Квантовая теория полей [Том 2. Современные приложения. Главы 15 — 23]

Перевод на русский язык А.В.Беркова с исправлениями на 03.03.2001.

312 88 34MB

Russian Pages [671]

Report DMCA / Copyright

DOWNLOAD FILE

Polecaj historie

Квантовая теория полей [Том 2. Современные приложения. Главы 15 — 23]

Citation preview

ɋɬɢɜɟɧ ȼɚɣɧɛɟɪɝ

ɄȼȺɇɌɈȼȺə ɌȿɈɊɂə ɉɈɅȿɃ

Ɍɨɦ 2 ɋɨɜɪɟɦɟɧɧɵɟ ɩɪɢɥɨɠɟɧɢɹ

Ƚɥɚɜɵ

15 – 23

GZ ij Z\Zo H[eZ^Zl_ex mdZa u\Z_ fhf bkdexqbl_evgh ^

^Zgg h]h

jmdhib kb wda_fieyj

Перевод на русский язык А. В. Беркова с исправлениями на 03.03.2001 I_j_ \h^ gZ jmkk dbc yaud dnfg: 0 â äðåâåñíîì ïðèáëèæåíèè ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë ñêàëÿðíîé òåîðèè ïîëÿ ñ äåéñòâèåì (16.2.1) èìååò îòðèöàòåëüíóþ âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ, åñëè ϕ íàõîäèòñÿ ìåæäó äâóìÿ ìèíèìóìàìè ýôôåêòèâíîãî ïîòåíöèàëà â òî÷êàõ ± 6| m 2 |/g . Ýòî ïðîòèâîðå÷èå âîçíèêàåò èç-çà òîãî, ÷òî âûâîä òåîðèè âîçìóùåíèé íåÿâíî ïðåäïîëàãàåò ñóùåñòâîâàíèå ñòàáèëüíîãî âàêóóìà, íî êîãäà ~) − J ϕ ~ èìååò íå ~ , â êîòîðîì V(ϕ V′′(ϕ) < 0, ïîëå ϕ èìååò çíà÷åíèå ϕ ϕ ìèíèìóì, à ìàêñèìóì, è ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âàêóóìíîå ñîñòîÿíèå â ïðèñóòñòâèè òîêà Jϕ íåñòàáèëüíî. Òàê ÷òî æå ÿâëÿåòñÿ èñòèííûì ýôôåêòèâíûì ïîòåíöèàëîì äëÿ òàêîé ñêàëÿðíîé òåîðèè, êîãäà m2 < 0, à ϕ íàõîäèòñÿ ìåæäó äâóìÿ ìèíèìóìàìè ïîòåíöèàëà? Ðåçóëüòàò ýòîãî ðàçäåëà ñâîäèòñÿ ê òîìó, ÷òî ìû äîëæíû íàéòè ñîñòîÿíèå ñ ìèíèìàëüíîé ýíåðãèåé, â êîòî-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

104

Ãëàâà 16. Ìåòîäû âíåøíåãî ïîëÿ

ðîì ñðåäíåå çíà÷åíèå îïåðàòîðà Φ ðàâíî ϕ. Äî òåõ ïîð, ïîêà ϕ íàõîäèòñÿ ìåæäó äâóìÿ ìèíèìóìàìè ïîòåíöèàëà, ìîæíî ïðèäàòü Φ ñðåäíåå çíà÷åíèå ϕ, âûáðàâ ñîñòîÿíèå êàê ïîäõîäÿùóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ äâóõ ñîñòîÿíèé, â êîòîðûõ ϕ íàõîäèòñÿ â òî÷êàõ ìèíèìóìîâ ϕ g ± 6| m 2 |/g . Ýíåðãèÿ ýòîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíà ýíåðãèè â ìèíèìóìàõ, òàê ÷òî òàêîå ñîñòîÿíèå äåéñòâèòåëüíî ìèíèìèçèðóåò ýíåðãèþ. (Ïî ïðè÷èíàì, îáúÿñíåííûì â ðàçäåëå 19.1, èíòåðôåðåíöèîííûå ñëàãàåìûå èñ÷åçàþò â ïðåäåëå áåñêîíå÷íîãî îáúåìà.) Òàêèì îáðàçîì, ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë ìåæäó äâóìÿ ìèíèìóìàìè ïîòåíöèàëà åñòü êîíñòàíòà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ òðåáîâàíèþ íåîòðèöàòåëüíîñòè âòîðîé ïðîèçâîäíîé. Òå æå ðàññóæäåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî â áîëåå îáùèõ òåîðèÿõ, â êîòîðûõ ïîòåíöèàë èìååò äâà ëîêàëüíûõ ìèíèìóìà ñ ðàçíîé ýíåðãèåé, ïîòåíöèàë ìåæäó ýòèìè ìèíèìóìàìè ëèíååí 6. 16.4. Ñèììåòðèè ýôôåêòèâíîãî äåéñòâèÿ  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ñèììåòðèè äåéñòâèÿ I[ϕ] àâòîìàòè÷åñêè ÿâëÿþòñÿ ñèììåòðèÿìè ýôôåêòèâíîãî äåéñòâèÿ Γ[ϕ]. òàê, â ðàçîáðàííîì â ðàçäåëå 16.2 ïðèìåðå äåéñòâèå (16.2.1) ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ → –ϕ. Èç îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí Z[ϕ] è W[ϑ] ñëåäóåò, ÷òî îíè ÷åòíû îòíîñèòåëüíî ñîîòâåòñòâóþùåãî îòðàæåíèÿ J → –J. Òîãäà èç ñîîòíîøåíèÿ (16.1.5) ñëåäóåò, ÷òî ϕ–J = –ϕJ, è ïîýòîìó J–ϕ = –Jϕ, òàê ÷òî ñîãëàñíî ôîðìóëå (16.1.6) ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå Γ[ϕ] ÿâëÿåòñÿ ÷åòíûì îòíîñèòåëüíî çàìåíû ϕ → –ϕ. Ýòî ïîäòâåðæäàåòñÿ ðåçóëüòàòîì îäíîïåòëåâûõ âû÷èñëåíèé (16.2.15).  ÷àñòíîì ñëó÷àå M(0) = 0 âêëàä ôåðìèîííûõ ïåòåëü â (16.2.16) òàêæå îáëàäàåò ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî ϕ → –ϕ, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå äåéñòâèå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî êîìáèíèðîâàííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ → –ϕ, ψ → γ5ψ. Ïðè äîêàçàòåëüñòâå ïåðåíîðìèðóåìîñòè òåîðèè ìû ñòîëêíåìñÿ ñ òðóäíîñòÿìè, åñëè òîëüêî íàì íå óäàñòüñÿ ïîêàçàòü, ÷òî ñèììåòðèè èñõîäíîãî êëàññè÷åñêîãî äåéñòâèÿ îñòàþòñÿ â ñèëå è äëÿ ýôôåêòèâíîãî äåéñòâèÿ.  ïðèâåäåííîì âûøå ïðèìåðå, åñëè I[ϕ] ñ÷èòàëîñü ÷åòíûì ïî ϕ, à â Γ[ϕ] ýòà îêàçàëîñü íå òàê, òî êîýôôèöèåíòû ïðè ñëàãàåìûõ â Γ, ïðîïîðöèîíàëüíûå ∫d4xϕ è ∫d4xϕ3, áóäóò ðàñõîäÿùèìèñÿ, îäíàêî ñèììåòðèÿ äåéñòâèÿ íå ïîçâîëèò ââåñòè êîíòð÷ëåíû äëÿ ïîãëîùåíèÿ ýòèõ áåñêîíå÷íîñòåé.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

16.4. Ñèììåòðèè ýôôåêòèâíîãî äåéñòâèÿ

105

Ñ ó÷åòîì ýòèõ ðàññóæäåíèé ðàññìîòðèì âàæíûé êëàññ ñèììåòðèé, ïîðîæäàåìûõ áåñêîíå÷íî ìàëûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè χ n ( x ) → χ n ( x ) + εF n [ x ; χ ] ,

(16.4.1)

ãäå Fn — ôóíêöèÿ îò xµ, ôóíêöèîíàëüíî çàâèñÿùàÿ îò cn. (Íàïðèìåð, Fn[x;c] ìîæåò áûòü îáû÷íîé ôóíêöèåé cn è èõ ïðîèçâîäíûõ â òî÷êå x.) Ìû òåïåðü èñïîëüçóåì ñèìâîë cn âìåñòî ϕr äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ðàçíûõ òèïîâ ïîëåé, ÷òîáû ïîä÷åðêíóòü, ÷òî îíè âêëþ÷àþò íå òîëüêî îáû÷íûå êàëèáðîâî÷íûå ïîëÿ è ïîëÿ ìàòåðèè (êîòîðûå â ñëåäóþùåé ãëàâå áóäóò îáîçíà÷àòüñÿ ϕr(x)), íî è âñå äðóãèå ïîëÿ, âîçíèêàþùèå â äåéñòâèè ñ ôèêñèðîâàííîé êàëèáðîâêîé, âêëþ÷àÿ ïîëÿ äóõîâ. Ïîâòîðèì, ÷òî cn(x) ìîãóò áûòü ïîëÿìè ëþáîãî òèïà, à íå òîëüêî ñêàëÿðàìè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êàê äåéñòâèå, òàê è ìåðà èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè (16.4.1): I[ χ + εF ] = I[ χ ],

(16.4.2)

∏ dd χ n (x) + εF n [x; χ]i = ∏ dχ n (x). n ,x

(16.4.3)

n,x

( äåéñòâèòåëüíîñòè äîñòàòî÷íî, ÷òîáû òîëüêî ïðîèçâåäåíèå ∏ n,x dχ n (x) exp(iI) áûëî èíâàðèàíòíûì, íî åñëè ýòî âåðíî, îáû÷íî âûïîëíÿþòñÿ è ñîîòíîøåíèÿ (16.4.2) è (16.4.3).) Çàìåíÿÿ ïåðåìåííûå èíòåãðèðîâàíèÿ â (16.4.1) íà χn(x) + n εF [x;χ], èìååì

d

i

X LM d χ (x) + εF [x; χ] OP YY M ∏ d iP ZN Q × expoiI[χ + εF ] + i u d xd χ (x) + εF [x; χ]iJ (x)t XL O = Y M ∏ dχ (x)P expoiI[χ] + i u d xd χ (x) + εF [x; χ]iJ (x)t YZ MN PQ 1 X F I = Z[ J ] + iε Y G ∏ dχ (x)J F [ y; χ] J ( y)d y, YZ H K × expniI[χ] + i z d xχ (x) J (x)s,

Z[ J ] =

n

n

n ,x

n

4

n

n

4

n ,x

n

n ,x

4

n

z

n

n

n

n

n

n

4

n

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

106

Ãëàâà 16. Ìåòîäû âíåøíåãî ïîëÿ

îòêóäà 4

ud y F

n

( y) J n ( y) = 0 ,

(16.4.4)

J

ãäå 〈 〉J îçíà÷àåò êâàíòîâîå ñðåäíåå â ïðèñóòñòâèè òîêà Jn(x), Z[ J ] F n ( y)

J



X F dχ (x)IF [y; χ] YY GH ∏ JK Z × expniI[χ] + i z d xχ (x) J (x)s, n

n

n ,x

n

4

n

íîðìèðîâàííîå òàê, ÷òî 〈1〉J = 1. Âñïîìíèì, ÷òî Jn(y) âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå ñîîòíîøåíèåì (16.1.7): δΓ[χ] . J n , χ ( y) = − n δχ ( y) Ïîýòîìó (16.4.4) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

x

0 = d 4 y F n ( y)

δΓ [ χ] Jχ

δχ n ( y)

.

(16.4.6)

Èíûìè ñëîâàìè, Γ[χ] èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî èíôèíèòåçèìàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ

χ n ( y) → χ n ( y) + ε F n ( y)



.

(16.4.7)

Ïîäîáíûå óñëîâèÿ ñèììåòðèè èçâåñòíû ïîä íàçâàíèåì òîæäåñòâ Ñëàâíîâà–Òåéëîðà 7. Òà ëè ýòî ñèììåòðèÿ, ñ êîòîðîé ìû íà÷èíàëè? Ýòî òàê äëÿ îäíîãî î÷åíü âàæíîãî êëàññà èíôèíèòåçèìàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñèììåòðèè, êîòîðûå ëèíåéíû. Äëÿ òàêèõ ñèììåòðèé F èìååò âèä:

F n [x; χ] = s n (x) + t n m (x; y)χ m ( y)d 4 y .

z

(16. 4. 8)

(×àùå âñåãî sn(x) îáðàùàåòñÿ â íóëü, à tnm(x) åñòü ïîñòîÿííàÿ ìàòðèöà, óìíîæåííàÿ íà d4(x – y).) Äëÿ ëþáîãî ëèíåéíîãî F èìååì

F n (x)

J

= s n (x) + t n m (x; y) χ m ( y) d 4 y .

z

J

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

16.4. Ñèììåòðèè ýôôåêòèâíîãî äåéñòâèÿ

107

Íî äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî χ âåëè÷èíà Jχ îïðåäåëåíà êàê çíà÷åíèå òîêà J, ïðè êîòîðîì 〈χm(y)〉J ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì χm(y), òàê ÷òî

F n ( x)



= s n (x) + t n m (x; y)χ m ( y)d 4 y = F n [x; χ] .

z

(16.4.9)

Ñëåäîâàòåëüíî èç (16.4.6) âûòåêàåò, ÷òî Γ[χ] äîëæíî áûòü èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî âñåõ ôóíêöèîíàëüíûõ ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé χn → χn + εFn, îñòàâëÿþùèõ èíâàðèàíòíûìè I[χ] è ìåðó. Èíîãäà ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî ñ íåëèíåéíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñèììåòðèé. Âàæíûì ïðèìåðîì ÿâëÿåòñÿ ÁÐÑÒ ïðåîáðàçîâàíèå, îáñóæäàâøååñÿ â ðàçäåëå 15.7. Äëÿ íåëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðåîáðàçîâàíèå ñèììåòðèè (16.4.7), îòíîñèòåëüíî êîòîðîãî èíâàðèàíòíî ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå, â îáùåì ñëó÷àå íå ñîâïàäàåò ñ òåì èñõîäíûì ïðåîáðàçîâàíèåì ñèììåòðèè (16.4.1), êîòîðîå îñòàâëÿåò èíâàðèàíòíûì èñõîäíîå äåéñòâèå, òàê êàê ñðåäíåå îò íåëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà ïîëåé â îáùåì ñëó÷àå íå ñîâïàäàåò ñ òåì æå ôóíêöèîíàëîì îò ñðåäíèõ ïîëåé. Äåéñòâèòåëüíî, ôîðìà F J êàê χ ôóíêöèîíàëà χ çàâèñèò â îáùåì ñëó÷àå îò äèíàìèêè ñèñòåìû è îáû÷íî íåëîêàëüíà.  ñëåäóþùåé ãëàâå ìû ïðåîäîëååì ýòî îñëîæíåíèå, èñïîëüçóÿ ìåòîä àíòèñêîáîê. * * * Äî ñèõ ïîð ìû ìîë÷àëèâî ïðåäïîëàãàëè, ÷òî âñå ïîëÿ χn è ñîîòâåòñòâóþùèå ôóíêöèè ïðåîáðàçîâàíèÿ Fn è òîêè Jn ÿâëÿþòñÿ áîçîííûìè. Òåïåðü ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà çíàêîâûå ìíîæèòåëè, âîçíèêàþùèå â ñëó÷àå, êîãäà íåêîòîðûå èç óêàçàííûõ âåëè÷èí — ôåðìèîííûå, êàê, â ÷àñòíîñòè, èìååò ìåñòî äëÿ ñóïåðñèììåòðèè èëè ÁÐÑÒ ïðåîáðàçîâàíèé, ãäå ε — ôåðìèîí, à χn è Fn èìåþò ïðîòèâîïîëîæíûå ñòàòèñòèêè. Åñëè òîêè ðàñïîëàãàþòñÿ â äåéñòâèè ñïðàâà îò ïîëåé, êàê â âûðàæåíèÿõ (16.1.1) è (16.4.5), òî ôîðìóëû (16.1.5) è (16.1.7) ïðèìóò âèä δ R W[ J ] δJ m ( y)

= χm J ( y) ,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(16.4.10)

108

Ãëàâà 16. Ìåòîäû âíåøíåãî ïîëÿ

δ L Γ[χ ] δχ m ( y)

= − J χ,m ( y) ,

(16.4.11)

ãäå íèæíèå èíäåêñû R è L óêàçûâàþò, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ äåéñòâóåò ñïðàâà èëè ñëåâà.  ðåçóëüòàòå òîæäåñòâî Ñëàâíîâà–Òåéëîðà (16.4.6) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

x

0 = d 4 y F n ( x)

δ L Γ[χ] Jχ

δχ n ( y)

.

(16.4.12)

Çàäà÷è 1.

Ðàññìîòðèòå òåîðèþ äåéñòâèòåëüíîãî ïñåâäîñêàëÿðíîãî ïîëÿ ϕ(x) è êîìïëåêñíîãî äèðàêîâñêîãî ïîëÿ ψ(x) ìàññàìè M è m, ñîîòâåòñòâåííî, ñ âçàèìîäåéñòâèåì âèäà gψγ 5 ψϕ .  îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè âû÷èñëèòå ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë äëÿ ϕ = constant, ψ = 0.

2.

Âûâåäèòå îáùèå ôîðìóëû äëÿ δ 3 W [ J ] / δJ n (x)δJ m ( y)δJl (z) è δ 4 W [ J ] / δJ n (x)δJ m ( y)δJl (z)δJ k (w) ÷åðåç âàðèàöèîííûå ïðîèçâîäíûå Γ[ϕ] ïî ϕ. Ïîêàæèòå, êàêèå ôåéíìàíîâñêèå äèàãðàììû ñîîòâåòñòâóþò êàæäîìó ñëàãàåìîìó â ýòèõ ôîðìóëàõ.

3.

 îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè âû÷èñëèòå ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë äëÿ òåîðèè íåéòðàëüíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ϕ ñ ëàãðàíæèàíîì âçàèìîäåéñòâèÿ gϕ3/6 â øåñòè ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ èçìåðåíèÿõ.

4.

Ïóñòü äåéñòâèå I[ϕ] èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî êîíå÷íîãî ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕn(x) → ∑mMnmϕm(x). Îòíîñèòåëüíî êàêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ òîêîâ èíâàðèàíòíà â ýòîì ñëó÷àå âåëè÷èíà W[J]? Èñïîëüçóÿ ýòîò ðåçóëüòàò, íàéäèòå ñâîéñòâî ñèììåòðèè Γ[ϕ].

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

109

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû 1.

Ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå Γ[ϕ] áûëî ââåäåíî â ðàáîòå: Goldstone, J., Salam, A., and Weinberg, S., Phys. Rev., 127, 965 (1962), ãäå ýòà âåëè÷èíà áûëà îïðåäåëåíà ïî òåîðèè âîçìóùåíèé êàê ñóììà îäíî÷àñòè÷íî íåïðèâîäèìûõ ñâÿçíûõ äèàãðàìì. Íåïåðòóðáàòèâíîå îïðåäåëåíèå (16.1.6) âïåðâûå áûëî íåçàâèñèìî äàíî â ðàáîòàõ: B. De Witt, in: Relativity, Groups and Topology. — Lectures Delivered at Les Houches during the 1963 Session of the Summer School of Theorethical Physics, C. De Witt and B. De Witt, eds. (Gordon and Breach, New York, 1964); Jon a-Lasinio, J., Nuovo Cimento, 34, 1790 (1964).

2.

Coleman, S., Aspects of Symmetry (Cambridge University Press, Cambridge, 1985), pp. 135-136.

3.

Coleman, S. and Weinberg, E., Phys. Rev., D7, 1888 (1973).

4.

Symanzik, K., Commun. Math. Phys., 16, 48 (1970); Coleman, S., Aspects of Symmetry (Cambridge University Press, Cambridge, 1985), pp. 139-142.

5.

Symanzik, K., ibid.; Iliopoulos, J., Itzykson, C., and Martin, A., Rev. Mod. Phys., 47, 165 (1975).

6.

Fujimoto, Y., O’Raifertaigh, L., and Parravicini, G., Nucl. Phys., B212, 268 (1983); Haymaker, R.W. and Perez-Mercader, J., Phys. Rev., D27, 1948 (1983); Bender, C.M. and Cooper, F., Nucl. Phys., B224, 403 (1983); Hindmarsh, M. and Johnston, D., J. Math. Phys., A19, 141 (1986); Branchin a, V., Castorin a, P., and Zappala, D., Phys. Rev., D41, 1948 (1990); Cahill, K., Phys. Rev., D52, 4704 (1995).

7.

Ñëàâíîâ, A.A., Òåîð. Ìàòåìàò. Ôèçèêà, 10, 152 (1972); Taylor, J.C., Nucl. Phys., B33, 436 (1971).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

17 Ïåðåíîðìèðîâêà êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé Âåðíåìñÿ ê ðàññìîòðåíèþ êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé è âîñïîëüçóåìñÿ îïèñàííûì â ïðåäûäóùåé ãëàâå ôîðìàëèçìîì âíåøíåãî ïîëÿ äëÿ èçó÷åíèÿ ïåðåíîðìèðóåìîñòè òàêèõ òåîðèé è ïðîâåäåíèÿ âàæíûõ âû÷èñëåíèé. 17.1. Óðàâíåíèå Çèíí-Æþñòåíà  äàííîì ðàçäåëå ìû èñïîëüçóåì îïèñàííóþ â ðàçäåëå 15.7 ÁÐÑÒ ñèììåòðèþ äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðîäåìîíñòðèðîâàòü ôóíäàìåíòàëüíîå ñâîéñòâî êâàíòîâîãî ýôôåêòèâíîãî äåéñòâèÿ, âïåðâûå îáíàðóæåííîå Çèíí-Æþñòåíîì 1. Ñîãëàñíî îáùèì ïðàâèëàì, îáðèñîâàííûì â ðàçäåëå 16.4, ÁÐÑÒ èíâàðèàíòíîñòü äåéñòâèÿ I[χ] íàêëàäûâàåò íà ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå Γ[χ] óñëîâèå

XY d x ∆ (x) Z 4

δ L Γ[χ]

n



δχ n (x)

= 0,

(17.1.1)

ãäå èçìåíåíèå χn(x) â ðåçóëüòàòå ÁÐÑÒ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ èíôèíèòåçèìàëüíûì ôåðìèîííûì ïàðàìåòðîì θ ðàâíî:

δ θ χ n (x) = θ∆n (x) ,

(17.1.2)

à 〈...〉 îçíà÷àåò âàêóóìíîå ñðåäíåå, âû÷èñëÿåìîå â ïðèñóòñòâèè òîêà Jχ, òàê ÷òî âàêóóìíîå ñðåäíåå îïåðàòîðíûõ ïîëåé Xn(x) ðàâíî ñ÷èñëîâûì ôóíêöèÿì χn(x). Âîçíèêàþùàÿ ñóììà ïî n áåðåòñÿ ïî âñåì ïîëÿì â ÁÐÑÒ ôîðìàëèçìå , ò. å. ïî ωα, ω*α, hα, à òàêæå ïî êàëèá-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

17.1. Óðàâíåíèå Çèíí-Æþñòåíà

111

ðîâî÷íûì ïîëÿì è ïîëÿì ìàòåðèè, êîòîðûå â ðàçäåëå 15.8 áûëè êîëëåêòèâíî îáîçíà÷åíû ϕr. Ïîñêîëüêó ∆n(x) êâàäðàòè÷íà ïî ïîëÿì, êîãäà χn — ïîëå ìàòåðèè, êàëèáðîâî÷íîå ïîëå èëè ωα, èç ñîîòíîøåíèÿ (17.1.1) â îáùåì ñëó÷àå íå ñëåäóåò, ÷òî ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî òîãî æå ÁÐÑÒ ïðåîáðàçîâàíèÿ, ÷òî è ñàìî äåéñòâèå. ×òîáû ñïðàâèòüñÿ ñ ýòèì îñëîæíåíèåì, âîñïîëüçóåìñÿ ïðèåìîì, êîòîðûé ïîëåçåí ïðè ðàññìîòðåíèè ëþáîãî òèïà íèëüïîòåíòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñèììåòðèè. Âî-ïåðâûõ, ââåäåì íàáîð ñ-÷èñëîâûõ âíåøíèõ ïîëåé Kn(x) è îïðåäåëèì íîâîå ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå

Γ[χ, K ] ≡ W[ J χ,K , K ] − d 4xχ n (x) J χ,K n (x) ,

z

(17.1.3)

ãäå ñâÿçíàÿ àìïëèòóäà ïåðåõîäà âàêóóì–âàêóóì W âû÷èñëÿåòñÿ çäåñü ñ ïîìîùüþ äåéñòâèÿ â ôèêñèðîâàííîé êàëèáðîâêå * I + ∫d4x∆nKn:

e iW [ J ,K ] ≡

X LM dχ YY M ∏ ZN n ,x

n

OP PQ d

z

z

(x) exp iI + i d 4x∆n K n + i d 4xχ n J n

i

(17.1.4)

à Jχ,K — òîê, òðåáóåìûé äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðèäàòü ïîëÿì ñðåäíèå çíà÷åíèÿ χ â ïðèñóòñòâèè âíåøíèõ ïîëåé K:

δ R W[ J, K ] δJ n (x)

≡ χ n (x) . J = J χ ,K

(17.1.5)

(Ïîëÿ Kn äîëæíû èìåòü òó æå ôåðìèîííóþ èëè áîçîííóþ ñòàòèñòèêó, ÷òî è ∆n, êîòîðàÿ ïðîòèâîïîëîæíà ñòàòèñòèêå χn.) Òàê êàê ÁÐÑÒ ïðåîáðàçîâàíèå íèëüïîòåíòíî, âåëè÷èíû ∆n(x) ÁÐÑÒ èíâàðèàíòíû, ïîýòîìó ïî àíàëîãèè ñ òåì, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî â ðàçäåëå 16.4, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî íîâîå ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå Γ[χ, K] óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ÁÐÑÒ èíâàðèàíòíîñòè:

* Çäåñü I åñòü äåéñòâèå INEW, ìîäèôèöèðîâàííîå òàê, êàê îïèñàíî â ðàçäåëå 15.7, è çàâèñÿùåå îò ïîëåé ãîñòîâ è àíòèãîñòîâ ωα è ω*α è âñïîìîãàòåëüíûõ ïîëåé hα. Ñ ýòîãî ìîìåíòà ìû îòáðàñûâàåì ïîìåòêó NEW.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

112

Ãëàâà 17. Ïåðåíîðìèðîâêà êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé

XY d x ∆ (x) Z

δ L Γ[χ, K ]

n

4

δχ n (x)

J χ ,K

= 0,

(17.1.6)

ãäå 〈...〉J,K îçíà÷àåò ñðåäíåå ïî âàêóóìó, âû÷èñëåííîå â ïðèñóòñòâèè òîêà J è âíåøíèõ ïîëåé K: O [χ]

J ,K

=

=

z

z

z

∏ n ,x dχ n (x) O [χ] exp iI + i d 4 x∆n K n + i d 4 xχ n J n

d

z

z

z

∏ n ,x dχ n (x) exp iI + i d 4x∆n K n + i d 4 xχ n J n

d

i

i .(17.1.7)

Óäîáíî âûðàçèòü ñðåäíåå îò ∆n êàê âàðèàöèîííóþ ïðîèçâîäíóþ ýôôåêòèâíîãî äåéñòâèÿ. Áåðÿ ïðàâóþ âàðèàöèîííóþ ïðîèçâîäíóþ îò (17.1.3) ïî K, èìååì: δ R Γ[χ, K ] δK n (x)

= −

δ R W [ J, K ] δK n (x)

X d yχ YZ 4

m

+ J = J χ ,K

( y)

X δ W [ J, K ] YY d y δJ (y) Z m

δ R J χ,K m ( y) δK n (x)

δ R J χ,K m ( y)

R

4

δK n (x)

J = J χ ,K



.

Èñïîëüçóÿ (17.1.5), âèäèì, ÷òî äâà ïîñëåäíèõ ñëàãàåìûõ ñîêðàùàþòñÿ, è ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèé (17.1.4) è (17.1.7) ïðèõîäèì ê æåëàåìîìó ñîîòíîøåíèþ

δ R Γ[χ, K ] δK n (x)

=

δ R W[ J, K ] δK n (x)

= ∆n (x) J = J χ ,K

J χ ,K , K

.

(17.1.8)

Óñëîâèå ÁÐÑÒ ñèììåòðèè (17.1.6) ìîæåò áûòü òåïåðü ïåðåïèñàíî êàê ïðîñòîå óñëîâèå, ñîäåðæàùåå òîëüêî ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå:

XY d x δ Γ[χ, K ] δ Γ[χ, K ] = 0 . Z δK (x) δχ (x) 4

R

L

n

(17.1.9)

n

Ýòî óñëîâèå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Çèíí-Æþñòåíà. Êàê áûëî îòìå÷åíî ïîñëå ôîðìóëû (15.9.3), âçàèìíàÿ ïåðåñòàíîâêà ïîëåé è àíòèïîëåé (èëè â äàííîì ñëó÷àå χn è Kn) ïðèâîäèò ëèøü ê èçìåíåíèþ çíàêà â ëåâîé ÷àñòè (17.1.9), òàê ÷òî åãî ìîæíî çàïèñàòü êàê

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

17.2. Ïåðåíîðìèðîâêà. Íåïîñðåäñòâåííûé àíàëèç

113

(Γ , Γ ) = 0 ,

(17.1.10)

ãäå ðîëü àíòèïîëåé ê ïîëÿì χn â àíòèñêîáêå èãðàþò Kn:

(F , G ) ≡

XY d x δ F[χ, K ] δ G[χ, K ] − XY d x δ F[χ, K ] δ G[χ, K ] . (17.1.11) Z δχ (x) δK (x) Z δK (x) δχ (x) 4

R

L

4

R

L

n

n

n

n

Ôîðìàëüíî ýòî óðàâíåíèå ñîâïàäàåò ñ ìàñòåð-óðàâíåíèåì Áàòàëèíà–Âèëêîâûñêîãî, êîòîðîå ìû îáñóæäàëè â ðàçäåëå 15.9, íî çäåñü îíî âîçíèêàåò êàê óñëîâèå íà êâàíòîâîå ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå Γ[χ,K], à íå íà ôóíäàìåíòàëüíîå äåéñòâèå S[χ,χ‡]. Ìû èñïîëüçóåì óðàâíåíèå Çèíí-Æþñòåíà (17.1.10) â äâóõ ñëåäóþùèõ ðàçäåëàõ äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîêàçàòü, êàê ïåðåíîðìèðîâàòü êàëèáðîâî÷íûå òåîðèè, è â ðàçäåëå 22.6 — äëÿ èçó÷åíèÿ àíîìàëèé â ýòèõ òåîðèÿõ. 17.2. Ïåðåíîðìèðîâêà. Íåïîñðåäñòâåííûé àíàëèç Ïðîñòåéøèå íåàáåëåâû êàëèáðîâî÷íûå òåîðèè ïåðåíîðìèðóåìû â äàéñîíîâñêîì ñìûñëå, ò. å. âñå îïåðàòîðû â ëàãðàíæèàíå èìåþò ìàññîâóþ ðàçìåðíîñòü, ðàâíóþ ÷åòûðåì èëè ìåíüøå. Êàê ìû âèäåëè â ãë. 12, ýòî ãàðàíòèðóåò, ÷òî ðàñõîäèìîñòè â êâàíòîâîì ýôôåêòèâíîì äåéñòâèè âîçíèêàþò òîëüêî â ñëàãàåìûõ, êîòîðûå ìîãóò áûòü ñîêðàùåíû ââåäåíèåì êîíòð÷ëåíîâ âî âçàèìîäåéñòâèå ñ ðàçìåðíîñòüþ ÷åòûðå èëè ìåíüøå. Íî ïåðåíîðìèðóåìîñòü âêëþ÷àåò è äðóãèå òðåáîâàíèÿ. Âèä ëàãðàíæèàíà îãðàíè÷åí óñëîâèÿìè êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè è äðóãèìè ñèììåòðèÿìè. Äëÿ òîãî, ÷òîáû òåîðèÿ áûëà ïåðåíîðìèðóåìîé, íåîáõîäèìî, ÷òîáû áåñêîíå÷íîñòè â êâàíòîâîì ýôôåêòèâíîì äåéñòâèè óäîâëåòâîðÿëè òåì æå óñëîâèÿì ñ òî÷íîñòüþ äî âîçìîæíîé ïåðåíîðìèðîâêè ïîëåé.2 Ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå Γ[χ,K] – ñëîæíûé ôóíêöèîíàë χ è K, è óñëîâèå ñèììåòðèè (17.1.9) íàêëàäûâàåò íà íåãî âåñüìà ñëîæíûå îãðàíè÷åíèÿ. Ê ñ÷àñòüþ, äëÿ ðàñõîäÿùèõñÿ ñëàãàåìûõ â Γ äåëà îáñòîÿò çíà÷èòåëüíî ïðîùå. Çàïèøåì äåéñòâèå S[χ,K] ≡ I[χ] + ∫d4x∆nKn êàê ñóììó ñëàãàåìîãî SR[χ,K], â êîòîðîì ìàññû è êîíñòàíòû ñâÿçè ðàâíû ñâîèì ïåðåíîðìèðîâàííûì çíà÷åíèÿì, è ïîïðàâêè S∞[χ,K], ñîäåðæàùèå êîíòð÷ëåíû, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ìû ñîáèðàåìñÿ ñîêðàòèòü ðàñõîäèìîñòè ïåòëåâûõ äèàãðàìì. Êàê SR, òàê è S∞ ñëåäóåò âûáðàòü òàê, ÷òîáû îíè îáëàäàëè ñèììåòðèÿìè èñõîäíîãî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

114

Ãëàâà 17. Ïåðåíîðìèðîâêà êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé

äåéñòâèÿ S[χ,K]. Âîïðîñ ñîñòîèò â òîì, îáëàäàþò ëè áåñêîíå÷íûå ÷àñòè âûñøèõ ïîïðàâîê ê Γ îáëàäàòü òåìè æå ñàìûìè ñèììåòðèÿìè, òàê, ÷òîáû èõ ìîæíî áûëî ñîêðàòèòü êîíòð÷ëåíàìè â S∞. Âåëè÷èíó Γ ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä ñëàãàåìûõ ΓN, âîçíèêàþùèõ èç äèàãðàìì ðîâíî c N ïåòëÿìè, è ñëàãàåìûõ îò äèàãðàìì ñ N– M ïåòëÿìè (1 ≤ M ≤ N), âêëþ÷àÿ ðàçëè÷íûå êîíòð÷ëåíû â S∞[χ,K], êîòîðûå áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ ñîêðàùåíèÿ áåñêîíå÷íîñòåé â äèàãðàììàõ ñ ïîëíûì ÷èñëîì ïåòåëü, ðàâíûì M:

Γ[χ, K ] =



∑ ΓN [χ, K ] .

N =0

(17.2.1)

Òîãäà äëÿ êàæäîãî N óñëîâèå ñèììåòðèè (17.1.10) ïðèíèìàåò âèä * ∞

∑ (ΓN′ , ΓN − N ′ ) = 0 .

N′ =0

(17.2.2)

 ñóììå (17.2.1) âåäóùåå ñëàãàåìîå ðàâíî Γ0[χ,K] = SR[χ,K], è îíî, åñòåñòâåííî, êîíå÷íî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ âñåõ M ≤ N – 1 âñå ðàñõîäèìîñòè, âîçíèêàþùèå èç M-ïåòëåâûõ äèàãðàìì, ñîêðàòèëèñü êîíòð÷ëåíàìè â S∞. Òîãäà â óñëîâèè (17.2.2) áåñêîíå÷íîñòè ìîãóò âîçíèêíóòü òîëüêî â ñëàãàåìûõ ñ N′ = 0 è N′ = N, êîòîðûå ðàâíû äðóã äðóãó, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ðàñõîäÿùàÿñÿ ÷àñòü ΓN,∞ èç ΓN ïîä÷èíåíà óñëîâèþ (SR , ΓN , ∞ ) = 0 .

(17.2.3)

Ýòî — ïðèíöèï ñèììåòðèè, ïîðîæäàåìûé äåéñòâèåì SR, àíàëîãè÷íûé òîìó, êîòîðûé îïèñûâàåòñÿ ôîðìóëàìè (15.9.16) è (15.9.17). Çàìåòèì, * Òàêèå ðåêóððåíòíûå (ïîðÿäîê çà ïîðÿäêîì) ñîîòíîøåíèÿ ìîæíî ôîðìàëüíî âûâåñòè, ïîâòîðÿÿ ðàññóæäåíèÿ èç ðàçäåëà 16.1. Åñëè çàìåíèòü äåéñòâèå SR íà g–1SR, òî âêëàä ñâÿçíîé L-ïåòëåâîé äèàãðàììû ñ I âíóòðåííèìè ëèíèÿìè è V âåðøèíàìè óìíîæàåòñÿ íà gV–I = gL–1. Åñëè ñâÿçàííûå ñ Nïåòëåâûìè äèàãðàììàìè êîíòð÷ëåíû â S∞ òàêæå ñíàáäèòü ìíîæèòåëÿìè gN, òî ΓL áóäåò çíà÷åíèåì ñëàãàåìîãî â Γ ïîðÿäêà gL–1 ïðè g = 1. Óñëîâèå (17.2.2) ñëåäóåò òîãäà èç òðåáîâàíèÿ, ÷òîáû ðàâåíñòâî (17.1.10) áûëî âåðíûì â êàæäîì ïîðÿäêå ïî g.  ñèñòåìå åäèíèö ÑÃÑ äåéñòâèå èìååò òó æå ðàçìåðíîñòü, ÷òî è $, ïîýòîìó â ôóíêöèîíàëüíîì èíòåãðàëå îíî âõîäèò âìåñòå ñ ìíîæèòåëåì 1/$, è äëÿ ïîäñ÷åòà ÷èñëà ïåòåëü ìîæíî èñïîëüçîâàòü $ âìåñòî g.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

17.2. Ïåðåíîðìèðîâêà. Íåïîñðåäñòâåííûé àíàëèç

115

â ÷àñòíîñòè, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå X ¬ (SR,X) äåéñòâóåò íå òîëüêî íà ïîëÿ χn, íî è íà âíåøíèå ïîëÿ Kn. Äî ýòîãî ìîìåíòà ìû íå èñïîëüçîâàëè íè îäíîãî èç ñïåöèàëüíûõ ñâîéñòâ ïåðåíîðìèðóåìîé òåîðèè ßíãà–Ìèëëñà. Çàìåòèì, îäíàêî, ÷òî ñîãëàñíî îáùèì ïðàâèëàì ïîäñ÷åòà èíäåêñà ðàñõîäèìîñòè â ïåðåíîðìèðóåìîé òåîðèè, ãäå âñå áåñêîíå÷íîñòè ñîêðàùàþòñÿ â ïîääèàãðàììàõ ΓN, áåñêîíå÷íàÿ ÷àñòü ΓN,∞[χ,K] èç ΓN[χ,K] ìîæåò áûòü òîëüêî ñóììîé ïðîèçâåäåíèé ïîëåé (âêëþ÷àÿ K) è èõ ïðîèçâîäíûõ ìàññîâîé ðàçìåðíîñòüþ ÷åòûðå èëè ìåíüøå. Íàêîíåö, ðàññóæäåíèÿ èç ðàçäåëà 16.4 ïîêàçûâàþò, ÷òî Γ[χ,K] è, ñëåäîâàòåëüíî, ΓN,∞[χ,K] èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ëèíåéíî ðåàëèçîâàííûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñèììåòðèè, îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ èíâàðèàíòíî äåéñòâèå. (Êàê îáúÿñíÿåòñÿ íèæå, òàêèìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ÿâëÿþòñÿ: ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà, ãëîáàëüíûå êàëèáðîâî÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, òðàíñëÿöèè àíòèãîñòîâ è ôàçîâûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ãîñòîâ, îòâå÷àþùèå ñîõðàíåíèþ ãîñòîâñêîãî ÷èñëà. Êîíå÷íî, âñïîìîãàòåëüíûì ïîëÿì Kn íóæíî ïðèïèñàòü îïðåäåëåííûå ñâîéñòâà îòíîñèòåëüíî ýòèõ ïðåîáðàçîâàíèé ñèììåòðèè.) Ýòè óñëîâèÿ âìåñòå ñ (17.2.3) äîñòàòî÷íû äëÿ òîãî, ÷òîáû çíàòü âñå íåîáõîäèìîå î ñòðóêòóðå ΓN,∞[χ,K]. ×òîáû ïðèìåíèòü ýòè óñëîâèÿ, òðåáóåòñÿ çíàòü ðàçìåðíîñòè âíåøíèõ ïîëåé Kn. Åñëè ïîëå χn èìååò ìàññîâóþ ðàçìåðíîñòü dn, òî ∆n èìååò ðàçìåðíîñòü dn + 1 (ýòî ìîæíî óâèäåòü èç àíàëèçà ïðàâèë ÁÐÑÒ ïðåîáðàçîâàíèÿ (15.7.7)–(15.7.11)), è äëÿ òîãî, ÷òîáû ∫d4xKn∆n áûë áåçðàçìåðåí, ïîëå Kn äîëæíî èìåòü ðàçìåðíîñòü 3 – dn. Âñå ïîëÿ Aαµ, ωα, ω*α èìåþò ðàçìåðíîñòè dn = +1, òàê ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå Kn èìåþò ðàçìåðíîñòü +2. (Ìû íå ââîäèì íèêàêîãî âíåøíåãî ïîëÿ, ñîîòâåòñâóþùåãî hα, òàê êàê ýòî ïîëå ÁÐÑÒ èíâàðèàíòíî.) Âñå ïîëÿ ìàòåðèè ψl ñïèíà 1/2 èìåþò ðàçìåðíîñòü 3/2, òàê ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå Kn äîëæíû èìåòü òó æå ðàçìåðíîñòü 3/2. Ñîîòâåòñòâåííî âåëè÷èíà òèïà ΓN,∞[χ,K] ðàçìåðíîñòè ÷åòûðå ìîæåò áûòü íå áîëåå ÷åì êâàäðàòè÷íà ïî ëþáîìó èç ïîëåé Kn. Êðîìå òîãî, ñëàãàåìûå âòîðîãî ïîðÿäêà ïî Kn íå ìîãóò ñîäåðæàòü íèêàêèõ äðóãèõ ïîëåé, çà èñêëþ÷åíèåì ñëàãàåìîãî âòîðîãî ïîðÿäêà ïî ïîëÿì Kn, îòâå÷àþùèì ïîëÿì ìàòåðèè ñïèíà 1/2, êîòîðîå ìîæåò âêëþ÷àòü íå áîëåå îäíîãî äîïîëíèòåëüíîãî ïîëÿ ðàçìåðíîñòè åäèíèöà. Òåïåðü ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñîõðàíåíèå ãîñòîâñêîãî ÷èñëà, ÷òîáû ïîêàçàòü, ÷òî íà ñàìîì äåëå ΓN,∞[χ,K] âîîáùå íå ñîäåðæèò ñëàãàåìûõ âòîðîãî ïîðÿäêà ïî Kn. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íàì ïîòðåáóåòñÿ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

116

Ãëàâà 17. Ïåðåíîðìèðîâêà êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé

çíàòü ãîñòîâñêèå êâàíòîâûå ÷èñëà ïîëåé Kn. Åñëè ïîëå χn èìååò ãîñòîâñêîå êâàíòîâîå ÷èñëî γn, òî ýòî ÷èñëî äëÿ ∆n ðàâíî γn + 1, ïîýòîìó ïîëÿì Kn ñëåäóåò ïðèïèñàòü ãîñòîâñêîå êâàíòîâîå ÷èñëî − γn − 1. Äëÿ ïîëåé Aα,µ, ψl, ωα è ω*α ñîîòâåòñòâóþùèå ÷èñëà ðàâíû 0, 0, +1 è –1, òàê ÷òî îòâå÷àþùèå èì âíåøíèå ïîëÿ Kn èìåþò äóõîâûå ÷èñëà −1, −1, −2 è 0. Ýòî èñêëþ÷àåò íàëè÷èå â ΓN,∞[χ,K] ëþáûõ ñëàãàåìûõ âòîðîãî ïîðÿäêà ïî Kn, åñëè íå ñ÷èòàòü îäíîãî âîçìîæíîãî èñêëþ÷åíèÿ äëÿ ñëàãàåìîãî âòîðîãî ïîðÿäêà ïî âíåøíèì ïîëÿì K*α, îòâå÷àþùåãî ïîëÿì ω*α (íî íå ñîäåðæàùåãî íèêàêèõ äðóãèõ ïîëåé). Îäíàêî è ýòè ñëàãàåìûå çàïðåùåíû ïî äðóãîé ïðè÷èíå. ÁÐÑÒ ïðåîáðàçîâàíèå ïîëåé ω*α ëèíåéíî ïî ïîëÿì, ïðè÷åì ∆α * = −h α ,

(17.2.4)

òàê ÷òî â äàííîì ñëó÷àå

δ L ΓN ,∞ [χ, K ] δK α*

= ∆α *

Jχ ,K

= −hα

íå çàâèñèò îò K*α. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ΓN,∞[χ,K] ëèíåéíî ïî Kα,* è çàâèñèò îò ýòèõ ïîëåé òîëüêî ÷åðåç ñëàãàåìîå –∫d4xK*αhα. (Ïîëÿ K*α è hα – áîçîííûå, òàê ÷òî èõ ïîðÿäîê íåñóùåñòâåí.)  ÷àñòíîñòè, ïðè N > 0 âåëè÷èíû ΓN,∞[χ,K] íå çàâèñèò îò Kα,*. Ìû âèäèì, ÷òî âåëè÷èíà ΓN,∞[χ,K] ñàìîå áîëüøåå ëèíåéíà ïî âñåì Kn. Çàïèøåì ýòî â âèäå

ΓN ,∞ [χ, K ] = ΓN ,∞ [χ,0] + d 4 x DNn [χ; x]K n (x) .

z

(17.2.5)

Íàïîìíèì òàêæå çàâèñèìîñòü SR îò K:

SR [χ, K ] = SR [χ] + d 4 x ∆n [χ; x ]K n (x) .

z

Ïîýòîìó ñëàãàåìûå íóëåâîãî è ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî K â (17.2.2) äàþò * * Âòîðûå ñëàãàåìûå â (17.2.6) è (17.2.7) ïðèâîäÿòñÿ ê óêàçàííîìó âèäó, åñëè âñïîìíèòü, ÷òî χn è Kn èìåþò ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòàòèñòèêó, è ïîýòîìó äëÿ ëþáûõ áîçîííûõ ôóíêöèîíàëîâ À è Â δR A δL B δ A δ B δ B δL A . = − Ln R = − R n δχ δK n δχ δK n δK n δχ n

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

17.2. Ïåðåíîðìèðîâêà. Íåïîñðåäñòâåííûé àíàëèç

X d xLM∆ [χ; x] δ Γ YZ N δχ 4

n

L N , ∞ [ χ,0] n

(x)

+ DNn [χ; x]

117

OP = 0 , (x) Q

δ L SR [χ] δχ

n

(17.2.6)

è

X d xLM∆ (χ; x) δ D YZ N δχ 4

n

m L N ( χ; y) n

(x)

+ DNn (χ; x)

δ L ∆m (χ; y) δχ n (x)

OP = 0 , Q

(17.2.7)

ñîîòâåòñòâåííî. Ñìûñë ýòèõ ñîîòíîøåíèé ñòàíåò, ìîæåò áûòü, ÿñíåå, åñëè ââåñòè âåëè÷èíû

è

ΓN( ε ) [χ] ≡ SR [χ] + εΓN ,∞ [χ,0],

(17.2.8)

∆(Nε ) n (x) ≡ ∆n (x) + εDNn (x) ,

(17.2.9)

ñ áåñêîíå÷íî ìàëûì ε. Òîãäà èç ñîîòíîøåíèÿ (17.2.6) ñ ó÷åòîì ÁÐÑÒ èíâàðèàíòíîñòè SR ñëåäóåò, ÷òî ΓN( ε ) [ χ ] èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ χ n (x) → χ n (x) + θ∆(Nε ) n (x) ,

(17.2.10)

à èç ñîîòíîøåíèÿ (17.2.7) âìåñòå ñ íèëüïîòåíòíîñòüþ èñõîäíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ÁÐÑÒ ñëåäóåò, ÷òî ýòî ïðåîáðàçîâàíèå íèëüïîòåíòíî. Òåïåðü ñëåäóåò ïîíÿòü, êàêîâà âîçìîæíàÿ ôîðìà òàêîãî íèëüïîòåíòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ΓN,∞ ñîäåðæèò òîëüêî ñëàãàåìûå ðàçìåðíîñòè ÷åòûðå èëè ìåíüøå, òàê ÷òî DnN è, ñëåäîâàòåëüíî, ∆(Nε ) n (x) èìåþò ìàññîâóþ ðàçìåðíîñòü, íå ïðåâûøàþùóþ ðàçìåðíîñòü ôóíêöèè ∆n(x) â èñõîäíîì ÁÐÑÒ ïðåîáðàçîâàíèè. Êðîìå òîãî, DnN, à îòñþäà è ∆(Nε ) n (x) äîëæíû èìåòü òàêèå æå ñâîéñòâà îòíîñèòåëüíî ëîðåíöîâñêèõ ïåðîáðàçîâàíèé è òàêèå æå ãîñòîâñêèå êâàíòîâûå ÷èñëà, êàê è ∆n(x). Ïîýòîìó ñàìûé îáùèé âèä ïðåîáðàçîâàíèÿ (17.2.10) òàêîâ:

ψ → ψ + iθω αTα ψ , Aαµ → Aαµ + θ Bαβ ∂ µ ω β + Dαβγ Aβµ ω γ ,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

118

Ãëàâà 17. Ïåðåíîðìèðîâêà êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé

ωα → ωα −

1 2

θEαβγ ω β ω γ ,

ãäå Tα — íåêîòîðàÿ ìàòðèöà, äåéñòâóþùàÿ íà ñïèíîðíûå ïîëÿ, à Bαβ, Dαβγ è Eαβγ — êîíñòàíòû, ïðè÷åì Eαβγ àíòèñèììåòðè÷íà ïî β è γ. Êðîìå òîãî, ïðåîáðàçîâàíèÿ ω*α è hα ëèíåéíû è ïîýòîìó íå èçìåíÿþòñÿ: ω *α → ω *α − θhα , hα → hα . Íàëîæèì òåïåðü óñëîâèå íèëüïîòåíòíîñòè. Íàèáîëåå âàæíîå òðåáîâàíèå çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî Eαβγωβωγ äîëæíî áûòü èíâàðèàíòíûì. Ýòî ïðèâîäèò ê òðåáîâàíèþ, ÷òî EαβγEβδεωδωεωγ äîëæíî îáðàùàòüñÿ â íóëü, òàê ÷òî ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íàÿ ïî δ, ε, γ ÷àñòü EαβγEβδε òàêæå ðàâíà íóëþ: Eαβγ Eβδε + Eαβε Eβγδ + Eαβδ Eβεγ = 0 .

Íî òàêîå ñîîòíîøåíèå îçíà÷àåò, ÷òî Eαβγ åñòü ñòðóêòóðíàÿ êîñòàíòà íåêîòîðîé àëãåáðû Ëè E. Òàê êàê ïðè ε → 0 Eαβγ ïåðåõîäèò â ñòðóêòóðíóþ êîíñòàíòó Cαβγ èñõîäíîé êàëèáðîâî÷íîé àëãåáðû Ëè À, àëãåáðû E è À äîëæíû ñîâïàäàòü, è ñòðóêòóðíàÿ êîíñòàíòà Eαβγ ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îò èñõîäíîé Cαβγ ëèøü ìíîæèòåëåì *: Eαβγ = ZCαβγ .

(Ýòî âåðíî äëÿ ïðîñòûõ êàëèáðîâî÷íûõ ãðóïï; â îáùåì ñëó÷àå äëÿ êàæäîé ïðîñòîé ïîäãðóïïû äîëæåí áûòü ñâîé ìíîæèòåëü Z.) Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê óñëîâèþ, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå (17.2.10) äîëæíî áûòü íèëüïîòåíòíûì ïðè äåéñòâèè íà êàëèáðîâî÷íûå ïîëÿ. Òðåáîâàíèå, ÷òîáû Bαβ∂µωβ + DαβγAβµωγ áûëî èíâàðèàíòíûì ïðèâîäèò ê óðàâíåíèÿì Dαβγ Dβδε − Dαβε Dβδγ = Eβεγ Dαδβ = ZCβεγ Dαδβ

è * Òðåáîâàíèå ãëîáàëüíîé êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè èñêëþ÷àåò âîçìîæíîñòü ëþáîãî íåòðèâèàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîäîáèÿ â ñîîòíîøåíèè, ñâÿçûâàþùåì Eαβγ è Cαβγ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

17.2. Ïåðåíîðìèðîâêà. Íåïîñðåäñòâåííûé àíàëèç

119

Bαβ Eβγδ = Dαβδ Bβγ .

Ïåðâîå óðàâíåíèå èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå * Dαβγ = ZCαβγ .

Èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî ìàòðèöà Bαβ êîììóòèðóåò ñ ïðèñîåäèíåííûì ïðåäñòàâëåíèåì êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû, è ïîýòîìó (ïîñêîëüêó ìû âûáðàëè ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íûìè) äîëæíà áûòü ïðîïîðöèîíàëüíà êðîíåêåðîâñêîìó äåëüòà-ñèìâîëó ñ êîýôôèöèåíòîì, êîòîðûé ìû îáîçíà÷èì Z N : Bαβ = Z N δ αβ .

Íàêîíåö, óñëîâèå, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå (17.2.10) íèëüïîòåíòíî ïðè äåéñòâèè íà ôåðìèîííûå ïîëÿ (åñëè òàêîâûå èìåþòñÿ), òðåáóåò èíâàðèàíòíîñòè ωαTαψ. Îòñþäà [Tβ , Tγ ] = iE αβγ Tα ,

òàê ÷òî Tα îòëè÷àåòñÿ òîëüêî ìíîæèòåëåì Z îò ãåíåðàòîðà tα èñõîäíîãî ëàãðàíæèàíà: Tα = Z tα .

Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîêàçàëè, ÷òî, íå ñ÷èòàÿ ïîÿâëåíèÿ íîâûõ êîíñòàíò Z è N, ïðåîáðàçîâàíèå (17.2.10) ñîâïàäàåò ñ èñõîäíûì ÁÐÑÒ ïðåîáðàçîâàíèåì:

ψ → ψ + i Z θω α tα ψ ,

(17.2.11)

Aαµ → Aαµ + Z θ N ∂ µ ω α + Cαβγ Aβµ ω γ ,

(17.2.12)

* Ìàòðèöà (Dγ)αβ ≡ Dγαβ/Z óäîâëåòâîðÿåò êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì êàëèáðîâî÷íîé àëãåáðû Ëè [Dγ,Dε] = CβεγDβ. Îäíàêî åäèíñòâåííîå ïðåä-ñòàâëåíèå ïðîñòîé àëãåáðû Ëè À ñ òîé æå ðàçìåðíîñòüþ è òåìè æå òðàíñôîðìàöèîííûìè ñâîéñòâàìè, êàê è ïðèñîåäèíåííîå ïðåäñòàâëåíèå, åñòü ñàìî ïðèñîåäè- íåííîå ïðåäñòàâëåíèå.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

120

Ãëàâà 17. Ïåðåíîðìèðîâêà êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé

ωα → ωα −

1 2

Z θ Cαβγ ω β ω γ ,

(17.2.13)

ω *α → ω *α − θhα ,

(17.2.14)

hα → hα .

(17.2.15)

Òåïåðü ìû äîëæíû èñïîëüçîâàòü ýòó ñèììåòðèþ äëÿ îãðàíè÷åíèÿ ñòðóêòóðû èñïðàâëåííîãî äåéñòâèÿ (17.2.8). Òàê êàê îíî ñîäåðæèò òîëüêî èñõîäíîå ïåðåíîðìèðîâàííîå äåéñòâèå è áåñêîíå÷íûé âêëàä îò n-ïåòëåâûõ ïîïðàâîê, ýòî äåéñòâèå äîëæíî áûòü èíòåãðàëîì îò ëàãðàíæèàíà ( ε) ΓN( ε) = d 4 x LN ,

z

(17.2.16)

ãäå L (Nε ) — ëîêàëüíàÿ ôóíêöèÿ ïîëåé è èõ ïðîèçâîäíûõ ðàçìåðíîñòüþ (â ñòåïåíÿõ ìàññû) íå âûøå 4. Êðîìå òîãî, êàê áûëî ïîêàçàíî â ðàçäåëå 16.4, L (Nε ) äîëæíî áûòü èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî âñåõ ñèììåòðèé èñõîäíîãî ëàãðàíæèàíà, êîòîðûå ëèíåéíî äåéñòâóþò íà ïîëÿ. ×òîáû óñòàíîâèòü ýòè ñèììåòðèè, âñïîìíèì, ÷òî â îáîáùåííîé ξ-êàëèáðîâêå «íîâûé» ëàãðàíæèàí â (15.7.6) ïðèíèìàåò âèä, ïîëó÷àþùèéñÿ çàìåíîé ñëàãàåìîãî −(∂ µ Aαµ )(∂ ν Aαν ) / 2ξ â (15.6.16) íà ñëàãàåìûå hαfα + 1ξhαhα:

L NEW = L M −

1 4

Fαµν Fαµν − ∂ µ ω *α ∂ µ ω α

+ Cαβγ (∂ µ ω *α ) Aγµ ω β + hα ∂ µ Aαµ +

1 2

ξhα hα .

(17.2.17)

Èññëåäîâàíèå ýòîé ôîðìóëû îáíàðóæèâàåò ñëåäóþùèå ëèíåéíûå ñèììåòðèè. 1. Ëîðåíöîâñêàÿ èíâàðèàíòíîñòü. 2. Ãëîáàëüíàÿ êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü, ò. å. èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé

δψ l (x) = iε α (tα )lm ψ m (x) , На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(17.2.18)

17.2. Ïåðåíîðìèðîâêà. Íåïîñðåäñòâåííûé àíàëèç

121

δAβ µ (x) = Cβγα ε α A γ µ (x) ,

(17.2.19)

δω β (x) = Cβγα ε α ω γ (x) ,

(17.2.20)

δω *β (x) = Cβγα ε α ω *γ (x) ,

(17.2.21)

δhβ (x) = Cβγα ε α hγ (x)

(17.2.22)

ñ ïîñòîÿííûìè ïàðàìåòðàìè εα. 3. Àíòèãîñòîâñêàÿ òðàíñëÿöèîííàÿ èíâàðèàíòíîñòü, ò. å. èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ

ω *α (x) → ω *α (x) + cα ,

(17.2.23)

ñ ïðîèçâîëüíûìè ïîñòîÿííûìè ïàðàìåòðàìè cα. 4. Ñîõðàíåíèå ãîñòîâñêîãî ÷èñëà, ò. å. ÷èñëà, ðàâíîãî +1 äëÿ ωα, –1 äëÿ ω*α è 0 äëÿ âñåõ îñòàëüíûõ ïîëåé. Ïðîäîëæèì òåïåðü èññëåäîâàíèå âîçìîæíîé ñòðóêòóðû íàèáîëåå îáùåãî ëàãðàíæèàíà, êîòîðûé ïåðåíîðìèðóåì â òîì ñìûñëå, ÷òî ñîäåðæèò òîëüêî ñëàãàåìûå ñ ðàçìåðíîñòüþ +4 èëè ìåíüøå, îáëàäàåò óêàçàííûìè ëèíåéíî äåéñòâóþùèìè ñèììåòðèÿìè è èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî ìîäèôèöèðîâàííûõ ÁÐÑÒ ïðåîáðàçîâàíèé (17.2.11)–(17.215). Èç (17.2.17) ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ïîëÿ Aµα, ωα, ω*α è hα èìåþò ìàññîâûå ðàçìåðíîñòè +1, +1, +1 è +2, ñîîòâåòñòâåííî. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî èç ñîõðàíåíèÿ ãîñòîâñêîãî ÷èñëà âûòåêàåò, ÷òî ω è ω* âîçíèêàþò ïàðàìè, à èç àíòèãîñòîâñêîé òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè ñëåäóåò, ÷òî ω* äîëæíî âõîäèòü òîëüêî ïîä çíàêîì ïðîèçâîäíîé. Êàæäàÿ ïàðà ïîëåé ω è ∂µω* äîáàâëÿåò +3 â ðàçìåðíîñòü, òàê ÷òî òðåáîâàíèå ïåðåíîðìèðóåìîñòè èñêëþ÷àåò ëþáîå ñëàãàåìîå ñ áîëåå ÷åì îäíîé òàêîé ïàðîé. Íî åñëè ýòà ïàðà îäíà, òî ìîæåò âõîäèòü åùå íå áîëåå ÷åì îäíà ïðîèçâîäíàÿ èëè îäíî äîïîëíèòåëüíîå êàëèáðîâî÷íîå ïîëå. Ñ ó÷åòîì ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòè åäèíñòâåííûìè ðàçðåøåííûìè ïåðåíîðìèðóåìûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè, âêëþ÷àþùèìè ïîëÿ ãîñòîâ, ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûå êîìáèíàöèè ñëàãàåìûõ âèäà ∂µω*α∂µωβ èëè ∂µω*αAµγωβ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

122

Ãëàâà 17. Ïåðåíîðìèðîâêà êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé

Äàëåå, ðàññìîòðèì ñëàãàåìûå, ñîäåðæàùèå ïîëå hα è, âîçìîæíî, äðóãèå ïîëÿ, êðîìå ω è ω*. Ðàçìåðíîñòü ýòîãî ïîëÿ ðàâíà +2, òàê ÷òî òðåáîâàíèÿ ïåðåíîðìèðóåìîñòè è ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòè ïîçâîëÿþò ýòîìó ïîëþ ïîÿâèòüñÿ òîëüêî * â ïðîèçâåäåíèè ëèáî ñ äðóãèì ïîëåì hβ, ëèáî ñ âåëè÷èíàìè ∂µAµβ èëè AµβAµγ. Íàêîíåö, ëàãðàíæèàí áóäåò ñîäåðæàòü ïåðåíîðìèðóåìûå ñëàãàåìûå, âêëþ÷àþùèå òîëüêî ïîëÿ ìàòåðèè è êàëèáðîâî÷íûå ïîëÿ. Íàçîâåì ñóììó ýòèõ ñëàãàåìûõ LψA. Ñîáèðàÿ âñå ðåçóëüòàòû è èñïîëüçóÿ ãëîáàëüíóþ êàëèáðîâî÷íóþ èíâàðèàíòíîñòü, íàõîäèì, ÷òî ñàìîå îáùåå ïåðåíîðìèðóåìîå âçàèìîäåéñòâèå, äîïóñêàåìîå ïðåäïîëàãàåìûìè ñèììåòðèÿìè (íå ñ÷èòàÿ ÁÐÑÒ èíâàðèàíòíîñòè), èìååò âèä L (Nε ) = LψA + 21 ξ ′hα hα + chα ∂ µ Aαµ − eαβγ hα Aβµ Aγµ − Zω (∂ µ ω *α )(∂ µ ω α ) − dαβγ (∂ µ ω *α )ω β Aγµ ,

(17.2.24)

ãäå ξ′, Zω, χ, dαβγ è eαβγ — íåèçâåñòíûå êîíñòàíòû, íà êîòîðûå íåò íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé, êðîìå î÷åâèäíûõ ñâîéñòâ ñèììåòðèè âðîäå ãëîáàëüíîé êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè èëè ðàâåíñòâà eαβγ = eαγβ. (Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, ìû äëÿ ïðîñòîòû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî êàëèáðîâî÷íàÿ ãðóïïà ïðîñòà, íî ðàñøèðåíèå íà ïðÿìóþ ñóììó ïðîñòûõ è U(1) êàëèáðîâî÷íûõ ãðóïï òðèâèàëüíî. Íàïðèìåð, âìåñòî îäíîãî ñëàãàåìîãî, ïðîïîðöèîíàëüíîãî hαhα, ïîÿâèòñÿ ñóììà òàêèõ ñëàãàåìûõ, ïî îäíîìó íà êàæäóþ ïðîñòóþ ïîäãðóïïó êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû.) Òåïåðü íàëîæèì òðåáîâàíèå ÁÐÑÒ èíâàðèàíòíîñòè. Ñîêðàùåíèå ( ε ) ñëàãàåìûõ, ïðîïîðöèîíàëüíûõ θ∂ h ∂µω , ïîêàçûâàåò, ÷òî â δL N µ α α c = Zω / Z N .

(17.2.25)

( ε ) ñëàãàåìûõ, ïðîïîðöèîíàëüíûõ θ∂ h ω Aµ (èëè Ñîêðàùåíèå â δLN γ µ α β θ∂µω*αωβ∂µωα) òðåáóåò âûïîëíåíèÿ ðàâåíñòâà

dαβγ = − Zω N Cαβγ .

b

g

(17.2.26)

*  òåîðèè ñî ñêàëÿðíûìè ïîëÿìè ìîãóò ñîäåðæàòüñÿ ïåðåíîðìèðóåìûå ñëàãàåìûå ñ hα, óìíîæåííûì íà îäíî èëè äâà ñêàëÿðíûõ ïîëÿ. Òàêèå ñëàãàåìûå íå ïðè÷èíÿþò áåñïîêîéñòâà, íî äëÿ êðàòêîñòè îíè çäåñü íå áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

17.2. Ïåðåíîðìèðîâêà. Íåïîñðåäñòâåííûé àíàëèç

123

( ε ) , ïðîïîðöèîíàëüíûå θ∂ ω∗ ω ω Aµ àâÏîñëå ýòîãî ñëàãàåìûå â δLN δ µ α β γ òîìàòè÷åñêè ñîêðàùàþòñÿ â ñèëó òîæäåñòâà ßêîáè äëÿ ñòðóêòóð( ε ) ñëàãàåìûõ, ïðîïîðöèîíàëüíûõ íûõ êîíñòàíò. Ñîêðàùåíèå â δLN µ µ θhα∂µωβA γ (èëè θhαA βAγµωδ), ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó

eαβγ = 0.

(17.2.27)

Íàêîíåö, äåéñòâèå áåñêîíå÷íî ìàëîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (17.2.10) íà ïîëÿ ìàòåðèè è êàëèáðîâî÷íûå ïîëÿ ñîâïàäàåò ñ ëîêàëüíûì êàëèáðîâî÷íûì ïðåîáðàçîâàíèåì ñ êàëèáðîâî÷íûìè ïàðàìåòðàìè εα = Z N  θωα è êîíñòàíòàìè ñâÿçè, ïåðåíîðìèðîâàííûìè ìíîæèòå~ ëåì 1/N (ò. å. ñ çàìåíîé tα è Cαβγ íà ~tα ≡ tα / N è C αβγ ≡ Cαβγ / N ), ( ε ) ñëàãàåìûõ, ñîäåðæàùèõ òîëüêî îäèí òàê ÷òî ñîêðàùåíèå â δLN ìíîæèòåëü ωα è íå ñîäåðæàùèõ ìíîæèòåëåé hα èëè ω*α, ýêâèâàëåíòíî óòâåðæäåíèþ, ÷òî ëàãðàíæèàí LψA ýòèõ ïîëåé êàëèáðîâî÷íî-èíâàðèàíòåí ñ ïåðåíîðìèðîâàííîé êîíñòàíòîé ñâÿçè. Ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî ñàìûé îáùèé ïåðåíîðìèðóåìûé ëàãðàíæèàí, äîïóñêàåìûé òåìè ïðèíöèïàìè ñèììåòðèè, êîòîðûå ìû ïðåäïîëîæèëè, èìååò âèä ~ µν F ~ 1 ~ (ε) µ = −ZAF LN α αµν − Z ψ ψ γ [∂ µ − itα Aαµ ]ψ + 2 ξ ′hα hα ~ (∂ ω * )ω A µ , + (Zω / N Z )hα ∂ µ Aαµ − Zω (∂ µ ω *α )(∂ µ ω α ) + Zω* C αβγ µ α β γ

(17.2.28)

~ µν óêàçûâàåò íà òî, ÷òî íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ ñëåãäå òèëüäà â F α äóåò âû÷èñëÿòü ñ ïåðåíîðìèðîâàííîé ñòðóêòóðíîé êîíñòàíòîé ~ C αβγ = Cαβγ / N . Íî âåäü ïîìèìî ïîÿâëåíèÿ íåñêîëüêèõ íîâûõ ïîñòîÿííûõ êîýôôèöèåíòîâ, ýòî òîò æå ñàìûé ëàãðàíæèàí, îò êîòîðîãî ìû ñòàðòîâàëè. Íîâûå êîíñòàíòû â ýòîì ëàãðàíæèàíå (âêëþ÷àÿ êàëèáðîâî÷íóþ êîíñòàíòó ñâÿçè) ìîæíî ñâîáîäíî ñäâèãàòü, ïîäáèðàÿ ñëàãàåìûå N-ãî ïîðÿäêà â ñîîòâåòñòâóþùèõ êîíñòàíòàõ èñõîäíîãî íåïåðåíîðìèðîâàííîãî ëàãðàíæèàíà.  ÷àñòíîñòè, ìîæíî òàê ïîäîáðàòü ýòè ñëàãàåìûå, ÷òîáû ñäåëàòü Γ(ε)N = SR, è â ýòîì ñëó÷àå ΓN,∞ = 0, ÷òî è çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî. * * *

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

124

Ãëàâà 17. Ïåðåíîðìèðîâêà êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé

 ïðèâåäåííîì âûøå äîêàçàòåëüñòâå ñóùåñòâåííî èñïîëüçîâàëàñü ñëó÷àéíàÿ èíâàðèàíòíîñòü ëàãðàíæèàíà (17.2.17) â ôèêñèðîâàííîé êàëèáðîâêå îòíîñèòåëüíî àíòèãîñòîâñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ òðàíñëÿöèè (17.2.23). Òàêîé ñèììåòðèè íå áóäåò äëÿ ôèêñèðóþùèõ êàëèáðîâêó ôóíêöèîíàëîâ, îòëè÷àþùèõñÿ îò fα = ∂µAµα è íå ÿâëÿþùèõñÿ ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûìè ïðîèçâîäíûìè. ×àñòî öèòèðóåìûé ïðèìåð, â êîòîðîì ñîõðàíÿåòñÿ ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòü è ãëîáàëüíàÿ êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü, ýòî fα = ∂µAµα + aαβγAµβAγµ, ãäå aαβγ — ïîñòîÿííàÿ ìàòðèöà, ñèììåòðè÷íàÿ ïî β è γ, ïðåîáðàçóþùàÿñÿ êàê òåíçîð ïðè ãëîáàëüíûõ êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ. (Ïîäîáíûå ïîñòîÿííûå òåíçîðû ñóùåñòâóþò äëÿ âñåõ SU(N) ãðóïï c N ≥ 3.) Äðóãîé, áîëåå âàæíûé ïðèìåð — ôèêñèðóþùèé êàëèáðîâêó ôîíîâûé ôóíêöèîíàë, êîòîðûé ìû ðàññìîòðèì â ðàçäåëå 17.4. Îòñóòñòâèå àíòèãîñòîâñêîé òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè íå ( ε ) ÿâëÿåòñÿ ëîðåíö-èíâàðèàíòíîé è ãëîáàëüâëèÿåò íà âûâîä, ÷òî LN íî êàëèáðîâî÷íî-èíâàðèàíòíîé ëîêàëüíîé ôóíêöèåé ïîëåé è èõ ïðîèçâîäíûõ ðàçìåðíîñòè íå áîëåå 4, êîòîðàÿ èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ïåðåíîðìèðîâàííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ÁÐÑÒ (17.2.11)–(17.2.15). Íî â îòñóòñòâèå àíòèãîñòîâñêîé òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè ( ε ) ïîÿâëÿþòñÿ íîâûå ñëàãàåìûå, óäîâëåòâîðÿþùèå ïåðå÷èñëåíâ LN íûì âûøå óñëîâèÿì. Òàê êàê ïðåîáðàçîâàíèå (17.2.11)–(17.2.15) íèëüïîòåíòíî, ìîæíî ñòðîèòü òàêèå ñëàãàåìûå â âèäå s′F, åñëè ïðåîáðàçîâàíèå (17.2.11)–(17.2.15) çàïèñàòü â âèäå χn → χn + θs′χn, à F — ïðîèçâîëüíàÿ ëîðåíö-èíâàðèàíòíàÿ è ãëîáàëüíî êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàòíåàÿ ôóíêöèÿ ñ ãîñòîâñêèì ÷èñëîì –1. Îäíî èç òàêèõ ñëàãàåìûõ èìååò âèä aαβγ s′ ω *α Aβµ Aγµ = − aαβγ hα Aβµ Aγµ + 2 Z ω *α N ∂ µ ω β + Cβδε Aδµ ω δ Aγµ .

d

i

d

i

Îíî íå ïðè÷èíÿåò õëîïîò,ïîñêîëüêó ÿâëÿåòñÿ ïðîñòî ïåðåíîðìèðîâàííûì âàðèàíòîì îáû÷íûõ ãîñòîâñêèõ è ôèêñèðóþùèõ êàëèáðîâêó ñëàãàåìûõ, âîçíèêàþùèõ îò ñëàãàåìûõ aαβγAµβAγµ â ôèêñèðóþùåì êàëèáðîâêó ôóíêöèîíàëå fα. Îäíàêî åñòü åùå îäíî âîçìîæíîå ñëàãàåìîå âèäà

LM N

bαβγ s′ ω *α ω *β ω γ = − bαβγ 2hα ω *β ω γ +

d

i

1 2

OP Q

Z Cγδε ω *α ω *β ω δ ω ε ,

ãäå bαβγ — êîíñòàíòà, àíòèñèììåòðè÷íàÿ ïî α è β è ïðåîáðàçóþùàÿñÿ êàê òåíçîð îòíîñèòåëüíî ãëîáàëüíûõ êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðà-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

17.3. Ïåðåíîðìèðîâêà: ïðîèçâîëüíûå êàëèáðîâî÷íûå òåîðèè

125

çîâàíèé. (Òàêèå òåíçîðû ñóùåñòâóþò äëÿ ëþáîé ãðóïïû Ëè. Íàïðèìåð, ìîæíî âçÿòü bαβγ ïðîïîðöèîíàëüíîé Cαβγ.) Îäíàêî ìåòîä Ôàääååâà–Ïîïîâà–äå Âèòòà íå ìîæåò ïðèâåñòè ê ïîÿâëåíèþ ÷åòûðåõãîñòîâñêèõ âçàèìîäåéñòâèé â ëàãðàíæèàíå, òàê ÷òî íå ñóùåñòâóåò ïîäõîäÿùèõ êîíòð÷ëåíîâ, ñïîñîáíûõ ïîãëîòèòü óëüòðàôèîëåòîâûå ðàñõîäèìîñòè îò òàêîãî ñëàãàåìîãî. Ýòî íå òîëüêî òåõíè÷åñêàÿ ïðîáëåìà ïðè äîêàçàòåëüñòâå ïåðåíîðìèðóåìîñòè. Äëÿ ôèêñèðóþùèõ êàëèáðîâêó ôóíêöèîíàëîâ òèïà fα = ∂µAµα + aαβγAµβAγµ îäíîïåòëåâûå äèàãðàììû äåéñòâèòåëüíî ïðèâîäÿò ê ðàñõîäèìîñòÿì â ÷åòûðåõãîñòîâñêèõ àìïëèòóäàõ, êîòîðûå íå ñîêðàùàþòñÿ êîíòð÷ëåíàìè â ëàãðàíæèàíå Ôàääååâà−Ïîïîâà−äå Âèòòà. Ïðåäñòàâëÿåòñÿ, ÷òî åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì ýòîé ïðîáëåìû, ïîìèìî òîãî, ÷òîáû èçáåãàòü ôèêñèðóþùèõ êàëèáðîâêó ôóíêöèîíàëîâ, îòëè÷íûõ îò fα = ∂µAµα, ÿâëÿåòñÿ òî, êîòîðîå óïîìÿíóòî â ðàçäåëå 15.7. Ñëåäóåò îòêàçàòüñÿ îò ïîäõîäà Ôàääååâà−Ïîïîâà−äå Âèòòà è âìåñòî ýòîãî ðàññìàòðèâàòü ñ ñàìîãî íà÷àëà äåéñòâèå êàê ñàìóþ îáùóþ ïåðåíîðìèðóåìóþ ôóíêöèþ îò ïîëåé ìàòåðèè, êàëèáðîâî÷íûõ, ãîñòîâñêèõ è âñïîìîãàòåëüíûõ ïîëåé, èíâàðèàíòíóþ îòíîñèòåëüíî ÁÐÑÒ ñèììåòðèè è äðóãèõ ñèììåòðèé òåîðèè. Ñîãëàñíî ðàññóæäåíèÿì ðàçäåëà 15.8, äåéñòâèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå I0 + sΨ, ãäå I0 ñâîáîäíî îò ãîñòîâ, à S-ìàòðèöà íå çàâèñèò îò Ψ, ïîýòîìó ìîæíî îïðàâäàòü ýòó ïðîöåäóðó, êâàíòóÿ êàëèáðîâî÷íóþ òåîðèþ â àêñèàëüíîé êàëèáðîâêå, ãäå ãîñòû îòùåïëÿþòñÿ îò îñòàëüíûõ ÷àñòèö, è âûáèðàÿ çàòåì Ψ ïî ñâîåìó æåëàíèþ.  ÷àñòíîñòè, ìîæíî âêëþ÷èòü â äåéñòâèå ñëàãàåìûå s(ω*ω*ω), êîòîðûå ìîãóò ñëóæèòü êîíòð÷ëåíàìè ê ðàñõîäèìîñòÿì â ÷åòûðåõãîñòîâñêèõ âåðøèíàõ. 17.3. Ïåðåíîðìèðîâêà: ïðîèçâîëüíûå êàëèáðîâî÷íûå òåîðèè * Ïðèâåäåííîå â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå äîêàçàòåëüñòâî ïåðåíîðìèðóåìîñòè íåàáåëåâûõ êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé îñíîâàíî íà «ïðÿìîëèíåéíîì» àíàëèçå âîçìîæíûõ ñëàãàåìûõ â äåéñòâèè, èìåþùèõ ðàçìåðíîñòü 4 èëè ìåíüøå. Íî, êàê ìû âèäåëè â ãë. 12, ýòî îãðàíè÷åíèå íà ðàçìåðíîñòü ñëàãàåìûõ â äåéñòâèè ìîæåò â ëó÷øåì ñëó* Ýòîò ðàçäåë ëåæèò íåñêîëüêî â ñòîðîíå îò îñíîâíîé ëèíèè èçëîæåíèÿ è ìîæåò áûòü îïóùåí ïðè ïåðâîì ÷òåíèè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

126

Ãëàâà 17. Ïåðåíîðìèðîâêà êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé

÷àå ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê õîðîøåå ïðèáëèæåíèå. Óñïåøíûå ïåðåíîðìèðóåìûå êâàíòîâûå òåîðèè ïîëÿ, èñïîëüçóþùèåñÿ äëÿ îïèñàíèÿ ñèëüíûõ, ñëàáûõ è ýëåêòðîìàãíèòíûõ âçàèìîäåéñòâèé, ïî÷òè íàâåðíÿêà ÿâëÿþòñÿ ýôôåêòèâíûìè òåîðèÿìè ïîëÿ, âêëþ÷àþùèìè ñëàãàåìûå ñ ðàçìåðíîñòüþ d > 4. Òàêèå ñëàãàåìûå îáû÷íî íå íàáëþäàþòñÿ, òàê êàê îíè ïîäàâëåíû 4 – d ñòåïåíÿìè íåêîòîðîé î÷åíü áîëüøîé ìàññû, âåðîÿòíî, ïîðÿäêà 1016 – 1018 ÃýÂ. Ãðàâèòàöèÿ òàêæå ìîæåò áûòü îïèñàíà ýôôåêòèâíîé òåîðèåé ïîëÿ, ëàãðàíæèàí êîòîðîé ñîäåðæèò íå òîëüêî ñëàãàåìîå Ýéíøòåéíà–Ãèëüáåðòà − gR / 16πG , íî è âñå ñêàëÿðû, ïîñòðîåííûå èç ÷åòûðåõ è áîëåå ïðîèçâîäíûõ ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ. Ìû äîëæíû ïîêàçàòü, ÷òî êàëèáðîâî÷íûå òåîðèè òàêîãî ðîäà, êîòîðûå íåïåðåíîðìèðóåìû ïî èíäåêñó, òåì íå ìåíåå, ïåðåíîðìèðóåìû â ñîâðåìåííîì ñìûñëå, ò. å. óëüòðàôèîëåòîâûå ðàñõîäèìîñòè óïðàâëÿþòñÿ êàëèáðîâî÷íûìè ñèììåòðèÿìè òàê, ÷òî äëÿ ñîêðàùåíèÿ êàæäîé áåñêîíå÷íîñòè ìîæåò áûòü íàéäåí ñîîòâåòñòâóþùèé êîíòð÷ëåí 3 *. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âåðíåìñÿ ê äåéñòâèþ S[χ,χ‡], ââåäåííîìó â ðàçäåëå 15.9 è ðàññìàòðèâàåìîìó êàê ôóíêöèÿ íåçàâèñèìûõ ïîëåé χn (âêëþ÷àþùèõ ïîëÿ ìàòåðèè è êàëèáðîâî÷íûå ïîëÿ ϕr, ïîëÿ äóõîâ ωA, à òàêæå íåìèíèìàëüíûå ïîëÿ ωA* è hA) âìåñòå ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè àíòèïîëÿìè χ‡n.  òåîðèÿõ òèïà ßíãà–Ìèëëñà èëè êâàíòîâîé ãðàâèòàöèè, êîòîðûå îñíîâàíû íà çàìêíóòîé êàëèáðîâî÷íîé àëãåáðå ñî ñòðóêòóðíûìè êîíñòàíòàìè fCAB, òàêîå äåéñòâèå äîëæíî èìåòü âèä S = I[ϕ ] + ω A fAr [ϕ ]ϕ ‡r + 21 ω A ω B f C AB [ϕ ]ω ‡C − h A ω *A‡ ,

(17.3.1)

ãäå I[ϕ] èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî èíôèíèòåçèìàëüíûõ êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé ϕr → ϕr + εAfrA[ϕ]. (Êàê è â ðàçäåëå 15.9, èíäåê* Ñîäåðæàíèå ïîñëåäíåãî ïðåäëîæåíèÿ óòî÷íÿåòñÿ íèæå: â ïðåäïðåäïîëîæåíèè, ÷òî äåéñòâèå ïåðåíîðìèðîâàííîé òåîðèè óäîâëåòâîðÿåò êâàíòîâîìó ìàñòåð-óðàâíåíèþ, íåîáõîäèìî ïîêàçàòü, ÷òî ïåðåíîðìèðîâêà ñâîäèòñÿ ê ïåðíîðìèðîâêå êîíñòàíò ñâÿçè (âêëþ÷àÿ ìàññîâûå ïàðàìåòðû) è àíòèêàíîíè÷åñêîìó ïðåîáðàçîâàíèþ ïîëåé è àíòèïîëåé. Êîðîòêî ãîâîðÿ, ïåðåíîðìèðîâêà åñòü «çàìåíà ïåðåìåííûõ». Íåîáõîäèìî òàêæå äîáàâèòü, ÷üë èçëàãàåìàÿ ïðîöåäóðà ïåðåíîðìèðîâêè ïðåäïîëàãàåò íàëè÷èå êàëèáðîâî÷íî-èíâàðèàòíîé ðåãóëÿðèçàöèè. — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

17.3. Ïåðåíîðìèðîâêà: ïðîèçâîëüíûå êàëèáðîâî÷íûå òåîðèè

127

ñû r, A è ò. ä. âêëþ÷àþò ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûå êîîðäèíàòû, ïî êîòîðûì ïðîèçâîäèòñÿ èíòåãðèðîâàíèå ïðè ñóììèðîâàíèè ïî èíäåêñàì.) Ìû íå áóäåì îãðàíè÷èâàòüñÿ äåéñòâèÿìè òàêîãî âèäà, íî ïðåäïîëîæèì, ÷òî ëîêàëüíûå ñèììåòðèè òåîðèè ôîðìóëèðîâàëèñü â âèäå òðåáîâàíèÿ, ÷òî äåéñòâèå äîëæíî ïîä÷èíÿòüñÿ íåêîòîðûì «ñòðóêòóðíûì îãðàíè÷åíèÿì» íà çàâèñèìîñòü îò àíòèïîëåé, îäíèì èç ïðèìåðîâ êîòîðûõ ìîæåò ñëóæèòü (17.3.1). Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñòðóêòóðíûå îãðàíè÷åíèÿ ëèíåéíû â òîì ñìûñëå, ÷òî åñëè îíè ñïðàâåäëèâû äëÿ S + S1 è S + S2, òî ïðè ëþáûõ ïîñòîÿííûõ a1, a2 îíè âåðíû è äëÿ S + a1S1 + a2S2. Êðîìå òîãî, ïîòðåáóåì âûïîëíåíèÿ êâàíòîâîãî ìàñòåð-óðàâíåíèÿ (15.9.35) (S, S) − 2 ih∆S = 0 ,

(17.3.2)

ñ ∆S, îïðåäåëåííûì ôîðìóëîé (15.9.34). Ïåòëåâîé ïàðàìåòð $, ñìûñë êîòîðîãî îáúÿñíÿåòñÿ â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, ÿâíûì îáðàçîì âõîäèò â âèäå ìíîæèòåëÿ. Äåéñòâèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ñòåïåííîãî ðÿäà ïî $: S = SR + hS1 + h2S2 + . . . ,

(17.3.3)

ãäå SR — äåéñòâèå òîãî æå îáùåãî âèäà, ÷òî è S, íî ñ çàìåíîé âñåõ êîíñòàíò ñâÿçè íà èõ êîíå÷íûå ïåðåíîðìèðîâàííûå çíà÷åíèÿ, à SN — íàáîð áåñêîíå÷íûõ êîíòð÷ëåíîâ. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äåéñòâèå S óäîâëåòâîðÿåò êâàíòîâîìó ìàñòåð-óðàâíåíèþ (17.3.2) âî âñåõ ïîðÿäêàõ ïî $, òàê ÷òî SR óäîâëåòâîðÿåò êëàññè÷åñêîìó ìàñòåðóðàâíåíèþ

(SR , SR ) = 0 ,

(17.3.4)

à êîíòð÷ëåíû óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ 1 R , SN = − 2

bS

g

N −1

∑ bSM , SN − M g + i∆SN −1 .

M =1

(17.3.5)

Íàëè÷èå êîíòð÷ëåíîâ SN ñàìî ïî ñåáå íåäîñòàòî÷íî äëÿ ñîêðàùåíèÿ óëüòðàôèîëåòîâûõ ðàñõîäèìîñòåé â ïåòëåâûõ äèàãðàììàõ. Êàê îáîáùåíèå îáû÷íîé ïåðåíîðìèðîâêè ïîëåé ìû äîëæíû òàêæå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

128

Ãëàâà 17. Ïåðåíîðìèðîâêà êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé

ââåñòè íàáîð ïåðåíîðìèðîâàííûõ ïîëåé è àíòèïîëåé, îïðåäåëåííûõ ÷åðåç èñõîäíûå ïîëÿ è àíòèïîëÿ ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîëüíîãî àíòèêàíîíè÷åñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Èíôèíèòåçèìàëüíîå àíòèêàíîíè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèå ìîæíî îïðåäåëèòü ôîðìóëîé (15.9.26) ÷åðåç èíôèíèòåçèìàëüíûé ïðîèçâîäÿùèé ôóíêöèîíàë δF, òàê ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü àíòèêàíîíè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé G(t) → G(t + δt) = G(t) + (F(t)δt,G(t)) (ãäå G(t) — ëþáîé ôóíêöèîíàë îò ïîëåé è àíòèïîëåé, à F(t) – ïðîèçâîäÿùèé ôóíêöèîíàë) ïðèâîäèò ê êîíå÷íîìó ~ ≡ G(1) , ïðè÷åì êàíîíè÷åñêîìó ïðåîáðàçîâàíèþ G → G

d G(t) = F(t), G(t) , G(0) = G . dt

b

g

(17.3.6)

Åñëè F(t) çàäàíî â âèäå ñòåïåííîãî ðÿäà F(t) = gtF1 + h2t2F2 + . . . ,

(17.3.7)

òîãäà ôîðìóëû (17.3.3), (17.3.6) è (17.3.7) ïðèâîäÿò ê ïðåîáðàçîâàííîìó äåéñòâèþ ~ S = SR + h S1 + (F1 , SR )

LM N

+ h2 S2 + (F1 , S1 ) + (F2 , SR ) +

1 2

bF ,(F , S 1

1

R)

gOPQ + . . . ,

(17.3.8)

Âîïðîñ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ìîæåì ëè ìû èñïîëüçîâàòü ýòó ñâîáîäó äëÿ òàêîãî âûáîðà FN è SN, ÷òîáû ñîêðàòèòü âñå áåñêîíå÷íîñòè, âîçíèêàþùèå îò ïåòëåâûõ äèàãðàìì. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ïåðâîå ñëàãàåìîå SR â (17.3.3) àâòîìàòè÷åñêè êîíå÷íî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñîêðàòèâ áåñêîíå÷íîñòè ñ ïîìîùüþ SM è FM ïðè M < N âîçìîæíî óñòðàíèòü âñå áåñêîíå÷íîñòè â ñëàãàåìûõ ïîðÿäêà $M â êâàíòîâîì ýôôåêòèâíîì äåéñòâèè ΓM äëÿ M < N. Êàê áûëî ïîêàçàíî â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, óðàâíåíèå ÇèííÆþñòåíà (ïîëó÷àþùååñÿ â äàííîì ñëó÷àå, åñëè ïîëîæèòü χ‡n = Kn + δΨ/δχn) óòâåðæäàåò, ÷òî òîãäà áåñêîíå÷íàÿ ÷àñòü ΓN,∞ ñëàãàåìîãî â êâàíòîâîì ýôôåêòèâíîì äåéñòâèè ïîðÿäêà $N óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (SR , ΓN ,∞ ) = 0 . (17.3.9)

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

129

17.3. Ïåðåíîðìèðîâêà: ïðîèçâîëüíûå êàëèáðîâî÷íûå òåîðèè

Ïîëåâûå è àíòèïîëåâûå ïåðåìåííûå χn è χ‡n ñâÿçàíû ñ ïåðåìåííûìè χn è Kn àíòèêàíîíè÷åñêèì ïðåîáðàçîâàíèåì, ñîõðàíÿþùèì âñå àíòèñêîáêè, òàê ÷òî àíòèñêîáêà â (17.3.9) ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ÷åðåç χn è χ‡n âìåñòî χn è Kn. Óñëîâèå (17.3.5), êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿåò êîíòð÷ëåí SN, íå ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ (17.3.9), êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿåò ΓN,∞. Îäíàêî, åñëè çàäàòü ëþáîå S0N, óäîâëåòâîðÿþùåå óðàâíåíèþ (17.3.5), ìîæíî íàéòè öåëûé êëàññ äðóãèõ ðåøåíèé 0 + S′ , SN = SN N

(17.3.10)

ãäå S′N ïðîèçâîëüíî, åñëè íå ñ÷èòàòü óñëîâèÿ, ÷òî SR + S′N, êàê è SR + S0N, óäîâëåòâîðÿåò òåì æå óñëîâèÿì ñèììåòðèè, ÷òî è SR, è

(SR , SN ′ ) = 0,

(17.3.11)

÷òîáû íå íàðóøèòü óðàâíåíèÿ (17.3.5). Ïîýòîìó áåñêîíå÷íàÿ ÷àñòü â êâàíòîâîì ýôôåêòèâíîì äåéñòâèè N-îãî ïîðÿäêà ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå: ΓN , ∞ = SN ′ , ∞ + FN , ∞ , SR + X N , ∞ ,

d

i

(17.3.12)

ãäå XN âêëþ÷àåò ñëàãàåìûå îò ïåòëåâûõ äèàãðàìì, à òàêæå îò ñëàãàåìîãî S0N è ðàçëè÷íûõ ñëàãàåìûõ â Γ, âêëþ÷àþùèõ SM è FM äëÿ M < N. Íàïðèìåð, ïðè N = 2 èç ôîðìóëû (17.3.8) èìååì:

X2 = S20 + 2(F1 , S1 ) + (F1 ,(F1 , SR )) + äâóõïåòëåâûå âêëàäû, ñîäåðæàùèå òîëüêî SR + îäíîïåòëåâûå âêëàäû, ñîäåðæàùèå SR , S1 è F1 . Åäèíñòâåííîå, ÷òî íóæíî çíàòü î âåëè÷èíå XN äëÿ íàøèõ öåëåé, ýòî òî, ÷òî îíà íå âêëþ÷àåò S′N èëè FN è èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ëþáîé ëèíåéíî ðåàëèçîâàííîé ãëîáàëüíîé ñèììåòðèè SR. Äàëåå, ïîñêîëüêó (SR,SR) = 0, îïåðàöèÿ F ¬ (SR,F) íèëüïîòåíòíà: äëÿ ëþáûõ F

cS , bS , Fgh = 0 . R

R

Ïîýòîìó èç (17.3.9) è (17.3.11)–(17.3.13) ñëåäóåò, ÷òî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(17.3.13)

130

Ãëàâà 17. Ïåðåíîðìèðîâêà êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé

dS

R , X N ,∞

i = 0.

(17.3.14)

Ëþáîå ñëàãàåìîå â XN,∞, èìåþùåå âèä (SR,Y), ìîæíî ñîêðàòèòü â ñîîòíîøåíèè (17.3.12), âûáðàâ FN,∞ ðàâíûì Y. Òàêèì îáðàçîì ïðîñòðàíñòâî âîçìîæíûõ îñòàâøèõñÿ áåñêîíå÷íûõ ñëàãàåìûõ â XN,∞, êîòîðûå äîëæíû áûòü ñîêðàùåíû êîíòð÷ëåíîì S′N,∞, ñîñòîèò èç òåõ ôóíêöèîíàëîâ X, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ (SR,X) = 0, ïðè÷åì ýêâèâàëåíòíûìè ñ÷èòàþòñÿ ôóíêöèîíàëû, îòëè÷àþùèåñÿ íà ñëàãàåìûå âèäà (SR,Y). Èíûìè ñëîâàìè, áåñêîíå÷íîñòè â GN, êîòîðûå äîëæíû áûòü ñîêðàùåíû êîíòð÷ëåíàìè S′N, ïðèíàäëåæàò êîãîìîëîãèè îòîáðàæåíèÿ X ¬ (SR,X). Âîçìîæíûé âèä êîíòð÷ëåíà S′N îãðàíè÷åí òðåáîâàíèåì, ÷òî SR + S′N äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ëþáîìó èç ñòðóêòóðíûõ îãðàíè÷åíèé, íàëîæåííûõ íà äåéñòâèå S. Òàêèì îáðàçîì ìû ñìîæåì çàâåðøèòü äîêàçàòåëüñòâî ïåðåíîðìèðóåìîñòè, åñëè óäàñòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî êîãîìîëîãèÿ îòîáðàæåíèÿ X ¬ (SR,X) ñîñòîèò òîëüêî èç ôóíêöèîíàëîâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ ýòîìó ñòðóêòóðíîìó îãðàíè÷åíèþ.  ñëó÷àå êâàíòîâîé ãðàâèòàöèè, âçàèìîäåéñòâóþùåé ñ ïîëÿìè ßíãà–Ìèëëñà ñ ïîëóïðîñòîé êàëèáðîâî÷íîé ñèììåòðèåé, âñå ñèììåòðèè òåîðèè îáåñïå÷èâàþòñÿ ñòðóêòóðíûì îãðàíè÷åíèåì (17.3.1).  ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò òåîðåìà 4, óòâåðæäàþùàÿ, ÷òî êîãîìîëîãèÿ îòîáðàæåíèÿ X ¬ (SR,X) (íà ïðîñòðàíñòâå ëîêàëüíûõ ôóíêöèîíàëîâ ñ ãîñòîâñêèì ÷èñëîì íóëü, à íå íà ïðîñòðàíñòâå ôóíêöèé, çàâèñÿùèõ îò ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ êîîðäèíàò) ñîñòîèò * èç ôóíêöèîíàëîâ A[ϕ], èíâàðèàíòíûõ îòíîñèòåëüíî êàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕr → ϕr + eAFrA[ϕ] ñî ñòðóêòóðíûìè êîíñòàíòàìè fCAB. Ëþáàÿ áåñêîíå÷íîñòü N-ãî ïîðÿäêà òàêîãî òèïà ìîæåò áûòü ñîêðàùåíà êîíòð÷ëåíîì S′N òîãî æå òèïà. Òàêèì îáðàçîì, õîòÿ ýòè òåîðèè è íå ïåðåíîðìèðóåìû ïî èíäåêñó, îíè ïåðåíîðìèðóåìû â òîì ñìûñëå, ÷òî âñå áåñêîíå÷íîñòè ìîæíî óñòðàíèòü âûáîðîì ïàðàìåòðîâ â èñõîäíîì ãîëîì äåéñòâèè I[ϕ] è ïîäõîäÿùåé ïåðåíîðìèðîâêîé ïîëåé è àíòèïîëåé.  äðóãèõ òåîðèÿõ êîãîìîëîãèÿ îòîáðàæåíèÿ X ¬ (SR, X) ñîäåðæèò äîïîëíèòåëüíûå ñëàãàåìûå. Ýòî íå îáÿçàòåëüíî òðåáóåò * Ñòðîãî ãîâîðÿ, ýòî âåðíî òîëüêî, åñëè ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû â S íå ïðèíèìàëè ñïåöèàëüíûõ çíà÷åíèé, ïðè êîòîðûõ S áûëî áû èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî áîëåå øèðîêîé ãðóïïû ëîêàëüíûõ ñèììåòðèé. Íàïðèìåð, ýòî èñêëþ÷àåò ñëó÷àé S = 0.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

17.4. Êàëèáðîâêà ôîíîâîãî ïîëÿ

131

îñëàáëåíèÿ ñòðóêòóðíûõ îãðàíè÷åíèé, òàê êàê äîïîëíèòåëíûå ñëàãàåìûå â êîãîìîëîãèè ìîãóò è íå ñîîòâåòñòâîâàòü ðåàëüíûì óëüòðàôèîëåòîâûì ðàñõîäèìîñòÿì. Íàïðèìåð â êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèÿõ ñ ìíîæèòåëÿìè U(1) êîãîìîëîãèÿ ñîäåðæèò ñëàãàåìûå 4, îòâå÷àþùèå ïåðåîïðåäåëåíèþ äåéñòâèÿ U(1) êàëèáðîâî÷íîé ñèììåòðèè íà ðàçëè÷èíûå ïîëÿ. Åñëè îíî îêàæåòñÿ áåñêîíå÷íûì, íàì ïîòðåáóåòñÿ îñëàáèòü ñòðóêòóðíûå îãðàíè÷åíèÿ, îñòàâèâ ïðîèçâîëüíîé íîðìèðîâêó ôóíêöèé ïðåîáðàçîâàíèÿ frA[ϕ] â (17.3.1). Íî òàêàÿ áåñêîíå÷íîñòü çàïðåùåíà òåìè æå òåîðåìàìè î ìÿãêèõ ôîòîíàõ, êîòîðûå óòâåðæäàþò, ÷òî îòíîøåíèÿ U(1) êîíñòàíò ñâÿçè ñ ðàçëè÷íûìè ïîëÿìè (òèïà îòíîøåíèé çàðÿäîâ ðàçíûõ ëåïòîíîâ â ÊÝÄ) íå çàòðàãèâàþòñÿ ðàäèàöèîííûìè ïîïðàâêàìè (ñì. ðàçäåë 10.4). Åñëè äîïîëíèòåëüíûå ñëàãàåìûå â êîãîìîëîãèè ñîäåðæàò óëüòðàôèîëåòîâûå ðàñõîäèìîñòè, íåîáõîäèìî îñëàáèòü íàëîæåííûå íà S ñòðóêòóðíûå îãðàíè÷åíèÿ, ñ òåì, ÷òîáû äëÿ êàæäîé âîçìîæíîé óëüòðàôèîëåòîâîé ðàñõîäèìîñòè âîçíèê ñâîé êîíòð÷ëåí. Íåèçâåñòíî, âñåãäà ëè ýòî âîçìîæíî. Åñëè ýòî íå òàê, òî ñëåäóåò îòáðîñèòü íåêîòîðûå òåî-ðèè èç-çà íàëè÷èÿ â íèõ íåóñòðàíèìûõ óëüòðàôèîëåòîâûõ ðàñõîäèìîñòåé. 17.4. Êàëèáðîâêà ôîíîâîãî ïîëÿ * Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê ìåòîäó âû÷èñëåíèé, ÿâíî ñîõðàíÿþùåìó òèï êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè è ïîýòîìó îñîáåííî óäîáíîìó, ïðåæäå âñåãî, â îäíîïåòëåâûõ âû÷èñëåíèÿõ. Ðàññìîòðèì ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå Γ[A,ψ,ω,ω*] êàê ôóíêöèîíàë ** êëàññè÷åñêèõ âíåøíèõ ïîëåé ìàòåðèè, êàëèáðîâî÷íûõ, ãîñòîâñêèõ è àíòèãîñòîâñêèõ ïîëåé ψl(x), Aαµ(x), ωα(x), ω*α(x). Äàæå íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ãîñòû è àíòèãîñòû íèêîãäà íå ïîÿâëÿþòñÿ â íà÷àëüíîì èëè êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè, ìû ðàññìàòðèâàåì ôîíîâûå ïîëÿ ãîñòîâ è àíòèãîñòîâ íàðÿäó ñ ïîëÿìè ìàòåðèè è êàëèáðîâî÷íûìè ïîëÿìè ñ öåëüþ ðàçîáðàòüñÿ ñ ÷àñòÿìè äèàãðàìì, èìåþùèìè âíåøíèå ãîñòîâñêèå èëè àíòèãîñòîâñêèå ëèíèè. *  ðóññêîÿçû÷íîé ëèòåðàòóðå ÷àùå èñïîëüçóåòñÿ òåðìèí «ôîíîâàÿ êàëèáðîâêà». — Ïðèì. ðåä. ** Ìû âîçâðàùàåìñÿ ê ÷àñòíîìó âûáîðó ôèêñèðóþùåãî êàëèáðîâêó ôóíêöèîíàëà B[ϕ] â âèäå ãàóññèàíà (15.7.4) è èíòåãðèðóåì ïî âñïîìîãàòåëüíîìó ïîëþ hα, òàê ÷òî â ìîäèôèöèðîâàííîì ëàãðàíæèàíå ýòî ôèêñèðóþùåå êàëèáðîâêó ñëàãàåìîå èìååò âèä –fαfα/2ξ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

132

Ãëàâà 17. Ïåðåíîðìèðîâêà êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé

Êàê îïèñàíî â ðàçäåëå 16.1, ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå Γ[A,ψ,ω,ω*] åñòü ñóììà ñâÿçíûõ îäíî÷àñòè÷íî íåïðèâîäèìûõ äèàãðàìì äëÿ àìïëèòóäû ïåðåõîäà âàêóóì–âàêóóì, âû÷èñëåííûõ â òåîðèè, â êîòîðîé êâàíòîâûå ïîëÿ A′, ψ′, ω′, ω*′, ïî êîòîðûì ïðîèçâîäèòñÿ èíòåãðèðîâàíèå, çàìåíåíû â äåéñòâèè íà ñäâèíóòûå ïîëÿ A + A′, ψ + ψ′, ω + ω′, ω* + ω*′, ïðè÷åì èíòåãðèðîâàíèå ïî øòðèõîâàí-íûì ïîëÿì ïðîèçâîäèòñÿ ïðè ôèêñèðîâàííûõ íåøòðèõîâàííûõ ïîëÿõ. Ìû èìååì øèðîêèå âîçìîæíîñòè âûáîðà ôèêñèðóþùåé êàëèáðîâêó ôóíêöèè f α(x). Âìåñòî ïðåæíåãî âûáîðà f α = ∂ µA µα (èëè ∂µ[A′µα + Aµα]) ìîæíî âçÿòü5

fα = ∂ µ Aα′ µ + Cαβγ Aβµ Aγ′ µ .

(17.4.1)

Ïðè÷èíà òàêîãî âûáîðà â òîì, ÷òî ôèêñèðóþùåå êàëèáðîâêó ñëàãàåìîå fαfα ñòàíîâèòñÿ èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî êàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïðè êîòîðîì ôîíîâîå ïîëå Aµα ïðåîáðàçóåòñÿ êàê êàëèáðîâî÷íîå ïîëå, à êâàíòîâîå ïîëå A′µα ïðåîáðàçóåòñÿ îäíîðîäíî, êàê îáû÷íîå ïîëå ìàòåðèè, ïðèíàäëåæàùåå ïðèñîåäèíåííîìó ïðåäñòàâëåíèþ êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû:

δAαµ = ∂ µ ε α − Cαβγ ε β Aγµ ,

(17.4.2)

δAα′ µ = − Cαβγ ε β Aγ′ µ .

(17.4.3)

Òðàíñôîðìàöèîííûå ñâîéñòâà ôóíêöèè fα ëåã÷å âñåãî óâèäåòü, çàïèñàâ åå êàê íîâûé òèï êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé:

fα ≡ Dµ Aα′ µ ,

(17.4.4)

ãäå äëÿ ëþáîãî ïîëÿ ϕα â ïðèñîåäèíåííîì ïðåäñòàâëåíèè

Dµ ϕ α ≡ ∂ µ ϕ α + Cαβγ Aβµ ϕ γ .

(17.4.5)

Ìû âèäèì, ÷òî ïîä äåéñòâèåì ïðåîáðàçîâàíèÿ (17.4.2), (17.4.3) ôóíêöèÿ (17.4.1) ïðåîáðàçóåòñÿ â òî÷íîñòè êàê A′α: δfα = − Cαβγ ε β fγ ,

(17.4.6)

òàê ÷òî ÷ëåí fαfα â ìîäèôèöèðîâàííîì ëàãðàíæèàíå èíâàðèàíòåí:

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

17.4. Êàëèáðîâêà ôîíîâîãî ïîëÿ

133

δ( fα fα ) = − Cαβγ fα ε β fγ = 0 .

(17.4.7)

Êðîìå òîãî, èñõîäíûé ëàãðàíæèàí L çàâèñèò îò A è A′ òîëüêî ÷åðåç ñóììó A + A′, êîòîðàÿ ïîä äåéñòâèåì êîìáèíèðîâàííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (17.4.2), (17.4.3) ïîäâåðãàåòñÿ îáû÷íîìó êàëèáðîâî÷íîìó ïðåîáðàçîâàíèþ

δ Aαµ + Aα′ µ = ∂ µ ε α − Cαβγ ε β Aγµ + Aγ′ µ .

d

i

d

i

(17.4.8)

Åñëè îïðåäåëèòü ïðåîáðàçîâàíèÿ ôîíîâîãî ïîëÿ è êâàíòîâîãî ïîëÿ ìàòåðèè â âèäå (17.4.9) δψ = itα ε α ψ ,

òî

δψ ′ = itα ε α ψ ′,

(17.4.10)

δ(ψ + ψ ′) = itα ε α (ψ + ψ ′).

(17.4.11)

Èñõîäíûé ëàãðàíæèàí L èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî èñõîäíûõ êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé (17.4.8), (17.4.11) è çàâèñèò òîëüêî îò A + A′ è ψ + ψ′, òàê ÷òî îí èíâàðèàíòåí òàêæå îòíîñèòåëüíî íîâûõ ôîðìàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé (17.4.2), (17.4.3), (17.4.9) è (17.4.10). Ïîëåçíî ñäåëàòü ýòó èíâàðèàíòíîñòü áîëåå ÿâíîé, çàïèñàâ L ÷åðåç ôîíîâóþ êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ Dµ .  îáùåì ñëó÷àå èìååì:

e

′ − ∂ ν Aαµ + Aαµ ′ + Cαβγ Aβµ + Aβµ ′ Aγµ + Aγµ ′ L = − 14 ∂ µ Aαν + Aαν

e

b

g

d

ib A′ A′ i bψ + ψ ′gi ,

′ ψ + ψ′ + LM ψ + ψ ′, ∂ µ ψ + ψ ′ − itα Aαµ + Aαµ

d

′ − Dν Aαµ ′ + Cαβγ = − 14 Fαµν + Dµ Aαν

d

b

g

′ + LM ψ + ψ ′, Dµ ψ + ψ ′ − itα Aαµ

2

j

gj

2

βµ

γν

ãäå, êàê è â (17.4.5),

′ ≡ ∂ µ Aαν ′ + Cαβγ Aβµ Aγν ′ , Dµ Aαν

(17.4.13)

Dµ ψ ≡ ∂ µ ψ − itα Aαµ ψ ,

(17.4.14)

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

134

Ãëàâà 17. Ïåðåíîðìèðîâêà êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé

à Fαµν — íàïðÿæåííîñòü ôîíîâîãî ïîëÿ: Fαµν ≡ ∂ µ Aαν − ∂ ν Aαµ + Cαβγ Aβµ A γν .

(17.4.15)

(Ñèìâîë êâàäðàòà â ïåðâîì ñëàãàåìîì â L ïîäðàçóìåâàåò î÷åâèäíûå ñâåðòêè ïî èíäåêñàì.) ßñíî, ÷òî L èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî íîâûõ ïðåîáðàçîâàíèé (17.4.2), (17.4.3), (17.4.9) è (17.4.10), òàê êàê îí âêëþ÷àåò Aαµ òîëüêî â íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ Fαµν è ôîíîâîé êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé Dµ ïîëåé «ìàòåðèè» A′αµ, ψ′ è ψ. Ñëåäóåò ÷åòêî îòëè÷àòü ýòî íîâîå ïðåîáðàçîâàíèå îò èñòèííîãî êàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ïîñëåäíåå ìîæåò íå îêàçûâàòü íèêàêîãî äåéñòâèÿ íà À èëè ψ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ïðîñòî çàäàííûìè êëàññè÷åñêèìè ôîíîâûìè ïîëÿìè, è èíäóöèðîâàòü îáû÷íîå êàëèáðîâî÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå ïîëåé A + A′, ψ + ψ′, òàê ÷òî

δ TRUE Aαµ = 0 ,

(17.4.16)

δ TRUE Aα′ µ = ∂ µ ε α − Cαβγ ε β Aγµ + Aγ′ µ

d

è

i

= D ε α − Cαβγ ε β Aγ′ ,

(17.4.17)

δ TRUE ψ = 0 ,

(17.4.18)

δ TRUE ψ ′ = itα ε α (ψ + ψ ′) .

(17.4.19)

µ

µ

Êîíå÷íî, ñ òî÷êè çðåíèÿ äåéñòâèÿ íà A + A′ è ψ + ψ′ ýòî òî æå ñàìîå, ÷òî è ôîðìàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ (17.4.2), (17.4.3), (17.4.9) è (17.4.10), ïîýòîìó òàêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ òàêæå îñòàâëÿþò ëàãðàíæèàí èíâàðèàíòíûì. Îäíàêî ïðè íàøåì íîâîì âûáîðå fα (17.4.1) ñëàãàåìîå fαfα çàâèñèò íå òîëüêî îò À + À′ è íåèíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî (17.4.16) è (17.4.17). Âìåñòî ýòîãî

δ TRUE fα = Dµ D µ ε α − Cαβγ ε β Aγ′ µ Cαβγ

d

i

(17.4.20)

ãäå Dµ äàåòñÿ ôîðìóëîé (17.4.5). Ðàññìîòðèì, íàêîíåö, ëàãðàíæèàí ãîñòîâ â ýòîé íîâîé êàëèáðîâêå. Âåëè÷èíà (15.7.3) â äåéñòâèè äëÿ ãîñòîâ â îáùåì ñëó÷àå äàåòñÿ ïðîñòî çàìåíîé â δTRUEfα âåëè÷èíû εα íà ãîñòîâñêîå ïîëå ωα + ω′α:

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

17.4. Êàëèáðîâêà ôîíîâîãî ïîëÿ

135

∆ α = Dµ D µ (ω α + ω α′ ) − Cαβγ (ω β + ω β′ ) Aγ′ µ ,

(17.4.21)

Ïîýòîìó ëàãðàíæèàí ãîñòîâ â (15.6.2) èìååò âèä

L GH = (ω *α + ω α′ * ) Dµ D µ (ω α + ω α′ ) − Cαβγ (ω β + ω β′ ) Aγ′ µ , (17.4.22) èëè, èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì,

L GH = − Dµ (ω *α + ω α′ * ) D µ (ω α + ω α′ ) − Cαβγ (ω β + ω β′ ) Aγ′ µ . (17.4.23)

d

id

i

Ýòî âûðàæåíèå ÿâíî èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî îáúåäèíåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé (17.4.2), (17.4.3), äîïîëíåííûõ ïðåîáðàçîâàíèÿìè ïîëåé ω è ω′: δω α = −Cαβγ ε β ω γ , (17.4.24)

è àíàëîãè÷íî

δω α′ = − Cαβγ ε β ω ′γ ,

(17.4.25)

δω *α = −Cαβγ ε β ω *γ ,

(17.4.26)

δω α′ * = − Cαβγ ε β ω ′γ* .

(17.4.27)

Ìû âèäèì, ÷òî ôîðìàëüíî îáúåäèíåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ (17.4.2), (17.4.3), (17.4.9), (17.4.10) è (17.4.24)–(17.4.27) îñòàâëÿþò èíâàðèàíòíûì ïîëíûé ëàãðàíæèàí â ìîäèôèöèðîâàííîì äåéñòâèè (15.6.4):

L MOD = L −

1 2ξ

fα fα + L GH .

(17.4.28)

Èíòåãðèðîâàíèå ïî A′, ψ′, ω′ è ω′* ïðîèçâîäèòñÿ ñ ìåðîé, êîòîðàÿ ïðåäïîëàãàåòñÿ èíâàðèàíòíîé îòíîñèòåëüíî ïðîñòûõ ìàòðè÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé (17.4.3), (17.4.10), (17.4.25) è (17.4.27), ïîýòîìó ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå G[A,ψ,ω,ω*] èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî îñòàâøèõñÿ ïðåîáðàçîâàíèé (17.4.2), (17.4.9), (17.4.24) è (17.4.26). Èíûìè ñëîâàìè, îíî êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíî â òîì æå ñìûñëå, ÷òî è èñõîäíîå äåéñòâèå I[A,ψ,ω,ω′]. Ýòà ôîðìàëüíàÿ êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü íàêëàäûâàåò ñèëüíûå îãðàíè÷åíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè, êîòîðûå ìîãóò âîçíèêàòü â ýôôåêòèâíîì äåéñòâèè. Óëüòðàôèîëåòîâûå ðàñõîäèìîñòè â Γ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

136

Ãëàâà 17. Ïåðåíîðìèðîâêà êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé

ïîÿâëÿþòñÿ â êîýôôèöèåíòàõ ó ñëàãàåìûõ, ìàññîâàÿ ðàçìåðíîñòü êîòîðûõ ðàâíà d ≤ 4, íî çäåñü ýòè ñëàãàåìûå èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ôîíîâûõ êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé (17.4.2), (17.4.9), (17.4.24) è (17.4.26). Íàïðèìåð, â êàëèáðîâî÷íîé òåîðèè, îñíîâàííîé íà ïðîñòîé êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïå, ñ ôåðìèîíàìè ñïèíà 1/2, ïðèíàäëåæàùèìè íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ ýòîé ãðóïïû, åäèíñòâåííî âîçìîæíûå ñëàãàåìûå èìåþò âèä:

Γ∞ = d 4x L∞ ,

z

L∞ = − L A Fαµν Fαµν − L ψ ψ γ µ Dµ ψ 1 4

− mL m ψψ − Lω ( Dµ ω *α )( D µ ω α ) ,

(17.4.29)

(17.4.30)

ãäå Fαµν, Dµ ψ , Dµ ω *α è D µ ω α ïîñòðîåíû ïîëíîñòüþ èç ôîíîâûõ ïîëåé *: Fαµν ≡ ∂ µ Aαν − ∂ ν Aαµ + Cαβγ Aβµ A γν ,

(17.4.31)

Dµ ψ ≡ ∂ µ ψ − itα Aαµ ψ ,

(17.4.32)

Dµ ω α ≡ ∂ µ ω α + Cαβγ Aβµ ω γ ,

(17.4.33)

Dµ ω *α ≡ ∂ µ ω *α + Cαβγ Aβµ ω *γ .

(17.4.34)

Íà îñíîâàíèè ðàçìåðíîãî àíàëèçà ìîæíî îæèäàòü, ÷òî êîíñòàíòû LA, Lψ, Lµ è Lω áóäóò ëîãàðèôìè÷åñêè ðàñõîäÿùèìèñÿ. ×òîáû ñïðàâèòüñÿ ñ ýòèìè ðàñõîäèìîñòÿìè, çàìåòèì, ÷òî ëàãðàíæèàí (17. 4. 12) ñîäåðæèò ÷èñòî êëàññè÷åñêèé êóñîê L CLASS = −

1 4

Fαµν Fαµν − ψ ( γ µ Dµ + m) − ( Dµ ω *α )( D µ ω α ) , (17.4.35)

* Óñëîâèå ïðîñòîòû êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû îáåñïå÷èâàåò åäèíñòâåííîñòü êèíåòè÷åñêîãî ñëàãàåìîãî äëÿ ïîëåé A è ω, êîòîðîå ïðîïîðöèîíàëüíî Fαµν Fαµν è Dµ ω *α D µ ω α , ñîîòâåòñòâåííî.  òî æå âðåìÿ, óñëîâèå, ÷òî ψ ïðåîáðàçóåòñÿ íåïðèâîäèìî, îáåñïå÷èâàåò åäèíñòâåííîñòü êèíåòè÷åñêîãî è ìàññîâîãî ñëàãàåìîãî äëÿ ψ. Öåíîé íåáîëüøîãî óñëîæíåíèÿ îáîçíà÷åíèé íåòðóäíî ðàññìîòðåòü è áîëåå îáùèé ñëó÷àé. Êðîìå òîãî, ìû íåÿâíî èñïîëüçóåì ñîõðàíåíèå ãîñòîâñêîãî ÷èñëà.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

17.4. Êàëèáðîâêà ôîíîâîãî ïîëÿ

137

ïîëó÷àþùèéñÿ îòáðàñûâàíèåì âñåõ ñëàãàåìûõ â LMOD, ñîäåðæàùèõ êâàíòîâûå ïîëÿ A′, ψ′, ω′, ω*′. Îïðåäåëÿåì ïåðåíîðìèðîâàííûå ïîëÿ R ≡ 1 + L A Aαµ , Aαµ

ψ lR ≡

(17.4.36)

1 + Lψ ψ l ,

(17.4.37)

ω αR ≡ 1 + L ω ω α ,

(17.4.38)

ω αR * ≡ 1 + L ω ω *α ,

(17.4.39)

òàê ÷òî ñóììà ñëàãàåìûõ (17.4.30) è (17.4.35) ïðèíèìàåò âèä: R L CLASS + L GH = − Fαµν FαRµν − ψ R γ µ DµR ψ R 1 4

− m R ψ R ψ R − ( DµR ω *αR )( DµR ω αR ) ,

(17.4.40)

ãäå mR — ïåðåíîðìèðîâàííàÿ ìàññà

m R ≡ m(1 + Lm ) / (1 + L ψ ) ,

(17.4.41)

R R R R R R ≡ ∂ µ Aαν − ∂ ν Aαµ + Cαβγ Fαµν Aβµ Aγµ ,

(17.4.42)

R ψR, DµR ψ R ≡ ∂ µ ψ R − itαR Aαµ

(17.4.43)

R R R ωγ , DµR ω αR ≡ ∂ µ ω αR + Cαβγ Aβµ

(17.4.44)

R R *R ωγ . DµR ω *αR ≡ ∂ µ ω *αR + Cαβγ Aβµ

(17.4.45)

è

Çäåñü ïåðåíîðìèðîâàííûå ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû è ãåíåðàòîðû ãðóïïû ðàâíû: R ≡ (1 + L A ) −1/2 Cαβγ , Cαβγ

(17.4.46)

R ≡ (1 + L A ) −1/2 Cαβγ , Cαβγ

(17.4.47)

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

138

Ãëàâà 17. Ïåðåíîðìèðîâêà êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé

Ïîñêîëüêó ìû ïðåäïîëàãàëè, ÷òî àëãåáðà Ëè ïðîñòà, ñòðóêòóðíàÿ êîíñòàíòà Cαβγ è ãåíåðàòîð ãðóïïû tα ôèêñèðîâàíû ãðóïïîâîé ñòðóêòóðîé çà èñêëþ÷åíèåì åäèíñòâåííîãî îáùåãî ìíîæèòåëÿ, ðàâíîãî íåïåðåíîðìèðîâàííîé êàëèáðîâî÷íîé êîíñòàíòå ñâÿçè g. Òàêèì îáðàçîì, èç ôîðìóë (17.4.46) è (17.4.47) ñëåäóåò, ÷òî êàëèáðîâî÷íàÿ êîíñòàíòà ñâÿçè gR â CR è tR ïåðåíîðìèðóåòñÿ ïî ïðàâèëó: g R = g(1 + L A ) −1/2 .

(17.4.48)

Ýòîò ðåçóëüòàò ïîêàçûâàåò ïðàêòè÷åñêóþ öåííîñòü êàëèáðîâêè ôîíîâîãî ïîëÿ.  ïðîèçâîëüíîé êàëèáðîâêå ìû áû èìåëè íåçàâèñèìûå êîíñòàíòû ïåðåíîðìèðîâêè äëÿ êàëèáðîâî÷íîãî ïîëÿ è êàëèáðîâî÷íîé êîíñòàíòû ñâÿçè è äîëæíû áûëè áû âû÷èñëèòü äâå ðàçíûå àìïëèòóäû (íàïðèìåð, ïîëÿðèçàöèþ âàêóóìà è âåðøèííóþ ôóíêöèþ ñ òðåìÿ êàëèáðîâî÷íûìè ïîëÿìè), ÷òîáû ïîëó÷èòü âîçìîæíîñòü èõ îòñîðòèðîâàòü.  ôîíîâîé êàëèáðîâêå êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü ïî îòíîøåíèþ ê ýòîìó ïîëþ ñâÿçûâàåò ýòè äâå ïåðåíîðìèðîâêè áëàãîäàðÿ òðåáîâàíèþ, ÷òîáû áåñêîíå÷íûå ñëàãàåìûå â ýôôåêòèâíîì ëàãðàíæèàíå âêëþ÷àëè íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ â èñõîäíîì âèäå (17.4.31).  ðåçóëüòàòå ìîæíî âû÷èñëèòü êîíñòàíòó ïåðåíîðìèðîâêè çàðÿäà, ðàññìàòðèâàÿ ëèøü îäíó àìïëèòóäó êàëèáðîâî÷íîãî ïîëÿ. 17.5. Îäíîïåòëåâîå âû÷èñëåíèå â êàëèáðîâêå ôîíîâîãî ïîëÿ  êà÷åñòâå ïðèìåðà ìû õîòèì âû÷èñëèòü â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè êîíñòàíòó ïåðåíîðìèðîâêè äëÿ êàëèáðîâî÷íîé êîíñòàíòû ñâÿçè â ïðîèçâîëüíîé íåàáåëåâîé êàëèáðîâî÷íîé òåîðèè. Êàê ìû óâèäèì â ñëåäóþùåé ãëàâå, ýòî ïîñëóæèò ñóùåñòâåííûì ïåðâîíà÷àëüíûì âêëàäîì â âû÷èñëåíèÿ ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ïðè âûñîêèõ ýíåðãèÿõ ìåòîäîì òàê íàçûâàåìîé «ðåíîðìàëèçàöèîííîé ãðóïïû». Ïîëó÷åííûå çäåñü ðåçóëüòàòû áóäó èñïîëüçîâàíû äëÿ äåìîíñòðàöèè ñâîéñòâà àñèìïòîòè÷åñêîé ñâîáîäû íåàáåëåâûõ êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé. Èñïîëüçóåìûé çäåñü ìåòîä ñîäåðæèò ýëåìåíòû íîâèçíû. Îáû÷íî ðàññìàòðèâàþò ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå â çàâèñÿùåì îò ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ êîîðäèíàò ôîíîâîì êàëèáðîâî÷íîì ïîëå è âû÷èñëÿþò ñëàãàåìûå, êâàäðàòè÷íûå ïî ýòîìó ïîëþ, èçâëåêàÿ çàòåì ìíîæèòåëü (qµAαν – qνAαµ)2 (ãäå q — 4-èìïóëüñ êàëèáðîâî÷íîãî ïîëÿ), è òîëüêî ïîñëå ýòîãî èçîëèðóþò ëîãàðèôìè÷åñêóþ ðàñõîäèìîñòü,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

17.5. Îäíîïåòëåâîå âû÷èñëåíèå...

139

ïîëàãàÿ q = 0 â êîýôôèöèåíòå ïðè ýòîì ìíîæèòåëå. Ìû âìåñòî ýòîãî áóäåì ñëåäîâàòü ïî çíà÷èòåëüíî áîëåå ïðîñòîìó ïóòè, âûáðàâ ñ ñàìîãî íà÷àëà êàëèáðîâî÷íîå ïîëå íå çàâèñÿùèì îò ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ êîîðäèíàò.  ýòîì ñëó÷àå êâàäðàòè÷íûå è êóáè÷íûå ïî êàëèáðîâî÷íîìó ïîëþ ñëàãàåìûå â ýôôåêòèâíîì äåéñòâèè, êîíå÷íî, îáðàùàþòñÿ â íóëü, íî îñòàåòñÿ íåèñ÷åçàþùåå ÷åòâåðòè÷íîå óëüòðàôèîëåòîâî ðàñõîäÿùååñÿ ñëàãàåìîå, êîòîðîå ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîíñòàíòû ïåðåíîðìèðîâêè (1 + LA)–1/2 äëÿ êîíñòàíòû ñâÿçè. Ïðè òàêîì ñïîñîáå ðàñ÷åòîâ îäíîïåòëåâîå âû÷èñëåíèå ïðåâðàùàåòñÿ â çàäà÷ó ïðîñòîé àëãåáðû ìàòðèö. Çàìåòèì, ÷òî îïèñàííàÿ ïðîöåäóðà ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ òîëüêî â êàëèáðîâêå ôîíîâîãî ïîëÿ.  äðóãèõ ñëó÷àÿõ íåçàâèñèìûå ëîãàðèôìè÷åñêèå ðàñõîäèìîñòè âîçíèêàëè áû â êâàäðàòè÷íûõ è ÷åòâåðòè÷íûõ ïî êàëèáðîâî÷íîìó ïîëþ ñëàãàåìûõ ýôôåêòèâíîãî äåéñòâèÿ. Ñ ó÷åòîì ñêàçàííîãî ïåðåéäåì ê âû÷èñëåíèþ îäíîïåòëåâîãî ýôôåêòèâíîãî äåéñòâèÿ â ôîíîâîì ïîëå, äëÿ êîòîðîãî Aαµ ïîñòîÿííî, à ψ = ω = ω* = 0. Äëÿ òàêîãî ôîíîâîãî ïîëÿ ïîëíûé ìîäèôèöèðîâàííûé ëàãðàíæèàí èìååò âèä * L MOD = L + L f + L GH ,

L =−

1

eF 4

αµν

(17.5.1)

+ Dµ Aαν ′ − Dν Aαµ ′ + Cαβγ Aβµ ′ Aγν ′

2

j

/ − itα A/ α′ + m)ψ ′, − ψ ′( D Lf ≡ −

1 2ξ

fα fα = −

1

µ α

2

dD A′ i , 2ξ µ

(17.5.2)

L GH = −( Dµ ω α′ * )(D µ ω ′α − Cαβγ ω β′ Aγ′ µ ) .

(17.5.3) (17.5.4)

Îäíîïåòëåâûå äèàãðàììû äëÿ àìïëèòóä ïåðåõîäà âàêóóì–âàêóóì âû÷èñëÿåòñÿ èç òîé ÷àñòè äåéñòâèÿ, êîòîðàÿ êâàäðàòè÷íà ïî êâàíòîâûì ïîëÿì A′, ψ′, ω′, ω*′, ïî êîòîðûì ïðîèçâîäèòñÿ èíòåãðèðîâàíèå. Óäåðæèâàÿ òîëüêî ýòè êâàäðàòè÷íûå ñëàãàåìûå, èìååì:

* Ñì. ôîðìóëû (17.4.12), (17.4.4) è (17.4.23). Ìû çäåñü ðàññìàòðèâàåì ñïåöèàëüíûé ñëó÷àé, êîãäà ïîëÿ ìàòåðèè îáðàçóþò ìóëüòèïëåò ôåðìèîíîâ ñïèíà 1/2. Êâàäðèðîâàíèå L è Lf ïîäðàçóìåâàåò î÷åâèäíûå ñâåðòêè ïî èíäåêñàì.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

140

Ãëàâà 17. Ïåðåíîðìèðîâêà êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé

L QUAD = −

1 4

d D A′ µ

αν

− Dν Aαµ ′

/ + m)ψ ′ − − ψ ′( D

2

− 21 Fαµν Cαβγ Aβµ ′ Aγν ′

i

1

µ α

2

dD A′ i 2ξ µ

− ( Dµ ω ′α* )( D µ ω ′α ) .

(17.5.5)

Ñîîòâåòñòâóþùåå äåéñòâèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå îáùåé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû:

1

d 4x d 4 yAα′ µ (x) Aβ′ ν ( y)DxAαµ , yβν 2 (17.5.6) ψ 4 4 − d 4 x d 4 yψ ′k (x)ψ l′ ( y)Dxk ′ * (x)ω β′ ( y) Dxωα , yβ , , yl − d x d y ω α

z z

IQUAD ≡ d 4 x L QUAD = −

z

z

ãäå

DxAαµ , yβν

F GH

≡ ηµν − δ γα

FG H

− − δ γα

∂ ∂xλ ∂

∂x

ν

IF JK GH IF (x)J G − δ KH

+ Cγδα Aδλ (x) −δ γβ

+ Cγδα Aδν

γβ

∂ ∂y

λ

∂ ∂y

µ

I JK

+ Cγεβ Aελ ( y) δ 4 (x − y)

I JK

+ Cγεβ Aεµ ( y) δ 4 (x − y)

(17.5.7)

+ Fγµν (x)Cγαβ δ 4 (x − y) +

FG −δ ξH

1

γα

∂ ∂x

µ

IJ FG KH

+ Cγδα Aδµ (x) − δ γβ

F GH

ψ µ Dxk , yl ≡ − γ

FG H

Dxωα , yβ ≡ − − δ γα

∂ ∂x

λ

∂ ∂y

µ

∂ ∂y

ν

I JK

+ Cγεβ Aεν ( y) δ 4 (x − y) ,

/ α ( y) + m − itα A

IJ FG KH

+ Cγδα Aδλ (x) − δ γβ

(17.5.9)

∂ ∂yλ

I JK

δ 4 (x − y) ,

(17.5.8)

kl

I JK

+ Cγεβ Aελ ( y) δ 4 (x − y) .

(Çíàêè «ìèíóñ» ïåðåä ∂/∂x è ∂/∂y èñ÷åçàþò ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì.) Îäíîïåòëåâîé âêëàä â ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå äàåòñÿ (êàê â ðàçäåëå 16.2) âûðàæåíèåì:

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

17.5. Îäíîïåòëåâîå âû÷èñëåíèå...

i z b∏ dA′gb∏ dψ ′gb∏ dψ ′gb∏ dω ′gd∏ dω ′ i [ A ′, ψ ′, ψ ′, ω ′, ω ′ ; Ai × expd iI (17.5.10)

exp iΓ (1LOOP) [ A] ∝

d

141 *

1PI

*

QUAD A −1/2

∝ (DetD )

(DetD ψ ) +1 (DetDω ) +1 .

(Ïîêàçàòåëè ñòåïåíè –1/2 è –1 âîçíèêàþò ïîòîìó, ÷òî A′ — äåéñòâèòåëüíîå áîçîííîå ïîëå, à ψ′, ψ ′ , ω′ è ω*′ – ðàçëè÷íûå ôåðìèîííûå ïîëÿ.)  îáùåì ñëó÷àå âû÷èñëåíèå ïîäîáíûõ äåòåðìèíàíòî⠗ äàëåêî íå ïðîñòàÿ çàäà÷à. Îäíàêî îíà ñèëüíî óïðîùàåòñÿ äëÿ ñëó÷àÿ ïîñòîÿííûõ âíåøíèõ ïîëåé, êîãäà âñå D ìîæíî äèàãîíàëèçîâàòü, ïåðåéäÿ â èìïóëüñíîå ïðîñòðàíñòâî. Ïîýòîìó ðàññìîòðèì ñëó÷àé ïîñòîÿííîãî ôîíîâîãî ïîëÿ Aαµ.  íåàáåëåâûõ êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèÿõ òàêîå ïîñòîÿííîå ïîëå íåâîçìîæíî óñòðàíèòü êàëèáðîâî÷íûì ïðåîáðàçîâàíèåì, ÷òî âèäíî ïî íåíóëåâûì çíà÷åíèÿì ðàçëè÷íûõ êàëèáðîâî÷íî êîâàðèàíòíûõ ïîëåé:

Fαµν = Cαβγ Aβµ Aγν ,

(17.5.11)

Dλ Fδµν = Cδεα Cαβγ Aελ Aβµ Aγν ,

(17.5.12)

è ò. ä. Ëîðåíöîâñêàÿ è êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòè óêàçûâàþò, êàê âûðàçèòü ñëàãàåìîå â Γ[A] äàííîé ðàçìåðíîñòè â âèäå èíòåãðàëà îò êîíå÷íîãî ÷èñëà ëîêàëüíûõ ôóíêöèé îò Fαµν, DλFαµ è ò. ä. Êîýôôèöèåíòû ïðè ñëàãàåìûõ â ýòîì âûðàæåíèè ìîæíî íàéòè, ñðàâíèâ âêëàä ýòèõ ñëàãàåìûõ â Γ[A] ïðè ïîñòîÿííîì ôîíîâîì ïîëå Aαµ ñ ðåçóëüòàòàìè ðàçëîæåíèÿ ïî òåîðèè âîçìóùåíèé. Ñ ïîìîùüþ îáû÷íîãî íîðìèðîâàííîãî ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåéäåì äëÿ êàæäîé èç «ìàòðèö» DA, Dψ è Dω ê èìïóëüñíîìó ïðåäñòàâëåíèþ:

Dq ...,p... =

X d xe X d ye YZ (2π) YZ (2π) 4

− iq ⋅x

2

4

ip⋅ y

2

Dx ..., y...

(17.5.13)

Ïðè ïîñòîÿííîì À èìååì:

Dq ...,p... = δ 4 (p − q ) M...,... (q ) ,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(17.5.14)

142

Ãëàâà 17. Ïåðåíîðìèðîâêà êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé

ãäå ... îçíà÷àåò äèñêðåòíûå èíäåêñû, à Ì — êîíå÷íûå çàâèñÿùèå îò q ìàòðèöû λ A λ Mαµ ,βν (q ) = ηµν − iq λ δ γα + Aδλ Cγδα iq δ γβ + Aε Cγεβ

e

je

e

je

j

jd

i

− − iq νδ γα + AδνCγδα iq µ δ γβ + Aε µ Cγεβ

j

+ FγµνCγαβ

e

+ − iq µ δ γα + Aδµ Cγδα iq νδ γβ + Aε ν Cγεβ / ξ

(17.5.15)

+ ñëàãàåìûå ñ ε,

/α +m Mklψ (q ) = iq/ − itα A ω Mαβ

b (q ) = e − iq δ

λ γα

g

kl

+ ñëàãàåìûå ñ ε,

+ Aδλ Cγδα iq λ δ γβ + Aε λ Cγεβ

je

(17.5.16)

j

(17.5.17)

+ ñëàãàåìûå ñ ε,

ñ Fαµν, îïðåäåëåííûìè ñîîòíîøåíèåì (17.5.11). Òîãäà èç (17.5.10) èìååì iΓ (1LOOP) [ A] = − =−

1 2 1 2

ln DetD A + ln DetD ψ + ln DetDω Tr ln D A + Tr ln D ψ + Tr ln Dω

X L 1 = δ (p − p)Y d q M − tr ln M Z N 2 4

4

A

ψ

(q ) + tr ln M (q ) + tr ln M

ω

(17.5.18) O (q ) P . Q

 ïîñëåäíåé ñòðîêå (17.5.18) ìû îáîçíà÷èëè ñëåäû ñèìâîëîì tr, à íå Tr (è áóäåì äåëàòü ýòî â îñòàâøåéñÿ ÷àñòè ðàçäåëà), äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ýòî îáû÷íûå ñëåäû êîíå÷íûõ ìàòðèö, à íå èíòåãðàëüíûõ îïåðàòîðîâ. Òàê êàê íàøåé öåëüþ ÿâëÿåòñÿ âû÷èñëåíèå áåñêîíå÷íîãî ìíîæèòåëÿ LA, ñòîÿùåãî ïåðåä ñëàãàåìûìè FF â ýôôåêòèâíîì äåéñòâèè, âûäåëèì â (17.5.18) ñëàãàåìîå ÷åòâåðòîé ñòåïåíè ïî ôîíîâîìó ïîëþ À. Äëÿ ýòîãî óäîáíî ðàçáèòü êàæäóþ ìàòðèöó Ì íà ñëàãàåìûå Mn, ñîäåðæàùèå n = 0, 1, 2 ñòåïåíåé À:

M = M0 + M1 + M2 .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(17.5.19)

17.5. Îäíîïåòëåâîå âû÷èñëåíèå...

143

Ïîñëå ýòîãî ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíîé àëãåáðû íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ñëàãàåìîå â (17.5.18) ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ïî Aαµ èìååò âèä:

RS T

[tr ln M]A4 = tr − 21 M0−1M2

2

2

+ M0−1M1 M0−1M2 −

1 4

M0−1M1

4

(17.5.20)

UV. W

(×òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì, âñòàâüòå â (17.5.19) ìíîæèòåëè ε è ε2 ïåðåä Ì1 è Ì2, ñîîòâåòñòâåííî, çàòåì ïðîäèôôåðåíöèðóéòå tr ln M ÷åòûðå ðàçà ïî ε, ðàçäåëèòå íà 4! è ïîëîæèòå ε = 0.) Ìíîæèòåëè M0–1 — îáû÷íûå ïðîïàãàòîðû. Ïðè ξ = 1 îíè ðàâíû −1 −1 2 [ M0A (q )]αµ ,βν = δ αβ ηµν (q − iε) ,

(17.5.21)

−1 −1 = [ iq/ + m ]kl [ M0ψ (q )]kl ,

(17. 5. 22)

[ M0ω (q )]α−1,β = δ αβ (q 2 − iε) −1 .

(17. 5. 23)

Äåéñòâèòåëüíî, òðè ñëàãàåìûõ â (17.5.20) â òî÷íîñòè ñîîòâåòñòâóþò òðåì ôåéíìàíîâñêèì äèàãðàììàì ðèñ. 17.1. Äàííûé ìåòîä âû÷èñëå-

Ðèñ. 17.1. Îäíîïåòëåâûå ôåéíìàíîâñêèå äèàãðàììû äëÿ ÷åòâåðòè÷íîãî ïî ïîñòîÿííîìó ôîíîâîìó ïîëþ Aµα ñëàãàåìîãî â êâàíòîâîì ýôôåêòèâíîì äåéñòâèè. Ñïëîøíûå ëèíèè ïðåäñòàâëÿþò âíóòðåííèå ëèíèè êàëèáðîâî÷íûõ, ãîñòîâñêèõ è ìàòåðèàëüíûõ ïîëåé, ïóíêòèðíûå ëèíèè èçîáðàæàþò ìíîæèòåëè Aµα. Ýòè òðè äèàãðàììû ñîîòâåòñòâóþò òðåì ñëàãàåìûì â (17.5.20)

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

144

Ãëàâà 17. Ïåðåíîðìèðîâêà êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé

íèé èçáàâëÿåò íàñ îò íåîáõîäèìîñòè äóìàòü î çíàêàõ è êîìáèíàòîðíûõ ìíîæèòåëÿõ. Äëÿ ïåòëè êàëèáðîâî÷íîãî ïîëÿ èç ôîðìóëû (17.5.15) ïðè ξ = 1 èìååì:

[ M1A (q )]αµ ,βν = −2ηµν q λ [ Àλ ]αβ ,

[ M2A (q)]αµ,βν = ηµν Àλ À λ − À ν Àµ − Àµ Àν ãäå À λ — ìàòðèöà

αβ

+ FγµνCγαβ ,

[ Àλ ]αβ ≡ −iCαβγ A γλ ,

äëÿ êîòîðîé [ Àλ , Àρ ]αβ = − Cαδγ Cδβε ( Aγλ Aερ − Aγρ Aελ ) = −(Cαδγ Cδβε + Cαδε Cδβγ ) Aγλ Aερ = + Cαδβ Cδεγ Aγλ Aερ = Cαδβ Fδρλ .

Èíòåãðàëû èìåþò ñëåäóþùóþ ñòðóêòóðó:

z z

d 4 q q µ q ν f (q 2 ) =

1 4

ηµν d 4q q 2 f (q 2 ),

d 4 q q µ q ν q ρ q σ f (q 2 ) =

z

1 24

ηµν ηρσ + ηµρ η νσ + ηµσ ηνρ

z

d 4 q q 2 f (q 2 ) .

Ïðè ξ = 1 íàõîäèì:

z

RS T

d 4 q tr M0A (q ) −1 M2A (q )

2

UV = 4I tr À W

λ

Àλ À η À η

+ 4 I Cγαβ Cδαβ Fγµν Fδµν ,

z z

RS T d q tr RS M T

UV W

2

d 4 q tr M0A (q ) −1 M1A (q ) M0A (q ) −1 M2A (q ) = 4 I tr À λ Àλ À η À η , 4

4 A −1 A 0 (q ) M1 (q )

UV = 8 I 2À W 3

λ

Àλ À η À η + À λ À η Àλ À η ,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

17.5. Îäíîïåòëåâîå âû÷èñëåíèå...

145

ãäå J — ðàñõîäÿùèéñÿ èíòåãðàë

I ≡ d 4q [q 2 − iε ]−2 ,

z

(17.5.24)

âàæíîå çíà÷åíèå êîòîðîãî îáñóæäàåòñÿ íèæå. Ïîäñòàâëÿÿ âñå âûðàæåíèÿ íàçàä â (17.5.20), èìååì

z

d 4 q tr ln M A (q )

2

I tr À λ Àλ À η À η − À λ À η Àλ À η 3 − 2 I Cγαβ Cδαβ Fγµν Fδµν .

A4

=

Îáà ñëàãàåìûõ èìåþò íà ñàìîì äåëå îäíó è òó æå ôîðìó, òàê ÷òî, îáúåäèíÿÿ èõ, ïîëó÷àåì: 5 d 4 q tr ln M A (q ) 4 = − I Cγαβ Cδαβ Fγµν Fδµν . (17.5.25) A 3

z

Ïåðåõîäÿ ê ãîñòîâñêîé ïåòëå, âèäèì èç (17.5.17), ÷òî

[ M1ω (q )]αβ = −2[ À λ ]αβ q λ ,

(17.5.26)

[ M2ω (q )]αβ = [ À λ Àλ ]αβ .

(17.5.27)

Òîãäà

z

RS T

RS T d q tr RS M T

z z

2

d 4 q tr M0ω (q ) −1 M1ω (q ) M0ω 4

UV = I tr À À À À , W (q ) M (q )UV = I tr À À À W

d 4 q tr M0ω (q ) −1 M2ω (q )

4 ω −1 ω 0 (q ) M1 (q )

2

−1

λ

ω 2

UV = 2 I 2À W 3

λ

λ

η

η

λ

λ

η

Àη ,

Àλ À η À η + À λ À η Àλ À η .

Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ãîñòîâñêîé ïåòëè èíòåãðàë îò âåëè÷èíû (17.5.20) èìååò âèä 1 d 4 q [Tr ln M ω (q )]A4 = I Tr À λ Àλ À η À η − À λ À η Àλ À η 6 (17.5.28) 1 I Cγαβ Cδαβ Fγµν Fδµν . = 12

z

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

146

Ãëàâà 17. Ïåðåíîðìèðîâêà êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé

Íàêîíåö, âåðøèíû â ïåòëå ïîëåé ìàòåðèè ðàâíû:

/ α ) kl , [ M2ψ (q )]kl = 0, [ M1ψ (q )]kl = − i(tα A òàê ÷òî â (17.5.20) åñòü òîëüêî îäíî ñëàãàåìîå

z

d 4 q [Tr ln M ψ (q )] A4 = −

1 4

z

RS T

/α d 4 q Tr ( iq/ + m) −1 tα A

4

UV . W

Íàñ èíòåðåñóåò óëüòðàôèîëåòîâî ðàñõîäÿùàÿñÿ ÷àñòü ýòîãî èíòåãðàëà, òàê ÷òî ìû ìîæåì îòáðîñèòü ìàññó (íåñóùåñòâåííóþ ïðè áîëüøèõ qν) è çàïèñàòü:

z

d 4q [Tr ln M ψ (q )]A4 = − 1 Tr{tα tβ tγ tδ }Aαµ Aβν Aγρ Aδσ 4

× =−

X d q Tr{q/ γ q/ γ q/ γ q/ γ YZ (q − iε) µ

4

ν

2

ρ

σ

}

8

I Tr{tα tβ tγ tδ }Aαµ Aβν Aγρ Aδσ 96

(17.5.29)

× Tr 2γ λ γ µ γ λ γ ν γ η γ ρ γ η γ σ + γ λ γ µ γ η γ ν γ λ γ ρ γ η γ σ ,

n

s

ãäå J — òîò æå ðàñõîäÿùèéñÿ èíòåãðàë, ÷òî è â (17.5.24). Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñëåäîâ äèðàêîâñêèõ ìàòðèö èñïîëüçóåì àíòèêîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ýòèõ ìàòðèö. Èìååì:

Tr 2γ λ γ µ γ λ γ ν γ η γ ρ γ η γ σ + γ λ γ µ γ η γ ν γ λ γ ρ γ η γ σ =

n

s

µ ν ρ σ

= 8Tr γ γ γ γ

n

µρ νσ

= −64η η

s − 4Trnγ µν ρσ

+ 32η η

ν µ ρ σ

γ γ γ

s − 4Trnγ

µ ρ ν σ

γ γ γ

s

µσ νρ

+ 32η η .

Ôîðìóëà (17.5.29) ïðèíèìàåò âèä

z

d 4 q [Tr ln M ψ (q )]A4 =

1

I Tr [tα , tβ ][tγ , tδ ] Aαµ Aβν Aγµ Aδν 3 1 = − I Fγ µν Fδµν Tr{tγ tδ } . 3

o

t

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(17.5.30)

17.5. Îäíîïåòëåâîå âû÷èñëåíèå...

147

Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (17.5.25), (17.5.28) è (17.5.30) â ôîðìóëó (17.5.18), ïîëó÷àåì íàêîíåö

ΓA(14LOOP) =

− iI (2π)

X d xF YZ 4

4

µν γ µν Fδ

LMFG 5 + 1 IJ C NH 6 12K

γ αβ Cδαβ



1 3

OP Q

Tr{tγ tδ } ,(17.5.31)

ãäå ìû ïðåäñòàâèëè èìïóëüñíóþ äåëüòà-ôóíêöèþ â (17.5.14) êàê

δ 4 (p − p) = (2π) −4 d 4x ⋅ 1 .

z

(17.5.32)

Âàæíî, ÷òî ðåçóëüòàò îêàçàëñÿ çàâèñÿùèì îò Aαµ òîëüêî ÷åðåç íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ (17.5.11), êàê è òðåáóåò ôîíîâàÿ êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü. Èñïîëüçóåì òåïåðü (âïåðâûå â äàííîì ðàçäåëå) íàøå ïðåäïîëîæåíèå î ïðîñòîòå êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû è íåïðèâîäèìîñòè ìóëüòèïëåòà ïîëåé ìàòåðèè.  ýòîì ñëó÷àå

Cγ αβ Cδαβ = g2C1δ γδ ,

(17.5.33)

Tr{tγ tδ } = g2C2δ γδ ,

(17.5.34)

ãäå g — îáùàÿ êàëèáðîâî÷íàÿ êîíñòàíòà ñâÿçè, âõîäÿùàÿ â êà÷åñòâå ìíîæèòåëÿ â Cαβγ è tγ, à Ñ1 è Ñ2 — ÷èñëîâûå ïîñòîÿííûå, õàðàêòåðèçóþùèå êàëèáðîâî÷íóþ ãðóïïó è ïðåäñòàâëåíèå ýòîé ãðóïïû, êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò ìóëüòèïëåò ïîëåé ìàòåðèè. Íàïðèìåð, â ïåðâîíà÷àëüíîé òåîðèè ßíãà–Ìèëëñà êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïîé ÿâëÿåòñÿ SU(2) (èëè ýêâèâàëåíòíî SO(3)), è ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû èìåþò âèä Cγ αβ = gε αβγ , ãäå α, β, γ ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ 1, 2, 3. Ñðàâíèâàÿ ñ (17.5.33), âèäèì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå Ñ1 = 2. Êðîìå òîãî, â ýòîé òåîðèè ïîëÿ ìàòåðèè îáðàçóþò äóáëåò, è tα ðàâíî êîíñòàíòå g/2, óìíîæåííîé íà îáû÷íûå ìàòðèöû Ïàóëè σα, òàê ÷òî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

148

Ãëàâà 17. Ïåðåíîðìèðîâêà êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé

Ñ2 = 1/2.  áîëåå îáùåì ñëó÷àå äëÿ ãðóïïû SU(N) ñ nf ôåðìèîíàìè â ôóíäàìåíòàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè è ïðè îáû÷íîé íîðìèðîâêå ãåíåðàòîðîâ èìååì * Ñ1 = N, C2 = nf/2. (17.5.35) Âîçâðàùàÿñü ê îáùåìó ñëó÷àþ, ïîëó÷àåì èç (17.5.33) è (17.5.34): ΓA(14LOOP) =

− iI (2π)

XY d xF Z

µν γ µν Fδ

4

4

LM11 C N3

1



1 3

OP Q

C2 .

(17.5.36)

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî áåñêîíå÷íàÿ êîíñòàíòà LA â (17.4.30) ðàâíà

LA =

4ig2 I 11 (2π)

FG C H3

1

4



1 3

IJ K

C2 .

(17.5.37)

Îñòàëîñü ñêàçàòü íåñêîëüêî ñëîâ îá èíòåðïðåòàöèè ðàñõîäÿùåãîñÿ èíòåãðàëà J . Âî-ïåðâûõ, ïðåæäå ÷åì ïðîáîâàòü èíòåãðèðîâàòü ïî òðè-èìïóëüñó q, ìû ìîæåì ïîâåðíóòü êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ ïî q0 â (17.5.24) â ñòîðîíó ìíèìîé îñè. Êàê îáû÷íî, äîáàâêà –iε â çíàìåíàòåëå çàñòàâëÿåò íàñ äåëàòü ýòîò ïîâîðîò ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, òàê ÷òî q0 = iq4, ãäå q4 èçìåíÿåòñÿ îò –∞ äî +∞. Òîãäà èíòåãðàë ïðèíèìàåò âèä

X I = iY Z



0

2π 2 q 3 dq q4

,

(17.5.38)

ãäå q — âåëè÷èíà åâêëèäîâîãî 4-âåêòîðà (q1, q2, q3, q4). ×òîáû äâèãàòüñÿ äàëüøå, î÷åâèäíî, íóæåí êàêîé-òî ìåòîä ðåãóëÿðèçàöèè èíòåãðàëà. Ïðîñòåéøèé ñïîñîá îáðàùåíèÿ ñ óëüòðàôèîëåòîâûìè ðàñõîäìîñòÿìè çàêëþ÷àåòñÿ â îáðåçàíèè èíòåãðàëà ïî q âûøå íåêîòîðîãî ìàñøòàáà Λ. Îäíàêî íåîáõîäèìî è îáðåçàíèå ñíèçó, ñâÿçàííîå ñ èíôðàêðàñíîé ðàñõîäèìîñòüþ. Îíî îïðåäåëÿåòñÿ ôèçè* Äëÿ ãðóïïû SU(3) ãåíåðàòîðû ta ðàâíû g/2, óìíîæåííîé íà ìàòðèöû Ãåëë-Ìàííà λα, èñïîëüçóþùèåñÿ â ðàçäåëå 19.7, òàê ÷òî Cαβγ = (g/2)fαβγ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

149

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

êîé ñèòóàöèè. Åñëè èìïóëüñû ÷åòûðåõ âåêòîðíûõ ÷àñòèö íå ðàâíû íóëþ, òî ïî âíóòðåííèì ëèíèÿì äèàãðàììû òå÷åò îïðåäåëåííûé èìïóëüñ, òàê ÷òî èíôðàêðàñíîå îáðåçàíèå ïðîèñõîäèò íà ìàñøòàáå µ ýòèõ èìïóëüñîâ. Àíàëîãè÷íî, åñëè âû÷èñëèòü ÷åòâåðòóþ âàðèàöèîííóþ ïðîèçâîäíóþ Γ[A] ïî À íå ïðè À = 0, à ïðè íåêîòîðîì êîíå÷íîì çíà÷åíèè, òî ïðîïàãàòîðû âíóòðåííèõ ëèíèé íå âçîðâóòñÿ ïðè íóëåâûõ èìïóëüñàõ, è èíôðàêðàñíîå îáðåçàíèå áóäåò èìåòü ìåñòî íà ìàñøòàáå µ f gA.  ëþáîì ñëó÷àå J ïðèíèìàåò âèä

I = 2π 2 i

XY Z

Λ

dq

µ

q

FG 11 C H 12



= 2π 2 i ln

F ΛI GH µ JK

(17.5.39)

è ïîýòîìó LA = −

g2 2π

2

1

1 3

IJ FG Λ IJ + O(g ) . K H µK 4

C2 ln

(17.5.40)

Òîãäà èç (17.4.48) íàõîäèì ïåðåíîðìèðîâàííóþ êîíñòàíòó

LM MN

gR = g 1 +

g2 4π 2

ln

F Λ I FG 11 C GH µ JK H 12

1



1 3

IJ K

OP PQ

C2 + O(g4 ) .

(17.5.41)

Îáðàòèì âíèìàíèå íà ñëåäóþùåå.  òî âðåìÿ êàê â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå îáñóæäàâøèåñÿ â ðàçäåëå 11.2 ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè óìåíüøàþò ôèçè÷åñêóþ êîíñòàíòó ñâÿçè gR ïî ñðàâíåíèþ ñ ãîëîé êîíñòàíòîé g, â íåàáåëåâûõ êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèÿõ îíè óâåëè÷èâàþò ôèçè÷åñêóþ êîíñòàíòó ïî ñðàâíåíèþ ñ ãîëîé, åñëè òîëüêî ôåðìèîííûé ìóëüòèïëåò íå ñëèøêîì âåëèê, è Ñ2 < 11C1/4. Âàæíîñòü ýòîãî îáñòîÿòåëüñòâà áóäåò ðàñìîòðåíà â ãë. 18. Àëüòåðíàòèâíî, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü óëòðàôèîëåòîâóþ ðàñõîäèìîñòü ìåòîäàìè ðàçìåðíîé ðåãóëÿðèçàöèè, îáñóæäàâøèìèñÿ â ðàçäåëå 11.2. Òîãäà âìåñòî (17.5.39) ìîæíî çàïèñàòü I =i

X YZ



0

2π 2q d −1dq (q 2 + µ 2 )2

.

(17.5.42)

ãäå d — êîìïëåêñíàÿ ðàçìåðíîñòü, êîòîðàÿ óñòðåìëÿåòñÿ ê 4 â êîíöå âû÷èñëåíèé, à µ — èíôðàêðàñíîå îáðåçàíèå ïîðÿäêà âíåøíèõ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

150

Ãëàâà 17. Ïåðåíîðìèðîâêà êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé

èìïóëüñîâ (èëè ôîíîâûõ ïîëåé, óìíîæåííûõ íà g). Ïîêà d êîìïëåêñíî ñ Re d < 0 è µ2 > 0, èíòåãðàë èìååò êîíå÷íîå çíà÷åíèå

I = − iπ2

FG d − 1IJ µ H2 K

d −4

π

/ sin LMFGH d2 − 2IJK πOP .

N

Q

Àíàëèòè÷åñêè ïðîäîëæàÿ ê d → 4, èìååì

I → −2iπ 2

LM 1 + ln µ + . . .OP , Nd − 4 Q

(17.5.43)

ãäå ìíîãîòî÷èå îçíà÷àåò íå çàâèñÿùèå îò µ ñëàãàåìûå.  ðåçóëüòàòå LA =

g2 2π

2

FG 11 C H 12

1



FG 11 C H 12

1



1 3

C2

IJ FG 1 + ln µ + . . .IJ + O(g ) KH d − 4 K

C2

IJ FG 1 + ln µ + . . .IJ + O(g )OP . KH d − 4 K Q

4

è ïîýòîìó

LM N

gR = g 1 −

g2 2π

2

1 3

4

(17.5.44)

Çàìåòèì, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå óëüòðàôèîëåòîâûå ðàñõîäèìîñòè èìåþò äðóãóþ ôîðìó, íî çàâèñèìîñòü îò èíôðàêðàñíîãî îáðåçàíèÿ µ òàêàÿ æå. Ôîðìóëà (17.5.44) áóäåò âàæíîé îòïðàâíîé òî÷êîé îáñóæäåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé ñâîáîäû â ðàçäåëå 18.7. Çàäà÷è 1.

Ïðîâåäèòå äîêàçàòåëüñòâî ïåðåíîðìèðóåìîñòè, äàííîå â ðàçäåëå 17.2, âêëþ÷èâ â ëàãðàíæèàí ýëåìåíòàðíûå ñêàëÿðíûå ïîëÿ.

2.

Ïðîâåäèòå êâàíòîâàíèå íåàáåëåâîé êàëèáðîâî÷íîé òåîðèè â êàëèáðîâêå ôîíîâîãî ïîëÿ, èñïîëüçóÿ îáñóæäàâøèéñÿ â êîíöå ðàçäåëà 17.2 ìåòîä ÁÐÑÒ êâàíòîâàíèÿ.

3.

Âûâåäèòå ñîîòíîøåíèå (17.5.44) ìåæäó ïåðåíîðìèðîâàííîé è íåïåðåíîðìèðîâàííîé êîíñòàíòàìè ñâÿçè, âû÷èñëèâ êâàäðà-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

151

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

òè÷íûå ïî çàâèñÿùåìó îò ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ êîîðäèíàò êàëèáðîâî÷íîìó ïîëþ ñëàãàåìûå â Γ(1 ïåòëÿ). 4.

Âû÷èñëèòå â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïåðåíîðìèðîâàííîé è íåïåðåíîðìèðîâàííîé êîíñòàíòàìè ñâÿçè â êàëèáðîâî÷íîé òåîðèè, ñîäåðæàùåé ýëåìåíòàðíûå ñêàëÿðíûå ïîëÿ. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

1.

Zinn-Justin, J., in Trends in Elementary Particle Theory — International Summer Institute on Theoretical Physics in Bonn 1974 (Springer Verlag, Berlin, 1975).

2.

Äî îòêðûòèÿ ñèììåòðèè ÁÐÑÒ äîêàçàòåëüñòâà ïåðåíîðìèðóåìîñòè íåïîñðåäñòâåííî áàçèðîâàëèñü íà òîæäåñòâàõ Ñëàâíîâà–Òåéëîðà äëÿ êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Ñì. ðàáîòû: Lee, B.W. and Zinn-Justin, J., Phys. Rev., D5, 3121, 3137 (1972); Phys. Rev., D7, 1049 (1972); `t Hooft, G. and Veltman M., Nucl. Phys., B50, 318 (1972); Lee, B.W., Phys. Rev., D9, 933 (1974). Ïåðâîå äîêàçàòåëüñòâî ïåðåíîðìèðóåìîñòè, îñíîâàííîå íà ñèììåòðèè ÁÐÑÒ äàíî â ðàáîòå: Becci, C., Rouet, A., and Stora, R., Commun. Math. Phys., 42, 127 (1975); in Renormalization Theory — Proceedings of the International School of Mathematical Physics at Erice, August 1975, rds. G. Velo and A.S. Wightman (D.Reidel, Dordrecht, 1976), pp. 269-297, 299-343. Ïðèâåäåííîå çäåñü äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò îáùåé ëèíèè ðàáîòû Çèíí-Æþñòåíà [1]; ñì. òàêæå: Lee, B.W., in Methods in Field Theory, eds. R. Balian and J. Zinn-Justin (NorthHolland, Amsterdam, 1976), pp. 79-139.

3.

Òî÷êà çðåíèÿ è èçëîæåíèå âîïðîñà áàçèðóåòñÿ íà ðàáîòå: Gomis, J. and Weinberg, S., Nucl. Phys., B469, 475 (1996). Áîëåå ðàííåå èñïîëüçîâàíèå òåõ æå ìåòîäîâ ñì. â ðàáîòàõ: Voronov, B.L. and Tyutin, I.V., Theor. Math. Phys., 50, 218 (1982); 52, 628 (1982); Voronov, B.L., Lavrov, P.M., and Tyutin, I.V., Sov. J. Nucl. Phys., 36, 292 (1982); Lavrov, P.M. and Tyutin, I.V., Sov. J. Nucl. Phys., 41, 1049 (1985); Anselmi, D., Class. and Quant. Grav., 11, 2181

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

152

Ãëàâà 17. Ïåðåíîðìèðîâêà êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé

(1994); 12, 319 (1995); Harada, M., Kugo, T., and Yamawaki, K., Progr. Theor. Phys., 91, 801 (1994). 4.

Barnich, G. and Henneaux, M., Phys. Rev. Lett., 72, 1588 (1994); Barnich, G., Brandt, F., and Henneaux, M., Phys. Rev., 51, R143 (1995); Commun. Math. Phys., 174, 57, 93 (1995); Nucl. Phys., B455, 357 (1995).

5.

Êàëèáðîâêà ôîíîâîãî ïîëÿ áûëà ââåäåíà â ðàáîòå: de Witt, B., Phys. Rev., 162, 1195, 1239 (1967). Èññëåäîâàíèå ìíîãîïåòëåâûõ ýôôåêòîâ ñì. â ðàáîòàõ: `t Hooft, G., in Functional and Probabilistic Methods in Quantum Field Theory: Proc. of the 12th Karpacz Winter School of Theoretical Physics (Acta Univ. Bratislavensis, no. 38, 1975); de Witt, B., in Quantum Gravity II, eds. C. Isham, R. Penrose, and D. Sciama (Oxford Univ. Press, Oxford, 1982); Abbott, L.F., Nucl. Phys., B185, 189 (1981).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

18 Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû Ìåòîä ðåíîðìàëèçàöèîííîé ãðóïïû áûë ïåðâîíà÷àëüíî ïðåäëîæåí Ãåëë-Ìàííîì è Ëîó1 êàê ñðåäñòâî áîðüáû ñ êðàõîì òåîðèè âîçìóùåíèé ïðè î÷åíü âûñîêèõ ýíåðãèÿõ â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå. Áûëî îáíàðóæåíî, ÷òî âêëàä n-ïåòëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ â àìïëèòóäó, ñîäåðæàùóþ èìïóëüñû ïîðÿäêà q, íàïðèìåð, â àìïëèòóäó ïîëÿðèçàöèè âàêóóìà Πµν(q), ñîäåðæèò n ìíîæèòåëåé ln(q2/me2), à òàêæå ìíîæèòåëü αn, òàê ÷òî êîãäà α ln(q2/me2) âåëèêî, òåîðèÿ âîçìóùåíèé ñòàíîâèòñÿ íåïðèìåíèìîé äàæå ïðè ìàëîé âåëè÷èíå ïîñòîÿííîé òîíêîé ñòðóêòóðû α. Äàæå â áåçìàññîâîé òåîðèè, íàïðèìåð, â íåàáåëåâîé êàëèáðîâî÷íîé òåîðèè, ìû äîëæíû ââîäèòü íåêîòîðóþ øêàëó µ, ÷òîáû çàäàòü òî÷êó ïåðåíîðìèðîâêè, â êîòîðîé îïðåäåëÿþòñÿ ïåðåíîðìèðîâàííûå êîíñòàíòû ñâÿçè, è â ýòîì ñëó÷àå ìû ñòàëêèâàåìñÿ ñ ëîãàðèôìàìè ln(E/µ), òàê ÷òî, íåñìîòðÿ íà ìàëîñòü êîíñòàíòû ñâÿçè, òåîðèÿ âîçìóùåíèé ìîæåò íàðóøàòüñÿ ïðè E . µ èëè E n µ. Ê ñ÷àñòüþ, ñóùåñòâóåò ìîäèôèöèðîâàííàÿ âåðñèÿ òåîðèè âîçìóùåíèé, êîòîðóþ ÷àñòî ìîæíî ïðèìåíèòü â ïîäîáíûõ ñëó÷àÿõ. Êëþ÷åâàÿ èäåÿ ýòîãî ïîäõîäà ñîñòîèò âî ââåäåíèè êîíñòàíò ñâÿçè gµ, îïðåäåëåííûõ ïðè ñêîëüçÿùåé ïåðåíîðìèðîâî÷íîé øêàëå µ, ò. å. øêàëå, êîòîðàÿ íèêàêèì ôèêñèðîâàííûì îáðàçîì íå ñâÿçàíà ñ ìàññàìè ÷àñòèö. Çàòåì, âûáèðàÿ µ òîãî æå ïîðÿäêà âåëè÷èíû, ÷òî è òèïè÷íàÿ äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîöåññà ýíåðãèÿ Å, ìîæíî îáåçâðåäèòü ìíîæèòåëè ln(E/µ). Ïîñëå ýòîãî ìîæíî ïðîäîëæàòü âû÷èñëåíèÿ ïî òåîðèè âîçìóùåíèé äî òåõ ïîð, ïîêà gµ îñòàåòñÿ ìàëîé.  ÷àñòíîñòè, çàäàâ êîíñòàíòû ñâÿçè, îïðåäåëåííûå â òî÷êå µ, ìîæíî ñ ïîìîùüþ òåîðèè âîçìóùåíèé âû÷èñëèòü ôèçè÷åñêèå àìïëèòóäû ïðè ýíåðãèè µ + dµ è èñïîëüçîâàòü èõ äëÿ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

154

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

âû÷èñëåíèÿ êîíñòàíò ñâÿçè, îïðåäåëåííûõ â ïåðåíîðìèðîâàííîé òî÷êå µ + dµ. Èíòåãðèðóÿ âîçíèêàþùåå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, ìîæíî çàòåì ñâÿçàòü êîíñòàíòû ñâÿçè â èíòåðåñóþùåé íàñ òî÷êå ñ êîíñòàíòàìè, îïðåäåëåííûìè â èñõîäíîé òî÷êå. (Ïåðâîíà÷àëüíî íàçâàíèå «ðåíîðìàëèçàöèîííàÿ ãðóïïà»* âîçíèêëî ïîòîìó, ÷òî çäåñü ðàññìàòðèâàþòñÿ óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùå èçìåíåíèÿ âèäà òåîðèè â ðåçóëüòàòå ïåðåîïðåäåëåíèÿ ïåðåíîðìèðîâàííûõ êîíñòàíò ñâÿçè. Íà ñàìîì äåëå, âñå ýòî íå èìååò íèêàêîãî îòíîøåíèÿ ê òåîðèè ãðóïï.) Ìåòîä ðåíîðìãðóïïû ïîçâîëÿåò òàêæå êà÷åñòâåííî ïðîñëåäèòü çà àñèìïòîòè÷åñêèì ïîâåäåíèåì ïðè î÷åíü áîëüøèõ èëè (â áåçìàññîâûõ òåîðèÿõ) î÷åíü ìàëûõ ýíåðãèÿõ, äàæå êîãäà êîíñòàíòû ñâÿçè íà èíòåðåñóþùåì íàñ ìàñøòàáå ñëèøêîì âåëèêè, ÷òîáû ìîæíî áûëî ïðèìåíÿòü òåîðèþ âîçìóùåíèé. Õîòÿ ìåòîä ðåíîðìãðóïïû ïåðâîíà÷àëüíî âîçíèê â ñâÿçè ñ èçìåíåíèÿìè â ðåöåïòå îïðåäåëåíèÿ ïåðåíîðìèðîâàííûõ êîíñòàí ñâÿçè, îí ïðèîáðåë áîëåå øèðîêèé ñìûñë. Êîãäà ìû çàìåíÿåì ãîëûå êîíñòàíòû è ïîëÿ íà ïåðåíîðìèðîâàííûå, îïðåäåëåííûå ÷åðåç ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû, âû÷èñëåííûå ïðè õàðàêòåðíîé ýíåðãåòè÷åñêîé øêàëå µ, èíòåãðàëû ïî âèðòóàëüíûì èìïóëüñàì ýôôåêòèâíî îáðåçàþòñÿ íà ìàñøòàáàõ ýíåðãèé è èìïóëüñîâ ïîðÿäêà µ. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ìû èçìåíÿåì µ, ìû ôàêòè÷åñêè èçìåíÿåì ìàñøòàáû òåõ ñòåïåíåé ñâîáîäû, êîòîðûå ó÷èòûâàþòñÿ â íàøèõ âû÷èñëåíèÿõ. Óðîê, âûòåêàþùèé èç ðàññìîòðåíèÿ ðåíîðìãðóïïû, ñîñòîÿùèé â òîì, ÷òî äëÿ óñòðàíåíèÿ áîëüøèõ ëîãàðèôìîâ ñëåäóåò âûáðàòü µ ïîðÿäêà òèïè÷íîé ýíåðãèè Å â èçó÷àåìîì ïðîöåññå, åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé áîëåå îáùåãî ïðèíöèïà, óòâåðæäàþùåãî, ÷òî äëÿ âû÷èñëåíèé ïðè çàäàííîé ýíåðãèè ñëåäóåò ñíà÷àëà èçáàâèòüñÿ îò ñòåïåíåé ñâîáîäû ïðè çíà÷èòåëüíî áîëüøèõ ýíåðãèÿõ. Åñòü ìíîãî äðóãèõ ñïîñîáîâ äîñòè÷ü ýòîãî. Êàê ìû âèäåëè â ðàçäåëå 12.4, â òîì ïîäõîäå ê ðåíîðìàëèçàöèîííîé ãðóïïå, êîòîðûé ñâÿçàí ñ ïèîíåðñêèìè ðàáîòàìè Âèëüñîíà 2, ââîäèòñÿ ÿâíîå êîíå÷íîå îáðåçàíèå, ñîïðîâîæäàåìîå òàêèì èçìåíåíèåì ïàðàìåòðîâ òåîðèè, ïðè êîòîðîì ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû îñòàþòñÿ íåçàâèñÿùèìè îò îáðåçàíèÿ. Òàêîé ïîäõîä òðåáóåò ââåäåíèÿ áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà òèïîâ âçàèìîäåéñòâèé, êîòîðûå äîïóñêàþòñÿ ñèììåòðèÿìè òåîðèè, è ïîýòîìó íå ñëèøêîì óäîáåí ïðè ðàññìîòðåíèè ðåàëüíî *  ðóññêîÿçû÷íîé ëèòåðàòóðå ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ òåðìèí ðåíîðìãðóïïà, êîòîðûé ìû è áóäåì äàëåå óïîòðåáëÿòü. — Ïðèì. ïåð.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

18.1. Îòêóäà áåðóòñÿ áîëüøèå ëîãàðèôìû?

155

ïåðåíîðìèðóåìûõ òåîðèé òèïà êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè (õîòÿ, êàê îáñóæäàëîñü â ðàçäåëå 12.3, ñåãîäíÿ êâàíòîâàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà ðàññìàòðèâàåòñÿ ëèøü êàê î÷åíü õîðîøåå ïðèáëèæåíèå ê íåïåðåíîðìèðóåìîé òåîðèè, â êîòîðîé âçàèìîäåéñòâèÿ âûñøåé ðàçìåðíîñòè ïîäàâëåíû îòðèöàòåëüíûìè ñòåïåíÿìè êàêîé-òî î÷åíü áîëüøîé ìàññû). Åñëè îáðåçàíèå ñîâåðøàåòñÿ ïðè êâàíòîâàíèè êàëèáðîâî÷íîé òåîðèè íà êîíå÷íîé ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé ðåøåòêå, âèëüñîíîâñêèé ïîäõîä èìååò òî ïðåèìóùåñòâî, ÷òî ìîæíî äåëàòü âû÷èñëåíèÿ, ñîõðàíÿÿ ÿâíóþ êàëèáðîâî÷íóþ èíâàðèàíòíîñòü (îáúåì êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû ðàâåí îáúåìó ãðóïïû ãëîáàëüíîé ñèììåòðèè, óìíîæåííîìó íà ÷èñëî ãðàíåé ðåøåòêè), îäíàêî íåäîñòàòêîì ÿâëÿåòñÿ îòñóòñòâèå ÿâíîé èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé âðàùåíèÿ èëè Ëîðåíöà.  ëþáîì ñëó÷àå, êàêîé áû ïîäõîä íå èñïîëüçîâàëñÿ äëÿ óñòðàíåíèÿ ñòåïåíåé ñâîáîäû ïðè âûñîêèõ ýíåðãèÿõ, ñîõðàíÿåòñÿ çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü ôîðìàëèçìà ðåíîðìãðóïïû. 18.1. Îòêóäà áåðóòñÿ áîëüøèå ëîãàðèôìû? Ïîñìîòðèì ñíà÷àëà, êàê ìîãóò âîçíèêíóòü áîëüøèå ëîãàðèôìû ïðè î÷åíü áîëüøèõ ýíåðãèÿõ. Ðàññìîòðèì ôèçè÷åñêóþ àìïëèòóäó, ñå÷åíèå èëè ëþáîé äðóãîé âåðîÿòíîñòíûé ïàðàìåòð Γ(E,x,g,m), çàâèñÿùåé îò îáùåãî ìàñøòàáà ýíåðãèé Å, îò ðàçëè÷íûõ óãëîâ è îòíîøåíèé ýíåðãèé, êîëëåêòèâíî îáîçíà÷åííûõ x, îò ðàçëè÷íûõ áåçðàçìåðíûõ êîíñòàíò ñâÿçè, êîëëåêòèâíî îáîçíà÷åííûõ g, è ðàçëè÷íûõ ìàññ, êîëëåêòèâíî îáîçíà÷åííûõ m. Åñëè Γ èìååò ðàçìåðíîñòü [ìàññà]D (íàïðèìåð, äëÿ ñå÷åíèÿ D = –2), òî íà îñíîâàíèè ïðîñòîãî ðàçìåðíîãî àíàëèçà èìååì:

FG H

Γ(E, x, g, m) = E D Γ 1, x, g,

IJ . EK

m

(18.1.1)

Ìîæíî îæèäàòü, ÷òî â ïðåäåëå Å → ∞ òàêàÿ àìïëèòóäà áóäåò âåñòè ñåáÿ êàê ïðîñòàÿ ñòåïåíü: Γ (E, x, g, m) → E D Γ (1, x, g,0) .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

156

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

Íî îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýòî íå òàê. Ïðè ðàñ÷åòàõ ïî òåîðèè âîçìóùåíèé îáíàðóæèâàåòñÿ, ÷òî ìíîæèòåëü ED ñîïðîâîæäàåòñÿ ñòåïåíÿìè ln(E/m), èñêàæàþùèìè ïðîñòîå ñòåïåííîå ïîâåäåíèå. ßñíî, ÷òî ñòåïåíè ln(E/m) ìîãóò âîçíèêíóòü ïðè E → ∞ è ôèêñèðîâàííîì m, òîëüêî åñëè àìïëèòóäà G ïðè ôèêñèðîâàííîé ýíåðãèè Å ñòàíîâèòñÿ ñèíãóëÿðíîé ïðè m → 0. Ñóùåñòâóþò äâà êëàññà ïîäîáíûõ ìàññîâûõ ñèíãóëÿðíîñòåé, îäíà èç êîòîðûõ ëåãêî óñòðàíÿåòñÿ ïóòåì âû÷èñëåíèÿ àìïëèòóäû èëè âåðîÿòíîñòè ïðàâèëüíîãî òèïà, à äðóãàÿ òðåáóåò èçìåíåíèÿ ïðîöåäóðû ïåðåíîðìèðîâêè. Ñèíãóëÿðíîñòè ïðè íóëåâîé ìàññå ïåðâîãî òèïà âîçíèêàþò â ðåçóëüòàòå ñëèÿíèÿ ïîëþñîâ ïðîïàãàòîðîâ íà ìàññîâûõ îáîëî÷êàõ ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷àñòèö. Íàïðèìåð, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôåéíìàíîâñêàÿ äèàãðàììà ñîäåðæèò âõîäÿùóþ ëèíèþ ñ ïîëíûì 4-èìïóëüñîì pµ, ïðèêðåïëåííóþ â âåðøèíå ê âíóòðåííèì ëèíèÿì ÷àñòèö ñ ìàññàìè m1, m2, ..., mn. Ñîãëàñíî âûâîäàì ãë. 10, ñîîòâåòñòâóþùàÿ äèàãðàììà áóäåò èìåòü ðàçðåç, èäóùèé âäîëü îòðèöàòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé îñè ð2 îò òî÷êè p2 = –(m1 + ... + mn)2 äî –∞. Ýòî íå ïðèâîäèò ê ñèíãóëÿðíîñòÿì, åñëè âíåøíÿÿ ëèíèÿ ñîîòâåòñâóåò ñòàáèëüíîé ÷àñòèöå ìàññîé M < m1 + ... + mn, òàê êàê òî÷êà p2 = –M2 íàõîäèòñÿ âíå ðàçðåçà. Îäíàêî, êîãäà âñå M, m1, ..., mn ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ, çíà÷åíèå –ð2 íà ìàññîâîé îáîëî÷êå è òî÷êà âåòâëåíèÿ íà êîíöå ðàçðåçà ñáëèæàþòñÿ, ñëèâàÿñü ïðè ð2 = 0 è ïðèâîäÿ ê âîçíèêíîâåíèþ ñèíãóëÿðíîñòè. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ìîæíî èçáåæàòü èíôðàêðàñíûõ ðàñõîäèìîñòåé ïðè m = 0, ïðîñòî îñòàâàÿñü âíå ìàññîâîé îáîëî÷êè, íàïðèìåð, óñòðåìëÿÿ ð2 äëÿ âñåõ âíåøíèõ ëèíèé ê +∞ âìåñòå ñî âñåìè ýíåðãåòè÷åñêèìè ïåðåìåííûìè. Ïîñëå ýòîãî ìîæíî èñïîëüçîâàòü äèñïåðñèîííûå ñîîòíîøåíèÿ èëè êàêóþ-òî äðóãóþ òåõíèêó àíàëèòè÷åñêîãî ïðîäîëæåíèÿ, è èñïîëüçîâàòü ðåçóëüòàòû ïîâåäåíèÿ ôåéíìàíîâñêèõ àìïëèòóä â òàêîì ïðåäåëå äëÿ òîãî, ÷òîáû ÷òî-òî óçíàòü îá ýëåìåíòàõ S-ìàòðèöû. ×àñòî òàêîå ïðîäîëæåíèå îêàçûâàåòñÿ íåíóæíûì, òàê êàê íàñ èíòåðåñóþò íå ýëåìåíòû Sìàòðèöû íà ìàññîâîé îáîëî÷êå, à ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû òîêîâ, íåñóùèå èìïóëüñû q, íå ñâÿçàííûå ñ êàêèìè-òî ìàññàìè. Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ ïîëÿðèçàöèè âàêóóìà π(q2), îïðåäåëåííàÿ â ðàçäåëå 10.5, ñâîáîäíà îò ñèíãóëÿðíîñòåé ïðè íóëåâûõ ìàññàõ ïåðâîãî òèïà âåçäå, êðîìå îáëàñòè q2 < 0. Äðóãîé ïîäõîä ê óñòðàíåíèþ ìàññîâûõ ñèíãóëÿðíîñòåé ïåðâîãî òèïà ñâÿçàí ñ íàáëþäåíèåì, ÷òî îáû÷íî ñèíãóëÿðíîñòè ïðè

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

18.1. Îòêóäà áåðóòñÿ áîëüøèå ëîãàðèôìû?

157

íóëåâîé ìàññå âîçíèêàþò ïðè ïîïûòêàõ âû÷èñëèòü ñå÷åíèå, êîòîðîå íå èçìåðèìî â ïðåäåëå m → 0. Íàïðèìåð, â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå ñå÷åíèå ëþáîãî ïðîöåññà, âêëþ÷àþùåãî îïðåäåëåííîå êîëè÷åñòâî ýëåêòðîíîâ è ôîòîíîâ, ñòàíîâèòñÿ èíôðàêðàñíî ðàñõîäÿùèìñÿ â ïðåäåëå me → 0, äàæå åñëè ìû ïðîñóììèðóåì ïî íåîãðàíè÷åííîìó ÷èñëó ìÿãêèõ ôîòîíîâ, ïîñêîëüêó â òàêîì ïðåäåëå íåâîçìîæíî îòëè÷èòü ýëåêòðîí îò ñòðóè ýëåêòðîíîâ, ïîçèòðîíîâ è ôîòîíîâ ñ ïîëíûì çàðÿäîì –å, âñå ÷àñòèöû â êîòîðîé ëåòÿò â òîì æå íàïðàâëåíèè è ñ òîé æå ñêîðîñòüþ. Êàê ïîêàçàíî â ãë. 13, ïîäîáíûå èíôðàêðàñíûå ðàñõîäèìîñòè ìîæíî èçëå÷èòü, ðàññìàòðèâàÿ òîëüêî ïîäõîäÿùèì îáðàçîì ïðîèíòåãðèðîâàííûå ñå÷åíèÿ, êîòîðûå áóäóò èçìåðèìûìè ïðè me → ∞. Òàê, âìåñòî òîãî, ÷òîáû ïûòàòüñÿ âû÷èñëèòü ñå÷åíèå êîíêðåòíîãî ïðîöåññà êîìïòîíîâñêîãî ðàññåÿíèÿ, ñëåäóåò âû÷èñëÿòü ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ ñòðóè ñ ïîëíûì çàðÿäîì –å íà äðóãîé ñòðóå ñ íóëåâûì ïîëíûì çàðÿäîì ñ îáðàçîâàíèåì äâóõ äðóãèõ òàêèõ ñòðóé è ìÿãêèõ ôîòîíîâ. Ïîäîáíûå èíêëþçèâíûå âåðîÿòíîñòè èëè ñå÷åíèÿ, îñòàþùèåñÿ êîíå÷íûìè ïðè îáðàùåíèè â íóëü âñåõ ìàññ, íàçûâàþòñÿ «èíôðàêðàñíî áåçîïàñíûìè». Íà ýòîì íàøè ïðîáëåìû íå êîí÷àþòñÿ. Äàæå åñëè óäàñòñÿ èçáåæàòü èíôðàêðàñíûõ ðàñõîäèìîñòåé, ïðîèíòåãðèðîâàâ ñå÷åíèÿ èëè îñòàâàÿñü âíå ìàññîâîé îáîëî÷êè, ðåçóëüòèðóþùèå ïðîèíòåãðèðîâàííûå ñå÷åíèÿ èëè àìïëèòóäû âíå ìàññîâîé îáîëî÷êè ñîäåðæàò ïðè ýíåðãèÿõ Å ìàññîâûå ñèíãóëÿðíîñòè âòîðîãî òèïà, ïðèâîäÿùèå ê ìíîæèòåëÿì ln(E/m), íàðóøàþùèì âûòåêàþùåå èç ðàçìåðíîãî àíàëèçà íàèâíîå ñòåïåííîå ïîâåäåíèå. Ïðè÷èíà êîðåíèòñÿ â òîì, ÷òî ïåðåíîðìèðîâàííûå êîíñòàíòû ñâÿçè ïî ñîãëàøåíèþ îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç àìïëèòóäû, êîòîðûå èíôðàêðàñíî ðàñõîäÿòñÿ â ïðåäåëå âñåõ íóëåâûõ ìàññ. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, òåîðèþ äåéñòâèòåëüíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ñ ëàãðàíæèàíîì L =−

1 2

∂ λ ϕ∂ λ ϕ −

1 2

m2ϕ 2 −

1 24

gϕ 4 .

(18.1.2)

 îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè èíâàðèàíòíàÿ àìïëèòóäà óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ äëÿ ïðîöåññà ðàññåÿíèÿ ñêàëÿðíûõ ÷àñòèö ñ íà÷àëüíûìè èìïóëüñàìè ð1, ð2 è êîíå÷íûìè èìïóëüñàìè ð′1, ð′2 äàåòñÿ âûðàæåíèåì (12.2.24):

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

158

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû 1

X dx|RlnF Λ I A = g− Y S G 32π Y Z T| H m − sx(1 − x) JK F Λ I + lnF Λ I − 3U|V + O(g ) , (18.1.3) + ln G J G H m − tx(1 − x) K H m − ux(1 − x) JK |W g2

2

2

2

0 2

2

3

2

2

ãäå s, t, u — ìàíäåëüñòàìîâñêèå ïåðåìåííûå s = −(p1 + p2 )2 , t = −(p1 − p1′ )2 , u = −(p1 − p2′ )2 ,

à Λ — óëüòðàôèîëåòîâîå îáðåçàíèå. Äî òåõ ïîð, ïîêà s, t, u óäåðæèâàþòñÿ âíå ïîëîæèòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé îñè è, â ÷àñòíîñòè, êîãäà âñå îíè óñòðåìëÿþòñÿ ê –∞ (÷òî íàðóøàåò óñëîâèå íàõîæäåíèÿ íà ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè s + t + u = 4m2), àìïëèòóäà íå ñîäåðæèò ñèíãóëÿðíîñòåé ïðè íóëåâîé ìàññå. Êîíå÷íî, àìïëèòóäà çàâèñèò îò îáðåçàíèÿ Λ è îò m, òàê ÷òî äàæå åñëè ñèíãóëÿðíîñòè ïðè íóëåâîé ìàññå îòñóòñòâóþò, ìû íå ïîëó÷èì ðåçóëüòàò A → const, êîòîðûé ïîëó÷èëñÿ áû èç íàèâíûõ ðàçìåðíûõ ñîîáðàæåíèé â ïðåäåëå s, t, u → –∞. Çàâèñèìîñòü îò îáðåçàíèÿ ìîæíî óïðÿòàòü â ïåðåíîðìèðîâêó. Ìû çàìåíÿåì ãîëóþ êîíñòàíòó g íà ïåðåíîðìèðîâàííóþ êîíñòàíòó gR, îïðåäåëåííóþ êàê çíà÷åíèå À â êàêîé-òî óäîáíîé òî÷êå ïåðåíîðìèðîâêè. Íàïðèìåð, ìîæíî âçÿòü gR ≡ A(s = t = u = 0) = g−

3g2 32 π 2

F ln Λ GH m

2 2

I JK

− 1 + O(g3 ) .

(18.1.4)

Òîãäà (18.1.3) ïðèíèìàåò âèä 1

X dxRSlnFG1 − sx(1 − x) IJ A=g + Y T H m K 32π Z F tx(1 − x) IJ + lnFG1 − ux(1 − x) IJ UV + O(g + ln G 1 − H m K H m KW 2 gR

R

2

2

0

2

2

3 R),

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(18.1.5)

18.1. Îòêóäà áåðóòñÿ áîëüøèå ëîãàðèôìû?

159

(Âî âòîðîì ñëàãàåìîì ìîæíî ñâîáîäíî çàìåíèòü g2 íà gR2, òàê êàê ðàçíîñòü âñåãî ëèøü ïîðÿäêà g3). Ýòî âûðàæåíèå ñâîáîäíî îò óëüòðàôèîëåòîâûõ ðàñõîäèìîñòåé, íî èìååò ñèíãóëÿðíîñòü ïðè m = 0, äàæå, åñëè âñå s, t, u óäåðæèâàþòñÿ îòðèöàòåëüíûìè. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè s, t, u → –∞ ìû ñíîâà ïðèõîäèì ê àñèìïòîòè÷åñêîìó ïîâåäåíèþ, ïðîòèâîðå÷àùåìó îæèäàíèÿì, îñíîâàííûì íà íàèâíîì ïîäñ÷åòå ñòåïåíåé: −s −t −u g2 + ln + ln −6 A → gR + R 2 ln (18.1.6) 2 2 m m m2 32π

RS FG IJ T H K

FG IJ H K

FG IJ UV H K W

(Ïðàêòè÷åñêè òî æå ñàìîå ïðîèñõîäèò è ïðè ëþáîì äðóãîì «åñòåñòâåííîì» îïðåäåëåíèè ïåðåíîðìèðîâàííîé êîíñòàíòû. Íàïðèìåð, ìîæíî îïðåäåëèòü gR ïðè çíà÷åíèè À â ñèììåòðè÷íîé òî÷êå íà ìàññîâîé îáîëî÷êå s = t = u = 4m2/3, ÷òî ïðèâåäåò ê òàêîìó æå àñèìïòîòè÷åñêîìó ïîâåäåíèþ, ÷òî è (18.1.6), ñ òîé ðàçíèöåé, ÷òî ïîñòîÿííàÿ –6 çàìåíèòñÿ íà äðóãóþ ÷èñëîâóþ ïîñòîÿííóþ.) ßñíî, ÷òî ñèíãóëÿðíîñòü ïðè íóëåâîé ìàññå, ñ êîòîðîé ìû ñòàëêèâàåìñÿ ïðè âûðàæåíèè À ÷åðåç gR, ïîëíîñòüþ âîçíèêàåò îò ñëàãàåìîãî ln m2 â âûðàæåíèè (18.1.4) äëÿ ïåðåíîðìèðîâàííîé êîíñòàíòû gR ÷åðåç ãîëóþ êîíñòàíòó ñâÿçè g.  äîïîëíåíèå ê ðàññìîòðåííûì ñóùåñòâóþò äðóãèå ñèíãóëÿðíîñòè ïðè íóëåâîé ìàññå, âîçíèêàþùèå ïðè âû÷èñëåíèè ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ îïåðàòîðîâ (íàïðèìåð, ôåéíìàíîâñêèõ àìïëèòóä âíå ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè), à íå èíòåãðàëîâ îò ñå÷åíèé. Òàêèå ñèíãóëÿðíîñòè âîçíèêàþò èç-çà íåîáõîäèìñòè ïåðåíîðìèðîâàòü íå òîëüêî êîíñòàíòû ñâÿçè, íî è ýòè îïåðàòîðû. Íàïðèìåð, ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ñêàëÿðíîé òåîðèè ïîëÿ ñ ëàãðàíæèàíîì (18.1.2) ìû õîòèì âû÷èñëèòü ìàòðè÷íûé ýëåìåíò 〈β|O (p)|α〉 îïåðàòîðà

O (p) ≡ d 4xe − ip⋅x ϕ 2 (x) .

z

(18.1.7)

Íà ÿçûêå ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì ýòî ñîîòâåòñòâóåò âêëþ÷åíèþ âåðøèíû, â êîòîðîé ñõîäÿòñÿ äâå âíóòðåííèå ëèíèè ϕ è ÷åðåç êîòîðóþ ïðîòåêàåò ïîëíûé 4-èìïóëüñ ð â äèàãðàììû ïåðåõîäà α → β (ñì. ðèñ. 18.1). Óëüòðàôèîëåòîâûå ðàñõîäèìîñòè âîçíèêàþò îò êëàññà äèàãðàìì, â êîòîðûõ ýòà íîâàÿ âåðøèíà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ ïîääèàãðàììû, ñâÿçàííîé ñ îñòàëüíîé ÷àñòüþ äèàãðàììû ðîâíî äâóìÿ ϕ-ëèíèÿìè (ðèñ. 18.2). Èç ðàçìåðíîãî àíà-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

160

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

Ðèñ. 18-1. Ôåéíìàíîâñêèå äèàãðàììû â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè äëÿ ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà îïåðàòîðà ∫d4x exp(-i p•x) ϕ2(x) â òåîðèè ýëåìåíòàðíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ϕ(x). Çàøòðèõîâàííûé äèñê ïðåäñòàâëÿåò ñóììó äèàãðàìì ñ óêàçàííûìè âíåøíèìè äèíèÿìè. Ïîìèìî ïàðû âíåøíèõ ëèíèé, âõîäÿùèõ â âåðøèíó ϕ2 äðóãèå âíåøíèå ëèíèè, ïðèêðåïëåííûå ê äèñêó, ïðåäñòàâëÿþò òå ÷àñòèöû â íà÷àëüíîì èëè êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè, äëÿ ïåðåõîäà ìåæäó êîòîðûìè âû÷èñëÿåòñÿ ìàòðè÷íûé ýëåìåíò

Ðèñ. 18-2. Êëàññ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì äëÿ ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà îïåðàòîðà ∫d4x exp(-i p•x) ϕ2(x), â êîòîðîì âîçíèêàåò óëüòðàôèîëåòîâàÿ ðàñõîäèìîñòü. Îáîçíà÷åíèÿ òå æå, ÷òî íà ðèñ. 18-1

ëèçà ñëåäóåò, ÷òî åñëè ïîääèàãðàììà ñâÿçàíà ñ îñòàëüíîé ÷àñòüþ äèàãðàììû áîëåå ÷åì äâóìÿ ëèíèÿìè ϕ, îíà áóäåò ñõîäèòüñÿ,, òàê êàê âçàèìîäåéñòâèå ϕ2 èìååò ðàçìåðíîñòü +2, è ïîýòîìó ïîääèàãðàììà, â êîòîðîé ýòà âåðøèíà ñâÿçàíà ñ îñòàëüíîé ÷àñòüþ n > 2 ëèíèÿìè, èìååò ðàçìåðíîñòü 4 – 2 – n < 0. Ðàñõîäÿùàÿñÿ ÷àñòü ïîääèàãðàììû åñòü ïðîñòî ëîãàðèôìè÷åñêè ðàñõîäÿùàÿñÿ êîíñòàíòà, ïîýòîìó ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ϕ2 ìîãóò áûòü ñäåëàíû êîíå÷íûìè* óìíîæåíèåì ϕ2 íà ïîäõîäÿùóþ ðàñõîäÿùóþñÿ êîí*  ýòîì ðàññóæäåíèè ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî ëþáûå ðàñõîäèìîñòè, âîçíèêàþùèå èç ïîääèàãðàìì, ñîäåðæàùèõ âåðøèíó ϕ2, ïðèêðåïëåííóþ ê îñòàëüíîé ÷àñòè ïîääèàãðàììû ðîâíî äâóìÿ ëèíÿìè ϕ, óñòðàíåíû àíàëîãè÷íûì îáðàçîì.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

18.2. Ñêîëüçÿùèé ìàñøòàá

161

Ðèñ. 18-3. Ðàñõîäÿùàÿñÿ ÷àñòü äèàãðàììû ðèñ. 18-2 â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè

ñòàíòó Zϕ2 .  ïîðÿäêå g2 ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîääèàãðàììà îïðåäåëÿåòñÿ äèàãðàììàìè ðèñ. 18.3 è âíîñèò â ìàòðè÷íûé ýëåìåíò O (p) ðàñõîäÿùèéñÿ ìíîæèòåëü

L −i F(p) = 1 + − i(2π) g M 2 N (2π) 1

2

4

4

OP XY QZ

d 4k k 2 + m 2 − iε ( p − k ) 2 + m 2 − iε

.

(18.1.8) Êîìáèíèðóÿ çíàìåíàòåëè, ïîâîðà÷èâàÿ êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ ïî k0 è ñîâåðøàÿ óëüòðàôèîëåòîâîå îáðåçàíèå Λ, íàõîäèì ïðè Λ → ∞:

F(p) = 1 −

g 32π 2

1

X dxLMlnF YY M GH m Z N 0

I − 1OP + O(g ) . J PQ + p x(1 − x) K Λ2

2

2

2

(18.1.9)

Çäåñü íåò ñèíãóëÿðíîñòè ïðè íóëåâîé ìàññå (äî òåõ ïîð, ïîêà ð2 óäåðæèâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì), íî, êîíå÷íî, åñòü çàâèñèìîñòü îò îáðåçàíèÿ. Òàêàÿ ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ðàñõîäèìîñòü óñòðàíÿåòñÿ îïðåäåëåíèåì ïåðåíîðìèðîâàííîãî îïåðàòîðà ϕ2:

(ϕ 2 ) R = N ( ϕ ) ϕ 2 2

(18.1.10)

ãäå N (ϕ2 ) âûáðàíî òàê, ÷òî N (ϕ ) F(p) èìååò îïðåäåëåííîå êîíå÷íîå çíà÷åíèå â íåêîòîðîé çàäàííîé òî÷êå ïåðåíîðìèðîâêè. Íàïðèìåð, ìîæíî îïðåäåëèòü ïåðåíîðìèðîâàííûé îïåðàòîð ϕ2 òàê, ÷òî 2

N (ϕ ) F(0) = 1 , 2

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(18.1.11)

162

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

 ýòîì ñëó÷àå N (ϕ

2

)

= 1+

F ln Λ GH m

2

g 32π 2

2

I JK

− 1 + O(g2 ) .

(18.1.12)

Òîãäà ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ïåðåíîðìèðîâàííîãî îïåðàòîðà (ϕ 2 ) R ñîäåðæàò ìíîæèòåëü

FR (p) ≡ N

(ϕ2 )

F(p) = 1 +

1

g

X dx lnF1 + p x(1 − x) I + O(g ) . YZ GH (18.1.13) JK m 2

2

32π

2

2

0

Îí êîíå÷åí ïðè âñåõ ð2 > 0 è m2 > 0, íî ñîäåðæèò òåïåðü èíôðàêðàñíóþ ñèíãóëÿðíîñòü ïðè m → 0, ñîîòâåòñòâóþùóþ áîëüøèì ëîãàðèôìàì â àñèìïòîòè÷åñêîì ïîâåäåíèè ïðè ð2 → +∞. Êîíå÷íî, ÷òîáû óñòðàíèòü îáðåçàíèå â âû÷èñëåíèÿõ â âûñøèõ ïîðÿäêàõ, íóæíî áûëî áû ââîäèòü ïåðåíîðìèðîâàííóþ êîíñòàíòó ñâÿçè è ïåðåíîðìèðîâàííûé îïåðàòîð ϕ2, òàê ÷òî ëîãàðèôìû âîçíèêëè îò îáîèõ èñòî÷íèêîâ. Àíàëîãè÷íûå ïåðåíîðìèðîâî÷íûå ìíîæèòåëè íóæíû íå òîëüêî äëÿ ϕ2(x), íî äëÿ îïåðàòîðîâ ëþáîãî òèïà.  ÷àñòíîñòè, âçÿòèå ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà îäíîãî èç ýëåìåíòàðíûõ ïîëåé ψ òåîðèè ïðèâîäèò ê óëüòðàôèîëåòîâûì ðàñõîäèìîñòÿì, âîçíèêàþùèì îò ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê ê ñîîòâåòñòâóþùåìó ïðîïàãàòîðó. Êàê ìû âèäåëè â ãë. 12, ýòè áåñêîíå÷íîñòè ìîãóò áûòü ñîêðàùåíû, åñëè ïåðåéòè ê ïåðåíîðìèðîâàííîìó ïîëþ ψR: ψ R = N (ψ) ψ ,

(18.1.14)

ãäå N(ψ) âûáðàíî òàê, ÷òîáû ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ìåæäó îäíî÷àñòè÷íûì ñîñòîÿíèåì è âàêóóìîì èìåë òîò æå âèä, ÷òî è ïðèíÿòûì îáðàçîì íîðìèðîâàííîå ïîëå â îòñóòñòâèè âçàèìîäåéñòâèÿ. Ñâÿçü ñ îáû÷íîé êîíñòàíòîé ïåðåíîðìèðîâêè Z ïåðåíîðìèðîâàííîé òåîðèè äàåòñÿ âûðàæåíèåì Z ( ψ ) = | N ( ψ ) | −2 .

(18.1.15)

Íàïðèìåð, âñïîìíèì ïîëó÷åííûå ðàíåå ðåçóëüòàòû äëÿ ïåðåíîðìèðîâêè ôîòîííîãî ïîëÿ â ñïèíîðíîé êâàíòîâîé ýëåêòðîäè-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

18.1. Îòêóäà áåðóòñÿ áîëüøèå ëîãàðèôìû?

163

íàìèêå.*  ýòîì ñëó÷àå ïåðåíîðìèðîâàííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ARµ ïðèíÿòî çàïèñûâàòü ÷åðåç «ãîëîå» ïîëå Aµ â âèäå:

ARµ = Z3−1/2 ABµ , ãäå Z3 îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (11.2.21): Z3 = 1 −

e2 12π 2

F Λ I + O(e ) . GH m JK 2

ln

4

(18.1.16)

2

Çäåñü èìååòñÿ ñèíãóëÿðíîñòü ïðè íóëåâîé ìàññå, êîòîðàÿ áóäåò îêàçûâàòü âëèÿíèå íà àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ ïåðåíîðìèðîâàííîãî ôîòîííîãî ïîëÿ.  ÷àñòíîñòè, âûðàæåíèå (11.2.22) äàåò ñîáñòâåííîýíåðãåòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ïåðåíîðìèðîâàííîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ:

π( q ) = 2

2 eR

2π 2

1

X dx x(1 − x) ln LM1 + q x(1 − x) OP + O(e YZ N m Q 2

2

4 R) .

(18.1.17)

0

Îíà èìååò îñîáåííîñòü ïðè m = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, áîëüøèå ëîãàðèôìû â àñèìïòîòèêå ïðè q2 → +∞: 5 e2 1 q2 ln π R (q 2 ) → − + O(e 4 ) . (18.1.18) 2 2 2π 6 m 18

LM N

OP Q

Îñîáûì ñâîéñòâîì ýëåêòðîäèíàìèêè ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ìíîæèòåëü Z3, âîçíèêàþùèé â ïåðåíîðìèðîâêå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, âîçíèêàåò è â ïåðåíîðìèðîâêå ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà: eR = Z31/2 eãîëûé ,

(18.1.19)

íî â îáùåì ñëó÷àå ýòî íå òàê. Âïåðâûå òåõíèêà ðåíîðìãðóïïû áûëà ïðèìåíåíà â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå, íî ðàññìàòðèâàå*  èñïîëüçîâàííîé âûøå â êà÷åñòâå ïðèìåðà ñêàëÿðíîé òåîðèè ïîëÿ ñ âçàèìîäåéñòâèåì ϕ4 ñëàãàåìûå íèçøåãî ïîðÿäêà â N(ϕ) âîçíèêàþò îò äâóõïåòëåâûõ äèàãðàìì, ïîýòîìó äëÿ èëëþñòðàöèè âû÷èñëåíèÿ ìíîæèòåëåé N èñïîëüçîâàòü ýòó òåîðèþ íåóäîáíî.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

164

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

ìàÿ çäåñü ñêàëÿðíàÿ òåîðèÿ ïîëÿ äàåò áîëåå òèïè÷íóþ èëëþñòðàöèþ ýòèõ ìåòîäîâ ñ îòäåëüíîé ïåðåíîðìèðîâêîé ïîëåé è êîíñòàíò ñâÿçè. 18.2. Ñêîëüçÿùèé ìàñøòàá  ïðåäûäóùåì ðàçäåëå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ïðîèñõîæäåíèå áîëüøèõ ëîãàðèôìîâ, âîçíèêàþùèõ ïðè âûñîêèõ ýíåðãèÿõ â äîëæíûì îáðàçîì ïðîèíòåãðèðîâàííûõ ñå÷åíèÿõ èëè ôåéíìàíîâñêèõ àìïëèòóäàõ âíå ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè, ìîæíî ïðîñëåäèòü âïëîòü äî ðåöåïòà, èñïîëüçóåìîãî äëÿ ïåðåíîðìèðîâêè êîíñòàíò ñâÿçè è îïåðàòîðîâ. Öåíòðàëüíîé èäååé ìåòîäà ðåíîðìàëèçàöèîííîé ãðóïïû ÿâëÿåòñÿ èçìåíåíèå ýòîãî ðåöåïòà. Ïðåäïîëîæèì, ìû íàøëè êàêîé-òî ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ íîâîãî òèïà ïåðåíîðìèðîâàííîé êîíñòàíòû ñâÿçè g(µ), çàâèñÿùåé îò ñêîëüçÿùåãî ýíåðãåòè÷åñêîãî ìàñøòàáà µ, íî (ïî êðàéíåé ìåðå, ïðè µ . m) íå çàâèñÿùåé îò ìàñøòàáà m âñåõ ìàññ â òåîðèè. Òîãäà ïîäõîäÿùèì îáðàçîì ïðîèíòåãðèðîâàííûå ñå÷åíèÿ èëè äðóãèå èíôðàêðàñíî áåçîïàñíûå âåðîÿòíîñòíûå ïàðàìåòðû ìîæíî âûðàçèòü íå ÷åðåç gR, à ÷åðåç gµ è µ. Íà îñíîâàíèè àíàëèçà ðàçìåðíîñòåé ìîæíî çàïèñàòü òàêèå ôóíêöèè êàê m µ . Γ(E, x, gµ , m, µ) = E D Γ 1, x, gµ , , (18.2.1) E E

FG H

IJ K

(Íàøè îáîçíà÷åíèÿ ñîâïàäàþò ñ îáîçíà÷åíèÿìè â ðàçäåëå 18.1.  ÷àñòíîñòè, x îçíà÷àåò ñîâîêóïíîñòü áåçðàçìåðíûõ óãëîâ, îòíîøåíèé ýíåðãèé è ò. ï., îò êîòîðûõ ìîæåò çàâèñåòü Γ.) Òàê êàê µ — ñîâåðøåííî ïðîèçâîëüíûé ïåðåíîðìèðîâî÷íûé ìàñøòàá, ìîæíî âûáðàòü µ = E, è â ýòîì ñëó÷àå (18.2.1) ïðèìåò âèä

FG H

Γ(E, x, gµ , m, µ) = E D Γ 1, x, gµ ,

m E

IJ K

,1 .

