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III Congreso Uruguayo y II Congreso Regional de GESTIÓN DE LA CALIDAD, PATOLOGÍA y RECUPERACIÓN de la CONSTRUCCIÓN 3 a l 5 d e d i c i e m b r e d e 2 0 0 8 / L A T U / A u d i t o r i o y Ha l l / M o n t e vi d e o - U r u g u a y
LOSAS SIN VIGAS PRETENSADAS ANÁLISIS NO LINEAL
Autores: E. Pedoja (1), J. Murcia (2)
(1)Profesor Doctor Ing. Universidad de Montevideo, Facultad de Ingeniería Montevideo, Uruguay [email protected] (2) Profesor Doctor Ing. CSIC (ICMAB) Barcelona, España
[email protected]
RESUMEN Las losas sin vigas pretensadas con cordones no adherentes, están teniendo una difusión muy importante en nuestro continente, siendo utilizadas en forma sistemática en edificios de vivienda, oficinas, estacionamientos etc. Habitualmente se calculan en estado lineal mediante programas comerciales de elementos finitos. Sin embargo en el comportamiento de cualquier estructura de hormigón y en particular de las losas sin vigas pretensadas, intervienen la no linealidad mecánica, los efectos de segundo orden de la losa y de los cables y los fenómenos reológicos. La modelización matemática de estos fenómenos resulta relativamente compleja, no obstante mediante la teoría de la fisuración distribuida, la ortotropía del hormigón fisurado y la teoría de los elementos multicapa se puede lograr expresar las ecuaciones constitutivas del hormigón en estado no lineal. Esta modelización combinada con los elementos finitos apropiados, lleva a una metodología de cálculo que mediante un proceso de aproximaciones sucesivas permite calcular con suficiente aproximación cualquier tipo de losa. En el presente trabajo, utilizando un software experimental desarrollado en la Universidad de Montevideo, se hace una experimentación numérica sobre varios casos típicos de losas pretensadas con cordones no adherentes, teniendo en cuenta la resistencia a la flexotracción del hormigón, la no linealidad mecánica, los efectos de segundo orden de la losa y de los cables y los efectos reológicos. El resultado de la investigación es que el cálculo y dimensionado por los métodos tradicionales, conduce a valores razonablemente correctos en cuanto a las deformaciones y muy conservadores en cuanto a la seguridad.
Palabras clave : Losas, pretensado, flexotracción Este trabajo fue presentado en las XXIII Jornadas Sudamericanas de Ingeniería Estructural.
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ABSTRACT The prestressed flat slabs with unbonded tendons have gained wide acceptance in our continent, being used in a systematic way in all types of dwellings, offices, parkings lots, etc. They are usually calculated in a lineal condition by means of commercial programmes of finite elements. However, in the performance of any concrete structure and specially of the prestressed flat labs, the mechanic non linearity, the effects of second order of the slab and the tendons and time dependent effects, take place. The mathematical modeling of these effects is relatively complex, nevertheless, by means of the smeared crack theory, the orthotropic cracked concrete and the multi layered elements theory, the constituent equations in non linear condition can be obtained. This modeling combined with the appropriate finite elements, leads to a methodology of calculation which by means of a process of successive approaches, but calculate with approach enough any type of slab. In this task, using an experimental software developed at the University of Montevideo, a numerical experience about several typical cases of prestressed slabs with unbonded tendons, is done, taking into consideration the resistence and tensile strength of the concrete, the mechanical non linearity, the effects of second order of the slabs and tendons and the time dependent effects. The result of this investigation is that the calculation extents by the traditional methods, leads to reasonably correct values, in what concerns the deformations, and very conservative as regards safety.
