Сказки мнимого мира. История о √-1 [1 ed.] 9785970608227, 9780691169248

Citation preview

Пол Дж. Нахин

Сказки мнимого мира История о –1

An Imaginary Tale The story of –1 With a new preface by the author

Paul J. Nahin

Princeton University Press Princeton and Oxford

Сказки мнимого мира История о –1 С новым предисловием автора

Пол Дж. Нахин

Москва, 2020

УДК 530.1 ББК 22.31 Н12

Н12

Нахин П. Дж. Сказки мнимого мира. История о  / пер. с англ. А. А. Слинкина. – М.: ДМК Пресс, 2020. – 342 с.: ил. ISBN 978-5-97060-822-7 Эта книга читается как увлекательная история, чуть ли не биография, одного из самых неуловимых и вместе с тем вездесущих «чисел» в математике. История берет начало еще в Древнем Египте, но европейская наука освоила это число относительно недавно. Пол Нахин, известный популяризатор точных наук, вплетает в повествование любопытные исторические факты, обсуждение математических проблем и сведения о применениях комплексных чисел и функций в таких важных задачах, как законы движения планет Кеплера и электрические цепи переменного тока. Издание адресовано всем, кого интересует математика, в том числе и в историческом ракурсе.

УДК 530.1 ББК 22.31

All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage and retrieval system, without permission in writing from the Publisher PRINCETON UNIVERSITY PRESS. Russianlanguage edition copyright © 2020 by DMK Press. All rights reserved. Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения владельцев авторских прав.

ISBN 978-0-691-16924-8 (анг.) ISBN 978-5-97060-822-7 (рус.)

© Princeton University Press, 2016 © Оформление, издание, перевод, ДМК Пресс, 2020

Посвящается моей матери КАТЕРИНЕ ДОРОТИ МАРКВЕЛЬДЕР и памяти моего отца ПОЛА ДЖИЛЬБЕРТА НАХИНА (1916–1990)

Кэлвин и Хоббс Вот еще задачка, никак решить не могу. Сколько будет 9 + 4?

Рисунок Нда, непростая. Тут нужен матанализ и мнимые числа

Мнимые числа?!

Ну, знаешь, одиннадесять, тридцать двенадцать. Поначалу-то крышу сносит

Билла Уотерсона Инстинкт, Откуда понимаешь. ты все это Тигры с этим знаешь? Ты рождаются и в школу-то не ходил!

Содержание

Вступительное слово от издательства ................................... 10 Обращение к читателю ................................................................. 12 Предисловие ко второму изданию ......................................... 13 Предисловие...................................................................................... 23 Введение ............................................................................................. 28 Глава 1. Загадки мнимых чисел ................................................ 34 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.

Кубическое уравнение ................................................................... 34 Отрицательное отношение к отрицательным числам ............... 40 Опрометчивый вызов ................................................................... 42 Секрет распространяется .............................................................. 43 Как комплексные числа могут представлять вещественные решения.......................................................................................... 46 1.6. Вычисление вещественных корней без мнимостей ................... 51 1.7. Курьезное переоткрытие............................................................... 54 1.8. Нахождение комплексных корней с помощью линейки ............ 58

Глава 2. Первая попытка понять геометрию –1 ............. 63

2.1. Рене Декарт .................................................................................... 63 2.2. Джон Валлис ................................................................................... 74

Глава 3. Загадки начинают разрешаться .............................. 83

3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7.

Каспар Вессель прозревает путь ................................................... 83 Вывод тригонометрических тождеств из формулы Муавра ....... 97 Комплексные числа и экспоненциальная функция .................. 104 Арган ............................................................................................ 112 Бюэ ................................................................................................ 115 И снова повторное открытие ...................................................... 118 Гаусс .............................................................................................. 123

Глава 4. Использование комплексных чисел .................... 126 4.1. Комплексные числа как векторы................................................ 126 4.2. Применение алгебры комплексных векторов к решению геометрических задач ................................................................. 129

8

СОДЕРЖАНИЕ

4.3. Задача Гамова .............................................................................. 135 4.4. Решение рекуррентного уравнения Леонардо .......................... 137 4.5. Мнимое время в физике пространства-времени ...................... 141

Глава 5. Другие применения комплексных чисел .......... 151

5.1. Комплексные функции открывают короткий путь сквозь гиперпространство .......................................................... 151 5.2. Максимальные блуждания на комплексной плоскости ........... 154 5.3. Законы Кеплера и орбиты спутников ........................................ 157 5.4. Когда и почему кажется, что некоторые планеты движутся вспять ........................................................................................... 170 5.5. Комплексные числа в электротехнике ....................................... 175 5.6. Знаменитая электронная схема, которая работает благодаря –1 ............................................................................... 190

Глава 6. Математики-кудесники ............................................. 195

6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. 6.9. 6.10. 6.11. 6.12. 6.13.

Леонард Эйлер ............................................................................. 195 Тождество Эйлера ........................................................................ 196 Эйлер делает себе имя ................................................................. 200 Нерешенная задача ..................................................................... 204 Эйлер раскладывает синус в бесконечное произведение ........ 212 Окружность Бернулли ................................................................. 213 Граф вычисляет i i ......................................................................... 214 Роджер Котс и упущенная возможность .................................... 219 Многозначные функции ............................................................. 224 Гиперболические функции ......................................................... 226 Вычисление π по –1 ................................................................... 231 Использование комплексных чисел для реальных вещей ....... 234 Формула дополнения Эйлера для Γ(n) и функциональное уравнение для ζ(n) ....................................................................... 243

Глава 7. Девятнадцатый век, Коши и начало теории функций комплексного переменного .................................. 248 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.6. 7.7. 7.8.

Введение....................................................................................... 248 Огюстен Луи Коши ....................................................................... 250 Аналитические функции и условия Коши–Римана .................. 252 Первый результат Коши .............................................................. 258 Первая интегральная теорема Коши .......................................... 265 Теорема Грина.............................................................................. 268 Вторая интегральная теорема Коши .......................................... 274 Третий закон Кеплера: заключительное вычисление............... 285 Эпилог: что было дальше ............................................................ 288

СОДЕРЖАНИЕ

9

Приложение A. Основная теорема алгебры ..................... 295 Приложение B. Комплексные корни трансцендентного уравнения .................................................. 299 Приложение C. –1 –1 с точностью до 135 десятичных знаков, и как его вычислили .......... 304 Приложение D. Решение загадки Клаузена ...................... 308 Приложение E. Вывод дифференциального уравнения генератора с фазовым сдвигом ...................... 310 Приложение F. Значение гамма-функции на критической прямой .............................................................. 315 Примечания ..................................................................................... 317 Указатель имен ............................................................................... 334 Предметный указатель ............................................................... 337 Благодарности ................................................................................ 341

Вступительное слово от издательства Отзывы и пожелания Мы всегда рады отзывам наших читателей. Расскажите нам, что вы думаете об этой книге – что понравилось или, может быть, не понравилось. Отзывы важны для нас, чтобы выпускать книги, которые будут для вас максимально полезны. Вы можете написать отзыв на нашем сайте www.dmkpress. com, зайдя на страницу книги и оставив комментарий в разделе «Отзывы и рецензии». Также можно послать письмо главному редактору по адресу [email protected]; при этом укажите название книги в теме письма. Если вы являетесь экспертом в какой-либо области и заинтересованы в написании новой книги, заполните форму на нашем сайте по адресу http://dmkpress.com/authors/publish_book/ или напишите в издательство по адресу [email protected].

Список опечаток Хотя мы приняли все возможные меры для того, чтобы обеспечить высокое качество наших текстов, ошибки все равно случаются. Если вы найдете ошибку в одной из наших книг – возможно, ошибку в основном тексте или программном коде, – мы будем очень благодарны, если вы сообщите нам о  ней. Сделав это, вы избавите других читателей от недопонимания и поможете нам улучшить последующие издания этой книги. Если вы найдете какие-либо ошибки в коде, пожалуйста, сообщите о них главному редактору по адресу dmkpress@gmail. com, и мы исправим это в следующих тиражах.

Нарушение авторских прав Пиратство в интернете по-прежнему остается насущной проблемой. Издательства «ДМК Пресс» и Princeton University Press

ВСТУПИТЕЛьНОЕ СЛОВО ОТ ИЗДАТЕЛьСТВА

11

очень серьезно относятся к вопросам защиты авторских прав и  лицензирования. Если вы столкнетесь в  интернете с  незаконной публикацией какой-либо из наших книг, пожалуйста, пришлите нам ссылку на интернет-ресурс, чтобы мы могли применить санкции. Ссылку на подозрительные материалы можно прислать по адресу [email protected]. Мы высоко ценим любую помощь по защите наших авторов, благодаря которой мы можем предоставлять вам качественные материалы.

Обращение к читателю

В этой книге много говорится об истории, но это не значит, что математика в ней в загоне. Впрочем, не стоит принимать это чрезмерно серьезно. Это не научный трактат, адресованный какой-то мифической элитарной группе, – наподобие той, о которой в 20-х годах XX века ходили слухи, будто в мире найдется всего дюжина людей, действительно понимающих идеи Эйнштейна. Про тоже долгое время бытовало аналогичное заблуждение – мол, тайна сия велика есть. Гениальный французский философ эпохи Просвещения Дени Дидро писал про математиков, что они «похожи на людей, взирающих с вершин высоких гор, чьи пики теряются в  облаках. Оттуда не видно, что находится внизу, они поглощены созерцанием собственных мыслей и  осознанием высоты, на которую вознеслись, куда другим не подняться и  где они не смогут дышать [разреженным воздухом]». Так вот, в этой книге давление воздуха почти такое же, как на уровне моря. Большая ее часть будет понятна даже старшекласснику, который внимательно слушал учителя на уроках. И  уж точно она доступна любому из того миллиона студентов, которые каждый год посещают курс математического анализа для первокурсников. Это не учебник, но мне кажется, что студентам было бы полезно прочитать эту книгу как дополнение к стандартному курсу математики. Сам я  инженер-электротехник, а  не математик, и  это оказало влияние на стиль изложения. Я в полной мере пользовался свободой от педагогических оков, связывающих авторов учебников, – в худшем случае они выливаются в педантизм – и писал в свободном стиле, который, хочется надеяться, доставит вам удовольствие. Но уверяю вас, что когда требовалось взять интеграл, я  не падал на колени в  священном ужасе. И  вы не должны. Мощь и красота комплексных чисел и функций и удивительная история их открытия с лихвой окупят те умственные усилия, которые придется предпринять при чтении более сложных частей книги.

Предисловие ко второму изданию

Издание этой книги в  твердой обложке вышло в  1998 году, и в течение долгих восьми лет я каждую ночь засыпал с мыслью о  нелепых опечатках, пропущенных по невнимательности знаках минус и неудачно построенных предложениях. Все это доставляло мне такие же страдания, как заноза под ногтем. Конечно, это не угрожало ничьей жизни, но отравляло мое интеллектуальное существование. Первые шесть месяцев после выхода книги из печати я  просыпался по ночам, бормоча себе под нос, как эксцентричный физик викторианской эпохи Оливер Хэвисайд, который, приближаясь к шестидесяти годам, бывало, восклицал: «Я, должно быть, глуп как пробка». То было интересное время – жизнь пожилого математика, решившего писать книги, может оказаться полной стрессов. Но теперь это позади! На протяжении нескольких лет читатели щедро жертвовали своим временем, чтобы рассказать о моих упущениях. И вот, со списком замечаний в одной руке и с красным карандашом в другой, я с радостью исправил досадные оплошности в тексте нового издания. Быть может, чтото и осталось, но все равно я чувствую себя гораздо лучше (без сомнения, это чувство испарится, как только я получу очередное письмо – на бумаге или по электронной почте, – в котором мне укажут на незамеченные ошибки). Особенно полезны были два длинных, очень подробных письма, полученных в 1999 году от профессоров Роберта Бэркеля (математический факультет Канзасского университета) и Дэвида Вунша (факультет электротехники Массачусетского университета в Лоуэлле). Ранее в этом году издательство Принстонского университета опубликовало продолжение этой книги «Doctor Euler’s Fabulous Formula»i, так что появление исправленного издания «Сказок мнимого мира» пришлось очень кстати. Я благодарен своему редактору из Принстона, Вики Керн, за возможность вернуться к этой книге. А теперь хочу сказать о том, что еще изменилось в этом издании, помимо исправления опечаток. i Нахин П. Дж. Необыкновенная формула доктора Эйлера. М.: ДМК Пресс, 2020. – Прим. перев.

14

ПРЕДИСЛОВИЕ К ИЗДАНИю В МЯГКОй ОБЛОЖКЕ

Вообще-то, я начну – пусть это и выглядит непоследовательно  – с  того, что не изменилось. Хотя я  внимательно прочел все, что прислали мои читатели, и признаю, что очень многое оказало заметное влияние на внесенные исправления, есть и несколько исключений. Приведу лишь два примера. Вот один читатель сурово попенял мне за высказанное мнение (стр. 35) о  том, что прорывная идея дель Ферро, открывшего общий метод решения неполного кубического уравнения, была «гениальной». Нет-нет, писал читатель (назвавшийся профессиональным математиком), это была просто «хорошая идея», которая могла бы прийти в голову многим. На это я могу только ответить, что никому до дель Ферро она не пришла в голову. Что бы ни говорить о том, что математики могли бы сделать или даже должны были бы сделать, факт остается фактом – неполное кубическое уравнение решил дель Ферро. Думается мне, что мой образованный критик попросту позабыл, как был поражен, впервые узнав, как решается кубическое уравнение. Поговорка «чем ближе знаешь, тем меньше почитаешь» точна именно потому, что истинна. К  чему я  веду? К  тому, что ныне любой приличный старшеклассник умеет доказывать иррациональность , но это вовсе не значит, что данный факт превратился в  банальность. Двадцать пять веков назад или около того открытие иррациональных чисел стало революцией в математике, и ученики до сих пор в удивлении раскрывают рты, когда видят доказательство впервые. Вот и  мой критик совершенно неправ в отношении неполного кубического уравнения, поэтому я ни слова не изменил в отрывке, посвященном дель Ферро. Второй пример «ошибки, которой не было»  – замечание читателя о том, что на рис. 5.8 (схема генератора с  фазовым сдвигом) напряжение u находится справа от напряжения v, тогда как в  тексте я  пишу, что u находится слева. Поначалу это утверждение поставило меня в тупик (я уже путаю право и  лево? – Боже, я, должно быть, глуп как пробка!), но потом я понял, что он смотрел на цепь резистивно-емкостной обратной связи, хотя в тексте я ясно написал, что речь идет о напряжениях на клеммах входа-выхода усилителя, подключенного к этой цепи. (Слава Богу, я все-таки не глуп как пробка! Такие вот мелочи – отрада для престарелого писателя-математика в полуночные часы.) Я еще вернусь к этой схеме чуть позже. Тот

ПРЕДИСЛОВИЕ К ИЗДАНИю В МЯГКОй ОБЛОЖКЕ

15

же читатель (кстати, профессор математики) пожаловался, что совершенно сбит с толку моим употреблением символа ∠, например когда я пишу r ∠ θ вместо reiθ для обозначения вектора длины r, составляющего угол θ с положительным направлением вещественной оси. Думаю, он немного преувеличил. Согласен, что эта нотация для математика выглядит нестандартной (хотя инженеры-электротехники пользуются ей постоянно), но считаю, что и математикам стоило бы всерьез задуматься о  ее принятии, ведь она совершенно естественна, поскольку наводит на мысль о понятии угла, которое, собственно, и представляет. Самую интересную корреспонденцию с  читателем вызвала врезка 3.3 («Безумные экспоненты») на стр. 120, где «вы2 2 водится» тождество 1 = e-4π n для любого целого n: загадка, разумеется, в том, что это утверждение верно только для n = 0. Включая эту врезку, я хотел просто предложить «парадокс», который читатель смог бы разрешить самостоятельно, поразмыслив о  написанном на предыдущей странице (врезка 3.2 «Возведение комплексного числа в  комплексную степень»), а если не получится, то дочитав до раздела 6.9 («Многозначные функции»). В  «выводе» во врезке 3.3 содержалась и  подсказка – фраза о математических «операциях, которые, на первый взгляд (курсив мой), кажутся корректными». Но действительно ли операции во врезке 3.3 корректны? Например, из школьного курса алгебры мы знаем, что если z вещественное, то elnz = z

(a)

ln(ez) = z.

(b)

и Однако если z комплексное, то (a) по-прежнему верно (и я таки использую этот факт во врезке 3.2 при вычислении (1 + i)(1+i)), но для (b) это не так. Для иллюстрации проблем, к которым может привести утверждение (b), начнем со знаменитой формулы Эйлера eiπ + 1 = 0, или eiπ = -1. Возведя обе части в квадрат, получим e2πi = 1, а затем применение (b) дает ln(e2πi) = ln(1), т. е. 2πi = 0. Полагаю, все согласятся, что это неверно! Разумеется, корень зла здесь тот же, что во врезке 3.3. Просветление приходит с осознанием того, 1 – не просто e2πi, а бесконечное

16

ПРЕДИСЛОВИЕ К ИЗДАНИю В МЯГКОй ОБЛОЖКЕ

множество значений e2πin, где n  – произвольное положительное или отрицательное целое число, в т. ч. 0 и 1. Поэтому мы должны были бы написать не e2πi = 1, а e2πin = 1, и тогда из (b) вытекало бы, что ln(e2πin) = ln(1) = i2πn. То есть на самом деле мы получили, что ln(1) – комплексная величина, а точнее чисто мнимая, т. е. имеющая нулевую вещественную часть. Из школьного курса алгебры мы знаем про нулевую вещественную часть (ln(1) = 0), но полный ответ заключается в том, что у ln(1) есть и  мнимая часть, которая может быть равна нулю, но может быть и ненулевой (при n = ±1, ±2, ...). Объяснение загадки из врезки 3.3 вы найдете в новом приложении D в конце книги, но если вы читаете книгу впервые, попробуйте разгадать ее самостоятельно, не заглядывая в решение. Обсуждение проблемы Каснера в разделе 5.1 также вызвало ряд писем от недоумевающих читателей. Один из них, профессор МТИ, писал, что «пример Каснера в пух и прах разбил мою интуицию» и что «я решил, что пример Каснера – липа». Действительно, Каснер пользовался репутацией человека с извращенным чувством юмора (к примеру, он придумал названия googol и googolplex для чисел 10100 и 10googol соответственно), но в математике он был вполне серьезен. Помимо статьи 1914 года, которую я цитирую в книге (примечание 2 к главе 5 на стр. 326), вы можете найти дополнительные результаты о длинах пути и хорды комплекснозначных функций во второй статье самого Каснера («Complex Geometry and Relativity: Theory of the ‘Rac’ Curvature», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, March 15, 1932, стр. 267– 274), а также в статье, вышедшей десятью годами позже (George Comenetz «The Limit of the Ratio of Arc to Chord», American Journal of Mathematics 64 (1942): 695–713). В разделе 5.6 я утверждал, что схема генератора с фазовым сдвигом на рис. 5.8 легла в основу первого изделия, выпущенного компанией Hewlett-Packard, которая сегодня является гигантской корпорацией с  многомиллиардными оборотами. Профессор электротехники из Стэнфордского университета Джин Франклин в  2004 году поправил меня, написав, что это так, но не совсем. Первое изделие HP (звуковой генератор HP-200A) на самом деле было основано на так называемом мосте Вина, о  котором (если интересно) можно прочитать

ПРЕДИСЛОВИЕ К ИЗДАНИю В МЯГКОй ОБЛОЖКЕ

17

в  любом учебнике по электронике для вузов. Или, если вы предпочитаете информацию из первоисточника, загляните в дипломную работу на получение звания инженера, в которой выпускник Стэнфорда 1939 года Уильям Хьюлетт (1913–2001) описывает свою схему. Спасибо, профессор Франклин, – будучи сам выпускником факультета электротехники Стэнфорда, я должен был бы проверять информацию более тщательно. Но заверяю вас, что вся комплексная математика, примененная для анализа генератора с фазовым сдвигом в разделе 5.6, правильна! И  как уже было сказано выше, с  обозначениями напряжений на рис. 5.8 тоже все в порядке. Я, правда, получил несколько писем от читателей, буквально умолявших привести вывод дифференциального уравнения третьего порядка, которое, по моим словам (на стр. 192), описывает цепь резистивно-емкостной обратной связи этого генератора. Этот вывод включен в новое приложение E. Признаюсь, что для этого мне пришлось прибегнуть к  чудесной силе преобразования Лапласа (иначе я бы безнадежно запутался в алгебраических выкладках), но в приложении E имеется краткое введение в это преобразование, так что даже те, кто никогда не слыхал о  нем прежде, смогут разобраться в  вычислениях. Включение преобразования Лапласа в это издание книги оправдано, потому что его математическое обоснование относится к теории комплексных функций. Его элементарное применение в приложении E обошлось без «комплексных» деталей, но вообще-то я должен был рассказать о нем подробнее в эпилоге первого издания (разделе 7.8). Приложение E исправляет эту недоработку. И математики, и инженеры постоянно пользуются преобразованием Лапласа для решения многих важных дифференциальных уравнений. В разделе 6.3 я проглядел важную работу, появившуюся за год до публикации первого издания книги: Mark McKinzie и Curtis Tuckey «Hidden Lemmas in Euler’s Summation of the Reciprocals of the Squares», Archive for History of Exact Sciences 51 (1997): 29–57. Пришлось отредактировать приведенное в разделе 6.4. обсуждение гипотезы Римана, одной из самых знаменитых нерешенных задач в  математике (и почти наверняка одной из самых глубоких проблем во всей истории математики). На стр. 210 я писал, что все без исключения первые комплексные

18

ПРЕДИСЛОВИЕ К ИЗДАНИю В МЯГКОй ОБЛОЖКЕ

нули дзета-функции в количестве 1.5´109 лежат на так называемой критической прямой z = ½ + ib, что было подтверждено вычислениями на компьютере. В октябре 2004 года это героическое достижение было превзойдено, теперь известно, что первые 1013 (да, десять триллионов) комплексных нулей ζ(z) лежат на критической прямой. Сам Риман вычислил только первые три нуля (допустив небольшую ошибку в  значении b для третьего), после чего предположил, что все комплексные нули лежат на критической прямой. Современные компьютеры способны обработать миллионы нулей за день. Для иллюстрации взрывного роста за последние пятьдесят лет скажу, что еще в 1958 году, когда я окончил школу, было проверено меньше чем 36 000 нулей. Даже мой маленький и не очень новый ноутбук может за несколько минут сделать то, для чего Риману пришлось приложить гигантские усилия. Так, взглянув на график на рис. P.1, где показана абсолютная величина ζ(z) для Абсолютная величина дзета-функции на критической прямой

3

2.5

ζ(z) = ζ(½ + ib)

2

1.5

1

0.5

0

0

5 10 15 20 25 Мнимая часть z (= b) на критической прямой

Рис. P.1. Первые три нетривиальных нуля дзета-функции, найденных Риманом

30

ПРЕДИСЛОВИЕ К ИЗДАНИю В МЯГКОй ОБЛОЖКЕ

19

z = ½ + ib при изменении b от 0 до 27, мы увидим, что |ζ(z)| = 0 (и, следовательно, ζ(z) = 0) в  трех точках (b = 14.13, 21.02 и  25.01, являющихся мнимыми частями первых трех нулей, найденных Риманом). Должен признать, что мой личный вклад в создание рис. P.1 свелся к написанию нескольких строчек кода в MATLAB, и пока я  изнурял себя приготовлением чашечки кофе (и даже эту элементарную задачу за меня решила микроволновка!), мой ноутбук вычислил |ζ(z)| при 2000 значениях b, равномерно распределенных в интервале от 0 до 27, и построил показанный выше график – на все про все ушло около одной минуты. (Как вы думаете, что смог бы сделать Риман, имей он такое устройство?) Конечно, для чистого математика все эти компьютерные вычисления не значат ровным счетом ничего. Открытие хотя бы одного комплексного корня, не лежащего на критической прямой, стало бы смертельным ударом по гипотезе Римана. И ничто из известного математикам не препятствует такой возможности. Х. М. Эдвардс, изучавший дзета-функцию, писал: «…если только нет какой-то глубинной причины, не дающейся математикам на протяжении 110 лет (уже 142 на момент написания этого текста), то вполне возможны [комплексные] корни, не лежащие на критической прямой»1. Так что, несмотря на триллионы известных последовательных нулей на критической прямой, все-таки может оказаться, что Риман был неправ. Дальше Эдвардс пишет: «Озарение Римана удивительно, но не сверхъестественно, и то, что казалось “вероятным” ему в 1859 году, возможно, не так уж вероятно сегодня»2. Кстати, раз уж речь зашла о  критической прямой, вот еще одно занятное вычисление, в  котором вы можете попробовать свои силы (один читатель жаловался, что в  книге мало задач, над которыми он мог бы поломать голову, – хотя это не учебник и не задачник). После того как прочитаете материал о гамма-функции и знаменитой формуле дополнения Эйлера (разделы 6.12 и  6.13), попробуйте доказать, что абсолютная величина гамма-функции на критической прямой равна

20

ПРЕДИСЛОВИЕ К ИЗДАНИю В МЯГКОй ОБЛОЖКЕ

Доказательство приведено в новом приложении F в самом конце книги, но не подглядывайте, пока не попробуете сами. (Подсказка: вспомните, что такое комплексно-сопряженное число.) Вычислить значение ζ(z) на критической прямой гораздо труднее; до сих пор известна только верхняя граница величины |ζ(½ + ib)| как функция от b3. До сих пор я не упоминал о своих мелких математических ошибках, а просто молча исправлял то неправильный знак, то неверный показатель степени и, не афишируя, двигался дальше. Но в разделе 6.7 письма профессоров Бэркеля и Вунша уличили меня в излишней хитрости – для моего (и вашего) блага. В  этом случае я  решил не скрывать свои досадные промахи и процитировать их письма. Это позволит вам и получить исправленный текст, и заодно посмеяться надо мной. (Вот книга по математике от издательства Princeton и окупится!) Проблема заключается в  некоторых моих манипуляциях с  i = , например когда на стр. 217 я писал «Ошибка произошла, когда мы заменили -1 на i2», а на стр. 218 – «Например, не следует заменять -i/i на -1, а затем подставлять i2 вместо -1». В первом случае профессор Вунш написал «в этом [замене -1 на i2] нет ничего дурного. Ошибка же таится вот где:

Проблема в том, что множество значений функции log z2 не совпадает с  множеством значений 2log z. Рассмотрим равенство ln i2 = 2ln i. Предположим, что вместо левой части мы напишем -πi. Множество значений правой части имеет вид

Не существует ни одного целого k, при котором это равенство выполнялось бы». Что же касается второго случая, то профессор Бэркель написал: «я думаю, что если нельзя заменить -1 на -i/i, а i2 – на -1, то математика превращается в мистику. Все это объясняется отсутствием общеизвестного свойства го-

ПРЕДИСЛОВИЕ К ИЗДАНИю В МЯГКОй ОБЛОЖКЕ

21

моморфности комплексного логарифма… log(ab) необязательно равно log(a) + log(b)». Что на это сказать? Оба профессора правы. Я пытался выразить свои мысли, не употребляя таких слов, как гомоморфизм, а в результате только все запутал. Автор сокрушенно посыпает главу пеплом. В письме профессора Бэркеля исправлено также мое утверждение на стр. 289 о том, что до работы Лорана «Коши не знал о разложении аналитических функций в степенной ряд». Профессор Бэркель написал: «Это не так. Коши вывел представление в виде степенного ряда в знаменитом Туринском мемуаре 1831 года. Вклад Лорана – разложение в двусторонний степенной ряд в окрестности особой точки». И последнее замечание. Закончив читать книгу, вы будете иметь полное право исполнить приведенную ниже песенку (лучше в одиночестве, в душе). Это разрешение действует бессрочно – или, по крайней мере, до тех пор, пока ваша половинка не попросит вас заткнуться (моя так и  поступила). Установить, кто автор, я не сумел, но он или она, несомненно, обладал(а) недюжинным чувством юмора: Песня о комплексных числах (на мотив «Боевого гимна Республики»)i Mine eyes have seen the glory of the Argand diagram, They have seen the i’s and thetas of De Moivre’s mighty plan. Now I can find the complex roots with consummate elan, With the root of minus one. (Хор) Complex numbers are so easy; Complex numbers are so easy; Complex numbers are so easy; With the root of minus one. In Cartesian co-ordinates the complex plane is fine, But the grandeur of the polar form this beauty doth outshine. You’ll be raising i + 40 to the power of 99, With the root of minus one. Хор i Американская патриотическая песня. Хорошо известен ее рефрен «Glory, glory, hallelujah!». – Прим. перев.

22

ПРЕДИСЛОВИЕ К ИЗДАНИю В МЯГКОй ОБЛОЖКЕ

You’ll realize your understanding was just second rate, When you see the power and magic of the complex conjugate. Drawing vectors corresponding to the roots of minus eight, With the root of minus one. Хор Искренне надеюсь, что книга вам понравится! [email protected] Ли, Нью-Гэмпшир, июль 2006

Предисловие

Давным-давно, так давно (в 1954 году), что тогдашняя моя бытность учеником старшего класса школы кажется далеким сном, отец подарил мне подписку на новый тогда журнал Popular Electronics. Он это сделал, потому что сам был ученым, а  его старший сын, похоже, проявлял способности к наукам и к математикеi, но была опасность, что его затянет в греховный мир научной фантастики. Вообще-то я  давал ему достаточно оснований так думать. В те дни я жадно поглощал научную фантастику, зачастую засиживаясь в кухне до одиннадцати часов в компании огромного сэндвича и читая роман, действие которого разворачивалось на Марсе через миллион лет. Папа, конечно, предпочел бы, чтобы я читал книгу по алгебре или физике. Но, будучи умным человеком, он не стал запрещать мне научную фантастику, а  зашел с  фланга, решив пристрастить меня к  чтению технических рассказов, например из рубрики «Карл и  Джерри», которая каждый месяц печаталась в  Popular Electronics. Карл и  Джерри – два школьника-вундеркинда (сейчас их назвали бы ботанами или гиками), увлекающиеся электроникой и то и дело влипающие в разные истории, из которых выбираются благодаря своим техническим познаниям. План отца состоял в том, чтобы я отождествлял себя с Карлом и Джерри, а не с неврастениками, путешествующими по времени в романах Роберта Хайнлайна. Что ж, дьявольский папин план сработал (хотя до конца я так и не забросил научную фантастику), и я подсел не только на Карла и Джерри, но и на проекты конструирования электронных устройств, представленные в  каждом номере журнала. Я  научился читать электрические схемы по журналу, редакторы которого пользовались такими же наглядными монтажными схемами, какие хорошо известны всем, кто заказывал электронный конструктор по почте. Я оборудовал мастерскую i В англосаксонской традиции математика не относится к  числу естественных наук (натурфилософии), а  стоит особняком.  – Прим. перев.

24

ПРЕДИСЛОВИЕ

в  гараже за домом и  собрал там множество удивительных устройств, хотя некоторые из них не работали или работали не так, как задумывали их проектировщики. Моим триумфом был «измеритель силы аплодисментов», которым пользовались судьи на ежегодном смотре школьных талантов. Он состоял из детектора динамиков, звукоусилителя и  измерителя на 500 микроампер, подключенного к  выходу усилителя. Но самое сильное впечатление на меня произвело не это устройство и  не какое-то еще из собранных во время учебы в  школе. А то, которым я  в  порыве юношеского энтузиазма, уступающего только полному незнанию теории, был очарован, не понимая, что это невозможно в принципе. В апрельском номере Popular Electronics за 1955 год была помещена невероятная фотография настольной лампы, испускающей не конус света, а конус тьмы! При виде ее мои глаза буквально вылезли из орбит. «Что за чудная наука стоит за этим?»  – потрясенно выдохнул я  (метафорически, конечно, ибо где вы видели четырнадцатилетнего пацана, который так разговаривает, – разве что в каком-нибудь комедийном телесериале?). В  сопроводительной статье пояснялось, что секрет в  том, что лампа была включена не в  обычную розетку, а в розетку с контраполярной энергией. А на другой фотографии паяльник, воткнутый в такую же контраполярную розетку, был покрыт льдом! А на третьей – лоток с замерзшим льдом на нагревательной плитке, только теперь не нагревательной, а морозильной, потому что была включена в контраполярную розетку. Я глядел на эти фотографии, пульс, как сейчас помню, был сумасшедшим, у меня даже на мгновение голова закружилась. Это было просто чудо. Разумеется, это был просто розыгрыш, подкрепленный мастерским ретушированием фотографий. Когда я  показал статью отцу, он взглянул на нее, а  затем на меня  – теперь я  понимаю, что в  его взгляде сквозила смесь жалости и  веселья. Папа не был ни физиком, ни электротехником, но, имея степень доктора философии по химии, он, конечно, немного разбирался в технических вопросах, выходящих за рамки бензольных колец и молекулярных связей. Он сразу же заподозрил, что «контраполярная энергия» нарушает сразу семь фундаментальных физических законов. Но вместо того чтобы посмеяться надо мной, он просто сказал: «Сынок, погляди на

ПРЕДИСЛОВИЕ

25

дату на обложке». До того момента я не обратил внимания ни на то, что номер был апрельским, ни даже на подзаголовок «Посвящается первому апреля», но сразу понял, что это значит. Я до сих пор помню охвативший меня стыд из-за того, как меня одурачили. Даже я смог бы распознать мистификацию, если бы дочитал до примечания 4 в конце статьи. А там была фальшивая ссылка такого содержания: «Труды по контраполярности, найденные в летающей тарелке». Как в  любом хорошем розыгрыше, в  тексте было немало правдоподобных, на первый взгляд, вещей, но представлены они были шутовски. Чтобы вы могли оценить тон статьи, приведу типичный пассаж: «Если приложить “контраполярную энергию” к  обыкновенной настольной лампе, то свет не излучается, а убирается, и область, на которую распространяется действие лампы, становится темной (Примечание редактора: это явление не следует путать с “черным светом”, который называется так, потому что представляет собой просто свет без каких-либо видимых элементов. Для человеческого глаза “черный свет” неотличим от отсутствия света; свет, порождаемый контраполярной энергией, можно было бы назвать “отрицательным”, потому что он вычитается из уже присутствующего света.)». Чтобы подготовить читателя к  «объяснению» поразительных свойств контраполярной энергии, уже в следующем предложении приводится утверждение, которое теперь вызывает у меня смех, а тогда, в 1955 году, казалось совершенно логичным: «Одна из причин, по которым атомная энергия еще не стала обыденной у  домашних экспериментаторов, состоит в том, что для понимания принципов ее производства нужна очень сложная математика». Но для высвобождения контраполярной энергии достаточно простой алгебры – так утверждалось в статье. Нужно лишь извлечь отрицательный квадратный корень (вместо положительного) при вычислении резонансной частоты схемы, содержащей емкость и индуктивность, – и все заработает. Идея отрицательной частоты интриговала меня (а электротехники действительно придают ей смысл в сочетании с  ), но в тот раз редакторы пошли дальше и придумали отрицательное сопротивление. Каждый, кто любит свернуться в теплой постели под электрическим одеялом или полакомиться хрустящим тостом за

26

ПРЕДИСЛОВИЕ

завтраком, знает, что резисторы (положительные резисторы) нагреваются, когда через них проходит ток. Стало быть, «очевидно», что отрицательный резистор должен охлаждаться при прохождении тока, отсюда и  фотографии паяльника и  лотка с кубиками льда. (Впрочем, логика, если это так можно назвать, стоящая за конусом тьмы, до сих пор от меня ускользает.) Кстати, отрицательное сопротивление действительно существует, и инженеры-электротехники давно знают, что оно возникает при некоторых условиях в электрической дуге. Такие дуги использовались, например, в  доэлектронные времена для создания очень мощных радиопередатчиков, способных транслировать музыку и  речь, а  не только двоичные телеграфные сигналы, для которых было достаточно искровых передатчиков Герца и Маркони. Позже, в университете, я узнал, что понять принцип работы радио на глубоком теоретическом уровне невозможно без понимания . Все это настолько очаровывало мой юный ум, что и теперь, спустя сорок лет, и располагая несколько более обширным словарным запасом, я не могу выразить это словами. Мне открылось, что в  мире электроники есть серьезные увлекательные идеи, куда более серьезные, чем я мог вообразить, паяя свои поделки в гараже. И позже, когда на уроках алгебры я познакомился с комплексными числами, возникающими при решении некоторых квадратных уравнений, я  понимал (в отличие от моих по большей части озадаченных одноклассников), что это не просто бесплодная интеллектуальная игра. Я уже знал, что играет важную роль в электротехнике, позволяя инженерам создавать поистине удивительные устройства. Через три года после прочтения статьи о  контраполярной энергии я  сидел в  вагоне утреннего поезда, который увозил меня из Лос-Анджелеса на север в Пало-Альто, где в 1958 году я поступил в Стэнфордский университет. За годы присутствия в журнале Popular Electronics Карл и Джерри превратились из школьников в студентов факультета электротехники выдуманного университета Парву, и я, как и они, делал первые шаги на пути к  карьере инженера-электротехника, с  которого потом уже не сворачивал. В  Стэнфорде у  меня не было недостатка в литературе, поэтому с Popular Electronics пришлось расстаться, но этот журнал оказался со мной в  нужное время; папин план сработал лучше, чем он мог надеяться. В каком-то смысле

ПРЕДИСЛОВИЕ

27

вся моя профессиональная жизнь стала результатом юношеского увлечения тайной , потому-то я и написал эту книгу1. В письме (от 12 января 1852 года) своему английскому приятелю Огастесу де Моргану ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон писал: «Я думаю, что или Вы, или я, но надеюсь, что Вы, должны рано или поздно написать историю ». Через пять дней де Морган ответил: «Что касается истории , то это будет нелегкий труд, начинать придется с индусов». Но ни Гамильтон, ни де Морган, ни, насколько мне известно, ктолибо иной эту историю так и не написал. И это еще одна причина, по которой я взялся за эту книгу. Я просто хотел узнать больше. Единственное, о чем я сожалею, – что папа уже не сможет прочесть ее. Но если бы он был с нами, я уверен, он порадовался бы плодам, которые принесли его инвестиции полувековой давности в подписку на журнал.

Введение

В 1878 году два брата, Ахмед и Мухаммед Абд-эр-Расул, в недалеком будущем знаменитые воры, наткнулись на древнеегипетское захоронение в  Долине царей в  Дейр-эль-Бахри. Они быстро организовали прибыльный бизнес по продаже украденных реликвий, одной из которых был математический папирус. Один из братьев продал его русскому египтологу В. С. Голенищеву в 1893 году, а тот передал находку в Музей изящных искусств в Москве в 1912 году1. Там он оставался загадкой до полного перевода в  1930 году, когда научный мир узнал о том, насколько математически развиты были древние египтяне. В частности, четырнадцатая задача в Московском математическом папирусе (ММП), как его теперь называют, представляет собой конкретный числовой пример того, как найти объем V усеченной квадратной пирамиды. Этот пример убедительно показывает, что древние египтяне знали формулу

где a и  b – длины сторон нижнего и  верхнего оснований соответственно, а  h  – высота. Один историк науки назвал это знание «дух захватывающим» и  «шедевром египетской геометрии»2. Вывод этой формулы – простое упражнение для любого, кто изучал математический анализ на первом курсе, но гораздо менее очевидно, как могли ее открыть египтяне, не знавшие интегрального исчисления3. Несмотря на правильность, этот результат имеет один мелкий стилистический недостаток. Значения a и b – то, что современный инженер или физик назвал бы «наблюдаемыми», поскольку представляют собой длины, которые можно непосредственно определить, просто приложив рулетку к нижнему и  верхнему краям усеченного конуса. Однако значение h не поддается прямому измерению, во всяком случае если пирамида сплошная. Конечно, его можно вычислить для любой пирамиды, используя знания геометрии и тригонометрии, но

ВВЕДЕНИЕ

29

насколько проще было бы выразить объем усеченного контура не в терминах h, а c использованием длины бокового ребра c. Эту величину можно измерить непосредственно. В конечном итоге так и было сделано, но, насколько нам известно, не ранее первого века новой эры – великим математиком и инженером Героном Александрийским, которого обычно называют греком, хотя возможно, что на самом деле он был египтянином. Геометрическими средствами элементарно доказывается, что

А теперь давайте перенесемся в  1897 год и  поговорим о выступлении Вустера Вудраффа Бемана (Wooster Woodruff Beman), профессора математики Мичиганского университета и  известного специалиста по истории этого предмета, которое состоялось на собрании Американской ассоциации содействия развитию науки. Приведу цитату из этого выступления: Мы обнаруживаем, что квадратный корень из отрицательной величины впервые встречается в Cтереометрии Герона Александрийского… Приведя правильную формулу для определения объема усеченной пирамиды с  квадратным основанием и успешно применив ее к случаю, когда сторона нижнего основания равна 10, верхнего – 2, а ребро равно 9, автор пытается решить задачу в случае, когда сторона нижнего основания составляет 28, верхнего – 4, а ребро равно 15. Вместо квадратного корня из 81 – 144, требуемого по формуле, он берет квадратный корень из 144 – 81, то есть он заменяет на 1, не замечая, что поставленная задача не имеет решения. Не ясно, было ли это ошибкой Герона или невежеством какого-то переписчика 4.

То есть, полагая a = 28, b = 4 и c = 15 в своей формуле для h, Герон писал:

30

ВВЕДЕНИЕ

Следующим, блистательным, шагом нужно было бы, конечно, написать h = , но в Cтереометрии мы видим h = , так что Герон упустил возможность стать первым известным ученым, который ввел квадратный корень из отрицательного числа в ходе математического анализа физической задачи. Если Герон и вправду напутал в арифметике, то дорого заплатил за эту ошибку утраченной славой. Пройдет еще тысяча лет, прежде чем математик потрудится обратить внимание на такую вещь – а  затем просто отклонит ее как очевидную чепуху, – и  еще пятьсот лет, прежде чем квадратный корень из отрицательного числа воспримут всерьез (хотя он все еще будет считаться загадкой). Если Герон почти наверняка знал о появлении квадратного корня из отрицательного числа в  задаче об усеченной пирамиде, то его последователь, александриец Диофант, два столетия спустя, похоже, совершенно проигнорировал подобное явление, случайно наткнувшись на него. Сегодня Диофант почитается за то, что сыграл в  алгебре ту же роль, что Евклид в  геометрии. Евклид дал нам свои Начала, а  Диофант подарил потомкам Арифметику. Содержащаяся в обеих книгах информация почти наверняка была результатом труда многих неизвестных предшественников, личности которых навсегда утрачены. Однако Евклид и Диофант в своих великих трудах собрали и представили это математическое наследие в связной форме. На мой взгляд, работа Евклида ценнее, потому что Начала – это логическая теория геометрии на плоскости. С другой стороны, Арифметика, или, по крайней мере, те несколько глав или книг, которые сохранились из первоначальных тринадцати, – это собрание конкретных численных решений определенных задач, без обобщенной, теоретической проработки методов. Каждая задача в Арифметике уникальна сама по себе, подобно задачам из Московского математического папируса. Но это не значит, что приведенные решения не изобретательны, во многих случаях они даже дьявольски хитроумны. Арифметика по-прежнему является раздольем для современного учителя алгебры в средней школе, который думает, какие бы задачи предложить самым способным ученикам5. Например, в  книге 6 мы находим следующую задачу (номер  22): задан прямоугольный треугольник с  площадью 7

ВВЕДЕНИЕ

31

и периметром 12, найти его стороны. Вот как Диофант вывел квадратное уравнение 172x = 336x2 +24 из постановки задачи. Если стороны прямоугольного треугольника обозначить P1 и P2, то задача, представленная Диофантом, эквивалентна системе уравнений:

Ее можно решить с помощью стандартных, хотя и довольно пространных, алгебраических выкладок, но блестящая идея Диофанта состояла в  том, чтобы сразу же уменьшить количество переменных с двух до одной, написав:

Тогда первое уравнение сводится к тождеству 14 = 14, а второе преобразуется к виду

после чего уже легко получается вышеупомянутое уравнение: 172x = 336x2 + 24. Предлагаю полезное упражнение – решите исходную систему относительно P1 и P2 и покажите, что получаются такие же результаты, как у Диофанта. Диофант записал это уравнение в таком виде, потому что все коэффициенты в  нем положительны, а  древние отвергали отрицательные числа как лишенные смысла, поскольку не могли дать физическую интерпретацию числу, которое «меньше, чем ничто». В самом деле, в другом месте Арифметики (задача 2 в книге 5) он писал, что уравнение 4x + 20 = 4 является «абсурдным», потому что приводит к  «невозможному» решению x = -4. В соответствии с этой позицией при решении квадратного уравнения Диофант оставлял только положительный корень. Даже в XVI веке математики называли отрицательные корни уравнения фиктивными, абсурдными или ложными.

32

ВВЕДЕНИЕ

Поэтому, конечно, квадратный корень из отрицательного числа выходил за всякие границы. Именно французскому математику Рене Декарту мы обязаны термином мнимые для таких чисел, о которых он написал спустя четырнадцать столетий в  книге Геометрия (1637), – я  подробно рассмотрю ее в  главе 2. До введения Декартом этого термина квадратные корни из отрицательных чисел называли бессмысленными, или неуловимыми. Именно к такому явлению приводит квадратное уравнение Диофанта в задаче о треугольнике, поскольку формула корней квадратного уравнения дает:

Но Диофант такого не писал. Он просто указал, что это квадратное уравнение невозможно, подразумевая под этим, что уравнение не имеет разумного решения, т.  к. «половина коэффициента при х, умноженная на себя, минус произведение коэффициента при х2 и свободного члена» должна составлять квадрат, тогда как

квадратом, безусловно, не является. Что же касается квадратного корня из этого отрицательного числа, то Диофанту вообще было нечего сказать. Шестьсот лет спустя (около 850 г. н. э.) индийский математик Махавирачарья тоже затрагивал этот вопрос, но лишь для того, чтобы объявить о том, что Герон и Диофант знали задолго до этого: «Квадрат как положительного, так и отрицательного (количества) положителен; и квадратные корни из них (квадратных величин) являются положительными и отрицательными в таком порядке. Поскольку в природе вещей отрицательное (количество) не является квадратным (количеством), то оно не имеет квадратного корня [курсив мой]»6. Пройдет еще шесть веков, прежде чем мнение изменится. В начале блестящей научно-популярной книги Георгия Гамова «Раз, два, три… бесконечность» приводится следующий

ВВЕДЕНИЕ

33

лимерик, дающий представление о  том, что будет дальше, и о чувстве юмора автораi: Однажды некто беспечный Взял , Но цифр уж слишком, И, раскинув умишком, Он бросил науку и теперь пребывает в вечности. Эта книга не о поистине монументальной задаче извлечения квадратного корня из бесконечности, а скорее о другой задаче, которую многие блестящие математики прошлого (включая, конечно, Герона и Диофанта) считали еще более абсурдной, – о придании смысла квадратному корню из минус единицы.

i

There was a young fellow from Trinity . Who took But the number of digits Gave him the fidgets; He dropped Math and took up Divinity.

ГЛАВА 1

Загадки мнимых чисел

1.1. Кубическое уравнение В конце вышедшей в 1494 году книги «Сумма арифметики, геометрии, пропорции и пропорциональности» (Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita), где обобщаются все знания того времени об арифметике, алгебре (включая квадратные уравнения) и  тригонометрии, францисканский монах Лука Пачоли (приблизительно 1445–1514) сделал смелое утверждение. Он объявил, что решение кубического уравнения «при современном состоянии науки так же невозможно, как и квадратура круга». Задача о квадратуре круга стояла в  математике со времен греческого математика Гиппократа, жившего около 440 г. до н. э. Квадратура круга, т. е. построение квадрата, равного по площади кругу, только с  помощью линейки и циркуля, оказалась трудной и во времена Пачоли все еще оставалась нерешенной. Ясно, что он привел ее в пример просто как меру сложности решения кубического уравнения, но на самом деле сложность задачи квадратуры круга максимальна, поскольку в 1882 году было показано, что сделать это вообще невозможно. Однако Пачоли ошибся, потому что уже через десять лет математик из Болонского университета Сципион дель Ферро (1465–1526) решил так называемое неполное кубическое уравнение, частный случай общего кубического уравнения, в котором отсутствует член второй степени. Поскольку его решение сыграло важнейшую роль в понимании квадратного корня из минус единицы, стоит приложить некоторые усилия, чтобы понять, что именно сделал дель Ферро. Общее кубическое уравнение содержит все степени неизвестного, т. е. x3 + a1x2 + a2x + a3 = 0,

КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

35

где без ограничения общности можно считать, что коэффициент при старшем члене равен единице. Если это не так, то просто поделим уравнение на этот коэффициент, что всегда возможно, поскольку он не равен нулю, – иначе уравнение не было бы кубическим. Уравнение же, решенное дель Ферро, имеет вид x3 + px = q, где p и q неотрицательны. Как и Диофант, математики XVI века, в т. ч. дель Ферро, избегали появления отрицательных коэффициентов в уравнениях1. Может показаться, что решения этого уравнения недостаточно для решения кубического уравнения в общем виде, но дель Ферро придумал еще один остроумный прием, продемонстрировав общность своего подхода. Дель Ферро пришла в голову мысль записать решение неполного кубического уравнения в  виде суммы двух слагаемых: x = u + v. Подставляя эту сумму в уравнение, мы после приведения подобных членов получаем: u3 + v3 + (3uv + p)(u + v) = q. Это довольно сложное уравнение можно переписать в виде двух более простых: 3uv + p = 0 и u3 + v3 = q. Как дель Ферро додумался до этого? Польско-американский математик Марк Кац (1914–1884) ответил на этот вопрос, сформулировав ставший знаменитым тезис о различии между обычным и непостижимым гением: «Обычным гением, в общем-то, мог бы стать каждый из нас, будь в сто раз способнее. В том, как работает их ум, нет ничего загадочного. Стоит понять, как они пришли к своим открытиям, и мы начинаем думать, что тоже могли бы сделать это. С непостижимыми гениями все иначе… нам ни при каких условиях и обстоятельствах не дано постичь, как работает их ум. Даже поняв, что они сделали, сам процесс, с помощью которого это было сделано, остается совершенно непонятным». Идея дель Ферро была из разряда непостижимых.

36

ГЛАВА 1. ЗАГАДКИ МНИМыХ ЧИСЕЛ

Решив первое уравнение относительно v и подставив во второе уравнение, получим

На первый взгляд это уравнение шестой степени может выглядеть как огромный шаг назад, но на самом деле это не так. Уравнение действительно шестой степени, но оно также квадратное относительно u3. Воспользовавшись формулой решения квадратного уравнения, хорошо известной со времен Вавилона, имеем

или, оставляя только положительный корень2:

Теперь, поскольку v3 = q - u3, то

Поэтому решение неполного кубического уравнения x3 + px = q выглядит таким вот устрашающим образом:

А поскольку , то, вынеся -1 из-под внешнего радикала во втором члене, можем получить эквивалентное выражение:

В разных книгах встречаются обе формы, но нет никаких оснований предпочесть одну другой.

КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

37

Поскольку дель Ферро рассматривал только положительные p и q, очевидно, что оба этих (эквивалентных) представления x всегда дают вещественный результат. На самом деле, хотя у любого кубического уравнения существует три решения или корня (см. приложение A), нетрудно показать, что у кубического уравнения дель Ферро имеется ровно один вещественный положительный корень и, следовательно, два комплексных корня (см. врезку 1.1). Врезка 1.1 ЕДИНСТВЕННОЕ ВЕЩЕСТВЕННОЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ  РЕШЕНИЕ КУБИЧЕСКОГО  УРАВНЕНИЯ ДЕЛЬ ФЕРРО

Чтобы убедиться, что существует ровно один вещественный положительный корень неполного кубического уравнения x3 + px = q, где p и q неотрицательны, рассмотрим функцию f(x) = x3 + px - q. Задача дель Ферро состоит в том, чтобы найти корни уравнения f(x) = 0. Если вычислить производную f(x) [обозначается f ¢(x)] и вспомнить, что производная – это наклон кривой f(x), то получим f ¢(x) = 3x2 + p, а это выражение всегда неотрицательно, потому что x2 неотрицательно и, как мы предполагаем, p также неотрицательно. То есть f(x) всюду имеет неотрицательный наклон и поэтому никогда не уменьшается с  увеличением x. Так как f(0) = -q, а эта величина никогда не бывает положительной (поскольку, по предположению, q неотрицательно), то график функции f(x) должен выглядеть, как показано на рис. 1.1. По рисунку видно, что кривая пересекает ось x только один раз, и, значит, вещественный корень только один. При этом пересечение устроено так, что этот корень никогда не бывает отрицательным (он равен нулю, только если q = 0).

