無限小解析1・2 (Calcul Infinitesimal)

Table of contents :
まえがき
目次1
目次2
記号
第0章　序
1. 集合と関数
2. 実数と複素数
3. 実1変数の連続関数
4. 導関数と原始関数の概念の拡張
5. 平面の位相
第I章　上および下からの評価
1. 基本操作
2. 級数と極限
3. 平均値の定理
4. コーシー＝シュワルツの不等式
問題
第Il章　方程式の根の近似
1. 問題の位置づけ
2. 補間法（はさみうち法）
3. 反復法による x=g(x) の解
4. ニュートンの方法
付録. 多項式の根の分離
問題
第III章　漸近展開
1. 序
2. 基準にする関数
3. 比較の関係
4. 比較関係の計算法
5. Eにおける順序関係
6. 漸近展開
7. 漸近展開の計算法
8. 陰関数の漸近展開
9. 広義積分の収束
10. 原始関数の漸近展開
11. 級数の収束および部分和の漸近展開
付録. ニュートンの多項式とピュイズー(Puiseux) の展開
問題
第IV章　パラメータを含んだ積分
1. 問題提起
2. ラブラスの方法
3. オイラー積分
4. 定常状態の方法
問題
第V章　一様近似
1. 2つの関数の距離
2. 一様収束と点収束
3. 一様収束列の性質
4. 正則化
5. ワイエルシュトラスの近似定理
付録. ベルンシュタインの多項式
問題
第VI章　解析関数
1. テイラー級数
2. 整級数
3. 孤立零点の原理
4. 整級数のある整級数への代入
5. 解析関数
6. 解析関数の導関数と原始関数
7. 解析接続の原理
8. 解析関数の例
9. 最大値の原理
9.4 代数学の基本定理
問題
第VII章　コーシーの理論
1. 道と閉じた道
2. ある道に沿っての積分
3. 解析関数の原始関数の問題
4. 道のホモトピーと閉じた道のホモトピー．単一連結な領域
5. コーシーの定理
6. 閉じた道に関する1点の指数
7. コーシーの公式
8. コーシーの不等式；リウヴィルの定理
9. コーシーの条件
10. ワイエルシュトラスの収束定理
問題
第VIII章　解析関数の特異点；留数
1. 解析接続と特異性
2. 孤立特異点，ローラン級数
3. 孤立特異点の近傍における解析関数の研究
4. 留数定理
5. 留数定理の積分計算への応用
6. 留数定理の方程式の解への応用
7. 解析関数の逆関数：I, 局所的問題
8. 解析関数の逆関数：II, 大域的問題
9. 対数関数
10. 積分計算への応用
11. 無限乗積への応用
問題
第IX章　解析関数の近似問題への応用
1. 鞍部点法
2. 鞍部点法の応用例
3. オイラー展開
4. 複素領域におけるガンマ関教
5. ベルヌイの数と多項式
6. ベルヌイの多項式の三角級数展開
7. オイラー＝マクローリンの公式
8. フーリエ級数と三角多項式による近似
9. 2乗平均近似とフーリエ級数
10. フーリエ係数と正則性
付録. ルンゲ現象
問題
第X章　等角写像
1. 等角な写像の特徴づけ
2. 等角写像の諸問題
3. 1次分数変換
4. 等角写像の例
5. シュワルツ＝クリストッフェルの変換
6. 鏡像の原理
7. 等角写像と楕円関数
問題
第XI章　微分方程式
1. 解と近似解
2. 近似解の比較
3. コーシー＝リプシッツの方法
4. 連立微分方程式および高階微分方程式への拡張
5. 複素領域における微分方程式
6. 初期条件およびパラメータの解への影響
問題
第XII章　線形微分方程式
1. 線形微分方程式の解の存在領域
2. 実領域における連立線形微分方程式のレゾルベント行列
3. 定係数の線形微分方程式
4. 周期係数の線形微分方程式
5. 複素領域における線形微分方程式
問題
第XIII章　連立線形微分方程式の摂動
1. 微分方程式の解の安定性
2. ある線形方程式に近い方程式の解の安定性
3. 条件つき安定性
4. 2変数自励系の臨界点
問題
第XIV章　2階線形微分方程式
1. 主な問題
2. 基本的事項
3. リウヴィルの変換
4. 解の漸近展開
5. 複素領域への拡張
6. パラメータを含む2階方程式
7. 振動定理と比較定理
8. 端点における境界条件
9. 周期係数をもつ2階線形方程式
問題
第XV章　ベッセル関数
1. パラメータを含む積分による線形微分方程式の解法
2. ハンケル関数
3. ハンケル関数の解析接続と漸近展開
4. ベッセル関数とノイマン関数
5. 整数次のベッセル関数
問題
参考文献
索引1
索引2
訳者あとがき

Citation preview

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丸山滋弥 麻 約格次郎

訳

｀ 束京図書椋式会社

デイユドネ

無限小解析

ー 丸 山 滋 弥 麻嶋格次郎

訳

東京図書株式会社

Jean Dieudonne

CALCUL INFINITESIMAL ter edition © HERMANN, 1968 L'edition originale de calcul infinitesimal a ete publiee en France sous le titre "Calcul infinitesimal" par Hermann, editeurs des sciences et des arts, Paris.

まえがき

《今日の学生はもはや解析を知らない》．これは，物理学者や工学者から現場の数学教育 者に向ってよくいわれる訴えであるるが，その正当性ほ認めざるをえない．理学部の 2年 あるいは 3 年の学生が， 変数変換 1つ ， 部分積分 1つに十数分も苦労しているのをみる と，まったくいらいらさせられるましてその学生が（往々そうなのだが）自分の無知， 不器用を，どんな意味かもよく知らない，きざな役にもたたない隠語で飾ろうとするとき には． 《古典数学》に対置されるような《現代数学》などないということ，

あるのは，

その深

部を損うことなく今日に続き，何よりもまず，先人の残した偉大な問題の解決に没頭して いる今の数学であるということ，これは倦きずに繰り返されねばならないたとえ数学が 問題を解決するために数多くの新しい概念の発展を導き入れたとしても，それこそが，-い わぼ問題の核心に光を集中し，無駄な細部を取り除くことによって，

5 0年前には近づくこ

ともできぬと思われた領域に大きく踏み入れることを許したのである．抽象を愛するがゆ えに抽象を求める数学者は，たいてい凡庸である． この抽象化の傾向の無視できない結果の 1つは，これらの新しい概念が，数学の基礎教 育において（とくに代数と幾何の）愚行で混乱した変な伝統を作りだし，無益どころか有 課程の再編成）であった． 害でさえある発展を許した《大掃除》 C

しかし，いうまでもな

く，《古典》とよぼれる数学の実体は傷つくことなく残っており，

現代解析学の基礎が，

ここ 3世紀のあいだに数学者たちが鍛え上げた驚異的な道具である無限小解析にあること に変わりはない最新の関数解析に一気にとびこもうとしてこれを無視するのは，砂上に 屋を架すこと，不毛と無駄話に直行することである． この年まで，

この暗礁を避けることは困難であった．

一方では中等教育が 80年来官僚

Jによる沈思黙想にゆだねら の手によって生きた数学から切りはなされ，まった＜彼のヘ '

れてきたために，他方では現代解析学の教育が研究のために効果あるように設備され，そ の目的から離れるわけにほいかなかった学部で行なわれたため，学生は，古典的な無限小

: I l

解析を学びその技術を普通に使いこなすようになるための《予備教育》の 1年間をすごさ なければならなかった．経験が急速にそれでは十分でないことを明らかにした．そして， 《物理学のための数学的技術》という名のもとに導入された一時しのぎも，有効さより厳密 さを念頭におく数学者によって講義されることが多く，多くの学部で難かしさを多少やわ らげたにすぎぬ，計算法より原理に力点をおく抽象解析の教育にしかなっていなかった． 新しい教育課程案は，その《第 1期間》を 2年にわたらせるものだが，均衡を回復し， 良心的学生に確実な技術的基礎を与え，進んでは，矮小な模倣に堕することなしに抽象的 概念に同化することを可能にするはずのものである．さいわいこの案のなかに，すなわち その第 2年に，抽象的準備の多くを要さず理解することができる，またそうでなければな らない，古典解析の本質的部分，つまり解析関数と微分方程式の理論が含まれている．本 書はまず何よりも，この基本技術を詳述することに充てられている（第 1期間の第 1学年 で教授される微分積分法の基礎知識を仮定して）． 現代解析学を知ろうとすれば，そのまえに《解析を知っている》ことが必要である．だ が《解析する》とは何か．《解析》には， 混同しやすい 2つの形がある. 1つは《代数解 析》で，その性格は（簡単に過ぎるが）等式の成立を導くことにある． この典型は，方程 式の根の公式（アソグロ・サクソン語で《閉じた公式》）で，これがある種の思い違いを， 数学を使う人々に与える．数学が解の公式の自動供給機であることを要求する工学者や物 理学者に用事のなかったことが何回あっただろう！ この種の関係は，解析学にも存在し，それはしばしば重要でもある． フーリニ級数への展開がその典型例である．

コーシーの公式，

しかし私の考えでは，それは無限小解析の本

質ではない物理学者たちが，研究中の関数の数値計算を可能にしないような定理には興 味がないと主張するのももっともなところがある．この条件をみたしていない純粋数学の 《存在定理》に，彼らは用がない

しかし数値計算のいう近似において，ある実数が《既

知》となるのはそれに近づく値の計算方法がわかったときに限る（その差を数学者はいく らでも小さくしたいと思い，

使う側はずっと手前で満足する）．

第 1期間の数学教育が，

将来，物理学者や化学者よりも多く数学者に向けられることを十分念頭におくとき，それ だけ本書が，解析学のこの様相に力点をおいていることを理解してもらえるであろう．い わゆる数値解析は，専門教育の対象であって，そのための本を書くことが目的でないが， 数値計算に適合しない概念は導入しないこと，各段階で，必要が生じたらそのような計算 を行ないうるように，理論上の手段を示しておくことに留意した．

まえがき

純粋数学者は，

i

無限小解析のこの側面を《地上から地上》 C 程度が低い）だと軽蔑する

罪を犯すかも知れない しかし最も抽象的な思想においてさえ欠くことのできない《解析 学の七‘ノス》を手に入れるためには，

《大きいもの》と《小さいもの》，

《優越するもの》

と《無視できるもの》を区別することを知らねばならないいいかえれば，本書に現われ ているような無限小解析では，等式より不等式の取り扱いの修得が大切である．要する に，これは 3つの言葉にまとめられる． 上から評価する

下から評価する

近似する

この観点をとるからといって，便宜的に厳密さを犠牲にしたり，無限小解析を処方箋の 集りにしてしまおうとしているのではないわれわれは，考える人問を養成すべきで，ロ ボットを作りだすべきではない学生が自分のしていることを理解するように導き，機械 的方法を教えこむことを避けるべきである．

《解析学のセンス》をもつということは，無

限小解析の演算についての《直観》を手に入れることで，それは具体的例を通してそれを 使っていくことでしか獲得できないそして，確かにこの段階に達しえたかどうかをため すには，用いた概念に正しい定義が下せるか，正しい証明にそれを役立てることができる かを調べてみることである．それは，要するに《直観に形を与える》ことだからである． この点に関して，物理学者がよく，純粋数学者はいつでもすべてを証明しようとして， 《明らかな》結論さえ《重箱のすみをつつくように》論証しようとするといって冷かす． 彼らはつねに間違っているわけではない．初心者は，正しいと認められる結果は，めんど

ぅt 砂証明で混乱させられるぐらいなら，

それを避けて承認した方がよい．そして，その

努力を新しい《明らか》ではない概念に早く同化することに残しておくのがよいこの故 に，私は解析の基礎の定理のいくつかを 2)' 証明なしで認めることをためらわなかった． また，はじめての読者は，行間を詰めて印刷してある多少長い複雑な証明はとばして読む ことをすすめる． しかしここに，物理学者たちが危険をおかす場がある．すなわち，全然そうでないのに 《明らか》だと思いこむ傾向があるとき，あるいはわれわれの《直観》はまった＜未発達 な道具であること，ときには手ひどい誤りをさせることがあることを忘れるときである． 論証なしの結論が誤りをおかす例は，多く信じられているのと反対に，連続だけれど導関 数のない関数のような，

非常に《奇怪》なものを探す必要などないのである．

《ルソゲの

これは，結局，公理の数の増加をきたす．このイソフレに反対するのは論理学者だけである． 2) これらはすべて，私著『現代解析の基礎』（東京図書）に証明してある． 本書ではこれを [ F . A]で引用する．

I)

＞ . 1

現象》（第1 X 章，付録）が示すごとく，

古典的な多項式による補間式が，これ以上望みえな

いほど《性質のよい》解析関数に対してさえ，まったく発散してしまうことがある．また

l z l m

n > m。 , p> 1ならば l v n + i l+ … +lvn+pl¾.€ である． 他方，差 S 如ー S n。Vま V k の 1< k< moかつ Kキ 炉 ( h ) , h< n。なる K にわたる和に等しいしたがってこ の和ほ h> n oをみたす U h のいくつかの和である．よって I s : r i。 一S n。 l n oかつ n> m。のとき， 察でわかるから， C

l s n- S n。 IO で凸である． -l o gx , xP (p~1),

( 1+x P ) 1 1 P (p~1)

このことを用い， a )を利用して幾何乎均と算術平均の不等式（問題 5) の別証明を行なえ． またそれを使って，次の 2つの不等式を証明せよ．

X j ,Yj~0, p> 1 , q= p/(p-1) のとき

） 吋1lp(~Yj)11q

~XjYパ(~ Xj ,yj~0, p~1 のとき

（ヘルダーの不等式）

翠 (Y） 戸P¾(~(Xj +Yj)11py

(~xyP Y+

C1)

（ミソコフスキーの不等式）

1. : _x11P)P を考えることによって， 同様に p>l のとき O 0をみたしながら

かわるときの上限であることに注意せよ．

8 ) X j ,Yj が >0 で， O X 2> … >X n ,

Y 1> Y 2> .・>Yn

X 1>Y i ふ十 X 2>Yi+Y 2 ふ＋ゃ＋…十 Xn-1~Y1 十四＋…十 y た 1

ふ ＋ ゃ ＋ … 十 Xn=Y 1+ Y 2+ … +Yn をみたすものとする．微分可能で凸な関数 J (x) に対して ! ( ふ ） +!(ゃ） +・・・+J(xn)~f(yi) +f ( Y 2 )+ … +f(Yn)

（問題 9 を使って， Z1¾Z2¾ … ¾Zn ならば X1f'(zり十ふJ'(z2)

であることを示せ．

十…十ふf'(zn)~Yd'(zi)

+ Yd'(z2)+ … +Y n f ' ( z n ) を証明することに帰着させ

ょ . !'が増加であることを使え．） 1 1 ) p> 1 とする .D を Rn の部分集合で，条件 Xj~0 (1¾j¾n), xf> x『 + xf十・・・+x~ によって定義されるものとする. f(x)=(xf- x『 - … _x~)11p とおく とき， x,y が D 内にあれば

J(x+ y)~J(x) + f(y) n

を示せ．（ヘルダーの不等式によって， J(x) はミ怜jZj の，条件 Z1~1, Zj~0 (2¾ j=l

j¾n), z f+…十 zi¾zr - 1( q=p/(p- 1 ) ) のもとでの下限であることを示せ．） 1 2 ) aj,bj>O(l¾j¾n) が

・ b 0

f ( t ) d t と比較せよ．ただし G(x)

x

Wj,aj を実で

1; ; ? :w1; ; ? :w2; ; ? :… ; ; ? :wn; ; ? ,0 ,

a1; ; ? :a2; ; ? :… ; ; ? ,a n; ; ? ,0

とし， h (x) を区間 [ O ,a』で凸な微分可能関数とする．

h ( w 1 a 1- w 2 a 2十・・・＋（ー l ) n 1叩 a n ) (-1)nwn)h(O) +w1h(a1)-w2h(a2)+…+(-1)n-lwnh(an)

~(1 —刑＋匹—…+

を示せ（問題 1 3において， f ( t )= h ' ( t ) とおき， g ( t ) を区分的に定数とおけ）．

1 5 ) 空問かにおいて，

n

2 J

非退化な正値ニルミート形式 ( xly)=

XjJj

C エルミー

j=l

ト内積）を考える．以下で考える直交性，正規直交基底は，つねにこの内積に関するもの とする．

a ) A を複素成分の n 次正方行列とする．そのときユニタリ行列 U で ， UAU-1の対 角線の下側の成分が 0だけとなるようなものが存在することを示せ．（これは， A に対応 す る か の 自 己 準 同 形 g が，適当な enの正規直交基底に関して，条件にいわれたよう な形の行列をもつということと同じである. g の固有ベクトルを考え， nについての帰納 法を用いよ．）

b) H を，正値エルミート行列 A*A の正の平方根行列とするとき， A = U Hとなる ようなユニタリ行列 U が存在することを示せ. (gおよび hを ， A および H に対応す る en の自己準同形とするとき，

g 1 ( 0 )= h 1 ( 0 ) であること，

る部分空間とするとき，すべての

X EV

Vを g 1 ( 0 ) に直交す

に対して ( g(x)lg(x))= ( h ( x ) l h ( x ) ) である

ことを示せ.)

c ) H1,H2を n 次の正値ニルミート行列とする. Tr(H1H2));0 な る こ と を 示 せ （関係 Tr(U AU-1)= Tr(A) を用いて H1が対角行列の場合に帰着させよ）．

これから，

0で次の性質をもつものがあるとする．

1°lf(xo)I~c/2入 ° 2

[ x 0- c ,X o+c ]CI 内の任意の点 x,y に対して

( 4 . 2 . 1 )

l f ' C x )I~1/入

( 4 . 2 . 2 )

l f ' C x )-f ' ( y )I¾1;2入

3 6

第I I章

方程式の根の近似

この条件のもとで，

。 +c] の中に， 方程式 f(x)=0 の根は 1つかつた { Z n }n ; , Oを [ x o-c ,x。 +c] 内にある任意の点列とするとき，

区間 [x。— C, X

だ 1つ存在する．さらに，

この区間内の点列 { x n }で

X n + l=Xnー

( 4 . 2 . 3 )

f(xn) f ' C z n )

