Математика на миллион долларов: как цифры могут сделать вас богатым (или бедным) [1 ed.] 9785171206673

Математика на миллион долларов — это забавное и бесценное руководство по простым и диковинным математическим стратегиям,

121 76 1MB

Russian Pages 304 [306] Year 2021

Report DMCA / Copyright

DOWNLOAD FILE

Математика на миллион долларов: как цифры могут сделать вас богатым (или бедным) [1 ed.]
 9785171206673

  • Commentary
  • Vector PDF
Citation preview

Хью Баркер

МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН ДОЛЛАРОВ к а к ци фр ы мо гу т сде л а т ь ва с богатым (или б е дн ы м )

Издательство АСТ Москва

УДК 51-7:005 ББК 22.1+65 Б25 Hugh Barker MILLION DOLLAR MATHS: The Secret Maths Of Becoming Rich (Or Poor) First published in hardback in Great Britain in 2018 by Atlantic Books. Аn imprint of Atlantic Books Ltd., Ormond House, 26–27 Boswell Street, London, WC1N 3JZ. Дизайн серии Дмитрия Агапонова В оформлении издания использованы иллюстрации из архива Shutterstock

Б25

Баркер, Хью. Математика на миллион долларов: как цифры могут сделать вас богатым (или бедным) / Хью Баркер ; [перевод с английского Невзоровой Дарьи Николаевны] — Москва : Издательство АСТ, 2021. — 304 с. — (Удивительная наука). ISBN 978-5-17-120667-3 Математика на миллион долларов — это забавное и бесценное руководство по простым и диковинным математическим стратегиям, которые могут сделать вас богатыми. Изучите методы роста ваших повседневных вложений, а также распространенные ошибки, которых следует избегать. Откройте для себя навыки, которые дают дополнительное преимущество при инвестировании и азартных играх. И узнайте, почему мы часто неправильно понимаем вероятность и статистику — с тревожными финансовыми затратами. От максимального использования специальных предложений до использования возможностей экспоненциального роста ваших инвестиций; от искусства подсчета карт до изобретения следующего Google. Математика на миллион долларов поможет вам разобраться в том, как превратить 1000 долларов в 1 миллион; каков наилучший способ выиграть в лотерею; когда лучше всего брать кредит; как одна группа игроков сделала ставку на лунки, чтобы выиграть 500 000 фунтов; как математика может помочь вам создать успешный технологический стартап.

УДК 51-7:005 ББК 22.1+65

ISBN 978-5-17-120667-3

© Hugh Barker, 2018 © Невзорова Д.Н., перевод © Издательство АСТ, 2021

ВВЕДЕНИЕ

Занятная связь между математикой и деньгами

$ Ежегодный доход двадцать фунтов, ежегодный расход девятнадцать фунтов, девятнадцать шиллингов, шесть пенсов, и в итоге — счастье. Ежегодный доход двадцать фунтов, ежегодный расход двадцать фунтов шесть пенсов, и в итоге — нищета. Чарльз Диккенс, «Дэвид Копперфильд»

Нравится нам это или нет, но мы живём в материальном мире, где деньги могут открыть многие двери. Мы все знаем, что на них не купить любовь или счастье, но нехватка средств однозначно заканчивается лишениями и разочарованием. Так что вполне естественно, что люди с определёнными способностями к математике порой задумываются, как использовать эти знания для увеличения своего состояния. Могут ли они, например, лучше управлять своими финансами или бизнесом? Изобрести новый блестящий математический инструмент или целую технологию? Или использовать свои способности для более низменных целей: азартных игр и взлома систем? 3

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

В приведённой выше цитате из «Дэвида Копперфильда» Чарльза Диккенса отмечается, что платёжеспособность всегда предпочтительней банкротства. Не самая ошеломительно оригинальная мысль, но совет всё же весьма надёжный. Хотя, конечно, многие из нас предпочли бы откладывать на чёрный день несколько больше, чем всего 6 пенсов в год. Будем честны: большинство из нас в принципе хотели бы стать как можно богаче. Индустрия «личностного роста» столь прибыльна во многом потому, что она продаёт людям мечту о быстром богатстве при минимальном приложении усилий. Не буду ничего такого обещать в этой книге, а лишь покажу, как много существует различных способов — масштабных и не очень — заставить математику работать на вас. Я объясню, сколько различных связей существует между математикой и финансами и какие возможности эти связи открывают для крупного заработка. Включу в книгу истории успеха известных инвесторов, бизнесменов и игроков, которые применяли в своей деятельности математические формулы и приёмы (и постараюсь не погрязнуть в оценочных суждениях об аморальности азартных игр и спекуляций в противопоставление инвестициям, хотя и оговорюсь, если та или иная финансовая стратегия может повлечь проблемы с законом и прочие риски). Современные технологии также всё в большей мере полагаются на математику: алгоритмы социальных сетей, сложные вычисления, лежащие в основе биткоина, или нескончаемая борьба между хакерами, взломщиками программ и экспертами по информационной безопасности. Кроме того, по ходу изложения я буду кратко фиксировать, что необходимо, а чего ни в коем случае нельзя делать. 4

ЗАНЯТНАЯ СВЯЗЬ МЕЖДУ МАТЕМАТИКОЙ И ДЕНЬГАМИ

Бо2льшая часть книги посвящена личным финансам, азартным играм и инвестициям, причём будет достаточно школьного уровня математики. Какие-то вычисления и законы могут показаться вам очевидными, но вы поразитесь, как много людей любят порой сделать ставку в рулетку, не понимая математической модели игры, или используют аналитические инструменты типа отношения цены к прибыли, не осознавая, что оно очевидно интуитивно связано с процентными ставками. Или, если вам случится обсуждать повышение зарплаты, вдруг вы не знаете, как теория игр влияет на ваши шансы его получить. Попутно мы рассмотрим множество разнообразных занятных задач, интересных чисто с математической точки зрения: от кейнсианского конкурса красоты и задачи византийских генералов до критерия Келли и пасьянса «Мэверик». Не нужно быть гениальным математиком, чтобы применять математический подход в повседневной жизни. Между прочим, большинство успешных инвесторов и бизнесменов не используют сложные вычисления, а полагаются на ясное понимание того, как в принципе работают цифры и какие ошибки люди склонны делать при анализе данных и вероятностей. Порой умение избегать логических ловушек может быть так же критично, как и точность оценок, и понимание частых математических и статистических ошибок способствует развитию этого навыка. Но не всё будет так просто: ближе к концу я расскажу про математику финансовой системы в целом, а также научные награды и премии, что невозможно без перехода к более сложным концепциям. Все теоремы, которые будут упомянуты, в подробностях спо5

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

собен понять лишь намного более продвинутый математик, чем я. Буду честен и напишу прямо, если не очень разбираюсь в теме или если теория находится за гранью понимания любителя. Но в большинстве своём уровень знаний, требуемый для чтения этой книги, не превышает школьный.

ГЛАВА 1

Сила экспоненциального роста

Если человек гордится своим богатством, не следует восхвалять его, пока не станет известно, как тот его использует. Сократ

Cпросите 50 человек, что такое деньги, и вы получите 50 разных ответов: дать деньгам определение исключительно сложно, так что давайте начнём именно с этого. Определение послужит фундаментом для понимания основных способов увеличить ваше состояние и поможет объяснить, почему именно экспоненциальный рост является ключом к успешному накоплению богатства.

Что такое деньги? По своей сути деньги — просто математический инструмент, позволяющий подсчитывать и измерять стоимость. До появления денег товарами обменивались по бартеру: например, мешок зерна могли обменять непосредственно на горшки, бобы или день работы в поле. 7

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Давайте представим сделку, при которой одну молочную корову меняют на три бушеля* пшеницы. Для того, чтобы выразить их сравнительную стоимость, можно построить наглядное уравнение (см. рисунок 1).

= Рисунок 1. Визуализация алгебраического уравнения c = 3b (где c — одна корова, b — один бушель пшеницы).

Однако чистый бартер возможен, только если у вас имеется ровно тот товар, который хочет другая сторона, и наоборот. Иначе вы можете оказаться частью сложной сети покупателей и продавцов, где человек А отдаёт человеку Б корову, тот отдаёт человеку В пшеницу, человек В — человеку Г несколько пчелиных ульев, а последний отдаёт человеку А горшки и кастрюли. Скоординировать подобное будет чудовищно сложно, так что достаточно быстро развились системы денег и кредита. Используя бирки** и прочие примитивные методы фиксации обменов, люди могли продавать свои товары и услуги и накапливать кредитные деньги для покупок в будущем. Если назвать денежную единицу x, то корова могла бы иметь рыночную цену в 15х, а бушель пшеницы — 5х (см. рисунки 2, 3). * Мера объёма сыпучих тел в Англии (равная 36,3 л) и в США (равная 35,2 л). (Прим. пер.) ** Бирка — обструганная палочка из мягкой древесины, использовавшаяся для предварительной фиксации имущественных отношений между сторонами. (Прим. пер.)

8

СИЛА ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО РОСТА

= Рисунок 2. Одна корова стоит 15х.

= Рисунок 3. Один бушель пшеницы стоит 5х.

Алгебраически их можно записать как c = 15x b = 5x Мы можем также преобразовать эти уравнения и получить стоимость одной единицы х: с 15 b х= 5

х=

Обратите внимание, что деньги могут рассматриваться как дополнительный объект рынка, собственная стоимость которого измеряется через другие объекты. Основное преимущество денег заключается в том, что они могут выступать посредником, который позволяет проводить операции с другими объектами. Таким образом, мы видим, что именно счёт лежит в основе денежных систем (возможно, что и сам счёт до 9

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

больших чисел был вдохновлён торговлей: существуют свидетельства того, что в примитивных обществах счёт может вестись по схеме «один, два, три, много» или всего до десяти-двадцати — по количеству пальцев рук и ног). Кроме того, мы выяснили, что деньги с самого их появления служили мерой сравнительной стоимости. Уже на раннем этапе долг также являлся частью денежных систем: хотя во многих обществах налагался запрет на ростовщичество (взимание процента за предоставление денег в долг), в любой системе, которая допускает возможность кредитных обязательств одного человека перед другим, присутствует и концепция долга. Между прочим, сама идея отрицательных чисел впервые была предложена китайскими математиками именно для того, чтобы решать проблемы учёта кре2дита и дебета: в приходо-расходную книгу красными чернилами заносился вычитаемый дебет, а чёрными — прибавляемый кре2дит. Некоторые люди различают настоящие деньги и денежные знаки или фиатные деньги. Под реальными деньгами понимают, например, золото, которое, по их мнению, имеет реальную, внутренне присущую ценность. Их противопоставляют денежным знакам — таким как деревянные монеты или ракушки каури (которые использовались в качестве денег три тысячелетия назад на побережье Индийского океана). Я бы поспорил, что деньги всегда в какой-то мере являются просто знаком или репрезентацией, вне зависимости от их физической формы, однако не хочу вдаваться в сложные рассуждения касательно того, можно ли считать золотые деньги более настоящими, чем, например, доллары США. Скажу лишь следующее: стоимость любых денег — из золота они или из бумаги, государственные или частные, электронные или из пластика — можно оценить лишь относительно. 10

СИЛА ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО РОСТА

Это значит, что стоимость денежной единицы определяется только в пересчёте на товары или услуги (или даже другие валюты), на которые её можно обменять. Получается, что нет такой вещи, как внутренне присущая или абсолютная стоимость. Можно измерить актуальную стоимость золота относительно пшеницы, доллара относительно золота или даже одной иены относительно одного евро. Но нет смысла говорить, что какой-либо из этих товаров имеет свою собственную стоимость независимо от того, кто его оценивает и что на него могут обменять. Всякая денежная стоимость относительна и подвержена изменениям с течением времени. И если, например, цена бензина в долларах растёт, справедливо будет также сказать, что цена доллара в пересчёте на бензин упала. Помимо того, что она относительна, денежная стоимость еще всегда субъективна. Бутылка воды может не иметь никакой ценности для того, кто живёт у чистого ручья, однако, если вы заблудились в пустыне и находитесь на волосок от смерти, для вас она может стоить миллион долларов. Искусство управления капиталом основано на определении разницы в стоимости и её колебаний. Эту концепцию, пожалуй, легче всего понять, если рассмотреть идею так называемых «чистых активов». Они определяются как денежная сумма, которая осталась бы у вас, если бы вы продали всё своё имущество и выплатили все долги по их текущей стоимости. Может быть непросто отказаться от идеи, что деньги имеют или, по крайней мере, должны иметь объективную стоимость. Однако сейчас, в период проведения политики количественного смягчения (и эмиссии денег), должно стать как никогда понятно, что стоимость са11

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

мих денег может увеличиваться и уменьшаться. И если мы будем рассматривать деньги просто как объект, который можно обменять на другие товары и услуги, это подведёт более надёжную математическую базу под наше понимание денег.

Что нужно делать Запомнить, что деньги — лишь относительная мера обменной стоимости, способ подсчёта товаров, услуг, активов, на которые их можно обменять. Чтобы определить сравнительную стоимость, приписываемую нами двум единицам a и b в любой данный момент времени, можно использовать уравнение a = nb. При этом необходимо помнить, что изменениям подвержена стоимость не только товаров и услуг, но и самих денег. Таким образом, стоимость относительна, субъективна и подвержена изменениям. Основные способы увеличения состояния со временем — воспользоваться изменениями в стоимости (например, продать что-то дороже, чем мы за это заплатили) или повысить ценность (например, создать что-то более ценное из исходных материалов).

Покупай дёшево — продавай дорого Следующий базовый принцип, который следует иметь в виду: в основе сделки обычно лежит то, что два человека или две группы людей по-разному определяют стоимость одной и той же вещи и затем соглашаются на обоюдно приемлемую цену (если обе стороны оценивают стоимость одинаково, они могут пойти на сделку, но 12

СИЛА ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО РОСТА

сильной мотивации к тому не будет). Представьте, что завтра вы планируете купить подержанный автомобиль. Допустим, вы готовы заплатить до 3 тысяч фунтов, в то время как продавец хочет продать машину минимум за 2,5 тысячи. Обычно в таком случае сделка совершится по некой промежуточной цене. Это поможет установить рыночную цену, являющуюся теоретическим средним значением для многих подобных операций. Кривые спроса и предложения (см. рисунок 4), которые используются в экономической теории, — это простой способ продемонстрировать, как на рынках назначаются цены. Вы можете применять математические методы для описания идеализированных версий рынков, и они послужат вам ценным аналитическим инструментом, если не забывать, что описываемые идеализированные рынки всё же не существуют. Цена

Спрос

Предложение

Равновесие

Ц*

К*

Количество

Рисунок 4. График спроса и предложения. С ростом цены обычно увеличивается и предложение, т.е. всё больше людей хотят производить или продавать некий товар, в то время как спрос снижается, т.е. всё меньше людей желают его приобрести. Теоретически рыночная цена, иначе называемая равновесной, будет находиться на пересечении кривых спроса и предложения. 13

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Аналогично, при покупке акции сделка совершается в силу того, что вы предполагаете, будто цена акции занижена или точна, в то время как продавец предполагает, что её цена завышена или точна.* Эти предположения могут строиться как на рациональных, так и иррациональных основаниях, но ключевая идея состоит в том, что у продавца и покупателя свои мотивы и причины поразному оценивать те или иные объекты, и в результате достигается компромисс. Так что вместо того, чтобы говорить о стоимости, часто полезней бывает рассматривать рыночную цену, которая может быть измерена. Если вы хотите заработать, подумайте, как обменять активы, товары или услуги по изменяющейся цене так, чтобы увеличить количество своих денег и имущества. По большому счёту, существует четыре подхода к решению данной задачи. Первый — продавать свой труд за заработную плату (фиксированную или сдельную). Другими словами, садитесь на велосипед и отправляйтесь искать работу. Второй — начать бизнес, крупный или малый, по созданию товаров или услуг. В рамках этого процесса вы берёте сырьё (труд, ингредиенты, материалы или идеи) и трансформируете их в продукт, который может быть родан дороже. Например, можно купить глину и начать лепить брошки, которые вы будете продавать по большей цене, а рекламу при этом давать через социальные сети, чтобы снизить издержки. Добавляя ценность сырью, вы увеличиваете своё состояние. * Или же продавец может совершать «вынужденную продажу» — в этом случае он может считать, что цена ниже справедливой, но не имеет других вариантов, кроме как продать акцию. (Прим. авт.)

14

СИЛА ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО РОСТА

Третий — инвестировать в чужой бизнес и создание капитала: как напрямую (например, вложившись в предприятие друга), так и путём покупки акций и облигаций (самостоятельно либо через брокера). Четвёртый — воспользоваться изменениями стоимости активов, покупая их по низким ценам, а продавая по высоким. Это и есть основное занятие любого трейдера — продавать товары дороже, чем купил. Однако так же можно описать и деятельность спекулянтов и игроков (порой может быть непросто разграничить спекуляцию и инвестицию, но в таком случае полезно задуматься, действительно ли вложенные деньги помогут кому-то увеличить своё состояние. Если нет, то это скорее спекуляция, чем инвестиция). Как бы вы ни планировали заработать, очевидное математическое правило «покупай дёшево — продавай дорого» всегда будет применимо в мире колеблющихся цен. Даже на работе можно проанализировать, сколько времени и денег вы вложите в развитие какого-либо навыка или получение опыта, и сравнить эти затраты с возможной прибавкой к зарплате. Но более очевидно это правило прослеживается в бизнесе и инвестиционной деятельности, где чем эффективнее вы пользуетесь колебаниями цен, тем быстрее будет увеличиваться ваше состояние. Однако не следует думать только в терминах купли и продажи. Легендарный инвестор Джон К. Богл* активно выступал за то, чтобы удерживать активы, и пи* Джон Клифтон Богл (1929–2019) — американский предприниматель, основатель и бывший генеральный директор The Vanguard Group — крупнейшей инвестиционной компании в мире. (Прим. пер.)

15

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

сал, что «в инвестировании настоящие деньги должны будут зарабатываться, как чаще всего и происходило в прошлом, не на покупке и продаже, а на владении и удержании». В таком случае следует задаться вопросом: приносит ли актив для вас больше дохода, чем затрат на владение им в настоящий момент, и как эти цифры соотносятся с другими активами, на которые его можно обменять. Здесь также критично не забывать о сравнительной стоимости, поскольку нет никакой выгоды в продаже актива просто чтобы заменить его на другие, менее прибыльные. Экономическая концепция «цены выбора» касается именно того, что капитал, инвестированный в один актив, стоит нам возможности инвестировать те же деньги в альтернативный вариант.

Что нужно делать Одна из причин рассматривать стоимость как чисто математическое явление — факт, что это позволит вам избежать иррациональных поступков. Легко ошибиться и начать учитывать нерелевантные факторы при оценке актива: например, скольких денег и трудов вам стоило его заполучить или за сколько вы надеялись его продать. Это приводит к таким ошибкам, как «ловушка невозвратных затрат» (людям тяжело отказаться от убыточного проекта из-за того, сколько денег в него уже вложено). Единственный критерий, по которому вам следует оценивать актив, — это его текущая стоимость в сравнении с другими вариантами. При этом бо2льшая часть происходившего в прошлом не имеет значения. Прежняя 16

СИЛА ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО РОСТА

динамика изменения стоимости актива может, конечно, дать нам какую-то информацию о динамике дальнейшей, однако, как часто говорят в рекламных объявлениях, «показатели за предшествующий период не являются гарантией результатов в будущем». Хоть и стоит всегда стремиться к тому, чтобы продать актив дороже цены при покупке, отказ от продажи в убыток себе может нанести больше ущерба, чем если мы просто примем потери и продолжим двигаться дальше.

Правило семидесяти двух При оценке бизнес-модели или возможности для капиталовложения часто бывает полезно знать, как скоро вы удвоите свои деньги при определённом темпе роста (а если вы не ожидаете, что сможете в какой-то момент удвоить своё вложение, то, может, следует рассмотреть другие, более прибыльные варианты?). Правило семидесяти двух позволяет легко прикинуть это в уме. К нему прибегали уже в XV веке, когда Лука Пачоли (1445–1514) включил его в своё сочинение «Сумма арифметики». Правило гласит, что, если разделить 72 на темп роста (или процентную ставку — для инвестиций и сбережений), в результате вы получите число расчётных периодов, необходимых для удвоения изначального вложения. Например, при ставке 9% годовых необходимо разделить 72 на 9, чтобы получить срок в 8 лет. В действительности на удвоение денег при 9% понадобится 8,043 года (см. рисунок 5), то есть расчёт достаточно точный. 17

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Доход 2500

2000

1500

1000

500

0

0 Год

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Рисунок 5. Темп роста — 9% в один расчётный период, стартовая сумма — тысяча фунтов. Для удвоения потребуется примерно 8 лет.

Если вы собираетесь применять это практическое правило, имейте в виду, что оно даёт лишь приблизительные результаты и лучше всего работает для ставок в диапазоне между 5 и 10%. Кроме того, точнее бы было использовать 69 или 70 в качестве делимого (исторически сложилось, что используется 72, потому что у него так много делителей: оно кратно 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24 и 36). Если хотите позанудствовать, то можете использовать в качестве делимого 69,3 и применить т.н. правило второго порядка Экхарта-МакХейла, формулируемое следующим уравнением: 18

СИЛА ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО РОСТА

t=

69,3 200 x r (200 – r)

где t — количество периодов, необходимых для удвоения ваших денег, а r — темп роста. Вторая часть уравнения помогает повысить точность расчётов для высоких темпов роста, с увеличением которых уравнение иначе становится всё более неточным. Однако для большинства стандартных ситуаций правила семидесяти двух более чем достаточно. Это подтверждается тем фактом, что оно веками служило многим финансистам и инвесторам.

Лёгкий способ заработать миллион Теперь, когда мы узнали способ быстро подсчитать, как скоро вы удвоите ваши деньги, давайте взглянем на предельно простую схему превращения тысячи фунтов первоначальных инвестиций в миллион за один год. Представим, что вам подвернулась возможность покупать по понедельникам партию волшебных бобов. В пятницу вы всегда можете продать купленные бобы вдвое дороже. Так что вы тратите свой стартовый капитал на покупку партии бобов, затем продаёте их, удваиваете свои деньги, а через неделю покупаете на вырученное в два раза больше бобов. И — вуаля! — вы продолжаете приумножать свои деньги: через неделю у вас будет 2 тысячи фунтов, через две — 4, и так далее, пока через 10 недель у вас не будет 1 024 000 фунтов. Уверен, что вы легко заметили главный недостаток этого плана — волшебных бобов не существует (или, правильнее будет сказать, не существует никаких гаран19

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

тированных способов бесконечно удваивать свои деньги). Сами же расчёты при этом совершенно корректны. Если удвоить деньги n раз, то вы увеличите своё вложение в 2n раз, т.е. будете иметь в 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, а затем и 1024 (т.е. 210) раз больше, чем инвестировали изначально. Это базовая математика, на практике не очень применимая. И все же подумайте об этом как о мысленном эксперименте на тему того, как могут увеличиваться деньги при условии наличия хорошей, надёжной бизнесмодели. Период удвоения вложения может быть больше недели, а вам, несомненно, придётся как следует поработать, чтобы отыскать свой вариант волшебных бобов и постоянно действовать в условиях неопределённости вместо получения гарантированной прибыли. Но в конце концов, все бизнес-планы и инвестиционные стратегии строятся на том, чтобы найти способ приумножить свои деньги, а затем повторить этот процесс. Другой фактор, который необходимо учитывать, — это то, что даже найди вы гарантированный метод удвоения небольших денежных сумм, масштабировать его для перехода к крупным суммам будет становиться всё сложнее. Например, если бы у вас была система удвоения ставок в казино, всего через несколько циклов казино либо запретит вам играть, либо закроется. Даже волшебных бобов достаточно быстро станет так много, что тяжело будет увозить их в садовой тачке по понедельникам. У любых бизнесов и инвестиций есть потолок, и для некоторых он ниже, чем для других. Так о чём же мы поведём разговор в рамках этой книги? Мы докопаемся до сути того, как превратить первую тысячу фунтов в две тысячи с использованием математических навыков и практических правил для решения при20

СИЛА ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО РОСТА

кладных задач. Но нам нужно будет учитывать, насколько ту или иную стратегию получится масштабировать, пока она не упрётся в естественный потолок.

Что нужно делать Когда вы будете искать свои собственные волшебные бобы, с самого начала думайте, сколько времени вам потребуется, чтобы удвоить вложение. Кроме того, учитывайте, как скоро с этим подходом вы упрётесь в потолок, выше которого уже невозможно будет расти с теми же темпами.

Волшебные бобы в реальном мире Я уже говорил, что никаких волшебных бобов не существует, и, к сожалению, это действительно так. Однако полезно сравнить их с рынками недвижимости, земли и акций или облигаций. Фондовые рынки и цены на землю в краткосрочной перспективе могут подвергаться мощным колебаниям, но при этом в долгосрочной перспективе они на протяжении десятилетий и даже веков достаточно стабильно росли в реальном выражении. Так что инвестор или землевладелец, которому удастся совершить покупку при падении цен, а продажу — при росте, или обеспечить себе доход от активов при повышении цен, в долгосрочной перспективе всегда получит хорошую прибыль (пока долгосрочный тренд на рынке сохраняется). В чём же разница между этим и бизнесом по продаже волшебных бобов? Во-первых, никогда нельзя сказать 21

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

с высокой долей определённости, в какой именно точке рыночного цикла вы сейчас находитесь. Во-вторых, цикл длится значительно дольше одной недели, за которую в приведённом примере происходило удвоение цены бобов. Но есть и основополагающее сходство: цены на землю в большинстве экономик и крупные рынки акций и облигаций десятилетиями сохраняли тенденцию расти на 5-10% сверх уровня инфляции. Например, инвестиции в индексные фонды (которые отслеживают показатели всего рынка) обычно демонстрируют именно такую доходность — или чуть больше, если вам удалось войти на рынок при падении. Хоть и не волшебные бобы, но вполне достойная замена для тех, у кого достаточно средств. Чтобы проследить, насколько сильно относительно небольшие различия в годовой доходности влияют на конечную прибыль, взгляните на эти показатели рынка Великобритании с 1984 по 2015 гг.: 100 000 фунтов, инвестированных в недвижимость, принесли бы 502 500 фунтов дохода (5,7% в год при инфляции 3,5% по индексу розничных цен (ИРЦ)*), в то время как при инвестировании в акции (курс которых рос с несколько бо2льшим темпом — 5,9% в год) вышло бы уже 533 000 фунтов. При этом, постоянно реинвестируя дивиденды, можно было бы получить внушительные 1 533 500 фунтов (эквивалент 9,9% роста в год). С 2000 года рынки недвижимости и земли выросли больше фондовых, но это в первую очередь связано с тем, насколько сильно рынок недвижимости проседал в тот период. * Индекс розничных цен (ИРЦ) измеряет изменения стоимости репрезентативной выборки розничных товаров и услуг. Ключевой способ измерения изменения в тенденциях покупок и инфляции в Великобритании. (Прим. пер.)

22

СИЛА ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО РОСТА

Это одна из причин, почему богатые имеют тенденцию оставаться богатыми (см. стр. 264 — принцип Парето): данные виды инвестиций доступны прежде всего тем, кто имеет достаточно средств, чтобы позволить себе часть из них вложить в долгосрочные активы. Для тех, у кого меньше свободных средств, долгосрочные инвестиции в недвижимость и индексные фонды могут всё равно сыграть значительную роль в накоплении богатства, но скорее всего потребуется прибегнуть и к более быстрым способам, если результаты хочется увидеть через несколько лет, а не десятилетий.

Сила экспоненциального роста Пример с волшебными бобами иллюстрирует явление экспоненциального роста, т.е. роста с постоянным нарастанием темпа. Это чрезвычайно мощная концепция, когда дело касается накопления богатства. Она, помимо прочего, помогает объяснить, почему богатейшие люди, как правило, сделали состояние на инвестициях или владении предприятиями, которые возможно успешно масштабировать с течением времени. На рисунке 6 показана экспоненциальная кривая, отражающая рост количества денег с постоянным увеличением темпа во времени. Для сравнения: рост состояния человека с достойной зарплатой, которая увеличивается со временем (но не экспоненциально) будет выглядеть скорее как график на рисунке 7 (вертикальные линии отмечают повышения зарплаты). Конечно, это весьма грубое сравнение, но должно быть очевидно, что экспонента имеет больший потенциал в долгой перспективе — даже если вы будете хорошо 23

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Состояние 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

0,5

1

Время Рисунок 6. Экспоненциальный рост Состояние 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

0,5

Время Рисунок 7. Медленный рост состояния в результате повышения зарплаты. 24

1

СИЛА ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО РОСТА

работать и достигнете успеха, ваша зарплата может вырасти в 2, 10 или даже 20 раз, но чтобы увеличить свой заработок в 100 или более раз, нужно искать способы добиться экспоненциального роста. Так что при поиске способов разбогатеть вы должны задаться следующими вопросами: во-первых, сколько потребуется времени, чтобы удвоить ваши деньги, и, во-вторых, можно ли этот подход масштабировать так, чтобы деньги росли по экспоненте (хотя бы в среднесрочной перспективе).

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ГЛАВЫ 1: 1. Деньги можно рассматривать как переменную в уравнении сравнительной стоимости. 2. Используйте правило семидесяти двух для приблизительной оценки скорости роста ваших денег. 3. Экспоненциальный рост должен быть частью вашей идеальной бизнес-модели. 4. Если вы только не отыщете волшебные бобы, вам придётся учиться управлять рисками, действовать в условиях неопределённости и составлять адекватные прогнозы будущей стоимости.

ГЛАВА 2

Как обыграть казино ♥

Азартная игра, именуемая бизнесом, неодобрительно смотрит на бизнес, именуемый азартной игрой. Амброз Бирс

Между азартными играми и некоторыми разновидностями бизнеса может пролегать тонкая грань, особенно если дело касается спекуляций и инвестиций. Когда математик Эд Торп* развил теорию подсчёта карт (в соответствии с которой игрок в блэкджек способен получить преимущество, отслеживая оставшиеся карты) в качестве стратегии ведения азартных игр, его книга по теме послужила источником вдохновения не только для целого поколения игроков, но и для количественных и финансовых аналитиков, а сам он стал успешным менеджером хедж-фонда (см. главу 5). На примере игр можно не только продемонстрировать несколько основных методов анализа вероятности и фактора удачи, но и разобраться, какие логические ошибки совершают игроки. Знание этих приёмов и за* Эд Торп (р. 1932) — американский профессор математики, автор бестселлера «Обыграй дилера». (Прим. пер.)

26

КАК ОБЫГРАТЬ КАЗИНО

блуждений применимо и для других, менее рискованных инвестиций и моделей ведения бизнеса. Так что, рассматривая базовые математические методы оценки рисков и шансов на примере азартных игр, мы заложим прочный фундамент для понимания того, как математика может помочь нам лучше распоряжаться деньгами в целом.

Математики-игроки Джероламо Кардано, учёный-энциклопедист XVI века, был одним из математиков, разработавших основы теории вероятностей. Его книга «Liber de ludo aleae» («Об азартных играх») обозначила идею анализа событий посредством учёта всех возможных исходов и того, сколько из них благоприятны для игрока. В современных терминах можно сказать, что он описал «пространство элементарных событий»*, игры в кости, отметив, что существует всего 36 возможных исходов броска двух костей (см. рисунок 8) и что, например, всего в шести случаях на них выпадает одно и то же число очков, и лишь в одном — две шестёрки. Это позволяет нам определить вероятность выпадения двух шестёрок как 1 к 36 (точнее, это значит, что если мы будем многократно бросать кости, то частота выпадения двух шестёрок будет стремиться к 1 из 36). Игральные кости, карты и фишки существуют как минимум тысячу лет, а возможно и значительно дольше. Уже во времена Кардано в Италии работали пер* Или «множество всех исходов» — термин «элементарное событие» является синонимом термина «исход». (Прим. пер.)

27

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Рисунок 8. Все возможные исходы броска двух игральных костей.

вые казино. Поскольку чтобы управлять игорным домом, необходимо определённое понимание способов избежать денежных потерь, вполне возможно, что достижение Кардано, вдохновлённое его пристрастием к ежедневным играм, состояло скорее в том, что он сделал доступным широкой публике математическое знание, которое прежде и так активно применялось для получения личной выгоды жуликами, профессиональными мошенниками или держателями казино (так, значительная часть «Liber de ludo aleae» посвящена различным шулерским приёмам). Хотя труд Кардано был важным шагом на пути развития теории вероятностей, отчётливое представление сформировалось лишь веком позже — в результа28

КАК ОБЫГРАТЬ КАЗИНО

те переписки Блеза Паскаля и Пьера Ферма. Они оба были гениями в своей отрасли: Паскаль изобрёл один из первых механических калькуляторов — т.н. «паскалину», в то время как Ферма предвосхитил математический анализ, причём его «последняя теорема», которая многие века приковывала внимание учёных, была доказана лишь более чем через три века после его смерти (о чём мы узнаем в главе 8). Одной из задач, которые обсуждались мыслителями в переписке, была «проблема очков», над которой тогда безуспешно бились крупнейшие математики мира. Она возникает, если бросить игру, не доведя до завершения. Например, игра в метание колец заканчивается, как только один из участников набирает 7 очков, но как следует поделить деньги, поставленные на кон, если игру оставили при счёте 6:4? В то время как прежние решения предлагали разделить ставку между игроками пропорционально количеству набранных очков или путём сравнения набранных очков с общим числом, необходимым для победы, Паскаль и Ферма ввели концепцию математического ожидания, чтобы учесть все возможные исходы — как если бы игру довели до финала. При этом участнику с четырьмя очками понадобится выиграть три раунда подряд, чтобы победить. Мы намеренно игнорируем фактор техники игры и приписываем выигрышу каждого отдельного очка любым из участников вероятность 1/2. В первом раунде у игрока 1 (который ведёт 6:4) шанс 1/2 выиграть очко и 1/2 проиграть. Аналогично и во втором, поэтому вероятность возникновения каждой из комбинаций (выигрыш-выигрыш, выигрышпроигрыш, проигрыш-выигрыш, проигрыш-проигрыш) 29

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

составляет 1/4. В третьем так же: вероятность любой из комбинаций исходов, устанавливаемых перебором всех сочетаний от «победа-победа-победа» до «проигрышпроигрыш-проигрыш» — 1/8. Поскольку выпадение комбинации «проигрыш-проигрыш-проигрыш» — единственный расклад, при котором игрок 1 потерпит поражение, деньги следует разделить в соотношении 7 к 1 в пользу ведущего игрока. Иначе можно произвести тот же расчёт, рассмотрев вероятность победы ведущего игрока (игрока 1) в каждом отдельном раунде. Для этого суммируем вероятность выиграть очко в первом раунде (1/2) с вероятностью выиграть его во втором (1/4) и третьем (1/8), что в сумме даёт 7/8. Выигрыш Выигрыш Проигрыш Выигрыш Выигрыш Проигрыш Проигрыш Игрок 1

Выигрыш Выигрыш Проигрыш Проигрыш

Выигрыш Проигрыш Проигрыш

Рисунок 9. Пространство возможных исходов розыгрыша следующих трёх очков в игре. Обратите внимание, что диаграмма предполагает, что все три очка будут разыграны, хотя игра может окончиться и раньше, если игрок 1 выиграет в первом или втором раунде. 30

КАК ОБЫГРАТЬ КАЗИНО

Рассмотрение всех возможных исходов в пространстве элементарных событий образовывает ядро теории вероятностей. Треугольник Паскаля может послужить инструментом для подсчёта всех возможных комбинаций исходов в определённых числовых условиях (назвать этот метод в западной традиции в честь Паскаля было достаточно дерзко, ведь многими веками ранее он уже был известен китайским, индийским и персидским математикам). Учёный даже довёл идеи азартной игры до крайности, сформулировав «пари Паскаля», суть которого заключается в том, что верить в Бога — разумный выбор для рационального человека. В основе этой идеи лежит предположение, что выгода от неверия (мирские наслаждения и роскошь) конечна, в то время как плата за неверие и выгода от веры (вечность, проведённая в аду или в раю) бесконечны. Комбинаторика стоит в центре любой современной теории игр. Для всяких игры или пари можно рассмотреть пространство всех мыслимых исходов и приблизительно оценить, сколько из них в нашу пользу, а сколько — нет. Даже при ставках на спорт, где результаты зависят во многом от мастерства спортсмена, а не удачи, мы в состоянии подсчитать шансы на победу и поражение и принять к сведению прочие детали, проанализировав тенденции и данные за прошедший период. Для игры в кости этот процесс весьма прост, но для таких игр, как покер, он несравнимо сложнее. Однако, как мы увидим по ходу книги, искусство ведения азартных игр полагается не только на расчёт вероятностей, но и на выискивание ситуаций, в которых другая сторона иначе оценивает шансы. Так у вас появится возможность сделать ставку, имеющую реальную ценность. 31

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Что такое ставка ? Наилучший способ осмыслить, что такое ставка, — взглянуть на неё как на покупку права получить некую сумму денег при определённом развитии событий в будущем. Чтобы оценить ставку, необходимо проанализировать пространство элементарных исходов — все возможные варианты развития событий. Например, представим следующий спор: удастся ли из колоды в 52 карты с первой попытки вытянуть туз. В колоде тузов четыре, а значит, вероятность вытянуть один 4 составляет , т.е. 1 к 13. Затем возникает вопрос, на52 сколько вероятна та или иная комбинация событий. Метод расчётов этой вероятности зависит от того, связаны события между собой или нет. Так, если мы вытянем карту, после чего затасуем её обратно в колоду и вытянем ещё раз, то события будут считаться независимыми (т.е. первая попытка никак не влияет на вероятность того или иного исхода второй). Чтобы определить наши шансы вытянуть таким методом два туза, необ1 1 1 ходимо умножить на , что в результате даёт . То 13 13 169 есть было бы разумно поставить на этот исход 1 фунт, если общий выигрыш составит более 169 фунтов. Однако если вытягивать карты одновременно, шансы совсем 4 другие. Значение вероятности для первой всё ещё , 52 3 а для второй уже , так что вероятность вытянуть два 51 туза одновременно 3 × 4 =1 51 × 52 221

32

КАК ОБЫГРАТЬ КАЗИНО

A

A







♦ ♠

♦ A

A

Шансы вытянуть туз с двух попыток, если первая карта возвращается в колоду, рассчитывают несколько иначе. Для каждого вытягивания вероятность не вытянуть туза 48 составляет 52 . Так что вероятность не вытянуть туз с двух × 48. Дробь можно сократить на 4: 12 × 12 144 . попыток 48 = 52 × 52 13 × 13 169 Таким образом, чтобы определить шансы вытянуть по крайней мере один туз, следует вычесть это значение из 25 единицы — получим 169 (что чуть больше 1 к 7). И наконец, помимо перемножения вероятностей, иногда их бывает нужно и складывать. Например, чтобы определить шансы вытянуть туз или короля с одной попытки, рассчитаем вероятность каждого из этих событий ( 1 ) и сложим зна13 чения, получив в результате 2 . 13

Чтобы определить, ценную ли вам предлагают возможность для ставки, совершенно необходимо иметь хотя бы общее представление о вероятности. 33

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Леди Удача Важнейшей концепцией, которую должен понимать игрок помимо вероятности и математического ожидания, является волатильность (или изменчивость). Приведём несколько простых примеров из практики, которые продемонстрируют значимость этих идей. Для начала представим, что у вас есть возможность заключить пари, сделав ставку на одно из событий в будущем: «Завтра в полдень часы на главной площади города пробьют 12 раз» или «На монетке выпадет решка». Вы можете выбрать любой вариант. Ставка в один доллар в споре о городских часах закончится в случае выигрыша возвратом вашего же доллара. В свою очередь, ставка в один доллар при игре в орлянку в случае выигрыша принесёт вам два доллара, а в случае проигрыша — нисколько. Поскольку монетка иногда будет приземляться орлом, а иногда — решкой (оба варианта равновероятны), этот спор вы будете когда-то выигрывать (и получите тогда два доллара), а когда-то проигрывать (и останетесь ни с чем). В любом случае, чтобы вычислить математическое ожидание по ставке, достаточно взять среднее значение выигрыша, который останется у вас в результате многих повторений данного пари. Оба спора из примера имеют нулевое математическое ожидание, т.к. средний выигрыш после многих повторений пари о часах равняется точно нулю, а в случае с монеткой — приблизительно нулю. Это служит показателем того, что перед нами два примера честной игры, где ни одна сторона не имеет преимущества перед второй. 34

КАК ОБЫГРАТЬ КАЗИНО

Однако совершенно ясно, что ни интереса, ни сомнений в результатах пари о часах нет, в то время как бросок монетки позволит вам порой выигрывать некую сумму, а иногда и проигрывать. Это связано с тем, что бросок монетки — событие с волатильным, изменчивым исходом. Таким образом, для азартных игр нам необходима волатильность, иначе никакого смысла нет. Из чего следует важный вопрос: как её оценивать и рассчитывать? Для этого нам необходимо разобраться в таком статистическом понятии, как стандартное отклонение. Это мера того, насколько в среднем рассеяны значения некой величины. Текст в рамочке содержит объяснение, как её рассчитывают в общем случае.

Как рассчитать стандартное отклонение Представьте десять карликовых жирафов разного роста. Вот их высота в сантиметрах: 160, 153, 172, 159, 157, 172, 181, 177, 158, 171 Для начала рассчитаем среднее арифметическое (т.е. средний рост), сложив все числа и разделив на количество жирафов: 160 + 153 + 172 + 159 + 157 + 172 + 181 + 177 + 158 + 171 = 1660 1,660 = 166 10 Получается, средний рост жирафа составляет 166 см. Затем рассчитаем разницу между ростом каждого отдельного жирафа и средним: –6, –13, 6, –7, –9, 6, 15, 11, –8, 5 35

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Теперь возведём результаты в квадрат (чтобы после рассчитывать среднее значение только от положительных чисел — иначе положительные и отрицательные числа при сложении взаимно скомпенсируются): 36, 169, 36, 49, 81, 36, 225, 121, 64, 25 Наконец, вычислим среднее значение для этих чисел, сложив их и поделив на 10, что равняется 84,2. Это дисперсия выборки. Стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии, в данном случае оно приблизительно равняется 9,2 см и представляет собой среднее значение отклонения роста от среднего. (Если рассматривать выборку из большего множества, то методология несколько усложнится, но базовый принцип останется прежним.) Для большого объёма данных с нормальным распределением* можно использовать правило 68/95/99,7. Оно гласит, что 68% элементов попадает под величину одного стандартного отклонения от среднего, 95% — двух, а 99,7% — трёх**.

* Нормальное распределение — наиболее часто встречающийся в повседневной жизни тип дисперсии. Для знакомства с несимметричным распределением или распределением Пуассона см. стр. 42. (Прим. авт.) ** Зачастую правило трёх сигм применяется в бизнесе и науке как практическое правило, в соответствии с которым «почти все» элементы нормально распределённого множества попадают под три стандартных отклонения от среднего (даже для прочих видов распределения доля будет не менее 88,8%). (Прим. авт.)

36

КАК ОБЫГРАТЬ КАЗИНО

см 180

177,2

175 170

166

165 160

156,8

155 150

Рисунок 10. Средний рост жирафов — 166 см. Горизонтальные линии на 175,2 см и 156,8 см показывают величину одного стандартного отклонения по обе стороны от среднего. Рост 7 из 10 жирафов попадает под одно стандартное отклонение, один — ниже, два — выше.

Стандартное отклонение — эффективный инструмент для оценки фактора удачи в конкретной игре, ведь чем выше стандартное отклонение, тем больше возможностей как выиграть деньги, так и проиграть их — при условии разумной стратегии ставок. Для большинства ставок на спорт и игр в казино стандартные отклонения уже давно рассчитаны и опубликованы или размещены в свободном доступе. Так что в первую очередь важно разобраться, как правило 68/95/99,7 влияет на результаты азартных игр в целом. Наглядный пример — следующий спор. 37

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Богач против бедняка Два человека решают сыграть в орлянку. Они по очереди выбирают сторону монетки, а проигравший платит победителю 1 фунт за каждый бросок. Это честная игра, так что после большого числа повторений математическое ожидание для обоих игроков будет равняться нулю. Однако есть и дополнительное условие: богач начинает с 30 £, а бедняк — с 10 £. Любой из них может на какое-то время уйти в минус, но игрока выгонят из казино, если после 100 бросков монетки его потери превысят размер стартового банка. Поскольку это биномиальная игра (т.е. возможны всего два исхода), стандартное отклонение рассчитывается при помощи этого простого уравнения: 2×

(

)(

)(

)

число бросков вероятность вероятность × × монетки выпадения орла выпадения решки

Обычная формула стандартного отклонения для биномиального распределения — квадратный корень из [(числа бросков монетки) × (вероятность выпадения орла) × (вероятность выпадения решки)]. Кроме того, мы дополнительно умножаем результат на два, поскольку обычно биномиальное распределение рассчитывается для исходов 0 и 1, у нас же — 1 и –1. Таким образом, стандартное отклонение после 100 бросков монетки: 2 × √ (100 × 0,5 × 0,5) = 10 В соответствии с правилом 68/95/99,7% мы можем ожидать, что после 100 бросков результат каждого из 38

КАК ОБЫГРАТЬ КАЗИНО

игроков с вероятностью 68% будет находиться в интервале между –10 £ и +10 £ от стартового банка. Однако из этого также следует, что с вероятностью 32% сумма выигрыша или проигрыша превысит 10 £. В половине из этих случаев бедняка ожидает именно проигрыш, и получается, что его шансы вылететь из казино после 100 бросков — примерно 1 из 6. Для сравнения: стартовый капитал богача составляет три величины стандартного отклонения. Мы можем рассчитывать, что в 99,7% случаев выигрыш или проигрыш не будет превышать трёх стандартных отклонений, т.е. 30 £. Богач потеряет больше 30 £ лишь в половине от оставшихся 0,3% случаев. То есть вероятность ему вылететь из казино после 100 бросков монетки около 1 к 650. Это значит, что шансы богача не разориться несравнимо лучше, чем у бедняка, хотя игра и является абсолютно честной. Циников этим выводом не удивишь, но, тем не менее, весьма интересно разобраться, почему всё происходит именно так. (Обратите внимание, что если бы правила были другими и бедняк выбывал из игры, как только потеряет свои 10 £, то его шансы были бы ещё ниже, поскольку нам пришлось бы учитывать и те варианты развития событий, при которых по итогам всех 100 бросков он проиграл бы менее 10 £, но в процессе выходил бы за лимит.)

Чего не нужно делать Никогда не играйте, если не понимаете, как стандартное отклонение влияет на ваши шансы потерять стартовый банк. Формальный показателем этого считается 39

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

«риск разорения»: он требует сложных расчётов, однако можно найти удобные калькуляторы риска разорения онлайн. Достаточно ввести информацию о конкретной игре, чтобы получить вероятность того, что вы проиграете стартовый банк за некий период времени. Хотя при данном раскладе казино и букмекерские конторы и выступают в роли богачей, для них эти расчёты применимы так же, как и для самих игроков: заведения вынуждены привлекать к работе команды гениев от математики и статистики, чтобы рассчитать, как дисперсия и волатильность влияют на их шансы масштабных потерь, и не допустить разорения.