38

ГЛАВА 1. ЗАГАДКИ МНИМыХ ЧИСЕЛ

f(x) = x3 + px - q

0

x

-q

Рис. 1.1. График f(x) = x3 + px - q при p и q ³ 0

Прежде чем продолжить тему кубических уравнений, я хотел бы поговорить о природе комплексных чисел. Комплексное число не является ни чисто вещественным, ни чисто мнимым, а представляет собой их комбинацию. То есть если a и b чисто вещественные, то комплексное число имеет вид a + b . Математики и почти все остальные пользуются формой a + ib (великий математик швейцарского происхождения XVIII века Леонард Эйлер, о котором мы будем много говорить в главе 6, ввел символ i вместо в 1777 году). Инженеры-электротехники записывают комплексные числа в виде a + jb, потому что часто возникает в задачах, где речь идет об электрических токах, а символом i традиционно обозначают силу тока. Однако, вопреки распространенному мифу, могу заверить вас, что большинство инженеров-электротехников не тушуются, видя уравнение, в котором для обозначения используется буква i, а не j. Тем не менее в главе 5 я тоже буду использовать j вместо i, представляя занятную электрическую головоломку XIX века. Комплексные числа подчиняются многим очевидным правилам, например (a + ib)(c + id) = ac + iad + ibc + i2bd = ac - bd + i(ad + bc). Но будьте осторожны. Например, если a и  b по-

КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

39

ложительны, то Но если допустить и отрицательные числа, то это правило перестает выполняться, например =6≠ 9 = (2i)(3i) = 6i2 = -6. Эйлер был озадачен этим моментом в своем трактате Алгебра, вышедшем в 1770 году. И последнее, очень важное замечание о сравнении вещественных и  комплексных чисел. Комплексные числа не упорядочены как вещественные. Упорядочение означает, что имеют смысл выражения вида x > 0 или x < 0. В самом деле, если x и y вещественные и если x > 0 и y > 0, то произведение xy > 0. Но, попытавшись навязать такое поведение комплексным числам, мы попадем впросак. Проще всего убедиться в этом, приведя контрпример. Предположим, что комплексные числа можно упорядочить. Тогда, в частности, должно быть либо i > 0, либо i  0. Тогда -1 = i · i > 0, что, очевидно, неверно. Таким образом, мы должны предположить, что i < 0. Но если умножить обе части этого неравенства на -1 (изменив одновременно знак неравенства), то получим -i > 0. Тогда -1 = (-i)(-i) > 0, что опять-таки неверно. Стало быть, исходное предположение об упорядоченности множества комплексных чисел приводит к  противоречию, и, следовательно, оно неверно. Теперь вернемся к кубическим уравнениям. Имея вещественный корень кубического уравнения дель Ферро, найти два комплексных корня уже не составляет труда. Обозначим r 1 вещественный корень уравнения дель Ферро. Тогда кубический многочлен можно разложить на множители

Чтобы найти два других корня, r2 и r3, применим формулу корней квадратного уравнения к уравнению

Например, рассмотрим уравнение x3 + 6x = 20, в  котором p = 6 и q = 20. Подстановка этих значений во второй вариант формулы дель Ферро дает:

40

ГЛАВА 1. ЗАГАДКИ МНИМыХ ЧИСЕЛ

Внимательно взглянув на исходное кубическое уравнение, вы, возможно, заметите, что x = 2 является его корнем (8 + 12 = 20). Так, может быть, это громоздкое выражение с радикалами на самом деле равно 2? Да, так и  есть. Вычисление с  помощью ручного калькулятора показывает, что

Итак, чтобы найти два других корня уравнения f(x) = 0 = x3 + 6x - 20, воспользуемся тем фактом, что одним из корней f(x) является (x  - 2). Тогда, выполнив деление многочленов, получаем:

По формуле корней квадратного уравнения находим два комплексных корня (решения исходного кубического уравнения):

и

1.2. Отрицательное отношение к отрицательным числам Но мы забегаем вперед. В действительности дель Ферро и его коллеги-математики вовсе не занимались разложением многочленов на множители для получения комплексных корней, им нужно было только найти единственное вещественное положительное решение кубического уравнения. И  до тех пор, пока математики интересовались оригинальным неполным кубическим уравнением дель Ферро, дело ограничивалось единственным вещественным корнем, и  все были довольны. Но как быть с уравнением x3 - 6x = 20, в котором p = -6 < 0? Конечно, сам дель Ферро никогда не записал бы уравнение с  отрицательным коэффициентом, а  предпочел бы форму x3 = 6x + 20 и счел бы это совершенно новой задачей. То есть он начал бы решать новое уравнение

ОТРИцАТЕЛьНОЕ ОТНОШЕНИЕ К ОТРИцАТЕЛьНыМ ЧИСЛАМ

41

x3 = px + q, в котором p и q неотрицательны. Однако это совершенно излишне, поскольку нигде в решении уравнения x3 + px = q неотрицательность p и  q не используется. А  значит, это предположение несущественно и  было сделано просто из-за беспричинного неприятия отрицательных чисел математиками того времени. Сегодня это подозрительное отношение к  отрицательным числам кажется ученым и инженерам странным просто потому, что они привыкли к ним и забыли о смятении, пережитом в школьные годы. Но, по чести говоря, умные взрослые люди с нетехническим складом ума по-прежнему испытывают это смятение, как явствует из следующего чудного куплета, который часто приписывают поэту В. Х. Одену (W. H. Auden): Минус на минус плюс нам дает, А почему, только черт разберетi. Например, великий английский математик Джон Валлис (1616–1703), с которым мы ближе познакомимся в следующей главе как с человеком, который сделал первую рациональную попытку придать физический смысл величине , также высказал несколько поразительных утверждений относительно отрицательных чисел. В своей оказавшей большое влияние на современников книге «Арифметика бесконечного» (Arithmetica Infinitorum, 1665), которую с немалым интересом читал молодой Исаак Ньютон, Валлис привел следующий аргумент. Поскольку a/0 при a > 0 является положительной бесконечностью и  поскольку a/b при b < 0 является отрицательным числом, то это отрицательное число должно быть больше положительной бесконечности, потому что знаменатель во втором случае меньше знаменателя в первом случае (т. е. b < 0). Поэтому Валлис пришел к удивительному выводу о том, что отрицательное число одновременно и меньше нуля, и больше положительной бесконечности, и кто же сможет поставить ему в вину настороженное отношение к  отрицательным числам? И  понятное дело, он был не одинок. Даже сам великий Эйлер считал оза-

i

Minus times minus is plus. The reason for this we need not discuss.

42

ГЛАВА 1. ЗАГАДКИ МНИМыХ ЧИСЕЛ

боченность Одена заслуживающей достаточного внимания, чтобы включить несколько сомнительное «объяснение» того, почему «минус на минус дает плюс», в свой знаменитый трактат Алгебра (1770). Сегодня мы стали смелее. Теперь мы просто говорим: хорошо, p отрицательно (ну и что?), и переходим прямо к оригинальной формуле дель Ферро. То есть, заменяя отрицательное p на -p (где теперь само p неотрицательно), мы имеем решение

уравнения x3 = px + q, где p и q оба неотрицательны. В частности, эта формула говорит нам, что

является решением уравнения x3 = 6x + 20, и это легко проверить при помощи ручного калькулятора.

1.3. Опрометчивый вызов Дальше история кубического уравнения движется тернистым, извилистым путем. По сложившейся в те времена традиции, дель Ферро держал свое решение в секрете. Он сделал это, потому что, в  отличие от современных математиков, которые зарабатывают на жизнь публикацией своих результатов, чтобы получить первое назначение на должность ассистента, а затем продвижение по службе и пожизненную должность, дель Ферро и его коллеги были больше похожи на самозанятых предпринимателей. Они зарабатывали на жизнь, вызывая друг друга на публичные конкурсы по решению задач, где победитель получал все – призовые деньги, может быть, «славу», а  если повезет, то и  поддержку восхищенного и  богатого покровителя. Очевидно, что шансы на победу в таких состязаниях повышались благодаря знанию того, как решать задачи, которые другие решать не умели, поэтому секретность была в порядке вещей. На самом деле дель Ферро почти унес в могилу секрет того, как решать неполные кубические уравнения, рассказав об

СЕКРЕТ РАСПРОСТРАНЯЕТСЯ

43

этом лишь узкому кругу близких друзей. Умирая, он поведал об этом еще и  своему ученику, Антонио Марии Фиору. Хотя Фиор был не особенно хорошим математиком, такое знание было грозным оружием, и поэтому в 1535 году он бросил вызов гораздо более известному и бесконечно более способному математику Никколо Фонтане (1500–1577). Фонтана привлек внимание Фиора тем, что недавно объявил, будто умеет решать кубические уравнения вида x3 + px2 = q. Фиор думал, что Фонтана блефует и на самом деле не знает решения, поэтому видел в нем идеальную жертву, созревшую для участия в публичном конкурсе. Фонтана, сегодня больше известный под именем Тарталья («заика», из-за нарушения речи, вызванного ужасной раной от меча в челюсть, которую он получил от французского солдата в возрасте двенадцати лет), подозревал, что Фиор получил секрет неполного кубического уравнения от дель Ферро. Опасаясь, что кубические уравнения, с  которыми ему придется столкнуться, будут именно такими, и не зная, как их решить, Тарталья бросил все силы на поиск решения, и незадолго до дня соревнований ему удалось заново открыть решение уравнения x3 + px = q, найденное дель Ферро. Это интересный пример того, что как только становится известно, что у  задачи есть решение, другие быстро находят его. Я полагаю, что это явление как-то связано со спортивными рекордами; например, не прошло и нескольких месяцев с того дня, как Роджер Баннистер преодолел милю за четыре минуты, как это стали делать все хорошие бегуны. Так или иначе, открытие Тартальи в сочетании с его умением решать уравнение x3 + px2 = q (он не блефовал) позволило ему наголову разбить Фиора. Каждый предложил другому тридцать задач, но Фиор не смог решить ни одной из задач Тартальи, а Тарталья решил все задачи Фиора.

1.4. Секрет распространяется Все это выглядит довольно диковинно, но дальше история становится еще интереснее. Как и дель Ферро, Тарталья держал недавно полученные знания при себе как по причинам, о  которых я  упоминал выше, так и  потому, что планировал

44

ГЛАВА 1. ЗАГАДКИ МНИМыХ ЧИСЕЛ

опубликовать решения кубических уравнений обоих типов в  книге, которую планировал когда-нибудь написать (но так и  не написал). Однако когда новость о  разгроме Фиоры распространилась, она быстро достигла ушей Джироламо Кардано (1501–1576), известного просто как Кардан. В  отличие от Фиора, Кардан был выдающимся интеллектуалом, который, помимо других многочисленных талантов, был чрезвычайно хорошим математиком3. Интеллектуальное любопытство Кардана разгорелось от осознания того, что Тарталья знает секрет неполного кубического уравнения, и он умолял Тарталью раскрыть его. После первоначального отказа Тарталья в  конце концов уступил и рассказал Кардану правило вычисления решений, но не его вывод, – и то лишь после получения клятвы держать все в секрете. Кардан не был святым, но и  негодяем он тоже не был. Он почти наверняка намеревался исполнить обет молчания, но потом до него дошло, что Тарталья не первый, кто решил эту задачу. И увидев уцелевшие бумаги дель Ферро, Кардан больше не чувствовал себя обязанным хранить молчание. Кардан заново открыл решение Тартальи и в 1545 году опубликовал его в своей книге Ars Magna (Великое искусство алгебры, в отличие от меньшего искусства арифметики). В  этой книге он отдает должное Тарталье и дель Ферро, но все же Тарталья чувствовал себя обиженным и  осыпал Кардана обвинениями в  плагиате и еще того хуже4. Эту часть истории я не стану здесь развивать, поскольку она не имеет ничего общего с  , но отмечу, что страх Тартальи лишиться славы оказался не беспочвенным. Несмотря на то что он и дель Ферро, безусловно, имеют приоритет, будучи истинными, независимыми первооткрывателями решения неполного кубического уравнения, после выхода Ars Magna оно стало известно как «формула Кардана». Кардан не был интеллектуальным вором (плагиаторы не дают ссылок на достижения предшественников), и именно он показал, как обобщить решение неполного кубического уравнения на все кубические уравнения. Это само по себе было крупным достижением, и оно целиком принадлежит Кардану. Идея столь же неожиданная, как и  первоначальный прорыв дель Ферро. Кардан начал с общего кубического уравнения

СЕКРЕТ РАСПРОСТРАНЯЕТСЯ

45

а затем сделал замену переменной x = y - (1/3)a1. После подстановки в исходное уравнение, раскрытия скобок и приведения подобных членов получаем

т. е. неполное кубическое уравнение y3 + py = q, где

Полученное уравнение теперь можно решить с  помощью формулы Кардана. Например, если в уравнении x3 - 15x2 + 81x 175 = 0 сделать кардановскую замену переменной x = y + 5, то получим

и, стало быть, y3 + 6y = 20. Это уравнение было решено выше в  этой главе, его корень y = 2. Следовательно, решением исходного кубического уравнения является x = 7, что можно проверить простой подстановкой. Похоже, задача о нахождении корней кубического уравнения наконец-то решена, и можно успокоиться. Однако это не так, и  Кардан знал про это. Напомним решение уравнения x3 + px = q:

В этой версии формулы Кардана водятся драконы! Если q2/4 - p3/27 < 0, то в формуле появляется квадратный корень из отрицательного числа, но великой загадкой было не само мнимое число, а нечто совсем другое. То, что Кардан не боялся мнимостей, совершенно ясно из известной задачи, которую он

46

ГЛАВА 1. ЗАГАДКИ МНИМыХ ЧИСЕЛ

ставит в Ars Magna: разделить десять на две части, произведение которых равно сорока. Он называет эту задачу «явно невыполнимой», потому что она приводит к квадратному уравнению x2 - 10x + 40 = 0, где x и 10 - x – те самые две части. Это уравнение с комплексными корнями (5 + и 5 ), которое Кардан назвал софистическим, потому что не видел в них никакого физического смысла. Их сумма, очевидно, равна десяти, потому что мнимые части взаимно уничтожаются, но как же быть с произведением? Кардан смело написал «тем не менее мы будем действовать» и формально вычислил

О своем вычислении Кардан писал: «Если оставить в стороне умственные терзания», сопряженные с  этим действием, т.  е. обращением с  как с  любым другим числом, то все отлично работает. Но хотя он не боялся этих чисел, из следующих слов ясно, что он относился к ним с некоторой подозрительностью: «Вот так мы идем по пути арифметической изощренности, конец которого, как было сказано, столь же изящный, сколь и бесполезный». Но вот что действительно беспокоило Кардана, так это возникновение таких квадратных корней из отрицательных чисел в формуле Кардана для кубических уравнений, заведомо имеющих только вещественные решения.

1.5. Как комплексные числа могут представлять вещественные решения Чтобы понять, о чем речь, рассмотрим задачу, которой занимался последователь Кардана итальянский инженер и  архитектор Рафаэль Бомбелли (1526–1572). Среди современников Бомбелли слыл практическим человеком, умевшим осушать болота, но сегодня он известен как специалист по алгебре, объяснивший, в чем истинный смысл формулы Кардана. В своей книге Алгебра, вышедшей в 1572 году, Бомбелли описывает кубическое уравнение x3 = 15x + 4. Легко видеть, что его решением является x = 4. Затем с помощью деления многочленов мы находим два других решения: x = -2 ± . Таким обра-

КАК КОМПЛЕКСНыЕ ЧИСЛА МОГУТ ПРЕДСТАВЛЯТь ВЕщЕСТВЕННыЕ РЕШЕНИЯ

47

зом, все три решения вещественные. Однако посмотрим, что дает формула Кардана при p = 15 и q = 4. Поскольку q2/4 = 4 и p3/27 = 125, имеем

Решение, найденное по формуле Кардана, представляет собой сумму кубических корней из двух комплексно-сопряженных чисел (если вы не знаете, что это такое, обратитесь к приложению A), и  на первый взгляд кажется, что ничего более «комплексного» и  быть не может, так? Не так. Кардан этого не понял; не скрывая разочарования, он назвал кубические уравнения, для которых получался такой странный результат, «неприводимыми» и больше к этому вопросу не возвращался. Но прежде чем двигаться дальше, будет поучительно узнать, почему он использовал термин «неприводимые». Кардан совершенно не мог понять, как вычислить кубический корень из комплексного числа. Чтобы разобраться в порочном круге, возникшем в алгебре из-за этого недоразумения, рассмотрим кубическое уравнение Бомбелли. Любой корень, который дает формула Кардана, можно в самом общем случае записать как комплексное число. Например, положим

Мы хотим найти u и v (где v > 0). Возведем обе части в куб:

Приравнивая вещественные и мнимые части по обе стороны от знака равенства, получаем: u3 - 3uv = 2, Возведение в квадрат дает еще два равенства: u6 - 6u4v + 9u2v2 = 4, -9u4v + 6u2v2 - v3 = -121. А вычитая второе из первого, получаем: u6 + 3u4v + 3u2v2 + v3 = 125.

48

ГЛАВА 1. ЗАГАДКИ МНИМыХ ЧИСЕЛ

В обеих частях находятся полные кубы, и после извлечения кубического корня получаем: u2 + v = 5, или v = 5 - u2. Подставив это обратно в уравнение u3 - 3uv = 2, получим 4u3 = 15u + 2, т.  е. еще одно кубическое уравнение с  одной переменной. А разделив обе части на 4, мы приведем его к виду u3 = pu + q, где p = 15/4, q = 1/2. Теперь, воспользовавшись формулой в конце разделе 1.2, получаем:

Очевидно, что это число отрицательно. Стало быть, кубическое уравнение 4u3 = 15u + 2 неприводимое, и попытка «решить» его по формуле Кардана выливается в  необходимость вычислять кубические корни из комплексных чисел. Итак, мы пришли к  тому, с  чего начали. Налицо порочный круг. Неудивительно, что Кардан назвал эту ситуацию «неприводимой». В  главе 3 мы узнаем, как математики в конце концов научились извлекать корень любой степени из комплексного числа. Гениальное озарение Бомбелли заключалось в том, что диковинное выражение, возникающее в  формуле Кардана для x,  – на самом деле вещественное число, только записанное очень непривычным образом (геометрическая интерпретация неприводимых кубических уравнений описана во врезке 1.2). Это озарение далось нелегко. Вот что писал Бомбелли в своей Алгебре: «По мнению многих, это была нелепая мысль, я и сам долгое время так считал. Казалось, что в основе рассуждения лежит какой-то софизм, а не истина. Я долго бился над этим, но все же доказал свою правоту». И вот как он это сделал. Он начал с наблюдения, что если решение по формуле Кардана на самом деле вещественное, то числа и  должны быть комплексно-сопряженными5, т. е.

КАК КОМПЛЕКСНыЕ ЧИСЛА МОГУТ ПРЕДСТАВЛЯТь ВЕщЕСТВЕННыЕ РЕШЕНИЯ

49

где a и b – пока еще неизвестные вещественные числа. Но тогда x = 2a, т. е. несомненно вещественное число. Первое из двух приведенных выше равенств говорит, что

Врезка 1.2 В НЕПРИВОДИМОМ СЛУЧАЕ ИМЕЕТСЯ ТРИ  ВЕЩЕСТВЕННЫХ КОРНЯ

Для изучения природы корней уравнения x3 = px + q, где p и q неотрицательны, рассмотрим функцию f(x) = x3 - px - q. Вычислив производную f ¢(x) = 3x2 - p, мы увидим, что касательные к  графику f(x) имеют нулевой угол наклона в точках x = ± , т. е. локальные экстремумы графика неполной кубической функции, для которой возможен неприводимый случай, расположены симметрично относительно вертикальной оси. Значения M1 и M2 функции f(x) в этих локальных экстремумах равны

Заметим, что локальный минимум M1 всегда меньше 0 (поскольку p и q, по предположению, неотрицательны), тогда как знак локального максимума M2 может быть любым и зависит от величин p и q. Если уравнение имеет три вещественных корня, то f(x) должна пересекать ось x в трех точках, а такое может быть, только если M2 > 0, как показано на рис. 1.2. Следовательно, условие вещественности всех трех корней имеет вид 2/3  - q > 0, или 4/27p3 > q2, или, наконец, q2/4 - p3/27 < 0. Но это и есть условие, при котором в формуле Кардано возни-

50

ГЛАВА 1. ЗАГАДКИ МНИМыХ ЧИСЕЛ

кают мнимые числа. То есть неприводимость всегда означает, что кубическое уравнение f(x) = 0 имеет три вещественных корня. Из рисунка также следует, что два из этих корней отрицательны, а  один положителен. Попробуйте доказать, что сумма все трех корней обязательно равна нулю*. Это частный случай следующего общего утверждения. Пусть имеется уравнение n-й степени xn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0. Если обозначить n его корней r1, r2, …, rn, то уравнение можно записать в виде (x - r1)(x - r2) ... (x - rn) = 0. Если раскрыть скобки, начиная с левого сомножителя, то легко видеть, что коэффициент при xn-1 равен сумме корней со знаком минус, т. е. an-1 = -(r1 + r2 + ... + rn). В случае неполного кубического уравнения член x2 отсутствует, поэтому a2 = 0 по определению, а  значит, сумма корней любого неполного кубического уравнения равна нулю. *

f(x) = x3 - px - q

M2 0

x

-q M1

Рис. 1.2. График функции f(x) = x3 - px - q, где p и q ³ 0

Подставляя в  тождество (m + n)3 = m3 + n3 + 3mn(m + n) значения m = a и n = b , получаем:

ВыЧИСЛЕНИЕ ВЕщЕСТВЕННыХ КОРНЕй БЕЗ МНИМОСТЕй

51

Если это комплексное выражение равно комплексному числу 2 ± , то вещественные и мнимые части должны быть равны по отдельности, так что мы приходим к следующим условиям: a(a2 - 3b2) = 2, b(3a2 - b2) = 11. Если предположить, что a и b – целые числа (никаких априорных свидетельств в пользу этой гипотезы нет, но мы вправе попробовать и посмотреть, что получится), то нетрудно заметить, что a = 2 и b = 1 подходят. К тому же выводу можно прийти и формально, не полагаясь на наблюдательность. Например, можно заметить, что числа 2 и 11 простые, и вспомнить, какие множители бывают у простых чисел. Поскольку a и b – целые, то таковы же a2 - 3b2 и 3a2 - b2. Впрочем, для наших целей достаточно показать, что

а это легко проверяется возведением обеих частей в куб. С помощью этих результатов Бомбелли показал, что таинственное решение, которое дает формула Кардана, действительно x = 4. Как показано во врезке 1.2, в  неприводимом случае все три корня вещественные и  только один положителен, это и  есть корень, вычисляемый по формуле Кардана (попробуйте доказать это, а если не получится, прочитайте вторую половину приложения A).

1.6. Вычисление вещественных корней без мнимостей И все же – пусть даже формула Кардана правильна во всех случаях, включая неприводимый, – возникает вопрос, нет ли фор-

52

ГЛАВА 1. ЗАГАДКИ МНИМыХ ЧИСЕЛ

мулы, которая давала бы значение положительного вещественного корня без всяких мнимостей в неприводимом случае. Да, такая формула существует. Открытая великим французским математиком Франсуа Виетом6 (1540–1603), она дает выражения всех корней неприводимого кубического уравнения в  терминах косинуса и  арккосинуса. Это открытие особенно впечатляет, потому что Виет был не профессиональным математиком, а юристом на государственной службе при королях Генрихе III и  Генрихе IV. Математикой он занимался, когда удавалось урвать время у  «более важных» обязанностей, например расшифровки перехваченных писем испанского двора во время войны между Францией и  Испанией. Несмотря на изобретательность, решение Виета (опубликованное посмертно в 1615 году) малоизвестно, поэтому расскажу, что именно он сделал. Свой анализ Виет начал с кубического уравнения x3 = px + q, где p и q представлены в виде p = 3a2, q = a2b. Иными словами, он начал с уравнения

Затем он воспользовался тригонометрическим тождеством

Если вы не помните это тождество, пока просто примите его на веру – в главе 3 я покажу, как его вывести с помощью комплексных чисел. Далее Виет предположил, что всегда можно найти такое a, что x = 2a cos(θ). Сейчас я  покажу, что это предположение верно, для чего просто вычислю значение θ. Из предположения Виета следует, что cos(θ) = x/2a, и, подставляя в тождество выше, сразу получаем, что x3 = 3a2x + 2a3cos(3θ). Но это как раз то кубическое уравнение, которое мы пытаемся решить, если положить 2a3cos(3θ) = a2b. Таким образом,

ВыЧИСЛЕНИЕ ВЕщЕСТВЕННыХ КОРНЕй БЕЗ МНИМОСТЕй

53

Подставляя этот результат в  равенство x = 2a cos(θ), сразу находим решение:

или в терминах p и q:

Чтобы это выражение было вещественным, аргумент cos-1 q £ 2p3/2. (Ниже, в главе 6, должен быть не больше 1, т. е. 3 я расскажу, что происходит, когда абсолютная величина аргумента арккосинуса больше 1.) Но легко показать, что это условие эквивалентно неравенству q2/4 - p3/27 £ 0, а это в точности условие, описывающее неприводимый случай. Заметим, что в формуле Виета, в отличие от формулы Кардана, нет никаких мнимых величин. Правильна ли формула Виета? Для проверки возьмем все то же уравнение Бомбелли x3 = 15x + 4, для которого p = 15 и q = 4. Формула Виета дает

Выглядит пугающе, но ручной калькулятор показывает, что это выражение равно 4, как и должно быть. Для нахождения этого корня нужно вычислить cos-1(12 /30 ) = 79.695°. Но из свойств косинуса следует, что углы 280.305° и 439.695° ничуть не хуже. Вычисление x для этих двух углов дает другие вещественные корни -0.268 и -3.732, т. е. -2 ± . Сам Виет, впрочем, не обратил внимания на отрицательные корни. Проверим еще формулу в частном случае q = 0. Тогда уравнение принимает вид x3 - px = 0 и, очевидно, имеет три вещественных корня x = 0, x = ± только корень x =

. Из них положительным является

. При q = 0 формула Виета дает:

54

ГЛАВА 1. ЗАГАДКИ МНИМыХ ЧИСЕЛ

поскольку cos-1(0) = 90°. Но (2/

)cos(30°) = 1, поэтому по

формуле Виета получаем x = . А  поскольку cos-1(0) также равно 270° (и 450°), то легко проверить, что формула дает и корни x = 0 и x = - . Строго говоря, это кубическое уравнение не является неприводимым, но формула Виета все равно работает. Отметим, что в обоих рассмотренных частных случаях для корней выполняется утверждение, высказанное в конце врезки 1.2. Виет очень хорошо сознавал уровень своего математического мастерства. Сам он писал о своей математике, что это «не алхимическое золото, без следа исчезающее в  клубах дыма, а  настоящий металл, извлеченный из копей, которые стерегут драконы». В ложной скромности Виета точно не обвинишь. Если бы его решение было найдено на сто лет раньше, стал бы Кардан «заморачиваться» мнимостями в  своей формуле? Были бы у  Бомбелли стимулы доказывать «вещественность» комплексных выражений, появляющихся в  формальном решении неприводимого кубического уравнения? Интересно порассуждать о том, как изменилась бы история математики, если бы какой-нибудь гений опередил Виета. Но такого гения не нашлось, и  именно Бомбелли разгадал последний секрет кубического уравнения. Раскрытие Бомбелли природы формулы Кардана в  неприводимом случае расчистило интеллектуальный тромб, касающийся . После его работы стало ясно, что обращение с  по обычным правилам арифметики приводит к абсолютно правильным результатам. Анализ Бомбелли сорвал с  почти мистический покров тайны. Оставалось еще одно интеллектуальное препятствие – определение физического смысла (это тема двух следующих глав), но работа Бомбелли устранила барьер, который казался непреодолимым.

1.7. Курьезное переоткрытие С формулой Кардана связан еще один курьезный эпизод, о  котором я  хочу рассказать. Спустя примерно сто лет после

КУРьЕЗНОЕ ПЕРЕОТКРыТИЕ

55

того, как Бомбелли объяснил, как формула Кардана работает во всех случаях, включая неприводимый, когда все корни вещественные, юный Готфрид Лейбниц (1646–1716) почему-то решил, что вопрос все еще остается открытым. Это тем более удивительно ввиду того, что Лейбниц точно изучал Алгебру Бомбелли, но тем не менее полагал, что к  формуле Кардана можно что-то добавить. Лейбниц был гением, но это случилось, когда ему было около двадцати пяти лет, когда, как писал один историк: «Лейбниц мало что понимал в современной ему математике. Не понаслышке он был знаком в основном с математикой греков»7. Как раз в  то время Лейбниц познакомился с  голландским физиком и математиком Христианом Гюйгенсом (1629–1695), с которым вступил в корреспонденцию, продолжавшуюся всю жизнь. В письме Гюйгенсу, написанном между 1673 и 1675 годом8, он начал ворошить то, что Бомбелли уже давно сделал. В этом письме изложен его знаменитый (хотя и несколько разочаровывающий) результат:

о котором Лейбниц писал: «Не припомню более удивительного и  парадоксального факта во всем анализе; думаю, что я первым привел иррациональные корни, мнимые по форме, к вещественным значениям…». Разумеется, первым был Бомбелли, веком раньше. В наши дни, впервые рассказывая школьникам о  , это чаще всего делают примерно в такой форме (я взял эту цитату из одного учебника для колледжей9): «Рассмотрение вещественного уравнения x2 + 1 = 0 привело к изобретению i (а также -i). Оно было объявлено решением, и на этом вопрос был закрыт». Конечно, этот пассаж легко прочитать и запомнить, но, как вы теперь знаете, он не имеет ничего общего с действительностью. Когда в давние времена математики сталкивались с  квадратным уравнением x2 + 1 = 0 и  ему подобными, они просто закрывали на трудности глаза и  называли их «невозможными». И разумеется, никакого решения они не изобретали. Прорыв в вопросе о  произошел в связи с кубическими, а не квадратными уравнениями, у которых были вещественные решения, но в формуле Кардана возникали мнимые вели-

56

ГЛАВА 1. ЗАГАДКИ МНИМыХ ЧИСЕЛ

чины. И причиной стало более ясное, чем прежде, понимание идеи комплексно-сопряженного числа. Поэтому, прежде чем вернуться к Лейбницу, я хотел бы показать изящное применение комплексного сопряжения. Рассмотрим следующее утверждение, для проверки которого достаточно простеньких вычислений на салфетке: (22 + 32) (42 + 52) = 533 = 72 + 222 = 232 + 22. И еще одно, проверить которое чуть сложнее: (172 + 192) (132 + 152) = 256 100 = 642 + 5022 = 82 + 5062. К чему это я? Это два примера общей теоремы, которая утверждает, что произведение сумм двух квадратов целых чисел всегда можно выразить двумя разными способами в виде суммы двух квадратов целых чисел. То есть если даны целые числа a, b, c и d, то всегда можно найти две пары положительных целых чисел u и v таких, что (a2 + b2) (c2 + d2) = u2 + v2. Таким образом, согласно этой теореме, должно существовать два целых решения, например, у такого уравнения: (892 + 1012) (1112 + 1332) = 543 841 220 = u2 + v2. Вы видите, чему равны u и v? Наверное, нет. Но благодаря комплексным числам и понятию сопряжения эту задачу легко проанализировать. И вот как это делается. Разложим на множители левую часть доказываемого равенства: [(a + ib)(a - ib)][(c + id )(c - id )] = [(a + ib)(c + id )][(a - ib)(c - id )]. Поскольку величины в квадратных скобках в правой части являются комплексно-сопряженными, правую часть можно записать в виде (u + iv)(u - iv). То есть u + iv = (a + ib)(c + id ) = (ac - bd) + i(bc + ad), и, следовательно, u = |ac - bd| и v = bc + ad.

КУРьЕЗНОЕ ПЕРЕОТКРыТИЕ

57

Но это не единственно возможное решение. Разложение на множители можно записать и так: [(a + ib)(c - id )][(a - ib)(c + id )] = [u + iv][u - iv], откуда получаем второе решение u + iv = (a + ib)(c - id) = (ac + bd) + i(bc - ad), или u = ac + bd и v = |bc - ad|. Тем самым мы доказали теорему, явно построив u и v. В частности, отсюда следует, что (892 + 1012) (1112 + 1332) = 35542 + 23 0482 = 6262 + 23 3122. Это очень старая задача (она была известна еще Диофанту), а  ее обсуждение без использования комплексных чисел можно найти в  книге 1225 Liber quadratorum (Книга квадратов10), написанной средневековым итальянским математиком Леонардо Пизанским (ок. 1170–1250), т.  е. Леонардо из Пизы  – города, знаменитого своей падающей башней. Без сомнения, Лейбниц обнаружил бы, что концепция комплексного сопряжения – как раз то, что нужно для объяснения его «парадоксального факта». Свою растерянность Лейбниц выразил следующими словами: «Я не мог понять, как… может быть вещественной величина, для выражения которой используются мнимые, или невозможные, числа». Это так поразило его, что уже после смерти среди неопубликованных работ было найдено несколько таких выражений, как будто он вычислял их и  никак не мог остановиться. Например, решение уравнений x3  - 13x  - 12 = 0 и x3 - 48x - 72 = 0 привело к таким открытиям:

и

58

ГЛАВА 1. ЗАГАДКИ МНИМыХ ЧИСЕЛ

Вещественность комплексных выражений в левых частях современному старшекласснику показалась бы очевидной. Вот так в  математике постепенно приходили к  пониманию . Благодаря понятию комплексного сопряжения мы теперь знаем, что график любого многочлена f(x) содержит все корни уравнения f(x) = 0, вещественные и комплексные. И в заключение этой главы я  хочу показать, как их можно найти для квадратных и кубических уравнений.

1.8. Нахождение комплексных корней с помощью линейки Мы знаем, что график любого многочлена n-й степени y = f(x) с вещественными коэффициентами пересекает ось x по одному разу для каждого вещественного корня уравнения f(x) = 0. Именно с пересечением оси x ассоциируется 0 в правой части. Если число пересечений меньше n, например m < n, значит, существует m вещественных корней и  n  - m комплексных. Значение n - m всегда четно, потому что, как показано в приложении A, для любого корня комплексно-сопряженное ему число также является корнем. Это, впрочем, не значит, что показать комплексные корни на графике функции невозможно. Да, вещественные корни представлены очень наглядно, как точки пересечения с осью x, но если вы готовы приложить еще немного усилий, то сможете увидеть и комплексные корни. Для начала рассмотрим квадратное уравнение f(x) = ax2 + bx + c = 0. Два его корня либо оба вещественны, либо представляют собой пару комплексно-сопряженных чисел – это зависит от знака дискриминанта b2 - 4ac. Если эта величина неотрицательна, то оба корня вещественны и либо график пересекает ось x в двух точках, либо касается ее (если b2  - 4ac = 0, т.  е. имеет место двойной корень). Если же b2 - 4ac отрицательно, то корни комплексные, и график не пересекает ось x, как показано на рис. 1.3. Предположим, что имеет место последний случай и что корни равны p ± iq. Тогда если записать f(x) в виде произведения: f(x) = a(x - p - iq)(x - p + iq) = a[(x - p)2 + q2], то становится ясно, что f(x) ³ aq2, если a > 0, и f(x) £ aq2, если a < 0. Это значит, что f(x) достигает в точке x = p минимума,

НАХОЖДЕНИЕ КОМПЛЕКСНыХ КОРНЕй С ПОМОщью ЛИНЕйКИ

59

если a > 0 (как показано на рис. 1.3), и максимума, если a < 0. Поэтому мы можем измерить p на графике f(x) как абсциссу локального экстремума. f(x) = ax2 + bx + c, b2 - 4ac < 0 и a > 0

2aq2 aq2

0

p

p

q

x q

Рис. 1.3. Квадратное уравнение, не имеющее вещественных корней

Далее, чтобы измерить q на графике, сначала измерим ординату y в точке минимума (я предполагаю, что a > 0, но случай a < 0 столь же прост), т.  е. величину aq2. Затем в точке x = p сначала поднимемся вверх на 2aq2, а потом сместимся вправо до пересечения с  графиком. Если подставить абсциссу точки пересечения (обозначим ее ) в квадратное уравнение, то получим: f( ) = 2aq2 = a[(  - p)2 + q2] = a(  - p)2 + aq2, или aq2 = a(  - p)2 или q =  - p. Таким образом, q можно измерить непосредственно на графике f(x), как показано на рис. 1.3.

60

ГЛАВА 1. ЗАГАДКИ МНИМыХ ЧИСЕЛ

Перейдем теперь к  кубическим уравнениям. Прежде всего заметим, что может существовать либо (a) три вещественных корня, либо (b) один вещественный и два комплексных корня. Подумайте, почему все три корня не могут быть комплексными и почему не может быть два вещественных и один комплексный корень. Если это непонятно, обратитесь к приложению A. Нас будет интересовать случай (b). Обозначим вещественный корень x = k, а пару комплексно-сопряженных корней x = p ± iq. Тогда f(x) можно разложить на множители: y = f(x) = (x - k)(x - p + iq)(x - p - iq). После раскрытия скобок и приведения подобных членов получаем: F(x) = (x - k)(x 2 - 2xp + p2 + q2). График кубической функции с одним вещественным корнем пересекает ось x в  одной точке, т.  е. выглядит, как показано на рис. 1.4. Построим треугольник AMT, где A  – точка пересечения графика y = f(x) с осью x, T – точка, в которой прямая, проходящая через A, касается этого графика, а M – основание перпендикуляра, опущенного из T на ось x. Понятно, что вещественный корень равен k = OA. Теперь рассмотрим прямую y = λ(x - k), которая, очевидно, проходит через точку A, потому что y = 0 при x = k. Представим себе, что коэффициент наклона этой прямой λ изменяется, пока она не коснется графика y = f(x), т. е. не обратится в касательную. В этот момент мы получим точку T, а поскольку эта точка лежит одновременно на графике y = f(x) и на прямой y = λ(x - k), то, обозначив ее абсциссу , будем иметь: λ(  - k) = (  - k)( 2 - 2p + p2 + q2).

Поскольку величина  - k ≠ 0, мы можем разделить на нее обе части этого равенства, и получится квадратное уравнение относительно : λ=

2

 - 2p + p2 + q2.

На самом деле, поскольку T – точка касания, должно существовать ровно одно значение . Таким образом, уравнение 2

 - 2p + p2 + q2 - λ = 0

НАХОЖДЕНИЕ КОМПЛЕКСНыХ КОРНЕй С ПОМОщью ЛИНЕйКИ

61

должно иметь два равных корня, т. е. двойной корень. В общем случае

и двойной корень имеется только тогда, когда радикал равен нулю. Следовательно, 4p2 - 4(p2 + q2 - λ) = 0,

или λ = q2. Стало быть, коэффициент наклона касательной AT равен q2 = TM/AM. Тогда значение , полученное по общей формуле, равно = p = OM. y = f(x)

T

0

A

M

x

Рис. 1.4. Кубическое уравнение с одним вещественным корнем

Итак, чтобы найти все корни кубического уравнения, нужно построить график y = f(x) и затем: 1) найти вещественный корень, измерив отрезок OA (= k); 2) совместить линейку с точкой A и медленно поворачивать ее, пока она не коснется графика функции (тем самым «найти» точку T);

62

ГЛАВА 1. ЗАГАДКИ МНИМыХ ЧИСЕЛ

3) измерить отрезки TM и AM и вычислить величину

4) измерить отрезок OM, получив тем самым p; 5) мнимые корни равны p + iq и p - iq.

ГЛАВА 2

Первая попытка понять геометрию -1

2.1. Рене Декарт Хотя Бомбелли удалось придать формальный смысл появлению в формуле Кардана, физическая интерпретация попрежнему отсутствовала. Математики XVI века были очень сильно привязаны к  греческой геометрической традиции и потому ощущали дискомфорт, если некоторому понятию не получалось придать геометрический смысл. Потому-то спустя два столетия после Алгебры Бомбелли Эйлер писал в своей Алгебре 1770 года: Следовательно, все такие выражения, как , и т. д., являются невозможными, или мнимыми, числами, потому что представляют корни из отрицательных величин; для таких чисел мы можем с уверенностью сказать, что они не равны нулю, не больше нуля и не меньше нуля, а это как раз и делает их мнимыми или невозможными.

Таких «негативных» ощущений не возникало в  отношении квадратных корней из положительных чисел, потому что было известно порождающее их геометрическое построение, по крайней мере отчасти. Описанное ниже построение приведено Рене Декартом (1596–1650) в  книге «Геометрия» (La Geometrie), вышедшей в  1637 году1. Пусть задан отрезок прямой GH, показанный на рис. 2.1, и требуется построить другой отрезок, длина которого равна . Сначала Декарт продлил GH до точки F, так что длина FG равна единице. Длину FH тоже можно считать заданной, она устанавливает масштаб построения. Итак, FH = FG + GH = 1 + GH. Далее он воспользовался хорошо известным способом деления отрезка пополам для

64

ГЛАВА 2. ПЕРВАЯ ПОПыТКА ПОНЯТь ГЕОМЕТРИю –1

нахождения средней точки K отрезка FH. Затем он построил полуокружность FIH с центром в точке K и радиусом KH = FK. И наконец, восставил перпендикуляр из точки G, пересекающий полуокружность в точке I (таким образом, IK является радиусом). Теперь можно написать: FG + GH = 2IK; 1 + GH = 2IK; ½(1 + GH) = IK. I

F

G

K

H

Рис. 2.1. Построение квадратного корня ) из отрезка прямой (IG =

Кроме того, FG + GK = IK; GK = IK - FG = IK - 1 = ½(1 + GH) - 1; GK = ½(GH - 1). По теореме Пифагора имеем: (IG)2 + (GK)2 = (IK)2; (IG) + ¼(GH - 1)2 = ¼(1 + GH)2; (IG)2 = ¼[(1 + GH)2 - (GH - 1)2] = GH. 2

Таким образом, IG = . Сам Декарт ничего этого не писал, но в последней строке его Геометрии есть слова, показывающие, что это упущение – не случайность: «И я  надеюсь,

РЕНЕ ДЕКАРТ

65

что наши потомки будут благодарны мне не только за то, что я здесь разъяснил, но и за то, что мною было добровольно опущено, с  целью предоставить им удовольствие самим найти это». Иронический склад ума был у человека. Важно различать построение квадратного корня из любого заданного отрезка, описанное Декартом, и построение отрезка, длина которого равна заданному квадратному корню. Во втором случае, когда длина квадратного корня – целое число (опять-таки, в предположении, что единичная длина известна), элегантное геометрическое решение было найдено задолго до Декарта Феодором Киренским, жившим в IV веке до н. э. Феодор, обучавший математике Платона, доказал, что корни из всех чисел от 3 до 17, не являющихся полными квадратами, иррациональны, а его ученик Теэтет обобщил этот результат на все вообще целые числа, не являющиеся полными квадратами. Все работы Феодора утрачены, и  неизвестно, как он пришел к  своим результатам, но о  самих результатах мы знаем, поскольку Платон вывел обоих персонажей в диалоге «Теэтет», где поведал об их достижениях. Высказывалось предположение, что решение Феодора могло быть основано на следующем методе построения для любого целого положительного n > 1, показанном на рис. 2.2. На рисунке мы видим спираль, составленную из прямоугольных треугольников с общей вершиной, такую, что длина стороны каждого треугольника, противоположной общей вершине, равна 1. Тогда длина гипотенузы n-го треугольника равна + 1. Платон недоумевал, почему Феодор в своем анализе иррациональности остановился на («Тут его что-то остановило»), но, возможно, рисунок объясняет причину. Вычислив сумму углов при общей вершине первых n треугольников, мы получим

При n = 16 (когда возникает ) эта сумма равна 351.15°, а для n = 17 - 364.78°. Быть может, Феодор остановился на просто потому, что при n > 16 спираль начинала пересекать самое себя, и чертеж становился «неразборчивым».

66

ГЛАВА 2. ПЕРВАЯ ПОПыТКА ПОНЯТь ГЕОМЕТРИю –1

1

1

1 1 4 5 1

3 2

6

1

1

7 8

1

9 10 1

1 Рис. 2.2. Спираль Феодора, составленная из треугольников

Эти построения относятся к квадратным корням из положительных длин. Но какой геометрический смысл можно было бы придать квадратному корню из отрицательной величины? По Декарту, такое геометрическое построение попросту невозможно. Может возникнуть вопрос: а кто такой был этот Декарт? Декарт происходил из обедневшего дворянского рода, получил начальное образование в иезуитском колледже, провел два года в  Париже, самостоятельно изучая математику, и в 1617 году в возрасте двадцати одного года оказался на королевской военной службе. Спустя два года он оставил службу, потому что, как рассказывал впоследствии, его посещали сны,

РЕНЕ ДЕКАРТ

67

в которых открывались манящие идеи, – в конечном итоге они вылились в работы по аналитической геометрии. Быть может, это решение привело к  потере для армии, но зато принесло неоценимую пользу математике. В 1628 году Декарт переехал в Голландию, где преимущественно вел одинокую жизнь ученого. В 1637 году он воспользовался знанием геометрии и дал первое научное объяснение радуге, основанное на изучении внутреннего отражения (однократного или многократного) лучей света в каплях воды. В 1649 году он отправился в Стокгольм, где стал наставником королевы Кристины. На следующий год, не вынеся суровой шведской зимы, он умер от воспаления легких. Чтобы понять, почему Декарт связывал мнимые числа с геометрической невозможностью, рассмотрим, как он продемонстрировал решение квадратных уравнений с помощью геометрического построения (оно вытекает из его Геометрии). Он начал с уравнения z2 = az + b2, где a и b2 неотрицательны и представляют длины двух отрезков прямой. Пусть на рис. 2.3 отрезок LM равен квадратному корню из b2. Предположим также, что LN = ½a (такой отрезок легко получить делением a пополам) и  что LN  – перпендикуляр к  LM. Далее построим окружность радиуса ½a с центром в точке N, проведем отрезок NM и продолжим его до пересечения с другой половиной окружности в точке O. Очевидно, что

а это и  есть положительный корень квадратного уравнения z2 = az + b2. Таким образом, Декарт геометрически построил решение квадратного уравнения. Это построение пригодно для любых положительных a и b2. Отметим, что Декарт отбрасывает второй корень 2

который для любых

положительных a и b отрицателен. Причиной, как я уже говорил, является тот факт, что, как и все математики его времени, Декарт отвергал такие решения, называя их ложными.

68

O

ГЛАВА 2. ПЕРВАЯ ПОПыТКА ПОНЯТь ГЕОМЕТРИю –1

½a

N

½a

L

M

b

Рис. 2.3. Геометрическое построение Декарта для нахождения положительного корня уравнения z2 = az + b2, где a и b2 положительны

Далее Декарт переходит к рассмотрению квадратного уравнения z2 = az - b2. В алгебраической форме его решение имеет вид

т. е. теперь возможны комплексные корни, хотя a и b2 по-прежнему положительны. Декарт следующим образом изучил геометрические последствия этой возможности. Как и  прежде, он начал с отрезков LN = ½a и LM = b. Но вместо того чтобы соединять точки N и M, он восставил перпендикуляр из M, а затем описал окружность с центром в N (см. рис. 2.4) радиусом ½a. Окружность пересекается с  перпендикуляром (если они вообще пересекаются) в точках Q и R. Декарт заметил, что отрезки MQ и  MR (если они существуют) являются решениями квадратного уравнения. Это «наблюдение» – довольно любопытное упражнение в алгебре и геометрии. Попробуйте сами доказать, что отрезки MQ и MR действительно равны приведенным выше значениям z,  – а  до тех пор не заглядывайте в подсказку2. Отметим, что теперь Декарт готов признать оба решения, полученных с  помощью геометрического построения, потому что если значения венны, то они также и положительны.

вещест-

РЕНЕ ДЕКАРТ

69

R

N

½a Q

L

b

M

Рис. 2.4. Геометрическое построение Декарта для нахождения обоих положительных корней уравнения z2 = az - b2, где a и b2 положительны

Какой вывод сделал Декарт из всего этого? В  конце своего анализа он пишет: «Если же окружность, имеющая центр в  точке N и  проходящая через L, не пересекает и  не касается прямой MQR, то уравнение не имеет ни одного корня, так что можно утверждать, что построение предложенной задачи невозможно [курсив мой]». Таким образом, Декарт исключает случай двойного корня, не разрешая окружности даже касаться перпендикуляра, когда R и Q слились бы в одну точку. Отметим, что геометрическое условие отсутствия пересечения (или «касания») имеет вид b > ½a, и это в точности алгебраическое условие комплексности корней квадратного уравнения. Я не стану останавливаться на декартовом рассмотрении случая z2 + az = b2, поскольку ничего нового к нашему обсуждению оно не добавит. Это квадратное уравнение, и оба рассмотренных выше  – единственные разобранные Декартом, поскольку у  них всегда есть хотя бы один положительный корень. Он полностью игнорирует четвертую возможность – z2 + az + b2 = 0, потому что в этом случае нет положительных корней при положительных a и  b2, а  только такие корни, по

70

ГЛАВА 2. ПЕРВАЯ ПОПыТКА ПОНЯТь ГЕОМЕТРИю –1

мнению Декарта, имеют геометрический смысл. Но интерпретация появления мнимых чисел как физической невозможности – привычная идея для современного инженера или физика, и нетрудно привести простой пример, показывающий, как такое может случиться. Представим человека, бегущего со всех ног со скоростью v  футов в  секунду, чтобы догнать автобус, остановившийся на красный свет. Когда до автобуса остается d футов, загорается зеленый, и автобус начинает удаляться от бегущего человека с постоянным ускорением a футов/с2. Когда человек догонит автобус? Чтобы ответить на этот вопрос, обозначим x = 0 положение светофора (оно будет началом в нашей системе координат), xb – положение автобуса, а xm – положение человека. Тогда в момент t = 0, когда светофор переключился, имеем xb = 0 и xm = -d. Для произвольного момента t ³ 0 можно записать уравнения

Если предположить, что человек догнал автобус в  момент t = T, то из самого смысла слова «догнал» следует, что xb(T) = xm(T), т. е.

и мы получили квадратное уравнение относительно T. Его решение имеет вид

Если d > ½v2/a, то получается комплексное время T. В нашей интерпретации это означает, что человек никогда не догонит автобус. Но это не значит, что T нельзя придать никакого физического смысла. Чтобы убедиться в этом, обозначим s = xb - xm, т. е. s – расстояние между автобусом и человеком. Тогда

РЕНЕ ДЕКАРТ

71

Догнать автобус в момент T означает, что s = 0. Теперь зададимся новым вопросом. Предположим, что человек не догнал автобус, но тогда спрашивается, в какой момент он был ближе всего к автобусу? Иными словами, когда s достигает минимума? Приравнивание ds/dt = 0 дает t = v/a. Следовательно, момент, когда человек оказывается ближе всего к автобусу, – это вещественная часть комплексного времени T. У мнимой части T тоже есть физический смысл, хотя и другой. Физическое различие между «догнал» и «не догнал» эквивалентно различию между вещественным и комплексным T. Оно как раз и определяется мнимой частью T, т. е. переход от «догнал» к «не догнал» происходит, когда выполняется условие 2d/a = (v/a)2. Если известны любые две из трех величин d, a и v, то мы можем воспользоваться этим условием, чтобы найти критическое значение третьей, при котором человек не догонит автобус. Например, если даны v и a, то, чтобы человек догнал автобус, d должно быть не больше ½v2/a. И еще над одним вопросом поразмыслите. Предположим, что человек догнал автобус, т.  е. T вещественно. Но в  какой именно момент T это произойдет – ведь у  уравнения-то два положительных корня, различающихся знаком перед радикалом? Иначе говоря, каков физический смысл двух вещественных корней? Загляните в ответ3 только после того, как подумаете самостоятельно. Нетрудно построить и чисто математический пример. Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале координат, описываемую уравнением x2 + y2 = 1 (рис. 2.5). Рассмотрим точку (0, b) на оси y, где b > 1, т. е. точка находится вне круга. Проведем через эту точку прямую, касающуюся окружности и пересекающую положительную полуось x. Чему равен коэффициент наклона касательной? Если обозначить коэффициент наклона m, то из школьного курса геометрии известно, что y = mx + b. По рисунку видно, что m < 0. Точка касания является общей для прямой и  окружности, т.  е. в  этой точке x2 + (mx + b)2 = 1. Следовательно, абсцисса точки касания – корень этого квадратного уравнения. Его решение описывается формулой

72

ГЛАВА 2. ПЕРВАЯ ПОПыТКА ПОНЯТь ГЕОМЕТРИю –1

y

(0, b)

–1

slope = m < 0

+1

x

Рис. 2.5. Касательная к окружности

Поскольку решение должно быть только одно – по определению касательная имеет лишь одну общую точку с окружностью и  не может пересекать ее в  нескольких точках, – выражение под знаком радикала должно быть равно нулю. Решая уравнение относительно m и  памятуя о  том, что m должно быть отрицательно, находим

и

Эти выражения вещественны для b > 1 (именно таково было наше предположение), но что, если 0 < b < 1, т. е. точка на оси y лежит внутри окружности? Очевидно, что в таком случае провести касательную к окружности невозможно, а выражения для m и  дают мнимые значения. Мы видим прямую связь между возникновением мнимых чисел и невозможностью выполнить геометрическое построение4.

РЕНЕ ДЕКАРТ

73

Ну и раз уж мы заговорили о прямой с мнимым коэффициентом наклона, хочется отметить любопытное свойство таких прямых. Рассмотрим две прямые, составляющие углы α и  β с осью x, как показано на рис. 2.6. Понятно, что тангенсы этих углов и есть коэффициенты наклона. То есть если обозначить m = tg(α) и  n = tg(β), то уравнения прямых можно записать в виде y = nx + b1 и y = mx + b2. Согласно известному результату из тригонометрии, угол между этими прямыми ϕ = β - α удовлетворяет равенству

Предположим, к  примеру, что прямые параллельны, тогда m = n и  tg(ϕ) = 0, откуда следует, что ϕ = 0, т.  е. угол между параллельными прямыми равен нулю. y

φ

α

β

b2

0

х

b1

Рис. 2.6. Две пересекающиеся прямые на плоскости

74

ГЛАВА 2. ПЕРВАЯ ПОПыТКА ПОНЯТь ГЕОМЕТРИю –1

Ну, это и так очевидно, правильно? А теперь предположим, что имеются две прямые с одинаковым мнимым коэффициентом наклона i. Тогда

т. е. мы получили неопределенность. Заметим, что этот странный результат имеет место только для мнимого наклона i. Если m = n = ki, где k ≠ 1, то tg(ϕ) = 0, как и «должно быть». Так что же такого особенного в коэффициенте наклона i? Я не знаю – быть может, пока будет лучше просто насладиться тайной этого вычисления ради него самого.

