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FACULTAD DE INGENIERIA Y AGRIMENSURA PUBLICACIONES DEL INSTITUTO DE ESTATICA SETIEMBRE
No. 16
DE 1958
Prof. Ing. J. RICALDONI
NOTA
SOBRE EN
EL
EFECTO
EDIFICIOS
GUNTER
TEORIA
TORSION
ELEVADOS
LUMER
DE
LA
TORSION
Ñ
MAOSG:
ta
INSTITULS
INTRINSECA
DE
A
BISiooTECA Írecha de enirada. E- 19 $3
PJ ÚMmero:
A
las.34.
Ubicación: lean
A
SECCION
A-Í357
....-.
a
|
ES E
1
FOLLETOS E
MATI 0 19 - RESISTENCIA DE
MONTEVIDEO
OPE
URUSUAY
e
PUBLICACIONES DE N.2
continuidad
en
los
INSTITUTO
ESTATICA
Prof. Ing. RICALDONI boratorio de Estática: La
DEL
J. 1937-1940: sistemas
de
Trabajos
arco
en
del La-
cemento
ar-
N.9
mado sobre pilas muy rígidas. La estática experimental de las estructuras. Estudio fotoelasticimétrico de UN MArcOo .........o.... Prof. Ing. RICALDONI J. Aplicación de la fotoelasticidad al diseño de una pieza en hormigón armado .... Prof. Ing. RICALDONI J. El cálculo de las secciones
N.2
N.o
Junio
1941
flexión COMPUESTA ....ooocoroconcooroonor coro Prof. Ing. RICALDONI J. Estudio experimental de un
Febrero
1946
cabezal
Agosto
1946
rectangulares
para
en hormigón
pilotes
de
armado
hormigón
bajo
la acción
armado
de
la
............
N.o
Prof. Ing. RICALDONI. Medida de tensiones elásticas, *Parte III. Fotoelasticidad .................oooooooooo...
N.o
Prof. Ing. RICALDONI
NO N.o N.9
N.9 10.
N.o 11.
1941
Octubre
1947
Junio
1949
Mayo
1950
Mayo
1952
Novbre.
1953
Dicbre.
1954
Dicbre.
1954
Julio
1955
J. Análisis experimental de es-
tructuras con modelos de barras con 1 y 2 grados de A an Prof. Ing. RICALDONI J. La fotoelasticidad en la ingOnIerta CV a Prof. Ing. RICALDONI J. Trazado experimental de deformadas de estruciuras de barras ......oocooooooooo.. Prof. Ing. RICALDONI J. y Br. PONCE A. Un nuevo método de resolución de la ecuación de Laplace. Br. PONCE A. Comparación entre distintos métodos de cálculo aplicables a la resolución del problema de la torsión de una barra .....oooooocoooorosorrroroccroo Prof. Ing. RICALDONI J. Comprobaciones teórico-experimentales de una viga de puente. Cálculo de los esfuerzos de las vigas de malla múltiplessiM Montaner nono cin
Prof. Ing. RICALDONI
J. y Br. PONCE
A. Estudio
elástico del ensayo de doble hendimiento. Br. PONCE A. Resolución gráfica de las ecuaciones algebraicas de grado n por el método de Lill. Aplicación
N.2 12. N.9 13.
N.9 15.
verificación
de
piezas
bajo
preso-flexión
...
Setbre.
1955
Memorias de las 5*” Jornadas Sudamericanas de Ingeniera Estructural ano Prof. Ing. RICALDONI J. Curso de Análisis Experi-
Julio
1957
mental:
Setbre.
1957
de
N.9 14.
a la
Prof. Ing. RICALDONI J. Proyecto y verificación de barras curvas en hormigón armado .......ooo.ooooo.... Br. GUNTER LUMER. Un teorema de la mecánica los cuerpos
deformables
de-Estructuras
...........ooooo.ooooooo...
sa
o
e
FACULTAD DE INGENIERIA Y AGRIMENSURA PUBLICACIONES DEL INSTITUTO DE ESTATICA No. 16
SETIEMBRE
Prof.
NOTA
SOBRE EN
Ing.