(18.2.2)

Òåïåðü ýòî âûðàæåíèå íå ñîäåðæèò ñèíãóëÿðíîñòåé ïðè íóëåâîé ìàññå, òàê êàê ïðè m n E êîíñòàíòà gE íå çàâèñèò îò m. Òàêèì îáðàçîì, áîëüøèõ ëîãàðèôìîâ íå âîçíèêàåò, è ìîæíî èñïîëüçîâàòü òåîðþ âîçìóùåíèé äëÿ âû÷èñëåíèÿ Γ ÷åðåç gE äî òåõ ïîð, ïîêà ñàìà êîíñòàíòà gE îñòàåòñÿ äîñòàòî÷íî ìàëîé.  ÷àñòíîñòè, â ëþ-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

18.2. Ñêîëüçÿùèé ìàñøòàá

165

áîì êîíå÷íîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé Γ èìååò ïðè E . m àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå

Γ(E, x, gµ , m, µ) → E D Γ 1, x, gE , 0, 1 .

b

(18.2.3)

g

(Íåïåðòóðáàòèâíûå ïîïðàâêè ðàññìàòðèâàþòñÿ â ðàçäåëå 18.4.) Îñòàåòñÿ âû÷èñëèòü gE. Íàïðèìåð, â ñêàëÿðíîé òåîðèè ïîëÿ ñ ëàãðàíæèàíîì (18.1.2) ìîæíî îïðåäåëèòü gµ ÷åðåç çíà÷åíèå àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ â òî÷êå ïåðåíîðìèðîâêè s = t = u = –µ2:

gµ ≡ A(s = t = u = − µ 2 ) = g−

1

3g2 32π

2

X dx|RlnF YY S| GH m Z T 0

I − 1U|V + O(g ) J W| + µ x(1 − x) K Λ2

2

3

2

(18.2.4)

èëè ÷åðåç îáû÷íóþ ïåðåíîðìèðîâàííóþ êîíñòàíòó ñâÿçè (18.1.4):

gµ = gR +

2 3gR

32π 2

1

X dx lnF1 + µ x(1 − x) I + O(g YZ GH JK m 2

2

3 R) .

(18.2.5)

0

Îäíàêî ýòà ôîðìóëà ïðèìåíèìà òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà ïîïðàâî÷íîå ñëàãàåìîå ìåíüøå g R, èíà÷å ãîâîðÿ, òîëüêî åñëè |gRln(µ/m)| n 1. Åñëè áû ïðè µ g E äåëî îáñòîÿëî èìåííî òàê, íàì íå áûëè áû íóæíû ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû, è âïîëíå õâàòàëî áû îáû÷íîé òåîðèè âîçìóùåíèé. Âìåñòî òîãî, ÷òîáû íåïîñðåäñòâåííî èñïîëüçîâàòü ïðè áîëüøèõ µ ôîðìóëû òèïà (18.2.5), ìû äîëæíû äåéñòâîâàòü ïîýòàïíî. Ñíà÷àëà íóæíî âû÷èñëèòü gµ ÷åðåç gR, ïîêà îòíîøåíèå µ/m íå ñëèøêîì ïðåâûøàåò åäèíèöó, çàòåì gµ′ ìîæíî âû÷èñëèòü ÷åðåç gµ, ïîêà îòíîøåíèå µ′/µ íå ñëèøêîì ïðåâûøàåò åäèíèöó, è òàê äàëåå âïëîòü äî gE. Âìåñòî òîãî, ÷òîáû äåëàòü ýòî äèñêðåòíûìè øàãàìè, ìîæíî ïåðåéòè ê íåïðåðûâíîìó îïèñàíèþ. Íà îñíîâàíèè ðàçìåðíîãî àíàëèçà ñîîòíîøåíèå ìåæäó gµ′ è gµ ïðèíèìàåò âèä gµ ′ = G ( gµ , µ ′ µ , m µ ) .

(18.2.6)

Äèôôåðåíöèðóÿ ïî µ′ è ïîëàãàÿ µ′ = µ, ïðèõîäèì ê äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

166

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

µ

d dµ

F GH

gµ = β gµ ,

I, J µK

m

(18.2.7)

ãäå

F GH

β gµ ,

I ≡ L ∂ G(g , z, m µO J PQ µ K MN ∂z

m

µ

.

(18.2.8)

z =1

Çäåñü íåò ñèíãóëÿðíîñòåé ïðè íóëåâîé ìàññå, òàê ÷òî ïðè µ . m äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïðèîáðåòàåò ïðîñòîé âèä

d

µ



gµ = β gµ ,0 ≡ β(gµ ) ,

d i

(18.29)

Ýòî óðàâíåíèå ÷àñòî íàçûâàþò óðàâíåíèåì Êàëëàíà–Ñèìàí÷èêà 1. Ìû äîëæíû âû÷èñëèòü gE, èíòåãðèðóÿ äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (18.2.9) ñ íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì gM ïðè íåêîòîðîì ìàñøòàáå µ = M, êîòîðûé íà ïðàêòèêå âûáèðàåòñÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèì, òàê ÷òî ïðè µ ≥ M ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ìàññàìè m ïî ñðàâíåíèþ ñ µ, è â òî æå âðåìÿ äîñòàòî÷íî ìàëûì, ÷òîáû áîëüøèå ëîãàðèôìû ln(M/ m) íå ïîìåøàëè èñïîëüçîâàòü òåîðèþ âîçìóùåíèé äëÿ âû÷èñëåíèÿ gM ÷åðåç îáû÷íóþ ïåðåíîðìèðîâàííóþ êîíñòàíòó ñâÿçè gR. Ðåøåíèå ìîæíî ôîðìàëüíî çàïèñàòü â âèäå

g XYZ

ln E M =

b

gE

gM

dg

(18.2.10)

β(g)

äî òåõ ïîð, ïîêà β(g) íå îáðàùàåòñÿ â íóëü íà èíòåðâàëå ìåæäó gM è gE. Ðåçóëüòàòû ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà íå îñíîâàíû íà òåîðèè âîçìóùåíèé, îäíàêî îáû÷íî áåç íåå íåâîçìîæíî îáîéòèñü ïðè âû÷èñëåíèè ôóíêöèé Γ è β.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû âû÷èñëÿåì gµ′ â ñêàëÿðíîé òåîðèè ïîëÿ ñ âçàèìîäåéñòâèåì gϕ4/24, ñîâåðøàÿ ïåðåíîðìèðîâêó ïóòåì âûðàæåíèÿ g íå ÷åðåç gR, à ÷åðåç gµ. Ïîâòîðÿÿ âû÷èñëåíèÿ, ïðèâåäøèå ê (18.2.5), ïîëó÷àåì

gµ ′ = gµ −

3gµ2 32π

2

1

X dx lnF m YZ GH m

2

2

0

I + O(g ) . J + µ ′ x(1 − x) K + µ 2 x(1 − x) 2

3 µ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

18.2. Ñêîëüçÿùèé ìàñøòàá

167

Òîãäà èç ôîðìóëû (18.2.8) èìååì 1

F m I 3g X dx µ x(1 − x) + O(g ) . βG g , J = + H µ K 16π YZ m + µ x(1 − x) 2 µ 2

µ

2

2

3 µ

2

(18.2.11)

0

Ïðè µ . m

β(gµ ) =

3gµ2 16π

2

+ O(gµ3 ) .

(18.2.12)

 ñëåäóþùåì ïîðÿäêå ïðè µ . m áåòà-ôóíêöèÿ ðàâíà3

L F g I 17 F g I β(g ) = g M3G MMN H 16π JK − 3 GH 16π JK µ

µ

2 µ

2 µ

2

2

2

OP PPQ

+L .

Åñëè íàì äîñòàòî÷íî òîëüêî îäíîïåòëåâîå ïðèáëèæåíèå, âû÷èñëåíèå β(g) ìîæíî âûïîëíèòü åùå ïðîùå. ×òîáû èçáåæàòü áîëüøèõ ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê â ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòàõ ïðè ýíåðãèÿõ ïîðÿäêà m, ñëåäóåò çàïèñàòü ãîëóþ êîíñòàíòó g ÷åðåç êîíå÷íóþ ïåðåíîðìèðîâàííóþ êîíñòàíòó gµ â âèäå

g = gµ + B(gµ ) ln

Λ µ

+L.

(18.2.13)

Íàïðèìåð, èç ôîðìóëû (18.1.3) ìîæíî íåìåäëåííî óâèäåòü, ÷òî êîýôôèöèåíò â g ïðè ñëàãàåìûõ ñ lnΛ ðàâåí B(g) = −

3 2

− i(2π) 4 g2

LM − i OP N (2π) Q 4

2

2π 2 i =

3g2 16π 2

.

(18.2.14)

Íåïåðåíîðìèðîâàííàÿ êîíñòàíòà, êîíå÷íî, íå çàâèñèò îò µ, òàê ÷òî â íèçøåì ïîðÿäêå d gµ − B(gµ ) = 0 µ dµ è â ýòîì æå ïîðÿäêå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

168

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

β(g) = B(g) .

(18.2.15)

Ïðè B(g) èç (18.2.14) ýòî ñîãëàñóåòñÿ ñ íàøèì ïðåäûäóùèì ðåçóëüòàòîì (18.2.12) äëÿ β(g) â ñêàëÿðíîé òåîðèè ϕ4. Âìåñòî òîãî, ÷òîáû èñïîëüçîâàòü ïðîñòîå óëüòðàôèîëåòîâîå îáðåçàíèå, êîòîðîå ìîæåò âñòóïàòü â ïðîòèâîðå÷èå ñ êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòüþ, ÷àñòî óäîáíåå èìåòü äåëî ñ óëüòðàôèîëåòîâûìè ðàñõîäèìîñòÿìè â ìåòîäå ðàçìåðíîé ðåãóëÿðèçàöèè. Ïðè ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè d < 4 ìû ïîëó÷àåì âìåñòî ln(Λ/µ) ñõîäÿùèéñÿ èíòåãðàë ∞

XY k Z µ

d−4

dk k

=

µd−4 4−d

  → d→4

LM 1 − ln µOP . N4 − d Q

Âìåñòî óñòðàíåíèÿ çàâèñèìîñòè îò îáðåçàíèÿ ïóòåì ïåðåïèñûâàíèÿ íåïåðåíîðìèðîâàííîé êîíñòàíòû êàê â ôîðìóëå (18.2.13), ïèøåì:

g = gµ + B(gµ )

LM 1 − ln µOP N4 − d Q

ñ òîé æå ôóíêöèåé B(gµ), êàê è ðàíåå. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òîãî, ÷òîáû âû÷èñëèòü β(gµ), íàì ñëåäóåò âñåãî ëèøü èçâëå÷ü êîýôôèöèåíò ïðè ñèíãóëÿðíîì ìíîæèòåëå 1/(4 – d) â ïåðåíîðìèðîâàííîé êîíñòàíòå. Ýòî ðàññóæäåíèå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â ðàçäåëå 18.6 íà âñå ïîðÿäêè òåîðèè âîçìóùåíèé. Äî òåõ ïîð, ïîêà â ñêàëÿðíîé òåîðèè ïîëÿ ñ ëàãðàíæèàíîì (18.1.2) gµ äîñòàòî÷íî ìàëà, ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (18.2.9) è (18.2.12) ìîæíî õîðîøî àïïðîêñèìèðîâàòü âûðàæåíèåì

gµ = −

16π

b g,

3 ln µ M

(18.2.17)

ãäå Ì — ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ. Ýòî âûðàæåíèå èëëþñòðèðóåò îáùåå ñâîéñòâî âû÷èñëåíèé ìåòîäîì ðåíîðìãðóïïû, çàêëþ÷àþùååñÿ â òîì, ÷òî áåçðàçìåðíûå êîíñòàíòû ñâÿçè òèïà gR çàìåíÿþòñÿ ïàðàìåòðàìè òèïà Ì, èìåþùèìè ðàçìåðíîñòü ìàññû. Çíà÷åíèå Ì ìîæíî ñâÿçàòü ñ gR, ñðàâíèâ ðåøåíèå (18.2.17) ñ ïîâåäåíèåì êîíñòàíòû ñâÿçè ïðè çíà÷åíèÿõ m, êîòîðûå äîñòàòî÷íî âåëèêè, ÷òîáû

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

18.2. Ñêîëüçÿùèé ìàñøòàá

169

èñïîëüçîâàòü ïðèáëèæåíèå, îñíîâàííîå íà íåðàâåíñòâå µ . m, íî â òî æå âðåìÿ äîñòàòî÷íî ìàëû, ÷òîáû |gRln(µ/m)| n 1, êîãäà èç (18.2.5) ïîëó÷àåì 2 3gR µ ln . gµ g gR + (18.2.18) 2 16 π m

FG IJ H K

Òàêèì ñïîñîáîì íàõîäèì

F 16π I , GH 3g JK 2

M g m exp

(18.2.19)

R

òàê ÷òî ôîðìóëó (18.2.17) ìîæíî çàïèñàòü â áîëåå óäîáíîì âèäå

LM N

gµ = gR 1 −

3gR 16π 2

ln

µ

OP mQ

−1

.

(18.2.20)

Ïîâòîðèìñÿ, ÷òî ýòî âûðàæåíèå ñïðàâåäëèâî ïðè ìàëûõ gµ, äàæå åñëè |gRln(µ/m)| ïîðÿäêà åäèíèöû, òàê ÷òî îíî ïðåäñòàâëÿåò ñóùåñòâåííîå óëó÷øåíèå ðåçóëüòàòà òåîðèè âîçìóùåíèé (18.2.18). Êîíå÷íî, óñëîâèå ìàëîñòè gµ íàðóøèòñÿ, êîãäà gRln(µ/m) îêàæåòñÿ äîñòàòî÷íî áëèçêî ê êðèòè÷åñêîìó çíà÷åíèþ 16π2/3. Íî èç (18.2.20) ñëåäóåò, ïî êðàéíåé ìåðå, íåäâóñìûñëåííîå ïðåäñêàçàíèå, ÷òî êîíñòàíòà gE ñòàíîâèòñÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîé, ÷òîáû íàðóøèòü ïðèìåíèìîñòü òåîðèè âîçìóùåíèé ïðè íåêîòîðîé ýíåðãèè Å íèæå êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ (18.2.19). Åñëè âìåñòî ïðîèíòåãðèðîâàííûõ ñå÷åíèé âû÷èñëÿþòñÿ ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðîâ âíå ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè, ñëåäóåò ïðèíèìàòü âî âíèìàíèå ìíîæèòåëè N, âîçíèêàþùèå â îïðåäåëåíèè ïåðåíîðìèðîâàííûõ îïåðàòîðîâ ñ êîíå÷íûìè ìàòðè÷íûìè ýëåìåíòàìè.  ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ìû âèäåëè, ÷òî åñëè îïðåäåëèòü Nìíîæèòåëè îáû÷íûì îáðàçîì (ñêàæåì, òàê, ÷òîáû ïîïðàâî÷íûå ñëàãàåìûå, âîçíèêàþùèå îò ðàñõîäÿùèõñÿ ïîääèàãðàìì, ñîêðàùàëèñü, åñëè îïåðàòîð íåñåò íóëåâîé 4-èìïóëüñ èëè ïîëå íàõîäèòñÿ íà ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè), òî ôîðìóëà äëÿ ýòèõ ìíîæèòåëåé ñîäåðæèò ñèíãóëÿðíîñòè ïðè íóëåâîé ìàññå, êàê â (18.1.12) èëè (18.1.16), ÷òî ïðèâîäèò ê áîëüøèì ëîãàðèôìàì ïðè ýíåðãèÿõ E . m. Ñïîñîá ëå÷åíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû îïðåäåëèòü êîíñòàíòû ïåðåíîðìèðîâêè Nµ(O ) ïðè ñêîëüçÿùåì ìàñøòàáå µ, òàê, ÷òîáû ïîïðàâî÷íûé ìíîæèòåëü â ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòàõ ïåðåíîðìèðîâàííîãî îïåðàòîðà

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

170

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

Oµ = Nµ(O )O ,

(18.2.21)

âîçíèêàþùèé çà ñ÷åò ðàñõîäÿùèõñÿ ïîääèàãðàìì, ñîäåðæàùèõ îïåðàòîð O, ñîêðàùàëñÿ â òî÷êå ïåðåíîðìèðîâêè, õàðàêòåðèçóþùåéñÿ 4-èìïóëüñàìè ïîðÿäêà µ. Åñëè MR — ìàòðè÷íûé ýëåìåíò îáû÷íûì îáðàçîì ïåðåíîðìèðîâàííûõ îïåðàòîðîâ, à Ì — ìàòðè÷íûé ýëåìåíò, â êîòîðîì îïåðàòîðû ïåðåíîðìèðîâàíû òàê, êàê â (18.2.21), òîãäà äëÿ ëþáîãî µ

MR =

LM F N MN∏ GH N O

(O ) (O ) µ

I OP M(E, x, g , m, µ) . JK P Q µ

(18.2.22)

Ñ÷èòàÿ, ÷òî Ì èìååò ðàçìåðíîñòü D, ìîæíî îïÿòü âîñïîëüçîâàòüñÿ ðàçìåðíûì àíàëèçîì è, ïîëîæèâ µ = E, çàïèñàòü ýòî âûðàæåíèå â âèäå

MR = E D

LM F N MN∏ GH N O

(O ) (O ) E

I OP M(1, x, g , m , 1) . JK PQ E E

(18.2.23)

Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû óñòàíîâèòü ïîâåäåíèå àìïëèòóäû âíå ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè MR ïðè áîëüøèõ ýíåðãèÿõ, ñëåäóåò çíàòü, êàê èçìåíÿåòñÿ Nµ ïðè èçìåíåíèè ìàñøòàáà ïåðåíîðìèðîâêè µ. Äëÿ äâóõ çàäàííûõ ìàñøòàáîâ µ è µ′ ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ïåO ðåíîðìèðîâàííûõ îïåðàòîðîâ Nµ(O ) è N µ( ′ ) êîíå÷íû, òàê ÷òî îòíîøå(O ) (O ) íèå N µ ′ N µ íå äîëæíî çàâèñåòü îò îáðåçàíèÿ. Íà îñíîâàíèè ðàçìåðíûõ ñîîáðàæåíèé ýòî îòíîøåíèå äîëæíî èìåòü âèä

Nµ(O′ ) Nµ(O )

= G (O ) (gµ , µ ′ µ , m µ) .

(18.2.24)

Äèôôåðåíöèðóÿ ïî µ′ è ïîëàãàÿ µ′ = µ, ïîëó÷àåì

µ

d dµ

N µ(O ) = γ (O ) (gµ , m µ)Nµ(O ) ,

ãäå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(18.2.25)

18.2. Ñêîëüçÿùèé ìàñøòàá

171

γ (O ) (gµ , m µ) ≡

LM ∂ G N ∂z

(O )

(gµ , z, m µ)

OP Q

.

(18.2.26)

z =1

Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ èìååò âèä

NE(O )

LMX ∝ exp Y MNZ

E

γ

(O )

F g , m I dµ OP . GH µ JK µ P Q

(18.2.27)

µ

Ýòîò ðåçóëüòàò ïîëåçåí, ò. ê. ââåäåíèå ñêîëüçÿùåé øêàëû ïðåäîòâðàùàåò ïîÿâëåíèå ñèíãóëÿðíîñòåé ïðè íóëåâîé ìàññå ó âåëè÷èí O Nµ(O ) è N µ( ′ ) , à ñëåäîâàòåëüíî, ó G(O) è γ(O). Îòñþäà, ïîêà êîíñòàíòà gµ ìàëà, íå âîçíèêàåò áîëüøèõ ëîãàðèôìîâ, ïðåïÿòñòâóþùèõ èñïîëüçîâàíèþ òåîðèè âîçìóùåíèé äëÿ âû÷èñëåíèÿ γ(O). Êðîìå òîãî, ïðè µ . m âåëè÷èíà γ (O ) (gµ , m / µ) èìååò ãëàäêèé ïðåäåë

γ (O ) (gµ ) ≡ γ (O ) (gµ , 0) .

(18.2.28)

 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì îïåðàòîð O = ϕ2 â ñêàëÿðíîé òåîðèè ïîëÿ ñ âçàèìîäåéñòâèåì gϕ4/24. Âìåñòî òîãî, ÷òîáû ïåðåíîðìèðîâàòü åãî óñëîâèåì, ÷òî ïîïðàâî÷íûé ìíîæèòåëü (18.1.9) ñîêðàùàåòñÿ ïðè ð2 = 0, ïîòðåáóåì åãî ñîêðàùåíèÿ ïðè ñêîëüçÿùåì ìàñøòàáå p2 = m2, ââåäÿ íîâûé ïåðåíîðìèðîâàííûé ϕ2-îïåðàòîð 2 N µ(ϕ ) ϕ 2 , ãäå

Nµ(ϕ

2

)

≡ F (ϕ ) (µ 2 ) −1 2

= 1+

1

g 32π

2

X dxLMlnF YY M GH m Z N

I − 1OP + O(g ) . J PQ + µ x(1 − x) K Λ2

2

0

2

2

Òîãäà ôóíêöèÿ (18.2.24) äëÿ ýòîãî îïåðàòîðà ðàâíà G (ϕ

2

)

(ϕ2 ) µ′

F g , µ′ , m I ≡ N GH µ µ JK N L Fm g X = 1+ dx M ln G Y 32π Y Z NM H m µ

(ϕ2 ) µ

1

µ

2

2

2

0

I − 1OP + O(g ) . J PQ x(1 − x) K

+ µ 2 x(1 − x) +µ

′2

2 µ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

172

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

(Çäåñü ìîæíî èñïîëüçîâàòü gµ âìåñòî g èëè gµ′, òàê êàê ðàçëè÷èå ýòèõ êîíñòàíò âëèÿåò òîëüêî íà ñëàãàåìûå ïîðÿäêà gµ2 èëè âûøå.) Òîãäà èç (18.2.26) èìååì 1 gµ m µ 2 x(1 − x) 2 dx + O(gµ2 ) γ (ϕ ) gµ , =− 2 2 2 16 π 0 m + µ x(1 − x) µ

F GH

I JK

X YZ

èëè ïðè µ . m

γ (ϕ

2

)

dg i = − 16gπ µ

µ

2

+ O(gµ2 ) .

(18.2.29)

Äðóãîé õîðîøèé ïðèìåð — ìíîæèòåëü N, ñâÿçàííûé ñ ïåðåíîðìèðîâêîé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå. Íàïîìíèì, ÷òî ôîòîííûé ïðîïàãàòîð ìîæåò áûòü ñäåëàí êîíå÷íûì äëÿ âñåõ èìïóëüñîâ, åñëè âû÷èñëÿòü åãî äëÿ ïåðåíîðìèðîâàííûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé, èëè, ýêâèâàëåíòíî, óìíîæèâ ïðîïàãàòîð íåïåðåíîðìèðîâàííûõ ïîëåé íà Z3–1:

~ ∆ ρσ (q ) = Z3−1∆ ρσ (q ) .

(18.2.30)

Èç ôîðìóëû (10.5.17) ñëåäóåò, ÷òî ýòîò ïåðåíîðìèðîâàííûé ïðîïàãàòîð ìîæíî çàïèñàòü êàê ηρσ ~ ∆ ρσ (q ) = 2 + ñëàãàåìûå ñ q ρq σ . (18.2.31) [q − iε ][1 − π(q 2 )] Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âìåñòî ýòîãî ìû îïðåäåëèì ïåðåíîðìèðîâàííîå ïîëå Nµ( A) A ρ , ïðîïàãàòîð êîòîðîãî ñîäåðæèò ñëàãàåìîå, ïðîïîðöèîíàëüíîå ηρσ/[q2 – iε], ñ êîýôôèöèåíòîì, ðàâíûì åäèíèöå ïðè ñêîëüçÿùåì ìàñøòàáå ïåðåíîðìèðîâêè q2 = µ2. ßñíî, ÷òî äëÿ ýòîãî íóæíî âçÿòü

Nµ( A) = Z3−1/2 [1 − π(µ 2 )]1/2 .

(18.2.32)

Èñïîëüçóÿ (11.2.22), íàõîäèì, ÷òî ôóíêöèÿ (18.2.24) ðàâíà G ( A) (gµ , µ ′ µ , m µ) =

LM1 − π(µ ′ ) OP = N 1 − π(µ ) Q 2

2

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(18.2.33)

18.2. Ñêîëüçÿùèé ìàñøòàá

= 1−

eµ2 4π

2

173

1

X dx x(1 − x) ln LM m YZ Nm

OP + O(e ) + µ x(1 − x) Q

+ µ ′ 2x(1 − x)

2 2

0

4 µ

2

òàê ÷òî èç (18.2.26) ïîëó÷àåì γ ( A ) (e µ , m µ ) = −

eµ2 2π

2

1

X dx x (1 − x) µ + O(e ) . YZ m + µ x(1 − x) 2

2

2

2

2

4 µ

(18.2.34)

0

Êàê è áûëî îáåùàíî, ýòî âûðàæåíèå èìååò ãëàäêèé ïðåäåë ïðè µ . m: eµ2 ( A) ( A) γ (eµ ) ≡ γ (eµ ,0) = − + O(eµ4 ) . (18.2.35) 12π2 Óæå îòìå÷àëîñü, ÷òî ýëåêòðîäèíàìèêà ïðåäñòàâëÿåò îñîáûé ñëó÷àé, ò. ê. êîíñòàíòà ïåðåíîðìèðîâêè Z3–1/2 â îïðåäåëåíèè ïåðåíîðìèðîâàííîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â òî÷íîñòè ðàâíà îáðàòíîé âåëè÷èíå êîíñòàíòû, èñïîëüçóþùåéñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïåðåíîðìèðîâàííîãî ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà ýëåêòðîíà: eR = Z31/2e. Ïîýòîìó åñòåñòâåííîå îïðåäåëåíèå ïåðåíîðìèðîâàííîãî ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà èìååò âèä

eµ = Nµ( A) −1e = Z3−1/2 Nµ( A) −1eR ,

(18.2.36)

òàê ÷òî ïðîèçâåäåíèå eµ íà ïåðåíîðìèðîâàííîå ïðè øêàëå µ ïîëå Nµ( A) A ρ íå çàâèñèò îò µ. Èç (18.2.25) ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ β(e), îïðåäåëÿþùàÿ ñîãëàñíî (18.2.9) çàâèñèìîñòü eµ îò µ, èìååò ïðè µ . m çíà÷åíèå e3 β(e) = − eγ ( A) (e) = + O(e5 ) . (18.2.37) 2 12π Èñïîëüçóÿ âûïîëíåííûå ðàíåå âû÷èñëåíèÿ3a ñëàãàåìîãî ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà äëÿ ôóíêöèè ïîëÿðèçàöèè âàêóóìà π(q2), Ãåëë-Ìàíí è Ëîó ñóìåëè òàêæå ïîëó÷èòü ñëàãàåìîå ñëåäóþùåãî ïîðÿäêà ïî å â β(e): e3 e5 β(e) = + + O(e7 ) . (18.2.38) 2 2 12π 64π

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

174

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

Èíûìè ñëîâàìè, ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä ïðè ñêîëüçÿùåì ìàñøòàáå µ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ ðåíîðìàëèçàöèîííîé ãðóïïû d

µ



eµ =

eµ3 12π 2

+

eµ5

+ O(e7µ ) .

64 π 2

(18.2.39)

Ïðè ìàëûõ eµ îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî eµ âîçðàñòàåò ñ ðîñòîì µ. Òðåáóåòñÿ òàêæå íà÷àëüíîå óñëîâèå. Îíî çàäàåòñÿ èçâåñòíûì çíà÷åíèåì ïåðåíîðìèðîâàííîãî çàðÿäà eR = Z31/2e, äëÿ êîòîðîãî α ≡ eR2/4π = 1/137,036... . Èç ôîðìóë (18.2.32) è (18.2.36) èìååì eR eµ

= Z31/2N µ( A) = 1 − π(µ 2 ) = 1−

1

2 eR

4π 2

X dx x(1 − x) ln LM1 + µ x(1 − x) OP + O(e YZ m MN PQ 2

2 e

0

4 R) .

(18.2.40)

Ýòîò ðåçóëüòàò íóæíî ñîãëàñîâàòü ñ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (18.2.39) ïðè òàêîì çíà÷åíèè µ, êîòîðîå äîñòàòî÷íî âåëèêî, ÷òîáû íå íàðóøàëîñü ïðèáëèæåíèå µ . me â (18.2.39), íî â òî æå âðåìÿ äîñòàòî÷íî ìàëî, ÷òîáû ëîãàðèôì â (18.2.40) îñòàâàëñÿ âñå åùå ìàëûì ïî ñðàâíåíèþ ñ 4π2/eR2 è òåì ñàìûì ïîäòâåðæäàëàñü ïðàâîìî÷íîñòü èñïîëüçîâàíèÿ òåîðèè âîçìóùåíèé. (Íàïðèìåð, ìîæíî âçÿòü µ ïîðÿäêà 100 ÌýÂ.) Äëÿ òàêèõ çíà÷åíèé µ èç ôîðìóëû (18.2.40) ñëåäóåò:

eµ g eR +

3 eR

12π 2

LMln µ MN m



e

OP . 6 PQ 5

(18.2.41)

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (18.2.39) äëÿ ìàëûõ eµ èìååò âèä (óäåðæèâàåì òîëüêî ñòàðøåå ñëàãàåìîå ñïðàâà):

LM N

eµ = constant −

ln µ 6π 2

OP Q

−1/ 2

(18.2.42)

.

Ñðàâíèâàÿ (18.2.41) è (18.2.42), íàõîäèì ðåøåíèå e µ = eR

LM e F F µ I 5 I OP MN1 − 6π GH lnGH m JK − 6 JK PQ 2 R 2

−1/ 2

.

e

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(18.2.43)

18.2. Ñêîëüçÿùèé ìàñøòàá

175

 ïðîòèâîïîëîæíîñòü (18.2.41) âûðàæåíèå (18.2.43) âåðíî äî òåõ ïîð, ïîêà ìàëà âåëè÷èíà eµ2/6π2, íåçàâèñèìî îò òîãî, ìàëà èëè âåëèêà âåëè÷èíà (eR2/6π2)ln(µ/me). Íàïðèìåð, ìû óæå âèäåëè â ðàçäåëå 11.3, ÷òî ãëàâíóþ ïîïðàâêó ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ê ìàãíèòíîìó ìîìåíòó ìþîíà ìîæíî ïîëó÷èòü, óìíîæèâ ïîïðàâêó âòîðîãî ïîðÿäêà (øâèíãåðîâñêóþ ïîïðàâêó) (11.3.16) íà ôóíêöèþ ïîëÿðèçàöèè âàêóóìà π(k2) ïðè k2 ≈ mµ2. Íî ñîãëàñíî (18.2.40) ýòî (â äàííîì ïîðÿäêå) — òî æå ñàìîå, ÷òî èñïîëüçîâàòü â øâèíãåðîâñêîé ïîïðàâêå âìåñòî α âåëè÷èíó 2 4π. em µ Äðóãîé ïðèìåð.  ýêñïåðèìåíòàõ íà ýëåêòðîí-ïîçèòðîííûõ êîëëàéäåðàõ âûñîêèõ ýíåðãèé, òàêèõ êàê LEP â ÖÅÐÍå èëè SLC â Ñòàí-ôîðäñêîì öåíòðå ëèíåéíîãî óñêîðèòåëÿ SLAC ñåé÷àñ èçó÷àþò ôèçè÷åñêèå ïðîöåññû ïðè ýíåðãèÿõ ïîðÿäêà ìàññû Z0 ÷àñòèöû, ò. å. 91 ÃýÂ. Èç ôîðìóëû (18.2.43) ñëåäóåò, ÷òî ïðè ýòèõ ýíåðãèÿõ ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè ê ÷èñòîé êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå ñëåäóåò âû÷èñëÿòü, èñïîëüçóÿ çíà÷åíèå ïîñòîÿííîé òîíêîé ñòðóêòóðû, ðàâíîå íå 1/137,036, à âåëè÷èíå e2 (91 ÃýÂ) 4π

=

α 1 − 2(1125 . ) α 3π

=

1

.

134,6

(18.2.44)

Ýòî âåðíî äëÿ òåîðèè, â êîòîðîé åäèíñòâåííûìè çàðÿæåííûìè ÷àñòèöàìè ìàññîé ìåíüøå mZ ÿâëÿþòñÿ ýëåêòðîíû.  ðåàëüíîñòè òàêèõ ñîðòîâ ÷àñòèö ìíîãî, òàê ÷òî ýôôåêòèâíàÿ ïîñòîÿííàÿ òîíêîé ñòðóêòóðû4 ïðè mZ ðàâíà (128,87±0,12)–1. * * * Ñêîëüçÿùàÿ øêàëà, ïðè êîòîðîé âû÷èñëÿþòñÿ êîíñòàíòû ñâÿçè â òåîðèè, ìîæåò áûòü íå òîëüêî çíà÷åíèåì èìïóëüñà âíåøíåé ëèíèè, íî è çíà÷åíèåì âíåøíåãî ïîëÿ.  îäíîé èç ðàííèõ ðàáîò ïî ïðèëîæåíèÿì ìåòîäîâ ðåíîðìàëèçàöèîííîé ãðóïïû Êîóëìåí è 4à Þ. Âàéíáåðã ðàññìîòðåëè ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë V(ϕ) äëÿ íåçàâèñÿùåãî îò êîîðäèíàò ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè âíåøíåãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ϕ.  ïðîñòîì ñëó÷àå, êîãäà ïîëå âçàèìîäåéñòâóåò òîëüêî ñ ñàìèì ñîáîé, â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè ïîëó÷åííûé èìè ðåçóëüòàò äàåòñÿ ôîðìóëîé (16.2.15). Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ðàñ-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

176

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

ñìîòðåíèå ýòîãî ïîòåíöèàëà â ñëó÷àå, êîãäà ïåðåíîðìèðîâàííàÿ ìàññà mR îáðàùàåòñÿ â íóëü è ìû äîëæíû â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè ïîëîæèòü â ïîñëåäíåì ñëàãàåìîì µ2(ϕ) ðàâíûì gRϕ2/2, òàê ÷òî (16.2.15) òåïåðü èìååò âèä (ïðè ñëåãêà èíà÷å îïðåäåëåííîé êîíñòàíòå g): g 4 g2ϕ 4 ln ϕ 2 V (ϕ) = λ R + . ϕ + (18.2.45) 24 256π 2 Íà ïåðâûé âçãëÿä êàæåòñÿ, ÷òî ïðè g > 0 ïîòåíöèàë ïðè î÷åíü ìàëûõ ϕ ñòàíîâèòñÿ ìåíüøå, ÷åì λR, òàê ÷òî òî÷êà ϕ = 0 ÿâëÿåòñÿ íå ëîêàëüíûì ìèíèìóìîì, à ëîêàëüíûì ìàêñèìóìîì. Îäíàêî ïðè ñòîëü ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ϕ òðåòüå ñëàãàåìîå áîëüøå âòîðîãî, è òåîðèÿ âîçìóùåíèé î÷åâèäíî íå âûçûâàåò äîâåðèÿ. Êðîìå òîãî, íàì õîòåëîñü áû ïîêàçàòü, ÷òî g äîëæíà áûòü ïîëîæèòåëüíîé, ÷òîáû ïîòåíöèàë áûë îãðàíè÷åí ñíèçó ïðè áîëüøèõ ïîëÿõ, îäíàêî èç (18.2.45) ñëåäóåò, ÷òî ñêîëü áû ìàëîé íè áûëà êîíñòàíòà g, ñóùåñòâóåò äîñòàòî÷íî áîëüøîå ϕ, ïðè êîòîðîì òåîðèÿ âîçìóùåíèé ñòàíîâèòñÿ íåïðèìåíèìîé, è, ñëåäîâàòåëüíî, âûðàæåíèþ (18.2.45) íåëüçÿ äîâåðÿòü ïðè âûÿñíåíèè âîïðîñà îá îãðàíè÷åííîñòè ïîòåíöèàëà ñíèçó ïðè áîëüøèõ ïîëÿõ. Ìîæíî ïîñòóïèòü çíà÷èòåëüíî ëó÷øå, èñïîëüçóÿ êîíñòàíòó ñâÿçè, îïðåäåëåííóþ ïðè ñêîëüçÿùåé øêàëå m äëÿ íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êîíñòàíòà gµ îïðåäåëåíà óñëîâèåì

V (µ ) = λ R +

gµ 24

µ4 .

(18.2.46)

Åñëè áû ìû èñïîëüçîâàëè gµ ñ ñàìîãî íà÷àëà êàê ïàðàìåòð ñâÿçè, òîãäà âìåñòî (18.2.45) ìû ïîëó÷èëè áû âûðàæåíèå gµ 4 gµ2 ϕ 4 ϕ2 ϕ + V(ϕ) = λ R + ln , (18.2.47) µ2 24 256π2

F I GH JK

î÷åâèäíî ñîãëàñóþùååñÿ ñ (18.2.46) *. * Âûðàæåíèå (18.2.47) îòëè÷àåòñÿ îò òîãî, êîòîðîå ìû ïîëó÷èëè áû èç (18.2.45), ïðîñòî èñïîëüçóÿ (18.2.46), ÷òîáû âûðàçèòü g ÷åðåç gµ. Âñå îòëè÷èå â òîì, ÷òî ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå ïðîïîðöèîíàëüíî íå g2, à gµ2. Ðàçíèöà — áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ïî g, íî îíà ìîæåò ñòàòü ñóùåñòâåííîé,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

18.2. Ñêîëüçÿùèé ìàñøòàá

177

Óðàâíåíèå ðåíîðìãðóïïû äëÿ gµ ìîæíî ïîëó÷èòü èç óñëîâèÿ, ÷òî ýòîò ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë íå çàâèñèò îò µ *: µ

dgµ dµ

=

3gµ2 16 π 2

(18.2.48)

.

(Ñëàãàåìûå, ñîäåðæàùèå ïðîèçâîäíóþ îò gµ2, çäåñü îïóùåíû, òàê êàê îíè – áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ïî gµ, è èìè ìîæíî ïðåíåáðåãàòü äî òåõ ïîð, ïîêà gµ äîñòàòî÷íî ìàëà.) Íå ñëó÷àéíî, ÷òî ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå èìååò òîò æå âèä, ÷òî óðàâíåíèå ðåíîðìàëèçàöèîííîé ãðóïïû (18.2.9), (18.2.12), ãäå µ — ïåðåíîðìèðîâî÷íûé èìïóëüñ, ò. ê. ìû ïîêàæåì â ñëåäóþùåì ðàçäåëå, ÷òî äâà ïåðâûõ ñëàãàåìûõ â óðàâíåíèè ðåíîðìãðóïïû âñåãäà íå çàâèñÿò îò ñïîñîáà îïðåäåëåíèÿ ñêîëüçÿùåé øêàëû. Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ äàåòñÿ âûðàæåíèåì (18.2.17), â îáùåì ñëó÷àå, ñ äðóãîé êîíñòàíòîé èíòåãðèðîâàíèÿ Ì. Îòñþäà, ïîëàãàÿ µ = ϕ â (18.2.17), èìååì

V (ϕ) = λ R −

gϕ = −

32π 2ϕ 4 3 ln ϕ 2 M 2

d

32π 2 3 ln ϕ 2 M 2

d

i

i

,

.

(18.2.49)

(18.2.50)

åñëè V(ϕ) âû÷èñëÿåòñÿ ïðè çíà÷åíèÿõ ϕ, ñèëüíî îòëè÷àþùèõñÿ îò m, êîãäà áîëüøèå ëîãàðèôìû ìîãóò êîìïåíñèðîâàòü ñòåïåíè êîíñòàíòû ñâÿçè. Åñëè ñ ñàìîãî íà÷àëà èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà ñâÿçè gµ è âçÿòü µ ïîðÿäêà ϕ, òî ïîäîáíûõ ëîãàðèôìîâ íå âîçíèêàåò, è ïðèáëèæåíèå (18.2.47) ñïðàâåäëèâî äî òåõ ïîð, ïîêà gµ îñòàåòñÿ ìàëîé. * ×òîáû óñòðàíèòü âñþ çàâèñèìîñòü îò îáðåçàíèÿ, ïîëå ϕ íóæíî çàïèñàòü ÷åðåç ïåðåíîðìèðîâàííîå ïîëå ϕµ =Nµϕϕ, ÷òî ïîðîæäàåò çàâèñèìîñòü V(ϕµ) îò µ, âîçíèêàþùóþ èç çàâèñèìîñòè îò µ êîíñòàíòû ïåðåíîðìèðîâêè N µϕ . Çäåñü ýòî èãíîðèðóåòñÿ, òàê êàê â òåîðèè ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ñ âçàèìîäåéñòâèåì ∝ ϕ4 äèàãðàììû íèçøåãî ïîðÿäêà, äàþùèå âêëàä â çàâèñèìîñòü N µϕ îò µ, ñîäåðæàò äâå ïåòëè, è â òîì ïîðÿäêå, â êîòîðîì ìû äåëàåì çäåñü âû÷èñëåíèÿ, ìîæíî ïîëîæèòü N µϕ = 1.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

178

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

Ýòîò ðåçóëüòàò ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ñ îñòîðîæíîñòüþ, òàê êàê îí ñïðàâåäëèâ òîëüêî ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ êîíñòàíòû ñâÿçè gµ. Ïðîáëåìà íå òîëüêî â òîì, ÷òî (18.2.49) òåðÿåò ïðèìåíèìîñòü ïðè ϕ, áëèçêèì ê Ì. Ìû íå ìîæåì òàêæå ïðîèíòåãðèðîâàòü óðàâíåíèå ðåíîðìãðóïïû ÷åðåç ñèíãóëÿðíîñòü ϕ = M, òàê ÷òî çíàíèå gϕ ñ îäíîé ñòîðîíû îò ýòîé ñèíãóëÿðíîñòè íè÷åãî íå ãîâîðèò íàì î ïîâåäåíèè gϕ ñ äðóãîé ñòîðîíû. Åñëè îêàçàëîñü, ÷òî gϕ èìååò ìàëîå ïîëîæèòåëüíîå çíà÷åíèå ïðè íåêîòîðîì ϕ0, òîãäà èç (18.2.50) ìû çíàåì, ÷òî M > |ϕ0|, òàê ÷òî gϕ îñòàåòñÿ ìàëîé âåëè÷èíîé, è ôîðìóëà (18.2.49) âåðíà ïðè |ϕ| < |ϕ0|. Ýòî ïîêàçûâàåò, ÷òî òî÷êà ϕ = 0 ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì ìèíèìóìîì V(ϕ), â ïðîòèâîïîëîæíîñòü òîìó, ÷òî ìû ìîãëè áû ïðåäïîëîæèòü íà îñíîâàíèè (18.2.45). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âàêóóì, êîòîðûé èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè ϕ → –ϕ, â ýòîé ìîäåëè ñòàáèëåí, åñëè íå ïðèíèìàòü âî âíèìàíèå âîçìîæíîñòü êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîãî ïðîñà÷èâàíèÿ ñêâîçü áàðüåð. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìû íå çíàåì, ÿâëÿåòñÿ ëè âûðàæåíèå (18.2.49) ñïðàâåäëèâûì äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ïî ñðàâíåíèþ ñ Ì çíà÷åíèé |ϕ|. Êîíñòàíòà ìîæåò îêàçàòüñÿ ñëèøêîì áîëüøîé äëÿ òîãî, ÷òîáû èñïîëüçîâàòü òåîðèþ âîçìóùåíèé äëÿ âñåõ |ϕ| > M, è äàæå åñëè ïðè íåêîòîðîì |ϕ| > M îíà ñòàíîâèòñÿ ìàëîé, ïîòåíöèàë ïðè òàêîì ϕ ìîæåò îïðåäåëÿòüñÿ âûðàæåíèåì (18.2.49) ñ ìàñøòàáîì ïåðåíîðìèðîâêè M′ > ϕ, ïîðîæäàÿ âòîðóþ ñèíãóëÿðíîñòü. Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ñëó÷àå ìû íå ìîæåì ñäåëàòü âûâîä, ÷òî V(ϕ) → ∞ ïðè |ϕ| → ∞. Àíàëîãè÷íî, åñëè îêàçàëîñü, ÷òî gϕ èìååò ìàëîå îòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå ïðè íåêîòîðîì ϕ0, òîãäà ìû çíàåì, ÷òî M < |ϕ0|, òàê ÷òî gϕ îñòàåòñÿ ìàëîé, è âûðàæåíèå (18.2.49) âåðíî ïðè |ϕ| > |ϕ0|.  ýòîì ñëó÷àå ìû íè÷åãî íå ìîæåì ñêàçàòü î ïîâåäåíèè ïîòåíöèàëà ïðè |ϕ| < M, íî ìîæåì èñïîëüçîâàòü (18.2.49), ÷òîáû óâèäåòü, ÷òî V(ϕ) → ∞ ïðè |ϕ| → ∞, èñêëþ÷àÿ âîçìîæíîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ ëþáîãî ñòàáèëüíîãî âàêóóìà. Òàê êàê çäåñü ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðåäåë |ϕ| → ∞, ýòîò âûâîä âåðåí òàêæå äëÿ ñêàëÿðíûõ ïîëåé ñ ìàññîé m > 0 ïðè óñëîâèè, ÷òî m n |ϕ0|. Èìåííî ïîýòîìó íåîáõîäèìî ïðåäïîëàãàòü, ÷òî êîíñòàíòà âçàèìîäåéñòâèÿ ϕ4 (ïåðåíîðìèðîâàííàÿ ïðè ëþáîì ìàñøòàáå, ìíîãî áîëüøåì ìàññû ñêàëÿðà) ïîëîæèòåëüíà.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

179

18.3. Âàðèàíòû àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ

18.3. Âàðèàíòû àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ Ìåòîäû ðåíîðìàëèçàöèîííîé ãðóïïû ïîçâîëÿþò ãëóáæå ïîíÿòü âñòðå÷àþùèåñÿ â êâàíòîâûõ òåîðèÿõ ïîëÿ âîçìîæíûå òèïû àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ äàæå â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà áåãóùàÿ êîíñòàíòà ñâÿçè gµ íåäîñòàòî÷íî ìàëà, ÷òîáû ìîæíî áûëî ïðèìåíÿòü òåîðèþ âîçìóùåíèé. Ìû áóäåì ðàçëè÷àòü ÷åòûðå âîçìîæíûõ òèïà ïîâåäåíèÿ gµ ïðè µ → ∞, ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷åòûðåì ðàçíûì ôîðìàì ôóíêöèè β(g) â òåîðèÿõ ñ åäèíñòâåííîé êîíñòàíòîé ñâÿçè.  ñëåäóþùåì ðàçäåëå ìû ðàññìîòðèì ñëó÷àé òåîðèé ñ íåñêîëüêèìè íåçàâèñèìûìè êîíñòàíòàìè. Íàïîìíèì, ïðåæäå âñåãî, ðåçóëüòàòû î âèäå β(g), óñòàíîâëåííûå â äâóõ ïðèìåðàõ, ðàññìîòðåííûõ â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå. Îäíèì èç ïðèìåðîâ áûëà ñêàëÿðíàÿ òåîðèÿ ïîëÿ ñ âçàèìîäåéñòâèåì gϕ4/24, äëÿ êîòîðîé ïðè ìàëûõ g áåòà-ôóíêöèÿ èìååò âèä

β(g) =

3g2 16π

2



g3

18

3 (16π )

2 2

+ O(g4 ) .

(18.3.1)

Äðóãîé ïðèìåð — êâàíòîâàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà. Âìåñòî òîãî, ÷òîáû âûïèñûâàòü áåòà-ôóíêöèþ â âèäå (18.2.38), ïîä÷åðêíåì ñõîæåñòü ýòîé òåîðèè è ñêàëÿðíîé òåîðèè ïîëÿ, çàïèñàâ g ≡ e2 ,

(18.3.2)

ãäå òåïåðü β(gµ) ïîíèìàåòñÿ êàê µdgµ/dµ, òàê ÷òî ïðè ìàëûõ g

β(g) = 2e =

g

LM e N12π

2

6π 2

3

+

2

+

g

e5 64π

3

32π 2

2

+ O(e7 )

OP Q

+ O(g4 ) .

(18.3.3)

Çàìåòèì, ÷òî â îáîèõ ñëó÷àÿõ ôèçè÷åñêè ðàçðåøåííûå êîíñòàíòû ñâÿçè óìåíüøàþòñÿ â îáëàñòè g ≥ 0, ãäå β(g) ≥ 0 ïðè ìàëûõ g.  ýëåêòðîäèíàìèêå ýòî ïðîèñõîäèò ïðîñòî ïîòîìó, ÷òî äåéñòâèòåëüíîñòü ëàãðàíæèàíà òðåáóåò, ÷òîáû çàðÿä å áûë äåéñòâèòåëüíûì. Êàê ìû âèäåëè â êîíöå ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà, â ñêàëÿðíîé òåîðèè ïîëÿ íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå óñëîâèÿ g > 0, äëÿ òîãî,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

180

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

÷òîáû ñóùåñòâîâàëî ñòàáèëüíîå âàêóóìíîå ñîñòîÿíèå. Îäíàêî åñòü äðóãèå ïðèìåðû, êîãäà β(g) ≤ 0 ïðè g ≥ 0. Íàïðèìåð, ìîæíî ðàññìîòðåòü ñêàëÿðíóþ òåîðèþ ïîëÿ ñ ãàìèëüòîíèàíîì âçàèìîäåéñòâèÿ –gϕ4/24 ñ ïîëîæèòåëüíîé êîíñòàíòîé g. Òàêàÿ òåîðèÿ ìîæåò áûòü íåôèçè÷åñêîé, íî äî òåõ ïîð, ïîêà ìû ïðèäåðæèâàåìñÿ òåîðèè âîçìóùåíèé, íàñ íå áóäóò áåñïîêîèòü ïðîáëåìû ñòàáèëüíîñòè. Èç óðàâíåíèÿ (18.2.9) ñëåäóåò, ÷òî åñëè ïåðåîïðåäåëèòü g → –g, áåòà-ôóíêöèÿ èçìåíÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: β(g) → –β(–g), òàê ÷òî, ïîëüçóÿñü ïðåäûäóùèì ðåçóëüòàòîì, ÷òî β(g) = 3g2/16π2 + O(g3) â ñëó÷àå âçàèìîäåéñòâèÿ gϕ4/24, èìååì â ñëó÷àå ãàìèëüòîíèàíà âçàèìîäåéñòâèÿ –gϕ4/24: β(g) = − 3g2 16 π 2 + O(g3 ) .

(18.3.4)

Ñóùåñòâåííî áîëüøåå îòíîøåíèå ê ôèçèêå èìåþò ðàññìîòðåííûå â ðàçäåëå 18.7. íåàáåëåâû êàëèáðîâî÷íûå òåîðèè ñ íå ñëèøêîì áîëüøèì ÷èñëîì ñïèíîðíûõ ïîëåé, â êîòîðûõ β ≤ 0 ïðè ìàëûõ ïîëîæèòåëüíûõ êàëèáðîâî÷íûõ êîíñòàíòàõ ñâÿçè. Íèæå ìû âñåãäà áóäåì îïðåäåëÿòü êîíñòàíòó g òàê, ÷òî g ≥ 0, íî áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àè, êîãäà β(g) ïîëîæèòåëüíà èëè îòðèöàòåëüíà ïðè ìàëûõ g. Îáðàòèìñÿ ê ñïèñêó âîçìîæíîñòåé (ðèñ. 18.4).

Ðèñ. 18.4. Ñõåìàòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ÷åòûðåõ âîçìîæíûõ òèïîâ ôóíêöèè β(g). Äëÿ òàêèõ β(g) áåãóùàÿ êîíñòàíòà ñâÿçè gµ: à) ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè ïðè êîíå÷íîì çíà÷åíèè µ; á) âîçðàñòàåò ñ ðîñòîì µ; â) äîñòèãàåò êîíå÷íîãî ïðåäåëà g* ïðè µ → ∞; ã) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè µ → ∞

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

18.3. Âàðèàíòû àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ

181

à. Ñèíãóëÿðíîñòü ïðè êîíå÷íîé ýíåðãèè Ïðåäïîëîæèì, ÷òî β(g) > 0 ïðè ìàëûõ ïîëîæèòåëüíûõ g (êàê â âûðàæåíèÿõ (18.3.1) è (18.3.3)) è ÷òî β(g) îñòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé è ïðîäîëæàåò äîñòàòî÷íî áûñòðî âîçðàñòàòü ñ ðîñòîì g, òàê ÷òî ñõîäèòñÿ èíòåãðàë

XY Z



dg

< ∞.

β(g)

(18.3.5)

Òîãäà gµ áóäåò íåïðåðûâíî óäàëÿòüñÿ îò gµ = 0, è èç (18.2.10) âèäíî, ÷òî gE äîëæíà ñòàòü áåñêîíå÷íîé ïðè êîíå÷íîì çíà÷åíèè Å:

E∞

FX = µ expG Y GH Z





I J, β(g) JK dg

(18.3.6)

ãäå µ — ïðîèçâîëüíàÿ øêàëà ïåðåíîðìèðîâêè ñ µ . m.  ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ìû âèäåëè ïðèìåð ýòîãî ÿâëåíèÿ. Åñëè ïðèíÿòü, ÷òî ôîðìóëà íèçøåãî ïîðÿäêà β(g) = 3g2/6π2 äëÿ áåòà-ôóíêöèè â ñêàëÿðíîé òåîðèè ïîëÿ òî÷íà äëÿ âñåõ çíà÷åíèé g, òîãäà áåãóøàÿ êîíñòàíòà (18.2.17) ñòàíîâèòñÿ áåñêîíå÷íîé ïðè ýíåðãèè (18.2.19). Àíàëîãè÷íî, åñëè ñ÷èòàòü òî÷íîé ôîðìóëó íèçøåãî ïîðÿäêà β(g) = g2/6π2 (çäåñü g ≡ e2) äëÿ áåòà-ôóíêöèè ñïèíîðíîé êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè, òîãäà gE è eE ñòàíóò áåñêîíå÷íûìè ïðè ýíåðãèè (18.3.6), ðàâíîé

E∞ = µ exp 6π 2 gµ .

d

i

(18.3.7)

Èñïîëüçóÿ (18.2.43), ìîæíî âûðàçèòü åå ÷åðåç îáû÷íûé ïåðåíîðìèðîâàííûé çàðÿä:

E ∞ g me exp

F 6π GH e

2

2 R

+

5 6

I JK

2 + O(eR ) = e646,6 me .

(18.3.8)

Êîíå÷íî, ïðèáëèæåíèå, â êîòîðîì β(g) = g2/6π2, òåðÿåò ñèëó äî òîãî, êàê äîñòèãàåòñÿ ýòà ýíåðãèÿ, ïîýòîìó ñ óâåðåííîñòüþ ìîæíî ñêàçàòü ëèøü òî, ÷òî çàðÿä eE ñòàíåò äîñòàòî÷íî áîëüøèì, ÷òîáû íàðóøèòü òåîðèþ âîçìóùåíèé ïðè íåêîòîðîé ýíåðãèè Å, ìåíüøåé Å∞.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

182

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

á.

Íåïðåðûâíûé ðîñò Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî â êàêîé-òî òåîðèè β(g) îñòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ïðè g → ∞, íî ïðè ýòîì äîñòàòî÷íî ìåäëåííî ðàñòåò (èëè óáûâàåò), òàê ÷òî ∫∞dg/β(g) ðàñõîäèòñÿ. Òîãäà êîíñòàíòà ñâÿçè gE ïðîäîëæàåò âîçðàñòàòü ïðè Å → ∞, íî ñòàíîâèòñÿ áåñêîíå÷íîé òîëüêî â ïðåäåëå Å = ∞. Áîëåå òîãî, âåäóùåå ñëàãàåìîå â àñèìïòîòè÷åñêîì ïîâåäåíèè gE ïðè Å → ∞ íå çàâèñèò îò îáû÷íûì îáðàçîì ïåðåíîðìèðîâàííîé êîíñòàíòû. Íàïðèìåð, åñëè β(g) âåäåò ñåáÿ ïðè áîëüøèõ g êàê βgk, β > 0 è k < 1, òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (18.2.9) èìååò âèä gE

L = M1 + (1 − k) b g N

k −1 µ

O ln P µQ E

1/(1− k )

gµ .

(18.3.9)

Åñëè gµ ìàëà ïðè êàêîì-òî µ (ñêàæåì, ïîðÿäêà m), òîãäà ðîñò gE çàìåòåí òîëüêî ïðè ýíåðãèÿõ, ýêñïîíåíöèàëüíî áîëüøèõ ïî ñðàâíåíèþ ñ ýòèì µ. Îäíàêî â ïðåäåëå óëüòðàâûñîêèõ ýíåðãèé êîíñòàíòà ñâÿçè ðàñòåò ïî çàêîíó gE → [(1 − k)b ln E ]1/(1− k ) ,

(18.3.10)

ïðè÷åì ïðåäåëüíîå ïîâåäåíèå íå çàâèñèò îò gµ! â.

Ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà ïðè êîíå÷íîì çíà÷åíèè êîíñòàíòû Ïðåäïîëîæèì äàëåå, ÷òî β(g) îñòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ïðè 0 < g < g*, íî îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè g = g* è çàòåì ñòàíîâèòñÿ îòðèöàòåëüíîé. Òîãäà èç óðàâíåíèÿ (18.2.9) ñëåäóåò, ÷òî ñ ðîñòîì µ êîíñòàíòà gµ áóäåò âîçðàñòàòü ïðè gµ < g* è óìåíüøàòüñÿ ïðè gµ > g*, äîñòèãàÿ â îáîèõ ñëó÷àÿõ ôèêñèðîâàííîé òî÷êè g* ïðè µ → ∞. Åñëè ïðè g = g* íóëü β(g) — ïðîñòîé, òî â îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè ïðè g → g* (18.3.11) β(g) → a(g* − g) äëÿ g → g* ñ a > 0. Òîãäà ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (18.2.9) èìååò âèä

g* − gµ ∝ µ − a .

(18.3.12)

(Îïèñàííîå âûøå ïîâåäåíèå òèïà á ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà g* íàõîäèòñÿ íà áåñêî-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

183

18.3. Âàðèàíòû àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ

íå÷íîñòè.) Êðîìå òîãî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî îïåðàòîðà O ìîæíî îæèäàòü ïëàâíîãî ïîâåäåíèÿ γ(g) â îêðåñòíîñòè g*:

γ (g) = γ (g* ) + c(g* − g) + O (g* − g)2 .

d

i

(18.3.13)

(Ìû îïóñòèëè çäåñü ìåòêó Î ó g è c.) Îòñþäà â ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòàõ ýòîãî (è âîçìîæíî äðóãèõ) îïåðàòîðà ìû ñòàëêèâàåìñÿ ñ ïîÿâëåíèåì ìíîæèòåëÿ (ñì. (18.2.27))

LM X MN YZ

NE−1 ∝ exp −

E

γ (gµ )

OP ∝ E µ PQ



− γ ( g* )

1 + O(E − a ) .

(18.3.14)

Ïðîèçâåäåíèå ìíîæèòåëåé E − γ ( g* ) ìîæíî îáúåäèíèòü ñ ìíîæèòåëåì ED â (18.2.23), òàê ÷òî â ðåçóëüòàòå âåñü ìàòðè÷íûé ýëåìåíò âåäåò ñåáÿ êàê (18. 3. 15) M R ∝ E D* ãäå ðàçìåðíîñòü D* âû÷èñëÿåòñÿ ïóòåì äîáàâëåíèÿ ê ðåàëüíîé ðàçìåðíîñòè êàæäîãî îïåðàòîðà, âîçíèêàþùåãî â ìàòðè÷íîì ýëåìåíòå, åùå è «àíîìàëüíîé ðàçìåðíîñòè» –γ(g*). ã.

Àñèìïòîòè÷åñêàÿ ñâîáîäà  îáñóæäàâøèõñÿ äî ñèõ ïîð ïðèìåðàõ β(g) áûëà ïîëîæèòåëüíîé ïðè ìàëûõ g, òàê ÷òî c ðîñòîì µ êîíñòàíòà gµ óâîäèëàñü îò òî÷êè g = 0. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â êàêîé-òî òåîðèè β(g) îòðèöàòåëüíà ïðè ìàëûõ ïîëîæèòåëüíûõ g. Òîãäà β(g) → − bg n ,

(18.3.16)

ïðè β > 0. Çäåñü n — ïîðÿäîê òåõ äèàãðàìì íèçøåãî ïîðÿäêà, êîòîðûå âíîñÿò âêëàä â β(g), òàê ÷òî ýòî âñåãäà öåëîå ÷èñëî, áîëüøåå åäèíèöû. ( ðàññìàòðèâåìûõ çäåñü â êà÷åñòâå ïðèìåðà òåîðèÿõ n = 2. ) Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (18.2.9) èìååò âèä

gE

L = g M1 + b( n − 1)g N µ

n −1 µ

O ln P µQ E

−1/( n − 1)

.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(18.3.17)

184

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

Ïðè Å → ∞ ñóùåñòâóåò íå çàâèñÿùèé îò gµ ïðåäåë gE → [b( n − 1) ln E ]−1/( n −1) .

(18.3.18)

Òàê êàê ïðè Å → ∞ ýòî ïðèâîäèò ê íóëåâîìó çíà÷åíèþ gE, ìîæíî â ýòîì ïðåäåëå äîâåðÿòü òåîðèè âîçìóùåíèé, åñëè òîëüêî gE ïðè íåêîòîðîì êîíå÷íîì Å íàõîäèòñÿ âíóòðè îáëàñòè â îêðåñòíîñòè g = 0, ãäå g è β(g) èìåþò ïðîòèâîïîëîæíûå çíàêè. Àíîìàëüíûå ðàçìåðíîñòè γ(O) ðàçëè÷íûõ îïåðàòîðîâ Î âåäóò ñåáÿ â ïðåäåëå ñëàáîé ñâÿçè êàê (18.3.19) γ (g) → cg m , ãäå m — ïîðÿäîê äèàãðàìì íèçøåãî ïîðÿäêà, äàþùèõ âêëàä â ïåðåíîðìèðîâêó îïåðàòîðà, à ñ — ïîëîæèòåëüíàÿ èëè îòðèöàòåëüíàÿ äåéñòâèòåëüíàÿ êîíñòàíòà. Îòñþäà àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ïðè âûñîêèõ ýíåðãèÿõ òîãî ìíîæèòåëÿ, êîòîðûé ââîäèòñÿ â ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ïåðåíîðìèðîâêîé ýòîãî îïåðàòîðà, èìååò âèä

LM X γ (g ) dµ OP µ PQ MN YZ L X → exp M − cY [b( n − 1) ln µ ] MN Z L c[b(n − 1)] ∝ exp M − (ln E) N (1 − m)(n − 1)

N E−1 ∝ exp −

E

µ

E

− m /( n −1)

− m /( n −1)

OP µ PQ



1− m /( n −1)

(18.3.20)

OP , Q

çà èñêëþ÷åíèåì ñëó÷àÿ m = n – 1, êîãäà N E−1 ∝ (ln E) − c / b( n −1) .

(18.3.21)

Ìû âèäèì, ÷òî â ñëó÷àå àñèìïòîòè÷åñêîé ñâîáîäû íå âîçíèêàåò ïîïðàâîê ê òåì ýôôåêòèâíûì ðàçìåðíîñòÿì, êîòîðûå îïðåäåëÿþò ñòåïåíè ýíåðãèè, âîçíèêàþùèå â àñèìïòîòè÷åñêîì ïîâåäåíèè ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà, à âìåñòî ýòîãî àñèìïòîòèêà ìîäèôèöèðóåòñÿ ñòåïåíÿìè lnE.  êà÷åñòâå èãðóøå÷íîé ìîäåëè, â êîòîðîé èìååòñÿ àñèìïòîòè÷åñêàÿ ñâîáîäà, ìîæíî ðàññìîòðåòü ñêàëÿðíóþ òåîðèþ ïîëÿ ñ ãàìèëüòîíèàíîì –gϕ2/24 è ïîëîæèòåëüíûì g.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

18.3. Âàðèàíòû àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ

185

 äàííîì ñëó÷àå ïàðàìåòðû âûðàæåíèÿ (18.3.16) îïðåäåëÿþòñÿ èç (18.3.4): b = 3 16 π 2 , n = 2,

òàê ÷òî èç (18.3.17) ïðè Å → ∞ èìååì

gE →

LM 3 ln E OP N 16π Q

(18.3.22)

−1

2

.

(18.3.23)

Êðîìå òîãî, îïåðàòîð ϕ2 â ýòîé òåîðèè èìååò àíîìàëüíóþ ðàçìåðíîñòü, îïðåäåëÿåìóþ âûðàæåíèåì (18.2.29) â âèäå γ (g) = −

g

+ O(g2 ) .

16 π 2

(18.3.24)

Ñëåäîâàòåëüíî ïðèìåíèìî ñîîòíîøåíèå (18.3.19), â êîòîðîì c = − 1 16 π 2 , m = 1.

(18.3.25)

Ïîýòîìó êàæäûé îïåðàòîð ϕ2 â ìàòðè÷íîì ýëåìåíòå âíîñèò ìíîæèòåëü, îïðåäåëÿåìûé âûðàæåíèåì (18.3.21): N E−1 ∝ (ln E)1/3 .

(18.3.26)

Ñàìî ñêàëÿðíîå ïîëå â ýòîé òåîðèè èìååò γ(g) ∝ g2, è ò. ê. m = 2, òî êàæäûé ϕ-îïåðàòîð â ìàòðè÷íîì ýëåìåíòå âíîñèò ìíîæèòåëü, êîòîðûé ñîãëàñíî (18.3.20) ðàâåí

FG 1 IJ . H ln E K

N E−1 ∝ 1 + O

(18.3.27)

Ìû âñòðåòèìñÿ ñ äðóãèì, áîëåå ôèçè÷íûì, ïðèìåðîì àñèìïòîòè÷åñêîé ñâîáîäû ïðè ðàññìîòðåíèè êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè â ðàçäåëå 18.7. Âî âñåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà gE ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ïðè áåñêîíå÷íî áîëüøîé ýíåðãèè Å, ïîâåäåíèå êîíñòàíòû â ýòîì ïðåäåëå îêàçûâàåòñÿ íå çàâèñÿùèì îò ïåðåíîðìèðîâàííîé êîíñòàíòû gR. Îäíàêî ýòî íå îáÿçàòåëüíî îçíà÷àåò, ÷òî òåîðèÿ íå ñîäåðæèò

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

186

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

ïðîèçâîëüíûõ áåçðàçìåðíûõ ïàðàìåòðîâ. ×òîáû îïèñàòü òî, êàê gE äîñòèãàåò ñâîåãî ïðåäåëà ïðè Å → ∞, âñåãäà íóæíî çàäàòü ñâîáîäíûé ïàðàìåòð λ ñ ðàçìåðíîñòüþ ýíåðãèè.  ñëó÷àå á ôîðìóëà (18.3.10) ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå gE → (1 − k)b ln(E λ)

1/(1− k )

.

 ñëó÷àå â ôîðìóëó (18.3.12) ìîæíî çàïèñàòü êàê

LM F λ I OP . MN GH E JK PQ b

gE → g* 1 −

Íàêîíåö, â ñëó÷àå ã ôîðìóëà (18.3.18) ïðèíèìàåò âèä gE → b( n − 1) ln(E λ)

1/( n − 1)

.

 îáùåì ñëó÷àå òàêèå òåîðèè ñîäåðæàò ñâîáîäíûé áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð — îòíîøåíèå λ ê ìàññå m. Êîíñòàíòû ñâÿçè òèïà eR, ïåðåíîðìèðîâàííûå â ìàñøòàáå, êîòîðûé ñâÿçàí ñ µ, ìîæíî çàïèñàòü êàê ôóíêöèè îòíîøåíèÿ m/λ. Òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà âñå ìàññû â òåîðèè îáðàùàþòñÿ â íóëü, ìîæíî ãîâîðèòü î òîì, ÷òî â òåîðèè íåò ñâîáîäíûõ áåçðàçìåðíûõ ïàðàìåòðîâ. Èç ÷åòûðåõ îïèñàííûõ çäåñü òèïîâ àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ òèïû à è á ïðèâîäÿò ê ÿâíî íåôèçè÷åñêîìó ïîâåäåíèþ áåãóùåé êîíñòàíòû ñâÿçè gE, êîòîðàÿ ñòàíîâèòñÿ áåñêîíå÷íîé ëèáî ïðè êîíå÷íîé ýíåðãèè (ñëó÷àé à), ëèáî ïðè Å → ∞ (ñëó÷àé á). Ñàìî ïî ñåáå ýòî åùå íå ãëàâíàÿ êàòàñòðîôà, òàê êàê íóæíî ïîñìîòðåòü, êàê îïðåäåëåíà êîíñòàíòà ñâÿçè. Íàïðèìåð, åñëè gµ ïëàâíî ñïàäàåò îò êîíå÷íîãî çíà÷åíèÿ gµ ïðè µ = m äî íóëÿ ïðè µ → ∞, gµ ≡ gµ [1 − gµ g2m ] , òîãè ìû îïðåäåëÿåì íîâóþ êîíñòàíòó ñâÿçè ~ ~ äà gµ ïðè µ = 2m ñòàíîâèòñÿ áåñêîíå÷íîé. Íî ýòî ïðîñòî àðòåôàêò òàêîãî êîíêðåòíîãî âûáîðà êîíñòàíòû ñâÿçè. Îäíàêî îáû÷íûì îáðàçîì ïåðåíîðìèðîâàííûå êîíñòàíòû gµ êàê â òåîðèè ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ϕ4, òàê è â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå, áûëè îïðåäåëåíû çäåñü ÷åðåç çíà÷åíèÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ ïðè ýíåðãèÿõ ïîðÿäêà µ.  ÷àñòíîñòè, â ñêàëÿðíîé òåîðèè ϕ4 êîíñòàíòà gµ îïðåäåëåíà êàê èíâàðèàíòíàÿ ôåéíìàíîâñêàÿ àìïëèòóäà À ñêàëÿð-ñêàëÿðíîãî ðàññåÿíèÿ â òî÷êå s = t = u = µ2, ïðè÷åì À ïðåäïîëàãàåòñÿ àíà-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

187

18.3. Âàðèàíòû àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ

ëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé. Êðîìå òîãî, gµ = eµ2 â ñïèíîðíîé ýëåêòðîäèíàìèêå äàåòñÿ âûðàæåíèåì 2 = Z3 / Nµ( A)2 = 1 − π(µ 2 ) eµ2 eR

−1

.

(18.3.28)

Ïîýòîìó áåñêîíå÷íîå çíà÷åíèå eµ2 â òî÷êå µ∞ áóäåò ïîðîæäàòü ïîëþñ èëè äðóãóþ îñîáåííîñòü â ïåðåíîðìèðîâàííîì ôîòîííîì ïðîïàãàòîðå ïðè ïîëîæèòåëüíîì çíà÷åíèè ð2 = µ∞2, ãäå ïðîïàãàòîð ïðåäïîëàãàåòñÿ àíàëèòè÷íûì. Òàêèì îáðàçîì, åñëè gµ îïðåäåëåíî òàê, êàê âûøå, òî òèï àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ, îïèñûâàåìûé ñëó÷àì à, ôèçè÷åñêè èñêëþ÷àåòñÿ. Êàê æå òîãäà âåäóò ñåáÿ ðàçëè÷íûå êâàíòîâûå òåîðèè ïîëÿ? Ìíîãî ëåò òîìó íàçàä Ëàíäàó 4à ïîêàçàë, ÷òî â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå âîçðàñòàþùèå ñòåïåíè ln(E/M), âîçíèêàþùèå â êàæäîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé, äîëæíû ñêëàäûâàòüñÿ è ïîðîæäàòü îñîáåííîñòè (òàê íàçûâàåìûå «äóõè Ëàíäàó») ïðè êîíå÷íûõ çíà÷åíèÿõ Å. Íà ñîâðåìåííîì ÿçûêå ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî Ëàíäàó îòêðûë âîçìîæíîñòü à, íî íå ïðèâåë íè îäíîãî àðãóìåíòà ïðîòèâ ñëó÷àåâ á èëè â. Òåì íå ìåíåå ñåé÷àñ øèðîêî ðàñïðîñòðàíåíà òî÷êà çðåíèÿ, ÷òî òå êâàíòîâûå òåîðèè âçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîëåé, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè ñâîáîäíûìè, íàïðèìåð, êâàíòîâàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà èëè ñêàëÿðíàÿ òåîðèÿ ïîëÿ ñ âçàèìîäåéñòâèåì ϕ4, ÿâëÿþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêè íåïîñëåäîâàòåëüíûìè.  êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå åñòü íåêîòîðûå àðãóìåíòû, îòâåðãàþùèå ñëó÷àé â, ò. å. ñóùåñòâîâàíèå êîíå÷íîé ôèêñèðîâàííîé òî÷êè å*. Òàêàÿ òî÷êà ìîãëà áû ñóùåñòâîâàòü4ñ, åñëè áû íåïåðòóðáàòèâíûå ýôôåêòû èçìåíÿëè êà÷åñòâåííûå ñâîéñòâà ðàçëîæåíèÿ îïåðàòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (ïðåäìåò ðàññìîòðåíèÿ â ãë. 20) èëè åñëè áû ñóùåñòâîâàëà íåïåðòóðáàòèâíàÿ ïåðåíîðìèðîâêà òðåóãîëüíîé àíîìàëèè (ãë. 22). Íî äàæå åñëè ñëó÷àé â äåéñòâèòåëüíî èñêëþ÷àåòñÿ â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå, âñå åùå îñòàåòñÿ âîçìîæíîñòü á ñóùåñòâîâàíèÿ ôèêñèðîâàííîé òî÷êè ïðè áåñêîíå÷íîì çíà÷åíèè êîíñòàíòû ñâÿçè. Áî1ëüøàÿ ÷àñòü ñâèäåòåëüñòâ î íåïîñëåäîâàòåëüíîñòè àñèìïòîòè÷åñêè íåñâîáîäíûõ âçàèìîäåéñòâóþùèõ êâàíòîâûõ òåîðèé ïîëÿ âîçíèêàåò ïðè èçó÷åíèè ñêàëÿðíîé òåîðèè ïîëÿ â ÷åòûðåõ ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ èçìåðåíèÿõ ñ âçàèìîäåéñòâèåì ϕ4,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

188

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

êâàíòîâàííîé íà êîíå÷íîé ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé ðåøåòêå. Cóùåñòâóþò ñòðîãèå òåîðåìû4d, äîêàçûâàþùèå, ÷òî ýòà òåîðèÿ (ñ ïðîèçâîëüíîé çàâèñèìîñòüþ åå ïàðàìåòðîâ îò ïîñòîÿííîé ðåøåòêè) íå ïåðåõîäèò â ïðåäåëå íóëåâîé ïîñòîÿííîé ðåøåòêè â íåïðåðûâíóþ òåîðèþ ñ âçàèìîäåéñòâèåì, åñëè òîëüêî òåîðèÿ íå àñèìïòîòè÷åñêè ñâîáîäíà, ÷òî, êîíå÷íî, ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî îáíàðóæèâàåòñÿ â òåîðèè âîçìóùåíèé äëÿ òàêîé òåîðèè. Ýòîò àðãóìåíò òàêæå êàæåòñÿ íåóáåäèòåëüíûì. Âåðíî, ÷òî åñëè áû ñóùåñòâîâàëà ïîñëåäîâàòåëüíàÿ àñèìïòîòè÷åñêè íåñâîáîäíàÿ íåïðåðûâíàÿ ñêàëÿðíàÿ òåîðèÿ ïîëÿ, òî ìîæíî áûëî áû ïîñòðîèòü ðåøåòî÷íóþ òåîðèþ, ïðîèíòåãðèðîâàâ ïî çíà÷åíèÿì ñêàëÿðíîãî ïîëÿ âî âñåõ òî÷êàõ, êðîìå òåõ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò óçëàì ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé ðåøåòêè. Íî ýòî áûëà áû íå òà ðåøåòî÷íàÿ òåîðèÿ, êîòîðàÿ ðàññìàòðèâàåòñÿ â óïîìÿíóòûõ òåîðåìàõ. Ýòî áûëà áû ðåøåòî÷íàÿ òåîðèÿ ñ ëþáûì âîçìîæíûì âçàèìîäåéñòâèåì, äîïóñêàåìûì ïðèíöèïàìè ñèììåòðèè, ò. å. ñîäåðæàùàÿ íå òîëüêî ñëàãàåìîå ñ ϕ4, íî è ñëàãàåìûå, ïðîïîðöèîíàëüíûå ϕ6, ϕ39ϕ è ò. ä., ñ êîýôôèöèåíòàìè, çàâèñèìîñòü êîòîðûõ îò îáðåçàíèÿ (îáðàòíîé âåëè÷èíû ïîñòîÿííîé ðåøåòêè) óïðàâëÿëàñü áû óðàâíåíèÿìè ðåíîðìãðóïïû Âèëüñîíà, îáñóæäàâøèìèñÿ â ðàçäåëå 12.4. Íèêòî íå äîêàçàë íèêàêèõ óòâåðæäåíèé î ñóùåñòâîâàíèè íåïðåðûâíîãî ïðåäåëà òàêîé òåîðèè. Åñëè äåéñòâèòåëüíî âåðíî, ÷òî íå ñóùåñòâóåò òåîðèè âçàèìîäåéñòâóþùåãî íåïðåðûâíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ â ïðåäåëå íóëåâîé ïîñòîÿííîé ðåøåòêè, òîãäà ìû äîëæíû ñòîëêíóòüñÿ ñ çàòðóäíåíèÿìè ïðè ïîïûòêå ðåøèòü óðàâíåíèÿ ðåíîðìãðóïïû Âèëüñîíà, êîòîðûå â ñëó÷àå ñëàáûõ ïåðåíîðìèðîâàííûõ âçàèìîäåéñòâèé äîëæíû áûòü çàäàíû ïðè î÷åíü ìàëûõ ïîñòîÿííûõ ðåøåòêè. Åñëè íå ðàññìàòðèâàòü î÷åíü ìàëûå ðàññòîÿíèÿ, òàêàÿ òåîðèÿ äîëæíà âûãëÿäåòü êàê âçàèìîäåéñòâóþùàÿ íåïðåðûâíàÿ òåîðèÿ ïîëÿ. Ïåðåíîðìèðîâàííàÿ êîíñòàíòà ñâÿçè â ýòîé ïðèáëèæåííî íåïðåðûâíîé òåîðèè ïðåäïîëîæèòåëüíî èìååò îñîáåííîñòü ïðè êîíå÷íîé ýíåðãèè, êàê â ñëó÷àå à âûøå, òàê ÷òî è òàêàÿ òåîðèÿ òåðïèò êðàõ íà ìàëûõ ðàññòîÿíèÿõ. (Îäíàêî ïðè áîëüøèõ êîíñòàíòàõ íåò ïðÿìîé ñâÿçè ìåæäó âèäîì óðàâíåíèé ðåíîðìãðóïïû Âèëüñîíà è ÃåëëÌàííà–Ëîó, òàê ÷òî ñóùåñòâîâàíèå îñîáåííîñòè ó ãîëûõ êîíñòàíò ïðè êîíå÷íîé ïîñòîÿííîé ðåøåòêè íåîáÿçàòåëüíî âëå÷åò çà ñîáîé íàëè÷èå îñîáåííîñòåé ó ïåðåíîðìèðîâàííûõ êîíñòàíò ñâÿçè ïðè êîíå÷íîì ìàñøòàáå ïåðåíîðìèðîâêè.)

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

18.3. Âàðèàíòû àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ

189

Òåîðèè òàêîãî ðîäà ÷àñòî íàçûâàþò òðèâèàëüíûìè, ëèáî ïîòîìó, ÷òî ïðè ðàçíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ î ãîëûõ êîíñòàíòàõ â òåîðèè, êâàíòîâàííîé íà ðåøåòêå, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî íåïðåðûâíûé ïðåäåë ÿâëÿåòñÿ ñâîáîäíîé òåîðèåé ïîëÿ, ëèáî ïîòîìó, ÷òî åäèíñòâåííûé ñïîñîá ñäåëàòü íåïðåðûâíóþ òåîðèþ òèïà à ôèçè÷åñêè ïðèåìëåìîé ïðè âñåõ ýíåðãèÿõ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû ïðèíÿòü ðåøåíèå gµ = 0 óðàâíåíèé ðåíîðìãðóïïû (18.2.9). Äàæå åñëè òåîðèÿ ïîëÿ òðèâèàëüíà â ëþáîì èç óêàçàííûõ ñìûñëîâ, íåò íèêàêèõ îñíîâàíèé íå âêëþ÷àòü åå êàê ÷àñòü ðåàëèñòè÷åñêîé òåîðèè ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé. Ñóùåñòâîâàíèå âîçðàæåíèé ïî ïîâîäó ðåøåíèÿ âèëüñîíîâñêèõ óðàâíåíèé ðåíîðìãðóïïû äëÿ òåîðèè ïîëÿ ïðè î÷åíü ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ïîñòîÿííîé ðåøåòêè íåñóùåñòâåííî, åñëè â ðåàëüíîì ìèðå ñóùåñòâóþò äðóãèå ïîëÿ, êîòîðûå íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü íà ñòîëü ìàëûõ ðàññòîÿíèÿõ. Àíàëîãè÷íî, òîò ôàêò, ÷òî äàííàÿ êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ïîëÿ èìååò íåôèçè÷åñêèå îñîáåííîñòè ïðè êàêîé-òî áîëüøîé ýíåðãèè Å∞, íå ÿâëÿåòñÿ ôèçè÷åñêîé ïðîáëåìîé, åñëè îáñóæäàåìàÿ òåîðèÿ åñòü âñåãî ëèøü íèçêîýíåðãåòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå áîëåå øèðîêîé òåîðèè, âåðíîå òîëüêî ïðè ýíåðãèÿõ, ìíîãî ìåíüøèõ Å∞.  ÷àñòíîñòè, çàäîëãî äî òîãî, êàê ìû äîñòèãíåì ýíåðãèé ïîðÿäêà (18.3.8), ãäå ìîæíî îæèäàòü, ÷òî êâàíòîâàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà ñòàíîâèòñÿ ñèíãóëÿðíîé, óæå íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü äàæå ãðàâèòàöèþ, è íèêòî íå çíàåò, êàê âû÷èñëèòü ïðè òàêèõ ýíåðãèÿõ ýôôåêòû, ñâÿçàííûå ñ ñèëüíûìè ãðàâèòàöèîííûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè. Íåñìîòðÿ íà ýòè ðàçî÷àðîâûâàþùèå çàìå÷àíèÿ, âîçìîæíî, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû èçáåæàòü íåôèçè÷åñêèõ îñîáåííîñòåé, âñå íàøè îòäåëüíûå êâàíòîâûå òåîðèè ïîëÿ âðîäå ñïèíîðíîé êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè â êîíöå êîíöîâ áóäóò âêëþ÷åíû â àñèìïòîòè÷åñêè ñâîáîäíóþ òåîðèþ. Ê ñ÷àñòüþ, âîïðîñ î òîì, ÿâëÿåòñÿ ëè òåîðèÿ àñèìïòîòè÷åñêè ñâîáîäíîé äëÿ íåêîòîðîãî êîíå÷íîãî èíòåðâàëà çíà÷åíèé êîíñòàíò ñâÿçè, ìîæåò áûòü óñòàíîâëåí ïóòåì âû÷èñëåíèé â ðàìêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé: åñëè β(g) îòðèöàòåëüíà ïðè g → 0+, òî òåîðèÿ àñèìïòîòè÷åñêè ñâîáîäíà äëÿ âñåõ ïåðåíîðìèðîâàííûõ êîíñòàíò ñâÿçè gµ â èíòåðâàëå îò íóëÿ äî ïåðâîãî êîðíÿ ôóíêöèè β(g). * * *  ñâÿçè ñ ýòèì ïîëåçíî çàìåòèòü, ÷òî õîòÿ äåòàëüíûé âèä β(g) çàâèñèò îò êàëèáðîâêè è îò òî÷íîãî ñïîñîáà îïðåäåëåíèÿ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

190

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

áåãóùåé êîíñòàíòû, ïåðâûå äâà ñëàãàåìûõ â ðàçëîæåíèè β(g) â ðÿä íå çàâèñÿò îò ýòèõ îáñòîÿòåëüñòâ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èìågµ áåãóùåé êîíñòàíòû, âîçìîæíî, èñþòñÿ äâà îïðåäåëåíèÿ gµ è ~ ïîëüçóþùèå ðàçíûå îïðåäåëåíèÿ ïåðåíîðìèðîâî÷íîãî ìàñøòàgµ áåçðàçìåðíû è íå áà µ èëè ðàçíûå êàëèáðîâêè. Òàê êàê gµ è ~ gµ íå ìîæåò çàâèçàâèñÿò îò îáðåçàíèÿ, òî ïðè µ . m êîíñòàíòà ~ ñåòü îò ÷åãî-ëèáî, êðîìå êàê îò êîíñòàíòû gµ: ~ gµ = ~ g(gµ ) .

Òîãäà

~(g ) dg d ~ ~ µ gµ ) ≡ µ gµ = β(~ β(gµ ) dµ dgµ è ïîýòîìó

~(g) dg ~ g) = β(~ β(g) . dg

(18.3.29)

Äî òåõ ïîð, ïîêà ìû ïðèäåðæèâàåìñÿ îäíîãî è òîãî æå îïðåäåëåíèÿ íåïåðåíîðìèðîâàííîé êîíñòàíòû, âñå ïåðåíîðìèðîâàííûå êîíñòàíòû â íèçøåì ïîðÿäêå ðàâíû äðóã äðóãó, òàê ÷òî ðàçëîæåíèå â ðÿä ~ g ïî g ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ~ g(g) = g + ag2 + O(g3 )

èëè ýêâèâàëåíòíî ~2 + O(~ g=~ g − ag g3 ) .

Ïðîèçâîäíàÿ ðàâíà

~ dg dg

~ + O(~ g2 ) . = 1 + 2ag + O(g2 ) = 1 + 2ag

Êðîìå òîãî, äëÿ ðàññìàòðèâàåìûõ çäåñü êîíñòàíò (âêëþ÷àÿ g = e2) ðàçëîæåíèå β(g) â ðÿä èìååò âèä β(g) = bg2 + b ′g3 + O(g 4 )

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

18.4. Ýôôåêòû íåñêîëüêèõ êîíñòàíò ñâÿçè è ìàññû

191

èëè, åñëè âûðàçèòü ÷åðåç ~ g, ~2 + (b ′ − 2ab)~ g) = bg g 3 + O(~ g4 ) . β(~

Òîãäà èç (18.3.29) èìååì

~ ~ + O(~ ~2 + (b ′ − 2ab)~ g) = 1 + 2ag g 2 ) bg g 3 + O(~ g4 ) β(~ ~2 + b ′ ~ g 3 + O(~ g4 ) . = bg ~ Âèäíî, ÷òî ïåðâûå äâà ñëàãàåìûõ â ñòåïåííîì ðàçëîæåíèè β ïî ~ g èìåþò òå æå êîýôôèöèåíòû, ÷òî è â ðàçëîæåíèè β ïî g. Îäíàêî ýòî çàâåäîìî íå òàê äëÿ ñëàãàåìûõ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà. Íà ñàìîì äåëå âñåãäà ìîæíî òàê âûáðàòü ôóíêöèþ ~ g(g) , ÷òîáû âñå ~ ~ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ïî ~ , ÷åì òðåòèé, îáðàñëàãàåìûå â β g ( g) ùàëèñü â íóëü, òàê ÷òî àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ~ gE ïðè Å → ∞ îïèñûâàåòñÿ äâóìÿ ïåðâûìè ñëàãàåìûìè â ðÿäå òåîðèè âîçìóùåíèé äëÿ β(g). Îäíàêî â ýòîì ìàëî ïîëüçû, òàê êàê äëÿ îïðåäåëåíèÿ òîãî, êàê g çàâèñèò îò ~ g , íåîáõîäèìî ïðîâåñòè âû÷èñëåíèÿ âî âñåõ ïîðÿäêàõ, à áåç ýòîãî ìû íå ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ íàøèì çíàíèåì àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ~ g , ÷òîáû óçíàòü ÷òî-òî îá àñèìïòîòè÷åñêîì ïîâåäåíèè g èëè ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí. Òå æå ðàññóæäåíèÿ, êîòîðûå ïðèâåëè ê (18.3.30), ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðè ñëàáîé ñâÿçè âèëüñîíîâñêîå óðàâíåíèå ðåíîðìàëèçàöèîííîé ãðóïïû äëÿ ãîëîé êîíñòàíòû êàê ôóíêöèè ïîñòîÿííîé ðåøåòêè ïðè îáðàòíîé ïîñòîÿííîé ðåøåòêè, áîëüøåé ÷åì ìàññû ÷àñòèö, ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì ðåíîðìãðóïïû Ãåëë-Ìàííà–Ëîó äëÿ ïåðåíîðìèðîâàííîé êîíñòàíòû ñâÿçè êàê ôóíêöèè ìàñøòàáà ïåðåíîðìèðîâêè â ñëó÷àå, êîãäà ìàñøòàá áîëüøå ìàññ ÷àñòèö. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè íåïðåðûâíàÿ òåîðèÿ àñèìïòîòè÷åñêè ñâîáîäíà, íå âîçíèêàåò ïðåïÿòñòâèé ïðè ïåðåõîäå ê íåïðåðûâíîìó ïðåäåëó äëÿ òåîðèè, êâàíòîâàííîé íà ðåøåòêå.

18.4. Ýôôåêòû íåñêîëüêèõ êîíñòàíò ñâÿçè è ìàññû Äî ñèõ ïîð ìû ðàññìàòðèâàëè òåîðèè, ñîäåðæàùèå òîëüêî îäíó áåçðàçìåðíóþ êîíñòàíòó ñâÿçè g. Íåòðóäíî îáîáùèòü ôîðìàëèçì íà ñëó÷àé íåñêîëüêèõ òàêèõ êîíñòàíò gl. Äëÿ êàæäîé gl èìååòñÿ óðàâíåíèå ðåíîðìãðóïïû, êîòîðîå ïðè µ . m ïðèíèìàåò âèä

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

192

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

µ

d dµ

gl (µ) = βl (g(µ))

(18.4.1)

ãäå êàæäàÿ βl çàâèñèò â îáùåì ñëó÷àå îò âñåõ g.  òàêîì ñëó÷àå ïîÿâëÿåòñÿ ìíîãî íîâûõ âîçìîæíîñòåé àñèìïîòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ gl(µ) ïðè µ → ∞.  äàííîé òåîðèè ìîãóò ïîÿâèòüñÿ îïðåäåëåííûå òðàåêòîðèè â g-ïðîñòðàíñòâå, êîòîðûå óõîäÿò íà áåñêîíå÷íîñòü ïðè êîíå÷íûõ èëè áåñêîíå÷íûõ çíà÷åíèÿõ µ, äðóãèå òðàåêòîðèè, êîòîðûå äîñòèãàþò ôèêñèðîâàííûõ òî÷åê, è, íàêîíåö, òðàåêòîðèè, äîñòèãàþùèå çàìêíóòûõ êðèâûõ, èçâåñòíûõ ïîä íàçâàíèåì «ïðåäåëüíûõ öèêëîâ». ×òîáû ïî÷óâñòâîâàòü íåêîòîðûå èç ýòèõ âîçìîæíîñòåé, ðàññìîòðèì ïîâåäåíèå gl(µ) âáëèçè ôèêñèðîâàííîé òî÷êè. Óðàâíåíèå (18.4.1) èìååò ðåøåíèå â âèäå ôèêñèðîâàííîé òî÷êè gl(µ) = gl*, åñëè (18.4.2) β l (g*) = 0 .  îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè (18.4.1) ïðèíèìàåò âèä:

µ

d dµ

gl (µ) − g*l =

∑ Mlk

gk (µ) − g*k ,

(18.4.3)

k

ãäå Ì — ìàòðèöà

Mlk ≡

LM ∂β (g) OP N ∂g Q l

k

. g = g*

(18.4.4)

Ðåøåíèå ìîæíî ðàçëîæèòü ïî ñîáñòâåííûì âåêòîðàì ýòîé ìàòðèöû: l λm µ , gl (µ) = g*l + ∑ cm Vm m

(18.4.5)

ãäå Vm — ñîáñòâåííûé âåêòîð Ì ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì λm (íîðìèðîâàííûé ëþáûì óäîáíûì îáðàçîì):

∑ M l k Vm k

l = λ m Vm ,

k

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(18.4.6)

18.4. Ýôôåêòû íåñêîëüêèõ êîíñòàíò ñâÿçè è ìàññû

193

à ñm — íàáîð êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ.* ( ýòîì ðàçäåëå ìû íå ñîáëþäàåì ñîãëàøåíèå î ñóììèðîâàíèè ïî èíäåêñàì.) Èç âûðàæåíèÿ (18.4.5) ñëåäóåò, ÷òî êîíñòàíòà ñâÿçè ñòðåìèòñÿ ê ôèêñèðîâàííîé òî÷êå ïðè µ → ∞ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà cm = 0 äëÿ âñåõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ñ λm > 0. (Äëÿ ïðîñòîòû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî íè îäíî èç ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé íå ðàâíî íóëþ.) Òîãäà â îáùåì ñëó÷àå òðàåêòîðèè ïðèòÿãèâàþòñÿ ê ôèêñèðîâàííîé òî÷êå, ëåæàùåé íà N – -ìåðíîé ïîâåðõíîñòè, ãäå N– — ÷èñëî îòðèöàòåëüíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé Ì. Êàñàòåëüíûå ê ýòîé ïîâåðõíîñòè â òî÷êå g* ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè ñ îòðèöàòåëüíûìè ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè. Òðàåêòîðèè, íå ëåæàùèå íà ýòîé ïîâåðõíîñòè, ìîãóò áëèçêî ïîäõîäèòü ê ôèêñèðîâàííîé òî÷êå, íî â êîíöå êîíöîâ îòòàëêèâàþòñÿ îò íåå, ïðåèìóùåñòâåííî â íàïðàâëåíèè ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ñ íàèáîëüøèìè ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè. Êîíå÷íî, åñëè âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îòðèöàòåëüíû, òî âîêðóã ôèêñèðîâàííîé òî÷êè ñóùåñòâóåò êîíå÷íàÿ îáëàñòü, âíóòðè êîòîðîé âñå òðàåêòîðèè ñõîäÿòñÿ ê ýòîé òî÷êå. Î÷åâèäíî, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λm âàæíû äëÿ ïîíèìàíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ òðàåêòîðèé, äîñòèãàþùèõ ôèêñèðîâàííîé òî÷êè, ïîýòîìó ïîëåçíî çàìåòèòü, ÷òî ýòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ íå çàâèñÿò îò îïðåäåëåíèÿ êîíñòàíò ñâÿçè. Ïðåäïîëîæèì, g l , îïðåäåëåííûõ êàê ôóíê÷òî ìû ââîäèì íîâûé íàáîð êîíñòàíò ~ öèè g. Îíè óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì ðåíîðìãðóïïû

µ

d ~l g (µ ) = dµ

∑ m

∂~ gl (g) ∂g

m

~ g(µ)) , | g = g(µ) β m (g) ≡ βl (~

òàê ÷òî

β l (~ g) =

∂~ g l (g) m ∑ m β (g) . m ∂g

(18.4.7)

* Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ Vm îáðàçóþò ïîëíûé íàáîð. Ýòî íå âñåãäà òàê, íî ýòî — îáùèé ñëó÷àé. Ñîáñòâåííûå âåêòîðû êîíå÷íîé ìàòðèöû Ì îáðàçóþò ïîëíûé íàáîð, åñëè âñå êîðíè ñåêóëÿðíîãî óðàâíåíèÿ Det(M – λI) = 0 ðàçëè÷íû. Ìàòðèöà, ñîáñòâåííûå âåêòîðû êîòîðîé íå îáðàçóþò ïîëíîãî íàáîðà, ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ïðåäåëüíûé ñëó÷àé ìàòðèöû ñ ïîëíûì íàáîðîì ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, êîãäà íåêîòîðûå èç ýòèõ âåêòîðîâ ñòàíîâÿòñÿ âûðîæäåííûìè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

194

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

(Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî β ïðåîáðàçóåòñÿ êàê êîíòðàâàðèàíòíûé âåêòîð â ïðîñòðàíñòâå êîíñòàíò ñâÿçè.) Äèôôåðåíöèðóÿ, èìååì:

~ g) ∂~ gm ∂βl (~ = ∑ ~m ∂gk m ∂g

∑ m

gl ∂2~ ∂gm ∂g

β m (g) + ∑ k m

g l ∂β m (g) ∂~ ∂gm

∂gk

.

 ôèêñèðîâàííîé òî÷êå g* ïåðâîå ñëàãàåìîå ñïðàâà îáðàùàåòñÿ â íóëü, òàê ÷òî ïîëó÷àåì ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå ~ = SM , MS

(18.4.8)

ãäå

~l ~ l ≡ ∂β M k gk ∂~

LM OP MN PQ L ∂~g OP ≡M N ∂g Q

,

~ g=~ g( g* )

(18.4.9)

l

Sl k

k

. g = g*

(18.4.10)

Äî òåõ ïîð, ïîêà ïðåîáðàçîâàíèå g → ~ g íåñèíãóëÿðíî, ñîîòíîøåíèå ~ (18.4.8) ÿâëÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì ïîäîáèÿ, ïîýòîìó M è M èìåþò îäíè è òå æå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λm. Ôîðìàëèçì ðåíîðìãðóïïû ìîæíî ïðèìåíÿòü íå òîëüêî ê ïåðåíîðìèðóåìûì, íî è ê íåïåðåíîðìèðóåìûì òåîðèÿì. Êàê ìû ïîÿñíèëè â ðàçäåëå 12.3, ïî àíàëîãèè ñ ïåðåíîðìèðóåìûìè òåîðèÿìè ðàñõîäèìîñòè â íåïåðåíîðìèðóåìûõ òåîðèÿõ óñòðàíÿþòñÿ ïîäõîäÿùåé ïåðåíîðìèðîâêîé êîíñòàíò ñâÿçè è ìàññ. Åäèíñòâåííàÿ ðàçíèöà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî â íåïåðåíîðìèðóåìûõ òåîðèÿõ ñëåäóåò ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ëàãðàíæèàí ñîäåðæèò âñå âçàèìîäåéñòâèÿ, ðàçðåøåííûå ñèììåòðèÿìè òåîðèè. Åñëè g Bl — íåïåðåíîðìèðóåìàÿ êîíñòàíòà ñâÿçè, óìíîæàþùàÿñÿ â ëàãðàíæèàíå íà îïåðàòîð ðàçìåðíîñòüþ Dl (ò. å. íà ïðîèçâåäåíèå ïîëåé è èõ ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ ïðîèçâîäíûõ, ðàçìåðíîñòü êîòîðûõ â ñòåïåíÿõ ìàññû èëè ýíåðãèè ðàâíà Dl), òî ðàçìåðíîñòü gBl áóäåò ðàâíà ∆l = 4 – Dl. Ïîñëå ýòîãî ìîæíî âûðàçèòü ãîëûå êîíñòàíòû ÷åðåç íàáîð áåçðàçìåðíûõ ïåðåíîðìèðîâàííûõ êîíñòàíò gl(µ) è îáðåçàíèå Λ ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé îáùåãî âèäà

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

18.4. Ýôôåêòû íåñêîëüêèõ êîíñòàíò ñâÿçè è ìàññû

LM MN

glB ≡ µ ∆l gl (µ) +

195

F Λ I + O(g(µ) )OP , H µ JK PQ

∑ bl km gk (µ) lnG

k,m

3

(18.4.11)

ãäå áåçðàçìåðíûå ÷èñëåííûå êîýôôèöèåíòû βlkm è àíàëîãè÷íûå êîýôôèöèåíòû â ñëàãàåìûõ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà âûáðàíû òàê, ÷òîáû ñîêðàòèòü çàâèñèìîñòü ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí îò îáðåçàíèÿ. ( ðÿäå òåîðèé ñòàðøåå ñëàãàåìîå ìîæåò áûòü òðèëèíåéíî ïî êîíñòàíòàì ñâÿçè èëè èìåòü äàæå åùå áîëåå âûñîêèé ïîðÿäîê; òå èçìåíåíèÿ, êîòîðûå ñëåäóåò ïðîèçâåñòè â ýòîì ñëó÷àå, î÷åâèäíû.) Èç òðåáîâàíèÿ, ÷òîáû gB íå çàâèñåëà îò îáðåçàíèÿ, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ðåíîðìàëèçàöèîííîé ãðóïïû (18.4.1), â êîòîðîì

βl (g) = − ∆ l gl −

∑ bl km gk gm + O(g3 ) . k,m

(18.4.12)

Âçàèìîäåéñòâèÿ ñ Dl > 4 èëè ∆l < 0 ÿâëÿþòñÿ íåïåðåíîðìèðóåìûìè, òàê ÷òî ïîêà âñå gl(µ) îñòàþòñÿ äîñòàòî÷íî ìàëûìè, ìû îæèäàåì, ÷òî äëÿ ïåðåíîðìèðîâàííûõ êîíñòàíò íåïåðåíîðìèðóåìûõ âçàèìîäåéñòâèé ôóíêöèè βl ïîëîæèòåëüíû è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàñòóò ñ ðîñòîì µ, îäíàêî íèêòî íå çíàåò, ÷òî ñëó÷èòñÿ, êîãäà êîíñòàíòû ñòàíóò íàñòîëüêî áîëüøèìè, ÷òî íàðóøèòñÿ ïðèìåíèìîñòü òåîðèè âîçìóùåíèé. Îäíàêî, êàê îáúÿñíÿåòñÿ â ñëåäóþùåì ðàçäåëå, äàæå â òåîðèÿõ ñ áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì íåçàâèñèìûõ ïàðàìåòðîâ îáû÷íî èìåþòñÿ íåïîäâèæíûå òî÷êè g*, â êîòîðûõ ÷èñëî N– îòðèöàòåëüíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû (18.4.6) êîíå÷íî, êàê è â ñëó÷àå íóëåâîé ñâÿçè. ( ÷àñòíîñòè, ÷àñòî N– = 1.) Êîãäà N– ≠ 0, íåïîäâèæíàÿ òî÷êà íàõîäèòñÿ íà N–-ìåðíîé êðèòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, ñîñòîÿùåé èç òðàåêòîðèé, ïðèòÿãèâàþùèõñÿ â íåïîäâèæíóþ òî÷êó ïðè µ → ∞. Õîòÿ íåïåðåíîðìèðóåìàÿ òåîðèÿ ñ ïàðàìåòðàìè ñâÿçè, íàõîäÿùèìèñÿ íà òàêîé êðèòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, è íå ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè ñâîáîäíîé, ãîâîðÿò, ÷òî îíà àñèìïòîòè÷åñêè áåçîïàñíà,5 ïîñêîëüêó ïåðåíîðìèðîâàííûå êîíñòàíòû îñòàþòñÿ êîíå÷íûìè ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ µ. Óñëîâèå àñèìïòîòè÷åñêîé áåçîïàñíîñòè â òàêîé òåîðèè, îáû÷íî àññîöèèðóþùååñÿ ñ ïðèíöèïîì ïåðåíîðìèðóåìîñòè, èãðàåò ðîëü ïðè óñòðàíåíèè âñåõ, êðîìå êîíå÷íîãî ÷èñëà, ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðî⠗ êîîðäèíàò êðèòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

196

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

 ïåðåíîðìèðóåìîé òåîðèè âñå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû äåëàþòñÿ íåçàâèñÿùèìè îò îáðåçàíèÿ ïóòåì ïîäáîðà çàâèñèìîñòè îò îáðåçàíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà ãîëûõ êîíñòàíò. Ýòè êîíñòàíòû ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ðàâíîå ÷èñëî çàâèñÿùèõ îò µ ïåðåíîðìèðîâàííûõ êîíñòàíò, à óñëîâèå, ÷òî ãîëûå êîíñòàíòû ÿâëÿþòñÿ µ-íåçàâèñèìûìè, ïðèâîäèò ê óðàâíåíèÿì ðåíîðìãðóïïû, ñâÿçûâàþùèì òîëüêî ïåðåíîðìèðîâàííûå êîíñòàíòû. Åñëè ïðèäåðæèâàòüñÿ áîëåå øèðîêîé òî÷êè çðåíèÿ, äîïóñêàþùåé íå òîëüêî ïåðåíîðìèðóåìûå, íî è íåïåðåíîðìèðóåìûå ñâÿçè, òî ïåðåíîðìèðóåìàÿ òåîðèÿ ñîîòâåòñòâóåò êîíå÷íîìåðíîé èíâàðèàíòíîé ïîâåðõíîñòè â áåñêîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå âñåõ ïåðåíîðìèðóåìûõ è íåïåðåíîðìèðóåìûõ òåîðèé. Èíûìè ñëîâàìè, ýòî ïîâåðõíîñòü, íà êîòîðîé âñå βl(g) â ëþáîé òî÷êå g êàñàòåëüíû ê ïîâåðõíîñòè â ýòîé òî÷êå. Äî ñèõ ïîð â ýòîì ðàçäåëå ìû ìîë÷àëèâî ïðåäïîëàãàëè, ÷òî µ . m, è ÷òî ïîýòîìó ìîæíî ïðåíåáðå÷ü çàâèñèìîñòüþ βl îò m/µ. Îäíàêî òàêîå ïðåäïîëîæåíèå íåîáÿçàòåëüíî. Ìû ìîæåì, åñëè õîòèì, ðàññìàòðèâàòü ìàññó êàê åùå îäèí ïàðàìåòð ñâÿçè 6|. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå ïåðåíîðìèðîâàííûå êîíñòàíòû ìîæíî îïðåäåëèòü, êàê è âûøå, ÷åðåç ðàçëè÷íûå ôóíêöèè Ãðèíà ñ èìïóëüñàìè âíå ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè ïîðÿäêà µ, íî âû÷èñëåííûìè ïðè íóëåâûõ çíà÷åíèÿõ âñåõ ãîëûõ ìàññ. Áåçðàçìåðíûå ïåðåíîðìèðîâàííûå ìàññîâûå ïàðàìåòðû äëÿ äèðàêîâñêèõ ïîëåé y èëè ñêàëÿðíûõ ïîëåé ϕ ìîæíî îïðåäåëèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:

m ψ (µ) ≡ N ( ψψ ) Λ µ

−1

mϕ2 (µ) ≡ N (ϕ

−1

2

)

b g bΛ µg

mψ ,ãîëàÿ ( Λ) / µ ,

(18.4.13)

mϕ2 ,ãîëàÿ ( Λ) / µ ,

(18.4.14)

ãäå N(O)(Λ/µ) — áåçðàçìåðíûå êîíñòàíòû, êîòîðûå ïîñëå óìíîæåíèÿ íà ñîîòâåòñòâóþùèå îïåðàòîðû Î ñîêðàùàþò ðàñõîäèìîñòè â ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòàõ ýòèõ îïåðàòîðîâ, òàêæå âû÷èñëåííûõ ïðè íóëåâûõ çíà÷åíèÿõ ãîëûõ ìàññ. (Ñì. ðàçäåë 18.1.) Ýòè íîâûå ïåðåíîðìèðîâàííûå ìàññû è êîíñòàíòû íå èìåþò íåïîñðåäñòâåííîãî ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà, íî ÷åðåç íèõ ìîæíî âûðàçèòü èñòèííûå ôèçè÷åñêèå ìàññû è âñå ôèçè÷åñêèå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû. Òàêèå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ïðèíèìàþò âèä ñóìì ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ äëÿ íóëåâûõ ãîëûõ ìàññ ñ ëþáûì ÷èñëîì âñòàâîê ïåðåíîðìèðîâàí(ϕ2 ) 2 ϕ N è N ( ψψ ) ψψ , óìíîæåííûõ íà ñîíûõ ìàññîâûõ îïåðàòîðîâ îòâåòñòâóþùèå ïåðåíîðìèðîâàííûå ìàññîâûå ïàðàìåòðû.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

18.4. Ýôôåêòû íåñêîëüêèõ êîíñòàíò ñâÿçè è ìàññû

197

 òàêîé ñõåìå ïåðåíîðìèðîâîê áåòà-ôóíêöèè äëÿ ðàçëè÷íûõ êîíñòàíò î÷åâèäíî íå çàâèñÿò îò ìàññ, à áåòà-ôóíêöèè äëÿ ìàññîâûõ ïàðàìåòðîâ ïðîïîðöèîíàëüíû ýòèì ïàðàìåòðàì ñ êîýôôèöèåíòàìè, çàâèñÿùèìè îò âñåõ êîíñòàíò. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (18.2.25), èìååì

µ µ

d dµ d dµ

m ψ (µ) = −1 − γ ψψ (gµ ) m ψ (µ) ,

(18.4.15)

mϕ2 (µ) = −2 − γ ϕ2 (gµ ) mϕ2 (µ) .

(18.4.16)

Íàïðèìåð, â ðàçäåëå 18.2 ìû îòìå÷àëè, ÷òî â ñêàëÿðíîé òåîðèè ïîëÿ ñ ëàãðàíæèàíîì (18.1.2) ìàññîâûé îïåðàòîð ϕ2 èìååò ïðè m = 0 àíîìàëüíóþ ðàçìåðíîñòü (18.2.29), òàê ÷òî çäåñü

µ

d dµ

mϕ2 (µ)

L g = M −2 + MN 16π 2 µ

2

OP PQ

+ O(gµ2 ) mϕ2 (µ) .

(18.4.17)

Êðîìå òîãî, èç âûðàæåíèÿ (11.4.3) âèäíî, ÷òî âëèÿíèå âûñøèõ ïîïðàâîê íà ïðîïàãàòîð ýëåêòðîíà çàêëþ÷àåòñÿ â çàìåíå ìàññû ýëåêòðîíà íà me – Σ*(p,me), òàê ÷òî âëèÿíèå ýòèõ æå ïîïðàâîê íà ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðà ψ e ψ e ìåæäó îäíîýëåêòðîííûìè ñîñòîÿíèÿìè ñ 4-èìïóëüñîì pµ çàêëþ÷àåòñÿ â óìíîæåíèè èõ íà ìíîæèòåëü

F(p) = 1 −

F ∂Σ (p, m ) I GH ∂m JK *

e

e

. me = 0

Ïîýòîìó êîíñòàíòà ïåðåíîðìèðîâêè N ( ψψ ) äëÿ îïåðàòîðà ψ e ψ e ðàâíà F–1(p), âû÷èñëåííîé ïðè ð2, ðàâíîìó êàêîìó-íèáóäü ìàñøòàáó ïåðåíîðìèðîâêè, íàïðèìåð, µ2. Ñîãëàñíî (11.4.8) â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè èìååì

N ( ψψ ) = 1 +

F ∂Σ GH

* 1 ïåòëÿ (p, m e )

∂me

I JK

= 2 = µ2

me = 0, p

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(18.4.18)

198

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

= 1−

4π 2 (2π)4

1

X dx ln LM1 + F Λ I (1 − x)OP → 1 − e LMlnF Λ I − 1OP , YY M GH µ JK P 4π M GH µ JK P Z N Q N Q 2

2

2

2

2

2

0

ãäå Λ — óëüòðàôèîëåòîâîå îáðåçàíèå (îáîçíà÷àâøååñÿ â (11.4.8) êàê µ) ïðè÷åì ìû ïåðåøëè ê ïðåäåëó Λ . µ. Ïîýòîìó àíîìàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü îïåðàòîðà ψ e ψ e äàåòñÿ âûðàæåíèåì (18.2.25) â âèäå γ ( ψψ ) = µ

d dµ

ln N ( ψψ ) =

eµ2 2π

2

+ O(eµ4 ) ,

(18.4.19)

òàê ÷òî (18.4.15) ïðèíèìàåò âèä:

µ

d dµ

LM MN

me (µ) = −1 −

eµ2 2π

2

OP PQ

+ O(eµ4 ) me (µ) .

(18.4.20)

Òà æå ôîðìóëà âåðíà è â îáùèõ êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèÿõ ñ çàìåíîé å2 íà çíà÷åíèå ∑α(tα)2 äëÿ êîíêðåòíîãî ðàññìàòðèâàåìîãî ôåðìèîíà. Êîíå÷íî, ñóùåñòâåííàÿ ðàçíèöà ìåæäó µ(µ) è äðóãèìè ïåðåíîðìèðîâàííûìè ïàðàìåòðàìè òåîðèè çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ãîëûå ìàññû èìåþò ïîëîæèòåëüíóþ ðàçìåðíîñòü, òàê ÷òî ïîêà êîíñòàíòû îñòàþòñÿ ìàëûìè, âñå m(µ) óìåíüøàþòñÿ ïî âåëè÷èíå. Íàøå ïðåäûäóùåå ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî ïðè µ → ∞ ìàññàìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, ïîäòâåðæäàåòñÿ, åñëè íà ñàìîì äåëå m(µ) îáðàùàåòñÿ ïðè µ → ∞ â íóëü. Îäíàêî, åäèíñòâåííûé èçâåñòíûé ñëó÷àé, ãäå èìååò ìåñòî òàêîå ïîâåäåíèå, – ýòî àñèìïòîòè÷åñêè ñâîáîäíûå òåîðèè, â êîòîðûõ âñå êîíñòàíòû äåéñòâèòåëüíî îñòàþòñÿ ìàëûìè ïðè µ → ∞. Âî âñåõ îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ òàêîå ïðåäïîëîæåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòî äîãàäêîé, îñíîâàííîé íà ôàêòàõ. 18.5. Êðèòè÷åñêèå ÿâëåíèÿ* Äëÿ ðÿäà ïðèëîæåíèé ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ïðåäåë íå áîëüøèõ, à ìàëûõ ýíåðãèé èëè âîëíîâûõ ÷èñåë. Ïðè èçó÷åíèè ýòîãî * Ýòîò ðàçäåë ëåæèò íåñêîëüêî â ñòîðîíå îò îñíîâíîé ëèíèè èçëîæåíèÿ è ìîæåò áûòü îïóùåí ïðè ïåðâîì ÷òåíèè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

18.5. Êðèòè÷åñêèå ÿâëåíèÿ

199

ïðåäåëà ìîæíî ïîâòîðèòü ðàññóæäåíèÿ ðàçäåëà 18.2, åñëè íå ñ÷èòàòü òîãî, ÷òî òåïåðü ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðåäåë µ → 0, à íå µ → ∞. Ïðîùå âñåãî èçó÷àòü ýòîò ïðåäåë, êîãäà â òåîðèè íåò ìàññ, êàê, íàïðèìåð, â ñëó÷àå êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè ñ ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî êèðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ψ → γ5ψ, çàïðåùàþùåé íàëè÷èå íåíóëåâîé ìàññû ó ýëåêòðîíà.  ýòîì ÷àñòíîì ñëó÷àå ó åäèíñòâåííîãî ïåðåíîðìèðóìîãî âçàèìîäåéñòâèÿ eAµ ψγ µ ψ , à òàêæå ó âñåõ íåïåðåíîðìèðóåìûõ âçàèìîäåéñòâèé ôóíêöèè βl > 0 ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ êîíñòàíòàõ ñâÿçè, òàê ÷òî âñå òðàåêòîðèè, ïî êðàéíåé ìåðå, â êîíå÷íîé îáëàñòè âîêðóã íà÷àëà êîîðäèíàò, ïðèòÿãèâàþòñÿ ïðè µ → 0 ê òî÷êå gl = 0. Òå æå ðàññóæäåíèÿ ïðèìåíèìû äàæå ê òåîðèÿì ñ î÷åíü ìàëûìè íåíóëåâûìè ìàññàìè, åñëè ýòè ìàññû âêëþ÷åíû â ÷èñëî ïàðàìåòðîâ ñâÿçè, êàê îïèñàíî â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå. Äëÿ ìàññîâîãî ïàðàìåòðà êîýôôèöèåíò ∆ â (18.4.12) ïîëîæèòåëåí, òàê ÷òî â ýòîì ñëó÷àå òðàåêòîðèè íèêîãäà íå ìîãóò äîñòè÷ü òî÷êè g = 0, îäíàêî ìîãóò äîñòàòî÷íî áëèçêî ïîäîéòè ê íåé ïðè ìàëûõ ìàññàõ. Êîíå÷íî, äàæå åñëè äîïóñòèòü, ÷òî íåêîòîðûå ñòåïåíè ñâîáîäû âðîäå ýëåêòðîííîãî ïîëÿ ìîãóò èìåòü íóëåâóþ èëè î÷åíü ìàëóþ ìàññó, â ðåàëüíîì ìèðå ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî äðóãèõ ñòåïåíåé ñâîáîäû, ìàññû êîòîðûõ íå ìàëû. Ðàññóæäåíèÿ, îñíîâàííûå íà ðåíîðìàëèçàöèîííîé ãðóïïå, ñëåäóåò ïðèìåíÿòü íå ê èñòèííîé òåîðèè, îïèñûâàþùåé âñå ýòè òÿæåëûå ñòåïåíè ñâîáîäû, à ê «ýôôåêòèâíîé» òåîðèè ïîëÿ, â êîòîðîé ÿâíî ïðîÿâëÿþòñÿ òîëüêî áåçìàññîâûå èëè ïî÷òè áåçìàññîâûå ñòåïåíè ñâîáîäû, à âçàèìîäåéñòâèÿ âêëþ÷àþò ýôôåêòû, ñâÿçàííûå ñ âíóòðåííèìè ëèíèÿìè òÿæåëûõ ÷àñòèö. ( ãë. 19 ìû ðàññêàæåì ïîäðîáíåå îá ýôôåêòèâíûõ òåîðèÿõ ïîëÿ.) Ïðåäåë ìàëûõ âîëíîâûõ ÷èñåë ïðåäñòàâëÿåò îñîáûé èíòåðåñ ïðè èçó÷åíèè êðèòè÷åñêèõ ÿâëåíèé, òàêèõ, êàê êîððåëÿöèè äàëüíåãî ïîðÿäêà âáëèçè òî÷êè ôàçîâîãî ïåðåõîäà âòîðîãî ðîäà (ãëàäêîãî ôàçîâîãî ïåðåõîäà áåç ñêðûòîé òåïëîòû) â êîíäåíñèðîâàííûõ ñðåäàõ. Ïîñêîëüêó íàñ èíòåðåñóåò ïðåäåë µ → 0, âàæíûìè ñòàíîâÿòñÿ òå ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû (18.4.4), äëÿ êîòîðûõ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λ < 0. Ýòè ñîáñòâåííûå âåêòîðû íàçûâàþò ðåëåâàíòíûìè. Ñîáñòâåííûå âåêòîðû ñ λ = 0 è λ > 0 íàçûâàþò, ñîîòâåòñòâåííî, ìàðãèíàëüíûìè è íåðåëåâàíòíûìè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò íåòðèâèàëüíàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà g* ðîâíî ñ îäíèì îòðèöàòåëüíûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèНа правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

200

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

åì λ0, âîçìîæíî, ïðèáëèæåííî ñîîòâåòñòâóþùèì ìàññîâîìó îïåðàòîðó. Ìíîæåñòâî òðàåêòîðèé gl(µ), ïðèòÿãèâàþùèõñÿ ê ýòîé íåïîäâèæíîé òî÷êå ïðè µ → 0, îáðàçóåò êðèòè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü ñ êîðàçìåðíîñòüþ åäèíèöà, èíûìè ñëîâàìè, ïîâåðõíîñòü, îïðåäåëåííóþ åäèíñòâåííûì óñëîâèåì íà êîíñòàíòû ñâÿçè, çàêëþ÷àþùåìñÿ â òîì, ÷òî ïðè g → g* êàñàòåëüíûå gl – g*l íå èìåþò êîìïîíåíò â íàïðàâëåíèè ñîáñòâåííîãî âåêòîðà ñ îòðèöàòåëüíûìè ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè. Êîãäà ôèçè÷åñêèå çíà÷åíèÿ êîíñòàíò ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì õàðàêòåðíîì ìàñøòàáå äîñòèãàþò ýòîé ïîâåðõíîñòè, ïðîèñõîäèò ôàçîâûé ïåðåõîä. Òàê êàê êðèòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü èìååò êîðàçìåðíîñòü, ðàâíóþ åäèíèöå, ôàçîâûé ïåðåõîä ìîæíî ïîëó÷èòü ïóòåì íàñòðîéêè ëþáîãî èç òåõ ïàðàìåòðîâ, îò êîòîðûõ çàâèñÿò êîíñòàíòû ñâÿçè, íàïðèìåð, äàâëåíèÿ èëè òåìïåðàòóðû. Êàê îòìå÷àëîñü â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, èç òîãî ôàêòà, ÷òî ôàçîâûå ïåðåõîäû òàêîãî òèïà èìåþò ìåñòî ó øèðîêîãî êðóãà âåùåñòâ, ñëåäóåò, ÷òî íàëè÷èå íåïîäâèæíûõ òî÷åê, äëÿ êîòîðûõ ìàòðèöà (18.4.4) èìååò åäèíñòâåííîå îòðèöàòåëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå, ÿâëÿåòñÿ âïîëíå îáû÷íîé ñèòóàöèåé. Êîíêðåòíåå, êîãäà òåìïåðàòóðà Ò äîñòèãàåò êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ Òñ, ìû îæèäàåì, ÷òî êîýôôèöèåíò ñ0 ïðè ðàñòóùåì ñëàãàåìîì â (18.4.5) ñòàíîâèòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíûì ðàçíîñòè Ò – Òñ, ïîñêîëüêó íåò íèêàêèõ ïðè÷èí, ïî êîòîðûì îí äîëæåí áûòü ñèíãóëÿðíûì èëè îáðàùàòüñÿ â íóëü áûñòðåå. Òàêèì îáðàçîì, ïðè µ → 0 è çàòåì ïðè Ò → Òñ êîíñòàíòû ñâÿçè âåäóò ñåáÿ êàê

gl (µ) → (T − Tc ) V0l µ λ0 ,

(18.5.1)

ãäå λ0 — åäèíñòâåííîå îòðèöàòåëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ïðè g*, à V0l — ñîîòâåòñòâóþùèé ñîáñòâåííûé âåêòîð *. Ïðèìåíÿÿ ðåíîðìãðóïïîâûå ðàññóæäåíèÿ ê âîëíîâûì ÷èñëàì âìåñòî ýíåðãèé, ïîëó÷èì, ÷òî N-òî÷å÷íàÿ ôóíêöèÿ (N-àÿ ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ýôôåêòèâíîãî äåéñòâèÿ ïî ïîëþ ϕ ðàçìåð-

* Äðóãèå âêëàäû â êîíñòàíòû ñâÿçè áóäóò âåñòè ñåáÿ êàê (T − T0 )0 µ λ 1 ñ λ1 > 0. Îòñþäà, âûðàæåíèå (18.5.1) ñïðàâåäëèâî, åñëè ðàçíîñòü Ò – Ò0 ñòðåλ −λ . ìèòñÿ ê íóëþ ìåäëåííåå µ 1

0

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

18.5. Êðèòè÷åñêèå ÿâëåíèÿ

201

íîñòüþ [âîëíîâîå ÷èñëî ] ϕ ) ïðè ìàëîì õàðàêòåðíîì ìàñøòàáå κ âîëíîâîãî ÷èñëà èìååò âèä * D

ΓN (κ) → κ

d − N ( Dϕ + γ ϕ ( g* ))

FN ((T − Tc )κ λ0 ) ,

(18.5.2)

ãäå gϕ(g) — àíîìàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü, ñâÿçàííàÿ ñ ïîëåì ϕ, à d — ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè, èëè, â êëàññè÷åñêîé ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêå, ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà. Óäîáíî ïåðåïèñàòü ýòî ñîîòíîøåíèå â ýêâèâàëåíòíîé ôîðìå:

ΓN (κ) → (T − Tc )

−[ d − N ( Dϕ + γ ϕ ( g* ))]/ λ 0

GN (κ(T − Tc )1/ λ0 ) .

(18.5.3)

Îòñþäà, ñ îäíîé ñòîðîíû, âèäíî, ÷òî êîððåëÿöèîííàÿ äëèíà ξ (õàðàêòåðíàÿ äëèíà, îïðåäåëÿþùàÿ ìàñøòàá, íà êîòîðîì èçìåíÿåòñÿ ôóðüå-îáðàç ΓN) ðàñòåò ïðè Ò → Òñ êàê ξ ∝ (T − Tc ) − ν

(18.5.4)

ãäå ν — îïðåäåëåííûé îáû÷íûì îáðàçîì ïîëîæèòåëüíûé «êðèòè÷åñêèé ïîêàçàòåëü», êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ èç (18.5.3) êàê

ν = −1 / λ 0 .

(18.5.5)

Êðîìå òîãî, ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå äëÿ íóëåâîãî ïîëÿ Γ0 (èëè ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ â ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêå) íå äîëæíî çàâèñåòü îò κ, ò. ê. îíî ñîîòâåòñòâóåò äèàãðàììàì áåç âíåøíèõ ëèíèé. Îòñþäà ïðè Ò → Òñ âûðàæåíèå (18.5.3) ïðèíèìàåò âèä

Γ0 − F0 ∝ (T − Tc ) νd ,

(18.5.6)

ãäå êîíñòàíòà F0 — ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå èëè ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ, ñâÿçàííûå ñ òÿæåëûìè ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, ïî êîòîðûì ïðîèçâåäåíî èíòåãðèðîâàíèå. Òàêèì îáðàçîì, ñòåïåíü ν îïðåäåëÿåò òàêæå ïîâåäåíèå òîé ÷àñòè ñâîáîäíîé ýíåðãèè, êîòîðàÿ íåàíàëèòè÷íà ïî òåìïåðàòóðå ïðè Ò âáëèçè Òñ. * Ôóíêöèÿ FN çàâèñèò òàêæå îò áåçðàçìåðíûõ óãëîâ è îòíîøåíèé âîëíîâûõ ÷èñåë. Çàìåòèì, ÷òî «íàèâíàÿ» ðàçìåðíîñòü ΓN ðàâíà d – NDϕ, ò. ê. âûðàæåíèå δ 4 ( ∑ κ )Γ äîëæíî áûòü áåçðàçìåðíûì.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

202

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

 1972 ã. Âèëüñîí è Ôèøåð7 èñïîëüçîâàëè ðàçëîæåíèå ïî ñòåïåíÿì d – 4 êàê äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîêàçàòü, ÷òî òåîðèÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ äåéñòâèòåëüíî îïèñûâàåòñÿ óêàçàííûì ñïîñîáîì, òàê è äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðèáëèæåííî âû÷èñëèòü êðèòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè òèïà ν. Ðàññìîòðèì òåîðèþ ñ îäíîé-åäèíñòâåííîé «ëåãêîé» ñòåïåíüþ ñâîáîäû — ñêàëÿðíûì ïîëåì ϕ, íàïðèìåð, íàìàãíè÷åííîñòüþ â ôåððîìàãíåòèêå, è ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ → –ϕ, èñêëþ÷àþùåé íå÷åòíûå ïî ϕ âçàèìîäåéñòâèÿ.  äîïîëíåíèå ê «ìàññîâîìó» ñëàãàåìîìó –g2ϕ2/2 ëàãðàíæèàí ýôôåêòèâíîé òåîðèè ïîëÿ áóäåò ñîäåðæàòü âçàèìîäåéñòâèÿ –g4ϕ4/4!, –g6ϕ6/6! è ò. ä. Ðàçìåðíîñòü ïîëÿ ϕ â ñòåïåíÿõ âîëíîâîãî ÷èñëà ðàâíà (d – 2)/2 (òàê, ÷òîáû d d x(∇ϕ )2 áûë áåçðàçìåðíûì), òàê ÷òî ðàçìåðíîñòè êîíñòàíò g2, g4, g6 è ò. ä. ðàâíû +2, 4 – d, 6 – 2d, è ò. ä. Äëÿ íåïîäâèæíîé òî÷êè ïðè íóëåâîé ñâÿçè â òðåõ èçìåðåíèÿõ èìåþòñÿ äâå ðåëåâàíòíûå êîíñòàíòû g2 è g4, íî ýòîò âûâîä èçìåíÿåòñÿ ïðè ó÷åòå âçàèìîäåéñòâèé â íåòðèâèàëüíûõ ôèêñèðîâàííûõ òî÷êàõ. Ðàññìîòðèì ïîâåðõíîñòü â ïðîñòðàíñòâå êîíñòàíò ñâÿçè, íà êîòîðîé òîëüêî g2 è g4 îòëè÷íû îò íóëÿ, è âûáåðåì ìàëûå çíà÷åíèÿ g4.* Èç âûðàæåíèÿ (18.2.12) èìååì β(g4 ) = 3g42 16 π 2 + O(g43 ) ïðè d = 4, à èç (18.4.12) ñëåäóåò, ÷òî â d = 4 – ε èçìåðåíèÿõ ñëåäóåò äîáàâèòü ê ýòîìó ñëàãàåìîå –εg4, òàê ÷òî

z

µ

d dµ

g4 (µ) = − εg4 (µ) +

3g42 (µ) 16π

2

+ O(g43 (µ)) .

(18.5.7)

Êðîìå òîãî, èç (18.4.170 ïîëó÷àåì µ

d dµ

LM N

g2 (µ) = −2 +

g4 (µ) 16 π

2

OP Q

+ O(g4 (µ)) g2 (µ) .

(18.5.8)

Ñëåäîâàòåëüíî ïðè ìàëîì ε èìååòñÿ íåòðèâèàëüíàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà ïðè 16π 2 ε g4* = , g2* = 0 . (18.5.9) 3 * Ïðè 3 ≤ d ≤ 4 ýòî åäèíñòâåííûå ïåðåíîðìèðóåìûå êîíñòàíòû, òàê ÷òî ïðè òàêèõ d òàêàÿ ïîâåðõíîñòü ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîé. Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî ìû çäåñü íå âêëþ÷èëè â ÷èñëî êîíñòàíò êîýôôèöèåíò ïðè (∇ϕ)2, ò. ê. ýòî ëèøíÿÿ êîíñòàíòà â òîì ñìûñëå, î êîòîðîì øëà ðå÷ü â ðàçäåëå 7.7.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

18.5. Êðèòè÷åñêèå ÿâëåíèÿ

203

 ýòîé íåïîäâèæíîé òî÷êå ìàòðèöà (18.4.4) äèàãîíàëüíà, è åå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ðàâíû λ 4 = M 44 = −ε + λ 2 = M 2 2 = −2 +

3g4* 8π 2

g4* 16 π

2

+ O(g42* ) = + ε + O(ε 2 ) ,

+ O(g42* ) = −2 +

ε 3

(18.5.10)

+ O(ε 2 ) .

(18.5.11)

Èç ôîðìóëû (18.5.10) âèäíî, ÷òî êîíñòàíòà g4 íà ñàìîì äåëå íåðåëåâàíòíà, òàê ÷òî â äàííîì ñëó÷àå åñòü òîëüêî îäíà ðåëåâàíòíàÿ êîíñòàíòà, ñèãíàëèçèðóþùàÿ î íàëè÷èè ôàçîâîãî ïåðåõîäà âòîðîãî ðîäà. Èç (18.5.11) ñëåäóåò, ÷òî àíîìàëüíûé ïîêàçàòåëü (18.5.5) ðàâåí ν=−

1 λ2

=

1 2

+

ε 12

+ O(ε 2 ) .

(18.5.12)

Ïðè ôèçè÷åñêîì çíà÷åíèè ε = 1 ïåðâûå äâà ñëàãàåìûå äàþò ν g 0,58. Òðåõïåòëåâûå âû÷èñëåíèÿ 7à ïðèâîäÿò ê ñëåäóþùåìó âûðàæåíèþ äëÿ êðèòè÷åñêîãî ïîêàçàòåëÿ:

ν=

1 2

+

ε 12

+

7ε 2 162

− 0.01904ε 3 ,

(18. 5. 13)

÷òî ïðè ε = 1 äàåò ν = 0,61.  ïðåäñòàâëåííîì âû÷èñëåíèè íå äåëàëîñü íèêàêèõ ïðåäïîëîæåíèé îá èçó÷àåìîé ñèñòåìå êðîìå òîãî, ÷òî ñóùåñòâóåò ôàçîâûé ïåðåõîä âòîðîãî ðîäà, â îêðåñòíîñòè êîòîðîãî åäèíñòâåííîé äëèííîâîëíîâîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû ÿâëÿåòñÿ îäíî ñêàëÿðíîå ïîëå. Òàêîì îïèñàíèþ óäîâëåòâîðÿåò öåëûé ðÿä ðàçëè÷íûõ ôèçè÷åñêèõ ñèñòåì, íàïðèìåð, ñïîíòàííîå ïîÿâëåíèå íàìàãíè÷åííîñòè (â äàííîì ñëó÷àå ïðåäñòàâëåííîé êàê ϕ) â ôåððîìàãíèòíûõ è àíòèôåððîìàãíèòíûõ ìàòåðèàëàõ, à òàêæå ôàçîâûå ïåðåõîäû âòîðîãî ðîäà ìåæäó æèäêîñòÿìè è ãàçàìè è â áèíàðíûõ æèäêîñòÿõ. Ïîýòîìó âî âñåõ ýòèõ ñèñòåìàõ îæèäàåòñÿ îäíî è òî æå çíà÷åíèå ν. Ýòî ïîäòâåðæäàåòñÿ ýêñïåðèìåíòîì, äàþùèì çíà÷åíèå8 ν = 0,63 ± 0,04 â õîðîøåì ñîãëàñèè ñ òðåõïåòëåâûì ðåçóëüòàòîì (18.5.13) è â óäîâëåòâîðèòåëüíîì ñîãëàñèè äàæå ñ îäíîïåòëåâûì âû÷èñëåíèåì (18.5.12).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

204

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

Òîò ôàêò, ÷òî ðàçëîæåíèå ïî ñòåïåíÿì 1 òàê õîðîøî ðàáîòàåò, îñòàåòñÿ ïîêà ÷òî ñ÷àñòëèâûì, íî çàãàäî÷íûì îáñòîÿòåëüñòâîì. Îáîáùàÿ, ãîâîðÿò, ÷òî âñå ñèñòåìû, îïèñûâàþùèåñÿ îäíèì è òåì æå íàáîðîì äëèííîâîëíîâûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû â îêðåñòíîñòè ñâîèõ ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ âòîðîãî ðîäà, ïðèíàäëåæàò ê îäíîìó êëàññó óíèâåðñàëüíîñòè.  äàííîì êëàññå óíèâåðñàëüíîñòè âñå êðèòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè äëÿ âñåõ ñèñòåì îäèíàêîâû. 18.6. Ìèíèìàëüíîå âû÷èòàíèå  ðàçäåëå 11.2 ìû âèäåëè, ÷òî ðàçìåðíàÿ ðåãóëÿðèçàöèÿ îñîáåííî óäîáíà äëÿ ðàñ÷åòà ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå, òàê êàê ýòîò ìåòîä íå íàðóøàåò çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ, ñâÿçàííûõ ñ êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòüþ. Ïî òåì æå ïðè÷èíàì îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ðàçìåðíàÿ ðåãóëÿðèçàöèÿ ïîçâîëÿåò äàòü î÷åíü óäîáíîå àëüòåðíàòèâíîå îïðåäåëåíèå ñêîëüçÿùåé øêàëû ðåíîðìãðóïïû â ïðîèçâîëüíûõ êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèÿõ 9. Ïðè âû÷èñëåíèÿõ, èñïîëüçóþùèõ ðàçìåðíóþ ðåãóëÿðèçàöèþ, óëüòðàôèîëåòîâûå ðàñõîäèìîñòè âîçíèêàþò êàê ïîëþñû â ôèçè÷åñêèõ àìïëèòóäàõ ïðè ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà–âðåìåíè d, ñòðåìÿùåéñÿ ê ôèçè÷åñêîìó çíà÷åíèþ d = 4. (Ñì., íàïðèìåð, (11.2.13).) ×òîáû ñîêðàòèòü ýòè ïîëþñû, ãîëûå êîíñòàíòû ñâÿçè gBl(d) (âêëþ÷àÿ ìàññû) ñàìè äîëæíû èìåòü òàêèå ïîëþñû ñ âû÷åòàìè, ôèêñèðîâàííûìè óñëîâèåì, ÷òî ôèçè÷åñêèå àìïëèòóäû äîëæíû áûòü ðåãóëÿðíû ïðè d → 4.  îáùåì ñëó÷àå ýòè ãîëûå êîíñòàíòû îáëàäàþò íåíóëåâûìè ðàçìåðíîñòÿìè ∆l(d), çàâèñÿùèìè îò ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè d, ïîýòîìó óäîáíî ðàññìàòðèâàòü áåçðàçìåðíóþ âåëè÷èíó glB (d)µ − ∆ l ( d ) , ãäå µ — ñêîëüçÿùèé ìàñøòàá ðàçìåðíîñòüþ ýíåðãèè èëè ìàññû. Ãîëóþ êîíñòàíòó ñ èçìåíåííûì ìàñøòàáîì ìîæíî âûðàçèòü â âèäå ñóììû ñëàãàåìûõ, ïðîïîðöèîíàëüíûõ ïîëîæèòåëüíûì ñòåïåíÿì ν âåëè÷èíû 1/(d–4) c êîýôôèöèåíòàìè βν, ôèêñèðîâàííûìè òðåáîâàíèåì ñîêðàùåíèÿ îñîáåííîñòåé ïðè d → 4 â ôèçè÷åñêèõ àìïëèòóäàõ, è îñòàëüíûõ ñëàãàåìûõ, àíàëèòè÷íûõ ïî d ïðè d = 4. Ýòîò îñòàòîê îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ áåçðàçìåðíîé ïåðåíîðìèðîâàííîé êîíñòàíòîé ñâÿçè gl(µ,d), òàê ÷òî glB (d)µ − ∆ l ( d) = gl (µ, d) +



∑ (d − 4) − ν blν (g(µ, d)) .

ν =1

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(18.6.1)

18.6. Ìèíèìàëüíîå âû÷èòàíèå

205

Ìû èìååì ïðàâî çàäàòü ëþáóþ çàâèñèìîñòü ãîëûõ êîíñòàíò îò d, åñëè òîëüêî ïðè ýòîì ñîêðàùàþòñÿ ñèíãóëÿðíîñòè ïðè d = 4 â ôèçè÷åñêèõ àìïëèòóäàõ. Òàêóþ íåîäíîçíà÷íîñòü ìîæíî óñòðàíèòü, ïîòðåáîâàâ, ÷òîáû gl(µ,d) áûëà àíàëèòè÷íîé ïî d íå òîëüêî ïðè d = 4, íî ïðè âñåõ d. ×òîáû âûïèñàòü òî óðàâíåíèå ðåíîðìàëèçàöèîííîé ãðóïïû, êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿåò gl(µ,d), ïðîäèôôåðåíöèðóåì ñíà÷àëà (18.6.1) ïî µ:

LM N

− ∆l (d) gl +





O Q

∑ (d − 4) − ν blν (g)P = βl (g, d) + ∑ ∑ blνm (g)β m (g, d)(d − 4) − ν

ν =1

ãäå

blνm (g) ≡

∂ ∂g

m

ν =1 m

(18.6.2)

blν (g)

(18.6.3)

è, êàê è ðàíåå,

µ

d dµ

gl (µ, d) = βl (g(µ, d), d) .

(18.6.4)

Çàìåòèì, ÷òî βl åñòü ôóíêöèÿ âñåõ gm(µ,d) è d, íî íå ìîæåò îòäåëüíî çàâèñåòü îò µ, ïîñêîëüêó ïîñëå âêëþ÷åíèÿ çíà÷åíèé ìàññ ñ èçìåíåííûì ìàñøòàáîì â ÷èñëî áåçðàçìåðíûõ ïàðàìåòðîâ íå îñòàåòñÿ äðóãèõ ðàçìåðíûõ ïàðàìåòðîâ, êðîìå µ. Êàê ìû âèäåëè, ðàçìåðíîñòè ∆l(d) ÿâëÿþòñÿ âñåãäà ëèíåéíûìè ôóíêöèÿìè d, è ìû çàïèøåì ýòî â âèäå

∆ l (d) = ∆ l + ρl (d − 4) .

(18.6.5)

Ïåðåïèøåì ëåâóþ ÷àñòü (18.6.2) êàê −ρl gl (d − 4) − ∆ l gl + b1l (g)ρl −



∑ (d − 4) − ν

ν =1

ρl blν +1 (g) + ∆ l blν (g) .

Ñàìàÿ âûñîêàÿ ñòåïåíü d â àíàëèòè÷åñêîé ÷àñòè ýòîãî âûðàæåíèÿ — ïåðâàÿ, è ýòî æå äîëæíî áûòü âåðíî äëÿ ïðàâîé ÷àñòè (18.6.2). Ïîýòîìó β(g,d) äîëæíà áûòü ëèíåéíîé ïî d: β l (g, d) = β l (g) + (d − 4) α l (g) .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(18.6.6)

206

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

Ïðèðàâíèâàÿ ñëàãàåìûå ïåðâîãî è íóëåâîãî ïîðÿäêà â (18.6.2), íàõîäèì: (18.6.7) α l (g) = − ρl gl è, ÷òî áîëåå âàæíî, βl (g) = − ∆ l gl − b1l (g)ρl +



∑ ∑ b1l m (g)ρm gm .

(18.6.8)

ν =1 m

Ïðèìå÷àòåëüíî, ÷òî áåòà-ôóíêöèÿ çàâèñèò òîëüêî îò êîýôôèöèåíòîâ ïðîñòîãî ïîëþñà â ãîëûõ êîíñòàíòàõ. Íà ñàìîì äåëå, ýòè êîýôôèöèåíòû îïðåäåëÿþò òàêæå è êîýôôèöèåíòû âñåõ ïîëþñîâ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà. Ïðèðàâíèâàÿ ïîëþñíûå ñëàãàåìûå ñëåâà è ñïðàâà â (18.6.2), ïðèõîäèì ê ðåêóððåíòíîìó ñîîòíîøåíèþ: ρl blν + 1 (g) − ∑ ρm gm blν + 1m (g) = − ∆ l blν (g) − ∑ blνm (g)β m (g) . (18.6.9) m

m

Íàïðèìåð, ÷òîáû âûðàæåíèå d d xFµν F µν áûëî áåçðàçìåðíûì, ëþáîå êàëèáðîâî÷íîå ïîëå Aµ äîëæíî èìåòü ðàçìåðíîñòü (â ñòåïåíÿõ ìàññû), ðàâíóþ (d – 2)/2, è òàê êàê gBAµ äîëæíî èìåòü òó æå ðàçìåðíîñòü, ÷òî è ∂/∂µ, êîíñòàíòà gB äîëæíà èìåòü ðàçìåðíîñòü (4 –d)/2. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ êàëèáðîâî÷íûõ êîíñòàíò ∆ = 0 è ρ = – 1/2, è äëÿ êàëèáðîâî÷íîé òåîðèè ñ åäèíñòâåííîé êîíñòàíòîé ñâÿçè èç ôîðìóëû (18.6.8) íàõîäèì:

z

β(g) =

1 2

b1 (g) − gb1′ (g) .

(18. 6. 10)

 ÷àñòíîñòè, ôîðìóëà (11.2.20) ïîêàçûâàåò, ÷òî â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå â îäíîïåòëåâîì ïîðÿäêå ãîëûé ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä èìååòü ïîëþñ ïðè d → 4, ïðè÷åì

e B = Z3−1/2 e → e −

e3

1

12π d − 4 2

.

(18.6.11)

Ïîëàãàÿ β1(e) = –e3/(12π2) â ôîðìóëå (18.6.10), íàõîäèì:

β(e) =

e3 12π 2

â ñîãëàñèè ñ ïðåäûäóùèì ðåçóëüòàòîì (18.2.37).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(18.6.12)

18.6. Ìèíèìàëüíîå âû÷èòàíèå

207

Ïðèíÿòî ãîâîðèòü, ÷òî êîíñòàíòû ñâÿçè gl(µ), ââåäåííûå â ýòîì ðàçäåëå, îïðåäåëåíû â ñõåìå ìèíèìàëüíîãî âû÷èòàíèÿ. Ñóùåñòâóåò è íåñêîëüêî èíàÿ è ÷óòü áîëåå óäîáíàÿ ñõåìà. Ïðîñòûå ïîëþñû (d – 4)–1 òèïè÷íî âîçíèêàþò îò ôóíêöèé (4π)d/2–2Γ(2–d/2) (êàê â ôîðìóëå (11.2.13)), è ïðè d → 4 ýòè ôóíêöèè èìåþò ïðåäåë

FG H

(4π)2 − d /2 Γ 2 −

IJ → 1 − γ + ln 4π , 2K 2−d 2

d

(18.6.13)

ãäå γ = 0,5772157 — ïîñòîÿííàÿ Ýéëåðà. Ïîýòîìó óäîáíî âåçäå â (18.6.1) ñîâåðøèòü çàìåíó 1 d−4



1 d−4

+

γ 2



1 2

ln 4π .

(18.6.14)

Åñëè âûáðàí òàêîé ðåöåïò îïðåäåëåíèÿ êîíñòàíò, ãîâîðÿò ÷òî îíè îïðåäåëåíû â ñõåìå ìîäèôèöèðîâàííîãî ìèíèìàëüíîãî âû÷èòàíèÿ. Îäíèì èç ïðèìå÷àòåëüíûõ ñâîéñòâ îïðåäåëåíèÿ êîíñòàíò â ñõåìå ìèíèìàëüíîãî (èëè ìîäèôèöèðîâàííîãî ìèíèìàëüíîãî) âû÷èòàíèÿ ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ïîñêîëüêó íè â îäíîì âû÷èñëåíèè íèêîãäà íå âîçíèêàþò ìíîæèòåëè óëüòðàôèîëåòîâîãî îáðåçàíèÿ, ïåòëåâûå äèàãðàììû èìåþò ïðè d = 4 òîëüêî ïîëþñû, îòâå÷àþùèå ëîãàðèôìè÷åñêèì, à íå ëèíåéíûì, êâàäðàòè÷íûì è ò. ä. óëüòðàôèîëåòîâûì ðàñõîäèìîñòÿì. Îòñþäà ôóíêöèÿ âû÷åòà β1l(g) ìîæåò ñîäåðæàòü ñëàãàåìîå ïîðÿäêà gagbgc... òîëüêî, åñëè ïðè d = 4 ðàçìåðíîñòü gBl ðàâíà ïîëíîé ðàçìåðíîñòè êîíñòàíò gBa, gBb, gBc è ò. ä.:

∆ l = ∆ a + ∆ b + ∆ c + L.

(18.6.15)

Òîãäà èç (18.6.8) ñëåäóåò, ÷òî ýòî æå âåðíî äëÿ βl(g).  ÷àñòíîñòè, â òåîðèè áåç ñóïåðïåðåíîðìèðóåìûõ êîíñòàíò (òèïà êàëèáðîâî÷íîé òåîðèè ñ áåçìàññîâûìè ñïèíîðàìè è áåç ñêàëÿðîâ, íàïðèìåð êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè ñ íóëåâîé ìàññîé ýëåêòðîíà) äëÿ âñåõ êîíñòàíò ∆l ≤ 0, òàê ÷òî óðàâíåíèÿ ðåíîðìãðóïïû äëÿ ïåðåíîðìèðóåìûõ êîíñòàíò (ñ ∆l = 0) íå èçìåíÿþòñÿ ïðè íàëè÷èè ëþáûõ íåïåðåíîðìèðóåìûõ âçàèìîäåéñòâèé 5. Êðîìå òîãî, â òàêîé òåîðèè áåòà-ôóíêöèè äëÿ íåïåðåíîðìèðóåìûõ êîíñòàíò ÿâëÿþòñÿ ïîëèíîìàìè êîíå÷íîãî ïîðÿäêà ïî íåïåðåíîðìèðóåìûì êîíñòàíòàì,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

208

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

ïðè÷åì êàæäûé êîýôôèöèåíò â êàæäîì ïîëèíîìå îïðåäåëÿåòñÿ áåñêîíå÷íûì ðÿäîì ïî ñòåïåíÿì ïåðåíîðìèðóåìîé êîíñòàíòû. Íàïðèìåð, â òåîðèè ôîòîíîâ è áåçìàññîâûõ ýëåêòðîíîâ (ïðåäïîëàãàÿ èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî P è ïðåîáðàçîâàíèÿ ψ → γ5ψ) íå ñóùåñòâóåò íåïåðåíîðìèðóåìûõ âçàèìîäåéñòâèé ðàçìåðíîñòüþ +5 è åñòü ðÿä âçàèìîäåéñòâèé ðàçìåðíîñòüþ +6 (÷åòûðåõôåðìèîííûå âçàèìîäåéñòâèÿ, à òàêæå ÷èñòî ôîòîííûå âçàèìîäåéñòâèÿ Fµν9Fµν) ñ êîíñòàíòàìè fi ðàçìåðíîñòüþ –2. Áåòà-ôóíêöèÿ äëÿ fi èìååò âèä ∑jβij(e)fj ñ êîýôôèöèåíòàìè βij(e), îïðåäåëÿåìûìè ñòåïåííûì ðÿäîì ïî å. 18.7. Êâàíòîâàÿ õðîìîäèíàìèêà Êâàíòîâàÿ õðîìîäèíàìèêà — ñîâðåìåííàÿ òåîðèÿ ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé. Ýòî íåàáåëåâà êàëèáðîâî÷íàÿ òåîðèÿ, îñíîâàííàÿ íà êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïå SU(3).  äîïîëíåíèå ê êàëèáðîâî÷íûì ïîëÿì â êâàíòîâóþ õðîìîäèíàìèêó âõîäÿò ïîëÿ ÷àñòèö ñïèíà 1/2, èçâåñòíûõ êàê êâàðêè. Ñóùåñòâóåò øåñòü ñîðòîâ (èëè «àðîìàòîâ») êâàðêîâ: u, c, t çàðÿäîì 2å/3 è d, s, b çàðÿäîì –å/3. Êâàðêè êàæäîãî àðîìàòà ñóùåñòâóþò â òðåõ «öâåòîâûõ» ðàçíîâèäíîñòÿõ, îáðàçóþùèõ ôóíäàìåíòàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå 3 êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû SU(3) *. Áàðèîíû òèïà ïðîòîíîâ è íåéòðîíîâ ìîæíî ïðèáëèæåííî ðàññìàòðèâàòü êàê áåñöâåòíûå ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ òðåõ êâàðêîâ, ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íûå ïî öâåòàì êâàðêîâ, à ìåçîíû òèïà ρ-ìåçîíà ïðèáëèæåííî ÿâëÿþòñÿ áåñöâåòíûìè ñâÿçàííûìè ñîñòî-ÿíèÿìè êâàðêîâ è àíòèêâàðêîâ 11.  ïðèáëèæåíèè, êîãäà ìàññàìè êâàðêîâ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàññìàòðèâàåìûìè ýíåðãèÿìè, îáðàùåíèå âûðàæåíèÿ (17.5.44) ïîêàçûâàåò, ÷òî ãîëàÿ êîíñòàíòà ñâÿçè â ïðîèçâîëüíîé êàëèáðîâî÷íîé òåîðèè èìååò ïîëþñ, êîãäà ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííàÿ ðàçìåðíîñòü d → 4, ïðè÷åì âû÷åò â íåì ðàâåí * Äî òîãî, êàê áûëà ïðåäëîæåíà îêîí÷àòåëüíàÿ ôîðìóëèðîâêà êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè, ðÿä àâòîðîâ âûñêàçûâàë ãèïîòåçó î ñóùåñòâîâàíèè òðåõ ðàçíîâèäíîñòåé êâàðêîâ êàæäîãî àðîìàòà. Ýòî äåëàëîñü êàê ñ öåëüþ ïîëó÷èòü ñîãëàñèå ñ âåðîÿòíîñòÿìè ðàñïàäîâ òèïà π0 → γ + γ, òàê è äëÿ òîãî, ÷òîáû ââåñòè íîâóþ ñòåïåíü ñâîáîäû, ÷òî ïîçâîëèëî áû îáúÿñíèòü ñèììåòðèþ âîëíîâîé ôóíêöèè êâàðêîâ-ôåðìèîíîâ â áàðèîíå ïî ñïèíîâûì è ïðîñòðàíñòâåííûì êîîðäèíàòàì, à òàêæå ïî àðîìàòó 11.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

18.7. Êâàíòîâàÿ õðîìîäèíàìèêà

gB →

209

LM g FG 11 C N 4π H 12 3

1

2

1



3

IJ K

C2 + O(g5 )

OP 1 , Qd−4

ãäå Ñ1 è Ñ2 îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè (17.5.33) è (17.5.34). Èíûìè ñëîâàìè, â îáîçíà÷åíèÿõ ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà g3

b1 (g) =



2

FG 11 C H 12

1



1 3

IJ K

(18.7.1)

IJ K

(18.7.2)

C2 + O(g5 ) .

Ïîäñòàâëÿÿ ýòî â (18.6.10), ïîëó÷àåì: β(g) = −

g3 4π

FG 11 C H 12

1

2



1 3

C2 + O(g5 ) .

 SU(3) òåîðèè ñ nf áåçìàññîâûìè êâàðêàìè â ôóíäàìåíòàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè 3 ãðóïïû SU(3) èç ôîðìóëû (17.5.35) íàõîäèì: Ñ1 = 3,

Ñ2 = nf/2.

(18.7.3)

Òàê êàê êâàðêè çäåñü ñ÷èòàþòñÿ áåçìàññîâûìè, ýòà ôîðìóëà ìîæåò áûòü ïðèìåíèìà òîëüêî â ýôôåêòèâíîé òåîðèè ïîëÿ, ïîëó÷åííîé ïóòåì èíòåãðèðîâàíèÿ ïî âñåì êâàðêàì, êîòîðûå òÿæåëåå òèïè÷íîé ðàññìàòðèâàåìîé ýíåðãèè Å. Òàêèì îáðàçîì, nf — ÷èñëî àðîìàòîâ êâàðêîâ ìàññàìè, ìíîãî ìåíüøèìè Å. Ñ ó÷åòîì ýòîãî çàìå÷àíèÿ, èç ôîðìóë (18.7.2) è (18.7.3) âûòåêàåò, ÷òî β(g) = −

g3 4π

2

FG 11 − 1 n IJ + O(g ) . H4 6 K 5

f

(18.7.4)

Ìû óáåæäàåìñÿ, ÷òî åñëè òîëüêî ÷èñëî ñîðòîâ êâàðêîâ ìàññàìè ìåíüøå ðàññìàòðèâàåìîãî ìàñøòàáà ýíåðãèé íå ïðåâûøàåò 16, òåîðèÿ àñèìïòîòè÷åñêè ñâîáîäíà. Ïîñêîëüêó íà ñàìîì äåëå, ïî-âèäèìîìó, èìååòñÿ âñåãî øåñòü ñîðòîâ êâàðêîâ ðàçíûõ ìàññ, òåîðèÿ ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé, îñíîâàííàÿ íà êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïå SU(3), ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè ñâîáîäíîé. Èìåííî îòêðûòèå àñèìïòîòè÷åñêîé ñâîáîäû â íåàáåëåâûõ êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèÿõ òàêîãî òèïà, ñîâåðøåííîå â 1973 ãîäó Ãðîññîì è Âèëü÷åêîì 12 è Ïîëèòöåðîì 13, óáåäèëî ôèçèêîâ-òåî-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

210

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

ðåòèêîâ â òîì, ÷òî íàéäåíà ïðàâèëüíàÿ òåîðèÿ ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé. Âû÷èñëåíèÿ ýòèõ ó÷åíûõ ñðàçó æå îáúÿñíèëè çàãàäî÷íûé ðåçóëüòàò çíàìåíèòîãî ýêñïåðèìåíòà 1968 ãîäà â SLAC ïî ãëóáîêîíåóïðóãîìó ýëåêòðîí-íóêëîííîìó ðàññåÿíèþ, èç êîòîðîãî ñëåäîâàëî, ÷òî ñèëüíûå âçàèìîäåéñòâèÿ ïðè áîëüøèõ ýíåðãèÿõ ñòàíîâÿòñÿ ñëàáåå*. (Ìû ïîäðîáíåå îáñóäèì ýòîò ýêñïåðèìåíò â ðàçäåëå 20.6.) Îäíàêî èñòîðè÷åñêîå çíà÷åíèå îòêðûòèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé ñâîáîäû â òåîðèÿõ ßíãà–Ìèëëñà çàêëþ÷àåòñÿ íå òîëüêî â òîì, ÷òî îíî ïîçâîëèëî îáúÿñíèòü ñòàðûé ýêñïåðèìåíòàëüíûé ðåçóëüòàò, íî è â òîì, ÷òî âïåðâûå, ïî êðàéíåé ìåðå, ïðè áîëüøèõ ýíåðãèÿõ, îòêðûëèñü ïåðñïåêòèâû ðàçóìíûõ âû÷èñëåíèé ïî òåîðèè âîçìóùåíèé ïðîöåññîâ ñèëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Âñêîðå îáíàðóæèëîñü, ÷òî àñèìïòîòè÷åñêàÿ ñâîáîäà èìååò, ïî êðàéíåé ìåðå, åùå îäíî ïðèìåíåíèå. Íà ïåðâûõ ïîðàõ ïîñëå îòêðûòèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé ñâîáîäû áûëî øèðîêî ðàñïðîñòðàíåíî ìíåíèå, ÷òî êàëèáðîâî÷íûå áîçîíû â ðåàëèñòè÷íûõ ÿíãìèëëñîâñêèõ òåîðèÿõ ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé äîëæíû áûòü äîñòàòî÷íî òÿæåëûìè, ÷òîáû ìîæíî áûëî îáúÿñíèòü, ïî÷åìó ýòè ñèëüíîâçàèìîäåéñòâóþùèå áîçîíû íå áûëè äàâíî îòêðûòû. Ñëåäóÿ ïðåöåäåíòó ñ òåîðèåé ñëàáûõ è ýëåêòðîìàãíèòíûõ âçàèìîäåéñòâèé (îáñóæäåíèå ýòîé òåîðèè ñì. â ãë. 21), ñ÷èòàëîñü, ÷òî ìàññû êàëèáðîâî÷íûõ áîçîíîâ âîçíèêàþò çà ñ÷åò ñïîíòàííîãî íàðóøåíèÿ öâåòîâîé SU(3) êàëèáðîâî÷íîé ñèììåòðèè, îáóñëîâëåííîãî âàêóóìíûìè ñðåäíèìè ñêàëÿðíûõ ïîëåé â íåòðèâèàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè ýòîé ãðóïïû. Îäíàêî òàêèå ñèëüíîâçàèìîäåéñòâóþùèå ñêàëÿðû äîëæíû äàâàòü ïîëîæèòåëüíûå âêëàäû â β(g), ÷òî ìîæåò ðàçðóøèòü àñèìïòîòè÷åñêóþ ñâîáîäó. Õóæå òîãî, â òåî* Çè 17 è, âîçìîæíî, äðóãèå òåîðåòèêè óæå ïîíèìàëè, ÷òî ýòîò ýêñïåðèìåíòàëüíûé ðåçóëüòàò ìîæíî îáúÿñíèòü â ðàìêàõ òåîðèè ñ áåòà-ôóíêöèåé, êîòîðàÿ ñòàíîâèòñÿ îòðèöàòåëüíîé ïðè ìàëûõ ïîëîæèòåëüíûõ êîíñòàíòàõ ñâÿçè, îäíàêî âû÷èñëåíèÿ β(g) âî âñåõ ïåðåíîðìèðóåìûõ òåîðèÿõ ïîëÿ çà èñêëþ÷åíèåì íåàáåëåâûõ êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé ïðèâîäèëè ê β(g) > 0. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â 1972 ãîäó ‘ò Õîîôò ðàçâèë òåõíèêó âû÷èñëåíèé äëÿ ðàñ÷åòà β(g) â ÿíã-ìèëëñîâñêèõ òåîðèÿõ è îáúÿâèë â èþíå 1972 ãîäà íà êîíôåðåíöèè ïî êàëèáðîâî÷íûì òåîðèÿì â Ìàðñåëå 16, ÷òî β(g) < 0, îäíàêî, çàíèìàÿñü äðóãèìè äåëàìè, îí çàäåðæàëñÿ ñ ïóáëèêàöèåé ýòîãî ðåçóëüòàòà è ðàçðàáîòêîé åãî ïðèëîæåíèé, òàê ÷òî ðåçóëüòàò íå ïðèâëåê îñîáîãî âíèìàíèÿ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

18.7. Êâàíòîâàÿ õðîìîäèíàìèêà

211

ðèè ñ ñèëüíîâçàèìîäåéñòâóþùèìè ñêàëÿðíûìè ïîëÿìè ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè, âêëþ÷àþùèå ñëàáûå âçàèìîäåéñòâèÿ, ïîâëåêëè áû ñèëüíûå íàðóøåíèÿ ðàçíûõ ñèììåòðèé òèïà èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî çàðÿäîâîãî ñîïðÿæåíèÿ è ñîõðàíåíèÿ àðîìàòà, êîòîðûå, êàê ìû óâèäèì äàëåå, áåç ýòèõ ñêàëÿðîâ íå íàðóøàëèñü áû 17. Ïîýòîìó áûëî âûñêàçàíî ïðåäëîæåíèå îòáðîñèòü ñèëüíîâçàèìîäåéñòâóþùèå ñêàëÿðû è ïðèíÿòü, ÷òî ãëþîíû — SU(3) êàëèáðîâî÷íûå áîçîíû — èìåþò íóëåâóþ ìàññó 18. Êîíå÷íî, óìåíüøåíèå êîíñòàíòû ñèëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ïðè áîëüøèõ ýíåðãèÿõ èëè íà ìàëûõ ðàññòîÿíèÿõ îçíà÷àåò åå ðîñò ïðè íèçêèõ ýíåðãèÿõ èëè íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ. Áûëî âûñêàçàíî ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî ýòî ñâîéñòâî ìîæåò îáúÿñíèòü, ïî÷åìó íà ýêñïåðèìåíòå íå îáíàðóæèâàþòñÿ áåçìàññîâûå êâàðêè è ãëþîíû. Ñîãëàñíî ýòîé ãèïîòåçå, â èçîëèðîâàííîì ñîñòîÿíèè ìîãóò ñóùåñòâîâàòü òîëüêî áåñöâåòíûå ÷àñòèöû òèïà áàðèîíîâ è ìåçîíîâ 19.Ê ñîæàëåíèþ, ýòî óòâåðæäåíèå âñå åùå îñòàåòñÿ ãèïîòåçîé è íå ïðåâðàòèëîñü â òåîðåìó, îäíàêî ïî ïðîøåñòâèè äâàäöàòè ëåò ìàëî êòî ñîìíåâàåòñÿ â åå ñïðàâåäëèâîñòè. Äàæå íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî êâàðêè íå ìîãóò ìàòåðèàëèçîâàòüñÿ êàê ñâîáîäíûå ÷àñòèöû, îíè â îïðåäåëåííîì ñìûñëå íàáëþäàþòñÿ êàê ñòðóè, ðîæäàþùèåñÿ â ïðîöåññàõ ñîóäàðåíèé ïðè áîëüøèõ ýíåðãèÿõ. Íàïðèìåð, ïðè àííèãèëÿöèè ýëåêòðîíîâ è ïîçèòðîíîâ êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ èìååò âèä äâóõ óçêèõ àäðîííûõ ñòðóé, ïðè÷åì óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå ïî óãëó θ ìåæäó èìïóëüñàìè íà÷àëüíîãî ëåïòîíà è íàïðàâëåíèÿìè ñòðóé (â ñ.ö.ì.) èìååò âèä 1 + cos2θ, êàê è ñëåäóåò èç ðàñ÷åòà ýëåêòðîíïîçèòðîííîé àííèãèëÿöèè â êîíå÷íûå êâàðê-àíòèêâàðêîâûå ñîñòîÿíèÿ íà îñíîâå äðåâåñíîé äèàãðàììû 20. Ýòî ìîæíî ïîíÿòü 21 è ñ ïîìîùüþ îáùåãî àíàëèçà èíôðàêðàñíûõ ðàñõîäèìîñòåé, ñäåëàííîãî â ðàçäåëå 13.4. Ïðè óëüòðàâûñîêèõ ýíåðãèÿõ ñëåäóåò îæèäàòü, ÷òî âåðîÿòíîñòü ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ îïðåäåëÿåòñÿ âêëàäîì íèçøåãî ïîðÿäêà òåîðèè âîçìóùåíèé, åñëè ýòîò âêëàä «èíôðàêðàñíî áåçîïàñåí», ò. å. íå ñòàíîâèòñÿ èíôðàêðàñíî ðàñõîäÿùèìñÿ, êîãäà âñå ìàññû óñòðåìëÿþòñÿ ê íóëþ. Ïîëíàÿ âåðîÿòíîñòü ýëåêòðîí-ïîçèòðîííîé àííèãèëÿöèè â àäðîíû ÿâëÿåòñÿ èíôðàêðàñíî áåçîïàñíîé, òàê êàê ìû ñóììèðóåì ïî âñåì àäðîííûì êîíå÷íûì ñîñòîÿíèÿì. (Ýëåêòðîìàãíèòíûìè ýôôåêòàìè âûñøèõ ïîðÿäêîâ ìû çäåñü ïðåíåáðåãàåì.) Ïîýòîìó ìîæíî èñïîëüçîâàòü òåîðèþ âîçìóùåíèé, îòêóäà ñðàçó æå ñëåäóåò, ÷òî îòíîøåíèå R

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

212

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

ýòîé âåðîÿòíîñòè ê âåðîÿòíîñòè ïðîöåññà e+ + e– → µ+ + µ– ðàâíî R = 3∑qQq2, ãäå ñóììà áåðåòñÿ ïî âñåì êâàðêîâûì àðîìàòàì, Qq — çàðÿä êâàðêîâ â åäèíèöàõ å, à ìíîæèòåëü 3 — ÷èñëî öâåòîâ. (Íàïðèìåð, â øèðîêîì èíòåðâàëå ýíåðãèé ìåæäó mb ≈ 4,5 Ãý è mt ≈ 180 Ãý âåëè÷èíà R ≈ 3[2(2/3)2 + 3(–1/3)2] = 11/3.) Ñ äðóãîé ñòðîíîû, âåðîÿòíîñòü ýëåêòðîí-ïîçèòðîííîé àííèãèëÿöèè â êàêîå-òî îïðåäåëåííîå ñîñòîÿíèå êâàðêîâ è ãëþîíîâ íå ÿâëÿåòñÿ èíôðàêðàñíî áåçîïàñíîé, ïîýòîìó åå âîîáùå íåëüçÿ âû÷èñëèòü ïî òåîðèè âîçìóùåíèé. Íà ñàìîì äåëå, îíà ïðîñòî ðàâíà íóëþ. Ìåæäó ýòèìè äâóìÿ êðàéíèìè çíà÷åíèÿìè íàõîäèòñÿ âåðîÿòíîñòü ýëåêòðîí-ïîçèòðîííîé àííèãèëÿöèè â íåêîòîðîå ÷èñëî ñòðóé, íåñóùèõ îïðåäåëåííûé ïîëíûé èìïóëüñ è çàðÿä, ñîâìåñòíî ñ ìíîæåñòâîì íå âõîäÿùèõ â ñòðóè íåíàáëþäàåìûõ àäðîíîâ ñ îãðàíè÷åííîé ïîëíîé ýíåðãèåé. Êàê îáñóæäàëîñü â ðàçäåëå 13.4, ýòà âåðîÿòíîñòü èíôðàêðàñíî áåçîïàñíà. Ïîýòîìó åå ìîæíî âû÷èñëèòü ïðè âûñîêèõ ýíåðãèÿõ â äðåâåñíîì ïðèáëèæåíèè òåîðèè âîçìóùåíèé, îòîæäåñòâëÿÿ ñòðóè (â ýòîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé) ñ êîíå÷íûìè êâàðêàìè, àíòèêâàðêàìè è ãëþîíàìè. Ìîæíî äàæå ðàññ÷èòàòü âåðîÿòíîñòü òðåõñòðóéíûõ ñîáûòèé, âîçíèêàþùèõ îò äðåâåñíûõ äèàãðàìì, â êîòîðûõ ãëþîí èñïóñêàåòñÿ êîíå÷íûì êâàðêîì èëè àíòèêâàðêîì, è èñïîëüçîâàòü ñðàâíåíèå ðåçóëüòàòîâ ðàñ÷åòîâ ñ ýåñïåðèìåíòîì äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû αs(µ) 22. Íî òåîðèþ âîçìóùåíèé íåëüçÿ èñïîëüçîâàòü äëÿ ïðåäñêàçàíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èìïóëüñîâ âíóòðè ñòðóè, ïîñêîëüêó òàêîå äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå íå ÿâëÿåòñÿ èíôðàêðàñíî áåçîïàñíûì. Àíàëîãè÷íûå çàìå÷àíèÿ êàñàþòñÿ ðîæäåíèÿ ñòðóé â ãëóáîêîíåóïðóãèõ ëåïòîí-àäðîííûõ ñîóäàðåíèÿõ, êîòîðûå ìû îáñóäèì â ðàçäåëå 20.6, îäíàêî àíàëèç óñëîæíÿåòñÿ íàëè÷èåì àäðîíîâ â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè. Ñëåäóÿ òåì æå ðàññóæäåíèÿì, ÷òî è â ðàçäåëå 12.5, ìîæíî çàïèñàòü íàèáîëåå îáùèé ïåðåíîðìèðóåìûé ëàãðàíæèàí êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè áåç ñêàëÿðíûõ ïîëåé â âèäå:

L =−

1 4

/ α tα + m n ψ n , Fαµν Fαµν − ∑ ψ n ∂/ − igA

(18.7.5)

n

ãäå Aµα — öâåòîâîé êàëèáðîâî÷íûé âåêòîð-ïîòåíöèàë, Fµνα — öâåòîâîé êàëèáðîâî÷íî-êîâàðèàíòíûé òåíçîð íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ, g — êîíñòàíòà ñèëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, tα — ïîëíûé íàáîð ãåíåðàòîðîâ öâåòîâîé SU(3) ñèììåòðèè â ïðåäñòàâëåíèè 3 (ò. å. íàáîð

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

18.7. Êâàíòîâàÿ õðîìîäèíàìèêà

213

3×3 ìàòðèö ñî ñòîëáöàìè è ñòðîêàìè, ïîìå÷åííûìè òðåìÿ öâåòàìè êâàðêîâ), íîðìèðîâàííûõ óñëîâèåì Tr(tαtβ) = 1δαβ, èíäåêñ n íóìåðóåò àðîìàòû êâàðêîâ, öâåòîâûå èíäåêñû êâàðêîâ îïóùåíû. Êàê ýòî áûëî ïîêàçàíî äëÿ ýëåêòðîäèíàìèêè â ðàçäåëå 12.5, äàííûé ëàãðàíæèàí îáëàäàåò âàæíûìè äîïîëíèòåëüíûìè ñèììåòðèÿìè: îí ñîõðàíÿåò ïðîñòðàíñòâåííóþ ÷åòíîñòü*, çàðÿäîâóþ ÷åòíîñòü è ÷èñëî êâàðêîâ êàæäîãî àðîìàòà (ìèíóñ ÷èñëî ñîîòâåòñòâóþùèõ àíòèêâàðêîâ), â òîì ÷èñëå, äàâíî èçâåñòíîå êâàíòîâîå ÷èñëî «ñòðàííîñòü», ïîäñ÷èòûâàþùåå ÷èñëî s-êâàðêîâ. Òàêèì îáðàçîì, êâàíòîâàÿ õðîìîäèíàìèêà íåìåäëåííî îáúÿñíÿåò çàãàäî÷íûé ôàêò, ÷òî ñèëüíûå âçàèìîäåéñòâèÿ îáëàäàþò ðàçëè÷íûìè ñèììåòðèÿìè, íå ÿâëÿþùèìèñÿ ñèììåòðèÿìè âñåõ âçàèìîäåéñòâèé. Èç ýòèõ ðàññóæäåíèé ñòàíîâèòñÿ ÿñíî òàêæå, ïî÷åìó â ýòîé òåîðèè, êàê ìû óêàçûâàëè âûøå, ñëàáûå âçàèìîäåéñòâèÿ íå âíîñÿò ñèëüíûõ íàðóøåíèé ÷åòíîñòè, çàðÿäîâîé ÷åòíîñòè, ñòðàííîñòè è ò. ä. Ïîñêîëüêó âñå ïåðåíîðìèðóåìûå âçàèìîäåéñòâèÿ êâàðêîâ è ãëþîíîâ ñîõðàíÿþò ýòè ñèììåòðèè, òî ïðè ýíåðãèÿõ Å, ìíîãî ìåíüøèõ ìàññ mW ÷àñòèö- ïåðåíîñ÷èêîâ ñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèé, îíè ìîãóò áûòü íàðóøåíû òîëüêî íåïåðåíîðìèðóåìûìè ñëàãàåìûìè â ëàãðàíæèàíå ýôôåêòèâíîé òåîðèè ïîëÿ, íàïðèìåð, âçàèìîäåéñòâèÿìè âèäà ψψψψ , êîòîðûå, êàê îáñóæäàëîñü â ðàçäåëå 12.3, áóäóò ïîäàâëåíû îòðèöàòåëüíûìè ñòåïåíÿìè mW, à òàêæå êîíñòàíòàìè ñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèé. Êîíå÷íî, íå èñêëþ÷åíî, ÷òî êâàðêè è ãëþîíû îáëàäàþò íîâûì òèïîì ñèëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ íà øêàëå ýíåðãèé Λ′, ìíîãî áîëüøåé ÷åì õàðàêòåðíàÿ äëÿ êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè øêàëà Λ. Íàïðèìåð, êàê îáñóæäàåòñÿ â ðàçäåëå 22.5, êâàðêè ìîãóò áûòü ñâÿçàííûìè ñîñòîÿíèÿìè âçàèìîäåéñòâóþùèõ ñ êàëèáðîâî÷íûìè ïîëÿìè áîëåå ôóíäàìåíòàëüíûõ ôåðìèîíîâ, ïðè÷åì àñìïòîòè÷åñêè ñâîáîäíûå êîíñòàíòû ñâÿçè ñòàíîâÿòñÿ ñèëüíûìè ïðè ýíåðãèÿõ ïîðÿäêà Λ′ è çàïèðàþò ýòè ôåðìèîíû âíóòðè êâàðêîâ.  ýòîì ñëó÷àå ýôôåêòèâíàÿ ïëîòíîñòü ëàãðàíæèàíà äëÿ êâàðêîâ ïðè ýíåðãèÿõ E n Λ′ áóäåò ñîäåðæàòü íåïåðåíîðìèðóåìûå âçàèìîäåéñòâèÿ òèïà ψψψψ , êîòîðûå ïîäàâëåíû òîëüêî ñòåïåíÿìè E/Λ′. Ýòè âçàèìî* Õîòÿ ýòî è íå áûëî èçâåñòíî â 1973 ãîäó, ìû óâèäèì â ðàçäåëå 23.6, ÷òî íåïåðòóðáàòèâíûå ýôôåêòû ìîãóò íàðóøàòü ÷åòíîñòü â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå. Ïðåäëàãàëèñü ðàçëè÷íûå ñïîñîáû èçáåæàòü ñèëüíîãî íàðóøåíèÿ ÷åòíîñòè, îäíàêî äî ñèõ ïîð íåÿñíî, êàêîé èç íèõ ïðàâèëåí.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

214

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

äåéñòâèÿ ìîãóò ïðîÿâèòüñÿ íå òîëüêî â ìàëûõ íàðóøåíèÿõ ñèììåò-ðèé òèïà ñîõðàíåíèÿ ÷åòíîñòè èëè àðîìàòà êâàðêîâ ïðè îáû÷íûõ ýíåðãèÿõ, íî è â îòêëîíåíèÿõ23 îò êîëè÷åñòâåííûõ ïðåäñêàçàíèé êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè ïðè ýíåðãèÿõ, ñòðåìÿùèõñÿ ê Λ′. Ðàññìîòðèì áîëåå äåòàëüíî ïîâåäåíèå êîíñòàíòû ñâÿçè êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè.  íèçøåì ïîðÿäêå óðàâíåíèå ðåíîðìàëèçàöèîííîé ãðóïïû ñîãëàñíî (18.7.4) èìååò âèä:

µ

d dµ

g(µ) = −

g3 (µ) 11 4π

FG − 1 n IJ . H4 6 K

(18.7.6)

f

2

Åãî ðåøåíèå èìååò âèä

α s (µ) ≡

g2 (µ) 4π

=

12π (33 − 2n f ) ln(µ 2 Λ2 )

,

(18.7.7)

ãäå Λ — ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ. Ýòà ôîðìóëà âûÿâëÿåò õàðàêòåðíîå ñâîéñòâî òåîðèé áåçìàññîâûõ (èëè, êàê äëÿ êâàðêîâ, ïî÷òè áåçìàññîâûõ) ÷àñòèö.  òàêèõ òåîðèÿõ îäíà èç áåçðàçìåðíûõ êîíñòàíò ñâÿçè â ëàãðàíæèàíå çàìåíÿåòñÿ íà ñâîáîäíûé ðàçìåðíûé ïàðàìåòð.  âûðàæåíèè (18.7.7) íå ñîäåðæèòñÿ ñâîáîäíûõ áåçðàçìåðíûõ ïàðàìåòðîâ, íî åñòü îäèí ñâîáîäíûé ïàðàìåòð ðàçìåðíîñòüþ ìàññû — ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ Λ. Òàêèå ðàñ÷åòû áûëè îñóùåñòâëåíû âïëîòü äî òðåõïåòëåâîãî ïîðÿäêà.  ýòîì ïîðÿäêå óðàâíåíèÿ ðåíîðìàëèçàöèîííîé ãðóïïû èìåþò âèä 24

µ

d dµ

g(µ) = −β0

g3 (µ) 16π 2

− β1

g5 (µ) 128π 4

− β2

g7 (µ) 8192π6

,

(18.7.8)

ãäå βn — ÷èñëåííûå êîýôôèöèåíòû: β0 = 11 −

2

β1 = 51 −

19

3

3

nf ,

(18.7.9)

nf ,

(18.7.10)

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

18.7. Êâàíòîâàÿ õðîìîäèíàìèêà

β2 = 2857 −

215

5033 9

nf −

325 27

n 2f .

(18.7.11)

Ðåøåíèå èìååò âèä:

α s (µ ) ≡ =

g2 ( µ ) 4π

LM1 − 2β ln[ln(µ Λ )] ln(µ Λ ) β ln(µ Λ ) MN β F F ln[ln(µ Λ )] − I 4β + JK GG β ln (µ Λ ) H H 4π

2

2

1 2 0

2

0

4 0

2 1 2 2

2

2

2

2

2

2

1 2

2

+

8β2β0 β12

IO − JP . 4 K PQ

(18.7.12)

5

Ñëåäóåò íàïîìíèòü, ÷òî â ïðèâåäåííûõ ôîðìóëàõ nf – ÷èñëî àðîìàòîâ êâàðêîâ ñ ìàññàìè, ìåíüøèìè ðàññìàòðèâàåìûõ ýíåðãèé.  êàæäîé îáëàñòè ýíåðãèé ìåæäó äâóìÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè êâàðêîâûìè ìàññàìè èìååì ðàçíûå çíà÷åíèÿ nf è ðàçíûå Λ, âûáðàííûå òàê, ÷òîáû ñäåëàòü g(µ) íåïðåðûâíîé ïðè êàæäîé ìàññå êâàðêà.  ÷àñòíîñòè, â ýêñïåðèìåíòàõ ïî ãëóáîêîíåóïðóãîìó ðàññåÿíèþ ýëåêòðîíîâ òèïè÷íûå ýíåðãèè ïðåâûøàþò òîëüêî ïåðâûå ÷åòûðå ìàññû êâàðêîâ (u, d, s, c), òàê ÷òî â äàííîì ñëó÷àå ñëåäóåò âûáðàòü nf = 4. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ýêñïåðèìåíòû íà ýëåêòðîíïîçèòðîííûõ êîëëàéäåðàõ òèïà PEP, PETRA, TRISTAN è LEP ïðîâîäÿòñÿ ïðè ýíåðãèÿõ, íàìíîãî ïðåâûøàþùèõ ìàññó ïÿòîãî êâàðêà b, òàê ÷òî â ýòèõ ýêñïåðèìåíòàõ ñëåäóåò âûáèðàòü nf = 5. Íî ýòè ðåçóëüòàòû ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç òå, êîòîðûå ïîëó÷åíû ïðè nf = 4, ïîäãîíêîé ðåøåíèé óðàâíåíèé ðåíîðìãðóïïû ê çíà÷åíèþ ìàññû b-êâàðêà. Òàêèì ñïîñîáîì íàéäåíî25 (èñïîëüçóÿ ïðè âû÷èñëåíèè β2 ðåöåïò ìîäèôèöèðîâàííîãî ìèíèìàëüíîãî âû÷èòàíèÿ), ÷òî êîíñòàíòà ñèëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, ýêñòðàïîëèðîâàííàÿ ê òî÷êå m Z = 91,2 ÃýÂ, ðàâíà α s (m Z ) º g s 2 (m Z )/4π = 0,118 ± 0,006, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò L » 250 Ìý ïðè ýíåðãèÿõ µ â èíòåðâàëå mb n µ n mt, êîãäà nf = 5. Áîëåå ñîâðåìåííîå èññëåäîâàíèå 26 ðîæäåíèÿ àäðîíîâ â å+å ––àííèãèëÿöèè â îáëàñòè Z-ðåçîíàíñà ïîçâîëèëî íåïîñðåäñòâåííî èçìåðèòü çíà÷åíèå αs(mZ) = 0,1200 ± 0,0025 ñ òåîðåòè÷åñêîé íåîïðåäåëåííîñòüþ ±0,0078, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò Λ = 253 +−130 96 Ìý . На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

216

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

18.8. Èñïðàâëåííàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèé* Ïîòðÿñøàÿ îñíîâû ðàáîòà 1 Ãåëë-Ìàííà è Ëîó â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè áûëà ïîñâÿùåíà ïðîáëåìå «èñïðàâëåíèÿ» òåîðèè âîçìóùåíèé, ò. å. èñïîëüçîâàíèþ èäåé ðåíîðìãðóïïû è ðåçóëüòàòîâ òåîðèè âîçìóùåíèé â äàííîì ïîðÿäêå äëÿ òîãî, ÷òîáû ÷òî-òî ñêàçàòü î ñëåäóþùåì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé. ×òîáû ïîÿñíèòü ýòî, âåðíåìñÿ ê èçó÷åííîìó Ãåëë-Ìàííîì è Ëîó ÷àñòíîìó ñëó÷àþ — ïîëÿðèçàöèè âàêóóìà â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå. Íàïîìíèì, ÷òî ïåðåíîðìèðîâàííûé ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä eµ ïðè ñêîëüçÿùåì ìàñøòàáå µ îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (18.2.36) ÷åðåç ãîëûé çàðÿä å â âèäå

eµ = Nµ( A) −1e B ,

(18.8.1)

ãäå N(A)µ — ïîñòîÿííàÿ, êîòîðàÿ ïîñëå âêëþ÷åíèÿ â íåïåðåíîðìèðîâàííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå äàåò ïîëå, ïåðåíîðìèðîâàííîå íà øêàëå µ (ñì. âûðàæåíèå (18.2.21)). Ïîýòîìó ìîæíî îïðåäåëèòü ïåðåíîðìèðîâàííûé (è, ñëåäîâàòåëüíî, íå çàâèñÿùèé îò îáðåçàíèÿ) ïîëíûé ôîòîííûé ïðîïàãàòîð ∆′ρσ(q, µ, eµ) ÷åðåç ïîëíûé ïðîïàãàòîð ∆′Bρσ(q, eB) íåïåðåíîðìèðîâàííîãî ïîëÿ êàê

′ (q , µ, eµ ) = Nµ( A)2 ∆ ′Bρσ (q , eB ) ∆ ρσ

(18.8.2)

òàê ÷òî ïðè ýòîì ôóíêöèÿ eµ2∆′ρσ(q, µ, eµ) íå çàâèñèò íè îò µ, ïîñêîëüêó îíà ðàâíà åÂ2 ∆′Bρσ(q, eB), íè îò îáðåçàíèÿ, ïîñêîëüêó eµ è ∆′ρσ(q, µ, eµ) — ïåðåíîðìèðîâàííûå âåëè÷èíû. (Ìû íåÿâíî ïîêàçûâàåì çäåñü çàâèñèìîñòü îò îáðåçàíèÿ.) Îäíàêî èç ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòè è ðàçìåðíîãî àíàëèçà ñëåäóåò, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ äîëæíà èìåòü âèä ηρσ d(q 2 µ 2 , eµ ) ′ (q , µ , e µ ) = eµ2 ∆ ρσ + ñëàãàåìûå c q ρq σ . (18.8.3) q2 Òàê êàê (18.8.3) íå çàâèñèò îò µ, ìîæíî ïîëîæèòü µ =

q 2 ≡ q , òàê ÷òî

* Ýòîò ðàçäåë ëåæèò íåñêîëüêî â ñòîðîíå îò îñíîâíîé ëèíèè èçëîæåíèÿ è ìîæåò áûòü îïóùåí ïðè ïåðâîì ÷òåíèè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

18.8. Èñïðàâëåííàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèé

217

d(q 2 µ 2 , eµ ) = d(1, eq ) .

(18.8.4)

Ïîñìîòðèì òåïåðü, ÷òî ìîæåò ýòî âûðàæåíèå ñêàçàòü íàì î ñòðóêòóðå ðÿäà òåîðèè âîçìóùåíèé äëÿ d(q2/µ2, eµ). Áåòà-ôóíêöèÿ äëÿ å èìååò ðàçëîæåíèå β(e) = b1e3 + b2 e5 + b3 e7 + . . .

(18.8.5)

Òîãäà óðàâíåíèå ðåíîðìãðóïïû äëÿ eµ èìååò ðåøåíèå â âèäå ñòåïåííîãî ðÿäà

eq2 = eµ2 − b1eµ4 ln −

Fb b GH 2

1 2

ln 2

q2 µ2

q2 µ2

q2

− b2eµ6 ln + b3 ln

q2 µ2

µ2

Ie JK

8 µ

(18.8.6)

+L.

Åñëè ïðè ýòîì ðàçëîæèòü è d: d(1, e) = e2 + d1e 4 + d2 e6 + d3 e8 + L ,

(18.8.7)

òî

F GH

d(q 2 µ 2 , eµ ) = d(1, eq ) = eµ2 − b1 ln −

Fb b GH 2

1 2

ln 2

q2 µ

2

+ (b3 − b1d2 ) ln

q2 µ

2

q2 µ2

I JK

F GH

− d1 eµ4 − b2 ln

q2 µ2

I JK

− d2 eµ6

I JK

− d3 eµ8 + L .

(18.8. 8)

Çàìåòèì, ÷òî ãëàâíûå ñòåïåíè ln(q2/µ2) â êàæäîì ïîðÿäêå äëÿ eµ) ðàâíû, ñîîòâåòñòâåííî, 0, 1, 1, 2, 3, ... . Êðîìå òîãî, åñëè ìû âû÷èñëèì d(q2/µ2, eµ) â ïîðÿäêå eµ6, è îïðåäåëèì, òåì ñàìûì, b1 è b2, òî íåìåäëåííî ñìîæåì âûïèñàòü êîýôôèöèåíò ïðè ñòàðøåì ëîãàðèôìå â ïîðÿäêå eµ8 â âèäå –1b1b2. Êàæäûé èç ýòèõ ðåçóëüòàòîâ î÷åíü òðóäíî âûâåñòè áåç èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäà ðåíîðìãðóïïû. d(q2/µ2,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

218

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

Çàäà÷è 1.

Ðàññìîòðèòå SU(N) êàëèáðîâî÷íóþ òåîðèþ ñî ñêàëÿðíûì ïîëåìâ ôóíäàìåíòàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè SU(N). Âû÷èñëèòå áåòà-ôóíêöèþ äëÿ êîíñòàíòû ñâÿçè â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè, âêëþ÷àÿ âêëàä ñêëÿðíîé ïåòëè. (Ñîâåò: èñïîëüçóéòå êàëèáðîâêó ôîíîâîãî ïîëÿ ñ ïîñòîÿííûì ôîíîâûì ïîëåì.)

2.

Ïóñòü áåòà-ôóíêöèÿ β(g) äëÿ òåîðèè ñ ïîëîæèòåëüíîé êîíñòàíòîé ñâÿçè g èìååò ïðîñòîé íóëü ïðè g = g*, ãäå β(g) → a(g* – g) c a > 0. Êàêîâî àñìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ïîïðàâêè ê ñòàðøåìó O ñëàãàåìîìó ∝ E − γ (g* ) â ìíîæèòåëå N EO −1 , ñâÿçàííûì ñ âêëþ÷åíèåì îïåðàòîðà O â ñðåäíåå ïî âàêóóìó.

3.

Ïîêàæèòå, ÷òî â òåîðèè ñ β(g) = bg2 + b′g3 + b′′g4 + ... ìîæíî ïóòåì ïåðåîïðåäåëåíèÿ êîíñòàíòû ñâÿçè ïðèäàòü êîýôôèöèåíòó b′′ ëþáîå çíà÷åíèå.

4.

Âû÷èñëèòå ýôôåêòèâíûé ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä, êîòîðûé ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ïðè èçó÷åíèè ïðîöåññîâ ïðè ýíåðãèè 100 ÃýÂ, ó÷òÿ ïðè ýòîì âñå èçâåñòíûå çàðÿæåííûå êâàðêè è ëåïòîíû ñ ìàññàìè ìåíüøå 100 ÃýÂ.

5.

Ðàññ÷èòàéòå àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ýëåêòðîííîãî ïðîïàãàòîðà â êâàíòîâîé ýëåòêðîäèíàìèêå ïðè áîëüøîì çíà÷åíèè 4-èìïóëüñà. (Ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ îäíîïåòëåâûì çíà÷åíèåì Z2, âû÷èñëåííûì ðàíåå, íàïðèìåð, â ðàçäåëå 11.4.)

6.

Âû÷èñëèòå àíîìàëüíóþ ðàçìåðíîñòü ν â ïåðâîì ïîðÿäêå ðàçëîæåíèÿ ïî ñòåïåíÿì ε = 4 – d äëÿ O(N)-èíâàðèàíòíîé òåîðèè ñêàëÿðíûõ ïîëåé ϕn(x) ñ n = 1, ..., N, ïðèíàäëåæàùèõ âåêòîðíîìó ïðåäñòàâëåíèþ O(N), ñ âçàèìîäåéñòâèåì 3g(∑nϕn2)2. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

1.

Gell-Mann, M. and Low, F.E., Phys. Rev., 95, 1300 (1954). Íåñêîëüêî ðàíåå âîïðîñ î ñâîáîäå âûáîðà îïðåäåëåíèÿ ïåðåíîðìèðîâàííûõ êîíñòàíò ñâÿçè îáñóæäàëñÿ â ðàáîòå: Stueckelberg,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

219

E.G.C. and Peterman, A., Helv. Phys. Acta, 26, 499 (1953) (èìåííî â ýòîé ðàáîòå áûë ââåäåí íåóäà÷íûé òåðìèí «ðåíîðìàëèçàöèîííàÿ ãðóïïà»), íî áåç îáúÿñíåíèÿ ñâÿçè ñ âû÷èñëåíèÿìè ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ïðè î÷åíü áîëüøèõ èëè î÷åíü ìàëûõ ýíåðãèÿõ. Ïîñëå ðàáîòû Ãåëë-Ìàííà è Ëîó ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû áûëè ðàçâèòû â ìîíîãðàôèè: Í.Í. Áîãîëþáîâ è Ä.Â. Øèðêîâ. Ââåäåíèå â òåîðèþ êâàíòîâàííûõ ïîëåé (Ì., Ôèçìàòëèò, 1957), ãë. VIII è ññûëêè â íåé. Èíòåðåñ ê ìåòîäàì ðåíîðìãðóïïû â ôèçèêå ÷àñòèö îæèâèëñÿ â 1970 ã. â ðàáîòàõ: Callan, C.G., Phys. Rev., D2, 1541 (1970); Symanzik, K., Commun. Math. Phys., 18, 227 (1970); Callan, C.G., Coleman, S., and Jackiw, R., Ann. Phys. (New York), 59, 42 (1970). 2.

Wilson, K.G., Phys. Rev., B4, 3174, 3184 (1971); Rev. Mod. Phys., 47, 773 (1975).

3.

Collins, J.C., Phys. Rev., D10, 1213 (1974).

3a.

Jost, J. and Luttinger, J.M., Helv. Phys. Acta, 23, 201 (1950).

4. Ýòî çíà÷åíèå öèòèðóåòñÿ â òàáëèöàõ Particle Data Group â 1994 ãîäó. Îáçîð áîëåå ïîçäíèõ ðàñ÷åòîâ ñì. â ðàáîòå: Altarelli, G., CERN preprint CERN-TH-95/203. Áîëåå íîâîå çíà÷åíèå α–1(mZ) íàõîäèòñÿ â èíòåðâàëå îò 128,89 äî 129,08. 4a. Coleman, S. and Weinberg, E., Phys. Rev., D7, 1888 (1973). 4b. Landau, L.D., in Niels Bohr and the Development of Physics (Pergamon Press, New York, 1955) è öèòèðîâàííûå òàì áîëåå ðàííèå ðàáîòû. 4ñ. Adler, S.L., Callan, C.G., Gross, D.J., and Jackiw, R., Phys. Rev., D6, 2982 (1972); Baker, M. and Johnson, K., Physica, 96A, 120 (1979). 4d. Äèñêóññèè è ññûëêè ñì.: Glimm, J. and Jaffe, A., Quantum Physics — A Functional Integral Point of View (Springer Verlag, New York, 1987), Section 21.6; Fern andez, R., Froelich, J., and Sokal, A.D., Random Walks, Critical Phenomena, and Triviality in Quantum Field Theory (Springer Verlag, Berlin, 1992), ch. 15.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

220

5. 6.

Ãëàâà 18. Ìåòîäû ðåíîðìãðóïïû

Weinberg, S., in General Relativity, S.W.Hawking and W. Israel, eds. (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1979), p. 790. Weinberg, S., Phys. Rev., D8, 3497 (1973).

7.

Ïåðâîå âû÷èñëåíèå ñäåëàíî â ðàáîòå: Wilson, K.G. and Fischer, M.E., Phys. Rev. Lett., 28, 240 (1972); Wilson, K.G., Phys. Rev. Lett., 28, 548 (1972). Îáçîðû ñì.: Wilson, K.G. and Kogut, J., Phys. Rep., 12C, No. 2 (1974); Fischer, M.E., Rev. Mod. Phys., 46, 597 (1974); Bre1zin, E., LeGuillou, J.C., and Zinn-Justin, J., in Phase Transitions and Critical Phenomena, eds. C. Domb and M.S. Green (Academic Press, London, 1975).

8.

Ñì., íàïðèìåð: Chaikin, P.M. and Lubensky, T.C., Princi ples of Condensed Matter Physics (Cambridge Univ. Oress, Cambridge, 1955), p. 231.

8a.

Bre1zin, E., LeGuillou, J.C., Zinn-Justin, J., and Nickel, B.G., Phys. Lett., 44A, 227 (1973); Wilson, K.G. and Kogut, J., [7].

9.

`t Hooft, G., Nucl. Phys., B61, 455 (1973); Nucl. Phys., B82, 444 (1973). Ïðèâåäåííûé çäåñü âûâîä ÿâëÿåòñÿ íåñêîëüêî óïðîùåííîé âåðñèåé âûâîäà `ò Õîôòà.

10. Greenberg, O.W., Phys. Rev. Lett., 13, 598 (1964); Han, M.Y. and Nambu, Y., Phys. Rev., 139, B1006 (1965); Bardeen, W.A., Fritzsch, H., and Gell-Mann, M., in Scale and Conformal Invariance in Hadron Physics, ed. by R. Gatto (Wiley, New York, 1973). 11.

Gell-Mann, M., Phys. Lett., 8, 214 (1964); Zweig, G., CERN preprint TH401 (1964).

12. Gross, D.J. and Wilczek, F., Phys. Rev. Lett., 30, 1343 (1973). 13. Politzer, H.D., Phys. Rev. Lett., 30, 1346 (1973). 14. Bloom, E.D. et al., Phys. Rev. Lett., 23, 930 (1969); Breidenbach, M. et al., Phys. Rev. Lett., 23, 933 (1969); Friedman, J.L. and Kendall, H.W., Ann. Rev. Nuclear Science, 22, 203 (1972).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

221

15. Zee, A., unpublished. 16. `t Hooft, G., unpublished. 17. Weinberg, S., Phys. Rev., D8, 605 (1973). 18. Gross, D.J. and Wilczek, F., Phys. Rev., D8, 3633 (1973); Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 31, 494 (1973). 19. Àíàëîãè÷íûå èäåè áûëè âûñêàçàíû åùå äî îòêðûòèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé ñâîáîäû â ðàáîòå: Fritzsch, H., Gell-Mann, M., and Leutwyler, H., Phys. Lett., 47B, 365 (1973). 20. Hanson, G. et al., Phys. Rev. Lett., 35, 1609 (1975); Schwitters, R.F., in Proc. of the Int. Conf. on Lepton and Photon Interactions at High Energy at Stanford, 1975, ed. W.T. Kirk (SLAC, Stanford, 1975), p. 5; Hanson, G., SLAC Report SLAC-PUB-1814 (1976). 21. Sterman, G. and Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 39, 1436 (1977). 22.

Ellis, J., Gaillard, M.K., and Ross, G.G., Nucl. Phys., B111, 253 (1976).

23. Eichten, E., Lane, K., and Peskin, M., Phys. Rev. Lett., 50, 811 (1983). 24. Ñì. îáçîð: Hinchliffe, I., in Review of Particle Properties, Phys. Rev., D50, 1177 (1994), Sec. 25. 25.

Altarelli, G., in Proc. of the Rencontres de Hanoi, CERN preprint CERN-PPE/94-71 (1994).