2.2. Джон Валлис В то время как у Декарта мнимость ассоциировалась с невозможностью геометрического построения, по крайней мере один математик полагал, что можно построить нечто, представляющее . Джон Валлис, которого мы уже упоминали в предыдущей главе, был вундеркиндом, который в возрасте четырнадцати лет (в 1630 году, за семь лет до выхода «Геометрии») уже умел читать и говорить на латыни, а на уровне чтения знал еще и греческий, иврит и французский. По иронии судьбы, он начал изучать арифметику  – как «приятное отвлечение в  свободное время» – только на следующий год. Валлис прогрессировал очень быстро, настолько, что в  1647 или 1648  году сумел самостоятельно вывести формулу Кардана. Однако образование он получил теологическое, служил в должности священника при Карле II и в 1692 году отклонил предложение королевы Марии II занять должность дьякона. Поэтому некоторое удивление вызывает тот факт, что в  1649  году он был избран савильским профессором геометрии в Оксфордском университете. Это почти наверняка стало признанием его ценных услуг, оказанных парламенту в  расшифровке перехваченных сообщений во время борьбы парламента с Карлом I и его последователями-роялистами. Однако Валлис не был льстецом – будучи в чести у парламента, он не стал заискивать, а оказался среди тех, кто подписал петицию не казнить низложенного Карла I, причем сделал это еще до того, как Кромвель подписал указ о его назначении в Оксфорд.

ДЖОН ВАЛЛИС

75

Валлис был одним из первых членов группы единомышленников в  Оксфорде, со временем превратившейся в  Лондонское королевское общество, президентом которого он и стал. В 1655 году вышла его книга Arithmetica Infinitorum («Арифметика бесконечного»), заложившая основы интегрального исчисления. Например, в ней обсуждается вычисление площади под кривой y = xn и приводится знаменитая формула Валлиса для вычисления π: Частичные произведения попеременно дают верхнюю и нижнюю оценки π, которые становятся все точнее при увеличении количества сомножителей. В главе 6 я покажу, как ее вывести. Известно, что книга Валлиса оказала огромное влияние на молодого Исаака Ньютона. Связь между Валлисом и  Ньютоном возобновилась много лет спустя, когда в  споре Ньютона и  Лейбница о  приоритете в  открытии дифференциального исчисления Валлис, будучи президентом королевского общества, стал посредником в разрешении конфликта. После смерти он был похоронен в церкви Оксфордского университета, а  на стене рядом с  его могилой высечены слова: «Здесь покоится Джон Валлис, доктор теологии, савильский профессор геометрии и  хранитель архивов Оксфордского университета. После него остались бессмертные работы…». Неудивительно, что коль скоро человек такого калибра обратил внимание на , должны были появиться интересные результаты. Есть свидетельства, что за много лет до выхода Алгебры в  1685 году, где формально представлен анализ мнимостей, Валлис размышлял над смыслом мнимых чисел в геометрии. Например, Валлис вел переписку на эту тему с  английским математиком Джоном Коллинзом (1625–1683), и  об одной из типичных интересовавших его задач Коллинз рассказал (в письме от 19 октября 1675 года) шотландскому математику Джеймсу Грегори (1638–1675). Коллинз писал, что ранее для демонстрации того, как «новичок» может впасть в заблуждение5, Валлис подверг анализу треугольник со сторонами 1 и 2 и основанием 4. Валлис показал, что формальные алгебраические выкладки показывают, что два отрезка основания, распо-

76

ГЛАВА 2. ПЕРВАЯ ПОПыТКА ПОНЯТь ГЕОМЕТРИю –1

ложенных под сторонами 1 и 2, оказываются вещественными, хотя в действительности такой треугольник существовать не может (попробуйте-ка его нарисовать!). Очевидно, в  тот раз Валлис не стал исследовать этот «парадокс» подробно, потому что дальше в письме к Грегори Коллинз пишет: «но если бы он пошел дальше, то обнаружил бы, что длина перпендикуляра [мнимая], что доказывает невозможность». Вероятно, отсюда можно сделать вывод, что до 1675 года Валлис был еще не уверен в  наличии определенной связи между алгебраическими мнимостями и геометрией. Но к 1685 году он добился значительного прогресса. В своей Алгебре в качестве вступления к анализу квадратного корня из отрицательного числа Валлис замечает, что сами отрицательные числа, к  которым математики долгое время относились с подозрением, на самом деле имеют совершенно понятную физическую интерпретацию. Предлагая читателям рассмотреть прямую линию, на которой отмечена некоторая точка – начало отсчета, – Валлис пишет, что положительное число отмеряет расстояние вправо от начала отсчета, а  отрицательное – влево от него. Вот собственные слова Валлиса: «И хотя, в соответствии с чисто Алгебраической Нотацией, оно [отрицательное число] выглядит как величина, меньшая, чем ничто, однако когда речь заходит о Физическом Приложении, оно обозначает Реальную Величину, как если бы стоял знак +, но должна интерпретироваться противоположно». Конечно, современному читателю это кажется очевидным, но все на свете, даже очевидное, приобретено тяжким умственным трудом какого-то гения-первопроходца. Разобравшись с  правильной физической интерпретацией отрицательных чисел, Валлис перешел к  действительной, а  лучше бы сказать  – мнимой  – цели своих изысканий. Он напомнил читателям о  так называемом среднем пропорциональном: если b и  c  – положительные числа, то x называется средним пропорциональным b и c, если «b относится к x, как x относится к c». Или в алгебраической нотации:

из которой следует, что x = . Иногда говорят, что b, x и c составляют гармоническую прогрессию, поскольку три одинаково

ДЖОН ВАЛЛИС

77

натянутые струны длин b, x и  c колеблются и  издают звуки на частотах с равными промежутками. В наши дни x гораздо чаще называют средним геометрическим; ну, а средним арифметическим, конечно, называется величина (b + c)/2. В  духе «Геометрии» Декарта, которую он изучал и  высоко ценил, Валлис показал, как геометрически построить среднее пропорциональное двух заданных отрезков. Ниже приведено его построение. Как показано на рис. 2.7, Валлис поместил начало отсчета в  точку A и  отложил от нее отрезок AC. Затем он нашел середину AC и описал окружность диаметром AC. Далее Валлис выбрал произвольную точку B на этом диаметре между A и C и  восставил из B перпендикуляр, пересекающий окружность в точке P. Очевидно, что оба треугольника ABP и PBC прямоугольные, поэтому можно написать: (BP)2 + (AB)2 = (AP)2, (BP)2 + (BC)2 = (PC)2. P

A

B

C

Рис. 2.7. Построение Валлиса среднего пропорционального ] [BP =

Прямоугольник APC также прямоугольный, хотя это и не так очевидно6. Поэтому (AP)2 + (PC)2 = (AC)2.

78

ГЛАВА 2. ПЕРВАЯ ПОПыТКА ПОНЯТь ГЕОМЕТРИю –1

Подставив первые два выражения для (AP)2 и (PC)2 в третье и записав AC = AB + BC, получим (BP)2 + (AB)2 + (BP)2 + (BC)2 = (AB + BC)2. Раскрывая скобки в правой части и собирая подобные члены, приведем это выражение к виду (BP)2 = (AB)(BC), т. е.

а это и значит, что BP – среднее пропорциональное AB и BC. Затем Валлис модифицировал это геометрическое построение среднего пропорционального двух положительных отрезков – положительных, потому что AB простирается вправо от A до B, а BC – вправо от B до C, – включив в него случай, когда один из отрезков представляет отрицательную величину. Для этого он повторил рис. 2.7 до выбора точки B и  проведения через B перпендикуляра, пересекающего окружность в точке P (рис. 2.8). Но затем построил прямую, касающуюся окружности в точке P, т. е. перпендикулярную радиусу PR (R – центр окружности, лежащий на диаметре AC), и продлил ее до пересечения с продолжением диаметра AC в точке B¢, находящейся слева от A.

P

B

A

R

Рис. 2.8. Построение Валлисом отрезка

B

C

ДЖОН ВАЛЛИС

79

По построению, треугольник PRB¢ прямоугольный, поэтому, по теореме Пифагора, имеем: (B9¢)2 + (RP)2 = (B¢R)2. Поскольку RP – радиус, RP = ½AC. Заметим еще, что B¢C = B¢A + AC, и, следовательно, AC = B¢C - B¢A, а значит:

Кроме того, B¢R = B¢A + AR, а т. к. AR – радиус, то B¢R = B¢A + ½AC, или B¢R = B¢A + ½(B¢C - B¢A), или B¢R = ½(B¢A + B¢C). Подставляя эти выражения RP и B¢R в теорему Пифагора для треугольника PRB¢, получаем:

или, после раскрытия скобок и приведения подобных, (B¢P)2 = (B¢A)(B¢C). Если считать, что направление, в каком продолжается отрезок, несущественно, то последний результат можно записать просто в виде (B¢P)2 = (AB¢)(B¢C), откуда

– результат, который, если не считать штрихов, выглядит точно так же, как полученный для рис. 2.5. Но если принять идею Валлиса о том, что направление имеет значение, то получается, что B¢C > 0, а AB¢ < 0, и, следовательно, B¢P – квадратный корень из отрицательной величины. Ну, и  что обо всем этом сказать? Хитроумно, но больше похоже на упражнение по геометрии, а также по ловле блох. Как-то не верится, что такое рассуждение позволит прийти к  чему-то значимому в  том, что касается . Как один автор писал в XX веке о другой попытке Валлиса геометрически объяснить , «изобретательно, но едва ли убедительно»7. На самом деле к чести Валлиса нужно сказать, что он и сам был не очень-то доволен, и, как оказалось, это стало только разминкой. Другое, совершенно непохожее на это, построение стало шагом в правильном направлении на пути к раскрытию тайн геометрии .

80

ГЛАВА 2. ПЕРВАЯ ПОПыТКА ПОНЯТь ГЕОМЕТРИю –1

Валлис начал заново с рассмотрения классической геометрической задачи о  построении треугольника по двум сторонам и  углу, противолежащему одной из них. Эту задачу часто называют неоднозначной, потому что, как показано на рис. 2.9, в общем случае у нее есть два решения. На этом рисунке заданы стороны AP и  PB (=PB¢) и  ∡PAD = α. Ясно, что высота треугольника (PC) определена однозначно и что если PB = PB¢ > PC, то имеется два решения: треугольники APB и APB¢. Но в случае PB = PB¢ < PC решений нет вовсе, если мы настаиваем, чтобы основание треугольника лежало на прямой AD (т. е. на AD находились точки B и B¢). P

A

α

B

C

B

D

Рис. 2.9. Два треугольника с заданными сторонами и противолежащим углом

Алгебраически ситуацию можно описать двумя равенствами (напомним, что BC = CB¢):

Оба равенства говорят, что если PC > PB, то получаются квадратные корни из отрицательных чисел, что Декарт интерпретировал бы как невозможность построения желаемого треугольника. Но, быть может, это не совсем так. Гениальное озарение Валлиса состояло в том, что даже в случае PC > PB условия задачи все равно определяют две точки

ДЖОН ВАЛЛИС

81

B и B¢, если разрешить им находиться где-то вне основания AD. И вот как он это сделал. Взгляните на рис. 2.10. Он построил окружность с  диаметром PC. Затем, взяв P в  качестве центра, Валлис описал дугу радиусом PB до пересечения с первой окружностью в точках B и B¢. И заявил, что треугольники PAB (показан на рисунке) и PAB¢ (не показан) являются решениями, поскольку определены заданными сторонами AP и PB (=PB¢) и углом ∡PAD = α. Разница, конечно, в том, что ∡PAD теперь не является углом треугольника, но если внимательно вчитаться в условие задачи, то этого и не требовалось – нужно лишь, чтобы треугольник был определен двумя сторонами и углом. Существенное отличие заключается в том, что точки B и B¢ теперь лежат не на основании AD, а выше него. Валлис случайно наткнулся на идею о том, что геометрическая интерпретация мнимых чисел может быть связана с  вертикальным перемещением на плоскости. Сам Валлис такого утверждения не выдвигал, и на самом деле это ретроспективное замечание, сделанное наблюдателем, вооруженным трехсотлетним опытом. P

α A

B

B C

D

Рис. 2.10. Построение Валлиса, предлагающее рассматривать перпендикулярность как смысл мнимого числа

Пройдет еще сто лет, прежде чем будет предложено «очевидное» нам представление комплексных чисел точками на плоскости, где горизонтальное и  вертикальное направления интерпретируются как вещественное и мнимое соответствен-

82

ГЛАВА 2. ПЕРВАЯ ПОПыТКА ПОНЯТь ГЕОМЕТРИю –1

но, но Валлис подошел очень близко. Так близко, что в начале XX века философ Эрнст Мах, воззрения которого, как известно, оказали сильное влияние на Эйнштейна, напишет в  своей книге «Пространство и геометрия», что  – это «среднее направление, равноудаленное от +1 и  -1». Но чуть-чуть не считается, поэтому работу Валлиса по геометрии комплексных чисел ныне помнят только историки.

ГЛАВА 3

Загадки начинают разрешаться

3.1. Каспар Вессель прозревает путь Прошло больше ста лет после доблестной, но безуспешной попытки Валлиса разобраться в геометрии комплексных чисел. И  тут проблема внезапно и  совсем недраматично была разрешена норвежским математиком1 Каспаром Весселем (1745– 1818). Это удивительно и вместе с тем понятно, если принять во внимание, что Вессель по профессии был не математиком, а землемером. Прорыв Весселя в проблеме, поставившей в тупик немало блестящих умов, на самом деле легко объясним тем, что он повседневно сталкивался с задачами составления карт, где данные предстают в  виде плоских и  сферических многоугольников. В  семье не было никаких математических традиций, отец и  дед были священнослужителями. Именно профессиональные занятия Весселя обусловили успех там, где до него все терпели поражение. Вессель был одним из тринадцати детей, поэтому финансовые возможности семьи были ограничены, но тем не менее он получил хорошее образование в школе, а потом провел год в Копенгагенском университете. После этого он оставил академическую жизнь и, еще будучи подростком (в 1764 году), начал работать картографом в должности ассистента в Датской топографической комиссии, подчинявшейся Датской королевской академии наук. Геодезия стала его работой на всю жизнь (хотя по какой-то причине в  1778 году он сдал экзамены по римскому праву в Копенгагенском университете), и к 1798 году он дорос до должности инспектора. Он «ушел на пенсию» в  1805 году, но еще несколько лет продолжал работать, пока ревматизм, недуг многих, но землемеров в  особенности, не вынудил его уйти на покой. Его заслуги на профессиональном поприще были высоко оценены серебряной медалью Датской

84

ГЛАВА 3. ЗАГАДКИ НАЧИНАюТ РАЗРЕШАТьСЯ

королевской академии наук, которую он получил за карты, составленные для правительства Франции. Но даже от очень уважаемого геодезиста вряд ли можно было ожидать статьи (представленной Датской королевской академии наук 10 марта 1797 года, незадолго до его пятьдесят второго дня рождения) под названием «Об аналитическом представлении направлений: попытка». Известно, что в написании этой работы Весселю помогал президент научной секции академии; его поддержка, конечно, не повредила, но все интеллектуальное содержание целиком принадлежит Весселю. Качество и ценность работы были оценены настолько высоко, что она стала первой статьей, принятой к публикации – в академических «Записках» 1799 года – от автора, не являющегося членом академии. Блестящая работа Весселя, написанная по-датски и опубликованная в  журнале, который мало кто читал за пределами Дании, была обречена на безвестность. И  лишь в  1895 году она была заново обнаружена, и  к  Весселю наконец-то пришло заслуженное признание первооткрывателем2. Хотя через несколько лет после работы Весселя по тому же пути прошли другие люди, и именно их работы были прочитаны, первопроходцем был Вессель. Рассмотрим, что именно он сделал. В отличие от замысловатых геометрических построений Валлиса, интерпретация Весселя, показанная на рис. 3.1, поражает простотой. Для него, да и для нас тоже, комплексное число – это либо точка a + ib на так называемой комплексной плоскости (a и b – вещественные числа), либо радиус-вектор, направленный в  эту точку из начала координат. Такое представление комплексного числа называют прямоугольным, или декартовым. Чрезвычайно полезной альтернативой является полярная форма, при которой комплексное число описывается радиус-вектором и полярным углом, т.  е. углом, отсчитываемым против часовой стрелки между положительным направлением оси x и  радиус-вектором. Это означает, что если θ = {cos(θ) + i sin(θ)}. Длина радиусtg-1(b/a), то a + ib = называется модулем комплексного числа вектора a + ib. А величина полярного угла tg-1(b/a) называется аргументом a + ib и обозначается arg(a + ib). Все это можно компактно записать в виде:

КАСПАР ВЕССЕЛь ПРОЗРЕВАЕТ ПУТь

85

у (мнимая ось)

a + ib

b

0

θ

a

x (вещественная ось)

Рис. 3.1. Геометрия комплексных чисел по Весселю

Знак ∠ для обозначения комплексных чисел чаще используется в  электротехнике, но и  математики нередко находят его весьма полезным. Я буду постоянно применять его ниже. Однако с полярной формой представления комплексных чисел связана одна тонкость, о которой следует помнить. Студенты, впервые узнающие о полярной форме, часто забывают, что период тангенса равен 180°, а не 360°. То есть тангенс пробегает все значения (от -¥ до +¥), когда полярный угол изменяется от -90° до 90°. Или, если выражать углы в радианах (один радиан равен 180°/π = 57.296°), то тангенс пробегает все значения при изменении полярного угла от -π/2 до π/2 радиан. Это означает, что бездумная подстановка значений a и b в формулу θ = tg-1(b/a) может привести к ошибке. Поэтому точное определение выглядит так:

т. е. когда комплексное число находится в первом или четвертом квадранте, и

86

ГЛАВА 3. ЗАГАДКИ НАЧИНАюТ РАЗРЕШАТьСЯ

т. е. когда комплексное число находится во втором или в третьем квадранте. Напомним, что квадранты нумеруются против часовой стрелки, и первым называется квадрант, в котором a и b положительны. Когда вы вычисляете арктангенс на ручном калькуляторе, пользуясь кнопкой ARCTAN или, что более вероятно, кнопкой SHIFT или INV с последующим нажатием TAN, устройство предполагает, что a > 0 (если b/a < 0, то предполагается, что это из-за b), поэтому всегда возвращает число между -90° и 90°. Оно называется главным значением арктангенса. Если же в действительности a < 0, то вы сами должны внести поправку, как описано выше. Как Вессель пришел к ставшему стандартным способу представления комплексных чисел? Свою работу Вессель начал с  того, что сегодня мы называем сложением векторов. Если имеется два направленных отрезка, расположенных на оси x (быть может, по-разному ориентированных), то для их сложения нужно совместить начало одного с концом другого, тогда суммой будет направленный отрезок, соединяющий начало первого с  концом второго. Вессель говорит, что сумма двух непараллельных отрезков подчиняется тому же правилу, и эта процедура показана на рис. 3.2. Пока ничего нового нет, поскольку Валлис высказывал такие же идеи о сложении направленных отрезков. Оригинальный вклад Весселя состоял в том, как умножать такие отрезки. Для этого Вессель творчески обобщил поведение вещественных чисел. Он заметил, что произведение двух чисел (скажем, произведение 3 и -2, равное -6) относится к каждому сомножителю, как другой сомножитель относится к 1. То есть -6/3 = -2 = -2/1 и -6/-2 = 3 = 3/1. Поэтому, предположив существование единичного направленного отрезка, Вессель заключает, что произведение двух направленных отрезков должно обладать двумя свойствами. Во-первых – и  это прямая аналогия с вещественными числами, – длина произведения должна быть равна произведению длин сомножителей. Но вот как быть с  направлением произведения? Это второе свойство – исторический вклад Весселя: по аналогии со

КАСПАР ВЕССЕЛь ПРОЗРЕВАЕТ ПУТь

87

сделанным ранее, он говорит, что направление произведения должно отличаться от направления каждого сомножителя на ту же угловую величину, на какую направление другого сомножителя отличается от направления единичного направленного отрезка. Предположим, что единичный отрезок направлен слева направо под углом 0°, т. е. вдоль положительного направления оси x. Тогда если требуется перемножить два отрезка, один из которых направлен под углом θ, а другой – под углом α, то произведение должно составлять угол θ + α, потому что θ + α отличается от θ на α (угол, на который α-отрезок отличается от единичного) и θ + α отличается от α на θ (угол, на который θ-отрезок отличается от единичного). z

z

w

+

x

y

=

=

x

x

z

y

z

z w +

x

w

w y

=

x

y

Рис. 3.2. Сложение векторов

Сегодня это кажется настолько элементарным и даже очевидным, что не понятно, зачем тратить так много слов, но не обманывайтесь на этот счет. Если вы думаете, что это «очевидно», то путаете нечто, известное давно, быть может со школьной скамьи, с тем, что каждый знает с  рождения. Младенцы с рождения знают, как кричать, но они отнюдь не знают, как перемножать направленные отрезки. Это нужно было открыть или изобрести – в зависимости от того, как вы смотрите на развитие математики, – и Вессель первым понял, как это сделать. Воспользовавшись блистательными озарениями Весселя, мы можем проделать несколько интересных вычислений. При-

88

ГЛАВА 3. ЗАГАДКИ НАЧИНАюТ РАЗРЕШАТьСЯ

веду только три. Во-первых, чему равно (0.3 + i2.6)17? На первый взгляд, выглядит пугающе, но заметим, что

Поскольку запись (0.3 + i2.6)17 означает, что число 0.3 + i2.6 умножается само на себя семнадцать раз, правило Весселя говорит, что нужно возвести модуль в  семнадцатую степень, а полярный угол, или аргумент, умножить на 17. В итоге:

Это комплексное число находится в  четвертом квадранте, в чем можно убедиться, многократно вычитая 360° из полярного угла – каждое вычитание 360° означает полный оборот вокруг начала координат, – пока не получится угол, меньший 360°. Таким образом,

До Весселя для выполнения этого вычисления пришлось бы умножить 0.3 + i2.6 на себя семнадцать раз, что свело бы с ума большинство людей. А вот еще одно, даже более любопытное вычисление, основанное на идее сложения углов Весселя. Рассмотрим произведение (2 + i)(3 + i) = 5 + i5. Принимая в качестве единицы измерения углов радиан, получаем, что угол произведения равен tg-1(5/5) = tg-1(1) = π/4. Аналогично углы обоих сомножителей в левой части равны tg-1(1/2) и tg-1(1/3). Следовательно,

Этот результат легко проверить с  помощью калькулятора, установив режим радиан, а не градусов. Попробуйте-ка найти

КАСПАР ВЕССЕЛь ПРОЗРЕВАЕТ ПУТь

89

более простой вывод этой формулы. Рассмотрев произведение (5 + i)4(-239 + i), докажите, что

Это знаменитая формула в истории числа π, и мы еще встретимся с ней в главе 6. Выполнив умножение, вы обнаружите, что произведение находится в третьем квадранте, и его аргумент равен 5π/4, а не π/4 радиан. Поначалу это может озадачить, но если так, значит, вы не обратили внимания, что множитель (-239 + i) находится во втором квадранте, поэтому его аргумент равен {π  - tg-1(1/239)} радиан. После приведения подобных членов выяснится, что сумма двух арктангенсов в левой части равна π/4. Можете ли вы представить себе более прямой способ выведения этого равенства? Я не могу! И наконец, вычислив произведение (p + q + i)(p2 + pq + 1 + iq), где p и q – произвольные вещественные числа, легко вывести хорошо известное тождество: tg-1{1/(p + q)} + tg-1{q/(p2 + pq + 1)} = tg-1(1/p). Без комплексных чисел и идеи Весселя о сложении углов доказать его было бы куда труднее. Итак, после работы Весселя перемножение двух направленных отрезков стало означать двухшаговую операцию: сначала перемножить длины, которые всегда считаются положительными, а  затем сложить углы. Получившиеся два числа определяют длину и  направление произведения, и  именно такое определение произведения объясняет, что геометрически означает . А  именно предположим, что существует направленный отрезок, представляющий , и  что его длина равна l, а  угол равен θ. Математически это можно записать в виде = l ∠ θ. Умножая это равенство на себя, т. е. возводя обе части в квадрат, получаем -1 = l2 ∠ 2θ, или поскольку -1 = 1 ∠ 180°, то l2 ∠ 2θ = 1 ∠ 180°. Таким образом, l2 = 1 и 2θ = 180°, а следовательно, l = 1 и θ = 90°. Это означает, что  – отрезок единичной длины, направленный вверх вдоль вертикальной оси, и, наконец, мы приходим к формуле: i=

= 1 ∠ 90°.

90

ГЛАВА 3. ЗАГАДКИ НАЧИНАюТ РАЗРЕШАТьСЯ

Это математическое выражение настолько важно, что оно стало единственным в этой книге, которое я заключил в рамку. Историки обычно приписывают Весселю идею о связывании оси, перпендикулярной вещественной, с  мнимыми числами. Но есть свидетельства, указывающие, что эта идея созрела еще до Весселя. Например, в книге французского физика и математика Огюстена Луи Коши, вышедшей в 1847 году, есть невзначай оброненные слова о том, что еще в 1786 году некто Анри Доминик Труэль («скромный ученый», как характеризует его Коши) представлял мнимые величины осью, перпендикулярной горизонтальной вещественной оси. Однако о Труэле ничего не известно, и, похоже, он не публиковал своих результатов. И в записках Гаусса есть намеки на то, что он обдумывал эту идею еще в 1796 году, но и он тогда ничего не опубликовал. Так что именно Вессель был первым, кто публично выдвинул эти идеи. Идея Весселя проста и красива. Геометрически умножение на означает поворот на 90° против часовой стрелки. Например, на рис. 3.3 нарисован вектор, представляющий комплексное число a + ib, находящееся в  первом квадранте комплексной плоскости (a > 0, b > 0). Умножение на i поворачивает его на 90° против часовой стрелки и переводит во второй квадрант: i(a + ib) = -b + ia. Из-за этого свойства мнимое число часто называют также оператором поворота. y –b + ia

a + ib 90°

0 Рис. 3.3.

x

как оператор поворота на комплексной плоскости

КАСПАР ВЕССЕЛь ПРОЗРЕВАЕТ ПУТь

91

Как заметил один историк математики3, элегантность и удивительная простота данной интерпретации наводят на мысль, «что нет повода впадать в мистическое изумление по поводу… крайне неудачно названных “мнимых” чисел». Это, впрочем, не значит, что описанная геометрическая интерпретация не стала гигантским скачком в понимании человеком окружающего мира. На самом деле это лишь начало цунами элегантных вычислений. Например, на рис. 3.4 изображена единичная окружность и два произвольно взятых радиус-вектора с углами θ и α. Поскольку длины обоих векторов равны 1, произведение тоже будет иметь единичную длину, а угол равен α + θ (как показано на рисунке). Запишем все три вектора математически: 1 ∠ θ = cos(α) + i sin(θ), 1 ∠ α = cos(α) + i sin(α), 1 ∠ (α + θ) = cos(α + θ) + i sin(α + θ). y

(0, 1)

(–1, 0)

θ+α

(0, 0)

α

θ

(0, –1) Рис. 3.4. Умножение векторов

(1, 0)

x

92

ГЛАВА 3. ЗАГАДКИ НАЧИНАюТ РАЗРЕШАТьСЯ

Поскольку (1 ∠ θ)(1 ∠ α) = 1 ∠ (α + θ), то должно иметь место равенство {cos(θ) + i sin(θ)}{cos(α) + i sin(α)} = cos(α + θ) + i sin(α + θ). Раскрывая скобки в левой части, получаем:

{cos(θ)cos(α) - sin(θ)sin(α)} + i {sin(θ)cos(α) + cos(θ)sin(α)} = cos(α + θ) + i sin(α + θ). Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда их действительные и  мнимые части равны по отдельности, поэтому мы сразу же получаем известные тригонометрические тождества: cos(α + θ) = cos(θ)cos(α) - sin(θ)sin(α), sin(α + θ) = sin(θ)cos(α) + cos(θ)sin(α).

В частном случае α = θ эти тождества сводятся к cos(2α) = cos2(α) - sin2(α) и sin(2α) = 2sin(α)cos(α). Конечно, эти тождества были известны задолго до Весселя, например их можно найти в книге Альмагест (Великое построение) Клавдия Птолемея, написанной во II веке до н. э., но до появления новой геометрии комплексных чисел Весселя их не удавалось вывести с такой легкостью. Правда, в своем выводе я отклонился от изложения Весселя. Он использовал их прямо противоположным образом, но мне кажется, что мой способ гораздо театральнее. В любом случае интеллектуальное содержание одинаково. Эти два тождества полезны, например, для вывода выражения tg(α - β) в разделе 2.1. Просто напишем tg(α - β) = sin(α - β)/ cos(α - β), раскроем синус и косинус разности, пользуясь только что выведенными тождествами, и поделим на cos(α)cos(β). После столь чудесного вывода геометрии ничто не могло помешать Весселю проделать еще более экзотические вычисления. Например, если начать с единичного радиус-вектора, направленного под углом θ/m, где m – целое число, то сразу получим

А если извлечь корень m-й степени из обеих частей, то получится:

КАСПАР ВЕССЕЛь ПРОЗРЕВАЕТ ПУТь

93

Этот результат не принадлежит Весселю (хотя столь простым и элегантным выводом мы обязаны именно ему) и обычно называется «формулой Муавра» в честь французского математика Абрахама де Муавра (1667–1754). Де Муавр, будучи протестантом, покинул католическую Францию в  возрасте восемнадцати лет, чтобы обрести свободу вероисповедания в Лондоне, где подружился с Исааком Ньютоном. В работе 1698 года, опубликованной в  журнале «Philosophical Transactions» Королевского общества, он упоминает, что Ньютону было известно об эквиваленте формулы Муавра еще в 1676 году, и Ньютон использовал ее для вычисления кубических корней из комплексных чисел, возникающих в  формуле Кардана для неприводимого случая. Вероятно, де Муавр узнал об этой технике от Ньютона и использовал ее для зарабатывания на жизнь решением математических задач. Де Муавр был очень талантлив, особенно он поднаторел в  применении теории вероятностей к  азартным играм. В 1718 году он написал книгу The Doctrine of Chances, в которой открыл вездесущую нормальную, или «колоколообразную», кривую, известную нам под названием гауссовой. Говорят, что сам Ньютон частенько отвечал на математические вопросы словами «Спросите мистера де Муавра, он знает об этом больше, чем я». Из трудов де Муавра понятно, что он действительно знал и использовал приведенный выше результат, но не сформулировал его явно – это сделал в 1748 году Эйлер, пришедший к нему совершенно другим путем, который мы обсудим в главе 6. Формула Муавра позволила Весселю вычислить корень любой степени из комплексного числа. Например, в своей статье Вессель намекает на мощь своего метода, утверждая, что

Это действительно так, но он не сообщил, как пришел к подобному выводу. Возможно, он рассуждал следующим образом. Комплексное число под знаком кубического корня в полярной форме имеет вид:

94

ГЛАВА 3. ЗАГАДКИ НАЧИНАюТ РАЗРЕШАТьСЯ

Следовательно,

а это число в декартовой форме равно 2cos(10°) + i 2sin(10°) = 1.969615506 + i 0.347296355. В правильности данного результата можно убедиться, просто возведя выражение в  куб (эта утомительная задача вполне по силам ручному калькулятору, умеющему производить арифметические действия с  комплексными числами) и  заметив, что результат действительно равен 6.928203230 + i4 =4

+ i4. Вессель также хорошо знал, что из любого числа

существует m корней m-й степени. То есть из 4 + i4 существует три кубических корня. Знал он и то, что углы между соседними корнями одинаковы, т. е. если один корень равен 2 ∠ 10°, то остальные два равны 2 ∠ 130° и  2  ∠ 250°. Чтобы убедиться в этом, предположим, что вычисляются корни n-й степени из комплексного числа с углом θ. Очевидно, что у одного из корней будет угол θ/n, потому что после возведения в n-ю степень должно получиться исходное число с углом θ. Так и получается, потому что при умножении углы складываются, а  θ/n ´ n = θ. Если угол какого-то другого корня равен α, то nα = θ + k ´ 360°, где k – некоторое целое число, т. к. прибавление целого числа полных оборотов на 360° не играет роли, поскольку возвращает нас к θ. Таким образом, α = θ/n + k ´ 360°/n. При k = 0 мы получаем α = θ/n, т.  е. угол «очевидного» корня. А при k = 1, 2, … , n - 1 получаются еще n - 1 различных углов, стало быть, всего n углов, равномерно расставленных по окружности. Другие целые значения k, отрицательные или большие n - 1, дают корни, совпадающие с одним из уже найденных, например при k = n получаем тот же корень, что при k = 0. В качестве еще одного примера такого рода вычислений вспомним решение по формуле Кардана для неприводимого кубического уравнения Бомбелли (см. главу 1):

КАСПАР ВЕССЕЛь ПРОЗРЕВАЕТ ПУТь

95

Тогда я с помощью довольно сложного рассуждения показал, что

и, следовательно, x = 4. С помощью формулы Муавра получить этот результат гораздо проще. Комплексное число 2 + = 2 + i11 в полярной форме имеет вид:

Поэтому

Так как существует еще два кубических корня из 2 + (а равно из 2 ), всего имеется три значения x, дающих все три корня кубического уравнения. Все они вещественные и, конечно, совпадают с корнями, вычисленными в разделе 1.6 с помощью тригонометрического решения Виета. И напоследок рассмотрим задачу о  нахождении корней n-й степени из единицы, т. е. нахождении всех решений уравнения zn = 1, или уравнения деления круга. Такое название объясняется тесной связью этого уравнения с задачей о построении правильных вписанных в окружность n-угольников, к которой я вернусь в следующей главе. Это уравнение можно переписать в виде zn - 1 = 0, и с помощью деления многочленов легко проверить, что левая часть разлагается на множители: (z - 1)(zn-1 + zn-2 + ... + z + 1) = 0.

96

ГЛАВА 3. ЗАГАДКИ НАЧИНАюТ РАЗРЕШАТьСЯ

Одно его решение дает очевидный корень из 1, который мы находим из левого сомножителя, а  остальные n  - 1 должны быть корнями правого сомножителя. Стало быть, решения устрашающего, на первый взгляд, уравнения zn-1 + zn-2 + ... + z + 1 = 0 просто вытекают из формулы Муавра:

При k = 0 мы, разумеется, получаем решение z = 1, которое дает первый сомножитель. Например, для n = 5 четыре корня (кроме очевидного z = 1) уравнения z5 - 1 = 0 определяются формулами:

Чтобы вы полнее оценили этот результат и ту легкость, с которой к нему приводит формула Муавра, я покажу совсем другое, алгебраическое решение для случая n = 5. Следуя по стопам урожденного итальянца Жозефа Луи Лагранжа (1736–1813), я сначала избавлюсь от очевидного множителя z - 1, так что останется уравнение четвертой степени: z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0. Его можно записать в виде (z2 + z-2) + (z + z-1) + 1 = 0. Сделав подстановку u = z + z-1 и заметив, что u2 = z2 + z-2 + 2, мы приходим к уравнению u2 + u - 1 = 0.

ВыВОД ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ТОЖДЕСТВ ИЗ ФОРМУЛы МУАВРА

97

Найти корни этого квадратного уравнения просто:

Далее из определения u имеем z2 - uz + 1 = 0, т. е. еще одно квадратное уравнение с корнями

Подстановка найденных выше значений u дает те же четыре значения z, которые были получены с помощью формулы Муавра. Геометрия комплексных чисел вкупе с формулой Муавра и обычная алгебра находятся в полном согласии, и это должно дополнительно уверить вас в том, что в комплексных числах нет ничего мнимого, или воображаемого. На самом деле формула Муавра с той же легкостью дает решения уравнения z97 - 1 = 0 (и аналогичного уравнения для любого целого n), тогда как хитроумная алгебраическая подстановка Лагранжа работает только для n = 5, но не в общем случае. Чуть более сложный анализ показал бы, что формула Муавра верна, даже когда m – необязательно целое положительное число. Особенно интересен частный случай m = -1, когда

Это означает, что обратное к любому комплексному числу на единичной окружности равно сопряженному с ним. Данный результат становится очевиден, если избавиться от дробей, тогда мы придем к хорошо известному тождеству 1 = {cos(θ) + i sin(θ)}{cos(θ) - i sin(θ)} = cos2(θ) + sin2(θ).

3.2. Вывод тригонометрических тождеств из формулы Муавра Формула Муавра является настоящей машиной для порождения тригонометрических тождеств. Например, положив в ней m = 3, получим

98

ГЛАВА 3. ЗАГАДКИ НАЧИНАюТ РАЗРЕШАТьСЯ

Раскрытие скобок в левой части дает

Приравнивая вещественные части этого и  предыдущего тождества и полагая θ = 3α, получаем cos(3α) = cos3(a) - 3sin2(α)cos(α).

А поскольку в конце предыдущего раздела мы показали, что sin2(α) + cos2(α) = 1, то можно записать: cos(3α) = 4cos3(α) - 3cos(α), или

Это то самое тригонометрическое тождество, которым Виет воспользовался при рассмотрении неприводимого случая в формуле Кардана. Беря другие значения m в формуле Муавра и приравнивая по отдельности вещественные и мнимые части, можно вывести бесконечное множество тригонометрических тождеств. Существует еще один изобретательный способ применить формулу Муавра для вывода тригонометрических тождеств. Если обозначить z точку на единичной окружности в  комплексной плоскости, то в  декартовой форме можно записать z = cos(θ) + i sin(θ), где θ – угол радиус-вектора, направленного из начала координат в z. Как показано в предыдущем разделе, 1/z = z-1 = cos(θ)  - i sin(θ). Кроме того, по формуле Муавра zn = cos(nθ) + i sin(nθ) и z-n = cos(nθ) - i sin(nθ). В совокупности из этих утверждений следует, что z + z-1 = 2cos(θ) и zn + z-n = 2cos(nθ). Теперь на конкретном примере покажем, что можно сделать с этими двумя равенствами. Имеет место тождество

ВыВОД ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ТОЖДЕСТВ ИЗ ФОРМУЛы МУАВРА

99

(z + z-1)6 = 26cos6(θ). Раскрыв скобки, получаем z6 + 6z4 + 15z2 + 20 + 15z-2 + 6z-4 + z-6 = (z6 + z-6) + 6(z4 + z-4) + 15(z2 + z-2) + 20. Необязательно перемножать шесть сомножителей последовательно. Гораздо проще воспользоваться биномом Ньютона, т. е. тождеством

где биномиальный коэффициент

(Напомним, что 0! = 1. Если вы забыли эту формулу, то в главе 6 я ее выведу.) Понятно, что

если k > n. Теперь положим x = z и y = z-1, тогда члены произведения (z + z-1)6 вы сможете выписывать с такой скоростью, с  какой сумеете вычислять факториалы. Приведенный выше результат для (z  +  z-1)6 эквивалентен следующему [я последовательно полагал n = 6, 4, 2 в тождестве zn + z-n = 2cos(nθ)]: 2cos(6θ) + 12cos(4θ) + 30cos(2θ) + 20. Но это равно 26cos6(θ), поэтому имеем такое экзотическое тождество:

Присутствие постоянной 5/16 объясняется тем, что cos6(θ) не может быть отрицательным; электротехник сказал бы, что среднее, или dc-значение cos6(θ), равно 5/16. С другой стороны, dc-значение cos15(θ) равно нулю, потому что эта функция сим-

100

ГЛАВА 3. ЗАГАДКИ НАЧИНАюТ РАЗРЕШАТьСЯ

метрична относительно горизонтальной оси, т. е. положительные и отрицательные значения уравновешиваются. Нетрудно было бы вывести аналогичный результат, скажем, для cos15(θ). Чтобы убедиться, что вы понимаете всю мощь этого применения , попробуйте проверить следующее забавное тождество: cos(11θ) = 1024cos11(θ)  - 2816cos9(θ) + 2816cos7(θ)  1232cos5(θ) + 220cos3(θ) - 11cos(θ). А сможете ли вы выразить sin(11θ) через степени sin(θ)? Тут-таки придется потрудиться, но вам следует знать, что в 1593 г. бельгийский математик Адриан ван Ромен (1561–1615) вычислил такое выражение для sin(45θ), когда работал над придумыванием своей знаменитой задачи для состязания – решение определенного уравнения сорок пятой степени. Виет поразил ван Ромена тем, что благодаря своему знанию тригонометрии решил это уравнение всего за один день. А ведь это будет потруднее, чем разложить sin(11θ), не находите? Похоже, формула Муавра может творить чудеса с  синусами и  косинусами, но как насчет других тригонометрических функций? Комплексные числа пригодятся для решения и таких вопросов. Например, в главе 6 мы увидим, как один из современников де Муавра предложил изобретательное, основанное на математическом анализе применение для вывода общего выражения tg(nθ) через степени tg(θ). В качестве еще одного увлекательного применения формулы Муавра продемонстрирую, как с  ее помощью можно вывести разложение числа π в бесконечное произведение Виета, о котором я упоминал в примечании 6 к главе 1. Начнем с формулы Муавра для m = 1/2:

Возводя обе части в квадрат, получаем

Если приравнять вещественные числа, то будем иметь cos(θ) = cos2(½θ) - sin2(½θ) – этот результат уже был выведен в разделе 3.1 как частный случай формулы для cos(α + θ). Вос-

ВыВОД ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ТОЖДЕСТВ ИЗ ФОРМУЛы МУАВРА

101

пользовавшись тождеством cos2(½θ) + sin2(½θ) = 1, получаем так называемые формулы половинного угла:

и

Если же приравнять мнимые части, то получим

Это тождество можно применить к самому себе:

Если поступить так n раз (при n = 1 мы имеем исходное тождество), то получится:

Деление на θ дает

Если теперь устремить n к бесконечности, а θ выразить в радианах, то последний множитель будет стремиться к  1 (если не помните, почему, не расстраивайтесь – я выведу этот факт в главе 6). Итак,

102

ГЛАВА 3. ЗАГАДКИ НАЧИНАюТ РАЗРЕШАТьСЯ

где количество сомножителей в правой части бесконечно. Полагая θ = π/2, приходим к формуле Виета Если обозначить произведение символом Π, то эту формулу можно будет записать более компактно:

Поскольку cos(π/4) = /2, то, применяя формулу половинного угла к  (½θ), получаем элегантное эквивалентное выражение:

Результаты этого и  предыдущего результатов можно применить к  решению уравнений, кажущихся неприступными. Например, каковы все решения уравнения (z + 1)n = zn, где n – целое положительное число? Поскольку это полиномиальное уравнение степени n - 1 (заметим, что члены zn в обеих частях взаимно уничтожаются), то должно существовать n - 1 решений. Так как z = 0 заведомо не является решением, можно поделить обе части на z, получив эквивалентное уравнение:

Из раздела 3.1 сразу же следует, что

Избавившись от дробей и  приведя подобные члены, получим:

ВыВОД ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ТОЖДЕСТВ ИЗ ФОРМУЛы МУАВРА

103

Благодаря одной из формул половинного угла мы знаем, что 1 - cos(k2π/n) = 2sin2(kπ/n). Из раздела 3.1 также известно, что sin(k2π/n) = 2sin(kπ/n)cos(kπ/n). Таким образом,

Поскольку -i2 = 1, это последнее равенство можно переписать в виде

а решая относительно z, получаем

Однако сделаем важную оговорку  – необходимо исключить случай k = 0, чтобы избежать деления на нуль, когда sin(kπ/n) = 0. Это оставляет n - 1 решений, поскольку теперь k = 1, 2, …, n - 1. Эти решения можно представить в гораздо более элегантной форме, воспользовавшись результатом из предыдущего раздела, а именно

Таким образом,

что является довольно удивительным (на мой взгляд) результатом, означающим, что все решения уравнения (z + 1)n = zn лежат на вертикальной прямой, которая пересекает вещественную ось в точке x = -½. Без формулы Муавра решить эту задачу было бы гораздо труднее.

104

ГЛАВА 3. ЗАГАДКИ НАЧИНАюТ РАЗРЕШАТьСЯ

3.3. Комплексные числа и экспоненциальная функция Введение Весселем комплексной плоскости в  математику существенно расширило понятие числа. До Весселя были известны только вещественные числа, расположенные на одномерной оси x – так называемой вещественной оси. После Весселя область возможных чисел расширилась до двумерной плоскости, бесконечной во всех направлениях, а  не только влево и  вправо. Открытие комплексных чисел стало последним в череде открытий, постепенно расширявших множество чисел. Сначала это были только целые положительные числа (счет на пальцах), затем добавились рациональные и иррациональные вещественные, потом отрицательные и вот, наконец, комплексные. Без доказательства скажу, что множество комплексных чисел является полным относительно обычных арифметических операций. Это означает, что в  результате сложения, вычитания, умножения, деления любых двух комплексных чисел, взятия корня любой степени и т. д. всегда получается комплексное число. Например, при попытке извлечь квадратный корень из -1 (вещественного числа) мы внезапно покидаем множество вещественных чисел, т.  е. это множество неполно относительно операции взятия квадратного корня. С  комплексными числами такого произойти не может, поэтому не придется изобретать еще более экзотические числа («действительно комплексные»!). Кроме комплексных чисел, на двумерной плоскости ничего нет. И последнее замечание относительно работы Весселя, прежде чем двинуться дальше. После разработки блестящих идей, которые мы обсуждали до сих пор, Вессель высказал утверждение о  существовании третьего способа представления комплексных чисел, помимо декартовой и  полярной формы, – с помощью экспоненциальной функции. В этой книге я не стану подробно вдаваться в его рассуждения по двум причинам. Во-первых, изложение этого вопроса у Весселя далеко не так впечатляет, как материал первой части его статьи; оно опирается на довольно сомнительный сплав биномиальной теоремы и бесконечных рядов – и в итоге он так ничего и не сделал с  полученными результатами. Сам Вессель понимал,

КОМПЛЕКСНыЕ ЧИСЛА И ЭКСПОНЕНцИАЛьНАЯ ФУНКцИЯ

105

что тут не все чисто, поскольку написал «я представлю полные доказательства [своих утверждений] в другой раз, если будет такая возможность». Не представил. А  во-вторых, связь с экспоненциальной функцией была установлена другими за несколько десятилетий до Весселя, причем гораздо более убедительно. Думаю, лучше посмотреть, как они это сделали, и мы займемся этим в главе 6. Но в качестве пролога к этому более обширному историческому экскурсу я хотел бы показать, как современный математик мог бы прийти к экспоненциальной интерпретации комплексных чисел. Рассмотрим два комплексных числа на единичной окружности – с углами α и θ. Согласно определению умножения комплексных чисел, данному Весселем, {cos(α) + i sin(α)}{cos(θ) + i sin(θ)} = cos(α + θ) + i sin(α + θ),

как показано на рис. 3.3. По формуле Муавра:

{cos(α) + i sin(α)}n = cos(nα) + i sin(nα). Мы можем компактно записать оба этих утверждения, введя обозначения f(θ) = cos(θ) + i sin(θ) и аналогично для f(α): f(α) f(θ) = f(α + θ), f n(θ) = f(nθ).

А теперь подумайте, какая функция f обладает тем и другим свойством. Немного поразмыслив, вы, вероятно, придете к выводу, что f(α) = eKα, f(θ) = eKθ, где K – постоянная. Эта функция действительно удовлетворяет обоим условиям, потому что: eKα · eKθ = eK(α + θ), {eKθ}n = enKθ.

Таким образом, мы можем написать f(θ) = cos(θ) + i sin(θ) = eKθ, и в частном случае θ = 0 (который сводится к 1 = e0) это и вправду очевидно для любого K. Но если θ произвольно, то K не может быть каким угодно. Чтобы найти K, продифференцируем f(θ) по θ и получим:

106

ГЛАВА 3. ЗАГАДКИ НАЧИНАюТ РАЗРЕШАТьСЯ

-sin(θ) + i cos(θ) = KeKθ = i{cos(θ) + i sin(θ)} = ieKθ. Следовательно, K = i и, значит, f(θ) = cos(θ) + i sin(θ) = 1 ∠ θ = eiθ. Этот знаменитый результат, называемый «тождеством Эйлера», будет гораздо подробнее обсуждаться в главе 6. А пока, чтобы продемонстрировать сполохи ослепительных манипуляций с  символами, положим θ = π. Тогда -1 = eiπ, или eiπ + 1 = 0 – утверждение, связывающее пять важнейших чисел в  математике. Джеймс Глейк, автор биографии великого американского физика Ричарда Фейнмана, воспроизводит эту формулу, записанную в дневнике юного Фейнмана4. В записи, датированной апрелем 1933-го, за месяц до его пятнадцатилетия, неразборчивым почерком большими буквами накарябано «САМАЯ ЗАМЕЧАТЕЛьНАЯ ФОРМУЛА В  МАТЕМАТИКЕ». Это, конечно, экспрессивное преувеличение, но формула действительно замечательная, поскольку является частным случаем более общего результата, который позволяет вычислять логарифмы отрицательных и  даже комплексных чисел – вещь, которую на школьных уроках алгебры называют невозможной. В качестве примера того, как это можно сделать, напишем просто eiπ = -1, а значит, ln(-1) = iπ. Логарифм отрицательного числа – мнимое число. Положив в  выражение eiθ θ = π/2, получим i = eiπ/2. Если взять натуральный логарифм обеих частей (в предположении, что такое можно делать – ведь что могло бы вообще означать ln(i)?), то ln(i) = ½iπ, или π = (2/i)ln(i). Американский математик Бенджамин Пирс (1809–1880) называл этот формальный результат «загадочной формулой». Какое преуменьшение! С другой стороны, если возвести обе части в степень i (что бы это ни значило), то получим

Оказывается, мнимое число в мнимой степени может быть вещественным! Кто бы рискнул высказать такую поразительную мысль! В главе 6 мы увидим, что и это еще не конец истории – на самом деле ii имеет бесконечно много вещественных значений, и e-π/2 – лишь одно из них. Слова Пирса о «загадочной формуле»  – в  действительности он так назвал формулу

КОМПЛЕКСНыЕ ЧИСЛА И ЭКСПОНЕНцИАЛьНАЯ ФУНКцИЯ

107

= eπ/2 – встречаются в его книге «Линейная ассоциативная алгебра», вышедшей в 1866 году. Говорят, что, завершив вывод этой загадочной формулы на лекции в Гарварде, он провозгласил: «Джентльмены, вне всяких сомнений, эта формула абсолютно парадоксальна, мы не понимаем ее и не можем осознать, что она означает, но мы ее доказали, а значит, она должна быть истинной». Эти слова, безусловно, согласуются со знаменитой фразой, открывающей «Линейную ассоциативную алгебру»: «Математика – это наука о том, как делать необходимые выводы». Выражения, в  которые входят произведения тригонометрических функций, например sin(α)cos(β), часто встречаются в  научном анализе5, и  мы можем воспользоваться связью между комплексными числами и экспоненциальной функцией для вывода полезных тождеств, относящихся к таким выражениям. Во всех выкладках используется тот факт, что раз eiθ = cos(θ) + i sin(θ), то можно написать e-iθ = cos(-θ) + i sin(-θ) = cos(θ) - i sin(θ). Складывая и вычитая выражения для eiθ и e-iθ, получаем выражения cos(e-iθ) и sin(e-iθ) через экспоненты:

Чтобы понять, насколько эти выражения полезны, рассмотрим произведение sin(α)cos(β), которое можно записать в виде

В частном случае α = β это тождество сводится к

108

ГЛАВА 3. ЗАГАДКИ НАЧИНАюТ РАЗРЕШАТьСЯ

– результат, который раньше мы вывели по-другому, воспользовавшись идеей Весселя об умножении отрезков. Тот же подход можно использовать для нахождения тождеств, в  которых участвуют другие произведения, например sin(α)sin(β) и cos(α)cos(β). Некоторые известные тригонометрические интегралы легко вычислить, подойдя к ним с позиций комплексной экспоненциальной функции. Например, рассмотрим задачу о вычислении интеграла

где n  – произвольное неотрицательное целое число. Из тождества 2cos(θ)ei = 1 + ei2θ следует, что 2ncosn(θ)ein = (1 + ei2θ)n. Поскольку это тождество относительно θ, оно остается справедливым, если заменить θ на -θ. Вспоминая, что косинус – четная функция, т. е. cos(-θ) = cos(θ), получаем 2ncosn(θ)e-in = (1 + e-i2θ)n.

Сложение обоих тождеств дает 2ncosn(θ)[ein + e-in ] = 2n+1cosn(θ)cos(nθ) = (1 + ei2θ)n + (1 + e-i2θ)n. Левая часть последнего равенства выглядит в точности как наше подынтегральное выражение, но что находится в правой части? Вам должно быть ясно (надеюсь!), что, будь у  нас достаточно времени, мы могли бы полностью раскрыть скобки и получить две суммы вида:

где a и b – числовые коэффициенты. С помощью бинома Ньютона эти коэффициенты было бы легко вычислить, но к чему

КОМПЛЕКСНыЕ ЧИСЛА И ЭКСПОНЕНцИАЛьНАЯ ФУНКцИЯ

109

такие хлопоты? После того как мы проинтегрируем обе части, т. е. напишем

все интегралы справа вида

будут равны нулю. Этот важный результат легко доказать формально, взяв просто интеграл от экспоненциальной функции и подставив пределы интегрирования. Просто нужно помнить, что eik2π = 1 при любом целом k. И только начальные единицы в каждом разложении дают ненулевые интегралы, т. е.