であるようなものが定義でき，これはどoに収束する． なぜなら，区間 I 内の 3点 x,y,z で y 2 ,f"(x)= 2

. / Nと 1 / 1 0以下の差しかない X oから出発し， Xn を である．そこで . x正

1

=½(ふ＋岱）

38

第I I章方程式の根の近似

で定義していくと， Xn~ま . / Nの，誤差 2・ 1 Q . . . : 2 n 以下の近似値を与える．

付

録

多項式の根の分離 この付録では，

n

1つの複素変数の，

複素数係数の多項式を考える．

そのような多項式

I T(z- Zk), cキ 0と書けることは既知であろう（代数学の基本定理，第VI k=l

が n次のとき c

章 ， 9 .4 ) . Zk が同じこという値になるような添数 K の個数をこの多項式の根この重複 度という．ある集合 E c C の中にある根の個数という場合，ことわらなくても《重複度 を数える》ものとする．すなわち ZkEE なる添数 K の個数である．

1 . 2つの多項式の終結式 ( 1 .1 ) f ( z )= a a 1 z n 1+ … +an g(z)= bozm+ b 1 z m 1十・・・十 bm

。 が 十

を次数 n; ; ? ;1 ,m ; ; ? ;1で a。キ 0 ,b。キ 0なる 2つの多項式とする .fと g が共通根をも つためにほ， 0でない 2つの多項式 h ( z ) ,k ( z ) ,deg(h)¾m - 1 ,deg(k)¾n - 1で ， 恒等式 ( 1 .2 )

h ( z ) f ( z )= k(z)g(z)

をみたすようなものが存在することが必要かつ十分である． なんとなれぼ，

fと g が少なくとも 1つの共通根をもつことと， 0でない 1次以上の

多 項 式 帳z )で

f ( z )= < p ( z ) f 1 ( z ) ,

g(z)= < p ( z ) g 1 ( z ) そこで h ( z )= g 1 ( z ) , k(z)

をみたすようなものが存在することとは同じだからである．

=!1(z) とおけば

( 1 . 2 ) がみたされる．逆に，

と g がたがいに素ならば

恒等式 ( 1 . 2 ) が成り立つとき，

I v ま k を割り切らなければならない

もし

f

し か し こ れ は Kキ 0

で ， d eg(k)Oの中に存在するものの個数を，この多項式 次数):,1の多項式の根で，半平面 . に標準的に同伴しているニルミート形式の標準形の正項の数によって一般的に決定する， エルミートの方法を述べよう．多項式

f ( z )=a。 +a1z+…+anzn

( 2 . 1 ) を考え， これに多項式

f*(z)= 摩 =ii。+叩＋…+l i n z n

( 2 . 2 ) を同伴させる．

もし

I T(z- Zk)

I(z)=an

n

なら，

I TCz- Zk) で， k=l

J*(z)=l i n

k=l

ことは，

簡単に!*の根は

この

'について対称 fの根の共役であるといい表わせる． zと z

な多項式

( 2 . 3 )

n 1n 1 2JA!ik丑z ' k

こ

K(f;z ,z ' )=f -Cz)f*Cz')-!Cz')f*Cz)＝

z-z '

h=O k=O

を作る．

f * ( z ) f ( z ' )-f * ( z ' ) f ( z ) =-K(f;z ,z ' )

K(f;z ,z ' )=-

z —ぇ’

となることは明らかで， この関係から， 0から n-1 までの指数 h,kについて

ゴhk=-Ahk=-Akh

( 2 . 4 ) となる． したがって

n 1n 1

( 2 . 5 )

1

H(f;u o ,U1,， … Un-D =2 j2j戸

hk叫

k

h=O k=O

は ， n 変数のニルミート形式である． 次に， r+s=n なる 2つの多項式

( 2 .6 )

f 1 ( z )=ho+h 1 z十・・・十 h rが，

! 2 C z )=C o+ c 1 z+…+C s Z 8

の積に対するニルミート形式

H ( f i / 2;u o ,u 1 ,・ ・ ・ ，u た i ) を計算する．

4 0

第I I章 方 程 式 の 根 の 近 似

K ( f i f 2;z ,z ' )= f2(z)ff(z')K(Ji;z ,z ' )+ ft(z)f1Cz')K(f2;z ,z ' ) であることは容易にわかる． r 1r 1 K(/1;z ,z ' )= Bhk丑z ' k , h = Ok = O

2 J2 J

s 1s 1 chkZhz1k K(/2;z ,z ' )= h = Ok = O

L J L J

とおくと

r 1r 1 K(/i/2;z ,z ' )= エ 2 _ jBhk(c。丑+c1zh+1+ … +Cszh+s)(c。 臼 ＋ … 十 ふzlk+s) h = Ok = O s 1s 1 j図 Chk(b。丑＋…＋ふzh+r)(b。臼＋…十 brz'k+r) +2 h = Ok = O

が得られるから，次の等式が成立する． ( 2 .7 ) H(/i/2;u。 ,U 1 ,… ，U nー1 )= H(f1;V 。 ,V 1 ,… ， v←i )+ H(/2;w。 ,… ， Wぃ） ただし ( 2 . 8 )

( 2 . 9 )

V h= C 。叩+C 1 U加 1+… + c 氾 如s

。

Wk=l JUk+b直 k + l十・・・十 b r U k + r

この最後の 2つの関係と ( 1 . 4 ) から，

( h= 0 ,1 ,・ ・ ・ ,r- 1 ) (k= 0 ,1 ,… ， s- 1 ) .

n=r+s個の 1 次形式 V h ,Wk の ，

る係数の作る行列の行列式は，終結式 R ( f f , / 2 )にほかならない．

Uj

に関す

したがって，これらの

1次形式は， ft と ! 2 とが共通根をもたぬとき， 1次独立となる. f = 八 ! 2が実根も，ま たたがいに共役な根の組ももたないとき，確かにそうなっている．

=='—: だから

一方，任意のこ E Cに 対 し て 収 ( z )= zーことおくと K ( < p r ,;z ,z ' ) 1 収； U o )=; ( ' ー も u。 u ・。 H( n

I T

さて， f ( z )= an ( z- Z k ) のとき，いまの関係と ( 2 .7 ) を繰り返し使って k = l n

( 2 .1 0 ) H(f;u o ,U 1 ,…,Uた i )= J a n心j -L(Zk-Z k ) F k ( u o ,… ， uた i ) F k ( U o ,…,uい） k = l ただし Fk ( k=1 ,2 ,… ， n) は Uj についての ( n個の） 1次形式である． 上に述べた注

fが実根ももたず，たがいに共役な根の組ももたぬとき Fk は 1次独立である． 反対に， fが実根またはたがいに共役な 2根の組をもつとする これは fと!*とが たがいに素ではないということと同じである. g を fと!*との最大公約式とし，!=

意から，

g f 1 とおく. g*= g であるから K(g;z ,z ' )= 0 となり，したがって ( 2 .7 ) から， deg(g)=r とすると ( 2 .1 1 )

H(f;u o ,U 1 ,… ， uた i )= H(/1;w。 ,W i ,… ， Wn-rー 1 )

となる. n - r 個の 1次形式 W o ,W 1 ,… ， Wn-rー1v ま 1次独立である． 以上の注意と，、ンルベスターの慣性法則から次の定理が得られる．

( 2 .1 2 )

g(z) を多項式 f(z)と f*(z) との最大公約式とする.rを g の次数とし，

! =g f 1 とおく．そのとき，エルミート形式の階数は n-rに等しく，

その符号数を

+q= n-r), p は f1(z)= 0 の半平面 Yz> 0内にある

( p , q ) とすれば（ただし， p

4 1

付 録

根の個数， q はこの方程式の半乎面

/z0 内にあるためにはエルミ

ート形式 H(f) が正値であることが必要かつ十分である． 変数変換

z'=i zを行なえば，多項式 fの，半平面例z>O内にある根の個数につい

て同じような結果を導くことができる．

3 . 実係数の多項式の，ある区間内にある根の個数 実係数の多項式 を

fを考える．任意の実数

t に対して，

X

>t なる fの実根

X

の個数

fに同伴する 2次形式の標準形の正項の数によって決めるエルミートの方法を述べる．

実係数の多項式

( 3 .1 )

f(x)= a。+a 1 X+ … +anxn

を考え，それに多項式

( 3 .2 )

f ・ ( x )= (x- t ) f ' ( x )

を同伴させる.

X

とx ' についての対称な多項式

( x ) f ・ ( x ' )-f(xりJ C x ) L(f;x ,ぶ）＝ f

( 3 . 3 )

x-x'

を考える. Akh= Ahk である．

n 1n 1 ,U n 1 )=ミミ AhkU訊 Q(f;U o ,U 1 ,… h = Ok = O は n個の実変数の 2次形式である． ( 3 .5 )

h = Ok = O

したがって

( 3 .4 )

次に， r+s=n のとき，

n 1n 1

＝ミ 2jAhk炒 x'k K

2つの実係数多項式

f 1 ( x )= b。+b1x+… +b r双 ，

! 2 ( x )=Co+C 1 X+ … +C s炉

の積に対応する形式

QC!ふ； u ， 。U 1 ,… ，U n 1 ) を考える．容易に

L(f1八 ；x ,x ' )= f2(x)f氏x')L(f1;x ,x ' )+ f1(x)f1 C x ' ) L C f 2 ;x ,x ' ) が成立することがわかり，

( 3 .6 )

2節と同様に

QC!山 ；恥 ，ぃ ，・ ・ ・ ,U n )= Q(f1;V ， 。・ ・ ，V r 1 )+ Q(h;W o ,・ ・ , ・Wい）．

ただし

( 3 . 7 )

V h= C o叩 + C 1 Uぃ + . . .+ C 氾h + s

( 3 .8 )

Wk=b。 Uk+ b 1 U k + 1+ … +b r u炉 r

( h= 0 ,1 ,・ ， r- 1 )

Ck=, o1 ,…,s-

前と同様に，これらの n個の 1次形式の係数の行列の行列式は

1 ) . J i ,丘のシルベスターの

終結式で， したがって J 1 , J 2が共通根をもたないとき，これらの形式は 1次独立である． とくに

f=!1八が重根をもたないときにはそうである．

4 2

第I I章 方 程 式 の 根 の 近 似

fが重根をもたない場合に制限する．

任意のど E Rに対して限 ( x )=x -! ; とおく

と L軍； x , x ' )=ど一 tとなり， したがって Q軍； u o )=( ! ; ;- t ) u も ま た aER,~E

R,~ キ 0 のとき，如， ~(x) =(x- a ) 2十腎とおくと QC如，~; U o ,い ） =2(a- t )⑮ +~りU 6 ' -4(針十 t ( a- t ) ) u叩+2(a- t ) u r

>0. よってこの 2次形式の符号数は ( 1 ,1 ) である .Jを 1次因数および共役な複素根をもつ 2次因数との積に分解することが

であり，その判別式 16~2(固+ ( a- t )りはつねに

必ずできるから， ( 3 . 6 ) を繰り返し用い，上に注意した 1次形式 ( 3 . 7 ) ,( 3 . 8 ) の 1次独 立性を考えて，次の定理が得られる．

( 3 . 9 )

fを実係数で重根をもたない多項式とし，

tv ま fの根ではないとすると， 2

次形式 Q(J) は階数が n で ， pを > tなる実根の個数， q を を

fの虚根の個数とすると，符号数は

0 で

r n ; ; , :l a 1 l r n l+l a叶r n 2+…+l a正 1 l r+l a n l ならば r。 ¾r であることを示せ．

b)

{袖d0 の 列 で ｀ 「 ＝ ： と す る ． r。 ¾sup(入糾 akl)lik

1 , ; ; k , ; ; n

を示せ Ca)を用いよ）． c ) a ) から，すべての係数 akが キ 0 のとき次を導け．

r。 ¾sup(21a叶， 2J 忍 J. … ，

記,I I訓）

2 J

d) a ) から

+!a2- a1!+…+Ian- an 1 !+! a叶

r。 ~!a1 - 1

ー

を導け（多項式 ( z- 1 ) / ( z ) を考えよ）． これから ajがみな実で > 0ならば

問 題

4 3

J

r。 ~sup(佑，生…正五 a1''an-2'aた

なることを示せ．

2 ) a j( 0< j< n ) が実で， O1 とするとき f ( z )= a。+a 1 z+… +anzn の根に対し，吸zOで J z J< ( 1+ Jl+ 4M)/2 か，であることを示せ （釦 >0 のとき， Jan+a n i / z l> 1に注意して l f ( z ) / z門を下から評価せよ）．

3 )f ( z ) を次数が n>l で ，

その根がすべて半乎面 .fz>Oに含まれるような多項

式とする. f ' ( z ) の根もこの半乎面に含まれていることを示せ（対数微分 !'Ifを考え， 帰謬法を用いよ）．

4 )f ( z ) を実係数の多項式とする. f ' ( z )の根は実であるか，または f ( z )の共役な虚 根を結ぶ線分を直径とする円の和集合に含まれる（問題 3と同じように帰謬法を用いよ）．

5 )f ( z )= a o z n+ a 1 z n 1+ … +an を複素係数の多項式とし， a j= 切 +i初 と お く．吐初は実．

P(z)=a。 ザ ＋ 叩 n 1十 … 十 む Q(z)=~o ザ十和 zn-1

十…＋加

とおく．もし f ( z ) の根がすべて半乎面 . f z> 0に含まれるならば P(z) のすべての根，

Q(z) のすべての根が実である ( zが P ( z ) または Q(z) の根ならば， ＝士( P ( z )- i Q ( z ) ) , さらに

f ( z )= 土 f ( z ) に注意し，

P(z)+ i Q ( z )

帰謬法を使う）．

o , ! 1 ,…，介を区間 [ a ,b ] で連続な r+l 個の実数値関数とする・ 6 ) f=f

{h}o d . ; ; r

がスチュルムの列であるとほ，次の条件をみたすときにいう．

1 0 どの f jも [ a , b ] の有限個の点以外で 0にならない． f 0は x。の近傍で単調で， fo が増加〖減少〗なら

2°fo(Xo)= 0なら

f1(Xo)

>0

〖 ( X ) }o . ; ; k , ; ; n( f ' O l =!)の符号の変化の数を v (x) とする.f(a)キ 0 , f(b)キ 0 であるような区間 [ a ,b ] に含まれる f(x)=0の根の個数を u とすれば， L J : : : : ; ;v(a)

— v(b) であること，

v(a)

-

v(b)-u は偶数であることを示せ（区間 [ a , b ] を pk>(x)=0 の根によって分割し，問 題 6 と同じように考えよ）．

このことから f(x)=a。+ a心 ＋ … 十 an沢 (a。キ 0 )の正

根の個数は高々列 { a吋O . ; ; k , ; ; n の符号の変化の数に等しいこと，

これらの差は偶数である

ことを導け（デカルトの符号則）．

8 ) 実数 a 1 ,a 2 ,… ，a n ,b 1 ,b 2 ,… ， bn を a jv ますべてキ 0 ,b 1 g

C ハーディの記号）

fは g を優越するという． ( 1 ) , あるいは!-0に 対 し 咲x)=):贔 +O(x½+e) という予想（リ

1 8 6 6年以来のあらゆる試みにもかかわらず成功していない．

第 2の，もっとひどい誤りは，漸近展開が与えられた点の近傍に関するものであるとい うことを忘れてしまうことである．微分可能な関数が，ある区間全体で定義されていると き，この区間の各点で漸近展開をもつが，そのうちの 1つがわかっても残りについては何 ら一般にはわからない,

1 )りを知っても，

X = 1の近傍での展開

1(x-1 l o gx= (x- 1 )-) 2+o((x2

それからは l o gX の x=3 の近傍での，あるいは十 CX) の近傍での

漸近展開については何らの情報も得られない．比較の基準族の関数ほ展開しないという規 則も記憶しておくべきである．

それはすでに完全に展開ずみである．

混乱のもとは， ex

58 第皿章

漸近展開

ゃl o gX のような区間 [ x o ,+ C X J [で 定 義 さ れ た 関 数 は 十 C X J の近傍における基準族の 6 .3 .3 ) を 0の近傍で 関数であるが，他の点の近傍においてはそうではないことにある. ( のがの漸近展開と考えることは正当であるが，この式ががの十 C X J の近傍での漸近展 開とみることは奇妙なことである． ある関数の導関数がある点で連続なことが直接明らかでない場合，漸近展開にその点で のテイラー展開が利用できるかどうかは疑わしいたとえば， 0の近傍で，関数 xI o g l x l

/ ( 1十が）のテイラー展開が使えるだろうか．高次導関数の計算はたいていめんどうだか ら，このような場合には，その関数をより簡単な関数から初等演算（和，積，ベキなど） によって構成し（それが可能なとき），以下の節で示すような方法を使うことをすすめる． 公式 ( 6 . 3 . 2 ) から ( 6 . 3 . 7 ) までのようなごく簡単な場合以外は，テイラー展開は実用的 というより理論的な道具である．

7 . 漸近展開の計算法

7 . 1

2つの関数 J i ,! 20 ) , 同じ基準族ぷに関する，十 C または R の任意点）の

近傍での漸近展開がわかったとき，和

f 1十 ! 2C 積! 1 ! 2 ) の漸近展開は，それぞれの展開

の和（積）をとり，得られた項を以下のように再編することによって得られる．

! 1= a 1釦 + a 2釦 ＋

・ ・ 十

a沼 r+ o ( g r )

丘 =b 1 h 1+ b必 ＋ … 十 b s h s+ o ( h s ) を与えられた展開とする．和に対しては，同類項の係数を加え，それからこれらの項を優 越度のさがる順 ( 5節）に整頓する．最後に g j1 )

となる. fμ=c~討砂だから，砂の漸近展開がわかればよい． から，任意の整数 r~l に対し

定義から

V

は 0に近づく

7 . 漸近展開の計算法

5 9

u μ =1+( i ) v+(~)v2 +. .+(~)vr +o ( v r ) と書くことができ， o(i)=o(hD である．

よって問題は， くわしさ h~ に限れば，すな

わち h~ にくらべて無視できる項を消去すれば， 7 . 1 に述べた和と積をとることに帰着さ

れる. μが整数（正または負）のときは，複素数 C 1が

>0であるという制限なしで同

じような方法が適用できる．

1 6 . 4 の最後で触れた例を考えよう. 0 の近傍で 1 十が =2+x+ —炉十 2 1 1 o(xりである．これから 7.2 をµ=— 1 として適用すると， ＝ ー 一 竺 十 o(x り 1十が 2 4 7 . 3 例

( r=2 とする）となり，最後に

xl o gI xI=xl o gI xI_ 炉 l o g l x l +o( 炉 l o g J x J ) 2 4 1十 が が得られる．主要部だけをみても， x=Oに対してはテイラーの公式が使えないことがわ かる．

7 . 4

7 . 2 の記号のもとで，そこで述べた方法は， F が 0の近傍でテイラー展開可能

7 . 2で扱われた場合は F(x)=( 1+ のとき， F(u(x)) の展開を求めるのに適用できる ( x決としたものにあたる）．

l o gg 1 が基準族ぷについて

この方法が使える場合として，

展開できるときの log/の展開がある. l o gf= l o gg1+l o gc 1+l o gu となり， 次に O の近傍での l o g ( l+x) のテイラー展開 ( 6 . 3 . 7 ) を考えればよいからである

また， こ

f=0(1) の と き （ こ れ は 釦 =0(1) と同値である） efの展開が求まる． f f 2 J r o(gf), r>1が成立するからである. f=o(l) でな ef= 1+—+-—+…+—+ の方法により，

1 !

