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A
A7
- -
HACE mucho tiempo que habíamos decidido la publicación de las clases que dictamos en la Facultad de Ingeniería de Montevideo sobre unidades eléctricas, dada la necesidad de un texto sobre ese delicado tema. Pero en vista del interés que ha adquirido recientemente en Sudamérica dicho problema, debido en particular a las recomendaciones que se hicieron en el Primer Congreso Sudamericano de Ingeniería de Santiago
de Chile, a raíz de
un informe
del
Co-
mité Electrotécnico Argentino, decidimos ampliar el texto primitivo, para poder proporcionar a los estudiantes y profesionales una imagen más com-
pleta del problema y de su evolución. El +ema de las unidades eléctricas es uno de los más discutidos y la considerable divergencia de opiniones existente influye en la redacción de los trabajos de los diversos autores y en las resoluciones de los distintos organismos; además, la evolución de ciertos conceptos no ha sido seguida siempre por el cambio correspondiente en la redacción;
debemos
notar
que no
estamos
de
acuerdo con la forma en que están expresadas algunas de las citas que hemos incluído.
E
o
_
Montevideo, agosto 1941.
S, GERSZONOWICZ
CAPITULO UNIDADES 1.
Veamos necesario
Introducción.
rápidamente
tener
1.
ELECTRICAS Nociones
algunas
fundamentales
nociones
fundamentales
que
es
presentes.
l Partimos de la siguiente definición: magnitud es todo ente para el cual se pueden definir la igualdad y la suma; admitimos que sabemos identificar dos magnitudes de la misma especie. La relación
de
una
magnitud
a otra
de
la misma
especie,
tomada
con-
vencionalmente como unidad, representa el valor numérico de la primera. La medida es la asociación de ese valor numérico con la unidad. Al variar la unidad, el valor numérico de la magnitud que medimos con ella varía en razón inversa. Admitiremos tembién que las leyes físicas vinculan entre sí los valores numéricos de distintas magnitudes susceptibles de variar simultáneamente en un proceso dado;: pero como esos valores dependen de las unidades, en las ecuaciones figuran, además, coeficientes que son función de la elección de las unidades. Para abreviar, diremos en lo que sigue que las leyes vinculan "magnitudes”, en vez
de
"valores
numéricos
de
magnitudes”.
El concepto de dimensión fué introducido por Fourier para la verificación de la homogeneidad de las fórmulas y por su utilidad en el problema del cambio de unidades; la última aplicación es la única que nos interesa aquí; la examinaremos detenidamente tomando primero, para ver con claridad qué entenderemos por dimensión, un ejemplo sencillo. Consideremos
la- ecuación
que
expresa
la superficie
cuadrado de lado 7; lo único que la experiencia que S es proporcional a 7 S= KI —
1—
nos
de
un
enseña
S
es (1) Ti
siendo X el coeficiente, al que aludimos más arriba, función sólo de la elección de las unidades de S y 1. Con las mismas unidades, cualquiera que sea su elección, la superficie S' de un círculo de radio r se escribirá Ne A
Ka
(2)
donde el coeficiente * es independiente de la elección de las unidades; lo llamaremos orgánico. De la misma manera, la superficie de un triángulo equilátero de lado a se escribirá
"= Ka = KÍ— Ka? siendo
esta
vez
73
el coeficiente
(3)
orgámico;
etc.
Elijamos unidades de superficie y longitud tre sí, es decir, tales que la variación de una Al combiar —arbitraria e independientemente unidades de S y 1, el valor de KY varía, y nuevo valor al antiguo está definida por unidad antigua de S _
valor muevo
unidad
valor antiguo de K
nueva
de
$ —
independientes enno afecte la otro. una de otra— las la relación de su
de K ( unidad antigua de 1 )2(4) unidad
nueva
de l
e. en forma simbólica, designando por dimensión la relación entre antiguas y nuevas unidades, o enire nuevos y antiguos valores numéricos
] = [K]LZ2] C
'
-
(4a)
sea
LX] =
[SI[LL-*]
(4b)
Es además evidente que, cualquiera que sea'la elección de las unidades valor nuevo de K valor antiguo
_
vulor muevo de K' —
de K
valor antiguo
valor nuevo
de K”
—
de K' — valor antiguo de K”
. de modo que podemos escribir
]
— [K] = K]
=.
y [S] = [K] [7] Ia
o
[X][L]
[S] — —
2—
o
]
— KIT
...
utilizandose indiferentemente K, K o K”, según convenga, en las relaciones (1), (2), (3) y similares. Así, introduciendo X tendremos
; —T
E
0y,
— La, 37 —7 47 a
9 — Kr
a), etc.
Cuando las unidades de S y 7 son independientes, la determinación de K o X, ... exige la medida de S y 7 con sus unidades respectivas: la ley sirve entonces de definición a su coeficiente. Pero es más ventajoso introducir una interdependencia entre las unidades de S y l fijándonos K, o K', K”, etc. Eligiendo, por ejemplo, como unidad de superficie la de un cuadrado cuyo lado tiene
p
unidades
por consiguiente como
unidad
de
a
de longitud, la relación X'
=
—
superficie
— 3£p
a la
de
un
.unidades de longitud, la (2) nos da K=
1
= prg
r
IH—V3 4 7Tp'2
(1) nos
da
7
X = -
y
.
etc.; tomando, en cambio, círculo
K' = p—]"º'
cuyo
radio
tiene
y'
y por consiguiente
'_ etc.
La elección de la ecuación de definición de la unidad de superficie es en principio arbitraria; una vez hecha, su coeficiente se llamará parásito, puesto que podemos hacerlo igual a la unidad (p 0o P = 1), convención que se adopta generalmente para facilitar los cálculos. Según la elección hecha, los coeficienies orgánicos, que nunca desaparecen, se desplazarán de una ecuación a otra; si, por ejemplo, hacemos K' — 1, se escribe S —.7*, pero el coeficiente orgúnico aparece en la ecuación (1), que chora es —
7
7 .
;
Para efectuar el pasaje
;
entre sistemas
-
de unidades
en
los que la definición de la unidad de superficie no es la misma, K tiene dimensión; esta última queda suprimida sólo si la defimición de la unidad. de superficie en función de la de longiiud es - la misma en todos los sistemas en presencia; el valor de K es entonces también el mismo en todos ellos (sin ser forzosamente igual a la unidad), es decir, se-tiene [ X ] = 1 (, escribiéndose en con-
secuencia
_
(1) Algunos autores, en particular Jamriwell, decían que la dimensión p. ej. de L en la ecuación de dimensión de una magnitud es 2, para expresar que en dicha ecuación de dimensión interviene Z? ; decir “dimensión nula” equivale para ellos a decir “sin dimensión”: [K0] — 7.
=
$=
i
[S] = [7
.
(5)
La unidad de superficie varía entonces sólo con la-de longitud, y la relación (5) dice que al aumentar m veces la unidad de lon-
ditud, qumenta
m? veces la unidad de superficie.
Generalicemos lo que precede. Dado un conjunto de leyes, diremos que son independientes si ninguna de ellas vincula sólo magnitudes ya relacionadas por otra ni puede deducirse de las ctras. Ahora bien, una ley independiente puede utilizarse para introducir
una
interdependencia
entre
las
unidades
magnitudes que en ella figuran, y entonces —a las convenciones
que precison
de
las
distintas
condición de que
esta interdependencia
sean
las mis-
mas en los sistemas de unidades considerados— el coeficiente de esta ley resulta sin dimensión; pero en caso contrario, es decir, si habiendo interdependencia las convenciones de definición de ciertas unidades en función de las otras varían de un sistema de unidades a otro, o si elegimos unidades independientes, el coeficiente de la ley tiene dimensión. En este último caso la ley sirve de definición a su coeficiente, que . puede ser así considerado como una magnitud de especie particular; un ejemplo clásico es el de la ley de atracción de las masas de Newton, donde [X] — [Z? M+ 77]: se hubiera podido suprimir la dimensión de X, haciendo depender la unidad de masa de las de longitud
y tiempo;
pero
tal dependencia
no puede
ser determi-
nada experimentalmente con precisión y facilidad suficientes, de modo que la solución de elegir unidades independientes es aquí preferible. Veremos más adelante otros casos en que se dan dimensiones a los coeficientes, por ejemplo al de acción electromagné-
ticd -7
-
-
:
Si consideramos n leyes independientes, elegidas en principio arbitrariamente, que vinculan m maonitudes, algunas de las cuales pueden ser coeficientes definidos por la ley mismeca, podemos, eligiendo también arbitrariamente (a menos de consideraciones de índole práctica) m-n magnitudes independientes, expresar en función de sus dimensiones las de las n maqgnitudes restantes, dado que cada ley nos suministra una ecuación entre dimensiones. La elección de las leyes independientes entre las que vinculan las mismas
magnitudes
es aquí indiferente, puesto
que
los coeficientes
orgánicos no intervienen. Las m-n magnitudes indispensables elegidas han sido llamadas magnitudes "fundamentales”; las otras n,
"derivadas”;
pectivas I1
daremos
los
mismos
(coeficientes excluídos). ;
==
nombres
a
sus
unidades
res-
La dimensión de cada magnitud derivada en función de las dimensiones de las magnitudes fundamentales, o “dimensiones fundamentales” o “de referencia”, se llama su “ecuación de dimensión”. El número de dimensiones de referencia puede variar según los sistemas
de unidades
en presencia.
Cada vez que por convención especial suprimimos la dimensión de una de las m magnitudes, el número de magnitudes fundameniales disminuye en una unidad; tal proceder (siempre en lo que al cambio de unidades se refiere), no presenta inconvenientes si la unidad de la magnitud en cuestión (0o su valor numérico, tratándose de un coeficiente) es la misma en todos los sistemas considerados, pero origina confusiones y dificultades cuando se quiere pasar de un sistema a otro que tiene distinta unidad de dicha magnitud, Por otra parte, según los sistemas de unidades que tengamos en presencia, podemos tener que catribuir dimensión al coeficiente de una ley en la que primitivamenie no había sido considerado: el número unidad.
de magnitudes
fundamentales
aumenta
entonces
en una 1
Supongamos ahora que en deierminados casos el valor numérico XY de una magnitud 17 sea por convención la relación entre los valores numéricos de dos magnitudes de la misma especie N; es evidente que la unidad común de estas últimas no influirá en X , de modo que la magnitud 1Hf, cuyo valor numérico es independienie de las unidades elegidas, no posee dimensión. Es por ejemplo, el caso del valor numérico del ángulo, definido como relación del arco al radio de una circunferencia. Agreguemos
finalmenie
que
las
ño son mi únicas ni universalmente
adoptadas
aquí
reconocidas. Así, muchos
definiciones
auto-
res admiten que las ecuaciones físicas se deben interpretar entre magnitudes y no sólo entre sus valores numéricos. Por otra parte, es frecuente la opinión que liga en forma estrecha el concepto de dimensión con el de magnitud, del que representa la parte cualita-
tiva: la supresión o ces a la supresión de acuerdo con esta no es una maognitud,
introducción de la dimensión equivale entono reconocimiento del carácter de magnitud; definición, en determinados sistemas el ángulo eic. Evidentemente tal concepto de dimensión
no
que
coincide
con
el
mensión es un número.
hemos
adoptado,
Creemos
y
según
el
que los des conceptos
sión son útiles. Pero, por interesante que sea el examen
cual
la
di-
de dimende las ven-
tajas y dificultades que presentan los diversos puntos de vista, no nos corresponde estudiarlas aquí; hemos elegido el camino que nos pareció más apropiado para el fin que perseguimos. Los que pre—
—
li
fieran otras definiciones podrán adaptar lo que sigue al lenguaje que esté de acuerdo con sus convicciones. Sería sólo de desear que los autores especificasen siempre el significado que dan a los conceptos
búsicos con
el fin de evitar ciertas
contradicciones,
que
con
frecuencia son sólo aparentes.
'
I El conjunto de las unidades que intervienen en un dominio terminado
de
la
ciencia,
constituye
un
sistema
de
Para definir un sistema de unidades se parte de leyes independientes cuya elección es hasta cierto ria. Con el objeto de simplificar las operaciones se ralmente en hacer igual a uno el coeficiente (por rúsito) de cada
ley independienie
que introduce
de-
unidades.
un conjunto de punio arbitraconviene genedefinición pa-
una interdependen-
cia entre unidades; un sistema de unidades en que se cumple esta regla se llama .”coherente”. Podemos, sin modificar el sistema, reemplazar
en
el
conjunto
de
leyes
que
lo
definen
ciertas
leyes
independientes por otras dependientes que vinculen las mismas magnitudes pero conservando a estas últimas el carácter de dependientes,
o sea,
escribiéndolas
con
sus
coeficientes
orgánicos
pectivos (véase, por ejemplo, la definición del ampere, N.*
18).
Nada
nos
impediría
transformar
en
res-
capítulo II
independiente
a
una
ley dependiente equivalente y hacer coherente el sistema suprimiendo el coeficiente que, de orgúnico, pasó a parásito; tal convención equivale por supuesto a un cambio de sistema; el coeficiente orgúnico desaparecerá de unas y aparecerá en otras de las leyes en presencia.
El número de unidades independientes que definen un sistema coherente es igual a la diferencia entre el número de magnitudes y el de leyes independientes que las relacionan. La elección de las unidades
independientes
unidades,
que se deducen
Una
ecuación
coherentes parásito,
en
distintos
puesto
es
que
arbitraria; intervienen
contiene
que
nada
una
vez
hecha,
las
otras
de ellas, son dependientes. unidades
forzosamente
impide
considerar
un
de
dos
sistemas
coeficiente, esias
unidades
que
es
como
formando parte de un solo sistema no coherente; tal ecuación se llama hibridizada. También pueden intervenir unidades híbridas, es decir, unidades derivadas definidas a partir de unidades pertenecientes
a distintos
sistemas
coherentes.
TI Para permitir la realización de las medidas se necesitan representaciones
11
materiales,
llamadas
—
“patrones”,
6 —
de
cierto
número
de
unidades. El número teórico mínimo de patrones necesario para conservar un sistema de unidades es igual al número de magniiudes fundamentales, obtenido después de haber supuesto sin dimensión todos los coeficientes de las ecuaciones, pero suponiendo que son susceptibles de variar todas las unidades del sistema. Así, como
ya dijimos,
el patrón
de masa
podría
ser suprimido
si se pu-
diera definir la unidad de masa a portir de las de longitud y de tiempo con precisión y comodidad suficientes. Con el fin de facilitar las medidas se construyen patrones del mayor número posible de magnitudes, aunque sólo algunos son indispensables para conservar el sistema de unidades; dentro de estos
últimos se deben incluir los patrones que teóricamente se podrían determinar en función de los otros, pero sólo mediante medidas que
no
son
suficientemente
precisas.
Las
condiciones
que
deben
reunir los patrones son: la constancia en el tiempo y en el espacio, la posibilidad de ser reproducidos con gran fijeza y precisión y la de ser comparados fácil y exactamente, en cada instante y en cada lugar, con otras magnitudes de la misma especie. Se admite por extensión que el patrón puede no ser invariable, si su variación es reproductible a voluntad, tomando siempre el mismo valor en las mismas
condiciones.
Finalmente,
tratándose
de
una
magnitud
ca-
racterísiica de cada medio, al fijar un valor determinado para dicha magnitud en cierto medio, se dice que este medio es el patrón de la magnitud considerada. Algunos
dutores
admiten
que
las
sistema deben ser las fundamentales; necesaria, no siempre
unidades
que
conservan
el
tal elección, de ningún modo
es veniajosa (ver, por ejemplo,
el capítulo 1V,
parágrafo 2, unidades de flujo e intensidad luminosos). 2.
Magnitudes
fundamentales
en electrotécnica
Consideremos las leyes del electromagnetismo y elijamos un grupo de leyes independientes que comprenda las cuatro siguientes, que nos servirán de punto de partida
Porío
p a=
»
,
m I dl …;erg(1", d1)
1—7
(6) "
(9) —
I1,2
k,
h y )
pectivamente,
son los coeficientes
de las leyes
que hemos conservado
(6), (7) y (8) res-
para poder discutir fácilmente
los principales sistemas de unidades existentes. La ley (9) se escribe sin coeficiente
propio, así como
las restantes
leyes
independientes,
que introducen enionces una nueva magnitud cada una. 1 ha recibido el nombre de coeficiente de acción eleciromag1
nética; no debe pensarse en escribir por simetría % en (8), en forma análoga a n
en (6) o
en (7), porque 1 no depende
EE
del me-
'0
dio, sino sólo de la elección de las unidades. Veremos más adelante los valores que se le atribuyen, E y h son números que designan la consiante dieléctrica y la permeobilidad relativas, relaciones de la consiante dieléctrica ee, y de la permeabilidad u, () de un medio cualquiera a la constante dieléctrica e, y la permeabilidad u, del vacío respectivamente. Designaremos
en lo que sigue por
s
y
y
las magnitudes
cons-
tante dielécirica y permeabilidad y sus dimensiones. Las relaciones (6) - (9), de un inierés histórico y pedagógico indiscutible, no satisfacen en el estado actual de nuestros conocimientos
por
la presencia
en
ellas
tiene existencia real; además, particular,
consecuencia
de
aún
de leyes
la masa
la relación más
magnética,
que
(6) es sólo un caso
generales.
Es más
elegante
partir de las ecuaciones de Maxwell que, deducidas tomando relaciones (6) - (9) como punto de partida, se escriben
3 (eso E ' =r +47 Ú%—)
no
las
(10)
H
ó
- ñ “+¡H) =
(11)
Agregando a estas ecuaciones, por ejemplo, la que expresa la densidad de energía del campo electromagnético
L(880E S7 (1)
Es
Internacional)
la
notación a
la
que
2
+VWOH
R por
la
conformamos,
cómoda.
12
)_¿¡W
h
adoptada nos
2
=
C.
E.
