Как перехитрить гравитацию [1 ed.] 9785970608241, 9780691176918

Table of contents :
Как перехитрить гравитацию_с выпуском.pdf
Вступительное слово от издательства
Предисловие
IЗадачи
Задача 1
Военный вопрос: катапульта войны
Задача 2
Невозможная, на первый взгляд, задача, или Шокирующая снежная головоломка
Задача 3
Две математические задачи: алгебра и дифференциальные уравнения спешат на помощь
Задача 4
Задача побега: увернуться от грузовика
Задача 5
Снова катапульта: туда, куда не попадут даже мертвые коровы
Задача 6
Еще одна математическая задача, которая требует вычислений
Задача 7
Если теория терпит неудачу: моделирование Монте-Карло
Задача 8
Монте-Карло и теория: одномерное случайное блуждание пьяницы
Задача 9
Еще Монте-Карло: двумерное случайное блуждание в Париже
Задача 10
Полет с ветром (и против него): математика для современного путешественника
Задача 11
Комбинаторная задача с физическими следствиями: частицы, энергетические уровни и исключение Паули
Задача 12
Математический анализ с помощьюфизических рассуждений
Задача 13
Когда интеграл становится несобственным: может ли физическая величина действительно быть бесконечной?
Задача 14
Это легче, чем упасть с бревна? Ну, может, и нет
Задача 15
Когда компьютер выходит из строя? Когда каждый день – день рождения
Задача 16
Когда интуиция подводит: иногда то, что кажется правильным, не так-то просто
Задача 17
Компьютерное моделирование физики NASTYGLASS: это возможно? Может быть
Задача 18
Падающая дождевая капля и проблема переменной массы: замедленное падение
Задача 19
За рамками квадратичного: кубическое уравнение и взрывное поведение в физической системе
Задача 20
Еще одно кубическое уравнение, вдохновленное Жюлем Верном
Задача 21
За пределами кубического: квартирные уравнения, скрещенные лестницы, подводные ракетные пуски и уравнения пятой степени
Задача 22
Побег от атомного взрыва: почему уцелел Enola Gay
Задача 23
Невозможная математика стала легкой: арифметика конгруэнтности Гаусса
Задача 24
Волшебная математика: ряд Фурье, импульс Дирака и дзета-функция Эйлера
Задача 25
Евклидов алгоритм: дзета-функция и информатика
Задача 26
Последнее квадратное уравнение: Хевисайд обнаруживает подводный рыбий укус!
IIРешения
Приложение 1
MATLAB, простые числа, иррациональные числа и непрерывные дроби
Приложение 2
Выведение непрерывной дроби Уильяма Браункера для 
Приложение 3
Решение уравнения Ландена для подавленного кубического уравнения
Приложение 4
Решение задачи лорда Рэлея о вращающемся кольце 1876 г.
Благодарности
Предметный указатель

Citation preview

Как перехитрить гравитацию

How to Fall Slower Than Gravity And Other Everyday (and Not So Everyday) Uses of Mathematics and Physical Reasoning

PAUL J. NAHIN

PRINCETON UNIVERSITY PRESS PRINCETON AND OXFORD

Как перехитрить гравитацию И другие повседневные (и не очень) идеи для использования физико-математических рассуждений

ПОЛ ДЖ. НАХИН

Москва, 2020

УДК 530.1 ББК 22.31 Н12

Н12

Нахин П. Дж. Как перехитрить гравитацию / пер. с англ. М. С. Рыжиковой. – М.: ДМК Пресс, 2020. – 322 с.: ил. ISBN 978-5-97060-824-1 Автор книги спорит с утверждением, что математика и физика – это «новая латынь», чисто академические дисциплины, красоту и значимость которых способны оценить лишь избранные. Вниманию читателей предложен ряд задач на стыке математики и физики, которые на первый взгляд представляют чисто теоретический интерес, но по факту имеют прикладное значение. Как пробить катапультой огромную стену? Может ли физическая величина быть бесконечной? Насколько правдоподобными были математические расчеты в фантастических рассказах Жюля Верна? Эти и многие вопросы рассматриваются в книге – и, изучив ее, вы убедитесь, что интуитивно подсказанный ответ не всегда верен. Издание предназначено для широкого круга читателей, интересующихся физикой и математикой.

УДК 530.1 ББК 22.31

Original English language edition published by Princeton University Press 41 William Street, Princeton, New Jersey 08540. Copyright © 2018 by Princeton University Press. Russian-language edition copyright © 2020 by DMK Press. All rights reserved. Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения владельцев авторских прав.

ISBN 978-0-691-17691-8 (анг.) ISBN 978-5-97060-824-1 (рус.)

© 2018 by Princeton University Press © Оформление, издание, перевод, ДМК Пресс, 2020

С благодарностью Пэт

Меловая доска Ричарда Фейнмана в Калифорнийском технологическом институте в том виде, в каком он ее оставил, покидая его в последний раз. Ричард Фейнман (Richard Feynman, 1918–1988) был одним из величайших физиков-математиков ХХ  века (лауреат Нобелевской премии по физике за фундаментальные работы по квантовой электродинамике). Это фото иллюстрирует расхожий взгляд на работу физиков-математиков: какая-то тайная магическая символика, понятная лишь немногим избранным. Но я не думаю, что Фейнман считал так же. Как он заявил в известном интервью (Omni, февраль 1979): «Я не разделяю идею, что лишь немногие особо одаренные люди способны понять математику, а весь остальной мир – обычные. Математика – это человеческое открытие, и она не сложнее того, что может понять человек. В одном моем учебнике была фраза: “Что может один дурак, то может и другой”» [Фейнман цитировал Calculus for the practical man («Вычисления для практичного человека»), написанную британским инженером Сильванусом Томпсоном (Silvanus  P.  Thompson) в 1910 году]… Есть тенденция к помпезности во всем этом, чтобы сделать все это искусственно глубже и основательнее. Два принципа, написанных в верхнем левом углу, прочно прикрепились к образу Фейнмана и были не просто лозунгами: он активно отстаивал их в своих трудах и выступлениях. Фото предоставлено архивом Калифорнийского технологического института.

Однородная стальная проволока в виде круглого кольца сделана так, что вращается в своей плоскости вокруг своего центра фигуры. Докажи, что максимально возможная линейная скорость не зависит от поперечного сечения провода и радиуса кольца, и вычисли эту скорость. Удельная прочность проволоки задана как 90 000 фунтов на квадратный дюйм, а вес кубического фута [стали] в 490 фунтов. Задача, поставленная Джоном Уильямом Страттом (John William Strutt, 1842–1919), лучше известным в мире физики как Лорд Рэлей (Lord Rayleigh, лауреат Нобелевской премии по физике 1904  г.), на четвертый день знаменитого девяти(!)дневного экзамена в Кембриджском университете в 1876 году. Лорд Рэлей был экзаменатором по математике и физике, и эту задачу человек, получивший высшие баллы1, – Вранглер Старший (Senior Wrangler) – запомнил как «чрезмерно сложную». Подумайте об этой задаче, упомянутой в книге Эндрю Уорвика (Andrew Warwick) Masters of Theory: Cambridge and the Rise of Mathematical Physics (University of Chicago Press, 2003), – пока вы читаете эту книгу, но если после упорных попыток вы действительно не сможете решить ее (или просто захотите проверить свой ответ), то ее решение приводится в заключительном приложении этой книги. (Уорвик так и не смог этого сделать.)

1 Джозеф Тиммис Уорд (Joseph Timmis Ward) (1853–1935), который с некоторым трепетом написал в своем дневнике в тот же вечер: «Что он [лорд Рэйли] даст нам в последующие дни, я и представить не могу». Вскоре после того, как он занял первое место в «Mathematical Tripos» – экзамене в Кембриджском университете, Уорд сделал то же самое на еще более требовательном экзамене «Smith’s Prize». Умение сдавать математические экзамены не всегда приводит к успешной научной жизни. Уорд принял сан и после десятилетий пребывания священником умер забытым как отшельник в своих коллежских комнатах в Кембридже. Занявший третье место после Уорда в «Mathematical Tripos» в 1876 году, Джон Генри Пойнтинг (John Henry Poynting) (1852–1914), однако, стал известным физиком благодаря вектору Пойнтинга (Poynting vector) (1884), который описывает движение потоков энергии в электромагнитном поле.

Содержание

Вступительное слово от издательства ....................................................... 10 Предисловие ...................................................................................................12

ЧАСТЬ  I  ЗАДАЧИ ..............................................................................33 Задача 1

Военный вопрос: катапульта войны ....................................... 35

Задача 2

Невозможная на первый взгляд задача, или Шокирующая снежная головоломка ................................ 36

Задача 3

Две математические задачи: алгебра  и дифференциальные уравнения спешат на помощь ........... 38

Задача 4

Проблема побега: увернуться от грузовика............................ 40

Задача 5

Снова катапульта: туда, куда не попадут даже  мертвые коровы ....................................................................... 41

Задача 6

Еще одна математическая задача, которая требует  вычислений............................................................................... 43

Задача 7

Если теория терпит неудачу: моделирование  Монте-Карло .............................................................................44

Задача 8

Монте-Карло и теория: одномерное случайное блуждание пьяницы ................................................................. 50

Задача 9

Еще Монте-Карло: двумерное случайное блуждание в Париже....................................................................................52

Задача 10

Полет с ветром (и против него): математика для современного путешественника ...................................... 54

Задача 11

Комбинаторная задача с физическими следствиями: частицы, энергетические уровни и исключение Паули ........ 56

Задача 12

Математический анализ с помощью физических  рассуждений ............................................................................. 62

Задача 13

Когда интеграл становится несобственным: может ли физическая величина действительно быть бесконечной?.... 71

Задача 14

Это легче, чем упасть с бревна? Ну, может, и нет................... 74

Задача 15

Когда компьютер выходит из строя? Когда каждый день – день рождения .......................................................................... 82

Задача 16

Когда интуиция подводит: иногда то, что кажется правильным, не так-то просто ................................................ 91

Задача 17

Компьютерное моделирование физики NASTYGLASS: это возможно? Может быть ..................................................... 96

СОДЕРЖАНИЕ

9

Задача 18

Падающая дождевая капля и проблема переменной массы: замедленное падение ................................................ 108

Задача 19

За рамками квадратичного: кубическое уравнение и взрывное поведение в физической системе ..................... 118

Задача 20

Еще одно кубическое уравнение, вдохновленное  Жюлем Верном ....................................................................... 132

Задача 21

За пределами кубического: квартирные уравнения, скрещенные лестницы, подводные ракетные пуски и уравнения пятой степени ................................................... 142

Задача 22

Побег от атомного взрыва: почему уцелел Enola Gay .......... 153

Задача 23

Невозможная математика стала легкой: арифметика конгруэнтности Гаусса ........................................................... 161

Задача 24

Волшебная математика: ряд Фурье, импульс Дирака и дзета-функция Эйлера ........................................................ 166

Задача 25

Евклидов алгоритм: дзета-функция и информатика .......... 177

Задача 26

Последнее квадратное уравнение: Хевисайд  обнаруживает подводный рыбий укус! ................................ 186

ЧАСТЬ  II  РЕШЕНИЯ ...................................................................... 195 Приложение 1

MATLAB, простые числа, иррациональные числа и непрерывные дроби ..................................................... 265

Приложение 2

Выведение непрерывной дроби Уильяма Браункера 4 для ................................................................................. 288 π Решение уравнения Ландена для подавленного кубического уравнения ................................................... 293

Приложение 3 Приложение 4

Решение задачи лорда Рэлея о вращающемся кольце 1876 г. .................................................................. 304

Благодарности ............................................................................................. 313 Предметный указатель ............................................................................... 315

Вступительное слово от издательства Отзывы и пожелания Мы всегда рады отзывам наших читателей. Расскажите нам, что вы думаете об этой книге – что понравилось или, может быть, не понравилось. Отзывы важны для нас, чтобы выпускать книги, которые будут для вас максимально полезны. Вы можете написать отзыв на нашем сайте www.dmkpress.com, зайдя на страницу книги и оставив комментарий в разделе «Отзывы и рецензии». Также можно послать письмо главному редактору по адресу [email protected]; при этом укажите название книги в теме письма. Если вы являетесь экспертом в  какой-либо области и  заинтересованы в  написании новой книги, заполните форму на нашем сайте по адресу http://dmk press.com/authors/publish_book/ или напишите в издательство по адресу [email protected].

Скачивание исходного кода примеров Скачать файлы с дополнительной информацией для книг издательства «ДМК Пресс» можно на сайте www.dmkpress.com или www. дмк.рф на странице с описанием соответствующей книги.

Список опечаток Хотя мы приняли все возможные меры для того, чтобы обеспечить высокое качество наших текстов, ошибки все равно случаются. Если вы найдете ошибку в одной из наших книг – возможно, ошибку в  основном тексте или программном коде, – мы будем очень благодарны, если вы сообщите нам о ней. Сделав это, вы избавите других читателей от недопонимания и  поможете нам улучшить последующие издания этой книги.

ВСТУПИТЕЛьНОЕ СЛОВО ОТ ИЗДАТЕЛьСТВА

11

Если вы найдете какие-либо ошибки в коде, пожалуйста, сообщите о  них главному редактору по адресу [email protected], и мы исправим это в следующих тиражах.

Нарушение авторских прав Пиратство в  интернете по-прежнему остается насущной проблемой. Издательство «ДМК Пресс» очень серьезно относится к вопросам защиты авторских прав и лицензирования. Если вы столкнетесь в интернете с незаконной публикацией какой-либо из наших книг, пожалуйста, пришлите нам ссылку на интернет-ресурс, чтобы мы могли применить санкции. Ссылку на подозрительные материалы можно прислать по адресу электронной почты [email protected]. Мы высоко ценим любую помощь по защите наших авторов, благодаря которой мы можем предоставлять вам качественные материалы.

Предисловие Немного математики никогда не повредит практичному человеку. Я самоучка, и это замедлило меня. – Хиггстон Рейнберд (Higgston Rainbird), изобретатель первой машины времени1

Однажды утром около трех лет назад я  сел с  горячей чашкой кофе и распахнул Boston Globe2 того дня. После прочтения самого поучительного раздела (комиксов, конечно же, особое внимание уделил Arlo and Janis3) я обратился к разделу «Мнение редакции». Там я нашел возмутительное – действительно, невероятно возмутительное!  – письмо, которое показалось мне гораздо более нелепым, чем все, что я только что прочел в  комиксах. Письмо под названием «Кому вообще нужно это знать?» было написано в знак протеста против необходимости хороших знаний в  математике для сдачи CPT4 (college placement test). Письмо содержало следующие строки: Круто, если вы знаете, как решать квадратные уравнения, где есть корень квадратный из минус единицы. И это знание необходимо для некоторых профессий. Но почему это необходимо для прохождения курсов начального уровня, которые открывают двери к хорошим рабочим местам? … Продвинутая алгебра – это новая латынь. Ее иногда применяют, но в целом это препятствие, о которое спотыкается множество молодых людей, которые могли бы быть успешными экспертами в своих областях, но у них нет никаких шансов, ведь они не 1

Из рассказа Р. А. Лафферти (R. A. Lafferty) «Дождевая птица» (Rainbird // Galaxy Science Fiction. December 1961). 2 Boston Globe – американская ежедневная газета, крупнейшая в Бостоне. – Прим. ред. 3 Arlo and Janis – американский комикс Джимми Джонсона. Публикуется с 1985 г. – Прим. ред. 4 Аналог нашего ЕГЭ для проверки знаний старшеклассников. – Прим. ред.

ПРЕДИСЛОВИЕ

13

знают, как решать квадратные уравнения. Многие из тех, кто умеет решать квадратные уравнения, могли бы использовать свое время продуктивнее и изучить такие жизненно важные навыки и знания, как, например, умение рассуждать1.

Что ж! Что вы можете сказать на это, кроме того что это полная ерунда? Теперь авторы этого письма почти наверняка ответят: «Это только твое мнение, приятель, и это ты ошибаешься». После того как я успокоился, я понял, что подобные споры вряд ли изменят мнение многих людей. И поэтому я не стал писать возмущенное письмо редактору в ответ – но я так же понял, что более эффективным ответом могла бы быть убедительная демонстрация силы математических рассуждений, применимых к реальному миру, которым авторы этого письма так по праву обеспокоены. Вот о чем эта книга – продолжение моей предыдущей книги In Praise of Simple Physics (Princeton University Press, 2016). Это сборник сочинений, каждое из которых не очень длинное и иллюстрирует способность математики (алгебры, тригонометрии, геометрии, а иногда и элементарного вычисления вместе с  небольшой помощью от моего ноутбука) в сочетании с фундаментальными физическими законами обеспечить понимание реальных задач. Эти задачи не похожи на вычислительные упражнения в  учебниках, предназначенных лишь для практики в  манипулировании абстрактными символами. Напротив, почти все они значимы не только в математике, но и в физике. А также каждое эссе заканчивается как минимум одним вопросом вам для анализа и обдумывания. Достойный процент эссе специально включает квадратичные вычисления (и еще более высокого порядка), и эти вычисления – в частности, то, почему я думаю, что авторы письма в Boston Globe были совершенно неправы. После прочтения этой книги, уверен, вы согласитесь со мной. Как я  уже писал, я  представляю свою аудиторию как читателей, которые изучали математику и физику в  средней школе и  студенческие годы серьезно (а в  мире только обучающихся на первых курсах математического профиля миллион), но кто, по тем или иным причинам, не стал физиком-математиком. Тем не менее сегодня это юристы, биологи, химики, бухгал1

Для тех, кто любит проверять цитаты, письмо можно найти (предположительно сейчас – только на устройстве для чтения микрофильмов в  вашей местной библиотеке) на странице A15 от 13 августа 2015  г. выпуска Boston Globe.

14

ПРЕДИСЛОВИЕ

теры, программисты, инженеры, врачи и  поэты (возможно, даже голливудские сценаристы, наряду с несколькими профессиональными футболистами, вероятно). И  они помнят то удовольствие, которое получаешь, осмысливая мир с помощью математического анализа. Это то, что на самом деле делают физики-математики. Если вы тоже такой человек, то я написал эту книгу для вас – о том, как думают физики-математики. Обилие книг с  различными подходами и  исследованиями на математические темы в  книжных магазинах показывает, что значительная часть людей по крайней мере осознает важность предмета. В  другой форме поп-культуры – в  фильмах – похожая картина. Например, «Умница Уилл Хантинг» (1997), в  котором интегралы Фурье текут через начальные титры; «Игры разума» (2001), в котором аллюзии на эзотеричную теорию игр распиханы тут и там; «Человек, который познал бесконечность» (2015), который начинается с  изображений загадочных уравнений из писем индийского гения Рамануджана (Ramanujan, 1887–1920), отправленных в 1913 году всемирно известному английскому математику Г. Х. Харди (G. H. Hardy, 1877–1947); «Скрытые фигуры» (2016) со множественными упоминаниями астродинамики. На телевидении у нас был, конечно, сериал «4исла» (2005–2010) и совсем недавно первый эпизод «Однажды ночью» (The Night Of, 2016), которая начинается с того, как студент яростно делает заметки, пока его преподаватель пишет на доске (математически корректно!) и читает лекцию по теореме Стокса из дифференциального векторного исчисления. Различие между чистой математикой и  чистой физикой часто неявное, и  есть некоторые особенно талантливые люди, которые могут работать на самых высоких уровнях в обеих сферах. Одним из таких людей был американский физик-математик польского происхождения Марк Кац (Mark Kac, 1914–1984), который во введении к своей изящной автобиографии «Загадки шанса» (Enigmas of Chance. Harper & Row, 1985) пишет об этом различии с глубоким пониманием: В математике, когда вы открываете что-то, у вас возникает чувство, что это всегда было там. В физике у вас есть ощущение, что вы сделали настоящее открытие… Если занятия математикой или наукой рассматривать как игру, то можно сказать, что в математике вы соревнуетесь против себя или других математиков; в физике же ваш противник – природа, и ставки от этого выше.

ПРЕДИСЛОВИЕ

15

Моя цель при написании данной книги состояла в том, чтобы предоставить конкретные примеры того, о чем только что говорил Кац. Теперь вы можете подумать: очевидно, что математический физик не может функционировать без математики. Тем не менее отношения между математикой и  физикой не всегда были гладкими. Цитирую швейцарского физика-теоретика Реза Йоста (Res Jost, 1918–1990): Отношения между математикой и физикой меняются со временем. Прямо сейчас и в течение последних нескольких лет царит гармония и  медовый месяц. Тем не менее я  видел другие времена, времена разводов и  ожесточенных сражений, когда сестринские науки объявили друг друга бесполезными или даже хуже. Следующий обмен мнениями между известным физиком-теоретиком и  не менее известным математиком мог бы быть типичным еще пятнадцать или двадцать лет назад. Физик говорит: «Я не пользуюсь математикой. Всю математику, в которой я когда-либо нуждаюсь, я придумываю за одну неделю». Математик отвечает: «Вы, должно быть, имеете в виду те семь дней, которые понадобились Господу, чтобы создать мир»1.

Что ж, несмотря на такие конфликты, в  этой книге мы просто предположим, что математика имеет важное значение для работы физиков. Но даже в этом случае вы можете хорошенько задуматься о том, насколько именно глубоко мы окунемся в математику в данной книге. Кажется очевидным априори, что мы должны быть хотя бы немного математичными: в  конце концов, в  книге со словом «математические» в названии разве вы не почувствуете себя надутыми, или даже откровенно обманутыми, если не увидите уравнения здесь и там? Ну, вы, конечно, согласны, что это имеет смысл, но, спросите вы, будет ли много действительно сложных уравнений? Краткий ответ: если вы изучали математику на уров1

Из эссе Йоста Mathematics and Physics since 1800: Discord and Sympathy («Математика и физика с 1800 года: раздор и симпатия»), из книги в The Fairy Tale about the Ivory Tower: Essays and Lectures (in German) («Сказка о башне из слоновой кости: эссе и лекции» (на немецком языке)), Springer, 1995. Йост не уточнял, кто именно был тем «известным физиком-теоретиком» и «не менее известным математиком», но фактически такой обмен мнениями состоялся во время лекции, которую Кац дал в  Калифорнийском техническом институте; физиком (в аудитории) был Ричард Фейнман. Кац и Фейнман знали друг друга с конца 1940-х гг., когда они были коллегами в Корнелльском университете.

16

ПРЕДИСЛОВИЕ

не средней школы, тогда вам пора. Алгебра в старшей школе, тригонометрия, геометрия и понимание того, что такое производная и интеграл, – вот все, что вам нужно. Хорошо, это короткий ответ. Позвольте мне теперь дать вам конкретный пример с той математической сложностью, с которой вам надо уметь справляться. Я выбрал этот конкретный пример именно потому, что он использует только рассуждения на уровне средней школы, и все же я  готов поставить долларов пять, что даже профессиональным математикам, возможно, придется потратить немного времени, чтобы решить это. Надеюсь, что этот пример доносит мысль, что мы будем обсуждать проблемы, требующие лишь относительно бесхитростного математического анализа, но тем не менее приводит к  возможности успешно решать нетривиальные физические вопросы. Итак, вот задача: Докажите, что произведение любых последовательных m натуральных чисел всегда делится на m!, то есть на m-факториал, где m! = m(m – 1)(m – 2)…(3)(2)(1). Это утверждение говорит, например, что (17)(18)(19)(20)(21)(22) (23) делится на 7!, что вы можете легко проверить, выполнив очевидные сокращения. Но подтверждение конкретными примерами, независимо от того, сколько бы вы их ни решили, не является доказательством того, что требование всегда верно для всех возможных m. Может показаться, что на самом деле это самая трудная задача, но это не так. Вот один способ решить ее. Начнем с  того, что утверждение очевидно верно для случаев m = 1 и m = 2. Случай m = 1 говорит о том, что любое одно целое число всегда делится на 1!  = 1, – и  я  надеюсь, для вас это тривиально! Случай m  = 2 говорит, что произведение любых двух последовательных целых чисел (одно из которых тогда должно быть нечетным, а другое четным) делится на 2! = 2, и, конечно, 2 разделит четное целое число. Однако для m > 2 все уже не так очевидно. Что делать? Использовать метод индукции, особенно любимый математиками. То есть мы будем считать, что это истинно для случая m = n – 1, где n – некоторое целое число больше 2. Тогда мы покажем, что из этого предположения следует, что случай m  = n так же верен. Поскольку мы уже знаем, что утверждение верно для

ПРЕДИСЛОВИЕ

17

m = 2, тогда это должно быть верно для m = 3, что, в свою очередь, говорит, что это верно для m = 4 и т. д., до бесконечности. Это математический аналог того, как если бы для левитации вам было бы достаточно тянуть за собственные шнурки. Физики не могут этого сделать, но математики могут! Начнем с определения функции φn(r) как произведения n последовательных натуральных чисел, начиная с r: В частности,

φn(r) = r(r + 1)(r + 2)¼(r + n – 1). φn(1) = 1(2)(3)¼(n) = n!.

Поскольку

φn(r + 1) = (r + 1)(r + 2)¼(r + n – 1)(r + n),

то или

φn(r + 1) – φn(r) = [(r + 1)(r + 2)¼(r + n – 1)] [(r + n) – r], φn(r + 1) – φn(r) = [(r + 1)(r + 2)¼(r + n – 1)]n.

Число справа в квадратных скобках – это произведение из n – 1 последовательных целых чисел, и поэтому, по нашему предположению, делится на (n – 1)!. Это: [(r + 1)(r + 2)¼(r + n – 1)] = произведение (n – 1)!, и поэтому φn(r + 1) – φn(r ) = {произведение (n – 1)!}n = произведение n!,

что означает, что

φn(r + 1) = φn(r) + произведение n!.

Для r = 1 этот результат означает, что φn(2) = φn(1) + произведение n!. Но так как φn(1) сама эквивалентна n! (посмотрите на формулу во второй рамке), то φn(2) = произведение n!.

18

ПРЕДИСЛОВИЕ

Но тогда φn(3) = φn(2) + произведение n! = произведение n! + произведение n! = произведение n!.

И так далее для φn(4), φn(5) … и так далее до бесконечности! То есть для r – любого положительного четного числа φn(r) = произведение n!.

И вот мы закончили. Умно придумано, не правда ли?1 Физик сможет оценить такую симпатичную демонстрацию, как и любой математик, но он или она также может противостоять искушению возгордиться после этого. Например, в  своей автобиографии Кац рассказывает откровенную историю о  комментарии, сделанном физиком математику в знаменитой радиационной лаборатории MIT: «Вы можете сохранить свое гильбертово пространство»,  – говорит физик. – «Я хочу ответ в вольтах»2. Это будет задавать тон остальной части данной книги.

Кац, почти вся карьера которого протекала в  академических кругах, имел международную репутацию первоклассного аналитика вероятностей, но во время Второй мировой войны он также работал неполный рабочий день в  Радиационной лаборатории, изучая физические проблемы, вызванные электронным шумом в  радаре. Такие разносторонние таланты не обязательно будут оценены теми, чьи способности ограничены только одной сферой деятельности. Например, когда Кац после войны опубликовал статью в  журнале по прикладной физике, основываясь на своей 1 Это не самовосхваление. Я столкнулся с данным решением несколько лет назад, когда читал учебник по элементарной алгебре XIX в. английского математика У. У. Рауса Болла (W. W. Rouse Ball, 1850–1925): Elementary Algebra. Cambridge University Press, 1890. Р. 415. Было ли это его оригинальным открытием или он, в свою очередь, обнаружил его еще в более ранней работе, я не знаю. 2 Этим физиком был Сэмюэль Гоудсмит (Samuel Goudsmit, 1902–1978), который известен как главный научный руководитель миссии «Алсос» (USA Alsos mission) сразу после июня 1944 г., когда Европа вторглась в Нормандию. Целью миссии было раскрыть детали нацистского химического вещества и подробности программ биологического, ракетного и атомного оружия. А математиком был знаменитый эксцентричный Норберт Винер (Norbert Wiener, 1894–1964).

ПРЕДИСЛОВИЕ

19

работе на радаре, он получил открытку от друга – блестящего венгерского математика Пола Эрдеша (Paul Erdös, 1913–1996) – с одним-единственным предложением: «Я молюсь за вашу душу». Чтобы максимизировать ваше удовольствие, книга структурирована как последовательность постановки задач со всеми их решениями, собранными вместе в самом конце. То есть вы можете попробовать свои силы в каждой задаче самостоятельно, прежде чем читать мое решение, но если вы застряли или просто хотите сравните свой подход с моим, вы можете обратиться к разделу с решениями. (Один физик, который посмотрел на ранний черновик этой книги, думал, что читатели просто прочитают задачи, а затем сразу решения, на что я ответил: «А разве это плохо?» Да, так тоже нормально. В конце концов, это ваша книга!) Чтобы показать вам, как это будет работать, рассмотрим следующую задачу по математике. Задача 1. Вавилонский математик, ставший эллином1, Диофант Александрийский, который, как считается, жил в 250 г. н. э., т. е. на шесть веков позже Евклида, сегодня вспоминается2 как создатель следующего класса задач: дан один полином (так называемое диофантово уравнение) в n переменных, существуют ли у него какиелибо целочисленные положительные решения? Например, каковы все положительные целые значения (если таковые имеются) для х и у таких, что 72x + 694y = 1 001 001? Аналогично, каковы положительные целочисленные значения (если они есть) для x, y и z таких, что x3 + 2y3 = 4z3? Чтобы ответить на эти два вопроса (первый, несмотря на большие коэффициенты, легкий, а  второй, несмотря на малые коэффици1

Эллины – так называли себя жители Древней Греции. – Прим. ред. Немного известно о жизни Диофанта, кроме того, сколько ему было лет, когда он умер. Это из-за загадки, датируемой IV в., которая, вероятно, появлялась в каждом вводном алгебраическом тексте и звучит так: «Его детство длилось 1/6 его жизни; его борода выросла на 1/12 позже; еще через 1/7 он женился, и у него родился сын 5 лет спустя; сын дожил до половины возраста своего отца, а отец умер 4 года спустя сына». Итак, если Диофант умер в возрасте х, то у нас получится и я предоставляю вам самим найти решение. 2

20

ПРЕДИСЛОВИЕ

енты, не такой простой), требуются только элементарные понятия четности и нечетности. Если вы застрянете, то решения для обоих вопросов приведены в самой первой записи раздела решений. Задача 2. Задача такого типа часто возникает во время теоретического анализа. Используя только алгебру (без дополнительных вычислений!), выведите разложение степенного ряда  = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + c4x4 + ¼. Что здесь есть c? Вы можете найти это разложение в справочнике по математике, но физик-математик должен знать, как вывести это с нуля. Что, если, например, ответ является ключом к спасению с необитаемого острова, и все, что у вас есть, – это палка, чтобы исписать песчаный пляж? (Не смейтесь, это, по крайней мере, мыслимая ситуация!) Решение – вторая запись в одноименном разделе. И так как это книга по математической физике, третья задача – физическая. Задача 3. На рис. 1 масса 2m, находящаяся на наклонной плоскости с уголом θ, соединена с помощью нити и колесика с массой подвеса m. Постоянный коэффициент кинетического трения (coefficient of kinetic friction) между массой на наклонной поверхности и этой поверхностью μ1. Две массы движутся с постоянной скоростью. (Это подсказка, чтобы прийти к мысли о втором законе Ньютона, знаменитом «сила – это масса, умноженная на ускорение». Каково соотношение между θ и μ? В частности, можете сами выяснить эти соотношения (уделите особое внимание интервалу 0 £ μ < ) и комментируйте все, что угодно, что найдете особенно

интересным. Анализ – третья запись в разделе решений. Хоть аналитические методы, используемые в этой книге, и будут отчасти просты для большинства читателей, иногда мы все же будем немного хитрее. Чтобы проиллюстрировать, что я имею в  виду под словом трюк, рассмотрим следующую небольшую головоломку, которую я впервые услышал в средней школе. Старый фермер умер и завещал всех коров в своем хлеву своим трем сыновьям: Алу, Бобу и Чаку. Ал должен был получить половину коров в хлеву, Боб должен был получить одну треть коров в хлеву, а Чак

1 Напомним, что если движущаяся масса применяет силу F (скажем, ее n вес) в виде нормали к поверхности, по которой она движется, и если масса испытывает сопротивление силы трения (то есть силы, противоположной направлению движения) вдоль поверхности Fr, то μ = Fr ∕Fn ³ 0 и называется кинетическим коэффициентом трения.

ПРЕДИСЛОВИЕ

21

должен был получить одну двенадцатую коров в хлеву. Проблема заключалась в том, что когда фермер умер, коров в сарае было 11! Никто не мог выполнить последние пожелания фермера, пока его брат (явно физик-математик в отставке, у которого к тому же было несколько своих коров) не решил проблему. Вот что он сделал: 1) он поместил одну из его собственных коров в хлев. Теперь их стало 12; 2) Ал получил 6 коров (1/2 от 12 коров в хлеву), осталось 6 коров; 3) Боб получил 4 коровы (1/3 от 12 коров в хлеву), осталось 2 коровы; 4) Чак получил 1 корову (1/12 от 12 коров в  хлеву), осталась 1 корова; 5) физик-математик в отставке забрал последнюю оставшуюся корову в хлеву, ту самую, что он поместил в хлев в пункте 1, и пошел домой.

2m

m

θ

Рис. 1. Две массы движутся с постоянной скоростью

Обратите внимание, что даже если физик-математик на самом деле не имел бы ни одной коровы, он мог бы просто положить воображаемую корову в  сарай и  затем, на этапе (5), забрать свою воображаемую корову обратно. В этом и состоит трюк, о котором я говорил выше, и мы будем делать такие вещи дальше время от времени1! Разве математика не прекрасна? 1

Как математики любят говорить, уловка, которую вы можете использовать более одного раза, – это метод. В  конце этого предисловия я дам вам еще две сложные задачи, обе древние. Их происхождение датируется I в. н. э. в китайской математической литературе. И первую, и вторую можно решить с помощью метода «воображаемой коровы». Физикам-математикам эти задачи тоже должны понравиться.

22

ПРЕДИСЛОВИЕ

Просто чтобы вы не думали, что я буду уделять слишком много внимания уловкам, позвольте мне показать вам еще один «серьезный» пример полезности квадратных уравнений для физиков-математиков. Это удивительно, как часто при чтении технической статьи по физике в  журналах встречается предложение, которое звучит примерно так: «Теперь, если мы применим неравенство Коши–Шварца1 к нашему последнему результату, станет сразу очевидно, что…» Говоря о неравенстве Коши–Шварца:

где f(x) и g(x) могут быть любыми реальными функциями, какими вы пожелаете, если существуют их определенные интегралы. Это общая теорема удивительного значения для физиков-математиков; один математик назвал ее «исключительно мощным оружием»2. Затем математик очень правильно написал: «Есть много случаев, когда люди, которые знают об использовании этой формулы, будут сиять, пока их менее удачливые братья будут барахтаться дальше». Позже в этой книге я приведу неравенство Коши–Шварца в одной из дискуссионных задач, но как (может быть, вам уже сейчас это интересно) мы докажем его? Ну, все, что нужно знать, – это квадратное уравнение. Вот как доказывается. С λ в качестве произвольного параметра, безусловно, верно, что потому что интеграл любой реальной квадратичной функции не может быть отрицательным (подумайте о  пространственной интерпретации определенного интеграла). Развернем этот интеграл в деталях, получим:

1 Названное в  честь французского математика Августина-Луи Коши (Augustin-Louis Cauchy, 1789–1857) и  немецкого математика Германа Шварца (Hermann Schwarz, 1843–1921). Чтобы понять физическое значение этого неравенства, все, что вам действительно нужно знать, – это то, что под определенным интегралом функции h(x) на интервале a £ x £ b подразумевается площадь под кривой y = h(x) при изменении x от a до b. 2 Ralph Palmer Agnew. Differential Equations. McGraw-Hill, 1960. Р. 370.

ПРЕДИСЛОВИЕ

23

Эти интегралы определенные, и они имеют определенные значения.

то есть получаем Aλ2 + 2Bλ + C ³ 0. Это квадратное неравенство для λ. Знак ³ означает физически, что график слева, как функция от λ, никогда не пересекает ось λ (представьте ее горизонтальной). То есть левая сторона – это кривая, которая всегда выше (или, самое большее, просто касается1) оси λ. «Не пересекая ось λ» означает, что нет реальных решений (точки пересечения = решения) для λ к Aλ2 + 2Bλ + C = 0.

Формула решения квадратного уравнения говорит нам, что

Тогда условие отсутствия реальных решений будет выглядеть так: B2 – AC < 0, что, конечно, дает комплексные решения. Это B2 < AC, или

1

Конечно, касание происходит, когда знак ³ становится частным случаем равенства.

24

ПРЕДИСЛОВИЕ

что и является неравенством Коши–Шварца. Авторы письма в Boston Globe теперь (я надеюсь) с  энтузиазмом стремятся пересмотреть ошибочность своих аргументов! Как я уже писал ранее, все конкретные примеры в этом предисловии были выбраны с целью проиллюстрировать то, как думают физики. Это довольно смелое утверждение, и  поэтому позвольте мне закончить еще тремя примерами, чтобы подтвердить его. Вопервых, наблюдая за природой, кажется, что нет такой вещи, как сила разрыва1. Идея преемственности в физике очень важна, и ее можно использовать для простых решений там, где в противном случае было бы гораздо труднее. В качестве примера представьте себе человека, который собирается подняться на холм, начиная с А (низ холма) и заканчивая в В (вершина холма). Вы ничего не знаете о том, как он идет (может быть, иногда он останавливается на некоторое время, иногда он идет медленно, иногда он идет быстрым шагом, а иногда он даже спускается вниз по склону). Все, что вы знаете, – это то, что, начиная с А в 10 часов утра, он прибывает в В в 11 часов. То есть прогулка в гору занимает ровно 60 минут. Он останавливается на ночь в B, а затем, на следующее утро, ровно в 10 часов он идет вниз по склону, по тому же пути, по которому он шел во время восхождения в предыдущий день. Он прибывает в  А в  11 часов. То есть обратная поездка занимает так же ровно 60 минут. Опять же, вы ничего не знаете о том, как он делает спуск. Когда все это сказано, физик-математик может сразу сделать следующий вывод: на пройденном пути есть хотя бы одно место, которое человек прошел в  одно и  то же время во время спуска, как и время, в которое он прошел то же самое место во время восхождения. Физик может сделать это утверждение, не написав ни одного уравнения, а, скорее, должен только осознавать непрерывность. Вот как. На рис. 2 мы видим два графика, каждый из кото1

Когда я пишу это, я на самом деле цитирую двух известных физиковматематиков: Ричарда Фейнмана и  доктора философии Принстонского университета Джона Уилера (John Wheeler, 1911–2008), который говорил о преемственности физических сил в известной статье 1949 г. на тему особенно загадочных парадоксов путешествий во времени (см. мою книгу Machine Tales: The Science Fiction Adventures and Philosophical Puzzles of Time Travel. Springer, 2017. Р. 264–269). Вы можете найти больше информации об этих двух очень важных фигурах в физике ХХ века в книге Пола Хальперна (Paul Halpern. The Quantum Labyrinth: How Richard Feynman and John Wheeler Revolutionized Time and Reality. Basic Books, 2017).

ПРЕДИСЛОВИЕ

25

рых показывает местоположение (измеренное от А вдоль пути) человека в зависимости от времени. Один участок предназначен для восхождения, а другой – для спуска. Каждый график непрерывен, и  нет никаких других условий1. Невозможно нарисовать эти два графика, не имея хотя бы одной точки пересечения (большой X), и такая точка находится на одинаковом расстоянии от точки А для каждого из графиков. Местоположение Спуск

Восхождение Время (минуты) Рис. 2. X – точка, отражающая одно и то же место в одно и то же время

Ни единого уравнения, только один график и физические размышления. Тем не менее мы можем сделать этот почти минимальный анализ еще лучше с изначально загадочной (для большинства людей) проблемой, которую можно решить только с  помощью описания (и логичных доводов). Отметьте n точек на листе бумаги, где n – любое целое положительное число (если n ³ 2). Затем столько раз, сколько вы хотите, выберите любые две точки и соедините их линией. Любая точка может быть выбрана несколько раз или вообще ни разу. Когда вам надоест выбирать пары точек и  рисовать линии, остановитесь. Затем точки можно разделить на два набора: набор точек, которые излучают четное количество линий, и набор точек, которые излучают нечетное количество линий. Докажите, что в этом втором наборе всегда будет четное количество точек. 1 Ни один из графиков не должен повторяться по оси времени. Уилер и Фейнман использовали аргумент о непрерывности в условиях путешествия во времени, но мы чуть более консервативны.

26

ПРЕДИСЛОВИЕ

С чего же начать? Ну, я думаю, что следующий анализ является прекрасной иллюстрацией того, как математический физик подошел бы к такому вопросу. Представьте, что рядом с каждой из n точек находится счетчик, показывающий, сколько линий в данный момент излучается от точки. Таким образом, до того, как нарисованы какие-либо линии, все счетчики показывают ноль, а  общее количество всех точек равно нулю. Теперь нарисуйте линию, соединяющую любые две точки. Счетчики для этих двух точек увеличиваются на 1, а общее количество всех точек равно 2. Нарисуйте еще одну линию. Счетчики для этих двух точек увеличиваются на 1, поэтому общее количество для всех точек равно 4 и т. д. В результате чего общее количество для всех точек всегда является четным числом. Когда закончите рисовать линии, счетчик для каждой отдельной точки будет отображать либо нечетное число, либо четное число. Сумма отображений для этих точек с четными счетчиками, конечно, будет четной (сумма любого числа четных чисел является четной). Таким образом, сумма значений для этих точек с нечетными счетчиками также будет четной (эта сумма представляет собой общую сумму по всем точкам, которая является четной, за вычетом суммы по четным счетчикам, которая, как мы только что обнаружили, тоже является четной), и, конечно, четное минус четное – так же четное. Итак, у нас есть число (назовем его N) точек, каждая из которых имеет счетчик, отображающий нечетное число, причем сумма этих отображений является четной. Итак, раз N нечетное = четное, и, следовательно, N должно быть четным, потому иначе не сходится (нечетное число нечетное количество раз = нечетное). Как можно оспорить что-то, настолько чертовски логичное? В качестве заключительного примера физического мышления в  математике (но теперь с  учетом некоторой реальной математики) рассмотрим так называемую теорему о  среднем значении, тему, обсуждаемую всеми первокурсниками. Предположим, что функция f(y) непрерывна в  интервале a £ y £ b и  что она имеет производную всюду на этом интервале. То есть f(y) представляет собой то, что математики называют гладкой кривой. Предположим далее, что мы берем любые две точки на этом интервале, скажем, y1 и y2, и рисуем хорду, соединяющую f(y1) и f(y2), как показано на рис. 3. Теорема о  среднем значении утверждает, что существует конкретное значение y – назовем его y* – такое, что наклон хорды равен f ¢(y*) – наклону касательной к кривой при y = y*, где f ¢ – произ-

ПРЕДИСЛОВИЕ

27

водная от f(y). Теорема не говорит, где именно находится y*, только то, что она существует. Это пример математического утверждения, которое физик-математик объявил бы «очевидным». Однако оно имеет далеко не самые тривиальные последствия.

Рис. 3. Хорда (пунктирная) и касательная (сплошная) к кривой

Рассмотрим, например, использование этой теоремы для получения неочевидного явно логарифмического неравенства, которое мы будем использовать позже в этой книге. Если мы определим f(y) как естественную логарифмическую функцию, то есть f(y) = ln(y), то

График f(y) показан на рис.  4, где мы рассматриваем интервал 1 £ y £ 1 + x для x ³ 0. Теорема о конечных приращениях говорит, что в интервале от 1 до 1 + x существует y = y* такой, что

Следовательно, ,

28

ПРЕДИСЛОВИЕ

где y* находится где-то (помните, мы не знаем, где) в интервале от 1 до 1 + x. Если мы заменим y* (где бы он ни был) на большее значение (например, на правый конец интервала 1 + x), то очевидно, что левая часть предыдущего равенства станет ³, а если мы заменим y* на меньшее значение (левый конец интервала, 1), то станет ясно, что левая часть равенства становится £ . Итак, у нас есть

и ln(1+x) £ x. Наклон

Рис. 4. Функция натурального логарифма с хордой и касательной

Тогда, объединяя эти неравенства, получим:

Этот результат1 станет важным для нас во время обсуждения задачи 15. Наконец, в качестве завершения данного предисловия позвольте мне кое-что сказать о компьютерных программах, включенных в эту книгу для иллюстрации алгоритмов, решающих задачи, которые мы не можем решить аналитически, – они разбросаны по 1

Справедливость двойного неравенства легко продлить до x > –1, но я оставлю это вам, для вашего же удовольствия.

ПРЕДИСЛОВИЕ

29

всей книге. Все они написаны на MATLAB, языке программирования, который обычно преподают студентам-инженерам. Я использую MATLAB, потому что я профессор электротехники на пенсии, и MathWorks (создатель MATLAB) любезно предоставил мне лицензию на бесплатный запуск MATLAB на моем персональном домашнем компьютере. Вы можете сказать: «Как мило с вашей стороны, профессор Нахин, но у меня нет MATLAB – и что мне делать?» Вот мой ответ: изучите описания алгоритмов, приведенные в  книге, а  затем напишите свой собственный код на выбранном вами языке. Математики, кажется, особенно любят Mathematica, в то время как физики, кажется, одинаково любят и MATLAB, и Mathematica. (Один из ранних рецензентов этой книги предложил Python, который имеет преимущество в том, что он доступен с лицензией с открытым исходным кодом от MIT.) Просто помните: компьютерный язык – это просто инструмент. Если ваш компьютер работает только на бейсике, не беспокойтесь об этом. Результат – вот что важно. Все мои коды MATLAB написаны очень низкоуровневым способом, с  использованием только общеизвестных, распространенных команд (IF, WHILE, FOR и т. д.), и поэтому их легко преобразовать практически на любой другой язык. Чтобы дать вам представление о возможностях компьютеров (и MATLAB, и других языков программирования) в  изучении математических вопросов, я  включил короткий «учебник на примерах» в конце книги (сразу после раздела с решениями), который вы можете прочитать в любое время. Цифровой компьютер уже давно зарекомендовал себя как незаменимый инструмент при изучении физических систем, поведение которых в противном случае было бы ненаблюдаемым. Такое отсутствие наблюдаемости, например, может быть результатом практических ограничений, как, допустим, недостаток денег и/или времени (например, диффузия нейтронов в  новом и  дорогом ядерном реакторе или эволюция галактических структур в ньютоновской механике через огромные промежутки времени). Однако с  помощью соответствующей физики, запрограммированной в компьютер, нам фактически не нужно строить стенку реактора, чтобы определить, каким будет поток, и, что еще более важно, мы можем быть почти что богоподобными и  управлять вселенной быстрее, чем в реальном времени. (Или даже обратно во времени!) Еще интереснее, пожалуй, будут те задачи, в  которых фундаментальная физика отличается от того, что мы считаем реальным миром (характер силового взаимодействия и законы сохранения

30

ПРЕДИСЛОВИЕ

энергии могут быть изменены так же легко, как можно набирать новые строки компьютерного кода). Эту возможность, включающую то, что некоторые могут назвать невозможной физикой, я буду называть здесь представлением о воображаемых системах, и применение компьютеров ко многим таким задачам хорошо известно физикам. Например, в задаче 17 вы найдете пример этого с симуляцией таинственного NASTYGLASS. Пожалуй, легко отмахнуться от этого как просто еще одного инструмента для физиков, инженеров и математиков, как можно сказать о карандашах, ручках и бумаге, но я думаю, что компьютеры и языки программирования – это нечто гораздо большее. Влияние компьютеров на нашу повседневную жизнь экспоненциально возросло, и, безусловно, этот взрывной рост будет продолжаться: математическая физика станет лишь одной из бесчисленных областей человеческой жизни, где мы ощутим значение этого роста.