2 !

r !

くても，展開 ( 6 . 2 . 2 ) で，すべての g j→ + o oではないとき， gi= o(l) であるような 最小の iを考え，!=八

+ ! 2

f 1= C 屯 1十・・・+C i l g i 1 , とすれば，

丘=c 必 +••• +c絡

ef= e f 1 e f 2で ， e f 2 に前述の方法が使える．

K十

o ( g k )

因数 e f 1= 廿 e 喰

j

は ，

j=l

e的がすべて忽の関数であれば g に属する．

vlogu とすれば，前述の問題に帰せられる． が の 展 開 は ， 通 常 の よ う に が =e

( 7 . 5 . 1 ) 例

f(x)= ( 1+x ) l l x を 十 C 0 の近傍で展開せよ．

仕

f(x)= exp l o g ( l+x)) とし，ついで

X

X

l o g( 1+x)= l o gx+l o g( 1+_ ! _ )= l o gx+_ ! _- 2 上 茫

―

1 +o(x 2 )

もし

60 第 I I I章 漸 近 展 開

を使って

1 l o gX 1 1 xlog(l+ x )= 了 ＋ 亨 ― 戸 +o(占）• v ( x )= _ l l o g ( l+ x )= o ( l ) より，

展開 ( 6 . 3 . 3 ) を用いて，

がの展開を炉の項でと

X

めて，

+や +v(戸 +v(『 +o((Io;戸 ）

f ( x)= 1

V

l o gx 1 ( l o gx ) 2 ( l o gx ) 3 ( l o gx ) 3 =1+ x 十 亨 十 2 x 2 + 6 x 3 +o ( 炉 ）、 =1+

l o gx X

＋

( l o gx ) 3 ( l o gx ) 2 1 ((logx) 2 x 2 +—+ 6 x 3 +o ¥ x 茫 3

>

( 7 .5 .2 ) f ( x )= Xは uxi = e x p ( x 1 1 xl o gx) を 十 CX) の近傍で展開せよ．まず

仕 X ) .

1

x"'logx= l o gxexp l o g

v ( x )=—log x= o ( l ) より，展開 ( 6 . 3 . 3 ) が使える. v 2 の項までとり， X

x 1 1 xl o gx= l o gx+ f(Iog が

戸 ）

+¾,-Clog x)3+ o((lo;

を得る．第 2項から先の項は 0に近づく．よって f ( x )= e l o g x e w c x >= x e w c x > ,w = o ( l ) となるから，研の項までに制限して

が＋去(logx)4+ o((lo~x)4)

J ( x)= x+ ( l o g

を得る．上式において，第 3項より前の項は 0に収束しないことに注意する．あとで長さ

+ o oに収束するような例が現われる

任意の漸近展開で，各項とも

7 . 6

応用上多くの場合（第 N , I X ,x m,X訊 xv章 ） ，

拡張しておく必要が生ずる．

十0 0 の近傍での，

( 1 0 .1 0 .2 ) .

6 . 2で与えた漸近展開の定義を

比較の基準族忍を考え，

他 方 十 00 の

近傍で定義された複素数値関数の族名で次の条件をみたすものを考える．

Ci)

啄の関数はすべて十 0 0 の近傍で有界

( l i )

. o以外の啄のどの関数も，

X

→十 0 0 のとき 0に収束しない．

( i i i ) 啄に属する 2関数の和および省の関数と複素定数との積はまた啄に属する． このような関数の族の 1つの例は， R 上有界で，すべて同じ周期 i:>0をもつ周期関 数の集合である．

この場合，条件 ( i i )を確かめるだけで十分である．もし，

c ( x ) が周

imc(x)=0なら，どんな c>Oに対しても，ある x。があっ 期ての周期関数でかつ l x→+ o o

8 . 陰関数の漸近展開 て x~Xo のとき lc(x)

6 1

I< : e となる. n , :>X o となる整数 n があるから， O1および

( 8 .2 .4 ) の成立を示そう．

u(x)- un(x)e のとき単調増加な連続関数で， y とともに十 C 0 に近づく．

Z= l o gy , t= l o gX とおけば，この方程式は ( 8 .5 .3)

z- l o gz= t

となり， g ( z )= l o gz として 8 . 2が適用できる. u ( t )を ( 8 . 5 . 3 ) の解とすれば，これ は tとともに十 C 0 に近づき，したがって

( 8 .5 .4 )

u ( t )- U 2 ( t )

が得られる. 7節の方法で次のようになる．

l o gt t 2

/"-.J - -

9 . 広義積分の収束

6 5

l o gt ( l o gt ) 2 ( l o gt ) 2 ( 8 . 5 . 5 ) u 2 ( t )= t+ l o g ( t+ l o gt )= t+ l o gt+ 了 ― 2 t 2 + o(t2) ( 8 . 5 . 4 ) ,( 8 . 5 . 5 ) か ら ， 精 密 さ 辱 ｝ で u とむ＋阿げは同じ展開をもつことがわ かる．いいかえれば， v ( x )を ( 8 .5 . 2 ) の解で，

X

とともに +co に近づくものにとれば

( ( l o gt ) 3 / t 3-(logt / t 2-((logt ) 2 / t 2 ) l o gv ( x )= l o gx+ l o gl o gx+ l o gl o gx- ( l o gl o gx ) 2+ o ( ( l o gl o gx ) 2 l o gx~2(1og x ) 2 ( l o gx)2) となる． この展開の第 3項より前の項は 0に近づかない. 7 . 4を用いて

( 8 . 5 . 6 )

o gl o gX + ・o lx o gl o gX v ( x )= xlogx+ xloglogx+ xl l o gx (logx )

が得られる立

8 . 6 注意

8 . 1 の条件をみたす 2つの関数で，

G(y), . _ ,G1(Y) であるけれども，そ

の逆関数は同値ではないようなものがある．たとえば

G(y)=logy と Gi(y)= l o gy+ 1

9 . 広義積分の収束

9 . 1

fは区間

[ a ,十o o [ で定義され閲複素数値関数で， すべての有界区間 [ a ,b ]で

区分的に連続とする（簡単のため，

f~ま [ a ,十 o o [で区分的に連続ということにする）．

( t ) d t が定義される（第 0章 ， 4 .3 ) . このと すべての x>a に対して，積分 F(x)= 「f a

き，極限 l i mF(x)があれぼ x→十OO

( 9 . 1 . 1 ) と定義し，これを

「

「

0 0 / ( t ) d t= l i mF(x)= l i m f ( t ) d t

a

fの無限区間

X→+ o o

X→十""

a

[ a ,十 c o [ における（広義）積分という．

このとき，任

意の b>a に対して，広義積分「~f(t)dt が存在すること（およびその逆），および b

『f(t)dt=):f(t)dt+ 『f(t)dt が成立することは明らかである．すべての x;?;a に対し，広義積分＼知f ( t ) d t を，広義

( t ) d t の剰余という． これほ， X→ 十 0 0 のとき 0に収束す ; Xの関数である． 積分「 f OO

a

積 分 『f (t)dtが存在するとき，この積分は収束するともいう．もっとも重要なのは fの

1 ) 基準族 Ci まここでは l o gl o gxのベキを含んでいるものとする．

66

第 m章 漸 近 展 開

絶対値の積分「c o l / C t )I d tが収束する場合である． a

一般に， f=! 1-! 2+i f a- i / 4C た

だし 4つの関数 f k vま ~0) で If.叶 ~Ill と書くことができる．

（吸f(t)~0 のとき

/ 1 ( ! )= 釘( t ) , そうでないとき f i ( t )=0 とおく. ! 2 ( t )=/ 1( t )― 忽f ( t ) とする. / a , / 4 も./ f ( t ) から同様に定義する．）あとで述べる ( 9 . 3 ) 性質から，

こ の 場 合 4つの積分

[ c o f k ( f ) d fは収束し，したがって [ c o f ( f ) d f も収束である． このとき積分 [ c o f ( f ) d fは 絶対収束するといい，

I ) : c o f ( t ) d fI~):001/(t) I d f が成立する． ， これは第 I章

( 3 . 3 . 2 ) において極限をとることにより明らかである．

9 . 2 この章では，

+oo の近傍で符号を変えない関数

ろん， f~0 と仮定してさしつかえない． の単調増加関数となり，

X → 十 00

そのとき，

のとき，

fの積分だけを取り扱う．もち

「 =

原始関数 F(x)

f ( t ) d tv まX

a

有限または十 0 0 の極限をもつ（あとの場合

[ 0 0 f ( t ) d t=+oo と書く）．したがって，積分 [ c o f ( t ) d fが収束するためには， F(x) が +oo の近傍で有界であることが必要かつ十分であるこのことから，（第 I章 ， 3 . 1によ り）級数の場合と類似の比較原理（第 I章 ， 2 . 2 ) を述べることができる． 9 .3

/ , g を，十 00 の近傍で正で区分的に連続な 2 つの関数で， f~Ag が定数 A>

束 0 I~対して成立するとする．そのとき，積分 (9.3.1)

[ ° ' g ( t ) d t が収束すれば，

[t(t)dt も収

「cof(t)dt~A「00g(t)dt a

a

であるもし積分 [ 0 0 J ( f ) d fが 十 0 0 ならば， [ 0 0 g ( t ) d f もそうである． いうまでもないが，

この原理は，

十CX) のどんな近傍をとっても符号が変わる関数には

適用できないことに注意する．

9 . 4

この比較原理を使うために，

積分しようとする関数

fと 2.1で定めた基準族

忍の関数とを比較する．ところで念の関数のいくつかほ，積分の収束，発散が容易に示 される事実， a>l のとき

( 9 . 4 . 1 )

{[t " d t=a~1 ( x ≪ + I- a ≪ + I )

r= 戸

a

d t l o gx-l o ga

( e xキ ー 1 のとき）

9 . 広義積分の収束

: I い

( 9 . 4 . 2 )

( l o gI 梵dt=~ ~rCClog x)IH-(loga)IH)

{

r

67

(~ キー 1 のとき）

い( l o gt ) 1 d t= l o gl o gx-l o gl o ga

a

である．

9 .5 .Ci) もし f(x)= O(x 町l o gx)~) が a く— 1 か，

ex=-1 かつ~< -1 に

対して成立すれば，積分「0 0 / ( f ) d fは収束する． a

Ci i ) もし f(x):>沢 l o gx)~ が ex> — 1 か， ex= -1 かつ~> -1 に対して成立す れば，積分「0 0 / ( f ) d fは無限大である． a

本書の程度では，実際問題として次の唯一の基準で間に合う．

c gをとり，

被積分関数

関数 g が x a ( I o gx)~ に関してどの場所にくるか ( 5節の順序について）を

) . より正確にいうと， 2 . 1 の関数の含む指数関数因数 調べる（図 9 この因数だけを問題にすればよい (ex,~ を考えなくてよい）．

は収束，

C1

>0 ならば無限大である．反対に

ex< — 1 なら積分は収束， 数

fの主要部

Pに注目する. ~
が

その場合，

1でなければ．

-1 なら無限大である．

最後に， ex=-1 なら，ベキ指

-1 なら積分は収束， ~>ー 1 なら無限大である．

別れ目のとこ

cx=-1, ~=_:_1 に対応する《穴》になっている（重複対数を考えれ

ばこれと類似の結果が得られる）．

C o n v .x:(cx< — 1)_

E-—竺ど□心— 1) 、~翌 . : . . . .

Conv. X —1(logx)~C~Oなるすべて

r

a+h,b] で区分的に連続とする（このときも， の区間 [ いう）．このとき， h>Oに対し， 極限 IimF(h) があるとき h→O

関数 F(h)=

fは ] a ,b ] で区分的に連続と

f ( t ) d t を定義することができる．

a+h

6 8

第 m章 漸 近 展 開

r

b

( 9 .6 . 1 )

jf ( t ) d t= l i mF(h)= F(O+)= l i m a

h→0

f ( t ) d t

h→o a+h

を f の，半開区開 ] a ,b ] における（広義）積分というまた，積分

r

f ( t ) d tv ま aの

:I / C t )I d tが存在すれば，積分 j : f ( t ) a d t は a の近傍 近傍で収束するともいう．もし j

1

で絶対収束であるという．変数変換 t=a十ーにより，広義積分 j¥(t)dt は広義積分 a

S

＼ 二f(a+ 1 / s )ds 炉 b+a

におきかえられる． このとき， 9 . 5に対応する規則は：

r

( 9 . 6 . 2 ) Ci) a の右近傍で f(x)= O((x- a )叶l o g ( x- a )げ）が a >: 1 , また

は a= — 1, ~Oがあることに注意する． これから平均 値の定理（第 I章 ， ( 3 .3 .2 ) )よ り，

X; ; , , bのとき

I ) : f ( t ) d tIAで I X; ; , , b に対して，

がって

した

： ぃ

f ( t ) d tI0に対して，ある ( 8 に関係する） x。> aが存 在して， x ; ; , , x 。ならば l f ( x )I < c:g(x) となる．これから平均値の定理により， x~x。 のとき

に

X

X

I 1 c t ) d t ¥< 8L0g(t)d t< c : L g ( t ) d t .

他方，仮定から

r

在して，

V~

g ( t ) d t vま X とともに +oo に近づく．したがってあるふ>Xo が存

X ; ; , ,X1

対して『f(f)dt¾8 Xg(t)dtが成立する．

したがって

a ' し 対して，¥) f ( t ) d t< 2 1 : :g ( t ) d t となり，これは

X ; ; , ,X1 V こ

:I ) :

) : f c t ) d t=oO:g(t)dt) を示している． ( i ) の第 3の 主 張 は 第 2の主張から， frvcg と f -cg=o ( g ) とが同値であること

を思い出せば得られる． ( i i ) の証明は上と類似だがもっと簡単であるから読者にまかせる．

1 0 . 3 例

関係

=o(xーl + a ) ,ct>0から，積分して関係

X―1

l o gx=o ( x a ) が再び

. 2 で使った． 得られる． これは 2

1 0 . 4

関数

fが ， 2 . 1 で定義した基準族忽についての主要部

c gをもつとき，原始

X

関 数 しf ( t ) d t の 十 0 0 の近傍における研究は，上によって，より簡単な ) : g ( t ) d t のそ れにしばしば帰着できる．

しかし，忍の関数に対していつでも ( 9 .4 .1 ) または ( 9 . 4 .

1 0 . 原始関数の漸近展開

7 1

2 ) のような等式が得られると思ったらまちがいであって， それはまったくの例外にすぎ ない．忽の関数の原始関数は一般には g の関数（またはその 1次結合）ですらないが，

2 . 1 しかし，その主要部（当然忍の関数）を求めることはしばしば可能である． これは ( で定義された g についての）関係

: g ' ( x ) a -=+P'(x) g(x) X +―ーも Xl o gX

( 1 0 .4 . 1 ) と1 0 . 5の結果である．

( 1 0 . 4 . 1 )は g ' / g の漸近展開を直接与えており，したがって g が定数 1でないとき， g ' ( x ) は 十 0 0 の近傍で符号をかえないことに注意する．

1 0 . 5

g が連続微分可能で十 CXJ の近傍で > 0 とし， g ' ( x ) / g ( x ), . . _ ,μ/x μ (キ0 ,

-1) が成立すると仮定する．そのとき

Ci)

µ>— 1 なら，十 CXJ の近傍で，

+ c c

すべての e:>0に対し g(x))>X戸である．

.

積分~ a g(t)dt は無限大で，十 0 ( 1 0 .5 . 1 )

の近傍で

rg(t)dt, . . _ ,x g ( x 2 . a μ + 1

Ci〉 μ 0に対し g(x) 0が与え

+ o oの近傍で l o gg ( x ) ) , =(μ-f)togx .

よって g(x)~x11—+:>xµ-e: となる. μ >-1 だから，μ-8 > -1 のようにとれて，

9 . 5により積分「十0 0 g ( t ) d tは無限大である．部分積分により a

3 ) )g(t)dt=xg(x)- ag(a) —)

( 1 0 .5 .

X

X

a

a

t g ' ( t ) d t .