26. Abe, K. et al. (SLD collaboration), Phys. Rev., D51, 962 (1995). Îáðàáîòêà áîëåå ðàííèõ äàííûõ ïî ðàñïàäó Z0 â àäðîíû, âûïîëíåííàÿ Ì. Øèôìàíîì (Minnesota preprint hep-ph/9501222 (1995)), äàâàëà çíà÷åíèå αs(mZ) = 0,125 ± 0,005, ñîîòâåòñòâóþùåå Λ ≈ 500 ÌýÂ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

19 Ñïîíòàííî íàðóøåííûå ãëîáàëüíûå ñèììåòðèè Ìíîãèå äîñòèæåíèÿ ôèçèêè â íàøåì âåêå áûëè îñíîâàíû íà ïðèíöèïàõ ñèììåòðèè, ïðåæäå âñåãî, íà ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ ñèììåòðèÿõ ýéíøòåéíîâñêîé ÷àñòíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè 1905 ãîäà, à òàêæå íà âíóòðåííèõ ñèììåòðèÿõ, íàïðèìåð, íà îòêðûòîé â 1930-å ãîäû ïðèáëèæåííîé SU(2) èçîñïèíîâîé ñèììåòðèè. Ïîýòîìó, êîãäà â 1960-å ãîäû áûëî îáíàðóæåíî, ÷òî ÷èñëî âíóòðåííèõ ñèììåòðèé áîëüøå, ÷åì ýòî ìîæíî áûëî áû ïðåäïîëîæèòü íà îñíîâàíèè èçó÷åíèÿ ñïåêòðà ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, ýòî ñòàëî âîëíóþùèì îòêðûòèåì. Ñóùåñòâóþò òî÷íûå èëè ïðèáëèæåííûå ñèììåòðèè èñõîäíîé òåîðèè, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ «ñïîíòàííî íàðóøåííûìè», ò. å. îíè íå ðåàëèçóþòñÿ êàê ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè ôèçè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé òåîðèè, â ÷àñòíîñòè, íå îñòàâëÿþò èíâàðèàíòíûì âàêóóìíîå ñîñòîÿíèå. Ïðîðûâîì ñòàëî îòêðûòèå íàðóøåííîé ïðèáëèæåííîé ãëîáàëüíîé SU(2) × SU(2) ñèììåòðèè ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé, î ÷åì ïîäðîáíî áóäåò ãîâîðèòüñÿ â ðàçäåëå 19.3. Âñêîðå ïîñëåäîâàëî îòêðûòèå òî÷íîé, íî ñïîíòàííî íàðóøåííîé ëîêàëüíîé SU(2) × U(1) ñèììåòðèè ñëàáûõ è ýëåêòðîìàãíèòíûõ âçàèìîäåéñòâèé, êîòîðóþ ìû ðàññìîòðèì âìåñòå ñ áîëåå îáùèìè ëîêàëüíûìè ñèììåòðèÿìè â ãë. 21. Îäíàêî â äàííîé ãëàâå ìû íà÷íåì ñ îáùåãî îáñóæäåíèÿ íàðóøåííûõ ãëîáàëüíûõ ñèììåòðèé, à çàòåì ïåðåéäåì ê ôèçè÷åñêèì ïðèìåðàì. 19.1. Âûðîæäåííûå âàêóóìû Íå íóæíî äàëåêî õîäèòü çà ïðèìåðàìè ñïîíòàííîãî íàðóøåíèÿ ñèììåòðèè. Ðàññìîòðèì ñòóë. Óðàâíåíèÿ, êîòîðûì ïîä÷èíÿåòñÿ ïîâåäåíèå àòîìîâ ñòóëà, ÿâëÿþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè îòíîñèòåëüíî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

19.1. Âûðîæäåííûå âàêóóìû

223

âðàùåíèé, îäíàêî ðåøåíèå ýòèõ óðàâíåíèé — ðåàëüíûé ñòóë — èìååò îïðåäåëåííóþ îðèåíòàöèþ â ïðîñòðàíñòâå. Íèæå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü íå ñòîëüêî íàðóøåíèÿ ñèììåòðèé òåëàìè òèïà ñòóëà, ñêîëüêî íàðóøåíèå ñèììåòðèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ëþáîé ðåàëèñòè÷íîé êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ, ò. å. âàêóóìà. Ñïîíòàííîå íàðóøåíèå ñèììåòðèè â òåîðèè ïîëÿ âñåãäà ñâÿçàíî ñ âûðîæäåíèåì âàêóóìíûõ ñîñòîÿíèé. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ïðåîáðàçîâàíèå ñèììåòðèè äåéñòâèÿ è ìåðû, èñïîëüçóåìîé ïðè èíòåãðèðîâàíèè, êîòîðîå ëèíåéíî äåéñòâóåò íà ìíîæåñòâî ñêàëÿðíûõ ïîëåé ϕn(x):

ϕ n (x) → ϕ ′n (x) =

∑ L nmϕ m (x) . m

(19.1.1)

(Ïîëÿ ϕn íå îáÿçàíû áûòü ýëåìåíòàðíûìè ïîëÿìè, à ìîãóò áûòü ñîñòàâíûìè îáúåêòàìè òèïà ψΓn ψ .) Êàê ìû âèäåëè â ðàçäåëå 16.4, êâàíòîâîå ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå Γ[ϕ] áóäåò îáëàäàòü òîé æå ñèììåòðèåé, (19.1.2) Γ [ ϕ ] = Γ [ Lϕ ] .  ñîñòîÿíèè âàêóóìà ñðåäíåå çíà÷åíèå ϕ(x) äîëæíî ñîîòâåò- ñòâîâàòü ìèíèìóìó ýíåðãèè âàêóóìà –Γ[ϕ], äîñòèãàþùåìóñÿ, íàïðèìåð, ïðè ϕ(x) = ϕ ( ϕ – ïîñòîÿííàÿ). Îäíàêî, åñëè Lϕ ≠ ϕ , òî âàêóóì íå åäèíñòâåíåí: –Γ[ϕ] èìååò îäèíàêîâîå çíà÷åíèå êàê â òî÷êå ϕ , òàê è â òî÷êå ϕ = L ϕ .  ïðîñòåéøåì ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà ïðåîáðàçîâàíèå ñèììåòðèè (19.1.1) ÿâëÿåòñÿ îòðàæåíèåì ϕ → −ϕ, åñëè –Γ[ϕ] èìååò ìèíèìóì ïðè íåíóëåâîì çíà÷åíèè ϕ ïîëÿ ϕ, òî íà ñàìîì äåëå èìåþòñÿ äâà ìèíèìóìà ïðè çíà÷åíèÿõ ϕ è – ϕ , ïðè÷åì êàæäûé ñîîòâåòñòâóåò ñîñòîÿíèþ íàðóøåííîé ñèììåòðèè. Ìû åùå íå ãîòîâû çàêëþ÷èòü, ÷òî â ýòèõ ñëó÷àÿõ ñèììåòðèÿ íàðóøàåòñÿ, ïîñêîëüêó åùå íå èñêëþ÷èëè âîçìîæíîñòü, ÷òî èñòèííûé âàêóóì ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé ñóïåðïîçèöèåé âàêóóìíûõ ñîñòîÿíèé ñ ðàçíûìè ñðåäíèìè çíà÷åíèÿìè ϕm, íå íàðóøàþùåé ïðåäïîëàãàåìîé ñèììåòðèè. Íàïðèìåð, â òåîðèè ñ ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ → –ϕ, äàæå åñëè Γ[ϕ] èìååò ìèíèìóì ïðè íåêîòîðîì íåíóëåâîì çíà÷åíèè ϕ ïîëÿ ϕ, îòêóäà ìû çíàåì, ÷òî èñòèííûé âàêóóì ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ñîñòîÿíèé |VAC,±〉, â êîòîðîì ϕ èìååò ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ϕ è − ϕ , à íå êàêîéòî ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé òèïà |VAC,+〉 + |VAC,−〉, ñîõðàíÿþùåé

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

224

Ãëàâà 19. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå ãëîáàëüíûå ñèììåòðèè

ñèììåòðèþ îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ → –ϕ? Èñõîäíàÿ ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ → –ϕ îçíà÷àåò, ÷òî âàêóóìíûå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ãàìèëüòîíèàíà ðàâíû 〈VAC,+|H|VAC,+〉 = 〈VAC,−|H|VAC,−〉 ≡ a (ñ äåéñòâèòåëüíûì à) è 〈VAC,+|H|VAC,−〉 = 〈VAC,−|H|VAC,+〉 ≡ b (ñ äåéñòâèòåëüíûì b), òàê ÷òî ñîáñòâåííûå ñîñòîÿíèÿ ãàìèëüòîíèàíà ðàâíû |VAC,+〉 ± |VAC,−〉, à ýíåðãèè ýòèõ ñîñòîÿíèé ðàâíû a ± |b|. Òàêèå ñîáñòâåííûå ñîñòîÿíèÿ ñ äàííîé ýíåðãèåé èíâàðèàíòíû (èëè èíâàðèàíòíû ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà) îòíîñèòåëüíî ïðåîáðà- çîâàíèÿ ñèììåòðèè ϕ → –ϕ. Íà ñàìîì äåëå, íå÷òî ïîäîáíîå èìååò ìåñòî è äëÿ ñòóëüåâ. Êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîå îñíîâíîå ñîñòîÿíèå èçîëèðîâàííîãî ñòóëà ÿâëÿåòñÿ íà ñàìîì äåëå èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé. Ýòî ñîñòîÿíèå ñ íóëåâûìè çíà÷åíèÿìè êâàíòîâûõ ÷èñåë óãëîâîãî ìîìåíòà, íå èìåþùåå ïî ýòîé ïðè÷èíå îïðåäåëåííîé îðèåíòàöèè â ïðîñòðàíñòâå. Ñïîíòàííîå íàðóøåíèå ñèììåòðèè â äåéñòâèòåëüíîñòè âîçíèêàåò òîëüêî äëÿ èäåàëèçèðîâàííûõ áåñêîíå÷íî áîëüøèõ ñèñòåì. Íàðóøåíèå ñèììåòðèè äëÿ ñòóëà âîçíèêàåò èç-çà òîãî, ÷òî ó íåãî èìååòñÿ ìàêðîñêîïè÷åñêèé ìîìåíò èíåðöèè I, è îñíîâíîå ñîñòîÿíèå ñòóëà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ ïèðàìèäû âðàùàòåëüíûõ âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé, ýíåðãèè êîòîðûõ îòäåëåíû äðóã îò äðóãà êðîõîòíûìè èíòåðâàëàìè ïîðÿäêà $2/I. Ïîýòîìó âåêòîð ñîñòîÿíèÿ ñòóëà ñòàíîâèòñÿ íåîáû÷àéíî ÷óâñòâèòåëüíûì ê âíåøíèì âîçìóùåíèÿì. Äàæå î÷åíü ñëàáûå âíåøíèå ïîëÿ ñäâèãàþò ýíåðãèþ ñòóëà íà âåëè÷èíó, íàìíîãî ïðåâûøàþùóþ ðàçíîñòü ýíåðãèé ìåæäó âðàùàòåëüíûìè óðîâíÿìè.  ðåçóëüòàòå, íàëîæåíèå ëþáîãî âðàùàòåëüíî íåñèììåòðè÷íîãî âíåøíåãî ïîëÿ ïðèâåäåò ê òîìó, ÷òî îñíîâíîå èëè ëþáîå äðóãîå ñîñòîÿíèå ñòóëà ñ îïðåäåëåííûìè êâàíòîâûìè ÷èñëàìè óãëîâîãî ìîìåíòà î÷åíü áûñòðî ïðèîáðåòåò êîìïîíåíòû ñ äðóãèìè êâàíòîâûìè ÷èñëàìè ìîìåíòà. Ñðàâíèòåëüíî ñòàáèëüíûå îòíîñèòåëüíî ìàëûõ âíåøíèõ âîçìóùåíèé ñîñòîÿíèÿ ñòóëà — íå òå, êîòîðûå èìåþò îïðåäåëåííûå çíà÷åíèÿ êâàíòîâûõ ÷èñåë óãëîâîãî ìîìåíòà, à òå, êîòîðûå îáëàäàþò îïðåäåëåííîé îðèåíòàöèåé, è â êîòîðûõ íàðóøåíà âðàùàòåëüíàÿ ñèììåòðèÿ èñõîäíîé òåîðèè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

19.1. Âûðîæäåííûå âàêóóìû

225

Äëÿ âàêóóìà âîçìîæíîñòü ñïîíòàííîãî íàðóøåíèÿ ñèììåòðèè òàêæå ñâÿçàíà ñ áîëüøèìè ðàçìåðàìè ñèñòåìû, â ÷àñòíîñòè, ñ áîëüøèì ïðîñòðàíñòâåííûì îáúåìîì.  ïðåäûäóùåì ïðèìåðå ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî îòðàæåíèé íåäèàãîíàëüíûé ìàòðè÷íûé ýëåìåíò b ãàìèëüòîíèàíà âêëþ÷àåò èíòåãðèðîâàíèå ïî ïîëåâûì êîíôèãóðàöèÿì, êîòîðûå òóííåëèðóþò îò ìèíèìóìà ïðè ϕ = ϕ ê ìèíèìóìó ïðè ϕ = –ϕ, òàê ÷òî ýòîò ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ìåíüøå, ÷åì äèàãîíàëüíûé ìàòðè÷íûé ýëåìåíò a, íà êîýôôèöèåíò ïðîíèöàåìîñòè áàðüåðà, êîòîðûé â ñëó÷àå ïðîñòðàíñòâåííîãî îáúåìà V èìååò âèä exp(–CV  ), ãäå Ñ — ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà*, çàâèñÿùàÿ îò ìèêðîñêîïè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ òåîðèè. Òàêèì îáðàçîì, äâà ñîáñòâåííûõ ñîñòîÿíèÿ ýíåðãèè |VAC,+〉 ± |VAC,−〉 ñóùåñòâåííî âûðîæäåíû äëÿ ëþáîãî ìàêðîñêîïè÷åñêîãî îáúåìà è ïîýòîìó ñèëüíî ïåðåìåøèâàþòñÿ ëþáûì âîçìóùåíèåì, ÿâëÿþùèìñÿ íå÷åòíûì ôóíêöèîíàëîì îò ϕ. Äàæå åñëè òàêîå âîçìóùåíèå Í′ î÷åíü ìàëî, åãî äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû 〈VAC,±|H′|VAC,±〉 áóäóò îòëè÷àòüñÿ ñóùåñòâåííî ñèëüíåå, ÷åì ýêñïîíåíöèàëüíî ïîäàâëåííûå íåäèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû êàê Í, òàê è âîçìóùåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, âàêóóìíûå ñîáñòâåííûå ñîñòîÿíèÿ âîçìóùåííîãî ãàìèëüòîíèàíà áóäóò î÷åíü áëèçêè ê îäíîìó èç ñîñòîÿíèé ñ íàðóøåííîé ñèììåòðèåé |VAC,±〉 , êîòîðûå äèàãîíàëèçóþò âîçìóùåíèå, à íå ê èíâàðèàíòíûì ñîñòîÿíèÿì |VAC,+〉 ± |VAC,−〉.  ñëó÷àå î÷åíü ìàëûõ âîçìóùåíèé êàêîå æå èç ñîñòîÿíèé |VAC,±〉 ÿâëÿåòñÿ èñòèííûì âàêóóìîì? Ýòî çàâèñèò îò âîçìóùåíèÿ, íî ïîñêîëüêó äâà ñîñòîÿíèÿ ñâÿçàíû ïðåîáðàçîâàíèåì ñèììåòðèè èñõîäíîãî ãàìèëüòîíèàíîì, òàêàÿ çàâèñèìîñòü íåñóùåñòâåííà; åñëè âîçìóùåíèå äîñòàòî÷íî ìàëî, íè îäèí íàáëþäàòåëü íå ñìîæåò îáíàðóæèòü ðàçíèöó.  ñëó÷àå ïðîñòðàíñòâà áåñêîíå÷íîãî îáúåìà îáðàùåíèå â íóëü ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ ìåæäó âàêóóìíûìè ñîñòîÿíèÿìè ñ ðàçíûìè ñðåäíèìè çíà÷åíèÿìè ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì óòâåðæäåíèåì 1.  ñëó÷àå áåñêîíå÷íîãî îáúåìà ïðîèçâîëüíîå âàêóóìíîå ñîñòîÿíèå |v〉 ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ñîñòîÿíèå ñ íóëåâûì èìïóëüñîì * Íàïðèìåð, ïî àíàëîãèè ñ êëàññè÷åñêîé çàäà÷åé âîëíîâîé ìåõàíèêè î 1 µ ïðîõîæäåíèè ñêâîçü áàðüåð, äëÿ ëàãðàíæèàíà âèäà − 2 ∂ µ ϕ∂ ϕ − V(ϕ) èìååì +ϕ C = − ϕ 2 V (ϕ)dϕ . Ìû íå ñòàíåì çàíèìàòüñÿ âû÷èñëåíèåì íåäèàãîíàëüíîãî ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà b, ïîñêîëüêó âñêîðå ïîêàæåì â îáùåì âèäå, ÷òî îí îáðàùàåòñÿ â íóëü â ñëó÷àå áåñêîíå÷íîãî îáúåìà.

z

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

226

Ãëàâà 19. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå ãëîáàëüíûå ñèììåòðèè

P v = 0,

(19.1.3)

äëÿ êîòîðîãî ýòî ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå èìïóëüñà äèñêðåòíî. (Òàêèì îáðàçîì, èñêëþ÷àþòñÿ îäíî÷àñòè÷íûå èëè ìíîãî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ, äëÿ êîòîðûõ íóëåâîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå èìïóëüñà âñåãäà åñòü ÷àñòü êîíòèíóóìà çíà÷åíèé èìïóëüñà â ïðîñòðàíñòâå ñ áåñêîíå÷íûì îáúåìîì.)  îáùåì ñëó÷àå âîçìîæíî ñóùåñòâîâàíèå íåñêîëüêèõ ïîäîáíûõ ñîñòîÿíèé. Îáû÷íî èõ ìîæíî ðàçëîæèòü â äèñêðåòíîå ìíîæåñòâî, òàê ÷òî íàøè îáîçíà÷åíèÿ áóäóò ðàññìàòðèâàòü ýòè ñîñòîÿíèÿ êàê äèñêðåòíûå. Îíè âûáèðàþòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûìè: (19.1.4) u v = δ uv . Ëþáîé ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ïðîèçâåäåíèÿ ëîêàëüíûõ ýðìèòîâûõ îïåðàòîðîâ ïðè ðàâíûõ âðåìåíàõ, âçÿòûé ìåæäó ýòèìè ñîñòîÿíèÿìè, ìîæíî âûðàçèòü êàê ñóììó ïî ñîñòîÿíèÿì:

u A(x) B(0) v =



u A(0) w w B(0) v

w

+ d 3p∑ u A(0) N, p N, p B(0) v e − ip⋅x , (19.1.5)

z

N

ãäå |N,p〉 — ìíîæåñòâî îðòîíîðìèðîâàííûõ ñîñòîÿíèé êîíòèíóóìà ñ îïðåäåëåííûì òðåõìåðíûì èìïóëüñîì ð, êîòîðîå âìåñòå ñ |b〉 ïîêðûâàåò âñå ôèçè÷åñêîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî. (Çäåñü N ìîæåò âêëþ÷àòü êàê íåïðåðûâíûå, òàê è äèñêðåòíûå ìåòêè. Êðîìå òîãî, ìû îïóñêàåì âðåìåííûå àðãóìåíòû.) Ïðåäïîëîæèì áåç äîêàçàòåëüñòâà, ÷òî ïîñêîëüêó |N,p〉 ïðèíàäëåæàò íåïðåðûâíîìó ñïåêòðó îïåðàòîðà èìïóëüñà Ð, çàâèñèìîñòü ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ îò ð äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ (ò.å. èíòåãðèðóåìàÿ ïî Ëåáåãó), è ìîæíî èñïîëüçîâàòü òåîðåìó Ðèìàíà–Ëåáåãà2, òàê ÷òî èíòåãðàë ïî ð îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè |x| → ∞. Òîãäà â ýòîì ïðåäåëå èìååì:

u A(x) B(0) v  → ∑ u A(0) w w B(0) v . | x | →∞

w

(19.1.6)

Àíàëîãè÷íî,

u B(0) A(x) v  → ∑ u B(0) w w A(0) v . | x | →∞

w

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(19.1.7)

19.2. Ãîëäñòîóíîâñêèå áîçîíû

227

Îäíàêî èç ñîîáðàæåíèé ïðè÷èííîñòè ñëåäóåò, ÷òî êîììóòàòîð ïðè ðàâíûõ âðåìåíàõ [A(x),B(0)] îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè x ≠ 0 (ñì. ðàçäåë 5.1), òàê ÷òî ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû (19.1.6) è (19.1.7) ðàâíû è ïîýòîìó ýðìèòîâûå ìàòðèöû 〈u|A(0)|v〉, 〈u|B(0)|v〉 è ò. ä. äîëæíû âñå êîììóòèðîâàòü äðóã ñ äðóãîì. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âñå îíè ìîãóò áûòü îäíîâðåìåííî äèàãîíàëèçîâàíû. Ïåðåõîäÿ, åñëè íóæíî, ê ýòîìó áàçèñó, èìååì äëÿ êàæäîãî ýðìèòîâîãî ëîêàëüíîãî îïåðàòîðà A(x) òåîðèè: u A(0) v = δ uv a v ,

(19.1.8)

ãäå av — äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, ðàâíîå ñðåäíåìó çíà÷åíèþ À â ñîñòîÿíèè |v〉. Èòàê, â ñëó÷àå áåñêîíå÷íîãî îáúåìà ëþáîé ãàìèëüòîíèàí, ïîñòðîåííûé èç ëîêàëüíûõ îïåðàòîðîâ, áóäåò èìåòü íóëåâûå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ìåæäó ðàçíûìè âàêóóìàìè |v〉.  îòñóòñòâèå íåäèàãîíàëüíûõ ñëàãàåìûõ â ãàìèëüòîíèàíå ëþáûå äâà ñîñòîÿíèÿ |v〉, ñâÿçàííûå ïðåîáðàçîâàíèåì ñèììåòðèè, áóäóò âûðîæäåííûìè. Íàðóøàþùåå ñèììåòðèþ âîçìóùåíèå, ïîñòðîåííîå èç òàêèõ ëîêàëüíûõ îïåðàòîðîâ, áóäåò â òîì æå áàçèñå äèàãîíàëüíûì, è ïîýòîìó áóäåò ïðèâîäèòü ê îñíîâíîìó ñîñòîÿíèþ, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç |v〉, à íå èõ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé. Ðàäóåò è òî, ÷òî âàêóóìíûå ñîñòîÿíèÿ |v〉, êîòîðûå ñòàáèëüíû îòíîñèòåëüíî ìàëûõ çàâèñÿùèõ îò ïîëÿ âîçìóùåíèé, ÿâëÿþòñÿ òàêæå òåìè âàêóóìíûìè ñîñòîÿíèÿìè, äëÿ êîòîðûõ âûïîíÿåòñÿ óñëîâèå êëàñòåðíîãî ðàçëîæåíèÿ (ñì. ãë. 4). Ýòîò ïðèíöèï òðåáóåò, ÷òî äëÿ ôèçè÷åñêîãî âàêóóìíîãî ñîñòîÿíèÿ |VAC〉

VAC A(x) B(0) VAC  → VAC A(x) VAC VAC B(0) VAC . | x| →∞

(19.1.9)

Ýòî óñëîâèå óäîâëåòâîðÿåòñÿ, åñëè âçÿòü âàêóóìíîå ñîñòîÿíèå |VAC〉 êàê ëþáîå èç ñîñòîÿíèé |v〉 â áàçèñå, îïðåäåëåííîì âûðàæåíèåì (19.1.8), íî íå êàê ïðîèçâîëüíóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ íåñêîëüêèõ |v〉. 19.2. Ãîëäñòîóíîâñêèå áîçîíû Ïåðåéäåì òåïåðü ê ñëó÷àþ ñïîíòàííî íàðóøåííîé íåïðåðûâíîé ñèììåòðèè.  ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò òåîðåìà, ÷òî (ñ îäíèì

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

228

Ãëàâà 19. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå ãëîáàëüíûå ñèììåòðèè

âàæíûì èñêëþ÷åíèåì, êîòîðîå ðàññìàòðèâàåòñÿ â ãë. 21) ñïåêòð ôèçè÷åñêèõ ÷àñòèö äîëæåí ñîäåðæàòü ïî îäíîé ÷àñòèöå íóëåâîé ìàññû è íóëåâîãî ñïèíà äëÿ êàæäîé íàðóøåííîé ñèììåòðèè. Òàêèå ÷àñòèöû, èçâåñòíûå êàê ãîëäñòîóíîâñêèå áîçîíû (èëè áîçîíû Íàìáó–Ãîëäñòîóíà), âïåðâûå áûëè ðàññìîòðåíû â êîíêðåòíûõ ìîäåëÿõ Ãîëäñòîóíîì3 è Íàìáó4, à äâà îáùèõ äîêàçàòåëüñòâà èõ ñóùåñòâîâàíèÿ áûëè ïðåäñòàâëåíû Ãîëäñòîóíîì, Ñàëàìîì è ìíîé5.  äàííîì ðàçäåëå ìû ïðèâåäåì îáà äîêàçàòåëüñòâà, à çàòåì ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ ñâîéñòâ ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äåéñòâèå è ìåðà èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé íåïðåðûâíîé ñèììåòðèè, ïðè êîòîðûõ íàáîð ýðìèòîâûõ ñêàëÿðíûõ ïîëåé ϕn(x) (ýëåìåíòàðíûõ èëè ñîñòàâíûõ) ïîäâåðãàåòñÿ ëèíåéíûì áåñêîíå÷íî ìàëûì ïðåîáðàçîâàíèÿì

ϕ n (x) → ϕ n (x) + iε ∑ tnm ϕ m (x) , m

(19.2.1)

ãäå itnm — êîíå÷íàÿ äåéñòâèòåëüíàÿ ìàòðèöà. Òîãäà, êàê ìû ïîêàçàëè â ðàçäåëå 16.4, ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå òàêæå èíâàðèàíòíî îòíîñè- òåëüíî ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ:

X δΓ[ϕ] t Z δϕ (x)

∑Y n,m

nm ϕ m (x)d

4

x = 0.

(19.2.2)

n

Îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ñëó÷àÿ òðàíñëÿöèîííî-èíâàðèàíòíîé òåîðèè ñ ïîñòîÿííûìè ïîëÿìè ϕn. Êàê áûëî ïîêàçàíî â ðàçäåëå 16.2, â ýòîì ñëó÷àå ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå èìååò âèä Γ[ϕ ] = −V V (ϕ),

(19.2.3)

ãäå V — ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé îáúåì, à V(ϕ) ïðèíÿòî íàçûâàòü ýôôåêòèâíûì ïîòåíöèàëîì. Òåïåðü ôîðìóëà (19.2.2) ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå:

∑ n,m

∂V(ϕ) ∂ϕ n

tnm ϕ m = 0.

(19.2.4)

Áóäåì èñïîëüçîâàòü ýòî òðåáîâàíèå ñèììåòðèè â âèäå, ïîëó÷àþùèìñÿ åùå îäíèì äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïî ϕl:

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

19.2. Ãîëäñòîóíîâñêèå áîçîíû

∑ n

∂V (ϕ) ∂ϕ n

tnl +

229



∂ 2 V (ϕ )

n , m ∂ϕ n ∂ϕ l

tnm ϕ m = 0 .

(19.2.5)

Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ϕn ïðèíèìàåò çíà÷åíèå â ìèíèìóìå V(ϕ), ò.å. çíà÷åíèå, ðàâíîå ñðåäíåìó ïî âàêóóìóϕn. Òàê êàê V(ϕ) ñòàöèîíàðíî â ñâîåì ìèíèìóìå, ïåðâîå ñëàãàåìîå â (19.2.5) îáðàùàåòñÿ â íóëü, òàê ÷òî



∂ 2 V (ϕ)

n , m ∂ϕ n ∂ϕ l ϕ = ϕ

tnm ϕ m = 0 .

(19.2.6)

Èç îáùèõ ðåçóëüòàòîâ ðàçäåëà 16.1 ñëåäóåò, ÷òî âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ â (19.2.6) åñòü ïðîñòî ñóììà âñåõ ñâÿçíûõ îäíî÷àñòè÷íî íåïðèâîäèìûõ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè ñ âíåøíèìè ëèíèÿìè, ïîìå÷åííûìè èíäåêñàìè n è l è íåñóùèìè íóëåâîé 4-èìïóëüñ.  êîíöå ðàçäåëà 16.1 ïîêàçàíî, ÷òî ýòà ïðîèçâîäíàÿ ñâÿçàíà ñ îáðàòíûì ïðîïàãàòîðîì â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå ðàâåíñòâîì ∂ 2 V ( ϕ) = ∆−nl1 (0) , (19.2.7) ∂ϕ n ∂ϕ l òàê ÷òî èç (19.2.6) ñëåäóåò

∑ ∆−nl1 (0) tnm ϕm

= 0.

n,m

(19.2.8)

Òàêèì îáðàçîì, åñëè ñèììåòðèÿ íàðóøåíà, òàê ÷òî ∑ m tnm ϕ m íå ðàâíî íóëþ, òîãäà ýòà âåëè÷èíà åñòü ñîáñòâåííûé âåêòîð ∆−1 nl (0) ñ íóëåâûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì. Èç ñóùåñòâîâàíèÿ òàêîãî ñîáñòâåííîãî âåêòîðà âûòåêàåò, ÷òî Dnl(q) èìååò ïîëþñ â òî÷êå q2 = 0. Ïîðÿäîê âû÷åòà â ïîëþñå ïðè q2 = 0 ðàâåí ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà âåêòîðîâ tϕ , ãäå t ïðîáåãàåò ïî çíà÷åíèÿì âñåõ ãåíåðàòîðîâ íåïðåðûâíûõ ñèììåòðèé òåîðèè. Ãðóáî ãîâîðÿ, íà êàæäóþ íåçàâèñèìóþ íàðóøåííóþ ñèììåòðèþ ïðèõîäèòñÿ îäèí áåçìàññîâûé áîçîí.  êëàññè÷åñêîì ïðèìåðå íàðóøåííîé ñèììåòðèè ëàãðàíæèàí âêëþ÷àåò íàáîð N äåéñòâèòåëüíûõ ñêàëÿðíûõ ïîëåé ϕn è èìååò âèä

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

230

Ãëàâà 19. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå ãëîáàëüíûå ñèììåòðèè

L =−

1 2

∑ ∂µ ϕ n ∂

µ

ϕn −

M2

n

2

∑ ϕ nϕ n n

F I − G∑ ϕ ϕ J 4H K g

n

n

2

.

(19.2.9)

n

Ýòîò ëàíãðàíæèàí èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé ãðóïïû O(N), ñîñòîÿùåé èç âðàùåíèé N-âåêòîðà ñ êîìïîíåíòàìè ϕn. Äëÿ ïîñòîÿííûõ ïîëåé ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë â äðåâåñíîì ïðèáëèæåíèè ðàâåí ïðîñòî âçÿòûì ñ îáðàòíûì çíàêîì ñëàãàåìûì áåç ïðîèçâîäíûõ â ëàãðàíæèàíå: V (ϕ ) g

M2 2

∑ ϕ nϕ n + n

F∑ ϕ ϕ I G JK 4H g

n

n

2

.

(19.2.10)

n

Êàê îáû÷íî, ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî g ñóùåñòâåííî ïîëîæèòåëüíà. ( ïðîòèâíîì ñëó÷àå, åñëè è ñóùåñòâóåò ìèíèìóì V(ϕ), îí ëåæèò âíå îáëàñòè ïðèìåíèìîñòè òåîðèè âîçìóùåíèé.) Åñëè M2 òàêæå ïîëîæèòåëüíî, ìèíèìóì V(ϕ) íàõîäèòñÿ â òî÷êå ϕ = 0, èíâàðèàíòíîé îòíîñèòåëüíî O(N). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðè M2 < 0 ìèíèìóì íàõîäèòñÿ â òî÷êàõϕn, â êîòîðûõ

∑ ϕnϕn

= − M2 g .

(19.2.11)

n

Ìàññîâàÿ ìàòðèöà â äðåâåñíîì ïðèáëèæåíèè èìååò òîãäà âèä M 2nm =

∂ 2 V (ϕ ) ∂ϕ n ∂ϕ m

ϕ=ϕ

= M δ nm + gδ nm ∑ ϕl ϕl + 2gϕ n ϕ m 2

= 2g ϕ n ϕ m .

(19.2.12)

l

Îíà èìååò îäèí ñîáñòâåííûé âåêòîð ϕ n ñ íåíóëåâûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì m 2 = 2g∑ ϕ n ϕ n = 2| M 2 | , (19.2.13) n

è N – 1 ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, ïåðïåíäèêóëÿðíûõ âåêòîðóϕ ñ íóëåâûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì. Ïðè÷èíà ïîÿâëåíèÿ òîëüêî N – 1

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

19.2. Ãîëäñòîóíîâñêèå áîçîíû

231

ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî O(N) íàðóøàåòñÿ äî O(N – 1) (ïîäãðóïïà O(N), îñòàâëÿþùàÿ èíâàðèàíòíûìϕ), è ïîýòîìó ÷èñëî íåçàâèñèìûõ íàðóøåííûõ ñèììåòðèé ðàâíî ðàçìåðíîñòè O(N) ìèíóñ ðàçìåðíîñòü O(N – 1), ò. å. 1 2

N(N − 1) −

1 2

(N − 1)(N − 2) = N − 1.

(19.2.14)

Ïðèâåäåì åùå îäíî äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ, íå èñïîëüçóþùåå ôîðìàëèçìà ýôôåêòèâíîãî äåéñòâèÿ. Êàê ìû âèäåëè â ãë. 7, ëþáàÿ íåïðåðûâíàÿ ñèììåòðèÿ äåéñòâèÿ âëå÷åò çà ñîáîé ñóùåñòâîâàíèå ñîõðàíÿþùåãîñÿ òîêà Jµ:

∂J µ (x) ∂x µ

= 0,

(19.2.15)

ñ çàðÿäîì Q, èíäóöèðóþùèì ñâÿçàííîå ñ ýòèì ïðåîáðàçîâàíèå ñèììåòðèè: Q = d 3 x J 0 (x,0) , (19.2.16)

z

Q, ϕ n (x) = − ∑ tnm ϕ m (x) . m

(19.2.17)

Ñïîíòàííîå íàðóøåíèå ñèììåòðèè íå âëèÿåò íà îïåðàòîðíûå ñîîòíîøåíèÿ òèïà (19.2.15)–(19.2.17), à ïðîÿâëÿåòñÿ â ñâîéñòâàõ ôèçè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé. Ðàññìîòðèì òåïåðü ñðåäíåå ïî âàêóóìó êîììóòàòîðà òîêà è ïîëÿ. Ñóììèðóÿ ïî ïðîìåæóòî÷íûì ñîñòîÿíèÿì, íàõîäèì

J λ ( y), ϕ n (x)

VAC

= (2π) −3 d 4p ρλn (p)e ip⋅( y − x) − ~ ρλn (p)e − ip⋅( y − x) ,

z

(19.2.18) ãäå, ïîñëå èñïîëüçîâàíèÿ òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè, (2π) −3 iρ λn (p) =

∑ 〈VAC| J λ (0)| N 〉〈N| ϕ n (0)| VAC 〉δ 4 (p − pN ) , (19.2.19) N

ρ λn (p) = (2π) −3 i~

∑ 〈VAC| ϕ n (0)| N 〉〈N| J λ (0)| VAC 〉δ 4 (p − pN ) . (19.2.20) N

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(&(

E!"*  





 !" #   

3 Bλ      ϕ  -           % '!"*(*!")  '!"*(*(#)  -       % %%  ρ λ '1) = − [ ρ λN '1) 

'!"*(*(!)

3%  * ρ  9 2 %  ρ [ ρ λ '1) = 1 λ ρ  ' − 1( )θ'1# ) 

'!"*(*(()

[ ρ λ '1) = 1 λ [ ρ  ' − 1( )θ'1# ) *

'!"*(*(&)

'   θ'1#)G!#\#%-   %      12  0 çíàê «ìèíóñ» â ñîîòíîøåíèè (19.7.3) òðåáóåòñÿ óñëîâèåì, ÷òî èñòèííûé âàêóóì äîëæåí áûòü íå ìàêñèìóìîì, à ìèíèìóìîì ýíåðãèè âàêóóìà äëÿ âàêóóìíûõ ñîñòîÿíèé, ïîâåðíóòûõ ïðåîáðàçîâàíèÿìè SU(3) × SU(3), èáî, êàê ìû óâèäèì, ýòî îáåñïå÷èâàåò ïîëîæèòåëüíîñòü ìàññ îêòåòà ïñåâäîãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

19.7. Ýôôåêòèâíûå òåîðèè ïîëÿ: SU(3) × SU(3)



v Fπ2

{ o

Tr B, B, M q

t}

=−

v Fπ2

LM4m F 1 π MN GH 2

0

u

+

+ 4(m u + m s )K K



+

F + 4m G − H

+ 4(m d + m s )K 0K 0 +

d

8 3

1 6 1 2

309

η0

IJ K

2

π + 0

OP Q

+ 4(m u + m d )π + π −

I η J 6 K

1

2

0

m s ( η0 )2 .

(19.7.15)

Îòñþäà ìîæíî èçâëå÷ü, ÷òî 35

m 2π + = m 2π0 = 2 mK + = 2 mK 0 =

m 2η0 =

4v

4v Fπ2

m u + md ,

m u + ms ,

Fπ2 4v

md + ms , Fπ2 4v 4ms + md + m u Fπ2

LM N

3

(19.7.16)

OP , Q

è, êðîìå òîãî, ñìåøèâàþùåå π0 è η0 ñëàãàåìîå m ηπ =

4v 3Fπ2

m u − md .

(19.7.17)

Òå æå ðåçóëüòàòû ìîæíî ïîëó÷èòü è îïåðàòîðíûìè ìåòîäàìè. Òåîðåìà Íåòåð ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü ãåíåðàòîðû Ta è Xa, äëÿ êîòîðûõ Ta , q = − λ a q , X a , q = − γ 5 λ a q .

(19.7.18)

Ïîëÿ ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ ìîæíî çàïèñàòü â äåéñòâèòåëüíîì áàçèñå êàê πa, ïðè÷åì π± = (π1 ± iπ2)/ √2, π0 = p3, K± = (π4 ± iπ5)/ √2, K0 = (π6 + iπ7)/ √2,K0 = (π6 – iπ7)/ √2 è η0 = π8. Âûæèâàþùàÿ ïîñëå ñïîíòàííîãî íàðóøåíèÿ SU(3) ñèììåòðèÿ ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü, ÷òî ìàòðèöà F äëÿ ýòèõ áîçîíîâ ïðèíèìàåò âèä Fab = Fπδab. Êðîìå На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

310

Ãëàâà 19. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå ãëîáàëüíûå ñèììåòðèè

òîãî, SU(3) × SU(3) ñèììåòðèÿ íàðóøàåòñÿ èçíóòðè ìàññîâûì ñëàãàåìûì â ãàìèëüòîíèàíå H1 = m u uu + md dd + ms ss = qMq q , ãäå Mq — êâàðêîâàÿ ìàññîâàÿ ìàòðèöà (19.7.13). Ìàññîâàÿ ìàòðèöà ïñåâäîãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (19.3.20) â âèäå

{ o

2 = − Fπ−2 〈 q λ a , λ b , M q M ab

t} q 〉 . 0

(19.7.19)

Òàê êàê ýòî âûðàæåíèå — óæå ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî ìàññàì êâàðêîâ, â ýòîì ïîðÿäêå ìîæíî èñïîëüçîâàòü íåíàðóøåííûå SU(3) ñîîòíîøåíèÿ, è ïîëó÷èòü, êàê è ðàíåå, ðåçóëüòàòû (19.7.16) è (19.7.17). Ìàññû êàîííîãî äóáëåòà m K + = 493,65 Ìý è mK 0 = 497,7 Ìý äîâîëüíî áëèçêè è ìíîãî áîëüøå, ÷åì ìàññà ïèîíà, òàê ÷òî èç (19.7.16) âûòåêàåò, ÷òî mu è md äîëæíû áûòü çíà÷èòåëüíî ìåíüøå, ÷åì ms. Ïðè âû÷èñëåíèè âåëè÷èí, ÷óâñòâèòåëüíûõ ê mu è md, òèïà ðàçíîñòè ìàññ êàîíîâ èëè ìàññ ïèîíîâ, ñëåäóåò òàêæå ïðèíèìàòü âî âíèìàíèå äðóãóþ ìàëóþ ïîïðàâêó, îáóñëîâëåííóþ ýëåêòðîìàãíèòíûì âçàèìîäåéñòâèåì. Ýëåêòðîìàãíèòíûé òîê ðàâåí J 0 = ieq γ µ Qq , ãäå Q — äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ ýëåìåíòàìè 2/3, –1/3, –1/3. Êîììóòàòîðû òîêà ñ ãåíåðàòîðàìè SU(3) × SU(3) ðàâíû: Ta , J µ = − ie 21 q γ µ Q, λ a q , X a , J µ = − ie 21 q γ µ γ 5 Q, λ a q .

Âèäíî, ÷òî Jµ êîììóòèðóåò ñ X3, X6, X7 è X8, à òàêæå ñ Ò3, Ò6, Ò7 è Ò8, òàê ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ÷àñòü ãàìèëüòîíèàíà èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ïîäãðóïïû SU(2) × SU(2) × U(1) × U(1) ñ ýòèìè ãåíåðàòîðàìè. Ïîýòîìó â ïðåäåëå íóëåâûõ ìàññ êâàðêîâ ýëåêòðîìàãíèòíûå ýôôåêòû íå ïðèäàþò ìàññû íåéòðàëüíûì ïñåâäîãîëäñòîóíîâñêèì áîçîíàì 36 π0, K0,K0 è η0, ñâÿçàííûì ñî ñïîíòàííûì íàðóøåíèåì ñèììåòðèé ñ ãåíåðàòîðàìè X3, X6, X7 è X8. Êðîìå òîãî, â ïðåäåëå íóëåâûõ ìàññ êâàðêîâ ñóùåñòâóåò íåíàðóøåííàÿ ñèììåòðèÿ SU(2) ñ ãåíåðàòîðàìè Ò6, Ò7 è √3Ò8 – Ò3, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé K+ è π+ ïðåîáðàçóþòñÿ êàê äóáëåò, òàê ÷òî ïðè íóëåâûõ ìàññàõ êâàðêîâ ýëåêòðîìàãíèòíûå ïîïðàâêè ê ìàññàì K+ è π+ ðàâíû 36. Ïîñêîëüêó âñå êâàðêîâûå ìàññîâûå ñëàãàåìûå è ýëåêòðîìàãíèðíûå ïîïðàâêè ìàëû, ðàçóìíî ðàññìàòðèâàòü ýòè ýôôåêòû êàê äîïîëíèòåëüíûå ïîïðàâêè ê ýôôåêòèâíîìó êâàðêîâîìó ãàìèëüòîíèàíó. Òîãäà ñ ó÷åòîì ýëåêòðîìàãíèòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ìàññîâàÿ ôîðìóëà (19.7.16) äîëæíà áûòü ïîïðàâëåíà è ïðèíèìàåò âèä 37

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

19.7. Ýôôåêòèâíûå òåîðèè ïîëÿ: SU(3) × SU(3)

311

2 2 mK ± = 4v m u + m s / Fπ + ∆ ,

b

g

2 2 2 mK 0 = m 0 = 4v m d + m s / Fπ , K

b

g

m 2π ± = 4v md + m u / Fπ2 + ∆ , m 2π0 = 4v m d + m u / Fπ2 , m 2η = 4v m u + m d + 4m s / 3Fπ2

b b

b

g g

g

(19.7.20) ,

ãäå ∆ — îáùàÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ïîïðàâêà äëÿ êâàäðàòîâ ìàññ K+ è π+. Ýòè ôîðìóëû íàêëàäûâàþò îäíî ëèíåéíîå ñîîòíîøåíèå íà ïÿòü ìàññ ïñåâäîãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ, ïðåäñòàâëÿþùåå âàðèàíò ñîîòíîøåíèÿ Ãåëë-Ìàííà–Îêóáî *: 2 2 3m 2η + 2m 2π + − m2π0 = 2mK + + 2m 0 . K

(19.7.21)

Åñëè âçÿòü èç ýêñïåðèìåíòà çíà÷åíèÿ ìàññ êàîíà è ïèîíà, òî ýòî ñîîòíîøåíèå ïðåäñêàçûâàåò ìàññó η, ðàâíóþ 566 ÌýÂ, â òî âðåìÿ êàê ýêñïåðèìåíòàëüíîå çíà÷åíèå ðàâíî 547 ÌýÂ. Ìàëîå ðàçëè÷èå îáû÷íî ïðèïèñûâàåòñÿ ñìåøèâàíèþ ñîñòîÿíèÿ η ñ áîëåå òÿæåëîé ïñåâäîñêàëÿðíîé ÷àñòèöåé η′ ìàññîé 958 ÌýÂ. * Ýòî ñîîòíîøåíèå áûëî ïåðâîíà÷àëüíî ïîëó÷åíî 38 íà îñíîâå ïîðîæäàåìîé ãåíåðàòîðàìè Òà ïðèáëèæåííîé SU(3) ñèììåòðèè Ãåëë-Ìàííà è Íååìàíà â ïðåíåáðåæåíèè ðàçíîñòÿìè ìàññ âíóòðè èçîòîïè÷åñêèõ ìóëüòèïëåòîâ. Èç ýòîãî âûâîäà íåâîçìîæíî óñòàíîâèòü, íóæíî ëè ïðèìåíÿòü ïîëó÷åííîå ñîîòíîøåíèå ê ñàìèì ìàññàì ïñåâäîñêàëÿðíûõ ìåçîíîâ, èëè, êàê çäåñü, ê èõ êâàäðàòàì. Åñëè çàïèñàòü ñîîòíîøåíèå äëÿ ñàìèõ ìàññ, ñîãëàñèå ñ ýêñïåðèìåíòîì áóäåò íå ñëèøêîì õîðîøèì: ìàññà η ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîé 613 ÌýÂ. Òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî ñîîòíîøåíèå Ãåëë-Ìàííà–Îêóáî õîðîøî âûïîëíÿåòñÿ íå äëÿ ìàññ ìåçîíîâ, à äëÿ êâàäðàòîâ èõ ìàññ, ïîäòâåðæäàåò èíòåðïðåòàöèþ ýòèõ ÷àñòèö êàê ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ ñïîíòàííî íàðóøåííîé ïðèáëèæåííîé SU(3) × SU(3) ñèììåòðèè. Ãåëë-Ìàíí è Îêóáî èñïîëüçîâàëè òàêæå ïîðîæäàåìóþ ãåíåðàòîðàìè Òà ïðèáëèæåííóþ SU(3) ñèììåòðèþ äëÿ âûâîäà ñîîòíîøåíèé ìåæäó ìàññàìè äðóãèõ ÷àñòèö, íàïðèìåð (ïðåíåáðåãàÿ íàðóøàþùèìè èçîñïèí ýôôåêòàìè), ñîîòíîøåíèÿ 2mN + 2mΞ = 3mΛ + mΣ ìåæäó ìàññàìè ÷àñòèö ëåã÷àéøåãî áàðèîííîãî îêòåòà. Ó òàêèõ ìóëüòèïëåòîâ ñðåäíÿÿ ìàññà íàñòîëüêî áîëüøå ðàçíîñòåé ìàññ ÷àñòèö âíóòðè ìóëüòèïëåòà, ÷òî íå èìååò çíà÷åíèÿ, ïðèìåíÿåòñÿ ëè ñîîòíîøåíèå äëÿ ñàìèõ ìàññ, èëè äëÿ èõ êâàäðàòîâ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

312

Ãëàâà 19. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå ãëîáàëüíûå ñèììåòðèè

Èç ìàñññîâûõ ôîðìóë (19.7.20) ìîæíî âûâåñòè ôîðìóëû äëÿ îòíîøåíèÿ ìàññ êâàðêîâ ÷åðåç ìàññû ïèîíîâ è êàîíîâ 37: md ms

=

2 2 2 mK 0 + m + − mK + π 2 2 2 mK 0 + m + − m + K π

,

mu ms

=

2 2 2 2m 2π0 − m K 0 − m + + mK + π 2 2 2 mK 0 + m + − m + K π

.

(19.7.22) Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ m π + = 139,57 ÌýÂ, m π0 = 134,974 ÌýÂ, m K + = 493,65 Ìý è mK 0 = 497,7 ÌýÂ, íàõîäèì îòíîøåíèÿ md/ms = 0,050 è mu/ms = 0,027. Òàêèì îáðàçîì, îòíîøåíèå ìàññ d è u êâàðêîâ áëèæå ê 2, ÷åì ê 1. (Ðàñ÷åò38à, ïðîâåäåííûé â 1996 ãîäó ñ èñïîëüçîâàíèåì äðóãèõ îñêîëêîâ èíôîðìàöèè, à òàêæå ìàññ ïñåâäîñêàëÿðíûõ ìåçîíîâ, äàë çíà÷åíèÿ: md/ms = 0,053 ± 0,002 è mu/ms = = 0,029 ± 0,003.) Íè îäíî èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé íå ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü ìàññû îòäåëüíûõ êâàðêîâ. Íà ñàìîì äåëå, ýòè ìàññû îïðåäåëåíû íå ñëèøêîì õîðîøî äî òåõ ïîð, ïîêà ìû íå îïðåäåëèì ðåöåïò ïåðåíîðìèðîâêè äëÿ áèëèíåéíûõ ôîðì êâàðêîâ. ×àñòî ýòî ïðåäïèñàíèå îôîðìëÿåòñÿ òàê, ÷òî ms ðàâíî ðàçíîñòè ìàññ ìåæäó îòëè÷àþùèìèñÿ íà åäèíèöó ñòðàííîñòè èçîìóëüòèïëåòàìè âíóòðè íåêîòîðîãî SU(3) ìóëüòèïëåòà. Íàïðèìåð, ëåã÷àéøèé îêòåò âåêòîðíûõ ìåçîíîâ ñîñòîèò èç: èçîòîïè÷åñêîãî äóáëåòà K* ìàññîé 892 ÌýÂ, èíòåðïðåòèðóåìîãî êàê ñâÿçàííîå ñîñòîÿíèå àíòèêâàðêàs è êâàðêîâ u èëè d; îòâå÷àþùåãî åìó àíòèäóáëåòà, ñîñòîÿùåãî èç s èu èëèd; ìåçîíîâ ρ ñ Ò = 1 ìàññîé 770 Ìý è ω ñ Ò = 0 ìàññîé 783 ÌýÂ, èíòåðïðåòèðóåìûõ êàê ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿu èëèd è u èëè d. Åñëè ìû õîòèì ïðèïèñàòü ðàçíèöó ìåæäó ìàññîé K* è ñðåäíåé ìàññîé ρ è ω îòíîñèòåëüíî áîëüøîé ìàññå s-êâàðêà, òî ñëåäóåò îòíîðìèðîâàòü áèëèíåéíóþ ôîðìó êâàðêîâ òàê, ÷òîáû ms – 1(mu + md) = mK* – 1(mρ + mω) = 120 ÌýÂ, îòêóäà ms = 125 ÌýÂ. Ñ ó÷åòîì ïîëó÷åííûõ âûøå îòíîøåíèé ìàññ êâàðêîâ ïîëó÷àåì md = 6,0 Ìý è mu = 3,3 ÌýÂ. Îäíàêî ýòè îöåíêè çíà÷åíèé ìàññ íàìíîãî ìåíåå äîñòîâåðíû, ÷åì çíà÷åíèÿ îòíîøåíèé ìàññ (19.7.22). ×àñòî çíà÷åíèå ms îöåíèâàåòñÿ38b ðàâíûì íå 125, à 180 ÌýÂ. Ìàññîâîå ñëàãàåìîå (19.7.12) âêëþ÷àåò ìåçîí-ìåçîííûå âçàèìîäåéñòâèÿ. Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (19.7.14), (19.7.11) è (19.7.9), ìîæíî çàïèñàòü ÷èñòî áîçîííóþ ÷àñòü ýòîãî ñëàãàåìîãî â ëàãðàíæèàíå â âèäå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

19.7. Ýôôåêòèâíûå òåîðèè ïîëÿ: SU(3) × SU(3)

Lìàññ,

áîçîí

=

1 2

313

o

t

vTr M q (U † + U ) .

(19.7.23)

Âèä ýòîãî ñëàãàåìîãî ìîæíî âûâåñòè èç îñíîâàííûõ íà ñèììåòðèè îáùèõ ñîîáðàæåíèé, êîòîðûå ïîçâîëÿþò òàêæå íàéòè ðàçðåøåííûå ñëàãàåìûå áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ïî Mq. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû âêëþ÷àåì âíåøíåå 3 × 3 ïîëå χ, è çàìåíÿåì ìàññîâîå ñëàãàåìîå (19.7.12) â îñíîâîïîëàãàþùåì ëàãðàíæèàíå êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè íà ñëàãàåìîå ñ âçàèìîäåéñòâèåì χ ñ êâàðêàìè

Lχ = − q

LM N

1 (1 + 2

OP Q

γ 5 )χ + 21 (1 − γ 5 )χ† q ,

(19.7.24)

Ýòî ñëàãàåìîå ñòàíîâèòñÿ òàêèì æå, êàê â (19.7.12), ïîñëå çàìåí χ = χ† = Mq. Ñìûñë ýòîé ïðîöåäóðû â òîì, ÷òî ëàãðàíæèàí (19.7.24) ñòàíîâèòñÿ ôîðìàëüíî èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî SU(3) × SU(3), åñëè ïîòðåáîâàòü äëÿ c âûïîëíåíèÿ ôîðìàëüíîãî çàêîíà ïðåîáðàçîâàíèÿ

F GH

I JK

F GH

I JK

L χ → exp i ∑ λ a θ R a χ exp − i ∑ λ a θ a . a

a

(19.7.25)

Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì ïîëó÷èòü ðàçðåøåííûå áîçîííûå ñëàãàåìûå, âêëþ÷àþùèå ìàññû êâàðêîâ, çàïèñàâ ñàìûé îáùèé SU(3) × SU(3) ëàãðàíæèàí (äî îïðåäåëåííîãî çàäàííîãî ïîðÿäêà ïî ïðîèçâîäíûì è ïî Mq), ñîäåðæàùèé U è χ, è òðåáóÿ òàêæå èíâàðèàíòíîñòè ïî îòíîøåíèþ ê ïðåîáðàçîâàíèþ ÷åòíîñòè U (x, t) ↔ U † ( − x, t), χ ↔ χ † ,

(19.7.26)

è ïðîèçâîäÿ çàòåì çàìåíû

χ = χ† = Mq .

(19.7.27)

Íàïðèìåð, âçàèìîäåéñòâèå Tr(U†χ + Uχ†) èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé SU(3) × SU(3) è ÷åòíîñòè è ïðèíèìàåò òîò æå âèä, ÷òî è (19.7.23), åñëè ïðèäàòü c çíà÷åíèÿ (19.7.27). Èñïîëüçóÿ ýòó òåõíèêó, Ãàññåð è Ëåéòâèëåð 39 çàïèñàëè ïîëíûé ýôôåêòèâíûé ëàãðàíæèàí äëÿ ïñåâäîñêàëÿðíîãî îêòåòà

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

314

Ãëàâà 19. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå ãëîáàëüíûå ñèììåòðèè

÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ïî èìïóëüñàì èëè ìàññàì ìåçîíîâ (ñ÷èòàÿ êâàðêîâûå ìàññû âòîðîãî ïîðÿäêà ïî ìàññàì ìåçîíîâ) â âèäå: 2

s t n + L Tro∂ U∂ U ∂ U∂ U t + L Tro∂ U∂ U tTr oM (U + U )t + L Tro∂ U∂ U (M U + U M )t + L TroM (U + U )t (19.7.28) + L Tro(U − U )M t + L Tr{d(UM ) + (U M ) i} , o

L4 = L1Tr ∂ µ U †∂ µ U 3

µ

5

µ

7

µ

†

µ

†

t

ν

ν

o

+ L2Tr ∂ µ U∂ ν U † Tr ∂ µ U∂ ν U † †

†

q

†

q

2

q

2

8

q

†

†

6

q

2

†

µ

µ

4

†

q

2

q

ãäå L1, ..., L8 ÿâëÿþòñÿ êîíñòàíòàìè, êîòîðûå ñëåäóåò îïðåäåëÿòü èç ýêñïåðèìåíòà. Ïîëíûé ýôôåêòèâíûé ëàãðàíæèàí äî ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ïî ìàññàì ìåçîíîâ è èìïóëüñàì ðàâåí Lýôô = L2 + L4 ,

(19.7.29)

ãäå L2 — ñóììà ñëàãàåìûõ (19.7.10) è (19.7.23): L2 = −

1 16

F 2 Tr ∂ µ U∂ µ U † +

o

t

1 2

o

t

vTr M q (U † + U ) .

(19.7.30)

Ñþäà ìîæíî âêëþ÷èòü ýëåêòðîñëàáûå âçàèìîäåéñòâèÿ, çàìåíèâ ïðîèçâîäíûå ∂µ íà ñîîòâåòñòâóþùèå êàëèáðîâî÷íî-êîâàðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå Dµ è äîáàâèâ íåñêîëüêî äîïîëíèòåëüíûõ ñëàãàåìûõ â Lýôô. Ñëåäóÿ òåì æå, îñíîâàííûì íà ïîäñ÷åòå ñòåïåíåé àðãóìåíòàì, ÷òî è â ðàçäåëàõ 19.5 è 19.6, ìû äîëæíû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ S-ìàòðèöû äî ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ïî ìàññàì ìåçîíîâ è èìïóëüñàì âêëþ÷èòü êàê äðåâåñíûå äèàãðàììû âî âñåõ ïîðÿäêàõ â L2 è â ïåðâîì ïîðÿäêå â L4, òàê è îäíîïåòëåâûå äèàãðàììû, ïîñòðîåííûå òîëüêî èç L2. Èñïîëüçóÿ ýòîò ëàãðàíæèàí, Ãàññåð è Ëåéòâèëåð è äð. 40 ïðîâåëè òùàòåëüíîå èçó÷åíèå ìåçîííîé äèíàìèêè (è ñâÿçàííûõ ñ íåé ýëåêòðîñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèé). * * * Ñëàãàåìîå ñ êâàðêîâûìè ìàññàìè (19.7.12) åñòåñòâåííî îêàçûâàåò âëèÿíèå íà äðóãèå SU(3) ìóëüòèïëåòû. Äëÿ ëþáîãî ìóëüòèïëåòà, êðîìå ïñåâäîñêàëÿðíîãî îêòåòà, ýòî âëèÿíèå ìîæíî ðàññìàòðè-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

315

19.8. Àíîìàëüíûå ÷ëåíû â ýôôåêòèâíûõ òåîðèÿõ ïîëÿ

âàòü êàê âîçìóùåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà, òàê ÷òî ñäâèã ìàññîâîé ìàòðèöû ïðîèçâîëüíîãî ìóëüòèïëåòà |i〉 ðàâåí

~ q~| j 〉 δm ij = 〈 i| qM q

(19.7.31)

ïîñëå ÷åãî ìîæíî èñïîëüçîâàòü41 SU(3), ÷òîáû ñâÿçàòü ðàçëè÷íûå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû 〈 i| q~r q~s | j 〉 . Òàêèì ñïîñîáîì ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî δmp − δm n m − mΣ = Ξ . (19.7.32) m u − md ms Èñïîëüçóÿ ýòî ñîîòíîøåíèå âìåñòå ñ (19.7.22), ìîæíî ïîëó÷èòü âêëàä êâàðêîâûõ ìàññ â ðàçíîñòü ìàññ íóêëîíîâ δmp – δmn ≈ –2,5 ÌýÂ. Ýòîò ðåçóëüòàò ìîæíî ïîäñòàâèòü â ñîîòíîøåíèÿ (19.5.65) è (19.5.66), ÷òîáû âû÷èñëèòü âåäóùèå íàðóøåíèÿ èçîñïèíîâîé ñèììåòðèè â íèçêîýíåðãåòè÷åñêèõ ïèîí-íóêëîííûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ. Êîíå÷íî, îïðåäåëåííàÿ çäåñü ðàçíîñòü δmp – δmn íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé ðàçíîñòüþ ìàññ ïðîòîíà è íåéòðîíà, òàê êàê â íåå âíîñèò êðîìå òîãî âàæíûé âêëàä èñïóñêàíèå è ïîãëîùåíèå ôîòîíà. Òàê êàê íåéòðîí ýëåêòðè÷åñêè íåéòðàëåí, ýòî ýëåêòðîìàãíèòíîå ñëàãàåìîå ïî÷òè íàâåðíÿêà ïîëîæèòåëüíî, â ñîãëàñèè ñ òåì ôàêòîì, ÷òî íàáëþäàåìàÿ ðàçíîñòü ìàññ ïðîòîíà è íåéòðîíà ðàâíà –1,3 ÌýÂ, òàê ÷òî ýëåêòðîìàãíåòèçìó ñëåäóåò ïðèïèñàòü +1,2 ÌýÂ. Ê ñîæàëåíèþ, àêêóðàòíîå âû÷èñëåíèå ýòîé ýëåêòðîìàãíèòíîé ðàçíîñòè ìàññ ñòîëêíóëîñü ñ òðóäíîñòÿìè. 19.8. Àíîìàëüíûå ÷ëåíû â ýôôåêòèâíûõ òåîðèÿõ ïîëÿ* Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðèìåíèòü îïèñàííóþ â òðåõ ïðåäûäóùèõ ðàçäåëàõ ïðîãðàììó ýôôåêòèâíîé òåîðèè ïîëÿ, íåîáõîäèìî, ÷òîáû äåéñòâèå ñîäåðæàëî âñå âîçìîæíûå ñëàãàåìûå, ðàçðåøåííûå ïðåäïîëàãàåìûìè ñèììåòðèÿìè òåîðèè. Îïèñàííûå â ýòèõ ðàçäåëàõ ìåòîäû ïîçâîëÿþò èäåíòèôèöèðîâàòü âñå ÿâíî èíâàðèàíòíûå ñëàãàåìûå, ëèáî èñïîëüçóÿ èçëîæåííûé â ðàçäåëå 19.6 îáùèé ôîðìàëèçì êîâàðèàíòíûõ ïðîèçâîäíûõ, ëèáî, â ñëó÷àå êèðàëüíûõ ñèììåòðèé, * Ýòîò ðàçäåë ëåæèò íåñêîëüêî â ñòîðîíå îò îñíîâíîé ëèíèè èçëîæåíèÿ è ìîæåò áûòü îïóùåí ïðè ïåðâîì ÷òåíèè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

316

Ãëàâà 19. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå ãëîáàëüíûå ñèììåòðèè

èñïîëüçóÿ ëèíåéíî ïðåîáðàçóþùååñÿ ïîëå, ïîä÷èíåííîå íåëèíåéíûì ñâÿçÿì òèïà U(x) èç ðàçäåëà 19.7. Îäíàêî, âîçìîæíî, ÷òî ìîãóò áûòü è äðóãèå ñëàãàåìûå â äåéñòâèè äëÿ ýôôåêòèâíîé òåîðèè ïîëÿ, àíîìàëüíûå â òîì ñìûñëå, ÷òî îíè çàäàþòñÿ èíòåãðàëàìè îò ÷åòûðåõìåðíûõ ïëîòíîñòåé ëàãðàíæèàíîâ, íå ÿâëÿþùèõñÿ èíâàðèàíòíûìè, íî ÷üÿ âàðèàöèÿ ïîä äåéñòâèåì íàðóøåííîé ñèììåòðèè ïðåäñòàâëÿåò ïîëíóþ ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííóþ ïðîèçâîäíóþ, ÷òî ñîõðàíÿåò èíâàðèàíòíîñòü ñîîòâåòñòâóþùåãî ñëàãàåìîãî â äåéñòâèè. Êàê ìû óâèäèì â ðàçäåëå 22.7, òàêîå ñëàãàåìîå äëÿ SU(3) × SU(3) áûëî îòêðûòî Âåññîì è Çóìèíî42 ïðè èçó÷åíèè «àíîìàëèé», îáÿçàííûõ äèàãðàììàì ñ êâàðêîâûìè ïåòëÿìè. Îäíàêî ñòðóêòóðó ýòîãî ñëàãàåìîãî ìîæíî ïîíÿòü, íè÷åãî íå çíàÿ îá îïðåäåëÿþùåé åå òåîðèè êâàðêîâ è ãëþîíîâ. Ïðîñòåéøèé ñïîñîá îïèñàòü ñëàãàåìîå Âåññà–Çóìèíî — ðàñøèðèòü ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè äî ïÿòè èçìåðåíèé, êàê ýòî ñïåöèàëüíî áûëî ïðåäëîæåíî äëÿ äàííîãî ñëó÷àÿ Âèòòåíîì 43. Äî òåõ ïîð, ïîêà ìû òðåáóåì, ÷òîáû ïîëÿ â ýôôåêòèâíîé òåîðèè ïîëÿ ñòðåìèëèñü ê îáùåìó ïðåäåëó ïðè xµ → ∞ ïî ëþáîìó íàïðàâëåíèþ, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ èìååò òîïîëîãèþ ñôåðû S4 ñ òî÷êîé íà áåñêîíå÷íîñòè, âêëþ÷åííîé êàê îáû÷íàÿ òî÷êà. Êàê îòìå÷àëîñü â ðàçäåëå 19.6, êîãäà ãðóïïà G íàðóøåíà äî ïîäãðóïïû Í, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ ãîëäñòîóíîâñêèõ ïîëåé ξa â ëþáîé ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé òî÷êå îïðåäåëÿþò òî÷êó â ïðîñòðàíñòâå ñìåæíûõ êëàññîâ G/H (ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòîâ G, â êîòîðîì îòîæäåñòâëåíû ëþáûå äâà ýëåìåíòà, îòëè÷àþùèåñÿ óìíîæåíèåì ñïðàâà íà ýëåìåíòû Í). Ïîýòîìó ìíîæåñòâî ôóíêöèé ξa(x) ïðåäñòàâëÿåò îòîáðàæåíèå ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé ñôåðû S4 íà G/H.  çàâèñèìîñòè îò òîïîëîãèè G/H èíîãäà îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ãëàäêî ïðîäåôîðìèðîâàòü ëþáóþ 4-ñôåðó â G/H â òî÷êó; èíûìè ñëîâàìè, îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ðàñøèðèòü ëþáóþ ôóíêöèþ ξa(x) äî íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ξa(x; s), îïðåäåëåííîé äëÿ 0 ≤ s ≤ 1, ïðè÷åì ξa(x; 0) = ξa(x), à ξa(x; 1) — ëþáàÿ ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà èñõîäíîé ñôåðû (íàïðèìåð, ξa = 0). Åñëè ýòî âåðíî, òî ìàòåìàòè÷åñêè òàêîå óòâåðæäåíèå âûðàæàþò ñëîâàìè, ÷òî ãîìîòîïè÷åñêàÿ ãðóïïà π4(G/H) òðèâèàëüíà. (Ïîäðîáíåå î ãîìîòîïè÷åñêèõ ãðóïïàõ ñì. â ðàçäåëå 23.2.) Èçâåñòíî, ÷òî ýòî èìååò ìåñòî â ñëó÷àå ãðóïïû SU(N) × SU(N), ñïîíòàííî íàðóøåííîé äî SU(N), ãäå ïðîñòðàíñòâî ñìåæíûõ êëàññîâ SU(N) × SU(N)/SU(N) èìååò òàêóþ æå òîïîëîãèþ, ÷òî è ñàìà

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

19.8. Àíîìàëüíûå ÷ëåíû â ýôôåêòèâíûõ òåîðèÿõ ïîëÿ

317

SU(N).* Îòñþäà â èíòåðåñíîì äëÿ ôèçèêè ñëó÷àå, êîãäà G = SU(3) × SU(3) è H = SU(3), ìîæíî ðàñøèðèòü ïîëÿ ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ, èëè, ÷òî òî æå, U(x) (ñì. 19.7.9) äî óíèòàðíîé óíèìîäóëÿðíîé ìàòðèöû U(y), îïðåäåëåííîé â ïÿòèìåðíîì øàðå B5 ñ êîîðäèíàòàìè xµ è s, ïîâåðõíîñòü êîòîðîãî ïðåäñòàâëÿåò ÷åòûðåõìåðíóþ ñôåðó ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè. Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëåäóþùóþ ôóíêöèþ, îáðàçîâàííóþ ñ ïîìîùüþ U(y): i ijklm − 1 ∂U −1 ∂U − 1 ∂U − 1 ∂U − 1 ∂U ω( y) ≡ − ε U U U U U Tr , 240 π 2 ∂y i ∂y j ∂yk ∂yl ∂ym

RS T

UV W

(19.8.1) ãäå èíäåêñû i, j, è ò. ä. ïðèíèìàþò ïÿòü çíà÷åíèé, îòâå÷àþùèõ êîîðäèíàòàì xµ è s. (Ôàçà è ÷èñëåííûé êîýôôèöèåíò âûáðàíû äëÿ óäîáñòâà äàëüíåéøèõ âûêëàäîê.) Ýòî âûðàæåíèå ÿâíî èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî êèðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé (19.7.8). Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêó εijklm åñòü òåíçîðíàÿ ïëîòíîñòü, èíòåãðàë îò ω(y) ïî ïÿòèìåðíîìó øàðó ÿâíî íå çàâèñèò (ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà) îò âûáîðà ïÿòèìåðíûõ êîîðäèíàò yi. Äàëåå, ýòîò èíòåãðàë çàâèñèò òîëüêî îò çíà÷åíèé, êîòîðûå ïðèíèìàåò U(y) íà ïîâåðõíîñòè øàðà, ò. å. â ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè. ×òîáû ïðîâåðèòü ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå, çàìåòèì, ÷òî êîãäà ìû îñóùåñòâëÿåì áåñêîíå÷íî ìàëóþ âàðèàöèþ dU(y) ôóíêöèè U(y) âíóòðè øàðà, ω(y) èçìåíÿåòñÿ íà ïðîèçâîäíóþ i ∂ ∂U ∂U ∂U ∂U δω( y) = − ε ijklm m Tr U −1 i U −1 j U −1 k U −1 l U −1δU , 2 48 π ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y

RS T

UV W

(19.8.2) (ñàìî âû÷èñëåíèå ñì. â ðàçäåëå 23.4), òàê ÷òî òî èçìåíåíèå U(y), êîòîðîå íå âëèÿåò íà åãî çíà÷åíèå â ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè, òàê æå íå âëèÿåò è íà èíòåãðàë (19.8.1) ïî ïÿòèìåðíîìó øàðó Â5, ïîâåðõíîñòü êîòîðîãî åñòü ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ. Ïîýòîìó ìîæíî âêëþ÷èòü ýòîò èíòåãðàë êàê ñëàãàåìîå â äåéñòâèå I WZW [U ] = n

z

B5

d 5 y ω( y) ,

(19.8.3)

* Ýòî ïîêàçûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ çàìå÷àíèÿ, ÷òî ýëåìåíòû U(x) ãðóïïû SU(N) ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ïðàâûõ ñìåæíûõ êëàññîâ SU(N) â SU(N) × SU(N).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

318

Ãëàâà 19. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå ãëîáàëüíûå ñèììåòðèè

ñ êîýôôèöèåíòîì n, êîòîðûé ïîêà ÷òî îñòàåòñÿ ïðîèçâîëüíûì. Ýòî ñëàãàåìîå ìîæíî çàïèñàòü êàê ÷åòûðåõìåðíûé èíòåãðàë îò ïëîòíîñòè ëàãðàíæèàíà, êîòîðàÿ, ïðàâäà, íå ÿâëÿåòñÿ SU(3) × SU(3) èíâàðèàíòíîé. Èñïîëüçóÿ (19.7.9), ìîæíî çàïèñàòü ãëàâíîå ñëàãàåìîå â ω(x) â ïðåäåëå ìàëûõ ïîëåé ìåçîíîâ êàê ω ( x) →

8 2n 15π 2 Fπ5

ε ijklmTr

RS ∂B ∂B ∂B ∂B ∂B UV, T ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y W i

j

k

l

(19.8.4)

m

ãäå  — ìàòðèöà (19.7.11) ïîëåé ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ. Òîãäà èç òåîðåìû Ãàóññà ñëåäóåò, ÷òî I WZW [U ] =

8 2n 15 π 2 Fπ5

ε µνρσ

XY Z

S4

RS T

d 4 xTr B

∂B ∂B ∂B ∂B ∂x µ ∂x ν ∂x ρ ∂x σ

UV + OFG B IJ . W HF K 6

6 π

(19.8.5) Õîòÿ ýòî âûðàæåíèå êèðàëüíî-èíâàðèàíòíî, åãî íåëüçÿ çàïèñàòü êàê èíòåãðàë ïî ïðîñòðàíñòâó-âðåìåíè îò êèðàëüíî-èíâàðèàíòíîé ïëîòíîñòè, ïîñêîëüêó ëþáàÿ òàêàÿ ïëîòíîñòü äîëæíà áûòü ïîñòðîåíà èç ïåðâûõ è áîëåå âûñîêèõ êîâàðèàíòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïîëåé ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ, è ñëåäîâàòåëüíî ïðè ðàçëîæåíèè ïî ñòåïåíÿì ïîëåé ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ ýòà èíâàðèàíòíàÿ ïëîòíîñòü äîëæíà íà÷èíàòüñÿ ñî ñëàãàåìîãî, ñîäåðæàùåãî íå ñàìî Â, à òîëüêî åãî ïðîèçâîäíûå. Êàê çàìåòèë Âèòòåí, âêëþ÷åíèå òàêîãî ñëàãàåìîãî â ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå ðåøàåò ïðîáëåìó, êîòîðàÿ â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïðèâîäèëà áû ê êîíôëèêòó ìåæäó SU(3) × SU(3) ýôôåêòèâíîé òåîðèåé ïîëÿ è îïûòîì. Òàê êàê â ýôôåêòèâíûõ ëàãðàíæèàíàõ (19.7.28) è (19.7.30) (èëè â òîãî æå òèïà ñëàãàåìûõ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà) íåò ÷ëåíîâ ñ εµνρσ, èç ñîõðàíåíèÿ ÷åòíîñòè âûòåêàåò òðåáîâàíèå, ÷òîáû ýòè ñëàãàåìûå áûëè ÷åòíûìè ïî ïîëÿì ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ, ÷òî èñêëþ÷àåò ïðîöåññû òèïà K +K → 3π. Äåëî íå òîëüêî â òîì, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ñèììåòðèè îñíîâîïîëàãàþùåãî ëàãðàíæèàíà êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè, ïðèâîäÿùåé ê ïîäîáíîìó ïðàâèëó îòáîðà. Ñóùåñòâóåò è ïðÿìîå ýêñïåðèìåíòàëüíîå ñâèäåòåëüñòâî ïðîòèâ íåãî, ïîñêîëüêó, êàê çàìåòèë Âèòòåí, íàáëþäàåòñÿ ðàñïàä ϕ-ìåçîíà êàê íà K +K, òàê è íà 3π. Èç (19.8.5) ñëåäóåò, ÷òî ýòî íåæåëàòåëüíîå ïðàâèëî îòáîðà óñòðàíÿåòñÿ ñëàãàåìûì Âåññà–Çóìèíî–Âèòòåíà â äåéñòâèè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

19.8. Àíîìàëüíûå ÷ëåíû â ýôôåêòèâíûõ òåîðèÿõ ïîëÿ

319

Ïðèìå÷àòåëüíî, ÷òî êîýôôèöèåíò ïðè ñëàãàåìîì Âåññà–Çóìèíî–Âèòòåíà íå ÿâëÿåòñÿ ñâîáîäíî íàñòðàèâàåìûì ïàðàìåòðîì. Êàê ïîêàçàë Âèòòåí 43, ýòî ïðîèñõîäèò ïîòîìó, ÷òî õîòÿ òàêîå ñëàãàåìîå íå èçìåíÿåòñÿ ïðè ãëàäêèõ äåôîðìàöèÿõ ôóíêöèè U(y) â Â5, íå èçìåíÿþùèõ çíà÷åíèé U(x) íà ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé ãðàíèöå S4, åãî âñå æå ìîæíî èçìåíèòü ïóòåì ñêà÷êîîáðàçíîãî èçìåíåíèÿ U(y), îñòàâëÿþùåãî U(x) íåèçìåííûì íà ãðàíèöå. Ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü ïÿòèìåðíûé øàð Â5 êàê ïîëîâèíó ïÿòèìåðíîé ñôåðû S5, à ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ S4 êàê ãðàíèöó ìåæäó Â5 è äðóãîé ïîëîâèíîé Â5′. (Ïðåäñòàâüòå, ÷òî S5 àíàëîãè÷íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè, òîãäà ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ S4 àíàëîãè÷íî ýêâàòîðó, à Â5 è Â5′ – ñåâåðíîìó è þæíîìó ïîëóøàðèÿì.) Òàê êàê S4 ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî ãðàíèöåé è äðóãîé ïîëîâèíû S5, ìîæíî çàïèñàòü ñëàãàåìîå Âåññà– Çóìèíî–Âèòòåíà â âèäå

′ I WZW [U ] = − n

z

B5′

d 5 y ω( y) ,

(18.8.6)

âêëþ÷èâ äîïîëíèòåëüíûé çíàê «ìèíóñ», ïîñêîëüêó ãðàíèöà Â5′ ÿâëÿåòñÿ 4-ñôåðîé ñ ïðîòèâîïîëîæíîé îðèåíòàöèåé. Òðåáîâàíèå, ÷òîáû ñëàãàåìûå (19.8.3) è (19.8.6) áûëè ðàâíû äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ïîëåé ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ, ìîæíî óäîâëåòâîðèòü, òîëüêî ïîëîæèâ n = 0. Îäíàêî äëÿ òîãî, ÷òîáû íà âåñîâîé ìíîæèòåëü exp(iI) â ôóíêöèîíàëüíûõ èíòåãðàëàõ íå âëèÿëà ðàçíîñòü ìåæäó ñëàãàåìûì (19.8.3) è (19.8.6), äîñòàòî÷íî ëèøü ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ýòà ðàçíîñòü ðàâíÿëàñü áû 2π, óìíîæåííîìó íà öåëîå ÷èñëî:

′ I WZW [U ] − I WZW [U ] = n

z

B5

d 5 y ω( y) = 2π × öåëîå ÷ èñëî. (19.8.7)

Ñ ó÷åòîì íîðìèðîâî÷íûõ ìíîæèòåëåé, âêëþ÷åííûõ íàìè â îïðåäåëåíèå (19.8.1) âåëè÷èíû ω(y), èíòåãðàë îò íåå ïî ëþáîé ïÿòèìåðíîé ñôåðå îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì 2π 44. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî êîýôôèöèåíò n äîëæåí áûòü öåëûì ÷èñëîì.  ñâÿçè ñ ïðèâåäåííûì ïðèìåðîì ñëàãàåìîãî Âåññà–Çóìèíî– Âèòòåíà âîçíèêàåò âîïðîñ î òîì, íå ìîãóò ëè ñóùåñòâîâàòü äðóãèå àíîìàëüíûå ñëàãàåìûå â äåéñòâèè, íå îáÿçàòåëüíî ñâÿçàííûå ñ êâàðêîâûìè ïåòëÿìè, êîòîðûå òàêæå SU(3) × SU(3) èíâàðèàíòíû, õîòÿ è íå ÿâëÿþòñÿ ÷åòûðåõìåðíûìè èíòåãðàëàìè îò SU(3) × SU(3) èíâàðèàíòíûõ ëàãðàíæåâûõ ïëîòíîñòåé. Ê ñ÷àñòüþ, îòâåò îòðèöàòåëåí. Áûëî ïîêàçàíî 45, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîé ãðóïïû G, íàðóøåííîé äî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

320

Ãëàâà 19. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå ãëîáàëüíûå ñèììåòðèè

ïðîèçâîëüíîé ïîäãðóïïû H (ïðè÷åì π4(G/H) = 0), ëþáîå ñëàãàåìîå F[ξ] â äåéñòâèè äëÿ ïîëåé ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ ξa(x) âñåãäà ìîæíî çàïèñàòü êàê èíòåãðàë îò G-èíâàðèàíòíîé 5-ôîðìû Ω ïî ïÿòèìåðíîìó øàðó Â5, ãðàíèöåé êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííàÿ 4-ñôåðà S4: F[ξ ] =

XY Z

d 5 y ε ijklm

B5

∂ξ a ∂ξ b ∂ξ c ∂ξ d ∂ξ e ∂y i ∂y j ∂yk ∂yl ∂ym

Ω abcde ξ( y) . (19.8.8)

b g

Äëÿ òîãî, ÷òîáû ýòî âûðàæåíèå íå çàâèñåëî îò êîíêðåòíîãî ñïîñîáà, êîòîðûì ξa(x) ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âíóòðü ïÿòèìåðíîãî øàðà, íåîáõîäèìî, ÷òîáû ôîðìà Ω áûëà òî÷íîé, â òîì ñìûñëå, ÷òî ñóùåñòâóåò âíåøíÿÿ ïðîèçâîäíàÿ îò 4-ôîðìû

Ω abcde (ξ) = ∂ ∂ξ[a L bcde](ξ)

d

i

(19.8.9)

(êâàäðàòíûå ñêîáêè, êàê îáû÷íî, óêàçûâàþò íà àíòèñèììåòðèçàöèþ ïî îòíîøåíèþ ê èíäåêñàì âíóòðè ñêîáîê), òàê ÷òî

F[ ξ ] =

XY Z

d 4x ε µνρσ

S4

∂ξ a ∂ξ b ∂ξ c ∂ξ d ∂x µ ∂x ν ∂x ρ ∂x σ

Labcd (ξ) .

(19.8.10)

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî Ω òàêæå è òî÷íà, ò. å. èìååò îáðàùàþùóþñÿ â íóëü âíåøíþþ ïðîèçâîäíóþ:

d∂ ∂ξ iΩ [f

abcde](ξ)

= 0.

(19.8.11)

Ïðè óñëîâèè, ÷òî 4-ôîðìà Labcd(ξ) òàêæå G-èíâàðèàíòíà, ôóíêöèîíàë (19.8.10) ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç îáû÷íûõ ÿâíî G-èíâàðèàíòíûõ ñëàãàåìûõ â äåéñòâèè, îáñóæäàâøèõñÿ â òðåõ ïðåäûäóùèõ ðàçäåëàõ. Àíîìàëüíûå ñëàãàåìûå â äåéñòâèè âîçíèêàþò èç-çà âîçìîæíîñòè òîãî, ÷òî õîòÿ êàæäîå ñëàãàåìîå â Ω(y) G-èíâàðèàíòíî è ÿâëÿåòñÿ âíåøíåé ïðîèçâîäíîé 4-ôîðìû, íåêîòîðûå ñëàãàåìûå ìîãóò íå áûòü âíåøíèìè ïðîèçâîäíûìè îò G-èíâàðèàíòíûõ 4-ôîðì. Ñëåäîâàòåëüíî íîâûå ñëàãàåìûå â äåéñòâèè ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ çàìêíóòûìè G-èíâàðèàíòíûìè 5-ôîðìàìè, êîòîðûå íåçàâèñèìû â òîì ñìûñëå, ÷òî íè îäíà èõ äåéñòâèòåëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ âíåøíåé ïðîèçâîäíîé îò G-èíâàðèàíòíîé 4-ôîðìû. Ýòè ñëàãàåìûå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

19.9. Íåíàðóøåííûå ñèììåòðèè

321

èçâåñòíû â ìàòåìàòèêå êàê ãåíåðàòîðû ãðóïïû êîãîìîëîãèé äå Ðàìà H5(G/H; R). (Ãðóïïîâûì óìíîæåíèåì çäåñü ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîå ñëîæåíèå.) Ãðóïïû êîãîìîëîãèé äå Ðàìà âû÷èñëåíû äëÿ ìíîãîîáðàçèé ñ ðàçíîé òîïîëîãèåé 46 .  ÷àñòíîñòè, ãðóïïà êîãîìîëîãèé H5(SU(N) × SU(N)/SU(N); R) èìååò åäèíñòâåííûé ãåíåðàòîð, äàâàåìûé âûðàæåíèåì (19.8.1). Òàêèì îáðàçîì, íå çíàÿ íè÷åãî î ëåæàùåé â îñíîâå òåîðèè êâàðêîâ è ãëþîíîâ, ìîæíî êîå-÷òî óçíàòü îá àíîìàëüíûõ ñëàãàåìûõ â äåéñòâèè äëÿ ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ, ñ òî÷íîñòüþ äî çíà÷åíèÿ öåëîãî ÷èñëà n.  ðàçäåëå 22.7 ìû óâèäèì, ÷òî â SU(Nc) êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèÿõ ýòî ÷èñëî ðàâíî ÷èñëó öâåòîâ Nc, òàê ÷òî â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå n = 3. 19.9. Íåíàðóøåííûå ñèììåòðèè Âûøå ìû âèäåëè, êàêèì îáðàçîì ìîæíî âûâåñòè ñâîéñòâà ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ è èõ íèçêîýíåðãåòè÷åñêèõ âçàèìîäåéñòâèé èç ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî òåîðèÿ èíâàðèàíòíà (èëè ïðèáëèæåííî èíâàðèàíòíà) îòíîñèòåëüíî ãðóïïû G, ñïîíòàííî íàðóøåííîé äî ïîäãðóïïû Í. Îäíàêî ïðèìåíÿÿ ýòè ìåòîäû ê ñëó÷àÿì, êîãäà G åñòü SU(2) × SU(2) èëè SU(3) × SU(3), ìû äîëæíû áûëè îáðàòèòüñÿ ê ýêñïåðèìåíòó, ÷òîáû óñòàíîâèòü ïóòü íàðóøåíèÿ ñèììåòðèè îò SU(2) × SU(2) èëè SU(3) × SU(3) ê èõ íåêèðàëüíûì SU(2) èëè SU(3) ïîäãðóïïàì.  ðàçäåëå 22.5 ìû ïîêàæåì, ÷òî â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå SU(3) × SU(3) ñèììåòðèÿ äëÿ áåçìàññîâûõ u-, d- è s-êâàðêîâ äîëæíà áûòü, íà ñàìîì äåëå, ñïîíòàííî íàðóøåíà, íî çíà÷èòåëüíî òðóäíåå ïîêàçàòü íà îñíîâå êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè, ÷òî SU(2) × SU(2) ñèììåòðèÿ, ïðè óñëîâèè, ÷òî òîëüêî u è d íå èìåþò ìàññû, òàêæå ñïîíòàííî íàðóøåíà *. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñóùåñòâóþò èíòó* Âàéíãàðòåí 48 èñïîëüçîâàë ðåøåòî÷íûå ìåòîäû, ÷òîáû ïîêàçàòü, ÷òî íåçàâèñèìî îò òîãî, íàðóøåíà èëè íåò êèðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ, ëåã÷àéøàÿ ÷àñòèöà â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå ñ áåçìàññîâûìè u- è d-êâàðêàìè äîëæíà èìåòü êâàíòîâûå ÷èñëà ïèîíà. Êàê ìû óâèäèì â ðàçäåëå 22.5, èç ñóùåñòâîâàíèÿ â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå àíîìàëèé, îáÿçàííûõ ôåðìèîííûì ïåòëÿì, âìåñòå ñ ïðåäïîëîæåíèåì î çàõâàòå êâàðêîâ âûòåêàåò, ÷òî íåêîòîðûå àäðîíû íå èìåþò ìàññû, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ïèîí áåçìàññîâûé. Ýòî ÿâëÿåòñÿ ñèëüíûì äîâîäîì â ïîëüçó ñïîíòàííîãî íàðóøåíèÿ êèðàëüíîé ñèììåòðèè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

322

Ãëàâà 19. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå ãëîáàëüíûå ñèììåòðèè

èòèâíûå àðãóìåíòû â ïîëüçó òîãî, ÷òî èõ íåêèðàëüíûå ïîäãðóïïû SU(2) èëè SU(3) íåíàðóøåíû. Ýòè àðãóìåíòû îñíîâàíû íà ïðåäïîëîæåíèè, èçâåñòíîì êàê æåñòêîå ìàññîâîå óñëîâèå 48, óòâåðæäàþùåì, ÷òî ñîñòàâíûå ÷àñòèöû íå ìîãóò áûòü áåçìàññîâûìè, åñëè òå ÷àñòèöû, èç êîòîðûõ îíè ñîñòîÿò, ìàññèâíû. Íåêèðàëüíûå ñèììåòðèè, âðîäå ñîõðàíåíèÿ èçîñïèíà, íå íàðóøàþòñÿ, åñëè ïðèäàòü êâàðêàì ðàâíûå ìàññû. Ïîýòîìó, åñëè îíè íàðóøàëèñü áû ñïîíòàííî, ó íàñ ïîëó÷èëèñü áû áåçìàññîâûå ãîëäñòîóíîâñêèå áîçîíû, ñîñòàâëåííûå èç ìàññèâíûõ êâàðêîâ, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ óñòîé÷èâîñòè ìàññ. Íèæå ìû èçëîæèì äîêàçàòåëüñòâî Âàôû è Âèòòåíà 49 , ÷òî â êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèÿõ òèïà êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè íå ìîãóò áûòü ñïîíòàííî íàðóøåíû òå ñèììåòðèè, êîòîðûå íå íàðóøàþòñÿ ââåäåíèåì ìàññ êâàðêîâ. Ýòîò ðåçóëüòàò ïðåäñòàâëÿåò áîëüøå ÷åì àêàäåìè÷åñêèé èíòåðåñ — êàê ìû óâèäèì â ðàçäåëå 21.4, íå èñêëþ÷åíî, ÷òî ñïîíòàííîå íàðóøåíèå ýëåêòðîñëàáûõ êàëèáðîâî÷íûõ ñèììåòðèé îïèñûâàåòñÿ òåîðèåé «òåõíèöâåòà», àíàëîãè÷íîé êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå, è ïðè ïðîâåðêå ýòîé èäåè âàæíî çíàòü, êàêèå ñèììåòðèè â ýòîé òåîðèè îñòàþòñÿ íåíàðóøåííûìè. Ðàññìîòðèì êàëèáðîâî÷íóþ òåîðèþ òèïà êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè ñ íåêîòîðûì ÷èñëîì ôåðìèîííûõ «àðîìàòîâ» â îäèíàêîâûõ ïðåäñòàâëåíèÿõ êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû. Åñëè ó âñåõ ôåðìèîíîâ åñòü ìàññû, òåîðèÿ áóäåò èíâàðèàíòíîé îòíîñèòåëüíî óíèòàðíûõ ãëîáàëüíûõ íåêèðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ôåðìèîííûõ àðîìàòîâ, êîììóòèðóþùèõ ñ ìàññîâîé ìàòðèöåé ôåðìèîíîâ. Íàïðèìåð, åñëè n1 ôåðìèîíîâ âûðîæäåíû ñ îáùåé ìàññîé m1, n2 ôåðìèîíîâ âûðîæäåíû ñ íåêîòîðîé äðóãîé ìàññîé m2 è ò. ä., òî òàêîé ãëîáàëüíîé ãðóïïîé ñèììåòðèè áóäåò U(n1) × U(n2) × ... ( ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà íåò âûðîæäåíèé, ïîëó÷àåòñÿ ãëîáàëüíàÿ ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî U(1) × U(1) × ... Ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü ñîõðàíåíèå áàðèîííîãî ÷èñëà, ñòðàííîñòè è ò. ï. â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå.) Ýòè ñèììåòðèè íå ìîãóò áûòü ñïîíòàííî íàðóøåíû. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ðàññìîòðèì îáùóþ ôóíêöèþ Ãðèíà äëÿ r ôåðìèîííûõ è àíòèôåðìèîííûõ ïîëåé. *  ôîðìàëèçìå ôóíêöèî*  îðèãèíàëüíîé ðàáîòå Âàôà è Âèòòåí 49 ñíà÷àëà äîêàçàëè îòñóòñòâèå íàðóøåíèÿ ñèììåòðèè â ñëó÷àå r = 1 è x = y, çàòåì çàìåòèëè, ÷òî îòñóòñòâèå íàðóøåíèÿ ñèììåòðèè â ýòîì âàêóóìíîì ñðåäíåì íå èñêëþ÷àåò âîçìîæíîñòè ñïîíòàííîãî íàðóùåíèÿ ñèììåòðèè â äðóãèõ ôóíêöèÿõ Ãðèíà, ïîñëå ÷åãî ïåðåøëè ê äðóãèì ìåòîäàì äîêàçàòåëüñòâà.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

323

19.9. Íåíàðóøåííûå ñèììåòðèè

íàëüíûõ èíòåãðàëîâ îíà èìååò âèä *

{

}

T Ψu1k1 (x1 ). . . Ψu r kr (x r )Ψv† l ( y1 ). . . Ψv† k ( yr ) =

1

11

XY Z

r r

VAC

[dA][dψ ][dψ † ]ψ u1k1 (x1 ). . . ψ u r kr (x r )ψ †v l . . . ψ †v l ( yr ) r r 11 (19.9.1) Z † × exp iIêàëèáð [ A] + iIÄèðàê [ψ , ψ ; A] ,

d

i

ãäå k1, ..., kr è l1, ..., lr – äèðàêîâñêèå ñïèíîâûå èíäåêñû, u1, ..., ur è v1, ..., vr – èíäåêñû àðîìàòîâ, Iêàëèáð[A] – äåéñòâèå äëÿ ÷èñòî êàëèáðîâî÷íîé òåîðèè, IÄèðàê[ψ, ψ†, A] – äåéñòâèå äëÿ äèðàêîâñêîãî ïîëÿ â ïðèñóòñòâèè êàëèáðîâî÷íîãî ïîëÿ Aµa(x), à Z – àìïëèòóäà ïåðåõîäà âàêóóì–âàêóóì: Z≡

XY [dA] [dψ ][dψ ] expdiI Z †

êàëèáð [ A ]

+ iI Äèðàê [ ψ , ψ † ; A] . (19.9.2)

i

Íèæå íåîáõîäèìî ðàáîòàòü â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè, ãäå âñå âåëè÷èíû x4 = x4 = ix0, y4 = y4 = iy0 è A4a = A4a =iA0a äåéñòâèòåëüíû. (Ñì. ïðèëîæåíèå À ê ãë. 23.)  ýòîì ñëó÷àå äèðàêîâñêîå äåéñòâèå ðàâíî

/ + M] ψ , IÄèðàê [ψ , ψ † ; A] = i d 3 x d 4 x ψ † [ D

z z

(19.9.3)

ãäå Ì — ôåðìèîííàÿ ìàññîâàÿ ìàòðèöà, à åâêëèäîâà êàëèáðîâî÷íî êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ, ñâåðíóòàÿ ñ åâêëèäîâûìè äèðàêîâñêèìè ìàòðèöàìè, ðàâíà / = D

4

∑ (∂ i

i =1

− it α Aiα ) γ i ,

(19.9.4)

* Êàê ìû âèäåëè â ðàçäåëå 15.5, è ÷èñëèòåëü, è çíàìåíàòåëü ïðîïîðöèîíàëüíû áåñêîíå÷íîìó îáúåìó êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû, êîòîðûé ñîêðàùàåòñÿ â îòíîøåíèè (19.9.1). Íàëè÷èå òàêîãî áåñêîíå÷íîãî ìíîæèòåëÿ íåñêîëüêî ñíèæàåò ñòðîãîñòü ïîñëåäóþùèõ ðàññóæäåíèé, íî åñëè áû ìû óñòðàíèëè ýòîò ìíîæèòåëü, ââåäÿ äóõè, òî íåêîòîðûå øàãè íèæå, çàâèñÿùèå îò ïîëîæèòåëüíîñòè äåéñòâèÿ, ïîðîäèëè áû ðÿä òðóäíîñòåé. Îäèí èç ñïîñîáîâ ðàññìîòðåíèÿ ýòîé ïðîáëåìû ñîñòîèò â çàìåíå ïðîñòðàíñòâåííîâðåìåííîãî êîíòèíóóìà êîíå÷íîé ðåøåòêîé òî÷åê.  ýòîì ñëó÷àå êàëèáðîâî÷íàÿ ãðóïïà èìååò êîíå÷íûé îáúåì, è íå òðåáóåòñÿ íè ôèêñàöèè êàëèáðîâêè, íè ââåäåíèÿ äóõîâûõ ïîëåé.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

324

Ãëàâà 19. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå ãëîáàëüíûå ñèììåòðèè

ãäå, êàê îáû÷íî, γ4 = iγ0. Ïîñêîëüêó äåéñòâèå êâàäðàòè÷íî ïî ôåðìèîííûì ïîëÿì, ìîæíî ÿâíî âçÿòü èíòåãðàë ïî ýòèì ïîëÿì:

{

}

T Ψu1k1 (x1 ). . . Ψu r kr (x r )Ψv† l ( y1 ). . . Ψv† k ( yr ) 11

= X Y [dA] Det(D/ + M) expdiI ZZ 1

/ + × (D

/ M) x−11u1k1 , y1v1l1 . . . ( D

+

r r

VAC

i

êàëèáð [ A]

M) x−1r u r kr , yr v rlr

(19.9.5)

± ïåðåñòàíîâêè ,

ãäå «± ïåðåñòàíîâêè» îçíà÷àåò, ÷òî íóæíî ïðîñóììèðîâàòü ïî âñåì r! ïåðåñòàíîâêàì ïîëåé ψ, áåðÿ çíàê «ìèíóñ» äëÿ íå÷åòíûõ ïåðåñòàíîâîê, à Z=

XY [dA] Det(D/ + M) expdiI Z

i.

êàëèáð [ A ]

(19.9.6)

Âûðàæåíèå (19.9.5) ÿâíî èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ëþáîãî óíèòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïî èíäåêñàì àðîìàòîâ, êîììóòèðóþùåãî ñ ìàññîâîé ìàòðèöåé Ì. Íå èìååò çíà÷åíèÿ, êàêèå íåïåðòóðáàòèâíûå ýôôåêòû ïîðîæäàþòñÿ ôóíêöèîíàëüíûì èíòåãðàëîì ïî êàëèáðîâî÷íûì ïîëÿì è ïîëÿì äóõîâ; ýòè ïîëÿ èíåðòíû ïî îòíîøåíèþ ê îáñóæäàåìûì çäåñü ñèììåòðèÿì, òàê ÷òî îñòàâøèéñÿ ôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë â (19.9.5) íå ìîæåò ðàçðóøèòü ýòè ñèììåòðèè *. Îäíàêî, ÷òîáû ýòî ðàññóæäåíèå áûëî óáåäèòåëüíûì, ñëåäóåò ïîêàçàòü, ÷òî âûðàæåíèå (19.9.5) õîðîøî îïðåäåëåíî. Ýòî íå ïðîñòî àêàäåìè÷åñêèé âîïðîñ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòðîãîñòè. Êàê ìû âèäåëè â ðàçäåëå 19.1, ïðèçíàêîì òîãî, ÷òî ñèììåòðèÿ ñïîíòàííî íå íàðóøåíà, ÿâëÿåòñÿ íå òîëüêî òî, ÷òî îñíîâíîå ñîñòîÿíèå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé ñèììåòðèè, íî è òî, ÷òî ñèììåòðèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ óñòîé÷èâà îòíîñèòåëüíî ìàëûõ âîçìóùåíèé. Åñëè íàðóøèòü ñèììåòðèè Ì, äîáàâèâ ìàëîå âîçìóùåíèå δM, è åñëè ïðè ýòîì âûðàæåíèå (19.9.5) ñòàíîâèòñÿ ñèíãóëÿðíûì ïðè δM → 0, òîãäà ìíîæèòåëè â δM â íàðóøàþùèõ * Òðóäíåå ïîêàçàòü, ÷òî â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå ñ ìàññèâíûìè êâàðêàìè ñïîíòàííî íå íàðóøàþòñÿ ñèììåòðèè P, C è Ò, ïîñêîëüêó ýòè ñèììåòðèè íåòðèâèàëüíî äåéñòâóþò íà êàëèáðîâî÷íûå ïîëÿ. Âàôà è Âèòòåí 50 èñïîëüçîâàëè ìåòîäèêó èç ðàáîòû 49, ÷òîáû ïîêàçàòü, ÷òî â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå Ð ñïîíòàííî íå íàðóøàåòñÿ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

325

19.9. Íåíàðóøåííûå ñèììåòðèè

ñèììåòðèþ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòàõ ìîãóò ñîêðàòèòüñÿ ñèíãóëÿðíîñòÿìè â ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòàõ ïðè δM = 0. Èìåííî ýòî è ïðîèñõîäèò â ñëó÷àå êèðàëüíûõ ñèììåòðèé, âîçíèêàþùèõ â ïðåäåëå, êîãäà íåêîòîðûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ Ì îáðàùàþòñÿ â íóëü.  ýòîì ñëó÷àå, êîãäà äîñòèãàåòñÿ ñèììåòðè÷íûé ïðåäåë íóëåâîé ìàññû, ìàññîâûå ìíîæèòåëè â ÷èñëèòåëÿõ íàðóøàþùèõ ñèììåòðèþ âàêóóìíûõ ñðåäíèõ ñîêðàùàþòñ ÿñ ìàññîâûìè ìíîæèòåëÿìè â çíàìåíàòåëÿõ ïðîïàãàòîðîâ âî âñåõ òî÷êàõ, ãäå èìååò íóëåâûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ïðèâîäèìûå ðàññóæäåíèÿ ïðèìåíèìû òîëüêî ê íåêèðàëüíûì ñèììåòðèÿì â òåîðèÿõ ñî âñåìè íåíóëåâûìè ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ìàññîâûõ ìàòðèö Ì. ×òîáû â ýòîì ñëó÷àå óñòàíîâèòü îãðàíè÷åíèÿ íà ìàòðè÷íûé ýëåìåíò (19.9.5), çàìåòèì ñíà÷àëà, ÷òî äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð (19.9.4) àíòèýðìèòîâ, òàê ÷òî äî òåõ ïîð, ïîêà ýðìèòîâà ìàòðèöà Ì íå èìååò íóëåâûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, èìååò õîðîøî îïðåäåëåííûé îáðàòíûé îïåðàòîð. Íåîáõîäèìî åùå ïîêàçàòü, ÷òî îñòàþùååñÿ èíòåãðèðîâàíèå ïî êàëèáðîâî÷íûì ïîëÿì â (19.9.5), âêëþ÷àÿ òî, êîòîðîå ñîäåðæèòñÿ â Z, íå ñäåëàåò ýòî âûðàæåíèå ñèíãóëÿðíûì, êîãäà Ì óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ñèììåòðèè, íàïðèìåð, óñëîâèþ, ÷òî â ñëó÷àå U(n) ñèììåòðèè n ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ýòîé ìàòðèöû ðàâíû. Êàê áóäåò âèäíî, ýòî îáåñïå÷èâàåò òî, ÷òî ïðè äîáàâëåíèè ê èíâàðèàíòíîé ïî îòíîøåíèþ ê íåêîòîðîìó ãëîáàëüíîìó ïðåîáðàçîâàíèþ ñèììåòðèè ôåðìèîííîé ìàññîâîé ìàòðèöå Ì íàðóøàþùåãî ýòó ñèììåòðèþ ìàëîãî ñëàãàåìîãî δM, èçìåíåíèå âàêóóìíîãî ñðåäíåãî (19.9.4) îòíîñèòåëüíî ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè îáðàùàåòñÿ â íóëü â ïðåäåëå δM → 0. Äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî ôóíêöèè Ãðèíà â êîîðäèíàòíîì ïðîñòðàíñòâå (19.9.5) íåñèíãóëÿðíû, çàòðóäíèòåëüíî, ïîýòîìó ðàññìîòðèì ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ñãëàæåííûõ ïîëåé

Ψu [ f ] ≡ d 4 x f k† (x)Ψuk (x) ,

z

(19.9.7)

ãäå fk(x) — ïðîèçâîëüíûå ãëàäêèå êâàäðàòè÷íî èíòåãðèðóåìûå ôóíêöèè. Òîãäà âûðàæåíèå (19.9.5) ïðèíèìàåò âèä

{

}

T Ψu1 [ f1 ]. . . Ψu r [ fr ]Ψv† [g1 ]. . . Ψv† [gr ] 1

r

VAC

(19.9.8)

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

326

Ãëàâà 19. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå ãëîáàëüíûå ñèììåòðèè

=

1 Z

XY [dA] Det(D/ + M) expdiI Z

i

êàëèáð [ A]

/ + M) −f11u1 ,g1v1 . . . ( D / + M) −fr1u r ,gr vr ± ïåðåñòàíîâêè , × (D ãäå

−1 l / + M) −fu1 ,gv ≡ d 4 x d 4 y f k† (x)( D / + M) xuk (D , yvl g ( y) . (19.9.9)

z z

 ýòîì áàçèñå ôåðìèîííûå ïðîïàãàòîðû äëÿ äàííîãî êàëèáðîâî÷íîãî ïîëÿ íå òîëüêî õîðîøî îïðåäåëåíû, íî è ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíû â Aµa(x) *: / + M) −fu1 ,gv ≤ (D

∑ a

1 | ma |

,

(19.9.10)

ãäå ma — ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ Ì, è äëÿ óäîáñòâà ìû òåïåðü íîðìèðóåì ôóíêöèè fi(x) è gj(y) òàê, ÷òî

v f (x) f (x) d x = w g (x) g (x) d x = 1 . † i

† j

4

i

4

j

(19.9.11)

* ×òîáû óâèäåòü ýòî, ìîæíî ðàçëîæèòü ñîáñòâåííûå âåêòîðû Ì: a = m c a , c a* c b = δ M uv c v a u u u ab

è, ïðèìåíÿÿ ïðèåì Âàôû è Âèòòåíà

49,

çàïèñàòü (19.9.9) êàê

−1 gl ( y) 1 * b 3 4 k† / + M) − / + m a ) xk (D ca u c u d x d y f (x)( D fu,gv = ∑ ,yl a ∞ * b 3 4 k† / xk,yl gl ( y) , = ∑ ±c a u c u exp −| m a | τ d x d y f (x) exp(m τD a 0

z

z a

z

fz z

a

f

* a ãäå ± — çíàê ma. Ìàòðèöà c a u cv è îïåðàòîð exp( mτD/ xk ,yl óíèòàðíû, òàê ÷òî

a

f

* b 4 4 k† / xk,yl gl ( y) ca u c u d x d y f (x) exp( mτD ≤ d 4 x| f (x)|2 d 4 y| g( y)|2 = 1 .

z

z

a

z

f

2

z

Èñïîëüçóÿ ýòî âíóòðè èíòåãðàëà, ïðèõîäèì ê (19.9.10).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

327

19.9. Íåíàðóøåííûå ñèììåòðèè

(Óñëîâèå ñóììèðîâàíèÿ çäåñü íå ñîáëþäàåòñÿ.) Êðîìå òîãî, âåñîâàÿ ôóíêöèÿ äëÿ ñðåäíåãî ïî êàëèáðîâî÷íûì ïîëÿì ïîëîæèòåëüíà * / + M) exp iIêàëèáð [ A] Det( D

d i F 1X X I = expG − Y d xY d x ∑ ∑ F J × H 4Z Z K 3

4

4

4

Det ( iD)2 + M 2 . (19.9.12)

2 ij

i =1 j =1

Ïðè ïîëîæèòåëüíîé âåñîâîé ôóíêöèè ñðåäíåå îò ëþáîé ôóíêöèè îãðàíè÷åíî ãðàíèöåé ýòîé ôóíêöèè. Ïîäñòàâëÿÿ îãðàíè÷åíèå (19.9.10) â (19.9.8), íàõîäèì, ÷òî ìàòðè÷íûé ýëåìåíò îãðàíè÷åí íåðàâåíñòâîì

T

{

}

Ψu1 [ f1 ]. . . Ψu r [ fr ]Ψv† [g1 ]. . . Ψv† [gr ] r 1

L 1 OP ≤ r !M ∑ MN | m | PQ

VAC

a

r

. (19.9.13)

a

Ñëåäîâàòåëüíî, êîãäà íàðóøàþùèå ñèììåòðèþ ÷ëåíû δM â Ì ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ, íå âîçíèêàåò ñèíãóëÿðíîñòåé, êîòîðûå ìîãëè áû ñîêðàòèòü ìíîæèòåëè δM. ×òîáû óâèäåòü ýòî áîëåå ÿâíî, ìîæíî èñïîëüçîâàòü òå æå ïðèåìû, ÷òîáû ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ìû âîçìóùàåì Ì çà ñ÷åò ìàëîãî íàðóøàþùåãî ñèììåòðèþ ñëàãàåìîãî δM, òî ñëàãàåìîå â (19.9.8) ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî δM îãðàíè÷åíî íåðàâåíñòâîì

{

}

δ T Ψu1 [ f1 ]. . . Ψu r [ fr ]Ψv† [g1 ]. . . Ψv† [gr ] 1

≤ rr ! ∑ ab

r

LM∑ 1 OP | m m | MN | m | PQ

| (δM) ab | a

b

a

VAC

r −1

.

(19.9.14)

a

è ýòî îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè δM → 0.  ðåàëüíîì ìèðå íè îäíà èç ìàññ êâàðêîâ íå ðàâíà íóëþ è ýòè ìàññû íå âûðîæäåíû, ïîýòîìó èç ïðåäûäóùèõ ðàññóæäåíèé ñðàçó æå ñëåäóåò, ÷òî U(1) ñèììåòðèè òèïà ñîõðàíåíèÿ áàðèîííîãî ÷èñëà, ñòðàííîñòè è ò. ä. íå íàðóøàþòñÿ íè ñïîíòàííî, íè âíóòðåííå. ×òî êàñàåòñÿ äðóãèõ ñèììåòðèé ñèëüíûõ âçàèìîäåé**  ôåðìèîííîì äåòåðìèíàíòå ìû èñïîëüçóåì òî, ÷òî / + M ) = Det γ 5 ( D / + M ) γ 5 = Det( − D / + M) . Det( D

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

328

Ãëàâà 19. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå ãëîáàëüíûå ñèììåòðèè

ñòâèé, çäåñü ïðîáëåì áîëüøå. Ýòè ñèììåòðèè áûëè áû ïîëíîñòüþ íåíàðóøåííûìè, åñëè áû êâàðêè u, d èëè u, d, s èìåëè áû ðàâíûå íåíóëåâûå ìàññû, îäíàêî, êàê ìû âèäåëè â ðàçäåëå 19.7, ýòè ìàññû ñîâåðøåííî íå âûðîæäåíû. Èçîñïèíîâàÿ è SU(3) ñèììåòðèè âîçíèêàþò îò òîãî, ÷òî ìàññû êâàðêîâ ìàëû, à íå ðàâíû. Ýòî ñèììåòðèè îñòàþòñÿ íåíàðóøåííûìè, åñëè ïðèäàòü äâóì èëè òðåì êâàðêàì ðàâíûå ìàññû è ñäåëàòü ýòè ìàññû ïðîèçâîëüíî ìàëûìè, òàê ÷òî èçîñïèí è SU(3) áóäóò õîðîøèìè ñèììåòðèÿìè â ëþáîì ïðîöåññå, íå÷óâñòâèòåëüíîì ê ìàëûì ìàññàì êâàðêîâ. Îäíàêî íå âñå ïðîöåññû íå÷óâñòâèòåëüíû ê ýòèì ìàññàì, ïîñêîëüêó äëÿ äâóõ èëè òðåõ áåçìàññîâûõ êâàðêîâ ïèîí èëè ïñåâäîñêàëÿðíûé ìåçîííûé îêòåò, ê êîòîðîìó îí ïðèíàäëåæèò, ñòàíîâÿòñÿ áåçìàññîâûìè.  ñëó÷àå èçîñïèíà ýòî íå ñîñòàâëÿåò ïðîáëåìû, ò. ê. ìû âèäåëè â 19.5, ÷òî ïèîííûé òðèïëåò îñòàåòñÿ âûðîæäåííûì â ïåðâîì ïîðÿäêå ïî ìàññàì êâàðêîâ, äàæå åñëè mu ≠ md. Äëÿ SU(3) ðàçíîñòè ìàññ êâàðêîâ ïîðîæäàþò â ïåðâîì ïîðÿäêå ðàçíîñòè ìàññ ìåæäó ïèîíîì, êàîíîì è ýòà-ìåçîíîì, òàê ÷òî â ïðîöåññàõ, îïðåäåëÿþùèõñÿ îäíîìåçîííûìè ïîëþñàìè, ìîãóò ïðîÿâëÿòüñÿ áîëüøèå îòêëîíåíèÿ îò SU(3). 19.10. Ïðîáëåìà U(1) Óñïåõ êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè â îáúÿñíåíèè ñòðóêòóðû ñèììåòðèé ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé êàæåòñÿ, íà ïåðâûé âçãëÿä, îìðà÷åííûì îäíèì ïðîâàëîì. Êàê ìû âèäåëè â ðàçäåëå 19.5, íàðóøåííàÿ SU(2) × SU(2) ñèììåòðèÿ ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì ñëåäñòâèåì ìàëîñòè ìàññ u- è d-êâàðêîâ. Îäíàêî ëàãðàíæèàí êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè ñ ìàëûìè ìàññàìè u- è d-êâàðêîâ îáëàäàåò åùå îäíîé êèðàëüíîé ñèììåòðèåé 51, à èìåííî ñèììåòðèåé U(1)A îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé

u → exp(iγ 5θ)u , d → exp(iγ 5θ)d .

(19.10.1)

Òàêàÿ ñèììåòðèÿ, åñëè îíà íå íàðóøåíà, ïðèâîäèëà áû, êàê SU(2) × SU(2), ê äóáëèðîâàíèþ àäðîííîãî ñïåêòðà ïî ÷åòíîñòè. Îäíàêî òàêîãî äóáëèðîâàíèÿ íå íàáëþäàåòñÿ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, íàðóøåííàÿ U(1)A ñèììåòðèÿ òðåáîâàëà áû ñóùåñòâîâàíèÿ èçîñêàëÿðíîãî 0– ãîëäñòîóíîâñêîãî áîçîíà ñ ìàññîé, ñðàâíèìîé ñ ìàcñîé ïèîíà,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

329

19.10. Ïðîáëåìà U(1)

è òàêîé áîçîí òàêæå íå íàáëþäàåòñÿ. Ìåçîí η äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ èçîñêàëÿðíûì 0– áîçîíîì, íî îí çíà÷èòåëüíî òÿæåëåå ïèîíà è, êàê ìû âèäåëè â ðàçäåëå 19.7, õîðîøî èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê îäèí èç ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ SU(3) × SU(3). Åñëè ðàññìàòðèâàòü êàê ñðàâíèòåëüíî ëåãêèé íå òîëüêî u- è d-, íî è s-êâàðê, òî ëàãðàíæèàí êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè áóäåò â äîïîëíåíèå ê SU(3) × SU(3) îáëàäàòü U(1) êèðàëüíîé ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé

u → exp(iγ 5θ)u , d → exp(iγ 5θ)d , s → exp(iγ 5θ)s .

(19.10.2)

Ñïîíòàííîå íàðóøåíèå òàêîé ñèììåòðèè òðåáîâàëî áû ñóùåñòâîâàíèÿ äâóõ èçîñêàëÿðíûõ 0– ìåçîíîâ: îäèí èç íèõ η, à äðóãîé — ñ ìàññîé, ñðàâíèìîé ñ ìàññîé ïèîíà. Ýòî ïðåäñêàçàíèå ìîæíî óòî÷íèòü. 52 Åñëè âêëþ÷èòü ïðåîáðàçîâàíèå (19.10.2) â ÷èñëî ñïîíòàííî íàðóøåííûõ ñèììåòðèé áåçìàññîâîé êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè, òî â ïðèñóòñòâèè ìàññ êâàðêîâ ìû ïîëó÷èì ñëàãàåìîå (19.7.12) ~ −i Lìàññ = − qM q q = − qe

2 γ 5 B / Fπ M

qe

− i 2 γ 5 B / Fπ q ~,

(19.10.3)

ãäå âíîâü

Mq =

LMm MN 00

u

OP PQ

0 0 md 0 , 0 ms

(19.10.4)

íî  âêëþ÷àåò ïîëå ãîëäñòîóíîâñêîãî áîçîíà ζ äëÿ íàðóøåííîé ñèììåòðèè (19.10.2):

LM 1 π + 1 η π 2 6 M 1 π − B=M MM π 2 MN K K F Lζ 0 0O M0 ζ 0P . + 3F M0 0 ζP N Q 0

+

0





0

0

OP P K P PP 2 − π P 3 Q K+

1 6

η0

0

0

π

ζ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(19.10.5)

330

Ãëàâà 19. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå ãëîáàëüíûå ñèììåòðèè

ãäå Fζ — íåèçâåñòíàÿ êîíñòàíòà ñâÿçè U(1)A ãîëäñòîóíîâñêîãî áîçîíà ñ ñîîòâåòñòâóþùèì òîêîì (ìíîæèòåëü 3 âêëþ÷åí äëÿ äàëüíåéøåãî óäîáñòâà). Ìîæíî ñíîâà èñïîëüçîâàòü íåíàðóøåííóþ SU(3) ñèììåòðèþ, ÷òîáû çàïèñàòü ñðåäíåå ïî âàêóóìó îò êâàðêîâîé áèëèíåéíîé ôîðìû â âèäå (19.7.14), ïîñëå ÷åãî, ðàçëàãàÿ ïî ñòåïåíÿì áîçîííûõ ïîëåé, ìû íàõîäèì îòâå÷àþùåå ìàññàì ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ ñëàãàåìîå â ëàãðàíæèàíå â âèäå: v − 2 Tr B, b, M q Fπ

o n

st

LM MMN

v = − 2 4m u Fπ

F1π GH 2

0

I JK

2

F 1 0 + η + π ζ 6 3Fζ

+ 4(m u + m d )π + π − + 4(m u + m s )K + K −

F + 4m G − H d

I JK

2

F 1 0 1 0 π + η + π ζ 2 6 3Fζ

+ 4(m d + m s

)K 0K 0

F + 4m G − H

I JK

F 2 0 η + π ζ 3 3Fζ

s

2

OP PPQ .

(19. 10. 6) Ìàññû çàðÿæåííûõ è ñòðàííûõ ìåçîíîâ òàêèå æå êàê è ðàíåå, íî òåïåðü ìàññîâàÿ ìàòðèöà íåéòðàëüíûõ íåñòðàííûõ ìåçîíîâ èìååò âèä

LM m + m MM 2F m −m = 8v M MM 2 3F MM m 6F− mF N u

d

2 π

M02

u

d

2 π

u

d

π ζ

OP PP PP PP PQ

m u − md 2 3Fπ2 m u + md + 4ms 6Fπ2 m u + md − 2ms 3 2Fπ Fζ

m u − md 6Fπ Fζ m u + md − 2ms . 3 2Fπ Fζ (19.10.7) m u + md + ms 3Fζ2

ãäå ñòðîêè è ñòîëáöû óêàçàíû â ïîðÿäêå π0, η0, ζ.  ïðåäåëå, êîãäà mu è md ðàâíû íóëþ, ýòà ìàòðèöà èìååò äâà ñîáñòâåííûõ âåêòîðà ñ íóëåâûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì

FI GGH JJK

1 ua = 0 , ub = 0

1 Fπ2 + Fζ2

F GG H

I JJ K

0 Fπ . 2Fζ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(19.10.8)

331

Çàäà÷è

 òàêîì îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå ìàòðèöà êâàäðàòîâ ìàññ â ïåðâîì ïîðÿäêå ïî mu è md èìååò âèä 2 g uTM2u = maa a o a

4v(m u + md ) , Fπ2

(19.10.9)

2 g uT M2 u = mbb o b b

12v(m u + md ) , Fπ2 + 2Fζ2

(19.10.10)

2 = m2 g mab ba

3v(m u − md ) 2Fπ Fπ2 + 2Fζ2

.

(19.10.11)

Íàëè÷èå íåäèàãîíàëüíîãî ÷ëåíà (19.10.11) ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ ïðîèçâåäåíèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé íà ïðåíåáðåæèìî ìàëîå îòíîøåíèå (m u − m d )2 64(m u + m d )2 , îñòàâëÿÿ, êîíå÷íî, íåèçìåííîé ñóììó ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, òàê ÷òî â õîðîøåì ïðèáëèæåíèè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äàþòñÿ äèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè (19.10.9) è (19.10.10). Ñðàâíèâàÿ (19.10.9) ñ (19.7.16), âèäèì, ÷òî ÷àñòèöà, îòâå÷àþùàÿ ñîáñòâåííîìó âåêòîðó ua, ýòî π0. Äðóãàÿ ÷àñòèöà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ub, èìååò ìàññó 2 g mb g mbb

3m π Fπ Fπ2 + 2Fζ2

≤ 3m π .

(19.10.12)

Òàêèì îáðàçîì, íàðóøåííàÿ U(1)A ñèììåòðèÿ òðåáóåò âäîáàâîê ê ñàìîìó ïèîíó ñóùåñòâîâàíèÿ íåéòðàëüíîãî ïñåâäîñêàëÿðíîãî ãîëäñòîóíîâñêîãî áîçîíà ìàññîé ìåíüøå, ÷åì 3mπ . Åäâà ëè íóæíî äîêàçûâàòü, ÷òî òàêîé ñèëüíîâçàèìîäåéñòâóþùåé ÷àñòèöû íå ñóùåñòâóåò *.  ðàçäåëå 23.5 ìû óâèäèì, ÷òî ýòà ïðîáëåìà â êîíöå * Çàìåòèì, ÷òî, áåðÿ Fζ . Fπ, ìîæíî ïðèäàòü äîïîëíèòåëüíîìó íåéòðàëüíîìó ñêàëÿðó î÷åíü ìàëóþ ìàññó, íî òîãäà åãî âçàèìîäåéñòâèÿ áûëè áû ñòîëü ñëàáû, ÷òî îí ìîã áû ëåãêî èçáåæàòü äåòåêòèðîâàíèÿ. Ìàëîïðàâäîïîäîáíî, ÷òî î÷åíü áîëüøîå îòíîøåíèå Fπ ê Fζ ìîãëî áû âîçíèêíóòü â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå, íî íå÷òî ïîõîæåå âîçíèêàåò â òåîðèÿõ ñ äîïîëíèòåëüíûìè ïîëåâûìè ïåðåìåííûìè, êîòîðûå áûëè ïðåäëîæåíû, ÷òîáû èçáåæàòü íàðóøåíèÿ ÷åòíîñòè èíñòàíòîíàìè (ñì. ðàçäåë 23.6).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

332

Ãëàâà 19. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå ãëîáàëüíûå ñèììåòðèè

êîíöîâ áûëà ðàçðåøåíà îòêðûòèåì íåïåðòóðáàòèâíûõ ýôôåêòîâ, íàðóøàþùèõ äîïîëíèòåëüíóþ ñèììåòðèþ U(1)A. Çàäà÷è 1.

Ïðèìåíèòå îáùóþ òåîðèþ íàðóøåííûõ ãëîáàëüíûõ ñèììåòðèé ê ñëó÷àþ, êîãäà ãðóïïà ñèììåòðèè SO(3) (ñ ãåíåðàòîðàìè t1, t2, t3) ñïîíòàííî íàðóøàåòñÿ äî ñâîåé SO(2) ïîäãðóïïû (ñ ãåíåðàòîðîì t3). Êàê ïðåîáðàçóþòñÿ ïîëÿ ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ îòíîñèòåëüíî áåñêîíå÷íî ìàëûõ ïðåîáðàçîâàíèé SO(3)? (Èñïîëüçóéòå ýêñïîíåíöèàëüíóþ ïàðàìåòðèçàöèþ ïðîñòðàíñòâà ñìåæíûõ êëàññîâ SO(3)/SO(2).) Âû÷èñëèòå êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ Daµ ïîëÿ ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ è îáùåãî ïîëÿ ñ íåíóëåâûì çíà÷åíèåì q ãåíåðàòîðà íåíàðóøåííîé ñèììåòðèè t3. Êàê âûãëÿäèò ñàìûé îáùèé SO(3)-èíâàðèàíòíûé ëàãðàíæèàí, âêëþ÷àþùèé òîëüêî ãîäñòîóíîâñêèå áîçîíû è íå ñîäåðæàùèé áîëåå äâóõ ïðîèçâîäíûõ? Èñïîëüçóéòå ýòîò ëàãðàíæèàí, ÷òîáû âû÷èñëèòü ñëàãàåìûå â èíâàðèàíòíîé àìïëèòóäå óïðóãîãî ðàññÿíèÿ ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ â íèçøåì ïîðÿäêå ïî èõ ýíåðãèè. Êàê âûãëÿäèò ñàìûé îáùèé SO(3)-èíâàðèàíòíûé ëàãðàíæèàí ñ äâóìÿ íåãîëäñòîóíîâñêèìè ïîëÿìè è íå áîëåå ÷åì îäíîé ïðîèçâîäíîé? Êàê âûãëÿäèò ñàìàÿ îáùàÿ ôóíêöèÿ, çàâèñÿùàÿ òîëüêî îò ïîëåé ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ (áåç ïðîèçâîäíûõ) è ïðåîáðàçóþùàÿñÿ êàê òðåòüÿ êîìïîíåíòà 3-âåêòîðà SO(3)? Äîáàâüòå ýòî ñëàãàåìîå â ëàãðàíæèàí, âûáðàâ êîýôôèöèåíò òàê, ÷òîáû ãîëäñòîóíîâñêèé áîçîí ïðèîáðåë ìàññó m, è çàíîâî ðàññ÷èòàòéòå àìïëèòóäó ðàññåÿíèÿ ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ â íèçøåì ïîðÿäêå.

2.

Ðàññìîòðèòå òåîðèþ ñ SU(N) ãëîáàëüíîé ñèììåòðèåé, ñïîíòàííî íàðóøåííóþ äî SU(N–1). Ïðåäïîëîæèì, ìû äîáàâëÿåì ìàëîå íàðóøàþùåå ñèììåòðèþ âîçìóùåíèå, ïðèíàäëåæàùåå ôóíäàìåíòàëüíîìó ïðåäñòàâëåíèþ N ãðóïïû SU(N). Ñ ó÷åòîì ïîäñòðîéêè âàêóóìà êàêàÿ ãðóïïà ñèììåòðèè ïîëíîñòüþ íåíàðóøåíà? ×òî ìîæíî ñêàçàòü î ñëó÷àå, êîãäà íàðóøàþùåå ñèììåòðèþ âîçìóùåíèå ïðèíàäëåæèò ê ïðèñîåäèíåííîìó ïðåäñòàâëåíèþ SU(N)?

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

333

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

3.

 îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè ðàññ÷èòàéòå àìïëèòóäó ïèîíïèîííîãî ðàññåÿíèÿ ñ ó÷åòîì êîíå÷íîé ìàññû ïèîíà.

4.

Âûâåäèòå «ïðàâèëî ñóìì Àäëåðà», ÿâëÿþùååñÿ àíàëîãîì ïðàâèëà ñóìì Àäëåðà–Âàéñáåðãåðà äëÿ ñëó÷àÿ ïèîí-ïèîííîãî ðàññåÿíèÿ.

5.

Âû÷èñëèòå ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèé ïèîííîãî ïîëÿ ξa îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé ãðóïïû SU(2) × SU(2) â ñëó÷àå, êîãäà ñìåæíûå êëàññû SU(2) × SU(2)/SU(2) ïàðàìåòðèçîâàíû êàê exp(iξaxa).

6.

Èñïîëüçóéòå ôîðìóëó (19.7.31) è SU(3) ñèììåòðèþ, ÷òîáû âûâåñòè ñîîòíîøåíèå (19.7.32). Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

1.

Coleman, S. Secret symmetry: an introduction to spontaneous symmetry breakdown and gauge fields. In: Aspects of Symmetry. Selected Erice Lectures of Sidney Coleman (Cambridge University Press, Cambridge, 1985).

2.

Titchmarsh, E.C., Introduction to the Theory of Fourier Integrals (Oxford University Press, Oxford, 1937), Sec. 1.4.

3.

Goldstone, J., Nuovo Cimento, 9, 154 (1961).

4.

Nambu, Y., Phys. Rev. Lett., 4, 380 (1960).

5.

Goldstone, J., Salam, A., and Weinberg, S., Phys. Rev., 127, 965 (1962).

6.

Adler, S., Phys. Rev., 137, B1022 (1965).

7.

Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 29, 1698 (1972).

8.

Dashen, R., Phys. Rev., 183, 1245 (1969). Ïîïðàâêè ê ýòîìó ñîîòíîøåíèþ ñì.: Donoghue, J.F., Holstein, B.R., and Wyler,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

334

Ãëàâà 19. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå ãëîáàëüíûå ñèììåòðèè

D., Phys. Rev., D47, 2089 (1993); Bijnens, J., Phys. Lett., B306, 343 (1993); Maltman, K. and Kotchan, D., Mod. Phys. Lett., A5, 2457 (1990); Urech, R., Nucl. Phys., B433, 234 (1995); Baur, R. and Urech, R., Zurich–Karlsruhe preprint ZU-TH 22/95, TTP95-31, hep-ph/9508393 (1995). 9.

Îáçîð ñì.: Towner, I.S. et al., Chalk River preprint nucl-th/ 9507005 (1995).

10. Weinberg, S., Phys. Rev., 112, 1375 (1958). 11. Goldberger, M.L. and Treiman, S., Phys. Rev., 111, 1375 (1958). 12. 13.

Ericson, T. and Weise, W., Pions and Nuclei (Clarendon Press, Oxford, 1988). Ericson, T. et al., CERN preprint CERN-TH/95-50 (1995).

14. Das, T., Guralnik, G.S., Matur, V.S. et al., Phys. Rev. Lett., 18, 759 (1967). 15.

Bernstein, J., Fubini, S., Gell-Mann, M., and Thirring, W., Nuovo Cimento, 17, 757 (1960); Gell-Mann, M. and Le1vy, M., [24]; Chou, K.-C., Soviet Physics JETP, 12, 492 (1961).

16. Nambu, Y., Phys. Rev. Lett., 4, 380 (1961). 17.

Nambu, Y. and Jon a-Lasinio, G., Phys. Rev., 122, 345 (1961).

18.

Nambu, Y. and Lurie, D., Phys. Rev., 125, 1429 (1962); Nambu, Y. and Shrauner, E., Phys. Rev., 125, 1429 (1962).

19.

Adler, S.L., Phys. Rev. Lett., 14, 1051 (1965); Phys. Rev., 140, B736 (1965); Weisberger, W.I., Phys. Rev. Lett., 14, 1047 (1965); Phys. Rev., 143, 1302 (1965). Âëèÿíèå êîíå÷íîèé ìàññû ïèîíà áûëî äðóãèì ñïîñîáîì ó÷òåíî â [27] ïóòåì êîìáèíàöèè ðåçóëüòàòîâ àëãåáðû òîêîâ äëÿ äëèí ïèîí-íóêëîííîãî ðàññåÿíèÿ ñ ïðàâèëîì ñóìì äëÿ äëèí ðàññåÿíèÿ, âûâåäåííûì èç äèñïåðñèîííûõ ñîîòíîøåíèé äëÿ ðàññåÿíèÿ âïåðåä â ðàáîòàõ: Goldberger,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

335

M.L., Miyazawa, H., and Oehme, R., Phys. Rev., 99, 986 (1955); Goldberger, M.L., in Dispersion Relations and Elementary Particles (Wiley, New York, 1960), p. 146. 20. Weinberg, S., Current Algebra — Rapporteur's Report, in Proc. Int. Conf. on High Energy Physics, Vienna, 1968 (CERN, Geneva, 1968), p. 253. 21. Gell-Mann, M., Physics, 1, 63 (1964). 22. Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 16, 879 (1966). 23. Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 18, 188 (1967). 24. Gell-Mann, M. and Le1vy, M., Nuovo Cimento, 16, 705 (1960). 25. Weinberg, S., Phys. Rev., 166, 1568 (1968). 26. Weinberg, S., Physica, 96A, 327 (1979). 27. Ýòè äëèíû ðàññåÿíèÿ âïåðâûå áûëè âû÷èñëåíû ñ ïîìîùüþ òåõíèêè àëãåáðû òîêîâ â ðàáîòå: Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 17, 616 (1966). 28. Îáçîð ñì.: Donoghue, J.F., Golowich, E., and Holstein, B.R., Dynamics of the Standard Model (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1992), sec. VI-4. Èçìåðåíèÿ ñäâèãà ýíåðãèè è øèðèíû 1s ñîñòîÿíèÿ àòîìà p–p çà ñ÷åò ñèëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ïðèâåëè ê ðåçóëüòàòàì: a(π – p → π –p) = B a 1/2 + 2 a 3/2 = 0,0885(9)mπ–1 è a(π–p → π0n) =2¸(a3 – a1) = –0,136(10)mπ–1; Sigg, D. et al., preprint ETHZ-IPP PR-95-4, July 1995. 29. Weinberg, S., Phys. Lett., B251, 288 (1990); Nucl Phys., B363, 3 (1991); Phys. Lett., B295, 114 (1992); Ordo1¤ez, C., and van Kolck, U., Phys. Lett., B291, 459 (1992); Ordo1¤ez, C., Ray, L., and van Kolck, U., Phys. Rev. Lett., 72, 1982 (1004); van Kolck, U., Phys. Rev., C49, 2932 (1994); van Kolck, U., Frriar, J., and Goldman, T., Phys. Lett. B (to be published). Îáçîð äàííîãî ïîäõîäà ê ÿäåðíûì ñèëàì ñì.: Ordo1¤ez, C., Ray, L., and van Kolck, nucl-th/ На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

336

Ãëàâà 19. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå ãëîáàëüíûå ñèììåòðèè

9511380; Friar, J., Few-Body Systems Suppl., 99, 1 (1996). Ïðèìåíåíèå ýòîé òåõíèêè ê ñâÿçàííûì ÿäåðíûì ïðîöåññàì ñì.: Park, T.-S., Min, D.-P., and Rho, M., Phys. Rep., 233, 341 (1993); Beane, S.R., Lee, C.Y.. and van Kolck, U., Phys. Rev., C52, 2915 (1995). 30. Weinberg, S., [27]. Äëèíû ïèîí-íóêëîííîãî ðàññåÿíèÿ áûëè íåçàâèñèìî ðàññ÷èòàíû â ðàáîòå: Tomozawa, Y., Nuovo Cimento, 46A, 707 (1966). 30a. Adler, S.L., Phys. Rev., 140, B736 (1965). 31. Coleman, S., Wess, J., and Zumino, B., Phys. Rev., 177, 2239 (1969); Callan, C.G., Coleman, S., Wess, J., and Zumino, B., Phys. Rev., 177, 2247 (1969). 32.

Palais, R.S., J. Math. Mech., 6, 673 (1957); Mostow, G.D., Annals of Math., 65, 432 (1957).

32a. Îáñóæäåíèå äðóãèõ âîçìîæíîñòåé ñì.: Weinberg, S., Physica Scri pta, 21, 773 (1980). 33.

Gell-Mann, M., Cal. Tech. Synchrotron Laboratory Report CTSL20 (1961), íåîïóáëèêîâàíî. Ýòà ðàáîòà âîñïðîèçâåäåíà âìåñòå äðóãèìè ñòàòüÿìè ïî SU(3) ñèììåòðèè â ñáîðíèêå: Gell-Mann, M. and Ne'eman, Y., The Eightfold Way (Benjamin, New York, 1964).

34. Ne'eman, Y., Nucl. Phys., 26, 222 (1961). 35. Gell-Mann, M., Oakes, R.J., and Renner, B., Phys. Rev., 175, 2195 (1968); Glashow, S. and Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 20, 224 (1968). 36.

Dashen, R., Phys. Rev., 183, 1245 (1969). Ïîïðàâêè áûëè ðàññìîòðåíû â ðàáîòå: Langacker, P. and Pagels, H., Phys. Rev., D8, 4620 (1973). Îòñóòñòâèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîïðàâîê ê ìàññå π0 áûëî äîêàçàíî â ìîäåëè ðàáîòû [17] â ñòàòüå: Guralnik, G.S., Nuovo Cimento, 36, 1002 (1965).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

337

37. Weinberg, S., contribution to a Festschrift for I.I. Rabi, Trans. N.Y. Acad. Sci., 38, 185 (1977). 38. Gell-Mann, M. [33]; Okubo, S., Progr. Theor. Phys., 27, 949 (1962). 38a. Leutwyler, H., Bern-CERN preprint CERN-TH/96-44, hep-ph/ 9602366, to be published (1996). 38b. Donoghue, J.F., Golowich, E., and Holstein, B.R., [28]. 39. Gasser, J. and Leutwyler, H., Nucl. Phys., B250, 465 (1985); ñì. òàêæå: Gasser, J. and Leutwyler, H., Ann. Phys., 158, 142 (1984). 40.

Îáçîðû ñì.: Leutwyler, H., in Proc. XXVI Int. Conf. on High Energy Nuclear Physics, Dallas, 1992, ed. J. Sanford (American Inst. of Physics, New York, 1993), p. 185; Meissner, U.G., Rep. Progr. Phys., 56, 903 (1993); Pich, A., Valencia preprint FTUV/ 95-4, February 1995; Bijnens, J., Ecker, G., and Gasser, J., in The Daphne Physics Handbook, Vol. 1, eds. L. maiani, G. Pancheri, and N. Paver (INFN, Frascati, 1995), ch. 3 and 3.1; Ecker, G., preprint hep-ph/9501357, to be published in Progress in Particle and Nuclear Physics, Vol. 35 (Pergamon Press, Oxford).

41. Coleman, S. and Glashow, S., Phys. Rev. Lett., 6, 423 (1961); Okubo, S., Phys. Lett., 4, 14 (1963). 42. Wess, J. and Zumino, B., Phys. Lett, 37B, 95 (1971). 43. Witten, E., Nucl. Phys., B223, 422 (1983). 44. Bott, R. and Seely, R., Comm. Math. Phys., 62, 235 (1978). 45.

D'Hoker, E. and Weinberg, S., Phys. Rev., D50, R6050 (1994).

46.

Encyclopedic Diction ary of Mathematics, eds. S. Iyan aga and Y. Kawada (MIT Press, Cambridge, 1980); Greub, W., Halperin, S., and Vanstone, R., Connections, Curvature and Cohomology, Vol. III (Academic Press, New York, 1976); Borel, A., Ann. Math.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

338

Ãëàâà 19. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå ãëîáàëüíûå ñèììåòðèè

(2) 57, 115 (1953); Borel, A., Collected Papers, Vol. I (Springer Verlag, Berlin, 1983). 47. Weingarten, D., Phys. Rev. Lett., 51, 1830 (1983). 48.

Preskill, J. and Weinberg, S., Phys. Rev., D24, 1059 (1981). Â ýòîé ðàáîòå áûëà ïðåäëîæåíà ìîäèôèöèðîâàííàÿ âåðñèÿ áîëåå ðàííèõ ðàññóæäåíèé 'ò Õîôòà, êîòîðûé ðàññìàòðèâàë ïðåäåë áîëüøèõ ìàññ êâàðêîâ; ñì.: 't Hooft, G., in Recent Developments in Gauge Theories, eds. G. 't Hooft et al. (Plenum, New York, 1980); reprinted in Dyn amical Gauge Symmetry Breaking, eds. E. Farhi and R. Jackiw (World Scientific, Singapore, 1982), and in G. 't Hooft, Under the Spell of the Gauge Princi ple (World Scientific, Singapore, 1994). Ñì. òàêæå ðàçäåë 22.5.

49. Vafa, C. and Witten, E., Nucl. Phys., B234, 173 (1984); Commun. Math. Phys., 95, 257 (1984). 50. Vafa, C. and Witten, E., Phys. Rev. Lett., 53, 535 (1984). 51. Glashow, S.L., in Hadrons and Their Interactions, ed. A. Zichichi (Academic Press, New York, 1968); Glashow, S.L., Jackiw, R., and Shei, S.-S., Phys. Rev., 187, 1916 (1969); Gell-Mann, M., in Proc. Third Topical Conf. on Part. Phys., eds. W.A. Simonds and S.F. Tuan (Western periodicals, Los Angeles, 1970); in Elementary Particle Physics (Springer-Verlag, Bonn, 1972); Acta Phys. Austriaca Suppl., IX, 1972 (1972); Fritzsch, H. and Gell-Mann, M., in Proc. XVI Int. Conf. on High Energy Physics, eds. J.D. Jackson and A. Roberts (Fermi Nat. Acc. Laboratory, Batavia, IL, 1972); Phys. Lett., 47B, 365 (1973). 52. Weinberg, S., Phys. Rev., D11, 3583 (1975).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

20 Îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ ×àñòî íàì íåîáõîäèìî çíàòü, êàê âåäåò ñåáÿ àìïëèòóäà, åñëè 4-èìïóëüñ, âíîñèìûé îäíèì îïåðàòîðîì è óíîñèìûé äðóãèì, ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, à 4-èìïóëüñû âñåõ îñòàëüíûõ âíåøíèõ ëèíèé ôèêñèðîâàíû. Íàïðèìåð, â ðàçäåëå 20.6 ìû óâèäèì, ÷òî ïîëíîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ ýëåêòðîíà íà íà÷àëüíîì àäðîíå Í ñ îáðàçîâàíèåì ïðîèçâîëüíûõ àäðîíîâ â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè îïðåäåëÿåòñÿ â ñèëó ñîîòíîøåíèÿ óíèòàðíîñòè ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé (ñ èçâåñòíûìè êîýôôèöèåíòàìè) êîìïîíåíò àìïëèòóäû

z

d 4xe − ik ⋅x 〈H| J µ (x)J ν (0)| H 〉

ãäå k — 4-èìïóëüñ, ïåðåäàâàåìûé îò ýëåêòðîíà ê àäðîíàì, à Jµ(x) — ýëåêòðîìàãíèòíûé òîê.  ñëó÷àå ãëóáîêîíåóïðóãîãî ðàññåÿíèÿ ýëåêòðîíîâ íå çàïðåùåíî ñòðåìëåíèå ê áåñêîíå÷íîñòè èìïóëüñà k, âíîñèìîãî îäíèì îïåðàòîðîì òîêà è óíîñèìîãî äðóãèì. Àíàëîãè÷íî, â ðàçäåëå 20.5 ïðè èçó÷åíèè ïðåäåëà áîëüøèõ èìïóëüñîâ äëÿ ðàçëè÷íûõ ïðîïàãàòîðîâ è âûâîäå ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðàâèë ñóìì äëÿ ñïåêòðàëüíûõ ôóíêöèé ìû ñòîëêíåìñÿ ñ âû÷èñëåíèåì ïðåäåëà ïðè áîëüøèõ èìïóëüñàõ äëÿ ïîõîæèõ ôóðüå-îáðàçîâ, ñ òîé ðàçíèöåé, ÷òî îäíî èç àäðîííûõ ñîñòîÿíèé |H〉 çàìåíèòñÿ íà âàêóóì. Åñëè áû ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðîâ òèïà Jµ(x)Jν(0) áûëî àíàëèòè÷íûì ïî xµ, òî åãî ôóðüå-îáðàç ïàäàë áû ýêñïîíåíöèàëüíî ïðè ñòðåìëåíèè ôóðüå-ïåðåìåííîé k ê áåñêîíå÷íîñòè. Âåäóùèå ñëàãàåìûå â ïðåäåëüíîì âûðàæåíèè ôóðüå-îáðàçà ïðè áîëüøèõ èìïóëüñàõ âîçíèêàþò îò ñèíãóëÿðíîñòåé ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàòîðîâ ïðè ñòðåìëåíèè ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ àðãóìåíòîâ äðóã ê äðóãó.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

340

Ãëàâà 20. Îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ

Èçó÷åíèå òàêèõ îïåðàòîðíûõ ïðîèçâåäåíèé áûëî íà÷àòî â 1969 ãîäó Âèëüñîíîì 1, ïîíà÷àëó êàê ïîïûòêà ñôîðìóëèðîâàòü çàìåíó îáû÷íîé êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ. Êàê áûâàëî è ðàíüøå (íàïðèìåð, ñ äèñïåðñèîííûìè ñîîòíîøåíèÿìè èëè ñ ôåéíìàíîâñêèìè äèàãðàììíûìè ïðàâèëàìè), ïîïûòêà îáîéòè êâàíòîâóþ òåîðèþ ïîëÿ ïðèâåëà ê âàæíûì îáùèì ðåçóëüòàòàì, îäíàêî ýòè ðåçóëüòàòû ëó÷øå âñåãî ìîãóò áûòü ïîíÿòû êàê îáùèå ñâîéñòâà êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ. Îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå óñòàíàâëèâàåòñÿ â ðàçäåëå 20.1. Ñòàíäàðòíîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ðàçëîæåíèÿ â ðàìêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé áûëî äàíî Öèììåðìàííîì 2 â 1970 ãîäó.  ðàçäåëå 20.1 ìû ïðåäëîæèì íåïåðòóðáàòèâíûé è áîëåå ïðîñòîé, õîòÿ è ìåíåå ñòðîãèé, âûâîä, îñíîâàííûé íà ôóíêöèîíàëüíîé ôîðìóëèðîâêå òåîðèè ïîëÿ.  ðàçäåëå 20.2 èçëîæåí äðóãîé âçãëÿä íà ðàçëîæåíèå îïåðàòîðíûõ ïðîèçâåäåíèé íà ÿçûêå ïîòîêîâ áîëüøèõ èìïóëüñîâ ñêâîçü ôåéíìàíîâñêèå äèàãðàììû, ÷òî ïîçâîëèò äàòü äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ðàçëîæåíèÿ â ðàìêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé. Ðÿä ñâîéñòâ îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ äåëàåò åãî îñîáåííî ïîëåçíûì äëÿ îïèñàíèÿ ñëåäñòâèé òåîðèé òèïà êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè. Îäíî òàêîå ñâîéñòâî, îáñóæäàåìîå â ðàçäåëå 20.3, çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ôóíêöèè, îïèñûâàþùèå ñèíãóëÿðíîñòè â ýòîì ðàçëîæåíèè, èìåþò çàâèñèìîñòü îò èìïóëüñîâ, îïðåäåëÿåìóþ ðåíîðìãðóïïîâûìè ðàçëîæåíèÿìè, òàê ÷òî â àñèìïòîòè÷åñêè ñâîáîäíûõ òåîðèÿõ îíè ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ èìïóëüñîâ ïî òåîðèè âîçìóùåíèé. Äðóãîå ñâîéñòâî, îáñóæäàåìîå â ðàçäåëå 20.4, çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ýòè ôóíêöèè îáëàäàþò ïîëíîé ñèììåòðèåé ëåæàùåé â îñíîâå òåîðèè, è íå èçìåíÿþòñÿ â ðåçóëüòàòå âîçìîæíîãî ñïîíòàííîãî íàðóøåíèÿ ñèììåòðèè. Ïðèëîæåíèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ â ðàçäåëàõ 20.5 è 20.6. 20.1. Ðàçëîæåíèå: îïèñàíèå è âûâîä Âèëüñîí 1 ïðåäïîëîæèë, ÷òî ñèíãóëÿðíàÿ ïðè x → y ÷àñòü ïðîèçâåäåíèÿ A(x)B(x) äâóõ îïåðàòîðîâ äàåòñÿ ñóììîé ïî äðóãèì ëîêàëüíûì îïåðàòîðàì

A(x) B( y) →

∑ FCAB (x − y)C(y), C

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(20.1.1)

20.1. Ðàçëîæåíèå: îïèñàíèå è âûâîä

341

ãäå FABC(x − y) — ñèíãóëÿðíûå ñ-÷èñëîâûå ôóíêöèè. Èç ðàçìåðíîãî àíàëèçà ñëåäóåò, ÷òî FABC(x − y) âåäåò ñåáÿ ïðè x → y êàê ñòåïåíü dC − dA − dB ðàçíîñòè x − y, ãäå dO — ðàçìåðíîñòü îïåðàòîðà Î â ñòåïåíÿõ ìàññû èëè èìïóëüñà. Ïîñêîëüêó dO ðàñòåò ïðè äîáàâëåíèè ïîëåé èëè ïðîèçâîäíûõ ê îïåðàòîðó Î, ñòåïåíü ñèíãóëÿðíîñòè FABC(x − y) äëÿ îïåðàòîðîâ Ñ ðàñòóùåé ñëîæíîñòè óìåíüøàåòñÿ. Ïðèìå÷àòåëüíî òî, ÷òî ðàçëîæåíèå îïåðàòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðíûì ñîîòíîøåíèåì; èíà÷å ãîâîðÿ, ïðèìåíÿÿ åãî ê ëþáîìó ìàòðè÷íîìó ýëåìåíòó 〈β|A(x)B(x)|α〉, ìû ïîëó÷àåì òå æå ñàìûå ôóíêöèè FABC(x − y) äëÿ âñåõ ñîñòîÿíèé |α〉 è |β〉. Èìåííî îñëàáëåíèå ñèíãóëÿðíîñòè â (20.1.1) äëÿ îïåðàòîðîâ C(y) ðàñòóùåé ñëîæíîñòè äåëàåò ðàçëîæåíèå ïîëåçíûì äëÿ çàêëþ÷åíèé î ïîâåäåíèè ïðîèçâåäåíèÿ A(x)B(y) ïðè x → y. Ïðèâåäåííûå âûøå ïðîñòûå àðãóìåíòû, îñíîâàííûå íà ïîäñ÷åòå ñòåïåíåé, ìîäèôèöèðóþòñÿ ýôôåêòàìè ïåðåíîðìèðîâêè: ðàçëîæåíèå (20.1.1) äîëæíî áûòü ñôîðìóëèðîâàíî ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðîâ, ïåðåíîðìèðîâàííûõ íà íåêîòîðîì ìàñøòàáå m, ïîñëå ÷åãî m âîéäåò íàðÿäó ñ x − y â êîýôôèöèåíòíóþ ôóíêöèþ FABC(x − y).  ðàçäåëå 20.3 ìû óâèäèì, ÷òî â àñèìïòîòè÷åñêè ñâîáîäíûõ òåîðèÿõ FABC(x − y) íà ñàìîì äåëå âåäåò ñåáÿ òàê, êàê ïðåäñêàçûâàåò ðàçìåðíûé àíàëèç, ò. å. êàê ñòåïåíü dC − dA − dB ðàçíîñòè x − y, òîëüêî ñ òî÷íîñòüþ äî ñòåïåíè ëîãàðèôìà ln(x − y)2. Ïîõîæå, ÷òî äàæå â áîëåå îáùèõ òåîðèÿõ ñèíãóëÿðíîñòè, ñâÿçàííûå ñ ðàçëè÷íûìè îïåðàòîðàìè C(y), áóäóò îñëàáëÿòüñÿ ñ ðîñòîì ñëîæíîñòè îïåðàòîðîâ.  èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå ñîîòâåòñòâóþùåå óòâåðæäåíèå îçíà÷àåò, ÷òî ïðè k → ∞

z

d 4 xe − ik ⋅x A(x) B(0) →

∑ VCAB (k)C(0) C

(20.1.2)

è ñîîòâåòñòâåííî

z

d 4 xe − ik ⋅xT{ A(x) B(0)} →

∑ U CAB (k)C(0), C

(20.1.3)

ãäå VABC(k) è UABC(k) — ôóíêöèè kµ, âñå áûñòðåå ïàäàþùèå ïðè áîëüøèõ k äëÿ âñå áîëåå è áîëåå ñëîæíûõ ÷ëåíîâ ðÿäà. Ìû ñîáèðàåìñÿ âûâåñòè îáîáùåííóþ âåðñèþ âèëüñîíîâñêîãî ðàçëîæåíèÿ, â êîòîðîé îäíîâðåìåííî óñòðåìëÿþòñÿ ê áåñêîíå÷íîñ-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

342

Ãëàâà 20. Îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ

òè èìïóëüñû, ïðîíîñèìûå ëþáûì ÷èñëîì îïåðàòîðîâ. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ôóíêöèè Ãðèíà ëîêàëüíûõ îïåðàòîðîâ A1(x1), A2(x2), è ò. ä., àðãóìåíòû êîòîðûõ ñòðåìÿòñÿ ê òî÷êå x, à òàêæå äðóãèõ ëîêàëüíûõ îïåðàòîðîâ B1(y1), B2(y2), è ò. ä. ñ ôèêñèðîâàííûìè àðãóìåíòàìè:

〈T{ A1(x1), A2 (x2 ), . . . , B1(y1), B2 ( y2 ). . . }〉0

X LM∏ dϕ (z)OP a (x )a (x ). . . b (y )b (y ). . . exp(iI[ϕ]) , YZ MN PQ 1

l

1

2

2

1

1

2

1

(20.1.4)

l,z

ãäå ñòðî÷íûå áóêâû a è b óêàçûâàþò íà çàìåíó ïîëåâûõ îïåðàòîðîâ â À è  íà ñ-÷èñëîâûå ïîëÿ ϕ. Îêðóæèì òåïåðü òî÷êó x øàðîì B(R) ðàäèóñîì R, êîòîðûé ìíîãî áîëüøå, ÷åì ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè x1, x2 è ò. ä., íî ìíîãî ìåíüøå, ÷åì ðàññòîÿíèå ìåæäó x, y1, y2 è ò. ä. Ïîñêîëüêó äåéñòâèå ëîêàëüíî, åãî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå I=

z

z ∈B( R )

d 4 z L (z) +

z

z∈ / B( R )

d 4 z L (z).

(20.1.5)

Ïîñëå ýòîãî âûðàæåíèå (20.1.4) ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó

〈T{ A1 (x1 ), A2 (x2 ), . . . , B1 ( y1 ), B2 ( y2 ). . . }〉 0

X LM YZ MN XL ×YM Z MN

=



OP ez PQ O dϕ (z)P a (x )a (x ). . . expe i z PQ

dϕ l (z) b1 ( y1 )b2 ( y2 ). . . exp i

z∈ / B(R ),l



z ∈B( R),l

l

1

1

2

2

z∈ / B( R )

z ∈B(R)

d 4 z L (z)

j j

(20.1.6)

d 4 z L (z) ,

ãäå ôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë ïî ïîëÿì âíóòðè øàðà ñâÿçàí ãðàíè÷íûì óñëîâèåì, ÷òî ïîëÿ íà ïîâåðõíîñòè øàðà ãëàäêî ñøèâàþòñÿ ñ ïîëÿìè ñíàðóæè. Ïîìèìî ýòîãî ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ ôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë ïî ïîëÿì âíóòðè øàðà ñîâåðøåííî íå çàâèñèò îò ïîâåäåíèÿ ïîëÿ âíå øàðà, òàê ÷òî èíòåãðàë ïî ïîëÿì âíóòðè øàðà ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç çíà÷åíèÿ ïîëåé è èõ ïðîèçâîäíûõ íà åãî ïîâåðõíîñòè, ÷òî, â ñâîþ î÷åðåäü, ìîæíî çàïèñàòü ÷åðåç ïîëÿ è èõ ïðîèçâîäíûå, ýêñòðàïîëèðîâàííûå ñíàðóæè øàðà âî âíóòðåííþþ òî÷êó x. Åñëè âûðàçèòü ýòîò èíòåãðàë â âèäå ðÿäà ïî ïðîèçâåäåíè-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

20.2. Ïîòîê èìïóëüñà

343

ÿì * o(x) ñ-÷èñëîâûõ ïîëåé è èõ ïðîèçâîäíûõ, ýêñòðàïîëèðîâàííûõ â òî÷êó x, òî êîýôôèöèåíòû ìîãóò áûòü òîëüêî ôóíêöèÿìè U OA1 , A2 ,... (x1 − x, x2 − x, . . . ) ðàçíîñòåé êîîðäèíàò. òàê êàê âñå òî÷êè y1, y2 è ò. ä. íàõîäÿòñÿ äàëåêî îò øàðà B(R), èñêëþ÷åíèå ýòîãî øàðà èç äåéñòâèÿ äëÿ ïîëåé âíå øàðà íå îêàçûâàåò íèêàêîãî âëèÿíèÿ â ïðåäåëå R → 0, òàê ÷òî â ýòîì ïðåäåëå âûðàæåíèå(20.1.6) ïðèíèìàåò ïðè x1, x2, è ò. ä., ñòðåìÿùèìñÿ ê x, âèä:

T{ A1 (x1 ), A2 (x2 ), . . . , B1 ( y1 ), B2 ( y2 ). . . }〉 0

X LM∏ YZ MN



OP PQ

dz

dϕ l (z) b1 ( y1 )b2 ( y2 ). . . exp i L (z)

l,z

i

× ∑ U OA1 , A2 ,... (x1 − x, x2 − x, . . . )o(x) O

=

∑ U O1

A , A2 ,...

(20.1.7)

(x1 − x, x2 − x, . . . )〈T{O(x), B1 ( y1 ), B2 ( y2 ). . . }〉 0

O

ãäå O(x) — êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèé îïåðàòîð â ãåéçåíáåðãîâîñêîì ïðåäñòàâëåíèè, ñîîòâåòñòâóþùèé o(x).  ÷àñòíîñòè, ñîâåðøàÿ ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèå ïî ïåðåìåííûì y è óìíîæàÿ íà ñîîòâåòñòâóþùèå êîýôôèöèåíòíûå ôóíêöèè, ïîëó÷àåì äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ñîñòîÿíèé |α〉 è 〈β|:

〈β| T{ A1(x1), A2 (x2 ), . . . }| α 〉 →

∑ U O1

A , A2 ,...

(x1 − x, x2 − x, . . . )〈β| O(x)| α 〉

O

(20.1.8) Ïîñêîëüêó ýòî âåðíî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ñîñòîÿíèé, ïîëó÷àåì îáîáùåííóþ âåðñèþ îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ:

T{ A1 (x1), A2 (x2 ), . . . } →

∑ U O1

A , A2 ,...

O

(x1 − x, x2 − x, . . . )O(x). (20.1.9)

* Äëÿ òîãî, ÷òîáû êîýôôèöèåíòû òàêîãî ðÿäà áûëè êîíå÷íû, ýòè ïðîèçâåäåíèÿ äîëæíû áûòü ïåðåíîðìèðîâàíû óìíîæåíèåì íà ïîäõîäÿùèå áåñêîíå÷íûå ìíîæèòåëè. Ýòî ñòàíåò ÿñíåå ïðè âûâîäå, ïðåäñòàâëåííîì â ñëåäóþùåì ðàçäåëå.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

344

Ãëàâà 20. Îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ

20.2. Ïîòîê èìïóëüñà * Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðîñòåéøèé ïðèìåð îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ: àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå (n+2)-òî÷å÷íîé ôåéíìàíîâñêîé àìïëèòóäû â òåîðèè åäèíñòâåííîãî äåéñòâèòåëüíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ϕ(x) ìàññîé m è ïëîòíîñòüþ ëàãðàíæèàíà âçàèìîäåéñòâèÿ −gϕ4/24, êîãäà áîëüøîé 4-èìïóëüñ k âòåêàåò ïî îäíîé ëèíèè è âûòåêàåò ïî äðóãîé, à èìïóëüñû âñåõ îñòàëüíûõ âíåøíèõ ëèíèé ôèêñèðîâàíû. Ìû ïîëó÷èì â ýòîì ñëó÷àå äîêàçàòåëüñòâî ïî òåîðèè âîçìóùåíèé âèäà ãëàâíîãî ÷ëåíà îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ, íî èñòèííîé öåëüþ áóäåò äîñòèæåíèå áîëåå ãëóáîêîãî ïîíèìàíèÿ òîãî, êàêèì îáðàçîì ïîòîêè áîëüøèõ èìïóëüñîâ ñêâîçü ôåéíìàíîâñêèå äèàãðàììû ïðèâîäÿò ê òàêîìó ðàçëîæåíèþ.  ïðèëîæåíèè ê ãëàâå îáñóæäàåòñÿ ðàñøèðåíèå ýòèõ ðåçóëüòàòîâ íà îáùèé ñëó÷àé. Îïðåäåëèì âåëè÷èíó Γ(k;p1,...,pn) êàê ñóììó âñåõ ñâÿçíûõ äèàãðàìì n-÷àñòè÷íîé àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ, âíåøíèå ëèíèè êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóþò âõîäÿùèì èìïóëüñàì k, p−k, è èñõîäÿùèì èìïóëüñàì p1,..., pn. (Óäîáíî ñ÷èòàòü äàëåå, ÷òî Γ(k;p1,...,pn) âêëþ÷àåò ïðîïàãàòîðû âíåøíèõ ëèíèé ñ èìïóëüñàìè k è p − k, íî íå ñ èìïóëüñàìè p1,..., pn.) Ìû õîòèì ïîêàçàòü, ÷òî â ëþáîì êîíå÷íîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé ïðè k → ∞

Γ(k; p1 . . . pn ) → U ϕ2 (k)Fϕ2 (p1 . . . pn ) + O(k −5 ) ,

(20.2.1)

ãäå U ϕ2 (k) åñòü ñóììà ñëàãàåìûõ ïîðÿäêà** k−4, íå çàâèñÿùèõ îò p1,..., pn, à Fϕ2 (p1 . . . pn ) — àìïëèòóäà, îòâå÷àþùàÿ äèàãðàììå ñ n ϕ-ëèíèÿìè è âêëþ÷àþùàÿ åäèíñòâåííóþ ϕ2 âåðøèíó, óìíîæåííàÿ íà ïîäõîäÿùóþ êîíñòàíòó ïåðåíîðìèðîâêè, êîòîðàÿ äåëàåò ýòó àìïëèòóäó êîíå÷íîé. Ïîñêîëüêó Fϕ2 (p1 . . . pn ) — ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ïåðåíîðìèðîâàííîãî îïåðàòîðà (ϕ 2 ) R ≡ Zϕ2 ϕ 2 (0) , ñîîòíîøåíèå (20.2.1)

* Ýòîò ðàçäåë ëåæèò íåñêîëüêî â ñòîðîíå îò îñíîâíîé ëèíèè èçëîæåíèÿ è ìîæåò áûòü îïóùåí ïðè ïåðâîì ÷òåíèè. ** Ïîâñþäó â ýòîé ãëàâå, ãäå óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî àìïëèòóäà ïîðÿäêà kÀ, ñëåäóåò ïîíèìàòü, ÷òî ïðè kr = knr, ãäå k → ∞ è nr — ôèêñèðîâàííûé 4âåêòîð, àìïëèòóäà ñòðåìèòñÿ ê ïðåäåëó kA, óìíîæåííîìó íà ñóììó ñòåïåíåé ln k.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

20.2. Ïîòîê èìïóëüñà

345

ñîîòâåòñòâóåò óòâåðæäåíèþ, ÷òî ñòàðøèé ÷ëåí â îïåðàòîðíîì ðàçëîæåíèè ïðè k → ∞ èìååò âèä *

z

d 4xe − ik ⋅xT{ϕ R (x)ϕ R (0)}C → U ϕ2 (k) ϕ 2 (0)

d

i

R

.

(20.2.2)

Ïðè îöåíêå àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ôåéíìàíîâñêèõ àìïëèòóä ñëåäóåò ïðèíèìàòü âî âíèìàíèå, ÷òî â îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâóþò ÷àñòè, ãäå íåêîòîðûå âíóòðåííèå ëèíèè ïåðåíîñÿò èìïóëüñ òîãî æå ïîðÿäêà, ÷òî è ñòðåìÿùèåñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè èìïóëüñû âíåøíèõ ëèíèé, à äëÿ îñòàëüíûõ âíóòðåííèõ ëèíèé ýòî íå òàê. Âêëàä â Γ(k; p1,...,pn) îò òîé ÷àñòè îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ, êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò ëèíèÿì ñ èìïóëüñîì k â êàêîé-òî ïîääèàãðàììå S, èìååò àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ïîðÿäêà k DS , ãäå DS − èíäåêñ ïîääèàãðàììû S, âû÷èñëåííûé ïî ïðàâèëàì ðàçäåëà 12.1. Åñëè S èìååò m âíåøíèõ ëèíèé, ñâÿçûâàþùèõ ýòó ïîääèàãðàììó ñ îñòàëüíîé ÷àñòüþ äèàãðàììû, à òàêæå äâå âíåøíèå ëèíèè ñ èìïóëüñàìè k è p − k, òî èç âûðàæåíèÿ (12.1.8) íàõîäèì: DS = 4 − 2 − m − 4 = −2 − m. (Ñëàãàåìîå −4 âîçíèêàåò îò äâóõ ïðîïàãàòîðîâ ëèíèé ñ èìïóëüñàìè k è p − k, êîòîðûå, ïî íàøåìó îïðåäåëåíèþ, âêëþ÷åíû â Γ(k;p1,...,pn). Òàêèì îáðàçîì, àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå Γ îïðåäåëÿåòñÿ òîé ÷àñòüþ èíòåãðàëà ïî èìïóëüñíîìó ïðîñòðàíñòâó, êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò ïðîòåêàíèþ áîëüøîãî èìïóëüñà k ëèáî ÷åðåç âñþ äèàãðàììó, ëèáî ÷åðåç íåêîòîðóþ åå ïîääèàãðàììó, â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ó êàêîé èç íèõ íàèìåíüøåå ÷èñëî âíåøíèõ ëèíèé 3. Ïðè n = 0 ýòî âñåãäà âñÿ äèàãðàììà; èíûìè ñëîâàìè, äîìèíèðóþùèé âêëàä â èíòåãðàë âîçíèêàåò îò ÷àñòè îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ, ãäå êàæäàÿ ëèíèÿ íåñåò èìïóëüñ ïîðÿäêà k, ÷òî ïðèâîäèò ê àñèìïòîòè÷åñêîìó ïîâåäåíèþ ïîðÿäêà k−2.  ýòîì ñëó÷àå åäèíñòâåííûì îïåðàòîðîì â îïåðàòîðíîì ðàçëîæåíèè, äàþùèì âêëàä â òàêîé ìàòðè÷íûé ýëåìåíò, ÿâëÿåòñÿ åäèíè÷íûé îïåðàòîð C = 1. Ïðè n > 0 òàêîå ñëàãàåìîå îòáðîøåíî, ïîñêîëüêó â äàííûé ìîìåíò ìû îãðàíè÷èëèñü ðàññìîòðåíèåì ñâÿçíûõ äèàãðàìì. Ïðè n = 2 ãëàâíûé âêëàä âîçíèêàåò êàê îò âñåé äèàãðàììû, òàê è îò ïîääèàãðàìì, â êîòîðûõ äâå âíåøíèå ëèíèè ñ èìïóëüñàìè * Èíäåêñ Ñ ïðè õðîíîëîãè÷åñêîì ïðîèçâåäåíèè óêàçûâàåò, ÷òî ìû âêëþ÷èëè òîëüêî ñâÿçíûå äèàãðàììû.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

346

Ãëàâà 20. Îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ

k è p − k ñâÿçàíû ñ äâóìÿ äðóãèìè âíåøíèìè ëèíèÿìè ìîñòèêîì, ñîñòîÿùèì èç äâóõ âíóòðåííèõ ëèíèé *, ÷òî äàåò àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ïîðÿäêà k−4. Ïðè n ≥ 4 ãëàâíûé âêëàä âîçíèêàåò òîëüêî îò ïîääèàãðàìì, â êîòîðûõ äâå âíåøíèå ëèíèè ñ èìïóëüñàìè k è p − k ñâÿçàíû ñ n > 2 äðóãèìè âíåøíèìè ëèíèÿìè ìîñòèêîì, ñîñòîÿùèì èç äâóõ âíóòðåííèõ ëèíèé, è ýòî îïÿòü ïðèâîäèò ê àñèìïòîòè÷åñêîìó ïîâåäåíèþ ïîðÿäêà k−4. Àíàëèç ñëó÷àåâ n = 2 è n ≥ 4 îñëîæíÿåòñÿ òåì, ÷òî ïðîèçâîëüíàÿ äèàãðàììà ìîæåò ñîäåðæàòü íåñêîëüêî äâóõ÷àñòè÷íûõ ìîñòèêîâ. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé n = 2. Îïðåäåëèì I(k,k′,p) êàê ñóììó âêëàäîâ â Γ(k; p1,p2) âñåõ äèàãðàìì, êîòîðûå äâóõ÷àñòè÷íî íåïðèâîäèìû â òîì ñìûñëå, ÷òî äâå âíåøíèå ëèíèè ñ âõîäÿùèìè èìïóëüñàìè k è p − k íå ìîãóò áûòü îòäåëåíû îò äâóõ âíåøíèõ ëèíèé ñ èìïóëüñàìè k′ è p − k′ ïóòåì ðàçðåçàíèÿ ëþáîé ïàðû âíóòðåííèõ ëèíèé. Òîãäà âûðàæåíèå Γ(k; k′, p − k′) − I(k, k′, p) âêëþ÷àåò âêëàäû äèàãðàìì, êîòîðûå ìîãóò áûòü ðàçðåçàíû óêàçàííûì îáðàçîì, è ïîýòîìó ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå (ñì. ðèñ. 20.1)

Γ(k; k ′, p − k ′) − I(k, k ′, p) = d 4k ′′ I(k, k ′′, p)Γ(k ′′; k ′, p − k ′) . (20.2.3)

z

Ðèñ. 20.1. Äèàãðàììíîå ïðåäñòàâëåíèå èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (20.2.3). Çàøòðèõîâàííûå äèñêè, ïîìå÷åííûå áóêâîé G, ñîîòâåòñòâóþò ñóììå âñåõ ñâÿçíûõ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì ñ óêàçàííûìè âíåøíèìè ëèíèÿìè, à çàøòðèõîâàííûå äèñêè ñ âåðòèêàëüíîé ÷åðòîé, ïîìå÷åííûå áóêâîé I, ñîîòâåòñòâóþò ñóììå âñåõ ñâÿçíûõ äèàãðàìì, äëÿ êîòîðûõ ëèíèè ñëåâà íå ìîãóò áûòü îòäåëåíû îò ëèíèé ñïðàâà ðàçðåçàíèåì ëþáîé ïàðû âíåøíèõ ëèíèé. * Ñëó÷àé m = 1 èñêëþ÷àåòñÿ, òàê êàê ñèììåòðèÿ äàííîé òåîðèè îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ → –ϕ çàïðåùàåò äèàãðàììû èëè ïîääèàãðàììû ñ íå÷åòíûì ÷èñëîì âíåøíèõ êîíöîâ. Ñëó÷àé m = 0 èñêëþ÷åí, ïîñêîëüêó, ïî îïðåäåëåíèþ, G âîçíèêàåò òîëüêî èç ñâÿçíûõ äèàãðàìì.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

20.2. Ïîòîê èìïóëüñà

347

(Êàê è Γ(k; k′, p − k′), ÿäðî I(k, k′, p) âêëþ÷àåò ïðîïàãàòîðû äëÿ ëèíèé ñ èìïóëüñàìè k è p − k, îäíàêî, ÷òîáû èçáåæàòü äâîéíîãî ñ÷åòà, íå âêëþ÷àåò ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîïàãàòîðîâ äëÿ ëèíèé ñ èìïóëüñàìè k′ è p − k′). Ôåéíìàíîâñêèå äèàãðàììû äëÿ I(k,k′,p) â ïîðÿäêå g2 ïîêàçàíû íà ðèñ. 20.2. ×òîáû îöåíèòü ïîâåäåíèå ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (20.2.3), ðàññìîòðèì ñíà÷àëà àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ÿäðà I(k,k′,p) ïðè k → ∞ è ôèêñèðîâàííûõ k′ è p. Îíî îïðåäåëÿåòñÿ îáëàñòüþ èìïóëüñíîãî ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîé âñå âíóòðåííèå ëèíèè íåñóò èìïóëüñû ïîðÿäêà k, ÷òî ïðèâîäèò ê âêëàäó ïîðÿäêà k−4, ïîñêîëüêó â ëþáîé äðóãîé îáëàñòè ïîääèàãðàììà, ñîñòîÿùàÿ èç âíóòðåííèõ ëèíèé, íåñóùèõ èìïóëüñû ïîðÿäêà k, áóäåò èìåòü áîëåå ÷åòûðåõ âíåøíèõ êîíöîâ è ïîýòîìó áóäåò äàâàòü âêëàä, óáûâàþùèé áûñòðåå, ÷åì k− 4 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äèôôåðåíöèðîâàíèå ÿäðà I(k,k′,p) ïî k′ èëè ð áóäåò ïðèâîäèòü ê ïîÿâëåíèþ äîïîëíèòåëüíîãî ìíîæèòåëÿ k−1 â àñèìïòîòè÷åñêîì ïîâåäåíèè ýòîãî ÿäðà. Ñëåäîâàòåëüíî ïðè k → ∞ è ôèêñèðîâàííûõ k′ è p èìååì

I(k, k ′, p) → I∞ (k) ,

(20.2.4)

ãäå Iµ(k) − ôóíêöèÿ òîëüêî îò k ïîðÿäêà k−4. Ê ñîæàëåíèþ, íåëüçÿ ïðîñòî çàìåíèòü I(k,k′,p) â (20.2.3) íà ýòîò àñèìïòîòè÷åñêèé ïðåäåë, ò. ê. êàêèì áû áîëüøèì íå áûë èìïóëüñ k, áîëüøîé âêëàä â èíòåãðàë äàþò çíà÷åíèÿ k′ ïîðÿäêà k. ×òîáû ñïðàâèòüñÿ ñ ýòîé ïðîáëåìîé, èñïîëüçóåì ïðèåì, îñíîâàííûé íà ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè.  íèçøåì ïîðÿäêå Γ(k; k′,p − k′)

Ðèñ. 20.2. Äðåâåñíûå è îäíîïåòëåâûå äèàãðàììû, äàþùèå âêëàä â ÿäðî I(k,k′,p), â òåîðèè ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ñ âçàèìîäåéñòâèåì Φ4.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

348

Ãëàâà 20. Îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ

äàåòñÿ åäèíñòâåííîé âåðøèíîé ñ äâóìÿ ïðèêðåïëåííûìè ê íåé ãîëûìè ïðîïàãàòîðàìè:

Γ(k; k ′, p − k ′) =

ig (2π)4 (k 2

+

m2 )((p

− k)2 + m2 )

(íèçøèé ïîðÿäîê),

 ýòîì ñëó÷àå ëåãêî ïðîâåðèòü ïðàâèëüíîñòü àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ âèäà (20.2.1). Ïîýòîìó ïðåäïîëîæèì, ÷òî óðàâíåíèå (20.2.1) ïðè n = 2 âûïîëíÿåòñÿ âïëîòü äî íåêîòîðîãî çàäàííîãî ïîðÿäêà N ïî g, èíûìè ñëîâàìè, âïëîòü äî ýòîãî ïîðÿäêà àñìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ïðè k → µ èìååò âèä

Γ(k; k ′, p − k ′) → U ϕ2 (k)Fϕ2 (k ′, p − k ′) + O(k −5 ) ,

(20.2.5)

è ïîïðîáóåì ïðîâåðèòü, ÷òî òàêîå æå ïîâåäåíèå èìååò ìåñòî â ñëåäóþùåì ïîðÿäêå. ×òîáû èñêëþ÷èòü âêëàä â èíòåãðàë â (20.2.3) îò çíà÷åíèé k′ ïîðÿäêà k, ïåðåïèøåì (20.2.3) â âèäå

Γ(k; k ′, p − k ′) = I(k, k ′, p) + d 4k ′′ I(k, k ′′, p) Γ(k ′′; k ′, p − k ′) − U ϕ2 (k ′′)Fϕ2 (k ′, p − k ′)

z

+ Fϕ2 (k ′, p − k ′) d 4k ′′ I(k, k ′′, p)U ϕ2 (k ′′) .

z

(20.2.6)

Ïîñêîëüêó I(k,k′,p) ïî êðàéíåé ìåðå ïåðâîãî ïîðÿäêà, ìîæíî â ïðàâîé ÷àñòè (20.2.6) èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (20.2.5). Îòñþäà âî âòîðîì ñëàãàåìîì â ïðàâîé ÷àñòè îáëàñòü èíòåãðèðîâàíèÿ, â êîòîðîé k′′ ïîðÿäêà k, äàåò âêëàä, îáðàùàþùèéñÿ â íóëü êàê k−4+4−5, è ïîýòîìó ýòîé îáëàñòüþ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ïî ñðàâíåíèþ ñ òîé, ãäå k′′ îñòàåòñÿ êîíå÷íûì, ÷òî ïðèâîäèò ê ñõîäÿùåìóñÿ èíòåãðàëó I ∞ (k) = d 4 k ′′ Γ(k ′′; k ′, p − k ′) − U ϕ2 (k ′′)Fϕ2 (k ′, p − k ′) .

z

Äàëåå, ïîñêîëüêó ãëàâíûé âêëàä â d 4 k ′′I(k, k ′′, p)U ϕ2 (k ′′) âîçíèêàåò îò îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ, ãäå êàæäàÿ âíóòðåííÿÿ ëèíèÿ äèàãðàìì äëÿ I(k, k′′, p) íåñåò èìïóëüñ ïîðÿäêà k, òî äèôôåðåíöèðîâàíèå ýòîãî èíòåãðàëà ïî ð óìåíüøèò âêëàä â àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå íà ìíîæèòåëü ïîðÿäêà k−1, òàê ÷òî àñèìïòîòè÷åñêè â ýòîì èíòåãðàëå ìîæíî çàìåíèòü I(k, k′, p) íà I(k,k′) ≡ I(k, k′, 0). Òàêèì îáðàçîì, ïðè k → ∞ óðàâíåíèå (20.2.6) ïðèíèìàåò âèä

z

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

20.2. Ïîòîê èìïóëüñà

349

z

Γ(k; k ′, p − k ′) → Fϕ2 (k ′, p − k ′) d 4k ′′ I(k, k ′′)U ϕ2 (k ′′)

{

+ I∞ (k) 1 +

z

d 4k ′′ Γ(k ′′; k ′, p − k ′) − U ϕ2 (k ′′)Fϕ2 (k ′, p − k ′) . (20.2.7)

}

Îïðåäåëèì ïîýòîìó U ϕ2 (k) è Fϕ2 (k ′, p − k ′) â ïîðÿäêå N + 1 ïî g ÷åðåç ýòè ôóíêöèè â áîëåå íèçêèõ ïîðÿäêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé ñîîòíîøåíèÿìè

U ϕ2 (k) = CI ∞ (k) + d 4 k ′ I(k, k ′)U ϕ2 (k ′) ,

z

(20.2.8)

Fϕ2 (k ′, p − k ′)

{

= C −1 1 +

z

d 4 k ′′ Γ(k ′′; k ′, p − k ′) − U ϕ2 (k ′′)Fϕ2 (k ′, p − k ′) , (20.2.9)

}

ãäå Ñ — êîíñòàíòà, êîòîðóþ ìîæíî âûáðàòü ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì. Ñ ó÷åòîì ýòèõ îïðåäåëåíèé óðàâíåíèå (20.2.5) ñëåäóåò èç óðàâíåíèÿ (20.2.7). Óäîáíî âûáðàòü êîíñòàíòó Ñ òàê, ÷òîáû Fϕ2 (k ′, p − k ′) ïðèíèìàëî áû çíà÷åíèå, ðàâíîå åäèíèöå, â íåêîòîðîé òî÷êå ðåíîðìèðîâêè k′ = k(µ) è p = p(µ), ãäå k(µ) è p(µ) — ñòàíäàðòíûå 4-èìïóëüñû ïîðÿäêà µ. Òîãäà

C = 1 + d 4 k ′′Γ(k ′′; k(µ), p(µ) − k(µ)) − d 4k ′′U ϕ2 (k ′′). (20.2.10)

z

z

Èñïîëüçóÿ (20.2.5), âèäèì, ÷òî ðàñõîäèìîñòè â äâóõ èíòåãðàëàõ â (20.2.10) ñîêðàùàþòñÿ. Òåïåðü ìîæíî çàïèñàòü óðàâíåíèå (20.2.9) â âèäå

z

Fϕ2 (k ′, p − k ′) = Zϕ 2 1 + d 4 k ′′ Γ (k ′′; k ′, p − k ′) ,

n

ãäå Zϕ2 = 1 + d 4 k ′′Γ(k ′′; k(µ), p(µ) − k(µ))

z

s

−1

.

(20.2.11)

(20.2.12)

Ìîæíî ðàññìàòðèâàòü Zϕ2 êàê êîíñòàíòó ïåðåíîðìèðîâêè ñîñòàâíîãî îïåðàòîðà ϕ 2, îïðåäåëåííîãî òàê, ÷òî ñîñòàâíîé îïåðàòîð Zϕ2 ϕ 2 èìååò êîíå÷íûé äâóõ÷àñòè÷íûé ìàòðè÷íûé ýëåìåíò Fϕ2 (k, p − k) , ïðèíèìàþùèé çíà÷åíèå, ðàâíîå åäèíèöå, ïðè k = k(µ) è p = p(µ).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

350

Ãëàâà 20. Îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ

Âû÷èñëÿòü U ϕ2 (k) èëè Fϕ2 (k, p − k) ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (20.2.8) è (20.2.11) íå î÷åíü óäîáíî. Ïðîùå âû÷èñëèòü G(k; k′,p−k′) è çàòåì óñòàíîâèòü âûðàæåíèÿ äëÿ U ϕ2 (k) èëè Fϕ2 (k, p − k) ïóòåì ñðàâíåíèÿ ñ (20.2.5). Óìíîæàÿ ôóíêöèþ (12.2.26) íà ïðîèçâåäåíèå ïðîïàãàòîðîâ äëÿ ëèíèé ñ èìïóëüñàìè k è p − k, âèäèì, ÷òî â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè

OP − i(2π) g LM − i OP LM −i N (2π) (k + m ) Q N (2π) ((p − k) + m ) Q R| g X L F m + 4x(1 − x) µ 3I × S1 − dx ln |T 32π YZ MMN GH m − sx(1 − x) JK (20.2.13) U O F F m + 4x(1 − x) µ 3 I m + 4x(1 − x) µ 3 I | + ln G H m − tx(1 − x) JK + lnGH m − ux(1 − x) JK + . . .PPQV|W,

Γ(k; k ′, p − k ′) =

4

4

2

1

2

4

2

2

2

2

2

2

0

2

2

2

2

2

2

ãäå s, t è u — ìàíäåëüñòàìîâñêèå ïåðåìåííûå, s = − p2 , t = −(k − k ′)2 , u = −(p − k − k ′)2 , µ — ìàñøòàá ïåðåíîðìèðîâêè, à g — ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïåðåíîðìèðîâàííàÿ êîíñòàíòà, îïðåäåëåííàÿ êàê çíà÷åíèå ôåéíìàíîâñêîé àìïëèòóäû â òî÷êå s = t = u = −4µ2/3. Àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ýòîé âåëè÷èíû èìååò âèä

Γ(k; k ′, p − k ′) →

ig (2π) 4 (k 2 )2

R| g X L F m + 4x(1 − x) µ 3 I dx ln × S1 − |T 32π YZ MMN GH m + p x(1 − x) JK F m + 4x(1 − x) µ 3IJ + . . .OPU|V. +2 ln G H m + k x(1 − x) K PQ|W 1

2

2

2

2

2

0

2

(20.2.14)

2

2

2

 ïîðÿäêå g2 ýòî ñîãëàñóåòñÿ ñ ôîðìóëîé (20.2.5), åñëè ïðèíÿòü ig U ϕ 2 ( k) = 4 (2π) (k 2 )2

R| S| T

× 1−

g 16π 2

X dx lnFG m + 4x(1 − x) µ 3IJ + . . .U|V, YZ H m + k x(1 − x) K | W 1

2

2

2

2

0

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(20.2.15)

20.2. Ïîòîê èìïóëüñà

Fϕ2 (k, p − k) = 1 −

351

g 32π 2

1

X dx lnFG m + 4x(1 − x) µ 3 IJ + L . (20.2.16) YZ H m + p x(1 − x) K 2

2

2

2

0

Ìû âûáðàëè çäåñü òàêóþ ñâÿçü òî÷êè ïåðåíîðìèðîâêè k(µ), p(µ) äëÿ îïåðàòîðà ϕ2 ñ ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êîé ïåðåíîðìèðîâêè äëÿ êîíñòàíòû ñâÿçè g, ÷òî p(µ)2 =4µ2/3, òàê ÷òî Fϕ2 (k, p − k) = 1 ïðè p2 = 4µ2/3. Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà ÷èñëî n âíåøíèõ ëèíèé ñ ôèêñèðîâàííûìè èìïóëüñàìè áîëåå äâóõ.  ñîãëàñèè ñ ïðåäûäóùèìè ðàññóæäåíèÿìè, â ïðåäåëå k → µ âåäóùèìè äèàãðàììàìè â Γ(k;p1,..., pn) áóäóò òå, â êîòîðûõ äâå âíåøíèå ëèíèè, íåñóùèå ôèêñèðîâàííûå èìïóëüñû k è p−k, ìîãóò áûòü îòäåëåíû îò n âíåøíèõ ëèíèé ñ ôèêñèðîâàííûìè èìïóëüñàìè ïóòåì ðàçðåçàíèÿ ïàðû âíóòðåííèõ ëèíèé:

Γ(k; p1 . . . pn ) → d 4k ′ I(k, k ′, p)Γ(k ′; p1 . . . pn ) .

z

(20.2.17)

Êàê è ðàíåå, íåâîçìîæíî ïðîñòî èñïîëüçîâàòü àñèìïòîòè÷åñêèé ïðåäåë äëÿ ÿäðà I(k,k′,p) â ïðàâîé ÷àñòè ïðè k → ∞, ïîñêîëüêó ñóùåñòâåííûé âêëàä â ýòîò èíòåãðàë âíîñÿò çíà÷åíèÿ k′ ïîðÿäêà k. Ïðåîäîëåòü ýòî çàòðóäíåíèå ìîæíî, ïåðåïèñàâ (20.2.17) â âèäå

w

Γ(k; p1 . . . pn ) → d 4k ′I(k, k ′, p) Γ(k ′; p1 . . . pn ) − U ϕ2 (k ′)Fϕ2 (p1 . . . pn )

u

+ Fϕ2 (p1 . . . pn ) d 4k ′I(k ′, k, p)U ϕ2 (k ′), (20.2.18) ãäå, ïî èíäóêöèè, ïðåäïîëàãàåì, ÷òî âïëîòü äî íåêîòîðîãî çàäàííîãî ïîðÿäêà N

Γ(k; p1 . . . pn ) → U ϕ2 (k)Fϕ2 (p1 . . . pn ),

(20.2.19)

ñ ïîïðàâî÷íûìè ÷ëåíàìè ïîðÿäêà 1/k5. Òåïåðü ñ ïîìîùüþ ïðåäåëà (20.2.4) è óðàâíåíèÿ (20.2.8) ìîæíî ïåðåïèñàòü (20.2.18) â âèäå

w

Γ(k; p1 . . . pn ) → I∞ (k) d 4k ′ Γ(k ′; p1 . . . pn ) − U ϕ2 (k ′)Fϕ2 (p1 . . . pn ) + Fϕ2 (p1 . . . pn ) U ϕ2 (k) − CI∞ (k) .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

352

Ãëàâà 20. Îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ

Ýòî ñîãëàñóåòñÿ ñ (20.2.19) â ïîðÿäêå N + 1, åñëè ïðèíÿòü, ÷òî

w

CFϕ2 (p1 . . . p n ) = d 4 k ′ Γ(k ′; p1 . . . p n ) − U ϕ 2 (k ′)Fϕ2 (p1 . . . p n )

èëè, èñïîëüçóÿ âûðàæåíèÿ (20.2.10) è (20.2.12),

Fϕ2 (p1 . . . pn ) = Zϕ2 d 4 k ′ Γ(k ′; p1 . . . pn ) .

z

(20.2.20)

Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ïðîñòî óòâåðæäàåò, ÷òî Fϕ2 (p1 . . . pn ) åñòü ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ïåðåíîðìèðîâàííîãî îïåðàòîðà Zϕ2 ϕ 2 , òàê ÷òî ñîîòíîøåíèå (20.2.1) ñîîòâåòñòâóåò ôîðìóëå (20.2.2) äëÿ îïåðàòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.  ÷àñòíîñòè, êàê áûëî ïîêàçàíî, U ϕ2 (k) — îäíà è òà æå êîýôôèöèåíòíàÿ ôóíêöèÿ íåçàâèñèìî îò òîãî, êàêèå çíà÷åíèÿ ïðèíèìàþò n èëè èìïóëüñû ð1,..., ðn. Ñòðîãî ãîâîðÿ, îïåðàòîð (ϕ2)R íå ÿâëÿåòñÿ âåäóùèì ñëàãàåìûì â îïåðàòîðíîì ðàçëîæåíèè ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ϕ. Ñóùåñòâóåò åùå îïåðàòîðíàÿ åäèíèöà, èìåþùàÿ ìåíüøóþ ðàçìåðíîñòü, ÷åì (ϕ2)R, íî îíà áûëà èñêëþ÷åíà èç óðàâíåíèÿ (20.2.2), ïîñêîëüêó (êàê è óêàçûàåò èíäåêñ Ñ) ìû îòáðîñèëè íåñâÿçíûå äèàãðàììû. Êàê îòìå÷åíî âûøå, ïðè k → ∞ äèàãðàììû äëÿ Γ(k) ïðè n = 0 (è pµ = 0) äîìèíèðóþò â îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ, ãäå âñå âíóòðåííèå ëèíèèè íåñóò èìïóëüñû ïîðÿäêà k, è U1(k) − âêëàä îò ýòîé îáëàñòè. Îïåðàòîðû áîëåå âûñîêîé ðàçìåðíîñòè è áîëåå îáùèå òåîðèè áóäóò ðàññìîòðåíû â ïðèëîæåíèè ê ýòîé ãëàâå. 20.3. Ðåíîðìãðóïïîâûå óðàâíåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòíûõ ôóíêöèé Êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, îäíî èç ñâîéñòâ îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ, äåëàþùåå åãî ñòîëü ïîëåçíûì, çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòíûõ ôóíêöèé îò èìïóëüñîâ îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèÿìè ðåíîðìãðóïïû. Ýòî åñòü ñëåäñòâèå òîãî, ÷òî êîýôôèöèåíòíûå ôóíêöèè âîçíèêàþò èç ïðåäåëüíûõ çíà÷åíèé ñóìì ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì (òèïà I∞(k) â ðàçäåëå 20.2), â êîòîðûõ âñå ñóùåñòâåííûå èìïóëüñû îäíîâðåìåííî óñòðåìëÿþòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, òàê ÷òî ìîæíî, íå ñòàëêèâàÿñü ñ ñèíãóëÿðíîñòÿìè, ïîëîæèòü ìàññû ðàâíûìè íóëþ. Òåì íå ìåíåå, èç-çà ýôôåêòîâ ïåðåíîðìèðîâêè êîýôôèöèåíòíûå ôóíêöèè â îïåðàòîðíîì ðàçëîæåíèè íå ïîä÷èíÿþòñÿ ïðîñòûì çàêîíàì ìàñøòàáíûõ ïðåîáðàçîâàíèé: ýòè ôóíêöèè

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

20.3. Ðåíîðìãðóïïîâûå óðàâíåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòíûõ ôóíêöèé

353

óìíîæàþòñÿ íà çàâèñÿùèå îò ìàñøòàáà êîíñòàíòû ïåðåíîðìèðîâêè è â íèõ âõîäÿò ïåðåíîðìèðîâàííûå êîíñòàíòû ñâÿçè, êîòîðûå ñàìè çàâèñÿò îò ìàñøòàáà. Ðàññìîòðèì îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå ôóíêöèè Ãðèíà Γll′(k,k′,p), ó êîòîðîé èìïóëüñû ìíîæåñòâà l âõîäÿùèõ ëèíèé (â ñîâîêóïíîñòè îáîçíà÷åííûå k, ïðè÷åì èõ ñóììà ðàâíà p) îäíîâðåìåííî óñòðåìëÿþòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, â òî âðåìÿ êàê ó ìíîæåñòâà l′ îñòàâøèõñÿ èñõîäÿùèõ ëèíèé èìïóëüñû (â ñîâîêóïíîñòè îáîçíà÷åííûå k′, ïðè÷åì èõ ñóììà ðàâíà p) èìåþò ôèêñèðîâàííûå çíà÷åíèÿ:

Γll′ (k, k′, p) →

∑ UOl (k)FO ,l′ (k′, p). O

(20.3.1)

Ôóíêöèÿ FO ,l′ (k′, p) åñòü ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ïåðåíîðìèðîâàííîãî îïåðàòîðà OR = ∑ O ′ ZO ,O ′O ′ , òàê ÷òî êîýôôèöèåíò ïðè íåé UOl (k) â ïðîèçâåäåíèè ïîëåé, ñîîòâåòñòâóþùèõ ëèíèÿì l, ïðîïîðöèîíàëåí ZO−,1O ′ , à òàêæå âåëè÷èíå Zl′,l — ïðÿìîìó ïðîèçâåäåíèþ âñåõ ïåðåíîðìèðîâî÷íûõ ìàòðè÷íûõ ìíîæèòåëåé ó ïîëåâûõ (èëè ñîñòàâíûõ) îïåðàòîðîâ ìíîæåñòâà l. Îòñþäà

µ

d l UO = dµ





∑ γll′ UOl − ∑ UOl ′ γ OO ′ + β(g) ∂g UOl ,

(20.3.2)

∂ ZO ,O ′ = ∂µ

(20.3.3)

l′

O′

ãäå

µ

∂ Zll′ = ∂µ

∑ γll′′Zl′′l′ , l′′

µ

∑ γOO ′′ZO ′′,O ′ , O ′′

è äëÿ ïðîñòîòû ìû ïðåäïîëîæèëè, ÷òî èìååòñÿ ëèøü îäíà ïåðåíîðìèðóåìàÿ êîíñòàíòà ñâÿçè gµ, îïðåäåëåííàÿ êàê çíà÷åíèå íåêîòîðîé ôåéíìàíîâñêîé àìïëèòóäû â òî÷êå ïåðåíîðìèðîâêè ñ èìïóëüñàìè ïîðÿäêà µ è óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ µdgµ / dµ = β(µ) . ×òîáû èìåòü âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü àíàëèç ðàçìåðíîñòåé, óìíîæèì âñå îïåðàòîðû íà ñòåïåíè µ òàê, ÷òîáû âñå îíè ñòàëè áåçðàçìåðíûìè. Ýòî ïðèâåäåò ê òîìó, ÷òî êîìïîíåíòû Z- è g-ìàòðèö òàêæå ñòàíóò áåçðàçìåðíûìè, ïðè÷åì â ïðåäåëå íóëåâîé êîíñòàíòû ñâÿçè èõ çíà÷åíèÿ ðàâíû γ ll′ → δll′N(l), γ OO ′ → δOO ′N(O ),

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(20.3.4)

354

Ãëàâà 20. Îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ

ãäå N(O) — ðàçìåðíîñòü îïåðàòîðà O, à N(l) − ïîëíàÿ ðàçìåðíîñòü ìíîæåñòâà ïîëåé (ðàâíàÿ ñóììå âåëè÷èí s + 1 äëÿ êàæäîãî ïîëÿ, ãäå s = 0 äëÿ ñêàëÿðíîãî è áåçìàññîâîãî êàëèáðîâî÷íîãî ïîëåé, s = 1/2 äëÿ äèðàêîâñêèõ ïîëåé è ò. ä.). Êðîìå òîãî, èç àíàëèçà ðàçìåðíîñòåé ñëåäóåò, ÷òî ïðè kµ =κnµ, ãäå nµ − ôèêñèðîâàííûé âåêòîð, àìïëèòóäà ìîæåò çàâèñåòü îò κ òîëüêî ÷åðåç îòíîøåíèå κ/µ, íå ñ÷èòàÿ ìíîæèòåëÿ κ4-4n(l), âîçíèêàþùåãî îò èíòåãðàëîâ, èñïîëüçîâàííûõ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóðüå-îáðàçà. Òîãäà ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (20.3.2) ïðèíèìàåò âèä

  κ   ⌠ dµ    ′ 4 − 4n(l ) l  UO ( κn) = κ ∑ M exp   µ γ(gµ )   UOl′ (gκ , n) l′,O ′ ⌡       ll′ −1

  κ   ⌠ dµ     × M exp  γ(gµ )   , ⌡ µ          O ′O

(20.3.5)

ãäå Ì îáîçíà÷àåò «µ-óïîðÿäî÷åííîå» ïðîèçâåäåíèå, ò. å. ïåðåãðóïïèðîâêó êàæäîãî ÷ëåíà â ðàçëîæåíèè ýêñïîíåíò òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ìíîæèòåëè ðàñïîëàãàëèñü â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ µ ñëåâà íàïðàâî. Ýòî ïðèâîäèò ê îñîáåííî ïðîñòûì ðåçóëüòàòàì, êîãäà gµ ñòðåìèòñÿ ïðè µ → ∞ ê ôèêñèðîâàííîé òî÷êå g*. Âêëàä áîëüøèõ µ â M{∫ κ γ(gµ ) dµ µ} ðàâåí òîãäà ìàòðè÷íîìó ìíîæèòåëþ κγ(g*), êîòîðûé â ñèëó µ-óïîðÿäî÷èâàíèÿ âîçíèêàåò ñëåâà. Ïîýòîìó âûðàæåíèå (20.3.5) ïðèíèìàåò âèä

UOl ( κn) = κ4 − 4n(l ) ∑  κ γ(g* )  Cl′,O ′  κ−γ(g* )  , l ,l′ O ′,O ′ ′ l ,O

(20.3.6)

ãäå C — ëèáî êîíñòàíòà, ëèáî ñóììà ñòåïåíåé ln κ, â çàâèñèìîñòè îò ñêîðîñòè ïðèáëèæåíèÿ gκ ê g*. Îñîáûé ôèçè÷åñêèé èíòåðåñ âûçûâåò ÷àñòíûé ñëó÷àé àñèìïòîòè÷åñêè ñâîáîäíûõ òåîðèé òèïà êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè.  ýòîì ñëó÷àå ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà íàõîäèòñÿ ïðè g* = 0 è, ñîãëàñíî (20.3.4), âáëèçè ýòîé òî÷êè γ-ìàòðèöû âåäóò ñåáÿ êàê

γ(g)ll′ → N(l)δll′ + g2cll′ , γ(g)OO ′ → N(O ) + g2cOO ′ , На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(20.3.7)

20.4. Ñâîéñòâà ñèììåòðèè êîýôôèöèåíòíûõ ôóíêöèé

355

Êðîìå òîãî, åñëè çàïèñàòü óðàâíåíèå ðåíîðìãðóïïû äëÿ êîíñòàíòû ñâÿçè â âèäå d 2 g µ gµ = − 2 gµ4 , (20.3.8) dµ 8π òîãäà κ

⌠ d 2 8π gµ → − ln g2κ + const.  b ⌡ dµ 2

Ïîäñòàíîâêà ýòîãî âûðàæåíèÿ â (20.3.5) ïðèâîäèò ê àñèìïòîòè÷åñêîìó ïîâåäåíèþ  2 − 8π2c b  l′  2 8π2c b  l 4 − 4 n (l ) + N (l ) + N ( O ) , (20.3.9) UO ( κn) → κ ∑  gκ  CO ′  gκ  l′,O ′  ll′   O ′,O

( )

( )

ãäå COl′′ — ïîñòîÿííàÿ ìàòðèöà, ðàâíàÿ ìàòðèöå UOl′′ (0, n) , óìíîæåííîé íà ïîñòîÿííûå ìíîæèòåëè. íå âû÷èñëÿåìûå â ðàìêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé, ïîñêîëüêó îíè âîçíèêàþò îò òåõ ÷àñòåé èíòåãðàëîâ â (20.3.5), ãäå gµ íå ìàëà. Ïðè κ → ∞ êîíñòàíòà ñâÿçè âåäåò ñåáÿ êàê g2κ → 8π2 / b ln κ , òàê ÷òî ôîðìóëó (20.3.9) ìîæíî òàêæå çàïèñàòü â âèäå − 8π2c b  8π2c b  UOl ( κn) → κ4 − 4n(l ) + N (l ) + N (O ) ∑ (ln κ ) BOl′′ (ln κ ) ,     O ′,O (20.3.10) ll′  l′,O ′ 

ãäå BOl′′ — äðóãàÿ ïîñòîÿííàÿ ìàòðèöà. Óñëîâèå ñïðàâåäëèâîñòè âûðàæåíèé (20.3.9) è (20.3.10) çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû g2κ 8π2 = 1 , íî ln k íå äîëæåí áûòü íàñòîëüêî âåëèê, ÷òîáû â àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå äàâàë âêëàä òîëüêî îäèí ñîáñòâåííûé âåêòîð ñ-ìàòðèöû. Ìû èñïîëüçóåì âûðàæåíèå (20.3.10) ïðè èçó÷åíèè â ðàçäåëå 20.6 ãëóáîêîíåóïðóãîãî ðàññåÿíèÿ. 20.4. Ñâîéñòâà ñèììåòðèè êîýôôèöèåíòíûõ ôóíêöèé Ïîëåçíîñòü îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè óñèëèâàåòñÿ òåì ôàêòîì, ÷òî êîýôôèöèåíòíûå ôóíêöèè îòðàæàþò

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

356

Ãëàâà 20. Îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ

âñþ ñèììåòðèþ ëåæàùåé â îñíîâå òåîðèè, äàæå åñëè ýòà ñèììåòðèÿ ÷àñòè÷íî èëè ïîëíîñòüþ ñïîíòàííî íàðóøåíà4. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ðàññìîòðèì îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå ïðîèçâåäåíèÿ ïåðåíîðìèðîâàííûõ îïåðàòîðîâ Oi(x), ëèíåéíî ïðåîáðàçóþùèõñÿ ïîä äåéñòâèåì ïðåîáðàçîâàíèé íåêîòîðîé ñèììåòðèè ñ ñîõðàíÿþùèìñÿ òîêîì Jµ(x), â òîì ñìûñëå, ÷òî

[ J 0 (x, t), O (y, t)] = − δ 3 (x − y)∑ tijO j (y, t), j

(20.4.1)

ãäå tij — ïîñòîÿííàÿ ìàòðèöà. Ìîæíî çàïèñàòü îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå êàê óòâåðæäåíèå, ÷òî êîãäà x1,..., xn ñîâìåñòíî ñòðåìÿòñÿ ê x (à âñå îòíîøåíèÿ ðàçíîñòåé x1 − x,..., xn − x ôèêñèðîâàíû), òî

o

t

〈β| T O i1 (x1 ). . . O in (x n ) | α 〉 →

∑ U i1

i ... i n

(x1 − x, . . . , x n − x)〈β| O i (x)| α 〉 .

i

(20.4.2) Ïðåäïîëîæèì äàëåå, ÷òî ñèììåòðèÿ ñ òîêîì Jµ ñïîíòàííî íàðóøåíà, ïðè÷åì ñîîòâåòñòâóþùèé ãîëäñòîóíîâñêèé áîçîí p óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ

〈VAC| J µ (0)| π 〉 =

Fpπµ (2π)3 2 2p0π

.

(20.4.3)

Òîãäà, êàê ìû âèäåëè â ðàçäåëå 19.2, ìàòðè÷íûé ýëåìåíò îïåðàòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè ñ äîïîëíèòåëüíûì ãîëäñòîóíîâñêèì áîçîíîì ìàëîé ýíåðãèè ðàâåí 1 〈β| T O i1 (x1 ). . . O in (x n ) | πα 〉 = 32 (2π) 2p0π F (20.4.4) ∂ × d 4x µ 〈β| T O i1 (x1 ). . . O in (x n ) J µ (x) | α 〉, ∂x

o XY Z

t

o

t

ïîñêîëüêó â èíòåãðàëå â ïðàâîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ (20.4.4) âûæèâàåò òîëüêî âêëàä ãîëäñòîóíîâñêîãî ïîëþñíîãî ÷ëåíà. Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (20.4.1) è ñîõðàíåíèå òîêà, ìîæíî çàïèñàòü âûðàæåíèå (20.4.4) â âèäå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

357

20.4. Ñâîéñòâà ñèììåòðèè êîýôôèöèåíòíûõ ôóíêöèé

o

t

〈β| T O i1 (x1 ). . . O in (x n ) | πα 〉 = − ×

1 (2π)3 2 2p0π F

n

∑ ∑ tir jr 〈β| ToO i1 (x1 ). . . O jr (x r ). . . O in (x n )t| α 〉.

(20.4.5)

r =1 jr

Ïðèìåíèì òåïåðü îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå ê îáåèì ÷àñòÿì ýòîé ôîðìóëû.  ïðåäåëå, êîãäà âñå x1,..., xn ñîâìåñòíî ñòðåìÿòñÿ ê x, íàõîäèì:

∑ U i1

i ... i n

(x1 − x, . . . , x n − x)〈β| O i (x)| α 〉 = −

i n

∑ ∑ ∑ ti r j r U i1

i ... j r ... in

r =1 jr

1 (2π)3 2 2p0π F

(x1 − x, . . . , x n − x)〈β| O i (x)| α 〉.

(20.4.6)

i

Êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé ôîðìóëû (20.4.5) èìååì 〈β| O i (x)| πα 〉 = −

1 (2π)3 2 2p0π F

∑ tij 〈β| O j (x)| α 〉. j

(20.4.7)

Ïîñêîëüêó âñå ýòî âåðíî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ñîñòîÿíèé 〈β| è |α〉, êîýôôèöèåíòû ïðè 〈β| Oj |α〉 ñ îáåèõ ñòîðîí ðàâåíñòâà (20.4.6) äîëæíû áûòü ðàâíû, òàê ÷òî 0 = − ∑ tij U i1

i ... i n

i

(x1 − x, . . . , x n − x) +

n

∑ ∑ tir jr U j1

r =1 jr

i ... j r ... i n

(x1 − x, . . . , x n − x).

(20.4.8) Ýòî ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü êàê óñëîâèå, ÷òî ôóíêöèÿ − x, . . . , x n − x) èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé ñèììåòðèè, ïîðîæäàåìîé ãåíåðàòîðîì t, ïðè÷åì äåéñòâèå ýòîé ñèììåòðèè íà íèæíèé èíäåêñ êîíòðàãðàäèåíòíî äåéñòâèþ íà âåðõíèå èíòåêñû â òîì ñìûñëå, ÷òî ìàòðèöà t çàìåíÿåòñÿ íà −tT. Ýòî òàêîå æå ñîîòíîøåíèå, êàêîå ìîæíî áûëî îæèäàòü, åñëè áû ïîðîæäåííàÿ òîêîì Jµ ñèììåòðèÿ íå áûëà ñïîíòàííî íàðóøåíà. i ... i U i1 n (x1

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

358

Ãëàâà 20. Îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ

20.5. Ïðàâèëà ñóìì äëÿ ñïåêòðàëüíûõ ôóíêöèé Ïðàâèëà ñóìì äëÿ ñïåêòðàëüíûõ ôóíêöèé — ýòî îãðàíè÷åíèÿ íà ñïåêòðàëüíûå ôóíêöèè ðàçëè÷íûõ òîêîâ 5. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ìíîæåñòâî òîêîâ Jaµ, êîòîðûå ñîâåðøåííî ïðîèçâîëüíû, íå ñ÷èòàÿ òîãî, ÷òî îíè ÿâëÿþòñÿ ëîðåíöîâñêèìè 4-âåêòîðàìè, à çàòåì ðàññìîòðèì áîëåå ÷àñòíûå ñëó÷àè. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñïåêòðàëüíûõ ôóíêöèé òîêîâ èñïîëüçóåì ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòü è çàïèñûâàåì

∑ δ 4 (p − pN )〈VAC| Jαµ (0)| N 〉〈VAC| Jβν (0)| N 〉*

=

N 1) 0) (2π) −3 θ(p0 ) ηµν − p µ p ν p2 ρ(αβ (− p2 ) + p µ p νρ(αβ ( − p2 ) ,

d

i

(20.5.1)

ïî àíàëîãèè ñ ôîðìóëàìè (19.2.19)−(19.2.10) èëè (10.7.4). Ñîâåðøàÿ ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèå è èñïîëüçóÿ ïîëíîòó ñîñòîÿíèé |N〉, ìîæíî çàïèñàòü ýòî âûðàæåíèå â âèäå

〈 Jαµ (x) Jβν (0)〉 VAC =

w dµ

2

1) 0) 2 1) (µ 2 ) − ρ(αβ (µ ) + ρ(αβ (µ 2 ) µ 2 ∂ µ ∂ ν ∆ + (x; µ 2 ), (20.5.2) ηµνρ(αβ

e

j

ãäå ∆+(x; µ2) — ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ âûðàæåíèåì (5.2.7):

∆ + ( x; µ 2 ) =

1 (2π)

3

z

d 4pθ(p0 )δ(p2 + µ 2 )e ip⋅x .

(20.5.3)

Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî îïåðàòîðû òîêîâ âûáðàíû ýðìèòîâûìè, íà îñíî1) 0) 2 (µ 2 ) è ρ(αβ (µ ) âàíèè (20.5.1) íåìåäëåííî ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî ρ(αβ ÿâëÿþòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè ýðìèòîâûìè ìàòðèöàìè. Êðîìå òîãî, âûáèðàÿ ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíûå xµ (äëÿ êîòîðûõ ôóíêöèÿ D+(x) ÷åòíà) è èñïîëüçóÿ â (20.5.2) òðàíñëÿöèîííóþ èíâàðèàíòíîñòü è ïðè1) 0) 2 (µ 2 ) è ρ(αβ (µ ) ñèììåòðè÷íû. ÷èííîñòü, íàõîäèì, ÷òî ìàòðèöû ρ(αβ 2 Äàëåå, ïðè x → 0 è x > 0 ôóíêöèÿ ∆+(x; µ2) âåäåò ñåáÿ êàê

∆ + ( x; µ 2 ) →

1 4π 2 x 2

+

µ2 8π 2

LM F γµ x I 1 OP MNlnGH 2 JK − 2 PQ + O(x ), 2

2

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(20.5.4)

20.5. Ïðàâèëà ñóìì äëÿ ñïåêòðàëüíûõ ôóíêöèé

359

ãäå γ — ïîñòîÿííàÿ Ýéëåðà. Ïîýòîìó ïåðâûå íåñêîëüêî ñëàãàåìûõ â ñðåäíåì ïî âàêóóìó ðàçëîæåíèÿ Jαµ (x) Jβν (0) èìåþò âèä 〈 Jαµ (x) Jβν (0)〉 VAC → − −

ηµν

x dµ ρ

4π x + O(ln x 2 ) . 2 2

LM η N (x )

1 2π

2 (0) 2 2 αβ (µ ) µ

µν 2 2

2



xµ x ν

+

2 π 2 (x 2 ) 2

4xµ x ν 2 3

(x )

OP dµ eρ Qv

v dµ eρ 2

2

(0) 2 αβ (µ )

(0) 2 2 αβ (µ ) µ

1) (µ 2 ) µ 2 + ρ(αβ

1) (µ 2 ) + ρ(αβ

j

j (20.5.5)

Îòñþäà, åñëè íåêîòîðàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ∑ αβ cαβ 〈 Jαµ (x) Jβν (0)〉 VAC äâóõòî÷å÷íûõ ôóíêöèé èìååò ïðè x → 0 ñèíãóëÿðíîñòü, ïðî êîòîðóþ ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îíà ñëàáåå ÷åì ïîðÿäêà 1/x4, òî 1) (µ 2 ) ∑ cαβ v dµ 2 eρ(αβ0) (µ 2 ) + ρ(αβ

j

µ 2 = 0,

αβ

(20.5.6)

Åñëè æå, êðîìå òîãî, ñèíãóëÿðíîñòü ñëàáåå, ÷åì 1/x2, òî 1) (µ 2 ) = 0 ∑ cαβ x dµ 2ρ(αβ αβ

(20.5.7)

è

∑ cαβ x dµ 2ρ(αβ0) (µ 2 ) µ 2

= 0.

