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APUNTES SOBRE
EL
"BINOMIO DE NEWTON POR
Amadeo
Geille
ESTUDIANTE
DE
Castro
INGENIERÍA
“Este trabajo, cuyo autor es un aventajado estudiante de Ingeniería, -está especialmente
destinado á los alumnos de Introducción á las
Matemáticas Superiores, por hallarse de acuerdo con las exigencias del programa de dichaase natura en la parte referente al Binomio de Newton. ” del N.» 88 de
los Anales de
la Uni-
PR
(Extraído versidad).
———B
AA
HAN £
A
EN E
NE An
MONTEVIDEO Tip.
DE
LA
ESCUELA
NACIONAL
1911
ES
DE
ÁRTES
Y OrICIOS
O
BINOMIO
En
1660
habiendo
contaba
DE
Isáac
ingresado, en
NEWTON
Newton
esta “época
18 años' de en la
a
Univers idad
de Cambridgc, descubrió poco tiempo después la Fórmula del binomio que lleva su nombre, tan importante y util, tan fecunda en aplicaciones, que hubiera bastado por sí sóla páón consagrar el genio de
su inventor co.
Nociones
de
Teoría Combinatoria
estudio
de la Fórmula
necesarias
para
el
del Binomio
Para entrar en el estudio de la fórmula del binomiv, empezaremos por recordar algunos principios de combinaciones, que nos serán útiles más adelante.
La fórmula
conocida de las combinaciones, qra_n
(11) (M2)
mE
(1) binomio,
Muchos al no
á su
(Mm+I)
m!
textos franceses nombrar
....
cs:
cometen
descubridor.
un
olvido
criticable,
cuando
tratan el
E Si multiplicamos ambos términos de este quebrado por (n-m)!, obtendremos: cr
n (1-1) (n-2)
me
... (Maq)
(nm)!
MARE
m! (nm)!
m! (nm)!
Esta última es la fórmula teórica de las combinaciones, llamada así en contraposición á la general, que viene á ser la fórmula práctica. Estas denominaciones
tienen
su
razón
de
ser;
en
efecto,
en
la
práctica, nunca haremos uso de la última fórmula hallada, pues nos encontraríamos con una serie de factores comunes á numerador y denominador (justamente (n-m)!), cuya supresión, al simplificar el quebrado, originaría de nuevo la fórmula general. Pero en su aplicación á los desarrollos teóricos, la
última fórmula mientos,
como
simplifica
con ayuda de cada rema siguiente: El número
notablemente
lo veremos
en
seguida,
los razonaal demostrar,-
una de las dos fórmulas,
de combinaciones
de n elementos
el teo-
toma-
dos m á m, es igual al número. de combinaciones de n elementos,
tomados
n-m
á n-m.
Se trata de probar esta igualdad: cr 2
n € nn. >
m=
APLICACIÓN
DE LA FÓRMULA cr_”
(n1)
(N-2)
un qn
:
(a)
PRÁCTICA.— ....
(n-m+1)
m! 2
n-m
Reduciendo ambos dor, tendremos:
(n1)
(12)
....
(m+1)
(n-m) !
quebrados
.
á común
denomina-
—
Cc?
y)
_2M1)(M2)....
1 cor nm
n(n1)
(1-2)
—
(mm)
2)
.... D
—
(nm)!
(mi1)m!
an!
=D
n! HAD
Siendo iguales los últimos miembros de estas dos igualdades, los primeros también lo serán. APLICACIÓN esta fórmula
DE LA FÓRMULA TEÓRICA.-— Si aplicamos al segundo miembro de la (a), obten-
dremos: n
n?!
ENS
n
mn) LR
Por las precedentes demostraciones, queda pues probada la ventaja de la última fórmula sobre la general. . Del teorema
anterior, deducimos: n CO
¿Mo
=L,
vale decir: el número de combinaciones de cualquier número de elementos, tomados O á 0, es igual á la unidad. Aunque el símbolo c% no tiene, en la práctica, significado alguno, se adopta á menudo su uso, que presenta
ventajas,
como
veremos
muy
pronto.
