SUYD. Es
ejemplc
asi
ague,
particular
CoNRvergencia ladc,
von
Neumann
d
N
f uerte
jempic
de
sg irkhoff
mis vy
Teorlta
Ergédica
por
Springer
ague
Berlin
habfa
verificaba
un
promediosg;
obtenidc
un
La
teorema
inspirado
tecorema
de
juicte
tef.
en
el
Nemann,
a
hipêtesis, KeRtraor— eN La
83.9
Un
su
de la
esta
trabajo fLujes
erg6dicos;
Getro
a
aparenta ser investigacienes
ningun Los en
es mis
von
de
por general
Birkhoff,
verificaeidn
este
vy
resuitado de
fue
stmples, Pposteriores
posteriormente, 1PB7.
Hopf
tiemros
sl
Birkheff estudi6
compertamientos
Hopf
gue
guisis
en
confirman
Ne meneiona partieular. Hopf presentan
aue
lado,
El v
COEOS muY air ei.
as
dade
habta débil.
remarca
salvo en dinariarmente
el
de
general,
Hopf
un
en
fuerte
convergencia ve
por
Libre
tal
de Hopf geodésicos,
en eue
eiempie
fue
Ergodentheorie,
pudo
ejiemplo
aauel
gue
geométrica
visidn
una
de
partir
suministrar.
El sido
métocdo
intentado
antes,
la
por
de
aue
tenia
sus
topoligica
percibir
agudesa
duda,
discipulo
obra,
vy
el
las
una
los
de
SOBRE
LA
lo
con
Y
sin de
1912
la Al
es,
large
ideas
PRUEBA
analizar
ergédico, las
vy
su
19358,
problemas
la
la
ideas
DE
BIRKHOFF
prueba
de
dividiremos empleadas
Birkhoff
en
por
el
cuatro autor
en
ellas:
b)
Reduccidëén
C)
Interpretacidn
d)
Prusba
del
del
de Vv
gue
de
propone
punto
con
teorema
lema
demostrar
previo,
notar
aguien
entre
las
y
interpretar
a
trabaios
densidad
problema.
de
am,
no
Poincaré,
Plante
todo
el
Poincaré, Mê&s
la
Poincaré,
logra
eyplicitamente
a)
presentadas hace
en
comentando
comentamos,
lema
de
intellectual.
Birkhoff
Ccasi
Birkhoff
ideas
efectos
de
halla
&
ES
entre por
causa
sistema.”
existente manejiada
la
la
de
lugar
se
en
condiciones
el
teorema
secciones,
las
afios
ewitosos:
al
COMENTARIOS
los
fueron
solicitar
por
2.4
no
sobre
donde
diez
reconoce
podia
toma
planteados
autor
aue
particular
Birkhoff
A
claridad
espacio
mavor
en
El
habia
uniformidad
intentos
métrica,
este
Birkhoff
aproximadamente
trayectorias,
transitividad
por
alguna
primers
en de
mismo,
probar
suficiente
precisamente
cada
é1
utilisado
trayectorias.
transitividad
para
prueba
agueriendo
recurrencia por
de
la
ese los
la
un
lema
aditividad
previo de
los
tiempos
previo
como la
la
a
primer
existencia
superficie
obietivo recursos
del
oo.
demostracidin
paso,
La de
parcial. empleadcs,
limite
SEE Un
va
de
tn
Er
a
un
reducciëén ese
Recién son
lema,
al
estêan
final,
aplicables
en
un
contezto
Camino
mês
general,
receorrida
conduce
a
la
vy
para
prueba
aue
,
por
alcansar
del
lo
tante,
ese
teorema
el
obietivo
mismo
parcial,
ergAédico.
a)Planteo
La para
convergencia
los
cuales
superior
no
elemental as
o
`”,
la
mayor
est&
los
se
obtendré
sucesidn agauëe
su
implicita
conjuntos
para
t OP) /n limite
cuando
medibles
Su
8,
su
la
P,
limite
Esta
idea
superficie
Hy
MA
nimeros
(B) zu
sr
sup
dim
(Peer
en
(con t
-
tenga
define,
y
puntos
inferior.
reales): Sy
aguellos
E EP) Y
es
Sy Estos
conjuntos
Poincaré'”,
n
Y
S.
j inf
imj
"
invariantes
Acauelios
para
puntos
alguna
elecciën
,
de
la
transformaciën
para
esté&n
gus
los
son
por
P
ME SA
ese
A
vy
cuales
de NG
de
intersecciën
la
en u
los
T
racionales,
con
`X
H.
due
mEnor
términos
de
definitiva,
medida,
los
tesis
de
su
conjunto
Su
ND S,R
convergencia,
EcOonocer
pOr
pasa
Birkhoff,
de
prueba
la
aue
asi
Es
en
son
convergencia,
hay
Peoeme
1
Traduce, al
en
siguiente
enunciado: Es
No
cero
la
medida
obstante,
explicitamente
en
su
de
ei
N
este
8:X
CUANdo
HY
Enunciado
articulo,
sino
gue
N
jefe Birkhoff
figura alarga
NOTAS: Ta
i
son
Poincaré, BT,
By
N
S/
son
cast
la cen superfieie
llamando de La
continta Birkhoff puntos recurrentes
tedos .
invariantes
EP)
sus
por
OS
letra
Oo
(per
puntos)
T
porgue
OEOP)
TE,
(TOPY) TY
al
EoNjuUNte
de
el
teorema
de
exwposicidn,
su
poce
un
tuna
elecciëén
justificar
para
racionales,
el
H
VY
A
de
use
eludiendo
de
numerable
CoNIUNTOS.
entonres:
ER YE.