αβ

(20.5.8)

Âûðàæåíèÿ (20.5.6), (20.5.7) è (20.5.8) èçâåñòíû, ñîîòâåòñòâåííî, êàê ïåðâîå, âòîðîå è òðåòüå ïðàâèëî ñóìì äëÿ ñïåêòðàëüíûõ ôóíêöèé. Ïîñìîòðèì, êàê âñå ýòî îñóùåñòâëÿåòñÿ â íàèáîëåå èíòåðåñíîì ñëó÷àå, êîãäà Jαµ (x) − ñîõðàíÿþùèåñÿ òîêè â òåîðèè òèïà êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè. Èç ñîõðàíåíèÿ òîêîâ ñëåäóåò, ÷òî ñâåðòêà 0) ( −p2 ) äîëæâûðàæåíèÿ (20.5.1) ñ pµ îáðàùàåòñÿ â íóëü, ïîýòîìó ρ(αβ 2 íà áûòü ïðîïîðöèîíàëüíà δ(−p ) è ïîýòîìó àâòîìàòè÷åñêè óäîâëåòâîðÿåò òðåòüåìó ïðàâèëó ñóìì äëÿ ñïåêòðàëüíûõ ôóíêöèé (20.5.8) ( 0) ïðè ëþáûõ cαβ. Åñëè ραβ ( − p2 ) ∝ δ( − p2 ) , âêëàäû â âûðàæåíèå (20.5.1) ìîãóò âîçíèêàòü òîëüêî îò ñëàãàåìûõ |Ba〉 â ñóììå ïî ñîñòîÿíèÿì, îòâå÷àþùèõ åäèíñòâåííîé áåçìàññîâîé ÷àñòèöå Ba íóëåâîãî ñïèíà, íà ïðàêòèêå ÿâëÿþùåéñÿ ãîëäñòîóíîâñêèì áîçîíîì. Äëÿ òàêèõ îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé èç ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòè ñëåäóåò, ÷òî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

360

Ãëàâà 20. Îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ

〈VAC| Jαµ (0)| Ba 〉 =

iFαa p Bµ (2π)3 2 2p0B

.

(20.5.9)

Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå δ(p0 −| p| ) / 2p0 = θ(p0 )δ( − p2 ) ,, âèäèì, ÷òî 0) ( − p2 ) = δ( − p2 )∑ Fαa Fβ*a . ρ(αβ a

(20.5.10)

1) ( −p2 ) îòëè÷íà îò íóëÿ òîëüêî ïðè −p2 > 0. Íàïðîòèâ, ρ(αβ Áîëåå êîíêðåòíî, ðàññìîòðèì ïåðåíîðìèðóåìóþ àñèìïòîòè÷åñêè ñâîáîäíóþ êàëèáðîâî÷íóþ òåîðèþ ñ N áåçìàññîâûìè (èëè ïî÷òè áåçìàññîâûìè) ôåðìèîíàìè ñïèíà 1/2, ïðèíàäëåæàùèìè îäíîìó ïðåäñòàâëåíèþ êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû. Êâàíòîâàÿ õðîìîäèíàìèêà ïîäõîäèò ïîä ýòî îïèñàíèå â ñëó÷àå N = 3, åñëè ïðåíåáðå÷ü ìàññàìè u, d, è s-êâàðêîâ, è â ñëó÷àå N = 2, åñëè ñ÷èòàòü áåçìàññîâûìè òîëüêî u è d-êâàðêè. Êàê ìû âèäåëè â ãë. 19, òàêàÿ òåîðèÿ îáëàäàåò ãëîáàëüíîé SU(N) ´ SU(N) ñèììåòðèåé *, ïîä äåéñòâèåì ïðåîáðàçîâàíèé êîòîðîé ëåâûå è ïðàâûå êîìïîíåíòû ïîëåé ëåãêèõ ôåðìèîíîâ ïðåîáðàçóþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ïî ïðåäñòàâëåíèÿì (N, 1) è (1, N), ãäå ‘N’ è ‘1’ ñîîòâåòñòâåííî îçíà÷àþò îïðåäåëÿþùåå è òîæäåñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèÿ SU(N). Òîêè ëåâîé è ïðàâîé SU(N) ñèììåòðèé ðàâíû

µ µ (x) = − iψ(x) γ µ (1 + γ 5 )λ a ψ(x), JRa (x) = − iψ(x) γ µ (1 − γ 5 )λ a ψ(x), JLa

(20.5.11) ãäå λa îáðàçóþò ïîëíûé íàáîð ýðìèòîâûõ áåññëåäîâûõ ìàòðèö, äåéñòâóþùèõ íà èíäåêñ «àðîìàòà», îòëè÷àþùèé N ëåãêèõ êâàðêîâ äðóã îò äðóãà (ñð. ôîðìóëû (19.7.2) äëÿ ñëó÷àÿ N = 3). Ðàçìåðíîñòü ýòèõ òîêîâ (â ñòåïåíÿõ ìàññû) ðàâíà +3, òàê ÷òî ìîæíî îæèäàòü, ÷òî (ñ òî÷íîñòüþ äî ëîãàðèôìîâ) êîýôôèöèåíò ïðè îïåðàòîðå O ðàçìåðíî* Ñóùåñòâóåò åùå ñèììåòðèÿ U(1), ÿâëÿþùàÿñÿ âåêòîðíîé â òîì ñìûñëå, ÷òî îíà äåéñòâóåò îäèíàêîâî íà ëåâûå è ïðàâûå êîìïîíåíòû ïîëåé ëåãêèõ ôåðìèîíîâ. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò ïðîñòî ñîõðàíåíèþ ÷èñëà ëåãêèõ êâàðêîâ, òàê ÷òî ýòà ñèììåòðèÿ íå áóäåò íàñ çäåñü èíòåðåñîâàòü. Àêñèàëüíàÿ U(1) ñèììåòðèÿ ëàãðàíæèàíà, äåéñòâóþùàÿ ïî-ðàçíîìó íà ëåâûå è ïðàâûå êîìïîíåíòû ïîëåé ëåãêèõ ôåðìèîíîâ, íàðóøåíà êâàíòîâûìè ýôôåêòàìè, îáñóæäàåìûìè â ðàçäåëå 23.5.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

20.5. Ïðàâèëà ñóìì äëÿ ñïåêòðàëüíûõ ôóíêöèé

361

ñòüþ d(O) â ðàçëîæåíèè (20.3.6) ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ òîêîâ áóäåò èìåòü ñèíãóëÿðíîñòü ïîðÿäêà x−6+d(O) ïðè ñòðåìëåíèè ê íóëþ ðàçíîñòè èõ àðãóìåíòîâ x. Îòñþäà, åñëè ðàçëîæåíèå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ïðîèçâåäåíèÿ òîêîâ ñîäåðæèò åäèíè÷íûé îïåðàòîð, òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñïåêòðàëüíûõ ôóíêöèé âåäåò ñåáÿ êàê x−6 è ïîýòîìó â îáùåì ñëó÷àå íå óäîâëåòâîðÿåò íè ïåðâîìó, íè âòîðîìó ïðàâèëó ñóìì äëÿ ñïåêòðàëüíûõ ôóíêöèé. Åñëè îïåðàòîð íàèìåíüøåé ðàçìåðíîñòè â âàêóóìíîì ñðåäíåì ýòîãî ðàçëîæåíèÿ — ôåðìèîííûé áèëèíåéíûé êîâàðèàíò íå áîëåå ÷åì ñ îäíîé ïðîèçâîäíîé, òîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå ëèíåéíûå êîìáèíàöèè ñïåêòðàëüíûõ ôóíêöèé âåäóò ñåáÿ êàê x−3 èëè x−2 è ïîýòîìó óäîâëåòâîðÿþò ïåðâîìó ïðàâèëó ñóìì äëÿ ñïåêòðàëüíûõ ôóíêöèé, íî, â îáùåì ñëó÷àå, íå óäîâëåòâîðÿþò âòîðîìó. Íàêîíåö, åñëè îïåðàòîð íàèìåíüøåé ðàçìåðíîñòè â âàêóóìíîì ñðåäíåì ýòîãî ðàçëîæåíèÿ — ôåðìèîííûé áèëèíåéíûé êîâàðèàíò ñ äâóìÿ è áîëåå ïðîèçâîäíûìè èëè ÷åòûðåõôåðìèîííûé êîâàðèàíò, òî ñèíãóëÿðíîñòü ñîîòâåòñòâóþùåé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ñïåêòðàëüíûõ ôóíêöèé ñëàáåå, ÷åì x−2, è ïîýòîìó ýòà êîìáèíàöèÿ óäîâëåòâîðÿåò êàê ïåðâîìó, òàê è âòîðîìó ïðàâèëó ñóìì äëÿ ñïåêòðàëüíûõ ôóíêöèé. Äëÿ òîãî, ÷òîáû óçíàòü, êàêèå îïåðàòîðû âîçíèêàþò â ðàçëîæåíèè ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ òîêîâ, íåîáõîäèìî ðàñêëàññèôèöèðîâàòü ïðåäñòàâëåíèÿ SU(N) × SU(N), ñîäåðæàùèåñÿ â ïðîèçâåäåíèè, à ÷òîáû óñòàíîâèòü, èìåþò ëè ýòè îïåðàòîðû íåíóëåâûå âàêóóìíûå ñðåäíèå, ñëåäóåò óçíàòü, êàêèå èç íèõ èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé ñïîíòàííî íåíàðóøåííîé ïîäãðóïïû SU(N) × SU(N). µ ×òîáû äàòü îòâåò íà ýòè âîïðîñû, çàìåòèì, ÷òî òîêè JLa (x) è µ JRa (x) ïðåîáðàçóþòñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèÿì (A, 1) è (1, À) ãðóïïû SU(N) × SU(N), ãäå À è 1 — ïðèñîåäèíåííîå è òîæäåñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû SU(N). Êðîìå òîãî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñïîíòàííî íåíàðóøåííàÿ ïîäãðóïïà SU(N) × SU(N) — ýòî âåêòîðíàÿ ïîäãðóïïà SU(N)V ñ òîêàìè µ µ (x) + JRa (x) , êàê â ñëó÷àå êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè è (êàê ìû JLa âèäåëè â ðàçäåëå 19.9) áîëüøîãî ÷èñëà äðóãèõ òåîðèé. Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî ñîõðàíåíèå ÷åòíîñòè ñïîíòàííî íå íàðóøàåòñÿ. Êàê ñëåäñòâèå ñóùåñòâîâàíèÿ óêàçàííûõ íåíàðóøåííûõ ñèììåòðèé èìååì: 1) (1) (1) 2 (1) 2 2 2 ρ(La , Lb (µ ) = ρRa , Rb (µ ) = δ ab ρ V (µ ) + ρ A (µ )

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(20.5.12)

362

Ãëàâà 20. Îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ

è 1) (1) (1) 2 (1) 2 2 2 ρ(La , Rb (µ ) = ρRa , Lb (µ ) = δ ab ρ V (µ ) − ρ A (µ ) ,

(20.5.13)

ãäå δ ab ρ(V1) (µ 2 ) è δ ab ρ(A1) (µ 2 ) — ñïåêòðàëüíûå ôóíêöèè, îïðåäåëåííûå ôîðìóëîé (20.5.2) äëÿ òîêîâ µ µ J Va = − iψγ µ λ a ψ , J Aa = − iψγ µ γ 5 λ a ψ

(20.5.14)

ñ ãåíåðàòîðàìè λa è λaγ5, ñîîòâåòñòâåííî. Êðîìå òîãî,

FLab = −FRab = δ abF ,

(20.5.15)

è ôîðìóëà (20.5.9) èìååò â äàííîì ñëó÷àå âèä µ (0)| Bb 〉 = 〈VAC| J Aa

iFδ ab p Bµ (2π)3 2 2p0B

,

(20.5.16)

òàê ÷òî ôîðìóëà (20.5.10) ïðèíèìàåò âèä 0) ( 0) (0) ( 0) 2 2 2 2 2 2 ρ(La , Lb (µ ) = ρRa , Rb (µ ) = −ρLa, Rb (µ ) = −ρRa , Lb (µ ) = F δ(µ )δ ab . (20.5.17)

Óäîáíî ðàññìîòðåòü îòäåëüíî ïðîèçâåäåíèÿ òîêîâ ñ îäèíàêîâîé è ðàçíîé ñïèðàëüíîñòÿìè. µ ν (0) è Îäèíàêîâàÿ ñïèðàëüíîñòü. Ïðîèçâåäåíèÿ JLa (x) JLb µ ν JRa (x) JRb (0) ïðåîáðàçóþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ïî ïðåäñòàâëåíèÿìè (A × A, 1) è (1, A × A) ãðóïïû SU(N) × SU(N), ãäå À è 1 — ïðèñîåäèíåííîå è òîæäåñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèÿ, ñîîòâåòñòâåííî. Äëÿ ëþáîé ãðóïïû ïðîèçâåäåíèå À × À ñîäåðæèò òîæäåñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèå, òàê ÷òî â ðàçëîæåíèÿõ ýòèõ ïðîèçâåäåíèé âîçíèêàåò åäèíè÷íûé îïåðàòîð ñ îäèíàêîâûìè êîýôôèöèåíòàìè, ïðîïîðöèîíàëüíûìè δab. Îòñþäà, òîëüêî áåññëåäîâûå ÷àñòè îïåðàòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ìîãóò óäîâëåòâîðÿòü ïðàâèëàì ñóìì äëÿ ñïåêòðàëüíûõ ôóíêöèé. Íî, êàê ìû âèäåëè, ó ñïåêòðàëüíûõ ôóíêöèé íåò áåññëåäîâûõ ÷àñòåé, òàê ÷òî ñïåêòðàëüíûå ôóíêöèè ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàòîðîâ ñ îäèíàêîâîé ñïèðàëüíîñòüþ íå ìîãóò óäîâëåòâîðÿòü íè îäíîìó ïðàâèëó ñóìì. µ ν Ðàçíàÿ ñïèðàëüíîñòü. Îáà ïðîèçâåäåíèÿ JLa (x) JRb (0) è µ ν JRa (x) JLb (0) ïðåîáðàçóþòñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ (À, À) ãðóïïû SU(N)

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

20.5. Ïðàâèëà ñóìì äëÿ ñïåêòðàëüíûõ ôóíêöèé

363

× SU(N). Åäèíè÷íûé îïåðàòîð (è îïåðàòîðû òèïà FαµνFαµν) ÿâëÿþòñÿ, êîíå÷íî, ñèíãëåòàìè SU(N) × SU(N) è ïîýòîìó íå ìîãóò âîçíèêàòü â ðàçëîæåíèè òàêèõ ïðîèçâåäåíèé. Ôåðìèîííûå áèëèíåéíûå êîâàðèàíòû áåç ïðîèçâîäíûõ òèïà ψψ ïðåîáðàçóþòñÿ ïî (N , N) è (N, N ) ïðåäñòàâëåíèÿì SU(N) × SU(N), òàê ÷òî îíè òîæå íå ìîãóò âîçíèêàòü â ðàçëîæåíèÿõ ïðîèçâåäåíèé òîêîâ ñ ðàçíîé ñïèðàëüíîñòüþ. Åäèíñòâåííûå êàëèáðîâî÷íî- è ëîðåíö-èíâàðèàíòíûå ôåðìèîííûå áèëèíåéíûå êîâàðèàíòû ñ îäíîé ïðîèçâîäíîé ñîäåðæàò äåéñòâóþùèé íà ψ êàëèáðîâî÷íî-èíâàðèàíòíûé îïåðàòîð ïðîèçâîäíîé γµDµ, ÷òî äàåò íóëü â ñèëó óðàâíåíèé ïîëÿ. Òàêèì îáðàçîì, ðàññìàòðèâàåìûå ñïåêòðàëüíûå ôóíêöèè óäîâëåòâîðÿþò êàê ïåðâîìó, òàê è âòîðîìó ïðàâèëó ñóìì äëÿ ñïåêòðàëüíûõ ôóíêöèé, ïðèíèìàþùèìè òåïåðü âèä

v dµ

2

ρ(V1) (µ 2 ) − ρ(A1) (µ 2 ) µ 2 = F 2

(20.5.18)

è

v dµ

2

ρ(V1) (µ 2 ) − ρ(A1) (µ 2 ) = 0.

(20.5.19)

 ïåðâîé ðàáîòå ïî ïðàâèëàì ñóìì 5 áûëî âûñêàçàíî ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî SU(2) × SU(2) ñïåêòðàëüíûå ôóíêöèè èìåþò îñòðûå ìàêñèìóìû ïðè îïðåäåëåííûõ çíà÷åíèÿõ µ; ìîæíî áûëî äóìàòü, ÷òî äëÿ ρ(V1) (µ 2 )  ýòî çíà÷åíèå ðàâíî mρ = 770 ÌýÂ, äëÿ ρ(A1) (µ 2 ) — íåêîòîðîé íåèçâåñòíîé ìàññå mA. Èíûìè ñëîâàìè,

ρ(V1) (µ 2 ) ≅ gρ2δ(µ 2 − mρ2 ), ρ(A1) (µ 2 ) ≅ g2A δ(µ 2 − m 2A ). Òîãäà ôîðìóëû (20.5.18) è (20.5.19) ïðèíèìàþò âèä * gρ2 mρ2

è



g2A m 2A

= Fπ2

gρ2 = g2A .

* Âûáèðàÿ SU(2) ãåíåðàòîðû λa ðàâíûìè ìàòðèöàì Ïàóëè, êàê â (19.7.2), èìååì F = Fπ = 184 ÌýÂ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

364

Ãëàâà 20. Îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ

Èñêëþ÷àÿ íåèçâåñòíóþ âåëè÷èíó gA, ïðèõîäèì ê ôîðìóëå

gρ2

F1 =F G Hm 2 π

2 ρ



1 m 2A

I JK

−1

.

Ïåðâîíà÷àëüíî â 1967 ãîäó ýòîò ðåçóëüòàò áûë èñïîëüçîâàí ñîâìåñòíî ñ ôîðìóëîé 6 gρ2 = 2Fπ2mρ2 (îáîñíîâàíèå ýòîé ôîðìóëû áûëî íåÿñíûì, íî îíà ñîãëàñîâûâàëàñü ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè ïî âåðîÿòíîñòè ðàñïàäà ρ → e+ + e−) äëÿ âûâîäà ñîîòíîøåíèÿ

m A = 2m ρ . Ñòàòóñ ãèïîòåòè÷åñêîãî à1 ðåçîíàíñà ñ ïðàâèëüíûìè êâàíòîâûìè ÷èñëàìè äëÿ ñâÿçè ñ àêñèàëüíûì òîêîì (ò. å. JP = 1+, Ò = 1 è Ñ(à10) = +1) è ìàññîé â îêðåñòíîñòè çíà÷åíèÿ 2mρ â òå÷åíèå ìíîãèõ ëåò îñòàâàëñÿ íåÿñíûì. Îäíàêî ñåé÷àñ ðåçîíàíñ ñ óêàçàííûìè êâàíòîâûìè ÷èñëàìè äîñòàòî÷íî õîðîøî óñòàíîâëåí ïðè çíà÷åíèè ìàññû 1230 Ìý = 1,6mρ.  íàøè äíè ïðåäïî÷òèòåëüíåå áðàòü îòíîøåíèå mA/mρ â êà÷åñòâå âõîäíîãî ïàðàìåòðà, èñïîëüçóÿ ëèáî çíà÷åíèå 2 , ïðåäëàãàåìîå ðÿäîì ìîäåëåé 7, ëèáî ýêñïåðèìåíòàëüíîå çíà÷åíèå 1,6, è èñïîëüçîâàòü åãî äëÿ ïðåäñêàçàíèÿ âåëè÷èíû gρ. Ïîñëå 1967 ãîäà óäàëîñü äîñòàòî÷íî òî÷íî è â øèðîêîì èíòåðâàëå ýíåðãèé âû÷èñëèòü íå òîëüêî gρ, íî è âñþ âåêòîðíóþ ñïåêò(1) ðàëüíóþ ôóíêöèþ ρ V (µ 2 ) SU(3) × SU(3) òîêà â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå, èñïîëüçóÿ èçìåðåííîå ñå÷åíèå ïðîöåññà e+ + e− → γ → àäðîíû è òîò ôàêò, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíûé òîê åñòü ëèíåéíàÿ êîì(1) áèíà-öèÿ SU(3) òîêîâ. Àêñèàëüíàÿ ñïåêòðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ρ A (µ 2 ) SU(3) × SU(3) òîêîâ ìîæåò áûòü â ïðèíöèïå èçìåðåíà â ïðîöåññåν + e → àäðîíû, ò. ê. çàðÿæåííûå êîìïîíåíòû òîêîâ (20.5.14) ñîâïàäàþò ñ àäðîííûìè òîêàìè, ñ êîòîðûìè ñâÿçàíû ëåïòîíû. Îäíàêî, õîòÿ ðàññåÿíèå àíòèíåéòðèíî íà ýëåêòðîíå èçó÷àëîñü ýêñïåðèìåíòàëüíî, ìàëàÿ âåðîÿòíîñòü ýòèõ ðåàêöèé íå ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü ñòàëêèâàþùèåñÿ ïó÷êè, òàê ÷òî ýëåêòðîííàÿ ìèøåíü íàõîäèòñÿ ïðàêòè÷åñêè â ïîêîå. ×òîáû äîñòè÷ü òèïè÷íûõ àäðîííûõ ýíåðãèé, ñêàæåì, 3 ÃýÂ, â ñèñòåìå öåíòðà ìàññ, áûëî áû íåîáõîäèìî èìåòü íåéòðèíî ñ ýíåðãèÿìè (3 ÃýÂ)2/2me g 10 Òý â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå. Èíòåíñèâíûå ïó÷êè íåéòðèíî ñòîëü âûñîêèõ ýíåðãèé áóäóò äîñòóïíû òîëüêî ÷åðåç ìíîãî ëåò, åñëè âîîáùå êîãäà-íèáóäü.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

20.6. Ãëóáîêîíåóïðóãîå ðàññåÿíèå

365

Ê ñ÷àñòüþ, ñòàëî âîçìîæíûì èçó÷àòü ñïåêòðàëüíûå ôóíêöèè â ïðîöåññå τ → ν + àäðîíû, îäíàêî ýíåðãèè àäðîíîâ ñòðîãî îãðàíè÷åíû çäåñü çíà÷åíèåì mτ = 1,7 ÃýÂ. Âîçìîæíî òàêæå èñïîëüçîâàòü ýôôåêòèâíûé êèðàëüíûé ëàãðàíæèàí äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñïåêòðàëüíûõ ôóíêöèé ïðè ìàëûõ µ2, è ñ ïîìîùüþ êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè ðàññ÷èòàòü ðàçíîñòü ρ(V1) − ρ(A1) ïðè áîëüøèõ µ2, ãäå îíà äîâîëüíî ìàëà. Òùàòåëüíûé àíàëèç âñåõ ýòèõ âîçìîæíîñòåé, ïðîâåäåííûé â 1993 ãîäó Äîíîõüþ è Ãîëîâè÷åì 8, ïîêàçàë, ÷òî èíòåãðàëû îò ñïåêòðàëüíûõ ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíî îïðåäåëÿþòñÿ ãëàâíûì îáðàçîì âêëàäîì ðåçîíàíñîâ ρ è à1 è ïðèâîäÿò ê ðåçóëüòàòàì, ñîãëàñóþùèìñÿ ñ ïåðâûì è âòîðûì ïðàâèëîì ñóìì äëÿ ñïåêòðàëüíûõ ôóíêöèé. 20.6. Ãëóáîêîíåóïðóãîå ðàññåÿíèå Ìåòîä ðåíîðìãðóïïû ñîâìåñòíî ñ îïåðàòîðíûì ðàçëîæåíèåì íàøåë íàèáîëåå âàæíûå ïðèìåíåíèÿ â àíàëèçå ãëóáîêîíåóïðóãîãî ëåïòîí-íóêëîííîãî ðàññåÿíèÿ. Ìû ñíà÷àëà ñäåëàåì îáçîð ðàííèõ ôåíîìåíîëîãè÷åñêèõ ìîäåëåé òàêèõ ðåàêöèé, à çàòåì ïîêàæåì, êàê îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå ïîäòâåðæäàåò ñïðàâåäëèâîñòü ýòèõ ìîäåëåé è ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü ïîïðàâêè ê íèì. Ðàññìîòðèì ïðîöåññ, â êîòîðîì ýëåêòðîí 4-èìïóëüñîì k ñòàëêèâàåòñÿ ñ íóêëîíîì N 4-èìïóëüñîì ð è â ðåçóëüòàòå îáðàçóåòñÿ ýëåêòðîí 4-èìïóëüñîì k′ è, âîîáùå ãîâîðÿ, íåíàáëþäàåìîå àäðîííîå ñîñòîÿíèå Í, ïî êîòîðîìó ïðîèçâîäèòñÿ ñóììèðîâàíèå. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ óñðåäíåííîãî ïî ñïèíàì èíêëþçèâíîãî ñå÷åíèÿ íóæíî çíàòü âåëè÷èíó

dm

N

0 pN W µν (q , p) ≡

i

1

∑ ∑ δ 4 (pH

2 σ,N H

− p − q)〈H| J µ (0)| N 〉〈H| J ν (0)| N 〉* , (20.6.1)

ãäå Jµ — ýëåêòðîìàãíèòíûé òîê (äåëåííûé íà ìíîæèòåëü e), à q = k − k′ — èìïóëüñ, ïåðåäàííûé îò ýëåêòðîíîâ àäðîíàì. Òðåáîâàíèå ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòè ïðèâîäèò ê âûâîäó, ÷òî ôóíêöèÿ Wµν(q, p) äîëæíà áûòü ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåëè÷èí pµpν, pµqν, qµpν, qµqν è ηµν ñ êîýôôèöèåíòàìè, êîòîðûå ìîãóò çàâèñåòü òîëüêî îò äâóõ íåçàâèñèìûõ ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé q è p: q2 è ν ≡ −q•p/mΝ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

366

Ãëàâà 20. Îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ

Èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ òîêà ñëåäóåò, ÷òî qµWµν = qνWµν = 0, òàê ÷òî ôóíêöèÿ W äîëæíà èìåòü âèä * W µν (q , p) = − +

µ ν

Fq q GH q 2

Fp GH

1 2 mN

I JK

− ηµν W1 ( ν, q 2 ) µ



p⋅q q2



I Fp JK GH

ν



p⋅q q2

I JK

q ν W2 ( ν, q 2 ).

(20.6.2)

Êðîìå òîãî, èç âûðàæåíèÿ (20.6.1) âèäíî, ÷òî Wµν* = Wνµ, è ïîýòîìó W1 è W2 äåéñòâèòåëüíû, à òàêæå ÷òî Wµν — ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà, îòêóäà W1 è W2 ïîëîæèòåëüíû.  ñèñòåìå ïîêîÿ íóêëîíà äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå ðàâíî

d3σ dΩdν

=

F d σI GH dΩ JK 2

dW

2

+ 2W1tg2 (θ 2) ,

i

(20.6.3)

Ìîòò

ãäå dΩ = sin θ dθ dϕ — ýëåìåíò òåëåñíîãî óãëà, â êîòîðûé ðàññåèâàåòñÿ ýëåêòðîí, à (dσ/dΩ)Ìîòò — äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå ðåëÿòèâèñòñêîãî óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ òî÷å÷íîé áåññïèíîâîé ÷àñòèöû:

F d σI GH dΩ JK 2

= Ìîòò

e 4 cos2 θ 2 4Ee2

b g, sin bθ 2g 4

(20.6.4)

ãäå Ee = −k•p/mN — ýíåðãèÿ íà÷àëüíîãî ýëåêòðîíà â ñèñòåìå ïîêîÿ íóêëîíà. Ìîæíî îæèäàòü, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ âåëè÷è2 2 = − q 2 + 2m N ν + m N äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå î÷åíü áûñòíû − pH 2 ðî ïàäàåò ïðè q → ∞, ò. ê. îíî äîëæíî áûòü ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó ôîðì-ôàêòîðà äëÿ ïåðåõîäà îò íóêëîíà ê ëþáîé ÷àñòèöå èëè * Òàêîé æå ôîðìàëèçì ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ äðóãèõ ãëóáîêîíåóïðóãèõ ïðîöåññîâ ðàññåÿíèÿ ëåïòîíîâ, íàïðèìåð, νµ + p → µ− + H, åñëè íå ñ÷èòàòü òîãî, ÷òî èç-çà íåñîõðàíåíèÿ ÷åòíîñòè â òàêèõ ïðîöåññàõ âîçíèêàåò äîïîëíèòåëüíîå òðåòüå ñëàãàåìîå â Wµν(q, p), ïðîïîðöèîíàëüíîå εµνrspρpσ. Äëÿ ïðîñòîòû îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ãëóáîêîíåóïðóãîãî ðàññåÿíèÿ ýëåêòðîíîâ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

20.6. Ãëóáîêîíåóïðóãîå ðàññåÿíèå

367

ðåçîíàíñó ñ ìàññîé, áëèçêîé ê −pH2. Ïîýòîìó âûçâàë óäèâëåíèå òîò ôàêò, ÷òî ÷åðåç äâà ãîäà ïîñëå îòêðûòèÿ â 1966 ãîäó Ñòàíôîðäñêîãî öåíòðà ëèíåéíîãî óñêîðèòåëÿ (SLAC) êîëëàáîðàöèÿ SLAC−ΜIT, âîçãëàâëÿâøàÿñÿ Ôðèäìàíîì, Êåíäàëëîì è Òåéëîðîì 9 îáíàðóæèëà, ÷òî íà ñàìîì äåëå νW2(q2, ν) ïðèìåðíî ïîñòîÿííà ïî q2 äëÿ ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèé ω ≡ 2mNν/q2 > 1. (Êîíêðåòíåå, W2(q2, ν) äëÿ ïðîòîíà ôèòèðîâàëàñü ïîä êðèâóþ νW2(q2, ν) g 0,35 − 0,004ω äëÿ Ee = 10, 13,5 è 16 Ãý è θ = 6° è 10°. Ýòè ýêñïåðèìåíòû áûëè íå÷óâñòâèòåëüíû ê çíà÷åíèþ W1, ïîñêîëüêó tg2(10°/2) = 7,6 • 10−3.) Çàìåòèì, ÷òî â ýòîì ïðåäåëå −pH2 → (ω − 1)q2 → ∞, ÷òî è îáúÿñíÿåò íàçâàíèå «ãëóáîêîíåóïðóãîå» ðàññåÿíèå. Ïðèìåðíî â òî æå âðåìÿ Áüîðêåí 10 ñ ïîìîùüþ àëãåáðû òîêîâ ïîêàçàë, ÷òî W2(q2, ν) è W1(q2, ν) óäîâëåòâîðÿþò ñêåéëèíãîâûì çàêîíàì: åñëè q2 è ν îäíîâðåìåííî ñòðåìÿòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, òî νW2 ( ν, q 2 ) → F2 (ω ), W1 ( ν, q 2 ) → F1 (ω ),

(20.6.5)

ãäå ñíîâà ω ≡ 2mNν/q2. Áîëåå èíòóèòèâíîå îáúÿñíåíèå ïðîèñõîäÿùåãî ÷óòü ïîçæå äàë Ôåéíìàí 11. Îí ïðåäïîëîæèë, ÷òî ïðè ãëóáîêîíåóïðóãîì ðàññåÿíèè íà óëüòðàðåëÿòèâèñòñêîì íóêëîíå èìïóëüñà p ýòîò íóêëîí âåäåò ñåáÿ òàê, êàê áóäòî îí ñîñòîèò èç «ïàðòîíîâ» ðàçëè÷íûõ òèïîâ, îòìå÷àåìûõ èíäåêñîì i, ïðè÷åì êàæäûé òèï ïàðòîíîâ ñ âåðîÿòíîñòüþ F i(x)dx îáëàäàåò èìïóëüñîì â èíòåðâàëå îò xp äî (x + dx)p. Òîãäà äëÿ êàæäîãî i

z

dxFi (x) = 1.

(20.6.6)

Óñëîâèå, ÷òî ïîëíûé èìïóëüñ íóêëîíà ðàâåí p, ïðèâîäèò ê äîïîëíèòåëüíîìó ïðàâèëó ñóìì 1

x ∑ F (x) x dx = 1. 0 i

i

(20.6.7)

 ñëó÷àå óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ ýëåêòðîíà (ìàññîé êîòîðîãî me ìû ïðåíåáðåãàåì) íà ïàðòîíå 4-èìïóëüñà xp èìååì 2 2 x2mN = −(q + xp)2 = − q 2 − 2 νm N x + x 2 m N

,

òàê ÷òî ν = q2/2mNx. Ïîýòîìó ñå÷åíèå íåóïðóãîãî ðàññåÿíèÿ â ýòîé ìîäåëè ðàâíî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

368

Ãëàâà 20. Îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ

F d σI =G J dΩdν H dΩ K d3σ

1

2



Q2i

Ìîòò i

X dx F1 + q YZ GH 2m x 2

2 N

0

FG θ IJ IJ δFG ν − q IJ , (20.6.8) H 2 K K H 2m x K 2

2

tg 2

2 N

ãäå Qi — çàðÿä i-ãî òèïà ïàðòîíîâ â åäèíèöàõ å *. (Ñëàãàåìîå ñ tg2(θ/2) ñîîòâåòñòâóåò «äèðàêîâñêîìó» ïàðòîíó ñ ìàãíèòíûì ìîìåíòîì eQi/2mNx.) Ñðàâíèâàÿ ýòî âûðàæåíèå ñ (20.6.3), íàõîäèì: 1

X F q I = 1 ∑ Q F FG 1 IJ , W ( ν, q ) = ∑ Y dxF (x)δ G ν − H ω K (20.6.9) H 2m x JK νω Z X F q I = ων W (ν, q ). 1 q W ( ν, q ) = ∑ Q Y dxF (x) δG ν − J 2 2m x H 2m x K 2m Z 2

2

Q2i

2

i

i

0

1

2

2 i

1

i

2 i i

2 N

i

2

2

2

i

2 N

0

2

2 N

2

N

(20.6.10) Ýòî õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñ áüîðêåíîâñêèìè ïðàâèëàìè ñêåéëèíãà (20.6.5), â êîòîðûõ 1 1 F2 (ω) = ∑ Q2i Fi (20.6.11) ω i ω

FG IJ H K

è

F1 (ω ) = ω 2m N F2 (ω) .

b

g

(20.6.12)

Ñîîòíîøåíèå (20.6.12) ïåðâîíà÷àëüíî áûëî âûâåäåíî Êàëëàíîì è Ãðîññîì 12. Îíî ñîãëàñóåòñÿ ñ ýêñïåðèìåíòîì ñ òî÷íîñòüþ 10−15%. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïðîòîí è íåéòðîí ñîñòîÿò ñîîòâåòñòâåííî èç äâóõ u-êâàðêîâ è îäíîãî d-êâàðêà èëè îäíîãî u-êâàðêà è * Ýòî âûðàæåíèå ìîæíî âûâåñòè ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (8.7.7) è (8.7.38) äëÿ êîìïòîíîâñêîãî ðàññåÿíèÿ ÷àñòèöû ñïèíà 1/2, 4-èìïóëüñà ð è ìàññû µ â ïðîèçâîëüíîé ëîðåíöîâñêîé ñèñòåìå. Äëÿ ýòîãî ïîëåçíî çàìåòèòü, ÷òî â èñïîëüçîâàííîé äëÿ âûâîäà ýòèõ ôîðìóë êàëèáðîâêå, â êîòîðîé íà÷àëüíûå è êîíå÷íûå äåéñòâèòåëüíûå âåêòîðû ïîëÿðèçàöèè eµ è e′µ óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì e2 = e′2 = 1, e• p = e′• p = e• k = e′• k′ = 0, ñóììà ïî ïîëÿðèçàöèÿì ðàâíà m 4 ( k ⋅ k ′) 2 2 m 2 ( k ⋅ k ′) 2 ′ ( e e ) 2 . ⋅ = + + ∑ (k ⋅ p)2 (k ′ ⋅ p)2 (k ⋅ p)(k ′ ⋅ p) e ,e ′

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

20.6. Ãëóáîêîíåóïðóãîå ðàññåÿíèå

369

äâóõ d-êâàðêîâ ïëþñ ëþáîå ÷èñëî íåéòðàëüíûõ ïàðòîíîâ, òî ñ ó÷åòîì âûðàæåíèé (20.6.11) è (20.6.6) ïîëó÷àåòñÿ ïðàâèëî ñóìì äëÿ W2:

XY Z



F2 (ω)

1

dω ω

=

∑ Q2i

=

i

RS 1, p, T2 3, n.

(20.6.13)

Áîëüøîé âêëàä â èíòåãðàë äàþò áîëüøèå çíà÷åíèÿ W, ò. å. îáëàñòü, â êîòîðîé ôóíêöèÿ F2 èçìåðÿåòñÿ ñ òðóäîì. Åñëè ìû ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî ïîëíûé èìïóëüñ íóêëîíà ðàñïðåäåëåí ìåæäó òðåìÿ êâàðêàìè â ðàâíûõ äîëÿõ (è îòñóòñòâóþò íåéòðàëüíûå ïàðòîíû), òî âìåñòî âûðàæåíèÿ (20.6.7) ïîëó÷èì áîëåå ñèëüíîå ñîîòíîøåíèå Fi (x)xdx = 1 / 3 äëÿ êàæäîãî êâàðêà, è òîãäà ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ (20.6.11) ïîëó÷èì:

z

XY Z



F2 (ω)

1

dω ω

2

=

1 3

∑ Q2i i

=

RS1 3 , T 2 9,

p, n.

Ýòîò èíòåãðàë ëåã÷å èçìåðèòü, è îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ðåçóëüòàò ðåçêî ïðîòèâîðå÷èò ïðàâèëó ñóìì, îòêóäà ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî áîëüøàÿ äîëÿ èìïóëüñà íóêëîíà ïåðåíîñèòñÿ íåéòðàëüíûìè ïàðòîíàìè. Íè÷òî â îïèñàííîì âûøå ôåíîìåíîëîãè÷åñêîì ïîäõîäå íå çàâèñèò îò êîíêðåòíîé òåîðèè ïîëÿ.  êîíå÷íîì èòîãå èìåííî îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå óêàçàëî ìåòîä ïðèìåíåíèÿ ëåæàùåé â îñíîâå òåîðèè ïîëÿ ê ãëóáîêîíåóïðóãîìó ðàññåÿíèþ.  ÷àñòíîñòè, áëàãîäàðÿ îïåðàòîðíîìó ðàçëîæåíèþ ñòàëî ÿñíî, ÷òî äëÿ îáúÿñíåíèÿ ãèïîòåç î ñêåéëèíãå (20.6.5) (è âû÷èñëåíèÿ ïîïðàâîê ê ñêåéëèíãîâîìó ïîâåäåíèþ) íåîáõîäèìà àñèìïòîòè÷åñêè ñâîáîäíàÿ òåîðèÿ ïîëÿ. Òàêîé òåîðèåé â êîíöå êîíöîâ îêàçàëàñü êâàíòîâàÿ õðîìîäèíàìèêà. ×òîáû ïðèìåíèòü îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå ê ãëóáîêîíåóïðóãîìó ðàññåÿíèþ, ñîâåðøèì ñíà÷àëà ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèÿ (20.6.1). Èñïîëüçóÿ òðàíñëÿöèîííóþ èíâàðèàíòíîñòü è ïîëíîòó àäðîííûõ ñîñòîÿíèé |H〉, ïîëó÷èì:

dm

N

0 pN W µν (q , p) ≡

i

1 2(2π)

4



σN

z

dz e − iq ⋅z 〈N| J ν (z) J µ (0)| N 〉. (20.6.14)

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

370

Ãëàâà 20. Îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ

Ïîýòîìó àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå Wµν(q, p) ïðè q → ∞ ñâÿçàíî ñ ñèíãóëÿðíîñòüþ îïåðàòðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïðè z → 0. Âû÷èñëåíèå êîýôôèöèåíòíûõ ôóíêöèé â îïåðàòîðíûõ ðàçëîæåíèÿõ ñ ïîìîùüþ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì îòíîñèòñÿ íåïîñðåäñòâåííî íå ê ðàçëîæåíèþ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ òèïà òåõ, êîòîðûå âîçíèêëè â âûðàæåíèè (20.6.14) äëÿ Wµν, à ê ìàòðè÷íûì ýëåìåíòàì äâóõòî÷å÷íîé ôóíêöèè Ãðèíà

dm

N

1

0 pN T µν (q , p) ≡

i

2(2π)

4



σN

z

dz e − iq ⋅z 〈N| T{ J ν (z) J µ (0)}| N 〉. (20.6.15)

Ýòî ìîæíî çàïèñàòü ÷åðåç ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè äëÿ Tµν, îïðåäåëåííûå ïî àíàëîãèè ñ (20.6.2): µ ν

F q q − η I T (ν, q ) GH q JK p⋅q I F 1 F + p − q J Gp G m H q KH

T µν (q , p) = −

µν

2

1

2

µ

µ

2 N

2

ν



p⋅q q

2

I JK

q ν T2 ( ν, q 2 ),

(20.6.16)

Ñâÿçü ìåæäó Tr(ν, q2) è Wr(ν, q2) (r = 1, 2) óñòàíàâëèâàåòñÿ 13 ñ ïîìîùüþ äèñïåðñèîííûõ ñîîòíîøåíèé * ïðè ôèêñèðîâàííîì q2:

Tr ( ν, q 2 ) =

1 2 +

Wr (− ν, q 2 ) +

XY 2πi Z 1



−∞

dν′

1

Wr ( ν, q 2 ) 2 Wr (− ν′, q 2 ) − Wr ( ν′, q 2 ) ν′ − ν

,

(20.6.17)

ãäå çíàìåíàòåëü â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ. Ôóíêöèè Wr(ν, q2) îáðàùàþòñÿ â íóëü çà èñêëþ÷åíèåì îáëàñòè ν > q2/2mN, òàê ÷òî äèñïåðñèîííûå ñîîòíîøåíèÿ ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå

* Ïðè q2 = 0 ýòè ñîîòíîøåíèÿ ìîæíî âûâåñòè òî÷íî, êàê è ïðè âûâîäå äèñïåðñèîííîãî ñîîòíîøåíèÿ (10.8.16) äëÿ ôîòîííîãî ðàññåÿíèÿ âïåðåä. Âûâîä ïðè ôèêñèðîâàííîì q2 ≠ 0 áîëåå ñëîæåí.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

20.6. Ãëóáîêîíåóïðóãîå ðàññåÿíèå

Tr ( ν, q 2 ) =

1 2 +

371

Wr (− ν, q 2 ) +

XY 2πi Z 1



1 2

Wr ( ν, q 2 )

dν′ Wr ( ν′, q 2 )

q 2 2 mN

FG 1 + 1 IJ . (20.6.18) H ν′ + ν ν′ − ν K

Îïåðàòîðû, äàþùèå âêëàä â îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå äëÿ Tr, ìîæíî ðàñêëàññèôèöèðîâàòü â ñîîòâåòñòâèè ñ íåïðèâîäèìûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè ãðóïïû Ëîðåíöà, êîòîðûì îíè ïðèíàäëåæàò. Åäèíñò-âåííûå ëîðåíö-êîâàðèàíòíûå ôóíêöèè îäíîãî 4-âåêòîðà p µ ñ ôèêñèðîâàííûì p2 = −mN2 ïðîïîðöèîíàëüíû ñèììåòðè÷íûì òåíçîðàì p µ1 . . . p µ s , òàê ÷òî åäèíñòâåííûìè îïåðàòîðàìè, êîòîðûå ìîãóò äàâàòü âêëàä â óñðåäíåííîå ïî ñïèíàì ñðåäíåå ïî íóêëîííûì ñîñòîµ ... µ ÿíèÿì, ÿâëÿþòñÿ ñèììåòðè÷íûå áåññëåäîâûå òåíçîðû Osi1 s , ãäå íèæíèé èíäåêñ i îòëè÷àåò äðóã îò äðóãà ëþáûå îïåðàòîðû ñ òàêîé òåíçîðíîé ñòðóêòóðîé. (Ïî ïðè÷èíàì, êîòîðûå ñòàíóò ÿñíûìè íèæå, ìû èñïîëüçóåì äëÿ ðàçëè÷åíèÿ îïåðàòîðîâ òîò æå èíäåêñ i, êîòîðûé ïðèìåíÿëñÿ â ïàðòîííîé ìîäåëè äëÿ îáîçíà÷åíèÿ òèïà ïàðòîíîâ.) Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ýòèõ îïåðàòîðîâ èìåþò âèä

1

µ ... µ s

∑ 〈N| Osi 1

2 σN

0 | N 〉 = m N pN p µ1 . . . p µ s − ñëåäû 〈Osi 〉, (20.6.19)

d

i

ãäå 〈Osi〉 — ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû. Ïîäîáíûé îïåðàòîð äàåò â Tµν(q, p) âêëàä, ïðîïîðöèîíàëüíûé s ìíîæèòåëÿì 4-âåêòîðà p, è ïîýòîìó äàåò âêëàä â T1(ν, q2) è T2(ν, q2), ïðîïîðöèîíàëüíûé ñîîòâåòñòâåííî νs è νs−2. (Ìû îïóñòèëè ñëàãàåìûå, âêëþ÷àþùèå p2, ïîñêîëüêó òàêèå ñëàãàåìûå ïîäàâëåíû ìíîæèòåëÿìè µΝ2/q2 èëè mN2/(p•q).) Åñëè ïðåíåáðå÷ü ëîãàðèôìè÷åñêèìè ïîïðàâêàìè, òî â àñèìïòîòè÷åñêè ñâîáîäíîé òåîðèè çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòîâ îò q2 èìååò âèä (q2)(−4+6−d(s,i)−s)/2 è (q2)(−4+6−d(s,i)−s+2)/2, ñîîòâåòñòâåííî, ãäå d(s, i) — ðàçìåðíîñòü îïåðàòîðà Osi *. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ν ∝ q2ω, ïîëó÷àåì, ÷òî âêëàäû îïåðàòîðà Osi â ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè àñèìïòîòè÷åñêè èìåþò âèä * Ñòåïåíü –4 â ïîêàçàòåëÿõ âîçíèêàåò îò èíòåãðàëà ïî z â âûðàæåíèè (20.6.4), à ñòåïåíü +6 åñòü àðçìåðíîñòü äâóõ îïåðàòîðîâ ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà. ×ëåíû –s/2 è –(s–2)/2 ñëóæàò äëÿ êîìïåíñàöèè ñòåïåíåé qµ, óæå èìåþùèõñÿ â νs è νs–2 ñîîòâåòñòâåííî.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

372

è

Ãëàâà 20. Îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ

T1,si ∝ ν s (q 2 )(2 − d( s, i) − s) 2 ∝ ω s −1 (q 2 )(2 − τ(s, i) 2

(20.6.20)

νT2,si ∝ ν s −1 (q 2 )( 4 − d(s, i) − s) 2 ∝ ω s −1 (q 2 )(2 − τ(s, i) 2 ,

(20.6.21)

ãäå τ(s, i) — «òâèñò» îïåðàòîðà Osi, îïðåäåëåííûé êàê

14

τ(s, i) ≡ d(s, i) − s.

(20.6.22)

Âèäíî, ÷òî äîìèíèðóþùèå ñëàãàåìûå â Ò1 è νÒ2 ïðè q2 → 0 ïðè ôèêñèðîâàííîì W îïðåäåëÿþòñÿ âêëàäàìè îïåðàòîðîâ ìèíèìàëüíîãî òâèñòà. Êðîìå òîãî, èç âûðàæåíèÿ (20.6.18) ñëåäóåò, ÷òî â Tr(ν, q2) íå ñîäåðæàòñÿ ñëàãàåìûå íå÷åòíîé ñòåïåíè ïî ν, òàê ÷òî ñþäà ìîãóò äàâàòü âêëàä òîëüêî îïåðàòîðû Osi ñ ÷åòíûì s. Ñèììåòðè÷íûå áåññëåäîâûå òåíçîðû ðàíãà s ìèíèìàëüíîé ðàçìåðíîñòè — ýòî îïåðàòîðû

(Osf )µ1 ... µ s ≡ i s − 2 s ! ψ f γ {µ1 Dµ↔ . . . Dµ↔} ψ f

(20.6.23)

(O s0 ) µ1 ... µ s ≡ i s − 2 2s ! Fαν{ µ Dµ↔ . . . Dµ↔ Fανµ } ,

(20.6.24)

d

i

2

s

è

d

i

1

3

s

2

ãäå f îòìå÷àåò ñîðòà êâàðêîâ, Dµ — êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ, à ôèãóðíûå ñêîáêè îçíà÷àþò ñóììó ïî ïåðåñòàíîâêàì è âû÷èòàíèå ñëåäîâ ïî çàêëþ÷åííûì â ñêîáêè ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûì èíäåêñàì. (Ñèìâîë ↔ îçíà÷àåò ïîëóðàçíîñòü ïðîèçâîäíûõ, äåéñòâóþùèõ íàïðàâî è íàëåâî. Ìû áåðåì ðàçíîñòü ïðîèçâîäíûõ, ïîñêîëüêó èõ ñóììà äîëæíà èñ÷åçàòü â ëþáîì ìàòðè÷íîì ýëåìåíòå ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè ñ ðàâíûìè 4-èìïóëüñàìè.) Ýòè îïåðàòîðû èìåþò ðàçìåðíîñòü 3 + (s − 1) = 4 + (s − 2) = 2 + s, òàê ÷òî èõ òâèñò τ = 2. Òàêèì îáðàçîì, ïðè q2 → ∞ â Ò1 è Ò2 äàåò âêëàä áåñêîíå÷íîå ÷èñëî îïåðàòîðîâ, ïðè÷åì ýòè âêëàäû çàâèñÿò îò W è òîëüêî ëîãàðèôìè÷åñêè îò q2. Èòàê, àñèìïòîòè÷åñêàÿ ñâîáîäà ïîäòâåðæäàåò áüåðêåíîâñêèé ñêåéëèíã, íî òîëüêî ñ òî÷íîñòüþ äî ëîãàðèôìè÷åñêèõ ïîïðàâîê. Óäåðæèâàÿ òîëüêî îïåðàòîðû òâèñòà äâà, âèäèì (êàê ýòî è ñëåäóåò èç íàøèõ îáîçíà÷åíèé), ÷òî äëÿ êàæäîãî s äåéñòâèòåëüíî èìååòñÿ îäèí îïåðàòîð äëÿ êàæäîãî òèïà ïàðòîíîâ, ïðè÷åì i ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ, îòâå÷àþùèå êâàð-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

20.6. Ãëóáîêîíåóïðóãîå ðàññåÿíèå

373

êîâûì àðîìàòàì f (ìû îáúåäèíÿåì êâàðêè è àíòèêâàðêè), à òàêæå çíà÷åíèå i = 0, îòâå÷àþùåå ãëþîíó. Ðàññìîòðèì òåïåðü ëîãàðèôìè÷åñêèå ïîïðàâêè. Àñèìïîòîòè÷åñêèå ïîâåäåíèå êîýôôèöèåíòíûõ ôóíêöèé â àñèìïîòîòè÷åñêè ñâîáîäíîé òåîðèè îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (20.3.9). Êàê îáñóæäàëîñü â ðàçäåëå 10.4, åñëè ìû ïðåíåáðåãàåì ýëåêòðîìàãíèòíûìè ðàäèàöèîííûìè ïîïðàâêàìè, äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî òîêà íå íóæíû íèêàêèå ïåðåíîðìèðîâî÷íûå ìíîæèòåëè, ïîñêîëüêó ýòè òîêè ñîõðàíÿþòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî ìàòðèöà cll′ â ôîðìóëå (20.3.9) îáðàùàåòñÿ â íóëü. Ìàòðèöà cO,O ′ íå èìååò ýëåìåíòîâ, ñâÿçûâàþùèõ îïåðàòîðû ðàçíîãî òèïà ïî îòíîøåíèþ ê ïðåîáðàçîâàíèÿì Ëîðåíöà, òàê ÷òî â èñïîëüçóåìûõ ñåé÷àñ îáîçíà÷åíèÿõ c si ,s′i ′ = δ ss′ c ii ′ (s) . Òàêèì îáðàçîì, âûðàæåíèå (20.3.9) ïðèíèìàåò âèä

T1 ( ν, q 2 ) →

sij

νT2 ( ν, q 2 ) →

L N

∑ ω s A si Mdgq2

L N

∑ ω s −1Bsi Mdgq2 sij

gl2

8 π 2 c ( s) b

i

gl2

OP Q

〈O sj 〉, ij

8 π 2 c ( s) b

i

OP Q

〈Osj 〉, ij

(20.6.25) (20.6.26)

ãäå A è B — êîíñòàíòû, âîçíèêàþùèå â êîýôôèöèåíòíîé ôóíêöèè äëÿ îïåðàòîðà Osi â îïåðàòîðíîì ðàçëîæåíèè ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ýëåêòðè÷åñêèõ òîêîâ, l2 — êîíêðåòíîå çíà÷åíèå q2, âûáðàííîå äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòíûõ ôóíêöèé, b — êîíñòàíòà â ðåíîðìãðóïïîâîì óðàâíåíèè îäíîïåòëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ (20.3.8) äëÿ ñèëüíîé êîíñòàíòû ñâÿçè gq, 〈Osi〉 — ïîñòîÿííûé êîýôôèöèåíò â ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòàõ (20.6.19). Êîýôôèöèåíòû îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ íå çàâèñÿò îò êîíêðåòíîãî ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîöåññà, è íà íèõ íå âëèÿåò íåâûëåòàíèå êâàðêîâ, òàê ÷òî ìîæíî âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíòû Asi è Bsi, ðàññìàòðèâàÿ ôèêòèâíûé áîëåå ïðîñòîé ïðîöåññ ðàññåÿíèÿ ýëåêòðîíà íà ñâîáîäíîì êâàðêå àðîìàòà f. Ïåðåíîðìèðîâàííûå îïåðàòîðû Osi ìîæíî óäîáíî îïðåäåëèòü òàê, ÷òî îäíîêâàðêîâûå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðîâ (20.6.23) è (20.6.24) çàäàþòñÿ â äðåâåñíîì ïðèáëèæåíèè: ( −1) s i u ′γ {µ1 u p µ2 . . . p µ s }δ ff ′ δ ff ′′ , (20.6.27) 〈 f ′, σ ′| Osf | f ′′, σ ′′〉 = s!

d

i

〈 f ′, σ ′| Os0 | f ′′, σ ′′〉 = 0.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(20.6.28)

374

Ãëàâà 20. Îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ

Óñðåäíÿÿ âûðàæåíèå (20.6.27) ïî σ′ = σ′′ è ñðàâíèâàÿ ðåçóëüòàò ñ âûðàæåíèåì (20.6.19), ïîëó÷àåì:

〈O sf 〉 f ′

mf p

0

p µ1 p µ2 . . . p µ s = δ ff ′

( −1) s i 2s !

Tr

|RSFG − ip/ + m IJ γ T|H 2p K f

0

{ µ1 µ 2

|UV W|

p . . . pµs } ,

òàê ÷òî (äëÿ ÷åòíûõ s) 〈O sf 〉 f ′ = δ ff ′ m f

(20.6.29)

〈O s0 〉 f ′ = 0.

(20.6.30)

è

Ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè îïåðàòîðîâ Osi, âûáèðàÿ ìàñøòàá èìïóëüñîâ l2 â òî÷êå ïåðåíîðìèðîâêè äîñòàòî÷íî áîëüøèì, ÷òîáû ôóíêöèè â îïåðàòîðíîì ðàçëîæåíèè ìîæíî áûëî âû÷èñëèòü â äðåâåñíîì ïðèáëèæåíèè, ìîæíî âûâåñòè âèä ýòèõ ôóíêöèé èç ôîðìóë äðåâåñíîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ ñå÷åíèÿ ýëåêòðîí−êâàðêîâîãî ðàññåÿíèÿ. Ïðîñëåæèâàÿ âûâîä âûðàæåíèé (20.6.9) è (20.6.10) â ïàðòîííîé ìîäåëè, âèäèì, ÷òî ôóíêöèè Wr äëÿ ðàññåÿíèÿ ýëåêòðîíà íà êâàðêå ñîðòà f îïðåäåëÿþòñÿ â äðåâåñíîì ïðèáëèæåíèè ôîðìóëàìè *

νW2, f = mN m f Q2f δ(ω − 1) ,

(20.6.31)

W1, f = Q2f δ(ω − 1) 2m f .

(20.6.32)

d

i

Ïîäñòàâëÿÿ ýòè ðåçóëüòàòû â äèñïåðñèîííûå ñîîòíîøåíèÿ (20.6.18), ïîëó÷àåì ïðè ω ≠ 1 T1, f =

Q2f

mN

1

2πim f m f ω 2 − 1

,

(20.6.33)

*  âûðàæåíèå (20.6.31) âêëþ÷åí ìíîæèòåëü (mN/mf), ïîñêîëüêó âåëè÷èíà ν îïðåäåëåíà êàê −(q•p)/mN, à íå êàê −(q•p)/mf, â òî âðåìÿ êàê â (20.6.2) âõîäèò W2/mN2, à íå W2/mf2. Òîãäà ôîðìóëà (20.6.32) ñëåäóåò èç (20.6.10). Âåëè÷èíó W ìîæíî çàïèñàòü â âèäå, íå çàâèñÿùåì îò ìàññ: W = −2(q•p)/q2.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

20.6. Ãëóáîêîíåóïðóãîå ðàññåÿíèå

375

νT2, f =

ω2

2Q2f

2πi ω 2 − 1

(20.6.34)

,

Ýòè ðåçóëüòàòû ìîæíî íåïîñðåäñòâåííî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì äëÿ ýëåêòðîí-êâàðêîâîãî ðàññåÿíèÿ. Ñðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè ωs â âûðàæåíèÿõ (20.6.33) è (20.6.34) ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè êîýôôèöèåíòàìè â âûðàæåíèÿõ (20.6.25) è (20.6.26) â òî÷êå ïåðåíîðìèðîâêè q2 = l2, è ïîëüçóÿñü ôîðìóëàìè (20.6.29) è (20.6.30), íàõîäèì, ÷òî

A si =

iQ2i

Bsi =

,



imN Q2i π

(20.6.35)

,

ãäå, êîíå÷íî, çàðÿä ãëþîíîâ Q0 âçÿò ðàâíûì íóëþ. Ïîâòîðèì, ÷òî íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ýòè çíà÷åíèÿ âûâåäåíû äëÿ ýëåêòðîí-êâàðêîâîãî ðàññåÿíèÿ, Asi è Bsi ÿâëÿþòñÿ ìíîæèòåëÿìè â îïåðàòîðíîì ðàçëîæåíèè äâóõ ýëåêòðè÷åñêèõ òîêîâ, è ïîýòîìó îíè íå çàâèñÿò îò ñîñòîÿíèÿ, ïî êîòîðîìó âû÷èñëÿåòñÿ ñðåäíåå çíà÷åíèå ýòîãî îïåðàòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Ïîýòîìó ìîæíî ïîäñòàâèòü âûðàæåíèå (20.6.35) â ôîðìóëû (20.6.25) è (20.6.26) è ïîëó÷èòü:

T1 ( ν, q 2 ) → νT2 ( ν, q 2 ) →

i 2π

imN π

L N

∑ ω sQ2i Mdgq2 sij

gl2

L N

∑ ω s −1Q2i Mdgq2 sij

8 π 2 c ( s) b

i

gl2

OP Q

8 π 2 c ( s) b

i

〈Osj 〉,

(20.6.36)

OP Q

(20.6.37)

ij

〈O sj 〉, ij

Âåðíåìñÿ, íàêîíåö, ê ñòðóêòóðíûì ôóíêöèÿì Wr(ν, q2). Çàìåòèì, ÷òî êîýôôèöèåíò ïðè ωs = (2mNν/q2)s â Tr(ν, q2) äàåòñÿ âûðàæåíèåì (20.6.18) â âèäå s

Fq IX G JY 2πi H 2m K Z −2

2

N



dν ′ν

q 2 2 mN

′ −1− s

X W ( ν ′, q ) = Y πZ i

2



dωω −1− s Wr

r

1

F ωq GH 2m

2

I JK

, q2 . N

Ñðàâíèâàÿ ñ ôîðìóëàìè (20.6.36) è (20.6.37), íàõîäèì:

X YZ



1

dωω −1− s W1

F ωq GH 2m

2 N

I JK

, q2 →

1 2

L N

∑ Q2i Mdgq2 ij

gl2

i

8 π 2 c ( s) b

OP Q

〈Osj 〉, (20.6.38) ij

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

376

Ãëàâà 20. Îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ

X YZ



dωω − s νW2

1

F ωq GH 2m

2

I JK

LMd N

, q 2 → m N ∑ Q2i gq2 gl2

N

ij

i

8 π 2 c ( s) b

OP Q

〈Osj 〉. (20.6.39) ij

Î÷åâèäíî, ÷òî óäîâëåòâîðÿþùèå ýòèì óðàâíåíèÿì ôóíêöèè Wr ìîæíî çàïèñàòü â âèäå, àíàëîãè÷íîì óðàâíåíèÿì (20.6.9) è (20.6.10) ïàðòîííîé ìîäåëè:

W1

νW2

F ωq GH 2m

F ωq GH 2m

2 N

2

I JK

, q2 →

N

∑ Q2i Fi (1 ω, q 2 ) ,

(20.6.40)

i

I JK

, q2 →

2mN ω

∑ Q2i Fi (1 ω, q 2 ) ,

(20.6.41)

i

ãäå Fi — ïàðòîííàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, îïðåäåëÿåìàÿ òåïåðü óðàâíåíèåì ìîìåíòîâ 1

X dx x YZ

s −1

F i ( x, q 2 ) =

L ∑ Mdg 2 N 1

2 q

gl2

i

8 π 2 c ( s) b

j

0

OP Q

〈O sj 〉 .

(20.6.42)

ij

 ÷àñòíîñòè, âèäíî, ÷òî àñèìïòîòè÷åñêàÿ ñâîáîäà ïðèâîäèò íå òîëüêî ê óòî÷íîåííîé âåðñèè áüåðêåíîâñêîãî ñêåéëèíãà, íî è ê ñîîòíîøåíèþ Êàëëàíà−Ãðîññà (20.6.12) ìåæäó W1 è W2. Àëüòàðåëëè è Ïàðèçè 15 íàøëè ýëåãàíòíóþ ïåðåôîðìóëèðîâêó óðàâíåíèé äëÿ ìîìåíòîâ (20.6.42), êîòîðàÿ ñòàëà øèðîêî èñïîëüçîâàòüñÿ ïðè èçó÷åíèè ãëóáîêîíåóïðóãîãî ðàññåÿíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (20.6.42) ñîâìåñòíî ñ óðàâíåíèåì ðåíîðìãðóïïû (20.3.8) ïðèâîäÿò ê äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì q2

d dq 2

1

XY dx x Z 0

s −1

XY Z

1

Fi (x, q 2 ) = − gq2 ∑ c ij (s) dx x s −1 Fi (x, q 2 ). j

0

(20.6.43) Ýòè óðàâíåíèÿ ñîâìåñòíî ñ «íà÷àëüíûì» óñëîâèåì â òî÷êå ïåðåíîðìèðîâêè l2

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

20.6. Ãëóáîêîíåóïðóãîå ðàññåÿíèå 1

XY dx x Z

s −1

377

Fi (x, l 2 ) =

0

1 2

〈O si 〉,

(20.6.44)

èìåþò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, ïîýòîìó èõ ìîæíî èñïîëüçîâàòü âìåñòî óðàâíåíèé äëÿ ìîìåíòîâ. Äàëåå, óðàâíåíèå (20.6.43) óäîâëåòâîðÿåòñÿ ðåøåíèåì äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ äëÿ Fi:

q2

d dq

2

Fi (x, q 2 ) =

gq2 4π

2

X ∑Y Z j

1

x

dy y

Pij

F x I F (y, q ) , GH y JK 2

j

(20.6.45)

ãäå ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ Pij(z) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì

z

1

0

z s −1 Pij (z)dz = −4π 2 c ij (s).

(20.6.46)

(Ìíîæèòåëü 4π2 âûáèðàåòñÿ ïî ñîãëàøåíèþ.) Ìàòðèöà cij(s) áûëà âû÷èñëåíà â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå Äæîðäæè è Ïîëèòöåðîì 16 è Ãðîññîì è Âèëü÷åêîì 17. Îíè ïðåäïîëîæèëè, ÷òî ñóùåñòâóåò N ñîðòîâ êâàðêîâ, êîòîðûå äîñòàòî÷íî ëåãêè äëÿ òîãî, ÷òîáû èõ ìîæíî áûëî ñ÷èòàòü áåçìàññîâûìè, à êâàðêè âñåõ äðóãèõ ñîðòîâ ìîæíî ñ÷èòàòü î÷åíü òÿæåëûìè è ïðîâåñòè ïðî íèì èíòåãðèðîâàíèå, òàê ÷òî ýòèìè êâàðêàìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü âî âñåì çà èñêëþ÷åíèåì èõ âëèÿíèÿ íà âåëè÷èíó êîíñòàíòû ñèëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â áàçèñå, îïðåäåëÿåìîì îïåðàòîðàìè (20.6.23) è (20.6.24), èìåþò âèä

c00 (s) =

1 2π 2

R|L 1 − 1 − 1 + 1O + N C U|, S|MN12 s(s − 1) (s + 1)(s + 2) ∑ t PQ 3 V| T W L 1 + 2 OP , 1 c (s) = C M π N s + 2 s(s + 1)(s + 2) Q s

t =2

f0

2

2

C0 f (s) =

1 8π 2

C3

2

LM 1 + 2 OP , N s + 1 s(s − 1) Q

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(20.6.47)

(20.6.48)

(20.6.49)

378

Ãëàâà 20. Îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ

c ff ′ (s) =

1 8π

2

LM N

C3 1 −

s

2 s(s + 1)

+ 4∑

t=2

OP δ tQ

1

ff ′

,

(20.6.50)

ãäå èíäåêñû 0 è f îáîçíà÷àþò ñîîòâåòñòâåííî îïåðàòîðû (20.6.24) è (20.6.23), êîíñòàíòû Ñ1 è Ñ2 îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè (17.5.33) è (17.5.34) (ïðè÷åì ñëåä â âûðàæåíèè (17.5.34) áåðåòñÿ òîëüêî ïî îäíîìó ñîðòó êâàðêîâ), N åñòü ÷èñëî ñîðòîâ êâàðêîâ, à êîíñòàíòà Ñ3 îïðåäåëåíà (ñ èñïîëüçîâàíèåì îáîçíà÷åíèé ðàçäåëà 17.4) ôîðìóëîé

tα tα = C3g2 1.

(20.6.51)

 ðåàëèñòè÷åñêîì ñëó÷àå SU(3) êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû ñ êâàðêàìè â åå îïðåäåëÿþùåì ïðåäñòàâëåíèèè 3, ýòè êîíñòàíòû ðàâíû Ñ1 = 3, Ñ2 = 1/2, Ñ3 = 4/3.

(20.6.52)

Ïðèâåäåííûå äîâîëüíî ñëîæíûå ðåçóëüòàòû ïðèíèìàþò áîëåå ïðîñòîé âèä, åñëè âûðàçèòü èõ ÷åðåç ôóíêöèè Àëüòàðåëëè− Ïàðèçè. Ìîæíî íåïîñðåäñòâåííî óáåäèòüñÿ, ÷òî óñëîâèå (20.6.46) óäîâëåòâîðÿåòñÿ, åñëè

Pff ′ = δ ff ′

LM 4 F 1 + x I + 2δ(1 − x)OP , MN 3 GH (1 − x) JK PQ 2

Pf0 = x 2 − x +

P0 f = P00 = 6

(20.6.53)

+

1

(20.6.54)

,

2

LM − 2 + xOP , 3 Nx Q 4 2

LM1 − x + x(1 − x) + x (1 − x) MN x

+ +

11 12

(20.6.55)

OP PQ

δ(1 − x) −

N 3

δ(1 − x), (20.6.56)

ãäå â èíòåãðàëå ïî x îò 0 äî 1 ôóíêöèÿ 1/(1– x)+ îïðåäåëåíà ðàâåíñòâîì f ( x) f (x) − f (1) ≡ . (20.6.57) (1 − x) + 1− x

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

20.6. Ãëóáîêîíåóïðóãîå ðàññåÿíèå

379

Äëÿ êàæäîãî s èìååòñÿ î÷åâèäíîå (N − 1)-êðàòíî âûðîæäåííîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû c(s), ðàâíîå êîýôôèöèåíòó ïðè δff′ â ôîðìóëå (20.6.50): c(s, ïðèñîåä) =

LM N

1 8π

Ñ3 1 −

2

2 s(s + 1)

s

+ 4∑

t =2

OP , tQ

1

(20.6.58)

ñ ñîáñòâåííûìè îïåðàòîðàìè, äàþùèìèñÿ âñåìè íåçàâèñèìûìè ëèíåéíûìè êîìáèíàöèÿìè îïåðàòîðîâ (20.6.23) ñ êîýôôèöèåíòàìè af, óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèþ ∑faf = 0, è ïðèíàäëåæàùèìè ïðèñîåäèíåííîìó ïðåäñòàâëåíèþ íåíàðóøåííîé ãëîáàëüíîé SU(N) ãðóïïû ñèììåòðèè êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè ñ N ñîðòàìè êâàðêîâ. Âäîáàâîê äëÿ êàæäîãî s ñóùåñòâóþò äâà ñîáñòâåííûõ îïåðàòîðà, ïðèíàäëåæàùèõ ñèíãëåòíîìó ïðåäñòàâëåíèþ SU(N) è âûðàæàþùèõñÿ ëèíåéíûìè êîìáèíàöèÿìè îïåðàòîðà (20.6.24) è ñóììû ïî f îïåðàòîðîâ (20.6.23). Ýòè ñîáñòâåííûå îïåðàòîðû è ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìîæíî íàéòè, äèàãîíàëèçóÿ 2 × 2 ìàòðèöó

c(s, ñèíãëåò) =

LMc Nc

00 (s)

OP Q

(20.6.59)

OP Q

(20.6.60)

c0 f (s)N . f 0 (s) c(s, ïðèñîåä)

Äëÿ s = 2 ýòà ìàòðèöà ïðèíèìàåò âèä

c(2, ñèíãëåò) =

LMNC 6π N C 3π 2

2

2

2

NC3 6π 2 . C3 3π 2

Îíà èìååò îäíî íóëåâîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå, ñîîòâåòµν ñòâóþùåå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè O20 è ∑ f O2µν f , ðàâíîé òåíçîðó ýíåðãèè−èìïóëüñà, êîòîðûé, êàê è òîê Jµ, íå ïåðåíîðìèðóåòñÿ. Äðóãîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû (20.6.60) äàåòñÿ åå ñëåäîì NC2 6π 2 + C3 3π 2 . Äàëåå, ìèíèìóì ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé cij(s) äëÿ äàííîãî s äîëæåí áûòü ïî êðàéíåé ìåðå íå ìåíüøå, ÷åì ìèíèìóì ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé cij(s′) äëÿ ëþáîãî s′ < s, ïîñêîëüêó â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ q2 èíòåãðàë (20.6.42) ñòàíåò â êîíöå êîíöîâ áîëüøå äëÿ s, ÷åì äëÿ s′, â ïðîòèâîðå÷èè ñ òåì, ÷òî ýòîò èíòåãðàë ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî óáûâàþùåé ôóíêöèåé s. Ïîñêîëüêó äëÿ s = 2 ìèíèìàëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ðàâíî íóëþ, ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî âñå äðóãèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿ s > 2

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

380

Ãëàâà 20. Îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ

ïîëîæèòåëüíû. Íà ñàìîì äåëå, âñå îíè ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíû, ïîñêîëüêó äëÿ s > 2 íåò íåïåðåíîðìèðîâàííûõ îïåðàòîðîâ. Ïîýòîìó ñòðîãèé áüåðêåíîâñêèé ñêåéëèíã èìååò ìåñòî òîëüêî â ýêñòðåìàëüíîì ïðåäåëå, êîãäà gq2 → 0, è âûæèâàåò òîëüêî âêëàä òåíçîðà ýíåðãèè−èìïóëüñà. Ïðåäñêàçàíèÿ î íàðóøåíèÿõ áüåðêåíîâñêîãî ñêåéëèíãà áûëè ïîäòâåðæäåíû ýêñïåðèìåíòàëüíî â ðåçóëüòàòå èñ÷åðïûâàþùåãî àíàëèçà ãëóáîêîíåóïðóãîãî ýëåêòðîí−íóêëîííîãî è ìþîí−íóêëîííîãî ðàññåÿíèÿ. 20.7. Ðåíîðìàëîíû * Ñ ìîìåíòà çàðîæäåíèÿ êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ òåîðåòèêîâ èíòåðåñîâàë âîïðîñ, ñõîäÿòñÿ ëè ðÿäû òåîðèè âîçìóùåíèé äëÿ ôèçè÷åñêèõ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ, à åñëè íåò, òî ÷òî ìîæíî ñ ýòèì ñäåëàòü?  ñàìîì íà÷àëå ñîâðåìåííîãî ïåðèîäà ðàçâèòèÿ Äàéñîí 18 îòìåòèë, ÷òî ÷èñëî äèàãðàìì n-ãî ïîðÿäêà òåîðèè âîçìóùåíèé òèïè÷íî ðàñòåò êàê n!, îòêóäà ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ðÿäû òåîðèè âîçìóùåíèé èìåþò íóëåâîé ðàäèóñ ñõîäèìîñòè. Äëÿ óëó÷øåíèÿ ñõîäèìîñòè ñòåïåííûõ ðÿäîâ, ó êîòîðûõ ÷ëåí n-ãî ïîðÿäêà ðàñòåò êàê n!, ñóùåñòâóåò õîðîøî èçâåñòíàÿ òåõíèêà, íàçûâàåìàÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Áîðåëÿ 19, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ëèáî ñäåëàòü ðÿä ñõîäÿùèìñÿ, ëèáî, ïî êðàéíåé ìåðå, èñïðàâèòü ïîâåäåíèå ðÿäà òàê, ÷òî îí ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí êàê àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå â áîëåå øèðîêîì èíòåðâàëå çíà÷åíèé êîíñòàíò ñâÿçè. Äëÿ äàííîãî ðÿäà F(g) =

∑ fn g

n

n

(20.7.1)

ìû ðàññìàòðèâàåì ñâÿçàííûé ñ íèì ðÿä B(z) ≡

∑ fn z

n

n!.

n

(20.7.2)

* Ýòîò ðàçäåë ëåæèò íåñêîëüêî â ñòîðîíå îò îñíîâíîé ëèíèè èçëîæåíèÿ è ìîæåò áûòü îïóùåí ïðè ïåðâîì ÷òåíèè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

20.7. Ðåíîðìàëîíû

381

Åñëè fn ðàñòåò íå áûñòðåå, ÷åì n!, òîãäà â îáùåì ñëó÷àå B(z) áóäåò èìåòü ïî êðàéíåé ìåðå êîíå÷íûé ðàäèóñ ñõîäèìîñòè. Âîïðîñ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ìîæåì ëè ìû âîññòàíîâèòü èñõîäíûé ðÿä (20.7.1), çíàÿ ïåðåñóììèðîâàííûé ðÿä (20.7.2)? Èñïîëüçóÿ çíàêîìóþ ôîðìóëó

z



0

exp − z g z n dz = n ! g n +1 ,

b

g

âèäèì, ÷òî, ïî êðàéíåé ìåðå, ôîðìàëüíî gF(g) =

z



0

exp − z g B(z)dz .

b

g

(20.7.3)

Îñîáåííîñòè B(z) â ëþáîì ìåñòå êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè îãðàíè÷èâàþò ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà (20.7.2), îäíàêî åñëè ýòè îñîáåííîñòè íàõîäÿòñÿ âíå ïîëîæèòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé îñè, òàêîå îãðàíè÷åíèå íå ÿâëÿåòñÿ íåðàçðåøèìîé ïðîáëåìîé. ×òîáû âû÷èñëèòü F(g) ñ ïîìîùüþ (20.7.3), íóæíî çíàòü çíà÷åíèÿ B(z) òîëüêî äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ ïîëîæèòåëüíûõ z, ìåíüøèõ èëè ïîðÿäêà g, è ýòè çíà÷åíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü èç ñòåïåííîãî ðÿäà (20.7.1), åñëè âñå îñîáåííîñòè B(z) â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè íàõîäÿòñÿ îò íà÷àëà êîîðäèíàò íà ðàññòîÿíèÿõ, ìíîãî áîëüøèõ g. Äàæå åñëè ìîäóëè íåñêîëüêèõ ïîëþñîâ z1, z2 è ò. ä. — ïîðÿäêà èëè ìåíüøå g, ìîæíî âû÷èñëèòü B(z) äëÿ çíà÷åíèé z ïîðÿäêà g, èñïîëüçóÿ ñòåïåííîé ðÿä äëÿ (z − z1)(z − z2)... B(z), íî äëÿ ýòîãî, ïðàâäà, ìû äîëæíû çíàòü, ãäå ýòè ïîëþñû íàõîäÿòñÿ. Îñîáåííîñòè B(z) íà ïîëîæèòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé îñè çíà÷èòåëüíî íåïðèÿòíåå, ïîñêîëüêó îíè äåëàþò íåäåéñòâèòåëüíîé ôîðìóëó (20.7.3). Êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ â ýòîì èíòåãðàëå ìîæíî äåôîðìèðîâàòü òàê, ÷òîáû îáîéòè îñîáåííîñòè íà ïîëîæèòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé îñè, íî òîãäà ìû ñòàëêèâàåìñÿ ñ íåîäíîçíà÷íîñòüþ: ñëåäóåò ëè ïðîâîäèòü êîíòóð íàä èëè ïîä îñîáåííîñòüþ?  ýòîì ðàçäåëå ìû ïîêàæåì, ÷òî íåêîòîðûå îñîáåííîñòè áîðåëåâñêîãî îáðàçà B(z) ñâÿçàíû ñ ðåøåíèÿìè êëàññè÷åñêèõ ïîëåâûõ óðàâíåíèé, èçâåñòíûõ êàê èíñòàíòîíû, â òî âðåìÿ êàê äðóãèå îñîáåííîñòè, íàçûâàåìûå ðåíîðìàëîíàìè, ñâÿçàíû ñî ñëàãàåìûìè â îïåðàòîðíîì ðàçëîæåíèè.  êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå èìåííî ðåíîðìàëîíû ïðåïÿòñòâóþò ïðèìåíåíèþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Áîðåëÿ äëÿ ñóììèðîâàíèÿ ðÿäîâ òåîðèè âîçìóùåíèé. Âïåðâûå Ëèïàòîâ 20 â 1976 ã. ïîêàçàë, ÷òî íåêîòîðûå îñîáåííîñòè áîðåëåâñêîãî îáðàçà B(z) ñâÿçàíû ñ ñóùåñòâîâàíèåì êëàññè÷åñêèõ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

382

Ãëàâà 20. Îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ

ðåøåíèé ïîëåâûõ óðàâíåíèé. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ F(g), îïðåäåëåííóþ åâêëèäîâûì ôóíêöèîíàëüíûì èíòåãðàëîì F(g) ≡ d[ϕ] exp(I[ϕ, g]) .

z

(20.7.4)

(Èñïîëüçîâàíèå åâêëèäîâîãî ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ îáñóæäàåòñÿ â Ïðèëîæåíèè À ê ãë. 23.) Êîýôôèöèåíòû â ñòåïåííîì ðÿäå (20.7.1) äàþòñÿ âûðàæåíèåì

1 d[ϕ] dg g − n −1 exp(I[ϕ, g]) 2πi 1 d[ϕ] dg exp I[ϕ, g] − (n + 1) ln g , = 2πi

fn =

z z z z

b

g

(20.7.5)

z

ãäå îçíà÷àåò êîíòóðíûé èíòåãðàë, âçÿòûé ïî îáõîäèìîìó ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè çàìêíóòîìó êîíòóðó â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè g, îêðóæàþùåìó òî÷êó g = 0. Äëÿ î÷åíü áîëüøèõ n ðàçóìíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî èíòåãðàë îïðåäåëÿåòñÿ òî÷êîé ϕn, gn, ãäå àðãóìåíò ýêñïîíåíòû â ïîñëåäíåé ñòðîêå ôîðìóëû (20.7.5) ñòàöèîíàðåí êàê ïî ϕ, òàê è ïî g:

δI[ϕ, gn ] = 0, δϕ(x) ϕ = ϕ

(20.7.6)

∂I[ϕ n , g] n +1 = . ∂g gn g= g

(20.7.7)

n

n

Íàïðèìåð, ïðåäïîëîæèì, ÷òî I[ϕ, g] åñòü äåéñòâèå áåçìàññîâîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ

I[ϕ, g] = −

1 2

z

∂ i ϕ∂ i ϕ d 4x −

g 24

z

ϕ 4d 4x,

(20.7.8)

ãäå ñóììèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî íàïðàâëåíèÿì åâêëèäîâûõ êîîðäèíàò 1, 2, 3, 4. Òîãäà óðàâíåíèå ïîëÿ (20.7.6) ïðèíèìàåò âèä 9ϕ n =

1 g ϕ3 . 6 n n

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(20.7.9)

20.7. Ðåíîðìàëîíû

383

Ìû óâèäèì, ÷òî gn îòðèöàòåëüíî, òàê ÷òî ðåøåíèå åñòü ϕ n (x) = (−g) −1 2 χ(x) ,

(20.7.10)

ãäå χ(x) — íåçàâèñÿùåå îò g ðåøåíèå óðàâíåíèÿ 9χ = −

1 3 χ . 6

(20.7.11)

Óñëîâèå (20.7.7) ïðèíèìàåò âèä −

z

1 24

d 4 x ϕ 4n =

n +1 gn

èëè â çàïèñè ÷åðåç ïåðåìàñøòàáèðîâàííîå ïîëå (20.7.10)

gn = −

1 24(n + 1)

z

d 4x χ 4 .

(20.7.12)

 ýòîé ñòàöèîíàðíîé òî÷êå äåéñòâèå (20.7.8) ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì

I[ϕ n , gn ] = − =

1 2

gn 24

z z

∂ i ϕ n ∂ i ϕ n d 4x −

gn 24

z

ϕ 4n d 4 x = (20.7.13)

ϕ 4n d 4 x = − n − 1.

Âû÷èñëåíèå (20.7.5) â ñòàöèîíàðíîé òî÷êå ïðèâîäèò ïðè n → ∞ * ê âûðàæåíèþ

FG H

fn ≈ gn− n −1 exp I(ϕ n , gn ) = (n + 1) n +1 −

b

FG H

≈ n! −

1 24

z

χ 4 d 4x

g

IJ K

−n

e 24

z

χ 4 d 4x

IJ K

− n −1

.

(20.7.14)

** Çäåñü ñèìâîë «d» ñëåäóåò èíòåðïðåòèðîâàòü êàê îçíà÷àþùèé «àñèìïòîòè÷åñêè ðàâíî ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííûõ ìíîæèòåëåé è ñòåïåíåé n». Ýòè ìíîæèòåëè âîçíèêàþò îò ìíîæèòåëÿ 12πn â ôîðìóëå Ñòèðëèíãà äëÿ (n + 1)!, îò îòíîøåíèÿ (n + 1)! è n!, è îò èíòåãðàëà ïî ôëóêòóàöèÿì g è ϕ(x) âîêðóã ñòàöèîíàðíîé òî÷êè. Ïîñêîëüêó ìû íå ñîáèðàåìñÿ âû÷èñëÿòü ìíîæèòåëè, âîçíèêàþùèå îò ïîñëåäíåãî èñòî÷íèêà, íå èìååò ñìûñëà óäåðæèâàòü è ìíîæèòåëè îò ïåðâûõ äâóõ èñòî÷íèêîâ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

384

Ãëàâà 20. Îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ

Ïîýòîìó âåäóùåé îñîáåííîñòüþ B(z) ÿâëÿåòñÿ ïîëþñ ïðè z = z1, ãäå

1 24

z1 = −

z

χ 4 d 4x .

(20.7.15)

Ïîñêîëüêó ýòî âûðàæåíèå îòðèöàòåëüíî, îíî íå ïðåïÿòñòâóåò ïðîâåäåíèþ èíòåãðèðîâàíèÿ â ôîðìóëå (20.7.3). ×òîáû âû÷èñëèòü ïîëîæåíèå ïîëþñà (20.7.15), çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå ïîëÿ èìååò ðåøåíèå

χ=

4 3a , r 2 + a2

(20.7.16)

ãäå r = (xixi)1/2 è à — ïðîèçâîëüíûé ïàðàìåòð. Ýòî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ïîëÿ åñòü ýëåìåíòàðíûé ïðèìåð «èíñòàíòîííîãî» ðåøåíèÿ, êîòîðîå áóäåò îáñóæäàòüñÿ â ðàçäåëå 23.5. (Òàêèå ðåøåíèÿ íàçûâàþòñÿ èíñòàíòîíàìè, ïîñêîëüêó âìåñòî òîãî, ÷òîáû êîíöåíòðèðîâàòüñÿ âäîëü ìèðîâîé ëèíèè, îíè êîíöåíòðèðóþòñÿ â îêðåñòíîñòè òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè, â äàííîì ñëó÷àå — â îêðåñòíîñòè íà÷àëà êîîðäèíàò.) Ê ñ÷àñòüþ, ïîëîæåíèå ïîëþñà íå çàâèñèò îò à:

z1 = −96π 2 a 4

XY Z



0

r 2dr = −16π 2 . (r 2 + a 2 ) 4

(20.7.17)

Ìû âèäèì, ÷òî ðÿä òåîðèè âîçìóùåíèé äëÿ B(z) ìîæíî èñïîëüçîâàòü â ôîðìóëå (20.7.3), åñëè g n 16π2. Åñëè g/16π2 ïîðÿäêà èëè áîëüøå åäèíèöû, ìû âñå åùå ìîæåì âû÷èñëèòü B(z) ñ ïîìîùüþ ðÿäà òåîðèè âîçìóùåíèé äëÿ (z + 16π2)B(z).  ðàçäåëå 23.5 ìû óâèäèì, ÷òî â íåàáåëåâûõ êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèÿõ òèïà êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè, ñóùåñòâóþò èíñòàíòîííûå ðåøåíèÿ, îäíàêî îíè ïðèâîäÿò ê ñðàâíèòåëüíî áåçîáèäíûì îñîáåííîñòÿì B(z) íà îòðèöàòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé îñè. Ðåàëüíàÿ ïðîáëåìà â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå ñâÿçàíà ñ äðóãèì êëàññîì îñîáåííîñòåé, èçâåñòíûõ êàê ðåíîðìàëîíû 21. Îíè âïåðâûå áûëè îáíàðóæåíû ïîñëå òîãî, êàê ñòàëî ïîíÿòíî 22, ÷òî îòäåëüíûå äèàãðàììû 2n-ãî ïîðÿäêà, òèïà ïîêàçàííîé íà ðèñ. 20.3, ìîãóò äàâàòü èíäèâèäóàëüíûå âêëàäû, ðàñòóùèå êàê n!, è ïîýòîìó ñîãëàñíî âûðàæåíè. (20.7.2) ìîãóò ïðèâîäèòü ê äîïîëíèòåëüíûì îñîáåííîñòÿì B(z). ( äàííîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå îñîáåííîñòü èçâåñòíà êàê èíôðàêðàñíûé ðåíîðìàëîí, ïîñêîëüêó îí âîçíèêàåò îò âèðòóàëüíûõ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

20.7. Ðåíîðìàëîíû

385

Ðèñ. 20.3. Îäíà èç êëàññà N-ïåòëåâûõ äèàãðàìì, âêëàä êîòîðûõ ðàñòåò êàê N!. Ñïëîøíûå ëèíèè — ôåðìèîíû, âîëíèñòûå ëèíèè — êàëèáðîâî÷íûå áîçîíû

èìïóëüñîâ, ìíîãî ìåíüøèõ òåõ, êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ áåãóùåé êîíñòàíòû ñâÿçè gµ êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè.) Ê ñ÷àñòüþ, äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëîæåíèÿ èíôðàêðàñíûõ ðåíîðìàëîíîâ ìîæíî èñïîëüçîâàòü îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå, íå îáðàùàÿñü ê îòäåëüíûì ôåéíìàíîâñêèì äèàãðàììàì.  êà÷åñòâå ïðîñòîãî, íî âàæíîãî ïðèìåðà ðàññìîòðèì ñóììó µν (q) âñåõ âàêóóìíûõ äèàãðàìì êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè ñî âñòàâ∏ αβ êàìè 4-âåêòîðíûõ òîêîâ Jαµ è Jβν , âíîñÿùèõ â äèàãðàììó è óíîñÿùèõ èç íåå 4-èìïóëüñ q. (Âåëè÷èíà Πµν(q) îïðåäåëÿåò àäðîííûé âêëàä â ýëåêòðîñëàáóþ ïîëÿðèçàöèþ âàêóóìà, à åå ìíèìàÿ ÷àñòü ñâÿçàíà ñ ñå÷åíèåì àííèãèëÿöèè å+å− è ýëåêòðîí−àíòèíåéòðèíî â àäðîíû.) Êàê ìû âèäåëè â ðàçäåëå 20.5, âêëàäû â ýòó ñóììó îïåðàòîðà 1 âåäóò ñåáÿ êàê q2 (ôóðüå-îáðàç x−6), âêëàäû îïåðàòîðà Fαµν Fαµν âåäóò ñåáÿ êàê q−2, âêëàäû ÷åòûðåõôåðìèîííûõ îïåðàòîðîâ âåäóò ñåáÿ êàê q−4, è ò. ä. (Íàïðèìåð, âêëàä îïåðàòîðà Fαµν Fαµν âîçíèêàåò îò äèàãðàìì òèïà ðèñ. 20.3 ñ òåêóùèì ïî öåïî÷êå ïóçûðåé èìïóëüñîì, ìíîãî ìåíüøèì èìïóëüñà q.) Èç ðàçìåðíîãî àíàëèçà ñëåäóåò, ÷òî ýòè çàâèñÿùèå îò èìïóëüñà ìíîæèòåëè äîëæíû ñîïðîâîæäàòüñÿ âàêóóìíûìè ìàòðè÷íûìè ýëåìåíòàìè, ïðîïîðöèîíàëüíûìè Λ0, Λ4, Λ6 è ò. ä. Íî åñëè âû÷èñëèòü ôåéíìàíîâñêèå äèàãðàììû, èñïîëüçóÿ áåãóùóþ êîíñòàíòó, îïðåäåëåííóþ íà ìàñøòàáå µ . Λ, ãäå êîíñòàíòû ñâÿçè ìàëû, òî ñîãëàñíî ôîðìóëå (18.7.7) Λ2 = µ 2 exp

F 12π I , GH (33 − 2n )α (µ) JK f

s

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(20.7.18)

386

Ãëàâà 20. Îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ

ãäå nf — ÷èñëî ñîðòîâ êâàðêîâ ìàññû ìíîãî ìåíüøåé, ÷åì µ. Îïåðàòîðû ðàçìåðíîñòè d > 0 äàâàëè áû âêëàä â îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå ñ çàâèñèìîñòüþ îò êîíñòàíòû ñâÿçè Λd ∝ exp

F 6πd I GH (33 − 2n )α (µ) JK f

s

(20.7.19)

 êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå òåîðèÿ âîçìóùåíèé ïðèâîäèò ê ðÿäó ïî ñòåïåíÿì αs ≡ g2/4π, à íå g, ïîýòîìó ìîæíî çàïèñàòü ôîðìóëû (20.7.1) è (20.7.3) ÷åðåç αs:

F(α s ) =

∑ fn α sn , n

α sF(α s ) =

z



exp −z α s B(z)dz .

0

b

g

(20.7.20) (20.7.21)

Íàëè÷èå â Πµν ñëàãàåìûõ ñ çàâèñèìîñòüþ (20.7.19) îò êîíñòàíòû ñâÿçè óêàçûâàåò, ÷òî ôóíêöèÿ B(z) äîëæíà èìåòü îñîáåííîñòè (íå îáÿçàòåëüíî ïîëþñû) ïðè

z1 =

6πd . 33 − 2n f

(20.7.22)

Îíè íàõîäÿòñÿ íà ïîëîæèòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé îñè è äåëàþò èíòåãðàë (20.7.1) íåîäíîçíà÷íûì. Òàêèì îáðàçîì, ñóììèðîâàíèå ïî Áîðåëþ íåëüçÿ èñïîëüçîâàòü ïðè ðàññìîòðåíèè íèçêîýíåðãåòè÷åñêèõ ýôôåêòîâ â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå.  òîì, ÷òî äèàãðàììû ñ ìàëûìè âèðòóàëüíûìè èìïóëüñàìè ïðåïÿòñòâóþò èñïîëüçîâàíèþ òåîðèè âîçìóùåíèé, êîíå÷íî, íåò íè÷åãî íîâîãî. Êàê ìû âèäåëè â ðàçäåëå 20.2, âåñü ñìûñë îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû îòäåëèòü ÷àñòè ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì, â êîòîðûõ êàæäàÿ ëèíèÿ íåñåò áîëüøîé èìïóëüñ è âêëàäû êîòîðûõ ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû ïî òåîðèè âîçìóùåíèé â àñèìïòîòè÷åñêè ñâîáîäíûõ òåîðèÿõ, îò òåõ ÷àñòåé, ïî êîòîðûì òåêóò ìàëûå èìïóëüñû, è âêëàäû êîòîðûõ íå ìîãóò áûòü ðàññ÷èòàíû ïî òåîðèè âîçìóùåíèé.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

387

Ïðèëîæåíèå. Ïîòîê èìïóëüñà: îáùèé ñëó÷àé

Ïðèëîæåíèå. Ïîòîê èìïóëüñà: îáùèé ñëó÷àé  ýòîì ïðèëîæåíèè ìû ðàññìîòðèì àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå àìïëèòóäû â ïðîèçâîëüíîé ïåðåíîðìèðóåìîé êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ â ñèòóàöèè, êîãäà èìïóëüñû ëþáîãî ìíîæåñòâà èç äâóõ èëè áîëåå âíåøíèõ ëèíèé ñòàíîâÿòñÿ áîëüøèìè, ó÷òÿ ïðè ýòîì îïåðàòîðû, ñîäåðæàùèå ïðîèçâåäåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ïîëåé è èõ ïðîèçâîäíûõ ñ ðàçìåðíîñòüþ, îãðàíè÷åííîé ïðåäåëüíûì çíà÷åíèåì N. ×òîáû ðåøèòü çàäà÷ó, íåîáõîäèìî ââåñòè áîëåå êîìïàêòíûå, ÷åì â ðàçäåëàõ 20.1. è 20.2, îáîçíà÷åíèÿ. Áóêâû l, l′ è ò. ä. áóäóò îáîçíà÷àòü ìíîæåñòâî âíåøíèõ ëèíèé i îïðåäåëåííûõ ñîðòîâ, êîòîðûå ëèáî âõîäÿò â ôåéíìàíîâñêóþ äèàãðàììó èëè åå ÷àñòü, ëèáî âûõîäÿò èç íåå. Áóêâû k, k′ è ò. ä. áóäóò îáîçíà÷àòü ìíîæåñòâî 4èìïóëüñîâ ki ýòèõ ëèíèé, ïîä÷èíåííûõ óñëîâèþ, ÷òî èõ ñóììà ðàâíà îïðåäåëåííîìó ôèêñèðîâàííîìó çíà÷åíèþ ð. Àìïëèòóäà Γll′(k, k′, p) åñòü ñóììà âñåõ äèàãðàìì ñ ìíîæåñòâîì l âõîäÿùèõ ëèíèé, íåñóùèõ 4-èìïóëüñû k, è ìíîæåñòâîì l′ âûõîäÿùèõ ëèíèé, íåñóùèõ 4-èìïóëüñû k′, âêëþ÷àÿ êîíå÷íûå ãîëûå ïðîïàãàòîðû äëÿ ìíîæåñòâà ëèíèé l, íî íå l′. Êàê ñëåäóåò èç òåîðåìû îá èíäåêñå äèàãðàììû 3, óïîìèíàâøåéñÿ â ðàçäåëå 12.1, òà ÷àñòü îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ, â êîòîðîé èìïóëüñû ïîðÿäêà k ïðîòåêàþò òîëüêî ÷åðåç ïîääèàãðàìììó ñ âíåøíèìè ëèíèÿìè l è l′′, äàåò âêëàä â Γll′(k, k′, p) ïîðÿäêà kd(l,l′′), ãäå d(l, l′′) — (ìàññîâàÿ èëè èìïóëüñíàÿ) ðàçìåðíîñòü ýòîé ïîääèàãðàììû:

d(l, l ′′) = 4 −



i ∈l,l ′′

(1 + si ) − ∑ (2 − 2si ) . i ∈l

(20.À.1)

(Ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå â (20.À.1) âîçíèêàåò èç-çà ïðîïàãàòîðîâ äëÿ ëèíèé èç ìíîæåñòâà l.) Óäîáíî ïåðåïèñàòü ôîðìóëó (20.À.1) â âèäå d(l, l ′′) = 4 − 4n(l) − N(l ′) + N(l),

(20.À.2)

ãäå n(l) — ÷èñëî ëèíèé â ìíîæåñòâå l, à N(l) — ïîëíàÿ ðàçìåðíîñòü ïîëåé äëÿ ýòèõ ëèíèé: n(l) ≡

∑ 1,

i ∈l

N(l) ≡

∑ (si

i ∈l

+ 1) .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(20.À.3)

388

Ãëàâà 20. Îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ

Çäåñü si — «ñïèí» ëèíèè ñîðòà i â ñìûñëå, èñïîëüçîâàííîì â ðàçäåëå 12.3: ðàçìåðíîñòü ïîëÿ ñîðòà i ðàâíà 1 + si, à ãîëûé ïðîïàãàòîð òàêîãî ïîëÿ âåäåò ñåáÿ êàê k −2 + 2si . (Äëÿ ñêàëÿðîâ è êàëèáðîâî÷íûõ áîçîíîâ si = 0, äëÿ ÷àñòèö ñïèíà 1/2 si = 1/2.) Ó÷èòûâàÿ àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå, ñâÿçàííîå ñ ýòèìè ïîääèàãðàììàìè, ìû õîòèì ïîêàçàòü, ÷òî ïðè k → ∞ (âñå êîìïîíåíòû óñòðåìëÿþòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè âìåñòå ïî îáùèì íàïðàâëåíèÿì) è ôèêñèðîâàííûõ k′ è ð, àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå Γll′(k, k′, p) â êàæäîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé èìååò âèä Γll ′ (k, k ′, p) =

(N )

∑ UOl (k)FO ,l ′ (k ′, p) + ock 4 − 4n(l) + N(l) − N h ,

(20.À.4)

O

ãäå ñóììà áåðåòñÿ ïî îïåðàòîðàì O ðàçìåðíîñòè N(O) ≤ N, ôóíêöèÿ UOl ïîðÿäêà k4+N(l)−4n(l)−N(O), à o(kA) îçíà÷àåò ñëàãàåìûå, îáðàùàþùèåñÿ â íóëü áûñòðåå (ïî êðàéíåé ìåðå, íà îäèí ìíîæèòåëü 1/k), ÷åì ñòåïåíü kA. ×òîáû èçîëèðîâàòü âêëàä îïåðàòîðîâ ðàçìåðíîñòè ≤ N, îïðåäåëèì «N-íåïðèâîäèìóþ» àìïëèòóäó IllN′ (k, k ′, p) êàê ñóììó âñåõ äèàãðàìì äëÿ Γll′(k, k′, p), â êîòîðûõ ëèíèè èç ìíîæåñòâà l íå ìîãóò áûòü îòäåëåíû îò ëèíèé ìíîæåñòâà l′ ïóòåì ðàçðåçàíèÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà l′′ âíóòðåííèõ ëèíèé ñ N(l′′) ≤ N. Ïîñêîëüêó ðàçíîñòü Γ − IN ñîäåðæèò äèàãðàììû, êîòîðûå ìîæíî ðàçúåäèíèòü óêàçàííûì ñïîñîáîì, òî ýòó ðàçíîñòü ìîæíî çàïèñàòü â âèäå Γll ′ (k, k ′, p) − IllN′ (k, k ′, p) =

(N )

∑ l ′′

z

dk ′′IllN′′ (k, k ′′, p)Γl ′′l ′ (k ′′, k ′, p) , (20.À.5)

) ãäå ∑(l N îçíà÷àåò ñóììó ïî ìíîæåñòâàì l′′ ëèíèé ÷àñòèö ñ N(l′′) ≤ N, ′′ à dk ′′ — èíòåãðàë ïî êîìïîíåíòàì 4-èìïóëüñîâ ÷àñòèö â ìíîæåñòâå l′′, ïîä÷èíåííûõ îãðàíè÷åíèþ, ÷òî ñóììà ýòèõ èìïóëüñîâ ðàâíà ð. Àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ÿäðà IlN,l ′′ (k, k ′′, p) ìíîãî ïðîùå, ÷åì ïîâåäåíèå Γll′′(k, k′′, p). Ïðè k → ∞ è ôèêñèðîâàííûõ k′′ è ð îíî îïðåäåëÿåòñÿ òîé ÷àñòüþ îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ, ãäå êàæäàÿ âíóòðåííÿÿ ëèíèÿ íåñåò èìïóëüñ ïîðÿäêà k, ÷òî ïðèâîäèò ê àñèìïîòîòè÷åñêîìó ïîâåäåíèþ kd(l,l′′), ïîñêîëüêó ñëàãàåìûå, â êîòîðûõ òîëüêî íåêîòîðàÿ ïîäîáëàñòü èìååò òàêèå áîëüøèå èìïóëüñû, äîëæíû áûòü ñâÿçàíû ñ îñòàëüíîé ÷àñòüþ äèàãðàììû ìîñòîì l′′′ ëèíèé

z

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

389

Ïðèëîæåíèå. Ïîòîê èìïóëüñà: îáùèé ñëó÷àé

ñ N(l ′′′) > N ≥ N(l ′′) , ÷òî ïðè k → ∞ äàåò âêëàä, ìåíüøèé ïî êðàéíåé ìåðå â k N(l ′′) − N −1 ðàç. Òàêèì îáðàçîì, äèôôåðåíöèðîâàíèå IllN′′ (k, k ′′, p) ïî ëþáîé êîìïîíåíòå k′′ èëè ð óìåíüøàåò àñìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå äî ïîðÿäêà kd(l,l′′)−1. Íî d-êðàòíîå äèôôåðåíöèðîâàíèå ñíèæàåò àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå äî ñòåïåíè kd(l,l′′)−d òîëüêî åñëè d ≤ N − N(l ′′) + 1, ïîñêîëüêó äëÿ âûñøèõ ïðîèçâîäíûõ (âñå îíè äåéñòâóþò íà ëèíèè, íåñóùèå èìïóëüñû k′′ èëè ð) âîçðàñòàåò âêëàä îò îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ, ãäå ïîääèàãðàììà, íåñóùàÿ èìïóëüñû ïîðÿäêà k, ñâÿçàíà ñ îñòàëüíîé ÷àñòüþ äèàãðàììû ìîñòîì ëèíèé l′′′ ïîëíîé ðàçìåðíîñòüþ áîëüøåé ÷åì N. Ïîýòîìó äëÿ òîãî, ÷òîáû ó÷åñòü âêëàä îïåðàòîðîâ, ñîäåðæàùèõ ïðîèçâîäíûå ïîëåé, ìîæíî çàïèñàòü àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå IN â âèäå

IllN′′ (k, k ′′, p) =



ν:dν + N(l ′′) ≤ N

IllN′′ν (k)Pl ′′ν (k ′′, p) + o k d(l,l ′′) − N + N(l ′′) , (20.À.6)

c

h

ãäå Pl′′ν (k ′′, p) — ïîëíûé íàáîð îäíîðîäíûõ ïîëèíîìîâ ïîðÿäêà d ïî n(l′′) èìïóëüñàì k′′ è ð, à IllN′′ν (k) — ôóíêöèè òîëüêî îò k ïîðÿäêà k d(l,l ′′) − d ïðè k → ∞. Íåëüçÿ ñðàçó ïîäñòàâèòü (20.À.6) â (20.À.5), ïîñêîëüêó âàæíûå âêëàäû â èíòåãðàë ïî k′′ äàåò îáëàñòü, ãäå íåêîòîðûå k′′ ïîðÿäêà k. ×òîáû ðàçîáðàòüñÿ ñ ýòèì, èñïîëüçóåì ìàòåìàòè÷åñêóþ èíäóêöèþ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôîðìóëà (20.À.4) âåðíà âïëîòü äî íåêîòîðîãî çàäàííîãî ïîðÿäêà òåîðèè âîçìóùåíèé, è ïîäñòàâèì åå â ïðàâóþ ÷àñòü (20.À.5), ÷òîáû âû÷èñëèòü àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå Γ â ñëåäóþùåì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé. Ïåðåïèøåì (20.À.5) â âèäå

Γll ′ (k, k ′, p) = IllN′ (k, k ′, p) + +

(N )

X Z

L N

(N)

O Q

∑ Y dk ′′IllN′′ (k, k ′′, p)MΓl ′′l ′ (k ′′, k ′, p) − ∑ UOl ′′ (k ′′)FO ,l ′′ (k ′, p)P

l ′′ (N )

∑ FO ,l ′ (k ′, p) O



l ′′:N (l ′′) ≤ N

O

v

dk ′′ IllN′′ (k, k ′′, p)U Ol ′′ (k ′′) .

(20.À.7)

Ñîãëàñíî (20.À.4), âåëè÷èíà â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ âî âòîðîì ñëàãàåìîì â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (20.À.7) îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè k′′ → ∞ áûñòðåå, ÷åì (k ′′) 4 − 4n(l ′′) + N(l ′′) − N , òàê ÷òî ïðîèçâåäåíèå ýòîãî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

390

Ãëàâà 20. Îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ

ìíîæèòåëÿ íà ïîëèíîì Pl′′ν (k ′′) ïîðÿäêà ν ≤ N − N(l ′′) îáðàùàåòñÿ â íóëü áûñòðåå, ÷åì (k ′′) 4 − 4n(l ′′) , ÷òî ïðèâîäèò ê êîíå÷íîìó èíòåãðàëó ïî 4(n(l ′′) − 1) íåçàâèñèìûì êîìïîíåíòàì k′′ *. Ñëåäîâàòåëüíî ìîæíî â ýòîì ñëàãàåìîì èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (20.À.6), è â ðåçóëüòàòå



Γll ′ (k, k ′, p) → +

ν:dν + N(l ′) ≤ N (N)



IllN′ν (k)Pl ′ν (k ′, p)



IllN′′ν (k) dk ′′Pl ′′ν (k ′′, p)

z

l ′′ ν:dν + N(l ′′) ≤ N

LM N

× Γl ′′l ′ (k ′′, k ′, p) − +

(N ) O

(N )

(N )

O

l ′′

∑ FO ,l ′ (k ′, p) ∑

z

O Q

∑ UOl ′′ (k ′′)FO ,l ′ (k ′, p)P

(20.À.8)

dk ′′IllN′′ (k, k ′′, p)U Ol ′′ (k ′′) ,

ïðè÷åì ïîïðàâêà ìåíüøå, ÷åì âûïèñàííûå ñëàãàåìûå, íà ìíîæèòåëü 1/k. (Êîíå÷íî, ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (20.À.8) ïðèñóòñòâóåò òîëüêî ïðè N(l′) ≤ N.) Äàëåå, äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ l è ν, ïðè÷åì dν + N(l) ≤ N, ñóùåñòâóåò òàêîé îïåðàòîð O, ñîäåðæàùèé ïðîèçâåäåíèÿ ïîëåé, îòâå÷àþùèõ ëèíèÿì â l, è dν ïðîèçâîäíûõ, ÷òî â íóëåâîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé âåðøèííàÿ ôóíêöèÿ ñ âõîäÿùèì èìïóëüñîì ð, êîòîðûé íåñåò îïåðàòîð O, è èñõîäÿùèìè èìïóëüñàìè k, óíîñèìûìè âíåøíèìè ëèíèÿìè l, ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìîì Plν(k, p). Òîãäà ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîëíàÿ âåðøèííàÿ ôóíêöèÿ äëÿ ïåðåíîðìèðîâàííîãî îïåðàòîðà O R = ∑O 'ZO,O 'O ' ðàâíà

FO ,l (k, p) =

∑ ZO,O ′ nδ lO ′ ,l PlνO ′ (k, p) + O′

z

dk ′PlO ′ νO ′ (k ′, p)ΓlO ′l (k ′, k, p) , (20.À.9)

s

* Çäåñü íå ó÷òåíà âîçìîæíîñòü, ÷òî äàæå åñëè ïîäñ÷åò èíäåêñà óêàçûâàåò íà ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà âî âòîðîì ñëàãàåìîì â ïðàâîé ÷àñòè (20.À.7) ïî îáëàñòè, ãäå âñå k′′ ñòðåìÿòñÿ âìåñòå ê áåñêîíå÷íîñòè, ïðè n(l′′) ≥ 3 ïîäèíòåãðèðîâàíèÿ ìîãóò ðàñõîäèòüñÿ. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ïðèâåäåííûå â ïðèëîæåíèè äîâîäû íå ÿâëÿþòñÿ äîêàçàòåëüñòâîì îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ, çà èñêëþ÷åíèåì ðàññìîòðåííîãî â ðàçäåëå 2.2 ïðîñòîãî ñëó÷àÿ, êîãäà èìïóëüñû òîëüêî äâóõ âíåøíèõ ëèíèé óñòðåìëÿëèñü ê áåñêîíå÷íîñòè, è ìû èñêàëè ñëàãàåìûå â ñòåïåííîì ðàçëîæåíèè, ñâÿçàííûå ñ îïåðàòîðàìè, êâàäðàòè÷íûìè ïî ïîëÿì.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

391

Çàäà÷è

ãäå lO è νO íóìåðóþò ñîðòà ïîëåé è ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ ïðîèçâîäíûõ â îïåðàòîðå O. Âèäíî, ÷òî ôîðìóëà (20.À.4) âûïîëíÿåòñÿ ïðè

U Ol (k) =

(N )

∑ IlNO ′ (k) ZO−′1,O O′ (N )

+

∑ l ′′

z

− dk ′′U OlO ′ (k ′′)PO ′ (k ′′)

z

(20.À.10)

dk ′′ IllN′′ (k, k ′′) U Ol ′′ (k ′′) ,

ãäå ìû èñïîëüçóåì òåïåðü ñîêðàùåííûå îáîçíà÷åíèÿ: IlO (k) ≡ IllO νO (k), PO (k) ≡ PlO νO (k) .

(20.À.11)

(Çàâèñèìîñòü ΓlO ′′l ′ îò ð îïóùåíà ïî òåì æå ïðè÷èíàì, ÷òî è â ðàçäåëå 20.2; ñðàâíèìî k′′ ñ k èëè íåò, ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ð ïî ñðàâíåíèþ ñ k.) Îïðåäåëèì êîíñòàíòó ïåðåíîðìèðîâêè ZO,O ′ òàê, ÷òî â òî÷êå ïåðåíîðìèðîâêè k(µ), p(µ) ôóíêöèÿ FO,l(k(µ),p(µ)) èìååò òî æå çíà÷åíèå δ llO PO (k(µ), p(µ)) , êîòîðîå áûëî áû ó íåå â îòñóòñòâèè âçàèìîäåéñòâèé: δ llO PO (k(µ), p(µ)) = FO ,l (k(µ), p(µ)) =

z

∑ ZO,O ′ O′

× δ lO′ ,l PlνO′ (k(µ), p(µ)) + dk ′PlO′ νO′ (k ′, p(µ))ΓlO′l (k ′, k(µ), p(µ)) .

n

s

(20.À.12)

Äëÿ Γ = 0 ýòî óðàâíåíèå èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå Z = 1 (ïîñêîëüêó ïîëèíîìû äëÿ çàäàííîãî ìíîæåñòâà ëèíèé ïðåäïîëàãàþòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè), ïîýòîìó ïî ñîîáðàæåíèÿì íåïðåðûâíîñòè óðàâíåíèå (20.À.12) áóäåò èìåòü åäèíñòâåííîå ðåøåíèå äëÿ êîíñòàíò ñâÿçè â íåêîòîðîé îãðàíè÷åííîé îáëàñòè çíà÷åíèé. Ïîýòîìó óðàâíåíèå (20.À.10) äàåò ðåêóðñèâíîå îïðåäåëåíèå êîýôôèöèåíòíûõ ôóíêöèé UOl(k), âõîäÿùèõ â îáùåå îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå (20.À.4). Çàäà÷è 1.

Ðàññìîòðèòå òåîðèþ ôåðìèîííîãî ïîëÿ ψ, âçàèìîäåéñòâóþùåãî ñî ñêàëÿðíûì ïîëåì ϕ, ïðè÷åì âçàèìîäåéñòâèÿ èìåþò âèä ψψ è ϕ4. Ïåðå÷èñëèòå îïåðàòîðû, âõîäÿùèå â îïåðàòîðíîå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

392

Ãëàâà 20. Îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ

ðàçëîæåíèå ïðîèçâåäåíèÿ ψ (0)ψ(0) ñ êîýôôèöèåíòíûìè ôóíêöèÿìè, êîòîðûå (êàê ìîæíî ñóäèòü íà îñíîâàíèè òåîðèè âîçìóùåíèé) ñèíãóëÿðíû è íå èñ÷åçàþò ïðè x → 0. Îïèøèòå, êàê âû ñòàëè áû âû÷èñëÿòü ýòè êîýôôèöèåíòíûå ôóíêöèè â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè. 2.

Ðàññìîòðèòå êâàíòîâóþ õðîìîäèíàìèêó ñ N áåçìàññîâûìè êâàðêàìè, è îïðåäåëèòå ñïåêòðàëüíûå ôóíêöèè ñêàëÿðíûõ è ïñåâäîñêàëÿðíûõ áèëèíåéíûõ êîâàðèàíòîâ ôîðìóëàìè

∑ 〈VAC| ψ(0)λ α ψ(0)| VAC 〉〈VAC| ψ(0)λ β ψ(0)| VAC 〉* N

S ( − p2 ) , = (2π) −3 θ(p0 )ραβ

∑ 〈VAC| ψ(0)γ 5 λ α ψ(0)| VAC 〉〈VAC| ψ(0)γ 5 λ β ψ(0)| VAC 〉* N

P (− p2 ) , = (2π) −3 θ(p0 )ραβ

ãäå lα — ïîëíûé íàáîð áåññëåäîâûõ ýðìèòîâûõ ìàòðèö N × N, íîðìèðîâàííûõ òàê, ÷òî Tr{lαlβ} = 2δαβ. Êàêèå ïðàâèëà ñóìì äëÿ ñïåêòðàëüíûõ ôóíêöèé óäîâëåòâîðÿþòñÿ ëèíåéíûìè êîìS (µ 2 ) P (µ 2 ) áèíàöèÿìè ραβ è ραβ ? 3.

Âûâåäèòå ñîîòíîøåíèå (20.6.8) â ïàðòîííîé ìîäåëè èç ôîðìóë (8.7.7) è (8.7.38) äëÿ êîìïòîíîâñêîãî ðàññåÿíèÿ.

4.

Ïåðå÷èñëèòå êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíûå áåññëåäîâûå òåíçîðû òâèñòà ÷åòûðå â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå.

5.

 áåçìàññîâîé ñêàëÿðíîé òåîðèè ïîëÿ ñ âçàèìîäåéñòâèåì −gϕ4/24 (g > 0) îïðåäåëèòå, ãäå â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ìîæíî îæèäàòü ïîÿâëåíèÿ ó ôóíêöèè (20.7.3) îñîáåííîñòåé òèïà ðåíîðìàëîíîâ?

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

393

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû 1.

Wilson, K., Phys. Rev. 179, 1499 (1969).

2.

Zimmermann, W., in Lectures on Elementary Particles and Quantum Field Theory — 1970 Brandeis University Summer Institute in Theoretical Physics, eds. S. Deser, H. Pendleton, and M. Grisaru (MIT Press, Cambridge, 1970).

3.

Weinberg, S., Phys. Rev., 118, 838 (1960).

4.

Bern ard, C., Duncan, A., LoSecco, J., and Weinberg, S., Phys. Rev., D12, 792 (1975).

5.

Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 18, 507 (1967). Îáùèé ñëó÷àé ñì. [4].

6.

Kawarabayashi, K. and Suzuki, M., Phys. Rev. Lett., 16, 255 (1966); Riazuddin and Fayyazuddin, Phys. Rev., 147, 1071 (1966).

7.

Ademollo, M., Veneziano, G., and Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 22, 83 (1969).

8.

Donoghue, J.F. and Golowich, E., Phys. Rev., D49, 1513 (1994).

9.

Ýòîò ðåçóëüòàò áûë äîëîæåí íà Ðî÷åñòåðñêîé êîíôåðåíöèè 1968 ã. â Âåíå è îïóáëèêîâàí â ðàáîòàõ: Bloom, E.D. et al., Phys. Rev. Lett., 23, 930 (1969); Breidenbach, M. et al., Phys. Rev. Lett., 23, 935 (1969).

10. Bjorken, J.D., Phys. Rev., 179, 1547 (1969). 11.

Feynman, R.P., Phys. Rev. Lett., 23, 1415 (1969); Photon-Hadron Interactions (Benjamin, New York, 1972).

12. Callan, C.G. and Gross, D.J., Phys. Rev. Lett., 22, 156 (1969). Ñëåäóåò ïðåäóïðåäèòü ÷èòàòåëåé, ÷òî ñèìâîë ω â ðàáîòå Êàëëàíà è Ãðîññà â èñïîëüçóåìûõ çäåñü îáîçíà÷åíèÿõ åñòü 2/ω. 13. Gross, D.J. and Treiman, S., Phys. Rev., D4, 1059 (1971).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

394

Ãëàâà 20. Îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ

14.  Christ, N., Hasslacher, B., and Mueller, A.H., Phys. Rev., D6, 3543 (1972). 15. Altarelli, G. and Parisi, G., Nucl. Phys., B126, 298 (1972). 16. Georgi, H. and Politzer, H.D., Phys. Rev., D9, 416 (1974). 17. Gross, D.J. and Wilczek, F., Phys. Rev., D9, 980 (1974). 18. Dyson, F.J., Phys. Rev., 85, 631 (1952). 19. Ñì. , íàïðèìåð: Hardy, G.H., Divergent Series (Oxford University press, Oxford, 1949). 20. Li patov, L.N., Leningrad Nuclear Physics Institute report, 1976 (unpublished); Proc. of the XVIII Int. Conf. on High Energy Physics at Tbilisi, 1976. 21. ′t Hooft, G., in The Whys of Subnuclear Physics — Proc. of the 1977 Erice Summer School, ed. by A. Zichichi (Plenum, New York, 1978). Ñáîðíèê ðàáîò ïî ðåíîðìàëîíàì è âûñîêèì ïîðÿäêàì òåðèè âîçìóùåíèé ñì.: Large Order Behavior of Perturbation Theory, eds. J.C. Le Guillou and J. Zinn-Justin (North Holland, Amsterdam, 1990). Äàëüíåéøèå ðàáîòû ïî èíôðàêðàñíûì ðåíîðìàëîíàì: Mueller, A.H., Phys. Lett., B308, 355 (1993); Nucl. Phys., B250, 327 (1995), Duncan, A. and Pernice, S., Phys. Rev., D51, 1956 (1995) è öèòèðîâàííûå òàì ðàáîòû. 22. Lautrup, B., Phys. Lett., 76B, 109 (1977).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21 Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè Ïîíà÷àëó êàçàëîñü, ÷òî äîêàçàííàÿ â 1961 ãîäó òåîðåìà 1 î òîì, ÷òî íàðóøåííàÿ ñèììåòðèÿ âëå÷åò ïîÿâëåíèå áåçìàññîâûõ ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ ñïèíà íóëü, ÿâëÿåòñÿ ñåðüåçíûì îñíîâàíèåì äëÿ ïîèñêà íàðóøåííûõ ñèììåòðèé â ïðèðîäå. Íåñêîëüêèìè ãîäàìè ñïóñòÿ ðÿäîì àâòîðîâ áûëî îòìå÷åíî óæå óïîìèíàâøååñÿ â ðàçäåëå 19.2 èñêëþ÷åíèå èç ýòîé òåîðåìû: åñëè íàðóøåííàÿ ñèììåòðèÿ íå ãëîáàëüíà, à ëîêàëüíà, òî ãîëäñòîóíîâñêèå áîçîíû îòñóòñòâóþò 2. Ñîîòâåòñòâóþùèå ñòåïåíè ñâîáîäû ïðîÿâëÿþòñÿ êàê ñâÿçàííûå ñ íàðóøåííîé ëîêàëüíîé ñèììåòðèåé ñîñòîÿíèÿ âåêòîðíûõ ÷àñòèö íóëåâîé ñïèðàëüíîñòè, ïðèîáðåòàþùèå ïîýòîìó ìàññó. Ýòî ÿâëåíèå, îáùåèçâåñòíîå ñåé÷àñ êàê ìåõàíèçì Õèããñà, íå áûëî ñíà÷àëà ñðàçó èñïîëüçîâàíî â êàêîé-òî ðåàëèñòè÷åñêîé òåîðèè, âîçìîæíî, ïîòîìó, ÷òî â ñåðåäèíå 1960-õ ãîäîâ ñòàëî ÿñíî, ÷òî ïèîí ÿâëÿåòñÿ ãîëäñòîóíîâñêèì áîçîíîì ñïîíòàííî íàðóøåííîé ïðèáëèæåííîé ñèììåòðèè, è ïîýòîìó ïîïûòêàì èçáåæàòü ïîÿâëåíèÿ ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ ñòàëè óäåëÿòü ìåíüøå âíèìàíèÿ. Îäíàêî âñêîðå îêàçàëîñü, ÷òî ñïîíòàííî íàðóøåííûå ëîêàëüíûå ñèììåòðèè îáåñïå÷èâàþò åñòåñòâåííóþ îñíîâó äëÿ ïîíèìàíèÿ ñëàáûõ è ýëåêòðîìàãíèòíûõ âçàèìîäåéñòâèé ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö 3. 21.1. Óíèòàðíàÿ êàëèáðîâêà Ìû âèäåëè â ãë. 19, ÷òî â òåîðèè ñ ãëîáàëüíîé ãðóïïîé ñèììåòðèè G, êîòîðàÿ ñïîíòàííî íàðóøàåòñÿ äî ïîäãðóïïû Í, äëÿ êàæäîé íåçàâèñèìîé íàðóøåííîé ñèììåòðèè ñóùåñòâóåò áåçìàññî-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

396

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

âûé «ãîëäñòóíîâñêèé» áîçîí â òîì ñìûñëå, ÷òî ìàññîâàÿ ìàòðèöà M 2nm äåéñòâèòåëüíûõ áåññïèíîâûõ ïîëåé ϕn(x) èìååò íóëåâîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå, îòâå÷àþùåå ñîáñòâåííîìó âåêòîðó ∑ m (tα ) nm v m äëÿ êàæäîãî íåçàâèñèìîãî ãåíåðàòîðà tα íàðóøåííîé ñèììåòðèè ãðóïïû G. (Ìû ðàññìàòðèâàåì çäåñü ñëó÷àé, êîãäà ýòè ãîëäñòîóíîâñêèå áîçîíû âêëþ÷åíû â îáùåå ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ áåññïèíîâûõ ÷àñòèö, ïðåäñòàâëåííûõ ñêàëÿðíûìè èëè ïñåâäîñêàëÿðíûìè ïîëÿìè ϕn, âõîäÿùèìè â ëàãðàíæèàí; áîëåå îáùèé ñëó÷àé áóäåò ðàññìîòðåí â ðàçäåëå 21.4.) Ìû âèäåëè òàêæå, ÷òî ìîæíî óñòðàíèòü ýòè ãîëäñòîóíîâñêèå ìîäû, ïîäâåðãíóâ ïîëÿ G-ïðåîáðàçîâàíèþ γ–1(x), ~ (x) = ∑ γ −1 (x)ϕ (x), ϕ n m nm m

(21.1.1)

òàêîìó, ÷òî íîâûå ïîëÿ îðòîãîíàëüíû ãîëäñòîóíîâñêèì íàïðàâëåíèÿì * ~ (x)(t ) v , (21.1.2) 0 = ∑ nm ϕ n α nm m ãäå vn — ñðåäíåå ïî âàêóóìó,. Ïîñëå òàêîãî ïîâîðîòà ïîëåé, ïðè êîòîðîì îíè óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ (21.1.2), ïîëÿ ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ âîçíèêàþò âíîâü êàê çàâèñÿùèå îò òî÷êè ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè ïàðàìåòðû â γ(x). Ñìûñë ýòîé ïðîöåäóðû çàêëþ÷àëñÿ â òîì, ÷òî, ïîñêîëüêó ëàãðàíæèàí áûë èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ (21.1.1) ñ ïîñòîÿííûìè γ(x), âñÿ çàâèñèìîñòü îò γ(x) âûïàäàëà, çà èñêëþ÷åíèåì òåõ ñëàãàåìûõ, ãäå íà γ(x) äåéñòâîâàëè ïðîèçâîäíûå. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè ëàãðàíæèàí èíâàðèàíòåí íå òîëüêî îòíîñèòåëüíî ïîñòîÿííûõ G-ïðåîáðàçîâàíèé, íî è îòíîñèòåëüíî G-ïðåîáðàçîâàíèé, çàâèñÿùèõ îò òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè, òîãäà ïðåîáðàçîâàíèå (21.1.1) ÿâëÿåòñÿ èñòèííîé ñèììåòðèåé òåîðèè, è âñÿ çàâèñèìîñòü îò γ(x) âûïàäàåò èç ëàãðàíæèàíà, òàê ÷òî ìîæíî âåçäå ïðîñòî çàìåíèòü ϕn(x) íà. Ýòî ÿâëÿåòñÿ âûáîðîì êàëèáðîâêè, êîòîðàÿ ôèêñèðóåòñÿ íàëîæåíèåì óñëîâèÿ (21.1.2) íà, à íå íàëîæåíèåì óñëîâèé íà ñàìè êàëèáðîâî÷íûå ïîëÿ. (Íàïðèìåð, â ýëåêòðîäèíàìèêå çàðÿæåííîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ϕ ≡ ϕ1 + iϕ2 ìîæíî âûáðàòü êàëèáðîâêó òèïà ëîðåíöîâñêîé èëè êóëîíîâñêîé, íàëîæèâ * Çäåñü ìû ðàáîòàåì ñ äåéñòâèòåëüíûì ïðèâîäèìûì èëè íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâëåíèåì àëãåáðû ñèììåòðèè, äëÿ êîòîðîãî ìàòðèöû tα äåéñòâèòåëüíû. Ïåðåõîä ê êîìïëåêñíûì ïðåäñòàâëåíèÿì îïèñàí íèæå.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.1. Óíèòàðíàÿ êàëèáðîâêà

397

ñîîòâåòñòâåííî óñëîâèÿ ∂µAµ = 0 èëè ∇•A = 0, íî ñ òåì æå óñïåõîì ìîæíî âûáðàòü êàëèáðîâêó, íàëîæèâ óñëîâèå íà ϕ, íàïðèìåð, ïîòðåáîâàâ, ÷òîáû ϕ áûëî äåéñòâèòåëüíûì, èëè, èíà÷å ãîâîðÿ, ïîâåðíóâ 2-âåêòîð {Reϕ, Imϕ} â íàïðàâëåíèè ïåðâîé îñè.) Êàëèáðîâêà, îïðåäåëåííàÿ óñëîâèåì (21.1.2), íàçûâàåòñÿ óíèòàðíîé êàëèáðîâêîé 3à, ò. ê. â ýòîé êàëèáðîâêå áóäåò î÷åâèäíî, ÷òî â òåîðèè îòñóòñòâóþò ëþáûå ñòåïåíè ñâîáîäû ñ îòðèöàòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ òèïà âðåìåíèïîäîáíûõ êàëèáðîâî÷íûõ áîçîíîâ. Âûðàæàÿñü áîëåå îáùî, óíèòàðíàÿ êàëèáðîâêà äåëàåò î÷åâèäíûì ìåíþ ôèçè÷åñêèõ ÷àñòèö â òåîðèè. Èç óñëîâèÿ (21.1.2) âèäíî, ÷òî â óíèòàðíîé êàëèáðîâêå íåò ïîëåé ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ. Ïîñêîëüêó òåîðèÿ êàëèáðîâî÷íîèíâàðèàíòíà, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ëþáîé êàëèáðîâêå, êàêóþ áû ìû íå âûáðàëè, îòñóòñòâóþò ôèçè÷åñêèå ãîëäñòîóíîâñêèå áîçîíû. ×òî ìîæíî ñêàçàòü î âåêòîðíûõ áîçîíàõ? Åñëè ϕn — ýëåìåíòàðíûå êàíîíè÷åñêè íîðìèðîâàííûå ñêàëÿðíûå ïîëÿ ϕn, ëàãðàíæèàí áóäåò ñîäåðæàòü ñëàãàåìîå Lϕ = −

1 2

F ∑ G ∂ ϕ~ H µ

n



n



α ~ i tnm Aαµ ϕ m m ,α

I JK

2

.

(21.1.3)

ãäå tα ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ âñåõ ãåíåðàòîðîâ êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû G. (Ñ ýòîãî ìîìåíòà áóäåì îïóñêàòü òèëüäû, ïîíèìàÿ ïðè ýòîì, ÷òî âåçäå â äàííîì ðàçäåëå ìû ðàáîòàåì â óíèòàðíîé êàëèáðîâêå.) Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ñèììåòðèÿ G íàðóøåíà âàêóóìíûì ñðåäíèì vn ïîëÿ ϕn, ïîýòîìó, ÷òîáû ïîíÿòü ïðîèñõîæäåíèå ñïåêòðà ÷àñòèö, îïðåäåëèì ñäâèíóòîå ïîëå ϕ′:

ϕ n ≡ v n + ϕ ′n .

(21.1.4)

(Èíîãäà óäîáíî çàäàâàòü vn â ôîðìóëàõ (21.1.2) è (21.1.4) êàê ñðåäíåå ïî âàêóóìó â äðåâåñíîì ïðèáëèæåíèè. ×òîáû ïîðîäèòü ïðèåìëåìóþ òåîðèþ âîçìóùåíèé, íåîáõîäèìî âñåãî ëèøü, ÷òîáû vn ñîãëàñîâûâàëîñü ñ èñòèííûì ñðåäíèì ïî âàêóóìó â íèçøåì ïîðÿäêå.) Ðàçëàãàÿ âûðàæåíèå (21.1.3) äî âòîðîãî ïîðÿäêà ïî ϕ′ è À, èìååì Lϕ,QUAD = −

1 2

F ∑ G ∂ ϕ′ H µ

n

n





α i tnm Aαµ v m m ,α

I JK

2

.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(21.1.5)

398

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

Èñïîëüçóÿ óñëîâèå (21.1.2), âèäèì, ÷òî ïåðåêðåñòíîå ïî ïîëÿì ϕ′ è À ñëàãàåìîå îáðàùàåòñÿ â íóëü, òàê ÷òî

Lϕ,QUAD = − 21 ∑ ∂ µ ϕ ′n ∂ µ ϕ ′n − n

ãäå

1 2

∑ µ 2αβ Aαµ Aβµ , αβ

α β µ 2αβ ≡ − ∑ tnm tnl vm vl .

(21.1.6)

(21.1.7)

nml

Êîìáèíèðóÿ ýòî ñ êâàäðàòè÷íûìè ñëàãàåìûìè â ëàãðàíæèàíå ßíãà– 1 µν Ìèëëñà − 4 Fαµν Fα , âèäèì, ÷òî ó âåêòîðíûõ ÷àñòèö ïîÿâèëàñü ìàñα ñîâàÿ ìàòðèöà.  íàøèõ îáîçíà÷åíèÿõ ãåíåðàòîðû tnm ïðîïîðöèîíàëüíû êàëèáðîâî÷íûì êîíñòàíòàì ñâÿçè, ïîýòîìó âûðàæåíèå (21.1.7) ïðèâîäèò ê ìàññàì âåêòîðíûõ áîçîíîâ, êîòîðûå òàêæå ïðîïîðöèîíàëüíû ýòèì êîíñòàíòàì ñâÿçè. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå àëãåáðàè÷åñêèå ñâîéñòâà µ 2αβ . Ïîñêîëüêó α ìàòðèöà tnm ìíèìà è àíòèñèììåòðè÷íà (è ïîýòîìó ýðìèòîâà), ìàòðèöà µ 2αβ äåéñòâèòåëüíà, ñèììåòðè÷íà è ïîëîæèòåëüíà. Êðîìå òîãî, åñëè êàêàÿ-òî äåéñòâèòåëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ãåíåðàòîðîâ ∑ α cα tα íå íàðóøåíà, òîãäà

∑ cα (tα ) nm vm

= 0,

(21.1.8)

α ,m

è â ýòîì ñëó÷àå èç (21.1.7) âèäíî, ÷òî, êàê îòìå÷åíî Êèááëîì 2,

∑ µ 2αβ cβ

=0.

(21.1.9)

β

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ó íàñ âñå åùå íà êàæäóþ íåíàðóøåííóþ ñèììåòðèþ åñòü áåçìàññîâûé êàëèáðîâî÷íûé áîçîí. Îáðàòíîå òàêæå âåðíî: èç âûðàæåíèÿ (21.1.7) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ êîíñòàíò cα

∑ αβ

µ 2αβ cα cβ

F = ∑G ∑c H n

α ,m

α



α itnm vm

I JK

2

≥ 0,

(21.1.10)

è ýòî âûðàæåíèå ìîæåò îáðàòèòüñÿ â íóëü òîëüêî, åñëè cα óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (21.1.8).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.1. Óíèòàðíàÿ êàëèáðîâêà

399

 ÷àñòíîñòè, åñëè èìååòñÿ âñåãî ëèøü îäíà íåíàðóøåííàÿ ñèììåòðèÿ ∑ α cα tα , òî ïðîèçâîëüíîå êàëèáðîâî÷íîå ïîëå ìîæíî çàïèñàòü êàê (21.1.11) Aαµ = cα A µ + L, ãäå ìíîãîòî÷èå îçíà÷àåò ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ êàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé îïðåäåëåííîé íåíóëåâîé ìàññû, à cα — êîýôôèöèåíò ïðè tα â åäèíñòâåííîì íåíàðóøåííîì ãåíåðàòîðå q,

q=

∑ cα tα , α

(21.1.12)

òàê ÷òî ïîëå Aµ áóäåò âõîäèòü â ìàññîâîå ñëàãàåìîå −3∑αβ µ 2αβ Aαµ Aµβ ñ íóëåâûì êîýôôèöèåíòîì. Äëÿ òîãî, ÷òîáû êîýôôèöèåíò ïðè 2 ÷àñòè êàëèáðîâî÷íîãî ëàãðàíæèà−3 ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ â êèíåòè÷åñêîé 2 íà −3∑α ∂ µ Aαν − ∂ ν Aαµ èìåë êàíîíè÷åñêîå çíà÷åíèå 1, íóæíî òàêæå îòíîðìèðîâàòü êîýôôèöèåíòû cα:

d

d

i

i

∑ cα2

= 1.

α

(21.1.13)

Çàìåòèì, ÷òî q — ýòî çàðÿä, ñ êîòîðûì ñâÿçàíî ïîëå Aµ, â òîì ñìûñëå, ÷òî ∑ tα Aαµ = qA µ + L, (21.1.14) α

ãäå ìíîãîòî÷èå îïÿòü îáîçíà÷àåò ñëàãàåìûå, âêëþ÷àþùèå ìàññèâíûå êàëèáðîâî÷íûå ïîëÿ. Ìû èñïîëüçóåì ýòè îáùèå ðåçóëüòàòû â ðàçäåëå 21.3 ïðè èçó÷åíèè ýëåêòðîñëàáîé òåîðèè. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû áûëè âûâåäåíû çäåñü äëÿ ñêàëÿðíûõ ïîëåé, îáðàçóþùèõ äåéñòâèòåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû, íî èõ ìîæíî íåïîñðåäñòâåííî ïðåîáðàçîâàòü ê âèäó, ãîäÿùåìóñÿ äëÿ êîìïëåêñíûõ ïðåäñòàâëåíèé.  ðàçäåëå 19.6 ìû âèäåëè, ÷òî êîìïëåêñíîå ñêàëÿðíîå ïîëå χ(x), ïðåîáðàçóþùååñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû ñ ýðìèòîâûìè ãåíåðàòîðàìè Tα, ìîæíî çàïèñàòü êàê ñîâîêóïíîñòü äåéñòâèòåëüíûõ ïîëåé

ϕ(x) =

FG Re χ(x)IJ , H Im χ(x)K

(21.1.15)

ðåàëèçóþùèõ äåéñòâèòåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû ñ ãåíåðàòîðàìè

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

400

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

itα =

FG − Im T H Re T

α

α

− Re T α . − Im T α

IJ K

(21.1.16)

Ïîäñòàâëÿÿ ñîîòíîøåíèÿ (21.1.15) è (21.1.16) â (21.1.7), ïîëó÷àåì ìàññîâóþ ìàòðèöû âåêòîðíîãî áîçîíà â âèäå

e

µ 2αβ = Re χ

† ,T T VAC α β

χ

VAC

j = 21 e χ

† , {Tα Tβ } VAC

χ

VAC

j.

(21.1.17)

Ðàññìîòðèì òåïåðü áîëåå äåòàëüíî ïðîïàãàòîð âåêòîðíîãî ïîëÿ. Âêëþ÷àÿ â ëàãðàíæèàí ßíãà–Ìèëëñà êâàäðàòè÷íîå ñëàãàåìîå, âèäèì, ÷òî ÷àñòü ïîëíîãî ëàãðàíæèàíà, êâàäðàòè÷íàÿ ïî À, èìååò âèä 1 1 2 − ∑ ∂ λ Aαν − ∂ ν Aαλ − ∑ µ 2αβ Aαλ Aβλ 4 α 2 αβ 1 (21.1.18) = ∑ Aα νD αν,βλ (∂) Aβ λ + ïîëíûå ïðîèçâîäíûå, 2 αβ

b

ãäå

g

D αν,βλ (∂) = δ αβ η νλ 9 − ∂ ν ∂ λ − µ 2αβ η νλ .

(21.1.19)

Ïðåäïîëîæèì äëÿ ïðîñòîòû ÷òî âñå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè íàðóøåíû, òàê ÷òî íå èìååò íóëåâûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé. Ñîãëàñíî îïèñàííûì â ðàçäåëå 9.4 îáùèì ïðàâèëàì, ïðîïàãàòîð êàëèáðîâî÷íîãî ïîëÿ â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè èìååò âèä

∆ αν,βλ (k) = −(D −1 ) αν,βλ ( ik) = (k 2 + µ 2 ) −1 ( ηνλ + µ −2k ν kλ )

αβ

. (21.1.20)

Èç-çà ñëàãàåìîãî ñ kνkλ àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ïðîïàãàòîðà ∆(k) f O(k0), è ýòî íå ïîçâîëÿåò äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïåðåíîðìèðóåìîñòè èñïîëüçîâàòü îáû÷íûå ðàññóæäåíèÿ, îñíîâàííûå íà ïîäñ÷åòå èíäåêñà ðàñõîäèìîñòè. Ê ñ÷àñòüþ, êàê ìû óâèäèì â ñëåäóþùåì ðàçäåëå, ñóùåñòâóåò äðóãàÿ êàëèáðîâêà, â êîòîðîé ïåðåíîðìèðóåìîñòü ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíîé, íî öåíîé çàòóìàíèâàíèÿ âîïðîñà î òîì, êàêèå ÷àñòèöû ñîäåðæàòñÿ â òåîðèè. * * *

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.1. Óíèòàðíàÿ êàëèáðîâêà

401

Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî õîòÿ â ïðåäåëå íóëåâûõ êîíñòàíò ñâÿçè ãîëäñòîóíîâñêèå áîçîíû âíåçàïíî âíîâü âîçíèêàþò â ôèçè÷åñêîì ñïåêòðå, ôèçè÷åñêèå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû èäåàëüíî íåïðåðûâíû â ýòîì ïðåäåëå. Ýòî ïðîèñõîäèò ïîòîìó, ÷òî â óíèòàðíîé êàëèáðîâêå â ïðåäåëå íóëåâûõ êàëèáðîâî÷íûõ êîíñòàíò ñâÿçè êàëèáðîâî÷íûå áîçîíû îòúåäèíÿþòñÿ íå ïîëíîñòüþ. Ðàññìîòðèì ìàòðè÷íûé ýëåìåíò äëÿ ïðîöåññà ðàññåÿíèÿ A + B → C + D, ãäå À è Ñ ïðèíàäëåæàò íåêîòîðîìó ïðåäñòàâëåíèþ êàëèáðîâî÷íîé àëãåáðû, à B è D ïðèíàäëåæàò êàêîìó-òî äðóãîìó ïðåäñòàâëåíèþ ýòîé àëãåáðû. Ýëåìåíò S-ìàòðèöû äëÿ ýòîãî ïðîöåññà ñîäåðæèò âêëàä îò îáìåíà âåêòîðíûì áîçîíîì SCD, AB = i(2π) 4 δ 4 (p A + p B − pC − p D ) C J N αν A ∆ αν,βλ (k) D J N αλ B ,

(21.1.21) ãäå k = pA – pC = pD – pB, à J N αν — òîê, ñ êîòîðûì ñâÿçàíû êàëèáðîâî÷íûå áîçîíû, ãäå íèæíèé èíäåêñ N íàïîìèíàåò, ÷òî â äàííîé êàëèáðîâêå ìû îïóñêàåì â ýòîì òîêå ñëàãàåìîå ñ ïîëþñîì ãîëäñòîóíîâñêîãî áîçîíà. Òàêîé òîê ïðîïîðöèîíàëåí êàëèáðîâî÷íûì êîíñòàíòàì ñâÿçè, òàê ÷òî åäèíñòâåííûå ñëàãàåìûå â (21.1.21), âûæèâàþùèå â ïðåäåëå íóëåâûõ êîíñòàíò ñâÿçè, ñîäåðæàò ìàòðèöó µ–2, êîòîðàÿ â ýòîì ïðåäåëå ñèíãóëÿðíà. Ïîýòîìó ïðè íóëåâûõ êîíñòàíòàõ ñâÿçè ýëåìåíò S-ìàòðèöû ðàâåí SCD, AB → i(2π) 4 δ 4 (pA + pB − pC − p D )k ν kλ (µ −2 ) αβ 1 × C JN αν A 2 D JN αλ B . k

(21.1.22)

Êàëèáðîâî÷íûå êîíñòàíòû ñâÿçè â òîêàõ ñîêðàòèëèñü ñ òàêèìè æå êîíñòàíòàìè â ìàòðèöå µ2. Ñðàâíèì òåïåðü ýòîò ðåçóëüòàò ñî âêëàäîì îò îáìåíà ãîëäñòîóíîâñêèì áîçîíîì. Ïðè îáðàùàþùèõñÿ â íóëü êàëèáðîâî÷íûõ êîíñòàíòàõ èìååòñÿ ìíîæåñòâî ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ Bα, ñâÿçàííûõ ñ ãåíåðàòîðîì t α (äëÿ ïðîñòîòû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî âñå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè ñïîíòàííî íàðóøåíû), äëÿ êîòîðûõ êèíåìàòè÷åñêîå ñëàãàåìîå â ëàãðàíæèàíå èìååò âèä −1∂ µ ϕ α ∂ µ ϕ β ∑ n Zαn Zβn ãäå Zγn — êîìïîíåíòà ãîëäñòîóíîâñêîãî áîçîíà Bα â áåññïèíîâîì ïîëå ϕn, îïðåäåëåííàÿ âûðàæåíèåì (19.2.39). На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

402

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëÿ ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ áûëè êàíîíè÷åñêèì îáðàçîì íîðìèðîâàíû, ìû äîëæíû ïîýòîìó èìåòü

∑ Zαn Zβn

= δ αβ .

n

(21.1.23)

Ñîãëàñíî ôîðìóëå (19.2.49), ãîëäñòîóíîâñêèé áîçîí Bα ñâÿçàí ñ −1 òîêàìè JN βν ñ êîíñòàíòîé ñâÿçè Fαβ , ãäå Fαβ — êîíñòàíòà ñâÿçè ãîëäñòîóíîâñêîãî áîçîíà, àññîöèèðîâàííîãî ñ ãåíåðàòîðîì tα, ñ òîêîì , îïðåäåëåííàÿ âûðàæåíèåì (19.2.38). Òàêèì îáðàçîì, îáìåí ãîëäñòîóíîâñêèìè áîçîíàìè äàåò ìàòðè÷íûé ýëåìåíò −1 −1 SCD, AB = i(2π) 4 δ 4 (p A + p B − pC − p D )k ν kλ Fαγ Fβγ 1 × C JN αν A 2 D JN αλ B . k

(21.1.24)

Íî èç ñîîòíîøåíèé (19.2.40), (21.1.7) è (21.1.23) ïîëó÷àåì ìàññîâóþ ìàòðèöó âåêòîðíîãî áîçîíà â âèäå µ 2αβ =

∑ Fαγ Z γn Fβδ Zδn

= Fαγ Fβγ ,

n

(21.1.25)

òàê ÷òî â ïðåäåëå íóëåâîé êàëèáðîâî÷íîé êîíñòàíòû ñâÿçè ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ñ îáìåíîì êàëèáðîâî÷íûì áîçîíîì (21.1.22) ñîâïàäàåò ñ ìàòðè÷íûì ýëåìåíòîì ñ îáìåíîì ãîëäñòîóíîâñêèì áîçîíîì. Ýòî ðàññóæäåíèå ìîæíî îáðàòèòü: òðåáîâàíèå íåïðåðûâíîñòè ïðè íóëåâîé êàëèáðîâî÷íîé êîíñòàíòå ñâÿçè ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ âûâîäà ôîðìóëû äëÿ ìàññ êàëèáðîâî÷íûõ áîçîíîâ äàæå â ñëó÷àå, êîãäà âñå äðóãèå êîíñòàíòû ñâÿçè âåëèêè. 21.2. Ïåðåíîðìèðóåìûå ξ-êàëèáðîâêè  1971 ãîäó ‘ò Õîîôò 4 ïîêàçàë, ÷òî ôóíêöèîíàëüíûå èíòåãðàëû â ñïîíòàííî íàðóøåííûõ êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèÿõ ìîæíî âû÷èñëÿòü â êàëèáðîâêå, â êîòîðîé ïðîïàãàòîðû âåêòîðíûõ áîçîíîâ ïðè èìïóëüñàõ k → ∞ îáðàùàþòñÿ â íóëü êàê k–2, òàê ÷òî òàêèå òåîðèè óäîâëåòâîðÿþò îïèñàííîìó â ðàçäåëå 12.2 òåñòó íà ïåðåíîð-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.2. Ïåðåíîðìèðóåìûå ξ-êàëèáðîâêè

403

ìèðóåìîñòü ìåòîäîì ïîäñ÷åòà ñòåïåíåé.  ýòîì ðàçäåëå ìû îïèøåì áîëåå øèðîêèé êëàññ ïåðåíîðìèðóåìûõ êàëèáðîâîê, ïàðàìåò- ðèçîâàííûõ ïðîèçâîëüíîé êîíñòàíòîé ξ, ââåäåííûé íåñêîëüêî ïîçäíåå Ôóäæèêàâîé, Ëè è Ñàíäà. 5  ïðîèçâîëüíûõ êàëèáðîâêàõ êèíåìàòè÷åñêèé ÷ëåí (21.1.3) â ëàãðàíæèàíå ñêàëÿðíûõ ïîëåé òåîðèè ñîäåðæèò ïåðåêðåñòíîå ñëàãàåìîå

i

α Aα µ vm , ∑ ∂ µ ϕ ′n tnm

nmα

ãäå vm — âàêóóìíîå ñðåäíåå ïîëÿ ϕm, à ϕ′n — ñäâèíóòîå ïîëå, îïðåäåëåííîå ôîðìóëîé (21.1.4).  óíèòàðíîé êàëèáðîâêå ýòî ñëàãàåìîå èñ÷åçàåò èç-çà êàëèáðîâî÷íîãî óñëîâèÿ (21.1.2). Ìû ïðåäïî÷òåì çäåñü äðóãîé ïîäõîä, áëèçêèé ê òîìó, êîòîðûé èñïîëüçîâàëñÿ â ðàçäåëàõ 15.5 è 15.6. Ââåäåì â ôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë ôóíêöèîíàë B[f], ãäå B[ f ] = exp

F − i XY d x∑ f f I . GH 2ξ Z JK 4

α

α α

(21.2.1)

Ýòî ýêâèâàëåíòíî äîáàâëåíèþ â ëàãðàíæèàí ôèêñèðóþùåãî êàëèáðîâêó ñëàãàåìîãî 1 fα fα . Lgf = − (21.2.2) 2ξ Âìåñòî òîãî, ÷òîáû ïðèíÿòü fα = ∂ µ Aαµ , , êàê â ðàçäåëå 15.5, âûáåðåì ôóíêöèþ, êîòîðàÿ ôèêñèðóåò êàëèáðîâêó, â âèäå

fα = ∂ µ Aαµ − iξ(tα ) nm ϕ ′n vm ,

(21.2.3)

Ýòà ôóíêöèÿ ïîñòðîåíà òàê, ÷òî óïîìÿíóòîå âûøå ïåðåêðåñòíîå ñëàãàåìîå â (21.1.3) ñîêðàùàåòñÿ ñ ïåðåêðåñòíûì ñëàãàåìûì â (21.2.2). Óíèòàðíàÿ êàëèáðîâêà ñòàíîâèòñÿ òåïåðü ÷àñòíûì ñëó÷àåì; ïðè ξ → ∞ ôèêñèðóþùèé êàëèáðîâêó ôóíêöèîíàë (21.2.1) èìååò ñòðåìÿùèéñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè îñòðûé ìàêñèìóì ïðè ϕ′, óäîâëåòâîðÿþùåì êàëèáðîâî÷íîìó óñëîâèþ (21.1.2). Äðóãîé ÷àñòíûé ñëó÷àé ñîîòâåòñòâóåò ïðåäåëó ξ → 0; â ýòîì ñëó÷àå ôèêñèðóþùèé êàëèáðîâêó

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

404

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

ôóíêöèîíàë èìååò ìàêñèìóì ïðè çíà÷åíèè êàëèáðîâî÷íîãî ïîëÿ, óäîâëåòâîðÿþùåãî êàëèáðîâî÷íîìó óñëîâèþ Ëàíäàó ∂µAµα = 0. Âêëþ÷èì òàêæå â ëàãðàíæèàí ïîëèíîì ÷åòâåðòîé ñòåïåíè – P(ϕ), ïîä÷èíÿþùèéñÿ óñëîâèþ êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè ∂P(ϕ) ∂ϕ n

(tα ) nm ϕ m = 0 .

(21.2.4)

Êîíå÷íî, ìû äîëæíû âêëþ÷èòü â ëàãðàíæèàí è ñëàãàåìîå, îïèñûâàþùåå êàëèáðîâî÷íîå ïîëå,

LA = −

1 4

∑ Fαµν Fαµν .

(21.2.5)

α

Òîãäà ïîëíûé ëàãðàíæèàí êàëèáðîâî÷íûõ è ñêàëÿðíûõ ïîëåé èìååò âèä LA,ϕ ≡ LA + L ϕ + L gf =− −

1

1 4

1

∑ Fαµν Fαµν + α

∑ ∂ µ ϕ ′n ∂ µ ϕ ′n

2 n − P(ϕ ) + i

∑ (tα ϕ) n (tβ ϕ) n Aαµ Aβµ

2 nαβ ξ



1 2ξ

∑ (∂ µ Aαµ )(∂ ν Aαν ) α

∑ (tα v) n (tα v)m ϕ ′n ϕ ′m 2 αnm ∑ ∂ µ ϕ ′n (tα ) nm ϕ ′m Aαµ + ïîëíûå ïðîèçâîäíûå. +

αnm

(21.2.6)

Êàê ìû âèäåëè â ðàçäåëå 15.6, ââåäåíèå ôèêñèðóþùåãî êàëèáðîâêó ôóíêöèîíàëà B[f] òðåáóåò òàêæå ââåäåíèÿ ïîëÿ ãîñòîâ ωα(x), ëàãðàíæèàí êîòîðîãî çàâèñèò îò ñâîéñòâ fα îòíîñèòåëüíî êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Ïîä äåéñòâèåì ïðîèçâîëüíîãî êàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (ñ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèåé εα(x)) δAαµ = − ∑ Cαβγ ε β Aγ µ + ∂ µ ε α ,

(21.2.7)

δϕ n = i ∑ ε α (tα ) nm ϕ m ,

(21.2.8)

βγ

α

èìååì

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.2. Ïåðåíîðìèðóåìûå ξ-êàëèáðîâêè

405

δfα = 9 ε α − ∑ Cαβγ ∂ µ (ε β Aγµ ) + ξ ∑ (tα v) n ε β (tβ ϕ) n . βγ

(21.2.9)



Ñîãëàñíî îáùèì ðåçóëüòàòàì ðàçäåëà 15.6, ýòî ïðèâîäèò ê ëàãðàíæèàíó ãîñòîâ

LM MN

OP PQ

Lω = ω *α 9 ω α − ∑ Cαβγ ∂ µ (ω β Aγµ ) + ξ ∑ (tα v) n ω β (tβ ϕ) n . (21.2.10) βγ



Íàêîíåö, åñëè òåîðèÿ âêëþ÷àåò ôåðìèîíû ñïèíà 1/2, â ëàãðàíæèàíå äîëæíî áûòü ïðîèçâîëüíîå ïåðåíîðìèðóåìîå ñëàãàåìîå

/ α( ψ ) + m0 + Γn ϕ n )ψ , L ψ = − ψ (∂/ − iAt

(21.2.11)

ãäå tα( ψ ) — ìàòðè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå ãåíåðàòîðîâ êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû äëÿ ôåðìèîíîâ (âêëþ÷àþùåå ìíîæèòåëè ñ êîíñòàíòîé ñâÿçè), à m0 è Γn — ïîñòîÿííûå ìàòðèöû (â îáùåì ñëó÷àå, ëèíåéíûå êîìáèíàöèè ñëàãàåìûõ, ïðîïîðöèîíàëüíûõ äèðàêîâñêèì ìàòðèöàì 1 è γ5), óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè:

tα( ψ ) , γ 4m0 = 0,

(21.2.12)

tα( ψ ) , γ 4 Γn + ∑ (tα )mn γ 4 Γm = 0.

(21.2.13)

m

(Ìíîæèòåëü γ4 ≡ iγ0 âîçíèêàåò îò îïðåäåëåíèÿ ψ ≡ ψ †γ4. Îí ñóùåñòâåí, òîëüêî åñëè tα( ψ ) âêëþ÷àåò ñëàãàåìûå, ïðîïîðöèîíàëüíûå γ5.) Äîêàçàííàÿ â ðàçäåëàõ 15.5 è 15.6 îáùàÿ òåîðåìà ãàðàíòèðóåò, ÷òî âû÷èñëåííàÿ ïî ëàãðàíæèàíó, ïðåäñòàâëåííîìó ñóììîé âûðàæåíèé (21.2.6), (21.2.10) è (21.2.11), S-ìàòðèöà íå çàâèñèò îò âûáîðà ïàðàìåòðà ξ, âõîäÿùåãî â ôèêñèðóþùóþ êàëèáðîâêó ôóíêöèþ (21.2.3), òàê ÷òî ïðè ëþáîì ξ áóäóò ïîëó÷àòüñÿ òå æå ðåçóëü-òàòû, ÷òî è ïðè âûáîðå ξ = ∞, îòâå÷àþùåì óíèòàðíîé êàëèá-ðîâêå. Äëÿ âûâîäà âûðàæåíèé äëÿ ïðîïàãàòîðîâ âñåõ ýòèõ ïîëåé íàì íóæíà êâàäðàòè÷íàÿ ïî ïîëÿì ÷àñòü ëàãðàíæèàíà

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

406

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

1

LQUAD = − − −

1

∑ (∂ µ Aαν

4

α

− ∂ ν Aαµ )(∂ µ Aαν − ∂ ν Aαµ )

∑ µ 2αβ Aαµ Aβµ



2 αβ 1

1 2ξ

∑ (∂ µ Aαµ )(∂ ν Aαν ) α

1

∑ (∂ µ ϕ ′n )(∂ µ ϕ ′n ) − ∑ M 2nm ϕ ′n ϕ ′m

2 n 2 nm * µ − ψ (∂/ + m)ψ − ∂ µ ω α ∂ ω α − ξ ∑ µ 2αβ ω *α ω β + ïîëíûå ïðîèçâîäíûå,

(21.2.14)

αβ

ãäå — ìàññîâàÿ ìàòðèöà âåêòîðíûõ áîçîíîâ (21.1.7): µ 2αβ = − ∑ (tα v) n (tβ v) n , n

(21.2.15)

à M 2nm è m — íîâûå ñêàëÿðíàÿ è ôåðìèîííàÿ ìàññîâûå ìàòðèöû:

M 2nm =

∂2P(ϕ) ∂ϕ n ∂ϕ m

− ϕ=v

ξ 2

∑ (tα v) n (tα v)m , α

m = m0 + ∑ Γn v n .

(21.2.16)

n

Êàê âèäíî èç (21.2.14), ãîñòû èìåþò çàâèñÿùèå îò êàëèáðîâêè ìàññû, ðàâíûå ξ , óìíîæåííîìó íà ñîîòâåòñòâóþùèå ìàññû âåêòîðíûõ áîçîíîâ. Ýòè âûðàæåíèÿ îïðåäåëÿþò ìàññû ÷àñòèö â íóëåâîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé.  ýòîì ïîðÿäêå ñðåäíåå ïî âàêóóìó vn åñòü ïðîñòî ïîëîæåíèå ìèíèìóìà ïîëèíîìèàëüíîãî «ïîòåíöèàëà» P(ϕ):

∂P(ϕ) ∂ϕ n

= 0. ϕ=v

(21.2.17)

Êðîìå òîãî, êàê ìû óæå âèäåëè â ðàçäåëå 19.2, èç âûðàæåíèé (21.2.4) è (21.2.17) ñëåäóåò, ÷òî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.2. Ïåðåíîðìèðóåìûå ξ-êàëèáðîâêè

∑ m

407

∂2 P(ϕ) ∂ϕ n ∂ϕ m

(tα v) m = 0

(21.2.18)

ϕ=v

äëÿ âñåõ α. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî âìåñòî ãîëäñòîóíîâñêèõ ìîä ñ íóëåâûìè ìàññàìè ìàòðèöà êâàäðàòîâ ìàññ ñêàëÿðíûõ áîçîíîâ â ôîðìóëå (21.2.16) èìååò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, ðàâíûå ξ , óìíîæåííîìó íà íåíóëåâûå ìàññû âåêòîðíûõ áîçîíîâ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åñëè µ 2αβ èìååò ñîáñòâåííûé âåêòîð cβ ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì µ2, òî ∑β cβ tβ v åñòü ñîáñòâåííûé âåêòîð Ì2 ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì ξµ2:

F H

I K

∑ M 2nm G ∑ cβ tβ vJ m

β

= ξ ∑ µ 2αβ cβ (tα v) n = ξµ 2 αβ

m

F ∑ c t vI GH JK

. (21.2.19)

α α

α

n

Ñëåäîâàòåëüíî äðóãèå ñîáñòâåííûå âåêòîðû îðòîãîíàëüíû êî âñåì óïîìÿíóòûì, îòñþäà, îðòîãîíàëüíû êî âñåì tαv, òàê ÷òî ýòè ñîáñòâåííûå âåêòîðû è ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ — òàêèå æå, êàê è äëÿ ìàòðèöû ∂2P(ϕ) / ∂ϕ n ∂ϕ m . Âèäèì, ÷òî ϕ=v ïðè çíà÷åíèè ξ → ∞, îòâå÷àþùåìó óíèòàðíîé êàëèáðîâêå, ãîëäñòîóíîâñêèå áîçîíû ñòîëü òÿæåëûå, ÷òî îíè âûïàäàþò èç òåîðèè, à ìàññû âñåõ äðóãèõ áîçîíî⠗ òàêèå æå, êàê îáû÷íî. Ïðîïàãàòîðû âû÷èñëÿþòñÿ ïî îáû÷íûì ïðàâèëàì: åñëè (ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì) ÷àñòü ëàãðàíæèàíà, îòâå÷àþùàÿ ñâîáîäíûì ÷àñòèöàì, ïðèíèìàåò âèä –ζ†D(∂)ζ äëÿ êîìïëåêñíîãî ïîëÿ ζ èëè –1ζTD(∂)ζ äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ζ, òî ïðîïàãàòîð ýòîãî ïîëÿ ðàâåí D–1(ik). Îòñþäà ïîëó÷àåì ïðîïàãàòîðû:

d

A: ∆ αµ ,βν (k) =

LM MN k

1 2



2

Fη GH

i

µν



(1 − ξ)kµ k ν k +µ ξ 2

2

I OP JK PQ

, αβ

−1 1 , ϕ: ∆ nm (k) = (k 2 + M 2 ) −nm + ξ ∑ (tα v) n (tβ v) m (k 2 ) −1 (k 2 + ξµ 2 )αβ α ,β

ψ: ∆ (k) = [ − ik/ + m ] / (k 2 + m 2 ),

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(21.2.20)

(21.2.21) (21.2.22)

408

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè −1 . ω: ∆ αβ (k) = (k 2 + ξµ 2 )αβ

(21.2.23)

Ïîëþñû â (21.2.20) ïðè íåôèçè÷åñêèõ çíà÷åíèÿõ êâàäðàòîâ ìàññ, ïðîïîðöèîíàëüíûõ ξ, ñîêðàùàþòñÿ ñ ïîëþñàìè ïðè òåõ æå çíà÷åíèÿõ ìàññ â (21.2.21). Çàìåòèì, ÷òî òåïåðü ïðè êîíå÷íûõ ξ âñå ïðîïàãàòîðû èìåþò îäèíàêîâîå àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå, êàê è â ñëó÷àå íåíàðóøåííîé ñèììåòðèè, ÷òî è òðåáóåòñÿ äëÿ ïåðåíîðìèðóåìîñòè.  ÷àñòíîñòè, ÷ëåí ñ kµkν â ïðîïàãàòîðå âåêòîðíîãî áîçîíà íå ñîçäàåò áîëåå íèêàêèõ ïðîáëåì äëÿ ïåðåíîðìèðóåìîñòè, ïîñêîëüêó îí ñîïðîâîæäàåòñÿ äîïîëíèòåëüíûì ìíîæèòåëåì (k2 + µ2ξ)–1. Ìû ìîæåì äàæå îòáðîñèòü ýòîò ÷ëåí, âûáðàâ ôåéíìàíîâñêóþ êàëèáðîâêó ñ ξ = 1. Òîëüêî â óíèòàðíîé êàëèáðîâêå, ãäå ξ → ∞, ýòîò ìíîæèòåëü íå ìîæåò îáåñïå÷èòü íåîáõîäèìîå äëÿ ïåðåíîðìèðóåìîñòè àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ïðîïàãàòîðà. Äàæå ïðè õîðîøî âåäóùèõ ñåáÿ ïðîïàãàòîðàõ âñå åùå íåîáõîäèìî ïîêàçàòü, ÷òî óëüòðàôèîëåòîâûå ðàñõîäèìîñòè â ýòèõ òåîðèÿõ òàê îãðàíè÷åíû íàðóøåííûìè êàëèáðîâî÷íûìè ñèììåòðèÿìè, ÷òî êàæäàÿ ðàñõîäèìîñòü ìîæåò áûòü ñîêðàùåíà ïåðåíîðìèðîâêîé ïîëÿ èëè ïàðàìåòðà â ëàãðàíæèàíå. Ýòî ìîæíî ïîêàçàòü ñ ïîìîùüþ òåõ æå ìåòîäîâ, êîòîðûå èñïîëüçîâàëèñü â ðàçäåëàõ 17.2 è 17.3, íî ðàññìàòðèâàÿ ñðåäíèå ïî âàêóóìó áåññïèíîâûõ ïîëåé íå êàê ôèêñèðîâàííûå íàðóøàþùèå ñèììåòðèè âåëè÷èíû, à êàê âíåøíèå ïîëÿ 5à. 21.3. Ýëåêòðîñëàáàÿ òåîðèÿ Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå òåîðèè íàøëè íàèáîëåå âàæíîå ïðèìåíåíèå â òåîðèè ñëàáûõ è ýëåêòðîìàãíèòíûõ âçàèìîäåéñòâèé 3. Ïðè íèçêèõ ýíåðãèÿõ ñëàáûå âçàèìîäåéñòâèÿ õîðîøî îïèñûâàþòñÿ ýôôåêòèâíûì ëàãðàíæèàíîì, ÿâëÿþùèìñÿ ñóììîé ïðîèçâåäåíèé âåêòîðíûõ (âêëþ÷àÿ ñþäà è àêñèàëüíî-âåêòîðíûå) òîêîâ (ñì. ôîðìóëó (19.4.22)). Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ýòè âçàèìîäåéñòâèÿ ìîãóò áûòü ïî àíàëîãèè ñ ýëåêòðîìàãíåòèçìîì îïèñàíû îïðåäåëåííîãî òèïà êàëèáðîâî÷íîé òåîðèåé. Äëÿ òîãî, ÷òîáû îáåñïå÷èòü ðàçäåëüíîå ñîõðàíåíèå ëåïòîíîâ ýëåêòðîííîãî è ìþîííîãî òèïîâ è áàðèîíîâ (èëè êâàðêîâ), ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî èçâåñòíûå ëåïòîíû ýëåêòðîííîãî è ìþîííîãî òèïîâ è êâàðêè îáðàçóþò îòäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ êàëèáðîâî÷íîé ãðóï-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.3. Ýëåêòðîñëàáàÿ òåîðèÿ

409

ïû. Ñ ó÷åòîì ýòîãî ïðåäïîëîæåíèÿ äëÿ ñòðóêòóðû êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû ñóùåñòâóåò âñåãî íåñêîëüêî âîçìîæíîñòåé. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ëåïòîííûå ïîëÿ ýëåêòðîííîãî òèïà. Íàñêîëüêî ìû çíàåì, íàáîð ýòèõ ïîëåé ñîñòîèò èç ëåâûõ è ïðàâûõ êîìïîíåíò ýëåêòðîííîãî ïîëÿ e: 1 1 eL = (1 + γ 5 )e, eR = (1 − γ 5 )e, (21.3.1) 2 2 è ÷èñòî ëåâîãî ïîëÿ ýëåêòðîííîãî íåéòðèíî νeL:

γ 5 νeL = νeL .

(21.3.2)

 ëþáîì ïðåäñòàâëåíèè êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû ïîëÿ äîëæíû èìåòü îäèíàêîâûå ñâîéñòâà ïî îòíîøåíèþ ê ëîðåíöîâñêèì ïðåîáðàçîâàíèÿì, ïîýòîìó â äàííîì ñëó÷àå ïðåäñòàâëåíèÿ êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû ðàçäåëÿþòñÿ * íà ëåâûé äóáëåò (νeL, eL) è ïðàâûé ñèíãëåò eR. Ñëåäîâàòåëüíî, íàèáîëüøàÿ âîçìîæíàÿ ãðóïïà — ýòî SU(2)L × U(1)L × U(1)R , è ïî îòíîøåíèþ ê íåé ïîëÿ ïðåîáðàçóþòñÿ êàê

δ

FG ν IJ = i εr ⋅ tr + ε H eK e

L tL

+ ε R tR

FG ν IJ , H eK e

(21.3.3)

ãäå ãåíåðàòîðû èìåþò âèä

RSFG TH

IJ FG KH

tL

−i 1 0 , , 0 0 −1

IJ FG KH F 1 0IJ , ∝ (1 + γ ) G H 0 1K

r g 0 1 0 t = (1 + γ 5 ) , 1 0 i 4

IJ UV KW

5

tR ∝ (1 − γ 5 ),

(21.3.4) (21.3.5) (21.3.6)

* Åñëè äîïóñòèòü êàëèáðîâî÷íûå âçàèìîäåéñòâèÿ, ìåíÿþùèå ýëåêòðîííîå ëåïòîííîå ÷èñëî, òîãäà â ïðåäñòàâëåíèå êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû ìîæíî íàðÿäó ñ νeL è eL âêëþ÷èòü ëåâîå ïîëå eR. Íà ýòîì áûë îñíîâàí ðàííèé SO(3) âàðèàíò 6 ýëåêòðîñëàáîé òåîðèè, êîòîðûé ïîçäíåå áûë èñêëþ÷åí ýêñïåðèìåíòîì.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

410

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

ñ êîíñòàíòîé g, êîòîðàÿ áóäåò âûáðàíà íèæå. Óäîáíî âìåñòî tL è tR ðàññìàòðèâàòü ãåíåðàòîðû

y ≡ g′

LMFG 1 + γ IJ FG 1 0IJ + FG 1 − γ NH 4 K H 0 1K H 2 5

5

IJ OP , KQ

(21.3.7)

è

n e ≡ g′′

LMFG 1 + γ IJ FG 1 0IJ + FG 1 − γ NH 2 K H 0 1K H 2 5

5

IJ OP , KQ

(21.3.8)

ãäå g′ è g″ — êîíñòàíòû, êîòîðûå, êàê è g, áóäóò îïðåäåëåíû íèæå. Ãåíåðàòîð y âîçíèêàåò âìåñòå ñ t3 â ëèíåéíîé êîìáèíàöèè, èãðàþùåé îñîáóþ ðîëü â ôèçèêå. Ýòî ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä q=e

FG 0 H0

IJ K

e e 0 = t3 − y . −1 g g′

(21.3.9)

Êðîìå òîãî, ne — ýëåêòðîííîå ëåïòîííîå ÷èñëî. Ìû õîòèì âêëþ÷èòü â òåîðèþ êàê ìåíÿþùèå çàðÿä ñëàáûå âçàèìîäåéñòâèÿ (âðîäå áåòà-ðàñïàäà), òàê è ýëåêòðîìàãíèòíûå âçàèìîäåéñòâèÿ, ïîýòîìó ìû ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóþò êàëèáðîâî÷íûå ïîëÿ è Bµ, ñâÿçàííûå ñ è y. Êðîìå òîãî, ìû ìîæåì ïî æåëàíèþ âêëþ÷èòü êàëèáðîâî÷íîå ïîëå, ñâÿçàííîå ñ îäíîé îñòàâøåéñÿ íåçàâèñèìîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé tL è tR, êîòîðóþ ìîæíî âûáðàòü, íàïðèìåð, êàê ýëåêòðîííîå ëåïòîííîå ÷èñëî (21.3.8). Ñóùåñòâóþò î÷åíü æåñòêèå îãðàíè÷åíèÿ 7 íà äàëüíîäåéñòâóþùèå ñèëû, êîòîðûå ìîãëè áû ïîðîæäàòüñÿ ñâÿçàííûì ñ ne áåçìàññîâûì êàëèáðîâî÷íûì ïîëåì, ïîýòîìó äëÿ òîãî, ÷òîáû âêëþ÷èòü â òåîðèþ òàêîå êàëèáðîâî÷íîå ïîëå ñ êîíñòàíòîé âçàèìîäåéñòâèÿ g″, ñðàâíèìîé ñ êîíñòàíòàìè ñëàáûõ è ýëåêòðîìàãíèòíûõ âçàèìîäåéñòâèé, íåîáõîäèìî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ýòà êàëèáðîâî÷íàÿ ñèììåòðèÿ ñïîíòàííî íàðóøåíà.** ** Çàìåòèì, ÷òî ýòî âîçìîæíî áåç íàðóøåíèÿ ãëîáàëüíîãî çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýëåêòðîííîãî ëåïòîííîãî ÷èñëà. Íóæíî ëèøü ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ëàãðàíæèàí èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî êàê ãëîáàëüíîãî ôàçîâîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, äåéñòâóþùåãî òîëüêî íà ïîëÿ ëåïòîíîâ ýëåêòðîííîãî òèïà, òàê è ëîêàëüíîãî ôàçîâîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, äåéñòâóþùåãî íà ïîëÿ ëåïòîíîâ ýëåêòðîííîãî òèïà è íà íåêîòîðîå íå âçàèìîäåéñòâóþùåå ñ ëåïòîíàìè ñêàëÿðíîå ïîëå. Ñðåäíåå ïî âàêóóìó ýòîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ, íå íàðóøàÿ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.3. Ýëåêòðîñëàáàÿ òåîðèÿ

411

Îäíàêî íåò íèêàêèõ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ñâèäåòåëüñòâ ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, êîòîðîå ïîðîæäàëîñü áû òàêîé êàëèáðîâî÷íîé ñâÿçüþ (è, íàîáîðîò, óæå åñòü ìíîæåñòâî ñâèäåòåëüñòâ ïðîòèâ ýòîãî), ïîýòîìó ìû ïðîñòî èñêëþ÷èì ne èç ãåíåðàòîðîâ êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû. Òîãäà êàëèáðîâî÷íàÿ ãðóïïà — ýòî 8 G = SU(2)L × U(1)

(21.3.10)

r ñ ãåíåðàòîðàìè t , y, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè (21.3.4) è (21.3.7) ñîîòâåòñòâåííî. Êîíñòàíòû ñâÿçè g è g′ äîëæíû áûòü ïîäîáðàíûròàê, ÷òîáû ñâÿçàííûå ñ ýòèìè ãåíåðàòîðàìè êàëèáðîâî÷íûå ïîëÿ A µ è Bµ áûëè êàíîíè÷åñêèì îáðàçîì íîðìèðîâàíû. Íàèáîëåå îáùèé êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíûé è ïåðåíîðìèðóåìûé ëàãðàíæèàí, âêëþ÷àþùèé òîëüêî ýòè êàëèáðîâî÷íûå ïîëÿ è ëåïòîíû ýëåêòðîííîãî òèïà, èìååò ïîýòîìó âèä r r r r LYM + Le = −3 ∂ µ A ν − ∂ ν Aµ + gAµ × A ν r r / ⋅ tL − iBy / )l . − l (∂/ − iA

d

i

2

− 3(∂ µ Bν − ∂ ν Bµ )2

(21.3.11)

(Çäåñü áûëî èñïîëüçîâàíî òî, ÷òî ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû ãðóïï SU(2)L è U(1) ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî Cijk = –igεijk è íóëü.) r Êîíå÷íî, èç ÷åòûðåõ êàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé, ñâÿçàííûõ ñ t è y, òîëüêî îäíà ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ — ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå Αµ — äåéñòâèòåëüíî áåçìàññîâàÿ. Ïîýòîìó íåîáõîäèìî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî SU(2)L × U(1) ñïîíòàííî íàðóøàåòñÿ äî ïîäãðóïïû U(1)em ñ ãåíåðàòîðîì, ðàâíûì çàðÿäó (21.3.9). Äåòàëè ìåõàíèçìà íàðóøåíèÿ ñèììåòðèè áóäóò ðàññìîòðåíû ÷óòü ïîçæå. Îäíàêî, êàêîâ áû íè áû ýòîò ìåõàíèçì, ìû çíàåì, ÷òî êàíîíè÷åñêè íîðìèðîâàííûå âåêòîðíûå ïîëÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå ÷àñòèöàì ñïèíà åäèíèöà è îïðåäåëåííîé ìàññû, ñîñòîÿò èç îäíîãî ïîëÿ çàðÿäîì +å è ìàññîé mW

Wµ =

1 2

( A1µ + iA2µ ),

(21.3.12)

äðóãîãî ïîëÿ çàðÿäîì –å è òîé æå ìàññîé ãëîáàëüíîé ñèììåòðèè, áóäåò íàðóøàòü ëîêàëüíóþ ñèììåòðèþ, ïðèäàâàÿ ìàññó ñâÿçàííîìó ñ νe êàëèáðîâî÷íîìó áîçîíó.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

412

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

1

W µ* =

2

( A1µ − iA2µ ),

(21.3.13)

è äâóõ ýëåêòðè÷åñêè íåéòðàëüíûõ ïîëåé ìàññàìè mZ è íóëü ñîîòâåòñòâåííî, êîòîðûå äàþòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûìè ëèíåéíûìè êîìáèíàöèÿìè ïîëåé A3µ è Bµ:

Z µ = cos θ A3µ + sin θ B µ ,

(21.3.14)

Aµ = − sin θ A3µ + cos θ Bµ ,

(21.3.15)

A3µ = cos θ Z µ − sin θ A µ ,

(21.3.16)

B µ = sin θ Z µ + cos θ A µ .

(21.3.17)

èëè, ýêâèâàëåíòíî,

Ñîãëàñíî îáùåìó ðåçóëüòàòó (21.1.11)–(21.1.12), ãåíåðàòîð íåíàðóøåííîé ñèììåòðèè, êîòîðîé â äàííîì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü, äàåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ãåíåðàòîðîâ, êîýôôèöèåíòû â êîòîðîé — òå æå, ÷òî è êîýôôèöèåíòû ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì áåçìàññîâîì ïîëå â ðàçëîæåíèè êàíîíè÷åñêè íîðìèðîâàííûõ êàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé, ñâÿçàííûõ ñ ýòèìè ãåíåðàòîðàìè. Âçãëÿíóâ íà ôîðìóëû (21.3.16) è (21.3.17), âèäèì, ÷òî

q = − sin θ ⋅ t3 + cos θ ⋅ y.

(21.3.18)

Ñðàâíèâàÿ ýòî âûðàæåíèå ñ âûðàæåíèåì (21.3.9), ïîëó÷àåì ïîýòîìó g=−

e sin θ

, g′ = −

e cos θ

.

(21.3.19)

Ââåäÿ êîíñòàíòû ñâÿçè g è g′, ìîæíî çàïèñàòü òåïåðü ïîëíîå âçàèìîäåéñòâèå ëåïòîíîâ ñ êàëèáðîâî÷íûìè áîçîíàìè â âèäå iLe′ = −

FG ν IJ LM∑ A/ t H eKN e

α

α α

OP FG ν IJ = QH e K e

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.3. Ýëåêòðîñëàáàÿ òåîðèÿ

=−

FG ν IJ LM 1 W/ (t H e KN 2 e

1L

413

− it2L ) +

1 2

/ * (t1L + it2L ) W

/ ( − t3L sin θ + y cos θ) + Z/ (t3L cos θ + y sin θ) + A =

OP FG ν IJ QH e K e

FG eW/ FG 1 + γ IJ ν IJ + g FG ν W/ FG 1 + γ IJ eIJ H 2 K K 2H H 2 K K 2H 1 F 1 + γ IJ ν + (g − g′ ) eZ/ FG 1 − γ IJ e − g + g′ ν Z/ G H 2 K 2 g + g′ H 2 K 2 F 1 − γ IJ e − e(eAe/ ) . + g′ eZ/ G (21.3.20) H 2 K

g

5

5

*

e

e

2

2

2

5

2

e

5

e

2

2

5

×òîáû çàâåðøèòü ïîñòðîåíèå òåîðèè, ìû äîëæíû ñäåëàòü êàêîå-òî ïðåäïîëîæåíèå îòíîñèòåëüíî ìåõàíèçìà íàðóøåíèÿ ñèììåòðèè. Ìû õîòèì, ÷òîáû ýòîò ìåõàíèçì ïðèäàë ìàññû íå òîëüêî W± è Z0, íî è ýëåêòðîíó. Åäèíñòâåííûé ñïîñîá, êîòîðûì ýòî ìîæíî ñäåëàòü â ðàìêàõ ïåðåíîðìèðóåìîé òåîðèè ñî ñëàáîé ñâÿçüþ, — ýòî çàäàòü ñêàëÿðíîå ïîëå, ñâÿçàííîå áåç ïðîèçâîäíûõ ñlR è lL (à òàêæå ñlL è lR). Òîãäà èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî SU(2)L ´ U(1) òðåáóåò, ÷òîáû ñêàëÿð áûë áû SU(2)L äóáëåòîì òèïà lL, íî ñî ñäâèíóòûì çíà÷åíèåì y, à ñëåäîâàòåëüíî, è q. Ïîýòîìó ïðåäïîëîæèì íàëè÷èå «þêàâñêîé» ñâÿçè

Lϕe = − G e

+

FG ν IJ FG ϕ IJ e H e K Hϕ K e

0

R

+ ý. ñ. ,

(21.3.21)

L

ãäå (ϕ+,ϕ0) — äóáëåò, äëÿ êîòîðîãî ãåíåðàòîðû ñîîòâåòñòâóþùåãî SU(2) × U(1) ïðåäñòàâëåíèÿ äàþòñÿ ìàòðèöàìè

r g t (ϕ) = 2

RSFG 0 1IJ , FG 0 − iIJ , FG 1 0 IJ UV, TH 1 0K H i 0 K H 0 −1K W g′ F 1 0I y =− G J, 2 H 0 1K (ϕ)

òàê ÷òî ìàòðèöà çàðÿäà ðàâíà

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(21.3.22) (21.3.23)

414

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

q (ϕ) =

e g

t3(ϕ) −

e g′

y(ϕ ) = e

FG 1 0IJ . H 0 0K

(21.3.24)

Âîçìîæíî, ÷òî â òåîðèè èìåþòñÿ è äðóãèå ñêàëÿðíûå ìóëüòèïëåòû, íî ïîêà ÷òî ïðåäïîëîæèì, ÷òî òàêîé ìóëüòèïëåò åäèíñòâåíåí. Íåîáõîäèìî äîáàâèòü â ëàãðàíæèàí ñëàãàåìûå, ñîäåðæàùèå ñêàëÿðíîå è êàëèáðîâî÷íîå ïîëÿ. Íàèáîëåå îáùèé ëàãðàíæèàí, ñîâìåñòèìûé ñ SU(2) × U(1) êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòüþ, ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòüþ è ïåðåíîðìèðóåìîñòüþ, èìååò âèä

Lϕ = −

r r 2 µ2 † λ ϕ ϕ − (ϕ †ϕ)2 , (21.3.25) (∂ µ − iAµ ⋅ t (ϕ) − iBµ y(ϕ) )ϕ − 2 2 4 1

ãäå λ > 0 è

ϕ≡

+

FG ϕ IJ . Hϕ K

(21.3.26)

0

Ïðè µ2 < 0 â ñòàöèîíàðíîé òî÷êå ëàãðàíæèàíà ïîëó÷åííîå â äðåâåñíîì ïðèáëèæåíèè ñðåäíåå ïî âàêóóìó ðàâíî

〈ϕ 〉† 〈ϕ 〉 ≡ v 2 =

| µ2 | λ

.

(21.3.27)

Ìû âñåãäà ìîæåì ñîâåðøèòü SU(2) × U(1) êàëèáðîâî÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå íàä ïîëÿìè â óíèòàðíîé êàëèáðîâêå, â êîòîðîé ϕ+ = 0, à ϕ0 — ýðìèòîâî ïîëå ñ ïîëîæèòåëüíûì âàêóóìíûì ñðåäíèì. (Èìåííî ïîýòîìó ìû íîðìèðîâàëè êîìïëåêñíûé äóáëåò ϕ òàê, ÷òî â êèíåòè÷åñêîì ÷ëåíå â (21.3.25) ïîÿâèëñÿ íåîáû÷íûé ìíîæèòåëü 1; åäèíñòâåííûì ôèçè÷åñêèì ñêàëÿðíûì ïîëåì ÿâëÿåòñÿ Reϕ0, òàê ÷òî â ëàãðàíæèàí (21.3.25) ýòî ïîëå âõîäèò ñ êàíîíè÷åñêîé íîðìèðîâêîé.) Âàêóóìíûå ñðåäíèå êîìïîíåíò ϕ â óíèòàðíîé êàëèáðîâêå ðàâíû 〈ϕ + 〉 = 0, 〈 ϕ 0 〉 = v > 0.

(21.3.28)

 ðåçóëüòàòå â ñêàëÿðíîì ëàãðàíæèàíå (21.3.25) âîçíèêàþò ìàññîâûå ÷ëåíû âåêòîðíûõ ìåçîíîâ 2 2 1 r r 1 g r r g′ 0 Aµ ⋅ τ − Bµ − ( Aµ ⋅ t (ϕ) + Bµ y(ϕ) )〈ϕ 〉 = − = v 2 2 2 2

FG H

IJ FG IJ KH K

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.3. Ýëåêòðîñëàáàÿ òåîðèÿ

=−

v 2 g2 4

415

Wµ† W µ −

v2 8

( g2 + g ′ 2 ) Z µ Z µ .

(21.3.29)

Êàê è îæèäàëîñü, ìàññà ôîòîíà ðàâíà íóëþ, â òî âðåìÿ êàê W± è Z0 ïðèîáðåòàþò ìàññû

mW =

v| g| 2

, mZ =

v g2 + g ′ 2 2

(21.3.30)

.

Êðîìå òîãî, èç âûðàæåíèé (21.3.21( è (21.3.28) âèäíî, ÷òî ýëåêòðîí ïðèîáðåòàåò â íèçøåì ïîðÿäêå ìàññó

me = G e v .

(21.3.31)

Èçó÷åíèå ðåàêöèé ìåæäó ëåïòîíàìè òîëüêî ýëåêòðîííîãî òèïà çàòðóäíèòåëüíî, õîòÿ ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè óæå åñòü äàííûå î ïðîöåññå ðàññåÿíèÿνe + e– → νe + e–. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ âûñîêîòî÷íûõ äàííûõ íóæíî ðàññìîòðåòü ðåàêöèè, âêëþ÷àþùèå ïî ìåíüøåé ìåðå ëåïòîíû ìþîííîãî òèïà, íàïðèìåð, õîðîøî èçó÷åííûé ïðîöåññ ðàñïàäà ìþîíà µ+ → e+ + νe +νµ. Îïèñàííàÿ âûøå ìîäåëü òðèâèàëüíî îáîáùàåòñÿ òàê, ÷òîáû îíà âêëþ÷àëà ëåïòîíû ìþîííîãî òèïà, — äëÿ ýòîãî íóæíî ïðîñòî äîáàâèòü â ëàãðàíæèàí ñëàãàåìûå Lµ è Lϕµ, àíàëîãè÷íûå ïîñëåäíèì ñëàãàåìûì â (21.3.11) è (21.3.21), çàìåíèâ ïîëÿ e è νe íà ïîëÿ ìþîíà µ– è ìþîííîãî íåéòðèíî νµ, à Ge — íà Ge(mµ/me). Ðàññìîòðåíèå âûðàæåíèÿ (21.3.20) è ñîîòâåòñòâóþùåãî ñëàãàåìîãî ñ çàìåíîé e è νe íà µ è νµ ïîêàçûâàåò, ÷òî îáìåí W ìåæäó ëåïòîíàìè ýëåêòðîííîãî è ìþîííîãî òèïîâ ïðè íèçêèõ ýíåðãèÿõ ïîðîæäàåò ýôôåêòèâíîå âçàèìîäåéñòâèå

FG g IJ H 2K

2

1 m 2W

FG e γ FG 1 + γ IJ ν IJ FG ν γ FG 1 + γ H H 2 K KH H 2 λ

5

e

µ λ

5

IJ µIJ KK

+ ý. ñ. (21.3.32)

Ýòî ìîæíî ñðàâíèòü ñ âçàèìîäåéñòâèåì â ýôôåêòèâíîé «V–A òåîðèè», êîòîðàÿ, êàê èçâåñòíî, õîðîøî îïèñûâàåò ðàñïàä ìþîíà:

GF

de γ 2

λ

(1 + γ 5 ) νe

id ν γ

µ λ (1 +

γ 5 )µ + ý. ñ.

i

(21.3.33)

Çäåñü GF — îáû÷íàÿ ôåðìèåâñêàÿ êîíñòàíòà ñâÿçè, çíà÷åíèå êîòîðîé GF = 1,16639(2) × 10–5 Ãý–2 èçâåñòíî èç âåðîÿòíîñòè ðàñïàäà ìþîíà. Ñðàâíèâàÿ äâà âûðàæåíèÿ, íàõîäèì:

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

416

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

g2 m 2W

= 4 2G F .

(21.3.34)

Ýòî ïîçâîëÿåò ñðàçó æå îïðåäåëèòü âàêóóìíîå ñðåäíåå v, îïðåäåëÿåìîå âûðàæåíèåì (21.3.30) êàê 2m W 1 = 1/ 4 1/2 = 247 ÃýÂ. v≡ (21.3.35) g 2 GF Êðîìå òîãî, èç âûðàæåíèÿ (21.3.31) âèäíî, ÷òî Ge èìååò î÷åíü ìàëîå çíà÷åíèå Ge =

0,511 ÌýÂ 247 ÃýÂ

= 2,07 × 10 −6

(21.3.36)

Èç ôîðìóëû (31.3.30) ñëåäóåò, ÷òî mZ> mW. Íå çíàÿ õîòü ÷òî-òî îòíîñèòåëüíî g è g′, íåâîçìîæíî îïðåäåëèòü ðåàëüíûå çíà÷åíèÿ mZ è mW. Ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé (21.3.30) è (21.3.19) ìîæíî âûðàçèòü mZ è mW ÷åðåç óãîë ýëåêòðîñëàáîãî ñìåøèâàíèÿ: ev 37,3 Ãý mW = , = 2| sin θ| | sin θ| ev 74,6 Ãý mZ = . = 2| sin θ| | cos θ| | sin 2θ|  ýòîì çàêëþ÷àþòñÿ îðèãèíàëüíûå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â 3. Êîíå÷íî, ñóùåñòâóþò ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè âñåõ ñîðòîâ, ìíîãèå èç êîòîðûõ çàâèñÿò îò äåòàëåé òåîðèè, êîòîðûå â ýòîì ðàçäåëå ïîêà ÷òî íå îáñóæäàëèñü. Íî åñòü îäíà îñîáåííî áîëüøàÿ ðàäèàöèîííàÿ ïîïðàâêà, êîòîðóþ ìîæíî íåìåäëåííî âû÷èñëèòü, íå îáëàäàÿ äàëüíåéøåé èíôîðìàöèåé. Ïðèâåäåííûå âûøå çíà÷åíèÿ mW è mZ áûëè âû÷èñëåíû ñ èñïîëüçîâàíèåì îáû÷íûì îáðàçîì îïðåäåëåííîãî çàðÿäà ýëåêòðîíà å. Îäíàêî, êàê ïîÿñíÿëîñü â ðàçäåëå 18.2, ýòî çíà÷åíèå íå î÷åíü ïîäõîäèò äëÿ ðàñ÷åòà ïðîöåññîâ ïðè ýíåðãèÿõ E . me. Âìåñòî ýòîãî ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä eµ, îïðåäåëåííûé ïðè ñêîëüçÿùåì ìàñøòàáå µ, ñðàâíèìîì ñ èíòåðåñóþùèìè íàñ ýíåðãèÿìè. Ïðè µ ïîðÿäêà 90 Ãý ýôôåêòèâíàÿ ïîñòîÿííàÿ òîíêîé ñòðóêòóðû eµ2 4π ðàâíà ïðèìåðíî 1/129 (è ìàëî ÷óâñòâèòåëüíà ê òî÷íîìó çíà÷åíèþ µ), òàê ÷òî ïðèâåäåííûå âûøå çíà÷åíèÿ mZ è mW ñëåäóåò óìíîæèòü íà 137 129 , ÷òî äàåò На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.3. Ýëåêòðîñëàáàÿ òåîðèÿ

417

mW =

38,4 ÃýÂ

mZ =

76,9 ÃýÂ

| sin θ| | sin 2θ|

,

(21.3.37)

.

(21.3.38)

Êàêèì áû íè áûëî çíà÷åíèå θ, ýòè ìàññû ñëèøêîì âåëèêè äëÿ òîãî, ÷òîáû áûëà õîòü ìàëåéøàÿ íàäåæäà îáíàðóæèòü W èëè Z â 1960-å èëè íà÷àëå 1970-õ ãîäîâ. Âìåñòî ýòîãî, ýêñïåðèìåíòàëüíûå ñâèäåòåëüñòâà ñïðàâåäëèâîñòè ýëåêòðîñëàáîé òåîðèè ïîÿâèëèñü â ðåçóëüòàòå îòêðûòèÿ ïðåäñêàçàííîãî òåîðèåé íîâîãî êëàññà ñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèé — ïðîöåññîâ ñ íåéòðàëüíûìè òîêàìè, îáóñëîâëåííûìè îáìåíîì Z0-áîçîíîì 9. Ïåðâîå íàáëþäåíèå ïðîöåññà ñ íåéòðàëüíûì òîêîì ïðîèçîøëî â 1973 ãîäó ïðè äåòåêòèðîâàíèè â ïóçûðüêîâîé êàìåðå ÷èñòî ëåïòîííîãî ïðîöåññà óïðóãîãî νµ–e ðàññåÿíèÿ 10. Õîòÿ ýòè ïðîöåññû ëåãêî ðàññìàòðèâàþòñÿ òåîðåòè÷åñêè, ÷àñòîòà ñîáûòèé îòíîñèòåëüíî ìàëà, ïîòîìó ÷òî ñå÷åíèå ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó ýíåðãèè â ñ. ö. è. *. Ïîòðåáîâàëèñü ãîäû íà òî, ÷òîáû ðåàêöèè, îáóñëîâëåííûå ÷èñòî ëåïòîííûìè íåéòðàëüíûìè òîêàìè, óäàëîñü èñïîëüçîâàòü äëÿ ïîëó÷åíèÿ äîñòàòî÷íî òî÷íîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà sin2 θ. Ê 1994 ãîäó èçó÷åíèå ÷èñòî ëåïòîííûõ ïðîöåññîâ ñ íåéòðàëüíûìè òîêàìè òèïà νµ + e– → νµ + e– èνµ + e– → νµ + e– ïðèâåëî ê çíà÷åíèþ sin2 θ = 0,222±0,011, îòêóäà ïîëó÷èëèñü çíà÷åíèÿ mW = 81,5 Ãý è mZ = 92,5 ÃýÂ. Åùå ïåðåä îòêðûòèåì íåéòðàëüíûõ òîêîâ ýëåêòðîñëàáàÿ òåîðèÿ áûëà ðàñïðîñòðàíåíà íà ñëàáûå è ýëåêòðîìàãíèòíûå âçàèìîäåéñòâèÿ àäðîíîâ äðóã ñ äðóãîì è ñ ëåïòîíàìè. Ê ñåðåäèíå 1960-õ ãîäîâ ñòàëî ÿñíî, ÷òî ïðîöåññû ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, â êîòîðûõ ïðîèñõîäèò îáìåí çàðÿäîì ìåæäó ëåïòîíàìè è àäðîíàìè, õîðîøî îïèñûâàåòñÿ ïðè íèçêèõ ýíåðãèÿõ ýôôåêòèâíûì ëàãðàíæèàíîì

GF 2

e γ λ (1 + γ 5 ) νe + µγ λ (1 + γ 5 ) νµ J λ + ý. ñ. ,

(21.3.39)

* Ñå÷åíèå ïðîïîðöèîíàëüíî GF2, ïîýòîìó äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ðàçìåðíîñòü [ýíåðãèÿ]–2, ñå÷åíèå äîëæíî áûòü òàêæå ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó íåêîòîðîé ýíåðãèè. Åñëè ýíåðãèÿ â ñèñòåìå öåíòðà ìàññ ìíîãî áîëüøå ìàññû ýëåêòðîíà, òî ýòî åäèíñòâåííàÿ ýíåðãèÿ, êîòîðàÿ ìîæåò âîéòè â ôîðìóëó.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

418

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

ãäå Jλ — àäðîííûé òîê.  ðàìêàõ êâàðêîâîé ìîäåëè êîììóòàöèîííûå ñâîéñòâà è ñâîéñòâà ñîõðàíåíèÿ òîêà Jλ ïîçâîëèëè èäåíòèôèöèðîâàòü åãî ñ êâàðêîâûì òîêîì J λ = u γ λ (1 + γ 5 )d cos θ c + u γ λ (1 + γ 5 )s sin θ c .

(21.3.40)

Çäåñü u, d, s — ïîëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ êâàðêîâ u, d è s, à θc — äðóãîé óãîë, íàçûâàåìûé óãëîì Êàáèááî 11. Ýêñïåðèìåíòàëüíîå èçó÷åíèå òàêèõ ïðîöåññîâ, êàê O14 → N14* + e+ +νe è K+ → π0 + e+ + νe, ïîäòâåðäèëî, ÷òî çíà÷åíèå GF î÷åíü áëèçêî ê òîìó, êîòîðîå èçìåðåíî â ÷èñòî ëåïòîííîì ïðîöåññå µ+ → e+ + νe +νµ, è äàëî äëÿ óãëà θc çíà÷åíèå 12 sin θc = 0,220±0,003. Ìû, åñòåñòâåííî, çàêëþ÷àåì, ÷òî êâàðêè îáðàçóþò äðóãîé SU(2) × U(1) äóáëåò

Q=

FG 1 + γ H 2

5

IJ LM K Nd cos θ

OP Q

u , c + s sin θ c

(21.3.41)

à òàêæå ïðàâûå ñèíãëåòû, ïðè÷åì çíà÷åíèÿ ψ ïîäîáðàíû òàê, ÷òîáû ïîëó÷àëèñü çàðÿäû êâàðêîâ 2å/3 è –å/3. Ñàìî ïî ñåáå ýòî çàêëþ÷åíèå ïðèâåëî áû ê ñåðüåçíîé òðóäíîñòè. Z0-áîçîí âçàèìîäåéñòâóåò ñ êâàðêîâûì íåéòðàëüíûì òîêîì

∑ Q γ µ (t3L cos θ + y sin θ) Q Q

=

∑ Q γ µ (t3L sec θ + qtg θ) Q Q

(21.3.42)

ãäå ïðîèçâîäèòñÿ ñóììèðîâàíèå ïî âñåì êâàðêîâûì äóáëåòàì Q òèïà (21.3.41). Çàðÿäîâàÿ ìàòðèöà äèàãîíàëüíà ïî ñîðòàì êâàðêîâ, íî åñëè êâàðêîâûé äóáëåò (21.3.41) — åäèíñòâåííûé, òî ñëàãàåìîå, ñîäåðæàùåå ìàòðèöó t3L, âêëþ÷àëî áû ïåðåêðåñòíûå ñëàãàåìûå, ïðîïîðöèîíàëüíûå s γ µ (1 + γ 5 )d è d γ µ (1 + γ 5 )s , ïðèâîäÿùèå ê ýôôåêòèâíûì âçàèìîäåéñòâèÿì ñ îáìåíîì Z0 òèïà s +d → d +s è s +d → µ+ + µ–, èíòåíñèâíîñòü êîòîðûõ áûëû áû òàêîé æå, êàê ó îáû÷íûõ ñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèé â ïåðâîì ïîðÿäêå. Ïîäîáíûå ýôôåêòû ïðèâåëè áû ê âåðîÿòíîñòÿì ïðîöåññîâ òèïà K0–K0 îñöèëëÿöèé è ðàñïàäà K0 → µ+ + µ–, íà ìíîãî ïîðÿäêîâ âåëè÷èíû áî1ëüøèõ, ÷åì íàáëþäàåìûå. Êðîìå òîãî, äàæå áåç ñëàãàåìûõ ñ íåéòðàëüíûìè òîêàìè â ëàãðàíæèàíå, îäíîïåòëåâûå äèàãðàììû, âêëþ÷àþùèå âçàèìîäåéñòâèå (21.3.39) ñ çàðÿæåííûì òîêîì (21.3.40), ïðèâîäèëè áû ê ýôôåêòèâíîìó âçàèìîäåéñòâèþ s +d → d +s , êîòîðîå áûëî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.3. Ýëåêòðîñëàáàÿ òåîðèÿ

419

áû ìåíüøå îáû÷íîãî ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà òîëüêî íà ìíîæèòåëü ïîðÿäêà α/2π, ÷òî ïðèâîäèëî áû ê âñå åùå ñëèøêîì áîëüøîé âåðîÿòíîñòè K0–K0 îñöèëëÿöèé. ×òîáû ïðåîäîëåòü ïîñëåäíþþ òðóäíîñòü, áûëî âûñêàçàíî ïðåäïîëîæåíèå 13, ÷òî â Jλ âõîäèò äðóãîå ñëàãàåìîå, èìåþùåå â ñîâðåìåííûõ îáîçíà÷åíèÿõ âèä c γ λ (1 + γ 5 )[ − d sin θ c + s cos θ c ],

(21.3.43)

ãäå ñ — ÷åòâåðòûé êâàðê, èìåþùèé, êàê è u-êâàðê, çàðÿä 2å/3. Äîáàâëÿÿ (21.3.43) ê (21.3.40), ìîæíî çàïèñàòü çàðÿæåííûé òîê â âèäå J λ = ( u cos θ c − c sin θ c ) γ λ (1 + γ 5 )d + ( u sin θ c + c cos θ c ) γ λ (1 + γ 5 )s.