Demostraremos ahora este otro teorema: El número de combinaciones de n elementos,
dos m
á m, es igual á la suma del número
binaciones
de
n-1
elementos,
del número de combinaciones mados m á m.. Es decir que:
tomados
m-1
toma-
de com4 m-1,
de n-1 elementos,
y
to-
e a
n-1 6 m-1
C m
En uno
efécto, apliquemos de los
términos
la
del
Y
(n-1)! (m1)! (am)!
ordenadamente
C n-1 +0C n-1
mel
Del
m!
teórica
(n-1)! (nm)!
m!
teorema
estas dos
igualdades: n!
(nm)!
anterior
cada
;
m(n-1)/ + (n-m) (n-1)/
UL
á
miembro:
mi m—
(b)
fórmula
segundo
n-1
sumando
y 2-1 m:*
ESO
pn
Al
se deduce
este otro:
El número de combinaciones de n elementos tomados
m
á m,
es igual
las combinaciones m-1
á4
la
suma
del orden
de
los números
m-1,den-1,n2
elementos.
e
de
....
m,
:
Vale decir que: e
pnoal
a
En
efecto,
(b), esta
n2
E
EG
si aplicamos
misma
al
,M
último
fórmula,y hacemos
m-1
(e)
término
de la
lo mismo
con el
último término de la que resulte, y así sucesivamente, obtendremos la siguiente serie de igualdades: ena
m ni. Cc ar n2_ a m —
n-1 ae
rl
m-1 y n2 O eg-1 Hb 2193 O m1 o
m+H_ A m__ Cm 2
m n2 m n-3 Mu
pm ¡m-l Cm-1
mo 2
(a)
mm
—
(
==
Llegados á la (a), hemos tenido que detenernos, pues su último término c”, no se puede descomponer
ya por medio de la (b), y hemos agregado la última igualdad, mente
equivalente
todas
ellas,
á 1 = 1.
y
Sumando ordenada-
simplificando,
obtendremos
-nalmente: Ca
fl-
:
Maa Es
n2 Cm-1
m-1 Ld
y Ep
a
. M O em-1
a
m-1 Cm-1
E? Q.
Fórmula
S
y? p.
de Newton
Para hallar la fórmula que nos da el desarrollo de la potencia de un binomio, ó sea la fórmula del binomio de Newton, empezaremos por examinar -el producto
de n
factores
primeros términos
de
la forma
(+4),
son iguales, y los segundos,
cuyos
can-
tidades distintas 4; ,4z ... An. Es evidente que al efectuar el mencionado producto, obtendremos un solo término, conteniendo úni-
camente
factores
x
(será 2"),
y
otro, únicamente
factores a (será 41 dz... Gn). Los demás términos distinto número, pero uno de minos,
puede mos
contendrán factores x y a en el total de factores en cada
ellos, será siempre n. Para formar estos tértomaremos un número m de factores x (m
variar de 1 á n-1), y á continuación colocarefactores
a de
distintos
La parte de estos términos,
índices,
en número
n-m.
compuesta de factores a,
viene á ser las combinaciones de n elementos («;,, (ls... An), tomados n-m á n-m; por lo tanto, si consideramos aquellos términos del desarrollo, que con-
tienen
una
potencia
en consecuencia,
determinada
contienen
igual
de'« (x”), y que, número
de factores
a a (n-m), esos términos estarán en número de Ci. Esto es cierto aún para los dos términos especiales de que hablamos al principio, pues, según lo dicho, el número de los términos de igual clase que el primero nombrado, sería Co= 1, y el número de los de idén-
tica especie que el segundo, vendría á ser Observaremos
existirán hasta
que
todas
las
la 0; por
en
el
producto
potencias
lo tanto,
de
que
C;=
1.
estudiamos,
«,
desde la n tsima
ese producto
podría ponerse
hajo la forma de un polinomio completo, ordenado respecto á las potencias decrecientes de «. Ahora, si hacemos 4; =ds=....= (a =0,€l primer
miembro
de
la
fórmula
estudiada
se
transfor-
mará en (2-4 a)”, y en el segundo, los términos que contengan una determinada potencia de x (2”), se harán iguales á «” a”, y sabiendo que estos tér-
minos están en número de C;, estamos ya en disposición de escribir (24 aj
=Ch00+
el desarrollo; será: Cra
donde, reemplazando resultará: (2d)
= 00
+
los t
nm asi
Esta última igualdad nomio de Netcton.