Еще три сложные задачи (решения – в конце книги) Первые две из этих трудных задач – задачи 4 и 5 – были взяты из классического текста колледжа «Элементарная теория чисел» Дэвида М. Бертона1. Профессор Бертон приводит некоторые числовые ответы в конце своей книги, но не дает никаких указаний о том, как вывести эти числа. Это и будет вашей задачей. Не пускайтесь в  лобовую атаку, но потратьте несколько минут, чтобы найти хитрость. Подсказка: подумайте о воображаемых коровах! Задача 4. При удалении яиц в корзине по 2, 3, 4, 5, 6 одновременно остаются, соответственно, 1, 2, 3, 4, 5 яиц. Когда их вынимают по 7 за раз, ни одного не остается. Найдите первые три числа количества яиц, которые могут быть при этом в корзине. Задача 5. Задача с  корзиной яиц часто приводится в  следующей альтернативной форме: одно яйцо остается, когда яйца из1 Профессор Бертон (Professor Burton, 1930–2016), почетный профессор математики в Университете Нью-Гемпшира, был моим коллегой и другом на протяжении десятилетий. Мы провели вместе немало часов в течение многих лет, обсуждая проблемы написания статей по истории математики, и мне очень приятно как воспроизвести эти две проблемы из его книги, так и  рекомендовать Elementary Number Theory (McGrawHill, в  многочисленных редакциях) всем, кто любит математику.

ПРЕДИСЛОВИЕ

31

влекаются из корзины по 2, 3, 4, 5 или 6 одновременно; но яиц не осталось, если их удалить по 7 за раз. Найдите первые три числа количества яиц, которые могут быть в корзине. Задача 6. Вот сложный вопрос, который связывает математику и  некоторую интересную «физику» рисования прямой линии в бесконечной плоскости. Каждая из бесконечности точек на плоскости, имеющих целочисленные координаты, называется точкой решетки (lattice point). Например, (0, 0), (–3, 2) и (91, 674) являются точками решетки. Точка (π, ) не является точкой решетки. Докажите, что бесконечно длинная прямая линия, проведенная случайным образом, проходит ровно через нулевую точку решетки, ровно через одну-другую точку решетки или через бесконечное количество точек решетки. (Невозможно нарисовать прямую линию, которая точно проходит через любое конечное число точек решетки, кроме 0 или 1.) Математика средней школы – это все, что вам потребуется (и не так уж много). Задача 7. И  наконец, чтобы завершить это предисловие, приведу физический вызов, на который можно ответить, не написав ни одного уравнения. Представьте, что вы стоите на поверхности Луны, вытянув руку прямо от вашего тела ладонью вверх. В вашей ладони мяч для гольфа. Быстрым движением запястья вы отправляете мяч вверх с некоторой начальной скоростью. Мяч поднимается, все время замедляясь (из-за силы тяжести), и через некоторое время tu достигает некоторой максимальной высоты. Затем он начинает опускаться с постоянно увеличивающейся скоростью (изза силы тяжести) и в конце концов снова падает в вашу руку после падения в течение дополнительного времени td. Поскольку на Луне нет воздуха (сопротивления), tu = td. Теперь предположим, что вы проводите этот же эксперимент на Земле, где есть воздух (сопротивление). Объясните, почему tu ≠ td. Даже так, объясните, почему tu < td. Вам не нужно знать какую-либо подробную физику аэродинамического сопротивления (о ее зависимости, например, от мгновенной скорости мяча). Подсказка: подумайте о  сохранении энергии, и почему именно на Луне? Позвольте мне завершить это предисловие словами Ричарда Фейнмана из стихотворения, составленного им (в  заданном эссе по самоанализу) для занятий по философии, которые он посещал, когда в конце 1930-х гг. учился в Массачусетском технологическом институте:

32

ПРЕДИСЛОВИЕ

I wonder why. I wonder why. I wonder why I wonder. I wonder why I wonder why I wonder why I wonder1! Фейнман рассказывает читателем, чем он вдохновлялся, когда писал свой полусерьезный шутливый стих, в  своей книге 1985  г. Surely You’re Joking, Mr. Feynman2. Но великий американский математик польского происхождения Станислав Улам (Stanislaw Ulam, 1909–1984) вспомнил эти слова в  своей автобиографии 1976  г. Adventures of a Mathematician («Приключения математика») как часть довольно серьезного разговора, который он вел с  Фейнманом, когда оба были в  Лос-Аламосе в  США. Программа атомной бомбы во время Второй мировой войны. В какой-то момент Фейнман произнес этот же стих Уламу таким образом, чтобы произвести глубокое впечатление на математика, и не без оснований. Это слова, которые удачно описывают любопытную природу разума физика-математика. Я надеюсь, что то, что вы прочтете здесь, если у меня все получится, вызовет у вас те же чувства. Пол Дж. Нахин Эксетер, Нью-Гэмпшир Для обеспечения теоретических расчетов, выполненных в этой книге, использовались пакеты программного обеспечения, разработанные The MathWorks, Inc. из Натика, штат Массачусетс (в  частности, MATLAB 8.1 Release 2013a и  Symbolic Math Toolbox 5.10), работающие на ПК начиная с Windows 7. Это программное обеспечение устарело, но все команды, используемые в  этой книге, работают и  с  более новыми версиями и, вероятно, будут продолжать работать с более новыми версиями еще несколько лет. Компания MathWorks, Inc. не гарантирует точность текста в этой книге. Использование данной книги или обсуждение MATLAB по этой книге не означает одобрения или спонсорства The MathWorks, Inc., конкретного педагогического подхода или конкретного использования MATLAB либо программного обеспечения Symbolic Math Toolbox.

1

2

Мне интересно, почему. Мне интересно, почему. Мне интересно, почему мне интересно. Мне интересно, почему мне интересно, почему интересно. Мне интересно, почему мне интересно. Фейнман Р. Ф. Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман. М.: АСТ, 2017.

I ЗАДАЧИ

ВОЕННыЙ ВОПРОС: КАТАПУЛьТА ВОЙНы

35

Задача 1 Военный вопрос: катапульта войны Наша первая проблема имеет военный колорит. Представьте себе: армия вторжения столкнулась с  огромной, прямо-таки очень высокой оборонительной стеной. (Представьте, что это Стена в «Игре престолов», та, что под защитой Ночного дозора.) Чтобы проломить стену, захватчики решают атаковать, запустив массивные снаряды, чтобы поразить стену настолько высоко, насколько это вообще возможно. (Действительно, очень подлое и  отвратительное нападение! Но подобные атаки – не такое уж и редкое явление в  древние времена. Представьте себе катапульту, бросающую деревянные бочки, полные свежего коровьего помета, и/или трупы животных и даже солдат вверх на стену, а еще лучше через нее.) Допустим, что пусковое устройство (катапульта, пушка, что угодно) дает каждому снаряду «дульную» скорость V, пусковая установка находится на расстоянии D от основания стены, а g – ускорение силы тяжести. Вы должны рассчитать угол запуска θ, максимизирующий высоту h точки удара снаряда о стену (см. рис. З1.1). Действительно, какова эта максимальная высота? Вдобавок каково время полета, от запуска до удара, снаряда, когда h максимизировали? Во всех ваших расчетах игнорируйте влияние сопротивления воздуха. Примечание: эту задачу можно решить, используя только алгебру, немного касаясь тригонометрии/геометрии и  квадратного уравнения. Никаких вычислений не требуется (кроме знания того, что расстояние является интегралом скорости). Производные также не требуются.

θ Рис. З1.1. Каким будет θ для максимальной h с известными V и D?

36

ЗАДАЧИ

Задача 2 Невозможная на первый взгляд задача, или Шокирующая снежная головоломка Прежде чем я  расскажу вам о  нашей второй задаче, которая также будет включать в  себя квадратное уравнение, позвольте мне сначала рассказать вам небольшую математическую шутку, которую вы, возможно, слышали в старших классах. Медведь просыпается однажды утром и, чувствуя себя немного голодным, решает посмотреть, что у него есть на завтрак. Он прогуливается на 1 километр на юг, а затем, не видя ничего интересного, меняет направление и бежит на 1 километр на запад. Снова не найдя ничего вкусного, он решает опять попробовать новое направление и путешествует еще на 1 километр севернее. Вычеркивая очередное направление из списка возможных и думая, что он набрал лишнего жирка за зиму (а также замечая, что он теперь внезапно вернулся в свою комфортную берлогу), он ворчит про себя «черт с ним» и возвращается в постель. Итак. Какого цвета медведь? Когда большинство студентов впервые сталкиваются с  этой историей, они, как правило, шокированы фразой «Какого цвета медведь?», потому что вопрос кажется нелогичным. На самом деле это не так, и все это, я считаю, отличный способ познакомить студентов с тем, как сферическая геометрия отличается от геометрии на плоскости. Ответ, конечно, заключается в том, что медведь белый, потому что есть только одно место на сферической Земле, где могла бы находиться берлога такого медведя (Северный полюс, где водятся только белые медведи). Если медведь начал свое путешествие с Северного полюса, то любое направление оттуда – на юг, на километр на запад и  на километр севернее возвращает медведя обратно на Северный полюс и в его постель. В этой истории есть один забавный финальный поворот, который часто упускают, – Северный полюс на самом-то деле не единственная точка на Земле, где может начаться подобная медвежья прогулка. Такая прогулка могла бы состояться и вблизи южного полюса (но, конечно, там нет медведей никакого цвета вообще, поэтому «белый медведь» – это действительно правильный ответ). Чтобы посмотреть на эту другую возможность медвежьей прогулки, взгляните на рис. З2.1, на котором изображен Северный полюс (наверху) и альтернативная прогулка (внизу). Суть того, как это все работает, заключается в следующем.

ШОКИРУющАЯ СНЕЖНАЯ ГОЛОВОЛОМКА

37

Рис. З2.1. Геометрия «прогулки» (не в масштабе!)

Маленькая окружность чуть выше южного полюса такова, что ее длина составляет 1 километр. Итак, начиная с любой точки на большой окружности, которая располагается одним километром выше над маленькой, если вы идете на 1 километр на юг вниз к маленькой окружности, затем 1 километр на запад вокруг маленькой окружности, то это, конечно, возвращает вас к  вашей начальной точке на маленькой окружности, и поэтому заключительная часть прогулки (1 километр на север) возвращает вас прямо туда, откуда вы начали. На самом деле эта идея работает, если маленькая окружность имеет длину 1/n километров, где n – любое положительное целое число. Достаточно кому-то просто пройти по маленькому кругу n раз. Существует целая бесконечность таких маленьких кругов, и для каждого из них есть более крупный круг в 1 километре к северу. Таким образом, есть много мест рядом с южным полюсом, чтобы можно было совершить подобную прогулку, но только на Северном полюсе живут медведи, доступные для такого путешествия. Хорошо, это была забавная математическая задача, но давайте оставим ее пылиться на полке ради следующей математической головоломки прямиком из физики, которую вам точно стоит увидеть. Однажды утром начинает идти снег с постоянной скоростью. Ровно в  полдень снегоочиститель начинает расчищать длинную прямую дорожку. Плуг убирает снег с постоянной скоростью (не-

38

ЗАДАЧИ

который фиксированный объем снега в  час). Водитель, человек наблюдательный, замечает, что за второй час расчистки он проходит ровно половину расстояния, пройденного за первый час. Когда же пошел снег? И опять, я  думаю, у  вас шок! Кажется, что условие задачи говорит нам очень мало, и  нет никакой информации о том, сколько снега падает в  час, нет информации о том, насколько широка лопасть плуга или скорость плуга, и  нет информации о  том, насколько далеко плуг проходит за первый час. Можно ли решить эту проблему на самом деле? Ответ – да, и вы даже можете рассчитать, когда начал падать снег, причем с точностью до секунды. Вам нужно будет выполнить немного первокурсных математических вычислений, а также решить квадратное уравнение, но это, несмотря на первоначальные проявления, четко определенная проблема. И это, я думаю, прекрасный пример того, как математические рассуждения и некоторые разумные физические предположения могут осветить путь сквозь непроглядную снежную бурю кажущейся двусмысленности.

Задача 3 Две математические задачи: алгебра и дифференциальные уравнения спешат на помощь Теперь изменим темп. Вы не удивитесь, узнав, что математические физики – как правило, довольно хорошие математики (или, по крайней мере, они хорошие прикладные математики). Вот две первоклассные математические задачи (ученик старшей школы, отлично разбирающийся в интегралах, возможно, тоже сможет тут преуспеть), которые часто встречаются математическим физикам. Первая требует только знания алгебры, в то время как вторая требует некоторого базового вычисления. (1) Предположим, что a, b и c – длины сторон некоторого (любого) треугольника. (Здесь важно слово треугольник.) Необходимо показать, что ABC ³ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b). Подсказка: решающим наблюдением здесь является тот физический факт, что кратчайшее расстояние между двумя точками на плоскости является прямой линией.

АЛГЕБРА И ДИФФЕРЕНЦИАЛьНыЕ УРАВНЕНИЯ СПЕШАТ НА ПОМОщь

39

(2) Большинство математических физиков не могут прожить и  дня без выполнения хотя бы одного интегрирования. Вот довольно маленький интеграл, который выглядит так просто, что на первый взгляд вы можете подумать, что это почти что тривиальная задача, но немного раздумий покажут вам, что у нее есть неожиданный поворот, который обычно не рассматривается в программе для первокурсников. Для начала позвольте мне сделать два определения, просто чтобы убедиться, что вы понимаете суть. Для x, любого числа, давайте запишем [x] = целая часть x и {x} = дробная часть x. Например, если x = 3,6173, то [x] = 3 и {x} = 0,6173. Связь между [x] и  {x} легко записать как, очевидно, x  = [x] + {x}, и  поэтому {x} = x – [x]. Имея все это в виду, оцените

Подсказка: существует точное выражение для ответа, с  числовым значением 0,17753… . Вам будет полезно узнать, что

 – это результат

великого швейцарского математического физика Леонарда Эйлера (Leonhard Euler, 1707–1783), и вывод этого результата в 1734 г. сделал его знаменитым в мире математики. Теперь, если вы чувствуете себя действительно уверенными в своих математических силах, вам стоит попробовать свои силы в следующем: Дополнительная задача: очевидным продолжением после нашего первоначального интеграла является вычисление Это приведет вас не только к  Эйлер, но и к 

  – сумме, которую вывел

 – сумме, которую Эйлер не мог рассчитать

(и никто другой не был в  состоянии сделать этого по сей день, кроме как оценить ее численно как 1,2020569…). Общая сумма

40

ЗАДАЧИ

с n > 1 записывается математиками как ζ(n) и называется

дзета-функцией. Эйлер сумел вычислить точные выражения для ζ(n), когда n – любое четное положительное целое число, – в задаче 24 я  покажу вам, как это сделать современным способом, используя математику, которую все студенты-физики, математики и инженеры проходят к концу второго года обучения в колледже, – но ζ(n) для всех нечетных положительных целых значений n > 1, и теперь, в течение почти трех столетий после Эйлера, полностью ставит в тупик лучших математиков мира. (При n = 1 еще за столетия до Эйлера было известно, что дзета-функция взрывается, то есть суммируется до бесконечности.) Итак, когда вы оцените оставьте свой ответ в значениях ζ(2) и ζ(3). Подсказка:

числовое значение интеграла равно 0,051. Еще одно обобщение:  – это

для n – любого положительного цело-

го числа. Посмотрим, сможете ли вы сделать это еще более общим интегралом (ваш ответ должен, для n = 1, сводиться к вашему первому результату).

Задача 4 Проблема побега: увернуться от грузовика Вот довольно маленькая задачка, которая, помимо использования квадратных уравнений еще раз, предлагает вам способ максимизировать ваши шансы выжить в опасной ситуации. Представьте, что вы бежите по центру прямой городской улицы на максимальной скорости Vy. Внезапно вы начинаете осознавать, что за вами на скорости Vt > Vy едет широкофюзеляжный грузовик. Если вы не уберетесь с дороги, вас задавят! Итак, когда грузовик находится на расстоянии S позади вас, вы решаете, что вам лучше уйти с улицы, и для этого вы продолжаете бежать на полной скорости, но теперь под углом θ к  вашему первоначальному пути (то есть в  сторону страницы), как показано на рис. З4.1. Каким должен быть θ, чтобы максимизировать расстояние от центра улицы? И для этого наилучшего θ на каком расстоянии вы будете от центра улицы, когда грузовик проедет мимо вас? Если

СНОВА КАТАПУЛьТА: ТУДА, КУДА НЕ ПОПАДУТ ДАЖЕ МЕРТВыЕ КОРОВы

41

это расстояние больше половины ширины грузовика, то вы выживете. (Примечание: выбор угла θ = 90° – угла, который вы можете сначала выбрать, потому что он перемещает вас прямо от центра улицы, – не является правильным, поскольку хотя θ < 90° и не перемещает вас прямо от центра улицы, а  перемещает вас немного в сторону, но он также заставляет вас двигаться в направлении прямо вниз по улице и от грузовика.) Теперь, в частности, если вы бежите со скоростью 15 миль в час (вы довольно хороший бегун!), а  грузовик движется со скоростью 60 миль в  час, и  вы начинаете свою попытку сбежать, когда грузовик (который имеет ширину 8 футов) находится в 75 футах позади вас. Вы выживете? Поменяется ли ваш ответ, если вы бегаете со скоростью всего 4 мили в час?

Грузовик

θ

Вы при

Рис. З4.1. Математическая физика спешит на помощь!

Задача 5 Снова катапульта: туда, куда не попадут даже мертвые коровы Вот вариация первой задачи, в  которой у  нас была катапульта, бросающая снаряд в  стену. В  этой версии забудьте на время о  стене. Мы начинаем с  катапульты при x  = 0, которая бросает/ стреляет/швыряет снаряд с  начальной скоростью V под углом θ. Существует некоторый угол запуска, при котором дальность полета снаряда максимальна (вы, вероятно, уже знаете, что угол для максимальной дальности составляет 45°, но если нет, это легко показать). Назовем этот максимальный диапазон R, который легко выразить в значениях только V и ускорения силы тяжести g. Теперь введем стену высоты H. Катапульта находится слева от стены на расстоянии D. То есть стена находится в точке x = D. Снаряд должен пройти через стену и  приземлиться с  другой стороны, и  вы

42

ЗАДАЧИ

должны найти место, где он не может приземлиться. Отклонимся от темы: понятие «бросать вещи» не исчезло с  развитием современного оружия. Военно-воздушные силы вновь встретили понятие метания, например когда они столкнулись с задачей сбрасывания атомных бомб и проблемой избегания взрыва своего собственного устройства. Одним из решений было бомбардирование с  большой высоты. Когда самолет, показанный на рис. З5.1, приближался к наземной цели, он переходил в вертикальный набор высоты и разворачивался в обратном направлении. Когда самолет набирал высоту, он выпускал бомбу, которая затем перемещалась сначала вверх и вперед, а затем вниз на цель. Эта задержка детонации была достаточной для того, чтобы бомбардировщик завершил свой подъем и разворот, а затем ушел от взрыва. Такой акробатический маневр возможен для современных высокоэффективных реактивных истребителей-бомбардировщиков (атомные бомбы с мощностью до нескольких сотен килотонн могут быть вполне безопасно сброшены подобным способом), но не для массивных поршневых самолетов B-29, которые бомбили Хиросиму и Нагасаки в 1945 г. Позже в книге я буду обсуждать математическую физику альтернативного маневра эвакуации, используемого медленными и тяжелыми бомбардировщиками в атаках 1945 г. Существует множество видеороликов бросков бомб на YouTube в  интернете, сделанных с помощью компьютерных программ – имитаций полета на самолете (Digital Combat Simulator – DCS), доступных через Amazon для ПК.

Рис. З5.1. Бомбометание и уход от атомного взрыва

ЕщЕ ОДНА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА, КОТОРАЯ ТРЕБУЕТ ВыЧИСЛЕНИЙ

43

Задача 6 Еще одна математическая задача, которая требует вычислений Давайте сделаем перерыв в физике и займемся другой чисто математической задачей, связанной с техническими деталями, с которыми регулярно сталкиваются математические физики. Если кто-то спросит вас, что больше, pq или qp, где p и q – положительные целые числа, вы можете легко ответить на этот вопрос, просто сделав некоторые умножения. Например, что больше, 43 или 34? Ну что ж, 43 = (4)(4)(4) = 64, в то время как 34 = (3)(3)(3)(3) = 81, и тогда очевидно, что 34 > 43. Это было легко. Но предположим, что один (или оба) из p и q не являются целыми числами или даже рациональными; возможно, они даже трансцендентальны. Теперь все не так-то просто. Что больше, eπ или πe? Вы не можете просто взять и  умножить е на саму себя π раз, или умножить π само на себя e раз. А как насчет e3 и 3e, или 3π и π3, или e2 и 2е? БЕЗ КАЛьКУЛЯТОРОВ! Существует аналитический способ быстро ответить на все эти четыре вопроса. В  качестве подсказки, чтобы вы знали, с чего начать, вспомните бесконечное разложение степенного ряда ex, действительное для всех x (e – это, конечно, число Эйлера: ):

формула, которую каждый математический физик знает так же хорошо, как и  свой собственный день рождения. Действительно, в качестве разминки посмотрите, можете ли вы использовать расширение степенного ряда, чтобы доказать, что e < 3. (Из ряда при проверке должно быть очевидно, что e > 2; эти два результата показывают, что e не может быть целым числом.) Если вы можете это сделать и если вы чувствуете себя особенно деятельным (в математическом смысле), то посмотрите, можете ли вы в  дальнейшем использовать разложение степенного ряда, чтобы доказать, что e иррационально, то есть что нет целых чисел p и q, таких что e =

. Иррациональность е была установлена в 1737 г. Эйлером.

44

ЗАДАЧИ

Задача 7 Если теория терпит неудачу: моделирование Монте-Карло Физик-математик иногда сталкивается с  проблемой, которую он не может решить аналитически, либо потому, что нет известных методов (пока), либо просто потому, что он лично не знает, как подойти к  проблеме математически. (В этом нет ничего постыдного, так как вы не можете знать всего!) Однако это не обязательно означает, что все потеряно, потому что есть замечательный дополнительный инструмент  – современный высокоскоростной электронный компьютер1. Учитывая физику ситуации, физик может быть в состоянии получить ответы, в которых он или она нуждается, благодаря тому что называется моделированием МонтеКарло для этой физической ситуации, а не путем прямого решения уравнений, подразумеваемых данной физической задачей. Вот простой пример того, к чему я клоню, в форме задачи, впервые поставленной в январском номере американского математического журнала The Mathematical Visitor за 1878 г. Предположим, что человек идет по квадратной лужайке со стороной длины s. Он делает это, сначала выбирая наугад начальную точку на одном краю лужайки, а затем (опять же наугад) выбирая угол, под которым идти относительно этого края, причем все углы от 0° до 180° будут выбраны с одинаковой вероятностью. Какова вероятность, что длина его пути через лужайку больше, чем s? На этот вопрос можно ответить теоретически, в результате чего вероятность равна 1 –  = 0,36338…, но что делать, если мы не знаем 1 Математики тоже научились ценить компьютеры. В качестве примера рассмотрим известную гипотезу великого Эйлера, который в 1769 г. утверждал, что не существует такого целого числа, что его n-я степень может быть записана как сумма меньших, чем n, т. е. n-я степень меньших целых чисел. Эта гипотеза не поддавалась формальному анализу в течение двух столетий, пока в 1966 г. не была доказана контрпримером; то есть компьютерный поиск показал, что, вопреки Эйлеру, 1445 = 275 + 845 + 1105 + 1335, и этот пример имеет только четыре пятые степени справа. Как только это окажется в ваших руках, вы сможете «легко» подтвердить это простым выполнением арифметических действий. Я  пишу «легко» в  несколько свободном понимании, так как арифметика там немного грязная, и поэтому, поскольку я знаю, что вам интересно, цифры, которые получаются, равны: 61 917 364 224 = 14 348 907 + 4 182 119 424 + 16 105 100 000 + 41 615 795 893.

ЕСЛИ ТЕОРИЯ ТЕРПИТ НЕУДАЧУ: МОДЕЛИРОВАНИЕ МОНТЕ-КАРЛО

45

достаточно элементов из теории вероятности, чтобы вычислить этот результат1? То, чем мы сейчас займемся, – так это будем имитировать такую прогулку 10 миллионов (!) раз и просто подсчитав, сколько из этих прогулок имеют длину, превышающую длину края. На рис. З7.1 я показал три различных общих пути, которые может пройти наш газоноходильщик по квадратной лужайке с  длиной края в  единицу. (Предположение, что s  = 1, не теряет общности, так как все, о чем мы заботимся, – это доля путей с длиной, большей длины ребра.) Я расположил газон в первом квадранте прямоугольной системы координат, причем исходная точка ходока находится на расстоянии x от начала координат, а сама прогулка – под углом θ к нижнему горизонтальному краю. И x, и θ случайны, причем x равномерно распределено от 0 до 1, а θ равномерно распределено от 0 до π радиан. Длина пути равна l (от 0 до ), и мы хотим найти вероятность того, что l > 1. По рисунку мы можем видеть (благодаря элементарной геометрии), что (1) если прогулка начинается с правого вертикального края, то

(2) если прогулка начинается с верхнего горизонтального края, то

(3) если прогулка начинается с левого вертикального края, то .

1

Решения в The Mathematical Visitor не появилось, но вы можете найти полный теоретический анализ в  моей книге Duelling Idiots and Other Probability Puzzlers. Princeton University Press, 2002. P. 58–61, 147–155. Большинство математических физиков разбираются в теории вероятности достаточно хорошо для того, чтобы решить конкретно эту задачу теоретически, но всегда будет какая-то задача, которая победит любого, независимо от того, насколько он талантлив. Именно тогда Монте-Карло может стать ключом к успеху.

46

ЗАДАЧИ

θ

θ

π-θ

θ

Рис. З7.1. Случайная прогулка через лужайку

Случай (а) имеет место, если

в то время как (с) возникает, если

Случай (b) имеет место, если

Итак, учитывая значения x и θ, мы можем использовать эти условия, чтобы сначала определить, какой случай у нас есть (то есть с какого края лужайки начинается наш путь), а затем из соответствующего l-уравнения мы можем вычислить длину пути. Что мы будем делать? Выполнять этот процесс большое количество раз (10 миллионов, если быть точным) и отслеживать, сколько из этих путей имеют l > 1. Это очень много вычислений, но мы не собираемся этого делать самостоятельно – наш компьютер будет делать

ЕСЛИ ТЕОРИЯ ТЕРПИТ НЕУДАЧУ: МОДЕЛИРОВАНИЕ МОНТЕ-КАРЛО

47

всю грязную арифметическую работу! Следующий компьютерный код, lawn.m, выполняет эту задачу. Он написан в MATLAB, но все использованные команды, я  полагаю, включены во все научные языки программирования, и поэтому, я думаю – как уже утверждал в предисловии, – код практически на 100 % переносим (или, в худшем случае, требует только тривиальной модификации). Одна команда, которая может потребовать комментария,  – это rand, которая каждый раз, когда выполняется, создает число из равномерного распределения от 0 до 1. (Начальная команда гарантирует, что код будет использовать другую последовательность случайных чисел при каждом запуске программы.) После того как lawn.m был несколько раз запущен, он оценил, что вероятность, которую мы ищем, находится в интервале от 0,36322 до 0,36348 – узком интервале, подходящем к теоретическому значению. %lawn.m/created by PJNahin for Mathematical Physics (5/27/2016) rand('state',100*sum(clock)); paths=0; for n=1:10000000 x=rand;angle=pi*rand; A1=atan(1/(1-x);A2=pi-atan(1/x); if angleA2 l=-x/cos(angle); else l=1/sin(angle); end if l > 1 paths=paths+1; end end paths/10000000

Теперь, когда вы увидели, как работает трюк Монте-Карло1, вот вам еще три задачи, которые нужно решить. Конечно, если вы можете решить их теоретически, это здорово, но даже если вы можете 1 Еще больше примеров моделирования Монте-Карло вы найдете в моей книге Number-Crunching: Taming Unruly Computational Problems from Mathematical Physics to Science Fiction. Princeton University Press, 2011.

48

ЗАДАЧИ

сделать это, выполните моделирование Монте-Карло, чтобы проверить свою теоретическую работу. Вот первая: представьте себе круглую мишень для стрельбы из лука с тремя стрелами, воткнутыми в нее. Если стрелы попали в цель «наугад»1, то какова вероятность того, что ни одна из них не будет разделена более чем радиусом цели? Вторая задача немного более абстрактна. Две точки внутри квадранта окружности берутся наугад, и через них проводится линия. Необходимо найти вероятность того, что (a) линия пересекает дугу четверти круга в двух точках, (b) линия пересекает дугу четверти круга в одной точке и (c) линия не пересекает дугу четверти круга. Эта задача имела теоретическое исследование, о  котором я  расскажу позже в разделе «Решения». Для обеих задач ваше задание состоит в том, чтобы найти алгоритм, описывающий задачу, а затем использовать этот алгоритм для написания и  выполнения компьютерного кода, который оценивает найденные вероятности. Эти первые две сложные задачи, по общему мнению, скорее математические, нежели физические, и поэтому в третьем пункте я дам вам задачу, имеющую физическую природу, которая, как я думаю, окажется для вас весьма сложной, чтобы решать ее теоретически, но (если приложить немного ума) окажется совсем нетрудной для моделирования. Представьте, что у  вас есть четыре одинаковых прямоугольных кирпича одинаковой плотности, каждый из которых имеет одинаковую длину. Затем представьте, что вы произвольно2 складываете кирпичи (как показано на рис. З7.2), 1 Чтобы генерировать точки, равномерно распределенные по окружности, есть особенно простой подход (физически ясный, даже если вычислительно немного длинный). Заключите круг в  квадрат с длиной ребра, равной диаметру круга, а  затем создайте точки, равномерно распределенные по квадрату (точки, которые окажутся внутри круга, также будут однородны в этом круге). Используйте, конечно, только те точки, которые случайно попадают внутрь круга! Подробнее об этом см. мою книгу Number-Crunching: Taming Unruly Computational Problems from Mathematical Physics to Science Fiction. Princeton University Press, 2008. С. 16–18. 2 Вот особенно простой подход (физически ясный, даже если вычислительно немного длинный), чтобы генерировать точки, равномерно распределенные по окружности. Заключите круг в  квадрат с длиной ребра, равной диаметру круга, а  затем создайте точки, равномерно распределенные по квадрату (точки, которые окажутся внутри круга, также будут однородны по кругу). Используйте, конечно, только те точки, которые слу-

ЕСЛИ ТЕОРИЯ ТЕРПИТ НЕУДАЧУ: МОДЕЛИРОВАНИЕ МОНТЕ-КАРЛО

49

по одному кирпичу за раз, как будто строите стену. Когда вы добавляете каждый новый кирпич, стопка либо останется стоять, либо новый кирпич (и, возможно, другие) падает. Какова вероятность того, что стопка не разрушится после добавления четвертого кирпича?

Рис. З7.2. Случайная стопка из четырех кирпичей

Эта задача была впервые поставлена американским математиком Артемасом Мартином (Artemas Martin, 1835–1918) в декабрьском выпуске 1871 г. журнала The Schoolday Visitor, без какого-либо решения. Позже она получила некий теоретический анализ, о котором я расскажу подробнее в разделе «Решения». Подсказка: ключевая идея, конечно, основана на концепции центра масс. Основная физика элементарна: (1) центр массы каждого отдельного кирпича находится в  середине кирпича и  (2) центр массы множества масс m1, m2, …, расположенный в точке x = x1, x2, …, соответственно, находится на

Для каждого кирпича в целой стопке центр массы кирпичей над ним должен быть над этим кирпичом. Если вы хотите попробовать свои силы в  более простой версии этого вопроса в  качестве разминки, предположим, что вы складываете только три кирпича и спрашиваете: какова вероятность того, что стопка не повреждена после добавления третьего кирпича? Компьютерное моделирование должно дать вам в результате вероятность около 0,2188. чайно попадают внутрь круга! Подробнее об этом см. в моей книге Digital Dice: Computational Solutions to Practical Probability Problems. Princeton University Press, 2008. С. 16–18.

50

ЗАДАЧИ

Задача 8 Монте-Карло и теория: одномерное случайное блуждание пьяницы В предыдущей задаче моделирование Монте-Карло для физической задачи требовалось из-за изрядного количества вычислений. Есть, однако, много увлекательных физических ситуаций, которые могут быть смоделированы с очень небольшим количеством таковых или почти без вычислений. Ярким примером этого является то, что математики называют случайными блужданиями (random walks). Этот термин может показаться несколько легкомысленным, но на самом деле случайные блуждания происходят во многих важных исследованиях. В действительности происхождение теории случайного блуждания (если даже не сам термин) можно проследить аж до 1904 г., до того момента, как британский врач сэр Рональд Росс (Ronald Ross, 1857–1932) проанализировал случайные полеты комаров и предположил, что они являются переносчиками болезней по воздуху (в частности, желтой лихорадки и малярии)1. В следующем году великий английский статистик Карл Пирсон (Karl Pearson, 1857–1936) дал живописное название «блуждание пьяницы», пожалуй, самому известному случайному блужданию (или, по крайней мере, случайному блужданию, с которым впервые сталкиваются в  своих исследованиях студенты, изучающие теорию вероятностей в  математике и  статистическую механику в  физике). Прогулка пьяницы в  одном измерении выглядит следующим образом (рис. З8.1):

Паб

Дом

Рис. З8.1. Случайная прогулка пьяницы

1

Вы можете найти подробное обсуждение исторического происхождения интереса к случайным блужданиям в моей книге Mrs. Perkins’s Electric Quilt and Other Intriguing Stories of Mathematical Physic. Princeton University Press, 2009. С. 233–284.

МОНТЕ-КАРЛО И ТЕОРИЯ: ОДНОМЕРНОЕ СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ ПьЯНИЦы

51

Представьте себе человека, который после дикой ночи кутежа просыпается в пьяном угаре в одной из N + 1 целочисленных точек вдоль неотрицательной оси x (x  = 0, 1, 2, 3, …, N). Если 1 £ x < N – 1, то каждый последующий отрезок времени он смещается на одну точку вправо (с вероятностью p) или на одну точку влево (с вероятностью q). Поскольку он будет после каждого временного интервала шататься в  ту или иную сторону, мы знаем, что p + q  = 1. Если он когда-нибудь достигнет x  = 0 (расположения паба), он останется там. Если, однако, он когда-нибудь достигнет x = N (местоположения своего дома), он ляжет спать. Задача пьяницы состоит в том, чтобы вычислить fN(x), вероятность того, что он доберется до дома до того, как доберется до паба, учитывая, что он просыпается в месте x. Из условия задачи мы можем сразу написать fN(0) = 0, fN(N) = 1. Все потому, что если пьяница просыпается в пабе (x = 0), то он остается там, и поэтому существует нулевая вероятность того, что он доберется до дома, а если он просыпается дома (x = N), то он наверняка доберется до дома. Но что, если он проснется не в пабе и не дома? В этом случае мы можем написать: fN(x) = qfN(x – 1) + pfN(x + 1). Это уравнение (называемое разностным уравнением второго порядка) имеет простое физическое объяснение. Вероятность достижения дома из позиции x (то есть fN(x)) – это вероятность достижения дома из позиции x – 1 после перемещения (с вероятностью q) влево из позиции x для достижения позиции x – 1, плюс вероятность достижения дома из позиции x + 1 после перемещения (с вероятностью p) вправо из позиции x для достижения позиции x + 1. Итак, вот и получилась математическая задача. Решите следующее уравнение: fN(x) = qfN(x – 1) + pfN(x + 1), fN(0) = 0, fN(N) = 1 для fN(х). Итак, как же мы это сделаем? Оказывается, это легко выполнить, если вы сделаете следующее наблюдение: каждый член разностного уравнения имеет в  нем fN(х) или сдвинутую версию fN(х), и это явно предполагает решение, включающее экспоненту. То есть, подразумевая s и C как некоторые константы, можно пред-

52

ЗАДАЧИ

положить1, что решение будет иметь вид fN(х) = Cesx. Посмотрим, сможете ли вы понять эту подсказку и использовать ее для решения разностного уравнения. (Вы должны прийти к  квадратному уравнению для es, и поэтому авторы письма в Boston Globe, которое я цитировал в предисловии, возможно, обратят на это внимание.) Обратите особое внимание на случай p  = q  =

(так называемая

симметричная прогулка). Но даже если вы не можете решить разностное уравнение, теперь вы должны оценить, насколько легко имитировать прогулку пьяницы для любых заданных значений p, q (= 1 – p) и N. Чтобы проверить ваше моделирование, в  разделе «Решения» я  покажу вам, как решить разностное уравнение, которое говорит (например), что если N = 11 и p = 0,6, то f11(7) = 0,952. Ваша задача состоит в том, чтобы написать моделирование Монте-Карло для этой прогулки, использовать его для подтверждения теоретического значения для f11(7), а затем применить моделирование для определения f11(x) для всех других значений x от 1 до 10.

Задача 9 Еще Монте-Карло: двумерное случайное блуждание в Париже Очевидный способ расширить одномерное случайное блуждание – это добавить к  нему измерение, то есть позволить случайному ходоку идти не только влево и  вправо в  направлении x, но и  вверх и  вниз в  направлении y. И  в  самом деле, зачем останавливаться на достигнутом? Можно продолжать представлять себе добавление третьего, четвертого и даже большего количества измерений к  прогулке, причем каждое дополнительное измерение добавляет еще две возможности для ходока при выборе следующего шага. Итак, вот вам случайная двухмерная прогулка пьяницы, о которой вы должны подумать. Я не знаю теоретического реше1 Почему мы это предполагаем? Потому что вы видели такие проблемы раньше (и если не видели, то сейчас уж точно видим!). Самый первый человек, который увидел эту хитрость, был очень умен. Однако всем тем, кто следует по стопам этого первопроходца, не обязательно быть настолько же умными.

ЕщЕ МОНТЕ-КАРЛО: ДВУМЕРНОЕ СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ В ПАРИЖЕ

53

ния (если вы его разработаете, пожалуйста, пришлите его мне), но, как и в случае с одномерной прогулкой пьяницы, его легко смоделировать на компьютере:

Арка

Отель

Рис. З9.1. Cлучайная прогулка по Парижу

Пьяный турист начинает свой путь в отеле и наугад идет по улицам идеализированного Парижа, показанного на рис. З9.1. Найти вероятность того, что он достигнет Триумфальной арки, прежде чем достигнет окраины города1. На рис. З9.1 узлы (начальная и конечная точки шага) произвольно пронумерованы от 1 (гостиница) до 16 (дуга – узел 9). Все внешние узлы (те, что соединены пунктирным кругом) представляют собой окраины города и имеют одинаковый номер (17). Таким образом, моделирование Монте-Карло запускает большое количест1 Взято из классической монографии Питера Г. Дойла и Дж. Лори Снелл (Peter G. Doyle и  J. Laurie Snell) Random Walks and Electric Networks. The Mathematical Association of America, 1984. С. 59. Эта маленькая красивая книга  – изящная иллюстрация неразрывной связи между математикой (в  частности, теорией вероятностей) и  физикой (в  частности, теорией электрических цепей). Для другого примера использования случайных блужданий для решения проблем электрической цепи см. Mrs. Perkins’s Electric Quilt and Other Intriguing Stories of Mathematical Physic (примечание 1 в задаче 8), стр. 299–320.

54

ЗАДАЧИ

во блужданий от узла 1 и определяет долю тех блужданий, которые достигают узла 9 до достижения узла 17. В качестве частичной проверки правильности вашего кода объясните, почему если вы начинаете прогулку в узле x (где 1 £ x £ 16) и если p(x) – вероятность достижения узла 9 до достижения узла 17, то сразу следует, что p(1) = p(2), p(4) = p(5), p(3) = p(6), p(7) = p(11), p(8) = p(10), p(12) = p(14) и  p(15)  = p(16). Не забывайте, что, с  двумя исключениями, каждый узел имеет пять путей выхода, включая те узлы, которые ведут на окраину города (каждый из этих узлов имеет два таких пути выхода)1. Все пути выхода равновероятны; то есть каждый из них имеет вероятность

быть выбранным.

Основной задачей разработки алгоритма Монте-Карло для этой задачи является разработка способа рассказать компьютеру, как узлы соединяются друг с другом. (Компьютерщики называют это проблемой структуры данных (Data structure problem), и  она составляет около 99 % задачи. Как только вы это сделаете, вы практически закончите с решением.) Тот факт, что каждый узел предлагает одинаковое количество путей выхода, значительно упрощает проблему структуры данных. Интересным расширением проблемы структуры данных является то, как именно обрабатывать многомерные блуждания с различным числом путей выхода для каждого узла.

Задача 10 Полет с ветром (и против него): математика для современного путешественника Прежде чем перейти к основной постановке проблемы, вот небольшая разминка для вас. Однажды Боб пробежал 8-мильную дистанцию, причем на первой половине пути скорость его бега составляет 12 миль в час, а на второй половине – 8 миль в час. На следующий день Салли решает пробежать ту же самую дистанцию; она также пробегает первую половину на скорости 12 миль в час и вторую половину на скорости 8 миль в час. Время пробега Боба 1

Исключение составляют, конечно, узел 9 (дуга) и узел 17, каждый из которых завершает прогулку.

МАТЕМАТИКА ДЛЯ СОВРЕМЕННОГО ПУТЕШЕСТВЕННИКА

55

не совпадает со временем пробега Салли. Объясните, как это может быть, и рассчитайте время для каждого бегуна. Хорошо, теперь, когда вы уже настроены на математический бой, вот немного более сложная ситуация. Авиакомпания предлагает путешествие в оба конца между двумя городами, A и B, которые находятся на расстоянии D друг от друга. Самолет, который движется с  фиксированной скоростью S в  неподвижном воздухе, летит из пункта А в пункт в один день, а затем совершает обратный рейс на следующий день. На первом отрезке кругового рейса самолет покидает А, когда ветер, дующий от А до B, изначально равен нулю. В  начале полета скорость ветра неуклонно возрастает с  постоянной величиной, так что когда самолет прибывает в точку B, скорость ветра равна w. На следующий день, на обратном полете из B обратно в А, скорость ветра упала до постоянной < S, но он все еще дует от А до B. Сравните общее время полета самолета в оба конца с тем, что было бы в отсутствие любого ветра. В частности, если W =

S, то насколько различны два полных

времени полета (то есть какое из них больше и  на сколько)? Это прекрасный пример силы математических рассуждений в применении к тому, что кажется сложной физической ситуацией. Теперь, если вы чувствуете себя действительно всесильными (в математическом смысле), попробуйте свои силы в следующем. Задача экстрасложности: человек бежит по прямой траектории длиной D со скоростью v(t) = v(x). То есть его скорость равна v(x), когда он находится на расстоянии x от своей начальной точки (x = 0), которую он достигает в момент времени t. Покажите, что если T – общее время пробега, то

То есть покажите, что среднее по времени значение его скорости никогда не может быть больше среднего по пространству значения его скорости. Подсказка: используйте неравенство Коши–Шварца, которое обсуждается в конце предисловия. Вы также найдете полезным вспомнить, что отношение между D, T и v задается как

56

ЗАДАЧИ

Задача 11 Комбинаторная задача с физическими следствиями: частицы, энергетические уровни и исключение Паули Эта дискуссия призвана служить иллюстрацией интереса математических физиков к подсчету и комбинаторному анализу. Наш особый интерес здесь будет заключаться в том, что может показаться буквально детской игрой – размещением шаров по коробкам, что в  действительности является деятельностью, играющей центральную роль в атомной физике. В физике шары могут быть частицами (электронами, нейтронами, фотонами и т. д.), а коробки могут быть энергетическими уровнями. Чтобы быть очень конкретными, предположим, что у нас есть то, что математики (и физики тоже) называют различимыми шарами и различимыми коробками. Все шары, например, могут быть идентичны во всех отношениях, но мы все равно можем отличить их друг от друга, потому что каждый из них имеет уникальную этикетку, наклеенную на него. Если у нас есть, например, три шара, пусть метки будут a, b и c. Давайте также предположим, что коробки идентичны во всех отношениях, но мы можем отличить их друг от друга, поскольку у них тоже есть метки. Если у нас есть, например, три коробки, пусть их метки будут A, B и C. Наш первый вопрос заключается в том, сколько существует различимых способов поместить три шара в три коробки, исходя из предположения, что нет предела тому, сколько шаров может попасть в конкретную коробку? Ответ – 27, и все эти способы1 показаны на рис. З11.1. А что, если с шаров сняли ярлыки и теперь они неразличимы? Сколько различных способов существует сейчас? Количество падает до 10, и все эти способы показаны на рис. З11.2. Что, если вместо этого коробки неразличимы, а  шары различимы? Сколько различных способов положить шары в  коробки су1

Рассуждение заключается в следующем. Первый шар, который нужно поместить, может попасть в любую из трех коробок. Второй шар, который нужно поместить, может попасть в любую из трех коробок. Третий шар, который нужно поместить, может попасть в любую из трех коробок. Таким образом, общее количество различимых способов распределения шаров равно (3)(3)(3) = 27. В общем случае, если у нас есть n различимых ящиков и r различимых шаров, общее число различимых способов распределения шаров равно nr.

ЧАСТИЦы, ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИ И ИСКЛюЧЕНИЕ ПАУЛИ

57

ществует теперь? Ответ будет еще меньше, 5, и  все эти способы показаны на рис. З11.3. Наконец, что, если и шары, и коробки неразличимы? Сколько различных способов распределения шаров существует сейчас? Ответ – 3, и они показаны на рис. З11.4. Первые два распределения настолько часто встречаются в физике, что им были даны собственные имена (они называются распределениями Максвелла–Больцмана и  Бозе–Эйнштейна соответственно (Maxwell–Boltzmann и  Bose–Einstein distributions))1  – названия, которые также переняли и математики. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

{abc |—|—} {—|abc|—} {—|—|abc} {ab|c|—} {ac|b|—} {bc |a|—} {ab|—|c} {ac |—|b} {bc |—|a}

{a|bc |—} {b |ac |—} { c |ab|—} {a|—|bc} {b|—|ac} {c |—|ab} {—|ab|c} {—|ac |b} {—|bc |a}

19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.

{—|a|bc} {—|b|ac} {—|c |ab} {a|b|c} {a| c |b} {b|a|c} {b| c |a} {c |a|b} {c |b|a}

Рис. З11.1. 27 различных способов поместить три различимых шара в три различимые коробки 1. 2. 3. 4. 5.

{***|—|—} {—|***|—} {—|—|***} {**|*|—} {**|—|*}

6. 7. 8. 9. 10.

{*|**|—} {*|—|**} {—|**|*} {—|*|**} {*|*|*}

Рис. З11.2. 10 различных способов поместить три неразличимых шара в три различимые коробки 1. {a|b|c}

2. {abc |—|—}

3. {ab|c|—}

4. {bc|a|—} 5. {ac|b|—}

Рис. З11.3. Пять различных способов поместить три различимых шара в три неразличимые коробки 1

В честь австрийского физика Людвига Больцмана (Ludwig Boltzmann, 1844–1906), шотландского физика Дж. К. Максвелла (1831–1879), индийского физика С. Н. Бозе (S. N. Bose, 1894–1974) и (конечно!) немецкого физика Альберта Эйнштейна (Albert Einstein, 1879–1955).