(12)
"
d_V
I.
(Comisión
aungque
no
nos
Electrotécnica parece
la
más
se obtiene un grupo de ecuaciones que puede reemplazar el (6) - (9) como hbase. Los sistemas de unidades clásicos partieron de las íórmulas (6)-(9) para la formación de un sistema coherente: se hizo k=>h=1, definiendo la unidad de carga eléctrica (0 magnética) de manera que enire dos cargas puntuales unitarias colocadas
a la unidad de disiancia en un medio homogéneo de constante dieléctrica (0 permeabilidad) unidad se ejerza una fuerza unidad; del mismo modo se hizo 7 — 1. Tal era el punto de vista originario pero con el desarrollo de las teorías de la electricidad las fórmulas de Coulomb dejaron de ser las de partida. Con k =h =1 =1 se llega a que la ecuación (10) de Maxwell contiene el coeficiente orgúnico
4r;
como
las
ecuaciones
de
Maxwell
son
más
generales,
parecía más “racional” a ciertos autores escribirlas sin el coeficiente 47, o seg adoptarias como independientes para la formación de un sistema coherente de unidades. Este resultado se puede obtener :
haciendo
% =
1
h =!
T
,
los sistemas
que responden
a esta
47
convención han sido llamados “racionalizados” (ver el parágrafo 10); por oposición, los sistemas primitivos, clásicos, que conservan k=h=1 y h= 1 (o también, como veremos, 1 = ), se llaman “no racionalizados”; salvo observación expresa, todos los sistemas tratados hasta el parágrafo Y inclusive se considerarán no racionalizados. Consideremos las ecuaciones de Maxwell, aplicadas a un medio dieléctrico (y = 0); el segundo término del primer miembro de la ecuación
(10)
desaparece;
eliminando
entonces
H
entre
(10)
y
(11), obtenemos —
9E Ir
—
—
MRh
EEo lo
p rol rol
E
de donde se deduce la clásica ecuación de propagación del campo electromagnético variable
d =VAE 2
(19)
designando por a YE£ Hito —
9 —
12
la velocidad de propagación en un medio homogéneo e indefinido, de constante dieléctrica e£e, y de permeabilidad , invariables. La relación (14) se presta particularmente bien para precisar los valores que se atribuyen a 1. En los sistemas no racionalizados (k = h = 1), se puede hacer 7 — 1 definiendo la unidad de velocidad como la de propagación de las ondas electromagnéticas en un medio de constante dieléctrica unidad y de permeabilidad unidad. Según los valores atribuídos a e, y l, tal convención puede resultar cóomoda o incómoda; como veremos, en este último caso se hará ). = c, siendo 2
é
(15)
Y o Ho el valor de
yv
en el vacio. En los sistemas
racionalizados
se hace,
como ya indicamos, 1 — 47; se puede también hacer 4 — £4rc. La consideración de las relaciones (6)-(9) demuestra que al pasar de la mecánica a la eleciricidad, el número de magnitudes nuevas
—incluyendo
en éstas
los coeficienies
k,
h
y
1—
es su-
perior en cuatro al número de ecuaciones independientes que vinculan, dichas magnitudes nuevas con las mecánicas. De ello resulta que en el caso más general tendremos que agregar cualro magnitudes fundamentales nuevas a las mecánicas; las
ecuaciones de dimensión deben pues expresarse en un sistema con siete dimensiones de referencia. Tales ecuaciones de dimensión sólo se emplearán en el pasaje de un sistema cualquiera no racionalizado a otro cualquiera racionalizado. Tendremos ocasión de utilizarlas para la exposición de los sistemas racionalizados e indicamos desde ya en el cuadro I () las ecuaciones de dimensión y algunas de las relaciones que pueden servir para formarlas; como magnitudes fundamentales tomamos ZMTWuNkh. Las tales
ecuaciones
son
de
inútilmente
dimensión complicadas
con en
siete
magnitudes
muchos
casos.
fundamen-
En
efecto,
si
queremos pasar de un sistema de unidades no racionalizado a otro no racionalizado, o de un sistema de unidades racionalizado a otro
racionalizado,
%
y
h
tienen
siempre
el mismo
valor
en
los
(1) Los símbolos empleados son los adoptados últimamente (1938) por la C. E. I, muchos de ellos provisoriamente (véase la publicación N.” 4 del Comité Electrotécnico Argentino). Sin embargo, en algunos casos tuvimos que designar la f. m. m. por M' en vez de X y el coeficiente de autoinducción por
de
12
L'
la
en
vez
masa
de
L
para
mecánica
y
evitar
de
la
confusiones
longitud
con
los
símbolos
respectivamente.
— 10 —
de
la
dimensión
Cuadro
Magnitud — Constanle dieléctrica Permeabilidad Masa magnetica
[Símbolo
I
Formación
EE jpo m
de
v * AURR/VE Eofpio
A
F=hmi/ppore
(T AKA) (H] (L*4M%* 775
Flujo de induc. magnética| — $
6 = 4Thm
(*M* TRAR
Inducción magnética
B-8/S
B
.
) ]
(LAMÉT- h ]
Fuerza magnélica
H
H =Bfhipo = hm/…&rº - F/m
|(LAMET
)
Momento
m
m ml
(LAMA TNA
)
magnético
Intensidad de imantación | — J
J-
/ V
(LEMeT H *h e
Intensidad de corriente | I
df-midiir2
Densidad de corriente / Fuerza magnetomotriz | Mo M|
Reluctancia
Ro Ra|-
lS ¡-7E M:4TINIJA
(L% MET * 19 (LAM% TN* )
Permeancia
A
A =1/Rm
(Lx
D.dp. y fem
UyE | U=P/T
H=21/0r
(L4EM% TA
RaM/6 «UppoS
Cantidad de electricidad - Q
Qult —
[L7A)
E=CNM)dgjar —
F-kQeeor - |
]
|(L%%M* T p
AM AR*]
Capacidad
e
C-Q/U =2 W/U?
Resistencia
Conductibilidad
R
y
R-T/C=V/I
E- 1/RI
(1T
Inductancia propia
Lol |
L=AMNG/I
(Lah )
Fuerza elécfrica
E
E€.£ENk-W/V;E-UJL
D
Deec,EMIK ; iedD/dt
Desplazamiento
sistemoas que nos interesan
y podemos
(T
)
7 A
o, mejor
)
2M RA ) (R MA NE dicho,
)
debemos
su-
primir las dimensiones de % y h conel fin de simplificar la representación. El número de magnitudes fundamentales nuevas queda así reducido a dos, por ejemplo u y 4. Obtenemos de esta manera ecuaciones de dimensión con cinco magnitudes fundamentales, que han sido preconizadas por algunos autores. Es preciso observar sin embargo,
que
la dimensión
del
coeficiente
1
sólo
se
justifica
si éste no tiene el mismo valor en los sistemas de unidades en presencia; tal serú el caso, por ejemplo, si queremos pasar del sistema electromagnético (o del electrostático) de Maxwell al sistema de Gauss. Para facilitar este pasaje hemos indicado en la 2.a columna del cuadro IV las ecuaciones de dimensión de las principales magnitudes
con las dimensiones
de referencia
LMT u,
ecua-
ciones obtenidas haciendo [h] = [k] = 1 en las del cuadro I. El sistema de Gauss no ha sido muy utilizado y generalmente se emplean sistemas en los que 1 tiene siempre el mismo valor;
-
ae
12
debe entonces suprimirse la dimensión de 4, con lo que el número de magnitudes nuevas, al pasar de la mecánica al eleciromagnetismo, supera sólo en uno el de ecuaciones independientes. Llegamos así a las ecuaciones con cuatro magnitudes fundamentales, que examinaremos más detenidamente; cuando digamos más adelante que cuatro unidades independientes definen un sistema coherente de unidades eléctricas, se entenderá que ya se han elegido
las ecuaciones independientes, fijando por lo tanto 3.
Ecuaciones
de
dimensión con fundamentales
cuatro
%,
h y ,
dimensiones
Establecidas las convenciones que íijan los valores de los coeficientes y conservando
estas
convenciones,
es preciso
elegir
cuatro
dimensiones de referencia — al menos si admitimos como necesarias tres de ellas en mecánica. ¿Cómo orientar la elección? Se han formulado proposiciones y argumentos diversos; vamos a exdminarlos rápicamente. El argumento de continuidad aboga per la adopción de eventualmenie, de s) como cuarta magnitud fundamental.
u (o, Sabe-
mos en efecio que durante alrededor de medio siglo se usaron casi exclusivamente
ecuaciones
cánicas de referencia sión
ya
sed
¿, ya
fundamenial antiguas
sea
agregada
y nuevas
de
dimensión
solamente, u
Eligienco
a
LMT,
ecuaciones
con
obtenidas
de
e£
o
tres dimensiones
suponiendo 4
CoMoO
Cuarta
los exponentes
de
dimensión
entonces
son
me-
sin dimenmagnitud
LUT
en
las
los mis-
mos; las nuevas sólo agregan £ O 4 con su exponenie respectivo. Las ecuaciones de dimensión en LUWUT, [u]= 1 han sido las más usadas; la consideración que precede inclinaría pues a la elección de w . Numerosos autores han estimado sin embargo que convendría aprovechar la introducción, recientemente decidida, de un nuevo sistema de unidades, para realizar una modificación más radical, que afecta más profundamente la elección de las magnitudes fundamentales. Las razones invocadas son de orden teórico y práctico. Según
bitrario,
Giorgi,
como
la cuaria unidad
el metro,
el kilogramo
tendría
que
ser
y el segundo,
debería conservarse junto con los del metro
de
origen
ar-
y su patrón
y el kilogramo.
Se
habría podido elegir el patrón de resistencia o la balanza electrodinámica, lo- que dentro de la idea —por cierto no necesaria— de que las unidades que conservan el sistema deben ser las fundamenI 2,3
—
12—
tales, implicaría los grupos de dimensiones fundamentales LMTR o LMTI. El punto de vista de Giorgi perdió su interés con la decisión —tal vez prematura— de suprimir las unidades internacionales, o sea de basar el valor del ohm no sobre su representación, de origen arbitrario, sino sobre el valor de la permeabilidad del vacío, elegido en forma arbitraria. Trataremos de las unidades internacionales en los parágrafos 4 y 9 de este capítulo y en los Nos. 7, 10, 12 y 16 del capítulo III Hasta
ahora hemos
hablado
de la cuarta
magnitud
fundamen-
tal que se debe agregar a las mecánicas LMT ; pero es evidente que la conservación de todo el grupo LMT no es indispensable. Así varios autores estiman que se debería abandonar la masa como moonitud fundomental norcue ésta no interviene en electromagnetismo, aunque conservando el patrón de masa, el más preciso
de todos los patrones. Conservando (Kalantaroff),
o
L U
y
e
T T
y eligiendo (Giorgi),
dimensión sugestivas por su Las ecuaciones en LMTu venientes de orden práctico: ecuación en sí no suministra la macnitud que representa;
para
etc.,
se
completar
obtienen
y
.%
ecuaciones
Q
de
simetría y de gran comodidad. presentan en efecto algunos inconlos exponentes son fraccionarios; la a primera vista ningún dato sobre los cálculos que se deben efectuar
para pasar de un sistema de unidades a otro son relativamente incómodos. Se pueden suprimir los exponentes fraccionarios ya sea conservando LMT y adoptando T, Y, Q, o $ en lugar ya sea conservando sólo TT y adoptando p. ei. O M o UT
WI:
la introducción de la enercia
posible rían,
al
la
extensión
menos
del
grupo
actualmente,
W
de u, o aún
tendrío la ventaia de hacer
a la mecánica,
madanitudes
donde
fundamentales
se
rechazaeléctricas,
que cbligarían por ejemplo a expresar la ecuación de dimensión de la masa en función de las dimensiones de la tensión y de la intensidad
de la corriente.
Con las ecuaciones de dimensión en que no figura la masa, el pasaje de un sistema de unidades a otro es más simple; además, como resulta del examen del cuadro III, es con frecuencia inmedicta la identificación de la magnitud a partir de su ecuación de dimensión: escribir [R] — [U7] es la imagen de una ley conocida, mientras que [Z7“1u] a priori no indica nada. En 1938 la C. E. 1, en la reunión de Torquay, recomendó la permeabilidad del vacío “como vinculación entre las unidades eléc——13¿
I3
tricas y mecánicas”, pero reconoció también que "una cualquiera de las unidades siguientes, ohm, ampere, volt, henry, farad, coulomb, weber, ya empleadas, puede servir de cuarta unidad fundamental, ya que se pueden deducir cada unidad y sus dimensiones de un conjunto cualquiera de otras cuatro mutuamente independientes”. Resultaría pues que —si bien se recomienda w — los autores están en libertad de elegir R, I, U, L, €, Q 0 $ como cuarta dimensión fundamental (además de LMT) para formar las ecuaciones de dimensión con cuatro: dimensiones de referencia. El cuadro II resume los procesos que se pueden seguir para obtener rápidamente las ecuaciones de dimensión en los grupos
LMT y,- LMTR, LMTI, LTUI, LTWI. Es evidente que en ciertos casos se habrían podido formar las ecuaciones de dimensión de las magnitudes derivadas con la misma facilidad a partir de otras relaciones. Las relaciones que figuran en este cuadro son relaciones entre dimensiones; se escribe p. ej. M — T en lugar de M — 4mNI. No se ha hecho intervenir, como lo preconizan algunos autores, la dimensión XY de la magnitud "enrollamiento”, ya que su unidad, la “espira”, no varía. Así la dimensión de la f. m. m. es 1 y no IX. Damos
'grupos
LTWI.
en
LMT e,
el
cuadro
LMTu,
III las
LMTR,
ecuaciones
LMTI,
-
de
dimensión
LMTQ,
en
los
LTQ G, LTIU,
Es evidente que las ecuaciones de dimensión en LMT u se obtienen a patrtir de las del cuadro I haciendo ] — [k] = ] =1. Partiendo de un grupo determinado ABCD, se puede encontrar la ecuación de dimensión de una magnitud cualquiera X en un grupo cualquiera ABCE eliminando D entre las ecuaciones de K y E en el grupo ABOD. 4.
EClasificación
de
los sistemas
de
unidades
eléctricas
Una vez hecha la elección entre las unidades racionalizadas o no racionalizadas, quedan por determinar, para definir completamente un sistema coherente de unidades, cuatro unidades independientes que, por continuidad con la mecánica, son generalmente las de longitud, masa y tiempo, y una eléctrica. En lo que se refiere a esta última, se elige, en la mayoría de los casos, la unidad de permeabilidad (a veces la unidad de cons1 3,4
'
— d—
Cuadro Simbolo
LMTN
I!
LMTR
Elo | E-//H
TE
E-1//p p= F
I=PR | E=1//%; peF/TS | E=1/V2N;p:F/I*
Pf7 -
peFlE | U7
LTWI E=1/0%; 4E
PA m| pem=LVFA
KS, T2=P/R 0:4/1: 1- IOR
LM | II ¡
i=1/S ; TeVík
1- 1R
I
A U
Ro=1/yL U=0/7; 6- LVFN
Ryel/L:L:RT U:VPR
REE =WIT% | Ro-M6;MT ; G:UT | Ry: YE U = W U=PII U U=W/1T
BJ | B-y/s; p:LIFR H H= YW/VN
B-9/S; p:Wf; I-VOR | B-9/S; p-W/f | B-9/S ; p-UT H=ML ; M:1- YR H=ML;MI — | H-MIL; MII i=1/S; 1.1BR
B-d/S;: H:MIL;
I
i=1/5
Q-1T; I-IPR
JeFfe - WII I
EA
1=1/S
Q=17 ; 1-VFIH
C
C=4/0%;U-8/7; :LVFR | C=7/R
y E
V=1/RL; R-PÁS; TEFfh —| Y=/RL L=1/Ry « pL L= RT
y= 1/RL;R=P[I2 | 4=1RL ; R-UN ee 1- WIT*
= 1RL ; R-WIFT E- fE
En
E= 11/VE ; E-1/V*H
E=FJO: Q-1T:
E=U/L
D
D-Q/S ; Q-=1T:I-VF/p | D-Q/S; Q:17:I-/R - | D-Q/S
R= Pl PeFJA
Q-1T
p-Wf M
Q
R
R- P/
E=U/L; U-IPR
W: MYT*
Simbolo | LMTE EO FR 1. EA m | L*MEE* B,J | MA m
[N
H
2M7
[%
En|
V- r
*
T-¡/_(y¿
PA
| MATER
D: YS : Q-1T
F- UIL
W:UIT — | F-W/L
vel/T
EMTIT
1ST
LZ2MATE ER | LEM?TRA | EtMtTE - | POMATíe - | LTE ( LMET' ER | LEMPTI,E LAMP TE 2 MHE
LMETRE | MA TR M EMAT RRR -| ME EMÉT R* | T
C R y
Le ETEe Te
TR R LR
Fe La EEq - PEy CeEMITS en | [y
Q7
; U-WIIT
II
MO| ¡ Rn | U Q
re LT CA
|D-Q/S
LMIR CP EMEO. CTR" ENEN RENE TR LMTED* . EMOS LMETERE | EMTET | EMTO E'MATERA | MTT" -MT"Q” LºMy2 TR
R= W/IT
E =U/E
Q7
Cuadro LMTH T f . LAMET ME | LEMÉET NE |
Q-1T
C=-07/W; Q-1T
R=U/T
P= MÉJT3
Ss: r
_
Q-IT
| C=09W;Q-17 | C=4/0*
R
Fe MIT*
É E D
E TU
M
T'q
EOO
7Q EQ - 1MO [ EMTZO! Q
E EMTELS EE --
MO -EO ITO
TR LMEPI SMO MEFROA — 1MPUT | TO C'MeETRRE | [*TI L*Q
E LTOÓ = 70 | EO| ó $ Ló
L'T'Q
7q E FTO Q
N 06 Q QE
e TG *Q
TIU CE TTO TU ETU LTU
1
I
LTWI PR | CW* Wr' E w
E
T TI U TI
I É WT* ru TI
77U" ru TU
PWwr Twr* ECF
TU 7 EN
Wr* E n
tante dieléctrica), fijando simplemente un valor delerminado a la permeabilidad (o, respectivamente, a la constante dieléctrica) del vacío. Los sistemas de unidades correspondientes se llaman “absolutos” (), sean o no racionalizados. Si
hacemos
¡y
=
1,
es
decir,
si
elegimos
como
unidad
de
permeabilidad la del vacío, definimos sistemas llamados "electromagnéticos” (E. M.) que pueden ser racionalizados o no. Nos limitaremos «a estos últimos (7 — 7): la relación (15), donde c es la velocidad de la luz en el vacío, muestra inmediatamente que el valor
de
«, en
Si hacemos
los
sistemas
e, =
electromagnéticos
1, es
decir,
es
si elegimos
iqual
En N
a
la constante
dieléc-
trica del vacío como unidad de constante dieléctrica, definimos sistemas llamados "electrostáticos” (E. S.). La relación (15) muestra que el valor de la permeabilidad del vacío en los sistemas elec7
trostáticos
]
no
y
racionalizados
(1 =
1) es
l,
7
=
.
c
Merecen atención especial los sistemas simétricos, en los que se fijan valores iguales a e, y 1.. Introducimos en ellos dos unidades eléctricas, de modo que si además fijamos las unidades mecánicas,
el
coeficiente
pcrásito
E, =
1: (15) da entonces
H
=
sistema
deja
4
La única manera
en
deja
general
de
de
ser
(sistemas
de conservar
ser
igual
e, =
coherente,
a
1.
