数学物理方程讲义 [1 ed.]

167 70 50MB

Chinese Pages [253] Year 2007

Report DMCA / Copyright

DOWNLOAD FILE

数学物理方程讲义 [1 ed.]

Table of contents :
目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249

Citation preview



1.2



1.3

§



吐振动力卑 利定斛条 f,1 ,卜 众 定斛 方程和 热传导 ······································13 ······· ······· ······· ······· 允体力学基本方程轧

...............................................................

8

1.1



....................................................................................

1 1 1

守衍律

会.......... ................ ........................

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••

2

_

方程的导出和定解条件





1

§

第一章

.... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... 1s 之分原理

···············································19· ······· ······· ······· ······· 极小曲面问题 ...................................................... 2:: ....... ....... ....... 膜的平衡问题

2.1 2.2

····························25 ······· ······· ······· ······· ······· 带有防羽的膜平衡问题

3 83

"'2.3

定解问逍的适定性



·················'.:·· '.··:.'.·:..:,,-心�··-皇…曼.. 曼... 鱼····�

--

......,,

分类 •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••• • •• • •••••••••••••••••••••••••• ·········27" 适定忖的概念 ···········································································31

O),

特别当g1(t)=g2(t)=.ccO时,称弦线具有固定端. 2.

已知在端点所受的垂杠于弦线的外力的作用,即 c,

(1.8)

OU

一 飞了 '

J

'

=g,(t) ,

z:O



au 言 , 少=! C

'JT

I



二了

g 2 (t)

(t>-0),

特别当g1 (t) 0-= g2(t) =O时,称弦线具有自由端. 3.

已知端点的位移与所受外力作用的一个线性组合

(1.9)

1 1言I ,、

一 '1' OU :言 r�o 嘈

()U

I 怎 =I

+a,u(O,t)=g1(t) (t�O) .;-a 汉 (l, t)

C二

g2(t) • 5 •

(a,>O,i=l,2), 特别当g1(t) =g2(t) =O时,表示弦的两端固定 在弹性支承上,a;(i=l,2)分别表示支承的弹性系数. 通常我们把初始条件和边界条件统称为定解条件' A个偏微 分方程连同与它相应的定解条件(初始条件和边界条件)组成一 个 定解间题. 因此为了寻求在特定条件下弦的振动规律,我们需要 去求解一个相应的定解问题. 在区域{O

文::::

x·�l ,t;;eo}上由方程(1.5)、初始条件(1. 6)以及

边界条件(1. 7)-(1. 9)中间的任意一个组成的定解问题称为弦抚 动方程的混合问题. 如果对于弦上的某一段,在所考虑的时间内,弦线端点(边界)· 的影响可以忽略不计,那么我们可以认为弦长是无穷的,这样就不 必考虑边界条件.

我们把在区域{-oo< 劣 • \>•

图1.4

气产= -- p(v·v)v-v(v·pv)-vp + I

o•v =

a u页+

1)

a a 吓 -w 芷l = U1小心.

方程组(1. 29)的推导作为 一 个习题请读者自行证明.利用连续性 方程(1.28), 方程组(1. 29)可以简化为 (1.30)

詈 +p(o·v)o=-vp+/,

或者写成分量形式 au au 可订,石-+

av ov 可+气压十

V

V

au au 1 op + f -1 — 丙-w石-= --

p 扣

p'

av av =-- l - op + - f 2 石 丙+w P ay P, `

• 15 志 ·

aw .

ow -

ow ow I o p + ·il = 页 w t 万 勹 + 初三U扣 p oz p. 方程组(1. 30)称为流体的运动方程组.

c.



能量守恒定律

在D内流体的总能量 t=t2

='通过8D流入的能篮 j t13时上述问题一般无解. 当方程(3.4)在二维区

域豆上是双曲型的情形,在下一章我们将具体给出寻找函数

夕1(X1,X2)和“灼,X2)的办法.

• ,o •



3.2



适定性的概念

从上两节定解问题的建立可以看出 1 对千三个方程(3 .1) (3.2),(3.3)定解问题的提法是不同的:对千波动方程(3.1)和热传 导方程(3.2)应该提混合问题和初值问题,而对位势方程(3.3)应 该提边值问题. 这样提定解问题从物理上讲是合理的. 人们自然 要问: 这样提定解问题在数学上是否也是正确的呢?这里就牵涉







到所谓 提法正确 在数学上的涵义应该是什么?对千这个问题的 回答是 1 为了使一个偏微分方程的定解问题正确反映客观实际,它 必须有解存在,且只有一个解以及解对定解数据(即出现在定解条



件和方程中的已知函数)是连续依赖的. 最后一点,我们也称之为 是稳定的. 如果一个定解问题的解存在,唯一,稳定, 那么我们称 这个定解问题是适定的,在数学上就认为它的提法是正确的. 以 下我们分别解释 定义3.2



下存在、唯



、稳定这三个概念.

