Table of contents :
まえがき
目次
第1章 序論
§1-1 Pontryaginの最大原理
§1-2 数理計画法（Kuhn-Tuckerの鞍点定理）
第2章 関数解析よりの準備
§2-1 Banach空間
§2-2 作用素
§2-3 凸集合
§2-4 Hahn-Banachの定理
§2-5 Kreinの定理
§2-6 dual cone
§2-7 直積空間
§2.8 Fréchet微分
第3章 基本定理（Duvovitskii-Milyutinの定理）
§3-1 定理
§3-2 補題
§3-3 定理 3-1 の証明
§3-4 Γ^{f^*}_{x_0,\,j} の決定
§3-5 Γ^{t^*}_{x^0} の決定
§3-6 定理3-2の証明
第4章 数理計画法（Kuhn-Tuckerの鞍点定理）
第5章 固定端に対する最大原理
第6章 Pontryaginの最大原理
付録（Lyusternikの定理の証明）
文献（直接利用した本のみ）
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論
序
苦 早
第 一
昴知和理と、牧理計画考をめぐる言只題と鶉災しより
と思う。
そわと言あ明するのに、 ミ ミ < . ' ' l 1 ?つの ~
§i 1
ヽ
トc oック入をと Jあげら。
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あ這定された点に、パネて＇つな力＼＂れなが
蓮勅をしている物体 M と考える。
M 1-: ↓す、
エンジンカ＼＂備え 1 寸げられていて、この力と止て'’
表わそう。
ミ の 力 い に ↓1
力＼’｀あるとしよう。
て表わす。
I 叫三しなる限界
平侑戸位置からのずれと文
平待戸位置から
x ff = ＂けずれ＼
勅恙度 ・ x 1 が＂与え 5れた ピ苅うし M L 1 運勅祖到 ( l )
正え＝ー企ズーし ' X ( O ) ＝ 文 10‘`
（ え0) : : . ぢ に従ぅて｛デ転す、う。
血
゜ 罰 ー ロ
( k:J¥｀＇ネの弾 ` . ｀ : .I 9
• •
M M
0 1 、 生 定 教 ）
ミのとき、 ，
凹玉し．「ながくく短い時 l 旬ド平衝の位星凡戻す
を し ＂ う 4 勤かも
ようにするドはエンぶ｀ン＇の力し
いいかえるヒ，
ヽ ノ
¥＼ーー／
丈 0( μ
¥＼ーー／／
3.
／ーー＼、
︱ ︱
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ヽーーーー／ ＇︵ヽー、ヽ ／
／ー＼＼
x x2
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ズ
T ー一仇ー ︵ 汀
＋
︱ ︱ ︱ ︱
‘ヽ＼ーー／ 、 7
x Lx土 仇＼ー／
ー
／ー＼＼
︱ ︱ ‘ ,
ぉ _o ・ ヒ￨ー＼ ィ
ー
・(rヽ
／ー＼
( 2 )
︱ . ぇ＼l︱ .
一
ヽ＼ーー／ ︶ x x2 ) .00
︱ ︱2
叉
叉
︱ ︱
x / i t l t 凶和 ＼ l ー／
た；よいが。」 を角えよう。
l Uは ）I ~ C l 勺もみたす
叫），
T
~幅て'IT
も最小にする
ような 叫） と平めよ。゜
ミの内題と一船化し訪。
ズ ＝ （ X1,・・・・，ち） €附とする。
~io汎
記・ハ中の）句集合ーじ「 力＼＂与えられて いるとしよ・う。 あ るt ll 旬［ 士 。 ， 尤l ] で定ぷ といわれる
され t
u に直をもっ）莉敬
c o n尤r o l
叫）
を
［定炭釦勺は、初め応与え ；れているかt < ｀はなし 1］ こ 仏 t¥＂ a d . 況 i ni bl e といり。
i f ： ： し す 、
9 . 9 9 ‘ VI
•.•
,＂.l3,9
之、分的［て連続
、 ”
c o n . t Y oI しは、
． ．
•.
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し．．汀・乳' り.・ ...9••9
r ム
•.