Se
o
no racionalizados) l, =
1
y
sea
eligió
1 =
el
así
1. —
c.
1 (o sea,
de volver a un sistema coherente) consiste en elegir unidades mecánicos tales que la unidad de velocidad sea la velocidad de la Juz en el vacio, lo que generalmente es incómodo. Se
á
puede
elegir
otro
;
sistema
tal sistema es coherente, puesto
ea
d
simétrico
donde
que se tiene
7 —
Eq
=
MQ
7
=—;
C
1 (sistemas no
recionalizados).
Veamos gieron
para
ahora el
uso
la cuestión de las unidades en
electricidad
el
mecánicas.
centímetro,
el
gramo
Se eliy
el
segundo (C. G. S.), unidades que asociadas a las condiciones sea Uo = 1, sea €, = 1, definieron completamente los sistemas coherentes electromagnético y electrostático C. G. S. respectivamente, llomados sistemas de Maxwell; designaremos por E. M.C.G.S. al (1) Fxiste cierta discrepancia en las denominaciones de sistemas y algunas de las que hemos adoptado aquí pueden con las utilizadas por otros autores.
—
15—
determinados no coincidir
Ta
primero y por E.S.C. G.S. al segundo; salvo observación estos sistemas se entienden no racionalizados. Las unidades
C. G. S., junto con la condición
e, =
especial
y, =
1, de-
terminan el sistema llamado de Gauss, no coherente. Las unidades eléctricas de los sistemas C. G. S. resultaron poco cómodas; se adoptaron unidades práciicas elegidas como múltiplos y submúltiplos decimales de las E. M. C.G.5. Las unidades prácticas pueden formar parte de varios sistemas completos como ser el Q.E.S. (quadrant, eleventh (), second),
coherentes, electromag-
nético, o el M.K.S. (metro, kilogramo, segundo), no eleciromagnético, con la unidad de permeabilidad iqual (si no es racionalizado) a 107 veces la permeabilidad del vacío, etc. Todos los sistemas considerados hasta chora son absolutos. Ciertas medidas, llamadas "absolutas”, permiten determinar los valores de diversas magnitudes eléctricos en función de las unidades mecánicas y de la unidad de permeabilidad (o de constante dieléctrica). Volveremos más adelante sobre la interpretación originaria de estas medidas, que permiten definir —a partir de los patrones mecánicos y del valor atribuído a u, 0 a £,— patrones de resistencia, capacidad, etc., que son indispensables para las medidas corrientes.
-
“Sin embargo la precisión de las medidas absolutas no es todavía muy grande (ver el parágraío 9 de este capítulo y los Nos. 12 y 16 del capítulo IT) y por supuesto era menor hace algunas decenas de años. Para no tener que modificor constantemente los patrones eléctricos con el progreso de las medidas absolutas, se creó en 1908 el sistema “internacional” de unidades, basado en las representaciones del ohm y del ampere absolvtos, a saber, el “ohm internacional”, que es la resistencia a 0C de una columna de mercurio puro de longitud y masa especificadas, y el "ampere internacional”, que es la intensidad de corriente que produce determinados efectos electrolíticos. El progreso de las medidas absolutas sólo hace variar la relación entre las unidades internacionales y las absolutas; resulta de la definición misma que los valores de las primeras se fijaron tan próximos de los de las segundas como lo permitían las medidas en aquella época; y aún ahora se pueden confundir, en las medidas corrientes, las unidades absolutas con las internacionales. (1) versión
Ia
Eleventh = onceavo designa al exponente 10-11 de la unidad C.G.S. en la Q. E.S.
=
ló —
de
1
en
el factor
de con.
Se observará que se fijaron dos unidades eléctricas internacionales, la de resistencia y la de intensidad. Hemos visto que para definir un sistema de unidades basta agregar una sola unidad eléctrica a las mecánicas; podemos elegir la de resistencia, lo que equivale en último análisis a elegir como unidad independiente la de conductibilidad en lugar de la de permeabilidad; nos fijamos el valor
de
la conductibilidad
del
mercurio
a 0 C
en
vez
del
valor
de y,. Pero las medidas que permiten determinar los patrones de las otras magnitudes en función del ohm y de las unidades mecánicas son tan incómodas y poco precisas como las absolutas y sólo la elección de dos unidades eléctricas pudo resolver el problema en forma satisfactoria. Las unidades de resistencia e intensidad internacionales fiian el watt internacional; se conservó el segundo definiendo el joule internacional;
sucesivamente
se deducen
el
coulomb,
volt,
weber,
farad, henry y siemens internacionales. Esta serie de unidades forma el llamado "sistema internacional”, que es un sistema incompleto. Podemos completarlo p. ei. con el metro, pero es de notar que la unidad de masa
del sistema
coherente
así completado
no es
el kilogramo, del que difiere en 3.107 aproximadamente. Por ser incompleto evitaremos en lo que sigue la denominación "sistema internacional”, utilizando en cambio la de "serie de unidades internacionales” o "unidades internacionales”. Las unidades
internacionales
tienen
su razón
de
ser en la im-
precisión de las medidas absolutas y van a desaparecer próximamente (ver el parágrafo 9); de aquí en adelante, salvo observación especial, sólo nos ocuparemos de los sistemas absolutos. Nota aneza:
sistema
electrodinámico.
La fórmula de Ampere se escribe, partiendo de las ecuaciones
(6) - 19)
dAF=
2 puo 2
d d'
1O
3
(7)&Vºh—rºb——* ( cos Y — — cos O cos O )
Originariamente
fué establecida
con
1 =
h =,
REE (16)
=1
y con
una unidad de corriente perticular que suprime el coeficiente orgúnico 2: esta unidad recibió el nombre de electrodinámica: es y > veces menor que la unidad electromagnética. Tal convención equivale a tomar la ecuación (16) como independiente para definir un sistema coherente de unidades, llamado = S.
Gerszonowicz.
—
Unidades
17 —
eléctricas
Tá4 y
fotométricas,
—
2,
electrodinámico, determinado por la unidad electrodinámica de corriente y las unidades de longitud, masa y tiempo. Este sistema, mencionado en varios textos, no ha sido empleado. ' , 5.
Sistemas
C.G. S. Ecuaciones
de dimensión
en
LMT,
El sistema C. G. S. más utilizado ha sido el electromagnético de Maxwell. ' E ' El sistema electrostático de Maxwell, usado ahora excepcio-. nalmente, tenía y tiene su justificación en lá forma cómoda con que . permite escribir las ecuaciones de electrostática (ver el ejercicio N.* 1 del capítulo II, cálculo de las capacidades); sus inconvenientes surgen al extender su uso al dominio del electromagnetismo. El sistema de Causs sólo ha sido utilizado en algimos trabajos teóricos importantes. Las ecuaciones de dimensión que generalmente acompañan en los textos al sistema E. M. C. G. S. han sido obtenidas haciendo [u]
=
[-] — [L¡] ya que [1] — 1 (sistema v coherente). Para distinguirlas, las llamaremos ecuaciones en LMT del sistema electromagnético de Maxwell, aunque queremos des-
tacar
1
y por consiguiente
que
a
un
sistema
de
unidades
convíeñe
asociar
ecuaciones
de dimensión elegidas en función del cambio de unidades quiere hacer (único fin que nos preocupa aguí). Las ecuaciones
los
textos
[f] =
al
de dimensión
sistema
que
E.S.C.G.S.
1 y por consiquiente
que se
qeneralmentev acompañan
han
sido
[u] ='[]z] . ya que v
en
obtenidas
haciendo
[1] =1
(eistema
coherente). Las llamaremos ecuaciones en LMT del sistema electrostático de Maxwell. . Las ecuaciones de dimensión que generalmente acompañan en los textos al sistema de Causs han sido obtenidas haciendo l]
=
Lu]
=
1,
o sea
]
=
[%]
(sistema
no coherente);
maremos ecuaciones en LYT del sistema de Geuss. Si partimos de las ecuaciones de dimensión con lumna
2 del cuadro
cer [u] —
[1]
—
ecuaciones en LMT Ta5
—
IV) como
dimensiones
1 (columna
18
—
basta ha-
IV), para obtener
del sistema electromagnético —
LMT u. (co-
de referencia,
3 del cuadro
l_aé lla-
»
de Maxwell,
las
hacer
*
N
O
s el
9 a 9
0
0
-——-—mn
l
52
;
9
lh Z/,—7[
:
e
13431 [
7
7
-
z¡,N 3/¡.7
Y3'A-rÍZ/,NZ/¡-7
A
H
Lz-7
T 7
lay | 7
E
Ne lN| laa ) E
ZY"hrl E
47 7
la N?7 LaWz?| 51
aAA
Z
7
E 1a
|
Ya7 Al M
51 z/,.Na/;7[
Í_¿ ;7N í/;7
ly-7-LaHa7
a?7
v;,,-;f;_1 yN?
Lah77 |
la Ny T| 4
SSnv9 S5T n | Ó _ssnvan | 's99sF N
cssa ssnva)
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T 00
l
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9
N
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IUAa I SGÓX D = « —
Nd
CNIMXYW XVW)'S'3 )S 3 || CNZAXYWD 13 W3
1N7 oJpong
Al
| o100wIS '
VH
D=
1,
[u]
= [%]
—
[Z? *]
(columna
4 del cuadro
IV) para
obtener las en LMT del sistema electrostático de Maxwell, y hacer la] = 1 y D] = ] = [L77] (columna 5 del cuadro IV), para obtener las en LMT del sistema de Gauss. Por supuesto originariamente las ecuaciones de dimensión con tres dimensiones ZLMT' de referencia se obtuvieron directamente. Las ecuaciones de dimensión en LMT del sistema electromagnético de Maxwell se pueden obiener partiendo de la ley de Coulomb relativa a las masas magnéticas colocadas en el vacío, escrita bajo la forma mm” —
suprimiendo
r
;
de donde
la dimensión
de u.
Una ecuación de vinculación magnéticas es por ejemplo 2mI
F o=
y, por
m] = [7
entre las unidades
de donde
1
eléctricas y
M - [y
consiguiente, [Q]
—
UT]
=
[7/7F]
Pero de la fórmula de Coulomb relativa a las masas cas se deduce, conservando forzosamente la dimensión
[Q] = Las
[L'|/Ú”], de modo ecuaciones
de
que
eléctride e,
[:] = [77*].
dimensión
en
LMT
del
sistema
electrostá-
tico de Maxwell han sido obtenidas a partir de la ley de Coulomb relativa a las masas eléctricas en el vacío, escrita bajo la forma
y=a
217
de donds
101 — L yA
r
suprimiendo la dimensión de ¿. Siguiendo un razonamiento análogo al anterior se llega a ue [u] = [Z?7*]. Las ecuaciones de dimensión en ZMT del sistema de Gauss han sido obtenidas partiendo simultáneamente de las dos leyes de Coulomb referentes al vacío F
—
00
7
r
mm
7 —
19
—
I5
lo que obliga a escribir ([:] —
[u] =
1)
y — mAJ con
[i]—= [LT], Las unidades eléctricas del sistema de Gauss son las del sistema E.S. de Maxwell; las magnéticas en cambio se identifican con las del sistema E. M. de Maxwel!. Las ecuaciones de dimensión en LUT planteaban dos interrogantes:
1) ¿Cómo explicar el hecho de que la misma magnitud tiene dimensiones distintas en función de las mismas dimensiones de reterencia? 2) ¿Cómo efectuar el pasaje entre los sistemas electromagnético y electrostático de Maxwell y de Gauss? Ambas dificultades se deben evidentemente al hecho de que las ecuaciones de dimensión en LMT son incompletas; se ha suprimido en ellas, en forma arbitrario, ya sea e, ya sea u, ya sea 1., con sus exponentes respectivos. Tal supresión se debía a la creencia, general en aquella época, de que se debía poder "interpretar” la electricidad por la mecánica; las medidas "“absolutas” (de ahí su
nombre)
“daban”
los
valores
de
las
magnitudes - eléctricas
en
función de los de magnitudes mecánicas solamente. Las ecuaciones de dimensión en ZMT debían inspirar analogías. En el sistema electrostático la capacidad tiene la dimensión de una loncitud; la conductancia, la de una velocidad. A título de curiosidad indicaremos cómo trató Lord Kelvin de "ilustrar” este último resultado: imaginemos una esfera que tiene una carga € y presenta una diferencia de potencial 77 con respecto al suelo, Si se pone la esfera a tierra por intermedio de un hilo de conductancia €, el valor numérico de esta conductancia es igual al de la velocidad con que debe disminuir el radio de la esfera para que, a pesar de la disminución de la carga causada por la puesta a tierro, el potencial de la esfera permanezca constante. En
el sistema
electromagnético,
el coeficiente
de
inducción
tie-
ne la dimensión de una longitud y la resistencia la de una velocidad. Este último resultado fué también "ilustrado” por Lord Kelvin considerando un hilo que se desliza con velocidad constante sobre dos
rieles
paralelos,
permaneciendo
siempre
normal
a
ellos.
Los
rieles están unidos en un extremo y se colocan en un campo magI5
—
20 —
nético uniforme, normal a su plano. Eligiendo convenientemente los valores de los elementos del dispositivo, la velocidad con la que es necesario desplazar el hilo para que la corriente en el circuito permanezca circuito.
constante
es igual
numéricamente
a la resistencia
del
Los citados ensayos de interpretación mecánica de las magnitudes eléctricas o magnéticas no son convincentes; partiendo de otras experiencias o fórmulas se pueden, en determinadas condiciones, obtener proporcionalidades entre los valores numéricos de lo resistencia y de alguna otra magnitud. Creyendo que la presencia de los exponentes fraccionarios impedía la interpretación buscada, se eliminaron dichos exponentes introduciendo
la densidad
o la fuerza
en
lugar
de
la masa
como
magnitud fundamental, pero las nuevas ecuaciones de dimensión resultaron tan incapaces como las antiguas de traer alguna aciaración. Se fué más lejos suponiendo que la dimensión de € o u esla de una densidad, la inversa de la de una velocidad, etc. Estas últimas hipótesis son absurdas desde el punto de vista de la aplicación de las ecuaciones obtenidas al cambio de sistema de unidades, y sólo se justifican por el deseo mencionado de obtener una explicación puramente mecánica de los fenómenos electromagnéticos. Como
tampoco
fueron
eficaces
en este
sentido,
se abandona-
ron las tentativas de esta naturaleza. Veamos ahora cómo se resuelve el problema del pasaje del sistema electromagnético al electrostático de Maxwell a partir de las ecuaciones de dimensión en ZMT. Es fácil demostrar que la relación de estas dimensiones de una misma magnitud en los dos sistemas es una cierta potencia de la dimensión de la velocidad. En efecto, sea
[G] [4Á]
donde —
la ecuación de dimensión la dimensión
de
[6] — [L* M T
de una magnitud
la magnitud
en
ZWMT,[u]-—
cualquiera 1
es
[G];
en LUT u, en
LWNT! e
es [GILe! 1? T, en LMT[e] — 1 es [C][L* 7*]$ , de donde dimensión en LMT
de una magnitud
dimensión en LMT
de la misma magmitud
— [L*
en el S. E. M. de Maxwell en el S. E.S.
] — ]É —
2—
de Mazxwell —
(17) IS5
Basta consultar el cuadro igual
a —2,
—l,
unidad E.M.C.G.5. ———]—. unidad
IV para ver que 2P sólo puede
0, 1, 2. La
relación
-,8_ V—
E.S.C.G.S.
(17) trde
Vvalor numérico ,
valor
como
en el S.E.S.C.G.5.
numérico
en
ser
consecuencia
(17a)
el S.E.M.C.G.S.
donde v representa cierta velocidad que resulta igual a la de propagación de las ondas electromagnéticas en el vacío, c. Se tiene c = 2,998;.1019 cm/s € 3.1019 cm/s. En realidad el pasaje del sistema electromagnético al electrostático se presenta en forma mucho más simple y perfeciamente clara si restablecemos la dimensión de w (o e) suprimida sin razón válida alguna, En el sistema electromagnético nos fijamos u, = 1, E
= cLº , mientras
que
en
el
electrostático hacemos
u, = E
€, — 1: las unidades de u y € no son las mismas y resulta inadmisible no hacer figurar las dimensiones correspondientes en las ecuaciones de dimensión. Generalmente se trata del pasaje del sistema E. M. C. G. S. al E. S. C. G. S., es decir, entre dos sistemas con
las mismas unidades mecánicas. Resulta entonces que para el cambio
de
unidades
no
habría
inconveniente
en
dejar
de
escribir
la
parte en LMT de las ecuaciones de dimensión conservando únicamente yu o € con su exponente respectivo: es precisamente lo lo
que
la ecuación
cuntrario
de
de
dimensión
se
ha
17 My Tºu'3 ,
resulta
hecho.