Богач и бедняк в казино Теперь давайте представим другую вариацию той же игры: богач и бедняк вынуждены играть в казино, которое берёт себе 10% от каждого выигрыша. Таким образом, математическое ожидание по итогам 100 бросков монетки для каждого игрока составляет –10 £, из-за чего обоим становится сложнее выйти в плюс. Очевидно, что шансы бедняка проиграть свой стартовый банк в 10 £ по итогам 100 бросков превышают 50% — это произойдёт, если только он не выиграет более 50 бросков монетки. Однако новые условия негативно скажутся и на богаче. Мы знаем, что в 95% случаев результат игры попадёт в рамки двух стандартных отклонений по обе стороны от среднего, что означает выигрыш или проигрыш до 20 £. То есть лишь в 5% случаев выигрыш или про40

КАК ОБЫГРАТЬ КАЗИНО

игрыш превысит эту сумму, а значит в половине из этих случаев богача выгонят из казино после 100 бросков монетки. Из чего следует, что для него риск разорения оценивается как 1 к 40. Более того, мы видим, что после 400 бросков монетки математическое ожидание для обоих игроков вместе составляет минус 40 £, т.е. сумму двух стартовых банков. Подобные расчёты позволят оценить ваши шансы на победу, причём как в незатейливой игре, вроде нашей, так и в казино. Короче говоря, именно поэтому держать казино очень выгодно, а играть в нём — совершенно безнадёжная затея.

Волатильность и стратегии игры в рулетку Многие игры допускают стратегии, повышающие или понижающие волатильность результатов ставок. При игре в рулетку можно ожидать больший процент побед, если ставить на красное или черное (18 ) на рулетке с одним 37 «зеро», а не на конкретные числа ( 1 ). Однако для даль37 нейшего снижения волатильности можно обращаться к полноценным комбинациям. Например, вместо того чтобы каждый раунд ставить по 1 £ на красное, можно поставить 0,5 £ на красное и 0,5 £ на нечётные. Тогда при выпадении 10 чисел вы выиграете 1 £, 11 других — проиграете 1 £, а ещё 16 позволят вам остаться при своих. Если этого мало, то можно поставить на красные чётные, тогда при 8 исходах вы выиграете 1 £, всего лишь при 9 — проиграете 1 £ и при 20 — останетесь при своих. Конечно, снижая таким образом волатильность, вы снижаете и свой 41

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

1-я 12 1 до 18

Чёт

2-я 12

3-я 12 Нечет 19 до 36

Рисунок 11. Стандартный план стола для игры в рулетку

42

36 2к1 35 2к1 34 2к1

33 32 31

30 29 28

27 26 25

24 23 22

21 20 19

18 17 16

15 14 13

12 11 10

9 8 7

6 5 4

1

0 2

3

шанс обойти маржу казино. Если вы из числа игроков, которые принимают неизбежность грядущего проигрыша, но равно получают удовольствие от процесса, то эта стратегия позволит вам растянуть время игры. И наоборот, если ваш главный стимул — возможность сорвать куш, можно придерживаться противоположной стратегии и делать ставки на самые рискованные исходы, не позволяя марже казино свести вашу прибыль на нет.

КАК ОБЫГРАТЬ КАЗИНО

За пределами нормального распределения Рассматривая любой набор данных (например, результаты игры в казино или спортивную статистику), важно понимать, какой модели распределения он соответствует. Наиболее частотная схема — «нормальное распределение» (или «распределение Гаусса», названное в честь великого математика Карла Фридриха Гаусса). В этом случае данные сконцентрированы вокруг центральной точки и не имеют перекоса ни в одну из сторон, причём среднее, медиана и мода* более или менее совпадают (см. рисунок 12). В результате получается хорошо знакомая нам колоколообразная кривая, где бо2льшая часть отдельных элементов сгруппирована вокруг среднего значения, а элементы, удалённые от него, встречаются всё более редко. Правило 68/95/99,7 (см. стр. 34 ) лучше всего работает именно для этого типа распределения. Однако следует помнить, что не все наборы данных подвержены столь простому распределению. В этом случае любая оценка математического ожидания на основании подсчёта среднего значения выборки несколько утрачивает ценность. Так, стоит учитывать, что некоторые данные формируют несимметричный график с перекосом вправо или влево, как на рисунке 13. В таком случае среднее может не совпадать с медианой. Лотерея — пример сильно скошенного распределения. Предположим, что разыгрывается джекпот размером * Среднее арифметическое — частное от деления суммы чисел на число слагаемых. Мода — наиболее часто встречающееся значение в выборке. Медиана — такое число, что половина из элементов выборки больше него, а другая половина меньше. (Прим. пер.)

43

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

99,7% 95%

Среднее Медиана Мода

68%

Симметрия

50%

Симметрия

50%

50%

50%

Медиана

Среднее

Несимметричное распределение с перекосом вправо: среднее правее медианы

Частота

Среднее

Медиана

Частота

Рисунок 12. Колоколообразная кривая нормального распределения. При нормальном распределении можно ожидать, что 68% элементов выборки попадёт под одно стандартное отклонение (показано отсечками в виде вертикальных линий по обе стороны от среднего), 95% — под два, 99,7% — под три.

Несимметричное распределение с перекосом влево: среднее левее медианы

Рисунок 13. При распределении с перекосом вправо среднее правее медианы. При распределении с перекосом влево среднее левее медианы. 44

КАК ОБЫГРАТЬ КАЗИНО

в 100 000 £ плюс 50 призов по 2000 £ каждый, а продано было 250 000 билетов ценой в 1 £. Средний выигрыш при покупке билета составляет 0,8 £, но медиана и мода равны нулю, ведь это наиболее вероятный выигрыш, если учесть, что шанс получить хоть что-то составляет 51 к 250 000. Конечно, люди всё равно продолжают покупать лотерейные билеты, надеясь сорвать куш, несмотря на то, что все шансы не в их пользу: в высокой волатильности игры кроется значительная часть её привлекательности. Они осознают, что скорее всего проиграют, но приятное волнение и мечты о громадном выигрыше перевешивают все разумные сомнения. По той же причине многие игроки в слот-машины предпочитают автоматы с высокой волатильностью, т.е. более крупными, но менее частыми выплатами, поскольку им кажется, будто так легче остаться в выигрыше. Другой тип несимметричного распределения, о котором стоит знать, — распределение Пуассона. Достаточно усвоить, что оно обычно применяется для подсчёта событий, которые распределены во времени и количество которых снизу ограничено нулём. Например, если мы знаем, что в среднем в день в некую больницу поступает 6 пациентов, нуждающихся в неотложной госпитализации, при помощи распределения Пуассона можно будет спрогнозировать, насколько вероятно, что в определённый день поступит ноль, один, два, три и т.д. пациента. Обычно эту информацию отображают в виде гистограммы или таблицы с данными. Чтобы объяснить различие между нормальным распределением и распределением Пуассона, я собрал статистические данные о результатах «Арсенала» — футбольного клуба из моего города — за 2016–2017 гг. Для начала взглянем на разницу в голах. 45

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Рисунок 14 представляет собой гистограмму разницы го2лов в отдельных играх. Высота столбца указывает на количество матчей, закончившихся с определённой разницей: от –4 («Бавария» дважды порвала «Арсенал» со счётом 5:1 в Лиге чемпионов) и до +8 (8:0 против клуба «Викинг» в бессмысленном товарищеском матче).

Число матчей, сыгранных «Арсеналом» в 2016–2017 гг.

Среднее 14 12 10 8 6 4 2 0 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Разница го2лов

Рисунок 14. Разница го2лов в матчах «Арсенала» за 2016–2017 гг.

Средний отрыв составляет 1,13. Видно, что график условно колоколообразный, а среднее находится между двумя наиболее высокими столбцами со значением 1 и 2. Нет особых причин ожидать, что результаты подсчёта разницы в голах будут распределены с перекосом в одну из сторон, поскольку допустимо большое количество различных значений, и нулём они не ограничены. В таком случае можно предполагать, что гра46

КАК ОБЫГРАТЬ КАЗИНО

Число матчей, сыгранных «Арсеналом» в 2016–2017 гг.

фик разницы го2лов для всех команд в сезоне будет стремиться к колоколообразной форме. Если же брать в расчёт только забитые «Арсеналом» голы, получится другой график (см. рисунок 15): во многом потому, что этот показатель снизу ограничен нулём (т.е. набор данных не может включать элементы со значением менее нуля). Медианное число го2лов зачастую будет ниже среднего, поскольку несколько матчей с высоким счётом вызовут увеличение среднего значения. Обратите внимание, что из-за этих нескольких матчей кривая графика сильнее протянута вправо.

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Забитые «Арсеналом» голы

Рисунок 15. Число забитых «Арсеналом» го2лов в матчах 2016–2017 гг. 47

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Среднее количество го2лов составляет 2,3. В случае нормального распределения это могло бы навести нас на следующую мысль: можно ожидать, что чаще «Арсенал» по итогам матча забивает три гола, а не всего один, ведь среднее значение ближе к тройке, чем к единице. В таких ситуациях к нам на помощь и приходит дистрибуция Пуассона. Используя онлайн-калькулятор, можно ввести среднее значение (2,3) и верхнюю планку (8 го2лов), а затем рассчитать вероятности, приведённые в таблице 1. Применив их суммарно к 59 играм, получим в третьей колонке прогнозное значение: не идеальное, но весьма точное и корректное — по крайней мере в плане того, что по этим оценкам игр, закончившихся одним голом «Арсенала», будет больше, чем игр с тремя голами. Зацикливание на среднем числе забитых го2лов приводит к искажённому пониманию значимых вероятностей. Голы

Вероятность

Округлённое прогнозное значение числа матчей

0

0,10

6

1

0,23

14

2

0,27

16

3

0,20

12

4

0,12

7

5

0,05

3

6

0,02

1

7

0,01

0

8

0,001

0

Таблица 1. Распределение числа го2лов, забитых «Арсеналом» в 2016–2017 гг., по Пуассону. 48

КАК ОБЫГРАТЬ КАЗИНО

Одно из возможных применений таких данных: взять среднее число го2лов, забитых каждой из двух команд за недавний период, рассчитать для них распределение по Пуассону, предположить, сколько очков они вероятнее всего наберут в следующем матче, и использовать наши прогнозы для сравнения с коэффициентами, предлагаемыми букмекерами. Например, если учесть, что самый частый результат «Арсенала» (2 гола за матч) имеет вероятность 0,27, как указано в таблице 1, а самый частый результат их оппонентов «Тоттенхэм Хотспур» (тоже 2 гола) имеет вероятность 0,25, можно сделать вывод, что шансы ничьей со счётом 2:2 достигают 0.27 × 0.25 = 6.75%. Если при этом букмекер предлагает для ставок на этот результат коэффициент 20 к 1 (в десятичном виде 21,00 ), предложение можно считать весьма соблазнительным: учитывая наш прогноз, это хорошая сделка (см. раздел «Что такое коэффициенты?» ниже). Мы можем и дальше совершенствовать метод, анализируя по отдельности статистику по домашним и выездным играм, конкретные чемпионаты, матчи против более сильных или слабых команд и т.д. Очевидно, что качество исходных данных влияет на результат и что существуют и другие способы оценить вероятность. Главное, что этот инструмент может послужить формированию более чёткого понимания реальной логики, стоящей за статистикой. Стоит отдельно отметить, что, когда мы применяем распределение Пуассона к выборкам с более высоким средним, оно может начинать походить на нормальное распределение. При этом чем ближе среднее к нулю, тем больше график будет скашиваться вправо. На рисунке 16, иллюстрирующем это явление, приведе49

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

ны кривые Пуассона при различных средних. Однако любое моделирование распределения во времени событий, число которых снизу ограничено нулём, лучше производить именно по Пуассону, а не так, будто это нормальное распределение. 0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Рисунок 16. Кривые Пуассона для различных средних значений.

Что такое коэффициенты? При рассмотрении коэффициентов, предлагаемых букмекерами и казино, часто бывает важно уметь рассчитывать значение вероятности, которое они предполагают. Также полезно понимать, как переводить коэффициенты из формата в формат. Наиболее популярный способ записи коэффициентов в Великобритании — дробный. В то же время в Европе, Австралии, Канаде, Новой Зе50

КАК ОБЫГРАТЬ КАЗИНО

ландии и других странах* чаще используют десятичные коэффициенты, а в США — т.н. «манилайн» (или американские). В этой книге мы будем применять дробные коэффициенты и в скобках приводить десятичные, когда это необходимо. Ниже вы найдёте пояснение, как интерпретировать каждый формат записи и как выводить из коэффициентов предполагаемую ими вероятность. Общее правило расчёта предполагаемой вероятности: ставку разделить на потенциальную выплату (если вероятность выражена в процентах, то ещё умножить на 100), но конкретный способ будет отличаться для каждой из трёх систем.

Дробные коэффициенты В рамках этой системы коэффициент излагают в виде отношения «x к y», записанного как дробь с x над y, например, 7/1 (или семь к одному), где y представляет ставку, а x — выигрыш. Так, выигрышная ставка в 1 фунт при шансах 7/1 принесёт вам возврат вашей ставки в 1 фунт плюс 7 фунтов сверху, в сумме — 8 фунтов. Выигрышная ставка при коэффициенте 4/6 (четыре к шести) принесёт всего 10 фунтов: 6 фунтов самой ставки и ещё 4 фунта прибыли. Чтобы рассчитать вероятность, которую при честной игре предполагает этот коэффициент, разделите 100% на (х + у), а затем умножьте на y. Так, коэффициент 7/1 теоретически означает, что букмекер или казино оце* Россия тоже входит в число стран, где применяются десятичные коэффициенты. (Прим. пер.)

51

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

нивают вероятность данного исхода как 100/8 = 12,5%, в то время как коэффициент 4/6 основывается на вероятности 100/10 × 6 = 60%

Десятичные коэффициенты В случае десятичных коэффициентов ваша исходная ставка принимается за 1, а коэффициент показывает, сколько всего вы выиграете в итоге. Так, десятичный коэффициент 8,00 соответствует дробному 7/1, в то время как 1,66 приблизительно равен 4/6. Чтобы вывести из десятичного коэффициента предполагаемую вероятность, просто разделите 100% на коэффициент. Например, десятичный коэффициент 4,00 предполагает для честной игры вероятность исхода 25%.

Американские коэффициенты В т.н. «манилайне», или американской системе, коэффициенты записываются как числа со знаком плюс или минус. Минус значит, что шансы менее одного к одному (в дробной системе записи) или 2,00 (в десятичной системе), т.е. это один из более вероятных исходов (ставка на фаворита), в то время как плюс добавляют, если вероятность ниже 50%. Для коэффициентов со знаком минус число указывает на то, сколько нужно поставить, чтобы выиграть сто единиц, а с плюсом — сколько вы выиграете, если поставите сто единиц. Например, –350 значит, что ставка в 35 $ принесёт вам 10 $ прибыли (в сумме 45 $ выигрыша), а +225 — что ставка в 1 $ принесёт вам 2,255 $ прибыли (в сумме 3,25 $ выигрыша). 52

КАК ОБЫГРАТЬ КАЗИНО

Чтобы перевести данные коэффициенты в вероятность, поделите 100% на суммарный выигрыш, а затем умножьте на ставку (игнорируя минус). Так, для –350 × 350 (приблизительно 77,7%), а для сумма составит 100% 450 100% +225 — 325 × 350 (приблизительно 30,77%). По сути, отыскать возможность для удачной ставки — это найти вариант, при котором рассчитанная вами истинная вероятность события выше, чем вероятность, предполагаемая коэффициентом букмекера или казино. Однако это случается нечасто, и причина кроется в том, что букмекеры и казино не ведут честную игру, а включают при расчёте предлагаемых коэффициентов свою маржу, так что предлагаемые коэффициенты изначально занижены относительно их собственных расчётов вероятности. Получается, что далее нам необходимо понять, как определить долю казино и как она влияет на игру.

(

)

(

)

Доля казино Владеть казино, устраивать игры или заведовать букмекерской конторой было бы невыгодно, если бы коэффициенты не были каким-либо образом подстроены в пользу организатора и против игрока. Ранее мы рассматривали в качестве примера подбрасывание монетки с коэффициентом один к одному (2,00) для выигрышной ставки, т.е. математическое ожидание равнялось нулю. В действительности же, если только вы не играете в компании друзей, где никто не выступает организатором, любая азартная игра скорее всего будет иметь математическое ожидание менее нуля — таким образом, вам следует ожидать проигрыша. 53

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Доля казино (также называемая преимуществом казино, маржой или «хаус эдж») определяется как доход казино, выраженный в виде процента от исходной ставки. Для большинства игр рассчитать её можно, проанализировав диапазон вероятностей в пространстве элементарных исходов игры. Например, при игре в рулетку с одним зеро существует 37 исходов. Если поставить 1 £ на красное, то выпадение 18 ячеек принесёт вам выигрыш, а других 19 — проигрыш, причём каждый исход равновероятен. Так что математическое ожидание для ставки равно 18



37

19

=

37

–1 37

Если перевести результат в проценты, то получим –2,7%*, т.е. для казино математическое ожидание положительное и составляет 2,7%. Поскольку все остальные варианты ставок на рулетку основываются на аналогичных простых расчётах, это и будет считаться долей казино для данной игры. Сходно, для рулетки с двумя зеро это же уравнение выглядит следующим образом: 18 38



20 38

=

–1 19

Таким образом, здесь доля казино составляет 5,26%. Представим, что из колоды в 52 карты вытягивают по одной штуке и предлагают коэффициент 10 к 1 (11,00) * С округлением до одной цифры после запятой — обычно я буду округлять результаты подобных вычислений до десятых или сотых, не заостряя отдельно на этом внимания. (Прим. авт.)

54

КАК ОБЫГРАТЬ КАЗИНО

на то, что мы правильно угадаем достоинство карты (т.е. туз это или двойка, король, дама и пр.). Можно ожидать, 4 что выигрышными окажутся 52 ставок, при этом средний выигрыш составит 44 £ при ставке в 52. Соответствен–8 но, математическое ожидание равняется 52 , а доля казино — 15,4%. Более общее выражение доли казино — математическое ожидание, рассчитанное как следующая сумма:



(

) (

вероятность × исхода 1

)

размер выигрыша в результате исхода 1

Доля казино — величина, обратная математическому ожиданию, процент исходной ставки, который казино в среднем оставляет себе. (Определённые трудности возникают, если в игре допустима ничья: правило гласит, что в таком случае следует рассчитать математическое ожидание только для тех игр, где кто-то одержал победу, не учитывая коны с ничьей). Данное явление также можно рассматривать с точки зрения предполагаемой вероятности. Казино или букмекерская контора формирует свою маржу, определяя предполагаемую вероятность того или иного исхода и выставляя коэффициент таким образом, будто событие несколько более вероятно, чем в действительности (в итоге получаются менее выгодные игроку коэффициенты). Можно понимать и так: доля казино формируется за счёт того, что букмекеры в своих расчётах отталкиваются от идеи, будто в сумме вероятности всех возможных исходов якобы дают больше 100%. Взглянем, как маржа рассчитывается при ставках на спорт. Для начала определим все возможные ис55

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

ходы для нужного типа ставок. Например, для скачек с пятью участниками коэффициенты могут быть следующие: Нимродс Сан Роудраннер Фэйдед Глэмор Рилкин Харт Электрик Дримз

4/5 4/1 6/1 10/1 10/1

(1.80) (5.00) (7.00) (11.00) (11.00)

Вычислим, какие суммы необходимо поставить на каждую из лошадей, чтобы выиграть 100 £. Для этого разделим 100 £ на значение десятичного коэффициента (или на дробный коэффициент плюс единицу). Нимродс Сан

100 £ 1,8

= 55.56 £

Роудраннер

100 £ 5

= 20.00 £

Фэйдед Глэмор

100 £ 7

= 14.28 £

Рилкин Харт

100 £ 11

= 9.09 £

Электрик Дримз

100 £ 11

= 9.09 £

Если сделаем ставки на всех, то нам гарантируется возврат 100 £. Однако для достижения этого результата, нам потребуется потратить 108,02 £ (а поскольку предполагаемую вероятность каждого исхода мы рассчитываем точно так же, то предполагаемая вероятность победы каждой из лошадей в сумме составляет 108,02%). Таким образом, наш ожидаемый выигрыш 56

КАК ОБЫГРАТЬ КАЗИНО

100 = 92,6% 108,02 (в процентном выражении). Доля букмекера составит 7,4%, и с каждого поставленного 1 £ можно ожидать средний выигрыш менее 0,93 £.

Как узнать долю казино Хотя, конечно, понимать принципы расчётов доли казино бывает полезно, делать их самим вовсе не обязательно: в большинстве своём казино и букмекеры обязаны публиковать или иначе размещать в свободном доступе информацию о значении своей маржи для отдельных рынков, игр и автоматов, так что эти данные широко представлены в литературе и Интернете. Доля казино в 5–10% встречается достаточно часто, но для слот-машин и различных видов лотерей она может достигать 15 и даже 25%. Если вы умеете играть в блэкджек, придерживаясь оптимальной стратегии, то поначалу можете рассчитывать на значительно более низкое значение доли казино — всего 0,5%. Это объясняется тем правилом, что дилер выигрывает, если у игрока перебор, даже когда у самого дилера тоже перебор. Некоторые автоматы для игры в покер предлагают возможность играть с маржой в 0,5%, в то время как другие менее щедры. В свою очередь, при игре в покер в заведении игрок не оказывается непосредственно подвержен фактору доли казино, однако с него обычно берут установленную комиссию, т.е. другим путём достигается тот же результат. А если учесть, что всё подстроено против игрока, то почему же тогда люди продолжают играть в азартные игры? 57

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Хорошие и плохие причины играть Для начала, признаем, что многие причины играть в азартные игры просто-напросто иррациональны. Люди не очень хорошо понимают риски и не умеют их оценивать. Некоторые думают, что хоть всё и подстроено против игрока, им просто повезёт или как-то иначе удастся избежать влияния бездушной математической логики. Многие запоминают победы лучше, чем поражения, или ведут отсчёт выигрышей лишь от момента окончания последней полосы неудач — в результате возникает искажённое понимание того, насколько хорошо они играют. Другие игроки мысленно фиксируют взлёты и падения в ходе игры и думают, что смогут уйти, стоит им только оказаться в плюсе (такое поведение называют «самонадеянностью игрока», и оно представляет собой заблуждение, суть которого в том, что выигрыш очень просто рассматривать как «лёгкие деньги», поставив которые, можно добиться ещё большего успеха). Ни одно из этих соображений не является хорошей причиной играть. Обязательно нужно осознавать, насколько опасно иметь лишь расплывчатое понимание данной темы (подробнее про заблуждения игроков на стр. 98). Игровая зависимость — крайне серьёзная проблема, разрушающая жизни людей по всему миру. Однако многие игроки отлично понимают, что деньги они потеряют, и наслаждаются игрой просто как способом приятно провести время, предварительно отложив некую разумную сумму денег, которую они могут позволить себе потратить. Стоит отдельно отметить, что некоторые люди, понимающие математические основы азартных игр, умеющие рассчитывать долю казино и стандартные отклоне58

КАК ОБЫГРАТЬ КАЗИНО

ния для некоторых игр, при этом всё равно могут приходить к некорректным выводам, полагая, что они выиграют несмотря ни на что. Например, часто стандартное отклонение преподносят как друга игрока, меру того, насколько ему может повезти в той или иной игре. Это заблуждение столь же обманчиво, как и прочие, более очевидные заблуждения игроков: действительно, стандартное отклонение позволяет оценить, насколько вы приблизитесь к значению математического ожидания по итогам сеанса игры, при этом игра с нулевой волатильностью не предоставляет возможностей для азартной игры. Но не следует забывать, что стандартное отклонение показывает не только то, насколько ваш результат может превысить значение математического ожидания, но и насколько хуже он может оказаться, причём оба варианта равновероятны. Также учитывайте, что стандартное отклонение пропорционально квадратному корню из суммы ставки, в то время как ожидаемый выигрыш пропорционален всей ставке. Это значит, что чем дольше длится сеанс игры, тем меньше шансов у игрока обыграть казино, ведь скорость, с которой игрок вероятнее всего будет терять деньги, выше, чем скорость прироста суммы, которую вы можете выиграть благодаря удаче. Это повод не быть слишком сдержанным в своей стратегии: волатильность у одной ставки намного выше, чем у тысячи. Чем больше ставок вы сделаете в ходе игры, там больше вероятность проигрыша суммы, соответствующей доле казино (см. закон больших чисел на стр. 89). Есть множество причин скептически относиться к идее обогащения за счёт игр. Единственным убедительным доводом «за» может послужить лишь наличие у вас веской причины считать, что вы способны ней59

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

трализовать, обойти маржу. Это возможно, например, при игре в блэкджек — там размер доли казино меняется с течением игры, чтобы компенсировать изменения в числе оставшихся карт, и в некоторых ситуациях преимущество может оказаться на стороне опытного игрока.

Обратное правило семидесяти двух (управление игровым банком) Для начала давайте взглянем на несколько способов потерять деньги в ходе азартной игры. Во-первых, разорение игрока — игрок, который упорно повышает ставку при победе, но не понижает её при проигрыше, неминуемо проиграет всё. Блез Паскаль и Пьер Ферма обсуждали эту проблему ещё в XVII в., а математик Кристиан Гюйгенс сформулировал общее правило расчёта вероятности выигрыша каждым из игроков серии пари, которая прервётся, как только один из игроков потеряет свой банк. (Концепцию разорения игрока также используют для описания ситуации, когда сторона с конечным капиталом в ходе честной игры против стороны с бесконечным капиталом обязательно рано или поздно проиграет все деньги. Это возможно доказать путём моделирования случайной траектории блуждания: серии последовательных движений частицы вверх или вниз по числовой шкале). Однако нам достаточно рассмотреть самое простое изложение этой идеи. Представим игрока, который при победе увеличивает ставку пропорционально размеру имеющихся средств, но не понижает её при проигрыше. Так, если он начнёт со ставки n и удвоит свой банк, то поднимет ставку до 2n. 60

КАК ОБЫГРАТЬ КАЗИНО

При условии честной игры равновероятно, что игрок разорится или удвоит деньги. Таким образом, мы можем определить шанс того, что он потеряет все деньги до того, как удвоит их, как 12 . Если ему всё же удастся увеличить свой банк, то мы повторим те же расчёты. С это1 го момента у него вновь вероятность 2 удвоить деньги 1 и 2 — разориться. Получается, что шанс обанкротиться 1 1 до второго удвоения денег составляет 2 + 4 . И с каждым увеличением банка шансы разориться изменяются следующим образом:

()

1 + 1 + 1 + 1 + ... 1 n . 2 4 8 16 2 Результат стремится к единице, т.е. вероятность разорения движется к 100%, несмотря на то, что игра честная. Выглядит академично, но на самом деле это обычная проблема игроков, которые осознают, что повышение ставки — лучший способ выйти на экспоненциальные темпы выигрыша, но забывают применить те же выводы к обратному процессу. Подобное поведение активно поощряется многими казино, которые при выигрыше, не привлекая особого внимания, заменяют фишки игрока на более крупный номинал, чтобы те увеличивали ставки. Теперь давайте взглянем на более разумного игрока, который снижает ставку при проигрыше, в более реалистичных условиях — т.е. это будет не честная игра, а игра с долей казино 6%. Хоть это и несовершенный метод, но всё же можно применить инвертированное правило семидесяти двух, про которое мы узнали в первой главе, чтобы оценить, как быстро игрок потеряет половину своего банка. Поделив 72 на 6, получим 12. Следовательно, игрок потеряет половину денег в среднем спустя 12 ставок размером в весь его банк. С каждым повторением 61

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

его состояние будет уменьшаться, пока оставшейся суммы не станет недостаточно для ставки по правилам казино, т.к. деньги не являются бесконечно делимыми. Чем меньшую часть банка ставит каждый раз игрок, тем больше ставок ему потребуется, чтобы проиграть всё. Это доказывает важность умения управлять своим игровым банком, а также искать ценные возможности для ставок.

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ГЛАВЫ 2: 1. Если вы любите играть в азартные игры, будьте максимально честны перед собой в том, что касается вашей мотивации и заблуждений. 2. Учитывая, какое огромное преимущество вы даёте казино или букмекеру просто соглашаясь играть в их игры, поймите, что лучшая стратегия в азартных играх — не играть вовсе. Второй вариант — играть на небольшие суммы просто для удовольствия. 3. Для любой игры или пари можно попробовать рассчитать математическое ожидание. В честной игре ваш ожидаемый выигрыш будет равняться нулю. 4. Стандартное отклонение — мера волатильности. Чем более изменяемым является исход вашей ставки, тем больше у вас шансов проиграть или выиграть. 5. Всегда, когда есть доля казино (т.е. в любом казино или букмекерской конторе), математическое ожидание меньше нуля. Важно осознавать риск разорения.

ГЛАВА 3

Системы и стратегии в азартных играх

Игрок никогда не совершает одну и ту же ошибку дважды — минимум трижды, а то и больше. Терренс «VP Pappy» Мерфи

В попытке повысить свои шансы на выигрыш люди нередко прибегают к различным системам и стратегиям, таким как оптимальные стратегии ставок, критерий Келли, хеджирование, ценные ставки и пр. Предлагаю разобрать их подробнее и попробовать определить, насколько те или иные системы могут оказаться полезны (или бесполезны).

Системы, гарантирующие успех В ходе истории многие искренне считали, будто им удалось изобрести совершенную систему ставок, которая сводит на нет все риски и гарантирует доход. Ещё больше было жуликов и шарлатанов, которые просто утверждали, что открыли подобную систему, надеясь до 63

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

нитки обобрать доверчивых игроков. Поэтому в первую очередь следует отметить, что системы ставок действительно гарантируют успех: так, если игроку заморочат ими голову, успех казино или букмекера в том, чтобы в кратко-, средне- или долгосрочной перспективе заполучить все его деньги, гарантирован. Чтобы разобраться, в чём кроется проблема всех систем ставок, для начала взглянем на один из самых известных примеров в истории.

Система мартингейл Игра по этой нашумевшей системе начинается со ставки в одну единицу на событие с шансом один к одному, например, на выпадение чёрного или красного при игре в рулетку. В случае выигрыша приобщите деньги к своему банку и начните снова. При проигрыше удвойте ставку на следующий раунд. В результате, выиграв во втором раунде, вы получите 4 единицы выигрыша, считая саму ставку и 2 единицы прибыли. Поскольку в ходе двух раундов вы поставили суммарно 3 единицы, 1 единица будет чистой прибылью. С этого момента начинайте процесс заново. Из каждого завершённого цикла вы выйдете с 1 единицей прибыли. Возможно, это произойдёт в третьем раунде в результате получения 8 единиц выигрыша при ставке в 1 + 2 + 4 = 7 единиц или в четвёртом благодаря выигрышу 16 единиц при ставке в 1 + 2 + 4 + 8 = 15 единиц и т.д. Общее правило таково: к раунду n вы суммарно ставите (2n – 1) единиц и надеетесь выиграть 2n единиц. Проблема заключается в том, что ставка увеличивается экспоненциально, поэтому после серии из n пораже64

СИСТЕМЫ И СТРАТЕГИИ В АЗАРТНЫХ ИГРАХ

ний в случае, если ваш стартовый банк меньше (2n + 1 — 1), вы разоритесь. Например, 10 проигрышей подряд суммируются в 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = = 1023 единицы. Если изначально у вас было менее 2047 единиц, продолжать применять систему уже не получится. В свою очередь, если вы начинали с 1 024 единицами, выходит, что сейчас у вас на руках осталась лишь одна — лучше приберегите её, чтобы было на что купить выпивку и утопить свою печаль. Важно осознать, что мартингейл сводит все потери к одному относительно маловероятному исходу (но неимоверно увеличивает размер проигрыша в случае, когда данный исход всё же наступает). При этом ожидаемая прибыль по итогам применения системы точно такая же, как если бы каждый раунд мы просто ставили по 1 единице. Чтобы разобраться, давайте рассмотрим каждый возможный исход в честной игре (другими словами, проигнорируем шанс выпадения зеро, из которого и формируется доля казино) на протяжении трёх раундов, где мы всегда ставим на красное: К-К-К — выиграли 3 единицы К-К-Ч — выиграли 1 единицу К-Ч-К — выиграли 2 единицы К-Ч-Ч — проиграли 2 единицы Ч-Ч-Ч — проиграли 7 единиц Ч-Ч-К — выиграли 1 единицу Ч-К-Ч — остались при своих Ч-К-К — выиграли 2 единицы Потенциальные выигрыши и потери равны, но при этом бо2льшая часть потерь сконцентрирована вокруг 65

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

наступления исхода Ч-Ч-Ч. Его вероятность 18 , и потеряем мы 7 единиц, при том что при прочих исходах с ве7 роятностью 8 мы выиграем в среднем 1 единицу. Если увеличивать число раундов, пока потенциальные потери не превысят размер стартового банка, схема останется прежней и никакого особого преимущества игроку не даст. При этом доля казино, конечно же, влияет на реальную вероятность выигрыша. Доверие к этой системе основывается, в первую очередь, на неверном понимании того, насколько вероятно возникновение длинной серии одинаковых исходов, даже если они случайны. По сути, так устроены все системы ставок — они модифицируют вероятность победы по итогам сеанса игры ценой увеличения суммы возможного проигрыша. Достигается это либо путём концентрации всех рисков вокруг небольшой доли всех исходов, либо через повышение шансов на относительно крупный выигрыш за счёт распределения шансов на проигрыш несколько больше обычного. Чего данные системы никак не способны сделать, так это полностью устранить риск проигрыша по итогам сеанса игры или каким-либо образом повлиять на такие базовые вещи, как значение математического ожидания или доля казино.

Система 1-3-2-6 В качестве второго примера взглянем на систему 1-32-6, которую тоже используют для ставок один к одному при игре в рулетку. Она очень проста и положительно отличается от мартингейла тем, что не увеличивает ставку по экспоненте. Всё, что вам нужно, — выбрать 66

СИСТЕМЫ И СТРАТЕГИИ В АЗАРТНЫХ ИГРАХ

1 единицу (обычно рекомендуется 50 от банка) и начать со ставки в одну единицу. В случае выигрыша поднимите ставку до 3 единиц. Если выиграете снова — понизьте до 2. После третьего выигрыша повысьте ставку до 6 единиц. Затем начните весь процесс сначала с той же изначальной ставкой. Если в какой-либо момент вы проиграете, вернитесь к началу цикла. Как и в случае мартингейла, доверие игроков к этой системе объясняется непониманием вероятности. Бесхитростно можно рассудить, что есть пять возможных исходов.

Первый проигрыш случится в первом раунде (потеряли 1 единицу). Первый проигрыш случится во втором раунде (потеряли 2 единицы). Первый проигрыш случится в третьем раунде (выиграли 2 единицы). Первый проигрыш случится в четвёртом раунде (остались при своих). Выигрыш во всех четырёх раундах (выиграли 12 единиц). Выглядит так, будто с вероятностью 1 к 5 мы выиграем 12 единиц, а в 4 случаях из 5 выиграем или проиграем небольшую сумму. Но истинные вероятности совсем другие. В действительности их следует анализировать следующим образом (не забывая, что мы отталкиваемся от идеи, будто это честная игра). Первый проигрыш случится в первом раунде (потеряли 1 единицу, вероятность 12 ). Первый проигрыш случится во втором раунде (потеряли 2 единицы, вероятность 14 ). 67

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Первый проигрыш случится в третьем раунде (выиграли 2 единицы, вероятность 1). 8 Первый проигрыш случится в четвёртом раунде (остались при своих, вероятность 1 ). 16 Выигрыш во всех четырёх раундах (выиграли 12 единиц, вероятность 1 ). 16

В результате по итогам сеанса честной игры мы можем ожидать выигрыш, равный –0,5 — 0,5 + 0,25 + 0 + 0,75 = 0. Таким образом, нам удалось увеличить размер выигрыша в случае серии из четырёх побед, но шансы выиграть в общем и целом мы не повысили. Данная система вполне может поразвлечь игрока и порадовать его достаточно регулярными выигрышами 12 единиц, а также не является столь же потенциально разорительной, как мартингейл, но в конечном счёте применять её нерационально.

Система Лабушера Надеюсь, что основной посыл уже ясен: системы ставок просто-напросто не работают, какими бы эффективными они ни казались на интуитивном уровне. Есть масса других стратегий, основывающихся на прогрессии, которые мы также могли бы проанализировать и отмести, в т.ч. система Фибоначчи (в этом случае ставку увеличивают в соответствии с последовательностью Фибоначчи), Д’Алембера и система «Пароли». В фундаменте каждой из них лежит всё та же искажённая логика, что и в мартингейле, за многие века разорившая бессчётное количество игроков. Различаются же они лишь значением, на которое следует повышать ставку. Вместо того, чтобы подробно разбирать эти стратегии, давай68

СИСТЕМЫ И СТРАТЕГИИ В АЗАРТНЫХ ИГРАХ

те лучше взглянем на систему Лабушера (или исключения), которую положительно отличает от других то, что она интересна с математической точки зрения, а отрицательно — то, насколько назойливо её навязывают в Интернете в качестве безотказного метода люди, которым следовало бы быть более разборчивыми. Отправной точкой послужит листок бумаги, на котором вы запишете ряд постепенно увеличивающихся чисел, например: 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2 За один цикл игры по системе мы будем пытаться выиграть сумму этих чисел — в данном случае 8 (можно использовать любые другие ряды увеличивающихся чисел, в зависимости от того, сколько вы хотите выиграть и с какой скоростью готовы увеличивать риски). Как и предыдущие примеры, эта система скорее применима для ставок один к одному, таким как на красное или чёрное при игре в рулетку, но адаптированные версии этой стратегии используются для множества прочих игр и ставок на спорт. Чтобы определить начальную ставку, сложи2те первое и последнее число в ряду и поставьте получившееся количество единиц. В нашем случае ставка равнялась бы 0 + 2 = 2 единицам. В случае выигрыша вычеркните эти числа: 0, 1, 1, 1, 1, 2 А при проигрыше добавьте значение ставки в конец ряда: 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2 69

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Повторяйте процесс, пока не вычеркнете все числа (что значит, что вы выиграли все 8 единиц, фигурировавшие в исходном ряду), либо пока у вас не останется всего одно число (в таком случае используйте его для следующей ставки). Если вы выиграете, цикл считается завершённым. Если нет — можете просто продолжать. В качестве примера рассмотрим расклад, при котором игра может завершиться выигрышем 15 единиц. После результата каждого раунда приведён обновлённый числовой ряд и баланс. Обратите внимание, что на всех этапах элементы числового ряда и баланс в сумме дают 15 единиц. Исходный ряд 1, 2, 3, 4, 5 (целевое значение выигрыша = 15) Ставим 6. Проигрываем. 1, 2, 3, 4, 5, 6 (–6) Ставим 7. Проигрываем. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (–13) Ставим 8. Выигрываем. 2, 3, 4, 5, 6 (–5) Ставим 8. Проигрываем. 2, 3, 4, 5, 6, 8 (–13) Ставим 10. Выигрываем. 3, 4, 5, 6 (–3) Ставим 9. Проигрываем. 3, 4, 5, 6, 9 (–12) Ставим 12. Проигрываем. 3, 4, 5, 6, 9, 12 (–24) Ставим 15. Выигрываем. 4, 5, 6, 9 (–9) Ставим 13. Выигрываем. 5, 6 (+4) 70

СИСТЕМЫ И СТРАТЕГИИ В АЗАРТНЫХ ИГРАХ

Ставим 11. Выигрываем. Конец (+15) Интересно, что в ходе данной серии ставок мы 5 раз выиграли и 5 раз проиграли, но несмотря на это остались в плюсе. Следует отметить, что если бы мы сейчас сделали ещё одну ставку в 6 единиц и проиграли, то всё равно остались бы с 9 единицами выигрыша, хотя неудачных раундов у нас получилось бы больше, чем удачных (это объясняется тем, что выигрышные ставки в среднем выше, чем проигрышные). Подобный результат может навести на мысль, что система каким-то образом обходит преимущество казино и вопреки вероятностям гарантирует прибыль. Давайте разберёмся во всех возможных исходах первых трёх раундов (используя приведённый выше ряд 1, 2, 3, 4, 5), чтобы понять механизм. Используя систему записи типа В6(+12), что значит «выигрыш 6 единиц, баланс по итогам раунда +12», получим схему с рисунка 17. Раунд 1

В6(+6)

П6(–6)

Раунд 2

В6(+12)

П6(0)

В7(+1)

П7(–13)

Раунд 3

В3(+15)

В3(+15) П3(+9)

П3(+9) В7(+8) П7(–6) В8(–5)

П8(–21)

Рисунок 17. Исходы первых трёх раундов игры по системе Лабушера 71

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Для начала следует обратить внимание, что сумма всех возможных результатов в конце каждого раунда равна нулю. Поскольку в честной игре каждый исход равновероятен, математическое ожидание будет нулевым. Это утверждение верно всегда, вне зависимости от числа раундов, поскольку выигрышный и проигрышный результаты в каждой ветви исходов в сумме дают ноль. Как же создаётся эта иллюзия преимущества? Дело в том, что результаты выигрышных ставок соразмерны и сгруппированы (+15, +9, +8, +8), в то время как потери (–5, –6, –8, –21) распределены неравномерно, причём большая их часть сконцентрирована в худшем исходе (–21). Таким образом, если отыграть 10 раундов, после каждой победы начиная всё сначала, после цепочки из 10 выигрышей можно заработать 51 единицу — однако ценой возможной потери 105 единиц по итогам 10 проигрышей подряд. Не столь экстремально, как мартингейл, но, в принципе, идея та же. Неважно, как вы будете изменять исходный числовой ряд: математика, лежащая в основе, останется прежней. Некоторые приверженцы системы отмечают, что, поскольку в случае проигрыша в ряд добавляется одна цифра, а при выигрыше убираются две, получается, что стратегия показывает себя плохо только при раскладе, когда на каждые два проигрыша приходится менее одной победы. Однако это утверждение игнорирует закон больших чисел (см. стр. 89 ), из которого очевидно следует, что подобные исходы не следует считать особенно редкими. Кроме того, не принимается в расчёт то, насколько быстро у вас кончатся деньги при игре по системе, которая требует постепенного увеличения ставок при серии проигрышей. Обратный Лабушер тоже имеет своих сторонников. При нём игрок совершает все действия наоборот, рассчи72

СИСТЕМЫ И СТРАТЕГИИ В АЗАРТНЫХ ИГРАХ

тывая понести равномерные, но сниженные потери в ходе «нормальной» игры при повышенном шансе выиграть сразу значительную сумму по итогам цепочки побед. Естественно, в логике подобного подхода ровно те же изъяны. В целом, с Лабушером может быть занятно поэкспериментировать, но, как и в случае с прочими похожими системами ставок, важно осознавать, что риски просто перераспределены, а не сведены на нет.

Оптимальные стратегии ставок Многие стратегии азартных игр фокусируются том, на что именно следует ставить. Но сумма ставки в каждом отдельном раунде столь же важна. Мы уже видели, как опасно может быть доверять системам типа мартингейла при выборе размера ставки, а также упоминали разорение игрока — частотную ошибку, при которой игрок не снижает ставку в случае проигрыша. Однако сумму ставки следует корректировать и в зависимости от её ценности. Есть несколько незамысловатых стратегий, при помощи которых можно управлять своими ставками. Одна из них — использовать фиксированную ставку, т.е. каждый раунд ставить одну и ту же сумму. Основное преимущество данной стратегии заключается в том, что она не позволит вам бездумно ставить случайные суммы, основываясь лишь на интуиции или прихоти, что дисциплинирует. Но есть и недостаток: она не поможет избежать разорения игрока. Тогда очевидной доработкой станет переход к ставке фиксированного процента от размера своего банка в конкретный момент времени. Немного лучше, но эта схема игнорирует различия в ценности, 73

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

которые можно наблюдать в азартных играх сложнее рулетки или при ставках на спорт. Один из подходов к решению данной проблемы — подбор ставки для фиксированной суммы выигрыша. Это значит, что вы определяете некую сумму, которую хотите выиграть в каждом раунде (допустим, 1% вашего банка) и делаете соответствующую ставку. Получается, что на скачках вы бы поставили 1% своего банка при коэффициенте 1/1 (2,00) или всего 0,2% банка при коэффициенте 5/1 (6,00). Плюс системы — вы меньше рискуете при игре с большим неравенством ставок. Я видел игроков, которые выступали против этой стратегии, утверждая, что всегда нужно ставить лишь на тот исход, который вы считаете вероятным, и что ставка, рассчитанная для фиксированного выигрыша, мешает вам одержать крупную победу при большом неравенстве ставок. Однако лучше думать о ставках в терминах истинной, а не предполагаемой вероятности — если вы считаете, что лошадь, ставки на которую принимают с коэффициентом 5/1, недооценена букмекером, она всё равно имеет меньше шансов выиграть, чем лошадь, на которую ставки принимают один к одному и которую также недооценил букмекер. Так что, поставив на последнюю, вы в любом случае рискуете меньше. Подбор ставки для фиксированной суммы выигрыша не самая худшая стратегия в мире, но, как мы увидим позже, она может быть усовершенствована путём применения критерия Келли, который является более точным методом определения размера ставок. Однако прежде, чем мы с ним ознакомимся, стоит также упомянуть пару других оптимальных подходов. Ставки по принципу «должен выиграть [столько-то]» похожи на ставки с фиксированным выигрышем, но на74

СИСТЕМЫ И СТРАТЕГИИ В АЗАРТНЫХ ИГРАХ

много более опасны. Для применения этой системы вам нужно решить, какую часть своего банка вы хотите выиграть по итогам сеанса, и затем в каждом отдельном раунде ставить сумму, достаточную для достижения данного результата. Например, представим, что у вас 500 $ и вы решили выиграть 20 $. Вы составляете реестр типа таблицы 2 и вписываете итоги каждого раунда, пока не выиграете нужную сумму. Значения в колонке «должен выиграть» стартуют от 20 $ и увеличиваются, пока ваша ставка не сыграет, т.е. пока вы не достигнете цели. Номер раунда

Должен выиграть

Коэффициент Ставка

Результат

1

20 $

5/1 (6,00)

4$

Проигрыш

2

24 $

3/1 (4,00)

8$

Проигрыш

3

32 $

8/5 (2,60)

20 $

Проигрыш

4

52 $

2/1 (3,00)

26 $

Выигрыш

Таблица 2. Ставки по принципу «должен выиграть».

Достаточно очевидно, что эта стратегия походит на мартингейл в том, что обеспечивает некий фиксированный выигрыш ценой стремительно растущих ставок, и что сколько-нибудь длинная серия поражений разорит игрока. Идея, что вы «должны» выиграть после цепочки неудач также известна как заблуждение игрока — особенно опасное проявление иррациональности, к которому мы скоро ещё вернёмся. Наконец, в ряде игр бывают ситуации, когда рекомендуется изменять ставку в зависимости от ситуации. В блэкджеке, если вы знаете, что доля десяти картинок 75

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

среди оставшихся карт достаточно высока, рекомендуется соответственно увеличить ставку. Это основы счёта карт (см. главу 5). В покере часто смотрят на пропорцию между шансами банка (отношением потенциального выигрыша к ставке, которую нужно сделать, чтобы коллировать, т.е. уравнять, ставку соперника) и реальными шансами (вероятность получения карты, которая нужна для победы), чтобы решить, стоит ли продолжать раунд торговли. В обоих случаях это удачные стратегии, но, строго говоря, они не являются оптимальными: более разумно рассматривать их как возможности для ценных ставок, поскольку они основываются на оценке истинного преимущества игрока относительно вероятности, предполагаемой озвученными коэффициентами. Ни одна из чисто оптимальных стратегий ставок, которые мы уже рассмотрели, нас особенно не устраивала. Однако есть одна система, выгодно отличающаяся от остальных как действительно полезный способ определения размера ставки, — критерий Келли.