EL
y. RICALDONI
EFECTO
EDIFICIOS
GUNTER
TEORIA
INTRINSECA
DE
TORSION
ELEVADOS
LUMER
DE
MONTEVIDEO R. O, DEL URUGUAY
LA
TORSION
DE 1958
Nota
sobre el efecto de torsión en edificios elevados Prof. Ing. JULIO
pues
RICALDONI
1.—El alcance de esta nota es fundamentalmente didáctico se trata simplemente de darle bases precisas y definidas a
un problema
básico
que en general
es
mencionado
someramente.
Dicho problema es la repartición de la carga aplicada por el viento a toda la superficie expuesta de fachada de un edificio elevado, entre los diversos pórticos planos que constituyen la estructura resistente a los esfuerzos horizontales (fig. 1) y según las cuales se sistematiza, en general, el conjunto de vigas, pilares, etc. En efecto, mientras que el problema de determinación de las solicitaciones provocadas en un determinado pórtico por un sistema dado de cargas está totalmente resuelto por una gran variedad de procedimientos, poca consideración se ha dado a la determinación de esos sistemas de cargas, cuando la esFig. 4
tructura
tiene
alguna
asimetría
resistente
; o de carga. Las primeras ideas fueron expuestas por O. Albert en 1931 (1), siendo reproducidas en forma algo más clara en un folleto de la Portland Cement Association en 1938 (*) y luego utilizadas para el tratamiento más completo del Prof. Large en el informe de 1939 ante la ASCE (9) que sirvió de base al capítulo respectivo del libro de Morris - Carpenter (*) que es quizás el tratamiento
más
claro
sobre
el
tema.
pt
En todos los trabajos se toma como punto de partida el estudio aislado de un entrepiso genérico (fig. 2) bajo el esfuerzo cortante total V;, que corresponde al mismo,— resultante de todas las fuerzas horizontales:que existen por arriba,—y con una rigidez propia totalmente determinada por los elementos resistentes de dicho entrepiso, exclusivamente. En
el
caso
general
estas
condiciones
embargo, para definir el problema en cesita, en principio, del conocimiento de la distribución de las cargas aplicadas a los diversos entrepisos y de las características resistentes de toda la estructura. Solamente estructura,—
en o
algunos
más
tipos
de
exactamente
de
no
forma
son
suficientes,
rigurosa
pues :
se
sin
ne-
pórticos,— se produce esa simplificación que, en la mayoría de los casos, es, necesario realizar a título de aproximáción para poder resolver el problema. En tructura
lisis
con
efecto,
consideremos
arbitraria
las
para
hipótesis
realizar
una
es-
su aná-
aceptadas
co-.
rrientemente: Fig. 2
a) Lás cargas de viento se aplican directamente a las planchas de entrepiso por reacción de los muros de cerramiento. b) Los entrepisos son discos infinitamente rígidos en su propio plano y por lo tanto experimentarán solamente desplazamientos rígidos en dicho plano. c) La estructura resistente está constituida por dos sistemas < de pórticos planos dispuestos en direcciones ortogonales, capaces de absorber esfuerzos dirigidos según su propio plano, pero prácticamente de rigidez nula en la dirección normal a ese plano, unidos en el nivel de los entrepisos por diafragmas rígidos constituídos por aquellos elementos. Este concepto supone que los elementos resistentes (vigas, columnas, etc.) están sistematizados en estructuras como sucede generalmente, pero pueden presentarse distribuciones muy irregu-
Xi +F,=0
E E
(1)
P >
X,
m
Estas entre
ma,
tático
Yi
ie
2
Y;
Pp
Xi
+
Fx
Ye
+
FyXp=
ecuaciones permiten hallar tres incógnitas por X; y Y; o sea que si m-+-p=3 el problema
y
además
será estable
si
se
tiene M
y P
tes de cero, puesto que, en efecto, se necesita cos pertenecientes a ambos sistemas para poder de cualquier dirección. Las reacciones X;, obran sobre las ménsulas, las cuales producirán en ellas ciertas deformaciones en su plano resistente que dependen de sus rigideces, pero
a es E fácil ver quiera sean >
maciones
Y;
así
de
Ha
;
Sea entonces (1) car las cargas y (2) la siderarse obtenida por instantáneo de rotación ralelo por ejemplo a la
fuera de su que
no
interesa
las
cargas
que
0)
:
!
