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C
o
M P O N E N T E S
=====================
S 1 M E T R 1 C A S .=====================
Cursos
de Sistemas
Eléctricos
de Potencia.-
1 987 Prof.
Ing. I.Hain.-
==================
COMPONENTES
SIMETRICAS ;
(Tratamiento
matricial)
Introducción Todo maBni~ud terizada
el€ct~ica
an un sistema
por sus 3 componentes
de fase VI' .
jos) y constituye
pues un "vector"
las ternas de u üme r.o s complejos
trif§sico
está carac-
(númaros comple 3 V en el espacio vectorial de
-+
V2, V
sobre el cuerpo de lc1-scomplejos.
-+
As!, un vector
V de ese espacio
vectórial
t~ndrá
la expresión
co-
lumna:
I
-+
V
:::
,
Lo's 3 números
,
3"
pueden con¡iderarse 3 tes"del vector V en la base consituída por:
-+
e
l
V
VI V 2 V
l
V2, V
-+
r~ 1 "o ,..
:::
-+
e2 -+
ya que V = V el 1
+ V2
Nos proponemos -+
se F = (e h 1"I -+ e ::: h
-+
~ ea
,
-+ 8
como las "componen--
· r:l
-+
2
+ V3 e3
pasar de lo base E
-+
e. )
formada por:
1
,~J
(vectores expresados
-+
e
d
"EJ
-+
t. J.
en base E). F constitU]8
base pues sus 3 vectores
son linealmente
siendo . 1200 o = eJ éfectivamente
independientes;
una -
en efec-
- 2 -
to,
la matriz
de paso 1
1
P =
1
a
1
I
2
.
vs
y llamando
a
nueva
3
y det P
a
a
En e s t
es:
'./3
f. O
j
2 .r
-+
las
base,
:::r~:-I
de
componentes
V serán
n la nueva
axpresi6n
V
h • sabido
-+
de V, es
v.
V d'
L
que:
Vil -+
V
P
V
s
donde
::; p-I
; I
r~
-+
P
-1
1 ;:-3-
II
;
s
Tendremos:
1
1
a
a
a
2
2
a .)
~
-+
-+
-+
-+
-+
-+
-+
+ V2 e2 + V3 e3 ;: Vh eh + Vd ed + Vi ei
V ;: VI el -+
V
representa s ferente y se
q
columna -+
V
al mismo
vector
eléctrico
V escrito
en una
base
di-
-+
llama
"expresión
simétrica"
d¿ V
--~-------------------
se llaman
los
números
los
de la
de la
-+
componentes
de
fasG
de
v y
columna
-+
s
se
llaman
componentes
componentes homopolnr,
simétricas directa
de -V; Vh
e inversa -+.
puede
desi8nar
tambi~n
Como
' Vi se llaman
respactivamente.
-+
(V)h
• Vd
s~
las
-+
' (V)d
' (V)i
Escalarmente:
Vi
= V
h
+ Ve. + V.1 2
V2
:c:
Vh
+ a
V
::;
Vh
+ a Vd +
3
Vd
V
=
Vd
:::
V.1.
=
h
+ a v.~ a
2
V.1.
1 (VI 3 I (V l 3 1 (VI 3
+ V2 + V3) -:- a V + a 2 V ) 3 2 + a
2
V2
+ a V3) /
OPERACIONES -+
1) Suma
---
(S
-+
-+
-+
+ T) s = S s + T s
Escalarmente:
(S + T)h -+
(S -+
(5
.-
Sh
=
Sd
+ Th
-+
+ T)d
¡-
Td
-+
+ T) 1.
:::
S . + T.1. 1
- 3 Demostraci6n:
(1 + t)s
=
2) Producto
i) :;:: p-1¡
+
p ,-1 (~
de un núme.ro por
Esca1armente:
+
i
s
v'~-l
a. complejo
a. V h
:;::
-+
a.
:a
(eV')d
=; s
p-1f
un vec.tor: ICo.V)s =0.
-+
(o.V)h
+
Vd
-+
(o.V). = a. V.
1
1
Demostraci6n: -+
(o.V)
S
Caso
=
P
-
1
-+
(o.V);
particular:
-1
P
-+
=
aV
(a
Opuesto
-1
aP
-1)
=:
-+
S
-v si,
\
\
Definici6n:
Llamamos
de
"conjugada"
a la matriz
plejús
números.
6S0S
SUpuesto
a
de un.:!filéitrizde números formad~
La misma
matrices
~ serli V
"
I
1 ;o
/\
V
2
En efecto: =:
Por
P
V s- ;-;? =
otra
~
/\
P
parte: ~
V
s /\
V
=
P
(V)
(V)S
F
Entonces: ~
Á
P ~
S
S
De donde: ~
(V)
s
=
P
-1 A
~
P V
9
tomando d~finici6n
columna.
/ ...••
V
V
-+
aV
Conjuga~o:
3)
-+
=
V
los
com-
conjugados
se aplica
o sea a vectores.
por
-~ 4 .•.•
í1
1
1
a
1
/'.