Ставки по Келли: основы Критерий, разработанный в 1956 году Дж. Л. Келли, — математическая формула, используемая для определения того, какой частью банка можно рискнуть в каждом отдельном раунде. Как в азартных играх, так и в инвестициях применение критерия обеспечивает наилучшие шансы максимизировать прибыль — однако только в ситуациях, когда преимущество казино возможно обойти. Формула разработана специально для последовательности ставок с равными шансами при условии пре76

СИСТЕМЫ И СТРАТЕГИИ В АЗАРТНЫХ ИГРАХ

имущества на стороне игрока. Поскольку многие варианты азартных игр не обеспечивают выполнения этих условий, критерий можно адаптировать и для других исходных. И, что важнее, если вложить время в изучение метода и разобраться, как он работает, то он поможет вам воспитать в себе полезную привычку анализировать риски и ставки с позиции здравого смысла. Для применения критерия Келли сперва нужно отыскать возможность сделать ставку с преимуществом в пользу игрока — положительным преимуществом, размер которого вы можете реалистично оценить. Формула расчёта того, какой частью банка можно рисковать, следующая: bp –q b где b — десятичный коэффициент минус 1; p — вероятность успеха; q — вероятность поражения (= 1 – p). Представьте, что вы наблюдаете игру, где из мешочка вытягивают шарики разных цветов, и можете поставить на то, красным или чёрным будет следующий шарик. Шансы один к одному (= 2,00 в десятичной системе), но ведущий — ваш хороший друг, и он обмолвился, что в мешочке 53 красных и 47 чёрных шариков, так что вы 48 обладаете преимуществом 52 при ставке на красное. Получается, что b = 1, и критерий Келли диктует, что следует поставить 0,53 – 0,47 = 0,06 1 77

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

То есть вам нужно каждый раз ставить 6% от своего банка, чтобы оптимизировать выигрыш. Это не система, гарантирующая победу, — её успех всё равно определяется тем, насколько ценные возможности для ставок вам удаётся отыскать, — а лишь наилучший способ оценить, какую часть своего банка вы можете поставить в каждом раунде, чтобы максимизировать выигрыш и параллельно минимизировать риск убытков. Помните, что в зависимости от размера банка в каждый конкретный момент вам понадобится изменять свою ставку в большую или меньшую сторону. Удобно будет составить электронную таблицу или придумать способ как-то иначе фиксировать новые данные, чтобы применять формулу в ситуациях, требующих быстрого принятия решений. А если хотите сэкономить усилия, в Интернете можно найти множество калькуляторов для расчёта критерия Келли. Один из минусов формулы — то, насколько малое количество возможностей для ставок удовлетворяет её требованиям. Другой заключается в том, как сложно бывает рассчитать своё преимущество в различных ситуациях. Так что в большинстве случаев при работе с формулой вам придётся опираться лишь на грубые прикидки. По этой причине многие игроки обращаются к дробной системе Келли: производят расчёт по стандартной формуле, а затем уменьшают рекомендуемую ставку в два или три раза. При том, что это уменьшит потенциальную прибыль, одновременно снизятся и риски. Так что это вполне разумная схема применения формулы, если вы не совсем уверены в точности оценки своего преимущества. В любом случае, стоит хотя бы познакомиться с тем, как работает критерий Келли. По сути, это единственная система ставок, которая на протяжении долгого периода времени эффективно помогала людям заработать, не 78

СИСТЕМЫ И СТРАТЕГИИ В АЗАРТНЫХ ИГРАХ

разоряя их (к чему очень склонны системы типа Фибоначчи). Поработав несколько раз с формулой, вы приобретёте более интуитивное понимание того, как и почему разным ставкам следует придавать разное значение. Как мы увидим позже, этот инструмент хорошо послужил многим инвесторам, в т.ч. Уоррену Баффету* и Биллу Гроссу** — они применяют критерий Келли как чисто математическое правило для наиболее эффективного распределения рисков по портфелю.

Что нужно делать Как минимум стоит поставить несколько экспериментов и испробовать критерий Келли на серии ставок. Это полезное упражнение поможет вам лучше разобраться, как изменение ставки в зависимости от ситуации и размера банка может повысить ваши шансы на получение прибыли.

Хеджирование ставок В мире азартных игр арбитражем и хеджированием называют стратегии, подразумевающие, что игрок одновременно делает ставки «за» и «против» одного и того же исхода, чтобы получить гарантированный выигрыш * Уоррен Эдвард Баффетт (род. 1930) — американский предприниматель, один из крупнейших и наиболее известных в мире инвесторов, состояние которого на сентябрь 2018 года оценивалось в 108,4 млрд долларов, один из богатейших людей планеты. (Прим. пер.) ** Уильям Хант «Билл» Гросс (род. 1944) — американский финансист, миллиардер. (Прим. пер.)

79

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

или сократить риски. Как и многие другие способы заработка, они основываются на различиях в стоимости. Арбитражем* обычно называют стратегию, при которой ставки делают у разных букмекеров, чтобы воспользоваться различиями в коэффициентах, в то время как термином «хеджирование» чаще описывают ситуацию, когда игрок стремится получить выгоду из изменения коэффициентов в ходе игры (аналогично практика открывать одновременно длинную и короткую позицию по одной акции дала название хедж-фондам). Я постараюсь объяснить основные принципы хеджирования, но имейте в виду, что ровно те же расчёты могут применяться и для арбитража. Представим, например, что букмекер принимает вашу ставку в 100 $ и предлагает коэффициент 4/5 (цифровой коэффициент: 1,80) на то, что «Нью-Йорк Джайентс» выиграют в Супербоуле у «Денвер Бронкос». При этом ставки на «Бронкос» он принимает с тем же коэффициентом, что обеспечивает ему 20% маржи.** По сути, букмекер продает вам обещание выплатить 180 $ при победе «Джайентс». Но сумма, в которую вам обойдётся покупка этого обещания, может изменяться в зависимости от обстоятельств (или в зависимости от букмекера, если тот предлагает другие коэффициенты). Вдруг лучший квотербек «Бронкос» получил травму во время разминки, или «Джайентс» быстро перехватили инициативу в игре. Теперь на «Бронкос» можно поставить с коэффициентом 3/2 (цифровой коэффициент: 2,50). Так что стоит пра* В России принят термин «букмекерская вилка» (Прим. пер.) ** Если предположить, что третий исход — ничья — невозможен. (Прим. авт.)

80

СИСТЕМЫ И СТРАТЕГИИ В АЗАРТНЫХ ИГРАХ

вильно всё просчитать, и вы обеспечите себе выигрыш при победе любой из команд. Самый простой способ произвести вычисления — взять сумму, которую вы бы получили при выигрышной ставке на «Джайентс», и поделить её на цифровой коэффициент ставки на «Бронкос». $ 180 = $ 72 2,5 Таким образом, поставив 72 $ на «Бронкос», вы выиграете 180 $ вне зависимости от того, какая их команд выйдет победителем. При этом на сами ставки суммарно уйдёт 172 $, то есть гарантированный выигрыш составляет 8 $. Сумма небольшая, однако гарантированная. Если же вы рассчитываете, что преимущества «Джайентс» совершенно точно приведут их к победе, альтернативной стратегией будет просто покрыть потенциальные потери на случай ошибки. Для этого расчёта необходимо знать, сколько требуется поставить на «Бронкос», чтобы гарантировать выход в ноль. Нам потребуется минимум алгебры: 2,5x = 100 $ + x Вычтем x из обеих сторон уравнения: 1,5x = 100 $ x = 66,66 $ Или — если хотите более краткую версию — просто вычтите единицу из цифровых коэффициентов и разделите свою исходную ставку на результат. 81

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Это принесёт вам бo2льшую прибыль, 13,34 $, если «Джайентс» действительно выиграют, при том, что в случае неверного прогноза и победы «Бронкос» вы гарантированно ничего не проиграете. При возникновении необходимости адаптировать хеджирование и арбитраж для ситуаций с более чем двумя исходами, отталкивайтесь от суммы, которую планируете выиграть: разделите её на цифровые коэффициенты каждого из исходов и сложите результаты, чтобы определить свою общую ставку. В качестве примера рассмотрим футбольный матч со следующими стартовыми коэффициентами: Выигрыш «Редс Юнайтед» 1/5 (1,2) Ничья 5/1 (6,00) Выигрыш «Блюз Сити» 17/2 (9,5) Если бы мы сейчас решили сделать ставку на все три исхода с целью получить выплату в 10 $, нам бы надо было поставить 10 10 10 + + , 1,2 6 9,5 что после небольшого округления даст нам 8,33 + 1,66 + + 1,05 = 11,04. То есть букмекер имеет вполне стандартную маржу размером около 9%, а ставка на все три исхода обеспечит нам лишь проигрыш 1,04 $. Однако по итогам 15 минут игры ни одного гола забито не было, «Блюз Сити» совсем не так плохи, как казались, а значит, коэффициенты были откорректированы: Выигрыш «Редс Юнайтед» 4/6 (1,66) Ничья 11/4 (3,75) Выигрыш «Блюз Сити» 10/3 (4,33) 82

СИСТЕМЫ И СТРАТЕГИИ В АЗАРТНЫХ ИГРАХ

Маржа букмекера при ставке на все три исхода практически не переменилась, но давайте представим, что мы поставили на «Блюз Сити» ещё по изначальному коэффициенту — 1,05 $ из расчёта выиграть 10 $. При этом мы можем сделать дополнительную ставку на случай ничьей или победы «Редс Юнайтед»: 10 10 + = 6 + 2,66 = 8,66 1,66 3,75 Вместе с нашей прежней ставкой на «Блюз Сити» получается 8,66 + 1,05 = 9,71 $. Таким образом, вне зависимости от результата нам обеспечен выигрыш в 10,00 $ или 0,29 $ чистой прибыли. (Менее эффективная версия хеджирования — датчинг, при котором вы делаете ставку не на каждый возможный исход, а лишь на избранные, стремясь при этом к фиксированному выигрышу. В основе этой стратегии лежит мнение, что несколько самых маловероятных исходов допустимо исключить — например, слабейших лошадей на скачках. Это должно «гарантировать» вам выигрыш при победе одной из выбранных лошадей, хотя очевидно, что стратегия может обернуться провалом, сто2ит вашим оценкам того, какие исходы не учитывать, оказаться ошибочными). У хеджирования есть два основных недостатка. Вопервых, в условиях преимущества на стороне букмекера, нельзя быть уверенным, что коэффициенты сменятся в вашу пользу и позволят хеджировать ставку. Если бы в первом примере «Бронкос» только повысили свои шансы на победу, возможности хеджировать не представилось бы в принципе. А если бы «Редс» забили гол сразу после вашей первой ставки на матч, хеджирование оказалось бы менее успешным. 83

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Так что данную стратегию лучше всего применять в ситуациях, когда можно ожидать частых переломов в ходе игры. Виды спорта с высоким счётом — как теннис, в котором преимущество многократно переходит от игрока к игроку, — более пригодны для внутриигрового хеджирования, чем, например, футбол, где всё может решиться одним голом, которого бывает достаточно для радикальной перемены в динамике матча. Зачастую в поисках возможности осуществить арбитраж игроки (которых также называют арберами) обращаются к наименее популярным видам спорта или спортивным событиям, ведь для них у букмекеров с большой вероятностью разнятся коэффициенты. (Осторожно: букмекеры терпеть не могут арберов и внимательно отслеживают любые свидетельства применения этой стратегии, например, подозрительно точные суммы ставок на матчи албанских гандболистов. Поэтому, чтобы избежать дезактивации вашего аккаунта, руководствуйтесь здравым смыслом. И, конечно же, ни в коем случае не ищите в Интернете форумы игроков и ключевое слово «арбитраж», ведь там может быть множество куда менее законных способов избежать того, чтобы вас заметили.) Второй минус хеджирования: порой, чтобы обеспечить совсем небольшую прибыль, требуется высокая ставка. Так что потери от одного проигрыша в ситуации, когда вам не представилась возможность для хеджирования, вполне могут свести на нет прибыль от множества маленьких удачных ставок. Полезно помнить, что букмекеры позволяют делать ставки в ходе игры во многом потому, что поощряют хеджирование (или вывод выигрыша до окончания матча, что с точки зрения математики является той же стратегией). Логика букмекеров такова: в то время, как некоторые игроки будут выигры84

СИСТЕМЫ И СТРАТЕГИИ В АЗАРТНЫХ ИГРАХ

вать за счёт хеджирования, другие откажутся от шанса заработать по-крупному в пользу небольшой, но гарантированной выгоды. Это формирует у игроков ложное чувство уверенности: в действительности букмекеры остаются в плюсе за счёт маржи, а игроки всё так же проигрывают. Однако понимать математическую логику хеджирования всё равно полезно, поскольку в азартных играх (и тем более в инвестициях — см. стр. 135) оно может послужить чрезвычайно удобным инструментом. Букмекеры и сами применяют вариацию хеджирования для снижения рисков своей бизнес-модели, делая ставки у других букмекеров. Это имеет смысл, поскольку, хотя преимущество всегда на их стороне, в случае победы конкретного фаворита контора всё равно может понести большие потери. Чтобы компенсировать затраты, приходится делать ставки где-то ещё, что помогает снизить риски по отдельному исходу и выровнять общий денежный поток. Пусть это послужит вам напоминанием, что даже в ситуации, когда преимущество на стороне игрока или инвестора, хеджирование — прекрасный способ распределить риски.

Хеджирование в бизнесе Хорошее понимание математических основ хеджирования может помочь и в бизнесе. Например, представим экспортёра из Америки, который берёт большой заказ на поставку партии пластиковых бананов в Германию — производителю он платит в долларах, а оплату от покупателя получит в евро. Маржа составляет 15%, но изменение кур85

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

са в неправильную сторону может легко приблизить её значение к нулю. В такой ситуации получается, что экспортёр играет на курсах валют (ведь колебание в нужную сторону, в свою очередь, увеличит и маржу). Учитывая, что у экспортёра счёт в евро, одним из вариантов применения стратегии хеджирования будет продать евро на стоимость заказа по курсу на момент сделки. Это позволит зафиксировать прибыль в долларах по актуальному курсу. То есть, как и с хеджированной ставкой, подобное решение помешает получить потенциально более высокую прибыль в будущем, зато гарантирует отсутствие потерь.

Ценные ставки Какую стратегию ставок вы бы ни применяли — будь то критерий Келли, хеджирование или какой-то другой метод сохранить банк и избежать разорения, — единственный способ в долгой перспективе заработать на азартных играх — находить возможности для ставок с высокой ценностью*, т.е. ставок, для которых реальная вероятность наступления исхода больше предполагаемой коэффициентом. В главе 5 мы рассмотрим несколько менее законных способов обмануть систему — начиная со счёта карт и до внутрисекретной торговли. Сейчас же обсудим легальные методы выбора ставок с наибольшей ценностью. * Помимо термина «ценные ставки» в России также распространены термины «валуйные ставки» или просто «валуй» — от английского value ценность. (Прим. пер.)

86

СИСТЕМЫ И СТРАТЕГИИ В АЗАРТНЫХ ИГРАХ

В прошлом разделе мы увидели, что в ходе некоторых игр в казино могут возникать возможности для ценных ставок, например, когда в покере реальные шансы оказываются выше, чем шансы банка. Но большинство игр всё равно всесторонне подстроено в пользу заведения, так что сделать действительно ценную ставку можно, лишь научившись мастерски играть в покер и т.п. (особенно, если вы играете не против казино) или обратившись к таким сомнительным методам, как счёт карт. В свою очередь, в ставках на спорт теоретически возможно переиграть букмекера, используя статистический анализ. «Манибол» Майкла Льюиса — поразительная книга, посвящённая тому, как расхожие представления о факторах, оказывающих реальное влияние на ход спортивного матча, могут оказаться ошибочными. Она посвящена Билли Бину, менеджеру бейсбольной команды «Окленд Эйс» с очень ограниченным бюджетом. Он не мог себе позволить перекупить в клуб крупных хиттеров и питчеров, что является стандартным путём команды к успеху. Вместо этого его подчинённые занялись сбором огромного объёма статистических данных, благодаря чему приметили менее очевидные цели — например, хиттеров с большим процентом занятия базы после выхода на биту. Это позволило Бину собрать успешную команду за скромные деньги. Британский бизнесмен Мэттью Бенхэм сделал состояние на аналитике статистических данных, управляя компанией, начавшейся с его увлечения ставками. Ему удалось достичь похожего успеха при формировании состава датского футбольного клуба «Митьюлланд», а сейчас Бенхэм реализует ту же модель в английском клубе «Брентфорд», для которого является крупным инвестором. (Сам бизнесмен выступает против использо87

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

вания термина манибол для описания своей деятельности, поскольку считает, что его смысл был искажён до любого рода применения статистики в спортивном менеджменте, в то время как Бенхэм позиционирует свой метод как строго научное её применение.) Вне зависимости от того, где вы используете статистику — в менеджменте или в азартных играх, — вам потребуется не только аналитический подход к данным, но и метод или система, которые ещё не стали широко известны. Хорошей пример — коэффициент скорости Байера (Beyer Speed Figures). Этот способ оценки чистокровных верховых лошадей был разработан в начале 70-х Эндрю Байером, автором колонки про скачки в газете «Вашингтон Пост», и опубликован в книге «Выбрать победителя». На основании прошлых результатов для каждой лошади рассчитывался коэффициент, учитывающий её победное время, длину трека и поправку на среднюю скорость прохождения конкретного трека. Когда её только начали применять игроки, система давала реальное преимущество, являясь значительным шагом вперёд в области статистического анализа результатов. Но со временем коэффициенты Байера стали активно использовать гандикаперы и букмекеры, а не только игроки, а значит, никакого особенного преимущества последним они больше не дают. Мораль такова: статистике следует доверять, но также нужно всегда оставаться в поиске новых способов анализа результатов, которые позволят вам находить возможности для ценных ставок в конкретных играх или игровых ситуациях. Например, в книге «Игра с числами. Виртуозные стратегии и тактики на футбольном поле» авторы Крис Андерсон и Дэвид Салли перечисляют целый ряд распространённых взглядов на глубинные за88

СИСТЕМЫ И СТРАТЕГИИ В АЗАРТНЫХ ИГРАХ

кономерности в футболе, которые в результате подробного статистического анализа оказываются не совсем верными. Например, они установили, что именно худший игрок команды, а не лучший, зачастую оказывает решающее влияние на итоги матча. Андерсон и Салли также предполагают, что любители ставок на футбол переоценивают, насколько часто угловые удары кончаются голами, в результате чего при назначении углового часто происходит непропорциональный сдвиг внутриигровых коэффициентов, и это предоставляет удачную возможность поставить на обратный исход (поскольку один гол приходится лишь примерно на 45 угловых ударов). Дэвид Самптер, автор «Футболоматики», написал о небольшом эксперименте, который он провёл, пытаясь определить выигрышную схему ставок на футбол. Он испробовал несколько различных методов, например, моделирование результатов матча путём расчёта числа ожидаемых го2лов на основании того, сколько ударов по воротам команда в среднем делала изнутри и из-за пределов штрафной площадки. В конце концов, относительного успеха Самптер добился с двумя стратегиями. Во-первых, часто букмекеры завышают коэффициенты для фаворитов в спортивных событиях, поскольку игроки имеют склонность делать ставки на маловероятные исходы с перспективой больших выплат. В результате реальная вероятность фаворитов иногда бывает выше, чем предполагаемая коэффициентом. Например, ставь вы регулярно на три самых сильных команды Английской премьер-лиги в 2014–2015, вы получили бы небольшую, но прибыль. Вторую стратегию Самптер разработал, отталкиваясь от предположения, что раз люди не любят ставить на ничью в футболе, именно эта ставка зачастую 89

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

и будет обладать ценностью. По его наблюдениям, реализация данной схемы принесла бы достаточно значительную прибыль в проанализированном им сезоне. (Однако последний финт Самптера, когда он просто попросил жену предположить счёт матча, быстро просмотрев результаты недавних игр, оказался самой успешной из рассмотренных стратегий.) Подобные статистические наблюдения и системы ставок действительно могут представлять ценность, но одновременно они опасны, т.к. могут привести к излишней уверенности. Например, в то время как предложенная Самптером стратегия ставок на три самые сильные команды показала себя успешной в 2014–2015, в следующем сезоне она завершилась бы крахом, ведь тогда в большинстве матчей самые слабые команды победили шансам вопреки. (Сезон 2015–2016 запомнился тем, что клуб «Лестер Сити» проделал путь от аутсайдера, ставки на которого принимали по коэффициенту 5000/1, до чемпиона). Так что любые попытки применять статистический анализ требуют достаточно большой выборки для последующих выводов и хорошего понимания некоторых рациональных заблуждений, способных помешать даже самым светлым умам от мира ставок и бизнеса.

Законы малых и больших чисел Зачастую мы намного менее искушены в статистике, чем хотели бы думать. Применяя математику для анализа спортивных событий, игр или рынков, нельзя полагаться на недостаточные сведения или обращаться к математическим приёмам, просто чтобы оправдать ин90

СИСТЕМЫ И СТРАТЕГИИ В АЗАРТНЫХ ИГРАХ

туитивные догадки. Строго наоборот: её нужно использовать максимально беспристрастно. Есть несколько законов и заблуждений, которым подчиняются наши представления о статистике и вероятности. Во-первых, закон больших чисел — принцип, в соответствии с которым значительная часть выборки скорее всего будет близка к самому вероятному или среднему значению всех элементов выборки. Например, средний рост всех взрослых мужчин в Счастландии — 170 см, и чем больше жителей попадёт в нашу выборку, тем сильнее средний рост по выборке приблизится к этому значению. Маленькая выборка может оказаться непропорционально смещена в сторону из-за нескольких здоровяков и дать нам среднее в 183 см. Выборка побольше будет уже ближе к среднему, и с увеличением её размера среднее по выборке устремится к среднему по населению.

JJ JJJ J J J J J J JJ J J Рисунок 18. Большая и маленькая выборка.

Именно закон больших чисел лежит в основе уверенности казино в прибыльности их бизнес-модели. Если поставить один стол для рулетки и пустить игроков на час, заведение может потерять значительную сумму не91

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

смотря на маржу. Если же установить 50 столов и проводить игры целый месяц, то просто из-за самого числа игр реальная прибыль по размеру приблизится к заложенной марже. В противоположность этому, закон малых чисел утверждает, что мы зачастую делаем неверные выводы из малой выборки. Например, если новый продавец в вашей компании три месяца подряд выдаёт отличные результаты, можно решить, что он первоклассный специалист. Но в действительности причиной этому могут быть кратковременные колебания в результатах продаж, а следующие 9 месяцев окажутся неудачными. Или продавцу просто повезло, или он пользуется тем, что уволившийся сотрудник оформил множество предзаказов. Для нас это значит, что мы и вовсе базируем свои выводы на совершенно неверной информации. Закон малых чисел был сформулирован Даниелом Канеманом и Амосом Тверски, которые сделали значительный вклад в наше понимание психологии принятия решений. Крупнейшим их открытием стало простое наблюдение, что зачастую люди интуитивно оценивают вероятности крайне некорректно. В то же время прошлые исследования обычно основывались на заблуждении, что, если в большой группе людей каждый независимо сделает предположение о вероятности исхода той или иной ситуации, ответы будут равномерно распределены вокруг значения реальной вероятности. Другими словами, кто-то занизит значение, кто-то завысит, а в среднем они более или менее угадают. Психологи Тверски и Канеман провели множество экспериментов, которые продемонстрировали, насколько этот подход неверен, и что некоторые ошибки в оценке вероятностей легко предсказать — стоит лишь 92

СИСТЕМЫ И СТРАТЕГИИ В АЗАРТНЫХ ИГРАХ

отказаться от этого заблуждения. Попросту говоря, мы намного более глупы в том, что касается вероятностей, чем нам кажется. Например, они установили существование т.н. эффекта доступности — процесса, когда человек оценивает вероятности на основании последнего подходящего примера из своего опыта. Мошенники и торговцы используют этот эффект в своих интересах, рассказывая потенциальным клиентам о других прибыльных предприятиях и успешных покупках перед тем, как продать что-то похожее. Тверски и Канеман также разработали теорию перспектив — попытку систематически изложить некоторые обнаруженные ими когнитивные искажения. Пара примеров из их работы продемонстрирует нам, как постановка вопроса может повлиять на принятие решения. Для начала рассмотрим 2 варианта: Вариант 1. У вас есть 1000 $, и вы можете выбрать: А) Выиграть 1000 $ или 0 $ с вероятностью 50% для каждого исхода. Б) Гарантированно получить 500 $. Вариант 2. У вас есть 2000 $, и вы можете выбрать: А) Потерять 1000 $ или 0 $ с вероятностью 50% для каждого исхода. Б) Гарантированно потерять 500 $. В обоих случаях вам предлагают выбрать между гарантированными 1500 $ и пятидесятипроцентным шансом в итоге остаться с 1000 $ или 2000 $. Когда эти сценарии протестировали на практике, большинство людей отказалось рисковать в варианте 1 (т.е. опрошенные 93

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

выбрали гарантированные 500 $, отказавшись от возможности более крупного выигрыша). Однако в варианте 2 бо2льшая часть людей приняла решение рискнуть и, возможно, потерять 1000 $ в надежде избежать гарантированной потери. Также существует эффект фрейминга, который проявляется, например, в том, что многие готовы проехаться 10 минут на машине, чтобы сэкономить 10 £ при покупке игрушки за 50 £, но не готовы проехать те же 10 минут и сэкономить 20 £ при покупке машины за 20 000 £. В этой ситуации они принимают решение под влиянием того, сколь значительную долю от общей стоимости они сэкономят, то есть это очередной пример того, как наше рациональное суждение зависит от способа формулирования задачи.

Что нужно делать Всегда учитывайте, сколько стоит ваше время, — попробуйте анализировать ситуацию вне контекста. Например, легко потратить слишком много времени на работе, выполняя задачи с низкой потенциальной выгодой (скажем, посещая бесконечные совещания), и слишком мало выделить на задачи с высокой потенциальной выгодой (поиск клиентов). Целесообразно всегда держать в уме почасовую ставку, от которой вы будете отталкиваться при расчётах возможной экономии или выгоды от каждого принимаемого вами бизнес- или инвест-решения. Попробуйте преодолеть свои естественные когнитивные искажения и чётко рационально оценить ваши реальные шансы на выигрыш или проигрыш в каждой конкретной игре или предприятии. 94

СИСТЕМЫ И СТРАТЕГИИ В АЗАРТНЫХ ИГРАХ

Санкт-петербургская лотерея Представьте игру, в которой вам предлагается самому выбрать, сколько заплатить за участие. Монетку подкидывают несколько раз подряд, и ваш выигрыш зависит от того, сколько раз она упадёт орлом перед тем, как упадёт решкой. Если решка выпадет уже на первом броске, вы выиграете 1 £. Если на втором — 2 £, на третьем — 4 £, на четвёртом — 8 £ и т.д. с удвоением выигрыша с каждым новым броском. Вопрос состоит в том, сколько стоит заплатить за участие в этой лотерее. С учётом того, что мы успели обсудить в этой главе, первой вашей мыслью может быть посчитать математическое ожидание. Так, у нас есть шанс 1 к 2 получить 1 £, 1 к 4 — 2 £, 1 к 8 — 4 £ и т.д. Если мы сложим эти значения, чтобы вычислить математическое ожидание, получится:

( ) ( ) ( )

1 1×2 1 ... ×1 + + × 4 + ... = 0,5 + 0,5 + 0,5 + 2 4 8

То есть математическое ожидание для значения выигрыша стремится к бесконечности, так что заплатить любую конечную цену, сколь велика бы она ни была, теоретически будет рационально. Однако большинство людей готово отдать за билет не больше скромной части своей недельной зарплаты. Что же не так с этим расчётом математического ожидания? Этот парадокс придумал в XVIII в. математик Николай Бернулли, а первое решение было предложено его братом Даниилом. Тот заметил, что «ценность измеряется не денежной стоимостью вещи, а её полезностью… Без сомнения, для бедного доход в тысячу ду95

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

катов имеет большее значение, чем для богатого, в то время как сумма одинакова для обоих». Полезность — фундаментальная концепция экономики. Она объясняет, почему разные люди по-разному оценивают один объект: дело в том, что они получают разный уровень удовлетворения от его использования. В словах Бернулли также имплицитно содержится идея убывающей предельной полезности денег. Предельной полезностью называют удовлетворение, которое человек получает от потребления одной дополнительной единицы блага. А убывающая предельная полезность предполагает, что чем больше у вас какого-либо блага, тем меньше удовлетворения оно вам доставляет. Поясним на бытовом уровне: один кусок торта — это очень вкусно и сытно. Второй кусок тоже может доставить удовольствие. А третий и четвёртый принесут вам значительно меньше радости, чем первый. Большинство благ обладает убывающей предельной полезностью. И деньги, которые могут рассматриваться как благо или товар, также имеют убывающую предельную полезность. Монетка в 5 дукатов обладает огромной ценностью для бедняка, но не для герцога — в то время, как последний может спокойно поставить монетку на кон в игре типа санкт-петербургской лотереи, бедняку нужно будет её приберечь, чтобы оплатить еду и крышу над головой. Бернулли предложил формальное определение полезности как значения, пропорционального достатку игрока. Выводится она из пугающего уравнения ниже (не буду даже делать вид, что сумею его объяснить) и помогает установить стоимость лотерейного билета, где c — цена билета, а w — достаток игрока. 96

СИСТЕМЫ И СТРАТЕГИИ В АЗАРТНЫХ ИГРАХ

ΔE (U) =



∑ 1k [in (w + 2k – c) – in (w)] < ∞

k=1

2

Было и множество других попыток вывести идеальную математическую функцию, которая определяла бы полезность: какие-то более доступные для понимания, какие-то — менее. Но ключевые идеи, которые следует зафиксировать, не требуют столь сложных уравнений. Достаточно просто понять, что 1) нет ничего иррационального в том, что разные люди поразному оценивают один товар, ведь их оценки основываются на их видении полезности товара; 2) полезность субъективна и зависит от достатка потребителя блага; 3) деньги сами по себе имеют убывающую предельную ценность. Другой вопрос, которым задались Канеман и Тверски, звучит так: почему большинство людей выберет не поставить 50 $, чтобы с вероятностью в 60% выиграть 50 $. Чтобы разобраться, нам потребуется подумать о финансовом положении каждого, кому делают подобное предложение. Если у человека достаточно денег, чтобы считать проигрыш 50 $ незначительной потерей, он вполне может посчитать участие в этом пари рациональным. Однако если проигрыш 50 $ значит для него, что теперь до самой зарплаты денег не будет, очевидно, что разумнее отказаться. В данной ситуации даже сами деньги обладают различной полезностью. Для обоих игроков первые 50 $ (ставка) имеют бо2льшую полезность, чем вторые (потенциальный выигрыш), но менее состоятельный человек проводит особенно чёткую границу между деньгами, которые он никак не может позволить себе потерять, и деньгами, которые он потенциально может получить. 97

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Полезность в бизнесе В бизнесе в целом критически важно учитывать явление уменьшающейся предельной полезности при рассмотрении новых бизнес-моделей или продуктовых линеек. Бизнес может считаться жизнеспособным в долгосрочной перспективе, только если продукт будет продолжать продаваться даже по прошествии долгого времени, а это обычно предполагает, что потребителю нужно несколько раз повторять покупку. Некоторые товары, например, еда, в результате потребления уничтожаются и, естественно, требуют повторной покупки (хотя, чтобы достичь успеха с конкретным продовольственным продуктом, необходимо продвигать регулярное, привычное его потребление). Планируемое устаревание — элемент многих бизнес-моделей, которые намеренно производят товары, требующие регулярных замен или обновлений. Конечно, планируемое устаревание должно вызывать беспокойство у каждого, кого заботят проблемы окружающей среды, но избежать его в условиях нашей экономической модели крайне сложно. До 1970-х гг. на рынке был представлен целый ряд многоразовых бритвенных станков: они служили вечно, а иногда лезвие даже не нужно было менять — достаточно лишь подточить. Однако в долгосрочной перспективе эта бизнес-модель не может считаться устойчивой, и в результате большинство компаний переключились на производство одноразовых пластиковых станков. А порой рынок может просто перенасытиться одним продуктом. Недавно мы наблюдали бум книг-раскрасок для взрослых. Несколько первых успешных книг повлекли за собой целый

98

СИСТЕМЫ И СТРАТЕГИИ В АЗАРТНЫХ ИГРАХ

шквал публикаций прекрасных креативных раскрасок от издательств по всему миру. Проблема заключается в том, что многие взрослые ценители накупили их столько, что хватит на всю жизнь, и, соответственно, новые приобретать перестали. В результате рынок обвалился, и многие издательства были вынуждены направить свежие тиражи в макулатуру. Мораль такова: необходимо чётко осознавать, как быстро будет снижаться предельная полезность вашего продукта, и иметь проработанный план действий по управлению этим риском.

Практическая вероятность и ещё несколько когнитивных ловушек Мы уже упомянули разорение игрока (отказ изменять свою исходную ставку при сокращении размера банка) в качестве примера иррациональных представлений и практик, которые могут навредить игроку. Ещё одна связанная с этим проблема — самонадеянность игрока, т.е. вера, что ему удастся прекратить рисковать в нужный момент. Фактически это значит, что многим игрокам сложно оставить игру, будучи в плюсе. Самонадеянность игрока проистекает из базового когнитивного искажения — склонности к оптимизму, тенденции верить, что мы более везучие, чем окружающие, или что у нас больше шансов преуспеть в рискованном предприятии. Эту веру сложно перебороть, поэтому чрезвычайно важно осознавать, что в конце концов любая полоса везения сойдёт на нет, ведь закон больших чи99

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

сел гласит, что все результаты стремятся к среднему, т.е. к проигрышу значения математического ожидания, если имеется преимущество казино. Также важно понимать и заблуждение игрока — склонность ожидать, что если в ходе игры наблюдался перекос результатов в одну сторону, то затем они сдвинутся в другую. Например, если кто-то пять раз бросит монетку решкой, заблуждением игрока будет считать, что теперь с большей вероятностью она приземлится орлом. Это явление также известно, как заблуждение Монте-Карло: в честь произошедшего в казино МонтеКарло 18 августа 1913 г. За рулеточным столом чёрное выпало поразительные 26 раз подряд (вероятность — 0,0000023). Некоторые игроки, возможно, рассудили, что проблема в столе, но большинство присутствующих решили, что грядёт долгая серия выпадения красного, и проиграли на этом миллионы франков. На самом же деле, если брать отправной точкой расчёта момент после выпадения чёрного 26 раз подряд и предположить, что стол всё же честный, реальная вероятность выпадения красного или чёрного в каждом новом раунде игры равна. Важно чётко разграничивать заблуждение игрока и регрессию к среднему значению. Этот термин используют для описания следующего явления: если во время первого измерения некая величина достигла крайних значений (т.е. особо удалена в любую сторону от среднего), то при втором измерении она сдвинется ближе к среднему. Данную концепцию первым сформулировал в XIX в. Фрэнсис Гальтон, подметив, что у нестандартно высоких людей дети обычно не такие высокие. Подобная схема реализуется в любом процессе с элементом случайности. Например, если вы посчи100

СИСТЕМЫ И СТРАТЕГИИ В АЗАРТНЫХ ИГРАХ

таете, сколько машин проезжает за день на красный свет в разных частях города, то заметите, что локация с самым высоким результатом в первый день на следующий будет уже иметь показатели ниже. В то же время показатели места с самым низким числом проездов на красный на следующий день повысятся. Общее распределение в результате не сузится, просто теперь крайние значения реализуются в других локациях. Важно понимать, что это следствие случайности, а не исключение из неё. Если бросать шарики через доску Гальтона, как на рисунке 19, они будут отскакивать от штырьков вправо или влево с тенденцией собираться в нижнем ряду в столбики, повторяющие форму кривой нормального распределения. (Доской Гальтона или квинкунксом называют одну безделушку — ящичек с штырьками, от которых отскакивают шарики при падении). Представим, что вы возьмёте шарики из последнего ряда квинкункса и, сохранив их позиции, запустите их через вторую доску. В результате шарики вновь образуют кривую нормального распределения. Если спросить себя, откуда вероятнее всего упали шарики, которые теперь находятся на крайних точках распределения, т.е. под шариками, которые по итогам прошлого запуска оказались на краях, то правильно будет предположить, что они проделали свой путь со стороны центра, а не напрямую сверху вниз. Ведь поскольку больше шариков начинает своё движение из центра, получается, что и шансы, что они отскочили дальше в сторону, выше. Приведём другой пример: в футбольной лиге, если команда необычайно сильно проявила себя в начале сезона, одержав 5 побед в 6 матчах, не следует ожи101

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

1

15

32

53

34

15

2

Рисунок 19. Шарики бросают чётко в центр квинкункса, после чего они отскакивают от штырьков и образуют на нижнем уровне форму, примерно повторяющую кривую нормального распределения.

дать, что их итоговые результаты за сезон будут с сохранением пропорции 5 . Причём намного вероятнее, 6 что итоговое значение будет ниже, а не выше. Конечно, команда просто может быть в отличной форме, и их успехи продлятся весь сезон, но стоит хотя бы задуматься о возможности регрессии к среднему перед тем, как поставить слишком много денег на продолжение цепочки побед. Другой способ научиться различать заблуждение игрока и регрессию к среднему: представим, что 1000 людей бросает монетку. Те, у кого выпадет решка, а не орёл, остаются в игре. Можно ожидать, что во второй раунд пройдёт примерно 500 человек, в третий — 250, в четвёртый — 125, в пятый — 62 (с округлением), в шестой — 31. 102

СИСТЕМЫ И СТРАТЕГИИ В АЗАРТНЫХ ИГРАХ

То есть сейчас перед нами примерно 31 человек, каждый из которых пять раз подряд выкинул решку. Заблуждением игрока будет решить, что теперь с вероятностью более 50% у них выпадет орёл, поскольку в результате отношение орлов и решек должно «выровняться». Конечно же, вероятность каждого из исходов в следующем раунде остаётся ровно 50%. И если начать вести учёт с этого момента, можно ожидать, что в ходе будущих бросков каждая из сторон выпадет в среднем в 50% случаев (в итоге наш прогноз будет строиться на том, что в среднем решек окажется на 5 больше, чем орлов). Если же вместо этого мы сфокусируемся на одном конкретном игроке и проведём эксперимент заново, рационально будет ожидать, что результаты следующих бросков окажутся ближе к среднему, и маловероятно, что мы увидим ещё 5 решек подряд. Это объясняется регрессией к среднему.

Поиск закономерностей в случайностях Люди не очень хорошо понимают случайность. В основе нашего миропонимания лежит склонность искать закономерности, из-за чего мы иногда можем видеть их там, где их на самом деле нет. Также из этого следует, что, если нас попросят имитировать случайную последовательность, получится достаточно плохо. Проиллюстрируем этот тезис несколькими примерами. В 1980-х результаты игр в рулетку в казино МонтеКарло каждый день публиковали в газете «Ле Монако». Математик Карл Пирсон хотел опробовать некоторые свои методы на случайных данных и решил воспользо103

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

ваться для этих целей результатами игр. В итоге учёный пришёл к выводу, что рулеточные столы ведут себя крайне странно. Последовательности выпадающих чисел были совсем неслучайными и выглядели откровенно сфальсифицированными. Выяснилось, что на самом деле разленившиеся журналисты решили, что никто никогда не заметит, если они просто выдумают результаты. Так что в действительности Пирсон не раскрыл обман со стороны казино или дефект столов, а лишь продемонстрировал, насколько плохо газетчики имитировали выборку случайных данных. Если нас попросят придумать цепочку случайных результатов игры в рулетку, наше наивное понимание случайных процессов породит числовую последовательность, элементы которой будут единообразно «хаотично» рассеяны и не будут содержать ничего «на первый взгляд закономерного». В итоге значения будут распределены достаточно равномерно. В свою очередь, в реальном случайном ряду данные будут сбиваться в кластеры, образовывать цепочки, выглядящие крайне последовательно и системно. Например, за сотню раундов игры шарик может ни разу не остановиться на «семёрке», при том, что часто выпадает «шестёрка». Реально случайные события для человека зачастую таковыми не выглядят. Со смежной проблемой столкнулась корпорация Apple, впервые представив на плеере iPod функцию «перемешать». Пользователи отметили, что часто песни одной группы идут одна за другой или что та же композиция повторяется по нескольку раз, и начали писать жалобы. Они ошибочно решили, что функция как-то подстроена и не выдаёт по-настоящему случайные результаты. Стива Джобса возмутило это пре104

СИСТЕМЫ И СТРАТЕГИИ В АЗАРТНЫХ ИГРАХ

небрежение математикой, однако поправки в работу «перемешать» всё же внесли, следуя указанию «сделать функцию менее случайной, чтобы та казалась более случайной». Так что полагаться на наше восприятие случайности на самом деле нельзя. Это также проявляется в том, что игрокам свойственно видеть т.н. «полосы». Существует расхожее предубеждение, что онлайн-приложения для азартных игр имеют необычную склонность выдавать «полосы», а значит, не случайны. В действительности же возникновение серий похожих результатов — совершенно нормальное явление в случайном процессе. Так что подобная позиция — следствие ошибочного восприятия, а не реально существующих программных ошибок. Из нашей неспособности понимать случайность проистекают ещё две когнитивные ловушки. Во-первых, вариация заблуждения игрока — склонность делать выводы о «полосах» результатов на основе ограниченной информации. Например, мы можем подумать, что футбольная команда, сыгравшая три матча подряд вничью, имеет больше шансов закончить ничьей и следующую игру. Или прийти к неверному выводу, что если акции компании десять недель подряд росли в цене, то эта тенденция обязательно сохранится. В контексте ставок на спорт это заблуждение также известно как «эффект горячей руки». Название было предложено в исследовании Томаса Гиловича, Роберта Валлоне и Амоса Тверски. Оно посвящено очевидно ошибочному представлению, что баскетболист, сделавший удачный бросок, с большей вероятностью следующим броском повторит свой успех. В каком-то смысле это полная противоположность заблуждения игрока — предполагается, что 105

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

нестандартная серия результатов продолжится, а не что удача её «сбалансирует». Важно осознавать данное заблуждение, но и знание это следует применять с умом. Ведь существуют свидетельства, что спортсмены действительно с большей вероятностью выступают удачно, зарядившись уверенностью от недавнего успеха. Есть доказательства* и существования такого явления как «полоса побед» у игроков в азартные игры — правда, причины её весьма ироничны. Дело в том, что многие игроки осознают, что любая полоса побед когда-то закончится. Так что с каждым новым выигрышем их оптимистичный настрой по поводу следующей ставки постепенно идёт на спад, изза чего игроки выбирают всё более безопасные ставки и, следовательно, с большей вероятностью продолжают выигрывать. И, наконец, помните, что иногда процесс, кажущийся случайным, на самом деле таковым не является. Например, история Джозефа Джаггера, инженера из Йоркшира, который сорвал куш за рулеточным столом Монте-Карло, может и звучит весьма сомнительно, но, как бы то ни было, мораль вынести из неё всё равно нужно. Считается, что Джаггер нанял команду секретарей, чтобы те в течение многих недель фиксировали все результаты игры в рулетку, и обнаружил, что некоторые столы из-за механических дефектов или неправильной установки имеют склонность к выпадению определённых чисел. Это якобы позволило ему успешно обойти преимущество казино и выиграть целое состояние. * http://www.popsci.com/article/science/are-lucky-streaks-realsciencesays-yes (Прим.авт.)

106

СИСТЕМЫ И СТРАТЕГИИ В АЗАРТНЫХ ИГРАХ

Не исключено, что история выдуманная, но сами казино несомненно допускают, что это возможно, и регулярно переставляют местами рулеточные столы, чтобы избежать подражателей Джаггера. В любом случае это доказывает важную истину: чтобы установить наличие в игре дисбаланса или реальной склонности к «полосам» результатов, требуется огромное количество данных. Только накопив массу информации, вы будете способны проследить настоящие закономерности и сдвиги в азартных играх или спортивных результатах. Попытки делать прогнозы без достаточных данных скорее всего закончатся тем, что сложности с пониманием случайности приведут вас к ошибочным выводам.

Что нужно делать Хотя различия в проявлениях заблуждения игрока, эффекта горячей руки и регрессии к среднему на практике могут казаться сложными и запутанными, важнее всего просто помнить, что не следует полагаться на закономерности, будто бы прослеживаемые в реально случайных событиях, и что события в прошлом никоим образом не влияют на вероятность реально независимых событий в будущем.

Рулетка и формализм в математике Изучение вероятностей игры в рулетку имело несколько интересных и полезных косвенных следствий и для других сфер. Математик Анри Пуанкаре (см. стр. 291) 107

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

использовал модифицированную версию рулетки*, чтобы продемонстрировать, как точное отслеживание исходных условий теоретически может использоваться для предсказания положения, в котором в итоге остановится стрелка. Однако побочным выводом из его работы стало понимание, насколько сильно крошечные изменения исходных условий могут повлиять на финальный исход, что заложило основы для современной теории хаоса. Она показывает, как детерминированные физические процессы могут приводить к исходам, предсказать которые практически невозможно. (Т.е. когда мы говорим, что исход броска костей или игры в рулетку случаен, то в действительности мы имеем в виду, что детерминированные процессы, определяющие их исход, слишком сложны, чтобы проанализировать их в отведённое время.) В то же время методы Карла Пирсона, вскрывшие ложь журналистов «Ле Монако», стали фундаментом современной науки. Теперь, анализируя результаты физических или химических экспериментов или тестирования новых лекарственных средств, учёные параллельно проверяют, какова вероятность случайного возникновения полностью аналогичного результата (см. статистическая значимость, стр. 235). Этот метод стал базовым — он позволяет не только установить, служит ли некое явление доказательством теории или нас просто сбил с толку случайный результат, но и обнаружить обман и придуманные результаты. * Рулетка Пуанкаре представляет собой расположенный в горизонтальной плоскости круг, расчерченный на равные секторы — белые и чёрные; в центре круга на вертикальной оси помещена стрелка, которую можно раскрутить и дать ей свободно вращаться. (Прим. пер.)

108

СИСТЕМЫ И СТРАТЕГИИ В АЗАРТНЫХ ИГРАХ

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ГЛАВЫ 3: 1. Все мы склонны совершать иррациональные ошибки во время азартных игр, и даже самый продуманный план может не сработать. 2. Стратегии типа хеджирования или применения критерия Келли могут повысить ваши шансы на выигрыш или снизить потери. 3. Нерациональных стратегий ставок и причин играть несравнимо больше, чем рациональных. Единственная ситуация, в которой ставка действительно рационально оправдана, — если вы обладаете каким-либо знанием или аналитической информацией, благодаря которой возможно обойти преимущество казино. 4. Все системы, гарантирующие выигрыш, — чушь. Исключений не существует.