Palabras clave : Slabs, prestress, tensile strength
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3er Congreso Uruguayo y 2º Congreso Regional de Gestión de la Calidad, Patología y Recuperación de la Construcción | diciembre 2008
INTRODUCCIÓN Por múltiples razones que ya son conocidas de todos, las losas sin vigas son una solución estructural que ofrece una serie de ventajas de tipo constructivo y económico para edificios destinados a vivienda, oficinas o estacionamiento. Velocidad y sencillez de construcción, economía y flexibilidad arquitectónica son algunas de las ventajas que ya fueron vistas a principios del siglo XX por los pioneros en este tipo de construcción en Europa y América del Norte (Furst et al. [1]) (Gasparini [2]) . Las losas de hormigón armado están limitadas por motivos económicos a luces no mayores de 6m y se muestran como estructuras sensibles a aquellos parámetros que intervienen en la deformación y que habitualmente no se consideran, como la resistencia a la flexotracción y la cuantía y distribución de la armadura. Con la aparición del pretensado y en particular con el pretensado no adherente, las losas sin vigas adquieren un impulso extraordinario. Se pueden controlar las solicitaciones y las deformaciones y se pueden eliminar totalmente los capiteles, lográndose estructuras mucho más esbeltas con luces entre pilares que fácilmente alcanzan los 9 o 10m. El comportamiento general de las losas pretensadas aparece como muy bueno, tanto frente a las solicitaciones como frente a las deformaciones. La difusión de los software de cálculo, basados en elementos finitos lineales, ha permitido a los proyectistas liberarse de los métodos de cálculo tradicionales, aventurándose en losas de formas irregulares, con cargas lineales, huecos etc. Esto también ha permitido intentar distribuciones de cables que optimicen la eficiencia de los mismos.
DESCRIPCIÓN DEL MODELO UTILIZADO Se ha modelizado un elemento de losa que interpreta el comportamiento no lineal del hormigón y del acero, y que tiene en cuenta los fenómenos reológicos del hormigón y los efectos de segundo orden. Para los materiales en estado uniaxial se toman los siguientes diagramas constitutivos expresados en forma esquemática :
Figura 1 – Diagramas tensión-deformación de los materiales
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El comportamiento del hormigón en tracción después de la figuración, se interpreta mediante la teoría de la fisuración distribuida, en la cual se considera la colaboración del hormigón entre las fisuras (Bazant et al. [4]) . En estado biaxial se supone que el hormigón se comporta como un material ortotrópico cuyas direcciones coinciden con la dirección de las tensiones principales (ASCE [5]). El ángulo se considera libre, o sea que no se fija en el primer estado de fisuración. Según las direcciones de ortotropía se toman los diagramas constitutivos uniaxiales. Además se supone que el coeficiente de fluencia es el mismo en todas las direcciones, que no es afectado por las tensiones y que el módulo de Poisson diferido es nulo. (Murcia [6]) En base a estas hipótesis se calculan las matrices constitutivas del hormigón y de las mallas de acero pasivo en estado plano. El pasaje del estado plano a un elemento de losa, se realiza a través del modelo multicapa (Hand et al. [7]) (Barzegar [8]). De acuerdo a este modelo, se calculan las matrices constitutivas del elemento de losa, constituido por una sucesión de placas de hormigón y por mallas de acero, unidas de tal forma que cumplen con la hipótesis de linealidad de las deformaciones por flexión. No se tiene en cuenta la deformación por cortante (Tae Hoo Kim et al. [9]).
Figura 2 – Modelo multicapa uniaxial
Las distintas capas del hormigón al, estar sometidas a estados tensionales diferentes, les corresponden condiciones de rigidez y direcciones de ortotropía diferentes.
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Figura 3 – Modelo multicapa biaxial
Una vez determinadas estas matrices se desarrolla un elemento finito triangular de tres nudos y 15 grados de libertad, que interpreta las propiedades mecánicas y reológicas del hormigón armado en flexión compuesta biaxial. Este elemento está basado en el triángulo de deformación constante de 6 grados de libertad para placas y en el triángulo no conforme de 9 grado de libertad para losas (Zienkiewicz [10]). Los efectos de segundo orden, tanto estáticos como geométricos, se introducen simplificadamente como términos de carga.