Si 6
es
en LMUT y de
en efecto,
el
una
designando
exponente
magnitud
por
simbolos
de w con
“1” las unidades del sistema E. M. C. G.S. y con índice "2 E.S.C.G.5.
m
índice
las del
7 (1) (2) (x) (2) S ESCE a -
dad E. M.C.G. S.
en
cualquiera
o
y como
la =Ly=1cm;
M, =M2=19; My = Mo,
se tiene
y2 =
TI =T,=18;
Co
-
unidad E.M.C.G.S. unidad E.S.C.G.S.
.
=
a
(17b)
resultado ya enunciado. Los factores c*$9 están dados en la 6.a columna del cuadro IV. El problema del pasaje de los sistemas electrostático o electro16
— 22—
magnético
de Maxwell
nerg. Como
al de Gauss, se presenta
7 no tiene el mismo
siderar las ecuaciones se conservan
de la misma
ma-
valor en los dos es necesario
con-
con cinco dimensiones
las mismas
unidades
de referencia.
mecánicas
Como
en los dos sistemas,
podemos no considerar la parte en ZMT de las ecuaciones de dimensión. Pero hay más: como y, = 1 en el sistema electromagnético de Maxwell y el sistema de Gauss, serúá conveniente, para considerar el pasaje de uno a otro de estos dos sistemas, tomar las ecuaciones
de
dimensión
en
ZMTu)
y
prescindir
de
y
al igual
que de ZLUT. Tendremos C. G.S.
y 1,
(11 es el valor
en
el de
numérico
unidad E.M.C.G.S. unidad Gauss
donde ¿MTul. dro IV.
y es el exponente de Los
faciores
de
1
en
el sistema
E. M.
Gauss)
_ —
Ae Y y ( T1 ) =e
(18)
7 en las ecuaciones de dimensión en
c? están
dados
en
la 7.a
columna del h f
cua-
Veamos todavía el pasaje del S. E. S. C. G.S. (índice “1) Ciauss (índice "2”). Se obiiene una fórmula análoga a la (18) reemplazando y por y' , exponente de 1 en las ecuaciones de dimensión en LMTel, Si disponemos de las ecuaciones en ZMTuA basta observar que al factor
,uf3 que figura en ellas corresponde 72 BP (L'ºT-º)*8
en las primeras; como
€, L
unidad E.S.C.G.S. unidad Gauss Los factores
6.
c*3-y
—
y T no interesan, teidremos (_7u, )2(3-+—'Y =? -
están dados
Unidades
en la 8.a columna
prácticas. Sistema
— C'Y|
8+Y
(19)
del cuadro IV.
Q. E. S.
Las unidades eléctricas del sistema E.M.C.G.S. resultaron muy poco cómodas, de manera que fué necesario utilizar sus múltiplos o submúltiplos decimales y, siempre para mayor comodidad, en Jlugar de caracterizar esos múltiplos o submúltiplos por un prefijo, se les dieron nombres propios. Así se credron primero (ver cupítulo I, N.o 2) el ohm, el volt y el farad, siendo 1 ohm = 109 U.E. M.C.G.S. de resistencia, valor próximo al del patrón Siemens, que se usaba entonces; 1 volt = 10% U.E. M.C.G.S. de tensión, valor próximo a la f.e. m. de la pila Daniell, la más usada en aquella época en los labo— 23 —
I 5,6
retorios; veremos más adelante que es de lamentar que no se haya elegido la unidad próctica de tensión igual a 10% U.E.M.C.G.5.; 1 farad — 109 U.E.M.C.G.S. de capacidad, valor notoriamente
incómodo
y
que
práctica
el microfarad,
1uy7
10F,
=
se
utiliza
nunca;
se
emplean
1y7 =
no
10%F,
y
el
micromicrofarad
aún
en
la
Siguieron otras unidades coherentes con las precedentes (ver capítulo II Nos. 3, 5, 13, 15, 17): 1 ampere = 107 U.E. M.C.G.5. de intensidad de corriente; 1 coulomb — 101 U.E. M. C. G. S. de cantidad de electricidad; 1 henry — 109 U.E. M.C. G.S. de coeficiente de inducción; 1 watt = 107 U.C.G. 5. de potencia; 1 joule = 107 erg y más recieniemente () 1 weber = 10% U.E.M.C.G.S5S. de flujo magnético. La serie indicada de unidades prácticas se reduce pues a ires unidades independienies; sabemos que agregándoles una cuarta unidad
independiente
definimos
compietamente
un
sistema
cohe-
rente de unidades eléctricas. El primer desarrolio de las unidades prácticas en un sistema completo se debe a Mazrwell, quien consideró el ohm, el volt y el farad, fijando implicitamente la cuarta unidad al admitir en su sistema
y, =
1.
La elección
de
Mo
como
unidad
de permeabilidad,
hecha de acuerdo con las ideas de la época, no es de ningún modo necesaria; veremos más adelante que el cambio de la unidad de u permite
desarrollar
el sistema
que
comprende
el ohm,
el volt y el
farad, y por consiguiente todas las unidades prácticas, en sistemas completos más interesantes que el obtenido por Jfazwell. Numerosos autores designan por “sistema práctico” a las nueve unidades prácticas indicadas, y también al sistema práctico de Maxwell
(Q. E. S.). En
varios sistemas
realidad,
prácticos,
no
en virtud
debe
de que
decirse
se han
"sistema
propuesto
práctico”
sin
precisar cual. Las nueve unidades prácticas no forman por sí solas (1) unidad
Se
recomendaron
práctica
y el nombre
de
también
conductancia,
de hertz para
el nombre igual
designar
por
de
siemens
supuesto
la unidad
a
para
designar
10-9 U. E. M.C.
de frecuencia,
común
la
G. S.,
a todos
los sistemas en uso. No obstante, hablamos en lo que sigue de la serie de nueve y no de once unidades prácticas, porque se permite emplear cualquier otra designación, con tal que sea correcta, para las unidades de frecuencia y práctica de conductancia,
16
—
24
—
un sistema práctico completo;
pertenecen a la vez a varios de estos
últimos, de modo que las designaremos de preferencia por "serie” de unidades prácticas. Pero se puede decir "unidad práctica” de resistencia porque ésta es común
a todos los sistemas prácticos que
realmente han sido utilizados: hacemos abstracción de los sistemas como el de Brylinski (ver parágrafo 8). Pasemos al estudio del sistema práctico de Maxwell (no racionalizado). Designemos mediante simbolos con índice “1” las unidades del sistema electromagnético C.G.S. y mediante símbolos con índice “2” las unidades del sistema electromagnético práctico. Hagamos L2
E
—
—
1
M2 0'z
Á
——
=
10
7
2
10
—
o sea
7
* L2
—=
10
cm
312
=
Se tiene por detinición: 7 ohm la ecuación
de dimensión
10
—
g
T2
. —
10z
s
10% U.E.M. C.G.S., y siendo
de la resistencia
[?]
—
[ZL 77]
(no hace-
mos figurar la dimensión de u porque la unidad de permeabilidad es la misma en los dos sistemas) L
To
y-1
(Z) (Z ) == de donde L—2=9
Del mismo modo, por la condición: 1 volt —
(20)
10% U.E. M. C.G. S.,
y siendo la ecuación de dimensión de la tensión [V] — [L3/? M1/? T] , 1 %—x+—2—y—2z==8 (21) y finalmente, por la condición: 1 farad — 10 U. E. M. C G. S., siendo la ecuación de dimensión de la capacidad [C] = [Z 7*] —£t + 22 =—9
(22)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (20), (21) y (22) se obtiene k =9 : Ly = 10% em y =—11: My = 10"g Z == 0 :T=1s8
—
—
16
Las nueve unidades prácticas pertenecen pues a un sistema electromagnético ( u, = 1) que tiene por unidades mecánicas fundumentales el cuadrante (70% cm), 1071 gramos y el segundo. Se suele
designor
este
sistema
Es indudable que tenía la intención de Q. E. S., en el que
no
con
el
nombre
Q. E.S.
al crear el volt, el ohm y el farad, no se reemplazar el sistema E. M.C.G.S. por el solamente
las unidades
mecánicas
sino
tam-
bién algunas unidades magnéticas son incómodas. La unidad de longitud es muy grande (10* km), la de masa es s:mamente pequeña (707' g), el valor de la densidad del agua es 10%, etc. En
cuanto
a las unidades
magnéticas,
tico, cuya ecuación de dimensión Hy
unidad demasiado [B] — [H]
=
pequeña; By
es [K] —
107
10
el campo
[L-* M% T,
magné-
se tiene
oersted
del mismo =
para
modo,
como
en este caso
gauss
En el cuadro VI se encuentran las unidades Q.E.S. con sus factores de transformación en las unidades E.M.C.G.S. Obsér-
vese la unidad de densidad de corriente: 7 ampere por cuadrante cuadrado = 107 U.E.M.C.G.S. Se decidió pues el empleo del sistema E.M.C. G.S. para las unidades magnéticas y se dieron nombres a algunas de las más corrientes:
se llamaron
primero
gauss
y maxwell
las
unidades
de
intensidad del campo de fuerza magnética / y de flujo de inducción Y respectivamente; el nombre de gauss se atribuyó después a la unidad de inducción, llamando oersted a la de intensidad del campo de fuerza magnética H ; finalmente se llamó gilbert a la unidad de f.m.m. (véase el capítulo III, N.o 8). 7.
Situación
creada por la necesidad unidades cómodas
de emplear
Acabamos de ver que se empleaban en electrotécnica, sin hablar del sistema E.S.C. G.S., de aplicación reducida, a) las unidades prácticas para las magnitudes eléctricas; b) el sistema E. M.C, G. S. para las magnitudes magnéticas. En la mecánica industrial no prosperaron ni el sistema C. G.S.
I 6,7
— 26—
ni las unidades de potencia y energía del sistema práctico y se utilizaron en cambio algunas unidades arbitrarias y el sistema metro, kilogramo fuerza, segundo. El empleo de dos sistemas de unidades trajo como consecuencia la hibridización de las fórmulas, con el agravante de que los coeficientes parásitos que aparecen en ellas son diversos. En los textos de electrotécnica que todavía no ultilizan el weber ni un sistema coherente único, que son los más numerosos, se encuentran
las ecuaciones
M — AN 1.107,
E = — % . 10%, etc.
La introducción del weber suprime el coeficiente 10 en la segunda de esas ecuaciones; pero tal medida es insuficiente. Se comprende pues que haya habido interés en encontrar un nuevo sistema práctico que tuviera a la vez unidades eléctricas y magnéticas cómodas, para poder reemplazar los dos sistemas empleados, y también, en lo posible, unidades mecánicas cómodas, para poderlo utilizar en electromecánica y mecánica industrial. Un sistema
que
cumpliera
todas
esas condiciones
sería por
su-
puesto el ideal, pero antes de pasar al examen de los sistemas propuestos cabe preguntarse hasta qué punto tal solución es posible. En efecto, el dominio de la electrotécnica es tan vasto que una sola unidad no resulta cómoda en todas las aplicaciones. Así como en la medida de longitudes no conviene emplear la misma unidad
para
poco se puede
medir
distancias
emplear
sión para medir diferencias y 107
V,
una
sola
interatómicas
en electrotécnica
unidad
e
una
interestelares,
sola unidad
de potencial comprendidas de
intensidad
para
medir
tam-
de ten-
entre
109 Y
corrienies
com-
prendidas entre 107 A y 10* Á etc., que son sensiblemente los valores extremos
medidos
hoy
en
día. Se impone
pues
el empleo
de
los prefijos, utilizando por ejemplo, junto con el volt, el microvolt, el milivolt, el kilovolt y el megavolt. En consecuencia entenderemos que una unidad es cómoda cuando lo es en gran número de aplicaciones, sin tener en cuenta que puede resultar inapropiada en determinados casos. En general el volt es preferible al microvolt, a
pesar de que en muchos casos este último es más indicado, pero una unridad igual a 170 V o a 10
V resultaria tan cómoda
como
el volt.
Del mismo modo, hay casos particulares en los que el empleo de una unidad híbrida es una ventaja. La unidad híbrida A/mm?
permite densidad
elegir la sección de
corriente
de un conductor
admisible,
sobre
la base
de la
escribiendo
— 27 —
17
m
O TA
IA
==
6 A/mm?
En cambio, si la densidad estuviese expresada en unidades Q. E. S. (número incómodo), para indicar la sección en milímetros cuadrados, que es la unidad usual, habría que hibridizar la ecuación escribiendo 10 IA
Smme
==.. — — 8 U.Q.E.S.
lo que constituye una complicación inútil. Otro ejemplo lo ofrece el cálculo de la resistencia de los conductores lineales. Es incómodo elegir unidades coherentes de longitud
y superficie
para
medir
respectivamente
la longitud
/
y
la sección $S del conductor, ya que 1/í es muy pequeña frente a /, Industrialmente se miden / en metros (o aún en kilómetros) y $ en milímetros cuadrados y, para expresar R en ohm sin introducir ningún coeficiente parúsito, se debe expiesar ¿q en 2 mm?/m, unidad híbrida que se emplea frecuentemente. También se utiliza para medir q la unidad hibrida u2 cm, que es más cómoda, pero entonces hay que escribir 7m
R2=09u2cm
Smm?
10*
ecuación "industrial” que se encuentra a veces. Es inútil multiplicar estos ejemplos; basta observar que, si bien alguna unidad actualmente híbrida puede llegar a ser coherente al cambiar de sistema, siempre persistirán y surgirán otras unidades híbridas, que simplifican los cálculos en casos particulares. 8. Se admite
Distintos
sistemas
generalmente
que
prácticos la unidad
propuestos de tiempo
en todos
los
sistemas debe ser el segundo, a causa de las perturbaciones inadmisibles que ocasionaría el cambio de esta unidad, universalmente empleada.
Supondremos
pues
que
se
cumple
esta
condición;
es
fúacil ver entonces que si se conserva la condición electromagnética l, = 1 no se pueden tener a la vez unidades de resistencia y de longitud cómodas. La consideración de la ecuación de dimensión de 178
la resistencia
en
el
grupo
LMTu —
28 —
da
inmediatamente
[H L] =
[RT]
(23)
Designemos mediante símbolos con indice 2” las unidades de las magnitudes expresadas en el sistema coherente no racionalizado, con unidades cómodas, que queremos determinar, y mediante símbolos con índice “1” las unidades de las magnitudes cerrespondientes en el sistema E. M.C.G.S. Resulta
lla _R Te _ B M La
porque
T,
=
T,
—
R
Ti
R
de
=1s.
Si se quiere conservar u, — U
=
|
resulta
La _K l
Ahora bien,
L, =
1 cm,
R
R,
L
= 10%2,
— 10
luego
B
7em 72 Se ve inmediatamente que en los casos extremos Ry = 12 (cómodo), Ly = 10% cm (incómodo): sistema Q. E.S. Ry
=
109
2
(incómodo),
T»
=
1
cm
(cómodo):
sistema
E.M.C.G.S. Los casos intermedios no son más interesantes; si se hace, por ejemplo,
R-
=
103
Q =
1 m Q,
límite
inferior,
ya
bastante
incó-
modo, que se puede admitir como unidad de resistencia, resulta Ly = 105 cm = 10 km, unidad incómoda. Vemos, pues, que el abandono de la convención y, = 1 es condición. necesaria para que un sistema coherenie pueda ser el único empleado, esto es, para que tenga unidades eléctricas, magnéticas y mecánicas cómodas. Se han seguido diversos criterios para la formación de los distintos sistemas: vamos a exominar sucesivamente en forma detallada algunos de ellos, por considerar ejercicio útil tal estudio. Recordemos que para poder pasar del sistema E. M. C.G.5. al nuevo con la mayor comodidad, las nuevas unidades deben ser múltiplos o submúltiplos decimales de las unidades correspondientes E. M.C.G.S. 1.%
Sistemas que conservanlas unidades eléctricas prácticas existentes. Es
evidente
que
tico sin ocasionar
no
cierto
se puede
número
adoptar
de
— 29 —
un
nuevo
perturbaciones.
sistema
Para
prác-
que
el
18
nuevo sistema se pueda introducir rápidamente, es deseable reducir al mínimo dichas perturbaciones, o sea, conservar el mayor número posible de unidades ontiguas. Impongámosnos la conservación en el nuevo sistema de las nueve unidades prácticas usuales. Ya hemos conservado el segundo, unidad coherente con las precedentes. De la conservación de las unidades energéticas, joule y watt, resulta P, Ml Ty* Woy My Ly* Ty* My Ly? — aaO P¡
,7¡[] L1º
T1_s
1'¡71
JJÍ1
];I9
T!_2
(24)
.M1 L18
Haciendo L2
la ecuación
(24)
=
L1.10m
y
Í¡[g
—
M1.10º
da
y+ Esta condición fué puesta
aog—=?