设U是一个定义在区域豆上的函数,它在9内

二次连续可微且适合方程. 又设它本身以及出现在定解条件中的 微商连续直到Q的给定定解条件的边界, 件,我们称

U

并适合已给的定解条

是这个定解问题的解.

因此在这个怠义上说,所谓解存在, 就是在豆上存在这样一 个具有上述光滑性的函数, 它适合方程和定解条件. 当然解的概 念还将随着问题性质的变化和需要作必要的扩充(见本书有关广 义解的论述), 因此解的存在性问题依赖千按照什么意义来定义 解. 解的唯



性的讨论同样也必须与



定的函数类相联系 , 确切

地说,所谓唯一性问题就是研究定解问题在给定函敷类内如果有 解,解是否只有



个?对于线性定解问题(即出现在方程和定解条

件中的未知函数本身及其各阶微商都是 一 次的),唯一性问题将归 结为相应的齐次定解问题在给定的函数类内是否只有零斛.

(所

谓定解问题是齐次的是指方程是齐次的, 定解条件也是齐次的.) • 31•

..

'""

一 般都是 次项等) 程的非齐 边值和方 因为定解数据(如初值、

通过实际测量得到的,它不可能绝对正确,所以人们自然关心对千 定解数据的微小差异是否会引起解的完全失真?这就是解的稳定 性问题, 即解是否连续依赖于定解数据?当然讲大小就要先引入 度拊

定义3.3

设G是一个函数集合, 如果对千任意两个函数

f1,f2EG, 必有a小+a小EG(a1, a王R), 那么称G是线性空

间. 如果对于任意fEG, 都有一个非负的实数 (1)若 / 1 , 儿EG, 则

凡龛

适合

�n 与它对应,且

lit, +f计,;;; I f I�+ H 21,

(2)若f EG,aER, 则

Ila/II=/ al llfl;

(3) llfll ;,.o, 其中等号当且仅当f=O时成立, 那么称G为

线性赋范空间, 对于



IJH 称为 f的范数或模





个函数集合,如果按照某种方式引入了 范数 ,也就是

规定了度最, llf 1-J2II的大小就表示在这个度址意义下!1与J2 的接近程度.

有了线性赋范空间的概念, 我们可以确切地给出解的稳定性

的定义.

为了叙述明确起见,我们不妨以弦振动方程(3.1)的混合问题

为例. 我们说混合问题的解对初值是连续依赖的,这意味着如果

把初值{中4分(中是初位移,$是初速度)看作是线性赋范空间O 中的元素, 而把相应的混合问题的解 U 看作是线性赋范空间U中

的元素, 则对于任意{ (/)1'�沁E中(i=l,2)以及相应千它们的解也 (i= 1,2)有: ve>0,30>0, 当 I {rp1, 仇} 一 切2''P分 !.,,1肛(x,, ... 心,t-r)d了



= f (x1, · · ·,x.,t) + a2t:..u 扣 从而定理获证. 附注 1

根据定积分的定义,表达式 (1. 7) 可以表成和的极

限: U3= lim



n-1

区 M f,,(x1, ...'凡,t—t;)�t;

Llt,-->O i=O

其中O=t o, 故它们的系数行列式必为零, 即J (0) =O.

同理由边界条件

(2 .13)可得J(l)=O. 将它们代入(2.16), 立得 (仁

µ,)f。 X 汇dx=O, µ

由千入子µ,'故必有

如果把这个积分看成内积, 那么它表示了X µ 与凡正交1

宣附注1 从性质(i)可以知道,当且仅当队=队=O时,入=O 才是Sturm-Liou ville问题(2. 11)一(2.13)的特征值,也就是说

只有当(2.12)、(2 '. 13)是第二边界条件时,入=O才是特征值,相

应的特征函数亿=1(如不计常数因子). 在具体寻求所有特征值 和特征函数时,这 一 点 一 定要倍加小心. 附注2

性质(iv)体现了这样一件重要事实: 即全体特征函

数{X九(门}组成了L2[0,Z]空间的一组完备正交基. 如果将它们 规范化,即令 • 72•



X沁) =

X.(x)