Figura 4 – Elemento finito triangular
Los cables se interpretan como elementos unifilares rectos que van de nudo a nudo, variando las alturas de sus extremos. Cada elemento de cable está definido por su geometría, por la fuerza de tensado y la rigidez axil. Al ser cables no adherentes, del tipo forrado y engrasado, se desprecia la fricción. Como parámetros de segundo orden, se tiene en cuenta el aumento de longitud con el consecuente aumento de tensión y el cambio de forma por el descenso de la losa. La no linealidad múltiple del sistema losa-cables se resuelve numéricamente mediante un proceso iterativo por el método de la secante, que consiste en la linealización a través de los módulos de elasticidad secantes. Resulta de implementación bastante simple, y no presenta 5
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grandes dificultades en la convergencia, porque el módulo secante siempre es positivo y decreciente. Sin embargo puede no ser convergente en los casos en que hay una relajación y un posterior endurecimiento, lo que puede ocurrir cuando interactúan la no linealidad mecánica y los fenómenos de segundo orden. Atendiendo a esta situación se optó por permitir al usuario del programa que elija entre considerar o no los fenómenos de segundo orden. Se adoptó un ciclo de 20 iteraciones lográndose en general una muy buena convergencia. Solamente para valores cercanos al colapso se registran algunas anomalías.
Figura 5 – Método de la secante
El modelo matemático y el programa se verificaron y ajustaron utilizando una serie de ensayos extraídos de la bibliografía (Sherif et al [11]) (ASCE [5]).
ANÁLISIS DE DOS LOSAS PRETENSADAS En este parágrafo, analiza el comportamiento de una losa unidireccional pretensada y biempotrada, bajo cargas instantáneas, o sea considerando la no linealidad mecánica y los efectos de segundo orden. Luego se analiza una losa sin vigas pretensada, con cables agrupados en fajas sobre los pilares, bajo cargas instantáneas y bajo cargas permanentes. En ambos casos se grafican las curvas carga-deformación hasta el agotamiento, para cuatro resistencias a la flexotracción diferentes y se comparan con el cálculo lineal. Se proponen espesores, cuantías y disposición de armaduras comunes en la práctica.
Losa unidireccional pretensada Se trata de una losa unidireccional biempotradas de 9.0m de luz y ancho unitario, 5.5cm2 de armadura pasiva inferior y la misma cantidad de armadura pasiva superior que se prolonga 1.50m desde el empotramiento. La igualación de las armaduras superior e inferior corresponde a una reducción de los momentos negativos del 25%. El pretensado es no adherente, de traza parabólica, 4cm2 de área y 50t de tensado. La armadura pasiva se dimensionó por los métodos tradicionales, para una carga de 0.9t/m2, lo que corresponde a un entrepiso de vivienda u oficina .
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Figura 6 – Discretización losa unidireccional
Figura 7 – Traza vertical de los cables
ft
= resistencia a la flexotracción [Mpa]
mf
= momento de fisuración [tm/m]
mc
= momento en el centro –hipótesis lineal-[tm/m]
mv
= momento en el vano – hipótesis lineal-[tm/m]
TABLA 1 – Datos Losa unidireccional pretensada Luz
l = 9.00 m
Espesor
t = 0.18 m
Recubrimiento
r = 0.02 m fck = 30 MPa
Hormigón
Ec = 30000 MPa
v = 0.2 Acero pasivo Acero activo
fy = 500 MPa 5
Es = 2,1x10 MPa fyp = 1600 MPa
2
A. pasiva A. activa
7
Aix = 5.5 cm /m 2
inferior
Asx = 5.5 cm /m superior 2
Ap = 4.0 cm /m
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P = 50 t cable parabólico
Archivo
LCP7
Análisis
NLM
Momentos inf.