==
>
1
/
as
a , | o =
e
Mo
ya
BY,
T
l
;
Ci,z)
,
;
recor-
dando además que las deformaciones normales a esos planos, o sea en la dirección de flexibilidad de fuerzas y rigideces.
ción
son
dia-
fragmas permitirán a estos tomar desplazamientos que sean congruen-
alabeo
1
diferen-
py
l VA aña
e
ambos
diafrages ¡isos-
que haya pórtiabsorber fuerzas
ES
grados
los
aquellas,
determinadas y
que cuales esas defor-
los tres
de libertad
tes con
0.
eS 0
A y
==
SS Fig. 5
infinita, son
totalmente
independientes
la posición de un diafragma antes de apliposición final (fig. 5), la cual podrá conun giro Y alrededor de un cierto centro G. Un pórtico genérico como el AB, padirección x, pasará a 4A'B' sufriendo un
plano por
definido no
por
generar a
DNYa y reacciones
NYo, —
deforma-
según
hipótesis
c),—
y
definida
un
corrimiento en
por
su
mismo
plano,:
deformación
elástica,
a
Dr = DP
siendo y! su distancia desde el centro C” medida su plano. Para el sistema de pórticos paralelos a J se mente como desplazamientos de interés
AVE Po
:
(2)
normalmente tendrá
:
a
análoga-
(3)
siendo y! la distancia respectiva En el caso de tres pórticos de la figura 3, de características isostáticas, se ve de inmediato que fijadas las Áx,— o Ay según sea el caso,— de ellos, quedarán perfecta y univocamente deter-' nados el centro € (dos parámetros) y el giro Q, quedando así completo el panorama resistente. a Si hubiera más de 3 pórticos o ménsulas, el número de incógnitas estáticas X;, Y; excederá del de las ecuaciones estáticas y Comenzará el problema hiperestático. 3. — Para una estructura con un diafragma únicamente el grado hiperestático es l, cualquiera que sea el número r=m+p de pórticos y el problema se resuelve fácilmente estableciendo la congruencia de desplazamientos de cada uno con el giro del diafragma. En cualquier tipo de ménsula el desplazamiento. de: su extremo se puede poner como 0%= E
(a)
si designamos con K su rigidez total (igual a 3 B/l? en el caso de una viga de alma llena de luz Í), siendo % el valor de Ax o Ay, de cada pórtico y P el X o Y de los mismos, respectivamente.
Pongamos metros € y Q
ahora los desplazamientos en función de los paráde la rotación instantánea utilizando las expresiones
(2) y (3) referidas a un centro cordenado
arbitrario Ú de ejes (Xx, y)
Ax =Qyi =P (Yi —J) :
Ay:
$
=
qx: =P
para tener explícitamente las cordenadas (x, y ) del centro C DR
(b)
(x, —x)
(fig. 5).
:
Luego con la expresión podremos poner
(a)
2 Ki
de
equilibrio
(1)
—y) + Fo=0 (4)
==) HE, =0
PR Pp PK Tn
y las ecuaciones
(y: —y) y: +2
Pp
+M:=0
xi — xx
K
o sea un sistema de 3 ecuaciones en 3 incógnitas (Y, x, y) que puede ser resuelto y luego obtener X;, Y; con las expresiones (a) respectivas. Para su resolución conviene, sin embargo, hacerles algunas transformaciones elementales. Desarrollando las ecuaciones anteriores se tiene
dd
0 3K/ y: +3
KI
== Y
2
(c)
A
AR
Si ahora tomamos como centro de cordenadas (xy) a un punto especial que pode-
y
He y es
mos llamar centro de rigideces G (fig. 6) definido por las expresiones análogas a las que definen un centro de
/
Y
7 AGUA
gravedad
E A
:
(5) SK
las ecuaciones ducidas a
KZ
0
|
Y, Fig. 6
(c) quedan reF X=
—_
F VA
p3K,;
ze
P3K; PES
My
E
(d)
si designamos
con
Ti
AE
AE y
(6)
al momento de inercia polar de las rigideces respecto de su centro y con M, el momento de las fuerzas exteriores respecto al mismo punto.
Finalmente
utilizando
la última
de
(d)
obtenemos
también
Pod M,
37
lA M, como
expresiones
del
giro.