Åäèíñòâåííîé ïðè÷èíîé, ïî êîòîðîé âçàèìîäåéñòâèÿ W ñ ýòèì òîêîì íå ñîõðàíÿþò ñòðàííîñòü, ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ñ è u èìåþò ðàçíûå ìàññû, ÷òî ïðèâîäèò ê ïåðåõîäàì ìåæäó u cos θ c − c sin θc è u sin θ c + c cos θ c . Íî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïåòëåâûå äèàãðàììû äëÿ ýôôåêòèâíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ s +d → d +s ïîäàâëåíû äîïîëíèòåëüíûìè ìíîæèòåëÿìè m c2 / m 2W (ò. ê. mu n mc), è ýòî ïðèâîäèò âåðîÿòíîñòü K0–K0 îñöèëëÿöèé ê ñîãëàñèþ ñ ýêñïåðèìåíòîì. Âïîñëåäñòâèè áûëî çàìå÷åíî, ÷òî ýòà ãèïîòåçà ðåøàåò è ïðîáëåìó èçìåíÿþùèõ ñòðàííîñòü âçàèìîäåéñòâèé Z0.  ðàìêàõ SU(2) × U(1) êàëèáðîâî÷íîé òåîðèè êîìáèíàöèÿ –dLsin θc + sLcos θc íå ìîæåò áûòü ñèíãëåòîì, à äîëæíà áûòü ÷àñòüþ äðóãîãî äóáëåòà

FG 1 + γ H 2

5

c IJ LM OP . K N−d sin θ + s cos θ Q c

c

(21.3.44)

Âêëþ÷àÿ ýòîò äóáëåò â ñëàáûé íåéòðàëüíûé òîê (21.3.42), âèäèì, ÷òî íåñîõðàíÿþùèå ñòðàííîñòü ñëàãàåìûå, ïðîïîðöèîíàëüíûå è, ñîêðàùàþòñÿ, ÷òî ñíèìàåò ïðîáëåìó èçáûòî÷íûõ âêëàäîâ îò îáìåíà Z â ïðîöåññû òèïà K0–K0 îñöèëëÿöèé è K0 → µ+ + µ–. ×àñòèöû, ñîäåðæàùèå ñ-êâàðê â c − c ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè, áûëè îòêðûòû 14 â 1974 ãîäó, ÷òî ïîçâîëèëî îöåíèòü çíà÷åíèå ìàññû mc d 1,5 ÃýÂ. * * Ìû íå íàáëþäàåì èçîëèðîâàííûå êâàðêè, ïîýòîìó èõ ìàññû îïðåäåëåíû íåòî÷íî. Ïðèâåäåííàÿ çäåñü ìàññà ñ-êâàðêà ãðóáî ðàâíà ïîëîâèíå ìàññû J/ψ ÷àñòèöû, èíòåðïðåòèðóåìîé êàê ñâÿçàííîå ñîñòîÿíèå ññ. Êâàðêè b è t íàñòîëüêî òÿæåëû, ÷òî èõ ìàññû ìîæíî ñ î÷åíü ìàëîé îøèáêîé îïðåäåëÿòü ïî ìàññàì ñîäåðæàùèõ ýòè êâàðêè àäðîíîâ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

420

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

Ýòèì çàâåðøèëîñü çàïîëíåíèå äâóõ ïîêîëåíèé êâàðêîâ è ëåïòîíîâ: êâàðêîâûé äóáëåò (u, d), ñìåøàííûé ñ êâàðêîâûì äóáëåòîì (c, s), à òàêæå äâà ëåïòîííûõ äóáëåòà (νe, e) è (νµ, µ). Ïåðâûì óêàçàíèåì íà ñóùåñòâîâàíèå òðåòüåãî ïîêîëåíèÿ áûëî îòêðûòèå òðåòüåãî çàðÿæåííîãî ëåïòîíà τ 16. Ïîçäíåå áûë îòêðûò ïÿòûé òèï êâàðêîâ b 17 ñ çàðÿäîì –å/3 è ìàññîé ïîðÿäêà 4,5 ÃýÂ. Øåñòîé t-êâàðê ñ çàðÿäîì 2å/3 ñòàë ïîñëå ýòîãî òåîðåòè÷åñêè íåîáõîäèì, è ÷åðåç äîëãîå âðåìÿ îí òàêæå áûë îòêðûò 18, ïðè÷åì åãî ìàññà áûëà â 1995 ãîäó îáúÿâëåíà ðàâíîé 181±12 Ãý 19.  íàøè äíè àäðîííûé òîê Jλ â âûðàæåíèè (21.3.39) çàïèñûâàåòñÿ â âèäå

J

λ

F uI = G cJ γ GH t JK

λ

LMdOP (1 + γ ) V s , MNb PQ 5

(21.3.45)

ãäå V — íå äî êîíöà èçâåñòíàÿ 3 × 3 óíèòàðíàÿ ìàòðèöà Êîáàÿøè–Ìàñêàâû 20.  SU(2) × U(1) êàëèáðîâî÷íîé òåîðèè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èìåþòñÿ òðè êâàðêîâûõ äóáëåòà

u FG 1 + γ IJ LM OP , H 2 K N V d + V s + V bQ c FG 1 + γ IJ LM OP , H 2 K N V d + V s + V bQ t FG 1 + γ IJ LM OP . H 2 K N V d + V s + V bQ 5

ud

us

ub

cd

cs

cb

td

ts

tb

5

5

(21.3.46) (21.3.47) (21.3.48)

Âàæíî ïîíÿòü, ÷òî äëÿ òðåõ êâàðêîâûõ äóáëåòîâ èìåííî ýòî ìû äîëæíû åñòåñòâåííûì îáðàçîì îæèäàòü ïî îáùèì ñîîáðàæåíèÿì. Íàèáîëåå îáùèå ïåðåíîðìèðóåìûå (SU(3) × SU(2) × U(1))-èíâàðèàíòíûå âçàèìîäåéñòâèÿ ñêàëÿðíûõ äóáëåòîâ ϕν ñ êâàðêàìè äîëæíû â îáùåì ñëó÷àå èìåòü âèä

Lϕ = − ∑ G ijn ijn



∑ H ijn ijn

FG U HD FG U HD

iL iL iL iL

IJ ⋅ FG ϕ IJ U K Hϕ K IJ ⋅ FG −ϕ IJ D K Hϕ K 0 n − n

−† n 0† n

jR

jR

+ ý. ñ. ,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(21.3.49)

21.3. Ýëåêòðîñëàáàÿ òåîðèÿ

421

ãäå Ui è Di (i = 1, 2, 3) — òðè íåçàâèñèìûõ êâàðêîâûõ ïîëÿ çàðÿäàìè 2å/3 è –å/3, ñîîòâåòñòâåííî, L è R îáîçíà÷àþò ëåâûå è ïðàâûå êîìïîíåíòû êâàðêîâûõ ïîëåé, à G ijn è H ijn — íåèçâåñòíûå êîíñòàíòû. Çàòåì âàêóóìíûå ñðåäíèå íåéòðàëüíûõ ñêàëÿðîâ ïðèâîäÿò ê ïîÿâëåíèþ ìàññîâîãî ñëàãàåìîãî äëÿ êâàðêîâ

Lm = − ∑ U iL m ijU U jR − ∑ DiL m ijD DjR + ý. ñ. , ij

ij

(21.3.50)

ãäå m ijU =

∑ G ijn 〈ϕ 0n 〉 VAC , n

m ijD =

∑ H ijn 〈ϕ 0n 〉*VAC . n

(21.3.51)

Ìàòðèöû m ijU è m ijD íè÷åì íå îãðàíè÷åíû, â ÷àñòíîñòè, ìîãóò áûòü êîìïëåêñíûìè è íåäèàãîíàëüíûìè (â ïîñëåäíåì ñëó÷àå â ëàãðàíæèàíå Lm ïîÿâëÿþòñÿ ñëàãàåìûå, íåñîõðàíÿþùèå ÷åòíîñòü è ñîðò êâàðêîâ). Íî ìû ìîæåì ââåñòè íîâûå êâàðêîâûå ïîëÿ U R′ = ARU U R , U L′ = ALU U L , DR′ = ARD DR , DL′ = ALD DL ,

ãäå À — ìàòðèöû 3 × 3, îãðàíè÷åííûå òîëüêî óñëîâèåì, ÷òî îíè äîëæíû áûòü óíèòàðíû, ÷òîáû ñîõðàíèòü âèä êèíåìàòè÷åñêîãî ñëàãàåìîãî (19.4.1). Òîãäà ìàññîâîå ñëàãàåìîå (21.3.50), ïåðåïèñàííîå ÷åðåç øòðèõîâàííûå êâàðêîâûå ïîëÿ, ñîõðàíÿåò ñâîé âèä, ñ òîé ðàçíèöåé, ÷òî ìàòðèöû mU è mD çàìåíÿþòñÿ ìàòðèöàìè m ′ U = ALU m U ARU † , m ′ D = ALDm D ARD† .

(21.3.52)

Ñóùåñòâóåò îáùàÿ òåîðåìà, ÷òî äëÿ ëþáîé ìàòðèöû m âñåãäà âîçìîæíî âûáðàòü óíèòàðíûå ìàòðèöû À è  òàê, ÷òî ìàòðèöà AmB äåéñòâèòåëüíà è äèàãîíàëüíà. (Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà èñïîëüçóéòå òåîðåìó î ïîëÿðíîì ðàçëîæåíèè, ÷òîáû çàïèñàòü m = HU, ãäå Í — ýðìèòîâà, à U — óíèòàðíàÿ ìàòðèöû, è âûáåðèòå A = S† è B = U†S, ãäå S — óíèòàðíàÿ ìàòðèöà, äèàãîíàëèçóþùàÿ Í.) Ïîýòîìó ìû ìîæåì âûáðàòü À òàê, ÷òîáû è ñòàëè äåéñòâèòåëüíû è äèàãîíàëüíû.  ýòîì ñëó÷àå êâàðêîâûå ïîëÿ u, c, t, d, s, b äîëæíû îòîæäåñòâëÿòüñÿ ñ êîìïîíåíòàìè U′L + U′R è D′L + D′R. Òåïåðü ìîæíî çàïèñàòü ñëàáûå äóáëåòû â âèäå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

422

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

QiL =

FG (A H (A

U −1 ′ )i L UL D −1 ′ L DL ) i

IJ , K

íî ñ òåì æå óñïåõîì ìû ìîæåì âçÿòü äóáëåòû êàê ëèíåéíûå êîìáèíàöèè ALU QL , âåðõíèìè êîìïîíåíòàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ êâàðêè îïðåäåëåííîé ìàññû ñ çàðÿäîì 2å/3. Òîãäà òàêèå äóáëåòû ïðèíèìàþò âèä (21.3.46)–(21.3.48), ïðè÷åì V = ALU ALD −1 .

(21.3.53)

Ñ 90%-é òî÷íîñòüþ íàèëó÷øèå ñîâðåìåííûå (1995 ã.) çíà÷åíèÿ àáñîëþòíûõ âåëè÷èí ýëåìåíòîâ ìàòðèöû Êîáàÿøè–Ìàñêàâû ðàâíû 20à

F 0,9745 ÷ 0,9757 GG 0,218 ÷ 0,224 H 0,004 ÷ 0,014

0,219 ÷ 0,224 0,002 ÷ 0,005 0,9736 ÷ 0,9750 0,036 ÷ 0,046 0,034 ÷ 0,046 0,9989 ÷ 0,9993

I JJ K

ãäå ñòðîêè îòìå÷åíû èíäåêñàìè u, c, t, à ñòîëáöû — èíäåêñàìè d, s, b. Åñëè áû ñóùåñòâîâàëè òîëüêî äâà êâàðêîâûõ äóáëåòà, îáðàçîâàííûå èç êâàðêîâ u, d, c è s, òî ìîæíî áûëî áû òàê âûáðàòü ôàçû êâàðêîâûõ ïîëåé, ÷òî âñå Vij ñòàëè áû äåéñòâèòåëüíûìè *, è ìàòðèöà V ñòàëà îðòîãîíîàëüíîé, à äóáëåòû (21.3.46) è (21.3.47) (ñ îïóùåííûì b) ïðèíÿëè áû âèä (21.3.41) è (21.3.44), ñîîòâåòñòâåííî.  ýòîì ñëó÷àå êàëèáðîâî÷íûå âçàèìîäåéñòâèÿ àâòîìàòè÷åñêè ñîõðàíÿëè áû T è CP. Áîëüøîå çíà÷åíèå òðåòüåãî ïîêîëåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî òåïåðü óæå íå âñåãäà âîçìîæíî âûáðàòü êâàðêîâûå ôàçû òàê, ÷òîáû ìàòðèöà V ñòàëà äåéñòâèòåëüíîé, è ïîýòîìó êàëèáðîâî÷íûå âçàèìîäåéñòâèÿ ìîãóò íàðóøàòü ñîõðàíåíèå T è CP. Îäíàêî ïî íåèçâåñòíûì ïðè÷èíàìè ýëåìåíòû Vub, Vcb, Vtd è Vts, ñâÿçûâàþùèå òðåòüå ïîêîëåíèå ñ ïåðâûìè äâóìÿ, äîâîëüíî ìàëû, ïîýòîìó ôèçèêà ïåðâûõ äâóõ ïîêîëåíèé êâàðêîâ ìàëî çàâèñèò îò íàëè÷èÿ òðåòüåãî ïîêîëåíèÿ, è ýòî áîëåå èëè ìåíåå åñòåñòâåííûì îáðàçîì îáúÿñíÿåò, ïî÷åìó ãèïîòåçà Êàáèááî (21.3.40) ðàáîòàåò òàê * Ïîäáåðèòå ôàçû d è s òàê, ÷òîáû Vud è Vus ñòàëè äåéñòâèòåëüíûìè. Òîãäà óíèòàðíîñòü òðåáóåò, ÷òîáû Vcd è Vcs èìåëè îäèíàêîâóþ ôàçó, êîòîðóþ ìîæíî óñòðàíèòü, ïîäîáðàâ ôàçó c.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.3. Ýëåêòðîñëàáàÿ òåîðèÿ

423

õîðîøî è ïî÷åìó íàðóøåíèå T è CP ñòîëü ìàëî. Ñîõðàíåíèå T è CP ìîæåò áûòü íàðóøåíî âçàèìîäåéñòâèÿìè ñêàëÿðíûõ áîçîíîâ, åñëè èìåþòñÿ äâà èëè áîëåå ñêàëÿðíûõ äóáëåòîâ 20á; â äàííîì ñëó÷àå íàðóøåíèå ñîõðàíåíèÿ T è CP îæèäàåòñÿ ìàëûì, ïîñêîëüêó ñêàëÿðíûå äóáëåòû ñëàáî ñâÿçàíû ñ ëåãêèìè êâàðêàìè. Äî ñèõ ïîð íåèçâåñòíî, êàêîé èç ýòèõ ìåõàíèçìîâ îòâåòñòâåí çà íàáëþäàåìîå íàðóøåíèå ñîõðàíåíèÿ T è CP â îáñóæäàâøåìñÿ â ðàçäåëå 3.3 ðàñïàäå K02.  1973 ãîäó, âñêîðå ïîñëå îáíàðóæåíèÿ ÷èñòî ëåïòîííîãî ïðîöåññà νµ + e → νµ + e, áûëè îòêðûòû ïðîöåññû ñ íåéòðàëüíûìè òîêàìè ñ ó÷àñòèåì àäðîíîâ 21 òèïà ãëóáîêîíåóïðóãîãî ðàññåÿíèÿ íåéòðèíî íà íóêëîíå. Ïîñêîëüêó â äàííîì ñëó÷àå ìàññà ìèøåíè íàìíîãî áîëüøå, äîâîëüíî ñêîðî ñòàëî âîçìîæíûì íàáëþäàòü áîëüøîå êîëè÷åñòâî ñîáûòèé è èñïîëüçîâàòü ýòè íàáëþäåíèÿ äëÿ ïîäòâåðæäåíèÿ ýëåêòðîñëàáîé òåîðèè è èçìåðåíèÿ åå ïàðàìåòðîâ. Äîïîëíèòåëüíàÿ èíôîðìàöèÿ î ëåïòîí–àäðîííûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ ñ íåéòðàëüíûìè òîêàìè áûëà ïîëó÷åíà â ðåçóëüòàòå íàáëþäåíèÿ íàðóøåíèÿ ÷åòíãîñòè â àòîìíîé ôèçèêå. Ê 1983 ãîäó âñå ïðÿìûå èçìåðåíèÿ sin2 θ ñòàëè ñîãëàñîâàííûìè è ïðèâåëè ê îáùåìó çíà÷åíèþ sin2 θ = 0,23, ïðåäñêàçûâàÿ, òàêèì îáðàçîì, ìàññû mW = 80,1 Ãý è mZ = 91,4 ÃýÂ. Çàòåì â 1983 ãîäó áûë îòêðûò W-áîçîí, à âñêîðå è Z-áîçîí 22. Ñåé÷àñ (â 1995 ã.) èçìåðåííûå ìàññû ýòèõ ÷àñòèö ðàâíû mW = 80,140±0,180 ÃýÂ

23

, mZ = 91,1887±0,0022 ÃýÂ

24

â óäîâëåòâîðèòåëüíîì ñîãëàñèè ñ ïðîåäñêàçàíèÿìè ýëåêòðîñëàáîé òåîðèè. Î÷åíü áîëüøàÿ òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ ìàññû Z-áîçîíà, äîñòèãíóòàÿ áëàãîäàðÿ íàñòðîéêå ýíåðãèè e+–e– ñîóäàðåíèé â Z-ðåçîíàíñå íà óñêîðèòåëå LEP (Áîëüøîé ýëåêòðîí–ïîçèòðîííûé êîëëàéäåð â ÖÅÐÍå) è SLC (Ñòàíôîðäñêèé ëèíåéíûé êîëëàéäåð, ÑØÀ), èçìåíèëà ñïîñîá àíàëèçà äàííûõ ïî ýëåêòðîñëàáûì âçàèìîäåéñòâèÿì. Âìåñòî òîãî, ÷òîáû ñðàâíèâàòü ïðåäñêàçàíèÿ ìàññ W è Z ñ íàáëþäàåìûìè çíà÷åíèÿìè, ìàññà Z-áîçîíà âûáðàíà êàê ýêñïåðèìåí-òàëüíûé âõîäíîé ïàðàìåòð. Ê ýòîìó äîáàâëÿåòñÿ êîíñòàíòà Ôåðìè GF = 1,16639(2) × 10–5 Ãý–2, âçÿòàÿ èç âåðîÿòíîñòè ðàñïàäà ìþîíà (ñ ó÷åòîì ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê ïîðÿäêà α), è ïîñòîÿííàÿ òîíêîé ñòðóêòóðû α(mZ) = (128,87±0,12)–1, ýêñòðàïîëèðâàííàÿ îò èçìåðåíèé ïðè íèçêèõ ýíåðãèÿõ òàê, êàê îïèñàíî â ðàçäåëå 18.2. Ïðè

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

424

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

òàêîì ïîäõîäå ïàðàìåòð sin2 θ ñòàíîâèòñÿ âûâîäèìîé âåëè÷èíîé; åñëè ïðèíÿòü îïðåäåëåíèå (21.3.38), îí ïðèíèìàåò çíà÷åíèå sin2 θ = 0,2312±0,003. Ïðè òàêèõ âõîäíûõ ïàðàìåòðàõ ýëåêòðîñëàáàÿ òåîðèÿ ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ ïðåäñêàçàíèéäðóãèõ âåëè÷èí òèïà mW ñ äîñòàòî÷íîé òî÷íîñòüþ, òðåáóþùåé óæå ó÷åòà ýëåêòðîñëàáûõ ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê 25.  îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè âêëþ÷àþò ìàññû t-êâàðêà è ñêàëÿðíîãî («õèããñîâñêîãî») áîçîíà, òàê ÷òî ñòàíîâèòñÿ âîçìîæíîé îöåíêà ýòèõ ìàññ. Íàïðèìåð, åùå äî îòêðûòèÿ t-êâàðêà, ñîãëàñèå ìåæäó òåîðèåé è ýêñïåðèìåíòîì íàêëàäûâàëî îãðàíè÷åíèÿ íà ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè, îòêóäà ïîëó÷àëîñü, ÷òî ìàññà t-êâàðêà íàõîäèòñÿ â èíòåðâàëå 130–300 Ãý 26 â ñîãëàñèè ñ ýêñïåðèìåíòàëüíî èçìåðåííûì ïîçäíåå çíà÷åíèåì.  1994 ãîäó áûëà ïðåäñêàçàíà ìàññà W-áîçîíà, ðàâíàÿ 80,29 Ãý ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ ±0,02 Ãý îò íåîïðåäåëåííîñòåé âî âõîäíûõ çíà÷åíèÿõ mZ, GF è α(mZ) è íåîïðåäåëåííîñòüþ ±0,11 Ãý îò èíòåðâàëà âîçìîæíûõ çíà÷åíèé mt è mÕèããñ.  îäíîé èç ðàáîò 1995 ãîäà áûëî ñäåëàíî çàêëþ÷åíèå, ÷òî mÕèããñ < 225 ÃýÂ. Òî÷íîå èçìåðåíèå mW, îæèäàþùååñÿ íà ýëåêòðîí–ïîçèòðîííîì êîëëàéäåðå LEP-2 â ÖÅÐÍ,å ïîçâîëèò ïîëó÷èòü ïîëåçíóþ îöåíêó mÕèããñ. * * * Íàèáîëåå îáùèé ïåðåíîðìèðóåìûé ëàãðàíæèàí ñ ñîäåðæàíèåì ïîëåé è SU(3) × SU(2) × U(1) êàëèáðîâî÷íûìè ñèììåòðèÿìè ýëåêòðîñëàáîé òåîðèè àâòîìàòè÷åñêè âêëþ÷àåò ñîõðàíåíèå áàðèîíîâ è ëåïòîíîâ. Ýòî î÷åâèäíî âåðíî äëÿ êàëèáðîâî÷íûõ âçàèìîäåéñòâèé è ãîëûõ ìàññîâûõ ñëàãàåìûõ, ïîñêîëüêó êâàðêè, àíòèêâàðêè, ëåïòîíû è àíòèëåïòîíû âñå ïðèíàäëåæàò îïðåäåëåííûì ïðåäñòàâëåíèÿì ãðóïïû SU(3) × SU(2) × U(1). Åñëè âñå ñêàëÿðû ïðèíàäëåæàò ê íåéòðàëüíûì ïî SU(3) SU(2)-äóáëåòàì ñ U(1) êâàíòîâûì ÷èñëîì ±1/2, òî åäèíñòâåííûìè ïåðåíîðìèðóåìûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè ñêàëÿðîâ ñ ôåðìèîíàìè è/èëè àíòèôåðìèîíàìè ÿâëÿþòñÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ñ êâàðê-àíòèêâàðêîâûìè è ëåïòîí-àíòèëåïòîííûìè ïàðàìè, êîòîðûå, êîíå÷íî, ñîõðàíÿþò áàðèîííîå è ëåïòîííîå ÷èñëà. (Âî ìíîãîì àíàëîãè÷íî ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî çàðÿæåííûå àäðîííûå òîêè, ñ êîòîðûìè âçàèìîäåéñòâóþò ëåïòîíû, ñ íåîáõîäèìîñòüþ ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè êîìáèíàöèÿìè òîêîâ, ñâÿçàííûõ ñî ñïîíòàííî íàðóøåííîé SU(3) × SU(3) ñèììåòðèåé, îïèñàííîé â ðàçäåëå 19.7. Òàêîå ïðåäïîëîæå-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.3. Ýëåêòðîñëàáàÿ òåîðèÿ

425

íèå áûëî áåç îáúÿñíåíèé ñäåëàíî â îðèãèíàëüíîé ðàáîòå ïî íàðóøåíèþ ýòîé ñèììåòðèè.) Âñå ýòè ðåçóëüòàòû êðèòè÷åñêè çàâèñÿò îò ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü ïåðåíîðìèðóåìà. Íî, êàê ìû íå ðàç ïîä÷åðêèâàëè, ìîæíî îæèäàòü, ÷òî ïåðåíîðìèðóåìûé ëàãðàíæèàí ñòàíäàðòíîé ìîäåëè áóäåò ñîïðîâîæäàòüñÿ íåïåðåíîðìèðóåìûìè ñëàãàåìûìè ðàçìåðíîñòè d > 4, ïîäàâëåííûìè (4 – d) ñòåïåíÿìè íåêîòîðîé î÷åíü áîëüøîé ìàññû Ì. Âåäóùèå ïîïðàâêè ê ïðåäñêàçàíèÿì ïåðåíîðìèðóåìîé ñòàíäàðòíîé ìîäåëè âîçíèêàþò îò ñëàãàåìûõ ñ íàèìåíüøåé âîçìîæíîé ðàçìåðíîñòüþ, ïðåâûøàþùåé 4. Åäèíñòâåííûå ëîðåíö-èíâàðèàíòíûå ñëàãàåìûå ðàçìåðíîñòè ïÿòü, êîòîðûå ìîæíî ïîñòðîèòü èç ôåðìèîííûõ è äðóãèõ ïîëåé ñòàíäàðòíîé ìîäåëè, â êðàéíåì ñëó÷àå áèëèíåéíû ïî ôåðìèîííûì ïîëÿì è ñîäåðæàò òàêæå ëèáî äâà ñêàëÿðà, ëèáî îäèí ñêàëÿð è îäíó êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ, ëèáî äâå êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå (âêëþ÷àÿ èõ êîììóòàòîð — òåíçîð íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ) è íèêàêèõ ñêàëÿðîâ. Öâåòîâàÿ SU(3) èíâàðèàíòíîñòü òðåáóåò, ÷òîáû ôåðìèîííûå ïîëÿ â òàêîì âçàèìîäåéñòâèè âîçíèêàëè ëèáî â âèäå êâàðê-àíòèêâàðêîâûõ áèëèíåéíûõ êîìáèíàöèé, ëèáî â âèäå ïàðû ëåïòîííûõ è/èëè àíòèëåïòîííûõ ïîëåé, ïðè÷åì âñå ýòè îïåðàòîðû ñîõðàíÿþò áàðèîííîå ÷èñëî. Èìååòñÿ áîëüøîå êîëè÷åñòâî ïîäîáíûõ ñëàãàåìûõ, íî äëÿ íàðóøåíèÿ ñîõðàíåíèÿ ëåïòîííîãî ÷èñëà îíè äîëæíû âêëþ÷àòü ïðîèçâåäåíèå äâóõ ëåïòîííûõ ïîëåé èëè èì ñîïðÿæåííûõ ïîëåé. Ëåâûå ëåïòîí− íûå äóáëåòû (lLi , ν i ) è ïðàâûå çàðÿæåííûå ëåïòîííûå ñèíãëåòû − (ãäå i = e, µ, τ) èìåþò U(1) êâàíòîâûå ÷èñëà 1/2 è 1, ñîîòâåòl Ri ñòâåííî, â òî âðåìÿ êàê ñêàëÿðíûé äóáëåò (èëè äóáëåòû) (ϕ+, ϕ0) èìååò U(1) êâàíòîâîå ÷èñëî –1/2, òàê ÷òî ìû ìîæåì ïîñòðîèòü U(1)-èíâàðèàíòíûå âçàèìîäåéñòâèÿ ðàçìåðíîñòè ïÿòü èç äâóõ ëåâûõ ëåïòîííûõ è äâóõ ñêàëÿðíûõ äóáëåòîâ. Ïðè íàëè÷èè òîëüêî îäíîãî ñêàëÿðíîãî äóáëåòà èìååòñÿ âñåãî îäèí òàêîé ÷ëåí, óäîâëåòâîðÿþùèé SU(2) è ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòè 27à: c + ϕ ∑ fij elLi

− ν ci ϕ 0 lLj ϕ + − ν j ϕ 0 ,

jd

i

ij

(21.3.54)

ãäå i è j — èíäåêñû ëåïòîííûõ ñîðòîâ, à ñ îçíà÷àåò çàðÿäîâî ñîïðÿæåííîå ïîëå. Ïðè ýíåðãèÿõ íèæå øêàëû ýëåêòðîñëàáîãî íàðóøåíèÿ ýòî ïðèâîäèò ê ýôôåêòèâíîìó âçàèìîäåéñòâèþ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

426

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

∑ fij νci ν j 〈ϕ0 〉2 . ij

(21.3.55)

Ìû îæèäàåì, ÷òî fij áóäåò ïîðÿäêà 1/Ì, âîçìîæíî, óìíîæåííîé íà ìàëûå êîíñòàíòû ñâÿçè, òàê ÷òî îòñþäà ïîëó÷àåì íåñîõðàíÿþùèå ëåïòîííîå ÷èñëî ìàññû íåéòðèíî ñàìîå áîëüøåå ïîðÿäêà 27á (300 ÃýÂ)2/Ì.  ðàçäåëå 21.5 ìû óâèäèì, ÷òî çíà÷åíèå Ì îæèäàåòñÿ ïîðÿäêà 1015–1018 ÃýÂ, òàê ÷òî ìîæíî îæèäàòü ìàññû íåéòðèíî â èíòåðâàëå 10–4–10–1 ý èëè ìåíåå, åñëè åñòü äîïîëíèòåëüíîå ïîäàâëåíèå ìàëûìè êîíñòàíòàìè ñâÿçè. Òàêèå ìàññû ñëèøêîì ìàëû, ÷òîáû èõ ìîæíî áûëî íåïîñðåäñòâåííî íàáëþäàòü, îäíàêî íåò íèêàêèõ ïðè÷èí, ïî êîòîðûì ìàññîâàÿ ìàòðèöà íåéòðèíî äîëæíà áûòü äèàãîíàëüíîé, òàê ÷òî ìàññû íåéòðèíî ìîãóò áûòü îáíàðóæåíû ïî îñöèëëÿöèÿì ïåðåõîäà îäíîãî òèïà íåéòðèíî â äðóãîé âî âðåìÿ ïðîëåòà áîëüøèõ ðàññòîÿíèé. Àíàëîãè÷íûé àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî ñóùåñòâóþò âçàèìîäåéñòâèÿ ðàçìåðíîñòè øåñòü, íàðóøàþùèå ñîõðàíåíèå êàê áàðèîííîãî, òàê è ëåïòîííîãî ÷èñåë è ñîäåðæàùèå òðè êâàðêîâûõ è îäíî ëåïòîííîå ïîëå 27â. Òàêèå âçàèìîäåéñòâèÿ áóäóò èìåòü êîíñòàíòû ñâÿçè ïîðÿäêà ̖2 è áóäóò ïðèâîäèòü ê ïðîöåññàì òèïà ðàñïàäà ïðîòîíà ñ âåðîÿòíîñòÿìè, ïðîïîðöèîíàëüíûìè M–4. 21.4. Äèíàìè÷åñêè íàðóøåííûå ëîêàëüíûå ñèììåòðèè * Äî ñèõ ïîð îáñóæäåíèå ñïîíòàííî íàðóøåííûõ ëîêàëüíûõ ñèììåòðèé ïðîâîäèëîñü ïîëíîñòüþ â ðàìêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé. Òàêîå îãðàíè÷åíèå äî íåêîòîðîé ñòåïåíè íåèçáåæíî.  òî âðåìÿ, êàê â ñëó÷àå ñïîíòàííî íàðóøåííûõ ãëîáàëüíûõ ñèììåòðèé ìîæíî äîêàçàòü ñòðîãèå òåîðåìû î ñóùåñòâîâàíèè è âçàèìîäåéñòâèÿõ áåçìàññîâûõ ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ, ñïîíòàííîå íàðóøåíèå ëîêàëüíîé ñèììåòðèè íå ïðèâîäèò ê êàêèì-ëèáî ñòîëü æå òî÷íûì ñëåäñòâèÿì. Äàæå ñóùåñòâîâàíèå ìàññèâíûõ âåêòîðíûõ áîçîíîâ íå ÿâëÿåòñÿ â äåéñòâèòåëüíîñòè îáùåé òåîðåìîé; ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîé êàëèáðîâî÷íîé êîíñòàíòå ñâÿçè ýòè ÷àñòèöû ðàñïàäàþòñÿ ñòîëü * Ýòîò ðàçäåë ëåæèò íåñêîëüêî â ñòîðîíå îò îñíîâíîé ëèíèè èçëîæåíèÿ è ìîæåò áûòü îïóùåí ïðè ïåðâîì ÷òåíèè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.4. Äèíàìè÷åñêè íàðóøåííûå ëîêàëüíûå ñèììåòðèè

427

áûñòðî, ÷òî îíè òåðÿþò ñâîþ èíäèâèäóàëüíîñòü êàê ðàçëè÷èìûå ðåçîíàíñû îïðåäåëåííîãî ñïèíà j = 1. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè êàëèáðîâî÷íûå êîíñòàíòû ñâÿçè òèïà å, g èëè g′ äîñòàòî÷íî ìàëû, òîãäà òåîðèÿ ñî ñïîíòàííî íàðóøåííîé ëîêàëüíîé ñèììåòðèåé äîëæíà áûòü î÷åíü áëèçêà ê òåîðèè ñî ñïîíòàííî íàðóøåííîé ãëîáàëüíîé ñèììåòðèåé, äëÿ êîòîðîé ìîãóò áûòü äîêàçàíû ñòðîãèå òåîðåìû. Ïîýòîìó äëÿ òàêèõ êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé ìîæíî ïîëó÷èòü ïîëåçíûå ïðèáëèæåííûå ðåçóëüòàòû, äàæå åñëè äðóãèå íåêàëèáðîâî÷íûå êîíñòàíòû ñâÿçè î÷åíü âåëèêè. Îäèí ïðèìåð — ñòàíäàðòíàÿ SU(2) × U(1) ýëåêòðîñëàáàÿ òåîðèÿ ñ áîëüøîé ñêàëÿðíîé êîíñòàíòîé ñàìîäåéñòâèÿ λ (è ñëåäîâàòåëüíî áîëüøîé ìàññîé ñêàëÿðà; ñì. âûðàæåíèå (21.3.27)). Áîëåå èíòðèãóþùàÿ âîçìîæíîñòü çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî íàðóøåíèå ýëåêòðîñëàáîé ñèììåòðèè îáÿçàíî áîëüøèì ñèëàì, ñâÿçàííûì ñ íåêîòîðîé íîâîé êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïîé, äåéñòâóþùåé íà íàáîð íîâûõ ôåðìèîíîâ. Ìû ðàññìîòðèì çäåñü ðåçóëüòàòû, êîòîðûå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû äëÿ âñåõ ïîäîáíûõ òåîðèé, íå äåëàÿ ññûëîê íà êîíêðåòíûé ìåõàíèçì ñïîíòàííîãî íàðóøåíèÿ ñèììåòðèè 28. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ïðåäåëå íóëåâûõ êàëèáðîâî÷íûõ êîíñòàíò ñâÿçè íàøà òåîðèÿ èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé ãðóïïû G ãëîáàëüíûõ ñèììåòðèé, ñïîíòàííî íàðóøåííîé äî ïîäãðóïïû Í. Êàê îáñóæäàëîñü â ðàçäåëå 19.5, â ýòîì ñëó÷àå òåîðèÿ ìîæåò áûòü çàïèñàíà ÷åðåç íàáîð ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîííûõ ïîëåé ξa, à ~ , ñâîéñòâà êîòîðûõ ïî îòíîøåíèþ ê òàêæå äðóãèõ ïîëåé ìàòåðèè ψ G-ïðåîáðàçîâàíèÿì òàêîâû, ÷òî ëàãðàíæèàí G-èíâàðèàíòåí, åñëè ~ è êîâàðèàíòíûõ ïðîèçîí H-èíâàðèàíòåí è ïîñòðîåí òîëüêî èç ψ ~ âîäíûõ Daµ, Dµ ψ è ò. ï., êîòîðûå äàþòñÿ âûðàæåíèÿìè (19.6.14), (19.6.30) è ò ä. «Âêëþ÷èì» òåïåðü êàëèáðîâî÷íûå êîíñòàíòû ñâÿçè. Êàëèáðîâî÷íàÿ ãðóïïà G, êîíå÷íî, äîëæíà áûòü ïîäãðóïïîé G ⊂ G ãðóïïû G âñåõ ñèììåòðèé òåîðèè, è êîãäà G ñïîíòàííî íàðóøàåòñÿ äî Í, ãðóïïà G äîëæíà ñïîíòàííî íàðóøèòüñÿ äî ïîäãðóïïû Í, ðàâíîé ïåðåñå÷åíèþ G ñ Í. Ãåíåðàòîðû Tα êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû G ìîãóò áûòü çàïèñàíû êàê ëèíåéíûå êîìáèíàöèè ãåíåðàòîðîâ TA ïîëíîé ãðóïïû G: Tα = ∑ eαATA , (21.4.1) A

ñ êîýôôèöèåíòàìè eαA — êàëèáðîâî÷íûìè êîíñòàíòàìè ñâÿçè, êîòîðûå âûáèðàþùòñÿ î÷åíü ìàëûìè. Èíäåêñ À ïðîáåãàåò çíà÷åíèÿ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

428

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

ìåòîê i, a ãåíåðàòîðîâ íåíàðóøåííîé ñèììåòðèè ti è ãåíàðàòîðîâ íàðóøåííîé ñèììåòðèè ξa. (Ìû ñ÷èòàåì, ÷òî ãåíåðàòîðû ÒÀ íîðìèðîâàíû ñòàíäàðòíûì îáðàçîì; ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îíè ïðåäñòàâëåíû ìàòðèöàìè ñ ýëåìåíòàìè ïîðÿäêà åäèíèöû.  ÷àñòíîñòè, â ïðîòèâîïîëîæíîñòü Tα, ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû ãåíåðàòîðîâ ξa è ti íå âêëþ÷àþò êîíñòàíò ñâÿçè â êà÷åñòâå ìíîæèòåëåé.)  áàçîâîé òåîðèè, â êîòîðîé G-èíâàðèàíòíîñòü ðåàëèçóåòñÿ ëèíåéíî, ââîäèì ñâÿçü êàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé Aαµ ñ äðóãèìè ïîëÿìè ψ, çàìåíÿÿ îáû÷íûå ïðîèçâîäíûå êàëèáðîâî÷íî-èíâàðèàíòíûìè ïðîèçâîäíûìè:

F∂ GH

µ

I JK

F GH

I JK

− i ∑ T α A αµ ψ = ∂ µ − i ∑ TA AAµ ψ , α

ãäå

AAµ ≡

A

∑ eαA A αµ .

(21.4.2)

(21.4.3)

α

Ðåçóëüòèðóþùàÿ òåîðèÿ èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ôîðìàëüíî ëîêàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, ïî îòíîøåíèþ ê êîòîðûì ïîëÿ ïðåîáðàçóþòñÿ ñîãëàñíî ôîðìóëàì

ψ → gψ,

∑ TA AAµ A

F∑T A Ig GH JK

→g

A



(21.4.4) −1

− i(∂ µ g)g −1 ,

(21.4.5)

A

ãäå g(ξ) — ïðîèçâîëüíûé çàâèñÿùèé îò ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ êîîðäèíàò ýëåìåíò ãðóïïû G. Ýòà èíâàðèàíòíîñòü ÷èñòî ôîðìàëüíàÿ, ïîñêîëüêó êàëèáðîâî÷íûå êîíñòàíòû â îáùåì ñëó÷àå ðåàëüíî íàðóøàþò G, êàê âèäíî èç òîãî, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå (21.4.5) â îáùåì ñëó÷àå íå ñîõðàíÿåò ôîðìó ëèíåéíîé êîìáèíàöèè (21.4.3). Òåì íå ìåíåå, ìîæíî âðåìåííî çàáûòü î ôîðìóëå (21.4.3), è ðàñµ êàê íå ñâÿçàííîå íèêàêèìè îãðàíè÷åíèÿìè êëàññèñìàòðèâàòü AA ÷åñêîå âíåøíåå ïîëå, è ïðîàíàëèçèðîâàòü ñòðóêòóðó ëàãðàíæèàíà ïîëåé ìàòåðèè è èõ âçàèìîäåéñòâèÿ ñ êàëèáðîâî÷íûìè ïîëÿìè, òðåáóÿ, ÷òîáû ýòîò ëàãðàíæèàí áûë èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.4. Äèíàìè÷åñêè íàðóøåííûå ëîêàëüíûå ñèììåòðèè

429

ëîêàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé (21.4.4) è (21.4.5). Òàêèì îáðàçîì ìû îáåñïå÷èì íå òîëüêî òî, ÷òî ëàãðàíæèàí áóäåò èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî èñòèííîé ïîäãðóïïû G ëîêàëüíîé ñèììåòðèè (à ïðè eαA → 0 è îòíîñèòåëüíî áîëåå øèðîêîé ãðóïïû G ãëîáàëüíîé ñèììåòðèè), íî è òî, ÷òî òîêè — âàðèàöèîííûå ïðîèçâîäíûå äåéñòâèÿ ìàòåðèè ïî A αµ — áóäóò ïðàâèëüíî ïðåîáðàçîâûâàòüñÿ ïî îòíîøåíèþ ê íàðóøåííîé ãëîáàëüíîé ãðóïïå ñèììåòðèè G. Ïîµ çäíåå ìû îãðàíè÷èì AA ôîðìîé (21.4.3), è áóäåì ðàññìàòðèâàòü µ ïîëå A α êàê êâàíòîâîå, äîïèñàâ â ëàãðàíæèàí ýòîãî ïîëÿ ñîîòâåòñòâóþùèé êèíåìàòè÷åñêèé ÷ëåí. Äëÿ òîãî, ÷òîáû âîñïîëüçîâàòüñÿ ñëåäñòâèÿìè ñïîíòàííîãî íàðóøåíèÿ ãðóïïû èíâàðèàíòíîñòè G äî åå ïîäãðóïïû Í, áóäåì äåéñòâîâàòü êàê â ðàçäåëå 19.6. Ïðåæäå âñåãî, çàìåíèì ψ è À ~ ~, A íîâûìè ïîëÿìè ψ

~µ = A A

~ = γ −1 (ξ)ψ , ψ

(21.4.6)

∑ DAB d γ −1(ξ)i ABµ ,

(21.4.7)

B

ãäå γ(ξ) — ñòàíäàðòíîå G-ïðåîáðàçîâàíèå, óñòðàíÿþùåå ñòåïåíè ñâîáîäû ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ â ïîëå ψ, à D(g) — ðåàëèçóåìîå êàëèáðîâî÷íûìè ïîëÿìè ïðåäñòàâëåíèå G: gTA g −1 =

∑ DBA (g)TB . B

(21.4.8)

Ýòè ãîëäñòîóíîâñêèå ñòåïåíè ñâîáîäû âíîâü ïîÿâëÿþòñÿ â çàâèñÿùèõ îò ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé òî÷êè ïàðàìåòðàõ ξa, îò êîòîðûõ çàâèñèò γ(ξ). Ñ ïîìîùüþ òåõ æå âû÷èñëåíèé, ÷òî è â ðàçäåëå 19.6, çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ (21.4.4) ïðåâðàùàåòñÿ êàê äëÿ ëîêàëüíûõ, òàê è äëÿ ãëîáàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, â çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ ξ a → ξ a ′ = f a (ξ, g),

(21.4.9)

~→ψ ~ ′ = h(ξ, g)ψ ~, ψ

(21.4.10)

ãäå h è f îïðåäåëåíû ñîîòíîøåíèåì

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

430

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

gγ (ξ) = γ ( f(ξ, g))h(ξ, g),

(21.4.11)

è h ïðèíàäëåæèò íåíàðóøåííîé ïîäãðóïïå Í. Êðîìå òîãî, íóæíî ~ µ . Íàïîìíèì, ÷òî, ñîãëàñíî âûâåñòè çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ äëÿ A A ïðàâèëó (21.4.5), ïîä äåéñòâèåì ýòèõ ëîêàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ëèíåéíûå êîìáèíàöèè êàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé â âûðàæåíèè (21.4.2) ïðåîáðàçóþòñÿ êàê

∑ TA AAµ

′µ = g → ∑ TA AA

A

A

LM∑ T A N A



OP Q

− ig −1∂ µ g g −1 .

A

Óìíîæàÿ ñëåâà è ñïðàâà íà γ–1(ξ′) è γ(ξ′), ñîîòâåòñòâåííî, è èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (21.4.7), (21.4.8) è (21.4.11), ìîæíî çàïèñàòü ýòî â âèäå

LM N

OP Q

~ ′ = h(ξ, g) i T A i ∑ TA A ∑ A ~ Aµ + γ −1 (ξ)[g −1∂ µ g]γ (ξ) h −1 (ξ, g) . (21.4.12) Aµ A

A

×òîáû óâèäåòü, êàê ñîêðàùàåòñÿ íåîäíîðîäíûé ÷ëåí g–1∂µg, çàìåòèì, ÷òî äèôôåðåíöèðóÿ âûðàæåíèå (21.4.11) è óìíîæàÿ ñëåâà íå îáðàòíóþ åìó âåëè÷èíó, ìû ïîëó÷èì

γ −1 (ξ ′)∂ µ γ (ξ ′) = h(ξ, g) γ −1 (ξ)[g −1∂ µ g]γ (ξ)h −1 (ξ, g) + h(ξ, g)[ γ −1 (ξ)∂ µ γ (ξ)]h −1 (ξ, g) + h(ξ, g)∂ µ h −1 (ξ, g) .

(21.4.13)

Ïîýòîìó, ÷òîáû ñîêðàòèòü íåîäíîðîäíûé ÷ëåí, ñëåäóåò âû÷åñòü âûðàæåíèå (21.4.12) èç (21.4.13): ~′ γ −1 (ξ ′)∂ γ (ξ ′) − i T A



µ

A



A

LM N

OP Q

~ −1 = h(ξ, g) γ −1 (ξ)∂ µ γ (ξ) − i ∑ TA A Aµ h (ξ, g) A

(21.4.14)

− ∂ µ h(ξ, g) h −1 (ξ, g) . Îïðåäåëèì ïîýòîìó íîâûå êàëèáðîâî÷íî-êîâàðèàíòíûå âåëè÷èíû D è E ðàâåíñòâîì

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.4. Äèíàìè÷åñêè íàðóøåííûå ëîêàëüíûå ñèììåòðèè

∑ iD aµ xa + ∑ iEiµ ti a

431

~ ≡ γ −1 (ξ)∂ µ γ (ξ) − i ∑ TA A Aµ

i

(21.4.15)

A

ñî ñâîéñòâàìè ïðåîáðàçîâàíèÿ D aµ → D ′aµ , E iµ → E ′iµ

(21.4.16)

ãäå

∑ D ′aµ xa

= h(ξ, g)

a

∑ Ei′µ ti i

F∑D GH

aµ x a

a

= h(ξ, g)

F∑E t I h GH JK iµ i

−1

Ih JK

−1

(ξ, g),

(21.4.17)

(ξ, g) + i ∂ µ h(ξ, g) h −1 (ξ, g), (21.4.18)

i

òî÷íî òàê æå, êàê â âûðàæåíèÿõ (19.6.26) è (19.6.27). Âåëè÷èíó E ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïîëíîñòüþ êîâàðèàíòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïîëåé ìàòåðèè:

~ =∂ ψ ~ ~ Dµ ψ µ + i ∑ tiEiµ ψ ,

(21.4.19)

i

~ . Èç-çà íåîäíîðîäíîãî à òàêæå âûñøèõ ïðîèçâîäíûõ òèïà DνDµ ψ ~ ÷ëåíà â (21.4.12) íåâîçìîæíî ñðàçó ââåñòè A Aµ èëè êîâàðèàíòíûå ~ òèïà (21.4.19) â ëàãðàíæèàí. Îäíàêî ëåãêî ïîñòïðîèçâîäíûå A Aµ ðîèòü «ðîòîð», êîâàðèàíòíî ïðåîáðàçóþùèéñÿ ïîä äåéñòâèåì êàê ëîêàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé G, òàê è ãëîáàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé G. Èìåííî,

~ F Aµν ≡

F H

∑ DAB d γ −1 (ξ)iG ∂ µ ABν − ∂ ν ABµ B



I K

∑ CBCD ACµ ADν J .

CD

(21.4.20)

Ïîä äåéñòâèåì ôîðìàëüíî ëîêàëüíûõ G-ïðåîáðàçîâàíèé ýòî âûðàæåíèå ïðåîáðàçóåòñÿ êàê ~ ~′ = F Aµν → FA µν

∑ DAB bh(ξ, g)gF~Bµν . B

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(21.4.21)

432

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

Ïîýòîìó ëàãðàíæèàí èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî ôîðìàëüíî ëîêàëüíûõ G-ïðåîáðàçîâàíèé, åñëè îí ïîñòðîåí êàê ïðîèçâîëüíàÿ ~, D ,D ψ ~ ~ ôóíêöèÿ ψ aµ µ , FAµν è âûñøèõ êîâàðèàíòíûõ ïðîèçâîäíûõ, óäîâëåòâîðÿþùåé ãëîáàëüíîé Í-èíâàðèàíòíîñòè. µ êàê êâàíòîâîå ïîëå Âåðíåìñÿ ê ðåàëüíîñòè è ðàññìîòðèì AA îãðàíè÷åííîé ôîðìû (21.4.3). Òåïåðü ôîðìóëû (21.4.15) è (21.4.20) ïðèíèìàþò âèä

∑ iD aµ xa + ∑ iE iµ ti a

i −1

= γ ∂ µ γ (ξ) − i

∑ TA DAB d γ −1(ξ)ieαB A αµ ,

(21.4.22)

ABα

è

~ F Aµν = ãäå

∑ DAB d γ −1(ξ)ieαB Fαµν ,



Fβµν = ∂ µ A βν − ∂ ν A βµ − ∑ Cβγδ A γµ A δν , γδ

(21.4.23)

(21.4.24)

ïðè÷åì Cβγδ — ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû, ñâÿçàííûå ñî ñòðóêòóðíûìè êîíñòàíòàìè ãðóïïû G ñîîòíîøåíèåì

∑ CBCD eγC eδD CD

=

∑ Ñ βγδ eβB . β

(21.4.25)

 êà÷åñòâå êèíåìàòè÷åñêîãî ÷ëåíà ýòîãî ïîëÿ ìû âêëþ÷àåì â ëàãðàíæèàí îáû÷íîå ÿíã-ìèëëñîâñêîå ñëàãàåìîå

LA = −

1 4

∑ Fαµν Fαµν , α

(21.4.26)

â êîòîðîì, ïóòåì ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé Aαµ è, ñîîòâåòñòâåííî, eaA, ìû ïîäîáðàëè êîýôôèöèåíò ïðè FαµνFβµν ðàâíûì ïðîñòî δαβ. Ëèíåéíîå ñëàãàåìîå â Fαµν ðàâíî ∂µAαν – ∂νAαµ, òàê ÷òî ñìûñë âûðàæåíèÿ (21.4.26) — â òîì, ÷òîáû Aαµ áûëî êàíîíè÷åñêè íîðìèðîâàííûì âåêòîðíûì ïîëåì. Ïîýòîìó ýôôåêòèâíûé ëàãðàíæèàí äîë~, D ψ ~ è D , êîòîðàÿ èíâàðèàíòíà æåí âûáèðàòüñÿ êàê ôóíêöèÿ ψ µ αµ На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.4. Äèíàìè÷åñêè íàðóøåííûå ëîêàëüíûå ñèììåòðèè

433

îòíîñèòåëüíî ãëîáàëüíûõ H-ïðåîáðàçîâàíèé, ïëþñ âîçìîæíûå ñëàãàåìûå, ñîõðàíÿþùèå G, íî íå G, ñ êîýôôèöèåíòàìè, ïðîïîðöèîíàëüíûìè äâóì èëè áîëåå ìíîæèòåëÿì eαA. Ïîñìîòèì òåïåðü, êàêîãî òèïà òåîðèþ âîçìóùåíèé ìîæíî ïîñòðîèòü èç òàêèõ èíãðåäèåíòîâ. Ìû çíàåì, ÷òî êàëèáðîâî÷íûå áîçîíû ñòàíîâÿòñÿ áåçìàññîâûìè â ïðåäåëå eαA → 0, êîãäà îíè îòùåïëÿþòñÿ îò ïîëåé ìàòåðèè, èñïûòûâàþùèõ ñïîíòàííîå íàðóøåíèå ñèììåòðèè. Ïîïðîáóåì ïîýòîìó ïðåäïîëîæèòü, ÷òî èõ ìàññà ïðè ìàëûõ åαÀ — ïîðÿäêà åÌ, ãäå å — òèïè÷íîå çíà÷åíèå åαÀ (ãåíåðàòîðû ÒÀ íîðìèðîâàíû òàê, ÷òî ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû ïîðÿäêà åäèíèöû), à Ì — øêàëà ýíåðãèé, òèïè÷íàÿ äëÿ äèíàìèêè, ïðèâîäÿùåé ê ñïîíòàííîìó íàðóøåíèþ ñèììåòðèè. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ôåéíìàíîâñêóþ äèàãðàììó, êîòîðàÿ âêëþ÷àåò êàëèáðîâî÷íûå è ãîëäñòîóíîâñêèå áîçîíû ýíåðãèè èëè èìïóëüñà Q < eM , à âñå ÷àñòèöû áîëåå âûñîêîé ýíåðãèè èëè èìïóëüñà è âñå ~ áîëåå òÿæåëûå ÷àñòèöû ìàòåðèè ïîõîðîíåíû â ïîïðàâêàõ ê êîíñòàíòàì ñâÿçè â ýôôåêòèâíîé òåîðèè ïîëÿ. Íàøà òåîðèÿ âîçìóùåíèé áóäåò ðàçëîæåíèåì ïî ñòåïåíÿì å è Q/M. Îñóùåñòâëÿÿ òîò æå àíàëèç, ÷òî è ðàçäåëàõ 19.4–19.6, ïîëó÷àåì, ÷òî ïîëíîå ÷èñëî ñòåïåíåé å è/èëè Q/M â ëþáîé òàêîé äèàãðàììå ðàâíî

ν=

∑ Vi (di

+ ei − 2) + 2L + 2,

i

(21.4.27)

ãäå Vi — ÷èñëî âåðøèí òèïà i, di è ei — ÷èñëî ïðîèçâîäíûõ è ìíîæèòåëåé eaA, ñîîòâåòñòâåííî, âî âçàèìîäåéñòâèè òèïà i, L — ~ ÷èñëî ïåòåëü. Ñ ó÷åòîì îãðàíè÷åíèÿ (21.4.3) ïîëå AAµ èëè A Aµ âíîñèò îäèí ìíîæèòåëü å. Èçó÷åíèå ôîðìóëû (21.4.15) ïîêàçûâàåò, ÷òî êàæäàÿ êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ Daµ ãîëäñòîóíîâñêîãî áîçîíà âíîñèò +1 â ñóììó di + ei, à èç âûðàæåíèé (21.4.19) è (21.4.15) ñëåäóåò, ÷òî êàæäàÿ äîïîëíèòåëüíàÿ êîâàðèàíòàíÿ ïðîèçâîäíàÿ Daµ âíîñèò +1 â di + ei. Ó âñåõ äîïóñòèìûõ ÷ëåíîâ â ëàãðàíæèàíå di + ei ≥ 2, òàê ÷òî äîìèíèðóþùèìè áóäóò âêëàäû îò äðåâåñíûõ äèàãðàìì (L = 0), ïîñòðîåííûõ èñêëþ÷èòåëüíî íà îñíîâå âçàèìîäåéñòâèé ñ di + ei = 2. Åäèíñòâåííûìè òàêèìè âçàèìîäåéñòâèÿìè ÿâëÿþòñÿ êèíåìàòè÷åñêèé ÷ëåí ãîëäñòîóíîâñêîãî áîçîíà 2 L = − 1 ∑ Fab D aµD µb , 2 ab

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(21.4.28)

434

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

ÿíã-ìèëëñîâñêîå ñëàãàåìîå (21.4.26) è âîçìîæíûå íàðóøàþùèå ñèììåòðèþ ÷ëåíû áåç ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà ïî eaA. ×òîáû ïîíÿòü ôèçè÷åñêîå çíà÷åíèå ïîëÿ ξa, çàìåòèì, ÷òî ëèíåéíîå ñëàãàåìîå â Daµ èìååò âèä

(D aµ)LIN = ∂ µ ξ a − ∑ eαa A αµ . α

(21.4.29)

Êàê ïîêàçàíî â ïðèëîæåíèè ê ýòîé ãëàâå, âñåãäà ìîæíî âûáðàòü «óíèòàðíóþ êàëèáðîâêó», â êîòîðîé äëÿ âñåõ α

∑ Fab2 ξ a eαb

= 0,

(21.4.30)

ab

â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïåðåêðåñòíîå ñëàãàåìîå â (21.4.28) èñ÷åçàåò. ×òîáû ïðîÿñíèòü âàæíîñòü ýòîãî óñëîâèÿ, çàìåòèì ÷òî â ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà âñå íàðóøåííûå ñèììåòðèè ÿâëÿþòñÿ êàëèáðîâî÷íûìè, ëþáîå ξa ìîæíî çàïèñàòü êàê ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ êàëèáðîâî÷íûõ ãåíåðàòîðîâ è íåíàðóøåííûõ ãåíåðàòîðîâ: xa =

∑ caα Tα + ∑ cai ti α

=

∑ c aα α

i

F∑ e GH

αb x b

I JK

+ ∑ e αi t i +

a

i

∑ cai ti , i

è ïîýòîìó

∑ caα eαb α

= δ ab .

Ñâîðà÷èâàÿ óñëîâèå (21.4.30) ñ cab, âèäèì, ÷òî òîãäà ξa = 0: â òàêîé êàëèáðîâêå âîîáùå íåò ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ.  áîëåå îáùåì ñëó÷àå óñëîâèå (21.4.30) îñòàâëÿåò òîëüêî òå ãîëäñòîóíîâñêèå áîçîíû, êîòîðûå íå ñîîòâåòñòâóþò êàëèáðîâî÷íûì ñèììåòðèÿì. Íåêîòîðûå èç íèõ ñâÿçàíû ñ ýëåìåíòàìè G, íàðóøàþùèìèñÿ êàëèáðîâî÷íûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè è ïîýòîìó èìåþùèìè ìàññû âòîðîãî ïîðÿäêà ïî êàëèáðîâî÷íûì êîíñòàíòàì ñâÿçè. Èõ íàçûâàþò ïñåâäîãîëäñòîóíîâñêèìè áîçîíàìè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.4. Äèíàìè÷åñêè íàðóøåííûå ëîêàëüíûå ñèììåòðèè

435

Åñëè âûáðàòü ξ òàê, ÷òîáû óäîâëåòâîðÿëîñü óñëîâèå óíèòàðíîé êàëèáðîâêè (21.4.30), òî êâàäðàòè÷íàÿ ÷àñòü ëàãðàíæèàíà (21.4.28) ðàâíà ïðîñòî 2 ∂ µ ξ a ∂ µ ξ b − 1 ∑ µ 2αβ A αµ Aβµ , ( Lξ )QUAD = − 1 ∑ Fab (21.4.31) 2 2 αβ

ab

ãäå µ 2αβ =

∑ Fab2 eαa eβb . ab

(21.4.32)

Îòñþäà âûòåêàþò äâà âàæíûõ âûâîäà. Âî-ïåðâûõ, çàìåòèì, ÷òî ξa ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç êàíîíè÷åñêè îðòîíîðìèðîâàííîå ïîëå πa â âèäå ξa =

∑ Fab−1π b , b

(21.4.33)

ãäå Fab — ïîëîæèòåëüíûé êâàäðàòíûé êîðåíü èç ïîëîæèòåëüíîé −1 2 . Ýòî ïîêàçûâàåò, ÷òî Fab — ìíîæèòåëè, àíàëîãè÷íûå ìàòðèöû Fab −1 , êîòîðûå ñîïðîâîæäàþò èñïóñêàíèå è ïîãëîùåíèå ãîëäñòîóFπ íîâñêèõ áîçîíîâ íèçêîé ýíåðãèè. Âî-âòîðûõ, ïîñêîëüêó Aαµ áûëî îïðåäåëåíî êàê êàíîíè÷åñêè íîðìèðîâàííîå âåêòîðíîå ïîëå, èç âûðàæåíèÿ (21.4.31) ñëåäóåò, ÷òî µαβ2 — êâàäðàò ìàññîâîé ìàòðèöû âåêòîðíîãî áîçîíà. Âûðàæåíèå (21.4.32) ÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíîé ôîðìîé äëÿ êâàäðàòà ìàññîâîé ìàòðèöû âåêòîðíîãî áîçîíà, ñïðàâåäëèâîé äî âòîðîãî ïîðÿäêà ïî êàëèáðîâî÷íûì êîíñòàíòàì ñâÿçè, íî ïðè ýòîì âî âñåõ ïîðÿäêàõ ïî âñåì îñòàëüíûì âçàèìîäåéñòâèÿì. Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (21.4.1) â ôîðìóëå (21.1.7), ëåãêî óâèäåòü, ÷òî íàø ïðåäûäóùèé ðåçóëüòàò (21.1.7) åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé ôîðìóëû (21.4.32), â êîòîðîé 2 = − ∑ (xa ) nm (x b ) nl v m vl . Fab nml

Ôîðìóëó (21.4.32) ìîæíî òàêæå ïîíèìàòü íà îñíîâå ñîîáðàæåíèé íåïðåðûâíîñòè, îáðèñîâàííûõ (â íåñêîëüêî èíûõ îáîçíà÷åíèÿõ) â êîíöå ðàçäåëà 21.1. Îíà ãàðàíòèðóåò, ÷òî ýôôåêòû îáìåíà êàëèáðîâî÷íûì áîçîíîì, âûæèâàþùèå â ïðåäåëå íóëåâîé êàëèáðîâî÷íîé êîíñòàíòû ñâÿçè, ñîâïàäàþò ñ ýôôåêòàìè, êîòîðûå âîçíèêëè áû îò îáìåíà ãîëäñòîóíîâñêèì áîçîíîì, åñëè áû íå áûëî êàëèáðîâî÷íûõ êîíñòàíò.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

436

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

 îáùåì ñëó÷àå ìû íå ìîæåì âû÷èñëèòü ìàòðèöû Fab2, íî ìû çíàåì, ÷òî îíà äîëæíà áûòü èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé íåíàðóøåííîé ïîäãðóïïû Í, â òîì ñìûñëå, ÷òî



2 2 + Cicd Fbd = 0. Cibd Fdc

d

Ýòî óñëîâèå ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ïîëåçíûå îãðàíè÷åíèÿ íà ìàññû êàëèáðîâî÷íûõ áîçîíîâ (21.4.32).  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ñëó÷àé ýëåêòðîñëàáîé êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû SU(2) × U(1), ñïîíòàííî íàðóøåííîé äî ãðóïïû U(1) ýëåêòðîìàãíåòèçìà. Òðåìÿ ãåíåðàòîðàìè íàðóøåííîé ñèììåòðèè ξa ìîæíî âûáðàòü òðè ãåíåðàòîðà SU(2) (â ðàçäåëå 21.3 îáîçíà÷åííûå t1, t2, t3) áåç ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ g, à îäèí ãåíåðàòîð íåíàðóøåííîé ñèììåòðèè t ìîæíî ïðèíÿòü ðàâíûì çàðÿäó q ñ îïóùåííûì ìíîæèòåëåì e. Èíûìè ñëîâàìè, ξa è t äåéñòâóþò íà ëåïòîííûå äóáëåòû ìàòðèöàìè

RSFG TH

IJ FG KH

r 1 0 1 0 x = (1 + γ 5 ) , 1 0 i 4 0 0 t=− . 0 1

FG H

−i 1 , 0 0

IJ FG KH

IJ UV , KW

0 −1

IJ K

Òîãäà êàëèáðîâî÷íûå ãåíåðàòîðû èìåþò âèä

r r T = gx, T y = g′(x3 − t) .

(21.4.34)

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íåíóëåâûå êîýôôèöèåíòû eaa ïðè ξa â êàëèáðîâî÷íîì ãåíåðàòîðå Tα ðàâíû e11 = e22 = e33 = g , e y3 = g′ .

Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêó t ïîäâåðãàåò 3-âåêòîð âðàùåíèþ âîêðóã òðåòüåé îñè, ýòà íåíàðóøåííàÿ ñèììåòðèÿ òðåáóåò, ÷òîáû ìàòðèöà Fab2 èìåëà íåíóëåâûå êîìïîíåíòû 2 2 2 F11 = F22 ≡ FC2 , F33 ≡ FN2 .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.4. Äèíàìè÷åñêè íàðóøåííûå ëîêàëüíûå ñèììåòðèè

437

Ñîãëàñíî ôîðìóëå (21.4.32), êâàäðàò ìàññîâîé ìàòðèöû êàëèáðîâî÷íûõ áîçîíîâ èìååò, òàêèì îáðàçîì, íåèñ÷åçàþùèå ýëåìåíòû 2 µ11 = µ 222 = g2 FC2 , µ 233 = g2FN2 , µ 23 y = gg′ FN2 , µ 2yy = g′ 2 FN2 .

Åå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ðàâíû m 2W = g2 FC2 , m Z2 = (g2 + g′ 2 )FN2 , m 2A = 0.

(21.4.35)

×òîáû ïðîäâèíóòüñÿ äàëüøå, íåîáõîäèìî ñîîòíîøåíèå, ñâÿçûâàþùåå FC è FN. Îíî âîçíèêàåò ïðè óñëîâèè, ÷òî â ïðåäåëå g = g′ = 0 òåîðèÿ èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî áî1ëüøåé, ÷åì SU(2) × U(1), ãëîáàëüíîé ãðóïïû ñèììåòðèè G, êîòîðàÿ ñïîíòàííî íàðóøàåòñÿ äî ïîäãðóïïû Í, âêëþ÷àþùåé òðåõìåðíûå âðàùåíèÿ, îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ ïðåîáðàçóåòñÿ êàê 3-âåêòîð. Èç íàëè÷èÿ òàêîé íåíàðóøåííîé ñèììåòðèè ñëåäîâàëî áû, ÷òî ïðîïîðöèîíàëüíî δab, è ïîýòîìó FC = FN. Âñÿêàÿ ïîäîáíàÿ ñèììåòðèÿ íàçûâàåòñÿ «ñêðûòîé». Ñëåäñòâèåì åå ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî mZ/mW âûðàæàåòñÿ ÷åðåç êàëèáðîâî÷íûå êîíñòàíòû ñâÿçè îáñóæäàâøåéñÿ â ðàçäåëå 21.3 óñïåøíîé ôîðìóëîé

mZ mW

= 1+

g′ 2 g

2

=

1 sin θ

.

(21.4.36)

Íàïðèìåð, â îòñóòñòâèå êàëèáðîâî÷íûõ êîíñòàíò ñâÿçè, ëàãðàíæèàí (21.3.28) äëÿ ñêàëÿðíîãî äóáëåòà ϕ â ïðîñòåéøåé âåðñèè SU(2) × U(1) ýëåêòðîñëàáîé òåîðèè ìîæåò áûòü çàïèñàí â âèäå

( Lϕ ) g = g ′ = 0 = − ãäå

1 2

∂µ ϕ n ∂µ ϕ n −

µ2 2

ϕ nϕ n −

λ 4

(ϕ n ϕ n ) 2 ,

ϕ1 ≡ Im ϕ + , ϕ 2 ≡ Re ϕ + , ϕ 3 ≡ Im ϕ 0 , ϕ 4 ≡ Re ϕ 0 .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

438

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

Ýòîò ëàãðàíæèàí àâòîìàòè÷åñêè èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî «ñëó÷àéíîé» SO(4) ≡ SU(2) × SU(2) ãëîáàëüíîé ãðóïïû ñèììåòðèè, êîòîðàÿ ñïîíòàííî íàðóøàåòñÿ ñðåäíèì ïî âàêóóìó îò Reϕ0 äî ïðèáëèæåííîé íåíàðóøåííîé «ñêðûòîé» SO(3) ïîäãðóïïû 29. Ðåçóëüòàò (21.4.36) îñòàåòñÿ â ñèëå è ïðè íàëè÷èè áîëåå îäíîãî ñêàëÿðíîãî äóáëåòà, ïîñêîëüêó, õîòÿ â îáùåì ñëó÷àå ìàññîâûé ÷ëåí è ÷ëåí ñ âçàèìîäåéñòâèåì â ñêàëÿðíîì ëàãðàíæèàíå íå îáëàäàþò ñêðûòîé ñèììåòðèåé, ïðè âûâîäå ñîîòíîøåíèÿ èñïîëüçóåòñÿ òîëüêî êèíåìàòè÷åñêèé ÷ëåí, êîòîðûé âñåãäà îáëàäàåò ïîëíîé SO(4) ñèììåòðèåé. Ñêðûòûå ñèììåòðèè ìîæíî îáíàðóæèòü è â äðóãèõ òåîðèÿõ. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, òåîðèþ áåç ñêàëÿðíûõ ïîëåé, íî ñ íîâûìè ñâåðõñèëüíûìè âåêòîðíûìè êàëèáðîâî÷íûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè 30, íàçûâàåìûìè òåõíèöâåòîâûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè, êîòîðûå äåéñòâóþò íà íîâûé SU(2) × U(1) äóáëåò (Ur, Dr) «òåõíèêâàðêîâ» Ur è Dr, ãäå r —èíäåêñ òåõíèöâåòà. Äî òåõ ïîð, ïîêà ëåâàÿ è ïðàâàÿ êîìïîíåíòû Ur è Dr ïðåîáðàçóþòñÿ îäèíàêîâî îòíîñèòåëüíî òåõíèöâåòîâîé êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû, ëàãðàíæèàí â ïðåäåëå îáðàùàþùèõñÿ â íóëü ýëåêòðîñëàáûõ êîíñòàíò îñòàåòñÿ èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî ãðóïïû SU(2) × SU(2) íåçàâèñèìûõ SU(2) ïðåîáðàçîâàíèé ëåâûõ è ïðàâûõ òåõíèêâàðêîâûõ äóáëåòîâ. Ñîãëàñíî ðàññóæäåíèÿì ðàçäåëà 19.9, ïîäãðóïïà SU(2)V, ñîñòîÿùàÿ èç îäíîâðåìåííûõ SU(2) ïðåîáðàçîâàíèé êàê ëåâûõ, òàê è ïðàâûõ òåõíèêâàðêîâûõ äóáëåòîâ, íå áóäåò ñïîíòàííî íàðóøåíà. Ðàçóìíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî òåõíèöâåòîâûå âçàèìîäåéñòâèÿ ïîðîæäàþò ñïîíòàííîå íàðóøåíèå SU(2) × SU(2) äî SU(2)V, òî÷íî òàê æå, êàê öâåòîâûå âçàèìîäåéñòâèÿ ïðèâîäÿò ê ñïîíòàííîìó íàðóøåíèþ êèðàëüíîé SU(2) × SU(2) ñèììåòðèè êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè (ïðè ðàâíûõ íóëþ ìàññàõ u- è d-êâàðêîâ) äî r r åå èçîñïèíîâîé ïîäãðóïïû. Ýëåêòðîñëàáûé ãåíåðàòîð T èëè x ïðåîáðàçóåòñÿ îòíîñèòåëüíî íåíàðóøåííîé SU(2)V ñèììåòðèè êàê 3-âåêòîð, ÷òî îïÿòü ïðèâîäèò ê ñîîòíîøåíèþ FC =FN è ïîñëåäóþùåìó óñïåøíîìó ïðåäñêàçàíèþ ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ìàññàìè W- è Z-áîçîíîâ. Èäåÿ òåõíèöâåòà ïðèâëåêàòåëüíà, ïîñêîëüêó îíà ïðåäëàãàåò åñòåñòâåííûé ìåõàíèçì íàðóøåíèÿ ýëåêòðîñëàáîé ñèììåòðèè íà õàðàêòåðíîì ìàñøòàáå ýíåðãèé, íàìíîãî ìåíüøåì, ÷åì ÷àñòî ïðåäëàãàåìûé ôóíäàìåíòàëüíûé ìàñøòàá â ôèçèêå, âåëè÷èíà êîòîðîãî îáû÷íî (êàê â òåîðèÿõ ñòðóí) âûáèðàåòñÿ ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ðàâíîé ïëàíêîâñêîé ìàññå èëè 1018 ÃýÂ. Åäèíñòâåííîå, ÷òî òðåáóåòñÿ ïðåäïîëîæèòü, ýòî ñóùåñòâîâàíèå â îáëàñòè ñðàçó íèæå ôóí-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.5. Îáúåäèíåíèå ýëåêòðîñëàáûõ è ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé

439

äàìåíòàëüíîãî ìàñøòàáà íåíàðóøåííîé êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû, ñîñòîÿùåé èç SU(3) × SU(2) × U(1) ãðóïïû ñèëüíûõ è ýëåêòðîñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèé, à òàêæå òåõíèöâåòîâîé êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû, ïðè÷åì ñî ñðàâíèìûìè ïî âåëè÷èíå ìàëûìè êîíñòàíòàìè ñâÿçè âñåõ âçàèìîäåéñòâèé. Åñëè òåõíèöâåòîâûå êàëèáðîâî÷íûå âçàèìîäåéñòâèÿ àñèìïòîòè÷åñêè ñâîáîäíû, òåõíèöâåòîâàÿ êîíñòàíòà ñâÿçè, òî÷íî òàê æå, êàê öâåòîâàÿ êîíñòàíòà ÊÕÄ, áóäåò ìåäëåííî ðàñòè ñ óìåíüøåíèåì ýíåðãèè è ñòàíåò ñèëüíîé ïðè ýíåðãèÿõ, ìíîãî ìåíüøèõ ôóíäàìåíòàëüíîãî ìàñøòàáà. Òà ýíåðãèÿ, ïðè êîòîðîé òåõíèöâåòîâàÿ êîíñòàíòà ñâÿçè ñòàíîâèòñÿ áîëüøîé, áóäåò óñòàíàâëèâàòü ìàñøòàá ïàðàìåòðîâ Fab, âõîäÿùèõ â ôîðìóëó (21.4.32) äëÿ ìàññ êàëèáðîâî÷íûõ áîçîíîâ, è ïîýòîìó ïðåäïîëîæèòåëüíî äîëæíà áûòü ïîðÿäêà 300 ÃýÂ. Ïîñêîëüêó ñ óìåíüøåíèåì ýíåðãèè êîíñòàíòà ðàñòåò ëîãàðèôìè÷åñêè, íåáîëüøàÿ ðàçíèöà â çíà÷åíèè áåòà-ôóíêöèé äëÿ òåõíèöâåòà è öâåòà áåç òðóäà ìîæåò ïîðîäèòü ðàçíèöó â òðè ïîðÿäêà òåõ ýíåðãåòè÷åñêèõ ìàñøòàáîâ, ïðè êîòîðûõ öâåòîâûå è òåõíèöâåòîâûå âçàèìîäåéñòâèÿ ñòàíîâÿòñÿ ñèëüíûìè. Ê ñîæàëåíèþ, õîòÿ òåõíèöâåò äàåò î÷åíü ïðèâëåêàòåëüíóþ êàðòèíó ñïîíòàííîãî íàðóøåíèÿ SU(2) × U(1), îí ñàì ïî ñåáå íå ïðåäëàãàåò ìåõàíèçìà ïðèäàíèÿ ìàññ êâàðêàì è ëåïòîíàì. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ïðåäëàãàëîñü äîáàâèòü äîïîëíèòåëüíûå êàëèáðîâî÷íûå âçàèìîäåéñòâèÿ «ðàñøèðåííîãî òåõíèöâåòà» ñ ïðåîáðàçîâàíèÿìè, ñâÿçûâàþùèìè êâàðêè è òåõíèêâàðêè 31. Ó òàêèõ òåîðèé ñóùåñòâóþò ïîòåíöèàëüíûå ïðîáëåìû ñ ìåíÿþùèìè àðîìàò íåéòðàëüíûìè òîêàìè ñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèé. Õîòÿ ýòè ïðîáëåìû ìîæíî ïðåîäîëåòü, äîïîëíèòåëüíûå óñëîæíåíèÿ ñâîäÿò íà íåò ïðèâëåêàòåëüíîñòü ìîäåëè. Âîïðîñ î òîì, ÷òî ëó÷øå — ýëåìåíòàðíûå ñëàáî ñâÿçàííûå ñêàëÿðû èëè äèíàìè÷åñêîå íàðóøåíèå ñèììåòðèè — îñòàåòñÿ îòêðûòûì. 21.5. Îáúåäèíåíèå ýëåêòðîñëàáûõ è ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé  ðàçäåëå 15.2 ìû âèäåëè, ÷òî äëÿ êàæäîé ïðîñòîé èëè U(1) ïîäãðóïïû êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû â êàëèáðîâî÷íóþ òåîðèþ âõîäèò íåçàâèñèìàÿ êîíñòàíòà ñâÿçè. Òàêèì îáðàçîì, ýëåêòðîñëàáàÿ òåîðèÿ, îñíîâàííàÿ íà êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïå SU(2) × U(1), ñîäåðæèò äâå íåçàâèñèìûå êîíñòàíòû g è g′. Äëÿ òîãî, ÷òîáû óìåíüøèòü

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

440

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

÷èñëî ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ, áûëî âûñêàçàíî ïðåäëîæåíèå 32 ïîãðóçèòü SU(2) × U(1) êàëèáðîâî÷íóþ ãðóïïó â ïðîñòóþ SU(3) êàëèáðîâî÷íóþ ãðóïïó, ÷òî äàëî áû ñîîòíîøåíèå g′ = g / 3 , îäíàêî ýòî áûëî èñêëþ÷åíî ýêñïåðèìåíòîì. Ïîñëå ðàçðàáîòêè êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè òåîðåòèêàì ïðèøëîñü èìåòü äåëî ñ êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïîé SU(3) × SU(2) × U(1), ò. å. ñ òðåìÿ íåçàâèñèìûìè êàëèáðîâî÷íûìè êîíñòàíòàìè ñâÿçè: êîíñòàíòîé gs êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè è êîíñòàíòàìè g è g′ ýëåêòðîñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèé. ×òîáû ñâåñòè ýòè êîíñòàíòû ê åäèíñòâåííîìó ñâîáîäíîìó ïàðàìåòðó, áûëî ïðåäëîæåíî ïîãðóçèòü SU(3) × SU(2) × U(1) â ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ãðóïïû Ëè *: SU(4) × SU(4) 33, SU(5) 34 èëè SO(10) 35. Ïîäîáíûå ìîäåëè ÷àñòî íàçûâàþò òåîðèÿìè áîëüøîãî îáúåäèíåíèÿ. Ê ñ÷àñòüþ, ñëåäñòâèÿ ýòèõ è áîëüøîãî êëàññà äðóãèõ ìîäåëåé äëÿ îòíîøåíèé SU(3) × SU(2) × U(1) êîíñòàíò ñâÿçè íå çàâèñÿò îò äåòàëåé îòäåëüíûõ ìîäåëåé 36. Ýòîò êëàññ ìîäåëåé õàðàêòåðèçóåòñÿ òåì, ÷òî åäèíñòâåííûìè ôåðìèîíàìè, èëè ïî êðàéíåé ìåðå, åäèíñòâåííûìè ôåðìèîíàìè, íå íåéòðàëüíûìè ïî îòíîøåíèþ ê SU(3) × SU(2) × U(1), ÿâëÿþòñÿ íàáëþäàåìûå ïîêîëåíèÿ êâàðêîâ è ëåïòîíîâ. Êàê ïîêàçàíî â ðàçäåëå 15.2, äëÿ ëþáîé ïðîñòîé êîìïàêòíîé ãðóïïû Ëè ñóùåñòâóåò ñòàíäàðòíûé âûáîð ãåíåðàòîðîâ Tα ñ ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íûìè ñòðóêòóðíûìè êîíñòàíòàìè, óäîâëåòâîðÿþùèìè â êàæäîì ïðèâîäèìîì èëè íåïðèâîäèìîì ïðåäñòàâëåíèè D óñëîâèþ íîðìèðîâêè Tr{Tα Tβ } = N Dδ αβ .

(21.5.1)

Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî âñå ëåâûå ôåðìèîíû îáðàçóþò ng ïîêîëåíèé

FG ν IJ FG ν IJ FG ν IJ H eK H µK H τK µ

e

L

τ

L

L, L

eR u d L

µR c s L

τR L, t L, b L

uR

cR

tR L ,

dR

sR

bR L .

FG IJ FG IJ FG IJ H K HK HK

* Ãðóïïà SU(4) × SU(4) ñòàíîâèòñÿ ïðîñòîé ïîñëå âêëþ÷åíèÿ îïåðàòîðà äèñêðåòíîé ñèììåòðèè, ìåíÿþùåãî ìåñòàìè äâå ãðóïïû SU(4).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.5. Îáúåäèíåíèå ýëåêòðîñëàáûõ è ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé

441

SU(3)-ãåíåðàòîð 1gsλ3 èìååò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ: +1gs äëÿ êðàñíûõ êâàðêîâûõ äóáëåòîâ è áåëûõ àíòèêâàðêîâûõ ñèíãëåòîâ; –1gs äëÿ áåëûõ êâàðêîâûõ äóáëåòîâ è êðàñíûõ àíòèêâàðêîâûõ ñèíãëåòîâ; íóëü äëÿ âñåõ îñòàëüíûõ ëåâûõ ôåðìèîíîâ. Ïîýòîìó ñëåä îò êâàäðàòà ýòîãî ãåíåðàòîðà ðàâåí

Tr

FG 1 g λ IJ H2 K s 3

2

= 4n g ×

FG 1 g IJ H2 K s

2

FG H

+ 4ng × −

1 2

gs

IJ K

2

= 2n g gs2 . (21.5.2)

SU(2)-ãåíåðàòîð t3 èìååò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ: 1g äëÿ êðàñíûõ, áåëûõ è ñèíèõ êâàðêîâ çàðÿäîì 2/3 è íåéòðèíî; –1g äëÿ êðàñíûõ, áåëûõ è ñèíèõ êâàðêîâ çàðÿäîì –1/3 è çàðÿæåííûõ ëåïòîíîâ; íóëü äëÿ âñåõ îñòàëüíûõ ôåðìèîíîâ. Ïîýòîìó ñëåä îò åãî êâàäðàòà ðàâåí 1 1 Tr(t3 )2 = (3n g + n g ) × [( g)2 + ( − g)2 ] = 2n g g2 . 2 2

(21.5.3)

Íàêîíåö, U(1)-ãåíåðàòîð y = t3 – q èìååò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ: 1g′ äëÿ íåéòðèíî è çàðÿæåííûõ ëåïòîíîâ; –g′ äëÿ çàðÿæåííûõ àíòèëåïòîíîâ; –5g′ äëÿ êâàðêîâ; Bg′ äëÿ àíòèêâàðêîâ çàðÿäîì –B; –2g′ äëÿ àíòèêâàðêîâ çàðÿäîì +2, òàê ÷òî êâàäðàò ýòîãî ãåíåðàòîðà èìååò ñëåä 1 1 2 1 Tr y2 = 2 n g ( g′)2 + n g (− g′)2 + 6n g ( − g′)2 + 3n g ( g′)2 + 3n g (− g′)2 2 6 3 3 10 n g g′ 2 . = 3 (21.5.4) Èç ñîîòíîøåíèÿ (21.5.1) âûòåêàåò, ÷òî ñëåäû (21.5.2)–(21.5.4) ðàâíû äðóã äðóãó, ïîýòîìó â äàííîì êëàññå ìîäåëåé ïîãðóæåíèå SU(3) × SU(2) × U(1) â ïðîñòóþ ãðóïïó Ëè âëå÷åò çà ñîáîé ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó êîíñòàíòàìè: gs2 = g2 =

5 3

g′ 2 .

(21.5.5)

Ñîîòíîøåíèÿ (21.5.5) íàõîäÿòñÿ â ðàçèòåëüíîì ïðîòèâîðå÷èè ñ íàáëþäàåìûìè çíà÷åíèÿìè êîíñòàíò ñâÿçè. Èç ïîëó÷åííîãî îòíîøåíèÿ g′ 2 / g2 = 3 / 5 ñëåäóåò çíà÷åíèå ýëåêòðîñëàáîãî óãëà ñìåøèâà-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

442

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

íèÿ, äëÿ êîòîðîãî sin 2 θ ≡ g′ 2 / (g2 + g′ 2 ) = 3 8 , , â òî âðåìÿ êàê ýêñïåðèìåíòàëüíîå çíà÷åíèå ðàâíî sin2θ = 0,231. Õóæå òîãî, ñèëüíàÿ êîíñòàíòà gs2, êîíå÷íî, ìíîãî áîëüøå ÷åì g2 èëè g′2. Ðåøåíèå ýòîé ïðîáëåìû 36 ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó êîíñòàíòàìè ñâÿçè òèïà (21.5.5) ïðèìåíèìû òîëüêî ê êîíñòàíòàì, èçìåðåííûì ïðè ìàñøòàáå ýíåðãèé, ñðàâíèìîì ñ òèïè÷íîé ìàññîé Ì êàëèáðîâî÷íûõ áîçîíîâ 47, êîòîðûå ñòàíîâÿòñÿ ìàññèâíûìè ïðè ñïîíòàííîì íàðóøåíèè ïðîñòîé êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû äî ãðóïïû SU(3) × SU(2) × U(1). Åñëè ýíåðãèÿ Å, ïðè êîòîðîé èçìåðåíû êîíñòàíòû ñâÿçè, ìíîãî ìåíüøå Ì, òî âîçíèêíóò áîëüøèå ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè ê çíà÷åíèÿì êîíñòàíò, ïðîïîðöèîíàëüíûå ln(M/E). Êàê ïîä÷åðêèâàëîñü â ãë. 19, â ñîîòíîøåíèå, ñâÿçûâàþùåå êîíñòàíòû ñâÿçè, èçìåðåííûå ïðè áëèçêèõ ýíåðãèÿõ µ è µ – dµ, íå âõîäÿò áîëüøèå ëîãàðèôìû, ïîýòîìó, èíòåãðèðóÿ ýòî ñîîòíîøåíèå îò Ì íà âåðõíåì ïðåäåëå äî Å íà íèæíåì, ìû ìîæåì âû÷èñëèòü êîíñòàíòû ïðè ýíåðãèÿõ Å n Ì, íå ñòàëêèâàÿñü ñ áîëüøèìè ëîãàðèôìàìè. ×òîáû ñäåëàòü ýòî, íåîáõîäèìî ëèøü, ÷òîáû êîíñòàíòû îñòàâàëèñü ìàëûìè âî âñåì ýòîì èíòåðâàëå. Äëÿ SU(3) × SU(2) × U(1) êîíñòàíò ñ ng ôåðìèîííûìè ïîêîëåíèÿìè èç ñîîòíîøåíèÿ (18.7.2) ñëåäóåò *: µ

d dµ

gs (µ) = −

gs3 (µ) 11 4π

2

F − n I, GH 3 3 JK g

(21.5.6)

* Âòîðîå ñëàãàåìîå â ñêîáêàõ â óðàâíåíèÿõ (21.5.6) è (21.5.7) îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèÿìè (18.7.2) è (18.7.3) êàê ðàâíîå –nf/6, ãäå nf — ÷èñëî ôåðìèîíîâ â ôóíäàìåíòàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè ñîîòâåòñòâóþùèõ SU(N) êàëèáðîâî÷íûõ ãðóïï. Îäíàêî ýòî áûëî âû÷èñëåíî ïðè ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ëåâûå è ïðàâûå ôåðìèîíû íàõîäÿòñÿ â îäíîì è òîì æå ïðåäñòàâëåíèè êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû. Åñëè ïîäñ÷èòàòü òîëüêî ëåâûå ôåðìèîíû (è àíòèôåðìèîíû), òî âòîðîå ñëàãàåìîå â ñêîáêàõ â (21.5.6) è (21.5.7) äîëæíî ðàâíÿòüñÿ – nf/12.  ñëó÷àå SU(3) â êàæäîì ïîêîëåíèè èìåþòñÿ äâà ëåâûõ êâàðêîâûõ è äâà ëåâûõ àíòèêâàðêîâûõ òðèïëåòà, òàê ÷òî nf = 4ng, â òî âðåìÿ, êàê â ñëó÷àå SU(2) â êàæäîì ïîêîëåíèè èìåþòñÿ òðè ëåâûõ êâàðêîâûõ äóáëåòà è îäèí ëåâûé ëåïòîííûé äóáëåò, òàê ÷òî îïÿòü nf = 4ng. Äëÿ U(1) áåòàôóíêöèÿ ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ g'/24π2 íà ñóììó êâàäðàòîâ U(1) çàðÿäîâ äëÿ ëåâûõ ôåðìèîíîâ è àíòèôåðìèîíîâ (ñð. ñ (18.2.38)), ÷òî ñîãëàñíî (21.5.4) ðàâíî (g'/24π2) × (10ngg'2/3).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.5. Îáúåäèíåíèå ýëåêòðîñëàáûõ è ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé

µ

d

g(µ) = −

dµ d

µ

g3 (µ) 11 4π

g ′ 3 (µ )

g ′(µ ) = −



F − n I, GH 6 3 JK

2

g

443

(21.5.7)

F − 5n I . GH 9 JK

(21.5.8)

F 11 − 4n I lnF M I , GH 3 3 JK GH µ JK

(21.5.9)

F 22 − 4n I lnF M I , GH 3 3 JK GH µ JK

(21.5.10)

F − 20n I lnF M I . GH 9 JK GH µ JK

(21.5.11)



2

g

Ðåøåíèÿ ýòèõ óðàâíåíèé èìåþò âèä 1 gs2 (µ) 1 g (µ) 2

=

=

1 ′2

g (µ )

1



gs2 (M) 1 2

g (M )

=



1 ′2

g (M )

1 8π

g

2

1 8π



g

2

1 8π

g

2

Êðîìå òîãî, ñîîòíîøåíèå (21.5.5) ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: 5 gs2 (M) = g2 (M) = g′ 2 (M) . (21.5.12) 3 Ïîýòîìó ìîæíî èñêëþ÷èòü êîíñòàíòû (21.5.12) è ÷èñëî ïîêîëåíèé, âû÷èòàÿ (21.5.10) èç (21.5.9), ÷òî äàåò 1 gs2 (µ)



1 g (µ ) 2

=−

11 24 π

2

ln

F MI , GH µ JK

(21.5.13)

è ïðîèçâåäåíèå 3/5 íà (21.5.11) — èç (21.5.10), ÷òî äàåò 1 g (µ ) 2



3 ′2

5g (µ)

=−

11 12 π

2

ln

F MI . GH µ JK

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(21.5.14)

444

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

Áåðÿ îòíîøåíèå ýòèõ äâóõ óðàâíåíèé, ïîëó÷àåì ôîðìóëó äëÿ sin 2 θ ≡ g′ 2 / (g2 + g′ 2 ) :

sin 2 θ =

1 6

+

5e2 (mZ ) 9gs2 (mZ )

.

(21.5.15)

 ýòîé ôîðìóëå ìû ïîëîæèëè µ ðàâíûì òèïè÷íîé ýíåðãèè ïðîöåññà, èñïîëüçîâàííîãî äëÿ èçìåðåíèÿ sin2θ, ò. å. µ d mZ. Ýòî èìååò òî ïðåèìóùåñòâî, ÷òî ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü óðàâíåíèÿ ðåíîðìãðóïïû (21.5.6)–(21.5.8) òîëüêî â îáëàñòè âûøå mZ, ãäå íà íèõ íå ñèëüíî âëèÿåò ñïîíòàííîå íàðóøåíèå SU(2) × U(1). Ñîîòíîøåíèÿ (21.5.13) è (21.5.14) ìîæíî òàêæå ñêîìáèíèðîâàòü è ïîëó÷èòü ôîðìóëó äëÿ øêàëû îáúåäèíåíèÿ Ì:

ln

F M I = 4π F1 − 8e (m ) I , GH m JK 11e GH 3g (m ) JK 2

2

2

2 s

Z

Z

(21.5.16)

Z

ãäå îïÿòü, ÷òîáû èçáåæàòü âëèÿíèÿ íàðóøåíèÿ ýëåêòðîñëàáîé ñèììåòðèè íà óðàâíåíèÿ ðåíîðìãðóïïû, ìû ïîëîæèëè µ ðàâíûì mZ.  ðàçäåëå 18.2 ìû âèäåëè, ÷òî çíà÷åíèå e(µ) ïðè µ d mZ äàåòñÿ âûðàæåíèåì e(m Z ) 2 /4π = (128,87±0,12) –1 . Ýòîò çàðÿä îïðåäåëåí ñòàíäàðòíûì îáðàçîì (ïî Ãåëë-Ìàííó è Ëîó) ÷åðåç ïîëÿðèçàöèþ âàêóóìà. Èìåÿ â âèäó ñðàâíåíèå ñ gs, g′ è g, ëó÷øå èñïîëüçîâàòü êîíñòàíòó, îïðåäåëåííóþ (êàê â ðàçäåëå 18.6) â ñõåìå ìîäèôèöèðîâàííîãî ìèíèìàëüíîãî âû÷èòàíèÿ: e(mZ) 2/4π = (127,9±0,1)–1. Ñàìàÿ áîëüøàÿ íåîïðåäåëåííîñòü â ôîðìóëàõ (21.5.13) è (21.5.14) ñîäåðæèòñÿ â çíà÷åíèè gs2(mZ). Êàê îáñóæäàëîñü â ðàçäåëå 18.7, èçâëå÷åíèå gs èç äàííûõ ïðè íèçêèõ ýíåðãèÿõ äàåò gs2(mZ)/4π = 0,118±0,006, â òî âðåìÿ êàê ïðÿìîå èçìåðåíèå èç âåðîÿòíîñòè ðàñïàäà Z0 â àäðîíû äàåò gs2(mZ)/4π = 0,120±0,0025. Åñëè âçÿòü gs2(mZ)/4π = 0,118 è e(mZ)2/4π = 1/128, òî èç óðàâíåíèé (21.5.15) è (21.5.16) ïîëó÷àþòñÿ sin2θ = 0,203 è M d 1,1 × 1015 ÃýÂ. Êàê îòìå÷àëîñü â ðàçäåëå 21.3, íåò îñíîâàíèé îæèäàòü, ÷òî áàðèîííîå è ëåïòîííîå ÷èñëà äîëæíû ñîõðàíÿòüñÿ ïîäàâëåííûìè íåïåðåíîðìèðóåìûìè ñëàãàåìûìè â ýôôåêòèâíîì ëàãðàíæèàíå, îïèñûâàþùåì ôèçèêó ïðè îáû÷íûõ ýíåðãèÿõ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.6. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü

445

Ïîýòîìó ìîæíî îæèäàòü íàëè÷èÿ ñîõðàíÿþùåãî SU(3) × SU(2) × U(1) ñèììåòðèþ ÷åòûðåõôåðìèîííîãî (òðè êâàðêà è îäèí ëåïòîí) âçàèìîäåéñòâèÿ ñ êîýôôèöèåíòîì, êîòîðûé ïî ðàçìåðíûì ñîîáðàæåíèÿì äîëæåí áûòü ïîðÿäêà 1/Ì2. Íà îñíîâàíèè ýòèõ ñîîáðàæåíèé áûëà äàíà ïåðâàÿ îöåíêà âðåìåíè æèçíè ïðîòîíà — ïîðÿäêà 1032 ëåò 36. Òàêîå íåñîõðàíÿþùåå áàðèîííîå è ëåïòîííîå ÷èñëà ÷åòûðåõôåðìèîííîå âçàèìîäåéñòâèå âîçíèêàåò â ìîäåëÿõ òèïà ðàññìîòðåííûõ â ðàáîòàõ 33–35 çà ñ÷åò îáìåíà êàëèáðîâî÷íûìè áîçîíàìè ìàññàìè ïîðÿäêà Ì. Áîëåå îáùåå óòâåðæäåíèå çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî åñëè òîëüêî ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü îáúÿñíÿåò, ïî÷åìó åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïîäàâëåíû ïðîöåññû ñ íåñîõðàíåíèåì áàðèîííîãî è ëåïòîííîãî ÷èñåë, òî èñ÷åçàþò âñÿêèå ðàçóìíûå îñíîâàíèÿ äëÿ âåðû â òî÷íîå ñîõðàíåíèå êàê áàðèîííîãî, òàê è ëåïòîííîãî ÷èñåë. Ìû âèäåëè, ÷òî ïðåäñêàçàíèå (21.5.15) äîâîëüíî áëèçêî ê èçìåðåííîìó çíà÷åíèþ 0,23 äëÿ sin2θ, îäíàêî òî÷íîñòü èçìåðåíèé è âû÷èñëåíèé äîñòàòî÷íî õîðîøà, ÷òîáû ïîíÿòü, ÷òî ýòè ÷èñëà íå íàõîäÿòñÿ â òî÷íîì ñîãëàñèè. Äëÿ óñòðàíåíèÿ ýòîãî ðàñõîæäåíèÿ â ñóïåðñèììåòðè÷íûõ òåîðèÿõ âîçíèêàþò íîâûå ÷àñòèöû 36a, ÷òî äàåò íà ïîðÿäîê áîëüøåå çíà÷åíèå Ì g 2 × 1016 Ãý 36á. Î÷åíü èíòåðåñíî, ÷òî ýòî çíà÷åíèå Ì íå ñëèøêîì îòëè÷àåòñÿ îò ýíåðãèè 1018 ÃýÂ, ïðè êîòîðîé ñèëüíûìè ñòàíîâÿòñÿ ãðàâèòàöèîííûå âçàèìîäåéñòâèÿ. Áîëüøîå çíà÷åíèå Ì âëèÿåò òàêæå íà óâåëè÷åíèå âðåìåíè æèçíè ïðîòîíà, ïðîïîðöèîíàëüíîå Ì4. 21.6. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü * Ñâåðõïðîâîäèìîñòü ñèëüíî îòëè÷àåòñÿ îò ÿâëåíèé â ìèðå ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, êîòîðûå ãëàâíûì îáðàçîì èíòåðåñóþò íàñ â ýòîé êíèãå, îäíàêî îíà âïîëíå çàñëóæèâàåò ðàññìîòðåíèÿ, ñ îäíîé ñòîðîíû, êàê ñàìûé ïåðâûé ðåàëèñòè÷åñêèé ïðèìåð ñïîíòàííî íàðóøåííîé êàëèáðîâî÷íîé ñèììåòðèè, à ñ äðóãîé — êàê èñêëþ÷èòåëüíî ÿðêèé ïðèìåð ìîùè ýôôåêòèâíûõ òåîðèé ïîëÿ è èñïîëüçîâàíèÿ â íèõ òîïîëîãè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé.

* Ýòîò ðàçäåë ëåæèò íåñêîëüêî â ñòîðîíå îò îñíîâíîé ëèíèè èçëîæåíèÿ è ìîæåò áûòü îïóùåí ïðè ïåðâîì ÷òåíèè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

446

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

Ñâåðõïðîâîäíèê — ýòî ïðîñòî âåùåñòâî, â êîòîðîì ñïîíòàííî íàðóøåíà ýëåêòðîìàãíèòíàÿ êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü *. Äëÿ îáúÿñíåíèÿ òîãî, ïî÷åìó è ïðè êàêèõ òåìïåðàòóðàõ âîçíèêàåò òàêîå íàðóøåíèå ñèììåòðèè, òðåáóþòñÿ äåòàëüíûå äèíàìè÷åñêèå òåîðèè, íî îíè íå íóæíû äëÿ îáîñíîâàíèÿ íàèáîëåå ïîðàçèòåëüíûõ ÷åðò ÿâëåíèÿ ñâåðõïðîâîäèìîñòè: âûòàëêèâàíèÿ ìàãíèòíûõ ïîëåé, êâàíòîâàíèÿ ïîòîêà, íóëåâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ è ïîÿâëåíèÿ ïåðåìåííûõ òîêîâ â ùåëè ìåæäó ñâåðõïðîâîäíèêàìè, íàõîäÿùèìèñÿ ïîä ðàçíûìè íàïðÿæåíèÿìè. Êàê ìû óâèäèì íèæå, ýòè ñëåäñòâèÿ íàðóøåííîé êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè ìîãóò áûòü âûâåäåíû â äóõå, íåñêîëüêî íàïîìèíàþùåì íàøå ðàñìîòðåíèå ìÿãêèõ ïèîíîâ, ñ îïîðîé èñêëþ÷èòåëüíî íà îáùèå ñâîéñòâà ãîëäñòîóíîâñêîé ìîäû 39. Äåéñòâèå äëÿ ëþáîé ñèñòåìû äîëæíî áûòü èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé, èìåþùèõ â åäèíèöàõ ÑÃÑ âèä A µ ( x) → A µ ( x ) + ∂ µ Λ ( x) , (21.6.1) ψ n (x) → exp iq n Λ(x) / h ψ n (x) ,

b

g

(21.6.2)

ãäå Λ(x) — ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ, à qn — ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä, óíè÷òîæàåìûé ïîëåì ψn. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âñå çàðÿäû ÿâëÿþòñÿ öåëûìè êðàòíûìè çàðÿäà ýëåêòðîíà –å, òàê ÷òî ýòà ãðóïïà êîìïàêòíà: ôàçû Λ è Λ + 2π$/e ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê òîæäåñòâåííûå. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýòà ãðóïïà ñèììåòðèè íàðóøåíà â ñâåðõïðîâîäíèêå íåíóëåâûìè ñðåäíèìè çíà÷åíèÿìè îïåðàòîðîâ, íåñóùèõ çàðÿä –2å (òàêèìè, êàê ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ïîëåé ýëåêòðîíîâ), òàê * Èñòîðè÷åñêè ñëîæèëîñü òàê, ÷òî áîëüøèíñòâî ýêñïåðòîâ ïî ñâåðõïðîâîäèìîñòè ðàññóæäàëè èíûì îáðàçîì. Áûëî èçâåñòíî, ÷òî â ïåðâûõ ôåíîìåíîëîãè÷åñêèõ òåîðèÿõ êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü íàðóøàåòñÿ, íî ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ðàññìàòðèâàëîñü ñêîðåå êàê ìåøàþùåå, à íå ïðîëèâàþùåå ñâåò íà ïðîáëåìó.  îñíîâîïîëàãàþùåé ðàáîòå Áàðäèíà, Êóïåðà è Øðèôôåðà 37, â êîòîðîé âïåðâûå áûëà ïðåäëîæåíà ìèêðîñêîïè÷åñêàÿ òåîðèÿ ñâåðõïðîâîäèìîñòè, íàðóøåííàÿ ñèììåòðèÿ íå óïîìèíàëàñü íè ðàçó. Ïîçäíåå Àíäåðñîí 38 ïîä÷åðêèâàë âàæíóþ ðîëü íàðóøåííîé ñèììåòðèè â ñâåðõïðîâîäíèêàõ, íî äàæå ñåãîäíÿ â áîëüøèíñòâå ó÷åáíèêîâ ñâåðõïðîâîäèìîñòü îáúÿñíÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïîäðîáíûõ äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé, à íàðóøåííàÿ ñèììåòðèÿ óïîìèíàåòñÿ î÷åíü ðåäêî.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.6. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü

447

÷òî èìååòñÿ íåíàðóøåííàÿ ïîäãðóïïà Z2, ñîñòîÿùàÿ èç êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñ Λ = 0 è Λ = π$/e. Ìû ââîäèì ïîëå ãîëäñòîóíîâñêîãî áîçîíà ϕ(x), çàïèñûâàÿ âñå çàðÿæåííûå ïîëÿ êàê ~ ( x) . ψ n (x) = exp iq n ϕ(x) / h ψ n

b

g

(21.6.3)

Ïîëå ϕ(x) ïàðàìåòðèçóåò ôàêòîð-ïðîñòðàíñòâî U(1)/Z2, è, òàêèì îáðàçîì, çàäàíî ñâîéñòâî êàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ (x) → ϕ (x) + Λ (x) .

(21.6.4)

Ïîñêîëüêó ϕ(x) ïàðàìåòðèçóåò U(1)/Z2, à íå U(1), ìû äîëæíû îòîæäåñòâèòü ϕ(x) è ϕ(x) + π$/e. Âñå ïîëÿ êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíû, è ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî íèì ëàãðàíæèàí ñòàíîâèòñÿ êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíûì ôóíêöèîíàëîì òîëüêî îò ïîëåé ϕ è Aµ. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèþ Ëàãðàíæà ãîëäñòîóíîâñêîãî è ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëåé ìîæíî çàïèñàòü â âèäå L=−

1 4

z

d 3 xFµν F µν + L s [ Aµ − ∂ µ ϕ ] ,

(21.6.5)

ãäå Ls — ïëîõî èçâåñòíûé ôóíêöèîíàë. Ýëåêòðè÷åñêèé òîê è ïëîòíîñòü çàðÿäà ðàâíû δL s J(x) = , (21.6.6) δA(x)

J 0 ( x) = −

δLs δA (x) 0

=−

δLs , δϕ& (x)

(21.6.7)

Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ïîëÿ ãîëäñòîóíîâñêîãî áîçîíà èìåþò âèä

∂ δLs δLs δLs , = = ∇⋅ ∂t δϕ& (x) δϕ(x) δA(x)

(21.6.8)

÷òî, ñ ó÷åòîì ôîðìóë (21.6.6) è (21.6.7), ýêâèâàëåíòíî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà ∂ 0 ∇⋅J+ J = 0. (21.6.9) ∂t На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

448

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

Ïîñìîòðèì òåïåðü, êàê ýòîò ôîðìàëèçì îáúÿñíÿåò ïðèìå÷àòåëüíûå ñâîéñòâà ñâåðõïðîâîäíèêîâ.  îòíîøåíèè Ls äîñòàòî÷íî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî â îòñóòñòâèè ãîëäñòîóíîâñêîãî èëè âíåøíèõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé ñèñòåìà ñòàáèëüíà, òàê ÷òî ýíåðãèÿ ïî êðàéíåé ìåðå èìååò ëîêàëüíûé ìèíèìóì ïðè Aµ = ∂µϕ ñ íåèñ÷åçàþùèìè âòîðûìè ïðîèçâîäíûìè ïî ðàçíîñòè Aµ – ∂µϕ. Îäíî íåìåäëåííîå ñëåäñòâèå ñîñòîèò â òîì, ÷òî â ãëóáèíå áîëüøîãî ñâåðõïðîâîäíèêà, ãäå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íåñóùåñòâåííû, ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå åñòü ÷èñòàÿ êàëèáðîâêà: Aµ = ∂ µ ϕ ,

(21.6.10)

òàê ÷òî, â ÷àñòíîñòè, ìàãíèòíîå ïîëå äîëæíî îáðàùàòüñÿ â íóëü. Ýòî ÿâëåíèå èçâåñòíî êàê ýôôåêò Ìåéñíåðà. Ìîæíî áîëåå êîëè÷åñòâåííî ïîÿñíèòü, ÷òî ìû ïîíèìàåì ïîä ñëîâàìè «â ãëóáèíå áîëüøîãî ñâåðõïðîâîäíèêà». Ïîñêîëüêó ïðè âûïîëíåíèèè ñîîòíîøåíèÿ (21.6.10) ýíåðãèÿ ìèíèìàëüíà, äëÿ ìàëûõ çíà÷åíèé |A – ∇ϕ| îíà äîëæíà áûòü ïîðÿäêà |A – ∇ϕ|2L3/λ2, ãäå λ — íåêîòîðàÿ äëèíà, çàâèñÿùàÿ îò ïðèðîäû âåùåñòâà, à L3 — îáúåì ñâåðõïðîâîäíèêà. Åñëè â ñâåðõïðîâîäíèê ïðîíèêàåò ìàãíèòíîå ïîëå ïîðÿäêà Â, ìû äîëæíû èìåòü |A – ∇ϕ| ïîðÿäêà BL, ò. å. çàòðàòà ýíåðãèè íà ïðîíèêíîâåíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ âãëóáü ñâåðõïðîâîäíèêà áóäåò ïîðÿäêà B2L5/λ2. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, çàòðàòà ýíåðãèè íà âûòåñíåíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ  èç îáúåìà L3 ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ðàâíà B2L3. Îòñþäà ñëàáîå ìàãíèòíîå ïîëå áóäåò âûòåñíåíî èç ñâåðõïðîâîäíèêà, åñëè B2L5/λ2 . B2L3 èëè, èíûìè ñëîâàìè, åñëè L . λ. Ïî ýòîé ïðè÷èíå λ íàçûâàþò ãëóáèíîé ïðîíèêíîâåíèÿ â ñâåðõïðîâîäíèê. Íà îñíîâàíèè òåõ æå ýíåðãåòè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ñâåðõïðîâîäÿùåãî âåùåñòâà ñóùåñòâóåò êðèòè÷åñêîå ìàãíèòíîå ïîëå, âûøå êîòîðîãî ñâåðõïðîâîäèìîñòü èñ÷åçàåò. Ñóùåñòâîâàíèå ñâåðõïðîâîäèìîñòè ïðè íóëåâîì ìàãíèòíîì ïîëå îçíà÷àåò, ÷òî ýíåðãèÿ â åäèíè÷íîì îáúåìå âåùåñòâà â íîðìàëüíîì ñîñòîÿíèè áîëüøå, ÷åì â ñâåðõïðîâîäÿùåì, íà íåêîòîðóþ âåëè÷èíó ∆. Êîãäà ñâåðõïðîâîäíèê ëèíåéíûìè ðàçìåðàìè, ìíîãî áîëüøèìè λ, ïîìåùàåòñÿ â ìàãíèòíîå ïîëå Â, ýòî ïîëå âûòåñíÿåòñÿ èç áîëüøåé ÷àñòè âåùåñòâà, íà ÷òî òðàòèòñÿ ýíåðãèÿ â åäèíèöå îáúåìà, ðàâíàÿ Â2/2. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âåùåñòâó ýíåðãåòè÷åñêè âûãîäíî íàõîäèòüñÿ â ñâåðõïðîâîäÿùåì ñîñòîÿíèè, åñëè è òîëüêî åñëè ìàãíèòíîå ïîëå íå ïðåâûøàåò êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.6. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü

449

Bc =

(21.6.11)

2∆ .

(Ýòî âåðíî äëÿ îäíîðîäíûõ ñâåðõïðîâîäíèêîâ. Íèæå ìû óâèäèì, ÷òî äëÿ ñâåðõïðîâîäíèêîâ îïðåäåëåííîãî òèïà âîçìîæíî ñîõðàíèòü ñâåðõïðîâîäèìîñòü ïî÷òè âî âñåì îáðàçöå ïðè ìàãíèòíûõ ïîëÿõ â êîíå÷íîì èíòåðâàëå çíà÷åíèé âûøå Âñ çà ñ÷åò îáðàçîâàíèÿ óçêèõ âèõðåâûõ íèòåé ñ íîðìàëüíûì ìåòàëëîì íà èõ êîíöàõ.) Ìàãíèòíîå ïîëå  < Âñ áóäåò ïðîíèêàòü â ñâåðõïðîâîäíèê íà ãëóáèíó λ, íå óíè÷òîæàÿ ñâåðõïðîâîäèìîñòè â òàêîì ñëîå; äåéñòâèòåëüíî, êàê ñëåäóåò èç óðàâíåíèÿ ïîëÿ ∇ × B = J, èìåííî â ýòîì ïîâåðõíîñòíîì ñëîå ñâåðõïðîâîäíèêà ìîæåò òå÷ü ýëåêòðè÷åñêèé òîê. Ðàññìîòðèì òåïåðü ñâåðíóòûé â êîëüöî òîëñòûé ñâåðõïðîâîäÿùèé ïðîâîä, òîëùèíà êîòîðîãî ìíîãî áîëüøå λ. Ìîæíî ïðîâåñòè ãëóáîêî âíóòðè ïðîâîäà çàìêíóòûé êîíòóð C, âäîëü êîòîðîãî |A – ∇ϕ| äîëæíî îáðàùàòüñÿ â íóëü. Ýòî íå îçíà÷àåò, ÷òî A èëè ϕ ðàâíû íóëþ íà ýòîì êîíòóðå, íî ìû çíàåì, ÷òî ïðè îáõîäå êîíòóðà ϕ äîëæíî âåðíóòüñÿ ê ýêâèâàëåíòíîìó çíà÷åíèþ è ïîýòîìó ìîæåò èçìåíÿòüñÿ òîëüêî íà âåëè÷èíó nπ$/e, ãäå n — ïîëîæèòåëüíîå èëè îòðèöàòåëüíîå öåëîå ÷èñëî èëè íóëü. Òîãäà èç òåîðåìû Ñòîêñà ñëåäóåò, ÷òî ìàãíèòíûé ïîòîê ñêâîçü ïîâåðõíîñòü, íàòÿíóòóþ íà êîíòóð Ñ, ïîä÷èíÿåòñÿ ïðàâèëó êâàíòîâàíèÿ ïîòîêà

z

A

B ⋅ dS =

z

C

A ⋅ dx =

z

C

∇ϕ ⋅ dx =

nπh e

.

(21.6.12)

Ýëåêòðè÷åñêèé òîê, ñîçäàþùèé ïîòîê ìàãíèòíîãî ïîëÿ (21.6.12), òå÷åò â ñëîå òîëùèíîé λ ïîä ñàìîé ïîâåðõíîñòüþ ñâåðõïðîâîäÿùåé ïðîâîëîêè. Êâàíòîâàíèå ïîòîêà ïîêàçûâàåò, ÷òî ýòîò òîê íå ìîæåò çàòóõàòü íåïðåðûâíî, à ìîæåò ìåíÿòüñÿ òîëüêî ñêà÷êàìè, ïðè êîòîðûõ ïîòîê (21.6.12) óìåíüøàåòñÿ íà öåëîå êðàòíîå π$/e, òàê ÷òî â ñâåðõïðîâîäíèêå íåò ñîïðîòèâëåíèÿ â îáû÷íîì ñìûñëå. Îòñóòñòâèå ñîïðîòèâëåíèÿ â ñâåðõïðîâîäíèêå ìîæíî ïîêàçàòü è â áîëåå îáùåì ñëó÷àå, ÷åì çàìêíóòûå êîëüöà, ðàññìàòðèâàÿ çàâèñÿùèå îò âðåìåíè ýôôåêòû. Çàìåòèì, ÷òî ôîðìóëó (21.6.7) ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê óòâåðæäåíèå , ÷òî –J0 åñòü êàíîíè÷åñêè ñîïðÿæåííàÿ ê ϕ âåëè÷èíà. Òàêèì îáðàçîì, ãàìèëüòîíèàí Hs ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèîíàë ϕ è J0, à íå ϕ è , ïðè÷åì çàâèñèìîñòü ϕ îò âðåìåíè äàåòñÿ óðàâíåíèåì Ãàìèëüòîíà

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

450

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

ϕ& (x) =

δH δ( − J 0 (x))

.

(21.6.13)

Äàëåå, «íàïðÿæåíèå» V(x) â ëþáîé òî÷êå åñòü ïðîñòî èçìåíåíèå ïëîòíîñòè ýíåðãèè, ïðèõîäÿùååñÿ íà èçìåíåíèå ïëîòíîñòè çàðÿäà â ýòîé òî÷êå, òàê ÷òî ñîîíîøåíèå (21.6.13) ïîçâîëÿåò çàïèñàòü âðåìåííóþ çàâèñèìîñòü ïîëÿ ãîëäñòîóíîâñêîãî áîçîíà â âèäå ϕ& (x) = − V (x) .

(21.6.14)

Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî êóñîê ñâåðõïðîâîäÿùåé ïðîâîëîêè, ïî êîòîðîìó èäåò ïîñòîÿííûé òîê, à ïîëÿ íå çàâèñÿò îò âðåìåíè, äîëæåí èìåòü íóëåâîå ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ ìåæäó êîíöàìè, ïîñêîëüêó â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïîëå ϕ(x) èìåëî áû çàâèñÿùèé îò âðåìåíè ãðàäèåíò. Íî íóëåâîå ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ ïðè êîíå÷íîì òîêå è åñòü òî, ÷òî ìû ïîíèìàåì ïîä íóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì. Ðàññìîòðèì òåïåðü ùåëü ìåæäó äâóìÿ êóñêàìè ñâåðõïðîâîäÿùåãî âåùåñòâà. Èç êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè ñëåäóåò, ÷òî ïðè îòñóòñòâèè ëþáûõ ãðàäèåíòîâ âäîëü ïîâåðõíîñòè ùåëè èëè ëþáîãî âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà Ls çàâèñèò òîëüêî îò ðàçíîñòè ∆ϕ ìåæäó ïîëÿìè ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ â äâóõ ñâåðõïðîâîäíèêàõ:

Lêîíòàêò = A F(∆ϕ) ,

(21.6.15)

ãäå A — ïëîùàäü ïåðåõîäà. Áîëåå òîãî, ìîæíî ñäâèíóòü ϕ â ëþáîì èç ñâåðõïðîâîäíèêîâ íà öåëîå êðàòíîå π$/e, íå ïðîèçâåäÿ íèêàêîãî ôèçè÷åñêîãî ýôôåêòà, è ïîýòîìó ôóíêöèÿ F äîëæíà áûòü ïåðèîäè÷åñêîé *: F( ∆ϕ) = F( ∆ϕ + πnh / e) .

(21.6.16)

Ñêâîçü òàêóþ ùåëü òå÷åò òîê, êîòîðûé ìîæíî âû÷èñëèòü, ðàññìàòðèâàÿ ïåðåõîä â ïðèñóòñòâèè âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà À. Èç êàëèá-

* Ýòà ôóíêöèÿ áûëà âû÷èñëåíà Äæîçåôñîíîì 40, êîòîðûé îáíàðóæèë, ÷òî îíà ïðîïîðöèîíàëüíà cos(2e∆ϕ/$), íî ýòî ïðèáëèæåííûé ðåçóëüòàò, à ñâîéñòâî ïåðèîäè÷íîñòè — òî÷íîå.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.6. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü

451

ðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè ñëåäóåò, ÷òî âìåñòî ∆ϕ ôóíêöèÿ F äîëæíà çàâèñåòü îò ∆ A ϕ = dx ⋅ (∇ϕ − A) ,

z

ïðè÷åì èíòåãðàë áåðåòñÿ ïî ëèíèè, ñîåäèíÿþùåé äâà ñâåðõïðîâîäíèêà. Òîãäà èç ôîðìóëû (21.6.6) ñëåäóåò, ÷òî ïëîòíîñòü òîêà ðàâíà J=

δL êîíòàêò δA

= − n$ F ′( ∆ A ϕ) ,

ãäå n$ — åäèíè÷íûé âåêòîð, ïåðïåíäèêóëÿðíûé ùåëè. Òåïåðü ìîæíî èçáàâèòüñÿ îò âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà è íàéòè òîê

J = −n$ F ′(∆ϕ) .

(21.6.17)

Åñëè ìû ïðåäïîëîæèì, ÷òî îáà ñâåðõïðîâîäíèêà ïîääåðæèâàþòñÿ ïðè ïîñòîÿííûõ íàïðÿæåíèÿõ, ðàçíîñòü êîòîðûõ ðàâíà ∆V, òî, ñîãëàñíî (21.6.14), ðàçíîñòü ïîëåé ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ áóäåò çàâèñåòü îò âðåìåíè: (21.6.18) ∆ϕ = − t∆V + const. Ïîäñòàâëÿÿ ýòî â ôîðìóëó (21.6.17) è âñïîìèíàÿ (21.6.16), âèäèì, ÷òî òîê îñöèëëèðóåò ñ ÷àñòîòîé

ν=

e| ∆V| πh

.

(21.6.19)

Ýòî — ýôôåêò Äæîçåôñîíà äëÿ ïåðåìåííîãî òîêà 40. Íàïðÿæåíèÿ è ÷àñòîòû ìîæíî èçìåðÿòü ñ áîëüøîé òî÷íîñòüþ, ïîýòîìó îïèñàííûé ýôôåêò äàåò ìåòîä î÷åíü òî÷íîãî èçìåðåíèÿ êîíñòàíòû e/$. Êàê îòìå÷åíî â êîíöå ðàçäåëà 19.6, îïèñàíèå ñèñòåìû ñ íàðóøåííîé ñèììåòðèåé ñ ïîìîùüþ òîëüêî ãîëäñòîóíîâñêèõ ìîä ñòàíîâèòñÿ íåàäåêâàòíûì, êîãäà ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ïðèáëèæàåòñÿ ê òî÷êå, ãäå íàðóøåííàÿ ñèììåòðèÿ ñòàíîâèòñÿ íåíàðóøåííîé. Ïðè ýòèõ îáñòîÿòåëüñòâàõ ãîëäñòîóíîâñêàÿ ìîäà ñîïðîâîæäàåòñÿ äðóãèìè ìîäàìè, èìåþùèìè ïî÷òè íóëåâóþ ÷àñòîòó â ïðåäåëå áîëüøèõ äëèí âîëí, è îáðàçóþùèìè âìåñòå ñ ãîëäñòîóíîâñêîé ìîäîé ëèíåéíîå ïðåäñòàâëåíèå (îáû÷íî íåïðèâîäèìîå) ãðóïïû ñèììåòðèè, èçâåñòíîå êàê ïàðàìåòð ïîðÿäêà. Ïðàâäîïîäîáíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

452

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

îäíîðîäíûé ñâåðõïðîâîäíèê â ìåäëåííî ìåíÿþùèõñÿ âíåøíèõ ïîëÿõ îïèñûâàåòñÿ ëîêàëüíûì ïàðàìåòðîì ïîðÿäêà, ïîñêîëüêó âñÿêàÿ íåëîêàëüíîñòü äîëæíà õàðàêòåðèçîâàòüñÿ ìèêðîñêîïè÷åñêèìè ìàñøòàáàìè äëèíû (òèïà ñðåäíåãî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ýëåêòðîíàìè), êîòîðûå ìíîãî ìåíüøå òåõ ìàñøòàáîâ ðàññòîÿíèé, íà êîòîðûõ, êàê ïðåäïîëàãàåòñÿ, èçìåíÿþòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíîå è ãîëäñòîóíîâñêîå ïîëÿ.  ñëó÷àå ñâåðõïðîâîäèìîñòè íå âîçíèêàåò íèêàêèõ ñîìíåíèé îòíîñèòåëüíî ïðèðîäû ýòîãî ïàðàìåòðà ïîðÿäêà. Åäèíñòâåííîå íåòðèâèàëüíîå íåïðèâîäèìîå ëèíåéíîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû U(1) åñòü äåéñòâèòåëüíûé 2-âåêòîð ψn, èëè, ýêâèâàëåíòíî, ãîëäñòîóíîâñêàÿ ìîäà ϕ è ïîëå ìîäóëÿ ρ, ãäå ψ 1 + iψ 2 = ρ exp 2 ieϕ / h ≡ ψ .

b

(21.6.20)

g

Êîýôôèöèåíò iϕ â ïîêàçàòåëå ýêñïîíåíòû äîëæåí ðàâíÿòüñÿ 2e/$, äëÿ òîãî ÷òîáû êàëèáðîâî÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå c Λ = π$/e (è áåç ìåíüøèõ Λ) îñòàâëÿëî áû yn èíâàðèàíòíûì. Äëÿ ïî÷òè îäíîðîäíîé íåçàâèñÿùåé îò âðåìåíè ñèñòåìû, íàõîäÿùåéñÿ áëèçêîé ê íàðóøàþùåìó ñèììåòðèþ ïåðåõîäó, ïàðàìåòð ïîðÿäêà ìàë è ìåäëåííî èçìåíÿåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå, ïîýòîìó ôóíêöèþ Ëàãðàíæà âî âíåøíåì âåêòîðíîì ïîòåíöèàëå À ìîæíî ïðèáëèæåííî çàïèñàòü â âèäå (ñ ýòîãî ìîìåíòà èñïîëüçóåì åñòåñòâåííûå åäèíèöû ñ $ = 1)

Ls ≅

XY d x LM− 1 b∇ψ Z N 2 3

n

− 2ietnm Aψ m

2

g

+

1 2

m2 ψ n ψ n −

1 4

OP Q

g(ψ n ψ n )2 , (21.6.21)

ãäå t — ýðìèòîâûé U(1) ãåíåðàòîð

t=

FG 0 − iIJ , Hi 0 K

à êîíñòàíòó g ñëåäóåò âçÿòü ïîëîæèòåëüíîé, ÷òîáû ïîëó÷èòü îãðàíè÷åííûé ãàìèëüòîíèàí. Ýòî — òåîðèÿ ñâåðõïðîâîäèìîñòè Ãèíçáóðãà–Ëàíäàó 41. Ãîðüêîâ 42 âûâåë åå èç îïèñàííîé íèæå ìèêðî-ñêîïè÷åñêîé òåîðèè ñâåðõïðîâîäèìîñòè â ñëó÷àå êîðîòêîäåéñòâóþùåãî ïîòåíöèàëà è òåìïåðàòóðû, áëèçêîé ê êðèòè÷åñêîé òåìïåðàòóðå, ïðè êîòîðîé âåùåñòâî òåðÿåò ñâåðõïðîâîäÿùèå ñâîéñòâà.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.6. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü

453

Âûðàæåíèå (21.6.21), çàïèñàííîå ÷åðåç ρ è ϕ, ïðèíèìàåò âèä

Ls ≅

XY d x LM−2e ρ b∇ϕ − Ag Z N 3

2

2 2

+

1 2

1

m 2ρ2 −

4

gρ 4 −

O ∇ρg P . b 4 Q 1

2

(21.6.22)

Òîãäà óðàâíåíèÿ ïîëÿ èìåþò âèä

∇ × B = 4e2ρ2 ∇ϕ − A ,

b

(21.6.23)

g

2

∇ 2ρ = − m 2ρ + gρ3 + 4e2ρ ∇ϕ − A .

b

g

(21.6.24)

Ñèììåòðèÿ U(1) íàðóøàåòñÿ, åñëè ýòè óðàâíåíèÿ óäîâëåòâîðÿþòñÿ ïðè ρ ≠ 0. ýòî âûïîëíåíî äëÿ îäíîðîäíîãî âåùåñòâà áåç âíåøíåãî ïîëÿ, åñëè m2 > 0, è â ýòîì ñëó÷àå ρ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå ρ = m / g . Ãëóáèíà ïðîíèêíîâåíèÿ λ áûëà ðàíåå îïðåäåëåíà êàê îáðàòíûé êâàäðàòíûé êîðåíü èç êîýôôèöèåíòà ïðè –1(∇ϕ – À)2, òàê ÷òî çäåñü

λ=

1 4e ρ 2

2

=

g 2em

.

(21.6.25)

Ýòî ðàññòîÿíèå ñîãëàñíî óðàâíåíèþ (21.6.23) õàðàêòåðèçóåò èçìåíåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èçìåíåíèÿ ìîäóëÿ ρ õàðàêòåðèçóþòñÿ øêàëîé ðàññòîÿíèé, íàçûâàåìîé êîððåëÿöèîííîé äëèíîé, êîòîðàÿ, ñîãëàñíî (21.6.24), äàåòñÿ âûðàæåíèåì *

ξ=

1 m 2

.

(21.6.26)

Êðîìå òîãî, ñâåðõïðîâîäÿùåå ñîñòîÿíèå ñ ρ = 〈ρ〉 èìååò ýíåðãèþ â åäèíèöå îáúåìà ìåíüøå, ÷åì â íîðìàëüíîì ñîñòîÿíèè ñ ρ = 0, íà âåëè÷èíó 1 1 4 m4 2 ∆ = m2 ρ − ρ = . (21.6.27) 2 4 4g * Ìíîæèòåëü âêëþ÷åí âìåñòå ñ µ, ïîòîìó ÷òî ïðè ρ = 〈ρ〉 ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè –m2ρ + gρ3 â óðàâíåíèè (21.6.24) ðàâíà 2m2.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

454

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

Èñêëþ÷àÿ ïàðàìåòðû m è g èç ôîðìóë (21.6.25)–(21.6.27), íàõîäèì âàæíîå ïðèáëèæåííîå ñîîòíîøåíèå ìåæäó íàáëþäàåìûìè âåëè÷èíàìè λ, ξ è ∆: 1 ∆≅ 2 2 2. (21.6.28) 8e λ ξ Ïîëå ìîäóëÿ ñòàíîâèòñÿ âàæíûì â äèíàìèêå ñâåðõïðîâîäÿùèõ âèõðåâûõ íèòåé. Îíè âîçíèêàþò, êîãäà ñâåðõïðîâîäíèê îïðåäåëåííîãî òèïà ïîìåùàåòñÿ â äîñòàòî÷íî ñèëüíîå ìàãíèòíîå ïîëå, òàê, ÷òîáû ñòàëî ýíåðãåòè÷åñêè âûãîäíûì ïðîíèêíîâåíèå â âåùåñòâî òðóáîê ìàãíèòíîãî ïîòîêà, íàçûâàåìûõ âèõðåâûìè íèòÿìè 43. (Óñëîâèÿ âîçíèêíîâåíèÿ âèõðåâûõ íèòåé îáñóæäàþòñÿ íèæå.) Ïðîâåäÿ çàìêíóòóþ êðèâóþ Ñ âîêðóã òðóáêè íà ðàññòîÿíèè, ìíîãî áîëüøåì ãëóáèíû ïðîíèêíîâåíèÿ, ãäå ìàãíèòíîå ïîëå îáðàùàåòñÿ â íóëü, è ïîâòîðÿÿ ðàññóæäåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ ôîðìóëîé (26.6.12), âèäèì, ÷òî ìàãíèòíûé ïîòîê ÷åðåç ïîâåðõíîñòü A, íàòÿíóòóþ íà Ñ, äîëæåí áûòü ðàâíûì èçìåíåíèþ ϕ âäîëü êðèâîé, à ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíûì öåëîìó êðàòíîìó êâàíòà ïîòîêà π/e, êàê è äëÿ ïîòîêà ÷åðåõ òîëñòîå ñâåðõïðîâîäÿùåå êîëüöî. Êîãäà ýòîò ïîòîê íå ðàâåí íóëþ, âíóòðè êàæäîé òðóáêè äîëæíà áûòü ëèíèÿ, âäîëü êîòîðîé ýëåêòðîìàãíèòíàÿ êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü íå íàðóøåíà. ×òîáû óâèäåòü ýòî, çàìåòèì, ÷òî ïðè ñòÿãèâàíèè êðèâîé Ñ â îáëàñòü áîëüøîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ óñëîâèå ∇ϕ = A ñòàíîâèòñÿ íåâåðíûì, îäíàêî èçìåíåíèå ϕ âäîëü êðèâîé äîëæíî îñòàòüñÿ öåëûì êðàòíûì π/e, è ïîýòîìó ïî ñîîáðàæåíèÿì íåïðåðûâíîñòè íå ìîæåò èçìåíèòüñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî ìû â êîíöå êîíöîâ ñòîëêíåìñÿ ñ íèòüþ (íå èñêëþ÷åíî, ÷òî êîíå÷íîé òîëùèíû), âäîëü êîòîðîé ρ îáðàùàåòñÿ â íóëü, òàê ÷òî ϕ ñòàíîâèòñÿ ïëîõî îïðåäåëåííîé âåëè÷èíîé. (Ýòî ýëåìåíòàðíûé ïðèìåð òîïîëîãè÷åñêèõ ðàññóæäåíèé, êîòîðûå ìû èñïîëüçóåì äàëåå â ãë. 23.)  îêðåñòíîñòè ýòîé íèòè êàê ρ, òàê è ϕ ñëåäóåò ïðèíèìàòü â êà÷åñòâå äèíàìè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ. Êâàíòîâàíèå ìàãíèòíîãî ïîòîêà ïîêàçûâàåò, ÷òî ñâåðõïðîâîäÿùàÿ âèõðåâàÿ íèòü ñ ìèíèìàëüíûì ïîòîêîì π/e ñòàáèëüíà. Âèõðåâûå íèòè ñ áî1ëüøèìè ïîòîêàìè íå ìîãóò ïðîñòî èñ÷åçíóòü, îäíàêî îòäåëüíî âçÿòûé çàêîí êâàíòîâàíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà íå ñïîñîáåí ïðåäîòâðàòèòü ðàçðóøåíèå ýòèõ íèòåé ñ ïðåâðàùåíèåì â íèòè ìåíüøåãî ïîòîêà. Áîãîìîëüíûé 43à ïîêàçàë, ÷òî âèõðåâûå íèòè ñ ïîòîêîì nπ/e è n > 1 íåñòàáèëüíû ïî îòíîøåíèþ ê ðàçâàëó íà n âèõðåâûõ íèòåé ñ ïîòîêîì π/e, åñëè è òîëüêî åñëè λ > ξ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.6. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü

455

Ïî ýòîé è äðóãèì ïðè÷èíàì óäîáíî ðàçäåëèòü ñâåðõïðîâîäÿùèå âåùåñòâà íà äâà êëàññà: ñâåðõïðîâîäíèêè I ðîäà (áîëüøèíñòâî ÷èñòûõ ìåòàëëîâ çà èñêëþ÷åíèåì íèîáèÿ), ó êîòîðûõ ξ > λ, è ñâåðõïðîâîäíèêè II ðîäà (íèîáèé è áîëüøèíñòâî ñïëàâîâ), ó êîòîðûõ ξ < λ. Ñîîòâåòñòâåííî, â ýëåêòðîñëàáîé ìîäåëè âîçíèêàåò ðàçëè÷èå ìåæäó òåîðèÿìè, â êîòîðûõ ìàññà ñêàëÿðà (àíàëîãè÷íàÿ 1/ξ) ìåíüøå èëè áîëüøå ìàññ W è Z (àíàëîãè 1/λ). Èç îïðåäåëåíèé êîððåëÿöèîííîé äëèíû ξ è ãëóáèíû ïðîíèêíîâåíèÿ λ ñëåäóåò, ÷òî ìîäóëÿðíûé ïàðàìåòð âîçðàñòàåò îò íóëÿ íà öåíòðàëüíîé îñè íèòè äî ðàâíîâåñíîãî çíà÷åíèÿ 〈ρ〉 íà ðàññòîÿíèè ïîðÿäêà êîððåëÿöèîííîé äëèíû ξ, â òî âðåìÿ, êàê ìàãíèòíîå ïîëå óáûâàåò äî íóëÿ íà ðàññòîÿíèè îò öåíòðàëüíîé ëèíèè ïîðÿäêà ãëóáèíû ïðîíèêíîâåíèÿ λ. Ñëåäîâàòåëüíî, â ñâåðõïðîâîäíèêå I ðîäà ñ ξ . λ âèõðåâîå ðåøåíèå áóäåò ñîñòîÿòü èç òîíêîãî âíóòðåííåãî öèëèíäðà èç ïî÷òè îáû÷íîãî ìåòàëëà, âíóòðè êîòîðîãî ìàãíèòíîå ïîëå ïàäàåò äî íóëÿ, îêðóæåííîãî çíà÷èòåëüíî áîëåå òîëñòûì âíåøíèì öèëèíäðîì, âíóòðè êîòîðîãî ìîäóëÿðíûé ïàðàìåòð âîçðàñòàåò äî ñâîåãî àñèìïòîòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ 〈ρ〉. Íàîáîðîò, âèõðåâîå ðåøåíèå â ñâåðõïðîâîäíèêàõ II ðîäà ñ λ . ξ ñîñòîèò èç òîíêîãî âíóòðåííåãî öèëèíäðà ñ ïîñòîÿííûì ìàãíèòíûì ïîëåì, âíóòðè êîòîðîãî ìîäóëÿðíûé ïàðàìåòð âîçðàñòàåò äî ñâîåãî àñèìïòîòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ 〈ρ〉, îêðóæåííîãî áîëåå òîëñòûì âíåøíèì öèëèíäðîì èç ñâåðõïðîâîäÿùåãî âåùåñòâà, â êîòîðîì ìàãíèòíîå ïîëå ïàäàåò äî íóëÿ. Âèõðåâûå ðåøåíèÿ ñóùåñòâóþò äëÿ ñâåðõïðîâîäíèêîâ îáåèõ òèïîâ è ïðè ëþáîì ìàãíèòíîì ïîëå, íî, êàê ìû ñåé÷àñ óâèäèì, âèõðåâûå íèòè îêàçûâàþòñÿ ýíåðãåòè÷åñêè âûãîäíûìè òîëüêî â ñâåðõïðîâîäíèêàõ II ðîäà è â êîíå÷íîì èíòåðâàëå çíà÷åíèé ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ïîñêîëüêó ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ êàæäîé âèõðåâîé íèòè ïîðÿäêà πξ2, è âíóòðè ýòîãî ñå÷åíèÿ âåùåñòâî íàõîäèòñÿ â íîðìàëüíîì ñîñòîÿíèè èëè âáëèçè íåãî, äîïîëíèòåëüíàÿ ýíåðãèÿ â åäèíèöå îáúåìà, íåîáõîäèìàÿ äëÿ ñîçäàíèÿ òàêèõ âèõðåâûõ íèòåé, — ïîðÿäêà N  πξ2∆, ãäå N  — ÷èñëî íèòåé íà åäèíèöó ïëîùàäè. Ïëîòíîñòü íèòåé îãðàíè÷åíà óñëîâèåì N  < 1/πξ2, ïîñêîëüêó â ïðîòèâíîì ñëó÷àå öèëèíäðû èç íîðìàëüíîãî âåùåñòâà áóäóò ïåðåêðûâàòüñÿ, è âñå âåùåñòâî ìîæíî áóäåò ðàññìàòðèâàòü êàê íàõîäÿùååñÿ â íîðìàëüíîì ñîñòîÿíèè. Ìàãíèòíîå ïîëå íóæíî âûòåñíèòü èç äîëè âåùåñòâà 1 – N πλ2, åñëè N  < 1/πλ2, è èç âñåãî âåùåñòâà, åñëè N  > 1/πλ2. Ïîýòîìó ïëîòíîñòü ýíåðãèè âèõðåâîãî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

456

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

ñîñòîÿíèÿ îòíîñèòåëüíî ñâåðõïðîâîäÿùåãî ñîñòîÿíèÿ â îòñóòñòâèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ðàâíà

WV ≈ N πξ2 ∆ +

1 2

B2 ×

RS 1 − N πλ , T 0, 2

N ≤ 1 / πλ2 , N ≥ 1 / πλ2 .

(21.6.29)

(Ìû îñòàâèëè çäåñü ÷èñëåííûå ìíîæèòåëè òèïà 1 èëè π, ÷òîáû íàïîìíèòü ÷èòàòåëþ ïðîèñõîæäåíèå ýòèõ âûðàæåíèé, îäíàêî íå ñëåäóåò âîñïðèíèìàòü èõ áóêâàëüíî.) Äëÿ ñðàâíåíèÿ, ïëîòíîñòü ýíåðãèè íîðìàëüíîãî ìåòàëëà ïðåâûøàåò ïëîòíîñòü ýíåðãèè ñâåðõïðîâîäÿùåãî ñîñòîÿíèÿ íà âåëè÷èíó WN = +∆, à ïëîòíîñòü ýíåðãèè, òðåáóåìàÿ íà òî, ÷òîáû âûòåñíèòü âñå ìàãíèòíûå ïîëÿ èç ñâåðõïðîâîäíèêà, ðàâíà WS = B2/2. Ïðîâåðÿÿ, êàêàÿ èç âåëè÷èí WS, WN èëè WV íàèìåíüøàÿ, ìû ìîæåì ðåøèòü, êàêîå ñîñòîÿíèå ïðèñóòñòâóåò â äàííîì ìàãíèòíîì ïîëå.  ñâåðõïðîâîäíèêàõ I ðîäà ñëåäóåò ðàçëè÷àòü ñëó÷àè, êîãäà ìàãíèòíûå ïîëÿ ìåíüøå èëè áîëüøå êðèòè÷åñêîãî ïîëÿ Bc ≡ 2∆ . Âñïîìèíàÿ, ÷òî N  < 1/πξ2, è ξ > l, èìååì N  < 1/πλ2. Òàê êàê ïðè B < Bc èç ôîðìóëû (21.6.29) ñëåäóåò, ÷òî ïëîòíîñòü ýíåðãèè WV > 1 B2 + N π(ξ 2 − λ2 )∆ > WS , âèõðåâûõ íèòåé ìîæåò è íå áûòü. Êðîìå òîãî, ïðè òàêèõ ïîëÿõ WN > WS, òàê ÷òî âåùåñòâî ñâåðõïðîâîäÿùåå. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðè B > Bc èç (21.6.29) ñëåäóåò, ÷òî WV > ∆[1 + N π(ξ 2 − λ2 )] > WN , ò. å. âèõðåâûå íèòè îïÿòü îòñóòñòâóþò. Êðîìå òîãî, ïðè òàêèõ ïîëÿõ WS > WN, ò. å. âåùåñòâî íàõîäèòñÿ â íîðìàëüíîì ñîñòîÿíèè.  ñâåðõïðîâîäíèêàõ II ðîäà ñëåäóåò ðàçëè÷àòü òðè îáëàñòè çíà÷åíèé ìàãíèòíûõ ïîëåé: B < Bc1, Bc1 < B < Bc2, B > Bc2, ãäå Âñ1 è Âc2 — äâà êðèòè÷åñêèõ ïîëÿ ïîðÿäêà Bc1 ≈ 2∆ ξ / λ , Bc2 ≈ 2∆ λ / ξ .

Êàê ìû âèäåëè, åäèíñòâåííûå ñòàáèëüíûå âèõðåâûå íèòè â ñâåðõïðîâîäíèêàõ II ðîäà — ýòî íèòè ñ ìèíèìàëüíûì ïîòîêîì * π/e, òàê ÷òî â ìàãíèòíîì ïîëå  íóæíî ïîëîæèòü ÷èñëî N  âèõðåâûõ íèòåé * Äàííûé âûøå âûâîä êâàíòîâàíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà äëÿ èçîëèðîâàííîé âèõðåâîé íèòè çäåñü ïðèìåíèì íå ïîëíîñòüþ. Êàê ìû óâèäèì, ðàññòîÿíèå ìåæäó âèõðåâûìè íèòÿìè ïðè B > Bc1 ìåíüøå, ÷åì ãëóáèíà ïðîíèêíîâåíèÿ λ, ïîýòîìó íåâîçìîæíî íàéòè êîíòóð C, íà êîòîðîì A – ∇ϕ = 0,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.6. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü

457

íà åäèíèöó ïëîùàäè â ôîðìóëå (21.6.29) ðàâíûì eB/π. Ïðè B < Bc1 ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ (21.6.8) ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî eB/π < 1/πλ2. Ïîýòîìó êîýôôèöèåíò ïðè ïëîòíîñòè íèòåé N  â (21.6.29) åñòü ïîëîæèòåëüíàÿ âåëè÷èíà πξ 2 ∆ − 1B2 λ2 , òàê ÷òî â ýòîì ñëó÷àå WV > WS è ïðè  < Bc1 âèõðåâûõ íèòåé íåò. Êðîìå òîãî, ïðè òàêèõ ïîëÿõ WN > WS , ò. å. âåùåñòâî ïîëíîñòüþ ñâåðõïðîâîäÿùåå. Ïðè  > Bc1 èç (21.6.28) ñëåäóåò, ÷òî ïëîòíîñòü íèòåé N  = eB/π áîëüøå, ÷åì 1/πλ2, òàê ÷òî â âèõðåâîì ñîñòîÿíèè ìàãíèòíîå ïîëå ïîëíîñòüþ ïðîíèêàåò â ñâåðõïðîâîäíèê, è ïëîòíîñòü ýíåðãèè äàåòñÿ âûðàæåíèÿìè (21.6.29) è (21.6.28): WV ≈ N πξ 2 ∆ = eBξ 2 ∆ ≈ ( B / Bc2 ) WN ≈ ( Bc1 / B) WS .

Îòñþäà, ïðè Bc1 < B < Bc2 èìååì WV < WN è WV < WS, òàê ÷òî âåùåñòâî íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè âèõðåâûõ íèòåé. Ïðè B > Bc2 âñå åùå WV < WS, íî òåïåðü WN < WV, òàê ÷òî âèõðåâûå íèòè èñ÷åçàþò, è âñÿ ñâåðõïðîâîäèìîñòü óíè÷òîæàåòñÿ. Ñïîñîáíîñòü ñâåðõïðîâîäíèêîâ II ðîäà ñ λ . ξ óäåðæèâàòü íàìíîãî áîëåå ñèëüíûå ìàãíèòíûå ïîëÿ, ÷åì êðèòè÷åñêîå ïîëå Bc ≈ ∆ , î÷åíü âàæíà äëÿ òåõíè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé ñâåðõïðîâîäèìîñòè, â ÷àñòíîñòè, äëÿ ðàçðàáîòêè ìàãíèòîâ óñêîðèòåëåé íà âûñîêèå ýíåðãèè. Òåîðèÿ Ãèíçáóðãà–Ëàíäàó ïðèìåíèìà òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäà âåùåñòâî íàõîäèòñÿ âáëèçè ïåðåõîäà ìåæäó íîðìàëüíûì è ñâåðõïðîâîäÿùèì ñîñòîÿíèÿìè, ïîýòîìó ïðèìåíèì åå äëÿ îáëàñòè â îêðåñòíîñòè öåíòðà âèõðåâîé íèòè, ãäå ρ ïàäàåò äî íóëÿ. Âáëèçè öåíòðà íèòè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü åå êðèâèçíîé è ïðåäïîëîæèòü íàëè÷èå öèëèíäðè÷åñêîé ñèììåòðèè. Âûáèðàåì ïîëå A – ∇ϕ òàê, ÷òîáû îòëè÷íîé îò íóëÿ áûëà òîëüêî àçèìóòàëüíàÿ êîìïîíåíòà: ïðîñòî ïðîâåäÿ îêðóæíîñòü âîêðóã âèõðåâîé íèòè íà ðàññòîÿíèè, ìíîãî áîëüøåì λ. Âìåñòî ýòîãî íåîáõîäèìî îáðàòèòüñÿ ê ñîîáðàæåíèÿì íåïðåðûâíîñòè (Ì. Òèíêõýì, ÷àñòíîå ñîîáùåíèå). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû ïðîâåëè ïðîèçâîëüíóþ íåïðåðûâíóþ êðèâóþ ìåæäó öåíòðàìè ëþáûõ äâóõ âèõðåâûõ íèòåé. Êàê ïîêàçàíî íèæå, íà ýòîé êðèâîé âåêòîð A – ∇ϕ î÷åíü áîëüøîé âáëèçè êàæäîé èç íèòåé, íî íàïðàâëåí â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû íà êîíöàõ êðèâîé. Ïîýòîìó åñòü ïî êðàéíåé ìåðå îäíà òî÷êà íà êàæäîé òàêîé êðèâîé, â êîòîðîé A – ∇ϕ = 0. Ïîñêîëü-êó A – ∇ϕ êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíà, îíà äîëæíà áûòü íåïðåðûâíîé, ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò çàìêíóòûé êîíòóð âîêðóã êàæäîé âèõðåâîé íèòè, íà êîòîðîì A – ∇ϕ = 0.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

458

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

bA − ∇ϕg

θ

= A( r),

(21.6.30)

ïîýòîìó ìàãíèòíîå ïîëå áóäåò èìåòü òîëüêî z-êîìïîíåíòó Bz = ∇ × A − ∇ϕ

c b

gh

z

= A ′ ( r ) + A( r ) / r ,

(21.3.31)

à ρ áóäåò ôóíêöèåé òîëüêî îò r. Òàêèì îáðàçîì, ñòðóêòóðà âèõðåâîé íèòè îïðåäåëÿåòñÿ ïàðîé çàöåïëÿþùèõñÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ρ2 ( r) A( r) A ′′( r) + r −1A ′( r) − r −2 A( r) = , (21.3.32) 2 λ2 ρ

ρ′′( r) + r −1ρ′( r) +



F ρ(r) − ρ (r) I = 4e ρ(r)A (r) . GH J ρ K 3

1

2

2

2

2

(21.6.33)

Åñëè r ìàëî ïî ñðàâíåíèþ êàê ñ êîððåëÿöèîííîé äëèíîé ξ, òàê è ñ ãëóáèíîé ïðîíèêíîâåíèÿ λ, ìîæíî ïðåíåáðå÷ü òåìè ñëàãàåìûìè â óðàâíåíèÿõ (21.6.32) è (21.6.33), êîòîðûå ïðîïîðöèîíàëüíû 1/ξ2 è 1/λ2, è ïîëó÷èòü óïðîùåííûå óðàâíåíèÿ A ′′ + A ′ / r − A / r 2 = 0 ,

(21.6.34)

ρ′′ + ρ′ / r = 4e2 A 2ρ .

(21.6.35)

Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (21.6.34) èìååò âèä A( r) =

Br 2

+

C 2er

,

(21.6.36)

ãäå  — êîíñòàíòà, êîòîðàÿ, ñîãëàñíî ôîðìóëå (21.6.31), ðàâíà ìàãíèòíîìó ïîëþ âäîëü âèõðåâîé íèòè, à Ñ — äåéñòâèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, êîòîðàÿ ïîêà ÷òî ïðîèçâîëüíà. Ïîäñòàíîâêà ðåøåíèÿ äëÿ À â (21.6.35) ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè r → 0 ðåøåíèå äëÿ ρ åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ r|C| è r–|C|. Ïàðàìåòð ïîðÿäêà ρexp(2ieφ) äîëæåí áûòü ãëàäêîé ôóíêöèåé êîîðäèíàò, ïîýòîìó ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî |C| åñòü öåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî l, è ïðè r → 0 ρ ∝ r l è ϕ = ±lφ/2e + const. Çàìåòèì, ÷òî ýòî ðåøåíèå äëÿ ϕ ñîãëàñóåòñÿ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.6. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü

459

ñ ðåøåíèåì (21.6.36) ïðè Ñ = ±l; àçèìóòàëüíàÿ êîìïîíåíòà ∇ϕ ñòðåìèòñÿ ê çíà÷åíèþ ±l/2er, â òî âðåìÿ êàê àíàëèòè÷íîñòü òðåáóåò, ÷òîáû àçèìóòàëüíàÿ êîìïîíåíòà À îáðàùàëàñü â íóëü ïðè r → 0. Ñ ïîìîùüþ íåñèíãóëÿðíîãî êàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ìîæíî ñäåëàòü òàê, ÷òîáû âåçäå ϕ = ±lφ/2e, è, ïî òåì æå ñîîáðàæåíèÿì, ÷òî è ïðè âûâîäå ôîðìóëû (21.6.12), ìàãíèòíûé ïîòîê, êîòîðûé íåñåò îòäåëüíàÿ âèõðåâàÿ íèòü â ñâåðõïðîâîäíèêå, ðàçìåðû êîòîðîãî ìíîãî áîëüøå ãëóáèíû ïðîíèêíîâåíèÿ, ðàâåí ±πl/ e. Ìû âèäèì íå òîëüêî òî, ÷òî, êàê è îæèäàëîñü, ïàðàìåòð ïîðÿäêà îáðàùàåòñÿ â íóëü â öåíòðå âèõðåâîé íèòè, íî óñòàíàâëèâàåì, ÷òî îí ñòðåìèòñÿ ê íóëþ êàê ñòåïåíü r, ãäå ïîêàçàòåëü ñòåïåíè ðàâåí âåëè÷èíå ìàãíèòíîãî ïîòîêà â åäèíèöàõ π/e. Ýòî ðåøåíèå äëÿ ϕ ïîä÷èíÿåòñÿ óñëîâèþ «êâàíòîâàíèÿ», ÷òî ϕ(2π) – ϕ(0) åñòü öåëîå êðàòíîå π/e, îòêóäà âûòåêàåò êâàíòîâàíèå ìàãíèòíîãî ïîòîêà.  òåîðèè ñ ãîëäñòîóíîâñêèì áîçîííûì è ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëÿìè, îñíîâàííîé íà ëàãðàíæèàíå (21.6.5), ýòî óñëîâèå íà ϕ äîëæíî áûëî «ðóêàìè» íàëàãàòüñÿ íà ðåøåíèå óðàâíåíèé ïîëÿ, â òî âðåìÿ, êàê óðàâíåíèÿ Ãèíçáóðãà–Ëàíäàó «çíàþò» îá ýòîì óñëîâèè, ïîñêîëüêó îíè îñíîâàíû íà ñîîòâåòñòâóþùåì âûáîðå ïàðàìåòðà ïîðÿäêà. * * * Õîòÿ íàèáîëåå ñóùåñòâåííûå ñâîéñòâà ñâåðõïðîâîäíèêîâ ìîæíî âûâåñòè íåïîñðåäñòâåííî èç ïðåäïîëîæåíèÿ î ñïîíòàííîì íàðóøåíèè ýëåêòðîìàãíèòíîé êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè, äëÿ ïîíèìàíèÿ òîãî, êàê è êîãäà ýòî ïðîèñõîäèò, íåîáõîäèìà ìèêðîñêîïè÷åñêàÿ òåîðèÿ ñâåðõïðîâîäèìîñòè. Ñ ïîìîùüþ ìåòîäîâ ïîäñ÷åòà ñòåïåíåé, ïîõîæèõ íà èñïîëüçîâàííûå â ðàçäåëàõ 19.5 è 21.4, âûâîä ìèêðîñêîïè÷åñêîé òåîðèè ñâåðõïðîâîäèìîñòè Áàðäèíà, Êóïåðà è Øðèôôåðà 37 áûë ïåðåôîðìóëèðîâàí 44,44à íà ÿçûêå ýôôåêòèâíîé òåîðèè ïîëÿ. Äëÿ ýòîãî ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû ïðîèíòåãðèðîâàëè ïî âñåì ñòåïåíÿì ñâîáîäû, ñâÿçàííûìè ñ èîíàìè â ñâåðõïðîâîäíèêå *, è îñòàâèëè òîëüêî ýôôåêòèâíîå âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ýëåêòðîíàìè. Äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî òåìïåðàòóðà * Ñòðîãî ãîâîðÿ, íåâîçìîæíî ïðîèçâåñòè èíòåãðèðîâàíèå ïî âñåì ñòåïåíÿì ñâîáîäû, êðîìå ýëåêòðîííûõ, ïîñêîëüêó ôîíîí — ýòî ãîëäñòîóíîâñêèé áîçîí, ÷àñòîòà êîòîðîãî îáðàùàåòñÿ â íóëü äëÿ î÷åíü áîëüøèõ äëèí

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

460

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

ðàâíà íóëþ, è ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî íåò âíåøíåãî ïîëÿ, òàê ÷òî ëàãðàíæèàí èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî òðàíñëÿöèé è îïåðàöèè îáðàùåíèÿ âðåìåíè Ò. Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî ñèëû íå çàâèñÿò îò ñïèíîâ, òàê ÷òî ëàãðàíæèàí èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî SU(2) ïðåîáðàçîâàíèé, äåéñòâóþùèõ òîëüêî íà ñïèíîâûå èíäåêñû, îäíàêî íàì íå ïîòðåáóåòñÿ ïðåäïîëîæåíèå îá èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé, äåéñòâóþùèõ íà èìïóëüñû. Òîãäà ýëåêòðîíû õàðàêòåðèçóþòñÿ èìïóëüñîì ð è ñïèíîâûì èíäåêñîì s = ±1 è îïèñûâàþòñÿ îïåðàòîðàìè óíè÷òîæåíèÿ è ðîæäåíèÿ a(p,s,t) è a†(p,s,t) ñ ëàãðàíæèàíîì âèäà

L = −∑ s

+

XY d p a (p, s, t)LM− i ∂ + E(p)OP a(p, s, t) Z N ∂t Q 3



†

z

d 3p1d 3p2d 3p3d 3p4 Vs1s2s3s4 (p1 , p2 , p3 , p4 )

s1s2s3s4 a † (p1 , s1 , t)a † (p2 , s2 , t)a(p3 , s3 , t)a(p4 , s4 , t)δ 3 (p1

× + . . .,

+ p2 − p3 − p4 ) (21.6.37)

ãäå ìíîãîòî÷èå îçíà÷àåò ñëàãàåìûå ñ øåñòüþ è áîëåå îïåðàòîðàìè ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ, à E(p) — ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà çà âû÷åòîì õèìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà. Äëÿ ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ E(p) = p2/2me – EF, ãäå EF — ýíåðãèÿ ýëåêòðîíîâ íà ïîâåðõíîñòè Ôåðìè. Âçàèìîäåéñòâèÿ áóäó íåèçáåæíî èçìåíÿòü ýòó ôóíêöèþ, íî åñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïîñêîëüêó äëÿ ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ E(p) îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè èìïóëüñàõ p, ëåæàùèõ íà ñôåðå | p| = 2me EF , òî â ïðèñóòñòâèè âçàèìîäåéñòâèé ýòà ôóíêöèÿ âñå æå áóäåò îáðàùàòñÿ â íóëü íà íåêîòîðîé çàìêíóòîé ôåðìè-ïîâåðõíîñòè S: E(p) = 0 äëÿ p, ëåæàùèõ íà S.

(21.6.38)

Ïî ïðè÷èíàì, êîòîðûå ñòàíóò ÿñíûìè, ìû ïðîèíòåãðèðóåì ïî âñåì ýëåêòðîíàì, êðîìå òåõ, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ â òîíêîé îáîâîëí, íàïîäîáèå áåçìàññîâîé ÷àñòèöû â ðåëÿòèâèñòñêèõ òåîðèÿõ. Îäíàêî òå ýôôåêòû ôîíîííûõ âçàèìîäåéñòâèé, êîòîðûå íå ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû êàê ýôôåêòèâíûå ýëåêòðîí-ýëåêòðîííûå âçàèìîäåéñòâèÿ, ïîäàâëåíû ìíîæèòåëÿìè ñ îáðàòíûìè ñòåïåíÿìè ìàññ èîíîâ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.6. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü

461

ëî÷êå òîëùèíîé κ âîêðóã ïîâåðõíîñòè Ôåðìè *. (Íèæå íàì óäàñòñÿ èçáàâèòüñÿ îò îáðåçàíèÿ κ ïóòåì ââåäåíèÿ ïåðåíîðìèðîâàííîãî ýëåêòðîí-ýëåêòðîííîãî ïîòåíöèàëà.) Îñòàâøèåñÿ ñòåïåíè ñâîáîäû — ýòî ýëåêòðîíû ñ èìïóëüñàìè âèäà

p = k + n$ (k) l ,

(21.6.39)

ãäå k íàõîäèòñÿ íà ïîâåðõíîñòè Ôåðìè S, n$ (k) — åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè â òî÷êå k, à 0 ≤ l ≤ κ. Äëÿ òàêèõ èìïóëüñîâ

E(p) = vF (k) l ,

(21.6.40)

ãäå v F (k) ≡ n$ (k) ⋅ ∇ pE(p)

d

i

p= k

.

(21.6.41)

Ýëåêòðîííûé ïðîïàãàòîð â ïðîñòðàíñòâå âîëíîâûõ ÷èñåë è ÷àñòîò èìååò òîãäà âèä 1 . (21.6.42) ω − v F (k) l + iε Ðàññìîòðèì òåïåðü, êàê çàâèñèò îò ìàñøòàáà κ ïðîèçâîëüíûé ñâÿçíûé ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ïðè κ → 0. Äëÿ êàæäîé ïåòëè èìååòñÿ èíòåãðàë ïî ÷àñòîòàì è ïðîïàãàòîð äëÿ êàæäîé âíóòðåííåé ëèíèè, òàê ÷òî èíòåãðàë îò ïðîèçâåäåíèÿ ïðîïàãàòîðîâ ïî âñåì ÷àñòîòàì áóäåò çàâèñåòü îò l êàê lL–I, ãäå L — ÷èñëî ïåòåëü, à I — ÷èñëî âíóòðåííèõ ëèíèé. ×òîáû ïîäñ÷èòàòü ÷èñëî èíòåãðàëîâ ïî l, âàæíî çàìåòèòü, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ èìïóëüñîâ äåëüòà-ôóíêöèÿ â ñëàãàåìîì ñ âçàèìîäåéñòâèåì â (21.6.37) îãðàíè÷èâàåò íå çíà÷åíèÿ l, à çíà÷åíèÿ k. (Íàïðèìåð, åñëè ñîõðàíåíèå èìïóëüñà îãðàíè÷èâàåò èìïóëüñû ð1 è ð2 äâóõ ýëåêòðîííûõ ëèíèé òåì, ÷òî ïîëíûé èìïóëüñ P ≠ 0, òî èíòåãðàë ïî ð1 áåðåòñÿ ïî ïåðåñå÷åíèþ äâóõ çàìêíóòûõ îáîëî÷åê òîëùèíîé κ, îäíà èç êîòîðûõ èìååò öåíòðîì *  ñëó÷àå ñèë, êîòîðûå çàâèñÿò îò ñïèíîâ, èìåþòñÿ äâå ôåðìè-ïîâåðõíîñòè, ïî îäíîé íà êàæäîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû Es′s(p), è ìû èíòåãðèðóåì ïî âñåì ýëåêòðîíàì â êàæäîì ñïèíîâîì ñîáñòâåííîì ñîñòîÿíèè, çà èñêëþ÷åíèåì òåõ, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ â òîíêîé îáîëî÷êå âîêðóã ñîîòâåòñòâóþùåé ïîâåðõíîñòè Ôåðìè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

462

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

Ð, à äðóãàÿ — íóëü. Ïåðåñå÷åíèå ýòèõ îáîëî÷åê åñòü çàìêíóòîå êîëüöî òîëùèíîé κ, òàê ÷òî íóæíî èíòåãðèðîâàòü ïî îäíîé êîìïîíåíòå k, çàäàþùåé ïîëîæåíèå âäîëü êîëüöà, è äâóì l, çàäàþùèì ïîëîæåíèå âíóòðè ñå÷åíèÿ êîëüöà.) Ñëåäîâàòåëüíî, èìååòñÿ I èíòåãðàëîâ ïî l, è òàê êàê ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå âåäåò ñåáÿ êàê lL–I, ìàòðè÷íûé ýëåìåíò áóäåò èçìåíÿòüñÿ êàê M ∝ κL.

(21.6.43)

×èñëî ïåòåëü ñâÿçàíî ñ ÷èñëîì âíóòðåííèõ ëèíèé è ÷èñëîì Vi âåðøèí òèïà i çíàêîìûì ñîîòíîøåíèåì

L = I − ∑ Vi + 1.

(21.6.44)

i

Êðîìå òîãî, ÷èñëî âíóòðåííèõ ëèíèé ñâÿçàíî ñ ÷èñëîì âåðøèí è ÷èñëîì âíåøíèõ ëèíèé Å äðóãèì çíàêîìûì ñîîòíîøåíèåì

2I + E =

∑ n i Vi ,

(21.6.45)

i

ãäå ni — ÷èñëî ýëåêòðîííûõ îïåðàòîðîâ âî âçàèìîäåéñòâèè òèïà i. Èñêëþ÷àÿ I èç ñîîòíîøåíèé (21.6.44) è (21.6.45), ïîëó÷àåì

L = 1−

E 2

+

1 2

∑ Vi ( n i

− 2) .

(21.6.46)

i

Ñëàãàåìûå â äåéñòâèè ñ ni = 2 ïðèâîäÿò òîëüêî ê èçìåíåíèþ ôóíêöèè E(p), è ñëåäîâàòåëüíî, ê ñäâèãó ïîâåðõíîñòè Ôåðìè. Èñòèííûå âçàèìîäåéñòâèÿ èìåþò ni > 2, è èç ñîîòíîøåíèé (21.6.43) è (21.6.46) ñëåäóåò, ÷òî îíè ïðèâîäÿò ê ñëàãàåìûì â ìàòðè÷íîì ýëåìåíòå, äàþùèì ïðåíåáðåæèìî ìàëûå âêëàäû ïðè κ → 0. Íà ÿçûêå ðàçäåëà 18.5, ýòî îçíà÷àëî áû, ÷òî âñå âçàèìîäåéñòâèÿ ÿâëÿþòñÿ íåñóùåñòâåííûìè îïåðàòîðàìè. Âîò ïî÷åìó ýëåêòðîíû âáëèçè ïîâåðõíîñòè Ôåðìè â íîðìàëüíûõ ìåòàëëàõ âåäóò ñåáÿ âî ìíîãîì êàê ñâîáîäíûå ÷àñòèöû. Îäíàêî, åñòü îäíî èñêëþ÷åíèå èç ýòîãî âûâîäà. Åñëè ïàðà ýëåêòðîííûõ ëèíèé ïåðåõîäèò â âàêóóì, òî òðàíñëÿöèîííàÿ èíâàðèàíòíîñòü òðåáóåò, ÷òîáû èìïóëüñû ýòèõ ëèíèé áûëè ðàâíû

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.6. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü

463

ïî âåëè÷èíå è ïðîòèâîïîëîæíû ïî íàïðàâëåíèþ. Òàêèì îáðàçîì, åñëè îäèí èìïóëüñ íàõîäèòñÿ âáëèçè ïîâåðõíîñòè Ôåðìè, ýòî æå îòíîñèòñÿ è êî âòîðîìó. (Èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî îáðàùåíèÿ âðåìåíè òðåáóåò, ÷òîáû E(p) áûëî ÷åòíîé ôóíêöèåé ð, òàê ÷òî, äàæå åñëè ïîâåðõíîñòü Ôåðìè â îáùåì ñëó÷àå íåñôåðè÷åñêàÿ, èç Å(ð) =0 ñëåäóåò, ÷òî Å(–ð) =0.) Ñëåäîâàòåëüíî, èíòåãðàë ïî èìïóëüñó ð îäíîé èç ýòèõ ëèíèé áåðåòñÿ ïî îáîëî÷êå òîëùèíîé κ, èëè, èíûìè ñëîâàìè, ïî äâóì κ è îäíîìó l. Äëÿ êàæäîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, âêëþ÷àþùåãî äâå òàêèå ëèíèè, èìååòñÿ íå äâà, à îäíî èíòåãðèðîâàíèå ïî l, òàê ÷òî âìåñòî óìåíüøåíèÿ ïîðÿäêà âåëè÷èíû ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà íà ìíîæèòåëü κ, êàê ýòî óêàçàíî â (21.6.43) è (21.6.46), ïîäîáíîå âçàèìîäåéñòâèå íå îêàçûâàåò íà ïîðÿäîê âåëè÷èíû ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà íèêàêîãî âëèÿíèÿ. èíûìè ñëîâàìè, âçàèìîäåéñòâèÿ, âêëþ÷àþùèå ÷åòûðå ýëåêòðîííûõ îïåðàòîðà è äåéñòâóþùèå ìåæäó ýëåêòðîííûìè ëèíèÿìè, ïåðåõîäÿùèìè â êîíöå êîíöîâ â âàêóóì, ñòàíîâÿòñÿ íå íåñóùåñòâåííûìè, à ìàðãèíàëüíûìè. ×òîáû óâèäåòü ñëåäñòâèÿ èç ýòîãî èñêëþ÷åíèÿ, óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðèåìîì, èçâåñòíûì êàê ïðåîáðàçîâàíèå Õàááàðäà– Ñòðàòîíîâè÷à 45, êîòîðîå êðàòêî óïîìèíàëîñü â ðàçäåëå 1.7. Òåïåðü ìû ñîáèðàåìñÿ âêëþ÷èòü ìåäëåííî ìåíÿþùèåñÿ âíåøíèå ýëåêòðîìàãíèòíûå ïîëÿ, òàê ÷òî áóäåò óäîáíî ðàáîòàòü â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè. Èç êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà (21.6.37) ïðèìåò âèä L = −∑ s

+ ×

ãäå

XY d xψ (x, t)LM− i ∂ − A (x, t) + Eb− i∇ + A(x, t)gOPψ (x, t) Z N ∂t Q 3



z

† s

0

s

d 3x1d 3 x2d 3 x3d 3x4 Vs1s2s3s4 (x1 , x 2 , x 3 , x 4 )

s1s2s3s4 ψ †s (x1 , t) ψ †s (x 2 , t) ψ s3 (x 3 , t) ψ s4 (x 4 , t) , 1 2

ψ s (x, t) ≡ (2π) −3/2 d 3p exp( ip ⋅ x) a(p, s, t) .

z

(21.6.47)

(21.6.48)

Îòáðîñèì òåïåðü ñëàãàåìûå ñ áîëåå ÷åì ÷åòûðüìÿ ýëåêòðîííûìè îïåðàòîðàìè, ïîñêîëüêó âñå ýòè ñëàãàåìûå íåñóùåñòâåííû. Äîáàâèì ê ýòîé ôóíêöèè Ëàãðàíæà ñëàãàåìîå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

464

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

∆L =

1

z

4

d 3x1d 3x2d 3x3d 3x4

∑ s1s2s3s4

Vs1s2s3s4 (x1 , x2 , x3 , x 4 )

× Ψs† s (x2 , x1 , t) − ψ †s (x1 , t) ψ †s (x2 , t) 2 1

1

(21.6.49)

2

× Ψs3s4 (x3 , x 4 , t) − ψ s3 (x3 , t) ψ s4 (x 4 , t) è ñîâåðøèì ôóíêöèîíàëüíîå èíòåãðèðîâàíèå ïî íîâîìó ïîëþ «ïàðû» Ψ(x, s, x′, s′, t) è ïî ýëåêòðîííîìó ïîëþ ψ. Ýòî âîçìîæíî, ïîòîìó ÷òî äîáàâêà ∆L êâàäðàòè÷íà ïî ïîëÿì ïàð, à êîýôôèöèåíò ïðè ñëàãàåìîì âòîðîãî ïîðÿäêà íå çàâèñèò îò ïîëÿ, ïîýòîìó, ñîãëàñíî ïðèëîæåíèþ ê ãë. 9, èíòåãðèðîâàíèå ïî Ψss′(x, x′, t) â ôóíêöèîíàëüíûõ èíòåãðàëàõ ñâîäèòñÿ ê òîìó, ÷òî Ψss′(x, x′, t) íàäî ïîëîæèòü ðàâíûì çíà÷åíèþ â ñòàöèîíàðíîé òî÷êå ëàãðàíæèàíà Ψss′(x, x′, t) = ψs(x, t)ψs′(x′, t), â êîòîðîé ∆L = 0. Äîïîëíèòåëüíîå ñëàãàåìîå âûáðàíî òàê, ÷òîáû ñëàãàåìûå â ñóììå L + ∆L, êîòîðûå ÷åòâåðòè÷íû ïî ýëåêòðîííûì ïîëÿì, ñîêðàòèëèñü, è îñòàëèñü òîëüêî êâàäðàòè÷íûå ïî ýòèì ïîëÿì ÷ëåíû: L + ∆L = −∑ s



1

XY d x ψ (x, t)RS− i ∂ − A (x, t) + Eb− i∇ + A(x, t)gUVψ (x, t) Z T ∂t W 3



4 s1s2s3s4

z

† s

0

s

d 3 x1d 3x2 d 3x3 d 3x4 Vs1s2s3s4 (x1 , x 2 , x 3 , x 4 )

× ψ †s (x1 , t) ψ †s (x 2 , t)Ψs3s4 (x 3 , x 4 , t) + Ψs† s (x 2 , x1 , t)ψ s3 (x 3 , t) ψ s4 (x 4 , t) 1

2

−Ψs† s (x 2 , x1 , t)Ψs3s4 (x 3 , x 4 , t) 2 1

2 1

.

(21.6.50)

Ïåðåõîäèì ê ñàìîìó ãëàâíîìó. Ìû ïîêàçàëè, ÷òî âçàèìîäåéñòâèå V íåñóùåñòâåííî, çà èñêëþ÷åíèåì ñëó÷àåâ, êîãäà îíî äåéñòâóåò íà ïàðó ýëåêòðîííûõ ëèíèé, ïåðåõîäÿùèõ â âàêóóì. Êîãäà ìû âû÷èñëÿåì êâàíòîâîå ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå Γ[Ψ] â ïðèñóòñòâèè âíåøíåãî ìåäëåííî ìåíÿþùåãîñÿ ïîëÿ ïàð Ψss′(x, x′, t), ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìû îïóñêàåì âñå äèàãðàììû, çà èñêëþ÷åíèåì òåõ, êîòîðûå ñòàíîâÿòñÿ íåñâÿçíûìè ïîñëå ðàçðåçàíèÿ ïî ëþáîé âíóòðåííåé ëèíèè Ψ. Îäíàêî îáùåå îïðåäåëåíèå êâàíòîâîãî ýôôåêòèâíîãî äåéñòâèÿ òðåáóåò, ÷òîáû ìû îòáðîñèëè âñå äèàãðàììû, êîòîðûå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.6. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü

465

ñòàíîâÿòñÿ íåñâÿçíûìè ïîñëå ðàçðåçàíèÿ ïî ëþáîé âíóòðåííåé ëèíèè. Ñëåäîâàòåëüíî, ìû íå äîëæíû âîîáùå âêëþ÷àòü íèêàêèõ âíóòðåííèõ ëèíèé Ψ. Òàê êàê ýëåêòðîííîå ïîëå âõîäèò â âûðàæåíèå (21.6.50) êâàäðàòè÷íî, åäèíñòâåííûå âûæèâàþùèå äèàãðàììû ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ýëåêòðîííûì ïîëÿì — ýòî äèàãðàììà ñ îäíîé âåðøèíîé, âîçíèêàþùàÿ îò ïîñëåäíåãî ñëàãàåìîãî â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ â (21.6.50), è îäíîïåòëåâàÿ äèàãðàììà, êîòîðàÿ ïî òåì æå ñîîáðàæåíèÿì, ÷òî è â ðàçäåëå 16.2, äàåòñÿ ëîãàðèôìîì äåòåðìèíàíòà îò êîýôôèöèåíòà ïðè êâàäðàòè÷íûõ ïî ýëåêòðîííûì ïîëÿì ñëàãàåìûõ:

Γ[Ψ ] =

1



4 s1s2s3s4

zz

dt d 3x1d 3x2d 3x3d 3x4 Vs1s2s3s4 (x1 , x 2 , x 3 , x 4 )

× Ψs† s (x 2 , x1 , t)Ψs3s4 (x 3 , x 4 , t)

(21.6.51)

2 1

FA − ln Det G HB 2 i

B − AT

†

IJ + const. K

Çäåñü À è  — «ìàòðèöû»

RS T

Ax ′s′t′,xst ≡ δ s′s − i

∂ ∂t

gUVW

− A0 (x, t) + E − i∇ + A(x, t) δ 3 (x ′ − x)δ(t ′ − t) ,

b

Bx ′s′t′,xst ≡ − ∆ s′s (x ′, x, t)δ(t ′ − t),

(21.6.52) (21.6.53)

à ∆ — ùåëü, ∆ s′s (x ′, x, t) ≡

1



2 σ ′σ

z

d 3 yd 3 y′Vs′sσ ′σ (x ′, x, y ′, y)Ψs′s (x ′, x, t) .

(21.6.54) (Çäåñü è íèæå ìû èãíîðèðóåì àääèòèâíóþ ïîñòîÿííóþ â Γ, âîçíèêàþùóþ îò òåõ ìîä, ïî êîòîðûì ïðîèçâåäåíî èíòåãðèðîâàíèå.) Ýòî îäíà èç çàäà÷, â êîòîðîé ìîæíî âû÷èñëèòü ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå, íå äåëàÿ êàêèõ-ëèáî ïðåäïîëîæåíèé î ìàëîñòè âçàèìîäåéñòâèÿ â ëàãðàíæèàíå. ×òîáû óïðîñòèòü äàëüíåéøåå îáñóæäåíèå, îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì ñèíãëåòíîãî ïî ñïèíó ñïàðåííîãî ïîëÿ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

466

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

Ψ+ − (x ′, x, t) = − Ψ− + (x ′, x, t) ≡ Ψ(x ′, x, t) ,

(21.6.55)

ãäå íèæíèå èíäåêñû + è – ñîîòâåòñòâóþò ñïèíîâûì èíäåêñàì +1/2 è –1/2, ñîîòâåòñòâåííî *. Ñ ó÷åòîì èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé ïî ñïèíîâûì èíäåêñàì, íåîáõîäèìûå êîìïîíåíòû ïîòåíöèàëà èìåþò âèä

V+ − + − (x ′, x, t) − V+ − − + (x ′, x, t) = − V− + + − (x ′, x, t) + V− + − + (x ′, x, t) (21.6.56) ≡ 2V(x ′, x, t) . Òîãäà èç âûðàæåíèÿ (21.6.54) ñëåäóåò:

∆ + − (x ′, x, t) = − ∆ − + (x ′, x, t) ≡ ∆(x ′, x, t) ,

(21.6.57)

∆ + + = (x ′, x, t) = ∆ − − (x ′, x, t) = 0 .

(21.6.58)

Ïîýòîìó êâàíòîâîå ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå ðàâíî

Γ[Ψ ] = dt d 3x1d 3x2d 3x3d 3x4 V(x1 , x 2 , x3 , x 4 )

z z

× Ψ † (x2 , x1 , t)Ψ(x3 , x 4 , t) A B , − i ln Det † B −A T

FG H

ãäå

RS T

A x ′t,xt ≡ − i

è

∂ ∂t

(21.6.59)

IJ K

gUVW

− A0 (x, t) + E − i∇ + A(x, t) δ 3 (x ′ − x)δ(t ′ − t), (21.6.60)

b

Bx ′t,xt ≡ − ∆(x ′, x, t) δ(t ′ − t)

(21.6.61)

∆(x ′, x, t) ≡ d 3 yd 3 y′V(x ′, x, y ′, y)Ψ(y ′, y, t) .

(21.6.62)

z

Èñïîëüçóåì ñíà÷àëà ýòè ðåçóëüòàòû äëÿ ðàññìîòðåíèÿ òðàíñëÿöèîííî èíâàðèàíòíîãî ñëó÷àÿ áåç âíåøíèõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé. *  æèäêîì Íå3 íåèñ÷åçàþùèå êîìïîíåíòû ñïàðåííîãî ïîëÿ îáðàçóþò ñïèíîâûé òðèïëåò ñ êîìïîíåíòàìè Ψ1 = Ψ+ + , Ψ0 = 2Ψ+ − = 2Ψ−+ , Ψ−1 = Ψ− −

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.6. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü

467

Òîãäà ïîëÿ ïàðû è ùåëè ìîæíî çàïèñàòü êàê ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèÿ

Ψ(x ′, x) = d 3 p e ip⋅(x ′ − x) Ψ(p) ,

(21.6.63)

∆(x ′, x) = (2π) −3 d 3 p e ip⋅(x ′ − x) ∆(p) ,

(21.6.64)

z

z

à ýëåêòðîí-ýëåêòðîííûé ïîòåíöèàë ïðèíèìàåò â äàííîì ñëó÷àå âèä

z

d 3x1d 3x2d 3x3d 3x4 e ip′⋅(x1 − x2 ) e ip⋅( x3 − x 4 ) V(x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (21.6.65) ≡ V 4 V(p′, p) ,

ãäå V4 — ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé îáúåì

V 4 ≡ d 3 x dt 1 .

z z

(21.6.66)

Ïîñëå ïåðåõîäà â ïðåäñòàâëåíèå âîëíîâûõ ÷èñåë è ÷àñòîò «ìàòðèöû» (21.6.60) è (21.6.61) ñòàíîâÿòñÿ äèàãîíàëüíûìè, è âû÷èñëåíèå äåòåðìèíàíòà ñòàíîâèòñÿ òðèâèàëüíûì. ôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë (íå ïóòàòü ñ ýëåêòðîí-ýëåêòðîííûì ïîòåíöèàëîì) áûë îïðåäåëåí â ðàçäåëå 16.1 êàê âçÿòîå ñî îáðàòíûì çíàêîì ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå â åäèíèöå ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîãî îáúåìà: V[Ψ ] ≡ − Γ[Ψ ] / V 4 = − d 3pd 3p ′Ψ * (p′) V (p′, p)Ψ(p)

z

+

ãäå

i (2π)

4

z

F GH

dωd 3 p ln 1 −

I, J − E (p) + iε K | ∆(p)|2

ω

2

(21.6.67)

2

∆(p) = − d 3 p ′V (p′, p)Ψ(p′) .

z

(21.6.68)

(×ëåí iε ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç ôåéíìàíîâñêèõ ïðàâèë äëÿ ýëåêòðîííûõ ïåòëåâûõ äèàãðàìì, è, êàê ïîêàçàíî â ðàçäåëå 9.2, îí â êîíöå êîíöîâ âîçíèêàåò èç óñëîâèé íà ýëåêòðîííîå ïîëå ïðè t → ±∞.) Ñîâåðøàÿ âèêîâñêèé ïîâîðîò, èíòåãðèðóÿ ïî ω è âûðàæàÿ Ψ ÷åðåç ∆, ïîëó÷èì

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

468

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

z

V[ ∆ ] = − d 3pd 3p ′∆* (p′) V −1 (p′, p) ∆(p) 1 d 3 p E 2 (p)+| ∆(p)|2 − E(p) . − (2π)3

x

(21.6.69)

Êàê ìû âèäåëè â ðàçäåëå 16.1, óðàâíåíèÿ ïîëÿ ÿâëÿþòñÿ ïðîñòî óñëîâèåì ñòàöèîíàðíîñòè ýôôåêòèâíîãî äåéñòâèÿ, êîòîðîå â íàøåì ñëó÷àå ïðèâîäèò ê çíàìåíèòîìó óðàâíåíèþ äëÿ ùåëè äëÿ ðàâíîâåñíîé ôóíêöèè ùåëè ∆0(p):

0=

δV[∆ ] δ∆* (p) ∆ = ∆

0

= − d 3p′V −1 (p, p′)∆ 0 (p′) −

z

1

∆ 0 (p)

2(2π)3

E 2 (p)+| ∆(p)|2

èëè, â áîëåå çíàêîìîì âèäå,

∆ 0 (p) = −

1

X d p′ YZ 3

2(2π)3

V(p, p′) ∆ 0 (p′) E 2 (p′) +| ∆(p′)|2

.

(21.6.70)

Âåçäå âûøå âñå èíòåãðàëû ïî èìïóëüñàì íåÿâíî ïîíèìàëèñü êàê îãðàíè÷åííûå èìïóëüñàìè âèäà (21.6.39) âíóòðè òîíêîé îáîëî÷êè òîëùèíîé κ âîêðóã ïîâåðõíîñòè Ôåðìè. Òîãäà ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë (21.6.69) èìååò âèä

V[∆ ] = −κ 2 −

z

S

d 2kd2k ′∆* (k ′) V −1 (k ′, k)∆(k)

1 (2π)3

XY dl x Z κ

0

S

d 2k

l 2vF2 (k)+| ∆(k)|2 − lvF (k) . (21.6.71)

Òåïåðü ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë ñëåäóåò ïîíèìàòü êàê ôóíêöèîíàë òîëüêî îò ôóíêöèè ùåëè ∆ íà ïîâåðõíîñòè Ôåðìè. Ïîñêîëüêó κ ïðîèçâîëüíî, ïîòåíöèàë V(k′, k) äîëæåí èìåò òàêóþ çàâèñèìîñòü îò κ, ÷òîáû V[∆] áûë íåçàâèñèì îò κ.  áîëüøèíñòâå ïðèëîæåíèé 44 ìåòîäîâ ðåíîðìãðóïïû ê ñâåðõïðîâîäèìîñòè èñïîëüçóåòñÿ îïèñàííûé â ðàçäåëå 12.4 ïîäõîä Âèëüñîíà, çàêëþ÷àþùèéñÿ â âûâîäå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ äëÿ çàâèñèìîñ-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.6. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü

469

òè V(k′, k) îò κ è èçó÷åíèè ïîâåäåíèÿ åãî ðåøåíèé ïðè κ → 0. Ñ öåëüþ ïîêàçàòü ãèáêîñòü â ïîäõîäàõ ïîëåçíî çàìåòèòü, ÷òî ìîæíî ñ òåì æå óñïåõîì âîñïîëüçîâàòüñÿ ïîäõîäîì Ãåëë-Ìàííà–Ëîó è ââåñòè ïåðåíîðìèðîâàííûé ýëåêòðîí-ýëåêòðîííûé ïîòåíöèàë 44à Vµ−1 (k ′, k) ≡

δ 2 V[∆ ] δ∆* (k ′)δ∆(k)

,

(21.6.72)

∆ ( k) = ∆ ( k) = µ *

ãäå µ — ñêîëüçÿùàÿ øêàëà ïåðåíîðìèðîâêè òèïà ââåäåííîé â ðàçäåëå 18.2. Âûðàæàÿ èñõîäíûé ýëåêòðîí-ýëåêòðîííûé ïîòåíöèàë ÷åðåç Vµ, ïîëó÷àåì âìåñòî ôîðìóëû (21.6.71)

V[∆ ] = − − −

z

d 2kd 2k ′∆* (k ′) V −1 (k ′, k) ∆(k)

S

XY dl x Z κ

1 (2π)

3

0

S

| ∆(k)|

d 2k l 2vF2 (k) +| ∆(k)|2 − lvF (k)

2

2(l 2vF2 (k) + µ 2 )1/2

+

µ 2 | ∆(k)|2 4(l 2vF2 (k) + µ 2 )3/2

OP . PQ

(21.6.73)

Òåïåðü èíòåãðàë ïî l ñõîäèòñÿ åñëè óñòðåìèòü îáðåçàíèå ê áåñêîíå÷íîñòè, ÷òî äàåò

z

V[ ∆ ] = − d 2kd2k ′∆* (k ′) V −1 (k ′, k) ∆(k) S

+

2 2(2π)

3

X YZ

S

d 2k

LMlnF | ∆(k)| I − 1OP . G J PQ (k) MN H µ K

| ∆(k)|2 vF

(21.6.74)

Óñëîâèå ñòàöèîíàðíîñòè V[∆] ïðè ∆ = ∆0 ïðèâîäèò ê ùåëåâîìó óðàâíåíèþ â íàèáîëåå ïîëåçíîé ôîðìå:

∆ 0 (k) =

X YZ

S

d 2k Vµ (k, k ′) vF−1 (k ′) ∆ 0 (k ′) ln

F | ∆(k′)| I . GH µ JK

(21.6.75)

Ïîäñòàíîâêà åãî â ôîðìóëó (21.6.74) ïîêàçûâàåò, ÷òî ïëîòíîñòü ýíåðãèè ñâåðõïðîâîäÿùåãî ñîñòîÿíèÿ ìåíüøå, ÷åì ó íîðìàëüíîãî ñîñòîÿíèÿ, íà âåëè÷èíó

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

470

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

∆ ≡ V (0) − V ( ∆ 0 ) =

X YZ

d2k S

| ∆ 0 (k)|2 2(2π)3 v F (k)

.

(21.6.76)

Êîíå÷íî, çàâèñèìîñòü îò µ ýëåêòðîí-ýëåêòðîííîãî ïîòåíöèàëà Vµ äîëæíà áûòü âûáðàíà òàê, ÷òîáû óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ ðåíîðìãðóïïû, îáåñïå÷èâàþùåìó âûïîëíåíèå óñëîâèÿ, ÷òî ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë (21.6.74) íå çàâèñèò îò ïðîèçâîëüíîãî ìàñøòàáà ïåðåíîðìèðîâêè µ:

µ

d

Vµ−1 (k ′, k) = −



δ 2 (k ′ − k) 2(2π)3 vF (k)

èëè, ýêâèâàëåíòíî,

µ

d dµ

1

Vµ (k ′, k) =

2(2π)

3

z

d 2 k ′′Vµ (k ′, k ′′)vF−1 (k ′′) Vµ (k ′′, k) . (21.6.77)

Ýòî ìîæíî ñ ïîëüçîé ïåðåïèñàòü ñ ïîìîùüþ ýðìèòîâîãî ÿäðà

K µ (k ′, k) ≡

1 2(2π)3

vF−1/2 (k ′)vF−1/2 (k) Vµ (k ′, k) ,

(21.6.78)

êàê

µ

d dµ

K µ = K µ2 . (21.6.79)

Ïîýòîìó ñîáñòâåííûå âåêòîðû un(k) ÿäðà Kµ(k, k′) íå çàâèñÿò îò µ, â òî âðåìÿ êàê ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïðèíèìàþò âèä 1/ln(Λn/µ), ãäå Λn — êîíñòàíòû èíòåãðèðîâàíèÿ òèïà Λ â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ïîòåíöèàëà Vµ (k ′, k) = 2(2π)3 v1F/2 (k)v1F/2 (k ′)∑ n

u n (k) u *n (k ′) ln Λ n µ

b

g

,

(21.6.80)

ãäå ñîáñòâåííûå âåêòîðû âûáðàíû îðòîíîðìèðîâàííûìè, òàê ÷òî óñëîâèå ïîëíîòû ïðèíèìàåò âèä

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

21.6. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü

471

∑ u n (k) u *n (k ′) = δ 2 (k − k ′) .

(21.6.81)

n

Òåïåðü ìîæíî ïåðåïèñàòü ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë (21.6.74) êàê

V[ ∆ ] =

1 2(2π)3

X d kd k′ ∆ (k′)u (k′)∆(k)u (k) LMlnF | ∆(k)| I − 1OP . YY ∑ v (k ′)v (k) MN GH Λ JK PQ Z 2

*

2

n

* n

F

n

F

n

(21.6.82) Äëÿ âåùåñòâà ñ ëîêàëüíîé èíâàðèàíòíîñòüþ îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé ïîâåðõíîñòü Ôåðìè ÿâëÿåòñÿ ñôåðîé, è ñîáñòâåííûå âåêòîðû un(k) — ñôåðè÷åñêèå ãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè êîîðäèíàò íà ýòîé ñôåðå, îäíàêî âûðàæåíèå (21.6.82) ñïðàâåäëèâî áåç âñÿêèõ ïðåäïîëîæåíèé îá èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé. Ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü ýòîò ôîðìàëèçì äëÿ îáúÿñíåíèÿ òîãî, êîãäà âîçíèêàåò ñâåðõïðîâîäèìîñòü. Ëîãàðèôì â âûðàæåíèè (21.6.82) áîëüøîé è îòðèöàòåëüíûé äëÿ î÷åíü ìàëûõ ∆, è áîëüøîé è ïîëîæèòåëüíûé äëÿ î÷åíü áîëüøèõ ∆, òàê ÷òî, ïîêà îáùèé ìàñøòàá ∆ ðàñòåò îò íóëÿ äî áåñêîíå÷íîñòè, V[∆] ïàäàåò îò íóëÿ äî îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé, à çàòåì ðàñòåò äî áåñêîíå÷íîñòè. Ïîýòîìó ïðè ëþáîì ýëåêòðîí-ýëåêòðîííîì ïîòåíöèàëå V[∆] âñåãäà èìååò ìèíèìóì ïðè íå ðàâíîì íóëþ çíà÷åíèè ∆. Îäíàêî ýòîò ðåçóëüòàò òðåáóåò âàæíîãî óòî÷íåíèÿ. Êîãäà ìû óñòðåìëÿåì îáðåçàíèå κ ê áåñêîíå÷íîñòè, èíòåãðàë â (21.6.73) ýôôåêòèâíî îáðåçàåòñÿ íà çíà÷åíèÿõ l ïîðÿäêà |∆|/vF, â òî âðåìÿ êàê ïîâåðõíîñòü Ôåðìè èìååò ðàäèóñ ïîðÿäêà κF, ãäå 8πkF3 / 3(2π)3 åñòü ïëîòíîñòü ÷èñëà ýëåêòðîíîâ. Ïîñêîëüêó ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ó÷èòûâàþòñÿ ýëåêòðîíû, íàõîäÿùèåñÿ â òîíêîé îáîëî÷êå âîêðóã ïîâåðõíîñòè Ôåðìè, âûâîä âåðåí òîëüêî ïðè óñëîâèè, ÷òî |∆| n ωD, ãäå ωD — äåáàåâñêàÿ ÷àñòîòà κFvF.  ÷àñòíîñòè, â ñëó÷àå èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé è íå çàâèñÿùåé îò íàïðàâëåíèÿ ùåëåâîé ôóíêöèè, ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë äîñòèãàåò ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà ïðè ùåëåâîé ôóíêöèè ïîðÿäêà Λs-âîëíà, òàê ÷òî äî òåõ ïîð, ïîêà Λs-âîëíà n ωD, ñèììåòðèÿ ñïîíòàííî íàðóøåíà. Ýòîò ðåçóëüòàò ìîæíî âûðàçèòü èíà÷å, ñêàçàâ, ÷òî äëÿ s-âîëíîâîé ñâåðõïðîâîäèìîñòè s-âîëíîâàÿ ïðîåêöèÿ ýëåêòðîí-ýëåêòðîííîãî ïîòåíöèàëà (21.6.80) ïîñëå ïåðåíîðìèðîâêè íà ìàñøòàáå µ d ωD äîëæíà áûòü ïðèòÿãèâàþùåé. Îäíàêî íå èìååò çíà÷åíèÿ, íàñêîëüêî ñèëåí ýòîò ïåðåíîðìèðîâàííûé ïðèòÿãèâàþùèé ïîòåíöèàë.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

472

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

Ýòî ñâîéñòâî ñâåðõïðîâîäèìîñòè, çàêëþ÷àþùååñÿ â òîì, ÷òî ãîëäñòîóíîâñêèé áîçîí îáðàçóåò ïðèòÿãèâàþùèé ïîòåíöèàë, êàê áû ñëàá ýòîò ïîòåíöèàë íå áûë, åñòü ñëåäñòâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ôåðìè-ïîâåðõíîñòè, óñèëèâàþùåé ýôôåêòû äàëüíîäåéñòâèÿ.  êâàíòîâûõ òåîðèÿõ ïîëÿ, íå ñîäåðæàùèõ ýëåìåíòàðíûõ áåññïèíîâûõ ïîëåé òèïà ðàññìîòðåííûõ â ðàçäåëå 21.5, ìû îáû÷íî íå äîëæíû îæèäàòü ñïîíòàííîãî íàðóøåíèÿ ñèììåòðèè â ïóñòîì ïðîñòðàíñòâå, åñëè òîëüêî âçàèìîäåéñòâèÿ íå äîñòàòî÷íî ñèëüíû. Âåðíåìñÿ ê ñëó÷àþ âíåøíåãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Êàê îáû÷íî, ìîæíî ââåñòè ïîëå ãîëäñòîóíîâñêîãî áîçîíà ϕ(x, t), çàïèñàâ êàæäîå çàðÿæåííîå ïîëå â òåîðèè, êîòîðûì â äàííîì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ ùåëåâîå ïîëå ∆(x, x′, t) èëè ñïàðåííîå ïîëå Ψ(x, x′, t), êàê êàëèáðîâî÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå ñ êàëèáðîâî÷íûì ïàðàìåòðîì ϕ(x, t), äåéñòâóþùåå íà ñîîòâåòñòâóþùåå êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíîå ïîëå, êîòîðîå ìû îòìå÷àåì çíàêîì òèëüäû:

~ Ψ(x, x ′, t) = exp − iϕ(x, t) Ψ(x, x ′, t) exp − iϕ(x ′, t) .

b

g

b

(21.6.83)

g

Ïîñëå ýòîãî ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå îïðåäåëÿåòñÿ ïîäñòàíîâêîé (21.6.83) â (21.6.59). Ñ ïîìîùüþ êàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ìîæíî òåïåðü óñòðàíèòü çàâèñèìîñòü îò ϕ â âûðàæåíèè (21.6.83), ïîäðàçóìåâàÿ ïðè ýòîì, ÷òî Aµ(ξ) â ôîðìóëå (21.6.60) çàìåíåíî íà Aµ(x) – ∂µϕ(x). Åñëè âåùåñòâî íå òîëüêî ñâåðõïðîâîäÿùåå, íî íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè, äàëåêîì îò òî÷êè ïåðåõîäà ìåæäó ñâåðõïðîâîäÿùèì è íîðìàëüíûì ñîñòîÿíèÿìè, ìîæíî òàêæå ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíûì ñòåïåíÿì ñâîáîäû, ñâÿçàííûì ~ ñ ïîëåì Ψ(x, x′, t) , ÷òî îçíà÷àåò ïðîñòî åãî çàìåíó íà ðàâíîâåñíîå çíà÷åíèå Ψ0(x,x′, t). Çàâèñÿùàÿ îò ãîëäñòîóíîâñêîãî è âíåøíåãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëåé ÷àñòü ýôôåêòèâíîãî äåéñòâèÿ èìååò òîãäà âèä

Γ[ϕ, A] = Γ∆ =0 [ A] − i ln Det

LM A NB

†

OP Q

LM N

B A + i ln Det 0 −A T

OP Q

0 , (21.6.84) −A T

ãäå òåïåðü

LM N

A x ′t,xt = − i



+ eA0 (x, t) − eϕ& (x, t) + E − i∇ + eA(x, t) − e∇ϕ(x, t)

∂t × δ 3 (x ′ − x)δ(t ′ − t) ,

b

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

gOPQ

(21.6.85)

473

Ïðèëîæåíèå

Bx ′t,xt = ∆ 0 (x ′ − x)δ(t ′ − t).

(21.6.86)

Êîëè÷åñòâåííûå ñâîéñòâà ñâåðõïðîâîäíèêîâ òèïà ãëóáèíû ïðîíèêíîâåíèÿ ìîæíî èçâëå÷ü 46 èç ðàçëîæåíèÿ âûðàæåíèÿ (21.6.84) ïî ñòåïåíÿì A0 (x, t) − ϕ& (x, t) è A(x, t) − ∇ϕ(x, t) . Ïðèëîæåíèå. Ïðîèçâîëüíàÿ óíèòàðíàÿ êàëèáðîâêà  ýòîì ïðèëîæåíèè ìû ïîêàæåì, ÷òî â ïðîèçâîëüíûõ ñïîíòàííî íàðóøåííûõ êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèÿõ âñåãäà ìîæíî âûáðàòü «óíèòàðíóþ» êàëèáðîâêó, â êîòîðîé ïîëÿ ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ (21.4.30)

∑ Fab2 ξ a eαb

= 0.

(21.À.1)

ab

Èñïîëüçóÿ ýêñïîíåíöèàëüíóþ ïàðàìåòðèçàöèþ, âåðíóþ äëÿ âñåõ ãðóïï, çàìåòèì, âî-ïåðâûõ, ÷òî ëþáîé ýëåìåíò G, ïî êðàéíå ìåðå, â êîíå÷íîé îêðåñòíîñòè åäèíèöû, ìîæåò áûòü çàïèñàí â âèäå

F GH

I F JK GH

I F JK GH

I JK

g = exp − i ∑ θ α T α exp i ∑ ϕ a xa exp i ∑ µ i ti , α

a

i

(21.À.2)

ãäå ϕa ïîä÷èíåíî äëÿ âñåõ α ëèíåéíîìó îãðàíè÷åíèþ

∑ Fab2 ϕ a eαb

= 0.

(21.À.3)

ab

Ýòî ëåãêî óâèäåòü, êîãäà ýëåìåíò g áåñêîíå÷íî áëèçîê ê åäèíèöå. Ëþáîé òàêîé ýëåìåíò g ìîæíî çàïèñàòü êàê g = 1 + i ∑ ϕ 0a xa + i ∑ µ 0i ti , a

i

(21.À.4)

ñ áåñêîíå÷íî ìàëûìè ϕ 0a è µ 0i . Ýêâèâàëåíòíî,

g = 1 + i ∑ ϕ a xa + i ∑ µ i ti − i ∑ θ α T α , a

i

α

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(21.À.5)

474

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

ãäå θa — ïðîèçâîëüíûå áåñêîíå÷íî ìàëûå ïàðàìåòðû, à ϕ a (θ) ≡ ϕ 0a + ∑ θ α eαa ,

(21.À.6)

µ i (θ) ≡ µ 0i + ∑ θ α eαi .

(21.À.7)

α

α

Äëÿ ëþáîãî äàííîãî ìîæíî âûáðàòü θa òàê, ÷òîáû ìèíèìèçèðîâàòü ïîëîæèòåëüíóþ âåëè÷èíó

∑ Fab2 ϕ a (θ)ϕ b (θ)

.

(21.À.8)

ab

 ýòîì ìèíèìóìå âåëè÷èíà (21.À.8) ñòàöèîíàðíà ïî îòíîøåíèþ ê âàðèàöèÿì θa, òàê ÷òî ϕa(θ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (21.À.3). Äëÿ áåñêîíå÷íî ìàëûõ ϕ, µ è θ ôîðìóëà (21.À.5) ñîâïàäàåò ñ (21.À.2), òàê ÷òî ìû âèäèì, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ g âèäà (21.À.2) (ñ ϕa, óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèþ (21.À.3)) âêëþ÷àåò âñå g, áåñêîíå÷íî áëèçêèå ê åäèíèöå. Èç ñîîáðàæåíèé íåïðåðûâíîñòè ñëåäóåò, ÷òî âñå ýòî âåðíî äëÿ âñåõ g ïî êðàéíåé ìåðå â íåêîòîðîé êîíå÷íîé îêðåñòíîñòè åäèíèöû. Äàëåå, ðàññìîòðèì êîíêðåòíûé ãðóïïîâîé ýëåìåíò

F GH

g = γ (ξ) = exp i ∑ ξ a xa a

I JK

(21.À.9)

è çàïèøåì åãî â âèäå (21.À.2):

F GH

I JK

F GH

γ (ξ) = exp − i ∑ θ α (ξ) T α γ (ϕ(ξ)) exp i ∑ µ i (ξ)ti α

i

I, JK

(21.À.10)

ãäå ϕa(ξ) ïîä÷èíÿåòñÿ óñëîâèþ (21.À.3). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êàëèáðîâî÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå exp i ∑ α θ a (ξ) T α ïðåâðàùàåò ξa â

d

i

ξ a′ = ϕ a (ξ) .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(21.À.11)

475

Çàäà÷è

Îïóñêàÿ øòðèõè, âèäèì, ÷òî íàì óäàëîñü ïîñòðîèòü êàëèáðîâêó, â êîòîðîé ξa óäîâëåòâîðÿåò (21.À.1), ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Çàäà÷è 1.

Âû÷èñëèòå ýôôåêòèâíûé ëàãðàíæèàí äóõîâ â «îáîáùåííîé óíèòàðíîé êàëèáðîâêå», ïðè÷åì B[f] äàåòñÿ, êàê îáû÷íî, âûðàæåíèåì (15.5.22), íî ãäå òåïåðü âåëè÷èíà f äàåòñÿ âûðàæåíèåì fα (x) = iϕ n (x)(tα ) nm ϕ m (0) VAC , ϕn — äåéñòâèòåëüíûå ñêàëÿðíûå ïîëÿ, à ta — ìíèìûå àíòèñèììåòðè÷íûå ìàòðèöû, ïðåäñòàâëÿþùèå àëãåáðó Ëè êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû. ×åìó ðàâåí ïðîïàãàòîð ãîñòîâ? ßâëÿåòñÿ ëè ýòà ÷àñòü ëàãðàíæèàíà ïåðåíîðìèðóåìîé?

2.

×òî ñëó÷èëîñü áû ñ SU(2) × U(1) ýëåêòðîñëàáîé òåîðèåé, åñëè êàëèáðîâî÷íàÿ ñèììåòðèÿ áûëà áû íàðóøåíà ñðåäíèì ïî âàêóóìó ïîëÿ ϕ3, ïðèíàäëåæàùåãî äåéñòâèòåëüíîìó òðèïëåòó r ϕ = (ϕ + , ϕ 0 , ϕ − ) , à íå îáû÷íîìó êîìïëåêñíîìó äóáëåòó (ϕ0, ϕ–)?

3.

Ðàññìîòðèòå îáû÷íóþ ýëåêòðîñëàáóþ òåîðèþ ñ åäèíñòâåííûì ñêàëÿðíûì äóáëåòîì. Âû÷èñëèòå â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè âëèÿíèå îáìåíà Z0-áîçîíîì è íåéòðàëüíûì ñêàëÿðíûì áîçîíîì íà àíîìàëüíûé ìàãíèòíûé ìîìåíò ìþîíà.

4.

×åìó ðàâåí ìàãíèòíûé ìîìåíò ÷àñòèö W+ è Z0 â ñòàíäàðòíîé ýëåêòðîñëàáîé ìîäåëè â íèçøåì ïðèáëèæåíèè?

5.

Êàêîâî áûëî áû âëèÿíèå îòêðûòèÿ ÷åòâåðòîãî ïîêîëåíèÿ êâàðêîâ è ëåïòîíîâ íà ïðåäñêàçàíèÿ îáñóæäàâøèõñÿ â ðàçäåëå 21.5 åäèíûõ òåîðèé ñèëüíîãî è ýëåêòðîñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèé?

6.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåñêîëüêî ïîëåé ñ íåñîèçìåðèìûìè çíà÷åíèÿìè ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà èìåëè áû íåíóëåâûå âàêóóìíûå ñðåäíèå â ñâåðõïðîâîäíèêå. Êàê ýòî ïîâëèÿëî áû íà îáñóæäàâøèåñÿ â ðàçäåëå 21.6 ñâîéñòâà ñâåðõïðîâîäíèêîâ?

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

476

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû 1.

Goldstone, J., Nuovo Cimento, 9, 154 (1961); Goldstone, J., Salam, A., and Weinberg, S., Phys. Rev. 127, 965 (1962).

2.

Higgs, P.W., Phys. Lett., 12, 132 (1964); Phys. Rev. Lett., 13, 508 (1964); Phys. Rev., 145, 1156 (1966); Englert, F. and Brout, R., Phys. Rev. Lett., 13, 321 (1964); Guralnik, G.S., Hagen, C.R., and Kibble, T.W.B., Phys. Rev. Lett., 13, 585 (1964); Kibble, T.W.B., Phys. Rev., 155, 1554 (1967); Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 18, 507 (1967).

3.

Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 19, 1264 (1967); Salam, A., in Elementary Particle Physics, ed. N. Svartholm (Almqvist and Wiksells, Stockholm, 1968), p. 367.

3a. Ôåéíìàíîâñêèå ïðàâèëà äëÿ ïðîèçâîëüíûõ êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé â óíèòàðíîé êàëèáðîâêå äàíû â ðàáîòå: Weinberg, S., Phys. Rev., D7, 1068 (1973). 4.

't Hooft, G., Nucl. Phys., B35, 167 (1971); Lee, B.W., Phys. Rev., D7, 823 (1972).

5.

Fujikawa, K., Lee, B.W., Sanda, A., Phys. Rev., D6, 2923 (1972).

5a. Lee, B.W. and Zinn-Justin, J., Phys. Rev., D5, 3121, 3137 (1972); Phys. Rev., D7, 1049 (1972); 't Hooft, G. and Veltman, M., Nucl. Phys., B50, 318 (1972); Lee, B.W., Phys. Rev., D9, 933 (1974). 6.

Georgi, H. and Glashow, S.L., Phys. Rev. Lett., 28, 1494 (1972).

7.

Lee, T.D. and Yang, C.N., Phys. Rev., 98, 101 (1955).

8.

Ìîäåëè ñ íåïîëíîé SU(2) × U(1) ñèììåòðèåé áûëè ïðåäëîæåíû â ðàáîòàõ: Glashow, S.L., Nucl. Phys., 22, 579 (1961); Salam, A. and Ward, J., Phys. Lett., 13, 168 (1964). Ñì. òàêæå: Schwinger, J., Ann. Phys. (N.Y.), 2, 407 (1957).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

9.

477

Ñïåêóëÿöèè íà òåìó î âîçìîæíîñòè ñóùåñòâîâàíèÿ íåéòðàëüíûõ òîêîâ âîñõîäÿò ê ðàáîòàì: Gamov, G. and Teller, E., Phys. Rev., 51, 288 (1937); Kemmer, N., Phys. Rev., 52, 906 (1937); Wentzel, G., Helv. Phys. Acta, 10, 108 (1937); Bludman, S., Nuovo Cimento, 9, 433 (1958); Leites-Lopes, J., Nucl. Phys., 8, 234 (1958).