． ． ．
••.
1 f 、 ‘
L e b es 3l , { , e 可浪りな CO冠 r o l のこしである。
、Lebesiぃe可和 1な 南 数 を
しかし、:ミ ( . " I d ' 危えよう。 ヽ
、 7
士 ヽ
徽 I分芯裡式系
( 3 )
u ・ )
阜 -f(X, c l t ― "
f = ( f ,J . . .，姦）
ミミ t "、
炉 x］ し
て＇定第、された
， ．
を角える。
t "次の・ん反定をみたす， 尤
9(x,L) 旦f
渇 ： 、
附の岳，冗゜） 九。乏尤 ~
又 ＇ 』
t 1
( 9 X° —→，ズ＇
す ． いU
f ;い）
貯
l
x u . l : t "遅純てある。
力＼＂与え；れているししとしう。
て ＂ 定 義 、 ＇ さ れ
が且゜
し書く）
f て を
し0冗 t Y o / - 以尤）
況次元 I ¥ ’ 'ト ク lレ直肉数
l.~, いて 1扁筏文分可桂 t''\
. l : : .の連統又＂ 叙＆す
心、
如（如紅 l•¢le
ぇ ＇ に衿す
ヒ （ な 、
ぬ ： （ 士 ）
（ 午 ）
石＝す（・ X( t ; )， 此t ) )
( 5 : )
x ( : t。 ） ＝X O
奴丸）＝ぇ＇
をみたすヒ 3い ら 。
3
（か，力） て ＂ x （ 丈 ） l i連統＇
tf 。 を 炉 xU
て＂役女分可肯とこ’'ある。 上t "足羨ぐれ : r ドつい
さ
n次 元 f¥"ク ト lし位）荀孜て＂，
ユ ax•, l 3 と
t 偏叙分可餞て'’
( ズ eR九 ，
う に ん と ‘ 、 全I Iぅ灼
咋
U)
x
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につき連統てあるヒ
ミりヒさ，
しトう。
＼ 且 懸 土 、 す る 。
゜x ' ガ＼＂炉
X
’ ' t 与え社れていると
ざ と え1 に 衿 す a 必t l ' s s i b ￨ e
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瓜オ） （ t5尤 S
J三［土，す。・（ズ
力） の中 Z . " '
( ; t )，比（叫））は
尤 。
を表小とする Co九m . . oI を平‘めよ。 ミ ~'t' 、応／尤，
l1-
Uは）に依存してお＇リ，
勃め力＼ ；午えられてし（うわげて＇はない: lて ち、こり b
上り如さしo ? l , 炉 oI 厄 立に互呪 a .I t
竺 ヒ し 1し1、対応すう 平
0 l況
aI一ーなAjectorg
食 三 1
t［てラ主党，
P l とき、
上の内題は、
x （大）と しいり。
J=（丸ーか） 「X 0
へ
特に、 となリ＇
e .X' に 杓 す 邸 叫 叫 e ムI
ものた Ml ：要する時内の長小
CO孔丈 r o l の 中 て ＂ 、
な C . o豆 Yo／ を平｀仇よ」
‘ ‘ れ を
ヒなる。
た； m.~ -o p t i吼 a l 『roble況ヒぷひ＂，
特に大切てある。
k , R e m a r も し 以は） （ ' -．尤。三土乏力） ガ ＼ “ ｝冠題乙に対 mop 右四 Ic . o? 1 .尤r o lt "あれば＇． 位梵、り良芍女てに対し， V（ 士 ）
＝ l L（t -て）
(え o ナ て 三 尤 三 丸 十 7) も
o p丈i 加戸
-Co?t岱 o／
てある9 .
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ミ・ミて疇 2 を l 図未しより。 士
戸 ） ＝ ［ い ( $ )1 ll(S)）な む
tI ; ' ．汎
¥
烈l
t A = 0 . . . . .