mr = 7.6 tm
ESO
φ =0
ε=0
mu = 8.1 tm
TABLA 2 – Flecha máxima w [cm]
2
q [ t/m ] ft
0
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
mf
1.0
-0,545
-0,129
0,081
0,308
0,549
0,926
1,601
2,585
3,699
5,856
2,04
2.0
-0,531
-0,129
0,081
0,308
0,536
0,836
1,338
2,249
3,406
4,680
2,58
2.5
-0,531
-0,129
0,081
0,308
0,536
0,801
1,233
2,067
3,251
4,580
2,85
3.0
-0,531
-0,129
0,081
0,308
0,536
0,718
1,047
1,517
2,276
3,179
3,12
∞
-0,582
-0,146
0,071
0,288
0,506
0,723
0,939
1,156
1,373
1,589
-
mi
3,33
0,63
-0,72
-2,07
-3,42
-4,77
-6,12
-7,47
-8,82
-10,20
ms
-1,67
-0,32
0,36
1,04
1,71
2,39
3,06
3,74
4,41
5,08
Figura 8 – Gráfica Carga-Flecha
2 1,8 1,6 1,4
Carga
1,2 1 0,8 0,6 0,4
w
0,2 0 -1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
8
3,0
3,5
4,0
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En primer término se verifica que la influencia de la resistencia a la tracción es mucho menos fuerte que en el hormigón armado. Para los valores normales de la resistencia a la tracción (2.0 a 3.0 Mpa) la brecha entre al modelo lineal y el no lineal es prácticamente despreciable. Aparecen algunas diferencias relativamente importantes solamente para los valores más bajos de la resistencia a la tracción (1.0Mpa). El colapso se produce cuando los momentos positivos y negativos alcanzan simultáneamente el momento último, siendo su carga muy similar a la carga de colapso calculada por el método de las articulaciones plásticas. No se observa una relación clara entre las flechas y el momento de fisuración
Losa sin vigas pretensada Estos casos estudian una losa sin vigas pretensada, apoyada en pilares de 0.50x0.50 cada 8.0m en ambas direcciones, 18cm de espesor, armadura pasiva de 4.0cm2/m en ambas direcciones y armadura superior de 9.0 cm2/m cubriendo un área de 4.80x4.80 sobre los pilares. Los cables de pretensado no adherente se agrupan en franjas sobre los pilares. Esta distribución, propuesta originalmente por los suizos ha sido hasta ahora la más usada en Uruguay por su adaptabilidad a geometrías irregulares La carga de pretensado de 90t en ambos sentidos por cada 4m de losa, es un valor común en la práctica. La tensión media sobre el hormigón de 1.25Mpa. Se resuelven dos situaciones, la primera con carga instantánea, o sea sin efectos reológicos y la segunda con efectos reológicos y efectos de segundo orden (ESO). Para el planteo de la malla de elementos finitos se aprovecha la doble simetría y el estudio se reduce a un cuarto de losa.
Figura 9 – Esquema de losa y distribución de cables
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Figura 10 – Esquema de malla de E. F.
TABLA 3 – Losa sin vigas pretensada, carga instantánea Luces
lx = ly = 8.00 m
Pilares
sx = sy = 0.50 m
Espesor
t = 0.18 m
Recubrimiento
r = 0.02 m fck = 30 MPa
Hormigón
Ec = 30000 MPa
v = 0.2 Acero pasivo Acero activo
2
fy = 500 MPa 5
Es = 2,1x10 MPa
A. pasiva
fyp = 1600 Mpa A. activa
Archivo
LSP1
Análisis
NLM
Momentos inf.
mr = 4.4 tm/m
φ =0
Aix = Aiy = 4,0 cm /m inf. 2
Asx = Asy = 9,0 cm /m sup. P = 90 t Ap = 6.5 cm
2
ε=0 mu = 4.8 tm/m
En el esquema de la tabla 3, la zona rayada indica el área cubierta por las armaduras negativas.