これは

( 1 0 .5 . 4 )

r( g ( t )+t g ' ( t ) ) d t=xg(x)-ag(a) a

72 第 皿 章 漸 近 展 開 とも書ける．しかるに仮定から tg'(t)~

μ g ( t ) が 十 00 の近傍で成立し， 1 0 . 2 を使って，

( 1 0 .5 . 4 ) の左辺は X

(μ+1)~g(t)dt a

と同値となる． したがって ( 1 0 . 5 . 1 ) が得られる. ( 1 0 .5 .2 ) の証明も同様である． もし g ' ( x ) / g ( x )=o(l/x) なら， 1 0 . 2から

10.6 注意

I l o gg(x)I < ' .l o gx が得られ，したがってすべての e>Oに対して g(x)> x ―e と な る か ら ( 4 .2 .1 ) , 積分 + c o

) g(t)dt~ままた無限大となる． さらに x g ' ( x ), < :g(x) から g(x)+ xg'(x), _ ,g(x) と a

なるから， 1 0 . 5 と同様の理由で，公式 ( 1 0 . 5 . 1 ) は μ =0 のときも成立する．

g ' ( x ) / g ( x )I> 1/xの場合を考え， 最後に， g が > 0で連続的に微分可能で l

さら

=

'が +oo の近傍で符号をかえないと仮定する． したがって h(x) g ( x ) / g ' ( x ) がそ にg のような近傍で定義できる． この条件のもとで

1 0 . 7

さらに h (x)=g ( x ) / g ' ( x )が 十 00 の近傍で連続的に微分可能とし， h ' ( x )

=o(l) とする．

このとき 十〇

(i) もし +oo の近傍で g ' ( x )> 0 なら，積分) g ( t ) d t は無限大で， a

+oo の近

r

傍で

g ( t ) d t , . . . . ,( g ( x ) ) 2 . g ' ( x )

( 1 0 . 7 . 1 )

a

( j i ) も し 十 OO の近傍で g ' ( x )< 0 なら，積分「十0 0 g ( f ) d f は収束で，

十O O の近傍

a

で

「

0 0 g ( t ) d t , . . . , ,( g ( x ) ) 2 . J g ' ( x )I

( 1 0 .7 .2 )

x

まずはじめに， h ' ( x )=o ( 1 ) なる関係から h(x)=o(x) となる ( 1 0 . 2 ) ことに注意す

>0なら，

' ( x ) る．もし +ooの近傍で g

g は単調増加で > 0だから，「0 0 g ( t ) d t は無 a

限大である．さらに， l l o g g ( x )I : >l o gx だから ( 1 0 ,2 ) ,g が単調増加なることとあわせ ると， g(x) は

X

とともに +oo に近づき，

したがって I ogg(x) もそうである．

よっ

4 .2 .1 ) . 反対に十 00 の近傍で g ' ( x ) て，すべての a>Oについて， g(x):>茫 と な る (


l o gx だから，すべての a>Oについて g(x) < 0のときは，同様に ! 戸 で ， 積 分 「0 0 g ( t ) d tは収束である ( 9 .5 ) .( i ) の場合，部分積分により a

( 1 0 .7 .3)~)(t)dt

=~:

1 0 . 原始関数の漸近展開

=

7 3

h ( t ) g ' ( t ) d t h(x)g(x)- h(a)g(a)-~:g(t) が (t)dt

あるいは

仰+h'(t))g(t)dt=h(x)g(x)- h(a)g(a).

( 1 0 . 7 . 4 )

a

仮定から ( 1+ h ' ) g, . . ,g だから ( 1 0 .7 .4)

の左辺は ~xag(t)dt と同値である (10.2).

こ

れ は 十 C 0 に近づくから，定数 h (a)g(a) を優越する．したがって結論が得られた. ( i i ) の場合も同様にできる．

( 1 0 .8 . 1 ) 例

十C0 の近傍で (a>1 とする）

r

史- 王 l o gぷ

( 1 0 .8 . 2 )

al o gt

,-..J

実際この場合 g ' ( x ) / g ( x )=— 1/(x l o gx) で ， 1 0 . 6 で考察したところである．

( 1 0 .8 .3)・+oo の近傍で，次式が成立する．

「ooe―f2df,....,;~

( 1 0 . 8 . 4 )

2X

X

g ' ( x ) / g ( x )=-2x で ， 1 0 . 7( i i ) の場合である． ( 1 0 .8 .5 ) 積分＼

X

a

e , . / t o g t

tl o gt

d t (a>1 ) を考える

この積分は，被積分関数が g (x)

1 だから，無限大である ( 9 .5 ) . >xlo gx g ' ( x ) / g ( x ), . _ ,-1/x であるから前の命題の使えない場合となる．

r o g xe./iidu となり，

分

Ioga U

,

しかし変数変換 u=l o gtをほどこすと，積

これは 1 0 .7( i ) の場合に帰着できる．

g ' ( x ) 1 1 g(xf=広戌―

実際

1

x , . . . . , ,2ぷ§

だから 1 0 .7( i ) により ~x

( 1 0 . 8 . 6 )

a

e詞 rd t, . . _ ,2eJ 匿 t l o gt J面戸

となる ll.

10.9

1 0 . 5 , 10.6

または 10.7 が適用できる場合， gE ぷ:~ならば

部のみならず，漸近展開も求めることができる. ~まじめに，

r a

g ( t ) d t の主要

)g ( t ) d tが無限大としよ a

う．たとえば，条件 1 0 . 5( i ) の成立している場合，へ ( 1 0 . 5 . 4 )に よ り 次 の よ う に 書 け る ． 1)

ここでは基準族ぶが

e x p ( ( l o gx ) T ) ,r >Oを含むものとする．

7 4

第皿章漸近展開

+ g 1 ( t ) d t rg(t)dt=虹-虹~) μ+1μ+1 a ただし

g 1 ( x )=_!_(μg(x)-x g ' ( x ) )ぐ ( x ) , ; μ+1

できる．そして「~g,(t)dt の主要部が 10.2 と 10.

C 仮定による）．

もし積分『0 g 1 ( t ) d tが無限大なら，定数 ag(a)/(μ+1 ) は 十0 0 g 1 ( t ) d !に比較して無視

; 1 。

a

s ,1 0 .6 , . 7 のどれかを使って求

t ) d t が収束なら次の められれば，漸近；開の第 2項が得られる．もし反対に積分「紅 a ように書きかえておくことが必要である．

戸 ( t )d t= xg(x2+A —し瓜t)dt a μ + 1 + c o

ただし A は 定 数 一 a g(a)+ 「0 0 g 1 ( t ) d tC 定積分の計算法によってその近似値が計算で

μ+1

a

きる）．そうして『0 g 1 ( t ) d t の主要部を求めることになる．

0 . 7の ， うことができるが， 1

ほかの場合も同じように扱

関数 g 2 / g ' は必ずしも g に属さないから，もし存在すれ

ばその主要部でおきかえねばならない．

( 1 0 .1 0 . 1 ) 例

1 0 . 9で述べた方法によって，例 ( 1 0 .8 . 1 ) に対して

r 且ー~,.._, al o gt

l o g x

r

dt

a( l o gt ) 2

が得られ，あとの積分に再び 1 0 . 6が使える． この手順は何度でも繰り返すことができ， 任意の K 個の項の漸近展開

(10.10.2)

「也=~+ al o gt

が得られる． この展開の各項ほ

( 1 0 . 1 0 .3 )

l!x 十... (k- l)!x+ O X ( l o gx ) 2 + ( l o gx)k((logx)k)

l o g x

X

とともに

+ o oに近づくことに注意する．

( 1 0 .8 .3 ) の例も同じように取り扱うことができるが，少し違う部分積分

を行なう方が，この場合より簡単になる．すなわち

「 臼

OO

x

であり，さらに

d t=竺~-1- 十00 e 1 2 d t 2x 2)x t 2

「 "e-t2dt= e立-x2― 23「 OO

X

(2

X

臼 d t (4

となる． これは何回も続けられ，

( 1 0 . 1 0 . 4 )

『 臼dt=e-x2(心—心+ ••• + (-l)k1・3・ ： 芯 誓 十 了 1)+ o(xik+r))

1 1 . 級数の収束および部分和の漸近展開

75

が得られる．

1 0 . 1 1

f がぷには属さないが，主要部 c g( cキ 0 , g Eのをもつときの原始関数

f ( f ) d f の研究にもどる．

)X

a

それにはまず c )g ( t ) d t の漸近展開を求め， 次に， a

f-cg

について同様に考え，次々に続けて，それらの漸近展開を ( 7 . 1の規則に従って）＜わえ ればよい

1 0 . 1 2 例

r+

e t d t

( 1 0 .1 2 .1 )

at2

1

の漸近展開を求めてみよう．漸近展開 ex

ex

ex

o ( 苔 ）

炉＋仁豆―7+ から，部分積分によって順次

＼ 戸 誓 二 %+2『+6苔+o ( 苔 ）

( 1 0 . 1 2 . 2 )

『閃＝苔+o(苔）•

( 1 0 . 1 2 . 3 )

( 1 0 . 1 2 .3 )と 1 0 . 2 とから次式が得られる．

[; : t 凸＝苔＋名 +5苔+oほ ）

( 1 0 .1 2 . 4 ) 1 0 . 1 3 注意 に反して，

以上， ある関数の原始関数に対して諸結果が得られたわけだが，

ある関数

これ

fの導関数については， fの主要部がわかったときでも何らかの情

( x )=x+s i n炉のとき， f ( x ), . . . ; xであ 報を得ることは一般にはできない．たとえば f ' ( x )=2xc o sx 2v ま るが， f

+ o oの任意の近傍で，

有界でもなく振動もする．

第 I章 ，

3 . 7で一般的に指摘した，微分にくらべての積分の簡単さの現われをここでもみることが できる．

1 1 . 級数の収束および部分和の漸近展開 1 1 . 1

ここでは一般項が

Un

である級数で，

十 00 の近傍で符号をかえないようなも

のを研究するにとどめる．すべての n),;0 について，

級数の値を問題にしない限り

Un

>0 と仮定してよい．本書の程度では， 項が >0なる級数の収束は， 次のただ 1つの g ( n )を求める．ただし 基準で決まる．級数 n→ Un の主要部 n→ c { u n } は級数 { g ( n ) } が収束のときかつそのときに限り収束する．

Cキ

0 , g E尻 級 数

第I I I章 漸 近 展 開

76

事実これが比較原理（第 I章 ，2 . 2 ) の結果から明らかなことは，ある n。 で ， n ; : , ,n oのと き ， U n 0で 十 CX) の近傍で減少関数とする．そのとき，一般項 g(n) の 級 数 '

0 g ( f ) d f が収束することである． が収束するための必要十分条件は，積分「0 a

何となれば， g が x ; : , , n。で減少と仮定できる. x ; : , , n。で区分的に連続な関数 f(x) を次のように定義する．任意の整数 n; : ,n。に対して， f(x)=g(n+ 1 )( nOに対し，仮定からある整数 X

n 1で

>n1 のとき I 誓旦 l~E

なるものがあり，平均値の定理から， n> n1 のとき n-1~t~n に対して h ( t ) -E~lo g ~E h(n) が成立し，したがって

( 1- e 8 ) h ( n )< c e E- l ) h ( n )0 ) ・ n 1 『 記(h(t)- h(n))dtI< (eE- 1)ell-h(n)=ell-(eE- l)g(n) (μ1

と仮定する（いいかえれば l i ml g ' ( x )1 / g ( x )=十 o o ) . そのとき x→+ c o

Ci) g が 十 00 の近傍で増加のとき ( 1 1 . 7 . 1 )

Cii)

S n , . . _ , g ( n )

g が 十 0 0 の近傍で減少のとき

( 1 1 . 7 . 2 )

r n , . . _ , g ( n + l ) .

仮定から l l o g g ( x ) I : >1である ( 1 0 .2 ) . g が増加のとき，これは l o gg(x) が もに +oo に近づくことを意味し，

X

とと

: >

( 4 . 2 .1 ) により g(x) e文 も し g が減少なら，同 + c o

じように ( 1/gを考えよ） g(x)n。に対し，

1 1 . 級数の収束および部分和の漸近展開

f

79

ぐnn。+1g'(t)dt=g(n)-g(n。 +1).

g(k)= [~1u(t)dt~ ~n g ( t ) d t k = n o + l n 。 + 1 g(n)→ 十0 0 だから，上式より

S た 1 =o ( g ( n ) ) で ， S n= S n 1+ g(n) だから ( 1 1 .7 . 1 )が証明された. ( 1 1 . 7 . 2 )も r n + 1= o(g(n+ 1 ) ) を示すことにより同じように証明できる．

1 1 . 8

条件 1 1 .7が成立しているとき，すべての整数 k>Oに対して gが増加のと

き

+

Sn=g(n)+g(n- 1 )+ . . .十 g(n- k ) o(g(n- k)) となるから，各 g(n- j) ( 0: : ; : ;j: : ; ;k ) の漸近展開がわかったとき，

S n の漸近展開を求

めることができる．同じように， g が減少のとき

r n= g(n+ 1 )+ g(n+ 2 )+ ・ ・ ・

十

g(n+k)+o(g(n+ k ) )

だから， g(n+ j ) の漸近展開がわかればよいたとえば， g(x)=だとする．

+心+o(})

( n- l ) l o g ( n- 1 )= ( n- l ) l o g n- 1 だから

1nn-1 + _— 1nn-2 + o ( n- l ) n 1=— ( n n 2 ) e 2 e が得られ ( 7 .4 ) , 同じように

1nn-2 + o ( n- 2 ) n 2=— ( n n 2 ) . e 2 これから 3項の展開

1n (—+—) n 2+ o ( n n 2 ) e 2

1 Sn= 研十—nn-1 + 1 e 2 e が得られる庄

1 1 .9

さて， U n> 0を一般項とする級数にもどって， U n は必ずしも Un=g ( n ) ,g

e 忍でないとする．

｛ 叫 を 第 2の > 0 なる項をもつ級数とし， x ; ; ; , ,1に対し， u(x)

=U n ,v ( x )= V n (n¾x のとき

u(x)¾v(x)

( t )x r . これは， F(x,t 砂） = 0が Z n→ 0 であるような無数の根 Z nを J O ,b ]内にもつことと矛

F(x,t xり/xr→< j > ( t ) において X= Z n とすればよい）． 盾する ( 1)

『現代解析の基礎』（東京図書） 3 . 1 6 . 4をみよ．

よって h' 0 とする. ( 1 .2 ) の仮定のもとで

( 1 . 4 )

u(x)/xμ" は あ る h に対して有限かつ Oでない極限をもつ．

定 め 方 か ら 柘 ＜ 狛 < … 1

和＝珈和 >~j, j

したがって｛初｝は減少数列としてよく，

とすることができる (ai~ のなら和＞初）．このとき方程式

( 1 . 1 )は

c1(u(x))訳 1+ q > 1 ( x ,u(x)))+芦 ChX 呵 u(x))尺 1+q>h(x,u(x)))

=— ~Cj砂 (u(x)) 尻 1 + q > j ( X ,u(x))) と書けるここに，左辺は < X h十柘似=μや な る h についての和，右辺は C X j+μ和 ＞ 柘和なる j に つ い て の 和 い ま t ( x )=u(x)/x的とおくと

( 1 .4.1)

+平瓜t(x))い

c 1 ( 1+ q > 1 ( x ,u(x)))

( 1+ ( f > h ( x ,u(x)))

＝ー ~Cj炉j 坪 1 柘—凸 (t(x)) 柘由 Cl+ 孤x, u (x))).

似 ー 和 j ( X ,t ( x )豆）） = 0

の形の関係が成り立つ ( ( 1 .4.1) に (t(x))~1 を乗じて，左辺をまとめたのが第 1 項であ る. ( p l については，すぐ次をみよ）． は ，

X

これは ( 1 . 1 ) と同じような形の関係だが，

のベキを含まない項が C1Y~1(1 + ( f > 1 ( X ,y))+…+c1y~1(1 + ( f > t ( X ,y))

で，これは（和＞…＞和だから） C/y~z(l 十 1Cx, y ))

こんど

86

第I I I章 漸 近 展 開

と書くことができ，如は 0に収束する．この関係から ( 1 .3 ) の方法でニュートンの多角 辺が r-1 個で対応する数が恥一恥柘一恥…，ゎー杓となることはす

形を作ると，

ぐ確かめられる C C C 切+μ和一柘祝）ー C ak+µ1~k ー柘和）） / C似一初）＝（（切一凶） 帰納法の仮定により，ある h c2¾h¾r) に対して

/C似一初））— µi) に注意せよ）．

tCx)/xい— µ1 が有限（キ 0) の極限をもつ．

よって CL4) の証明ができた．

2 . 分枝の存在 ( 1 . 4 ) の帰納法をよくみると，各似に対して，曲線 ( 1 . 1 ) の分枝で， y= u(x) で u ( x ) , . . . . ,a x μ , , ,(ただし aキ 0は定数）となるものが実際にあるかどうかは， r

定義され，

=1の場合に限って調べればよいことがわかる. ( 1 .4 . 1 ) から，係数 a は，方程式 ( 2 . 1 ) C1!~1 +L jCh由 = 0 の根であり， x,y~O の場合に限ったから，この方程式が >0 なる根をもつことが必要

である．上式の左辺は無限回微分可能だから， そのような根 to>0があるときは， ( t-

t o ) q g ( t ) と書け， g は t>Oで連続で g ( t o )キ 0 である. ( 1 .1 ) において， y= z x μ 1と おくと，上のことから

( 2 .2 )

( z- t o ) q= x"G(x,z )

< 0 なる《分枝》は 2つあって， それぞれ

U氏X )= X十 炉 十 o(x ． り

U 1 ( X )= X ,

ここで考えているような場合では F (x,y )が ，

x,yの符号いかんにかかわらず定義され

ていることに注意する．したがって，上の方法が，

X

あるいは y を，ー X あ る い は 一 Y

にかえて適用できる．そうすると ( 2 . 3 . 1 ) の第 3の《分枝》

u s ( x ), . . _ ,-x3 が得られる. 3つの関数 Ut,U 2 ,U 3V ま0の近傍の任意の符号の X に対して定義されてい る ．

Fが ，

X

と y との多項式であるとき，このようにして得られた漸近展開をピュイズー

の展開という．

3 . 拡 張 ニュートンの方法は次の場合へ拡張できる．

F(x,y)= ~

喰

j ( X )炉 ( 1+ < p j ( X ,y ) )

ただし, < p jについては前と同じ仮定だが， g j はここでは， x=Oの近傍で，比較の基準 I I章 ， 2節）である． 族 g の関数（第 I

また， in 輝j=Oなること，

関数 g j の 1つは定数

（キ 0 ) で，他のものは X とともに 0に近づくことを仮定する．さらに， ( 1 . 4 ) の証明に おけるごとく， < p ; ( x ,y) に y拓一厨知 (x)/g 仄x) を繰り込めぼよいから， 釦 =O (gi) ではないとすることができる．

同時に初＜和，

よって数列｛和｝は減少であるとしてよい．

そのとき g i ( x ) が定数（キ 0 ) でなければならず， j>l の g氏x) は X とともに 0に 近づく．そこで関数 ( g 氏x ) ) l l

i ( X ,u(x)))+ 2J 加 (t(x))~"'(l

+ 伽 (x,u(x)))

h

＝ ー エ 紅t(x))知 (x)(g瓜x))

転 卸 / ( 和 ヤ (1+屯( x,u(x)))

ここにかは実定数キ 0 ,伽 は < p i と同じ性質をもつ関数．左辺は，比 ( g 仄x ) ) 1 1 c斤 釦 /(g瓜x))111のとき和＞和を考えて），関数 t ( x )は

