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DOBLE
VERIFICACION
PROTOTIPO
Gerardo
Y
DE
LA
TEORIA
APLICACION
DEL
DE
VLASOV
METODO
DE
MEDIANTE
LOS
MEDIDAS
ELEMENTOS
EN
UN
FINITOS
Rodríguez
Instituto
de
Facultad
Estructuras
de
y
Transporte
Ingeniería
Montevideo
Resumen Se comparan medidas efectuadas en un prototipo, confeccionado al efecto, con los valores calculados aplicando la Teoría de Vlasov para barras rectas largas con sección de pared delgada abierta y los calculados aplicando el Método de Elementos Finitos. La barra fue empotrada en un extremo y se cargó transversalmente según tres configuraciones de la carga distintas en el extremo libre. Las medidas experimentales útiles fueron deformaciones específicas lineales, hechas con ''strain-gages''. Los resultados obtenidos son concordantes. 1.
Introducción
La
sección
barras
de
da
diversos vigas
o
La
al
arcos
liosa
de
de de
se
Z.
vés
de
un
a
riguroso
la
torsión
no
de
la
distribución
tales estudio
un
simetría estuvieron de
las
y
para
para
el
cubiertas
alas
de
una
en
las
estudio
de
industriales,
aviones,
gran
el
navíos,
rigidez
perfil el
simple 1909
por
en
rela-
y
con
de
con
fuerzas
de
la el
mostraron, estado
pared
a
los
de
es
a
tra-
resultados,
teoría
de
problema,
es
primera
-elas de-
a
su
vez, pla-
creado
métodos
de
experimen
progresos
delgada,
la
aproximada.
por
tensional los
va-
lineal
conducen a
con
una
trabajo
perpendiculares
vinculados
sección
es
suficientemente
que del
rectas,
elástico que
(Bernoulli-Navier),
estrechamente barras
sencillas
'técnicamente'"
apartamiento
plana,
forma
físico-matemático
en [E
la
secundarios
resuelven Bach
de
largas,
solicitación
comportamiento
hipótesis
aspectos
de
barras
comprensión
relativamente
ensayos de
o por
cualquier
desarrollo
que
lineal, forma
la
introduce
ticidad los
[1] bajo
Admitiendo
en
en
fuselajes
caracterizan
Vlasov
contradictorios
Desde
geométrica-
adecuado
construcciones:
delgada
contribución
material,
teórico
empleado.
B.
del
las
puentes,
pared
estructuras.
-característica
modelo
de
Estos
tas
cir
delgada
un
material
teoría
sección
a
elementos
proyectiles. ción
pared
lugar
tanto
en
el
para 383
sugerir Por
hipótesis
otro
vino
lado,
el
en
de
para
de
los
de
barras
Aparecen
dos
teoría
de
el
la
con
Vlasov,
de
de
el
trabajos
Método
de
de
los
pared
y
el
nuevas
Elementos aptos
Fini
para
re-
casos
delgada,
concre-
adoptando,
en
verificar
la
lineal.
naturaleza,
experimental
sobre-
él
deseada,
elasticidad
diferente
Vlasov con
programas
aproximación la
de
digitales,
muchos
sección
hipótesis
caminos,
los
poderoso
Existen
con
rectas la
a
teorías.
computadores
difusión.
prácticamente
particular,
verificar
posterioridad
particular
amplia
solver, tos
con
desarrollo
técnicas, tos,
como
para
Método
de
los
Elementos
Finitos. 2.
Objeto
del
trabajo
Se
eligió
una
barra
larga
un
prototipo.
para
construir
Vlasov
para
validar
d/1
las
sobre
a
transversal
supuestas la y
E
infinitas
A
deforman,
"rebanada"
normales
sección
y
e
Fig.
se
Vlasov
planos,
la
a 2)
SÍ
Cuando
de
llamaremos
dz.
de
paralelas
espesor.
1,
de
normales
t,
teoría
los
consecutivas
actúan y
la
la
entre
coordenadasz
rebanadas
de
de
2
rebanadas
el
plano
mantienen
invariadas
perpendicular
a
la
su
proyec
generatriz
de-
formada. Esta
hipótesis
se
transversalmente desplazamientos que o
aparecen flector.
elástica La
aún La
segunda
expresar
rígido".
Esto
gran media
diciendo no
deformaciones en
los
significa
específicas
"el
que
perfil
no
solicitaciones
clásica
de
Saint-Venant [para
primeros la
perpendiculares
es
barra. luego
pero la
no
ausencia
Las de
las
por
-
produzcan los
directa la
-
alo
torsión
--
segundas. de
distorsiones
generatrices la
se
es
longitudinales,
de
hipótesis de
que
ausencia
teoría
admite
superficie siguen
y
suele
deformación.
y
las Esta
en
la
directrices hipótesis
385
se
contradice
blece tor
el
con
valor
desecha
los
de
esta
+
resultados sobre
la
de
línea
contradicción
la
propia
teoría
media
de
la
aduciendo
la
pequeñez
que
esta-
sección.