Таким образом, приложив совсем немного усилий, мы получили изумительный по красоте результат:

Чтобы проверить, хорошо ли вы усвоили описанные идеи, попробуйте применить их к доказательству следующего факта:

Этот знаменитый результат другими средствами получил Джон Валлис. Подобные вычисления иллюстрируют известное высказывание французского математика Жака Адамара (1865–1963): «Кратчайший путь между двумя истинами в вещественной области проходит через комплексную область». В заключение этого раздела я приведу вычисление, демонстрирующее многое из того, что мы обсуждали в  этой главе. Попутно оно подготовит почву для главы 7, где я выведу интеграл, играющий фундаментальную роль в математике. Для

110

ГЛАВА 3. ЗАГАДКИ НАЧИНАюТ РАЗРЕШАТьСЯ

начала рассмотрим общее уравнение деления круга четной степени, т. е. уравнение z2n - 1 = 0, где n – произвольное положительное число. Это уравнение имеет 2n корней, равномерно расставленных на единичной окружности с угловым интервалом 2π/2n = π/n радиан. Два корня очевидны, это вещественные числа z = ±1; полагаю, не менее очевидно и то, что других вещественных корней нет. Поэтому остальные 2n - 2 = 2(n - 1) корней должны быть комплексными. Половина их расположена в верхней части окружности (их мнимая часть положительна), а половина – в нижней (они являются сопряженными к корням из верхней половины). Все множество комплексных корней можно компактно записать в виде 1 ∠ (π ± kπ/n), k = 1, 2, …, n - 1. Заметим, что при k = 0 получается вещественный корень 1 ∠ π = -1, а при k = n – второй вещественный корень 1 ∠ 0 = 1 ∠ 2π = +1. Отсюда следует, что уравнение деления круга можно представить в виде произведения:

Но 1 ∠ 2π = 1, и

Таким образом, , или, вынося z за скобки в каждом из n - 1 сомножителей в правой части:

КОМПЛЕКСНыЕ ЧИСЛА И ЭКСПОНЕНцИАЛьНАЯ ФУНКцИЯ

111

Поделив обе части на zn, получаем

Теперь будем считать, что переменная z может пробегать все точки на единичной окружности, тогда ее можно записать в виде z = cos(θ) + i sin(θ). Напомним (см. раздел 3.1), что z-1 = cos(θ) - i sin(θ), поэтому, по формуле Муавра, zn = cos(nθ) + i sin(nθ), а также z-n = cos(nθ) - i sin(nθ). Поэтому

Если теперь устремить θ → 0, то limθ→0sin(nθ)/sin(θ) = n и, конечно, limθ→0cos(θ) = 1. Как уже было обещано в  разделе 3.2 при выводе бесконечного произведения Виета для π, первое из этих двух утверждений будет формально доказано в главе 6. Итак, мы пришли к формуле:

Вспомним теперь формулу половинного угла из раздела 3.2:

откуда следует, что cos(α) = 2cos2(½α) - 1. Таким образом,

и значит:

Извлекая квадратный корень из обеих частей – это можно сделать, не беспокоясь о знаке, потому что cos(kπ/2n) > 0 для

112

ГЛАВА 3. ЗАГАДКИ НАЧИНАюТ РАЗРЕШАТьСЯ

всех k от 1 до n - 1, – мы, наконец, приходим к искомому результату:

Это и в самом деле изящная формула – думаю, что появление в числителе совершенно неожиданно, – но правильна ли она? Давайте проверим для какого-нибудь конкретного значения n, например n = 5. В этом случае формула утверждает, что . И действительно, если вычислить произведение четырех косинусов на калькуляторе, то так и получится. И кстати, если заменить индекс в произведении на j = n - k (так что когда k пробегает значения от 1 до n - 1, j будет пробегать значения от n - 1 до 1) и вспомнить, что sin(θ) = cos(½π - θ), то получится такой результат:

В окончательных формулах нет , но можете ли вы хотя бы отдаленно представить, как их вывести, не прибегая к  ? Лично я не могу.

3.4. Арган Как я уже говорил, несмотря на всю весомость вклада Весселя, его работа не была прочитана и так и пылилась бы в неизвестности, если бы ее не раскопал один антиквар спустя сто лет после написания. Однако идеи Весселя носились в воздухе, и уже через десять лет после публикации его статьи были открыты заново. В 1806 году вышло даже две публикации, которые более или менее повторяли комплексную плоскость Весселя и идею о связи вертикальной оси с мнимыми числами. Первый из двух авторов, швейцарец Жан Робер Арган (1768–1822), – столь же невероятное явление в  математике,

АРГАН

113

как и Вессель. О ранних годах Аргана ничего не известно, но, скорее всего, он не получил формального математического образования, а в 1806 году, в возрасте около сорока лет, прозябал в безвестности, работая бухгалтером в Париже. В 1876 г. французский математик Гийом Жюль Уэль (1823–1886) перепечатал брошюру Аргана со своим предисловием, где рассказал о попытках узнать подробности его жизни. Именно усилиями Уэля была обнаружена запись о рождении Аргана. Но помимо этого разузнать почти ничего не удалось. Уэль закончил свой краткий рассказ следующими проникновенными словами: «Если добавить к этому, что примерно в 1813 году Арган жил в Париже на улице Жантильи, 12, как он собственноручно написал на обложке [экземпляра брошюры], то это и все, что нам удалось узнать об этом оригинальном человеке, чья скромная жизнь навеки останется неизвестной, но который оказал науке такие услуги, которые Гамильтон и Коши считали достойными вечной благодарности». Несмотря на свое скромное происхождение, в 1806 году Арган опубликовал работу по комплексным числам – в которой впервые было введено понятие модуля – небольшим тиражом в частной типографии. Вероятно, он собирался бесплатно раздать копии своим друзьям и  корреспондентам, а  поскольку они, естественно, знали, кто автор, то он даже не поставил на титульной странице своего имени. Эта работа, озаглавленная «Эссе о  геометрической интерпретации мнимых величин», почти наверняка была бы обречена на забвение, и даже быстрее, чем труд Весселя, если бы не последующие знаменательные события. Одним из получивших экземпляр работы Аргана был великий французский математик Адриен Мари Лежандр (1752– 1833), который, в  свою очередь, упомянул о  ней в  письме к Франсуа Франсе (1768–1810), профессору математики с военным прошлым, из-за которого он, естественно, проявлял интерес к задачам, связанным с артиллерией; например, он применял математический анализ для изучения полета снарядов в воздухе. После его смерти все бумаги унаследовал младший брат Жак (1775–1833). У Жака тоже был богатый военный опыт, а с 1811 года и до самой смерти он был профессором военного искусства в  Императорской школе артиллерийско-инженерных прикладных наук в Метце. Как и старший брат, Жак был

114

ГЛАВА 3. ЗАГАДКИ НАЧИНАюТ РАЗРЕШАТьСЯ

математиком и, просматривая бумаги покойного, наткнулся на письмо Лежандра от 1806 года, в котором описывались математические результаты из брошюры Аргана – имени Аргана он не знал, потому что Лежандр не упомянул его в письме. Вдохновленный идеями, о которых прочитал в письме, Жак опубликовал статью в  номере журнала Annales de Mathématiques от 1813 года, где излагал основы геометрии комплексных чисел. Но в последнем абзаце своей статьи Франсе отдал долг письму Лежандра и призвал открыться анонимного автора, чью работу Лежандр обсуждал. По счастью, Арган узнал об этом призыве, и его ответ был опубликован в следующем же номере журнала. Ответ Аргана сопровождался короткой заметкой Франсе, в  которой тот объявлял Аргана первооткрывателем геометрии мнимых чисел и говорил, что с радостью признает его приоритет (разумеется, никто из них не слыхал о Весселе). Какой счастливый конец, особенно по сравнению с достойной сожаления путаницей в вопросе о приоритете, до сих пор витающей над спором Тартальи и Кардана о кубических уравнениях. После публикации идей Аргана в признанном математическом журнале возникла небольшая полемика между Арганом и Франсе, с одной стороны, и французским математиком Франсуа Жозефом Сервуа (1767–1847) – с другой. Человек с военным прошлым, который, как и Франсе, некоторое время преподавал в артиллерийском училище в Метце, Сервуа считал геометрическую интерпретацию алгебраических идей нечистой наукой. Например, в письме в Annales он писал: «Сознаюсь, что пока не вижу в этой нотации ничего, кроме геометрической маски, наброшенной на аналитические формы, прямое применение которых мне кажется более простым и эффективным»6. Любопытно, что эта дискуссия велась в более-менее учтивом тоне и, быть может, больше, чем что-либо другое, привлекла внимание к идеям Аргана. А еще любопытнее, что Вессель (который тогда был еще жив) ничего не слышал о происходящем во Франции, и никто не вспомнил (а скорее всего, и не знал) о том, что Вессель проделал все это еще двадцать лет назад. Вессель и Арган сошли в могилы с разницей в четыре года, ни один из них не знал о другом, а почти весь мир не знал об обоих. По иронии судьбы, в предисловие к репринту работы Аргана, изданному Уэлем в  1876 году, была включена следующая

БюЭ

115

характеристика – цитата из наследия недавно умершего молодым немецкого математика Германа Ганкеля (1839–1873): «Первым, кто показал, как представить мнимую форму A + Bi точкой на плоскости и  сформулировал правила геометрического сложения и умножения, был Арган… если только не обнаружится какая-то более ранняя работа, Аргана следует считать истинным основателем теории комплексных величин на плоскости». Но, конечно, спустя двадцать лет «более ранняя» работа Весселя таки была обнаружена.

3.5. Бюэ Еще раз идеи Весселя заново открыл в 1806 году персонаж еще более странный, чем Арган, – французский аббат Адриен Квентин Бюэ (1748–1826), который опубликовал очень длинную статью на французском языке в  журнале Philosophical Transactions, издававшемся Лондонским королевским обществом. В отличие от делового стиля Весселя и Аргана, работа Бюэ овеяна мистическим ореолом и должна была показаться странной любому, кто попытался бы продраться сквозь эти 65 страниц. Его геометрическое понимание становится ясным, когда он пишет, что « есть знак перпендикулярности». Но подозрения начинают закрадываться, когда после неудачной попытки определить умножение отрезков (главный вклад Весселя) Бюэ утверждает, что если t представляет будущее, а -t – прошлое, то настоящее состоит из t ´ ½ и -t ´ ½ . Спустя сто лет один математик из Гарварда писал по этому поводу: «Нет смысла по прошествии столь длительного времени рассуждать, почему такой труд был принят Обществом. Быть может, добрый аббат был эмигрантом, которому британцы желали оказать честь в тот год, когда разбили его неэмигрировавших соотечественников в Трафальгарской битве? Что-то в этом роде должно было присутствовать, потому что внутренних достоинств статьи очевидно недостаточно для публикации»7. Еще через пять лет один английский математик выступил с менее язвительной оценкой, написав: «Следует отметить, что в этой статье нет почти ничего, кроме того факта, что у аббата были весьма неортодоксальные идеи относительно мнимых чисел»8. Оба замечания в целом правильны, но вер-

116

ГЛАВА 3. ЗАГАДКИ НАЧИНАюТ РАЗРЕШАТьСЯ

но и то, что гениальный ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон в своей переписке высказывал благосклонное или, по крайней мере, терпимое мнение о статье Бюэ. На самом деле, хотя работа Бюэ действительно носит несколько мистический характер, написана она не просто для того, чтобы обратить приверженцев в  свою странную веру. Он написал ее, чтобы дать ответы на вопросы, поставленные в книге, вышедшей тремя годами ранее из-под пера уважаемого французского физика и государственного деятеля Лазара Карно (1753–1823). (Его сын Сади ныне известен как «отец современной термодинамики», а сам Карно бился над загадками и в своей книге 1803 года Géométrie de Position («Геометрия положения») сформулировал много интересных вопросов, один из которых обсуждается во врезке 3.1.) Статья Бюэ созерцательная, это правда, даже «странная», но, безусловно, она была написана ученым, взыскующим истины. Я не думаю, что Бюэ был шарлатаном, как бы ни понимать это слово, и уж точно он не заслуживает насмешек. В действительности статья Бюэ привлекла внимание одного хорошо известного и уважаемого французского математика9 того времени, и  он счел ее настолько интересной, что даже предположил, что Арган написал свою работу, будучи уже знаком с ней. Арган горячо оспаривал это утверждение, аргументируя тем, что обычно существует большой временной зазор между датой на обложке журнала и датой его фактического выхода, а поскольку его брошюра была опубликована в 1806 году, он не мог ознакомиться с работой Бюэ до написания своей собственной. Оскорбленный недвусмысленным обвинением в плагиате, Арган писал: «Этого достаточно, чтобы доказать, что если вклад Бюэ целиком его собственный, что вполне возможно, то столь же очевидно, что я  не мог знать о  его статье в  момент выхода моего трактата». Как бы то ни было, эти две работы значительно отличаются подходом к  изложению материала, и подход Аргана, безусловно, на голову выше. Но этим я не хочу сказать, что у Аргана не было вообще никаких проблем с комплексными числами. Например, поначалу он был убежден, что невозможно записать в двумерной форме a + ib, а требуется выход в трехмерное простран-

БюЭ

117

Врезка 3.1 ЗАДАЧА КАРНО О  ДЕЛЕНИИ ОТРЕЗКА

В книге «Геометрия положения», вышедшей в 1803 году, Карно задает следующий вопрос: пусть дан отрезок AB длины a, требуется разделить его на две части, так чтобы произведение их длин было равно половине квадрата длины исходного отрезка*. Вот как Карно решает эту задачу. Обозначим длины меньших отрезков x и a - x. Тогда

Это уравнение легко решается, его корни равны

В разделе 2.1 мы говорили, что комплексное решение Карно интерпретировал следующим образом: точка, удаленная от A на расстояние x, не лежит на отрезке между A и B, т. е. разделить отрезок, как того требуют условия задачи, невозможно. С другой стороны, Бюэ, соглашаясь с  тем, что точка деления не может быть расположена между A и  B, предположил, что наличие мнимой части у x означает, что точка находится в стороне от AB на расстоянии ½a от его середины (поскольку вещественная часть x равна ½a). Отсюда и интерпретация Бюэ i= как перпендикулярности. Однако Бюэ не привел никаких аргументов в защиту своей идеи, в отличие от Весселя, который пришел к тому же заключению логическим путем. Мне не удалось найти книгу Карно, поэтому обсуждение в этой врезке основано на педагогическом эссе Александра Макфарлейна «On the Imaginary of Algebra», Proceedings of the American Association for the Advancement of Science 41 (1892): 33–55. *

ство. В ходе обмена мнениями в Annales Франсе указал на эту ошибку Аргана или, как он дипломатично выразился о заявлении Аргана: «это вывод, встречающий серьезные возражения». На самом деле он вывел даже более общую формулу:

118

ГЛАВА 3. ЗАГАДКИ НАЧИНАюТ РАЗРЕШАТьСЯ

При c = d = 1 она сводится к i i = e-π/2, очевидно, вещественному числу, поэтому для представления достаточно одномерной вещественной оси – не нужно и двух измерений на комплексной плоскости, не говоря уж о трех. Во врезке 3.2 показано, как можно еще обобщить обобщенную формулу Франсе. А врезка 3.3 будет стоить вам нескольких бессонных ночей!

3.6. И снова повторное открытие После 1814 работа Аргана канула в то же забвение, что и работа Весселя, и все пришлось открывать еще раз. Если 1806 год стал годом одновременных открытий Аргана и  Бюэ, то в  1828-м вышли две книги, одна в  английском Кембридже, другая  – в Париже. Вторую, написанную К. В. Моури (C. V. Mourey), мне разыскать не удалось10, а  первая, за авторством достопочтенного Джона Уоррена (1796–1852), члена Колледжа Иисуса Кембриджского университета, представляет собой набитое формулами изложение комплексных чисел (A Treatise on the Geometrical Representation of the Square Roots of Negative Quantities). Влияние книги Уоррена, связано, пожалуй, не с тем, что в ней было написано, а с тем, как это было подано, и с тем, что предложенный в  ней геометрический подход отверг Уильям Роэун Гамильтон. Но книга Уоррена заставила Гамильтона думать, что он сможет сделать лучше, а  поскольку человек он и так знаменитый, можно надеяться, что уж его-то работа не будет забыта. Уильям Роэун Гамильтон (1805–1865) родился в  Дублине, Ирландия, и ко времени своей кончины, которую он встретил недалеко от мест, где родился, оставил след во всей математической физике. Однако старт он взял довольно странный. Невероятно одаренный, но пустивший свои таланты в неверном направлении, он посвятил детские годы совершенствованию в  языках – к  пяти годам он знал латынь, греческий и  иврит, а  к  девяти добавил к  ним фарси, арабский, санскрит и  т.  д. Историк математики Э. Т. Белл писал об этих усилиях: «Боже! К  чему все это?»11 Но к  концу 1824 года дисциплина возоб-

И СНОВА ПОВТОРНОЕ ОТКРыТИЕ

119

Врезка 3.2 ВОЗВЕДЕНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА В  КОМПЛЕКСНУЮ СТЕПЕНЬ

Возражение Франсе на утверждение Аргана о том, что i i невозможно записать в  виде комплексного числа, можно было бы сделать еще более общим. Он мог бы вычислить

и показать, что даже это «более комплексное» выражение можно записать в  виде суммы вещественной и  мнимой частей. Эйлер сделал это в 1749 году, когда Весселю было всего четыре года (а Аргану – 19), а французский математик и философ Жан Лерон ДʼАламбер (1717–1783) утверждал, что знал это еще раньше. i i, вызвавшее затруднения у  Аргана, тогда стало бы просто частным случаем при a = c = 0 и  b = d = 1. Сможете ли вы вывести эту формулу? В качестве подсказки я вычислю (1 + i)1+i, это даст ключ к общему подходу. Для начала запишу 1+i= ∠ (π/4 + 2πk), где k – произвольное целое число. Затем воспользуюсь тождеством x = eln(x):

Так называемому главному значению (1 + i)1+i соответствует случай k = 0, в котором получаем

Попробуйте применить тот же подход к  выводу формулы 1i = e-2πk. Таким образом, хотя главное значение 1i = 1, сказать, что «единица в любой степени равна единице», в общем случае было бы неверно.

120

ГЛАВА 3. ЗАГАДКИ НАЧИНАюТ РАЗРЕШАТьСЯ

Врезка 3.3 БЕЗУМНЫЕ ЭКСПОНЕНТЫ

Если, дочитав до этого места, вы думаете, что с экспоненциальной функцией все просто, попробуйте разгадать следующую загадку, способную довести до безумия. Она была предложена в 1827 году датским математиком-самоучкой Томасом Клаузеном (1801–1885), который в то время пас скот. Сам Гаусс заявил, что Клаузен обладает «выдающимися талантами», и, как показывает эта загадка, возможно, даже дьявольскими. Клаузен бросил своей задачей вызов математикам, вариации на эту тему до сих пор появляются в математических журналах в разделах задач. ei2πn = 1 для n = 0, ±1, ±2, … e ´ ei2πn = e = e1+i2πn e1+i2πn = {e1+i2πn}1+i2πn 2 2 e = {e1+i2πn}2 = e1+i4πn-4π n e1+i4πn = e 2 2 e = ee-4π n 2 2 1 = e-4π n . Последнее утверждение верно только для n = 0. Но начиналито мы с утверждения, верного для всех целых n, а затем выполняли операции, которые выглядят абсолютно корректно. Как же так? ладала, и  математика стала его страстью до такой степени, что он представил статью по оптике Ирландской королевской академии. У  академии возникли трудности с  пониманием того, что хотел сказать тогда еще совсем юный Гамильтон, но к 1836 году он научился выражать свои мысли настолько хорошо, что Королевское общество присудило ему Королевскую медаль за важные исследования по оптике. Хотя его имя живо в физике и по сей день – гамильтониан изучает в  курсе динамики любой студент младших курсов, – о нем самом помнят плохо. Да и в ранней его работе по оптике и распространению волн, которая и привела к появлению гамильтониана, есть ирония, если вспомнить, что спустя сто

И СНОВА ПОВТОРНОЕ ОТКРыТИЕ

121

лет идеи Гамильтона были признаны фундаментально важными в только нарождающейся квантово-волновой механике. А ирония в том, что с волновой механикой связывают имена других людей, Луи де Бройля и Эрвина Шрёдингера, а совсем не Гамильтона. И в математике Гамильтон при жизни произвел сенсацию – но теперь его дух печально взирает на то, как от ассоциации открытий с его именем остается лишь тень былой славы. Работа Гамильтона по комплексным числам – яркий пример такой судьбы. В 1829 году приятель побудил его прочитать книгу Уоррена, вышедшую годом раньше. Гамильтон так и сделал, но, считая алгебру – с ее  – наукой, совершенно отдельной от геометрии, отверг предложенную в книге геометрическую интерпретацию комплексных чисел. Он полагал, что у  должна быть чисто алгебраическая интерпретация. И много позже, в 1853 году писал: «…я ощущал неудовлетворенность любым подходом, при котором [мнимым числам] с самого начала не была дана ясная интерпретация и  смысл; я  желал, чтобы это было сделано для квадратных корней из отрицательных чисел без введения построений, столь явно геометрических, как связанные с понятием угла»12. Гамильтон считал, что как геометрия является наукой о пространстве и  в  качестве таковой обрела свое математическое выражение в  «Началах» Евклида, так и  алгебра должна быть наукой о  предмете, находящем отражение в  нашем физическом бытии. Он решил, что таким «предметом» должно быть время, почерпнув эту идею в философии Канта, и заявил, что время и есть то, чему посвящена алгебра – и  в том числе. В  связывании со временем Гамильтон, конечно, был не первым; вспомните статью Бюэ 1806 года, которую Гамильтон читал. Безусловно, Гамильтон не был бы настолько уверен в таком ходе рассуждений, если бы знал, что наука геометрия не одна, что евклидова геометрия – лишь одна из многих возможных непротиворечивых геометрий. Евклидова геометрия вполне справляется с  описанием нашего локального мира, но в космическом масштабе физики применяет неевклидовы геометрии, чтобы описать то, о  чем нынче знают все почитатели фильма «Звездный путь», – геометрию искривленного пространства-времени. Стало быть, как не существует един-

122

ГЛАВА 3. ЗАГАДКИ НАЧИНАюТ РАЗРЕШАТьСЯ

ственной науки о пространстве, так нет и единственной науки об алгебре – в  настоящее время весьма активно используется альтернативная булева алгебра – логическая алгебра множеств, которая применяется при проектировании цифровых машин, в т. ч. компьютеров. И ясно, что все они не могут иметь предметом рассмотрения время! Но Гамильтон ничего об этих материях не знал, поэтому в июне 1835 года представил на рассмотрение Ирландской академии статью под названием «Теория сопряженных функций или алгебраических пар; с предварительным рассуждением об алгебре как науке о чистом времени». Я опущу метафизические рассуждения об алгебре как науке о времени, а расскажу только о  математике. Гамильтон определил упорядоченные пары вещественных чисел, записываемые в виде (a, b). Он следующим образом определил операции сложения и умножения пар: (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d), (a,b)(c,d) = (ac - bd, bc + ad). Обращаю внимание, что это именно определения, поэтому никаких дальнейших обоснований не требуется. Но, конечно, совершенно ясно, что Гамильтон ввел такие определения, потому что уже знал, как «работают» комплексные числа. То есть его математически «чистая и абстрактная» пара (a, b) – просто другой способ записи a + ib. Однако Гамильтон полагал, что его нотация лучше, потому что позволяет избежать «абсурдного» . Тем не менее, как писал Роберт Бёрнс, «бревно останется бревном и  в  орденах, и  в лентах». Сам Гамильтон, кстати, сделал забавное замечание на тему того, что его абстрактные определения вовсе не взяты с потолка: «Тот, кто внимательно прочел предшествующие заметки по этой теории, … заметит, что эти определения в действительности выбраны не произвольно». Да, действительно. Так или иначе, продолжая аналогию с комплексными числами, Гамильтон записывает чисто вещественное число a в виде пары (a, 0). Разумеется, это в точности то же самое, как сокращенная форма записи a + 0 . Формально из определения умножения следует, что a(c, d) = (a, 0)(c, d) = (ac, ad),

ГАУСС

123

и, в частности, при a = -1 -1(c, d ) = -(c, d) = (-1, 0)(c, d) = (-c,-d). Далее (0, 1)2(c, d) = (0, 1)(0, 1)(c, d) = (0, 1)(-d, c) = (-c,-d) = -(c, d). Таким образом, (0, 1)2 = -1, или, как и следовало ожидать, (0, 1) = . Не должно вызывать удивления, что (0, 1) = i = , поскольку мы и начали с того, что (a,b) = a + ib. Антипатию Гамильтона к геометрическому представлению комплексных чисел следует воспринимать с  немалой долей иронии. Я  так говорю, потому что Гамильтон, конечно, знал о  поворотном свойстве . И  именно это геометрическое знание привело его к  следующей математической проблеме, которой он был одержим до конца жизни. Понимая, что поворачивает векторы на комплексной плоскости, Гамильтон хотел знать, что именно будет поворачивать их в трехмерном пространстве. Это и  привело его к  открытию кватернионов, или гиперкомплексных чисел, но об этой истории я здесь рассказывать не буду13.

3.7. Гаусс К тому времени, как Гамильтон опубликовал свою работу о парах, на геометрическую интерпретацию уже поставил печать одобрения интеллектуальный колосс Карл Фридрих Гаусс (1777–1855). В апреле 1831 года, за четыре года до Гамильтона, Гаусс изложил собственные геометрические идеи о комплексных числах в  статье, представленной вниманию Гёттингенского королевского общества. На самом деле Гаусс был знаком с этими концепциями в 1796 году (до Весселя) и использовал их, чтобы воспроизвести результаты Весселя, о которых Гаусс не знал. Но, как и во многих других случаях, он не публиковал свои результаты, пока не был уверен, что «все правильно». Например, в 1812 году в письме французскому математику Пьеру Лапласу Гаусс писал: «В моих бумагах много вещей, на которые я, вероятно, потерял приоритет публикации, но знаете, я предпочитаю, чтобы плод созрел»14.

124

ГЛАВА 3. ЗАГАДКИ НАЧИНАюТ РАЗРЕШАТьСЯ

В 1831-м он, наконец, пришел к  выводу, что комплексные числа (термин «комплексное» принадлежит ему) достаточно созрели, и  благодаря его колоссальному авторитету и  репутации был всеми услышан. Понимание Гауссом комплексных чисел эволюционировало со временем. Например, во время написания диссертации он полагал, что может существовать бесконечная иерархия комплексных чисел, т. е. что множество комплексных чисел, возможно, неполное. Он называл эти еще более комплексные числа «vera umbrae umbra» – «подлинные тени теней». Позже он, конечно, понял, что это не так. В  его честь комплексную плоскость иногда называют «гауссовой плоскостью», но только не во Франции, где иногда можно увидеть название «плоскость Аргана». Комплексные числа вида a + ib, где a и b – целые, называются гауссовыми целыми числами. После Гаусса стал узаконенным символом, а по случаю пятидесятилетнего юбилея (в 1849 году) ему преподнесли поздравительный адрес со словами «Вы сделали невозможное возможным». В 1831 году Гаусс писал: «Если этот предмет до сих пор рассматривался с  неверной точки зрения, а  потому был покрыт тайной и окружен тьмой, то это во многом из-за неподходящей терминологии, которой следует выразить порицание. Если бы +1, -1 и  назывались не положительной, отрицательной и  мнимой (или того хуже – невозможной) единицей, а, скажем, прямой, обратной и  поперечной единицей, то вряд ли оставалось бы место для такого недопонимания». По иронии судьбы, в том же году друг Гамильтона Огастес де Морган писал в своей книге «Об изучении и трудностях математики»: «Мы показали, что символ лишен смысла или, точнее, внутренне противоречив и абсурден». Спустя много лет де Морган сохранил скептицизм; в своей книге 1849 года «Тригонометрия и двойная алгебра» он писал: «Студент, интересующийся утверждениями различных авторов, которые состязаются в попытках дать единственно верное объяснение , правильно поступит, убрав слово “единственно”». Но какой бы скепсис ни источал де Морган, невежественным он не был – в той же книге он ухитрился преодолеть отвращение к  и  выполнить практически то же общее вычисление, что было приведено во врезке 3.2. Как писал один современный автор, «в начале своей

ГАУСС

125

истории комплексные числа a + b считались “невозможными числами”, с  которыми можно мириться только в  ограниченной области алгебры, поскольку они были полезны при решении кубических уравнений. Но оказалось, что истинный смысл раскрывается геометрически [курсив мой], и в конечном итоге это привело к  объединению алгебраических функций с  конформными отображениями, теорией потенциала и  еще одной “невозможной” дисциплиной – неевклидовой геометрией. Это [геометрическое] разрешение парадокса было настолько действенным, неожиданным и  красивым, что для его описания подходит только слово “чудо”»15. Но, доложу вам, были и те, кто еще противился. Например, в статье, написанной для журнала Transactions Кембриджского философского общества, английский математик Джордж Эйри (1801–1892), занимавший с 1835 по 1881 год должность Королевского астронома, заявлял: «У меня нет ни малейшей уверенности в  результате, полученном с  помощью мнимых символов». Через пять лет после юбилея Гаусса английский логик Джордж Буль (1815–1864) в своем шедевре 1854 года «Исследование законов мышления» называл «неинтерпретируемым символом». И  наконец, спустя много десятков лет один из лучших студентов-математиков Англии вспоминал о 1880-х годах, что «то был век, когда на использование даже в тригонометрических формулах в Кембридже смотрели с неодобрением… Мнимое i подозрительно считали недостойным доверия и нежеланным гостем»16. Изменения даются нелегко – даже математикам.

ГЛАВА 4

Использование комплексных чисел

4.1. Комплексные числа как векторы В этой и  следующей главах я  продемонстрирую несколько конкретных примеров использования комплексных чисел при решении интересных математических и  прикладных задач. Теория в  этой главе по большей части основана на элементарной идее о представлении комплексных чисел векторами на комплексной плоскости, т.  е. величинами, обладающими абсолютной величиной и  направлением. И  действительно, арифметические операции над комплексными числами можно интерпретировать как операции над векторами. Сложение и вычитание векторов изучают в школьном курсе физики, и, как показано на рис. 4.1, идея весьма проста. Комплексные числа 2  -  i3 и  3  +  i4 представлены векторами, а  их сумма вычисляется по хорошо известному правилу параллелограмма – «совместить начало одного с  концом другого», – и в результате получается 5 + i. Чтобы вычесть 2 - i3 из 3 + i4, мы сначала образуем вектор -(2 - i3) = -2 + i3 (будучи умножением 2 - i3 на -1 = 1 ∠ 180°, эта операция является просто поворотом 2 - i3 на угол 180° по часовой стрелке), а затем производим сложение, как и раньше, и получаем 1 + i7. Это показано на рис. 4.2. Заметим, что поворот на 180° эквивалентен отражению 2 - i3 относительно начала координат. Геометрические операции умножения и деления комплексных чисел1, быть может, не так хорошо известны, но ничуть не труднее. Чтобы понять, как работает умножение, нужно только вспомнить, что это повторное сложение. Например, для вещественных чисел 3 ´ 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 + 5 + 5. То есть мы можем либо сложить пять раз по три, либо три раза по пять.

КОМПЛЕКСНыЕ ЧИСЛА КАК ВЕКТОРы

127

y 3 + i4 = A

4

3

2 5 + i = сумма векторов =А+В

1

х 1

2

3

4

5

–1

–2

–3

2 – i3 = B Рис. 4.1. Сложение векторов

Это элементарное наблюдение легко обобщить на умножение комплексных чисел (векторов). Допустим, мы хотим вычислить (2 - i3) (3 + i2). Чтобы сделать это геометрически, нужно выбрать любой из сомножителей, скажем 3 + i2, и сложить его с самим собой 2 - i3 раз. Это не такой бредовый замысел, как может показаться! Просто заметим, что (2 - i3) (3 + i2) = 2(3 + i2) - i3(3 + i2). Это означает, что нужно сначала нарисовать вектор 3 + i2, а затем сделать его вдвое длиннее. Обозначим результат V1, т. е. «вектор один». Затем нарисуем вектор 3 + i2, сделаем его в три раза длиннее и, наконец, повернем результат на -90°, потому что -i = 1 ∠ -90°. Обозначим ре-

128

ГЛАВА 4. ИСПОЛьЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

y 7

1 + i7 = сумма векторов = А + (–В) =А–В

6 5

–2 + i3 = –B

4

3 + i4 = A

3 2 1

–2

–1

1

2

3

4

x

–1 –2 –3

2 – i3 = B Рис. 4.2. Вычитание векторов

зультат этих операций V2. Интересующий нас ответ – просто V1 + V2, т.  е. нужно выполнить уже известное нам сложение векторов. Весь процесс показан на рис. 4.3, где операцию поворота на 3 + i2 можно рассматривать как определение нового набора координатных осей, x¢ и y¢, в котором выполняется последняя операция сложения. Точно так же деление комплексных векторов можно интерпретировать как многократное вычитание.

ПРИМЕНЕНИЕ АЛГЕБРы КОМПЛЕКСНыХ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИю

y

129

x¢ 2(3 + i2) = V1

y¢

4 3 2

3 + i2

1 x –1 –2 –3

–i(3 + i2)

–4 –5 –6

–i2(3 + i2)

–7

12 – i5 = V1 + V2 = (2 – i3)(3+ i2)

–8 –9

–i3(3 + i2) = V2 Рис. 4.3. Умножение векторов

4.2. Применение алгебры комплексных векторов к решению геометрических задач Одно элементарное, но весьма полезное применение интерпретация комплексных чисел как векторов находит при доказывании геометрических теорем. Для иллюстрации я начну с  доказательства теоремы из элементарной евклидовой геометрии, которую традиционно вывести из аксиом не так-то просто. Но я  полагаю, что доказательство с  помощью комплексных векторов покажется вам почти тривиальным. После этого я покажу изумительно короткое доказательство простого варианта элегантной теоремы Роджера Котса, о  котором мы еще будем много говорить в главе 6.

130

ГЛАВА 4. ИСПОЛьЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

Прежде всего рассмотрим следующее фундаментальное утверждение, которое я  вскоре докажу. Буду называть его утверждением 1, потому что позднее появится еще и утверждение 2. Итак, утверждение 1: пусть даны две точки на комплексной плоскости, P1 и P2, имеющие координаты z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 соответственно (рис. 4.4). Пусть далее P – произвольная точка на отрезке прямой, соединяющем P1 и P2. Тогда если P делит отрезок P1P2 на два (очевидно, более коротких) отрезка P1P и PP2 в отношении P1P/PP2 = λ, то местоположение P можно записать в виде

P2

y2 P

y y1

P1

x1

x

x2

Рис. 4.4. Геометрия утверждения 1

В частности, если λ = 1, то P – середина отрезка P1P2 и т. е. z – среднее арифметическое z1 и z2 и P делит P1P2 пополам. А если λ = 2, то P делит P1P2 в отношении 2:1 и

ПРИМЕНЕНИЕ АЛГЕБРы КОМПЛЕКСНыХ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИю

131

Отметим, что в последнем случае P расположена к P2 ближе, чем к P1. Вторая из точек, делящих отрезок на три равные части, та, что ближе к P1, чем к P2, соответствует λ = ½ и описывается равенством

Доказать утверждение 1 очень просто, нужно лишь воспользоваться рис. 4.4. Заметим, что P, P1 и P2 лежат на одной прямой и, по определению λ, можно написать: После несложного преобразования этих выражений получаем

а это и есть утверждение 1, в котором z = x + iy. Теперь мы воспользуемся утверждением 1 для доказательства следующей теоремы: медианы любого треугольника пересекаются в одной точке P и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины, как показано на рис. 4.5. Действительно, каждая медиана, по определению, оканчивается в средней точке противоположной стороны. Конечные точки всех трех медиан показаны на рис. 4.5, на котором точкам A, B, C соответствуют комплексные числа z1, z2 и z3. Их положения можно вычислить, применив утверждение 1 с λ = 1 (для середины отрезка). Теперь для каждой медианы мы можем вычислить положение точки, отстоящей на две трети длины отрезка от вершины, – нужно лишь применить утверждение 1 с  λ = 2. Это даст нам точку, делящую медиану в отношении 2:1, считая от вершины, т. е. именно ту, что нас интересует. Обозначим эти точки PA, PB и PC, а затем покажем, что на самом деле это одна и та же точка, как и утверждает теорема. Имеем:

132

ГЛАВА 4. ИСПОЛьЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

откуда очевидно, что PA = PB = PC. Вот и всё! Просто, правда? А теперь сравните это с традиционным школьным доказательством, полагаю, вы согласитесь, что оно гораздо труднее.

z3

C ½(z2 + z3)

½(z1 + z3)

B z2 ½(z1 + z2)

A z 1

Рис. 4.5. Геометрическая теорема

Прежде чем обратиться к теореме Котса, сформулирую утверждение 2. Расстояние между двумя точками z1 и z2 на комплексной плоскости равно |z1 - z2| = Для доказательства нужно просто вспомнить теорему Пифагора. Мы воспользуемся этим фактом при обсуждении теоремы Котса. Теорема Котса: если правильный n-угольник вписан в окружность радиуса r и если точка P лежит на радиусе, проведенном из центра окружности в одну из вершин n-угольника на расстоянии a от центра, то произведение расстояний между P и  всеми вершинами равно rn  - an или an  - rn в  зависимо-

ПРИМЕНЕНИЕ АЛГЕБРы КОМПЛЕКСНыХ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИю

133

сти от того, лежит ли P внутри окружности (a < r) или вне нее (a > r). На рис. 4.6 эта теорема показана для случая n = 4, когда P лежит внутри окружности. y

d3 P d2

d1

(a, 0)

(r, 0)

x

d4

d1d2d3d4 = r4 – a4

Рис. 4.6. Теорема Котса для правильного четырехугольника

Котс пришел к этой теореме, обдумывая утверждение, сделанное Лейбницем в  журнале Acta Eruditorum («Деяния ученых») за 1702 год. Там он заметил, что интегралы

выражаются через логарифмическую и  тригонометрические функции соответственно, тогда как следующие интегралы того же вида

134

ГЛАВА 4. ИСПОЛьЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

так выразить невозможно. В  ответ на это (неправильное) утверждение Котс занялся изучением разложения xn ± an на множители и нашел, как эти множители построить геометрически. Отсюда и теорема, которую он только сформулировал, но не доказал. И лишь в 1722 году доказательство было наконец опубликовано Генри Пембертоном (1694–1771), редактором третьего издания «Математических начал» Ньютона. Иоганн Бернулли охарактеризовал доказательство Пембертона как «длинное, утомительное и  запутанное», но это потому, что Пембертон не пользовался комплексными числами! Мы знаем о теореме Котса лишь благодаря его кузену, физику Роберту Смиту (1689–1768), который включил ее в книгу Harmonia Mensurarum («Гармония мер»), разобравшись в ворохе черновиков, оставшихся после внезапной смерти Котса. В простой ситуации, показанной на рис. 4.6, теорему Котса легко проверить, непосредственно вычислив участвующие в ней расстояния, но что, если бы n было гораздо больше (скажем, 924)? Не станем же мы вычислять 924 расстояния! Нам нужно общее доказательство, пригодное для любого n. И  вот как это делается. Во-первых, без ограничения общности мы можем поместить центр окружности в  начало координат и считать, что P находится на вещественной оси в точке z = a, как показано на рис. 4.6. Затем просто заметим, что положения вершин правильного n-угольника определяются решениями уравнения деления круга zn  - rn = 0, которое мы обсуждали в  предыдущей главе. Таким образом, если обозначить zk положение k-й вершины, то мы можем разложить левую часть этого уравнения на множители (z - z1)(z - z2)(z - z3) ... (z - zn) = zn - rn. Если взять абсолютную величину обеих частей этого равенства и воспользоваться тем, что абсолютная величина произведения равна произведению абсолютных величин (это легко проверить прямым вычислением), то получим |(z - z1)| |(z - z2)| |(z - z3)| ... |(z - zn)| = |zn - rn|. Согласно утверждению 2, левая часть – это просто произведение расстояний от произвольной точки z до всех вершин. Положим, в частности, z = a, т. е. возьмем точку P. Поскольку P лежит на вещественной оси, то z вещественно и zn = an. Кроме

ЗАДАЧА ГАМОВА

135

того, из самого определения радиуса следует, что r вещественно, поэтому zn - rn тоже вещественно. Поскольку абсолютная величина всегда неотрицательна, имеем

Все доказано, причем произошло это так быстро, что нужно еще раз перечитать текст, чтобы осознать это.

4.3. Задача Гамова В качестве следующего примера рассмотрим задачу, взятую из чудесной научно-популярной книги Георгия Гамова «Раз, два, три… бесконечность». Опубликованная в  1947 году, она и  по сей день остается одной из лучших в своем жанре, а может быть и лучшей. Физик Гамов относился к математике утилитарно, скорее как инженер, чем как математик, и в одном разделе он обсуждает комплексные числа. В частности, он придумал прелестную задачу для иллюстрации поворотного свойства . Задача Гамова представлена как рассказ о  «юном искателе приключений», который обнаружил древний пергамент среди бумаг покойного прадедушки. Вот что там было написано: Плыви в точку на _____ северной широты и ______ западной долготы и  там найдешь пустынный остров. На северном берегу острова находится большой луг, а на нем растет одинокий дуб и одинокая сосна. Там же увидишь ты старую виселицу, на которой мы, бывало, вздергивали предателей. От виселицы иди к дубу и считай шаги. Дойдя до дуба, поверни направо под прямым углом и отсчитай такое же количество шагов. Здесь воткни в землю кол. Теперь вернись к виселице, от нее иди к сосне и считай шаги. От сосны поверни налево под прямым углом, отсчитай то же количество шагов и  воткни в  землю другой кол. Копай посередине между двумя колами, там находится клад.

Все это показано на рис. 4.7. К этой образной инструкции Гамов добавил два забавных примечания. В одном говорится, что числовые значения координат он опустил, чтобы мы не бросили книжку и не помчались откапывать клад, а во втором – что он, конечно, знает, что на пустынных островах дубы и сосны не

136

ГЛАВА 4. ИСПОЛьЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

растут, но изменил породы деревьев, чтобы сохранить тайну острова. Гамов, наверное, был душой компании. Мнимая S1 = a + ib

i +90°

–90° Вещественная

–1

0

+1

дуб

сосна

S2

Рис. 4.7. Карта Гамова

юноша последовал инструкции, по крайней мере остров он нашел, и дуб с сосной там были. Но, увы, не было виселицы! В отличие от живых деревьев, виселица с годами разрушилась от непогоды, так что и следа не осталось. Не имея возможности выполнить остальные инструкции (во всяком случае он так полагал), юноша уплыл восвояси, не получив ни единой золотой монетки или бриллиантового ожерелья в  награду за все пережитые тяготы. И, как замечает Гамов, это очень печально, потому что он мог бы без труда найти клад, если бы разбирался в комплексных числах. Но хотя задачу Гамова я нахожу очаровательной, его объяснения нравятся мне куда меньше. Это один из немногих случаев, когда я дерзаю тягаться с таким мыслителем, как Гамов, но все-таки думаю, что мое решение гораздо понятнее. Если хотите сравнить решение Гамова с  моим, купите его книгу – настоящую классику научно-популярной литературы, она все еще издается, хотя прошло уже пятьдесят лет. А мое решение изложено ниже.

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНОГО УРАВНЕНИЯ ЛЕОНАРДО

137

Поскольку мы не знаем, где была виселица, просто обозначим ее местоположение на комплексной плоскости a + ib, как показано на рис. 4.7. При этом выберем систему координат, так чтобы вещественная ось проходила через два дерева, а мнимая делила отрезок между деревьями пополам, так что деревья находятся в  точках ±1 (единицу измерения можно выбрать, как нам удобно). Оказывается, что местоположение клада не зависит от a и b – факт удивительный и, как мне кажется, совершенно неожиданный. Сейчас мы его установим. Начнем с того, что мысленно перенесем начало координат в точку, где растет дуб. Тогда вектор, соединяющий дуб с виселицей, имеет вид (a + 1) + ib. Чтобы найти первый кол, мы должны повернуть этот вектор на +90°, т. е. умножить на i. Следовательно, местоположение S1 в  новых координатах равно -b + i(1 + a). Возвращаясь к старой системе координат, получаем, что S1 в ней записывается в виде -b - 1 + i(1 + a). Далее мысленно перенесем начало координат в точку, где растет сосна. Тогда вектор, соединяющий сосну с  виселицей, имеет вид (a  - 1) + ib. Чтобы найти второй кол, мы должны повернуть этот вектор на -90°, т.  е. умножить на -i. Следовательно, местоположение S2 в  новых координатах равно b - i(a - 1). Возвращаясь к старой системе координат, получаем, что S2 в ней записывается в виде (b + 1) - i(a - 1). Клад находится в середине отрезка, соединяющего S1 и S2. Как было установлено в  предыдущем примере, положение этой средней точки вычисляется по формуле

Мы не знаем, чему равно a и b, но это и не важно, потому что они взаимно уничтожаются. Клад находится аккурат на мнимой оси и удален от начала координат на то же расстояние, что дуб и сосна. Ну кто бы мог подумать?

4.4. Решение рекуррентного уравнения Леонардо Вспомним рекуррентное уравнение Фибоначчи, приведенное в примечании 10 к главе 1: un+2 = pun+1 + qun, где u0 и u1

138

ГЛАВА 4. ИСПОЛьЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

известны. В  частном случае последовательности Фибоначчи p = q = 1, но это рекуррентное уравнение можно решить (т. е. найти формулу, выражающую un через n) для любых значений p и q. Понадобится парочка трюков и, быть может, знание основ арифметики комплексных чисел. Например, возьмем p = 4, q = -8, а u0 = u1 = 1. При этом порождается такая последовательность: 1, 1, -4, -24, -64, -64, … Сейчас я покажу, как найти общее выражение для un, которое позволит вычислить любой член последовательности (с заданным n), не генерируя все промежуточные. Начну с гипотезы о том, что un = kzn, где k и z – постоянные. Откуда я знаю, что это так? Потому что видел, как это работает в других случаях! Замечу, что это не такой уж легкомысленный ответ, как могло бы показаться, ведь я обосную свою «догадку», вычислив значения k и z, т. е. докажу, что гипотеза правильная. И нет ничего бесчестного в том, чтобы угадать правильное решение, – величайшие математики и ученые неизменно оказывались величайшими угадчиками – нужно только позаботиться о  последующем подтверждении догадки. Встретив в  следующий раз рекуррентную формулу, вы тоже сможете угадать ответ, потому что к тому времени будете знать, что работает. Чтобы найти значение z, я  подставлю гипотетическое выражение un в рекуррентное уравнение: kzn+2 = 4kzn+1 - 8kzn. Поделив на kzn (заметим, что все k при этом сокращаются), мы получим квадратное уравнение z2 = 4z - 8. Его корни легко найти:

Обратите внимание, что z может принимать одно из двух значений, т. е. и un1 = k123n/2einπ/4, и un2 = k223n/2e-inπ/4

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНОГО УРАВНЕНИЯ ЛЕОНАРДО

139

удовлетворяют рекуррентному уравнению. Заметим также, что я не предполагаю, что для обоих z значения k одинаковы, поэтому снабдил k индексами, чтобы подчеркнуть их независимость. Так какое же un взять? Самое общее решение – использовать оба, взяв их сумму. Поэтому напишу un = un1 + un2 = k123n/2einπ/4 + k223n/2e-inπ/4. Для нахождения постоянных k1 и  k2 я  использую так называемые начальные условия, т.  е. оба заданных значения u0 = u1 = 1. Тогда n = 0: k1 = k2 = 1, n = 1: k123/2eiπ/4 + k223/2e2iπ/4 = 1. Эту систему двух уравнений с двумя неизвестными можно решить с  помощью стандартной алгебраической процедуры, в результате чего получаем:

Таким образом, имеем довольно устрашающий результат:

но его можно сильно упростить. Применяя тождество Эйлера, получаем:

Затем, вспоминая формулу cos(α + θ) = cos(α)cos(θ) - sin(α) sin(θ), выведенную в разделе 3.1, и замечая, что

140

ГЛАВА 4. ИСПОЛьЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

находим

Легко видеть, что при n = 0 и n = 1 действительно получается u0 = u1 = 1, но правильно ли эта формула дает остальные значения un – для n > 1? Для ответа на этот вопрос нужно лишь сравнить некоторые значения un, вычисленные по этой формуле, с порожденными исходным рекуррентным соотношением. Спустя некоторое время вам надоест сравнивать, потому что всегда наблюдается совпадение. Например, для u11 рекуррентное соотношение дает значение -98 304, а формула – значение

Формула и вправду работает. Повторив этот анализ для рекуррентного уравнения общего вида, где p и q – постоянные, мы обнаружим, что z комплексное, только если p2 + 4q < 0. Для p = q = 1, т. е. для последовательности Фибоначчи, это не так, поэтому z должно быть вещественным. Найти решение так же просто (быть может, даже проще), как в комплексном случае. Сделав это, вы получите, что решением рекуррентного уравнения un+2 = un+1 + un с u0 = u1 = 1 является последовательность

Такие рекуррентные уравнения часто встречаются в науке и  технике (а особенно они распространены в  классической комбинаторной теории вероятностей), но во времена Леонардо они были новостью. На самом деле рекуррентное уравнение Леонардо было первым такого рода, и многие современники, должно быть, не понимали, что он делает. Возможно,

МНИМОЕ ВРЕМЯ В ФИЗИКЕ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ

141

это и  объясняет прозвище, сопровождавшее его всю жизнь («Фибоначчи» появилось через много сотен лет после его смерти) – Биголло. Это словечко происходит от итальянского bighellone, означающего «бездельник» или «шалопай». Связана ли это уничижительная кличка с тем, что люди считали, что математика, которой занимался Леонардо, – в том числе и это рекуррентное уравнение, – не имеет практической ценности? Если и так, то это не слишком обижало Леонардо, потому что он и сам так себя называл.

4.5. Мнимое время в физике пространства-времени В последнем примере в этой главе я хочу показать не чисто математическое приложение, в котором играет центральную роль. Вам, правда, придется принять на веру два физических уравнения, но я сошлюсь на столь высокий авторитет, что вы, безусловно, не станете возражать. Итак, об авторитетах. Согласно Эйнштейну (а кто рискнет спорить с  ним?), два человека, совершающих равномерное движение относительно друг друга, будут наблюдать разные измерения пространства и  времени. Это утверждение специальной теории относительности в том виде, в  каком я  его сформулировал, наверняка звучит загадочно, поэтому я  его перескажу в более конкретной форме. Пусть имеется человек, которого мы будем называть «неподвижным» или, по крайней мере, неускоряющимся. Понятие «неподвижный» не так просто, как кажется, потому что необходимо сказать, относительно чего он не движется. Но если мы укажем, что в  нашем стандарте не движется, то придем к тому, с чего начали, т. к. ктонибудь может спросить – не движется относительно чего? Слово «неускоряющийся», однако, не столь проблематично. Оно означает, что на человека не действуют никакие силы, а силы можно измерить с  помощью приборов, размещенных прямо на человеке, – физик сказал бы, что измерительные приборы локальны. Это следует из знаменитого второго закона Ньютона, а с Ньютоном тоже не поспоришь. Итак, имея человека, который не ускоряется, поместим его в начало стандартной системы координат x, y, z в трехмерном пространстве и  будем говорить, что он измеряет положение

142

ГЛАВА 4. ИСПОЛьЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

в пространстве чего-то наблюдаемого (события) относительно координатных осей. Если человек наблюдает два события в  пространстве в  точках (x1, y1, z1) и  (x2, y2, z2), то, пользуясь теоремой Пифагора, он может вычислить квадрат расстояния между ними: s2 = (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2 + (z1 - z2)2. А если события очень близки друг к другу, то можно записать квадрат дифференциала расстояния в виде: (ds)2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2. Это выражение называется метрикой нашего трехмерного пространства. Евклидово расстояние, вычисляемое по теореме Пифагора, – обычная метрика, которую иногда называют расстоянием по прямой, но она не единственно возможная. Математики определяют общие свойства, которыми должна обладать любая функция расстояния, следующим образом: если A и B – произвольные точки и d(A,B) – расстояние между A и B, то (1) d(A,B) = d(B,A); (2) d(A,B) = 0 тогда и только тогда, когда A = B; (3) если C – любая третья точка, то d(A,B) £ d(A,C) + d(C,B). Евклидово расстояние обладает всеми тремя свойствами, но существует много других функций расстояния2. Физическое свойство (ds)2, на котором я хочу заострить внимание в этом примере, – его инвариантность относительно некоторых преобразований системы координат. Предположим, что мы провели прямую на плоском листе бумаги и измерили расстояние между двумя точками (назовем их A и  B) на этой прямой. Очевидно, что это расстояние не зависит от того, как расположены оси координат, т. е. расстояние между A и B не изменится, если выполнить произвольный параллельный перенос и (или) поворот осей, как показано на рис. 4.8. Сами координаты A и  B, конечно, изменяются при подобном преобразовании, но таким образом, что величина (ds)2 остается неизменной. Следовательно, если обозначить оси такой сдвинутой и  (или) повернутой системы координат x¢ и  y¢, то вне зависимости от величин координат A и B в системе x, y должно иметь место равенство (ds)2 = (ds¢)2 = (dx¢)2 + (dy¢)2 + (dz¢)2.