ГЛАВА 4

Успешный инвестор

Инвестиции в знания платят лучшие дивиденды. Бенджамин Франклин

Азартные игры в целом являются плохой стратегией заработка, так что имеет смысл искать в других сферах жизни ситуации, когда преимущество окажется на вашей стороне, а не будет работать против вас. Теоретически такую возможность предоставляет фондовая биржа, поскольку в долгосрочной перспективе она имеет тенденцию показывать реальный рост. Это означает, что, в отличие от казино, здесь преимуществом обладают именно инвесторы. Хотя и тут многое может пойти не так: инвесторы действуют скорее на равных условиях, чего не скажешь про игроков (хоть первым и приходится иметь дело с намного более сложными вычислениями и аналитикой). Давайте разберём азы инвестиций в фондовые рынки, а затем рассмотрим несколько других важных применений математики в бизнесе. Но предупреждаю: все уравнения и вычисления в этой главе мы будем развёртывать лишь до некоего предела. Моя цель в данном случае — просто снять по110

УСПЕШНЫЙ ИНВЕСТОР

кров таинственности с математического жаргона, объяснить основы, чтобы затем люди могли самостоятельно разобраться в заинтересовавших их темах и имели адекватное базовое понимание явлений, освещаемых в учебниках и курсах по инвестициям.

Введение в фондовые биржи В некотором смысле покупка акций и облигаций похожа на ставки. Вы приобретаете финансовый инструмент и надеетесь, что в кратко-, средне- или долгосрочной перспективе он станет стоить больше того, что вы заплатили. Если вы рассчитываете на скорое увеличение стоимости, то это считается спекуляцией. Если же вы готовы вложиться в компанию на более продолжительный период, то у вас есть все основания называть себя её инвестором. Существует множество финансовых инструментов, и все они связаны с различными уровнями риска. Например, облигации, которыми торгуют на рынке облигаций, традиционно считаются безопасным вложением — по сути, это способ одолжить компании деньги под определённую процентную ставку (при этом высокая эффективность компании не повышает стоимость облигаций, и дивиденды по ним не выплачиваются). В свою очередь, акции, которыми торгуют на фондовом рынке, имеют потенциал вырасти в цене, и по ним возможно получить дивиденды, т.е. часть прибыли компании. Однако дивиденды не выплатят, если будет принято решение удержать и реинвестировать прибыль — в таком случае улучшенные показатели фирмы должны отразиться на повышении цены акций. 111

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Изначально акции находятся в собственности учредителей компании и тех внешних инвесторов, чьими средствами они, возможно, воспользовались. Новые инвесторы также могут вкладывать деньги в обмен на личные акции. Однако, если возникнет потребность в увеличении капитала или если существующие инвесторы захотят реализовать свои акции, фирма может рассмотреть вариант совершить первое публичное размещение акций (IPO), т.е. сделать акции доступными для покупки на публичном рынке (теперь их сможет приобрести кто угодно) и превратить компанию из частной в публичную. Обладание акциями даёт право голоса на собраниях акционеров и закрепляет возможность их перепродажи. Акции предоставляют различный объём прав и характеризуются различными уровнями риска. Привилегированные акции гарантируют лучшие условия во время голосований по сравнению с обыкновенными, а некоторые компании вводят дополнительное подразделение акций на классы. Например, компания Уоррена Баффетта Berkshire Hathaway выпускает акции классов А и Б. Если вам интересно активно участвовать в деятельности компании или даже контролировать её, важно приобрести именно те акции, которые обеспечат вам наибольший объём прав при голосовании, поскольку так вы сможете повлиять, например, на состав совета директоров и т.д. А для более пассивного инвестора в первую очередь имеет значение, что различные типы финансовых инструментов предполагают различные уровни риска. При ликвидации компании первыми получат выплаты держатели облигаций и прочих долговых инструментов, затем — обладатели привилегированных акций и последними — обыкновенных (с учётом возможного разделения на классы). 112

УСПЕШНЫЙ ИНВЕСТОР

Уровень риска непосредственно связан с потенциальной выгодой. Облигации традиционно приносят годовую прибыль около 5–7% (и имеют фиксированную цену, т.е. как только срок действия бумаги подойдёт к концу, компания выплатит вам ту же сумму вне зависимости от своих показателей за данный период), в то время как акции в среднем показывают доходность в 8–9% (и в теории могут бесконечно расти в цене). Так что облигации можно сравнить со ставками с низкими коэффициентами, при которых шанс разориться крайне мал, а акции — со ставками с высокими коэффициентами, которым сопутствует повышенный риск потерять всё.

Что такое акция? Допустим, у вас есть акция компании. Но что именно вы приобрели? Нельзя просто заявиться в офис фирмы и прихватить из шкафчика коробок скрепок, исходя из того, что она частично принадлежит вам. Этому есть свои причины: дело в том, что личное и корпоративное имущество разделено по закону, и вы как акционер имеете ограниченную ответственность (с другой стороны, благодаря этому ваше имущество не может быть конфисковано судом в случае разорения компании). В действительности владение акцией означает, что вам принадлежит часть общей стоимости компании, также известной как рыночная капитализация бизнеса. Поясним на базовом уровне: если у компании 50 000 акций одного класса, каждая из которых стоит 20 $, то рыночная капитализация компании составит 1 000 000 $ (= 20 $ × 50 000). Из этого следует, что неверно просто сравнивать цены акций двух компаний — 113

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

данная информация имеет смысл, только если вы знаете, сколько всего акций выпущено. Рыночная капитализация состоит из двух частей. Первая — балансовая стоимость, то есть находящиеся в собственности компании материальные запасы, здания, офисная мебель, наличные, патенты, авторские права и т.д. Её достаточно легко оценить (если мы имеем дело с обычной компанией, а не чем-то совершенно нереальным, типа Enron*), поскольку она эквивалентна чистым активам — сумме, которая осталась бы у человека, если бы он продал всё своё имущество и выплатил все долги по их текущей стоимости. Вторая, более изменчивая часть рыночной капитализации состоит из будущего потока денежных средств фирмы. Основная причина роста и падения цен акций заключается именно в различных представлениях инвесторов о будущих денежных потоках компаний и общем состоянии рынка на фоне различных событий. Когда индивидуальные инвесторы выдают своим брокерам указания покупать или продавать, изменения спроса и предложения на рынке вызывают рост и падение цен. Самый разумный способ оценить компанию — внимательно проанализировать её балансовую стоимость и потенциальный будущий заработок. Несмотря * Корпорация «Энрон» (Enron Corporation) — американская энергетическая компания, являвшаяся одной из ведущих компаний мира в таких областях, как производство электроэнергии, транспортировка газа, газоснабжение, связь и целлюлозно-бумажное производство. 2 декабря 2001 года было объявлено о банкротстве компании. Стало известно, что информация о финансовом состоянии компании в значительной степени была сфальсифицирована с помощью бухгалтерского мошенничества, и было вскрыто использование различных офшорных схем. (Прим. пер.)

114

УСПЕШНЫЙ ИНВЕСТОР

на это, инвесторы прибегают к целому ряду других методов — как рациональных, так и иррациональных, — чтобы решить, во что вложиться, поэтому утверждать, что лишь прогнозы будущего потока денежных средств компании влияют на колебание её цены, было бы упрощением. Как минимум, многие поддаются влиянию недавних изменений в курсах акций: действительно, рост цены может указывать на то, что бизнес показывает хорошие результаты, и тогда разумно ожидать сохранения тренда. Однако существует опасность, что цена уже завышена и поддерживается лишь иррациональным оптимизмом. Среди прочих факторов, воздействующих на субъективные и объективные оценки той или иной компании, можно перечислить стоимость бренда, человеческий капитал (насколько высококвалифицированный и надёжный персонал там работает) и наличие барьеров входа (другими словами, как легко новички в отрасли могут начать конкурировать с компанией). Также следует учитывать влияние случайных факторов, например, любых безумных слухов о компании в Интернете, намеренных попыток повлиять на цену, белого и чёрного пиара и т.д. Очевидно, что лучшей стратегией для вас как инвестора было бы покупать недооценённые акции и либо придерживать их, либо продавать, как только вы решите, что теперь они переоценены, или захотите перераспределить свои деньги на другие инвестиционные возможности. При этом гарантированного, беспроигрышного способа оценить фирму или установить, недооценена акция или переоценена, не существует. Так что разберём несколько разных допустимых методов анализа компаний. 115

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Отношение цены к прибыли Классический инструмент, который применяют в этих целях вот уже более ста лет, — отношение цены к прибыли (или P/E от англ. price to earning). Его используют, чтобы определить, недооценена акция или переоценена, и сравнить её с акциями других компаний отрасли либо рынка в целом. Данное отношение рассчитывают, поделив рыночную стоимость компании на годовую прибыль. Представим корпорацию «Ерундовина» — она производит коллекционные машинки, имеет годовой доход (прибыль) 30 000 $ и оценивается для продажи в 600 000 $. Показатель цена/прибыль составляет 600,000 = 20. 30,000 Это значит, что покупателю понадобится 20 лет, чтобы отбить предлагаемую цену (если прибыль от бизнеса останется прежней). Мы также можем теперь сравнить эту компанию с другими производителями машинок или игрушек в целом, чтобы понять, насколько её стоимость обоснована. Такие внешние факторы, как, например, выход нового фильма про приключения игрушечного автомобиля или скандальной статьи про детей, задохнувшихся, подавившись машинкой, окажут равное влияние на весь сектор, так что подобное сравнение позволит нам лучше разобраться, в чём заключаются особенности этой конкретной фирмы. Если вы хотите приобрести акции компаний определённой отрасли, можно сравнивать их по этому критерию и инвестировать в те фирмы, у которых P/E самый низкий. Принято считать, что 20 — средний результат, 116

УСПЕШНЫЙ ИНВЕСТОР

а показатель ниже (скажем, 10) — это сигнал совершить покупку. Но имейте в виду, что у молодых компаний отношение прибыль/цена зачастую бывает выше, чем у старых: первые могут утверждать, что у них не так ограничены горизонты развития (т.е. старой компании сложнее находить новые, неразработанные рынки). Также, чтобы правильно интерпретировать P/E, необходимо понимать бизнес-модель компании. Например, Amazon предпочитает жертвовать доходами в краткосрочной перспективе во имя агрессивной экспансии на новые рынки, из-за чего его показатель цена/прибыль недавно превысил 500. Связанный инструмент, способный помочь разрешить эти трудности, — показатель PEG (от англ. price/ earning to growth цена/прибыль к росту). Это P/E, поделённый на темп роста прибыли за 5 лет. Например, компания с темпами роста 30% за 5 лет и с P/E 15 будет иметь PEG 0,5. PEG меньше единицы обычно считается индикатором недооценённой акции. Сходные задачи решает и PEGY (от англ. price/earning to growth and dividend yield цена/прибыль к росту и дивидендному доходу) — его часто выбирают инвесторы, предпочитающие получать дивиденды. Он рассчитывается по формуле P/E / (темп роста + дивидендный доход). Опять же, предпочтительным является значение менее 1, а акции компаний с результатом до 0,5 считаются особенно удачной покупкой. Если прогнозный показатель цена/ прибыль (то есть P/E, рассчитанный с учётом прогнозируемой прибыли компании за следующий год) выше актуального, можно сделать вывод, что аналитики ожидают роста прибыли. Конечно, главная опасность прогнозов на основании прошлых и актуальных показателей заключается в том, 117

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

что данные могут оказаться неточными, а обстоятельства — непредсказуемо изменяться. Математические методы в финансовом анализе эффективны ровно настолько, насколько полна исходная информация. Как любил говорить про базы данных и сводные таблицы один мой бывший начальник: «Внесёшь ерунду — получишь ерунду».

Чего не нужно делать Легко поддаться панике, осознав, как много существует разных финансовых коэффициентов: например, уравнение Гордона, позволяющее установить ожидаемую доходность от дивидендов компании, другие показатели платёжеспособности, ликвидности, эффективности и доходности, а также бесхитростные расчёты отношения цены к номинальной стоимости. В увлечении этими коэффициентами кроется опасность: можно погрязнуть в цифрах и забыть, что все они суть общие практические правила, бледная тень сложных фактов и событий реального мира. Математические интерпретации могут оказаться крайне полезными для инвестора, но лучше слишком в них не погружаться: опытные инвесторы типа Джона Боггла и Питера Линча* подчёркивают, что следует применять лишь очень ограниченное число аналитических инструментов, * Питер Линч (род. 1944) — американский финансист, инвестор. В период с 1977 по 1990 гг. руководил инвестиционным фондом Fidelity Magellan Fund. В этот период его доходность составила 29,2% годовых, объём активов увеличился с 18 млн $ до 14 млрд $, что превратило Magellan в самый крупный фонд в мире. (Прим. пер.)

118

УСПЕШНЫЙ ИНВЕСТОР

которыми вы по-настоящему хорошо владеете, и инвестировать исключительно в понятные вам компании, чтобы не позволить случайным цифрам и ошибочной информации сбить вас с толку.

Стоимость денег с учётом фактора времени Математическая логика, стоящая за отношением цены к прибыли, станет более интуитивно понятной, стоит вам осознать, что это лишь частный пример общей проблемы — изменения стоимости денег с учётом фактора времени. Первые попытки проанализировать данную задачу ещё в XV в. предпринял ранний испанский экономист и теолог Мартин де Аспилькуэта. В основе её лежит утверждение, что теоретически некая сумма денег имеет бо2льшую ценность сейчас, нежели в будущем, поскольку владелец денег мог бы заработать за этот период времени процент. Например, если мне предложат получить 1000 $ через год, сколько мне стоит сейчас заплатить за эту возможность? Положив деньги в банк, я бы заработал, скажем, 5%. То есть сумму необходимо поделить на 1,05: 100 $ = 952,38 $. 1,05 Получается, чтобы получить в будущем 1000 $ (при процентной ставке 5%), нам достаточно вложить 952,38 $. В этом уравнении 5% будет называться ставкой дисконтирования, т.е. величиной, на которую следует уменьшить будущую стоимость, чтобы определить 119

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

стоимость текущую. Конечно, выбор процентной ставки имеет принципиальное значение: бухгалтеры при расчётах зачастую прибегают к безрисковой процентной ставке, т.е. к самой высокой ставке, которую гарантированно обеспечивают банки или государственные облигации. Более точный, но менее безопасный метод — применять реальную процентную ставку, рассчитываемую как номинальная безрисковая процентная ставка минус значение инфляции (другими словами, если безрисковая процентная ставка составляет 7%, а инфляция в данный период достигает 4%, то реальная процентная ставка будет 3%). Вне зависимости от выбранной ставки, этот пример служит доказательством простого факта, что при возможности открыть накопительный счёт в банке (или наличии любого другого применения деньгам, которое принесёт вам больше денег) рациональный человек выберет 1000 $ сейчас вместо 1000 $ в некий определённый момент в будущем. Отсюда проистекает вопрос, как произвести расчёт текущей стоимости денег в целом. Базовое уравнение следующее:

(

i FV= PV × 1 + n

)

(n × i)

где FV — будущая стоимость денег; PV — текущая стоимость денег; i — процентная ставка; n — число периодов начисления сложного процента в год; t — число лет. Например, если вложить 20 000 £ под 6% годовых, с начислением процента раз в квартал, стоимость через год будет рассчитываться следующим образом: 120

УСПЕШНЫЙ ИНВЕСТОР

(

20,000 × 1 +

)

0,06 4

(4 × 2)

= 20,000 × (1,015)8 = £ 22,529.85

А чтобы установить текущую стоимость будущей выплаты, уравнение можно преобразовать: PV ×

((

FV

)

1+i n

(n × t)

)

Существует целый ряд версий этого базового уравнения, учитывающих множество различных факторов: например, осуществляем мы оценку стоимости аннуитета (регулярных выплат за ограниченный период времени) или перпетуитета (бесконечной последовательности регулярных выплат), равномерно или экспоненциально будет увеличиваться прибыль, в начале или конце периода производится выплата. Разные уравнения пригодятся вам в разных ситуациях и позволят оценить, например, стоимость аренды, ипотеки или размер пенсии. Давайте сфокусируемся на более простом примере — формуле для определения текущей стоимости перпетуитета. Необходимо рассчитать сумму текущей стоимости всех будущих выплат. Из достаточно сложного исходного уравнения выводится упрощённая формула перпетуитета с регулярными выплатами: PV × C i где i — процентная ставка, а C — ежегодная выплата. Формулу можно преобразовать: PV × 1 C i 121

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

То есть текущая стоимость, поделённая на ежегодную выплату, — величина, обратная процентной ставке. Достаточно очевидно, что аналогично обстоит ситуация и с P/E, для расчёта которого текущую стоимость делят на текущую прибыль. Таким образом, вполне оправданно рассматривать P/E как величину, обратную проценту прибыли по акциям. При покупке компании по её текущей стоимости вы будете получать её прибыль как плату за вашу инвестицию (то же самое происходит и при покупке одной акции — просто пропорционально). И естественно, вам хочется, чтобы это было прибыльнее, чем просто положить деньги на счёт в банке. Именно поэтому значение P/E в районе 20 (т.е. обратное процентной ставке в 5%) выглядит надёжно, но не слишком впечатляет, в то время как значение P/E около 10 (обратное ставке в 10%) рассматривают как удачную возможность для покупки. Конечно, даже если отыскать вариант с хорошим соотношением цены к прибыли, время может оказаться не на вашей стороне: другие инвесторы тоже приметят возможность заработать 10 или более процентов, покупателей станет больше, чем продавцов, цена компании вырастет, и для последних покупателей сделка будет уже не столь выгодной. Зато успевшие купить актив по текущей цене скорее всего будут вознаграждены подорожанием их акций и будущими дивидендами. По аналогии теперь наглядно видно, почему в качестве критерия оценки некоторые выбирают PEG. Когда вы делите P/E на темп роста за 5 лет, вы просто сравниваете эффективную процентную ставку, под которую вам предлагают инвестировать деньги, с реальной скоростью увеличения прибыли. Если последний показа122

УСПЕШНЫЙ ИНВЕСТОР

тель выше и PEG, соответственно, меньше единицы, то, возможно, рынок недооценивает способность компании генерировать повышенную прибыль.

6 из 10 — не так уж и плохо Известный инвестор и автор Питер Линч однажды сказал про выбор акций: «Можете считать себя успешным, если оказываетесь правы в 6 случаях из 10. Но вы никогда не будете правы в 9 случаях из 10». Он имел в виду, что для выгодного вложения достаточно портфеля, где прибыльных акций чуть больше, чем убыточных. Помните об этом, особенно учитывая, каким пугающе сложным порой кажется процесс поиска удачной инвестиционной возможности. Но если применять только по-настоящему понятные вам математические критерии и перед покупкой хорошо исследовать вопрос, у вас будет неплохой шанс преуспеть, особенно при том, что среднестатистическая акция имеет тенденцию со временем увеличиваться в стоимости. (Это правило работает только для портфеля акций, в котором невозможно потерять больше вложенного. Когда же дело касается деривативов, о которых мы поговорим в главе 6, всё становится сложнее).

JJJJJJLLLL

Управление неопределённостью при принятии решений Мировой финансовый кризис научил нас многому — в том числе показал, насколько плохо всё может закончиться для инвесторов, которые складывают все яйца в одну корзину. Одна из важнейших целей применения 123

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

математики в инвестициях — помочь распределять риски в условиях неопределённости. Полностью их избежать невозможно, но существует множество стратегий, позволяющих инвесторам управлять неопределённостью. В этом разделе мы быстро ознакомимся с основами портфельной теории, в фундаменте которой лежит оценка ожидаемой доходности отдельных инвестиций и портфеля в целом. Основная её цель — помочь избежать корреляционного риска, возникающего в ситуации, когда стоимость отдельных инструментов имеет склонность в ответ на какие-либо события изменяться в одну сторону. Для этого мы обычно стараемся диверсифицировать свой портфель: в общем случае результатом станет снижение рисков, главное — не допускать слишком частой корреляции активов в рамках своего портфеля. Чтобы рассчитать ожидаемую доходность* отдельной инвестиции в рамках портфельной теории, необходимо определить все возможные исходы и их вероятности. (Конечно, мастерство финансовых инвестиций частично кроется именно в том, чтобы для начала отыскать эффективный способ, как именно это сделать). Для каждого возможного исхода мы перемножим ожидаемую доходность и вероятность, после чего суммируем результаты.** Например, мы решили вложиться * Обратите внимание, что ожидаемая доходность в теории инвестиций эквивалентна математическому ожиданию в азартных играх. (Прим. авт.) ** Если вам больше по душе алгебраическое выражение, то уравнение ожидаемой доходности выглядит следующим образом: E(R) = p1R1 + p2R2 + . . . + pnRn, где pn — это вероятность наступления того или иного исхода, а Rn — ожидаемая в данном случае доходность. (Прим. авт.)

124

УСПЕШНЫЙ ИНВЕСТОР

в «Рррррар!» — компанию по производству игрушечных динозавриков — и составили следующую таблицу с вероятностями: Вариант развития событий

Вероятность

Ожидаемая доходность

Оптимистичный

20%

16%

Пессимистичный

20%

–4%

Реалистичный

60%

6%

Таблица 3. Таблица вероятностей для Рррррар!

Расчёт ожидаемой доходности: (0.2 × 16%) + (0.6 × 6%) + (0.2 × –4%) = 3.2% + 3.6% + (–0.8%) = 6% Таким образом, ожидаемая доходность «Рррррар!» составляет 6%. Затем нам может понадобиться рассчитать ожидаемую доходность всего портфеля. Для этого просто суммируем взвешенное значение средней ожидаемой доходности каждого актива. Формула такова: (R) портфеля = w1R1 + w2R2 + ... + wnRn где R — доходность; wn — вес акции внутри портфеля. Так что, если 40% нашего портфеля состоит из акций «Счастливой фермы» с ожидаемой доходностью 12%, 25% — из «Рррррар!» с ожидаемой доходностью 6% и 35% — корпорации «Ерундовина» с ожи125

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

даемой доходностью 8%, ожидаемая доходность всего портфеля составит: (0.4 × 12%) + (0.25 × 6%) + (0.35 × 8%) = = 4.8% + 1.5% + 2.8% = 9.1% Как и с азартными играми, мы можем воспользоваться значениями дисперсии и стандартного отклонения, чтобы установить, насколько рискованна та или иная инвестиция. Чтобы рассчитать дисперсию (α2) для отдельной инвестиции, рассмотрим все возможные исходы и найдём сумму квадратов разниц между ожидаемой доходностью для каждого из исходов и средней ожидаемой доходностью акции, взвешенной по вероятности. Формула следующая:

α2 = P1(R1 – E(R))2 + P2(R2 – E(R))2 + … + Pn(Rn – E(R))2 где Pn — вероятность исхода n; Rn — доходность для этого исхода; E(R) — ожидаемая доходность акции. Давайте посчитаем, используя показатели «Рррррар!», приведённые в таблице сверху: [0.2 × (16% – 6%)2] + [0.6 × (6% – 6%)2] + [0.2 × (–4% – – 6%)2] = (0.2 × 100) + (0.6 × 0) + (0.2 × 100) = 40 Таким образом, дисперсия составляет 40, стандартное отклонение (α) равняется квадратному корню из 40 (приблизительно 6,32). Теперь можно воспользоваться правилом 68/95/99,7 (см. стр. 34), чтобы понять, как часто реальное значение доходности будет оказываться в рамках того или иного диапазона. Дальше формулы начинают усложняться, но коротко мы на них всё равно взглянем. Например, чтобы найти ковариацию доходности двух активов (a и b) за опре126

УСПЕШНЫЙ ИНВЕСТОР

делённый период, необходимо сначала посчитать значение фактической доходности актива за каждый день (или неделю и т.п.) относительно предыдущего. Затем для каждого из периодов вычтем из реальной доходности среднюю доходность актива a, после чего перемножим на аналогичное значение для актива b. В свою очередь, ковариация — это сумма данных результатов, поделённая на число периодов n: ∑

(Ra – AvgRa)(Rb – AvgRb)

n Обратите внимание, что в данной формуле общий расчётный период в x дней содержит (x – 1) отдельных периодов. Ковариация — мера того, как между собой связаны изменения в стоимости двух активов. Положительная ковариация означает, что цены активов имеют тенденцию двигаться в одном направлении, отрицательная указывает на обратное. Представим, что у «Рррррар!» средняя доходность 6%, а у корпорации «Ерундовина» 8%. Мы зафиксировали следующие фактические показатели (для простоты воспользуемся крайне ограниченной выборкой):

Период

Ra

Rb

Rb – AvgRb Rb – AvgRb

(Ra – AvgRa) × × (Rb –AvgRb)

1

5

7

–1

–1

1

2

12

1

6

–7

–42

3

8

16

2

8

16

4

3

9

-3

1

–3

Таблица 4. Значения для расчётов ковариации «Рррррар!» и корпорации «Ерундовина» 127

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Чтобы рассчитать ковариацию, суммируем данные из последней колонки: (–1 × –1) + (6 × –7) + (2 × 8) + (–3 × 1) = 1 – 42 + 16 – 3 = –28 Затем поделим результат на число периодов (4) и получим ковариацию –7. Коэффициент корреляции также можно использовать для оценки отношений между двумя активами. Чтобы рассчитать коэффициент корреляции «Рррррар!» и корпорации «Ерундовина», поделим ковариацию данных активов на величину стандартного отклонения для каждого актива. Формула следующая: Коэффициент корреляции =

covariancea δa δb

Значение коэффициента корреляции будет попадать в диапазон от 1 до –1. 1 означает, что цены активов изменяются одинаковым образом и в одном направлении, а –1 — что они изменяются одинаковым образом, но в противоположных направлениях. При 0 активы не коррелируют. Если нарисовать обычный график изменения стоимости двух компаний x и y, кривая каждодневного изменения цен будет либо стремиться вверх слева направо (это значит, что цены x и y движутся в одном направлении), либо вниз слева направо (это значит, что цены x и y движутся в противоположных направлениях). Коэффициент корреляции может также оказаться полезен при расчёте величины стандартного отклонения для всего портфеля. Вычисление достаточно сложное — в сноске я приведу уравнение для портфеля из двух ак128

УСПЕШНЫЙ ИНВЕСТОР

тивов* на случай, если оно понадобится кому-то из читателей, но пускаться в долгие скучные объяснения не буду. Главное, что следует уяснить, — при хорошем наборе активов, не коррелирующих на 100%, стандартное отклонение для портфеля в целом будет меньше среднего взвешенного стандартного отклонения для отдельных инвестиций, а насколько именно ниже — зависит от степени корреляции. Хотя вычисления в какой-то момент могут стать довольно замороченными, они выполняют одну чрезвычайно важную задачу — помогают установить риски вашего портфеля. Так, чем больше разница между стандартным отклонением по портфелю и средним взвешенным, тем лучше диверсифицированы ваши активы.

Что нужно делать Не слишком переживайте, если от всех этих уравнений у вас голова кругом — совершать все эти расчёты вам понадобится в крайне ограниченном числе ситуаций. Да, важно понимать на фундаментальном уровне, что значат эти цифры, но существует множество онлайн-калькуляторов и компьютерных программ, которые сделают всё за вас. Главное — осознавать, что знакомство с портфельной теорией может помочь снизить риски.

*Для расчёта стандартного отклонения для портфеля из двух активов можете применить следующую формулу: δportfolio = √ (w21δ21 + w22δ22 + 2w1w2ρ1,2δ1δ2) где w1 — доля актива 1 в портфеле; w2 — доля актива 2 в портфеле; 1 — стандартное отклонение для доходности актива 1; — стандартное отклонение для доходности актива 2; 1,2 — коэф2 фициент корреляции доходности актива 1 и актива 2. (Прим. авт.)

129

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Риск и волатильность Так же, как и в азартных играх, волатильность той или иной инвестиционной возможности напрямую связана с уровнем риска и потенциальной выгоды. Наиболее распространённая мера волатильности на фондовой бирже — это бета-коэффициент. Существуют различные определения бета-коэффициента и способы его вывести: какие-то более сложные, какие-то — менее. Но по своей сути это сравнение волатильности отдельной акции с волатильностью рынка в целом. Его значение позволяет установить, в какой мере изменение цены той или иной акции связано с общим состоянием рынка, а в какой определяется спецификой конкретной акции.

Ковариация Важнейшей концепцией, лежащей в основе бетакоэффициента, является ковариация. Рассмотрим пример, который позволит нам наглядно представить, что именно ковариация значит в этом контексте. Представим, что у нас есть набор данных по изменению цен x и y в течение нескольких дней подряд. Для начала построим на основании этих значений диаграмму рассеяния. Затем, вместо того чтобы искать линию наилучшего соответствия между точками, нарисуем стрелку от точки, чьи координаты отражают значения x и y в первый день, к точке, соответствующей второму дню, затем к третьему и т.д. Если вообразить, что это географическая карта, то стрелка, соединяющая «юго-запад» и «северо-восток» (вне зависимости от того, указывает она вверх и влево или вниз 130

УСПЕШНЫЙ ИНВЕСТОР

Ü

Ü

и вправо), будет значить, что эти два набора данных имеют положительную ковариацию, т.е. активы имеют тенденцию реагировать на события движением в одном направлении. Если же стрелка проходит между «юго-востоком» и «северо-западом», то данные демонстрируют отрицательную ковариацию. При планировании сбалансированного портфеля с хорошим распределением риска полезно отмечать для себя ковариацию его составляющих. Если активы преимущественно обладают положительной ковариацией, то с большей вероятностью их цена в каждый отдельно взятый день будет изменяться в одном направлении. Если хотите рассчитать дисперсию в Excel, воспользуйтесь функцией =ДИСП.В (данные об изменении стоимости актива в процентах). Для ковариации можно применять =КОВАРИАЦИЯ.В (данные об изменениях в стоимости актива в процентах; данные об изменениях в стоимости эталонного актива в процентах).

Ü

Ü

Ü

Ü

Ü

Ü

Ü

Ü

Ü

Рисунок 20. Диаграмма рассеяния со стрелками, отражающими последовательность изменения цен активов в течение нескольких дней подряд

131

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Существует множество источников, где публикуют данные по бета-коэффициентам акций, но лучше будет всё же разобраться, как именно производят этот расчёт, поскольку источники могут различаться применяемой методологией и учитываемыми временными периодами. Самый простой способ рассчитать бета-коэффициент — составить список или таблицу с данными о цене акции и контрольными показателями рынка в целом за определённый период. Затем следует выразить в процентах изменения как в стоимости акции, так и в показателях рынка для каждого периода (дня, недели, месяца и т.д.) относительно предыдущего, и разделить значение ковариации рынка и акции на дисперсию изменения контрольных показателей рынка. Уравнение следующее: β=

Cov(ra, rb) Var(rb)

где β — бета-коэффициент; Cov — ковариация; Var — дисперсия; Raк. — доходность актива; Rрын. — доходность рынка. Значение бета-коэффициента больше единицы условно указывает на то, что акция более волатильна, чем рынок в целом. Бета меньше единицы означает, что акция менее волатильна, чем рынок. В то же время отрицательный коэффициент свидетельствует (при растущем рынке), что за рассматриваемый промежуток времени акция обесценилась. 132

УСПЕШНЫЙ ИНВЕСТОР

Взглянем на короткий пример: в таблице 5 приведена доходность корпорации «Ерундовина» и рынка в целом за 5 дней (посчитанная в процентах относительно цены закрытия за предшествующий день). День

Доходность корпорации «Ерундовина», %

Общая доходность рынка, %

1

1,3

3,3

2

1,7

4,2

3

2,5

4,9

4

1,35

4,1

5

0,6

2,5

Таблица 5. Доходность корпорации «Ерундовина» и рынка в целом

Для начала рассчитаем среднюю доходность обоих. Для корпорации «Ерундовина»: (1,3 + 1,7 + 2,5 + 1,35 + + 0,7) / 5 = 1,49 Для всего рынка: (3,3 + 4,2 + 4,9 + 4,1 + 2,5) / 5 = 3,8 Чтобы рассчитать дисперсию рынка, сложим квадраты разниц между доходностью за каждый день и средним значением: (–0,5)2 + 0,42 + 1,12 + 0.32 + (–1,3)2 = 3,4 Затем рассчитаем ковариацию. Вычтем из значения доходности корпорации «Ерундовина» за один из дней её среднюю доходность и перемножим результат на разницу между доходностью рынка за тот же день и его средней доходностью, после чего поделим сумму этих результатов за все пять дней на величину выборки минус 1. Уравнение следующее: 133

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН 5

covariance = ∑ 1

(RMo – ARMo) × (RMa – ARMa) S–1

где RЕр. — доходность корпорации «Ерундовина»; AvgRЕр. — средняя доходность корпорации «Ерундовина»; Rрын. — доходность рынка; AvgRрын. — средняя доходность рынка; S — величина выборки. Подставив в уравнение нужные значения, получим: {[(1,3 – 1,49) × (3,3 – 3,8)] + [(1,7 – 1,49) × (4,2 – 3,8)] + [(2,5 – 1,49) × (4,9 – 3,8)] + [(1,35 – 1,49) × (4,1 – 3,8)] + [(0,6 – 1,49) × (2,5 – 3,8)]} / (5 – 1) = 2,405 / (5 – 1) = 0,60125 Таким образом, корпорация «Ерундовина» демонстрирует достаточно низкую положительную ковариацию с рынком: изменения в стоимости её акций коррелировали с показателями рынка, но не слишком сильно. Более надёжно было бы воспользоваться моделью оценки стоимости капитальных активов. При этом текущую рентабельность акции и рынка дисконтируют на безрисковую процентную ставку (обычно это уровень доходности государственных облигаций). В результате возникает несколько отличный способ вычислить бету:

β=

ra – r1 rb – r1

где rБПС — безрисковая процентная ставка. 134

УСПЕШНЫЙ ИНВЕСТОР

Уравнение можно преобразовать так, чтобы с его помощью посчитать прогнозную рентабельность акции при известном бета-коэффициенте и общей рентабельности рынка: ra = rf +β(rb – rf) По сути это значит: чтобы можно было рассматривать акцию с бетой больше единицы как разумную покупку, требуется, чтобы её рентабельность была выше общей рентабельности рынка. Вне зависимости от того, готовы ли вы довериться публикуемым бета-коэффициентам или предпочитаете самостоятельно выбирать методы, контрольные показатели и временные промежутки, при инвестициях в акции важно всегда учитывать уровень риска и стоимость денег с учётом фактора времени. Как мы уже выяснили в разделе про азартные игры, чем волатильнее ставка, тем выше шансы не только выиграть по-крупному, но и проиграть (с возможностью полностью разориться в результате аномального исхода).

Коэффициент хеджирования Когда люди используют в речи финансовый и инвестиционный жаргон, нередко оказывается, что это лишь бессмысленно усложнённый способ выразить простую мысль. Коэффициент хеджирования — прекрасный тому пример. Он измеряет дельту опциона, когда при помощи опциона вы хеджируете позицию. Объясню на примере: представьте, что вы управляете компанией, предоставляющей услуги по грузоперевозкам, и хо135

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

тите хеджировать риск будущего подорожания бензина. Если у вас есть возможность приобрести фьючерсы (соглашение купить или продать что-либо по заранее установленной цене в определённый момент времени в будущем) на бензин, то, покупая их, можно хеджировать сколько угодно. В зависимости от ставки дисконтирования фьючерса, вам может представиться практически идеальная возможность для хеджирования. Однако, возможно, вам придётся прибегнуть к замене — например, к фьючерсам на сырую нефть. Дельта позволяет измерить, насколько цена нефти изменится по сравнению с изменением стоимости бензина. Например, если подорожание бензина на 100 $ сопровождается ростом цены сырой нефти на 50 $, дельта равняется 0,5. Если вы хеджируете риски с использованием товаров, цены на которые движутся не идентично, то правильнее будет не хеджировать позицию целиком. Лучше рассчитать оптимальный коэффициент хеджирования и тем самым минимизировать волатильность своей позиции. Вычисляют его, перемножив коэффициент корреляции двух позиций на отношение между стандартным отклонением спот-цены (текущей цены, по которой товар можно реально купить в данный момент) и стандартным отклонением цены фьючерса. Уравнение следующее: h=p×

δ1

() δf

где h — оптимальный коэффициент хеджирования; p — коэффициент корреляции; δсп. и δф. — стандартные отклонения для спот-цены и цены фьючерса. 136

УСПЕШНЫЙ ИНВЕСТОР

Скажем, что в примере про бензин и нефть стандартное отклонение спот-цены бензина составляет 4%, стандартное отклонение цены сырой нефти — 8%, а коэффициент корреляции между ними равняется 0,9. 4 Тогда идеально было бы хеджировать (0,9 × 8) = 45% позиции. Обратите внимание: чем больше коррелируют позиции и чем ближе значения их стандартных отклонений, тем ближе к единице будет оптимальный коэффициент хеджирования, что означает возможность полностью хеджировать риски (тогда вам следует хеджировать позицию целиком). Это достаточно ясно на интуитивном уровне: если вам удалось отыскать актив, который в высокой степени коррелирует с тем активом, по которому вы хотите хеджировать риски, выбрать его будет более безопасно (и повлечёт меньшие потенциальные потери), чем какой-то другой, цена которого не изменяется вслед за ценой хеджируемого. Но не забывайте, что хеджирование не только снизит ваши потенциальные потери, но и ограничит возможные прибыли. Если, например, вы приобрели фьючерсы на сырую нефть и хеджировали свои прогнозные потребности в бензине, а цена бензина и нефти упала, то получится, что вы упустили потенциальную выгоду. Так что хеджирование по своей сути сводится именно к снижению рисков. Ранее я упоминал, что хедж-фонды так называются, поскольку в них реализуют сходную инвестиционную стратегию: в целях уменьшения рисков параллельно открывают короткие и длинные позиции. Однако помимо этого там применяют ещё и множество других схем, причём число методов, используемых инвесторами для того, чтобы получить преимущество на рынке, со временем значительно выросло. 137

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Арбитраж Арбитраж — популярная стратегия не только в азартных играх, но и в бизнесе. В последнем арбитражем называют ситуацию, когда инвестор стремится извлечь выгоду из незначительных различий в стоимости актива на разных рынках. В определённом смысле большинство бизнесов по скупке и перепродаже товаров занимаются своего рода арбитражем: хозяин магазина, закупающий продукты оптом на складе, а затем продающий их в розницу, пользуется разницей в цене и тем, что его клиенты готовы доплатить за возможность комфортно совершать покупки недалеко от дома. Однако технически термин «арбитраж» применим только для ситуации с одновременной покупкой и продажей активов на разных рынках (или в различных деривативных формах) с целью извлечения выгоды из расхождения в цене на один актив. Точно так же, как т.н. арберы ищут букмекеров, предлагающих разные коэффициенты на одно событие, в мире финансов приверженцы арбитражной стратегии стремятся обнаружить кратковременные проявления неэффективности рынка, которые позволили бы им покупать и продавать с гарантированной прибылью. Допустим, вам случилось заметить, что акции корпорации «Ерундовина» торгуются на токийской бирже по 38,47 $, а на лондонской — по 38,52 $. В теории, пока наблюдается различие в цене, вы можете приобрести актив в Токио и сразу же продать в Лондоне. Кроме того, существует немалое число бизнесов и индивидуальных трейдеров, которые отслеживают возможности для арбитражных сделок с конкретным продуктом — на138

УСПЕШНЫЙ ИНВЕСТОР

пример, покупают книгу на Amazon, чтобы затем сразу же перепродать её на eBay за бо2льшую цену. Другой, более сложный пример мы можем встретить на валютном рынке. Представим ситуацию, что на разных биржевых площадках в мире предлагают следующие курсы евро, фунта и доллара: £

$



Площадка 1: 1,45 долларов за фунт; Площадка 2: 0,8 евро за доллар; Площадка 3: 0,88 фунтов за евро.

Начав со 100 £, можно сперва обменять их на 145 $, после — на 116 € и обратно на 102,08 £. В итоге получим 2% прибыли. 2,08 £— сумма небольшая, но если стартовать с 10 000 £, то результат будет уже более внушительный — целых 208 £. Очевидно, что такие проявления неэффективности рынка отыскать нелегко: они быстро корректируются в ходе того, как фонды по всему миру постоянно покупают и продают валюту и прочие активы, стоимость которых выбивается из общей картины, благодаря чему в ценах устанавливается равновесие. Кроме того, необходим механизм, гарантирующий одновременность совершения сделок, а прибыли всегда должно хватать на оплату комиссии. Несмотря на это, базовый принцип арбитража лежит в основе многих направлений деятельности хедж-фондов и спекулянтов. В частности, автоматизированный трейдинг строится на том, чтобы извлекать выгоду из самых незначительных различий в цене путём проведения большого числа маленьких, но прибыльных сделок. 139

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Быки и медведи и рациональность рынков Из истории можно почерпнуть примеры множества спекулятивных бумов и обвалов. Среди ранних образчиков — тюльпаномания, которую в XVII веке пережили Нидерланды. Тогда цена на луковицы тюльпанов сперва поднялась до невероятных высот, а затем рухнула (в некоторых источниках данную историю излишне драматизируют, но всё же это реальный факт). По аналогии с тем, как паника 1873 г. была финансовым кризисом, послужившим началом Долгой депрессии в США и Европе, крах Уолл-стрит запустил Великую депрессию, а бум производных ценных бумаг на рынке недвижимости во многом стал причиной мирового финансового кризиса последних лет. А между тем, за это время рынки — как недвижимости, так и акций, деривативов или товаров — пережили ещё сотни не столь масштабных периодов невероятного роста и крахов. На всех этапах рыночного цикла можно встретить быков — людей, прогнозирующих рост цен, — и медведей, ожидающих обратного. Нередко между ними разгораются страстные споры, ведь установить, в какой точке цикла мы находимся в данный момент, крайне непросто. С точки зрения математики может быть интересно взглянуть на некоторые основополагающие движущие факторы, мешающие нам определить, какая из позиций рациональнее. Концепция Кейнсианского конкурса красоты была заложена в работах Джона Мейнарда Кейнса. Он рассуждал про ситуацию, в которой участникам предлагают выбрать на ста фотографиях шесть самых привлекательных лиц. Победителем будет считаться тот, чей ответ наиболее точно совпадёт с усреднённым реше140

УСПЕШНЫЙ ИНВЕСТОР

нием всех опрашиваемых. Кейнс отметил, что вместо того, чтобы выбрать шесть лиц, которые наиболее привлекательными находите лично вы, разумно было бы назвать тех, кого, по вашему мнению, в среднем посчитают наиболее красивыми. Дальше — сложнее. Поскольку данный подход является рациональным, следует предположить, что остальные участники поведут себя аналогично. Так что в действительности вам требуется угадать, про какие шесть лиц средний участник подумает, что средний участник найдёт их привлекательными. Получается, что, когда мы пытаемся определить рациональное поведение, возникает что-то вроде петли обратной связи. Идея Кейнса состояла в том, что рынок акций ведёт себя схожим образом. Успешнее всего выбрать акцию для покупки зачастую удаётся тем, кто умеет предсказывать, что рынок в целом думает про конкретную акцию, а не пытается рассчитать её истинную ценность. Так что, хотя каждый может проанализировать информацию о компании с использованием коэффициента «цена/прибыль» или уравнения Гордона, параллельно следует задуматься и о том, к каким выводам на основании той же общедоступной информации придут другие люди (и в особенности крупнейшие фонды, решения которых больше остальных влияют на рынок). Затем потребуется разобраться, к каким выводам по мнению этих людей придут другие люди на основании той же информации и т.д. Чтобы осознать, насколько математически сложной может оказаться подобная петля обратной связи, нам потребуется обратиться к концепции равновесия Нэша. Она входит в теорию игр — раздел математики, посвящённый анализу всех возможных ходов в сорев141

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

новательной игре при участии двоих или более игроков, где каждый игрок знает равновесные стратегии других игроков. Разберём одну из таких игр — так называемый p-конкурс красоты, вариацию Кейнсианского конкурса. Участников просят угадать, какое число от 0 до 100 соста2 вит 3 от усреднённого значения* ответов всех игроков. Очевидно, что называть число выше 66 не имеет смысла. Если отталкиваться от того, что случайные догадки участников будут равномерно распределены между 0 и 66, можно ожидать, что среднее составит 33. Тог2 да разумно ответить 22, что есть 3 от 33. Однако мы можем заключить, что и остальные участники придут к аналогичному выводу. И если рассуждать подобным образом и, следовательно, ожидать, что остальные игроки тоже назовут 22, нам придется озвучить 14, поскольку это примерно две трети от 22. А если заключить, что остальные игроки тоже подметят этот логичный следующий шаг и назовут 14, то мы будем вынуждены отве2 тить 3 от 14. И так далее. В соответствии с концепцией равновесия Нэша, единственным решением этой задачи, если она доведена до логического финала, будет всем игрокам предположить 0 или 1. Однако на практике некоторые участники не в полной мере рациональны (или предполагают, что другие игроки не в полной мере рациональны) и не станут доводить эту цепочку умозаключений до крайнего предела. Так что, хотя данное решение и является равновесным по Нэшу, оно может отличаться от результата реально поставленного опыта. * В условиях задачи данное отношение (2/3, иногда 1/2) обозначают латинской буквой p, что и отражено в названии. (Прим. пер.)

142

УСПЕШНЫЙ ИНВЕСТОР

Вывод подкрепляется данными, собранными по итогам многократного проведения этого «конкурса» в качестве психологического эксперимента. Игроков можно поделить на группы в зависимости от того, сколько шагов они совершают, находясь в потенциально бесконечной петле обратной связи: игрок нулевого уровня даст ответ около 33, игрок первого уровня — 22 и т.д. На практике выяснилось, что, большинство игроков находятся на уровнях 0–3, а средний ответ лежит в диапазоне от 15 до 20. В литературе по теории игр данные уровни иногда называют мерой «глубины рассуждений» участников. Впрочем, это представляется не совсем верным, поскольку самый проницательный ответ должен в том числе учитывать возможное наслоение различных уровней: победителем станет тот, кто сумеет предположить, на каком уровне рассуждений находится средний игрок, а не тот, кто решит, что все обязательно разглядят почти бесконечную петлю обратной связи. Отчасти бизнес в целом бывает похож на Кейнсианский конкурс красоты. Хотя, конечно, приятно думать, что издательства просто отбирают для публикации книги, которые сами считают хорошими, им рациональнее отдать предпочтение тем произведениям, которые, по их мнению, захочет купить большое число читателей (а это порой может значить, что надо привлечь самую, на их взгляд, неискушённую публику). В свою очередь, специалисты по продажам должны верить, что управляющие магазинов тоже поверят, что их клиентам понравится это издание. Получается, что и на книжном рынке можно встретить многослойную петлю обратной связи. Возвращаясь к быкам и медведям: легко думать, что рынки иррациональны. Когда начинается бум, люди ведут себя так, будто стоимость некого актива может бес143

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

конечно расти выше темпов инфляции. А стоит цене неизбежно остановиться или упасть, как включается страх, и курс обваливается иррационально низко. Однако если помнить о кейнсианском конкурсе красоты, то получится, что весьма разумно рассматривать данную ситуацию как неизбежное следствие рынка, где каждый стремится угадать, что подумает другой. А сочетание множества рациональных предположений всё равно может породить рынок, где творятся безумные вещи, например, луковицы тюльпана стоят как целый дом — как было во времена тюльпаномании. Кстати, стоит провести параллель между этой мыслью и занятным фактом, что многие финансисты и инвесторы утверждают, будто верят в гипотезу эффективного рынка. Данная концепция предполагает следующее: поскольку при оценке активов все руководствуются одной и той же информацией, акции всегда будут торговаться по справедливой цене (ведь как только между справедливой и рыночной ценами возникнет расхождение, кто-нибудь обязательно его приметит и начнёт покупать или продавать акции, пока стоимость не установится вновь на справедливой отметке). Из этого следует, что недооценённый актив купить практически невозможно. Конечно, это не очень вяжется с фактом, что многие приверженцы данной модели верят, будто лично им удастся обставить рынок. Экономисты вроде Роберта Шиллера*, автора «Иррационального оптимизма», утверждали, что, напротив, * Роберт Джеймс Шиллер (род. 1946) — американский учёныйэкономист, автор популярных книг по экономической теории, лауреат премии по экономике памяти Альфреда Нобеля (2013). Основал фирму по инвестиционному управлению MacroMarkets LLC и является её главным экономистом. (Прим. пер.)