Ca
ant
símbolos
—
a (-1)
A
ON a,
por
(d)
sus valores,
p
E A anto.
constituye la fórmula
0,
del bi-
Daremos ahora el método de un autor inglés, para hallar la fórmula del binomio; este método es sumamente artificioso y original, y hará contraste con el anterior, que es puramente analítico. Presenta además como ventaja, el generalizar la fórmula, demostrándola verdadera
cualquiera que sea el exponente n.
e
ua
Principio
preliminar — Fórmula
Sabemos por presión 2"-y"
la divisibilidad por x-a, que la exes exactamente divisible por LY,
pues según aquella sería y”=y*"=>=0, El cociente es: em
-
Y
teoría,
el
qem-2 Y +
acia
=
mi
polinomio de /n términos. Si hacemos ahora %=y, resultará: 7
ez
- qm
á
1.er caso.
al
es
+
la
la
co
división
y
igualdad
ARA WU
demostrar
residual,
2
en
|
e
exponente
de
anterior,
7]
z-Y
Fórmula
resto
m
e -y
Vamos
residual
;
(e)
Y
que
esta
cierta
igualdad,
cualquiera
llamada
que.
sea
el
m. —m
es
entero
y
positivo. — Queda
de-
mostrado.
2,0 caso. —m el cociente
es positivo y fraccionario.-- Si m=+%;
que
estudiamos
se
transforma
en: $
E
q
A XL-
, Y
(a) 2
1
Hagamos gamos
«xs =u,
del mismo
7
de modo
donde e=u* 1
ys* =%,
de
y es =4"; donde
y=x*
hay
0 y* =3".
Sustituyendo
denominador
de
la
los términos
(a)
por
del
sus
numerador
equivalentes,
y
ten-
dremos: Ur - gr
A LY US
Como
r y s son números
dremos, según lo cual u= 3: 7
ES
el
US ES u-2
enteros
primer
caso,
y positivos, ten-
haciendo «e= y,
con
UE]
7”
A
as—ys
q E
o
ay
05
A
arar
ta
W=
2
8
sus Uu—2
pe
z
3.0r Caso. —m es negativo, entero ó fraccionario.— Si el exponente, en lugar de ser m, fuera -m, entero ó fraccionario, tendríamos que demostrar la fórmula qm
.para
la expresión
Transformemos
xa —m—
ym e
—y— nm
——5= y el
numerador:
Y m—
==
qm
am
qm
=
—
xmñ
yn
(acia
—
y.
Luego: am
—
y—m
22m
a
=
—
xn
e—y
y como mos
am
qyíi
L
—
Y
1
m es positivo, entero ó fraccionario, tendre-
por
q__ E
—
ym PS
—
a
los dos
casos
ym
LEE
=
—
anteriores: TW
XA
MANE
=—
ME
m1,
o
x
segunda e
parte del
E Esta igualdad también nos prueba que: La suma de los números de las combinaciones de n elementos, de todos los órdenes pares posibles, es igual á la suma de los números de las combinaciones de igual número de elementos, de todos los órdenes posibles impares. Como la suma de todos estos números de combinaciones, vale 2”, resulta que la suma de los números de las de órdenes pares, es 2, como también lo es la.-suma de los números de las de órdenes impares. (Se comprende que para todo
lo dicho tomamos
en cuenta C%.)
6.» Si formamos los desarrollos de dos potencias consecutivas de un binomio (las potencias n y n +1), el coeficiente de un término cualquiera del segundo desarrollo, es igual al coeficiente del término correspondiente del primero, más el del anterior de este primer desarrollo. — En efecto, si en la (b) sustituimos
n por
n+1,
obtendremos:
Cl Pero
el primer
miembro
representa
del término que ocupa el lugar m-+-1
en
el coeficiente el desarrollo
de la potencia (n+1)'ima del binomio; el primer término del segundo miembro es el coeficiente del término que ocupa igual lugar en el desarrollo de la potencia nésima, y el último, es el anterior al recientemente nombrado.