GT
en
respecttvamente
f
EP
dv
2 uf
s
f
contenidos
invartantes
gubeonjuntos
son
SS
$y
Si
lema:
siguiente
al
problema
su
reduce
Birkhoff
previa
lema.
un
a
Reducciën
b)
da s
EP)
du
AT
oe OP
esta
reducciën
nada
lag
emplea
alli
Hasta
y
medida
para
de
@t OP)
s EOP) HOEOTOBYD
aus
es
B
y
S'
si
desigualdades
*EOTPY)
est
la
en
emplea,
forma
verificar
debe
aue
de
prueba
:
Eer
EOTPIT(P))
eguivalente:
en
a
eumple
Sy
N
&
as
tiempos
recurrencia:
de
el
lema;
Af PETO,
aditividad
sucesiën
lo
Alli
ergédico.
tiempos
de
esencia
la
los
previo
iema
del
juicio,
de
de
aditividad
la
de
condiciën
la
sustancial
una
a
si,
@so
invariantes.
partes
teorema
al
Birkhoff
S
aplicados,
nuestro
a
concentrada,
38
conjuntos,
demostraciën
la
En
o,
recursBos
Interpretaciën
c)
de
elementales
vtnicamente
de
eleccidén
adecuada
la
de
Algebra
recurrencia.
de
tiempos
los
de
particularidades
para
cuenta
en
tiene
no
y
simple
muy
es
justificar
para
autor
el
por
empleado
argumento
E1
ta
serien
s
medida
las
wvez
la
`
eondiciones
regueridas
entonces
dp
2
fEPJdv s de
s
een eentredietorias HA
ar
2zZud,dr s NE
la
fuera
elgeeion
cSro,
estas
ot
PP Esta
EP relacidn
funciones
EP):
superficie
corte,
Corte,
etc,
es
demostracidn
, ias
otra
Para
de
Sk
entre
éste
en
una
hasta
el
y
el
es
siguiente
m
y
2
ello,
Su
applicable
a
a
integrables
lema,
Birkkoff
condicin
Et, OP) es
Més
precisamente, tales
la
de
disjunta
las
F.
gus
idea
un
aditividad,
apropiada,
en
del
medible:
£&
0
oon
gracias
funciones
descomposici#n
corte
'tiempo
ergédico
la
de
condiciones
ague
del
para
medibles,
las
vy
de
traduce
-$PesS:
*
gaue
fisico
n-ésimo
tiempo
prueba adaue
el
del
teorema
cornjunto
siguiente
hasta suma
sucesiën
la
significado
la
go
procedimiento
ei
abstracto;
del
aa verifiguen.
términos
el
a
insiste
Carêcter
cualiguier
tiempo
igual
mês
Birkhoff de
refleia
el
o,
primer
son
TE TIP)
H-é£
arbitrario,
v
k
para
algtin
niimero
CceEnstruyse
n
$
k
natural. subconiuntos
U. is]
aue
NOTAS: BOER
195,
eendieiim esereia,
cendiein
ef.
2.2
Kingman
menes
sustituve
exigente:
coNsisie
en
yy
sustituir
generaliza
Le el
asli
La
aditividad,
por
"subaditividad" signo
el
“as”
UNA
(gus
per
RE
teorema
de
en eN
Let
Birkhoff
si
k
U
-
4,0
Observamcs
tambiëén
a
ni
ni
2 121
s mEG
es
2
aus
esa
funciones
mEncione atn
N
MT
m
d)
por
Para
TY
LU
(En
j
o]
N,
su
G
oa.
construccidën
subaditivas,
la
Prueba
T
misma
explicitamente.
interés
.
aungue
el
momento
no
es
applicable
autor
no
habia
lo
surgido
subaditividad).
del
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obtener
la
previo
tesis
del
lema,
Birkhoff
demuestra
gue f
t(BP)
do)
(u-e)
$
dv
S.. k
para
todos
los
Sk
S
definidos
antes,
k
vy
para
cualaguier
e
NOTAS: AO.
$
Birkhoff
U
T
define,
para
-
es
3
P
nai;i2;.
S.:
n
EP)
TP)
Go)
TE
Estos
ae E
U
n
U,
para
algin
% vd
y
es
probar
gue
una
AT
(U,
familia
la
misma
por
esa
primer
disjuntas
irndice
tal
i a
€
aus
,
148.
tambiEn BA. .ik
La
de
.. mi
Ham
Btrkhoff
ies
definir:
el
primer
indtce
tat
WED...
ki
aus
SU, j)
F
con
jsd;a;.
disjunta
. . Rd
EUyA
eentiene
otros
eonstrucciën
para
familia,
v
UNiÊN
puntos
la
fuera
parte
de
et
# primer
cubre
a
de
Up .
Reitera
No
cubierta
Ui
U,.
ty
definiende:
'
U
2
U:
j TIP)
eventualmente
mm
permiten
Pe
el
es
partes
adittvidad Cy P & U eon h EE TN j * 4%... m4
todo
U.sV
las
2 nee)
para
relaciones
,
es
Ee eondieidn de subaditividad)! implica, para : ay TIP) EE U, para algin b)
.k
ket, g ”
ss
Per
Pe
kat]3 T`
y también para la parte pase anterior. Finalmentie gue Birkhoff tlama U
j
de
(BP)
es s
2
39
ae
tal
3
U,f
cada Un reste cubrir
indire
ne Ura
cubierta parte
alin
en de
el Ui,
mMavor
son
gue
G
Los
argumentos
los
clêsicos
integsgral, un
vel
vy
la
da
transformacidën aditividad, ningin
puede
cambico
restrictivo teorema fruto
de
la
gue, la
prueba
a
ésta
va
de
las
abstractas
de
Teoria de
un
sistema.
Eereciente desigualdad
de
oconjuntos anterior
dinémica
en
con
la M condicin
la
subaditividad,
aparentemente
dio varias
posteriores.
la
Aprovecha
gus
la
aus
de
la
medida
aspecto
y
de
Birkhoff.
del
funciones,
parte,
Construcciones
por
contiene
generalisaciones
ia
ella. las
de
pesar
esta
aditividad
en
todas
demostraciën
aditividad
sobre
variable
sustituirse
en
ergédico, en
de
la
en
invariancia de la . Tambitén agui observamos
.