Para obtener las relaciones obtener los desplazamientos:
M.ro
A
y
A
LV y
luego
con
X,
Y
se
sustituye
en las
(b)
para
pj [e
RO E e
(a): X=
RE
¡
M, y:
54
Ja
+
Fy_ S
(8) Y,
=
—
M,
KE
Xi
Etc. Me Ja
F
E En
]
que son las ecuaciones finales que resuelven el problema en toda su generalidad. En el caso particular en que la fuerza aplicada sea paralela a uno de los sistemas, las ecuaciones (7) y (8) con F.=00 F,=0 se reducen a la forma conocida. 4. —Cuando hay más de un diafragma el problema se complica singularmente con su número, hasta hacerse de resolución exacta prácticamente imposible con excepción de algunos casos y
particulares. sometido gún
Cada
en cada
el sistema,
de
ellos.
Ed
carga
Pero
pórtico piso (o
que
genérico
1 tal
diafragma
J)
Pro Ocdn
ahora
directamente.
aplicada
=
aj1 X;
+ aj2 Xa
Z;
el
a una
AB
carga
desplazamiento
el desplazamiento
(Unción lineal de todos los e
un
como
en
DE
ese
no
+ aj
0 MN
es
piso, —
7)
está
iS
se-
o
en cada
uno
proporcional sino
== Los ia
(fig:
que
es
a
una
ES
X;
+.
.
+
Qin Xp
siendo n el número de pisos. Recíprocamente podremos poner también los X; como función lineal de los desplazamientos: A
e
Xi
q
A
n
Piso -1-
a
siendo de
a
j
una
PRA)
3
función
z
(e)
lineal
%
particu-
lar de cada pórtico y de cada piso, bien determinada cuando se conocen las características resistentes de toda la estructura
pS
Sustituyendo ¿estas expresiones de las X;, Y; en las ecuaciones de equilibrio (1) de los nN pisos tenemos 3n
ecuaciones
(x, “....
Qn)
con
cuya
3n
incógnitas
resolución'e3
po-
sible siempre que se conozcan las funciones f/, o sea las Xen función de
A.
Esta resolución general exacta del oblea planteado representa un trabajo muy penoso para las estrucsr 5
.
turas
corrientes
por
cuya
razón
pue-
de DE TUCO AS ; 2 a : A mg. 7 vb de*considerarse como de utilización eS ES “=prácticá imposible, pero sin 'embargo, permite plantear correctamente las condiciones de la solución aproximada que se utiliza:en general.
En efecto, encontraríamos nuevamente. la facilidad de: solu.ción:del caso de.-un diafragma si se pudiera dividir el sistema de BM ecuaciones .«en N ecuaciones de 3 incógnitas es decir, en esencia, BE
si pudiéramos poner las q de (e) únicamente. Esta simplificación se presenta
en
función
cuando
de
(X; , pj,
ej)
la deformación del pórtico es una función exclusiva del esfuerzo cortante que existe en la ménsula,— o que admitimos que asi sea—, es decir en aquellos casos en que podemos establecer que el desplazamiento relatívo
Xa
de los pórticos Ú; , entre dos pisos (fig. 8) es proporcional al es-
Xi
fuerzo cortante v] que PORTICO
existe en el entrepiso correspondiente, en cuyo caso podremos poner:
“i” Fig. 8
(£) con .
Y
n
DI
J
.
AV
Y)
siéndo
K?
la rigidez
= 2)
JJ
.
(2)
y
correspondiente.
En estas condiciones si establecemos las ecuaciones de equilibrio del bloque de edificio que está por arriba del entrepiso dado j (fig. 2) se podrá poner como en (1):
z [le EV: =0
2 [ly +11 1, =0 z [0/1 y: +2 1V/Iy o + Mp=0 OA
si
indicamos
(fig.
2)
con
las resultantes Por
lo tanto,
a las
totales dada
(¡—=1) bloque
y con
(7)
y a las
de
los
M,
y
indica
(8)
si se
momento
Las
cargas
está
[v?],
de
(a)
en
y (f)
con
(%, y,
las
fuerzas
Y / aplicadas éste
dicho
bloque.
llega
también
los
valores
se
relativos entre
todas
De
sometido
Ey
aplicadas
entre
el
cuales
[DAL
las fuerzas
semejanza
a los desplazamientos
superior.
ma
de
la
expresiones
correspondientes
Ma
==
por
se obtendrían
p)
el piso ¡ y el aplicadas cada por
al
diafragdiferencia
sucesivos.