El
de
au-
esos
va
lores. 8(z)
el
giro
de
la
sección,
define
de
de
la
Si
¿(z)
es
sección,
el
desplazamiento
en
el
elegido
sentido como
origen
en
un
el
desplazamiento
M
punto,
polo
media,
|x(s),
en de
de
las
también
y(s)|
el
y
es
obvio,
Conocido nal
el
de
£(z)
es
sentido
un
línea
el
"alabeo"
la
n(z)
M,(x,, u(z,
media
de
de
resulta
un
des-
de
la
w(s)
y1)
s)
el
A
sectoriales
con
la
línea
punto
gené-
ser:
-n (2) ly(s)-y1]-07 (2Ju(s)
desplazamiento
desplazamiento,
y
arbitrario
áreas
arbitrario,
la
x
punto
longitudinal
u(z,s)=2(2)-E7 (2) |x(s)-x1] Como
e7(z),
sección.
plazamiento
rico
a
Z:
o
Siendo
longitudinal
deformación
de
específica
(1) M;.
longitudi-
es:
e (z,5s)=2" (2)-8"(2) |x(s)-x1)-0n" (2) |y (s) -y,|-0"" (2) w(s) Se
demuestra
formación do
que
entonces
forma
casos
y
de
la
se
supone
«nulas.
386
alabeo
de
la
línea
existe
media
un
polo
absoluto",
con E,
de
un
punto
longitudinal de
(3)
y
alabeo'
(4)
M,
nula, tal
forma
que:
de
la
línea
existe
un
media
polo
D,
con'de llama-
que
la
"ley
Saint-Venant que
las
(4) muestran
que
los
longitudinales de
particulares para
de
llama-
(3)
existe
específicas
admitidas,
como
de
M, nula,
= -0"(2)wp(s)
ecuaciones
formaciones sis
si
sectorial
e(z,s) Las.
punto
sectorial
específica
'"centro
un
longitudinal
= -0” (Z)up(s)
similar,
formación do
existe
'centro
u(z,s) En
si
específica
(2)
la
las
áreas
torsión.
deformaciones
con
sectoriales"
distribución la
desplazamientos
siguen, plana Esta
específicas
las
que
y
de-
hipóteincluye
(Bernoulli-Navier)
última
se
obtiene
longitudinales
si son
Si
admitimos
de
(2)
1
- v?
=
1,
donde
v
es
el
coeficiente
de
Poisson,
resulta
o(z,s)=Bbc5(2)=5"2) :]x(s)=xp | =0 (2) | 068) yy]: =0t6z)Jw€s) 165) determinación
dependen
de
las
de
ta
de
Al
condiciones
establecer: las
características tos
estáticos
el
funciones
de
ecuaciones
de
de
la
usuales. S,
"momento
sectorial
de
o
ejO
Estas sea polo
la
y
posible
1,
x(s), sea
Con
esta
el
usual,
pales
de
las esa
w(s),
de
nuevas
los
momen-
wdF de
inercia":
de
de
dos
de
wydE
la
elección
0xy
áreas
de
x(s),
aparece
y(s)
en
la
y
w(s),
fig.
1
del
sectoriales.
elección
resulten
que
inercia":
de
forma
que
ortogonales,
cualesquiera
de
o
ellas
las sea
en
el
funciones que
la
integral
área
de
la
sec-
nula. condición G
es
el
el
inercia
sistema
centro de
la
de
coordenado gravedad
sección,
lo
y
de Gx
El
único
polo
En
sistema
el
y
que
eox
Gy
resulta
los ejes 'sistema
princicoorde-
] satisface principal,
la
condición
sus
son
los
momentos
es
coprdenadas B w
de y>
referencia
llamaremos
principal".
A.
donde
resul-
son: Sp
ll F
referencia
efectuar y(s),
de
nado
dependen de
origen
producto
ción
aparecen
además
'"bimomento
centrales
J wy
wxdF,
terna
del
Es
del
sectoriales
integrales de
que
barra,
w?2dF
Sp
'momentos
J
inercia"
=
e(z)
la
rebanada.