Concluimos
Birkhoff
céAlculo:
desarrolio,
anteriores,
sin
emplea
del
cambico
cdtimo
de
aus
el
Medida
Birkhoff
a
ideas
darên
(cf.
&
empleo
para
gue RB.AY;
de
su
ia
técnicas
obtener
resultadas
NOTAS: 41
Es
La donde,
ë
familia La
conNocidos
de
TEOP)
page
al
de
2
limite
:
en
(H-e)
integrales
d.d
TEOP) La otra aus, por Birkhoff. d2
El
destgualdad ser similar $
desarrolle
final
2
tema La
Oo
'
de
para
dbp
del
u
Birkhoff,
a
S de argumentos
Lebesgue todo
£
*
O;
Oo
sea
d.d
exigiria anterior,
i
de
k
S Aaproxima tmpltee, por
para
una es
probar
demostraeidn omttida por
el
Lema,
es
siguienter
d
-EOPYdP
EE
s
TT Did sm
N,
EITT(Pdp
d
3m
TM,
t(Pdp T
U
OT
2
ES N,
nEu-e)
Ty
dy
*
Ty j
(tu-e)
E n, j.m
f
f T
db U,
4
-
(H-e)
Et PIdP
4 VY,
N,
dv i,0
(He)
;
Vi
dP 1,0
40
Pd 1,0
dy
N)
s
(Pd? 1,0
1,0
jr
di
N)
EOPJdp
n,
#
ss
(Me)
Pd S
el
CELEOEEOLEELEOLEET
DOOD II AY AAI
PARTE 3 RESULTADOS DE LA TEORIA
OTROS El
estudio
primera
de
los
teoremas
(cronolésgicamente)
Ccomensada
en
Ya
por
semfalamos
particular ahora
1931
el
complstar
panorama
de
la
la
Neumann
algunos
detalle
ergédicos
de
von
marco
teoria
es
la
Teoria
y
rama
Ergeédica,
Birkhoff.
antecedentes
resultado
su
ERGODICA
de
y
analisamos
Birkhoff.
histérico,
con
lIntentamos
presentando
desarrollada
a
partir
UI
de
ese
resuitado.
3.1 El actual
INTERPRETACIONES teorema
Teoria
Ergédica,
interpretaciones, su
a la
aplicacidn.
la
dinAmica
tesis
de
el
promedio a
la
en
de
Birkhoff
punto
enunciëé
sistema
interesan
conNvergencia:
referida
segtun
un
von
es
y
en
y
el
da
norma,
Al
de
vimos,
Anilisis
formas
teorema
1a
variag
interëés
como
dos
El
la
refiriéndoloe
Obtuvo,
otras
de
admite
punto.
uniforme.
convergencia
base
resultado
todo
Neumann*?
BIRKHOFF
la
vista
mecAnico.
casi
DE
porgue
de
su
ademês
norma
TEOREMA
precisamente
Bikhoff
de
de
convergencia
Funcional
del
ergédico
DEL
de
ergédico
interpretacidn
Gomo
va
gsehfhalamos
en
Slk Cuando convergencia Funcional,
d3
ver
nota
32
se
ha
puntual, es
natural
obtenido
un
desde
ëptica
la
preguntarse
en
resultado
gué
del
sobre Anélisis
condiciones
esa
cuando
son
continuas.
obtenerse
la
convergencia
encuentran
los
comprendidos
Si
X
es
mm
continua
vy
st
los
E Worl ndt jEa
n
Este la
del
teorema,
los
gue
teorema
de
comportamientos
Weyl'”,
a
hemos
interpreta
v
(definiendc
funcional
#”
trabajos admite
de en
2
ft
ef,
y
en
la
Koopman”
en
contexto,
promedio a
una
corverge
1
&
U/
&l
El
jis
UI7,
-
jy
#
de
a
ff
#
.
partir
Si
st
casi
:
de
OP)
—
los
Birkhoff Para
todo
ademAs
l£
espacio
el
de
la
1
toda punto,
es
wvalcr
te]
puede
N
en
ver
notas
ver
nola
arbitrariamente peguefio forma independiente de P. 2”
25
y
80
-
P. 2
hacerse elegible
da
preserva
enunciado:
N
s
y
Anêlisis
en
U
teorema
converge 2
esel
gue
a
siguiente
Ee
uniformemente
cëme
j#feT),
1931.
mês
Sierpinski
unitario
s
aus
&# 1.4.2)
transtformaciën
nd
funciën
$f
incluye
ague
Bohl,
1.4.2
operador
el ague
j
el
a
modo
ese
norma,
f
de
en
(cf.
fuerte
hipétesis
general
por
siglo.
mis
con
resultado
un
de
de
suoesién
lo
tesis
Birkhoff,
expuesto
Funcional
medida
una
estudiados
principios
Ya
es
”
enuncia
contiene
restrictivas,
T
st
K.
en
wmiformemente
converge
se
éstos
,
entoenees
eguteonttnuas,
functones
puede
promedtios nd
son
puntos,
compacto,
métrteo
espacto
de
teorema:
siguiente
el
shift
cambio,
Entre
uniforme.
en
la
los
en
eiemplos
otros
Para
En
transformacicnes
las
y
compacto
&@s
espacico
el
ain
la
todos
en
es
no
convergencia
esa
Bernoullii)
siguiera
los
para
ejiemplo
(por
casos
los
de
parte
mayor
del
uniforme.
la
menos
punto,
todo
en
convergencia
da
NS
Birkhoff
de
ergédico
teorema
tesis
la
uniforme*”.Perc
ademês
es
convergencia
para
todo
N
grande,
propio
simple
ergodicidad
Punto.