МНИМОЕ ВРЕМЯ В ФИЗИКЕ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ

y

143

y¢ В

yB

x¢

y¢B

y¢A yА

А x¢B

x¢A

хА

хB

х

Рис. 4.8. Расстояние между двумя точками не зависит от системы координат

Теперь давайте немного усложним ситуацию. Предположим, что, помимо пространственных координат события, наш неускоряющийся наблюдатель регистрирует также время события. Тогда он располагает четырьмя числами (x, y, z, t), определяющими событие в четырехмерном пространстве-времени. Пока все было просто, но давайте сделаем еще один шаг. Допустим, что имеется второй человек, который движется с постоянной скоростью v, измеряемой относительно первого неускоряющегося человека, вдоль оси x его системы координат, как показано на рис. 4.9. По двум другим пространственным направлениям никакого движения нет. Конечно, это не самый

144

ГЛАВА 4. ИСПОЛьЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

общий случай двух людей, совершающих равномерное относительное движение, но я стараюсь не усложнять! Разумно считать, что второй человек находится в начале другой системы координат, которую я обозначу x¢, y¢, z¢. y

y v

x и x¢

z

z

Рис. 4.9. Две системы координат, совершающие равномерное относительное движение

Очевидно, что y = y¢, z = z¢, и я полагаю, почти все согласятся, что t = t¢, т. е. время «течет» одинаково для обоих наблюдателей. Но как связаны x и x¢? Для ответа на этот вопрос будем считать, что время измеряется относительно момента, когда оба начала координат на рис. 4.9 совпадают. То есть в этот момент t = t¢ = 0. Тогда, я думаю, понятно, что x¢ = x - vt, потому что если оба человека видят, что одно и  то же событие, скажем в  точке x = x0 > 0, произошло в  одно и  то же время t0 > 0, то движущийся наблюдатель будет ближе к этому событию на расстояние vt0. Из этих элементарных соображений вытекают три уравнения: x¢ = x - vt, y¢ = y, z¢ = z, t¢ = t, которые называются преобразованием Галилея из «неподвижной» системы координат (без штриха) в  «движущуюся» (со

МНИМОЕ ВРЕМЯ В ФИЗИКЕ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ

145

штрихом). Название дано в часть великого итальянского физика и математика Галилео Галилея (1564–1642). Однако они неверны. В начале XX века теория относительности вызвала потрясение, потому что «очевидное» представление о том, что время течет одинаково для всех и что пространство по существу является почти тривиальным однородным сдвигом координат, оказалось попросту неверным. Но это не книга о релятивистской физике, поэтому, если вас интересуют физические вопросы, прошу обратиться в другое место3, а для наших целей достаточно знать правильные уравнения преобразования. Вот они:

где c – скорость света, приблизительно 300 000 км/с. Заметим, что если бы c была бесконечной, то правильные уравнения преобразования свелись бы к  преобразованию Галилея, т.  е., с точки зрения Галилея, свет распространяется мгновенно, что в  большинстве повседневных ситуаций является достаточно хорошим приближением. Правильные уравнения называются преобразованием Лоренца (не Эйнштейна) в честь голландского физика Хендрика Антона Лоренца (1853–1928), который открыл их в  1904 году путем прямых манипуляций с уравнениями электромагнитного поля Джеймса Клерка Максвелла. Однако именно Эйнштейн в 1905 году показал, как вывести уравнения преобразования из фундаментального пересмотра концепций пространства и времени, не апеллируя к деталям конкретных физических законов. Именно это, по существу, и составляло кредо Эйнштейна – вера в то, что все физические законы должны подчиняться одним и тем же уравнениям преобразования – и при очень общих условиях уравнения Лоренца единственно возможные. После этой подготовки мы готовы перейти собственно к теме этого примера. Физики говорят не о расстоянии между

146

ГЛАВА 4. ИСПОЛьЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

событиями в трехмерном пространстве, а об интервале между событиями в  четырехмерном пространстве-времени. Как определяется интервал? Очевидный ответ – просто обобщить определение трехмерного расстояния, добавив в  него переменную времени. То есть если обозначить c(dt) своего рода естественную «временную» переменную (нужно умножить dt на скорость, чтобы получить единицу измерения длины, согласованную с единицами измерения dx, dy и dz, а c – «естественная» скорость в физике), то было бы разумно ожидать, что интервал ds определяется по формуле (ds)2 = (cdt)2 + (dx)2 + (dy)2 + (dz)2. Это так называемая метрика пространства-времени для интервала, хоть и кажется естественной, на самом деле неверна. А неверна она потому, что интервал должен быть инвариантен относительно преобразования пространства-времени Лоренца точно так же, как расстояние инвариантно относительно параллельного переноса или поворота системы координат. Но, как я  сейчас покажу, приведенная выше метрика не инвариантна. Чтобы вычислить (ds¢)2, мы сначала должны вычислить (cdt¢)2, (dx¢)2, (dy¢)2 и  (dz¢)2. Последние два дифференциала вычислить легко благодаря нашему предположению о  геометрической ситуации: y¢ = y и  z¢ = z. Таким образом, dy¢ = dy и  dz¢ = dz. Для вычисления же первых двух дифференциалов придется немного поработать. Что касается cdt¢, то очень помогает поразмыслить о том, что же такое dt¢. Это полный дифференциал времени в системе со штрихом, и зависит оно от двух переменных без штриха, x и t, потому что

Из курса математического анализа нам известна формула Эйлера (1734):

которая говорит, что полный дифференциал t¢ равен сумме частных дифференциалов по x и по t при условии, что каждый

МНИМОЕ ВРЕМЯ В ФИЗИКЕ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ

147

дифференциал вычисляется, когда вторая переменная фиксирована. Таким образом:

Аналогично , и поскольку

то имеем

Из этих двух результатов сразу следует, что

Теперь предположим (неправильно, как мы скоро увидим), что (ds)2 = (cdt)2 + (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 – метрика пространствавремени. Чтобы проверить ее на инвариантность, вычислим выражение (ds¢)2 = (cdt¢)2 + (dx¢)2 + (dy¢)2 + (dz¢)2. Получаем

Очевидно, что это выражение для (ds¢)2 не равно (ds)2.

148

ГЛАВА 4. ИСПОЛьЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

А как нужно определить (ds)2, чтобы сохранить инвариантность? Эйнштейн открыл, что вместо c(dt) следует использовать c(dt). То есть метрика (ds)2 = -c2(dt)2 + (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 инвариантна относительно преобразования Лоренца 4. Это означает, что, вычислив (ds¢)2, мы получим точно такой же результат: (ds)2 = (ds¢)2 = -c2(dt¢)2 + (dx¢)2 + (dy¢)2 + (dz¢)2. Возникает вопрос: почему в  выражении для (ds¢)2 штрихи имеются во всех переменных, кроме c, т. е. почему мы не обозначаем c¢ скорость света в  системе координат со штрихом? Да потому, что в действительности c¢ = c, т. е., как и интервал, скорость света инвариантна относительно преобразования Лоренца. Инвариантность скорости света – это один из постулатов, на которых зиждется специальная теория относительности Эйнштейна5. Чтобы убедиться, что (ds)2 инвариантно, выполним следующие выкладки:

а последнее выражение действительно равно (ds)2. Итак, чтобы обеспечить инвариантность интервала в  четырехмерном пространстве-времени, необходимо использовать член -(cdt)2 = (c dt)2, а  не (cdt)2. Включение выражения c(dt) = c( dt) – если угодно, «мнимого времени» (вспомните тени Бюэ)6 – дает искомую инвариантность интервала, но одновременно прозрачно намекает, что время фундаментально отличается от пространства – момент, который многие авторы изрядно запутали в чрезмерно упрощенных научно-популярных изложениях теории относительности.

МНИМОЕ ВРЕМЯ В ФИЗИКЕ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ

149

Я закончил главу 3 замечанием, что математикам XIX века зачастую было трудно принять . Но, доложу я  вам, некоторым физикам XX века пришлось еще труднее. В статье с откровенной критикой употребления Эйнштейном и Минковским физик из Национального бюро стандартов признавал: имеются законные применения в чистой математике, где У он входит составной частью в различные хитроумные механизмы решения задач, которые иначе остались бы неприступными. Есть у него и ограниченные применения в математической физике, например в теории течения жидкости, но лишь в качестве необходимой шестеренки математического механизма. В этих вполне допустимых случаях он, выполнив свою работу, мирно покидает сцену.

Но затем физик продемонстрировал свое истинное отношение к  как чему-то, принципиально не имеющему физического смысла, и закончил свое эссе следующими исполненными сарказма словами: Критерий, позволяющий отличить смысл от бессмыслицы, утрачен; наши умы готовы примириться с чем угодно, если это исходит от авторитетного лица и сопровождается рядом символов, набранных шрифтом кларендон. И все же мы не должны быть слишком суровы к  ; иногда она может оказаться полезным подспорьем, как свидетельствует традиция Национального бюро стандартов. Когда бюро только создавалось, штат был невелик, а официальных инструкций еще не существовало, сотрудники по очереди водили группы посетителей по лабораториям. Как-то раз посетителям показывали сжиженный воздух, и был задан вопрос: «А для чего он используется?» В те дни сжиженный воздух еще не нашел практического применения, так что это было чисто научное любопытство. Гид… на секунду смутился, но быстро обрел присутствие духа и ответил: «Для смазывания квадратного корня из -1»7 i.

i В этой связи не могу не вспомнить, как в не столь отдаленные времена сотрудники советских научных лабораторий выписывали спирт для «протирки оптической оси микроскопа». – Прим. перев.

150

ГЛАВА 4. ИСПОЛьЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

Приводя эту странную шутку, автор совершенно упускает из виду, что имеет не больший физический смысл, чем 0.107, 2, или любое другое конкретное число (о которых физики почему-то не пишут саркастических эссе). У некоторых чисел, безусловно, имеется очевидный физический смысл, например у числа π, равного отношению длины окружности к диаметру. И быть может, у  физического смысла не меньше, чем у π, особенно если вспомнить поворотное свойство , которое мы обсуждали в главе 3.

ГЛАВА 5

Другие применения комплексных чисел

5.1. Комплексные функции открывают короткий путь сквозь гиперпространство Предыдущую главу я  закончил обсуждением пространствавремени, а  следующий пример использования комплексных чисел тоже будет в  какой-то степени связан с  этой частью математической физики. Любители научно-фантастических фильмов хорошо знакомы с  идеей червоточинi в  гиперпространстве  – туннелей, сокращающих путь через пространство-время, так что время перемещения из одной точки в другую меньше, чем необходимо свету, распространяющемуся по прямой. См., например, фильм «Звездные врата», вышедший в 1994 году1. В качестве первого примера я хочу показать, что математики уже давно подсказали, как такое может случиться, и даже раньше, чем Эйнштейн опубликовал свою общую теорию относительности, одним из предсказаний которой является существование червоточин. В любом начальном курсе математического анализа доказывается, что дифференциал ds длины дуги кривой y = y(x) равен

Тогда длина дуги от x = 0 до x =

i

равна

Их еще называют кротовыми норами. – Прим. перев.

152

ГЛАВА 5. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

В 1914 году американский математик Эдвард Каснер (1878– 1955) показал, что в случае, когда функция y(x) комплексная, а не чисто вещественная, эта формула приводит к совершенно неожиданному, противоречащему интуиции и откровенно странному результату. Каснер начал свой анализ2 с  наблюдения, что если даны две точки P и  Q на кривой y = y(x), то существует два очевидных пути из P в  Q. Во-первых, можно просто пройти по кривой, по дуге длиной s, считая для определенности, что P соответствует x = 0, а Q - x = . Или можно соединить P и  Q отрезком прямой, т.  е. хордой между P и  Q, и пройти по этому пути длиной c. Интуитивно очевидно, что , большинству людей c < s. Менее очевидно, что не понятно, как этот предел может отличаться от единицы. Но как пишет Каснер: «Легко … построить контрпример [доказывающий, что предел необязательно равен 1] на множестве вещественных функций: если сделать кривую достаточно извилистой, то предел может быть равен двум или вообще любому наперед заданному числу, большему единицы». А затем Каснер взорвал бомбу. Если, писал Каснер, допустить, что y(x) может принимать комплексные значения, то предел отношения длины дуги к длине хорды может быть меньше 1. Старая мудрость «отрезок прямой – кратчайшее расстояние между двумя точками» необязательно верна для комплекснозначных кривых. Конечно, я не могу нарисовать комплекснозначную кривую на листе бумаги – сами посудите, как изобразить график функции y(x) = x2 + ix, – но формальные вычисления мы проделать можем. Уместна будет аналогия с  физиками-теоретиками, которые не могут изобразить, как червоточина в гиперпространстве позволяет сократить путь от Земли до Плутона в пространстве-времени до ста метров, но тем не менее всерьез обсуждают эту возможность, пусть даже на бумаге. Не путайте природу функции y(x) = x2 + ix с природой z = x + iy. Во втором случае комплексным является z, а величина y, откладываемая по вертикальной оси, вещественна, т. е. мы используем вещественную ось y для представления мнимой части z. В случае y = x2 + ix величина, откладываемая вдоль вертикальной оси, комплексная, и я просто не знаю, как это нарисовать! А теперь приведу простой пример того, что сделал Каснер. Если начать с y(x) = x2 + ix, то длина хорды, соединяющей (0,0) и ( , ), равна

КОМПЛЕКСНыЕ ФУНКцИИ ОТКРыВАюТ КОРОТКИй ПУТь

При

153

→ 0 мы можем аппроксимировать c как

где я  воспользовался тем, что 2 стремится к  нулю гораздо быстрее . Длина дуги между точками (0,0) и ( , ) равна

И снова при

→ 0 мы можем аппроксимировать s как

Эти два результата говорят нам, что

Это означает, что путь по дуге почти на 6 % короче, чем по прямой. На самом деле Каснер доказал существенно более общий результат: если y(x) = mkxk + ix, где mk – произвольное значение (в нашем примере, где k = 2, я использовал m2 = 1), то

При k = 1 отношение равно единице, но с увеличением k отношение можно сделать сколь угодно малым. Это не особенно трудное упражнение – попробуйте доказать его самостоятель-

154

ГЛАВА 5. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

но. А  вот что по-настоящему трудно, так это «увидеть» этот поразительный результат. Удачи вам в этом. Если получится, дайте мне знать!

5.2. Максимальные блуждания на комплексной плоскости В следующем примере я  расстанусь с  пространством-временем и математическими червоточинами в гиперпространстве и вернусь к более привычной двумерной комплексной плоскости, но, как выяснится, даже здесь можно найти много интересного. Чтобы как-то обосновать свой анализ, я  попрошу вас вспомнить стандартную школьную задачу о суммировании геометрической прогрессии и  одну ее забавную постановку. Помню, что впервые услышал ее в 1955 году, когда учился в десятом классеi. Мальчик и девочка стоят напротив друг друга на расстоянии двух футов. Девочка стоит неподвижно, а мальчик делает последовательность шагов по направлению к ней. Длина первого шага один фут, второго – половина фута, третьего – четверть фута. И так далее. Учитель, улыбаясь, объяснял классу невинных пятнадцатилетних ребятишек, что мальчик никогда не достигнет девочки, но через конечное число шагов окажется достаточно близко к  ней «для всех практических целей». Естественно, при этих словах все мы – ну, по крайней мере, я – залились краской, представив себе робкий, целомудренный поцелуй. А теперь придадим этой почтенной задаче неожиданный поворот. Поместим нашего молодого человека в начало координат комплексной плоскости и заставим его пройти вдоль положительного направления вещественной оси единичное расстояние. Затем он поворачивается на каблуках на угол θ против часовой стрелки и смещается вперед на половину единичного расстояния. И продолжает так делать бесконечное число раз: поворот на один и тот же угол и смещение на половину предыдущего шага. Спрашивается, в какой точке он в итоге окажется i Всего в США двенадцать классов, последние три называются старшей школой. – Прим. перев.

МАКСИМАЛьНыЕ БЛУЖДАНИЯ НА КОМПЛЕКСНОй ПЛОСКОСТИ

155

и при каком угле будет отстоять на максимальное расстояние от вещественной оси? На рис. 5.1 схематично изображен этот процесс в предположении, что θ < 90°, – исключительно для того, чтобы сделать рисунок проще.

θ θ Рис. 5.1. Блуждание на комплексной плоскости

Это «блуждание на комплексной плоскости» математически описывается суммированием векторов, т. е. после (n + 1)-го шага сумма векторов S(n + 1) указывает на положение мальчика на плоскости:

Расстояние между мальчиком и  вещественной осью равно мнимой части S(n + 1), поэтому нам требуется вычислить значение, доставляющее максимум мнимой части S(¥). Заметив, что S(n + 1) – это геометрическая прогрессия со знаменателем ½ei, умножим обе части выражения на знаменатель и получим

Теперь вычтем это равенство из исходного:

156

ГЛАВА 5. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

или

или, полагая n → ¥,

где Sr и Si – вещественная и мнимая части S(¥) соответственно. Нетрудно показать, что

Далее, чтобы максимизировать расстояние до вещественной оси, поступим как обычно: приравняем dSi /dθ = 0. Решив это уравнение, найдем cos(θ) = 0.8 или θ = 36.878, поэтому максимальное значение Si = 2/3, т. е. S(¥) = 1/3 + 2/3i. Предположим далее, что мы хотим максимизировать не расстояние между мальчиком и вещественной осью, а расстояние между ним и началом координат. Тогда следует сначала уточнить, что такое расстояние. Имеем ли мы в виду, например, евклидово или манхэттенское расстояние, описанное в предыдущей главе? Это очень важно! (Впрочем, в поставленной задаче ответ получается одинаковым для обеих функций расстояния – сможете понять, почему?) То есть мы можем найти значение θ, при котором достигается максимум евклидова расстояния или манхэттенского расстояния |Sr| + |Si|, и получить результаты θ = 0° и θ = 15.72° соответственно. Проделайте эти вычисления и убедитесь в правильности результата – мне кажется, что без комплексных экспоненциальных функций проанализировать эту задачу было бы довольно затруднительно. В  следующем примере я  продемонстрирую очень старую задачу, которая важна и  сейчас, но решить которую без комп-

ЗАКОНы КЕПЛЕРА И ОРБИТы СПУТНИКОВ

157

лексных экспоненциальных функций исключительно трудно, а с ними – на удивление просто и красиво.

5.3. Законы Кеплера и орбиты спутников Одна из самых старых научных проблем – так называемая задача N тел, возникшая как результат ночного одиночества пастухов, любующихся звездами, и мистицизма астрологов, зарабатывающих на жизнь составлением гороскопов. Поскольку обе эти группы, первые астрономы, наблюдали, как искорки света (планеты) перемещаются по темному небу на неподвижном фоне других, куда более многочисленных искорок света (звезд), то вопрос о том, как понять и даже предсказать такое движение, звучал естественно. В более близкие нам времена интерес к небесной механике диктовался практической задачей прогнозирования приливов и вычисления наиболее подходящего момента для запуска межпланетных ракет. Давно известно, что положение Луны и, в меньшей степени, Солнца коррелирует с высотой прилива, т. е. между этими явлениями существует естественная связь. В частности, для военных высота прилива представляет огромный интерес – когда в 1772 году Эйлер опубликовал свой трактат «Теория движения Луны», российские и британские эксперты по морской навигации читали его очень внимательно. Как я подробно расскажу при обсуждении этого примера, открытие Ньютоном математического анализа и закона всемирного тяготения позволило объяснить движения двух тяготеющих масс рационально и научно. Ньютон начал размышлять о  гравитации еще в  1665 году, когда ему был двадцать один год, именно в связи с движением Луны. При выводе закона, согласно которому сила притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния, он пользовался только геометрией (сам закон более подробно обсуждается в этой главе), но не математическим анализом, который он тогда еще только разрабатывал3. Позднее, публикуя свои исследования гравитации в  книге «Математические начала натуральной философии», вышедшей в 1687 году (обычно ее называют просто «Начала»), он также ограничился одной лишь геометрией в математическом обосновании. Поступил он так, потому что тогда велись яростные философские споры на тему отхода математического анализа от физики.

158

ГЛАВА 5. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

Конечно, количество различных масс во Вселенной больше двух. Проблема вычисления движения N тяготеющих масс получила название «задача N тел», и среди физиков гуляет миф, что она остается нерешенной для N ³ 3. Это действительно так, если под решением понимать точные уравнения в замкнутой форме. На самом деле финский математик Карл Ф. Зундман (1873–1949) решил задачу трех тел в период между 1907 и 1919 годом, а в 1991 году китайский студент цюдон Ван решил задачу N тел для любого N. Однако эти решения представлены в  виде бесконечных сходящихся рядов, которые, к сожалению, сходятся слишком медленно для практического использования. Но, конечно, с развитием суперкомпьютеров физики теперь могут непосредственно вычислять будущие движения сотен, даже тысяч тяготеющих масс на любом, сколь угодно длинном промежутке времени, пользуясь уравнениями движения и тяготения Ньютона. Аналитическое решение задачи N тел больше не представляет практического интереса. Однако для N = 2 масс точные аналитические формулы движения давно известны. Их вывод существенно упрощается благодаря двум приближениям. Например, для любой планеты Солнечной системы вполне можно считать, что существует только она и Солнце. Поскольку масса Солнца намного больше массы любой планеты – даже масса юпитера меньше 0.1 % массы Солнца, – в  очень хорошем приближении можно считать, что влияние планеты на движение Солнца пренебрежимо мало по сравнению с влиянием Солнца на движение планеты. Чтобы сказать больше, нужна весьма интересная математика, в которой, однако, большим подспорьем могут стать комплексные числа. После краткой исторической справки я покажу, как Ньютон объяснял небесные тайны. Самые ранние представления об устройстве Солнечной системы были геоцентрическими: Земля – это неподвижный центр мира, а все остальные объекты на небесной сфере вращаются вокруг нее по круговым орбитам. Сторонники этой точки зрения говорили: «Как же Земля может двигаться? – ведь тогда все находящееся на ней было бы сметено ужасным ураганом!» И не стоит презрительно насмехаться над этим аргументом – ведь на первый взгляд все так и выглядит. Это мнение было поддержано, в частности, огромным авторитетом Аристотеля, который, будучи великим философом, ученым был неважным. Напри-

ЗАКОНы КЕПЛЕРА И ОРБИТы СПУТНИКОВ

159

мер, Аристотеля можно укорить за ошибочную идею о том, что тяжелые предметы падают быстрее легких. К этому мнению он пришел в результате чистых размышлений и, очевидно, не дал себе труда понаблюдать за тем, как падают реальные предметы. Были люди, несогласные с геоцентрической системой Аристотеля, самый заметный из них – греческий астроном Аристарх, который примерно в 260 г. до н. э. утверждал, что центром всех движений на небесной сфере является Солнце, но его взгляды были отвергнуты как «явно» фантастические. Взгляд на Землю как на центр Вселенной получил поддержку в  «Альмагесте» Птолемея и  продержался больше тысячи лет. Сегодня нам трудно понять такое упорное цепляние за него, потому что геоцентрическая система испытывает немало объективных трудностей. Самая очевидная проблема заключается в том, что время от времени создается впечатление, что планеты прекращают движение на восток по ночному небосводу и возвращаются вспять, описывая петли. Еще в IV веке до н. э. греческие астрономы умели «объяснять» такие загадочные попятные движения, не отступая от «совершенства» аристотелевых круговых орбит. Для этого был придуман механизм вложенных друг в друга вращающихся невидимых хрустальных сфер с Землей в центре. Считалось, что все наблюдаемые небесные тела как бы прикреплены к внутренней поверхности таких небесных сфер и вращаются вокруг Земли под разными углами. Подбирая количество таких сфер, скорости их вращения, распределение тел по сферам и  сферические углы, можно было объяснить наблюдаемое движение. Конечно, чем больше тел наблюдалось, тем больше требовалось сфер, в какой-то момент стало необходимо привлечь как минимум пятьдесят семь сфер. Как греческие астрономы объясняли кометы, которые внезапно появляются из ниоткуда, а затем снова исчезают в ночном небе, вообще загадка – похоже, их не волновал вопрос, почему кометы не разносят небесные сферы на мелкие кусочки. Постепенно эта ситуация начинала казаться все более абсурдной  – неужели премудрый Господь мог создать такую кошмарную Вселенную?  – и  росло нежелание слепо принимать систему Птолемея как последнее и окончательное слово. В 1543 году, незадолго до смерти, польский астроном Николай Коперник (1473–1543) опубликовал книгу «О вращении небесных сфер», в которой впервые представил гелиоцентриче-

160

ГЛАВА 5. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

скую систему, поместив в центр Вселенной Солнце. Принято считать, что он откладывал публикацию книги, поскольку страшился преследований со стороны церкви за столь радикальный отход от традиции. Ведь, например, в Библии сказано (книга Иисуса Навина, 10:12–13), что Иисус повелел остановиться Солнцу, а не Земле, – этот аргумент использовал Мартин Лютер в споре с Коперником. Впрочем, современные исследователи более благосклонно оценивают позицию церкви относительно астрономии во времена Коперника. На ранних этапах Реформации церковь еще не ощущала достаточно сильной угрозы, чтобы в корне пресекать все идеи, противоречившие ее учению. Коперник, по-видимому, не столько боялся церкви, сколько опасался выглядеть посмешищем в глазах коллег-астрономов (которые по-прежнему полагали воззрения Аристотеля непререкаемой истиной). Но Коперник наверняка был почти прав, когда с  опаской относился к  религиозному фанатизму. Эта осторожность, по-видимому, нашла отражение в презентации книги о гелиоцентрических круговых орбитах как просто удобного способа вычисления будущих положений планет, а не описания физической реальности. Однако идея этого философского отмежевания принадлежит не самому Копернику. Предисловие к книге написал другой человек, который отзывался о работе Коперника так: «Гипотезы [автора] могут быть и несправедливыми, могут быть даже невероятными; достаточно, если они приводят нас к вычислениям, удовлетворяющим нашим наблюдениям». Читатели Коперника думали, что это его собственные слова, и лишь в 1854 году открылось, что их написал некто иной – с кем Коперник спорил именно по этому вопросу, – когда великий астроном уже упокоился с миром. Но есть один момент, когда отмежевание – если это действительно оно – все же можно приписать Копернику: само название его книги. Заголовок «О вращении небесных сфер» можно интерпретировать так, будто вращаются, т. е. движутся, только другие планетыi. Судя по названию, можно подуi В русской традиции название книги Коперника (De revolutionibus orbium coelestium) принято переводить «О вращении небесных сфер», тогда как П. Нахин переводит его на английский как «On the Revolutions of the Heavenly Bodies» («О вращении небесных тел»). Отсюда некоторая логическая нестыковка в следующих далее рассуждениях о вращении планет. – Прим. перев.

ЗАКОНы КЕПЛЕРА И ОРБИТы СПУТНИКОВ

161

мать, что идея о  неподвижной Земле не подвергается сомнению. Сам Коперник, конечно, не придерживался такой точки зрения, но, быть может, он пытался оставить себе «место для маневра» на случай обвинений в  вольнодумстве со стороны Инквизиции. Несмотря на интеллектуальное изворачивание и  посвящение трактата папе Павлу III, когда Галилей поддержал теорию Коперника, книга была включена в индекс запрещенных католической церковью книг и находилась там с 1616 по 1757 год. К 1615 году Реформация уже привела к церковному расколу (и образованию протестантского движения), и все, что не совпадало с  учением церкви, рассматривалось как угроза. Книга Коперника не оказала немедленного влияния на науку, но знаменовала начало конца геоцентрической системы Птолемея. Спустя всего три года после смерти Коперника родился датский астроном Тихо Браге (1546–1601), который всю жизнь делал замечательно точные наблюдения за орбитами планет без помощи каких-либо приборов – телескоп был изобретен только через шесть лет после его смерти. Однако Тихо, который, как и  Галилео, по какой-то причине предпочитал, чтобы его назвали по имени, совершил гигантский шаг назад, поддержав геоцентрическую систему. В последние годы жизни у него был помощник, немецкий астроном Иоганн Кеплер (1571–1630), унаследовавший весь массив данных наблюдений, с  таким тщанием собранный Тихо. Именно Кеплер после многолетнего изучения данных Тихо наконец открыл законы движения планет, в т. ч. Земли, вокруг Солнца. В 1609 году в своей книге «Новая астрономия» Кеплер объявил о  первых двух законах движения планет. Первый закон – каждая планета  обращается не по кругу, а  по  эллипсу, в  одном из фокусов которого находится  Солнце. Второй закон – за равные промежутки времени отрезок, соединяющий Солнце и  планету, заметает собой равные площади. Второй закон говорит, например, что, приближаясь к Солнцу – когда соединяющий тела отрезок становится короче, – планета движется быстрее. В 1619 году в книге «Гармония миров» Кеплер сформулировал третий закон: квадраты  периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей орбит планет. Хотя все планеты обращаются по эллипсам, некоторые орбиты «более эллиптические», чем другие. Напомним, что

162

ГЛАВА 5. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

если 2a и 2b – большая и малая оси эллипса соответственно, а  2c =  – расстояние между фокусами, то величина называется эксцентриситетом эллипса. E = c/a = Очевидно, что если c = 0, то E = 0, тогда оба фокуса совпадают с центром окружности диаметра 2a = 2b. Эксцентриситет орбиты Земли равен 0.0167, т.  е. b/a = 0.99986. С  другой стороны, эксцентриситет орбиты Меркурия равен 0.2056, т. е. b/a = 0.9786. Эти орбиты «почти» совпадают с окружностями Коперника. Ньютон вывел свой закон – сила притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния – как и направление этой силы, из второго и третьего законов Кеплера. Затем, воспользовавшись этим выводом, он показал, что первый закон – эллиптичность орбит – не является независимым утверждением, а с необходимостью следует из двух других. Вывести закон эллипсов Кеплера, применяя только геометрию, нелегко. Когда лауреат Нобелевской премии по физике Ричард Фейнман попытался подготовить лекцию по законам Кеплера для студентов Калтеха, он обнаружил, что не понимает всех аргументов Ньютона, основанных на тонких свойствах кривых второго порядка. Поэтому Фейнман разработал собственное чисто геометрическое доказательство4, отнюдь не простое. Как говорил сам Фейнман, все, что нужно, – это «бесконечный разум». Можно сказать, что с этих трех законов началась астрономия как наука. А теперь я бы хотел продемонстрировать, как все вышеперечисленное можно объяснить с помощью ньютоновских законов физики и комплексных экспоненциальных функций (сам Ньютон, родившийся через 12 лет после смерти Кеплера, действовал не так). В следующем разделе я, пользуясь комплексными числами, покажу также, почему иногда кажется, что планеты движутся вспять. Обратимся к  рис. 5.2. Комплексный радиус-вектор z, соединяющий начало координат с движущейся массой m, имеет мгновенную длину r и составляет мгновенный угол θ с вещественной осью. Слово «мгновенный» просто означает, что r и θ – функции от времени, т. е. r = r(t) и θ = θ(t). Иначе говоря, |z| = r и z = reiθ .

Если обозначить v = v(t) и a = a(t) соответственно скорость и ускорение массы m, то

ЗАКОНы КЕПЛЕРА И ОРБИТы СПУТНИКОВ

163

Заметим, что z, v и a – векторы, т. е. являются комплексными числами и  имеют компоненты – проекции на вещественную и  мнимую оси. Также заметим, что мне не пришлось определять понятие единичного вектора, которое так путает студентов-первогодков, начинающих изучать физику, поскольку комплексная экспоненциальная функция автоматически принимает на себя его роль, состоящую в  указании нужного направления. Мнимая

m

r θ

z = reiθ Вещественная

Рис. 5.2. Радиус-вектор движущейся массы m

Пусть теперь имеется две массы, M и m, которые взаимодействуют между собой по закону обратного квадрата расстояния Ньютона. Это означает, что на каждую массу действует одинаковая сила F, величина которой определяется по формуле

164

ГЛАВА 5. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

где G – универсальная гравитационная постоянная (впервые измеренная в 1798 году английским физиком и химиком Генри Кавендишем), а r – расстояние между массами. Если физические размеры масс малы по сравнению с минимальным расстоянием между ними, то можно считать, что массы точечные. Если M и m – сферические массы с радиально симметричным распределением плотности (это предположение в первом приближении справедливо для Солнца и планет), то можно сказать, что r – расстояние между центрами M и m, даже если r мало. То, что это действительно так, стало одним из первых результатов Ньютона, полученных с помощью разработанного им нового исчисления. Поместим M в начало системы координат и предположим, что M ≫ m; например, что речь идет о Солнце и любой планете или о Земле и любом ее искусственном спутнике. Последнее предположение позволяет игнорировать движение M по сравнению с движением m. Наконец, предположим, что M и m – шары с равномерным распределением плотности. Закон тяготения Ньютона на самом деле говорит не только о величине |F|. Он также утверждает, что эта сила радиальная, или центральная, т. е. действует вдоль прямой, соединяющей центры M и m. Более того, это сила притяжения, поэтому если M находится в начале координат, то на m действует сила, направленная в сторону начала координат. Все это дает нам право записать вектор силы F, действующей на m, в виде

Наличие множителя -eiθ единичной абсолютной величины обеспечивает как правильное значение |F|, так и правильное направление, т.  к. F направлена вдоль радиус-вектора z, но противоположна по направлению, что нам и нужно, поскольку тяготение – сила притяжения. Ньютоновская теория тяготения сообщает нам силу, с которой M действует на m. Ньютоновские законы движения говорят, как m будет реагировать на эту силу. Конкретно, F = ma, где a – определенный выше вектор ускорения m. Иначе говоря,

ЗАКОНы КЕПЛЕРА И ОРБИТы СПУТНИКОВ

165

Равенство F = ma имеет место, только если m ≠ m(t). Сам Ньютон в «Началах» сформулировал закон движения в более общем виде: сила равна производной импульса (или количества движения, в его терминологии) по времени; если m постоянно, то это сводится к F = ma. Переменная масса – не такое уж редкое явление, например ракета в течение всего времени взлета теряет массу. Но для планет, обращающихся вокруг Солнца, предположение о  неизменности m является вполне приемлемым приближением. Расчеты гравитации можно сильно упростить, приведя их к  поверхности M. Сила тяжести, действующая на массу m на поверхности, называется весом массы m. Эта сила, согласно закону движения Ньютона, равна mg, где g – ускорение силы тяжести; например, на поверхности Земли она равна 9,8 м/с2. Но закон тяготения Ньютона также дает величину этой силы, поэтому если R  – расстояние от поверхности M до центра M (в случае Земли это примерно 6371 км), то

Таким образом,

и, значит,

где, конечно, должно быть r > R, т. е. масса m не находится внутри массы M. Если положить k = gR2, то будем иметь

Но ранее мы узнали, чему равен вектор a ускорения массы m, поэтому имеем дифференциальное уравнение для массы m:

166

ГЛАВА 5. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

Выглядит оно, быть может, устрашающе, но решить его совсем нетрудно. Во-первых, приравнивая вещественные и мнимые части, получаем два отдельных дифференциальных уравнения:

и

Сосредоточимся на первом из них. Сначала умножим обе части на r:

а затем заметим, что это уравнение можно записать в виде

Это легко проверить прямым дифференцированием. Ну а последнее уравнение тривиально интегрируется, и мы получаем:

где c1 – произвольная постоянная интегрирования. Это не что иное, как второй закон Кеплера, утверждающий, что отрезок, соединяющий Солнце и планету, за равные промежутки времени заметает собой равные площади. В этом легко убедиться, потому что если масса m совершает поворот на бесконечно малый угол dθ за бесконечно малое время dt, то длина пройденной m дуги составит rdθ. Значение r можно считать неизменным на протяжении времени dt, поэтому дифференциал площади dA, заметенной отрезком длины r, соединяющим M и m, равен площади узкого треугольника: dA = ½(r)(rdθ) = ½r2dθ. Поделив обе части на dt, получим

ЗАКОНы КЕПЛЕРА И ОРБИТы СПУТНИКОВ

167

Таким образом, за равные промежутки времени заметаются равные площади. Если предположить, что m обращается по орбите против часовой стрелки, то dθ/dt > 0, поэтому c1 > 0. Далее я так и буду предполагать. Объединяя это уравнение с полученным ранее уравнением ускорения массы m, имеем

Это уравнение тоже тривиально интегрируется, и  получается

где C – произвольная постоянная интегрирования. Как вскоре станет ясно, удобно записать C в  виде ic2eiθ0, где c2 и  θ0 – вещественные неотрицательные постоянные, т. е.

Приравнивая это выражение для dz/dt тому, которое я  написал в самом начале нашего математического анализа, получаем

или, после деления на eiθ, которое никогда не обращается в нуль:

Как и раньше, заметим, что это на самом деле два дифференциальных уравнения, которые получаются, если приравнять вещественные и мнимые части по отдельности:

168

ГЛАВА 5. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

и

Вспоминая выведенную выше математическую формулировку закона Кеплера о площадях, имеем dθ/dt = c1/r2, поэтому второе уравнение принимает вид

и наконец-то мы получаем уравнение движения массы m по орбите в полярной форме:

Это уравнение описывает замкнутую периодическую эллиптическую орбиту вокруг массы M, находящейся в  начале координат, которое совпадает с одним из фокусов. То есть мы имеем первый закон Кеплера, если удовлетворяются некоторые условия. Чтобы понять, что это за условия, разберемся для начала с физическим смыслом θ0: когда угол θ = θ0, его косинус достигает максимального значения, поэтому r принимает минимальное значение (в предположении, что c1c2/k ³ 0, т.  е. c2 ³ 0), а это значит, что m находится на минимальном удалении от M. Это расстояние минимального удаления, называемое перигеем, если M – Земля, и перигелием, если M – Солнце, равно

Когда угол θ = θ0 + π, его косинус принимает минимальное значение, а значит, r – максимальное значение, т. е. m находится на максимальном удалении от M. Это расстояние мак-

ЗАКОНы КЕПЛЕРА И ОРБИТы СПУТНИКОВ

169

симального удаления, называемое апогеем, если M  – Земля, и афелием, если M – Солнце, равно

Мы всегда можем ориентировать систему координат, так чтобы минимальное удаление имело место, когда орбита пересекает вещественную ось, т.  е. без ограничения общности можно предположить, что θ0 = 0. Далее мы так и будем считать. Отметим, что если мы хотим получить замкнутую периодическую орбиту, то r должно быть конечным и, следовательно, c1c2/k < 1, иначе при некоторых значениях θ величина r может стать сколь угодно большой и (или) отрицательной. Величина c1c2/k = E называется эксцентриситетом эллиптической орбиты; очевидно, что при E = 0 эллипс вырождается в окружность. Точнее, орбита является коническим сечением с эксцентриситетом E: она будет эллипсом, если 0 < E < 1; параболой, если E = 1; и ветвью гиперболы, если E > 1. Мы знаем, что c1 > 0, поэтому для получения нулевого эксцентриситета должно быть c2 = 0. Если взглянуть на размерности c1 (расстояние2/время), c2 (расстояние/время) и k (расстояние3/время2), то становится ясно, что величина E безразмерная и  что c12/k  – расстояние. Чтобы понять, как я пришел к таким размерностям, взгляните на уравнения, в которых впервые появились c1, c2 и k, и сравните размерности в обеих частях. Идея анализа размерностей – действенное средство в  руках инженеров и  ученых. Подводя итог всем наблюдениям, мы можем написать:

Теперь можно вывести третий закон Кеплера. Для простоты предположим, что E = 0, т. е. орбита круговая. Тогда r = r0 и

Если обозначить T – период орбиты m, т. е. время, за которое угол θ изменяется от 0 до 2π, то

170

ГЛАВА 5. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

или

Это означает, что для круговой орбиты площадь периода обращения пропорциональна кубу радиуса орбиты. Коэффициент пропорциональности k в  выражении T2 зависит только от массы M (вспомните определения g и R), поэтому любая масса m, обращающаяся по круговой орбите радиуса r0, будет иметь один и тот же период обращения, т. е. если американский астронавт выйдет в открытый космос, то будет обращаться вокруг Земли синхронно с космическим кораблем, хотя его масса гораздо меньше массы корабля. Этот результат справедлив даже при E ≠ 0, но для вывода в этом более общем случае потребуется взять чуть более сложный интеграл

В главе 7 я покажу, как вычислить этот интеграл с помощью созданной Коши теории интегрирования по контуру на комплексной плоскости. Но если вам не терпится проверить третий закон Кеплера для E ≠ 0, то сообщу, чему равен этот интеграл: 2π/(1 - E2)3/2.

5.4. Когда и почему кажется, что некоторые планеты движутся вспять Если смотреть с Земли, то кажется, что другие планеты (древнегреческие астрономы знали пять: Меркурий, Венера, Марс, юпитер и Сатурн) периодически меняют направление движения по небосводу на противоположное. Древние астрономы «объясняли» эти таинственные попятные движения с помощью хрустальных сфер Птолемея, но на самом деле это лишь иллюзия, вызванная тем, что наблюдатель видит движение одного

КОГДА И ПОЧЕМУ КАЖЕТСЯ, ЧТО НЕКОТОРыЕ ПЛАНЕТы ДВИЖУТСЯ ВСПЯТь

171

тела (планеты), находясь на другом движущемся теле (Земле). Кеплер это знал и  первым качественно объяснил иллюзию, опираясь на наглядные диаграммы. Но благодаря комплексным экспоненциальным функциям легко понять, что происходит в действительности. И вот как это делается5. По определению период обращения Земли вокруг Солнца составляет один год. Также по определению среднее расстояние от Земли до Солнца, равное 150 000 000 км, составляет одну астрономическую единицу (а. е.). Итак, поместив Солнце в начало системы координат и  приняв в  качестве приближения, что орбита Земли круговая, мы можем записать радиус-вектор Земли в виде zSE = ei2πt. Заметим, что здесь также предполагается, что система координат выбрана так, что в момент t = 0 орбита Земли пересекает вещественную ось, как показано на рис. 5.3. Мнимая

Другая планета

zSP

zEP = zSP – zSE

Земля zSE Солнце

Рис. 5.3. Система координат, в которой Солнце неподвижно, а Земля обращается вокруг него

Вещественная

172

ГЛАВА 5. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

Теперь добавим вторую планету, находящуюся на расстоянии a от Солнца с периодом обращения 1/α (a и 1/α измеряются в астрономических единицах и земных годах соответственно). Если α > 1, то период обращения второй планеты меньше года, т. е. это одна из внутренних планет (Венера или Меркурий). Очевидно, что в этом случае a < 1. Для внешних планет ситуация столь же понятна: α < 1, a > 1. Все эти очевидные утверждения вытекают из третьего закона Кеплера, согласно которому

или a3α2 = 1. Заметим, что на рис. 5.3 сделано важное неявное предположение: орбиты Земли и другой планеты лежат в одной плоскости. Строго говоря, это неверно, но близко к истине. Орбитальные плоскости всех остальных планет Солнечной системы в действительности расположены под очень небольшим углом к орбите Земли. За исключением Плутона – многие астрономы полагают, что это не настоящая планета, а бывший спутник Нептуна, – орбитальные наклонения не больше, чем у Меркурия, – 7°. Линия, соединяющая Солнце с Землей, бесконечно много раз проходит через другую планету. Можно взять один из этих моментов за t = 0, т. е. выбрать систему координат, так что Солнце находится в  начале координат, а  Земля и  вторая планета одновременно пересекают положительную вещественную ось. Тогда радиус-вектор второй планеты записывается в виде zSP = aei2απt. Выбрав отрицательное α, мы могли бы смоделировать планету, которая обращается вокруг Солнца в направлении, противоположном Земле. Однако на самом деле все планеты обращаются в одном направлении, поэтому в общем случае α > 0. Если смотреть с Земли (геоцентрический подход), то радиусвектор другой планеты равен zEP = zSP - zSE = aei2απt - ei2πt = r(t)eiθ(t). Радиусы орбит Земли и  всех остальных планет постоянны в приближении круговых орбит, но, конечно, расстояние между Землей и другой планетой зависит от времени. Для наблюда-

КОГДА И ПОЧЕМУ КАЖЕТСЯ, ЧТО НЕКОТОРыЕ ПЛАНЕТы ДВИЖУТСЯ ВСПЯТь

173

теля, находящегося на Земле, эта переменность выглядит как изменение яркости. Кроме того, будет казаться, что планета движется по небосводу в одном направлении, если θ(t) всегда либо увеличивается, либо уменьшается. Но если θ(t) меняет направление изменения, т. е. dθ/dt меняет знак, то будет казаться, что другая планета начинает двигаться в обратном направлении. И вот это-то попятное движение нас и интересует. Посмотрим, что можно узнать о dθ/dt. Имеем ln(zEP) = ln(r) + iθ, поэтому

Таким образом, dθ/dt – мнимая часть (1/zEP)(dzEP/dt). Но

После несложных алгебраических преобразований получаем:

Если развернуть выражение в правой части по формуле Эйлера и оставить только мнимую часть, будем иметь:

Это выражение можно немного упростить, вспомнив, что, по третьему закону Кеплера, a(αa)2 = 1, или

Подставляя это в формулу выше, получаем:

174

ГЛАВА 5. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

Отметим, что знаменатель положителен для всех положительных a ≠ 1 (сможете это доказать?) и что dθ/dt меняет знак тогда и только тогда, когда меняет знак числитель. Это происходит в точках, где числитель обращается в нуль, т. е. dθ/dt меняет знак в корнях уравнения:

Иными словами, когда

Для любого a > 0 правая часть меньше или равна единице (сможете это доказать?), поэтому у уравнения всегда есть вещественные решения, а это означает, что любая планета при наблюдении с  Земли иногда совершает попятное движение. Последнее уравнение также позволяет вычислить, когда это происходит и как долго продолжается. Рассмотрим, например, Марс. Его период обращения равен 687 земным суткам, а  среднее расстояние от Солнца равно 228 000 000 км, поэтому а и α равны соответственно 0.53 и 1.52. Уравнение принимает вид cos{2π(0.47)t} = 0.958,

где, напомню, в момент t = 0 Марс, Земля и Солнце лежат на одной прямой. Следовательно, при t = 0 Земля находится между Солнцем и Марсом, эта ситуация называется противостоянием, потому что Солнце и Марс находятся по разные стороны от Земли. Первое решение уравнения дает t = 0.0985 земных года = 36 дней, это означает, что между нулевым и 36-м днем кажется, что Марс движется в  одном направлении, а  после 36-го дня – что направление сменилось на противоположное. Марс продолжит двигаться в новом направлении до следующего решения, t = 2.0295 земных года = 741 день, и в этот момент Марс снова сменит направление движения. Нетрудно проверить, что на протяжении более короткого периода dθ/dt < 0, т. е. это период попятного движения. В силу симметричности косинуса ясно, что Марс должен двигаться вспять и в течение 36 дней до момента t = 0. И так далее, т. е. примерно через каж-

КОМПЛЕКСНыЕ ЧИСЛА В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

175

дые два года Марс, согласно проделанным нами вычислениям, совершает попятное движение на протяжении 72 дней. Насколько это вычисление согласуется с наблюдаемым движением Марса? Задавшись этим вопросом, я заглянул в университетский учебник астрономии 6 и  нашел изображение орбиты Марса летом и осенью 1988 года. В это время Марс совершал попятное движение между 26 августа и 30 октября, т. е. 66 дней, а не 72, как мы посчитали. Как повысить точность расчета? Очевидно, что следующим шагом нужно было бы учесть, что орбиты Марса и Земли эллиптические, а не круговые. При такой более точной модели интервалы между периодами попятного движения перестанут быть постоянными, да и  сами периоды будут иметь разную продолжительность. И действительно, то и другое наблюдается на практике. Теперь перечитайте два последних раздела, и, я полагаю, вы удивитесь, как не устаю удивляться я сам, сколь много и с какой легкостью можно получить благодаря использованию комплексных экспоненциальных функций.

5.5. Комплексные числа в электротехнике Примечание. В этом и только в этом примере я не буду обозначать буквой i, которая зарезервирована для электрических токов. . Это согласуется с общепринятой в электроА буду писать j = технике практикой.

Теперь я  хочу представить задачу, которая оставалась загадкой до самого конца XIX века. Ей занимались такие могучие умы, как лорд Рэйли, лауреат Нобелевской премии по физике 1904 года. Рэйли, настоящее имя которого Джон Уильям Стретт (1842–1919), был одним из столпов английской науки, начиная с 1870 года и до самой смерти через полвека. Его гений оставил следы практически во всех разделах тогдашней физики. И тем не менее на заре изучения переменных электрических токов он столкнулся с ситуацией, которую назвал «странной». Впрочем, с помощью комплексных экспоненциальных функций разобраться в загадке Рэйли нетрудно – и именно так сам Рэйли сумел справиться с трудностями. Но сначала дадим краткий обзор необходимых сведений об электричестве. Двести лет назад бытовало популярное представление об электричестве как о некотором потоке таинствен-

176

ГЛАВА 5. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

ной природы, текущем по «трубам»-проводам (кстати, оно и сейчас встречается). Оливер Лодж (1851–1940), современник Рэйли, презрительно называл этот взгляд «канализационной теорией» электричества, но на самом деле для описания постоянного электрического тока – всем хорошо известного DC – в чисто резистивных цепях (вскоре я определю, что это такое) аналогия с жидкостью неплохо работает. Но для переменного (AC) тока она вообще не годится – это и имел в виду Лодж. Для некоторых материалов, например металлов и углерода, экспериментально установлено, что скорость прохождения электрического заряда сквозь материал прямо пропорциональна приложенному напряжению. На самом деле скорость и есть ток, что я поясню чуть ниже. Этот результат называется законом Ома в честь немецкого физика Георга Ома (1789– 1854), который впервые опубликовал его в 1827 году. Ом работал учителем в школе и надеялся, что это открытие проложит ему дорогу на университетскую кафедру. Так оно в конечном счете и случилось, но только после ожесточенных споров о научной ценности его работы. Конечно, сегодня любой мальчишка в возрасте девяти лет, который интересуется электрическими штучками, знает закон Ома и считает его очевидным. Но так было не всегда. На самом деле это даже не закон, как, например, в случае сохранения энергии, поскольку он применим далеко не ко всем материалам. Сейчас вы, наверное, подумали, что все это интересно, но хорошо бы точно знать, что такое заряд и  напряжение. С  зарядом проще. Как масса является свойством материи, лежащим в основе гравитационных эффектов (например, падения яблок), так электрический заряд – свойство материи, лежащее в  основе электрических эффектов (например, искры). Электрический заряд квантуется, т.  е. является целым кратным крохотного кванта заряда, а именно заряда электрона: заряд одного электрона равен 1.6´10-19 кулон – это единица измерения, названная в честь французского физика Шарля Кулона (1736–1806), открывшего закон (1785), который описывает негравитационную силу, действующую между двумя электрически заряженными предметами. Закон Кулона аналогичен закону обратного квадрата расстояния Ньютона для тяготения, только вместо m и M нужно подставить q и Q, а вместо гравитационной постоянной G ис-

КОМПЛЕКСНыЕ ЧИСЛА В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

177

пользовать другую постоянную. Как и в законе Ньютона, сила действует вдоль линии, соединяющей два заряда, но есть и одно существенное различие – массы всегда положительны (сила тяготения всегда притягивающая), тогда как электрические заряды могут быть как положительными, так и отрицательными, поэтому сила может быть притягивающей (если произведение qQ < 0) или отталкивающей (qQ > 0). Еще одно следствие наличия знака у электрического заряда состоит в том, что даже если материал в целом электрически нейтрален, он все равно под завязку набит электричеством – одинаковым количеством положительных и отрицательных зарядов, взаимно уничтожающих проявление эффектов друг друга. Движение зарядов создает ток. Если имеет место движение зарядов по проводнику – в металлах носителями заряда являются электроны, присутствующие в поистине огромных количествах, – то говорят, что через поперечное сечение проводника проходит ток силой один ампер, если каждую секунду через это поперечное сечение переносится заряд величиной один кулон. Единица электрического тока названа в честь французского физика и математика Андре-Мари Ампера (1775–1836), который изучал магнитные поля, порождаемые электрическими токами, – они будут играть важную роль в нашем примере. Ток силой один ампер нельзя назвать ни большим, ни маленьким. Электрические токи в  таких распространенных устройствах, как радиоприемники и домашние компьютеры, как правило, меньше одного ампера, тогда как ток, вырабатываемый автомобильным аккумулятором в те несколько секунд, когда работает стартер, вполне может превышать несколько сотен ампер. А теперь главный вопрос. Что заставляет заряды двигаться? Электрическое поле. Я не буду подробно развивать эту идею, скажу только, что такие поля возникают между клеммами аккумулятора или электрического генератора. Напряжение, или разность потенциалов между клеммами, и есть то, что создает электрическое поле в проводнике, и именно поле заставляет двигаться электроны, переносящие заряд (чуть ниже я вернусь к этому моменту), а движущиеся заряды – это и есть ток. Если ток уподобить воде, текущей в канализационной трубе, то напряжение будет аналогично давлению. Стандартная батарейка для фонарика создает разность потенциалов 1.5 В, а  генера-

178

ГЛАВА 5. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

торы могут порождать напряжение в  широком диапазоне от нескольких вольт до многих тысяч вольт. Например, пущенная в  1936 году на реке Колорадо близ Лас-Вегаса плотина Гувера поставляла в Лос-Анджелес электроэнергию напряжением 275  000 В. Единица измерения напряжения названа в  честь итальянского физика Алессандро Вольта (1745–1827), который сконструировал первую батарею в 1800 году. Простейшие электрические цепи содержат только резисторы – электрическую деталь, которая обычно изготовлена из углерода в форме небольшого цилиндра, с обеих сторон которого находятся провода, подсоединяемые к другим деталям. Формально резистор определяется как любое устройство, подчиняющееся соотношению v = iR, т. е. закону Ома, где v – мгновенная разность потенциалов между двумя клеммами, i – мгновенный ток через резистор, а  R  – сопротивление резистора, измеряемое в омах, если v и i измерены соответственно в вольтах и амперах. В электрических цепях часто встречаются еще два вида деталей: конденсаторы и индуктивности. Они подчиняются соотношениям, показанным на рис. 5.4, где C и L – значения, измеряемые соответственно в фарадах и генри. На рисунке также приведены символы, которыми эти детали обозначаются на электрических схемах. Как именно устроены эти детали физически, нам сейчас не важно – интересны только их математические определения. Единицы измерения названы в честь американского физика Джозефа Генри (1797–1878) и английского химика и  физика Майкла Фарадея (1791–1867). Связь между током и напряжением для разных элементов позволяет физически интерпретировать фразы «конденсатор емкостью 20 микрофарад» (20´10-6 Ф) или «индуктивность 500 миллигенри» (500´10-3 Гн). Первая означает, что электрический прибор обладает свойством проводить ток силой 20 ампер в некоторый момент времени, если в этот момент падение напряжения на клеммах прибора изменяется со скоростью один миллион вольт в секунду; в некоторых приборах такая высокая скорость изменения вовсе не является чем-то необычным в течение очень коротких промежутков времени. Вторая означает, что электрический прибор обладает свойством генерировать разность потенциалов между клеммами один вольт, если протекающий через него ток изменяется со скоростью два ампера в секунду.