Estos
estático":
los
la
sección
sectorial
z
n(z),
sometida
correspondientes de
inercia
£(z),
está
equilibrio
geométricas y
z(z),
a que
'momento
da
y
las
la solicitación
el A
"polo ¡CAP
principal" 2y)
son:
(6)
>
La
sectoriales
centrales
de
iner-
,
cia
referidos
a
un
polo
B(b,,D,),
arbitrario,
cualquiera
sea
387
o
el
punto
En
fin,
inicial la
toriales pal
lo
iniciales
las
de
ecuaciones níz),
operar,
buidas
de
del
fuerzas
(2)
0
EJ w 9 (2)
- GJj0"(z)
z(z),
bría
en
punto
el
la
la
la
torsión es
de
que
pertenezcan
centro
ción
de
los F
del
el
La
(1) la
de
Ja
=
gravedad
de
segundo a
la
la
miembro
línea Los
que
los
u(z,s),
"generalizadas",
es
fuerzas
longitudinales
388
las
fuerzas
desplazamientos,
zamientos
vamos
de
cargas
los distri-
reduce
como
6?
y
de
Ja
el
con
a
a:
si
la
sucede,
en
dan
ha-
para
(1)
sentido
términos
momento que
valiera
fórmula
torsión próximo
longitudinal
carece'de
este
el
en
puntos
general,
la
con
deforma-
e' valen:
vale 1,
1 X,
perpendiculares
dependen
decir
las
tan:
En
desplazamientos
transversal,
Definimos
n',
zd
sección
media
transversal:
E£',
largo
sección,
a/3
restantes
sección
t,
lo sin
elasticidad la
planas.
una
de
a y
se
que
ecuaciones se
módulos
de
sivos
z(z),
rebanada
AÑ
muestra
trabajo
la
prototipo
abierta
área
secciones
gravedad.
sección
cinemáticas puntos
el
sistema
funciones
de
desplazamiento
plana.
de
las
el
0
pura
ahora, de
término
no
=
barra,
las
cuarto el
en
de
princi-
7
de
centro ley
ortogonales
en
sistema
polo
sec-
0
respectivamente
y
sucede
del
puntos
0
=
1)
a
son
distribuidas
el
varios
principal".
equilibrio
transversal
EJ nz)
a
o
alejado
ordinarias del
elegido.
uno
inicial
w(s)
como
0
inercia
menos
y(s),
=
son
Al
rasantes
sección
=
material
de
x(s),
longitudinalmente,
G
determina
sectorial
ausencia,
la
sectoriales
0,
resultante
En
de
5J,0
y
=
diferenciales
EFz"(z)
E
1,
e(z)
diagonaliza. extremos
áreas
5,
''punto
funciones
¿l(z),
las
posibles.
llamaremos
Si
a
de
condición
z,
de
las
mismas
£',
n',
elementales los
y
las Y,
de
restantes w,
y
las
para
'generalizadas'
longitudinales uno
0.
fuerzas
cuales Esos
plano
magnitutodos
los
0'.
en
cada
al
cuatro
como
odF una
el
en de
sucesivos
generalizadas
suce-
las desapla resul-
M,
=
SE
- M, B
Las
=
tres
tores
a.x
Se
o.
w
dE
dF
definen La
externos
sección
de
reducen
a
es
define
delgada
bimomento
rápidamente
cuando
en
aplicado
es
más
aplicable,
Cuando las
se
nales
se
en
eligen
áreas
una
y
nueva
nulos,
abierta,
interno
atenúan
está
directa
los
momentos
magnitud,
flec
el
bimo-
FL?,
aquella
que
fuerza
estáticamente
pared
un
la
cuarta
dimensión
Bimomentos se
Se
primeras
cuya
dE
=
habituales.
mento, con
o.y
la
general,
sistema
en
cada
sección el
aplicados
producen
sección-
considerada
bimomento
el
coordenado,
sectoriales de modo qué
polo
1,x(s),
de
una barra
que se
externo.
principio
a
tensiones
Es
-que no
se
aleja
de
decir,
no
Saint-Venant.
y
punto
inicial
de
y(s),
w(s)
sean
ortogo-
cumple:
N(z)
=
EFZ'(z)
M, (2)
=
EJ, E" (2)
M, (2)
=
-
(8)
B[z)
=
Sustituyendo
en
EJ_n" (2) EJ,
(5)
en z] se
:
obtiene: M
(2)
o(z,s) = M2. Lli(s) F yl
M_.(z)
+
x
y
expresión de
la
de
línea
media
neralizadas E] Cuarto la
la y
de
término
tensión de las de
la
normal
a
sección,
coordenadas la
teoría
de
barras,
es
sectorial
de
inercia
y
expresión en
(9)
w
la
sección
en
en
función
de
cualquier las
punto
fuerzas
ge-
generalizadas
principales.
(9)
a
los
usuales
proporcional
al
momento
de
las
inversamente sigue
y (8) + ELo(s) J
la
se
agrega
sección
la
ley
en
áreas 389
sectoriales. Planteos
EJ,
se
denomina
similares
para
"rigidez
las
transversal,
conducen
la
de
un
nuevo
momento
de
''torsión-flexada"
aparición
tud,
el
A, vinculado El
=
Ly
al
bimomento
momento
torsor
por
componentes
los
das
Hx en
Las
la
la
fig.