del
de
Son
T),
esa
anélisis
del
a
del
teorema
uniidad
Ccompacta).
teorema
ergédico
teorema
es
una
general
compacto,
de ley
ague
espacice
medida
p,
con
Casi
segura".
cCoONvergencia
probabilidad
Paris
aseguran
imagen
en
la
leyes
de
X:
la
difiera
the
1937
di]
X
mas
esfera
lugar, (una
un
el este
ley
teoria
fuerte
mcderna
e@espacic de
@
las
de son
leyes
en
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"convergencia
entre
#
Dynamieal Nat. Acad.
les en
la
CoOnvergencia
tratan,
de
de
primer
La
de
operadores
interpreta
Probabilidad
débiles
NeUuMaNN: proe. of
U
distinguen
prababilidad":
aue
los
medibles
la
Y
ConNVvEergeneia
por
como
Se
Krylov
importante
numeros
funciones
tratan por
N.
Birkhoff:
probabilidad Las
aue
"en
obtiene
de
aleatoriag.
Las
204
del
obtendriên
Gue
se
Egrandes
Krylov-N.Bogelioubowv: Sur suites de probabiliië Sci.
todc
partir
Funcional,
KRolmogorov).
de
llamada
de
la
. Erimero
se
Probabilidad
LY
Acad.
los
P()-1.
OD, Koopmean-y. ven CoNttnous speetra
1982 da N. des
O
agufllas
punto,
U
clage
la
de
de
variables
todo
casi
A
una
Birkhoff:
de
la
el
fuertes:
si
Teoria
define liamadas
Anêlisis
partir (U
mês
del
cuales
la
en
a
s guienes
generales
los
También
47
unitario
para
CCmpactos es
constante
funcional.
introducen
es
eduivalente
3.3).
Bogolioubov
uniforme
es
Neuman
condiciones
contexte
operadores
es
von
operador (cf.&
el
#
E-
N.
vy
(esto
interpretaciën
posteriormente ergodicidad
U
entonces
Koopman
realisan
En
operador
otras,
X,
de
si
un
de
la
nimero
Systems of Sciences
of 18
T proptetds ergodi ; oues chatne Comples Rendus
arbitraric
dado,
eligiende
n
p([X-Kn]
2
El grandes
puede
hacerse
suficientemente a&)
2
0
cuando
teorema
de
nuimeros,
n
*
de
generalisaciën es
ia
una valor
de
esperado
ceonverge
en
este
ley
sucesitn
mês
de
de
variables y
una
ley
dos
se
debe
en
a
0
de
los
antes
del
probabilidad . de variables
valor
Una
Tchebycheff,
ntmeros:
si
vy
X
es
independientes,
constantes, al
débil
siglos
a
grandes
aleatorias
probabilidad
MV
desee,
independientes.
los
variansa
sea
Ag sucesion
tsorema
débpil
se
oo
convergencia
Bernouiii
de
moderna
primera
conocido
ergidico. Afirma la N . 1 , promedio ES , para ` k—d
aleatorias
(
comc
).
Bernculli,
@ra
pêaguehfia
grande
teorema del
tan
entonces
esperado.
con
-
EK
[10]
En 1909 E. Borel'” demostré gue en las hipbtesig del teorema
de
Bernoulli,
probabilidad,
ley
fuerte
sine
aus
Kolmogorov
`:
no
tambiën
K
E y AK;
come de
tuna la
valor
teorema ley
una
esperado
preserva
la
los Si
finitoe
probalhilidad,
*Pg. Bere: Sur applteattons
de | de
X, |
vy
T
sea
es
finita,
H.
-
por
con
entonces a
es
variable una
después
variables
les
E.
interpretado
nimeras,
una
tuna
distribuidas,
Birkhoff
es
en
es
de
seguramente
grandes X
va
enunciada
idénticamente
ergédicc
EX]
Esta
gsucesiën
casi
forma:
conmvergencia
segura.
cConvergEn
de
hay
la
variansa
fuerte
siguiente
a
&s
pendientes
El
casi
antecede Bi
sAéla
enunciëndolo aleatoria
cen
transformacië MoT?,
Entonces
les probabilités dêénombrables art thmettgues Rend. Cemp. Mat.
eat 26
ague los
leurs Palermo
190%
So
A. Kolmogorev:
Compt.
Rand.
Acad.
Grunmndbaegrigtjie Mot.
2
-
Suyr
la
Scien.
Paris
der
lot
jforte
44
1980
des
grandes
Wahrscheintiehkeitsreehnuns
1ima8
Gé
nombres Ergebn,.
der
n
La
GE,Noonvergen
jle
promedios
Teoria
variables
és
la
gue
la
el
para
teorema
OE
se
pueden
otros
ergidico
de
tratan
sobre
fueron
obtenidos
conversencia desde
dias.
aplicaciones
mês
esel
Algunos
y
o
otrcs
ae)
en
todao
procesog T
en
del
su
teorema
ERGODICOS
o
menos
generales,
acotaciën
de
de
dar
gus
promedios,
Birkhoff
hasta
generalisaciones,
permiten
gue
[8]
teorema
son
re
discute
traducciën
TEOREMAS
los
transformaciën
probabilistico.
OTROS
de
establece
estos
tambiën la
1953
valido
gue
alguna
a
eene
en
es
encontrar
resultados,
la
Doob”!
de
estocastica
VR
Birkhoff
relativos
contewto
Y
Doob
sucesiën
probabilidad
I.
de
la
proceso
X
vm.
obtener
3.2
nuestros
n
probabilidad.
Numerosos
Un de
es
al
tépicos
al
Rg
ergédicc
siempre
la
COMO
tcdcs
estacionario,
preserva
interpreta
distribuciën
proceso
1ibro
OE)
aleatorios
misma,
seguramente.