58

ЗАДАЧИ

1. {***|—|—}

2. {**|*|—} 3. {*|*|*}

Рис. З11.4. Три различных способа поместить три неразличимых шара в три неразличимые коробки

В некоторых приложениях физики применяется ограничение, называемое принципом исключения Паули1, который говорит, что ни одна коробка не может содержать более одного шара. Итак, сколько различимых способов поместить три шара в  три различимые коробки существует под ограничением исключения Паули? Если шары различимы, то ответ равен 6, как показано на рис.  З11.5a (последние записи на рис.  З11.1), а  если шары неразличимы, то ответ равен 1, как показано на рис. З11.5b (последняя запись на рис. З11.2). Этот последний случай называется распределением Ферми–Дирака2. 1. {a|b|c} 2. {a| c |b} 3. {b|a|c} 4. {b| c |a} 5. {c |a|b} 6. {c |b|a} Рис. З11.5а. Шесть различных способов поместить три различимых шара в три различимые коробки с исключением Паули 1. {*|*|*} Рис. З11.5б. Единственный способ поместить три неразличимых шара в три различимых ящика с исключением Паули

Специально перечислять все различные способы размещения шаров в коробках при различных ограничениях (или без них) различимости, неразличимости и  исключения Паули очень быстро чрезвычайно утомляет, как только количество шаров и/или коробок становится больше, чем три. (Попробуйте разместить четыре шара в пяти коробках!) То, что нам нужно, – это общие формулы, которые дадут нам некоторое количество способов сделать это, 1 В честь родившегося в Австрии швейцарского и американского физика Вольфганга Паули (Wolfgang Pauli, 1900–1958). 2 В честь американского физика итальянского происхождения Энрико Ферми (Enrico Fermi, 1901–1954) и английского физика Поля Дирака (Paul Dirac, 1902–1984).

ЧАСТИЦы, ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИ И ИСКЛюЧЕНИЕ ПАУЛИ

59

учитывая любые применяемые ограничения. Например, сколькими способами вы можете разместить n различимых шаров в n различимых коробках, предполагая, что принцип исключения Паули не применяется? Мы можем рассуждать следующим образом, беря каждый шар по одному. Первый шар может попасть в  любую из n коробок. Второй шар может попасть в любую из n коробок, и так далее для всех остальных шаров. Таким образом, существует nn различимых способов поместить n различимых шаров в n различимых ящиков, если исключение Паули не применяется (см. сноску 1 снова, положив r = n). Теперь возникает интересный вопрос: в скольких из этих способов nn в каждой коробке получается ровно один мяч? Первая коробка может получить любой из n шаров. Вторая коробка может получить любой из оставшихся n – 1 шаров. Третья коробка может получить любой из оставшихся n – 2 шаров, и так далее, пока мы не доберемся до последней коробки, которая теперь получает единственный оставшийся шар. Итак, существует n(n – 1)(n – 2)… (1) = n! различимых способов положить ровно по одному шарику в каждую из коробок. Это говорит нам о том, что вероятность того, что в каждой коробке будет ровно один шар, равна

– и это результат с некоторыми неинтуитивными последствиями. Например, предположим, что мы честно бросаем кубик – с (конечно) шестью одинаково вероятными различимыми результатами, шесть раз. Мы рассматриваем каждый бросок как «коробку», а каждую грань, которая появляется на броске, как «шар». Таким образом, вероятность того, что в шести бросках каждая грань кубика показывается ровно один раз, будет

что удивительно мало. Если мы назовем бросание кубика шесть раз «экспериментом», то в среднем мы ожидаем увидеть все шесть граней только один раз в  65 экспериментах. Все остальные эксперименты покажут одну или несколько граней, встречающихся многократно. То есть в  действительно случайном эксперименте (как честное бросание кубика шесть раз) кластеризация, или боль-

60

ЗАДАЧИ

шое количество повторов (lumping), – ожидаемый результат, а не равномерное распределение, которое большинство людей считают «интуитивно очевидным». Какова вероятность того, что одна из граней отображается несколько раз, а другие грани отображаются на оставшихся бросках (в общей сложности – шести бросках)? Это говорит о том, что одна из граней (скажем, единица) вообще не отображается, и поэтому для каждого броска есть только пять возможностей, в общей сложности 56 возможностей, в которых нет единицы. Поскольку в целом существует 66 возможностей, вероятность того, что ни одна единица не выпадет при шести бросках (что означает, что какая-то другая грань выпала, по крайней мере, дважды), является

что почти в 22 раза более вероятно, чем равномерный случай выпадения каждой грани, показывающейся один раз за шесть бросков. В качестве другого примера задачи о том, как поместить n различимых шаров в n различимых коробок без единой пустой коробки в конце, предположим, что n = 365. Это забавная интерпретация вопроса о  том, какова вероятность, что если взять 365 случайно выбранных людей, то каждый день в году будет днем рождения для кого-то? Интуитивно вы, вероятно, думаете (и правильно делаете), что ответ довольно мал – но насколько мал? Чтобы ответить на этот вопрос, все, что нам нужно сделать, – это рассчитать значение

– и  много удачи, если вы делаете это на вашем обычном ручном калькуляторе! Вместо этого мы будем использовать асимптотическое выражение Стирлинга для факториала1, которое выглядит так: 1 Назван в честь шотландского математика Джеймса Стирлинга (James Stirling, 1692–1770)  – хотя известно, что французский математик Абрахам де Муавр (Abraham de Moivre, 1667–1754) знал эквивалентную форму в то же время (или даже раньше), – который опубликовал ее в 1730 г. Факториалы становятся очень большими, очень быстро растут (мой ручной калькулятор терпит неудачу уже на 70!), и при вычислении n! очень полезна формула Стирлинга для больших n. Это называется асимптотическим

ЧАСТИЦы, ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИ И ИСКЛюЧЕНИЕ ПАУЛИ

61

Итак,

что, даже если мы отстанем на порядок или на два-три, очень мало. (Подробнее об этой конкретной задаче см. задачу 15.) Наконец, предположим, что у нас есть r различимых шаров, которые помещены в  n различимых коробок. Какова вероятность того, что ни одна коробка не содержит более одного шара (то есть каждая коробка либо пуста, либо содержит не более одного шара)? Если r > n, то ответ, конечно, равен нулю. Для r £ n мы рассуждаем следующим образом. Первый шар может попасть в любую из n коробок. Второй шар может попасть в любую из еще пустых n – 1 коробок. Третий шар может попасть в  любую из все еще пустых n – 2 коробок и так далее, вплоть до последнего r-го шара, который может попасть в любую из все еще пустых n – r + 1 коробок. Итак, вероятность, которую мы ищем, – это

Это, конечно, версия известной так называемой задачи дня рождения, которая требует вероятности того, что у  всех случайно выбранных людей будут разные дни рождения. Если мы оценим предыдущее выражение вероятности для r  = 22 и  r  = 23, мы обнаружим, что вероятность того, что все люди r имеют разные дни рождения, равна

приближением, потому что в то время как абсолютная ошибка в правой части при оценке левой стороны стремится как n → ¥, относительная ошибка стремится к  нулю как n → ¥ (вот почему ∼ используется вместо =). То есть

.

62

ЗАДАЧИ

и

Итак, уже для r = 23 человек вероятность больше, чем , что по крайней мере у двух человек будет день рождения в один и тот же день. Большинство людей находят это довольно удивительным (удивительно, что требуемый r настолько мал). Когда я  преподавал вводную теорию вероятности для студентов-электротехников в  Университете Нью-Гэмпшира, я  ввел это в  свою обычную практику и начинал первую лекцию с экспериментальной версии данной задачи. То есть после представления задачи аудитории (обычно от 35 до 40 студентов) и получения первых догадок, как правило, от 100 до 200, чтобы достичь вероятности

для получе-

ния совпадения, я просил студентов назвать свой день рождения (месяц и день) одного за другим. Почти всегда было совпадение! К великой радости всех находящихся в аудитории (больше всего, конечно, к моей!). Итак, учитывая все сказанное, вот еще три вопроса, о которых вы должны подумать. Первый из них прост, и вы должны быть в состоянии ответить на него без колебаний: какова вероятность положить n различимых шаров в n различимых ящиков, чтобы ровно один ящик оставался пустым, если действует исключение Паули? Второй вопрос немного сложнее: как меняется ответ, если исключение Паули не действует? Подсказка: если вы оцениваете свой ответ для n = 4, то должны получить 0,5625, а для n = 7 вы должны получить 0,128517… . И наконец, для третьей задачи напишите моделирование Монте-Карло для случая n = 7 и посмотрите, согласуется ли компьютерный «эксперимент» с теорией.

Задача 12 Математический анализ с помощью физических рассуждений Если n – любое неотрицательное целое число, то еще за столетия до великого английского математического физика Исаака Ньютона (Isaac Newton, 1642–1727) было известно, что

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ С ПОМОщью ФИЗИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ

63

где

обозначает так называемые биномиальные коэффициенты1. Действительно, это разложение (x + y)n называется биномом Ньютона и  обычно проходится в  программе алгебры для средней школы. В  какой-то момент в  1664  г., еще будучи студентом Кембриджа, Ньютон пришел к  пониманию, что теорема может быть обобщена, чтобы охватить случай, когда n является любым рациональным числом, положительным или отрицательным, и n не ограничивается неотрицательным целым числом. Ньютон не опубликовал и даже не доказал обобщенную теорему, а просто использовал ее. На самом деле это было окончательно доказано норвежским математиком Нильсом Хенриком Абелем (Niels Henrik Abel, 1802–1829) только в начале XIX в., в 1826 г.2 Наш интерес здесь, однако, заключается не в доказательстве теоремы, а в самих биномиальных коэффициентах

.

Коэффициенты встречаются в физике в многочисленных (и часто неожиданных) приложениях, и математические физики, которые хорошо управляются с этими математическими сущностями, нередко находят это умение решающим в решении своих физиче1 При работе с факториалами помните, что 0! = 1 (не 0). Это потому, что j! = j(j – 1)! Итак, для j = 1 мы имеем 1! = 1 (0!) и, начиная с 1! = 1, затем 0! = 1. Чтобы подчеркнуть это, 0! ≠ 0 (!!!). 2 Хотя он формально и  не опубликовал обобщенную биномиальную теорему, Ньютон также и  не держал ее в  секрете. Например, он рассказал об этом немецкому математику Готфриду Лейбницу (Gottfried Leibniz, 1646–1716) в обмене письмами. Cм.: James R. Newman. The World of Mathematics. T. 1. Simon and Schuster, 1956. P. 519–524.

64

ЗАДАЧИ

ских проблем1. И действительно, понимание физики, стоящей за тем, что означает

, является фундаментальным.

Для начала заметьте, что я  просто утверждал ранее, что для n и j – положительных целых чисел

Но что означает

физически? Представьте, что перед вами

куча из n блоков, и  вы хотите выбрать j из них, чтобы положить в мешок. Утверждение состоит в том, что количество способов, которыми вы можете это сделать,

. Заметьте, что если это так (я по-

кажу вам, почему это так), то мы сразу же физически получим, что для всех n ³ 0

как для j > n, так и для j < 0. Это потому, что невозможно положить больше блоков в мешок, чем есть блоков изначально, и также невозможно положить меньше, чем когда блоков в мешке вообще нет. (Это физика, а не математика.) Теперь математически сначала есть n вариантов того, как положить первый блок в мешок. Затем есть n – 1 вариантов для второго блока, как его можно положить в мешок, и так далее, вплоть до n – j + 1 вариантов для j-го (и последнего) блока, как его можно положить в мешок. Таким образом, общее количество способов (где порядок выбора имеет значение) для выбора j блоков из n блоков равно 1 Хорошую иллюстрацию этому можно найти в работе американского математика Джона Риордана (John Riordan, 1903–1988), который десятилетиями работал в телефонных лабораториях Белла. Классическая книга Риордана 1968 г. Combinatorial Identities (Wiley) показывает тот вид математики, с которым он столкнулся в своем анализе электронных коммутационных и информационных сетей маршрутизации (телефонных цепей).

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ С ПОМОщью ФИЗИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ

65

Но если порядок отбора не имеет значения – если нас не волнует порядок, в котором эти конкретные j-блоки попадают в мешок, а, скорее, только то, что эти конкретные j-блоки находятся в мешке в конце процесса отбора – тогда нам нужно разделить это последнее выражение на количество способов, которыми эти конкретные j-блоки могли быть выбраны. То есть на j!, потому что есть j вариантов для первого выбранного блока, j – 1 вариантов для второго выбранного блока и т. д. Таким образом, количество способов выбора j блоков из n блоков для перекладывания в  мешок, где порядок выбора не имеет значения, равно

который мы можем записать сокращенно как

.

Биномиальные коэффициенты удовлетворяют многочисленным тождествам, с  которыми математическим физикам должно быть удобно обращаться. Одно простое тождество, которое мгновенно следует из самого математического определения

, заключается

в том, что

Физически это утверждение означает, что количество способов выбрать j блоков из n блоков, чтобы положить в  мешок, эквивалентно выбору n – j блоков, чтобы не положить их в мешок.

66

ЗАДАЧИ

Вот еще одно тождество, которое так же легко установить:

Чтобы увидеть это, просто возьмите x  = y  = 1 в  биноме Ньютона, а затем заметьте, что 1, возведенный в любую степень, попрежнему равен 1. И  вот еще одно тождество, вероятно, одно из самых полезных из всех:

Вы можете доказать это чисто алгебраическими манипуляциями (это не особенно сложно – попробуйте!). Но то, что я  покажу вам сейчас, – это физический способ установления этого тождества, которое позволяет ему быть в реальности чем-то большим, чем просто кучей абстрактных математических символов. Предположим, у вас есть n + 1 книг в домашней библиотеке, и вы хотите выбрать j из них, чтобы положить в дорожную сумку, когда вы уезжаете в отпуск. Из того, что было сказано ранее, количество способов сделать это –

Мы также можем рассчитать коли-

чество способов, используя следующий альтернативный двухэтапный аргумент. Предположим, что перед началом процесса выбора вы обвязываете розовой лентой одну из n + 1 книг, которую выбираете наугад. Затем, когда вы закончите выбор книг j, произойдет ровно одно из двух: (1) книги с розовой лентой не будет в сумке или (2) книга с розовой лентой будет в сумке. Если это (1), то вы выбрали все книги j из n книг без ленты, что может произойти в 

способах. Если это (2), то в сумке есть j – 1 книг (вместе с той,

с  розовой лентой), которые были выбраны из n книг, что может произойти

способами. Так как (1) и (2) охватывают все раз-

личные способы, которые могут произойти, у вас получилось наше тождество.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ С ПОМОщью ФИЗИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ

67

Вот еще один «физический» вывод известного математического результата. Предположим, у вас есть n черных шаров и m белых шаров, все они в коробке. Сколькими способами вы можете выбрать j из этих шаров, чтобы положить их в сумку? Шары различимы (все они по-разному пронумерованы, например). Таким образом, мы сразу знаем, что ответ

. Но мы также можем вычислить ответ

по-другому, следующим образом. Предположим, что k из j шаров черные, что означает, что j – k шаров белые. Мы можем выбрать k черных шаров

способами, а j – k белых шаров

способами.

Итак, есть

способов выбрать k черных шаров и j – k белых

шаров. Поскольку k может варьироваться от 0 до j, мы имеем в общей сложности

способов, которые, конечно, должны равняться

. То есть

что называется тождеством Вандермонда1. Тождество Вандермонда может быть использовано для установления других тождеств, которые кажутся, по крайней мере на первый взгляд, довольно неожиданными. Рассмотрим, например,

1

В честь французского математика Александра-Теофиля Вандермонда (Alexandre-Théophile Vandermond, 1735–1796), который опубликовал его в 1772 г. Однако это уже было известно китайским математикам задолго до этого.

68

ЗАДАЧИ

Что может быть установлено благодаря тройному применению тождества Вандермонда1. Это тождество было прослежено до книги 1867 г., часто неправильно приписываемой китайскому математику по имени Ле Жен Шуу, что само по себе неудачный перевод «Ле Жен Шу» (Le-Jen Shoo и Le-Jen Shu соответственно). Но и  это неверно: на самом деле это тождество принадлежит Ли Шанланю (Li Shanlan, 1810–1882), известному математику династии Цин. Установив m = j = n в тождестве Вандермонда, мы получим еще один особенно интересный частный случай: , потому что, вспомните,

то есть

Я называю это тождеством Ли Шанлана, интересным и  экзотичным, потому что в  нем появляются квадраты биномиальных коэффициентов. Тождества, включающие степени биномиальных коэффициентов, обладают оттенком таинственности, и  поэтому, когда обнаруживается новое, оно быстро становится частью элитной коллекции. Вот еще один известный пример такого тождества, для которого я не знаю «физического вывода»:

1

Дополнительные сведения вы найдете в  кратком письме С. Т. Nanjundiah в American Mathematical Monthly, май 1958, с. 354.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ С ПОМОщью ФИЗИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ

69

Это прекрасное выражение, называемое тождеством Диксона1, включает в  себя кубы биномиальных коэффициентов, и  если вы обнаружите физическое выведение для него, пожалуйста, напишите и расскажите мне об этом! А теперь – задачи для вас. Во-первых, вы помните, что я призвал физику на помощь для объяснения, почему

  = 0 как для j > n,

так и для j < 0. Таким образом, вы можете подумать, что даже для 0£j£n

 = 0, если n < 0. То есть физик наверняка будет утверж-

дать (вы бы так подумали), что просто невозможно выбрать j блоков из меньшего количества, чем «ни одного»! Но это не тот аргумент, который останавливает чистого математика. Напишем для x, любого вещественного числа,

где r – положительное целое число2, тогда быстро последует, что

Объясните эти два утверждения, а  затем вычислите

.

Подсказка: в  качестве частичной проверки для вашего ответа  = –36 и 

 = 45.

1 В честь ирландского математика Альфреда Кардью Диксона (Alfred Cardew Dixon, 1865–1936), который опубликовал его в  1891  г. Первоначальное доказательство Диксона и  все те, которые с тех пор появились, имеют чисто математическую природу. Физическое выведение представляло бы большой интерес даже для математиков. 2

Это выражение для

к нашему предыдущему

, x любого действительного числа, сводится , если x – положительное целое число.

70

ЗАДАЧИ

Для второй задачи найдите выражение для

n = 3 ваше выражение должно дать

. Подсказка: для

.

В качестве третьей задачи рассмотрим числа Каталана, определяемые как

названные в  честь бельгийского математика Эжена Каталана (Eugène Catalan, 1814–1894), который столкнулся с  ними во время анализа комбинаторной задачи 1838  г. (На самом деле Эйлер обнаружил их десятилетиями раньше в другой задаче.) Cn – целые числа (1, 1, 2, 5, 14, 132, 429, 1430, …), хотя это может и не быть сразу очевидно из определения. Посмотрим, сможете ли вы разработать убедительную демонстрацию, которая доказывает это. Подсказка: предположите, что биномиальные коэффициенты являются целыми числами1, а затем покажите, что

1

Математические физики с готовностью признают, что биномиальные коэффициенты являются целыми числами из-за их физической интерпретации, но математики хотят чисто математического доказательства того, что

является целым числом. Это несложная проблема,

но и не тривиальная. Если вы попробуете свои силы в этом, то можете найти результат Бэлла (см. примечание 4 в предисловии) полезным.

МОЖЕТ ЛИ ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА ДЕЙСТВИТЕЛьНО БыТь БЕСКОНЕЧНОЙ?

71

Задача 13 Когда интеграл становится несобственным: может ли физическая величина действительно быть бесконечной? Представьте, что когда вы делаете теоретический анализ, математическое решение дает результат, который явно физически неверен. Один ответ, конечно, заключается в том, что где-то в анализе вы облажались. Все мы можем, в конце концов, время от времени добавлять 2 к 3 и получать 4. Но давайте предположим, что вы этого не сделали. Что, если вместо этого на самом деле каждый шаг, ведущий к явно неправильному физическому результату, был бы утвержден как математически правильный? Что мы можем сделать с этим? Это не гипотетический вопрос, поскольку история физики полна таких сюрпризов. Иногда выход был революцией в мышлении (квантовая механика является ярким примером), но часто разрешение вопроса немного менее драматично. В качестве примера того, о  чем я  говорю, в  следующей задаче мы проанализируем простой для понимания физический процесс и  после некоторой довольно элементарной геометрии придем к интегралу

где верхний предел α > 0. Этот довольно простой на вид интеграл будет иметь очень специфическую физическую интерпретацию, но это представит нам настоящую загадку, потому что интеграла не существует; то есть I(α) = ¥. Проблема в том, что в физическом мире нет ничего действительно бесконечного, за исключением того, что может находиться в центре черной дыры. Получение бесконечности в  математическом физическом анализе – это что-то действительно плохое. Это то, что мы будем рассматривать в следующей задаче, но на данный момент основное внимание уделяется тому, как мы знаем, что I(α) = ¥. Теперь может возникнуть соблазн утверждать, что ответ заключается в том, что подынтегральная функция терпит разрыв на нижнем пределе; то есть I(α) = ¥, потому что

72

ЗАДАЧИ

Этот предел действительно стремится к  бесконечности, да, но это не самый лучший аргумент для объяснения того, почему I(α) = ¥. Это потому, что легко создать контрпример. Например, подынтегральное выражение

также терпит разрыв на нижнем пределе, но сам интеграл

и я почти уверен, что мы все согласимся, что это и есть нашла конечная цель. Итак, ответ на вопрос, почему I(α) = ¥, требует несколько более глубокого объяснения. Ну, ладно, скажете вы, давайте перестанем валять дурака и просто займемся этим проклятым интегралом вплотную. Но его вычисление лишь покажет нам, что будет, если I(α) = ¥. Да, это было бы верно, но для этого требуется некоторая работа. (Вас, по сути, в  конечном итоге все равно попросят сделать эту работу – руководствуясь некоторыми моими полезными советами! – как вызов вашим математическим возможностям.) А  пока позвольте мне показать вам простой способ понять, почему I(α) = ¥, используя общий подход, который каждый математический физик должен иметь в своем арсенале трюков. Начнем с того наблюдения, что для θ – любого вещественного угла cos(θ) £ 1. Тогда, интегрируя это неравенство от 0 до произвольного положительного верхнего предела (назовем его x), мы имеем

что быстро приводит к  sin(x) £ x. Затем мы интегрируем это неравенство от 0 до произвольного верхнего предела (назовем его y), чтобы получить

МОЖЕТ ЛИ ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА ДЕЙСТВИТЕЛьНО БыТь БЕСКОНЕЧНОЙ?

73

что быстро приводит к  Теперь если в интеграле I(α) мы заменим cos(θ) в знаменателе подынтегральной функции на что-то меньшее, то есть на

,

то получим больший знаменатель и, следовательно, меньший подынтегральный оператор. Это приведет к интегралу, меньшему, чем I(α). Так,

потому что логарифм стремится к  минус бесконечности на нижнем пределе θ = 0. Итак, I(α) больше бесконечности, что является просто восхитительным способом показать, что он тоже расходится. (Мы будем использовать этот результат в следующей задаче.) Хорошо, теперь вот ваше задание: подтвердите этот вывод о I(α), фактически посчитав интеграл, причем точно. То есть посмотрите, позволяет ли следующая последовательность подсказок заключить, что I(α) действительно логарифмически расходится. (a) Произведите изменение переменной те тождество

и запомни-

1.

1 Неужели я всерьез хочу, чтобы вы запомнили это тождество? Ну нет, но это хорошая иллюстрация того, как ценно иметь хорошо знакомый справочник по математике в вашей личной библиотеке. Конечно, вам не нужно ничего этого делать, если у  вас есть книга интегралов, в  которой

есть

). Все, что у  меня есть под рукой в  моей домашней

библиотеке, – это краткие интегральные таблицы Шаума, однако, когда я  это сейчас печатаю, математическая библиотека университета закрыта – и вот что мне пришлось сделать. Возможно, мне стоит купить большую книгу интегралов!

74

ЗАДАЧИ

(b) Покажите, что (c) Покажите, что (d) Покажите, что (e) Покажите, что (f) Покажите, что (g) Найдите последний интеграл в математической таблице. В качестве второй задачи: в  тексте я  вывел верхние границы неравенства sin(х) £ х. Посмотрим, сможете ли вы обнаружить доказательство этого неравенства: нижняя граница для sin(х): x £ sin(х), 0 £ х £

. Подсказка: нарисуйте картинку и вспомните

уравнение для прямой линии.

Задача 14 Это легче, чем упасть с бревна? Ну, может, и нет В этом обсуждении я покажу вам пример того, как компьютеры могут помочь математическим физикам понять их уравнения, а не просто использоваться как инструмент для моделирования физических ситуаций. На первый взгляд эта задача может показаться просто академической причудой, но здесь замешана довольнотаки серьезная физика. Задача, надо признать, любима авторами учебников именно из-за некоторой их прихоти; я подозреваю, что она появлялась в той или иной форме почти что в каждом учебнике физики для студентов в течение многих десятилетий (я помню, как решал ее версию в качестве домашнего задания на занятиях теоретической механики в Стэнфорде почти 60 лет назад!). И все же в ней есть тонкий изъян, который я не видел показанным в литературе. Он появляется тут, я полагаю (с намеком на это в предыдущей задаче), в первый раз.

ЭТО ЛЕГЧЕ, ЧЕМ УПАСТь С БРЕВНА? НУ, МОЖЕТ, И НЕТ

75

Представьте себе точку массой m, расположенную на самом верху полусферического сгустка льда. На лед распылили воду, и  поэтому, с тонкой пленкой жидкой воды на нем, он очень скользкий. Действительно, давайте предположим, что лед вообще не имеет трения. Вопрос учебника состоит в том, чтобы вычислить угол θ (см. рис. З14.1), при котором точечная масса (с нулевой начальной скоростью) будет улетать с поверхности льда (по касательной к полусферической поверхности), когда эта масса скользит вниз. Масса улетит, если она будет скользить, потому что, когда она скользит вниз со все возрастающей скоростью, внутренняя центростремительная сила ускорения (centripetal acceleration), необходимая для удержания массы на поверхности, в конечном счете превысит доступную направленную внутрь радиальную составляющую веса массы. В этот момент сила реакции полушария Fn на массу массы (mg), где g  – ускорение силы тяжести, которая внешне нормальна (перпендикулярна) к поверхности полушария, упадет до нуля, и поэтому масса затем покинет поверхность льда. Масса m движется с тангенциальной скоростью v за время t под углом θ

θ

θ

Рис. З14.1. Скольжение по скользкой ледяной полусфере

Поскольку масса имеет нулевое радиальное движение до тех пор, пока она не достигнет точки Р (где она покидает поверхность

76

ЗАДАЧИ

полусферы), внутренняя радиальная сила тяжести должна обеспечивать в точности сумму величин направленной внутрь центростремительной силы и  направленной наружу реактивной силы. Мы можем установить все это математически, написав

где v – тангенциальная скорость массы, а R – радиус полусферы. Еще одно уравнение, которое мы можем написать, – это

Это знаменитый второй закон Ньютона: тангенциальная сила ускорения с левой стороны получается с правой стороны тангенциальной составляющей силы тяжести на массу. Теперь, если обозначить угол θ в точке P через θP (достигнут в момент времени t = tP, где t  = 0 – начало скольжения), а  скорость в точке P через vP, то, установив Fn = 0, получим

и, таким образом,

При сохранении энергии, когда масса упадет на вертикальное расстояние h (см. рис.  З14. 1), она потеряет гравитационную потенциальную энергию в размере mgh, все составляющие которой могут быть точно найдены как увеличение кинетической энергии массы (при нулевом трении в задаче нет механизма потери тепловыделяющей энергии). По простой геометрии мы имеем, что в точке P h = R − Rcos(θP) = R[1 − cos(θP)]. Итак, поскольку начальная кинетическая энергия равна нулю, мы имеем

ЭТО ЛЕГЧЕ, ЧЕМ УПАСТь С БРЕВНА? НУ, МОЖЕТ, И НЕТ

77

или

Итак, из предыдущего уравнения в рамке cos(θP) = 2 – 2cos(θP), то есть

(Обратите внимание, что если мы отбросим индекс P из vP и θP, то последнее уравнение в рамке продолжит оставаться в целом верным для v и θ во всех точках до достижения точки P на рис. З14.1.) Таким образом, у нас есть ответ на обычный вопрос на задачу из учебника (каков угол, под которым m отлетает от поверхности полусферы?):

Это замечательный результат, поскольку он не зависит от m, R и g. То есть большая масса или малая масса, большой ледяной кусок или маленький, низкая гравитация или высокая гравитация – ничто из этого не имеет значения: угол отклонения остается одинаковым во всех случаях. Только эта особенность объясняет популярность задачи в ее использовании в учебниках и лекциях. Но есть еще один расчет, который мы можем сделать, тот, который я  не видел в  учебниках и  который вызывает очень озадачивающий вопрос. Это расчет продолжительности скольжения до тех пор, пока масса не будет запущена в полет. Если мы запишем s как расстояние, пройденное по поверхности полусферы точечной массой, когда она прошла через угол θ, то получим s = Rθ,

и поэтому тангенциальная скорость массы равна

78

ЗАДАЧИ

то есть

Как мы показали ранее (см. предыдущее уравнение в  рамке), скорость скользящей массы под углом θ равна И так как в момент t = tP (когда масса отлетает от полусферы) мы имеем θ = θP, то И это хорошо определенное выражение для скорости отлета. Например, если R = 3 м и если g = 9,81 м/с2, то vP = 4,43 м/с. Но все идет не так хорошо для времени отлета. Так как

затем, интегрируя, мы получаем следующее выражение:

как мы показали в предыдущей задаче. Итак, вот наша загадка. Как скользящая масса может когда-либо вылететь из полусферы при наших точно рассчитанных значениях θP и vP, если для того, чтобы масса добралась до точки P, требуется бесконечно много времени? Что вообще происходит? Ответ заключается в  том, что наш анализ предположил, что точечная масса на самом деле скользит. Но так ли это? При θ = 0 (вершина полусферы) на массу действует нулевая тангенциальная гравитационная сила, и поскольку масса при t = 0 задана как не-

ЭТО ЛЕГЧЕ, ЧЕМ УПАСТь С БРЕВНА? НУ, МОЖЕТ, И НЕТ

79

подвижная, то начинать скольжение не с чего. Масса изначально находится в  равновесном состоянии (equilibrium state) при θ  = 0, t = 0, и там она будет просто находиться вечно, что и говорит нам расходящийся интеграл для tP. Теперь, конечно, это равновесное состояние является неустойчивым (в  задаче 19 вы будете иметь дело с более техническим обсуждением устойчивости равновесия), и в реальном мире даже самое незначительное нарушение начнет скольжение. Любое дуновение ветра, хлопанье крыльев пролетающей бабочки, малейший взмах ресницы у ближайшего наблюдателя – все это сделает свое дело. Однако в  совершенном и  свободном от пороков мире нашего теоретического математического анализа таких нарушений нет. Чтобы получить скольжение, начинающееся при θ = 0, мы должны внести явное возмущение, такое как, например, начальная ненулевая скорость для массы при θ = 0. То есть давайте напишем v(t = 0) = v(θ = 0) = v0 > 0.

Это тот момент, который часто не упоминается в  учебниках1. Значение v0 может быть сколь угодно малым, сколь угодно близким к нулю, но оно не может быть нулевым. Чтобы учесть v0 > 0, уравнение сохранения энергии, которое мы написали ранее (см. второе уравнение в  рамке), необходимо изменить (первый член справа – кинетическая энергия начального возмущения):

1 Есть некоторые исключения. Например, в  расширенном пятом издании популярного учебника физики для первокурсников колледжа Холлидея и Резника (Halliday and Resnik) Fundamentals of Physics (Wiley, 1998, с.  180) мы можем прочитать, что массе дается очень маленький толчок, чтобы начать ее движение. Однако нет явного обсуждения того, почему это делается (для достижения конечного времени скольжения), и нет количественной связи между этим временем и величиной «очень малого толчка». В расширенном седьмом издании Halliday, Resnik, and Walker (2005, с. 192) начальное условие было перефразировано на «добавлена незначительная скорость». Это, возражаю я, не совсем верно. Пусть она и мала, но если вы хотите, чтобы конечное время tp вообще существовало, то начальную скорость нельзя назвать «незначительной». Наличие v0 = 0 буквально вносит очень сильное отличие.

80

ЗАДАЧИ

что будет эквивалентным

Итак, если масса отходит от полусферы при θ = θP со скоростью vP, то мы имеем (из первого уравнения в рамке)

И таким образом

Заметьте, что теперь, при v0 > 0, θР больше не зависит ни от g, ни от R (но, как и раньше при v0 = 0, значение массы по-прежнему не имеет значения). Заметьте также, что при увеличении v0 значение θP уменьшается, что имеет физический смысл. Поскольку функция косинуса (cosine function) не может превышать 1 для любого реального угла, то . Что говорит о том, что начальная скорость массы должна быть в интервале 0 £ v0 £ . Физически это означает, что для любого v0 > масса будет выстреливаться прямо с полусферы, не скользя вообще. Для R = 3 м и g = 9,81 м/с2, например, верхний предел на v0 составляет 5,42 м/с. Теперь, предполагая, что v0 £ , масса улетает с полусферы (при θ = θP) со скоростью

или

ЭТО ЛЕГЧЕ, ЧЕМ УПАСТь С БРЕВНА? НУ, МОЖЕТ, И НЕТ

81

Имея всю эту информацию в своих руках, мы можем теперь вычислить физически достоверные значения tP. Вместо нашего расходящегося интеграла мы имеем

или

Прежде чем я дам вам задание для самостоятельного выполнения, позвольте мне рассказать вам, что вызвало мое любопытство по поводу tP. В 1988 г. появился элегантный и точный анализ для задачи скольжения по полусфере, анализ, который рассматривает любое значение μ (коэффициент кинетического трения), а не только без трения: случай μ = 01. Наряду с вычислением угла пуска θP в зависимости от μ (при μ = 0 общий результат корректно сводится к 48,2°, вычисленному нами ранее), авторы также рассчитали tP. Их сообщенный результат, для случая μ = 0 (для полусферы с R = 3 м в  земной гравитации), составляет 4,934 с  с начальной скоростью v0 = 0, хотя, как мы видели, значение tP для этого конкретного случая фактически бесконечно! В общем, если говорить прямо, значение tP из книги The Sliding of a Mass Down the Surface of a Solid Sphere просто не может быть правильным для μ = 0. 1

W. Herreman and H. Pottel. The Sliding of a Mass Down the Surface of a Solid Sphere  // American Journal of Physics. Apr. 1988. P. 351, 372. Позже другие авторы повторили этот расчет с некоторыми собственными интересными вариантами, причем самой последней (на данный момент, в то время как я пишу эту книгу) была статья Felipe González-Cataldo (Фелипе Гонсалеса-Катальдо): Sliding Down an Arbitrary Curve in the Presence of Friction // American Journal of Physics. Feb. 2017. P. 108–114. Однако в этом документе (и во всех предыдущих, которые он цитирует) не рассматривается или даже не упоминается вопрос о  продолжительности времени скольжения.

82

ЗАДАЧИ

Чтобы определить, какой ненулевой v0 требуется для вышеупомянутого tP, я написал код для MATLAB. Slide.m вычисляет интеграл для tP, он указан в следующем поле. Код запрашивает вводимые с клавиатуры значения v0 в первом операторе после команды while. Кроме того, код должен быть самоочевидным для вас, за исключением (возможно) строки, начинающейся с fun (что означает функцию, определяющую подынтегральное выражение интеграла). И, как вы, вероятно, догадываетесь, acos означает arccosine, или cos–1. %slide.m/created by PJNahin for Mathematical Physics R=3;g=9.81;Z=1; F=sqrt(R/(2*g)); while Z>0 v0=input('What is the initial speed?'); B=1+(v0^2)/(2*g*R); fun=@(x) 1./sqrt(B-cos(x)); A=(2/3)+(v0^2)/(3*g*R); A=acos(A); tp=F*integral(fun,0,A) end

Для приблизительного определения времени, указанного в книге The Sliding of a Mass Down the Surface of a Solid Sphere для случая, когда μ = 0, код, созданный с tP = 4,9501 с для случая v0 = 0,0012 м/с и tP = 4,8267 с для случая v0 = 0,0015 м/с. Таким образом, для достижения их tP  = 4,934 с  потребуется начальный v0 где-то между 1,2×10–3 и 1,5×10–3 м/с. Маленький, да, но не нулевой. А теперь о вашем задании. Используя slide.m в качестве руководства, напишите свой код (на вашем любимом языке), который для v0 = 10–4 м/с на полусфере без трения с R = 3 м вычисляет tP. Как меняется результат при v0 = 10–5 м/с? Повторите оба вычисления для R = 6 м.

Задача 15 Когда компьютер выходит из строя? Когда каждый день – день рождения Предыдущие обсуждения, возможно, создали впечатление, что, вооружившись компьютером, мы можем решить даже самую сложную физическую задачу, просто смоделировав в  программе наш

КОГДА КОМПьюТЕР ВыХОДИТ ИЗ СТРОЯ? КОГДА КАЖДыЙ ДЕНь – ДЕНь РОЖДЕНИЯ

83

путь к  решению. Эта глава должна разубедить вас в  этой счастливой (и, увы, ложной) точке зрения, показав вам легкую для понимания задачу, которая так быстро выходит из-под численного контроля, что единственным вариантом для решения остается математический анализ. Давайте вернемся к задаче о том, как поместить r различимых шаров в n различимых коробок. В частности, сколько есть различных способов, при которых не останется ни одной пустой коробки? Очевидно, что для этого требуется r ³ n, и если r и n «разумно малы», то мы можем просто перечислить все способы. Например, если r = 3 шара и n = 2 коробки, ответ будет равен 6, как показано на рис. З15.11. 1. {ab|c } 3. {a|bc } 5. {ac|b}

2. {c|ab } 4. {bc|a } 6. {b|ac }

Рис. З.15.1. Шесть возможных решений

Но что делать, если r = 5 шаров и n = 3 коробки? Ответ будет 150 (и, уверяю вас, я даже и не пытался перечислить все эти способы!). Я вычислил ответ итеративно. То есть предположим, что мы обозначаем ответ A (r, n), где A обозначает расположения (то есть различимые распределения r различимых шаров в n различимых коробок). Теперь представьте, что все эти N ящиков выстроились в ряд слева (коробка 1) направо (коробка N). Так как все коробки должны иметь по крайней мере один шар, давайте сначала представим, что мы помещаем k шаров в коробку n, где 1 £ k £ r . (Вы можете задаться вопросом, почему k может пройти весь путь до r, то есть до всего количества шаров, что не оставит шаров для остальных ящиков. Вы поймете, почему это нормально, всего через пару мгновений.) Мы можем выбрать эти k шаров

способа-

ми, и если мы положим эти k шаров в коробку n, у нас останется r – k шаров, которые будут помещены в оставшиеся n – 1 коробки. Так как r – k шаров в n – 1 коробках имеют А(r – k, n – 1) расположения, то общее количество расположений k шаров, которые мы выбрали для коробки n, в сочетании с A(r – k, n – 1) расположением 1

Это без исключения Паули. Если исключение действует, то ответ однозначно равен нулю.

84

ЗАДАЧИ

дает общее количество

A(r – k, n – 1) расположения для случая

k шаров в коробке n, поскольку 1 £ k £ r, то мы просто суммируем все возможные k, чтобы получить

Теперь, прежде чем мы что-либо вычислим, мы можем сделать некоторые общие утверждения о A(r, n), а именно: (a) A(p, m) = 0, p < m1; (b) A(p, 1) = 1, p ³ 1; (c) A(p, p) = p!, p ³ 1. Утверждение (a) – это физическое наблюдение о том, что если у нас больше коробок (m), чем шаров (p), то невозможно поместить по хотя бы одному шару в каждую коробку. Утверждение (b) говорит, что если у нас есть только одна коробка, то есть только одно решение (все шары должны войти в эту коробку). И утверждение (c) мы уже обсуждали в  задаче 11 (n! расположение одного мяча в каждой из n коробок). Так, например, давайте вычислим A(3, 2) – число различных способов поместить r = 3 различимых шара в n = 2 различимых ящика:

Из (a) мы имеем A(0, 1) = 0, из (b) или (c) мы имеем A(1, 1) = 1, а из (b) мы имеем A(2, 1) = 1. Таким образом, A(3, 2) = 3(1) + 3(1) + 0 = 3 + 3 + 0 = 6. 1 Это утверждение также заботится о том беспокойстве, что я упоминал ранее: о том, что если положить слишком много шаров в коробку n, то не останется шаров для других коробок.

КОГДА КОМПьюТЕР ВыХОДИТ ИЗ СТРОЯ? КОГДА КАЖДыЙ ДЕНь – ДЕНь РОЖДЕНИЯ

85

То есть то же самое, что и показано на рис. З15.1 путем прямого перечисления1. Теперь, при помощи некоторых дополнительных математических манипуляций (которые я  не буду здесь делать) можно показать, что выражение в  рамке для A(r, n) можно поместить в следующую форму, которую теоретически можно вычислить не итеративно, а напрямую2:

Возможно, вам интересно, почему я  пишу «теоретически». В конце концов, вычисление выражения в рамке, похоже, проходит довольно хорошо:

То же самое, что мы уже получали раньше. Что, спросите вы, в этом такого теоретического? Ну, для малых r и n все в порядке3, но для больших r и n числа, которые появляются в выражении, просто огромны. (Попробуйте r =7 и n = 25, а ведь эти значения на самом деле не очень большие.) Как писал Феллер в своей книге, второе выражение в рамке «дает теоретическое решение старой проблемы, но, очевидно, было бы неблагодарной задачей использовать его для вычисления вероятности… что в  деревне с  населением в  r  = 1900 человек каждый

1

150.

Теперь вы должны проверить мой итерационный расчет для A(5, 3) =

2 Вы можете найти план того, как делать эти манипуляции, в классической книге Уильяма Феллера (William Feller) An Introduction to Probability Theory and Its Applications (3-е изд.). John Wiley & Sons, 1968. С. 60. См. также с. 101–102. Феллер (1906–1970) был профессором математики в Принстоне, и  его прекрасная книга должна быть на полке всех математических физиков. 3 Вычислите A(5, 3) снова, используя второе выражение в рамке, и таким образом подтвердите, что A(5, 3) = 150.

86

ЗАДАЧИ

день в  году является чьим-то днем рождения»1. То есть если вы подставите r = 1900 и n = 365, то вас (метафорически) сдует взрывной волной арифметического мегавзрыва. Существует, однако, изящный выход из этого затруднительного положения, способ (он должен быть у каждого математического физика в его или ее сумке трюков!), который позволит нам легко вычислить вероятность задачи Феллера о днях рождения в деревне. Вероятность отсутствия пустых коробок, когда r различимых шаров помещены в n различимых коробок, равна

или (A) Далее следует найти верхнюю и нижнюю границы для P. Мы начинаем с того, что напишем для данного положительного значения k такое явно истинное выражение: (n – k) k < (n)(n – 1)(n – 2)…(n – k + 1) < nk, и

и

1

Вы помните, что в  задаче 11 мы рассчитали вероятность того, что у 365 человек будет день рождения каждый день года (365 – это явно минимальное количество людей, при котором такое могло бы получиться, но только с очень малой вероятностью, которую мы рассчитали). С 1900 человек вероятность должна быть больше. Но насколько больше – и есть наш вопрос.

КОГДА КОМПьюТЕР ВыХОДИТ ИЗ СТРОЯ? КОГДА КАЖДыЙ ДЕНь – ДЕНь РОЖДЕНИЯ

87

и

или (B) Далее вспомним логарифмическое неравенство, выведенное нами в предисловии: . Если мы возьмем x  = –k/n (и поэтому x > –1, поскольку переменная суммирования k в выражении в рамке (A) для P работает только до n, и мы игнорируем случай k = n, потому что этот член в сумме равен нулю), то мы имеем

или (C) Рассмотрим, во-первых, верхнюю границу половины этого двойного неравенства:

что означает

88

ЗАДАЧИ

что означает

что означает

что означает

(D)

Далее рассмотрим нижнюю границу половины двойного неравенства в (C):

что означает

что означает

что означает

или

КОГДА КОМПьюТЕР ВыХОДИТ ИЗ СТРОЯ? КОГДА КАЖДыЙ ДЕНь – ДЕНь РОЖДЕНИЯ

89

или, наконец, используя (B),

(E) Объединение результатов (B), (D) и (E) дает

(F) где верхняя и нижняя границы в (B) были заменены еще более слабыми (менее ограничительными) границами. Причина, по которой все это было полезно, заключается в том, что для любого заданного значения k отношение верхней и нижней границ (F) приближается к 1 как n → ¥. То есть

Даже с  более слабыми границами интервал, в  котором k!

существует, сжимается, становясь (в  относительном

смысле) все уже и уже, поскольку n → ¥, и поэтому (говоря теперь интуитивно) не имеет значения, какое конкретное значение мы присваиваем k!

, до тех пор, пока он находится в  этом

постоянно сжимающемся интервале. Фактически мы сейчас воспользуемся верхним пределом в (F) и определим параметр λ как а затем предположим, что и  n, и  r становятся все больше таким образом, что λ всегда конечна. Это позволяет нам присвоить зна-

90

ЗАДАЧИ

чение λk для k!

для каждого значения k, с небольшой ре-

зультирующей ошибкой1. То есть для больших r и n мы получим так называемое «приближение Пуассона»2:

Итак, возвращаясь к (A), вероятность того, что не осталось пустых коробок, когда r различимых шаров распределены случайным образом в n различимых коробках, задается в пределе как r, n → ¥: Эта последняя сумма в одно мгновение будет распознана любым математическим физиком (а также любым студентом-первокурсником, который обращал внимание на то, что происходит на занятиях) как разложение степенного ряда e–λ 3. И точно так же мы получаем вероятность того, как положить r различимых шаров в  n различимых коробок так, чтобы ни одна коробка не была пуста: (G) – «ступенчатая» экспонента. Ваша задача – использовать (G), чтобы определить, когда P впервые превышает 0,5 в задаче «каждый день года – день рождения». То есть насколько большая группа людей требуется для того, чтобы вероятность того, что каждый день в году является днем рождения, превысила 1/2. Подсказка: установите n = 365. 1 Математики предпочли бы, чтобы я доказал это утверждение. Аргумент, который я только что привел, – это, однако, то, что большинство математических физиков приняли бы, и поэтому это хороший пример различия между физиками и математиками. 2 В честь французского математического физика Симеона Дени Пуассона (Siméon Denis Poisson, 1781–1840). 3 См. конец задачи 6.