КОМПЛЕКСНыЕ ЧИСЛА В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

R + v v = iR

C i

–

L

+

i

v i=C

179

dv dt

–

+

i

v i=L

–

di dt

Рис. 5.4. Три стандартные детали, встречающиеся в электрических цепях

Говоря о рис. 5.4, важно отметить, что ток i течет в направлении падения напряжения, т. е. от клеммы 1 к клемме 2. Терминология плюс-минус может ввести в заблуждение, потому что эти символы с математическим плюсом и минусом никак не связаны. Просто напряжение на клемме 1 больше, чем на клемме 2. Обе клеммы могут на самом деле быть положительными, если сравнивать с неким стандартным эталоном, который обычно называется землей и  может быть действительно напряжением на поверхности Земли. Например, напряжение может быть равно +7 и +3 В, и тогда мы будем обозначать клемму с напряжением +7 В как 1, а клемму с напряжением +3 В – как 2. Падение напряжения при переходе от 1 к 2 составляет +4 В (а нарастание напряжения при переходе от 2 к 1 составляет -4 В). И последнее замечание об электрических полях и  движении заряда. Электрическое и магнитное поле – это векторные поля, потому что в каждой точке пространства они обладают величиной и направлением. Электрическое поле направлено в сторону падения напряжения, т. е. от клеммы 1 к клемме 2. На массу m, несущую положительный электрический заряд, действует сила в  направлении поля, поэтому, согласно закону Ньютона F = ma, она будет двигаться в этом направлении. Это согласуется с  правилом «одноименные заряды отталкиваются»; положительный заряд на клемме 1 будет двигаться в сторону клеммы 2, потому что он отталкивается. Таким образом, в электрических схемах электроны проводимости, обладающие отрицательным зарядом, фактически двигаются в противоположном направлении, против поля – от клеммы 2 к  клемме 1. Не сомневаюсь, что вам все это кажется бредом сумасшедшего – и многие студенты электротехнических вузов согласились бы с такой оценкой, – но если внимательно поразмыслить о происходящем, то все станет на свои места.

180

ГЛАВА 5. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

Осталось еще две вещи, которые я  должен рассказать об электричестве, а потом мы будем готовы рассмотреть загадку Рэйли. Анализируя любую электрическую цепь, физики и инженеры-электротехники пользуются двумя законами, названными в честь немецкого физика Густава Кирхгофа (1824–1887). По сути дела, это фундаментальные законы сохранения энергии и электрического заряда – заряд и энергия никогда не создаются и не уничтожаются – в применении к частному случаю электрических цепей. Эти законы, иллюстрируемые на рис. 5.5, формулируются просто.

i1

L i3 C i2 v3 R

–

+

+ v2 L –

+

С v1

–

Рис. 5.5. Два закона Кирхгофа в электрических цепях

КОМПЛЕКСНыЕ ЧИСЛА В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

181

Правило напряжений: в любой цепи в любой момент времени алгебраическая сумма падений напряжений на элементах, образующих замкнутый контур, равна нулю. Правило токов: в  любой момент времени алгебраическая сумма токов, сходящихся в  каждом узле любой цепи, равна нулю. Иначе говоря, сумма всех входящих в узел токов равна сумме всех исходящих из него токов. Законы Кирхгофа очень полезны и, как мы увидим, неоценимы при решении задачи Рэйли. В цепях, состоящих только из резисторов и батарей, эти законы согласуются с интуитивными представлениями. Но в цепях переменного тока, содержащих конденсаторы и (или) индуктивности, интуиция часто отказывает. В таких случаях законы верны, а интуиция – нет! Например, рассмотрим цепь на рис. 5.6. Напряжение 1.5 В, создаваемое батареей, присутствует в обеих ветвях в правой части цепи. По правилу токов Кирхгофа I = I1 + I2. По закону Ома для четырех резисторов имеем: Vab = падение напряжения на участке от a до b = 0.25I1, Vbd = 1.25I1, Vac = 1.25I2, Vcd = 1.75I2. И наконец, по правилу напряжений: 1.5 = Vab + Vbd = 1.5I1, 1.5 = Vac + Vcd = 3I2. Таким образом, I1 = 1 А  и I2 = 0.5 А, следовательно, через батарею течет ток I = 1.5 А. Быть может, мне и не стоило этого говорить, но обратите внимание, что и  I1, и  I2 меньше I. Разумеется, скажете вы, ведь мы же получаем I сложением I1 и I2. Запомните эту мысль. Вот теперь мы, наконец, готовы перейти к  загадке Рэйли. Для этого понадобится дополнить простую схему на рис. 5.6. Новая схема показана на рис. 5.7, в нее включены все три вида электрических деталей, а  батарея заменена генератором напряжения переменного тока, работающим на угловой частоте ω, измеряемой в радианах в секунду. Это значит, что если v(t) – синусоидальное напряжение максимальной амплитуды V В, то можно написать v(t) = Vcos(ωt). Один полный период

182

ГЛАВА 5. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

изменения напряжения v(t), или один период колебаний, соответствует изменению ωt от 0 до 2π. Следовательно, для одного цикла колебаний требуется время 2π/ω с. Иначе говоря, за одну секунду совершается 1/(2π/ω) = ω/2π периодов, эту величину инженеры называют частотой и  обозначают f, т.  е. ω = 2πf. Единицей измерения частоты много лет считалось количество периодов в  секунду. Сейчас она называется герц в  честь немецкого физика Генриха Герца (1857–1894), который экспериментально открыл электромагнитное излучение всего за несколько лет до своей преждевременной кончины. По линиям электропередач в  обычные домовладения подается электроэнергия с частотой 60 Гц, в AM-радиовещании используются частоты от 535 000 до 1 635 000 Гц. I + a 0.25 Ом Всегда готова

–

1.5 В

1.25 Ом

I2

I1

b

c

1.75 Ом

1.75 Ом d

Рис. 5.6. Простая схема резистора

Три кружочка, обозначенных на рис. 5.7 M, M1 и M2, представляют измерители тока, стрелка прибора указывает текущую силу тока на шкале. Такие измерители были изобретены в  1882 г. французским биофизиком Арсеном Д’Арсонвалем (1851–1940), которому нужен был прибор для измерения очень слабых электрических токов в  мышечной ткани животных и  человека. В  этих приборах, называемых гальванометрами Д’Арсонваля с подвижной катушкой, используется магнитное поле, генерируемое током, текущим по проводу. Теоретически идея очень простая, но для воплощения ее в жизнь необходима

183

КОМПЛЕКСНыЕ ЧИСЛА В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

точность исполнения. Проволочная катушка помещена в магнитное поле, создаваемое постоянным магнитом, и укреплена на осях с очень низким трением. Измеряемый ток проходит через катушку, а его магнитное поле, взаимодействуя с постоянным полем, порождает силу. Механически прибор устроен так, что сила создает момент, вращающий катушку, которая перемещает прикрепленную к ней стрелку. Сила или момент прямо пропорциональны мгновенному току в катушке. Если ток постоянный или изменяется медленно, то катушка и стрелка успевают за током. Если же ток изменяется очень резко, то механическая инерция катушки сглаживает колебания, поэтому прибор показывает среднее значение тока. Для измерения переменного тока такой прибор, конечно, бесполезен, потому что среднее значение тока равно нулю. i M + v

a

– R C

b

i1

i2

R c L

M1 d

M2

Рис. 5.7. Загадка Рэйли о разделении тока

Но если несколько изменить конструкцию прибора, то эту проблему можно решить. Постоянный магнит заменяется электромагнитом, т.  е. добавляется вторая катушка с тем же сердечником, которая концентрирует и усиливает магнитное поле, создаваемое измеряемым током. Ток, как и раньше, течет во вращающейся катушке. Оба магнитных поля теперь вмес-

184

ГЛАВА 5. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

те реагируют на переменный ток. Мгновенный момент, как и раньше, пропорционален произведению полей, т. е. квадрату силы тока, поэтому при «высокой» частоте отклонение стрелки пропорционально среднему квадрату тока, а эта величина отлична от нуля даже для переменного тока. Теперь я, как и  для простой цепи из батареи и  резистора на рис. 5.6, вычислю токи i1 и  i2 на рис. 5.7. Мы, как и  Рэйли в 1869 году, обнаружим, что хотя i = i1 + i2, как того и требует правило токов Кирхгофа, тем не менее может случиться, что каждый из отдельных токов i1 и  i2 больше i! То есть стрелки измерителей M1 и  M2 могут показывать большие величины, чем стрелка измерителя M. Рэйли разобрался в том, что происходит (он пользовался комплексными экспоненциальными функциями почти так же, как собираюсь сделать я), но прошло немало времени, прежде чем средний инженер-электротехник с улицы смог смириться с этим интуитивно далеко не очевидным феноменом. Рэйли анализировал не совсем ту схему, что изображена на рис. 5.7, да и мои выкладки не в точности повторяют то, что сделал он. Но различия несущественны. Для схемы на рис. 5.7 мы можем выписать следующие уравнения, основанные на законах Кирхгофа и определениях резисторов, конденсаторов и индуктивностей:

Дифференцируя последнее уравнение и пользуясь выражением для i1, получаем

В сочетании с

КОМПЛЕКСНыЕ ЧИСЛА В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

185

это дает нам два дифференциальных уравнения, по одному для каждого из токов i1 и i2. Если предположить, что v имеет форму синусоиды, то с  помощью комплексных экспоненциальных функций решить эти дифференциальные уравнения не составит труда. Предположим, что для двух разных v (скажем, vx и vy) нам известны решения для i1 (скажем, i1x и i1y). Тогда прямая подстановка в дифференциальное уравнение для i1 позволяет сделать вывод, что решением при v = vx + vy является просто i1 = i1x + i1y. То же самое верно для i2. Это наблюдение очень важно для дальнейшего. В частности, оно позволяет написать: v(t) = 2Vcos(ωt) = Vejωt + Ve-jωt, где множитель 2 включен, чтобы не тащить за собой ½ через все последующие уравнения. Так как ejθ представляет вектор в комплексной плоскости, образующий угол θ с вещественной осью, то ejωt – вектор, образующий угол ωt, который постоянно увеличивается со временем t, потому что ω > 0. Таким образом, ejωt – вращающийся вектор, и вращается он против часовой стрелки с положительной частотой ω/2π Гц. Аналогично e-jωt – вектор, вращающийся по часовой стрелке с  такой же частотой. Инженеры-электротехники часто записывают это в виде ej(-ωt) = , где = -ω < 0, т. е. e-jωt – вектор, вращающийся против часовой стрелки с отрицательной частотой. Теперь я вычислю i1 и i2 только для первого члена v(t), т. е. для Vejωt, и обозначу полученные результаты i1+ и i2+. Затем я повторю этот анализ для второго члена Ve-jωt и обозначу результаты i1- и  i2-. После этого воспользуюсь наблюдением, сделанным в начале предыдущего абзаца, согласно которому решениями уравнения v(t) = 2Vcos(ωt) будут i1 = i1+ + i1-, i2 = i2+ + i2-. Кажется разумным предположить, что если v+ = Vejωt, то = I1+ejωt и i2+ = I2+ejωt, где I1+ и I2+ – постоянные. Подстановка v , i1+ и i2+ в оба дифференциальных уравнения дает

i1+ +

186

ГЛАВА 5. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

или, после сокращения общих множителей ejωt, присутствующих в каждом члене:

Иначе это можно записать в виде:

Повторив те же действия для v- = Ve-jωt с i1- = I1-e-jωt и i2- = без труда получаем, что

I2-e-jωt,

Таким образом, токи i1 и i2 для v(t) = 2Vcos(ωt) равны

и

Оба выражения для i1 и  i2 выглядят комплексными, потому что содержат множители j = , но на самом деле они чисто вещественные. Тому есть две причины: физическая и  математическая. Физическая заключается в  том, что если мы прикладываем вещественное напряжение v(t) = 2Vcos(ωt) к цепи, состоящей из вещественных (т. е. физически реализуе-

КОМПЛЕКСНыЕ ЧИСЛА В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

187

мых) элементов, то все результирующие токи и напряжения, разумеется, должны быть вещественными. Да и вообще – что такое комплексный ток? Математически же заметим, что i1 и  i2 – суммы двух комплексно-сопряженных величин. Такая сумма равна удвоенной вещественной части (одинаковой в обоих слагаемых). Так как i1 и i2 – токи при v(t) = 2Vcos(ωt), то токи при v(t) = Vcos(ωt) в два раза меньше, и мы получаем

После элементарных алгебраических преобразований, которые я оставляю вам, получаем такие выражения:

Для постоянных a и b имеет место тригонометрическое тождество

поэтому токи i1 и i2 равны [при v(t) = Vcos(ωt)]

Таким образом, i1 и i2 – синусоидальные токи, для которых квадраты максимумов I12 и I22 соответственно равны

188

ГЛАВА 5. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

Мы возвели i1 и i2 в квадрат, потому что именно эти величины показывает гальванометр Д’Арсонваля. Предположим теперь, что задана частота ω. Точнее, предположим, что ω = 1/ . Легко показать, что

Следовательно, при этой конкретной частоте ω = 1/ лученные выше результаты для I12 и I22 принимают вид:

по-

и отсюда получаем, что при ω = 1/ квадрат максимальной величины тока i, обозначаемый I2, равен

КОМПЛЕКСНыЕ ЧИСЛА В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

189

Из этих выражений легко видеть, что I 2 < I12 = I22, когда L/(R2C) > 3. То есть при этом условии (и при ω = 1/ ) измеритель M на рис. 5.7 покажет величину, меньшую, чем измерители M1 и M2, хотя ток, проходящий через M, делится на токи, проходящие через M1 и M2. Прошло немало времени, прежде чем инженеры-электротехники привыкли к таким интуитивно неочевидным результатам, именно поэтому считалось, что цепи переменного тока чем-то принципиально отличаются от цепей постоянного тока, питающихся от батареи. На самом деле все цепи подчиняются одним и тем же физическим и математическим законам, и прорыв в понимании этого наступил в 1893 году. В тот год Чарльз Штейнмец (1865–1923) представил на Международном электротехническом конгрессе в  Чикаго доклад под названием «Комплексные величины и их использование в электротехнике». Этот доклад Штейнмец начал такими словами: Мы все чаще используем комплексные величины вместо синусов и косинусов и обнаруживаем у них важные преимущества при расчете различных задач, связанных с  переменными токами, а также в физике вообще. Все, что делается в этом направлении, делается во благо науки.

Штейнмец, который всего пять лет назад уехал из Германии буквально посередь ночи, чтобы избежать ареста за свои социалистические убеждения, почти закончил работу над докторской диссертацией по математике. Сочетание познаний в  современной математике с  инженерным гением было редкостью в  XIX  веке. Он быстро привлек внимание компании «Дженерал Электрик», где и проработал всю оставшуюся жизнь, обучая инженеров-электротехников применять всю мощь комплексных чисел для достижения технического прогресса. В конечном итоге он получил известность как «мудрец, генерирующий электричество из квадратного корня из минус единицы». И в заключение этой главы я хотел бы продемонстрировать применение , до которого Штейнмец не дожил, но которое и в самом деле генерирует электрический сигнал особого вида из .

190

ГЛАВА 5. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

5.6. Знаменитая электронная схема, которая работает благодаря -1 Квадратным блоком на рис. 5.8 с  буквой A внутри представлен усилитель  – электронное устройство, которое порождает на правой паре клемм (v) выходное напряжение, которое в A раз больше входного напряжения на левой паре клемм (u). Здесь A называется коэффициентом усиления напряжения. Детали конструкции такого устройства нам не важны. А  важно то, что усилители существуют и не так уж сложны в изготовлении. В качестве базового предположения примем, что наш усилитель потребляет на входе так мало тока, что можно считать, что его нет вовсе. Это идеальное предположение близко к реальным усилителям, которые могут работать от входного тока, составляющего жалкие миллиардные доли ампера. Чтобы усилитель усиливал, конечно, должно выполняться условие |A| > 1, но в  простейшей форме проще и  дешевле добиться его выполнения при A < 0, чем при A > 0. А теперь перейдем к делу. C

v Нулевой ток

x

i A 0 описывает, что именно резисторы и конденсаторы делают с амплитудой μ, а функция ϕ(ω) называется углом сдвига фазы. Я записал G и ϕ в виде функций от ω, потому что в общем случае изменение действительно зависит от частоты. Далее предположим, что имеется конкретная частота ω = ω0 такая, что ϕ(ω0) = π. Тогда u(ω0) = -|A|μG(ω0)cos(ω0t + π) = |A|μG(ω0)cos(ω0t). И наконец, предположим, что наш усилитель обладает тем свойством, что |A| настолько велико, что |A|G(ω0) = 1, т. е. |A| = 1/G(ω0). Тогда u = μ cos(ω0t). Но ведь это в точности то же напряжение, которое, как мы в самом начале предположили, подается на вход усилителя! То есть напряжение на частоте ω0 самоподдерживается во всем контуре. Все прочие

192

ГЛАВА 5. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

напряжения на всех частотах обойдут контур, вернутся не совпадающими по фазе и взаимно сократятся, т. е. самоподдерживающимися не являются. И лишь на частоте ω = ω0 имеет место самоподдерживающийся процесс. Таким образом, эта схема генерирует напряжение, являющееся синусоидальным на частоте ω0, т. е. она осциллирует на заданной частоте. Так в  начале XX века была изобретена электронная радиолампа, с помощью которой стало возможно сконструировать так называемые генераторы с обратной связью, легшие в основу современной радиосвязи7. Конечно, все это сказано, только чтобы возбудить интерес, это еще не анализ. Инженер-электротехник потребовал бы подкрепить все это математикой – например, что вообще такое ω0? – и именно этим я далее и займусь. Ключ к пониманию происходящего дает функция G(ω0) части схемы, содержащей резисторы и конденсаторы, поэтому давайте выпишем уравнения, описывающие эту часть. Применяя обозначения на рис. 5.8, иллюстрирующем законы Кирхгофа, а также соотношения между током и  напряжением на резисторах и  конденсаторах, имеем следующую систему уравнений:

Имея восемь уравнений с  девятью неизвестными, мы можем найти отношение любых двух, а особый интерес для нас представляет отношение u/v. Можно было бы исключить из этой системы все неизвестные, кроме u и v. Это нетрудно, но довольно муторно, поэтому я сразу приведу ответ и призываю вас его проверить:

Чтобы понять, о чем может рассказать это дифференциальное уравнение третьего порядка, воспользуемся старым трюком и сначала напишем u+ = U+ejωt и v+ = V+ejωt. Подставив эти выражения в дифференциальное уравнение, получим

ЗНАМЕНИТАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ СХЕМА, КОТОРАЯ РАБОТАЕТ БЛАГОДАРЯ –1

193

Далее напишем u- = U-e-jωt и v- = V-e-jωt, подставим и найдем

Заметим, что оба отношения чисто вещественные, если вещественные части обоих знаменателей равны нулю, т. е. если в обоих случаях ω = , где Для этой конкретной частоты имеем

и аналогично при ω = Хорошенько осмыслите эти результаты. При ω = вещественная и мнимая части u в точности равны -1/29 вещественной и мнимой частей v соответственно. Таким образом, если + ) подается на вещественное напряжение 2cos( t) = ( вход цепи, содержащей резисторы и конденсаторы, слева, то на выходе справа мы получим напряжение -2/29cos( t). Если усилитель сконструирован так, что A = -29, то его выходное

194

ГЛАВА 5. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ

напряжение самоподдерживается при ω = . Следовательно, ω0 = . Заметим также, что значение ω0 определяется значениями R и (или) C, поэтому, изменяя сразу все три одинаковых конденсатора или все три одинаковых резистора с помощью общей механической связи, мы можем настраивать схему, так чтобы она осциллировала на любой желаемой частоте в широком спектре частот, обычно от менее одного герца до частоты порядка мегагерц. Например, физически разумные значения R = 26 000 Ом и C = 0.001 мкФ дают частоту f0 = ω0/2π = 2500 Гц, находящуюся как раз в середине диапазона частот, воспринимаемых большинством взрослых людей. Эта конкретная схема генератора с обратной связью называется генератором с фазовым сдвигом, она легла в основу первого изделия, разработанного в конце 1930-х годов двумя юными выпускниками факультета электротехники Стэнфордского университета, Уильямом Хьюлеттом и  Дэвидом Паккардом. Они использовали ее для генератора звуковых сигналов переменной частоты, который продали Уолту Диснею, а тот применил их для создания звуковых эффектов в своем классическом фильме «Фантазия», вышедшем в  1940 году. В  наши дни эта схема так хорошо известна, что часто используется в качестве основы для лабораторных экспериментов в вузах. Сам я сейчас преподаю две части трехлетнего лабораторного практикума по электротехнике в  университете Нью-Гэмпшир, и  в  одном из экспериментов студенты должны сравнить теоретический расчет (подобный приведенному выше) с  измерениями на реальном действующем генераторе. Результаты согласуются с точностью до нескольких процентов.

ГЛАВА 6

Математики-кудесники

6.1. Леонард Эйлер Сегодня вошло в  обычай считать началом современной теории комплексных чисел появление статьи Весселя, но на самом деле многие свойства стали понятны задолго до Весселя. Швейцарский математик Леонард Эйлер (1707–1783), например, знал о связи экспоненциальной функции с комплексными числами. Сын деревенского пастора, он поначалу учился на священника в  Базельском университете и  в  семнадцать лет окончил теологический факультет. Но вскоре страстью его жизни стала математика. Он сохранил набожность, но никогда не было никакого сомнения в том, что прежде всего он математик. Ничто не могло помешать ему заниматься математикой, даже слепота, которой он страдал последние семнадцать лет жизни. У  Эйлера была поразительная память – говорят, что «Энеиду» он знал наизусть,  – поэтому, потеряв зрение, он просто производил чудовищно сложные вычисления в  уме. Среди современников он был известен как «воплощенный анализ». Через много лет после его смерти французский астроном XIX  века Доминик Араго писал о  нем: «Эйлер вычислял без всякого видимого усилия, как человек дышит или как орел парит над землей». Когда он умер, оказалось, что он создал больше блестящих математических работ, чем любой другой математик, и это достижение до сих пор остается непревзойденным. В Базельском университете Эйлер учился математике у Иоганна Бернулли (1667–1748) и подружился с его сыновьями, Николаем и Даниилом, которые тоже стали математиками. Будучи на несколько лет старше Эйлера, они скоро признали его талант, а когда в 1725 году переехали работать в Импера-

196

ГЛАВА 6. МАТЕМАТИКИ-КУДЕСНИКИ

торскую Российскую академию наук в Санкт-Петербурге, начали подыскивать место и для него. Николай умер в 1726 году, но Даниил не оставил усилий, и в 1727-м Эйлер тоже прибыл в Россию. В этот первый из двух периодов пребывания в России он добился огромных успехов и уже через несколько лет (в 1731 году) стал профессором академии. За несколько дней до того, как Эйлер ступил на российскую землю, умерла царица Екатерина I (вдова Петра Великого), и на престол вступил двенадцатилетний мальчик. Власть перешла к  регентам, которые не испытывали теплых чувств к дорогой и излишне просвещенной Академии, которая считалась сборищем ученых иностранцев, вмешивающихся в российскую культуру. Без сомнения, Эйлеру это место казалось не слишком гостеприимным. Когда прусский король Фридрих Великий предложил Эйлеру оставить Российскую академию и занять аналогичную должность в Берлинской академии, тот с радостью принял приглашение и оставался в Берлине с 1741 по 1766 год. Он покинул Берлин через четыре года после восшествия на российский престол Екатерины Великой, когда интеллектуальный климат снова стал благоприятным (и Эйлеру было дозволено самому написать щедрый договор), а личные отношения с Фридрихом сильно ухудшились. Так Эйлер вернулся в  Санкт-Петербург, где и  жил до скоропостижной кончины от апоплексического удара, настигшего его, когда он занимался любимым делом – математикой.

6.2. Тождество Эйлера В письме от 18 октября 1740 года своему бывшему учителю Иоганну Бернулли Эйлер утверждал, что решение дифференциального уравнения

(где штрихом обозначена операция дифференцирования) можно записать двумя способами:

ТОЖДЕСТВО ЭйЛЕРА

197

Истинность этого утверждения легко проверить, просто подставив оба решения в дифференциальное уравнение и вычислив y(x) при заданных начальных условиях в точке x = 0. Тогда Эйлер сделал вывод, что эти два выражения, которые на первый взгляд так различны, в действительности равны, т. е. 2cos(x) = eix + e-ix. Из того же письмо ясно, что Эйлеру было известно также, что 2i sin(x) = eix - e-ix. Через год после этого письма Бернулли Эйлер написал другое письмо (датированное 9 декабря 1741 года) немецкому математику Христиану Гольдбаху, в котором отметил приближенное равенство

Действительно, применив описанный во врезке 3.2 подход, легко показать, что левая часть равна cos(ln 2), а эта величина отличается от 10/13, начиная с шестого знака после запятой – только гений или мистик мог обратить внимание на такое совпадение, а уж мистиком-то Эйлер точно не был! Но я знаю об одном математике, который определенно обладал некоторыми качествами мистика и  был очарован таинственным видом математических символов в  уравнениях Эйлера. Это родившийся в Польше и позже принявший французское гражданство юзеф Мария Хёне-Вроньский (1776– 1853). Как-то он написал, что число π можно записать в виде такого поразительного выражения:

Что он при этом имел в виду? Статья о Вроньском в «Словаре научных биографий» содержит слова «психопатический» и «ненормальный», а также замечает, что у него был «беспокойный и поврежденный ум», но если заменить все символы бесконечности на n, записать (1 ± i) в  полярной форме, т.  е. в виде e±iπ/4, раскрыть комплексные экспоненты по формуле Эйлера и, наконец, устремить n к бесконечности, то странное

198

ГЛАВА 6. МАТЕМАТИКИ-КУДЕСНИКИ

выражение Вроньского становится равным 2π. (Не π, как заявлял Вроньский, но, быть может, он думал, что самая левая бесконечность порождается подстановкой ½n, а не просто n – кто теперь может сказать, о чем думал этот тронутый мыслитель1?) Наконец, в 1748 году Эйлер опубликовал явную формулу e±ix = cos(x) ± i sin(x) в своей книге «Введение в анализ бесконечно малых». Математикам, инженерам-электротехникам и физикам она сегодня известна как тождество Эйлера, но, как мы скоро увидим, Эйлер был не первым, кто ее вывел и опубликовал. Уверенность Эйлера в истинности этого поразительного выражения подкреплялась его знанием о разложении ey в степенной ряд:

Полагая y = ix, получаем

Признаю, что, подставляя вместо y мнимую величину, я весьма бесшабашно обращаюсь с этим разложением ey, полученным для вещественного y. Я  полностью игнорирую вопрос о сходимости. Но поступаю так, потому что этот вопрос детально рассмотрен в  любом хорошем учебнике математического анализа, где показано, что ряд сходится для любого z, в т. ч. комплексного, а я не хочу превращать эту книгу в учебник. Будьте покойны, все ряды, которые встречаются в книге и трактуются как сходящиеся, действительно сходятся. Собирая вещественную и мнимую части, получаем:

Но выражения в  скобках представляют собой разложения cos(x) и sin(x) в степенной ряд (они были известны математикам по меньшей мере со времен Ньютона), поэтому мы получили новый способ вывода тождества Эйлера. Кстати говоря,

ТОЖДЕСТВО ЭйЛЕРА

199

разложение синуса в  ряд доказывает утверждение, которое я просил вас принять на веру в разделе 3.2. Имеем:

поэтому, полагая x = (1/2n)θ, находим:

как и было заявлено. Разложение ey в  ряд Бернулли и  Эйлер использовали для сногсшибательных вычислений. Например, в 1697 году Иоганн Бернулли воспользовался им, чтобы вычислить неприступный, на первый взгляд, интеграл

. Вот как он это сделал. Сна-

чала, применив прием, которым я  пользовался во врезке 3.2 для вычисления (1 + i)1+i, он написал xx = eln(xx) = ex ln(x), а затем положил y = x ln(x). Тогда разложение в степенной ряд дает

С помощью интегрирования по частям легко доказать, что

– результат, к которому нетрудно прийти, вспомнив или посмотрев в справочнике, что limx→0 x ln x = 0. Отсюда сразу следует, что

200

ГЛАВА 6. МАТЕМАТИКИ-КУДЕСНИКИ

6.3. Эйлер делает себе имя Интеграл Бернулли был блестящим примером вычисления, но его бывший ученик Эйлер далеко превзошел это достижение, воспользовавшись разложением в ряд sin(y), мнимой части eiy, для получения результата, который до сих пор считается шедевром изобретательности. Он всего-то решил задачу, которая ставила в  тупик математиков на протяжении многих веков! А заодно ввел в обиход новую функцию, которая сегодня называется дзета-функцией и стоит за величайшей нерешенной задачей теории чисел, а быть может, и всей математики. И так было еще до того, как в  1995 году была наконец повержена великая теорема Ферма. Объясню, что он сделал. Старая математическая задача заключалась в  суммировании бесконечного ряда обратных степеней целых положительных чисел, т. е. в вычислении суммы

Примерно с 1350 года было известно, что при p = 1 так называемый гармонический ряд расходится, этот результат впервые доказал средневековый французский математик и  философ Николай Орем (1320–1382). Расходимость S1 для большинства оказывается неожиданностью, но доказательство Орема восхищает своей простотой. Нужно лишь записать S1 в виде

а затем заменить каждый член в каждой группе в правой части наименьшим в этой группе слагаемым (последним); заметим, что это слагаемое всегда имеет вид 1/2m, где m – целое число. При этом мы получаем нижнюю границу S1, то есть

ЭйЛЕР ДЕЛАЕТ СЕБЕ ИМЯ

201

Иными словами, нижняя граница S1 состоит из бесконечного числа слагаемых ½, а это означает, что нижняя граница расходится. Но тогда должен расходиться и сам ряд S1. Правда, расходится этот ряд очень медленно. Например, чтобы частичная сумма S1 превысила 15, потребуется более 1.6 млн членов; после 10 млрд членов частичная сумма едва составит 23.6, а  чтобы достичь 100, понадобится свыше 1.5´1043  членов. Наконец, поскольку этот факт касается Эйлера, сообщу, что в  1731 году он обнаружил, что если S1(n)  – n-я частичная сумма S1, то limn→¥{S1(n) - ln(n)} сходится к числу γ, которое теперь называется постоянной Эйлера и  равно γ = 0.577215664901532.... После π и e число γ, пожалуй, является самой важной математической постоянной, не встречающейся в  элементарной арифметике. В  1735 году Эйлер вычислил γ с точностью до 15 знаков после запятой, а в наше время вычислено много тысяч знаков. Существует элегантный способ выразить γ в  терминах Sp, пользуясь разложением ln(1 + z) в степенной ряд. Это разложение легко выводится для всех вещественных z таких, что -1 < z < 1, как то сделал датский математик Николас Меркатор (1619–1687) в книге Logarithmotechnia, вышедшей в 1668 году. Запишем 1/(1 - z) = 1 - z + z2 - z3 + z4 - …, что легко проверить с помощью деления многочленов. Интегрируя обе части, получаем

где K – неопределенная постоянная интегрирования. Но поскольку при z = 0 имеет место равенство ln(1) = 0, то должно быть K = 0, и результат доказан. Если теперь последовательно подставить значения z = 1, ½, ⅓, ¼, … в это выражение, то получатся следующие формулы:

202

ГЛАВА 6. МАТЕМАТИКИ-КУДЕСНИКИ

Если теперь сложить их, то все логарифмические члены, кроме одного, взаимно уничтожатся, и мы получим:

Итак, наконец, мы имеем следующую экзотическую двойную сумму (к сожалению, сходится она не очень быстро):

Теоретическая ценность γ и ее связь с Sp объясняют, почему так важны значения Sp. Однако уже следующая за S1 сумма, т. е. S2, поставила в тупик всех математиков, пытавшихся вычислить ее значение, в  т.  ч. Джона Валлиса и  Иоганна Бернулли. Проблема S2 получила широкую известность во Франции и  в  Англии после выхода в  свет в  1650 году книги итальянца Пьетро Менголи (1625–1686) Novae Quadraturae Arithmeticae, а затем книги Валлиса Arithmetica Infinitorum пятью годами позже. Оба автора не справились с вычислением и были в этом не одиноки. Живший в XVIII веке французский историк математики Жан Монтюкла называл вычисление S2 «отчаянием аналитиков». Одним из таких аналитиков был Лейбниц, который в бытность студентом Христиана Гюйгенса в Париже заявлял, что сможет просуммировать любой сходящийся бесконечный ряд, члены которого удовлетворяют некоторому правилу. Но в 1673 году Лейбниц повстречал английского математика Джона Пелла (1611–1685), который огорошил экспрессивного юношу рядом S2. А  затем

ЭйЛЕР ДЕЛАЕТ СЕБЕ ИМЯ

203

Эйлер вдруг решил эту задачу в  1734 году, использовав разложение синуса в  степенной ряд в  вычислении, от смелости которого дух захватывает. Эйлер, по сути дела, написал полиномиальное уравнение бесконечной степени

и заметил, что его корни находятся в точках, где sin( ) = 0, с тем исключением, что y = 0 – не корень, потому что, как показано в  предыдущем разделе, в  точке y = 0 sin( )/ = 1, а  не 0. Таким образом, корнями являются целые кратные π (кроме 0), т. е. = nπ, где n – произвольное ненулевое целое число, или y = π2, 4π2, 9π2, .... Если теперь взглянуть на общее полиномиальное уравнение конечной степени вида f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + 1 = 0, имеющее n корней r1, r2, ..., rn, то можно предположить (и так оно и есть), что

поскольку это уравнение, очевидно, имеет такие же корни, и для обеих форм f(x) имеет место равенство f(0) = 1. Если воспользоваться тем же рассуждением, что во врезке  1.2, то станет ясно, что коэффициент a1 можно записать в виде:

Затем Эйлер рассудил, что раз это верно для любого конечного, сколь угодно большого n, то должно быть верно и  для полинома бесконечной степени – и  это самая сомнительная часть его вывода. Таким образом, поскольку в  ряде для f(y) a1 = -1/3! = -1/6 f(y), то

204

ГЛАВА 6. МАТЕМАТИКИ-КУДЕСНИКИ

или

Вот и все! Нетрудно написать простенькую компьютерную программу для вычисления частичных сумм S2 и понаблюдать за тем, как они сходятся к 1.644934..., т. е. действительно к π2/6. Какой же невероятный результат проистекает из разложения синуса в степенной ряд! На самом деле метод Эйлера позволил добиться гораздо большего – вычислить Sp для всех четных p. Именно это вычисление, проделанное на заре карьеры в  Санкт-Петербурге, сделало Эйлера супергероем и  немало способствовало утверждению его непререкаемой репутации. Но для нечетных p этот метод не работает, и чему равны эти суммы, остается неизвестным по сей день. Чтобы решить эту задачку, нужен новый Эйлер с новой идеей. Эйлер много лет пытался вычислить Sp для нечетных p, но в  статье 1740 года смог только высказать гипотезу, что Sp = Nπp, что N рационально, когда p четно, что при нечетных N как-то включает ln(2). В статье 1772 года он сумел вывести2 замечательную формулу, дразняще близкую к S3:

По существу, единственный прогресс со времен Эйлера произошел, когда французский математик Роже Апери показал (в статье, опубликованной в 1979 году), что каким бы ни было значение S3, оно иррационально. Интересно, что иррационально ли S2, было неизвестно до тех пор, пока Лежандр в 1794 году – через 60 лет после того, как Эйлер вычислил S2, – не доказал иррациональность π2.

6.4. Нерешенная задача

Коль скоро мы знаем о Sp, остается сделать еще один шаг и рассмотреть суммы произвольных обратных степеней целых положительных чисел. Эйлер сделал это в 1737 году, записав то, что сегодня мы называем дзета-функцией:

НЕРЕШЕННАЯ ЗАДАЧА

205

Эйлер считал z целой вещественной переменной, на которую налагается только ограничение z > 1, гарантирующее сходимость. Ясно, что Sp – частные случаи дзета-функции, например ζ(2) = S2 = π2/6. Вообще, можно было бы считать z произвольным вещественным числом, необязательно целым. Теперь сделаем краткое отступление. Вы почти наверняка помните из школьного курса математики, что простыми называются целые числа, большие 1, которые не делятся ни на что, кроме единицы и самого себя, т. е. не разлагаются на множители. Первыми элементами последовательности простых чисел являются 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... и, как показал Евклид в «Началах» приблизительно в 350 году до н. э., эта последовательность бесконечна, хотя в  увеличивающихся отрезках чисел их частота уменьшается. Единственный факт о простых числах, который необходимо знать для понимания того, что Эйлер сделал с  ζ(z), – так называемая теорема о  единственности разложения. Эта теорема утверждает, что любое положительное целое число можно записать, и  притом единственным образом, в виде произведения простых чисел. Этот важный результат был в неявной форме также известен Евклиду. Несложное доказательство теоремы имеется в любом учебнике по элементарной теории чисел, а мы просто примем ее на веру. Так вот, Эйлер показал, что существует тесная связь между ζ(z), непрерывной функцией z, и простыми числами, которые, как и  целые,  – квинтэссенция разрывности. Это типичный пример гения Эйлера, перед которым можно только замереть в немом восхищении: «Как он это сделал?» Для начала умножим обе части определения ζ(z) на 1/2z: Теперь вычтем это равенство из ζ(z):

206

ГЛАВА 6. МАТЕМАТИКИ-КУДЕСНИКИ

Умножим результат на 1/3z:

– и вычтем из (1 - 1/2z)ζ(z):

Затем умножим на 1/5z и т. д. Схема, надеюсь, понятна. Повторяя процесс многократно, т. е. умножая последний полученный результат на 1/pz, где p – последовательные простые числа, мы вычитаем все кратные простых чисел. Легко видеть, что это по существу тот же способ, что решето Эратосфена, придуманное в III веке до н. э. греческим математиком Эратосфеном Киренским как алгоритм нахождения всех простых чисел. Если представить, что этот процесс умножения и  вычитания выполнен для всех простых чисел, то в  итоге – конечно, после бесконечного числа операций  – окажется, что из правой части удалены все члены, причем, в силу теоремы о единственности разложения, каждый в точности по одному разу. Таким образом, обозначив произведение буквой Π, как в главе 3, имеем:

или

где Re(z) > 1 означает «вещественная часть z больше 1» (чтобы сумма гарантированно сходилась) – в предвосхищении будущего обобщения с чисто вещественных z на комплексные. Это представление дзета-функции в виде эйлерова произведения. Невероятный результат! Настолько неожиданный, что никто не смог бы додуматься до него. Его можно было только открыть. Это родовая черта многих вычислений Эйлера – студенту остается лишь с раскрытым ртом взирать на высоты, кото-

НЕРЕШЕННАЯ ЗАДАЧА

207

рых может достичь человеческий разум. Заодно Эйлер получил совершенно новое доказательство бесконечности множества простых чисел, первое со времен Евклида. Оно очень короткое: просто вспомним, что ζ(1) = S1 = ¥. Но чтобы избежать противоречия, произведение выше должно иметь бесконечное число сомножителей, каждый из которых заключен между 1 и 2, т. е. количество простых чисел должно быть бесконечным. Фактически Эйлер пошел дальше и доказал, что ∑по простым n 1/n = ¥, а это гораздо более сильное утверждение, чем просто бесконечность множества простых чисел. Ведь и количество квадратов чисел тоже бесконечно, но, как показал Эйлер, В некотором смысле простых чисел больше, S2 = чем квадратов! Этот результат следует из формулы произведения Эйлера, опять-таки для случая z = 1. Имеем:

Логарифмируя обе части, получаем (поскольку логарифм произведения равен сумме логарифмов):

Подстановка z = -1/p в ряд Меркатора для ln(1 + z) дает

и, следовательно,

«Конечное значение» в конце стоит потому, что члены, следующие за 1/p, можно заменить большими числами, образующими геометрическую прогрессию, которая легко суммируется, как описано в  разделе 5.2, а  отсюда уже легко прийти

208

ГЛАВА 6. МАТЕМАТИКИ-КУДЕСНИКИ

к выводу о конечности значения. Далее, поскольку S1 = ¥, то ln(S1) = ¥ и, значит, ∑по простым p 1/p = ¥. Как мне кажется, этот результат интуитивно еще менее очевиден, чем расходимость гармонического ряда. В 1859 году блестящий немецкий математик Георг Риман (1826–1866) обобщил ζ(z) на комплексные значения z. Он сделал это, изучая целочисленную функцию π(x), равную количеству простых чисел, не превосходящих x; например, очевидно, π(1/2) = 0, π(6) = 3, но гораздо менее очевидно, что π(4´1016) = 1 075 292 778 753 150. Риман предположил, но не сумел доказать (как и никто другой), что все комплексные нули функции ζ(z) «с большой вероятностью» имеют вид z = ½ + ib. Нулем называется такое значение z, что ζ(z) = 0. Утверждение, получившее название гипотезы Римана, гласит, что все комплексные нули лежат на критической прямой  – вертикальной прямой в комплексной плоскости с вещественной частью ½. (Существует бесконечное множество вещественных нулей, совпадающих с отрицательными четными числами, т. е. z = -2, -4, …, этот результат станет понятен к концу главы, и он настолько прост, что вещественные нули часто называют «тривиальными».) В силу возможности записать ζ(z) в виде произведения Эйлера, которое сходится для Re(z) > 1, ясно, что ζ(z) не имеет комплексных нулей строго справа от вертикальной прямой Re(z) > 1. В  противном случае по крайней мере один из сомножителей произведения должен был бы быть равен нулю, а очевидно, что никакой сомножитель вида 1 - 1/pz не может обратиться в  нуль. Гипотеза Римана с  этим согласуется, поскольку утверждает, что все комплексные нули лежат на прямой Re(z) = ½. Если вы внимательно читали написанное выше, то, наверное, решили, что нашли противоречие в гипотезе Римана. Как можно говорить о z = ½ + ib, когда ζ(z) определена только для Re(z) > 1? Справедливое возражение, которое снимается путем распространения определения ζ(z) на все z с помощью технической процедуры, которая называется аналитическим продолжением. Эта тема выходит за рамки книги, но опишу простыми словами, в чем суть дела. Рассмотрим функцию

НЕРЕШЕННАЯ ЗАДАЧА

209

очень похожую на ζ(z) (только знаки чередуются). Однако, в отличие от ζ(z), f(z) сходится для Re(z) > 0 – именно благодаря чередованию знаков. В области Re(z) > 1, где определены обе функции ζ(z) и f(z), между ними имеется простое соотношение: которое можно привести к виду f(z) = (1 - 21-z) ζ(z). Таким образом, при 0 < Re(z) < 1 мы вместо расходящегося ряда для ζ(z) просто вычисляем функцию (1 - 21-z) ζ(z), которая определена для Re(z) < 1, и называем результат значением продолженной дзета-функции Римана – поскольку первым символ ζ использовал Риман, а не Эйлер. В 1914 году английский математик Г. Х. Харди (1877–1947) доказал, что ζ(z) имеет бесконечно много комплексных нулей на критической прямой, но не доказал, что там находятся все нули. Сравнительно недавно, в 1989 году, было доказано, что по крайней мере две пятых комплексных нулей лежат на критической прямой. Но про все опять-таки речи нет. Существует также «очень убедительное» свидетельство, полученное вычислительными методами в 1986 году, когда, потратив более тысячи часов на суперкомпьютере, удалось показать, что гипотеза может быть верна, потому что были вычислены первые 1.5´109 комплексных нулей, расположенных выше вещественной оси, и у всех них вещественная часть оказалась равна ½! Но, увы, это не доказывает, что все комплексные лежат на критической прямой. Вообще-то большинство математиков не придает большого значения таким вычислениям, потому что теория чисел полна примеров, когда ранние числовые расчеты давали «очень убедительные» свидетельства в  пользу неверных умозаключений. Превосходный пример опасностей, которые таит вера в численные результаты, дает история функции π(x). Интерес Римана к комплексным нулям ζ(z) был продиктован попытками найти формулу π(x). Еще со времен Гаусса было известно, что интегральный логарифм

210

ГЛАВА 6. МАТЕМАТИКИ-КУДЕСНИКИ

является отличным приближением к π(x), например:

В письме от 1849 года Гаусс утверждал, что знал об этом свойстве li(x) с  1792 или 1793 года, когда ему было 15 лет. Эти численные результаты позволяют с  большой уверенностью предположить, что limx→¥π(x)/li(x) = 1; это более точный вариант оригинальной теоремы о  простых числах, впервые доказанной в  1896 году. Ее одновременно и  независимо доказали Адамар во Франции и  Шарль-Луи-Жозеф де ла Валле Пуссен (1866–1962) в Бельгии, и оба применили очень мощные средства теории функций комплексного переменного к дзетафункции. Но вот другая знаменитая гипотеза, основанная на тех же числах, оказалась ложной. А состояла она в том, что π(x) всегда меньше li(x) и что разность между этими числами увеличивается с ростом x. Гаусс, а за ним и Риман верили, что это так. На самом деле для всех x, для которых π(x) и  li(x) известны, т. е. до 1018, оба утверждения верны. И тем не менее в общем случае гипотеза неверна, как доказал в 1914 году друг Харди английский математик Дж. Э. Литтлвуд (1885–1977). Он показал, что знак функции π(x) - li(x), которая вначале и на очень длинном промежутке отрицательна, бесконечно часто меняется на противоположный при неограниченном росте x. Вот так обстоит дело с «убедительными» численными свидетельствами. Кстати, в  конце жизни Литтлвуд говорил, что лично он полагает, что и  сама гипотеза Римана неверна. Но чтобы опровергнуть гипотезу Римана, нужно, конечно, показать, что существует хотя бы один комплексный корень, не лежащий на критической прямой. До сих пор это никому не удалось. Как уже было сказано, комплексных нулей ζ(z) не существует при

НЕРЕШЕННАЯ ЗАДАЧА

211

Re(z) > 1, а Адамар и Валле Пуссен доказали, что их нет и на вертикальной прямой Re(z) = 1. Но пропасть между отсутствием комплексных нулей на прямой Re(z) = 1 и сосредоточением всех комплексных нулей на прямой Re(z) = ½ слишком широка, пока что перепрыгнуть ее не получается. В 1900 г. на Втором международном конгрессе математиков, прошедшем в  Париже, великий немецкий математик Давид Гильберт (1862–1943) прочел доклад под названием «Математические проблемы». В докладе он обсудил ряд нерешенных задач, которые, по его мнению, открывали плодотворные направления будущих исследований. Эти проблемы стали знаменитыми вызовами, и карьера математика, которому удавалось решить одну из них, была обеспечена на волне всеобщего одобрения. Все они подверглись приступу со стороны лучших математических умов. Под номером восемь в списке значилась гипотеза Римана. Гильберт полагал, что любой метод, которым удастся доказать гипотезу Римана, сможет, к примеру, пролить свет на проблему бесконечности (или конечности) простых чисел-близнецов, т. е. простых чисел, отличающихся на 2, например 11 и 13. Этот вопрос до сих пор открыт. Однако по сей день эта гипотеза не поддается усилиям, и говорят, что когда Гильберта спросили, что бы он первым делом сделал, если бы проснулся через пятьсот лет, он ответил: «Я бы спросил, доказал ли кто-нибудь гипотезу Римана». Фактически сегодня это самая известная из нерешенных математических проблем. Последняя история, которую я хочу рассказать в связи с этой проблемой, особенно забавна. Как-то, побывав в гостях у знакомого математика в  Дании, Харди нужно было совершить обычное путешествие домой на корабле через особенно бурное в то время Северное море. В надежде отвратить крушение Харди, перед тем как взойти на борт, написал и отправил своему другу открытку, в которой заявил: «Я нашел доказательство гипотезы Римана!» Позже, благополучно возвратившись в Англию, Харди говорил, что был уверен, что Господь не попустит ему умереть в ореоле ложной славы, доставшейся за то, чего он не совершал. Следует заметить, что во всех остальных жизненных ситуациях Харди был убежденным атеистом.

212

ГЛАВА 6. МАТЕМАТИКИ-КУДЕСНИКИ

6.5. Эйлер раскладывает синус в бесконечное произведение Есть еще одна вещь, которую можно проделать с  разложением синуса в  степенной ряд. Вместо того чтобы представлять в виде произведения sin( )/ , давайте проделаем это с sin(y)/y. Имеем:

Иначе говоря,

Это и есть знаменитое разложение Эйлера sin(y) в произведение, которое впервые появилось в его книге 1748 года «Введение в анализ бесконечно малых». Теперь положим y = π/2. Тогда

или

или

ОКРУЖНОСТь БЕРНУЛЛИ

213

т. е. мы получили формулу Валлиса для числа π, упомянутую в главах 2 и 3. Если прологарифмировать обе части произведения Эйлера, преобразовав тем самым произведение в  сумму, а  затем продифференцировать, то после простейших алгебраических преобразований получим знаменитый ряд

Снова продифференцировав, получаем еще один знаменитый ряд:

Эти и другие подобные ряды, получающиеся из разложения синуса в степенной ряд, были известны Эйлеру еще в 1740 году. Элегантный прием, примененный Эйлером для разложения sin(y) в бесконечное произведение, можно повторить и показать, что

В качестве подсказки обращаю ваше внимание на то, что корнями функции

являются нечетные кратные π/2.

6.6. Окружность Бернулли Задолго до 1748 года, когда Эйлер записал свою формулу e±ix = cos(x) + i sin(x), вычисление конкретно i i или эквивалента было проделано другими, специализированными и весьма изобретательными способами3. Одно такое вычисление упоминает

214

ГЛАВА 6. МАТЕМАТИКИ-КУДЕСНИКИ

сам Эйлер в письме Иоганну Бернулли (от 10 декабря 1728 г.). В  этом письме Эйлер цитирует результат самого Бернулли. Если говорить в современных терминах, то Бернулли рассмотрел окружность единичного радиуса с центром в начале координат, т. е. уравнение x2 + y2 = 1, и написал интеграл, выражающий площадь ее первого квадранта. Сегодня это стандартная задачка для студентов, начинающих изучать математический анализ; если обозначить эту площадь A (она, естественно, равна π/4), то будем иметь Теперь произведем замену переменной u = ix. Тогда x = -iu и, следовательно, dx = -idu, откуда

В таблице интегралов находим

Таким образом, i ln(i) = -π/2, откуда, как и  раньше, сразу следует, что i i = e-π/2, хотя этот последний шаг ни Бернулли, ни Эйлер в то время не сделали.

6.7. Граф вычисляет i i Но даже это доведенное почти до конца вычисление i i было не первым. В  1719 году итальянец Джулио Карло деи Тоски Фаньяно (1682–1766) выполнил вычисление с  окружностью, напоминающее то, что проделал Бернулли, только он работал с длиной окружности, а не с площадью. Родившийся в знатной семье, из которой даже вышел один папа, Фаньяно в 1721 году получил графский титул от Людовика XV, а  в  1745 году папа Бенедикт XIV возвел его в  маркизы. Будучи членом Лондонского королевского общества и Берлинской академии наук, он пользовался в Европе репутацией одаренного математика.

ГРАФ ВыЧИСЛЯЕТ i i

215

Фаньяно начал с единичной окружности и заметил, что длина дуги L с центральным углом θ равна просто θ. То есть, обозначив переменную интегрирования t, он написал

Затем с  помощью элементарных алгебраических преобразований он преобразовал тривиальное подынтегральное выражение (проще которого и  быть ничего не может) в  нечто, выглядящее куда более затейливо. На первый взгляд, это глупость какая-то, но имейте терпение – в  кажущемся безумии есть своя система:

Теперь произведем замену переменной x = tg(t), откуда следует, что dx = dt/cos2(t), а значит,

Поскольку L равно одной четверти длины окружности, когда θ = π/2, имеем Сегодня этот результат кажется элементарным, поскольку в  начальном курсе анализа доказывается, что соответствующий неопределенный интеграл равен tg-1(x), и  понятно, что tg-1(x)|0¥ = π/2. Проделанные выше причудливые манипуляции имеют целью вычислить определенный интеграл, не зная выражения для неопределенного. Но не это было побудительным мотивом Фаньяно. Причина, по которой Фаньяно привел интеграл для L к такому виду, заключается в том, что теперь он мог воспользоваться

216

ГЛАВА 6. МАТЕМАТИКИ-КУДЕСНИКИ

изобретательным трюком Иоганна Бернулли. В 1702 году Бернулли показал, что подынтегральное выражение в интеграле для L можно разложить на мнимые сомножители, а затем проделать то, что сегодня называется разложением на простые дроби. А именно:

Теперь оба интеграла легко берутся, это хорошо известные интегральные представления логарифмов:

У Бернулли этот подход вызвал величайшее восхищение, поскольку он увидел в нем тесную связь между арктангенсом и логарифмом. Он даже дал ему специальное название – logarithme imaginaire (мнимый логарифм). В  том же 1702 году Лейбниц назвал такое разложение многочлена на мнимые компоненты «утонченным и чудесным проявлением божественного разума, сверхъестественным порождением в области мысли, двойственной сущностью, находящейся между бытием и небытием». Бернулли и граф Фаньяно, безусловно, согласились бы с этим. Но вернемся к вычислению графа. Если предположить, что в  выражении x ± i можно пренебречь i при неограниченном возрастании x, то будем иметь

или снова i i = e-π/2. Как и Бернулли, граф не сделал этого последнего шага, но завершил свой анализ таким удивительным выражением:

Однако легко показать, что оно эквивалентно i i = e-π/2.

