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Vol. IV
N.O 5 MINISTI!!!:"'IO
FACULTAD
De:
JUsTICIA
E
IN9TRUCCION
DE CIENCIAS
UNIVERSID~D
PUBLICA
MATEMATICAS
NACIONAL
DEL
etc.
LITORAL
PUBLICACIONES
INSTITUTO
DE MATEMATICA
Director:
BEPPO
R LAGUARDIA
y
SOBRE LA REPRESENTACION DE ALGUNAS DEFINIDAS
LEV.
B. LEVI
POR INTEGR,~1ES
FUNCIONES
POR DESARROLLOS
y APLICACION
DE ECUACIONES
DE 'fAYLOR
A LAS SOLUCIONES
EN DERIVADAS
*
ROSARIO fIIE:PUBLICA
ARGENTINA
1943
PARCIALES
AUTORIDADES
DE
LA
FACULTAD
Delegado Interventor Arquitecto ER~ETE
DE LORENZI
Secretario Ingeniero LUIS AY~I
Vol. IV
N.O 5 MINtSTIlRIO
FACULTAD
DI!
.JUSTICIA,
lE INSTRUCCION
DE CIENCIAS DI!
UNIVERSIDAD
PUBLICA
MATEMATICAS
etc.
LA
NACIONAL
DEL
LITORAL
PUBLICACIONES DEL
INSTITUTO
DE MATEMATICA
Director:
BEPPO
R. LAGUARDIA
y B. LEVI
SOBRE LA REPRESENTACION DE-ALGUNAS DEFINIDAS
LEVI
POR INTEGRALES
FUNCIONES
POR DESARROLLOS
y APLICACION
DE ECUACIONES
DE TAYLOR
A LAS SOLUCIONES
EN DERIVADAS
*
ROSARIO REPUBLICA
ARGENTINA
1943
PARCIALES
SUMMARY In this papa we deal with the formal problem of representing by inieqrals, the solutions of certain types of par tia! differ,ential equaiions and systems. At the outsei, the difference is stressed beiueen representations by definite integrals, and by Gauchy integrals upon closed coniours on auxiliary Gauss planes. The [ormer, to which the ierm. quadratures can properlv be applied, are realized in very few classic oases. The latter, in principle, can be considered a devioe always applicable in a more orless complicated way, and which only improperly, by some auihors, have been called quadraiures. In this case, neoertheless, there is still the problem of choosing the decice: rejerred to, so that the represeniaiion may be «reasonable», that is, may not -require the introduction of functions which are too new 01' in which the «ad-hoc» elaboration is too apparent, Following up, a series of examples are given in which the problem, thus presented, [ituls a satisiactor y and fairly varied solution.
I
SOS'RE LA REPRESENTACION POR INTEGRALES DE ALGUNAS FUNCIONES DEFINIDAS POR DESARROLLOS DE TAYLOR y APLlCACION A LAS SOLUCIONES DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES POR
RAFAEL
LAGUARDIA
y BEPPO
LEVI
RESUMEN:Se trata en este trabajo el problema formal de la representación por integrales de las soluciones de ciertos tipos de ecuaciones y sistemas en derivadas parciales. Se puntualiza al comienzo la diferencia entre las representaciones por integrales definidas (las cuales se realizan en casos contados y generalmente clásicos, y a las cuales es aplicable propiamente el término "cuadraturas"), y las representaciones por integrales de Cauchy sobre contornos cerrados' de planos de Gauss auxiliares, las cuales, en principio, pueden considerarse como un artificio siempre aplicable en modo más O menos complicado, y para las cuales sólo impropiamente han podido emplear algunos autores la voz "cuadratura' '. En este caso, sin embargo, se presenta todavía el problema de elegir el artificio aludido de manera que la representación resulte "razonable", es decir no requiera la introducción de funciones que sean demasiado nuevas o en las cuales se transparente demasiado la elaboración "ad-hoc". Se ofrece luego una serie de ejemplos en los que el problema, planteado en esta forma, encuentra una solución satisfactoria y bastante variada.