令 `

/' f 们心

那么它们也是标准的.从面与行限维欧氏空间相仿,任意属千L2 飞 0 l 飞61)的元素(函数)都可以按这组标准正交恁展开,而Four­ 沁r系数为

f (儿^)飞心 (心 )心 r 心 = - o i-==-=J J I ' 炉rl:r

其实就是

f 位)在



1

f(x) 立 (x) 心,



坐标向阰 江(x)上的投影(按压空间定义的

内积). 当然定理2.1只是定性地担示了特征值问题的一些内在特 征,至于为f求出全体特征值和行征函数的具休形式,我们还必项 逍过眢边值问题(2.11)



(2.13)来得到.. 现在我们回过来炯特征

值间题(2.9),(2.10). 根据定理2.1的刊质1'特征值问题(2.9),(2.10)的所有特 征值都是正的,从而方程(2.9)的通解为: X(x) = 0 1 sin-V了x + 0 2 cos-VT x. C 2= 0,



由边界条件(2.10), 得 C 1 siny启 ��o.

为了使X(劣)是非零函数,故须有siny'万l =O, 即 n = l,2,·",

(2.17)· 相应的非零解(即特征函数)为 (2.18)

凡(x)=Csin罕兀

n=l,2, • • ••

这样我们就求得了特征值问题(2.9),(2.10)的解. 这也表明:为 • 13 ...

.



.

"

.

使方程(2.1)和边界条件(2.2)具有非零的变量分离形式(2.5)的 特解,方程(2。8),(2.9)中出现的参数入必须具有(2.17)的形式, 从而由(2.8)得: 邸) =A.sin

宁 t+B cos宁 t

即, u九位,t) =(儿 sin





=1,2, ••• ,

宇 t + BnCOS 宁 t) sin 干

需要指出的是,对于任意的见这里的

Un 位,t)适合方程(2.1)和边

界条件(2.2). 现在我们把所有 Un 位,t)叠加起来,使它适合初始条件(2.3), (2.4入即取

-飞也

(2.19)

。詹

u(�,t)= nsin



.. �1

u ,. (x,t)

宁 t+ B,. 平) sin平, cos

使得 (2.20)

叭巧) =ul1-o =

..

n冗 江 B九 sin l飞, n=I 00



(2.21)

劝(x) =u, I 1=0

=汇 九



an 一 兀 九冗 一 -丁 斗sin 千一 ” ,

=l

(请注意,由于我们现在是求形式解,因此无妨假设所有和号与求 微商,取极限的运算可以交换). IV) 1全体特征函数{ sin气乌 [0,1]上的完备正交系,因此叭x),心(x)都可以按照它展开 , .. n兀 一 (2.22) 叭$)=区'Pn s in l x,

霄一 1

• 74•

-.

•••.一 、 卫祀-·-·上·

(2.23)

n兀 叭幻=区礼sinzx, n=J

其中 峦

=

+r。 叭x)sin已l “心, 2

礼=丁

f。 l

心. 心位) sin乌 l

比较(2.22),(2.23)与(2.20),(2.21), 立得, (2.24)

B,.= 贮

(2.25)

2 — = A九

=yfD 2

-f

I

a 九冗 O

1



n



卢) sin一 “心 ,

l



九兀

v,(x)sm一 过x. l

这样我们就求得了混合问题(2.1)一(2.4)的形式解(2 .19), 其中系数A ,. , 凡由公式(2.25),(2.24)给出. 综上所述,分离变量法的解题步骤可以分成三步$ 第一步:令u($,t)=X(x) T(t)适合方程和边界条件,从面 定出X位)所适合的Sturm-Liou ville问题,以及T(t)适合的常 微分方程. 第二步:解Sturm-Liouville问题,求出全部特征值和特征 函数. 并求出相应的T(t)的表达式. 第三步:将所有变扯分离形式的特解叠加起来,井利用初值 定出所有待定常数. 当然为了证明形式解(2.19)确实是解, 关键在于证明所求微 商和取极限的过程可以与和号交换. 具体说来,即需要证实`

-

..

口区 U 产区口 Un, 霄

-1

n=J

00

lim

.叩,I

""

区 'Un = 区 lim u ,. , 11-+0



Dl

11•1

,I



• 15•

--

.

-



匠忙(ttn}=



(m = 0,1).