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TABLA 4 – Flecha máxima w [cm]
2
q [ t/m ] ft
0.60
0.80
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
mf
1.0
0.335 0.700 1.468 4.778 8.826 16.252 37.180
1.22
2.0
0.335 0.611 1.103 4.345 8.444 16.273 37.133
1.76
2.5
0.335 0.608 1.005 4.013 8.314 16.278 37.186
2.03
3.0
0.335 0.606 0.921 3.576 8.195 16.237 37.137
2.30
∞
0.333 0.609 0.886 1.578 2.271 2.963
3.655
mc
0.796 1.113 1.430 2.223 3.016 3.809
4.602
mv
0.609 1.249 1.888 3.487 5.086 6.685
8.248
Figura 11 – Gráfica Carga-Flecha φ = 0 ε = 0
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
w
0 -5,0
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
11
30,0
35,0
40,0
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TABLA 5 – Losa sin vigas pretensada, con retracción y fluencia Luces
lx = ly = 8.00 m
Pilares
sx = sy = 0.50 m
Espesor
t = 0.18 m
Recubrimiento
r = 0.02 m fck = 30 MPa
Hormigón
Ec = 30000 MPa v = 0.2
Acero pasivo Acero activo
2
fy = 500 MPa 5
Es = 2,1x10 MPa
A. pasiva
fyp = 1600 MPa LSP1
Análisis
NLM
Momentos inf.
mr = 4.4 tm/m
ESO
φ = 2.5
2
Asx = Asy = 9,0 cm /m sup. P = 90 t
A. activa Archivo
Aix = Aiy = 4,0 cm /m inf.
Ap = 6.5 cm
2
ε = 0.00025
mu = 4.8tm/m
TABLA 6 – Flecha máxima w [cm]
2
q [ t/m ] ft
0.60
0.80
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
mf
1.0
1,096 1,972 2,956 6,064 9,535 13,150 18,120
1.22
2.0
1,058 1,753 2,699 5,496 8,871 12,550 17,010
1.76
2.5
1,058 1,748 2,620 5,234 8,532 12,180 17,700
2.03
3.0
1,058 1,747 2,458 5,035 8,189 11,810 16,490
2.30
∞
1,249 2,128 3,008 5,207 7,405 9,605 11,804
-
P
87
88
89
93
97
12
105
108
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Figura 12 – Gráfica Carga-Flecha φ = 2.5 ε = 0.00025 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5
w
0 - 5,0
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
Para las cargas de servicio, se observa que la resistencia a la tracción del hormigón tiene una influencia mucho menos marcada que en las losas sin vigas no pretensadas. Hay que situarse en valores bajos de la misma (1.0Mpa) para notar una diferencia apreciable entre el modelo lineal y el no lineal. Asimismo en los niveles superiores de carga la relación entre la flecha lineal y la no lineal puede llegar a 4:1, pero no se aprecian diferencias marcadas entre los distintos valores de ft. No obstante, en líneas muy generales se observa que el apartamiento de la no linealidad se produce cuando los momentos máximos positivos superan el momento de fisuración. En cuanto a los momentos, es interesante notar que esta distribución de cables produce un cierto emparejamiento de los momentos positivos calculados en estado lineal. La carga de colapso de la losa, aún sin tener en cuenta los efectos de segundo orden, es sensiblemente mayor que la prevista por los métodos normales de dimensionado. La relación entre la carga de colapso y la de servicio puede situarse en el orden de 3. En estado no lineal, a medida que progresa la fisuración, se reduce notablemente la relación entre flecha total y flecha instantánea, llegando en los niveles cercanos al colapso a valores próximos a la unidad. En el segundo caso se tuvieron en cuenta la retracción, la fluencia y los efectos de segundo orden. En estado lineal, para niveles bajos de carga, la relación entre flecha total y flecha instantánea es algo mayor que 1+φ, para niveles medios y altos es algo menor. Esto es porque la retracción produce una cierta deformación de la losa debido a la asimetría de las armaduras según el plano horizontal, que se nota cuando las cargas son bajas, mientras que cuando predomina la deformación por fluencia, se hace notar la oposición de las armaduras pasivas que reducen la deformación. Se observa que los fenómenos reológicos, el pretensado, y los efectos de segundo orden, prácticamente anulan la brecha entre el estado lineal y el no lineal. Esto resulta sumamente interesante porque hace pensar que al menos dentro de ciertos límites y para las cargas de servicio, se obtienen los mismos resultados con el cálculo lineal que con el no lineal. En efecto, en los niveles propios de la carga de agotamiento o inferiores, la relación entre la flecha no lineal y la lineal se mantiene en un valor muy próximo a uno o incluso inferior a 13
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uno. Solamente en las cargas de colapso la relación crece como máximo a 1.6. Evidentemente los efectos de segundo orden influyen favorablemente en el comportamiento de la losa La relación entre las flechas lineales total e instantánea es obviamente igual que en los otros casos. Los esfuerzos de los cables bajan al principio por la contracción producida por la retracción y la fluencia, pero en las cargas de colapso se verifica un aumento del orden de un 10% con respecto al valor inicial.