10. Íåéòðàëüíûå òîêè âïåðâûå íàáëþäàëèñü â ÖÅÐÍå â îäèíî÷íîì ñîáûòèè ðàññåÿíèÿνµ-e–: Hasert, F.J. et al., Phys. Lett., 46, 121 (1973). 11. Cabibbo, N., Phys. Rev. Lett., 10, 531 (1963). 12. Towner, I.S., Hagberg, E., Hardy, J.C. et al., Chalk River preprint nucl-th/9507005 (1995). 13. Glashow, S.L., Illiopoulos, J., and Maiani, L., Phys. Rev., D2, 1285 (1970). 14. Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 27, 1688 (1971); Phys. Rev., D5, 1413 (1972). 15. Aubert, J.J. et al., Phys. Rev. Lett., 33, 1404 (1974); Augustin, J.E. et al., Phys. Rev. Lett., 33, 1406 (1974). 16. Perl, M.L. et al., Phys. Rev. Lett., 35, 1489 (1975). 17. Herb, S.W. et al., Phys. Rev. Lett., 39, 252 (1977). 18. Abe, F. et al., Phys. Rev. Lett., 74, 2626 (1995); Abachi, S. et al., Phys. Rev. Lett., 74, 2632 (1995). 19. Çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ïîëó÷åíû êîëëàáîðàöèÿìè CDF è D0 â Ôåðìèëàáå, ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 176 ± 8 ± 10 Ãý (Abe, F. et +19 al., [18]) è 199 −21 ± 22 Ãý (Abachi, S. et al., [18]), ãäå ïåðâàÿ è âòîðàÿ îøèáêè ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ñòàòèñòè÷åñêîé è ñèñòåìàòè÷åñêîé îøèáêàìè. Èíòåðïðåòàöèÿ ýòèõ ðåçóëüòàòîâ â ðàáîòå: Ellis, J., Fogli, G.L., and Lisi, E., CERN-BARI preprint hep-ph/9507424 ïðèâåëà ê çíà÷åíèþ 181 ± 12 ÃýÂ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

478

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

20. Kobayashi, M. and Maskawa, K., Progr. Theor. Phys., 49, 282 (1972). 20a. Gilman, F.J., Kleinknecht, K., and Renk, B., Carnegie Mellon– Mainz preprint CMU-HUP95-19-DOE-ER/40-682-107 (1995). 20b. Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 37, 657 (1976). Áîëåå ðàííèå ìîäåëè, â êîòîðûõ ñêàëÿðíûå ïîëÿ îòâåòñòâåííû çà íåñîõðàíåíèå ÑÐ è Ò ñì. â ðàáîòå: Lee, T.D., Phys. Rev., D8, 1226 (1973); Phys. Rep., 9C, 143 (1974). 21. Hasert, F.J. et al., Phys. Lett., 46B, 138 (1973); Musset, P., Journal de Physique, 11/12, T34 (1973). Ïðèìåðíî â òî æå âðåìÿ ñîáûòèÿ ñ íåéòðàëüíûìè òîêàìè íàáëþäàëèñü â Ôåðìèëàáå êîëëàáîðàöèåé Ãàðâàðä–Ïåíñèëüâàíèÿ–Âèñêîíñèí– Ôåðìèëàá. Îäíàêî ïóáëèêàöèÿ èõ ñòàòüè çàäåðæàëàñü, è îíè âîñïîëüçîâàëèñü âîçìîæíîñòüþ è ïåðåñòðîèëè ñâîé äåòåêòîð. Ñíà÷àëà îíè íå ìîãëè îáíàðóæèòü òîò æå ñèãíàë. Ñâèäåòåëüñòâà â ïîëüçó ñóùåñòâîâàíèÿ íåéòðàëüíûõ òîêîâ áûëè îïóáëèêîâàíû ýòîé ãðóïïîé â ðàáîòå: Benvenuti, A. et al., Phys. Rev. Lett., 32, 800 (1974). 22. Arnison, G. et al., Phys. Lett., 122B, 103 (1983); 126B, 398 (1983); 129B, 273 (1983); 134B, 469 (1984); 147B, 241 (1984). 23. Abe, F. et al. (CDF collaboration), Phys. Rev. Lett., 75, 11 (1995). Ìàññà W èçìåðÿëàñü â äàííîì ýêñïåðèìåíòå ïî íàáëþäåíèÿì ðàñïàäîâ W → µ + ν è W → e + ν. 24. CERN report LEPEWWG/95-01, unpublished (1995). 25. Green, M. and Veltman, M., Nucl. Phys., B169, 137 (1980); Novikov, V.A., Okun', L.B., and Vysotsky, M.I., Nucl. Phys., B397, 35 (1992). Áîëåå ïîçäíèå èññëåäîâàíèÿ ñì.: Langacker, P., in Precision Tests of the Standard Model (World Scientific, Singapore, 1994); Bamert, P., Burgess, C.P., and Maksymyk, I., Mc–Gill–Neuchatel–Texas preprint hep-ph/9505339 (1995); Hollik, W., Karlsruhe preprint hep-ph/9507406 (1995).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

479

26. Fanchotti, S., Kniehl, B., and Sirlin, A., Phys. Rev., D48, 307 (1973) è ññûëêè â ýòîé ðàáîòå. 27. Ellis, J., Fogli, G.L., and Lisi, E., [19]. 27a. Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 43, 1566 (1979). 27b. Íàïðèìåð, â òàê íàçûâàåìîì ìåõàíèçìå «êà÷åëåé» ìàññà íåéòðèíî òàêîãî ïîðÿäêà ãåíåðèðîâàëàñü áû çà ñ÷åò îáìåíà òÿæåëûì íåéòðàëüíûì ëåïòîíîì ìàññîé Ì; ñì.: Gell-Mann, M., Ramond, P., and Slansky, R., in Supergravity, ed. P. van Nieuwenhuizen and D. Freedman (North Holland, Amsterdam, 1979), p. 315; Yan agida,T., Prog. Theor. Phys., B135, 66 (1978). 27c. Weinberg, S., [27a]; Wilczek, F. and Zee, A., Phys. Rev. Lett., 43, 1571 (1979). Ñì. òàêæå: Weinberg, S., Phys. Rev., D22, 1694 (1980). 28. Ýòîò îáùèé ôîðìàëèçì áûë îïèñàí â ðàáîòå: Weinberg, S., Phys. Rev., D13, 974 (1976). Áîëåå ðàííèå ðàáîòû ïî äèíàìè÷åñêîìó íàðóøåíèþ ñèììåòðèè â êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèÿõ ñì.: Jackiw, R. and Johnson, K., Phys. Rev., D8, 2386 (1973); Cornwall, J.M. and Norton, R.E., Phys. Rev., D8, 3338 (1973). 29. Òàêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ðåçóëüòàòîâ ñòàíäàðòíîé ìîäåëè ïðèíàäëåæèò Ë. Ñàññêèíäó ([30]). 30. Weinberg, S., [28]; Phys. Rev., D19, 1277 (1979); Susskind, L., Phys. Rev., D19, 2619 (1979). Òåðìèí «òåõíèöâåò» ïðèíàäëåæèò Ñàññêèíäó. 31. Dimopoulos, S. and Susskind, L., Nucl. Phys., B15, 237 (1979); Eichten, E. and Lane, K., Phys. Lett., 90B, 125 (1980); Weinberg, S., íåîïóáëèêîâàííàÿ ðàáîòà, öèòèðóåìàÿ Ýéõòåíîì è Ëåéíîìþ Îáçîð ñì.: Farhi, E. and Susskind, L., Phys. Rep., 74, 277 (1981). 32. Weinberg, S., Phys. Rev., D5, 1962 (1972).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

480

Ãëàâà 21. Ñïîíòàííî íàðóøåííûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè

33. Pati, J. and Salam, A., Phys. Rev. Lett., 31, 275 (1973). 34. Georgi, H. and Glashow, S.L., Phys. Rev. Lett., 32, 438 (1974). 35. Georgi, H., in Particles and Fields — 1974, ed. C. Carlson (Amer. Inst. of Physics, New York, 1975). 36. Georgi, H., Quinn, H.R., and Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 33, 451 (1974). 36a. Dimopoulos, S. and Georgi, H., Nucl. Phys., B193, 150 (1981); Ellis, J., Kelley, S., and Nanopoulos, D.V., Phys. Lett., B260, 131 (1991); Amaldi, U., de Boer, W., and Furstmann, H., Phys. Lett., B260, 447 (1991). Áîëåå ïîçäíèé àíàëèç äàííûõ ñì.: Langacker, P. and Polonsky, N., Phys. Rev., D47, 4028 (1993); D49, 1454 (1994); Hall, L.J. and Sarid, U., Phys. Rev. Lett., 70, 2673 (1993). 36b. Dimopoulos, S., Raby, S., and Wilczek, F., Phys. Rev., D24, 1681 (1981). 37. Bardeen, J., Cooper, L.N., and Schrieffer, J.R., Phys. Rev., 108, 1175 (1957). 38. Anderson, P.M., Phys. Rev., 130, 439 (1963). 39. Weinberg, S., Progr. Theor. Phys. Suppl., No. 86, 43 (1986). 40. Josephson, B.D., Phys. Lett., 1, 25 (1962). 41. Ginzburg, V.L. and Landau, L.D., JETP (USSR), 20, 1064 (1950). 42. Gor'kov, L.P., Soviet Phys. JETP, 9, 1364 (1959). 43. Abrikosov, A.A., Soviet Phys. JETP, 5, 1174 (1957). 43a. Bogomol'nyi, E.B., Sov. J. Nucl. Phys., 24, 449 (1976). ×èñëåííûå ðàñ÷åòû ñì.: Bogomol'nyi, E.B. and Vainstein, A.I., Sov. J. Nucl. Phys., 23, 588 (1976).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

481

44. Benfatto, G. and Gallavotti, G., J. Stat. Phys., 59, 541 (1990); Phys. Rev., 42, 9967 (1990); Feldman, J. and Trubowitz, E., Helv. Phys. Acta, 63, 157 (1990); 64, 213 (1991); 65, 679 (1992); Shankar, R., Physica, A177, 530 (1991); Rev. Mod. Phys., 66, 129 (1993); Polchinski, J., in Recent Developments in Particle Theory, Proc. of the 1992 TASI, eds. J. Harvey and J. Polchinski (World Scientific, Singapore, 1993). 44a. Weinberg, S., Nucl. Phys., B413, 567 (1994). 45. Stratonovich, R.L., Sov. Phys. Dokl., 2, 416 (1957); Hubbard, J., Phys. Rev. Lett., 3, 77 (1959). 46. Àáðèêîñîâ À.À., Ãîðüêîâ Ë.Ï. è Äçÿëîøèíñêèé È.Å. Ìåòîäû êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ â ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêå. Èçä. 2-å. (Ì.: Ôèçìàòãèç, 1962). 47. ×òîáû ïðèäàòü òî÷íûé ñìûñë ìàññå Ì, íåîáõîäèìî ó÷åñòü êàê äâóõïåòëåâûå ïîïðàâêè ê óðàâíåíèÿì ðåíîðìãðóïïû (21.5.6)–(21.5.8), òàê è îäíîïåòëåâûå «ïîðîãîâûå ïîïðàâêè» ê óñëîâèþ (21.5.5). Ñì.: Weinberg, S., Phys. Lett., 82B, 387 (1979).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

22 Àíîìàëèè Ïðèìåíåíèÿ ñèììåòðèé â êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ ñîäåðæàò íåêîòîðûå òîíêîñòè, íå èìåþùèå àíàëîãîâ â êëàññè÷åñêèõ òåîðèÿõ. Äàæå â ïåðåíîðìèðóåìûõ òåîðèÿõ áåñêîíå÷íîñòè, âîçíèêàþùèå â êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ, òðåáóþò ïðè ðåàëüíûõ âû÷èñëåíèÿõ ââåäåíèÿ îïðåäåëåííîãî òèïà ðåãóëÿòîðîâ èëè ïàðàìåòðîâ îáðåçàíèÿ. Ðåãóëÿòîð ìîæåò íàðóøàòü ñèììåòðèè òåîðèè, è íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî â êîíöå âû÷èñëåíèé îí óñòðàíÿåòñÿ, ñëåäû òàêîãî íàðóøåíèÿ ñèììåòðèè ìîãóò îñòàòüñÿ. Òàêàÿ ïðîáëåìà âïåðâûå âîçíèêëà ïðè ïîïûòêå ïîíÿòü âåðîÿòíîñòü ðàñïàäà íåéòðàëüíîãî ïèîíà â ôîðìå àíîìàëèè, êîòîðàÿ íàðóøàëà ãëîáàëüíóþ ñèììåòðèþ ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé. Êðîìå òîãî, àíîìàëèè ìîãóò íàðóøàòü êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè, íî â ýòîì ñëó÷àå òåîðèÿ ñòàíîâèòñÿ íåñîãëàñîâàííîé, òàê ÷òî óñëîâèå ñîêðàùåíèÿ àíîìàëèé ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàê îãðàíè÷åíèå íà ôèçè÷åñêèå êàëèáðîâî÷íûå òåîðèè. Âàæíîñòü àíîìàëèé ñòàíåò åùå ÿñíåå â ñëåäóþùåé ãëàâå, ãäå ìû áóäåì èçó÷àòü ñâÿçàííûå ñ íèìè íåïåðòóðáàòèâíûå ýôôåêòû â ïðèñóòñòâèè òîïîëîãè÷åñêè íåòðèâèàëüíûõ ïîëåâûõ êîíôèãóðàöèé. 22.1. Ïðîáëåìà ðàñïàäà π0 Ê ñåðåäèíå 1960-õ ãîäîâ ïðåäñòàâëåíèå î ïèîíå êàê ãîëäñòîóíîâñêîì áîçîíå, ñâÿçàííîì ñî ñïîíòàííî íàðóøåííîé SU(2) ⊗ SU(2) ñèììåòðèåé ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé, ïðèâåëî ê ðÿäó óñïåõîâ, î êîòîðûõ øëà ðå÷ü â ãë. 19. Îäíàêî íà ñ÷åòó òàêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ áûëî è íåñêîëüêî âûäàþùèõñÿ íåóäà÷. Íàèáîëüøåå áåñïîêîéñòâî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

22.1. Ïðîáëåìà ðàñïàäà π0

483

âûçûâàëà ïðîáëåìà ñ âåðîÿòíîñòüþ äîìèíèðóþùåé ìîäû ðàñïàäà íåéòðàëüíîãî ïèîíà π0 → 2γ. Èìåííî ðåøåíèå ýòîé ïðîáëåìû ïðèâåëî ê îòêðûòèþ íàðóøàþùèõ ñèììåòðèþ àíîìàëèé. Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî âñåì òÿæåëûì è íàõîäÿùèìñÿ â ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè ÷àñòèöàì ìîæíî îæèäàòü, ÷òî ýôôåêòèâíûé ëàãðàíæèàí äëÿ ðàñïàäà π0 → 2γ áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ åäèíñòâåííûì êàëèáðîâî÷íî- è ëîðåíö-èíâàðèàíòíûì âûðàæåíèåì íå áîëåå ÷åì ñ äâóìÿ ïðîèçâîäíûìè:

Lπγγ = gπ 0 ε µνρλ Fµν Fρλ ,

(22.1.1)

ãäå g — íåèçâåñòíàÿ êîíñòàíòà ðàçìåðíîñòè [ìàññà]–1. Ìåòîäû ðàçäåëà 3.4 ïîçâîëÿþò âû÷èñëèòü âåðîÿòíîñòü ðàñïàäà π0 → 2γ:

Γ(π 0 → 2γ ) =

m 3π g2 π

.

(22.1.2)

Ìîæíî áûëî áû íàèâíî îæèäàòü, ÷òî âåëè÷èíà g — ïîðÿäêà g≈

e2 8π 2Fπ

,

(22.1.3)

ãäå Fπ g 190 Ìý èñïîëüçîâàíà êàê òèïè÷íàÿ øêàëà ìàññ äëÿ ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé, à ìíîæèòåëü 1/8π2 âêëþ÷åí, ïîòîìó ÷òî îòâåòñòâåííûå çà ðàñïàä π0 → 2γ äèàãðàììû ñîäåðæàò ïî êðàéíåé ìåðå îäíó ïåòëþ. Íàïðèìåð, â 1949 ãîäó, èñïîëüçóÿ ïðåäøåñòâåííèöó ÊÕÄ — òåîðèþ ïèîíîâ è íóêëîíîâ ñ ëàãðàíæèàíîì âçàèìîr r r äåéñòâèÿ iGπN π ⋅ N2t γ 5N , Øòåéíáåðãåð 1 âû÷èñëèë, ÷òî âêëàä â g îò òðåóãîëüíûõ äèàãðàìì ñ åäèíñòâåííîé ïðîòîííîé ïåòëåé ðàâåí

g∆ =

e2G πN 32π 2 mN

.

(22.1.4)

×èñëåííî ýòî íå ñëèøêîì îòëè÷àåòñÿ îò (22.1.3), ïîñêîëüêó â ñèëó ñîîòíîøåíèÿ Ãîëüäáåðãåðà–Òðåéìàíà (ñì. ðàçäåë 19.4) GπN = 2mNgA/Fπ. Ýòà îöåíêà àìïëèòóäû π0 → 2γ íå ó÷èòûâàåò ñïåöèàëüíûõ îãðàíè÷åíèé, íàêëàäûâàåìûõ SU(2) ⊗ SU(2) ñèììåòðèåé. Áî1ëüøàÿ ÷àñòü ýòîé ñèììåòðèè íàðóøàåòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíûì âçàèìîäåé-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

484

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

ñòâèåì, îäíàêî, ïî êðàéíåé ìåðå, ôîðìàëüíî îíî íå âëèÿåò íà U(1) × U(1) ïîäãðóïïó, ïîðîæäàåìóþ ýëåêòðè÷åñêè íåéòðàëüíûìè ãåíåðàòîðàìè SU(2) ⊗ SU(2). Äåéñòâèå áåñêîíå÷íî ìàëîãî ïñåâäîñêàëÿðíîãî ýëåìåíòà ýòîé ïîäãðóïïû íà êâàðêè èìååò âèä

δu = iεγ 5 u , δd = − iεγ 5d ,

(22.1.5)

òàê ÷òî ýëåêòðè÷åñêèé òîê èíâàðèàíòåí:

δ

LM 2 uγ N3

µ

u−

1 3

OP Q

dγ µd = 0 .

(22.1.6)

(Ýòîò àðãóìåíò áûë ïðèâåäåí Ñàçåðëåíäîì 2 è Âåëüòìàíîì 3 äî ñîçäàíèÿ êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè, êîãäà âìåñòî u- è d-êâàðêîâ ðàññìàòðèâàëèñü ïðîòîí è íåéòðîí.) Ïîñêîëüêó π0 — ãîëäñòîóíîâñêèé áîçîí, ñâÿçàííûé ñ ýòîé ñèììåòðèåé, òî âçàèìîäåéñòâèå áåç ïðîèçâîäíûõ òèà (22.1.1) ìîæåò âîçíèêàòü òîëüêî îò íàðóøåíèÿ ýòîé ñèììåòðèè êâàðêîâûìè ìàññàìè, è ñëåäîâàòåëüíî, îíî äîëæíî áûòü ïðîïîðöèîíàëüíî mπ2 ∝ mu + md. Èìåÿ ýòî â âèäó, ìîæíî îæèäàòü, ÷òî êîíñòàíòà g ïîäàâëåíà 2,3 äîïîëíèòåëüíûì ìíîæèòåëåì (mπ2/mN2):

g≈

e2 8π 2Fπ

Fm I. GH m JK 2 π 2 N

(22.1.7)

(Âìåñòî mN ìîæíî áûëî áû ïîäñòàâèòü îáñóæäàâøèéñÿ â ðàçäåëå 19.3 íàðóøàþùèé êèðàëüíóþ ñèììåòðèþ ìàñøòàá 2πFπ = 1200 ÌýÂ, ÷òî ìàëî áû èçìåíèëî ðåçóëüòàòû.) Êðîìå òîãî, èìåþòñÿ êèðàëüíî-èíâàðèàíòíûå ýôôåêòèâíûå π0γγ âçàèìîäåéñòâèÿ, âêëþ÷àþùèå ïðîèçâîäíûå ïîëÿ π0. Ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòü òðåáóåò, ÷òîáû ýòè âçàèìîäåéñòâèÿ âêëþ÷àëè ïî ìåíüøåé ìåðå äâå äîïîëíèòåëüíûå ïðîèçâîäíûå. Èñïîëüçóÿ îäíîðîäíîå óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà ∂µFνλ – ∂νFµλ = –∂λFµν è èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, âèäèì, ÷òî èìååòñÿ òîëüêî îäíà íåçàâèñèìàÿ êèðàëüíî-èíâàðèàíòíàÿ ñâÿçü ðîâíî ñ äâóìÿ äîïîëíèòåëüíûìè ïðîèçâîäíûìè, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïîäñòàíîâêîé äàëàìáåðòèàíà, äåéñòâóþùåãî íà ïîëå π0, â âûðàæåíèå (22.1.1). Íà ïèîííîé ìàññîâîé îáîëî÷êå ýòî òî æå ñàìîå, ÷òî è âçàèìîäåéñòâèå (22.1.1), íî ñ äîïîëíèòåëüíûì ìíîæèòåëåì mπ2, ÷òî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

22.2. Ïðåîáðàçîâàíèå ìåðû. Àáåëåâà àíîìàëèÿ

485

ïðèâîäèò ê òîé æå îöåíêå (22.1.7). Èíîãäà ãîâîðèëè, ÷òî êèðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ çàïðåùàåò ðàñïàä π0 → 2γ, íî àêêóðàòíåå ãîâîðèòü, ÷òî áëàãîäàðÿ êèðàëüíîé ñèììåòðèè âåðîÿòíîñòü ýòîãî ïðîöåññà âåäåò ñåáÿ ïðè mπ → 0 íå êàê mπ3, à êàê mπ7. Òðóäíîñòü â òîì, ÷òî íàáëþäàåìàÿ âåðîÿòíîñòü ðàñïàäà π0 → 2γ ìíîãî áîëüøå, ÷åì ýòî ìîæíî áûëî áû îæèäàòü íà îñíîâàíèè (22.1.7), è â äåéñòâèòåëüíîñòè ìíîãî áëèæå ê òîé öèôðå, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ íàèâíûì ðåçóëüòàòîì (22.1.3). Êîíêðåòíåå, èç âûðàæåíèé (22.1.7) è (22.1.2) ìû ìîæåì îæèäàòü, ÷òî âåðîÿòíîñòü ðàñïàäà

Γ( π 0 → 2γ ) ≈

m7π α 2 4 4π 3Fπ2 mN

= 1,9 × 1013 c −1 ,

(22.1.8)

à, èñïîëüçóÿ (22.1.3) âìåñòî (22.1.7), ìû ïîëó÷èëè áû

Γ( π 0 → 2γ ) ≈

m 3π α 2 4π 3Fπ2

= 4,4 × 1016 c −1 .

(22.1.9)

Íàáëþäàåìîå çíà÷åíèå ðàâíî Γ(π0 → 2γ) = (1,19 ± 0,08) × 1016 ñ–1, ÷òî íàõîäèòñÿ â óäîâëåòâîðèòåëüíîì ñîãëàñèè ñ ãðóáîé íàèâíîé îöåíêîé (22.1.9) è ïî÷òè íà òðè ïîðÿäêà âåëè÷èíû áîëüøå, ÷åì «èñïðàâëåííûé» ðåçóëüòàò (22.1.8)! Ìû âûíóæäåíû ïðèéòè ê âûâîäó, ÷òî êàêàÿ-òî àíîìàëèÿ äåëàåò íåäåéñòâèòåëüíîé êèðàëüíóþ ñèììåòðèþ, â ñèëó êîòîðîé áûë ââåäåí äîïîëíèòåëüíûé ìíîæèòåëü mπ2/mN2 â g. Àíàëîãè÷íûå ïðîáëåìû âîçíèêàþò ïðè ïîïûòêå ïîíÿòü âåðîÿòíîñòè äðóãèõ ïðîöåññîâ, íàïðèìåð, η0 → γ + γ.  1969 ãîäó Áåëë è Äæýêèâ 4 óñòàíîâèëè èñòî÷íèê ýòîé àíîìàëèè â íàðóøåíèè êèðàëüíîé ñèììåòðèè òåì ðåãóëÿòîðîì, êîòîðûé íåîáõîäèìî ââåñòè, ÷òîáû ïîëó÷èòü ñëåäñòâèÿ ñîõðàíåíèÿ íåéòðàëüíîãî àêñèàëüíîãî òîêà äëÿ îäíîïåòëåâûõ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì. Èõ ðåçóëüòàò áûë ïîäòâåðæäåí, îáîáùåí è ðàñøèðåí äî âûñøèõ ïîðÿäêîâ Àäëåðîì 5, êîòîðûé íåçàâèñèìî îáíàðóæèë êèðàëüíûå àíîìàëèè ïðè èçó÷åíèè òîæäåñòâ Óîðäà äëÿ àêñèàëüíûõ òîêîâ â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå.  êîíöå êîíöîâ, â 1979 ãîäó Ôóäæèêàâà 6 ïîíÿë, ÷òî ïðè ôóíêöèîíàëüíîé ôîðìóëèðîâêå òåîðèè ïîëÿ íàðóøàþùèå êèðàëüíóþ ñèììåòðèþ àíîìàëèè âõîäÿò òîëüêî â ìåðó, èñïîëüçóåìóþ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà ïî ôåðìèîííûì ïîëÿì. Êàê ìû óâèäèì â ñëåäóþùåì

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

486

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

ðàçäåëå, ýòîò ïîäõîä ïîçâîëÿåò ïðîñòî âûâåñòè ïîðîæäàåìóþ òàêîé àíîìàëèåé àìïëèòóäó π0 → 2γ âî âñåõ ïîðÿäêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé. Çàòåì ìû âåðíåìñÿ ê íåïîñðåäñòâåííîìó âû÷èñëåíèþ àíîìàëèé â áîëåå îáùèõ òåîðèÿõ è îáñóäèì ðàçëè÷íûå ïðèëîæåíèÿ. 22.2. Ïðåîáðàçîâàíèå ìåðû. Àáåëåâà àíîìàëèÿ Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê âû÷èñëåíèþ àíîìàëèé òîãî òèïà, êîòîðûé èìååò îòíîøåíèå ê π0-ðàñïàäó. Äëÿ ýòîãî ïðèìåì ïðèíàäëåæàùóþ Ôóäæèêàâå 6 èíòåðïðåòàöèþ àíîìàëèé êàê ñèìïòîìà íåâîçìîæíîñòè îïðåäåëåíèÿ ïîäõîäÿùåé èíâàðèàíòíîé ìåðû èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ôåðìèîííûì ïîëåâûì ïåðåìåííûì. Àíàëèç ýòîé ïðîáëåìû ó Ôóäæèêàâû îñíîâûâàëñÿ íà èñïîëüçîâàíèè ôóíêöèîíàëüíûõ èíòåãðàëîâ â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå è íà ðàçëîæåíèè ôåðìèîííûõ ïåðåìåííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì êàëèáðîâî÷íî-èíâàðèàíòíîãî îïåðàòîðà Äèðàêà, êîòîðûé ýðìèòîâ â ÷åòûðåõìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå. Çäåñü ìû èçëîæèì ñíà÷àëà ìåíåå ñòðîãèé âûâîä, îñíîâàííûé íà çàêîìûõ íàì ôóíêöèîíàëüíûõ èíòåãðàëàõ â ïðîñòðàíñòâå Ìèíêîâñêîãî, ÷òî ïîçâîëèò ïîëó÷èòü ïðàâèëüíûé îòâåò ïðè ìèíèìàëüíîé çàòðàòå óñèëèé.  êîíöå ðàçäåëà ìû êîðîòêî êîñíåìñÿ åâêëèäîâà ïîäõîäà è èñïîëüçóåì åãî äëÿ âûâîäà çíàìåíèòîé òåîðåìû îá èíäåêñàõ. Íà÷íåì ñ âû÷èñëåíèÿ àíîìàëèè â ïðåîáðàçîâàíèè ìåðû îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîãî ëîêàëüíîãî ìàòðè÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ψ(x) → U(x)ψ(x) ñòîëáöà ψn(x) áåçìàññîâûõ êîìïëåêñíûõ ôåðìèîííûõ ïîëåé ñïèíà 1/2, êîòîðûå íåêèðàëüíûì îáðàçîì âçàèìîäåéñòâóþò ñ ìíîæåñòâîì êàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé Aαµ(x) (ïðèìåðîì ìîãóò ñëóæèòü ïîëÿ u- è d-êâàðêîâ, âçàèìîäåéñòâóþùèå ñ ýëåêòðîìàãíèòíûì âåêòîðíûì ïîòåíöèàëîì Aµ(x), â çàäà÷å î âû÷èñëåíèè âåðîÿòíîñòè ðàñïàäà π0 → 2γ). Ïîñêîëüêó ïåðåìåííûå — ôåðìèîííûå, ìåðà ïðåîáðàçóåòñÿ íå ñ ïîìîùüþ äåòåðìèíàíòà ìàòðèöû ïðåîáðàçîâàíèÿ, à ñ ïîìîùüþ îáðàòíîãî äåòåðìèíàíòà:

ãäå

[dψ ] [dψ ] → (DetU DetU ) −1 [dψ ] [dψ ] ,

(22.2.1)

U xn, ym ≡ U (x) nm δ 4 (x − y) ,

(22.2.2)

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

22.2. Ïðåîáðàçîâàíèå ìåðû. Àáåëåâà àíîìàëèÿ

U xn, ym ≡ [ γ 4U (x)† γ 4 ]nm δ 4 (x − y)

487

(22.2.3)

è γ4 ≡ iγ0 — ìàòðèöà, èñïîëüçóåìàÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ψ = ψ † γ 4 . Èíäåêñû n, m ïðîáåãàþò ïî çíà÷åíèÿì àðîìàòîâ è äèðàêîâñêèõ ñïèíîâûõ èíäåêñîâ.  ýòîì ìåñòå ÷èòàòåëü ìîæåò óäèâèòüñÿ, ïî÷åìó ìû áåñïîêîèìñÿ î âêëþ÷åíèè ìíîæèòåëåé γ4 â âûðàæåíèå (22.2.3), õîòÿ îíè äàþò âêëàä òîëüêî â óíèòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå, êîòîðîå íå äîëæíî âëèÿòü íà äåòåðìèíàíòû. Îòâåò çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî äëÿ ïðèäàíèÿ ðàñ÷åòàì ñìûñëà îêàæåòñÿ íåîáõîäèìûì ïðè âû÷èñëåíèè ïðîïàãàòîðîâ è äåòåðìèíàíòîâ ðåãóëÿðèçîâàòü ñóììó ïî ôåðìèîííûì ìîäàì, è ìû óâèäèì, ÷òî ìíîæèòåëè γ4 âëèÿþò íà ðåãóëÿðèçîâàííûå äåòåðìèíàíòû. Òàêèì îáðàçîì, âîïðîñ î òîì, âêëþ÷àòü èëè íå âêëþ÷àòü ìíîæèòåëè γ4, çàâèñèò îò ìåòîäà ðåãóëÿðèçàöèè, êîòîðûé ìû èñïîëüçóåì, ÷òîáû ñäåëàòü íàøè íàïîìèíàþùèå ðàçìàõèâàíèå ðóêàìè ìàíèïóëÿöèè îñìûñëåííûìè. Ìû âêëþ÷àåì ìíîæèòåëè γ4, ïîòîìó ÷òî õîòèì îñóùåñòâëÿòü ðåãóëÿðèçàöèþ òàê, ÷òîáû ñîõðàíÿëàñü ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòü, à â èíòåðåñóþùèõ íàñ ñåé÷àñ ñëó÷àÿõ êàê ñêàëÿð ïðåîáðàçóåòñÿ íå U(x)†, à γ4U(x)†γ4. Âî-ïåðâûõ, ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà U(x) — óíèòàðíîå íåêèðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå U (x) = exp[ iα(x)t] ,

(22.2.4)

ãäå t — îáû÷íàÿ ýðìèòîâà ìàòðèöà (íå ñîäåðæàùàÿ γ5, íî íå îáÿçàòåëüíî áåññëåäîâàÿ), à α(x) — ïðîèçâîëüíàÿ äåéñòâèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ x.  ýòîì ñëó÷àå U ïñåâäîóíèòàðíà:

U U = 1,

(22.2.5)

òàê ÷òî ìåðà èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé òàêîãî òèïà.  ÷àñòíîñòè, ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî ñàìîé êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû, ãäå t — îäèí èç íåêèðàëüíûõ ãåíåðàòîðîâ tα, íå ïîðòèòñÿ êàêèìè-òî àíîìàëèÿìè. Âî-âòîðûõ, ðàññìîòðèì ëîêàëüíîå êèðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå

U(x) = exp[iγ 5α(x)t],

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(22.2.6)

488

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

ãäå t — îïÿòü îáû÷íàÿ ýðìèòîâà ìàòðèöà, à α(x) — ñíîâà ïðîèçâîëüíàÿ äåéñòâèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ x.  ýòîì ñëó÷àå ìàòðèöà U ïñåâäîýðìèòîâà: (22.2.7) U =U . Ìåðà íåèíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî êèðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ; èìååì (22.2.8) [dψ ] [dψ ] → (DetU ) −2 [dψ ] [dψ ] . Îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì áåñêîíå÷íî ìàëîãî ëîêàëüíîãî êèðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Âûáèðàÿ α(x) â âûðàæåíèè (22.2.6) áåñêîíå÷íî ìàëûì, èìååì òåïåðü

[U − 1]nx,my = iα(x)[ γ 5t]nm δ 4 (x − y) .

(22.2.9)

Èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî Det M = exp (Tr ln M) è ïðåäåëüíóþ ôîðìóëó ln(1 + x) → x ïðè x → 0, âèäèì, ÷òî òåïåðü ìåðà ïðåîáðàçóåòñÿ êàê

nz

[dψ ][dψ ] → exp i d 4x α(x) A (x) [dψ ][dψ ],

s

(22.2.10)

ãäå A — àíîìàëèÿ A (x) = −2Tr { γ 5 t}δ 4 (x − x)

(22.2.11)

è «Tr» îçíà÷àåò çäåñü ñëåä êàê ïî äèðàêîâñêèì èíäåêñàì, òàê è ïî èíäåêñàì ñîðòîâ. Ìåðà [dψ ] [dψ ] âõîäèò â ôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë ñ âåñîì exp{ i d 4 xL (x)} , òàê ÷òî ìíîæèòåëü exp{ i d 4 xα(x) A (x)} â çàêîíå ïðåîáðàçîâàíèÿ (22.2.10) äëÿ ìåðû ïðèâîäèò ê òîìó æå ýôôåêòó, êàê åñëè áû ïëîòíîñòü ëàãðàíæèàíà áûëà íå èíâàðèàíòíîé ïî îòíîøåíèþ ê òàêèì ïðåîáðàçîâàíèÿì, à ïðåîáðàçîâûâàëàñü êàê L(x) → L(x) + α(x)A(x). Îòñþäà, êîãäà ìû èñïîëüçóåì ýôôåêòèâíûé ëàãðàíæèàí, â êîòîðîì ïðîâåäåíî èíòåãðèðîâàíèå ïî ôåðìèîíàì, òî äëÿ òîãî, ÷òîáû ó÷åñòü àíîìàëèè, ìû äîëæíû âêëþ÷èòü íåèíâàðèàíòíîå ñëàãàåìîå, òàê ÷òî

z

z

Leff (x) → Leff (x) + α(x) A (x) . Îñòàåòñÿ òîëüêî âû÷èñëèòü àíîìàëèþ A(x).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(22.2.12)

22.2. Ïðåîáðàçîâàíèå ìåðû. Àáåëåâà àíîìàëèÿ

489

Íà ïåðâûé âçãëÿä êàæåòñÿ ìàëîâåðîÿòíûì, ÷òî ìû ìîæåì ïîëó÷èòü äëÿ àíîìàëèè êàêîé-òî îïðåäåëåííûé ðåçóëüòàò. Äåëüòàôóíêöèÿ áåñêîíå÷íà, îäíàêî ñëåä ðàâåí íóëþ. ×òîáû èñïðàâèòü ñèòóàöèþ, ìû äîëæíû ââåñòè ðåãóëÿòîð, ÷òîáû ïðèäàòü ñìûñë δ4(x – x). Ýòî ìîæíî ñäåëàòü êàëèáðîâî÷íî-èíâàðèàíòíûì ñïîñîáîì, âêëþ÷èâ äåéñòâóþùèé íà äåëüòà-ôóíêöèþ äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð f ( − D / x2 / M 2 ) ïåðåä òåì, êàê óñòðåìëÿòü àðãóìåíò äåëüòà-ôóíêöèè ê íóëþ: / x2 / M 2 ) δ 4 (x − y) A (x) = −2 Tr γ 5 tf ( − D

n

s

y→ x

.

(22.2.13)

Çäåñü Dx — äèðàêîâñêèé äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð â ïðèñóòñòâèè êàëèáðîâî÷íîãî ïîëÿ Aαµ (x) : ( Dx ) µ ≡

∂ ∂x µ

− itα Aαµ (x) .

(22.2.14)

Êðîìå òîãî, M — íåêàÿ áîëüøàÿ ìàññà, êîòîðàÿ â êîíöå êîíöîâ óñòðåìëÿåòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, à f(s) — ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ, ïîä÷èíåííàÿ åäèíñòâåííîìó óñëîâèþ *, ÷òî ïðè èçìåíåíèè s îò 0 äî ∞ f(s) äîëæíà ïëàâíî ïàäàòü îò 1 äî 0: f (0) = 1,

f (∞) = 0,

sf ′(s) = 0 ïðè s = 0 è s = ∞ .

(22.2.15) (22.2.16)

Çàìåòèì, ÷òî ìû íå âûáèðàåì ðåãóëÿðèçóþùóþ ôóíêöèþ çàâèñÿùåé îò ∂/ , ïîñêîëüêó õîòèì ñîõðàíèòü êàëèáðîâî÷íóþ èíâàðèàíòíîñòü, à òàêæå íå ñ÷èòàåì åå ôóíêöèåé DµDµ, òàê êàê õîòèì ñ åå ïîìîùüþ ðåãóëÿðèçîâàòü íå òîëüêî äåòåðìèíàíò, íî è ôåðìèîí/ −1 . íûé ïðîïàãàòîð D ×òîáû âû÷èñëèòü àíîìàëèþ (2.2.13), èñïîëüçóåì ôóðüå-ïðåäñòàâëåíèå äåëüòà-ôóíêöèè è çàïèøåì àíîìàëèþ â âèäå

* Íàïðèìåð, ìîæíî âûáðàòü f(s) = exp(–s2), êàê ýòî ñäåëàë â ïåðâîé ðàáîòå Ôóäæèêàâà, èëè f(s) = 1/(1+s).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

490

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

X d k Trnγ tf(− D/ / M )s e YZ (2π) X d k Troγ tfd−[ik/ + D/ ] / M it . = −2Y Z (2π)

A (x) = −2

4

2 x

5

4

ik ⋅( x − y)

2

y= x

4

2

2

x

5

4

(Ïðîèçâîäíàÿ ïî x ðàâíà íóëþ, êîãäà îíà äåéñòâóåò, íàõîäÿñü â êðàéíåì ïðàâîì ïîëîæåíèè âî âòîðîì âûðàæåíèè, íî íå ðàâíà íóëþ ïðè äåéñòâèè íà Aαµ(x).) Îáåçðàçìåðèâàÿ èìïóëüñ kµ ìíîæèòåëåì Ì, ïîëó÷àåì:

A (x) = −2M 4

X d k Troγ tfd−[ik/ + D/ YZ (2π) 4

x

5

4

/ M ]2

it .

(22.2.17)

Àðãóìåíò îáðåçàþùåé ôóíêöèè ìîæíî çàïèñàòü êàê

LM N

− ik/ +

/x D

OP MQ

2

= k2 −

ik ⋅ Dx M



FG D/ IJ HMK

2

x

.

(22.2.18)

 ïðåäåëå Ì → ∞ â âûðàæåíèå (22.2.17) äàþò âêëàä òîëüêî ÷ëåíû â / x / M ]2 , èìåþùèå íå áîëåå ÷åòûðåõ ìíîðàçëîæåíèè f −[ ik/ + D æèòåëåé 1/Ì, à òàêæå ÷ëåíû, ñîäåðæàùèå íå ìåíåå ÷åòûðåõ äèðàêîâñêèõ ãàììà-ìàòðèö, ïîñêîëüêó â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñëåä ïî äèðàêîâñêèì èíäåêñàì ðàâåí íóëþ.  ðåçóëüòàòå îñòàþòñÿ òîëüêî ñëàãàåìûìå âòîðîãî ïîðÿäêà ïî D / x2 :

d

i

A (x) = −

X d k f ′′(k )Trnγ tD/ s , YZ (2π) 4

2

5

4

4 x

(22.2.19)

êîòîðûå òåïåðü óæå íå çàâèñÿò îò ðåãóëÿðèçóþùåé ìàññû Ì. ×òîáû âû÷èñëèòü èíòåãðàë ïî k, ñîâåðøèì ïîâîðîò êîíòóðà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî k0 òîãî æå òèïà, ÷òî è ïðè âû÷èñëåíèè ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì, òàê ÷òî k0 çàìåíèòñÿ íà ik4, ãäå k4 èçìåíÿåòñÿ îò –∞ äî +∞. (Ýòîò øàã ìîæíî îáîñíîâàòü, òîëüêî åñëè ñ ñàìîãî íà÷àëà ðàáîòàòü ñ åâêëèäîâûìè ôóíêöèîíàëüíûìè èíòåãðàëàìè.) Òîãäà èíòåãðàë ñâîäèòñÿ ê

z

d 4 k f ′′(k 2 ) = i

z



0

2π 2 κ 3dκ f ′′(κ 2 ) .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(22.2.20)

22.2. Ïðåîáðàçîâàíèå ìåðû. Àáåëåâà àíîìàëèÿ

491

Ïîñëå ïîâòîðíîãî èíòåãðèðîâàíèåì ïî ÷àñòÿì ñ èñïîëüçîâàíèåì âûðàæåíèé (22.2.16) è çàòåì (22.2.15) ïîëó÷àåì:

z

d 4 k f ′′(k 2 ) = iπ 2

z



0

ds sf ′′(s) = − iπ 2

z



0

ds f ′(s) = iπ 2 .

(22.2.21)

×òîáû âû÷èñëèòü ñëåä, çàïèøåì

/ x2 = D

1 4

{( Dx ) µ ,( Dx ) ν }{ γ µ , γ ν } + 3{( Dx ) µ ,( Dx ) ν }[ γ µ , γ ν ]

= Dx2 −

1 4

itα Fαµν [ γ µ , γ ν ] .

(22.2.22)

Åäèíñòâåííîå ñëàãàåìîå ñ D / x4 , êîòîðîå äàåò âêëàä â ñëåä ïî äèðàêîâñêèì èíäåêñàì, ñîäåðæèò ïðîèçâåäåíèå ÷åòûðåõ ìàòðèö Äèðàêà, ïîýòîìó trD { γ 5 [ γ µ , γ ν ] [ γ ρ , γ σ ] } = 16 i ε µνρσ .

(22.2.23)

ãäå «trD» îáîçíà÷àåò ñëåä òîëüêî ïî äèðàêîâñêèì èíäåêñàì, è, êàê îáû÷íî, εµνρσ — ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð ñ ε0123 = +1. Ïîñëå ïîäñòàíîâêè âûðàæåíèé (22.2.21)–(22.2.23) â ôîðìóëó (22.2.19) ïîëó÷àåì àíîìàëèþ â âèäå A ( x) = −

1 16 π

2

ε µνρσ Fαµν (x) Fβρσ (x)tr{tα tβ t} ,

(22.2.24)

ãäå «tr» çäåñü îçíà÷àåò ñëåä òîëüêî èíäåêñàì, îòìå÷àþùèì ðàçëè÷íûå ñîðòà ôåðìèîíîâ.  ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà t — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, âåëè÷èíà (22.2.24) èçâåñòíà êàê ïëîòíîñòü ×åðíà–Ïîíòðÿãèíà. Ýòîò ðåçóëüòàò ìîæíî çàïèñàòü ÷åðåç òîê, ñâÿçàííûé ñ àíîìàëüíîé ñèììåòðèåé. Äëÿ ïðîñòîòû ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñàìî äåéñòâèå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè ψ(x) → ψ(x) +iψγ5αψ(x) ñ ïîñòîÿííûì áåñêîíå÷íî ìàëûì ïàðàìåòðîì α. Òîãäà, êàê îáñóæäàëîñü â ðàçäåëå 7.3, åñëè ïðîäåëàòü òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå ñ çàâèñÿùèì îò ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé òî÷êè ïàðàìåòðîì α(x), èçìåíåíèå äåéñòâèÿ ìîæíî çàïèñàòü êàê δI = d 4 xJ5µ (x)∂ µ α(x) , ãäå J5µ (x) — òîê, êîòîðûé ñòàíîâèòñÿ ñîõðà-

z

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

492

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

íÿþùèìñÿ, êîãäà îïåðàòîðû ïîëÿ óäîâëåòâîðÿþò äèíàìè÷åñêèì óðàâíåíèÿì, âûòåêàþùèì èç óñëîâèÿ ñòàöèîíàðíîñòè äåéñòâèÿ îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíûõ âàðèàöèé ïîëåé. Åñëè ñîâåðøèòü èçìåíåíèå ïåðåìåííûõ δψ(x) = itγ5α(x)ψ(x), òî èçìåíåíèå èíòåãðàëà ïî ôåðìèîííûì ïîëÿì ðàâíî δ [dψ ] [dψ ]e iI = i d 4 x [dψ ] [dψ ] [ A (x)α(x) + J5µ (x)∂ µ α(x)] e iI . (22.2.25)

z

z z

Íî ýòî âñåãî ëèøü èçìåíåíèå ïåðåìåííûõ, òàê ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ α(x) îíî íå ìîæåò ïîâëèÿòü íà ôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë. Ïîýòîìó äëÿ ïðîèçâîëüíûõ êàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé ∂ µ J5µ

A

=A =−

1 16 π

2

ε µνρσ Fαµν Fβρσ tr{tα tβ t} ,

(22.2.26)

ãäå äëÿ ëþáîãî îïåðàòîðà O âåëè÷èíà 〈O〉À åñòü êâàíòîâîå ñðåäíåå O â ôèêñèðîâàííîì ôîíîâîì ïîëå Aµ(x):

〈O 〉 A ≡

[dψ ][dψ ]e iI O

z z

[dψ ][dψ ]e iI

.

(22.2.27)

Êñòàòè ãîâîðÿ, ìîæíî ïåðåïèñàòü âûðàæåíèå (22.2.26) êàê óñëîâèå ñîõðàíåíèÿ. Ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà ñëåä tr{tαtβt} ïðîïîðöèîíàëåí δαβ: tr{tα tβ t} = Nδ αβ .

(22.2.28)

Îïðåäåëèì òîê, èçâåñòíûé êàê êëàññ ×åðíà–Ñàéìîíñà:

LM N

G µ ≡ 2ε µνλρ Aγν ∂ λ Aγρ +

LM N

= ε µνλρ Aγν Fγλρ −

1 3

1 3

Cαβγ Aαν Aβλ Aγρ

OP Q

OP Q

Cαβγ Aαν Aβλ Aγρ ,

(22.2.29)

êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó ∂µ G µ =

1 2

ε µνλρ Fγµν Fγλρ .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(22.2.30)

22.2. Ïðåîáðàçîâàíèå ìåðû. Àáåëåâà àíîìàëèÿ

493

Ýòî óðàâíåíèå ïîçâîëÿåò ïåðåïèñàòü âûðàæåíèå (22.2.26) êàê óñëîâèå (22.2.31) ∂µ K µ = 0 , ãäå K µ ≡ J5µ

A

+

N 8π 2

Gµ .

(22.2.32)

Îäíàêî ñîõðàíåíèå òîêà Kµ íå ìîæåò ñëóæèòü àðãóìåíòîì â ïîëüçó ïîäàâëåíèÿ ðàñïàäà π0 → 2γ, êàê ýòî ìû ñäåëàëè â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, ïîñêîëüêó ïðè òàêîì ðàññóæäåíèè ïðåäïîëàãàëàñü íå òîëüêî êèðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ, ñâÿçàííàÿ ñ ñîõðàíåíèåì àêñèàëüíîãî òîêà, íî è ýëåêòðîìàãíèòíàÿ êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü. Íî èç âûðàæåíèÿ (22.2.29) ñëåäóåò, ÷òî õîòÿ òîê Kµ ñîõðàíÿåòñÿ, îí êàëèáðîâî÷íî-íåèíâàðèàíòåí. Íàø âûâîä ôîðìóëû (22.2.24) äëÿ àíîìàëèè ïîêàçûâàåò, ÷òî åñëè âû÷èñëÿòü ôóíêöèþ àíîìàëèè, èñïîëüçóÿ â (22.2.13) âìåñòî / x2 M 2 , òî â ðåçóëüf − ∂/ 2x M 2 äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð f − D òàòå ïîëó÷èì íóëåâóþ àíîìàëüíóþ ôóíêöèþ. Íà ñàìîì äåëå, ïðè òàêîé ïðîöåäóðå ðåãóëÿðèçàöèè àêñèàëüíûé òîê åñòü íå J5µ , à Kµ. Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, ïðîáëåìà ñ òàêîé ïðîöåäóðîé çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ðåãóëÿðèçóþùèé îïåðàòîð óæå êàëèáðîâî÷íî íåèíâàðèàíòåí, ÷òî îòðàæàåòñÿ â íàëè÷èè êàëèáðîâî÷íî íåèíâàðèàíòíîãî ñëàãàåìîãî â Kµ. Íå ñóùåñòâóåò ïðîöåäóðû ðåãóëÿðèçàöèè ôåðìèîííûõ ïðîïàãàòîðîâ è äåòåðìèíàíòîâ, êîòîðàÿ áûëà áû è êàëèáðîâî÷íî, è êèðàëüíî-èíâàðèàíòíîé. Òåïåðü ìîæíî âåðíóòüñÿ ê ïðîáëåìå, äàâøåé ñòàðò âîïðîñó îá àíîìàëèÿõ, è èñïîëüçîâàòü ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû äëÿ âû÷èñëåíèÿ èñòèííîé âåðîÿòíîñòè ïðîöåññà π0 → 2γ. Èíòåðåñóþùàÿ íàñ ñèììåòðèÿ ïîðîæäàåòñÿ çàðÿäîâî-íåéòðàëüíûìè êèðàëüíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ëåãêèõ êâàðêîâûõ ïîëåé

d

i

d

i

δu ≡ iαγ 5 u , δd = − iαγ 5d .

(22.2.33)

 ÷èñòîé êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå ýòà ñèììåòðèÿ ñâîáîäíà îò àíîìàëèé, ïîñêîëüêó u è d ïðèíàäëåæàò îäíîìó ïðåäñòàâëåíèþ öâåòîâîé êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû, òàê ÷òî èõ âêëàäû â ãëþîí-ãëþîííûå ñëàãàåìûå â àíîìàëèþ ñèììåòðèè (22.2.33) ñîêðàùàþòñÿ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

494

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ïðèñóòñòâèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ Aµ(x) ýòà ñèììåòðèÿ èìååò àíîìàëèþ A ( x) = −

1 16π 2

ε µνρσ F µν (x)F ρσ (x) tr q 2 τ 3 ,

n s

ãäå q — ìàòðèöà êâàðêîâûõ çàðÿäîâ, à t3 — äèàãîíàëüíàÿ 2 × 2 ìàòðèöà ñ ýëåìåíòàìè +1 äëÿ u è –1 äëÿ d. Åñëè, êàê îáû÷íî, ïðåäïîëîæèòü, ÷òî èìåþòñÿ Nc u-êâàðêîâ çàðÿäà 2å/3 è ðàâíîå ÷èñëî d-êâàðêîâ çàðÿäà –å/3, òî ñëåä ðàâåí 2

tr q 2 τ 3 = Nc

n s

2

FG 2e IJ (+1) + N FG −e IJ (−1) = N e H 3K H3K 3

2

c

c

,

òàê ÷òî àíîìàëèÿ ðàâíà

A (x) = −

N c e2 48π

2

ε µνρσ F µν (x)F ρσ (x) .

(22.2.34)

Òåïåðü ìû äîëæíû âêëþ÷èòü â ýôôåêòèâíûé ëàãðàíæèàí ñëàãàåìûå, êîòîðûå ïîä äåéñòâèåì êèðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (22.2.33) ïðåîáðàçóþò ëàãðàíæèàí ïî ïðàâèëó (22.2.12), ò. å.

δLeff = αA (x) = −

N c e2 48π

2

ε µνρσ F µν (x)F ρσ (x)α .

(22.2.35)

Ïîä äåéñòâèåì ïðåîáðàçîâàíèÿ (22.2.33) ïèîííîå ïîëå ïðåîáðàçóåòñÿ êàê (22.2.36) δπ0 = αFπ , ãäå Fπ = 184 Ìý — ââåäåííàÿ â ãë. 19 àìïëèòóäà ïèîííîãî ðàñïàäà. (Óñëîâèå íîðìèðîâêè äëÿ ýòîé êîíñòàíòû ôèêñèðóþòñÿ íàøèì îïðåäåëåíèåì ãåíåðàòîðà ñèììåòðèè êàê γ5τ3 = 2γ5t3.) Îòñþäà, ìû äîëæíû âêëþ÷èòü â ýôôåêòèâíûé ëàãðàíæèàí ñëàãàåìîå

π 0 ( x) A ( x) Fπ

=−

N c e2 48π Fπ 2

ε µνρσ F µν (x)F ρσ (x)π 0 (x) .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(22.2.37)

22.2. Ïðåîáðàçîâàíèå ìåðû. Àáåëåâà àíîìàëèÿ

495

Ñðàâíèâàÿ ýòî âûðàæåíèå ñ îáùåé ôîðìóëîé (22.1.1) äëÿ ýôôåêòèâíîãî ëàãðàíæèàíà ðàñïàäà π0 → 2γ, âèäèì, ÷òî êîíñòàíòà g â (22.1.1) äîëæíà áûòü ðàâíîé 5

g=

N c e2 48π 2 Fπ

.

(22.2.38)

(Ýòî ïîêàçûâàåò, ÷òî íàøà ïðåäûäóùàÿ ãðóáàÿ îöåíêà ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû (22.1.3) áûëà çàâûøåíà íà ìíîæèòåëü 6/Nc.) Òàêèì îáðàçîì, ïðåäñêàçûâàåòñÿ, ÷òî âåðîÿòíîñòü (22.1.2.) ðàñïàäà ïèîíà ðàâíà

Γ(π → 2γ ) = 0

Nc2α 2m3π 144π 3Fπ2

F N IJ =G H3K c

2

× 111 , × 1016 c −1 .

(22.2.39)

Íàáëþäàåìàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà Γ(π0 → 2γ) = (1,19±0,08) × 1016 ñ–1 è îíà õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñ òåîðåòè÷åñêèì ðàñ÷åòîì (22.2.39) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Nc = 3. Óñïåõ ýòîãî âû÷èñëåíèÿ áûë îäíèì èç ïåðâûõ ñâèäåòåëüñòâ òâåðäîé óâåðåííîñòè â ñóùåñòâîâàíèè òðåõ öâåòîâ êâàðêîâ. Êàê ìû âèäåëè â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, âñêîðå ïîñëå îòêðûòèÿ π0 Øòåéíáåðãåð âû÷èñëèë g, èñõîäÿ èç äèàãðàììû ñ îäíîé ïðîòîííîé ïåòëåé, è ïîëó÷èë â ðåçóëüòàòå g = e2G/(32π2mN), ãäå G — ïñåâäîñêàëÿðíàÿ ïèîí-íóêëîííàÿ êîíñòàíòà ñâÿçè. Ýòîò ðåçóëüòàò òî÷íî ñîãëàñîâûâàëñÿ áû ñ (22.2.38) ïðè Nñ = 3, åñëè áû ìû âîñïîëüçîâàëèñü ñîîòíîøåíèåì Ãîëüäáåðãåðà–Òðåéìàíà ñ gA = 1, ÷òîáû ïîëîæèòü G = 2mN/Fπ. Ïðàâèëüíûé ðåçóëüòàò áîëüøå, ÷åì ïîëó÷åííûé Øòåéíáåðãåðîì, íà ìíîæèòåëü gA2 = 1,56. Ïðè÷èíà, ïî êîòîðîé Øòåéíáåðãåð ïîëó÷èë ïî÷òè ïðàâèëüíûé îòâåò, çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îòâåò îïðåäåëÿåòñÿ òðåóãîëüíîé àíîìàëèåé, ïðîïîðöèîíàëüíîé tr{q2t3}. Äëÿ îäíîãî ïðîòîíà ýòîò ñëåä ðàâåí å2, ÷òî ñîâïàäàåò ñ íàéäåííûì âûøå çíà÷åíèåì ñëåäà â ñëó÷àå òðåõ öâåòîâ êâàðêîâ. * * * Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, áîëåå ñòðîãèé âûâîä âûðàæåíèÿ äëÿ àíîìàëèè ìîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ ôóíêöèîíàëüíûå èíòåãðà-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

496

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

ëû â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè. (Ïðèìåíåíèÿ åâêëèäîâûõ ôóíêöèîíàëüíûõ èíòåãðàëîâ êðàòêî îáñóæäàåòñÿ â ïðèëîæåíèè À ê ãë. 23.) Ââîäèì ÷åòâåðòóþ åâêëèäîâó êîîðäèíàòó x4 = ix0 = –ix0, è ñîîòâåòñòâåííî ∂4 = –i∂0, γ4 ≡ iγ0 è A4α = iA0α. Òîãäà ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé îáúåì çàïèñûâàåòñÿ êàê d4x = –i(d4x)E, ãäå (d4x)E — åâêëèäîâ ýëåìåíò îáúåìà (d4x)E = dx1dx2dx3dx4.  åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè ïîëÿ ψ(x) èψ(x) äîëæíû ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ñîâåðøåííî íåçàâèñèìûå, à èõ ëîêàëüíûå êèðàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè ôîðìóëàìè: δψ(x) = iα(x)tγ 5 ψ(x) , δψ(x) = − iα(x)ψ(x)tγ 5 . Ïðåîáðàçîâàíèå ìåðû âíîâü äàåòñÿ âûðàæåíèåì (22.2.10), ñ ôóíêöèåé àíîìàëèè A(x), îïðåäåëÿåìîé ôîðìóëîé (22.2.11). Ââîäÿ, êàê è ðàíåå, ðåãóëÿðèçóþùóþ ôóíêöèþ, ïðèõîäèì ê ôîðìóëå (22.2.13) äëÿ A(x). Áîëüøèì ïðåèìóùåñòâîì åâêëèäîâà ïîäõîäà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ïðè äåéñòâèòåëüíûõ x4 è A4α îïåðàòîð Äèðàêà iD / â (22.2.13) ýðìèòîâ:

/ = i∂ i + tα Aiα γ i , iD

(22.2.40)

ãäå ïî i, j, è ò. ä. ïðîâîäèòñÿ ñóììèðîâàíèå ïî çíà÷åíèÿì 1, 2, 3, 4. Ïîýòîìó îí èìååò îðòîíîðìèðîâàííûå ñïèíîðíûå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ϕκ(x): (22.2.41) / ϕκ = λ κ ϕκ , iD

z

(d 4x) E ϕ κ (x)† ϕ κ ′ (x) = δ κκ ′ ,

(22.2.42)

ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè λκ. Ìû ïðåäïîëàãàåì òàêæå, êàê è âåçäå â äàííîì ðàçäåëå, ÷òî t êîììóòèðóåò ñ iD / , è ìîæíî âûáðàòü ϕκ òàê, ÷òî tϕκ = tκϕκ. Ýòè ñîáñòâåííûå ôóíêöèè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ ïîëíîòû

∑ ϕ κ (x)ϕ †κ (y) = δ 4 (x − y) ⋅ 1 ,

(22.2.43)

κ

ãäå «1» — 4 × 4 åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. Ïîýòîìó ôóíêöèÿ àíîìàëèè ìîæåò áûòü çàïèñàíà êàê ïðåäåë ÿâíî ñõîäÿùåéñÿ ñóììû:

RS d U i ∑ ϕ ( x )ϕ ( x ) V T W ∑ f dλ M idϕ (x)γ ϕ (x)i .

/ 2 M2 A (x) = −2 lim M →∞ Tr γ 5 tf − D = −2 lim M →∞

κ

2 κ

2

† κ

κ

κ

† κ

5 κ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(22.2.44)

22.3. Ïðÿìîå âû÷èñëåíèå àíîìàëèé. Îáùèé ñëó÷àé

497

Ñîâåðøåííî òàê æå, êàê ìû âûâåëè ôîðìóëó (22.2.24) äëÿ ôóíêöèè àíîìàëèè, ìû ìîæåì ïîêàçàòü, ÷òî òåïåðü A ( x) =

1 16 π

2

ε Eijkl Fijα Fklβ tr{tα tβ t} ,

(22.2.45)

E = +1. (Ðàçãäå ε Eijkl — ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð ñ ε1234 íèöà â çíàêàõ â âûðàæåíèÿõ (22.2.24) è (22.2.45) âîçíèêàåò èç-çà òîãî, ÷òî â (22.2.45) îïóùåíû ïî ñðàâíåíèþ ñ (22.2.24) äâà ìíîæèòåëÿ i: îäèí — èç ôîðìóëû (22.2.23), òàê êàê

trD { γ 5 [ γ i , γ j ][ γ k , γ l ] = 16ε Eijkl , à äðóãîé — îò çàìåíû d4k íà (d4k)E â (22.2.20).) Ïóñòü äàíà ëþáàÿ ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ ϕκ(x) îïåðàòîðîâ iD / è t ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì λκ ≠ 0, òîãäà ñóùåñòâóåò äðóãàÿ íîðìèðîâàííàÿ ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ ϕκ–(x) ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè λκ– = –λκ è tκ, ðàâíàÿ ϕκ–(x) = γ5ϕκ(x). (Íàïîìíèì, ÷òî â îáîçíà÷åíèÿõ, èñïîëüçóåìûõ ïî âñåé êíèãå, γ5 — ýðìèòîâà ìàòðèöà, γ5 = –iγ1γ2γ3γ0 = γ1γ2γ3γ4.) Ïîñêîëüêó ϕκ(x) è ϕκ–(x) — ñîáñòâåííûå âåêòîðû ýðìèòîâîãî îïåðàòîðà ñ ðàçíûìè ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè, îíè îðòîãîíàëüíû, òàê ÷òî d 4x ϕ †κ (x) γ 5ϕ κ (x) = 0 . Ïîýòîìó îñòàåòñÿ òîëüêî ñóììà ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì ñ λκ = 0. Ýòè ñîáñòâåííûå ôóíêèè â îáùåì ñëó÷àå íå îáúåäèíåíû â ïàðû; òàê êàê g5 àíòèêîì/ , îíè ìîãóò áûòü âûáðàíû êàê îäíîâðåìåííî îðòîìóòèðóåò ñ iD / ñ ñîáíîðìèðîâàííûå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ϕu, ϕv îïåðàòîðà iD ñòâåííûì çíà÷åíèåì íóëü è îïåðàòîðà γ5 ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè +1 è –1, ñîîòâåòñòâåííî.

z d

i

/ ϕ u = 0 , γ 5ϕ u = ϕ u , iD / ϕ v = 0 , γ 5ϕ v = − ϕ v . iD

(22.2.46)

Èñïîëüçóÿ òî, ÷òî f(0) = 1, âûðàæåíèå (22.2.44) ïðèíèìàåò âèä A ( x ) = −2

LM∑ t dϕ N u

u

† u ( x) ϕ u ( x)

i − ∑ t dϕ (x)ϕ (x)iOPQ . v

† v

v

(22.2.47)

v

Äàëåå, ïîñêîëüêó ϕu è ϕv íîðìèðîâàíû êàê â âûðàæåíèè (22.2.42), èíòåãðàë îò (22.2.47) äàåò

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

498

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

z

( d 4 x) E A ( x ) = − 2

LM∑ t N u

u

OP Q

− ∑ tv , v

(22.2.48)

ãäå ñóììû ïî u è v ïðîáåãàþò ïî ëåâûì è ïðàâûì íóëåâûì ìîäàì îïåðàòîðà iD / , ñîîòâåòñòâåííî.  ÷àñòíîñòè, â ñëó÷àå, êîãäà t — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, ìîæíî ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèÿ (22.2.45) âûðàçèòü ýòî êàê ñâÿçü ìåæäó ôóíêöèîíàëîì êàëèáðîâî÷íîãî ïîëÿ è ÷èñëîì íóëåâûõ ìîä îïåðàòîðà Äèðàêà ñ îïðåäåëåííûìè ñïèðàëüíîñòÿìè: −

1 32 π

2

z

(d 4x) E A (x) ε Eijkl Fαij Fβkl tr[tα tβ ] = n + − n − ,

(22.2.49)

ãäå çäåñü n± — ÷èñëî íóëåâûõ ìîä D / , èìåþùèõ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ γ5 = ±1. Ýòî — çíàìåíèòàÿ òåîðåìà îá èíäåêñå Àòüè–Çèíãåðà 6à. Ñðåäè ïðî÷åãî, îíà ïîêàçûâàåò, ÷òî â ðåçóëüòàòå âàðèàöèé êàëèáðîâî÷íîãî ïîëÿ èíòåãðàë â ëåâîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ (22.2.49) ìîæåò èçìåíÿòüñÿ íå ïëàâíî, à ëèøü íà öåëûå çíà÷åíèÿ, è ïîýòîìó ìîæåò çàâèñåòü òîëüêî îò òîïîëîãèè êàëèáðîâî÷íîãî ïîëÿ. Ýòó çàâèñèìîñòü ìû îïèøåì â ðàçäåëå 23.5. 22.3. Ïðÿìîå âû÷èñëåíèå àíîìàëèé. Îáùèé ñëó÷àé  ðàçäåëå 22.2 ìû âèäåëè, êàê ìîæíî èñïîëüçîâàòü ýëåãàíòíûé ïîäõîä Ôóäæèêàâû äëÿ âû÷èñëåíèÿ àíîìàëèé êèðàëüíûõ ñèììåòðèé â êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèÿõ òèïà êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè, ãäå êàëèáðîâî÷íûå âçàèìîäåéñòâèÿ íå êèðàëüíû, è ôåðìèîííîå ÷èñëî ñîõðàíÿåòñÿ. Ýòîò æå ìåòîä ìîæíî èñïîëüçîâàòü è äëÿ áîëåå îáùèõ çàäà÷, õîòÿ ïðè ýòîì îí ñòàíîâèòñÿ ìåíåå íàãëÿäíûì 7.  ýòîì ðàçäåëå ìû íàéäåì àíîìàëèþ ñ ïîìîùüþ ïðÿìûõ âû÷èñëåíèé, êàê ýòî è áûëî âïåðâûå ñäåëàíî. Ìû ïîëó÷èì ïðè ýòîì ïîëåçíûå íîâûå ïðåäñòàâëåíèÿ îá àíîìàëèÿõ, ÷òî â êîíå÷íîì èòîãå ïîçâîëèò ñ ìèíèìàëüíûìè äîïîëíèòåëüíûìè õëîïîòàìè îáñóäèòü àíîìàëèè â ïðîèçâîëüíûõ òåîðèÿõ. ×òîáû ðàññìîòðåòü îáùèé ñëó÷àé, îáúåäèíèì âñå ëåâûå ôåðìèîííûå ïîëÿ (âêëþ÷àÿ àíòèôåðìèîíû â ñëó÷àÿõ, êîãäà òàêîå ðàçëè÷èå èìååò ñìûñë) â îäèí ñòîëáåö χ. Íàïðèìåð, åñëè ψ — ñòîëáåö,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

22.3. Ïðÿìîå âû÷èñëåíèå àíîìàëèé. Îáùèé ñëó÷àé

499

ñîäåðæàùèé âñå êâàðêîâûå è ëåïòîííûå ïîëÿ (íå ñîâïàäàþùèå ñ àíòèêâàðêîâûìè è àíòèëåïòîííûìè ïîëÿìè), òî

χ≡

LM 1(1 + γ )ψ OP = LM 1(1 + γ )ψ OP , N1[βC (1 − γ )ψ ] Q N1(1 + γ )βCψ Q 5

5

*

5

*

5

(22.3.1)

ãäå Ñ — ìàòðèöà, îïðåäåëåííàÿ â ðàçäåëå 5.4 ñîîòíîøåíèåì C γ Tµ C −1 = − γ µ , êîòîðîå íåîáõîäèìî äëÿ òîãî, ÷òîáû âñå êîìïîíåíòû χ ïðèíàäëåæàëè îäíîìó è òîìó æå ïðåäñòàâëåíèþ (1/2, 0) ãðóïïû Ëîðåíöà. Ïîä äåéñòâèåì èíôèíèòåçèìàëüíîãî êàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ

δψ = iθα 1(1 + γ 5 ) tαL + 1(1 − γ 5 ) tαR ψ,

(22.3.2)

ñîõðàíÿþùåãî ôåðìèîííîå ÷èñëî (ò. å. áàðèîííîå ÷èñëî èëè ðàçíîñòü áàðèîííîãî è ëåïòîííîãî ÷èñåë), ýòîò ñòîëáåö ïîäâåðãàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèþ δχ = iε α Tα χ ,

(22.3.3)

ãäå Tα =

LMt N0

L α

OP LM Q N

tαL 0 = − tαR * 0

OP Q

0 . −(tαR )T

(22.3.4)

Ìû íå áóäåì îãðàíè÷èâàòü ðàññìîòðåíèå òåîðèÿìè, â êîòîðûõ ôåðìèîííîå ÷èñëî ñîõðàíÿåòñÿ, òàê ÷òî Tα ìîãóò òåïåðü áûòü ëþáûìè ýðìèòîâûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè êàëèáðîâî÷íîé àëãåáðû, íå îáÿçàòåëüíî èìåþùèìè áëî÷íî-äèàãîíàëüíóþ ôîðìó (22.3.4). Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì òîëüêî áåçìàññîâûå ôåðìèîíû, è ó÷òåì âëèÿíèå ìàññ ôåðìèîíîâ íåñêîëüêî íèæå. Íàñ èíòåðåñóåò îäíîïåòëåâàÿ òðåõòî÷å÷íàÿ ôóíêöèÿ µνρ Γαβγ (x, y, z) ≡ 〈T{ jαµ (x), jβν ( y), j γρ (z)}〉 VAC ,

(22.3.5)

ãäå jαµ — òîê ôåðìèîíîâ, âû÷èñëåííûé ñ ïîìîùüþ ñâîáîäíûõ ïîëåé:

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

500

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

Ðèñ. 22.1. Äâå òðåóãîëüíûå äèàãðàììû äëÿ àíîìàëèè â òîêå @. Ñïëîøíûå ëèíèè — ôåðìèîíû, âîëíèñòûå ëèíèè èçîáðàæàþò ôèêòèâíûå êàëèáðîâî÷íûå ïîëÿ, ñâÿçàííûå ñ òîêàìè

jαµ = − iχTα γ µ χ .

(22.3.6)

Âêëàä äâóõ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì ðèñ. 22.1 ðàâåí µνρ (x, y, z) = − iTr S(x − y)Tβ γ ν PL S( y − z)Tγ γ ρPL S(z − x)Tα γ µ PL Γαβγ

− iTr S(x − z)Tγ γ ρ PL S(z − y)Tβ γ ν PL S( y − x)Tα γ µ PL ,

(22.3.7)

ãäå PL — îïåðàòîð ïðîåêòèðîâàíèÿ íà ëåâûå ôåðìèîííûå ïîëÿ

PL =

FG 1 + γ IJ , H 2 K 5

(22.3.8)

à S(x) — ïðîïàãàòîð áåçìàññîâîãî ôåðìèîííîãî ïîëÿ: S(x) =

−i (2π)

X d pF − ip/ I e YZ GH p − iε JK 4

4

2

ip ⋅x

.

(22.3.9)

(Äàëüíåéøèå êîììåíòàðèè ïî ïîâîäó òàêîãî èñïîëüçîâàíèÿ ôåéíìàíîâñêèõ ïðàâèë ñì. â êîíöå äàííîãî ðàçäåëà.) Ñîáèðàÿ âñå ìíîæèòåëè â âûðàæåíèè (22.3.7), ïîëó÷àåì

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

22.3. Ïðÿìîå âû÷èñëåíèå àíîìàëèé. Îáùèé ñëó÷àé

µνρ (x, y, z) = Γαβγ

R| S| T

× tr

i (2π)

12

z

501

d 4k1d 4k2 e − i (k1 + k2 )⋅x e ik1 ⋅ y e ik2 ⋅z d 4 p

LM p/ − k/ + a/ γ MN (p − k + a) − iε 1

z

ν

2

1

p/ + a/ p/ + k/ 2 + a/ 1 + γ5 γρ γµ 2 2 ( p + a ) − iε (p + k2 + a) − iε 2

OP PQ

p/ + b/ p/ + k/ 1 + b/ ν µ 1 + γ5 γ γ (p + b)2 − iε (p + k1 + b)2 − iε 2

OP PQ

× tr TβTγ Tα

R| L p/ − k/ + b/ γ S| MMN (p − k + b) − iε T U × tr T T T V , W + tr

2

ρ

2

2

(22.3.11)

γ β α

ãäå çäåñü «tr» îçíà÷àåò ñëåä ëèáî ïî äèðàêîâñêèì, ëèáî ïî ãðóïïîâûì èíäåêñàì â çàâèñèìîñòè îò òîãî âûðàæåíèÿ, êîòîðîå ñòîèò ïîä çíàêîì ñëåäà.  ýòî âûðàæåíèå ââåäåíû ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå 4-âåêòîðû a è b, ïîñêîëüêó, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî âûðàæåíèå (22.3.10) ñõîäèòñÿ è ïîýòîìó íå çàâèñèò îò òîãî, êàê îáîçíà÷åµνρ íû èìïóëüñû âíóòðåííèõ ëèíèé, âû÷èñëåíèå ∂ µ Γαβγ âêëþ÷àåò ìàíèïóëÿöèè ñ ðàñõîäÿùèìèñÿ èíòåãðàëàìè, êîòîðûå çàâèñÿò îò ýòèõ îáîçíà÷åíèé. Ìû óâèäèì, ÷òî ïðîèçâîë â âûáîðå aµ è bµ ñîîòâåòñòâóåò ñâîáîäå ïåðåêèäûâàíèÿ àíîìàëèè â ýòèõ èíòåãðàëàõ îò îäíîãî òîêà ê äðóãîìó, íî íå ïîçâîëÿåò óñòðàíèòü âñå àíîìàëèè. Áåðÿ äèâåðãåíöèþ âûðàæåíèÿ (22.3.10), ìû èñïîëüçóåì òîæäåñòâà

k/ 1 + k/ 2 = (p/ + k/ 2 + a/ ) − (p/ − k/ 1 + a/ ) = (p/ + k/ 2 + b/ ) − (p/ − k/ 2 + b/ ) è íàõîäèì ∂ ∂x

R| S| T

µ

µνρ (x, y, z) = Γαβγ

× tr TβTγ Tα tr

1 (2π)12

z

d 4 k1d 4 k2 e − i (k1 + k2 )⋅x e ik1 ⋅ y e ik2 ⋅z d 4p

z

LM p/ − k/ + a/ γ MN (p − k + a) − iε 1

2

1

ν

p/ + a/ 1 + γ5 γρ 2 ( p + a ) − iε 2

OP − PQ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(22.3.11)

502

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

LM p/ + a/ γ p/ + k/ + a/ γ MN (p + a) − iε (p + k + a) − iε L p/ − k/ + b/ γ p/ + b/ γ tr M MN (p − k + b) − iε (p + b) − iε L p/ + b/ γ p/ + k/ + b/ γ tr M MN (p + b) − iε (p + k + b) − iε ρ

− tr TβTγ Tα tr

2

2

1 + γ5

ν

2

2

2

+ tr Tγ TβTα

ρ

2

2

1 + γ5

ν

2

2

2

− tr Tγ TβTα

ν

1

2

ρ

1 + γ5

2

1

2

OP PQ OP PQ OPU|V. PQ|W

 ýòîì ìåñòå óäîáíî ðàçäåëèòü òðåõòî÷å÷íóþ ôóíêöèþ íà ñèììåòðè÷íûå è àíòèñèììåòðè÷íûå ïî ãðóïïîâûì èíäåêñàì ñëàãàåìûå, çàïèñàâ tr TβTγ Tα = Dαβγ + 1iNCαβγ ,

tr Tγ TβTα = Dαβγ − 1iNCαβγ , ãäå Dαβγ — ïîëíîñòüþ ñèììåòðè÷íàÿ âåëè÷èíà Dαβγ = 1tr Tα , Tβ Tγ ,

n

s

(22.3.12)

à êîýôôèöèåíò â ñòðóêòóðíûõ êîíñòàíòàõ Cαβγ îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì tr Tα Tβ = Nδ αβ . Ñëàãàåìûå, àíòèñèììåòðè÷íûå ïî ãðóïïîâûì èíäåêñàì, â îáùåì ñëó÷àå íå ðàâíû íóëþ, îäíàêî îíè íå îòâå÷àþò êàêîìó-òî íàðóøåíèþ ñèììåòðèè. Êàê è ïðè âûâîäå òîæäåñòâà Óîðäà â ðàçäåëå 10.4, ïðè ôîðìàëüíîì âû÷èñëåíèè äèâåðãåíöèè ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà (22.3.5) ìû ñòàëêèâàåìñÿ ñ âêëàäàìè îò ïðîèçâîäíûõ ïî âðåìåíè òåòà-ôóíêöèé â õðîíîëîãè÷åñêîì ïðîèçâåäåíèè, ðàâíûìè

LM ∂ N ∂x

µ

µνρ (x, y, z) Γαβγ

OP Q

= − iCαβδ δ 4 (x − y) jδν ( y) j γρ (z) ôîðì

− iCαβδ δ 4 (x − z) jβν ( y) jδρ (z)

VAC

VAC

.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(22.3.13)

22.3. Ïðÿìîå âû÷èñëåíèå àíîìàëèé. Îáùèé ñëó÷àé

503

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî àíòèñèììåòðè÷íûå ÷ëåíû â âûðàæåíèè (22.3.11) ïðîñòî âîñïðîèçâîäÿò (22.3.13). Àíîìàëèÿ ñîäåðæèòñÿ â ñèììåòðè÷íîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ (22.3.11):

LM ∂ N ∂x

µ

µνρ (x, y, z) Γαβγ

OP Q

àíîì

1 Dαβγ d 4 k1d 4 k2 e − i(k1 + k2 )⋅x e ik1 ⋅ y e ik2 ⋅z d 4p = 12 (2π)

z

z

|RS LM p/ − k/ + a/ γ p/ + a/ γ |T N (p − k + a) − iε (p + a) − iε L p/ + a/ γ p/ + k/ + a/ γ − tr M N (p + a) − iε (p + k + a) − iε L p/ − k/ + b/ γ p/ + b/ γ + tr M N (p − k + b) − iε (p + b) − iε L p/ + b/ γ p/ + k/ + b/ γ − tr M N (p + b) − iε (p + k + b) − iε

× tr

ν

1

2

1

ρ

2

2

1 + γ5 2

ν

1 + γ5 2

ν

1 + γ5 2

ρ

1 + γ5 2

2

2

ρ

2

2

2

ρ

2

2

ν

1

2

1

2

OP Q OP Q (22.3.14) OP Q OP|UV. Q|W

Îáúåäèíÿÿ ïåðâûé ñëåä ñ ÷åòâåðòûì, à âòîðîé — ñ òðåòüèì, ìîæíî çàïèñàòü ýòî âûðàæåíèå â âèäå

LM ∂ N ∂x

µ

µνρ Γαβγ (x, y, z)

RS L T MN L + tr M γ N

OP Q

= àíîì

× tr γ κ γ ν γ λ γ ρ

ãäå

κ γ νγ λ γ ρ

1 Dαβγ d 4 k1d 4 k2 e − i(k1 + k2 )⋅x e ik1 ⋅ y e ik2 ⋅z (2π)12

z

1 + γ5 2

OP I Q 1+ γ O I 2 PQ

κλ (a

5

κλ

− b − k1 , b, b + k1)

(22.3.15)

U (b − a − k , a, a + k )V , W 2

2

Iκλ (k, c, d) ≡ d 4p fκλ (p + k, c, d) − fκλ (p, c, d) ,

z

fκλ (p, c, d) ≡

(p + c) κ (p + d) λ (p + c)2 − iε (p + d)2 − iε

.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(22.3.16) (22.3.17)

504

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

×òîáû âû÷èñëèòü ýòè èíòåãðàëû, ðàññìîòðèì ðàçëîæåíèå ôóíêöèè fκλ(p + k, c, d) ïî ñòåïåíÿì k:

fκλ (p + k, c, d) =



1

∑ n !k µ1 . . . k µ n

n =0

∂ n fκλ (p, c, d) . ∂pµ1 . . . ∂pµ n

×ëåí íóëåâîãî ïîðÿäêà fκλ(p, c, d) â âûðàæåíèè (22.3.16) ÿâíî ñîêðàùàåòñÿ. Âñå îñòàëüíûå ñëàãàåìûå â (22.3.16) ÿâëÿþòñÿ èíòåãðàëàìè îò ïðîèçâîäíûõ ïî ð, è ïîýòîìó ïîñëå âèêîâñêîãî ïîâîðîòà ìîãóò áûòü çàïèñàíû êàê ïîâåðõíîñòíûå èíòåãðàëû ïî áîëüøîé 3ñôåðå, ñêàæåì, ðàäèóñà Ð. Òîãäà n-ÿ ïðîèçâîäíàÿ f äàåò ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë îò ôóíêöèè, êîòîðàÿ âåäåò ñåáÿ êàê P–2–(n–1), â òî âðåìÿ êàê ïëîùàäü 3-ñôåðû ðàäèóñà Ð âåäåò ñåáÿ êàê Ð3, ïîýòîìó åäèíñòâåííûìè ÷ëåíàìè, êîòîðûå äàþò âêëàä ïðè Ð → ∞ , áóäóò ÷ëåíû ñ n = 1 è n = 2:

Iκλ (k, c, d) = k µ

XY d p ∂f Z 4

κλ (p, c, d) ∂pµ

+

1 µ ν k k 2

XY d p ∂ f (p, c, d) . (22.3.18) ∂p ∂p Z 2

4

κλ µ

ν

Ïîñëå ïðÿìîãî âû÷èñëåíèÿ íàõîäèì I κλ (k, c, d) = 5 ip2 2k λ cκ + 2kκ dλ − kλ dκ − kκ c λ − ηκλ k ⋅ (k + c + d) ,

(22.3.19) Òåïåðü ñëåäóåò îòäåëüíî ðàññìîòðåòü ñëàãàåìûå â ñëåäàõ â âûðàæåíèè (22.3.15), êîòîðûå âîçíèêàþò îò 1 è îò γ5 â ïðîåêöèîííîé ìàòðèöå 1(1 + γ5). Ñëàãàåìûå îò 1 ñîäåðæàò ñëåä tr[γκγνγλγρ], êîòîðûé ñèììåòðè÷åí ïî κ è λ, à òàêæå ïî ν è ρ, òàê ÷òî èíòåãðàëû îáðàçóþò êîìáèíàöèþ

Iκλ (a − b − k1, b, b + k1 ) + Iλκ (a − b − k1, b, b + k1 ) + Iκλ (b − a − k2 , a, a + k2 ) + Iλκ (b − a − k2 , a, a + k2 ) Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (22.3.19), íåòðóäíî óâèäåòü, ÷òî ýòà êîìáèíàöèÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü, åñëè è òîëüêî åñëè ìû âûáåðåì ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå âåêòîðû òàê, ÷òîáû a = −b.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(22.3.20)

22.3. Ïðÿìîå âû÷èñëåíèå àíîìàëèé. Îáùèé ñëó÷àé

505

Êðîìå òîãî, ýòîò âûáîð ïîçâîëÿåò èçáåæàòü íåêèðàëüíîé àíîìàµνρ ëèè äëÿ âñåõ òðåõ òîêîâ, òàê êàê â âûðàæåíèè ∂ ∂y ν Γαβγ (x, y, z) âåêòîðû a è b äîëæíû áûòü çàìåíåíû íà a′ = k2 + a è b′ = –k2 + b, µνρ à â âûðàæåíèè ∂ ∂z ρ Γαβγ (x, y, z) — íà a″ = k1 + a è b″ = –k1 + b, òàê ÷òî âûáîð a = –b îäíîâðåìåííî îáåñïå÷èâàåò âûïîëíåíèå ðàâåíñòâ a′ = –b′ è a″ = b″. Ó íàñ îñòàåòñÿ ñëàãàåìîå â ñëåäå, ñîäåðæàùåå γ5. Îíî ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íî:

d

d

i

i

tr γ κ γ ν γ λ γ ρ γ 5 = −4 iε κνλρ ,

(22.3.21)

ãäå εκνλρ — ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð ñ ε0123 = 1. Ïîäñòàâëÿÿ ýòî â âûðàæåíèå (22.3.15) ñ ó÷åòîì b = –a íàõîäèì:

LM ∂ N ∂x

µ

µνρ (x, y, z) Γαβγ

OP Q

= àíîì

2 Dαβγ d 4 k1d 4k2 e − i(k1 + k2 )⋅x (2π)12 (22.3.22) × e ik1 ⋅ y e ik2 ⋅z π 2 ε κνλρ aκ (k1 + k2 ) λ .

z

µ

Àíîìàëèÿ (22.3.22) â òîêå Jα (x) ìîãëà áû áûòü óñòðàíåíà, åñëè âûáðàòü a ∝ k1 + k2. Õîòÿ òàêîé âûáîð âîçìîæåí, îí âñå æå µνρ íå óñòðàíÿåò àíîìàëèþ âåçäå; îíà ïîÿâèëàñü áû â ∂ ∂y ν Γαβγ (x, y, z) µνρ èëè ∂ ∂z ρ Γαβγ (x, y, z) . Ñèììåòðèÿ çàäà÷è óêàçûâàåò, ÷òî àíîìàëèÿ µνρ áóäåò îòñóòñòâîâàòü â ∂ ∂y ν Γαβγ (x, y, z) , åñëè è òîëüêî åñëè (k2 + a) – (–k2 + b) ∝ k1, èëè èíà÷å, åñëè a + k2 ∝ k1, è áóäåò µνρ îòñóòñòâîâàòü â ∂ ∂z ρ Γαβγ (x, y, z) , åñëè è òîëüêî åñëè (–k1 + a) – (k1 + b) ∝ k2 èëè èíà÷å, åñëè a – k1 µ k2. Ìîæíî âûáðàòü aµ òàê, ÷òîáû óäîâëåòâîðèòü ëþáûì äâóì èç ýòèõ óñëîâèé, òàê ÷òî àíîìàëèÿ ìîæåò áûòü óñòðàíåíà èç ëþáûõ äâóõ òîêîâ, îäíàêî î÷åâèäíî, ÷òî ïðè íåïàðàëëåëüíûõ k1 è k2 íåâîçìîæíî îäíîâðåìåííî óäîâëåòâîðèòü âñåì òðåì óñëîâèÿì a ∝ k1 + k2, a + k2 ∝ k1 è a – k1 ∝ k2. (Íàïðèìåð, èç ïåðâûõ äâóõ óñëîâèé ñëåäóåò, ÷òî a = –k1 – k2 â ïðîòèâîðå÷èè ñ òðåòüèì óñëîâèåì.) Ïîýòîìó ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî õîòÿ ó íàñ è åñòü íåêîòîðàÿ ñâîáîäà â âûáîðå òîãî, êàêîé èç òîêîâ ñîäåðæèò àíîìàëèþ, íî íåîáðàùåíèå â íóëü âåëè÷èí Dαβγ îïðåäåëåííî ïîêàçûâàåò, ÷òî µ àíîìàëèÿ åñòü ïî êðàéíåé ìåðå â îäíîì èç òîêîâ Jα (x) , Jβν ( y) èëè J γρ (z) .  ýòîì çàêëþ÷àåòñÿ îäèí èç ãëàâíûõ ðåçóëüòàòîâ ïðîäåëàííûõ âû÷èñëåíèé, êîòîðûé áóäåò èñïîëüçîâàí â ñëåäóþùåì ðàç-

d

d

i

d

d

i

i

i

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

506

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

äåëå êàê èñòî÷íèê îãðàíè÷åíèé íà ñîäåðæàíèå ïîëåé ìàòåðèè â êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèÿõ. Ìû âèäåëè, ÷òî âû÷èñëåíèå àíîìàëèé çàâèñèò îò âûáîðà âåêòîðà ñäâèãà aµ. Ê ñîæàëåíèþ, íåò íè îäíîãî âûáîðà, êîòîðûé áûë áû óäîâëåòâîðèòåëåí âî âñåõ îòíîøåíèÿõ, òàê ÷òî ìû äîëæíû âûáèðàòü aµ â ñîîòâåòñòâèè ñ êîíêðåòíûìè îñîáåííîñòÿìè ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è.  îäíîì êëàññå î÷åíü âàæíûõ çàäà÷ Jαµ (x) — òîê ãëîáàëüíîé ñèììåòðèè, à Jβν ( y) è J γρ (z) — òîêè êàëèáðîâî÷íûõ ñèììåòðèé, ò. å. òîêè, ñ êîòîðûìè ñâÿçàíû êàëèáðîâî÷íûå ïîëÿ. (Ìû ðàññìàòðèâàëè ïîäîáíóþ çàäà÷ó â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå.)  òàêèõ ñëó÷àÿõ ìû äîëæíû âûáðàòü aµ òàê, ÷òîáû àíîìàëèÿ ñîäåðæàëàñü òîëüêî â Jαµ (x) , íî íå â Jβν ( y) èëè J γρ (z) . Êàê áûëî ïîêàçàíî, äëÿ ýòîãî òðåáóåòñÿ, ÷òîáû a + k2 ∝ k1 è a – k1 ∝ k2, ÷òî ïðèâîäèò ê åäèíñòâåííîìó âûáîðó a = k1 – k2.

(22.3.23)

Åñëè ïðèíÿòü òàêîå çíà÷åíèå aµ, òî àíîìàëèÿ (22.3.22) ðàâíà

LM ∂ N ∂x

µ

µνρ (x, y, z) Γαβγ

OP Q

= àíîì

2

Dαβγ d 4k1d 4k2 e − i( k1 + k2 )⋅x e ik1 ⋅ y e ik2 ⋅z

z

(2π) × 4π 2 ε κνλρk1κ k2 λ

=−

12

1 4π

2

Dαβγ ε κνλρ

(22.3.24)

∂δ (x − y) ∂δ (z − x) 4

∂yκ

4

∂z λ

.

Çàìåòèì ïîïóòíî, ÷òî ïîäîáíûé ðåçóëüòàò ìîæåò âîçíèêíóòü òîëüêî â òåîðèÿõ, âêëþ÷àþùèõ áåçìàññîâûå ÷àñòèöû 7à.  µνρ ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìîæíî îæèäàòü, ÷òî ôóðüå-îáðàç Γαβγ (x, y, z) èìååò ðàçëîæåíèå â ñòåïåííîé ðÿä â îêðåñòíîñòè íóëåâîãî èìïóëüñà. Åäèíñòâåííûå ÷ëåíû â ýòîì ðàçëîæåíèè, êîòîðûå ìîãëè áû ïðèâåñòè ê äèâåðãåíöèè òîêà âèäà (22.3.24), —ýòî ïñåâäîòåíçîðû ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî èìïóëüñàì

LM ∂ N ∂x

µ

µνρ (k1` , k2 ) Γαβγ

OP Q

µνρ (0, y, z) ≡ d 4 yd 4z e − ik1 ⋅ y e − ik2 ⋅z Γαβγ

z

àíîì

= ε µνρσ Aαβγ k1σ + Bαβγ k2σ ,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

àíîì

22.3. Ïðÿìîå âû÷èñëåíèå àíîìàëèé. Îáùèé ñëó÷àé

507

ãäå Aαβγ è Bαβγ — êîíñòàíòû. Ñîãëàñíî óðàâíåíèþ (22.3.24) µνρ (k1 + k2 ) µ Γαβγ (k1` , k2 )

àíîì

=

i 4π 2

Dαβγ ε κνλρk1κ k2λ ,

òàê ÷òî Aαβγ − Bαβγ =

i 4π 2

Dαβγ .

Îäíàêî èç ñèììåòðèè àìïëèòóäû ïî òðåì òîêàì ñëïåäóåò, ÷òî Aαβγ k1σ + Bαβγ k2σ = − Aαγβ k2σ − Bαγβ k1σ = − Aγαβ ( − k1σ − k2σ ) − Bγαβ k2σ ,

òàê ÷òî, ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè k1σ è k2σ, ïîëó÷àåì: Aαβγ = − Bαγβ = A γαβ , Bαβγ = − Aαγβ = A γαβ − Bγαβ .

Áåðÿ ðàçíîñòü ýòèõ óðàâíåíèé, íàõîäèì, ÷òî Aαβγ − Bαβγ = Aαγβ − Bαγβ = Bγαβ .

Òàê êàê ýòà ðàçíîñòü ïðîïîðöèîíàëüíà Dαβγ, òî äîëæíà âûïîëíÿòüñÿ ïîëíàÿ ñèììåòðèÿ, ïîýòîìó Bαβγ, à ñëåäîâàòåëüíî, è Aαβγ, ïîëíîñòüþ ñèììåòðè÷íû. Íî òîãäà óñëîâèÿ ñèììåòðèè òðåõòî÷å÷íîé ôóíêöèè èìåþò âèä À = – =  – À, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî Aαβγ = Bαβγ = 0 â ïðîòèâîðå÷èè ñ âûðàæåíèåì (22.3.24). Ïî òåì æå ñîîáðàæåíèÿì, íåâîçìîæíî ñîêðàòèòü àíîìàëèþ, äîáàâèâ âî âçà-

Ðèñ. 22.2. Îäíîïåòëåâûå äèàãðàììû äëÿ àíîìàëèè â òîêå, îòìå÷åííîì ïóíêòèðíîé ëèíèåé. Ñïëîøíûå ëèíèè — ôåðìèîíû, âîëíèñòûå ëèíèè — êàëèáðîâî÷íûå áîçîíû, ñ êîòîðûìè âçàèìîäåéñòâóþò ôåðìèîíû

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

508

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

èìîäåéñòâèå ëîêàëüíîå ñëàãàåìîå, âêëàä êîòîðîãî â äèâåðãåíöèþ òîêà Jαµ ñîêðàòèò òó äèâåðãåíöèþ, êîòîðàÿ äàåòñÿ âûðàæåíèåì (22.3.24). Âîçâðàùàÿñü òåïåðü ê ôîðìóëå (22.3.24), ìû ìîæåì âûðàçèòü ýòîò ðåçóëüòàò ÷åðåç ñðåäíåå ïî âàêóóìó òîêà Jαµ â ïðèñóòñòâèè êàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé, ñâÿçàííûõ ñ òîêàìè Jβν è J γρ . Âêëàä òðåóãîëüíûõ äèàãðàìì â òîê â ïðèñóòñòâèè êàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé ðàâåí µνρ (x, y, z) Aβν ( y) Aργ (z) . 〈 Jαµ (x)〉 ∆ = −1 d 4 yd 4zΓαβγ

z

(22.3.25)

Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (22.3.24), âèäèì, ÷òî ýòîò âêëàä èìååò àíîìàëüíóþ äèâåðãåíöèþ 〈 ∂ µ Jαµ (x)〉 ∆

àíîì

=−

1 8π 2

Dαβγ ε κνλρ ∂ κ A βν (x)∂ λ Aργ (x) .

(22.3.26)

Íà ðèñ. 22.2 ïîêàçàíû äîïîëíèòåëüíûå äèàãðàììû, òàêæå ñîäåðæàùèå àíîìàëèè. Êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü òðåáóåò, ÷òî äèàãðàììû ðèñ. 22.2 äîëæíû ñêëàäûâàòüñÿ è ïðèâîäèòü ê êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíîìó ðåçóëüòàòó 〈 ∂ µ Jαµ (x)〉

àíîì

=−

1 32π

2

γ β Dαβγ ε κνλρ Fκν (x)Fλρ ( x) .

(22.3.27)

Äëÿ ïðîâåðêè, ðàññìîòðèì òåîðèþ ñ ñîõðàíåíèåì ôåðìèîíîâ ñ ãåíåðàòîðàìè Tα âèäà (22.3.4). Êîíñòàíòà Dαβγ â àíîìàëèè (22.3.26) äàåòñÿ âûðàæåíèåì Dαβγ =

1 2

tr {tαL , tβL } tγL − 1tr {tαR , tβR } tγR

(22.3.28)

Êîíêðåòíåå, â ðàçäåëå 22.2 ìû âû÷èñëÿëè äèâåðãåíöèþ àêñèàëüíîãî òîêà J5µ ñ tL = –tR ≡ t çà ñ÷åò âçàèìîäåéñòâèé êàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé ñ âåêòîðíûìè òîêàìè Jβν è J γρ (îáîçíà÷åííûìè â ðàçäåëå 22.2 ρ êàê J να è Jβ ) ñ tβL = tβR = tβ è àíàëîãè÷íî äëÿ tγ. Ñëåäîâàòåëüíî, â äàííîì ñëó÷àå Dαβγ çàìåíÿåòñÿ íà tr [{t, tβ }tγ ] = tr[{tβ , tγ }t] è âûðàæåíèå (22.3.27) ïðèíèìàåò âèä 〈 ∂ µ J5µ (x)〉

àíîì

=−

1 32 π 2

γ β tr[{tβ , tγ } t] ε κνλρ Fκν (x)Fλρ (x) (22.3.29)

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

22.3. Ïðÿìîå âû÷èñëåíèå àíîìàëèé. Îáùèé ñëó÷àé

509

Êîãäà íè ñ îäíèì èç òîêîâ Jαµ (x) , Jβν ( y) èëè J γρ (z) íå ñâÿçàíî êàêîå-òî êàëèáðîâî÷íîå ïîëå, âûáîð âåêòîðà ñäâèãà aµ ñòàíîâèòñÿ âîïðîñîì óäîáñòâà. Êîãäà íåêîòîðûå (íî íå âñå) òîêè ñâÿçàíû ñî ñïîíòàííî íàðóøåííûìè ñèììåòðèÿìè, ìîæíî ïîëíîñòüþ ñîõðàíèòü íåíàðóøåííûå ñèììåòðèè, åñëè âûáðàòü aµ òàê, ÷òîáû â òîêàõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ íåíàðóøåííûì ñèììåòðèÿì, íå áûëî àíîìàëèé. (Ýòî ñîîáðàæåíèå áóäåò âàæíûìè â ðàçäåëå 22.7.) Íàïðèìåð, â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå è ïîäîáíûõ òåîðèÿõ, ãäå ãåíåðàòîðû Tα ãëîáàëüíûõ ñèììåòðèé òèïà êèðàëüíîé SU(3) × SU(3) èìåþò âèä (22.3.4), âñå òîêè ÿâëÿþòñÿ ëèáî âåêòîðàìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè íåíàðóøåííûì ñèììåòðèÿì, ïðè÷åì tαR = tαL , ëèáî àêñèàëüíûìè âåêòîðàìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè íàðóøåííûì ñèììåòðèÿì, ïðè÷åì tαR = −tαL . Èç ñîîòíîøåíèÿ (22.3.28) ñëåäóåò, ÷òî åäèíñòâåííûìè òðåóãîëüíûìè äèàãðàììàìè ñ àíîìàëèÿìè â ýòîì ñëó÷àå áóäóò ëèáî äèàãðàììû ñ îäíèì àêñèàëüíûì è äâóìÿ âåêòîðíûìè òîêàìè, ëèáî äèàãðàììû ñ òðåìÿ àêñèàëüíûìè òîêàìè.  ñëó÷àå îäíîãî àêñèàëüíîãî è äâóõ âåêòîðíûõ òîêîâ ìû âûáèðàåì aµ òàê, ÷òîáû íå âîçíèêàëà àíîìàëèÿ, èíòåðôåðèðóþùàÿ ñ ñîõðàíåíèåì âåêòîðíûõ òîêîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè Jαµ (x) — àêñèàëüíûé òîê, à Jβν ( y) è J γρ (z) — äâà âåêòîðíûõ òîêà, òî, êàê è â (22.3.23), ìû äîëæíû âûáðàòü a µ = k1µ − k2µ , òàê ÷òî àíîìàëèÿ áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ âûðàæåíèåì (22.3.24). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ñëó÷àå òðåõ àêñèàëüíûõ òîêîâ íåò îñíîâàíèé òðåáîâàòü, ÷òîáû ëþáîé èç íèõ áûë ñâîáîäåí îò àíîìàëèé. Âìåñòî ýòîãî åñòåñòâåííî ïðèäàòü âåêòîðó aµ òàêîå çíà÷åíèå, êîòîðîå íå íàðóøàåò ñèììåòðèè ìåæäó òðåìÿ òîêàìè. Íà îñíîâàíèè ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòè ìîæíî ïîïðîáîâàòü âûáðàòü a = αk1 + βk2, ãäå α è β — êîíñòàíòû. Òîãäà èç ñèììåòðèè áóäåò ñëåäîâàòü, ÷òî èìïóëüñ êàæäîé âíóòðåííåé ëèíèè äîëæåí ðàâíÿòüñÿ ð ïëþñ ïðîèçâåäåíèå α íà èìïóëüñ, âûòåêàþùèé ñ êîíöà ëèíèè, ïëþñ ïðîèçâåäåíèå β íà èìïóëüñ, âûòåêàþùèé ñ íà÷àëà ëèíèè. Èíà÷å ãîâîðÿ, åñëè ìû ïîëîæèì a = αk1 + βk2, òî ñèììåòðèÿ òðåáóåò, ÷òî a – k1 = –α(k1 + k2) + βk2 è a + k2 = αk2 – β(k1 + k2).  ñëó÷àå íåïàðàëëåëüíûõ k1 è k2 ýòè òðè ñîîòíîøåíèÿ óäîâëåòâîðÿþòñÿ, åñëè è òîëüêî åñëè α = –β = 1/3, òàê ÷òî a=

1 3

(k1 − k2 ) .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(22.3.30)

510

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

Ïîäñòàâëÿÿ ýòî â ôîðìóëó (22.3.22) è ñðàâíèâàÿ ñ âûðàæåíèåì (22.3.23), âèäèì, ÷òî àíîìàëèÿ â àêñèàëüíîì òîêå â ôåéíìàíîâñêîé àìïëèòóäå äëÿ òðåõ àêñèàëüíûõ òîêîâ ðàâíà îäíîé òðåòè îò òîé, êîòîðàÿ áûëà áû â ñëó÷àå îäíîãî àêñèàëüíîãî è äâóõ âåêòîðíûõ òîêîâ. Äèâåðãåíöèÿ òîêà ñîäåðæèò äîïîëíèòåëüíûå àíîìàëèè îò äèàãðàìì ðèñ. 22.2. Êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü çäåñü íå ïîìîãàåò, ïîñêîëüêó äàæå âêëàä òðåóãîëüíîé äèàãðàììû íå ïðèâîäèò ê ñîõðàíÿþùèìñÿ òîêàì. Ïîëíàÿ àíîìàëèÿ áûëà âû÷èñëåíà Áàðäèíûì8 äëÿ êèðàëüíîé SU(3) × SU(3) ñèììåòðèè ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé, ïðè÷åì âåêòîðû ñäâèãà ïî èìïóëüñó áûëè âûáðàíû òàê, ÷òî âåêòîðíûå òîêè ñîõðàíÿëèñü, à äèàãðàììû òîëüêî ñî âñåìè àêñèàëüíûìè òîêàìè áûëè ñèììåòðè÷íû ïî ýòèì òîêàì. Õîòÿ â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå òàêàÿ SU(3) × SU(3) ñèììåòðèÿ (äåéñòâóþùàÿ íå íà öâåòà, à íà àðîìàòû êâàðêîâ) íå ÿâëÿåòñÿ êàëèáðîâî÷íîé, óäîáíî âûðàçèòü àíîìàëèþ êàê íàðóøåíèå êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè ôóíêöèîíàëà Γ[V,A] ôèêòèâíûõ ñëàáî ñâÿçàííûõ êàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé: îêòåòà âåêòîðíûõ ïîëåé Vaµ (x) è îêòåòà àêñèàëüíûõ ïîëåé Aaµ (x) . Ââåäåì òàêæå áåñêîíå÷íî ìàëûå îïåðàòîðû êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé *

iYa (x) = − è

iX a (x) = −



δ µ

∂x δVaµ ∂

δ µ

∂x δAaµ

− fabc Vbµ (x)

− fabc Vbµ (x)

δ δVcµ (x) δ

δAcµ (x)

− fabc Abµ (x)

− fabc Abµ (x)

δ

δAcµ (x) (22.3.31) δ

δVcµ (x)

, (22.3.32)

ãäå fabc — ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû SU(3). Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, âûáîð èìïóëüñîâ âíóòðåííèõ ëèíèé ñäåëàí òàê, ÷òî âåêòîðíûé òîê íå ñîäåðæèò àíîìàëèè:

Ya Γ[ V, A] = 0 ,

(22.3.33)

* Çäåñü îïåðàòîðû Ya è Xa — òå æå, ÷òî â ðàáîòå 8 îáîçíà÷àëèñü Xa è Ya. Òàêîå èçìåíåíèå îáîçíà÷åíèé ñäåëàíî äëÿ òîãî, ÷òîáû ñîõðàíèòü ñîãëàñîâàííîñòü ñ îáîçíà÷åíèÿìè ãë. 19, ãäå ãåíåðàòîðû íàðóøåííîé ñèììåòðèè ïîñëåäîâàòåëüíî îáîçíà÷àëèñü Xa.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

22.3. Ïðÿìîå âû÷èñëåíèå àíîìàëèé. Îáùèé ñëó÷àé

511

íî ïðè ýòîì àíîìàëèè ïîÿâëÿþòñÿ â àêñèàëüíûõ òîêàõ

X a Γ[ V, A] =

i

RS L T MN

ε µνρσ Tr λ a Vµν Vρσ +

1

Aµν Aρσ −

32

32π 3 3 8 + i Aµ Aν Vρσ + Aµ Vρσ Aν + Vρσ Aµ Aν , 3 2

Aµ Aν Aρ Aσ

iOPQUVW

d

(22.3.34) ãäå λa — ìàòðèöû SU(3), âûïèñàííûå â ôîðìóëå (19.7.2), à Vµ ≡

1 2

λ a Vµa , Aµ ≡

1 2

λ a Aµ a ,

(22.3.35)

Vµν = ∂ µ Vν − ∂ ν Vµ − i[ Vµ , Vν ] − i[ Aµ , A ν ] ,

(22.3.36)

Aµν = ∂ µ A ν − ∂ ν Aµ − i[ Vµ , A ν ] − i[ Aµ , Vν ] .

(22.3.37)

Êàê óæå îáúÿñíÿëîñü, ïîÿâëåíèå ìíîæèòåëÿ 1/3, ñîïðîâîæäàþùåãî âòîðîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (22.3.34), åñòü ñëåäñòâèå ðàçíîãî âûáîðà aµ â AVV è AAA äèàãðàììàõ.  ðàçäåëå 22.6 ìû îïèøåì óñëîâèÿ ñîãëàñîâàííîñòè, áëàãîäàðÿ êîòîðûì, çíàÿ êâàäðàòè÷íûå ÷ëåíû, ìîæíî âû÷èñëèòü êóáè÷íûå è ÷åòâåðòè÷íûå ÷ëåíû â âûðàæåíèè (22.3.34). Äëÿ àíîìàëèé, âêëþ÷àþùèõ ñèììåòðèè, êîòîðûå âñå ñïîíòàííî íàðóøåíû, íåò îñíîâàíèé âûáèðàòü aµ òàê, ÷òîáû îòëè÷àòü ðàçíûå òîêè. Íàîáîðîò, åñòåñòâåííî ïîìåòèòü èìïóëüñû âíóòðåííèõ ôåðìèîííûõ ëèíèé òàêèì ñïîñîáîì, êîòîðûé ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ïðèêðåïëåííûõ ëèíèé êàëèáðîâî÷íûõ áîçîíîâ. Êàê ìû âèäåëè, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òðåóãîëüíàÿ äèàãðàììà äîëæíà âû÷èñëÿòüñÿ ïðè âûáîðå a = 2(k1 – k2). Ïðè ýòîì âêëàä òðåóãîëüíîé àíîìàëèè ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì 1/3 çíà÷åíèÿ, äàâàåìîãî âûðàæåíèåì (22.3.26). Ñ ó÷åòîì êâàäðàòíûõ è ïÿòèóãîëüíûõ äèàãðàìì ýòîò ðåçóëüòàò ïðèíèìàåò âèä 8à

〈 Dµ Jαµ 〉

àíîì

1

RS L T MN

1 ε κνλρTr Tα ∂ κ Aν ∂ λ Aρ − i∂ κ Aν Aλ Aρ 24 2 1 1 + iAκ ∂ ν Aλ Aρ − Aκ Aν ∂ λ Aρ , 2 2

=−

OPUV QW

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(22.3.38)

512

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

ãäå A µ ≡ AαµTα . Ìû íå ñòàíåì âûâîäèò ýòó ôîðìóëó, ïîñêîëüêó óæå çíàåì, ÷òî â òàêèõ ñëó÷àÿõ êâàäðàòè÷íûå ïî Aµ ÷ëåíû ðàâíû îäíîé òðåòè îò ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷ëåíîâ â (22.3.26), à â ðàçäåëå 22.6 ìû ñóìååì ñ ïîìîùüþ óñëîâèé ñîãëàñîâàííîñòè âûâåñòè âûðàæåíèÿ äëÿ îñòàëüíûõ ñëàãàåìûõ â ôîðìóëå (22.3.38), èñõîäÿ èç êâàäðàòè÷íûõ ñëàãàåìûõ. Òåïåðü ñëåäóåò ðàññìîòðåòü âîçìîæíûå ïîïðàâêè ê ýòèì ðåçóëüòàòàì. Òùàòåëüíûé âûâîä àíîìàëèè âî âñåõ ïîðÿäêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé áûë ñäåëàí Àäëåðîì è Áàðäèíûì 9. Íèæå ìû ïðèâîäèì òîëüêî ñóòü èõ àíàëèçà. Ðàññóæäåíèÿ, êîòîðûå ïðèâåëè ê âûðàæåíèþ (22.3.22), ìîæíî ïîâòîðèòü â ëþáîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé è ïîêàçàòü, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå àíîìàëèÿ âîçíèêàåò îò èíòåãðàëîâ â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå, êîòîðûå ìîæíî çàïèñàòü êàê ïîâåðõíîñòíûå ÷ëåíû. Îòñþäà, êàê ìû óæå âèäåëè â ôîðìóëå (22.3.18), åäèíñòâåííûå äèàãðàììû äëÿ äèâåðãåíöèè òîêà, êîòîðûå äàþò âêëàä â àíîìà-ëèþ, — ýòî òå, ó êîòîðûõ èíòåãðàë ïî èìïóëüñó, öèðêóëèðóþùåìó ïî ôåðìèîííîé ïåòëå, èìååò ðàçìåðíîñòü (â ñòåïåíÿõ èìïóëüñà) íóëü èëè áîëüøå. Âçàèìîäåéñòâèÿ ôåðìèîíîâ â ïåòëå ñ âèðòóàëüíûìè êàëèáðîâî÷íûìè áîçîíàìè óìåíüøèëî áû ðàçìåðíîñòü èíòåãðàëà ïî èìïóëüñó â ôåðìèîííîé ïåòëå â ñòåïåíè, äîñòàòî÷íîé äëÿ óñòðàíåíèÿ àíîìàëèè. Ïîýòîìó âêëàä â àíîìàëèþ îò òàêèõ ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê îòñóòñòâóåò. (Êîíå÷íî, èíòåãðàë ïî èìïóëüñàì âèðòóàëüíûõ êàëèáðîâî÷íûõ áîçîíîâ, à òàêæå ïî ôåðìèîííîé ïåòëå èìåë áû íåîòðèöàòåëüíóþ ðàçìåðíîñòü, íî â ïðîòèâîïîëîæíîñòü ôåðìèîííîìó ïðîïàãàòîðó ìîæíî ðåãóëÿðèçîâàòü ïðîïàãàòîðû êàëèáðîâî÷íûõ áîçîíîâ, íå íàðóøàÿ îáñóæäàåìóþ êèðàëüíóþ ñèììåòðèþ.) Íà àíîìàëèþ âëèÿþò âçàèìîäåéñòâèÿ êàëèáðîâî÷íûõ áîçîíîâ, ïðèêðåïëåííûõ ê ôåðìèîííîé ïåòëå, ñ äðóãèìè êàëèáðîâî÷íûìè áîçîíàìè è ôåðìèîííûìè ïåòëÿìè, íî òàêèå âçàèìîäåéñòâèÿ ñâîäÿòñÿ ê ïåðåγ κνλρ β (x) . Ïî òåì æå ñîîáðàæåFκν (x)Fλρ íîðìèðîâêå îïåðàòîðîâ òèïà ε íèÿì, ëþáàÿ ôåðìèîííàÿ ìàññà, íå íàðóøàþùàÿ îáñóæäàåìûå ñèììåòðèè (åñëè òàêîå áûëî áû âîçìîæíûì), íå èçìåíÿëà áû àíîìàëèþ, ïîñêîëüêó èçâëåêàåìûå èç ýòîé ìàññû ìíîæèòåëè ïîíèæàëè áû ðàçìåðíîñòü èíòåãðàëà â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå. Ïîñëåäíåå çàìå÷àíèå ïðåäûäóùåãî àáçàöà ïîäíèìàåò âîïðîñ, ìîæåì ëè ìû âû÷èñëèòü àíîìàëèþ, íå çíàÿ âñåõ ôåðìèîíîâ â òåîðèè — êàê òÿæåëûõ, òàê è ëåãêèõ èëè áåçìàññîâûõ. Äà, ìû ìîæåì ýòî ñäåëàòü. Ñåé÷àñ ìû ïîêàæåì, ÷òî íè îäèí ôåðìèîí, На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

22.3. Ïðÿìîå âû÷èñëåíèå àíîìàëèé. Îáùèé ñëó÷àé

513

êîòîðîìó äàííàÿ ñèììåòðèÿ ïîçâîëÿåò èìåòü ìàññó, íå äàåò âêëàäà â àíîìàëèþ äëÿ ýòîé ñèììåòðèè. Â ðàññìàòðèâàåìîì çäåñü îáùåì êëàññå òåîðèé ìàññîâîå ñëàãàåìîå â ïëîòíîñòè ëàãðàíæèàíà èìåëî áû âèä

Lìàññ = −



nn ′σσ ′

χ σn ε σσ ′ M nn ′ χ σ ′n ′ + ý. ñ. ,

(22.3.39)

ãäå σ — äâóõêîìïîíåíòíûé ñïèíîðíûé èíäåêñ ïðåäñòàâëåíèÿ (1, 0) ãðóïïû Ëîðåíöà; εσσ′ — àíòèñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà ñ ε 1,−1 = +1, íåîáõîäèìàÿ äëÿ ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòè, à Ì — ñèììåòðè÷íàÿ ìàññîâàÿ ìàòðèöà *. Äàëåå, äëÿ òîãî, ÷òîáû ñëàãàåìîå Lìàññ íå íàðóøàëî êàëèáðîâî÷íóþ èíâàðèàíòíîñòü, ìàññîâàÿ ìàòðèöà äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ

−TαT M = MTα .

(22.3.40)

Èíäåêñ n ìîæíî çàìåíèòü íà èíäåêñ r, îòìå÷àþùèé ðàçëè÷íûå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû, è èíäåêñ s, îòìå÷àþùèé êîìïîíåíòû âíóòðè êàæäîãî íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ, òàê ÷òî (Tα ) rs, r ′s′ = δ rr ′ (Tα( r ) ) s,s′ (22.3.41) è ìîæíî çàïèñàòü

M rs, r ′s′ = (M ( r , r ′) ) s,s′ .

(22.3.42)

Òîãäà âûðàæåíèå (22.3.40) ïðèíèìàåò âèä

*  òåîðèÿõ ñ ñîõðàíåíèåì ÷èñëà ôåðìèîíîâ, ãäå χ èìååò âèä (22.3.1), Ì ñâÿçàíà ñ îáû÷íîé ìàññîâîé ìàòðèöåé m: 1 0 m M= T 0 2 m

FG H

IJ K

Åñëè ïðèíÿòü âñå ôàçû èíâåðñèé ðàâíûìè åäèíèöå, òî èç èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî ïðîñòðàíñòâåííîé èíâåðñèè, çàðÿäîâîãî ñîïðÿæåíèÿ è îòðàæåíèÿ âðåìåíè âûòåêàþò äàëüíåéøèå ñëåäñòâèÿ, ÷òî ìàòðèöà m ýðìèòîâà, ñèììåòðè÷íà èëè äåéñòâèòåëüíà.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

514

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

−Tα( r )T M ( r , r ′) = M ( r , r ′)Tα( r ′) .

(22.3.43)

(Çäåñü íåò ñóììèðîâàíèÿ ïî r èëè r′.) Èç ëåììû Øóðà 10 ñëåäóåò, ÷òî âñÿêèé ðàç, êîãäà ìàòðèöû ïàðû íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ñâÿçàíû òàêèì ñîîòíîøåíèåì, òà ìàòðèöà, êîòîðàÿ ñâÿçûâàåò èõ, ëèáî ðàâíà íóëþ, ëèáî íåñèíãóëÿðíà (ñì. ðàçäåë 5.5.). Òàêèì îáðàçîì, ëèáî M (r,r′) = 0, ëèáî –T α(r)T è T α (r′) ñâÿçàíû ïðåîáðàçîâàíèåì ïîäîáèÿ (ýòî æå îòíîñèòñÿ ê Tβ è Tγ).  ïîñëåäåíåì ñëó÷àå âêëàäû â êîíñòàíòó àíîìàëèè (22.3.12) îò ôåðìèîíîâ, ïðèíàäëåæàùèõ îòäåëüíûì íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâëåíèÿì r è r′, ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì (r) ( r ′) , = − Dαβγ Dαβγ

(22.3.44)

òàê ÷òî àíîìàëèÿ ëèáî èñ÷åçàåò (ïðè r = r′), èëè âêëàäû â íåå îò äâóõ ïðåäñòàâëåíèé ñîêðàùàþòñÿ (ïðè r ≠ r′). Òàêèì îáðàçîì, íà àíîìàëèè â äàííîì ìíîæåñòâå ñèììåòðèé íå îêàçûâàåò âëèÿíèÿ âîçìîæíîå íàëè÷èå ôåðìèîíîâ ñ ìàññàìè, ðàçðåøåííûìè ýòèìè ñèììåòðèÿìè. *** Âåðíåìñÿ ê òîíêîìó ìåñòó â èñïîëüçîâàíèè ôåéíìàíîâñêèõ ïðàâèë äëÿ ðàñ÷åòà òðåõòî÷å÷íîé ôóíêöèè (22.3.7). Èñïîëüçóÿ ñòàíäàðòíûé ôåðìèîííûé ïðîïàãàòîð (22.3.9), ìû ôàêòè÷åñêè óäâîèëè ÷èñëî ôåðìèîííûõ ïîëåé; â äîïîëíåíèå ê ÷èñòî ëåâûì ïîëÿì χ(x), çàäàâàåìûì ôîðìóëàìè (22.3.1), ïðîïàãàòîð (22.3.9) âêëþ÷àåò ïðàâûå ìîäû (íå ñâÿçàííûå ñ ïîëÿìè (1 – γ5)ψ òåîðèé ñ ñîõðàíåíèåì ÷èñëà ôåðìèîíîâ), íå âçàèìîäåéñòâóþùèå ñ êàëèáðîâî÷íûìè ïîëÿìè. Åñëè ñîáðàòü ýòè íåâçàèìîäåéñòâóþùèå ïðàâûå ïîëÿ è âçàèìîäåéñòâóþùèå ëåâûå ïîëÿ â åäèíûé ñïèíîð Ψ, òî ïëîòíîñòü ëàãðàíæèàíà ôåðìèîíîâ ñòàíåò ðàâíîé − ΨD / Ψ , ãäå òåïåðü

/ = ∂/ − iA / αTα D

FG 1 + γ IJ . H 2 K 5

(22.3.45)

Îäíîïåòëåâîé âàêóóìíûé ôóíêöèîíàë äëÿ ïîëåé ñïèíà 1, âçàèìîäåéñòâóþùèõ ñ ðåàëüíûìè èëè ôèêòèâíûìè êàëèáðîâî÷íûìè

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

22.3. Ïðÿìîå âû÷èñëåíèå àíîìàëèé. Îáùèé ñëó÷àé

515

ïîëÿìè, ðàâåí ïðîñòî Det D / . Íàðóøåíèå êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè â ýòîì äåòåðìèíàíòå ìîæíî ïðèïèñàòü òîìó ôàêòó, ÷òî îïåðàòîð (22.3.45) åñòü ñóììà äâóõ ñëàãàåìûõ,

/ = ∂/ D

FG 1 − γ IJ + D/ FG 1 + γ IJ , H 2 K H 2 K 5

5

(22.3.46)

èç êîòîðûõ òîëüêî âòîðîé êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòåí. Åñòü è äðóãîé ïîäõîä ê àíîìàëèÿì 10à, â ðàìêàõ êîòîðîãî ìîæíî âû÷èñëèòü áîëüøîé êëàññ àíîìàëèé, ñâÿçàííûõ ñ êîîðäèíàòíûìè, à òàêæå êàëèáðîâî÷íûìè ñèììåòðèÿìè â ïðîñòðàíñòâàõ ëþáîé ðàçìåðíîñòè. Âìåñòî òîãî, ÷òîáû èìåòü äåëî ñ îïåðàòîðîì (22.3.45) ñ õîðîøî îïðåäåëåííûì äåòåðìèíàíòîì, èç âûðàæåíèÿ (22.3.46) áåðåòñÿ òîëüêî âòîðîå ñëàãàåìîå

/L ≡ D / D

FG 1 + γ IJ . H 2 K 5

(22.3.47)

Îíî ïîëíîñòüþ êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíî, íî èìååò ïëîõî îïðåäåëåííûé äåòåðìèíàíò, ïîñêîëüêó òàêîé îïåðàòîð îòîáðàæàåò ïðîñòðàíñòâî ôåðìèîííûõ ïîëåé îäíîé êèðàëüíîñòè íå â ñåáÿ, à â ïðîñòðàíñòâî ïîëåé äðóãîé êèðàëüíîñòè. Ìîæíî ïîïûòàòüñÿ îïðåäåëèòü êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíûé âàêóóìíûé ôóíêöèîíàë / L , çàïèñàâ äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ Det D / L â ôàêDet D òîðïðîñòðàíñòâå êàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé ïî êàëèáðîâî÷íûì ïðåîáðàçîâàíèÿì, íî òîãäà ìîæíî íàòêíóòüñÿ íà ïðåïÿòñòâèÿ. Åñòü ëîêàëüíûå ïðåïÿòñòâèÿ, ñâÿçàííûå ñ íàðóøåíèÿìè íåîáõîäèìûõ óñëîâèé èíòåãðèðóåìîñòè, è îíè ñîîòâåòñòâóþò óæå îáñóæäàâøèìñÿ àíîìàëèÿì. Íî äàæå êîãäà òàêèõ ëîêàëüíûõ ïðåïÿòñòâèé íåò, â ñëó÷àÿõ, êîãäà áåñêîíå÷íîìåðíîå ôàêòîðïðîñòðàíñòâî êîíôèãóðàöèé êàëèáðîâî÷íîãî ïîëÿ ïî êàëèáðîâî÷íûì ïðåîáðàçîâàíèÿì ÿâëÿåòñÿ íåîäíîñâÿçíûì, òîïîëîãè÷åñêèå ïðåïÿòñòâèÿ ìîãóò ïîìåøàòü îïðåäåëåíèþ îäíîçíà÷íûõ ôóíêöèîíàëîâ â ýòîì ïðîñòðàíñòâå. Ïîäîáíàÿ ãëîáàëüíàÿ àíîìàëèÿ áûëà íàéäåíà Âèòòåíîì 10b äëÿ êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû SU(2) (ñâîáîäíîé îò ëîêàëüíûõ àíîìàëèé) ñ íå÷åòíûì ÷èñëîì áåçìàññîâûõ ëåâûõ ôåðìèîíîâ â SU(2) äóáëåòàõ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

516

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

22.4. Ñâîáîäíûå îò àíîìàëèé êàëèáðîâî÷íûå òåîðèè Ìû âû÷èñëèëè âëèÿíèå àíîìàëèé íà ñîõðàíåíèå ïðîèçâîëüíîãî òîêà Jαµ.  òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ýòîò òîê ñàì ñâÿçàí ñ êàëèáðîâî÷íûì ïîëåì, èç êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè âûòåêàåò, ÷òî àíîìàëèÿ äîëæíà îòñóòñòâîâàòü.  ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ìû âèäåëè, ÷òî àíîìàëèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ïîëíîñòüþ ñèììåòðè÷íîìó ïîñòîÿííîìó ìíîæèòåëþ Dαβγ, îïðåäåëåííîìó ôîðìóëîé (22.3.12), òàê ÷òî äëÿ êàëèáðîâî÷íûõ òîêîâ äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâî 11 Dαβγ =

1 2

o

t

tr Tα , Tβ Tγ = 0 ,

(22.4.1)

ãäå Òα — ïðåäñòàâëåíèå êàëèáðîâî÷íîé àëãåáðû íà ìíîæåñòâå âñåõ ëåâûõ ôåðìèîííûõ è àíòèôåðìèîííûõ ïîëåé, à «tr» âíîâü îçíà÷àåò ñóììó ïî âñåì ýòèì ñîðòàì ôåðìîíîâ è àíòèôåðìèîíîâ. Òàêîå óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ëþáîé êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû, åñëè ôåðìèîííûå ïîëÿ ðåàëèçóþò ïîäõîäÿùåå ïðèâîäèìîå èëè íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå ýòîé ãðóïïû. Êðîìå òîãî, ñóùåñòâóþò íåêîòîðûå êàëèáðîâî÷íûå ãðóïïû, äëÿ êîòîðûõ óñëîâèå (22.4.1) óäîâëåòâîðÿåòñÿ äëÿ ôåðìèîíîâ â ëþáîì ïðåäñòàâëåíèè ãðóïïû. 12 ( ðàçäåëå 22.6 ñ ïîìîùüþ ôîðìàëèçìà Áàòàëèíà–Âèëêîâûñêîãî äàíî ÷èñòî àëãåáðàè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî äëÿ òàêèõ êàëèáðîâî÷íûõ ãðóïï àíîìàëèè îòñóòñòâóþò âî âñåõ ïîðÿäêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé.) Óñëîâèå (22.4.1) î÷åâèäíî óäîâëåòâîðÿåòñÿ, åñëè ïîëÿ ëåâûõ ôåðìèîíîâ (è àíòèôåðìèîíîâ) ðåàëèçóþò ïðåäñòàâëåíèå êàëèáðîâî÷íîé àëãåáðû, êîòîðîå ýêâèâàëåíòíî êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîìó ïðåäñòàâëåíèþ, ò. å.

( iTα )* = S( iTα )S −1 èëè ýêâèâàëåíòíî (ïîñêîëüêó âñåãäà Tα âûáèðàåòñÿ ýðìèòîâûì)

TαT = − STα S −1 .

(22.4.2)

(Ïîäñòàíîâêà ôîðìóëû (22.4.2) â (22.3.12) äàåò Dαβγ = –Dαβγ.) Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå ìîæåò áûòü ëèáî äåéñòâèòåëüíûì, è â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîäîáèÿ T′α =RTαR–1 ïðåîá-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

22.4. Ñâîáîäíûå îò àíîìàëèé êàëèáðîâî÷íûå òåîðèè

517

ðàçîâàòü ïðåäñòàâëåíèå ê âèäó, â êîòîðîì T′α ìíèìû è àíòèñèììåòðè÷íû, ëèáî ïñåâäîäåéñòâèòåëüíûì, è â òàêîì ñëó÷àå ýòî íåâîçìîæíî. (Íàïðèìåð, òðåõìåðíîå íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå SU(2) äåéñòâèòåëüíî, à äâóìåðíîå ïðåäñòàâëåíèå ïñåâäîäåéñòâèòåëüíî.) Àíîìàëèè îòñóòñòâóþò â ñëó÷àå êàëèáðîâî÷íûõ àëãåáð, èìåþùèõ òîëüêî äåéñòâèòåëüíûå èëè ïñåâäîäåéñòâèòåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ, à èìåííî, äëÿ àëãåáð 13 SO(2n+1) (âêëþ÷àÿ SU(2) ≠ SO(3)), SO(4n) ïðè n ≥ 2, USp(2n) ïðè n ≥ 3, G2, F4, E7, E8 è âñåõ èõ ïðÿìûõ ñóìì. Íåñêîëüêî äðóãèõ àëãåáð òàêæå èìåþò òîëüêî òàêèå ïðåäñòàâëåíèÿ, äëÿ êîòîðûõ Dαβγ îáðàùàåòñÿ â íóëü, äàæå íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî íåêîòîðûå èç ýòèõ ïðåäñòàâëåíèé íå îòíîñÿòñÿ ê âåùåñòâåííûì èëè ïñåâäîâåùåñòâåííûì. 12 Ñþäà îòíîñÿòñÿ SO(4n+2) (çà èñêëþ÷åíèåì SO(2) ≠ U(1) è SO(6) ≠ SU(4)) è Å6 è èõ ïðÿìûå ñóììû äðóã ñ äðóãîì è ïåðå÷èñëåííûìè âûøå àëãåáðàìè. Òàêèì îáðàçîì, àíîìàëèè âîçìîæíû òîëüêî äëÿ êàëèáðîâî÷íûõ àëãåáð, âêëþ÷àþùèõ â ïðÿìûå ñóììû àëãåáðû SU(n) (ïðè n ≥ 3) èëè U(1). Òàê ñëó÷èëîñü, ÷òî èìåííî ýòè àëãåáðû ÿâëÿþòñÿ îäíèìè èç ñàìûõ âàæíûõ êàëèáðîâî÷íûõ àëãåáð â ñîâðåìåííîé ôèçèêå. Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü îñíîâàíà íà êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïå SU(3) × SU(2) × U(1), ïîýòîìó äëÿ òîãî, ÷òîáû ñäåëàòü òåîðèþ ñâîáîäíîé îò àíîìàëèé, íóæíî ðàññ÷èòûâàòü íà ñîêðàùåíèÿ ìåæäó êâàðêàìè è ëåïòîíàìè.  òàáë. 22.1 äàíà êëàññèôèêàöèÿ ëåâûõ ñïèíîðíûõ ïîëåé ïåðâîãî ïîêîëåíèÿ ñòàíäàðòíîé ìîäåëè ïî òåì ïðåäñòàâëåíèÿì, êîòîðûå îíè ðåàëèçóþò â öâåòîâîé SU(3) ãðóïïå, ýëåêòðîñëàáîé SU(2) ãðóïïå è ïî çíà÷åíèþ êâàíòîâîãî ÷èñëà ãðóïïû U(1)

y / g′ = t3 / g − q / e . . Òåïåðü ìû ìîæåì ïðîâåðèòü, îáðàùàåòñÿ ëè â íóëü Dαβγ, êîãäà Tα, Tβ è Tγ ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ âñåõ ãåíåðàòîðîâ ãðóïïû SU(3) × SU(2) × U(1). Ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü òîëüêî òå êîìáèíàöèè ãåíåðàòîðîâ, äëÿ êîòîðûõ ïðîèçâåäåíèå Tα, Tβ è Tγ íåéòðàëüíî îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé ãðóïïû SU(3) × SU(2) × U(1), ïîñêîëüêó äëÿ âñåõ îñòàëüíûõ êîìáèíàöèé Dαβγ ñ î÷åâèäíîñòüþ îáðàùàåòñÿ â íóëü. Èíâàðèàíòû ìîæíî ïîñòðîèòü èç SU(3) ãåíåðàòîðîâ, êîëè÷åñòâî êîòîðûõ ðàâíî 0, 2 èëè 3 (ïîñêîëüêó è 8 × 8, è 8 × 8 × 8 ñîäåðæàò ñèíãëåòû), èç 0, 2 èëè 3 SU(2) ãåíåðàòîðîâ è ëþáîãî ÷èñëà U(1) ãåíåðàòîðîâ, òàê ÷òî îñòàåòñÿ ëèøü ïðîâåðèòü ñëåäóþùèå âàðèàíòû.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

518

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè Òàáëèöà 22.1 Ëåâûå ôåðìèîííûå è àíòèôåðìèîííûå ïîëÿ ïåðâîãî ïîêîëåíèÿ â ñòàíäàðòíîé ìîäåëè Ôåðìèîíû

SU(3)

SU(2)

U(1)[y/g]

3

2

–1/6

* uR

3

1

+2/3

* dR

3

1

–1/3

1

2

1/2

1

1

–1

F uI H dK

L

Fν I H eK e

* eR

L

SU(3)–SU(3)–SU(3).  ýòîì ñëó÷àå Dαβγ îáðàùàåòñÿ â íóëü, ïîñêîëüêó ëåâûå ôåðìèîíû ðåàëèçóþò ïðåäñòàâëåíèå 3 + 3 +3 +3 + 1 + 1 + 1 ãðóïïû SU(3), êîòîðîå âåùåñòâåííî. SU(3)–SU(3)–U(1).  ýòîì ñëó÷àå àíîìàëèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà âåëè÷èíå y 1 1 2 1 ∑ = − − + − = 0. 6 6 3 3 3,3 g′ SU(2)–SU(2)–SU(2). Çäåñü íåò àíîìàëèè, ïîñêîëüêó SU(2) èìååò òîëüêî âåùåñòâåííûå èëè ïñåâäîâåùåñòâåííûå ïðåäñòàâëåíèÿ. SU(2)–SU(2)–U(1).  ýòîì ñëó÷àå àíîìàëèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà âåëè÷èíå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

22.4. Ñâîáîäíûå îò àíîìàëèé êàëèáðîâî÷íûå òåîðèè

y



FG 1IJ + 1 = 0 . H 6K 2

=3 −

g′

äóáëåòû

519

U(1)–U(1)–U(1).  ýòîì ñëó÷àå àíîìàëèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà âåëè÷èíå

F yI ∑G J H g′ K

3

FG 1IJ H 6K

=6 −

3

FG 2 IJ H 3K

+3

3

FG 1IJ H 3K

+3 −

3

FG 1IJ H 2K

+2

3

+ (−1)3 = 0 .

Èòàê, âèäíî, ÷òî äëÿ êàëèáðîâî÷íûõ ñèììåòðèé ñòàíäàðòíîé ìîäåëè âñå àíîìàëèè ñîêðàùàþòñÿ 13à. Ýòîò ðåçóëüòàò ìîæíî èçÿùíî îáîñíîâàòü, çàìåòèâ, ÷òî SU(3) × SU(2) × U(1) ìîæåò áûòü ïîãðóæåíà â SO(10) 14. Âñå ïðåäñòàâëåíèÿ SO(10) ñâîáîäíû îò àíîìàëèé, è ýòî æå ñâîéñòâî íàñëåäóåòñÿ ëþáûì ïðèâîäèìûì ïðåäñòàâëåíèåì SU(3) × SU(2) × U(1), ðåàëèçóþùèì ïîëíîå ïðåäñòàâëåíèå SO(10). Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ëåâûå ïîëÿ îäíîãî ïîêîëåíèÿ êâàðêîâ, ëåïòîíîâ, àíòèêâàðêîâ è àíòèëåïòîíîâ, à òàêæå îäèí äîïîëíèòåëüíûé SU(3) × SU(2) × U(1)-ñèíãëåò îáðàçóþò ïîëíîå 16-ìåðíîå ïðåäñòàâëåíèå SO(10) (ôóíäàìåíòàëüíîå ñïèíîðíîå ïðåäñòàâëåíèå), òàê ÷òî äëÿ ýòîãî íàáîðà ëåâûõ ôåðìèîíîâ SU(3) × SU(2) × U(1) àíîìàëèé íåò. Ñèíãëåò â ëþáîì ñëó÷àå íå äàâàë áû âêëàäà â òàêèå àíîìàëèè, òàê ÷òî â êàëèáðîâî÷íûõ ñèììåòðèÿõ ñòàíäàðòíîé ìîäåëè àíîìàëèè îòñóòñòâóþò. Åñòü åùå îäíà òðåáóþùàÿ âû÷èñëåíèÿ àíîìàëèÿ. Âñå ñîðòà ôåðìèîíîâ îäèíàêîâûì îáðàçîì âçàèìîäåéñòâóþò ñ ãðàâèòàöèåé. Ðàñ÷åò äèàãðàììû ôåðìèîííîé ïåòëè äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ òîêà χTγ µ χ (ãäå χ — ñòîëáåö, ñîäåðæàùèé âñå ïîëÿ ëåâûõ ôåðìèîíîâ è àíòèôåðìèîíîâ) â ïðèñóòñòâèè âíåøíåãî ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ ïðèâîäèò ê àíîìàëèè 15 ∂ µ ( χTγ µ χ) , ïðîïîðöèîíàëüíîé tr{T} ε µνρσ Rµνκλ Rρσ κλ .

 ÷àñòíîñòè, ÷òîáû èçáåæàòü ãðàâèòàöèîííîãî íàðóøåíèÿ êàëèáðîâî÷íîé ñèììåòðèè âèäà (22.3.3), ãåíåðàòîðû äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ

tr{ Tα } = 0 .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(22.4.3)

520

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

Êàê è ÷èñòî êàëèáðîâî÷íàÿ àíîìàëèÿ, ýòà àíîìàëèÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü äëÿ êàëèáðîâî÷íûõ ãåíåðàòîðîâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ (22.4.2), ïîýòîìó â íåå íå äàþò âêëàäà ôåðìèîíû, îáðàçóþùèå âåùåñòâåííîå èëè ïñåâäîâåùåñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèå êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû. Ïîýòîìó àíîìàëèþ ìîæíî âû÷èñëèòü, ïðèíÿâ âî âíèìàíèå òîëüêî òå ôåðìèîíû, ìàññû êîòîðûõ âîçíèêàþò îò íàðóøåíèÿ êàëèáðîâî÷íîé ñèììåòðèè. Êðîìå òîãî, ýòî óñëîâèå àâòîìàòè÷åñêè óäîâëåòâîðÿåòñÿ ãåíåðàòîðàìè ëþáûõ ïðîñòûõ ïîäàëãåáð êàëèáðîâî÷íîé àëãåáðû, òèïà SU(2) èëè SU(3). (Äåéñòâèòåëüíî, tr{Tα} åñòü ÷èñëî, êîììóòèðóþùåå ñî âñåìè Tβ, ïîýòîìó, åñëè îíî íå ðàâíî íóëþ, òî àëãåáðà íå ïðîñòà.) Ñëåäîâàòåëüíî, íàì íóæíî òîëüêî ïðîâåðèòü, ÷òî óñëîâèå (22.4.3) óäîâëåòâîðÿåòñÿ U(1) ãåíåðàòîðàìè êàëèáðîâî÷íîé àëãåáðû.  ñòàíäàðòíîé ìîäåëè ñóììà çíà÷åíèé ñëàáîãî ãèïåðçàðÿäà ψ äëÿ âñåõ ëåâûõ ôåðìèîíîâ ðàâíà



y

FG 1IJ + 3 FG 2 IJ + 3 FG − 1IJ + 2 FG 1IJ + (−1) = 0 , H 6K H 3K H 3K H 2K

=6 −

g′

òàê ÷òî â òîêàõ ñòàíäàðòíîé ìîäåëè íåò ãðàâèòàöèîííûõ àíîìàëèé. Òðåáîâàíèå èñ÷åçíîâåíèÿ àíîìàëèé ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàê ðóêîâîäÿùèé ïðèíöèï ïðè ôîðìóëèðîâêå ðåàëèñòè÷íûõ òåîðèé. Íàïðèìåð, çíà÷åíèÿ ñëàáûõ ãèïåðçàðÿäîâ ψ äëÿ ðàçëè÷íûõ SU(3) ´ SU(2) ìóëüòèïëåòîâ ïåðâîíà÷àëüíî áðàëèñü èç ýêñïåðèìåíòà, íî ìîæíî áûëî çàäàòüñÿ âîïðîñîì, ïî÷åìó ýòè ñëàáûå ãèïåðçàðÿäû (è ñîîòâåòñòâóþùèå ñðåäíèå ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû â êàæäîì ìóëüòèïëåòå) ðàâíû íàáëþäàåìûì çíà÷åíèÿì. Äëÿ îòâåòà íà ýòîò âîïðîñ ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû ïðèïèñàëè ïðîèçâîëüíûå ñëàáûå ãèïåðçàðÿäû a, b, c, d, e ìóëüòèïëåòàì (uL, dL), u*R, d*R, (νL, eL), e*R, ñîîòâåòñòâåííî. Óñëîâèÿ ñîêðàùåíèÿ àíîìàëèé ïðèâîäÿò ê ñëåäóþùèì ðàâåíñòâàì. SU(3)–SU(3)–U(1):

∑ y = 2a + b + c = 0 ; 3, 3

SU(2)–SU(2)–U(1):

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

22.4. Ñâîáîäíûå îò àíîìàëèé êàëèáðîâî÷íûå òåîðèè



521

y = 3a + d = 0 ;

äóáëåòû

U(1)–U(1)–U(1):

∑ y3

= 6a3 + 3b3 + 3c3 + 2d3 + e3 = 0 ;

Ãðàâèòîí–ãðàâèòîí–U(1):

∑ y = 6a + 3b + 3c + 2d + e = 0 . Íå ñ÷èòàÿ âîçìîæíîñòè âçàèìîçàìåíû uR è dR, ýòè óðàâíåíèÿ èìåþò òîëüêî äâà ðåøåíèÿ, êîòîðûå ìû íàçîâåì U(1) è U(1)′: U(1): b/a = –4, c/a = 2, d/a = –3, e/a = 6; U(1)′: b = –ñ, a = d = e = 0. Áîëåå òîãî, ýòè ðåøåíèÿ âçàèìîèñêëþ÷àþùèå — ìû íå ìîæåì ïðåäïîëîæèòü, ÷òî îáå ñèììåòðèè U(1) è U(1)′ ÿâëÿþòñÿ ëîêàëüíûìè, ïîñêîëüêó òîãäà âîçíèêíåò U(1)′–U(1)′–U(1) àíîìàëèÿ, ïðîïîðöèîíàëüíàÿ (–4) + (+2) ≠ 0, è U(1)′–U(1)–U(1) àíîìàëèÿ, ïðîïîðöèîíàëüíàÿ (–4)2 – (+2)2 ≠ 0. Ãåíåðàòîð U(1) — ýòî ãèïåðçàðÿä ñòàíäàðòíîé ýëåêòðîñëàáîé òåîðèè (îáùèé ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü âêëþ÷åí â îïðåäåëåíèå êîíñòàíòû g′), â òî âðåìÿ êàê ñèììåòðèÿ U(1)′ íå ñîîòâåòñòâóåò íè÷åìó íàáëþäàåìîìó â ïðèðîäå. Ýòî íåáîëüøîå âû÷èñëåíèå äàåò ðàçóìíîå îáúÿñíåíèå âûáîðó çíà÷åíèé ψ èëè, ýêâèâàëåíòíî, ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ â ñòàíäàðòíîé ìîäåëè è ïîêàçûâàåò, ÷òî åñëè ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû âñå êàëèáðîâî÷íûå àíîìàëèè ñîêðàùàëèñü âíóòðè åäèíñòâåííîãî ïîêîëåíèÿ êâàðêîâ è ëåïòîíîâ, òî íåâîçìîæíî â äîïîëíåíèå ê ñëàáîìó ãèïåðçàðÿäó ñâÿçàòü êàëèáðîâî÷íûé áîçîí ñ ëþáûì äðóãèì U(1) êâàíòîâûì ÷èñëîì. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, õîòÿ ðàçóìíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî SU(3) × SU(2) × U(1) êàëèáðîâî÷íûå áîçîíû ñòàíäàðòíîé ìîäåëè âçàèìîäåéñòâóþò òîëüêî ñ èçâåñòíûìè êâàðêàìè è ëåïòîíàìè (÷òî îäíîâðåìåííî îáúÿñíÿåò, ïî÷åìó íå îòêðûòû äðóãèå ôåðìèîíû, è ñîõðàíÿåò êðàñèâîå ñîêðàùåíèå àíîìàëèé â ñòàíäàðòíîé ìîäåëè), ìîãóò ñóùåñòâîâàòü è äðóãèå U(1)′ êàëèáðîâî÷íûå áîçîíû, âçàèìîäåéñòâóþùèå ñ äðóãèìè, åùå íå îáíàðóæåííûìè (SU(3)×SU(2)× U(1))-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

522

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

íåéòðàëüíûìè ôåðìèîíàìè, à òàêæå ñ èçâåñòíûìè êâàðêàìè è ëåïòîíàìè. Îáîçíà÷èì U(1)′ êâàíòîâûå ÷èñëà ψ′ ìóëüòèïëåòîâ (uL, dL), u*R, d*R, (νL, eL), e*R ñîîòâåòñòâåííî êàê a′, b′, c′, d′, e′. Òàê êàê ìû íè÷åãî íå çíàåì î âîçìîæíûõ (SU(3) × SU(2) × U(1))-íåéòðàëüíûõ ôåðìèîíàõ, òðåáîâàíèå ñîêðàùåíèÿ U(1)′–U(1)′–U(1)′ è ãðàâèòîí–ãðàâèòîí–U(1)′ àíîìàëèé íå ïðèâîäèò ê êàêèì-òî îãðàíè÷åíèÿì íà a′, b′, c′, d′, e′. Îñòàþùèåñÿ óñëîâèÿ ñîêðàùåíèÿ àíîìàëèé èìåþò ñëåäóþùèé âèä. SU(3)–SU(3)–U(1)′′:

∑ y′ = 2a ′ + b ′ + c ′ = 0 ; 3, 3

SU(2)–SU(2)–U(1)′′:



y′ = 3a ′ + d ′ = 0 ;

äóáëåòû

U(1)–U(1)–U(1)′′:

∑ y2 y′ = 6a ′ + 3(−4)2 b′ + 3(2)2 c′ + 2(−3)2 d ′ + (6)2 e′ = 0 ; U(1)–U(1)′′–U(1)′′ :

∑ yy′2

=6a ′ 2 + 3(−4)b ′ 2 + 3(2)c ′ 2 + 2(−3)d ′ 2 + (6)e ′ 2 = 0 .

Îáùåå ðåøåíèå äëÿ ψ′ åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ψ è êâàíòîâîãî ÷èñëà B – L (ãäå  è L — îáû÷íûå áàðèîííîå è ëåïòîííîå ÷èñëà), ïðèíèìàþùåãî çíà÷åíèÿ 1/3, –1/3, –1/3, –1 è +1 äëÿ ìóëüòèïëåòîâ (uL, dL), u*R, d*R, (νL, eL), e*R, ñîîòâåòñòâåííî. Åñëè B – L ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíîé ñèììåòðèåé ñ êîíñòàíòîé, êîòîðàÿ íå íà ìíîãî ïîðÿäêîâ âåëè÷èíû ìåíüøå, ÷åì å, òî îíà äîëæíà áûòü ñïîíòàííî íàðóøåíà, ïîñêîëüêó îáû÷íûå òåëà èìåþò ìàêðîñêîïè÷åñêèå çíà÷åíèÿ B – L. ×òîáû èçáåæàòü ïðîòèâîðå÷èÿ ñ íàáëþäåíèÿìè íåéòðàëüíûõ òîêîâ, õàðàêòåðíàÿ øêàëà F íàðóøåíèÿ òàêîé ñèììåòðèè äîëæíà áûòü áîëüøå, ÷åì ó ýëåêòðîñëàáîé ñèììåòðèè, íî íå îáÿçàòåëüíî íà ìíîãî ïîðÿäêîâ. Òàêèì îáðàçîì, íåéòðàëüíûé âåêòîðíûé áîçîí, íåñêîëüêî òÿæåëåå Z0 è ñâÿçàííûé ñ B – L, ÿâëÿåòñÿ, ïî-âèäèìîìó, íàèáîëåå ïðèåìëåìûì äîïîëíåíèåì ê ñòàíäàðòíîé ìîäåëè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

22.5. Áåçìàññîâûå ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ

523

Âñå ýòî êàñàëîñü îäíîãî ïîêîëåíèÿ ñòàíäàðòíîé ìîäåëè. Äëÿ òðåõ ïîêîëåíèé èìååòñÿ ìíîãî áîëüøå ñâîáîäíûõ îò àíîìàëèé ñèììåòðèé. Îäèí èç êëàññîâ ñèììåòðèé, êîòîðûå íå íàðóøàþòñÿ àíîìàëèÿìè èëè (íàñêîëüêî ìû çíàåì) ÷åì ëèáî åùå, ñîñòîèò èç ðàçíîñòåé ÷èñåë ëåïòîíîâ ðàçíûõ àðîìàòîâ. Íàðÿäó ñ B – L ýòî áóäåò âàæíî ïðè îáñóæäåíèè â ðàçäåëå 23.5 êëàññèôèêàöèè ïîðîæäàåìûõ àíîìàëèÿìè ïðîöåññîâ, íå ñîõðàíÿþùèõ áàðèîííîå è ëåïòîííîå ÷èñëà. 22.5. Áåçìàññîâûå ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ* Èíîãäà âûñêàçûâàþòñÿ ãèïîòåçû, ÷òî êâàðêè è ëåïòîíû ìîãóò áûòü ñâÿçàííûìè ñîñòîÿíèÿìè áîëåå ôóíäàìåíòàëüíûõ ÷àñòèö. Åñëè áû òàêèå ãèïîòåòè÷åñêèå ôóíäàìåíòàëüíûå ÷àñòèöû èìåëè àñèìïòîòè÷åñêè ñâîáîäíûå êàëèáðîâî÷íûå âçàèìîäåéñòâèÿ, àíàëîãè÷íûå òåì, êîòîðûå åñòü â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå, òî ìû áûëè áû âïðàâå îæèäàòü, ÷òî ýòè ÷àñòèöû íàõîäÿòñÿ â ïëåíó, è ýòî îáúÿñíÿëî áû, ïî÷åìó îíè íå íàáëþäàþòñÿ. Îäíàêî òàêàÿ êàðòèíà ïðèâîäèò ê òðóäíîñòÿì. Êàêàÿ-ëèáî âíóòðåííÿÿ ñòðóêòóðà êâàðêîâ è ëåïòîíîâ íèêîãäà íå íàáëþäàëàñü, ïîýòîìó õàðàêòåðíàÿ ýíåðãåòè÷åñêàÿ øêàëà Λ′ (àíàëîãè÷íàÿ øêàëå Λ d 200 Ìý â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå) ýòèõ êàëèáðîâî÷íûõ âçàèìîäåéñòâèé äîëæíà áûòü î÷åíü áîëüøîé. Íàïðèìåð, êàê îòìå÷àëîñü â ðàçäåëå 12.3, ñîãëàñèå ìåæäó òåîðèåé è ýêñïåðèìåíòîì äëÿ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ìþîíà óêàçûâàåò, ÷òî Λ′ > 3 ÒýÂ. Îäíàêî, åñëè íå ñ÷èòàòü ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ, ìû â îáû÷íîé ñèòóàöèè ìîãëè áû îæèäàòü, ÷òî ìàññû ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé â òàêîé òåîðèè ïîðÿäêà Λ′ èëè, ìîæåò áûòü, 2πΛ′, òî÷íî òàê æå, êàê â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå ìàññà ïðîòîíà ïîðÿäêà 2πΛÊÕÄ. Òàêèå îæèäàíèÿ, êîíå÷íî, íàõîäÿòñÿ â êðè÷àùåì ïðîòèâîðå÷èè ñ òåì ôàêòîì, ÷òî íàáëþäàåìûå ìàññû êâàðêîâ è ëåïòîíîâ ìíîãî ìåíüøå Λ′. Ìîæíî çàäàòü âîïðîñ èíà÷å: åñëè ëåïòîíû è êâàðêè ÿâëÿþòñÿ ñâÿçàííûìè ñîñòîÿíèÿìè, òî ïî÷åìó èõ ðàçìåð (èçìåðåííûé ïî çíà÷åíèÿì àíîìàëüíûõ ìàãíèòíûõ ìîìåíòîâ è ò. ï.) íàñòîëüêî ìåíüøå èõ êîìïòîíîâñêîé äëèíû âîëíû? * Ýòîò ðàçäåë ëåæèò íåñêîëüêî â ñòîðîíå îò îñíîâíîé ëèíèè èçëîæåíèÿ è ìîæåò áûòü îïóùåí ïðè ïåðâîì ÷òåíèè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

524

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

Îäèí èç ñïîñîáîâ îòâåòà íà ýòîò âîïðîñ çàêëþ÷àåòñÿ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî, â ïðîòèâîïîëîæíîñòü êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå, â òàêîé òåîðèè èìåþòñÿ íåíàðóøåííûå êèðàëüíûå ñèììåòðèè, îñòàâëÿþùèå êâàðêè è ëåïòîíû áåçìàññîâûìè, åñëè íå ñ÷èòàòü ìàëûõ ïîïðàâîê îò äðóãèõ âçàèìîäåéñòâèé.  îáùåì ñëó÷àå, êèðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ — ýòî ëþáàÿ ñèììåòðèÿ, äëÿ êîòîðîé áåçìàññîâûå ýëåìåíòàðíûå ïîëÿ äàííîé ñïèðàëüíîñòè (âêëþ÷àÿ êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûå ïîëÿ ïðîòèâîïîëîæíîé ñïèðàëüíîñòè) ðåàëèçóþò êîìïëåêñíîå ïðåäñòàâëåíèå. Äåéñòâóÿ íà âàêóóì ïðîèçâåäåíèÿìè ýëåìåíòàðíûõ ïîëåé, ìîæíî ïîñòðîèòü äðóãèå ñîñòîÿíèÿ ñ îïðåäåëåííîé ñïèðàëüíîñòüþ, êîòîðûå òàêæå îáðàçóþò êîìïëåêñíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ýòèõ ñèììåòðèé. Åñëè ëþáîå èç óêàçàííûõ ñîñòîÿíèé ïðåäñòàâëÿåò ðåàëüíóþ ñîñòàâíóþ ÷àñòèöó, òî ýòè ñîñòîÿíèÿ äîëæíû áûòü áåçìàññîâûìè, ïîñêîëüêó âñå ñïèðàëüíûå êîìïîíåíòû ñîñòîÿíèÿ ìàññèâíîé ÷àñòèöû äîëæíû ðåàëèçîâûâàòü òî æå ïðåäñòàâëåíèå ëþáîé ñèììåòðèè, êîììóòèðó-þùåé ñ âðàùåíèÿìè, òàê ÷òî äàííàÿ ñïèðàëüíàÿ êîìïîíåíòà ÷àñòèöû âìåñòå ñ ïðîòèâîïîëîæíîé ïî çíàêó ñïèðàëüíîé êîìïîíåíòîé àíòè÷àñòèöû âìåñòå ðåàëèçóþò âåùåñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèå. Êîíå÷íî, ìîæåò áûòü íå òàê ëåãêî âûÿñíèòü, êàêèå èç ïîñòðîåííûõ òàêèì îáðàçîì ñîñòîÿíèé ñîîòâåòñòâóþò ðåàëüíûì ñîñòàâíûì áåçìàññîâûì ÷àñòèöàì, íî åñëè ýòî ñîîòâåòñòâèå èìååò ìåñòî, áåçìàññîâîñòü òàêèõ ñîñòîÿíèé åñòåñòâåííà, ïîñêîëüêó äëÿ òîãî, ÷òîáû êàêèå-òî áåçìàññîâûå ÷àñòèöû äàííîé ñïèðàëüíîñòè, ïðèíàäëåæàùèå êîìïëåêñíîìó ïðåäñòàâëåíèþ ãðóïïû ñèììåòðèè, ïðè èçìåíåíèè êàêîãî-íèáóäü ïàðàìåòðà òåîðèè ñòàëè ìàññèâíûìè, èõ ñâîéñòâà ñèììåòðèè äîëæíû èçìåíèòüñÿ äèñêðåòíûì îáðàçîì îò êîìïëåêñíîãî ê âåùåñòâåííîìó ïðåäñòàâëåíèþ. Õîòÿ ïîäîáíûå ðàññóæäåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ñóùåñòâóþò òåîðèè, â êîòîðûõ åñòåñòâåííî èìåþòñÿ áåçìàññîâûå èëè î÷åíü ëåãêèå ñîñòàâíûå ÷àñòèöû, îíè íå äàþò íèêàêèõ óêàçàíèé íà òî, êîãäà ýòî ðåàëüíî ïðîèñõîäèò. Âîïðîñ î÷åíü èíòåðåñåí áåçîòíîñèòåëüíî ê ïðîáëåìå ïîíèìàíèÿ êâàðêîâ è ëåïòîíîâ êàê âîçìîæíûõ ñîñòàâíûõ ÷àñòèö. ′Ò Õîôò 16 ïðåäëîæèë ìîùíûé ñïîñîá îòâåòà íà ýòîò âîïðîñ, îñíîâàííûé íà ðàññìîòðåíèè àíîìàëèé. Êîðîòêî, åñëè ôóíäàìåíòàëüíàÿ òåîðèÿ îáëàäàåò ãëîáàëüíûìè êèðàëüíûìè ñèììåòðèÿìè (íå íàðóøåííûìè êàëèáðîâî÷íûìè àíîìàëèÿìè, à òàêæå ñïîíòàííî íå íàðóøåííûìè), ñîñòîÿùèìè èç ïðåîáðàçîâàíèé

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

22.5. Áåçìàññîâûå ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ

525

íàä ýëåìåíòàðíûìè ëåâûìè ôåðìèîíàìè (è àíòèôåðìèîíàìè) ñïèíà 1/2 χ ñ ãåíåðàòîðàìè ñèììåòðèè Tα, Tβ è ò. ä., è åñëè êîíñòàíòà àíîìàëèè tr[{Tα,Tβ}Tγ] ýòèõ ãëîáàëüíûõ ñèììåòðèé íå ðàâíà íóëþ, òî ñïåêòð ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé äîëæåí âêëþ÷àòü áåçìàññîâûå ÷àñòèöû ñïèíà 1/2, íà ëåâûõ ñîñòîÿíèÿõ êîòîðûõ òå æå ñèììåòðèè èíäóöèðóþò ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ ãåíåðàòîðàìè Tα, Tβ è ò. ä. è ñ òîé æå êîíñòàíòîé àíîìàëèè tr [{ T α , Tβ }T γ ] = tr [{Tα , Tβ }Tγ ].

(22.5.1)

Ðàññóæäåíèÿ ′ò Õîôòà áûëè ñëåäóþùèìè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñ ãåíåðàòîðàìè Tα, Tβ è ò. ä. ãëîáàëüíûõ ñèììåòðèé ôóíäàìåíòàëüíîé òåîðèè ñâÿçàíû êàêèå-òî ñëàáîâçàèìîäåéñòâóþùèå êà-ëèáðîâî÷íûå áîçîíû. Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî, õîòÿ íåêîòîðûå êîýôôèöèåíòû Dαβγ ≠ tr[{Tα,Tβ}Tγ] íå ðàâíû íóëþ, ýòà àíîìàëèÿ ñîêðàùàåòñÿ àíîìàëèÿìè, âîçíèêàþùèìè çà ñ÷åò äðóãèõ áåçìàññîâûõ ôåðìèîíî▫íàáëþäàòåëåé», íå îùóùàþùèõ òåõ ñèë, êîòîðûå óäåðæèâàþò â ïëåíó îòäåëüíûå êîìïîíåíòû ñîñòàâíûõ ÷àñòèö. Ïðè ýíåðãèÿõ, ìíîãî ìåíüøèõ õàðàêòåðíîé ýíåðãåòè÷åñêîé øêàëû Λ′ çàïèðàþùèõ âçàèìîäåéñòâèé, ôèçè÷åñêèå ïðîöåññû áóäóò îïèñûâàòüñÿ ýôôåêòèâíûì ëàãðàíæèàíîì, â êîòîðîì íå ñîäåðæàòñÿ çàïåðòûå ôåðìèîíû. Åñëè ñèììåòðèè ñ ãåíåðàòîðàìè Tα, Tβ è ò. ä. ñïîíòàííî íå íàðóøåíû, òî ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ íåò, è åäèíñòâåííûìè ÷àñòèöàìè â ýòîì ýôôåêòèâíîì ëàãðàíæèàíå áóäóò ñëàáîâçàèìîäåéñòâóþùèå êàëèáðîâî÷íûå áîçîíû è ôåðìèîíû-íàáëþäàòåëè, à òàêæå ëþáûå áåçìàññîâûå ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ çàïåðòûõ ôåðìèîíîâ è ñèëüíîâçàèìîäåéñòâóþùèõ êàëèáðîâî÷íûõ áîçîíîâ. Ñàìîñîãëàñîâàííîñòü ýôôåêòèâíîé òåîðèè ïîëÿ òðåáóåò, ÷òîáû îíà áûëà ñâîáîäíà îò àíîìàëèé, íî, ïî ïðåäïîëîæåíèþ, ôåðìèîíû-íàáëþäàòåëè èìåþò êîíñòàíòó àíîìàëèè, ðàâíóþ –Dαβγ, òàê ÷òî äîëæíû ñóùåñòâîâàòü áåçìàññîâûå ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ, îáåñïå÷èâàþùèå ðàâíóþ è ïðîòèâîïîëîæíóþ ïî çíàêó êîíñòàíòó àíîìàëèè, ò. å. ðàâíóþ êîíñòàíòå àíîìàëèè äëÿ èñõîäíûõ çàïåðòûõ ôåðìèîíîâ *. Çàìåòèì, ÷òî ýòî ðàññóæäåíèå îñòàåòñÿ â ñèëå íåçàâèñèìî îò òîãî, íàñêîëüêî ñëàáû * Îñòàåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî ýòè ÷àñòèöû äîëæíû èìåòü ñïèí 1/2. Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ çäåñü íåò, à äðóãèå áåññïèíî-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

526

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

êàëèáðîâî÷íûå âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ãåíåðàòîðàìè Tα, Tβ è ò. ä., òàê ÷òî ýòè êàëèáðîâî÷íûå áîçîíû è íåçàïåðòûå ôåðìèîíû íå äîëæíû áûòü ðåàëüíûìè ÷àñòèöàìè äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðèäòè ê çàêëþ÷åíèþ: áåçìàññîâûå ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ ñïèíà 1/2 âîñïðîèçâîäÿò àíîìàëèè çàïåðòûõ ýëåìåíòàðíûõ ôåðìèîíîâ ñïèíà 1/2, èç êîòîðûõ îíè ïîñòðîåíû.  êà÷åñòâå ïðîñòîãî ïðèìåðà ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíäàìåíòàëüíàÿ òåîðèÿ ñîäåðæèò n «àðîìàòîâ» áåçìàññîâûõ ôåðìèîíîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ èìååò êàê ëåâóþ, òàê è ïðàâóþ êîìïîíåíòû â ôóíäàìåíòàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè N àñèìïòîòè÷åñêè ñâîáîäíîé SU(N) êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû. Ïîòðåáóåì, ÷òîáû N áûëî íå÷åòíûì, òàê, ÷òîáû ìîãëè ñóùåñòâîâàòü íåïëåíåííûå SU(N)-íåéòðàëüíûå ôåðìèîííûå ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ. Êàê è â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå, ýòà òåîðèÿ àâòîìàòè÷åñêè îáëàäàåò ãëîáàëüíîé SUL(n) ´ SUR(n) ´ UV(1) ñèììåòðèåé ñ ëåâûìè è ïðàâûìè áåçìàññîâûìè ôåðìèîíàìè â ïðåäñòàâëåíèÿõ (n, 1) è (1, n) ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ êîòîðûõ UV(1) êâàíòîâîå ÷èñëî èìååò îäèíàêîâîå çíà÷åíèå, ïðèíèìàåìîå çà åäèíèöó.  ôóíäàìåíòàëüíîé òåîðèè äëÿ òðèïëåòîâ òîêîâ SU(n)L–SU(n)L–U(1)Y è SU(n)R–SU(n)R–U(1)Y åñòü íåèñ÷åçàþùèå êîíñòàíòû àíîìàëèé, çíà÷åíèÿ êîòîðûõ ðàâíû DaL ,bL ,0 = DaR ,bR ,0 = Nδ ab ,

(ïðîäîëæåíèå ñíîñêè ñî ñ. 525) âûå ÷àñòèöû íå ìîãóò áûòü åñòåñòâåííûì îáðàçîì áåçìàññîâûìè. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýëåìåíòàðíûå êàëèáðîâî÷íûå áîçîíû òåîðèè íåéòðàëüíû ïî îòíîøåíèþ ê àíîìàëüíûì ïðåîáðàçîâàíèÿì ñèììåòðèè, ïîýòîìó îíè íå ìîãóò äàâàòü âêëàä â àíîìàëèè. Ñîñòàâíûå ÷àñòèöû ñïèíà j ≥ 1 èñêëþ÷àþòñÿ ñ ïîìîùüþ äðóãèõ ðàññóæäåíèé.16à Ìû ðàññìàòðèâàåì òåîðèþ, â êîòîðîé àíîìàëüíûå òîêè ìîæíî ïîñòðîèòü êàê ëîðåíöîâñêèå 4-âåêòîðíûå ôóíêöèè ýëåìåíòàðíûõ ïîëåé ñïèíà 1/2. ×òîáû äàâàòü âêëàä â àíîìàëèþ, ýòè òîêè äîëæíû áûëè áû èìåòü íå ðàâíûå íóëþ ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ìåæäó ëþáûìè áåçìàññîâûìè ñîñòàâíûìè ÷àñòèöàìè ñïèíà j = 1, ÷òî íàðóøàëî áû ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòü. Áåçìàññîâûå ñîñòàâíûå ÷àñòèöû ñïèíà j ≥ 3/2 èñêëþ÷àþòñÿ ïîòîìó, ÷òî â òàêîé òåîðèè ìîæíî ïîñòðîèòü ñîõðàíÿþùèéñÿ òåíçîð ýíåðãèè–èìïóëüñà, êîòîðûé äîëæåí áûë áû èìåòü íå ðàâíûå íóëþ ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè òàêèõ áåçìàññîâûõ ÷àñòèö, è ïðè j ≥ 3/2 ýòî òàêæå íàðóøàëî áû ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòü.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

22.1. Ïðîáëåìà ðàñïàäà π0

527

ãäå a, b, è ò. ä. îòìå÷àþò SU(n) ãåíåðàòîðû λa, íîðìèðîâàííûå òàê, ÷òî â ôóíäàìåíòàëüíîì n-êîìïîíåíòíîì ïðåäñòàâëåíèè tr{λaλb} = 1δab. Ïðè n > 2 åñòü òàêæå íåèñ÷åçàþùèå êîíñòàíòû àíîìàëèé äëÿ SU(n)L– SU(n)L– SU(n)L è SU(n)R–SU(n)R–SU(n)R òîêîâ, ðàâíûå DaL ,bL ,0 = DaR ,bR ,0 = Ntr[{ λ a , λ b }λ c ] . Ìû ïðåäïîëàãàåì çäåñü, ÷òî SUL(n) × SUR(n) × U(1) ñèììåòðèÿ ñïîíòàííî íå íàðóøåíà. Èç-çà ýôôåêòà ïëåíåíèÿ åäèíñòâåííûå ôåðìèîííûå ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ â ôèçè÷åñêîì ñïåêòðå áóäóò ñîäåðæàòüñÿ â ïðåäñòàâëåíèÿõ ýòîé ñèììåòðèè, êîòîðûå ìîæíî îáðàçîâàòü èç mL è mR ýëåìåíòàðíûõ ôåðìèîíîâ ñïèðàëüíîñòè +1 è –1, ñîîòâåòñòâåííî, à òàêæåmL èmR èõ àíòè÷àñòèö, ïðè÷åì

mL + mR − mL − mR = kN ,

(22.5.2)

ãäå k — ëþáîå ïîëîæèòåëüíîå èëè îòðèöàòåëüíîå íå÷åòíîå ÷èñëî. Ñëåäîâàòåëüíî, åäèíñòâåííûìè íåïðèâîäèìûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè (r, s) ãðóïïû SU(n)L × SU(n)R, ñ êîòîðûìè ìû ñòîëêíåìñÿ, áóäóò òå, äëÿ êîòîðûõ r — ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå mL ôóíäàìåíòàëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé SU(n) èmL èì êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ, s — ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå mR ôóíäàìåíòàëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé SU(n) èmR èì êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ, à êâàíòîâîå ÷èñëî U(1)V ðàâíî kN, ãäå k, mL,mL, mR èmR ïîä÷èíÿþòñÿ óñëîâèþ (22.5.2). Ïóñòü p(r,s,k) — êðàòíîñòü ïîÿâëåíèÿ íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ (r,s) ãðóïïû SU(n)L × SU(n)R ñ U(1)V êâàíòîâûì ÷èñëîì kN ñðåäè ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé ñî ñïèðàëüíîñòüþ +1. Òîãäà ôîðìóëà (22.5.1) ïðèíèìàåò âèä

∑ p( r, s, k)dstr ( r ) [{ T a , T b }T c ] = Ntr[{λ a , λ b }λ c ], r , s, k

∑ p( r, s, k)dsktr ( r ) [{ T a , T b }] = tr[{λ a , λ b }] , r , s, k

(22.5.3)

(22.5.4)

ãäå tr(r) îáîçíà÷àåò ñëåä â íåïðèâîäèìîì ïðåäñòàâëåíèè r ãðóïïû SU(n), à ds — ðàçìåðíîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ s ãðóïïû SU(N). Åäèíñòâåííûì äðóãèì îãðàíè÷åíèåì íà p(r,s,k) ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ýòè âåëè÷èíû äîëæíû áûòü ïîëîæèòåëüíûìè öåëûìè ÷èñëàìè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

528

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

Äëÿ êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ( r , s ,− k) ëþáîìó ïðåäñòàâëåíèþ (r,s,k) ãðóïïû SU(2)L × SU(2)R × U(1)V çíà÷åíèÿ ñëåäîâ tr(r)[{Ta,Tb}Tc] è ktr(r)[{Ta,Tb}] ïðîòèâîïîëîæíû ïî çíàêó çíà÷åíèÿì ýòèõ æå ñëåäîâ â ïðåäñòàâëåíèè (r,s,k), òàê ÷òî óñëîâèÿ (22.5.3) è (22.5.4) îãðàíè÷èâàþò òîëüêî çíà÷åíèÿ l( r , s, k) ≡ p( r , s, k) − p( r , s ,− k).

Íàïîìíèì, ÷òî â èñïîëüçóåìûõ çäåñü îáîçíà÷åíèÿõ òàêèå ñëåäû áåðóòñÿ ïî âñåì áåçìàññîâûì ñâÿçàííûì ñîñòîÿíèÿì ñïèðàëüíîñòè +1, âêëþ÷àÿ àíòè÷àñòèöû áåçìàññîâûõ ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé ñïèðàëüíîñòè –1, êîòîðûå ïðåîáðàçóþòñÿ ïî êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûì ïðåäñòàâëåíèÿì. Êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîå ïðåäñòàâëåíèå ê ëþáîìó ïðåäñòàâëåíèþ SU(2) L × SU(2) R × U(1) V èìååò çíà÷åíèÿ tr(r)[{Ta,Tb}Tc] è ktr(r)[{Ta,Tb}], ïðîòèâîïîëîæíûå ïî çíàêó ê çíà÷åíèÿì ýòèõ ñëåäîâ äëÿ ñà ìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ìû ìîæåì ïðîñóììèðîâàòü â (22.5.3) è (22.5.4) òîëüêî ïî ïðåäñòàâëåíèÿì ñ U(1)V êâàíòîâûì ÷èñëîì kN > 0:



l( r, s, k)ds tr ( r ) [{ T a , T b }T c ] = Ntr[{λ a , λ b }λ c ],

r , s, k > 0



l( r, s, k)ds ktr ( r ) [{ T a , T b }] = tr[{λ a , λ b }] ,

r , s, k > 0

(22.5.5) (22.5.6)

ãäå l(r,s,k) ðàâíî êðàòíîñòè ïîÿâëåíèÿ íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ (r,s) ãðóïïû SUL(n) × SUR(n) ñ U(1)V êâàíòîâûì ÷èñëîì kN > 0 ñðåäè ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé ñïèðàëüíîñòè +1 ìèíóñ êðàòíîñòü ïîÿâëåíèÿ òîãî æå ïðåäñòàâëåíèÿ ñðåäè ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé ñïèðàëüíîñòè –1. (Åñëè ÷åòíîñòü íå íàðóøàåòñÿ, òî ïðåäñòàâëåíèå (r,s,k) äîëæíî âîçíèêàòü â ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèÿõ ñïèðàëüíîñòè –1 ñòîëü æå ÷àñòî, êàê ïðåäñòàâëåíèå (s,r,k) —ñðåäè ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé ñïèðàëüíîñòè +1, òàê ÷òî â ýòîì ñëó÷àå l(r,s,k) = –l(s,r,k). Ïðåæäå âñåãî ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ÷èñëî àðîìàòîâ n = 2. Íåâîçìîæíî ñèììåòðè÷íî ñâÿçàòü òðè 3-âåêòîðà, ïîëó÷èâ ïðè ýòîì SU(2) èíâàðèàíò, ïîýòîìó îáå ÷àñòè (22.5.5) àâòîìàòè÷åñêè îáðàùàþòñÿ â íóëü, è îñòàåòñÿ òîëüêî óñëîâèå (22.5.6). Ôóíäàìåíòàëüíîå äâóõêîìïîíåíòíîå ïðåäñòàâëåíèå SU(2) ñîäåðæèòñÿ â ïðîèçâåäåíèè ëþáîãî íå÷åòíîãî ÷èñëà òàêèõ äâóõêîìïîíåíòíûõ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

22.1. Ïðîáëåìà ðàñïàäà π0

529

ïðåäñòàâëåíèé, òàê ÷òî âñåãäà ìîæíî íàéòè ðåøåíèå (22.5.6) ñ l(r,s,k) = 0 äëÿ âñåõ ïðåäñòàâëåíèé SU(2)L × SU(2)R × U(1)V ñ íåòðèâèàëüíûì r, çà èñêëþ÷åíèåì ñëó÷àÿ, êîãäà r åñòü ôóíäàìåíòàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå, s — òðèâèàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå è k = 1, äëÿ êîòîðîãî ìû ïîëàãàåì l = 1. Ê ñîæàëåíèþ, òàêîå ðåøåíèå ñîâåðøåííî íåîäíîçíà÷íî — ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ñïîñîáîâ âîñïðîèçâåäåíèÿ àíîìàëèé ëåæàùåé â îñíîâå ôóíäàìåíòàëüíîé òåîðèè.  ñëó÷àå ïðîèçâîëüíûõ n è N îáû÷íî ìîæíî íàéòè ìíîãî ðåøåíèé óðàâíåíèé (22.5.5) è (22.5.6), íî åñòü ñëó÷àè, êîãäà ðåøåíèé íåò. Äëÿ òàêèõ òåîðèé ìîæíî ïðèäòè ê âûâîäó, ÷òî SU(n)L × SU(n)R × U(1)V ñèììåòðèÿ äîëæíà áûòü ÷àñòè÷íî èëè ïîëíîñòüþ ñïîíòàííî íàðóøåíà. Ýòîò âûâîä èìååò îñîáåííî èíòåðåñíûå ïðèëîæåíèÿ ê êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå, ïîýòîìó ñîñðåäîòî÷èìñÿ íà ñëó÷àå SU(3) êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû. Êîíêðåòíåå, îãðàíè÷èìñÿ ïðåäñòàâëåíèÿìè ñ k = 1 èmL =mR = 0, êîòîðûå ìîæíî ïîñòðîèòü òîëüêî èç òðåõ ôåðìèîíîâ è áåç àíòèôåðìèîíîâ. Ýòè ïðåäñòàâëåíèÿ òàêîâû *: (a) r — ñèììåòðè÷íûé SU(n) òåíçîð òðåòüåãî ðàíãà; s — òðèâèàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå; (b) r — àíòèñèììåòðè÷íûé SU(n) òåíçîð òðåòüåãî ðàíãà; s — òðèâèàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå; (c) r —SU(n) òåíçîð òðåòüåãî ðàíãà ñî ñìåøàííîé ñèììåòðèåé; s — òðèâèàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå; (d) r — ñèììåòðè÷íûé SU(n) òåíçîð âòîðîãî ðàíãà; s — SU(n) âåêòîð; (e) r — àíòèñèììåòðè÷íûé SU(n) òåíçîð âòîðîãî ðàíãà; s — SU(n) âåêòîð; (f) r — SU(n) âåêòîð; s — ñèììåòðè÷íûé SU(n) òåíçîð âòîðîãî ðàíãà; (g) r — SU(n) âåêòîð; s — àíòèñèììåòðè÷íûé SU(n) òåíçîð âòîðîãî ðàíãà; (h) r — òðèâèàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå; s — ñèììåòðè÷íûé SU(n) òåíçîð òðåòüåãî ðàíãà; (i) r — òðèâèàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå; s — àíòèñèììåòðè÷íûé SU(n) òåíçîð òðåòüåãî ðàíãà; * Íèæå âñå SU(N) âåêòîðû è òåíçîðû ñ÷èòàþòñÿ êîíòðàâàðèàíòíûìè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

530

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

(j) r — òðèâèàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå; s — SU(n) òåíçîð òðåòüåãî ðàíãà ñî ñìåøàííîé ñèììåòðèåé. Ïðè n > 2 ôîðìóëû (22.5.5) è (22.5.6) ïðèíèìàþò âèä *

1 2

( n + 3)( n + 6)la +

+ n( n − 4)le +

1 2

1 2

1 2

2

( n − 3)( n − 6)lb + ( n 2 − 9)lc + n( n + 4)ld

n ( n + 1)l f + 2

( n + 2)( n + 3)la +

+ n( n − 2)le +

1

1 2

1 2

n 2 ( n − 1)lg = 3

(22.5.7)

( n − 2)( n − 3)lb + ( n 2 − 3)lc + n( n + 2)ld

n( n + 1)l f +

1 2

n( n − 1)lg = 1 .

(22.5.8)

Íå ñîñòàâëÿåò òðóäà óäîâëåòâîðèòü óñëîâèþ (22.5.7), íî çàìåòèì, ÷òî åñëè n êðàòíî òðåì, òî äëÿ âñåõ çíà÷åíèé l êàæäîå ñëàãàåìîå â ëåâîé ÷àñòè ôîðìóëû (22.5.8) òàêæå êðàòíî òðåì, è óäîâëåòâîðèòü ýòîìó óñëîâèþ íåâîçìîæíî.  ÷àñòíîñòè, ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî SU(3)L × SU(3)R × U(1)V ñèììåòðèÿ êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè ñ òðåìÿ ñîðòàìè áåçìàññîâûõ êâàðêîâ äîëæíà áûòü ñïîíòàííî íàðóøåíà. Ýòî ðåçóëüòàò íå îãðàíè÷èâàåòñÿ ïðåäñòàâëåíèÿìè (a)–(j) è ïðèìåíèì ê ëþáîìó ïðåäñòàâëåíèþ SU(3)L × SU(3)R × U(1)V, êîòîðîå ìîæíî ïîñòðîèòü èç íåéòðàëüíûõ ïî öâåòó êîìáèíàöèé êâàðêîâ è àíòèêâàðêîâ. *** Åñëè íå ñ÷èòàòü ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ, âðîäå êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû SU(3) ñ n = 3 ýëåìåíòàðíûìè ôåðìèîííûìè SU(3) òðèïëåòàìè, óñëîâèå ïîäáîðà àíîìàëèé ′ò Õîôòà íå ñëèøêîì îãðàíè÷èòåëüíî. *  ðàáîòå 16 ′ò Õîôò ïðåäïîëîæèë, ÷òî ÷åòíîñòü ñïîíòàííî íå íàðóøàåòñÿ, ïîýòîìó îí ïðèâåë ýòè ôîðìóëû äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà la = –lh, lb = – li, lc = –lj, ld = –lf è le = –lg. Êàê ìû âèäèì, îñíîâíîé âûâîä íå çàâèñèò îò ñîõðàíåíèÿ ÷åòíîñòè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

22.5. Áåçìàññîâûå ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ

531

 îáùåì ñëó÷àå îíî äîïóñêàåò áîëüøîå êîëè÷åñòâî áåçìàññîâûõ ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé ïðè íåíàðóøåííîé êèðàëüíîé ñèììåòðèè. ′Ò Õîôò ïðåäëîæèë òàêæå óñëîâèå ðàñöåïëåíèÿ, êîòîðîå òðåáóåò, ÷òî êîãäà îäèí èëè áîëåå ñîðòîâ ýëåìåíòàðíûõ ôåðìèîíîâ ñòàíîâÿòñÿ î÷åíü òÿæåëûìè, íå äîëæíî áûòü íåíàðóøåííûõ êèðàëüíûõ ñèììåòðèé, ïðåïÿòñòâóþùèõ ÷àñòèöàì, ñîäåðæàùèì òÿæåëûå ýëåìåíòàðíûå ôåðìèîíû, ïðèîáðåòàòü ìàññû. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå SU(3) öâåòîâîé êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû, åñëè ìû ïðèäàäèì îäíîìó èç n ñîðòîâ êâàðêîâ áîëüøóþ ìàññó, òî òå òðåõôåðìèîííûå ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ, êîòîðûå ñîäåðæàò åäèíñòâåííûé ìàññèâíûé êâàðê, áóäóò ðåàëèçîâûâàòü ïðåäñòàâëåíèÿ (r′,s′) ãðóïïû SU(n – 1) × SU(n – 1) ñëåäóþùèõ òèïîâ: (v) r′ — ñèììåòðè÷íûé SU(n – 1) òåíçîð âòîðîãî ðàíãà; s′ — òðèâèàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå; (w) r′ — àíòèñèììåòðè÷íûé SU(n – 1) òåíçîð âòîðîãî ðàíãà; s′ — òðèâèàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå; (x) r′ è s′ — SU(n) âåêòîðû; (y) r′ — òðèâèàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå; s′ — ñèììåòðè÷íûé SU(n – 1) òåíçîð âòîðîãî ðàíãà; (z) r′ — òðèâèàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå; s′ — àíòèñèììåòðè÷íûé SU(n – 1) òåíçîð âòîðîãî ðàíãà. Äëÿ òîãî, ÷òîáû òðåõôåðìèîííîå ìàññîâîå ñîñòîÿíèå ïðèîáðåëî áîëüøóþ ìàññó, íåîáõîäèìî, ÷òîáû l′(r′,s′) = 0, ãäå l′(r′,s′) — êðàòíîñòü ïîÿâëåíèÿ íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ (r′,s′) ñðåäè ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé ñïèðàëüíîñòè +1 ìèíóñ êðàòíîñòü ïîÿâëåíèÿ òîãî æå ïðåäñòàâëåíèÿ ñðåäè ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé ñïèðàëüíîñòè –1. Èçó÷èâ ñïèñîê òðåõôåðìèîííûõ ïðåäñòàâëåíèé (a)–(j) ãðóïïû SU(n) × SU(n), ÷òîáû óâèäåòü, êàêèå ïðåäñòàâëåíèÿ SU(n – 1) × SU(n – 1) îíè âêëþ÷àþò, ìû ïîëó÷àåì, ÷òî óñëîâèå ðàñöåïëåíèÿ ′ò Õîôòà òðåáóåò, ÷òîáû *

*  ñîõðàíÿþùåì ÷åòíîñòü ñëó÷àå, èçó÷åííîì ′ò Õîôòîì, ÷åòâåðòîå è ïÿòîå óðàâíåíèÿ òîæäåñòâåííû ïåðâîìó è âòîðîìó, à òðåòüå òîæäåñòâåííî îáðàùàåòñÿ â íóëü.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

532

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

0 = lv′ = la + lc + ld , ′ = lb + lc + le , 0 = lw 0 = lx′ = l f + lg + ld + le , 0 = l y′ = l f + lh + l j ,

(22.5.9)

0 = lz′ = lg + l i + l j . Ê ñîæàëåíèþ, â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ âñå æå îñòàåòñÿ áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðåøåíèé, õîòÿ íå ñóùåñòâóåò ðåøåíèé, â êîòîðûõ ÷èñëà l — öåëûå è íåçàâèñÿùèå îò n. Óñëîâèå ðàñöåïëåíèÿ êàæåòñÿ âïîëíå ïðèåìëåìûì, îäíàêî åãî èñïîëüçîâàíèå ′ò Õîôòîì áûëî ïîñòàâëåíî ïîä âîïðîñ 17 íà òîì îñíîâàíèè, ÷òî êîãäà îäíà èëè áîëåå ôåðìèîííûå ìàññû óâåëè÷èâàþòñÿ, îáû÷íî âîçíèêàþò ôàçîâûå ïåðåõîäû, èçìåíÿþùèå ìàññîâûé ñïåêòð ïî ñðàâíåíèþ ñ òåì, êîòîðûé áûë áû ïðè ìàëûõ ìàññàõ ôîðìèîíîâ. Ñóùåñòâóåò áîëåå ñèëüíîå óñëîâèå, èçâåñòíîå êàê æåñòêîå ìàññîâîå óñëîâèå, êîòîðîå òðåáóåò, ÷òî êîãäà îäèí èëè áîëåå ñîðò ýëåìåíòàðíûõ ôåðìèîíîâ ïðèîáðåòàåò ëþáóþ ìàññó, íå äîëæíî áûòü íåíàðóøåííûõ êèðàëüíûõ ñèììåòðèé, ïðåïÿòñòâóþùèõ ïðèîáðåòåíèþ êàêèõ-òî ìàññ ñîñòàâíûì ÷àñòèöàì, ñîäåðæàùèì ýòè ìàññèâíûå ýëåìåíòàðíûå ôåðìèîíû 17. Åñëè æåñòêîå ìàññîâîå óñëîâèå ïðàâèëüíî, îíî ïðèâîäèò ê ðÿäó ñëåäñòâèé, òàêèõ êàê îïèñàííûå ′ò Õîôòîì óñëîâèÿ (22.5.9), êîòîðûå íè ïðè êàêèõ îáñòîÿòåëüñòâàõ íå íàðóøàþòñÿ ôàçîâûìè ïåðåõîäàìè. Ëåãêî ïîñòðîèòü íåðåàëèñòè÷íûå ìîäåëè, â êîòîðûõ æåñòêîå ìàññîâîå óñëîâèå íàðóøàåòñÿ, íàïðèìåð, òåîðèè ñî ñïîíòàííî íàðóøåííûìè íåêèðàëüíûìè ñèììåòðèÿìè, ïðèâîäÿùèìè ê áåçìàññîâûì ãîëäñòîóíîâñêèì áîçîíàì, ñîñòîÿùèì èç ìàññèâíûõ ôåðìèîíîâ 17. ( ýòèõ ìîäåëÿõ ñ ðîñòîì ìàññ ôåðìèîíîâ òàêæå âîçíèêàþò ôàçîâûå ïåðåõîäû, êîòîðûå ñâîäÿò íà íåò âûâîäû ′ò Õîôòà, ïîëó÷åííûå èç óñëîâèÿ ðàñöåïëåíèÿ.) Îäíàêî, êàê ïîêàçàíî â îáñóæäàâøåéñÿ â ðàçäåëå 19.9 ðàáîòå Âàôû è Âèòòåíà, â ðàçíûõ áîëåå ðåàëèñòè÷íûõ ÊÕÄ-ïîäîáíûõ òåîðèÿõ íåêèðàëüíûå ñèììåòðèè íå ìîãóò ñïîíòàííî íàðóøàòüñÿ, ïîýòîìó ñêàçàííîå âûøå íå ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê ñåðüåçíîå âîçðàæåíèå ïðîòèâ æåñòêîãî ìàññîâîãî óñëîâèÿ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

22.6. Óñëîâèÿ ñîâìåñòíîñòè

533

22.6. Óñëîâèÿ ñîâìåñòíîñòè ×èñëåííûé êîýôôèöèåíò, âîçíèêàþùèé â àíîìàëèè äëÿ ëþáîé ñèììåòðèè, çàâèñèò îò òîãî, êàêèå ÷àñòèöû ìàòåðèè ñîäåðæàòñÿ â òåîðèè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ôîðìà àíîìàëèè îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèÿìè ñîâìåñòíîñòè, êîòîðûå âïåðâûå áûëè ïîëó÷åíû Âåññîì è Çóìèíî â 1971 ã. Äàæå â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà íàñ èíòåðåñóþò àíîìàëèè â òîêàõ ãëîáàëüíûõ ñèììåòðèé, äëÿ âûâîäà óñëîâèé ñîâìåñòíîñòè óäîáíî ïðåäñòàâèòü, ÷òî âñå òîêè ñèììåòðèé ñâÿçàíû ñ êàëèáðîâî÷íûìè ïîëÿìè, êîòîðûå â ñëó÷àå íåàáåëåâûõ ñèììåòðèé ñâÿçàíû, êðîìå òîãî, äðóã ñ äðóãîì, òàêèì îáðàçîì, ÷òî ýòè ñèììåòðèè ñòàíîâÿòñÿ ëîêàëüíûìè ñèììåòðèÿìè ïëîòíîñòè ëàãðàíæèàíà. Âñåãäà ìîæíî âåðíóòüñÿ ê ãëîáàëüíîé ñèììåòðèè, ñ÷èòàÿ, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ êàëèáðîâî÷íàÿ êîíñòàíòà ñâÿçè ñòàíîâèòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé. Åñëè íå ïðèíèìàòü âî âíèìàíèå àíîìàëèé, òî ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå Γ[A] â ôîíîâîì êàëèáðîâî÷íîì ïîëå Aαµ(x) áóäåò â òàêîì ôîðìàëèçìå èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî èíôèíèòåçèìàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé Aβµ (y)→Aβµ ( y) + i d 4x ε α (x) Tα (x)Aβµ ( y) êàëèáðîâî÷íîãî ïîëÿ, ãäå ñ öåëüþ âîñïðîèçâåäåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ (15.1.9) ñëåäóåò âçÿòü

z

− iTα (x) = −

∂ δ δ − Cαβγ Aβµ (x) . µ ∂ x δAαµ (x) δAγµ (x)

(22.6.1)

Åñëè ó÷åñòü àíîìàëèè, òî òåïåðü Tα(x) óæå íå îáðàùàåò Γ[A] â íóëü, à âìåñòî ýòîãî

Tα (x)Γ[A] = Gα [x; A],

(22.6.2)

ãäå Gα[x; A] ïðåäñòàâëÿåò ýôôåêò àíîìàëèè. Ôîðìóëó (22.6.2) ìîæíî òàêæå çàïèñàòü êàê ôîðìóëó äëÿ êîâàðèàíòíîé äèâåðãåíöèè ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ òîêà: Dµ Jαµ (x) = − iG α [x; A] ,

ãäå

Jαµ (x) ≡

δ δAαµ (x)

Γ [ A]

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(22.6.3)

(22.6.4)

534

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

à Dµ — êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ (15.1.10), âçÿòàÿ â ïðèñîåäèíåííîì ïðåäñòàâëåíèè ñ (tβ)γα = -iCαβγ. Óñëîâèÿ ñîâìåñòíîñòè Âåññà–Çóìèíî ñëåäóþò èç êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé *

[ Tα (x), Tβ (y)] = iCαβγ δ 4 (x − y)T γ (x) .

(22.6.5)

Èç ôîðìóë (22.6.2) è (22.6.5) âûâîäèì îáùåå óñëîâèå ñîâìåñòíîñòè

T α (x)Gβ [ y; A] − Tβ (y)Gα [x; A] = iCαβγ δ 4 (x − y)G γ [y; A] . (22.6.6) Ýòè óñëîâèÿ áûëè âïåðâûå âûâåäåíû Âåññîì è Çóìèíî äëÿ êèðàëüíîé SU(3) × SU(3) ñèììåòðèè ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé — ñëó÷àÿ, ïðåäñòàâëÿþùåãî íå òîëüêî ôèçè÷åñêèé, íî è èñòîðè÷åñêèé èíòåðåñ. Çäåñü ãåíåðàòîðû Tα(x), äåéñòâóþùèå íà êàëèáðîâî÷íûå ïîëÿ, ñîñòîÿò èç ãåíåðàòîðîâ ñ ïîëîæèòåëüíîé ÷åòíîñòüþ Ya(x), îïðåäåëåííûõ ôîðìóëîé (22.3.31), è ãåíåðàòîðîâ Xa(x) ñ îòðèöàòåëüíîé ÷åòíîñòüþ, îïðåäåëåííûõ â (22.3.32) **. Îíè óäîâëåòâîðÿþò êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì [ Ya (x), Yb ( y)] = iδ 4 (x − y) fabc Yc (x) , [ Ya (x), X b ( y)] = iδ 4 (x − y) fabc X c (x) , [X a (x), X b ( y)] = iδ 4 (x − y) fabc Yc (x) ,

ãäå fabc — ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû SU(3). Òàê êàê SU(3) ïîäãðóïïà, ãåíåðèðóåìàÿ îïåðàòîðàìè Ya, ñïîíòàííî íå íàðóøåíà, óäîáíî * Ìíîæèòåëü –i áûë âêëþ÷åí â (22.6.1) äëÿ òîãî, ÷òîáû îáåñïå÷èòü ñòàíäàðòíûé ìíîæèòåëü +i, ñîïðîâîæäàþùèé ñòðóêòóðíóþ êîíñòàíòó Cαβγ â ýòîì êîììóòàöèîííîì ñîîòíîøåíèè. Íàïîìèíàíèå: ìû èñïîëüçóåì áàçèñ àëãåáð Ëè, â êîòîðîì ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íû, è ïîýòîìó íå äîëæíû ðàçëè÷àòü âåðõíèå è íèæíèå êàëèáðîâî÷íûå èíäåêñû. ** Åùå îäíî íàïîìèíàíèå: êàê îòìå÷àëîñü â ðàçäåëå 22.3, èñïîëüçóåìûå çäåñü ãåíåðàòîðû Xa è Ya â ðàáîòå [8] íàçûâàëèñü, ñîîòâåòñòâåííî, Ya è Xa.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

22.6. Óñëîâèÿ ñîâìåñòíîñòè

535

ðàññìàòðèâàòü èíòåãðèðîâàíèå ïî èìïóëüñàì ôåðìèîíîâ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ñîõðàíèòü èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî ãåíåðèðóåìûõ ýòèìè îïåðàòîðàìè êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé, òàê ÷òî

Ya (x)Γ = 0 , Ïðè ýòîì îñòàåòñÿ íåíóëåâàÿ àíîìàëèÿ

X a (x)Γ = Ga (x) . Ïîýòîìó íåòðèâèàëüíûå óñëîâèÿ ñîâìåñòíîñòè ïðèíèìàþò âèä Ya (x)G b ( y) = iδ 4 (x − y) fabc G c (x)

è

X a (x)Gb (y) − X b (x)Ga (y) = 0 .

Ïåðâîå èç íèõ ïðîñòî óòâåðæäàåò, ÷òî Ga(x) ïðåîáðàçóåòñÿ êàê îêòåò îòíîñèòåëüíî îáû÷íûõ SU(3) ïðåîáðàçîâàíèé. Âòîðîå óñëîâèå íàêëàäûâàåò äðóãèå ñèëüíûå îãðàíè÷åíèÿ íà Ga(x). ×èòàòåëü ìîæåò ïðîâåðèòü, ÷òî ýòî óñëîâèå óäîâëåòâîðÿåòñÿ ïðè ïîäñòàíîâêå ôîðìóëû Áàðäèíà (22.3.34) äëÿ Ga(x). Ìû íå áóäåì âõîäèòü â äåòàëè, à âìåñòî ýòîãî ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè ïðîèçâîëüíóþ êàëèáðîâî÷íóþ òåîðèþ, â êîòîðîé âñå òîêè ðàññìàòðèâàþòñÿ ñèììåòðè÷íûì îáðàçîì. Äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ â ðàçäåëå 22.3 áûëà ïðèâåäåíà ôîðìóëà (22.3.8) äëÿ àíîìàëèè, íî â íåé íå áûëè âûâåäåíû ÷ëåíû áîëåå âûñîêîãî, ÷åì âòîðîé, ïîðÿäêà ïî êàëèáðîâî÷íûì ïîëÿì. Çäåñü ìû ïîêàæåì, ÷òî ýòè ÷ëåíû äèêòóþòñÿ óñëîâèÿìè ñîâìåñòíîñòè (22.6.6). Äëÿ ýòîãî, à òàêæå äëÿ âîçìîæíûõ ïîñëåäóþùèõ îáîáùåíèé, î÷åíü óäîáíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü ñèñòåìó óñëîâèé ñîâìåñòíîñòè Âåññà–Çóìèíî êàê óñëîâèå èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî îïèñàííûõ â ðàçäåëå 15.7 ÁÐÑÒ ïðåîáðàçîâàíèé. Ââåäåì ãîñòîâñêîå ïîëå ωα è îïðåäåëèì íèëüïîòåíòíûé ÁÐÑÒ îïåðàòîð äëÿ ïðîèçâîëüíîé êàëèáðîâî÷íîé òåîðèè ðàâåíñòâàìè sAαµ = ∂ µ ω α + Cαβγ Aβµ ω γ ,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(22.6.7)

536

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

sω α = −

1 Cαβγ ω β ω γ , 2

(22.6.8)

ïîíèìàÿ ïðè ýòîì, ÷òî s óäîâëåòâîðÿåò äèñòðèáóòèâíîìó çàêîíó s(AB) = (sA)B ± A(sB), ïðè÷åì çíàê îòðèöàòåëåí, åñëè À — ôåðìèîííàÿ âåëè÷èíà òèïà ωα, è ïîëîæèòåëåí âî âñåõ îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ. Âìåñòî ôóíêöèè àíîìàëèè Gα[x;A] áóäåì ðàáîòàòü ñ ôóíêöèîíàëîì

G[ω, A] = ω α (x)Gα [x; A]d 4x .

z

(22.6.9)

Òîãäà (èìåÿ â âèäó, ÷òî ωα — ôåðìèîííàÿ âåëè÷èíà)

1 Cαβγ d 4xω β (x)ω γ (x)Gα [x; A] 2 ∂ ω β ( y) δGα [x; A] − d 4xω α (x) d 4 y + Cβγδ Aγµ ( y)ω δ ( y) µ ∂y δAβµ ( y)

sG[ω, A] = −

z

X YZ

X LM YZ N

OP Q

= d 4x d 4 yω α (x)ω β ( y) −1Cαβγ δ 4 (x − y)G γ [x; A]

z z

+ iTβ ( y)Gα [x; A] . Òàê êàê ïîëÿ ãîñòîâ àíòèêîììóòèðóþò äðóã ñ äðóãîì, ýòî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå 1 4 d x d 4 yω α (x)ω β ( y) 2 × iCαβγ δ 4 (x − y)G γ [x; A] + Tβ ( y)G α [x; A] − T α (x)Gβ [ y; A] .

sG[ω, A] = −

z z

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî óñëîâèå ñîâìåñòíîñòè (22.6.6) áóäåò âûïîëíåíî, åñëè è òîëüêî åñëè äëÿ âñåõ ãîñòîâñêèõ ïîëåé ωα(x) G[ω;A] ÿâëÿåòñÿ ÁÐÑÒ èíâàðèàíòîì: sG [ω, A] = 0 .

(22.6.10)

Ðàññìîòðèì òåïåðü âîçìîæíîñòü, ÷òî àíîìàëèÿ G[ω;A] ìîæåò áûòü çàïèñàíà êàê ÁÐÑÒ îïåðàòîð s, ëåéñòâóþùèé íà ëîêàëüíûé ôóíêöèîíàë F[A]:

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

22.6. Óñëîâèÿ ñîâìåñòíîñòè

537

G [ω, A] = sF[ A] .

(22.6.11)

(Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèîíàë F ñ íåîáõîäèìîñòüþ íå çàâèñèò îò ïîëåé äóõîâ, ïîñêîëüêó îïåðàòîð s äîáàâëÿåò îäèí ìíîæèòåëü äóõîâîãî ïîëÿ, à àíîìàëüíûé ôóíêöèîíàë G óæå ëèíååí ïî äóõîâîìó ïîëþ.) Îïåðàòîð ÁÐÑÒ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ s2 = 0, ïîýòîìó òàêàÿ àíîìàëèÿ áóäåò óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ ñîâìåñòíîñòè sG = 0. Åñëè F[A] — ëîêàëüíûé ôóíêöèîíàë * êàëèáðîâî÷íîãî ïîëÿ, òî åãî ìîæíî âû÷åñòü èç äåéñòâèÿ, òåì ñàìûì ñîêðàòèâ àíîìàëèþ. Ýòî æå âåðíî äëÿ ëþáîãî ñëàãàåìîãî â àíîìàëèè, êîòîðîå ìîæåò áûòü çàïèñàíî êàê ÁÐÑÒ îïåðàòîð s, äåéñòâóþùèé íà ëîêàëüíûé ôóíêöèîíàë; òàêîå ñëàãàåìîå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ñîâìåñòíîñòè ñ ñîáîé, è ìîæåò áûòü ñîêðàùåíî ïóòåì äîáàâëåíèÿ ëîêàëüíîãî ÷ëåíà â äåéñòâèè. Òàêèì îáðàçîì, èíòåðåñóþùèå íàñ âîçìîæíûå àíîìàëèè ÿâëÿþòñÿ ëîêàëüíûìè ôóíêöèîíàëàìè G[ω;A] ñ ãîñòîâñêèì ÷èñëîì åäèíèöà, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ ñîâìåñòíîñòè (22.6.10), ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìûõ, êîòîðûå ìîæíî âûðàçèòü êàê äåéñòâèå s íà íåêîòîðûé ëîêàëüíûé ôóíêöèîíàë ñ ãîñòîâñêèì ÷èñëîì íóëü.  ñîãëàñèè ñ îáùåïðèíÿòîé òåðìèíîëîãèåé äëÿ íèëüïîòåíòíûõ îïåðàòîðîâ, êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè òàêèõ ôóíêöèîíàëîâ îáðàçóþò òàê íàçûâàåìóþ êîãîìîëîãèþ îïåðàòîðà s ñ ãîñòîâñêèì ÷èñëîì åäèíèöà. Âñå ýòî ìîæíî âûðàçèòü è ñ ïîìîùüþ ñàìèõ ëîêàëüíûõ ïëîòíîñòåé. Ìû ìîæåì çàïèñàòü àíîìàëèþ (èëè ëþáîå ñëàãàåìîå â àíîìàëèè) êàê G = d 4xG(x) , ãäå G(x) — ñòåïåííîé ðÿä ïî êàëèáðîâî÷íûì è äóõîâûì ïîëÿì è èõ ïðîèçâîäíûì â ïðîñòðàíñòâåííîâðåìåííîé òî÷êå x. Òîãäà óñëîâèå sG = 0 ýêâèâàëåíòíî óòâåðæäåíèþ, ÷òî äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè J µ(x) ïîëåé è èõ ïðîèçâîäíûõ

z

sG (x) =∂ µ J µ (x).