立叩 会)

根据数学分析课程中的熟知结论,为了证实上述运算是合法的,只 需要证明级数

..

00

Du 九,

区 Un, 区 九

n=I

=l

""

区 D飞 冗=)

(D表示对 X ,t的一级微商)在区域Q={O� 正;;;;;z,0�1�T} (T 任意)上 一 致收敛.为此我们谣要对定解资料加上光滑性要求,以 及在角点(0,0),(l,O)处的相容性条件. 定理2.2

若"'t_ 2 叭



'

时,解(2.37)可表成 a

=区

,. .. ,. eu ,. (eu

2

广

,.



eu ,. )

. .,一 x (叭sinm ,. t-© ,. sineu ,. t) sin ,"一 九亢

k厅 . 一旦立t coseu�t)sin x. l 2Cu, ""'"' .

由此可以看出,对应千固有频率为Cut的第k个振动元素u. 伈,t)' • 84•

!

' ,

(i)•

2



+(立[email protected] 良 "



t cos w 1t,

'

其振幅随时间t



',



起无限增大,这秤现象称为 共振 . 在物理上,

这表示一根两端固定的弘线, 如果在



个周期外力的作用下作强

迫振动,假如这个周期外力的频率与弦线的某一特征频率相等, 将产生共振, 即归线 一 些点的振幅将随着时间的增大

趋千无穷,这必然在某一时刻导致弦线的断裂, 因此对千很多工

程问题(例如建坝、建屋、…)来说, 共振现象必须设法避免.为 此必须预先知道这个物体的固有频率, 即去求某一个特征值问题

的解. 但是在有些问题中, 例如在电磁振荡理论中,人们又经常 “



利用 共振 现象来调频,所以特征值问题无论在建筑工程方面还 是在无线电、电子工程方面都有着重要的应用. 2.3能量不等式

为了研究混合问题解的唯 一 性和

稳定性, 我们对波动方程的混合问题 建立能量不等式.

C==i-

定理2.3 (能量不等式) 1

2

若u(x,y,t)EC (众) nc (Q T )是

,,.. --

,=or

波动方程混合问题(2.30)一(2.33)

-- ----、

/Jr

r.Jr ---­ .... ... 一 .一

"

图2.11

的解, 其中Q 尸 Qx(0,'1'), 则存在 只依赖千T的常数111, 使得:

JJ 心+a lv寸),=• dxdy 2

(2.38)

Q

;

o.

当f= 0时,M=l, 不等号由等号代替. 证明

与§1.3定理1.4的证明相仿,我们把证明写成四步.

第 一 步:在波动方程(2. 30)两端乘u, 并在柱体Q T 上求积

分,从而有

(2.39)



0,

• 95 •

.

I

-

第二步:把上式左端的被积函数写成散度形式,事实上与

1.3中所述相同,我们有: 2 a 1 u,[u11-a2Ll-u]= 一 (u,2), + 一(Jvul2), 一•1V·(tc,Vu). 2 2 利用Oc:rporn 钮CKHii-Gauss公式,(2.3�)左端的积分(记作,J) 可改写为 1 ii�.

其中虎, = cos(n., 劣凡+cas(n,y)i,,

n 为外法向 .

第三步:利用边界条件证明给定在栈仲的侧面X上的积分 为零 事实上,在侧面2上,cos(n, t) = 0, 边条件(2.11)蕴含着 也 = O, 因此在J中,给定在X上的积分戈式,即

心 d y, 所以当f""'0时,我们证明了估计(2 .38)的正确性, 其中M= 1不等号由等号代替. 当

f 千0时,表达式有形式

(2.4�)

1

, P

., .a D

D了 ` , 矗



第四步:把上述等式右端第二个积分分成两部分 Q,

1

. ,, .

Q了





井命,

2 IV寸)心dydl. +a D(r)= fjf(u.2



Q,

从而(2.40)可改写为:

dQ(i-) 凡(i-) +eD(i-), [ --,,;:; d,

(2.41)

lD(OJ=O,



f叮

其中凡(-r)=上 e.

J

v,

f:d 幻 clydt-i--ff (沪-庄V吓) dxdy应

廿Gron wall不等式,得到

Q(-r) 冬

(2.42)

s:

D

e•(T- I)

凡(t)dt.