ИНОГДА ТО, ЧТО КАЖЕТСЯ ПРАВИЛьНыМ, НЕ ТАК-ТО ПРОСТО

91

Задача 16 Когда интуиция подводит: иногда то, что кажется правильным, не так-то просто В предыдущей математической задаче ваша интуиция была почти наверняка посрамлена, по крайней мере немного. В  этом и заключается особая прелесть, когда я думаю о задаче дня рождения (во всех ее вариациях). В физике также нетрудно найти такие противоречащие интуиции ситуации, поскольку квантовая механика является наиболее очевидной отраслью физики, в  которой почти любое интуитивное предположение оказывается растоптанным. Цитируя Ричарда Фейнмана: «человек [должен] потерять свой здравый смысл, чтобы воспринимать то, что [происходит] на атомарном уровне»1, и далее в том же произведении (стр. 10): «теория квантовой электродинамики описывает абсурдную с точки зрения здравого смысла природу». Двадцатью годами ранее, в своих ноябрьских лекциях 1964 г. в Корнельском университете, Фейнман был столь же прямолинеен: «я думаю, что могу с уверенностью сказать, что никто не понимает квантовой механики»2. Однако нам не нужно прыгать в квантовую физику, чтобы найти физическую ситуацию, которая еще более неинтуитивна, чем проблемы с днем рождения. Представьте себе коробку с n шариками, одинаковыми во всех отношениях, за исключением того, что они пронумерованы от 1 до n (то есть шары различимы). Далее представьте, что вы вытаскиваете шары из коробки по одному за раз, сначала записывая номер каждого вытащенного шара, а затем заменяя шар в коробке. После каждой замены вы долго и энергично встряхиваете коробку, чтобы тщательно перемешать шарики перед следующей попыткой вытащить еще один. 1 Из книги Фейнмана: Richard Feynman. QED: The Strange Theory of Light and Matter. Princeton University Press, 1985. Р. 5. КЭД основан на лекциях Фейнмана, прочитанных в июле–августе 1979 г. в Университете Окленда, Новая Зеландия, и  снова в  мае 1983  г. в  Калифорнийском университете в  Лос-Анджелесе, по квантовой электродинамике (теории взаимодействия фотонов и электронов). Российское издание: Фейнман Р. КЭД: странная теория света и вещества. М.: АСТ, 2018. 2 См.: Richard Feynman. The Character of Physical Law. MIT Press, 1967. Р. 77. Российское издание: Фейнман Р. Характер физических законов. М.: АСТ, 2018.

92

ЗАДАЧИ

Это довольно очевидно (я надеюсь), что после N + 1 вытаскиваний вы наверняка вытащите шар, который вы вытаскивали раньше. Но, конечно, вы могли бы вытащить ранее вытащенный шар гораздо раньше, чем после N + 1, то есть, по сути, на втором вытаскивании (первое вытаскивание после первоначального вытаскивания). Однако если n – действительно большое число, то может показаться столь же очевидным, что получить повторное вытаскивание в начале последовательности вытаскиваний было бы маловероятным событием. Когда я преподавал введение в теорию вероятности студентам-бакалаврам электротехники, я спрашивал их, что подсказывает их интуиция, и обычно получал догадки в духе 1/2n. То есть для коробки с 20 000 шарами интуитивный ответ, как правило, состоял в том, что потребуется что-то порядка 10 000 попыток достать шар, прежде чем повторное вытаскивание шарика будет вероятным (где «вероятно» значит «изначально неизвестно»; единственная возможность  – попросить количество попыток, для которых вероятность отсутствия повторения остается больше, чем 1/2). Мои ученики всегда удивлялись, когда я  говорил им: «Нет, это слишком много. Если у вас есть много людей, каждый со своей собственной коробкой, содержащей 20 000 шаров, вы обнаружите, что в среднем требуется менее 180 попыток, чтобы получить повторение». Они не верили мне, пока я не показал им, как вывести формулу для среднего количества попыток. (Некоторые не поверили мне даже после этого вывода, но я расскажу вам об этом чуть позже.) Теперь, прежде чем вывести эту формулу для среднего числа попыток после первой, пока мы не получим повторение, позвольте мне вывести для вас центральный результат из теории вероятностей. Предположим, вы наблюдаете напряжение v электрического провода, напряжение, которое может принимать (наугад) любое из значений S. Эти значения равны v1, v2, … vS. Каждый раз, когда вы измеряете V, вы получите одно из этих значений. Предположим, вы делаете M измерений и записываете v1 в общей сложности m1 раз, v2 в общей сложности m2 раз и так далее, вплоть до записи vS в общей сложности mS раз. Конечно, m1 + m2 + … + mS = M. Среднее значение v (часто называемое ожидаемым значением) записывается как E(v). Из начальной школы и арифметики у нас есть

ИНОГДА ТО, ЧТО КАЖЕТСЯ ПРАВИЛьНыМ, НЕ ТАК-ТО ПРОСТО

93

или

Итак, если мы определим N как количество попыток достать (после первого вытаскивания) из коробки n шаров, пока мы не получим повторение, то мы хотим вычислить

Наша задача теперь ясна: мы должны вычислить вероятность Prob(N = k). Чтобы сделать это, я вычислю все детально для первых нескольких значений k, а  затем, я  думаю, вы увидите общий ответ. Для начала, какова вероятность того, что N = 1; другими словами, какова вероятность того, что мы сразу же достанем тот же шар, что и изначально? При первой попытке мы достали какой-то шар (любой из n в коробке), событие, которое происходит с вероятностью . Затем на первом розыгрыше после этого первоначального розыгрыша мы рисуем один и  тот же шар, что происходит с  вероятностью

. Поскольку попытки независимы из-за того, что мы

встряхнули коробку, у нас есть

Какова вероятность N  = 2? При первой попытке мы достаем любой шар (вероятность

), а на первой попытке после первона-

чальной мы достаем любой другой шар (вероятность

). Затем

если на второй попытке после первоначальной мы достаем один из двух вытащенных шаров (вероятность ), тогда

94

ЗАДАЧИ

Какова вероятность N = 3? На первой попытке мы достаем любой шар (вероятность

), на первой попытке после первоначаль-

ной мы достаем любой другой шар (вероятность

), а на второй

попытке после первоначальной мы достаем любой еще не вытащенный шар (вероятность

). Затем на третьей попытке пос-

ле первоначальной мы достаем любой из трех ранее вытащенных шаров (вероятность ). Тогда

Вы видите закономерность? Уверен, что видите!

и

Это выражение легко вычисляется на компьютере даже при больших значениях n, и вот код MATLAB balls.m, который это делает: %balls.m/created by PJNahin for Mathematical Physics n=input('How many balls in the box?') E=0; for k=1:n F=1/n; for j=1:k-1 F=F*(n-j)/n; end F=k*k*F; E=E+F; end E

ИНОГДА ТО, ЧТО КАЖЕТСЯ ПРАВИЛьНыМ, НЕ ТАК-ТО ПРОСТО

95

При выполнении кода были получены следующие результаты: Количество шаров в коробке n 10 100 1000 10 000 20 000 50 000

Среднее количество попыток до повторения E(N) 3,66 12,21 39,3 125 177 280

Если вы измените значение F=k*k*F на F=k*F; то balls.m вычислит

, который должен равняться 1 для любого по-

ложительного целого значения n (и чтобы не держать вас в  напряжении, подтверждаю: это и правда так!). Вы можете доказать это аналитически? Заметьте, что E(N) не увеличивается линейно с увеличением n, а, скорее, растет медленнее. Численные результаты из кода предполагают, что увеличение пропорционально некоторой дробной степени n, что может быть подтверждено теоретически расчетами более продвинутыми, чем я  представляю в этой книге. Задача 1. Моим студентам, которые все еще не были полностью убеждены во всем этом, я предложил написать симуляцию МонтеКарло. Итак, вот ваше первое задание: написать код Монте-Карло (на вашем любимом языке) для имитации вытаскивания (и замены) шаров из коробки, содержащей 1000 шаров, до тех пор, пока не произойдет повторение, и сравнить среднее число попыток (после первоначальной) с теоретическим значением 39,3. Задача 2. Определите целое число T как наибольшее число попыток, для которых вероятность отсутствия повтора все еще больше . То есть такое T, что для T + 1 повторов вероятность получения повторения впервые превышает . Задача 3. Предполагая, что E(N) = knx (как показано компьютерными результатами balls.m), где k и x – константы, оценить значения k и X.

96

ЗАДАЧИ

Задача 17 Компьютерное моделирование физики NASTYGLASS: это возможно? Может быть Предостерегающее замечание: ниже приводится наиболее спекулятивная презентация в книге. Кое-что из того, что вы прочитаете здесь, на первый взгляд может показаться легким «выходом», но ни в одном месте нет целенаправленного искажения ни физики, ни математики. Так что будьте непредвзяты

В этой задаче нас будет интересовать идея цифрового изображения, некогда экзотическая концепция, но теперь знакомая даже младшеклассникам (многие из которых имеют смартфон, оснащенный цифровой камерой). В традиционном печатном аналоговом изображении (фотографии) уровень яркости считается плавно изменяющимся от черного к белому (я ограничиваю свое обсуждение здесь только черно-белыми, или b/w-изображениями) через все промежуточные уровни серого, когда мы плавно перемещаемся по изображению вдоль любого непрерывного пути. Цифровое изображение, напротив, создается из аналогового путем тройного квантования (triple quantization) (один раз в горизонтальном направлении, затем в вертикальном направлении, создавая так называемые элементы изображения, или пиксели, и в третий раз на уровне серого каждого пикселя). Если есть h пикселей по горизонтали аналогового изображения и v пикселей по вертикали аналогового изображения, в  общей сложности будет hv пикселей. Если уровень серого каждого пикселя квантован до b бит, то для каждого пикселя существует 2b возможных дискретных уровней яркости (обычно нулевое значение присваивается самому черному из черных, а значение 2b – 1 присваивается самому белому из белых). Эти простые наблюдения сразу же приводят нас к интересному выводу, что существует конечное число N возможных цифровых изображений: N = (2b)hv = 2hbv. Совокупность этой коллекции (называемой Universal Picture Album, или TUPA1) может быть конечной, но это не значит, что 1 Чтобы узнать больше о происхождении TUPA, см. мою книгу: NumberCrunching: Taming Unruly Computational Problems from Mathematical Physics to Science Fiction. Princeton University Press, 2011. P. XVII–ХХ.

КОМПьюТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИКИ NASTYGLASS: ЭТО ВОЗМОЖНО?

97

она мала. Например, предположим, что hv равен 10 млн (то есть изображение b/w TUPA имеет размер 10 мегапикселей, что сравнимо с тем, что производит хорошая цифровая камера), и b = 11 бит (и поэтому есть 2048 уровней серого); каждое изображение TUPA, следовательно, будет очень четким, ультратонким, с высоким разрешением. Для этих предполагаемых значений квантования число изображений в TUPA равно N = 2110 000 000 ≈ 1033 113 299. Это 1, за которым следует намного больше, чем 33 млн нулей1! Каждая из этих картинок, конечно, неотличима от множества других (подумайте о  двух картинках, отличающихся только одним аналогичным пикселем на каждой картинке, отличающимся только одним уровнем серого), а некоторые просто неинтересны (например, с каждым пикселем на одном и том же уровне серого). Но есть и много довольно интересных картинок. Вот некоторые из них. В  TUPA есть изображение каждого существа во Вселенной, которое когда-либо жило (включая вас), каждого существа, которое когда-либо будет жить, и каждого существа, которое можно только вообразить. В TUPA есть изображение каждой страницы из каждой книги, которая была или будет написана, на каждом языке, который существовал или когда-либо будет существовать. Существует образ каждой картины, которая была или когда-либо будет написана. В TUPA это кадр за кадром изображения каждого голливудского фильма, который был или когда-либо будет снят (во многих из которых появляетесь вы), а также все те фильмы, которые никогда не будут сделаны. Особый интерес для физиков представляет тот факт, что где-то в TUPA находятся чертежи машины времени, передатчика материи и сверхскоростного космического двигателя. И  математики могут только удивляться картинкам TUPA, которые раскрывают решения всех возможных математических задач. Это продолжается и  продолжается – есть образ всего, что существовало, или будет, или может (или не может) существовать во всей Вселенной. Возможно, еще более удивительно то, что TUPA содержит себя как подмножество, потому что 1

Математики определили числа намного больше, чем N, например googol, определенный как 10100, допустим: googolplex – это 10googol, то есть единица, за которой следует googol нулей. Это значительно больше, чем N, но ему не хватает фантастической физической интерпретации N.

98

ЗАДАЧИ

в TUPA есть изображения всех слегка уменьшенных версий каждого изображения в TUPA1! Теперь оставим все это за кадром: мы, наконец, подошли к центральному вопросу этой, казалось бы, странной дискуссии: возможно ли, чтобы цифровая картинка была физически болезненной для взгляда? Этот вопрос впервые был поднят несколько лет назад в британском издании New Scientist2, и не так легкомыслен, как может показаться на первый взгляд. Чтобы убедиться в отсутствии недоразумений, речь идет не о картинах, вызывающих тревожную эмоциональную реакцию (например, голодный ребенок), а о возможности появления картин, которые могут быть настолько ужасны для восприятия, что могут вызвать неврологический дискомфорт, как, например, человек, наступивший на гвоздь босой ногой. Теперь, конечно, почти все, кто читает это, будут упираться в этот момент, заявляя, что они никогда не видели такой картинки. Ну, я тоже, но имейте в виду совершенно гигантские размеры TUPA3. На протяжении всей истории все люди, которые когда-либо жили, коллективно видели только бесконечно малую часть TUPA; в  TUPA гораздо больше картинок, чем элементарных частиц во всей Вселенной (по оценкам, гораздо меньше, чем googol). Итак, можем ли мы действительно авторитетно заявить, что нет картинок, которые могут причинить физическую боль? Кто знает, что таится в непостижимых просторах TUPA… Есть один очевидный способ попытаться ответить на этот вопрос – случайным образом генерировать цифровые изображения и просто смотреть на них. Если в TUPA есть такая вещь, как та картинка с гвоздем, то хотя мы даже не можем представить себе, ка1 Рискуя чрезмерно возбудить интерес WikiLeaks, забавно отметить, что в TUPA есть фотография каждой страницы каждого сверхсекретного документа Пентагона, ЦРУ, ФБР и  Кремля, когда-либо написанного или который будет написан. Подписанные признания злодеев, стоявших за исчезновением судьи Крейтера и Джимми Хоффа, находятся в TUPA. Даже все полные налоговые декларации президента Трампа (в том числе проверяемые) и электронные письма Хиллари находятся в TUPA! 2 David E. H. Jones  // New Scientist. July 22, 1971. P. 222. Перепечатано в книге: David E. H. Jones. The Inventions of Daedalus. W. H. Freeman, 1982. Р. 158–159. 3 Или посмотрите фильм «Тихое место» Джона Красински 2018 г. Нельзя недооценивать не только масштабы TUPA, но и  современное кино. – Прим. ред.

КОМПьюТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИКИ NASTYGLASS: ЭТО ВОЗМОЖНО?

99

ковы должны быть ее странные характеристики, мы можем быть уверены, что сразу же узнаем, если случайно наткнемся на нее. Будет больно! Это означает, что такая картинка не потребует специальных навыков для ее обнаружения. Любой, у кого хватило бы ума сказать «Ой», мог бы ее найти. Поскольку за такое открытие вполне может быть присуждена Нобелевская премия, небольшая боль кажется небольшой ценой за бессмертие. Увы, в  этом подходе есть только одна фундаментальная проблема. Представьте себе огромную (я имею в виду, действительно огромную) лужайку с густой травой, которая простирается на сотни тысяч миллионов миллиардов триллионов световых лет во всех направлениях, и  каждая травинка представляет собой картину TUPA. Каждая такая съемка, представляющая собой болезненную картинку, была заменена гвоздем. Случайная генерация подобных картинок аналогична бегу босиком по этому поистине огромному травяному полю в надежде случайно наступить на гвоздь. Сильно вряд ли, скажу вам я1. Именно Джонс2 (четвертая сноска в главе) предположил, что физика и компьютерные технологии могут стать альтернативой этой мрачной оценке. Ключевая идея Джонса была вдохновлена слуховым дискомфортом, вызываемым тем, что инженеры-электрики называют перекрестным искажением в двухтактных аудиоусилителях. Такие усилители (см. любую хорошую книгу по электронике) используют пару активных устройств (например, вакуумные трубки или транзисторы): с  синусоидальным входным сигналом (одночастотный тон) каждое устройство работает в течение всего половины синусоидального цикла, а  другое устройство не работает (отключено, на инженерном жаргоне). Когда вход усилителя 1 Предположим, мы могли бы сгенерировать на компьютере сто тысяч миллионов миллиардов триллионов изображений TUPA за фемтосекунду (миллиардную долю микросекунды). Это 1047 изображений в  секунду. Возраст Вселенной оценивается примерно в  15 млрд лет, и  поэтому если бы наш компьютер начал бы свой подвиг Геракла во время Большого взрыва, он произвел бы (на сегодняшний день) в общей сложности (1,5×1010)(365)(24)(3600)(1047)  = 4,73×1064 фотографий. Это может показаться большим числом, но это действительно довольно мелкая мошка по сравнению с N. 2 Доктор Джонс (родился в 1938 г.) – на самом деле химик, а не физик, но наука не знает искусственных границ (законы физики одинаковы для всех).

100

ЗАДАЧИ

Сигнальное напряжение

синусоидальной волны пересекает нулевые вольты, чтобы начать вторую половину своего цикла, операционное устройство становится неработающим, а неработающее – действующим. Теоретически такая периодическая смена ролей (отсюда и  живописное название «push-pull») происходит мгновенно в моменты нулевого пересечения, но на практике обычно существует интервал значений входного сигнала, во время которого оба устройства отключаются (или почти отключаются), и коэффициент усиления усилителя на мгновение уменьшается. Получается в результате выходной сигнал, такой как показано на рис.  З17.1, сигнал, показывающий дикие помехи и перекрестные искажения. Входной сигнал

Выходной сигнал

Рис. З17.1. Перекрестное искажение в двухтактном усилителе звука

Так почему же используются двухтактные усилители? Причина в  том, что такие усилители являются более энергоэффективными по сравнению с одноэлементными конструкциями, в которых единственное активное устройство всегда работает (то есть черпает энергию из источника питания усилителя). В  двухтактном режиме, когда ни одно из устройств не работает во время кроссовера (когда нет входного сигнала), требования к источнику питания значительно снижаются. Такие интервалы тишины распространены в радиовещании (исключая истеричные политические ток-шоу и радиопрограммы), и поэтому двухтактный усилитель чаще всего встречается в  приложениях с  ограниченным доступным запасом энергии, таких как портативные, работающие на батарейках радиостанции. Однако за эту эффективность приходится платить определенную цену. Это хорошо известное эмпирическое наблюдение, что даже кажущееся небольшим количество перекрестных искажений может привести к  совершенно ужасному выходному сигналу, усиливающемуся в своем звучании. Имея это в виду, Джонс задал себе вопрос «А что, если…». Что, если, подумал он, сделать стеклянное окно, которое намеренно вносит перекрестное искажение в  падающий на него свет (сину-

КОМПьюТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИКИ NASTYGLASS: ЭТО ВОЗМОЖНО?

101

соидальную форму волны)? Как все будет выглядеть после того, как рассеянный им свет пройдет через такое окно? Поскольку искажение аудио во время кроссовера звучит ужасно, то, возможно, разумно предположить, что искажение изображения во время кроссовера будет выглядеть ужасно – настолько ужасно, что может повредить любому, кто посмотрит на него? Джонс пришел к выводу, что это действительно будет эффектом от такого окна, и он назвал его NASTYGLASS. Он пришел к этому выводу, однако строго на основе аналогии со звуком признав, что он на самом деле «не может предсказать, как вещи будут выглядеть, увиденные через NASTYGLASS». Это признание, в свою очередь, разожгло мое воображение, поскольку я понял, что с помощью современной цифровой компьютерной системы обработки изображений мы можем определить визуальный эффект такого стекла, хотя никто (насколько я знаю) до сих пор еще не сделал окно NASTYGLASS1. Здесь на самом деле мы имеем действительно отличный пример воображаемой физической проблемы, на что я намекнул в конце предисловия. Ключевая идея заключается в том, что теперь мы не говорим о случайном поиске похожей на гвоздь картины. Скорее, теперь у  нас есть понятный физический процесс (NASTYGLASS), с  помощью которого можно сопоставить «хорошую» цифровую картинку (подробнее о том, что означает «хорошая», – чуть позже) и новую цифровую картинку, которая страдает от искажения изображения во время кроссовера и поэтому, по аналогии со звуком, должна быть «менее приятной»2. Если нам повезет, то в  результате мы получим изображение, которое, как предположил 1 Джонс вкратце упомянул о возможности изготовления NASTYGLASS из так называемого овшинского аморфного полупроводника, названного в честь американского изобретателя Стэнфорда Овшинского (Stanford Ovshinsky, 1922–2012). Аморфное твердое тело не имеет кристаллической структуры (например, обычное стекло), которую мы обычно ассоциируем с полупроводниковыми материалами, такими как кремний и германий. 2 Манипуляции с уровнями серого – это то, что фотографы делали с тех пор, как первое пятно на носу молодой девушки было со вкусом удалено с  какого-то древнего дагерротипа. Как хорошо известно, мастера фотографии в  Playboy и  его конкуренты подняли аналоговую манипуляцию уровнями серого до почти что художественной формы. Но с  помощью NASTYGLASS и  его компьютерного моделирования мы можем заменить произвольную и трудоемкую природу человеческих манипуляций строгостью математической физики, автоматически выполняемой с электронной скоростью.

102

ЗАДАЧИ

Джонс, будет настолько нехорошим, что будет иметь «злобный и болезненный вид», возможно, даже «настолько ужасный, что ни один Подглядывающий Том1 не сможет на него смотреть». Это, конечно, высокая (или низкая, если вам так больше нравится) цель, чтобы ее преследовать, но вряд ли хочется что-то преследовать, если достичь этого слишком просто. Перефразируя Эйнштейна: «любой может вбить гвоздь в тонкую доску. Но толстая доска – это совсем другое дело!» Ладно, перейдем к делу. Как будет работать NASTYGLASS, если мы его все-таки сделаем? Для начала представьте себе луч света, состоящий из всего одной длины волны (чистый «тон света»), падающий на обычное стеклянное оконное стекло. Переменное электрическое поле света индуцирует переменные токи в стекле; чем больше эти токи, тем больше потери энергии луча (и тем больше увеличение температуры стекла). Непосредственно наблюдаемый результат состоит в том, что луч света появляется с другой стороны окна, ослабленный в яркости. Совершенно прозрачное (невидимое) окно не выдержало бы таких энерговыделяющих токов: оно было бы идеальным изолятором. Чем больше окно отклоняется от совершенства невидимости, тем больше оно становится проводником. В идеально проводящее окно невозможно было бы заглянуть2. Для падающей напряженности электрического поля ниже определенного порога (обозначаемого Et) NASTYGLASS является идеальным проводником, который полностью «закорачивает» световой луч. Однако как только напряженность электрического поля превышает этот порог, NASTYGLASS мгновенно превращается в  идеальный изолятор3 и таким образом пропускает световой 1 «Любопытный Том», или, как вариант, «Подглядывающий», а в оригинале «Peeping Tom» – фильм 1960 г. о маньяке-убийце. – Прим. ред. 2 Как известно всем, кто помнит свою школьную физику, соотношение между напряжением, током и сопротивлением задается законом Ома (для малых значений напряжения и тока). Для случая изменяющихся во времени высокочастотных электрических полей в видимом свете напряжение и  токи также изменяются во времени как высокочастотные величины, и закон Ома имеет форму r = ∆v/∆vi, поскольку ∆v и ∆i – это изменения падающего напряжения и  результирующего тока, r называется динамическим сопротивлением. 3 Как показано на рис. З17.2, как только напряженность электрического поля падающего света становится достаточно большой, то изменения напряжения (то есть ∆v) приводят к  ∆i  = 0. Таким образом, r  =¥, и  это

КОМПьюТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИКИ NASTYGLASS: ЭТО ВОЗМОЖНО?

103

луч без затухания, пока напряженность падающего электрического поля снова не падает ниже порога. Это поведение показано на рис.  З17.2, на котором изображено изменение во времени электрического поля чистого «тона света», выходящего из окна NASTYGLASS. Как вы можете видеть, форма волны отображает классическое искажение изображения во время кроссовера. Характеристики напряжение/ток (V/I) стекла

Поля в этой области «закорочены» низким динамическим сопротивлением

Бесконечное динамическое сопротивление

Низкое Синусоидальный сигнал (например, света) динамическое со значениями поля между A и B сжался сопротивление до нуля. Примечание: сильное искажение кроссовера

Рис. З17.2. Физика NASTYGLASS

Чтобы выразить NASTYGLASS в  аналитической форме, сконцентрируйте свое внимание на одном (произвольном) пикселе цифрового изображения, которое появляется из окна NASTYGLASS. В качестве выходного пикселя изображения мы будем обозначать яркость его уровня серого Bo. Соответствующий пиксель входного изображения на падающей стороне окна будет иметь яркость Bi, а так как окно является диссипативной средой, то мы должны иметь Bo £ Bi (при равенстве, возникающем, если порог переключения электрического поля et равен нулю). Теперь наш вопрос заключается в том, каковы точные отношения между Bo и Bi. Воспринимаемая яркость (то есть уровень серого) пикселя является мерой уровня мощности света, излучаемого этим пикселем. Мощность, в свою очередь, напрямую связана со средним значением квадрата электрического поля света. Поэтому если k – коэфзначит, что NASTYGLASS обладает бесконечным (или, по крайней мере, очень большим) динамическим сопротивлением. В противном случае динамическое сопротивление равно нулю (то есть маленький ∆v приводит к большому ∆i).

104

ЗАДАЧИ

фициент масштабирования, который сохраняет единицы измерения правильными, то

и

где, как показано на рис. З17.2, T – полупериод света. Если мы запишем падающее электрическое поле как

затем, поскольку нет выходного электрического поля до тех пор, пока Ei(t) > Et, выходное электрическое поле равно нулю, пока это условие не будет выполнено, и тогда оно задается формулой

Таким образом,

а если Ei(t) < Em, то

КОМПьюТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИКИ NASTYGLASS: ЭТО ВОЗМОЖНО?

105

То есть Bo = 0, если Em < Et, в противном случае

Обратите внимание, что заключенное в  рамку выражение говорит, что Bo = 0, когда Et = Em (что физически правильно), и что Bo = Bi, когда Et = 0 (что физически правильно). Теперь, чтобы обойти вопрос о том, что в реальности представляет из себя электрическое поле Et (свойство NASTYGLASS) и  Em (сила падающего света), мы можем выразить уравнение в  рамке более удобным способом. Предположим, мы пишем BL, чтобы обозначить наименьший уровень серого пикселя изображения, который просто произведет вывод на другой стороне окна. Значение BL, изменяющееся от 0 до 2b – 1 (в целочисленных шагах) для b бит квантования уровня серого, определяет, насколько неприятно будет наше окно NASTYGLASS: BL  = 0 означает, что оно совсем не противно, в то время как BL = 2b – 1 означает, что это совершенно неприятное окно. Каким бы ни было значение BL, оно связано с интенсивностью падающего света, для которой Et – максимально возможное электрическое поле. Таким образом,

и

Также

и

106

ЗАДАЧИ

Итак, наконец, у нас есть ответ на наш вопрос о том, как изменяется уровень серого для каждого пикселя, когда изображение проходит сквозь окно NASTYGLASS:

Bo = 0, Bi £ BL. Этот результат1 точно показывает нам, как NASTYGLASS отображает уровень серого цвета входного пикселя Bi в  уровень серого цвета выходного пикселя с одной степенью свободы, представленной характеристическим параметром передачи BL. Как и подобает окну, названному «противным», предыдущее выражение в рамке является нелинейным преобразованием, достаточно запутанным, чтобы его можно было действительно назвать довольно неприятным на отдельных основаниях (хотя его графики и генерируют семейство обманчиво доброкачественных и гладких кривых). Теперь мы можем использовать этот аналитический результат для компьютерного моделирования NASTYGLASS. Действительно, 30  лет назад, когда я  впервые столкнулся с  концепцией NASTYGLASS, я провел несколько симуляций в мини-компьютерной лаборатории, управляемой отделом электротехники Университета Нью-Гэмпшира2. В качестве входного изображения я использовал аналоговую фотографию одного из величайших людей науки, Альберта Эйнштейна. Помимо того что он занимал высокое положение в мире физики, он был также хорошо известен своим гуманизмом и мягким духом. Итак, выбрав один из его общедоступных образов дедушки, я был уверен, что если NASTYGLASS – действитель1 Обратите внимание, что если окно совсем не противно, то есть если BL = 0, то наш результат говорит Bo = Bi. Другими словами, каждый уровень серого пикселя входного изображения передается без изменений, что является именно тем, что мы ожидаем. Однако для совершенно неприятного окна, в котором BL настолько велик, что Bi £ BL для каждого входного пикселя, то Bo = 0 для каждого выходного пикселя. Грубо говоря, в этом случае выходное изображение было бы, действительно и в самом физическом смысле, изображением с «темной стороны» 2 Вы можете найти отчет об этой работе в моей статье: Looking at the World Through a NASTYGLASS Window  // IEEE Aerospace and Electronic Systems Society Magazine. Dec. 1987. P. 2–7.

КОМПьюТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИКИ NASTYGLASS: ЭТО ВОЗМОЖНО?

107

но противная штука, то его поистине звериный эффект на такую трогательную картинку будет легко заметен в  выходном изображении от моего компьютера. Помещенное перед телевизионной камерой / цифрователем, полученное цифровое изображение затем вводилось в компьютер, запрограммированный функцией отображения пикселей NASTYGLASS, а выходные изображения отображались на телевизионном мониторе. Вы можете найти фотографии этих выходных изображений в моей статье 1987 г. (сноска 12), но я не воспроизвел их здесь, потому что из-за неудачной вычислительной ошибки я  использовал неправильную функцию отображения пикселей. (Кроме того, я, кажется, потерял их.) Тем не менее это ошибочное отображение было достаточно близко к тому, чтобы быть правильным, потому что по мере увеличения BL выходное изображение Эйнштейна, казалось, принимало все более угрожающий вид – не очень приятное зрелище, но и не физически болезненное для взгляда. Возможно, с правильной функцией отображения пикселей, полученной здесь, результаты будут другими. Я оставлю это для тех авантюрных читателей, которые захотят исследовать эту тему дальше. Пожалуйста, дайте мне знать, если вы принимаете этот вызов! А теперь вот вам более элементарная задача на рассмотрение. Огромным преимуществом цифровых изображений перед аналоговыми является легкость, с которой ими можно манипулировать с  помощью электроники. Уровень серого любого пикселя может быть отображен на любой другой уровень серого с помощью простого процесса поиска в таблице. Предположим, что уровень серого пикселя в  координатах (x, y) входного изображения равен gi, где 0 £ gi £ 2b – 1 для b бит квантования. Затем мы представим, что у нас есть таблица в памяти компьютера с записями 2b и что если мы перейдем к записи gi в этой таблице, то найдем число go (0 £ go £ 2b – 1), уровень серого цвета, который будет назначен пикселю в (x, y ) в выходном изображении. То есть gi → go – это отображение уровня серого каждого пикселя входного изображения на соответствующий уровень серого выходного пикселя изображения. Чтобы быть конкретными, предположим, что запись gi в таблице равна 2b – 1 – gi. То есть gi = 0 отображает серый уровень 2b – 1, а gi = 2b – 1 отображает серый уровень 0, чтобы охватить два крайних случая. Результирующее выходное изображение называется негативом от входного изображения, которое, конечно же, имеет известный аналоговый эквивалент, достигаемый с помощью химических веществ.

108

ЗАДАЧИ

Но теперь рассмотрим вот такой хитрый поворот. Предположим, что запись gi в таблице поиска – это gi для 0 £ gi £ 2b – 1 (то есть первая половина таблицы), а 2b – 1 – gi для второй половины. Результирующее выходное изображение называется полуреверсивным (half-reversed), так как более темные части входного изображения остаются неизменными, в то время как более яркие части уходят обратно в  более темные уровни серого. Такое модифицированное изображение, каким бы странным оно ни было, часто может отображать видимые детали в ярких областях, которые иначе теряются для глаза (который менее приспособен обнаруживать изменения уровня яркости по мере увеличения яркости). Насколько мне известно, в аналоговой фотографии нет эквивалентной техники. Поскольку существует 2b различных уровней серого цвета с b битами квантования, и поскольку мы можем загрузить каждый из 2b элементов таблицы поиска любым числом от 0 до 2b – 1 (можно поместить одно и то же число в более чем один элемент таблицы поb иска), существуют (2b)(2 ) возможных таблиц поиска. Оцените это число для b = 11 и запишите его в научном виде. То есть как p×10q, где q – целое число, а p – число от 1 до 10. Подсказка: он намного больше, чем googol, но гораздо меньше, чем googolplex. Вот еще два заковыристых вопроса для вас. Во-первых, когда я  писал ранее о  необъятности TUPA, я  сравнивал ее с  лужайкой густых побегов травы, которая «простирается на сотни тысяч миллионов миллиардов триллионов световых лет во всех направлениях». Это была просто гипербола? Или это была грубая недооценка? Чтобы ответить на этот вопрос, предположим, что газон имеет 100 побегов травы на квадратный дюйм. Каков будет радиус круглого газона, который содержит N побегов травы? Используйте 299 675 946 м/с в качестве скорости света. Кроме того, предположим, что каждое 10-мегапиксельное изображение TUPA распечатывается как глянцевое 8”×10”. Если каждый пиксель является квадратом, сколько пикселей приходится на горизонтальный/вертикальный дюйм изображения?

Задача 18 Падающая дождевая капля и проблема переменной массы: замедленное падение Представьте себе сферическую каплю воды с начальным радиусом a ³ 0 в момент времени t = 0, начинающую падать под дей-

ПАДАющАЯ ДОЖДЕВАЯ КАПЛЯ И ПРОБЛЕМА ПЕРЕМЕННОЙ МАССы

109

ствием силы тяжести из состояния покоя (то есть ее нисходящая скорость при t = 0 равна v = 0) через равномерно плотный туман. То есть через атмосферу, насыщенную водяным паром1. В любой момент времени t ³ 0 мы запишем массу капли как m(t), с радиусом r(t) (и поэтому r(0) = a). Если мы предположим, что масса капли увеличивается прямо пропорционально ее площади поверхности (это называется правилом аккреции массы (mass accretion rule), и это не единственная возможность; мы рассмотрим другие возможности позже), то в дифференциальное время dt дифференциальное увеличение массы является, с некоторой константой c, dm = 4πr2cdt, то есть

Теперь масса капли равна, причем ρ – плотность воды, ,

и

Или, используя наш более ранний результат для

с левой сто-

роны, мы имеем

Каковы бы ни были константы ρ и  c,

является константой,

и поэтому можно записать эту константу как k: 1 Это начало известной задачи в  программе физики бакалавриата, которая была прослежена до британского астронома Джеймса Чаллиса (James Challis, 1803–1882). Он использовал ее как одно из заданий на втором смитсовском экзамене 1853 г. по математической физике в Кембриджском университете.

110

ЗАДАЧИ

Таким образом, интегрируя, r(t) = kt + C, где C – некоторая константа. Поскольку r = a при t = 0, мы имеем C = a, и поэтому r(t) = a + kt. Второй закон движения Ньютона гласит, что сила – это скорость изменения импульса, и поэтому если F – гравитационная сила на капле, равная mg, где g – ускорение силы тяжести, мы имеем

Тогда

или

С

имеем

или

ПАДАющАЯ ДОЖДЕВАЯ КАПЛЯ И ПРОБЛЕМА ПЕРЕМЕННОЙ МАССы

111

Вы можете проверить путем прямой замены, что это дифференциальное уравнение имеет следующее решение:

Обратите внимание, что это решение говорит v(0) = 0, что согласуется с утверждением, что капля начинает свое падение из покоя1. Это замечательный результат. Предположим, например, что капля начинает свое существование как микроскопическая частица пыли, вокруг которой начинает конденсироваться водяной пар. Тогда a = 0, а v(t) сводится к

Всякая зависимость от константы k (и так далее от констант c и ρ) исчезает. Но не только это, ускорение, испытываемое все более массивным падающим телом, становится

что (значительно) меньше ускорения силы тяжести! Это то, что я с уверенностью могу назвать неинтуитивным результатом2. Конечно, мы упустили некоторые практические детали, такие как сопротивление воздуха. Такая деталь может значительно 1 В этот момент вы наверняка задаетесь вопросом, откуда взялся неожиданный v(t) в  выражении в  рамке. Уверяю вас, я  вывел это не с  помощью какой-либо счастливой догадки! Детали вывода этого выражения были бы здесь отвлечением от темы, но в конце этого обсуждения, в части с описанием первой задачи для самостоятельного решения, я проведу вас пошагово по этому решению, по шагам, которые каждый математический физик должен иметь в своем мешке трюков. 2 Вы, возможно, спросите: почему неинтуитивное? В  конце концов, почти все сразу сказали бы, что баскетбольный мяч будет падать очень медленно в лужу меда, с ускорением, гораздо меньшим, чем g. Да, конечно, отвечаю, но я готов поспорить, что те же самые люди будут удивлены нашим результатом для капли дождя, падающей сквозь туман. В конце концов, мед густой и липкий, в то время как туман, ну, куда менее плотный!

112

ЗАДАЧИ

усложнить анализ1, но единственное допущение, которое мы сделали, в  частности которое может иметь по меньшей мере такое же значение, – это правило массового накопления. Почему водяной пар должен равномерно осаждаться на всей поверхности капли? Разве вместо этого передняя часть капли, та половина капли, которая «впадает в туманный водяной туман», не должна накапливать больше массы, чем задняя половина капли, когда она падает? И чем быстрее он падает сквозь туман, тем быстрее капля должна набрать массу? Если это так, то правило массового накопления следует изменить на более реалистичное dm = k(площадь поперечного сечения капли)(скорость капли)dt, где k – некоторая постоянная. То есть

там, где вода, вытесненная падающей каплей, мгновенно и непрерывно распределяется вокруг всей капли. Таким образом, радиус r капли увеличивается со временем, но, конечно, чуть иначе, чем в  нашем первом исследовании. Анализ этого нового правила аккреции массы (неудивительно) более углубленный, чем тот, что был раньше, но если мы готовы сделать предположение, что капля начинает свой путь как микроскопическая как можно скорее, то все еще не так сложно. Вот как работает этот подход. Используя те же символы, что и раньше, представим массу капли как

и

или как

1 Но, что удивительно, не до такой степени, чтобы все стало невозможным. См.: H. Hossein Partovi and Duane R. Aston. The Generalized Raindrop Problem // American Journal of Physics. October 1989. P. 912–920.

ПАДАющАЯ ДОЖДЕВАЯ КАПЛЯ И ПРОБЛЕМА ПЕРЕМЕННОЙ МАССы

113

затем

или (А) Из нового правила аккреции массы мы имеем ,

(B)

и, исходя из второго закона движения Ньютона, имеем (С) Из (А) и (B) мы имеем

или (D) Таким образом, (E) Соединив (A), (D) и (E) в (C), получим . Сократим m, умножим на kr и разделим на ρ:

114

ЗАДАЧИ

Вот где мы сделаем предположение о  первоначальном микроскопическом происхождении капли. Предположим, что r(t)  = ctn, где c – некоторая константа (то есть радиус капли растет как некоторая степень t). Это говорит, конечно, о том, что r(0) = 0. Откуда мы знаем, что r(t) = ctn? Ну, в действительности мы не знаем, но если мы сделаем это предположение, все наши уравнения останутся последовательными, и это, безусловно, обнадеживает! Учитывая, что мы все-таки сделаем это, следующий очевидный вопрос таков: какова роль n? Чтобы ответить на это, мы подставляем этот предполагаемый r(t) в наше последнее уравнение, чтобы получить , или

Для того чтобы поведение времени было одинаковым с  обеих сторон равенства, ясно, что n = 2n – 2, или n = 2. То есть r(t) = ct2; радиус капли увеличивается как квадрат времени. Также

или с n = 2 и делением на c

или

То есть

ПАДАющАЯ ДОЖДЕВАЯ КАПЛЯ И ПРОБЛЕМА ПЕРЕМЕННОЙ МАССы

115

Итак, используя (E), ускорение капли равно

С новым правилом аккреции массы капля падает еще медленнее, чем раньше! Итак, вот четыре задачи-вызова для вас, чтобы потренироваться самостоятельно. (a) Вы помните, что в сноске я пообещал, что покажу вам, как решить дифференциальное уравнение

для v(t) в уравнении в рамке. Вот как это сделать: (1) напишите

, а  затем определите P(t) = , что означает

(2) формула (3) умножьте дифференциальное уравнение на eP(t), чтобы получить

(4) обратите внимание, что левая часть последнего уравнения – это

и поэтому

(5) интегрируйте обе стороны этого последнего уравнения, чтобы получить C. Таким образом, в целом

с некоторой константой

116

ЗАДАЧИ

(6) так как v(0) = 0, а P(0) = 0, то имеем (7) таким образом, для v(0) = 0 решение имеет вид:

Ваша задача состоит в том, чтобы выполнить указанные интеграции в (7) и показать, что результат действительно является тем v(t), который я вывел для вас1. (б) Когда профессор Чаллис создал задачу падающей капли дождя (см. первую сноску в главе) для смитсовского экзамена 1853 г., он не был таким уж садистом. Он фактически дал студентам ответ и «просто» попросил их показать его. В частности, он писал: «сферическая капля дождя, нисходящая под действием силы тяжести, постоянно получает путем осаждения пара прибавление массы, пропорциональное ее поверхности; а – ее радиус, когда она начинает опускаться, и r – ее радиус после интервала t, показывают, что ее скорость задается уравнением

Покажите, что ее скорость задается уравнением, в котором сопротивление воздуха не учитывается». Это особенно хорошая форма уравнения, поскольку она показывает, что если r = a (то есть 1 Этот метод формирования P(t) и  последующего умножения через дифференциальное уравнение на eP(t) называется методом интегрирования факторов. Он чрезвычайно полезен для решения того, что математики называют линейными дифференциальными уравнениями первого порядка, и вы можете прочитать больше об этой технике в любой хорошей книге по дифференциальным уравнениям. Это рутинный инструмент для всех математических физиков (действительно, это метод, используемый Герреманом и Поттелем (Herreman and Pottel) для точного решения проблемы скольжения на полусфере с трением, обсуждаемой в задаче 14).

ПАДАющАЯ ДОЖДЕВАЯ КАПЛЯ И ПРОБЛЕМА ПЕРЕМЕННОЙ МАССы

117

если радиус капли фиксирован на начальном радиусе для всех t), то v = gt, и поэтому для капли, которая не набирает массу при падении, ускорение равно полному g, как и следовало ожидать. Ваша задача состоит в том, чтобы показать, что v(t) в квадратном уравнении (и что вы получили в первой задаче для самостоятельного решения) эквивалентно решению в виде степенного ряда профессора Чаллиса. (в) В  этой сложной задаче вы должны определить, что происходит при еще одном правиле аккреции массы. В частности, представьте себе первоначально микроскопически маленькую каплю на вершине туманной гряды, которая имеет постоянно увеличивающуюся плотность пара, когда опускается через нее. То есть когда капля падает на землю, она сталкивается с линейно возрастающей плотностью тумана. Если мы предположим, что капля набирает массу пропорционально как своей площади поперечного сечения, так и  расстоянию, на которое она упала, и  измерим расстояние, на которое она пролетела, как x (и поэтому x(0)  = 0), то правило аккреции массы будет задаваться с некоторой константой k:

где r(0)  = 0. Другие уравнения, описывающие физику поведения этой падающей капли (где ρ – плотность воды): Найдите ускорение падения. Подсказка 1: опять же, это константа, и она меньше

. Подсказка 2: чтобы не сойти с ума от беспоря-

дочных уравнений, я настоятельно рекомендую вам использовать точечную запись Ньютона (Newton’s dot notation) для производных по времени (см. приложение 3), где

и т. д. То есть

использовать

(г) Для последней задачи в  этой главе я  предлагаю правило аккреции массы, которое еще сложнее, чем в  (в). Как и  прежде,

118

ЗАДАЧИ

первоначально микроскопически малая капля находится на верхней части туманной гряды, которая имеет линейно возрастающую плотность пара, но теперь, когда она падает, капля набирает массу пропорционально не только ее площади поперечного сечения и расстоянию, на которое она упала, но и прямо пропорционально ее скорости v. То есть замените правило аккреции массы (г) правилом

. И найдите для этого нового правила ускорение

капли. Подсказка 1: это даже меньше, чем результат в (г). Подсказка 2: основываясь на еще более ранних результатах, предположим, что r(t)  = ctn, а  также предположим, что ускорение капли равно где a – некоторая постоянная. Ваша задача, таким образом, состоит в том, чтобы показать, что при этих предположениях существует уникальное выражение (найдите его!) для a.

Задача 19 За рамками квадратичного: кубическое уравнение и взрывное поведение в физической системе Если бы авторы письма в «Boston Globe» были озадачены полезностью квадратичных уравнений, что (зададимся этим вопросом) они, должно быть, сказали бы о кубических уравнениях? Подозреваю, что ничего хорошего. Однако как математические физики мы должны быть «вооружены и  готовы» к  таким вещам, потому что кубические уравнения действительно появляются (обычно) в физике1. На рис. З19.1 показана такая ситуация, в которой скрыт 1

Для полного раскрытия темы я  должен сказать вам, что известный математический физик Ричард Фейнман однажды сделал, как мне кажется, достаточно странный комментарий о кубических уравнениях, комментарий, который, как авторы письма Boston Globe могли бы утверждать, поддерживает их позицию. Написав в своей не менее знаменитой книге What Do You Care What Other People Think (W. W. Нортон, 2001, p. 95), он включил это замечание об образовательных нормативах, которые он наблюдал во время визита в Грецию в 1980 г.: «они были очень расстроены, когда я сказал, что открытием самой большой важности для математики в Европе было то, что Тарталья (Tartaglia) нашел [в XVI веке], как решать кубическое уравнение: хотя оно само по себе мало полезно [мой акцент]». Фейнман был известен тем, что говорил провокационные (и порой даже

КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И ВЗРыВНОЕ ПОВЕДЕНИЕ В ФИЗИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ

119

удивительный вывод. На этом рисунке показана одномерная система координат с x = 0 в крайнем левом углу. Здесь находится положительный электрический заряд с  фиксированной величиной Q, прочно закрепленный на x = 0. (Если это поможет, подумайте о том, что Q «приклеен» к x = 0.) В крайнем правом углу мы имеем расслабленную пружину, нерастянутая или сжатая длина которой ставит ее левый конец на x = x0 > 0. Правый конец пружины прикреплен к неподвижной стене. Теперь предположим, что мы прикрепляем электрический заряд q произвольного знака и значения к левому концу пружины; то есть q может быть как положительным, так и отрицательным и иметь любое значение. Что происходит, когда мы пробуем разные значения и знаки q? Расстояние сжатия пружины

Положение левого конца пружины перед присоединением q

Рис. З19.1. Сжатие пружины с помощью электрического отталкивания

Как все помнят из школьной физики, электрические заряды противоположного знака притягиваются, а  заряды того же знака отталкиваются. На рис. З19.1 мы видим случай для q > 0, который показывает, что левый конец пружины отодвинулся от Q. Q не может двигаться – помните, он приклеен к x = 0, – но q может двигаться под действием силы отталкивания. Когда q движется вправо, пружина сжимается. Это сжатие приводит к тому, что пружина обеспечивает повышенное сопротивление дальнейшему сжатию. Конечно, по мере удаления q от Q сила электрического отталкивания уменьшается. Казалось бы, тогда должно быть некоторое значение x (положение q), при котором уравновешиваются электривозмутительные) вещи просто ради начала дебатов, и  я  думаю, что это пример чего-то подобного. Но то, что реально огорчило греков, так это явное отрицание Фейнманом высшей важности древнегреческих математиков в пользу «современного» итальянца!