(25)
en evidencia por Ascolt; por supuesto
es satistecha por el sistema Q. E. S., en el que Para
conservar
todas
una sola suplementaria,
las unidades
prácticas,
por ejemplo, el ohm; -
u2L
— R
=
uT de
* =
—
=
D
*
R
9,
basta
y = —11. ahora
la condición
fijar
(23) da
109
donde Ú,
=
109
(26)
Para poder examinar la variación de las nuevas unidades magnéticas y mecánicas en función de x, busquemos los factores de conversión de la intensidad del campo y de la inducción magnéticos, de la fuerza mecánica y de la densidad. A partir de
Bl
_ Mi l0a
Hl - My
y
h
B _a He 1
4 H,
so deduce H2 ==
De
H1
. 104
y
Bg ==
Bl
. 10820
las relaciones Fa
R
Mo Lo
Y
de _ My Lg*
a Mi:
obtenemos Fs
18
—
1
, 1078
y
-- 30 —
de
—= de + 107757
teniendo
en cuenta
que
M,
a
x
=
M, . 107
=
M
. 107
Estudiemos ahora el conjunto de las soluciones obtenidas dando sucesivamente los valores 0, 1, 2, ... 9. Los resultados es-
tán consignados
en el cuadro
V.
Cuadro X|
Lo
Mg
em
9
O| 1 1110 2
3
d.g
Fg
| g/emi| dina |
V
He
Hg
B¡
Sistemas
e
0e |
Es
|noracionalizados)
1107 | 197 1107 |10? HO TO |c.e.s.5. 110 | 10* | 10% | 10% |19" 105
10 110* 1107 / 107 | 10 | 10* | 108 .r. 19110
|10* | 10* | 10 | 10* | 10
9| 1Oº|10'“| 1oººl 1o'º| ] |1ó“'ºl 10 Han a)
sido propuestos El sistema
Ciertas el V/em,
y —
unidades
a.e.s.
tres sistemas: 0 : centímetro, segundo, ohm, ampere.
en uso,
primitivamente
resultan coherentes
hibridas,
con las del sistema;
tales como
ctras, tales como
el A/mm” , podrían sin gran inconveniente ser reemplazadas por el Aycm*
si se adquiriese
la costumbre
de
expresar
las secciones
en
cm?; pero otras, como el u Q cm, deben ser conservadas, Las unidades eléctricas y magnéticas, con excepción de la de inducción, son sumamente cómodas; las mecánicas, en mecánica industrial, lo son menos, porque el centímetro es pequeño, y la unidad de masa, 107 y, es incómoda. Este sistema fué considerado
bre de O.A.S.C. ducido
en forma
bajo el nombre Se
racionalizada
de C.CG.S.S.
encuentran
por Blondel
(ohm, ampere,
en
segundo,
por
Dillinger,
(centímetro,
el cuadro
VI
sus coeficientes de transformación —
3
en
las
1896, bajo
centimetro) Bennett
el nom-
y fué introy Karapetoff
gramo-siete, segundo). unidades
C.
G.
S.
S.
con
en las U.E. M.C.G.S. —
18
b)
El sistema
x =
2:
Este sistema (M.K.S.)
metro,
kilogramo,
segundo.
Y fué propuesto por Giorgi. Posee uni-
dades mecánicas más cómodas que el anterior, principalmente en mecánica industrial, porque en electricidad el centímetro es con frecuencia preferible al metro; así ampere espira por centímetro, volt por centímetro, etc., son netamente preferibles a ampere espira por metro o volt por metro. La unidad de densidad de corriente, ampere por metro cuadrado, es prácticomente
tan incómoda
como
el ampere
por
cuadrante
cuadrado. Las unidades magnéticas de campo y de inducción, iguales respectivamente al milioersted y al miriagauss, no son particularmente interesantes.
Giorgi propuso su sistema racionalizado; pero puede también ser aceptado bajo forma no racionalizada. Las unidades Ciorgi con sus coeficientes de transformación en las U. E. M. C. G.S. están consignadas c)
en el cuadro El
sistema
VI.
* —
: 9:
se vuelve
al
sistema
Q.E.S.
ya
exa-
minado. Un
examen
rápido
de
x* no
presentan
2
Nuevo
sistema
conserva
del cuadro
V muestra
interés.
los otros valores
:
práctico
la densidad
que
con del
el mínimo
agua
igual
de perturbaciones
y que
a la unidad.
Se ve en el cuadro V que el valor de la densidad del los sistemas C.G.5.S., M.XK.S. y Q.E.S. es 107, 10% y pectivamente. Ahora bien, el uso ha consagrado que la del agua se tome igual a la unidad, de manera que darle
agua en 10% resdensidad un valor
diferente
Brylinski
es,
según
algunos
oauiores,
un
inconveniente.
demostró que existe un solo sistema que tenga unidades eléctricas y mecánicas cómodas y la densidad del agua igual a la unidad; su implantación tendría el inconveniente de modificar algunas de las unidades prácticas existentes. La relación W, _ ML W1
se escribe, poniendo
—
M1
]_-¡]2
en evidencia la densidad
d —
M
(1) El sistema Giorgi ha sido designado frecuentemente sistema M.KE.S. Q, pero dado que la C. E. I. recomendó un valor de u, como unión entre las unidades eléctricas y mecánicas, adoptamos la designación M.K.S. simplemente.
18
— 32—
- Cuadro Sistema
Sistema -- .E:S. Simbolo
3—215|%;"í no
EE. Hiro
m
rac.
1078 | 401018 1
1 /41T
108 | 108/417
Ó 5
rac.
E
no
rac
rac.
no rac
%
rac.
no
rac.
1011 | 4M.ION
farad / metro
_10'3
47.109
farad/centimetro
107
henry / metro
109
109/ 4TT
henry /centimetro
weber
107/£.1'I
10% | 10%1
weber
108 | 108/41
10:10
weber/cuadranteº
10
weber/ metro?
108
1010 | 107047
rac.
henry / cuadrante
108
J
norac.
farad /cuadrante |
weber
l10747
Nombre de la unidad
rac.
108
107
í
rac.
Nombre de la unidad
weber
T
M
ño rac.
%
Sistremar.-C.6-5:5.
GIORGI
108
0910 Hg
I
Nombre de launidad
ViI
ampere espira | 193 | 4n103
weber cuadrante|
1010 | 10'9%4T7
weber/cuadrante?|
10% | 105/471
101
ampere
1019
ampere/c uadranté
101
105 101
ampereespira [ ¡9?
Ea
108[ATÍ
Weber centimetro
108
weber/metro?
108 | 10%77
ampere/metro?
101
|amio!
ampere espira
|um.101
Rm | 109
|4m1o9
ampereespire - | 10 | Arr.0"9
TR
A | 1099
|10%T
5m+º:º:srpi—m
º"“fºº+e::l;'3
107
weber/cen'ffmeí'roº
|4mio!
weber metro ampere
10
-
ampere espira
l10747
weber/centimetro? ampere
101 101
weber neber
ampere/c9nt(metroº
|4.10
ampere espi.rc
| 199 [hmioS
199
emperi de
h10%1r
…F+ºz;f…a
U
109
volt
108
volt
108
volt
0]
10
coulomb
10
coulomb
107
coulomb
C
1079
farad
109
farad
109
farad
R
109
ohm
109
ohm
109
ohm
ó
1018
Siemens/cuadrante
1011
siemens/metro
109
siemens/centimetro
L
109
henry
199
henry
107
henry
É
101
volt /cuadrante
105
volt/metro
105
voll/centimetro
Dz P
109 107
coulomb/cuadrante? watt
105 107
coulomb/metro* watt
101 107
coulomb/centímetro? watt
107
joule
107
¡ou|e
102
metro
1
centimetro
W
107
L
109
M
10
E
1
jou(e
cuadrante segundo
107
kilograno
1
segundo
107
]
segundo
==
Wi
si se impone para
z
d, =
d:
se encuentra
—
105m
di 115
=
1 g/cm*.
Ensayando
que sólo el sistema con
diversos
v —
?
valores
es interesante.
Se tiene L2=lozcm=1m;Mg=dzLzs=
10ºg=1T;W2=—_101º
erg
=1kJ. Ahora bien, el sistema metro, tonelada, segundo (M.T.S.) es el sistema mecánico práctico legal en Francia; de manera que se tendría
la ventaja
de
combinar
un
sistema
electromaoanético
prác-
tico con el mecánico legal (por lo menos en Francio). La condición u, = 1 no puede mantenerse, porque con L, — 1 m la unidad de resistencia sería poco cómoda; abandonando u, =1 se dispone de un grado de libertad que permite fijar a voluntad el valor de una unidad eléctrica o magnética. Con el fin de reducir al mínimo las perturbaciones se conserva una unidad eléctrica práctica existente; no se puede conservar el ohm porque la relación Wo
Ro T
lo
a2
7 =0 = p = 10 () conduciría a Ig
—
V1—O
II
lo que es inadmisible porque el factor de conversión debe ser una potencia
entera
de 10. Se puede,
pues,
elegir el ampere
o el volt;
un examen rápido muestra que es preferible la elección del volt. Eí sistema será pues metro, tonelada, segundo, volt (M.T.S. V). La unidad de intensidad es el Xiloampere, deducido de Wao W
o sex
3
I, —
=
—
ToYs- — — —
10
10* U.E.M.C.CG.S.
I[
=1
L
s -1'7'1
11
.
10
8
EXL.
Sistemas fundados en la limitación a 10+3% y 1 de los factores de conversión
entre las nuevas
unidades
prácticas y las U.E.M.C.G.S.
El problema de los factores de conversión entre las unidades prácticas y E. M.C. G.S., que- constituye una verdadera plaga de la electrotécnica (Blondel dixit), se habría simplificado considera-
y— - S.
Gerszonowicz.
—
Unidades
eléctricas
18 y
fotométricas,
—
3,
blemente si se hubiese tratado desde el principio que los factores de conversión fuesen solamente 1 y 10+9, Hubiera bastado para ello adoptar 1 ohm —10% U.E.M.C.G.S. 1 ohm = 105 U.E.M.C.G.S. 1 volt — 10% U.E.M.C.G.S. en lugar de 7 volt — 10% U.E.M.C.G.S. 1 farad = 109 U.E.M.C.G.S. 1 farad = 109 U.E.M.C.G.S. La unidad de tensión sería igual a 10 volt actuales, lo que hubiera hecho la unidad práctica de corriente igual a la E.M.C.G.S. en lugar de ser 1041 U.E.M.C.G.S. Blondel insistió en que se adoptase 1 decavolt como unidad de tensión, sin tocar al ohm ni al
farad. En esas condiciones, la unidad de longitud sigue siendo el cuadrante y la de tiempo el segundo, porque las relaciones (20) y (22) no se modifican; por el contrario, la ecuación (21) se escribe J
1
3 t+oryyYy—-—22=9 de donde
y = —9,
o sea M2:10-9g
El
nuevo
sistema
sería
pues
109
cm,
10%g,
s,
o
Q.N.S.
(quadrant, neuviéme, seconde). El ohm, el farad y el henry se conservan; la unidad de tensión es el decavolt; la de corriente, el decampere;
la
de
cantidad
potencia, el hectowatt, Fuera sistema
de
tiene
de
electricidad,
el
igual a 10% U. C.G.S.;
la ventaja
relativa
los
defectos
mismos
a los que
decacoulomb;
factores el
la
de
etc. de
Q. E.S.;
conversión, pero,
como
el hizo
notar Blondel, creando para designar 109 y 10 prefijos análogos a los ya existentes entre 105 (micro) y 10%* (mega), se hubiera podido evitar la introducción del sistema práctico. Se puede obtener un sistema con las ventajas del Q.N.S. en lo que se refiere a los factores de conversión y con el centímetro como unidad de longitud. Para esto es necesario, como ya lo hemos visto, renunciar a la condición El sistema es cm, 109 g,
u, = S, Hy
1. = 10%.,.
Ha
sido
presentado
por Germani con el nombre de C. P. S. D., centímetro, pergramo (adoptando según Blondel los prefijos "per” para designar 109 e "hipo” para designar 10), segundo, decacoulomb. Germani expresa las ecuaciones de dimensión en el grupo LMTQ (véase el cuadro II, 6.a columno); a partir de estas ecuaciones se puede ver inmediata-
18
— B4=
mente que fijando el centímetro, el segundo y el decacoulomb, el exponente del coeficiente de transformación es único en valor absoluto, a menos
de ser nulo. Si se pone
2
=
10“,
el factor de
conversión de cualquier magnitud será 10%*+dv+e2+du, dJonde a, b,C,d, son los exponentes de L, V, T y Q respectivamente en la ecuación de dimensión de la magnitud considerada. Ahora bien, en las ecuaciones de dimensión en LMTQ se tiene sólo d = + 10 b = 0. Por consiguiente, si se hace 7 = 0, lo que fija Zy = 1 em,
2 = 0, lo que fija
7>,> =18
Q2 =1
y 4 = 0, lo que fija
U.E.M.C.G.S.
=
1 decacoulomb ,
se tienen sólo los factores de conversión 1 y buscado; si se fija el ohm, resulta y — 9. Nota
anezxa:
sistema
10+7;es el resultado
“Edmmus””.
Bardillion y Papin, fundándose en la pequeñez de la carga del electrón y en el orden de magnitud del trayecto medio que efectúa en los conductores recorridos por corriente alterna, han propuesto un sistema que tiene como unidades de masa, longitud y tiempo, 101' qy (E), el decímetro (DM) y el microsegundo (MUS), respectivamente, y cuyas unidades eléctricas y magnéticas son cómodas, pero que debe ser excluído de las aplicaciones mecánicas. El sistema sólo presenta un interés especulativo. Elección
de un sistema práctico
único.
Los sistemas que modifican las unidades prácticas ya existentes no pueden ser tomados en cuenta; entre los sistemas restantes, a saber, el C.G.S.S. y el M.K.5S., se juzgó más interesante el último,
porque
sus
unidades
mecánicas
parecieron
más
cómodas
y
fué adoptado en 1935 con el nombre de "sistema Giorgi” (ver el capítulo III, Nos. 14, 15 y 17). Como ya dijimos, se recomendó como cuarta unidad la de permeabilidad; queda por fijar la elección entre el sistema racionalizado y el no racionalizado; por el momento
se
autorizan
ambos
sistemas.
¿Cuáles son las ventajas reales de la introducción del sistema Giorgi? La ventaja principal es la de poder usar en los textos y publicaciones de electrotécnica las unidades eléctricas prácticas sin tener que hibridizar las ecuaciones. Otra ventaja consiste en que las unidades son en su mayoría tan cómodas, en la generalidad — 35 —
18
de los casos, como lo permite un sistema coherente. Por supuesto, las unidades híbridas no desaparecen, por los motivos que explicamos anteriormente. Tampeco se puede esperar que los físicos, y aún los electrotécnicos en ciertas aplicaciones, abandonen los sistemas C. G. S. El lector que siga la solución de los problemas del capítulo II verá que el uso de las unidades Giorgi (0 C.G.S.5.) puede
en
algunos
casos
resultar
tan
incómodo
como
resulta
en
etros el empleo de las unidades prácticas junto con las C. G.S. Por
ahora
el sistema
Ciorgi
es un
sistema
suplementario
y no
un sistema sustitutivo de los otros empleados. Con el tiempo, cuanda el número de textos, realas, normas, etc., que empleen el sistema Giorgi, llegue a ser suficiente, su uso simplificará posiblemente el estudio de la electrotécnica a los ingenieros no especializados y a los técnicos de grado inferior. X_Z
9.
.
HUnidades
.
.
internacionales
Las unidades prácticas se definieron primero como múltiplos de las E. M.C. G.S. y sus patrones se obtuvieron por medidas absolutas.
Ya
dijimos
que
la precisión
de
estas
últimas
era
originaria-
mente bastante pequeña, de mcanera que las especificaciones de los patrones estaban sometidas a una continua variación con el
progreso de la metrolocía. El caso era análogo al del metro, definido primero como 107 del cuadrante terrestre y que se detinió después,
pora
asecurar
su
fiieza,
npor
su
patrón,
iqual
sensible-
mente a 107 del cuadrante terrestre. Se adoptó la misma solución para los patrones eléctricos, y en 1908 se introdujo el sistema imternacional (incompvleto), bascdo en el ohm y el ampere internacionales. El
ohm
internacional
ha
sido
definido
como
la
resistencia
en
corriente constante de una columna de mercurio a 0* C de 106,300 em de longitud, de sección uniforme y de 14,4521 y de masa , Esta resistencia representaba, con la oproximación permitida por la precisión de las medidas y por la construcción de la época, 10? U.E.M.C.G.S., o sea el ohm absoluto, siendo la diferencia despre(1) Los patrones de mercurio eran difíciles de manejar, por lo cual se construyeron los patrones secundarios metálicos. Estos patrones, al principio no muy precisos y variables con el tiempo, se obtienen hoy, gracias a los progresos de la metalurgia, con toda la precisión y la estabilidad en el tiempo deseadas, y han 'hecho abandonar los patrones de mercurio (ver capítulo II, N.* 12).