咚它代入(2.41)得 (2.43)

取e

1 T

=一 ,从而有

ffo, -oo令o,

ul,=, O切

at'

(4)

Bx

= -一,u,l,., =

l

o,o,s;; 正;;;;z,

. ' (x,t)EQ, = iJ'u 矿

a

u. I •• , =Asin(l)t, u I 雾 =• = O,t;>O, U I,=, = 1,u, I ,=, = O, O�x�l.

分别讨论不产生共振与产生共振两种情况,

(5)

,沪 ' u =

at'

沪u 对 ' (x,t)EQ,

a

u. I =, = t',u 芯 + u I • =, = t, 1;;;..o, 了

叫,=, = u, I•=o = O,O�x:,;;:;;z. 24. 考虑定解问题, u,. 一-u •• =f(x, t), (x ,t) EQ, 叫.�, = u I ,=1 = 0 .o�t冬T, 试问对?冲,f加什么条件才能保证由Fourier方法所得的解是古典解?试 • 120•



iJu Lu- -2 b-+g,(::,l)EQ, iJt



证明之1 26. 用能量不等式证明波动方程带有第三边值条件的初边值问题解的 唯 一性. 26. 试对下述非齐次方程的棍合问题 11-a'u 霉怎 =f(s,t),(s,l)EQ, •• ,=ul 雾 .1=0,0�l�T,

定义广义荨并讨论对



A.

f 心).

由定义 ,I 1 一”霉 dx= e J 卫) =-=J -v2 兀 -,I

例2

--—— 2 sin入A A.







J 尸, x >o, f 卢) =1 0, x. i=l

(1.19)



利用这 一 性质, 我们可求出函数 I A =e ) f(x



1•

的Fourier变式. 事实上由(1.19), (1.18)可得 (1.2·0)





/(A)= fl(e吨) = 1-1

— e 一石 II-v 2A “

1

A'

i;l

• 131•

"

. •. 心咧"'"



1 = e 倩 (Y2 A) 1.2

一 4A

-.,1Al1 "一,.,



Poisson公式

在这一小节中我们应用Fourier变换解初值问题(1.1),. (1.2). 在方程o."1),(1.2)两边关于变最x作Fourier变换,利用性

o

质l 和2勹得到

.

u _,d....一 + a 2 ,Pu=f (,\,I), dt



J l



u L=o =-�(;.),

其中叭;.'t)为解u(x,t)关千工的Fourier变式. 解之得

f。

现在对上式两边求反演,由反演公式(1. 4)得 一心(I一1') )伍 )f A,T (/( (1.21) u(x,t)=(如守')Y+

e-o•i•, =[g(

石,

其中 g(x,t) =

I)]",

--

z• 1 -e'4•• a v2t ·

(1.22)

(如,

= 同理我们有 • 132•

','1) V

1

2

ay 石

1 =('f)g) = -= ,/ 2 兀 o以后,杆上各点的温度

u位,t)= J K(x飞,t)叭s)dt>o.

也就是说在倾刻之间,热量就传递到杆上的任意 点, 当然在“ 一

• 135� . ... .

.

附近的点所受到的影响较大, 而离开x。较远的点受到的影响较 ” “ 小,不过无论如何它与弦振动方程不同,没有 影响已达到的点 与 ” “影响还未达到的点 之分,这是这两类方程最本质的不同之点. 3•(无穷次可微性) 如果叭门有界(或适合条件(1.29)), 那么不管叭x)是否可 微,当t>D时,解u(x,t)在R; 内必无穷次可微,也就是说在初 始时刻叭x)的微商、甚至它本身可能在某些点上不连续,但这些 奇点井不向定解区域内部传播,解在定解区域 R; 内永远无穷次 可微. 说得更确切一点,由(1.24), 当t >o时,我们有 {JHl ,. ak 'u 力 K( d�. !'t)o, 是否存在g,(;G,(fj)nO.

I



这说明In瓦(t)是凸函数,因此对于入=上(. OO为参数).



4. 应用Fourier变换求解以下定解问题,

a•u b一 彻 --cu = J 扣2



=叭巧), -ooo, a�o. p;;.,.o, a(z,t),b(:i,l),c(:$,1}在Q 于 上书界, 证明

• 118•



111p

0O, 且b;(X), c(兀)在9 2 uEC 心) nc< 豆)且在Q内满足Lu=f�o, 则U在 b

定理1上 l::有界,

上的非负最大值必在

aQ 上达到,



sup u( 幻 )�sup u飞石) sE:iJD

zEll

证明

对千任意e>O, 令 w(a_:) =u(x) + ee"霉I'

其中a待定, 容易计贷 Lw=Lu - ee a :r:,(-矿+ab 1 +c). 由千b1,c在9内有界,可选取a充分大,使 -a丘ab1 + cO, 由此得到

箕"'"'.