2
H(z)
=
H, (2)
resultante pende
de
del
En
4.
Descripción fig.
3
es
de de
las
un
un
eje
con
una
una
carga
flexímetros bre
del
ensayo.
390.
H(z)
debe H,
ser
equi-
(generado
en
la
fig.
las
rasantes
+
CJ¿0' (2) .
2
c))
indica-
EJ,
arne(z
tienen
resultante
pura.
en Las
la
nula
teoría
que
generan
fórmulas
ese
punto
el
polo
principal.
en
x
10*
Kg/mm? y
barra
que
pendiente
prototipo.
de
que
suyo.
permite
=
de
ellos otro
desplazar
un
hilo.
medir
el
giro
fig.
4
Sobre y
acero
0.3.
tiene
la
genera--
que
se
le
discos
de
«en
ausencia
la se
punto
esta la
dos
barra
le de
barra de
la
fija
las
de
ala-
para
alrededor una
barra
aplicación se
apoyan
extremidad
disposición (
sec-
que
soldados la
girar
descenso
muestra
una
dispositivos
disco el
con
al
Con
diámetro
deel
cargas
eliminando de
asegurar
permita
Al
de La
y v mm
las
A,
toma
longitudinal
hizo
chapa
buscó
Uno
empotramiento al
220
se
ranura
se es
y
confeccionado
La
abierta
espesor
paralelo
vínculos
soldada.
El material
la
para
sus
prototipo
tanto
por
se
del
lo
tienen
cual
es
por
HB,
al
prototipo
y
ds
de
respecto
plano
cortante
en-cada
clásica
con
de
ranura
B'(z)
sección
secciones.
de
=
la
beo
producir
(10)
de
de
esas
-
Hx
torsión
extremidades de
=
consideradas
sección
mm
sección)
el
E =2.1
5
la
sección
del
la
con
la
soldadura.
atribuyeron acero
Hg (2)
comercial
transforma
Yuravsky
magni--
indicadas de
sección
nueva
flexado
componentes
generan la
el
tubular
triz
+
nuestras
La
de
sección
de una
H, (2)
torsor
la
toda
punto
momento.
cada
alabeo".,
en
d)).
son
en
media
rasantes
las
fórmula
contiene
relación
en
las
la
que
momento
de
que
sección;
actúa
del
al
rasantes
línea
por “la
por
la
Saint-Venant
ción
suma
(generado
tensiones
de
término
(L,
que
por
el
generalizar
Toódw
librado y
a
sectorial
tensiones
general
de 2 lidel
nm
Fig UBICACION Alzado
qu
2
dl
Hu
>
o
as
220
A
Pa
A-A
cea O
CORTE
3
STRAIN - GAGES 6.59
DETALLE SECCION
A-i
BARRA Sl
e — e
=>—
Ao
o
;
Seccion NOTA:
Medidas
en
mm.
i
i
Flg.
5
+
75
e
19
498.
1
+
d
391
Fig.
Llamaremos
sección
ia
la
que
está
a
distancia
miento. En
La
cada
una
de
como
120,0
las
la
ciones,
secciones
se.indica
+,3N
elección de
como
de los
ranura
fuerzas
según en
tensiones
el
eje No
"strain-gages"
B-i-Y
lo
que
B.
Se
supuso
en que
turbaciones Se
de
adoptaron
392
6.
tres y
y
9
5.
B,
y
A
y
pegaron
empotra-
C
de
las
secciones
-
18,
gage- factor de
dasks
+
3
$.
se
hizo
Si
de
pensando
ella
no
inercia de máxima
mejorar
9
han
la
(o deforma-
existiera las
menor
y
mostrar
tensiones
tensiones
por
+
A
para 1
producidas
"straintipo
de "rosettas'"
B-i-45
5
BLH,
C
marca
distribución
disponiendo y
se
Son
y un
principal
las
extremidad
transversales
fig.
en
locales
A,
la
5
fig.
longitudinales.
puntos
nulas.
1,
la
puntos
alteraba
los
pasa
en
resistencia
específicas)
neraría
disco
del
10
:
gages'"
con
al
4
la
sección
y mínima
y
se
pegaron
la
información
desaparecido
soldadura
de'
la
ge en
los
las
de
per--
barra
al
próximo.
configuraciones actúan
en
el
de
extremo
carga. libre.
Todas Se
ellas
presentan
son en
la
B
CONFIGURACION
o
|
DE
LA
CARGA
9
O
P
P
F NOTA:
Medidas
en
MT Lo
!
PA E
F
P
mm.