Como dice el título, las cuestiones que vamos a tratar a son sobre todo formales y precisamente de «representación». Ellas están vinculadas principalmente a una serie de estudios publicados durante varios años por L. Fantappié y por algunos discípulos suyos (1), en los cuales, utilizando de pre-
continuación
(')
Ver las memorias siguientes: L. FANTAPPIÉ, La giustificazione del calcolo simbolieo e le sue applieazioni al! 'integrazione delle equaeiomi a derivate parziali, R. Accad. d ' Italia, Memorie, I, 1930. (2) L.FANTAPPIÉ, Integrazione con quadrature dei sistemi a derioate parziali lineari e a coef fioienti. costonii in due variabili mediante il calcolo degli operatori lineari, Palermo Rendiconti, LVII, 1933. (3) L. FAN~'APPIÉ, Solueione con qiuulrature del problema di Cauehy-Kowalews7cy per le equaeioni. di tipo parabolieo, Linceí, Rendiconti, (6) XVII, 19 sem. 1933. (1)
-206-
ferencia los resultados de su teoría de las funcionales analíticas, se proponía representar por «cuadraturas» las soluciones de ciertas ecuaciones y sistemas en derivadas parciales. Uno de nosotros tuvo oportunidad de señalar incidentalmente (2) que el término cuadraiura es poco apropiado para esta aplicación particular, porque se trata en la mayor parte de los casos de integraciones sobre circuitos oerrados en planos de Gauss sobre los cuales se consideran variables auxiliares distintas de las variables propias del problema, lo que, como podrá notarse en seguida, reduce efectivamente la expresión integral a un simple expediente representativo, cuya utilidad, cuando el caso se presente, será por lo general sólo la de tener un dominio de validez distinto del de los desarrollos de Taylor equivalentes. En lo que sigue entendemos detallar la distinción aludida, mostrando en particular, sobre algunos ejemplos, como el problema, encarado bajo el último aspecto, admite soluciones, a las veoes no faltas de cierta elegancia, pero siempre un tanto arbitrarias e indeterminadas y esencialmente independientes de cualquier conoepto preliminar sobre funcionales analíticas. 1. - La observación fundamental es la siguiente, casi banal: dada una serie
cuyos términos estén expresados de manera conveniente como productos de dos factores; puede siempre representársela como residuo del producto de dos series de Laurent poniendo (4)
z
oa •
Ox
S. GENNUSA, Integrazione
+ a ~oY = f(x,y),
(5)
L. FANTAPPIÉ,
générale, d coefficients p. 969, 1933.
per quadrature
dell'equazione
differenziale
Lincei, Rendiconti (6) XVII, 1Qsem. 1933. Intégration par quadratures de l'équation parabolique constants sur les caractéristiques, Comptes Rendus, 197,
(6) L. FANTAPPIÉ, Imtepraeione in termini finiti di ogni sistema od equazione a derivate parziali, limeare e a coefficienti costomti, d'ordine qualunque, R. Accad. d 'Italia, Memorie, VIII. 1937. (7) L. FANTAPPIÉ, Bulla solueione del problema di Cauchy per tutti i sistemi di equaeumi a derivate parziali e a coefficienti constanti d'ordine qua~ lunque, Ponto Acad. Sci. Comment., III, 1939. En lo sucesivo nos referiremos a estos trabajos dando unicamente el nombre del autor y el número de orden.
e)
B.
LEVI,
Mathematical Reviews, Sept. 1941, p. 290.
-207(2)
S=~fCf'(),.)1jJ()")d)". 2m
(3)
T
Los valores numéricos de los exponentes Vi quedan arbitrarios; convendrá g 1 en tanto que la serie de Taylor de f[ t, Y A(. - t) ] ,converge para IA(. - t) I menor que cierto radio de convergencia: por consiguiente podrá elegirse IAI>l cuando l.-ti sea bastante pequeño, para lo cual, como • y t toman valores arbitrarios comprendidos entre O y x, bastará suponer Ixl suficientemente pequeño, condición que por otra parte ya está incluída en (39) y (46). Sin embargo, como se hizo notar en la introducción, la fórmula (49), una vez escrita, es válida en todo el campo en que los símbolos tienen sentido y, por consiguiente, bastará que el circuito de integración contenga en su interior el 'punto A=0 pero no el punto A= 1 ni puntos singulares de
+
.f[t, y+A(. - t)]. Iü. - Como ya observamos, se pasa inmediatamente de las -ecuaciones tratadas en los n. 6, 7, 8 Y 9 a las ecuaciones un poco más generales de la forma
omz oPZ --a--f(x, m ox oy P por cuanto,
j .
y)
.