144

УСПЕШНЫЙ ИНВЕСТОР

рынок слишком волатилен, чтобы его можно было объяснить с точки зрения этой гипотезы. В итоге проще всего охарактеризовать ситуацию, следуя логике Кейнсианского конкурса красоты: определить правильную стоимость акции невозможно, так что люди, ведущие себя абсолютно рационально, вместе могут сформировать крайне иррациональный рынок.

Критерий Келли для инвесторов Ряд самых известных инвесторов мира, в т.ч. Уоррен Баффетт и Билл Гросс, в какой-то мере полагались на критерий Келли (см. главу 3), когда зарабатывали своё состояние. Так что хорошее понимание системы может быть полезно не только игрокам, но и инвесторам. Конечно, это далеко не единственный инструмент в арсенале упомянутых финансистов, но критерий Келли всё же чрезвычайно ценен для того, чтобы правильно решить, какую часть своего капитала следует вложить в тот или иной актив. Партнёр Уоррена Баффетта Чарли Мангер* так говорил о важности расчёта при распределении инвестиционного капитала: «Мудрые люди вкладываются по-крупному, когда мир предоставляет им эту возможность. Вкладываются по-крупному, когда шансы на их стороне. А в прочих ситуациях — не вкладываются. Всё предельно просто». Для инвестиций мы можем воспользоваться упрощённой версией критерия * Чарльз Мангер (род. 1924) — американский адвокат, известный экономист и профессиональный инвестор, вице-председатель совета директоров компании Berkshire Hathaway. В 2020 году его состояние оценивалось в 1,6 млрд $. (Прим. пер.)

145

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Келли, поскольку убыточное вложение не всегда следует списывать со счетов (в отличие от ставок). Наше уравнение: Общая ожидаемая Доля капитала, которую доходность = следует вложить Дробный коэффициент Для расчёта общей ожидаемой доходности инвестиции установите вероятность каждого исхода и умножьте её на процент прибыли или убытка при данном исходе, после чего суммируйте результаты. Например, можно взглянуть на сто последних сделок со схожим активом и построить таблицу исходов: Число повторений исхода

Прибыль

25

6%

20

2%

40

0%

15

–4%

Таблица 6. Исходы ста недавних сделок

Ожидаемая доходность следующей схожей сделки составит: (0,25 × 0,06) + (0,2 × 0,02) + (0,4 × 0) – (0,15 × 0,04) = 0,013 Таким образом, ожидаемая доходность равняется 0,013 = 1,3% Чтобы рассчитать дробный коэффициент, сравним число выигрышных исходов и проигрышных. Первых перед нами 45, а вторых — 15. Выходит, что 146

УСПЕШНЫЙ ИНВЕСТОР

1

коэффициент составит 1 к 3 или 3. В результате общую ожидаемую доходность требуется поделить на 1,3% 0,33 : = 3,6%. 0,33 Получается, что в данной ситуации в актив стоит вложить 3,9% своего капитала. (Имейте в виду, что низкий коэффициент указывает на вероятный исход, а высокий — на обратное. Если некий актив являлся убыточным в 75% случаев и принёс прибыль лишь в 25%, ожидаемую доходность мы поделили бы на 3 и, соответственно, получили бы меньшую рекомендуемую сумму для инвестиции, что на интуитивном уровне представляется логичным. Или, если вам так проще, можете взять десятичный коэффициент и вычесть из него единицу.) Конечно, как и в случае с азартными играми, это не более чем грубое практическое правило. Однако оно может хорошо вам послужить для воспитания самодисциплины при принятии решений о том, какую долю капитала инвестировать в зависимости от рискованности вклада. На тему того, пригоден ли критерий Келли для инвестиций, до сих пор не утихают достаточно серьёзные академические дискуссии. Возможно, Уоррен Баффетт просто самый большой везунчик планеты. Но я предпочитаю отталкиваться от следующей установки: раз чтото подошло Баффетту, подойдёт и мне.

Инвестиции с низким риском и высоким потенциалом Инвестиции в акции и производные финансовые инструменты — не для всех. Но если вы всё же хотите попробовать заработать с их помощью, важно понимать лежащие в основе базовые математические концепции. Мы уже по147

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

знакомились с несколькими способами оценить стоимость компании, выбрать актив с высоким потенциалом и сбалансировать портфель с целью минимизации рисков. Самые успешные инвесторы применяют одновременно целый ряд подобных методов и со временем начинают на высочайшем уровне разбираться в принципах их работы. И хотя может быть весьма полезно узнать, какие инструменты послужили миллионерам вроде Уоррена Баффетта, ничто не заметит вам опыта практического применения различных финансовых инструментов на ежедневной основе. Баффетт, которого часто называют мудрецом из Омахи, утверждает, что его подход к стоимостному инвестированию на 85% состоит из идей Бенджамина Грэма. Грэм был экономистом, профессиональным инвестором и автором ставших классическими книг «Анализ ценных бумаг» и «Разумный инвестор». Он по сути изобрёл стоимостное инвестирование и преподавал его в бизнес-школе Колумбийского университета в 1920-х. Грэм любил рассказывать притчу: человек по имени господин Рынок каждый день стучит к вам в дверь и предлагает купить у него акции компаний. Чаще всего озвученные им цены весьма правдоподобные, но изредка они выглядят слишком высокими или слишком низкими. Как и в случае с кейнсианским конкурсом красоты, не нам решать, рациональны ли перепады цен, но в любом случае зачастую они будут казаться чрезмерными. Притча призвана предостеречь нас от того, чтобы воспринимать переменчивость рынка слишком серьёзно. При инвестировании всегда следует фокусироваться только на внутренней стоимости актива. Равно как игрок всегда находится в поиске ситуаций, где преимущество окажется не на стороне казино, чтобы сделать ставку на выгодных условиях, так и разумный инвестор стремится 148

УСПЕШНЫЙ ИНВЕСТОР

отследить, когда рыночная цена акции становится ниже ее внутренней стоимости (в такой момент следует совершить покупку) или наоборот (в такой момент, возможно, нужно продавать). Одна из многих формул, применяемых Уорреном Баффеттом для определения внутренней стоимости, была впервые предложена Грэмом. Анализируя, насколько разумно компания инвестирует в свой будущий успех, он сравнил удержанные прибыли (другими словами, прибыли, которые не были выплачены как дивиденды) за пять лет с приростом в стоимости всех акций. Базовое практическое правило гласит, что компания разумно инвестирует удержанные прибыли, если прирост в стоимости всех акций равняется или превышает сумму удержанных инвестиций. Баффетт приводит простое объяснение, почему это логично: Следует желать, чтобы ваш доход был реинвестирован [самой компанией], если есть основания ожидать, что он принесёт высокую прибыль. Следует желать, чтобы доход вам выплатили, если реинвестиция, вероятно, принесёт низкую прибыль. Другими словами, если компания способна вложить ваши деньги лучше, чем вы сами, вполне разумно ей их придержать и реинвестировать. В противном случае прибыль следует выплатить акционерам. Недавно Баффетт признал, что это практическое правило непригодно для периодов типа 1971–1975 или 2009 г., когда фондовый рынок стремительно обвалился, поскольку тогда прибыль удерживали реже. В подобной ситуации сравнивать следует процент, на который траектория цен акций компании превышала среднюю по рынку, а не просто значение прироста стоимости акций. К этому приёму разумно обращаться и при растущем 149

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

рынке, чтобы не создавалось впечатление, что компания умело реинвестирует прибыли просто, потому что её показатели следуют за общим ростом цен. Как и с в случае с другими, упомянутыми ранее формулами, этот метод следует применять лишь параллельно с другими критериями оценки перспектив компании при рассмотрении возможности для инвестиций. Однако если вы раздумываете, стоит ли позволить ли некой фирме распоряжаться вашими деньгами, принципиально важно задаться вопросом: могут ли деньги, удержанные руководством, быть применены так же эффективно или даже лучше, чем это сделали бы вы сами?

Чего не нужно делать Практическое правило мудреца из Охамы можно укрупнить до фундаментального математического закона управления деньгами — столь элементарного, что его, кажется, даже нет необходимости проговаривать: никогда не позволяйте никому управлять вашими деньгами, если темпы роста, которых они способны достичь (после вычета комиссий и сборов) не превышают тех темпов, которых вы достигли бы самостоятельно.

Иррациональный инвестор В предыдущей главе мы рассмотрели некоторые искажения и ловушки, способные привести игроков к принятию иррациональных решений. Однако не только игроки подвержены подобным иллюзиям и заблуждениям. Инвесторы и бизнесмены также склонны становиться жертвами 150

УСПЕШНЫЙ ИНВЕСТОР

когнитивных искажений, включая склонность к оптимизму, эффект доступности, эффект горячей руки и многие другие. Начальник, решивший повысить продавца на основании его удачных показателей за один год; менеджеры фондов, недооценивающие роль простого везения; инвестор, который верит, что ему обязательно «полагается» выиграть после серии поражений — не существует такой логической ошибки, которая бы не встречалась в бизнесе столь же часто, как и в азартных играх. Автор Нассим Николас Талеб писал о «чёрном лебеде» — событии, которое представляется крайне маловероятным просто потому, что раньше ничего подобного не происходило. Он пришёл к заключению, что, когда дело доходит до прогнозирования будущего, люди слишком часто полагаются на индуктивные выводы из событий прошлого. Крах рынка субстандартного кредитования, который вылился в мировой финансовый кризис, прежде рассматривался аналитиками как событие «шести сигм», т.е. находящееся в более чем шести стандартных отклонениях от среднего, из-за чего его вероятность оценивалась приблизительно как два к миллиарду. Это иллюстрация того, как чрезмерная вера в математическое моделирование может привести к катастрофическим последствиям. Также следует упомянуть, что в мире инвестиций распространены методы и формулы, строящиеся на псевдоматематических основаниях и ничем не отличающиеся от шаманства или самых сомнительных «систем» азартных игр. Особенно отличился чартизм — придерживающиеся его инвесторы наивно верят, будто могут различать в графиках изменения цен акций закономерности и схемы. Чартисты утверждают, что способны предсказывать будущее, высматривая в графиках определённые фигуры, например, «голову и плечи» или «кружку 151

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

с ручкой». Это весьма очевидный пример того, как люди могут ошибочно находить закономерности в случайной информации, и большинство чартистов — довольно посредственные инвесторы, если у них, конечно, нет других, более дельных способов проверять свои догадки. Другой пример сомнительной теории, приправленной научно звучащими терминами, — теория Доу. Концепция «восходящих трендов», «нисходящих трендов» и «корректировок» подаёт инвесторам неверную мысль, что будущее можно легко предсказать на основании прошлого. В результате зародились такие мутные идеи, как, например, принцип 50%, который гласит, что восходящие тренды могут прерваться падением на 50% от прежнего прироста и это якобы нормальное поведение рынка, который затем откатится обратно к росту, в то время как падение на величину больше 50% — предвестник того, что дальше будет хуже. В результате инвесторы, придерживающиеся данной теории, становятся излишне самоуверенны, полагаясь на поиск закономерностей, которых на самом деле может и не быть.

Что нужно делать Используйте для анализа инвестиционных возможностей только настоящую математику и другие проверенные инструменты. Избегайте систем и методов, которые утверждают, что помогут вам отыскать закономерности там, где не может быть ничего, кроме случайности. И даже если вы обращаетесь к более серьёзным методикам анализа, старайтесь не делать масштабных выводов на основании небольшого объёма данных. 152

УСПЕШНЫЙ ИНВЕСТОР

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ГЛАВЫ 4: 1. Если вы хотите заработать на фондовом рынке, убедитесь, что вы понимаете хотя бы самые азы того, как устроены различные активы. 2. Применяйте финансовые коэффициенты и прочие математические методы анализа только в ситуациях, когда вы хорошо понимаете механизм их функционирования. 3. Избегайте глупостей вроде чартизма и убедитесь, что в основе любого вашего анализа лежит большая выборка данных, поскольку легко разглядеть закономерность в случайной информации, если её слишком мало. 4. Портфельная теория — это сложно (и, честно скажем, довольно скучно), но она может помочь вам эффективно снизить риски и убедиться, что ваша диверсификация максимально эффективна. 5. Если вы хорошо знаете, что делаете, то и хеджирование, и арбитраж, и критерий Келли могут послужить эффективными стратегиями заработка. 6. Когда все на рынке стараются угадать, о чём думают другие, формируется математическая петля обратной связи, что может привести к поведению, которое кажется крайне иррациональным и которое действительно сложно предсказать.

ГЛАВА 5

Взламываем, обманываем, обыгрываем систему

Генерал, проигравший битву, мало что просчитал заранее. Кто многое просчитывает — побеждает. Кто мало просчитывает — проигрывает. […] По одной только этой детали я могу предсказать, кто выиграет, а кто проиграет. Сунь-цзы

Вплоть до этого момента мы рассматривали только очевидные прямые применения математики в азартных играх, бизнесе или инвестициях. Однако существует множество примеров того, как люди с помощью математики получают преимущество, используя весьма сомнительные методы, причём некоторые из которых более законны или простительны, чем другие. Но давайте просто изучим механизм функционирования этих систем вместо того, чтобы давать им моральную оценку. Полагаю, что для моих целей при обсуждении нравственности той или иной попытки взломать систему разумно будет задаться вопросом: 154

ВЗЛАМЫВАЕМ, ОБМАНЫВАЕМ, ОБЫГРЫВАЕМ СИСТЕМУ

Как бы в такой ситуации поступил Эд Торп? Профессор математики, заядлый игрок и основатель первого в мире квантового хедж-фонда, Эд Торп — удивительная, вдохновляющая личность. (Название квантовых фондов или квантов происходит от применяемых в них квантитативных, количественных методов, т.е. использования вычислительной техники для финансовой аналитики.) В ходе работы над докторской диссертацией Торп заинтересовался критерием Келли и научился программировать первые компьютеры, чтобы экспериментировать со стратегиями, которые могли бы помочь игрокам. Установив, к собственной радости, что преимущество казино при игре в блэкджек можно обойти путём подсчёта карт, он обратился к состоятельному игроку Мэнни Киммелу и одолжил у него 10 000 $, чтобы отправиться в казино Лас Вегаса, Рено и озера Тахо и проверить свою теорию на практике. За первые же выходные Торп успешно увеличил банк более чем в два раза, после чего продолжил тестировать свои наработки (которые охватывали и другие игры, например, баккару и нарды). Нередко ему даже запрещали появляться в казино, из-за чего математику приходилось обращаться к маскировке: клеить фальшивую бороду и носить тёмные очки. А однажды, по словам Торпа, сотрудники сомнительного игорного заведения даже подмешали ему наркотик. В 1962 г. была опубликована книга «Обыграй дилера» — бестселлер, сделавший доступными широкой публике его методы подсчёта карт. Вследствие этого казино были вынуждены ввести широкие контрмеры для борьбы с подобными практиками. Помимо этого Торп однажды поставил изумительно экстравагантный эксперимент при участии Клода Шенно155

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

на (тоже успешного математика, широко прославившегося своими достижениями в области криптоаналитики во время войны). Вместе они спроектировали первый в мире портативный компьютер: Торп носил его, пристегнув к ноге, и оттуда тонкие проводки вели к наушнику, применяемому для связи с Шенноном. Математики разработали способ по скорости и траектории запуска предсказать, на какой ячейке рулетки с большей вероятностью остановится шарик, — прогноз не был точным, но позволял сузить количество вероятных исходов до секции колеса в 6 ячеек из 38, что давало значительное преимущество. Всего за час во время испытаний Торп и Шеннон заработали внушительные 8000 $ при ставке 25 $ на одно число. Компьютер отлично показал себя в лабораторных условиях, но когда его испробовали в казино, начались технические проблемы (например, провода наушника постоянно отходили или становились слишком заметными), что не позволило математикам активно воспользоваться системой. В любом случае для Торпа это был исключительно эксперимент, научный опыт, а не схема заработка.* Со временем он сильнее увлёкся финансовыми рынками, осознав, что изобретённые им методы — применение компьютеров для анализа схем распределения вероятностей — могут применяться более широко. В результате Торп сфокусировался на анализе слабых * В 1970-х несколько выпускников физического факультета Калифорнийского университета Санта-Крус, назвавшихся даймонами (Eudaemons), разработали улучшенную версию предсказателя результатов игры в рулетку, стремясь собрать деньги на финансирование научного общества. Их эксперимент показал себя весьма успешным, они выиграли 10 000 $, но проблемы с устройством вновь вынудили создателей прекратить проект. (Прим. авт.)

156

ВЗЛАМЫВАЕМ, ОБМАНЫВАЕМ, ОБЫГРЫВАЕМ СИСТЕМУ

корреляций и аномалий в ценах, из которых возможно было извлечь гарантированную прибыль. В 1967 г. он опубликовал книгу «Обыграй рынки», продолжение своей предыдущей работы. А в 1969 г. Торп основал фонд Princeton Newport Partners, считающийся первым квантовым хедж-фондом. За 18 лет с момента его создания стартовые 1,4 млн $ превратились в 273 млн $, причём фонд оставался прибыльным каждый квартал. Конечно, во многом это объяснялось инновационностью подхода — сейчас квантов и прочих фондов, где применяется метод автоматизированного анализа, настолько много, что стало значительно сложнее отыскать такое преимущество, которое раньше разглядеть на рынке был способен только фонд Торпа. После мирового финансового кризиса математик выступал с острой критикой Уолл-стрит: по его словам, Нью-Йоркская биржа ничуть не лучше казино, ведь крупные банки на практике могут просто устанавливать новые правила, чтобы нарушить равновесие рынка в своих интересах. Кроме того, он отметил, что предупреждал людей о Берни Мейдоффе* за многие годы до его падения, т.к. сумел распознать, что многие заявленные аферистом сделки в действительности не происходили или были попросту невозможны. Однако вследствие того факта, что Мейдофф был вхож на Уолл-стрит, а также по причине некомпетентности госорганов, предупреждения Торпа остались неуслышанными. *Бернард Мейдофф (род. 1938) — американский бизнесмен, бывший председатель совета директоров фондовой биржи NASDAQ. В 1960 году основал на Уолл-стрит фирму «Bernard L. Madoff Investment Securities LLC», являвшуюся, возможно, крупнейшей в истории схемой Понци. В 2009 г. Мейдофф за свою аферу был приговорён к 150 годам тюремного заключения. (Прим. пер.)

157

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Нельзя не отметить, сколь много разных людей вдохновлялось идеями и работами математика. Так, Уоррен Баффетт даже рекомендовал инвесторам своего собственного хедж-фонда вложиться в фонд Торпа. Билл Гросс, основатель успешной американской инвестиционной компании PIMCO, начал свою карьеру инвестора, прочитав «Обыграй рынки», а Кен Гриффин, учредивший в 1990 г. фонд Citadel, изначально полагался на советы и документы Princeton Newport Partners. Некоторые книги Торпа стоит почитать как минимум для вдохновения, но пара его советов выделяются особо. Во-первых, поясняя, как он сумел преуспеть в инвестициях, математик отметил, что люди просто не очень хорошо обрабатывают информацию: они слишком легко отвлекаются на статистический шум и недостоверные данные. В результате любой, кто полагается на обоснованную, качественно проанализированную информацию, может получить реальное преимущество. Торп также подчеркнул, что при более традиционном инвестировании, если вы не собираетесь самостоятельно разбираться в механизмах функционирования компаний, в которые вкладываетесь (как, например, делает Уоррен Баффетт), вам стоит держаться индексных фондов. По его данным, те, кто пытаются обыграть рынок, в среднем демонстрируют результаты на 2% хуже показателей самого рынка. Так что если вы не располагаете некой надёжной информацией, то за 35 лет вполне можете заработать практически в два раза больше денег, придерживаясь индексной стратегии, вместо того, чтобы полагаться на другие системы и смутные догадки. Но давайте вернёмся к началу карьеры Торпа и ознакомимся с искусством счёта карт. 158

ВЗЛАМЫВАЕМ, ОБМАНЫВАЕМ, ОБЫГРЫВАЕМ СИСТЕМУ

Введение в подсчёт карт Одной из самых популярных карточных игр в казино по всему миру является блэкджек. Интересно, что хорошо умеющий считать карты игрок с высокой вероятностью одержит в ней победу, и казино отлично об этом знают — как минимум со времён публикации книги «Обыграй дилера». Про подсчёт карт следует сразу сказать две вещи: это совсем не так сложно, как может показаться, но и не так легко. Собственно система подсчёта не требует никаких невероятных способностей к математике или феноменальной памяти. Не думайте, что для этого надо быть кем-то вроде гения-аутиста из «Человека дождя», который мог запомнить последовательность карт в шести колодах, — всё несравнимо проще. Однако вам потребуется запастись терпением, спокойствием и уметь не отступать от системы под влиянием эмоций. Кроме того, вам понадобится изучить различные способы, при помощи которых казино стараются помешать игрокам, применяющим данную систему. В первые годы существования блэкджека (в США игру признали легальной только в 1930-х гг., но в той или иной форме она бытовала в Европе и Америке как минимум с XVI в.) игроки, умеющие считать карты, могли купаться в деньгах. Так называемые «всадники блэкджека» (Болдвин, Кэнти, Мэйзел и МакДермотт) в 1957 г. написали книгу «Играть в блэкджек и побеждать», посвящённую приёмам отслеживания карт для получения преимущества. Однако лишь «Обыграй дилера» Эда Торпа приобрела известность у по-настоящему широкой публики и посвятила большое число игроков (и казино) в математические тонкости подсчёта карт. 159

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Базовый принцип системы основывается на следующем: когда оставшаяся колода (или объединённые несколько колод) по большей части состоит из карт с низким достоинством (от двойки до семёрки), то преимущество находится на стороне дилера; в свою очередь, колода с высокой долей карт стоимостью 10 (от десятки до короля) или тузов (в зависимости от системы) означает преимущество на стороне игрока. Торп провёл математический анализ традиционной игры одной колодой и порекомендовал систему «счёта десяток»: сперва зафиксируйте, сколько из шестнадцати карт стоимостью 10 находится в игре, затем — сколько из 36 прочих карт находится в игре, и поделите второе значение на первое, чтобы отслеживать, как изменяется преимущество дилера. В последующий период энтузиасты подсчёта карт пришли к выводу, что лучше использовать другую, более простую систему — особенно на фоне трудностей, связанных с нововведённой практикой игры шестью колодами (меры, разработанной специально, чтобы усложнить подсчёт). Например, в соответствии с базовой системой «плюс-минус» (также называемой hi-lo хай-лоу) картам приписываются различные значения: +1 для карт от двойки до шестёрки, 0 — от семёрки до девятки, –1 — от десятки до туза. Игроку достаточно суммировать значения розданных карт и отслеживать положительный или отрицательный текущий счёт. (Можно выбрать и другую стратегию: омегу, хай-опт или нокаут. В данном разделе я продолжу освещать «плюс-минус», поскольку она наиболее популярна и показала себя относительно эффективной). Как именно интерпретировать полученную сумму, зависит от ряда внешних факторов, например, от того, 160

ВЗЛАМЫВАЕМ, ОБМАНЫВАЕМ, ОБЫГРЫВАЕМ СИСТЕМУ

сколько колод находится в игре. В настоящее время мало где допускается игра одной колодой — тогда подсчёт карт оказывается слишком эффективным. Вместо этого казино обычно одновременно используют около шести. Самый быстрый способ вывести из текущего счёта реальный — предположить количество оставшихся в игре колод и поделить на это число текущий счёт. Логика в том, что чем меньше в игре остаётся карт, тем больше подвержено изменениям соотношение между картами с высокими и низкими значениями. В самом простом варианте стратегия состоит в том, чтобы ставить определённую небольшую сумму при отрицательном счёте и определённую сумму побольше — при положительном (обратите внимание, что значения всех карт колоды в сумме дают ноль, — подобные системы называются сбалансированными, и нулевой счёт в них указывает, что преимущества нет ни у одной из сторон). Или, возможно, вам захочется применить несколько усложнённую версию и повышать ставку на одну единицу за каждую единицу увеличения счёта. Конечно, есть и другие, более точные и сложные способы улучшить свои шансы на победу. Однако помните, что казино в курсе самых популярных книг и методов и знают все наиболее активно используемые системы ставок. Так что если вы решитесь применять одну из этих стратегий, то с высокой вероятностью привлечёте к себе внимание. Также можно обратиться к более сложным с математической точки зрения системам. Так, например, эксперты проанализировали, как шансы на победу изменяются после раздачи первых нескольких карт и в каких ситуациях следует повышать ставку или отказываться от игры. Подобным детальным стратегиям посвящены 161

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

две отличные книги: «Атака на блэкджек» Дона Шлезингера и «Профессиональный блэкджек» Стэнфорда Вонга. В честь последнего названы «половинки Вонга» — сложная система подсчёта, где картам достоинством в 10 и тузам приписывается значение –1, двойке и се1 мёрке — значение , тройке, четвёрке и шестёрке — 2 1 значение 1, пятёрке — значение 1 2, восьмёрке — зна1 чение 0, а девятке — значение . Система позволяет 2 весьма точно отследить текущие шансы на победу, но применять её, очевидно, сложнее, чем «плюс-минус». Какую бы стратегию вы ни выбрали, понадобится уйма практики, чтобы научиться эффективно её применять. В казино считать придётся на огромной скорости, а фоновый шум и различные отвлекающие факторы только усложнят дело. Кроме того, игорные заведения прикладывают множество усилий, чтобы идентифицировать подсчёт карт и воспрепятствовать ему. Попробуйте, и может так случиться, что дилер и распорядитель начнут косо на вас посматривать, работники казино попытаются завязать с вами беседу, чтобы сбить концентрацию, а записи игры с камер видеонаблюдения и ваши схемы ставок подвергнутся анализу. Ведутся даже научные разработки программного обеспечения, которое автоматически определяло бы игроков, подсчитывающих карты, по движению рук и схемам ставок. Помимо этого нередко казино нанимают на работу бывших игроков, которые отлично распознают соответствующие приметы. В результате вам могут запретить появляться не только в конкретном заведении, но и во всех остальных, поскольку казино обмениваются записями с камер видеонаблюдения и снимками игроков, замеченных за подсчётом карт. 162

ВЗЛАМЫВАЕМ, ОБМАНЫВАЕМ, ОБЫГРЫВАЕМ СИСТЕМУ

Что нужно делать Если вы хотите попробовать считать карты, выучите систему и практикуйтесь, пока она не станет вашей второй натурой. Почитайте справочную информацию по методам, при помощи которых казино борются со такими игроками, и будьте к ним готовы. Учтите, что удача переменчива, а это значит, что вам необходим большой стартовый банк, чтобы сколько-то успешно применять стратегии подсчёта карт. Помните: любой может заучить базовую систему, но не всякому такая деятельность подходит по темпераменту. Кроме того, разные правовые режимы по-разному смотрят на вопрос легальности данной практики, так что будьте готовы вести игру на грани фола. Подсчёт карт реально может изменить расстановку сил таким образом, что у игрока окажется небольшое преимущество над казино. Но сама по себе система не гарантирует успеха, а из-за контрмер со стороны заведения применять её стало гораздо сложнее, чем прежде. Однако умелый игрок всё равно может выйти победителем.

Команда MIT по игре в блэкджек Одной из самых колоритных группировок, практиковавшей подсчёт карт на систематической основе, является команда MIT по игре блэкджек. В 1970-е гг. в казино Атлантик-Сити игрокам не позволялось считать карты, но к концу десятилетия суд постановил, что казино не имеют права накладывать подобные запреты (по крайней мере, официально). Тогда шесть студентов Массачусет163

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

ского технологического института (MIT) самостоятельно изучили систему и на весенних каникулах отправились в крайне прибыльную поездку, чтобы попрактиковаться в своих свежеприобретённых навыках. Первоначальная команда со временем распалась, но один из участников, Дж. П. Массар, продолжил работать над другими, более системными стратегиями зарабатывания денег. Будучи преподавателем курса по подсчёту карт в MIT, Массар помог сформировать группу игроков, изначально состоявшую из четырёх человек. В 1980-х он случайно столкнулся с выпускником Гарварда Биллом Капланом, который за несколько лет до этого собрал свою собственную команду игроков в блэкджек. Группа Каплана успела крайне прибыльно отработать в ЛасВегасе, прежде чем о её деятельности стало известно казино, после чего участникам пришлось разбиться на команды поменьше и искать новые игорные заведения за границей. Каплан согласился финансировать новую группу, но предложил намного более тщательно проработанный подход: все стратегии подробно просчитывались и согласовывались заранее. Он собрал почти 200 000 $ у разных инвесторов, после чего в августе 1980 г. новая команда приступила к работе. В начальный период их «годовая доходность» составляла около 250%. Команда MIT позже наняла почти 80 человек, игравших группками поменьше, и продолжила получать очень достойную прибыль от своих вложений и стартового капитала в течение 80-х и последующего десятилетия. К 1984 г. Каплан уже не мог войти в казино, чтобы за ним сразу же не увязались сотрудники заведения в надежде отследить членов его команд. Однако, благодаря постоянному притоку новых лиц, опознания отчасти 164

ВЗЛАМЫВАЕМ, ОБМАНЫВАЕМ, ОБЫГРЫВАЕМ СИСТЕМУ

удавалось избежать. Применяемые командами системы ставок были относительно простыми, но при этом вводилось важное улучшение: игрок считал карты не в одиночестве — теперь в зале присутствовал ещё один человек, который не участвовал в игре и, соответственно, мог сконцентрироваться чисто на счёте. Затем при помощи различных сигналов — например, жестов — он давал игроку знать, если ситуация становилась выгодной. Ключевые выводы из истории команды MIT по блэкджеку: подсчёт карт может быть прибыльным, если действовать осторожно, и любой, самый изощрённый метод заработка, нередко можно поднять до новых высот: главное — применять его прицельно и систематически.

Шулерские приёмы с картами и костями С самого момента появления азартных игр недобросовестные люди искали возможности завладеть преимуществом незаконным способом, а значит, во время игры в карты или кости нередко можно столкнуться с шулерскими приёмами и разного рода жульничеством. Для того, чтобы идентифицировать или обойти некоторые из них, пригодится математика. Например, самый простой способ сжульничать при игре в кости — заменить обычный кубик на «топ» (кость, на которую нанесено всего три разных значения, т.е. каждое число дублируется на противоположной грани) или «односторонний топ» (где повторяется лишь один номер). При игре в крэпс его можно использовать, чтобы повысить или снизить шансы того или иного исхода определённых бросков. Например, на двух костях «топ» со значениями 1-3-5 невозможно выбросить 7, что знаменует окон165

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

чание второго раунда игры. Сразу заметить шулерскую кость непросто, ведь одновременно на виду находится лишь три её грани. Если взглянуть на стандартную игральную кость, разметка у неё будет всегда одинаковая — например, положив её таким образом, чтобы на виду оказались грани со значениями 1, 2 и 3, мы увидим, что расположены они против часовой стрелки, как на рисунке ниже.

Если же взять чистый кубик и сделать из него «топ», нарисовав на трёх сторонах 1, 2 и 3 в аналогичной формации, а затем продублировать числа на противоположных гранях, окажется, что цифры расположены в неправильном направлении. С математической точки зрения избежать возникновения данной проблемы при изготовлении шулерской кости невозможно. При подсчёте вероятностей во время игры в кости несложно запутаться. Великий математик и философ Готфрид Лейбниц сделал предсказуемую ошибку, когда написал, что шанс выбросить 11 на двух кубиках такой же, как и выбросить 12. Его логика заключалась в том, что каждое из значений достижимо лишь одной комбинацией цифр: (6, 5) для 11 и (6, 6) для 12. Однако следует учитывать тот факт, что как 5, так и 6 можно выбросить на каждой из костей. В результате получить 12 действительно возможно лишь одним способом (6, 6), в то время как 11 — двумя: (5, 6) и (6, 5). Подобную ошибку сделать несложно, поэтому среди шулеров популярен приём, когда человеку предлагают 166

ВЗЛАМЫВАЕМ, ОБМАНЫВАЕМ, ОБЫГРЫВАЕМ СИСТЕМУ

заключить пари, на интуитивном уровне кажущееся выгодным, но для которого на самом деле легко неверно посчитать вероятности. Например, один развод строится на том, чтобы поспорить, что жертва выбросит 8 раньше, чем 7. Большинство игроков в кости знают, что 7 выбросить легче (её можно получить шестью комбинациями: 1, 6; 2, 5; 3, 4; 4, 3; 5, 2; 6, 1), чем 8 (для которой комбинаций всего пять: 2, 6; 3, 5; 4, 4; 5, 3; 6, 2), так что шансы на стороне жертвы. Предположим, что первое небольшое пари завершилось победой игрока. Тогда мошенник предлагает второй спор: что жертва выбросит 6 раньше, чем 7. Есть всего 5 способов выбросить 6 (1, 5; 2, 4; 3, 3; 4, 2; 5, 1), так что шансы опять же на стороне игрока. С этого момента начинается развод: жертве предлагают заключить пари на значительно бо2льшую сумму денег, что ей удастся выбросить 6 и 8 раньше, чем две семёрки. Выглядит так, будто это просто усложнённая вариация на тему того же спора, но в действительности шансы теперь на стороне мошенника: 4255 из 7744. Даже если жулик оговорит, в каком порядке должны выпасть 6 и 8, пари всё равно останется проигрышным: именно потому что 6 и 8 могут выпасть в любом порядке, преимущество и перешло к мошеннику. Чтобы разобраться в причинах, взглянем на рисунок 21, иллюстрирующий, что может произойти в начале серии из двух бросков двух кубиков. Для каждого значения, выпавшего на первой кости и указанного в левой колонке, в средней колонке приведены числа, дающие в сумме 7, а в правой — дающие 6 или 8. Вероятность выпадения значений из третьей колонки на данной стадии значительно выше: 10/36 против 6/36. Но стоит получить первую 6 или 8, как преимущество, сыгравшее 167

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

на2 руку жертве в ходе первого этапа серии бросков, переместится на сторону мошенника. Кость 1

Кость 2 (для суммы 7)

Кость 2 (для суммы 6 или 8)

1

6

5

2

5

4, 6

3

4

3, 5

4

3

2, 4

5

2

1, 3

6

1

2

Рисунок 21. Как выбросить 6, 7 или 8 на двух костях

Существуют схожие схемы, где вместо костей используют карты. Пасьянс «Мэверик» назван так в честь одноимённого американского телесериала, где азартный игрок Барт Мэверик заключает пари на огромную сумму, что сможет сформировать из 25 случайно вытянутых карт 5 покерных комбинаций по 5 карт, каждая из которых достоинством будет не ниже стрита (то есть стрит , флэш, фулл-хаус, каре, стрит-флэш или роял-флэш*). На интуитивном уровне кажется, будто сложить такой пасьянс сложно, но стоит только попробовать, как вы увидите, что обычно это весьма легко. Во-первых, наименьшее число флэшей возможно собрать, если * На случай, если вы забыли: стрит — комбинация карт по порядку (валет, дама и король считаются за 11, 12, 13), флэш — карты одной масти, фулл-хаус — одна тройка плюс одна пара вместе, стрит-флэш — стрит из карт одной масти, роял-флэш — десятка, валет, дама, король и туз одной масти. (Прим. авт.)

168

ВЗЛАМЫВАЕМ, ОБМАНЫВАЕМ, ОБЫГРЫВАЕМ СИСТЕМУ

вытянуть по четыре карты двух мастей и ещё по девять — других двух. Но даже при таком раскладе вам гарантировано два флэша и запас гибкости для принятия решения, какие именно карты двух мастей использовать. Потом карты можно будет легко добавлять в флэш или исключать из него, чтобы формировать стриты или фулл-хаусы. А, например, расклад, при котором ни одного фулл-хауса составить не получится, существует всего один: вы вытянули все карты одного достоинства в двойном экземпляре, а одну — в единственном. Но тогда перед вами множество стритов на выбор. В действительности, если просчитать всё с точки зрения комбинаторики при помощи треугольника Паскаля (или — в идеале — на компьютере), то выяснится, что шансы успешно решить данную задачу превышают 98%. Так что, если вас привлекают настоящие вызовы, лучше постарайтесь установить, какой набор из 25 карт не позволит вам сложить пасьянс «Мэверик». Ещё один карточный спор: возьмите две колоды и каждую как следует перетасуйте. Предложите другу (или жертве) следующее пари с равными шансами: вы одновременно будете переворачивать по одной карте каждый из своей колоды, и если две карты полностью совпадут по масти и достоинству, то выиграете вы. В свою очередь, если карты кончатся раньше, чем это произойдёт, то выиграет он. Вероятность совпадения для каждой отдельной пары карт всего 1/52, так что ваш товарищ скорее всего решит, что это выгодное пари. На самом же деле, у вас будет преимущество около 26%. Чем-то на данный спор походит т.н. «пари с картинками». Мошенник предлагает поделить колоду на три стопки и сообщает, что готов поставить деньги на то, что по крайней мере одна из карт, наудачу вытянутая из 169

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

каждой стопки, окажется валетом, дамой или королём. Если учесть, что всего картинок в колоде 12 из 52, на первый взгляд преимущество на стороне жертвы. Однако на самом деле в данном случае вероятности суммируются: для первой стопки шанс вытянуть валета, даму или короля 12/52, для второй — в случае неудачи — 12/51, для третьей — 12/50. В результате вероятность вытянуть картинку 12/52 + 12/51 + 12/50 = 70,6%, и лишь в 30% случаев ни одной вам не попадётся. Из игры с мошенником можно вынести два урока: вопервых, если кто-то предлагает вам пари, которое звучит слишком хорошо, чтобы быть правдой, то скорее всего так оно и есть, поэтому как следует оцените свои шансы. Во-вторых, человек, хотя бы немного подкованный в математике, иногда может получить преимущество, никого не обманывая, а просто за счёт базового понимания вероятностей.

Мошенничество с вероятностями Один из самых простых разводов, полагающихся на математику, — предсказание пола ещё не рождённого ребёнка. Мошенник может предложить при помощи своих экстрасенсорных способностей или иных методов оказать вам такую относительно дешёвую услугу и гарантирует вернуть средства, если ошибётся. Естественно, шарлатану достаточно просто называть случайные версии, забирать деньги за 50% верных предсказаний, а оставшиеся 50% возвращать тем, кто не забыл за ними вернуться. Аналогичный базовый принцип лежит и в основе широко известной аферы с идеальными предсказаниями. 170

ВЗЛАМЫВАЕМ, ОБМАНЫВАЕМ, ОБЫГРЫВАЕМ СИСТЕМУ

Мошенники выбирают событие с биноминальным исходом, например, футбольный матч плей-офф или рост или падение рынка на определённой неделе (возможен вариант и для событий с крайне ограниченным числом мыслимых исходов, типа скачек с участием трёх лошадей). Затем они высылают 16 000 писем — бумажных или электронных, — где утверждается, что у отправителя есть метод идеально точно предсказывать результаты событий или уникальная инсайдерская информация. В половине писем победителем указывается А, в другой половине — Б. На следующей неделе адресатам 8000 писем с верно указанным победителем направляется новая партия прогнозов — вновь поделённых напополам. По итогам четырёх кругов останется тысяча человек, получивших четыре правильных предсказания подряд. В этот момент мошенники предлагают им продолжить высылать прогнозы, но уже за плату — скажем, за 100 $. Если даже 10% из 1000 человек согласится, аферисты заработают 10 000 $ (минус затраты на организацию). В телевизионном документальном фильме «Система» иллюзионист Деррен Браун использовал вариацию этого развода, чтобы пять раз подряд верно «предсказать» результаты скачек и убедить женщину поставить 4000 £ на шестой забег — в этот момент он открыл ей правду. (Дальше был сюжетный поворот: ставка оказалась проигрышной, но Браун подменил квиток на выигрышный. Это значит, что создатели фильма сделали ставки на всех лошадей и решили списать долю букмекера как расходы на съёмку.) В книге Джона Аллена Паулоса «Числовая безграмотность: афера на фондовой бирже» (Innumeracy: The Stock Market Scam) сказано, что подобная схема незаконна, если реализуется намеренно, однако при опреде171

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

лённом стечении обстоятельств любая последовательность прогнозов может породить сходный результат. Среди честных издательств биржевых сводок, врачейшарлатанов или ТВ-проповедников всегда найдётся ктото, кому уже повезло сделать верное предсказание или продать лекарство и без того практически выздоровевшему человеку. Людская иррациональность проявляется в том, что мы склонны приписывать подобным людям слишком много заслуг за их провидение. На самом деле вся финансовая сфера в целом имеет свойство повторять эту ошибку. Как отметил Нассим Николас Талеб в книге «Одураченные случайностью», люди, понёсшие катастрофические потери, обычно уходят из отрасли, оставшиеся же либо преуспели, либо хотя бы не совсем разорились. При этом различие между победителями и проигравшими кроется исключительно в везении. В результате «выжившие» становятся слишком высокого мнения о своих способностях и не признают значимость элемента удачи в своих успехах. Ту же логику можно применить, например, к хеджфондам: на трейдеров, которые несколько лет подряд показывают хорошие результаты, часто смотрят как на гуру инвестиций и доверяют им гигантские суммы денег, но огромная часть фондов в итоге всё равно разоряется. Деррен Браун в «Системе» заявил, что сходное заблуждение нередко можно встретить в среде спиритистов и гомеопатов. Иногда на людской склонности верить, что результаты за прошлые периоды могут привести к успеху в будущем, спекулируют более откровенно. Так, например, существует «афера с алгоритмами»: мошенник лжёт о своих прошлых достижениях, утверждая, что сумел совершить несколько действительно удачных сделок благодаря се172

ВЗЛАМЫВАЕМ, ОБМАНЫВАЕМ, ОБЫГРЫВАЕМ СИСТЕМУ

кретному алгоритму, который гарантирует ему высокий шанс успеха на рынках. Механизм работы этого алгоритма, конечно же, информация конфиденциальная. Ставшие жертвами данного развода инвесторы заканчивали по-разному: чьи-то деньги пропадали, а иногда мошенники просто вкладывали полученный капитал в какойнибудь индексный фонд, требовали высокую комиссию за достижение скромной доходности по акциям и выжидали, когда же их жертва потеряет терпение. Конечно, кванты и прочие фонды действительно могут иметь в своём распоряжении самые невероятные алгоритмы, некоторые из которых реально крайне прибыльны (см. главу 6). Так что главное — не поддаваться рекламе и разобраться, что именно происходит. Те, кто громче всех кричит про свои алгоритмы, вполне могут оказаться мошенниками.

Финансовые пирамиды и схемы Понци Для привлечения капитала в свой печально знаменитый фонд Берни Мейдофф положился на вариант аферы с алгоритмами: так, фальсифицированные блестящие показатели фонда за прошлые периоды мотивировали инвесторов вкладываться в инвестиционное и консалтинговое подразделения его хорошо известной на Уолл-стрит фирмы. Однако этим его преступления не ограничились: в действительности всё инвестиционное подразделение фонда строилось по схеме Понци, которая обрушилась во время финансового кризиса 2008 г. Данные схемы получили своё название в честь Чарльза Понци, афериста итальянско-американского происхождения, скандально прославившегося в 1920-х гг. 173

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

благодаря своей мошеннической модели заработка. Он утверждал, что занимается арбитражем: дёшево покупает за границей международные ответные купоны* и обналичивает их в США за полную стоимость. Вкладчикам Понци обещал 50-процентную прибыль за 45 дней или 100-процентную — за 90. На самом же деле со старыми инвесторами он рассчитывался из денег, полученных от новых, и предприятие предсказуемо окончилось катастрофой. Мейдофф построил схожую мошенническую схему. Быстрые доходы, получаемые инвесторами, привлекали новых вкладчиков. Причём выплачивать достойную прибыль аферисту удавалось в течение очень длительного периода, т.к. старые инвесторы продолжали вкладывать деньги в фонд снова и снова, и параллельно наблюдался постоянный приток новых инвесторов. Мейдофф и сам был удивлён, что ему столь долго удавалось избегать поимки: доказать недействительность многих заявленных сделок, по его собственным словам, было совсем несложно. Когда в 2008 г. схема наконец обрушилась, образовавшуюся «чёрную дыру» из потерянных денег инвесторов и невыплаченных прибылей оценили в 65 млрд £. Финансовые пирамиды функционируют похоже на схемы Понци, хотя в отличие от последних деятельность пирамиды осуществляется не только руками её созда* Международный ответный купон позволяет отправителю оплатить за адресата пересылку ответного письма — купон можно обменять на марки любой из 190 стран Всемирного почтового союза. Афера стала возможна из-за особенностей послевоенных обменных курсов. Кроме того, Понци утаил от вкладчиков, что купоны можно обменять только на почтовые марки, а не на наличность. (Прим. пер.)

174

ВЗЛАМЫВАЕМ, ОБМАНЫВАЕМ, ОБЫГРЫВАЕМ СИСТЕМУ

теля: новых инвесторов привлекают сами люди, вовлечённые в схему, и зачастую она строится на торговле некой сомнительной продукцией. Например, вам предлагают уникальную возможность заработать при помощи замечательной схемы по продаже БАДов. Есть лишь одна загвоздка — сама торговля добавками прибыли приносит совсем немного и в основном платить вам будут за привлечение новых людей. Это ключевой элемент любой пирамиды. Каждый, кто к ней присоединяется, получает задание завербовать определённое число новых участников. Новички оплачивают вступительный взнос или иной сбор, который частично передаётся вверх по пирамиде самим основателям. Успевшие присоединиться на ранних этапах и правда в результате могут разбогатеть, поскольку им относительно легко находить новых участников и зарабатывать обещанные деньги. Проблема кроется в математических основах схемы. Представим, что каждый участник пирамиды обязан прилечь ещё четверых, чтобы получить свою выплату. На первом уровне находится основатель схемы. На втором — четыре новых участника, на третьем — 16, на четвёртом — 64 и т.д. (см. рисунок 22). На пятнадцатом уровне будет находиться 1 млрд. человек — в три раза больше, чем население США. В результате финансовые пирамиды имеют тенденцию рушиться относительно быстро. В свою очередь, схемы Понци функционируют поразительно долго (поскольку старые вкладчики могут инвестировать повторно), так что число пирамид, которые пытаются отыскать способ заставить людей делать выплаты многократно в надежде дольше сохранять иллюзию успешного бизнеса, постоянно растёт. Но, в конечном счёте, и схемы 175

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Понци, и пирамиды имеют один общий фундаментальный недостаток: они перераспределяют блага (в пользу основателей), а не создают их.