8
Fig. 6
A
——
_Valiendo
el
principio
sales
en
base
carga
transversal
partir
de
En
dos
las
para
las
a
Aplicación determinaron
les
de
la
áreas el G
sistema
F
Las
-
Gx,
Gy
principal
31805009.69
m?;
0.186 Ii
de de
OXY mm),
=
las
del
cargas
perfil
libre
transver
cualquier
puede
obtenerse
a
elegidas.
de
aplicado
F
se
es
-
presentarán
Vlasov
teniendo P
al
gravedad y
resultado
características
= 146.51
extremo torsor
valor
para
rigidez
F
200
Kg
mm,
los
resulta-.
comparación.
teoría
coordenado
mm,
la
centro
sectoriales,
(0.135
mm).
polo
este
la el
sección
el
al
el. momento de
de
de
configuraciones
Para
5.
superposición
aplicada
efectos
Se
de
hipótesis
tres
Kg.
los
terminó
la
últimas
F = 1
dos
a
+
en se
el
=
de
0.0100 mm”;
la en P
=
principa-
ranura. la
fig. sin
(22.50
16803.51
Se
de-
principal
sección
necesarias J,
ejes
diagrama
la
rad,
geométricas
50222.13
los
presenta
principal a
y
cuenta
calculó que
prototipo G
7.
de En
ranura,
mm,-28,81
son: mm”;
Ji,
mm!.
39:3
DIAGRAMA PRINCIPAL DE AREAS SECTORIALES (mm?) Polo
principal
28.81
+ 276.54
+1224.34
-1136.50 -334.40
+ 969.09
Y La
última
puede
de
las
Fig.
y
ecuaciones
(7)
7
permite
calcular
k?
_ ¿número
adimensional.
la
la
rigidez
rigidez
conocida por
las
La la
empotrado
=
El borde
libre
beo,
la
por
al
depende .de
condiciones de
9(0)
cantidad
torsión:
diferencial
que
El borde
394
a
sectorial
ecuación
linal cuatro
(0)
=p
la
de
la
expresa
teoría
de
la
relación
Saint-Venant,-
homogénea constantes
tiene que
solución se
bien
determinarán
borde.
da
presencia
subradical
pura
(12)
alabeo..
(z = 0)
05 da
ág
-
Bo
E
entre
>
,
[A AS
, con
y
se
(11)
pa
E
e
_Esta
Esta
y
=.0
9YY -—e1.
|
0"(z).
presentar
las
condiciones:
condición 0'(1) del
disco
=
rígido.
0,
ya
H-=
que 0
en
tampoco la
hay
configura-
ala.
ción
1
y
A
=
-
200
en
las
2
y
3
es
la
cuarta
condición,
caso. Calcularemoslas mediremos la
(2)
en
y
el
referida E
E"
n'"
=
-£
son
deformaciones prototipo,
en
al
principal
sistema
ME
las
específicas
-
ny
am
los
puntos
E
habituales
si
general
de
rim)
Para
la
de
la
flexión
se
no
guran El
en
giro
la de
aplican
ecuación
las
así
1
primera
la
En
las
8'"(z)
columna de
C,
por
la
fórmu
barras
libre B
= E
(1-z)
(14)
Xx
de
borde
a
la
solución
resulta
k
=
Jl
0,
de
la
Á
z
configuración
=
1 y
sh
2
de
Vlasov
fi-
z
vale
1pria 2
bo
Ea]
k
sh ki
k
1,:8(1)
configuraciones
0. teoría
1
S
10d k
k
=
a la
Tabla 1.
coordenada
sh
(15)
1
pues
acuerdo
¿loka k
CJ y
En
sh
1,
sección
.
(11),
calculados, de
extremo
e)
y
kaq-Pkrox2t+shx?)
64
el
a
condiciones
diferencial
=-E
la
=
y
eta) = Ep para
B
de
EJ
configuración
valores
A,
que
(13)
(1-2)
G6Jq
Los
el
E Xx
EJ
0'"(z),
longitudinales
gr
E En
y
según
i
y
= 3
0, son
vale
pues
A'=
iguales
0. pues
H
=
-
200
Kgmm
y
i
0(1)
= - 5.44
x 107?
rad
395
6.
Medidas
Se
operó
Para
en con
cada
con
prototipo
un
puente
valores
de
F
salvo
un
de
0,
se
buscó
valores
mayor
de
0.95.
junto
de
lecturas
el
4,
6,
muy
de
8
y
10
un
Kg.
de
B.
L.
En
la
H.
de
observaciones
general
y
en
la
Tabla
coeficiente
manera
se
determinó,
efectuadas,
el
valor
de
se
deformación
satisfactorio.
lineal con
la
ciclos
pequeños
ajuste
esta
N,
proporcional
obtenidos De
tipo
efectuaron
2,
comportamiento
cuadrados
Por I
de
pudo
especí-
se
mínimos subrayan
correlación
utilizando e para
F
=
1
el
con-
Kg
en
configuración.