Probabilidad
aleatorias
estacionario:
vertores
de
casi
pruebas
otros
breves
de
aguël. En forma
1939,
general
ergédico
J.Boob:
“`N, Vosida sa
(4)
maximalt
A. Kolmogorovi
S Kakutani ””
y
Ein
BirRhoff-Khuntehine' (44) 1087
Este
probado
processes
j S.Kekutent: ergodtc
resultado,
[9].
enunciado
y
y
siguiente
) Stoehastte
s2
the
el
maximal"”
particuiar,
s1
K.Yosida
habia
por
. Wiley
,
. Birkhoff's
presentaron llamado
sido,
'"teorema
en
un
esguema
Kolmogorov
en
taar”,
ies
ergodic
theerem
theorem Proe. Imp, Akad. Tokyo 15 ; vereiniachter
schên
Ergodensataes
4S
en
and
1pae
$ Beweis
Mat. Sborn
des
URSS
z
Sea
TT
aue
preserva
la
medida
vm,
NA
intesgrable
real.
Sea
1
MA
Y
ff
unia
YfunCiin
; &
s
.
£oT)
(promedio
temporal)
vy
funciën
f
oe
f s
max (Ëf,.
Ee
f .).
Entonces,
E
f
dr
2Z
9
Di: f (EO) Significa integrable alguno
&8
de
el
la
negativa
se
promedio a
pesar
Ps
dar
nueva
de
la
ne
trata
sine
una
de
su
ff.
Su
breve
una
del
&spacic
es
no
la
convergenicia
importancia
Este
de
entre
teorema
las
sllaos
reside
aparentemente
del
donde
negativo.
vinculaciën
enunciado
prueba
de
regidn
temporales
ëéspacial
permite,
espacial
en
observa,
temporales
una
media
promedios
come
promedios y
no
sus
teorema,
gue
en
mas
gua
débDil,
ergidico
de
Birkhoff. Argumentos
teorema
mês
ergédico
dadas
E.
Hopf””
en
base
varticular
otros
problemas.
del en
una
teorema forma
por Hof,
demostracidn
simrle
Finalmente,
ergédicoe
simple
demcstraciën
generalizaciones
otros. a
la
y
fueron
liegé
para
mavimal,
Contirnuo, En
simples
v
una
mazimal
&lesgante
vy
v el
a
a
TE,
Ries
ideas
de
encontré
aplicaciën
tecorema
de
tiempo entre
H.
Pitt”,
aplicaciones
demostraciën
su
del
muy para Birkhoff
a
breve praobar fue
NOTAS:
Sa
E. Hepf:
Baover Se
Akad.
F.Riesz:
Mat.
Lber
eine
Wiss,
Sur
Ungletehung
Math.
Sur
4?
Ergodentheorie
8itzber
—iDAT
auelguss
Fliz.Lapok.
,
der
-
la
problemes
de
la
théorte
ergoditaue
1iod2
thêerie
ergoediague
Comm.Mat.Helv.
17-
104 Generalisatiens Philos,
Soe.
BB
of
the
-ieaz
(N
Pitt:
Gambridges
Ie
Og,
ergedie
theorem
Broe,
dada
por
A.
Eli
Garsia””
teorema
f&cilmente
Wiener`”* una
el
en pv
1965.
ergiédicc teorema
1939:
medida
en
maxwimal
permite
ergédico
Sea
T
una
(finita),
Y
dominante
para
supts 1
Ned
7eeP,
deducir
probado
transformaciën
sea,
My Fe -
tambiën
gus Con
por
preserva
pi,
foT” t
s
N
Entonces
Me
#P
y
ademAs,
deed Este en
teorema los
de
permite
espacicos
una
de
#.
cual
es
integrable
no
teorema
uniforme
radica
donde en
j We
acotacidn
Wiener
anterior
Funcionai,
EN.
funcionales
temporales My
si
el
norma
uniforme
EF,
de
dic
un
cuande
p-i
[9].
su
puede
ser
eiemplo E1
tan
Gtil
para
interes al
de
una
come
la
norma
promedics
aplicabilidad
econocimiento
la
los
tambien
en
para
el del
Anlisis
acotacidin cCoOnNvErgencia
puntual. Tambiën llamado
a
Wiener
"desigualdad
hipeétesis
del
mês
aue
aplicado
débil
gue
relacidn
a
potente
para
la
la
f
puede
a
la
dar
IF]
una
en
del
0)
teorema una
(ya de
ergédico tesis
aue
$£),
prueba
mismas
cumple
tiene
lugar
las
(oa:
f-a,
nueva
se
d
teorema
Ea
resultade
Bajo
mawimal,
cobtenerse
aauel de
siguiente
maximal"”*,
funciën
de
media
el
ergédico
as
resulitado,
maximal,
debe
ergédica
teorema
DI, Este
se
acota
pero
alge en
es
afm
teorema
de
formulados
con
del
Birkhoff.[(4]
parêmetro
GErEteR
theorem
sa
N. Wiener:
los
teoremas
discreto
continue.
Ta,
de
Una
A
admiten
clase
stmple
J. Mat. Mec.
he
ergédicos versiones
particular
proof 14
, e@rgodic
-
of
de:
E.Hopf's
Con
tales
parimetro
teoremas
maximat
theorem
Duke
Mat. Jourmal
S
-
es
ergodic
1ipss
Ie ]
Muchos
ioae
introducida
por
Wiener
preservan
la
locales".