120

ЗАДАЧИ

ческая сила отталкивания и механическая сила сжатия, и поэтому q в конечном итоге остановится на этом конкретном x. Это верно для случая q > 0, но чтобы понять количественно, что происходит, и особенно для случая q < 0, нам нужно призвать на помощь математическую физику. Для начала давайте продолжим с  q > 0 и  сжатой пружиной. Поскольку пружина укоротилась в длину на x – x0, механическая сила на q от пружины, толкающей q назад к  Q, по закону Гука1 задается c1(x – x0), где c1 – некоторая положительная константа (коэффициент упругости пружины). Сила электрического отталкивания на q, обусловленная Q, задается законом Кулона2 и уравнением

где c2 – некоторая положительная постоянная, зависящая от электромагнитных характеристик пространства, в котором находятся Q и q. Как уже говорилось ранее, правдоподобный ответ на вопрос «что происходит?» в случае q > 0: q отступает от Q до тех пор, пока сила отталкивания, обусловленная Q, не будет просто уравновешена механической резистивной силой сжатой пружины. В  этот момент q перестает двигаться, и мы говорим, что Q, q и пружина достигли состояния равновесия. Значение x для этого состояния является решением задачи

То есть если мы запишем q как функцию от x,

1 Назван в честь английского ученого Роберта Гука (Robert Hooke, 1635– 1703). 2 Назван в  честь французского ученого Шарля Огюстена де Кулона (Charles Augustin de Coulomb, 1736–1806).

КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И ВЗРыВНОЕ ПОВЕДЕНИЕ В ФИЗИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ

121

Числовое значение x0 просто задает физический масштаб рис.  З19.1, и  это то, что мы можем сделать для нашего удобства. Итак, выберем удобное значение x0  = 1 (если мы работаем в  системе MKS, то это означает, что x0 равен 1 м). Кроме того, давайте выберем такой Q, что он может быть любым значением, необходимым для того, чтобы

Опять же, если мы находимся в системе MKS, то Q и q измеряются в единицах кулона. С этими выборами (1) становится q = x2(x – 1), кубическим уравнением, которое содержит всю физику расположения рис. З19.1. Есть, конечно, аналитические способы1 решить (2), найти x для данного q, но математический физик, застрявший на отдаленном острове без калькулятора или математических книг, все равно может узнать все, что ему нужно, используя лишь палку, чтобы писать на песчаном пляже. С помощью палки и песка, на котором можно писать, выводятся следующие выражения: (а) q = 0 при x = 0 и x = 1; (b) q £ 0 для 0 £ x £ 1; (c) q > 0 для x > 1; тогда

(d) если (e)

при x = 0 и 

(f)

при x = 1; , тогда

(g) так как (h)

1

, где

255* при x = 0 и 

См. приложение 3.

при

122

ЗАДАЧИ

Из этих простых наблюдений сразу же следует рис. З19.2, где (e) и (h) говорят нам, что график q против x имеет локальный максимум при x = 0 и локальный минимум при

Рис. З19.2. Зависимость заряда пружины (q) от дистанции (x)

На рис.  З19.2 содержится огромное количество информации, включая тот сюрприз, на который я намекал ранее. Я начну с направления вашего внимания на верхнюю горизонтальную пунктирную линию через произвольное значение q > 0. Эта линия пересекает кубический график при x = x1, и это показывает, что для любого q > 0 всегда существует ровно одно положительное решение (2), и что чем больше q, тем больше x1. Это имеет физический смысл: когда мы увеличиваем q от одного положительного значения до большего положительного значения, сила отталкивания Q увеличивается, и  поэтому пружина сжимается немного больше, когда q движется немного дальше от Q. Однако при q < 0 мы внезапно обнаруживаем совершенно иное поведение. Если –

< q < 0, то мы видим, что существуют два

положительных решения (2) при x = x2 и x = x3, а также третье, отрицательное решение при x = x4. Хотя x = x4 действительно решает (2), мы немедленно отвергаем его на физических основаниях, поскольку при нем q появляется на пружине, вытянутой дальше, чем Q. Однако это все еще оставляет нам два решения, и что это может означать физически? И возможно, еще более загадочным является то, что для q < – q 0 является стабильным состоянием, как и x = x2 для q < 0, но x = x3 для q < 0 является нестабильным состоянием. Таким образом, хотя состояние x = x3 удовлетворяет математике рис. З19.1, оно не удовлетворяет физике. Вот как показать, что эти утверждения верны. Первое состояние, x  = x1 для q > 0, легко анализировать без использования какой-либо математики вообще. Как видно по рис. З19.1, x1 > 1 (пружина сжимается), и поэтому, взяв ε > 0, перемещение q к x = x1 слегка разжимает пружину. То есть пружина оказывает меньшую силу на Q после возмущения. В то же время сила электрического отталкивания увеличивается. Оба эффекта работают вместе, чтобы переместить q обратно к x = x1, и поэтому мы заключаем, что это состояние является стабильным состоянием. Если мы возьмем ε < 0, то придем к тому же выводу. Ситуации для двух состояний с  q < 0 (x  = x2 и  x  = x3) немного более тонкие, и теперь нам нужно будет выполнить немного математики. Сначала рассмотрим x = x2, где

< x2 < 1 (пружина теперь

растянута), а затем изменим положение q на x = x2 – ε, где ε > 0. Поскольку пружина уже была растянута при x  = x2, возмущение увеличило длину пружины, и поэтому механическая сила пружины (попытка вернуть q к x = x2) увеличилась на c1. Электрическая сила притяжения (помните, q < 0 при Q > 0) перед возмущением равна После возмущения эта сила равна что при q < 0

Напомню,

является более отрицательным, чем

, и  поэтому положительное изменение силы притяжения,

124

ЗАДАЧИ

которое пытается переместить q к  Q (и поэтому еще дальше от x = x2), равно

– выражение, которое становится все более правильным, как ε → 0. Обратите внимание, что это последнее выражение положительно, потому что q < 0. Так как q = x22(x2 – 1), положительное изменение силы притяжения на q равно

Теперь вопрос, представляющий интерес, ясен: что больше, c1ε (что означало бы, что равновесное состояние x = x2 стабильно) или (что означало бы, что равновесное состояние неустой-

чиво)? Ответ заключается в том, что x = x2 устойчив, потому что, определяя ∆ как увеличение силы пружины минус увеличение электрической силы, мы имеем

для всех x2 в интервале

КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И ВЗРыВНОЕ ПОВЕДЕНИЕ В ФИЗИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ

Для состояния x = x3 у нас есть

125

, и поэтому теперь мы

получаем, что ∆ < 0 для всех x3 в  этом интервале, и  поэтому состояние x = x3 неустойчиво. Теперь у нас есть ответ на загадку того, что означают два состояния равновесия для случая q < 0: только одно из них физически значимо (стабильный случай x = x2). Но как быть с головоломкой из рис. З19.2, по-видимому, не позволяющей q быть более отрицательным, чем –

? Что мешает нам делать с q

все, что мы хотим? Ответ дает концепция состояния стабильности. Представьте, что у  нас q < 0, но это q еще не совсем достигло q = –

. Поскольку мы продолжаем делать q более отрицательным,

мы скользим вниз по графику на рис. З19.2 к локальному минимуму при x = . Пока мы это делаем, электрическая сила притяжения, обусловленная Q, постоянно возрастает, но, как мы показали в нашем анализе устойчивости, этого недостаточно, чтобы доминировать над возрастающей механической сдерживающей силой постоянно растягивающейся пружины. Затем, когда q достигает –

,

эти две силы просто уравновешиваются. И тогда, если мы сделаем q бесконечно более отрицательным, чем –

, электрическая сила

притяжения наконец превысит сдерживающую пружинную силу, и, поскольку теперь q находится в неустойчивом состоянии, q продолжает двигаться к Q. Действительно, q почти мгновенно прыгает от x =

до x = 0 (где теоретически электрическая сила притяжения

становится бесконечно большой). Когда у нас было –

< q < ¥, мы наблюдали, что непрерывное

изменение q дает непрерывное изменение x. Когда мы попытались переместить q за пределы –

до более отрицательных значений,

однако x изменился прерывистым образом от x =

до x = 0. Это

и  есть тот «сюрприз», о  котором я  упоминал ранее, тот, который присущ тому, что кажется простой физикой, – но на самом деле

126

ЗАДАЧИ

все не так просто1. Подобные внезапные изменения (называемые фазовыми переходами (phase transitions)) в  физических системах происходят во многих повседневных ситуациях: например, непрерывное снижение температуры стакана воды, по-видимому, приводит к  тому, что стакан воды становится все более холодным, пока при критической температуре жидкая вода внезапно не становится твердым льдом. Другой часто наблюдаемый фазовый переход происходит, когда еще одна снежинка является тем, что заставляет ранее неповрежденную ветку внезапно оторваться от ствола дерева. Ваш сложный вопрос для этой задачи заключается в определении устойчивости состояний x = x1, x = x2 и x = x3 в системе заряда/пружины с использованием другого (и более общего) подхода, чем тот, который я использовал. Этот новый подход заключается в  изучении потенциальной энергии системы в  ее равновесных состояниях и  утверждении, что для стабильного состояния потенциальная энергия является локальным минимумом, в  то время как для нестабильного состояния потенциальная энергия будет локальным максимумом. Фундаментальная идея состоит в том, что физическая система, предоставленная самой себе, всегда будет пребывать в  состоянии с  наименьшей возможной потенциальной энергией. (Физика имеет ряд так называемых экстремальных принципов, и это один из них. Такие принципы имеют метафизический/философский оттенок, но физики обычно принимают их, потому что они часто приводят к правильным решениям.) Прежде чем приступить к системе заряда/пружины, позвольте мне сначала показать вам, как это работает в  более простой ситуации. Представьте себе систему, состоящую из твердого прямоугольного блока вещества с площадью поперечного сечения A и высотой l, с  плотностью ρs, расположенного так, что его нижняя поверхность находится как раз на поверхности бассейна жидкости бесконечной протяженности, как показано на рис. З19.3. Назовем 1 Интересная модификация этой задачи, пригодная для экспериментов в домашних условиях, описана в работе М. Партенского и П. Д. Партенского (M. Partensky and P. D. Partensky. Can a Spring Beat the Charges // The Physics Teacher. November 2004. P. 472–476). Там Q и q заменяются северными и/или южными полюсами высокопрочных магнитов. В отличие от электрического заряда Q, магнит может быть приклеен к началу координат!

КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И ВЗРыВНОЕ ПОВЕДЕНИЕ В ФИЗИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ

127

это состояние системы твердого блока / жидкого бассейна состоянием нулевой энергии, то есть это наше эталонное состояние, с которым мы будем сравнивать все остальные состояния системы блока/бассейна.

Рис. З19.3. Состояние нулевой энергии для жидкого бассейна / твердой блочной системы

Если жидкость имеет плотность ρf > ρs, мы знаем, что произойдет, если состояние нулевой энергии будет разрешено регулировать самостоятельно. Блок будет частично погружаться в  жидкость, пока он не достигнет равновесного состояния, называемого плавающим. Представьте себе деревянный блок в  бассейне с  водой. Предположим, что блок действительно погружается на расстояние a, как показано на рис. З19.4. Таким образом, потенциальная энергия одного блока будет уменьшаться. Но что происходит с вытесненной жидкостью? Каждую молекулу жидкости в бассейне можно представить себе как оставшуюся там, где она была до того, как блок частично затонул, за исключением молекул, которые были смещены, которые можно представить как равномерно распределенные по поверхности бассейна. То есть масса вытесненной жидкости повышается, и  поэтому потенциальная энергия одной только жидкости будет возрастать.

Рис. З19.4. Плавающее состояние

128

ЗАДАЧИ

Давайте теперь рассмотрим эти два изменения потенциальной энергии и  таким образом найдем новую энергию (относительно состояния нулевой энергии) плавающего состояния. Блок  – это просто. Масса блока равна Alρs, и поэтому после того, как он погружается на расстояние a в  бассейн, изменение потенциальной энергии для блока равно –Alρs ga, где g – ускорение силы тяжести. Расчет потенциальной энергии для вытесненной жидкости немного сложнее (но ненамного). Тонущий блок вытесняет объем жидкости в количестве Aa, и поэтому масса вытесненной жидкости составляет Aaρf. Центр массы вытесненной жидкости первоначально находится на глубине а (в середине вытесненного прямоугольного объема жидкости), и поэтому, когда вытесненная жидкость появляется в виде бесконечно тонкой пленки на поверхности бассейна (помните, что бассейн имеет бесконечную протяженность), вся масса жидкости находится на одном и том же возвышении и поэтому тоже является центром масс. То есть центр масс вытесненной жидкости поднялся на а, и поэтому изменение потенциальной энергии для жидкости является увеличением

Таким образом, полная потенциальная энергия U системы бассейн/блок для плавающего состояния равна

Заметьте, что U  = 0. Когда a  = 0, как и  должно быть, так как a = 0 – это то, как мы определили состояние нулевой энергии. Мы можем легко решить это уравнение энергии для a, потому что, как вы также заметите, это квадратное уравнение (и поэтому мы снова воткнули меч в грудь аргументам из письма Boston Globe):

Теперь, я думаю, мы все согласимся, что значение a должно быть реальным, поскольку нет никакого физического значения для бло-

КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И ВЗРыВНОЕ ПОВЕДЕНИЕ В ФИЗИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ

129

ка, погружающегося в  жидкий бассейн на комплексную глубину! Это означает, что число под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. То есть должно быть правдивым то, что

Поэтому абсолютно минимально возможная потенциальная энергия равна

Из-за чего наш результат сводится к

Это значение a для, по нашему критерию, минимальной потенциальной энергии относительно устойчивого плавающего состояния становится, если мы умножим его на Agρf, Aaρf g = Alρs g = Alρs, но левая сторона – это вес вытесненной жидкости, а правая сторона – вес блока. То есть наш принцип минимальной потенциальной энергии для стабильного состояния привел нас непосредственно к знаменитому результату Архимеда. Подводя итог: если U(x) – потенциальная энергия физической системы, то для равновесного состояния этой системы при x = x∗ мы найдем, что

в то время как

Теперь вернемся к системе заряда/пружины.

130

ЗАДАЧИ

Поскольку энергия пружины задается электрического поля1 задается

c1(x – x0)2, а  энергия

, то для нашей задачи (уста-

новка x0 = 1 и c2Q = c1) имеем:

Следовательно,

и , когда

при таких значениях x, что q = x2(x – 1). Другими

то есть словами,

при тех же значениях x, которые являются равно-

весными состояниями системы. Теперь завершите анализ, вычислив

в равновесных состояниях x = x1, x = x2 и x = x3.

1 Энергия пружины найдена путем вычисления интеграла работы (энергии) |∫Fdx|, где F  = c1(x – x0). Энергия электрического поля найдена

путем вычисления интеграла работы (энергии)

, где

. Условно мы представляем себе, что q переносится в электрическом поле Q из плюс бесконечности в его положение на левом конце пружины. Знак минус дает положительную энергию, когда q > 0 транспортируется через отталкивающее поле Q > 0.

КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И ВЗРыВНОЕ ПОВЕДЕНИЕ В ФИЗИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ

131

Пружины могут быть смертельными Может показаться, что обсуждение пружин больше относится к области техники, чем физики, но пружины могут помочь математическим физикам понять захватывающую природу того, что называют взрывами кинетической энергии. Взрыв кинетической энергии происходит, когда очень высокоскоростная масса (например, астероид) внезапно останавливается. Например, если бы мы скатили астероид в океан, все, что произошло бы, было бы большим всплеском, и просто много воды переместилось в  другое место. Однако если тот же самый астероид упадет в океан со скоростью 20 000 м/с, мы получим мощную детонацию, которая легко затмит взрыв самой большой водородной бомбы во много раз. Разница в том, что когда вода скатывается в океан, она просто течет от скалы и вокруг нее. Но камень, движущийся со скоростью 20 км/с, ударяется так быстро, что вода просто не может двигаться достаточно быстро, чтобы уйти с пути, – вместо этого молекулярные связи воды буквально сжимаются (как маленькие пружины), сохраняя кинетическую энергию астероида, когда он останавливается. Затем эти пружины отскакивают, высвобождая всю кинетическую энергию астероида в субмикросекундное мгновение. (Высвобождение энергии за столь короткое время характерно для ядерных взрывов: химические взрывы происходят в тысячу и более раз медленнее.) И это может быть очень много кинетической энергии. Астероид, который ударил Землю 65 млн лет назад, например тот, который убил динозавров, по оценкам, был 10 км в диаметре (представьте, что он стоит рядом со сферической скалой, вершина которой находится на высоте 10 000 м в небе!) и высвободил энергию, эквивалентную 100 млн мегатонн тротила. Для сравнения: самый большой ядерный испытательный взрыв, когда-либо происходивший, был от российского устройства, запущенного в 1955 г., и, по оценкам, произвел «простой» взрыв в  50 мегатонн. Даже гораздо меньшее тело, чем «убийца динозавров», может произвести огромный взрыв: метеоритный кратер в  Аризоне был создан 50 000 лет назад массой всего 50 м в диаметре, но он произвел взрыв кинетической энергии около 29 мегатонн. Все это из-за сжатых пружин. Гораздо больше о физике столкновений астероидов вы можете прочитать в  увлекательной книге Дэвида Шонтинга и  Кэти Эзраилсон (David Shonting and Cathy Ezrailson) Chicxulub: the Impact and Tsunami (The Story of the Largest Known Asteroid to Hit the Earth. Springer, 2017).

132

ЗАДАЧИ

Задача 20 Еще одно кубическое уравнение, вдохновленное Жюлем Верном В предыдущей задаче вы столкнулись с кубическим уравнением, возникающим в  электрофизической ситуации, а  здесь я  покажу вам кубическое уравнение, возникающее в гравитационной обстановке. Эти два физических явления поразительно различны (электрические заряды могут как притягиваться, так и отталкиваться, в то время как массы всегда притягиваются) и  одновременно похожи (электрические и  гравитационные силы подчиняются законам обратных квадратов). Из-за центральной темы этой книги я сосредоточусь здесь только на физике, но не думайте, что математики устали от кубических уравнений только потому, что они были решены столетия назад. Кубические уравнения, по сути, все еще находятся в сердце некоторых основных вопросов, с  которыми математики бьются прямо сейчас, пока вы это читаете1. Но вернемся к  физике. Как заметил автор одной недавней статьи, часто упоминаемой задачей в учебниках физики для первокурсников является вычисление местоположения в  пространстве между двумя точечными массами, где чистая гравитационная сила на так называемую тестовую массу равна нулю2. Этот вопрос обычно возникает без какой-либо мотивации, кроме как упражнения в  законе обратных квадратов для всемирного тяготения. Профессор Лима (примечание 2) упоминает, что иногда студенты предполагают, что такая вещь (противоположные гравитационные силы Земли и Луны) может объяснить, почему астронавты на орбите невесомы, но он быстро откладывает эту ошибочную идею. (Правильное объяснение того, почему мы иногда видим астронавтов в вечерних новостях, плавающих на международной космической станции, заключается в том, что внутренняя гравитационная 1 См. Barry Cipra. Fermat Prover Points to Next Challenges // Science. March 22, 1996. Там вы найдете некоторое обсуждение продолжающихся загадок того, что называется эллиптическими кривыми, описываемыми кубическими уравнениями вида y2 = x3 + Ax + B, где A и B – целые числа. Главный вопрос заключается в том, имеет ли при заданных A и B такое уравнение рациональные решения для x и y? 2 F. M. S. Lima. Where Else Is Null the Gravitational Field Between Two Massive Spheres? // European Journal of Physics. July 2009. Р. 785–792.

ЕщЕ ОДНО КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, ВДОХНОВЛЕННОЕ ЖюЛЕМ ВЕРНОМ

133

сила, обусловленная землей, просто равна внешней «центробежной силе» на астронавте, когда он/она путешествует по круговой орбите1.) Однако задолго до настоящих космических путешествий существует литературная мотивация для вычисления положения места, где гравитация между двумя массами исчезает, мотивация, о которой профессор Лима не упоминает: чудесный фантастический роман 1865 г. «С Земли на Луну» французского пионера научной фантастики Жюля Верна (Jules Gabriel Verne, 1828–1905). Там он познакомил своих читателей с поразительной для того времени концепцией невесомого космического путешественника, возникшей в результате отмены противоположных гравитационных сил. Как представлял себе Верн, после того как сказочная 900-футовая пушка взорвала свой заряд в 200 тонн гункоттона, чтобы взорвать пилотируемую капсулу в космос с начальной скоростью 12 000 ярдов в секунду (6,8 мили в секунду) по направлению к Луне, капсула в конечном итоге достигнет момента, когда притяжение Луны точно уравновесит притяжение Земли, то есть на 47/52 (0,9038) ее пути. В это мгновение снаряд не будет иметь никакого веса2 [мой акцент]. Верн стремился к  правдоподобию в  своих рассказах, включая огромное количество технических деталей, большая часть которых была точна (особенно математика). Я не знаю конкретных деталей того, как Верн пришел к  соотношению 47/52, но нетрудно показать, что значение этой доли довольно близко к правильному значению. На рис. З20.1 мы видим капсулу Верна (с массой μ) на расстоянии p от центра Земли (с центром Луны на расстоянии d). Теперь мы делаем предположение, что μ находится в пространстве 1 Мое употребление слова «центробежный» заставит многих физиков заскрежетать зубами. Они скажут, что я вместо этого должен сказать, что гравитационная сила Земли – это центростремительная сила (centripetal force), которая объясняет ускорение астронавтов, когда они буквально «падают вокруг Земли» по круговой орбите. 2 Из ответа на первый вопрос в  главе 4 романа: «ответ от обсерватории Кембриджа». Когда Верн пишет «о расстоянии», не понятно, имеет ли он в виду центр к центру или поверхность к поверхности. Но поскольку радиус Земли равен 4000 миль, а Луны – 1000 миль, в то время как Луна находится на расстоянии около 240 000 миль, то не важно, как вы его измеряете, различие на самом деле является лишь вопросом пары процентов или около того.

134

ЗАДАЧИ

между Землей и Луной (а не внутри любой из них), и поэтому мы можем использовать открытие Ньютона, что вне сферически симметричной массы гравитация такая же, как если бы вся масса была сосредоточена в центре сферы. (Я расскажу об этом позже в данной дискуссии.) Так как масса Земли в 81 раз больше массы Луны1, то, установив две (противоположно направленные) гравитационные силы на исследуемую массу μ равными, мы имеем (с M как массой Луны) и G как универсальную постоянную гравитации2:

или .

μ

Рис. З20.1. Между Землей и Луной при нулевой гравитации

И таким образом,

что сразу приводит к 

Это значение довольно близко к верновскому 0,9038. Пять лет спустя (в  1870) Верн написал продолжение «Вокруг Луны», которое поднимает историю капсулы после выстрела, т. е. с того места, где «От Земли до Луны» заканчивается. В этом про1 Откуда мы это знаем? Cм. мою книгу Mrs. Perkins’s Electric Quilt (Princeton University Press, 2009, р. 175–179). 2 Подробнее о G см. Mrs. Perkins’s Electric Quilt (примечание 5), стр. 136– 140.

ЕщЕ ОДНО КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, ВДОХНОВЛЕННОЕ ЖюЛЕМ ВЕРНОМ

135

должении больше говорится о  невесомости, но по какой-то причине Верн изменил соотношение p к d на 47 к 60 = 0,7833. Почему, я не знаю. В книге «Вокруг Луны» Верн неверно описал точку невесомости, в которой капсула может оказаться навечно захваченной в ловушку1. Верн упустил тот факт, что точка нулевой гравитации является точкой неустойчивого равновесия: малейшее возмущение капсулы увеличило бы это возмущение еще больше за счет гравитационного притяжения массивной сферы, к  которой она изначально двигалась. Но какое отношение все это имеет к  кубическим уравнениям, спросите вы. Ну, если бы Верн изучил гравитационную силу между двумя массивными сферами чуть более подробно, он бы столкнулся с  кубическим уравнением. Чтобы увидеть это, посмотрите на рис. З20.2, на котором показаны две сферы масс M и m с радиусами R и r соответственно, с расстоянием между их центрами d (где d > R + r). Точка P на линии, соединяющей два центра, находится там, где гравитационная сила на тестовых массах просто уравновешивается из-за M гравитационной силой на тестовой массе изза m. Вопрос в том, где находится P?

Рис. З20.2. Нулевая гравитационная сила в точке P

Если мы установим центр M в x = 0, а P в x = X, то

1

См. пункт 3 в главе 8 «На расстоянии 78 114 лье от Земли», где Верн пишет, что в точке невесомости между Землей и Луной она [капсула] навсегда останется подвешенной в этом месте. Люди в капсуле Верна могли, однако, легко внести спасительное возмущение, просто выпустив немного воздуха (как они и  поступили, когда выбросили тело одной из своих собак, убитых ударом от выстрела ракетой с Земли).

136

ЗАДАЧИ

Решая для X, получаем:

Это решение для X появляется так быстро, что им легко обмануться и слепо принять его (с благодарностью за расчет без боли!). Увы, есть тонкий недостаток: если значение X таково, что либо X < R, либо X > d − r, то есть если x таково, что P лежит внутри либо M, либо m, то наше уравнение просто недействительно. Результат справедлив как для M и m как точечных масс, но и для пространственно протяженных сферических масс с ненулевыми радиусами, когда гравитационные силы на тестовой массе падают как обратный квадрат только за пределами сфер. Чтобы помочь вам понять физику этого, я напомню вам о двух так называемых превосходных теоремах Ньютона, которые появляются в его «Математических началах натуральной философии» (1687). Я  буду обсуждать теоремы в терминах одной сферы с  радиусом R, а переменная x в этом материале будет расстоянием от центра этой сферы. В «Математических началах» Ньютон показал, что равномерно плотная сфера массы M и радиуса R действует точно так же, как точечная масса с  массой сферы, сосредоточенной в центре сферы, когда она взаимодействует с другими массами на расстоянии x ³ R от центра сферы. (Что происходит, когда x < R, мы рассмотрим чуть позже.) Столь же ошеломляющим результатом было открытие Ньютона, что гравитационная сила на точечную массу внутри полой сферической оболочки материи, независимо от того, где внутри оболочки может находиться точечная масса, равна нулю. Эти два результата были разработаны Ньютоном в геометрических доказательствах с некой математической ловкостью, но сегодня они универсально доказаны в физике первокурсников с использованием исчисления первокурсников1. Теперь, поскольку вторая превосходная теорема Ньютона гласит, что гравитационная сила на тестовую массу внутри тонкой сферической оболочки однородной плотности равна нулю, то по мере того, как тестовая масса опускается внутрь твердой сферы материи однородной плотности (в более общем случае плотность может изменяться до тех пор, пока она сферически симметрична), обратная 1

См., например, Mrs. Perkins’s Electric Quilt (примечание 5), стр. 140–147.

ЕщЕ ОДНО КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, ВДОХНОВЛЕННОЕ ЖюЛЕМ ВЕРНОМ

137

квадратичная гравитационная сила, которую испытывает тестовая масса, зависит только от материи, все еще находящейся под ней. Материя, находящаяся над ней (сферическая оболочка, через которую она прошла), не вносит никакого вклада в гравитационную силу на ней. Таким образом, для сферы с радиусом R и плотностью ρ гравитационная сила на тестовой массе μ изменяется с x как

Так как

то .

Поверхность сферы

Рис. З20.3. Ускорение свободного падения внутри и снаружи однородной плотности, сплошной сферы радиуса R и массы M

И таким образом:

138

ЗАДАЧИ

Поэтому

Запишем g(x) как ускорение свободного падения для тестовой массы, расстояние x  – от центра сферы. Поскольку знаменитое уравнение Ньютона F = ma говорит, что то

F(x) = μg(x),

Рисунок З20.3 показывает, как g(х) зависит от x (заметьте, в частности, что g(х) имеет максимальное значение на поверхности сферы).

Поверхность M

Поверхность m

Рис. З20.4. Есть три места, где гравитация исчезает (между M и m, внутри M и внутри m), когда максимальное ускорение из-за m (на поверхности m) больше, чем ускорение из-за M на поверхности m

ЕщЕ ОДНО КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, ВДОХНОВЛЕННОЕ ЖюЛЕМ ВЕРНОМ

139

Хорошо, давайте теперь вернемся к  двум сферам рис.  З20.2 с массами M и m (и радиусами R и r соответственно), с разделением центра к центру d. Ускорение силы тяжести на расстоянии x от центра массы M, зависящее от M, равно

и ускорение силы тяжести на расстоянии d – x от центра массы m, зависящее от m:

Наложение графиков этих выражений для gm и gM быстро показывает возможности нулевой гравитации для точек (см. рис. З20.4 и З20.5).

Поверхность M

Поверхность m

Рис. З20.5. Есть одно место, где гравитация исчезает (внутри M), когда максимальное ускорение из-за m (на поверхности m) меньше, чем ускорение из-за M на поверхности m

140

ЗАДАЧИ

Мы знаем, что внутри M всегда есть точка нулевой гравитации, и хотим вычислить ее местоположение. Мы устанавливаем значение gM внутри M равным значению gm снаружи m. Таким образом:

что сводится к кубическому уравнению

Мы ищем решение для x < R. Если вместо этого, например, мы знаем, что точка нулевой гравитации находится внутри m, мы устанавливаем значение gM снаружи M равным значению gm внутри m. Тогда

что также сводится к кубическому уравнению:

и мы ищем решение x > d – r. Это достаточно простой вызов вашему уму. Покажите, что если две массивные сферы едва соприкасаются, то точка невесомости находится в точке контакта, если

Подсказка: едва сопри-

касаются означает, что d = R + r. А вот немного более сложный вызов: покажите, что если и 

то эти два условия вместе под-

разумевают, что две сферы едва соприкаются. Для третьей задачи предположим, что были открыты две новые планеты, каждая из которых имеет ту же среднюю плотность ρ, что и Земля. Пусть M, R и g обозначают массу Земли, радиус и поверхностное ускорение силы тяжести соответственно. Если одна из новых планет имеет вдвое большую массу Земли, а другая – вдвое большую площадь поверхности Земли, вычислите ускорение силы тяжести на поверхности каждой из новых планет. Теперь, с этими

ЕщЕ ОДНО КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, ВДОХНОВЛЕННОЕ ЖюЛЕМ ВЕРНОМ

141

последними двумя расчетами в качестве разминки, вот связанный с ними вопрос из современной научной истории. В апреле 2017 г. астрономы объявили об открытии скалистой (то есть твердой) планеты, вращающейся вокруг звезды в  созвездии Кита (Cetus constellation), примерно в  39 световых годах от Земли. Это было интересно, потому что планета находится в так называемой «зоне обитаемости»1 (то есть на поверхности планеты не слишком жарко и не слишком холодно, и поэтому вода может существовать в жидком состоянии, что считается необходимым для развития жизни). Планета имеет диаметр на 40 % больше, чем у Земли, и массу в 6,6 раза больше, чем у Земли. Сколько будет весить 150-фунтовый астронавт на этой планете? (Это примерно 70 кг.) Наконец, вот вам сложный вопрос с довольно интересным практическим выводом. Иногда утверждается, что путешествие с Земли на Луну значительно облегчается помощью, получаемой от гравитации Луны. Так ли это? Вот расчет, который позволит вам изучить это утверждение. Поскольку радиус Земли составляет 4000  миль (назовем его R), и если мы возьмем расстояние от центра до центра между Землей и Луной как 240 000 миль, это расстояние равно 60R. Как показано в тексте, положение точки невесомости Верна (в «от Земли до Луны») составляет 0,9(60R) = 54R от центра Земли. Теперь представьте себе массу μ (пилотируемая капсула Верна), перемещенную с поверхности Земли (x = R) в точку невесомости (x = 54R). Пусть E1 – энергия, необходимая для совершения этого путешествия против гравитационного притяжения Земли. Пусть E2 – энергия, полученная μ от гравитационного притяжения Луны во время этого путешествия. Вычислите числовое значение

.

Используйте тот факт, что если масса Земли равна M, то масса Луны равна

M.

Подсказка 1: интегралы гравитационной энергии равны . То есть и E1, и E2 положительны.

1

Иногда также называется зоной Златовласки, от англ. Goldilocks Zone, отсылающей к сказке про Златовласку. В нашем фольклоре она известна как «Три медведя». Суть в том, что девочка пробует разные предметы, и то один слишком большой, то слишком маленький, и т. д. И только один из них – в самый раз.

142

ЗАДАЧИ

Подсказка 2: относительно Луны путешествие (измеренное от центра Луны) составляет от 59R до 6R. Учитывая ваш результат, как бы вы ответили на утверждение, что гравитация Луны является значительной помощью в поездке с Земли на Луну?

Задача 21 За пределами кубического: квартирные уравнения, скрещенные лестницы, подводные ракетные пуски и уравнения пятой степени До сих пор все алгебраические уравнения, с которыми мы сталкивались, были второй степени (квадратичные) или третьей степени (кубические). Как насчет уравнений четвертой степени? А как насчет уравнения пятой степени? Нужна ли странная, причудливая физическая ситуация, чтобы нечто подобное появилось в анализе? Ну, конечно … нет. Позвольте мне начать с чисто математического примера в обычной физической ситуации, которая, должно быть, происходит ежедневно где-то на Земле. А затем я покажу вам более прямые физические иллюстрации того, как уравнения четвертой и пятой степеней могут появиться естественным образом. Представьте себе две лестницы длиной m = 20 футов и n = 30 футов, расположенные так, что они пересекают друг друга через полосу шириной w, образованную двумя стенами (см. рис.  З21.1). Каждая лестница тянется от основания стены до некоторой точки на противоположной стене. Точка, в  которой они пересекаются, находится на высоте H = 8 футов над землей. Насколько широка полоса движения (то есть что такое w)? Чтобы начать наш анализ, заметим, что у нас есть две пары подобных треугольников: (ABE/ACD) и (BCE/ACF). Это позволяет нам писать с помощью теоремы Пифагора:

и

КВАРТИРНыЕ УРАВНЕНИЯ, СКРЕщЕННыЕ ЛЕСТНИЦы, ПОДВОДНыЕ РАКЕТНыЕ ПУСКИ

143

Рис. З21.1. Две лестницы через дорогу

А теперь добавим эти два уравнения друг к другу:

или

Далее запишем y для высоты, при которой 20-футовая лестница (m) касается стены. То есть давайте определим

как длину АF. Это значит, что w2 = m2 – y2, и поэтому предыдущее уравнение превращается в  , или

144

ЗАДАЧИ

Теперь, возведя это в квадрат и собрав одинаковые члены, мы получим уравнение четвертой степени: y4 – 2Hy3 + (n2 – m2)y2 – 2H(n2 – m2)y + H2(n2 – m2) = 0. Вставив заданные значения для m, n и H, мы имеем, возможно, испугаемся: y4 – 16y3 + 500y2 – 8000y + 32 000 = 0. Как нам решить что-то подобное для y? Если мы можем это сделать, то w немедленно последует из решения, так как . Фактически можно найти формулу для решения любого уравнения четвертой степени в терминах радикалов, включающих только коэффициенты уравнения, так же, как это имеет место для квадратичных и  кубических уравнений. Такая формула для уравнений четвертой степени была найдена в  1540  г. итальянским ученым Людовико Феррари (Lodovico Ferrari, 1522–1565)1. Однако я  готов сделать свою стандартную ставку в  5 долларов, что ни один математический физик не использует такую формулу для решения уравнения четвертой степени, с которым он только что столкнулся; использование компьютера – вот гораздо более привлекательный подход. Вот один из способов сделать это. Из уравнения в рамке мы имеем:

И таким образом: ,

или возведя в квадрат обе стороны и решая для w с точки зрения самого себя:

1

В 1826 г. Абель (см. начало задачи 12) показал, что такой формулы не существует для алгебраических уравнений пятой степени или выше.

КВАРТИРНыЕ УРАВНЕНИЯ, СКРЕщЕННыЕ ЛЕСТНИЦы, ПОДВОДНыЕ РАКЕТНыЕ ПУСКИ

145

Теперь мы просто повторяем одно и то же. То есть мы начинаем с начальной догадки для w (поскольку очевидно, что w меньше m = 20, я начну с w = 10), подключаем эту догадку к правой части нашего последнего уравнения и вычисляем новую w с левой стороны. Затем мы продолжаем повторять процесс, пока не увидим, что наша последовательность вычисленных значений w сходится к очевидному пределу. В этом случае мы очень быстро найдем, что w = 16,21 фута (примерно 4,94 метра)1. Вы можете проверить это значение, используя его для вычисления y (= 11,71 фута), а затем подключить это значение к исходному уравнению четвертой степени от y и увидеть, что оно действительно работает. Ну, эта проблема была, по общему признанию, более математической, чем физической, поэтому позвольте мне далее показать вам, как уравнение четвертой степени возникает в том, что бесспорно является физической проблемой. С  этой проблемой мы возвращаемся (духовно) к задаче 1, где надо было бросить снаряд, но теперь мы бросаем его с неожиданным поворотом: начальная часть броска находится под водой! См. рис. З21.2: вот что мы имеем. Нейтрально плавучий снаряд запускается под водой из пневматической пушки на глубине d, с  начальной скоростью v0, под углом θ относительно горизонтали. При движении вверх по направлению к поверхности снаряд испытывает силу сопротивления воды, прямо пропорциональную его мгновенной скорости. Какой угол θ даст снаряду его максимальную дальность R (измеренную от точки пуска)? По закону Архимеда (выведенному в задаче 19 с использованием принципа минимальной энергии) нейтрально плавучий объект вытесняет объем воды, весом равный весу снаряда на суше. Это означает, что если объект просто поместить в какую-то точку под водой, то он останется в этой точке; чистая сила на него (сила тяжести вниз и  плавучесть вверх) равна нулю, поскольку эти две 1 Небольшой эксперимент показывает, что сходимость к этому значению для w идет независимо от того, какое значение w используется для запуска итерации.

146

ЗАДАЧИ

силы взаимно уравновешиваются. (Это, возможно, несколько искусственное условие, но оно позволит нашему анализу быть менее беспорядочным, чем это было бы в противном случае.) Поскольку единственной силой, действующей на снаряд во время подводного участка его траектории, является сопротивление воды, действующее в  противоположность его движению, то это движение будет представлять собой прямую линию, как показано на рис.  З21.2 (h обозначает максимальную высоту снаряда). Однако как только снаряд пробьет поверхность воды, в игру вступит гравитация.

d cot(θ) θ

Поверхность воды

θ

Рис. З21.2. Старт подводного снаряда

Пусть m, v и a обозначают массу, мгновенную скорость и ускорение снаряда соответственно, находясь под водой. Затем, с  некоторой константой c, если мы используем s для измерения подводного расстояния вдоль прямой траектории снаряда, мы можем написать:

где –cv – сила сопротивления (знак минус – это сопротивление). Так как

КВАРТИРНыЕ УРАВНЕНИЯ, СКРЕщЕННыЕ ЛЕСТНИЦы, ПОДВОДНыЕ РАКЕТНыЕ ПУСКИ

147

затем по цепному правилу дифференциального исчисления из багажа знаний первокурсников:

И таким образом: , или

Это легко интегрируется, если заметить, что v = v0, когда s = 0, и v = v1 (скорость снаряда, когда он пробивает поверхность), когда s =

. Таким образом,

или

То есть теперь мы имеем запуск снаряда с начальной скоростью v1 под углом θ, где Последующее движение снаряда будет, конечно, теперь представлять собой параболическую дугу, если мы игнорируем (как мы и будем делать) сопротивление воздуха.

148

ЗАДАЧИ

По рис. З21.2 видно, что во время подводного движения снаряд проходит горизонтальное расстояние d(θ). Теперь давайте договоримся измерять время от t  = 0, когда снаряд выходит из воды под углом θ с горизонтальной и вертикальной скоростями v1cos(θ) и v1sin(θ) соответственно. Таким образом, горизонтальное расстояние, пройденное за время t, равно v1tcos(θ). Вертикальная скорость в момент времени t равна v1sin(θ) – gt (где, конечно, g – ускорение свободного падения). Снаряд находится на своей максимальной высоте h, когда вертикальная скорость равна нулю, и  это происходит в момент времени

Далее, по симметрии, снаряд попадает в воду во время , после того как пройдет горизонтальное расстояние

Таким образом, горизонтальное расстояние, пройденное с момента запуска (то есть дальность полета снаряда), будет

Или так как , у нас получится следующее: .

КВАРТИРНыЕ УРАВНЕНИЯ, СКРЕщЕННыЕ ЛЕСТНИЦы, ПОДВОДНыЕ РАКЕТНыЕ ПУСКИ

149

Чтобы найти угол запуска θ, который максимизирует R, мы уста-

навливаем

 = 0. Тогда

Теперь у нас есть cos(2θ) = 1 – 2sin2(θ) и sin(2θ) = 2 sin(θ)cos(θ), поэтому

Тогда

или

что на данный момент явно является уравнением четвертой степени для sin(θ). Возможно, это все, что нам нужно сделать в данной задаче (если вы не настоящий любитель пробиваться сквозь математические джунгли). Чтобы продолжить анализ дальше, это правильное место (на мой взгляд), дабы вставить числовые значе-

150

ЗАДАЧИ

ния для g, d, c, v0 и m, а затем решить уравнение четвертой степени численно для sin(θ) (и тогда же для θ). Я оставляю это для вас – поиграйтесь с этим. Чтобы изучить физическую систему, которая порождает уравнения пятого уровня, мы переместимся в космическое пространство. Представьте себе два массивных тела, одно из которых намного больше другого (подумайте о Солнце и Земле), которые гравитационно взаимодействуют, – например, Земля, вращающаяся вокруг Солнца. Легко вычислить орбитальный период T Земли следующим образом. Запишем массу Солнца как M1, массу Земли как M2, а расстояние между их центрами масс как R. Орбита Земли почти круговая, и поэтому если ее орбитальная скорость равна v, то центростремительное ускорение Земли равно

Это означает, что сила, необходимая для обеспечения этого ускорения, равна

Эта сила обеспечивается, конечно, силой притяжения, которая определяется как

где G – так называемая гравитационная постоянная (которую нам не нужно знать для нашего анализа). Тогда

Это легко решается, и  в  итоге мы получаем орбитальную скорость Земли как

КВАРТИРНыЕ УРАВНЕНИЯ, СКРЕщЕННыЕ ЛЕСТНИЦы, ПОДВОДНыЕ РАКЕТНыЕ ПУСКИ

151

Поскольку длина орбитального пути равна 2πR, незамедлительно выводится период орбитального вращения:

Теперь представьте себе линию, соединяющую центры Земли и  Солнца, как показано на рис.  З21.3. На рисунке также показана очень малая масса m (небольшая по сравнению с М2, которая, в свою очередь, мала по сравнению с М1) также на линии, соединяющей М1 и М2, на расстоянии r от М2. Эйлер обнаружил в 1760 г., что существует значение для R такое, что орбитальный период m равен периоду обращения М2. (Эйлер также обнаружил, что есть две дополнительные такие точки на линии, соединяющей М1 и М2, – вы можете увидеть, где они находятся?) Через несколько лет после того, как Эйлер открыл свои три точки, франко-итальянский математический физик Жозеф Лагранж (Joseph Lagrange, 1736–1813) обнаружил (в 1772 г.) еще две такие точки вне линии М1/М2, в общей сложности пять местоположений, теперь совместно называемых точками Лагранжа (обычно обозначаемыми L1–L5). Масса m на рис. З21.3 находится в точке L1. Вот как вычислить r для L1.

Рис. З21.3. Массa m вращается вокруг М1 синхронно с М2

Чистая гравитационная сила, действующая на m, направленная внутрь к Солнцу (М1), равна

Полагая эти силы равными центростремительной силе на m, при этом назвав орбитальную скорость m vm, получим следующее:

152

ЗАДАЧИ

Что, как вы можете сами подтвердить, дает

Длина орбитального пути m равна 2π(R − r), и поэтому, если орбитальный период m равен тому, что и земли, T, мы имеем:

Что, как вы можете сами подтвердить (используя совсем легкую алгебру, на использование которой мне хотелось бы вас вдохновить), дает М1r2(R – r)3 = r2R3М1 – М2(R – r)2R3. По проверке это оказывается уравнением пятой степени для r, то есть уравнением, для которого нет общей формулы (см. примечание 1 еще раз). В общем случае, чтобы решить это уравнение относительно r, учитывая значения М1 и  М2, требуется вычислительная атака, но в случае когда М2 ≪ М1 (случай Земли/Солнца), мы ожидаем, что r ≪ R. Если вы сделаете это приближение, то совсем не сложно показать, что

Посмотрим, справитесь ли вы с этим сами. Точка Лагранжа L1 драматично появляется в  научно-фантастическом романе 2005  г. «Солнечная буря» Артура Кларка (Arthur C. Clarke) и Стивена Бакстера (Stephen Baxter), в котором она является местом расположения огромного отражательного щита, предназначенного для спасения Земли от огромного взрыва энергии от Солнца (взрыв, предсказанный на несколько лет вперед). При

ПОБЕГ ОТ АТОМНОГО ВЗРыВА: ПОЧЕМУ УЦЕЛЕЛ ENOLA GAY

153

соотношении массы Солнца и Земли в 330 000 и R = 93×106 миль L1 равна

от центра Земли. В  романе говорится, что местоположение L1 «примерно в  четыре раза больше расстояния до Луны», что правильно (хотя соотношение массы Солнца и Земли неверно указано как 1 млн, это значение на самом деле является соотношением их объема). Теперь вот задача  – вызов для вас. Если уравнение четвертой степени имеет особую структуру, то оно иногда может быть решено аналитически без использования общей формулы для уравнений такого рода. Тривиальным примером этого будет x4 + ax2 + b = 0, который является просто квадратичным уравнением, пусть и тонко замаскированным (пусть y = x2). Гораздо интереснее что-то вроде x4 + ax3 + b x2 + ax + 1 = 0. Найдите все четыре решения для a и b. Подсказка: разделите на x2 (что допустимо, потому что x = 0, очевидно, не является решением, поскольку тогда 1 = 0), а затем сделайте замену

Задача 22 Побег от атомного взрыва: почему уцелел Enola Gay Со всей этой математикой более высокого уровня в последних нескольких задачах вы, думаю, начали немного ностальгировать по квадратным уравнениям. Если так, то вот вам некоторое облегчение. Когда исправленное издание в мягкой обложке моей книги 2007 г. Chases and Escapes: The Mathematics of Pursuit and Evasion (Princeton University Press) было опубликовано в 2012 г., оно включало дополнительный раздел, не входящий в  версию в  твердом переплете. В этом разделе я представил обсуждение того, как знаменитый бомбардировщик Второй мировой войны B-29 Enola Gay избежал (едва-едва) взрывной волны атомной бомбы «Малыш»,

154

ЗАДАЧИ

которую он сбросил менее чем за две минуты до этого на город Хиросима в Японии утром 6 августа 1945 г. Как стало ясно из этого обсуждения, в то время вовсе не было очевидно, что такой побег вообще возможен. Люди, совершившие первую в истории миссию по атомной бомбардировке, очень рисковали – и они это знали. Уверенность в том, что они смогут выжить, была в  значительной степени данью солидной репутации баллистической группы Лос-Аламосского артиллерийского отдела инженерного округа Манхэттена (так назывался американский проект атомной бомбы). Баллистическая группа тщательно рассчитала, что Enola Gay должна сделать после того, как выпустит бомбу; абсолютных гарантий, конечно, не было, но если предположить, что можно вообще улететь от ядерного взрыва, то рекомендации баллистической группы имели вполне правдоподобный шанс дать команде самолета с этим справиться. Я не буду повторять здесь этот подробный анализ (он находится на страницах xviii–xxvi издания Chases and Escapes в мягкой обложке), но вот его краткое изложение. Пролетев прямо в направлении Хиросимы на высоте 31 600 футов со скоростью 328 миль в  час (481 фут в секунду), Enola Gay выпустила бомбу в момент времени t  = 0 (точка A на рис.  З22.1). Одновременно с  выпуском оружия пилот Enola Gay перевернул большой самолет почти буквально на правый край крыла и, слегка пикируя, чтобы увеличить скорость до 350 миль в час (513 футов в секунду), начал выполнять круговой разворот радиусом R  = 4720 футов, удаляясь от Хиросимы1. Тем временем бомба продолжала свой нисходящий путь, падая прямо на Хиросиму, пока, при t  = 43 с, она не взорвалась в  точке  B на рис. З22.1, на высоте 1900 футов над городом. Расстояние до земли, пройденное падающим оружием, от выстрела в точке А до взрыва в точке B, составляло 19 600 футов. В момент детонации сверхзвуковая ударная волна, движущаяся со скоростью 1200 футов в  секунду, начала свой обратный путь к спасающейся Enola Gay, которая в момент детонации находилась в точке Е.