1 4 16

64

256 1024 4096

Рисунок 22. Математические основы финансовой пирамиды

Что нужно делать Скептически относи2тесь к любому, кто утверждает, будто у него есть идеальный метод прогнозирования, секретный алгоритм, волшебный способ разбогатеть, который строится на привлечении новых участников, инсайдерская информация о результатах скачек или экстрасенсорная способность предсказывать пол детей. Хотя, наверное, вы и так это отлично знаете.

176

ВЗЛАМЫВАЕМ, ОБМАНЫВАЕМ, ОБЫГРЫВАЕМ СИСТЕМУ

Взломать лотерею Мы уже увидели, что лотереи (в том числе моментальные) имеют особенно низкое значение математического ожидания даже на фоне прочих азартных игр. Обычно выплата составляет не более 50% от вложенной суммы. Идея высокого потенциального выигрыша особенно привлекает игроков из относительно бедных слоёв населения, из-за чего к лотереям нередко относятся словно к налогу на бедность. Однако как минимум один человек сумел отыскать способ завладеть реальным преимуществом в этой игре. Мохан Шривастава, консультант по статистике из Торонто, всерьёз увлёкся вопросом определения выигрышных карточек моментальной лотереи, после того как получил несколько билетов от коллеги в качестве шуточного подарка. В ходе своей работы в корпорациях геологической отрасли мужчина часто занимался поиском новых способов получения точной статистической информации на основании ограниченных данных. Шривастава изучил лотерейные билеты и обратил внимание, что они изготавливаются серийно, чтобы гарантировать, что выигрышных карточек отпечатано строго определённое количество. А значит, цифры на билетах генерируются не случайным образом — на производстве применяют некую псевдослучайную систему, в которой вполне может найтись изъян. Лотерея, которую рассматривал Шривастава, называлась Tic Tac Toe и основывалась на крестиках-ноликах. Игровые поля были заполнены, казалось, случайными цифрами. На левой половине карточки под стираемым защитным слоем располагался блок выигрышных чисел. Если вам попалось поле крестиков-ноликов, где вы177

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

игрышные значения выстроились в ряд по горизонтали или по вертикали, вам полагался указанный приз. Всего на каждом билете было восемь игровых полей, т.е., соответственно, восемь шансов на победу. Плюс математического склада ума — его обладатель хорошо натренирован постоянно выискивать реально существующие закономерности и обычно довольно терпелив и настойчив. Шривастава проверил целый ряд различных теорий о том, какие особенности билетов могли иметь значение. Чтобы обнаружить реальную закономерность, ему понадобилось некоторое время, но в итоге изъян системы оказался до смешного прост. На каждом лотерейном билете некоторые цифры, напечатанные на полях для крестиков-ноликов, повторялись, а некоторые — нет. Если, пометив все уникальные цифры, вы обнаружили, что они образуют ряд из трёх, то билет выигрышный (см. рисунок 23).

Рисунок 23. Чтобы установить выигрышный лотерейный билет, Шривистава делал пометки на расчерченных полях, как на втором рисунке: пустая ячейка указывает на повторяющееся число, а единица — на уникальное. Ряд уникальных чисел означает выигрышный билет. 178

ВЗЛАМЫВАЕМ, ОБМАНЫВАЕМ, ОБЫГРЫВАЕМ СИСТЕМУ

Шривастава сомневался, стоит ли ему воспользоваться своим открытием для получения выгоды, но посчитал, что это не стоит времени, необходимого на разъезды и сбор выигрышных билетов по разным точкам. Так мужчина заработал бы всего пару сотен долларов за неделю, т.е. меньше, чем он получал на своей более интересной работе консультанта по статистике. Вместо этого Шривастава отнёс наработки в комиссию по лотереям. Сперва они отказались даже выслушать мужчину, решив, что тот просто не в себе, но в итоге Шривастава доказал им наличие изъяна в системе, прислав целый ящик билетов с помеченными выигрышными экземплярами. В результате лотерею сняли с продажи. Комиссия утверждала, что это уникальный случай и обычно моментальные лотереи не поддаются «взлому» — в компаниях-операторах это контролируют специальные аудиторы. Однако Шриваставе удалось найти схожие изъяны и в лотереях в других частях света, причём некоторые ошибки повышали шанс выбрать выигрышный билет на 30% или даже 100%. Нет однозначных доказательств того, что кто-то сумел разбогатеть благодаря подобным аномалиям. Но, по неподтверждённым данным, изъяны в лотереях всё же могли использоваться. Так, аудитор штата Массачусетс обнаружил при подготовке отчёта о местной лотерейной компании, что некий неназванный человек обналичил между 2002 и 2004 гг. 1588 выигрышных билетов, заработав в сумме 2,84 млн $ (имени счастливчика в документе не содержится). В свою очередь, аудит 1999 г. показал, что игроки, занимающие первые десять строчек в списке победителей, всего выиграли 842 раза, заработав в сумме 1,8 млн $. Такого рода концентрация выигрышей на небольшую группу людей слишком маловероятна, чтобы быть случайной. 179

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Существует возможность, что подобные аномальные результаты связаны с преступной деятельностью. Отдача от покупки лотерейных билетов невысока, но в некоторых регионах их используют для отмывания денег. Преступники предполагают, что если 50–60% исходной суммы можно будет выдать за выигрыш в лотерею, то это обеспечит им алиби. Однако нельзя отрицать, что, возможно, эти аномальные данные объясняются тем, что кто-то ещё сумел обнаружить способ расшифровать информацию, напечатанную на билетах, и идентифицировать выигрышные экземпляры. В конце концов, не все люди такие же честные, как Мохан Шривастава.

Выиграть в лотерею В большинстве азартных игр невозможно гарантировать прибыль, просто сделав ставку на каждый исход. Однако в случае с лотереями иногда возникают ситуации (например, если за несколько розыгрышей джекпот никто не выиграл), когда теоретически возможно скупить все билеты и обеспечить тем самым себе победу. Эта идея приходила в голову многим, но сто2ит совсем недолго поразмышлять о ней, как сразу станет ясно, что с точки зрения логистики реализовать данную схему невероятно сложно. Но при должной целеустремлённости и ресурсах это всё же возможно — несколько раз подобное уже организовывали. Например, румынский экономист Штефан Мандел, который в начале 1960-х искал способ эмигрировать. В эпоху до появления персональных компьютеров было страшно сложно просчитать все вероятности и установить, достижима ли его цель в принципе. Кроме того, Манделу не удалось собрать достаточно денег, чтобы 180

ВЗЛАМЫВАЕМ, ОБМАНЫВАЕМ, ОБЫГРЫВАЕМ СИСТЕМУ

скупить все билеты, — вместо этого он вручную рассчитал комбинации, которые обеспечили бы ему совпадение хотя бы 5 номеров из 6. Однако экономисту повезло даже больше: он с первого раза выиграл джекпот и получил достаточно денег, чтобы переехать с семьёй в Австралию. Там Мандел продолжил прорабатывать логистику ещё более амбициозного предприятия. В этих целях он основал синдикат, и вместе они сумели собрать деньги на финансирование новой попытки. За ближайшие десятилетия синдикату удалось 12 раз выиграть в лотерею в Австралии. Штефан Клинцевич, который знал Мандела лично и выбрал ирландскую лотерею в 1992 г., поведал, с какими трудностями при выполнении этой задачи сталкивается любой синдикат. Так, ему потребовалось отыскать финансирование, открыть офисы по контролю скупки билетов, нанять через «сарафанное радио» покупателей и сотрудников для заполнения нужных цифр. Билеты приходилось добывать заранее из разных источников, забирать в номерах отелей разных городов, чтобы расширить географию предприятия. Команда Клинцевича искала самые тихие места для совершения покупок, чтобы как можно дольше оставаться незамеченной, и наконец свезла все билеты в надёжный центральный офис. За всё это надо платить, так что выбирать следует лотерею с высокой гарантированной прибылью, способной покрыть расходы на организацию. В случае Клинцевича оператор ирландской лотереи заметил подозрительную активность и за несколько дней до розыгрыша ограничил объёмы продаж билетов. В итоге синдикату удалось скупить лишь 88% билетов. С одной стороны, им повезло — выигрышный билет оказался среди уже купленных. С другой стороны, им всё же не повезло, поскольку джекпот пришлось разделить с двумя другими победителями, что является одним из ри181

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

сков данного метода. Сложив джекпот и все выигрыши поменьше, синдикат всё равно остался в плюсе. Но прибыль оказалась значительно ниже, чем могла бы быть. К этому моменту команда Мандела столкнулась с препятствием в виде новых законов, введённых в Австралии специально, чтобы помешать деятельности лотерейных синдикатов. Экономист дождался благополучного момента и выбрал другую потенциально прибыльную лотерею, проводимую в 1992 г. в американском штате Вирджиния. Организовать эту операцию было ещё сложнее, ведь теперь синдикату приходилось скупать билеты на расстоянии посредством переговоров с магазинами в США. Однако они преуспели и выиграли главный приз в 28 млн $ и призы поменьше на общую сумму 135 000 $. Разбогатевший Мандел отошёл от дел и переехал на островок в южной части Тихого океана. Знайте, что многие лотереи не допускают массово скупать билеты и могут заморозить или сократить продажи, как только заподозрят, что кто-то пытается реализовать похожую схему. Кроме того, сама структура выигрыша часто не позволяет гарантированно получить прибыль, т.к. крупные призы могут быть поделены между несколькими победителями. Так что, хоть Мандел — личность, несомненно, интригующая, возможно, именно его удача и успех нескольких других синдикатов в разных странах мира завели эту схему заработка в тупик.

Повысьте свои шансы Лотерея не единственная игра, основанная на случайности, в которой может победить изобретательный игрок. Однажды в эфире американской передачи «Проверь своё везение» развернулась поразительная серия побед, 182

ВЗЛАМЫВАЕМ, ОБМАНЫВАЕМ, ОБЫГРЫВАЕМ СИСТЕМУ

строившаяся на таланте игрока к распознаванию математических последовательностей, а не просто удаче. Майкл Ларсон вырос в Огайо, и его просто зачаровывала идея поиска разных лазеек и лёгких путей заработка. Например, ещё юношей он открыл несколько банковских счетов, потому что новым клиентам тогда дарили наличные. Ларсон долго не задерживался ни на одном месте работы и был одержим просмотром ТВ в поисках способов разбогатеть за счёт телеигр или рекламных роликов. На тот момент «Проверь своё везение» была достаточно новой передачей, впервые запущенной в эфир годом раньше, в 1983 г. Ларсон днями напролёт смотрел записи шоу и установил его слабое место. Участники программы могли выиграть деньги следующим образом: правильный ответ на вопрос викторины давал им возможность запустить компьютеризированное табло с мерцающими секторами. При нажатии красной кнопки подсвеченным оставался лишь один из 18 секторов, причём каждый из них переключался между тремя разными вариантами. 9 из 54 исходов представляли собой секцию «Невезуха!» — игрок терял все заработанные деньги. Получается, что в теории шанс проиграть всё равняется 1 из 6. Таким образом, вероятность остаться без денег после четвёртого раунда превышает 50%: шанс выиграть что-либо при каждом отдельном запуске составляет 5/6, а значит шансы выиграть четыре раза подряд 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 = 625/1 296. Если игрок решал, что накопил достаточно денег, запуски можно было передать другим участникам, чтобы сохранить выигранное. В соответствии с проектом мерцание табло должно было выглядеть как случайная последовательность. Создатели шоу протестировали систему и убедились, что самая крупная выплата не превысит 25 000 $. В теории раундов игры могло быть бесконечно много, т.к. призом 183

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

за выбивание некоторых секторов становились дополнительные запуски табло, но продюсеры не ожидали, что кому-то удастся стабильно выбирать эти ячейки. Ларсон осознал, что псевдослучайная последовательность на самом деле является простым повторением пяти разных, более кратких серий. При этом среди 18 секторов он заметил два, где никогда не выводилась «Невезуха!» и всегда можно было выиграть дополнительный раунд. Старательно заучив схему, Ларсон пробрался в студию телеканала CBS и убедил продюсеров позволить ему стать участником шоу, запись которого состоялась 19 мая 1984 г. Начал он плохо: неверно ответил на вопрос викторины и в первом же раунде попал на «Невезуху!». Но постепенно Ларсон освоился с тем, как в реальности функционировало табло, и начал выбивать желаемые сектора всё чаще (кроме того, ему везло: промахиваясь, он никогда не попадал на клетку проигрыша). И, наконец, началась долгая серия побед, когда Ларсон попал по нужным секторам 45 раз подряд. Продюсеры смотрели шоу с ужасом и нарастающей паникой, а ведущий передачи Питер Томаркен всё меньше понимал, что разворачивалось перед его глазами. В итоге выпуск затянулся так надолго, что его пришлось поделить на две части (представители CBS были так шокированы, что многие годы отказывались запускать в эфир повтор). Смотреть шоу чрезвычайно увлекательно, поскольку видно, что Ларсон начинает праздновать свой успех сразу, как только выбивает сектор, — до объявления приза. В итоге он выиграл 110 237 $, катер и два отпуска «всё включено», после чего решил «обналичить фишки» и передал свои последние запуски другим участникам. Продюсеры внимательно изучили записи шоу в надежде доказать, что Ларсон сжульничал. Вероятность выбить 184

ВЗЛАМЫВАЕМ, ОБМАНЫВАЕМ, ОБЫГРЫВАЕМ СИСТЕМУ

45 выигрышей подряд составляла (5/6)45 = 0,027%, т.е. было крайне маловероятно, что это простая случайность. Казалось весьма очевидным, что Ларсон распознал последовательность мерцания секторов (продюсеры позже признали, что данный сценарий обсуждали, но сбросили со счетов на ранних этапах запуска шоу). Однако игрок не нарушил никаких правил, так что создателям оставалось только неохотно ему заплатить. После чего сразу же переделали табло, чтобы оно загоралось по значительно более сложной схеме на базе мощного компьютера. К сожалению, поздняя карьера Ларсона была не впечатляющей. Много денег он потерял, пытаясь реализовать разные нереалистичные затеи, ещё часть — в результате ограбления. В 1990-х Ларсон выступил организатором схемы Понци по продаже акции несуществующей лотерейной компании в Огайо и мошенническим путём получил от 20 000 инвесторов 3 млн $. Он умер от рака, когда скрывался от властей. Но его появление на шоу «Проверь свою удачу» остаётся притчей во языцех и вдохновило многих людей искать лазейки в телеиграх или даже пытаться обманом заполучить главный приз.

«В лунку с одного удара» (и ненадёжная интуиция) Как мы уже увидели, наши интуитивные представления о вероятности могут быть поразительно неточны. Задача Монти Холла — прекрасный тому пример. В 1960-х в американском шоу «Давай поспорим» ведущий Монти Холл предлагал участникам следующую сделку. За одной из трёх дверей находится автомобиль, за двумя другими — козы. Вас просят выбрать одну из дверей (допустим, №1). Затем ведущий откроет одну дру185

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

гую дверь (например, №3) и покажет вам козу. После вам предлагают выбор: не отступиться от двери №1 или поменять её на оставшуюся дверь №2. Чтобы выиграть автомобиль, следует ли вам изменить свой выбор? Первым порывом большинства людей будет сказать, что повода изменять выбор нет. Перед нами две закрытые двери, так что вероятность того, что за каждой из дверей машина, — 50% (см. рисунок 24).

1

2

Рисунок 24. Задача Монти Холла

На самом же деле правильно будет изменить выбор, поскольку настоящая вероятность того, что автомобиль находится за выбранной вами дверью 33,33…%, и 66,66…% — что он за другой. Когда задачу с верным решением впервые опубликовали в американском журнале, тысячи людей написали жалобы на некорректный ответ, в т.ч. несколько профессоров математики, так что, очевидно, это намного более сложная для понимания задача, чем может показаться. Лучший способ разобраться, почему шансы для двух закрытых дверей не равны, — представить ту же ситуа186

ВЗЛАМЫВАЕМ, ОБМАНЫВАЕМ, ОБЫГРЫВАЕМ СИСТЕМУ

цию, но уже со 100 дверями, за которыми 99 коз и 1 автомобиль. После того, как вы указали на дверь №1, ведущий открывает 98 дверей с козами и оставляет выбор между вашей дверью и дверью №100 (см. рисунок 25).

Рисунок 25. Версия задачи Монти Холла со ста дверями 187

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

В этой версии проще осознать, что изначальный выбор мог быть верным с вероятностью лишь в 1%, а значит, за другой оставшейся дверью машина находится с вероятностью 99 из 100. Исключив 98 из других 99 дверей, ведущий дал вам понять почти наверняка, что оставшаяся — правильная, ведь единственный вариант развития событий, при котором ничего менять не следует, — если бы вы сразу выбрали нужную дверь, что возможно в 1 случае из 100. Логика исходного варианта задачи с тремя дверями идентичная: шанс того, что изначальный выбор был верным, — 1 из 3 и не изменился, в то время как шанс успеха для другой двери — 2 из 3, а значит, необходимо выбрать её.

Парадокс дней рождения Другой удивительный контринтуитивный статистический феномен можно наблюдать, если попробовать оценить шансы того, что в случайной компании найдутся люди, родившиеся в один день года. Мало кто ожидает, что для группы от 23 человек шанс совпадения выше 50%.* И снова разобраться будет проще, если развернуть математическое обоснование. Давайте посчитаем шансы того, что ни у кого дни рождения не совпадут. Для одного человека вероятность составляет 365/365, ведь ему не с кем делить дату.

* Исходя из того, что дни рождения равномерно распределены по всему году, и не учитывая високосные годы, двойняшек и прочие незначительные аномалии. (Прим. авт.)

188

ВЗЛАМЫВАЕМ, ОБМАНЫВАЕМ, ОБЫГРЫВАЕМ СИСТЕМУ

Для второго шанс уже 364/365 (один оставшийся день — это день рождения первого человека). Для третьего — 363/365. И так далее до 23-го участника группы, для которого шансы равняются 343/365. Чтобы установить вероятность того, что каждое из этих утверждений корректно (то есть ни у кого нет общего дня рождения), перемножим полученные значения: 365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 = 0,493 Таким образом, вероятность того, что ни у кого в группе из 23 человек не совпадает день рождения, составляет 49,3%, следовательно, с вероятностью 50,7% как минимум двое родились в один день года.

Сложности с интуитивным пониманием реальных вероятностей событий нередко порождают возможности для ценных ставок, если вторая сторона руководствуется чутьём, а не результатами расчётов. Конечно, букмекеры не глупцы и много времени проводят за анализом статистических данных, чтобы избежать очевидных ошибок. Однако в некоторых ситуациях и они могут дать осечку. Прекрасный тому пример — команда «В лунку с одного удара». В 1991 г. Пол Симмонс и Джон Картер, сотрудники букмекерской конторы из британского графства Эссекс, заметили возможность для потенциально прибыльного предприятия. Многие букмекеры рассматривали ставки на попадание в лунку с одного удара* на * Данную игровую ситуацию также называют хол-ин-уан (от англ. hole-in-one). (Прим. пер.)

189

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

турнирах по гольфу как странную затею с крайне низкой вероятностью успеха, из-за чего предлагаемые коэффициенты очень разнились. Изучив конкретные статистические данные о результатах крупнейших чемпионатов за последние несколько десятилетий, друзья установили, что в среднем реальная вероятность игроку забить мяч в лунку с одного удара на любом турнире даже выше чем один к одному, при том, что коэффициенты варьировались от 3/1 и до 100/1 — в случае, если ставку принимали на повторение события на нескольких чемпионатах. Разберём, какие у данного исхода реальные шансы, на примере Открытого чемпионата США по гольфу. Статистика гласит, что профессиональный игрок попадает в лунку с первого удара примерно один раз на 3000 игр на лунке пар-3*, из-за чего подобный результат и правда выглядит страшно маловероятным, если рассматривать его вне контекста. Однако в Открытом чемпионате США участвует 156 игроков, а лунок пар-3 всего три или четыре штуки, что сразу повышает шансы. Предположим, что в нашем случае их четыре, соответственно, на лунках будет проведено следующее число игр: 1 56 человек за первые 2 дня: 156 × 4 лунки × 2 = 1 248

* Пар — это количество ударов, которое гольфист должен совершить на одной лунке или на всем поле при удачной игре. Пар лунки определяется в зависимости от расстояния от ти (места старта) до грина (зоны нахождения лунки). Для лунки пар-3 это расстояние 110 метров. (Прим. пер.)

190

ВЗЛАМЫВАЕМ, ОБМАНЫВАЕМ, ОБЫГРЫВАЕМ СИСТЕМУ

После отсева число игроков снизится до минимального значения — до 60, и каждый проведёт на лунках пар-3 ещё по две игры: 60 × 4 лунки × 2 = 480 В итоге за чемпионат гольфисты сыграют на лунках с низким паром как минимум 1 728 раз. Если учесть, что шанс забить мяч с первого удара равняется 1 к 3 000 для каждой попытки, получим общую ве1,728 роятность исхода 3000 = 57,6%. Друзья провели аналогичные расчёты для целого ряда грядущих турниров. На данном этапе это был обычный статистический анализ, а не попытка смошенничать. Но когда дело дошло до ставок, уже потребовалось немного извернуться. Симмонс и Картер знали, что крупные букмекеры предлагают достаточно точные коэффициенты на подобную ставку, поэтому, чтобы извлечь выгоду из полученной информации, им пришлось обратиться к большому числу контор поменьше, в каждой из которых риски оценивали в той или иной степени некорректно. Это была эпоха до появления Интернета, поэтому друзья отправились в сумасшедшую поездку по городам Британии, делая ставки как на отдельные избранные турниры (Открытые чемпионаты США, Великобритании и Европы, Международный турнир Benson & Hedges и Чемпионат Профессиональной ассоциации гольфистов), так и на то, что попадание в лунку с одного удара случится одновременно на двух, трёх, четырёх или пяти разных турнирах. В том году на каждом чемпионате данный исход реализовался, и в теории Симмонс и Картер заработали 500 000 £. Но как минимум один букмекер закрыл 191

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

контору и бежал из страны, чтобы не выплачивать выигрыш, а несколько других отказались выполнять условия сделки, утверждая, что их обманули. Однако большинство сдержали своё слово, и друзья получили очень достойную прибыль. Конечно, букмекеры по всему миру слышали про эту историю и теперь практически нельзя отыскать контору, которая предлагала бы настолько неточные коэффициенты на попадание в лунку с одного удара. Мораль истории в том, что если вторая сторона оценивает риски, полагаясь на интуицию, а не статистику, то часто из её ошибки возможно извлечь выгоду.

Качественная и некачественная информация В любых азартных играх или инвестициях теоретически возможно повысить свои шансы, используя данные или аналитику, к которым у других людей нет доступа. Рекомендовать это я, конечно, не могу, но всё же один из способов получить преимущество — раздобыть инсайдерскую информацию. Внутрисекретная торговля запрещена во многих сферах, и этому есть объяснение. Когда инсайдеру доступны данные, которые в скором времени станут известны кому-то ещё, в краткосрочной перспективе он может получить несправедливое преимущество на рынке. Ведутся споры, действительно ли подобные действия должны быть вне закона: некоторые приводят в пример рынки с асимметричной информацией и утверждают, что чем раньше сведения применят на рынке, тем быстрее адаптируются цены. Однако давайте примем как данность, что подобные активности под запретом, и двинемся дальше. 192

ВЗЛАМЫВАЕМ, ОБМАНЫВАЕМ, ОБЫГРЫВАЕМ СИСТЕМУ

Другой (теперь уже тоже незаконный) способ манипулировать рынком — это т.н. «спуфинг», выставление трейдером крупной заявки на покупку некого финансового инструмента типа фьючерсов, с намерением в последний момент отменить сделку. В результате может произойти резкий краткосрочный скачок цен, из чего тоже возможно извлечь выгоду. В 2015 г. Департамент юстиции США признал Навидера Сингха Сарао (также известного как внутридневной трейдер из Хаунслоу) виновным по нескольким пунктам, в т.ч. в применении схем спуфинга, которые, по их словам, привели к «флэш-крэш» 2010 г.* В тот день миллионы заявок были сперва выставлены, а затем отредактированы или отменены. Другой, более законный способ укрепить свою позицию при инвестировании, — найти улучшенный способ анализа информации. В следующем разделе мы рассмотрим работу квантов и высокочастотных трейдеров, чья деятельность во многом основана на постоянном поиске новых алгоритмов и моделей, способных дать им хотя бы даже самое мимолётное преимущество. В общем, если вы сумеете обнаружить законный метод анализа данных, который даёт более точные результаты, чем тот, что имеется у людей, определяющих коэффициенты, то сможете (в теории) регулярно обыгрывать букмекеров или рынки. Например, профессор математики Стивен Скиена разработал способ прогнозировать результаты спортивных матчей с точностью * Флэш-крэш (англ. Flash Crash) — события 6 мая 2010 г., когда в течение 5 минут промышленный индекс Dow Jones рухнул на 9,3%, а индекс широкого рынка акций S&P 500 просел на 8,7%. Падение капитализации рынка акций оценивалось в 1 трлн $. (Прим. пер.)

193

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

65%, благодаря чему становилось возможно обойти преимущество букмекера. К сожалению, его наиболее успешная система, известная как «Мавен», была разработана для крайне нераспространённого вида спорта хай-алай (вариации игры пелота, где мяч при помощи специального приспособления, надеваемого на руку, запускают таким образом, чтобы он отскочил от стены) и уже не представляет особой ценности, поскольку давно всем хорошо известна. Дело в том, что ставки на хай-алай делаются на тотализаторе: ставки на один исход объединяют, из них удерживают комиссию букмекера, после чего выигрыш делят. Так что применение хорошо известной системы только снизит потенциальную прибыль. Книга Скиены «Рассчитанные ставки» представляет собой невероятно интересный и остроумный взгляд на процесс создания реально эффективной системы ставок и то, какие для этого используются алгоритмы. (Профессор также является экспертом по разработке алгоритмов в целом.) Один из описанных им подходов основан на методах МонтеКарло, при которых данные о множестве образцов применяются для моделирования характеристик системы, которая, в свою очередь, может оказаться доступна для детерминистического анализа (рассматривающего события как независимые, а не последовательные). Приведу известный пример: можно довольно точно рассчитать значение ϖ, вписав в квадрат окружность (так, чтобы она касалась сторон квадрата). Если положить получившийся чертёж на пол, высыпать на него сверху случайным образом массу чего-то мелкого и затем посчитать отношение числа предметов, лежащих в пределах окружности, к числу предметов в квадрате в целом, то получится значение, близкое к ϖ/4. Тот 194

ВЗЛАМЫВАЕМ, ОБМАНЫВАЕМ, ОБЫГРЫВАЕМ СИСТЕМУ

факт, что расчёты необязательно производить традиционными методами, — одна из сильных сторон методов Монте-Карло. Скиена начал работать над разработкой систем ставок ещё в юности, и, по его словам, именно это увлечение вкупе с заинтересованностью в бейсбольной статистике вдохновило его стать математиком. Однако систему «Мавен» профессор создал совместно со своими магистрантами, а все заработанные деньги передал университету. Скиена заметил, что в мире азартных игр существует сфера, где он видит большой потенциал для применения хороших систем ставок, а именно использование ботов (компьютерных программ) для онлайнпокера. Сейчас они уже появились, и можно найти свидетельства того, что качественно запрограммированный бот способен обыграть многих людей. Частично это объясняется тем, что программа стабильно принимает верные решения и не подвержена эмоциям. Однако она, как и человек, склонна к влиянию дисперсии, а значит, не является надёжным инструментом заработка. Как и Скиена, социолог Нейт Сильвер связывает своё экспертное знание математики с увлечением спортом. Именно с анализа вероятностей в бейсболе берут своё начало его блестящие прогнозы политических событий. Работая в начале 1990-х консультантом по экономическим вопросам, Сильвер разработал Тестовый алгоритм эмпирического сравнения игроков и оптимизации (англ. Player Empirical Comparison and Optimization Test Algorithm, PECOTA) — статистическую систему прогнозирования будущих результатов хиттеров и питчеров. Его подход к этой задаче — образец того, как следует создавать свой собственный метод обработки информации, вместо того чтобы полагаться на существующую аналитику. 195

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Например, одной из инновационных функций PECOTA, отличающей её от других систем прогнозирования, стало автоматическое определение игрока в группу других «сравнимых» бейсболистов с учётом их показателей за предыдущие периоды. Кроме того, Сильвер заполнял базу информацией из уникальных источников, в т.ч. данными по скорости, с которой питчер запускает мяч, снимаемыми с ручных мобильных радаров. Аналитик особенно подчёркивает важность представления результатов в виде диапазона вероятностей, а не просто значения, выраженного одним числом. Например, при переходе к политическому прогнозированию Сильвер избегал использовать формулировки вроде «Обама имеет в Северной Каролине преимущество в 8%». Более оптимален вариант: «Обама одержит победу в Северной Каролине с вероятностью 62%». В XVIII в. министр Томас Байес представил байесовский анализ как метод регулярной актуализации значения вероятности того, что некая гипотеза верна, за счёт накопления новых данных. В одном важном аспекте Сильвер вторит ему — когда подчёркивает, что в отдельности каждый имеющийся у него статистический инструмент неточен, а значит, следует постоянно сравнивать фактические результаты с моделью и калибровать её, пока та постепенно не станет полностью совпадать с реальностью. В своей книге «Сигнал и шум» социолог помимо прочего обсуждает применение различных моделей для спорта, политики, метеорологии и финансов. В 2000-х он переключился на политическое прогнозирование и сперва очень преуспел. Например, его предположения на тему результатов президентских выборов в США в 2008 и 2012 гг. были наиболее близки к реальным. 196

ВЗЛАМЫВАЕМ, ОБМАНЫВАЕМ, ОБЫГРЫВАЕМ СИСТЕМУ

Но при всех его сильных сторонах, итоги кампании 2016 г. Сильвер спрогнозировал неверно. Будем справедливы: его вывод, что Трамп победит на выборах с вероятностью 30%, можно оправдать как не самый далёкий от правды среди прочих экспертных мнений. Однако он подарил некоторым людям ложное ощущение, что победа Клинтон неизбежна. Причём Сильвер был такой не один: за последние годы мы могли наблюдать несколько выборов, где результаты опросов населения оказались неточны. Почему же социологи так сильно ошибаются, и возможно ли из этого вынести для себя какой-либо урок?

Когда опросы неверны Опросы общественного мнения — дело совсем непростое. Их цель — провести научное исследование взглядов определённой группы людей. Для того, чтобы результаты могли считаться обоснованными, необходимо опросить достаточно большую часть выбранной категории населения ведь в социологии, как и при любом другом анализе наборов данных, маленькая выборка с большей вероятностью подвержена перекосам, что может повлечь за собой некорректные выводы. Первое, на что нужно взглянуть, чтобы понять, приемлемы ли результаты, — число проанализированных ответов. Если их меньше нескольких сотен, выводы наверняка неточны. Но большой выборки недостаточно, чтобы избежать ошибки: перед выборами президента США в 1936 г. журнал «Литерари Дайджест» разослал 10 млн почтовых открыток и на основании 2,3 млн ответов заключил, что Альфред Лэндон обгонит Франклина Рузвельта с ре197

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

зультатом 57% к 43%. Критично, что они не попытались проверить выборку на смещение. Современные методы проведения опросов общественного мнения берут своё начало именно от этой ошибки: в ходе тех же выборов молодой социолог Джордж Гэллап провёл опрос всего 50 000 человек, но использовал данные о респондентах, чтобы присвоить их ответам вес. В результате юноше удалось верно спрогнозировать, что Рузвельт одержит победу с большим отрывом. Проблема заключается в том, как именно обеспечить репрезентативность выборки. Компании по изучению общественного мнения применяют множество различных методов, чтобы этого добиться, например, проводят случайный отбор респондентов из числа большой части населения, чтобы минимизировать шанс смещения (чего не сделал «Литерари Дайджест», полностью положившийся на единственную демографическую группу — своих читателей). Или же можно составить пропорциональную выборку, в которой стараются обеспечить, например, баланс представителей разных полов и возрастов. Наконец, компании по изучению общественного мнения могут откорректировать полученные результаты с использованием поправочных коэффициентов. Так, например, по-настоящему репрезентативную выборку составить сложно — часто она всё равно будет немного смещена. И если перед выборами на уровне штата в Америке проводят опрос 50% зарегистрированных демократов и 50% — республиканцев, а реальное их соотношение в данном штате 52% к 48%, компания может принять решение присвоить мнению демократов вес 104%, а республиканцев — 96%, чтобы уравновесить разницу в числе. 198

ВЗЛАМЫВАЕМ, ОБМАНЫВАЕМ, ОБЫГРЫВАЕМ СИСТЕМУ

Другая сложность: даже при репрезентативной выборке результат будет иметь погрешность. Можете рассчитать стандартное отклонение, чтобы увидеть, что погрешность при опросе тысячи человек составит около 3% в обе стороны. А значит, если мнение группы по определённой проблеме разделилось 50/50, реальный результат может быть 53/47 в пользу любой из сторон, с 6-процентным разрывом между верхним и нижним пределом. Часто результаты того или иного опроса ошибочно объявляют «неверными», хотя в действительности они находились в допустимых пределах погрешности. (Это одна из причин, почему Нейт Сильвер выступает за то, чтобы выводы были представлены в виде диапазона вероятных результатов в процентах, а не конкретных цифр, предсказывающих итоги выборов.) Наконец, следует помнить, что есть много других технических тонкостей: например, как именно сформулированы вопросы, в каком порядке они расположены и т.д. Всё это может повлиять на ответы. Компании стараются нивелировать такого рода погрешность, постоянно применяя один и тот же формат опросника и затем калибруя поправочные коэффициенты в соответствии с реальными результатами. В качестве примера можно привести значительное расхождение между числом молодых людей, говорящих, что пойдут голосовать, и фактической явкой. Так что в будущем компания по оценке общественного мнения присвоит ответам данной возрастной группы соответствующий меньший вес, рассчитав его на основании реальных данных о последних выборах. Почему же тогда всё равно случаются ошибки? Недавний референдум о Брексит, победа Трампа на пре199

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

зидентских выборах США в 2016 г. и парламентские выборы в Великобритании в 2017 г. — заметные примеры неудачных прогнозов, даже с учётом допустимой погрешности. Агентство Survation единственное предвидело решение Великобритании выйти из ЕС, а вывод Нейта Сильвера о 30-процентном шансе Трампа на президентский пост оказался намного ближе к правде, чем у других компаний, которые были уверены в победе Клинтон. Причин тому много, и все они непростые. При рассмотрении этих выборов главное помнить, насколько большое влияние на результаты оказали масштабные сдвиги в характере распределения голосов. Победа Трампа и решение о выходе из ЕС объясняются удивительно высокой явкой демографической группы, ранее предпочитавшей не голосовать. Кроме того, наблюдался значительный сдвиг в распределении голосов целых категорий населения, например, жителей промышленных штатов т.н. Ржавого пояса, ответы которых компании, проводящие опросы, на основании предыдущего опыта учитывали с понижающим коэффициентом. Нейт Сильвер заявил, что ошибочные прогнозы в ходе данных выборов объясняются не методами анализа данных, а конвенциональными приёмами проведения опросов, в т.ч. учётом профессионального чутья и опыта для исключения очевидных «аутсайдеров». В соответствии с его теорией, компании, проводившие оценку мнения, увидели собранные данные и просто им не поверили, после чего подогнали выводы под свои элитистские взгляды, хотя на упомянутых выборах поддержку масс получали именно антиноменклатурные кандидаты. Действительно, результаты опросов имеют склонность сбиваться в кластеры перед выборами, поскольку компании не хотят оказаться оторванными от 200

ВЗЛАМЫВАЕМ, ОБМАНЫВАЕМ, ОБЫГРЫВАЕМ СИСТЕМУ

общего мнения и сделать неверный прогноз. Проиллюстрировать это явление можно финальным опросом агентства Survation накануне парламентских выборов в Великобритании в 2015 г. Тогда они спрогнозировали абсолютное большинство консервативной партии, хотя большинство компаний считали, что парламент будет подвешенным. Дэмиан Лионс Лоу, основатель и исполнительный директор Survation, признал, что тогда они струсили опубликовать результаты, решив, что это аномальный результат, раз он так не похож на усреднённые итоги прочих опросов. (Агентство вынесло из этого опыта урок и в 2016 г. прислушалось к данным, верно спрогнозировав итоги референдума по Брексит.) Так что у ошибок в результатах опросов могут быть и причины нематематического характера. Однако попытка Нейта Сильвера отразить критику, обрушившуюся на аналитиков, представляется неискренней и даже в чём-то бессмысленной. Правда состоит в том, что в период столь стремительных перемен в политике методы корректировки данных, применяемые компаниями по изучению общественного мнения, не могут быть идеальны. Если, например, уровень явки среди определённых групп населения быстро меняется в ходе двух голосований, поправочные коэффициенты будут скорее ошибочными. Не существует совершенного математического подхода к решению этой проблемы, поскольку социологам постоянно приходится «готовиться к прошлой войне». Из этого вовсе не следует, что опросы не имеют смысла. Они могут помочь нам понять реальное отношение людей к некой проблеме. Однако, когда дело доходит до анализа результатов политических опросов или маркетинговых исследований, как минимум следу201

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

ет помнить, что любой исход, находящийся в пределах погрешности, должен рассматриваться как потенциально возможный. А если исследование проводится в условиях стремительно сменяющихся взглядов на политику или рассматриваемый продукт, итоги будут наименее точны. Игрокам полезно знать, что букмекерские коэффициенты на положительное решение по Брексит и победу Трампа были весьма щедры. Сообщалось, что неизвестный выиграл 620 000 $ при ставке 250 000 $ на победу Трампа, а одна жительница Лондона, никогда прежде не делавшая ставок, по итогам референдума о выходе из ЕС превратила 10 000 £ в 27 500 £ при коэффициенте 11/4. Но подобные события влияют не только на игроков. Так, известно, что Карлос Слим, пятый богатейший человек мира, потерял около 5 млрд $ вследствие победы Трампа из-за стремительного обрушения курса мексиканского песо. Помимо тех уроков, которые игроки и инвесторы могут вынести из понимания ненадёжности опросов общественного мнения, следует ещё помнить, что в период стремительных изменений на рынках или в поведении электората не всегда возможно установить, что люди думают «на самом деле». Вместо этого порой надо просто не побояться рискнуть. Ведь потом можно будет воспользоваться методом Нейта Сильвера и откорректировать свой подход. Начать новый бизнес или запустить продуктовую линейку совсем непросто, и сколько бы вы ни проводили маркетинговых исследований и ни планировали всё заранее, ничто не способно уберечь вас от периодических ошибок. Главное, не сдавайтесь и продолжайте дорабатывать свой подход на основании получаемой обратной связи, пока не выведете формулу успеха. 202

ВЗЛАМЫВАЕМ, ОБМАНЫВАЕМ, ОБЫГРЫВАЕМ СИСТЕМУ

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ГЛАВЫ 5: 1. Нередко взломать систему можно, если подметить математическую аномалию или распознать закономерность, которую другие не видят. 2. В этой главе приведены истории людей, сумевших обыграть лотереи, телешоу, казино и букмекеров. Все эти примеры отлично известны современным практикам , но всё равно могут вдохновить вас на поиск лазеек и уникальных возможностей. 3. Большинство способов взломать систему намного легче придумать, чем реализовать. 4. Опасайтесь мошенников, чьи предложения и обещания кажутся слишком хорошими, чтобы быть правдой. 5. Любой метод анализа или система имеет изъян, но вы можете постепенно доработать свой подход на основании новых результатов, чтобы принимать более обдуманные решения.

ГЛАВА 6

Разрабатываем новый Google

: Величайший риск — не рисковать вовсе. […] В стремительно меняющемся мире единственная гарантированно провальная стратегия — это не рисковать. Марк Цукерберг

Алгоритмы и решения сложных математических задач не только лежат в основе самых успешных технологических стартапов последних лет, но и захватили финансовый сектор. В этой главе мы получим базовое представление о том, как математическое моделирование трансформировало мир финансов и бизнеса. Некоторые упоминаемые здесь формулы и концепции будут продвинутого уровня, но я постараюсь не погрязнуть в детальных объяснениях самых сложных задач, а просто дам краткий обзор применяемых методов. Хотя, с другой стороны, фундаментом деятельности настоящих титанов индустрии порой становятся поразительно простые математические инструменты. 204

РАЗРАБАТЫВАЕМ НОВЫЙ GOOGLE

Google и матрица Сергей Брин и Ларри Пейдж, основатели IT-гиганта Google, познакомились в 1995 г.: Пейдж пришёл в Стэнфорд на день открытых дверей, а бывший там магистрантом Брин показывал ему университетский кампус. Сперва они не очень поладили, но как только Пейдж начал учиться в Стэнфорде, юноши приступили к совместной работе над проектом под названием BackRub. Его целью было попытаться задокументировать структуру всемирной сети и организовать систему навигации по ней. Позже проект переименовали в PageRank. Впоследствии данная технология станет настоящим прорывом в области интернет-поиска — она и по сей день остаётся ключевым элементом функционирования Google. Самые ранние поисковики ранжировали страницы в зависимости от того, как часто на них встречались упоминания конкретного термина из поискового запроса. Из этого следовало, что, например, полная повторений страница с перечислением сортов роз из-за числа слов легко могла оказаться выше крайне информативного и полезного сайта с текстами авторства мирового эксперта по цветам. Попытки решить данную проблему, предложенные предшественниками, например, AltaVista*, не принесли хороших результатов. Фундаментальная идея, от которой Брин и Пейдж отталкивались при разработке PageRank, заключалась в том, что страницы можно ранжировать не только на основа* AltaVista – поисковая система, появившаяся в 1995 г. и прекратившая работу в 2013 г. На момент запуска поддерживалась самым мощным доступным на тот момент вычислительным сервером и могла обрабатывать миллионы поисковых запросов в день. (Прим. пер.)

205

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

нии их релевантности запросу, но и по тому, как много других страниц на них ссылается. На эту проблему можно взглянуть через призму «случайного блуждания», предположив, что интернетпользователь просто переходит по абсолютно случайным ссылкам. Тогда вероятность того, что юзер окажется на конкретной странице, — один из способов оценить её важность. Но как подступиться к подобному расчёту, если в сети более 25 млрд страниц? Основой решения Брина и Пейджа удивительным образом стала элементарная математическая концепция. Давайте представим Интернет как крайне простую сеть, изображённую в виде ориентированного графа, где вершинами выступают страницы, а рёбрами — ссылки (см. рисунок 26).

1

2

4

3

Рисунок 26. Простая сеть с пронумерованными вершинами — веб-страницами

Затем, если мы предположим, что каждый переход пользователя по ссылке случаен, то вероятности для каждой из страниц стать целью такого перехода равны. Теперь мы можем построить матрицу (прямоугольную таблицу, заполненную цифрами, для которой определены такие функции, как сложение или умножение) веро206

РАЗРАБАТЫВАЕМ НОВЫЙ GOOGLE

ятностей переходов между страницами. От вершины №1 мы можем перейти только к вершине №2, так что припишем данному действию вероятность 100% (=1) и внесём её в первую строку, второй столбец. От вершины №3 1 с вероятностью 50% (= ) можно перейти к вершине № 2 1 1 или №4, поэтому запишем в третьей строке, первом 2 и четвёртом столбце. Таким образом, данной сети соответствует следующая матрица: 0 1 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0

0 0 1 2

0

Небольшая проблема заключается в том, что от вершины №4 по ссылке никуда перейти невозможно. По этой причине её также называют висячей. Учесть данный факт мы можем, допустив, что от вершины №4 пользователь просто перейдёт на случайную страницу (поэтому укажем для каждой вершины в четвёртой строке 1 вероятность ). 4

0 1 0 0 0 1 1 2 0 0

0 0 1 2

1 1 1 1 4 4 4 4

Другой вариант — предположить, что в любой момент времени с шансом от 1% до 15% пользователь не пойдёт по имеющейся ссылке, а выберет страницу случайным образом. Чтобы решить данную проблему, в оригинальной работе Брин и Пейдж ввели коэффициент затухания со значением 0,85 (1 – 0,85 = 0,15 — ве207

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

роятность того, что пользователь перейдёт на случайную страницу не по ссылке). Такой способ обработки данных позволил им в теории ранжировать каждый результат, выводимый поисковиком. Современная версия PageRank присваивает страницам довольно простой ранг от 1 до 10, по-видимому, с использованием логарифмической шкалы, где (например) значениям 1–10 соответствует 10, 11–100 — 9, 101–1000 — 8 и т.д. Оставалось только отыскать способ произвести данный расчёт для матрицы из 25 млрд страниц. Имелась и ещё одна проблема: определить ранг любой страницы возможно, лишь предварительно установив ранги всех страниц, на которые она ссылается. На ранних этапах курса университетской математики часто вводится тема определения собственных значений и собственных векторов матрицы, и именно этим принципом и воспользовались Брин и Пейдж. Конечно, это непростое вычисление, но и не суперсложное. Произвести расчёт можно с применением степенно2го метода. Если не погружаться в детали, то по сути следует начать с назначения каждой странице адекватной приблизительной оценки вероятности, а затем запустить итерационный процесс, благодаря чему результаты будут всё ближе подходить к реальным показателям. Как только мы получим максимально точный расчёт вероятности, функция начнёт каждую итерацию выдавать более или менее одинаковый результат. На практике именно этим поначалу и занимался PageRank. Через некоторое время после его запуска каждый новый цикл вычислений можно было начинать на основании результатов предыдущего. Таким образом, только совсем новым страницам приписывается 208

РАЗРАБАТЫВАЕМ НОВЫЙ GOOGLE

приблизительное значение вероятности, а точность ранее рассчитанных показателей позволяет быстро и непрерывно выверять результаты. Конкретные применяемые в Google алгоритмы, а также доработки, призванные не допустить ошибок и махинаций с результатами, конечно, не так просты (и преимущественно засекречены). В целом за последние двадцать лет для поддержки деятельности корпорации применялась в высшей степени продвинутая математика. Но сердцем поисковика остаётся PageRank, вдохновлённый материалом, преподаваемым на первом курсе университета. И, кто знает, может, идеи для создания «нового Google» можно почерпнуть из другой, столь же незатейливой математической концепции.