Teorema El
teorema
de
French
de French nos
da la manera
trar los coeficientes del desarrollo
de encon-
de la potencia
un binomio, cuando los términos de ese están afectados de coeficientes numéricos.
ua
de
E Para descubrir
la
regla, hagamos
en
de Newton, 2=by y a=dé, poniendo el término general y el que lo sigue: (0y
402)
li
E=bry"4ndzb" ¿bn—1qn—! y”
+
ata5
(n—-1)(n-2)...(n—m+1
ma
1)
(2
) mi
cn
— —2)...(nN—M> E noe nr Em > aa: m 4
Ed
EN
diml gm
la fórmula en
evidencia
222 bn dz
yn? qy” 2
2
dim gm pn—m y n—m .
pa —m—! yn —m—! *
Ia
Dividiendo el término (m + 2) $iwo por el (m-—- 1)%wo, obtendremos:
: . Ti+2=
¿ Suponiendo
huméricós
ahora,
a Tiny1
que
nm
d 2
m
by
b y dl son
los
coeficientes
de los términos del binomio, podemos for-
mular la siguiente
regla:
En el desarrollo de la potencia de un binomio cugos términos están afectados de coeficientes numéricos (| by +dz]”), el coeficiente del primer término es b”, y el de cualquier otro término se obtiene multiplicando el coeficiente del anterior (el numérico, nó el binomial) por el exponente de y en ese mismo término Ey por el quebrado constante 5, dividiéndolo por el námero de términos ya formados.
Triángulo
Si agrupamos
de Pascal
ordenadamente
los
números de las
combinaciónes, de manera que en una fila figuren aquéllas cuyo número total de elementos sea el mismo, y que en una columna aparezcan combinaciones del
O
mismo
orden, y damos
á
la agrupación
la forma
de
un triángulo, obtendremos el siguiente cuadro:
Co Co 0; CS
OSEA
Cc
OO;
cool ESO E
OIEA
DC
SR
aa po
es
En este triángulo vemos que cada elemento es igual al inmediatamente superior más el que está á la. izquierda de este último, en virtud de la (b). Además,
observando
columna
valen todos la unidad; como
que
los elementos de la primera
también los que
están sobre la hipotenusa, estamos en disposición de sustituir rápidamente, sin aplicación de fórmula alguna, los símbolos por sus valores; haciéndolo, el cuadro quedará transformado en este otro:
e
que
1
DE
SAL seal ds Pd
2 3 d
24
ero
constituye
el
1 3 6
1 4
1
tion
llamado
A
triángulo
aritmético
de
Pascal.
El triángulo de Pascal “mente
los:
coeficientes
nos de
suministra inmediata-
la fórmula
del
binomio,
— 21 —. pues, ¿qué se necesita para que una ros formen los coeficientes de requiere únicamente que sean
serie de núme-
aquel desarrollo? los números de
Se las
combinaciones de un número total de elementos igual al exponente del binomio, tomados de O á 0, de 1 á1,....denámn. Pero en el triángulo aritmético una fila constituye justamente la serie de números que citábamos; así que numerándolas como lo hemos hecho, para obtener los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio, no tenemos más que escoger la fila cuyo número de orden sea el exponente de aquella potencia, y los elementos de esa fila serán los coeficientes buscados. No tomando en cuenta la primera columna del triángulo de Pascal, los elementos de su primera columna (en realidad segunda), son llamados números figurados de primer orden Ó números naturales; los de la segunda columna, números figurados de segundo orden 6 números triangulares; los de la tercera, números figurados de tercer orden Ó números pirami-
dales, etc. Las denominaciones de triangulares, piramidales, provienen de una de las aplicaciones más interesantes del triángulo
aritmético, que es el cálculo
de las pilas de balas. Recordando la fórmula triángulo,
la suma
un
número
de los
diatamente
E (c), observamos
figurado
números
inferior,
que
cualquiera
figurados se
hallan
que en el es igual
del orden sobre
á
inme-
su línea ho-
rizontal; así, por ejemplo: 6=3+2-+1.
Aquí damos por terminado estos apuntes sobre una de las fórmulas más bellas del álgebra, cual es la del binomio; la fórmula*descubiertapor un joven de diez y ocho años, que por sí sola hubiera servido para caracterizar el genio de aquel hombre admira-
ble, fundador del Cálculo maba Isaac Newton.
Infinitesimal, que se
lla-