8,9
— 36 —
ciable para las necesidades de pueden confundir los dos ohms. Lo
importante
es
que
la práctica
el ohm
industrial,
internacional
está
donde
definido
se por
su represeniación, de manera que el progreso de la metrología sólo podrá hacer variar la relación entre el ohm absoluio y el internacional,
pero
no modificará
en nada
tencias, que se expresan todas en ohm por méiodos de comparación.
los valores
de las resis-
internacionales y se miden
El ampere internacional ha sido definido como la intensidad constante de una corriente que deposita 0,00111800 y de plata por segundo en una solución de NO”? Ag; hay especificaciones que
precisan la operación un
El joule segundo
de la elecirolisis.
internacionali es la energía disipada en calor por el pasaje de una corriente constante de
durante un am-
pere internacional en una resistencia de un ohm internacional. Se definen sucesivamente de la misma manera las demás unidades prácticas internacionales. Desde entonces hasta nuestros días, las medidas eléctricas corrienles
han
sido
y
son
efectuadas
causa
de la elección
tificar
las
unidades
en
de estas
umdades
últimas,
internacionales
con
internacionales,
el error cometido las
prácticas
pero
a
al iden-
absolutas
es
insignificante. Hace pocos años (1933-1935, ver el capítulo III, Nos. 12 y 16), pareció que las medidas absolutas habían hecho tantos progresos que se podían medir el ohm, el ampere, eic., con un grado de precisión que igualaba el de la construcción de los respectivos patrones. Con ello la exisiencia de las unidades internacionales se hizo innecesaria:
la
presencia
de
los
patrones
mecánicos
es
suficiente
para la definición de los eléctricos, después de haberse admitido un valor para ¿, 0 h. El Comité Iniernacional de Pesas y Medidas
decidió
pues
suprimir,
a partir
del
1.*
de
enero
de
1940,
las
unidades internacionales, y expresar todas las medidas en unidades prácticas absolutas. No se debe introducir ninguna modificación en los patrones secundarios, porque la diferencia entre las unidades internacionales, en las que han sido definidos, y las unidades prácticas absolutas, es completamente despreciable para las necesidades actuales de la práctica. En efecto, la medida, por ejemplo, de una resistencia ee hace en general al 1 % (más raromente al 0,1 %), mientras
que la diferencia relativa enire el ohm internacional y el absoluto es del orden de 0,05 %, luego, por el momento, despreciable. —
37
—
I9
El único caso en que no se pueden confundir las unidades absolutas y las internacionales es el de las medidas de alta precisión, que exigen el conocimiento de la relación enire ambas. Desgraciadamente, al buscar el valor de esia relación, se advirtió últimamente (1939) que se había sobreestimado el progreso de las medidas absolutas y que era posible que la decisión de sustituir las unidades internacionales por las absolutas fuese prematura. Según los últimos ensayos sólo se pueden recomendar cuatro decimales ' 1 ohm internacional medio
= 10005
1 ohm absoluto (valor probable
1,00049
+
2.105);
1 ampere internacional medio = 1 ampere absoluto La
guerra
ha
obligado
a postergar
de las unidades internacionales autoridades competentes. E._]0_
hasta
Sistemas
0,9999 la
+
fecha
oportuna
2.10+ . de
la sustitución
decisión
de
las
racionalizados
Heaviside y Lorentz fueron los primeros en estimar que el factor 47 no está en su lugar en las fórmulas clásicas. Si se toman las ecuaciones de Maxwell como independientes, sus coeficienies deben elegirse iguales a uno para que el sistema sea coherente; se
entiende que el coeficiente orgúnico 47, suprimido en unas, reaparecerá en otras relaciones, en particular en las leyes de Coulomb, que pasan a ser dependientes. La forma de ciertas expresiones, importantes en electrotécnica, cambia; así, como veremos, la capacidad del condensador plano se escribe C =M e
en
lugar
de
(
r
4ne
y la del condensador esíérico (
, 4 í ££, R1 Rg
R — R
en lugar de
(
££, R1 o
=R
Las nuevas expresiones parecen más "lógicas” a algunos autores porque el factor 47, que “caracteriza” (1) a la esfera, figura en I 9,10
—
38
—
la capacidad del condensador esférico, y no en la del plano, comó en las relaciones clásicas. En el estudio de los circuitos magnéticos, la expresión de la fuerza magnetomotriz (que es una forma particular de la ley de .
Z
Maxwell - Ampere: más cómoda M
—
-
47 — — * NI
rot H), se escribe de manera
en lugar de
M
—
mucho
47nNI
etc.
Naturalmente, antes de pronunciarse sobre la conveniencia de la racionalización es necesario examinar detenidamente los trastornos
que la acompañan. En primer lugar, observemos
que
las
unidades
mecánicas
no
deben ser afectadas por la racionalización de las unidades eléctricas ». Designemos por símbolos con índice “r” las unidades de las magnitudes correspondientes y los valores numéricos, tratándose de coeficientes, en sistemas racionalizados; los símbolos con índice “nr” conservan los mismos significados en los sistemas no raciona-
lizados. Consideremos LUTunrkh
y sin que
las
como
ecuaciones
dimensiones
eso disminuya
supondremos
que
en nada
las unidades
sistemas racionalizado
es
dimensión
referencia
y no racionalizado
evidentemente
del *.
LMT en
cuadro
Para
la generalidad
mecánicas
permite prescindir de la parte en sión del cuadro 1. Para suprimir el factor 47 Maxwelil
de de
I, con
simplificar,
del razonamiento,
son
las mismas
en los
que consideramos,
lo que
de las ecuaciones de dimenlas ecuaciones
mnecesario
hacer
k
(10) y (11) de —
h
—
7
E
N
T
), =
47.
(1) también gica
la
Tendremos,
Lo que ciertas definición
no quiere relaciones del
pues, decir que no se haya hablado de “racionalizar” mecánicas; asi, por ejenplo, pareceria más l0-
ángulo,
no
como
a
=
y
—
r
g
sino
como
d
1
—=——
2nr
»
tomando el ángulo completo como unidad; la velocidad angular sería entonces igual al número de revoluciones por unidad de tiempo. También se ha propuesto agregar el factor ¿x en el denominador de la ley de Newton de atracción de las masas. (2) Comúnmente se confrontan las leyes escritas en forma racionalizada y núo racionalizada, determinando paso a paso la modificación de las unidades, sin atribuir dimensiones a Xk, hX y ) ; encontramos, sin emhargo, mucho más eficaz y lógico estudiar el proceso de la racionalización como lo hacemos aquí.
—
39 —
I 10
Rny
lo que da, a partir de
—
r
Mnr
[e] =
T
Ea
h)u
d
[L* T*u'Xkhl,
N
-l
47
kr
hr
E
bel e
De la misma manera, a partir de Im] = [M1/? L*/? T1 y7/* 171/*],
E T
1
y así sucesivamente para todas las magnitudes resultados están resumidos en el cuadro VII.
Cuadro
del cuadro
1: los
ViII
EG e re (wºº)" BgyDe U E --O º"”) )
Fijadas
las
( ífº) 1/9 y ¡f¿)1/2 ( F,£-E)I/2(Lnr)1/2 ¿j7 (J4_;rzc)lÁ9
tres
unidades
queda por fijar una unidad Podemos conservar en EX electrostática,
£,, =
1 —
mecánicas
(sistema
resulta
no
coherente
los
tres
coeficientes, sistema. la condición
s Eony, O la electromagnética, £,, =
[se puede, pór supuesto, hacer también S
y
eléctrica para definir un el sistema racionalizado
1
si c
%£
Z
1), o aún
1 —C2
=
€onr
€,, = ,r = 1 si ), = 47€ £,, =
Uy
7
=——
entonces
-
Si 1,
=4
'n']. ,
€ f£"A€
E—
He
E-
L
N
r
y, como lo muestra el cuadro VII, todas las unidades, salvo las de reluctancia
y
permeancia,
quedan
multiplicadas
por
£m, 4L : T
]/4 T
I 10
o
_1_ ]/47r
+
0
Tal racionalización, considerada por Heaviside, es inadmisible puesto que la modificación señalada de las unidades prácticas obligaría a volver a graduar innumerables aparatos, sin hablar de las prescripciones Por
razones
que
habría
práciicas
que
será
cambiar,
pues
etc.
necesario,
si se
quiere
racio-
nalizar, proceder de manera que no se produzcan modificaciones de las unidades eléctricas prácticas exisientes. Un simple examen del cuadro VIL muestra que la única solución que no modifica las unidades
de
Y,
B,
U,
E,
I,
i,
Q,
D,
C,
y,
R
y
L'
con-
siste en adopiar Unr
HMor
—
x—
4
7r
EZ
ur
lo que modifica
en cambio
de
A,
m,
M,;3,
e,
—
—
Wo n
—además
K,
de la de u —
, K,.
Damos
las unidades
en el cuadro
VII las
relaciones entre las unidades no racionalizadas y racionalizadas de estas magnitudes.
Cuadro Vill oc , Mar, mnr:
Jnr¡
LZor, 417
Hr
Jp
.A.¡-
Mr
m,—
Enc Har, Mar , Raer . E
H -M
Rar
Es interesante indicar el cambio que introduce la racionalización en la forma de escribir algunas de las relaciones de electrotécnica más usadas (cuadro IX). Para “limitar” las perturbaciones debidas a la racionalización, algunos autores han examinado otros sisiemas “racionalizados” que conservan las unidades eléctricas prácticas. Sin embargo, gracias a la forma de exposición que hemos adoptado, podemos deducir a simple vista del cuadro VII que tal cosa no es posible. La explicación
consiste
en
que
estos
autores
llaman
racionalizados
a
los
sistemas en los que la f.m. m. 47NI
" se
escribe
—41—
110
- Cuadro £xpresío'n
]_L_
generd
no
fl€o + ¿_*Á_¡T¡.ror/1
-
OsueHerot
E
aa
1-
E e Y n my
- upoH,
- JM y
r
W
an a
1
V
.1
UC£o/"f*o
0E
=-grad V=k.h
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E
.
;££o¡“)-!o
-
y
=-grad
e
F
.—Q Zorá
£
yM 4NT EC? a
..
D . EEL 41
= PA TA
p. £MKO* EEo
. AE ECo
032 EEo
Q:CU
Q«CU
. EEoS
6
ra h% H
4 mH
.
«h-—7 _ hj (fig. 2), basta observar que
gundo con lámina dieléctrica sólida de espesor €/2, y el tercero idéntico al primero. La capacidad total es,
consiguiente,
-
|
? ea —
por
(,.
formado en tres condensadores en serie: el primero con lámina de aire de espesor e, = e/4, el se-
i
FR
ej =
y
las superficies de separación de los medios dieléctricos de constante diferente son equipotenciales y por consiguiente podemos suponerlas conductoras sin cambiar la distribución. C, queda así trans-
>
ia
AmB AnB ApB !7
!
Fig. 1 cuva
B =
cuando
está f (H)
: longitud :longitud :longitud =
el arrollamiento
recorrido
del material
por
1,, 7,, 7;,
sección sección sección s
excitador
una
del circuito;
corriente
$, $, S; de
7.
N
;
Se
se despreciará
;
espiras
da
la
la dis-
persión magnética. Solución La fórmula
B = s II 1,2
—
50
(1) —
no se puede aplicar inmediatamente ya que y es función de la inducción. Empecemos pues por determinar la distribución de los flujos. Las
ecuaciones
del circuito son M
—
Hl
Holy
B.S1:
Hols
(2)
Hils
=0
(3)
=
B.S» + : Bo = f (T:)
con B
—
+
= f (A1)
BaSs
(4) B; = [ (I)
y
M —
47 N I (sistema no racionalizado)
(5)
o M
—
NI
(sistema
racionalizado)
(5a)
donde los índices 1, 2 y 3 designan los valores de las magnitudes correspondientes en las ramas AmB, AnB y ApB respectivamente. A partir de B — f (F)
multiplicando
por
$,
determinamos
las
ordenadas
fácilmente
y
por
7;
B,S, = f (H1l1)
las
abscisas
de
B — f (I): es la curva 1 de la fig. 2;: de la misma manera trazamos B2 S, = f (H.1;) y B;S; = f (H;l;): son las curvas 2 y 3 de la fig. 2. Adicionemos, para el mismo valor de H.1, — Hsl;, las
ordenadas de las características parciales 2 y 3; obtenemos va
4 que
la cur-
representa Bo Sy
+
BySy
=
B1S:
=
q
(H1:)
=
Q
(Hals)
teniendo en cuenta las relaciones (3) y (4). a
la
Tomemos ahora un segmento horizontal de longitud igual a 2 escala elegida, que desplazamos paralelamente a sí mismc
hasta
que
corte
en
A
M
AC—.=
y
€
las características
1
y
4. Tenemos
entonces
=
AB
-+BC
que es la ecuación
(2): el problema
BC
Hilyz
—=
Hel,y
=
AB — Hil; se calcula permiten calcular
se
Z;;
T+
H,
y
H;
los valores
de
B
=
por la fórmula —
Hl
Hels
está pues resuelto:
deducen
hO
y las reluctancias
=
B
-í—
y
a partir de a
pattir
de
correspondientes
(6)
(1). —
II2
Aplicación numérica a)
Datos:
la curva B
2
H Oe
B Gs
3
5
—
f(H)
10 13400
20
40
14600
15700
7000
10000
400
800
1200
1600
2000
20000
21000
21700
22300
22800
ly =
12300
es
40 cm; $i == 3 em?; l, —
60
60
16400 17000
10 cm;
$y =
Ss = 1,5 em?”; N == 1468 espiras; T = 5 A, Las magnitudes están expresadas en prácticas.
1 cm?;
unidades
1200
200
17400
18709
l3 =
20 cm;
E.M.C.G.S.
y
maxwell | weber C
IB
1A
y
í 1
4.10” 1410
3
/
110 +1.10*
HO —
Le 10
10 7110 1.10" | 1.10
4.10" —
T
g//b9ff
5.Í01,
=y -
110
10
.
5105
107 10 | 1.10*
1.10*
-
—U6 more. amp esy/n
rac UCGSS:no
HLyAL, PV
Fig. 2
Trazamos B S — f(Hi 1), By S. = f(Hs1s), Ba S f(Hsls) y B1S1: = (Hol;) (fig. 2): a título de ejemplo indicamos algunos valores relativos a By S: Holz
Gb
l 40
Bs S
Mx
|10500
IT2
800 23600
FE 1s):
1200 94600
1600
25500
— 572 —
2000 4000 26100 283100
83000 30000
Tendremos que hibridizar la relación (5), introduciendo el coeficiente 107, porque I está expresada en unidades prácticas y queremos obtener NM en el sistema E.M.C.G.S. Escribimos pues M
—
47NI.
Ubicando
M
101
12,56 .1468.5.101
—
9220 Gb
entre las curvas 1 y 4 (fig. 2) se tiene
A B — 2820 Gb = de
—
H,l
y
AC
=
6400 Gb =
H, 1, — Hsl
donde H,
=
70,5
Oe
Bi
=
16800
Gs
H lo
=
238
U.E.M.
Hoy
=
640
Oe
B,
=
20800
Gs
M Mo
=
324
U.E.M.
Hs
=
320
Oe
Bs
—
19600
Gs
l3 o
=
61
U.E.M.
“ R
l
—
=———
ua
R -A
lg Mo Sa
Ry
— — Ms Mo Ss
40
= — —
0,056
238 .3
_. 210 324
.1
20
— 61.15
U.E.M.C.G.S.
-
— 0309UEMCGS. =
0218
U.E.M.C.G.5.
b) Sistema Giorgi no racionalizado. Transformamos los datos H
U.G
no
rac.
B Wb/m? ll = ls =
04
|
2000
....
40000
60000
....
|
O7
0.
157
104
...
m;
$, =
0,0008 m*;
1, =
200040
400000
. 187
0,1 m;
S,
....
2 =
0,0001
0,2 m; 83 = 0,00015 m*; N — 1468 espiras; 1 — 5 A. Conservamos el mismo gráfico para las características
m*;
parcia-
les; la graduación de las abscisas queda multiplicada por 10 y la de las ordenadas por 10%*; así 53 S; = f(H; l;) es
Hs l; U.G. no rac.| 400 ... BsS3
Wb
8000
12000
...
40000
80000 ...
|1,05.1o-4 ... 2,36.10% 2,46.107... 2,81.10* 3.10* ...
La f.m. m. es [fórmula M
(5)]
== 12,56.1468.5 —
—
92200 U.G. no rac.
53 —
H2
De deduce
las características
Hi l, =
28200
U.G.
con
las
no rac.
escalas
Holy
=
modificadas
Hsl3
=
(fig.
2) se
64000 U.G. no rac.
de donde -H
=70,5.10* U.G. no rac.
B, =
1,68 Wb/m*
Uy Ho == 238.107 U.G. no rac. Hy =
640.103 U.G. no rac.
B, = 2,08 Wb/m?
Us Ho = 324.107 U.G. no rac. Hs = 320.10* U.G. no rac.
l3 l, = Las reluctancias
son
[fórmula
= 0,056.10% U.G. no rac.
2O10
aIO
—
0,309.10%
U.G.
Ry =
0,218.109
U.G. no rac.
Sistema
1,96 Wb/m?
(1)]
0,4
Ro
=
61.107 U.G. no rac.
Ri = — 577 —
c)
Bs
no
rac.
Giorgi racionalizado.
El único dato que se modifica respecto a b) es B = f(H). Tenemos H
ampere
espira/m
B W/mi
l
159
...
3180
4780
...
15900
|
0,7
...
1,57
164
...
187
La graduación de las abscisas relativas a 0) queda dividida por —
f(.H3
Hsl;
l3)
ampere
espira|
318 ...
I 2
956 ...
3180
2240
2,81.101
6360 ...
3.10% ...
1468.5 —7340 ampere espira
las características
=
parciales B; S; =
es [fórmula (5a)] M —
de
636
|105.10%.. 2,36.1042,46.10%..
La f.m.m.
Hl
D
es
Bs S3 Wb
De
de las características 47 ; así por ejemplo
31800 .,
ampere
parciales
espira
(fig. 2) se deduce
H.l,
—
54
—
donde
—
H3l; =
5100
ampere
espira
H,
=
5600 ampere
espira/m
B; =
1,689 Wb/m?
li o — 3000.107 H/m H: =
51000 ampere
espira/m
lo lo =
406.107
B;, —
2,08 Wb/m?
H/m
H;y = 25500 ampere espira/m B; = ls M = 766.107 H/m Las
reluctancias
son
0,4 — 3000.107.3.10%
R
Ry
d) Los H
=
espira/Wb
Ksy —
173.107
ampere
espira/Wb
no
racionalizado.
20 ...
400
cm”;
N
=
no
3 em?”; l, = 1408
característica
2000
M
=
valores
rac.
4000...
5 A.
—
f(H31;)
1,05.10*
Híil;,
...
..
20 cm;
es 3000
12000
2,36.10%4
246.107
40000
80000
...
2,01:10%4-
3:10%
...
...
(5)]
12,56.1468.5
—
929200 U.C.G.S.S.
Hel,
y
sistema Giorgi no racionalizado.