'Tratan
temporales, sehiala
cimo,
la
del
En los
teoremas
Kingman”
se
SE
1 Z|
en
un
una
una
reales
presgerva
come
abriëé
Esta
espacio la
de
ergidicos
de
cuandoe
promedios 20.
vista,
gue
Wiener
el
teorema
dit af) i
O
origin6
funciones
punto
# FU6, (ED)
ergédicos.
aplicaciones.
flujos
calculo:
interpretado
1968
los
“teoremas
[0,#],
este
£0
ser
a
Corvergeniia
intervalos
desde
aplicada
llamada
de
limj admite
1939,
medida,
sobre
fundamental
en
teorema
nueva
El
&tapa
teorema
€orriente
referido
a
integrables
donde medida
el
Ef,
sucesidn
(
Oo
local
estudio
de
de de
nuevas
subaditiva
proceso
sucesin
de
subaditivo)
transformaciën
Tal
.[4]
subaditivo
considerable
una
v.
en
ergédico
unia
actfa
ergédicae
T,
cumpie,
gue por
definicidn,
dae Nm f
s
inf
se
Me Kingma The processes stochastic i GO. KinNgman
FE€F,
?
eon
define
DEitk)
La
en
|
T
'
2
s
TrTm
dp
f.
as
mm
sT
K
TY
(Nota
ergodie theory SO Mat.Soc. J.Rey. Ee subaditividad
estos
GO
of - 1psa
del
proeese
subaddi
ar ttve
estoc&stieo
terminos
1]
:
F.
ik
se
observa
Kingman
y
gus la
tomando
ewpuesta
en
F el
f
o,n
iewto
ivd,krd
son
4E
n
,
La
eguivalertes.
definieiën
de
El
teorema
todo
de
Kingman
punto,
generalisa
de al
asegura
la
teorema
de
para
verifican
la
Birkhoff,
SE fer)
observado, se
basa
tf
generalisa,
la
descoemposiciëén
otre
ne
negative
También teorema de
lo
sucede
procescs alcanza
probar
una
”,
maximal
”.
Pero
con
tecorema
el
la
mé&s
teorema
Birkhoff
probabiiisticos,
d. Kingman: s
Prob.14i-
fo
M. Abid: Line addtttfs et 287 - 4678
de
'teorema
en
de
Kingman
basadoc une
en
aditivo
”
a
ersédico
del
diferencia para
los
maximal
la
del
tesig aue
de la
ha
conseguido
vy
el
de
no
teorema
de
cConvEergendcia
para
de
Kingman la
los
proceësos
generalisar en
el
términos
Ccondicidën
de
. s3 exigente
menos
ergodie T
theoreme
gus,
Birkhoff,
se
una
subaditiva
puntual.
sustituyendo
por
Lne
prueba,
observa
amplia
Subaddtttve "
Y. Derrtenie:
ANN.
el
obtener
También
z
de
generalisaciones
algo
: estacionariedad
ceondiciën.
versiën
convergencia
subaditivos. de
demostraciën
subaditivo,
una
Consiguen
familia
esa
mêtedo
da
Pasteriores Kingman
la
subaditivo.
subaditivos a
un
proceso
Kingman
ergédico aue
gue en
thao Ann. ry' Prob.4 i
ergodigue
presgue
-1p78
sous
'
adAdT EL
'
1983 ?
%
theoreme ergodigjue pour les processus surstattonatres comp.Ren Acad. Sciene. d. Paris
UD
Y
or
82.4,
utilisande del
tempoerales,
mn
precisamente
lo
ague
funciones
promedios
YY
R
Birkhoff
en
las
ver
aditividad: ff
hemos
f&cil
cagi
170
T1 Fm
Ya
en
,
los
de
Es pues
NA
obtener
condiciën
convergencia
f sa”,
sucesiën
fTs calculadas
la
SOUS
Er
1968,
V.
En
1979,
y
multiplicativo sistemas
ergidico. del
derivan
erglidico
dinAmica
la
de
estudio
al
aplican
lo
la
teorema
el
para
prueba
de
de
diferenciables,
pudo
cémo
veremos
concluir,
a
obietoe
es
de
Para
teorema.
aguel
idea
la
también
métrica
transitividad
base
en
desarrollarse
de
Teoria
la
cémo
muestran
solos
si
por
aue
Birkhoff,
ergédico
teorema
del
derivaron
se
aue
resultados
los
de
algunos
resefa
esta
en
abreviado
Hemos
Ergeédica
una
Kingman
de
teorema
de
conteuto
Raghunathan”,
OM.
y
Ruelle””
D.
dinAmica estudio
el un
en
vez,
primera
por
hiperbolicidad,
Pesin”
subvariedades
sobre
con
actual
la
Va.
1877
En
diferenciables,
sistemas
ciertos
teorema
de
compleiidad
la
'interpreta
&
invariantes,
ergA“dico
llamado
resultadoe
un
éël,
de
obtiene
teorema
pilares
los
de
Diferenciable.
Ergédica
el
(tambiën
uno
es
gue
multirlicativo),
Teoria
demuestra
nombre
su
lieva
gue
Oseledec”
o
ergodicidad,
conseeUENtER
de
investigaciornes.
NOTAS: , , , d muitipltteattvs v. Oseledee: numbers Eharactertsttite Lyapunov
Gd
TranNs.
Moscowv
Mat. Soe.
—
1?
, theorem ergodie systems dynamtcal fer
Aoae
; exvponents Lyapumov Y. Pesin: Characteristie S2 - 1e?7 Russian Mat. Surv. theory ergodic ' n , Ge differenctiable of theory ËErgodic D.Ruelle ia
systems
s7
Ins.
des
Hautes
A M. Reghunatan: theorem @rgodic
Eld.
ond
Publ.
Seten.
of proof Iser. Jour. Mat.
sê
Ba
Mat.
Oseltedec's — 1679
SO
—
and
smooth
dynamitEeAL
4979
multtplieattvs
3. En
REFINAMIENTO
$1.3
ergodicidad.
analisamos
El
teorema
la
transitividad
la
hipetesis
respuesta
la
Estadistica, reconocimiento determinado, tarea
sélo
de salvo
dificil
para
la
espectro
traducciën
demostrarse
abstractas
numerable, POP
CEmportamiento
ergédico.[13]
el
1937,
fibrado
Con
curvatura
G.Hedlund ”
no
cumple
parte
A
medible
de
cuando
relacién
a
Mé&s
unitario
prueba
el
con
para
la
tiempo
tiende
otra
So
E.Hopf:
Mot. Soo.