X → 0のとき有限の極限をもつ

ことがわかる．もしこの極限が 0でなければ，それは，方程式 bか

+2 Jhhか = 0 h

8 8

第i l l章 漸 近 展 開

をみたす．そうでなければ， X と t ( x ) は X と u(x) との関係と同形だが，項数のより 少ないものをみたし，順次先に進むことができる． たとえば，関係

炉十 yな l o gX+y2炉— を考えると，

e-1/X

=Q

3つの《分枝》が得られ，その主要部は次のようになる．

叫 x)- (xl o g f ) " ' ,

u , ( x )-(x)'", l o g1

1

1

U 3 ( X ), . . . ,—e万云 X

ー

X

問

1 )

題

+ o oの近傍で，関数 f(x)=(xcos奴 +sin伝） eX2は単調で， + o oに近づくこと，

( x ) / x ? i e x 2 およびその逆数はともに有界ではないことを示せ． しかし比 f 2 ) < p が x>Oで定義され > 0で増加とする．

．

a) l o g孤x ) / I o gx が増加のとき， 2つの正値関数 f ,g が f..(gなら 0 ) を中心とする十分小さい区間を考え，

そのそとでは g ' ( x )=1 , この区間では

g ' が非常に大きいような g ' を考えよ．）

4 )

+ o oの近傍で，関数

s i n x

s i n冦

s i n x

,/x

X

,/x

7 . 6 ) をもつ． 十—-―ーは拡張された主要部ー一 (

しか

し，積分『吋四dt は収束するが「(~ビ+s i n 2 t) d t は収束しない． 1 ,/f

1

り

t

5 ) nが 整 数 >1 , X >0 のとき，順に e 1 ( x )=が， と定義する．

e n ( x )=eた i ( e 芍

これは，十 00 の近傍で，任意の μ>0に対し， e 正 1 ( Xり,0に対し l n ( X ) < ' .Un-1(x)決となることに注意する．

a ) x >0 に対して定義される，正で増加，連続な関数 f で /(2 り =2 f < x > が x>O に対して成立するようなものがあることを示せ Cf を [ 2 n ,2 n + l ]で帰納的に定義せよ）．

(x): >en(x) が成立することを示せ． 任意の整数 n について，十 00 の近傍で f b) g を f の逆関数とするとき， . . ( f n ( X ) であることを示せ．

任意の整数 n について，

+ o oの近傍で 1, 0なる関数とする． a ) !'が十 C 0 の近傍で，単調かつキ 0 とする．十 C 0 の近傍で，もし gc{f/f' な ら ， J(x+g(x)), . ;J(x) となることを示せ（平均値の定理を用いよ）．

( f / f ' ) を仮定するだけではこれは正しくないことを示せ（したがって上の 単に g= O 結果をよりよくすることは不可能である）．

b) さらに g(x)= o(x) と仮定する．そのとき，

次の各場合に JCx-g(x)), . ;J(x)

となることを示せ．

° 1 l f ' l f l が 十 C0 の近傍で増加のとき． ° 2 +co の近傍で f ' C x ) / f ( x )= 0(1/x) のとき． ° 3 h(x)=l f ' C x ) / f ( x )Iが ，

1c {h(x)c {X かつ微分可能で h ' ( x ) / h ( x )= 0(1/x)

のとき（この場合 h(x- g(x)), . ;h(x) となることに注意せよ）．

+co の近傍で g= o C J / f ' ) , g(x)= O(x), J(x-g(x))= o(f(x)) を同時にみたす 例をつくれ．

7 ) 方程式

x(u(x))5+u(x)+1= 0 が定義する，

o oの近傍での漸近展開 いろいろな《分枝》の x = Oの近傍および X= +

を求めよ．

8 ) 次の関係で定義される関数の漸近展開を求めよ． 2 e u < x > x+u(x)+X= 0 x =-co の近傍での

x u < x >- ( u ( x ) ) 2 x= 0

X

=+co の近傍での

9 ) f,gが 十 C0 の近傍で定義された実数値関数とする．次の諸条件がみたされている とする．

1 0 方程式 f(x)= 0 の 根 は 十 C0 に近づく増加列 { x n } をなす． 2 0 定数 a>0 ,b ) , :0 , C >0 が存在して，すべての n と ， J x- X n J< ; ;c なるすべ ての X に対して， l f ' ( x n )I ) ' :a ,l f " ( x )I¾b である．

° 3 X→十 C0 のとき g ,g ' ,g ' ' は 0に近づく u )= g(xn+u )-g(xn)-f(Xn+ u )+f'(xn)u とおき， n ) , :1 ,m ) , :0 さらに， 叫 ( に対して，数 Umn を次の条件で定める． Uon =0 f'(Xn)Umn= g(Xn)+< I > n ( U m 1 , n )

このとき

nが十分大ならば m→ +coに対し

( m ) ' :1のとき）

{ U m n }m ; ; , O Vま極限 U n をもち

f(xn+U n )= g(xn+U n ) をみたすことおよび n→十 C0 のとき，定まった m に対し

U n-,Umn= O(Umn- Umー1 , n ) であることを示せ． この結果を，次の方程式の根

X

=Zn の漸近展開を求めるのに適用せよ．

第 m章 漸 近 展 開

90

t a nx=ax( a>0 ) で Z n , . . _ ,( 2 n+ 1 )冗/ 2なるもの s i nx=1 / l o gx

で Zn, . . _ ,n 冗なるもの

方程式

s i n 2 x=1 / l o gx のときはどうすればよいか．この場合は，上の条件 2 0 が成立していない 1 0 ) 任意の実数 t>O に対し， n~t なる最大整数を [t] で表わず関数 f(x)

1[ 1 ]

=

ー一ーは区間 J O ,l ] で広義積分をもち X

X

~: (+—[+J)dt=1- r

C rはオイラーの定数）

なることを示せ． 1 1 ) f (x) を区間 J O ,l ] で単調で，広義積分『町( t ) d tが収束とする．

゜

l i mx a + 1 J ( x )=0

x→O

2X

を示せ（積分~taf(t)dt を上および下から評価せよ）． X

それを利用し， fが [ 1 ,+co[で単調で，広義積分「o : , tザ( t ) d tが収束のとき 1

l i mx a + l f ( x )=0

X→+ o o

を示せ．

1 2 ) 次の広義積分の収束性を研究せよ．

「 0 dx ( s i nx ) P 1 q 冗炉

「00~ 冗豆

I s i nxI b'

(p整 数 >0 ,q 整数 > 0で奇数）

「 dx 。t+x門sinxi OO

炉

b

( a ,b ,C は実）

1 3 ) un=l o gn+ al o g ( n+ 1 )+ bl o g ( n+ 2 ) を一般項とする級数は，

どんな実定

数 a,bについて収束か．

1 4 ) P i ,a i が正数のとき

(Piaf+P 2吋 十・・・+Pka ） ぶ1/n の n→ + C Dに対する漸近展開を求めよ． 1 5 ) 次の漸近展開を求めよ．

1 が十

1 1 ＋ 1 が +2+…+Kが—

1

1 +kn 2

(k整 数 >1 )

1 6 )f , g を正で， x>O で連続微分可能で，積分〖00/(t)dt は無限大とする. F(x) = 「f ( t ) d t とおく． 1

a ) F(x)g'(x)= o(f(x)) のとき（従って g(x)= o ( l o gF(x)) である）， 広義積分 の主要部

問 題

9 1

~xf(t)eigcodt~F(x)eig となることを示せ（部分積分）．

b) F(x)g'(x)~cf(x) (c は実定数キ 0) のとき（したがって g(x)~clog F(x) である）

1 i f(t)eigct>dt~. F ( x ) e i g c x > 1X

lC

を示せ（同上）．

c ) f,gが無限回可微分で，

X →十 C 0

のとき l f ( x ) / g ' ( x )Iが増加とする．さらに

f x (犀 ） =f(x)h(x) で ，

h(x)= o ( l ) , h「( x )=.o(l) が成り立つとする（したがって

I F(x)g'(x)I : >f(x),

かつ g(x): >logF(x) である）．このとき

rf(t)eig(t)dt~_f(x) e i g < x ) i g ' ( x ) を示せ（何回も部分積分する）． + o o

類似の結果を，) f ( t ) d tが収束のとき，「0 0 / ( t ) e i g < nd tについて定式化せよ ( c )に x・

対応する場合は

I f(x)/g'(x)Iが減少で

1/x とともに 0に収束することを仮定する必要

がある）． 例 と し て ) taeit~dt

を考えよ．

1 7 ) 問題 1 6a ) ,b ) と同じ仮定のもとで，さらに f'(x)= o ( f ( x ) ) ,g ' ( x )= 0 ( 1 )と する．そのとき，次のことを示せ． n

2 Jf(k)eigCk>,._,F(n)eig

(a)の場合）

k=l

立(k)eig,._,1+ 1 F ( n ) e i g < n > i c

(b)の場合）

k=l

例として，

2 J炉 e c i

心 >0 , 0

1 8 ) J cR で定義された実数値関数 f が 2回微分可能で， 成立するとき，任意の

I で f"(x)~ 入>0 が

adtに 去

が成立することを示せ. ( [ a ,b] において f'(x)~0 なる場合に帰着せよ．

区間 [ a , b ]

を ， b-a>去 の と き ， a +去 で 分 割 し ， [a+-j い］で部分積分せよ．）

1 9 ) { r n } 心

1を

十 OO に収束する正の増加数列とする. r~0 のとき rn

n の数を N(r) とする. N(r) は [ O ,十o o [で区分的に連続である．

Oに対し

l i r nL(cr)/L(r)= 1 r→+ o o l o gL(r) が成立し，また l i m =0が成立する（整数の m について r=2mを考えよ）． r→+ o o l o gr c ) 数列 { r n } が正則であるとは， 入が正数， L が緩単調のとき N ( r ) , . . . . . ,戸L(r) の ときである．

このとき l o gN(r), . . _ ,入l o grで ，

また入は一般項が r ; ; c r なる級数が収束

であるような a>O の下限となる．入を { r n } の収束指数という． d)

C

が正数で，

fは区間

[ O ,c ] で区分的連続とする．

尼ふ旦 f(~) を示せ（まず階段関数について証明し，

c

次に，

このとき

C入

=~0

fを

J Cい） dt

[ O ,c ] において一様に階段関数で近

似せよ 第V 蓋 う ） ．

2 0 ) {a n} n ; ; , , 1 を正数列とする. tn= Ja1+ Ja2十 ． ． ． + Jan とおく a ) すべての an=1のとき， { t n }は ( 1+ , , / 5 ) / 2に収束することを示せ ( { t 社は 増加列で t 沿 =1+ t た 1 >t 1 1 を示せ）．

b) すべての n に つ い て 知 ＜ か の と き ｛ 仕 ｝ は 収 束 す る こ と を 示 せ (a) を用い よ）．反対に， an>e~\~> 2 ) が成り立つ無数の n があるとき，

この n の値に対し，

t n ) , ;exp((~/2) りが成立することを示せ． 2 1 )

fを [ O ,b ] で増加で， 0の近傍で漸近展開 J(x)= x-a疋 十 o ( x c x )

(ただし a >1 , a >0 )

をもつとする．

a ) 実数入 < 0 と c>Oが定まり f ( c nりー c ( n+ 1 )入 =o(nた 1 ) が成立することを示せ．

b) b'Oがあって Xn> c ' ( n+ p)入 が成立することを示し，

これから，

すべての m > Oに対し，

Xn+m> c ' ( n+ p+ m)入

問 題

93

を導け．さらに，すべての n に対し， ある q があって Xq Oに対し， Xq+m< c"(n+ m)入なることを導け．）

c ) とくに，任意の x>Oに対し， s i n心 =s i nx ,s i n研

=s i n ( s i nた

1 X )( n; ; ? =2 )と

おく．

s i n n x, . . _ ,. J釘 なることを示せ．

2 2 ) 有界でない集合 DcR2 で ; : ; : , ,0で連続な関数を R2 内の正方形 !xi 0 , o:0 , y> 0 で ， f(x,y )=(a+bx

>

ただし a> 0 ,b 0 , C >0 , S >2 ) ならば積分 ) ) D f ( x ,y)dxdy は収束 +c y ) sC することを導け．

b) 同じく D を第 1象限 X>0 , y>0 とし， がすべて収束するとする．

) 鳳 糾 dxdy, し )l 忍 ¥dxdy.

恥f(x,y)dxdy, このとき， 2重級数

fは 2回連続微分可能で，

ミJ!Cm,n) は収束することを示せ.

n z ; ; , 1 , n刃

) ) D¥o~、ア

次の積分

dxdy

(x,yについての部分積分

を用いて

◎ ,y)dy

f(m,n)ー に 十ldxr+l; n

を評価せよ．） これから a ) と同じ条件のもとで， 2重級数

~ ( a+ bm+ c n ) sが収束すること m ; , 1 ,n ; , 1

を導け． このことを，部分和 N

N

）

~(~(a+ bm+ c n ) s m = 1n = l を上から評価することにより，別証せよ．

2 3 ) h を整数;?:1 とする. n→ 十 O O のとき， 2つの定数 a >0 , b> 0があって 叫抄 4 hー l n 1s i n 2 - ~

が成立することを示せ．

an 2 ~ ミ n~bn 2 k = 1s i n 2冗k n （上の和において， K と n-kに対応する項ば等しいことに注

94

第I l I章 漸 近 展 開

目し，和を

l¾k¾[(½)112h] と [(½)_l/2h] < k 0 とする．

a ) a を 整 数 >1 , m を整数 >1 とするとき，かの形の整数 n で ¾X のものの 個数を N1(X) とする．十 00 の近傍で

N1(x)=O ( x 1 1 2 l o gx) を示せ (2m¾X,

a2¾X なることに注意せよ）．

b) a,b,c,d が整数 >1 で b,d はともに 2でないとき， 整数 n= 砂 +cd の n¾ X

をみたすものの個数を N氏x) とする．十 00 の近傍で

N氏x)=O ( x 5 1 6 ( l o gx)り を示せ C b>2 , d; : : ,3 としてよいこと，したがって c3¾X なることに注意）．

c ) a ) ,b ) から， a; : : ,0 , C ;::,0 , b; : ,2 , d; : ,2 のとき ab+cd の形で n¾X なる 整数 n の個数を N(x) とするとき，

すべての€

>0 に対して，

¾(3/4 + c)X なることを導け ( a 2十がの形の整数ほ，

十C0 の近傍で N(x)

4k+ 3 ,k整数の形にはなりえ

ないことに注意）．

2 5 ) すべての . e x >0に対し， n→十 C0 のとき +2cxn+…+n c x n, _ ,戸/(1 n 1 なることを示せ（入を適当に選び，翌 戸

— e吟

¥ ( t-¾tn e k c x lを，

Kが [ n入］以下のものと

それ以外のものとの和に分解することにより，上から評価せよ．）

2 6 ) すべての ex>0について n→十 C 0 のとき ( 1 ! ) c x l n+ c 2 1 y c x 1 n+…+( n! ) c x m, _ ,1 n

e xl o g n

を証明せよ． ¾[e:n] と p

（各項 ( p ! ) a ! nを n a p 1 n と比較し，

C

を任意の正数とするとき，和を P

>[e:n] の部分に分けて考えよ．）

2 7 ) fは，開区間 J O ,l [で区分的に連続で，広義積分)f(t)dtは収束し， OOに対して収束することを示した．明らかに x>Oに 対して r(x)>0 である．積分

= ) 炉(1-t)

( 3 . 1 .2 )

1

B(x,y)

曰

d t

゜

この積分は (xOに対して収束する．

変数変換 t'=1- tを行なうとわかる

を第 1種のオイラー積分またはベータ関数と呼ぶ．

ように

( 3 . 1 .3 )

B ( y ,x)= B ( x ,y )

であるから，点 0における積分の収束性を証明すれば十分である．

これは t=Oの近く

で fX-1(1_ t)Y-1,...,fX-1 (第皿章， 9節）であることから直ちに得られる．

3 . 2

ガンマ関数は， x>Oのとき，関数等式

rcx+1 )= xr(x)

( 3 . 2 . 1 )

をみたす． とくに n が正の整数ならば

r(n+1 )= n !

( 3 . 2 . 2 ) を得る（いいかえれば，

ガンマ関数はすべての正の実数

X

に対して階乗数列を《引き出

す 》 ） ． 事実， x>Oのとき，部分積分により

戸とdt=-txe-tl+。 ゜+ +=tx-le-tdt _ I。 X

であって，これから ( 3 . 2 . 1 ) を得る. rel)=) e 1 d t= 1であるから，

3 . 2 . 2 ) が得られる． 漸化式によって (

n についての

ガ‘ノマ関数のこの基本的な性質により，

x>

—1

の と き 訳X +1 ) の代わりに，ときとして x ! と書くことがある．

3 . 3

微積分学でしばしぼ扱われる多くの積分はオイラー積分に帰着される. 2 . 1に

おいてすでにわれわれは，公式

(3.3.1)

『tcie-ct~dt =~c-1, ~> 0 , C>0 )

を証明した．これから，とくに ( 3 . 2 . 1 )を考慮すると

1 0 2

第W章 パ ラ メ ー タ を 含 ん だ 積 分

し 臼dt= r(1+½) + o o

( 3 . 3 . 2 )

(x> oのとき）

を得る．一方また， ( 3 . 1 .2 )において t= s i n 2 0 と変数変換すると

( 3 . 3 . 3 ) が得られる．

3 . 4

＼ 冗1 2 s i n 2 x 1 ec o s 2 Y l 0de=l_B(x,y)

2

゜

すべての実数

C

(x> 0 ,y> 0 のとき）

に対して，関数 ( 1- f z y+n v ま n を 十 CX) にしたときの極限

値として e tをもっている． これを用いると次に証明される公式を得る．

逆［バ1- f z r + ndt

( 3 . 4 . 1 )

I ' ( x )=~

(x>0 に対して）

これを証明しよう．ある数 c>O が与えられたとする．

広義積分の定義により十分

小さい数 a>O と十分大きい数 A>Oが存在して

2 ) ・ Ir(x)-):txーle―tdtl¾E

( 3 . 4 .