En
la
configuración
en
la
sección
total, de
se
valores
aquellos
cada
SR-4,
configuración
observar, fica,
el
1.
corroborando
las
lecturas
tico
del
fig.
8
2
se
produjo
Descargado el
hecho
efectuadas
material.
el
Puede
un
pandeo
prototipo
de
que
estaban
las
local, la
tensiones
por
debajo
del
el
pandeo
en
apreciarse
prácticamente
recuperación que
límite la
fue
resultan
foto
elásde
la
Fig.8
En
este
caso
la
curva
perdió
linealidad,
do
de
e
do
por
la
Finitos.
396
(108
x
teoría Estos
carga-deformación
véase
107 $) de son
no
fig. se
Vlasov ni
9,
y
corresponde con
prácticamente
en
el
elongámetro
naturalmente el
ni
con
obtenido
coincidentes
el el de
valor valor los
B-1-z estimacalcula-
Elementos
ELONGAMETRO
B-1-Z
-1.400
- 1.200
- 1.000
“o
-800
:
x
y
7
7
a)
A
óz5
!
600
Oo =) ES
5d
-400
'
E
E
. 5
e
A HN Y
E
A,
:
y Sd 74
- 200
y
y
PE.
7
Y
e
0
0
2
YA VALORES
6 F (Kg)
DE
8
10 :
Fig. 9 En
la
de las el
segunda medidas
párrafo
Las
columna
afectadas
de
1
se
presentan
comparación
con
los las
resultados
obtenidas
de
flecha
por
la
en
:
y giro
en
flexibilidad
giratorio,
el
del
extremo
libre
dispositivo
detectada
durante
la
que
resultaron sostenía
ejecución
muy el
del
en-
:
7..El las
Tabla
susceptibles
empotramiento
La
la
anterior.
medidas
sayo.
de
Método
técnica
de
del
los
ecuaciones
tinuos
mediante
cionan
un
Elementos
Método
número
que un
de
rigen
los
] Finitos
él* comportamiento
conjunto
finito
Finitos Elementos
de
de
ecuaciones
variables
de
permite los
aproximar
sistemas
algebraicas
que
con-:' rela-
discretas.
392
Ello
implica
la
"elementos de
conexión
En
el
entre
caso
de
incógnitas da
división
finitos"
y
del
la
dichos
los
en
de
subdominios,
puntos,
llamados
llamados
'nodos"
elementos.
problemas
son
dominio
elección
estructurales
desplazamientos
(o
estáticos
las
grados
libertad)de
de
variables ca-
nodo.
Para
estructuras
de
libertad
mientos meramente con
luego
las
(3
giros)
6
veces
los
estructura. obtiene
mientos das.
así
Por de
a
del
los
este
y
el
de de
total
nodos.
de
ecuaciones con
sistema
giros
(en de
las
deberán
noda-
nodos
los
y
de
desplaza-
externas
aplica--
las
condicio-
impedir
de la
pri
elemento
los
será
nodos
un
liga
caso
los
fuerzas
de
imponerse
nuestro
todos
hallarse
todos
que
grados
desplaza-
incógnitas
las
fuerzas
6
3
de
nodos de
y
Debe
todas
los
desplazamientos
problema
desplazamientos
que
hasta
lineales
relacionan
(incógnitas)
último
borde
lo
número
que
un «sistema
nodales
considerarse
desplazamientos
compatibilizar
la
por el
ecuaciones
todos
pueden
desplazamientos
o
será
Se
nes
nodo
angulares
del problema les
espaciales
por
los
sección
de
em-
potramiento). Una
vez
res
de
resuelto los
de
los
hallarse
y
las
efectos
prototipo dividió
tos
cada
del
ensayo
la el
con'la
de
Computación
Se
utilizaron
2760 En
perfil
mentos sibles
(estado
398
este
de
451 y
de
nodo.
solicitaciones
tensional
este
en
los
tipo
chapa
del
planos
de
Este
tipo la
como
las
punto
los
valo-
mediante
elemento
uti
deformaciones
de al
la
estructura.
estudio
del
etapas:
25
'"rebanadas" de
medida
utilizados en
Facultad y
(y de
de
de
478
el
debió.
equipo
IBM
(fig.
resultando
en
los
hacerse del
elecompa
Institu-
libre
4
con
nodos
se 6
elemento
estructura;
de
un
total
de
10).
extremo
las
elemen-
Ingeniería.
nodos,
de
17
extensométrica
baricéntricamente
disponible
plano)
cuales
Método
puntos
ubican
elementos
de
obtienen
elementos:
desplazamiento la
los
siguientes
los
se
la
se
cada
cualquier de
estudio
elementos
en
por
en
modo de
cuadriláteros
plazamiento
de
en
capacidad
incógnitas el
y
cantidad
tible
con de
las
experimental
to
nodales propias
aplicación
malla De
ecuaciones
desplazamientos,
tensiones la
perfil
una. La
los
cumplieron
de
Se
mentos.
de
se
Elección
de
interpolación
pueden
específicas A
sistema
desplazamientos
funciones lizado)
el
tanto
flexión
utilizaron
incógnitas incluye las
de
ele-
de
todas
des-las
po
'membranales"
placas
(fig.