45
serie
ete)
variedad
flujo
de COR
fueron
geodésico
courvatura
Es
mês,
'"mezclado":
infinito,
en
Despuës,
CON
del
el
riemanniana,
ergédico.
medida
B
de
Dada
ESE una
transformado es
la
misma
en
medible.
precisamente:
Ergodentheorie.
da. Hedlund:
parte
una
avansado
Una
una
a
el
sistema hoy
ha
el
de
la
Perc
describir
constante.
condiciën
tuna
ergodicidaa
superficies
cualaguiera,
cualduier
atn
aue
es
a
MecAnica
un
Se
para
negativa,
p (TA
ca
de
necesariamente
sistema
A,
muestra
es
transformaciones
teoria
constante
io
negativa,
la
E.Hopf *$
tangente
es
K-transformaciones,
introducidas
En
la
dinamicos.
(“mezcelado",
no
de
la
aus
eauivalente
matemêtica.
Ergidica.
de
muestra
de
simpleês,
sistemas
idea
Esta
ergbdica
Teoria
de
la
dijimos,
ergodicidad
muy
al
clases
Ccondiciones
de
Ccasos
de
promedios.
cualidad
considerablemente,
Ciertas
de
una
la
Origen
matemAticamente
sustituciën
sino
ERGODIOIDAD
Birkhoff,
es
conjetura
LA
el
de
métrica
de
a
DE
7The
dese)
N B)
springer
,
Dynamics
of
.
S1
: Berlin
1987
;
geodesic
#flows
Bull. AT.
au
es
un
refinamiento razén
La la
ergodicidad
la
ersodicidad.
por
ia
oual
interpretacidën
irreversibilidad irreversihbilidad
es
la
intuitivos,
matemêAtica,
implica
particulas,
numerosas
métricamente),
sino
abandonen.
Esta
definiciones,
la
ergodicidad.
Esta
la
términos
(en
sistemas
los
(cf,8
XIX
siglo
el
en
de
condiciëén
estudiar
al
medida
de
Boltzmann
mansjado
imprecisos)
e&
de
fisicos
estas
habia
aue
idea
Con
[5].
nc
subconjuntos
como
traducida
es
dinéêmica
ague
fuerte
mês
las
nc
y
alcancen
las
ves
transitivo
ser
(
entontces
es
partes
las
todas
reciproco
el
es sus
a
erige
gue
en
ergAdicos
mesclado
el
recorrer
espacio
del
alguna
gue
de
sélo
no
triviales, positiva
condicidn
radica
siempreé
meszcladc
de
La
[131].
cierto
na
generales
aunaue
vw considerada,
medida
la
a
respecto
dinAmicas
son
condicidn,
@sa
verifican
aue
sistemas
Los
espacio.
del
regiones
las
todas
por
proeporciën,
jigual
en
reparte
se
A
significa
Este
0.
m(B)m
con
medibles,
B
y
A
todos
para
1 RY: interpretacidn
T tunico
verifica
ves
caracterizsaciën
da
un
aauella
U
&
1i.é&.B):
st
vy
solo
mesclado
1,
de
unitario
(cf.
st
et
stmple. criteria
cordicitn,
Y
para
lo
por
Las
propiedades
espectrales
fueron
estudiadas,
entre
ergodicidad. ergédicos
de
es
propte
valor
ef
funciaonal
condtietin
ta
cumple
Esta
se
espacio
ei
en
definido
UI KI
U
operador
del
medio
por
espectral,
Una
aAdmite
tambiën
mescladc
de
condicidm
La
otrog,
de
decidir
si
tanta
la
los
por
von
sistemas Neumann
v
Halmos,
otros.
y
El
eztendida “
teorema
sistemas
de
dinAmicos
isomorfos
si
Ccualguier
subgrupo
1
es
el
vy
si
1958
casi
de
Tuertes.
los
Al
oondiciën
mezclado,
Sinai”
prueba
verifican
la
Con condiciones
todos
1
san ademis
con
médula Asi
ios
introduce due
har
sistemas
por
gus
lo
se
gué
K-sistemas
gue
proriedades
estudia
tambiër
observande ague son
1
liamarian
tiene
tante
&xigentes
de
sistemas
luego
discretos,
SUS
verifican ergodicos,
ambas.
En
ia pera
i961i,
continuos
el
Y.
tagbiën
mezclado,
trabajos
suficientes
los
y
para
otros, la
se
han
ergodicidad
obtenide en
classes
Y. Sinai Properttes of speetra on ËErgodie Dynomieatl Systems pokl.Akad. Nauk.450 1638 Some remarks on the spee traliproperties of ergodic dynamtcal systems Russe. Math. #urv. #Bn.S 1668 74 . ; Fi A. B. Katok- A.M.Stepin On the approxrimations of Srgodie dynamical systems by periodieal MAPPLNES ECPDkl. Akad. Nouk 171- 1965 72 ; , Leetures
A. Kolmogorev: SVSieRS ana Dokl.
Akad.
Nauk
74
oe v. Sinat: Speetitra. Soe.
Serie
on
ergodie
Lheoryv
ee new metric AULOMOFrPRI Sms
A
sê Dynamteal Svstems Tzvestia Math. Nauk 2
-BA
Ohelsea
N. York
;
'martant of Of Lebesgus
1ess
Te transittve Spares
1658
#i6-
—
40e
UI fi]
Helmos:
73
; WItA 254961
coumtable transt
Y
dos
Y
ergédico.