El requerimiento básico de la ecuación (f) significa en esencia que la deformación por flexión sea despreciable comparada con la de cortante, lo cual se cumple cuando la ménsula está constituida por:
q $
A / E
0
a) Vigas trianguladas de cordones paralelos con cordones y montantes de rigidez axil infinita. b) Vigas de malla 2 rectangular cuando las rigideces axiles de todos Fig. 9 sus elementos son infinitas y además la rigidez flexional de las vigas son despreciables o infinitas. Para las vigas trianguladas o mixtas, de los ejemplos de la figura 9, se obtiene entonces para las rigideces correspondientes:
(Tipos A y B) (Tipo
C)
a K= 2A KE =
2
2AEsengcos? y y 2 b?htAsengcos?$
o PO
El
siendo A el área de las diagonales e £, el momento de inercia de las vigas. , Para los pórticos de malla rectangular la exactitud es menor y el problema más complejo. Para los casos simples elementales en las hipótesis planteadas se tiene: (Tipo
D)
K=
E
(Tipo
E)
K=l2
a
o bien, manteniendo la rigidez axil total pero considerando la flexibilidad flexional de los otros elementos conectados, se tienen
las fórmulas
de Lin
del trabajo
mencionado.
Pero en realidad es de mayor interés práctico para este tipo de malla utilizar expresiones de K derivadas de los métodos aproximados isostáticos por fijación de articulaciones al centro de cada barra y reparto prefijado del cortante, en cuyas condiciones tendríamos para la malla simple: (Tipo
F)
K —=
12 El.
_=5———
1
Sl h Para calculado (Tipo
|
malla compleja el' valor promedio del para todos los paneles del entrepiso: i=
G)
si indicamos
|
Po
relaciones al
del
siguiente
|
E
con
:
Si
tivamente,
valor
12 El. ir
== h3
las
=—
WEST SO da h 7 |
esfuerzo
cortante
de
Q/
a
cortante panel
en
vigas
y columnas,
respec-
v!
Aungne quizás las fórmulas más convenientes a estos efectos son las fórmulas de P.C.A. claramente sistematizadas por Rimoldi (%), en las cuales, bajo la hipótesis de una deformada lineal (fig. 8) E
SÍ
i
7
h; se
puede
y cada
obtener
pórtico
un
=
reparto
entre
las M
constante
del
cortante
columnas
v)
del
de
mismo,
cada dado
entrepiso por
O AE m
siendo N¿ un “coeficiente de nudo” vigas y columnas del entrepiso. De
allí se
de que ese de bo así su
es
de
las
rigideces
de
deduce h
que
función
la constante
A 3
m
el El;
buscada.
En resúmen pues, en todos aquellos casos en que, como los las ecuaciones anteriores o los del repertorio muy completo trae Spurr para formas muy complejas (*), se puede calcular coeficiente K con cierta aproximación, el cálculo del efecto cargas laterales en estructuras asimétricas podrá llevarse a cacon estas expresiones simples de carácter local. De no ser deberá considerarse el problema en 3 dimensiones con toda complejidad de resolución.
BIBLIOGRAFIA
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Morris- Carpenter.
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H.
«in Concrete
V. Spurr.
Wind
Exposure.
Building
Frames.
Buildings.
Structural
Bracing
6th
Proceedings PCA,
Progress
Framewoks,
(1930),
p. 38/69.
18
3d.
American
Con-
Ed. R., etc.
Proc.
ASCE,
1943.
a la acarmado.
Teoría
intrínseca
de
la
torsión
G. LUMER
1.
INTRODUCCION.