ГРАФ ВыЧИСЛЯЕТ i i

217

Если вам не понятно, зачем я так долго выписывал все промежуточные шаги вычисления мнимого логарифма, объясняю – потому что кажущийся альтернативным способ проделать это приводит к  другому ответу! Действительно, почему бы не написать

получив i i = eπ/2? Ошибка произошла, когда мы заменили -1 на i2, потому что этот шаг неоднозначен – можно было с тем же основанием заменить -1 на (-i)2. И эта замена тоже дала бы правильный результат. Но тот способ, которым я вычислил выражение графа, не приводит к неоднозначности ни на каком шаге и потому является единственным способом гарантировать правильный конечный результат. В 1712 году Бернулли следующим образом воспользовался своей идеей о разложении на простые дроби для выражения tg(nθ). Положим x = tg(θ), y = tg(nθ). Тогда

Продифференцируем последнее равенство по x:

Разложим знаменатель на комплексные множители:

Разложив обе части на простые дроби и взяв неопределенный интеграл (без указания пределов интегрирования), получаем:

Обозначив K произвольную постоянную интегрирования (как мы скоро увидим, это абсолютно необходимо для последующего анализа), имеем:

218

ГЛАВА 6. МАТЕМАТИКИ-КУДЕСНИКИ

Поскольку y = 0, когда x = 0 при θ = 0, имеем: Как я уже отмечал выше, если мы хотим правильно вычислить K, то манипулировать подобными выражениями нужно так, чтобы никогда не возникала неоднозначность. Например, не следует заменять -i/i на -1, а затем подставлять i2 вместо -1. Последовав этому совету, вы найдете, что K = ln{(-1)n-1}. То есть постоянная K вовсе не «произвольна». Продолжим:

или

Поскольку (-1)n-1 = 1 при нечетных n и  (-1)n-1 = -1 при четных n, имеем:

Решая оба уравнения относительно y, находим искомое:

Эти выражения можно раскрыть, применив бином Ньютона, в  результате чего все i исчезнут, но это упражнение я  оставляю вам. При «небольших» значениях n выражения легко вы-

РОДЖЕР КОТС И УПУщЕННАЯ ВОЗМОЖНОСТь

219

числяются непосредственно. Например, для n = 4 и n = 5 эти формулы дают соответственно выражения

которые можно найти в любом достаточно полном справочнике по математике. Как я подчеркнул, внимательное отношение к постоянной интегрирования K играет очень важную роль в анализе. Даже сам Бернулли иногда попадал в эту ловушку. Например, в переписке с  Лейбницем на протяжении 1712–1713 годов Бернулли утверждал, что поскольку dx/x = -dx/-x = d(-x)/(-x), то интегрирование дает log(x) = log(-x). А поскольку log(1) = 0, значит, и log(-1) = 0. А раз log(-1) = log{( )2} = 2 log( ), то и log( ) = 0. Конечно, ошибка Бернулли состояла в том, он забыл о постоянной интегрирования. Лейбниц чувствовал, что Бернулли неправ, но указывал неверную причину. Он возражал, что log(-1) не может быть равно нулю, потому что если бы это было так, то log( ) был бы равен половине этой величины, что правильно, но, конечно же (говорил Лейбниц), log( ) не может быть равен никакому значению – он называл log( ) «мнимым». В  современной терминологии так оно и  есть, но Лейбниц под этим словом понимал «несуществующий».

6.8. Роджер Котс и упущенная возможность Из всех англичан, современников Ньютона, один из наименее известных нынешним ученым и  инженерам  – Роджер Котс (1682–1716), многообещающую жизнь которого внезапно оборвала смерть от жестокой лихорадки на тридцать третьем году жизни. Ставший профессором Кембриджа уже в возрасте двадцати шести лет, он также был редактором второго издания шедевра Ньютона «Начала» – работы, совершившей переворот в физике. Ходят слухи, что после его смерти сам Ньютон говорил о Котсе: «Если бы он остался жив, мы, возможно, узнали бы что-то».

220

ГЛАВА 6. МАТЕМАТИКИ-КУДЕСНИКИ

На самом деле Ньютон был неправ. Еще до своей смерти, в  1714 году, Котс опубликовал результат, который сообщил миру нечто очень важное и  который мог принести ему бессмертную славу – если бы только он писал чуточку яснее. Этот результат, открытый также еще одним другом Ньютона, Абрахамом де Муавром (который, похоже, знал этот результат несколькими годами ранее), а впоследствии и Эйлером, есть не что иное, как тождество Эйлера, названное мной так в начале этой главы. Но относись Котц немного тщательнее к своим текстам, оно могло бы сейчас называться тождеством Котса, а сам он стал бы почитаемым святым у всех инженеров-электротехников, физиков и математиков. А так большинство из них слышали его имя всего раз или два, а затем быстро забывали, с чем вообще оно связано. Как почти все математики его времени, Котс по натуре был геометром, его выводы пронизаны чертежами прямых, окружностей и  более сложных кривых, а также подробными описаниями геометрических построений. Но ниже я  представлю современную аналитическую реконструкцию проделанного Котсом. Пусть имеется эллипс, заданный обычным уравнением

где a и b – длины полуосей. Если взять только часть эллипса, расположенную в первом квадранте, и вращать ее вокруг оси y, то получится поверхность верхней половины эллипсоида. Котс вывел формулу площади этой «поверхности вращения». На самом деле он вывел две такие формулы. И  из этого довольно прозаического начала вытекает совершенно поразительный результат. В обозначениях на рис. 6.1 площадь поверхности равна

где ds – дифференциал длины дуги эллипса, вращающейся вокруг оси y. Полагая x = a cos(θ) и y = b sin(θ), имеем dx = -a sin(θ) dθ и dy = b cos(θ)dθ, так что ds = ким образом,

Та-

РОДЖЕР КОТС И УПУщЕННАЯ ВОЗМОЖНОСТь

221

b ds dy θ

–a

dx

a

–b Рис. 6.1. Эллипс Котса

Теперь положим u = sin(θ), так что du = cos(θ)dθ. Тогда

Заметим, что до этого момента мы ни разу не упомянули об отношении величин a и b. Рисунок 6.1 нарисован в предположении, что a > b, но ничто не мешало бы мне нарисовать его для a < b. То есть существует две возможности, поэтому если мы хотим выразить A в терминах вещественных интегралов, то должны написать

222

ГЛАВА 6. МАТЕМАТИКИ-КУДЕСНИКИ

По таблице интегралов легко найти, что

Взяв первую из двух формул, для случая a > b [когда c2 = b /(a2 - b2)], и выполнив несложные алгебраические преобразования, приходим к выражению 2

А вторая формула, для случая a < b [когда c2 = b2/(b2 - a2)], дает

Важно понимать, почему я написал два выражения для A – только для того, чтобы в  каждом выражении фигурировали исключительно вещественные величины. Но это совершенно необязательное желание, т. к. оба выражения правильны A как для a > b, так и для a < b. Если в какой-то момент при вычислении любого из них возникнет мнимая величина, то где-то в  другом месте появится другая мнимая величина, которая сократится с первой. Физическая площадь A должна быть вещественной. Продолжим. Определим величину ϕ такую, что В любом случае cos(ϕ) = a/b. Теперь можно записать два наших выражения для A в виде

РОДЖЕР КОТС И УПУщЕННАЯ ВОЗМОЖНОСТь

223

и

Если сравнить эти два выражения, которые представляют одну и ту же физическую величину, то сразу же становится ясно, что -iϕ = ln [cos(ϕ) - i sin(ϕ)], или e-iϕ = cos(ϕ) - i sin(ϕ), или эквивалентно eiϕ = cos(ϕ) + i sin(ϕ). Так Котс мог бы открыть тождество Эйлера. Но Котс не сделал этот последний шаг, и  его тождество -iϕ = ln[cos(ϕ) - i sin(ϕ)] оказалось просто погребенным в невероятно темном языке той единственной статьи, которую он подготовил для публикации за всю свою жизнь (под названием «Logometria» она появилась в  мартовском выпуске журнала Philosophical Transactions of the Royal Society за 1714 год)4. Эта статья замечательна также тем, что Котс вычислил в ней e и 1/e (с точностью до двенадцати знаков после запятой), применив разложения в степенной ряд. Напомним, это было в 1714 году, за несколько десятков лет до того, как Эйлер вычислил e с точностью до 23 знаков после запятой в 1748 году. Котс, очевидно, обладал мощнейшим интеллектом, но тем не менее, знакомясь с его работой, вы, наверное, согласитесь, что слово «темный» в применении к его манере изложения еще, пожалуй, слишком мягкое. Даже когда «Logometria» была объединена с другой работой Котса и издана посмертно в виде книги Harmonia Mensurarum

224

ГЛАВА 6. МАТЕМАТИКИ-КУДЕСНИКИ

(1722), ее блестящее содержание осталось незамеченным, по крайней мере в  части вычисления площади поверхности эллипсоида это точно так. После финального замечания об умножении величины на , которое наверняка озадачило некоторых читателей в 1714 году, Котс прерывает вывод странными словами «но оставляю более подробное исследование тем, кто считает, что оно того заслуживает». И  на протяжении почти двух столетий таковых не находилось. Так его достижение и  прозябало в  безвестности, пока через 185 лет, в  1899 году, один русский математик не привлек к нему внимание в книге по истории развития теории функций. Причины такого монументального упущения не вполне ясны, но хорошо известно, что Котс любил давать ответы, почти ничего не сообщая читателям о том, как он к ним пришел. В то время читатели, по-видимому, просто не понимали, что Котс имел в виду. Да станет это уроком – излагайте свои мысли ясно!

6.9. Многозначные функции Сейчас я должен сказать вам, что хотя теперь ясно, что Эйлер был не первым, кто рассматривал i i, но именно он первым заметил, что i i вещественно и имеет бесконечно много значений. То есть e-π/2  – лишь одно из возможных значений. Это связано с тем геометрическим фактом, что если начать с любого угла и прибавить к нему или вычесть из него произвольное кратное 2π радиан, то мы просто сделаем целое число оборотов вокруг начала координат и вернемся в ту точку, с которой начали. Нечто подобное мы видели во врезке 3.2. Поэтому для любого целого n (положительного, отрицательного или равного нулю) имеем:

Принято называть случай n = 0 главным значением i i, но это значение не единственное. Например, при n = -1, 1 и 2 получаем соответственно 111.3178, 3.882´10-4 и 7.2495´10-7. Быть может, еще удивительнее, что 1π – вещественное число в вещественной степени – имеет бесконечно много комплексных значений, а именно:

МНОГОЗНАЧНыЕ ФУНКцИИ

1π = cos(2π2n) + i sin(2π2n), n = 0, ±1, ±2, ....

225

Из них только главное значение, соответствующее n = 0, вещественно. Этот неожиданный результат связан с тем, что число π иррациональное  – как показал в  1761 году немецкий математик Иоганн Ламберт (1728–1777). Действительно, 2π2n = π(2πn), и  для n ≠ 0 число 2πn никак не может быть целым, иначе π было бы рациональным. Поскольку ни при каком n, кроме 0, 2πn, не является целым, sin(2π2n) не может обратиться в нуль, т. е. 1π всегда будет иметь ненулевую мнимую часть (кроме как в  случае n = 0). Далее, используя ту же аргументацию, легко показать, что не существует двух различных целых n, при которых вещественные или мнимые части 1π повторяются. В противном случае π было бы рациональным. Наконец, еще Эйлер показал (1737), что e иррационально, значит, у 1e также бесконечно много различных значений, как и  у  , где n  – произвольное положительное целое число, большее 1 и не являющееся полным квадратом (вспомните результат Теэтета из раздела 2.1). Важно понимать, что комплексная природа 1иррациональное – теоретический результат, которого не мог бы доказать никакой реальный компьютер, сделанный из конечного количества материи. В любой физически реализуемой машине для представления чисел используется конечное число цифр, поэтому все числа по необходимости рациональны. Точно так же можно показать, что и  логарифм является многозначной функцией. Запишем произвольное комплексное число a + ib в полярной форме:

Имеем для любого целого n

Следовательно,

226

ГЛАВА 6. МАТЕМАТИКИ-КУДЕСНИКИ

Как и раньше, в случае n = 0 мы получаем так называемое главное значение логарифма. Например, главное значение ln(1 + i) = ½ln(2) + iπ/4 = 0.346573 = i0.785398.

6.10. Гиперболические функции После открытия Эйлером экспоненциальных выражений для синуса и  косинуса стало возможно говорить о  комплексных углах, пусть даже мы не можем ни нарисовать их, ни даже вообразить. Но если формально подставить символы, то получим

где гиперболический синус и гиперболический косинус определены следующим образом:

Точно так же можно проверить, что sin(x + iy) = sin(x)cosh(y) + i cos(x)sinh(y). Заметим, что если x = 0, то cos(iy) = cosh(y) и sin(iy) = i sinh(y), т. е. косинус мнимого угла вещественный, а синус мнимого угла также мнимый. Наконец, по аналогии с обыкновенным тригонометрическим тождеством tg(θ) = sin(θ)/cos(θ) можно определить гиперболический тангенс:

Гиперболические функции настолько полезны в науке и технике, что даже составлены таблицы их значений, и  в  любом

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКцИИ

227

электронном калькуляторе для научных расчетов ценой меньше 15 долларов они доступны в  числе других специальных функций. В обиход их ввел итальянский математик Винченцо Риккати (1707–1775) в  своем двухтомном труде Opusculorum ad Res Physicas et Mathematicas Pentinentium (1757–1762). Слово «гиперболический» в  названии связано с  тем, что если рассмотреть геометрическое место точек с декартовыми координатами вида x = cosh(t) и  y = sinh(t), где t  – так называемая параметрическая переменная (в общем случае -¥ < t < ¥), то после исключения t мы придем к уравнению x2 - y2 = 1, которое определяет гиперболу. А «синус» и «косинус» – потому что определения очень похожи на определения соответствующих круговых тригонометрических функций в экспоненциальной форме, а также с тем, что уравнение гиперболы напоминает уравнение окружности x2 + y2 = 1. Одно из достоинств гиперболических функций заключается в  том, что они свободны от ограничений |sin(θ)| £ 1 и |cos(θ)| £ 1, которые вы, быть может, помните по обсуждению тригонометрического решения кубических уравнений, предложенного Виетом. Эти ограничения действуют, только если угол θ вещественный, – если же допускаются и комплексные углы (что бы это ни означало), то все становится куда интереснее! В качестве примера вычислим угол, косинус которого равен 2, т. е. такое комплексное число, для которого cos(θ) = 2. Взглянув на выражение cos(x + iy) выше, мы можем приравнять его вещественную часть к 2, а мнимую часть – к 0: sin(x)sinh(y) = 0, cos(x)cosh(y) = 2. Удовлетворить обоим условиям можно, положив x = 2πn (для любого целого n) и cosh(y) = 2. Это сразу же приводит нас к уравнению e2y - 4ey + 1 = 0, квадратному относительно ey. Таким образом, y = ln(2 ± Следовательно, ответ на исходный вопрос cos-1(2) = 2πn + i ln(2 ±

).

).

Возникает ощущение, что мы просто жонглируем символами, записывая уравнения, но не понимая их смысла. Чтобы

228

ГЛАВА 6. МАТЕМАТИКИ-КУДЕСНИКИ

продемонстрировать полезность гиперболических функций, нужно вычислить что-то такое, что можно было бы проверить другими средствами. Но сначала я хочу продемонстрировать одно родственное вычисление. Пусть требуется вычислить значение

У этой задачи долгая история, впервые она появилась в научной литературе в 1878 году. В начале 1900-х годов гениальный индийский математик Сриниваса Рамануджан (1887–1920) заинтересовался им настолько, что решил вычислить числовое значение S. Что-то подобное мы видели в  главе 2 в  связи со спиралью Феодора, составленной из треугольников. Сегодня мы просто написали бы компьютерную программу, которая вычислила бы S в мгновение ока (оно равно 2.356), но нет ли аналитического решения? Есть. Определим два угла α и  β таких, что tg(α) = n + 1, tg(β) = n - 1. Воспользовавшись тригонометрическим тождеством для tg(α - β), имеем: Таким образом,

и, следовательно,

Легко убедиться, что N-я частичная сумма этого ряда равна SN = tg-1(N + 1) + tg-1(N) - tg-1(1) - tg-1(0). Поэтому

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКцИИ

229

что согласуется с ответом компьютера. Тот факт, что мы можем вычислить S аналитически с помощью арктангенса и получить численный результат, согласующийся с  прямым вычислением на компьютере, вселяет некоторое «чувство уверенности» в  этих конкретных тригонометрических функциях. А  нельзя ли сделать нечто подобное с гиперболическими функциями? Внесем в задачу небольшое, на первый взгляд, изменение. Теперь требуется вычислить

Для компьютера это пустяк, изменив в  коде программы 2/n2 на 1/n2, мы получим ответ T = 1.4245. Но теперь тот алгебраический трюк, который я  применил, чтобы выразить tg-1(2/n2) в терминах tg-1(n + 1) и tg-1(n - 1), не работает. Что же делать? Если взять прямоугольный треугольник с  основанием 1 и  высотой 1/n2, то мы сможем записать tg-1(1/n2) в  виде полярного угла комплексного числа 1 + i1/n2. Таким образом,

Хотя сразу не понятно, почему следующее равенство может быть полезно, безусловно, верно – и это легко проверить, – что

Поскольку полярный угол произведения комплексных чисел равен сумме полярных углов сомножителей,

Последнее выражение, возможно, покажется вам знакомым – оно имеет тот же вид, что разложение sin(y) в  произведение Эйлера, если положить y2 = -{π(1 + i)/

} 2.

230

ГЛАВА 6. МАТЕМАТИКИ-КУДЕСНИКИ

Следовательно,

В числителе последнего выражения находится синус комплексного аргумента, поэтому можно ожидать появления гиперболических функций. И действительно, поскольку sin(x + iy) = sin(x)cosh(y) + i cos(x)sinh(y), то

Полярный угол отношения двух комплексных чисел, разумеется, равен разности углов числителя и знаменателя. Полярный угол знаменателя, очевидно, равен ¾π, поскольку знаменатель – комплексное число во втором квадранте. Внимательное изучение числителя показывает, что это комплексное число в третьем квадранте. Таким образом,

Это значение T очень близко к  вычисленному компьютером, а получили мы его, воспользовавшись гиперболическими функциями и синусом комплексного угла. Наконец, гиперболические функции можно записать в виде бесконечных произведений, подставив iy вместо y. Например, формула из раздела 6.5 дает

ВыЧИСЛЕНИЕ π ПО –1

231

или

Чтобы проверить правильность этой формулы на карманном калькуляторе, я сравнил sinh(2) = 3.62686 с результатом перемножения сначала первых 10, а затем первых 1000 множителей. Получилось соответственно 3.48972 и 3.62537. Сходимость налицо, но медленная.

6.11. Вычисление π по -1 Удивительно, что чисто формальную «загадочную формулу» π = (2/i) ln(i), как ее называл Бенджамин Пирс, можно использовать для вычисления значения π. Может показаться, что это все равно что достать кролика из цилиндра фокусника, тем не менее этот курьезный факт был отмечен немецким математиком и педагогом Карлом Генрихом Шеллбахом (1809–1890) в 1832 году. Шеллбах написал

а затем разложил оба логарифма в  степенные ряды. То есть, не обращая внимания на то, что i – не вещественное число, он просто подставил z = i в формулу Меркатора из раздела 6.3:

что дает

И аналогично

232

ГЛАВА 6. МАТЕМАТИКИ-КУДЕСНИКИ

Таким образом,

или

Данный результат совсем другим способом открыл в 1674 году Лейбниц, в честь которого и назван этот ряд, хотя на самом деле он был известен еще раньше – например, шотландский математик Джеймс Грегори (1638–1675) вывел его для себя в 1671 году. Ряд Грегори–Лейбница, хотя и  весьма элегантный на вид, абсолютно бесполезен для вычислений, потому что сходится очень медленно. Например, первых 53 членов недостаточно даже для получения всего двух десятичных знаков. Если запустить программу, которая будет постоянно отображать частичные суммы на экране монитора, то сначала цифры, конечно, будут сменяться очень быстро. Но постепенно левые цифры замирают и  перестают изменяться, сколько бы членов ряда ни включать в  сумму. цифра, которая перестает изменяться, называется стабильной. Не надо путать погрешность значения частичной суммы с количеством правильных цифр – это совершенно разные вещи. В теории сходящихся рядов таких, как ряд Лейбница–Грегори, есть результат, который говорит, что погрешность частичной суммы не превышает первого неучтенного члена. Это значит, что если взять первые пять членов ряда Лейбница–Грегори, то частичная сумма будет равна 0.8349206, и  это значение не более чем на 1/11 (т.  е. меньше 0.1) отличается от истинного значения π/4 = 0.7853982.... Но заметим, что ни одна цифра частичной суммы, даже первая, не является правильной. Далее Шеллбах показал, что его метод дает и другие ряды для π, которые сходятся гораздо быстрее, чем ряд Лейбница– Грегори. Например, он написал

ВыЧИСЛЕНИЕ π ПО –1

233

и, как и прежде, разложил в ряд логарифмы. Это дает ряд

который сходится быстрее, чем ряд Лейбница–Грегори. Действительно, заметим, что новый ряд – это тот же ряд Лейбница–Грегори, только члены умножены на коэффициенты, меньшие единицы, которые быстро стремятся к  нулю. Частичная сумма с пятью членами равна 0.7854353, и мы имеем три правильные стабильные цифры. Если добавить еще четыре члена (0.7853983), то количество правильных стабильных цифр возрастет до шести. Но и  на этом необязательно останавливаться. Продолжать можно до бесконечности, подставляя все более сложные выражения i в  ln(i) в  оригинальной «загадочной» формуле. Например, Шеллбах предложил такие два выражения:

Разложив в  ряд первое выражение, можно будет показать, что

234

ГЛАВА 6. МАТЕМАТИКИ-КУДЕСНИКИ

Этот результат совершенно другим способом был открыт в 1706 году лондонским астрономом Джоном Мачином (1680– 1752), который с его помощью вычислил π с точностью до двухсот знаков после запятой. На самом деле это слегка замаскированная форма результата из раздела 3.1, где я  просил вас использовать правило Весселя «сложения углов» при умножении комплексных чисел для проверки формулы

Формула Шеллбаха–Мачина – не что иное, как этот самый результат, в  котором арктангенсы разложены в  степенные ряды. Почти через 250 лет после смерти Мачина на первом электронном компьютере (ENIAC – Electronic Numerical Integrator And Calculator) эта формула была использована для вычисления π более чем с двумя тысячами знаков после запятой. Согласитесь, что поток постоянно изменяющихся десятичных цифр π, вытекающий из квадратного корня из минус единицы, – настоящее чудо.

6.12. Использование комплексных чисел для реальных вещей В качестве драматической иллюстрации полезности комплексных чисел до Весселя я хотел бы привести еще несколько примеров гениальности Эйлера. Вообразите, что на дворе 1743 год, а вы – математик в самом расцвете творческих сил. Вы столкнулись со следующими, ранее невиданными математиками интегралами:

Как действовать? Не думаю, что ответ на этот вопрос очевиден. Хотя в  основном Эйлер был математиком, зачастую к  решению математических задач его побуждало изучение физических проблем. Так и эти два интеграла возникли при исследовании физики цилиндрической пружины5. Гораздо позже,

ИСПОЛьЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ ДЛЯ РЕАЛьНыХ ВЕщЕй

235

в 1815 году, французские математики Коши и Пуассон столкнулись с эквивалентными интегралами в некоторых гидродинамических приложениях6. Еще через три года, в  1818 году, интегралы I1 и I2 встретились французскому ученому Огюстену Жану Френелю (1788–1827) при изучении дифракции света, сегодня их обычно называют интегралами Френеля. Но иногда можно увидеть и название «интегралы Эйлера», и впервые вычислил их именно Эйлер. Однако это вычисление далось нелегко даже Эйлеру с его могучим интеллектом. В 1743 году он писал о них: «Следует признать, что анализ получит большой толчок, если кому-нибудь удастся отыскать метод, хотя бы приближенный, который позволил бы найти значения [этих интегралов]… Кажется, эта проблема достойна приложения всех сил геометров». Но лучшее, что даже Эйлер смог сделать в 1743 году, – найти бесконечные сходящиеся ряды для I1 и I2, позволившие произвести численные расчеты; лишь спустя сорок лет он получил точное решение задачи с  помощью комплексных чисел. Ниже я покажу, что именно Эйлер представил в отчете СанктПетербургской академии наук 30 апреля 1781 г., хотя опубликован этот результат был спустя много лет после его смерти. Ключевая идея вычисления I1 и I2 – начать с еще одного творения Эйлера, которое сегодня мы называем гамма-функцией7. Она определена следующим образом:

Здесь n должно быть положительным числом, а в остальном произвольно. Ясно, что при n = 1 непосредственное интегрирование дает

Также, применив интегрирование по частям, нетрудно доказать так называемую функциональную формулу: Γ(n + 1) = nΓ(n).

Таким образом, для любого целого положительного n имеется связь между Γ(n) и факториалом:

236

ГЛАВА 6. МАТЕМАТИКИ-КУДЕСНИКИ

Γ(2) = 1 · Γ(1) = 1 · 1 = 1! Γ(3) = 2 · Γ(2) = 2 · 1! = 2!

Γ(n) = (n - 1) · Γ(n - 2)! = (n - 1)!

При n = 1 последнее равенство принимает вид Γ(1) = 0!, но мы уже показали, что Γ(1) = 1, так что 0! = 1, как и было сказано в разделе 3.2. Равенство Γ(n) = (n - 1)! можно обобщить на все вещественные n, включая отрицательные, воспользовавшись рекуррентным соотношением Γ(n) = (1/n) Γ(n + 1), чтобы распространить его на область отрицательных n. Например,

поскольку, как будет показано ниже, Γ(½) = . Любопытно отметить, что Джон Валлис предвосхитил тесно связанный результат задолго до Эйлера. Тот факт, что (3∕2)! = ½ , вытекающий из Γ(3∕2) = (½)! = (½)! = ½Γ(½) = ½ , был известен Валлису, хотя он, конечно, ничего не знал об интеграле, определяющем гамма-функцию. Расскажу, откуда это было ему известно. Вычислив интеграл ∫01(x - x2)ndx для некоторых целых n, Валлис решил, что в  общем случае он равен (n!)2/(2n + 1)! Он также знал значение интеграла в  дробном случае n = ½, а  именно что ∫01(x  - x2)1/2dx = π/8, потому что этот интеграл равен площади под верхней половиной окружности с центром в точке x = ½ на оси x и диаметром 1. Затем он сделал головокружительный скачок, предположив, что общая формула для целых n имеет место также для дробных, и написал {(½ )!}2/2! = π/8, откуда следует, что (½)! = ½ . Конечно, в  интегральном определении Γ(n), данном Эйлером, n не обязано быть целым числом. На самом деле Эйлер как раз и искал ответ на вопрос, как экстраполировать факториал (т.  е. что может означать (5½)!?). Интегральное определение позволяет вычислять факториалы нецелых чисел. Например, можно придать смысл загадочному выражению (-½)!, поскольку при n = ½ имеем

ИСПОЛьЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ ДЛЯ РЕАЛьНыХ ВЕщЕй

237

Может показаться, что мы заменили одну загадку [что такое (-½)!] другой (чему равен этот интеграл?), но интеграл-то можно вычислить. В вычислении есть одна хитрость, и на деталях стоит остановиться, поскольку значение Γ(½) понадобится мне, чтобы завершить вычисление интегралов Френеля с помощью комплексных чисел. Начнем с замены переменной x = t2. Тогда dx = 2t dt, и потому

где

Конечно, различие между разными выражениями I в  виде интеграла тривиально: какой символ – t, u или v – использовать в качестве переменной интегрирования. Теперь запишем

Выглядит кошмарно, но существует изящный прием, о котором должен знать любой математик, физик или инженер и который устраняет кажущуюся сложность. Геометрически двойной интеграл интерпретируется как интегрирование функции f(u,v) по первому квадранту плоскости (u,v), т.  е. по области 0 £ u < ¥ , 0 £ v < ¥, а  dudv  – как дифференциал площади в  декартовых координатах. Очевидно, что от замены координат физически ничего не изменится. В  частности, если перейти к полярным координатам, то математика существенно упрощается. Поэтому положим u = r cos(θ) и v = r sin(θ), соответственно заменив дифференциал площади на rdrdθ. Первый

238

ГЛАВА 6. МАТЕМАТИКИ-КУДЕСНИКИ

квадрант определяется условиями 0 £ r < ¥ и 0 £ θ < π/2. Поскольку u2 + v2 = r2, имеем

Внутренний интеграл берется элементарно:

поэтому

Таким образом, I = ½

, а так как Γ(½) = 2I, то

Вернувшись к началу этого вычисления, мы увидим, что этот результат можно по-другому записать в виде:

или

Этот результат был известен де Муавру, начиная по крайней мере с 1733 года, когда он занимался исследованиями по теории вероятностей. Существует чудная история о том, как лорд Кельвин, читая лекцию студентам-инженерам, употребил слово «математик», затем остановился, оглядел аудиторию и спросил: «А знаете ли вы, кто такой математик?» Потом он написал на доске приведенный выше интеграл и  произнес:

ИСПОЛьЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ ДЛЯ РЕАЛьНыХ ВЕщЕй

239

«Математик – тот, для кого это очевидно, как для вас дважды два четыре». Думаю, что эти слова Кельвина немного приукрашены, но если нет, то ему стоило бы их сказать, потому что история отличная! До сих пор мы рассматривали гамма-функцию только в вещественной области. Следующий гигантский шаг Эйлера состоял в том, что он распространил ее на комплексные значения, сделав замену переменной. Полагая

где p и q – вещественные положительные постоянные, получаем

Должен сказать, что здесь есть небольшой обман. В  исходном определении Γ(n) интегрирование производится вдоль вещественной оси, а здесь путь интегрирования преобразовался в  прямую на комплексной плоскости, составляющую угол α = tg-1(q/p) с вещественной осью. Я не стану останавливаться на этом «тонком» моменте, потому что такая формальная манипуляция символами все же дает правильные результаты, но ниже, когда мы будем говорить о разработанной Коши теории контурного интегрирования на комплексной плоскости, я  гораздо внимательнее буду относиться к  положению путей интегрирования. На самом деле именно такая залихватская свобода обращения с комплексной заменой переменных в интегралах Эйлера и стала побудительным мотивом для работы Коши. Теперь заменим переменную интегрирования u обратно на x, просто для единообразия обозначений, и получим

240

ГЛАВА 6. МАТЕМАТИКИ-КУДЕСНИКИ

Затем Эйлер записал p + iq в полярной форме: где

p + iq = r ∠ α = r{cos(α) + i sin(α)} = reiα,

Таким образом,

Наконец, применив тождество Эйлера для разложения e-iqx и e-inα на вещественную и мнимую части, а затем приравняв вещественные и мнимые части по отдельности, получим:

Теперь Эйлер оказался совсем близко к  первоначальной цели  – вычислить интегралы I1 и  I2. Для этого он положил n = ½, p = 0 и q = 1. Поскольку при этом α = tg-1(1/0) = tg-1(¥) = π/2 и r = 1, имеем:

Ранее в этом разделе было показано, что Γ(½) =

, поэтому

Но если сделать замену переменной x = s2 в исходных интегралах I1 и I2, то легко видеть, что

ИСПОЛьЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНыХ ЧИСЕЛ ДЛЯ РЕАЛьНыХ ВЕщЕй

241

и, следовательно, I1 = I2 = ½ . Каким же гением был Эйлер! А ведь и это еще не все. Где-то между 1776 и 1783 годом (когда он умер) Эйлер с помощью комплексных чисел показал, что

Это важный интеграл, который то и дело возникает в физике, математике и теории электронной передачи информации. Это чудесное вычисление было опубликовано только через много лет после смерти Эйлера. Я покажу несколько более общий результат, при выводе которого тоже используются комплексные числа. Рассмотрим комплексный интеграл ∫0¥e(-p+iq)xdx, где предполагается, что p > 0, чтобы гарантировать сходимость интеграла. Он легко берется, и результат равен (p + iq)/(p2 + q2). Если, воспользовавшись тождеством Эйлера, разделить вещественную и мнимую части, то получим

Сосредоточимся на первом равенстве и проинтегрируем обе части по q, т. е. будем считать, что q – переменная, а p – постоянная. Тогда при произвольных пределах интегрирования a и b будем иметь:

242

ГЛАВА 6. МАТЕМАТИКИ-КУДЕСНИКИ

Поменяв порядок интегрирования в двойном интеграле слева на противоположный, получаем:

Для изменения порядка интегрирования должны выполняться некоторые условия непрерывности и сходимости, о которых можно прочитать в любом хорошем учебнике математического анализа. Поскольку эта книга не претендует на роль строгого учебника, я опущу проверку этих условий. Но заверяю вас, что изменить порядок интегрирования здесь можно. Интеграл в  правой части равенства тоже легко берется, нужно только сделать замену переменной u = q/p [тогда du = (1/p)dq] и написать

Полагая b = 0 в этих двух (равных) выражениях, получаем:

Устремим p → 0:

Наконец, в  предположении, что можно поменять местами операции перехода к  пределу и  интегрирования, приходим к окончательному выводу:

ФОРМУЛА ДОПОЛНЕНИЯ ЭйЛЕРА ДЛЯ Γ(n) И ФУНКцИОНАЛьНОЕ УРАВНЕНИЕ

243

Этот результат называют разрывным интегралом Дирихле (разрыв имеет место при a = 0) в честь немецкого математика Густава Петера Лежена Дирихле (1805–1859), сменившего Гаусса в должности профессора математики в Гёттингенском университете после смерти Гаусса в  1855 году. Закончив вычисление этого интеграла в частном случае a = 1, Эйлер испытал законную гордость, заметив, что «до настоящего времени он не поддавался ни одному из известных методов вычисления».

6.13. Формула дополнения Эйлера для Γ(n) и функциональное уравнение для ζ(n) В этом разделе я покажу, как можно использовать комплексные числа для вывода двух результатов – Эйлера и Римана, – считающихся одними из самых знаменитых тождеств в математике. Напомним определение гамма-функции из предыдущего раздела:

Как и раньше, сделаем замену переменной x = t2:

откуда после замены n на 1 - n сразу следует, что

244

ГЛАВА 6. МАТЕМАТИКИ-КУДЕСНИКИ

Произведение Γ(n)Γ(1 - n) особенно интересно в силу свойства Γ(n) = (n - 1)! Имеем nΓ(n)Γ(1 - n) = (-n)! (n!),

и если бы нам удалось вычислить произведение Γ(n)Γ(1 - n), то мы смогли бы выразить (-n)! через n!, где n ³ 0. Итак, напишем

где переменные интегрирования обозначены разными буквами x и y, чтобы избежать путаницы. Без сомнения, взгляд на это выражение у большинства людей вызовет дрожь в коленках. Но эта кажущаяся сложность исчезает, стоит применить тот же прием, с  помощью которого я  в  предыдущем разделе вычислил Γ(½). Как и раньше, перейдем к полярным координатам и напишем x = rcos(θ), y = rsin(θ), тогда соответствующий дифференциал площади будет равен rdrdθ. Интересующий нас первый квадрант определяется условиями 0 £ r < ¥ и  0 £ θ £ π/2. Поскольку x 2 + y 2 = r 2,

имеем

ФОРМУЛА ДОПОЛНЕНИЯ ЭйЛЕРА ДЛЯ Γ(n) И ФУНКцИОНАЛьНОЕ УРАВНЕНИЕ

245

Интеграл по r берется элементарно:

поэтому

Теперь сделаем еще одну замену переменной, s = ctg(θ), в результате чего интеграл преобразуется к виду

или, полагая 2n = α, получаем Это нетривиальный интеграл, но в  главе 7 я  покажу, как такие интегралы берутся, воспользовавшись формулой Муавра из главы 3 в сочетании с изобретенной в XIX веке теорией интегрирования на комплексной плоскости. В частности, мы увидим, что

так что для нашей задачи, где β = 2, получается удивительный, неожиданный и поражающий воображение результат:

Это красивое равенство, которым мы обязаны Эйлеру (1771), называется формулой дополнения для гамма-функции.

246

ГЛАВА 6. МАТЕМАТИКИ-КУДЕСНИКИ

, – результат, Для n = 1/2 имеем Γ2(½) = π, или Γ(½) = который мы уже получили прямым вычислением в предыдущем разделе в процессе анализа интегралов Френеля. В первой части этого раздела было также выведено симпатичное выражение

Например:

В 1859 году Риман показал, как можно элегантно выразить произведение Γ(s)ζ(s), т. е. произведение гамма- и дзетафункций. (Традиционно в  этом анализе принято обозначать комплексную переменную s, а не z. На первый взгляд кажется, что это тривиальный момент – всего-то обозначение, – но на самом деле вопрос гораздо глубже, и  я  остановлюсь на нем подробнее в  главе 7.) Из определения гамма-функции после замены переменной u = nx следует, что

Суммируя обе части, получаем

Если предположить, что можно переставить местами суммирование и интегрирование в левой части (смелее!), то оказывается, что

ФОРМУЛА ДОПОЛНЕНИЯ ЭйЛЕРА ДЛЯ Γ(n) И ФУНКцИОНАЛьНОЕ УРАВНЕНИЕ

247

а поскольку сумма – это просто бесконечная геометрическая прогрессия, то вычислить ее легко. В результате получаем:

Как и в случае Γ(n)Γ(1 - n), кажется, что этот интеграл «не для новичков». Но, как и прежде, его можно вычислить с помощью интегрирования на комплексной плоскости, что Риман и сделал. В разделе 7.8 я еще вернусь к этому интегралу, но, чтобы не оставлять вас разочарованными прямо сейчас, приведу конечный результат – чудесное и  загадочное функциональное уравнение для дзета-функции, одну из жемчужин математики: ζ(s) = (1 - s)Γ(1 - s)2sπs-1sin(½πs).

И вот одно интересное применение этого функционального уравнения. Положим s = -2n, где n – целое неотрицательное число. Тогда ζ(-2n) = -ζ(1 + 2n)Γ(1 + 2n)2-2nπ-(2n+1)sin(nπ) = 0,

поскольку все множители в  правой части – конечные положительные числа, кроме sin(nπ), равного нулю. Таким образом, все четные неотрицательные целые числа являются нулями дзета-функции, о чем было упомянуто еще в разделе 6.4. Однако следует исключить n = 0, потому что в  этом случае ζ(1 + 2n) = ζ(1) = S1 = ¥, и можно показать, что этой бесконечности достаточно, чтобы компенсировать sin(0) = 0. Можно даже показать, что ζ(0) = -½. Напомним: и  формулу дополнения для гамма-функции, и функциональное уравнение для дзета-функции можно вывести, если удастся взять эти интегралы «не для новичков», а мы сумеем их взять, познакомившись с комплексными интегралами в главе 7.

ГЛАВА 7

Девятнадцатый век, Коши и начало теории функций комплексного переменного

7.1. Введение В предыдущей главе мы, как мне кажется, закончили со всем, что можно сделать с самой мнимой величиной и ее продолжением – комплексными числами. Следующий логический шаг  – рассмотреть функции от переменных, принимающих комплексные значения, т. е. функции вида f(z), где z = x + iy. Но тогда возникает вопрос, на чем остановиться. Сегодня существует необозримая литература по теории функций комплексного переменного (ТФКП), большая часть которой чисто математическая, но немало и трудов практического, прикладного характера. Я  полагаю, что физики и  инженеры используют комплексные переменные и теорию функций чаще, чем математики. Эта книга – не учебник, но чтобы хотя бы заглянуть всюду, куда возможно, потребовался бы гигантский том на пару тысяч страниц. Вы бы не стали его покупать, а я вряд ли прожил бы так долго, чтобы его написать. Поэтому я  просто покажу самые начала современной теории функций комплексного переменного – интегрирование на комплексной плоскости, основы которого заложил гениальный француз Огюстен Луи Коши (1789–1857) в мемуаре 1814 года, представленном Французской академии наук1. Я поступлю так по трем причинам. Во-первых, как я  уже сказал, невозможно вместить все в такую книжку, как эта. Во-вторых, начинать с  начала уместно в  книге с  сильным историческим уклоном. И  в-третьих, я  хочу рассказать об основополагающей работе Коши просто потому, что она очень красива.

ВВЕДЕНИЕ

249

Поступив в  Стэнфорд на факультет электротехники, о  чем я рассказывал в предисловии, я, естественно, начал посещать все курсы математики для инженеров: дифференциальное и интегральное исчисление, обыкновенные дифференциальные уравнения и  дифференциальные уравнения в  частных производных и  даже теорию множеств. Все эти курсы были мне интересны, и, слушая их, я быстро научился ценить те возможности, которые они открывали для решения трудных задач. Но только на курсе по ТФКП осенью 1960 года я испытал совершенно новое чувство – чистое наслаждение от изучения математики, которая сама по себе была «красива». Все в этом курсе соединялось между собой чисто, плотно, без зазоров, как в хорошо изготовленном, пусть и сложном, пазле. В  математическом анализе отдельные фрагменты, конечно, тоже стыковались, но при этом возникало некое ощущение утилитарности происходящего  – по крайней мере, у  меня, что, возможно, объясняется особенностями характера. А в теории функций комплексного переменного фундаментальные теоремы не только обладают мощностью и  общностью, но и  вызывают удивление. Для меня ТФКП стала откровением на грани мистического опыта  – еще одна особенность характера? Особенно меня зачаровала часть ТФКП, связанная с  ее исторически первым применением,  – интегрирование на комплексной плоскости, то, что называется интегрированием по контуру. Владея теорией интегрирования в комплексной области, можно было почти без усилий вычислять сколько угодно невероятно странных, чудных и загадочных определенных вещественных интегралов. Например, я научился доказывать, что

Мне казалось, что такие вычисления по силам только могучему волшебнику. Но я был неправ – теория подобных вычислений была разработана человеком вовсе не зловещим, а немного чудаковатым, набожным христианином и сторонником традиций французских королей.

250

ГЛАВА 7. ДЕВЯТНАДцАТый ВЕК, КОШИ И НАЧАЛО ТЕОРИИ ФУНКцИй

7.2. Огюстен Луи Коши Когда в 1793 году Париж захлестнул якобинский террор, отец Коши, высокопоставленный чиновник, увез свою семью в деревню, где собрались и другие интеллектуалы, убравшиеся из города до тех пор, пока не перестанет литься кровь и  лететь с плеч головы. Например, одним из соседей, чудом избежавшим гильотины, был Лаплас – поднаторевший в политической изворотливости не меньше, чем в математической физике. Временное и поспешное бегство, наверное, даже стало возбудителем, потому что Коши уже в раннем детстве подавал признаки гениальности. Говорят, что великий французский математик Лагранж сказал отцу Коши, что когда-нибудь его сын станет научной звездой, но остерегал от чтения мальчиком серьезных математических книг до достижения семнадцати лет! Коши получил образование инженера-строителя и к 1810 году участвовал в  строительстве базы флота, откуда Наполеон намеревался атаковать Англию. По неизвестным причинам, связанным со здоровьем, – быть может, из-за многолетнего плохого питания в детстве, когда семья вынуждена была покинуть Париж, – Коши был освобожден от физических тягот службы военным инженером в 1811 году и начал феерически продуктивную карьеру математика. До смерти он успел написать более восьмисот статей и семь книг, уступив только Эйлеру. Мемуар 1814 года вышел всего через три года после начала новой карьеры, им мог бы гордиться любой математик в два раза старше его. Но поначалу старшие коллеги, которым он попал на рецензию, отнеслись к нему иначе. Они поддержали его – хотя Лежандр критиковал способ, которым Коши вычислил интеграл, недавно опубликованный в книге Лежандра Exercises du Calcul Intégral, поскольку он давал другой ответ (правильным было решение Коши), – но не поняли, что Коши был на пороге открытия совершенно новой области математики, теории функций комплексного переменного. Почти наверняка это непризнание было вызвано тем, какие причины Коши привел в обоснование своего мемуара. Их было две, и обе довольно приземленные. Во-первых, он пытался объяснить, почему значение повторного интеграла может зависеть от порядка интегрирования, разность он называл вычетом. А во-вторых, он хотел подвести прочные основания под довольно беспечные

ОГюСТЕН ЛУИ КОШИ

251

манипуляции, с  помощью которых математики того времени вычисляли некоторые определенные интегралы, применяя разные трюки с комплексными числами, как, например, Эйлер вычислил интегралы Френеля (см. главу 6). Человек, который поставил перед собой такие задачи, очевидно, был довольно сложной, никак не ординарной личностью. Коши родился всего через несколько дней после взятия Бастилии и  годовщины Французской революции, но всю жизнь был почти фанатическим приверженцем династии Бурбонов. Например, когда Лазар Карно и Гаспар Монж, когда-то преподававший Карно математику, были по политическим причинам исключены из Академии наук в 1816 году, Коши с радостью занял невыборную должность вместо Монжа. Монж был близким другом узурпатора Наполеона, а  роль Карно в  голосовании по вопросу казни Людовика XVI двадцатью тремя годами ранее, без сомнения, облегчила Коши решение – его ничуть не расстроил позор приверженца ложного короля и цареубийцы. Может показаться, что Коши как человеку недоставало здравого смысла, известны примеры его наивного, инфантильного и даже невоспитанного поведения. Так, когда июльская революция 1830 года возвела на престол представителя Орлеанской ветви династии Бурбонов, «короля-гражданина» буржуазии Луи-Филиппа, от Коши потребовали принести присягу, чтобы сохранить три его академических кресла в разных учреждениях. Коши отказался присягать (он не был против королей вообще, только против тех, кто не принадлежал к основной ветви династии Бурбонов) и  отправился в  добровольное изгнание вместе с низложенным Карлом X. Быть может, он опасался еще одной кровавой революции, но все же странно, что он покинул свою семью на четыре года. В  конце концов, он вернулся во Францию в  1838 году. А  еще раньше, когда в  1826  году норвежский математик Нильс Абель побывал с визитом у Коши, он писал, что встретил религиозного фанатика, если не хуже. Но нельзя сказать, что Коши был «ужасной» личностью. Вряд ли может быть совсем уж плохим человек, посвятивший своей жене такое любовное стихотворение: Мой нежный друг, я буду любить тебя До конца своих дней. Но поскольку есть другая жизнь, Твой Луи будет любить тебя вечно.

252

ГЛАВА 7. ДЕВЯТНАДцАТый ВЕК, КОШИ И НАЧАЛО ТЕОРИИ ФУНКцИй

Но какое значение имеет личность Коши сегодня? Его математика – вот что красиво. Буквально за несколько часов до смерти Коши обсуждал с  парижским архиепископом планы благотворительной деятельности – еще одна любопытная черточка его характера. Архиепископ вспоминал, что последними обращенными к нему словами Коши были: «Люди уходят, но их деяния остаются». Деяния Коши не забудутся, пока люди изучают математику. В частных заметках и  письмах Гаусса (написанных до 1814  года) имеются прямые свидетельства того, что он знал все, что содержалось в мемуаре Коши, и более того. Но таков уж был стиль Гаусса – он не публиковал своих работ, пока не был уверен, что «все правильно», поэтому слава по праву досталась Коши. Как писал немецкий математик XIX века Леопольд Кронекер, когда и Коши, и Гаусс уже много лет покоились в  могилах, имеется «большая разница между тем, кто публикует математическое доказательство с  обоснованием его полноты, и тем, кто мимоходом сообщает о нем в личном письме знакомому. Поэтому эта теорема [названная в разделе 7.5 первой интегральной теоремой] может с полным правом именоваться теоремой Коши». Но, конечно, Коши сделал не все, уже существовал фундамент, на который он мог опереться. Например, работа Коши открывается предположением, что читатели понимают то, что сегодня мы назвали бы аналитичностью комплексной функции f(z) в области комплексной плоскости2. Поэтому я  начну последнее техническое ралли в  этой книге с объяснения того, что это понятие означает.

7.3. Аналитические функции и условия Коши–Римана Сразу хочу отметить, что буквами x и y мы будем обозначать вещественные переменные; x откладывается по вещественной оси, а y по мнимой, и, конечно, говорить надо не о y, а об iy. Следующее усложнение – комплексная переменная z = x + iy. И наконец, говоря о комплексной функции, или функции комплексного переменного, я  имею в  виду f(z), например f(z) = f(x + iy) = z2 или f(z) = f(x + iy) = ez. Разумеется, у функции f(z) имеется вещественная и мнимая части, которые, в свою очередь, являются функциями от x и y. Например,

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКцИИ И УСЛОВИЯ КОШИ–РИМАНА

253

f(z) = z2 = (x + iy)2 = x2 - y2 + i 2xy и f(z) = ez = ex+iy = excos(y) + i exsin(y). Вообще, я буду писать f(z) = u(x,y) + iv(x,y), так что в случае f(z) = z2 имеем u(x,y) = x2 - y2 и v(x,y) = 2xy. Не забывайте: u и v – вещественные функции вещественных переменных x и y. Истоки теории функций комплексного переменного кроятся в ответе на вопрос: что является производной f(z)? Формальный ответ именно такой, какого и  следовало ожидать, вспомнив определение производной функции вещественного переменного в начальном курсе анализа. Итак, если функция f(z) имеет производную в f ¢(z) в точке z = z0, то

Однако что именно означает «Δz стремится к  нулю», не так очевидно, как в случае одной вещественной переменной. В этом, более простом случае «Δx → 0» в определении f ¢(x) означает стремление Δx к нулю вдоль одномерной вещественной оси, потому что только там и принимает значения переменная x. Но поскольку z может находиться в любой точке двумерной комплексной плоскости, то и  стремиться к  нулю она может бесконечно большим числом способов. Так что же означает запись Δz → 0? Ответ таков: мы хотим, чтобы в определении f ¢(z) было как можно меньше ограничительных условий, поэтому настаиваем, что конкретный способ стремления Δz к нулю не должен играть роли. Это, конечно, философская позиция. Почему нам так уж нужно определение, максимально свободное от условий? Конечно, в математике мы вольны определять что угодно и как угодно, но всегда лучше, когда конкретное определение оказывается практически полезным, т.  е. позволяет решать трудные задачи. Как выясняется, такое определение f ¢(z)  – именно то, что надо. Но бесплатных завтраков не бывает, и, настаивая на такой свободе, мы обнаружим, что ограничения возникают где-то в другом месте. Забегая вперед, скажу, что придется наложить ограничения на u(x,y) и v(x,y) – вещественную и мнимую части f(z), если мы хотим, чтобы f ¢(z) существо-

254

ГЛАВА 7. ДЕВЯТНАДцАТый ВЕК, КОШИ И НАЧАЛО ТЕОРИИ ФУНКцИй

вала в точке z → z0 при любом способе стремления Δz к нулю. Эти условия дают дифференциальные уравнения в  частных производных Коши–Римана

в точке z = z0. Условия Коши–Римана (условия К–Р) описывают необходимые и почти достаточные условия, которым должны удовлетворять u и v, где f = u + iv, чтобы f имела однозначно определенную производную в точке z = z0. Докажем необходимость. Пусть z0 = x0 + iy0 и Δz = Δx + iΔy. Тогда Δz → 0 эквивалентно одновременному стремлению Δx → 0 и Δy → 0. Таким образом, Из всего бесконечного множества способов стремления Δx и Δy к нулю рассмотрим всего два. Сначала предположим, что Δy = 0 и, стало быть, Δz = Δx, т. е. z стремится к z0 вдоль прямой, параллельной вещественной оси. Затем предположим, что Δx = 0 и Δz = iΔy, т. е. z стремится к z0 вдоль прямой, параллельной мнимой оси. Если f ¢(z0) определена однозначно, то независимо от того, как именно Δz → 0, результаты в обоих случаях должны совпадать. В первом случаем имеем:

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКцИИ И УСЛОВИЯ КОШИ–РИМАНА

255

а во втором:

Приравнивая вещественные и мнимые части обоих выражений f ¢(z0), получаем два условия К–Р. Этот анализ доказывает необходимость условия, а  чтобы доказать достаточность, мы должны показать, что при любом способе стремления Δz к нулю, а не только при двух рассмотренных выше, получается одно и то же значение f ¢(z0). Это не так уж трудно сделать, но за доказательством отсылаю вас к любому учебнику по ТФКП. Мы же примем на веру, что если условия К–Р удовлетворяются и частные производные непрерывны, то функция f(z) аналитическая. Риман, тот самый, чье имя носит дзета-функция, первым привел это математическое доказательство в  своей докторской диссертации, написанной в  1851 году. Теперь этот подход принят во всех стандартных учебниках. Но на самом деле условия К–Р были открыты из физических соображений задолго до Коши и Римана. В 1752 году Д’Аламбер пришел к выражениям, эквивалентным уравнениям К–Р, в  ходе исследований по гидродинамике, а точнее при определении условий, необходимых для того, чтобы вращающаяся масса жидкости находилась в равновесии. Предположения о том, что жидкость несжимаемая и  что в  ней нет внутренних течений, привели Д’Аламбера к этим уравнениям. Но это, конечно, физика, а не чистая математика, которой требуют математики. Если f(z) = u + iv удовлетворяет уравнениям К–Р не только в точке z = z0, но и во всех точках некоторой области (или окрестности), окружающей z = z0, то говорят, что f(z) анали-

256

ГЛАВА 7. ДЕВЯТНАДцАТый ВЕК, КОШИ И НАЧАЛО ТЕОРИИ ФУНКцИй

тическая в  этой области. В  качестве простейшего, но все же нетривиального примера возьмем f(z) = z = x + iy. Тогда u = x и v = y, так что

и очевидно, что условия К–Р удовлетворяются для всех x и y, т. е. f(z) = z аналитическая в любой конечной области комплексной плоскости; такие функции называются целыми. Оговорка о «конечности» важна, потому что |f(z)| стремится к бесконечности при |z| → ¥. Поэтому в бесконечности f(z) = z, безусловно, не является аналитической. На самом деле существует теорема, утверждающая, что комплексные функции, целые на всей бесконечной плоскости, являются постоянными, т. е. все четыре частные производные тождественно равны нулю. Не все функции f(z) аналитические. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим второй пример: f(z) = = x  - iy. Тогда u = x и v = -y, так что

и очевидно, что одно из условий К–Р никогда не удовлетворяется, т. е. f(z) = не является аналитической ни в какой области комплексной плоскости. Мне кажется удивительным, что такое небольшое изменение f(z) оказывает столь значительный эффект на аналитичность функции. Теперь я хочу продемонстрировать одно следствие из уравнений К–Р, которое наводит на мысль о том, как ТФКП может применяться в физике и технике. Продифференцировав условия К–Р всеми четырьмя возможными способами, получим:

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКцИИ И УСЛОВИЯ КОШИ–РИМАНА

257

Первое и последнее равенства дают

а два средних:

Это уравнения Лапласа, названные так в честь французского математика Пьера Симона де Лапласа (1749–1827), бывшего соседом Коши во времена террора. Они встречаются в таких разных разделах физики, как динамика жидкостей и  газов, электростатика и оптика. Тот факт, что вещественная и мнимая части любой аналитической функции являются решениями уравнений Лапласа, можно использовать для решения многих важных задач, берущих начало в физике. Впервые это было показано в основополагающей докторской диссертации Римана. Вещественная и  мнимая части u и  v называются сопряженными гармоническими функциями. Понятно, что аналитические функции – довольно узкое подмножество всех возможных комплексных функций, но некоторые широкие классы функций в него все же попадают, например: 1) все полиномы от z – аналитические функции; 2) сумма и  произведение аналитических функций тоже аналитические; 3) частное аналитических функций является аналитическим всюду, где знаменатель отличен от нуля; 4) аналитическая функция от аналитической функции тоже является аналитической. Таким образом, из (1) следует, что функции f(z) = z2 и f(z) = ez аналитические: первая – потому что это полином, вторая – потому что экспоненту можно разложить в  степенной ряд. Из

258

ГЛАВА 7. ДЕВЯТНАДцАТый ВЕК, КОШИ И НАЧАЛО ТЕОРИИ ФУНКцИй

(2) следует, что f(z) = z2ez аналитическая, а из (3) – что f(z) = ez/(z2 + 1) аналитическая всюду, кроме точек z = ±i, которые называются особыми точками f(z), потому что в них f(z) обращается в  бесконечность. Исторически аналитическими назывались все функции, которые можно разложить в  степенной ряд.