Pero
P
""
a
~l
I
2.
:j
2
/',
(~)
A
(V)
:::
9
3
las
a
a
a
a
1
a
I:h V
IV.
L l.
8stfo resultodo
2 ~
-1)
V
a
o
a
a
1
~ ••• A V
s
4) Producto Sean
T
/\,
h
'"
/\
=
V-1
e
v.
~
(~ - -
:v _
•..o
1
'.
1 .,;
puede
exprcs.JrsG
en
o
la
forma
si--
1:%
1
O
a
a a
a
1
1
a
~ (V)h ~ (V)d
Escúlarmente:
s
A
V
h
/,
V. ~
A -+
/,
(V) 1..
Vct
F8Sico~
los
-+
-+
- Vh\'l
V
, A,
I
S
S
1
,
,
llamando
A ~ V)
=
A
a . -
1
3"
d
donde;
; de
-;
"3
Matricialmenta, guiente,
1-/,
1 3
Lo
j
matrices:
(P
3
:::
9
Exp1icitando
-1
3 F
vectores:
-+
-+
==
SI el
=
TI ~l
+ "2
e2
-+
-+
+ T2
-+ 6
-+
3
=
+ T3 e 3 ll
de
f5sico
+
Sh eh
-+
e2
"producto
Llamaremos
+ S3
-+
-+
S
d "'d -+
Th I?h
+ Td ed
-+
-+
S y
T 0.1 'vec t o r :
+
S l..
+ T.l.
-+ €:i. l. -+
€.l.
-+
e.1. Este
producto
el vector -+
-+
(9i!r)s ••
es
cuyas S.1.
Sd \
Sd
Sh
S. I 1.,
S.
Sd
1.
conmutativo, de
componentes
Sh
r '-
uniform~,
I
('
I
"'h~
íTh'! T
d
I i
:Ti!
fase
Son
SSQci~tivú
y
unitúrins.
Probar~mos
Su
neutro
es que:
- 5 .•• -+ S
vbctor
-
Sh
en esta forma~
s
rSh
S.l.
-1 Sd
Sd
Sh
S. l.
S l..
S
-+
S
••
8
:;::
Sd
---"?
s l..
I '=+ T
~J,'.
d
~~'"
-+ -+
-+ -+
Observemos
s
que siendo
-+ -+
bién
S&T
-+
(Sq=
en büBIé F
S
L.Q.Q.D."
8
Directamente 1
p -1 D P
2
S
SI
:1
D P =ISd
2a. Demostración
a
~
=
-
J
,-Sh S. 1
Entonces:
a
S.
a S
a
2
¡-
a 2 8
O
:2J
r~1
S2
O
1
O O 53
f
8
a
2
1
1
,.. 1= . .. ...
82
a j
S
s
-
7 -
Aplicaciones: a) Tensiones cias
producidas
por
corrientes
desequilibradas
dese~uil~bradns. Z,
..•. 11
~
a
Z2 •..•
VI
. 12(
V
Tenemo~
/VVVL-.I
2
ZI
1
= Z2
1
;:
V 23 ,..,. __
~
entonc~s
aplicables
s
\V = Ea c a La ru.en
+ Z l.. Id + Zd
1.
V -= Z el J Ih
+ Zh Id + Z.l.
I.
= z l..
+ Zd Id + Zh
1.
por
d?sequilibradas
Potencia de s e qu i.'l
Z.
0) de modo o
V &1,
vIII que
l~s
:j (0 Explicitando
vg?
= 1 1 L
~.
+ V2 12
JÍ{s
y corrientes
tenemos
~
*
V3
1~ suma
0+
13
de las
componentés
formulas
A
'1
a c.,
2
1
= PV
s
~ -1-1
V
V.l.
¡
Vd
V
d
h
[v_o
V
_ ~
-:-a Via
2
s
(1)
y aplicando
h
.I
escalar).
Calculemos
simétricas
de V e
~
(vfiif)
FV
e?
del
anteriores.
las matrices 1
fase
V
h
d
Vil V h ....J
[tJ
vector
,
componentes
A
= P.
de
+
de las
función
Vh + Vd + Vi. ;o:
l.
Q t -'11bi5n U =V ~( 1 (producto
V(;:) 1 en
í1
l.
tensiones
anterior,
~
-)- ~
plicando
l.
b r c df:.~.
En el esquema
=
1h
generada í
Z@l
anteriores:
n lh
:L
..•.~
f6rmulas
;:
lsl
ZB
=
V.
u
las
que
t e- :
vh
tor
de modo
2
Z'3 13
3
13
1
/V\/~_"
Son
b)
~n impaden-
s el r~sultado
de
(3). :
el vec ~
i
-
a--
-
ü -
.., I
'1
+ a'-vd+
A
1. ~
aV ) i
2
/\
1. ~
+ aVd+ a V.) 1. La
suma
I
.
da l's
. ~'):;;
3 componentEs 1".
-