が成り立つ. ( 3 . 4 . 1 ) を証明するには， n > Aに対して右辺の積分を考えれば十分で あって，

積分区間を 3つの別の区間 [ O ,a ] ,[ a ,A ] ,[ A ,n ] とに分ける．

c+A>Oであると仮定できる．

さらにまた

区間 [ O ,a] 内では 0¾1 - t/n¾1 であるから，

必要ならば aを，より小さい数でおきかえることにより（このことは ( 3 . 4 . 2 ) の右辺 の値を小さくするだけである）

( 3 . 4 . 3 )

「 バ o

1- _ ! _ y+ndt¾) りx-1dt = _!_が X n

を得る．

¾E

tc n/ 1 (-n )+ e t がこの区間で

この積分を [A,n]で評価するために，関数 < p n ( t )= 減少することを示そう．事実

( 3 . 4 . 4 )

網＝一 伽

c+n n ( 1-

+l=-c+t n-t

f )

( t )

であるから，関数伽 ( t ) は減少する．このことから

f y+n~q>n(A)e-t

( 1-

が得られ， q>n(A) は 1 に収束するから， no が存在して n~n 。に対して

( 3 .4 .5 ) を得る．あとは

[tx-1(1-

f y+ndt~2[tx-1e-1dt~2E

3 . オイラー積分 I ) : f x 1 [ e t-

1 0 3

t (-1;y+n]dtl

の評価が残っている．

e t- ( 1-

c + n _ ! _ ) =e→[l_ elogtl-t!nl+t］ n

2A に対して

い ― ! _ )+ tj¾2(c + n)勾＋幻旦 n n n n

j ( c+ n ) l o g

を得る．ここに C は tにも n>2Aに も 関 係 し な い こ れ か ら

( 3 .4 .6 )

I ( 1 x 1 [ e t- ( 1-

f y+n]dtI¾(1 - e C l n )t 1 x 1 e t d t

が得られる． したがって， n 1> sup(n。 ,2A) が存在して n~n1 に対して右辺は e よ

r

り小さくなる． よって n~n1 のとき (3.4.2), ( 3 . 4 . 3 ) ,( 3 : 4 . 5 ) を考慮すれぼ

j r(x)― 1 x 1 ( 1_½y+n d tI¾5c を得る．

3 . 5

これで証明が終わる．

゜

オイラーによる 2つの基本的な公式（ただし

X

>0, y>0)

がn ! f(x)=l i m n →= x(x+ 1 ) ・ ・ C x+ n)

( 3 .5 . 1 )

r(x)r(y) )= B ( x ,y rcx+y)

( 3 . 5 . 2 )

を証明するのに ( 3 . 4 . 1 ) を利用しよう．

3 . 6

次の補題を証明することから始めよう．

( 3 . 6 . 1 )

補題

B(x+ 1 ,y)= x B ( x ,y ) . x+y

このために

= ) 汽1- t)Y-1dt=―( 1- t ) X + y l d f t(1~tr

恥 +1 ,y)

と書いて，部分積分すると

=-C I ; — :);+y (1~t「 1: 十 X~Y t( 1-. t ) x + y(1~tr-l (1~t)2 =

X

X )(1- f)Y-lfX-ldt• +Yo

これで ( 3 . 6 . 1 ) は証明された．ベータ関数 ( 3 . 1 .3 ) の対称性を考慮すると，すべての整

1 0 4

第W章 パ ラ メ ー ク を 含 ん だ 積 分

数 n>Oに対して

B(x,n+ 1 )=

n B(x,n)=~B(x + 1 , n ) . x+n x

したがって， n について繰り返せば

n ! B(x十 n ,1 ) B ( x ,n+1 )= x(x+ 1 )・ ・( x n- 1 )

+

( 3 . 6 . 2 ) となるしかるに

『 =otx+n-ldt=x+n 1 tx+n『 =1 o x+n

B(x十 n ,1 ) であるから，

n !

B ( x ,n+1 )=

を得る．他方，公式 ( 3 . 4 . 1 ) によると， c=Oのとき変数変換 t= nu を行なえば

r(x)= limが B ( x ,n+ 1 )

( 3 .6 .3 )

H-+00

が得られて， B ( x ,n+1 )を ( 3 . 6 . 2 ) でおきかえると，オイラーの公式 ( 3 . 5 .1 )を得 る ．

3 . 7

一方，公式 ( 3 . 6 . 1 ) を n について繰り返して使うと

( 3 . 7 .1 )

)・ ・( x+ y+ n )B(x+n+1 B ( x ,y)=(x+ y)(x+ y+ 1 ,y) x(x+ 1 )…(x+n )

となり，したがって

( 3 . 7 . 2 )

)…(x+ y+ n )B(x+n+1 B ( x ,y)=lim(x+ y)(x+ y+ 1 ,y ) . n . . . . c o x(x+ 1 )…(x+n )

n が 十 C 0 になったときの，積分

= )tx+n(l- t)Y-1dt= 『 正(1- t)X+ndt『 =g(t)enhdt

B(x+n+1 ,y)

の主要部をみつけよう． ここに g ( t )= ( Y 1 ( 1- t ) X ,h ( t )= l o g ( l- t ) とおいた． 関数 h は [ O ,l [ で単調減少であるから，ラプラスの方法 ( 2 .3 )を応用することができ る．なぜなら， t=O の近傍で

g ( t ), . _ ,( Y l(y>0 ) ,

h ( t ), _ , _ t

である．したがってこれにより

( 3 .7 .3 )

B(x+ n+ 1 ,y ), . _ ,f(y)/n凡

ところがオイラーの公式 ( 3 . 5 .1 )は ( nが 十 C 0 の近くにあるとき）次の同値性を与

3 . オイラー積分

1 0 5

えている．

x(x+1 )… (x+n), . . _ ,

( 3 .7 . 4 )

nxn! f(x)

(x+y)(x+y+1 )…(x+y+n ) , . . . , , .

( 3 . 7 . 5 )

nx+yn!

I ' ( x+y)

そして nx+y= n叩であるから， これを ( 3 . 7 . 2 )に代入するとオイラーの公式 ( 3 . 5 . 2 ) が得られる． よって積分 ( 3 . 3 . 3 ) はガ‘ノマ関数によって表わされる．

f12s i n 2 x l 0C O S 2 Y l 0d0= _ ! _f(x)f(y2_ 0 2 rcx+y )

( 3 . 7 . 6 ) この公式で

X

=y=1/2 とおき，

r(l)=1を考慮すると

訳1 / 2 )=. / 石

( 3 . 7 . 7 ) これから，

が得られ，

(x>0 , y>0 )

関数等式 ( 3 . 2 . 1 ) を用いることによりすべての整数 n>Oに対

して

+½) = (n-{)(n-{)…½½.;元

r(n

が成り立つ．いいかえれば

r 化 ＋ ー ＝ 2 ) 1

( 3 . 7 . 8 )

・ ( 2 n- 1 ) 1 . 3 . 5・・

""五

である．とくに， ( 3 . 3 . 2 ) の中に x=2を入れると次式を得る．

「 。

c o 臼 d t= 1 -心

( 3 . 7 . 9 ) 3 . 8

2

いまやわれわれは主要部（第 m章 ， ( 1 1 .1 2 .7)) を再発見してはっきりさせ，

を使って，

+ o oの近くにあるすべての実数

( 3 . 8 . 1 )

X

それ

に対して，スターリングの公式

r(x), _ _ ,,/五x x ; e x

を証明しよう． ラプラスの方法を積分

)=)+oo e xl o gt t d t rcx+1

゜

O ,+co[ に応用しよう．被積分関数の tの関数は対数微分デー 1をもっていて，区間 J ではただ 1つの最大値を t=x の と き に と な 変 数 変 換 u= t/x を行なうと

「

rcx+1 )= x x + l c o e x h < u > d u

゜

1 0 6

第I V 章

パラメータを含んだ積分

が得られる． ここに関数 h (u)= l o gu- u はその最大値を u=l のときとり， h(l)= ー

1 , h"(l)=— 1 であるよって公式 (2.5.1) が応用できて f(X+1 ), . . _ .v ' Z iXX+2e-X

( 3 . 8 . 2 )

が得られる. ( 3 .8 . 1 ) を得るためには，

ガ‘ノマ関数の関数等式 ( 3 . 2 . 1 ) を利用すれば十

分である． これから，解析学でしばしば現われる．

《大数の関数》の主要部を導くことができる．

3 .8 . 1 )と ( 3 . 7 . 4 ) とから，すべての実数 a>Oに対して たとえば， ( ( 3 . 8 . 3 )

a(a+ l ) ・ ・ ・ ( a+ n), . _ ,

. / 2 冗

nn+a+~e-n

f(a)

の成り立つことが導かれる. ( 3 . 2 . 1 ) を考えると

rcn+ a +1 ) =a(a+ 1 )…(a+n)r(a) r(n+ 1 ) n ' が得られ， したがって

+

rcn a) , , . _ ,na r(n)

( 3 . 8 . 4 )

n ) nを 十

kn である． ここで， k>l を固定した実数とするとき， 2項 係 数 ( の

CO

にし

たときの値を考えてみよう． これは次のように書かれる．

( : )=kn(kn- 1)…(kn- n+ 1) n !

r(kn+ 1 )

=rcn+ l)r((k- l)n+ 1)

よって， ( 3 . 8 . 2 ) を使うと

( 3 . 8 . 5 )

） 『 (

,-.J

J 2冗(k~l)n

(ck_k;)k-lr

である． とくに， 2項定理による ( 1+x)2n の展開式における最大の係数は，豆の係数の

( 2 n )である. (3.8.5)から k=2 とすると， nが 十 n ( 2 n _竺 ( 3 . 8 . 6 ) n ), 心n が得られる． る ．

ガソマ関数は第I X 章で再びとり上げて，

C0

になるとき

さらに研究を深くするつもりであ

4 . 定常状態の方法

1 0 7

4 . 定常状態の方法

4 . 1

今度はまったく別の性質の積分

= )g(x)eithdx

I ( t )

( 4 . 1 . 1 )

b a

の行動を研究しよう． ここに g と h は実数値関数であって，簡単のため開区間 ] a , b [ で無限回微分可能であるとする． これは広義積分になりうる．そして十分大きな各実数 t に対して収束すると仮定する（しかしながら一般には絶対収束はしない）.tを 十 0 0 に したときのこの積分の行動を決定することが問題となる変数変換によって ]a,b[は有 界であるとつねに仮定することができる． 相当に荒い評価を与える 1つの補題から始めよう．

4 . 2

有界な開区間 ]a,b[において， g と h は次の条件をみたしているとする．

° 1 h は点 a,b のおのおのにおいて有限の極限をもち， h ' は開区間 ]a,b[において ' 0にならない

2 0 点 a,b のおのおのにおいて， g / h ' は有限な極限をもつものとする．そして

f x ( t

塁）は有限の極限をもっているか，またはこれらの点の近傍で一定の符号をもっ

ているかする．

4 . 1 . 1 ) はすべての実数 t>O に対して収束して， t= これらの条件の下に，積分 (

+ o oの近くで

I ( t )=0(1/t) である．

十分小さなすべての数 5>0に対して，

( 4 . 1 . 1 ) は部分積分によって次のように書か

れる．

( 4 .2 .1 )

= 上 ＼ か+66g (x) __ ! ! _(eith)dx i t a が( x) dx

r-6g(x)eithdx . a+6

=_ ! _ [g(b- o) eith_ g(a+ o)_eithJ ー 上 ＼ た6eithd i t h ' ( b- o )

h ' ( a+ o )

( 4 . 2 . 1 ) の右辺の積分を調べるためには，

C

i ta + 6

g(x)

石 (h'(x;)dx

と d を固定したとき，区間 [a+, oc] と

c a ,b- oJ における対応する積分を調べれば十分である事実，

l e i t h < x >I =1であるか

: e i t h < x i羞（晟悶）心の絶対値ほ tに無関係な数で上からおさえられる． ら積分 i

d g(x) ように，もし a 〖 b 〗において石（が (x)) が有限な極限をもつならば，

同じ

この積分は

[a+o ,c] fx(f 葛 ） jdx= ii:+ぶ応）凸 =I 闊—賢~: 誓 I を得る．この最後の項ほ 5が 0に近づくとき有限な極限をもつ. [ d ,b- 5 ] における積 分についても同じように論ずることができる．したがって，公式 ( 4 . 2 . 1 ) で 6を 0に近

tに無関係な数 A が存在して I ( t ) の絶対値は A/t でおさえら

づけることができて， れることがわかる．

4.3

4 . 2 の条件がみたされていると仮定する．

このとき（たとえば g(a)=h ' ( a )

= 0であっても， g / h ' の極限を形式的に g ( a ) / h ' ( a ) で表わすことにする）積分 I ( t ) は 十 0 0 の近くで一般化された主要部（第皿章， 7 . 6 ) をもっている．

( 4 . 3 . 1 )

I ( t ) , . . _ ,ピ

塁 ねi t h < b >-亨心 i t h< a > h ' ( a ) ]

i th ' ( b )

ただし右辺は恒等的に 0ではないとする． これは結局のところ

応 り

( 4 . 3 . 2 ) とおくとき

( 4 . 3 . 3 )

g 1 ( x )=fx(

: !

=o(l)

釦( x ) e i t h< x >dx

( tは 十 0 0 の近く）

の証明に帰着する．

e>0 が与えられたとする．上でみたように積分 ( 4 . 3 . 3 ) は絶対収束であるから， 数 :

戸lg1(x)ldx,;:;;;e:,

~b l g 1 ( x )I d x , ; : ; ; ;: e b 5 であるように釘>0を定めることができる．数 6を固定したとき， g lと hは ] a ,b[内 a

にある点

a+6 , b-6のおのおのの近傍で無限回微分可能であり， h'vまこれらの点で

0にはならないから，積分「 b 5釦 ( x ) e i t h< x >dxに 4 . 2の結果を応用することができる・ a + 5

4 "

定常状態の方法

1 0 9

したがって to が存在して， t~to に対して

I ) : :瓜

I~c: I~3c:

x ) e i t hc x idx

b

である．これにより t~to のとき 1 し瓜x)eith c x idx

が証明され， よって 4 . 3の

証明が完成する．

4 . 4

4 . 2 の条件がみたされていても ( 4 . 3 . 1 ) の右辺が恒等的に 0のときは，上でや

ったことから

し =

1 = ― 了 し 瓜

b

I ( t )

g ( x ) e i t h< x >dx

b

( + )

x ) e i t h < x > d x=o

さらに先に進むためには， g を g l でおきかえた同じような問題を考えなけれ

を得るが，

~ii;ょらない． この場合はこれから先は研究しない．

4 . 5

実際上，最も興味がある場合は次の場合である．

] a ,b [ の中で 0ではないとつねに仮定され， 近づくが，その点で g / h ' は 土 0 0 に近づく．

すなわち，

関数 h ' は開区間

この区間の端点の少なくとも一方では 0 に

a ,b ] を 2つに分割 もし必要ならば区間 [

すると，このことは端点の 1つ，たとえば点 a において現われると仮定できる．

( t )は 1 / t より大きな主要部をもち， って最も重要な場合には I

したが

これは a の近傍におけ

る gとhの行動にのみ関係することがわかるであろう．直観的には， tが非常に大きいと き ，

Xが

a から b まで変化するとき，点 g ( x ) e i t h< x > は複素乎面 C 内で 0 のまわりを

《非常に速く回転して》， 点で 0になるときは，

その結果積分を非常に小さくするということができる．

h ' が一

この回転の《速さ》はその点の近傍でたいへん《遅く》なり（《位

h ( x ) が《定常的》である）， 相 》 t

その近傍に対応する積分の主要部は残りのものより大

きな役割を果たしている． 正確な仕方でやるにはまた特別な場合から始めよう．

4 .6

a,~. a ,cを

Cキ

0 , 0 0である． 能であって
0 とする. tが +ooになるとき

「 ぶ 呼

心

dx, . . _ , 玩 凸e x p ( e 1 a t 1 1 c x )

であることを示せ．

2 ) 00 )

(-10 , ~> 0 のどんな値に対して，積分

『ext—炉t~dX,

) : c oe-Xt十炉t~dx,

):coe-xt-x"t~dx

は，すべての t>Oに対して収束するか．その場合 tを 0に近づけたときと， づけたときの主要部を見出せ．

7 ) 実の定数 a と

Pのいかなる値に対して，積分

+ o oに近

1 1 4

第W章 パ ラ メ ー タ を 含 ん だ 積 分

「叶

o o x cosx円dx

は収束するか．

（この積分を +oo~ 近傍で調べるためには，

各 積 分 )Oのとき減少するようなただ 1つの関数であることを示せ． b) y> 0が与えられたとき，関数

X→

1 =—, Y

B(x,y) は x>O のとき減少し

f(x+1 )=

f ( l )

X

f(x)

x+y

であるようなただ 1つの関数であることを示せ．

9 ) g と h を区間 [ O ,a ] 内で連続で > 0である 2つの関数とする. 0の近傍では g(x), _ . , ,A茫 ，h (x), _ . , ,Bx~ であるとする． ここに B> 0 ,a> -1, ~> 0 であって， μ . を

>(a+1)/~

r+

なるある数とする． このとき tが正の値をとりながら 0に近づくとき

g(x)dx , c t + 1μ , . . . , c t 了 ―

o( h(x)

t ) 1 1

(a+1< μ ~

のとき）

＼＼鸞↑が ,,...,clog+ ( 号 ! _=μ のとき） ,B ,a,~.µ とガンマ関数で表わされる 1つの定数であ であることを示せ． ここに C は A る. ( 2 , 3 におけると同じ方法によって， g と hをそれらの主要部でおきかえることので きることを証明せよ．）

r

例として Kが J O ,l [内で 1に近づくとき，次の関係を導け．

dx , , . . _ , l _log 1 1-k OJ(l- Xり( 1- k 2 x 2 ) 2

1 0 )

X

>0 ,y> 0に対して

1 1 ( 1- t ) Y 1- 1 dt =—+) f X X o t

B ( x ,y)

であることを示せ．そして一方 F の漸近展開と，他方 rcx+1 ) と rcx+y )の x = 0 の近傍でのテイラー展開を考えることにより f'(y) 1( 1- t ) Y 1- 1

L

f ' ( l )- f(y) =

であることを示せ．

t

d t

Cガウスの積分）

rC rはオイラーの定数）であることがわか （ 第IX章で f ' ( l )=-

る ． ）

1 1 ) 4 .2 の条件は hが点 a,bで有限の極限をもつという仮定を除いてすべてみたし 4 . 1 . 1 ) が t>O のとき収束しない 1つの例をあげよ (g=h ' ととれ）． ていて，積分 ( 1 2 ) t>0 に対して積分

『 OO

茫

e i t x d x

o( 1+x~戸

が収束するように実の定数 a,~.