い＝し
（疇＋伶）広） t " 仏＝んの湯令，尤＝丈，こ'’
1： ： ： ( . 〇 9゜)でぁるか；ヽ(凡。） を甲じヒし｀ 輝 Q . ,;1)F l に ラ 店 っZ . ' . X .l " l桝、＼焦にし 1 ） 内 息 ， 茂 °
も＼＂存在する。
む ぼ0)i¥"凸である
x， 牙 eX ヒ．イ辺意の I\ （廷入 ~I)
f （ 入X .＋ （ Iー入冴）三対（エ）＋（ l -入 ）f ( ） 枡
力＼＂成立するにさいう。
［定義‘ 2 ・ 6 ]
L 力＼＂ X~（綿型）舒韓閏
( l iれeay 叫 s p a . . c e ) であると 11..X0 野集年 t " 、 ＼ ＂ 哀 已 返 Lて、あ廷 l不， 樟空豆閏外とさいり。 L力 ある忍稟い疇敢
fヒあぅ足教入
力＼＂あ
L =｛zlz€X,f(x)→ 、 ｝
' z . :
t ` ` ～ゎされてしI~ ヒさいり。 （ 我 ） f e Xメな還'’,L=tx:1x~x, 寸（X)：：：刈 」
l l
l 引第合であう。
2 4
［合題 2-＼］
i ,牙と X の帝げ分空間 X 1"
定義された綿翌和関数可る。 ( I )
{xI x~
し）う(X)=O
力 ＼ ｀ ＇ 底 ｀ 立 す れ ば ＇
I
もし
J CにIXELがx)＝0}
~=心となる入力＼＂存在布。
（証 8 月 ） 戸 0 なS l 1 " 、l (）のた辺はし全体しなリ． ( I )の和辺 1 1
eL
ぶ9て名三 0 人 ： ： ： ： O
｛吉 0 な~ l -;."いす（だ）キ 0 な る
亡恥で＂よし＼。 父 °
Le 含 も 。
吋(~0)- XO如 ）
力＼＂存在する。
U)のた北り集合に入いうか
l で
5、 (I)の応地の集令 l て
し ‘ )2、
入 ‘ ｀ る ．
炉 ） 如° ) g（か）戸）＝ 0
り えF
贄
=f （ え ） 、 がX-)=主 択匹） 、
[ Q . E . .D . ]
3 0
§2-3 凸 集 合
［定義 2 q ] X の・中の集令 A ヵ＼＂土声叩 ex) であるとほ、仕姜の丸サ€ A， ヒ に対し
0~ 入三 L
z . . 入: X :t(I ー入） ~EA
のヒきいり。
［命題 2-2] x。 EAJ げ . E A ' 力＼っ A ヵ＼＂ c o n v e x .な ；↓ 本 ＂ ． ． ／ ＼ 工 。 +U ー入）炉 eA ゜ ( o S入 三l ) 、 、 ミ
Z : '、A ゜は A の 内 ほ ， n集 合 、
⑮明）
+（（一入）サ゜
2・ 。 ＝ 入 エo
かe A ° 切、 サ ｛lll佑 サ ゜ II : O、力＼ ？
t （ス）吋( ) C )
守
99
ヒなる。
[ G .E . .o . J §a-6
仙叫
・ ・ ヤ
‘ ,
、 .t
＼ ↑
`*•• → ． )の 亀
＼
. , ＂ ＇
1つ
．
1
ヽ ー ノ
［命題 2.-3 ] K ウ＼•IX のキ韓笙内な；心‘•` k 升＝ 註 ；諏）＝ 0 (V 廷 k ) j
ix *
⑪環）’，'-:
i這のざ €k外ヒ仕意の xek ド対し。
3 6
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定で ［
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如え）•40`•へ下｀r - X
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迫心明；か， ~'
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[Q.E、 L]
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,4≫ ・ '