Exceptuando el uso del cálculo vectorial en la mecánica de fluidos, los métodos intrínsecos todavía no se han difundido en el tratamiento clásico de la mecánica de los cuerpos deformables; especialmente en elasticidad. La resistencia que aquellos métodos encuentran, halla en parte su explicación en las complicaciones inútiles, e incomodidades, que presenta el cálculo tensorial en forma analítica (al estilo de Ricci y Levi-Civita [1]) cuando se aplica a problemas clásicos del espacio ordinario (véase [4]; 14-8, p. 171). En cambio, las objeciones no subsisten cuando se utiliza cálculo vectorial y tensorial sintético ([4]; cap. 14 . [3] . [21); y puede decirse que la difusión de estos métodos resultaría muy ventajosa en elasticidad y permitiría además un tratamiento homogéneo y unificado de toda la mecánica de los cuerpos deformables. Pero es más aún; los métodos intrínsecos no tienen un uso limitado a lá teoría general, sino que se pueden aplicar con provecho al estudio de tópicos más particularizados. En torsión,
este que
sentido.
servirá
desarrollamos
de a
ejemplo
continuación.
do (opa
la teoría
intrínseca
de
la
2.
NOTACIONES
Las
Y
PRELIMINARES.
notaciones
son
y tensoriales véase Recordemos vectorial:
las
de
[3].
Para
las
relaciones
vectoriales
[5] y [31]. la
siguiente
propiedad
conocida
del
análisis
Si 4 esun campo vectorial plano, y € un vector unitario normal al plano en cuestión; entonces toda vez que se verifique Y Xux=0, existe un campo escalar plano Y tal que:
u=VAYe=(VY)re
(1)
Sean U y V vectores funciones de punto (campos vectoriales), y sea A un campo escalar; usaremos explícitamente las siguientes
relaciones
tensoriales
([3]; cap.
III):
Yiu=14yuw+
ydu
(2)
V (ux v) =(V u) Xx v + (yv) Xu
(3)
V(unv)=(y uy av—(y v)au
(4)
Y Xu,
(5)
Designaremos idéntico; entonces
v=(Y
Xu) v + ux yv
e(yu)=VXu
(6)
v(yia)=
(7)
04
con Y al vector se tiene
de
posición,
y con
Í al
tensor
:
vr ==
(8)
En un cuerpo deformable, designaremos con T y D, los tensores de tensión y deformación. La ecuación indefinida de equilibrio ([3]; cap. 1V) es:
A+uy0+nv?o+oF=0
(9)
Consideremos el problema de la torsión de una barra cuyas condiciones de carga son: F —= 0; superficie lateral descargada y fuerzas exteriores aplicadas en las secciones rectas extremas equivalentes a un momento axial M;, poniendo | M. | = M, (momento torsor). Este planteo naturalmente presupone la aplicación del principio de Saint Venant. e
E
3.
BARRA
DE
SECCION
CIRCULAR.
M,= Me
En
este
caso,
razones
de
simetría.nos
llevan a pensar que cada sección recta gira sobre sí misma, de un ángulo proporcional a su distancia, Y X€,/'a la sección extrema So que suponemos fija. Entonces el desplazamiento
de
un
punto
cualquiera
será:
5$=0(rxejenr Entonces,
usando
YÍ=0(rXe)
(2),
(4),
(3)
(10) y (8)
resulta:
Vl(enr) +OV(rXxe).enr
=—O(rXxe)lre+0e.enr 'Es
obvio
que
(puesto
que
para todo
Xx, XxX
v(—Ire)=2e;
(11)
X(—1Ae)=eAx):
e(—Ine)=0
sic dol 20)
Entonces:
g8=e(VÍ)=0exenar=0
Y?8=0
[—7v(rxe)x (Ixe) =—
200
Xi
e
- De (13) y (14) resulta que 0 satisface indefinida (9). Tenemos de (13) y (11):
A
(4.3)
+ex
year]
0
(14) en
efecto
la ecuación
E
0
E Llamando ahora A a una normal genérica teral, verificamos a partir de (15) que
a la
(15)
superficie
la-
Txn=0 En
la cara
extrema
superior
ponemos
tT=UO08€
=T
Xe;
Mara Si:
(16)
Si
=00 104
(15):
Ar
rd =up0ea/[rar=0 0 Si
y de
de
S; ES
ross AS
5
[leer ds Si
(17)
4
S, al
roe)jrids =(1>e)/rds
=0;
5;
radio
del
cilindro
circular.
y
jd=3=.
S
donde 4 es
Queda aa!
con (17) y (18) han quedado verificadas también las condiciones de carga; y tenemos explícitamente de (16) y (18) la fórmula práctica 2 M: ==
.
Poniendo
.