11).
NODOS
EXTREMOS
IMPEDIDOS Y
GIRAR
MALLA UTILIZADA PARA SIMULAR
q
Y
DESPLAZARSE
IT
DE
EL
PROTOTIPO
ELEMENTO SECCION
GENERICO
DE
ro
EMPOTRAMIENTO
CHAPA
DEL
EXTREMO
LIBRE
399
Geometría
y
Se
mantuvo
ra
la
características la
chapa
misma
del
elásticas
geometría
extremo
libre
del
del
modelo
que
por
material: experimental,
facilidad
se
salvo
pa
idealizó
cuadrada. El
material
Poisson de
se
v
la
=
supuso
0.3,
quedando
influencia
teoría
de
de
Vlasov
de
Se
analizaron
las
ta
de
pura.
Es
torsión
de de
25
lineal,
para en
un
próximo
con
estudio
módulo
el
de
análisis
cálculo
de
las
configuraciones
de
la
tiempo
ejecución
del
programa
Método
los
Elementos
v
el
isótropo,
=
tensiones.
(La
0).
carga: tres El
total
de
Fig.
6
y
una
cuar-
minutos.
hacer
Finitos
éste
“supone
Configuraciones
fue
elástico
notar
consta
que
el
algoritmo
básicamente
de
del
dos
partes
de
independientes
entre
Sila La
primera
parte
ecuaciones
que
externas
La
matriz
de
elástica la
que
liga
y
de
parte
rigidez la
coeficientes
la
contiene
de
la
"respuesta"
de
la
y
de
misma
las
de
fuerzas
de
la
es-
sistema.
información
cinemáticas
sistema
rigidez
dicho
toda
del
nodales
matriz
resuelve
restricciones
define
los
desplazamientos
(cálculo
segunda
de
todos
los
aplicadas
tructura). La
evalúa
la
geométrica,
estructura
frente
a
y
es
diferentes
solicitaciones. Basta
por
mas de 8.
Resultados
Las a
tanto
Sus
de
los
valores
se
programa
mente
en
mayor
momento Se
(Myz a
2 la
figuración
de
en la
lo
largo
al
la
del
y
3.
el Todos el
los
de
la
2
-
5.27
es
de
fueron
columna
la
sección
torsor
calculadas
de
Tabla
momento
valores
son
transversal
aplicado.
torsor
la
del
Ello
I.
torsor
de
sensiblemuy
pe-
indica
y
que
aplicado
lo
absorbe
extrema
en
las
el
H, de
la
sección
nodos
mismo
rigidez
C-i
valores Estos
momento
giro
siste-
nodales.
11). de
tantos
estudiarse.
Finitos
B-i-Z,
los
momento
resolver deseen
Elementos
tercera
fig.
y
carga
A-i,
además
en
vez
de
los
torsión-flexada:
prácticamente
ficando
400 400
indican
también
raciones ran
Método
proporción de
sola
específicas
relación
obtuvo
una estados
desplazamientos
uniformes
queños
como
suministra
Saint-Venant
la
del
deformaciones
partir
El
generarla
ecuaciones
de
ángulo chapa x
10-?
en
la
chapa
en
ambas
su
plano.
rad.
y
para
del
configu-
extremo libre
configuraciones, El
valor
para
gi veri
la
con
TABLA
I
VALORES de Ex 10' Teoría
de
Vlasov el
Configuración
Medidas en prototipo
Método Elementos
de Finitos
1
1
an»
any»
5 5-2 d
1
1 1l-z 1
9 9-z 9
Configuración
2
' '
mu >
an»
Le l-z2 E 3) 5 == z 3 9 Yum 9
:2
Configuración
3 12.8 222) 22.5
* Pandeo
5 5-2 5 E
ooo .. Un mn
' 1
oy»
op»
1 L5=32 1
9-z 9 local
-22.4 de
la
12.2 39.4 2057
barra
401
land
5235
10
mad. 9x
e
Myz
¡e DESPLAZAMIENTOS DE UN : NODO
[|
dy
Se
Oy
GENERICO
y
SOLICITACIONES
ELEMENTO
CENTRO
DEL
EN
EL
ELEMENTO
FIG. 11 9.