Hsl;
238.10% —
son
los
no rac. mismos
que
en
el
Se deduce
705 U.C.G.S.5. no rac. Ui lo =
1 cm?; 13 =
400
es [fórmula
de
T =
Bs Sy
,
La f.m.m.
10 cm; $, =
espiras;
parcial
B: Ss Wb
H, =
600...
[0,7.20%*,. 157-10%1,64..10%.. 1,87 .10% 210
H3 ly U.C.G.S.S.
Los
espira/Wb
ampere
40 em; Si =
15
La
== 414.10> ampere
246.10%
U.C.G.S.S. no rac.|
l) =
(1)]
=
Sistema C.G.S.S. datos son
5 Wb/em?
Sy
[fórmula
1,96 Wb/m:
B1 = U.C.G.S.S.
55 —
1,68.10% Wb/cem? no rac. I
Hy
=
6400 U.C.G.S.5. no rac. By — 2,08.10* U Ho = 32,4.109 U.C.G.5.5.no rac.
Hs = 3200 U.C.G.5.5. no rac. Dsl Las
=
reluctancias
61.10%
son
Bs = U-C:G:5.5,
[fórmula
40
1= ————
=
1,96.10
Wb/cm?
Wb/cm?*
no rac.
(1)]
0,056.10%
U.C.G.S5.5.
no
rac.
238103
e)
Sistema
El único
Ry
=
0,309.109
U.C.G.S.5.
no rac.
Ry
=
0,218.10?
U.C.G.5.5.
no rac.
C.G.S.S.
racionalizaco.
dato que se modifica respecio
a d)
es B —
f(H).
Se tiene H ampere
espira/em|
5 Wb/em* La
característica
Hs l; ampere
espira
53 Sa Wb La
1,59
318
parcial
2; Sy
| 318
..
478
-
159
318
—
f(Hs1:)
es
636
956
..
3180
6360
f. m. m.
es ffórmula
valores
de
1468.5 H
l,,
—
7340 ampere
Hol,
y
Hslz
espira son
los
mismos
que
=
56 ampere espira/cm
Bi
=
1,68.10*
Wb/em?
2,08.10*
Wb/em*
1,96.10+
Wb/cm*
l MQ = 3000.109% H/em H, =
510 ampere espira/cm
lla Ho = Hsz == 255 ampere
By —
406.10% H/cm
espira/cm
Us HQ = I2
..
(5a)]
el sistema Giorgi racionalizado. Se tiene H,
«
[1,05.10+..2,36.10% 2,46.101..2,81.1074 3.10*..
M — Los
..
(0,7.10%.. 157.104 1,64-10..1,87.10* 2.10%..
Bs
=
766.109% H/cm — 56 —
en
Las reluctancias son [fórmula (1) R
40
=_ —
=
414.105 ampere
;
espira/Wb
3000.10.3
Ejercicio
No.
Ry —
246.105
ampere
espira/Wb
Rs —
173.10%
ampere
espira/Wb
3
En el interior de un solenoide horizontal, de V1 espiras por unidad de ___¿;_ : %q longitud, se hace girar un disco de e diámetro d a velocidad constante; el Man===sieneeo === eje de rotación del disco coincide con Í L—=r¡—— , el eje del solenoide. Dos frotadores Fig. 1 recogen la í. e.m. £ inducida entre el eje y la periferia del disco (fig. 1); esta f. e. m. está en oposición con la caída de potencial que produce en los bornes de una resistencia R la corriente 7 que recorre el solenoide. Sabiendo que para una velocidad del disco de n revoluciones por segundo el galvanómetro G permanece en cero, determinar 1) el valor de E, suponiendo el eje del solenoide normal al meridiano
magnético;
2)
el valor máximo de la corrección debida al campo terrestre, cuya componente horizontal es 77,. Se despreciará la influencia de los extremos del solenoide.
Solución
1)
La f.e.m.
inducida
E
puede
E
=
donde M designa el coeficiente noide y la periferia del disco M —
4
M —
ponerse
bajo
la forma
Mul de inducción
(1) mutua
entre
ua h, N1 $ (sistema no racionalizado)
la 4 Y1 $ (sistema racionalizado)
el sole-
(2)
(20)
siendo $ — "* la superficie del disco. —7 —
II 2,3
Cuando
el galvanómetro
está en cero E
=
RI
(3)
Mn
(4)
de donde R-
2) La corrección debida al campo terrestre es máxima cuando el eje del solenoide está en el plano del meridiano magnético. El flujo de inducción terrestre a través del disco es entonces
D, =
E pa bo ZeS
(5)
mientras que el flujo de inducción debido al solenoide es D, — Todo M
pasa
como
—
( 1 +
M
MI
(6)
si Y se transformara H
-
)
(sistema
en
no racionalizado)
(7)
á7 Ni 1
o M
—
H ( 1 + N
M
. )'(51stemq
. . racionalizado)
(7a)
41
valor que
debe
ces
Mn,
R
=
intervenir en la relación
(4) que
Al no tener en cuenta //, cometemos E=
= 47
(sistema
no
se escribe
enton-
un error relativo máximo
racionalizado)
(8)
A' 1 I
o
H
E =
Nl
.
(sistema
—
racionalizado)
(8a)
Aplicación numérica a)
I=
Datos:
N
05 A u, = Los datos están La relación (2) que la , yY $ están M en henry. Tendremos
=
120
espira/cm;
1 U.E.M.; H; = expresados en debe contener expresados en
n
=
1?
r.p.s.;
d =
10 cm;
0,2 Oe. unidades E.M.C.G.S. y prácticas. el coeficiente parúsito 107, dado U.E.M.C.G.S. y queremos obtener
M — 4 ya o N1S.107 = 4m.1.120. 7. 1 109 = 118.10% H 2a
4
I3
— 58 —
Por consiguiente, a partir de (4) E El
error
—
relativo
11810812 máximo
—
1421030
debido
al
campo
terresire
es,
obser-
vando que la relación (8) debe contener el coeficiente parásito puesto
b) Los
N
que
7
€
—
esiú en ampere
KY,
Hi
datos
10,
en oersted 0,2
— 47 N, I 101
Sistema =
y
=
47 .120.0,5.10
2,6.10%
Criorgi no racionalizado.
se escriben:
12000 espira/m;
n —
12 £.p.8;
Ha lo = 1.107 U.G. no rac.; H; = Tendremos [fórmula (2)] M
—
d == 01 m; ] =
05 A;
200 U.G. no rac.
47.1.107.12000.78,5.10+
—
118.10%
H
y [fórmula (4)] R El error
es [fórmula
=
1,42.10*
2
(8)] 200
E
c) =
Sistema
=
——————————=
Giorgi racionalizado.
Los datos son los mismos 1.47.107 H/m y H, = 200/47 Tendremos [fórmula (2a)] M
y [fórmula
—
==
118.105
u,
=
H
(4)]
El error es [fórmula =
= 120
1,42.10*
200/47
———— 12000.0,5
espira/cm;
U.C.G.S.5.
=
Q
(8a)]
d) Sistema C.G.S.S. Los datos son:
Ni:
que en b) excepto ampere espira/m.
1.47.107.12000.78,5.10*
R
== 1.109%
2¡6.10_3
47 .12000.0,5
no
=
2,60.10%
racionalizado.
n
=
12
1r.p.s.;
d
no rac.; H;
=
2 U.C.C.S.8.
—
59
—
=
10 no
cm;
h, —
rac, I3
Tendremos
[fórmula M
y
[fórmula
—
(2)]
47.1.10*.120.78;5
El error es [órmula
Los
Sistema
datos
1.47.102
son
—
142.1039
2
——— — 47.120.0,5
C.G.5.5.
H/cem
Tendremos
H
(8)]
=
=
118.10
' R
e)
—
(4)]
0103
racionalizado.
los
mismos
y H;=
2/47
.
que
en
ampere
d)
excepto
wl
=
espira/cm.
[fórmula (20)] M
—
.A7 102120785
—
118-105-H
y [órmula (4)] R El error
es
[fórmula
—
1,42.1039
(8a)]
S
2/47r
10
19050:5======— Ejercicio No. 4 El de hilo ancho torsión
cuadro de un galvanómetro está constituído por N espiras de cobre de diámeiro d; la altura del cuadro es a y el . El cuadro está suspendido de un hilo de constante de € , en un campo radial de intensidad constante Y. Se pide
- determinar 1) -
el período oscilaciones
2)
la
ideal
(en ausencia
de amortiguamiento)
de
las
mm/NA.m
y
del -cuadro;
sensibilidad
práctica
del
aparato
en
A-.m/mm;
3) la resistencia crítica, sabiendo miento
Se conoce
que el grado
de amortigua-
en circuito abierto es a,.
la densidad
8
del cobre.
Solución. El periodo ideal es
— 271/% donde
el momento
de
inercia
se
escribe
(1)
a* —p b K2N=-85(a+5)
(2)
El par motor unitario es
Do — a , HNad La
sensibilidad
en
intensidad
—
(3)
es
Indicaremos más adelante la expresión de la sensibilidad prác-
tica.
La
resistencia
crítica
es
D
-
¡
(Va Ho HN a d)*
2 YRG (1—%)
— 2 VKC (1—au)
S
Aplicación numérica a) H
—
Datos: N — 60 espiras; d = 0,01 em; a = 3 cm; d = 2 cm; 900
Oe;
y,
=
1
U.E.M.;
a,
=
0,14;
€
—
0,1
erg/rad;
8 =
8,9 g/cm5. Nos serviremos de las unidades prácticas para las magnitudes eléctricas y de las E.M.C.G.S. para las magnitudes magnéticas y mecánicas.
Tendremos, aplicando (2) =a 60 80. K- ==
7.10*
4
2
.8,9DN 2( +3)
a 0,308 De g.. cm em?
y a pattir de (1)
P—
de
10308
_
u
0,1
El flujo D,
es, a partir de (3) D,
—=1.900.60.3.2
=
324000
Mx
La fórmula (4) de la sensibilidad debe contener el coeficiente parásito 1077, dado que expresamos 7 en ampere, mientras que las otras
magnitudes
que
figuran
en ella están —
él —
expresadas
en U.E.M.C.G.S. Ia
Tendremos
O L.101
_ 324000 = 3240000 rad/U.E.M.C.G.S. de corriente . 01
o sea
%
—
Es casi inútil recordar constituye'sólo
una
3,24.105
que
rad/A
este valor
no
tiene
sentido
físico,
convención.
La sensibilidad práctica en milímetros por microampere regla a un metro del espejo es SuA-1= ,_
2.103
y la sensibilidad práctica
==
en amperes
Si —
154:10*
648
con la
mM/u A.m
es A.m/mm
La fórmula (5) que da la resistencia crítica debe contener el coeficiente parásito 109 porque R está en ohm y las otras magnitudes en U.E.M.C.G.5.; se tiene
410 R = — — — 109 2y0,308.0,1.0,9 b)
Sistema
Giorgi
3320
no racionalizado.
Datos: N — 60 espiras; d = 10* m; a = 3.107 m; b = 2.10? m; H — 9.10% U.G. no rac.; ya, C — 10% joule/rad; 8 = 8900 Se tiene [fórmula (2)] K
— 60.
l
108
..8,9.10. =
El período
= 1.107 kg/m.
4.10*
U.G.
( 3.10% +
0,308.10” kg.m?
ideal es [fórmula
(1)]
- T= 2w1/___0 308107 332___8 = 118 El flujo se escribe [fórmula (3)] 114
—
62
—
no
rac.;
2.10
a,
—
0,1;
D,
La
=
1.107.9.105.60.2.10?.3.10*
sensibilidad
en
intensidad
es
—
324.105
[fórmula
Wb
(4)]
324.105 9770 — 24.105 ; 10d/A
7
10
y la sensibilidad práctica en intensidad, en milímetros ampere con la regla a un metro del espejo, es Spa-1 La
resistencia
crítica
=
por micro-
648 ;mm/uA.m
es [fórmula
(5)]
32410
2// 0,308.107.10.0,9 c) Sistema Giorgi racionalizado. Los datos son los mismos que en %), salvo Llt, == 1.47.107 H/m y H
—
4L
9.105 ampere
espira/m..
T
Si en vez
de
escribir
Do = la |l ATNab
(3)
ponemos D, =BNavd
(3a)
con B =
lG H =
1.107.9.105
—
9,10? Wb/m?
(sistema no rac.)
o Bc ha , H =
1.47.107 . 4—1 9.105 — 9.10? Wb/m?
(sistema rac.)
TT
la solución es válida absolutamente sin ningún cambio en los sistemas racionalizado y no, puesto que la unidad de inducción es la misma en ambos. d)
Sistemas
C.G.S.S.
Introduciremos B, de manera que la solución los sistemas racionalizado y no racionalizado. Tenemos: B == ha ho H
N =
—
60 espiras;
1.10%.9000
d =
—
10”
1.47.105%
—
63
—
cm;
a =
Zí;9000
será
3 cm; =
9.105
válida v =
en
2 cm;
Wb/cem2?;
Ia
d
=
0,1; € =
10% joule/rad;
El momento
de
7.10*
K =
60. ——— 4
El período
8,9.107
— ( 3 + = ) =
=
El flujo es [órmula
D, =
4
y la sensibilidad
—
118
(3a)]
9-10%.60.2.3
324105 10
práctica
resistencia
g. siete.cm?
(1)]
0,308.107 2"1/—W8—
crítica
—
es
=
324.105 Wb
[fórmula
3,24.105
(4)]
rad/A
en intensidad
Sua! — La
-0,308.107
3
en intensidad
o T=
q. siete/cm?.
(2)]
2
ideal es [fórmula
sensibilidad
8,9.107
es [fórmula
To
La
8 —
inercia
es
648
MmM/UA.m
[fórmula
(5)]
394*.10-
R
O
2V 0,308.107.10*.0,9 Ejercicio No. 5 Determinar
el valor aproximado
ternador
trifásico,
estrella,
de
potencia
aparente
P., n revoluciones
del período
frecuencia
por
7,
propio
tensión
unidad
entre
de
un al-
hilos
de tiempo,
U,,
funcio-
nando a intensidad nominal con cos y dado. Se conocen el valor Lao de la reactancia síncrona por fase en dicho funcionamiento y el PD? del grupo; se despreciarán la resistencia del inducido y el grado de amortiguamiento. Solución El par sincronizante
unitario
es
*E Us Cu
II 4,5
—
p—'L_(DTCOS
—
64 —
' o
(1)
con
ME
D
(2)
n
De la relación
E, = U +
3L0I
(3)
2/3LoU.1 sano
(4)
deducimos
E2
—
U2 +
320
+
Y
—
Ec
___1/3
cosP .
Lo lI
(5)
sen O
con Ps
I=
Determinados
L,,
cos
—— =
O y
C€,
—
.2 7T_/
To
(6)
Y3 Uc
calculamos
K
(7)
Co
y 7
f[ La determinación Aplicación
T
(8)8
de K a partir de PD?
se verá más
adelante.
numérica
Datos: U, = 6300 V; P; = 8000 KV A; f — 50 Hz; n = 375 r.p.M.; cos Y = 0,8: Lo = 2,44 2 por fase; PD? — 78800 kg-f. m*. Los datos están expresados en unidades prácticas, salvo el PD?
que está en unidades del sistema metro, kilogramo fuerza, segundo y n en r. p.m. El PD* sólo interesa para la aplicación de la relación (7) u (8); el cálculo del par C€, se hará pues en unidades prácticas. Tenemos 8000000
I= — < — =07
36300
De la relación (4), observando E?
—
6300?
+
-
A
que sen y =
3.2,44*.732
+
0,6
2.1,73.2,44.0300.732.0,6
deducimos E,
De
la relación
=
— S.
Gerszoncwicz.
—
8530
V
(5) _
Unidades
65
eléctricas
—
IT5 y
fotométricas,
—
5,
1,73.2,44.732.0,8
sen O =
=
8530 cos O
—
0,29
0;957
La fórmula (2) deberá contener el coeficiente parásito 60 puesto que expresamos n en r. p.m. y f en Hz. Tendremos
y, de la relación
60 f
3000
n
ID
(1)
e — 64-8530.6300 244314 0957 — 429.10! joule/rad , Podemos ahora seguir en unidades prácticas.
a)
1n%
20
—
A
ME — E
la solución
en
;
3
el sistema
M.Eg-15.
o
Sistema M.Kg-S.
Recordemos
que
9,851 kg; de modo
429.10*
de
masa
de
este
sistema
vale
PD*
—
[fórmula
43,8.10'
==
2010
,
kg-f.m.
es
78800
g
_
=
4.981
U.
de masa.m*
(7)]
o sea [fórmula
b)
e
w N
T
¡
>
=
p
r
a a
E ea
|
to
To
S
]
y finalmente
=———— 9,81
de inercia
kK
x=—
unicad
que el par es
Cy
El momento
la
(8)]
Sistemas
prácticos.
El valor numérico del momento de inercia en el sistema M.K.S: se obtiene multiplicando por 9,81 el que tiene en el sistema M.Kg-£.5.
K Ahora
bien,
—
981.2010
el g
m*
2
—
l—)2l¿ =
19700 kg m*
es una
unidad
común
a todos
los siste-
mas prácticos que conservan el joule y el segundo, puesto que [K%*] — [C% T]; el valor de X es el mismo en estos sistemas; tendremos pues, indiferentemente, en los sistemas Q.E.S,, Giorgi y C.G.5.5., racionalizados o no [fórmula (7)]
_ 19700 To = 27 / —
— 04%5s
y [fórmula (9)]
—
67-—
ITS5
CAPITULO HISTORIA
DEL
DESARROLLO
UNIDADES 1.
Primeras
1Il
medidas
DE
ELECTRICAS “absolutas”.
LAS
”
Sistema
M.M.S.