(22.6.12)

Àíàëîãè÷íî, òå ñëàãàåìûå â G, êîòîðûå ìîãóò áûòü ñîêðàùåíû äîáàâëåíèåì ëîêàëüíûõ ÷ëåíîâ â äåéñòâèå, èìåþò âèä sF ñ òî÷íîñòüþ äî âîçìîæíûõ ïðîèçâîäíûõ. Òàêèì îáðàçîì, èíòåðåñóþùèå íàñ àíîìàëèè ÿâëÿþòñÿ ëîêàëüíûìè ôóíêöèÿìè ñ ãîñòîâñêèì ÷èñëîì åäèíèöà, óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèþ ñîâìåñòíîñòè (22.6.12), * Ïîä ëîêàëüíûì ôóíêöèîíàëîì ïîäðàçóìåâàåòñÿ èíòåãðàë îò ëîêàëüíîé ôóíêöèè, ò. å. ôóíêöèè ïîëåé è èõ ïðîèçâîäíûõ â äàííîé òî÷êå.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

538

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

âçÿòûìè ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìûõ, êîòîðûå ìîãóò áûòü çàïèñàíû êàê äåéñòâèå s íà íåêîòîðûé âçÿòûé ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîèçâîäíûõ ëîêàëüíûé ôóíêöèîíàë ñ ãîñòîâñêèì ÷èñëîì íóëü. Ýòî íàçûâàåòñÿ êîãîìîëîãèåé îïåðàòîðà s ñ ãîñòîâñêèì ÷èñëîì åäèíèöà â ïðîñòðàíñòâå ëîêàëüíûõ ôóíêöèé, âçÿòûõ ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîèçâîäíûõ, è îáîçíà÷àåòñÿ H1(s|d). Äëÿ íàõîæäåíèÿ êîãîìîëîãèè ÁÐÑÒ îïåðàòîðà s è ïîñëåäóþùåãî âûâîäà ôîðìû àíîìàëèè â ïðîèçâîëüíûõ êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèÿõ áûëè èñïîëüçîâàíû àëãåáðàè÷åñêèå ìåòîäû 19.  ýòîì ïîäõîäå íåèçâåñòíûìè îñòàþòñÿ òîëüêî ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû, çàâèñÿùèå îò òîãî, êàêèå ïîëÿ ìàòåðèè âõîäÿò â òåîðèþ, è ïîäëåæàùèå ðàñ÷åòó ìåòîäàìè ðàçäåëîâ 22.2 èëè 22.3. Òàê êàê ìû óæå âû÷èñëèëè ñëàãàåìûå â àíîìàëèè âòîðîãî ïîðÿäêà ïî êàëèáðîâî÷íûì ïîëÿì äëÿ ïðîèçâîëüíûõ êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé, âêëþ÷àÿ ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû, èñïîëüçóåì òåïåðü óñëîâèå ñîâìåñòíîñòè (22.6.12) äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñëàãàåìûõ âûñøèõ ïîðÿäêîâ ïî ïîëÿì.  ðàçäåëå 22.3 áûëî ïîêàçàíî, ÷òî êîãäà âñå òîêè ðàññìàòðèâàþòñÿ ñèììåòðè÷íî, ñëàãàåìûå âòîðîãî ïîðÿäêà ïî êàëèáðîâî÷íûì ïîëÿì ñîñòàâëÿþò îäíó òðåòü îò âûðàæåíèÿ (22.3.26). Ýòî îïåðàòîð ìàññîâîé ðàçìåðíîñòè ÷åòûðå, è ïîñêîëüêó óñëîâèå ñîâìåñòíîñòè Âåññà−Çóìèíî (22.6.6) ñâÿçûâàåò òîëüêî îïåðàòîðû îäèíàêîâîé ðàçìåðíîñòè, äëÿ òîãî, ÷òîáû óäîâëåòâîðèòü ýòîìó óñëîâèþ, íóæíî äîáàâèòü òîëüêî òàêèå ÷ëåíû áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ïî êàëèáðîâî÷íîìó ïîëþ, êîòîðûå èìåþò òàêóþ æå ðàçìåðíîñòü. Ïîýòîìó ìû èùåì ðåøåíèå óñëîâèé ñîâìåñòíîñòè â (íå îáÿçàòåëüíî åäèíñòâåííîì) âèäå

i ε κνλρTr Tα ∂ κ Aν ∂ λ Aρ + ic1∂ κ Aν Aλ Aρ àíîì 24π 2 + ic2 Aκ ∂ ν Aλ Aρ + ic3 Aκ Aν ∂ λ Aρ − c4 Aκ Aν Aλ Aρ ,

Gα = i ∂ µ Jαµ

=−

{

}

(22.6.13) ãäå Aµ ≠ AαµTα, à ci — êîíñòàíòû, êîòîðûå íóæíî îïðåäåëèòü. ×òîáû çíà÷èòåëüíî ñáåðå÷ü ñèëû, óäîáíî ïåðåïèñàòü ýòî âûðàæåíèå íà ÿçûêå äèôôåðåíöèàëüíûõ ôîðì (ñì. ðàçäåë 8.8). Ââåäåì ìíîæåñòâî ñ-÷èñëîâûõ ïàðàìåòðîâ dxµ, êîòîðûå ñ÷èòàþòñÿ àíòèêîììóòèðóþùèìè ñàìè ñ ñîáîé è âñåìè ôåðìèîííûìè ïîëÿìè, òàêèìè, êàê ïîëÿ äóõîâ ωα. Òîãäà dxµ àíòèêîììóòèðóþò è ñ ÁÐÑÒ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

22.6. Óñëîâèÿ ñîâìåñòíîñòè

539

îïåðàòîðîì s. Òàê êàê dxκdxνdxλdxρ — ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íàÿ âåëè÷èíà, åå ìîæíî çàïèñàòü êàê

dx κ dx ν dx λ dx ρ = ε κνλρd 4x, d 4 x = dx 0 dx1dx 2 dx3 .

(22.6.14)

Ââåäåì òàêæå âíåøíþþ ïðîèçâîäíóþ

d ≡ dx µ

∂ , ∂x µ

Ïîñêîëüêó ïðîèçâîäíûå êîììóòèðóþò, âíåøíÿÿ ïðîèçâîäíàÿ íèëüïîòåíòíà è àíòèêîììóòèðóåò ñ s:

d 2 = 0,

ds + sd = 0 .

(22.6.15)

Íàêîíåö, ââîäèì àíòèêîììóòèðóþùèå âåëè÷èíû

A ≡ iAµ dx µ = iAαµTα dx µ , ω ≡ iω αTα .

(22.6.16)

 ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ âûðàæåíèå (22.6.13) ïðèíèìàåò âèä

G[ω, A] =

1 Tr ω (dA)2 + c1(dA)A2 24π 2 + c2 A(dA)A + c3 A2 (dA) + c4 A 4 .

z

o

t

(22.6.17)

Äëÿ òîãî, ÷òîáû óäîâëåòâîðèòü óñëîâèþ ñîâìåñòíîñòè (22.6.10), çàìåòèì, ÷òî ïðàâèëà ÁÐÑÒ ïðåîáðàçîâàíèÿ (22.6.7) è (22.6.8) ìîæíî çàïèñàòü êàê

sA = −dω + { A, ω},

(22.6.18)

sω = ω 2 .

(22.6.19)

Äàëåå, ÁÐÑÒ ïðåîáðàçîâàíèå ïîñëåäíåãî ÷ëåíà â ôîðìóëå (22.6.17) èìååò âèä

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

540

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

sTr ωA 4 = Tr ω 2 A 4 − ω{ A, ω}A3 + ωA{ A, ω}A2 − ωA2 { A, ω}A + ωA3 { A, ω} + ñëàãàåìûå ñ ωdωA3 = Tr ω 2 A 4 + ñëàãàåìûå ñ ωdωA3 . Äðóãèõ âêëàäîâ â sG, ïðîïîðöèîíàëüíûõ Tr[ω2A4], íåò, ïîýòîìó óñëîâèå ñîâìåñòíîñòè (22.6.10) ìîæåò áûòü óäîâëåòâîðåíî òîëüêî, åñëè ñ4 = 0. Ïðÿìîå âû÷èñëåíèå ñ ó÷åòîì ñ4 = 0 ïðèâîäèò ê âûðàæåíèþ sG =

1 Tr −(dA)2 ω 2 + ωdωAdA − dω ω dAA 24π 2 − AωdAdω − ωAdωdA + c1 ωdAdωA − ωdAAdω + c2 ωdωdAA − ωAdAdω + c3 ωdωAdA − ωAdωdA

z

n

− c1 ωAdωA2 + ωdωA 3 + ωdAA2ω − c2 ωA2dωA − ωAdωA 2 + ωAdAdω

t

− c3 −ωA 3dω + ωA2 dωA + ωA2 dAω .

Íàì íå íóæíî ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå îáðàùàåòñÿ â íóëü. Äîñòàòî÷íî ñ÷èòàòü, ÷òî îíî åñòü ïðîèçâîäíàÿ íåêîòîðîé ëîêàëüíîé ôóíêöèè, òàê ÷òî èíòåãðàë îò íåå ðàâåí íóëþ. Ýòî óñëîâèå äîëæíî ïî-îòäåëüíîñòè óäîâëåòâîðÿòüñÿ äëÿ ñëàãàåìûõ, ñîäåðæàùèõ êàê äâå, òàê è îäíó ïðîèçâîäíûå, ïîñêîëüêó ìåæäó ñëàãàåìûìè ñ ðàçíûì ÷èñëîì ïðîèçâîäíûõ íèêàêîå ñîêðàùåíèå íåâîçìîæíî. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ñëàãàåìûå â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè, ñîäåðæàùèå òîëüêî îäíó ïðîèçâîäíóþ, èìåþò âèä dF, åñëè ïðèíÿòü ñ1 = –ñ2 = +ñ3 ≠ ñ. Îñòàâøèåñÿ ñëàãàåìûå ñîáèðàþòñÿ â ïîëíóþ ïðîèçâîäíóþ, åñëè âçÿòü ñ = –1/2, ÷òî ïîäòâåðæäàåò ðàíåå óïîìÿíóòûé ðåçóëüòàò (22.3.38). ×àñòî ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò çàïèñûâàþò áîëåå êîìïàêòíî â âèäå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

22.6. Óñëîâèÿ ñîâìåñòíîñòè

1 24π 2 1 = 24π 2

G[ω, A] =

541

X TrRSω d LAdA − 1 A OUV YZ T MN PQW 2 X TrRSω d LAF + 1 A OUV , YZ T MN 2 PQW 3

3

(22.6.20)

ãäå F — ìàòðè÷íîçíà÷íàÿ äâà-ôîðìà íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ

F≡

1 itα Fαµν dx µ dx ν = dA − A2 . 2

(22.6.21)

Àíîìàëèÿ íå îáÿçàòåëüíî äîëæíà áûòü çàïèñàíà â ôîðìå (22.6.13), òàê ÷òî âûðàæåíèå (22.6.20) íå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ðåçóëüòàòîì äëÿ G[ω,A]. Ïðèâåäåííûå â ñëåäóþùåì ðàçäåëå ðåçóëüòàòû ïîêàçûâàþò, ÷òî äëÿ ëþáîé ïîäãðóïïû Í ãðóïïû G, äëÿ êîòîðîé Tr{ti{tj,tk}} = 0 äëÿ âñåõ ãåíåðàòîðîâ Í, â äåéñòâèå ìîæíî äîáàâèòü ëîêàëüíûå ñëàãàåìûå, òàê, ÷òî àíîìàëèÿ Gi èñ÷åçàåò, êîãäà ti — ëþáîé ãåíåðàòîð Í. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ óñëîâèé ñîâìåñòíîñòè ñóùåñòâóåò ýëåãàíòíûé àëãåáðàè÷åñêèé ïðèåì, èçâåñòíûé êàê óðàâíåíèÿ ñïóñêà Ñòîðû–Çóìèíî. 18à Îïèñàíèå ýòîãî ìåòîäà â ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè ëþáîãî ÷åòíîãî ÷èñëà èçìåðåíèé íè÷óòü íå ñëîæíåå, ÷åì â ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè, òàê ÷òî âûáåðåì ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè ðàâíûì 2n. Äëÿ íà÷àëà ñëåäóåò ïðåäñòàâèòü, ÷òî ê 2n êîîðäèíàòàì ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè äîáàâëåíû åùå ïî ìåíüøåé ìåðå äâå ïåðåìåííûå, òàê, ÷òîáû ïðèäàòü ñìûñë (2n + 2)ôîðìå TrFn+1. Çàìåòèì, ÷òî

dF = − d( A2 ) = −(dA) A + A(dA) = [ A, F ],

(22.6.22)

òàê ÷òî ñëåä TrFn+1 çàìêíóò: dTrF n +1 = ( n + 1)Tr{(dF)F n } = Tr{[ A, F n +1 ]} = 0 .

(22.6.23)

Åñëè òîëüêî ðàñøèðåííîå ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ îäíîñâÿçíî, òî ñîãëàñíî òåîðåìå Ïóàíêàðå ôîðìà Tr{Fn+1} òî÷íà, â òîì ñìûñëå, ÷òî ñóùåñòâóåò (2n+1)-ôîðìà Ω2n+1 (èçâåñòíàÿ êàê ôîðìà ×åðíà–Ñàéìîíñà), äëÿ êîòîðîé

Tr{F n +1 } = dΩ2 n +1 . На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(22.6.24)

542

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

Äàëåå, Tr{Fn+1} ÿâíî êàëèáðîâî÷íî-èíâàðèàíòíà è çàâèñèò òîëüêî îò êàëèáðîâî÷íîãî ïîëÿ, òàê ÷òî îíà è ÁÐÑÒ èíâàðèàíòíà:

sTr[F n +1 } = 0.

(22.6.25)

Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî «äèôôåðåíöèàëû» dxµ àíòèêîììóòèðóþò ñ ôåðìèîííûìè ïîëÿìè, êàê äóõîâîå ïîëå ωα, òàê ÷òî îïåðàòîð d àíòèêîììóòèðóåò ñ îïåðàòîðîì s, îïðåäåëåííûì ôîðìóëàìè (22.6.7) è (22.6.8): sd + ds = 0. Ïîñêîëüêó îïåðàòîð s íèëüïîòåíòåí, îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ôîðìà sΩ2n+1 òàêæå çàìêíóòà: d sΩ 2 n + 1 = − sTr{F n + 1 } = 0.

b

g

Âíîâü ïðèìåíÿÿ òåîðåìó Ïóàíêàðå, ïîëó÷àåì, ÷òî äîëæíà ñóùåñòâîâàòü 2n-ôîðìà Ω12n ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî ωα, äëÿ êîòîðîé

sΩ2 n +1 = dΩ12 n .

(22.6.26)

Êðîìå òîãî, d(sΩ12 n ) = − s2 Ω2 n +1 = 0, , ïîýòîìó ñóùåñòâóåò (2n – 1)ôîðìà Ω22 n −1 âòîðîãî ïîðÿäêà ïî äóõîâîìó ïîëþ, äëÿ êîòîðîé

sΩ12 n = dΩ22 n −1 .

(22.6.27)

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äàæå õîòÿ ñàìà ôîðìà Ω12 n íå èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ÁÐÑÒ ïðåîáðàçîâàíèé, èíòåãðàë îò Ω12 n ïî 2n-ìåðíîìó ïðîñòðàíñòâó-âðåìåíè åñòü ÁÐÑÒ èíâàðèàíò:

s

z

ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ

Ω12 n = 0 ,

(22.6.28)

Òàêèì îáðàçîì, ìû íàõîäèì êàíäèäàòà Ω12 n íà àíîìàëüíûé ôóíêöèîíàë G[ω,A], èíòåãðèðóÿ äâà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà dΩ2 n +1 = Tr{F n +1 } è dΩ12 n = sΩ2 n +1 . Ïðîèçâîëüíûå (íå åäèíñòâåííûå) ðåøåíèÿ ýòèõ óðàâíåíèé èìåþò âèä

z

1

z

Ω2 n +1 = ( n + 1) dtTr AFtn ,

n s

0

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(22.6.29)

22.6. Óñëîâèÿ ñîâìåñòíîñòè

543

n −1 1

Ω12 n = −( n + 1) ∑

z

r =0 0

dt(1 − t)Tr ωd(Ftr AFtn −1− r ) ,

n

s

(22.6.30)

ãäå Ft ≡ tF + (t − t2 ) A2 . Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà (22.6.30) ïîêàçûâàåò, ÷òî â ñëó÷àå ÷åòûðåõ ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ èçìåðåíèé ôîðìóëà (22.6.20) äàåò äëÿ G[ω,A] ðåçóëüòàò, ïðîïîðöèîíàëüíûé Ω14 . Ìîæíî ïðîäîëæèòü ýòîò ñïóñê è âûâåñòè ðÿä äðóãèõ ïîëåçíûõ ðåçóëüòàòîâ.  ÷àñòíîñòè, èç ôîðìóëû (22.6.27) è íèëüïîòåíòíîñòè s ñëåäóåò, ÷òî d(sΩ22 n −1 ) = 0 , òàê ÷òî ïî òåîðåìå Ïóàíêàðå sΩ22 n −1 èìååò âèä dΩ32 n − 2 , è èíòåãðàë îò Ω22 n −1 ïî 2n–1 êîîðäèíàòàì ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ ÁÐÑÒ èíâàðèàíòîì:

z

s

z

ïðîñòðàíñòâî

Ω22 n −1 = 0 .

(22.6.31)

Òàêèå ÁÐÑÒ èíâàðèàíòíûå ôóíêöèîíàëû âòîðîãî ïîðÿäêà ïî ãîñòîâñêèì ïîëÿì ÿâëÿþòñÿ êàíäèäàòàìè 18b â òàê íàçûâàåìûå øâèíãåðîâñêèå ÷ëåíû 18ñ. Èíòåðåñóþùèå íàñ ñåé÷àñ øâèíãåðîâñêèå ÷ëåíû âîçíèêàþò êàê àíîìàëüíûå ñëàãàåìûå Sαβ(x,y) â êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèÿõ âðåìåííû1õ êîìïîíåíò äâóõ òîêîâ ñèììåòðèè ïðè ðàâíûõ âðåìåíàõ: Jα0 (x, t), Jβ0 (y, t) = iCαβγ J γ0 (x, t)δ 2 n −1 (x − y) + Sαβ (x, y, t) . (22.6.32)

( ýòîì ðàçäåëå âñå îïåðàòîðû áåðóòñÿ â îäèí è òîò æå ìîìåíò âðåìåíè t, êîòîðûé ìû íèæå íå áóäåì óêàçûâàòü ÿâíî.) Èç àíòèñèììåòðèè êîììóòàòîðà èìååì Sαβ(x,y) = – Sβα(y,x), òàê ÷òî âñÿ èíôîðìàöèÿ î Sαβ(x,y) ñîäåðæèòñÿ â ôóíêöèîíàëå

S[ω ] ≡ d 2n −1xd2n −1y ω α (x) ω β (y)Sαβ (x, y) .

z

(22.6.33)

Çàìåòèì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå Sαβ(x,y) çàâèñèò îò ðàçëè÷íûõ ïîëåé ìàòåðèè è êàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé, òàê ÷òî S[ω] âîîáùå ãîâîðÿ çàâèñèò êàê îò ýòèõ ïîëåé, òàê è îò ïîëÿ äóõîâ ωα(x). Îáðàçóÿ êîììóòàòîð âûðàæåíèÿ (22.6.32) ñ òðåòüèì òîêîì J γ0 (z) , ñâîðà÷èâàÿ ñ ωα(x)ωβ(y)ωγ(z), èíòåãðèðóÿ ïî x, y, z è èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî ßêîáè, íàõîäèì:

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

544

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

Äåéñòâèå ÁÐÑÒ îïåðàòîðà s íà ôóíêöèîíàëû îò ïîëåé ìàòåðèè è êàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé òèïà Sαβ(x,y) ýêâèâàëåíòíî êàëèáðîâî÷íîìó ïðåîáðàçîâàíèþ ñ ïàðàìåòðîì ïðåîáðàçîâàíèÿ ωα, òàê ÷òî

sSαβ (x, y) = i d 2 n −1z ω γ (z) J 0γ (z), Sαβ (x, y) .

z

Âñïîìèíàÿ ôîðìóëó (22.6.8), íàõîäèì, ÷òî ôóíêöèîíàë (22.6.33) ÿâëÿåòñÿ ÁÐÑÒ èíâàðèàíòîì: sS[ω ] = 0.

(22.6.34)

Êðîìå òîãî, äîáàâëÿÿ â òîêè îïðåäåëåííûå ñëàãàåìûå, ìîæíî èçìåíèòü S[ω] íà ñëàãàåìûå âèäà sT[ω], òàê ÷òî ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ øâèíãåðîâñêèõ ÷ëåíîâ, êîòîðûå íåëüçÿ óñòðàíèòü äîáàâëåíèåì ñëàãàåìûõ â òîêè, äàåòñÿ êîãîìîëîãèåé ÁÐÑÒ îïåðàòîðà ñ äóõîâûì ÷èñëîì äâà, ò. å. ÁÐÑÒ èíâàðèàíòíûìè ôóíêöèîíàëàìè S âòîðîãî ïîðÿäêà ïî äóõîâîìó ïîëþ, êîòîðûå ñàìè íå èìåþò âèäà sT. Èç âûðàæåíèÿ (22.6.31) ñëåäóåò, ÷òî êàíäèäàòîì íà òàêîé ôóíêöèîíàë ÿâëÿåòñÿ Ω 22 n −1 .

z

*** Ïðîâåäåííûé äî ñèõ ïîð â ýòîì ðàçäåëå àíàëèç àíîìàëèé, ñòðîãî ãîâîðÿ, ïðèìåíèì òîëüêî ê àíîìàëèÿì â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè. Ïðàâäà, òåîðèÿ ñ îäíîïåòëåâûìè àíîìàëèÿìè â òîêàõ, ñ êîòîðûìè ñâÿçàíû êâàíòîâûå êàëèáðîâî÷íûå ïîëÿ, íåñîñòîÿòåëüíà, è ïîýòîìó íå íóæäàåòñÿ â èññëåäîâàíèè â âûñøèõ ïîðÿäêàõ. Îäíàêî îáðàòíîå íåâåðíî: åñëè òåîðèÿ ñ êâàíòîâûìè êàëèáðîâî÷íûìè ïîëÿìè ñâîáîäíà îò àíîìàëèé â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè, íåîáõîäèìî åùå ïîêàçàòü, ÷òî àíîìàëèè îòñóòñòâóþò è â âûñøèõ ïîðÿäêàõ. Êðîìå òîãî, íåò íè÷åãî ïðîòèâîðå÷èâîãî â òåîðèÿõ ñ àíîìàëèÿìè â ãëîáàëüíûõ ñèììåòðèÿõ, íàïðèìåð, â êèðàëüíûõ ñèììåòðèÿõ êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè, è â ýòèõ ñëó÷àÿõ ìû äîëæíû óñòàíîâèòü, âëèÿþò ëè íà ýòè àíîìàëèè ïîïðàâêè âûñøèõ ïîðÿäêîâ. Ïîñêîëüêó ÁÐÑÒ ïðåîáðàçîâàíèÿ äåéñòâóþò íà ïîëÿ íåëèíåéíî, òî äàæå â îòñóòñòâèå àíîìàëèé ó íàñ íåò îñíîâàíèé ïîëàãàòü, ÷òî ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå G[ω,A] áóäåò ÁÐÑÒ èíâàðèàíòíûì âíå ðàìîê îäíîïåòëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ. Êàê ìû âèäåëè â ðàçäåëå 17.1,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

22.6. Óñëîâèÿ ñîâìåñòíîñòè

545

âíå ýòèõ ðàìîê ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü ôóíêöèîíàëû íå òîëüêî îò êàëèáðîâî÷íûõ è äóõîâûõ ïîëåé, íî è îò èõ àíòèïîëåé. (Ââåäåíèå àíòèïîëåé èíîãäà âàæíî è â îäíîïåòåëåâîì ïðèáëèæåíèè, íî ïî äðóãîé ïðè÷èíå: ëîêàëüíûé ôóíêöèîíàë òîëüêî îò ïîëåé, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèÿì ñîâìåñòíîñòè Âåññà–Çóìèíî è íå âûðàæàåìûé êàê ÁÐÑÒ-îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé íà ëîêàëüíûé ôóíêöèîíàë òîëüêî îò ïîëåé, íå áóäåò êàíäèäàòîì íà àíîìàëèþ, åñëè åãî ìîæíî âûðàçèòü êàê àíòèñêîáêó äåéñòâèÿ ñ ëîêàëüíûì ôóíêöèîíàëîì ïîëåé è àíòèïîëåé, ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå àíîìàëèþ ìîæíî ñîêðàòèòü ïóòåì âû÷èòàíèÿ òàêîãî ñëàãàåìîãî èç äåéñòâèÿ. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò èçìåíåíèþ äåéñòâèÿ ïîëåé îäíîâðåìåííî ñ èçìåíåíèåì êàëèáðîâî÷íîé ñèììåòðèè, êîòîðîé ïîä÷èíÿåòñÿ ýòî äåéñòâèå.) Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî èçó÷åíèå àíîìàëèé ñ àíòèïîëÿìè, âêëþ÷åííûìè â äåéñòâèå, òàêæå ìîæåò áûòü âûðàæåíî íà ÿçûêå êîãîìîëîãèé 20, 21. Àíàëèç ýòîé ïðîáëåìû îñíîâàí íà ïðèíàäëåæàùåé Çèíí-Æþñòåíó âåðñèè (17.1.10) óðàâíåíèÿ, êîòîðîå Áàòàëèí è Âèëêîâûñêèé íàçâàëè ìàñòåð-óðàâíåíèåì.  îòñóòñòâèå àíîìàëèé (Γ, Γ) = 0, òàê ÷òî â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè (S, Γ1) = 0, ãäå S — äåéñòâèå íóëåâîãî ïîðÿäêà, à Γ1 — îäíîïåòëåâîé âêëàä â êâàíòîâîå ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå. Ïðè íàëè÷èè àíîìàëèé ìû âìåñòî ýòîãî èìååì

(S, Γ1) = G1,

(22.6.35)

ãäå G1 — íåêîòîðûé ôóíêöèîíàë ïîëåé è àíòèïîëåé, êîòîðûé äîëæåí èìåò ãîñòîâñêîå ÷èñëî åäèíèöà, ò. ê. S è Γ1 èìåþò ãîñòîâñêîå ÷èñëî íóëü. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äåéñòâèå óäîâëåòâîðÿåò êëàññè÷åñêîìó ìàñòåð-óðàâíåíèþ (S, S) = 0, òàê ÷òî àíòèñêîáî÷íàÿ îïåðàöèÿ â ôîðìóëå (22.6.35) íèëüïîòåíòíà è ïîýòîìó (S, Γ1) = 0. Îäíàêî, åñëè äëÿ êàêîãî-òî ëîêàëüíîãî ôóíêöèîíàëà F1 ñ ãîñòîâñêèì ÷èñëîì íóëü G1 = (S, F1), ìû ìîæåì ñîêðàòèòü àíîìàëèþ â îäíîïåòëåâîì ïîðÿäêå, âû÷èòàÿ ñëàãàåìîå F1 (ðàññìàòðèâàåìîå êàê êâàíòîâàÿ ïîïðàâêà ïîðÿäêà $) èç äåéñòâèÿ, à ñëåäîâàòåëüíî, èç Γ 1 . (Êîíå÷íî, G 1 = (S, Γ 1 ), íî ïðè íàëè÷èè áåçìàññîâûõ ÷àñòèö Γ1 íå ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì ôóíêöèîíàëîì.) Òàêèì îáðàçîì, êàíäèäàòû â àíîìàëèè — òàêèå ëîêàëüíûå ôóíêöèîíàëû G1 ñ äóõîâûì ÷èñëîì åäèíèöà, êîòîðûå çàìêíóòû â òîì ñìûñëå, ÷òî îíè óäîâëåòâîðÿþò

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

546

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

óñëîâèþ (S, G1) = 0, íî íå òî÷íû, ò. å. íå ìîãóò áûòü çàïèñàíû â âèäå G1 = (S, F1) äëÿ ëîêàëüíûõ ôóíêöèîíàëîâ F1 ñ äóõîâûì ÷èñëîì åäèíèöà. Èíûìè ñëîâàìè, êàíäèäàòû â àíîìàëèè ñîîòâåòñòâóþò êîãîìîëîãèè àíòèñêîáî÷íîé îïåðàöèè X ¬ (S, X) ïðè ãîñòîâñêîì ÷èñëå åäèíèöà íà ïðîñòðàíñòâî ëîêàëüíûõ ôóíêöèîíàëîâ ïîëåé è àíòèïîëåé. Ýòî ïîõîæå íà ïîëó÷åííûé âûøå â äàííîì ðàçäåëå ðåçóëüòàò, íî ñ çàìåíîé ÁÐÑÒ-îïåðàòîðà s íà àíòèñêîáêó (S, ...). Åñëè â óñëîâèè (22.6.35) ïîëîæèòü àíòèïîëÿ ðàâíûìè íóëþ è âñïîìíèòü, n n ÷òî δΓ1 δχ χ‡ = 0 = sχ , ïîëó÷èì, ÷òî ýòî óñëîâèå, íà ñàìîì äåëå, ïðèâîäèò ê óñëîâèþ sΓ1 = 0, êîòîðîå, êàê ìû âèäåëè, ýêâèâàëåíòíî òðåáîâàíèþ, ÷òî G1 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ñîâìåñòíîñòè Âåññà–Çóìèíî. Îäíàêî â îïðåäåëåííîì ñìûñëå àíàëèç, îñíîâàííûé íà óñëîâèè (22.6.35), ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü íà âûñøèå ïîðÿäêè. ×òîáû óâèäåòü ýòî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî àíòèñêîáî÷íàÿ îïåðàöèÿ X ¬ (S, X) èìååò ïóñòóþ êîãîìîëîãèþ ïðè äóõîâîì ÷èñëå åäèíèöà â ïðîñòðàíñòâå ëîêàëüíûõ ôóíêöèîíàëîâ, è ÷òî ìû ïåðåîïðåäåëèëè äåéñòâèå îïèñàííûì âûøå ñïîñîáîì òàê, ÷òîáû G1 = (S, Γ1) = 0. Àíîìàëèÿ, êîòîðàÿ íàðóøàåò ìàñòåð-óðàâíåíèå (Γ, Γ) = 0 â äâóõïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè, ïðåäñòàâëÿåòñÿ ôóíêöèåé G2, äëÿ êîòîðîé

d

i

(Γ1, Γ1) + 2(S, Γ2 ) = G2 . Îäíàêî, ò. ê. (S, Γ1) = 0 è (S, S) = 0, ëþáàÿ òàêàÿ ôóíêöèÿ G2 áóäåò óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ (S, G2) = 0. Ñ ó÷åòîì ïðåäïîëîæåíèÿ î ïóñòîé êîãîìîëîãèè, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî G2 ìîæíî âûðàçèòü êàê G2 = (S, F2), ãäå F2 — ëîêàëüíûé ôóíêöèîíàë ñ ãîñòîâñêèì ÷èñëîì íóëü, ò. å. â ýòîì ïîðÿäêå àíîìàëèþ ìîæíî ñîêðàòèòü, âû÷èòàÿ F2 èç äåéñòâèÿ. Ýòî ðàññóæäåíèå ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü íà âñå ïîðÿäêè. Ïðåäïîëîæèì, ìû ñîêðàòèëè àíîìàëèè â ìàñòåð-óðàâíåíèè âïëîòü äî ïîðÿäêà N – 1, òàê ÷òî 0 = GM =

M

M −1

L =0

L =1

∑ bΓL , ΓM − L g = 2bS, ΓM g + ∑ bΓL , ΓM − L g,

äëÿ âñåõ M < N. Àíàëîãè÷íî, ÷ëåí N-ãî ïîðÿäêà â àíòèñêîáêå (Γ, Γ) ðàâåí

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

22.6. Óñëîâèÿ ñîâìåñòíîñòè

547

G N = 2 S, ΓN +

b

g

N −1

∑ bΓM , ΓN − M g ,

M =1

òàê ÷òî, èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî ßêîáè (15.9.21) (â êîòîðîì äëÿ òðåõ áîçîííûõ îïåðàòîðîâ áåðóòñÿ âñå çíàêè –) è ïðèâåäåííóþ âûøå ôîðìóëó äëÿ (S, ΓM), íàõîäèì N −1

bS, G g = −2 ∑ cbS, Γ g, Γ h = N

M

M =1

N −M

N −1 M −1

∑ ∑ cbΓL , ΓM − L g, ΓN − M h .

M =1 L =1

Ýòî ìîæíî çàïèñàòü â áîëåå ñèììåòðè÷íîé ôîðìå: N −2 N −2 N −2

bS, G g = − ∑ N

∑ ∑

M1 = 1 M2 = 1 M3 = 1

e

d

ij

δ N ,M1 + M2 + M3 ΓM1 , ΓM2 , ΓM3 .

Òàê êàê ïðåäåëû èçìåíåíèÿ M1, M2 è Ì3 îäèíàêîâû, ìîæíî çàïèñàòü äâîéíóþ àíòèñêîáêó â ýòîé ñóììå êàê ñóììó ïî 3! ïåðåñòàíîâêàì ïî ýòèì èíäåêñàì, êîòîðàÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü â ñèëó òîæäåñòâà ßêîáè (15.9.21). Òàê ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî (S, GN) = 0. Åñëè, êàê è ïðåäïîëàãàëîñü, êîãîìîëîãèÿ ïóñòà, îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ëîêàëüíûé ôóíêöèîíàë FN, äëÿ êîòîðîãî GN = (S, FN). Ïîýòîìó, âû÷èòàÿ FN èç äåéñòâèÿ, ìîæíî ñîêðàòèòü àíîìàëèþ âî âñåõ ïîðÿäêàõ N, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Èñïîëüçóÿ ÷èñòî àëãåáðàè÷åñêèå ìåòîäû, Áàðíè÷, Áðàíäò è Ýííî 22 ñóìåëè ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ÿíã–ìèëëñîâñêèõ òåîðèé (â ÷åòûðåõ ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ èçìåðåíèÿõ), îñíîâàííûõ íà ïîëóïðîñòûõ êàëèáðîâî÷íûõ ãðóïïàõ, êîãîìîëîãèÿ àíòèñêîáî÷íîé îïåðàöèè X ¬ (S, X) (ïðè ãîñòîâñêîì ÷èñëå åäèíèöà íà ïðîñòðàíñòâå ëîêàëüíûõ ôóíêöèîíàëîâ) ñîñòîèò èñêëþ÷èòåëüíî èç ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ÷ëåíîâ âèäà (22.6.20), ïî îäíîìó íà êàæäóþ ïðîñòóþ ïîäãðóïïó êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû, ñ íåèçâåñòíûìè êîýôôèöèåíòàìè.* Îòñþäà, áåç âñÿêèõ ññûëîê íà òî, êàêèå ïîëÿ ìàòåðèè ñîäåðæèò

* Íåò íóæäû êîíêðåòèçèðîâàòü ïðåäñòàâëåíèå êàëèáðîâî÷íîé àëãåáðû, â êîòîðîì äîëæåí âû÷èñëÿòüñÿ ñëåä â ôîðìóëå (22.6.20), ïîñêîëüêó ýòîò ñëåä îäèíàêîâ ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî êîýôôèöèåíòà äëÿ âñåõ ïðåäñòàâëåíèé ïðîñòîé àëãåáðû Ëè, 19à è, â ëþáîì ñëó÷àå, ïîñòîÿííûé êîýôôèöèåíò íå îïðåäåëÿåòñÿ ýòîé êîãîìîëîãè÷åñêîé òåîðåìîé.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

548

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

òåîðèÿ, ñëåäóåò, ÷òî â îäíîïåòëåâîì ïîðÿäêå, êîãäà àíîìàëèÿ G1 àâòîìàòè÷åñêè óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (S, G1) = 0, àíîìàëèÿ äëÿ ïîëóïðîñòîé êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû äîëæíà áûòü ëèíåéíîé êîì-áèíàöèåé ñëàãàåìûõ âèäà (22.6.20) ñ åäèíñòâåííûì ïîñòîÿííûì êîýôôèöèåíòîì äëÿ êàæäîé ïðîñòîé ïîäãðóïïû, ïîäëåæàùèì îïðåäåëåíèþ ïóòåì äåòàëüíûõ ðàñ÷åòîâ ñ ó÷åòîì òîãî, êàêèå ïîëÿ ìàòåðèè âõîäÿò â òåîðèþ. Äàëåå, ìû âèäåëè â ðàçäåëå 22.4, ÷òî ñóùåñòâóþò êàëèáðîâî÷íûå ãðóïïû, äëÿ êîòîðûõ ñëåä â ôîðìóëå (22.6.20) àâòîìàòè÷åñêè îáðàùàåòñÿ â íóëü äëÿ ëþáîãî íàáîðà ôåðìèîííûõ ïîëåé. (Ýòî ïîëóïðîñòûå êàëèáðîâî÷íûå ãðóïïû, íå ñîäåðæàùèå SU(n) ìíîæèòåëåé ñ n ≥ 3.)  ýòèõ ñëó÷àÿõ òåîðåìà, äîêàçàííàÿ â 22, ïîêàçûâàåò, ÷òî êîãîìîëîãèÿ àíòèñêîáî÷íîé îïåðàöèè X ¬ (S, X) ïðè äóõîâîì ÷èñëå åäèíèöà ðàâíà íóëþ. Êàê ìû âèäåëè, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â òàêèõ òåîðèÿõ íåò àíîìàëèé â ëþáîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé. Åñòü è äðóãîé àñïåêò ñâÿçè àíîìàëèè ñ êîãîìîëîãèé àíòèñêîáî÷íîé îïåðàöèè.23 Ïðè âûâîäå òîæäåñòâà Ñëàâíîâà–Òåéëîðà (16.4.6) ìû ïðåäïîëàãàëè, ÷òî ìåðà ∏ n,x dχ n (x) èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ðàññìàòðèâàåìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè.  ðàçäåëå 15.9 ìû âûâåëè óðàâíåíèå Çèíí-Æþñòåíà èç òîæäåñòâà Ñëàâíîâà–Òåéëîðà äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè χ n → χ n + θδS / δχ ‡n , ïîýòîìó ýòîò âûâîä ðàçðóøàåòñÿ, åñëè òîëüêî ∏ n,x dχ n (x) íå èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî òàêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, èëè, èíûìè ñëîâàìè, åñëè òîëüêî íå âûïîëíåíî ∆S = 0, ãäå ∆ — îïåðàòîð (15.9.34). Êîãäà ∆S ≠ 0, âñå åùå âîçìîæíî ñîõðàíèòü óðàâíåíèå ÇèííÆþñòåíà, äîáàâèâ ê S ëîêàëüíûå ôóíêöèîíàëû, êîòîðûå òàê íàðóøàþò êëàññè÷åñêîå ìàñòåð-óðàâíåíèå (S, S) = 0, ÷òîáû ñîêðàòèòü âêëàäû, âîçíèêàþùèå èç-çà íåèíâàðèàíòíîñòè ìåðû. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî óñëîâèå òàêîãî ñîêðàùåíèÿ — íå ÷òî èíîå, êàê êâàíòîâîå ìàñòåð-óðàâíåíèå (15.9.35). ×òîáû ïîñòðîèòü äåéñòâèå S, óäîâëåòâîðÿþùåå ýòîìó óðàâíåíèþ, ìû íà÷èíàåì ñ äåéñòâèÿ íóëåâîãî ïîðÿäêà S0, óäîâëåòâîðÿþùåãî êëàññè÷åñêîìó ìàñòåð-óðàâíåíèþ (S0, S0) = 0, è äîáàâëÿåì êâàíòîâûå ïîïðàâêè. Ïóñòü êîãîìîëîãèÿ îïåðàöèè X ¬ (S0, X) (ïðè ãîñòîâñêîì ÷èñëå åäèíèöà â ïðîñòðàíñòâå ëîêàëüíûõ ôóíêöèîíàëîâ) ïóñòà. Òîãäà äîêàçàòåëüñòâî, èñïîëüçîâàííîå âûøå, ÷òîáû ïîêàçàòü îòñóòñòâèå â ýòîì ñëó÷àå àíîìàëèé âî âñåõ ïîðÿäêàõ, ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîêàçàòü, ÷òî ê S0 ìîæíî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

22.7. Àíîìàëèè è ãîëäñòîóíîâñêèå áîçîíû

549

òàê äîáàâèòü ëîêàëüíûé ôóíêöèîíàë, ÷òî êâàíòîâîå ìàñòåð-óðàâíåíèå áóäåò óäîâëåòâîðÿòüñÿ âî âñåõ ïîðÿäêàõ. 22.7. Àíîìàëèè è ãîëäñòîóíîâñêèå áîçîíû  òîé æå ðàáîòå 1971 ã., â êîòîðîé áûëè âûâåäåíû óñëîâèÿ ñîâìåñòíîñòè, Âåññ è Çóìèíî 18 çàìåòèëè, ÷òî âîçìîæíîå íàëè÷èå àíîìàëèé èìååò âàæíûå ñëåäñòâèÿ äëÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ. ×òîáû ïîíÿòü èõ àðãóìåíòû, ïîëåçíî ïðèìåíèòü ðàçâèòûå ′ò Õîôòîì 16 â 1979 ã. ðàññóæäåíèÿ î «ïîäáîðå àíîìàëèé», êîòîðûå óæå èñïîëüçîâàëèñü â ðàçäåëå 22.5. Ðàññìîòðèì íàðóøåííóþ ãëîáàëüíóþ ãðóïïó ñèììåòðèè G, êîòîðàÿ ëèíåéíî ðåàëèçóåòñÿ â íåêîòîðîé ôóíäàìåíòàëüíîé òåîðèè çàïåðòûõ áåçìàññîâûõ ôåðìèîíîâ, íàïðèìåð, â ãëîáàëüíîé êèðàëüíîé SU(3) × SU(3) ñèììåòðèè â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå ñ òðåìÿ áåçìàññîâûìè êâàðêàìè. Ââåäåì â ýòîé ôóíäàìåíòàëüíîé òåîðèè ôèêòèâíûå êàëèáðîâî÷íûå ïîëÿ, òàê ÷òî ãëîáàëüíàÿ ñèììåòðèÿ G ñòàíåò ëîêàëüíîé, åñëè íå ñ÷èòàòü âîçìîæíûõ àíîìàëèé.  îáùåì ñëó÷àå òàêàÿ ëîêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ áóäåò íàðóøåíà àíîìàëèÿìè, ò. ê. â ðåàëüíîñòè ñèììåòðèÿ ÷èñòî ãëîáàëüíà, è íåò íèêàêèõ ïðè÷èí, ïî÷åìó ãëîáàëüíàÿ ñèììåòðèÿ äîëæíà äîïóñêàòü ðàñøèðåíèå íà ñâîáîäíóþ îò àíîìàëèé ëîêàëüíóþ ñèììåòðèþ. Îäíàêî ýòè àíîìàëèè ìîæíî ñîêðàòèòü ïóòåì äîáàâëåíèÿ ïîäõîäÿùèõ áåçìàññîâûõ ôåðìèîíîâ-íàáëþäàòåëåé. Äî òåõ ïîð, ïîêà ââåäåííûå òàêèì îáðàçîì êàëèáðîâî÷íûå êîíñòàíòû äîñòàòî÷íî ìàëû, à ôåðìèîíû-íàáëþäàòåëè îáëàäàþò òîëüêî ýòèìè î÷åíü ñëàáûìè êàëèáðîâî÷íûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè, äèíàìèêà òåîðèè â ðåçóëüòàòå òàêèõ ìîäèôèêàöèé èçìåíèòñÿ íå ñèëüíî. Ðàññìîòðèì òåïåðü ýôôåêòèâíóþ òåîðèþ ïîëÿ, îïèñûâàþùóþ ôèçèêó ïðè íèçêèõ ýíåðãèÿõ â îáëàñòè, ãäå çàïåðòûå ôåðìèîíû íåíàáëþäàåìû. Åäèíñòâåííûìè ñòåïåíÿìè ñâîáîäû â òàêîé òåîðèè áóäóò áåçìàññîâûå ÷àñòèöû — ôèêòèâíûå êàëèáðîâî÷íûå áîçîíû è ôåðìèîíû-íàáëþäàòåëè, à òàêæå íàáîð ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ ñ ïîëÿìè ξa, ïî îäíîìó íà êàæäóþ íåçàâèñèìóþ íàðóøåííóþ ñèììåòðèþ. Òàê êàê èñõîäíàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ òåîðèÿ áûëà âûáðàíà êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíîé è ñâîáîäíîé îò àíîìàëèé, ýòî æå äîëæíî áûòü âåðíî è äëÿ ýôôåêòèâíîé òåîðèè ïîëÿ. Îäíàêî ôåðìèîíû-íàáëþäàòåëè ïîðîæäàþò àíîìàëèþ, êî-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

550

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

òîðàÿ ðàíåå ñîêðàùàëà àíîìàëèþ, âîçíèêàâøóþ çà ñ÷åò çàïåðòûõ áåçìàññîâûõ ôåðìèîíîâ â èñõîäíîé òåîðèè, ïîýòîìó äëÿ òîãî, ÷òîáû îíè ñîêðàòèëè àíîìàëèþ çà ñ÷åò ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ, êàëèáðîâî÷íàÿ ýôôåêòèâíàÿ òåîðèÿ ïîëÿ ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ äîëæíà èìåòü àíîìàëèþ äëÿ ôèêòèâíûõ ëîêàëüíûõ ñèììåòðèé, ðàâíóþ òîé, êîòîðàÿ ïîðîæäàåòñÿÿ çàïåðòûìè ôåðìèîíàìè â èñõîäíîé òåîðèè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âìåñòî óñëîâèÿ (22.6.2) ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå Γ[ξ,A] ôèêòèâíûõ êàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé è ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ ïîä÷èíÿåòñÿ óñëîâèþ T β (x) Γ [ ξ, A ] = G β [x; A ] ,

(22.7.1)

ãäå Gβ[x; Α] — ôóíêöèÿ àíîìàëèè èñõîäíîé òåîðèè, â êîòîðîé íåò ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ, à Tβ — ãåíåðàòîð êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû G, äåéñòâóþùåé òåïåðü êàê íà êàëèáðîâî÷íûå ïîëÿ, òàê è íà ïîëÿ ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ. (Èíäåêñ β ó Tβ ïðîáåãàåò çíà÷åíèÿ i, îòìå÷àþùèå ïîëíûé íàáîð íåçàâèñèìûõ ãåíåðàòîðîâ Yi íåíàðóøåííîé ïîäãðóïïû ñèììåòðèè Í, è çíà÷åíèÿ a, îòìå÷àþùèå íàáîð íåçàâèñèìûõ ãåíåðàòîðîâ íàðóøåííûõ ñèììåòðèé Xa; êàæäîìó Xa ñîîòâåòñòâóåò îäíî ïîëå xa ãîëäñòîóíîâñêîãî áîçîíà.) Êîíå÷íî, óñëîâèå (22.7.1) ìîæíî òàêæå èñïîëüçîâàòü äëÿ èçó÷åíèÿ âçàèìîäåéñòâèé ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ ñ ðåàëüíûìè ñëàáîñâÿçàííûìè êàëèáðîâî÷íûìè ïîëÿìè. Íàïðèìåð, åñëè ëåæàùàÿ â îñíîâå òåîðèÿ âêëþ÷àåò ýëåêòðîñëàáûå êàëèáðîâî÷íûå áîçîíû, âçàèìîäåéñòâóþùèå ñ êâàðêàìè, ìîæíî îòîæäåñòâèòü íåêîòîðûå èç ïîëåé, íàçâàííûõ íàìè ôèêòèâíûìè, ñ êàëèáðîâî÷íûìè ïîëÿìè ýëåêòðîñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèé.  òàêèõ ñëó÷àÿõ ÷àñòü ôåðìèîíîâíàáëþäàòåëåé òàêæå äîëæíà áûòü ðåàëüíîé äëÿ òîãî, ÷òîáû ñîêðàòèòü ïîðîæäàåìûå ïåòëÿìè çàïåðòûõ ôåðìèîíîâ àíîìàëèè â êàëèáðîâî÷íûõ ñèììåòðèÿõ äåéñòâèòåëüíûõ ñëàáîñâÿçàííûõ êàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé (íàïðèìåð òàê, êàê ëåïòîíû ñîêðàùàþò ýëåêòðîñëàáûå àíîìàëèè, ïîðîæäàåìûå êâàðêàìè). Îáðàòèìñÿ ê ïðèëîæåíèÿì óñëîâèÿ (22.7.1). ×òîáû âû÷èñëèòü òàêèì ñïîñîáîì ãåíåðàòîð êàëèáðîâî÷íîé ñèììåòðèè Tβ(x), çàìåòèì, ÷òî ïîä äåéñòâèåì ïðîèçâîëüíîãî ãðóïïîâîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ g = exp(− i ζ β (x) Tβ (x)d 4 x) ïîëÿ ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ ξa(x) ïðåîáðàçóþòñÿ â ïîëÿ ξ′a(x) ñîãëàñíî ïðàâèëó (19.6.18), à µ êàëèáðîâî÷íûå ïîëÿ Aβ (x) ïðåîáðàçóþòñÿ â êàëèáðîâî÷íî-ïðåµ îáðàçîâàííûå ïîëÿ Aβ′ (x) , òàê ÷òî

z

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

22.7. Àíîìàëèè è ãîëäñòîóíîâñêèå áîçîíû

551

Tβ (x) = T βA (x) + T βξ (x) .

(22.7.2)

Çäåñü T A β (x) äåéñòâóåò íà êàëèáðîâî÷íûå ïîëÿ è îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (22.6.1)

− iT A β ( x) = −



δ µ

∂x δAβµ (x)

− Cβγα Aγµ (x)

δ δAαµ (x)

,

(22.7.3)

ãäå Cαβγ — ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íûå ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû ξ êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû G, à T β (x) äåéñòâóåò íà ïîëÿ ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ è îïðåäåëÿåòñÿ èíôèíèòåçèìàëüíûì ïðåäåëîì âûðàæåíèÿ (19.6.7), êîòîðûé (ïðè óñëîâèè ýêñïîíåíöèàëüíîé ïàðàìåòðèçàöèè γ (ξ) = exp(iξ a X a ) ) ðàâåí *

Tβ exp iξ a (x) X a = − Tβξ (x) exp iξ a (x) X a + exp iξ a (x) X a θβi (x) Yi .

b

g

b

g

b

g

(22.7.4) Çäåñòü Tβ — ìàòðèöû, ïðåäñòàâëÿþùèå ãåíåðàòîðû ãðóïïû G â ëþáîì ïðåäñòàâëåíèè; ýòè ãåíåðàòîðû ðàçäåëÿþòñÿ íà ìíîæåñòâà Xa è Yi, ïðåäñòàâëÿþùèå, ñîîòâåòñòâåííî, ãåíåðàòîðû íàðóøåííûõ è íåíàðóøåííûõ ñèììåòðèé. Êðîìå òîãî, θβi(x) — çàâèñÿùèå îò x ôóíêöèè, âèä êîòîðûõ íàñ íå áóäåò çàíèìàòü. Îòíîñèòåëüíî ôóíêöèé àíîìàëèè Gβ[x; A] ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü òîëüêî âûïîëíåíèå óñëîâèé ñîâìåñòíîñòè (22.6.6):

T α (x)Gβ [ y; A] − Tβ ( y)Gα [x; A] = iCαβγ δ 4 (x − y)G γ [ y; A] . (22.7.5) è îòñóòñòâèå àíîìàëèé â íåíàðóøåííûõ ñèììåòðèÿõ:

G i [x; A] = 0 .

(22.7.6)

* Çíàê «ìèíóñ» â ïåðâîì ñëàãàåìîì â ïðàâîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ (22.7.4) è ìíîæèòåëü –i â ëåâîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ (33.7.3) âîçíèêàþò ïîòîìó, ÷òî êàëèáðîâî÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå (15.1.17) ñ ïàðàìåòðîì êàëèáðîâêè Λβ èíäóöèðóåòñÿ ýêñïîíåíòîé exp[ − i Λ β (x) Tβ (x)] . Ýòî ìîæíî óâèäåòü, ïîòðåáîâàâ, ÷òîáû îïåðàòîð Tβ(x) óäîâëåòâîðÿë êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì (22.6.5).

z

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

552

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

Êàê îòìå÷àëîñü â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, äî òåõ ïîð, ïîêà äëÿ ãåíåðàòîðîâ ïîäãðóïïû íåíàðóøåííîé ñèììåòðèè ñëåä Tr[Ti{Tj,Tk}] îáðàùàåòñÿ â íóëü (êàê ýòî èìååò ìåñòî äëÿ íåêèðàëüíûõ ãåíåðàòîðîâ SU(3) × SU(3)), âñåãäà ìîæíî äîáàâèòü ê äåéñòâèþ ëîêàëüíûé ôóíêöèîíàë, òàê, ÷òîáû óäîâëåòâîðèòü óñëîâèþ (22.7.6). Åñëè ïðåäïîëîæåíèÿ (22.7.5) è (22.7.6) âûïîëíåíû, âñåãäà ìîæíî íàéòè ðåøåíèå àíîìàëüíûõ òîæäåñòâ Ñëàâíîâà–Òåéëîðà (22.7.1): 1

Γ[ξ, A] = − i 0 dt ξ b ( y)Gb [ y; A− tξ ]d 4 y ,

z z

(22.7.7)

ãäå [ A− tξ (x)]µ åñòü ðåçóëüòàò äåéñòâèÿ íà Aµ ≡ TβAµβ êàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (15.1.17) ñ Λa = -tξa è Λi = 0:

[ A− tξ (x)]µ = exp − itX a ξ a (x) Aµ (x) exp itXa ξ a (x)

b

g

b

g

− i ∂ µ exp − itX a ξ a (x) exp itX a ξ a (x) .

b

g

b

g

(22.7.8)

 ïðîòèâîïîëîæíîñòü ñëó÷àþ, êîãäà àíîìàëèè áûëè ó íåíàðóøåííûõ ñèììåòðèé, ôîðìóëû (22.7.7) è (22.7.8) îïðåäåëÿþò ëîêàëüíûé (õîòÿ è ñëîæíûé) ôóíêöèîíàë êàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé è ïîëåé ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ. Ëþáîå äðóãîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (22.7.1) áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò ïðèâåäåííîãî íà ôóíêöèîíàë, ñâîáîäíûé îò àíîìàëèé. Íàìåòèì äîêàçàòåëüñòâî 24 òîãî, ÷òî äåéñòâèå (22.7.7) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (22.7.1). Âìåñòî òîãî, ÷òîáû èìåòü äåëî ñ ëîêàëüíûì ãåíåðàòîðîì Tβ(x), óäîáíî ââåñòè ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ ηβ(x) è îïðåäåëèòü

T [ η] = d 4 x ηβ (x) Tβ (x) .

z

(22.7.9)

×òîáû âû÷èñëèòü T[η]ξb(x), ââåäåì ìàòðèöó

η− tξ (x) ≡ exp − iXa ξ a (x)t η(x) + T [ η] exp iXa ξ a (x)t ≡ [ η− tξ (x)]β Tβ ,

b

g

b

g

(22.7.10) ãäå η(x) ≡ ηβ(x)Tβ. Òîãäà

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

22.7. Àíîìàëèè è ãîëäñòîóíîâñêèå áîçîíû

∂ ∂t

553

η− tξ (x) = − i X a ξ a (x), η− tξ (x) + i T [ η]ξ a (x) X a ,

b

g

òàê ÷òî ∂

T [ η]ξ b (x) = − i

∂t

[ η− tξ (x)]b + iCaγb ξ a (x)[ η− tξ (x)]γ .

(22.7.11)

×òîáû íàéòè T[η]Gb[y,A], ïðèìåíèì T[η] ê êàëèáðîâî÷íîìó ïîëþ, è ïîñëå ïðÿìîãî âû÷èñëåíèÿ ïîëó÷èì, ÷òî

e

T [ η][ A− tξ (x)] = T A [ η− tξ ]Aµ (x)

j

A → A− tξ

,

(22.7.12)

òàê ÷òî, èñïîëüçóÿ óñëîâèå ñîâìåñòíîñòè (22.7.5),

z

T [ η]G b [ y; A− tξ ] = d 4 x[ η− tξ (x)]γ T γA (x)G b [ y; A]

d

z

i

= d 4 x[ η− tξ (x)]a T bA ( y)Ga [x; A]

d

i

A → A− tξ

A → A− tξ

(22.7.13)

+ iCγba [ η− tξ ( y)]γ G a [ y; A− tξ ] . Ñëàãàåìûå ñî ñòðóêòóðíûìè êîíñòàíòàìè â ôîðìóëàõ (22.7.11) è (22.7.13) ñîêðàùàþòñÿ, è â ðåçóëüòàòå

T [ η]Γ[ξ, A] =

z z 1

0

RS L ∂ [η (y)] O G [y; A PQ T MN ∂t ( y)] e T [ξ]G [ y; A] j UVW .

dt d 4 y −

− i[ η− tξ

a

− tξ ]

− tξ

b

a

A → A− tξ

b

(22.7.14)

Äðóãîå íåïîñðåäñòâåííîå âû÷èñëåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî

∂ ∂t

[ A− tξ (x)]µ = i T A (ξ) Aµ (x)

d

i

A → A− tξ

,

(22.7.15)

òàê ÷òî ñëàãàåìûå â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè â (22.7.14) ñêëàäûâàþòñÿ, îáðàçóÿ ïðîèçâîäíóþ ïî t:

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

554

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè 1



0

∂t

z z z

T [ η]Γ[ξ, A] = − dt d 4 y

o[η

t

− tξ ( y)]b G b [ y; A− tξ ]

= − d 4 y [ η− tξ ( y)]b Gb [ y; A− tξ ]

t =1 t =0

(22.7.16)

.

Ïðè t = 1 èìååì

η− ξ (x) = exp − iX a ξ a (x) η(x) + T [ η] exp iX a ξ a (x) .

b

g

b

g

Èç âûðàæåíèÿ (22.7.4) âèäíî, ÷òî ýòî åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ãåíåðàòîðîâ ïîäãðóïïû Η íåíàðóøåííîé ñèììåòðèè, òàê ÷òî êîýôôèöèåíò [η–ξ(y)] ó ëþáîãî ãåíåðàòîðà Xb íàðóøåííîé ñèììåòðèè îáðàùàåòñÿ â íóëü. Êðîìå òîãî, èç ôîðìóë (22.7.10) è (22.7.8) íåìåäëåííî ñëåäóåò, ÷òî ïðè t = 0 η–tξ(y) = η(y) è [A–tξ(y)]µ = Aµ(y), òàê ÷òî èç âûðàæåíèÿ (22.7.16) âûòåêàåò, ÷òî

T [ η]Γ[ξ, A] = d 4 y[ η0 ( y)]b Gb [ y; A0 ] = d 4 y ηb ( y)Gb [ y; A], (22.7.17)

z

z

Ñîâìåñòíî ñ óñëîâèåì (22.7.6) ýòî ýêâèâàëåíòíî æåëàåìîìó ðåçóëüòàòó (22.7.1), ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Ðåøåíèå (22.7.7) óðàâíåíèÿ 922.7.1) íå åäèíñòâåííî, îäíàêî ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì, îáðàùàþøèìñÿ â íóëü ïðè x = 0. ×òîáû óâèäåòü ýòî, çàìåòèì, ÷òî

exp − i ηβ (x) Tβ (x)d 4x Γ[ξ, A] = Γ[ξ ′, A ′ ],

z

(22.7.18)

ãäå øòðèõè óêàçûâàþò íà êàëèáðîâî÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå ñ êàëèáðîâî÷íûì ïàðàìåòðîì ηβ. Çäåñü óäîáíî ïðåäñòàâèòü ýêñïîíåíòó â âèäå exp(z) = 1 +

z

1

0

dt exp(zt) z

òàê ÷òî èç ôîðìóë (22.7.1) è (22.7.18) ñëåäóåò: 1

4 Γ[ξ, A] − i 0 exp − it ηβ (x) T A β ( x) d x

z

z

z

ξ b ( y) G b [ y; A] d 4 y

= Γ[ξ ′, A ′ ].

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(22.7.19)

22.7. Àíîìàëèè è ãîëäñòîóíîâñêèå áîçîíû

555

 ÷àñòíîñòè, åñëè âçÿòü ηa = –ξa è ηi = 0, òîãäà ξ′a = 0, è â ýòîì ñëó÷àå, ïî ïðåäïîëîæåíèþ, ïðàâàÿ ÷àñòü â âûðàæåíèè (22.7.19) îáðàùàåòñÿ â íóëü, à ñëåäîâàòåëüíî ìû ïðèõîäèì ê ôîðìóëå 1

Γ[ξ, A] = − i 0 exp it ξ a (x) T aA (x)d 4 x

z

z

z

ξ b ( y) G b [ y; A] d 4 y .

(22.7.20) Ôóíêöèîíàëüíûé îïåðàòîð exp[it ξ a (x) T aA (x)d 4x] â ôîðìóëå (22.7.20) ïðîñòî ïîðîæäàåò êàëèáðîâî÷íîå ïðåîáðàçîâíàèå (15.1.17) ñ êàëèáðîâî÷íûì ïàðàìåòðîì Λβ(x) = –tξa(x), òàê ÷òî ôîðìóëó (22.7.20) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå (22.7.7). Ðåøåíèå (22.7.7) ìîæíî ïðèìåíèòü äëÿ èçó÷åíèÿ ýëåêòðîñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèé îêòåòà ïñåâäîñêàëÿðíûõ ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ, îäíàêî îíà èìååò âàæíûå ïðèëîæåíèÿ è äëÿ âçàèìîäåéñòâèé ñàìèõ ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ â îòñóòñòâèå ðåàëüíûõ êàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé.  ñëó÷àå, êîãäà À = 0, âûðàæåíèå (22.7.8) ñòàíîâèòñÿ «÷èñòî êàëèáðîâî÷íûì» ïîëåì

z

A− tξ (x)

µ

= − i ∂ µ exp(− itX a ξ a (x)) exp(itX a ξ a (x)) = − i ∂ µ V tξ(x) V −1 tξ(x) ,

(22.7.21)

V tξ(x) ≡ exp( − itX a ξ a (x)) .

(22.7.22)

b

ãäå

b

g

b

g

g

Åñëè Aαµ (x) = 0 , èç óðàâíåíèÿ (22.7.1) âûòåêàåò, ÷òî Tβ (x)Γ [ξ,0] = 0 ,

(22.7.23)

òàê ÷òî â ðåçóëüòàòå ïîäñòàíîâêè (22.7.21) â (22.7.7) ïîëó÷àåòñÿ Gèíâàðèàíòíûé ëîêàëüíûé ôóíêöèîíàë ïîëÿ ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ ξa(x), õîòÿ, êàê ìû óâèäèì, â îáùåì ñëó÷àå îí íå ðàâåí èíòåãðàëó ïî ïðîñòðàíñòâó-âðåìåíè îò G-èíâàðèàíòíîé ôóíêöèè ξa(x) è åãî ïðîèçâîäíûõ. Ïðîñòåéøèì ïðèìåðîì ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àé ïîëíîñòüþ íàðóøåííîé ãðóïïû ñèììåòðèè.  ýòîì ñëó÷àå óñëîâèå (22.7.6) íè÷åãî íå äàåò, è ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü äëÿ àíîìàëèè ñèììåòðè÷íóþ ôîðìó (22.3.38):

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

556

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

G a [x; A] =

i

ε κνλρTr Ta ∂ κ Aν (x)∂ λ Aρ (x) − 1 i∂ κ Aν (x) Aλ (x) Aρ (x)

{

24π +1 iAκ (x)∂ ν Aλ (x) Aρ (x) − 1 iAκ (x) Aν (x)∂ λ Aρ (x) , 2

}

(22.7.24) ãäå òåïåðü Τα — êîíêðåòíîå ïðåäñòàâëåíèå ãåíåðàòîðîâ ãðóïïû, ðåàëèçóåìîå ëåâûìè ôåðìèîíàìè òåîðèè (âêëþ÷àÿ àíòèôåðìèîíû, åñëè ýòî ðàçëè÷èå ñóùåñòâåííî). Ïîäñòàâëÿÿ (22.7.21) â (22.7.24), íàõîäèì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå â ñëåäå â ôîðìóëå (22.7.24) ïîñëå ñâåðòêè ñ εκνλρ âûæèâàþò òîëüêî ÷ëåíû, ïðîïîðöèîíàëüíûå

Tr Ta (∂ κ V) V −1 (∂ ν V) V −1 (∂ λ V) V −1 (∂ρ V) V −1 ,

o

t

ñ êîýôôèöèåíòàìè –1, +1, –1 è +1, ñîîòâåòñòâåííî. Ïîýòîìó ðåøåíèå (22.7.7) ïðèíèìàåò âèä Γ[ξ,0] = −

1

z

ε κνλρ d 4 y ξ a ( y)

z

n

1

b b

g g

dt Tr Ta ∂ κ V tξ( y) 48π × V −1 tξ( y) ∂ ν V tξ( y) V −1 tξ( y) ∂ λ V tξ( y) ×V

2

−1

0

b g b g b g btξ(y)g ∂ Vbtξ(y)g V btξ(y)g} . −1

ρ

(22.7.25) (22.7.28)

Êàê è óòâåðæäàëîñü, ýòî âûðàæåíèå íå åñòü èíòåãðàë îò èíâàðèàíòíîé ôóíêöèè ïîëåé è èõ ïðîèçâîäíûõ. Íàïðèìåð, åñëè ïîëÿ ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ ìàëû, ôîðìóëà (22.7.25) ïðèíèìàåò âèä

Γ[ξ,0] = −

1

240π + O(ξ 6 ) . 2

ε κνλρTr TaTbTcTdTe

l

qz d y ξ ∂ ξ ∂ ξ ∂ ξ ∂ ξ 4

a κ b ν c λ d ρ e

(22.7.26)

Ëþáàÿ ôóíêöèÿ êîâàðèàíòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïîëåé ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ áóäåò ñîäåðæàòü ÷ëåí íèçøåãî ïîðÿäêà ïî ïîëÿì, êîòîðûé ïðîñòî áóäåò ïðîèçâåäåíèåì ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ãîëäñòîóíîâñêèõ ïîëåé, è ïîýòîìó òàêàÿ ôóíêöèÿ íå ìîæåò ñîäåðæàòü ÷ëåí íèçøåãî ïîðÿäêà âèäà (22.7.26).  êà÷åñòâå ïðàêòè÷åñêè áîëåå âàæíîãî ïðèìåðà ðàññìîòðèì SU(3) × SU(3) êèðàëüíóþ ñèòììåòðèþ êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

22.7. Àíîìàëèè è ãîëäñòîóíîâñêèå áîçîíû

557

ñ áåçìàññîâûìè êâàðêàìè u, d è s, êîòîðàÿ ñïîíòàííî íàðóøåíà äî äèàãîíàëüíîé SU(3) ïîäãðóïïû Ãåëë-Ìàííà è Íååìàíà. ×òîáû èñïîëüçîâàòü ðåçóëüòàòû äàííîãî ðàçäåëà, ìû äîëæíû ïîìåòèòü âíóòðåííèå èìïóëüñû â èíòåãðàëàõ ïî ôåðìèîííûì ïåòëÿì òàê, ÷òîáû âåêòîðíûå òîêè äèàãîíàëüíîé SU(3) ïîäãðóïïû áûëè ñâîáîäíû îò àíîìàëèé.  ýòîì ñëó÷àå àíîìàëèÿ ïðèíèìàåò ôîðìó Áàðäèíà (22.3.34):

G a [ V , A] =

in

RS L T MN

ε µνρσ Tr ta Vµν Vρσ +

1 3

Aµν Aρσ −

32

Aµ Aν Aρ Aσ 16π 3 (22.7.27) 8 + i( Aµ Aν Vρσ + Aµ Vρσ Aν + Vρσ Aµ Aν , 3 2

OPUV QW

ãäå Vµ, Aµ, Vµν è Aµν îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè (22.3.35)–(22.3.37), ta çäåñü ðàâíÿåòñÿ ïîëîâèíå ìàòðèö Ãåëë-Ìàííà λa, îïðåäåëåííûõ ôîðìóëàìè (19.7.2), à n — ÷èñëî òèïîâ («öâåòîâ») êâàðêîâ êàæäîãî ñîðòà (àðîìàòà). (Ìû òåïåðü èñïîëüçóåì ñòðî÷íóþ áóêâó t äëÿ ìàòðèö, ïðåäñòàâëÿþùèõ ãåíåðàòîðû ãðóïïû, ïîñêîëüêó â ýòîì ñëåäå ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ òîëüêî ïî ëåâûì êâàðêàì, íî íå ïî ëåâûì àíòèêâàðêàì.) Äëÿ ÷èñòî êàëèáðîâî÷íîãî ïîëÿ òèïà (22.7.21) íàïðÿæåííîñòè Vµν è Aµν îáðàùàþòñÿ â íóëü, òàê ÷òî, äîäñòàâëÿÿ (22.7.27) â (22.7.7), íàõîäèì àíîìàëüíîå ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ Γ[ξ,0] = −

2n 3π

2

ε µνρσ

z z 1

0

o

t

dt d 4 x Tr ξ a ta [ A− tξ ]µ [ A− tξ ] ν [ A− tξ ]ρ [ A− tξ ]σ .

ãäå òåïåðü «A» îáîçíà÷àåò íå âåêòîðíîå, à àêñèàëüíîå êàëèáðîâî÷íîå ïîëå. ×òîáû íàéòè [A–tξ]µ, èñïîëüçóåì ôîðìóëó (22.7.21), êîòîðàÿ â äàííîì ñëó÷àå èìååò âèä

[ V− tξ (x)]µ + γ 5 [ A− tξ (x)]µ = − i ∂ µ exp − itγ 5ta ξ a (x) exp itγ 5ta ξ a (x) .

b

g

b

g

(22.7.29) Óìíîæàÿ íà (1+ γ5)/2 è (1− γ5)/2 è áåðÿ ðàçíîñòü, íàõîäèì àêñèàëüíîå ñëàãàåìîå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

558

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

[ A− tξ (x)]µ = − + 1

=

2

1 2 1 2

i ∂ µ exp(− itξ a ta ) exp( itξ a ta ) i ∂ µ exp( itξ a ta ) exp(− itξ a ta )

(22.7.30)

−1

i exp( itξ a ta )U (tξ(x)) ∂ µ U (tξ(x)) exp(− itξ a ta ) ,

ãäå

U (tξ) ≡ exp 2 ita ξ a t .

b

g

(22.7.31)

Ïîñëå ïîäñòàíîâêè â ôîðìóëó (22.7.28) íàõîäèì ýôôåêòèâíîå àíîìàëüíîå äåéñòâèå

Γ[ξ,0] = −

n

ε µνρσ

z z 1

dt d 4 xTr ξ a ta U −1 (tξ(x)) ∂ µ U (tξ(x))

{

24π × U −1 (tξ(x)) ∂ ν U (tξ(x)) U −1 (tξ(x)) ∂ ρU (tξ(x)) U −1 (tξ(x)) (22.7.32) × ∂ σ U (tξ(x)) . 2

0

s

Êàê áûëî îòìå÷åíî Âèòòåíîì 25, ýòî âûðàæåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü â óäîáíîé ïÿòèìåðíîé ôîðìå. Âûáåðåì â êà÷åñòâå ïÿòîé êîîðäèíàòû t è îïðåäåëèì ξa(x,t) ≡ tξa(x). Òîãäà ôîðìóëà (22.7.32) ïðèìåò âèä in

z

ε ijklm d 5 z Tr U −1 ξ(z) ∂ i U ξ(z) 240π 2 × U −1 ξ(z) ∂ j U ξ(z) U −1 ξ(z) ∂ k U ξ(z) U −1 ξ(z) (22.7.33) × ∂l U ξ(z) U −1 ξ(z) ∂ m U ξ(z) ,

Γ[ξ,0] = −

n b g b g b g b g b g b g b g b g b g b gs

ãäå i, j è ò. ä. ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ 1, 2, 3, 0, 5, zi = xi äëÿ i = 1, 2, 3, 0 è z5 = t, à èíòåãðàë áåðåòñÿ ïî îáëàñòè 0 ≤ z5 ≤ 1. (Äîïîëíèòåëüíûé ìíîæèòåëü 1/5 âîçíèêàåò â ôîðìóëå (22.7.33) äëÿ òîãî, ÷òîáû ó÷åñòü, ÷òî ëþáîé èç ïÿòè èíäåêñîâ i, j, k, l èëè m ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèå 5.) Ïîñêîëüêó ξa(z) ïðèíèìàåò ôèêñèðîâàííîå çíà÷åíèå íóëü ïðè z5 = 0 è ëþáûõ çíà÷åíèÿõ zµ èç zi, ìû ìîæåì ñ÷èòàòü âñå ýòè çíà÷åíèÿ zi îäíîé òî÷êîé è ðàññìàòðèâàòü îáëàñòü èíòåãðèðîâàíèÿ â (22.7.33) êàê ïÿòèìåðíûé øàð, ÷åòûðåõìåðíàÿ ãðàíèöà êîòîðîãî z5 = 1 åñòü îáû÷íîå ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ. Òîãäà ôîðìóëà (22.7.33) åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé çàäàâàåìîãî ôîðìóëàìè (19.8.1) è (19.8.3) äåéñòâèÿ Âåññà–Çóìèíî–Âèòòåíà, êîòîðîå òàêæå áûëî ïðîïîðöè-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

22.7. Àíîìàëèè è ãîëäñòîóíîâñêèå áîçîíû

559

îíàëüíî öåëîìó ÷èñëó n. Åäèíñòâåííîé ðàçíèöåé ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî òåïåðü n îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ ÷èñëîì öâåòîâ.  ðàçäåëå 19.8 ìû âèäåëè, ÷òî èíòåãðàë (19.8.3) çàâèñèò òîëüêî îò çíà÷åíèé ξa(z) íà ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé ãðàíèöå ïÿòèìåðíîãî øàðà, ïîýòîìó ïðè âûâîäå ôîðìóëû (22.7.33) ìû ïîêàçàëè, ÷òî ôîðìóëà (19.8.2) ïðèìåíèìà äëÿ ëþáîãî ïðîäîëæåíèÿ xa(x) âíóòðü ïÿòèìåðíîãî øàðà, à íå òîëüêî äëÿ ñëó÷àÿ ξa(x,t) =tξ(x). ***  áîëåå îáùåì ñëó÷àå ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ êàëèáðîâî÷íóþ ãðóïïó G, ñïîíòàííî íàðóøåííóþ äî ïîäãðóïïû Í, êîòîðàÿ ñàìà ïî ñåáå ñâîáîäíà îò àíîìàëèé, ò. å. äëÿ êîòîðîé D-ñèìâîë (22.3.12) îáðàùàåòñÿ â íóëü äëÿ ëþáûõ òðåõ ãåíåðàòîðîâ Í. ×ó, Õî è Çóìèíî 26 ïîêàçàëè, ÷òî ê äåéñòâèþ ìîæíî äîáàâèòü ëîêàëüíûé ôóíêöèîíàë B[A] òàê, ÷òî òîêè ïîäãðóïïû Í áóäóò ñâîáîäíûìè îò àíîìàëèé äàæå, êîãäà ó÷èòûâàþòñÿ êàëèáðîâî÷íûå ïîëÿ íàðóøåííûõ ñèììåòðèé. Ýòîò ôóíêöèîíàë èìååò âèä 1 B[ A] = d 4x Tr [ Ahµ , Ahν ](F ρσ + Fhρσ ) + A µ Ahν Ahρ Ahσ ε 2 µνρσ 48π (22.7.34) − Ahµ A ν A ρ A σ + 1 Ahµ A ν Ahρ A σ ,

z

{

}

ãäå ñíîâà A µ ≡ Tα Aαµ è F µν ≡ Tα Fαµν , à Ahµ ≡ Ti Aiµ è Fhµν ≡ Ti Fiµν — ñëàãàåìûå â Aµ è Fµν â àëãåáðå íåíàðóøåííîé ïîäãðóïïû ñèììåòðèè Í. Òîãäà ïîëíàÿ àíîìàëèÿ ðàâíà Gβ′ [x; A ] = Gβ [x; A ] + T β (x) B[ A ]

(22.7.35)

(ãäå Gβ[x;A] — ñèììåòðèçîâàííàÿ àíîìàëèÿ (22.3.38)), è îíà óäîâëåòâîðÿåò æåëàåìîìó óñëîâèþ Gβ′ [x; A] = 0 .

(22.7.36)

Àíîìàëüíàÿ ÷àñòü ýôôåêòèâíîãî äåéñòâèÿ äëÿ ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ è êàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé ïîëó÷àåòñÿ ïîäñòàíîâêîé âûðàæåíèÿ (22.7.35) âìåñòî Gβ â ðåøåíèå (22.7.7). Òàêèì ñïîñîáîì ×ó è äð.26 íàøëè àíîìàëüíîå ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

560

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

Γ ′[ξ, A ] = Γ [ξ, A ] − B[ A − ξ ] + B[ A ] ,

(22.7.37)

ãäå Γ[ξ,A] — ðàíåå âûâåäåííîå ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå (22.7.7), à A–ξ(x) ïîëó÷àåòñÿ, åñëè ïîëîæèòü â (22.7.8) t = 1.  ÷àñòíîñòè, êîãäà êàëèáðîâî÷íîå ïîëå îáðàùàåòñÿ â íóëü, A–ξ åñòü ÷èñòî êàëèáðîâî÷íîå ïîëå [ A− ξ (x)]µ = − i ∂ µ V ξ)x) V −1 ξ(x) ,

b g b g V b ξ(x)g = expb − iX ξ (x)g , a a

òàê ÷òî â ýòîì ñëó÷àå äåéñòâèå äëÿ ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ ðàâíî

Γ ′[ξ,0] = Γ[ξ,0] −

1

z

ε µνρσ d 4x Tr A−µξ A−νξh A−ρ ξh A−σξh

{

48π µ ν − A− ξh A− ξ A−ρ ξ A−σξ + 1 A−µξh A−νξ A−ρ ξh A−σξ . 2

}

(22.7.38)

Ðåçóëüòàò íå åäèíñòâåíåí; â ÷àñòíîñòè, â òåîðèÿõ, ñîõðàíÿþùèõ ÷åòíîñòü (òèïà êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè) ìîæíî äîáàâèòü â ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå ëîêàëüíûå ñëàãàåìûå, ñ òåì, ÷òîáû ñîêðàòèòü ëþáûå íå ñîõðàíÿþùèå ÷åòíîñòü ÷ëåíû â âûðàæåíèè (22.7.38). Çàäà÷è 1.

Ðàññ÷èòàòéòå âåðîÿòíîñòü ïðîöåññà η → γ + γ â ãëàâíîì ïîðÿäêå ïî ms, ñ÷èòàÿ mu = md = 0.

2.

Ðàññìîòðèòå êèðàëüíóþ SU(3) ñèììåòðèþ, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé ëåâûå êîìïîíåíòû ïîëåé ñïèíà 1 â òåîðèè, ñîõðàíÿþùåé ÷èñëî ôåðìèîíîâ, îáðàçóþò N ôóíäàìåíòàëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé 3 ãðóïïû SU(3), à âñå ïðàâûå êîìïîíåíòû ÿâëÿþòñÿ ñèíãëåòàìè. Âû÷èñëèòå àíîìàëèþ â SU(3) ñèììåòðèè. Êàêîé áóäåò àíîìàëèÿ, åñëè äîáàâèòü Ì ôåðìèîííûõ ïîëåé, ëåâûå êîìïîíåíòû êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ñèíãëåòàìè, à ïðàâûå êîìïîíåíòû ïðåîáðàçóþòñÿ êàê ñèììåòðè÷íûå òåíçîðû âòîðîãî ðàíãà SU(3) ñ íóëåâûì ñëåäîì?

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

561

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

3.

Íàéäèòå ðåøåíèå óñëîâèé ïîäáîðà àíîìàëèé ′ò Õîôòà (22.5.5) è (22.5.6) äëÿ ñëó÷àÿ n = 4 ñîðòîâ êâàðêîâ. Íàéäèòå ðåøåíèå äëÿ ñëó÷àÿ n = 2, îòëè÷íîå îò ïðèâåäåííîãî â òåêñòå.

4.

Âûâåäèòå óðàâíåíèå Çèíí-Æþñòåíà èç êâàíòîâîãî ìàñòåðóðàâíåíèÿ, íå ïðåäïîëàãàÿ ∆S = 0. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

1.

Steinberger, J., Phys. Rev., 76, 1180 (1949). Ñì. òàêæå: Finkelstein, R.J., Phys. Rev., 72, 415 (1949); Fukuda, H. and Miyamoto, Y., Prog. Theor. Phys., 4, 347 (1949); Schwinger, J., Phys. Rev., 82, 664 (1951); Rosenberg, L., Phys. Rev., 129, 2786 (1963). Ãðóáàÿ îöåíêà ýòîé âåðîÿòíîñòè ðàñïàäà áûëà ñäåëàíà åùå äî ýêñïåðèìåíòàëüíîãî îáíàðóæåíèÿ π0 â ðàáîòå: Sakata, S. and Tanikawa, Y., Phys. Rev., 57, 548 (1940).

2.

Sutherland, D.G., Nucl. Phys., B2, 433 (1967).

3.

Veltman, M., Proc. Roy. Soc., A301, 107 (1967).

4.

Bell, J.S. and Jackiw, R., Nuovo Cimento, 60A, 47 (1969). Cì. òàêæå: Jackiw, R., in Lectures on Current Algebra and its Applications (Princeton Press, Princeton, 1972).

5.

Adler, S., Phys. Rev., 177, 2426 (1969). Cì. òàêæå: Adler, S., in Lectures on Elementary Particles and Quantum Field Theory – 1970 Brandeis University Summer Institute in Theorethical Physics, eds. S. Deser, M. Grisaru, and H. Pendleton (MIT Press, Cambridge, MA, 1970), Vol. I.

6.

Fujikawa, K., Phys. Rev. Lett., 42, 1195 (1979).

6a. Atiyah, M.F. and Singer, I.M., Proc. Nat. Acad. Sci., 81, 2597 (1984). 7.

Alvarez-Gaumè, L. and Ginsparg, P., Ann. Phys., 161, 423 (1985).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

562

8.

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

Bardeen, W.A., Phys. Rev., 184, 1848 (1969).

8a. Ñì., íàïðèìåð, ðàáîòó: Zumino, B., Wu, Y.-S., and Zee, A., Nucl. Phys., B239, 477 (1984). 9.

Adler, S.L. and Bardeen, W.A., Phys. Rev., 1517 (1969).

10. Ñì., íàïðèìåð: Georgi, H., Lie Algebras in Particle Physics (Benjamin–Cummings, Reading, MA, 1982), pp. 15, 198. Èñõîäíàÿ ññûëêà: Schur, I., Sitz. Preuss. Akad., p. 406 (1905). 10a. Atiyah, M.F. and Singer, I.M., [6a]; Zumino, B., in Relativity, Groups and Topology II, eds. B.S. de Witt and R. Stora (North– Holland, Amsterdam, 1984); Alvarez-Gaumè L. and Ginsparg, P., [7]; Bardeen, W. and Zumino, B., Nucl. Phys., B244, 421 (1984); Stora, R., in Progress in Gauge Field Theory, eds. G. 't Hooft et al. (Plenum, New York, 1984), p. 543; Alvarez, O., Singer, I., and Zumino, B., Comm. Math. Phys., 96, 409 (1984); Alvarez-Gaumè L. and Ginsparg, P., Nucl. Phys., B262, 439 (1985); Zumino, B., Nucl. Phys., B253, 477 (1985); Bismut, J.M. and Freed, D.S., Commun. Math. Phys., 106, 159 (1986); 107, 103 (1986); Freed, D.S., Commun. Math. Phys., 107, 483 (1986). 10b. Witten, E., Phys. Lett., 117B, 324 (1982). 11. Gross, D.J. and Jackiw, R., Phys. Rev., 96, 477 (1969). 12. Georgi, H. and Glashow, S.L., Phys. Rev., D6, 429 (1972). 13. Mehta, M.L., J. Math. Phys., 7, 1824 (1966); Mehta, M.L. and Srivastava, P.K., J. Math. Phys., 7, 1833 (1966). 13a. Ñîêðàùåíèå àíîìàëèé â ÷åòûðåõêâàðêîâîé âåðñèè ñòàíäàðòíîé ýëåêòðîñëàáîé òåîðèè áûëî ïîêàçàíî â ðàáîòàõ: Bouchiat, C., Illiopoulos, J., and Meyer, Ph., Phys. Lett., 38B, 519 (1972); Weinberg, S., in Fundamental Interactions in Physics and Astrophysics, eds. G. Iverson et al. (Plenum Press, New York, 1973), p. 157.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

563

14. Georgi, H., in Particles and Fields — 1974, ed. C. Carlson (Amer. Inst. of Physics, New York, 1975). 15. Delbourgo, R. and Salam, A., Phys. Lett., 40B, 381 (1972); Eguchi, T. and Freund, P., Phys. Rev. Lett., 37, 1251 (1976). Ñì. òàêæå: Nielsen, N.K., Grisaru, M.T., Romer, R., and van Nieuwenhuizen, P., Nucl. Phys., B140, 477 (1978); Perry, M.J., Nucl. Phys., B143, 114 (1978); Hawking, S.W. and Pope, C., Nucl. Phys., B146, 381 (1978); Christensen, S.M. and Duff, M.J., Phys. Lett., 76B, 571 (1978); Critchley, R., Phys. Lett., 78B, 410 (1978); Hanson, A.J. and Romer, R., Phys. Lett., 80B, 58 (1978). Îáçîð ñì.: Eguchi, T.á Gilkey, P.B., and Hanson, A.J., Phys. Rep., 66, 213 (1980).  ñëó÷àå 4n + 2 èçìåðåíèé ñóùåñòâóåò è àíîìàëèÿ â äèâåðãåíöèè òåíçîðà ýíåðãèè-èìïóëüñà; ñì.: Alvarez-Gaumè, L. and Witten, E., Nucl. Phys., B234, 269 (1984). 16. 't Hooft, G., lecture given at the Cargèse Summer Institute, 1979, in Recent Developments in Gauge Theories, eds. G. 't Hooft et al. (Plenum, New York, 1980). Ñì. òàêæå: Dimopoulos, S., Raby, S., and Susskind, L., Nucl. Phys., B173, 208 (1980); Coleman, S. and Witten, E., Phys. Rev. Lett., 45, 1000 (1980); Frishman, Y., Schwimmer, A., Banks, T., and Yankielowicz, S., Nucl. Phys., B177, 157 (1981); Zee, A., Univ. of Pennsylvania report, 1980 (unpublished); Barbieri, R., Maiani, L., and Petronzio, R., Phys. Lett., 96B, 63 (1980); Farrar, G., Phys. Lett., 96B, 273 (1980); Chanda, R. and Roy, P., Phys. Lett., 99B, 453 (1981). 16a. Weinberg, S. and Witten, E., Phys. Lett., 96B, 59 (1980). 17. Preskill, J. and Weinberg, S., Phys. Rev., D24, 1059 (1981). 18. Wess, J. and Zumino, B., Phys. Lett., 37B, 95 (1971). 18a. Stora, R., in Progress in Gauge Field Theory, eds. G. 't Hooft et al. (Plenum, New York, 1984), p. 543; Zumino, B., in Relativity, Groups and Topology II, eds. B.S. de Witt and R. Stora (Elsevier, Amsterdam, 1984), p. 1293; Mañes, J. and Zumino, B., Commun. Math. Phys., 102, 157 (1985).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

564

Ãëàâà 22. Àíîìàëèè

18b. Faddeev, L.D., Phys. Lett., 145B, 81 (1984); Zumino, B., Nucl. Phys., B253, 477 (1985). 18c. Schwinger, J., Phys. Rev. Lett., 3, 296 (1959). 19. Dixon, J.A., unpublished preprints (1976–1979); Commun. Math. Phys., 139, 495 (1991); Brandt, F., Dragon, N., and Kreuzer, M., Nucl. Phys., B322, 224 (1990); Dubois-Violette, M., Henneaux, M., Talon, M., and Vialett, C.M., Phys. Lett., B289, 361 (1992); Dubois-Violette, M., Talon, M., and Vialett, C.M., Phys. Lett., B158, 231 (1985); Commun. Math. Phys., 102, 105 (1985); Mañes, J. and Zumino, in Supersymmetry and its Applications: Superstrings, Anomalies, and Supergravity, eds. G.W. Gibbons, S.W. Hawking, and P.K. Townsend (Cambridge University Press, Cambridge, 1986). 19a. Ñì., íàïðèìåð: Georgi, H., [10], óðàâíåíèå 11.9 â ãë. XXV. 20. Stora, R., in New Directions in Quantum Field Theory and Statistical Mechanics — Lectures at the 1976 Cargèse Summer School, eds. M. Lévy and P. Mitter (Plenum, New York, 1977). 21. Dixon, J.A., [19]. 22. Barnich, G. and Henneaux, M., Phys. Rev. Lett., 72, 1588 (1994); Barnich, G., Brandt, F., and Henneaux, M., Commun. Math. Phys., 174, 57, 93 (1995). 23. Troost, W., van Nieuwenhuizen, P., and Van Proeyen, A., Nucl. Phys., B333, 727 (1990). 24. ß óçíàë îá ýòîì äîêàçàòåëüñòâå îò ïðîô. Á. Çóìèíî (÷àñòíîå ñîîáùåíèå). 25. Witten, E., Nucl. Phys., B223, 422 (1983). 26. Chu, C.-S., Ho, P.-M., and Zumino, B., Nucl. Phys., B475, 484 (1996).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

23 Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè Áî1ëüøàÿ ÷àñòü ýòîé êíèãè áûëà ïîñâÿùåíà ïðèìåíåíèÿì êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ, êîòîðûå ìîãóò áûòü, ïî ìåíüøåé ìåðå, îïèñàíû â ðàìêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé, íåçàâèñèìî îò òîãî, ïðèâîäèò ëè ðÿä òåîðèè âîçìóùåíèé ê õîðîøèì èëè ïëîõèì ÷èñëåííûì ðåçóëüòàòàì. Ïðè èñïîëüçîâàíèè òåîðèè âîçìóùåíèé ìû ðàçëàãàåì äåéñòâèå â îêðåñòíîñòè îáû÷íûõ, íå çàâèñÿùèõ îò ïðîñòðàíñòâåííîâðåìåííûõ êîîðäèíàò, âàêóóìíûõ çíà÷åíèé ïîëåé, îñòàâëÿÿ ñòàðøèå êâàäðàòè÷íûå ñëàãàåìûå â ýêñïîíåíòå exp(iI) è ðàññìàòðèâàÿ âñå ñëàãàåìûå áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà êàê ìàëûå ïîïðàâêè. Íà÷èíàÿ ñ ñåðåäèíû 1970-õ ãîäîâ ðàñòóùèé èíòåðåñ ñòàëè âûçûâàòü ýôôåêòû, âîçíèêàþùèå èç-çà íàëè÷èÿ ïðîòÿæåííûõ, çàâèñÿùèõ îò ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ êîîðäèíàò, ïîëåâûõ êîíôèãóðàöèé, òàêèõ, êàê èíñòàíòîíû 1, êîòîðûå òàêæå ÿâëÿþòñÿ ñòàöèîíàðíûìè «òî÷êàìè» äåéñòâèÿ.  ïðèíöèïå, òàêèå êîíôèãóðàöèè ñëåäóåò âêëþ÷àòü â ôóíêöèîíàëüíûå èíòåãðàëû, è ñóììèðîâàòü ïî ôëóêòóàöèÿì âîêðóã íèõ. ( ðàçäåëå 20.7 ìû óæå ñòîëêíóëèñü â äðóãîì êîíòåêñòå ñ ïðèìåðîì èíñòàíòîííîé êîíôèãóðàöèè.) Õîòÿ òàêèå íåïåðòóðáàòèâíûå âêëàäû ÷àñòî ñèëüíî ïîäàâëåíû, â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå îíè âåëèêè, à â ñòàíäàðòíîé ýëåêòðîñëàáîé òåîðèè ïðèâîäÿò ê èíòåðåñíûì ýêçîòè÷åñêèì ÿâëåíèÿì. Ñóùåñòâóþò è òàêèå ïðîòÿæåííûå êîíôèãóðàöèè, êîòîðûå âîçíèêàþò íå òîëüêî êàê ïîïðàâêè ê ôóíêöèîíàëüíûì èíòåãðàëàì äëÿ ïðîöåññîâ ñ ó÷àñòèåì îáû÷íûõ ÷àñòèö, íî è êàê âîçìîæíûå êîìïîíåíòû ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé. Ñðåäè ýòèõ êîíôèãóðàöèé âñòðå÷àþòñÿ ÷àñòèöåïîäîáíûå, íàïðèìåð, ìàãíèòíûå ìîíîïîëè 2 è ñêèðìèîíû 3, êîòîðûå êîíöåíòðèðóþòñÿ âîêðóã òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå èëè, ýêâèâàëåíòíî, âîêðóã ìèðîâîé ëèíèè â ïðîñòðàí-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

566

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

ñòâå-âðåìåíè. Ñóùåñòâóþò òàêæå ñòðóíîïîäîáíûå êîíôèãóðàöèè 4, íàïîìèíàþùèå îáñóæäàâøèåñÿ â ðàçäåëå 21.6 âèõðåâûå íèòè â ñâåðõïðîâîäíèêàõ, êîòîðûå êîíöåíòðèðóþòñÿ âîêðóã ëèíèè â ïðîñòðàíñòâå èëè, ýêâèâàëåíòíî, âîêðóã ìèðîâîãî ëèñòà â ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè. Íàêîíåö, èìåþòñÿ ïîõîæèå íà ëèñòû â ïðîñòðàíñòâå êîíôèãóðàöèè òèïà äîìåííûõ ñòåíîê 5 ìåæäó ïðîñòðàíñòâåííûìè îáëàñòÿìè, â êîòîðûõ ïî-ðàçíîìó íàðóøàþòñÿ äèñêðåòíûå ñèììåòðèè.  ïðîòèâîïîëîæíîñòü ýòîìó, óïîìÿíóòûå âûøå èíñòàíòîíû ÿâëÿþòñÿ ñîáûòèå-ïîäîáíûìè è êîíöåíòðèðóþòñÿ âîêðóã òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè, òàê ÷òî ïîýòîìó îíè íèêîãäà íå âîçíèêàþò êàê êîìïîíåíòû ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé. Íåêîòîðûå ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè óñòîé÷èâû èççà ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, íàêëàäûâàåìûõ ôèçè÷åñêîé ïðèðîäîé òîé çàäà÷è, â êîòîðîé ýòè êîíôèãóðàöèè âîçíèêàþò. Ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü ðåøåíè喫áàóíñ», âîçíèêàþùåå ïðè àíàëèçå ðàñïàäà âàêóóìà 6, êîòîðîå ìû îáñóäèì â ðàçäåëå 23.8. Äðóãèå êîíôèãóðàöèè ñòàáèëüíû ïî òîé ïðè÷èíå, ÷òî îíè îáëàäàþò êâàíòîâûì ÷èñëîì, ñîõðàíåíèå êîòîðîãî çàïðåùàåò ëþáûå âîçìîæíûå ìîäû ðàñïàäà 7.  áîëüøåé ÷àñòè ýòîé ãëàâû ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè, óñòîé÷èâûå çà ñ÷åò èõ òîïîëîãèè. Ïðè àíàëèçå âñåõ ïîäîáíûõ êîíôèãóðàöèé èñïîëüçóþòñÿ òîïîëîãè÷åñêèå ïðèåìû è ðàññóæäåíèÿ, ïðåæäå âñåãî, òåîðèÿ ãîìîòîïèé, òàê ÷òî ìû íà÷íåì ñ ñîâìåñòíîãî ðàññìîòðåíèÿ âñåõ òîïîëîãè÷åñêè ñòàáèëèçèðîâàííûõ êîíôèãóðàöèé â ïðîñòðàíñòâå èëè ïðîñòðàíñòâåâðåìåíè ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà èçìåðåíèé d. 23.1. Ïðèìåíåíèÿ òîïîëîãèè ×àñòî ñëó÷àåòñÿ, ÷òî ïðîñòðàíñòâî âñåõ âîçìîæíûõ ïîëåâûõ êîíôèãóðàöèé îáðåòàåò íåòðèâèàëüíóþ òîïîëîãèþ â ðåçóëüòàòå íàëîæåíèÿ óñëîâèÿ êîíå÷íîñòè íåêîòîðîãî ôóíêöèîíàëà S ðàçëè÷íûõ ïîëåé.  êëàññè÷åñêîé ïîëåâîé òåîðèè S åñòü ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ (èëè, â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ, ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ, ïðèõîäÿùàÿñÿ íà åäèíèöó ïëîùàäè èëè åäèíèöó äëèíû). Íèêàêîå êîíå÷íîå âîçìóùåíèå íå ìîæåò ïîðîäèòü êîíôèãóðàöèþ, â êîòîðîé ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ áåñêîíå÷íà.  êëàññè÷åñêîé ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêå S — ãàìèëüòîíèàí, à â êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ, ñôîðìóëèðîâàííîé â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå, S — åâêëèäîâî äåéñòâèå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

23.1. Ïðèìåíåíèÿ òîïîëîãèè

567

èëè âåëè÷èíà, åìó ïðîïîðöèîíàëüíàÿ. (Åâêëèäîâû ôóíêöèîíàëüíûå èíòåãðàëû è íåêîòîðûå èõ ïðèìåíåíèÿ îáñóæäàþòñÿ â ïðèëîæåíèè À ê ýòîé ãëàâå.) Mû áóäåì ñòðîèòü òåîðèþ âîçìóùåíèé, íà÷àâ ñ íåêîòîðîé ðàâíîâåñíîé ïîëåâîé êîíôèãóðàöèè, äëÿ êîòîðîé åâêëèäîâî äåéñòâèå èëè ãàìèëüòîíèàí êîíå÷íû, à çàòåì ïðîèíòåãðèðóåì ïî ôëóêòóàöèÿì, îñòàâëÿþùèì ýòè âåëè÷èíû êîíå÷íûìè. Ãîâîðÿò, ÷òî äâå ïîëåâûõ êîíôèãóðàöèè òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû, åñëè âîçìîæíî íåïðåðûâíî ïðîäåôîðìèðîâàòü îäíó èç íèõ â äðóãóþ, íå ïðîõîäÿ ïðè ýòîì ÷åðåç çàïðåùåííûå êîíôèãóðàöèè, â êîòîðûõ S áåñêîíå÷íî. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî — îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè (â òîì ñìûñëå, ÷òî îíî ðåôëåêòèâíî, ñèììåòðè÷íî è òðàíçèòèâíî), ïîýòîìó îíî ðàçäåëÿåò ìíîæåñòâî âñåõ ïîëåâûõ êîíôèãóðàöèé íà êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè, êàæäûé èç êîòîðûõ ñîñòîèò èç êîíôèãóðàöèé îäèíàêîâîé òîïîëîãèè. Íàïðèìåð, åñëè S — ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ (ãàìèëüòîíèàí â ñëó÷àå íåçàâèñÿùèõ îò âðåìåíè ïîëåé) â ñëó÷àå d ïðîñòðàíñòâåííûõ èçìåðåíèé, òî áåñêîíå÷íûé ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð çàïðåùàåò òîïîëîãè÷åñêè ðàçëè÷íûì ïîëåâûì êîíôèãóðàöèÿì ïåðåõîäèòü äðóã â äðóãà.  ÷àñòíîñòè, ïðîòÿæåííûå êîíôèãóðàöèè ñ íåòðèâèàëüíîé òîïîëîãèåé, âîçíèêàþùèå èç îáû÷íî ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíûõ âàêóóìíûõ ïîëåé, íå ìîãóò ðàñïëûòüñÿ è ñàìè ñòàòü ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíûìè. Òîïîëîãè÷åñêàÿ êëàññèôèêàöèÿ îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíîé è ïðè ïîèñêå ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà S. Åñëè íàì óäàåòñÿ íàéòè êîíôèãóðàöèþ, ìèíèìèçèðóþùóþ S íà ìíîæåñòâå âñåõ êîíôèãóðàöèé äàííîãî òîïîëîãè÷åñêîãî òèïà, òîãäà ýòà ïîëåâàÿ êîíôèãóðàöèÿ äîëæíà áûòü, ïî êðàéíåé ìåðå, ëîêàëüíûì ìèíèìóìîì S äëÿ âñåõ êîíôèãóðàöèé ëþáîãî òèïà, ïîñêîëüêó íèêàêèå ìàëûå âàðèàöèè ïîëåé íå ìîãóò èçìåíèòü èõ òîïîëîãè÷åñêèé òèï. Ïîýòîìó ïîäîáíàÿ êîíôèãóðàöèÿ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ïîëåâûõ óðàâíåíèé, ýêâèâàëåíòíûõ óñëîâèþ, ÷òî S ñòàöèîíàðíî. Ïðîáëåìû ïîäîáíîãî ñîðòà âîçíèêàþò íå òîëüêî â çàäà÷àõ óñòîé÷èâîñòè, êîãäà S — ãàìèëüòîíèàí, íè è ïðè ïîèñêå òåõ ïîëåâûõ êîíôèãóðàöèé, â îêðåñòíîñòè êîòîðûõ ìîæíî ðàçëàãàòü ïîëåâûå ïåðåìåííûå â ôóíêöèîíàëüíûõ èíòåãðàëàõ â åâêëèäîâîì d-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè.  ýòîì ñëó÷àå S åñòü âçÿòîå ñ îáðàòíûì çíàêîì åâêëèäîâî äåéñòâèå I, è ìû äîëæíû èñêàòü åãî ëîêàëüíûé ìèíèìóì, òàê ÷òîáû ãëàâíûé ÷ëåí â ðàçëîæåíèè âîêðóã ýòîé êîíôèãóðàöèè ïðåäñòàâëÿë êâàäðàòè÷íîå äåéñòâèå ñâîáîäíîãî ïîëÿ, à ÷ëåíû âòîðîãî ïîðÿäêà èìåëè áû ïðàâèëüíûé çíàê.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

568

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

Ïðèâåäåì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ 8. à. Ñêèðìèîíû è ò. ï. Ðàññìîòðèì äåéñòâèòåëüíûå ãîëäñòîóíîâñêèå áîçîííûå ïîëÿ πa, ñâÿçàííûå ñî ñïîíòàííûì íàðóøåíèåì íåïðåðûâíîé ãëîáàëüíîé ãðóïïû ñèììåòðèè G äî ïîäãðóïïû H. Êàê áûëî ïîêàçàíî â ãë. 19, ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ýòèõ ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ðàçìåðíîñòüþ d > 2 ïðèíèìàåò âèä S[ π ] =

X d x LM 1 ∑ g YZ N 2

ab ( π)∂ i π a ∂ i π b

d

ab

OP Q

+L ,

(23.1.1)

ãäå gab — ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà, à ìíîãîòî÷èå îçíà÷àåò âîçìîæíûå ÷ëåíû âûñøåãî ïîðÿäêà ïî ïðîèçâîäíûì π. Àëüòåðíàòèâíî, ôîðìóëó (23.1.1) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âçÿòîå ñ îáðàòíûì çíàêîì äåéñòâèå äëÿ ïîëÿ ãîëäñòîóíîâñêîãî áîçîíà â d-ìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè. Äëÿ ïîëåâûõ êîíôèãóðàöèé ñ êîíå÷íûì S ïðîèçâîäíûå ∂iπa(x) äîëæíû óáûâàòü íà áåñêîíå÷íîñòè áûñòðåå, ÷åì |x| –d/2 (ãäå | x| = x i x i ), òàê ÷òî ñàìî ïîëå πa(x) ïðè x → ∞ äîëæíî ñòðåìèòüñÿ ê êîíñòàíòå πa∞, à îñòàâøèåñÿ ÷ëåíû äîëæíû îáðàùàòüñÿ â íóëü áûñòðåå, ÷åì |x|(2–d)/2. Ãîëäñòîóíîâñêèå áîçîííûå ïîëÿ πa â ëþáîé òî÷êå îáðàçóþò îäíîðîäíîå ïðîñòðàíñòâî — ôàêòîð-ïðîñòðàíñòâî G/H, â êîòîðîì ëþáîå çíà÷åíèå ïîëÿ ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â ëþáîå äðóãîå çíà÷åíèå ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ èç G, òàê ÷òî, ïðèìåíèâ ãëîáàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå èç G, âñåãäà âîçìîæíî äîáèòüñÿ, ÷òîáû ïðåäåë πa∞ ïðèíèìàë ëþáîå êîíêðåòíîå çíà÷åíèå, íàïðèìåð, πa∞ = 0. Òàêèì îáðàçîì, ïîëå πa(x) ïðåäñòàâëÿåò îòîáðàæåíèå âñåãî d-ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîì ñôåðà r = ∞ ñ÷èòàåòñÿ îäíîé òî÷êîé, â ìíîãîîáðàçèå G/H âñåõ çíà÷åíèé ïîëÿ. Îäíàêî d-ìåðíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì (d–1)ìåðíàÿ ñôåðè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü íà áåñêîíå÷íîñòè ñ÷èòàåòñÿ îäíîé òî÷êîé, òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíî d-ìåðíîé ñôåðå Sd (ò. å. ïîâåðõíîñòè (d+1)-ìåðíîãî øàðà) â òîì ñìûñëå, ÷òî êàæäîå èç ýòèõ ìíîãîîáðàçèé ìîæåò áûòü íåïðåðûâíî îòîáðàæåíî â äðóãîå. Ïîýòîìó ïîëÿ π(x), îáðàùàþùèåñÿ â íóëü ïðè x → ∞, ìîæíî ðàñêëàññèôèöèðîâàòü ïî òîïîëîãè÷åñêè ðàçëè÷íûì îòîáðàæåíèÿì Sd íà ìíîãîîáðàçèå G/H ïîëåâûõ ïåðåìåííûõ, äëÿ êîòîðûõ òî÷êà íà áåñêîíå÷-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

23.1. Ïðèìåíåíèÿ òîïîëîãèè

569

íîñòè îòîáðàæàåòñÿ â íóëü. Ìíîæåñòâî êëàññîâ òàêèõ òîïîëîãè÷åñêè ðàçëè÷íûõ îòîáðàæåíèé Sd ¬ M ñ îäíîé òî÷êîé Sd, îòîáðàæàþùåéñÿ â ôèêñèðîâàííóþ òî÷êó M, èçâåñòíî êàê d-ÿ ãîìîòîïè÷åñêàÿ ãðóïïà πd(M) ìíîãîîáðàçèÿ M.  ñëåäóþùåì ðàçäåëå ìû îáñóäèì ýòè ãîìîòîïè÷åñêèå ãðóïïû è îáúÿñíèì èõ ãðóïïîâóþ ñòðóêòóðó. Ñïèñîê ãîìîòîïè÷åñêèõ ãðóïï äëÿ ðàçíûõ ìíîãîîáðàçèé ïðèâåäåí â Ïðèëîæåíèè  ê ýòîé ãëàâå.  äàííûé ìîìåíò äîñòàòî÷íî îòìåòèòü, ÷òî õîòÿ â ñèòóàöèè, êîãäà ìíîãîîáðàçèå Ì ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì, ãîìîòîïè÷åñêàÿ ãðóïïà πd(M) òðèâèàëüíà (â òîì ñìûñëå, ÷òî ëþáàÿ ïîëåâàÿ êîíôèãóðàöèÿ π(x), ñòðåìÿùàÿñÿ ê êîíñòàíòå ïðè x → ∞, ìîæåò áûòü íåïðåðûâíî ïðîäåôîðìèðîâàíà â êîíôèãóðàöèþ, â êîòîðîé ïîëå ïðèíèìàåò ýòî çíà÷åíèå âåçäå), ìíîãîîáðàçèå M = G/H ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîííûõ ïîëåé ÷àñòî îáëàäàåò íåòðèâèàëüíîé ãîìîòîïè÷åñêîé ãðóïïîé.  ñëó÷àÿõ, èìåþùèõ îòíîøåíèå ê êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå, êîãäà SU(2) × SU(2) íàðóøàåòñÿ äî SU(2) èëè SU(3) × SU(3) íàðóøàåòñÿ äî SU(3), ìíîãîîáðàçèå G/H ñîâïàäàåò ñ SU(2) èëè SU(3) ñîîòâåòñòâåííî, à äëÿ íèõ, ñîãëàñíî ôîðìóëàì Ïðèëîæåíèÿ Â, ãîìîòîïè÷åñêèå ãðóïïû π3(H) íåòðèâèàëüíû. Òîïîëîãè÷åñêè íåòðèâèàëüíûå ïîëÿ â ëîêàëüíûõ ìèíèìóìàõ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïðè d = 3 èçâåñòíû ïîä íàçâàíèåì ñêèðìèîíîâ 3. Áàðèîíû, íàïðèìåð, ïðîòîí, ìîãóò â îïðåäåëåííûõ îòíîøåíèÿõ ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ñêèðìèîííûå ðåøåíèÿ ÷èñòî ìåçîííîé òåîðèè. Äî òåõ ïîð, ïîêà ÷ëåíû ñ âûñøèìè ñòåïåíÿìè ïðîèçâîäíûõ ∂iπa íå âêëþ÷åíû â ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå, ôóíêöèîíàë (23.1.1) íå ñîäåðæèò ñêèðìèîííûõ ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê.  îòñóòñòâèå òàêèõ ÷ëåíîâ ëþáûå òîïîëîãè÷åñêè íåòðèâèàëüíûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè áóäóò äàâàòü êîíòèíóóì çíà÷åíèé S, ïðîñòèðàþùèéñÿ äî íèæíåé ãðàíèöû S = 0, íà êîòîðîé π ñòàíîâèòñÿ ñèíãóëÿðíûì, òàê ÷òî òîïîëîãèÿ íå ìîæåò ñòàáèëèçèðîâàòü òàêèå êîíôèãóðàöèè. Ýòî óòâåðæäåíèå èçâåñòíî êàê òåîðåìà Äåððèêà 9. Äëÿ åå äîêàçàòåëüñòâà çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîé ïîëåâîé êîíôèãóðàöèè πa(x) ìîæíî ââåñòè äðóãóþ êîíôèãóðàöèþ ñ òîé æå òîïîëîãèåé πR a ( x) ≡ π a (x R ) ,

ãäå R — ïðîèçâîëüíûé äåéñòâèòåëüíûé ïîëîæèòåëüíûé ìàñøòàáíûé ìíîæèòåëü. Òîãäà äëÿ ÿâíî âûïèñàííûõ â âûðàæåíèè (23.1.1) ÷ëåíîâ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

S[ π R ] = R d −2 S[ π ] .

Ïðè d > 2 ýòî — óáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ R ïðè R → 0, òàê ÷òî èìååòñÿ êîíòèíóóì çíà÷åíèé S[πR], ïðîñòèðàþùèõñÿ âïëîòü äî çíà÷åíèÿ S = 0. Áîëåå òîãî, S[π] > 0, ò. ê. S[π] ìîæåò îáðàùàòüñÿ â íóëü òîëüêî ïðè ïîñòîÿííîì π(x), ÷òî íåâîçìîæíî, ïîñêîëüêó ìû ïðåäïîëîæèëè òîïîëîãè÷åñêóþ íåòðèâèàëüíîñòü π. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äàííàÿ íèæíÿÿ ãðàíèöà äîñòèãàåòñÿ òîëüêî ïðè R = 0, ãäå π R a ( x) ñòàíîâèòñÿ ñèíãóëÿðíûì. Ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ ìîãóò áûòü ñòàáèëèçèðîâàíû äîáàâëåíèåì â S ÷ëåíîâ ñ âûñøèìè ïðîèçâîäíûìè. Íàïðèìåð, åñëè âçÿòü S[π] = T[π] + D[π], ãäå T[ π ] ≡

XY d x 1 ∑ g Z 2

ab ( π)∂ i π a ∂ i π b

d

≥ 0,

ab

D[π ] ≡ d d x fabcd ( π)∇π a ⋅ ∇π b ⋅ ∇π c ⋅ ∇π d ≥ 0 ,

z

òî D[πR] = Rd–4D[π], â òî âðåìÿ, êàê è ðàíüøå, T[πR] = Rd–2T[π], òàê ÷òî S[πR] äîñòèãàåò ìèíèìóìà ïðè êîíå÷íîì R, åñëè 2 < d < 4, êóäà, â ÷àñòíîñòè, âõîäèò ôèçè÷åñêè èíòåðåñíûé ñëó÷àé d = 3. Ïðîáëåìû â òåîðèè ñêèðìèîíîâ íå ñâÿçàíû ñ òåì, ÷òî ìû äîëæíû äîáàâëÿòü ÷ëåíû ñ âûñøèìè ïðîèçâîäíûìè òèïà D[π] â äåéñòâèå. Êàê îáñóæäàëîñü â ðàçäåëå 19.5, ìîæíî îæèäàòü ïîÿâëåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ â äåéñòâèè ëþáîé ýôôåêòèâíîé ïîëåâîé òåîðèè ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ. Òðóäíîñòü â òîì, ÷òî íåò íèêàêèõ ðàöèîíàëüíûõ ïðè÷èí äëÿ îòáðàñûâàíèÿ áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà äðóãèõ ÷ëåíîâ ñ âûñøèìè ïðîèçâîäíûìè, èìåþùèõ îäèí è òîò æå ïîðÿäîê âåëè÷èíû äëÿ êîíôèãóðàöèé, îáëàäàþùèõ óñòîé÷èâîñòüþ çà ñ÷åò áàëàíñà ìåæäó ÷ëåíàìè ñ ðàçíûì ÷èñëîì ïðîèçâîäíûõ. Âñå ýòî äåëàåò íåâîçìîæíûì ðåàëèñòè÷åñêèå âû÷èñëåíèÿ. á. Äîìåííûå ñòåíêè. Åñëè íàðóøàåòñÿ äèñêðåòíàÿ ñèììåòðèÿ, âîçíèêàåò âîçìîæíîñòü, ÷òî ñèììåòðèÿ íàðóøàåòñÿ ïî-ðàçíîìó â ðàçíûõ îáëàñòÿõ, îòäåëåííûõ äðóã îò äðóãà äîìåííûìè ñòåíêàìè, â êîòîðûõ âàêóóìíûå ïîëÿ ïåðåõîäÿò îò îäíîãî ìèíèìóìà ïîòåíöèàëà ê äðóãîìó. Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì ïëîñêóþ äîìåííóþ ñòåíêó â ïëîñêîñòè y−z è ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýíåðãèÿ íà åäèíèöó ïëîùàäè äàåòñÿ âûðàæåíèåì

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

23.1. Ïðèìåíåíèÿ òîïîëîãèè

571 ∞

X L 1 F dϕ I S[ϕ ] = Y dx M G J YZ MN 2 H dx K

OP PQ

2

+ V (ϕ ) ,

−∞

(23.1.2)

ãäå ϕ(x) — äåéñòâèòåëüíîå ñêàëÿðíîå ïîëå, êîòîðîå, ïî ïðåäïîëîæåíèþ, çàâèñèò òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ x âäîëü íàïðàâëåíèÿ ïî íîðìàëè ê ñòåíêå, à V(ϕ) — ïîòåíöèàë, îáëàäàþùèé ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ → − ϕ, ñ ìèíèìóìàìè òîëüêî ïðè çíà÷åíèÿõ ïîëÿ ±ϕ. Äëÿ óäîáñòâà, ïîäáåðåì àääèòèâíóþ êîíñòàíòó â V(ϕ) òàê, ÷òîáû ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå V(ϕ) ðàâíÿëîñü íóëþ.  ýòîì ñëó÷àå V(ϕ) ≥ 0, è V(ϕ) = 0 òîëüêî ïðè ϕ = ±ϕ. ×òîáû ñîõðàíèòü êîíå÷íîñòü S, íåîáõîäèìî, ÷òîáû ïðè x → ∞ èëè x → −∞ ïîëå ϕ ñòðåìèëîñü ëèáî ê +ϕ, ëèáî ê −ϕ. Òàêèì îáðàçîì, èìåþòñÿ ÷åòûðå òîïîëîãè÷åñêè ðàçëè÷íûå êîíôèãóðàöèè, êîòîðûå òîïîëîãè÷åñêè ñòàáèëüíû.  äâóõ èç íèõ ïîëå ϕ ñòðåìèòñÿ ê îäèíàêîâûì ïðåäåëàì ïðè x → ±∞, òàê ÷òî êîíôèãóðàöèþ ìîæíî ïëàâíî ïðîäåôîðìèðîâàòü â âàêóóìíûå êîíôèãóðàöèè ñ ïîñòîÿííûì âåçäå ïîëåì ϕ(x).  äâóõ äðóãèõ ϕ ñòðåìèòñÿ ê ïðîòèâîïîëîæíûì ïðåäåëàì ïðè x → ±∞. Çäåñü ìû êëàññèôèöèðóåì ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè ïî ãðóïïå π0(G), ãäå π0(M) äëÿ ëþáîãî ìíîãîîáðàçèÿ Ì îáû÷íî îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìíîæåñòâî ñâÿçíûõ êîìïîíåíò Ì, à G — ãðóïïà ñèììåòðèè, êîòîðàÿ â íàøåì ñëó÷àå ðàâíà ãðóïïå Z2, ïîðîæäåííîé îòðàæåíèåì ϕ → –ϕ. Ñåé÷àñ óìåñòíî äàòü ïðåäñòàâëåíèå î ââåäåííîì Áîãîìîëüíûì 10 ïðèåìå, êîòîðûé îêàæåòñÿ ïîëåçíûì â ðàçäåëàõ 23.3 è 23.5 ïðè ðàññìîòðåíèè áîëåå ñëîæíûõ ñëó÷àåâ ìîíîïîëåé è èíñòàíòîíîâ. Ïåðåïèøåì âûðàæåíèå (23.1.2) â âèäå ∞

1 X F dϕ S[ϕ ] = Y dxG m 2Y Z H dx −∞

I 2 V (ϕ) J K

ϕ ( ∞)

2

±

XY Z

2V( f )df ,

(23.1.3)

ϕ ( −∞)

Èíòåãðàë âî âòîðîì ñëàãàåìîì â ïðàâîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ (23.1.3) ìîæíî ðàñìàòðèâàòü êàê «òîïîëîãè÷åñêèé çàðÿä», çàâèñÿùèé òîëüêî îò çíà÷åíèé, ïðèíèìàåìûõ ïîëåì ïðè x → ±∞. Äëÿ êîíôèãóðàöèé, ñòðåìÿùèõñÿ ê îäíîìó è òîìó æå ïðåäåëó ïðè x → ±∞, ýòîò èíòåãðàë îáðàùàåòñÿ â íóëü, è ìèíèìàëüíîå çíà÷å-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

572

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

íèå S, ñîîòâåòñòâóþùåå ïîñòîÿííûì ïîëÿì, ðàâíî íóëþ. Äëÿ ïîëÿ ϕ(x), ïðèíèìàþùåãî ðàçíûå çíà÷åíèÿ ïðè x → ±∞, ìîæíî âûáðàòü çíàêè ± â âûðàæåíèè (23.1.3) òàê, ÷òîáû ïîëó÷èòü íèæíþþ ãðàíèöó

S[ϕ ] ≥

x

ϕ

−ϕ

2V( f )df .

(23.1.4)

Ýòà ãðàíèöà äîñòèãàåòñÿ òîãäà, êîãäà îáðàùàåòñÿ â íóëü ïåðâîå ñëàãàåìîå, èëè, èíûìè ñëîâàìè, êîãäà ϕ( x)

x=±

XY Z

df 2V( f )

+ x0 ,

(23.1.5)

0

ãäå x0 — ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ, êîòîðàÿ, î÷åâèäíî, îïðåäåëÿåò ïîëîæåíèå öåíòðà äîìåííîé ñòåíêè. Çàìåòèì, ÷òî òåîðåìà Äåððèêà íå èìååò îòíîøåíèÿ ê ïîëó÷åííîìó ðåøåíèþ, ò. ê. äëÿ äîìåííûõ ñòåíîê d = 1, è äëÿ ïîëåé ϕ(x/R) ñ èçìåíåííûì ìàñøòàáîì èíòåãðàëû îò äâóõ ñëàãàåìûõ â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè (23.1.2) âåäóò ñåáÿ êàê R–1 è R+1 ñîîòâåòñòâåííî. Ôîðìóëó (23.1.5) ìîæíî âûâåñòè áîëåå ïðÿìûì ñïîñîáîì ïóòåì âûâîäà äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà äëÿ ϕ(x) èç óñëîâèÿ, ÷òî âûðàæåíèå (23.1.2) äîëæíî áûòü ñòàöèîíàðíî îòíîñèòåëüíî ìàëûõ âàðèàöèé ϕ(x), è èñïîëüçóÿ çàòåì ýòî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, ÷òîáû ïîêàçàòü, ÷òî âåëè÷èíà 1(dϕ dx)2 − V (ϕ) ïîñòîÿííà ïî x. Ïðåèìóùåñòâî âûâîäà, îñíîâàííîãî íà ôîðìóëå (23.1.3), ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñðàçó æå âèäíî, ÷òî ðåøåíèå (23.1.5) óñòîé÷èâî îòíîñèòåëüíî ìàëûõ âîçìóùåíèé, ñîõðàíÿþùèõ ïëîñêèé õàðàêòåð ñòåíêè, åñëè íå ñ÷èòàòü «íóëåâîé ìîäû», ñâÿçàííîé ñ èçìåíåíèÿìè ïîëîæåíèÿ ñòåíêè x 0. Äîáàâèâ ñëàãàåìîå 1(dϕ dy)2 + 1(dϕ dz)2 â ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå (23.1.2), ìîæíî óâèäåòü, ÷òî ýòî ðåøåíèå òàêæå óñòîé÷èâî îòíîñèòåëüíî ëþáûõ âîçìóùåíèé δϕ(x,y,z), åñëè òîëüêî δϕ(x,y,z) → 0 ïðè x → ±∞ è ôèêñèðîâàííûõ y è Z. Åñëè èìåþòñÿ äèñêðåòíûå ñïîíòàííî íàðóøåííûå ñèììåòðèè, òî ïðè íàðóøåíèè ýòèõ ñèììåòðèé â ðàííåé Âñåëåííîé äîëæíû áûëè îáðàçîâàòüñÿ äîìåííûå ñòåíêè. Åñëè ýòè äîìåííûå ñòåíêè íå èñ÷åçëè, îíè äîëæíû ïðèâîäèòü ê áîëüøèì èñêàæåíèÿì íàáëþäàåìîé ñåé÷àñ âî Âñåëåííîé èçîòðîïèè è îäíîðîäíîñòè 5. Íàì íåèçâåñòíà

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

23.1. Ïðèìåíåíèÿ òîïîëîãèè

573

íè îäíà òî÷íàÿ äèñêðåòíàÿ ñèììåòðèÿ, êðîìå ÑÐÒ, è íè îäíà ñïîíòàííî íàðóøåííàÿ ïðèáëèæåííàÿ èëè òî÷íàÿ äèñêðåòíàÿ ñèììåòðèÿ, òàê ÷òî íà ñåãîäíÿøíèé äåíü ïðîáëåìà äîìåííûõ ñòåíîê íåàêòóàëüíà. â. Èíñòàíòîíû è ò. ï. Ðàññìîòðèì òåïåðü êàëèáðîâî÷íóþ òåîðèþ ñ äåéñòâèåì 1 S[ A] = d d xFαij Fαij , (23.1.6) 2

z

ãäå Fαij — îáû÷íûé òåíçîð íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ, è ìû ñ÷èòàåì d ≥ 4. Ýòî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê äåéñòâèå êâàíòîâûõ êàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé â åâêëèäîâîì d-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè, èëè êàê ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ êëàññè÷åñêèõ êàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé âî âðåìåííî1é êàëèáðîâêå ñ A0α = 0 â (d + 1)-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâåâðåìåíè. Äëÿ òîãî, ÷òîáû S[A] áûëî êîíå÷íûì, íàïðÿæåííîñòü Fαij äîëæíà îáðàùàòüñÿ â íóëü ïðè x → ∞. Ýòîãî ìîæíî äîñòè÷ü, åñëè Aαi(x) äîñòàòî÷íî áûñòðî óáûâàåò ïðè x → ∞, íî äàæå ïðè d ≥ 4 âîçìîæíà ñèòóàöèÿ, êîãäà S[A] êîíå÷íî äëÿ ïîëÿ Aαi(x), óáûâàþùåãî êàê 1/|x|, åñëè òîëüêî ïîëå ïðè |x| → ∞ ñòðåìèòñÿ ê ÷èñòîé êàëèáðîâêå:

itα Aαi (x) → g−1 (x$ )∂ i g(x$ ) ,

(23.1.7)

ãäå g(x$ ) — çàâèñÿùèé îò íàïðàâëåíèÿ ýëåìåíò êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû G. Áîëåå òîãî, Aαi(x) íå èçìåíÿåòñÿ, åñëè çàìåíèòü g(x$ ) íà g0g(x$ ) äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî ýëåìåíòà ãðóïïû G0 ∈ G, òàê ÷òî, âûáðàâ g0 = g −1 (x$ 1 ) , ìîæíî äîáèòüñÿ, ÷òîáû g(x$ 1) = 1 äëÿ ëþáîãî íàïðàâëåíèÿ x$ 1 . Ïîýòîìó êàæäîå êàëèáðîâî÷íîå ïîëå ñ êîíå÷íûì S[A] îïðåäåëÿåò îòîáðàæåíèå åäèíè÷íîé ñôåðû g(x$ 1) = 1 íà ãðóïïîâîå ìíîãîîáðàçèå, ïðè÷åì òî÷êà x$ 1 îòîáðàæàåòñÿ â åäèíè÷íûé ýëåìåíò G. ( ñëó÷àå, êîãäà êàëèáðîâî÷íîå ïîëå îáðàùàåòñÿ â íóëü áûñòðåå, ÷åì 1/|x|, ïðè |x| → ∞, ýòî îòîáðàæåíèå ïåðåâîäèò âñå òî÷êè åäèíè÷íîé ñôåðû â òîæäåñòâåííûé ýëåìåíò êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû.) Ìíîæåñòâî êëàññîâ âñåõ òîïîëîãè÷åñêè ðàçëè÷íûõ îòîáðàæåíèé Sd– 1 ¬ G, ïðè êîòîðûõ îäíà òî÷êà Sd–1 îòîáðàæàåòñÿ â ôèêñèðîâàííûé ýëåìåíò G, íàçûâàåòñÿ (d–1)-é ãîìîòîïè÷åñêîé ãðóïïîé ãðóïïîâîãî ìíîãîîáðàçèÿ. Êàê óêàçàíî â Ïðèëîæåíèè  ê ýòîé ãëàâå, äëÿ ëþáîé ïîëóïðîñòîé ãðóïïû Ëè G ãðóïïà π3(G) íåòðèâèàëüíà. ÒîïîëîãèНа правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

574

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

÷åñêè íåòðèâèàëüíûå ñòàöèîíàðíûå òî÷êè äåéñòâèÿ S[A] ïðè d = 4 íàçûâàþòñÿ èíñòàíòîíàìè 1. Èõ çíà÷åíèå â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå îáñóæäàåòñÿ â ðàçäåëàõ 23.5 è 23.6. Äëÿ òîãî, ÷òîáû S[A] áûëî ñòàöèîíàðíûì ïðè çíà÷åíèè ïîëÿ A(x), íåîáõîäèìî, ÷òîáû A(x) óäîâëåòâîðÿëî ïîëåâîìó óðàâíåíèþ ∂ i Fαij = 0 .

(23.1.8)

Ïðîñòûå ðàññóæäåíèÿ îá èçìåíåíèè ìàñøòàáà ñíîâà îãðàíè÷èâàþò çíà÷åíèÿ ðàçìåðíîñòè d, ïðè êîòîðîé ìîæíî íàäåÿòüñÿ íàéòè òîïîëîãè÷åñêè íåòðèâèàëüíûé ëîêàëüíûé ìèíèìóì S[A]. Îïðåäåëèì A R (x) ≡ A(x R . Òîãäà S[ A R ] = R d −4 S[ A] ,

òàê ÷òî ïðè d ≠ 4 ó S[A] íå ìîæåò áûòü íèêàêèõ íåòðèâèàëüíûõ ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê, åñëè òîëüêî íå âûïîëíåíî ðàâåíñòâî S[A] = 0. Îäíàêî, åñëè S[A] = 0, òî è Fαij = 0 âåçäå, òàê ÷òî ñ ïîìîùüþ êàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ìîæíî âåçäå îáðàòèòü Aαi â íóëü. Êàê ìû óâèäèì â ðàçäåëå 23.5, ïðè d = 4 âñå-òàêè âîçìîæíî íàéòè èíñòàíòîííûå ðåøåíèÿ, äëÿ êîòîðûõ S[A] (îáîçíà÷åííîå òàì êàê –I[A]) ñòàöèîíàðíî, à Fαij îòëè÷íî îò íóëÿ âåçäå çà èñêëþ÷åíèåì áåñêîíå÷íî óäàëåííîé îáëàñòè. Ïðèâåäåííûå âûøå ñîîáðàæåíèÿ îá èçìåíåíèè ìàñøòàáà ïîêàçûâàþò, ÷òî åñëè A(x) — òàêîå èíñòàíòîííîå ðåøåíèå, òî ýòèì ðåøåíèåì áóäåò è A(x R) R . Îäíàêî ýòî âûðîæäåíèå óñòðàíÿåòñÿ êâàíòîâûìè ïîïðàâêàìè. ã. Ìîíîïîëè, âèõðåâûå íèòè è ò. ä. Ðàññìîòðèì òåïåðü òåîðèþ êàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé âìåñòå ñî ñêàëÿðàìè, ðåàëèçóþùèìè ëèíåéíîå ïðåäñòàâëåíèå êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû, ïðè÷åì S[ϕ, A] =

X d x LM 1 ∑ g YZ N 2

ab (ϕ)Di ϕ a Di ϕ b

d

ab

+

1 4

OP Q

Fαij Fαij + U (ϕ) , (23.1.9)

ãäå gab(ϕ) — ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà (îáû÷íî íå çàâèñÿùàÿ îò ϕ), ïîòåíöèàë U(ϕ) îãðàíè÷åí ñíèçó è ñäâèíóò íà ïîñòîÿííóþ âåëè÷èíó, òàê ÷òî åãî ìèíèìóì ðàâåí íóëþ, à Fαij è Di — îáû÷íûå íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ è êàëèáðîâî÷íî-êîâàðèàíòíàÿ ïðîèç-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

23.1. Ïðèìåíåíèÿ òîïîëîãèè

575

âîäíàÿ. Ìû òðåáóåì, ÷òîáû U(ϕ) áûëî ñêàëÿðîì, à gab(ϕ) — òåíçîðîì îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû G. Îïÿòü, âûðàæåíèå (23.1.9) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèáî äåéñòâèå êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ â d-ìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè, ëèáî ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ äëÿ êëàññè÷åñêîé òåîðèè ïîëÿ âî âðåìåííî1é êàëèáðîâêå â (d+1)-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè. Äëÿ òîãî, ÷òîáû S[A,ϕ] áûëî êîíå÷íûì, íåîáõîäèìî, ÷òîáû U(ϕ(x)) îáðàùàëîñü â íóëü ïðè x → ∞. Ìíîæåñòâî òåõ ϕ, ïðè êîòîðûõ U(ϕ) îáðàùàåòñÿ â íóëü, èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî G, è ìîæåò áûòü êàê äèñêðåòíûì, òàê è íåïðåðûâíûì. Âûøå, â ñëó÷àå á ìû èìåëè ïðèìåð òîãî, êîãäà ýòî ìíîæåñòâî äèñêðåòíî. Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé íàðóøåííîé ñèììåòðèè, êîãäà íóëè U(ϕ) îáðàçóþò íåïðåðûâíîå ìíîãîîáðàçèå M0, ñîñòîÿùåå èç ïîëåé, ñâÿçàííûõ ïðåîáðàçîâàíèÿìè g ∈ G.  ýòîì ñëó÷àå êàæäîå ϕ(x$ ) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ïðåîáðàçîâàíèåì γ(x$ ) ∈ G , äåéñòâóþùèì íà çíà÷åíèå ϕ(x$ 1 ) ïîëÿ â ïðîèçâîëüíîì íàïðàâëåíèè x$ 1 . Ïîýòîìó ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïîëå ϕ(x) îïðåäåëÿåò îòîáðàæåíèå Sd–1 ¬ G íà ôàêòîð-ïðîñòðàíñòâî G/ H, èíûìè ñëîâàìè, — íà ãðóïïó G ñ îòîæäåñòâëåííûìè ýëåìåíòàìè g1 è g2, îòëè÷àþùèìèñÿ òîëüêî ïðàâûì óìíîæåíèåì íà íåêîòîðûé ýëåìåíò h ïîäãðóïïû H ⊂ G, îñòàâëÿþùèì ϕ(x$ 1 ) èíâàðèàíòíûì, ò. å. åñëè g1 = g2h.  ÷àñòíîñòè, òî÷êà x$ 1 îòîáðàæàåòñÿ íà ïîäãðóïïó Í, ò. ê. γ(x$ 1 ) , äåéñòâóÿ íà ϕ(x$ 1 ) , äîëæíî äàâàòü ñàìî ϕ(x$ 1 ) . Òàêèì îáðàçîì, ïîëÿ, äîñòèãàþùèå ïðè x → ∞ çíà÷åíèé íà ìíîãîîáðàçèè Ì0, ìîãóò áûòü ðàñêëàññèôèöèðîâàíû ñîãëàñíî òîïîëîãè÷åñêè ðàçëè÷íûì îòîáðàæåíèÿì Sd–1 â G/H, ïåðåâîäÿùèì òî÷êó x$ 1 â ôèêñèðîâàííûé «åäèíè÷íûé» ýëåìåíò Í èç G/H. Ìíîæåñòâî êëàññîâ òàêèõ òîïîëîãè÷åñêè ðàçëè÷íûõ îòîáðàæåíèé Sd–1 ¬ G/H ñ îäíîé òî÷êîé èç Sd–1, îòîáðàæàþùåéñÿ â ôèêñèðîâàííûé ýëåìåíò èç G/H, èçâåñòíî êàê (d–1)-ÿ ãîìîòîïè÷åñêàÿ ãðóïïà πd–1(G/H) ìíîãîîáðàçèÿ G/H.  ýòîì ñëó÷àå ∂iϕ(x) âåäåò ñåáÿ êàê 1/|x| ïðè x → ∞. Äëÿ òîãî, ÷òîáû S[ϕ] áûëî êîíå÷íûì, Diϕ äîëæíà îáðàùàòüñÿ ïðè x → ∞ â íóëü áûñòðåå, ÷åì |x|–d/2, ïîýòîìó íåîáõîäèìî, ÷òîáû itαAαi(x) ñòðåìèëîñü ïðè x → ∞ ê γ −1 (x$ )∂ i γ (x$ ) áûñòðåå, ÷åì |x|–d/2. Ýòî — ÷èñòî êàëèáðîâî÷íîå ïîëå, òàê ÷òî òåíçîð íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ Fαij(x) îáðàùàåòñÿ â íóëü áûñòðåå, ÷åì |x|–d/2–1, ÷òî äîñòàòî÷íî äëÿ ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà d d xFαij Fαij . Äëÿ êàëèáðîâî÷íîé òåîðèè, îïðåäåëåííîé âûðàæåíèåì (23.1.9), òåîðåìà Äåððèêà íåïðèìåíèìà, íî èíòåðåñíî ïîñìîòðåòü, ê ÷åìó

z

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

576

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

ïðèâåäåò íàñ òà æå ñõåìà ðàññóæäåíèé. Äëÿ ëþáûõ çàäàííûõ ïîëåé ϕ(x) è A(x) ñíîâà îïðåäåëèì ïîëÿ ϕ R (x) ≡ ϕ(x R) è A R (x) ≡ A(x R) R . Òîãäà òðè ÷ëåíà â ãàìèëüòîíèàíå (23.1.9) èìåþò ñëåäóþùèå ìàñøòàáíûå ñâîéñòâà: T [ ϕ R , A R ] = R d − 2T [ ϕ , A ] , K [ A R ] = R d − 4 K [ A ] , V [ ϕ R ] = R d V [ ϕ ] ,

ãäå T[ϕ, A] ≡ 1 d d x ∑ ab gab (ϕ) Di ϕ a Di ϕ b , , K [ A] ≡ 3 d d xFαij Fαij , è V [ϕ ] ≡ d d xU (ϕ) . Ïðè d > 4 âåëè÷èíà S[ϕR,AR] íå èìååò ìèíèìóìà ïðè ëþáîì êîíå÷íîì çíà÷åíèè R, òàê ÷òî íå ñóùåñòâóåò ñòàáèëüíîé êîíôèãóðàöèè ñ íåòðèâèàëüíîé òîïîëîãèåé. Ïðè 0 < d < 4 íåòðóäíî íàéòè êîíå÷íîå çíà÷åíèå R, ïðè êîòîðîì S[ϕR,AR] èìååò ìèíèìóì.  ôèçè÷åñêè èíòåðåñíîì ñëó÷àå d = 3 òîïîëîãè÷åñêè íåòðèâèàëüíûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè êëàññèôèöèðóþòñÿ ñîãëàñíî ãîìîòîïè÷åñêîé ãðóïïå π2(G/H), êîòîðàÿ íåòðèâèàëüíà äëÿ îäíîñâÿçíîé ãðóïïû G (íàïðèìåð, SU(2)), íàðóøåííîé äî ãðóïïû H, ñîäåðæàùåé ãðóïïó U(1) ýëåêòðîìàãíåòèçìà. Òîïîëîãè÷åñêè íåòðèâèàëüíûå êëàññè÷åñêèå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè ñ d = 3 íàçûâàþòñÿ ìàãíèòíûìè ìîíîïîëÿìè 2. Êàê ìû óâèäèì â ðàçäåëå 23.3, âåëè÷èíà èõ ìàãíèòíîãî çàðÿäà êâàíòîâàíà, ïðè÷åì ðàçíûå çíà÷åíèÿ ìàãíèòíîãî çàðÿäà îòâå÷àþò ðàçíûì ýëåìåíòàì ãðóïïû π2(G/H).  ñëó÷àå d = 2 òîïîëîãè÷åñêè íåòðèâèàëüíûå êîíôèãóðàöèè ñîîòâåòñòâóþò ýëåìåíòàì ãðóïïû p1(G/H), êîòîðàÿ íåòðèâèàëüíà, êîãäà G — íåîäíîñâÿçíàÿ ãðóïïà, íàïðèìåð, U(1) èëè SO(3), íàðóøåííàÿ ëèáî ïîëíîñòüþ, ëèáî äî äèñêðåòíîé ïîäãðóïïû. Òîïîëîãè÷åñêè íåòðèâèàëüíûå êëàññè÷åñêèå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè ïðè d = 2 ÿâëÿþòñÿ ñå÷åíèÿìè âèõðåâûõ íèòåé. Îäèí ïðèìåð — ýòî ñâåðõïðîâîäèìîñòü, ãäå G = U(1) ñïîíòàííî íàðóøàåòñÿ äî H = Z2.  ðàçäåëå 21.6 ìû âèäåëè, ÷òî â ñâåðõïðîâîäíèêàõ II ðîäà â îïðåäåëåííîì èíòåðâàëå çíà÷åíèé íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ âîçíèêàþò âèõðåâûå íèòè, ïðè÷åì ìàãíèòíûé ïîòîê, êîòîðûé îíè íåñóò, êâàíòîâàí, òàê ÷òî ðàçíûå çíà÷åíèÿ ïîòîêà îòâå÷àþò ðàçíûì ýëåìåíòàì π1(U(1)/Z2). Âèõðåâûå íèòè ìîãóò âîçíèêàòü è â ðåëÿòèâèñòñêèõ êâàíòîâûõ òåîðèÿõ ïîëÿ 4, à òàêæå ìîãóò ðîæäàòüñÿ ïðè íàðóøàþùèõ ñèììåòðèþ ïåðåõîäàõ â ðàííåé Âñåëåííîé.  ýòîì ñëó÷àå èõ íàçûâàþò êîñìè÷åñêèìè ñòðóíàìè 11. Ìîíîïîëè è âèõðåâûå íèòè îáëàäàþò çàìå÷àòåëüíûì ñâîéñòâîì, êîòîðîå ìîæíî ïîëó÷èòü òîëüêî íà îñíîâàíèè òîïîëîãè÷åñêèõ ðàññóæäåíèé.  îáîèõ ñëó÷àÿõ ôîðìû ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîí-

z

z

z

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

23.2. Ãîìîòîïè÷åñêèå ãðóïïû

577

íûõ ïîëåé πa(x) íà áîëüøèõ ñôåðàõ (S1 — äëÿ âèõðåâûõ íèòåé, S2 — äëÿ ìîíîïîëåé), îêðóæàþùèõ êîíôèãóðàöèþ, çàêðó÷åíû, òàê ÷òî îíè íå ìîãóò áûòü ãëàäêî ïðîäåôîðìèðîâàíû â ïîñòîÿííûå ïîëÿ.  ÷àñòíîñòè, íåâîçìîæíî ãëàäêèì îáðàçîì óìåíüøèòü ðàäèóñû ýòèõ ñôåð äî íóëÿ, íå ñòîëêíóâøèñü ñ êàêèì-òî òèïîì ñèíãóëÿðíîñòè, ïîñêîëüêó íåñèíãóëÿðíîå ïîëå πa(x) íà ñôåðå ïðè óìåíüøåíèè ðàäèóñà ñôåðû äî íóëÿ äîëæíî áûëî áû ñòàòü ïîñòîÿííûì.  îáîèõ ñëó÷àÿõ ñèíãóëÿðíîñòü âîçíèêàåò íà íåêîòîðîé ñåðäöåâèíå (ëèíèè èëè, âîçìîæíî, òðóáêå äëÿ âèõðåâûõ íèòåé è òî÷êå èëè, âîçìîæíî, øàðå äëÿ ìîíîïîëåé), âíóòðè êîòðîé ãðóïïà G óæå íå íàðóøåíà, òàê ÷òî ñèñòåìà îïèñûâàåòñÿ íå ãîëäñòîóíîâñêèìè áîçîííûìè ïîëÿìè, à ïàðàìåòðîì ïîðÿäêà, ëèíåéíî ïðåîáðàçóþùèìñÿ ïîä äåéñòâèåì ïðåîáðàçîâàíèé èç G.  ñëó÷àå d = 4 ôóíêöèÿ S[ϕR, AR] îò R ìîæåò èìåòü ìèíèìóì ïðè íåêîòîðîì êîíå÷íîì çíà÷åíèè R, åñëè T[ϕ,A] = V[ϕ] = 0, äëÿ ÷åãî íåîáõîäèìî, ÷òîáû ϕ(x) âåçäå ïðèíèìàëî çíà÷åíèå, ïðè êîòîðîì U(ϕ) = 0. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ýòè çíà÷åíèÿ îáðàçóþò êîíòèíóóì, ñâÿçàííûé ïðåîáðàçîâàíèÿìè êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû G, ìîæíî ñ ïîìîùüþ êàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñäåëàòü èõ âñå ïîñòîÿííûìè, ϕ(x) = ϕ0. Òîãäà â ýòîé êàëèáðîâêå èç óñëîâèÿ T[ϕ,A] = 0 ñëåäóåò, ÷òî Aa(x) = 0 äëÿ âñåõ íàðóøåííûõ ñèììåòðèé äëÿ êîòîðûõ taϕ0 ≠ 0. Íà òàêîé ïîëåâîé êîíôèãóðàöèè êàê T[ϕ,A], òàê è V[ϕ] ñòàöèîíàðíû, òàê ÷òî äëÿ ñòàöèîíàðíîñòè S[ϕ, A] íåîáõîäèìà ñòàöèîíàðíîñòü K[ϕ,A], à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íåíóëåâûå êàëèáðîâî÷íûå ïîëÿ Aim (ïðèíàäëåæàùèå ïîäãðóïïå H ⊂ G, íå íàðóøåííîé ïîëåì ϕ0) óäîâëåòâîðÿþò ïîëåâûì óðàâíåíèÿì ßíãà–Ìèëëñà ∂ µ Fiµν = 0 .

(23.1.10)

Ïîýòîìó äàííûé ñëó÷àé ñâîäèòñÿ ê ñëó÷àþ ñ, íî ñ çàìåíîé êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû G íà åå íåíàðóøåííóþ ïîäãðóïïó Í. 23.2. Ãîìîòîïè÷åñêèå ãðóïïû  ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ìû íàó÷èëèñü êëàññèôèöèðîâàòü ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè, íà êîòîðûõ ãàìèëüòîíèàí èëè äðóãèå ôóíêöèîíàëû èìåþò êîíå÷íîå çíà÷åíèå, â ñîîòâåòñòâèè ñ ýëåìåíòàìè ïîäõîäÿùèõ ãîìîòîïè÷åñêèõ ãðóïï. Íî ìû äî ñèõ ïîð íå îáúÿñíè-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

578

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

ëè, â êàêîì ñìûñëå ãîìîòîïè÷åñêèå ãðóïïû ÿâëÿþòñÿ ãðóïïàìè, è íå ïðèäàëè ãðóïïîâîé ñòðóêòóðå íèêàêîãî ôèçè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ. Êàê ìû óâèäèì, ñóùåñòâóåò åñòåñòâåííîå îïðåäåëåíèå çàêîíà óìíîæåíèÿ ýëåìåíòîâ ãîìîòîïè÷åñêèõ ãðóïï, ñîãëàñíî êîòîðîìó äâå ïðîòÿæåííûå êîíôèãóðàöèè ïîëåé, îáðàçóþùèõ ìíîãîîáðàçèå Ì â d èçìåðåíèÿõ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò ðàçëè÷íûì ýëåìåíòàì ñ1 è ñ2 ãðóïïû πd(M), ìîãóò íåïðåðûâíî ñëèâàòüñÿ è îáðàçîâûâàòü êîíôèãóðàöèþ, ïðèíàäëåæàùóþ ýëåìåíòó ñ1 × ñ2 ýòîé ãðóïïû. Íà÷íåì ñ îïðåäåëåíèÿ ïåðâîé ãîìîòîïè÷åñêîé ãðóïïû π1(M) ïðîèçâîëüíîãî ìíîãîîáðàçèÿ Ì â d èçìåðåíèÿõ, êîòîðóþ íàçûâàþò òàêæå ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïîé ìíîãîîáðàçèÿ. Êàê ìû âèäåëè, óñëîâèåì òîïîëîãè÷åñêîé ñòàáèëüíîñòè âèõðåâîé íèòè â òðåõ èçìåðåíèÿõ (èëè ìîíîïîëÿ â äâóõ èçìåðåíèÿõ) ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå íåòðèâèàëüíîé ãðóïïû π1(G/H) äëÿ íåêîòîðîãî ôàêòîð-ïðîñòðàíñòâà G/H. Ïîñëå çíàêîìñòâà ñ π1(M) ìû ïåðåéäåì ê èçó÷åíèþ áîëåå îáùèõ ãîìîòîïè÷åñêèõ ãðóïï. Ãîâîðÿò, ÷òî ñâÿçíîå ìíîãîîáðàçèå Ì ìíîãîñâÿçíî, åñëè íà ìíîãîîáðàçèè ñóùåñòâóåò êàêîé-ëèáî çàìêíóòûé ïóòü p(z), ïàðàìåòðèçîâàííûé îäíîé ïåðåìåííîé z ñ 0 ≤ z ≤ 1, ïðè÷åì p(0) = p(1), êîòîðûé íå ìîæåò áûòü ñòÿíóò â òî÷êó ïóòåì íåïðåðûâíîé äåôîðìàöèè. Ïîñêîëüêó íà ñâÿçíîì ìíîãîîáðàçèè âñåãäà ìîæíî íåïðåðûâíî ïðîäåôîðìèðîâàòü ëþáîé çàìêíóòûé ïóòü òàê, ÷òî ëþáàÿ òî÷êà ïóòè ìîæåò îêàçàòüñÿ â ëþáîì æåëàåìîì ìåñòå íà ìíîãîîáðàçèè, ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ òîëüêî ïóòÿìè, äëÿ êîòîðûõ p(0) = p(1) = p0, ãäå ð0 — ëþáàÿ ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà íà ìíîãîîáðàçèè, íàçûâàåìàÿ áàçîâîé òî÷êîé. Ãîâîðÿò, ÷òî äâà òàêèõ çàìêíóòûõ ïóòè p1(z) è p2(z) ãîìîòîïè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû, åñëè îíè ìîãóò áûòü ïðîäåôîðìèðîâàíû îäèí â äðóãîé, ò. å. åñëè ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ p(z,t), 0 ≤ t ≤ 1, òàêàÿ, ÷òî p(z, 0) = p1(z),

p(z, 1) = p2(z),

p(0, t) = p(1, t) = p0.

Îòíîøåíèå ãîìîòîïè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè åñòü èìåííî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè â òîì ñìûñëå, ÷òî îíî ñèììåòðè÷íî, ðåôëåêñèâíî è òðàíçèòèâíî, òàê ÷òî ýòî îòíîøåíèå ðàçäåëÿåò ïðîñòðàíñòâî çàìêíóòûõ ïóòåé íà ìíîãîîáðàçèè íà êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè: äâà çàìêíóòûõ ïóòè ïðèíàäëåæàò îäíîìó êëàññó, åñëè è òîëüêî åñëè îíè ãîìîòîïè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû. Ìíîæåñòâî âñåõ ýòèõ êëàñ-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

23.2. Ãîìîòîïè÷åñêèå ãðóïïû

579

ñîâ ýêâèâàëåíòíîñòè íàçûâàåòñÿ ïåðâîé ãîìîòîïè÷åñêîé ãðóïïîé ìíîãîîáðàçèÿ π1(M). Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðàâèëà óìíîæåíèÿ â ãðóïïå π1(M) âûáåðåì ñòàíäàðòíûé ïóòü p[z, c], íà÷èíàþùèéñÿ è êîí÷àþùèéñÿ â áàçîâîé òî÷êå ð0 äëÿ êàæäîãî êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè ñ â p1(M). Äëÿ ëþáûõ äâóõ êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè ñ1 è ñ2 îïðåäåëèì «ïðîèçâåäåíèå» ñ1 × ñ2 êàê êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè, ñîäåðæàùèé ïóòü p[z, c1, c2], êîòîðûé íà÷èíàåòñÿ â òî÷êå ð0, ñëåäóåò ïî ïóòè p[z, c1] íàçàä â òî÷êó ð0, à çàòåì ñëåäóò ïî ïóòè p[z, c2] ñíîâà â òî÷êó ð0. Ôîðìàëüíî

p[z, c1 , c2 ] ≡

RS p[2z, c ] , 0 ≤ z ≤ 1, Tp[2z − 1, c ] , 1 ≤ z ≤ 1. 1

2

Òåïåðü íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî òàê îïðåäåëåííîå óìíîæåíèå óäîâëåòâîðÿåò ãðóïïîâûì àêñèîìàì. Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî (c1 × c2) × c3 åñòü êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè, ñîäåðæàùèé ïóòü p[z, c1×c2, c3], èäóøèé âäîëü ñòàíäàðòíîãî ïóòè p[z, c1 × c2], íà÷èíàþùåãîñÿ è êîí÷àþùåãîñÿ â áàçîâîé òî÷êå, â òî âðåìÿ êàê c1 × (c2 × c3) — êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè, ñîäåðæàùèé ïóòü p[z, c1, c2 × c3], èäóùèé âäîëü ñòàíäàðòíîãî ïóòè p[z, c1] èç áàçîâîé òî÷êè ð0 è îáðàòíî, à çàòåì — âäîëü ñòàíäàðòíîãî ïóòè p[z, c1 × c2] èç áàçîâîé òî÷êè ð0 è îáðàòíî. Ïî îïðåäåëåíèþ, ïóòü p[z, c1 × c2] ìîæåò áûòü ïðîäåôîðìèðîâàí â ïóòü, èäóùèé âäîëü ïóòè p[z, c1] èç áàçîâîé òî÷êè ð0 è îáðàòíî, à çàòåì — âäîëü ïóòè p[z, c2] èç áàçîâîé òî÷êè ð0 è îáðàòíî.  òî æå âðåìÿ, ïóòü p[z, c2 × c3] ìîæåò áûòü ïðîäåôîðìèðîâàí â ïóòü, èäóùèé âäîëü ïóòè p[z, c2] èç áàçîâîé òî÷êè ð0 è îáðàòíî, à çàòåì — âäîëü ïóòè p[z, c3] èç áàçîâîé òî÷êè ð0 è îáðàòíî. Òàêèì îáðàçîì, îáà ïóòè p[z, c1 × c2, c3] è p[z, c1, c2 × c3] ìîãóò áûòü ïðîäåôîðìèðîâàíû â ïóòü, èäóùèé âäîëü ïóòè p[z, c1] èç áàçîâîé òî÷êè ð0 è îáðàòíî, çàòåì — âäîëü ïóòè p[z, c2] èç áàçîâîé òî÷êè ð0 è îáðàòíî, è íàêîíåö — âäîëü ïóòè p[z,c3] èç áàçîâîé òî÷êè ð0 è îáðàòíî. Ñëåäîâàòåëüíî, ýòè ïóòè ìîãóò áûòü ïðîäåôîðìèðîâàíû äðóã â äðóãà, îòêóäà (ñ1 × ñ2) × ñ3 = ñ1 × (ñ2 × ñ3). Åäèíè÷íûé ýëåìåíò e ãðóïïû π1(M) îïðåäåëÿåòñÿ êàê êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè, ñîäåðæàùèé ïóòü p[z, e], íå âûõîäÿùèé èç áàçîâîé òî÷êè. ×òîáû ïðîâåðèòü, ÷òî e × c = c, çàìåòèì, ÷òî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

580

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

p[z, e, c] ≡

RS p , 0 ≤ z ≤ 1, Tp[2z − 1, c] , 1 ≤ z ≤ 1. 0

Íî ýòîò ïóòü ìîæíî íåïðåðûâíî ïðîäåôîðìèðîâàòü â p[z, c], âûáðàâ p0 , 0 ≤ z ≤ t 2, p[z, t] ≡ p[(2z − t) (2 − t), c] , t 2 ≤ z ≤ 1.

RS T

÷òî ñîâïàäàåò ñ p[z, e, c] ïðè t = 1 è ñ p[z, c] ïðè t = 0. Ïðîèçâåäåíèå e × c åñòü êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè, ñîäåðæàùèé p[z, e, c], íî, êàê ìû âèäèì, ýòîò êëàññ ñîâïàäàåò ñ êëàññîì ýêâèâàëåíòíîñòè, ñîäåðæàùèì p[z, c], êîòîðûé è åñòü êëàññ c. Äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî ñ × å = ñ, ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî. «Îáðàòíûé» êëàññ ñ–1 ê êëàññó ýêâèâàëåíòíîñòè ñ ñîäåðæèò ïóòü p–1[z, c], èäóùèé âäîëü òîãî æå ïóòè, ÷òî è ñòàíäàðòíûé ïóòü p[z, c], íî â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè. Èíûìè ñëîâàìè, p −1 [z; c ] ≡ p[1 − z; c ].

Ýòîò ïóòü íå îáÿçàòåëüíî ñîâïàäàåò ñî «ñòàíäàðòíûì ïóòåì» p[z, c–1], íî, ïî îïðåäåëåíèþ êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè ñ–1, äâà ïóòè ìîæíî ïðîäåôîðìèðîâàòü äðóã â äðóãà. ×òîáû óáåäèòüñÿ, ÷òî c–1 × c = e, çàìåòèì, ÷òî ïðè äåôîðìàöèè ïóòè p[z, c–1] â p–1[z, c] ïóòü p[z, c–1, c] ìîæíî ïðîäåôîðìèðîâàòü â ïóòü

p[z, c −1 , c] →

RSp[1 − 2z, c] , 0 ≤ z ≤ 1, Tp[2z − 1, c] , 1 ≤ z ≤ 1.

Íî ýòîò ïóòü ìîæíî íåïðåðûâíî ïðîäåôîðìèðîâàòü â p[z, e] = p0, âûáðàâ p[1 − 2tz, c] , 0 ≤ z ≤ 1, p[z, t] = p[2tz + 1 − 2t, c] , 1 ≤ z ≤ 1,

RS T

÷òî ñîâïàäàåò ñ p[z, c–1, c] ïðè t = 1 è ñ p[z, e] ïðè t = 0. Ïðîèçâåäåíèå ñ–1 × ñ åñòü êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè, ñîäåðæàùèé p[z, c–1, c], íî, êàê ìû òåïåðü âèäèì, ýòîò êëàññ ñîâïàäàåò ñ êëàññîì ýêâèâàëåíòíîñòè, ñîäåðæàùèì p[z, e], ÷òî åñòü ïðîñòî å. Äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî ñ × ñ–1 = å, ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî. Ñóùåñòâîâàíèå åäè-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

23.2. Ãîìîòîïè÷åñêèå ãðóïïû

581

íè÷íîãî ýëåìåíòà è îáðàòíûõ ýëåìåíòîâ ïîêàçûâàåò, ÷òî ñîâîêóïíîñòü êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè îáðàçóåò ãðóïïó. Êëàññè÷åñêèì ïðèìåðîì ìíîãîîáðàçèÿ Ì ñ íåòðèâèàëüíîé ïåðâîé ãîìîòîïè÷åñêîé ãðóïïîé ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòü: M= S1. Åå ìîæíî ïàðàìåòðèçîâàòü óãëîì θ, ïðè÷åì θ = 0 è θ = 2πn (ãäå n — ïîëîæèòåëüíîå èëè îòðèöàòåëüíîå öåëîå ÷èñëî) ñ÷èòàþòñÿ îäíîé òî÷êîé. Ãîìîòîïè÷åñêèå ãðóïïû ñîñòîÿò èç êëàññîâ ôóíêöèé θ(z), 0 ≤ z ≤ 1, ñ íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì â íåêîòîðîé áàçîâîé òî÷êå q(0) = q0 è êîíå÷íûì çíà÷åíèåì â òîé æå áàçîâîé òî÷êå θ(1) = θ0 +2πn. Äâå òàêèå ôóíêöèè ìîæíî íåïðåðûâíî ïðîäåôîðìèðîâàòü äðóã â äðóãà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ó íèõ îäèíàêîâîå çíà÷åíèå n, òàê ÷òî π1(S1) ñîñòîèò èç ñ÷åòíîãî áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà êëàññîâ cn, ïîìå÷åííûõ ïîëîæèòåëüíûì èëè îòðèöàòåëüíûì öåëûì ÷èñëîì n. Êðîìå òîãî, «ïðîèçâåäåíèå» äâóõ êëàññîâ cn è cm ñîñòîèò èç ïóòåé, êîòîðûå ñîâåðøàþò n îáîðîòîâ ïî îêðóæíîñòè, íà÷èíàÿñü è êîí÷àÿñü â áàçîâîé òî÷êå, à çàòåì åùå m òàêèõ æå îáîðîòîâ, òàê ÷òî â äàííîì ñëó÷àå óìíîæåíèå ñâîäèòñÿ ê ñëîæåíèþ:

îòêóäà

c n × cm = c n + m

(23.2.1)

π1 (S1 ) = Z ,

(23.2.2)

ãäå Z — ãðóïïà ïîëîæèòåëüíûõ è îòðèöàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë ïî ñëîæåíèþ. ×òîáû íåìåäëåííî ïðîäåìîíñòðèðîâàòü ôèçè÷åñêîå ïðèìåíåíèå, çàìåòèì, ÷òî êîãäà êàëèáðîâî÷íàÿ ãðóïïà SO(2) ïîëíîñòüþ ñïîíòàííî íàðóøåíà, ôàêòîð-ïðîñòðàíñòâî åñòü ñàìà ãðóïïà SO(2), èìåþùàÿ òîïîëîãèþ îêðóæíîñòè. Ïîýòîìó â äàííîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî òèïîâ òîïîëîãè÷åñêè ñòàáèëüíûõ âèõðåâûõ íèòåé, õàðàêòåðèçóþùèõñÿ ïîëîæèòåëüíûì èëè îòðèöàòåëüíûì öåëûì ÷èñëîì n. Íàïðèìåð, òàê îáñòîèò äåëî â ñâåðõïðîâîäíèêå II ðîäà, ãäå, êàê ìû âèäåëè â ðàçäåëå 21.6, ãðóïïà U(1) ýëåêòðîìàãíèòíîé êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè ñïîíòàííî íàðóøåíà äî äèñêðåòíîé ïîäãðóïïû Z2.  îáùåì ñëó÷àå âñå ñôåðû Sd ñ d > 1 îäíîñâÿçíû, è ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èõ ïåðâàÿ ãîìîòîïè÷åñêàÿ ãðóïïà òðèâèàëüíà, ÷òî îáû÷íî âûðàæàåòñÿ â âèäå

π1 (Sd ) = 0 ïðè d > 1 . На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(23.2.3)

582

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

Òîëüêî íåìíîãèå èç áîëåå çíàêîìûõ íàì ãðóïï Ëè ÿâëÿþòñÿ ìíîãîñâÿçíûìè.

R| Z ||Z0 π (G ) = S || 00 |T 0

2

1

G = U ( k) G = SO(k) G = Spin(k) G = SU (k ) G = USp(2k) G = G 2 , F4 , E 6 , E7 , E 8

k k k k k

≥1 ≥3 ≥3 ≥2 ≥1

(23.2.4)

Çäåñü Z2 — ãðóïïà èç äâóõ ýëåìåíòîâ 1 è –1, ñ ãðóïïîâûì óìíîæåíèåì, îïðåäåëåííûì êàê îáû÷íîå óìíîæåíèå, à Spin(n) — îäíîñâÿçíàÿ íàêðûâàþùàÿ ãðóïïà ãðóïïû SO(n). ( ðàçäåëå 2.7 ìû âèäåëè, ÷òî Spin(3) ñîâïàäàåò ñ SU(2).) Êðîìå òîãî, äëÿ ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ìíîãîîáðàçèé Ì è Ì′ ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïîé áóäåò (23.2.5) π 1 ( M × M ′) = π 1 (M) × π 1 ( M ′) . Ìîæíî îöåíèòü ôèçè÷åñêîå çíà÷åíèå ãðóïïîâîé ñòðóêòóðû π1(M), åñëè çàäàòüñÿ âîïðîñîì, ÷òî ïðîèñõîäèò, êîãäà ñáëèæàþòñÿ äâå ïåðâîíà÷àëüíî óäàëåííûå ïàðàëëåëüíûå âèõðåâûå íèòè â òðåõ èçìåðåíèÿõ. Ïîêà âèõðåâûå íèòè äîñòàòî÷íî äàëåêè äðóã îò äðóãà, èõ ïîëÿ íå âçàèìîäåéñòâóþò, ïîýòîìó êîíôèãóðàöèþ ìîæíî îïèñàòü, çàäàâ êëàññû ñ′ è ñ′′ â π1(G/H), êîòîðûì ïðèíàäëåæèò êàæäàÿ íèòü. Êëàññ ñ, êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò âñÿ êîíôèãóðàöèÿ, îïðåäåëÿåòñÿ ïîâåäåíèåì ïîëåé íà î÷åíü áîëüøîé îêðóæíîñòè, îáúåìëþùåé îáå âèõðåâûå íèòè. Íåïðåðûâíîé äåôîðìàöèåé ìîæíî ïðåâðàòèòü ýòó îêðóæíîñòü â äâå áîëüøèå îêðóæíîñòè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ îêðóæàåò ñâîþ âèõðåâóþ íèòü, ïåðåñåêàþùèõñÿ â òî÷êå ïîñåðåäèíå ìåæäó íèòÿìè. Êîãäà ìû ïðîõîäèì òàêîé çàìêíóòûé ïóòü â äâóìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, òî, êàê è â îïðåäåëåíèè ïðîèçâåäåíèÿ êëàññîâ, ìû ïðîõîäèì ïî ïóòè â G/H, ñîñòîÿùåì ñíà÷àëà èç çàìêíóòîãî ïóòè êëàññà ñ′, à çàòåì — èç çàìêíóòîãî ïóòè êëàññà ñ′′. Îòñþäà ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî âñÿ êîíôèãóðàöèÿ ñîîòâåòñòâóåò êëàññó ñ = ñ′ × ñ′′, è ïîýòîìó äâå âèõðåâûå íèòè ìîãóò òîëüêî ñëèòüñÿ è îáðàçîâàòü íèòü òàêîãî êëàññà.  ÷àñòíîñòè, åñëè ñ′′ = ñ–1, òî âèõðåâûå íèòè ìîãóò òîëüêî àííèãèëèðîâàòü. Ðàññìîòðèì òåïåðü îáùóþ ãîìîòîïè÷åñêóþ ãðóïïó πk(M). Îíà âî ìíîãîì ïîõîæà íà π1(Ì), åñëè íå ñ÷èòàòü òîãî, ÷òî âìåñòî ðàñ-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

23.2. Ãîìîòîïè÷åñêèå ãðóïïû

583

ñìîòðåíèÿ îòîáðàæåíèé îêðóæíîñòè S1 íà ìíîãîîáðàçèå Ì ìû ðàññìàòðèâàåì îòîáðàæåíèÿ k-ñôåðû Sk (ïîâåðõíîñòè (k+1)-ìåðíîãî øàðà) íà Ì, ïðè÷åì îïÿòü îäíà òî÷êà Sk âñåãäà îòîáðàæàåòñÿ â îäíó è òó æå «áàçîâóþ òî÷êó» ð0 èç Ì. Äâà òàêèõ îòîáðàæåíèÿ ýêâèâàëåíòíû, åñëè îäíî ìîæåò áûòü ïðîäåôîðìèðîâàíî â äðóãîå ïðè óñëîâèè, ÷òî òà æå òî÷êà Sk âñåãäà îòîáðàæàåòñÿ â áàçîâóþ òî÷êó. Ýëåìåíòàìè k-ìåðíîé ãîìîòîïè÷åñêîé ãðóïïû πk(M) ÿâëÿþòñÿ êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè òàêèõ îòîáðàæåíèé. ×àñòî óäîáíî èçîáðàæàòü d-ñôåðó Sd êàê âíóòðåííîñòü d-ìåðíîãî ãèïåðêóáà, âñå òî÷êè ãðàíèöû êîòîðîãî îòîæäåñòâëåíû êàê îäíà òî÷êà. Íàïðèìåð, ìû óæå âèäåëè, ÷òî îêðóæíîñòü S1 ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê èíòåðâàë 0 ≤ θ ≤ 2π, ïðè÷åì òî÷êè 0 è 2π îòîæäåñòâëåíû. Àíàëîãè÷íî, ìîæíî ñäåëàòü êàðòó S2, íàïðèìåð, ïîâåðõíîñòè Çåìëè, âûêîëîâ þæíûé ïîëþñ è ðàñòÿíóâ ïîëó÷èâøèéñÿ ëèñò íà åäèíè÷íûé êâàäðàò 0 ≤ z1 ≤ 1, 0 ≤ z2 ≤ 1. Ïðè íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèÿõ ýòîãî êâàäðàòà íà Ì âñå òî÷êè ãðàíèöû êâàäðàòà îòîáðàæàþòñÿ â îäíó òî÷êó íà Ì, ïîñêîëüêó âñå òî÷êè ãðàíèöû ÿâëÿþòñÿ, íà ñàìîì äåëå, îäíîé òî÷êîé — þæíûì ïîëþñîì ñôåðû.  îáùåì ñëó÷àå, äâà îòîáðàæåíèÿ p(z1, ..., zd) è p′(z1, ..., zd) ñôåðû Sd íà Ì ãîìîòîïè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû, åñëè îäíî ìîæåò áûòü íåïðåðûâíî ïðîäåôîðìèðîâàíî â äðóãîå ïðè ñîõðàíåíèè ðàâåíñòâà ð íà ãðàíèöå ãèïåðêóáà áàçîâîé òî÷êå ð0. Êàê è âûøå, äëÿ êàæäîãî êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè ñ ìû âûáèðàåì ñòàíäàðòíîå îòîáðàæåíèå p(z1, ..., zd; c). Ïðîèçâåäåíèå ñ1 è ñ2 îïðåäåëÿåòñÿ êàê êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè, ñîäåðæàùèé îòîáðàæåíèå p(2z1 , z 2 , . . . , z d ; c1 ) , 0 ≤ z1 ≤ 1, p(z1 , z 2 , . . . , z d ; c1 , c 2 ) = p(2z1 − 1, z 2 , . . . , z d ; c 2 ) , 1 ≤ z1 ≤ 1. (23.2.6)

RS T

Åäèíè÷íûé ýëåìåíò å îïðåäåëÿåòñÿ êàê êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè, ñîäåðæàùèé îòîáðàæåíèå ñ ð = ð0 äëÿ âñåõ z, à îáðàòíûé êëàññ ñ–1 ê ñ îïðåäåëÿåòñÿ êàê êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè, ñîäåðæàùèé îòîáðàæåíèå ñ p −1 [z1 , z2 , . . . , z d ; c ] = p[1 − z1 , z2 , . . . , zd ; c ] .

(23.2.7)

Òàê æå, êàê è äëÿ π1(M), ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòî óìíîæåíèå àññîöèàòèâíî è ÷òî å × ñ = ñ × å = ñ, ñ–1 × ñ = ñ × ñ–1 = å. Âñå ãðóïïû πn(M) ïðè n ≥ 2 àáåëåâû. (Ñóùåñòâóþò ìíîãîîáðàçèÿ Ì, äëÿ êîòîðûõ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

584

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

π1(M) íåàáåëåâà, íàïðèìåð, ïëîñêîñòü ñ äâóìÿ èëè áîëåå âûêîëîòûìè òî÷êàìè.)  êàæäîì èç ñëó÷àåâ, êîãäà πk(M) = Z, äîëæíî ñóùåñòâîâàòü îäíî-îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå k-ñôåðû Sk â k-ñôåðó S′k íà M, êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò ýëåìåíòó «îäèí» â Z (íå ïóòàòü ñ åäèíè÷íûì ýëåìåíòîì ãðóïïû, êîòîðûé ðàâåí íóëþ). Ýëåìåíò ν â Z ñ ν = 2, 3, ... ñîîòâåòñòâóåò îòîáðàæåíèþ Sk â òó æå k-ñôåðó S′k íà Ì, êîòîðîå ν ðàç ïîêðûâàåò S′k, ïðè÷åì ÿêîáèàí ïðåîáðàçîâàíèÿ Sk → S′k ïîëîæèòåëåí. Ýëåìåíò ν â Z ñ ν = –1, –2, ... ñîîòâåòñòâóåò îòîáðàæåíèþ Sk → S′k, êîòîðîå ïîêðûâàåò S′k |n| ðàç, ïðè÷åì ÿêîáèàí ïðåîáðàçîâàíèÿ Sk → S′k îòðèöàòåëåí. Íàïðèìåð, ìû âèäåëè â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, ÷òî â òîì ñëó÷àå, êîãäà îäíîñâÿçíàÿ ãðóïïà G íàðóøàåòñÿ äî ãðóïïû U(1) ýëåêòðîìàãíåòèçìà, âîçíèêàþò ìàãíèòíûå ìîíîïîëè. Êàê ïîêàçàíî â ïðèëîæåíèè, â ýòîì ñëó÷àå

π2 (G U (1)) = π1 (U (1)) = Z.

(23.2.8)

òàê ÷òî ìàãíèòíûé ìîíîïîëü îáëàäàåò öåëî÷èñëåííûì êâàíòîâûì ÷èñëîì ν, êîòîðîå, êàê ïîêàçàíî â ðàçäåëå 23.3, ïðîïîðöèîíàëüíî ìàãíèòíîìó çàðÿäó. Ýòî êâàíòîâîå ÷èñëî ïîêàçûâàåò, ñêîëüêî ðàç 2-ñôåðà áîëüøîãî ðàäèóñà, îêðóæàþùàÿ ìîíîïîëü, îòîáðàæàåòñÿ íà 2-ñôåðó ìíîãîîáðàçèÿ G/U(1) ïîëåé ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ (ïðè ýòîì îòíîñèòåëüíàÿ îðèåíòàöèÿ äâóõ 2-ñôåð îäèíàêîâà èëè ïðîòèâîïîëîæíà â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ïîëîæèòåëüíî èëè îòðèöàòåëüíî ÷èñëî ν). Êâàíòîâîå ÷èñëî ν íàçûâàþò òîïîëîãè÷åñêèì ÷èñëîì *. Ñòðóêòóðà ãðóïïû Z ïîêàçûâàåò, ÷òî ýòî êâàíòîâîå ÷èñëî ñîõðàíÿåòñÿ â òîì ñìûñëå, ÷òî ìîíîïîëü ñ êâàíòîâûì ÷èñëîì ν ìîæåò îáúåäèíèòüñÿ ñ ìîíîïîëåì ñ êâàíòîâûì ÷èñëîì ν′, îáðàçîâàâ ïðè ýòîì òîëüêî ìîíîïîëü ñ êâàíòîâûì ÷èñëîì ν + ν′. Åñëè íåíàðóøåííîé ãðóïïîé ÿâëÿåòñÿ SO(n) ñ n ≥ 3, òî ñîãëàñíî ðåçóëüòàòàì ïðèëîæåíèÿ  ê ýòîé ãëàâå * Àâòîð óïîòðåáëÿåò çäåñü è äàëåå (â ò. III) ðàñïðîñòðàíåííûé â àíãëîÿçû÷íîé ëèòåðàòóðå òåðìèí winding number, êîòîðûé â ðàçíûõ ðóññêîÿçû÷íûõ èñòî÷íèêàõ ïåðåâîäèòñÿ êàê «÷èñëî îáîðîòîâ» èëè «÷èñëî íàêðóòêè». Îäíàêî ìû, ñëåäóÿ ìîíîãðàôèè À.Ñ. Øâàðöà «Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ïîëÿ è òîïîëîãèÿ» (Ì.: Íàóêà, 1989) ïðåäïî÷ëè èñïîëüçîâàòü áîëåå îáùèé òåðìèí òîïîëîãè÷åñêîå ÷èñëî. — Ïðèì. ïåð.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

23.3. Ìîíîïîëè

585

π2 (G SO( n)) = π1 (SO( n)) = Z2 .

(23.2.9)

 ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò òîëüêî îäèí òèï «ìîíîïîëÿ», ñîîòâåòñòâóþùèé ýëåìåíòó –1 ãðóïïû Z2, êîòîðûé ìîæåò àííèãèëèðîâàòü òîëüêî â ïàðû. Âàæíî îòëè÷àòü ýòîò ñëó÷àé îò òîãî, êîãäà ãðóïïà SO(n) çàìåíÿåòñÿ åå îäíîñâÿçíîé íàêðûâàþùåé ãðóïïîé Spin(n), äëÿ êîòîðîé âîîáùå íåò ìîíîïîëåé. Ìû âåðíåìñÿ ê ýòîìó âîïðîñó â êîíöå ñëåäóþùåãî ðàçäåëà. Äðóãîé ïðèìåð.  ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ìû âèäåëè, ÷òî ñêèðìèîíû â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå ñ n ëåãêèìè êâàðêàìè ñîîòâåòñòâóþò ýëåìåíòàì π3(SU(n)), ÷òî, ñîãëàñíî ïðèëîæåíèþ Â, åñòü Z. Òàêèì îáðàçîì, ýòè ñêèðìèîíû îáëàäàþò ñîõðàíÿþùèìñÿ öåëî÷èñëåííûì êâàíòîâûì ÷èñëîì ν, êîòîðîå, âåðîÿòíî, ìîæåò áûòü îòîæäåñòâëåíî ñ áàðèîííûì ÷èñëîì. Àíàëîãè÷íî, íàïîìíèì èç ðåçóëüòàòîâ ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà, ÷òî èíñòàíòîíû â êàëèáðîâî÷íîé òåîðèè, îñíîâàííîé íà ïðîñòîé êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïå G, ñîîòâåòñòâóþò ýëåìåíòàì π3(G), êîòîðàÿ, ñîãëàñíî ïðèëîæåíèþ Â, åñòü Z. Ïîýòîìó èíñòàíòîíû. êàê è ñêèðìèîíû, îáëàäàþò öåëî÷èñëåííûì òîïîëîãè÷åñêèì ÷èñëîì ν.  ðàçäåëå 23.5 ìû óâèäèì, êàê ýòî êâàíòîâîå ÷èñëî ìîæíî âûðàçèòü â âèäå ëîêàëüíîãî ôóíêöèîíàëà êàëèáðîâî÷íîãî ïîëÿ. 23.3. Ìîíîïîëè  êà÷åñòâå äåòàëüíîãî ïðèìåðà òîïîëîãè÷åñêè íåòðèâèàëüíîé ïîëåâîé êîíôèãóðàöèè ðàññìîòðèì ìîíîïîëü ′ò Õîôòà–Ïîëÿêîâà 2 è åãî îáîáùåíèÿ.  ðàçäåëå 23.1 ìû âèäåëè, ÷òî åñëè îäíîñâÿçíàÿ êàëèáðîâî÷íàÿ ãðóïïà G ñïîíòàííî íàðóøàåòñÿ äî ãðóïïû ýëåêòðîìàãíåòèçìà U(1), òî êîíôèãóðàöèè êîíå÷íîé ýíåðãèè êëàññèôèöèðóþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ýëåìåíòàìè ãðóïïû π2(G/U(1)) = π1(U(1)) = Z. (Ñëó÷àé íåîäíîñâÿçíûõ ãðóïï Ëè áóäåò ðàññìîòðåí â êîíöå ýòîãî ðàçäåëà.) Ñîãëàñíî ôèçè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè ãîìîòîïè÷åñêèõ ãðóïï, êîòîðàÿ îáñóæäàëàñü â ðàçäåëå 23.2, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äàííûå êîíôèãóðàöèè îáëàäàþò ñîõðàíÿþùèìñÿ àääèòèâíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì. Îäíàêî íàì âñå åùå ñëåäóåò ïîêàçàòü, ÷òî êàæäàÿ èç òàêèõ ñòàöèîíàðíûõ êîíôèãóðàöèé äåéñòâèòåëüíî ñóùåñòâóåò, è äàòü ôèçè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ èõ òîïîëîãè÷åñêèõ êâàíòîâûõ ÷èñåë.  êà÷åñòâå èëëþñòðàòèâíîãî ïðèìåðà ðàññìîòðèì òåîðèþ (ïîõîæóþ íà ýëåêòðîñëàáóþ ìîäåëü Äæîðäæè è Ãëåøîó 12), â êîòîðîé

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

586

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

êàëèáðîâî÷íàÿ ãðóïïà SU(2) ñïîíòàííî íàðóøàåòñÿ âàêóóìíûì ñðåäíèì SU(2) òðèïëåòà ñêàëÿðíûõ ïîëåé ϕn. ( êîíöå ðàçäåëà ìû ïîÿñíèì, ïî÷åìó â äàííîì ñëó÷àå ìû ãîâîðèì î êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïå SU(2), à íå SO(3).) Ëàãðàíæèàí ñêàëÿðíûõ è êàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé â ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè Ìèíêîâñêîãî âûáåðåì â âèäå L =−

ãäå

1 4

Fnµν Fnµν −

1 2

Dµ ϕ n Dµ ϕ n − V (ϕ n ϕ n ) ,

(23.3.1)

Fnµν ≡ ∂ µ A nν − ∂ ν A nµ + eε nml Amµ A nν ,

(23.3.2)

Dµ ϕ n ≡ ∂ µ ϕ n + eε nml Amµ ϕ l ,

(23.3.3)

à ôóíêöèÿ V(ϕnϕn) ïðåäïîëàãàåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé è ðàâíîé íóëþ ïðè íåíóëåâîì çíà÷åíèè 〈ϕ〉 (ñ÷èòàþùèìñÿ ïîëîæèòåëüíûì) âåëè÷èíû ϕ n ϕ n . ( áîëüøèíñòâå ðàáîò ïî ìîíîïîëÿì ïðèíèìàåòñÿ, ÷òî V — ïîëèíîì ÷åòâåðòîé ñòåïåíè λ(ϕnϕn – 〈ϕ〉2)2 c λ > 0, íî ìû çäåñü íå áóäåì ýòîãî ïðåäïîëàãàòü.) Âûðàæåíèå (23.3.1) îïèñûâàåò òåîðèþ, â êîòîðîé èìååòñÿ íåçàâèñÿùåå îò ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ êîîðäèíàò âàêóóìíîå ðåøåíèå ñ Anµ = 0. Âàêóóìíîå ñðåäíåå ϕn ñ ϕnϕn = 〈ϕ〉2 íàðóøàåò SU(2) ãðóïïó ñèììåòðèè òåîðèè äî åå ïîäãðóïïû U(1), êîòîðóþ ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïîé ýëåêòðîäèíàìèêè. Îäíàêî ìû áóäåì èñêàòü òîïîëîãè÷åñêè íåòðèâèàëüíûå íåîäíîðîäíûå, íî íå çàâèñÿùèå îò âðåìåíè êëàññè÷åñêèå ðåøåíèÿ âî âðåìåííî1é êàëèáðîâêå, â êîòîðîé An0 = 0, íî Ani ≠ 0.  ýòîì ñëó÷àå ëàãðàíæèàí ðàâåí âçÿòîé ñ îáðàòíûì çíàêîì ïëîòíîñòè ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè H, êîòîðàÿ ðàâíà H =

1 4

2 + Fnij

1 2

( Di ϕ n )2 + V (ϕ) ,

(23.3.4)

(êâàäðàòû ïîäðàçóìåâàþò î÷åâèäíûå ñâåðòêè ïî èíäåêñàì). Ïîñêîëüêó âñå ÷ëåíû â âûðàæåíèè (23.3.4) ïîëîæèòåëüíû, â êîíôèãóðàöèè ñ êîíå÷íîé ýíåðãèåé èíòåãðàë îò êàæäîãî ÷ëåíà äîëæåí ïî-îòäåëüíîñòè ñõîäèòüñÿ.  ÷àñòíîñòè, äëÿ òîãî, ÷òîáû ñõîäèëñÿ èíòåãðàë îò V(ϕnϕn), âåêòîð ϕn äîëæåí èìåòü ôèêñèðîâàííóþ äëèíó 〈ϕ〉 íà áåñêîíå÷íîñòè, òàê ÷òî êàæäàÿ êîíôèãóðàöèÿ êîíå÷íîé ýíåðãèè îïðåäåëÿåò

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

23.3. Ìîíîïîëè

587

ãëàäêîå îòîáðàæåíèå áîëüøîé 2-ñôåðû S, îêðóæàþùåé ìîíîïîëüíóþ êîíôèãóðàöèþ, íà 2-ñôåðó ϕn, ãäå ϕnϕn = 〈ϕ〉2. Êîãäà x$ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ íà S, ϕn ìîæåò ëþáîå öåëîå ÷èñëî N ðàç ïðîáåãàòü çíà÷åíèÿ íà ñôåðå ϕnϕn = 〈ϕ〉2 . Ïðè ýòîì ÿêîáèàí Det(∂x/∂ϕ) ìîæåò áûòü ïîëîæèòåëüíûì, è â ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî òîïîëîãè÷åñêîå ÷èñëî ðàâíî N, èëè îòðèöàòåëüíûì, è â ýòîì ñëó÷àå òîïîëîãè÷åñêîå ÷èñëî ðàâíî –N. ×òîáû ïîíÿòü, êàêîå îòíîøåíèå òîïîëîãè÷åñêîå ÷èñëî ê ìàãíèòíîìó çàðÿäó ìîíîïîëÿ, íåîáõîäèìî ñíà÷àëà ðàññìîòðåòü, ÷òî â äàííîé òåîðèè íàáëþäàåòñÿ êàê «ìàãíèòíîå ïîëå». Êàêîé áû íè áûëà ïîëåâàÿ êîíôèãóðàöèÿ, ìîæíî ââåñòè êàëèáðîâêó, â êîòîðîé ñêàëÿðíîå ïîëå ϕn â ëþáîì çàäàííîì êîíå÷íîì îáúåìå íàïðàâëåíî â îïðåäåëåííóþ ñòîðîíó, íàïðèìåð, âäîëü òðåòüåé îñè, òàê ÷òî â ýòîé îáëàñòè ñâÿçàííîå ñ íåíàðóøåííîé U(1) ïîäãðóïïîé SU(2) êàëèáðîâî÷íîå ïîëå åñòü A3i. ′T Õîôò íàøåë êàëèáðîâî÷íî-èíâàðèàíòíûé òåíçîð Fµν, êîòîðûé â òàêîé êàëèáðîâêå ñâîäèòñÿ ê îáû÷íîìó òåíçîðó íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ∂µA3ν – ∂νA3µ: Fµν ≡ Fnµν ϕ$ n −

1 e

ε nml ϕ$ n Dµ ϕ$ m Dν ϕ$ l

(23.3.5)

ãäå ϕ$ n ≡ ϕ n ϕ m ϕ m . ×òîáû ïðîâåðèòü,÷òî â êàëèáðîâêå ñ ïîñòîÿííûìè ϕ$ n òåíçîð Fµν — îáû÷íûé òåíçîð íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ (è äëÿ äàëüíåéøèõ ïðìåíåíèé), âîñïîëüçóåìñÿ âûðàæåíèÿìè (23.3.2) è (23.3.3) è òîæäåñòâîì ε abc ε ade = δ bd δ ce − δ beδ cd , ÷òîáû çàïèñàòü Fµν â âèäå13 Fµν = ∂ µ (ϕ$ n Anν ) − ∂ ν (ϕ$ n Anµ ) −

1 e

ε nml ϕ$ n ∂ µ ϕ$ m ∂ ν ϕ$ l .

(23.3.6)

Òàêèì îáðàçîì, â êàëèáðîâêå, ãäå ϕ$ n — ôèêñèðîâàííûé åäèíè÷íûé âåêòîð, íàïðàâëåííûé âäîëü òðåòüåé îñè, èìååì, êàê è îáåùàíî, Fµν = ∂ µ A3 ν − ∂ ν A3µ .

Ìàãíèòíûé çàðÿä g ëþáîé ëîêàëèçîâàííîé ïîëåâîé êîíôèãóðàöèè îïðåäåëÿåòñÿ êàê êîýôôèöèåíò 1/4π, óìíîæåííûé íà ìàãíèòíûé ïîòîê ÷åðåç áîëüøóþ çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S âîêðóã êîíôèãóðàöèè:

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

588

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

4 πg ≡

1 2

ε ijk

XY Z

S

Fij d 2Sk .

(23.3.7)

Ïåðâûå äâà ÷ëåíà â âûðàæåíèè (23.3.6) äëÿ Fij ÿâëÿþòñÿ ïðîèçâîäíûìè, è ïîýòîìó íå âíîñÿò âêëàäà â èíòåãðàë (23.3.7), òàê ÷òî g=−

1 8 πe

ε ijk ε nml

XY Z

S

ϕ$ n ∂ i ϕ$ m ∂ j ϕ$ l d 2 Sk .

(23.3.8)

Ýòî âûðàæåíèå îáëàäàåò âàæíûì ñâîéñòâîì — îíî òîïîëîãè÷åñêè èíâàðèàíòíî, ò. å., èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, åñëè íåîáõîäèìî, ìîæíî ïîëó÷èòü, ÷òî èçìåíåíèå g â ðåçóëüòàòå áåñêîíå÷íî ìàëîé âàðèàöèè δϕ$ n ïîëÿ ϕ$ n ðàâíî δg = −

3 8 πe

ε ijk ε nml

XY Z

S

δϕ$ n ∂ i ϕ$ m ∂ j ϕ$ l d 2Sk .

Íî, ïîñêîëüêó ϕ$ åñòü åäèíè÷íûé âåêòîð, δϕ$ , à òàêæå ∂ i ϕ$ è ∂ j ϕ$ âñå ëåæàò â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ϕ$ , òàê ÷òî

ε nmlδϕ$ n ∂ i ϕ$ m ∂ j ϕ$ l = 0 , è ïîýòîìó δg = 0. Âåëè÷èíà (23.3.8) ñâÿçàíà ñ òîïîëîãè÷åñêèì èíâàðèàíòîì, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ èíäåêñîì Êðîíåêåðà. Ïîñêîëüêó g — ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë, îí àääèòèâåí. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõ óäàëåííûõ äðóã îò äðóãà ëîêàëèçîâàííûõ êîíôèãóðàöèé òà ïîâåðõíîñòü S, êîòîðàÿ èñïîëüçóåòñÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ g, ìîæåò áûòü âçÿòà â âèäå ïàðû ñôåð, îêðóæàþùèõ êàæäàÿ ñâîþ êîíôèãóðàöèþ, ñîåäèíåííûõ òîíêîé ïåðåìû÷êîé, òàê ÷òî çíà÷åíèå g äëÿ âñåé ñèñòåìû áóäåò ñóììîé çíà÷åíèé g1, g2 äëÿ îòäåëüíûõ ëîêàëèçîâàííûõ êîíôèãóðàöèé. Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêó g — òîïîëîãè÷åñêèé èíâàðèàíò, ðàâåíñòâî g = g1 + g2 áóäåò ñîõðàíÿòüñÿ äëÿ ëþáîé ïîëåâîé êîíôèãóðàöèè, ïîëó÷àþùåéñÿ ïëàâíûì ñëèÿíèåì äâóõ êîíôèãóðàöèé ñ ìàãíèòíûìè çàðÿäàìè g1 è g2. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî g äîëæíî áûòü ïðîïîðöèîíàëüíî òîïîëîãè÷åñêîìó ÷èñëó. Àðàôóíå, Ôðîéíä è Ãåáåëü 13 ïðîâåðèëè ýòî è âû÷èñëèëè êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (23.3.8) äëÿ ïðîèçâîëüíîãî òîïîëîãè÷åñêîãî ÷èñëà. Çäåñü ìû ïðîñòî âû÷èñëèì

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

23.3. Ìîíîïîëè

589

êîýôôèöèåíò, èññëåäóÿ ìîíîïîëü ′ò Õîôòà–Ïîëÿêîâà 2, ïîëÿ êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóþò òîïîëîãè÷åñêîìó ÷èñëó åäèíèöà. Êàê ìû âèäåëè â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, «òîæäåñòâåííûé» (íå ïóòàòü ñ åäèíèöåé) ýëåìåíò S â π2(SU(2)/U(1)), êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò ýëåìåíòó «åäèíèöà» â Z, ñîñòîèò èç êîíôèãóðàöèé, â êîòîðûõ 2-ñôåðà S íà áåñêîíå÷íîñòè îäèí ðàç (ñ ïîëîæèòåëüíûì ÿêîáèàíîì) îòîáðàæàåòñÿ íà ñôåðó, îïèñûâàåìóþ ïîëåì ϕ$ n .  êà÷åñòâå ïðåäñòàâèòåëÿ ýòîãî êëàññà ìîæíî âçÿòü êîíôèãóðàöèþ, â êîòîðîé íà áåñêîíå÷íîñòè îò íàïðàâëåíî òàê æå, êàê x. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ òàêîé êîíôèãóðàöèè, ïîòðåáóåì ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî îáúåäèíåííûõ âðàùåíèé j = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} è x, à òàêæå ñîõðàíåíèÿ ÷åòíîñòè, è âûäâèíåì àíçàòö:

ϕ n = x$ n 〈ϕ 〉F(r) , Ani =

ε nil x$ l er

(23.3.9) (23.3.10)

G( r ) .

Èìååòñÿ âàæíàÿ àíàëîãèÿ ìåæäó ýòîé ïîëåâîé êîíôèãóðàöèåé è âèõðåâîé íèòüþ â ñâåðõïðîâîäíèêå. Ðåøåíèå ϕ = ±lφ/2e äëÿ ïîëÿ ãîëäñòîóíîâñêîãî áîçîíà, íàéäåííîå â ðàçäåëå 21.6, ïîêàçûâàåò, ÷òî íåñìîòðÿ íà ñïîíòàííîå íàðóøåíèå êàëèáðîâî÷íîé è âðàùàòåëüíîé èíâàðèàíòíîñòè, ðåøåíèå â âèäå âèõðåâîé íèòè èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî êîìáèíàöèè ãëîáàëüíîãî êàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, äëÿ êîòîðîãî ϕ → ϕ + Λ, è æåñòêîãî âðàùåíèÿ φ → φ ± 2eΛ/l. Àíàëîãè÷íî, ìîíîïîëüíîå ðåøåíèå âèäà (23.3.9)–(23.3.10) íåèíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé èëè êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé, íî èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî æåñêîãî òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâåííîãî âðàùåíèÿ è òàêîãî æå ãëîáàëüíîãî SO(3) êàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, äëÿ òîãî, ÷òîáû èíòåãðàë îò V(ϕnϕn) ñõîäèëñÿ, íåîáõîäèìî, ÷òîáû ϕnϕn ñòðåìèëîñü ê 〈ϕ〉2 ïðè r → ∞, òàê ÷òî â ýòîì ïðåäåëå F(r) → 1. ×òîáû óñòàíîâèòü ïðåäåëüíîå ïîâåäåíèå G(r), çàìåòèì, ÷òî êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ðàâíà

LMb N

Di ϕ n = ±〈ϕ 〉 1 − G( r) δ ni − x$ n x$ i

gb

g F(rr) + x$ x$ F ′(r)OPQ , n i

òàê ÷òî ñêàëÿðíîå ñëàãàåìîå â ãàìèëüòîíèàíå èìååò âèä

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(23.3.11)

590

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

1 2

( Di ϕ n ) 2 = 〈 ϕ 〉 2

LM F (1 − G) N r 2

2

2

+

F ′2

OP , 2 Q

(23.3.12)

Äëÿ òîãî, ÷òîáû èíòåãðàë îò ýòîãî âûðàæåíèÿ áûë êîíå÷åí, íåîáõîäèìî, ÷òîáû G(r) → 1 è F′(r) → 0 ïðè r → ∞. Íàêîíåö, íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ (23.3.2) ðàâíà Fnij =

ε ijk e

LM− 1 G ′(r)bδ N r

nk

g

− x$ n x$ k −

1 r

d2G(r) − G (r)ix$ x$ OPQ ,(23.3.13) 2

2

n k

òàê ÷òî ÿíã–ìèëëñîâñêèé ÷ëåí â ãàìèëüòîíèàíå ðàâåí 1 4

(Fnij )2 =

1 G ′2 e2

LM Nr

2

+

(2G − G 2 ) 2r 4

OP Q

(23.3.14)

Èíòåãðàë îò ýòîãî âûðàæåíèÿ ñõîäèòñÿ íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ, åñëè G′(r) äîñòàòî÷íî áûñòðî óáûâàåò ïðè r → ∞. Ýòè ðåçóëüòàòû ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàãíèòíîãî çàðÿäà äàííîé êîíôèãóðàöèè. Èç âûðàæåíèÿ (23.3.13), ñ ó÷åòîì ïðåäåëüíûõ çíà÷åíèé G(∞) = 1 è G′(∞) = 0, ñëåäóåò, ÷òî ïðè r →∞ ε ijk x$ k x$ n Fnij → . (23.3.15) er 2 Ïîñêîëüêó Diϕn áûñòðî óáûâàåò ïðè r → ∞, ìàãíèòíàÿ ÷àñòü òåíçîðà íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ â ýòîé êàëèáðîâêå îïðåäåëÿåòñÿ ïðè r → ∞ ïåðâûì ÷ëåíîì â âûðàæåíèè (23.3.5), òàê ÷òî íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ ìàãíèòíîå ïîëå ðàâíî x$ 1 1 Bi ≡ ε ijk Fjk → ε ijk ϕ$ n Fnjk → − i2 . (23.3.16) er 2 2 Ñëåäîâàòåëüíî äàííàÿ êîíôèãóðàöèÿ èìååò ìàãíèòíûé çàðÿä g = –1/e. Ñîãëàñíî ïðèâåäåííûì âûøå îáùèì ðàññóæäåíèÿì, ìàãíèòíûé çàðÿä êîíôèãóðàöèè ñ òîïîëîãè÷åñêèì ÷èñëîì n, îòâå÷àþùèì ýëåìåíòó ν ãðóïïû Z, ðàâåí

gν = − ν e .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(23.3.17)

23.3. Ìîíîïîëè

591

×òîáû íàéòè ñòàáèëüíóþ êîíôèãóðàöèþ, ìèíèìèçèðóþùóþ èíòåãðàë îò ãàìèëüòîíèàíà (23.3.4), òðåáóþòñÿ äåòàëüíûå ÷èñëåííûå ðàñ÷åòû. Îäíàêî ñóùåñòâóåò ïðåäåëüíûé ñëó÷àé, â êîòîðîì ìîæíî ïîëó÷èòü àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ýòî óâèäåòü, óäîáíî ñíà÷àëà âûâåñòè âûðàæåíèå äëÿ îáùåé íèæíåé ãðàíèöû ýíåðãèè ìîíîïîëÿ ïðè çàäàííîì ìàãíèòíîì çàðÿäå g (Áîãîìîëüíûé 10). Çàìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå (23.3.4) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå 2 1 1 H = Fnij m ε ijk Dk ϕ n ± ε ijk Fnij Dk ϕ n + V (ϕ n ϕ n ) , (23.3.18) 4 2

d

i

Èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî Áüÿíêè (15.3.9), ìîæíî ïåðåïèñàòü âòîðîå ñëàãàåìîå: ±

1 2

ε ijk Fnij Dk ϕ n = ±

1 2

ε ijk Dk Fnij ϕ n = ±

d

i

1 2

ε ijk ∂ k Fnij ϕ n ,

d

i

òàê ÷òî èíòåãðàë îò íåãî ðàâåí çàäàííîìó ìàãíèòíîìó çàðÿäó: ±

1 2

ε ijk d 3 x Fnij Dk ϕ n = ±〈 ϕ 〉 B ⋅ dA = ±4π 〈 ϕ 〉 g .

z

z

Ïîñêîëüêó âñå äðóãèå ÷ëåíû â H ïîëîæèòåëüíû, ìû ïðèøëè ê îáùåé íèæíåé ãðàíèöå ýíåðãèè êîíôèãóðàöèè ñ ìàãíèòíûì çàðÿäîì g:

E = d 3 x H ≥ 4π 〈ϕ 〉| g| .

z

(23.3.19)

Ïðè g = ±1/e ýòî äàåò ýíåðãèþ E ≥ 4π〈ϕ〉|g|, è ïðè ìàëîé êîíñòàíòå ñâÿçè å ýòî ìíîãî áîëüøå, ÷åì ïîïðàâêè çà ñ÷åò êâàíòîâûõ ôëóêòóàöèé, êîòîðûå ñàìîå áîëüøåå — ïîðÿäêà 〈ϕ〉. Èìåííî ïîýòîìó ìîæíî ñåðüåçíî îòíîñèòüñÿ ê êëàññè÷åñêîé êîíôèãóðàöèè êàê ê ãëàâíîìó ÷ëåíó â ðàçëîæåíèè ïî òåîðèè âîçìóùåíèé. Òåïåðü âîçíèêàåò èñêóøåíèå ïîïðîáîâàòü ìèíèìèçèðîâàòü ýíåðãèþ ïðè çàäàííîì ìàãíèòíîì çàðÿäå, ïîëîæèâ ïåðâûé ÷ëåí â (23.3.18) ðàâíûì íóëþ, òàê ÷òî Fnij = ±ε ijk Dk ϕ n ,

(23.3.20)

íî â îáùåì ñëó÷àå ýòî íå ïðèâîäèò ê êîíôèãóðàöèè, ïðè êîòîðîé ýíåðãèÿ ñòàöèîíàðíà. Óñëîâèåì òîãî, ÷òî ýíåðãèÿ áóäåò ñòàöèîíàð-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

592

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

íîé ïî îòíîøåíèþ ê âàðèàöèÿì ñêàëÿðíûõ ïîëåé, ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèå ïîëÿ (23.3.21) Dk Dk ϕ n = 2ϕ n V ′(ϕ n ϕ n ) , â òî âðåìÿ êàê èç óñëîâèÿ (23.3.20) ñîâìåñòíî ñ òîæäåñòâîì Áüÿíêè (15.3.9) âûòåêàëî áû, ÷òî DkDkϕn = 0. Èç ýòîãî àðãóìåíòà ñëåäóåò, ÷òî â ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà V(ϕnϕn) î÷åíü ìàëî, âîçìîæíî, íàëîæèâ óñëîâèå (23.3.20), ïî÷òè äîñòè÷ü íèæíåé ãðàíèöû (23.3.19) è ñëåäîâàòåëüíî ìèíèìèçèðîâàòü ýíåðãèþ ïðè çàäàííîì ìàãíèòíîì çàðÿäå. (Åñëè V — ïîëèíîì ÷åòâåðòîé ñòåïåíè λ(ϕnϕn – 〈ϕ〉2)2, ïðåäïîëîæåíèå î ìàëîñòè V îçíà÷àåò, ÷òî λ n e2, êàê â ñâåðõïðîâîäíèêàõ I ðîäà.) Ïîäîáíûå ñòàáèëüíûå êîíôèãóðàöèè èçó÷àëèñü òàêèì ñïîñîáîì Áîãîìîëüíûì 10. Ðàíåå ýòè êîíôèãóðàöèè áûëè íàéäåíû Ïðàñàäîì è Ñîììåðôèëäîì 14 áåç íåïîñðåäñòâåííîãî èñïîëüçîâàíèÿ óñëîâèÿ (23.3.20). Îáû÷íî èõ íàçûâàþò ÁÏÑ ìîíîïîëÿìè. Óñëîâèå Áîãîìîëüíîãî (23.3.20) ïîçâîëÿåò çàïèñàòü äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà äëÿ F(r) è G(r), ðåøèòü êîòîðûå íàìíîãî ëåã÷å, ÷åì ïîëåâûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà, âûâåäåííûå íåïîñðåäñòâåííî èç óñëîâèÿ ñòàöèîíàðíîñòè ýíåðãèè. Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèÿ (23.3.11) è (23.3.13), íàõîäèì, ÷òî ÷ëåíû â óñëîâèè (23.3.20), ïðîïîðöèîíàëüíûå ε ijk [δ kn − x$ k x$ n ] è ε ijk x$ k x$ n ñîîòâåòñòâåííî, ïðèâîäÿò ê äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì

e〈ϕ 〉F(1 − G) = G ′,

(23.3.22)

e 〈 ϕ 〉 r 2 F ′ = G (2 − G ) .