Comparación
Los en
de
resultados la
Tabla
los
resultados
obtenidos
1
y
se
por
refieren
los a
tres procedimientos
deformaciones
se
resumen
específicas
longi-
tudinales. Las
medidas
experimentales
res
en el
por
la
extremo
Los
resultados
Finitos
para
de el
concordantes. . El
libre
flexibilidad
del
del la
de desplazamientos
teoría
giro
del
10. Por
de
lineal
y
a
Conclusiones no
lado
pretende
el
sino
no
que
ha
se
disponibles, miden
los
elongámetros
longitudes
de
algo
tensiones
tremadamente
sensibles.a hipótesis
La
extremas
mayor
teoría
mentos
quizás.
son
muy
clásica
de
la
tenido
confeccionó
ejecución en los
base
los
errores
la
de
hubiera
resultado
acuerdo
la
del.
valores
ausencia
real
terminándose de
den-
medias
obtenidos de
alabeo'en
más
producto
prototipo y' la
ubicación
de
un
adecuados.
específicas
el tamaño
Los
precisa.
rigurosa-
a
más
deformaciones para
existente. de
una
los
las
con
son
ex
elon-
seccio-
chapas
de
E
lado,
y
Finitos
“« resultado
valor.
Elementos
A
espesor. otro
de
extremadamente
utilizados,
excesivas
gámetros. nes
Método
de
indicados,
la
verificación
tro
variación
afectadas
carecen
N
una
prototipo
controlada de
ya
muy
angula
;
trabajo un
y
del
libre,
corresponde
Los
se los
de
hizo. valores
sin
lo
dicho,
extremar
presentados
interpolaciones
mente distantes. 402
Vlasov
extremo
comercial.
Por
resultaron modelo
y
a
desplazamiento
“mente
en
del
.
flexión.-
El
prototipo
montaje
lineales
entre
el
el
tratamiento
número
de
para la valores,
por
elementos,
comparación a
veces,
Elede-
como
relativa-
Tomando ta
en
una
muy
el
Los
pandeo
la
de
sobre
todo
Aunque
muy
ro
de
En
las
si
los
por
las
los
obtenidos este casi
las
áreas
El
la
Los
Vlasov
La
operación
y
del
nulidad
inercia.
3,
se
observa
del
giro
método
utilizado.
producida
por
claramente
que
longitudinales
de
B-9-z
A-9,
C-9
en
la
influencia
del
bimomento puntos
en
el
en
la
la
3
y
de a
pandeo
gi-
la
dis-
es
domina
configuración son
de
las
son.
2
y
demostrativos flexiones
porque
los
son
valores
a-
de
significativas.
entre
extremo
extremo
Finitos
éste
Método
el
-
296
[libre
mm
x H en
cargado.
el
Se
em
anula
Ea
del
Elementos
el
bimomento
otro
los
libre
son
calculado
prácticamente
prototipo
Elementos
y
En
local
sección
la
él
se
la teoría
iguales.
aplicación
Finitos,
elaborarse. de
la
por
serán
a
los
motivo
examinará,
de
un
también,
el
1.
Agradecimientos
(L.
E.
agradece
M.)
Zulia,
de
la
ción
al las
de
prototipo.
Merece
por
Método
de
su
entusiasta
Elementos
Bibliografía B.
Z.
Estructuras de
Aux.
la
prestadas
experimental.
del
del
de
Ingeniería
facilidades
del trabajo
colaboración
Kliche
Vlasov,
Laboratorio
Facultad
Venezuela,
realización
valiosa
1.
de
esos
Á
para
afectada
son'concordantes.
cada
linealmente
x
1
5 central.
del
El autor
12,
mm
se pierde
bimomento.
la en
presen-
o
perturbación
B-1-z,
C-1,
así
detallado
problema
11.
el
casi
296
la
específicas
efecto,
no
del
de
y
en
A-1,
varía
sección
informe
por
En
y
valores
mismos
2
sectoriales
bimomento
en
la
en
nulas,
potramiento
la
1
satisfactoriamente
aisladamente
existe
obtenidos
dada
Tabla
sección
procedimientos
principales
hecho.
11í
2.
pura
observa
creadas
valores
de
configuración muy
la
Esta la
deformaciones
Los
buena.
verifica
configuraciones
de
juicio en
tres 1.se
flexión
se
ejes
bastante
la
los
pequeña
tribución da
en
configuración en
de
y especialmente
local
comportamiento
elementos
general
pequeños
resultados
En
estos
coherencia
valores por
cuenta
Doc.
en
la
del
generosamente
el
para
también
Pérez
referencia
contribución
Materiales
Agradece,
Adalberto
especial
y
Universidad
en Ing.
aplicación
la
la
opera-
Jorge del
Finitos.
citada. "Piéces
Ed.
longues
Eyrolles,
en
1062.
voiles
minces"
Traducción
de G,
Smirnoff 403