1 Это, возможно, любопытное значение для радиуса поворота разработано в книге Chases and Escapes и связано с g-силами, испытываемыми самолетом и его экипажем.

ПОБЕГ ОТ АТОМНОГО ВЗРыВА: ПОЧЕМУ УЦЕЛЕЛ ENOLA GAY

155

Положение Enola Gay в момент детонации

Конец точки поворота

Выходящий Enola Gay

α Точка детонации бомбы (Хиросима)

α

β

β

Входящий Enola Gay

Выпуск бомбы и начало точки поворота

Рис. З22.1. Побег Enola Gay

Очевидно, что шансы Enola Gay пережить ударную волну были бы лучше, если бы самолет находился как можно дальше от места взрыва. Таким образом, баллистическая группа сообщила пилоту, что после начала разворота он должен продолжать поворачивать самолет до тех пор, пока не достигнет точки С, где Enola Gay будет лететь прямо от точки B (это будет тогда, когда общий угол поворота, 2β на рис. З22.1, достигнет 153°). В тот момент, когда он достигнет точки C, пилот должен был выровняться из поворота, а затем продолжить полет прямо от Хиросимы так быстро, как только могла идти Enola Gay (жми на газ, педаль в пол!). Анализ маневра этого побега, как указано в Chases and Escapes, рассчитал наклонную дальность от точки детонации до Enola Gay, когда ударная волна достигнет 63 600 футов, или около 12 миль. В  то время как пилот позже сообщил: «Мы были в  одиннадцати с половиной милях наклонной дальности от атомного взрыва»1. Не так уж плохо для разницы между теорией и экспериментом. Ну, все это было хорошим расчетом, но как только он был сделан и написан для нового издания Chases and Escapes, я перешел к другим вопросам. Ну, то есть я делал это до тех пор, пока в сентябре 2015 г. не получил электронное письмо от г-на М. Р. Бхаска1

Paul Tibbets. How to Drop an Atom Bomb // The Saturday Evening Post. June 8, 1946.

156

ЗАДАЧИ

ра (M. R. Bhaskar), авиационного инженера в Хайдарабаде, Индия. В частности, он написал: «Я не понял, почему траектория побега [должна быть на 153°]. Если мы предполагаем, что ударная волна сферически симметрична … разве поворот на 90° не должен работать так же хорошо?» Я ответил на это модифицированным анализом, который показал, что поворот на 90° поместил бы Enola Gay на 10 000 футов (в наклонном диапазоне) ближе к детонации в момент прибытия ударной волны. Но письмо г-на Бхаскара действительно подняло довольно интересный вопрос: откуда мы действительно знаем, что 2β = 153° был лучшим углом поворота? У него есть психологически приятная особенность, в  момент заключительного этапа побега, когда самолет летит прямо от взрыва, но может ли быть какой-то другой угол, который достиг бы еще большего разделения наклонной дальности? Чтобы изучить этот вопрос, рассмотрим рис. З22.2, на котором показано, как Enola Gay поворачивается под общим углом θ, а затем летит по прямой траектории. Положение Enola Gay, когда ударная волна достигает его

t = 43 – t1 (положение Enola Gay во время взрыва бомбы) Центр поворота (х = 0, y = 0) Конец поворота t = t1

Хиросима

19 600 футов

θ

R = 4720 футов

Начало поворота t = 0

Рис. 22.2. Маршрут полета Enola Gay с поворотным углом θ в радианах (не в реальном масштабе)

Как и на рис. З22.1, назовем центром поворотного круга D, который мы зададим как начало прямоугольной системы координат x и y. Таким образом, координаты D равны x = 0, y = 0, а координаты точки выпуска оружия (A) равны x = 0, y = −R = –4,720 (все расстоя-

ПОБЕГ ОТ АТОМНОГО ВЗРыВА: ПОЧЕМУ УЦЕЛЕЛ ENOLA GAY

157

ния указаны в футах) в момент времени t = 0. Хиросима находится на 1900 футов ниже точки детонации бомбы, которая, в свою очередь, находится на 29 700 футов ниже горизонтальной плоскости, содержащей траекторию полета Enola Gay. Когда бомба взрывается через t  = 43 с, точка B (непосредственно над точкой детонации) в этой горизонтальной плоскости имеет координаты x = –19,600, y = –4,720. При скорости 513 футов в секунду Enola Gay может завершить один полный круговой поворот (2π радиан) в

Таким образом, чтобы сделать поворот через θ радиан, потребуется

Точка C  – это конец поворота, поэтому находится в  точке x = –4,720sin(θ), y = –4,720соѕ(θ) при t = t1. Затем Enola Gay летит 43 – t1 дополнительные секунды на скорости 513 футов в секунду, и в это время бомба взрывается. Так как самолет пролетел расстояние 513(43 – t1) за пределами С, смещения ∆x и ∆y из точки C равны ∆x = 513(43 – t1)соѕ(θ) и ∆y = 513(43 – t1)sin(θ). Итак, координаты точки Е (где находится Enola Gay при взрыве бомбы) будут такими: x = –4,720sin(θ) – 513(43 – t1)cos(θ), y = –4,720cos(θ) – 513(43 – t1)sin(θ). Ударная волна теперь начинает свой путь к спасающейся Enola Gay. Через T секунд после взрыва бомбы ударная волна попадает на Enola Gay в точке F. Из точки E в точку F Enola Gay летит дополнительные 513T футов со смещениями ∆x и ∆y от точки E: ∆x = 513Tсоѕ(θ)

158

ЗАДАЧИ

и ∆y = 513Tsin(θ). Таким образом, координаты точки F будут такими: X = –4720sin(θ) – 513(43 – t1 + T)cos(θ) и Y = –4720cos(θ) – 513(43 – t1 + T)sin(θ). Итак, наклонное расстояние от детонации до того места, где ударная волна попадает в Enola Gay, выводится из теоремы Пифагора:

Угол поворота (градус)

Теперь мы знаем, что наклонное расстояние от B до F также задается как 1200T. Итак, для данного θ мы сначала вычисляем t1, а затем решаем для T такого, что

Диапазон наклона (фут)

Рис. З22.3. Нахождение оптимального угла поворота Enola Gay

Другими словами, мы пишем

ПОБЕГ ОТ АТОМНОГО ВЗРыВА: ПОЧЕМУ УЦЕЛЕЛ ENOLA GAY

159

и должны найти T такое, что f = 0. Если мы сделаем это для множества различных значений θ (скажем, 5 £ θ £ 175° с шагом 0,1°, в общей сложности 1,701 значения), график диапазона наклона (1200T) против θ даст нам оптимальный угол поворота (угол, дающий наибольшее наклонное расстояние). Все это не очень сложно в  теории, но требуется огромное количество численных расчетов. Какой бы трудностью это ни было в  1945  г., сегодня это элементарная задачка даже для обычного портативного компьютера, на котором работает любой современный научный язык программирования (например, MATLAB). Код, который делает все это, на самом деле удивительно короткий (см. EG.m и его подпрограмму shock.m), и он производит график, показанный на рис. З22.3. Там мы видим, что действительно θ ≈ 150° производит разделение наклонной дальности на ≈ 63 000 футов (точно так же, как вычислено в Chases and Escapes), а также демонстрирует, что точный угол не очень критичен; максимальный диапазон наклона является довольно широким максимумом, а  угол поворота в любом месте в  интервале 140 £ θ £ 170° производит почти такое же разделение наклонной дальности между точкой детонации и местоположением Enola Gay, когда приходит взрывная ударная волна. Спорить о том, является ли оптимальным угол поворота 153° или 158° (как это делалось на протяжении многих лет), кажется мне спором о незначительной точности. %EG.m/created by PJNahin for Mathematical Physics AD=[5:0.1:175]; AR=AD*pi/180; T1=4720*AR/513; for loop=1:1701 t1=T1(loop; angle=AR(loop; T=shock(t1,angle; SR(loop)=1200*T; end plot(SR,AD,'-k') xlabel('slant range in feet') ylabel('turning angle in degrees') grid on %shock.m/created by PJNahin for Mathematical Physics (9/24/2016) function delay=shock(t1,angle) lower=0;upper=1000;

160

ЗАДАЧИ

for k=1:15 delay=(lower+upper)/2; term1=-4720*sin(angle)-513*(43-t1+delay)*cos(angle)+19600; term2=-4720*cos(angle)+513*(43-t1+delay)*sin(angle)+4720; f=1200*delay-sqrt(29700^2+term1^2+term2^2); if f>0 upper=delay; else lower=delay; end end

EG.m – это простая реализация уравнений в тексте, причем линия T = shock (t1,angle) является единственной, возможно, нуждающейся в некотором объяснении. Это линия, которая для текущих значений θ (значение угла) и t1 (значение t1) инициирует вычисление T (время от детонации до достижения ударной волной высоты Enola). Эта линия передает значения угла и t1 в подпрограмму shock.m, которая затем вычисляет значение задержки (которое в конечном итоге присваивается T). Логика shock.m – это то, что компьютерные ученые называют бинарным алгоритмом «двоичного поиска» (Binary search algorithm), чье большое достоинство заключается в том, что он гарантированно сходится. Вот как это работает. Переменные lower и  upper изначально задаются значениями для T, которые, как известно, слишком малы и слишком велики соответственно. То есть от 0 и до 1000 секунд. Итак, изначально мы знаем, что f(lower) < 0, а f(upper) > 0. Затем delay пересчитывается как среднее значение lower и upper и, используя этот пересчитанный delay, вычисляется f. Если этот f > 0, то upper уменьшается до delay, а если f < 0, то lower увеличивается до delay. Разница между upper и  lower, во всяком случае, сокращается вдвое. Это делается в общей сложности 15 раз (значение выбрано несколько… случайным образом), что дает общее сокращение в 215 раз = 32 768 от начальной разницы между upper и lower в 1000. То есть когда shock.m возвращается к  основному телу EG.m, значение T было оценено в пределах

Таким образом, значение 1200Т,

расстояние разделения наклонной дальности, которое ударная волна прошла от точки детонации до достижения Enola Gay, было

АРИФМЕТИКА КОНГРУЭНТНОСТИ ГАУССА

161

найдено в  пределах 40 футов. Если это для вас недостаточно хороший результат, просто позвольте shock.m повторить цикл еще несколько раз. Ладно, вот и задание для вас. Предположим, что параметры бомбардировочной миссии Enola Gay точно такие же, как и в 1945 г., за исключением выпуска бомбы. В частности, предположим, что вместо средней скорости ударной волны в 1200 футов в секунду бомба была достаточно мощной, чтобы средняя скорость ударной волны удвоилась до 2400 футов в секунду. Как далеко (какова была бы наклонная дальность) была бы Enola Gay, когда ударная волна достигла ее, предполагая, что самолет выполнил оптимальный поворот? Что, если средняя скорость ударной волны утроится до 3600 футов в секунду? Enola Gay сильно тряхнуло ударной волной, которую она испытала в действительности. Как вы думаете, она могла бы выжить при тех уменьшенных расстояниях, что вы только что рассчитали? Помните, что Enola Gay теперь ближе к еще большему взрыву.

Задача 23 Невозможная математика стала легкой: арифметика конгруэнтности Гаусса Разделите 538 на 11. Каков остаток от деления? Если вам разрешено использовать компьютер, то, конечно, это технически тривиально. Но также, конечно, есть много цифр в 538 (27 на самом деле, что намного больше, с чем может справиться ручной калькулятор), и  поэтому вам понадобится машина, которая может выполнить вычисление 538 настолько точно, чтобы ответить на вопрос. Удивительно, однако, что на этот вопрос можно ответить всего за минуту или около того с помощью чрезвычайно простых арифметических ручных вычислений, которые умный ученик средней школы может научиться делать, просто прочитав оставшуюся часть этого обсуждения. Все это основано на теории конгруэнтности, разработанной в 1801 г. великим немецким математическим физиком Карлом Ф. Гауссом (Carl F. Gauss, 1777–1855)1. Вот как это работает. 1

Гауссу было всего 24 года, когда он опубликовал свою арифметику конгруэнтности в первой главе своего шедевра Disquisitiones Arithmeticae («Арифметические исследования»). Гаусс – один из трех величайших математиков в  истории, в  одном списке с  Эйлером и Архимедом, сражаю-

162

ЗАДАЧИ

Два целых числа, a и b, называются конгруэнтными по модулю m, если a − b равномерно делится на m. Другими словами, при делении a и b по отдельности, каждое на m, мы получаем один и тот же остаток. Если это так, мы пишем: a º b(mod m). Так, например, 9 º 2(mod 7) и 10 º –1(mod 11). Все это может показаться очевидным на грани банальности, но останьтесь со мной еще ненадолго. Вы передумаете! Существует ряд фундаментальных теорем, связанных с  арифметикой конгруэнтности, которые абсолютно необходимы (и, к  счастью, их элементарно доказать). Ими являются:  теорема A: если a º b(mod m), тогда, при k = любое целое число, ak º bk(mod m);  теорема B: если a º b(mod m) и  если c º d(mod m), то ac º bd(mod m);  теорема C: если a º b(mod m) и если c º d(mod m), то a + c º b + d(mod m);  теорема D: если a º b(mod m) и  если b º c(mod m), то a º c(mod m);  теорема E: если a º b(mod m) и  если ac º d(mod m), то bc º d(mod m). Первые три теоремы (A, B и C) – это именно то, что мы хотели бы, чтобы они были, если бы мы надеялись на теоремы, которые легко запомнить; они просто говорят, что отношения конгруэнтности могут быть умножены на константу, умножены вместе и сложены, как обычные равенства. Четвертая теорема (D) говорит, что отношения конгруэнтности подчиняются транзитивности, в  то время как пятая теорема (E) просто немного более тонка в своем значении: если два числа (a и  b) конгруэнтны, то мы можем заменить одно из них другим в любой другой конгруэнтности (того же самого модуля). Я сказал, что все эти теоремы легко доказать, и теперь позвольте мне показать вам, насколько это верно. щихся с ним за первое место, а также высоко ценящийся в мире физики. В интересах истории, однако, я должен сказать вам, что многие вещи в математике и физике, которые названы в честь Гаусса, на самом деле были открыты другими. («Ибо кто имеет, тому дано будет и приумножится» – Евангелие от Мафея, глава 13, стих 12).

АРИФМЕТИКА КОНГРУЭНТНОСТИ ГАУССА

163

Доказательство теоремы A почти тривиально. Сказать, что ak º bk(mod m), – значит сказать, что ak − bk = (a – b)k нацело делится на m. Так как нам дано a º b(mod m) – что означает, что a – b нацело делится на m – то и (a – b)k. ЧТД. Доказательство теоремы B лишь немного сложнее. Сказать, что ac º bd(mod m), – это сказать, что ac − bd равномерно делится на m. Поскольку нам дан c º d(mod m), мы знаем, что c − d равномерно делится на m, и  поэтому мы можем написать c − d  = km. То есть c = d + km, что означает ac− bd = a(d + km) – bd = ad + akm – bd = akm + (a − b)d. Теперь мы получаем a º b(mod m), что означает, что A − b равномерно делится на m. Поскольку akm равномерно делится на m, то ac − bd равномерно делится на m. ЧТД1. Истинность теоремы С  также легко установить. Два отношения конгруэнтности говорят, что (a – b)  = km и  c − d  = jm (где k и j – целые). Таким образом, (a – b) + (c – d) = m + dm = (k + k)m = (а + с) – (b + d), и далее очевидно, что (a + c) – (b + d) без остатка делится на m. То есть а + с º b + d(mod m). ЧТД. Для теоремы D нам дано, что a – b = km и что b – c = jm. Итак, b = c + jm, что означает, что a − (c + jm) = km, или a − c = jm + km = (j + k)m. Таким образом, a − c без остатка делится на m, и поэтому a º c(mod m). ЧТД. И наконец, вот доказательство теоремы E. Утверждение, что bc º d(mod m), говорит, что bc − d без остатка делится на m. Верно ли это? Нам дано, что ac º d(mod m), и поэтому ac − d = jm. Нам также дано, что a º b(mod m), что означает, что a − b = km, или что a = b + km. Таким образом, ac − d = (b + km)c − d = jm, или bc − d = jm − kmc = (j − kc)m, или bc − d без остатка делится на m. ЧТД. Хорошо, теперь у нас есть все, что нам нужно, чтобы ответить на вопрос, который открыл эту дискуссию. Приготовьтесь удивляться! Мы начали с наблюдения, что 52 = 25 º 3(mod 11). Откуда я  это знаю? Потому что я  видел, как кто-то сделал это давным-давно, когда я был там, где ты сейчас, и теперь ты можешь быть мной для следующего человека в этой цепи. Как первый че1

Обратите внимание на следующий полезный частный случай, когда a = c и b = d. Тогда ac º bd(mod m) становится a2 º b2(mod m), и, в общем случае, ak º bk(mod m) для k – любого положительного целого числа. То есть мы можем поднять конгруэнтность до любой положительной степени!

164

ЗАДАЧИ

ловек, который сделал это, сделал ключевое наблюдение? Он или она были очень умны! Во всяком случае, подняв эту конгруэнтность до пятой степени, мы получим (52)5 = 510 º 35(mod 11) = 9 ´ 9 ´ 3(mod 11)  = 243(mod 11) º 1(mod 11), что равно 510 º 1(mod 11). И теперь 538 = 53058 = (510)3(52)4, что означает, при использовании теорем B и D 538 º 1334(mod 11) = 81(mod 11) º 4(mod 11). Таким образом, остаток при делении 538 на 11 равен 4. Вот так! Мы можем использовать MATLAB для проверки наших расчетов1, который покажет, что 538 = 363 797 880 709 171 295 166 015 625. Если мы затем вычтем 4 из этого результата, то обнаружим, что результат без остатка делится на 11 (что показывает, что 538, разделенное на 11, действительно порождает остаток 4). Ниже приведен еще один пример вычисления конгруэнтности, с интересным случаем из истории математики. Знаменитая проблема трехвековой давности заключалась в доказательстве гипотеn зы Ферма о том, что Fn = 22 + 1 является простым числом для любого целого числа n ³ 0. На протяжении многих лет Ферма много раз пытался доказать свою гипотезу, но так и не добился успеха. Приманкой для него было то, что первые пять случаев действительно являются простыми числами: 3, 5, 17, 257 и 65 537. Однако 1 Запись 5^38 в  MATLAB дает результат двойной точности 3,637978807091713 ´ 1026, который недостаточно точен для нашего вопроса. Запись vpa(5^38), где vpa означает «арифметика переменной точности» (variable precision arithmetic  – VPA) в  MATLAB, вернет значение 363 797 880 709 171 286 976 233 472, что явно недостаточно, потому что мы знаем, что наименее значимая цифра − это 5, а не 2. Решение в MATLAB − написать vpa ('5^38'). Моя точка зрения здесь заключается в том, что, вне зависимости от компьютерного языка, который вы используете, вы должны быть бдительны к подобным ловушкам и знать, как их избежать.

АРИФМЕТИКА КОНГРУЭНТНОСТИ ГАУССА

165

Ферма не знал, что в  следующем случае F5  = 22 + 1  = 232 + 1  = 4 294 967 297, что делится на 641 (что открыл Эйлер в 1732 г. и что объясняет неудачу Ферма). Это не очень трудно показать (любой восьмиклассник должен быть в  состоянии сделать это деление!), но, конечно, более интересный вопрос заключается в том, как Эйлер пришел к числу 641. Анализ Эйлера не использовал идею конгруэнтности (потому что Гаусс родился 45 лет спустя), а, скорее, некоторые результаты из теории простых чисел. Мы, однако, можем применить теорию конгруэнтности, чтобы показать, что 641 делится на 232 + 1 без необходимости вычислять 232 + 1 или даже делать деление. Начало этого анализа может показаться не очень мотивирующим, но, увидев его, вам оно начнет казаться «очевидным». Итак, 5

640 = (64)(10) = (26)(5)(2) = 5(27). Тогда, поскольку 640 º –1(mod 641), у нас получится 5(27) º –1(mod 641). Затем, возводя обе стороны этой конгруэнтности до четвертой степени, мы имеем 54(228) º (–1)4(mod 641), или 625(228) º 1(mod 641). Затем заметим, что 625 + 16 = 641, и тогда 625 º –16(mod 641), или 625 º –24(mod 641). Исходя из теоремы Е, получается, что мы можем заменить 625 на –24 в 625(228) º 1(mod 641), чтобы получить –24(228) º 1(mod 641), или, умножая на –1 и используя теорему А, мы получаем: 232 º –1(mod 641), что означает, что 232 + 1 делится на 641. Кстати, поскольку я знаю, что вам любопытно,

166

ЗАДАЧИ

. И это простое число! (как и 641). А вот и три задачки для испытания ваших сил: (a) докажите, что 244 – 1 без остатка делится на 89. Подсказка: начните с  88 = 8 ´ 11 = 23 ´ 11; (b) докажите, что 248 – 1 без остатка делится на 97. Подсказка: начните 96 = 32 ´ 3 = 25 ´ 3; (c) каков остаток при делении 15 + 25 + 35 + … + 1005 на 4?

Задача 24 Волшебная математика: ряд Фурье, импульс Дирака и дзета-функция Эйлера Одним из величайших интеллектуальных достижений в  математике XVIII века было открытие Эйлера (по совместительству также великого математического физика) в 1734 г., что

(Вы помните, возможно, что я упоминал этот знаменитый результат в задаче 3.) Значение суммы обратных чисел в квадрате увлекало и  ускользало от математиков на протяжении многих веков до Эйлера, который, используя некоторые весьма спорные методы (некоторые из которых были технически недействительны!), наконец-то сделал это. Сегодня известно много альтернативных и работающих методов, но все они, как правило, включают в себя один или несколько гениально умных трюков. На самом деле если мы немного обобщим проблему Эйлера, чтобы получить

РЯД ФУРьЕ, ИМПУЛьС ДИРАКА И ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА

167

где ζ(s) называется дзета-функцией Римана1, то тогда Эйлер фактически показал, как оценить ζ(s) для всех четных целых значений s2. Он получил результат 1734 для s = 2, а его следующий результат для s = 4 такой:

Один из современных выводов ζ(2) использует хитрый интегральный подход, про который один математик сказал: «он обеспечивает доказательство уровня выпускника школы [мой акцент] для результата Эйлера ζ(2)!»3. Далее я  покажу вам подход, с  которым все математические физики (и инженеры тоже) знакомы к  концу второго года обучения в  бакалавриате, подход, который предлагает рутинный способ вычисления ζ(s) для любого четного значения s. Я продемонстрировал этот метод для ζ(2) и ζ(4) в предыдущей книге4, поэтому здесь я вычислю ζ(6). Таким образом, нет необходимости ждать окончания школы (!), чтобы посмотреть, как вычислить ζ(2). Выражения для ζ(s), когда s нечетно, остаются, как и во времена Эйлера, чрезвычайно глубокой тайной. Первый человек, который найдет близкое выражение для ζ(3), аналогичное выражению для ζ(s), когда s четно, войдет в математическую историю как суперзвезда, даже если он или она никогда не сделает ничего другого. Однако теперь математики начинают подозревать, что таких выражений просто не существует5. 1 См. задачу 3. Подробнее о  дзета-функции Римана и  ее связи с  самой известной нерешенной проблемой в  современной математике (так называемой гипотезой Римана) см. мою книгу Inside Interesting Integrals. Springer, 2015. Русское издание: Пол Дж. Нахин. Секреты интересных интегралов. М.: ДМК Пресс, 2020. 2 3

ζ(s) =

, где a и b – целые числа, а s – четное число.

Dirk Huylebrouck. Similarities in Irrationality Proofs for π, ln2, ζ(2), and ζ(3) // American Mathematical Monthly. March 2001. Р. 222–231. 4 P. J. Nahin. Mrs. Perkins’s Electric Quilt. Princeton University Press, 2009. Р. 94–102. В той книге я обсуждаю появление ζ(4) в задаче из раздела физики твердых тел. 5 Некоторые вещи о ζ(s), например, были обнаружены со времен Эйлера. Французский математик Роже Апери (Roger Apéry, 1916–1994) показал (в 1979 г.), что ζ(3) (независимо от его значения) является иррациональным. В 2000 г. французский математик Танги Ривоаль (Tanguy Rivoal) по-

168

ЗАДАЧИ

Одним из стандартных математических методов, который все физики (и инженеры тоже) должны знать к концу второго курса, является теорема Фурье: ее легко сформулировать1. Предположим, что f(x) является функцией, определенной на интервале –T £ x £ T. Тогда над этим интервалом (и как функция, расширенная по всей бесконечной оси x как периодическая с периодом 2T) мы можем записать f(x) в виде бесконечной суммы синусоидальных и косинусоидальных функций. То есть f(x) задается рядом Фурье

где коэффициенты an и bn2 задаются формулой

и

С этого момента я возьму T = π. То есть отныне мы будем брать где an и bn – коэффициенты, получаемые из

казал, что для бесконечности нечетных (но неопределенных) значений s ζ(s) является иррациональным. В 2001 г. он сделал это более конкретным, показав, что существует по крайней мере один такой нечетный s в интервале от 5 до 21 (российский математик Вадим Зудилин позже сократил диапазон на s до 5 до 11). 1 Если вы хотите узнать больше об одном из самых известных французских математиков Жане-Батисте Жозефе Фурье (Joseph Fourier, 1768– 1830) и его теореме, читайте мою книгу Dr. Euler’s Fabulous Formula. Princeton University Press, 2006. Р. 114–187. 2 Физическое значение множителя 1/2a0 – это среднее значение f(x) за интервал –T £ x £ T, то есть как площадь, ограниченная f(x) за этот интервал, деленная на длину этого интервала.

РЯД ФУРьЕ, ИМПУЛьС ДИРАКА И ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА

169

и

Теперь, прежде чем идти дальше и чтобы убедить вас, что это не просто лишнее перетряхивание символов, позвольте мне показать вам применение рядов Фурье, которое часто встречается в  математической физике. В конце 1920-х гг. великий английский физик Поль Дирак (Paul Dirac, см. примечание 4 в задаче 11) ввел в квантовую физику единичную импульсную функцию (или дельта-функцию Дирака). Эта функция, записываемая как δ(x), обычно считается равной нулю для всех значений x, за исключением x = 0, где она бесконечна (эта бесконечность представляется так, что импульс ограничивает единичную площадь). Долгое время математики считали идею Дирака безумной, заявляя (в огромном объеме слов), что такой функции не существует. Только одно из их возражений против существования δ(x) заключалось в том, что, притом что он ненулевой только в  одной точке, он имеет бесконечную энергию (подробнее об этом чуть позже). Но, несмотря на критику, Дирак начал использовать свою функцию1 для решения задач, которые ставили в тупик математиков, что на самом деле довольно хороший способ ответить на их критицизм. В конце концов, очень трудно жаловаться на получение правильного ответа! Импульс оказался настолько полезным (и математики в конечном итоге разработали для него прочную теоретическую основу), что теперь он является тепло принятой частью математической физики. Несколько менее естественный способ определения импульсной функции состоит в том, чтобы сказать, что при любой непрерывной функции φ(x) импульс обладает свойством, которое 1 Дирак фактически (как он сам признавал) дошел до идеи об импульсе благодаря своему исследованию (как бакалавр электротехники) операционного исчисления, разработанного десятилетиями ранее британским физиком-электриком Оливером Хевисайдом (который появляется в задаче 26, и поэтому я больше не буду говорить о нем здесь). Инженеры-электрики обнаружили, что импульс идеально подходит для изучения внезапных переходных явлений (например, молнии).

170

ЗАДАЧИ

Используя это интегральное свойство (иногда называемое свойством выборки (sampling property)) импульса, мы можем теперь вычислить разложение ряда Фурье для δ(x), которое справедливо для всех x в интервале –π < x < π, и в частности при x = 0, прямо там, где δ(x) делает ту свою неприятную штуку. Выполнение такого вычисления может показаться серьезной задачей, учитывая общепризнанно причудливую природу δ(x), но на самом деле это тривиальная задача из-за интегрального свойства. Чтобы вычислить an и bn, все, что нам нужно сделать, – это написать

и

Тогда

Вот и все, мы закончили! Но правильно ли заключенное в рамку выражение? На рис. З24.1 показаны два сгенерированных MATLAB графика правой части выражения в  рамке с  использованием первых 5 членов в  сумме (слева), а затем первых 20 членов (справа). Вы можете буквально видеть импульс, формирующийся на этих графиках, что само по себе удивительно, и  особенно удивительно, когда вы осознаете прерывистую природу δ(x). Происходит то, что косинусные члены складываются вместе (конструктивно мешая (constructively interfering), на физическом жаргоне) при x = 0 и деструктивно мешая (destructively interfering) при x = 0. Ранее я говорил вам, что одно из возражений против импульсной функции Дирака состоит в том, что она обладает бесконечной энергией. Ну и  что это значит? Терминология (используемая се-

РЯД ФУРьЕ, ИМПУЛьС ДИРАКА И ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА

171

годня математиками, а также физиками и  инженерами) исходит из физики. Если x = t (то есть x – время) и если f(t) – напряжение, то интеграл

– это электрическая энергия, подаваемая на одноомный резистор в течение временного интервала –π < t < π. Итак, энергия импульса задается формулой

5 членов

20 членов

Рис. З24.1. Два частичных разложения рядов Фурье δ(x)

Один из способов попытаться ответить на этот вопрос – написать

где я призвал на помощь интегральное свойство, причем один из δ(t) в  последнем интеграле играет роль φ(t) (а затем утверждает, что δ(0) = ¥, потому что t = 0 – это когда импульс становится бес-

172

ЗАДАЧИ

конечным). Но помните, что φ(t) называется непрерывной функцией, а δ(t), конечно, не является непрерывной. Так что это действительно довольно шаткая линия рассуждений. Есть ли лучший способ показать, что δ(t) имеет бесконечную энергию? Да, и ряд Фурье снова приходит на помощь, в виде теоремы Парсеваля1:

Это на самом деле нетрудно установить, написав

, а затем умножив правую часть и интегрируя член за членом2. Результатом является теорема Парсеваля. Для импульсной функции мы получили, что an =

для n ³ 1, и поэтому ясно, что

1 Названа в честь французского математика Марка-Антуана Парсеваля де Шена (Marc-Antoine Parseval des Chêne, 1755–1836). Вся левая часть теоремы (с включенным 1/(2π)) называется мощностью f(t), поскольку это энергия f(t), разделенная на временной интервал 2π (опять же, терминология физики). 2 Используя известные тригонометрические тождества для произведений функций синуса и косинуса, легко показать так называемые условия ортогональности, которые весьма полезны при выполнении интеграций:

РЯД ФУРьЕ, ИМПУЛьС ДИРАКА И ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА

173

и теперь мы можем с полным основанием утверждать, что импульс Дирака действительно обладает бесконечной энергией.

–2π

–π

0

π

2π

3π

Рис. З24.2. s четное

Хорошо, теперь вернемся к дзета-функции и тому, как мы можем использовать ряд Фурье, чтобы оценить его для четных положительных целых значений s. Предположим, в частности, что f(x) = xs, –π < x < π.

Тогда f(x), когда он периодически расширяется влево и  вправо от интервала −π до π, выглядит как рис. З24.2, потому что s четное. В  этом случае ряд Фурье сходится для каждого x к  непрерывной и периодически расширенной f(x). В частности, подстановка x = π в ряд Фурье даст правильное значение xs. (Вы можете представить, как выглядит периодически расширяющийся xs при четном s? Как вы думаете, к чему тогда сходится ряд при x = π?) Позвольте мне теперь показать вам, как использовать ряд Фурье для вычисления ζ(6), – и я думаю, что вы будете приятно удивлены тем, насколько быстрыми и легкими будут окончательные расчеты задачи. Начнем с того, что положим f(x) = x6. Затем

174

ЗАДАЧИ

и1

Нам не нужно фактически выполнять интегрирование bn, потому что мы знаем, что результат равен нулю для всех n. Это потому, что f(x) = x6 является четной функцией, и поэтому подынтегральная функция интеграла bn является нечетной функцией (sin(nx) нечетна, а четная функция при умножении на нечетную функцию будет нечетной). И  конечно, интеграл нечетной функции на интервале, симметричном относительно начала координат, исчезает. Таким образом,

В частности, подставив x = π, это сводится к или

1 Я не делал интеграл вручную. Вместо этого использовал Mathematica integrator, доступную (бесплатно) в интернете, от Wolfram, которая является героем.

РЯД ФУРьЕ, ИМПУЛьС ДИРАКА И ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА

175

Подставляя известные значения ζ(2) и ζ(4), получаем или

или наконец:

Вот три сложных вопроса для вашей самостоятельной работы. (а) Прокомментируйте физическое значение члена

в  ряду

Фурье в рамке для δ(x). Вы помните (примечание 7), что я сказал, что постоянный член в любом ряду Фурье – это среднее значение f(x) над –π < x < π, но как вы усредните такую функцию, как δ(x), которая равна нулю везде, кроме одной точки (x = 0), где она бес-

конечна? Как мы получим

из этого?

(б) Рассмотрим периодическую функцию меандра в виде ломаной линии (square-wave function), показанную на рис.  З24.3. Вычислите ряд Фурье для этой функции, а затем, используя теорему Парсеваля, вычислите точное значение

Затем покажите, как это можно использовать для получения результата Эйлера для ζ(2). (в) Найдите разложение ряда Фурье для f(x) = x2, –π < x < π, и затем интегрируйте его до бесконечности, чтобы найти точное значение

176

ЗАДАЧИ

– результат, впервые вычисленный (с использованием другого подхода) Эйлером. Обратите внимание на сходство этого выражения с ζ(3), для которого точное значение остается загадкой до сих пор. В то время как я пишу это (в 2017 г.), числовое значение ζ(3) было вычислено до 400 млрд десятичных цифр, но это просто добавляет чувство разочарования и неудачи, так как до сих пор математикам удалось сделать для ζ(3) то, что Эйлер сделал для ζ(2n) столетия назад. Если боги чисел и существуют, то они обладают извращенным разумом.

π –3π

–2π

–π

0

π

2π

3π

Рис. З24.3. Меандр

(д) Можно показать, что разложение в ряд Фурье функции

– это1

Используйте это и теорему Парсеваля для оценки

1 См., например, книгу: Georgi P. Tolstov. Fourier Series. Dover, 1962. P.  91–93. Выведение этих разложений Фурье требует лишь вычислений из арсенала первокурсников, но это выведение слишком длинное, чтобы включать его сюда. Георгий Толстов (1911–1981), известный математик из Московского государственного университета, был автором многочисленных известных математических книг. Его особенно красивый ряд Фурье должен, я думаю, находиться в личной библиотеке у каждого физика-математика.

ЕВКЛИДОВ АЛГОРИТМ: ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ И ИНФОРМАТИКА

177

– интеграла, который в противном случае было бы довольно трудно решить. (Обратите внимание, что мы можем отбросить знаки абсолютного значения в  подынтегральном выражении, потому что на интервале интегрирования 2sin(x/2) неотрицательна.)

Задача 25 Евклидов алгоритм: дзета-функция и информатика Как было показано в предыдущем обсуждении, дзета-функция, несмотря на ее, возможно, несколько эзотерический вид, действительно представляет интерес для физиков и инженеров-электриков и, возможно, что еще более удивительно, для информатиков. Вот пример. Современные системы шифрования данных (data encryption) зависят от присущей им трудности разложения очень большого числа (например, с сотнями цифр) в произведение простых чисел. Математика, лежащая в  основе этих систем, быстро приводит к рассмотрению того, что называется взаимно простыми (или сопричастными) целыми числами. (Вы не сразу увидите, как появится дзета-функция, но держитесь там, и, я думаю, ваше терпение будет вознаграждено.) Два целых числа, даже если они составные, считаются взаимно простыми, если у  них нет общих множителей. Например, ни 8, ни 9 не являются простыми, но они взаимно просты, так как 8 = 2 ´ 2 ´ 2, а 9 = 3 ´ 3. Однако 9 и 12 не являются взаимно простыми, так как 12 = 2 ´ 2 ´ 3, и поэтому (очевидно) 9 и 12 объединяет множитель 3. Другой способ выразить это – сказать, что наибольший общий делитель (НОД) взаимно простых чисел равен 1. Способность эффективно вычислять НОД двух произвольных целых чисел оказывается важнейшим навыком для некоторых очень значимых практических задач, среди которых как раз присутствует шифрование данных. Итак, далее я покажу вам широко используемый алгоритм1 вычисления НОД, который требует только знания о том, как делить. Это последнее утверждение является действительно удивительным, поэтому позвольте мне сказать это снова: евклидов алгоритм 1 Называется евклидовым алгоритмом, потому что он появляется в «Началах» Евклида (историки-математики, однако, считают, что на самом деле он еще старше).

178

ЗАДАЧИ

позволяет вычислить НОД двух целых чисел без необходимости раскладывать на множители хотя бы одно из них. Это один из тех редких случаев, когда что-то, что «слишком хорошо, чтобы быть правдой», на самом деле является таковой. В качестве прелюдии к обсуждению этого важного алгоритма позвольте мне сначала установить промежуточный результат НОД, который нам понадобится. Теорема: если a и  b – положительные целые числа, такие что a ³ b > 0, то a = qb + r, где q ³ 1 и 0 £ r < b (по причине того, что математики называют алгоритмом деления, который я  буду считать очевидным) – НОД(a,b) = НОД(b, r). Доказательство: запишем d = НОД(a, b), что означает, что d – самое большое целое число, которое делит как a, так и b. Таким образом, поскольку r = a – qb, ясно, что d также делит r. Теперь пусть c – любой общий делитель b и  r, что означает, что c, безусловно, делит a = qb + r. Таким образом, c является делителем как a и b, так и d (поскольку c – любой общий делитель, возможно, что c = d). Но поскольку d является самым большим общим делителем a и b, должно быть верно, что c £ d. Следовательно, НОД(a, b) = НОД(b, r), ЧТД. Теперь мы можем констатировать следующее: Алгоритм Евклида Пусть a и b – два положительных целых числа, где a ³ b > 0. Затем, по алгоритму деления, мы можем написать а = q1b + r1, где q1 ³ 1 и 0 £ r1 < b. Если r1 = 0, то b делит a (и, конечно, b делит b), и поэтому мы сразу имеем b = НОД(a, b). Но что, если r1 ≠ 0? Тогда пишем (по алгоритму деления) b = q2r1 + r2, где q2 ³ 1 и 0 £ r2 < r1. Если r2 = 0, то остановимся. Если r2 ≠ 0, то пишем (по алгоритму деления) r1 = q3r2 +r3, где q3 ³ 1 и 0 £ r3 < r2. Если r3 = 0, то остановимся. Если r3 ≠ 0, то пишем (по алгоритму деления) r2 = q4r3 +r4, где q4 ³ 1 и 0 £ r4 < r3. Если r4 = 0, то остановимся. Если r4 ≠ 0, то пишем (по алгоритму деления) … и так далее, пока вы не

ЕВКЛИДОВ АЛГОРИТМ: ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ И ИНФОРМАТИКА

179

получите нулевой остаток. Предположим, что это происходит на (n + 1)-м этапе, и поэтому мы имеем для наших последних двух уравнений rn–2 = qnrn–1 + rn, где qn ³ 1 и 0 £ rn < rn–1, а rn–1 = qn+1rn. Окончательное уравнение гарантировано (то есть мы уверены, что в конечном итоге получим нулевой остаток), потому что последовательность остатков непрерывно уменьшается (r1 > r2 > … > rn > 0), и  любая последовательность непрерывно убывающих неотрицательных целых чисел обязательно достигает нуля за конечное число шагов. Теперь утверждение состоит в том, что последний ненулевой остаток, rn, является НОД(a, b). Прежде чем доказать это, вот пример евклидова алгоритма в действии, находящий НОД 161 и 713: 713 = 4(161) + 69; 161 = 2(69) + 23; 69 = 3(23) + 0. Итак, НОД(713, 161)  = 23. Это удивительное вычисление, поскольку мы нашли самый большой общий множитель (делитель) двух чисел, не имея необходимости фактически раскладывать на множители ни одно из них. Евклидов алгоритм очень легко закодировать для компьютера, и вот как я закодировал его в MATLAB на своем ноутбуке: %gcd.m/created by PJNahin for Mathematical Physics a=713;b=161; r=1; while r>0 q=floor(a/b); r=a-q*b; a=b; b=r; end а

При запуске gcd.m вычисляется НОД(713, 161) = 23 менее чем за десять микросекунд. И  просто чтобы увидеть, что происходит

180

ЗАДАЧИ

с большими числами, посмотрите, можете ли вы показать, используя карандаш и бумагу, что НОД(9 767 666 321, 8 876 532 413) = 7. (Это опять заняло у gcd.m несколько микросекунд, чтобы получить результат, а сколько времени это заняло у вас?) Я вам сейчас покажу, почему gcd.m настолько быстрый. Но сначала докажем, что rn = НОД(a,b). По нашей теореме мы имеем НОД(a, b) = НОД(b, r1). По той же теореме мы также имеем НОД(b, r1) = НОД(r1, r2) и НОД(r1, r2) = НОД(r2, r3), так же как НОД(r2, r3) = НОД(r3, r4), и так далее вплоть до НОД(рn–2, рn–1) = НОД(рn–1, rn), и, наконец, НОД(rn–1, rn) = НОД(rn, 0) = rn. Итак, собирая все эти утверждения вместе, получаем: НОД(а, b) = НОД(b, r1) = НОД(r1, r2) = НОД(r2, r3) = … = rn, что повторяет евклидов алгоритм, на этом и закончим. Евклидов алгоритм очень быстр, и легко показать, почему. Скорость обусловлена двумя причинами: (1) каждый шаг включает в себя только одно деление, и (2) количество необходимых делений увеличивается лишь по мере логарифма произведения ab (логарифм является медленно возрастающей функцией его аргумента)1. В частности, то, что я покажу далее, заключается в том, что верхняя граница количества требуемых делений задается log2(ab). 1 В 1844  г. французский математик Габриэль Ламе (Gabriel Lamé, 1795–1870) доказал, что другая верхняя граница числа делений в пять раз больше числа цифр в  меньших из a и  b, и  поэтому для нашего примера (поскольку 713 имеет три цифры) меньшая верхняя граница составляет 15 делений.

ЕВКЛИДОВ АЛГОРИТМ: ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ И ИНФОРМАТИКА

181

Например, при a = 713 и b = 161 эта верхняя граница составляет log2(114, 793) = 17 делений, что значительно больше фактического значения 3 делений (поэтому теоретическое выражение называется верхней границей). Вот как получить верхнюю границу log2(ab) (и прохождение этого вывода поможет вам, по крайней мере так же, как и формальное доказательство, в понимании алгоритма). Когда мы начинаем евклидов алгоритм с  двух чисел a и  b, их произведение задается (конечно!) ab. Первое уравнение задается формулой a = bq1 + r1, где 0 £ r1 < b, а второе уравнение задается формулой b = r1q2 + r2. Теперь подумайте о втором уравнении как о начальном уравнении для двух чисел b и r1 с произведением br1. Как br1 сравнивается с исходным произведением ab? Чтобы ответить на этот вопрос, заметьте, что b либо меньше a, либо он, по крайней мере, равен a. Предположим, что это первый случай; то есть b < a. Поскольку r1 < b, то, конечно, верно, что r1 < a, если b < . Предположим, однако, что это второй случай; то есть b ³ a. Тогда, так как r1 = a – bq1, и поскольку q1 ³ 1, то, безусловно, верно, что r1 < a – b, поскольку правая сторона настолько велика, насколько это вообще возможно (используем q1  = 1). Затем, используя наименьшее значение для b, чтобы сделать правую сторону как можно больше, мы получим r1 < a – a = a, такой же результат мы получили и в первом случае. То есть независимо от того, что такое b, r1 < а. Так что, умножив на b, получим 0 £ br1 < ab. Если мы сделаем все это снова для следующего уравнения в евклидовом алгоритме, мы найдем, что

182

ЗАДАЧИ

То есть каждое новое уравнение имеет «продукт», который является предыдущим продуктом, разделенным по крайней мере на 2. Итак, когда мы доберемся до rn, у нас есть

Это деление, конечно, не может продолжаться вечно, так как убывающая последовательность натуральных чисел (как и последовательность произведений) должна завершиться один раз

поскольку 1 – наименьшее из положительных целых чисел. Когда это происходит? То есть что такое n, число делений, после которых евклидов алгоритм должен завершиться? Принимая логарифмы к основанию 2 и задаваясь вопросом, что есть n, когда

имеем:

или

или, наконец, n = log2{ab}, как и  утверждалось. Приведу наиболее драматический пример из сферы схем шифрования данных: если и a, и b – это 300-значные числа, то a и b – это более 10300, и поэтому для вычисления их

ЕВКЛИДОВ АЛГОРИТМ: ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ И ИНФОРМАТИКА

183

НОД потребуется всего-то не более log2(1030010300) = log2(10600) = 600log2(10) < 2000 делений. Это, конечно, было бы ужасной задачей для человека, но современный компьютер мог бы прорваться через вычисления гораздо меньше, чем за секунду. Теперь, в рамках теории систем шифрования, вскоре возникает следующий вопрос: если мы выберем два целых числа a и b случайным образом из всех чисел от 1 до n, какова вероятность того, что a и  b взаимно просты (нет никакого простого множителя, общего для a и b)? Теоретический анализ1 приводит к (удивительному, конечно) результату, что в пределе при n → ¥ вероятность равна Видеть дзета-функцию, возникшую в этой проблеме, удивительно. Возможно, удивительно на самом деле до такой степени, что вы можете задаться вопросом, есть ли какой-то способ хотя бы частично проверить это утверждение. Теперь вы, конечно, должны догадываться о моем ответе на это: давайте будем использовать наше любимое программное обеспечение для моделирования задачи! Под этим я подразумеваю, что для заданного значения n давайте выберем целые числа a и b случайным образом от 1 до n. Затем, как только у нас будут a и b, мы запустим их через евклидов алгоритм. Фактически мы сделаем это много раз, скажем 10 млн раз, потому что евклидов алгоритм очень быстр, и  посмотрим, сколько из этих раз НОД(a, b) = 1. Если теория верна, то, по мере того как мы будем все увеличивать n, мы должны будем увидеть результаты моделирования вероятности того, что a и b являются взаимно простыми с 0,6079. Это простая задача для компьютерного моделирования, и  код MATLAB coprime.m выполняет требуемую работу (coprime.m на самом деле просто представляет собой зацикленный gcd.m). Вот результаты: n 100 1000 10 000 100 000 1

Вероятность того, что a и b взаимно простые 0,6087 0,6084 0,6079 0,6080

Взгляните, например, на элегантную книгу: Julian Havil. Gamma: Exploring Euler’s Constant. Princeton University Press, 2003. P. 65–68.