(fa constante),
(50)
poniendo
-ésta se transforma
en
omz oPZ_ oxm - oy'P -f(x,y
,Pr: . la),
por lo tanto, la (47), por ej., proporciona, ción x
para
(50) la solü-
x
z= 2!i!A(m-2JP-l dA! dt !d(~=~) (X AP') f[t, y+ Am-PVa(.e
O
t
t)] d.
(51)
-224Por otra parte, todos los razonamientos anteriores can inmediatamente a las ecuaciones de la forma
se apli-
(52) para lo cual basta sustituir
constantemente
el operador
como esta sustitución hace pasar formalmente de Taylor de una función de una variable
al desarrollo
se comprende ciales
del desarrollo-
de la función
que la solución de (52) con las condiciones
.
()'z
.
mi-
am-1z
z(O, Y1>Y2' ... , Yl) =ox (O, Y1>... , Y~) = ...=axm-1(0, Y1' ... , Yl) =O: estará
representada
por
= ~fdA 2m
1
(!a(m-p-l)
A
((l-.).p:(m-p/)
m-p
e
AP
O x
!
x
.j(X-u)m-3(u-t) dl (m-3)!
O
X
d.
X
(53).
-225o por las fórmulas análogas que corresponden a las variantes del. método, o a los valores particulares de p (p = 1Y!- '-1, m). 11.- Consideremos
todavía
omz
n>
..\"m
oo: •
-Zap
p=o
la ecuación
opz --y-
vyP
=f(x, y)
(}Oz
"
donde se entiende que (Jyo representa las ap constantes.
la función
z y se suponen
Por medio del operador
(55) e imitando 'el razonamiento que nos condujo a las expreslOnes de la forma (39), la solución de (54;) -que realiza como siempre las condiciones iniciales nulas, puede escribirse x
f
ec
(x_t)m(r+11-1
Ilrf(t,
z= dt![m(r+1)_1]!
(56)
y).
o Para llevar el operador Ilr a una forma que permita la sumación observemos que si i)h.
P=Zch
oyfl.
es un polinomio simbólico en el cual los Índices k tienen valores enteros cualesquiera (sin repetición) y los coeficientes son cualesquiera, vale la igualdad
c"
. Pf(t,y)
Oh ,
= (ZCh(fh)
Y
=
2!Jd~
f(t,y)
(57) o
(I (--'l)h Ch~h)
e,
,
fe>' f(t; y + ,idr,
_.;¡
.
como se averigua fácilmente al desarrollar en serie de potencias de fA. la última integral mediante sucesivas integraciongs por partes. Se sigue que (56)' puede escribirse también .
-226-
Puede ahora representarse duo, resultando
la suma respecto de r como resi-
(58)
o
f dt.
f
x
o
c5
m
eP-'f(t, y+r) de
(x-;:t)_-_OO
~
l-)..ml' (-l)pap/-LP p=o
ótese que el caso presente comprende como casos particulares todos los de los n. 6 a 9, pór lo cual se ofrece también para éstos una nueva representación, conforme a la advertencia, repetida varias veces, sobre la extrema arbitrariedad que el procedimiento admite. Quien no quisiera contentarse con el significado en verdad exclusivamente formal de todas estas representaciones y quisiera luego cuestionar acerca de existencia convergencia, podría notar entre otras cosas que la f6rmula (58) tiene un menor dominio de aplicabilidad, por el hecho de suponer que f( x y) está definida por valores de y -r - 00 y que la función ep.'t f(te) es integr~ble para T-r- ea ..