Математика «Фейсбука» Алгоритмы — совокупность правил или операций для решения задач или осуществления вычислений. Они играют огромную роль в повседневной жизни, особенно в том, что касается наших взаимодействий со всемирной сетью. Любой онлайн-бизнес, вне зависимости от размера, полагается на алгоритмы для выдачи потребителям таргетированной рекламы или контента. Вся информация, записи пользователей и объявления, которые выводятся у вас в ленте «Фейсбука» или «Твиттера», формируются алгоритмами. Они используют наборы данных на основании конкретной информации, полученной на входе, для генерации автоматизированных решений на выходе. В некоторых ситуациях это может выглядеть весьма зловеще. В ходе скандала вокруг Cambridge Analytica мы увидели, как, по неподтверждённой информации, в США 209

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

данные 50 млн пользователей «Фейсбука» без разрешения использовались для демонстрации избирателям таргетированной ленты политических новостей, сгенерированной на основании информации из их профилей. Кэти О’Нил, автор великолепной книги «Как математика превратилась в оружие массового поражения», описала множество других способов, которыми секретные алгоритмы могут влиять на государственную политику, ваши финансы и то, как с вами взаимодействуют власти. Например, выбор меры наказания преступника в разных странах порой может зависеть от того, насколько у обвиняемого высокий риск рецидива. В случае высокого риска человека с большей вероятностью приговорят к наказанию в виде лишения свободы. Однако алгоритм оценки далеко не совершенен, и заметить изъян может быть сложно: дело в том, что у преступника, отбывавшего срок в тюрьме, возникнут сложности с поиском работы после выхода, а значит, возрастёт риск вернуться к криминальной деятельности вне зависимости от того, каким изначально был их оценочный показатель риска. В данной ситуации алгоритм оказывает влияние на то, что он призван измерять, и в результате возникает некорректная обратная связь. Сходная ситуация: человек с расстройством аутистического спектра при найме получает низкую оценку уровня эмоционального интеллекта и из-за корпоративных алгоритмов не устраивается на работу, где мог бы хорошо себя показать. Дополнительный период времени без регулярного дохода скажется на его оценке кредитоспособности, а это, в свою очередь, повлияет на то, как алгоритмы страховой компании рассчитают стоимость его автомобильной страховки и т.д. Но, нравится вам это или нет, алгоритмы никуда не денутся, так что нам важно понять, как они работают с точки 210

РАЗРАБАТЫВАЕМ НОВЫЙ GOOGLE

зрения математики. Конечно, компании держат свои инструменты в тайне и часто изменяют в процессе доработки. Но в общем виде описать алгоритм, скажем, «Фейсбука» возможно: каждое ваше взаимодействие с сайтом подгружается в алгоритм: каждый щелчок мыши, каждый «лайк», каждое просмотренное видео, каждая закрытая реклама, каждая группа, на которую вы подписаны, и т.д. Делается это, чтобы рассортировать огромный объём информации в порядке «релевантности». Новостная лента выводит пользователям наиболее релевантную информацию, но продолжает отслеживать реакцию, чтобы проверить корректность своих выводов. Время от времени «Фейсбук» подправляет алгоритм и начинает показывать, например, больше постов людей, которых вы недавно «лайкали», и исключать записи пользователей и организаций, которых не «лайкали». Таким образом, наша реакция создаёт автоматический фильтр. Конечно, из этого проистекает давно подтверждённая опасность: алгоритмы могут формировать «пузыри», в которых люди видят только ту информацию, которая им нравится. В США между консерваторами и либералами и без того пролегает огромная пропасть, и остаётся только гадать, не усугубляет ли алгоритмизированная лента новостей эту проблему, поставляя пользователям по обе стороны баррикад только те сведения, которые подтверждают их заблуждения. Иногда получается напрямую установить, по какой причине вам демонстрировалась та или иная запись. В «Фейсбуке» теоретически можно нажать кнопку «Почему я это вижу?» и узнать, какая информация из вашего профиля учитывалась при таргетировании конкретного рекламного объявления. И там будет написано, например, что причина в том, что вы мужчина, немного старше сорока и живёте 211

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

рядом с Лондоном (хотя это может лишь частично соответствовать реальному процессу работы алгоритма). Если система к вам немилосердна (скажем, предлагает взять кредит), иногда получается вынудить компанию раскрыть их причины для подобного решения. А порой алгоритм даже ведёт себя таким образом, который в иных обстоятельствах можно было бы считать дискриминирующим, так что полезно сообщать компаниям, если ощущаете, что к вам несправедливы. Однако получить связный ответ будет непросто, т.к. многие алгоритмы (и искусственные интеллекты) настолько непрозрачны, что даже программисты не понимают все нюансы их функционирования. До определённой степени знание механизма работы алгоритмов влияет на то, как они с вами обращаются, особенно если применять эту информацию при взаимодействии с определённым сайтом. Допустим, вы консерватор или либерал и считаете, что «пузырь фильтров» мешает вам быть в курсе более широкого спектра мнений. Тогда полезно подписаться на новостные источники, которые вы обычно игнорируете, и покликать на их записи. Некоторых данный подход не устроит, ведь неугодная информация их только разозлит. Но нам следует быть осторожными, иначе алгоритмы будущего с нашего согласия запрут всех в пузырях. Как минимум, постарайтесь осознать, насколько вездесуща и всепроникающа эта система, и время от времени ей противостоять.

Шифрование и банковская система «Фейсбуку» и всем прочим онлайн-корпорациям требуется обеспечивать высочайший уровень безопасности при обработке информации. Искусство криптографии 212

РАЗРАБАТЫВАЕМ НОВЫЙ GOOGLE

и криптоанализа (шифрования и дешифрования) всегда привлекало людей с математическим складом ума. Ранние образцы, вроде шифра Цезаря, полагались на простые математические функции: заменяли каждую букву другой, находящейся от неё за определённое число позиций в алфавите. Взламывать подобные незамысловатые коды научились ещё в Средние века: иракский философ Аль-Кинди по сути дал толчок всей науке дешифровки, когда изобрёл частотный анализ, в основе которого лежало вычисление относительной частоты, с которой каждая из букв алфавита встречалась в самых распространённых словах. Воспользовавшись этой системой, довольно просто определить, какому символу открытого текста соответствует какой символ шифротекста. Когда криптографы перешли к полиалфавитным шифрам, типа шифра Белласо, и омофоническим системам, вроде шифра Мантуа, потребовались более продвинутые методы анализа, но фундаментом опять служила математика. В будущем ничего не изменилось: лишь Алану Тьюрингу и блестящим математикам и академикам Блетчли-парка удалось взломать немецкий шифратор Enigma. В процессе они сделали огромный шаг в направлении создания современных компьютеров, что породило целый спектр принципиально новых трудностей для всех, кому требовалось шифровать сообщения, — от банковской системы до разработчиков безопасных сайтов. С конца 1970-х лучшим решением этой проблемы остаются криптосистемы с открытым ключом, где один ключ (обычно серия цифр), доступный всем участникам, комбинируется с личным закрытым ключом, который позволяет нужному адресату расшифровать сообщение. Например, взглянем на криптографический алгоритм 213

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

RSA (от фамилий Ривест — Шамир — Адельман), первый получивший широкое распространение пример системы с открытым ключом, который применяется в банках и для осуществления безопасной онлайн-торговли. Он основан на сложном вычислении простых множителей огромных чисел, а именно т.н. больших полупростых, у которых всего два очень больших простых делителя. Это асимметричный криптографический алгоритм, что предполагает наличие двух разных ключей: одного в общем доступе и одного персонального. Открытый ключ — полупростое число, а закрытый — один из его простых множителей. Рассчитать произведение двух больших простых несложно, а быстро факторизовать большое полупростое намного, намного более трудоёмко. Например, устанавливая множители 111, сразу можно сказать, что оно кратно 3 (поскольку образующие его цифры в сумме также дают кратное 3), и при помощи деления легко понять, что второй делитель — 37. Однако для 2 183 беглая проверка на делимость на 3, 5, 7, 11, … покажет, что они множителями не являются, и только добравшись до 37 вы поймёте, что это число — произведение 37 и 59. И чем выше делители, тем сложнее процесс. Опасность состоит в том, что в будущем может быть открыт менее трудоёмкий способ решения данной задачи, и криптосистемы с открытым ключом станет легче взламывать. А значит, одной из сфер, где специалисты, имеющие хорошее представление о проблематике метода решета (методики оценки размера просеянных наборов чисел), смогут зарабатывать приличные деньги, станет изобретение новых путей факторизации больших полупростых. Но предупреждаю, это крайне сложная отрасль, в которой уже трудится множество продвинутых математиков. 214

РАЗРАБАТЫВАЕМ НОВЫЙ GOOGLE

Шифрование с применением открытого ключа почти наверняка станет невостребованным, и тому есть причины математического характера. Алгоритмы типа квадратичного решета и общего метода решета числового поля ускоряют процесс факторизации и уже хорошо изучены. Для решения данной проблемы можно продолжать увеличивать числа, используемые в качестве ключей. Однако с увеличением чисел эффективность алгоритмов повышается, а разрыв в скорости обработки процессором умножения двух больших чисел и факторизации одного очень большого полупростого сокращается. Это постепенно делает криптосистемы с открытыми ключами менее действенными. Если вы хорошо владеете математическими инструментами и хотите предвосхитить новую волну криптографии, скорее всего вам следует обратиться к изучению эллиптической криптографии, которая в настоящий момент находится на ранних стадиях развития, но уже применяется, например, в американских госструктурах, проекте Tor* и биткоине. Математика, лежащая в основе метода, весьма сложна, поэтому рассмотрим его коротко. Эллиптическая кривая удовлетворяет конкретному уравнению: y2 = x3 + ax + b Её график имеет форму, представленную на рисунке 27. * Tor — свободное и открытое программное обеспечение, система прокси-серверов, позволяющая устанавливать анонимное сетевое соединение, защищённое от прослушивания. (Прим. пер.)

215

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

В

С

А

D

Рисунок 27. Эллиптическая кривая

Данная кривая имеет ряд специфических свойств, которые могут применяться криптографами. Во-первых, она симметрична относительно горизонтальной оси. Во-вторых, любая невертикальная прямая будет касаться графика максимум в трёх местах. Представим процесс, где от вас требуется отметить на кривой две любые точки (А и В на рисунке) и провести через них прямую, чтобы та пересекла график ещё в одном месте (С). Затем прочертите вертикальную прямую либо вверх (если вы ниже оси х), либо вниз (если выше) до другой половины кривой (D). Таким образом, любые две точки на графике можно определить через третью и четвёртую. Для криптографов существенно, что если повторить этот процесс несколько раз, то становится крайне сложно 216

РАЗРАБАТЫВАЕМ НОВЫЙ GOOGLE

рассчитать отправную точку по одной только конечной. И, что также критично, решение данной задачи всегда будет более трудоёмким, чем расчёт пути от начала до конца. В результате достаточно короткий ключ может обеспечить высокий уровень безопасности. Это принципиально важно, поскольку сейчас наблюдается стремительный рост популярности миниатюрных устройств, которые не будут справляться с расчётами постоянно увеличивающихся в длине открытых ключей по причине недостатка вычислительной способности даже для умножения. Отношение к эллиптической криптографии неоднозначное: т.н. Dual_EC_DRBG (Dual Elliptic Curve Deterministic Random Bit Generator ) — генератор случайных чисел, продвигаемый американскими госструктурами, в т.ч. агентством национальной безопасности США (АНБ) в качестве стандартного. Однако активно обсуждается вопрос, что у алгоритма может быть бэкдор*, посредством которого АНБ получает доступ к зашифрованной информации. Из этого не следует, что метод неисправимо несовершенен, но предполагается, что каждому девайсу обязательно необходим свой собственный мощный генератор случайных чисел (поскольку у генератора псевдослучайных чисел от АНБ теоретически имеется бэкдор). Над решением данной проблемы активно трудятся математики, стремясь отыскать новые, более безопасные кривые и разработать методы, не полагающиеся на сегодняшние стандарты. * Бэкдор, тайный вход — дефект алгоритма, который намеренно встраивается в него разработчиком и позволяет получить несанкционированный доступ к данным или удалённому управлению операционной системой и компьютером в целом. (Прим. пер.)

217

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Задача византийских генералов и биткоин В XXI в. разнообразные электронные валюты становятся неотъемлемой частью мировой экономики. Встречаются как виртуальные деньги, имеющие хождение только внутри конкретных интернет-сообществ, типа пользователей какой-либо игры или социальной сети, так и полноценные криптовалюты, в основе которых лежат механизмы шифрования, призванные обезопасить транзакции. Хотя сейчас у него прибавилось конкурентов, в 2009 г. биткоин стал первой надёжной децентрализованной криптовалютой. Его создателям удалось достичь подобных результатов отчасти благодаря применению эллиптической криптографии, а также за счёт рассмотрения крайне трудной математической головоломки — задачи византийских генералов. Условия следующие: у генерала несколько командиров. Чтобы успешно захватить взятый в осаду замок, генерал должен через гонцов отдать войскам приказ идти в атаку или отступать. Однако среди командиров и гонцов есть предатели, которые собираются отдать неверный приказ. В таком случае войска генерала скорее всего будут разбиты. Для решения данной проблемы можно потребовать от каждого командира передать сообщения другим с условием, что никто не начнёт действовать, пока каждый не получит от всех остальных одинаковые приказы. В результате предатели не смогут исказить информацию или раскроют себя (см. рисунок 28). Биткоину пришлось решать похожую задачу. Чтобы самоуправляемая распределённая сеть могла эффективно функционировать, а пользователи доверяли валюте, сделки в которой осуществляются без участия 218

РАЗРАБАТЫВАЕМ НОВЫЙ GOOGLE

ÄÄ Ä Ä Ä Ä G Ä Ä Ä Ä Ä ÄÄ ÄÄ Скоординированная атака, ведущая к победе

Предатель

Предатель

ÄÄ Ä Ä Ä Предатель Ä Предатель G Ä Ä Ä Ä Ä ÄÄ ÄПредатель Предатель Ä Раскоординированная атака, ведущая к поражению

Рисунок 28. Генерал (в виде короны) хочет, чтобы все его войска атаковали замок одновременно. Если предатели исказят приказ, наступление будет разбито.

третьей стороны, требовалось обеспечить единство мнений о том, какие отдаются «приказы» (что в данной ситуации соответствует записям об осуществлении транзакции или владении биткоином). Решение этой проблемы стало ядром блокчейна биткоина, т.е. цепочки записей о всех транзакциях, проследить которую можно до самого появления валюты. По сути это база, в которой хранится информация о подтверждении действительности размноженных, распределённых и синхронизированных данных, хранящихся на нескольких сайтах. Когда вы совершаете оплату биткоином, сведения о планируемой транзакции передаются каждому узлу сети, состоящей из пользователей валюты и конкретно майнеров биткоинов. Так называют людей, которые позволяют использовать вычислительные способности 219

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

своих устройств для осуществления сложных математических расчётов (в качестве вознаграждения за данную услугу им выплачивают свежеэмитированные биткоины). Каждый узел сети рассматривает сделку и проверяет её на достоверность — другими словами, убеждается, что у вас есть право её совершить. Затем ваша транзакция становится в очередь из других верифицированных сделок, которые, в свою очередь, формируют новый потенциальный блок блокчейна. Как только узел сети завершает расчёт, его результат присовокупляется к транзакции в качестве доказательства выполнения работ (англ. proof of work, PoW) и рассылается по сети для верификации. Если решение проходит проверку, в блокчейн добавляется новый блок, содержащий запись о вашей транзакции и доказательство выполнения работ, математически связанные с предыдущими блоками цепи. С каждым новым блоком к цепи добавляется криптографически хешированная информация, причём его содержание основывается на данных предыдущего блока, что обеспечивает невозможность компрометации информации в блокчейне. Дело в том, что доказательство выполнения работ крайне сложно сфальсифицировать: чтобы создать новый блок, способный убедить достаточное число узлов сети верифицировать мошенническую транзакцию, потребуется реконструировать каждое звено цепи до самого начала. Очевидно, что это невероятно сложная задача, поэтому можно считать, что данная процедура действительно обеспечивает достоверную фиксацию законных сделок. (В теории владелец 51% всех существующих биткоинов способен совершать махинации с оставшейся валютой, что создало бы проблемы, когда сеть ещё не успела разрастись. Но по достижении системой определённого размера данная опасность представ220

РАЗРАБАТЫВАЕМ НОВЫЙ GOOGLE

ляется малозначительной: хотя бы потому, что совершенно неясно, как подобное возможно осуществить). У криптовалют есть и другая проблема. В то время как блокчейн выглядит недоступным для хакеров, индивидуальные кошельки уже взламывали. Самая масштабная атака произошла на токийской бирже биткоина Mt Gox. Учитывая, что стоимость валюты частично основывается на уровне доверия к ней, подобные ситуации вызывают серьёзное беспокойство и могут привести к падению курса. Также многие утверждают, что биткоин — финансовая пирамида или схема Понци, где первым участникам в процессе удаётся разбогатеть, а последние просто потеряют все деньги. Помимо этого интересно подумать, как мировые правительства и международные корпорации в будущем станут относиться к криптовалютам и связанной с ними математике. Пока гиганты банкинга медленно разрабатывают свои версии блокчейна, государства выражают обеспокоенность тем, что подобные транзакции не попадают под их юрисдикцию. Представляется возможным, что в факте применения биткоина в противозаконных целях могут усмотреть предлог для объявления войны криптовалютам. Но каким бы ни было его будущее, сложно отрицать гениальность математических концепций, лежащих в основе биткоина и схожих проектов.

Деривативы для начинающих Правило «6 из 10» Питера Линча отталкивается от идеи портфеля акций, где на каждой отдельной инвестиции нельзя потерять больше денег, чем было вложено. Но, конечно, финансовые рынки позволяют заключать и бо221

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

лее сложные сделки, чем просто покупка акций. Вопервых, многие брокерские конторы предлагают услугу маржинальной торговли, то есть авансом выдают деньги на приобретение большего числа ценных бумаг, чем покупатель мог бы оплатить самостоятельно. Также к маржинальной торговле относятся продажи без покрытия: когда вы берёте акции в долг и сразу же продаёте в надежде, что в будущем цена упадёт и получится выкупить их назад дешевле. Подобные операции, естественно, влекут за собой риск потерять деньги, которых у вас нет. Кроме того, они открывают возможности для трейдинга с использованием кредитного плеча, где потенциальные прибыли и потери многократно преумножены. За последние десятилетия наблюдался поразительный рост популярности торговли производными финансовыми инструментами или деривативами, например, фьючерсами и опционами (см. ниже). Разобраться в их устройстве может быть немного сложнее, чем просто во владении акциями. По своей сути, дериватив — финансовый инструмент, стоимость которого зависит от конкретного актива. При этом владение деривативом не предполагает владения самим соответствующим активом. Чтобы понять азы устройства производных финансовых инструментов, представим ситуацию: Сэму, хозяину «Счастливой фермы», необходимо решить несколько проблем. Во-первых, в сентябре его урожай яблок уже должен быть готов к поставке. Но из-за изменчивости цен за последние годы фермер хочет удостовериться, что ему хватит на оплату озимой пшеницы и корм скоту. По итогам переговоров оптовый покупатель заранее соглашается через 6 месяцев купить у Сэма яблоки по 15 £ за ящик вне зависимости от рыночной цены. Именно так и работает фьючерсный контракт: что бы ни про222

РАЗРАБАТЫВАЕМ НОВЫЙ GOOGLE

изошло, фермер сможет оплатить пшеницу. (Это также пример хеджирования в бизнесе: фьючерсный контракт позволил Сэму хеджировать риск волатильности рынка.) Если рыночная цена вырастет до отметки более 15 £, оптовый покупатель получит дополнительную прибыль, а фермер потеряет потенциальный доход. Однако, если рынок перенасыщен и стоимость упадёт до 5 £, то получается, что покупатель понесёт убытки вместо Сэма. Вторая проблема: «Счастливой ферме» нужно больше земли, а по соседству как раз продают поле. Но поскольку хозяйство куплено в ипотеку с плавающей процентной ставкой, банк «Здравый смысл» сомневается, разумно ли выдавать бизнесу ещё больше денег в долг. Но они не против предоставить кредит, если Сэм заменит ставку на фиксированную, что обеспечит постоянный размер выплат. Тогда наш герой отправляется в соседнюю долину к хозяину «Милой фермы», у которого ставка по ипотеке фиксированная. Они подписывают договор о том, что каждый возьмёт на себя кредитные обязательства второго. Теперь Сэм сможет получить дополнительное финансирование, а «Милая ферма» надеется улучшить своё положение за счёт снижения процентной ставки (подписавшись тем самым на риск её повышения ради потенциальной выгоды). Подобная схема лежит в основе кредитного свопа. Так получилось, что Сэм владеет акциями «Милой фермы» стоимостью 50 000 £ и планирует продать их через год. Однако он хочет застраховать себя от падения цены. Так что банк «Здравый смысл» соглашается заключить договор, по которому Сэм заплатит ему определённую цену* за право продать акции через 12 месяцев по их текущей цене вне зависимости от рыночной цены на момент * Также называемую премией по опциону. (Прим. пер.)

223

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

сделки. Если фермер решит не исполнять опцион, банк всё равно останется в плюсе за счёт премии. Но приведу пример риска, который на себя берёт банк: если он назначил за опцион премию размером в 2% (1000 £), а рыночная цена акций упала до 30 000 £, то банк потеряет на этой сделке 19 000 £ (если предположить, что Сэм не настолько глуп, чтобы отказаться продавать бумаги за 50 000 £). В подобной ситуации банку «Здравый смысл» могут резко понадобиться деньги, и он решит переуступить долг Сэма третьей стороне по сниженной цене. Так банк получит необходимые средства, а третья сторона будет пользоваться преимуществами обладания правом требования на задолженность по более высокой реальной процентной ставке. Это принцип работы кредитных производных инструментов. Например, если остаток долга Сэма по кредиту составляет 10 000 £ по ставке 5%, и он был переуступлен ИнтерКом банку за 5000 £, то фактически получать выплаты новый владелец будет по ставке 10%. Это основные типы деривативов, хотя существует ещё множество их разновидностей, в т.ч. возможны длинные и короткие варианты сделок с большинством инструментов. Весьма очевидно, что их объединяет ключевой принцип: обмен рисками и их перераспределение между теми, кому требуется себя обезопасить, и теми, кто готов взять на себя повышенные риски ради большей выгоды. Мировой финансовый кризис, начавшийся в 2007– 2008 гг., попортил репутацию деривативов — в чём-то за дело. Если долг неоднократно перепродавать в разных производных формах, несложно запутаться, что именно является объектом покупки и продажи. Риск же в результате может оказаться распределён таким образом, что ставит под удар всю систему. Скотт Адамс в серии комиксов «Дилберт» метко сравнил перепро224

РАЗРАБАТЫВАЕМ НОВЫЙ GOOGLE

дажу долговых обязательств со вложением всех денег в больных коров по принципу, что инвестировать всего в одну глупо, но стоит собрать их в стадо — и «риск исчезнет». Было бы смешно, но именно это и произошло, когда высокорисковые кредиты поделили, реструктурировали и обозначили высоким рейтингом. Можно разглядеть параллели с системами ставок типа мартингейла, упоминавшимися в главе 3. Тогда мы уяснили, что как ни крути, исходный риск удалить из системы невозможно, и любые уловки, благодаря которым он якобы пропадает, на самом деле просто загоняют риск в тёмный угол, где тот сидит и выжидает наступления одного конкретного исхода, чтобы наконец материализоваться. Именно это и произошло, когда в 2007–2008 гг. в США начал обваливаться рынок субстандартного ипотечного кредитования. Так что будьте осторожны, «деривативы вредят вашему здоровью» — однажды Уоррен Баффетт даже метко обозвал производные финансовые инструменты «оружием массового поражения». Но при этом они действительно могут распределить риски и послужить удачной инвестицией, если вы хорошо осознаёте вероятности и плюсы и минусы сделки.

Деривативы — игра с нулевой суммой? Когда два человека играют в орлянку и победитель платит проигравшему 1 £, то это игра с нулевой суммой. Данный термин происходит из теории игр, где используется для описания ситуации, когда убытки одной стороны становятся прибылью другой. Очевидно, что эта концепция применима 225

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

и, например, к торговле опционами или фьючерсами, если не брать в расчёт комиссии, выплачиваемые третьим лицам. По мнению некоторых, из этого следует, что весь рынок деривативов — игра с нулевой суммой и одним только перераспределённым риском. Большинство отдельных сделок с акциями также можно рассматривать подобным образом, ведь потенциальная прибыль покупателя одновременно является потенциальным убытком продавца и наоборот. Распространять этот подход на всю фондовую биржу или рынок деривативов не совсем верно, ведь богатство создаётся (и иногда и уничтожается) в результате деятельности рынка в целом. И тот факт, что фондовый рынок направляет потоки инвестиций в экономику, а деривативы позволяют распределять риски, теоретически лежит в основе всего процесса создания богатства. В свою очередь, именно этот процесс и служит драйвером долгосрочного роста рынка акций в целом. С другой стороны, мы можем подойти с логикой игр с нулевой суммой к вопросу, возможно ли трейдеру «обыграть рынок». Разумно ожидать, что на любую сделку, которая имеет показатели выше рыночных, придётся другая, уравновешивающая сделка с показателями ниже. Полезно помнить об этом, когда будете оценивать, насколько честны менеджеры фондов, утверждающие, что им удаётся стабильно опережать рынок.

Модель Блэка-Шоулза и финансовый кризис Такая модель была представлена Фишером Блэком и Майроном Шоулзом в статье «Оценка опционов и коммерческих облигаций» в 1973 г. как способ установле226

РАЗРАБАТЫВАЕМ НОВЫЙ GOOGLE

ния цены производных инструментов на финансовом рынке. Именно эта формула вызвала мировой бум торговли опционами последних десятилетий. Уравнение следующее: C = SN(d1) – (d2)Ke–rt 2

in d1 =

(ks) + (r + 2s )t s√t

d2 = d1 – s√t где С — цена колл-опциона* (сумма в долларах сверх номинальной стоимости отзывной облигации, передаваемая владельцу опциона при досрочном погашении эмитентом); S — текущая цена акции; t — время до исполнения опциона; K — страйк-цена опциона; r — безрисковая процентная ставка; N — кумулятивное нормальное распределение; e — экспоненциальный член; s — стандартное отклонение; ln — натуральный логарифм. Выглядит устрашающе, но вместо детальной проработки формулы давайте разберём происходящее в са* Колл-опцион даёт право (но не обязательство) покупателю опциона купить в будущем оговоренное количество ценных бумаг или другого базового актива по установленной в контракте цене (страйк-цена) в течение ограниченного срока или отказаться от такой покупки (не исполнять опцион). Опцион на продажу называется пут-опционом. (Прим. пер.)

227

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

мых общих чертах. В 1900 г. французский математик Луи Башелье высказал предположение, что зигзагообразное изменение цен акций можно смоделировать как броуновское движение или случайное блуждание. Это пример использования стохастических процессов для вероятностного моделирования случайного процесса во времени. Таким образом, изменение цены в каждый отдельный момент рассматривается нами как случайное (но с ограниченной дисперсией): из среднего значения изменения за определённый период времени можно сделать вывод об усреднённом кратковременном тренде — восходящем или нисходящем, — в то время как значение стандартного отклонения позволит оценить волатильность процесса. С учётом этих допущений, изменения в курсе акций в более долгосрочной перспективе имеют тенденцию показывать распределение Гаусса (т.е. нормальное) (см. стр. 41). В результате мы получим довольно неплохую модель реальной динамики изменения цен, пусть и неточную в экстремальных ситуациях типа обвалов рынков (когда наше исходное положение об ограниченности дисперсии может не пройти испытание на прочность). Отталкиваясь от этого утверждения, Блэк, Шоулз и Роберт Мертон и вывели своё уравнение для определения цены опциона. Обратите внимание, что конкретная формула, приведённая выше, применима для европейских коллопционов на акции, не выплачивающие дивиденды. Они дают владельцу право (но не обязательство) купить актив по установленной (страйк-) цене в конкретную дату. График размера выплаты по опциону имеет форму хоккейной клюшки (см. рисунок 29). Это объясняется тем, что выплата не производится, если стоимость соответствующего актива не поднимется до страйк228

РАЗРАБАТЫВАЕМ НОВЫЙ GOOGLE

цены. Следовательно, выплата растёт вместе с ценой актива, поскольку его можно продать и немедленно получить прибыль. 25 20

Прибыль

15 10 5 0 -5 -10 20

40

Цена акции на дату экспирации опциона

Рисунок 29. Выплата по европейскому колл-опциону

Чтобы определить стоимость опциона, необходимо найти способ рассчитать математическое ожидание, для чего требуется значение вероятности достижения активом определённой цены. Первая часть уравнения SN(d1) — оценочное значение стоимости полученных акций, если таковые имеются. Затем следует вычесть стоимость денег, потраченных на покупку опциона. Это вторая часть уравнения KN(d2)e-rt. e-rt — коэффициент дисконтирования для установления стоимости денег с учётом фактора времени (помните, что деньги в будущем имеют для нас меньшую ценность, чем сейчас). И, наконец, уравнения для d1 и d2 выглядят довольно сложными, но на самом деле они просто призваны учитывать волатиль229

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

ность актива. Опцион на высоковолатильный актив стоит дороже менее волатильного — это интуитивно понятно, поскольку масштабное падение цены обойдётся нам ровно столько же, сколько и незначительное (если они оба ниже линии страйк-цены), в то время как большой рост стоимости ценнее, чем маленький. Уравнение Блэка-Шоулза основывается на ряде допущений: например, что волатильность — постоянная величина, расходы на осуществление транзакций и ограничения на продажи без покрытия отсутствуют, а у нас имеется достоверное значение безрисковой процентной ставки. В какой-то степени все эти утверждения некорректны, но уравнение тем не менее довольно неплохо показывает себя при оценке опционов в нормальных условиях. Квантовые фонды и аналитики разработали множество схожих формул для оценки прочих производных инструментов, что вызвало огромный скачок популярности торговли деривативами, ведь уравнения позволили сколько-то объективно оценивать их стоимость. Некоторые открыто обвиняют уравнение Блэка-Шоулза в мировом финансовом кризисе, поясняя, что формулы, предложенные квантами, подарили трейдерам ложное чувство уверенности. Нельзя поспорить: кризис действительно наглядно продемонстрировал не только опасности рынка производных инструментов, но и ограниченность возможностей математического анализа. Я уже вспоминал фразу «Внесёшь ерунду — получишь ерунду». Недостаток подобных уравнений кроется в том, что применяющие их люди порой забывают, что это не более чем модель, а в некоторых ситуациях и сама формула может оказаться ерундой, не говоря уже о вносимых в неё данных и получаемых результа230

РАЗРАБАТЫВАЕМ НОВЫЙ GOOGLE

тах. Любая математическая финансовая модель — приблизительная оценка и не более того, поэтому у вас всегда должен быть заготовлен план «Б» на случай, когда моделирование вас подведёт.

Математика высокочастотного трейдинга С того момента, как Эд Торп основал в 1969 г. Princeton Newport Partners, математики перестали быть скучными, но необходимыми сотрудниками отдела по управлению рисками и бухгалтерии и начали играть по-настоящему центральную роль в мировой финансовой системе. Сейчас квантовые фонды доминируют в сфере управлении капиталами благодаря алгоритмам типа модели БлэкаШоулза, высокочастотному трейдингу и прочим применениям их методов. Укрепление позиций математики можно проследить по карьере, которую гениальный математик Джим Саймонс построил в финансах. В академической среде он известен как создатель 3-формы Черна-Саймонса — продвинутой топологической модели. Но, помимо этого, учёный основал невероятно успешный хедж-фонд Renaissance Technologies. В октябре 2015 г. Renaissance контролировал активы на 65 млрд $, бo2льшая часть которых принадлежала сотрудникам фонда. Значительную часть коллектива компании составляют люди науки и учёные-теоретики, а не финансисты: треть имеет докторскую степень в области математики или физики. Например, после ухода Саймонса на пенсию фонд возглавили два инженера в области вычислительных систем, специализирующихся на компьютерной лингвистике, которые перешли в компанию из 231

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

IBM Research. Инвестиционные стратегии Renaissance Technologies в значительной степени определяются сложными алгоритмами и математическими моделями, собранными по всему миру. Этот отточенный подход сделал компанию одним из самых стабильно успешных хедж-фондов планеты. Кванты также сделали значительный вклад в развитие высокочастотного трейдинга (или HFT от англ. highfrequency trading). Эта область финансов стала возможна лишь с появлением электронных торгов. Компании, реализующие данную стратегию, закрывают сделки в предельно короткие сроки. В книге «Flash Boys: Высокочастотная революция на Уолл-стрит» автор Майкл Льюис вспоминает, как они бились за самую высокую скорость интернет-соединения в надежде заполучить решающее преимущество над конкурентами всего в несколько миллисекунд. Сейчас некоторые даже применяют искусственный интеллект, способный обучаться на опыте и соответственно адаптировать свою тактику. Используемые в высокочастотном трейдинге математические стратегии преимущественно совпадают с теми, что реализуются при краткосрочных спекуляциях: хеджирование, арбитраж, извлечение выгоды из мгновенных перемен в ситуации на рынке. Но сделки проводятся не часами, днями или неделями, а за считаные миллисекунды. Из чего следует, что порой высокочастотные трейдеры, заметив, что кто-то планирует совершить покупку, пытаются сделать это первыми (что, в свою очередь, порождает опасную петлю обратной связи, подвигающую участников торгов на опрометчивые поступки). Ведётся много споров — увеличивает такого рода трейдинг волатильность рынка или стабилизирует его. Очевидно, что когда тысячи компьютеров автоматиче232

РАЗРАБАТЫВАЕМ НОВЫЙ GOOGLE

ски проводят сделки, — это опасно. «Флэш-крэш» 6 мая 2010 г. во многом был вызван самоусиливающейся положительной обратной связью на действия автоматизированного трейдинга. Были предприняты определённые меры, чтобы в будущем тормозить подобное развитие событий, но некоторые люди всё равно остались при мнении, что HFT — опасная практика. Чарли Мангер, например, утверждает, что «очень глупо допускать развитие системы, где половина торгов осуществляется толпой краткосрочных трейдеров, пытающихся заполучить информацию на одну миллионную долю наносекунды раньше, чем остальные». С другой стороны, британское исследование показало, что квантовый трейдинг послужил снижению операционных затрат и повышению ликвидности, и заключило, что он не вредит эффективности рынка. Нравится вам это или нет, но HFT, скорее всего, никуда не уйдёт. Это прекрасный пример того, как стремительно может меняться мир финансов: в 1990-е эта стратегия была практически неизвестна, но быстро захватила значительную часть рынка, и первые участники получили огромные доходы. Но чем больше фондов присоединялось к тренду, тем менее прибыльной становилась подобная деятельность. Это вполне типично для цифровой экономики: аналогичные процессы наблюдались в других отраслях, зависящих от математики. Так что, если вы хорошо владеете математикой, можно решить, будто стать квантовым или высокочастотным трейдером — всё ещё верная дорога к богатству. Однако следует признать, что самые значительные прибыли получают инноваторы, и начать искать «новый Google», «новый HFT», «новый биткоин» или другую прорывную технологию. 233

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ГЛАВЫ 6: 1. Алгоритмы и кванты управляют миром. Кто займёт их место через несколько десятилетий? Вероятно мы ещё не знаем, но наверняка это так или иначе будет основываться на математике. 2. Отношения между математикой и финансами только усложняются. 3. В будущем некоторые возможности для заработка (и периоды нестабильности в мировой экономике) будут напрямую связаны с этими сложными отношениями. 4. Математика, лежащая в фундаменте прорывных технологий, не всегда уровня докторских диссертаций (но встречается и такая).

ГЛАВА 7

Улучшаем свои результаты при помощи математики

ç

Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит. М.В. Ломоносов

Важное достоинство математического склада ума — его беспристрастность. Можно применять математику позитивно: чтобы принимать верные решения и лучше понимать закономерности. Но также с её помощью можно и защитить себя: оградиться от иррационального поведения и неудачных решений, положившись на расчёты и грамотный статистический подход.

Соберите достаточно информации Довольно часто люди совершают ошибки из-за недостатка информации. Как следует разобравшись в понятиях статистической значимости и размера выборки, можно научиться принимать лучшие решения на основании необходимого объёма данных и обращаться не 235

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

только к тем источникам, про которые и так известно, что они подкрепляют наши предубеждения. Как минимум, это позволит оценивать, опирается ли некое инвестиционное или бизнес-решение на надёжное математическое обоснование или на эмоции и чутьё. Стоит помнить про законы больших и малых чисел (см. главу 3), которые гласят, что люди слишком любят делать поспешные выводы из небольшой выборки. Например, если вы рассматриваете показатели продаж в одной отрасли за несколько месяцев, крайне маловероятно, что этой информации будет достаточно для оценки общего тренда как восходящего или нисходящего. Также помните, что стандартное отклонение порождает локальные отклонения в данных, которые не имеют под собой никаких конкретных причин. При проведении научных экспериментов специалисты по статистике обращаются к концепции статистической значимости. При двух переменных результат имеет статистическую значимость, если его возникновение в условиях нулевой гипотезы (гласящей, что переменные никак не коррелируют) крайне маловероятно. Если говорить конкретнее, то для каждого эксперимента мы устанавливаем некий уровень значимости α — вероятность того, что по итогам исследования будет обнаружена корреляция, которой в действительности нет. Затем данное значение сравнивают с p-значением результата — вероятностью его случайного возникновения. Результат будет считаться статистически значимым, если р-значение окажется ниже выбранного уровня значимости. Часто в качестве приемлемого уровня статистической значимости используют 5%. Также уровень значимости можно вычесть из 236

УЛУЧШАЕМ СВОИ РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИ ПОМОЩИ МАТЕМАТИКИ

100%, чтобы получить уровень доверия — таким образом, уровень статистической значимости в 5% соответствует уровню доверия в 95%. Конечно, к показателям продаж и результатам маркетинговых исследований непросто подходить со всей научной точностью, но можно просто зафиксировать основополагающий принцип: чем менее вероятно, что некий набор результатов возник случайно, тем с большей вероятностью для него можно точно установить причины. Следует также помнить избитое утверждение: корреляция не подразумевает причинно-следственной связи. Даже если мы в высокой степени уверены в полученных результатах, всё равно необходимо рассмотреть все возможные объяснения. Например, когда показатели продаж торгового представителя вырастают на всех его участках, нам сразу хочется заключить, что он отлично потрудился. Однако, если у компании появился новый продукт — сеялка, — а этот продавец работает исключительно в сельской местности, то, наверное, правильно сделать вывод, что высокие продажи объясняются запуском нового товара, а не талантами представителя. Главное, что следует учитывать при рассмотрении коррелирующих наборов данных: достаточно ли велика выборка, насколько сильна и постоянна связь, мыслимы ли другие объяснения. Например, вы наверняка сможете отыскать корреляцию между средним временем, которое сотрудники разного пола тратят на обед. Но одно не служит причиной другого — эти цифры определяются внешним фактором, а именно сводом правил компании. В маркетинговой сфере часто бывает выгодно думать в терминах экспериментов и гипотез. Допустим, вы ведёте аккаунты в соцсетях и хотите отыскать новые способы раскрутить свой бизнес. Тогда попробуйте на237

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

чать с конкретной теории о том, что позволит вам достичь этой цели: например, смена описания профиля. Затем сравните результаты этого изменения за определённый период. Не думайте только в критериях А/Втестирования, когда два подхода сопоставляют один относительно другого, — попробуйте перечислить всё, что теоретически может обладать статистической значимостью, и замерьте эти показатели, если в ваши методы возможно внести проверяемые изменения. Так, если вы тестируете способы увеличить конверсию из клика в продажу, зафиксируйте всё, что может на неё влиять: каким образом завлекался покупатель? Насколько явно рекламировался товар? Какую использовали картинку? Регулярно проверяйте, что эффекты от внесённых изменений последовательно повторяются для всех будущих циклов продаж. Недостаточно того, что изменение просто совпало с повышением числа переходов по ссылке, — также следует подтвердить, что это не временный эффект, обусловленный другими факторами. В любом случае, даже если у вас не выйдет провести эксперимент в строго научном ключе, ваш подход всё равно будет более надёжным, если с самого начала думать в терминах гипотез и статистической значимости.

Что нужно делать Когда дело касается конкретных показателей, убедитесь, что вы не делаете выводы на основании неадекватно маленькой выборки. Соберите как можно больше данных — может оказаться полезным научиться работать в системах бухгалтерского учёта или базах продаж, применяемых 238

УЛУЧШАЕМ СВОИ РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИ ПОМОЩИ МАТЕМАТИКИ

в вашей компании, поскольку они зачастую позволяют генерировать собственные специализированные отчёты. Помните, что прогнозы на будущее имеют смысл только при высоком уровне доверия. Всегда учитывайте все возможные объяснения для данных.

Осознайте случайность Как мы уже видели в предыдущих главах, люди плохо учитывают случайность, т.к. всегда инстинктивно ищут закономерности. Кроме того, они не умеют имитировать случайное поведение. Классический пример: мы ошибочно полагаем, что долгая серия выпадения решек при игре в монетку делает орла более вероятным исходом следующего броска. Если разобраться в концепции случайного распределения, можно избежать многих распространённых ошибок: например, предположения, что корреляция автоматически означает причинность, даже когда изменчивость показателей не обладает статистической значимостью. «Одураченные случайностью» Нассима Николаса Талеба — интересное размышление на эту тему. Его основной тезис заключается в том, что случайность, шанс и удача оказывают воздействие на нашу жизнь многими способами, которые мы не в состоянии понять. Из-за эффекта знания задним числом и ошибки выжившего мы предполагаем, что люди всегда достигают успеха благодаря своим навыкам, а не случайности. Талеб противопоставляет состоятельного дантиста, который преуспел бы и в большинстве альтернативных 239

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

версий реальности, потому что напряжённо учился ради работы в традиционно прибыльной отрасли, везунчику из более изменчивой сферы типа финансов, где разбогатевший менеджер фонда мог бы разориться в результате даже незначительной перемены в ходе событий. Автор утверждает, что качество наших решений в какой-то мере следует оценивать по альтернативным сценариям, а не только по фактическому результату. Например, человек, ошибочно заключивший, что рынок достиг максимума, всё равно мог правильно проанализировать фундаментальные факторы, в то время как тому, кто сделал точный прогноз, могло просто повезти. Надёжным и верным успехом следует считать успех, наступающий в большей части альтернативных сценариев развития событий. Из этого можно вынести множество ценных уроков для бизнесменов и инвесторов. Краткосрочная информация, на которой мы основываем свои решения, зачастую не более чем статистический шум. Так что, хотя есть логика в том, чтобы перенять хорошо показавшую себя стратегию, перед этим необходимо убедиться, что в результате мы не подвергнем себя высокому риску убытков, ведь установить, что успех обусловлен именно самой стратегией, а не случайной изменчивостью, возможно лишь после долгого периода повторений. И только со временем результаты покажут, была ли наша оценка верна, или в первый раз это была просто удача. Талеб также подчеркивает, что порой стоит соглашаться на небольшие потери ради большой прибыли. Поскольку маловероятные события бывают недооценены (как в случае с командой бетторов «В лунку с одного удара», см. стр. 185), иногда целесообразно делать ставки на исходы с высокой потенциальной выплатой. 240

УЛУЧШАЕМ СВОИ РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИ ПОМОЩИ МАТЕМАТИКИ

Талеб заметил, что математическое ожидание по опциону, который в 95% случаев убыточен, но принесёт огромную прибыль в 5%, всё равно может оказаться значительно выше нуля. Возможно, что подобная сделка будет безопаснее стратегии, когда вы берёте на себя риски с целью заработать небольшую сумму в 95% случаев, но ещё в 5% — полностью разоритесь. Мы будто бы запрограммированы не понимать случайность, так что хорошее представление о её механизмах получают только тяжким трудом — постоянно обращаясь к различным концепциям статистики, типа стандартного отклонения и закона больших чисел. Например, кажется, что инстинктивно мы посчитаем последовательность орёл-решка-орёл-решка-орёл-решка более случайной, чем орёл-орёл-орёл-решка-решкарешка. Первое представляется нам более естественно случайным, поскольку там чаще меняются стороны монетки. Поэтому полезно приучить себя придерживаться совета Талеба и всегда помнить, что причиной чего-либо всегда может оказаться случайность, а время покажет, было ли явление действительно случайным или произошло вследствие наших решений либо стратегий. Но в краткосрочной перспективе лучше считать, что оба варианта возможны.

Пользуйтесь средствами визуализации (но осторожно) В былые времена многие математики скептически относились к визуализации. Когда в конце XIX в. Джузеппе Пеано описал заполняющую пространство кривую — бесконечный фрактал, обходящий квадрат, — он привёл уравне241

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

ния, а не просто несколько рисунков. Лишь позже, с появлением других математиков типа Давида Гильберта, миру была явлена красота описанной Пеано формы.

Рисунок 30. Первые три итерации построения заполняющей пространство кривой по версии Гильберта. Теоретически, поскольку линия бесконечно усложняется, в какой-то момент она будет проходить через все точки квадрата.

Однако с увеличением спектра объектов для изучения математики постепенно приняли инструмент визуализации. Гениальная Мариам Мирзахани из Ирана, к сожалению, скончавшаяся в 2017 г., — пример учёного, полагавшегося преимущественно на визуальные методы и постоянно применявшего в своей работе диаграммы и схемы. Она была талантливой художницей, и в рамках математики как исследовала различные разделы геометрии и абстрактные формы и структуры в пространствах старшей размерности, так и решала более прозаичные задачи типа расчёта пути биллиардного шара по полигональному столу (что является на удивление сложной математической проблемой). В бизнесе и инвестициях вам вряд ли понадобится делать построение гиперболического многомерного биллиардного стола, но, тем не менее, визуализация — 242

УЛУЧШАЕМ СВОИ РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИ ПОМОЩИ МАТЕМАТИКИ

крайне важный метод обработки информации. График может быть убедительней и проще для понимания, чем таблица. Блок-схема производства или критического пути нового продукта способна прояснить процесс. Визуализация может послужить наиболее эффективным способом как обнаружения закономерностей, так и объяснения их окружающим. Но помните об искажении данных: например, встречаются графики, где оси не начинаются с нуля, из-за чего изменения оказываются преувеличены, или диаграммы Венна, где неверно отражены размеры разных групп. В этом разделе я приведу примеры нескольких распространённых ошибок визуализации, которые могут быть почти столь же опасными, как и отказ от учёта законов математики в принципе. Зная эти искажения, вы сможете не только легче отыскивать изъяны в чужих аргументах, но и презентовать свои доводы с большей ясностью. Например, взгляните на график высоты жирафов (рисунок 10). Надеюсь, впервые читая ту главу, вы заметили, что он математически некорректен. Горизонтальная ось не на нуле — иначе жирафы были бы намного ближе друг к другу в плане соотношения роста. Выглядит так, будто самый маленький высотой не более половины самого большого, в то время как реальный разброс составляет 153–177 см. Мы выбрали такой рисунок, чтобы было забавнее и эффектнее, но если бы от нас требовалось точно отразить различия в росте жирафов, то график следовало бы переделать, взяв за начало координат ноль. Этот приём — распространённый пример того, как обманчиво может быть визуальное представление данных. В случае с жирафами всё весьма безобидно, но представьте себе директора по продажам, который презентует график с рисунка 31 на совещании директоров. 243

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Продажи подразделения

Выглядит так, будто за изображённый период продажи увеличились вдвое, хотя в действительности они выросли всего на 12,5%. То есть этот способ неточно и крайне приукрашенно передаёт информацию.