184

ЗАДАЧИ

Что ж, я убежден! %coprime.m/created by PJNahin for Mathematical Physics sum=0; n=input('What is n?') for loop=1:10000000 a=floor(n*rand)+1; b=floor(n*rand)+1; r=1; while r>0 q=floor(a/b); r=a-q*b; a=b; b=r; end if a==1 sum=sum+1; end end sum/loop

В качестве заключительного комментария к  дзета-функции и взаимно простым числам: получается, что результат обобщается естественным образом. Вероятность того, что k целых чисел, каждое из которых выбрано случайным образом от 1 до n, взаимно простые, как группа (n → ¥), задается

. Тонкое усложнение для

моделирования этого обобщения заключается в  том, что можно иметь k взаимно простых целых чисел, которые не являются взаимно простыми, когда они берутся парами. Например, 6(= 3 ´ 2), 10(= 5 ´ 2) и  15(= 5 ´ 3) не взаимно просты парами, но взаимно просты втроем. Итак, как мы справимся с подобной ситуацией? Теория предсказывает, например, что три случайно выбранных целых числа из интервала от 1 до n будут n → ¥ взаимно простыми как группа с вероятностью

ЕВКЛИДОВ АЛГОРИТМ: ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ И ИНФОРМАТИКА

185

Как мы можем подтвердить это с  помощью моделирования? Ключевая идея состоит в  том, чтобы использовать тот факт, что если a, b и  c являются тремя целыми числами и  если мы пишем d = НОД(a, b, c), то d = НОД(НОД(a, b), c). Это не особенно сложный для установления результат (на данный момент я  просто предположу, что это правда), и  он говорит нам, что мы можем использовать евклидов алгоритм сначала для a и b, чтобы найти f = НОД(a, b), а затем снова для f и c, чтобы найти d. Код MATLAB, который делает это, называется triple.m, и это просто coprime.m, продолженный очевидным образом. %triple.m/created by PJNahin for Mathematical Physics sum=0; n=input('What is n?'); for loop=1:10000000 a=floor(n*rand)+1; b=floor(n*rand)+1; c=floor(n*rand)+1; r=1; while r>0 q=floor(a/b); r=a-q*b; a=b; b=r; end b=c; r=1; while r>0 q=floor(a/b); r=a-q*b; a=b; b=r; end if a==1 sum=sum+1; end end sum/loop

186

ЗАДАЧИ

Результаты очень убедительны: n 100 1000 10 000 100 000

Вероятность того, что a и b взаимно простые 0,8326 0,8322 0,8320 0,8319

Испытание для вас: докажите, что НОД(a, b, c) = НОД(НОД(a, b), c).

Задача 26 Последнее квадратное уравнение: Хевисайд обнаруживает подводный рыбий укус! Начало этой книги было положено письмом в  «Boston Globe» редактору, в котором высказывалось предвзятое мнение об отсутствии практической ценности умения решать квадратные уравнения. Это действительно вдохновило меня начать данную книгу, но все время, пока я писал, меня мучил вопрос: как закончить с ней? Физика помогла мне найти ответ, настолько очевидный, что теперь я удивляюсь, почему мне потребовалось так много времени, чтобы его увидеть. Симметрия является фундаментальной концепцией для математических физиков, и поэтому окончание книги с возвращением к квадратному уравнению было бы явно правильным путем. Одним из наиболее важных (и, без преувеличения, фантастических) достижений электротехники, механики и физики в XIX в. было начало прокладки подводных телеграфных кабелей в 1850-х гг., кабелей, которые в конечном итоге связали стационарные линии связи в Англии и Европе с американскими. (Самый известный из всех таких кабелей  – почти наверняка трансатлантический кабель длиной почти 1700 миль 1865–1866 гг. весом 5000 т1.) Теле1

Удивительная история, стоящая за этим достижением, хорошо рассказана Берном Дибнером: Bern Dibner. The Atlantic Cable. Burndy Library,

ХЕВИСАЙД ОБНАРУЖИВАЕТ ПОДВОДНыЙ РыБИЙ УКУС!

187

графные кабели, очевидно, имеют электрическую природу, и поэтому электротехника, связанная с таким кабелем, очевидна, как и  аспект машиностроения; в  конце концов, задача укладки массивного кабеля весом в тонну с задней части судна, находящегося в движении, в воду глубиной в тысячи метров – это не совсем то же самое, что и просто «сбросить его за борт». Физический аспект темы подводных кабелей, возможно, не так очевиден. Исходная электрическая теория, лежащая в  основе таких кабелей, принадлежит шотландскому ученому Уильяму Томсону (William Thomson, 1824–1907), более известному в мире физики как лорд Кельвин. Позже выяснилось, что его теория имеет некоторые серьезные недостатки, но тем не менее она была достаточно правильной, чтобы сделать саму возможность длинного подводного кабеля разумным соображением. Когда такие кабели были действительно построены и введены в промышленную эксплуатацию, это достижение справедливо считалось лишь чуть менее удивительным, чем чудо. Внезапно, как вы можете заметить, время, необходимое для отправки сообщения на расстояние 3000 км через Атлантический океан, изменилось от недель (в запечатанном почтовом мешке на корабле с  немалой вероятностью затонуть) до нескольких минут в виде электрических импульсов, движущихся со скоростью, измеряемой многими километрами в секунду. Результатом этого стала революция в области коммуникации, которая не могла сравниться ни с чем, пока более чем полвека спустя не началось развитие широковещательного радио. Эта революция почти мгновенного соединения широко разделенных частей света по праву получила название «Викторианского интернета»1. Но, конечно, подводные кабели тоже имели свои эксплуатационные проблемы. Главным было то, что время от времени у  них появлялись разрывы. То есть изолирующая оболочка, окружающая электрические провода в  центре, по целому ряду причин может создавать электрическую «утечку» в  окружающую морскую воду, 1959. Для ознакомления с рассказом из уст настоящего очевидца с места происшествия см. W. H. Russell. The Atlantic Telegraph. Nonsuch Publishing, 2005 (оригинал опубликован в 1866 г.). Уильям Говард Рассел (William Howard Russell, 1820–1907) был репортером The Times, который плавал на Great Eastern, когда там прокладывали атлантический кабель. 1 Tom Standage. The Victorian Internet: The Remarkable Story of the Telegraph and the Nineteenth Century’s On-line Pioneers. Walker, 1998.

188

ЗАДАЧИ

образуя конечный путь сопротивления от внутренней части кабеля к тому, что можно было бы принять в первом приближении за электрическое заземление (точку с нулевым напряжением). Когда такой разрыв происходил, прием сообщения на дальнем конце кабеля значительно затруднялся или даже становился невозможным. Одной из очевидных причин появления разрыва была, конечно, просто механическая истираемость. То есть смещение потоков воды будет перемещать кабель вперед и назад по неровному морскому дну и тем самым разрывать защитную оболочку кабеля. Другой, менее очевидной причиной для перерыва был укус рыбы! Как отметил один корреспондент в  письме 1881  г. в  английский торговый журнал The Electrician, кабель, проложенный в  1874  г., вскоре после этого пострадал по меньшей мере от четырех, несомненно, рыбных укусов … там, где железная обшивка была насильственно раздавлена и  искорежена … словно мощными челюстями какого-то морского зверя. Этот писатель представил убедительные доказательства, указывающие на Plagyodus ferox (одну из самых грозных глубоководных рыб) в качестве виновника таких разрывов. Теперь можно было, по крайней мере, представить себе ремонтное судно, плывущее по известному пути погруженного кабеля, периодически хватаясь за него, а  затем вытаскивая на поверхность, чтобы посмотреть, не обнаружен ли поврежденный участок. Однако, учитывая длину кабелей и глубину их залегания, легко понять, что это может быть длительным и очень дорогим подходом, подобным поиску иголки в стоге сена путем многократного засовывания руки в  сено, пока вы не тронетесь умом. Гораздо более щадящий подход использует метод, называемый методом Блавье1, и все это зависит от вашего умения решать квадратные уравнения. Какова бы ни была причина разрыва, прежде чем поврежденный кабель полностью отделится, он сначала получит в  результате то, что называется неисправностью, т. е. электрический путь некоторого конечного сопротивления от его все еще физически неповрежденных внутренних проводов к окружающей воде. В то время как первоначальная электрическая схема была разрушена, зачастую достаточно сильно, она все еще была схемой, и это было ключом к тому, чтобы быть в состоянии точно определить место1

В честь его изобретателя, французского инженера-телеграфиста Эдуарда Эрнста Блавье (Edouard Ernst Blavier, 1826–1887).

ХЕВИСАЙД ОБНАРУЖИВАЕТ ПОДВОДНыЙ РыБИЙ УКУС!

189

положение ошибки, таким образом позволяя напрямую восстановить и отремонтировать кабель. Мы математически смоделируем кабель и  его неисправность, как показано на рис.  З26.1. Мы предположим, что кабель имеет постоянное и  известное электрическое сопротивление на километр длины (измеренное во время строительства кабеля) и  что общее сопротивление первоначально неповрежденного кабеля, от одного конца до другого, составляет a Ом1. Далее мы запишем сопротивление кабеля от его левого конца к неисправности как x Ом, и поэтому сопротивление от неисправности к правому концу равно a – x Ом. И наконец, сопротивление между разломом и окружающей морской водой будет принято за y Ом. Если мы можем определить значение x, то мы можем использовать сопротивление на километр кабеля, чтобы вычислить, как далеко находится неисправность относительно любого конца. Кабель Поломка

Рис. З26.1. Простая схема Блавье при неисправности кабеля

Метод Блавье требует двух отдельных измерений электричества. Во-первых, на правом конце кабеля, не подключенном ни к чему, измеряется сопротивление, направленное в левый конец2. То есть на 1 Ом, названный в  честь немецкого математического физика Георга Симона Ома (Georg Simon Ohm, 1789–1854), является единицей системы измерения МКС (см. приложение 4). 2 Если длина кабеля измеряется сотней километров, как оператор на левом конце узнает, когда именно оператор на правом конце отключился? Один из способов концептуализировать, как это может быть сделано, – просто запланировать тест Блавье, который будет выполняться в обычное время, с двумя операторами, оснащенными синхронизированными часами. Заметьте, что если бы не было ошибки (то есть если y =¥), то b =¥ и c = a, что означало бы, что все хорошо.

190

ЗАДАЧИ

конец кабеля будет подано известное напряжение и измерен результирующий ток. По закону Ома сопротивление записывается как b, где b = x + y, потому что x и  y находятся последовательно, и  последовательно соединенные резисторы добавляют. Затем правый конец кабеля будет подключен непосредственно к земле (таким образом помещая a – x параллельно y), и измерение сопротивления левого конца повторится. По закону Ома это сопротивление будет записано как c, где

поскольку x и параллельная комбинация a – x и y находятся последовательно, а параллельные сопротивления объединяются как их произведение, деленное на их сумму. Теперь у нас есть два уравнения в двух неизвестных (x и y), и мы хотим решить их для x. Это легко сделать. Поскольку y = b – x, то подстановка этого выражения в уравнение для c дает, с небольшим использованием алгебры, квадратное уравнение x2 – 2cx + c(a + b) – ab = 0, которое быстро решается с помощью формулы для решения квадратного уравнения (и поэтому мы снова видим, что такое знание не совсем бесполезно для практической работы, как это подразумевается в письме в Boston Globe), чтобы дать нам два действительных значения для x:

Они реальны, потому что квадратный корень наверняка реален, так как и (a – c), и (b – c) являются положительными величинами. Чтобы увидеть истинность этого последнего утверждения, сначала заметим, что для фактора (a – c) мы можем утверждать, что c < a, потому что a – x, параллельно с y, будет явно меньше, чем a – x, а для множителя (b – c) мы имеем

ХЕВИСАЙД ОБНАРУЖИВАЕТ ПОДВОДНыЙ РыБИЙ УКУС!

191

Теперь остается последний вопрос: какой знак мы используем в уравнении для x? В конце концов, неисправность находится в одном месте, а не в двух, и поэтому мы не можем иметь два значения для x. Итак, мы используем знак плюс или знак минус? Часто, когда такие вопросы возникают при решении квадратного уравнения, мы можем отклонить одну из двух возможностей на физических основаниях (например, если решение представляет собой количество яблок в  мешке, а  формальные решения равны +3 и –6, мы отклоняем –6 как физически необоснованные). В случае места повреждения кабеля наше физическое требование заключается в том, чтобы x > 0. Увы, как вы увидите, оба знака могут привести к x > 0! Итак, как нам решить, какой знак использовать? Ответ заключается в том, что мы используем знак «минус», и вот почему. По определению x < a (и поэтому a – x > 0), и поскольку сопротивление неисправности, очевидно, должно быть положительным (y > 0), и эти два наблюдения говорят нам, что

Таким образом, единственным правильным решением для x является

Более 30 лет назад, изучая биографию1 английского физика-математика Оливера Хевисайда (Heaviside, Oliver, 1850–1925) в институте инженеров-электриков в Лондоне, я наткнулся на одну из его записных книжек, в которой он записал (16 января 1871 г.) применение данной формулы. Он сделал этот расчет, работая телеграфистом в Дании. Наблюдая, что где-то на 58-километровом подводном кабеле между Зондервигом в Дании (правый конец кабеля на рис. З26.1) и Ньюбиггином-бай-Си в Англии (левый конец) произошел разлом, два электрических измерения (выполненных на английском конце) дали значения b = 1040 Ом и c = 970 Ом. Зная, 1 P. J. Nahin. Oliver Heavisid. The Johns Hopkins University Press, 2002. Хевисайд, например, вывел вектор Пойнтинга для потока энергии в электромагнитном поле до того, как это сделал сам Пойнтинг (но Пойнтинг опубликовал это первым); однако именно выведение Хевисайда представляется в современных учебниках.

192

ЗАДАЧИ

что кабель имеет сопротивление 6 Ом на милю, Хевисайд рассчитал a = 6 (360) = 2160 Ом. Следовательно,

или со скоростью 9,6 Ом на километр, Хевисайд пришел к выводу, что разлом находится в 182,22 км от английского конца кабеля. В конце своих вычислений Хевисайд написал: «Вот и все. Мы пообедали ростбифом, яблочным пирогом и пирогом с кроликом, запивая их красным вином, и  наслаждались жизнью». И  на этой счастливой ноте вы, наконец, дошли до конца этой книги, или, если вам хочется, вы можете попробовать свои силы в следующей сложной задаче. Не все кабели находятся под водой, конечно, и  на самом деле зарытые пары стационарных кабелей тоже не редкость. Кабели, зарытые в  землю, не подвержены истиранию, вызванному перемещением под течением воды или укусами рыб. Но защитная оболочка зарытого кабеля все еще может быть разрушена коррозией и/или прокушена подземными грызунами, и поэтому ошибки все еще могут произойти. Предположим, что у  нас есть такая пара кабелей в очень длинной траншее, возможно, десятки километров в  длину, и  один из кабелей проявил короткое замыкание на заземление с некоторым неизвестным сопротивлением кабеля x, измеренным от общего расположения левых концов пары (см. рис. З26.2) до неисправности.

Исправный кабель Неисправность короткого замыкания

Неисправный кабель

Образовавшееся короткое замыкание на концах кабеля

Заземление с нулевым сопротивлением

Рис. З26.2. Схема моста Уитстона для обнаружения короткого замыкания в одном из двух кабелей, похороненных в общей траншее

ХЕВИСАЙД ОБНАРУЖИВАЕТ ПОДВОДНыЙ РыБИЙ УКУС!

193

Если мы можем измерить сопротивление x в поврежденном кабеле, то можем использовать сопротивление на километр кабеля, чтобы вычислить местоположение места, в котором мы выкопаем кабель для ремонта. Мы можем использовать тот факт, что у нас есть хороший кабель наряду с  поврежденным, чтобы позволить себе очень точный расчет x, используя то, что называется мостовой схемой Уитстона1. На рис.  З26.2 показана схема подключения, где b и c – два резистора, известные значения которых могут быть очень точно отрегулированы в  широком диапазоне значений. Символ G представляет собой гальванометр, то есть очень чувствительный измеритель тока, который служит мостом между двумя кабельными путями. Значение r, ограничивающего ток резистора последовательно с  G, не важно (оно существует просто для предотвращения выгорания G, если каким-то образом источник напряжения будет случайно применен непосредственно к G, который имеет очень малое внутреннее сопротивление в  омах). Известно, что неповрежденный кабель имеет полное сопротивление в a Ом. Схема подключается следующим образом. Батарея любого напряжения (ее значение E не важно) подключается через переключатель S к  b и  c, а  b и  c, в  свою очередь, подключаются к  левым концам двух заглубленных кабелей. Правые концы двух кабелей замыкаются вместе, и  короткое замыкание затем подключается к заземлению. Таким образом, правые концы кабелей оба электрически соединены с недостатком кабеля. Когда переключатель S включен (как показано на рис. З26.2), батарея ни к чему не подключена, и поэтому G будет указывать на то, что в ней есть нулевой ток. Затем мы поочередно закрываем и открываем S и настраиваем переменные резисторы b и c так, чтобы стрелка G всегда показывала ноль. Таким образом, мы ищем такое условие цепи, что когда S открывается и закрывается, в G никогда нет тока (поэтому значение r не важно, поскольку в нем никогда нет тока), либо когда S вверх (открыто), и поэтому нигде нет тока, либо когда S вниз (за1 Назван в честь английского ученого Чарльза Уитстона (Charles Wheatstone, 1802–1875), хотя на самом деле он не был изобретателем (что он самостоятельно признавал)! Уитстон был дядей Оливера Хевисайда через его жену (жена Уитстона была сестрой матери Оливера).

194

ЗАДАЧИ

крыто), и  ток батареи течет только в  кабели, но не через G. Это очень чувствительный тест, поскольку мы не пытаемся прочитать точное значение тока, но, скорее, мы ищем те значения b и c, которые приводят к тому, что даже не дрожит игла G, когда мы переворачиваем S вверх и вниз. Покажите, как использовать результирующие значения b и c для вычисления x.

II РЕШЕНИЯ

РЕШЕНИЯ

197

Предисловие Решаем задачу 1 Независимо от того, что такое x и  y, 72x и  694y четны (потому что 72 и 694 четны), и сумма двух четных чисел четна. Но 1 001 001 нечетно, и поэтому не может быть никаких целочисленных решений для первого уравнения. Вот так! Для второго уравнения мы начнем с наблюдения, что x3  = 4z3 – 2y 3 = 2(2z3 – y3), и поэтому, очевидно, x3 четен. Но это означает, что x четно (если x нечетно, то существует целое число n такое, что x = 2n + 1, и поэтому x3 будет нечетным вместо четного, поэтому x не может быть нечетным; то есть x должен быть четным). Таким образом, существует целое число x1 такое, что x = 2x1. Итак, подставив это в исходное уравнение, мы получаем 8x13 + 2y3 = 4z3, или y3 = 2z3 – 4x13 = 2(z3 – 2x13), и поэтому, очевидно, y3 четен. Но это означает, что y четно, и  поэтому существует целое число y1 такое, что y = 2y1. Итак, положив это в 8x13 + 2y3 = 4z3, мы получаем 8x13 + 16y13 = 4z13, или z3 = 2x13 + 4y13 = 2(x13 + 2y13), и поэтому, очевидно, z3 четен. Но это означает, что z четно, и это означает, что существует целое число z1 такое, что z = 2z1. Итак, помещая это в 8x13 + 16y13 = 4z13, мы получаем 8x13 + 16y13 = 32z13, и поэтому x13 + 2y13 = 4z13. Это то же самое уравнение, с которого мы начали (!), что означает, что если (x, y, z) является решением, то так же и (x/2, y/2, z/2) и так далее, до бесконечности. Но не может быть бесконечных решений, так как рано или поздно у нас закончатся непрерывно убывающие положительные целые числа. Таким образом, (x, y, z) не могло существовать в первую очередь, и  поэтому, опять же, нет целочисленных решений. Это частный пример вывода методом абсурда бесконечного спуска, известного благодаря французскому математику Пьеру де Ферма (Pierre de Fermat) (1601–1665) и использовавшегося в его доказательстве того, что не существует целых решений x4 + y4 = z4 (частный случай знаменитой последней теоремы Ферма).

Предисловие Решаем задачу 2 Запишем (1 + x)1/2 = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + ¼, и обратите внимание, что (1 + x)1/2(1 + x)1/2 = 1 + x. Таким образом, (c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + ¼)(c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + ¼) = 1 + x, если выполнить умно-

198

РЕШЕНИЯ

жение на левой стороне равенства, то получим c02 + 2c0c1x + (c12 + 2c0c2) + 2(c0c2 + c1c2)x3 + ¼ = 1 + x. Итак, приравнивая коэффициенты равных степеней x по каждой стороне равенства, c02 = 1, или c0 = 1. Кроме того, 2c0c1 = 2c1 = 1, или c1 = . Также или

. Кроме того,

, или

разом вы должны быть в состоянии показать, что

, . Таким же оби т. д.

Предисловие Решаем задачу 3 Масса на уклоне имеет вес 2mg, причем компонент этой силы нормален к  наклону 2mgcos(θ), а  компонент направлен вниз по склону 2mgsin(θ). Таким образом, если эта масса движется по наклону, она будет испытывать силу трения 2mgμcos(θ), направленную против направления ее движения. Наконец, поскольку нам говорят, что массы движутся с  постоянной скоростью, они не ускоряются, и  поэтому по второму закону Ньютона чистая сила на каждую массу равна нулю. Поскольку висячая масса имеет действующую на нее нисходящую силу (гравитацию) mg, то натяжение (направленное вверх) в струне должно так же быть mg. Это же напряжение действует и на массу 2m, направленную вверх по склону. Теперь предположим, что масса 2m скользит вверх по склону (и поэтому висящая масса падает). Мы можем тогда написать для массы на уклоне 2mgsin(θ) + 2mgμ, потому cos(θ) = mg, где эти два множителя слева направлены вниз по наклонной, а  множители справа направлены вверх по наклонной поверхности. Таким образом, sin(θ) + μcos(θ) = , или μ =

, потому cos(θ). Физиче-

ски интересным интервалом для θ является, конечно, 0 £ θ < 90°. Для 0 £ θ £ 30° мы имеем μ ³ 0, что физически нормально. Однако для 30° < θ < 90° мы имеем μ < 0, что физически не нормально. Далее, предположим, что масса 2m скользит вниз по склону (и поэтому подвесная масса поднимается). Затем мы можем записать для массы на склоне 2mgsin(θ) = 2mgμcos(θ) + mg, где выражение слева

РЕШЕНИЯ

199

направлено вниз по склону, а выражение справа направлено вверх по склону. Таким образом, sin(θ) = μcos(θ) + , или μ =

.

Для 30 £ θ < 90° мы имеем μ ³ 0, что физически нормально, в то время как для 0 £ θ < 30° мы имеем μ < 0, что физически не нормально. На рис. 1 нижняя кривая θ для μ для массы 2m, скользящей вверх по склону, и верхняя кривая θ для μ для массы 2m, скользяотношение θμ имеет двойное

щей вниз по склону. Для 0 £ μ £

значение; то есть масса 2m может скользить либо вверх, либо вниз. Для μ £ , однако, масса 2m, если она скользит с постоянной ско-

θ (градусы)

ростью, может сделать это только путем скольжения вниз по склону (тем самым перетаскивая висящую массу вверх). Я  не думаю, что все это очевидно при проверке, и поэтому это элементарный пример силы аналитического рассуждения.

μ

Рис. 1. Скольжение по наклонной плоскости

Предисловие Решаем задачу 4 Пусть в корзине будет N яиц, а затем добавьте яйцо (вспомнив трюк с «воображаемой коровой»), из-за чего будет N + 1 яиц в кор-

200

РЕШЕНИЯ

зине. Теперь, когда мы достаем 2, 3, 4, 5 или 6 яиц одновременно, мы опустошаем корзину (раньше у  нас всегда не хватало одного яйца). Таким образом, N + 1 точно делится на 2, 3, 4, 5 и  6, в то время как сам N точно делится на 7. Мы можем найти N + 1, рассуждая следующим образом. Чтобы числитель был точно делим на знаменатель, все факторы знаменателя должны присутствовать во множителях числителя. Итак, множители 2, 3, 4, 5 и  6 раскладываются на простые числа (что означает, что они не могут быть учтены далее). То есть 2 = 2, 3 = 3, 4 = (2)(2), 5 = 5 и 6 = (2)(3). Затем мы умножаем все различные простые числа на максимальное число раз, когда каждый из них встречается. В этом случае мы имеем [(2)(2)][3][5] = 60. Это говорит нам, что числитель N + 1 должен быть кратен 60. То есть N + 1 = 60, или 120, или 180, или … и т. д. Теперь легко проверить каждое из этих возможных значений, чтобы увидеть, что число, меньшее на 1 (то есть N), делится на 7. Мы быстро видим, что 60 не работает, но 120 подходит, как 119/7 = 17. Итак, самый маленький возможный ответ – это то, что в корзине 119 яиц (прежде чем мы добавим наше дополнительное яйцо). Для следующего наименьшего числа яиц, которое тоже подходит, этот же подход так же быстро дает нам и этот ответ. Итак, продолжая проверять числа, кратные 60, чтобы увидеть, делится ли число на 7, мы обнаруживаем, что 540 подходит (539/7 = 77), и поэтому после 119 яиц следующее возможное число яиц – 539. Делая это еще раз, мы обнаруживаем, что 960 подходит тоже (959/7 = 13), и поэтому следующее (третье) возможное число яиц – 959.

Предисловие Решаем задачу 5 Теперь давайте сначала удалим яйцо (яйцо, которое всегда остается, когда мы удаляем 2, 3, 4, 5 или 6 одновременно) из N яиц в  корзине, что означает, что оставшиеся N – 1 яйца равномерно делятся на 2, 3, 4, 5 или 6 (то есть по предыдущему решению из задачи «яйца в корзине», N – 1 теперь кратно 60), в то время как сам N равномерно делится на 7. Итак, снова тестируем кратные 60 (60, 120, 180, 240, 300, …), для этих свойств мы находим, что N – 1 = 300 является первым числом, которое подходит (301/7 = 43). Таким образом, в корзине может быть 301 яйцо. Следующее наименьшее возможное значение – 721 яйцо (720 кратно 60 и 721/7 =

РЕШЕНИЯ

201

103), а  следующее (третье) наименьшее возможное значение  – 1141 яйцо (1040 кратно 60, и 1141/7 = 163).

Предисловие Решаем задачу 6 Может ли линия проходить через нулевые точки решетки? Да. Рассмотрим y = x + . Не существует целого числа x, которое при добавлении к иррациональному дает целое число y. Может ли линия проходить ровно через одну точку решетки? Да. Рассмотрим y = x . Он проходит через (0, 0), но не через любую другую точку решетки, так как нет целого числа x ≠ 0, которое при умножении на иррациональное дает целое число y ≠ 0. Может ли линия проходить ровно через две точки решетки? Нет. Это потому, что если линия проходит через две точки решетки, она должна пройти через бесконечно больше точек решетки. Чтобы увидеть это, просто нарисуйте эскиз, показанный на рис. 2.

Рис. 2. Проведение линий через точки решетки

То есть если P1 и P2 являются двумя заданными точками решетки, смещенными на ∆x и ∆y (которые, конечно, являются целыми величинами), то линия также должна проходить через точку решетки P3, которая смещена от P2 на ∆x и ∆y. То есть отрезок линии, соединяющий P2 и P3, является продолжением отрезка линии, соединяющего P1 и P2, и оба отрезка линии имеют одинаковый наклон, и т. д. до точек (не показаны) P4, P5, …, до бесконечности. Тот же самый аргумент, очевидно, работает и в противоположном направлении.

202

РЕШЕНИЯ

Предисловие Решаем задачу 7 В тот момент, когда шар начинает подниматься вверх на Луне, его энергия  – это вся кинетическая энергия (КЭ) с  нулевой потенциальной энергией (ПЭ)1. По мере того как он поднимается, ke шара уменьшается, а  его ПЭ увеличивается (с общей оставшейся постоянной из-за сохранения энергии и из-за отсутствия механизма рассеивания энергии, такого как сопротивление воздуха). Когда шар достигает своей максимальной высоты, его энергия равна ПЭ с нулевой КЭ. ПЭ на максимальной высоте, таким образом, равна его начальной КЭ. Когда шар падает, его ПЭ в любой заданной точке совпадает с тем, что было в этой точке во время его подъема, и поэтому его КЭ также одинакова (потому что полная энергия постоянна). То есть шар в каждой точке движется с той же скоростью, что и при движении вверх. Таким образом, поскольку расстояние вверх равно расстоянию вниз, подъем и  спад по времени также равны на Луне. На Земле, однако, вещи должны быть изменены, чтобы учесть постоянную потерю энергии из-за сопротивления воздуха. В частности, ПЭ на максимальной высоте будет меньше, чем начальный КЭ. И поскольку ПЭ в любой данной точке спуска равен тому, чему он был равен во время подъема, КЭ в любой точке спуска должен быть меньше, чем его КЭ была в этой точке во время подъема. То есть шар всегда, в каждой точке, движется медленнее во время падения, чем во время подъема. Таким образом, падение занимает больше времени, чем подъем (td > tu). Опять же, обратите внимание, что детали сопротивления воздуха здесь не важны, просто сопротивление воздуха рассеивает энергию.

Задача 1 Военный вопрос Тормозящее воздействие силы тяжести на снаряд происходит только в  вертикальном направлении, поэтому горизонтальная скорость снаряда постоянна, всегда равна его начальной горизон1 Я беру местоположение вашей ладони в качестве нулевой точки отсчета для ПЭ, для удобства. Нулевая точка отсчета, конечно, может быть где угодно, и аргумент останется неизменным.

РЕШЕНИЯ

203

тальной величине, которая равна Vcos(θ). Вертикальная (восходящая) скорость – это совсем другая история, поскольку на нее влияет гравитация. Начальная вертикальная скорость Vsin(θ) постоянно уменьшается на gt, где t – время, измеренное с  момента запуска (при t = 0). То есть вертикальная скорость в момент времени t равна Vsin(θ) – gt. Если мы скажем, что t = T – это время удара о стену, то снаряд пройдет горизонтальное расстояние VTcos(θ), которое, конечно, должно быть D. Вертикальное расстояние (то есть h) снаряда является интегралом его вертикальной скорости, и поэтому у нас есть два уравнения: VTcos(θ) = D

(1)

VTsin(θ) – gT 2 = h.

(2)

и

Решение (1) для T: (3) и затем, помещая это T в (2), мы имеем: (4) Вспомним тригонометрическое тождество sin2(θ) + cos2(θ) = 1, а затем разделим на cos2(θ) и получим

Используя этот результат для 1/cos2(θ) в (4), мы получаем , или просто после легкой перестановки (5)

204

РЕШЕНИЯ

Уравнение (5) является квадратичным уравнением для tan(θ), и поэтому по формуле для решений квадратичного уравнения мы можем сразу написать:

или делая очевидные упрощения: (6) И вот здесь мы делаем важнейшее наблюдение. Физически требуется, чтобы tan(θ) был вещественным (в  конце концов, как бы вы запустили снаряд под углом с комплексным значением?), что означает, что выражение в  (6) под знаком квадратного корня не должно быть отрицательным. Значит, получается, что

Это выражение после перестановки становится таким: (7) Уравнение (7) сразу говорит нам, что h имеет свое максимальное значение, когда неравенство является равенством, и поэтому, записывая максимум h как H, мы имеем:

РЕШЕНИЯ

205

Для этого максимального значения h квадратный корень в  (6) равен нулю, и поэтому мы далее получаем требуемый угол запуска θ = θmax, где

А как насчет времени полета T? У  нас это тоже почти получилось. Из (3) мы бы сразу получили T, если бы у нас был cos(θmax). Это легко определить из нашего последнего уравнения в рамке, просто нарисовав правый треугольник на рис. P1.1 и использовав теорему Пифагора, чтобы найти гипотенузу.

θmax Рис. P1.1. Определение cos (θmax)

Из рис. P1.1 мы получаем

и, подставив это в (3), получаем наш окончательный ответ:

206

РЕШЕНИЯ

Просто чтобы дать вам представление о числах, предположим, что D = 500 футов, V = 200 футов в секунду и g = 32 фута в с2. Тогда θmax = 68,2°, H = 525 футов, T = 6,73 с.

Задача 2 Невозможная на первый взгляд задача Чтобы перенести задачу о снегоочистителе в математику, я сделаю следующие правдоподобные физические предположения. Если мы измеряем время от полудня (t = 0 – полдень), то снег начал падать в некоторое более раннее время t = –T, где T > 0. Ясно, что определение Т – это и есть наша цель. Для этого обозначим расстояние, пройденное плугом в момент времени t через y(t), и таким образом

 – скорость плуга, а также y(0) = 0. Чтобы конкре-

тизировать единицы измерения (мы, конечно, вольны выбирать любые единицы измерения), давайте измерим y в милях и t в часах (и поэтому

имеет единицы миль в  час). Давайте далее изме-

рим глубину снега в момент времени t на x(t), и поэтому (используя последовательные единицы измерения) глубина в милях – по общему признанию, довольно нестандартная единица для глубины снега на городской улице, но в этом нет ничего плохого. Далее обозначим ширину отвала снегоочистителя W (опять же в единицах миль), а фиксированную скорость уборки снега плугом K (кубические мили в час). Для следующего шага я сделаю предположение (правдоподобное, я думаю), что высота лезвия всегда больше, чем глубина снега. Это последнее предположение позволяет нам написать наше первое уравнение: (1) которое, как вы можете заметить, имеет одинаковые единицы измерения (кубические мили в час) по обе стороны уравнения. В качестве окончательного предположения давайте возьмем скорость снегопада как S миль в час. Поскольку в момент времени t ³ 0 снег

РЕШЕНИЯ

207

падал в течение временного интервала t + T, теперь мы можем написать наше второе уравнение: x = S(t + T).

(2)

Вставляя (2) в (1), получаем

или

Поскольку

 – это всего лишь комбинация констант и поэтому

сама является константой, давайте заменим ее одной константой A, и таким образом

Или, если мы разделим переменные, то есть получим y только на одной стороне равенства и t только на другой стороне равенства, мы получим (3) Мы можем интегрировать (3) бесконечно (без ограничений по количеству интеграций), чтобы получить (4) где C – константа неопределенного интегрирования (дифференцирование (4) относительно t дает (3) обратно для любого C). Мы выберем «правильный» C буквально через минуту. Чтобы оценить интеграл справа в  (4), изменим переменные на u  = t + T (и так du = dt), что преобразует (4) в (5)

208

РЕШЕНИЯ

Теперь должна быть некоторая константа B такая, что C = Aln(B), и так y(t) = Aln(t + T) + Aln(B) = A[ln(t + T) + ln(B)], или с помощью операций логарифмов: y(t) = Aln{B(t + T)}.

(6)

Ну, а  что такое А  и B? Во-первых, мы знаем, что y  = 0 при t = 0, и поэтому ставим это так называемое начальное условие в (6) и имеем: 0 = Aln(BT), или с A ≠ 0 (взгляните на определение) ln(BT) = 0, что означает BT = 1. То есть B = 1/T, и так (7) Чтобы получить A, мы используем данную информацию о том, где находится плуг при t = 1 ч и при t = 2 ч. Если мы запишем D как расстояние (в милях) для y(1), то y(2) =

. Итак, подставив эти два

граничных условия в (7), мы получаем (8) и (9) Разделив (9) на (8), мы видим, что и D, и A сокращаются, оставляя нас (слава богу!) с уравнением только для одного Т:

РЕШЕНИЯ

209

или

или

и

Это означает

или (T + 1)3 = T(T + 2)3. Умножая обе стороны и делая очевидные алгебраические упрощения, мы приходим к квадратичному уравнению для T: T 2 + T – 1 = 0, которое мы знаем, как решить:

или, используя знак плюс (потому что он дает T > 0, в то время как отрицательный знак дает T < 0, что физически неверно), мы приходим к T = 0,618033… ч. То есть T = 37 мин 5 с, и так как снег пошел за это время до полудня, ответ на наш вопрос таков: снег пошел в 11:22:55 утра.

210

РЕШЕНИЯ

Задача 3 Две математические задачи (1) Ключевое наблюдение состоит в том, что, поскольку a, b и c являются сторонами треугольника, они должны удовлетворять так называемым неравенствам треугольника, математическому утверждению физического факта, что сумма любых двух сторон равна или больше, чем другая сторона. То есть кратчайшим путем между любыми двумя точками (любыми двумя вершинами треугольника) в плоскости является прямая линия (сторона, соединяющая две вершины). Итак, мы получаем, что для сторон любого треугольника a + b ³ c,

(1)

b + c ³ a,

(2)

a + c ³ b.

(3)

и и Из (1) мы получаем a ³ c – b, а из (3) получаем a ³ b – c. Теперь, поскольку a, b и c физически являются положительными числами, то либо c – b ³ 0, и поэтому b – c £ 0, либо наоборот. Независимо от того, что является неотрицательным значением, a больше или равно ему и  поэтому, безусловно, больше или равно неположительному значению. Поэтому мы можем написать (4) и будем уверены, что мы всегда будем брать квадратный корень из неотрицательного числа. Из (1) мы получаем b ³ c – a, а из (2) мы получаем b ³ a – c. И теперь либо c – a ³ 0, и поэтому a – c £ 0, либо наоборот. Независимо от того, что является неотрицательным значением, b больше или равно ему и поэтому, безусловно, больше или равно неположительному значению. Поэтому мы можем написать (5) и будем уверены, что всегда будем брать квадратный корень из неотрицательного числа. И наконец, из (2) мы получаем c ³ a – b, а из

РЕШЕНИЯ

211

(3) получаем c ³ b – a. Теперь либо a – b ³ 0, и поэтому b – a £ 0, либо наоборот. Независимо от того, что является неотрицательным значением, b больше или равно ему и  поэтому, безусловно, больше или равно неположительному значению. Поэтому мы можем написать (6) и будем уверены, что мы всегда будем брать квадратный корень из неотрицательного числа. Умножение (4), (5) и (6) друг на друга вместе дает

или

и abc ³ (a + b –c)(b + c – a)(c + a – b), и мы закончили. Этот результат называется неравенством Падоа в  честь итальянского математика Алессандро Падоа (Alessandro Padoa, 1868–1937). изменим переменную на

(2) В  и 

. Затем до

. Таким образом, поскольку y изме-

няется от ¥ до 1 и поскольку x изменяется от 0 до 1, мы имеем

«Трюк» теперь состоит в том, чтобы записать интеграл как бесконечную сумму интегралов, при этом каждый интеграл на единичном интервале. То есть

212

РЕШЕНИЯ

. Или, используя {y} = y – [y], имеем

Причина этого заключается в том, что в каждом интеграле, поскольку y изменяется от k до k + 1, [y] = k, постоянная, на всем единичном интервале интегрирования. Так,

где каждый из двух интегралов в крайнем правом углу легко сделать. Конкретно

и

Таким образом,

Первая сумма справа не представляет особых трудностей. Мы просто выписываем его, срок за сроком, чтобы получить

РЕШЕНИЯ

213

и мы видим, что все множители самоустраняются, за исключением самого первого, оставляя только изначальную единицу. Таким образом,

Посчитать эту окончательную сумму почти так же просто, как только мы увидим, что

или, вспомнив предыдущий результат

получим

И, вспоминая сумму Эйлера, мы видим, что

который имеет числовое значение, которое я дал вам в исходной постановке задачи. Если вы сделаете очевидные (незначительные) корректировки в этом анализе для расчета жите, что результат

, то обнару-

214

РЕШЕНИЯ

что, при n = 1, сводится к результату в поле. Для n = 2 результат включает ζ(3), для которого нет известного точного результата, но для n = 3 Эйлер показал ζ(4) =

, и так

И вот теперь вы знаете, как математические физики проводят время, когда на экране телевизора появляется действительно скучная реклама!

Задача 4 Проблема побега Пусть t = 0 будет временем, когда вы решите начать свой побег из грузовика, бегая под углом θ к центру улицы. Затем, в момент

времени t = T > 0 , заданный

, грузовик проходит

мимо вас (потому что ваша составляющая скорости вдоль улицы – Vycos(θ)). В течение интервала времени 0 £ t £ T вы будете удаляться от центра улицы на расстояние

потому что ваш компонент скорости прямо от центра улицы – это Vysin(θ). То есть обозначая это расстояние через y, мы имеем

и мы хотим выбрать θ, чтобы максимизировать y. В этот момент большинство людей, у которых было исчисление первого года, думают: «давайте установим производную y относительно θ в ноль».

РЕШЕНИЯ

215

Это тоже будет работать, но на самом деле мы можем найти оптимальный θ без исчисления, используя только алгебру и квадратичную формулу. Возведя в  квадрат y-уравнение и  собрав члены (помня также, что cos2(θ) + sin2(θ) = 1), мы приходим к квадратичному в cos(θ): Vy2[y 2 + S 2]сos2(θ) – 2y 2VtVycos(θ) + (y 2Vt2 + S 2Vy2) = 0. Из формулы решения квадратного уравнения мы имеем:

который должен включать квадратный корень неотрицательной величины, чтобы дать физически разумное θ (чтобы дать реальное значение cos(θ)). Итак, принимая 4y 4Vt2Vy2 – 2Vy2[y 2 + S 2][y 2Vt2 + S 2Vy2] ³ 0,

мы получаем y 4Vt2 ³ [y 2 + S 2][y 2Vt2 + S 2Vy2] = y 4Vt2 – S 2y 2Vy2 + S 2y 2Vt2 – S 4Vy2, или 0 ³ y 2(Vt2 – Vy2) – S 2Vy2, или

или

Таким образом, максимальное расстояние от центра улицы

216

РЕШЕНИЯ

Помещая это y в результат в поле для cos(θ), мы знаем, что квадратный корень будет равен нулю, и поэтому оптимальный угол для побега равен

или

Итак, для грузовика, едущего со скоростью 60 миль в час (88 футов в  секунду), и  бегуна, бегущего со скоростью 15 миль в  час (22 фута в секунду), имеем:

Для грузовика на расстонии 75 футов позади бегуна, когда начинается процесс побега,

фута = 19,4 фута > 4 фу-

та (половина ширины грузовика, и поэтому бегун выживает). Для бегуна, бегущего со скоростью всего 4 мили в час (5,87 фута в секунду), θopt  = 86,2° и  y  = 5 футов, что опять-таки равняется выживанию, но, вероятно, запомнится как околосмертельный опыт.

Задача 5 Снова катапульта Снаряд, запущенный из x = 0 в момент времени t = 0, под углом θ, с начальной скоростью V, имеет постоянную горизонтальную составляющую скорости Vcos(θ) и вертикальную составляющую скорости Vsin(θ) – gt. Таким образом, положение снаряда для любого t ³ 0, пока он не вернется на Землю, задается формулой

РЕШЕНИЯ

217

Когда снаряд вернется на Землю в  момент времени t  = T, мы, конечно, будем иметь y(T) = 0, и поэтому V

или

Горизонтальное расстояние, пройденное снарядом от старта до возвращения на Землю (то есть его дальность полета), равно

который, очевидно, максимален при θ  = 45°, и  поэтому максимально возможный диапазон, который я назову R, равен

Таким образом, V 2 = Rg. Теперь, так как

Так как sin2(θ) + cos2(θ) = 1, то

Таким образом:

или, как V 2 = Rg,

, имеем:

218

РЕШЕНИЯ

Теперь давайте введем в  картину стену высотой H при x  = D. Чтобы снаряд приземлился на противоположной стороне стены, он должен (очевидно!) пересечь верхнюю часть стены. То есть мы должны иметь y(x = D) ³ H, так что

или

Очевидно, что θ должно быть больше нуля, чтобы это неравенство было истинным (правая сторона всегда положительна, в  то время как левая сторона отрицательна при θ = 0). Однако если θ слишком велико, неравенство также терпит неудачу по той же причине. Таким образом, существует некоторый интервал для θ, над которым выполняется неравенство. Когда неравенство просто выполняется (то есть это равенство), у нас есть квадратичное уравнение для tan(θ):

или

Стена Опасно! Зона камнепада! Рис. P5.1. Две траектории с «едва касанием» стены

РЕШЕНИЯ

219

Из формулы решения квадратного уравнения (я позволю вам самим проверить те легкие алгебраические вычисления, что для этого понадобились) мы получаем:

Два решения, по одному для каждого выбора знака ±, представляют собой снаряд, едва коснувшийся верхней части стены, как показано на рис. P5.1. Отмеченный штрихом интервал на оси x показывает, где снаряд может приземлиться на дальней стороне стены. Обратите внимание на невысказанное предположение, которое мы сделали: стена не настолько высока, чтобы снаряд не мог пробить стену под некоторым углом запуска. То есть угол, вычисленный из уравнения в рамке, является вещественным, что означает, что величина в квадратном корне не отрицательна. Итак, мы предполагаем, что

, что означает, что

Чтобы показать вам, как работают числа, предположим, что V  = 200 футов в секунду, D = 500 футов и H = 100 футов. Используя наш последний результат, мы видим, что для снаряда возможно едва коснуться стены, так как му H не может быть выше

футов, и поэтофу-

тов (что значительно больше, чем 100 футов). Используя уравнение в рамке, мы приходим к выводу, что самый высокий и самый низкий углы для запуска составляют соответственно 77,6° и 23,7°. Наконец, заштрихованный интервал на рис.  P5.1 (интервал, на котором физически возможно приземление снаряда) составляет 523 фута < x < 1250 футов. (Нижний предел определяется как ) В  частности, существует зона шириной 23 фута, простирающаяся от правой стороны стены, в которую невозможно попасть снаряду. Поначалу у меня возник-

220

РЕШЕНИЯ

ло искушение назвать это «мертвой зоной», но, конечно, именно там вы должны стоять, чтобы избежать риска смерти.

Задача 6 Еще одна математическая задача , и поэто-

Разложение степенного ряда

му для любого x > 0 каждый член справа в бесконечном ряду положителен. Таким образом, частичные суммы постоянно увеличиваются, и поэтому, если мы остановим бесконечный ряд в любой точке, мы всегда получим что-то меньшее, чем ex. Таким образом, в частности, ex > 1 + x. Теперь, отвечая на первый вопрос, допустим, что

, что явно положительно, так как π > e (пото-

му что π > 3 и e < 3). Так,

, или

, или

Наконец, возводя обе стороны в  степень e, мы получаем наш первый ответ: eπ > πe.

Сверившись с калькулятором, мы получаем, что действительно eπ = 23,14… > πe = 22,45….

Для второго вопроса пусть

, что положительно, так как

> 1. Таким образом,

а  также

, или

, и поэтому, возведя обе стороны в степень e, мы получаем наш второй ответ: e3 > 3e. Сверившись с калькулятором, мы получаем, что действительно e3 = 20,08¼ > 3e = 19,81¼.

РЕШЕНИЯ

221

Ответ на третий вопрос (что больше, 3π или π3?) требует лишь , немного дополнительной работы. Запишем

и  так, поскольку

, то если мы позволим

y  = xln(3), получим

. Теперь, по-

скольку 3 > 1, то ln(3) > 0, поэтому для любого x > 0 все члены справа в бесконечном ряду положительны. Таким образом, для любого x > 0 мы можем, конечно, написать 3x > 1 + xln(3). Так как 3 > e, то ln(3) > 1, и поэтому еще более сильное неравенство заключается ,

в том, что для любого x > 0, 3x > 1 + x. Теперь пусть , или

так как π >3. Итак,

, или

.

Возводим в куб обе стороны, получая ответ на третий вопрос: 3π > π3.

Сверившись с калькулятором, мы получаем, что действительно 3π = 31,544… > π3 = 31,006….