CONCLUSIÓN Como conclusión práctica, se puede afirmar en primer término que las losas pretensadas se pueden calcular por los métodos tradicionales, sabiendo que las deformaciones reales en estado de servicio, serán muy similares a las calculadas y que en general la seguridad de la losa se halla generosamente cubierta. En segundo término se observa que si bien requieren un cierto cuidado durante la construcción, son mucho menos sensibles que las losas de hormigón armado a todos aquellos parámetros que afectan las deformaciones de una estructura y que normalmente no se tienen en cuenta como la resistencia a la tracción de hormigón y la historia de cargas. No obstante, siempre es importante tener presente que el desapuntalado prematuro o las sobrecargas no previstas por acumulación de material de obra o por apoyo de los puntales que sostienen la losa siguiente, son prácticas desaconsejables. En elementos débilmente pretensados pueden producir una microfisuración en áreas considerablemente extensas, con la consecuente pérdida de rigidez y con un incremento importante de las deformaciones para toda la vida útil de la estructura.
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REFERENCIAS 1.Furst A.-Marti (1997) P., Robert Maillart´s Design Approach for flat Slabs. J. Struct. Engrg. ASCE 123 (8), 1102-1110 2.Gasparini D.A., (2002) Contributions of C.A.P. Turner to development of reinforced Flat Slabs J. Struct. Engrg. ASCE 128 (10), 1243-1252 3.Shtaerman M.I.- Ivianski A.M., Entrepisos sin vigas, Editora Interciencia 1960. Primera edición en ruso 1937. 4.Bazant Z. and Lin F. (1988) Non local smeared cracking model for concrete fracture. J. Struct. Engrg. ASCE 114(11) 2493 – 2510 5.ASCE (1982) Finite Element Analisis of Reinforced Concrete 6.Murcia J. (1995) Formulaciones tridimensionales de la retracción y la fluencia del hormigón. Hormigón y Acero Nº197 7.Hand, R.F.- Pecknold, D.A.- Schnobrich, W.C. (1973). Nonlinear layered analysis of RC plates and shells. J. Struct. Div. ASCE 99(7), 1491 – 1505 8.Barzegar F. (1989). Analysis of RC membrane elements with anisotropic reinforcement. J. Struct. Engrg. ASCE 115(3), 647 – 655 9.Tae Hoon Kim-Kwany Myong Lee (July, 2002). Non linear analysis of RC Shells using layered elements with drilling degree of freedom. ACI Structural Journal. 10.Zienkiewicz O.C., El método de los elementos finitos, Reverté 1980. 11.Sherif A, - Dilger W. (May, 2000). Test of full-scale continuous RC flat Slabs. ACI Structural Journal. 12.Murcia J. (2000) Cálculo práctico de flechas diferidas en estructuras de hormigón armado, Hormigón y Acero Nº 215
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