i€X* （ 炉to) ヒした峙 k l=l イぇ；ナ(?L)＝ 0}ml で ' . . K 「国；焙叫 k ュ ＝ ｛ x;知） 2 0 Jな註＇、応＝ l 入t ,入こ 0 J Kバ ゜ 、 叉i加） 2 0 }な；ば、 K ;=t 入t ; 入2 0 J
［令題 •2-4] じ ）
じt ) 紹l )
し祥哨） し i )甘知に、
s
K l t 吐r . p心 で あ 和 5
k 「 = ￨ ？ e x ； 升｝ は ） ＝0 (灰 ek l ) }
ヒ書ける。
~m 、 閲）国；入 e 良＇｝・ぱ明 s~ ヽ•
O
仕 免 ． A ｝€k↑ド対して、もし虹）to 逸I て｀ 和
tXe ,K o l な；ほ'’}は）：： O てあるか5` く 、
、
しx；知）＝
o J c{X;~は）＝ 0}
声、［令題、 2 l］ よl ) 邸 ）
伊 ゜ 別 で j ＝入す．となる。
は ： 月5
k
入f（入 LO) €
8
迅[-=.位乞り
d " ek iに対して、
（ミつい ll 1 . ,
xek l え
が
G
f(X)=0 しなら X
（ 一 エ ）e kュ 又＂あるか
3 り
s ¥
祁x)2.0
i ( x )20 . K べ ~(X.)= 0. 声 ・ {x；如）＝ ojci x;§は）＝ o j , 前ヒ l 司 キ 阜l てし 1、 f 入eR＇ となる力＼‘’` カ ＼ つ
> o tひ‘る父
す(X)
ょl )
い
l てつし 1て ｝は）三〇。しなうこ t
入之 0 b¥＂ 1 足 う 。
詞吋€応（入 20)
月 砂 ， 翫、 ｛土意(/J i ck について、了 (:l'.o)> l な8
：
なるふ €X と、 1 土意の文
。
e k 2 .F対し
Z . ,
f （心十(¥ー入）ズ）＝入れXo)-t（l ー入）位） ＞〇 (Oく入••••
t•
下没しf t e ) t 筏妨ト
~2- ~ ［定義¥2-t O J
x l1J¥5X上へ
1 拝l 妻下り＼＂又。で F 心にt 徴分可肯にあるヒは、 X ,力＼： I¥の急紐な 緯型 4 傾素丁力＼＂存在し 、1 達 o 礼 exl l: 0)
: 1
対し
x と
。
F は バ）＝下（叉 o)+T（孔）ナ鯰o） い 0
b ¥ "灰 ＇ 立 す
3ミと t "あ 3。
ミ : 乙 ＇ ‘ し 心 ．
― →
l 恥゜浅）l I Xュ l I 孔l l x 0(I 0) l ↓、......'',.:..,.... 鴫
9
凸→
T（孔）と Fの又。ド裕げる 店乏比は 芦分とし＼い戸（又o)は］と書ヽ。
を表（＝ホ
ミ 匂
#0
［命題2 -5] 、 下t (X) t ¥ ’｀文。て" F r f 比e 尤 彿虚可能な；ほ＂｀
こ ¥ } 月(L)＝こ （At） 月（ふ） ャ1 外；，ヽ
・ 汎 ， ；
9
l ’
’
／＇，；ヽ
t = 9
-
ヒなる．
澤明）
明切である。
［命題 2 6 1
F(x)6¥ ＂XoL" 下Y e c h e 尤
微分‘可託 t " 凸 な 汎1 " , F ! （か） ［ エー工。］ SF(x)-F 0 ( o )
¥xex)
t ¥ ＂ 沢 ｀ 立 す ふ
は諷）
Fl で凸である力9 5 , F(￡又十 llーと）ェ。）三￡ F ( エ )+（l-c汗（知）
、
Fl1FYic区右叙グ可罷℃＇あうか；、 F m t (（-C)X。)＝F(Xo)Tf~（ぇ。）区 (x-Xo) ］.. + •い tに（又。；塁．一必.)) ヒなるが、
ミれを上式に氏入して、
戸（えo )［ ' ) ( _ ― X。]豆声）ー試）
午I
et`'吊l tれば、
＋臼飢X。;￡(X-（）o ) )
、 ‘ ミ て ＂
cヽo
とすれば、先辺のサュ項 l l ' . .