y
12. - El procedimiento del n. anterior puede aplicarse todavía, con pequeñas variantes, a una ecuación de la forma
-227La variante consiste operadores de la forma
en que, por tenerse
que considerar
será necesario introducir una variable auxiliar ,.,..para cada y; al mismo tiempo será necesario, en la integral con respecto a 't llevar el factor ,.,..de la posición de exponente a otra más adherente a las correspondientes y; se ve sin dificultad que se logra el resultado mediante la fórmula
(60)
13. - Volviendo a la consideración de los casos tratados en los n. 6, 7, 8, 9, 11, en donde se tenían dos variables solamente, notamos que los resultados obtenidos se extienden inmediatamente al caso de un sistema de n ecuaciones con n funciones incógnitas. y con dos solas variables, las cuales se presentan con dos órdenes de derivación determinados; es decir para sistemas de la forma é)mz·
-'
oxm
n
-~ak k=l
aPZk
oyP
=f-(x "
y)
(i=I,2, ... ,n)
(61)
Para este fin basta aplicar la misma observación del n. 5, que permite transformar el sistema (61) en otro de n ecuacionnes simultáneas o sucesivas de la forma
(j=1,2, ... ,n) con
-228~ 14. - Consideremos todavía el caso más general de un sistema lineal (siempre a coeficientes constantes) en varias funciones incógnitas, en la hipótesis invariable de que: 1°., el número de las ecuaciones sea igual al número de las funciones incógnitas; 2°., exista una variable privilegiada x respecto de la cual sólo comparecen las derivadas de ,o~den máximo (el mismo para todas las funciones); 3°., que el sistema esté resuelto respecto .de estas derivadas. Por lo tanto el sistema tendrá la forma amZi A m uX
• n
m
-,¿; ~ ~aipjq q p=o J=l
aPZj
Ay u
P
=Ii(x;
q
Y1' Y2" .. , Y/)
(62)
(i=1,2, .. '.,n) donde con el símbolo oYP q indicainos los productos de grado p de las diferenciales 0Y1>0Y2'" .,0Yi ordenadas arbitrariamente según un índice q. Llegamos a extender el anterior procedimiento por medio de "la 'representación vectorial del grupo de las variables Z¡ (7). Supongamos primero, para presentar el método en modo simple, que la suma respecto a p desaparezca por tener p solamente el valor 1. El sistema se reduce pues a (i=1,2, ... ,n) (63)
Consideremos los complejos
y las matrices
el sistema (63) se escribe en forma abreviada (') Esta misma representación es la que sirve a L. Fantappié para eonseguir la solución del sistema de n ecuaciones lineales con n funciones incógnitas, por la aplicación de su teoría de las funcionales analíticas. Ver, FANTApPIÉ (7). . .'
-229-
con A el operador
'indicando
la solución del sistema se expresa claramente -cedimiento varias veces repetido) por
(siguiendo el pro-
x
(x-t)m(r+1J-1 z . dt~ [m(r+1)-1]! I1rf(t'Y1>Y2'"
J
',YI)'
(64)
o
Puede escribirse
más generalmente, si indicamos con Pr(Y1' Y2" .. , y¡) el poli-nomio homogéneo completo de grado r de las variables Y1>Y2" .. , .YI' con coeficientes 1, Ar __ ( Ll -
(O'
1 ) Jd¡..t1jd¡..t2 (~A(q) ¡..tq-1) r P r ¡..t1~'···'¡..t¡~ -2' - ...fd¡..t¡ -..::;. 1tL
e,
¡..t1 f12 e, el
f11
uY1
(} ) ,.
uYI
basta notar que el segundo miembro expresa el resultado que se obtiene desarrollando primero la potencia (~ACq) ¡..tq-l)r y sustituyendo luegq a los productos de las variables f1q-1 los análogos productos
simbólicos
de los operadores
~.
°Yq
Notamos todavía que, si en lugar de P, se pusiera un ps. 'con s =/::::. r, la expresión anterior representaría el operador O; se puede, por tanto, escribir en lugar de P; la suma ~Ps para todos los valores de s, desde O a co , nemo
Aplicando la transformación además
integral de los n. 11 y 12, te-
-230o
fe-e j(x; Y1 + T ¡.ti,... , Y¡+T ¡.tI)dr : .se obtiene luego
•
(65}
1
= (-. 2m
)41
"jd¡.t1
vm-~dY
e
el
-
¡.ti
...
fd¡.tl ~ . ~(vm~A(q)¡.tq-l)rx
f
r=O
q
o
x
X dt
¡.tl
el
c5m(X v t) fe-e
.