要部を見出せ．積分

rを決定せよ．そのとき

tを 十 O O に近づけたときの主

問 題

「+

1 1 5

eixdx a (x t)~ OO

坪

についても同様のことをせよ．

1 3 )

fを [ O ,十co[ で正で連続的に微分可能であって，

十C 0 の近傍では 0 1 ) ,

2 J

e が—tn, n = 1

( 0n。に対してす べての x E Eにつき l g ( x )- hn(X)J~o を得る．

したがってすべての X E E とすべ

ての n>n。に対して J / ( g ( x ) )-J ( h n ( x ) )I~E を得る．

これが証明すべきものであ

る ．

2 . 7

上で定義した概念を値が複素ベクトルである関数 ( 1 .4 ) に拡張することは読者

にまかせよう．

3 . 一様収束列の性質 一様収束の概念の重要性は，次の事実に由来している．すなわち，一様収束する列に対 しては，非常に使い易い一般的な結果を自由にできるが，しかしこのことは点収束列に対 してはもはや役に立たない． 3.1

ある関数

{ g n } をある集合 E eRP で定義された連続な複素関数の列として， E の中で

f に一様収束するものとする．

このとき

f は E の中で連続である．

簡単にいうと，連続関数の一様極限は連続である．

a =( a 1 ,… ， a分 を E の 1点とする. f が a で連続であることを示すには， 定義に より，次のことを証明しなければならない． 与えられた数 c:>0が何であっても，ある eに関係する数 5>0が存在して， all~5 なるすべての xEE に対して，次が成り立つ．

( 3 .1 .1 )

l f ( x )-f ( a )I~c:

l l x-

3 . 一様収束列の性質

一様収束性の仮定は

C

にのみ関係するある整数 n。が存在して，

1 2 3

すべての n; : ? , ,n。と

すべての X E E に対して

( 3 . 1 .2 )

l f ( x )-gn(X)I~e:/3

の成り立つことをいっている．数 n。をこのように固定し，関数 gn。が点 a で連続な事 実を利用する.

￡

~このみ関係するある数 o>Oが存在して， X E E で l l x- allOが与えられたとき， EV このみ関係する整数 n。が存在して， n),n。なる

n に対して b

I~:1ct)dt — L釦 (t)dt I¾E

( 3 . 4 . 2 )

の成り立つことを証明するのが問題である． ， ( 3 .3 .1 ) ) を使うと 平均値の定理（第 I章

I~:f(t)dt -):gn(t)dtI, . ; ; ; ; ) :l f ( t )-g n ( t )I dt を得る．

一様収束性の仮定から : ev このみ関係する整数 n。が存在して， n ; ; ; , ,n。なる n

と，すべての tE J とに対して

( 3 . 4 . 3 )

1 / ( t )-gn(t)I¾e/(b - a)

の得られることが導かれる．平均値の定理（第 I章 ， ( 3 . 2 . 4 ) ) により，すべての n; : ; ,n。 し こ

r

3 . 4 . 2 ) を得る． 対して不等式 ( F(x)= すべての

= 「 釦

f ( t ) d t , Gn(x)

a

a

( t ) d t とおくと，上の証明から n; : ; ,n。なる n と ，

X E [に対して

( 3 . 4 . 4 )

IF(x)- Gn(x)I: : ; ;: e

の得られることに注意しよう．

x ) ( t ) d tv ， ま a 釦

いいかえれば，

a で 0になる原始関数の列 Gn(X)=

「 =

a で 0になる原始関数 F(x)

f ( t ) d tに一様に収束する．

a

3 . 4からまた次の系が導かれる．

3 . 5

l l 1十 l l 2+ … 十

束してその和

U n + ・ ・ ・ を Iで区分的に連続な関数の級数とし， Iで一様に収

f も区分的に連続であるとする．

( 3 . 5 . 1 )

r

「

このとき

( u 1 ( t )+u氏t )+ … +U n ( t )+…） d t

a

+~:

=):拓 ( t ) d t

U 2 ( t ) d t+…+~: U n ( t ) d t+…

が成り立つ（《一様収束級数の項別積分》）．

( 3 . 6 . 1 ) 注意

3 . 4 の結論は単に列 { g 社がある連続関数 f に点収束すると仮定す

れば違うことがあり得る．たとえば， { g n }を ( 2 . 3 . 1 ) で定義された列として hn(X)=

ng 氏x) とおく．直ちにわかるように，すべての xE J=[ 0 ,l ] に対して Iimhn(x)= 0 n→

Q;)

3 . 一様収束列の性質

1 2 5

を再び得る． しかるに，どんな n に対しても『加 ( t ) d t= 1 / 2である．もし h n を nhn

゜

でおきかえるならば，再び I imnhn(x)= 0 がすべての XE]に対して成り立つが， n→co

1

l i m )n h n ( t ) d t= + c o n→0 0 0

である．

( 3 . 6 . 2 )

ただし，列 { g n }の

条件ではない

fへの一様収束性は

( 3 . 4 . 1 ) の成り立つための必要

これもまた例 ( 2 . 3 . 1 ) の示す通りであって，そこでは『釦 ( t ) d t= 2 l _v ま n

0に近づく．

( 3 . 6 . 3 )

3 . 4 の結論は有界区問 Iを有界でない区間でおきかえたときにはもはや有

nに関係する）の外で 0にな 効ではないし，また関数 gn のおのおのがある有界な区間 ( って，

g n } が0に一様収束するときにも成り立たない． 列 {

このことの 1つの例は区問

[ n 2 ,( n+1 ) 2 ] の外では gn(X)= 0 , この区間の中では g氏x )= 1 / n ととることにより ( O ,g n )= 1 / n だから，列 { g n }は [ O ,十 o o [で 0に一様収束するが， 与えられる. d

「 釦

OO

( t ) d t= 1 c c n+1 ) 2ーが） 2n+1 n

n

は 2に近づく．

( J .6 .4 )

( 3 .4 .4 ) で見たように， Iで定義されて区分的に連続な関数列の一様収束

性ほ a で 0になるこれらの原始関数にいわば《伝えられる》． これが導関数に対してもそ のまま成り立つと信じてはいけない．微分は積分よりもはるかに扱いにくいという原理は このことから明らかである．

O ,冗］において，関数 g氏x)=¼sinnx たとえば， I=[

の

列は 0に一様収束するが品 ( x )= cosnx. したがって n~1 が何であっても d(O, g~)

=1 である． 3 . 7

3 . 4 の結論は仮定をもっと弱めても得られる事実，一方で列 { g n } が Iで

一様に有界である． いいかえると， tEIが何であっても， ある数 M>O が存在して lgn(t)I~M である，

そして n が何であっても

と仮定しよう．他方 Iの中に有限

個の点

a=a。 d x

。

であり，各 N について

~1/ng(x)eNhcx>dx lim O =1 n →" 'ring( x ) e N h。 C x > d x

。

であることが，第皿章， 1 0 . 2 よりわかる．

4 . 正則化

3 . 9

この節のすべての結果は直ちに空間

1 刀

e nの値をとる関数に拡張される．

4 . 正則化

4 . 1

歴史的には微積分学の初期の時代に研究された実変数の連続関数（それはまた

応用上しばしば出会うものでもあるが）は無限回微分できる関数という意味においてたい

I章で定義し研究する概念である解析関数に （これほ， 第V

へんに《正則》なものである．

ついても同じことである．） これに反して，

さらに一般な連続関数を研究しようと望むと

き，これらがたいへんに意外な性質をもつことのあることに気が付くであろう．たとえば 各点で微分可能でないような連続関数ヵ只そうである（これはそのグラフを描くことができ ないことを意味している）．

幸いなことに， 有界な区間ではすべての連続関数を無限回微

分可能な関数で一様に近似することができることがわかる． このことが理論的と実際的な 研究をしばしば大いに容易にしているのである．

4 . 2

われわれの出発点とする考え方は各点における関数を，

その点を含んだ小さな

区間におけるその値の《平均》でおきかえることにある．正確にいうと，

fを R 全体で

定義された区分的に連続な 1つの複素関数とする．すべての X E R と，すべての h>O に対して，区問 [ x-h ,X +h ] における

によって定義される．（これは，

リーマンの和を利用することにより，区間 [x- h , x+

h ] 内の適当に間をあけた点における X

x+h

/ h ( x )=-) f(t)dt 2h x-h

( 4 . 2 . 1 )

数 f が点

fの平均値は積分

1

fの値の算術平均によって有効に近似される．）関

で連続なときは， I imfh(x)=f(x) である． h→O

事実，

すべての : e> 0 に対

して，仮定によりある 6>0が存在して， x-6 で表わす．不連続関数 < j > h を，連続であ って無限回微分可能な関数 p n , そのグラフはある意味で < j > h のグラフの《近く》にある ものでおきかえることにより， 4.2 の過程が改良されるのがわかるであろう（図 1 6 ) .

4 . 4

正確にいうと， R で定義されて次の性質をもつ関数 pを考える．

4 . 正則化

1 0

p は R で連続でありかつ ~o であって，

° 2 ( 4 . 4 . 1 )

「

1 2 9

xCX では 0になる．

0 0 p ( x ) d x=1である．

y

-oo

0ではないとすると，

Y=0 を -oo

得る（第 I章 ， 3 . 2 ) . したがって p を p/~ でお

0 をみたすこと きかえると《正規化》の条件 2 に注意する．） -h O h

すべての整数 n~l に対して

( 4 . 4 . 2 ) とおく．

P n ( x )=np(nx)

X

図 1 6

関数 P n vままた性質 1 0 をもっているが．区間[a : / n ,a : / n ] の外では 0である

7 ) . その上，変数変換 t=nxにより （ 図1

「

「

n 0p(nx)dx=. 0 0 p ( f ) d f= 1 - o o ・ - 0 0

を得る． したがって正規化の条件 2°v まP n に対しても確かめられる． こうすると，

fが

連続であるようなすべての点で

l i m ( /*Pn)(x)=f(x)

( 4 .4 .3 )

n→-co

であることがわかる． y

-Cl

c t

＿ 竺 〇 竺

n

X

n

図 1 7

事実，変数変換 t = X - U により

( 4 .4 .4 )

+ c o

= ) ご((x- u)pn(u)du

(f*P n ) ( x )=LJ(t)p氏X - t ) d t

と書くことができる．

正規化の条件により，

p n ( u ) は区間 [-a/n,a / n ] の外では 0 で

1 3 0

第 V章 一 様 近 似

あるから

「 =

f ( x)- Cf*P n ) ( x )

(f(x)-f(x- u))pn(u)du

00

-oo

=)a1n (f(x)-f(x-u))pn(u)du a 1 n と書くことができる． て ，

n>n 。なる

n

仮定により， と

すべての与えられた e>Oに対して，

lul~a/n について lf(x)

-f(x- u ) !~e

n。が存在し

が得られる.

P n

は正であるから，平均値の定理と正規化の条件とにより

! ) ご こ (f(x)-f(x- u))pn(u)du¥

( 4 . 4 . 5 )

< rln l f ( x )-f(x- u )j Pn(u)du< E~ct:ln Pn(u)du= 8 a : 1 n a l n が導かれるが，これでわれわれの主張は証明された．

4 . 5

R の有界な閉集合 I=[ a , b ] で連続な複素関数は Iで一様連続であることは

知っている（第 0章 ， 3 . 4 ) . これは，すべての E>Oに対して， Ev このみ関係する数 6>

Oが存在して， Iの任意の 2点 x , x 'が Ix-x ' I< 6をみたすならば， lf(x)-f(x')I この結果により， 4 . 4 の結果を改良することがで

0) において，列 { f*P n }は 定により n。を j a / n。I0) に対して，関 数 f*P nvま n が十分大きければ，正確には l a / n lO と h ; : ; : , ;1のとき

g c h l ( x )= 凡 ( x ¥ 1 1 x 2 x 3 h

( 4 . 8 . 3 )

を示せば十分である． ここに P氏x) は多項式である．そこで，この式を微分すると

g < h + 1 >( x )=(吹拉＿翌年 x 3 h x 3 h + 1

氏x) e 1 1 x 2 + 2xP 3h+3)

加 1 ( x ) —e-11x2 ＝ Px 3 < h + 1 >

を得る． ここに Pいは多項式である．これでわれわれの主張は証明された． こうしてお くと，関数

p ( x )=g(x+a)g(a- x)

( 4 . 8 . 4 ) は条件 10

ある

と 4.4 をみたし， R で無限回微分可能であって— a0 で

これにある定数をかければ，正規性の条件 ( 4 . 4 .1 ) をみたすようにつくることが

できる．

5 . ワイエルシュトラスの近似定理

5 . 1

4節で述べたたたみこみのやり方を少し異なった形で応用すると， 有名なワイ

エルシュトラスの近似定理を証明することができる．

5 . 2

有界な閉集合 [ a , b ] で連続なすべての複素関数 f は [ a ,b ] 内で多項式によ

って一様に近似される． 初めに f(a)=f(b)=0であると仮定できて， ととることにより，

さらに [ a ,b ] の外では f(x)=0

fを R 全体にひろげられることに注意しよう．

事実，

もし条件

f(a)=f(b)=0がみたされていないならば， C< a ,b< d なる c , d をとり，より

5 . ワイエルシュトラスの近似定理

1 3 3

大きな区間[￡;,d]を考え， f を [ c ,a] O が存在して lf~(t)I < M で あると仮定しよう．列 Un} が I も あ る 極 限 様収束することを示せ．（すべての [a,~] に分割し，

fに点収束するならば，これが

E >0に対して，

これらのおのおのにおいて，

Iを

Iで一

(E に関係する）有限個の区間

すべての整数 n とすべての X E[a,~]

に対して lfn(x)-fn(a)j¾E の得られることに注意せよ．）

3 ) {!n } をある開区間 Iで p 回微分可能な実数値関数の列とする.

I で列 { fn}

は P 回微分可能なある関数 f に点収束すると仮定しよう. l0 と点 x。E lが何であってもある整数 N が存在して，各 n

~N に対してある点ぶが存在して

。

l 知 ー x 1 0 に対して，

は収束して s=limsn であることを示せ． ・n→co

るある整数 m。が存在して

A m o + l+… +Am+

…¾E

であることに注意せよ．他方，すべての m に対して

l a。 I+!ail+…+l a叫 < A 。+A1+…+Am+…

C

にのみ関係す

問 題

1 3 7

の得られることも注意せよ．）

5 ) Fを ; : ; ; ,0な実数値関数で R で区分的に連続で，広義積分) F(t)dt は収束す -co るものとする. Un} を R で区分的に連続な複素関数の列で次の性質をもつものとする。

1 0 すべての n とすべての tER に対して

I /n( t )I 0 に対して，

r AF(t)dtOのとき R で連続なことを示せ Cf の不連続点の近傍で起こることを調べ よ ） ．

7 )

fを R で区分的に連続な実数値関数で，ある有界な閉集合 [a,b]の外では 0で

あるとする．

a ) すべての

C :

>0に対して，ある有界な閉区間の外で 0になる連続関数が存在して，

fk。に対して収束することがわかっている （ 第i l l章，問題 2 9 ) . すべての整数 n>l に対して a>Oが存在して J(k。+na)= 0な

t f( t ) d tならば， F は x;,,O らば， f は恒等的に 0であることを示せ. (F(x)=)xe-k。 に対して連続で有界であって， k-k 。=naのとき

「

o o e < k k紅 F ( t ) d t= 0

゜

であることに注意せよ．適当に変数変換をして問題 8を用いよ．）

1 1 )

fを区間

[ O ,+ C X ) [で連続な関数で， 0を含まないある有界な閉集合の外で 0で

あるとする．すべての z>Oに対して，ある多項式 Q(x) が存在して

r00J/(X)- Q(x)Je-XdX¾c であることを示せ．（変数変換 t=e ―xにより，まずある多項式 P ( t ) が存在して ＼ 十0 0 J f ( x )- P ( e x )Je-xdx¾c:

の成り立つことを示せ．

次に第 W章の問題 1 8を利用せよ.) fが [ O ,+ C X ) [で有界で連

続関数のときもまったく同じ結論の得られることを示せ．

1 2 ) 問題 1 1より， R で有界な連続関数 f に対してある多項式 R(x) が存在して

化 f( x )- R(x)I e-x2dx¾c: 一0 であることを導け

C fが奇関数であるか， fが 0を含むある開区間の中で 0になる偶関数

かに分けて考えよ）．

1 3 ) a ) すべての x>Oに対して ( * )

= ) 十00tx-1e-tI0gtdt

f ' ( x )

であることを示せ． ここに積分は絶対収束である．（すべての n に対して，積分

gn(X)= r f X 1 e→I o g t d t 1 ; n を考えて， O o ,r'>O) でそれぞれ収束すると仮定 を考え，これらは開円板 I

しよう.g(z) を ( 4 . 3 .1 ) の Zに代入しようと望むならば，すなわち，級数 f(g(z))=

ミ 知(g(z)戸をつくろうと望むならば，

m=O

l g ( z ) I < rであるときにのみ意味のあるのは

明らかである．実際， f(g(z)) をある整級数の和として得るためには，もっと制限した仮 定を設けなければならない．整級数 G(z)=l b 。I+ib1iz+… +J b n lが十．．．

( 4 .3 .3 )

アーベルの補題 (2.2) より整級数 g(z) と G(z) は同じ収束円板をもってい

を考える．

ることが導かれるよって次の定理が成り立つ．

4.4

ある数 r" で 0< r"Oに対して絶対収束するならば，すべての整数 N に対して N

xk 区 IJ(O)I訂 ~2Je-ne がX

k = O

n = O

であることに注意しよう．） 3 ) { a n } ,{ b n } を複素数の 2つの列とする． a) 卯 =a 1+a 2十・・・十 a n ,⑯ =0) とおく. n~1 のとき an= G n- (1た 1であ

る ． これから n 1 am加十・・・十 aふ =2J卯(bk- bk+D- a加 ー 1 如 ＋ 卯b n . (アーベルの変形法） k=m b) もし列 { a n } が，列｛叫が有界であるような形で，列 { b n } が > 0なる実数か