Tm
Í
E
.
para ell máximo
+
e
a
erAr
>
valor de 2
|
(19)
|
|T|;
M,
Tm =
a
T
S
1a=—"eanrr
;
a
4.
BARRA
DE
SECCION
resulta
(20)
CUALQUIERA.
La solución del problema solución general. Recordando
particular anterior, nos sugiere (10), ensayemos la solución
la
$=0((rXe)enr+oe) ge
AIV0 dando (13)
calculado
en
|
(11);
se agrega
Ve. €;
entonces
pe AO O=3Vexe=¿=0 Recordando
(14),
recor-
(22)
resulta
V?id=vy*pe Para
que
se
satisfaga
entonces
Yi
(9)
deberá
ser
=0
(23)
Recordando (15) resulta T=p0[e.enr+enr.e
| Vo.e | e.Vel
r=Txe=w0[eArr+ —18
=
vel
(24) (25)
De (25) sale 1 xe=0; y siendo e xn=0, (24) danxTxn=—o0; de ahí que la condición de borde n X T =0, equivale a nxTxe=nx:u=0
(26)
Para facilitar - la “solución del problema, en 2, (1),y teniendo en cuenta que V*p= troducimos: Y, tal que
Ve=(VY,) Ae
recordando lo visto VX(Y £) =0, in-
=VyAY, e
(27)
y poniendo
=y0
[a
E
A o) €)
(28)
VY=H0 [VY, — r + (r x e) el Por
(23)
es
V* Y, =0
y de
A
(29)
resulta
2
entonces
A A
——H0[3— exe]
(29),
==
=—210
(30)
r=u0[enr+ Vel =10 [(94,) Ae + en r] = =(VY)Me=VYM(Ye) =eAnm, es una tangente y de (26) y (31) sale
VYXt=
al contorno
C,
de
(31) la sección
recta
S,;
YyxXxeAn=VyMexn=txn=0.
Luego Y es constante buscaremos un Y tal que
en
el contorno
C,,
y en ;
definitiva
pues
V?y=—2H10 Y (borde)
= 10)
:
eE
e
(32)
| |
A éste Y corresponde un fp, y por (21) (9); y un T que satisface (26). Verifiquemos carga en S,; recordando que Y (borde) =0,
un Ú que satisface las condiciones de
fid =(/Vyds)ne=(fyndl)rne=0 S;
S;
Ci
—
19—,
( [3];
También tenemos cap. 111)
usando
(2)
y la fórmula
de
Gauss
tensorial
0=/m.yrd=/Vyrds =/y 1ds + f yy. r ds C;
$1
multiplicando
S;
vectorialmente
por
€,
Sy
usando
(31) y recordando
(12)
0=/fywenlds— ft. y ds $
M, =/r ards =— S;
S,
v (fr. r ds) =(—/y ds) [v (ea 1)] =(2/Y ds) e
a
S;
Si
S,
Esto termina de verificar las condiciones de carga y suministra la importante fórmula (usada en la teoría del '“montículo de 4”):
M,=2f/w ds 5.
FLUJO
Y CIRCULACION
DE
(33)
rt.
La resolución práctica de diversos problemas de torsión, en particular para barras tubulares simple o múltiplemente conexas, se logra a partir de (33) y de otras dos fórmulas que deduciremos a continuación. De (25), usando (4), sale:
Vi=H 0 [—IAe+V y e] usando
(6), (7), (12) y (13), sale:
YXxt=H0[e(—1/Ae) +? e] =0
(34)
VAT=2H 0 € De la primera resulta corriente, es constante. De
la (35)
que
el flujo
de
(35) T,
entre
fixdr=/f(yanxeds=2H0/d4=210 A
líneas
de
resulta:
C;
donde
dos
S;
designa
el área
S;
de
S,. — 20 —
A,
(36)
6.
TORSION
PLASTICA.
Este caso es totalmente análogo. Se supone 9=0 (0 se desprecia en general en la deformación plástica) y se tiene YT =cCcD. La ecuación indefinida se reduce a y*0=0, Se resuelve mediante una función Y que satisface las ecuaciones (32). En las zonas de la barra en que hay plastificación se verificalt|=| YvyAel| =] yy | = constante. (Al avanzar la plastificación el montículo de Y se transforma en un cono; ver [4]
p. 494).
O
REFERENCIAS
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