jet, Yl + T ¡.ti,... , YI+ T ¡.tI) dT-
o La suma que aún aparece en la fórmula (65) puede considerarse como un operador determinado, función de las varia-bles _ ¡.tq'v, al igual como la función orn; sin embargo puedetodavía transformársela, puesto que vale, para un operador cual-quiera O la fórmula 00
~Or=(l-
0)-1;
r=0
en el caso especial, indicando con A la matriz A-~A(q)¡.tq-1, q
se tendrá ~ ~ (vm~A(q) ¡.tq-1)r= (1- vm A)-l r=O
q
donde el segundo miembro representa la 'operación inversa de la< matriz i- ym A, a la cual puede darse la forma de matriz
-231por la resolución de un sistema de n2 ecuaciones lineales en n2 -incógnitas; observando que para y =O la matríz 1 - ym A se reduce a la matríz unidad, este sistema admite ciertamente solución cuanto menos para vlores de y bastante pequeños (8). El razonamiento anterior se aplica con variantes insignifi-cantes al caso de un sistema general de la forma (62). Bastará, en lugar de la matríz A, cuyos 'elementos claramente se obtienen al sustituir
considerar preSIOnes
I-'-q-1 en lugar
yq en las expresiones
la matriz A *, cuyos elementos se obtienen de las ex-
oP
~~a· q
desarrollando
(_1 2m
.q--
-n ay q p
p
op
los símbolos ay l como productos
. do ... , - a y sustituyen °Yl correspondiente variable las líneas y columnas Índices i, j. Al operador Ar*= u.
0
de 0
)lfdl-'-1fdl-'-2 1-'-1
el
a
de --, OY1
o
,
0Y2
1uego a ea da uno de estos factores
la
1-'-1-1, 1-'-2-1, ... , I-'-C1, siempre quedando caracterizadas respectivamente por los ~r deberá entonces sustituir se
1-'-2
...
fdl-'-l I-'-Z
A*r~p ..:;;.¡ s
s
(~1-'-1 , ... , I-'-Z~) I-'-Y1 I-'-yz
C2
donde la presencia de la suma respecto s se cambia en esencial en vez de ser, como antes, únicamente un artificio cómodo. Después de eso todos los razonamientos siguen inalterados. I5.-Creemos inútil seguir la búsqueda mediante la consideración .de otros tipos de ecuaciones a las cuales los métodos expuestos (8) Por la observación, repetida varias veces, de que el actual problema de representación es esencialmente indeterminado, no debe el lector extrañarse de que nuestras fórmulas no coincidan con las de Fontapié en el trabajo citado (7). Notaremos que son esencialmente más simples, más generales y obtenidas con rapidez incomparablemente mayor.
-232podrán todavía aplicarse. Creemos haber reunido, bajo la forma del desarrollo de casos particulares, algunas de las principales sugestiones que pueden proponerse para llevar a cabo el programa del cual dimos en el n. 1 los fundamentos generales. El hecho de que todos nuestros ejemplos son lineales a coeficientes constantes no es ciertamente casual; si, quedándonos todavía en el caso lineal, se hubieran considerado coeficientes variables, se habría complicado en mucho la formación de las funciones mediante las cuales se llega a expresar nuestras integrales; en particular se habría presentado el problema de la inversión del orden de las operaciones de multiplicación, derivación e integración. Otras complicaciones habrían resultado de la pérdida de la linealidad. Debe notarse a este respecto la parte fundamental que ha tenido la resolución preliminar de las ecuaciones elementales del n. 3, 10. Y del n. 4; de la misma manera en casos determinados podrá buscarse la solución de dicho problema de inversión en la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias, las que podrán servir para definir funciones más complicadas que las potencias del binomio o que las funciones encontradas allí; tan complicadas a 'Veces que vendría a perderse ese poco de elegancia que es la justificación del problema de "representación. Algunos ejemplos muy particulares, de coeficientes variables, para ecuaciones de orden no mayor que dos, se encuentran en las citadas memorias de Fantappié.
Fascículos aparecidos en las "PUBLICACIONES"del Instituto (le ~Iate/Uáticas Vol. I.
m$n. -tro
Sobre el sistema
1 - B. LEVT -
J (p( xy )dx=p(
+00
y); J cp( xy )dy=q( x)
-00
2 - L. A. SANTALÓ - Geometría integral de figuras ilimitadas .. .. .. 3 - F. AMODEO - Origen y desarrollo de la Geometría p¡·oyectiva. Trad. de Nicc,lús y José Babini " " " " " " " " ""
4 - B.
Una teoría intuicionista de las funciones ras de una vaTÍable .. .. .. .. .. .. .. LEYI -
Vol.
1.00
-