(23.3.23)

Ñ ó÷åòîì ãðàíè÷íûõ óñëîâèé F(r) → 1 è G(r) → 1 ïðè r → ∞ ýòè óðàâíåíèÿ èìåþò ðåøåíèå F = cthρ −

1 ρ

, G = 1−

ρ shρ

,

(23.3.24)

ãäå ρ ≡ e〈ϕ〉r. Çàìåòèì, â ÷àñòíîñòè, ÷òî ïîëå ϕn, çàäàâàåìîå âûðàæåíèÿìè (23.3.9) è (23.3.24), îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè r → 0, òàê ÷òî, êàê ýòî è îòìå÷àëîñü â ðàçäåëå 23.1, SU(2) ñèììåòðèÿ â öåíòðå ìîíîïîëÿ âîññòàíàâëèâàåòñÿ. Âåðíåìñÿ ê ñëó÷àþ ïîòåíöèàëà V ïðîèçâîëüíîé âåëè÷èíû. Ìîíîïîëü ′ò Õîôòà–Ïîëÿêîâà ñòàáèëåí, ò. ê. íåò êîíôèãóðàöèé

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

23.3. Ìîíîïîëè

593

ñ ìåíüøèì òîïîëîãè÷åñêèì êâàíòîâûì ÷èñëîì, â êîòîðûå îí ìîã áû ðàñïàäàòüñÿ. Êîíôèãóðàöèè ñ áî1ëüøèìè çíà÷åíèÿìè ìàãíèòíîãî çàðÿäà â îáùåì ñëó÷àå íåñòàáèëüíû. Ñóùåñòâóþò òàêæå èíòåðåñíûå êîíôèãóðàöèè, îáëàäàþùèå êàê ìàãíèòíûì, òàê è ýëåêòðè÷åñêèì çàðÿäîì, — òàê íàçûâàåìûå äèîíû 15. Ñóùåñòâóåò èíîé ñïîñîá ïîíÿòü çíà÷åíèå 1/å ìàãíèòíîãî çàðÿäà ìîíîïîëÿ ′ò Õîôòà–Ïîëÿêîâà, âîñõîäÿùèé ê ïåðâîé ðàáîòå Äèðàêà ïî ìàãíèòíûì ìîíîïîëÿì 16. Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, âìåñòî òîé êàëèáðîâêè, êîòîðóþ ìû èñïîëüçîâàëè, ìîæíî ñîâåðøèòü êàëèáðîâî÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå ϕn → Rnm(x)ϕm, êîòîðîå ïîâîðà÷èâàåò ϕn â òî÷êó ñ ôèêñèðîâàííûì íàïðàâëåíèåì v$ , íàïðèìåð, âäîëü òðåòüåé îñè. Òîãäà íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ Bnk ≡ 1εijkFnij ïðåîáðàçóåòñÿ â RnmBmk, êîòîðàÿ ñòðåìèòñÿ ê v$ n x$ k er 2 ïðè r → ∞, òàê ÷òî ìû íå äîëæíû ïðîåêòèðîâàòü ýòî íà íàïðàâëåíèå ëîêàëüíîé íåíàðóøåííîé ñèììåòðèè. Öåíà, êîòîðóþ ïðèõîäèòñÿ çàïëàòèòü çà ýòî óäîáñòâî, çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî êàëèáðîâî÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå ñèíãóëÿðíî: âðàùåíèå, ïåðåâîäÿùåå âåêòîð, íàïðàâëåííûé ïî x$ , íà íåêòîðîå ôèêñèðîâàííîå íàïðàâëåíèå v$ , èìååò âèä $ $ T + v$ x$ − (x$ ⋅ v$ )v$ R(x$ ; v$ ) = 1 − 1 − v$ ⋅ x$ vv

b

g

b

T

g + bx$ − (x$ ⋅ v$ )v$ gv$

T



bx$ − (x$ ⋅ v$ )v$ gbx$ − (x$ ⋅ v$ )v$ g 1 + x$ ⋅ v$

,

T

(23.3.25)

è îíî ñèíãóëÿðíî ïðè x$ = −v$ . Ýòî âðàùåíèå R íå åäèíñòâåííî; íàïðèìåð, ìîæíî îñóùåñòâèòü âðàùåíèå R(x$ ; − v$ ) , ïåðåâîäÿùåå x$ ïî íàïðàâëåíèþ −v$ , à çàòåì ôèêñèðîâàííîå âðàùåíèå íà 180° âîêðóã íåêîòîðîé îñè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé v$ , íî òîãäà ïîëó÷èâøååñÿ âðàùåíèå ñòàíåò ñèíãóëÿðíûì ïðè x$ = + v$ . ×òîáû èçáåæàòü ñèíãóëÿðíîñòåé, íàì ñëåäóåò âûáèðàòü â ðàçíûõ îáëàñòÿõ ðàçíûå êàëèáðîâêè. Òàê, åñëè v$ íàïðàâëåíî âäîëü òðåòüåé îñè, ìîæíî èñïîëüçîâàòü â îáëàñòè 0 < θ < θ0 êàëèáðîâêó, êîòîðàÿ ñèíãóëÿðíà ïðè θ = π, à â îáëàñòè θ0 < θ < π — êàëèáðîâêó, êîòîðàÿ ñèíãóëÿðíà ïðè θ = 0. Çäåñü θ0 — ïðîèçâîëüíûé óãîë â èíòåðâàëå 0 < θ0 < π, ÷àñòî âûáèðàåìûé ðàâíûì π/2. Âåçäå çà èñêëþ÷åíèåì θ = 0 è θ = π ìàãíèòíîå ïîëå íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ äàåòñÿ âûðàæåíèåì B → gx$ r 2 , ãäå g — ìàãíèòíûé çàðÿä. Åãî ìîæíî çàïèñàòü êàê ðîòîð ∇ × A âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà, åäèíñòâåííîé íåíóëåâîé êîìïîíåíòîé êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ àçèìóòàëüíàÿ φ-êîìïîíåíòà. Ïðè 0 < θ < θ0 ìû äîëæíû âçÿòü На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

594

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

Aφ = g(1 – cos θ)/r sin θ, ñèíãóëÿðíóþ ïðè θ = π, à ïðè θ0 < θ < π äîëæíû âçÿòü Aφ = –g(1 + cos θ)/r sin θ, ñèíãóëÿðíóþ òîëüêî ïðè θ = 0. Ðàçíîñòü ∆A ìåæäó ýòèìè äâóìÿ âåêòîðíûìè ïîòåíöèàëàìè åñòü ãðàäèåíò ∇Λ, Λ = 2gφ, êîòîðûé, êîíå÷íî, íå âëèÿåò íà ìàãíèòíîå ïîëå ïðè 0 < θ < π, íî ìîæåò âëèÿòü íà äèíàìèêó çàðÿæåííûõ ïîëåé. Êàëèáðîâî÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå ñ Λ = 2gφ èçìåíÿåò ïîëå çàðÿäîì q íà ìíîæèòåëü exp(2iqgφ), êîòîðûé îäíîçíà÷åí òîëüêî, åñëè 2qg — öåëîå ÷èñëî. Ýòî è åñòü óñëîâèå êâàíòîâàíèÿ Äèðàêà. Ñóùåñòâîâàíèå ìàãíèòíîãî ìîíîïîëÿ ñ ìàãíèòíûì çàðÿäîì g òðåáóåò, ÷òîáû âñå ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû áûëè áû öåëûìè êðàòíûìè âåëè÷èíû (2g)–1. Ýòî óñëîâèå àâòîìàòè÷åñêè óäîâëåòâîðÿåòñÿ äëÿ ìîíîïîëÿ ′ò Õîôòà–Ïîëÿêîâà, ò. ê. g = 1/e, à âñå çàðÿäû â ìîäåëè Äæîðäæè–Ãëåøîó ÿâëÿþòñÿ öåëûìè êðàòíûìè å/2.  ðåçóëüòàòå îòêðûòèÿ íåéòðàëüíûõ òîêîâ ìîäåëü Äæîðäæè– Ãëåøîó áûëà èñêëþ÷åíà êàê ìîäåëü ñëàáûõ è ýëåêòðîìàãíèòíûõ âçàèìîäåéñòâèé, îäíàêî ñóùåñòâîâàíèå ìàãíèòíûõ ìîíîïîëåé îæèäàåòñÿ è â äðóãèõ òåîðèÿõ, â êîòîðûõ îäíîñâÿçíàÿ ãðóïïà G ñïîíòàííî íàðóøàåòñÿ íå äî U(1), íî äî íåêîòîðîé ïîäãðóïïû H′ × U(1), ãäå Í′ îäíîñâÿçíà. (Ñîãëàñíî ïðèëîæåíèþ B ê ýòîé ãëàâå, äëÿ îäíîñâÿçíûõ ãðóïï G èìååì π2(G/H) = π1(H), è åñëè H = H′ × U(1), òî π1(H) = π1(H′) × π1(U(1)) = π1(U(1)) = Z.) Ïðè ñïîíòàííîì íàðóøåíèè êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû SU(2) × U(1) ñòàíäàðòíîé ýëåêòðîñëàáîé òåîðèè ìîíîïîëè íå âîçíèêàþò, ò. ê. ãðóïïà íåîäíîñâÿçíà. (Ïîäðîáíåå îá ýòîì íèæå.) Îäíàêî ìîíîïîëè ïîÿâëÿþòñÿ ïðè ñïîíòàííîì íàðóøåíèè îäíîñâÿçíîé êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû G òåîðèé îáúåäèíåíèÿ ñèëüíûõ è ýëåêòðîñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèé, íàïðèìåð, ãðóïïû SU(4) × SU(4), SU(5) èëè Spin(10), äî êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû SU(3) × SU(2) × U(1) ñòàíäàðòíîé ìîäåëè. (Ñì. ðàçäåë 21.5.)  ýòîì ñëó÷àå îæèäàåòñÿ, ÷òî ìîíîïîëè èìåþò ìàññó, ðàâíóþ ìàññå Ì d 1015–1016 Ãý âîçíèêàþùèõ ïðè òàêîì ñïîíòàííîì íàðóøåíèè âåêòîðíûõ áîçîíîâ, óìíîæåííîé íà îáðàòíûé êâàäðàò êàëèáðîâî÷íîé êîíñòàíòû ñâÿçè. Òàêèå ìîíîïîëè ìîãëè áû ðîæäàòüñÿ âî âðåìÿ ôàçîâîãî ïåðåõîäà Âñåëåííîé, ïðè êîòîðîì G áûëà ñïîíòàííî íàðóøåíà äî SU(3) × SU(2) × U(1) ïðè òåìïåðàòóðå Ò ïîðÿäêà Ì. Ýòî ïðèâîäèò ê ïðîáëåìàì â ðÿäå êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëåé 17. Ïåðåä ýòèì ôàçîâûì ïåðåõîäîì ñêàëÿðíûå ïîëÿ ñ íåîáõîäèìîñòüþ áûëè íåêîððåëèðîâàíû íà ðàññòîÿíèÿõ, ïðåâûøàþùèõ ðàçìåð ãîðèçîíòà —íàèáîëüøåå ðàññòîÿíèå, êîòîðîå ìîã ïðîéòè ñâåò ñ ìîìåíòà íà÷àëüíîé ñèíãóëÿðíîñòè.  ñòàíäàðòíûõ êîñìîëîãè÷åñêèõ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

23.3. Ìîíîïîëè

595

òåîðèÿõ 18 â ðàííèé ìîìåíò âðåìåíè t ðàçìåð ãîðèçîíòà ñîñòàâëÿåò âåëè÷èíó ïîðÿäêà t d (GNT4)–1/2 (ãäå GN g (1019 ÃýÂ)–2 — íüþòîíîâà ïîñòîÿííàÿ), òàê ÷òî ïëîòíîñòü ÷èñëà ìîíîïîëåé, ðîäèâøèõñÿ â ýòîò ìîìåíò, áûëî áû ïîðÿäêà t–3 d (GNM4)3/2, ÷òî ìåíüøå ïëîòíîñòè ÷èñëà ôîòîíîâ M3 ïðè Ò d Ì íà ìíîæèòåëü ïîðÿäêà (GNM2)3/2. Ïðè Ì d 1015 Ãý ýòîò ìíîæèòåëü ïîðÿäêà 10–12. Åñëè ìîíîïîëè íå íàõîäÿò äðóã äðóãà è íå àííèãèëèðóþò, òî ýòî îòíîøåíèå äîëæíî îñòàâàòüñÿ ïðèìåðíî òåì æå äî ñåãîäíÿøíåãî äíÿ, íî ïðè ýòîì íà êàæäûé íóêëîí ñåãîäíÿ ïðèõîäèòñÿ ïðèìåðíî 109 ôîòîíîâ ìèêðîâîëíîâîãî èçëó÷åíèÿ, ñëåäîâàòåëüíî, íà íóêëîí äîëæíî ïðèõîäèòüñÿ ïî ìåíüøåé ìåðå 10-3 ìîíîïîëåé. Ýòî íàõîäèòñÿ â ðàçèòåëüíîì ïðîòèâîðå÷èè ñ íàáëþäåíèÿìè. Óêàçàííûé ïîòåíöèàëüíûé ïàðàäîêñ áûë îäíîé èç ïðè÷èí ïîÿâëåíèÿ èíôëÿöèîííûõ êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëåé 19, â ðàìêàõ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò ïåðèîä ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñøèðåíèÿ Âñåëåííîé. Åñëè ýòî ðàñøèðåíèå ïðîèçîøëî äî îáðàçîâàíèÿ ìîíîïîëåé, îíî î÷åíü ñèëüíî óâåëè÷èëî áû ðàçìåð ãîðèçîíòà, åñëè æå îíî ïðîèçîøëî ïîñëå îáðàçîâàíèÿ ìîíîïîëåé (íî äî ïåðèîäà âòîðè÷íîãî íàãðåâàíèÿ), òî ðåçêî óìåíüøèëàñü áû ïëîòíîñòü ìîíîïîëåé. Îòêðûòèå ìîíîïîëåé ëþáîãî òèïà îòêðîåò âîçìîæíîñòè íàáëþäåíèÿ ïðèìå÷àòåëüíûõ ÿâëåíèé, â òîì ÷èñëå, ñóùåñòâîâàíèÿ ôåðìèîí-ìîíîïîëüíûõ êîíôèãóðàöèé ñ äðîáíûì ôåðìèîííûì ÷èñëîì 20, è íàðóøåíèå ñîõðàíåíèÿ ÷èñëà áàðèîíîâ ïðè ôåðìèîí–ìîíîïîëüíîì ðàññåÿíèè. * * * Âûøå ìû ðàññìàòðèâàëè òîëüêî ìîíîïîëè, ñâÿçàííûå ñî ñïîíòàííûì íàðóøåíèåì îäíîñâÿçíîé êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû G. Âîçíèêàåò ñëåäóþùèé âîïðîñ. Äëÿ êàæäîé ãðóïïû Ëè G, îäíîñâÿçíà îíà èëè íåò, ñóùåñòâóåò îäíîñâÿçíàÿ ãðóïïàG ñ òîé æå àëãåáðîé Ëè, èçâåñòíàÿ êàê íàêðûâàþùàÿ ãðóïïà ãðóïïû G. (Ïðèìåðû ñì. â ðàçäåëå 2.7.) Âñÿêàÿ íåîäíîñâÿçíàÿ ãðóïïà èìååò ìåíüøå ïðåäñòàâëåíèé, ÷åì åå íàêðûâàþùàÿ ãðóïïû (íàïðèìåð, äâóñâÿçíûå ãðóïïû SO(n) èìåþò òîëüêî ñêàëÿðíûå, âåêòîðíû è òåíçîðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ, â òî âðåìÿ, êàê èõ íàêðûâàþùèå ãðóïïû Spin(n) èìåþò âäîáàâîê ñïèíîðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ). Åñëè äåëî îáñòîèò òàê, ÷òî òåîðèÿ íå ñîäåðæèò ïîëåé, ïðèíàäëåæàùèõ äîïîëíèòåëüíûì ïðåäñòàâëå-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

596

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

íèÿì íàêðûâàþùåé ãðóïïû, ìîæåì ëè ìû ïî æåëàíèþ ðàññìàòðèâàòü â êà÷åñòâå êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû òåîðèè ëèáî íåîäíîñâÿçíóþ ãðóïïó G, ëèáî åå íàêðûâàþùóþ ãðóïïóG?  ÷àñòíîñòè, çàâèñèò ëè ñïèñîê âîçìîæíûõ ìîíîïîëåé îò òîãî, ñîäåðæèò ëè òåîðèÿ òîëüêî ïîëÿ, ïðåîáðàçóþùèåñÿ êàê ïðåäñòàâëåíèÿ íåîäíîñâÿçíîé ãðóïïû G, èëè äîïîëíèòåëüíûå ïîëÿ, ðåàëèçóþùèå ïðåäñòàâëåíèÿ åå íàêðûâàþùåé ãðóïïûG? Íàïðèìåð, â îðèãèíàëüíîé ìîäåëè Äæîðäæè–Ãëåøîó 12 ñîäåðæàëèñü òîëüêî ñêàëÿðíûå ïîëÿ, ïðèíàäëåæàâøèå òðè-âåêòîðíîìó ïðåäñòàâëåíèþ SO(3), íî â ìîäåëü âõîäèëè è ôåðìèîíû, ïðèíàäëåæàâøèå ñïèíîðíûì ïðåäñòàâëåíèÿì íàêðûâàþùåé ãðóïïû Spin(3) = SU(2). Èçìåíÿòñÿ ëè ðàçðåøåííûå çíà÷åíèÿ ìàãíèòíîãî çàðÿäà ìîíîïîëÿ, åñëè äîáàâèòü ñêàëÿðíûå ïîëÿ, ïðèíàäëåæàùèå ñïèíîðíûì ïðåäñòàâëåíèÿì SU(2)? Èçìåíÿòñÿ ëè ýòè çíà÷åíèÿ, åñëè óáðàòü ôåðìèîíû? Îòâåò çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñïèñîê âîçìîæíûõ ìîíîïîëåé íå çàâèñèò îò òîãî, ãîâîðèì ëè ìû, ÷òî êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïîé ÿâëÿåòñÿ íåîäíîñâÿçíàÿ ãðóïïà G èëè åå íàêðûâàþùàÿ ãðóïïàG, è ïîýòîìó îí íå èçìåíÿåòñÿ, åñëè ìû äîáàâèì èëè óáåðåì ïîëÿ, ïðèíàäëåæàùèå ïðåäñòàâëåíèÿìG, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ ïðåäñòàâëåíèÿìè G. Êàê ìû âèäåëè â ðàçäåëå 23.1, â îáùåì ñëó÷àå òîïîëîãè÷åñêè ñòàáèëüíûå ïîäîáíûå ìîíîïîëÿì êîíôèãóðàöèè êëàññèôèöèðóþòñÿ ïî ýëåìåíòàì ãðóïïû π2(G/H). Ñîãëàñíî ïðèâåäåííûì â ïðèëîæåíèè  ê ýòîé ãëàâå ðåçóëüòàòàì, êîãäà H ïîãðóæåíà â G, ýòà ãîìîòîïè÷åñêàÿ ãðóïïà ñîñòîèò èç òåõ ýëåìåíòîâ π1(H), êîòîðûå îòâå÷àþò òðèâèàëüíîìó ýëåìåíòó π1(G). Íî åñëè ìû çàìåíÿåì G åå íàêðûâàþùåé ãðóïïîé G, ìû òàêæå çàìåíÿåì Í äðóãîé ïîäãðóïïîéÍ, ïîñêîëüêó, êîãäà Í ïîãðóæåíî âG, íåêîòîðûå èç ïåòåëü â Í íå âîçâðàùàþòñÿ â áàçîâóþ òî÷êó. Ýòî êàê ðàç òå ïåòëè, êîòîðûå íå ñòàíîâÿòñÿ òðèâèàëüíûìè ïðè ïîãðóæåíèè Í â G, òàê ÷òî π2(G/ H) = π1(H′). Òàêèì îáðàçîì, äî òåõ ïîð, ïîêà ðå÷ü èäåò î ìîíîïîëÿõ, ìû ìîæåì ñ òåì æå óñïåõîì ãîâîðèòü, ÷òî êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïîé ÿâëÿåòñÿ íå G, àG. Íàïðèìåð, ïîêà ðàññìàòðèâàþòñÿ ñêàëÿðíûå ïîëÿ, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïîé ìîäåëè Äæîðäæè–Ãëåøîó ÿâëÿåòñÿ äâóñâÿçíàÿ ãðóïïà SO(3), à íå åå îäíîñâÿçíàÿ íàêðûâàþùàÿ ãðóïïà SU(2). Òîãäà íåíàðóøåííîé ïîäãðóïïîé ÿâëÿåòñÿ SO(2), â êîòîðîé ìû îòîæäåñòâëÿåì ïðåîáðàçîâàíèÿ, îòëè÷àþùèåñÿ âðàùåíèåì íà 360°. Òàêèì îáðàçîì, ãðóïïà π1(SO(2)) âêëþ÷àåò ïåòëè, èäóùèå îò åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà ê âðàùåíèþ íà 360°. Îäíàêî, åñëè

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

23.3. Ìîíîïîëè

597

SO(3) ïîãðóæåíà â SU(2), ïîäîáíûå ïóòè óæå íå áóäóò ïåòëÿìè. Íî ãðóïïà π2(SO(3)/SO(2)) îòëè÷àåòñÿ îò ãðóïïû π1(SO(2)): êîãäà SO(3) ïîãðóæàåòñÿ â SU(2), ýòà ãðóïïà èñêëþ÷àåò ãîìîòîïè÷åñêè íåòðèâèàëüíûå ïåòëè, ò. å. êàê ðàç òå ïåòëè, êîòîðûå èäóò îò åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà ê âðàùåíèþ íà 360°. Òàêèì îáðàçîì, π2(SO(3)/ SO(2)) åñòü U(1) ïîäãðóïïà ãðóïïû SU(2), òàê, êàê áóäòî ñ ñàìîãî íà÷àëà êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïîé òåîðèè áûëà ãðóïïà SU(2). Âñåãäà óäîáíî ñ÷èòàòü, ÷òî êàëèáðîâî÷íàÿ ãðóïïà G, ñâÿçàííàÿ ñ ëþáîé ïîëóïðîñòîé êàëèáðîâî÷íîé àëãåáðîé, ÿâëÿåòñÿ îäíîñâÿçíîé íàêðûâàþùåé ãðóïïîé, òàê ÷òî ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðîñòîé ðåçóëüòàò: π2(G/H) = π1(H). Êàê ìû òîëüêî ÷òî âèäåëè, â ýòîì ñëó÷àå ñâîéñòâà ñâÿçíîñòè Í ôèêñèðóþòñÿ åå ïîãðóæåíèåì â G, èëè, òî÷íåå, ïîãðóæåíèåì àëãåáðû Ëè ãðóïïû Í â àëãåáðó Ëè ãðóïïû G. Íàïðèìåð, êàëèáðîâî÷íàÿ àëãåáðà SU(3) ìîæåò áûòü ñïîíòàííî íàðóøåíà ëèáî â ïîäàëãåáðó SU(2), îòíîñèòåëüíî êîòîðîé ôóíäàìåíòàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå SU(3) ïðåîáðàçóåòñÿ êàê äóáëåò ïëþñ ñèíãëåò, ëèáî â ïîäàëãåáðó SO(3), îòíîñèòåëüíî êîòîðîé ôóíäàìåíòàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå SU(3) ïðåîáðàçóåòñÿ êàê òðè-âåêòîð.  ïåðâîì ñëó÷àå ó íàñ íåò âîçìîæíîñòè ñ÷èòàòü, ÷òî íåíàðóøåííàÿ ïîäãðóïïà åñòü SO(3); òàê êàê π1(SU(2)) = 0, ìîíîïîëåé â äàííîì ñëó÷àå íåò. Âî âòîðîì ñëó÷àå, â êà÷åñòâå íåíàðóøåííîé êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü íå SU(2), à SO(3), òàê ÷òî â òåîðèè åñòü êîíôèãóðàöèè òèïà ìîíîïîëåé, êîòîðûå êëàññèôèöèðóþòñÿ ñîãëàñíî ýëåìåíòàì ãðóïïû π1(SO(3)) = Z2. Íà ïðèðîäó íåíàðóøåííîé ïîäàëãåáðû Í è åå ïîãðóæåíèå â êàëèáðîâî÷íóþ àëãåáðó G ìîãóò îêàçûâàòü äèíàìè÷åñêîå âëèÿíèå ðàçíûå òèïû ïîëåé, êîòîðûå ââîäÿòñÿ â ëàãðàíæèàí, íî êàê òîëüêî àëãåáðà Í è åå ïîãðóæåíèå â àëãåáðó G çàôèêñèðîâàíû, ñïèñîê ìîíîïîëåé îêàçûâàåòñÿ ñîâåðøåííî íå çàâèñÿùèì îò íàáîðà ïîëåé â òåîðèè.  ÷àñòíîñòè, ðàññóæäåíèÿ, êîòîðûå ïðèâåëè ê óñëîâèþ êâàíòîâàíèÿ Äèðàêà, ïîêàçûâàþò, ÷òî â ëþáîé òåîðèè, â êîòîðîé àëãåáðà Ëè ñïîíòàííî íàðóøåíà äî ïîäàëãåáðû, âêëþ÷àþùåé îïåðàòîð ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà, ðàçðåøåííûå ìàãíèòíûå çàðÿäû ÿâëÿþòñÿ öåëûìè êðàòíûìè îáðàòíîé âåëè÷èíû íàèìåíüøåãî ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà, ïîÿâëÿþùåãîñÿ â ïðåäñòàâëåíèÿõ íàêðûâàþùåé ãðóïïû G, íåçàâèñèìî îò òîãî, ñóùåñòâóþò ëè ÷àñòèöû òàêîãî çàðÿäà â òåîðèè íà ñàìîì äåëå. Åñëè àëãåáðà G ñàìà ñîäåðæèò ãåíåðàòîð U(1), òî ìû äîëæíû ðàññìàòðèâàòü íàêðûâàþùóþ ãðóïïó ýòîé U(1), êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ íåêîìïàêòíîé ãðóïïîé òðàíñëÿöèé âäîëü

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

598

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

äåéñòâèòåëüíîé îñè. Åñëè òàêîé U(1) ãåíåðàòîð âîçíèêàåò êàê ñëàãàåìîå â îïåðàòîðå ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà, êàê ýòî èìååò ìåñòî â ñòàíäàðòíîé ýëåêòðîñëàáîé òåîðèè, òî â ïðåäñòàâëåíèÿõ íàêðûâàþùåé ãðóïïû íåò ìèíèìàëüíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà, à ñëåäîâàòåëüíî, íåò è ìîíîïîëåé. 23.4. Èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò Êàðòàíà–Ìàóðåðà Áîëüøóþ ïîìîùü â ïîíèìàíèè òîïîëîãèè ðàçëè÷íûõ êîìïàêòíûõ ìíîãîîáðàçèé îêàçûâàåò òî, ÷òî ÷àñòî ñóùåñòâóåò òîïîëîãè÷åñêè èíâàðèàíòíàÿ âåëè÷èíà, êîòîðóþ ìîæíî çàïèñàòü êàê èíòåãðàë ïî ìíîãîîáðàçèþ. Ýòî îêàæåòñÿ âàæíûìè ïðè îáñóæäåíèè èíñòàíòîíîâ â ñëåäóþùåì ðàçäåëå, êðîìå òîãî, ìû óæå èñïîëüçîâàëè ýòîò ôàêò ïðè èçó÷åíèè ÷ëåíîâ Âåññà–Çóìèíî–Âèòòåíà â ðàçäåëàõ 19.8 è 22.7. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå ïðîèçâîëüíîãî êîìïàêòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ S íå÷åòíîé ðàçìåðíîñòè d ñ êîîðäèíàòàìè θ1, θ2, ..., θd íà ìíîãîîáðàçèå Ì ìàòðèö g(θ1, θ2, ..., θd) ñ Det g ≠ 0. (Äëÿ èíòåðåñóþùèõ íàñ ïðèëîæåíèé îáû÷íî S ÿâëÿåòñÿ ñôåðîé Sd, à g — ýëåìåíòàìè ãðóïïû Ëè G â íåêîòîðîì ïðåäñòàâëåíèè.) Îïðåäåëèì ôóíêöèîíàë g(θ), èçâåñòíûé êàê ôîðìà Êàðòàíà–Ìàóðåðà:

I [g] = dθ1dθ2 K dθ d ε i1i2 Kid

z

RS T

× Tr g −1 (θ)

∂g(θ) ∂θ

i1

g −1 (θ)

∂g(θ) ∂θ

i2

K g −1 (θ)

∂g(θ) ∂θ

id

UV , W

(23.4.1)

ãäå ε i1i2 Kid — ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íàÿ âåëè÷èíà ñ ε12...d = 1. Èç òîãî, ÷òî ε i1i2 K id = −( −1) d ε i2 K id i1 , ñëåäóåò, ÷òî I [g] îáðàùàåòñÿ â íóëü, êîãäà S ÷åòíîìåðíî, ïîýòîìó îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ñëó÷àÿ íå÷åòíîãî d. Ïîëåçíîñòü ôîðìû Ìàóðåðà–Êàðòàíà âûòåêàåò èç ðÿäà åå ïðèìå÷àòåëüíûõ ñâîéñòâ. Âî-ïåðâûõ, ýòîò èíòåãðàë íå çàâèñèò îò êîîðäèíàòíîé ñèñòåìû, èñïîëüçîâàííîé äëÿ ïàðàìåòðèçàöèè ìíîãîîáðàçèÿ S. Ýòî äîâîëüíî î÷åâèäíî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ε i1i2 Kid åñòü êîíòðàâàðèàíòíàÿ òåíçîðíàÿ ïëîòíîñòü, â òîì ñìûñëå, ÷òî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

23.4. Èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò Êàðòàíà–Ìàóðåðà

ε i1i2 Kid

∂θ ′ j1 ∂θ ′ j2 ∂θ

∂θ

i1

i2

∂θ ′ jd K

∂θ

id

FG ∂θ′ IJ ε H ∂θ K

= Det

599

j1j2 Kjd

.

Âî-âòîðûõ, èíòåãðàë (23.4.1) èíâàðèàíòåí òàêæå îòíîñèòåëüíî ìàëûõ äåôîðìàöèé îòîáðàæåíèÿ S ¬ M. èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ñëåäà, âèäèì, ÷òî â ðåçóëüòàòå èíôèíèòåçèìàëüíîãî èçìåíåíèÿ g → g + δg ôóíêöèè g(θ) èçìåíåíèå â êàæäîì ìíîæèòåëå g–1∂g/∂θi â (23.4.1) âíîñèò îäèí è òîò æå âêëàä â èçìåíåíèå I [g]:

δI [g] = d dθ1dθ2 K dθ d ε i1i2 Kid

z

RS T

× Tr g −1 (θ)

∂g(θ) ∂θ i1

g −1 (θ)

∂g(θ) ∂θ i2

FG H

K δ g −1 (θ)

∂g(θ) ∂θ id

IJ UV , KW

Äàëåå, ïîñëåäíèé ìíîæèòåëü â ñëåäå ðàâåí

FG H

δ g −1 (θ)

∂g(θ) ∂θ

id

IJ = −g K

−1

(θ)δg(θ)g −1 (θ)

= g −1 (θ)

∂ ∂θ id

dδg(θ)g

∂g(θ) ∂θ −1

id

+ g −1 (θ)

∂δg(θ) ∂θ id

(θ) g(θ) .

i

Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì ïðîèçâîäíàÿ ∂ ∂θ id ïðè äåéñòâèè íà ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ∂g(θ) ∂θ in íå äàåò âêëàäà, ïîñêîëüêó ε i1i2 Kid àíòèñèììåòðè÷íà. Îñòàþùèåñÿ d – 1 ÷ëåíîâ, â êîòîðûõ @ äåéñòâóåò íà g–1(θ), âñå ðàâíû äðóã äðóãó, íå ñ÷èòàÿ ïåðåìåííîãî çíàêà, ïîýòîìó, ïîñêîëüêó èõ ÷åòíîå ÷èñëî, ñóììà ýòèõ ÷ëåíîâ ðàâíà íóëþ. Íàêîíåö, îáðàòèìñÿ ê ÷àñòíîìó ñëó÷àþ, êîãäà S åñòü ñôåðà Sd. Ïîñêîëüêó I[g] èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî ìàëûõ âàðèàöèé g(θ), ýòîò èíâàðèàíò ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèþ I(ñ) òîëüêî ãîìîòîïè÷åñêîãî êëàññà ñ, êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò g(θ). Èíòåãðàëû I(c) (èëè, ñòðîãî ãîâîðÿ, exp{I(c)}) ðåàëèçóþò ïðåäñòàâëåíèå ãîìîòîïè÷åñêîé ãðóïïû πd(M) â òîì ñìûñëå, ÷òî I c a × c b = I ( c a ) + I (c b ) .

b

g

(Åñëè ga(θ) è gb(θ) — ýëåìåíòû ãîìîòîïè÷åñêèõ êëàññîâ ca è cb ñîîòâåòñòâåííî, òî ãîìîòîïè÷åñêèé êëàññ ca × cb ñîñòîèò èç îòîáðàæåíèé, ãîìîòîïè÷åñêè ýêâèâàëåíòíûõ îòîáðàæåíèþ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

600

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

gab (θ) =

RS g (2θ , θ ,K , θ ) Tg (2θ − 1, θ ,K , θ ) a

b

1

1

d

2

2

d

0 ≤ θ1 ≤ 1, 1 ≤ θ1 ≤ 1.

×àñòè èíòåãðàëà I[gab] ïî ïîëóñôåðàì θ ≤ θ1 ≤ 1/2 è 1/2 ≤ θ1 ≤ 1 ìîæíî âû÷èñëèòü, ïåðåéäÿ ê ïåðåìåííûì θ′1 =2θ1 è θ′1 = 2θ1 – 1 ñîîòâåòñòâåííî, ÷òî äàåò ÷ëåíû I(ca) è I(cb) â âûðàæåíèè (23.4.2).  ÷àñòíîñòè, îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ãîìîòîïè÷åñêèõ êëàññîâ e, c, c × c è ò. ä., à òàêæå c–1, c–1 × c–1 è ò. ä. I ( c n ) = n I ( c) .

(23.4.3)

Åñëè äëÿ íåêîòîðîãî ñ èíòåãðàë I(c) ≠ 0, òî âñå ýòè èíâàðèàòû ðàçëè÷íû, òàê ÷òî ðàçëè÷íû âñå êëàññû ñn, è ïîýòîìó îíè îáðàçóþò ïîäãðóïïó Z ãðóïïû πd(M). Ýòî ïî÷òè îáúÿñíÿåò áîëüøóþ ðàçíèöó ìåæäó ðàçìåðàìè ãîìîòîïè÷åñêèõ ãðóïï â ñëó÷àå íå÷åòíûõ è ÷åòíûõ ðàçìåðíîñòåé, ïîêàçàííóþ â ïðèëîæåíèè  ê ýòîé ãëàâå. Íàïðèìåð, π1(U(1)) = Z, π3(G) = Z äëÿ âñåõ ïðîñòûõ ãðóïï Ëè G, à π5(SU(n)) = Z äëÿ âñåõ n ≥ 3, â òî âðåìÿ êàê äëÿ âñåõ ãðóïï Ëè G π2(G) = 0 è π4(G) êîíå÷íà.  êà÷åñòâå ïðîñòîãî ïðèìåðà, êîãäà I(c) ≠ 0, ðàññìîòðèì ãîìîòîïè÷åñêóþ ãðóïïó π1(U(1)), ñîâïàäàþùóþ ñ ãðóïïîé π1(S1), êîòîðóþ ìû èñïîëüçîâàëè êàê ïðèìåð â íà÷àëå ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà. Âñÿêîå îòîáðàæåíèå S1 ¬ U(1) ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü çíà÷åíèåì ν, ðàâíûì ðàçíîñòè ÷èñåë, ïîêàçûâàþùèõ, ñêîëüêî ðàç ôàçà ýëåìåíòà U(1) îáõîäèò S1 ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, è ñêîëüêî ðàç ýòà ôàçà îáõîäèò S1 â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè, ïîêà êîîðäèíàòà θ îáõîäèò S1, ïðè÷åì äâà îòîáðàæåíèÿ ãîìîòîïè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû, åñëè è òîëüêî åñëè çíà÷åíèÿ ν ó íèõ îäèíàêîâû. ν-é êëàññ ñîäåðæèò îòîáðàæåíèå gν(θ) = exp(2iνπθ), 0 ≤ θ ≤ 1, äëÿ êîòîðîãî 1 d I [g ν ] = dθ exp(−2iνπθ) exp(2iνπθ) = 2iνπ , dθ 0

XY Z

è ýòî ïîäòâåðæäàåò, ÷òî π1(U(1)) = Z. Èìåÿ öåëüþ âû÷èñëåíèå I(g) â ìåíåå ïðîñòûõ ñëó÷àÿõ, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû íåïðåðûâíî äåôîðìèðóåì ìíîæåñòâî Ì â ãðóïïó Ëè Í ðàçìåðíîñòüþ d. Ðåçóëüòàò îñóùåñòâëåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Í ñ ïàðàìåòðàìè θ, çà êîòîðûì ñëåäóåò ïðåîáðàçîâàíèå Í ñ ïàðàìåòðàìè j, åñòü ïðåîáðàçîâàíèå Í ñ ïàðàìåòðàìè θ′(θ, j). Íà ÿçûêå ìàòðè÷íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ g(θ) ýòî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

23.4. Èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò Êàðòàíà–Ìàóðåðà

601

g(ϕ)g(θ) = g(θ ′(θ, ϕ)) . Äèôôåðåíöèðóÿ ïî θ′ ïðè ôèêñèðîâàííîì ϕ è óìíîæàÿ ñëåâà íà îáðàòíîå óðàâíåíèå, ïîëó÷àåì

∂θ i ∂θ

′j

g −1 (θ)

∂g(θ) ∂θ

= g −1 (θ ′)

′j

∂g(θ ′) ∂θ ′ j

.

Ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå â I[g] â òî÷êå θ′ ïðèíèìàåò ïîýòîìó âèä

RS T ∂θ I F = DetG H ∂θ′ JK ε

ε j1j2 Kjd Tr g −1 (θ ′)

∂g(θ ′) ∂θ ′

g −1 (θ ′)

∂g(θ ′)

K g −1 (θ ′)

∂g(θ ′)

UV W

∂θ ′ ∂θ ′ ∂g(θ) −1 ∂g(θ) ∂g(θ) i1i2 Kid K g −1 (θ) i . g (θ) Tr g −1 (θ) i1 i2 ∂θ ∂θ ∂θ d j1

j2

jd

RS T

UV W

Äàëåå, ó âñÿêîé ãðóïïû Í åñòü ìåòðèêà γij(θ) (íå îáÿçàòåëüíî åäèíñòâåííàÿ), êîòîðàÿ ôîðì-èíâàðèàíòíà â òîì ñìûñëå, ÷òî

γ ij (θ ′) ≡

∂θ k ∂θl ∂θ ′ i ∂θ ′ j

γ kl (θ) .

(23.4.4)

Íàïðèìåð, ìîæíî âûáðàòü

γ ij (θ) = −

1 2

RS T

Tr g −1 (θ)

∂g(θ) ∂θ

i

g −1 (θ)

∂g(θ) ∂θ

j

UV . W

(23.4.5)

Ïðè ëþáîì âûáîðå γij(θ), áåðÿ äåòåðìèíàíò âûðàæåíèÿ (23.4.4), ïîëó÷àåì

FG ∂θ IJ = H ∂θ′ K

Det

Det γ (θ ′) Det γ (θ)

.

Çàìåíÿÿ êîîðäèíàòû θ â (23.4.1) íà êîîðäèíàòû θ′, íàõîäèì

RS T

I [g] = ε i1i2 Kid Tr g −1 (θ) ×

1

∂g(θ) ∂θ

XY d θ′ Det γ (θ) Z d

i1

g −1 (θ)

∂g(θ) ∂θ

i2

K g −1 (θ)

∂g(θ) ∂θ

id

UV W

Det γ (θ ′) .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(23.4.6)

602

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

Ïîñêîëüêó ïàðàìåòðû ϕ âòîðîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Í ïðîèçâîëüíû, ìîæíî ðàññàòðèâàòü θ è θ′ êàê íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå è âû÷èñëèòü ïðàâóþ ÷àñòü (23.4.6) ïðè ëþáîì çíà÷åíèè θ, íàïðèìåð, θi = 0. Óäîáíî íîðìèðîâàòü ãåíåðàòîðû ti è êîîðäèíàòû θi òàê, ÷òîáû ïðè θ → 0 g(θ) → 1 + 2 iθ i ti .

(23.4.7)

 ýòîì ñëó÷àå âûðàæåíèå (23.4.6) ïðèíèìàåò âèä

I [g] = (2i) d ε i1i2 Kid Tr{ti1 ti2 K tid }

1

XY d θ′ Det γ (θ) Z d

Det γ (θ ′) . (23.4.8)

Íàñ îñîáî èíòåðåñóåò ñëó÷àé d = 3. Áîòò 22 ïîêàçàë, ÷òî äëÿ ëþáîé ïðîñòîé ãðóïïû Ëè G âñå íåïðåðûâíûå îòîáðàæåíèÿ S3 ¬ G ìîæíî íåïðåðûâíî ïðîäåôîðìèðîâàòü â îòîáðàæåíèÿ S3 íà «ñòàíäàðòíóþ» SU(2) ïîäãðóïïó ãðóïïû G. (Åñëè G ≡ SU(n), ýòîé ñòàíäàðòíîé ïîäãðóïïîé ÿâëÿåòñÿ òà, êîòîðàÿ äåéñòâóåò òîëüêî íà äâå ïåðâûå êîìïîíåíòû ôóíäàìåíòàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ SU(n). Íå âñå SU(2) ïîäãðóïïû SU(n) ýêâèâàëåíòíû ýòîé.) Êàê îòìå÷àëîñü â ðàçäåëå 2.7, â 2 × 2 ïðåäñòàâëåíèè ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò SU(2) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

g(θ) =

FG θ + iθ H −θ + iθ 4

3

2

1

θ2 + iθ1 = θ 4 + 2iθ ⋅ t , θ 4 − iθ3

IJ K

(23.4.9)

ãäå, êàê îáû÷íî,

t1 =

FG H

IJ K

FG H

1 0 1 1 0 , t2 = 1 0 2 2 i

1 1 −i , t3 = 0 2 0

IJ K

FG H

IJ K

0 , −1

à θ4 è θ äåéñòâèòåëüíû, ïðè÷åì (θ4)2 = 1 – θ2. (Çàìåòèì, ÷òî ôîðìóëà (23.4.9) ñîãëàñóåòñÿ ñ óñëîâèåì íîðìèðîâêè (23.4.7). Ïðÿìîå âû÷èñëåíèå ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó âûðàæåíèþ äëÿ ìåòðèêè (23.4.5):

γ ij (θ) = δ ij +

θiθj 1 − θ2

,

òàê ÷òî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(23.4.10)

23.4. Èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò Êàðòàíà–Ìàóðåðà

Det γ (θ) =

1 1 − θ2

603

(23.4.11)

.

Îòñþäà èíòåãðàë (23.4.8) ïðèíèìàåò âèä

X YZ

I [g] − −8iε ijk Tr{ti tj tk }

÷òî

d 3θ 1 − θ2

.

Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû 4titj = dij + 2ieijltl è Tr{tltk} = 1dlk, âèäèì,

8ε ijk Tr{ti tj tk } = 2iε ijk ε ijk = 12i .

Êðîìå òîãî, äëÿ «òîæäåñòâåííîãî» îòîáðàæåíèÿ g1 èíòåãðàë äâàæäû áåðåòñÿ ïî âíóòðåííîñòè åäèíè÷íîãî øàðà (ïîñêîëüêó θ4 ìîæåò áûòü êàê ïîëîæèòåëüíîé, òàê è îòðèöàòåëüíîé), òàê ÷òî

X YZ

d 3θ 1− θ

2

X YZ

1

=2

0

4πr 2dr 1− r

2

= 2π 2 .

Äëÿ êëàññà ñ îòîáðàæåíèé, ãîìîòîïè÷íûõ g1, èìååì ïîýòîìó I (c) = 24 π 2 ,

(23.4.12)

I (c ν ) = 24 π 2 ν .

(23.4.13)

îòêóäà

Öåëîå ÷èñëî ν íàçûâàåòñÿ òîïîëîãè÷åñêèì ÷èñëîì. Ýòîò ðåçóëüòàò ñïðàâåäëèâ â ïðåäñòàâëåíèè, äëÿ êîòîðîãî ñòàíäàðòíàÿ SU(2) ïîäàëãåáðà èìååò ãåíåðàòîðû ti ñî ñòðóêòóðíûìè êîíñòàíòàìè εijk è óñëîâèåì íîðìèðîâêè Tr{titj} = 1dij.  áîëåå îáùåì ñëó÷àå, åñëè [titj] = igeijktk è Tr{titj} = 1Ng2dij, òî I (c ν ) = 24 π 2 Nν .

(23.4.14)

Ðåçóëüòàòû (23.4.13) èëè (23.4.14) ïîêàçûâàþò, ÷òî äëÿ êàæäîé ïðîñòîé ãðóïïû Ëè ãðóïïà π3(G) ñîäåðæèò Z. Êàê óêàçàíî â ïðèëîæåíèè Á ê ýòîé ãëàâå, π3(G) = Z äëÿ âñåõ ïðîñòûõ ãðóïï Ëè. òàêèì

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

604

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

îáðàçîì, ãîìîòîïè÷åñêèé êëàññ g(θ) äëÿ ëþáîé ïðîñòîé ãðóïïû Ëè ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ åå ãîìîòîïè÷åñêèì êëàññîì, ïîëó÷àþùèìñÿ ïðè äåôîðìàöèè ãðóïïû íà åå ñòàíäàðòíóþ SU(2) ïîäãðóïïó. 23.5. Èíñòàíòîíû Êàê ìû âèäåëè â ðàçäåëå 23.1, òîïîëîãè÷åñêè íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ ÷èñòî êàëèáðîâî÷íîé òåîðèè ñ ïðîñòîé êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïîé G â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè d = 4 èçìåðåíèé ñîîòâåòñòâóþò ýëåìåíòàì ãîìîòîïè÷åñêîé ãðóïïû π3(G) = Z. Ýòè ðåøåíèÿ, ïðåäñòàâëÿþùèå ÷åòûðåõìåðíûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè, íàçûâàþòñÿ èíñòàíòîíàìè è (ïî ïðè÷èíàì, êîòîðûå îáñóæäàþòñÿ â ñëåäóþùåì ðàçäåëå) äîëæíû âêëþ÷àòüñÿ âìåñòå ñî ñâîèìè ôëóêòóàöèÿìè â ôóíêöèîíàëüíûå èíòåãðàëû. Ïîñëå òîãî, êàê Áåëàâèí, Ïîëÿêîâ, Øâàðö è Òþïêèí 1 ïðîäåìîíñòðèðîâàëè ñóùåñòâîâàíèå òàêèõ ðåøåíèé, ′ò Õîôò 23 ïîêàçàë, ÷òî âêëþ÷åíèå ýòèõ êîíôèãóðàöèé â ôóíêöèîíàëüíûå èíòåãðàëû ðåøàåò ïðîáëåìó U(1), î êîòîðîé øëà ðå÷ü â ðàçäåëå 19.10. Ìû ñíà÷àëà îáñóäèì ñàìè èíñòàíòîííûå ðåøåíèÿ, à çàòåì ðàññìîòðèì èõ ðîëü ïðè âû÷èñëåíèè ôóíêöèîíàëüíûõ èíòåãðàëîâ. Ñîãëàñíî âûðàæåíèþ (23.1.7), äëÿ òîãî, ÷òîáû òîïîëîãè÷åñêè íåòðèâèàëüíîå êàëèáðîâî÷íîå ïîëå èìåëî êîíå÷íîå äåéñòâèå, ñàìè êàëèáðîâî÷íûå ïîëÿ äîëæíû ïðè r → ∞ ñòðåìèòüñÿ ê ÷èñòîé êàëèáðîâêå (çäåñü r ≡ x i x i , è i ïðîáåãàåò çíà÷åíèÿ 1, 2, 3, 4): iA i (x) → g −1 (x$ )∂ i g(x$ ) ,

(23.5.1)

ãäå Ai ≡ tαAαi è g(x$ ) — çàâèñÿùèé îò íàïðàâëåíèÿ ýëåìåíò êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû G. Ïîýòîìó îáñóæäàâøèéñÿ â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå òîïîëîãè÷åñêèé èíâàðèàíò ìîæåò áûòü çàïèñàí ñ ó÷åòîì àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ êàëèáðîâî÷íîãî ïîëÿ â âèäå I [g] ≡ dθ1dθ2dθ3 ε abc

z

RS T

× Tr g −1 (θ) = − i lim r →∞

∂g(θ) ∂θ

a

g −1 (θ)

∂g(θ) ∂θ

X r Y dθ dθ dθ ε Z 3

1

2

b

3 abc

g −1 (θ)

∂g(θ)

UV W

∂θ ∂x$ i ∂x$ j ∂x$ k c

∂θ a ∂θ b ∂θ c

(23.5.2)

Tr{ Ai Aj Ak },

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

23.5. Èíñòàíòîíû

605

ãäå θa (a = 1, 2, 3) — ëþáûå òðè ïàðàìåòðà, èñïîëüçóåìûå äëÿ çàäàíèÿ íàïðàâëåíèÿ åäèíè÷íîãî 4-âåêòîðà x$ . Ýòîò ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë ìîæíî âû÷èñëèòü ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ãàóññà. Ïî àíàëîãèè ñ òîêîì (22.2.29) â ïðîñòðàíñòâå Ìèíêîâñêîãî, ìîæíî îïðåäåëèòü òîê â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè

LM N

E Gl ≡ ε lijk Aγi Fγjk −

1 3

OP Q

Cαβγ Aαi Aβj Aγk ,

(23.5.3)

äèâåðãåíöèÿ êîòîðîãî ðàâíà ∂ l Gl =

1 2

E ε lijk Fαij Fαkl .

(23.5.4)

E E — ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð ñ ε1234 (Çäåñü ε lijk ≡ 1). Ìû èñïîëüçóåì ïðåäñòàâëåíèå êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû ñ ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íûìè ñòðóêòóðíûìè êîíñòàíòàìè, òàê ÷òî

Tr{tα tβ } = 1Nδ αβ ,

(23.5.5)

ãäå N — êîíñòàíòà, çàâèñÿùàÿ îò ïðåäñòàâëåíèÿ, â êîòîðîì âû÷èñëÿåòñÿ ñëåä â âûðàæåíèè (23.5.2). Ñëåäîâàòåëüíî âûðàæåíèå (23.5.3) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå E Tr Ai Fjk + (2i 3) Ai Aj Ak . Gl ≡ (2 N) ε lijk

(23.5.6)

Ïðè r → ∞ íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ Fkl îáðàùàåòñÿ â íóëü, òàê ÷òî E Gl → (4i 3N)ε lijk Tr Ai Aj Ak . (23.5.7) Îòñþäà èíòåãðàë (23.5.2) ðàâåí

I [g] = −(3N 4) (d 4 x) E ∂l Gl = − (3N 8) ε Eijkl (d 4 x) E Fαij Fαkl . (23.5.8)

z

z

Ïîýòîìó, äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðîäåìîíñòðèðîâàòü ñóùåñòâîâàíèå òîïîëîãè÷åñêè íåòðèâèàëüíûõ ïîëåâûõ êîíôèãóðàöèé, íàì ñëåäóåò ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå êîíôèãóðàöèè, äëÿ êîòîðûõ èíòåãðàë îò ïëîòíîñòè ×åðíà–Ïîíòðÿãèíà ε Eijkl Fαij Fαkl íå ðàâåí íóëþ. Äëÿ ýòîé öåëè î÷åíü óäîáíî èñïîëüçîâàòü òàê íàçûâàåìîå íåðàâåíñòâî Áîãîìîëüíîãî 10. Èç òîãî, ÷òî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

606

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

0≤

m 1ε Eijkl Fαkl

w dF

αij

2

i ( d x) 4

E

(êâàäðèðîâàíèå ïîäðàçóìåâàåò î÷åâèäíûå ñâåðòêè ïî èíäåêñàì), èìååì: 1 | I [g]| S[ A] ≥ ε Eijkl Fαij Fαkl (d 4x)E = , (23.5.9) 8 3N

z

ãäå S[A] åñòü (ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ) åâêëèäîâî äåéñòâèå 1

S[ A] ≡

4

z

Fαij Fαij (d 4 x) E ,

(23.5.10)

Íèæíÿÿ ãðàíèöà (23.5.9), î÷åâèäíî, äîñòèãàåòñÿ, åñëè è òîëüêî åñëè êàëèáðîâî÷íîå ïîëå ñàìîäóàëüíî èëè àíòèñàìîäóàëüíî, ò. å. Fαij = ±

1 2

ε Eijkl Fαkl .

(23.5.11)

Îòñþäà, âñÿêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà (23.5.11) ñîîòâåòñòâóåò ìèíèìóìó S[A] äëÿ êàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé ñ òîïîëîãè÷åñêèì ÷èñëîì åäèíèöà è, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ òàêæå ðåøåíèåì ÿíã–ìèëëñîâñêîãî ïîëåâîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà. Áåëàâèí è äð. 1 íàøëè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (23.5.11) âèäà iAi (x) =

F GH r

r2 2

+R

2

Ig JK

−1 $ $ 1 (x)∂ i g1 (x) ,

(23.5.12)

ãäå R — ïðîèçâîëüíûé ìàñøòàáíûé ôàêòîð, à g1 (x$ ) — ýëåìåíò SU(2) ïîäãðóïïû êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïû, ïðè÷åì

FG x + 2ix ⋅ t IJ , H r K 1 F 0 − iI 1 F1 = G ,t = G J i 0 H K 2 2 H0

g1 (x$ ) = t1 =

FG H

IJ K

1 0 1 , t2 2 1 0

4

3

(23.5.13)

IJ K

0 . −1

(23.5.14)

ßñíî, ÷òî ýòî ðåøåíèå èìååò àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå (23.5.1), ïðè÷åì g(x$ ) ñîâïàäàåò ñ «òîæäåñòâåííûì» îòîáðàæåíèåì

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

23.5. Èíñòàíòîíû

607

(24.5.9), òàê ÷òî äàííîå ðåøåíèå ïðèíàäëåæèò ãîìîòîïè÷åñêîìó êëàññó òîæäåñòâåííîãî îòîáðàæåíèÿ. Êàê ìû âèäåëè â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðåøåíèå èìååò òîïîëîãè÷åñêîå ÷èñëî ν = 1. Èç âûðàæåíèé (23.4.14) è (23.5.9) (êîòîðîå â äàííîì ñëó÷àå ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê ðàâåíñòâî) èìååì S[ A ] = 8 π 2 .

(23.5.15)

Èç âûðàæåíèé (23.5.10) è (23.5.11) (ñ ïîëîæèòåëüíûì çíàêîì) íàõîäèì òàêæå, ÷òî

ε Eijkl Fαij Fαij (d 4 x) E = 64π 2 .

z

(23.5.16)

Ýòî ðåøåíèå íåîäíîçíà÷íî, ïîñêîëüêó åãî ìîæíî ïîäâåðãíóòü òðàíñëÿöèè èëè êàëèáðîâî÷íîìó ïðåîáðàçîâàíèþ, íî, åñëè íå ó÷èòûâàòü ýòè ñòåïåíè ñâîáîäû, íå ñóùåñòâóåò äðóãèõ ðåøåíèé ïîëåâûõ óðàâíåíèé ñ òîïîëîãè÷åñêèì ÷èñëîì åäèíèöà 24. Òàê êàê ìû íàøëè ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè ñ ν = 1, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äîëæíû áûòü è ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè ñ ëþáûì öåëûì ν. Íàïðèìåð, ðåøåíèÿ ñ ν, ðàâíûì öåëîìó ïîëîæèòåëüíîìó ÷èñëó N, ìîæíî ïîñòðîèòü, îáúåäèíÿÿ N ðåøåíèé ñ ν = 1 ñ öåíòðàìè, íàõîäÿùèìèñÿ íàñòîëüêî äàëåêî äðóã îò äðóãà, ÷òî ìîæíî ïðåíåáðå÷ü íåëèíåéíîñòÿìè â ïîëåâûõ óðàâíåíèÿõ. Ðåøåíèå ñ ν = −1 ìîæíî ïîëó÷èòü, çàìåíÿÿ g1 â âûðàæåíèè (23.5.12) íà g1–1, à ðåøåíèÿ ñ îòðèöàòåëüíûì öåëûì çíà÷åíèåì ν = –N ìîæíî ïîñòðîèòü íàëîæåíèåì N òàêèõ ðåøåíèé, ðàçäåëåííûõ áîëüøèìè ðàññòîÿíèÿìè.  ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî òîïîëîãè÷åñêîãî ÷èñëà âûðàæåíèÿ (23.5.15) è (23.5.16) ïðèíèìàþò âèä (23.5.17) S[ A] = 8π 2 | ν| .

ε Eijkl Fαij Fαij (d 4x) E = 64π 2 ν.

z

(23.5.18)

Ýòè ðåçóëüòàòû ïîëó÷åíû äëÿ êàëèáðîâî÷íîãî ïîëÿ, íîðìèðîâàííîãî òàê æå, êàê â âûðàæåíèÿõ (23.5.11)–(23.5.13). Ñ ó÷åòîì ýòîé íîðìèðîâêè, äåéñòâèå I[A] ðàâíî íå –S[A], à âåëè÷èíå

I[ A ] = −

S[ A] g2

=−

8π2 | ν| g2

,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(23.5.19)

608

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

ãäå g — îáû÷íàÿ êîíñòàíòà ñâÿçè. Åñëè áû ìû èñïîëüçîâàëè íàøå îáû÷íîå ñîãëàøåíèå è âêëþ÷èëè ìíîæèòåëü g â ãåíåðàòîðû è ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû, òî äåéñòâèå I[A] ñîâïàäàëî áû ñ –S[A]. Åñëè æå âêëþ÷èòü ìíîæèòåëü 1/g â Aαµ è Fαµν, òî, âìåñòî (23.5.15), ïîëó÷èëîñü áû S[A] = 8π2/g2 , è â ýòîì ñëó÷àå îïÿòü äåéñòâèå ðàâíÿëîñü áû –8π2/g2, íî âìåñòî ôîðìóëû (23.5.18) ìû èìåëè áû

ε Eijkl Fαij Fαij (d 4x) E = 64π 2 ν g2 .

z

(23.5.20)

 ñëåäóþùåì ðàçäåëå ìû óâèäèì, ÷òî ïðè âû÷èñëåíèè ôóíêöèîíàëüíûõ èíòåãðàëîâ íåîáõîäèìî ñóììèðîâàòü âêëàäû îò èíñòàíòîíîâ ñî âñåìè òîïîëîãè÷åñêèìè ÷èñëàìè. Âêëàä êîíôèãóðàöèé ñ òîïîëîãî÷åñêèì ÷èñëîì ν ≠ 0 â åâêëèäîâû ôóíêöèîíàëüíûå èíòåãðàëû ïîäàâëåí ìíîæèòåëåì exp(I[A]) = exp(–8|ν|π2/g2).  ðàçäåëå 23.7 ìû óâèäèì, ÷òî êîýôôèöèåíò ïðè ýòîé ýêñïîíåíòå ÿâëÿåòñÿ öåëîé îòðèöàòåëüíîé ñòåïåíüþ –n êîíñòàíòû g; â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå n = 12. Ôóíêöèÿ g–n exp(–8|ν|π2/g2) è âñå åå ïðîèçâîäíûå ïî g îáðàùàþòñÿ â íóëü ïðè g = 0, òàê ÷òî ýòè âêëàäû ÿâëÿþòñÿ íåïåðòóðáàòèâíûìè, ò. å. íè ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ íå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû â ëþáîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé. Ýòî íå îáÿçàòåëüíî îçíà÷àåò, ÷òî ïîäîáíûå âêëàäû ìàëû. Êàê ìû âèäåëè â ãë. 18, â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå êîíñòàíòà g ÿâëÿåòñÿ íå ôèêñèðîâàííûì áåçðàçìåðíûì ïàðàìåòðîì, à áåãóùåé ôóíêöèåé ýíåðãèè, ñòàíîâÿùåéñÿ áîëüøîé ïðè íèçêèõ ýíåðãèÿõ. Ýôôåêòèâíûé ìàñøòàá ýíåðãèé, èñïîëüçîâàííûé äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîíñòàíòû â ôîðìóëå (23.5.19), îïðåäåëÿåòñÿ êâàíòîâûìè ôëóêòóàöèÿìè, êîòîðûå îáñóæäàþòñÿ â ðàçäåëå 23.7. Îäíàêî ïî ñîîáðàæåíèÿì ðàçìåðíîñòè ýòîò ìàñøòàá íå ìîæåò ñëèøêîì ñèëüíî îòëè÷àòüñÿ îò âåëè÷èíû 1/R, ãäå R — ðàçìåð èíòñòàíòîíà â âûðàæåíèè (23.5.12). Ýòîò ðàçìåð íå ôèêñèðîâàí, è ïî íåìó ñëåäóåò ïðîèíòåãðèðîâàòü ñ íåêîòîðîé âåñîâîé ôóíêöèåé, çàâèñÿùåé îò ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîöåññà.  êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå áåãóùàÿ êîíñòàíòà ñâÿçè gµ îïðåäåëÿåòñÿ ïðè áîëüøèõ µ ôîðìóëîé (18.7.7) â âèäå gµ2 =

8π 2

b g,

β0 ln µ Λ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

23.5. Èíñòàíòîíû

609

ãäå β0 = 11 – 2nf/3 è Λ d 250 Ìý — êâàíòîâî-õðîìîäèíàìè÷åñêèé ìàñøòàáíûé ôàêòîð. Ïîýòîìó äëÿ ìàëûõ èíñòàíòîíîâ ìíîæèòåëü exp − 8π 2 g12 R ðàâåí

e

j

exp − 8π2 g12 R = (RΛ)β0 .

e

j

Äëÿ áîëüøèõ èíñòàíòîíîâ ñ RΛ . 1 ýòîò ìíîæèòåëü âû÷èñëèòü íåëüçÿ, íî ÿñíî, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå íå ïðîèñõîäèò ïîäàâëåíèÿ èíñòàíòîííûõ ýôôåêòîâ. Íåñìîòðÿ íà ïåðâîíà÷àëüíûå íàäåæäû, îòêðûòèå èíñòàíòîíîâ íå ïðèâåëî ê çàìåòíîìó ïðîäâèæåíèþ â íàøåé ñïîñîáíîñòè ïðîèçâîäèòü êîëè÷åñòâåííûå ðàñ÷åòû â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êàê ìû ñåé÷àñ óâèäèì, ýòî îòêðûòèå ïðèâåëî ê ñóùåñòâåííûì êà÷åñòâåííûì èçìåíåíèÿì â ïîíèìàíèè êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè è äðóãèõ êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé. Óæå òîò ôàêò, ÷òî ñóùåñòâóþò ðåøåíèÿ ïîëåâûõ óðàâíåíèé, äëÿ êîòîðûõ èíòåãðàë (23.5.15) íå îáðàùàåòñÿ â íóëü, äîñòàòî÷åí äëÿ òîãî, ÷òîáû ðàçðåøèòü îáñóæäàâøóþñÿ â ðàçäåëå 19.10 ïðîáëåìó U(1). Ïðè ãëîáàëüíûõ U(1) ïðåîáðàçîâàíèÿõ ψ → exp(iγ5α)ψ ìåðà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî êâàðêîâûì ïîëÿì ïîäâåðãàåòñÿ èçìåíåíèþ, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (22.2.10):

z

[dψ ][dψ ] → exp iα A (x) (d 4x)E [dψ ][dψ ] ,

n

s

(23.5.21)

ãäå (ïðè ìàòðèöå t, ðàâíîé åäèíèöå) àíîìàëèÿ A(x) äàåòñÿ âûðàæåíèåì (22.2.45): A ( x) =

1 16π 2

ε Eijkl Fijα Fklβ tr tα tβ .

(23.5.22)

Ñóùåñòâîâàíèå ýòîé àíîìàëèè ñàìî ïî ñåáå íå ðåøàåò ïðîáëåìó U(1), ïîñêîëüêó âåëè÷èíà (23.5.22) ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé ïðîèçâîäíîé è ïîýòîìó â ñëó÷àå íåñèíãóëÿðíîãî êàëèáðîâî÷íîãî ïîëÿ, äîñòàòî÷íî áûñòðî óáûâàþùåãî íà áåñêîíå÷íîñòè, èìååò ðàâíûé íóëþ èíòåãðàë. Èíñòàíòîííîå ðåøåíèå óáûâàåò ëèøü êàê 1/r è ïðèâîäèò ê íåíóëåâîìó çíà÷åíèþ ýòîãî èíòåãðàëà, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëàìè (23.5.22), (23.5.18) è (23.5.5):

z

A (x) (d 4 x) E = 2Nν ,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(23.5.23)

610

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

Ýòèì ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî àíîìàëèÿ äåéñòâèòåëüíî íàðóøàåò U(1) êèðàëüíóþ ñèììåòðèþ. Êàê ìû âèäåëè â ðàçäåëå 22.4, òîêè áàðèîííîãî è ëåïòîííîãî ÷èñåë òàêæå ñîäåðæàò àíîìàëèè, âûçâàííûå âçàèìîäåéñòâèåì êâàðêîâ è ëåïòîíîâ ñ SU(2) × U(1) êàëèáðîâî÷íûìè ïîëÿìè ñòàíäàðòíîé ìîäåëè. Ïîýòîìó èíñòàíòîííûå êîíôèãóðàöèè SU(2) êàëèáðîâî÷íîãî ïîëÿ ïðèâîäÿò ê íàðóøåíèþ ñîõðàíåíèÿ ÷èñëà áàðèîíîâ è ëåïòîíîâ 25. Êàê îòìå÷àëîñü â ðàçäåëå 22.4, ñóùåñòâóåò ðÿä òîêîâ, ñîõðàíåíèå êîòîðûõ íå íàðóøàåòñÿ àíîìàëèÿìè èëè ÷åì-òî åùå, òèïà ðàçíîñòè áàðèîííîãî è ëåïòîííîãî ÷èñåë èëè ðàçíîñòåé ýëåêòðîííûõ, ìþîííûõ è òàó-ëåïòîííûõ ÷èñåë, òàê ÷òî ýòè ðàçíîñòè áóäóò ñîõðàíÿòüñÿ â ëþáîì íàðóøàþùèì ñîõðàíåíèå áàðèîííîãî è ëåïòîííîãî ÷èñëà ïðîöåññå. Íàïðèìåð, ðàñïàä ïðîòîíà èëè äåéòðîíà çàïðåùåí, íî ðàñïàä He3 → e+ + µ+ +ντ ðàçðåøåí. Àìïëèòóäû ýòèõ ýôôåêòîâ ïîäàâëåíû òåì æå ìíîæèòåëåì exp(–8|ν|π2/g2), ÷òî è ðàíüøå, íî òåïåðü g ÿâëÿåòñÿ SU(2) êîíñòàíòîé ñâÿçè e/sin θ, âû÷èñëåííîé íå ïðè ñêîëüçÿùåì ìàñøòàáå, à â åñòåñòâåííîì ìàñøòàáå ýëåêòðîñëàáûõ ïðîöåññîâ ïîðÿäêà mZ. Áåðÿ e2/4π = 1/129 (ñì. ðàçäåë 18.2) è sin2θ = 0,23, íàõîäèì, ÷òî ïîäàâëÿþùèé ìíîæèòåëü ïðè |ν| = 1 ðàâåí exp(–373). Ïîõîæå, ÷òî íàáëþäåíèå ðàñïàäà He3 íà òðè àíòèëåïòîíà ìàëîâåðîÿòíî. *** Ñóùåñòâóåò èíîé ïîäõîä 26, ïðîëèâàþùèé ñâåò íà íåêîòîðûå ñòîðîíû ôèçèêè èíñòàíòîíîâ. Ìîæíî îæèäàòü, ÷òî âî âðåìåííî1é êàëèáðîâêå ñ Aα4(x, x4) = 0 êàëèáðîâî÷íîå ïîëå ïðè x4 → ±∞ ñòðåìèòñÿ ê íåçàâèñÿùèì îò âðåìåíè ÷èñòûì êàëèáðîâêàì

iA(x, x4 ) ≡ itα Aα (x, x4 ) → g±−1 (x)∇g± (x) ,

(23.5.24)

ãäå g±(x) — ãðóïïîâûå ýëåìåíòû â ïðåäñòàâëåíèè, îïðåäåëÿåìîì ãåíåðàòîðàìè ta. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî Aα(x, x4) îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè x → ∞, ãðóïïîâûå ýëåìåíòû g±(x) äîëæíû ñòðåìèòüñÿ ïðè x → ∞ ê ïîñòîÿííûì çíà÷åíèÿì g±, òàê ÷òî ïðè x4 → ∞ òðåõìåðíûå ïðîñòðàíñòâà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê òðè-ñôåðû ñ òî÷êîé íà áåñêîíå÷íîñòè, ðàññìàòðèâàåìîé êàê îáûêíîâåííàÿ òî÷êà. Ñëåäóÿ òåì æå ðàññóæäåíèÿì, ÷òî è ïðè âûâîäå ôîðìóëû (23.4.13), ïîëó÷èì

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

23.6. Óãîë òåòà

z

611

ε ijk d 3x Tr g±−1 (x)∂ i g± (x)g±−1 (x)∂ j g± (x)g±−1 (x)∂ k g± (x) = 24π2 n ± ,

o

t

(23.5.25) ãäå n± — öåëûå ÷èñëà. Èíòåãðàë ïî ãðàíèöå 4-ïðîñòðàíñòâà â (23.5.2) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàçíîñòü èíòåãðàëîâ ïî «ïëîñêîñòÿì» x4 = +∞ è x4 = –∞, òàê ÷òî èç ôîðìóë (23.5.8) è (23.5.18) (ñ N = 1) íàõîäèì: (23.5.26) ν = n+ − n− . Ýêñïîíåíöèàëüíûé ìíîæèòåëü exp(–8|ν|π2/g2) èç (23.5.19) ìîæíî ïîýòîìó ðàññìàòðèâàòü êàê àìïëèòóäó ïåðåõîäà îò êîíôèãóðàöèè ñ ïðîñòðàíñòâåííûì òîïîëîãè÷åñêèì ÷èñëîì n– ïðè x4 → −∞ ê êîíôèãóðàöèè ñ ïðîñòðàíñòâåííûì òîïîëîãè÷åñêèì ÷èñëîì n+ ïðè x4 → +∞. Ýêñïîíåíöèàëüíûé âèä ýòîãî ìíîæèòåëÿ ïðè n ≠ 0 îòðàæàåò òî, ÷òî ýòî — ïðîöåññ òóíåëëèðîâàíèÿ: íèêàêîé íåïðåðûâíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ÷èñòî êàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé íåâîçìîæíî ïåðåéòè îò êîíôèãóðàöèè ñ îäíèì ïðîñòðàíñòâåííûì òîïîëîãè÷åñêèì ÷èñëîì ê êîíôèãóðàöèè ñ äðóãèì òàêèì ÷èñëîì. Èíòåðïðåòàöèÿ ìíîæèòåëÿ exp(–8|ν|π2/g2) êàê àìïëèòóäû òóííåëüíîãî ïåðåõîäà ïîçâîëÿåò ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïðîöåññû ñ íåñîõðàíåíèåì áàðèîííîãî è ëåïòîííîãî ÷èñåë ìîãóò ïðîèñõîäèòü áûñòðåå ïðè òåìïåðàòóðàõ âûøå 1 ÒýÂ, ãäå, âìåñòî òîãî, ÷òîáû òóíåëëèðîâàòü ñêâîçü áàðüåð, òåïëîâûå ôëóêòóàöèè ìîãóò ïåðåâåñòè âàêóóì íàä áàðüåðîì 27. Òàêîé ïðîöåññ ìîæåò èìåòü çíà÷åíèå â êîñìîëîãèè, íî ïðè ýòîì âñå ðàâíî äîëæíû ñîáëþäàòüñÿ óïîìÿíóòûå âûøå ïðàâèëà îòáîðà: òåïëîâûå ôëóêòóàöèè íå ìåíÿþò ðàçíîñòè ïëîòíîñòåé áàðèîííîãî è ëåïòîííîãî ÷èñåë èëè ðàçíîñòåé ïëîòíîñòåé òðåõ òèïîâ ëåïòîííûõ ÷èñåë. 23.6. Óãîë òåòà Ìû âèäåëè, ÷òî ñóùåñòâóþò êîíôèãóðàöèè ñ ïðîèçâîëüíûì öåëûì òîïîëîãè÷åñêèì ÷èñëîì. Îòêóäà ìû çíàåì, ÷òî ýòè êîíôèãóðàöèè äîëæíû âêëþ÷àòüñÿ â ôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë? ×òîáû ðàññóæäàòü íåïðåäâçÿòî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû ñêëàäûâàåì êîíôèãóðàöèè ñ ïðîèçâîëüíûìè âåñîâûìè ìíîæèòåëÿìè f(ν) äëÿ êàæäîãî òîïîëîãè÷åñêîãî ÷èñëà, íå èñêëþ÷àÿ ïðè ýòîì âîçìîæíîñòè,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

612

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

÷òî íåêîòîðûå èëè âñå ýòè âåñîâûå ìíîæèòåëè ìîãóò ðàâíÿòüñÿ íóëþ. Òîãäà ñðåäíåå çíà÷åíèå ëîêàëüíîé íàáëþäàåìîé Î, íàõîäÿùåéñÿ âíóòðè áîëüøîãî åâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîãî îáúåìà Ω, ðàâíî

O



=

∑ ν f ( ν) ν [dϕ ] expbIΩ [ϕ ]g O [ϕ ] , ∑ ν f ( ν) ν [dϕ ] expbIΩ [ϕ ]g

z

(23.6.1)

z

ãäå ϕ îçíà÷àåò âñå ïîëÿ òåîðèè, èíäåêñ ν ïðè çíàêàõ èíòåãðàëà óêàçûâàåò, ÷òî ìû äîëæíû âêëþ÷èòü òîëüêî êîíôèãóðàöèè ñ òîïîëîãè÷åñêèì ÷èñëîì ν, à IΩ[ϕ] — èíòåãðàë îò ëàãðàíæèàíà ïî ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîìó îáúåìó Ω. Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî Ω ðàçäåëåí íà äâà î÷åíü áîëüøèõ îáúåìà Ω1 è Ω2, ïðè÷åì O íàõîäèòñÿ â Ω1. Èíòåãðàë ïî âñåì ïîëÿì ñ òîïîëîãè÷åñêèì ÷èñëîì ν ìîæíî çàïèñàòü êàê èíòåãðàë ïî âñåì ïîëÿì ñ òîïîëîãè÷åñêèì ÷èñëîì ν1 â îáúåìå Ω1 è ñ òîïîëîãè÷åñêèì ÷èñëîì ν2 â îáúåìå Ω2, ïðè÷åì ïðîèçâîäèòñÿ ñóìèìèðîâàíèå ïî ν1 è ν2 ïðè óñëîâèè ν1 + ν2 = ν. Òàêèì îáðàçîì, â õîðîøåì ïðèáëèæåíèè âûðàæåíèå (23.6.1) ïðèíèìàåò âèä

O



=

z

∑ ν1 , ν2 f( ν1 + ν2 ) ν1 [dϕ] expeIΩ1 [ϕ]j O [ϕ]

z

∑ ν1 , ν2 f( ν1 + ν2 ) ν1 [dϕ] expeIΩ1 [ϕ]j

z

z

ν2

ν2

e

j.

[dϕ ] exp IΩ2 [ϕ ]

e

j

[dϕ ] exp IΩ2 [ϕ ]

(23.6.2) Íî òîãäà ïðè ïðîèçâîëüíûõ âåñîâûõ ìíîæèòåëÿõ ýòî ñðåäíåå íå ñîâïàäàåò ñ òåì, êîòîðîå áû ïîëó÷èëîñü, åñëè ïðîñòî îòáðîñèòü îáúåì Ω2, â ïðîòèâîðå÷èè ñ îáùèìè èäåÿìè êëàñòåðíîãî ðàçëîæåíèÿ. (Ñì. ãë. 4.) Äëÿ òîãî, ÷òîáû â ýòîì îòíîøåíèè ñîêðàòèëèñü ìíîæèòåëè, âêëþ÷àþùèå îáúåì Ω2, äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâî

f( ν1 + ν2 ) = f( ν1 ) f( ν2 ) . Òàê áóäåò â ñëó÷àå, åñëè è òîëüêî åñëèè f(ν) èìååò âèä f ( ν) = exp( iθν) ,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(23.6.3)

23.6. Óãîë òåòà

613

ãäå θ — ñâîáîäíûé ïàðàìåòð. Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ìû íå ìîæåì ïðîèçâîëüíî îòáðîñèòü âñå êîíôèãóðàöèè ñ íåíóëåâûì òîïîëîãè÷åñêèì ÷èñëîì, ïîñêîëüêó òîãäà èíñòàíòîí ñ òîïîëîãè÷åñêèì ÷èñëîì n â îäíîé îáëàñòè äîëæåí áûòü ñáàëàíñèðîâàí èíñòàíòîíîì ñ òîïîëîãè÷åñêèì ÷èñëîì –ν â êàêîé-òî äðóãîé îáëàñòè, ÷òî äåëàåò íåâîçìîæíûì âû÷èñëåíèå ñðåäíèõ çíà÷åíèé áåç ó÷åòà òîãî, ÷òî ïðîèñõîäèò âäàëè îò ìåñòîíàõîæäåíèÿ èçìåðÿåìûõ îïåðàòîðîâ. Ìíîæèòåëü f(ν) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â áîëåå çíàêîìîé ôîðìå. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (23.5.18), ïðè òàêîé íîðìèðîâêå êàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé, ÷òî â ñòàíäàðòíîé SU(2) ïîäãðóïïå ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû ðàâíû εijk, òîïîëîãè÷åñêîå ÷èñëî ìîæíî çàïèñàòü êàê èíòåãðàë ν=

1 64 π 2

z

(d 4 x) E ε Eijkl Fαij Fαkl .

(23.6.4)

Ýòî âûðàæåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà â ïðîñòðàíñòâå Ìèíêîâñêîãî. Òàê êàê (d4x)E = id4x, Fα34 = −iFα30, è ε1230 = –1, âûðàæåíèå (23.6.4) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ν=−

1 64π 2

z

d 4 x ε κλρσ Fακλ Fαρσ .

(23.6.5)

Òàêèì îáðàçîì, âêëþ÷åíèå âåñîâîãî ìíîæèòåëÿ (23.6.3) ýêâèâàëåíòíî äîáàâëåíèþ ê ëàãðàíæèàíó ñëàãàåìîãî Lθ = −

θ 64π

2

ε κλρσ Fακλ Fαρσ .

(23.6.6)

Îäíàêî, êàê îòìå÷àëîñü â íà÷àëå ðàçäåëà 15.2, ìû â ëþáîì ñëó÷àå ìîãëè áû âêëþ÷èòü òàêîé ÷ëåí ñ ïðîèçâîëüíûì äåéñòâèòåëüíûì ïàðàìåòðîì θ â ëàãðàíæèàí ëþáîé íåàáåëåâîé êàëèáðîâî÷íîé òåîðèè. Âêëþ÷åíèå ÷ëåíà (23.6.6) â ëàãðàíæèàí íàðóøèëî áû ñîõðàíåíèå Ð è ÑÐ. Êîíå÷íî, ìîæíî áûëî áû ïðîñòî ïîëîæèòü θ = 0, îäíàêî ýòî ñäåëàëî áû íåäåéñòâèòåëüíûì òî, ÷òî â ðàçäåëå 18.7 áûëî îöåíåíî êàê îäèí èç óñïåõîâ êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè: â íåé Ð è ÑÐ àâòîìàòè÷åñêè ñîõðàíÿþòñÿ ñèëüíûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè, õîòÿ, êîíå÷íî, ýòè ñèììåòðèè íàðóøàþòñÿ ñëàáûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

614

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

×òîáû ïîíÿòü ôèçè÷åñêèå ñëåäñòâèÿ âêëþ÷åíèÿ ÷ëåíà (23.6.6) â ëàãðàíæèàí, ðàññìîòðèì âëèÿíèå ïåðåîïðåäåëåíèÿ âñåõ ôåðìèîííûõ ïîëåé ψ f → exp( iγ 5α f )ψ f , (23.6.7) ãäå f — èíäåêñ àðîìàòà, à αf — íàáîð äåéñòâèòåëüíûõ ôàç. Ñîãëàñíî ôîðìóëàì (22.2.10) è (22.2.24), ïðîèçîéäåò èçìåíåíèå ìåðû â ôóíêöèîíàëüíîì èíòåãðàëå ïî ôåðìèîííûì ïîëÿì:

[dψ ][dψ ] → exp

R| − i S|32π T

2

z

U| V| W

d 4x ε µνρσ Fαµν Fαρσ ∑ α f [dψ ][dψ ] . (23.6.8) f

(Ìû èñïîëüçóåì ãåíåðàòîðû, íîðìèðîâàííûå óñëîâèåì Tr(tαtβ) = δαβ/2.) Ñðàâíåíèå ýòîãî âûðàæåíèÿ ñ ôîðìóëîé (23.6.6) ïîêàçûâàåò, ÷òî ýòî ýêâèâàëåíòíî ñäâèãó θ: θ → θ + 2∑ α f . f

(23.6.9)

Ïåðåîïðåäåëåíèå ôåðìèîííûõ ïîëåé èçìåíèò è ìàññîâûå ÷ëåíû â ëàãðàíæèàíå. ×òîáû ó÷åñòü ìàññîâûå ÷ëåíû, âêëþ÷àþùèå γ5, çàïèøåì ôåðìèîííûé ìàññîâûé ÷ëåí â ëàãðàíæàèíå êàê

Lm = −

1 2

∑ Mf ψ f (1 + γ 5 )ψ f



f

1 2

∑ Mf* ψ f (1 − γ 5 )ψ f , f

(23.6.10)

ñ ìàññîâûìè ïàðàìåòðàìè Mf. Åñëè ýòè ïàðàìåòðû áóäóò êîìïëåêñíûìè, áóäåò íàðóøàòüñÿ Ð è ÑÐ ñîõðàíåíèå. Òîãäà ïåðåîïðåäåëåíèå (23.6.7) ñëåäóþùèì îáðàçîì èçìåíÿåò ïàðàìåòðû: Mf → exp(2 iα f ) Mf .

(23.6.11)

Ïðîñòàÿ çàìåíà ïåðåìåííûõ â ôóíêöèîíàëüíîì èíòåãðàëå íå ìîæåò èìåòü êàêîãî ëèáî ôèçè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ, ïîýòîìó íàáëþäàåìûå âåëè÷èíû ìîãóò çàâèñåòü îò θ èëè ôàç ìàññîâûõ ïàðàìåòðîâ mf íå ïî-îòäåëüíîñòè, à ëèøü â êîìáèíàöèè exp( − iθ)∏ Mf . f

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(23.6.12)

23.6. Óãîë òåòà

615

 ÷àñòíîñòè, ìû âñåãäà ìîæåì îïðåäåëèòü ôåðìèîííûå ïîëÿ òàê, ÷òî θ = 0, íî öåíîé âîçìîæíîãî ââåäåíèÿ íàðóøàþùèõ Ð èëè ÑÐ ñîõðàíåíèå ôàç â ìàññîâûå ïàðàìåòðû. Ýòà äèñêóññèÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî åñëè áû õîòü îäíà êâàðêîâàÿ ìàññà ðàâíÿëàñü íóëþ, òî óãîë òåòà íå îêàçûâàë áû íèêàêîãî âëèÿíèÿ, è â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå íå áûëî áû íàðóøåíèÿ Ñ èëè ÑÐ. Àíàëèç îòíîøåíèé ìàññ êâàðêîâ â ðàçäåëå 19.7 ïîêàçûâàåò, ÷òî âñå êâàðêè îáëàäàþò íåíóëåâûìè ìàññàìè, õîòÿ èíîãäà äåëàþòñÿ óòâåðæäåíèÿ, ÷òî âêëþ÷åíèå ñëàãàåìûõ âòîðîãî ïîðÿäêà ïî ms â ýòîò àíàëèç ïîçâîëèëî áû ñ÷èòàòü mu ðàâíûì íóëþ 28. Îäíàêî âíå âñÿêèõ ñîìíåíèé êâàðêè u è d äîâîëüíî ëåãêèå, ÷òî ïðèâîäèò ê íåêîòîðîìó ïîäàâëåíèþ ýôôåêòîâ, ñâÿçàííûõ ñ íåíóëåâûì óãëîì òåòà.  ðàçäåëå 19.4 ìû âèäåëè, ÷òî mu è md — ïðèìåðíî ïîðÿäêà mπ2/mN (çäåñü mN èñïîëüçóåòñÿ êàê òèïè÷íàÿ êâàíòîâî-õðîìîäèíàìè÷åñêàÿ øêàëà ýíåðãèé), òàê ÷òî ìîæíî îæèäàòü ïîäàâëåíèÿ ýôôåêòîâ îò óãëà òåòà ÷åòûðüìÿ ìíîæèòåëÿìè mπ. Íî ýòî íå ñîâñåì òàê. Åñëè Ð è ÑÐ íå ñîõðàíÿþòñÿ, òî ñóùåñòâóåò íåíóëåâàÿ àìïëèòóäà ïåðåõîäà π0 â âàêóóì, ïðîïîðöèîíàëüíàÿ mπ4, íî äèàãðàììû«ãîëîâàñòèêè» ñ ïèîííûìè ëèíèÿìè, îêàí÷èâàþùèìèñÿ â òàêèõ âåðøèíàõ ïåðåõîäà â âàêóóì, óñèëåíû ìíîæèòåëåì mπ–2 îò ïèîííîãî ïðîïàãàòîðà, òàê ÷òî â ðåçóëüòàòå ýôôåêò ïðîïîðöèîíàëåí íå mπ4, à mπ2.  ÷àñòíîñòè, åñëè îïðåäåëèòü ôåðìèîííûå ïîëÿ òàê, ÷òî âñå Mf äåéñòâèòåëüíû, òî çà ñ÷åò íåíóëåâîãî óãëà òåòà âîçíèêíåò íåñîõðàíÿþùèé Ð è Ò ýëåêòðè÷åñêèé äèïîëüíûé ìîìåíò íåéòðîíà dn, ïðîïîðöèîíàëüíûé |θ| è mπ2. Ïî ñîîáðàæåíèÿì ðàçìåðíîñòè ýòîò äèïîëüíûé ìîìåíò áóäåò ïîðÿäêà 3 dn ≈| θ| em2π mN ≈ 10−16 | θ| e ñì.

(23.6.13)

Èçâåñòíî, ÷òî ýëåêòðè÷åñêèé äèïîëüíûé ìîìåíò íåéòðîíà ìåíüøå 10–25å ñì, òàê ÷òî |θ| < 10–9. ×òîáû åñòåñòâåííûì îáðàçîì îáúÿñíèòü òàêóþ ìàëîñòü θ, Ïå÷÷åè è Êâèíí 30 ïðåäëîæèëè òåîðèþ, â êîòîðîé θ íà ñàìîì äåëå ñòàíîâèòñÿ äèíàìè÷åñêîé ïåðåìåííîé, êîòîðàÿ ìîæåò ðåëàêñèðîâàòü ê ìèíèìóìó ýôôåêòèâíîãî ïîòåíöèàëà, â êîòîðîì Ð è ÑÐ ñîõðàíÿþòñÿ. Èõ èäåÿ áûëà ïîäõâà÷åíà Âèëü÷åêîì è ìíîé 31, çàìåòèâøèìè, ÷òî ýòî òðåáóåò ñóùåñòâîâàíèÿ ëåãêîé áåññïèíîâîé ÷àñòèöû — àêñèîíà. Òîò àêñèîí, êîòîðûé ïîÿâèëñÿ â ïåðâîé ìîäåëè Ïå÷÷åè–Êâèííà, áûë èñêëþ÷åí ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

616

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

îäíàêî ñóùåñòâóþò áîëåå îáùèå âîçìîæíîñòè 32, êîãäà àêñèîí íàñòîëüêî ñëàáî âçàèìîäåéñòâóåò ñ îáû÷íîé ìàòåðèåé, ÷òî åãî íåâîçìîæíî íàáëþäàòü. Îáùåå ñâîéñòâî âñåõ âàðèàíòîâ òåîðèè àêñèîíà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñóùåñòâóåò íåêîòîðàÿ U(1) ñèììåòðèÿ, êîòîðàÿ ñïîíòàííî íàðóøàåòñÿ ïðè ýíåðãèÿõ, íàìíîãî ïðåâûøàþùèõ òå, êîòîðûå àññîöèèðóþòñÿ ñ êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêîé, è êðîìå òîãî íàðóøàåòñÿ àíîìàëèåé, âêëþ÷àþùåé ãëþîííûå ïîëÿ. Ñîãëàñíî îáùåìó ôîðìàëèçìó ãë. 19 è 22, íèçêîýíåðãåòè÷åñêàÿ ýôôåêòèâíàÿ òåîðèÿ ïîëÿ áóäåò ñîäåðæàòü ïîëå ãîëäñòîóíîâñêîãî áîçîíà ϕ, òàê ÷òî ïîä äåéñòâèåì ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè ϕ → ϕ + Fϕ ε ,

(23.6.14)

ýôôåêòèâíûé ëàãðàíæèàí ïîäâåðãàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèþ δLýôô = −

εA 64 π 2

ε µνρσ Fαµν Fαρσ ,

(23.6.15)

ãäå À — áåçðàçìåðíàÿ êîíñòàíòà ïîðÿäêà åäèíèöû, õàðàêòåðèçóþùàÿ àíîìàëèþ, à Fϕ — êîíñòàíòà ïîðÿäêà ýíåðãåòè÷åñêîé øêàëû, ïðè êîòîðîé ñèììåòðèÿ ñïîíòàííî íàðóøàåòñÿ (ϕ ñ÷èòàåòñÿ êàíîíè÷åñêè íîðìèðîâàííûì). Òîãäà âêëþ÷àþùèå ϕ ñëàãàåìûå â ýôôåêòèâíîì ëàãðàíæèàíå ðàâíû Lϕ = −

1 2

∂ µ ϕ∂ µ ϕ −

ϕ

1

64π M 2

ε µνρσ Fαµν Fαρσ + . . . ,

(23.6.16)

ãäå M ≡ Fϕ/A è ìíîãîòî÷èå îçíà÷àåò âîçìîæíûå âçàèìîäåéñòâèÿ, âêëþ÷àþùèå ïðîèçâîäíûå ïî ϕ. Ñðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ (23.3.16) è (23.3.6), âèäèì, ÷òî ïðè ïîñòîÿííîì ϕ âñå íàáëþäàåìûå áóäóò ôóíêöèÿìè íå ϕ è θ ïî-îòäåëüíîñòè, íî òîëüêî êîìáèíàöèè θ + ϕ/M. (Ýòî âåðíî, êîãäà ôåðìèîííûå ïîëÿ îïðåäåëåíû òàê, ÷òî âñå ìàññîâûå ïàðàìåòðû Mf äåéñòâèòåëüíû; â ïðîòèâíîì ñëó÷àå íàáëþäàåìûå áóäóò çàâèñåòü îò θ – ∑fArgMf + ϕ/M.) Åñëè âñå âçàèìîäåéñòâèÿ â òåîðèè, êðîìå òåòà-÷ëåíà (23.6.6) è âçàèìîäåéñòâèÿ ϕ â âûðàæåíèè (23.3.16), ñîõðàíÿþò Ð è ÑÐ, òîãäà ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë áóäåò ÷åòåí ïî θ + ϕ/M, òàê ÷òî îí áóäåò èìåòü ñòàöèîíàðíóþ òî÷êó ïðè θ + ϕ/M = 0, íå íàðóøàÿ ñîõðàíåíèÿ Ð è ÑÐ.  ðåàëüíîì

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

23.6. Óãîë òåòà

617

ìèðå ñèììåòðèè Ð è ÑÐ íå òî÷íû, íî åäèíñòâåííûå íàáëþäàåìûå íàðóøåíèÿ ñâÿçàíû ñî ñëàáûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè, êîòîðûå ëèøü íåìíîãî ñäâèãàþò ñðåäíåå çíà÷åíèå ϕ îò çíà÷åíèÿ –Mθ 33. Äàæå íå êîíêðåòèçèðóÿ ëåæàùóþ â îñíîâå òåîðèþ è ïîëüçóÿñü òåõíèêîé ýôôåêòèâíîé òåîðèè ïîëÿ, ìîæíî äîâîëüíî ìíîãî ñêàçàòü îá îáùèõ ñâîéñòâàõ àêñèîíà. Íàèáîëåå îáùèé ëàãðàíæèàí àêñèîííîãî ïîëÿ ϕ, âêëþ÷àþùèé òåïåðü òåòà-÷ëåí è âñå âçàèìîäåéñòâèÿ ñ u- è d-êâàðêàìè äî ïîðÿäêà 1/M, èìååò âèä

Lϕ = − −

1

∂ µ ϕ∂ µ ϕ +

2 ifu M

1 64π

2

LM ϕ + θOPε NM Q

∂ µ ϕ uγ 5 γ µ u −

ifd M

µν ρσ µνρσ Fα Fα

∂µ ϕ d γ 5γ µ d ,

(23.6.17)

ãäå fu è fd — áåçðàçìåðíûå êîíñòàíòû ñâÿçè, êîòîðûå, êàê îæèäàåòñÿ, ïîðÿäêà åäèíèöû. Êàê âèäíî èç âûðàæåíèÿ (23.6.8), ïåðåîïðåäåëåíèå êâàðêîâûõ ïîëåé (23.6.7) ïðèâîäèò ê ñäâèãó âåëè÷èíû ϕ(x)/ M + θ âî âòîðîì ÷ëåíå ëàãðàíæèàíà (23.6.17): ϕ (x) M

+θ→

ϕ ( x) M

+ θ + 2 α u (x) + α d (x) .

(23.6.18)

Âûáèðàÿ αf = –(θ + ϕ/M)cf/2 c ïîñòîÿííûìè êîýôôèóöèåíòàìè cf, óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèþ cu + cd = 1, ìû èñêëþ÷àåì ñëàãàåìîå â ëàãðàíæèàíå, ñîäåðæàùåå ε µνρσ Fαµν Fαρσ , è èçìåíÿåì ìàññîâûé ÷ëåí â íèçêîýíåðãåòè÷åñêîì ëàãðàíæèàíå êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè: Lm = − m u u − ic u (θ + ϕ M ) γ 5 u − m d d − icd (θ + ϕ M ) γ 5 d . (23.6.19)

Êðîìå òîãî, èç êèíåìàòè÷åñêîé ÷àñòè êâàðêîâîãî ëàãðàíæèàíà ìû èçâëåêàåì ÷ëåí ñ âçàèìîäåéñòâèåì ñ ïðîèçâîäíîé: 1 2

ic u ( u γ µ γ 5 ) u ∂ µ ϕ M +

1 2

icd (d γ µ γ 5 )d ∂ µ ϕ M ,

(23.6.20)

òàê ÷òî fu è fd â âûðàæåíèè (23.6.17) çàìåíÿþòñÿ íà f′u = fu – cu/2 è f′d = fd – cd/2. ×òîáû âûâåñòè âèä ýôôåêòèâíîãî ëàãðàíæèàíà äëÿ ïèîíîâ è àêñèîíîâ ïðè íèçêèõ ýíåðãèÿõ, ïîñëåäóåì ïðîöåäóðå ðàç-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

618

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

äåëà 19.5 (çàìåíèâ ïðîòîíû è íåéòðîíû êâàðêàìè u è d), ñäåëàâ çàìåíû:

uu → v cos π 0 Fπ ,

d

dd → v cos π 0 Fπ ,

i

d

uγ 5 u → iv sin π 0 Fπ ,

d

iuγ µ γ 5 →

1 2

i

d γ 5 d → − iv sin π 0 Fπ ,

i

d

Fπ ∂ µ π 0 + . . . ,

id γ µ γ 5 →

1 2

i

Fπ ∂ µ π 0 + . . . ,

(23.6.21)

ãäå êîíñòàíòà v = 〈 uu 〉 = 〈dd 〉 , à ìíîãîòî÷èå îçíà÷àåò ÷ëåíû, íå ñîäåðæàùèå îäíîïèîííîãî ïîëþñà. Èç ôîðìóë (23.6.19) è (23.6.20) íàõîäèì ýôôåêòèâíûé ïèîí-àêñèîííûé ëàãðàíæèàí:

FG f ′ − f ′ IJ F ∂ ϕ′∂ π H 2M K 2 2 F π − c ϕ′ I − m v cosF π + c ϕ′ I , (23.6.22) − m v cosG GH F M JK H F M JK

Lýôô = −

1

∂ µ π0∂ µ π0 − 0

u

1

∂ µ ϕ ′∂ µ ϕ ′ −

u

d

0

u

d

π

π µ

µ 0

d

π

ãäå ϕ′ — ðàçíîñòü ìåæäó àêñèîííûì ïîëåì è åãî ñðåäíèì çíà÷åíèåì:

ϕ ′ ≡ ϕ − 〈ϕ 〉 = ϕ + Mθ .

(23.6.23)

Ïîñêîëüêó cu è cd ïðîèçâîëüíû, íå ñ÷èòàÿ òîãî, ÷òî cu + cd = 1, ìû ìîæåì óñòðàíèòü ïåðåêðåñòíûé ÷ëåí ∂µϕ∂µπ0, âûáðàâ cu = 1 + fu – fd è cd = 1 + fd – fu, òàê ÷òî f′u = f′d. Êâàäðàòè÷íàÿ ÷àñòü ëàãðàíæèàíà (23.6.22) èìååò âèä

Lquad = −

1 2

∂ µ π0∂ µ π0 −

1 2

∂ µ ϕ ′∂ µ ϕ ′ −

FG IJ FG IJ H K H K

1 π0 π0 , (23.6.24) M02 ϕ′ 2 ϕ′

ãäå M02 =

FG (m H (− m c

u

u u

+ md )v Fπ2 + m d cd )v Fπ M

IJ K

( − m u c u + m d cd )v Fπ M . (23.6.25) (m u c 2u + m d cd2 )v M 2

Ïðè M . Fπ îäíî ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå M02 ðàâíî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

23.6. Óãîë òåòà

619

(mu + md )v / Fπ2 , ÷òî ñîâïàäàåò ñ êâàäðàòîì ìàññû π0, â ñîãëàñèè ñ ôîðìóëîé (19.7.20). Òîãäà äðóãîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ÿâëÿåòñÿ ìàññîé àêñèîíà

ma2 =

v

md m u

M md + m u 2

=

Fπ2

md m u

M (m d + m u )2 2

m2π .

(23.6.26)

Ñ ó÷åòîì âûâåäåííûõ â ðàçäåëå 19.7 çíà÷åíèé îòíîøåíèÿ ìàññ êâàðêîâ, íàõîäèì îòñþäà ma = 13 ÌýÂ/Ì(ÃýÂ). Ýòîò æå ôîðìàëèçì ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ òîãî, ÷òîáû ÷òîòî ñêàçàòü îòíîñèòåëüíî âçàèìîäåéñòâèé àêñèîíîâ ñ àäðîíàìè. Ñîáñòâåííûé âåêòîð M02 c ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì ma2 èìååò êîìïîíåíòó âäîëü èñõîäíîãî íàïðàâëåíèÿ π0, ðàâíóþ

(m u c u − md cd )Fπ / (md + m u )M . Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, èç-çà îäíîïèîííîãî ïîëþñà ýòî àêñèîíàäðîííîå âçàèìîäåéñòâèå ÿâëÿåòñÿ äîìèíèðóþùèì. Ìû âèäèì, ÷òî îòíîøåíèå àìïëèòóä îáðàçîâàíèÿ àêñèîíîâ è ïèîíîâ òèïè÷íî ïîðÿäêà Fπ/M. Òîò ôàêò, ÷òî â òàêèõ ñîóäàðåíèÿõ àêñèîíû íå íàáëþäàþòñÿ, óêàçûâàåò, ÷òî M > 3 ÒýÂ, â ïðîòèâîðå÷èè ñ èñõîäíûì îæèäàíèåì 30,31, ÷òî àíîìàëüíàÿ U(1) ñèììåòðèÿ ñïîíòàííî íàðóøàåòñÿ òåìè æå ñêàëÿðíûìè âàêóóìíûìè ñðåäíèìè ïîðÿäêà 0,3 ÒýÂ, êîòîðûå íàðóøàþò ýëåêòðîñëàáóþ SU(2) × U(1) ñèììåòðèþ. Îòñóòñòâèå àêñèîíîâ â ðåàêòîðíûõ èëè óñêîðèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòàõ ìîæíî îáúÿñíèòü, âûáðàâ Ì â êà÷åñòâå íåçàâèñèìîãî ïàðàìåòðà 32, ìíîãî áîëüøåãî ìàñøòàáà íàðóøåíèÿ ýëåêòðîñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, íî åñòü åùå è àñòðîôèçè÷åñêèå îãðàíè÷åíèÿ. Ïðåäåëû íà ñêîðîñòü îñòûâàíèÿ êðàñíûõ ãèãàíòîâ äàþò îãðàíè÷åíèå 34 M > 107 ÃýÂ, à íàáëþäåíèå çà ñâåðõíîâîé SN1987A ïîêàçûâàåò 35, ÷òî M > 1010 Ãý *. Êîñìîëîãè÷åñêèå ñîîáðàæåíèÿ óñòàíàâëèâàþò 36 âåðõíèé ïðåäåë M < 1012 * Ïðè M > 107 Ãý ìàññà àêñèîíà äîëæíà áûòü ìåíüøå 1 ýÂ, òàê ÷òî çâåçäû äîñòàòî÷íî ãîðÿ÷è, ÷òîáû ðîæäàòü àêñèîíû. Îòíîøåíèå âåðîÿòíîñòåé ðàñïàäà àêñèîíà è π0 íà äâà ôîòîíà äîëæíî áûòü ïîðÿäêà ïðîèçâåäåíèÿ (Fπ/M)2 è îòíîøåíèÿ ôàçîâûõ îáúåìîâ (ma/mπ)3, èëè

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

620

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

ÃýÂ, îñòàâëÿÿ îòêðûòîå, íî óçêîå, îêíî äëÿ ðàçðåøåííûõ ïàðàìåòðîâ àêñèîíà. 23.7. Êâàíòîâûå ôëóêòóàöèè â îêðåñòíîñòè ïðîòÿæåííûõ ïîëåâûõ êîíôèãóðàöèé Òîïîëîãè÷åñêè íåòðèâèàëüíûå ÷åòûðåõìåðíûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè òèïà èíñòàíòîíîâ âíîñÿò ëèøü âêëàäû íóëåâîãî ïîðÿäêà â ôóíêöèîíàëüíûå èíòåãðàëû. Òåïåðü ñëåäóåò ðàññìîòðåòü âëèÿíèå êâàíòîâûõ ôëóêòóàöèé â îêðåñòíîñòè ýòèõ êîíôèãóðàöèé. Íà÷íåì ñ ñàìîãî îáùåãî ñëó÷àÿ è ðàññìîòðèì íàáîð ïîëåé, íàçûâàåìûõ â ñîâîêóïíîñòè ϕ(x), äèíàìèêà êîòîðûõ îïèñûâàåòñÿ åâêëèäîâûì äåéñòâèåì I[ϕ]. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû èìååì ìíîæåñòâî êîíôèãóðàöèé ϕν,u, ïðè êîòîðûõ I[ϕ] ñòàöèîíàðíî, ãäå ν îòìå÷àåò òîïîëîãè÷åñêèé òèï êîíôèãóðàöèè, à u ïðåäñòàâëÿåò íàáîð íåïðåðûâíûõ êîëëåêòèâíûõ ïàðàìåòðîâ, îò êîòîðûõ êîíôèãóðàöèÿ çàâèñèò. Íàïðèìåð, äëÿ èíñòàíòîíîâ ν — öåëîå òîïîëîãè÷åñêîå ÷èñëî, à u âêëþ÷àåò ïîëîæåíèå è ìàñøòàá, à òàêæå «íàïðàâëåíèå» èíñòàíòîíà â êàëèáðîâî÷íîé ãðóïïå. Åâêëèäîâû ôóíêöèîíàëüíûå èíòåãðàëû ìîæíî òîãäà çàïèñàòü â âèäå

z

b g

[dϕ ] exp I[ϕ ] O =

∑ ν

z z

du u [dϕ ′] exp I[ϕ ν, u + ϕ ′] O ,

d

i

(23.7.1)

ãäå èíäåêñ ïðè çíàêå èíòåãðàëà ïî ôëóêòóàöèÿì ϕ′ óêàçûâàåò, ÷òî ìû äîëæíû èíòåãðèðîâàòü òîëüêî ïî ôëóêòóàöèÿì, êîòîðûå íå âëåêóò çà ñîáîé èçìåíåíèé â êîëëåêòèâíûõ ïàðàìåòðàõ, à Î — ëþáîå ïðîèçâåäåíèå ëîêàëüíûõ ôóíêöèé ïîëåâûõ îïåðàòîðîâ. Òàê êàê äåéñòâèå I[ϕ] ñòàöèîíàðíî ïðè ϕ = ϕν,u, åãî ðàçëîæåíèå äî âòîðîãî ïîðÿäêà ïî ôëóêòóàöèÿì ïðèíèìàåò âèä Γ (a → γ + γ ) Γ(π 0 → γ + γ )

3

F F I FG m IJ ≈ F F I . H MK Hm K H MK 2

=

π

a

5

π

π

Îòñþäà ïðè M > 107 Ãý âðåìÿ æèçíè àêñèîíà äîëæíî áûòü áîëüøå 1024 c. Ýòîãî âðåìåíè âïîëíå äîñòàòî÷íî, ÷òîáû àêñèîí ïåðåä ðàñïàäîì ïðîëåòåë äàæå êîñìîëîãè÷åñêèå ðàññòîÿíèÿ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

23.7. Êâàíòîâûå ôëóêòóàöèè...

621

I[ϕ ν, u + ϕ ′ ] g I ν − 1 d 4 xd 4 yK xl, ym ( ν, u)ϕ l′ (x)ϕ ′m ( y) ,

z

(23.7.2)

ãäå l è m âêëþ÷àþò èíäåêñû ñïèíà è ñîðòà, à Iν ≡ I[ϕν,u] — ôóíêöèÿ òîëüêî ν, ïîñêîëüêó ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äåéñòâèå ñòàöèîíàðíî ïðè âñåõ ïîëåâûõ êîíôèãóðàöèÿõ ϕν,u. Òîãäà èíòåãðàë ïî ôëóêòóàöèÿì ϕ′ â ôîðìóëå (23.7.1) äàñò ñóììó ÷ëåíîâ îò ñâåðòîê ïîëåé â Î, óìíîæåííóþ (äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ áîçîííûõ ïîëåé) íà îáùèé ìíîæèòåëü [DetK(ν,u)]–1/2, ïðè÷åì ñëåäóåò ïîíèìàòü ýòî òàê, ÷òî K äåéñòâóåò òîëüêî â ïîäïðîñòðàíñòâå òåõ ôëóêòóàöèé, êîòîðûå íå âëåêóò çà ñîáîé èçìåíåíèé â êîëëåêòèâíûõ ïàðàìòåðàõ ν. Ýòîò ìíîæèòåëü ìîæíî çàïèñàòü êàê ïðîèçâåäåíèå ïî ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì λn(ν,u) «ìàòðèöû» K(ν,u):

bDet K(ν, u)g

−1 2

=

'

∏ λ−n1 2 ( ν, u) ,

(23.7.3)

n

ãäå øòðèõ óêàçûâàåò íà òî, ÷òî èñêëþ÷åíû «íóëåâûå ìîäû», ò. å. íóëåâûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ K, äëÿ êîòîðûõ ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ñîîòâåòñòâóþò èçìåíåíèÿì â êîëëåêòèâíûõ ïàðàìåòðàõ. Ýòè çàìå÷àíèÿ ïîçâîëÿþò óòî÷íèòü ðåçóëüòàòû ðàçäåëà 23.5 äëÿ çàâèñèìîñòè âêëàäà èíñòàíòîíîâ ñ ðàçíûìè òîïîëîãè÷åñêèìè ÷èñëàìè îò êîíñòàíòû ñâÿçè. Ïóñòü ïîëÿ â íàøåé òåîðèè îïðåäåëåíû òàê, ÷òî äåéñòâèå ïðèíèìàåò âèä I[ϕ,g] = g–2I1[ϕ], ãäå I1[ϕ] íå çàâèñèò îò êîíñòàíò ñâÿçè. (Íàïðèìåð, êàê îáñóæäàëîñü â êîíöå ðàçäåëà 15.2, â ÿíã–ìèëëñîâñêèõ òåîðèÿõ â êà÷åñòâå êàëèáðîâî÷íûãî ïîëÿ èñïîëüçóåòñÿ êàíîíè÷åñêè íîðìèðîâàííîå êàëèáðîâî÷íîå ïîëå, óìíîæåííîå íà g.) Òîãäà âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ K ïðîïîðöèîíàëüíû g–2, è ìíîæèòåëü (23.7.3) ïðîïîðöèîíàëåí g â ñòåïåíè, ðàâíîé ÷èñëó íåíóëåâûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé K. Ýòà ñòåïåíü, åñòåñòâåííî, áåñêîíå÷íà, íî åå ìîæíî çàïèñàòü êàê ÷èñëî âñåõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé K, ÷èñëî êîòîðûõ òàêæå áåñêîíå÷íî, íî íå çàâèñèò îò ν, ìèíóñ ÷èñëî N (ν) íóëåâûõ ìîä, ðàâíîå êîíå÷íîìó çàâèñÿùåìó îò ν ÷èñëó êîëëåêòèâíûõ ïàðàìåòðîâ. Ìû çàêëþ÷àåì, ÷òî ïîìèìî ìíîæèòåëåé, íå çàâèñÿùèõ îò ν, âêëàä ôëóêòóàöèé â îêðåñòíîñòè êîíôèãóðàöèé òîïîëîãè÷åñêîãî òèïà ν ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàâèñÿùèé îò êîíñòàíòû ñâÿçè ìíîæèòåëü, êîòîðûé ìîæåò áûòü âûðàæåí ÷åðåç ÷èñëî N (ν) êîëëåêòèâíûõ ïàðàìåòðîâ â âèäå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

622

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

g − N ( ν) .

(23.7.4)

Îöåíêà îñíîâàíà íà ïðèáëèæåíèè (23.7.2), ñîîòâåòñòâóþùåì îäíîïåòëåâîìó ïðèáëèæåíèþ, òàê ÷òî ïðè ó÷åòå ÷ëåíîâ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ìíîæèòåëü (23.7.4) áóäåò óìíîæàòüñÿ íà ñòåïåííîé ðÿä ïî g, äåòàëè êîòîðîãî çàâèñÿò îò îïåðàòîðîâ O, âõîäÿùèõ â ôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë. Ïîñìîòðèì, êàê ýòî ìîæíî ïðèìåíèòü ê èíñòàíòîíàì. Êîíå÷íî, êîíôèãóðàöèÿ ñ ν = 0 íå ñîäåðæèò êîëëåêòèâíûõ ïàðàìåòðîâ, òàê ÷òî åå âêëàä â ôóíêöèîíàëüíûå èíòåãðàëû åñòü ïðîñòî ñòåïåííîé ðÿä ïî g. Êîíôèãóðàöèÿ ñ ν = 1 èìååò ÷åòûðå êîëëåêòèâíûõ ïàðàìåòðà, îïðåäåëÿþùèõ ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîå ïîëîæåíèå èíñòàíòîíà, îäèí ïàðàìåòð, çàäàþùèé ìàñøòàá èíñòàíòîíà è ÷èñëî N1 êîëëåêòèâíûõ ïàðàìåòðîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ âðàùåíèÿì è/èëè ãëîáàëüíûì êàëèáðîâî÷íûì ïðåîáðàçîâàíèÿì, êîòîðûå íå îñòàâëÿþò èíñòàíòîí èíâàðèàíòíûì. Ïîýòîìó (âêëþ÷àÿ òåïåðü ìíîæèòåëü exp(Iν), îïðåäåëÿåìûé ôîðìóëîé (23.5.19)) çàâèñèìîñòü èíñòàíòîíîâ ñ ν = 1 îò êîíñòàíòû ñâÿçè èìååò âèä g −5 − N1 exp( − 8π 2 g2 ) . Äëÿ ν = 1 èíñòàíòîíà (23.5.12) â SU(2) òåîðèè ßíãà–Ìèëëñà èìåþòñÿ òðèíåçàâèñèìûõ âðàùåíèÿ è òðè íåçàâèñèìûõ SU(2) ïðåîáðàçîâàíèÿ, íî ïîñêîëüêó èíñòàíòîí èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî òðåõ êîìáèíèðîâàííûõ âðàùåíèé è SU(2) ïðåîáðàçîâàíèé, N1 = 3 è ôëóêòóàöèè â îêðåñòíîñòè ν = 1 èíñòàíòîíà ïðèâîäèò ê çàâèñèìîñòè îò êîíñòàíòû ñâÿçè âèäà g–8exp(–8π2/g2).  SU(3) òåîðèè ßíãà–Ìèëëñà èìåþòñÿ òðè íåçàâèñèìûõ âðàùåíèÿ è âîñåìü íåçàâèñèìûõ SU(3) ïðåîáðàçîâàíèé, íî ñíîâà èíñòàíòîí èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî òðåõ íåçàâèñèìûõ êîìáèíèðîâàííûõ âðàùåíèé è SU(3) ïðåîáðàçîâàíèé â ñòàíäàðòíîé SU(2) ïîäãðóïïå (íàïðèìåð, äåéñòâóþùèõ íà ïåðâûå äâå êîìïîíåíòû ôóíäàìåíòàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ SU(3)), è êðîìå òîãî èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî îäíîãî äîïîëíèòåëüíîãî SU(3) ïðåîáðàçîâàíèÿ, êîòîðîå (êàê ãèïåðçàðÿä) êîììóòèðóåò ñî âñåìè ãåíåðàòîðàìè ñòàíäàðòíîé SU(2) ïîäãðóïïû. Îòñþäà N1 = 3+8–3–1 = 7, òàê ÷òî ν = 1 èíñòàíòîí ïðèâîäèò ê ìíîæèòåëþ, ïðîïîðöèîíàëüíîìó g–12exp(–8π2/g2). Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî äåéñòâèå ñîäåðæèò òàêæå ñëàãàåìîå

− d 4x d 4 y ψ l (x) Klx,my ( ν, u)ψ m ( y) ,

z z

âêëþ÷àþùåå íåçàâèñèìûå ïîëÿ ψ èψ. Åñëè íè îäíî èç ýòèõ ïîëåé íå ñîäåðæèòñÿ â O, òî èíòåãðàë ïî íèì äàåò ìíîæèòåëü Det K(ν,u),

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

23.8. Ðàñïàä âàêóóìà

623

èñ÷åçàþùèé, åñëè ó K(ν,u) èìåþòñÿ êàêèå-òî íóëåâûå ìîäû. Ýòîò ðåçóëüòàò ëåãêî ïîíÿòü, åñëè âñïîìíèòü ïðàâèëà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ôåðìèîííûì ïàðàìåòðàì. Ðàçëàãàÿ ψ(x) èψ(x) ïî ñîáñòâåííûì ìîäàì K, ìîæíî çàïèñàòü èíòåãðàë ïî ψ(x) èψ(x) êàê èíòåãðàë ïî êîýôôèöèåíòàì â ýòèõ ðàçëîæåíèÿõ. Êîýôôèöèåíòû íóëåâûõ ìîä íå âõîäÿò â êâàäðàòè÷íîå ïðèáëèæåíèå â äåéñòâèè, òàê ÷òî äëÿ êàæäîé òàêîé ôåðìèîííîé íóëåâîé ìîäû ïîëó÷àåòñÿ èíòåãðàë ïî ôåðìèîííîìó ïàðàìåòðó, êîòîðûé íå âõîäèò â ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå, òàê ÷òî ñîãëàñíî îáùèì ïðàâèëàì ðàçäåëà 9.5 ýòîò èíòåãðàë ðàâåí íóëþ. Åäèíñòâåííûìè íåèñ÷åçàþùèìè ÷ëåíàìè â èíòåãðàëå ïî ôåðìèîííûì ïàðàìåòðàì áóäóò òå, äëÿ êîòîðûõ ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ñîäåðæèò ïî îäíîìó ìíîæèòåëþ êàæäîé ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ. Îòñþäà èíòåãðàë ïî ôåðìèîííûì ïîëÿì â âûðàæåíèè (23.7.1) íå îáðàòèòñÿ â íóëü òîëüêî â ñëó÷àå, åñëè â Î èìååòñÿ åäèíñòâåííîå ôåðìèîííîå ïîëå äëÿ êàæäîé íóëåâîé ìîäû â K. Äëÿ èíñòàíòîíîâ ñóùåñòâóþò ôåðìèîííûå íóëåâûå ìîäû, ÷èñëà è êèðàëüíîñòè êîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿ òåîðåìàìè îá èíäåêñàõ, òèïà äîêàçàííîé â ðàçäåëå 22.2 òåîðåìû îá èíäåêñå Àòüè–Çèíãåðà, òàê ÷òî äëÿ çàäàííîãî òîïîëîãè÷åñêîãî ÷èñëà ðàçðåøåíû òîëüêî îïðåäåëåííûå ïðîöåññû. Íà ýòîé îñíîâå ′ò Õîôò 25 ïîêàçàë, ÷òî ïîðîæäàåìîå èíñòàíòîíàìè ñ ν = 1 íå ñîõðàíÿþùåå áàðèîííîå è ëåïòîííîå ÷èñëà ýôôåêòèâíîå âçàèìîäåéñòâèå â ýëåêòðîñëàáîé ñòàíäàðòíîé ìîäåëè äîëæíî âêëþ÷àòü ðîâíî ïî îäíîìó êàæäîìó ëåïòîííîìó àðîìàòó. 23.8. Ðàñïàä âàêóóìà Âàêóóìíîå ñîñòîÿíèå ñòàáèëüíî, åñëè ñðåäíèå çíà÷åíèÿ åãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ñîîòâåòñòâóþò èñòèííîìó ìèíèìóìó ýôôåêòèâíîãî ïîòåíöèàëà. Îäíàêî åñëè ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ íàõîäÿòñÿ â ëîêàëüíîì ìèíèìóìå, êîòîðûå âûøå èñòèííîãî, òîãäà òàêîé âàêóóì ìåòàñòàáèëåí. «Ôàëüøèâîå» ìåòàñòàáèëüíîå âàêóóìíîå ñîñòîÿíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ëîêàëüíîìó ìèíèìóìó, áóäåò ðàñïàäàòüñÿ â ñòàáèëüíûé «èñòèííûé» âàêóóì, ñîîòâåòñòâóþùèé èñòèííîìó ìèíèìóìó, çà ñ÷åò ïðîöåññà ïîäáàðüåðíîãî ïåðåõîäà, àíàëîãè÷íîãî ÿäåðíîìó àëüôà-ðàñïàäó èëè ñïîíòàííîìó äåëåíèþ. Êîíå÷íî, ðå÷ü íå èäåò î ïðîöåññå, êîòîðûé ìîæíî íàáëþäàòü â ëàáîðàòîðèè, íî ïðåäïîëîæèòåëüíî îí ïðîèñõîäèë íåñêîëüêî ðàç

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

624

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

â èñòîðèè Âñåëåííîé, êîãäà ñïîíòàííî íàðóøàëèñü ðàçëè÷íûå ñèììåòðèè, òàê ÷òî âàæíî óìåòü âû÷èñëÿòü âåðîÿòíîñòü òàêîãî ðàñïàäà ôàëüøèâîãî âàêóóìà. Êàê ìû ñåé÷àñ óâèäèì, ýòî âû÷èñëåíèå âêëþ÷àåò ðàññìîòðåíèå åùå îäíîé ïðîòÿæåííîé ïîëåâîé êîíôèãóðàöèè 6. Ñîñðåäîòî÷èìñÿ íà êîìïîíåíòå ϕ ìóëüòèïëåòà ñêàëÿðíûõ ïîëåé, ïðèîáðåòàþùåé ñðåäíåå çíà÷åíèå 〈ϕ〉 â èñòèííîì âàêóóìå. Íàïðèìåð, â òåîðèè íàðóøåííîé êèðàëüíîé ñèììåòðèè, îáñóæäàâøåéñÿ â ðàçäåëå 19.5, ïîëå ϕ ÿâëÿëîñü ÷åòâåðòîé êîìïîíåíòîé êèðàëüíîãî 4-âåêòîðà. Êàê îêàæåòñÿ, êîãäà ïðîíèöàåìîñòü áàðüåðà ñèëüíî ïîäàâëåíà, äðóãèå ñêàëÿðíûå ïîëÿ (âêëþ÷àÿ ïîëÿ ëþáûõ ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ) íå âëèÿþò íà ãëàâíûé ïîäàâëÿþùèé ôàêòîð â âåðîÿòíîñòè ðàñïàäà. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè, âûáåðåì ëàãðàíæèàí â âèäå L =−

1 2

∂ µ ϕ∂ µ ϕ − V(ϕ) .

(23.8.1)

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë â íèçøåì ïîðÿäêå èìååò èñòèííûé ìèíèìóì ïðè ϕ = 〈ϕ〉 è ëîêàëüíûé ìèíèìóì ïðè ϕ = 0, è ìû ïîäîáðàëè àääèòèâíóþ ïîñòîÿííóþ â ëàãðàíæèàíå òàê, ÷òî V(0) = 0, îòêóäà â äàííîì ñëó÷àå V(〈ϕ〉) < 0. Ìû õîòèì âû÷èñëèòü âåðîÿòíîñòü, ñ êîòîðîé ñîñòîÿíèå ôàëüøèâîãî âàêóóìà ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì ñêàëÿðíîãî ïîëÿ, ðàâíûì íóëþ, ðàñïàäàåòñÿ â ñîñòîÿíèå èñòèííîãî âàêóóìà ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì ñêàëÿðíîãî ïîëÿ 〈ϕ〉. Èç ðåçóëüòàòîâ Ïðèëîæåíèÿ À ê ýòîé ãëàâå (ôîðìóëû (23.À.6), (23.À.21) è (23.À.23)) ñëåäóåò, ÷òî ýíåðãèÿ Å0 ñîñòîÿíèÿ ôàëüøèâîãî âàêóóìà ñ íóëåâûì ñðåäíèì çíà÷åíèåì ñêàëÿðíîãî ïîëÿ äàåòñÿ âûðàæåíèåì

E0 = − limT →∞

1 T

ln

LMXY expb−S[ϕ; T]g dϕ(x, t)OP , ∏ MNZ PQ

(23.8.2)

x,t

ãäå S[ϕ; T] — åâêëèäîâî äåéñòâèå, ïîëó÷åííîå ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (23.8.1),

X X S[ϕ; T ] = Y d xY YZ YZ

T2

3

−T 2

dt

LM 1 F ∂ϕ I MN 2 GH ∂t JK

2

+

1 2

OP PQ

(∇ϕ)2 + V(ϕ) ,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(23.8.3)

23.8. Ðàñïàä âàêóóìà

625

à èíòåãðàë â (23.8.2) áåðåòñÿ ïî âñåì ïîëÿì ϕ(x,t), óäîâëåòâîðÿþùèì óñëîâèÿì

ϕ(x, T 2) = ϕ(x, −T 2) = 0.

(23.8.4)

Ýíåðãèÿ (23.8.2) êîìïëåêñíà, è åå ìíèìàÿ ÷àñòü îïðåäåëÿåò âåðîÿòíîñòü ðàñïàäà. ×òîáû âû÷èñëèòü ôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë â ôîðìóëå (23.8.2), íàéäåì ñòàöèîíàðíóþ «òî÷êó» åâêëèäîâà äåéñòâèÿ S[ϕ,T]. Ïîëÿ, ïðè êîòîðûõ èíòåãðàë (23.8.3) ñòàöèîíåðåí, óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì ïîëÿ

0=

δS δϕ

=−

∂2ϕ ∂t2

− ∇2 ϕ +

dV(ϕ) dϕ

,

(23.8.5)

è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (23.8.4). Áëàãîäàðÿ òàêèì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì, ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ íàçûâàåòñÿ áàóíñîì *. Áóäåì èñêàòü ýòè ðåøåíèÿ, ñäåëàâ ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî ϕ(x,t) èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé âîêðóã òî÷êè x0, t0 â ÷åòûðåõ èçìåðåíèÿõ:

ϕ(x, t) = ϕ(ρ) , ãäå ρ ≡ (x − x0 )2 + (t − t0 )2 .

(23.8.6)

Ñóùåñòâóþò è ðåøåíèÿ, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòíûìè îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé â ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, íî ýòèì äðóãèì ðåøåíèÿì îòâå÷àþò áî1ëüøèå çíà÷åíèÿ S 37, òàê ÷òî îíè ñòàíîâÿòñÿ ïðåíåáðåæèìî ìàëûìè ïðè áîëüøèõ Ò. Ïîäñòàâëÿÿ àíçàòö (23.8.6) â óðàâíåíèå (23.8.5), ïðèõîäèì ê îáûêíîâåííîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ

d 2ϕ dρ

2

+

3 dϕ ρ dρ

= V ′(ϕ) .

(23.8.7)

Ñòðîãî ãîâîðÿ, ðåøåíèå òàêîãî âèäà ñîãëàñóåòñÿ ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (23.8.4), òîëüêî êîãäà Ò î÷åíü âåëèêî ïî ñðàâíåíèþ * Âìåñòî òî÷íîãî ïåðåâîäà îòñêîê ìû ïðåäïî÷ëè ðóññêóþ òðàíñëèòåðàöèþ àíãë. òåðìèíà bounce. Èìåííî òàêîé òåðìèí èñïîëüçóåòñÿ â ðÿäå èìåþùèõñÿ ðóññêîÿçû÷íûõ êíèã. — Ïðèì. ïåð.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

626

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

ñ õàðàêòåðíûì âðåìåíåì, ñâÿçàííûì ñ V(ρ).  ýòîì ñëó÷àå ìû ìîæåì âçÿòü Ò â óñëîâèè (23.8.4) áåñêîíå÷íî áîëüøèì, è òîãäà îíî ñòàíîâèòñÿ óñëîâèåì îáðàùåíèÿ â íóëü ϕ(ρ) ïðè ρ → ∞. Êðîìå òîãî, ϕ(x,t) äîëæíî áûòü àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé x â îêðåñòíîñòè x = 0 ïðè âñåõ t, âêëþ÷àÿ t = t0, òàê ÷òî ϕ(ρ) åñòü ñòåïåííîé ðÿä ïî ρ2 ïðè ρ → 0, è, â ÷àñòíîñòè, dϕ/dρ = 0 ïðè ρ = 0. Ñ ó÷åòîì ýòèõ óñëîâèé óðàâíåíèå (23.8.7) åñòü óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ÷àñòèöû åäèíè÷íîé ìàññû ñ «êîîðäèíàòîé» ϕ, çàâèñÿùåé îò «âðåìåíè» ρ, è äâèæóùåéñÿ â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå –V(ϕ) â ïðèñóòñòâèè ñèëû âÿçêîãî òðåíèÿ –(3/ρ)dϕ/dρ. Ýòà ÷àñòèöà íà÷èíàåò äâèæåíèå èç ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ ïðè íåêîòîðîì êîíå÷íîì íà÷àëüíîì çíà÷åíèè ϕ0 ïðè ρ = 0 è äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ ϕ = 0 ïðè ρ → ∞, òåðÿÿ ïðè äâèæåíèè ñâîþ íà÷àëüíóþ «ýíåðãèþ» –V(ϕ0) > 0 çà ñ÷åò âÿçêîñòè. Åâêëèäîâî äåéñòâèå (23.8.2) äëÿ òàêîãî ðåøåíèÿ ðàâíî

X B≡Y YZ



0

LM 1 F dϕ I 2π ρ dρ G J MN 2 H dρ K

2

2 3

OP + V ( ϕ) . PQ

(23.8.8)

Êðèòè÷åñêè âàæíî îïðåäåëèòü çíàê Â. Äëÿ ýòîãî ìû èñïîëüçóåì 38 òîò æå ïðèåì, êîòîðûé áûë ïðèìåíåí ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû Äåððèêà â ðàçäåëå 23.1, è ðàññìàòðèâàåì äåéñòâèå (23.8.8) äëÿ ìîäèôèöèðîâàííîãî ïîëÿ ϕR(ρ) ≡ ϕ(ρ/R). Èçìåíÿÿ ìàñøòàá ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ, íàõîäèì:

S[ϕ R

X ]=Y YZ



0

L R F dϕ I 2π ρ dρM MN 2 GH dρ JK 2

2 3

2

OP PQ

+ R 4 V ( ϕ) .

(23.8.9)

Åñëè ϕ(ρ) åñòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (23.8.7), òîãäà äåéñòâèå äîëæíî áûòü ñòàöèîíàðíî ïî îòíîøåíèþ ê ëþáîé âàðèàöèè ϕ, òàê ÷òî dS[ϕR]/dR äîëæíà îáðàùàòüñÿ â íóëü ïðè R = 1. Ïîýòîìó

X YY Z



0

F dϕ I ρ dρ G J H dρ K 3

2



z

= −4 ρ3dρ V(ϕ) . 0

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(23.8.10)

23.8. Ðàñïàä âàêóóìà

627

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

B−

X Y 2 Y Z

π2



0

F dϕ I ρ dρ G J H dρ K 3

2

> 0.

(23.8.11)

Ìû âåðíåìñÿ ïîçæå ê ÿâíîìó ïðèáëèæåííîìó ðåøåíèþ äëÿ ϕ(ρ), íî ñíà÷àëà ðàññìîòðèì, êàê ìîæíî èñïîëüçîâàòü òàêèå ðåøåíèÿ.  äàííîì ñëó÷àå ìû èìååì íå îäíîáàóíñîâóþ êîíôèãóðàöèþ, ïðè êîòîðîé åâêëèäîâî äåéñòâèå ñòàöèîíàðíî, íî êîíòèíóóì, õàðàêòåðèçóþùèéñÿ êîëëåêòèâíûìè êîîðäèíàòàìè x0 è t0. Ñîãëàñíî ðåçóëüòàòàì ðàçäåëà 23.7, ìû äîëæíû ïðîâåñòè èíòåãðèðîâàíèå ïî ýòèì ïàðàìåòðàì, è òàê êàê  íå çàâèñèò îò x0 è t0, ÷òî â ðåçóëüòàòå äàåò ìíîæèòåëè V è Ò â ÿùèêå ïðîñòðàíñòâåííîãî îáúåìà V. Âêëàä âñåõ îäíîáàóíñîâûõ êîíôèãóðàöèé â ôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë (23.8.2) äàåòñÿ â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè âûðàæåíèåì V TA exp( − B).

(23.8.12)

Êîýôôèöèåíò À ïðîïîðöèîíàëåí * ïðîèçâåäåíèþ ∏ ′n λ−n1/2 , ãäå λn — ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ÿäðà δ2S[ϕ]/δϕ(x,t)δϕ(x′,t′), à øòðèõè îçíà÷àþò, ÷òî ìû äîëæíû îïóñòèòü íóëåâûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, îòâå÷àþùèå èçìåíåíèÿì êîëëåêòèâíûõ êîîðäèíàò x0 è t0. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (23.8.10), âèäèì, ÷òî âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ âûðàæåíèÿ (23.8.9) ïî R îòðèöàòåëüíà ïðè R = 1, òàê ÷òî èìååòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå îäíî (íà ñàìîì äåëå ðîâíî îäíî 39) îòðèöàòåëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå, è ñëåäîâàòåëüíî â äàííîì ïîðÿäêå êîýôôèöèåíò À ìíèìûé. Ìû íå áóäåì ïûòàòüñÿ âû÷èñëèòü À, çàìåòèì ëèøü, ÷òî â ïðîòèâîïîëîæíîñòü exp(–B) êîýôôèöèåíò À íå ñîäåðæèò äðàìàòè÷åñêîé çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðîâ òåîðèè, òàê ÷òî ìîæíî îöåíèòü åãî ïî ñîîáðàæåíèÿì ðàçìåðíîñòè êàê âåëè÷èíó

* Êîãäà íåïðåðûâíàÿ ãðóïïà ñèììåòðèè G ñïîíòàííî íàðóøàåòñÿ äî ïîäãðóïïû H, ñóùåñòâóþò äîïîëíèòåëüíûå êîëëåêòèâíûå êîîðäèíàòû, çàäàþùèå îðèåíòàöèþ H âíóòðè G. Èíòåãðèðîâàíèå ïî ýòèì ïàðàìåòðàì ïðèâîäèò ê äîïîëíèòåëüíûì ìíîæèòåëÿì â À, ðàâíûì îáúåìó ôàêòîðïðîñòðàíñòâà G/H.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

628

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

ïîðÿäêà iM–4, ãäå Ì — íåêîòîðûé õàðàêòåðíûé ìàñøòàá ìàññ â òåîðèè. Ïðè áîëüøèõ V è Ò ìîæíî íàéòè äîïîëíèòåëüíûå ñòàöèîíàðíûå êîíôèãóðàöèè, îáðàçóÿ íàëîæåíèå ëþáîãî ÷èñëà N òàêèõ áàóíñîâûõ êîíôèãóðàöèé, ÷òî ïðèâîäèò ê âêëàäó, ïðåäñòàâëÿþùåìó Nþ ñòåïåíü âåëè÷èíû (23.8.12), äåëåííîìó íà N!, äëÿ òîãî, ÷òîáû ó÷åñòü òîò ôàêò, ÷òî ïðè èíòåãðèðîâàíèè x0 è t0 ïî N, ìû ñóììèðóåì ïî êîíôèãóðàöèÿì, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ òîëüêî ïåðåñòàíîâêàìè N òîæäåñòâåííûõ áàóíñîâ. Ñóììèðîâàíèå ïî N äàåò òîãäà ñòåïåíü âåëè÷èíû (23.8.12), òàê ÷òî ýíåðãèÿ (23.8.2) åñòü ïðîñòî âåëè÷èíà (23.8.12), äåëåííàÿ íà –Ò:

E0 = −V A exp(− B).

(23.8.13)

Ïîñêîëüêó À — ïîðÿäêà iM–4, âåðîÿòíîñòü ðàñïàäà ôàëüøèâîãî âàêóóìà â åäèíèöå îáúåìà áóäåò âåëè÷èíîé ïîðÿäêà Γ / V ≈ M −4 exp( − B) .

(23.8.14)

Çàìåòèì, ÷òî ýòî — âåðîÿòíîñòü ðàñïàäà â åäèíèöå îáúåìà, ïîñêîëüêó ðàñïàä ïðîèñõîäèò íå çà ñ÷åò èçìåíåíèÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ îäíîâðåìåííî âî âñåì ïðîñòðàíñòâå, à çà ñ÷åò ïîÿâëåíèÿ ïóçûðüêîâ èñòèííîãî âàêóóìà íà ôîíå ôàëüøèâîãî âàêóóìà. Ðåçóëüòàò (23.8.14) ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì â ñëó÷àå, êîãäà  âåëèêî, òàê ÷òî ïîäáàðüåðíûé ïåðåõîä ñèëüíî ïîäàâëåí, è ìîæíî îöåíòèòü ôàêòîð ïîäàâëåíèÿ ïðîñòî êàê exp(–B). Ê ñ÷àñòüþ, íàèáîëåå åñòåñòâåííàÿ ñèòóàöèÿ, â êîòîðîé  âåëèêî, ýòî òà, êîãäà óäàåòñÿ âû÷èñëèòü  â çàìêíóòîé ôîðìå. Ýòî ñëó÷àé, êîãäà ýíåðãèÿ V(〈ϕ〉) ≡ –ε èñòèííîãî âàêóóìà ëèøü íåìíîãî ìåíüøå íóëåâîé ýíåðãèè ôàëüøèâîãî âàêóóìà, íî V(ϕ) ïîëîæèòåëüíî è íå ìàëî ìåæäó ϕ = 0 è ϕ = 〈ϕ〉. ×òîáû ìèíèìèçèðîâàòü â ýòîì ñëó÷àå åâêëèäîâî äåéñòâèå (23.8.3), íóæíî âçÿòü ϕ áëèçêèì ê 〈ϕ〉 âíóòðè ÷åòûðåõìåðíîãî øàðà áîëüøèì ðàäèóñîì R, ïðè êîòîðîì ϕ ïàäàåò äî íóëÿ âíóòðè îáîëî÷êè òîëùèíîé L d M–1, õàðàêòåðíîé äëÿ ïîòåíöèàëà â ïðåäåëå ε → 0. (Èíîãäà ýòî íàçûâàþò «ïðèáëèæåíèåì òîíêîé ñòåíêè», íî, âîçìîæíî, ëó÷øèì íàçâàíèåì áûëî áû «ïðèáëèæåíèå áîëüøîãî ïóçûðÿ».)  ýòîì ïðèáëèæåíèè äåéñòâèå (23.8.3) ðàâíî

S(R) g − 1π2R 4 ε + 2π 2R 3 S , На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(23.8.15)

629

Ïðèëîæåíèå À

ãäå S — ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå, ðàâíîå âêëàäó îáîëî÷êè â äåéñòâèå, îòíåñåííîìó ê åäèíèöå ïëîùàäè. Âòîðîé ÷ëåí â ëåâîé ÷àñòè ôîðìóëû (23.8.7) ñòàíîâèòñÿ ïðåíåáðåæèìî ìàëûì ïðè ρ d R, òàê ÷òî çàäà÷à ñòàíîâèòñÿ ïî ñóùåñòâó îäíîìåðíîé. Ïîýòîìó ìîæíî âçÿòü ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå èç íåðàâåíñòâà (23.1.4), êîòîðîå ïðè ïîäñòàíîâêå ðåøåíèÿ ïîëåâûõ óðàâíåíèé ñòàíîâèòñÿ ðàâåíñòâîì.  òåïåðåøíèõ îáîçíà÷åíèÿõ 〈ϕ〉

S =

z

2V( f ) df .

(23.8.16)

0

Äåéñòâèå (23.8.15) ñòàöèîíàðíî ïðè çíà÷åíèè ðàäèóñà R g

3S ε

(23.8.17)

,

òàê ÷òî äåéñòâèå â ñâîåé ñòàöèîíàðíîé òî÷êå èìååò çíà÷åíèå

B g

27π 2 S 4 2ε 3

.

(23.8.18)

Çàìåòèì, ÷òî  âåëèêî äëÿ ìàëûõ ε, òàê ÷òî â ýòîì ñëó÷àå âåðîÿòíîñòü ðàñïàäà ôàëüøèâîãî âàêóóìà ñèëüíî ïîäàâëåíà. Ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ñêâîçü áàðüåð ïóçûðåê èñòèííîãî âàêóóìà áóäåò ðàñòè ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà, ñòàëêèâàÿñü â êîíöå êîíöîâ ñ äðóãèìè ïóçûðüêàìè, ïîêà âñå ïðîñòðàíñòâî íå îêàæåòñÿ â ñîñòîÿíèè íàèìåíüøåé ýíåðãèè. Ïðèëîæåíèå À. Åâêëèäîâû ôóíêöèîíàëüíûå èíòåãðàëû  ýòîì ïðèëîæåíèè îïèñûâàåòñÿ èñïîëüçîâàíèå åâêëèäîâûõ ôóíêöèîíàëüíûõ èíòåãðàëîâ â êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ. Êàê îòìå÷àëîñü â ðàçäåëå 9.1, êâàíòîâóþ òåîðèþ ïîëÿ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü â ÷åòûðåõìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè. Âìåñòî òîãî, ÷òîáû óãëóáëÿòüñÿ â íåòðèâèàëüíîå àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå, íåîáõîäèìîå äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýëåìåíòîâ S-ìàòðèöû â äàííîì ïîäõîäå, ìû ïðîèëëþñòðèðóåì çäåñü èñïîëüçîâàíèå åâêëèäîâûõ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

630

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

ôóíêöèîíàëüíûõ èíòåãðàëîâ, îáðàòèâøèñü ê çàäà÷å, äëÿ êîòîðîé îíè åñòåñòâåííî ïðèñïîñîáëåíû. Ðàññìîòðèì íàáîð ýðìèòîâûõ êàíîíè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ Qa è Pa, ñ êîììóòàöèîííûìè ñîîòíîøåíèÿìè

[Qa , Pb ] = iδ ab ,

(23.À.1)

[Qa , Qb ] = [Pa , Pb ] = 0.

(23.À.2)

 êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî èíäåêñ à, êàê â ðàçäåëå 9.1, âêëþ÷àåò ïðîñòðàíñòâåííóþ êîîðäèíàòó x è ëþáûå äèñêðåòíûå ëîðåíöîâñêèå èíäåêñû è èíäåêñû ñîðòîâ m, à êðîíåêåðîâñêèé äåëüòà-ñèìâîë â ôîðìóëå (23.À.1) ïîíèìàåòñÿ êàê δxm,yn = δ3(x – y)δmn. Îïðåäåëèì ñîáñòâåííûå ñîñòîÿíèÿ Qa: Qa | q 〉 = q a | q 〉 ,

(23.À.3)

íîðìèðîâàííûå òàê, ÷òî

〈 q ′| q 〉 = δ ( q ′ − q ) ≡

∏ δ(q a′

− qa ) ,

(23.À.4)

a

Àíàëîãè÷íî îïðåäåëåíû ñîáñòâåííûå ñîñòîÿíèÿ |p〉 îïåðàòîðà Pa. Çàäà÷à, êîòðóþ ìû ðàññìàòðèâàåì, ñîñòîèò â âû÷èñëåíèè ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà F(q ′, q ; T) ≡ 〈 q ′| exp − H [Q, P ]T | q 〉 ,

b

g

(23.À.5)

ãäå Í — ãàìèëüòîíèàí, à Ò — ïðîèçâîëüíàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Îäíèì èç ïðèëîæåíèé ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå ýíåðãèé îñíîâíûõ ñîñòîÿíèé. Åñëè íàèìåíüøåå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå Í ðàâíî Å0, è ñîáñòâåííûé âåêòîð ýòîãî ñîñòîÿíèÿ åñòü |0〉, òîãäà ïðè Ò → ∞ F(q ′, q ; T) → 〈 q ′|0〉〈0| q 〉 exp( − E0T) ,

òàê ÷òî E0 = − lim T →∞

FG ln F(q ′, q; T) IJ . H T K

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(23.À.6)

631

Ïðèëîæåíèå À

Êðîìå òîãî, ìîæíî âû÷èñëèòü ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ â ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêå, çíàÿ ñëåä Z(β) ≡ Tr exp( −βH ) =

X LM∏ dq OP F(q ′, q; β) , YZ N Q

(23.À.7)

a

a

ãäå 1/β — òåìïåðàòóðà. ×òîáû âûâåñòè ôîðìóëó ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà äëÿ F(q′,q; T), îïðåäåëèì åâêëèäîâû çàâèñÿùèå îò âðåìåíè îïåðàòîðû Qa (t) ≡ e Ht Qa e − Ht , Pa (t) ≡ e Ht Pa e − Ht ,

(23.À.8)

è ñîîòâåòñòâóþùèå ïðàâûå è ëåâûå ñîáñòâåííûå ñîñòîÿíèÿ | q , t〉 ≡ exp(Ht) | q 〉 ,

〈q , t| ≡ 〈 q | exp(− Ht) ,

(23.À.9)

| p, t〉 ≡ exp(Ht) | p〉 ,

〈 p, t| ≡ 〈 p| exp(− Ht) ,

(23.À.10)

Qa (t) | q , t〉 = q a | q , t〉 , 〈 q , t| Qa (t) = q a 〈q , t| ,

(23.À.11)

Pa (t) | p, t〉 = pa | p, t〉 , 〈 p, t| Pa (t) = pa 〈 p, t| .

(23.À.12)

òàêèå, ÷òî

è

Îäíî ðàçëè÷èå ìåæäó ýòèì ôîðìàëèçìîì è îáû÷íûì ôîðìàëèçìîì â ïðîñòðàíñòâå Ìèíêîâñêîãî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî «âðåìåííàÿ» ýâîëþöèÿ îïåðàòîðîâ óïðàâëÿåòñÿ íåóíèòàðíûì ïðåîáðàçîâàíèåì ïîäîáèÿ (23.À.8), òàê ÷òî çäåñü íåò ïðîñòîé ñâÿçè ìåæäó ïðàâûìè ñîáñòâåííûìè ñîñòîÿíèÿìè 〈q,t| îïåðàòîðà Q(t) è ýðìèòîâî ñîïðÿæåííûìè ëåâûõ ñîáñòâåííûõ ñîñòîÿíèé |q,t〉, íå ñ÷èòàÿ ñîñòîÿíèé, âçÿòûõ â òî÷êå t = 0. Íà ýòîì ÿçûêå îïðåäåëåíèå (23.À.5) âåëè÷èíû F(q′,q;t) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå

F(q ′, q ; T) = 〈 q ′, T 2 | q ,− T 2〉 .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(23.À.13)

632

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

Âû÷èñëèì ñíà÷àëà 〈q′, t + dt|q, t〉 äëÿ èíôèíèòåçèìàëüíîãî èíòåðâàëà dt. Ïðèíèìàÿ ñîãëàøåíèå, ÷òî â H(Q, P) âñå Q çàïèñàíû ëåâåå âñåõ P, èìååì 〈 q ′, t + dt| q , t 〉 = 〈 q ′, t| exp − H (q ′, P)dt | q , t〉 .

b

g

Ðàçëîæèì |q,t〉 ïî ïîëíîìó íàáîðó ñîáñòâåííûõ ñîñòîÿíèé îïåðàòîðîâ Pa(t). Èç ôîðìóëû (23.À.1) èìååì, êàê îáû÷íî,

〈q , t| p, t〉 =



exp( ipa q a ) 2π

a

, 〈p, t| q , t〉 =



exp(− ipa q a ) 2π

a

,

òàê ÷òî 〈q ′, t + dt| q , t〉 =

X F ∏ dp I expF i∑ p (q ′ − q ) − H(q ′, p)dtI . YZ GH 2π JK GH JK a

a

a

a

a

a

(Çäåñü âðåìåííî ïðèîñòàíîâëåíî ñîãëàøåíèå î ñóììèðîâàíèè.) Êàê è â ðàçäåëå 9.1, ðàçäåëèì âðåìåííîé èíòåðâàë îò –Ò/2 äî Ò/2 íà áîëüøîå ÷èñëî î÷åíü ìàëåíüêèõ èíòåðâàëîâ è âêëþ÷èì äëÿ êàæäîãî èíòåðâàëà ñóììó ïî ñîáñòâåííûì ñîñòîÿíèÿì Q. Îïðåäåëÿÿ ôóíêöèè q(t) è p(t), îñóùåñòâëÿþùèå èíòåðïîëÿöèþ ìåæäó âåëè÷èíàìè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé Q è P íà êàæäîì èíòåðâàëå, ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ F â âèäå ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà â ñàìîé îáùåé ôîðìå

F (q ′, q ; T ) =

X YY Z

F dq (t)I X F dp (t) I GH ∏ JK YYZ GH ∏ 2π JK FX L OI dt M i ∑ q& (t)p (t) − H bq (t), p(t)gPJ . × expG Y GH Z N QJK a

a

q ( − T 2) = q , q (T 2) = q ′

a ,t

a,t

(23.À.14)

T2

a

−T 2

a

a

×òîáû âû÷èñëèòü ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ (23.À.7), ìû äîëæíû ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî p è q, êîòîðûå ïîä÷èíåíû òîëüêî óñëîâèþ, ÷òî q(t) — ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñ ïåðèîäîì, ðàâíûì îáðàòíîé òåìïåðàòóðå β:

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

633

Ïðèëîæåíèå À

Z(β) =

X YY Z

F dq (t)I X F dp (t) I GH ∏ JK YYZ GH ∏ 2π JK FX L OI dt M i ∑ q& (t)p (t) − H bq (t), p(t)gPJ . × expG Y GH Z N QJK a

a

q (β 2) = q ( − β 2)

a,t

a,t

β 2

a

−β 2

a

a

(23.À.15) Ôîðìóëû (23.À.14) è (23.À.15) âûãëÿäÿò íåñêîëüêî ñòðàííî, òàê êàê â ýêñïîíåíòå îäèí ÷ëåí — äåéñòâèòåëüíûé, à äðóãîé — ìíèìûé. Âèä ýòèõ ôîðìóë ñòàíîâèòñÿ áîëåå ïðèâû÷íûì, åñëè ìû âîçüìåìôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë ïî âñåì pa(t). Äëÿ âàæíîãî êëàññà òåîðèé, â êîòîðûõ H(q,p) êâàäðàòè÷åí ïî ð, èíòåãðàë òðèâèàëåí:

H(q , p) =

1

∑ Aab (q)pa pb + ∑ Ba (q)pa + C(q) .

2 a, b

(23.À.16)

a

Êàê ïîêàçàíî â ïðèëîæåíèè ê ãë. 9, èíòåãðàë ïî ð â ôîðìóëå (23.À.14) äàåò

F(q ′, q ; t) =

X YY Z

F dq (t)I Det 2iπA (q) h GH ∏ JK c FX L OI dt M i ∑ q& (t)p (t) − H bq (t), p (t)gPJ , × expG Y GH Z N QJK

−1 2

a

a,t

q ( − T 2) = q , q (T 2) = q ′ T2

a

−T 2

(23.À.17)

a

a

ãäå A (q) — «ìàòðèöà»

A (q)at′,bt = δ(t′ − t) Aab q(t) ,

b g

(23.À.18)

à p(t) — ñòàöèîíàðíàÿ «òî÷êà» àðãóìåíòà â ýêñïîíåíòå â ôîðìóëå (23.À.17), ò. å. ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

iq& a (t) =

δH q (t), p

b

δpa

g

. p = p ( t)

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(23.À.19)

634

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

Ìíîæèòåëü i çäåñü íå äîëæåí óäèâëÿòü, òàê êàê óðàâíåíèå (23.À.19) — ýòî òî æå óðàâíåíèå, êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåòñÿ íåýðìèòîâûìè îïåðàòîðàìè (23.À.8):

δH Q(t), P(t) iQ& a (t) = i H , Qa (t) = . δPa (t)

b

g

Äëÿ ãàìèëüòîíèàíà â âèäå ïðîèçâîëüíîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû (23.À.16) ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (23.À.19) èìååò âèä



pa =

A −1 (q)

b

ab

biq

ab

− Bb (q ) ,

g

(23.À.20)

è ïîýòîìó âûðàæåíèå (23.À.17) ïðèíèìàåò âèä

F(q ′, q ; t) =

X YY Z

F dq (t)I GH ∏ JK × cDet 2iπA (q ) h expb − S[q ]g, a

q ( − T 2) = q , q (T 2) = q ′ a ,t −1 2

(23.À.21)

ãäå S[q] — äåéñòâèå

X S[q ] ≡ Y Z

T2

dt

−T 2



1 2

LM 1 ∑ A N2

−1 ab (q )q& a q& b

ab

−1 (q ) Ba (q )q& b + i ∑ Aab ab

(23.À.22)

O Q

−1 (q ) Ba (q ) Bb (q ) + C(q )P . ∑ Aab ab

 ÷àñòíîì (íî ÷àñòî âñòðå÷àþùåñÿ) ñëó÷àå, êîãäà Ba(q) = 0, ýòî âûðàæåíèå óïðîùàåòñÿ:

X S[q ] ≡ Y Z

T2

−T 2

dt

LM 1 ∑ A N2 ab

−1 ab (q )q& a q& b

OP Q

+ C(q ) .

(23.À.23)

Ñëåäîâàòåëüíî â äàííîì ñëó÷àå «ëàãðàíæèàí», âîçíèêàþùèé â ôóíêöèîíàëüíîì èíòåãðàëå, ðàâåí òîìó âûðàæåíèþ, êîòîðîå äîëæåí áûë áû èìåòü ãàìèëüòîíèàí â ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè Ìèíêîâñêîãî, êîãäà âñå p âûðàæåíû ÷åðåç q è q& .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

635

Ïðèëîæåíèå Â

Ïðèëîæåíèå B. Ïåðå÷åíü ãîìîòîïè÷åñêèõ ãðóïï  ýòîì ïðèëîæåíèè ïðåäñòàâëåí ïåðå÷åíü ãîìîòîïè÷åñêèõ ãðóïï 40 ðàçëè÷íûõ ìíîãîîáðàçèé. Íèæå Z îáîçíà÷àåò ãðóïïó öåëûõ ÷èñåë, ñî ñëîæåíèåì â êà÷åñòâå îïåðàöèè ãðóïïîâîãî óìíîæåíèÿ, òàê ÷òî åäèíè÷íûì ýëåìåíòîâ ÿâëÿåòñÿ íóëü. Êðîìå òîãî, Zn — ãðóïïà öåëûõ ÷èñåë ïî ìîäóëþ n. Òðèâèàëüíàÿ ãðóïïà, ñîñòîÿùàÿ èç ýëåìåíòà 0, îáîçíà÷àåòñÿ 0. Ãîìîòîïè÷åñêèå ãðóïïû äëÿ ïðÿìûõ ïðîèçâåäåíèé ìíîãîîáðàçèé ìîæíî ïîëó÷èòü èç ãîìîòîïè÷åñêèõ ãðóïï ñàìèõ ìíîãîîáðàçèé ñ ïîìîùüþ ïðàâèëà ïðîèçâåäåíèÿ:

π n ( M1 × M2 ) = π n ( M1 ) × π n ( M2 ) . Ñôåðû

π n (Sm ) = 0 ïðè n < m; π n ( S n ) = Z; π n +1 (Sn ) = Z2 , êðîìå π 2 (S1 ) = 0, π 3 (S2 ) = Z; π n + 2 (Sn ) = Z2 , êðîìå π 3 (S1 ) = 0; π n + 2 (Sn ) = Z2 , êðîìå π 3 (S1 ) = 0, π 5 (S2 ) = Z2 , π 6 (S3 ) = Z12 , π7 (S4 ) = Z × Z12 ; π n (S1 ) = 0, êðîìå π1 (S1 ) = Z . Ìíîãîîáðàçèÿ ãðóïï Ëè

R| Z, | π (G) = SZ , || 0, T

G = U (1);

G = SO( n) ( n ≥ 3); äðóãèå ïðîñòûå êîìïàêòíûå ñâÿçíûå ãðóïïû Ëè; π 2 (G) = 0, G − ëþáàÿ êîìïàêòíàÿ ñâÿçíàÿ ãðóïïà Ëè; π 3 (G) = Z, G − ëþáàÿ êîìïàêòíàÿ ñâÿçíàÿ ãðóïïà Ëè; Z2 × Z2 , G = SO(4), Spin(4); 1

2

R| π (G ) = S |T 4

Z2 ,

G = USp(2n), SU (2), SO(3), Spin(5), SO(5);

0,

G = SU ( n) ( n ≥ 3), SO( n) ( n ≥ 6), G2 , F4 , E n ;

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

636

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

π 4 n + 2 USp(2n) =

b

g

(2 n + 2) ! ,

n − even,

2(2 n + 2) ! ,

n − odd;

R|S Z T|Z

π 2 n (SU ( n)) = Z n ! .

Òåîðåìû ïåðèîäè÷íîñòè Áîòòà Äëÿ n ≥ (k – 1)/4, k ≥ 2 Z, k = 3, 7 (mod 8); π k USp(2n) = Z2 , k = 4, 5 (mod 8); 0, k = 0, 1, 2, 6 (mod 8);

R g |S |T

b

Äëÿ n ≥ k + 2, k ≥ 2

R| Z, π bSO( n)g = SZ , |T 0, k

2

k = 3, 7 (mod 8); k = 0, 1 (mod 8); k = 2, 4, 5, 6 (mod 8);

Äëÿ n ≥ (k + 1)/2, k ≥ 2

; g RSTZ0,, kk −− even odd .

π k SU ( n) =

b

Ôàêòîð-ïðîñòðàíñòâà Äëÿ ëþáîé ãðóïïû Ëè G è ëþáîé ïîäãðóïïû Ëè H ô G π 2 G H = ker π1 (H ) a π1 (G ) .

b

g

l

q

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî π2(G/H) åñòü òà ïîäãðóïïà π1(H), êîòîðàÿ îòîáðàæàåòñÿ â òðèâèàëüíûé ýëåìåíò π1(G) ïðè âëîæåíèè H è G.  ÷àñòíîì ñëó÷àå π 2 G H = π1 (H ), åñëè π1 (G ) = 0.

b

g

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

637

Çàäà÷è

Çàäà÷è 1.

Êàêîãî òèïà ñëàãàåìîå ñëåäóåò äîáàâèòü â äåéñòâèå äëÿ ïîëåé ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ â ÷åòûðåõìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè, ÷òîáû ñòàëî âîçìîæíûì ïîëó÷èòü òîïîëîãè÷åñêè íåòðèâèàëüíûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè, íà êîòîðûõ äåéñòâèå ñòàöèîíàðíî?

2.

Ðàññìòîðèòå òåîðèþ ñêàëÿðíûõ ïîëåé â øåñòè ïðîñòðàíñòâåííûõ èçìåðåíèÿõ, â êîòîðîé êèðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ SU(2) × SU(2) ëàãðàíæèàíà ñïîíòàííî íàðóøàåòñÿ äî SU(2) ãðóïïû èçîñïèíà. Ïðåäïîëîæèòå, ÷òî â ëàãðàíæèàí äîáàâëåíî äîñòàòî÷íîå êîëè÷åñòâî ñëàãàåìûõ ñ âûñøèìè ïðîèçâîäíûìè, òàê ÷òî ñêèðìèîíû ñòàáèëèçèðîâàíû. Êàêîìó òèïó çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ïîä÷èíÿþòñÿ ýòè ñêèðìèîíû? (Óêàçàíèå: çàìåòüòå, ÷òî êàê ïîêàçàíî â ðàçäåëå 2.7, SU(2) òîïîëîãè÷åñêè òî æå ñàìîå, ÷òî S3.)

3.

Ïîêàæèòå, ÷òî âñå πn(M) äëÿ n > 1 è ïðîèçâîëüíûõ ìíîãîîáðàçèé Ì ÿâëÿþòñÿ àáåëåâûìè.

4.

Êàêîâà çàâèñèìîñòü îò êîíñòàíòû ñâÿçè âêëàäà èíñòàíòîíîâ ñ åäèíè÷íûì òîïîëîãè÷åñêèì ÷èñëîì â SU(4) êàëèáðîâî÷íîé òåîðèè?

5.

Âûâåäèòå ôîðìóëó äëÿ ìàññû àêñèîíà â ñëó÷àå, êîãäà âñå ìàññû mu, md è ms ìàëû.

6.

Ðàññìîòðèòå òåîðèþ äåéñòâèòåëüíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ϕ ñ ëàãðàíæèàíîì L =−

1 2

∂ µ ϕ∂ µ ϕ +

1 2

m2ϕ 2 −

1 4

λϕ 4 − gϕ ,

ãäå m2 è λ ïîëîæèòåëüíû, à g î÷åíü ìàëà. Âû÷èñëèòå ýêñïîíåíöèàëüíûé ïîäàâëÿþùèé ìíîæèòåëü exp(–B) â âåðîÿòíîñòè ðàñïàäà ìåòàñòàáèëüíîãî âàêóóìíîãî ñîñòîÿíèÿ ÷åðåç m2, λ è g.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

638

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû 1.

Belavin, A.A., Polyakov, A.M., Schwarz, A.S., and Tyupkin, Yu.S., Phys. Lett., 59B, 85 (1975).

2.

′t Hooft, G., Nucl. Phys., B79, 276 (1974); Polyakov, A.M., JETP Letters, 20, 194 (1974).

3.

Skyrme, T.H.R., Proc. Roy. Soc. London, A260, 127 (1961).

4.

Nielsen, H. and Oleson, P., Nucl. Phys., B61, 45 (1973).

5.

Zel′dovich, Ya.B., Kobzarev, I.Yu., and Okun’, L.B., Sov. Phys. JETP, 40, 2 (1975).

6.

Coleman, S., Phys. Rev., D15, 2929 (1977); Callan, C.G. and Coleman, S., Phys. Rev., D16, 1762 (1977). Îáñóæäåíèå â ðàçäåëå 23.8 îñíîâàíî íà ýòèõ ðàáîòàõ. Ïåðâûå ðàáîòû ïî îáðàçîâàíèþ îáëàñòåé ñ íàðóøåííîé ñèììåòðèåé ñì.: Lee, T.D. and Wick, G.C., Phys. Rev., D9, 2291 (1974); Voloshin, M.B., Kobzarev, I.Yu., and Okun’, L.B., Sov. J. Nucl. Phys., 20, 644 (1975).

7.

Coleman, S., Nucl. Phys., B262, 263 (1985); Lee, T.D. and Pang, Y., Phys. Rep., 221, 251 (1992) è ïðîöèòèðîâàííûå â ýòîé ðàáîòå äðóãèå ññûëêè íà ñòàòüè Ëè ñ ñîòðóäíèêàìè.

8.

Íåîáû÷àéíî æèâî íàïèñàííûé îáçîð ýòèõ âîïðîñîâ è ññûëêè íà áîëüøóþ ÷àñòü îðèãèíàëüíîé ëèòåðàòóðû ñì.: Coleman, S., Aspects of Symmetry (Cambridge University Press, Cambridge, 1985), ch. 6, 7. Õîðîøèé áîëåå ïîçäíèé îáçîð: Weinberg, E.J., Ann. Rev. Nucl. Part. Sci., 42, 177 (1992).

9.

Derrick, G.H., J. Math. Phys., 5, 1252 (1964).

10. Bogomol’nyi, E.B., Sov. J. Nucl. Phys., 24, 449 (1976). 11. Òåîðèÿ ãîìîòîïèé áûëà èñïîëüçîâàíà äëÿ èçó÷åíèÿ íàðóøåíèÿ ñèììåòðèè â ðàííåé Âñåëåííîé â ðàáîòàõ: Kibble, T.W.B., J.Phys., A9, 1387 (1976); Vilenkin, A. and Shellard, E.P.S., Cosmic Strings

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

639

and Other Topological Defects (Cambridge University Press, Cambridge, 1994) è ïðèâåäåííûå òàì ññûëêè. 12. Georgi, H. and Glashow, S.L., Phys. Rev. Lett., 28, 1494 (1972). 13. Arafune, J., Freund, P.G.O., and Goebel, C.J., J. Math. Phys., 16, 433 (1975). 14. Prasad, M.K. and Sommerfeld, C.M., Phys. Rev. Lett, 35, 760 (1975). 15. Arbais, F.A. and Primack, J.R., Phys. Rev., D13, 819 (1976). 16. Dirac, P.A.M., Proc. Roy. Soc. London, A133, 60 (1934); Phys. Rev., 74, 817 (1948). 17. Zel’dovich, Ya.B. and Khlopov, M.Yu., Phys. Lett., 79B, 239 (1978); Preskill, J., Phys. Rev. Lett., 43, 1365 (1979). Îáçîð ñì.: Preskill, J., Ann. Rev. Nucl. Part. Sci., 34, 461 (1984). 18. Ñì., íàïðèìåð: Weinberg, S., Gravitation and Cosmology (Wiley, New York, 1972), ch. 15 (åñòü ðóñ. ïåð.: Ñ. Âåéíáåðã. Ãðàâèòàöèÿ è êîñìîëîãèÿ. Ì.: Ìèð, 1975). 19. Guth, A., Phys. Rev., D23, 347 (1981); Linde, A.D., Phys. Lett., 108B, 389 (1982); Albrecht, A. and Steinhardt, P., Phys. Rev. Lett., 48, 1220 (1982). 20. Jackiw, R. and Rebbi, C., Phys. Rev., D13, 3398 (1976). 21. Rubakov, V.A., JETP Lett., 33, 644 (1981); Nucl. Phys., B212, 391 (1982); Callan, C.G., Phys. Rev., D25, 2141 (1982); Phys. Rev., D26, 2058 (1982); Nucl. Phys., B212, 391 (1982). 22. Bott, R., Bull. Soc. Math. France, 84, 251 (1956). 23. ′t Hooft, G., Phys. Rev., D14, 3432 (1976); Phys. Rep., 142, 357 (1986).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

640

Ãëàâà 23. Ïðîòÿæåííûå ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè

24. Atiyah, M. and Ward, R., Commun. Math. Phys., 55, 117 (1977). 25. ′t Hooft, G., Phys. Rev. Lett., 37, 8 (1976). Âìåñòî èñïîëüçîâàííîé çäåñü èäåíòèôèêàöèè ñâîáîäíûõ îò àíîìàëèé ñîõðàíÿþùèõñÿ òîêîâ, âûâîä ′ò Õîôòîì ïðàâèë îòáîðà áàçèðîâàëñÿ íà àíàëèçå íóëåâûõ ìîä îïåðàòîðà Äèðàêà (ñì. ðàçäåë 23.7), ïðèâîäÿùèõ ê èçìåíåíèþ êàæäîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà ó èíñòàíòîíà ñ äàííûì òîïîëîãè÷åñêèì ÷èñëîì. 26. Callan, C.G., Dashen, R.F., and Gross, D.J., Phys. Lett., 63B, 334 (1976); Jackiw, R. and Rebbi, C., Phys. Rev. Lett., 37, 172 (1976). 27. Kuzmin, V.A., Rubakov, V.A., and Shaposhnikov, M.E., Phys. Lett., 155B, 36 (1985). Äîìèíèðóþùèé âêëàä â ïåðåõîä äàþò ïîëåâûå êîíôèãóðàöèè, èçâåñòíûå êàê ñôàëåðîíû; ñì.: Manton, N.S., Phys. Rev., D28, 2019 (1983); Klinkhammer, F.R. and Manton, N.S., Phys. Rev., D30, 2212 (1984); Dasshen, R.F., Hasslacher, B., and Neveu, A., Phys. Rev., D10, 4138 (1974). 28. Georgi, H. and McArthur, I., unpublished (1981); Kaplan, D.V. and Manohar, A.V., Phys. Rev. Lett., 56, 2004 (1986); Choi, K., Nucl. Phys., B383, 58 (1992). 29. Áîëåå äåòàëüíûå âû÷èñëåíèÿ ñì.: Baluni, V., Phys. Rev., D19, 2227 (1978); Crewther, R.J., Di Vecchia, P., Veneziano, G., and Witten, E., Phys. Lett., 88B, 123 (1979). 30. Peccei, R.D. and Quinn, H., Phys. Rev. Lett., 38, 1440 (1977); Phys. Rev., D16, 1791 (1977). 31. Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 40, 223 (1978); Wilczek, F., Phys. Rev. Lett., 40, 279 (1978). 32. Kim, J.E., Phys. Rev. Lett., 43, 103 (1979); Shifman, M.A., Vainshtein, A.I., and Zakharov, V.I., Nucl. Phys., B166, 493 (1980); Zhitnitsky, A.R., Sov. J. Nucl. Phys., 31, 260 (1980); Dine, M., Fishler, W., and Srednicki, M., Phys. Lett., 104B, 199 (1981).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

641

33. Weinberg, S., in Neutrinos ’78, ed. E.C. Fowler (Purdue, Lafayette, 1978). 34. Dicus, D.A., Kolb, E.W., Teplitz, V.I., and Wagoner, R.V., Phys. Rev., D18, 1829 (1978); D22, 839 (1980). 35. Ñì. îáçîðû: Turner, M.S., Phys. Rep., 197, 68 (1990); Raffelt, G.G., Phys. Rep., 198, 1 (1990). 36. Preskill, J., Wise, M.B., and Wilczek, F., Phys. Lett. 120B, 127 (1983); Abbott, L.F. and Sikivie, P., Phys. Lett., 120B, 130 (1983); Dine, M. and Fishler, W., Phys. Lett., 120B, 137 (1983). Îáçîðû ñì.: Kim, J.E., Phys. Rep., 150, 1 (1987); Turner, M.S., Phys. Rep., 197, 68 (1990). 37. Coleman, S., Glaser, V., and Martin, A., Commun. Math. Phys., 58, 211 (1978). 38. Coleman, S., [8], Section 6.2. 39. Coleman, S., [8], Section 6.5. 40. Actor, A., Rev. Mod. Phys., 51, 461 (1979); Encyclopedic Dictionary of Mathematics (MIT Press, Cambridge, 1980), Appendix A.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

642

Àâòîðñêèé óêàçàòåëü

Èìåííîé óêàçàòåëü Àáðèêîñîâ A. A. 481 Áîãîëþáîâ Í. Í. 219 Âîðîíîâ Á. Ë. 87 Äçÿëîøèíñêèé È. Å. 481 Ãîðüêîâ Ë. Ï. 481 Ñëàâíîâ A.A. 109 Òþòèí È. Â. 87 Øèðêîâ Ä.Â. 219 Abachi, S. 477 Abbott, L.F. 152, 641 Abe, F. 477, 478 Abe, K. 221 Actor, A. 641 Ademollo, M. 393 Adler, S. 333, 561 Adler, S.L. 219, 334, 336, 562 Albrecht, A. 639 Altarelli, G. 219, 221, 394 Alvarez, O. 562 Alvarez-Gaume, L. 86 Alvarez-Gaumè, L. 561 Amaldi, U. 480 Anderson, P.M., 480 Anselmi, D. 151 Arafune, J. 639 Arbais, F.A. 639 Arnison, G. 478 Atiyah, M. 640 Atiyah, M.F. 561, 562 Aubert, J.J. 477 Augustin, J.E. 477 Baker, M. 219

Baluni, V. 640 Bamert, P. 478 Banks, T. 563 Barbieri, R. 563 Bardeen, J. 480 Bardeen, W.A. 220, 562 Barnich, G. 86, 152, 564 Batalin, I.A. 87 Baulieu, L. 86 Baur, R. 334 Beane, S.R. 336 Becchi, C. 85 Becci, C. 151 Belavin, A.A. 638 Bell, J.S. 561 Bender, C.M. 109 Benfatto, G. 481 Bern ard, C. 393 Bijnens, J. 334, 337 Bismut, J.M. 562 Bjorken, J.D. 393 Bleuler, K. 85 Bloom, E.D. 220, 393 Bludman, S. 477 Boer, de, W. 480 Bogomol'nyi, E.B. 480, 638 Bonora, L. 85 Borel, A. 338 Bott, R. 337, 639 Bouchiat, C. 562 Branchin a, V. 109 Brandt, F. 86, 152, 564 Bre1zin, E. 220 Breidenbach, M. 220, 393

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

643

Àâòîðñêèé óêàçàòåëü Brout, R. 476 Burgess, C.P. 478 Cabibbo, N. 477 Cahill, K. 109 Callan, C.G. 219, 336, 393, 638, 639, 640 Cartan, E. 87 Castorin a, P. 109 Chaikin, P.M. 220 Chanda, R. 563 Choi, K. 640 Chou, K.-C. 334 Christ, N. 85, 394 Christensen, S.M. 563 Chu, C.-S. 564 Coleman, S. 109, 219, 336, 337, 563, 638, 641 Collins, J.C. 219 Cooper, F. 109 Cooper, L.N. 480 Cornwall, J.M. 479 Cotta-Ramusino, P. 85 Crewther, R.J. 640 Critchley, R. 563 Curci, G. 85, 86 Das, T. 334 Dashen, R. 333, 336, 640 De Witt, B. 109 Delbourgo, R. 563 Derrick, G.H. 638 Dicus, D.A. 641 Dimopoulos, S. 479, 480, 563 Dine, M. 640, 641 Dirac, P.A.M. 639 Dixon, J.A. 564 Donoghue, J.F. 333, 335, 337, 393 Dragon, N. 564 Dubois-Violette, M. 564 Duff, M.J. 563 Duncan, A. 393, 394 Dyson, F.J. 394

Ecker, G. 337 Eguchi, T. 563 Eichten, E. 221, 479 Ellis, J. 221, 477, 479, 480 Englert, F. 476 Ericson, T. 334 Faddeev, L.D. 84, 564 Fanchotti, S. 479 Farhi, E. 479 Farrar, G. 563 Fayyazuddin 393 Feldman, J. 481 Fern andez, R. 219 Ferrara, S. 87 Ferrari, R. 85, 86 Feynman, R.P. 84, 393 Finkelstein, R.J. 561 Fischer, M.E. 220 Fishler, W. 640, 641 Fogli, G.L. 477, 479 Fradkin, E.S. 87 Fradkin a, T.E. 87 Freed, D.S. 562 Freedman, D.Z. 87 Freund, P. 563 Freund, P.G.O. 639 Friar, J. 336 Friedman, J.L. 220 Frishman, Y. 563 Fritzsch, H. 220, 221, 338 Froelich, J. 219 Frriar, J. 335 Fubini, S. 334 Fujikawa, K. 476, 561 Fujimoto, Y. 109 Fukuda, H. 561 Furstmann, H. 480 Gaillard, M.K. 221 Gallavotti, G. 481 Gamov, G. 477 Gasser, J. 337

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

644

Àâòîðñêèé óêàçàòåëü

Gell-Mann, 218 Gell-Mann, M. 85, 220, 221, 334, 335, 336, 337, 338, 479 Georgi, H. 394, 480, 562, 563, 564 639, 640 Gilkey, P.B. 563 Gilman, F.J. 478 Gilmore, R. 87 Ginsparg, P. 561, 562 Ginzburg, V.L. 480 Glaser, V. 641 Glashow, S. 337 Glashow, S.L. 85, 338, 476, 477, 480, 562, 639 Glimm, J. 219 Goebel, C.J. 639 Goldberger, M.L. 334 Goldman, T. 335 Goldstone, J. 109, 333, 476 Golowich, E. 335, 337, 393 Gomis, J. 87, 151 Gor'kov, L.P. 480 Green, M. 478 Greenberg, O.W. 220 Greub, W. 337 Gribov, V. 85 Grisaru, M.T. 563 Gross, D.J. 219, 220, 221, 393, 394, 562, 640 Gupta, S.N. 85 Guralnik, G.S. 334, 336, 476 Guth, A. 639 Hagberg, E. 477 Hagen, C.R. 476 Hall, L.J. 480 Halperin, S. 337 Han, M.Y. 220 Hanson, A.J. 563 Hanson, G. 221 Harada, M. 152 Hardy, G.H. 394 Hardy, J.C. 477

Hasert, F.J. 477, 478 Hasslacher, B. 394, 640 Hawking, S.W. 563 Haymaker, R.W. 109 Heitler, W. 85 Henneaux, M. 86, 87, 152, 564 Herb, S.W. 477 Higgs, P.W. 476 Hinchliffe, I. 221 Hindmarsh, M. 109 Ho, P.-M. 564 Hollik, W. 478 Holstein, B.R. 333, 335, 337 Holten, van, J.W. 87 Hooft, `t, G. 151, 152, 220, 221, 338, 394, 476, 638, 639, 640 Hubbard, J. 481 Iliopoulos, J. 109, 477, 562 Itzykson, C. 109 Jackiw, R. 85, 219, 338, 479, 561, 562, 639, 640 Jaffe, A. 219 Johnson, K. 219, 479 Johnston, D. 109 Jon a-Lasinio, G. 334 Josephson, B.D. 480 Jost, J. 219 Kallosh, R.E. 87 Kaplan, D.V. 640 Kawarabayashi, K. 393 Kelley, S. 480 Kemmer, N. 477 Kendall, H.W. 220 Khlopov, M.Yu. 639 Kibble, T.W.B. 476, 638 Kim, J.E. 640, 641 Kimura, T. 86 Kleinknecht, K. 478 Klinkhammer, F.R. 640 Kniehl, B. 479 Kobayashi, M. 478

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

645

Àâòîðñêèé óêàçàòåëü Kobzarev, I.Yu. 638 Kogut, J. 220 Kolb, E.W. 641 Kolck, van, U. 335, 336 Kotchan, D. 334 Kreuzer, M. 564 Kugo, R. 85 Kugo, T. 152 Kuzmin, V.A. 640 Landau, L.D. 219, 480 Lane, K. 221, 479 Langacker, P. 336, 478, 480 Lautrup, B. 85, 394 Lavrov, P.M. 86, 151 Le1vy, M. 334, 335 Lee, B.W. 151, 476 Lee, C.Y. 336 Lee, T.D. 85, 478, 638 LeGuillou, J.C. 220 Leites-Lopes, J. 477 Leutwyler, H. 221, 337 Linde, A.D. 639 Li patov, L.N. 394 Lisi, E. 477 LoSecco, J. 393 Low, F.E. 218 Lubensky, T.C. 220 Lurie, D. 334 Luttinger, J.M. 219 Maiani, L. 477, 563 Maksymyk, I. 478 Maltman, K. 334 Manes, J. 85 Manohar, A.V. 640 Manton, N.S. 640 Martin, A. 109, 641 Maskawa, K. 478 Matur, V.S. 334 Mañes, J. 563, 564 McArthur, I. 640 Mehta, M.L. 562

Meissner, U.G. 337 Meyer, Ph. 562 Mills, R.J. 84 Min, D.-P. 336 Miyamoto, Y. 561 Moshhin, P.Yu. 86 Mostow, G.D. 336 Mueller, A.H. 394 Musset, P. 478 Muzinich, I. 85 Nakanishi, N. 85 Nambu, Y. 220, 333, 334 Nanopoulos, D.V. 480 Ne'eman, Y. 336 Neveu, A. 640 Nickel, B.G. 220 Nielsen, H. 638 Nielsen, N.K. 563 Nieuwenhuizen, van, P. 87, 563, 564 Norton, R.E. 479 Novikov, V.A. 478 Oakes, R.J. 336 Ojima, I. 85 Okubo, S. 337 Okun', L.B. 478 Okun’, L.B. 638 Oleson, P. 638 O’Raifertaigh, L. 109 Ordo1¤ez, C. 335 Pagels, H. 336 Palais, R.S. 336 Pang, Y. 638 Parisi, G. 394 Park, T.-S. 336 Parravicini, G. 109 Pati, J. 480 Peccei, R.D. 640 Perez-Mercader, J. 109 Perl, M.L. 477 Pernice, S. 394

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

646

Àâòîðñêèé óêàçàòåëü

Perry, M.J. 563 Peskin, M. 221 Peterman, A. 219 Petronzio, R. 563 Pich, A. 337 Polchinski, J. 481 Politzer, H.D. 220, 394 Polonsky, N. 480 Polyakov, A.M. 638 Pope, C. 563 Prasad, M.K. 639 Preskill, J. 338, 563, 639, 641 Primack, J.R. 639 Proeyen, Van, A. 564 Quinn, H.R. 480, 640 Raby, S. 480, 563 Raffelt, G.G. 641 Ramond, P. 479 Ray, L. 335 Rebbi, C. 85, 639, 640 Renk, B. 478 Renner, B. 336 Reshetnyak, A.A. 86 Rho, M. 336 Riazuddin 393 Romer, R. 563 Rosenberg, L. 561 Ross, G.G. 221 Rouet, A. 85, 151 Roy, P. 563 Rubakov, V.A. 639, 640 Sakata, S. 561 Salam, A. 109, 333, 476, 480, 563 Samuel, S. 87 Sanda, A. 476 Sarid, U. 480 Schrieffer, J.R. 480 Schur, I. 562 Schwarz, A.S. 86, 638 Schwimmer, A. 563

Schwinger, J. 476, 561, 564 Schwitters, R.F. 221 Seely, R. 337 Shankar, R. 481 Shaposhnikov, M.E. 640 Shei, S.-S. 338 Shellard, E.P.S. 639 Shifman, M.A. 640 Shrauner, E. 334 Siegel, W. 86 Sigg, D. 335 Sikivie, P. 641 Singer, I.M. 561, 562 Sirlin, A. 479 Skyrme, T.H.R. 638 Slansky, R. 479 Sokal, A.D. 219 Sommerfeld, C.M. 639 Srednicki, M. 640 Srivastava, P.K. 562 Steinberger, J. 561 Steinhardt, P. 639 Sterman, G. 221 Stora, R. 85, 151, 562, 563, 564 Stratonovich, R.L. 481 Stueckelberg, E.G.C. 218 Susskind, L. 479, 563 Sutherland, D.G. 561 Suzuki, M. 393 Symanzik, K. 109, 219 Talon, M. 564 Tanikawa, Y. 561 Taylor, J.C. 109 Teitelboim, C. 87 Teller, E. 477 Teplitz, V.I. 641 Thierry-Mieg, J. 85 Thierry-Mieg,J. 86 Thirring, W. 334 Titchmarsh, E.C. 333 Tomozawa, Y. 336 Towner, I.S. 334, 477

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

647

Àâòîðñêèé óêàçàòåëü Treiman, S. 334, 393 Troost, W. 564 Trubowitz, E. 481 Turner, M.S. 641 Tyupkin, Yu.S. 638 Tyutin, I.V. 85, 87, 151 Urech, R. 334 Utiyama, R. 84 Vafa, C. 338 Vainstein, A.I. 480, 640 Vanstone, R. 337 Vecchia, Di, P. 640 Veltman, M. 151, 476, 478, 561 Veneziano, G. 393, 640 Vialett, C.M. 564 Vilenkin, A. 639 Vilkovisky, G.A. 87 Voloshin, M.B. 638 Voronov, B.L. 151 Vysotsky, M.I. 478 Wagoner, R.V. 641 Ward, J. 476 Ward, R. 640 Weinberg, E. 109 Weinberg, E.J. 638 Weinberg, S. 221, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 393, 476, 477, 478, 479, 480, 481, 562, 563, 639, 640, 641

Weingarten, D. 338 Weisberger, W.I. 334 Weise, W. 334 Wentzel, G. 477 Wess, J. 336, 337, 563 Wick, G.C. 638 Wigner, E.P. 87 Wilczek, F. 220, 221, 394, 479, 480, 640, 641 Wilson, K. 393 Wilson, K.G. 219, 220 Wise, M.B. 641 Witt, de, B. 84, 87, 152 Witten, E. 337, 338, 562, 563, 564 Wu, Y.-S. 562 Yamawaki, K. 152 Yan agida,T. 479 Yang, C.N. 84, 476 Yankielowicz, S. 563 Zakharov, V.I. 640 Zappala, D. 109 Zee, A. 221, 479, 562, 563 Zel’dovich, Ya.B. 638, 639 Zhitnitsky, A.R. 640 Zimmermann, W. 393 Zinn-Justin, J. 87, 151, 220, 476 Zumino, B. 85, 336, 337, 562, 563, 564 Zweig, G. 220

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

648

Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ïîëÿ. ×. 2

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü à1-ìåçîí 364 b-êâàðê 208, 418-422 ñ-êâàðê 208, 418-422 ∆ -ôóíêöèÿ 232 + d-êâàðêè, ñì. u- è d-êâàðêè φ−ìåçîí 318 η ìåçîí 304-311, 328-332 J/ψ ÷àñòèöà 419 ρ-ìåçîíû 312 s-êâàðê 208, 304-305, 418-422 σ-ìîäåëü 261-264 σ-÷ëåí 282 t-êâàðê 208, 418-422 τ−ëåïòîí 365, 420 u- è d-êâàðêè 208, 247, 304-305, 368, 418-422 ω-ìåçîí 312

Àíòèïîëÿ 60, 127 Àíòèñêîáêè ñì. òàêæå ôîðìàëèçì Áàòàëèíà–Âèëêîâûñêîãî, àíòèêàíîíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ Àðîìàò, îïðåäåëåíèå 208 Àñèìïîòîòè÷åñêàÿ ñâîáîäà 183-185, 209 Àôôèííàÿ ñâÿçíîñòü 9

Áàçîâàÿ òî÷êà, îïðåäåëåíèå 578 Áàðèîííîå ÷èñëî 322, 585, 595 Áàðèîíû 304 Áåãóùàÿ êîíñòàíòà ñâÿçè Áåòà-ôóíêöèÿ îïðåäåëåíèå 165 çàâèñèìîñòü îò îïðåäåëåíèÿ êîíñòàíòû 190-191, 194 â ýëåêòðîäèíàìèêå 173, 206 â ñëó÷àå ìèíèìàëüíîãî âû÷èòàíèÿ Àäëåðîâñêèé íóëü 238 205 Àäðîíû, ñì. ìåçîíû, áàðèîíû äëÿ ìíîãèõ êîíñòàíò ñâÿçè 192-195 Àêñèàëüíàÿ êàëèáðîâêà 7, 21-23, 50, 58 â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå 209 Àêñèàëüíàÿ êîíñòàíòà ñâÿçè gA 253, 276 â ñêàëÿðíîé òåîðèè ïîëÿ 166-167, 177, Àêñèîíû 615-620 ñì. òàêæå ðåíîðìãðóïïà Àëãåáðà òîêîâ 261 Áîçîíû Íàìáó–Ãîëäñòîóíà, ñì. ãîëäñòîÀëãåáðû Ëè U(1), îïðåäåëåíèå 12 óíîâñêèå áîçîíû Àëãåáðû Ëè, ñì. êîìïàêòíûå àëãåáðû ÁÐÑÒ êâàíòîâàíèå 50-51, 58, 125 Ëè, ïîëóïðîñòûå àëãåáðû Ëè, ïðîñòûå ÁÐÑÒ ñèììåòðèÿ 38-51, 65, 11-112, 535àëãåáðû Ëè, U(1) àëãåáðû Ëè 538 Àííèãèëÿöèÿ å+–å– 175, 211-212, 364, Áüåðêåíîâñêèé ñêåéëèíã 367-370, 376, 384, 423 380 Àíîìàëèè â ñèììåòðèÿõ 59, 482-560 Àíîìàëèÿ Àäëåðà–Áåëëà–Äæåêèâà, ñì. Âçàèìîäåéñòâèÿ àíîìàëèè â ñèììåòðèÿõ ðåëåâàíòíûå 200, 203 Àíîìàëüíûå ðàçìåðíîñòè 183 íåðåëåâàíòíûå 200, 203 Àíòè–ÁÐÑÒ ïðåîáðàçîâàíèÿ 58, 86 ìàðãèíàëüíûå 200 Àíòèãîñòû, ñì. ïîëÿ ãîñòîâ è àíòèãîñòîâ Âèõðåâûå íèòè 454-459, 574-577 Àíòèêàíîíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ 67, Âíåøíèå ïîëÿ Kn 111 127

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

649

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü Âíåøíÿÿ ïðîèçâîäíàÿ, îïðåäåëåíèå 51, 539 Âîñüìåðè÷íûé ïóòü ñì. SU(3) × SU(3) Âðåìåííà1ÿ êàëèáðîâêà 573, 586 Âûïóêëîñòü ýôôåêòèâíîãî ïîòåíöèàëà 103 Âûðîæäåííîñòü âàêóóìà 222-227 Ãåíåðàòîðû ñèììåòðèé 20 Ãèïåðçàðÿä y, îïðåäåëåíèå 410 Ãëóáèíà ïðîíèêíîâåíèÿ 448, 453 Ãëóáîêîíåóïðóãîå ðàññåÿíèå 210, 339, 365-380 Ãëþîíû 208-210, 373 Ãîëäñòîóíîâñêèå áîçîíû 227-260, 285304, 395, ñì. òàêæå ìåçîíû, ïèîíû, ñêèðìèîíû Ãîìîòîïè÷åñêàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü, îïðåäåëåíèå 578 Ãîìîòîïè÷åñêèå ãðóïïû 316, 569, 577585, 635 Ãîñòîâñêîå ÷èñëî 35, 46, 121 Ãîñòû ãîñòîâ 54 Ãðàâèòàöèÿ 1, 8-9, 11, 19-20, 60, 126, 520-521 Ãðóïïà Spin(n) 585 Ãðóïïû Z è Zn, îïðåäåëåíèÿ 581-582, 635 Ãðóïïû Ëè, ñì. êîìïàêòíûå ãðóïïû Ëè, èñêëþ÷èòåëüíûå ãðóïïû Ëè, îðòîãîíàëüíûå ãðóïïû, ñèìïëåêòè÷åñêèå ãðóïïû, óíèòàðíûå ãðóïïû Äåáàåâñêàÿ ÷àñòîòà 471 Äåéñòâèòåëüíûå è ïñåâäîäåéñòâèòåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ 516-517 Äæîçåôñîíîâñêèé êîíòàêò 451 Äèôôåðåíöèàëüíûå ôîðìû 51, 54-55, 538 Äîìåííûå ñòåíêè 566, 570 Äðåâåñíûå äèàãðàììû, îïðåäåëåíèå 92 Äóõè Ëàíäàó 182, 187 Åâêëèäîâû ôóíêöèîíàëüíûå èíòåãðàëû 323, 486, 495-498, 629-634 Æåñòêîå ìàññîâîå óñëîâèå 322, 532

Èçîòîïè÷åñêèé ñïèí 4, 222, 247 Èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî çàðÿäîâîãî ñîïðÿæåíèÿ 211, 324 Èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî îáðàùåíèÿ âðåìåíè 324, 422 Èíäåêñ Êðîíåêåðà 588 Èíñòàíòîíû 384, 565, 573, 604-611 Èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò Êàðòàíà– Ìàóðåðà 598-604 Èíôðàêðàñíàÿ áåçîïàñíîñòü, îïðåäåëåíèå 157, 211 Èíôðàêðàñíûå ðàñõîäèìîñòè 156-157, 211 Èñêëþ÷èòåëüíûå ãðóïïû è àëãåáðû Ëè 16, 81, 517 Êàëèáðîâêà Ëàíäàó (èëè Ëîðåíöà) 32, 403 Êàëèáðîâêà Ôåéíìàíà 32 Êàëèáðîâêà ôîíîâîãî ïîëÿ 131-138 Êàëèáðîâêà Ôóäæèêàâû–Ëè–Ñàíäû Êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü 3-9, 427, 446 Êàíîíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ (â ôîðìàëèçìå Áàòàëèíà–Âèëêîâûñêîãî), ñì. àíòèêàíîíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ Êâàíòîâàíèå ïîòîêà 449-459 Êâàíòîâàÿ õðîìîäèíàìèêà 208-215, 304, 384, ñì. òàêæå êâàðêè, ãëþîíû, àñìïòîòè÷åñêàÿ ñâîáîäà, ãëóáîêîíåóïðóãîå ðàññåÿíèå Êâàíòîâàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà, ñì. ýëåêòðîäèíàìèêà Êâàíòîâîå ìàñòåð-óðàâíåíèå 70, 127 Êâàíòîâîå ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå 8891, 104-108, 223, 228, 416, 472 Êâàðêè 208-215, 304, 368-369, 418-422 ìàññû 614-620, ñì. òàêæå àíîìàëèè Êèðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ 247-250 Êëàññû óíèâåðñàëüíîñòè 204 Ê-ìåçîíû 307-312, 318, 419 Êîâàðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå â êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèÿõ 6 â îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè 9 â ñïîíòàííîì íàðóøåíèè ñèììåòðèè 264, 295 Êîãîìîëîãèÿ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

650

Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ïîëÿ. ×. 2

àíòèñêîáêè 129-130, 547-549 àíòè-ÁÐÑÒ 86 ÁÐÑÒ 45, 531 äå Ðàìà 321 Êîëëåêòèâíûå ïàðàìåòðû 620 Êîìïàêòíûå àëãåáðû Ëè, îïðåäåëåíèå 13 Êîíñòàíòû ñâÿçè ýëåêòðîñëàáûå 410-416, 436-437, 441, 623 äëÿ íåàáåëåâûõ êàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé 17, 137, 149-150 äëÿ ñêàëÿðíûõ ïîëåé 165 Êîððåëÿöèîííàÿ äëèíà 453 Êîñìè÷åñêèå ñòðóíû 576 Êîñìîëîãèÿ 570, 576, 594, 611, 619, 623 Êðèâèçíà, ñì. òåíçîð êðèâèçíû Ðèìàíà– Êðèñòîôôåëÿ Êðèòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè, ÿâëåíèÿ 198204 Êóëîíîâñêàÿ êàëèáðîâêà 21 Ëåïòîííîå ÷èñëî 410, 425-426 Ìàãíèòíûå ìîíîïîëè 304, 565, 585-598 Ìàíäåëüñòàìîâñêèå ïåðåìåííûå, îïðåäåëåíèå 158 Ìàñòåð-óðàâíåíèå 60, 64, 113, ñì. òàêæå êâàíòîâîå ìàñòåð-óðàâíåíèå Ìàòðèöà Êîáàÿøè–Ìàñêàâû 420 Ìàòðèöû λ 305 Ìåçîíû 304-315, 318, 328-332, 364 Ìåðà äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ôåðìèîííûì ïîëÿì 485-498, 609 äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ïî êàëèáðîâî÷íûì ïîëÿì 25 Ìåðà Õààðà 30 Ìåòîä Ôàääååâà–Ïîïîâà–äå Âèòòà 2, 26-34, 61 Ìåòðèêà äëÿ êàëèáðîâî÷íûõ ãðóïï 9-17, 72-77 äëÿ ïîëåé ãîëäñòîóíîâñêèõ áîçîíîâ 568 äëÿ ãðóïï Ëè 13, 599 Ìåõàíèçì ÃÈÌ 418 Ìåõàíèçì Õèããñà, îïðåäåëåíèå 395

Ìèíèìàëüíîå âû÷èòàíèå 168, 204-208, 216 Ìèíèìàëüíûå ïåðåìåííûå 62 Ìîíîïîëÿ ÁÏÑ 592 Ìþîí 415-417 Íàêðûâàþùèå ãðóïïû 82, 595 Íåàáåëåâû êàëèáðîâî÷íûå òåîðèè 1-82, 118-126, ñì. òàêæå êâàíòîâàÿ õðîìîäèíàìèêà, ýëåêòðîñëàáàÿ òåîðèÿ Íåéòðàëüíûå òîêè 417-422, 439 Íåéòðèíî 408-411 ðåàêöèè ν−å èν−å 364, 417 ìàññû è îñöèëëÿöèè 425-426 Íåéòðîí, ñì. ýëåêòðè÷åñêèé äèïîëüíûé ìîìåíò íåéòðîíà, íóêëîí Íåëèíåéíûå ðåàëèçàöèè 265, 293-303 Íåíàðóøåííûå ñèììåòðèè 321-328 Íåîäíîçíà÷íîñòü Ãðèáîâà 21 Íåïðèâîäèìîñòü, îïðåäåëåíèå 73-74 Íåðàâåíñòâà Áîãîìîëüíîãî 591, 594, 605 Íóêëîí êàê ñêèðìèîí 585 àêñèàëüíûå ôîðì-ôàêòîðû 253-254, 258 âçàèìîäåéñòâèå ñ ïèîíàìè 273-289 ìàññû 282, 315 Íóëåâûå ìîäû 620-623, 627, 640 Îáîáùåííàÿ ôåéíìàíîâñêàÿ (ξ) êàëèáðîâêà 33, 402 Îáîçíà÷åíèÿ äå Âèòòà 52 Îáðàçîâàíèå ïóçûðåé 628-629 Îáðåçàíèå 148, 154-155, 489-491 Îáùàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè, ñì. ãðàâèòàöèÿ Îáúåäèíåíèå ñèëüíûõ è ýëåêòðîñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèé 439-445 Îäíî÷àñòè÷íî íåïðèâîäèìûå äèàãðàììû 90-92 Îïåðàòîð ∆ 70 Îïåðàòîð Ñëàâíîâà, îïðåäåëåíèå 55 Îïåðàòîð Õîäæà 57, 87 Îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ 339-391 Îðòîãîíàëüíûå ãðóïïû 16, 78-79, 81, 635-636 Îòêðûòûå êàëèáðîâî÷íûå àëãåáðû 59,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

651

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü 63, 69-71 Ïàðàìåòð Λ â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå 208-211 Ïàðàìåòð F äëÿ íàðóøåííîé ñèììåòðèè, îïðåäåëåíèå 235 Ïàðàìåòðû Ãàññåðà–Ëåéòâàéëåðà Ïàðàìåòð ïîðÿäêà 303, 451-452 Ïàðòîííàÿ ìîäåëü 367-368 Ïåðåíîðìèðîâêà íà ñêîëüçÿùåé øêàëå 153-155, 163178 â ïðîèçâîëüíûõ òåîðèÿõ 125-131, 193196 â «ïåðåíîðìèðóåìûõ» êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèÿõ 113-125 ýëåêòðîí-ýëåêòðîííîãî ïîòåíöèàëà 469 ïîëåé 136-137, 162 êàëèáðîâî÷íûõ êîíñòàíò ñâÿçè 137, 148-149, 163 ïðîèçâîëüíûõ îïåðàòîðîâ 159-163, 170, 343, 349, 390 ìàññ 136-137, 196-198 êîíñòàíòû ñàìîäåéñòâèÿ ïèîíîâ 270 ñêàëÿðíûõ êîíñòàíò ñâÿçè 157-158 Ïèîíû êàê ãîëäñòîóíîâñêèå áîçîíû 247-304 êîíñòàíòà ñâÿçè ñ íóêëîíàìè 254 π± ðàñïàä 251-252, 256 π0 ðàñïàä 482-486, 495 ìàññà 256 ðàññåÿíèå íà íóêëîíàõ 279-283 ðàññåÿíèå íà ïèîíàõ 268-270 ãîëîâàñòèêè Ïëîòíîñòü ×åðíà–Ïîíòðÿãèíà 491 Ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå 572, 628-629 Ïîäàëãåáðû, îïðåäåëåíèå 12 Ïîäñòðîéêà âàêóóìà 243, 246, 256 Ïîäñ÷åò èíäåêñîâ ðàñõîäèìîñòè 267268, 274, 277-278, 433, 462 Ïîëå Íàêàíèøè–Ëàóòðóïà 40 Ïîëíàÿ ïðèâîäèìîñòü, îïðåäåëåíèå Ïîëÿ ãîñòîâ è àíòèãîñòîâ 34-38, 404 Ïîëÿ ð-ôîðì, ñì. äèôôåðåíöèàëüíûå ôîðìû Ïîðîãîâûå ïîïðàâêè

Ïîñòîÿííàÿ àíîìàëèè Dαβγ, îïðåäåëåíèå 502 Ïðàâèëà ñóìì äëÿ ñïåêòðàëüíûõ ôóíêöèé 358-365 Ïðàâèëî ñóìì Àäëåðà–Âàéñáåðãåðà 259, 285 Ïðàâûå ñìåæíûå êëàññû, îïðåäåëåíèå 289 Ïðåîáðàçîâàíèå Áîðåëÿ 380 Ïðåîáðàçîâàíèå Ëåæàíäðà 91, 111 Ïðåîáðàçîâàíèå Õàááàðäà–Ñòðàòîíîâè÷à 463 Ïðèáëèæåíèå òîíêîé ñòåíêè 628 Ïðèíöèï êëàñòåðíîãî ðàçëîæåíèÿ 227 Ïðèñîåäèíåííîå ïðåäñòàâëåíèå, îïðåäåëåíèå 4 Ïðîáëåìà U(1) 328-332 Ïðîíèöàåìîñòü áàðüåðà, ñì. òóííåëèðîâàíèå Ïðîñòûå àëãåáðû Ëè, îïðåäåëåíèå 12 Ïðÿìûå ñóììû, îïðåäåëåíèå 12, 74 Ïñåâäîãîëäñòîóíîâñêèå áîçîíû 240-246 Ïñåâäîäåéñòâèòåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ, îïðåäåëåíèå 516-517 Ðàçëîæåíèå Âèëüñîíà–Ôèøåðà 202 Ðàçëîæåíèå Êàðòàíà 290 Ðàçìåðíàÿ ðåãóëÿðèçàöèÿ 149-150, 168, ñì. òàêæå ìèíèìàëüíîå âû÷èòàíèå Ðàñïàä 14Î 251, 418 Ðàñïàä âàêóóìà 178, 623 Ðàñïàä ïðîòîíà 426 Ðàñøèðåííûé òåõíèöâåò 438 Ðåíîðìàëîíû 380-386 Ðåíîðìãðóïïà 153-217, 352-355, ñì. òàêæå àíîìàëüíûå ðàçìåðíîñòè, àñèìïîòîòè÷åñêàÿ ñâîáîäà, àñìïòîòè÷åñêàÿ áåçîïàñíîñòü, áåòà-ôóíêöèÿ, êðèòè÷åñêèå ÿâëåíèÿ, ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà, äóõ Ëàíäàó Ðåøåíèÿ–«áàóíñû» 566, 625 Ðåøåòî÷íîå ïðèáëèæåíèå 31, 53, 155, 187-189, 321 Ñâåðõïðîâîäèìîñòü 303, 445-473 Ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ 202 Ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ 322-323, 523-532

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

652 Ñâÿçè 20 Ñå÷åíèå Ìîòòà, îïðåäåëåíèå 366 Ñèììåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà, îïðåäåëåíèå 290 Ñèììåòðèÿ SO(10) (èëè Spin(10)) 440 Ñèììåòðèÿ SU(2) × SU(2) 247-250, 362 Ñèììåòðèÿ SU(2) × U(1), ñì. ýëåêòðîñëàáàÿ òåîðèÿ Ñèììåòðèÿ SU(3) è SU(3) × SU(3) 304321, 327-328, 364 Ñèììåòðèÿ SU(4) × SU(4) 440 Ñèììåòðèÿ SU(5) 440 Ñèììåòðèÿ Ïå÷÷åè–Êâèííà 615-617 Ñèìïëåêòè÷åñêèå ãðóïïû 16, 79-81, 517, 635 Ñèíãóëÿðíîñòè ïðè íóëåâîé ìàññå, ñì. èíôðàêðàñíûå ðàñõîäèìîñòè Ñêèðìèîíû 565, 568-571 Ñêðûòàÿ ñèììåòðèÿ 437 Ñëàáûå âçàèìîäåéñòâèÿ 251-253 Cëó÷àéíûå ñèììåòðèè 213 â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå 213 â ñòàíäàðòíîé ìîäåëè 425-426 Ñìåæíûå êëàññû, îïðåäåëåíèå 289 Ñîîòíîøåíèå Ãîëäáåðãåðà–Òðåéìàíà 254, 258, 276 Ñîîòíîøåíèå Êàëëàíà–Ãðîññà 368, 376 Ñîõðàíåíèå ÷åòíîñòè 213, 324, 422, 613 Ñïîíòàííîå íàðóøåíèå ñèììåòðèè 88 ïðèáëèæåííûå ñèììåòðèè 240-246 äèíàìè÷åñêèå íàðóøåíèå ñèììåòðèè 426-439 ãëîáàëüíûå ñèììåòðèè 222-332, 355357 â ñâåðõïðîâîäèìîñòè 308 ëîêàëüíûå ñèììåòðèè 3, 395-473 ÑÐ-íåñîõðàíåíèå 613-617 Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü , ñì. òàêæå ýëåêòðîñëàáàÿ òåîðèÿ, êâàíòîâàÿ õðîìîäèíàìèêà Ñòàíäàðòíàÿ ïîäãðóïïà SU(2) 602 Ñòðàííîñòü 213 Ñòðóè 157, 210-211 Ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû 3-4, 11-17, 55, 71-77, 123 Ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè 365-366 Ñóïåðãðàâèòàöèÿ 59

Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ïîëÿ. ×. 2 Ñóïåðñèììåòðèÿ 445 Ñôàëåðîíû 640 Òâèñò 372 Òåìïåðàòóðíûå ýôôåêòû 200-201, 611, 629 Òåíçîð êðèâèçíû Ðèìàíà–Êðèñòîôôåëÿ 9 Òåíçîð íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ Fµν, îïðåäåëåíèå 6 Òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà 19-20, 380 Òåîðåìà Àäëåðà–Áàðäèíà 512 Òåîðåìà Àòüè–Çèíãåðà îá èíäåêñå 498 Òåîðåìà Äåððèêà 569, 626 Òåîðåìà Ðèìàíà–Ëåáåãà 226 Òåîðåìû ïåðèîäè÷íîñòè Áîòòà 636 Òåîðèè ñòðóí 51-58 Òåîðèÿ Áàðäèíà–Êóïåðà–Øðèôôåðà 459-473 Òåîðèÿ Ãèíçáóðãà–Ëàíäàó 452 Òåîðèÿ ßíãà–Ìèëëñà, ñì. Íåàáåëåâû êàëèáðîâî÷íûå òåîðèè Òåõíèöâåò 438-439 Òîæäåñòâà Ñëàâíîâà–Òåéëîðà 106, 111, 548 Òîæäåñòâî Áüÿíêè (äëÿ êàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé) 19, 82 Òîæäåñòâî ßêîáè 4, 55, 65, 67 Òîêè àêñèàëüíûå 251-254, 270 â êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèÿõ 18-19 â ñâåðõïðîâîäíèêàõ 433, 451 àíîìàëüíûõ ñèììåòðèé 491-493 íàðóøåííûõ ñèììåòðèé 231 ïîëóëåïòîííûõ ñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèé 417 èñïîëüçóåìûå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýôôåêòèâíîãî äåéñòâèÿ 89-91 âåêòîðíûå (èçîñïèíîâûå) 251 Òîêè âòîðîãî ðîäà 252 Òîïîëîãè÷åñêîå ÷èñëî 603, 607, 611 Òîïîëîãèÿ 566-577, ñì. òàêæå ãîìîòîïèÿ, êîãîìîëîãèÿ Òðàíñëÿöèîííàÿ èíâàðèàíòíîñòü àíòèãîñòîâ 121 Òðèâèàëüíîñòü 189 Òðèâèàëüíûå ïàðû 62

653

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü Òóííåëèðîâàíèå 225, 611, 623, 628 Óãîë Êàáèááî 251, 418-422 Óãîë òåòà 611-620 Óíèòàðíàÿ êàëèáðîâêà 395-397, 434, 473 Óíèòàðíûå ãðóïïû è àëãåáðû 16, 77-82, 635 Óðàâíåíèå Çèíí-Æþñòåíà 59, 110-113, 128 Óðàâíåíèå Êàëëàíà–Ñèìàí÷èêà 166, ñì. òàêæå ðåíîðìãðóïïà Óðàâíåíèÿ Àëüòàðåëëè–Ïàðèçè 376 Óðàâíåíèÿ ñïóñêà Ñòîðû–Çóìèíî 541 Óñëîâèÿ êâàíòîâàíèÿ Äèðàêà 593 Óñëîâèÿ ñîâìåñòíîñòè Âåññà–Çóìèíî 533-549

×àñòèöà Z0 175, 215, 408-416, 423 ×àñòèöû W± 408-416, 423 ×àñòè÷íîå ñîõðàíåíèå àêñèàëüíîãî òîêà (×ÑÀÒ) 260 ×èñòî êàëèáðîâî÷íûå ïîëÿ 8, 448, 573575 ×ëåíû Âåññà–Çóìèíî–Âèòòåíà 315-321 Øâèíãåðîâñêèå ÷ëåíû 543 Ùåëü 468

Ýëåêòðè÷åñêèé äèïîëüíûé ìîìåíò íåéòðîíà 615 Ýëåêòðîäèíàìèêà 1, 47-49, 149, 162-163, 173, 206 Ôàçîâûå ïåðåõîäû 204 Ýëåêòðîí 408-417 Ôåðìèåâñêàÿ êîíñòàíòà 252, 423 Ýëåêòðîñëàáàÿ ìîäåëü Äæîðäæè–Ãëåøîó Ôåðìè-ïîâåðõíîñòü 460 408, 585, 594 Ôåððîìàãíåòèçì 202 Ýëåêòðîñëàáàÿ òåîðèÿ 408-426, 436-439, 610 Ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà 182, 198-200 Ôèêñèðóþùèé êàëèáðîâêó ôóíêöèîíàë Ýëåêòðîñëàáûé óãîë ñìåøèâàíèÿ 412, 416 Ýôôåêò Ìåéññíåðà 448 26, 53, 61, 68, 403 Ýôôåêòèâíàÿ òåîðèÿ ïîëÿ 198 Ôîíîâîå ïîëå 131 äëÿ ïðîèçâîëüíîé íàðóøåííîé ãëîáàëüÔîðìà ×åðíà–Ñàéìîíñà 492 Ôîðìàëèçì Áàòàëèíà–Âèëêîâûñêîãî 59- íîé ñèììåòðèè 285-304 ïèîíîâ è íóêëîíîâ 260-285 71, 125-131, 514-547 äëÿ ñâåðõïðîâîäèìîñòè 459-473, Ôîðìóëà Áàðäèíà 510 ñì. òàêæå ÷ëåíû Âåññà–Çóìèíî–Âèòòåíà Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà 578 Ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå, ñì. êâàíòîâîå Ôóíêöèÿ Ãåëë-Ìàííà–Ëîó, ñì. áåòàýôôåêòèâíîå äåéñòâèå ôóíêöèÿ Ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë 96-100, 175-178, Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ 630-631 228, 466-467 Õèããñîâñêèé áîçîí 424 Þêàâñêèå âçàèìîäåéñòâèÿ 413-416 Öâåò, îïðåäåëåíèå 208