Demuestra
los
condiciër
estog
compleics
introducirlos
vy
mês
dgue
ague
discreto,
espectros.
a
sistemas
condiciones
A.Btepin
afirma
espectro
los
clase
espectrales.
imponen
Halmos”
sistema
Y
propiedades de
de
A.Katok,
discrata.
una
K-
,
€
sus
un
regulares,
estoc&sticas de
son
A.Kolmogorov'
Come
70
con
numerable
E-sistemas,
caso
le
espectre
-
Neumann-
espectralments
con
En
Sinai
ergidicos,
espectro
erg6dicos
Y.
von
solo
Ccaracterisadc
ilama
por
Lebesgue Amer. Math.
modelo
sencillo
Ctros,
fueron
por
Gallavotti””,
por
Kramii,
y
Simênyi
recientemente v
dal
Szêsz
y
Cagos
los
interrogante una
como
billares,
el
yy
Boltzmann,
ur
de
ergcdicidad
la
y
modelos
ESstos
Bunimovich
por
estudiados
luego
una
dispersor.
billar
de
es
de
prueba
ague
el
en
Sinai”
de
trabajo
muchos
modelo
del
matemêtica
interpretaciën
son
los
a
81.3
en
mencinado
Hemos
abierta.
ergodicidad
la
gue
en
interesantes
embargo
Sin
sistemas.
de
aAbstractas
y
por
Sinai
por
Markarian
Yy
Sinai”,
Chernov”, Entre
OLTros,
s5
var
nota
14
£
,
PA
'
s
fundamentatl aa On ft. Burimovieh-Y. Sinai: Math. btLltiards dispersing of theory
In theorem Sbornik USSR
the 1e-
Lect. Notes
in
1973
77
Phys.
78
, , btlittard
497%
SBB-
oe Y.Sinai-
discs
dimensienat
two
. Properties
; Ergodie
N. COhernov:
of
systems
the
on
lLeetures
G.gallavotti:
three
and
, certain
Of
dimenstonat
balls Russ.
$
7E
,
ar
E
Krémli—N. Simênyi-D.sezdsz A. a K is torus n dimenstonal of
AD
the
Hung.
R. Markarian:
Atad.
of
Scliene. oo
amtlform
Mon Int.
;
1o87
d2
Surveys
Math.
Gonf.en
oE
Three flow
,
thê Inst.
on balls billtfard Math. SP Ppreprint
1eaa f
f
hvperboltertp PY'.
5
syst.
IMPA
f
n
,
BLlLitterds Brasil-
1PAD
COMENTARIO Al entre la
reconocer
otros,
valor
ergédicc
fue
y
(Aunaue
gue
creemos
fundamentaciën PFero
de
s6l1o
sino
grandes Campo
fértil 2)
la
ese
dinémico
de
propiedades
un
Sistemas
de 3)
mejorada
y
subaditivo
interpretar
y
La
cuestiën del
modelo
importancia
limite
del
a
de
en
Con
ague,
casi
elle
aungus
la
generaliza
por
Esta
una
ei
de
ser
sin
hipBtesis
las
leyes
Probabilidad,
y
no
de
de
los
abre
ur
sobre ves
el
primera
particularidad
nueva
comportaiento
forma
a
partir
hace
de
al
de
teorema
pensar
en
la
después
es
Dinamicos,
mê&s
é&)
Teoria
prueba
abreviada,
influencia
de
un
junto
también
una
resultados teorema
ergodicidad.
elecciën
de
resultado
inaugura
Fresenta
contribuciën
de
deië
a
interpreté
temporales.
tomaba
medibles.
Teoria
esa
momEnto:
presupuesto
sistema,
e
el
sentido.
un
novedoso,
centrar
el
sigsuiente:
promedios
la
a
con
a
contribuciën
hipftesis
existencia
gue
Obtiene
su
real
de
en
agaue
`la
Fisica
'nimeros
claro
encontramos
un
ergodicidad;
su
de
justifica la
en
hipltesis
lo
origind,
matemAtica
tiende
sino
en
se
efectivamente
matemêtica,
los
reconocerlo,
Es en
dicha
Demuestra para
nacidé se
discutida
Birkhoff,
punto,
aue
teorema
valiosa la
Ergdidica
fundamentaciën
teoria.
matemêticamente
mec&nico).
vy
este
existid
todo
la
Birkhoff,
de
aauella
1)
por
de
histérice
teorema
Teoria
Estadistica,
fundamentar
de
la
motivada
MecêAnica
teorema
gue
FINAL
gue,
contiene
potentes
y
de
Poincaré,
va
si
bien
el
sermen
generales
(como,
Kingman).
Aaui
cuyas
ideas
de
por
otras
ejiemplo,
resaltamos Birkhoff
la SUPpO
adaptar.
principal
razén
de
s2
la
importancia
histérica
del
tecrema
una
nueva
de
ideas
Es
la
fecurdidad
a
significado
mavor
matemAticas
corriente
de
primer
aguel
ague
juicio,
nuestro
a
es,
Birkhcff
Ergédica.
Teoria da
de
origira
constituyendo
lo
teoria
esta
en
teorema
el
gus
la
ague se
sustenta.
E1
siguiente
al
significado
lo
gus
&
El
base
hemos
interes al
décadas, nuevos campo
histérico intentadc
de
la
teorema muëstra problemas,
fértil
comentario
para
del
de
teorema
de
en
Birkhoff,
relaciën
resume
exponer:
literatura
el
matemêtica
de
ergédico aue
Khintchine,
tema
nuevas
en
Birkhoff,
durante
varias
a
iluminar
muchos
alcanzé
desconocidos
desarroliada
antes,
y
investigaciones.?
descubrit
un
BIBLIOGRAFIA
ds
George
David
Papers.
Birkhoff
American
2.
No.S,
8
George work.
strongly
Sciences.
Proof
Vol.
17
Di
A.
s2
Breiman:
9,
M,
Kotlar:
Ergbdica G.
Proof
the
for
of
Nat.
the
Acad.
of
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