セ'blミいくか 5 ,
訳X o ) . . [ x x 。]三 F は）一下はo ) ズ lで仕意 t‘' あうか 5 ．命題も＼｀•和砕
“ヽう。
ミtl :+J.'·~,
[Q、E P . ］
• ［履 2-q]
F ょ を
B a 匹亙空閏 Yd、 5
Xi への文。 t" 下'{€cke尤 1紋伶可令とな作 l祠桑 吋ぅ．
下 ・• を
Y →□(x)， 9
0
°
9E(1) ）
y'D'~. X= (Xl ' . . . ,X 4 L )へ の作l 祠 妻
中心'、.
FI芯 ふ
t "
F v 乏ば方微文介可経こ’’
下年） ＝（ F 知））．．．，戸（えo ) ) となる。．
は環）
定 義 ‘ よ ＇ ） 危 ら
ヒ
I ミで｀う。
仕 乙
第3 茸基本這（加v o v i均 紅 ーM i l 戸i い）定理） し ’ ,
3 1
~
; . 、
定埋．
「恥砧空朋 X
t"U 誓訊数下。ヒ
尉牛集合といわれ} X . ,部／分算冷
Q tり ：) 1 ． ，
年
’9
l )
が与え5 れてしl るとき，
冗l)t尻 ro(X) t , . t , I xe(¥Q,
( l )
=F o（だ）
k = 1k
とぅ為足する
” + ＼
が €nak を加ばJ } = I
という）打愚と角える． ミ ミt " 亀
.
亙旦 1 訊 -
2、
ょ キ ￠ょ (= l , . .、.，況） F 。 ( x ) l x , x゜で F母 keた 叙 分 0
Q
＼ 焦
す
可荏とヒしよう。
ミoa)勺題と解くのにいくつかの椋鯰砂‘要と訊
} す ' ’ ‘ ［定義3-1]
，
和eX ヵ＼＂ X °eX lて裕‘て
F 点）のばiyect[onof i e C Y e a s e ￡ 。 > り
rj)0
と適者にいれ l 不 ＂ 、 午3
叉＂あうとは
( 2 )
F ぶ汗蒻）三 E（定）一￡メ (Oくしく t " 。 ) ゃ
＂成立了る。
威ヽクが可．（か迄o '九
o f ー 必e c Y e a . . . § e )
の
合箔厄 閂で表爪り。 ＇ ， ≫ ミ の' t と き 、
［福思 3-l]
「 ： 。 = ｛ 孔 ； F ／ （ い ［ 匂< 0}
( 3 )
0 '
i ,.・..
澤明）
e r ; 6
実際， 礼 幻l 不"9 F 。 ( 7 , ) ば、。た゜ 臼ふ尤徴分可屑t 乙＂あるか；、 （ 午 ）
I "
E (父0 t t f ) = F 。 （ か ） ＋F 。 加 ） ［ 孫 ］ ＋E （広匂 となる。
ミ 、 、 こ "l R ( X °し ； 晶 ）l l =o(￡ll化I I 〉 . . . 舛
、
ゆ え に 、 ： ： ： れ を (2) のた北に代｀入して、らば） を租したのすに、￡て＂象 I り 6 0 ど 1
杯 lず、
翫 囀 ］t にす鱈； ￡い）三一ぷ ￡↓ , 0 厄得る。
が霊；晶）i l 叶.0（旱I I〉 二
0 ( 1 ) (￡ メ ぐ し0 )
て＇あるか
5、
F に）［孔］三一がく 0 である。
追｛＝＄孔を日（だ）［も］ ＜〇
ヒ レ ；
が＝一
i F 。 ! （ だ ） ［ 孔1
如す 1 凡（か位） I =o t
こ ＂ あ う か 5 ． ¥ ずI R （兄゜；該9 ) ￨＜ が (Oくとく ￡ 0 ) J
l
ぃ）ようにとれば，
性 ） ↓ ` り
E（か球）＝ F （か— d£
(O0カ＼＂ D < ・ . I : .くも。， ￨ l 企 酪l l ＜ぶなる
t "あるとは、
あ9 て
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