475,000 450,000 425,000 400,000 375,000 350,000 2015

2016

2017

Рисунок 31. График объёмов продаж

Если директор по продажам хочет сделать график ещё эффектнее, он может использовать трёхмерные столбцы, как на рисунке 32, чтобы даже сильнее преувеличить результаты. На подобные диаграммы всегда нужно смотреть скептически, ведь 3D-эффект искажает реальную высоту колонок и усложняет считывание их размеров относительно осей. Всегда следует проверять, в каком контексте приводятся те или иные цифры. Рисунок 33 — график, составленный производственным отделом ЗАО «Пластиковые Бананы», где в процентах обозначено число клиентов, которые по различным причинам совершили возврат товара. 244

Затраты

УЛУЧШАЕМ СВОИ РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИ ПОМОЩИ МАТЕМАТИКИ

2015

2016

2017

Год

Рисунок 32. График объёмов продаж с трехмерными колонками

40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% Дефект упаковки

Отсутству- Доставлен Опечатка ет зажим дубликат батареи

Повреждён во время перевозки

Рисунок 33. Причина возврата товаров ЗАО «Пластиковые бананы» 245

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Сам по себе график довольно бесполезный: из него следует, что 35% всех возвращённых товаров имели дефекты упаковки. Чтобы он имел смысл, надо узнать, сколько продуктов возвращают в принципе. Если примерно 0,1%, то проблемы с упаковкой имеют всего 0,035% товаров, а значит, это не самая критичная проблема. Также следует учитывать, вся ли необходимая информация отражена на диаграмме. Если хитрый директор по продажам захочет завысить свои показатели, он может презентовать их как на рисунке 34.

Продажи подразделения

160 140 120 100 80 60 40 20 0 Январь

Февраль

Март

Апрель

Май

Июнь

Рисунок 34. Продажи с января по июнь

Возрастающий тренд очевиден. Однако сравним его с графиком за 12-месячный период на рисунке 35. Теперь ситуация выглядит менее благоприятно: рост объёмов, начавшийся в январе, может просто свидетельствовать о переходе от мёртвого сезона в продажах к лету, а текущие июньские показатели выглядят плохо по сравнению с другими летними месяцами год назад. 246

УЛУЧШАЕМ СВОИ РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИ ПОМОЩИ МАТЕМАТИКИ

250

200

150

100

50

Июнь

Май

Апрель

Март

Февраль

Январь

Декабрь

Ноябрь

Октябрь

Сентябрь

Август

Июль

0

Рисунок 35. Продажи за 12 месяцев (июль-июнь)

Чтобы разобраться, что происходит на самом деле, нам в идеале нужно ознакомиться с данными за несколько предыдущих годовых периодов и провести чёткое сопоставление. Как всегда, чем больше у нас информации, тем яснее ситуация. На рисунке 36 приведён другой график, где проблема кроется в осях, но в этом случае осей Y целых две. В данном примере директору по продажам поступил вопрос по выросшим затратам торговых представителей. В ответ он заявил, что между затратами и продажами наблюдается связь, и кажется, что график её демонстрирует. Однако применение двух осей Y с разными шкалами — попытка умышленно запутать руководство, ведь при росте продаж в 8% (верхняя линия графика) затраты на продавца выросли на 25% (ниж247

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

няя линия графика). Также, наверное, было бы логичнее привести суммарные затраты, а не затраты на торгового представителя. Затраты на 1-го продавца

Продажи 160000

Продажи 12000

140000 Затраты

120000 100000

10000 8000

80000 60000

6000

40000

4000

20000 2000

0 2012

2013

2014

2015

2016

2017

Рисунок 36. График продаж и затрат

Теперь перед нам некачественно построенная диаграмма Венна (рисунок 37). Её цель — показать, как часто клиенты конкретного магазина за один визит покупают и игрушки, и одежду. Но приведённые значения не имеют чёткого определения (10% и 20% от чего?), а размеры кругов относительно всей диаграммы явно искажены. По площади можно было бы решить, что менее половины купивших игрушки покупают и одежду, но сопоставим цифры и увидим, что пересечение наблюдается для 80% покупателей игрушек. Как и в предыдущих случаях, достоверная версия этого графика послужила бы пониманию, в то время как плохая просто запутывает. 248

УЛУЧШАЕМ СВОИ РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИ ПОМОЩИ МАТЕМАТИКИ

Все покупки в магазине

Игрушки 10%

И то, и то 8%

Одежда 20%

Рисунок 37. Диаграмма Венна с данными о покупках, совершаемых в магазине

Что нужно делать Обязательно используйте инструмент визуализации и научитесь отражать информацию точно. Кроме того, старайтесь подмечать ошибки и умышленные искажения данных в визуализациях ваших коллег (особенно этого надоедливого директора по продажам).

Прислушивайтесь к данным Факты могут казаться скучными. Например, расчёты долгосрочных эффектов владения недвижимостью в сравнении с арендой или математика индексных фондов — не самая захватывающая история, но люди, при249

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

слушавшиеся к многолетнему неумолимо восходящему тренду на этих рынках, нередко приходили к успеху: взять хотя бы инвесторов братьев Кэнди. Они начинали в 1995 г. с ссуды в 6000 £ на квартиру в Лондоне, а через 14 лет уже значились в списке самых богатых людей Великобритании газеты «Сандей Таймс» как застройщики с портфелем в 330 млн £. Конечно, везение и удачно выбранный момент тоже сыграли ключевую роль: в 1995 г. цены всё ещё были ниже среднего значения за долгое время, а затем поднялись до рекордных высот. В свою очередь, покупка недвижимости в Японии в период финансового пузыря 1986–1991 гг. или в Ирландии перед недавним обвалом рынка привела бы к куда более катастрофическим последствиям. Многие самые успешные вложения Уоррена Баффетта до зевоты очевидны, потому что предварительно он внимательно исследует вопрос, изучает цифры и факты и доверяет им. Часто это верно и для бизнеса: лучшая стратегия поведения для компании может оказаться крайне банальной — просто продолжать делать всё то, что они делают хорошо. Знание математики позволит определять на основании изменений в показателях того или иного предприятия, жизнеспособно ли оно в перспективе или потребует глобального пересмотра. А понимая случайность и риски, можно оценивать, удачно ли компанией выбрано новое направление. Другой пример человека, который добился невероятного успеха, прислушавшись к фактам, — валютный трейдер из Bankers Trust Энди Кригер. В 1987 г., в возрасте 32 лет, он занял короткую позицию по новозеландскому доллару и заработал миллионы, полностью доверившись данным вопреки всем опасениям. В тот период целый ряд валют рос по отношению к доллару после 250

УЛУЧШАЕМ СВОИ РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИ ПОМОЩИ МАТЕМАТИКИ

Чёрного понедельника*. Наблюдался масштабный отток капитала из доллара США в другие валюты, представлявшиеся более безопасными. Поначалу Кригер сомневался, но потом решил довериться своей аналитике, из которой следовало, что в результате они окажутся переоценены, и это создаст возможность для арбитража. Трейдер открыл короткую позицию по опциону на несколько сотен миллионов долларов США против новозеландского доллара (также известного как киви). Курс киви в итоге упал на 5%, а работодатели Кригера получили многомиллионные прибыли. После этого трейдер перешёл к Джорджу Соросу**, который также добился ошеломительного успеха, играя на валютном рынке, хотя впоследствии и выражал сожаление о нанесённом им ущербе (подобное давление на валюту может навредить экономикам небольших стран). Похожая история приведена и в книге Майкла Льюиса «Игра на понижение»: там показано, как в преддверии мирового финансового кризиса несколько финансистов решили прислушаться к информации по ипотечным ценным бумагам и состоянию рынка недвижимости США. Один из них, Майкл Бьюрри, менеджер хедж-фонда Scion Capital, в 2005 г. изучил рынок субстандартного кредитования. Он провёл обстоятельный анализ данных * Чёрный понедельник — понедельник 19 октября 1987 года — день, в который произошло самое большое падение Промышленного индекса Доу-Джонса за всю его историю, — 22,6%. (Прим. пер.) ** Джордж Сорос (род. 1930) — американский трейдер, финансист, инвестор. Значительную часть своего состояния израсходовал на различные некоммерческие проекты, в частности на развитие институтов «открытого общества» в Восточной Европе. На сентябрь 2019 года его состояние оценивается в 8,3 млрд $. (Прим. пер.)

251

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

об ипотечных кредитах за последние три года и верно заключил, что образовался пузырь, который скоро лопнет. Тогда Бьюрри убедил банк Goldman Sachs продать ему кредитные дефолтные свопы на ипотечные облигации. В какой-то момент финансист столкнулся с противодействием со стороны инвесторов, переживавших, что тот совершил чудовищную ошибку. Но в конце концов рынок субстандартного ипотечного кредитования обрушился, а Бьюрри заработал 100 млн $ прибыли для себя и 700 млн $ — для недоверчивых инвесторов. Конечно, продержись рынок ещё пару лет, для финансиста это стало бы большой головной болью, поэтому, чтобы идти на подобные огромные риски, требуется высокий уровень уверенности в своих расчётах. А если вам хочется поучительных историй, то можно было бы вспомнить биографии множества других трейдеров и инвесторов, которые взяли на себя большие риски и потеряли на этом миллионы. Мораль во всём этом следующая: возможно, вам не удастся отыскать способ заработать 100 млн $, но существуют и более реалистичные методы преуспеть в обычной жизни, главное, следите за данными и доверяйте им. Ведь они говорят вам правду с намного большей вероятностью, чем некоторые ваши коллеги.

Как продать билет на санкт-петербургскую лотерею В бизнесе первое впечатление имеет ключевое значение. Если вы презентуете начальнику и коллегам список сделок, где наверху значатся наименее прибыльные, это произведёт впечатление хуже, чем если бы вначале стояли самые успешные. 252

УЛУЧШАЕМ СВОИ РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИ ПОМОЩИ МАТЕМАТИКИ

В главе 3 мы рассмотрели санкт-петербургскую лотерею и задались вопросом, сколько игроку следует заплатить за билет с потенциальным выигрышем в 1 £, если монетка упадёт решкой с первого броска, 2 £ — если со второго, 4 £ — если с третьего, 8 £ — если с четвёртого и т.д., с постоянным удвоением приза. В колледже я провёл психологический эксперимент по мотивам этой задачи. Контрольной группе её подали в формулировке, предложенной выше. Второй группе задачу презентовали иначе: им сказали, что выигрыш составит 500 £, если впервые монетка приземлится решкой на десятый бросок, после чего будет происходить удвоение приза. Кроме того, имеются утешительные призы от 250 £ до 1 £ для ситуаций, когда игра заканчивалась до наступления десятого раунда. Участники второй группы высказывали желание сыграть в среднем на 60% чаще, чем в контрольной, несмотря на то, что предлагаемые условия были чуть хуже. Вывод следующий: когда дело касается цифр, с самого начала привлечь внимание покупателя к крупному выигрышу — более эффективная психологическая стратегия. Именно поэтому многие в принципе приобретают лотерейные билеты: мысль о возможности выиграть миллион пересиливает знание, что этого точно не произойдёт. Никто не использует для рекламы лотерей людей, которые весьма довольны своим выигрышем в один или два фунта. В других ситуациях мы можем идти на заведомо проигрышные сделки по более рациональным причинам. Индустрия страхования, как и многие другие бизнесы, продаёт людям некую вещь дороже, чем она стоит им самим. Так, страховые компании собирают взносы, причём их сумма установлена таким образом, чтобы при хо253

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

рошем раскладе контора гарантированно выплачивала меньше денег, чем получает. Если бы это было невозможно, то бизнес не приносил бы прибыли. Зачем тогда люди, осознавая всё это, покупают страховку? Дело в том, что при оплате страхования жилья или машины для вас не имеет значения, что по факту вы потратите больше, чем, вероятно, получите в ответ. Получаемая полезность — осознание того, что, если всё пойдёт по худшему сценарию, вы не окажетесь разорены — стоит дороже уплаченных денег. Теоретически миллиардеру, который может позволить себе понести убытки от пожара или угона автомобиля, логичнее отказаться от страховки, ведь в масштабах жизни ему без неё только лучше. Для остальных же эта услуга — проигрышная «ставка», сделать которую всё-таки стоит.

Математика для торговых выставок На прошлой работе мне часто приходилось ездить на торгово-промышленные выставки, где мы проводили сразу большое количество коротких встреч с клиентами и поставщиками. Начальник сразу порекомендовал мне рассчитывать ориентировочную цену одного из продуктов по «выставочной схеме». Сначала я ничего не понял, так что во время перерыва он объяснил мне, что один из ценнейших навыков продавца — способность хорошо выводить в уме приблизительные значения. Например, нам требовалось заработать на продаже товара заводской себестоимостью 1,75 £ 30% маржи. (Чтобы рассчитать маржу m, требуется вычесть себестоимость p из полученной цены [цены продажи, s], 254

УЛУЧШАЕМ СВОИ РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИ ПОМОЩИ МАТЕМАТИКИ

а затем выразить результат как процент от получен100(s – p) ной цены, т.е. = m, что можно преобразовать s 100p в s =(100 – m) . Таким образом, чтобы правильно прибавить к 1,75 £ себестоимости 30% маржи, достаточно поделить её на 7 и умножить на 10, что даст 2,50 £.) Если клиент спрашивал про товар с другими характеристиками, мне могло потребоваться откорректировать нашу закупочную цену на 10% и назвать приблизительную сумму к оплате. Необходимость выдавать подобные цифры сходу любого может выбить из колеи, но скоро, запомнив несколько специальных приёмов, я научился считать быстро и более уверенно. Так, чтобы учесть повышение закупочной цены на 10%, я мысленно округ3 лил её до 2,00 £, умножил на 2 и получил 3,00 £. В действительности должно быть 2,75 £, но, по крайней мере, я сумел предоставить клиенту расценки сходу (и пообещать позже сообщить более точную цифру). Обратите внимание, что оба приёма немного завысили цену. Осуществляя расчёты на торговых выставках, важно не использовать схемы, которые закладывают буфер не в том направлении. Например, если бы в по4 следнем примере я умножил себестоимость на 3, получилось бы 2,66 £ — слишком дешёвое предложение, которое затем пришлось бы отозвать и тем самым разочаровать клиента. Лучше предоставить немного завышенные расценки и потом снизить их в ходе переговоров, чем наоборот. Аналогичным образом, предлагая приобрести продукт, я заложил бы отрицательный буфер, чтобы дать себе пространство для манёвра. Для этого есть простая схема: знать соотношение, которое требуется использовать, и быстро проверить, даст ли ваш расчёт с округлением буфер с нужной стороны. Например, в данном случае себестоимость кор255

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

10

3

ректно было бы умножить на 7 . Умножение на 2 окончилось небольшой переоценкой, ведь, как несложно 3 10 понять, 2 соответствует 7 . В то же время для сравне4 10 ния 3 с 7 мы можем привести дроби к общему знаме28 30 нателю (21) и увидеть, что они соотносятся как 21 и 21, 4 т.е. использовать 3 — значит занижать цену. Учёт буфера — приём, который может оказаться полезным в различных бизнес-ситуациях, если применять его с осторожностью. Например, в той же компании производство находилось в Европе, Китае и Америке, а товары продавали по всему миру. Если себестоимость рассчитывалась в иностранной валюте, мы всегда добавляли к прогнозному значению 5%, а также вычитали 5% из прогнозной прибыли, когда по счетам предполагалось платить в иностранной валюте. Это защищало нашу маржу от влияния колебания курсов, а при стабильном рынке после сравнения прогнозных значений с фактическими нас ждал приятный сюрприз. Конечно, заложив слишком большой буфер, можно ошибочно убедить самих себя в неудачности сделки, которая в действительности вполне рентабельна, или потерять клиента, озвучив слишком высокую цену, так что данная стратегия требует здравого смысла и определённой гибкости. Аналогичным образом, если сантехник или автомеханик назначают вам цену за работу, для которой требуются запасные детали, нередко в ней бывает учтён и буфер — в таком случае имеет смысл поторговаться и установить точную цену товаров, заложенных в стоимость услуги. Буфер разумно учитывать и при инвестициях. Вопервых, он поможет вам защитить себя от излишне оптимистичных прогнозов. Во-вторых, одна из статей затрат 256

УЛУЧШАЕМ СВОИ РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИ ПОМОЩИ МАТЕМАТИКИ

инвесторов — брокерские комиссии и сборы. И хотя появляются всё более доступные варианты осуществления покупок и продаж активов, комиссии всё равно могут обходиться дорого. И, наконец, механика стоп-ордеров* и ордеров по рынку** означает, что у вас не всегда будет возможность совершать сделки по ожидаемой цене, поскольку порой предложений с вашей целевой ценой может просто не оказаться. И учёт буфера в прогнозах поможет вам избежать негативных последствий.

Что нужно делать Тренируйтесь считать в уме, и особенно адекватно прикидывать результаты сложных вычислений. В стрессовой рабочей ситуации умение быстро выдавать приблизительные значения может вам очень пригодиться. Кроме того, это будет полезно и при анализе данных в таблицах или цен в ходе совещаний — способность быстро посчитать суммарную стоимость обсуждаемого проекта никогда не повредит.

* Стоп-ордер — это вид отложенного биржевого приказа для автоматического совершения сделки по продаже или покупке актива (на заданное количество актива) при достижении рыночной ценой заданного порогового значения (стоп-цены). (Прим. пер.) ** Ордер по рынку — это ордер, который позволяет вам купить или продать актив «здесь и сейчас» по рыночной цене. Его преимуществом является моментальность исполнения, а недостатком то, что вы не можете прогнозировать чёткую цену, по которой купите (или продадите) актив. (Прим. пер.)

257

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Играем в игру В главе 3 при рассмотрении кейнсианского конкурса красоты мы столкнулись с теорией игр. Основателем этого раздела математики считают эксцентричного венгерского математика Джона фон Неймана*. Вдохновением для теории изначально послужило увлечение учёного покером и тем, как люди принимают решения на основании неполной информации. Причём в какой бы сфере бизнеса вы ни работали, ознакомиться с азами данной темы стоит, поскольку из неё можно почерпнуть ценные уроки по ведению переговоров. В теории игр альтернативные решения, доступные каждому участнику в ходе игры, показывают в виде матрицы. Например, представим, что Боб собирается купить у Дженни дом, и они должны договориться о цене. Выплаты, на которые они оба могут рассчитывать по итогам реализации двух различных стратегий переговоров, показаны на рисунке 38. Боб

1

2

1

7

6

2

6

4

Дженни

Рисунок 38. Цена за дом зависит от выбранных Бобом и Дженни стратегий. * Если быть предельно точными, первую работу по теме опубликовал французский математик Эмиль Борель, однако труды фон Неймана заложили теоретическую базу. (Прим. авт.)

258

УЛУЧШАЕМ СВОИ РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИ ПОМОЩИ МАТЕМАТИКИ

Во многих простых играх применима теорема о минимаксе, которая гласит, что следует придерживаться стратегии, минимизирующей максимальное преимущество соперника. В таком случае Боб выберет стратегию № 2, чтобы избежать необходимости платить 7 единиц, в то время как Дженни предпочтёт № 1 с целью не получить всего 4. В ячейке, находящейся на пересечении данных стратегий, мы найдём решение задачи: Боб заплатит Дженни 6 единиц. Подобные таблицы можно применять, чтобы установить, каким образом лучше вести переговоры, причём часто приходится принимать во внимание то, в каком порядке участники делают свой выбор. Например, взглянем на матрицу стратегий на рисунке 39. В каждом случае цифры означают выплаты, которые получат игроки (так, «3, 4» в ячейке слева сверху описывают ситуацию, когда Кэрол достаётся 3 единицы, а Элис — 4). Элис

1

2

1

3, 4

4, 3

2

0, 0

0, 0

Кэрол

Рисунок 39. Порядок ходов может определить исход переговоров.

Кажется, что, ходя первой, Элис для наилучшего результата выберет стратегию № 1. Однако Кэрол может пригрозить Элис, что, если та выберет № 1, сама она выберет № 2 (и если Элис посчитает эту угрозу реалистичной), и тем самым вынудить соперницу остановить259

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

ся на № 2, что даст Кэрол 4 единицы вместо 3. С другой стороны, если первый ход делает именно Кэрол, ей обеспечен выигрыш только 3 единиц. Теперь взглянем на переговоры другого типа (см. рисунок 40). Тим, играя вторым, может надеяться достичь наилучшего исхода для обоих, выбрав стратегию № 2. Однако это достижимо, только если ему удастся убедить Бетти также выбрать № 2. Таким образом, в интересах Тима пообещать не жадничать и не выбирать стратегию № 1 после того, как Бетти сходит первой. Иначе она выберет стратегию № 1, чтобы избежать потерь, и ни одна из сторон ничего не получит. Бетти

1

2

1

0, 0

2, –1

2

0, 0

1, 1

Тим

Рисунок 40. Получится ли у Тима убедить Бетти выбрать стратегию № 2?

Очевидно, в реальности большинство переговоров несравнимо сложнее приведённых выше. Но знание теории игр всё равно может послужить пониманию того, как можно добиться лучшего результата даже в условиях ограниченного выбора. Также важно отметить, что сама схема ведения переговоров (и то, кто «ходит первым» — делает исходное предложение) сильно влияет на исход. 260

УЛУЧШАЕМ СВОИ РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИ ПОМОЩИ МАТЕМАТИКИ

Математика распределения богатства Ранее мы уже узнали, почему богатому человеку заработать проще, чем бедному. В разделе про игру богача и бедняка в казино было показано, насколько у второго выше вероятность потерять все деньги. А учитывая, что активы вроде недвижимости и акций за последние десятилетия только выросли в стоимости, должно быть весьма очевидно, что обладание значительным состоянием, которое возможно инвестировать, больше располагает к существенному увеличению богатства. Причём от людей в этой ситуации не требуется ничего сложного — достаточно просто хранить своё состояние в долгосрочных активах. Так что, если кто-то спросит, как заработать миллион, наиболее честным советом будет: «Начинай уже богатым».* Существуют различные математические модели, которые используются для измерения распределения богатства. Стандартный показатель экономического неравенства в стране — это коэффициент Джини. Представим страну, где общий доход десяти человек составляет 100 000 £, и 5 способов, которыми данная сумма может быть распределена (см. таблицу 7). Буквы в строках означают разных людей (или группы), а цифры в столбцах — номера схем распределения. №1

№2

№3

№4

№5

A

10 000

5000

3000

2000

0

B

10 000

6000

3000

2000

0

* У этого совета есть несколько вариаций. Так, в киноиндустрии часто шутят, что правильный ответ на вопрос «Как сделать на фильмах небольшое состояние?» — это «Начни с большим состоянием». (Прим. авт.)

261

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

№1

№2

№3

№4

№5

C

10 000

7 000

3 000

3 000

0

D

10 000

8 000

4 000

3 000

0

E

10 000

9 000

5 000

3 000

0

F

10 000

10 000

7 000

5 000

0

G

10 000

12 000

10 000

6 000

0

H

10 000

12 000

14 000

12 000

0

I

10 000

14 000

21 000

24 000

0

J

10 000

17 000

30 000

40 000

100 000

Таблица 7. Пять способов распределения дохода между десятью людьми (A-J)

Если ранжировать получателей дохода от самого бедного к самому богатому (как в таблице 7) и отобразить значения совокупного дохода на графике, получим рисунок 41. 120,000 100,000 80,000 60,000 40,000 20,000 0 A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

Рисунок 41. График распределения богатства: совокупные доходы людей A-J при каждой из пяти схем распределения. 262

УЛУЧШАЕМ СВОИ РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИ ПОМОЩИ МАТЕМАТИКИ

Коэффициент Джини берёт площадь фигуры, ограниченной линией № 1 (соответствующей абсолютно равным доходам) и линией № 5 (соответствующей абсолютному неравенству в распределении по последней схеме), за 100%. Затем для каждой другой схемы следует измерить, какую долю от общей площади составляет фигура, образуемая соответствующей кривой и прямой слева. Получившуюся цифру используют как меру неравенства: чем ближе значение коэффициента к 100%, тем более расслоено общество. Конечно, следует помнить, что сам по себе результат ничего не говорит про уровень достатка населения в целом: так, есть все основания считать, что в более бедных странах с небольшим числом состоятельных людей богатство неизбежно распределяется более равномерно. Но коэффициент Джини всё равно может быть полезным для отслеживания изменений в определённом государстве с течением времени или для сравнения разных стран. Другой подход к анализу богатства — принцип Парето, названный так в честь итальянского экономиста Вильфредо Парето, который заметил, что 80% гороха на его огороде приносят 20% стручков. Позже он смог показать, что распределение 80/20 довольно часто наблюдается и во многих других ситуациях и, в частности, хорошо описывает распределение богатства в обществе. Как правило, 80% всего богатства находится в собственности у 20% населения. В более общем случае принцип Парето — наблюдение, что многие вещи в жизни распределены не поровну, а именно что 20% вложений обеспечивают 80% результата. Эта идея применима в различных ситуациях. Для начала из этого следует, что 20% сотрудников выдают 80% производительности, а 20% клиентов приносят 80% дохода (что довольно очевидным образом влияет на выбор 263

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

подхода к ведению бизнеса). В IT-фирмах было подмечено, что исправление 20% самых серьёзных программных ошибок позволяет избежать 80% сбоев. Для рядового сотрудника этот принцип применим в тайм-менеджменте. Обычно мы распределяем затрачиваемые усилия понемногу на каждый проект, хотя лишь 20% самых перспективных в итоге обеспечат 80% успеха. (Не забывайте, что это лишь мнемоническое правило, и оно названо 80/20 не потому, что 80 и 20 в сумме дают 100. Эти два числа оценивают разные вещи, так что вполне может оказаться, что, например, 80% результатов работы системы достигается за счёт 10% или 30% вложенных ресурсов или 75% результатов за счёт 20%.) Поразительное свойство принципа Парето — если представить данные значения в виде графика, они будут соответствовать схеме степенного распределения. То есть поведут себя как фракталы, в том смысле, что каждая часть распределения самоподобна всему распределению. Например, если 20% населения владеет 80% богатства, скорее всего, 20% из всех богачей владеют 80% от их части. Другими словами, 64% богатства принадлежит 4% людей. А 51,2% — 0,8% людей и т.д. Изучив рисунок 42, можно заметить, что из этого следует, что верхние 20% из числа бедных 80% владеют тем же объёмом богатства (16% от общего количества), что и нижние 80% из богатых 20%. (В действительности соседние сегменты графика всегда будут иметь небольшой уклон, так что это не более чем мнемоническое правило — куда более вероятно, например, что богатые 20% из бедных 80% владеют 15% ВВП, в то время как бедные 80% из богатых 20% — 17%.) Другой аспект степенного распределения, который следует отметить, — частое наличие у него длинного 264

УЛУЧШАЕМ СВОИ РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИ ПОМОЩИ МАТЕМАТИКИ

«хвоста». В краткосрочной перспективе это значит, что лишь малая часть всего ассортимента продукции компании — бестселлеры, а бо2льшая часть приносит им со временем всё меньше дохода. Однако, если смотреть шире, длинный хвост — явление положительное, ведь товар с длинным хвостом хорошо покупают в начале, после чего продажи снижаются, но продолжительное время не прекращаются. Компаниям всегда нужны новые продукты с высокими продажами, но их разработка стоит дорого, и часто держаться на плаву фирме помогают именно более старые товары с длинными хвостами. Так что, хотя на первый взгляд 80/20 может звучать депрессивно и подчёркивать, что жизнь несправедлива, из этого принципа можно вынести несколько полезных уроков о том, как следует подходить к различным аспектам нашей жизни и работы.

16%

64%

4%

16%

Рисунок 42. Площадь сектора на этом рисунке соответствует доле населения: снизу 64% людей владеют 4% богатства. Две другие части населения по 16% (слева сверху и справа снизу) имеют примерно по 16%, а у верхних 4% населения 64% богатства. 265

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

Что нужно делать В том, что касается заработка, из принципа Парето нам следует вынести главное: неважно, в какой зоне диаграммы распределения богатства вы находитесь и чем занимаетесь — задайтесь вопросом, можете ли вы начать вкладывать больше времени в самые продуктивные активности. Однако помните, что определить их заранее не всегда будет легко. Однажды я присутствовал на заседании совета директоров, где неисполнительный директор (отличный парень, но умом не блещет) искренне поинтересовался: если бoльшая часть наших прибылей поступает от продажи лишь малой доли продуктов, зачем мы тогда вообще выпускаем всё остальное? Почему бы не производить только бестселлеры? Конечно, ему ответили, что никто не может знать, какие продукты взлетят, пока их не запустили в продажу…

Долг и рычаг Если так случилось, что вы ещё не супербогаты, то, возможно, в какой-то момент жизни вам потребуется брать деньги в долг. Например, покупая в кредит машину, дом в ипотеку или занимаясь маржинальной торговлей акциями, вы используете финансовый рычаг — ключевой инструмент хедж-фондов и прочих финансовых учреждений. По сути, финансовый рычаг (также кредитное плечо или леверидж) — мера того, какая часть вашей инвестиции состоит из заёмных средств. Важно понимать, что использование плеча повышает одновременно и ваши риски, и потенциальную 266

УЛУЧШАЕМ СВОИ РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИ ПОМОЩИ МАТЕМАТИКИ

прибыль. Внеся 20 000 £ задатка за дом стоимостью в 200 000 £, вы оплатили 10% от цены покупки, т.е. сделка имеет плечо 10:1 (это название, восходящее к термину «плечо рычага», отсылает нас к факту, что при помощи рычага можно поднять вес несравнимо больший, чем без него). Плюс использования рычага — он позволяет вам совершать покупки, которые вы иначе себе позволить не могли бы, а также преумножает прибыли. Если стоимость дома выросла на 10% до 220 000 £, то изначальная инвестиция принесла вам 100% прибыли. Минус же состоит в том, что рычаг в той же мере преумножает и убытки. Если дом подешевеет на 15% до 170 000 £, то вы не только потеряли свои изначальные 20 000 £, но и сам дом теперь стоит на 10 000 £ меньше непогашенной задолженности. Именно поэтому из-за падения цен на недвижимость у многих людей остаётся на руках негативный капитал, что не позволяет им продать дома (или вынуждает доплачивать за продажу). Хедж-фонды обращаются к рычагам, чтобы открывать позиции на гигантские суммы по определённым активам, от которых они ожидают относительно скромного роста цен, благодаря чему небольшая прибыль обращается в куда более значительную (при этом фонды рискуют понести серьёзные потери, если прогнозы окажутся неверны). Этим объясняется, почему средняя продолжительность жизни хедж-фонда всего 5 лет: многие закрываются, когда сделки с крайне большим кредитным плечом идут не по плану, а инвесторы остаются на мели. Финансовый рычаг также важен для оценки компаний. Такие показатели, как рентабельность собственного капитала, соотношение заёмного капитала 267

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

к собственному и рентабельность задействованного капитала, позволяют инвесторам определить, сколько денег та или иная компания взяла в долг и как хорошо она их инвестирует. Если компанию характеризуют как «имеющую значительную долю заёмных средств» (высоко левериджированную), значит, большая часть её инвестиций осуществлена на заёмные деньги. Это может считаться красным флагом: компания слишком зависима от займов и, следовательно, чересчур подвержена риску. Если у вас осталась непогашенная задолженность и вам требуется рассчитать оставшуюся сумму или оптимальные платежи по кредиту, это будет очередным примером задачи на стоимость денег с учётом фактора времени (см. стр. 119). Стандартный метод определения остатка по кредиту — применить формулу текущей стоимости аннуитета. Пример этого уравнения: Текущая стоимость =

[

]

1– (1 + r)–n r

где P — периодический платёж; r — процентная ставка за период; n — число периодов. Формула основывается на допущении, что 1) сумма периодического платежа и ставка не меняются; 2) первый платёж будет осуществлён через один период. Существует несколько различных вариантов этого уравнения в зависимости от структуры кредита. Не буду приводить здесь их все — целый набор этих формул легко отыскать в любом самом простом справочнике по бухучёту. 268

УЛУЧШАЕМ СВОИ РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИ ПОМОЩИ МАТЕМАТИКИ

Что нужно делать Если у вас есть задолженность любого рода, разберитесь, насколько велико ваше плечо и оцените наихудший исход. И не слишком доверяйте хедж-фондам: на слуху только успешные примеры, но было и много других, прекративших своё существование, когда их игра на бирже с использованием плеча обернулась масштабными потерями (для инвесторов, но не обязательно для менеджеров фонда).

Правило 78 До появления современных систем бухгалтерского учёта для определения оставшейся суммы займа применяли куда менее справедливые методы. Например, правило 78, теперь уже запрещённое в Великобритании, США и многих других странах, использовалось для оценки суммы остатка в интересах кредитодателя.* Представьте кредит в 5000 £, общая сумма процентов по которому за год согласована и равняется 500 £. В случае кредита с простой процентной ставкой выплаты распределяются равномерно в течение всего года, а значит, поделив 5500 £ на 12 месяцев, мы получим сумму ежемесячного платежа. Таким образом, он составляет: 5,500 = 458,33 £ 12 * Также его порой называли «правилом семьдесят восьмых» от одна семьдесят восьмая доля. (Прим. авт.)

269

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

из которых 41.66 £ — это процент. Если по истечении трёх месяцев вы решите досрочно выплатить остаток по кредиту, банк удержит процент за эти три месяца (125 £). Правило 78 функционировало иначе. По этой системе в случае кредита сроком на год процент преимущественно относили на ранние этапы, т.е. в первый месяц полагалось выплатить процент за 12 месяцев, во второй — за 11 и т.д. Таким образом, суммарный процент оказывался поделён на 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 78 долей По аналогии, кредит на два года делился на 24 + 23 + 22 + ... + 3 + 2 + 1 = 300 долей В результате, если получатель кредита решал выплатить остаток всего через 3 месяца, кредитодатель рассчитывал полагающийся ему на тот момент процент путём сложения долей от общей суммы процента, попавших по логике этой системы на прошедшие месяцы: 12 + 11 + 10 = 33 33

Таким образом, от должника требуют заплатить от 78 500 £ = 211,54 £. Поскольку это почти половина всех процентов за четверть срока, несложно понять, почему система считалась ужасно несправедливой и в какой-то момент была отвергнута. Однако, к сожалению, она до сих пор распространена в среде теневых кредиторов. Мораль следующая: никогда не берите в долг, если не понимаете, как будут рассчитываться выплаты. 270

УЛУЧШАЕМ СВОИ РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИ ПОМОЩИ МАТЕМАТИКИ

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ГЛАВЫ 7: 1. Математическое мышление и, в частности, навык счёта в уме могут помочь вам работать более чётко и добиваться успеха. 2. Старайтесь добыть самую качественную информацию, какую только возможно. С осторожностью делайте выводы из небольшого набора данных, особенно опасайтесь влияния случайности. 3. Достоверная визуализация — крайне полезный инструмент. Плохая же больше принесёт вреда, чем пользы, так что внимательно изучайте чужие графики и диаграммы. 4. Из теории игр можно вынести хорошее понимание азов переговорного процесса. 5. Посвящайте максимум времени наиболее продуктивным аспектам своей работы. 6. Будьте осторожны, когда берёте деньги в долг, и обязательно проверьте, каким образом будут рассчитываться платежи и какова общая сумма.

ГЛАВА 8

Доказать невозможное

Алиса рассмеялась. — Это не поможет! — сказала она. — Нельзя поверить в невозможное! — Просто у тебя мало опыта, — заметила Королева. — В твоем возрасте я уделяла этому полчаса каждый день! В иные дни я успевала поверить в десяток невозможностей до завтрака! Льюис Кэрролл. Алиса в Зазеркалье*

Из спортивного интереса в последней главе мы взглянем на несколько более запутанных математических головоломок, а порой и на объявленные за их решение награды. Начну с предупреждения: некоторые из описываемых задач дьявольски сложны. Их условия могут казаться понятными, но, тем не менее, решение отыскать предельно трудно. На этих задачах легко зациклиться и потратить огромное количество своего бесценного времени в попытках отыскать блестящий новый подход к их решению, но всё же гигантские денежные призы, о которых пойдёт речь в главе, вряд ли * Перевод Нины Демуровой (Прим. пер.)

272

ДОКАЗАТЬ НЕВОЗМОЖНОЕ

достанутся кому-то, кроме профессиональных математиков. Хотя порой и любителям удаётся добиться успеха вопреки всем вероятностям. Взять, например, историю Юя Цзяньчуня.

Настоящий умница Уилл Хантинг В голливудском фильме «Умница Уилл Хантинг» Мэтт Деймон играет уборщика из Бостона с трудным детством, который оказывается гениальным математиком и круто меняет свою жизнь, когда его берёт под своё крыло блестящий профессор Робин Уильямс. Решайте сами: эта картина — просто слезливая ерунда, способная, однако, поразвлечь зрителя, или же очередной пример того, что Голливуд никак не может понять, что значит быть математиком, и вновь обращается к клишированному образу измученного гения, карябающего формулы на первой попавшейся стене или ближайшем зеркале. Но однажды в реальной жизни произошла похожая история. Юй Цзяньчунь, китайский мигрант и математик-любитель, оказался в центре внимания мирового сообщества, когда открыл альтернативный метод определения чисел Кармайкла. Ему потребовалось восемь лет, чтобы убедить хоть кого-то принять его слова всерьёз, но в итоге работу признали выдающимся достижением. Чтобы разобраться в открытии Юя, нам потребуется краткое введение в числа Кармайкла (на случай, если вы ещё с ними близко не знакомы). Малая теорема Пьера Ферма гласит, что если p — простое число и a — целое число, не делящееся на p, то 273

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

ap –1 ≡ 1 (mod p)* Таким образом, у нас есть относительно быстрый способ проверки, является ли случайное целое число n составным (т.е. не простым). Для этого выберем a (которые не будут делиться на n) и проверим их на соответствие приведённому выше утверждению. Если данное соотношение не выполняется, то число n точно составное. А если, напротив, возможно найти несколько a, для которых данное утверждение верно, то есть причины полагать, что n с определённой вероятностью простое. Теорема известна как вероятностный тест Ферма на простоту. Разберём простой пример: n = 7 — так что нам нужно выбрать такое a, которое не было бы кратно n a=6 p=5 Верно ли, что ap – 1 ≡ 1 (mod p)? 64 = 1 296 = 1 (mod 5) Хорошо, это одно доказательство, давайте поищем ещё: a = 10 p=3 Верно ли, что ap – 1 ≡ 1 (mod p)? 102 = 100 = 1 (mod 3) Из этих двух тестов следует, что 7 — простое число (что нам и так, конечно, было известно). У этого подхода имеется две проблемы. Во-первых, для некоторых чисел a и n утверждение an – 1 ≡ 1 (mod n) * На случай, если вам требуется освежить порядок сравнений по модулю: число описывают как 1 (mod p) (1 по простому модулю p), если оно на 1 больше любого целого числа, кратного p. (Прим. авт.)

274

ДОКАЗАТЬ НЕВОЗМОЖНОЕ

верно даже при составном n. В этом случае число a называют лжецом Ферма, а n — псевдопростым Ферма. Вовторых, что ещё хуже, у совсем небольшой доли псевдопростых чисел Ферма все значения a, которые можно использовать в качестве основания при сравнении, являются лжецами. Эти числа и называют числами Кармайкла. И хотя встречаются они намного реже, чем простые, чисел Кармайкла всё равно бесконечно много. Лично мне кажется, что осознать концепцию чисел Кармайкла проще прибегнув к так называемому критерию Корсельта. Простите за такие, на первый взгляд, мудрёные отсылки, но его идею довольно легко понять. Составное целое число n является числом Кармайкла, если и только если все его простые множители отличны друг от друга и для каждого из его простых множителей p число (p – 1) делит число (n – 1). Например, наименьшее из чисел Кармайкла 561 = 3 × 11 × 17. А 560 делится и на 2, и на 10, и на 16. Существует всего 2163 чисел Кармайкла меньше 25 000 000 000, но хлопот они создают много, поскольку делают вероятностный тест Ферма на простоту намного менее эффективным, чем он мог бы быть. И хотя кажется, что простые числа — не более чем навязчивая идея всех математиков, наш обзор цифровой криптографии в главе 6 должен был продемонстрировать, что способность быстро факторизовать большие числа и определять, являются они простыми или составными, — это довольно важно. Именно этой задачей увлёкся Юй Цзяньчунь. После переезда из деревни в город он устроился работать в службу доставки, но в свободное время посещал лекции в университете. Юй никогда не проходил систематического обучения и не брал частных уроков, а только интенсивно размышлял в свободное время о математических пробле275

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

мах и разрабатывал собственные методы. Ему потребовались годы, чтобы отточить свою идею, и ещё больше — чтобы получить признание. Человеком, который в какой-то момент прислушался к словам Юя, стал профессор математики Чжэдзянского университета Цай Тяньсинь, впоследствии отметивший, что математик-любитель «имеет настоящую чуйку на числа и крайне тонко их чувствует». Теорию сейчас ещё проверяют, но кажется, что работа Юя Цзяньчуня демонстрирует принципиально новый подход к определению принадлежности числа к числам Кармайкла. Если это действительно так, то ей найдутся крайне полезные применения. Цай Тяньсинь планирует в скором времени опубликовать теорию. Сам Юй в настоящий момент открытием больших денег не заработал. Однако он стал своего рода местной знаменитостью и получил приглашение работать в академической сфере, что может в будущем позволить математику исполнить мечту обзавестись жильём и семьёй. На этом фоне стоит отметить, что некоторые другие известные задачи по теории чисел принесли бы любому, кто сумел столь далеко продвинуться в их решении, огромные деньги.

Премия Била: настоящий вопрос на миллион Один из способов мгновенно заработать миллион долларов — вывести рабочее, верифицированное доказательство гипотезы Била* (или привести контрпример, * Также известной как гипотеза Тидемана-Цагира — некоторые математики предпочитают данное название из-за споров о том, кто первым сформулировал проблему. (Прим. авт.)

276

ДОКАЗАТЬ НЕВОЗМОЖНОЕ

опровергающий её). К сожалению, это классический пример задачи, которую сравнительно просто объяснить, но невероятно сложно решить. Формулируется гипотеза следующим образом: если Ax + By = Cz, где A, B, C, x, y, z — положительные целые числа, x, y, z > 2, то A, B и C имеют общий простой делитель. Например, сумма 27 + 216 = 243 может быть представлена как 33 + 63 = 35. При этом 3 и 6 делятся на 3. Или сумма 531 441 + 4 251 528 = 4 782 969 может быть представлена как 274 + 1623 = 97, а 9, 27 и 162 также имеют общий делитель — 3. Гипотеза гласит, что для любых чисел, удовлетворяющих приведённому выше уравнению, A, B и C будут иметь общий простой делитель.

Визуализируем гипотезу Била Другой пример решения Ax + By = Cz — это 343 + 2 401 = 2 744, которое можно представить как 73 + 74 = 143 (общим делителем выступает 7). 73 можно визуализировать как куб из 343 отдельных блоков. 7 × 7 × 7 = 343

277

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

А 74 можно представить в виде семи идентичных кубов.

7 × 7 × 7 × 7 = 2 401

Если сложить их, получится восемь одинаковых кубов, которые можно пересобрать в один. Измерения нового куба будут увеличены в два раза относительно измерений первого — он представляет 143. 14 × 14 × 14 = 2 744 278

ДОКАЗАТЬ НЕВОЗМОЖНОЕ

Прочие решения Ax + By = Cz аналогично могут быть представлены в виде кубов или наборов кубов. Контрдоказательство гипотезы Била включало бы похожее финальное перестроение в один большой куб, однако осуществить его без разбиения исходного куба (или кубов) на индивидуальные блоки было бы невозможно.

Одну из версий этой гипотезы в 1993 г. сформулировал миллионер Энди Бил — предприниматель и математиклюбитель, изучавший обобщения последней теоремы Ферма*. Когда в 1994 г. Эндрю Уайлс её доказал, Бил решил назначить награду за доказательство своей собственной гипотезы. Денежный приз хранится в трасте Американского математического общества и присуждается Комитетом премии Била. Сумму несколько раз увеличивали, благодаря чему сейчас она составляет 1 000 000 $. Карьера Энди Била впечатляет. Изначально он заработал состояние на инвестициях в недвижимость, совершив свою первую покупку за 6500 $ во времена учёбы в Мичиганском университете. Постепенно его интерес распространился и на другие объекты — так, Бил приобрёл в Нью-Джерси два здания из числа муниципального жилья под названием Брик Тауэрс за 25 000 $, * Последняя теорема Ферма гласит, что нет таких целых положительных чисел a, b и c, которые удовлетворяют уравнению an + + bn = cn при любом целом n больше 2. Таким образом, это частный случай гипотезы Била, где x, y и z принимают одинаковое значение. (Прим. авт.)

279

ХЬЮ БАРКЕР. МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН

а двумя годами позже продал их более чем за 3 млн $. В 1988 г. он основал в Далласе Beal Bank, из которого взрастил бизнес с активами на сумму более 7 млрд $. Миллионер также управляет частной компанией по запуску спутников Beal Aerospace. Ещё Энди Бил достаточно хорошо играет в покер, раз смог одержать победу над командой профессионалов в самом дорогом чемпионате по Техасскому холдему в истории. Игра с минимальной ставкой в 100 000 $ проходила в казино Белладжио в ЛасВегасе. То, что Бил лихо пренебрегает всеми рисками, проявляется и в стратегии Beal Bank: они нередко скупали активы, настолько упавшие в цене, что это отпугивало других инвесторов. Например, банк крупно вкладывался в сектор производства электроэнергии и соответствующую инфраструктуру в период энергетического кризиса в США в 2001 г., в долговые ценные бумаги на покупку самолётов после атак 11 сентября и в ипотечные кредиты во время мирового финансового кризиса 2008 г. Тогда же он поглотил целый ряд других банков, не переживших кризис. Но несмотря на все его успехи и несомненную деловую хватку, Билу так и не удалось отыскать кого-то, кто смог бы решить задачу, так увлёкшую инвестора более двадцати лет назад. То, что гипотеза столь упорно никому не даётся, можно объяснить как минимум тем, что она представляет из себя крайне широкое утверждение, и даже частные её случаи с точки зрения математики для доказательства очень сложны. Так, последняя теорема Ферма — это есть частный случай гипотезы Била, однако между моментом, когда Пьер Ферма записал её на полях своего экземпляра «Арифметики» 280

ДОКАЗАТЬ НЕВОЗМОЖНОЕ

Диофанта, и тем, когда Уайлс опубликовал доказательство, прошло 358 лет. Питер Норвиг, один из директоров корпорации Google, организовал масштабный поиск контрпримеров гипотезы Била и установил, что их не существует как для x, y, z ≤ 7 и A, B, C ≤ 250 000, так и для x, y, z ≤ 100 и A, B, C ≤ 10 000. Конечно, этот подход может что-то дать для определения истинности или ложности гипотезы, лишь если контрпример найдётся. Неспособность обнаружить опровержение не доказывает гипотезу, как долго бы мы ни искали, поскольку сам по себе тот факт, что мы контрпримеров не знаем, не значит, что их не существует среди бесконечного множества непроверенных вариантов. Также следует отметить, что найдено довольно большое число примеров, совсем немного не дотягивающих до опровержения. Например, гипотеза Ферма — Каталана строится на уравнениях, схожих с утверждениями гипотезы Била: am + bn = ck при 1 1 1 + +