Los resultados de las experiencias que formaron la base de las leyes fundamentales de la electrostática y del electromagnetismo fueron expresados en unidades arbitrarias. Las primeras medidas electromagnéticas absolutas, que recurren, para la determinación de las magnitudes eléctricas, a las unidades de longitud, masa y tiempo (y, se entiende ahora, de permeabilidad), se deben a Gauss (1833), quien expresó los resultados en el sistema M.M.S. (milímetro, miligramo, segundo) que deriva directamente del sistema M.G.5. (metro, gramo, segundo). Este último sistema, que data de la Revolución Francesa, fué el primero coherente. 2.
Primeros patrones. Comités de la B. A. (1867- 1873). Sistemas M.G.S. y C.G.S. Primeras unidades prácticas.
Después de los descubrimientos de Ampére, Onm y Faraday, la electricidad entró rápidamente en el dominio de las aplicaciones. Las
exigencias
de
la
práctica
empezaron
a
hacerse
sentir
hacia
1850, con el desarrollo de la telegrafía. Los técnicos utilizaron primero patrones arbitrarios, establecidos sin preocuparse de su re(1) Se nos excusarán ciertas repeticiones del canpítuio I, que creímos conveniente hacer para mayor claridad de exposición. No hemos podido procurarnos todos los textos originales y tuvimos que tomar ciertos datos de otros trabajos de la misma índole; no es pues imposible que haya alguna inexactitud en el texto; agradeceremos al lector cualquier indicación al respecto.
II 1,2
'
— 68 —
lación con las unidades absolutas. Los patrones de resistencia de Wheatstone y Jacobi estaban constituídos por ciertos hilos de cobre; así el de Jacobi tenía una longitud de 7,61975 m y un diámetro de 0,667 mm, su masa era de 22,4932 q y su resistencia era del orden de 0,6 del ohm actual, porque el cobre era impuro. Se hicieron copias de esos patrones, pero siendo imposible en esa época fabricar un hilo metálico suficientemente homogéneo, de composición constante y que no presentara variaciones sensibles de las propiedades con el tiempo, se inclinaron finalmente las preferencias en favor del patrón Siemens, introducido hacia 1860, que consistía en una columna de mercurio (el único metal que se sabía obtener muy puro en aquella época) de 1 m de longitud y 1 mm?* de sección, mantenida a 0%C: su resistencia era de 0,94073 del ohm internacional actual. En 1861, Zatimer Clark y Bright expusisron en la B. A. (British Association for Advancement of Sciences) la necesidad de crear un sistema realmente científico y también patrones de unidades eléctricas. La B. A. nombró un Comité que propuso (1867) un sistema electromagnético, M.G.S. (metro, gramo, segundo) de preferencia al F.G.S. (foot, grain, second). práctica recomendó el empleo de los
cimales
Para las múltipios
de las unidades teóricas M.G.S.;
necesidades de la o submúltiplos de-
así se crearon
el ohm,
el
volt y el farad.
El ohm, unidad práctica de resistencia, se eligió igual a 107 U.E.M.M.G.S., por ser éste el múltiplo decimal más próximo ol patrón Siemens. El patrón legal de Inglaterra (B. A. Unit) consistía en
una
bobina
presentaba causa
de
de
aleación
la resistencia los errores
de
2/3
de
Pt
1,048
- 1/;
Ag.
El
unidades
determinación,
se
ohm
de
Siemens; apartaba
la
B.
A.
su valor, en
—
135
re-
a %
de la definición teórica de 107 U.E.M.M.G.S. El volt, unidad práctica de tensión, se eligió igual a 105 U.E.M.M.Cr.S., por ser éste el múltiplo decimal más próximo a la f.e.m. del torios.
patrón
Daniell,
muy
usado
en
esa
época
en
los
labora-
El volt, unidad práctica de tensión, se eligió igual a 107 U.E.M.M.G.S.; el microfarad patrón de la B. A. valia pues 1013 U.E.M.M.G.S. Observemos que este patrón se llamaba primitivamente “farad”, pero se renunció a ese nombre para conservar como unidad coherente de cantidad de electricidad el actual coulomb, para el cual se propuso
el nombre
de weber.
La unidad
cohe-
rente de intensidad.de corriente sería el weber por segundo, pero finalmente, y hasta 1881, se empleó en Inglaterra el nombre de —
69 —
T2
weber
para
designar
la unidad
práctica
de
intensidad.
En
cambio,
en Alemania se llamaba weber a la unidad E.M.C.G.S. de intensidad. Para evitar confusiones se dió más tarde el nombre de ampere a la unidad práctica de intensidad. Como
la unidad
de densidad
en el sistema
M.G.S.
era
el g/m”,
o sea la millonésima parte de la densidad del agua, Lord Kelvin obtuvo que un segundo Comité volviese a estudiar el asunto y en 1873
se decidió
finalmente
adoptar
el sistema
de
unidades
electro-
magnético con el gramo, el segundo y el centímetro como unidades mecánicas independientes. La adopción del centimetro provocó discusiones, porque el metro tenía partidarios; numerosos técnicos creen lamentable que no se haya adoptado el metro y ajustado la unidad de masa, haciéndola igual a una tonelada, para conservar la den-
sidad del agua igual a la unidad: es el sistema M.T.S., que se adoptó en Francia en 1919 por estimar que el sistema C.G.S. no se adaptaba a las necesidades de la industria a causa de la pequeñez de sus unidades de longitud y masa.
Las unidades prácticas, expresadas en función de las E.M.C.G.S., son lohm = 1 volt 1 farad = 3.
Congreso
10% U.E.M.C.G.S. 105 U.E.M.C.G.S. 109 U.E.M.C.G.S. de París, 1881. Se continúa unidades. prácticas
la serie de
El primer Congreso de Electricistas oficial internacional, que se realizó en París en 1881, adoptó el sistema E.M.C.G.S.; confirmó las unidades prácticas de la B. A. y les agregó el ampere, definido como la corriente engendrada en la resistencia de un ohm por la fe.m. de un volt, y el coulomb, definido como tricidad transportada en un segundo por una
pere. Las nuevas unidades les de las E.M.C.G.S. 1 coulomb = 1l ampere =
la cantidad de eleccorriente de un am-
son, por supuesto, submúltiplos decima-
107 U.E.M.C.G.S. 107 U.E.M.C.G.S.
Puede observarse desde ya la gran diversidad de exponentes de 10 en los factores de transformación entre las unidades E.M.C.G.S. y las prácticas: 9, 8, —9, —l. Esto podría haberse evitado haciendo, como quería Lord Kelvin, 1 ampere = 1 U.E.M.C.G.S., consecuenII
2,3
—
70
—
cia de la proposición d.d.p.
igual
a
de LEsselbach
10%? U.E.M.C.G.S.,
(1862)
de
conservando
elegir
la unidad
el ohm
como
de
unidad
de resistencia. Infortunadamente este criterio no prosperó porque se enconiraba
la unidad
de
10 V
demasiado
grande
e incómoda:
su
valor diferia mucho de la f.e.m. del elemento Daniell. La diversidad de los exponentes resultó más adelante particularmente molesta, porque xi el sistema E.M.C.G.S.
ni el Q.E.S
han podido,
por razones
de comodidad, ser empleados solos. El Congreso se preocupó también de la representación material de las unidades eléctricas, y decidió que en esa época la mejor representación
mercurio una
de
a adoptar
1 mm*
Comisión
de
para
el ohm
sección,
era
a 0%C,
la
y de
de
una
longitud
columna
de
a fijar por
internacional.
En lo que se refiere al patrón de tensión, la pila Danieil fué reemplazada desde 1873 por la Latimer Clark de sulfato de zine, de f.e.m. mucho
más
concordante
de un elemento
a otro que
la del
elemento Daniell. 4. das
Conferencia
de
París,
1884.
Unidades
legales.
Después de realizadas las nuevas medidas absolutas, decidipor el Congreso de París, se reunió en París en 1884 una
Conferencia
internacional
para
la
determinación
de
las
unidades
eléctricas. Se fijó allí por diez años la representación del ohm, llamada “ohm legal”, definida como la resistencia a O*C de una columna de mercurio de 1 mm* de sección y de 106 cm de longitud. Este patrón se aproximaba más al ohm teórico que el ohm B. A.; sin embargo se puede observar metros, no tiene decimales: la precisión era todavía pequeña en esa época, del Se definieron el “"ampere legal” y de las unidades E.M.C.G.S. sin indicar
que la longitud, en centide las medidas absolutas orden de 0,5-1 %. el “volt legal” en función sus representaciones.
Es de observar que se definió el ohm legal, en forma análoga al metro y al kilogramo, por su representación material, para ponerse al abrigo de cualquier discusión sobre el valor de las medidas absolutas. 5.
Congreso
de París, 1889, Se amplia de unidades prácticas.
El segundo Congreso internacional, París en 1889. Se definieron allí nuevas rentes con las anteriores —
71
—
la serie
no oficial, se realizó en unidades prácticas, cohe-
II
3,4,5
de trabajo: 1 joule = 107 U.C.G.S. de potencia: 1 watt — 107 U.C.G.S. y de coeficiente de inducción: 1 cuadrante
—
10 U.E.M.C.G.5.
El Congreso discutió también las unidades magnéticas prácticas y recomendó el nombre de maxwell para designar la unidad de flujo magnético, igual a 105 U.E.M.C.G.S., signar la unidad de inducción magnética,
y el de weber para deigual a 10% U.E.M.C.G.S.
Observemos aquí que si se conserva , = l, la unidad práctica de inducción, coherente con las otras unidades prácticas existentes, vale 107 y no 10% T.E.M.C.G.S. 6. Así como a
causa
del
Unidades
el problema desarrollo
de
magnéticas.
de las unidades la
telegrafía,
eléctricas
el de
las
se presentó
unidades
mag-
néticas se planteó naturalmente a causa del rúpido desarrollo que empezó a experimentar en esa época la construcción de las máquinas eléctricas. Para el estudio de los circuitos magnéticos se necesitaban unidades y terminolegía cómodas, y en 1891 el A.LE.E. (American Institute oi Electrical Engineers) nombró un Comité de Unidades y Patrones que debía ocuparse especialmente de las uni-
dades magnéticas. Este Comité recomendó, sin proponer nombres especiales, tarea que dejó al próximo Congreso internacional, adoptar las unidades de fuerza magnetomotriz, reluctancia y flujo en el sistema electromagnético práctico, y una unidad de inducción híbrida, igual a la unidad práctica de íflujo por centímetro cuadrado. 7.
Congreso
de
Chicago,
1893.
Unidades
Unidades
internacionales.
magnéticas.
En el tercer Congreso internacional realizado en Francíori en 1891, no oficial, se recomendaron, sin éxito, los nombres de gauss para
la unidad
de campo
y de
weber
para
la unidad
de flujo, las
dos
en el sistema electromagnético práctico. En 1892 se realizó en Edimburgo una Conferencia preparatoria del cuarto Congreso internacional, oficial, que se reunió en Chicago en 1893. Este Congreso ratificó las unidades prácticas definidas en
París
en
1889,
pero
reemplazando
por
henry
el
nombre
de
cua-
drante, que se había dado a la unidad de coeficiente de inducción; sustituyó además las unidades “legales”, cuyo plazo estaba por terminarse, II 5,6,7
por
las
unidades
"internacionales”. — 72—
Se
definió
el ohm
internacional como 10%? U.E.M.C.G.S.; su representación (y no su definición) es la resistencia ofrecida a una corriente constante por
una columna de Hg a 0%C, de 106,3 cm de longitud, de sección uniforme y de 14,4521 g de masa. Obsérvese el aumento de precisión en la longitud (106,3 en lugar de 106), debido a que el progreso en la medida absoluta del ohm fué grande entre 1881 y 1893. Como la columna de fig es una representación, y no una ción, está sujeta a las variaciones consecutivas al progreso
medidas absolutas. En forma análoga se definió el ampere 107 U.E.M.C.G.S. Su representación es menos ohm:
se dice que el ampere
definide las
internacional como precisa que la del
está suficientemenie
bien representado,
para las necesidades de la práctica, por la corriente constante que atravesando una solución de NO* Ag en el agua deposita, de acuerdo con especificaciones anexas, 0,001118 g de plata por segundo. Las reservas en la definición indican que los autores no la consi-
deraban definitiva, aunque la juzgaban la mejor para esa época. Las otras unidades eléctricas internacionales se deducen del ohm y del ampere internacionales; pero para las necesidades de la práctica se indicó una representación material de la d.d.p. bajo la forma
de
la f.e.m.
e
de
la pila
Latimer
Clark,
construída
de
acuerdo con especificaciones anexas: se fijó e = 1,434 V a 15%C. Es, en efecto, mucho más cómodo disponer de una pila y una resistencia patrones que de una resistencia y una cuba electrolítica, porque la electrolisis es una operación larga y delicada. El Congreso se preocupó igualmente de las unidades magnéticas. Ya anteriormente se habían formulado objeciones contra el empleo de las unidades magnéticas en el sistema electromagnético práctico: eran demasiado incómodas. Además, los observatorios magnéticos, fundados hacia 1850, y que primero habían usado el sistema M.M.S., utilizaron a partir de
1875 el sistema
C.G.S. El Con-
greso recomendó pues la adopción de las unidades magnéticas del sistema E.M.C.G.S., sin atribuirles nombres por el momento. Hasta
esa época sólo se habían dina y erg, derivados 8. Como
Unidades
magnéticas.
los técnicos
dades magnéticas,
dado
nombres
a dos unidades
C.G.S.,
del griego.
seguían
el Comité
Congreso reclamando
de Unidades — 73—
de
París,
1900.
nombres
y Patrones
para
las uni-
del A.LE.E., II 7,8
de acuerdo
servar
con la recomendación
las unidades
del Congreso
magnéticas
E.M.C.G.S.,
de Chicago
propuso,
de con-
a título pro-
visorio: unidad
de flujo: weber
unidad de f.m.m.: gilbert, igual a f7Q ampere espira T
unidad de reluctancia: oersted unidad de inducción: gauss Hay que observar que la atribución de nombres las unidades C.G.S. venía a crear cierta confusión, ese momento sólo se habían dado tales nombres a prácticas: la intención de los fundodores había sido las unidades prácticas de las C.G.S. Por otra parte, de un solo país, y no internacional, de dar el nombre a una
unidad
determinada,
corría
ción de otro país que podía aplicado,
aduciendo
por
el riesgo
estimar
ejemplo
que
que
de
de sabios a porque hasta las unidades distinguir así la iniciativa de un sabio
provocar
ese nombre
aquel
sabio
la oposi-
estaba
había
mal
trabajado
en temas de poca relación con la magnitud a cuya unidad se quería dar su nombre. Y esto no dejó de producirse: hubo oposición más tarde al nombre de oersted dado a la unidad de reluctancia, porque Uersted no se ocupó de los circuitos magnéticos, y se dió su nombre
a la unidad
de
campo,
a causa
de
su
descubrimiento
fundamental. Un lector no advertido encontrarú pues, con gran confusión de su parte, que el mismo nombre designa unidades de magnitudes distintas en diferentes publicaciones. Probablemente esta si-
tuación no se hubiese producido con y del latín, porque la objeción citada de ser. Por su parte Lodge recomendó trones eléctricos de la B. A., llamar flujo, gauss a la unidad E.M.C.G.S. práctica de coeficiente de inducción)
nombres derivados del griego más arriba perdería su razón en 1895, en el Comité de paweber a 10% U.E.M.C.G.S. de de f.m.m. y henry (ya unidad a 10” U.E.M.C.G.S. de permean-
Prcid.
En Francia, en el Congreso de Carthage (1896), Blondel propuso un
sistema
coherente
de
unidades
magnéticas
con
el
centimetro
como unidad de longitud, resultado que obtuvo haciendo la unidad de permeabilidad igual a 10% U.E.M.C.G.S.; la unidad de flujo sería el weber
(0 maxwell),
ducción,
el weber
I 8
igual
a
10% U.E.M.C.G.S.
(0 maxwell)
por
centímetro
— 74 —
y la unidad
cuadrado,
de in-
El autor
propuso
una
serie
de nombres
néticas. Las proposiciones pitalier,
fueron
para
las principales
del A.LE.E., publicadas
interpretadas
por
éste
de
la
unidades
mag-
en Francia por HZossiguiente
mcanera:
campo magnético: gauss inducción magnética: gauss flujo de fuerza
magnética:
fuerza magnetomotriz: reluctancia: oersted El nombre
de gauss,
weber
gilbert
dado
en Estados
Unidos
sólo
a la unidad
de inducción, se atribuyó también a la unidad de campo magnético. ¿De quién fué la falta? ¿De los qutores norteamericanos, que no
se
habrían
expresado
con
suficiente
claridad,
o
del
traductor
francés? Las discusiones sobre este tema han sido numerosas; es probable que el error de traducción se debiese no solamente a las diferencias de terminología sino, sobre todo, a la concepción de los fenómenos magnéticos, diferente en Francia y en los países anglo-sajones, y a la idea, general en aquella época, de que la permeabilidad
,
era
un
número
puro.
Fué la terminología traducida por Mospitalier la adoptada por el Congreso no oficial de Ginebra en 1896; se agregó: "En el sistema electromagnético, estas cos cantidades físicas relación B — u H. con la hipótesis fundamental de
“ tienen por que u es un
número abstracto, una simple relación numérica. En tanto que no se hayan determinado las dimensiones absoluias de u en función de LMT será lógico y racional medir 77 y % utilizando la misma unidad”. El quinto Congreso internacional, que se realizó en París en 1900, adoptó el nombre de gauss para cesignar a la unidad E.M.C.G.S. de campo de fuerza magnética H , y el de maxwell para la de flujo magnético. El malentendido continuaba: los delegados
del A.ILE.E. partieron convencidos de que el nombre de gauss había sido atribuido a la unidad de inducción B, y en Estados Unidos se siguió utilizando el gilbert/cm como unidad de campo H . Observemos también que a partir de 1896 se empleó en las medidas del magnetismo
ción de
—
terrestre la unidad