らなり，単調減少で Oに近づく列ならば，級数

( * )

s= aふ 十 aふ ＋ … 十 an妬＋・・・

が収束して， A =sup!叫とおくとき， Isl~Ab1 であることを a) から導け． n

c ) ° 1 列｛卯 / . / n } は有界. 20一般項が lbn- bn+il. / nである級数は収束する・ 3°limbn. / n= 0 であると仮定する．このとき級数（＊）が収束することを示せ． n心

4 ) a) { a n } が実数の減少する列で 0に近づき一般項が an の級数は発散するものと するならば，整級数 a。+a1Z十・・・十 anが ＋ … の 収 束 半 径 は 1であって点 z=l を除 い て 円 周 図 = 1 のすべての点で収束することを示せ（問題 3b) を利用せよ）．

1 7 0

第V I 章解析関数

b) 一般項が (-1)只 加z n / nである整級数は収束円 i z l=1のすべての点で収束す るがこの円のどの点でも絶対収束しないことを示せ. ( z=1の場合と Zキ 1である場合 とにわけて考えよ．あとの場合，問題 3 c ) を用いよ．） 5 ) 整級数 c。 +C1Z+・ ・・+CnZn十．．．を考える． ここに係数 Cn Vま次の方法で定義さ

n=Pn/n で Pn vま kl が n を割るような整数 k~l の数を表わす． れる. C

この級数

の収束半径は 1であって， rを有理数とするときすべての点 z=e x p ( 2 r i 1 t ) でこの級数 これに反して z=e x p ( 2 e i ' l t ) に対してはこの級数の収束するこ

は発散することを示せ． とを示せ．（有限和

2 J + ,2 Jか 釘 k=h・n=m K

Nk

n

の研究に帰着され，すべての整数 k; ; ? ;1に対して

1 ¾k!e - [k!e]¾

k+l

e

k+l

であることに注意せよ．）

6 ) 0のある近傍で解析的な関数 f で ， n が +oo に近づくとき

1 ( 心 ）= ! ( 2 nい ） =¼ なる性質をもつか，

また n が +ooに近づくとき f (l/n)=!(— 1/n)

=1/が な る 性

質をもつものは存在するか．（関数 f (z)-2 z または関数 f(z)-z 3 を考えよ．）

7 ) a ) z=0 のある近傍で解析的な関数で， 0に近づく R の異なる点の列 { a n }で は実数値をとるものを

f とする.

b) f が点 a n で実数値をとり， あるならば，

． ，

0の近傍では

f ( z )=f(z) を示せ．

さらにすべての n について f( a 2 n )=f ( a 2 n + 1 )で

fは 0のある近傍で定数であることを

a ) から導け．

8 ) rを [ O ,十o o [の C の中への写像で l r C t )Iが tとともに十 0 0 に近づくものと する．関数 e r < t >v ま tが +ooに近づくとき，吸r C t ) が 一 CX) に近づくときにのみ，あ る極限に近づくことを示せ．

9 ) の得られることを証明せよ．

戸 『dt=区 n-n co

゜

n=l

1 0 ) 2つの行列

A=( 心 ; ) , B=(~ ）ぶ が与えられたとして， e A+Bキ eAeBを示せ．

1 1 ) a ) f をある円板 A:l z l< Rで解析的な関数とする. O R) で解析的な関数とする．すべての r>Rに 対して， M(r) を 1 / C z } Iの l z l= rにおける上限とする. I Z I>rに対しては 1 / C z )I

~M(r), f が定数でないならば， M(r) は rの単調減少関数であることを示せ． 1 4 ) f を n次の多項式とする．問題 1 1 の記号を使うと， 0< r 1< r 2 ならば M(r1)),M(r2) r n r 夕 の得られることを示せ．

1 5 ) q >を

X),0 のとき定義され正の値をとる関数で， X

n なるものとする. n),2に対して k 1= 1 ,k n> k n 1 ,(nの列 { k n } が存在するならば，関数

とともに増加して十 C 0 に

k n

1 ) > q>(n+ 1) なる整数

n~1)知

f(z)= q > ( 2 )+ 1+ n=J 2j

は整関数であって，すべての x),0 に対して f( x)),q > ( x ) であることを示せ．

1 6 )

f(z) を整関数

z 2 m + 1 z 2 n m + 1 十...+( -l)n +・ ・ ・ 3 !(2m+1 ) ( 2 n+ l ) !(2nm+ 1 ) とする. tが +ooに近づくとき， I f( t e< 2 k 1 lit 2 m )Iv ま+oo に近づくが， f ( t e k iI m )は 十 sinxm 1~k~2m のとき有限な極限 eki冗Im~ o xm dxをもつことを示せ．

z-

冗

冗

00

1 7 ) J(z)= a。 +a1Z+・・・+anが ＋ … を 収 束 半 径 1の整級数とする． a ) 級数 s=a。 +a1十・・・十 an+・・・ は収束すると仮定する.

X

が実数で D c C での解析関数とする．％が D の点ならば，点 おける

fのテイラー級数は， D に含まれるような

， -z。l0

で有限とする．このとき，その級数の収束円板 D: i z i< Rの境界点で fに関し特異な

1 . 解析接続と特異性

2 1 1

点が少なくとも 1つは存在する． 実際，もしそうでないとすると， し ，

U

( l u i=R であるような）

D の任意の境界点

uに対

を中心とし半径 > 0 の 開 円 板 ふ と ふ で 解 析 的 な 関 数 釦 が 存 在 し て D n、 ム

では gu v ま f と一致する．さらに， し，共通部分ふ ぜならば，

J u l =i u ' I=R である 2つの異なる点 u ,u 'に対

nふ，が空でないなら，

関数 gu と gが Vま ふ

n△u' で一致する．

な

そのとき共通部分 D nふ n △がしま空でない開集合で（図 3 6 ) , そこでは仮定

固 3 6

fに一致し，山 n△u ' v ま連結だから解析接続の原理（第VI章 ， 7 . 3 )により結論が得られるからである．いま， D と U が円周 l u l= Rを動くときのす べての山との合併よりなる開集合を D' とする . D では fに等しく，各円板ふでは より関数釦と gがは共に

gu に等しいという条件により関数 g を定義できる．

上に述べたように D' の 1点では

'での関数を定義し，明らかに解析的であり ただ 1つの値しかとりえないから，それは D

fの接続になっている．定義より，円周 l u l= R の点はすべて

D' に属し，したがって

D'に含まれるような中心が 0の最大の開円板 D。V ま半径 Ro>R をもつ（第 0章 ， 5 . 6 )・ ゆえに点 0での g のテイラー級数は D。で収束する（第 V I I 章 ， 7 . 3 ) . ところが， この級数

2 1 2

第V l [章解析関数の特異点；留数

fのそれと同一であり，かくしてわれわれは矛盾に到達し，命題は証明された． 1 . 2 Iが領域 D での解析関数であるとき， D の境界点がすべて fに関し特異で

は

あるということが起こりうる（問題 2 ) . このとき， D よりもっと大きい開集合での解析関 数へのどんな

f の接続も存在しない

しかし， D のある境界点は正則であり，

このような D を関数

f の《存在領域》という．

他の境界点は特異である場合が多い．

もっとあ

とになって (8.7) 解析接続の問題を引き起こすことになる難かしいことが出てくるであろ う．まずわれわれはとくに簡単な場合として孤立境界点の場合をくわしく研究しよう．

2 . 孤立特異点，ローラン級数

2 . 1

D を C における開集合とする. D の境界点 a が孤立であるとは， a を中心

とする開円板 11:lz-al Oが存在して，

仮定より，任意の e>Oに対し，実数 r 。

O m なら極限

最後に，孤立零点の原

理（第VI章 ， 3.2) より， aを中心とする開円板 Aが存在して，△ で f 1 ( Z )キ 0 とできる・ i i i ) が示される． これから (

3.5

開集合 D e c と D の孤立境界点である点知の（有限または無限の）列が与

'は えたられとき， D と an の集合との合併集合 D の便宜上， D で解析的な複素関数

再び C での開集合である．

用語

fvま，各 an が fの正則点または極であるとき， D'

で有理型と呼ばれる．明らかに， D' で有理型な 2つの関数の和と積もまた D' で有理型

'で恒等的には 0でない有理型関数 fの零点を（有限または無 である. D'が連結なら， D b n } に並べうることが示される. D" を 加 の 集 合 の D における補集合とす 限の）列 { ると， a n および b n は再び D" の孤立境界点である．

実際，加が孤立であることは，

4 . 留数定理

孤立零点の原理（第V I 章 ， 3 . 2 )そのものであり，一方，

2 1 9

zが極 an に近づくとき， 1 / ( z ) [

は 十 CX) に近づく ( 3 .3 ) から，この極の近傍であって零点 bmのどれも含まないものが存 在するからである．このことから関数 1/f もまた D' で有理型なことが結論される．

4 . 留数定理 4 . 1

v ( z )=~dnZ" を C での整関数とする．

任意の aE C と任意の閉じた道

n=O

了 ：

I→ C で a戸 ( I ) とに対し，次式が成り立つ．

( 4 . 1 . 1 ) a から

d 1 j ( a;r ) )v(1)dz=2冗i

r z-a

r C J )への距離を o>Oとする．級数 2 jむznv ま に IO の点であるとき，開集合 D'=D - { a i ,a 2 ,… ， a n } で解析的であるとす

ゞ

a20~

．

a1

T i

R

。

-R

a n X

図 3 8

る（もちろん， これらの半乎面をそれぞれ fZ¾O と fzl a叶となるようにとる．そのとき，任意の K に対し， j(ak;r)=1 となることが I I 章 ， 6.6), その結果留数定理は，次のように書ける． 直ちにわかり（第V

( 5 . 1 .2 )

T

n

2 JResa,.,f k=l

rRf(x)dx+L/Cz)dz=~f(z)dz = 2 1 t i

2 2 2

第珊章

解析関数の特異点；留数

さらに

腔 」r2,

( 5 . 1 .3 )

丑

f(z)dz= 0

ならば， ( 5 . 1 .2 ) より極限に移ることによって次式が導かれる．

『 00f(x)dx= 2ii JResa1cf ―

( 5 . 1 . 4 )

冗

k=l

0:,

例

5 . 2

まず，

f( z )= P(z)/Q(z) が有理分数関数であり， P と Q とは互いに素

な多項式であって， Q のどの零点も実数ではないとする．さらに，

d e g Q ; , , :degP+ 2

( 5 .2 . 1 )

5 . 1 .4 ) が成り立つ． とする．このとき， ak を .Yak>0 である Q の零点として，公式 ( 実際，

P(z)= c o 呼＋…十 C m ,

Q(z)= b。が十・・・+b n

で C oキ 0 , b。 キ 0 とすると，第 V I 章 ， 9 . 4の計算より，実数 Ro>0 が存在して， R~ R。に対し，

IP(Reit)I~2lco1Rm,

I Q ( R e i t ) I>l b o l R町2が成り立ち， したがって 5・ 1

の記号を用いて，

恥，丑 f(z)dzj 叶。崎靡訃Rdt~41 月 Rm+1ーn となり，条件 ( 5 . 1 .3 ) が示された． たとえば

( 5 . 2 . 2 )

「C注+ 0 0 0

dx =竺 1 ) 3 8

が成り立つことを示そう． この場合，半平面 fz>Oでの極は点 iただ 1つであり，

「

0 dx・ =2 冗i Resif ( x 2+1 ) 3

-co

である．点 iにおける留数を求めるために， Z=i+t とおいて t . =0 の近傍で 1 / tの 項まで展開すると，

1 1 1. 3 3 t 3 t 2 ) 3= . t 3 ( 2 i+ t ) 3= ― 即( 1+½) =—心(1 - 万 ― 了 十 o ( t ( z臼 1

） り

となり， したがって，留数は}いこ等しく， ( 5 . 2 . 2 ) が成立する．

5 . 3

m > O として， f(z)=g ( z ) e m i z とする．

で解析的である．そのとき，次の補題を用いる．

ここに g~ま

D'=D - { a 1 ,・ ・ ， an}

6 . 留数定理の方程式の解への応用 ( 5 . 3 . 1 ) ジョルダンの補題

Rが

+ o oに近づくとき，積分 (m>0 )

＼ 冗R !eimReit!dt

( 5 . 3 . 2 )

2 2 3

゜

は有界である．また，十 C 0 に近づく列 { R n }で，関数列 g ( R n e i t ) が区間 [ O ,冗］で 0に 一様に収束するようなものが存在すれば，対応する積分の列

~T2,Rnf (z)dz= i ) : g ( R記） R n e i m R n e i t e i t d t は 0に近づく． 実際，

I e i m R e i t =e m R s i n t であり， s i nt= s i n ( 冗一 t ) だから， J

冗/ 2

) 1 te m R s i n td t= 2 ) e m R s i n tdt 0

と書ける．

0

区間 [ O ,冗/ 2 ] では t a n t ; ; ; : ,tだから，

s i nt / t は減少関数で，

したがって，

s i n t / t ; ; ; , ,2 はあるいは s i n t ; ; ; : ,2 t はである．ゆえに，上からの評価 ) 1 t 1 2 e m R s i n t d t , : : ; ; )1 2 e 2 m R t 1dt, ( 冗 o o 2mR 冗

冗

が得られ，これより補題が示される． たとえば，

( 5 . 3 . 3 )

＼ 砂 竺sxdx_= ~ e-a o 炉＋が

2a

(a>0 )

が成り立つことを示そう．

被積分関数は偶関数も関数 sinx/(茫＋が）は奇関数だから，積分は—1『OO 庄dx2 2 炉 +a にも等しい． したがって， g ( z )=1 / ( が＋が）の半乎面 YZ>0での極は 1位の極の点 -oo

a iただ 1つだから， ( 5 . 3 . 1 ) が適用できる.

(4.4.4) より Resad=~

で ， ( 5 . 3 . 3 )

が示された．

5 . 4

十∼に近づく実数 >0の列 { R n } に対し，積分の列) f(z)dz が必ずし T 2 , R n +oo も 0でない極限値に収束するときも，先述の方法によって)-oof(x)dxを計算することが できる（問題 9 ) .

6 . 留数定理の方程式の解への応用 f を開集合 D c C での解析関数とする．方程式 f(z)= 0 を解くことは， D におけ る

fの零点にいくらでも近い値を得ることに帰する．

もちろん，このことは実変数の関

数に対する同様の問題（第 I I章 ， 1節）よりさらに困難な問題である．しかしながら，根の

2 2 4

第珊章解析関数の特異点；留数

《分離》という少なくとも理論的な方法が利用される．

すなわち，開集合 A c Dを定め このことは，

て ， A に属する方程式の根の個数を正確に知ることである．

留数定理の次

の結果による．

6 . 1

D e cを単一連結領域とし，

fは

D で有理型な関数 ( 3 . 5 )で ， D において

i ,・ ・ ，b n と有限個の零点 a 1 ,… ,amしかもたないものとする． 有限個の極 b に含まれる任意の閉じた道

このとき， D

r=I→ D で rU)が fのどの極もどの零点も含まないよう

なもの，および D で解析的な任意の関数 g に対し，次式が成り立つ．

→臀dz=2疇i j(ak;r)w(ak;f)g(ak)

( 6 .1 . 1 )

Lgc

嘔 j(

加； r )w( 加； f)g(b 心

+2

fの零点でも極でもないとき， 点 C は関数 ! ' I fに関し正則であることを ' I fに関し位数 注意しておく． これに反し， C が fの零点または極ならば， C~ま ! C E Dが

砥 C; f )(3.1) に等しい留数をもつ 1位の極である．実際，

C

の近傍では

f(z)= ( z-cYf1(z) (c;! ) , f1ま し と書ける． ここに， r= w

C

で解析的， / 1 ( c )キ 0 である． これから

偽ぃ；で＋摩 が導かれ，

Cは

!Uf1に関し正則な点だから，結論が得られる．公式 (6.1.1) は ，

この

結果と留数定理との直接の帰結である． とくに， g ( z ) として，定数関数 1をとると，

第V l I 章 ， ( 2 . 2 . 3 ) と指数の定義とにより

次の事柄が成り立つ．

6 2

6 , 1 の条件のもとに， r:1→ C を閉じた道

t →I C rC t ) ) とする．

このとき

2 Ji(ak;r)w(ak;I)+ 立c加； r)w(bh;!) m

( 6 . 2 .1 )

j(O;r)=

k=l

/ z = l

が成り立つ． 特別の場合として， I~ま D で解析的で， D において有限個の零点しかもたないとし，

閉じた道

rが次のように選ばれた場合を考える．

( l ) が 2つの開集合 A,B 集合 D - r

の合併で， A では j (z;r )= 1 , B では j(z;r )= oとする． このとき，

6 . 留数定理の方程式の解への応用

2 2 5

2 Jw(ak;f)=j(O;I')

( 6 . 2 . 2 )

QkEA

が成り立つ．ここに，左辺の和は akE Aであるすべての添数 k にわたるものとする．

fの零点の個数》と呼ぶ．

これを，《重複度を考えた， A における

その個数の決定は，

I I章 ， 6 . 6で述べた一般的方法が利用される． 指数の計算に帰着され，それには，第 V

6 ° 3 例 関数 f (z)= が 十 z vま整関数である．複素数 a が条件 ° 1 fa>O; ° 2 fa=冗ならば，吸a >-l をみたすなら，方程式

( 6 .3 . 1 )

が十

z-a=O

は ， Osup(Ja,冗）が成り立つことを示せば十分である （関数 t十 訊 s i n t vま to~t~ 冗に対しては減少である） . c o sto=-(R+l ) e Rだ から， R が十分大きいことを考えて

d j , s.mt。>万J―万,

c o s t。 ; ? ; :

J万 CR t o十 訊 s i nt 。>万―

が成り立ち，われわれの主張が示された. fa>冗 か つ 須 a Oが存在して， lz-z。 l¾r で I ( g ( z )-g ( z。 ) ）/ g ( z o )I¾1/2, し た が っ て l g ( z ) ! ; ? ,! g ( z o ) l / 2 とできる. f(z)= w は u ( z )= ( z- z 。 )k-(w- w o ) / g ( z ) とし ( z )= 0とも表わされる. v ( z )= ( z-Z o ) k とおいてルーシェの定理を援用して方 てu 程式 u ( z )= 0 と v ( z )= 0 を比較しよう．実数 p>O を p