Чтобы ответить на последний вопрос (что больше, e2 или 2e?), мы можем начать, как и раньше, с  не можем установить

, но мы

и утверждать, что все члены в бес-

конечном ряду положительны (потому что x < 0, так как e > 2). То, что мы можем сделать, – это установить x  = 2e (что положительно) и использовать усеченный ряд с двумя дополнительными членами. То есть x  =

для любого x > 0. Итак, при

безусловно верно, что

Если мы за-

меним каждое е справа чем-нибудь большим, чем Е, то каждый член после первого будет меньше, и неравенство станет еще сильнее. Мы знаем, что e = 2,71…, и потому < 2,75 =

. Таким образом,

222

РЕШЕНИЯ

Итак,

, или возводя обе стороны в степень e: e2 > 2e.

Сверившись с калькулятором, мы получаем, что действительно e2 = 7,389¼ > 2e = 6,58¼. И наконец, вот доказательство того, что e иррационально. Начнем с того, что

Таким образом, сразу же из первых трех членов становится ясно, что e > 2. Кроме того, так как

Тогда

и  так как

,

то e < 3. Таким образом, 2 < e < 3, из чего мы заключаем, что e не является целым числом (между 2 и  3 нет целых чисел). Теперь предположим, что e рационально, то есть мы предполагаем, что существуют целые числа p и  q такие, что

Поскольку e

не является целым числом, мы знаем, что q ³ 2 (q = 1 даст e = p, целое число, что, как мы только что показали, не верно). Теперь мы умножаем бесконечный ряд для e на q! и получаем

РЕШЕНИЯ

223

или

Слева стоит

которое явно является целым

числом (в предположении, что e является рациональным). С правой стороны выражение в первой паре фигурных скобок явно является целым числом. Но как насчет выражения во второй паре фигурных скобок? То есть что мы можем сказать о

Поскольку q ³ 2, то, заменяя каждый член справа на больший член, мы получим (суммируя геометрический ряд справа в таком виде):

Итак, все это говорит о  том, что eq! (что является целым числом) – это сумма целого числа и чего-то еще, что меньше . Но это очевидно абсурдно. Итак, наше первоначальное предположение о том, что е рационально, должно было быть неверным. Таким образом, е иррационально.

Задача 7 Если теория терпит неудачу Цель кода MATLAB target.m – решить задачу «три стрелки в круге». Без потери общности код предполагает, что круг имеет радиус 1. Код начинает каждую из 10 млн симуляций, находя шесть случайных чисел (сохраненных в  векторной стрелке), чтобы представить координаты x и y трех стрелок. (Координаты x и y первой стрелки – это стрелка(1) и  стрелка(2) соответственно, и т. д.) Это делается путем представления себе окружности радиуса 1, за-

224

РЕШЕНИЯ

ключенной в квадрат длины стороны 2 (от –1 до 1 в направлениях x и y), центрированного в начале координат. Затем, после генерации пары чисел, каждое из которых имеет равномерное распределение по интервалу от –1 до 1, пара принимается, если x2 + y2 < 1. Что означает, что точка (x, y) находится внутри круга. После того как найдены местоположения трех стрелок, вычисляются расстояния между тремя возможными парами (фактически расстояния в квадрате, что позволяет избежать трудоемких операций с квадратным корнем). Если все три расстояния (в  квадрате) меньше 1 (радиус в квадрате), код говорит, что это успех. При многократном выполнении кода были получены оценки вероятности того, что никакие две стрелки не будут разделены расстоянием, превышающим длину радиуса цели от 0,274053 до 0,274552. У меня нет теоретического решения. Если вы сделаете такое, пожалуйста, пришлите его мне. %target.m/created by PJNahin for Mathematical Physics rand('state',100*sum(clock));success=0; for n=1:10000000 index=0; for loop=1:3 go=0; while go==0 x=-1+2*rand;y=-1+2*rand; if x^2+y^2 0 не являются действительными, я просто отсылаю вас к статье Squire (примечание 5) для получения этой дополнительной информации. Кем же был тот человек, который выполнил это элегантное решение? Джон Ланден родился в нескольких милях от Питерборо, Англия, и почти что день в день 71 год спустя недалеко от своего места рождения. Получил более чем типичное образование для мальчика простого происхождения – закончил деревенскую школу при местной церкви, а  затем (возможно) получил некоторые завершающие штрихи в «продвинутой» гимназии. После он взялся 1

Когда p и q – оба положительные (как в нашем конкретном случае), существует только один действительный положительный корень для подавленного кубического уравнения. Геометрическое доказательство этого приведено на стр. 11 книги An Imaginary Tale в примечании 4. Для случая p < 0 ситуация немного сложнее. Тогда существует возможность либо для одного реального корня, либо для трех реальных корней. (Невозможно, чтобы не было ни одного реального корня, ни двух реальных корней, так как сложные корни всегда появляются как пары сопряженных.)

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАНДЕНА ДЛЯ ПОДАВЛЕННОГО КУБИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

299

за работу землемера. Так он зарабатывал себе на жизнь с 1740 по 1762 г. По вечерам, однако, его мысли возвращались к  математическим головоломкам, выходящим далеко за рамки простой тригонометрии и геометрии землемеров, и он начинал представлять то, что вылилось в длинную серию все более глубоких вкладов в The Ladies’ Diary. Несмотря на свое название, это был уважаемый вариант для математиков, как любителей, так и  профессионалов, чтобы опубликоваться1. Здесь было не так уныло, как в некоторых современных математических журналах, и  использование смешных псевдонимов не обескураживало: известно, например, что Ланден пользовался такими прозвищами, как С. Бампкин, Питер Пазлемский и Сэр Статли Стифф (C. Bumpkin, Peter Puzzlem, and Sir Stately Stif). И вот из этого «женского альманаха» он попадает (под своим именем!) на страницы философских трудов Королевского общества2. По мере того как его работа продолжала демонстрировать все более высокий уровень сложности, Ланден привлек к себе благосклонное внимание как математиков Королевского общества (которые избрали его членом в 1766 г.), так и тех, кто жил во Франции (где его окрестили «английским Д’Аламбером»3). В 1762 г. он стал земельным агентом местного дворянина Уильяма Уэнтуорта, графа Фицуильяма (William Wentworth, Earl Fitzwilliam), который был в какой-то момент вторым самым богатым человеком в Англии. Эту должность он занимал до 1788 г., то есть за два года до своей смерти. В те годы он продолжал свой вечерний математический труд, записывая уравнения при свечах. Однако эта работа становилась все более трудной для него, так как в последние годы жизни Ланден ужасно страдал от камней в мочевом 1 Ladies’ Diary («Дамский дневник») был ежегодным изданием, которое появилось с 1704 по 1841 г. Имея тираж в несколько тысяч экземпляров, он предлагал Ландену способ получить деньги за свою работу и стать известнее среди единомышленников: математиков-энтузиастов. Вы можете найти гораздо больше об этом математическом журнале в книге Teri Perl. The Ladies’ Diary or Woman’s Almanack, 1704–1841 // Historia Mathematica. February 1979. P. 36–53. 2 Список публикаций Ландена можно найти в  H. Gwynedd Green and H.  J.  J.  Winter. John Landen, F. R. S. (1719–1790) – Mathematician  // Isis. 35 (no. 1) 1944. P. 6–10. 3 Речь идет о французском физике-математике Жане Ле Ронде д’Аламбере (Jean Le Rond d’Alembert, 1717–1783).

300

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

пузыре – изнурительного, чрезвычайно болезненного недуга, который неделями держал его прикованным к постели. Его смерть, вероятно, была благословенным избавлением от бесконечных страданий. Последнее слово, которое мы имеем о  Ландене, появилось более чем через 40 лет после его кончины, в  георгианскую эпоху1, в  четырехтомном сборнике биографических очерков, которые, как сказано на титульном листе, являются «мемуарами самых выдающихся личностей, процветавших в  Великобритании, начиная с  восшествия на престол Георга первого и  заканчивая кончиной Георга четвертого». Ланден появляется в томе 3, изданном в Лондоне в  1834  г., посвященном «странникам и  путешественникам; философам и людям науки; авторам». Там мы читаем следующие строки: Мистер Ланден, несомненно, занимает очень высокое положение как математик, но его характер, по-видимому, был в некоторых отношениях далеко не самым дружелюбным. Он обладал грубостью ума, которая … заставляла его относиться к подчиненным с презрением… Из-за контраста между его манерами и  манерами его благородного друга, графа Фицуильяма, жители деревни, как говорят, имели обыкновение восклицать, увидев их вместе: «вон идут лорд Ланден и мистер Фицуильям». А также известен тот факт, что его рукописи продавались как макулатура лавочникам Питерборо.

Человек, написавший это резюме, очевидно, был очень сурового мнения о социальных навыках Ландена (работая земельщиком, Ланден, несомненно, нажил себе много неприятелей за эти годы), но призрак Ландена, должно быть, был бы особенно возмущен этим последним предложением, которое гарантированно раздражало бы любого математика. Все же я думаю, что его призрак – тот, кто смеется последним. Сегодня никто (или, по крайней мере, почти никто) не помнит георгианскую эпоху, но в следующий раз, когда вы столкнетесь с  решением кубических уравнений, вам будет полезно вспомнить мистера Ландена. Наконец, для тех читателей, которые все еще могут думать, что использованное Ланденом вычисление было, возможно, немного излишним, позвольте мне утверждать обратное. Мы можем сказать гораздо больше о кубических уравнениях с помощью вычис1

Период в  британской истории с  1714 по 1837  г., названный в  честь королей Георга I, Георга II, Георга III и Георга IV. – Прим. ред.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАНДЕНА ДЛЯ ПОДАВЛЕННОГО КУБИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

301

ления, чем с помощью простой алгебры. Например, в предыдущей книге я представил (как указано в примечании 7) простую, основанную на элементарном вычислении демонстрацию того, что подавленное кубическое уравнение x3 + px = q, где p и q неотрицательны, имеет ровно одно действительное положительное решение1. В более ранней книге я утверждал (в разгар решения задачи, связанной с  принципом Архимеда), что подавленное кубическое уравнение r3 – pr + q = 0, где p и q оба положительны, имеет ровно одно действительное отрицательное решение2. Я не доказывал это утверждение, но опять же, его доказательство основано только на вычислении, как показано ниже. Мы начинаем с f(r) = r3 – pr + q, p, q > 0 и хотим показать, что существует одно действительное отрицательное решение для f(r) = 0. Два других решения являются либо вещественными и  положительными, либо образуют комплексно сопряженную пару. Взяв производную, мы получаем f ¢(r) = 3r2 – p, и тогда

Это говорит нам, где график f(r) относительно r имеет локальные экстремумы. Теперь, поскольку вторая производная выглядит так: f ¢(r) = 6r, мы видим, что

В то время как

1

P. J. Nahin. An Imaginary Tale. Princeton University Press, 2010. Р. 11. P. J. Nahin. In Praise of Simple Physics. Princeton University Press, 2016. P. 139. 2

302

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

и эти два результата говорят нам, что экстремум при r = – ляется локальным максимумом, а экстремум при r =

яв-

 – локаль-

ным минимумом. А также что f(0) = q > 0. Когда r ≫ 0, мы имеем

f ¢(r) > 0, f(r) > 0.

A когда r ≪ 0, у нас получается, что

f ¢(r) > 0, f(r) < 0.

Эти последние две коробки объясняют нам, что график f(r) относительно r имеет положительный наклон для (достаточно) отрицательного р и (достаточно) положительного r, а f(r) сама по себе является отрицательной для (достаточно) отрицательных р и положительной на (достаточно) положительных r. Существует лишь два возможных поведения графика f(r)) от r, которые удовлетворяют всем этим требованиям, как показано на рис. П3.1 и П3.2.

Рис. П3.1. Кубическое уравнение r3 – pr + q = 0 с одним вещественным отрицательным решением

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАНДЕНА ДЛЯ ПОДАВЛЕННОГО КУБИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

303

Рис. П3.2. Кубическое уравнение r3 – pr + q = 0 с тремя вещественными (среди них одно отрицательное) решениями

Общая черта этих двух графиков состоит в том, что одно решение является действительным и отрицательным. Обратите внимание, что в  обоих случаях требуется, чтобы проверить алгебраически (попробуйте!).

. Это легко

Приложение 4 Решение задачи лорда Рэлея о вращающемся кольце 1876 г.1 В расцвет Викторианской эпохи вращающееся кольцо определенно бы рассматривалось как сложная экзаменационная задача по математической физике  – точно так, как преподобный Уорд запомнил ее после математического экзамена в  1876  г. Сегодня, однако, ее можно понизить до просто хорошей задачи на дом для второкурсников механико-инженерной специальности, разбирающихся в прочности материалов. Итак, что же такого произошло за столетие после того знаменитого экзамена, чем можно объяснить такую разительную перемену? Современный студент быстро поймет конечную судьбу кольца с увеличением скорости вращения: каждая часть кольца испытывает внешнюю силу (центробежную силу, или, как ее еще называют физики, силу инерции. Впрочем, она ощущается как вполне реальная сила для всех, кто почувствовал ее, катаясь на карусели), которая увеличивается с  частотой вращения до тех пор, пока кольцо в конечном итоге не взорвется. В частности, произвольная половина кольца (см. рис.  П4.1) испытывает силу, которая пытается отделить его от другой половины (которая «наслаждается» тем же самым). И что интересно, многие из студентов-математиков 1876 г. тоже это видели. Мы знаем это, потому что некоторые из их экзаменационных работ сохранились. К тому же Уорвик приводит экзаменационные листы Пойнтинга с  экзамена, которые показывают, что он действительно получил правильное буквенное выражение для напряжения во вращающем-

1

Помимо книги Эндрю Уорвика (Andrew Warwick), цитируемой в эпиграфе книги, вы можете найти задачу о кольце Рэлея на с. 280 тома 1 The Scientific Papers of Lord Rayleigh (Cambridge University Press, 1899). Увы, Рэлей не оставил нам никакого решения этой задачи, но, возможно, анализ, который я  здесь даю, чем-то похож на то, что он имел в  виду. Отсылки в  этом эссе к  фамилии Пойнтинг относятся к  Джону Пойнтингу (упомянутому в сноске к эпиграфу), занявшему третье место на экзамене 1876 г.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛОРДА РЭЛЕЯ О ВРАщАющЕМСЯ КОЛьЦЕ 1876 Г.

305

ся кольце1. Но что еще показывают эти экзаменационные листы (относительно пункта, который Уорвик пропускает), так это то, что на самом деле Пойнтинг нигде ничего не считает. В итоге численные данные Рэлея не были воспроизведены даже хотя бы в  виде неразличимой каракули.

Рис. П4.1. Половина вращающегося кольца Рэлея

Я считаю, что отсутствие численного расчета произошло изза того, что Пойнтинг просто не знал, как связать свое буквенное решение с  числами Рэлея. «Как»  – должно быть, вновь и  вновь спрашивал он сам себя, мне получить скорость (длина в единицу времени) от 90 000 фунтов на квадратный дюйм и 490 фунтов на кубический фут? Какую роль играет время? Что иронично, так как в то же время часы в экзаменационной комнате неумолимо отсчитывали секунды (студенты находились под интенсивным временным давлением, поскольку на каждый вопрос отводилось всего восемнадцать минут). Это фундаментальный вопрос, который современные студенты физики и инженеры приучаются всегда иметь в виду: при выводе буквенных равенств выражения на каждой стороне знака равенства должны иметь одинаковые единицы измерения. Теперь это может показаться настолько очевидным, что будет граничить 1

Уорвик правильно замечает, что эти сохранившиеся экзаменационные рукописи являются «самым близким, что у нас есть к записям математической физики в реальном времени в процессе создания», в отличие от чтения отполированных и  опубликованных рукописей. Эта особенность книги Уорвика делает ее ценной как для историка, так и для простого читателя, желающего поразвлечься.

306

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

с глупостью утруждать себя записыванием подобного в книгу, но на самом деле это основа для удивительно сильной техники анализа размерностей, предмета, только начавшегося изучаться, когда Пойнтинг сидел на математическом экзамене в 1876 г.1 Менее чем через столетие (1950) проявилась значительная иллюстрация его силы, когда английский математический физик сэр Джеффри Тейлор (Geoffrey Taylor, 1886–1975) использовал анализ размерностей, чтобы правильно вывести энергию для первого испытания американской атомной бомбы 16 июля 1945  г. (кодовое название «Троица»). Работая всего лишь с  широко известной серией опубликованных фотографий с  высокоскоростным и  замедленным ядерным грибом взрыва, которая была рассекречена в 1947 г., он сделал расчет, который был так поразительно точен, что власти США (которые пытались сохранить энергию взрыва совершенно секретной) первоначально думали, что Тейлор, должно быть, както нарушил военную безопасность2. Позвольте мне теперь показать вам, как понимание важности анализа единиц размерности сводит вопрос о вращающемся кольце Рэлея к уровню домашней задачи студента-инженера. Представьте себе кольцо с  радиусом r, вращающееся в  вертикальной плоскости: полукольцо теперь выглядит так, как показано на рис.  П4.2, где dm обозначает дифференциальную массу кольца. На рисунке показаны два такие массы, одна под углом θ и  соответствующая масса под углом 180°  – θ. На каждый из dm внешняя радиально направленная центробежная сила dF может быть выражена через горизонтальные и вертикальные компоненты, где видно из симметрии, что две горизонтальные составляющие сокращаются. Равные вертикальные компоненты, однако, складываются, и поэтому, если мы суммируем (интегрируем) вертикальные компоненты по 0 £ θ £ π/2 радиан, все, что нам нужно сделать, – это удвоить результат, чтобы получить полную вертикальную центробежную силу, действующую на полукольцо.

1 Анализ размерностей как предмет обычно датируется статьей 1863 г. великого шотландского математического физика Джеймса Клерка Максвелла (James Clerk Maxwell). 2 Анализ размерностей Тейлора для взрыва «Троицы» может быть понят даже старшеклассником, и вы можете найти полное обсуждение того, что он сделал, в моей книге In Praise of Simple Physics на стр. 232–236.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛОРДА РЭЛЕЯ О ВРАщАющЕМСЯ КОЛьЦЕ 1876 Г.

307

Рис. П4.2. Две симметрично расположенные дифференциальные массы на полукольце

Дифференциальная длина каждой дифференциальной массы равна dl = rdθ, и поэтому, с равномерной площадью поперечного сечения a, объем дифференциальной массы равен adl. Если кольцо имеет плотность ρ, то дифференциальная масса равна dm = adlρ = aρrdθ. Если тангенциальная скорость кольца равна v, то внешняя радиально направленная дифференциальная центробежная сила на дифференциальную массу равна, из известной формулы для центробежной силы:

и таким образом вертикальная, направленная вверх компонента дифференциальной силы на dm равна dFsin(θ) = aρv2sin(θ)dθ. Итак, полная интегрированная вертикальная сила на полукольце равна

Эта сила уравновешена – до тех пор, пока кольцо не разорвется, – натяжением в двух концах полукольца, так что 2F = 2aρv2,

308

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

или F = aρv2. Предполагая, что размеры поперечного сечения провода «малы» по сравнению с r, напряжение в кольце – в каждой точке кольца, а не просто на концах воображаемого полукольца – дано как

Тогда

Из этого результата мы видим независимость v от a (площадь поперечного сечения провода) и от r (радиуса кольца), что также заявлял и Рэлей. И то, и другое сокращается. Обратите внимание, что v должно иметь единицы измерения скорости (метры в секунду), и поэтому это хороший момент, чтобы остановиться на мгновение и проверить размерность. Когда Рэлей обозначил эту проблему на математическом экзамене 1876 г., метрическая система только вступала в силу в Англии, где она не была сразу принята с энтузиазмом, и именно поэтому мы видим, что он все еще использует такие единицы измерения, как дюймы, кубические футы и фунты. Итак, прежде чем идти дальше, давайте преобразуем его числа и единицы измерения в современную систему МКС, в которой мы измеряем массу, длину, время, энергию и силу, – в килограммы, метры, секунды, джоули и ньютоны соответственно. Для начала, если мы положим 1-килограммовую массу на весы, которые измеряют вес в фунтах, мы увидим, что стрелка указывает на 2,2 фунта. Также 1 метр равен 39,37 дюйма, или 3,28 фута. Исходя из этих двух фактов, мы можем преобразовать числа/единицы измерения Рэлея в МКС. Во-первых, плотность 490 фунтов стали на кубический фут становится

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛОРДА РЭЛЕЯ О ВРАщАющЕМСЯ КОЛьЦЕ 1876 Г.

309

Чтобы преобразовать напряжение разрыва Рэлея 90 000 в  МКС, мы хотим получить эквивалентное значение в  единицах . Из второго закона движения Ньютона, F = ma, мы знаем, что 1 Ньютон – это сила, необходимая, чтобы ускорить 1 килограмм массы на 1

. Так как ускорение свободного падения

на поверхности Земли составляет 9,8

, мы знаем, что сила

(вес), указанная по нашей шкале как 2,2 фунта, равна 9,8 Ньютона. Итак, для 1 фунта силы имеем 9,8/2,2 = 4,45 Ньютона. Тогда

Рэлеевское напряжение разрыва стали в единицах МКС, следовательно, будет

Блоку

было присвоено собственное специальное на-

звание в системе МКС: Паскаль (Pa), в честь французского ученого Блеза Паскаля (Blaise Pasca, 1623–1662). Значит, альтернативная МКС мера прочности на разрыв стали Рэлея составляет 620 МПа (мегапаскалей) в системе МКС. Оглядываясь назад на наш результат для v, максимальной тангенциальной скорости до распада кольца, мы должны теперь спросить себя, в  секундах ли измеряется

?

Размерность

такая:

310

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Помня, что

Мы видим, что

, и поэтому наша размерность в порядке. Все, что нам осталось сделать, – это подставить числа. При максимальном напряжении в кольце тангенциальная скорость равна

или в  английских единицах измерения максимальная тангенциальная скорость вращающегося кольца составляет 922 фута в  секунду (что почти равно 628 милям в час). Или, говоря по-другому, предположим, что у нас есть кольцо с радиусом 1 метр (и поэтому окружность 2π метров). При максимальном напряжении это кольцо будет вращаться 281/2π = 44,7 раза в секунду. То есть оно делает 2,682 об/мин. Вы определенно не захотите стоять рядом с таким кольцом Рэлея, которое делает 2,682 оборота в минуту1! 1

В 1890-х гг. эта самая проблема возникла, когда друг Рэлея физик Оливер Лодж (Oliver Lodge, 1851–1940) проводил эксперименты по изучению эфира (мифическое вещество, которое викторианские физики одно время считали заполняющим все то, что казалось им пустым пространством, через которое могли проходить электромагнитные волны). Экспериментальная установка Лоджа подразумевала высокоскоростное вращение массивных стальных пластин, и  к  Рождеству 1891  г. он запускал свою машину со скоростью 2800 об/мин. На такой скорости один из друзей Лоджа забеспокоился, что если в пластинах есть какие-то дефекты, то они могут распасться, и, как сам Лодж написал в лабораторной тетради, «нам отрубят головы». Подробнее об этом увлекательном, но малоизвестном эпизоде в  физике см. книгу Bruce Hunt. Experimenting on the Ether: Oliver J. Lodge and the Great Whirling Machine // Historical Studies in the Physical and Biological Sciences. 16 (no. 1) 1986. Р. 111–134.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛОРДА РЭЛЕЯ О ВРАщАющЕМСЯ КОЛьЦЕ 1876 Г.

311

В своем романе 1970  г. «Мир-кольцо» писатель-фантаст Ларри Нивен (Larry Niven Ringworld) принял концепцию кольца Рэлея  – хотя он никогда нигде не упоминал Рэлея – в буквальном смысле за пределы этого мира. Там он представил себе искусственно сконструированный мир в форме кольца, вращающегося вокруг звезды. Кольцо представляет собой полосу шириной не более 1 млн миль и  толщиной 1000 м, с  радиусом 93 млн миль (в  центре, конечно, звезда). Кольцо имеет тангенциальную скорость 770 миль в секунду, что дает внешнее центробежное ускорение 1g. То есть для существ на внутренней поверхности полосы, обращенной к  звезде, видимая поверхностная гравитация была бы такой, что это было бы похоже на хождение по Земле1. Это удивительно романтичное представление, но у  него есть некоторые проблемы, о которых знал Нивен (у которого есть степень бакалавра по математике). Когда один из героев его рассказа восклицает: «Подумайте о  прочности на растяжение, необходимой для предотвращения разрушения конструкции!» – Нивен не предоставляет читателям ничего большего кроме этого, но мы можем провести наши собственные вычисления и найти эту необходимую силу. Запишем сначала

где v =

σ = ρv2,

 = 1,24 ´ 106 м/с. Чтобы вычислить

ρ кольца, я разделю его массу (Нивен говорит, что это «два раза по десять в тридцатой степени» в граммах2), разделенную на объем кольца. Объем мира-кольца – это его окружность, умноженная на ширину, умноженную на толщину, и т. д.

1

При v  = 770 ´ 5280 футов/секунду  = 4,07 ´ 106 футов/секунду и  R  =

93  000  000 ´ 5280 футов  = 4,91 ´ 1011 футов, ускорение тогда будет что на деле немногим больше 1g. 2

Это, по сути, масса юпитера: 2×1027 кг.

312

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Тогда

что, возможно, удивительно, но это меньше плотности стали Рэлея. Но даже кольцо, сделанное из рэлеевской стали, не смогло бы удержаться вместе, потому что что более чем в 3 млн раз больше, чем у стали Рэлея. В качестве заключительного комментария: как я уже упоминал ранее, метрическая система столкнулась не просто с  небольшим непринятием, когда была введена в Англии, а с настоящим сопротивлением. Дух этого сопротивления передан в забавном стихотворении 1864  г. «Трехфутовое правило» шотландского инженера и физика Уильяма Рэнкина (William Rankine, 1820–1872), и может показаться, что это призыв отдать предпочтение 3-футовому ярду, чем новомодному и немного более длинному метру как единице длины: Когда я был прилежным учеником и учился работать руками, Люди никогда не говорили о мерах, которые пришли из чужих земель; А я британский рабочий, слишком взрослый, чтобы ходить в школу, Так что будь у меня зубило или напильник, я буду придерживаться своего трехфутового правила. Некоторые говорят о миллиметрах, а некоторые о килограммах, А некоторые – о децилитрах, и всем этим меряют пиво и драму; А я британский рабочий, слишком взрослый, чтобы ходить в школу, Поэтому фунтами я буду есть, а квартами – пить, и я буду работать по своему трехфутовому правилу.

Сходство этих строк с  текстами комической оперы Гилберта и Салливана трудно не заметить!

Благодарности Многие из людей, с которыми я работал в прошлом, снова помогали мне в работе, но уже над этой книгой. Все они остались за кулисами, но они очень важны. Среди них Вики Кирн (Vickie Kearn), всегда поддерживающий меня редактор из Принстона; ее эффективный помощник Лорен Букка (Lauren Bucca); потрясающий редактор книг Дебора Тегарден (Deborah Tegarden); талантливые художники издательства The Press Дмитрий Каретников (Dimitri Karetnikov) и Кармина Альварес-Гаффин (Carmina Alvarez-Gaffin), которые каким-то образом превратили мои грубые иллюстрации в настоящее искусство; невероятно сосредоточенная редактор рукописей Барбара Лигуори (Barbara Liguori), которая спасла меня (и не раз!) от неловких ошибок; и анонимные рецензенты моего первоначального предложения по этой книге, чьи критические замечания были наиболее полезны во время моей работы. Лома Карклинс (Loma Karklins) из архива Калифорнийского технического института оказал мне неоценимую помощь в поисках оригинальной фотографии последней доски Фейнмана (а поскольку я сам выпускник Калтеха, Лома еще и предоставил мне скидку за использование фотографии!). Моя ассистентка по административным вопросам из университета Нью-Гэмпшира, миссис Кэти Рейнольдс (Kathy Reynolds), оказала огромную помощь в  подготовке окончательного машинописного текста, представленного в  редакцию Принстона. Версия приложения 4 («Решение задачи лорда Рэлея о вращающемся кольце 1876 г.») появлялась и ранее – в The Mathematical Intelligencer (летом 2017 г.), и я благодарю Боба Буркеля (Bob Burckel) и Ларри Уивера (Larry Weaver) (математика и физика соответственно, оба из университета штата Канзас) за то, что они подтолкнули меня сделать обсуждение этой задачи лучше, чем оно было при моей первой попытке. Особая благодарность  – всегда приятным сотрудникам булочной Me & Ollie’s Bakery, Bread and Café, расположенной на Уотерстрит в  Эксетере, штат Нью-Гэмпшир. Когда я  почти ежедневно сидел в своем уютном уголке у окна, рядом с городской эстрадой, окруженный счастливо болтающими на улице старшеклассниками академии Филлипса Эксетера (все они старательно избегали смотреть в глаза странному старику, таинственно строчащему на бумагах, разбросанных по всему столу), и  заряженный бесконечными чашками горячего тыквенного кофе со специями (особенно

314

БЛАГОДАРНОСТИ

во время февральских метелей), чтобы не уснуть, математическая физика, казалось, просто вытекала из моего пера сама по себе. Экзотичная кошка, впервые появившаяся на обложке In Praise of Simple Physics (Princeton, 2016), снова вернулась и в этой книге, и я хочу выразить особую благодарность художнице Анне Каретниковой (Anne Karetnikov), ее создательнице. Выражение этой кошачьей морды прекрасно передает дух, в котором я и написал эту книгу. И наконец, я благодарю свою жену Патрицию Энн (Patricia Ann), которая вот уже более 55 лет мирится с моим первоклассным талантом повышать энтропию нашего дома с абсурдной скоростью. С  незначительным ворчанием (ну, может быть, не всегда таким незначительным) она в  итоге позволила мне создать весь тот беспорядок, в  который я  обычно превращаю все, что меня окружает. Возможно, она просто перестала пытаться изменить меня, но я  предпочитаю думать, что это потому, что она любит меня. А я знаю, что люблю ее.

Предметный указатель

A

An Imaginary Tale: The Story of √−1, книга П. Дж. Нахина, 294 Arlo and Janis, комикс, 12

B

balls.m, код MATLAB, 247 balls.m, код MATLAB, 94

C

Chases and Escapes, книга П. Дж. Нахина, 153, 154, 155, 159 Chicxulub, книга Дэвида Шонтига и Кэти Эзраилсон (Shonting and Ezrailson), 131 Combinatorial Identities, Риордан, 64 coprime.m, код MATLAB, 185 crossings.m, 225

D

F

fouroverpi.m, 285

G

gcd.m, код MATLAB, 179 gm.m, код MATLAB, 284 googol, 98, 108

I

In Praise of Simple Physics, книга П. Дж. Нахина, 13, 314 Inside Interesting Integrals, книга П. Дж. Нахина, 167

M

m! (m-факториал), 16 Mrs. Perkins’s Electric Quilt and Other Intriguing Stories of Mathematical Physic, книга П. Дж. Нахина, 50, 53

Digital Combat Simulator — DCS, программа имитации полета на самолете, 42 Digital Dice, книга П. Дж. Нахина, 49 Dr. Euler’s Fabulous Formula, книга Нахина, 168 Duelling Idiots, книга Нахина, 45

NASTYGLASS, 101, 102, 105, 106 New Scientist, Джонс, 98 Number-Crunching: Taming Unruly Computational Problems from Mathematical Physics to Science Fiction, Нахин, 47, 48

E

R

EG.m, код MATLAB, 159, 257 Elementary Number Theory, книга Бертона, 30 Enigmas of Chance, книга Марка Каца, 14 Enola Gay, бомбардировщик B-29, 153 побег, 154 траектория полета, 157 equation.m, 286

N

repeat2.m, код MATLAB, 247 repeat.m, код MATLAB, 246

S

sevenballs.m, код MATLAB, 240 shock.m, код MATLAB, 257 sieve.m, код MATLAB, 268 slide1.m, код MATLAB, 245 slide.m, код MATLAB, 82 stack.m, код MATLAB, 228

316

ПРЕДМЕТНыЙ УКАЗАТЕЛь

T

target.m, код MATLAB, 223 The Analyst, 229 The Electrician, журнал, 188 The Mathematical Visitor (журнал), 44, 45, 229 The MathWorks, Inc., 32 theo.m, код MATLAB, 286 The World of Mathematics, книга Дж. Р. Ньюмана, 63

W

walk.m, код MATLAB, 232

Y

YouTube, 42

А

Абель, Нильс Хенрик , 63 Алгебра, 12, 16, 215, 219, 226 выведения в степенной ряд, 20 дифференциального исчисления, 38 Алгоритм Евклида, 177, 179 Аморфный полупроводник, 101 Апери, Роже, 167 Арифметика, 280, 284 элементарная, 266, 268, 271 Атомная бомба, 42, 153, 306

Б

Бакстер, Стивен, 152 Баллистическая группа Лос-Аламосского артиллерийского отдела инженерного округа Манхэттена, 154 Бернулли, Жан, 233 Бертон, Дэвид, 30 Бесконечное множество, 265 Бесконечное разложение степенного ряда, 43 Бесконечность, 37, 40, 71, 73, 78, 81, 98, 125, 168, 169, 197, 201, 267, 276 Бесконечный ряд, 220, 221, 271 Биномиальные коэффициенты, 63, 65 Биномиальных коэффициенты, 68 Бином Ньютона, 63

Блавье, Эдуард Энрст, 188 Блуждание пьяницы, 50 Бозе, Сатьендра Нат, 57 Больцман, Людвиг, 57 Большое количество повторов, 60 Большой взрыв, 99 Бомбардирование, 42 Бомбелли, Рафаэль, 281, 282 Браункер, Уильям, 285, 288 Брун, Вигго, 275 Бхаскар, М. Р., 156

В

Важность, 14 Вандермонд, Александр-Теофиль, 67 Вектор Пойнтинга, 7 Верн, Жюль, 133 Вероятность, 51 для блуждания по Парижу, 53 для блуждающего пьяницы, 51 для взаимно простых чисел, 183 для длины пути, 44, 45, 47 для стопки кирпичей, 49 для шаров в коробках, 59 дня рождения в один день, 60 линия и круг, 48 мишень и стрелы, 48 Взаимно простые числа, 177 Взрыв кинетической энергии, 131 солнечной энергии, 152 химический, 131 ядерный, 153, 154 Викторианский интернет, Стендидж, 187 Винер, Норберт, 18 Военно-воздушные силы, 42 Вранглер Старший, 7 Время скольжения, 77 Вторая мировая война, 18, 32, 153 Выведение, 69, 191, 291 непрерывной дроби Браункера, 288

Г

Гальванометр, 193 Гармонический ряд, 270 расходится, 273

ПРЕДМЕТНыЙ УКАЗАТЕЛь

Гаусс, Карл, 161 Геометрический ряд, 223 Геометрия, 16 прогулки, 36 сферы, 36 Гоудсмит, Сэмюэль, 18 Граничные условия, 208

Д

д'Аламбер, Жан Ле Ронд, 299 Дамский дневник, журнал, 299 Двухточечное обозначение, 295 Де Кулон, Шарль Огюстен, 120 Де Муавр, Абрахам, 60 День рождения каждый день, вероятность, 61 Де Ферма, Пьер, 197 Дзета-функция Римана, 167 Дибнер, Берн, 186 Диксон, Альфред Кардью, 69 Династия Цин, 68 Диофант Александрийский, 19 Диофантово уравнение, 19, 270, 286 Дирак, Пол, 58 Дирак, Поль, 169 Дискретная случайная величина, 272 Дифференциальное уравнение, 111, 115, 116 Дифференцирование сложной функции (цепное правило), 147 Дождевая капля, задача переменной массы, 108 Дойл, Питер, 53

Ж

Жидкость, 127, 128

З

Задача дня рождения, 61 о грузовике, 40 о снегоочистителе, 37 Закон Архимеда, 129, 145 Гука, 120 Кулона, 120 Земля, 140, 150

317

гравитационная сила, 132 масса, 140 радиус, 133, 141 центр, 133 Земля и Луна, противоположные силы, 132 Золотая середина, 283 Зона Златовласки, 141

И

«Игра престолов», сериал, 35 «Игры разума», фильм, 14 Индукция, метод, 16 Интеграл Фурье, 14 Интуиция, 59, 60, 89, 91, 111 Иррациональные числа, 43, 201, 222, 276, 277, 278 Исчисление, 214

Й

Йост, Рез, 15

К

Каждый день в году – чей-то день рождения, 61, 86, 246 Каталан, Эжен, 70 Катальди, Пьетро, 282 Катапульта, 35, 41 выпущенный снаряд, 216 запуск снаряда, 35 угол метания снаряда, 35 Кац, Марк, 14 Квадратичное уравнение, 218 Квадратное неравенство, 23 Квадратное уравнение, 22, 128, 190, 283, 298 Квантование, 96, 97, 105, 107, 108 Квантовая механика, 71, 91 Квантовая физика, 91 Квантовая электродинамика, 91 Кларк, Артур, 152 Кластеризация, 59 Код MATLAB balls.m, 94, 247 coprime.m, 185 crossings.m, 225, 227 EG.m, 159, 160, 257

318

ПРЕДМЕТНыЙ УКАЗАТЕЛь

equation.m, 286 fouroverpi.m, 285 gcd.m, 179 gm.m, 284 lawn.m, 47 paris.m, 234 repeat2.m, 247 repeat.m, 246 sevenballs.m, 240 shock.m, 159, 160, 257 sieve.m, 268 slide1.m, 245 stack.m, 228, 230 target.m, 223, 224 theo.m, 286 triple.m, 185 walk.m, 232 квадратный корень, 280 проверка расчетов, 164 сгенерированный график, 170 язык программирования, 29 Комбинаторная задача, 56, 70 Компьютерное моделирование NASTYGLASS, 106, 248 Монте-Карло, 44, 47, 50, 228, 230 Конгруэнтность, 161 Конгруэнтные числа, 162 Константа Бруна, 275 Корзина с яйцами, 199 Коши, Августин-Луи, 22 Коэффициент кинетического трения, 20 Крейтер, Джозеф Форс, 98 Кроссовер, 100 искажение, 101 Кубическое уравнение, 118 вдохновленное Жюлем Верном, 132 подавленное, 294, 301

Л

Лагранж, Жозеф, 151 Ламе, Габриэль, 180 Ланден, Джон, 293 Лейбниц, Готфрид, 63 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, 116 Логарифмическое неравенство, 87

Лодж, Оливер, 310 Лопиталь, Гийом Франсуа, 233 Лорд Рэлей, 7 Луна масса, 134 поверхность, 31 сила гравитации, 141

М

Максвелл, Джеймс Клерк, 57 Мартин, Артемас, 49 Масса, 75, 76 начальная скорость, 80 скорость скольжения, 78 тангенциальная скорость, 77 Математика, 12 астродинамика, 14 осознавать важность, 14 Математическая ассоциация Америки, 53 Математическая физика, 20, 30, 37, 41, 101, 120, 169, 287, 304, 305, 314 Математические рассуждения, 13, 38, 55 Математический вестник (журнал), 229 Математический экзамен (1876), 306, 308 Меандр, 175 Метеоритный кратер, 131 Метод «воображаемой коровы», 21 Метод Блавье, 188, 189 Мешать деструктивно, 170 конструктивно, 170 МКС, 189 Монте-Карло для блуждания пьяницы, 50 для лужайки, 44 для прогулки по Парижу, 53 для стека кирпичей, 230 для шаров и коробок, 62

Н

Нагасаки, Япония, 42 Наибольший общий делитель, 177, 263

ПРЕДМЕТНыЙ УКАЗАТЕЛь

319

Овшинский, Стэнфорд, 101 Однажды ночью, сериал, 14 Ожидаемое значение, 92, 272 Ожидаемый результат, 60 Окружность, 37, 223, 310, 311 длина, 37 Ом, Георг Симон, 189 Определенный интеграл, 22, 23 Орбитальная скорость, 150, 151 Отдел электротехники Университета Нью-Гэмпшира, 106 «От Земли до Луны», книга Жюля Верна, 133

Платон, 279 Подводные телеграфные кабели, 186 Подводный снаряд, 146 Пойнтинг, Джон Генри, 7 Полукольцо, 306 Рэлея, 308 сила на полукольце, 307 Полусфера поверхность, 76 скольжение по, 75 Порядок выбора, 64 Потенциальная энергия, 126, 127, 128, 129 Правило аккреции массы, 109, 112, 113, 117, 250, 252 из арсенала первокурсника, 233 Лопиталя, 234 Правильный треугольник, 291 Приближение Пуассона, 90 Приключения математика, 32 Принцип Архимеда, 301 исключения Паули, 58, 62, 239 Проверка (доказательный метод), 296, 298 Производная, 16, 301 Произвольная укладка кирпичей, 49 Простые числа, 200, 265, 266 Пружина взрыв кинетической энергии, 131 сжатая, 120 с электрическим зарядом, 119 Пуассон, Симеон Дени, 90

П

Р

Наименьший общий знаменатель, 275 «Начала», книга Евклида, 265 Нейтроны, 56 Непрерывная дробь, 285, 286 Непрерывность, 24, 96 Непрерывные дроби, 281, 288 Неприятное изображение, 105 Неравенство Коши–Шварца, 22, 24, 237 Падоа, 211 Нивен, Ларри, 311 Нобелевская премия, 99 Нулевая вероятность, 51 Нулевая сила, 78, 253 Ньютон, Исаак, 62 бином, 63 второй закон, 20, 76 точечная запись, 117

О

Падоа, Алессандро, 211 Парсеваль де Шен, Марк-Антуан, 172 Паскаль, Блез, 309 Паули, Вольфганг, 58 Пересекающиеся лестницы, 142 периодическая функция, 168 Пирсон, Карл, 50 Письмо в «Boston Globe», 12, 24, 52, 118, 186 Пифагор, 276 Плавучесть, 145

Равновесное состояние, 79, 124, 126, 127, 129 Радиационная лаборатория, 18 Различимые шары и различимые коробки, 56, 58, 83, 240 Разложение в ряд Фурье, 176, 262 степенного ряда, 20, 43, 90, 220, 289 Разностное уравнение, 52, 230 Рамануджан, индийский гений, 14

320

ПРЕДМЕТНыЙ УКАЗАТЕЛь

Распределение Бозе–Эйнштейна, 57 Максвелла–Больцмана, 57 Ферми–Дирака, 58 Рассел, Уильям Говард, 187 Раус Болл, Уолтер Уильям, 18 Рейнберд, Хиггстон, 12 Рекордный год, 271 Ривоаль, Танги, 167 Риордан, Джон, 64 Росс, Рональд, 50 Рэлей, полукольцо, 307 Рэнкин, Уильям, 312

С

Самолет летящий по и против ветра, 55 скорость полета, 55 Сбалансированный мост, 264 Северный полюс, 36, 37 Сейтц, Енох, 229 Сила второй закон движения Ньютона, 20, 110 гравитационная, 132, 134, 135, 136, 256 инерции, 304 механическая, пружины, 123, 125 механическая, резистивная, 120 нулевая равнодействующая, 253 притяжения, электрическая, 123, 125 разрыва, 24 сжатия, механическая, 120 тангенциального ускорения, 76 трения, 198 центробежная сила, 133, 304, 306 центростремительная сила, 76, 133, 151 центростремительного ускорения, 75 чистая гравитационная, 132, 151 электрического отталкивания, 119, 123 Синус гиперболический, 297 Сито Эратосфена, 268 Скольжение по наклонной поверхности, 78

Скорость бегуна, 54, 55 Скрытые фигуры, фильм, 14 Случайные блуждания, 50 Смитсовский экзамен, 116 Снежная головоломка, 37 Снелл, Лори, 53 Созвездие Кита, 141 Составные целые числа, 177, 266 Сохранение энергии, 30, 31, 76, 79, 202 Стирлинг, Джеймс, 60 Стратт, Джон Уильям, 7 Структура данных, 54 Сумма Эйлера, 39 Сферы, едва соприкасающиеся, 140 Схема Блавье, 189

Т

Тейлор, Джеффри, 306 Телеграфные кабели, подводные, 186 Теорема Парсеваля, 172, 176 Пифагора, 142, 158, 205 Стокса, 14 Ферма, 197 Фурье, 168 Теэтет, Платон, 279 Тождество Вандермонда, 67 Диксона, 69 Томпсон, Сильванус, 6 Томсон, Уильям, 187 Точечное обозначение, 295 Точка решетки, 31 Траектория бега, 55 побега, 156 подводного снаряда, 146 полета, 157 снаряда катапльты, 35, 41

У

Уилер, Джон, 24 Уитстон, Чарльз, 193 Улам, Станислав, 32 «Умница Уилл Хантинг», фильм, 14 Универсальная постоянная гравитации, 134 Уорвик, Эндрю, 7, 304

ПРЕДМЕТНыЙ УКАЗАТЕЛь

Уорд, Джозеф Тиммис, 7 Уравнение прямой, 74 Усилители, перекрестные искажения и помехи push-pull системы усилителей, 100 Ускорение капли, 115 силы тяжести, 110 центростремительное, 75, 150

Ф

Фазовый переход, 126 Фейнман, Ричард, 6, 31, 91, 313 Феллер, Уильям, 85 Феодор Киренский, 278 Ферми, Энрико, 58 Феррари, Людовико, 144 Фиктивная сила, 304 Фицуильям, Уильям Уэнтуорт, 299 Формула в дифференциалах, 289 Формула конечных приращений, 27 Формула решения квадратного уравнения, 190, 215, 219, 257, 283 Фотоны, 56 Фундаментальные физические законы, 13 Функция косинуса, 80 Фурье, Жан Батист Жозеф, 168

Х

Хальперн, Пол, 24 Харди, Годфри Харолд, 14 Хевисайд, Оливер, 191 Химические взрывы, 131 Хиросима, Япония, 42, 154, 157 Хитон, Генри, 228 Хоффа, Джимми, 98

Ц

Центр масс, 49, 128, 229, 230 Центробежная сила, 304, 306

321

Центростремительная сила, 76, 133, 151 Цифровое изображение, 106, 107, 108, 249

Ч

Чаллис, Джеймс, 109, 116, 117, 250 «Человек, который познал бесконечность», фильм, 14 Чжан, Ицан, 267 «Числа», сериал, 14 Числа Каталана, 70 Числа Эйлера, 40

Ш

Шанлань, Ли, 68 Шварц, Герман, 22 Шифрование данных, 177 Шонтинг, Дэвид, 131 Шу, Ле Жен, 68

Э

Эзраилсон, Кэти, 131 Эйлер, Леонард, 39 Эйнштейн, Альберт, 57 Электрическая сила, 120 Электрическое отталкивание, 119, 132 Электрическое поле NASTYGLASS, 105 выходное, 104 света, 102, 104 Электроны, 56 Электротехника, 29, 62, 92, 169, 186 Энергетические уровни, 56 Эрдеш, Пол, 19

Ю

южный полюс, 37

Я

Ядерный взрыв, спасение, 42, 258

Книги издательства «ДМК Пресс» можно заказать в торгово-издательском холдинге «Планета Альянс» наложенным платежом, выслав открытку или письмо по почтовому адресу: 115487, г. Москва, 2-й Нагатинский пр-д, д. 6А.

При оформлении заказа следует указать адрес (полностью), по которому должны быть высланы книги; фамилию, имя и отчество получателя. Желательно также указать свой телефон и электронный адрес. Эти книги вы можете заказать и в интернет-магазине: www.a-planeta.ru. Оптовые закупки: тел. (499) 782-38-89. Электронный адрес: [email protected].

Пол Дж. Нахин

Как перехитрить гравитацию Главный редактор

Мовчан Д. А.

[email protected]

Перевод Корректор Верстка Дизайн обложки

Рыжикова М. С. Синяева Г. И. Чаннова А. А. Мовчан А. Г.

Формат 60×90 1/16. Гарнитура PT Serif. Печать офсетная. Усл. печ. л. 20,13. Тираж 200 экз. Веб-сайт издательства: www.dmkpress.com