�o, 于是

0 上不可能有负最小值,千是在豆

1 maxi u(巧川�-F +_ltp. a e 五 亡

(2)考虑





般情况c(x)>O, 我们希望通过辅助函数 u(x)=z(工) w(x)

将问题归结为前面的特殊情况, 足如下问题



其中 Z 位)是待定函数. w将漓

2 -dw了导心+(C 一 ¥)w=f, 在Q,

(1.8)

• l86.

ow

) — z on

扣 1 W= 巠 , xEoD. +(a+-

on 我们选取认霜) >o, 且使得 '""

'

z

,, ,



1扣 ---、a — a+ z on 2' c(x)- 兰巧 >o, 其中e。是某一正数.不妨设9包含坐标原点,选取 z(z) =A+ e"-e飞 其中A为待定正常数.

1

e-•

!lz-= 了 e 心 一了 丁言丁>o

,

扫沪廿 a。 1 取A适当大,使得 A e < 2 .这样问题(1.8)拼属于前面的特殊情 .一

d

况(所增加的一阶微商项将不影响结果),千是 maxlw位) I ..;;;o(中+F). 由此可导出所要的结果. 附注

作为定理1.5,1.6的直接推论,定解问题(1.5),(1.6)

当 c(x)>O,a(x);;;;.a。 >o 时,解是唯一的,且在最大模的意义下 连续地依赖千边值与方程的非齐次项. 一 性,条件a位)> 6)的解的唯 题(1. 如果仅仅是为了证明问

a。 >o 可减弱,但边界需附加 一 些条件。

定义1.1 我们称Q淌足内球条件,如果对千任意心EofJ, 存在球BCO ,aBnoD= {x吓. 定理1. 7设在9上c(x)>O有界,在{jQ上a(x)>O, 且

c(x)与a(x)中至少有一个不恒为 o, D满足内球条件,则问题

1 (1.6)属千 a co) n 伊(D)的解是唯一的.

• 111•

证明

由于问题(1. 6)是线性的. 我们只帣证明齐次问题只

有零解,即设

f



0 ,

o, 又由于u(x 0 )>0, a(x) ;;,,o

位EoQ), 故

这与边条件(o,

当切尸 a-o 时,表达式(2.•27)的被积函数

关千0充分光滑,且无任何奇点,因此可在积分号下取任意次微 .. 20.1•

商由于核函数为费: \

r=a

'它作为(p,(J)即(切)的函数满足调

和方程,因此 U 也是调和函数.

其次必须证明(2.27)给出的函数满足边值条件,由Green函

数性质4 =-f 1 0

a 2 -p2 oG = 1 2dl da 2 豆 O a +p2-2 a pcos(O-a) . 归。古



千是对千任意o E[0,2兀],

=气 s2·

u(p,9)-pcccy , 令R 今

00)

得到

v(x,y) =v(O,O). 由(x·'y)的任意性,定理得证. 定理3.5(一般情形的Harnack不等式) 设u是!)内的非负调和函数,F是Q内的有界连通闭子集, 则存在常数

K>o, 使得 SU p U (X) 冬 Kinf

(�. 3)

u(x)

其中K只依赖千F, 而不依赖千见 证明

1 设d= dist{F 4 一

,o!J}. 对于任意 r 。fiF, 设P.QE

瓦 (P。),使得 u(P)= 如 p

-B,(Po)

u(x,y), u(Q) =inf

-B4(P1)

u(x ,y).

将定理3.3应用千球B2d(Po),我们有

。 。

2d+PP u(P)-l'V 2 应用Friedrichs不等式 ,1

、 . , 、 ,雪 一, 已 · , It . r .,`



=— 1

2 2 d ) llfllt d llfl恃>-2 2-2 dllfll。 (�V心-2 2

因此J(v)有下界,记

d=infJ(v). 0EH1(1i)

由下确界的定义,存在序列{v k }CH 1(Q), 使得 J(vi归d+½,k=l,_2,···. 我们要证{vi}是几(Q)的基本列. 由引理4.4, V(v,-v 1 ) 1 1 1 1 2 +— = ...;;d+-+d+d l • l k k

应用Friedrichs不等式 丿 、

lvk- 呫=