7.4. Первый результат Коши Начнем с функции f(z) = ную и мнимую части:

. Нетрудно выделить ее веществен-

– и  показать, что обе эти функции удовлетворяют условиям К–Р для всех конечных x и y. Таким образом, f(z) аналитическая в  любой конечной области комплексной плоскости и, стало быть, является целой функцией. В  мемуаре 1814 года Коши вычислил интеграл этой функции f(z) вдоль замкнутого прямоугольного пути, показанного на рис. 7.1. y

(0, b)

(a, b)

C

(0, 0)

(a, 0)

Рис. 7.1. Прямоугольный контур из мемуара Коши 1814 года

x

ПЕРВый РЕЗУЛьТАТ КОШИ

259

Этот интеграл я  буду записывать в  виде ∮C f(z)dz. Здесь C обозначает прямоугольный контур, т. е. путь интегрирования. Кружочек на знаке интеграла означает, что контур замкнутый. Такие интегралы часто называют интегралами по контуру, или криволинейными интегралами. Слово контур обычно употребляется, когда путь интегрирования замкнут, а криволинейный – когда начало и конец пути интегрирования необязательно совпадают. Обозначение криволинейного интеграла может показаться странным, но, как мы скоро увидим, механизм вычисления таких выражений совсем нетрудный. Не стоит удивляться, что при записи интегралов комплекснозначных функций необходимо указывать путь C. Дело в том, что, в отличие от вещественных функций, для которых интервал интегрирования ограничен вещественной осью, в  случае комплексных функций переменной z доступна вся комплексная плоскость. Эта дополнительная свобода несет с собой проблемы – некоторые из них я покажу ниже, – но вместе с тем открывает огромные возможности. Например, как мы скоро увидим, выбор разных путей C для одной и той же f(z) может приводить к совершенно разным результатам. Знаменитый пример этой возможности в 1815 году рассмотрел французский математик Симеон Дени Пуассон (1781–1840), а в 1820 году опубликовал его в виде интеграла I = ∫1-1dx/x. Из соображений симметрии возникает искушение заявить, что этот интеграл равен нулю, поскольку 1/x – нечетная функция, т. е. мы имеем бесконечную отрицательную область на интервале от -1 до 0 и бесконечную положительную область на интервале от 0 до 1. Но при этом остается чувство неудовлетворенности, потому что ¥ + (-¥) может принимать любое значение, а не только нуль3. Проблема, как выясняется, вызвана тем, что при интегрировании вдоль вещественной оси мы проходим через точку – начало координат, – в которой подынтегральное выражение обращается в бесконечность. Однако Пуассон заметил, что от -1 до +1 можно пройти по другому пути, где бесконечность не встречается. Если сделать замену переменной x = -eiθ, где 0 £ θ £ π радиан, то интеграл принимает вид:

260

ГЛАВА 7. ДЕВЯТНАДцАТый ВЕК, КОШИ И НАЧАЛО ТЕОРИИ ФУНКцИй

Подынтегральное выражение всегда корректно определено, поскольку путь интегрирования обходит точку x = 0 по полуокружности, расположенной в верхней половине комплексной плоскости. В книге под редакцией Колмогорова и юшкевича (см. примечание 1) мы читаем об этой идее Пуассона слова, которые воспринимаются как непреднамеренная шутка: «Пуассон был на правильном пути». Вычисление, конечно, интересное, но еще немного рановато говорить о  том, что оно пытается до нас донести. Исторически же оно особенно интересно тем, что статья Пуассона 1820 года – первое появившееся в печати упоминание о пути интегрирования, не лежащем на вещественной оси (мемуар Коши был опубликован только в 1825 году). Следует, однако, добавить, что Пуассон ознакомился с мемуаром Коши 1814 года, когда тот был представлен Французской академии. Но вернемся к  теме. Почему Коши решил вычислить этот конкретный криволинейный интеграл? Как ни странно, не для того, чтобы узнать ответ – он и так знал, что значение равно нулю. А знал он это, потому что криволинейный интеграл по любому несамопересекающемуся замкнутому контуру C функции, аналитической в любой точке внутри и на самом C, всегда равен нулю. То есть ∮C f(z)dz = 0,

если C и его внутренность – область аналитичности f(z). Этот поразительный результат и составляет содержание первой интегральной теоремы Коши, и чуть ниже я приведу его изящное доказательство. А до конца данного раздела просто примем на веру, что эта теорема верна. Но мы так и не ответили на вопрос, почему Коши озаботился вычислением этого криволинейного интеграла, если знал, что он равен нулю. А ответ такой: да, интеграл в целом равен нулю, но мы можем разбить его на несколько частей, которые по отдельности не равны нулю, но в  сумме дают нуль. Выполняя интегрирование по контуру, Коши смог вычислить значения этих частей, и вот они-то представляют несомненный интерес. Вычисление интеграла той конкретной функции f(z), с которой мы начали этот раздел, приведено в  самом начале мемуара Коши 1814 года, а результатом стало обобщение знаменитого

ПЕРВый РЕЗУЛьТАТ КОШИ

261

интеграла, который я обсуждал в разделе 6.12 и который так взволновал лорда Кельвина. Вот что проделал Коши. Начнем с того, что напишем

где

I1 и I2 должны быть равны нулю, потому что комплексная величина I1 + iI2 равна нулю, только если вещественная и мнимая части по отдельности равны нулю. Вспоминая выражения u и v, приведенные в  начале этого раздела, и  глядя на рис. 7.1, мы сможем выписать следующие утверждения, если начнем обход из начала координат и обойдем C против часовой стрелки (очевидно, существует два способа обойти замкнутую кривую, но по соглашению принято выбирать обход против часовой стрелки): 2  (0,0) → a,0): y = 0 и dy = 0, поэтому u = e-x , v = 0; 2 2  (a,0) → (a,b): x = a и dx = 0, поэтому u = e-a ey cos(2ay), 2 2 v = -e-a e-y sin(2ay); 2 2  (a,b) → (0,b): y = b и  dy = 0, поэтому u = e-x eb cos(2bx), 2 2 v = -e-x eb sin(2bx); 2  (0,b) → (0,0): x = 0 и dx = 0, поэтому u = ey , v = 0. Подставляя эти выражения в  I1, мы сможем выразить I1 в виде суммы нескольких вещественных интегралов:

Если сгруппировать члены и вспомнить, что ∫a0 = -∫0a, то получим:

262

ГЛАВА 7. ДЕВЯТНАДцАТый ВЕК, КОШИ И НАЧАЛО ТЕОРИИ ФУНКцИй

Теперь положим a → ¥, тогда C становится бесконечно широким прямоугольником. Поскольку высота b остается конеч2 ной, интеграл в  правой части конечен, но коэффициент e-a стремится к нулю, поэтому имеем

или

Но интеграл в правой части – это как раз любимый интеграл лорда Кельвина из раздела 6.12, равный ½ , поэтому мы получили

т. е. обобщение интеграла Кельвина (к которому оно сводится при b = 0)4. Невероятно, правда? Похоже, что результат возник из ничего. Но, конечно же, это не так – это чудесное вычисление не состоялось бы без первой интегральной теоремы Коши. Ну а как насчет I2, чему равен этот интеграл? Вы можете самостоятельно пройти тем же путем, что и я, и показать, как это сделал Коши в своем мемуаре, что I2 приводит к такому результату:

При b = 0 это сводится к  тривиальному равенству 0 = 0, а в остальных случаях мы просто выразили один интеграл через другой. Любопытно, конечно, но совсем не так полезно, как результат, полученный при рассмотрении интеграла I1. Чтобы вычислить правую часть этого тождества, потребуется разложение в степенной ряд, что и было проделано Джорджем Стоксом в статье 1857 года5.

ПЕРВый РЕЗУЛьТАТ КОШИ

263

y z = x(1 + i) z = Reiθ

θ 0

R

x

Рис. 7.2. Другой контур для вычисления интегралов Френеля

А теперь, чтобы окончательно повергнуть вас в изумление, я хочу показать, как, просто заменив прямоугольный контур C на рис. 7.1 клинообразным, изображенным на рис. 7.2, мы сможем вывести интегралы Френеля, которые, следуя по сто. пам Эйлера, я уже вычислил в главе 6. Как и раньше, f(z) = Клинообразный контур представляет собой сектор окружности радиуса R. Поскольку 0 £ θ £ π/4 радиан, он составляет точно восьмушку. На вещественной оси мы имеем z = x, так что dz = dx. Для интегрирования по дуге окружности я  запишу z в полярной форме, z = Reiθ, так что dz = Reiθdθ. А на последнем отрезке контура C, замыкающем путь интегрирования, имеем z = (1 + i)x, так что dz = (1 + i)dx. Согласно первой интегральной теореме Коши, можно записать:

Положим R → ¥. Как показано во врезке 7.1, второй интеграл при этом стремится к нулю, поэтому

264

ГЛАВА 7. ДЕВЯТНАДцАТый ВЕК, КОШИ И НАЧАЛО ТЕОРИИ ФУНКцИй

Врезка 7.1 Почему I = limR→¥R ∫0π/4e-R

2ei2θ

iReiθdθ = 0

И наконец, |I| £ R ∫0π/4e-R cos(2θ)dθ. Сделав замену переменной 2 ϕ = 2θ, получаем |I| £ ½R ∫0π/2e-R cos(ϕ)dϕ. Из геометрических соображений, cos(ϕ) ³ (2/π)(π/2 - ϕ) при 0 £ ϕ £ π/2 радиан. В этом легко убедиться, нарисовав в одних и тех же осях график четверти периода y = cos(ϕ) на отрезке от ϕ = 0 до π/2 и график прямой y = (2/π)(π/2 - ϕ) = 1 - (2/π)ϕ. Графики пересекаются в точках ϕ = 0 и  ϕ = π/2, причем косинусоида, очевидно, расположена над прямой во всех точках, кроме 0 и π/2. Таким образом, 2

Приравнивая вещественную часть последнего интеграла к  чисто вещественному значению ½ , а  мнимую – к  нулю, получаем:

ПЕРВАЯ ИНТЕГРАЛьНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ

265

и

Таким образом,

а после замены переменной s2 = 2x2 эта формула принимает вид:

– результат, который Эйлер вывел еще тридцать лет назад. Все сказанное в  этом разделе опирается на первую интегральную теорему Коши, которую я просил временно принять на веру. А теперь я покажу, что верили вы не напрасно.

7.5. Первая интегральная теорема Коши Пусть дана комплексная функция f(z), аналитическая в любой точке контура C и всюду в области, ограниченной контуром C, как показано на рис. 7.3. Тогда первая интегральная теорема Коши утверждает, что

В письме знакомому, датированном 1811 годом, Гаусс писал: «Это красивая теорема, доказательство которой я представлю при удобном случае». Он этого так и не сделал, поэтому честь досталась Коши. По соглашению будем считать, что интегрирование по контуру производится против часовой стрелки, т. е. при движении вдоль контура C ограниченная им область R на-

266

ГЛАВА 7. ДЕВЯТНАДцАТый ВЕК, КОШИ И НАЧАЛО ТЕОРИИ ФУНКцИй

ходится слева. Тем самым определена внутренность C. Если обходить C в противоположном направлении, то алгебраический знак интеграла изменится на противоположный.

C

R

Рис. 7.3. Простая кривая, имеющая внутренность и внешность

Идея о том, что замкнутая несамопересекающаяся кривая, называемая простой, отделяет внутренность от внешности, многим представляется очевидной, но на самом деле доказать это очень непросто. В виде теоремы ее впервые сформулировал французский математик Камиль Жордан (1838–1922), который дал неправильное доказательство в 1887 году. Первое правильное доказательство появилось только в 1905 году. Все рассматриваемые в  этой книге простые кривые (например, прямоугольники и окружности) настолько просты, что я буду считать теорему Жордана очевидной. Внутренность простой кривой называется односвязной областью, геометрически это означает, что любая замкнутая кривая в  этой области, простая или нет, охватывает только точки, ей же (области) и принадлежащие. Если область не односвязная, то она называется многосвязной – простой пример многосвязной области дает односвязная область с дыркой внутри. Точки, «принадлежащие дырке», являются частью внешности.

ПЕРВАЯ ИНТЕГРАЛьНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ

267

Для доказательства теоремы Коши напишем:

Последние два криволинейных интеграла обращаются в  нуль, если выполняются условия К–Р, а  они выполняются, т. к. мы предположили, что f(z) аналитическая. Чтобы доказать это утверждение, я призову на помощь знаменитую теорему Грина, согласно которой если P(x,y) и  Q(x,y) – вещественные функции x и y, то

Как и в случае первой интегральной теоремы Коши, я попрошу вас временно поверить мне и обещаю доказать этот важный результат прямо в следующем разделе. В мемуаре 1814 года Коши не использовал теорему Грина по той простой причине, что Грин ее еще не опубликовал. Подход Коши был совершенно иной, но поскольку доказательство, основанное на теореме Грина, гораздо понятнее, я приведу его. Сам Коши придерживался того же мнения, т. к. в более позднем изложении (1846) применил теорему Грина. Когда в следующем разделе мы будем обсуждать доказательство теоремы Грина, я расскажу обо всех деталях интегрирования по области R (внутренности C), которое подразумевается двойным интегралом в правой части, но сейчас нам эти детали не важны. Для первого интеграла в теореме Коши, ∮C(udx - vdy), имеем P = u и Q = -v, поэтому по теореме Грина

268

ГЛАВА 7. ДЕВЯТНАДцАТый ВЕК, КОШИ И НАЧАЛО ТЕОРИИ ФУНКцИй

Но условия К–Р говорят нам, что -∂v/∂x - ∂u/∂y = 0, поэтому Аналогично для второго криволинейного интеграла в теореме Коши, ∮C(vdx + udy), имеем P = v и  Q = u, поэтому по теореме Грина

Но, по условиям К–Р, ∂u/∂x - ∂v/∂y = 0, поэтому что и завершает доказательство первой интегральной теоремы Коши. Знакомясь в следующем разделе с доказательством теоремы Грина, вы увидите, что я предполагаю не только существование, но и непрерывность f ¢(z). Лишь в 1900 году, через много лет после смерти Коши, французский математик Эдуар Гурса (1858–1936) показал, что первая интегральная теорема верна даже тогда, когда f ¢(z) не является непрерывной. Ранее (1886) итальянец Джачинто Морера (1856–1909) показал, что теорема, обратная первой интегральной теореме Коши, тоже верна. Это означает, что если f(z) – непрерывная функция в односвязной области и если для любой простой кривой C в этой области ∮C f(z)dz = 0, то f(z) в этой области аналитическая.

7.6. Теорема Грина

Теорема, использованная в предыдущем разделе для доказательства первой интегральной теоремы Коши:

где контур C является границей двумерной области R на комплексной плоскости, названа в честь английского математика-

ТЕОРЕМА ГРИНА

269

самоучки Джорджа Грина (1793–1841). Обычно она называется именно так, хотя мне встречались учебники, в которых ее именуют теоремой Гаусса или теоремой Стокса. Но все авторы имеют в виду именно приведенный выше результат, так откуда же многообразие названий? На самом деле теоремы, связывающие интегралы по контуру, по поверхности и по объему, были очень популярны в первой половине XIX века. Как писал историк математики йеспер Лютцен, «любой математик, занимавшийся [теориями электричества или гравитации], натыкался на какие-то теоремы, связывающие интегралы по объему и  поверхности [Лютцен мог бы добавить: и по кривой]. Поэтому история теорем Грина, Гаусса и Стокса полна независимыми открытиями»6. Вероятно, Гаусс пришел к этой теореме первым, но, как водится, не опубликовал ее. Результаты, которые Гаусс не опубликовал, могли бы составить репутацию десяти математикам. В 1828 году Грин опубликовал эту теорему в напечатанной за свой счет брошюре «Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism»i. Поскольку работа Грина не была напечатана в архивируемом журнале, она очень скоро стала редкой и  едва не исчезла вовсе7. Когда Грина в  1833 году официально приняли в  Кембриджский университет и его талант был оценен признанными учеными, «Очерк» стал документом, о  котором все слышали, но никто не видел. В 1839 году Грин сам стал членом совета колледжа, но его карьера внезапно оборвалась всего через два года из-за преждевременной кончины то ли от алкоголизма, то ли от болезни легких. Затем в 1845 году, сразу после окончания Кембриджа, Уильям Томпсон (позже лорд Кельвин) спросил у своего наставника по математике об «Очерке» и  получил сразу три экземпляра. Очевидно, Томпсон знал о  теореме Грина в  1845 году, но в  постскриптуме к  письму (датированному 2 июля 1850), адресованному кембриджскому знакомому, Джорджу Стоксу (1819–1903), Томпсон упомянул о ней, но не дал доказательства и не упомянул об авторстве Грина. В феврале 1854 года Стокс включил доказательство этой теоремы в программу экзамена i Очерк о применении математического анализа к теориям электричества и магнетизма. – Прим. перев.

270

ГЛАВА 7. ДЕВЯТНАДцАТый ВЕК, КОШИ И НАЧАЛО ТЕОРИИ ФУНКцИй

в Кембридже – любопытно отметить, что вопрос достался юному Джеймсу Клерку Максвеллу. Впоследствии Максвелл (1831– 1879) разработал математическую теорию электромагнетизма в своем шедевре 1873 года «Электричество и магнетизм», где в  сноске к  параграфу 24 приписал теорему Стоксу. Поэтому сегодня эту теорему часто называют – вы уже догадались – теоремой Стокса. Так кто же автор теоремы? Если в качестве критерия взять дату публикации, то это Грин, и именно так, похоже, считает подавляющее большинство авторов учебников. А  что насчет Коши, спросите вы? Насколько мне удалось распутать этот клубок, фундаментальная идея теоремы Грина присутствует в  мемуаре Коши 1814 года. Но ее использование погребено в  работе, предметом которой является интегрирование в комплексной области, тогда как Грин сформулировал ее явно. В  конечном итоге Коши все-таки принял представленный мной подход к доказательству первой интегральной теоремы, но уже после того, как «Очерк» был опубликован. Чтобы придать дополнительную пикантность всему сказанному, напомню, что Максвелл, как я уже сказал, приписал обсуждаемую теорему Стоксу в  своей книге «Электричество и магнетизм». И тем не менее в параграфе 96 этой же книги Максвелл пишет о теореме Грина – и цитирует его «Очерк». Но там он пишет об интегральной теореме, связывающей двойной интеграл (по поверхности) не с криволинейным (по краю поверхности), а с тройным – по объему, занятому замкнутой поверхностью. Сегодня этот результат обычно называют теоремой Гаусса. И наконец, должен сказать, что в России теорему Грина называют теоремой Остроградского в честь Михаила Остроградского (1801–1862), который работал вместе с Коши в Париже в 1820-х годах и независимо открыл ее в 1831 годуi. Запутались? Не переживайте – важно знать сами теоремы, а не их названия. Что ж, настало время эту теорему доказать. Я начну с  сильно упрощающего предположения: будем считать, что R – прямоугольник со сторонами, параллельными осям x и y, как показано на рис. 7.4, и что его граница C = i Автор ошибается. Теоремой Остроградского в России называют результат, связывающий интегралы по объему и поверхности. – Прим. перев.

ТЕОРЕМА ГРИНА

271

C1 + C2 + C3 + C4, т. е., проще говоря, состоит из четырех сторон. А в конце я попробую убедить вас, что доказательство гораздо более общее, чем может показаться на основании этого предположения. Итак, для начала рассмотрим член ∫R ∫-(∂P/∂y)dxdy в правой части теоремы Грина. Имеем:

y С3

y1

С2 С4

y0 С1 х0

х1

х

Рис. 7.4. Упрощенная область для доказательства теоремы Грина

Обратите внимание, что в  двух последних интегралах я опустил индексы в переменных y0 и y1, которые присутство-

272

ГЛАВА 7. ДЕВЯТНАДцАТый ВЕК, КОШИ И НАЧАЛО ТЕОРИИ ФУНКцИй

вали в  предыдущих интегралах. Это можно сделать, потому что индексы были нужны, чтобы различать интегрирование вдоль нижней стороны (y0) и вдоль верхней стороны (y1) прямоугольника, а теперь мы для той же цели используем отдельные интегралы по контурам C1 (нижняя сторона) и C3 (верхняя сторона), которые указаны под знаками интеграла. Заметим также, что в равенстве

(∂P/∂y)dy = P(x,y1) - P(x,y0) сделано

неявное предположение о том, что частная производная ∂P/∂y непрерывна. Это не что иное, как фундаментальная теорема интегрального исчисления. Аналогичные интегралы по x можно написать для двух других сторон (C2 и C4), а поскольку они вертикальные, то вдоль них dx = 0. Таким образом, эти два интеграла обращаются в нуль, поэтому от того, что мы формально прибавим их к интегралам по C1 и C3, ничего не изменится. Итак,

Повторив все проделанное выше для члена ∫R ∫-(∂Q/∂x)dxdy в теореме Грина и, заметив, что dy = 0 вдоль горизонтальных сторон C1 и C3, легко показать, что

Это завершает доказательство теоремы Грина для нашего, так удобно ориентированного прямоугольника. Но в действительности это доказательство легко обобщается на гораздо более сложные формы R. Например, на рис. 7.5 показан полукруг, составленный из множества очень тонких прямоугольников  – чем они тоньше, тем их больше, но в этом нет ничего страшного; если они толщиной с папиросную бумагу, то полукруг будет аппроксимирован очень точно. Если обозначить границу полукруга C, а границы прямоугольников C1, C2, C3, ..., то, очевидно,

ТЕОРЕМА ГРИНА

273

потому что стороны прямоугольников, параллельные оси x, обходятся дважды, по разу в  каждом направлении (по часовой стрелке и  против нее), поэтому их вклады в  различные интегралы в  правой части взаимно уничтожаются (мы еще раз увидим этот прием ниже). Единственное исключение  – самая нижняя горизонтальная сторона, C1. Лишь интегрирования вдоль вертикальных сторон прямоугольников не сокращаются. Если сделать прямоугольники очень узкими, то объединение вертикальных сторон как раз и составит контур C. В этой главе нам встретятся только прямоугольники, полукруги и круги, поэтому того, что мы уже сделали, достаточно. Но на самом деле теорема Грина применима к  сколь угодно сложным фигурам.

С

С2

С1 Рис. 7.5. Аппроксимация односвязной области прямоугольниками

274

ГЛАВА 7. ДЕВЯТНАДцАТый ВЕК, КОШИ И НАЧАЛО ТЕОРИИ ФУНКцИй

7.6. Вторая интегральная теорема Коши Вот теперь мы готовы познакомиться с по-настоящему красивым результатом из мемуара Коши 1814 года. Коши задался вопросом: что произойдет, если проинтегрировать комплексную функцию по контуру, содержащему одну или более точек, в которых функция не является аналитической? Точнее, предположим, что f(z) аналитическая во внутренности C, которая содержит точку z = z0 такую, что f(z0) ≠ 0. Тогда f(z)/(z - z0) также аналитическая всюду в этой области, кроме точки z = z0, в которой f(z)/(z - z0) обращается в бесконечность. Точка z0 называется особой точкой первого порядка, или простым полюсом. Термин «первого порядка», как мне кажется, не нуждается в пояснениях. Точно так же функции f(z)/(z - z0)2 и f(z)/(z - z0)3 имеют в z0 особые точки второго и третьего порядка соответственно. Возможны даже особые точки бесконечного порядка, например, разложив в ряд экспоненциальную функцию, легко убедиться в том, что функция e1/z имеет такую точку при z = 0. Но вот почему z = z0 называется полюсом, наверное, следует объяснить. От одного студента факультета электротехники я  слышал такую историю. Представим себе трехмерный график, где вещественная (x) и мнимая (y) оси образуют комплексную плоскость, а по третьей оси построен график |f(z)|. График |f(z)| образует волнообразную поверхность в пространстве над комплексной плоскостью, похожую на тент, натянутый над цирковой ареной. И  особенно зримо тент выпирает там, где его поддерживают шестыi. Кто сказал, что технари не могут быть поэтами8? Затем Коши задался вопросом:

Найденный Коши ответ на этот вопрос и составляет его вторую интегральную теорему и, на мой взгляд, является одним из самых значительных, красивых и даже таинственных результатов в математике. И вывести его легко – но все легко, когда гений уже сделал это до вас! i Непереводимая игра слов. В  английском языке слово pole обозначает полюс и шест. – Прим. перев.

ВТОРАЯ ИНТЕГРАЛьНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ

275

С

С* ρ

z0

b А

a

Рис. 7.6. Простой контур, окружающий особую точку первого порядка, связанный поперечным разрезом с внутренней окружностью

На рис. 7.6 я нарисовал контур C и точку z = z0 в его внутренности. Также я  изобразил окружность C* с  центром в  z = z0 и радиусом r настолько малым, что C* целиком лежит внутри C. Представим теперь, что мы начали обход C из некоторой точки A и движемся против часовой стрелки, пока не дойдем до точки a, после чего сворачиваем внутрь и  идем до точки b, расположенной на C*. Дойдя до C*, мы продолжаем обход по часовой стрелке, пока не дойдем до точки b. Там мы возвращаемся к точке a, пройдя по своим следам по внутреннему отрезку, и продолжаем прерванный обход контура C, пока не вернемся в начальную точку A. И вот первое важное наблюдение – во время прохода по этому пути кольцевая область между C и C* всегда оставалась слева от нас, т. е. этот путь является границей области, относительно которой точка z = z0 находится вовне. В  этой кольцевой области, из которой z = z0 по построению исключена, f(z)/(z - z0) является всюду аналитической. Следовательно, по первой интегральной теореме Коши, поскольку z = z0 лежит вне C, имеем:

276

ГЛАВА 7. ДЕВЯТНАДцАТый ВЕК, КОШИ И НАЧАЛО ТЕОРИИ ФУНКцИй

Сделаем еще одно важное наблюдение, касающееся этого пути интегрирования. Два прохода по отрезку ab, соединяющему C и C*, произведены в противоположных направлениях, поэтому их вклады в  интеграл взаимно уничтожаются – такой двусторонний путь между C и  C* математики называют поперечным разрезом. Поэтому последнюю формулу можно упростить, написав

или в более понятной форме:

Знак минус перед интегралом по контуру C* необходим, потому что обход C* производился по часовой стрелке. Поэтому выше я обозначил этот контур -C*, но в последнем выражении убрал знак минус из контура и поставил его перед самим интегралом. Напомню, что C  – произвольная простая (несамопересекающаяся) кривая, охватывающая точку z = z0, тогда как C* – окружность радиуса r с центром в z = z0. Следовательно, на C* мы можем написать z = z0 + reiθ, так что dz = ireiθdθ и, значит, когда θ изменяется от 0 до 2π в процессе обхода C*, имеет место равенство

Если самый левый интеграл, который нас и  интересует, имеет определенное значение, то оно не должно зависеть от значения r. Ведь в него r вообще не входит! Поэтому значение правого интеграла тоже должно быть независимо от r, а значит, r можно выбрать каким угодно, и мы возьмем то, что нам удобно. А удобно взять очень маленькое r. Точнее, мы можем

ВТОРАЯ ИНТЕГРАЛьНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ

277

выбрать r настолько малым, чтобы разность между f(z) и f(z0) для всех z, принадлежащих C*, была меньше любой наперед заданной величины. Это возможно, потому что f(z) аналитическая, и, значит, имеет производную всюду внутри C (включая z = z0), а следовательно, и подавно непрерывна. Таким образом, можно заключить, что при r → 0 f(z) = f(z0) всюду на C*, поэтому допустимо вынести константу f(z0) из-под интеграла и записать ответ: если z = z0 находится внутри C, то

По-другому это можно записать в виде:

который говорит нам, что значение аналитической функции f(z) в произвольной внутренней точке z = z0 однозначно определяется значениями f(z) на границе C. Эта тесная связь между значениями f(z) внутри и на границе C – еще одна иллюстрация особой природы аналитических комплекснозначных функций, отличающей их от произвольно выбранной функции. На самом деле именно это глобальное влияние аналитической функции, распространяющееся из одной области комплексной плоскости на другие, и лежит в основе свойства аналитического продолжения, о котором я говорил в разделе 6.4. А теперь посмотрим, что нам может дать этот результат, называемый второй интегральной теоремой Коши. Вычислим криволинейный интеграл

где C – контур, изображенный на рис. 7.7, и a и b – положительные постоянные, в предельном случае R → ¥. Мы увидим, что результат получается интересным. Вдоль части C, лежащей на вещественной части, имеем z = x (dz = dx), а  на полуокружности – z = Reiθ (dz = iReiθdθ), где θ = 0 при x = R и θ = π при θ = -R. Таким образом,

278

ГЛАВА 7. ДЕВЯТНАДцАТый ВЕК, КОШИ И НАЧАЛО ТЕОРИИ ФУНКцИй

y C

ib

–R

R

x

–ib Рис. 7.7. Еще один простой контур, охватывающий единственную особую точку первого порядка

Подынтегральное выражение в  исходном криволинейном интеграле в левой части можно записать в виде:

поэтому имеем

Поскольку подынтегральное выражение во втором криволинейном интеграле в левой части аналитическое всюду внутри C – у него есть особенность, но в точке z = -ib, которая находится вне C (см. рис. 7.7), – то, по первой интегральной теореме Коши, этот интеграл равен нулю. Следовательно,

ВТОРАЯ ИНТЕГРАЛьНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ

279

И если R > b (напомню, я собираюсь устремить R → ¥), то особенность подынтегрального выражения второго криволинейного интеграла находится внутри C, в точке z = ib. Это подынтегральное выражение выглядит в  точности как f(z)/(z  - z0), где f(z) = eiaz и, конечно, z0 = ib. По второй интегральной теореме Коши, если R > b, криволинейный интеграл равен 2πif(z0), поэтому левая часть последнего равенства равна

То есть

Если теперь положить R → ¥, то, применив такое же рассуждение, как во врезке 7.1, вы самостоятельно сможете показать, что второй интеграл слева обращается в нуль. Таким образом,

Приравнивая вещественные и мнимые части, получаем

что и  неудивительно, поскольку подынтегральное выражение – нечетная функция x. Но вместе с тем мы получаем, что для любых a, b > 0

А вот это уже, на мой взгляд, весьма удивительно! На самом деле это равенство было открыто другими средствами Лапласом в 1810 году. В частном случае a = b = 1 оно сводится к

280

ГЛАВА 7. ДЕВЯТНАДцАТый ВЕК, КОШИ И НАЧАЛО ТЕОРИИ ФУНКцИй

– интегралу, которым я дразнил вас в первом разделе этой главы. А теперь возьмем интеграл потруднее. В мемуаре 1814 года Коши вывел много интересных формул, чтобы продемонстрировать всю мощь интегрирования по контуру. Одно из самых знаменитых вычислений – интеграл

где m и n – неотрицательные числа и n > m. Ответ красивый и неожиданный. Я покажу, как его получить, используя вторую интегральную теорему Коши в  современной интерпретации (детали оригинально и несколько неуклюжего анализа9 Коши можно найти в статье Эттлингера, см. примечание 1). Начну с криволинейного интеграла

где C – контур, содержащий некоторые, но не все особые точки подынтегрального выражения. Чуть позже я  уточню форму C. Особые точки этого подынтегрального выражения – не что иное, как решения уравнения деления круга 1 + z2n = 0, которые, как известно из обсуждения формулы Муавра в главе 3, совпадают с 2n корнями степени 2n из -1 = 1 ∠ 180° = 1 ∠ π радиан. Напомню, что эти корни равномерно расставлены по единичной окружности, и один из них очевиден и равен 1 ∠ π/2n радиан. Остальные отстоят друг от друга на угол 2π/2n радиан, так что все 2n корней можно записать в виде:

Знакомо? Так оно и должно быть – ведь это то же самое рассуждение, которое я приводил в разделе 3.3, когда разлагал на множители многочлен деления круга z2n - 1. Тогда я говорил, что из соображений симметрии очевидно, что половина корней находится в верхней комплексной полуплоскости (соответствующие k = 0, 1, ..., n - 1), а другая поло-

ВТОРАЯ ИНТЕГРАЛьНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ

281

вина – в нижней комплексной полуплоскости (соответствующие k = n, n + 1, ..., 2n - 1). Эти множества корней разделяются вещественной осью – вы легко можете убедиться в том, что на самой вещественной оси корней нет, показав, что ни при каком целом k полярный угол корня не равен 0 или π. Теперь выберем в  качестве пути интегрирования контур C, показанный на рис. 7.7, тогда C будет охватывать только половину особых точек подынтегрального выражения, а  другая половина (все находящиеся в нижней полуплоскости) находится вне его. Если вам кажется, что при этом мы используем не всю информацию, содержащуюся в подынтегральном выражении, напомню, что корни уравнения 1 + z2n = 0 – комплексно-сопряженные пары, т. е. если нам известны полюсы в верхней полуплоскости, то автоматически известны и полюсы в нижней. Таким образом,

где CR – дуга полуокружности. На этой дуге z = Reiθ, поэтому

Поскольку n > m, степень R2n по меньшей мере на единицу больше степени R2m+1, следовательно, при R → ¥ абсолютная величина интеграла по контуру CR будет стремиться к нулю по крайней мере так же быстро, как 1/R. Таким образом,

Итак, если мы сможем вычислить криволинейный интеграл в левой части, то сможем взять и вещественный интеграл в правой части, а криволинейный интеграл вычисляется с помощью второй интегральной теоремы Коши. Вот как это делается. Поскольку знаменатель подынтегрального выражения можно записать в виде

282

ГЛАВА 7. ДЕВЯТНАДцАТый ВЕК, КОШИ И НАЧАЛО ТЕОРИИ ФУНКцИй

где каждый сомножитель имеет степень 1, все особые точки подынтегрального выражения – простые полюсы. Теперь я утверждаю, что подынтегральное выражение можно разложить на простые дроби, т. е. представить в виде

где все коэффициенты Nk – постоянные. Я докажу этот факт, напрямую вычислив коэффициенты. Но прежде я  хочу, чтобы вы понимали, зачем я  это делаю. Предположим, что Nk известны. Тогда можно написать:

Поскольку корни z0, …, zn-1 находятся внутри C, а корни zn, …, z2n-1 – вне C, в  силу первой интегральной теоремы Коши все интегралы внутри второй пары скобок обращаются в нуль, а, по второй интегральной теореме Коши, интегралы внутри первой пары скобок равны 2πiN0, 2πiN1, ..., 2πiNn-1, т. е.

Это следует из того, что в силу второй интегральной теоремы Коши с f(z) = 1 и, в частности, f(z0) = 1

если z0 находится внутри C. Таким образом, мы получили ответ на поставленный вопрос:

ВТОРАЯ ИНТЕГРАЛьНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ

283

Вот почему Nk так важны. Давайте их вычислим. Рассмотрим какое-нибудь конкретное Np, где 0 £ p £ n - 1. Умножая разложение подынтегрального выражения на простые дроби на (z - zp), получаем

Это уравнение можно решить относительно Np, положив z → zp, тогда все члены в правой части обратятся в нуль, кроме члена Np, в котором нет множителя (z - zp) в знаменателе. Таким образом,

Поскольку p произвольно, я на самом деле нашел все Nk. Этот предел является неопределенностью типа 0/0, для разрешения которой можно воспользоваться правилом Лопиталя. Это правило доказывается в любом учебнике по математическому анализу и  утверждает, что если limx→x0 f(x)/g(x) = 0/0, то этот предел равен limx→x0 f ¢(x)/g¢(x), если только последний предел тоже не является неопределенностью (а в таком случае правило следует применить еще раз). Впервые это правило было опубликовано в  вышедшем в  1696 году учебнике Analyse des Infiniment Petitsi маркиза Гийома Франсуа Лопиталя (1661– 1704). Но первооткрывателем был научный руководитель Эйлера Иоганн Бернулли, который сообщил об этом результате в письме Лопиталю. Продолжим рассуждения:

i

Анализ бесконечно малых. – Прим. перев.

284

ГЛАВА 7. ДЕВЯТНАДцАТый ВЕК, КОШИ И НАЧАЛО ТЕОРИИ ФУНКцИй

Это означает, что

Следовательно,

Нам предстоит просуммировать бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем ei2(2m+1)/2n. Вспомнив алгебру (см. прием, описанный в разделе 5.2) и тождество Эйлера, вы без труда докажете, что эта сумма равна

Умножая это выражение на -i/2n, мы наконец приходим к окончательному результату:

В наши дни принято обозначать 2m + 1 = α и 2n = β, поэтому интеграл принимает вид:

– результат, который Эйлер вывел (другими средствами) в 1743 году. Я использовал этот результат в разделе 6.13 при доказательстве формулы дополнения для гамма-функции Эйлера. Заметим, что в частном случае α = 1 (m = 0) и β = 2 (n = 1) это равенство сводится к

ТРЕТИй ЗАКОН КЕПЛЕРА: ЗАКЛюЧИТЕЛьНОЕ ВыЧИСЛЕНИЕ

285

что согласуется с хорошо известным определенным интегралом

(см., например, обсуждение в разделе 6.7 определенного интеграла графа Фаньяно). К этому моменту вы наверняка поняли общую идею вычисления несобственных определенных интегралов вида ∫¥ -¥f(x)dx методом Коши. Взятие таких интегралов посредством интегрирования по контуру на комплексной плоскости состоит из двух шагов: сначала подбирается подходящая комплексная функция, а  потом выбирается контур, который после некоторого процесса перехода к пределу включает всю вещественную ось в качестве части пути интегрирования, на которой z = x. На вещественной оси комплексная функция должна сводиться к f(x). Этот процесс может осложняться некоторыми обстоятельствами, в которые я не стану вдаваться, потому-то в начале главы и  задался вопросом «На чем остановиться?». Мы уже почти подошли к месту остановки, но все-таки не совсем. Я хочу показать вам еще одно, последнее вычисление, иллюстрирующее другой вид интегралов – собственные, – а заодно подчистить один вопрос, оставшийся неразрешенным в главе 5.

7.7. Третий закон Кеплера: заключительное вычисление В главе 5 я говорил, что

Этот интеграл возникает при выводе третьего закона Кеплера в общем случае, тогда как я рассматривал только частный случай круговой орбиты, т. е. орбиты с эксцентриситетом E = 0. Поэтому в качестве последнего примера конкретного криволи-

286

ГЛАВА 7. ДЕВЯТНАДцАТый ВЕК, КОШИ И НАЧАЛО ТЕОРИИ ФУНКцИй

нейного интеграла я продемонстрирую, как можно вычислить этот тригонометрический интеграл с помощью комплексных функций и выразить его в виде функции от E. Пределы интегрирования, от 0 до 2π, подсказывают, что стоит рассмотреть какой-нибудь замкнутый контур на комплексной плоскости, но какой именно и какую взять функцию? На оба вопроса можно ответить одновременно, воспользовавшись тождеством Эйлера и положив z = eiθ. Тогда

и Таким образом,

где C – контур |z| = 1, т. е. единичная окружность. Элементарными алгебраическими преобразованиями это равенство приводится к виду:

Подынтегральное выражение имеет две особые точки, обе второго порядка:

Нас интересуют только замкнутые периодические спутниковые орбиты, поэтому 0 £ E < 1, и, стало быть, оба полюса лежат на отрицательной вещественной полуоси. Однако между

ТРЕТИй ЗАКОН КЕПЛЕРА: ЗАКЛюЧИТЕЛьНОЕ ВыЧИСЛЕНИЕ

287

этими полюсами есть кардинальное различие: один, -1/E  , расположен вне C, а другой, -1/E + , – внутри C. Таким образом, наш интеграл имеет вид:

где f(z) является аналитической в  каждой точке контура C и внутри него, а именно

Но, похоже, у  нас проблема! Этот интеграл не такой формы, как требует вторая интегральная теорема Коши, поскольку знаменатель имеет вид не просто (z - z0), а (z - z0)2. То есть мы имеем не простой полюс, а полюс второго порядка. И что же делать? Как выясняется, и делать-то особо ничего не нужно. Еще раз выпишем вторую интегральную теорему Коши: для любой точки z0 внутри C:

поэтому

Подставим это в определение производной f(z):

288

ГЛАВА 7. ДЕВЯТНАДцАТый ВЕК, КОШИ И НАЧАЛО ТЕОРИИ ФУНКцИй

И наконец, имеем:

Вот теперь наш исходный интеграл выглядит в точности как криволинейный интеграл в  левой части этого равенства. Этот прием – преобразовать вторую интегральную теорему Коши, выведенную для простого полюса, к виду, включающему особенность второго порядка, – очевидно, обобщается на особенности любого порядка. Нужно только продифференцировать столько раз, сколько необходимо. Общий результат выглядит так:

где f (n)(z0) обозначает n-ю производную f(z), вычисленную в полюсе подынтегрального выражения z = z0, который, конечно же, лежит внутри C. В мемуаре 1814 года Коши рассматривал только простые полюсы. В нашей задаче

Продифференцировав функцию

а затем вычислив результат в точке z = z0, находим

Этот ответ я и привел в главе 5.

7.8. Эпилог: что было дальше После мемуара 1814 года Коши потратил следующие тридцать пять лет на медленное закладывание основ теории функций

ЭПИЛОГ: ЧТО БыЛО ДАЛьШЕ

289

комплексного переменного. Конечно, он сделал не все, но близко к тому. Даже на первопроходческие работы других авторов Коши оказал сильное влияние. Примером может служить важный вклад Пьера Альфонса Лорана (1813–1854). Как и  Коши, Лоран выучился на инженера-строителя и в течение нескольких лет работал на строительстве гидросооружений, будучи офицером французского военно-инженерного корпуса. Пока не началась вторая карьера Лорана – как математика, Коши не знал о  разложении аналитических функций в  степенной ряд. Но в  1843 году Лоран добился значительного прогресса в этой области («ряд Лорана» рассматривается в любом вузовском учебнике по комплексному анализу), однако эта работа стала известна при его жизни, только потому что Коши написал о ней Французской академии и поддержал публикацию. Правда, по какой-то причине это случилось лишь в 1863 году, через много лет после смерти обоих. Еще одна работа по теории аналитических функций, начатая в XIX веке и оказавшая огромное влияние на методы, разработанные уже в веке XX, – конформные отображения и теория устойчивости систем. Я скажу о них лишь несколько слов, хотя каждой легко можно было бы посвятить целую книгу, да, собственно, такие книги есть – и  много. Сначала о конформных отображениях. Это общий метод, заключающийся в том, чтобы взять какую-то сложную фигуру на комплексной плоскости и  попытаться найти преобразование, которое отображает границу этой фигуры в гораздо более простую кривую, например окружность или прямоугольник. Это важно, в частности, потому, что для таких простых фигур нередко легче решить уравнение Лапласа, где вещественная и мнимая части u и v комплексной функции f(z) = u + iv определены на границе фигуры. (Можно показать, что тем самым u и  v определены и во всех внутренних точках.) Затем, применив уравнение конформного отображения, мы находим u и v в уравнении Лапласа внутри и  на границе исходной сложной фигуры. С  этой техникой связаны имена немецких математиков Карла Германа Амандуса Шварца (1843–1921) и Эльвина Бруно Кристоффеля (1829–1900) – последний был учеником Дирихле. Она подробно рассматривается в хороших вузовских учебниках ТФКП10. Теория устойчивости в том виде, в каком ее изучают физики и инженеры, неизбежно приводит к функциям вида e(σ+iω)t, где

290

ГЛАВА 7. ДЕВЯТНАДцАТый ВЕК, КОШИ И НАЧАЛО ТЕОРИИ ФУНКцИй

σ и ω – вещественные числа. Такая функция стремится к бесконечности при t → ¥, если σ > 0, поэтому σ £ 0 – условие конечного (или устойчивого) поведения анализируемой системы. Часто оказывается, что s = σ + iω – комплексный корень некоторого уравнения f(s) = 0. Если f(s) – многочлен, то функция f(s) аналитическая. Зачастую вопрос не в том, каковы конкретные значения σ, а в том, все ли они £ 0. Это условие гарантирует устойчивость системы. Проблема, заключающаяся в  определении того, все ли решения уравнения f(s) = 0 имеют неположительные вещественные части, была поставлена в 1868 году Максвеллом (который заинтересовался задачами устойчивости, изучая динамику колец Сатурна в середине 1850-х годов). Ее решил алгебраическими средствами в 1877 году соперник Максвелла в Кембридже Эдвард Джон Раус (1831–1907). Позже, в 1895 году, немецкий математик Адольф Гурвиц (1859–1919) решил эту задачу, применив идеи теории функции комплексного переменного. В наши дни всех инженеров-электротехников обучают критерию Рауса–Гурвица устойчивости полиномиальных систем. Еще до мемуара Коши 1814 года в  самом начале XIX века (1807 год) мир познакомился с  выдающейся работой Жана Баптиста Жозефа Фурье (1768–1830), посвященной разложению периодических сигналов в ряд Фурье и интегралам Фурье для непериодических сигналов. В  учебниках повышенного типа показано, что интеграл Фурье на самом деле является криволинейным интегралом на комплексной плоскости. Эта работа и близкое к ней преобразование Лапласа используются физиками и  инженерами-электротехниками всего мира буквально каждодневно. Однако я не стану определять эти новые термины, потому что на этом книгу действительно пора заканчивать. Но в заключение хочу сказать, что к 1850 году теория функций комплексного переменного была хорошо развита – настолько, что когда в  1873 году Максвелл писал свою книгу «Электричество и  магнетизм», он смог начать параграф 183 следующим лаконичным пассажем, без всяких объяснений: «Величины α и  β называются сопряженными функциями от x и y, если α + β является функцией от x + y. Из этого определения следует, что

ЭПИЛОГ: ЧТО БыЛО ДАЛьШЕ

291

Конечно, это просто условия Коши–Римана. Но они, безусловно, не вытекают из максвелловского определения комплексной функции, если только он не предполагал, что все читатели знакомы с требованием о том, что производная не зависит от способа стремления Δx и Δy к нулю. Очевидно, что к 1873 году, всего через двадцать лет после того, как Риман впервые привел это доказательство в своей докторской диссертации, Максвелл уже мог делать такое предположение. В своей докторской диссертации 1851 года Риман, сменивший Дирихле на посту профессора математики в Гёттингене после преждевременной кончины Дирихле в  1859 году, положил начало еще одному (после Коши) получившему бурное развитие направлению, открыв связь между многозначными комплексными функциями (например, log) и топологией. Мы видели зачатки взаимодействия между топологией и  комплексными функциями, когда в  разделе 7.5 обсуждали односвязные и  многосвязные области. Именно в  этом направлении следовало развить теорию, чтобы взять интеграл Римана, который появляется при выводе функционального уравнения дзета-функции (см. раздел 6.13). И  кстати, теперь вы можете понять, почему в этом интеграле комплексная переменная традиционно обозначается буквой s. Чтобы вычислить его методами интегрирования по контуру, нужно заменить вещественную переменную интегрирования x комплексной переменной z, т. е. в интеграле появляются две комплексные переменные, поэтому необходимы два разных символа (s и z)11. Но все это – для другой книги. В ноябрьском выпуске журнальчика «Super Science Stories» за 1942 год вышел рассказ Айзека Азимова «The Imaginary» (Мнимые величины)12. Фантастический рассказ об инопланетном психологе, который открыл, как моделировать процессы в мозге с помощью чистой математики, включающей . Но коллега критикует его работу, утверждая, что такие уравнения просто не могут иметь никакого смысла. На это основатель новой теории отвечает:

292

ГЛАВА 7. ДЕВЯТНАДцАТый ВЕК, КОШИ И НАЧАЛО ТЕОРИИ ФУНКцИй

Смысл! Послушайте только – и это говорит математик! Всемогущий Космос, коллега, что общего у математики со смыслом? Математика – просто инструмент, и до тех пор, пока с его помощью даются правильные ответы и делаются верные предсказания, их фактический смысл роли не играет.

На это другой сомневающийся замечает: Да знаю я, знаю. Но использование мнимых величин в уравнениях по психологии несколько превосходит мою веру в  науку. Квадратный корень из минус единицы! – он передернул плечами.

После чего второй сомневающийся заканчивает дискуссию словами: Вы полагаете, что его интересовало, как много мнимых величин возникло на промежуточных стадиях, если все они в конечном счете свелись к квадратному корню из минус единицы? На самом деле его интересовало только то, что в  ответе получается правильный знак… Что же касается их физической природы – какое это имеет значение? Математика – всего лишь инструмент, не более.

По поводу этой вымышленной дискуссии я испытываю смешанные чувства. Конечно, математика действительно является инструментом в технике и прикладной науке, но я подозреваю, что даже чистейшим математикам мысленный образ символов, которыми они манипулируют, не повредит. В конце концов, именно великий Гаусс выступал за геометрическую интерпретацию . Оставляю вас наедине с  этим метафизическим вопросом, на который вы можете найти свой собственный ответ. Но лично для меня связь между поворотом на комплексной плоскости и умножением на остается нерушимой. Однако и по сей день тесную связь с физической реальностью не всегда в полной мере оценивают даже образованные люди, претендующие на знакомство с математикой. Взять, к примеру, следующие слова – очень похожие на куплеты Одена из раздела 1.2, – написанные «знаменитой интеллектуалкой» Мэрилин вос Савант13: Квадратный корень из +1  – вещественное число, потому что +l ´ +1 = +l; однако квадратный корень из -1 – мнимое число,

ЭПИЛОГ: ЧТО БыЛО ДАЛьШЕ

293

потому что -1, помноженное на -1, тоже равно +1, а не -1. Налицо противоречие. Тем не менее против него никто не возражает, и мнимые числа используются повсеместно. Но как же мы можем оправдать их использование, чтобы доказать противоречие?

Слова вос Савант свидетельствуют о  забавном непонимании ею того, что такое комплексная плоскость. Вещественные числа, в отношении которых она, похоже, не испытывает опасений, ничуть не более (но и не менее) достойны доверия, чем комплексные. Но, возможно, те несколько недель, когда Савант писала книгу, просто не задались (быть может, стоило потратить чуть больше времени). И  этой печальной усмешкой в  адрес тех, кто хоть и хвастается высоким IQ, тем не менее пишет чепуху, я все-таки ставлю точку в этой книге. Мы прошли долгий путь от Герона с его «невозможной» пирамидой, от формулы Кардана решения кубических уравнений к  криволинейным интегралам Коши. И все это – чтобы ответить на вопрос, которым я начал эту книгу: что означает ? Надеюсь, эта книга убедила вас, что таки означает – и очень много. В мае 1799 года Томас Джефферсон получил письмо от корреспондента, только что закончившего изучение Евклида. Автор хотел знать, какие еще разделы математики должен знать образованный человек на пороге XIX столетия. В длинном и подробном письме, датированном 19 июня 1799 года, Джефферсон ответил ему из своего дома в Монтичелло, что тригонометрия «весьма ценна для любого человека» и что «извлечение квадратных и кубических корней, алгебра на уровне решения квадратных уравнений, использование логарифмов имеют ценность… а все сверх того – роскошество; приятное роскошество, слов нет, но излишнее для того, кто ищет профессию, которая принесет ему средства к существованию»14. Джефферсон написал эти слова спустя всего два года после того, как Вессель опубликовал свою статью о  ; стоит ли удивляться, что он считал «роскошеством»? Можно только гадать, что подумал бы Джефферсон о нашем времени (что он подумал бы о рис. 7.8?), когда так много людей используют в своей профессии именно как средство добывания средств к существованию. Думаю, он счел бы даже

294

ГЛАВА 7. ДЕВЯТНАДцАТый ВЕК, КОШИ И НАЧАЛО ТЕОРИИ ФУНКцИй

мысль о чем-то подобном бредом воспаленного воображения и  назвал бы такое пророчество «сказкой мнимого мира». Но теперь, готовясь закрыть эту книгу, вы уже понимаете иронию, скрытую в том факте, что ничего мнимого в  нет. Всплеск на комплексной плоскости

1 0.8

ось f

0.6 0.4 0.2 0 –0.2 –0.4 20 10 0

ось y

0

–10 –20

–20

–10

10

ось x

Рис. 7.8. Благодаря современным компьютерам визуализация функций комплексного переменного стала простым делом. Например, на этом рисунке изображена трехмерная поверхность, определяемая функцией f = sin(|z|)/|z|. Иногда этот график называют «всплеском» или «камнем, брошенным в  пруд» – по очевидной причине. График был создан на моем ноутбуке IBM ThinkPad 365ED (с процессором 80486 частотой 75 МГц) с помощью мощного языка математического программирования MATLAB. Для его построения понадобилось 295  000  арифметических операций с  плавающей точкой, которые компьютер выполнил меньше чем за две секунды. Как вы думаете, понравилось бы Эйлеру, Коши и Риману устройство, способное на такие вещи?

20

ПРИЛОЖЕНИЕ A

Основная теорема алгебры Теорему, которая является темой настоящего приложения, легко сформулировать, она правдоподобна, но доказать ее совсем не просто. Она оказалась такой трудной, что стала центральной темой докторской диссертации Гаусса в 1799 году. Доказательство, данное тогда Гауссом, по современным стандартам неприемлемо, потому что он сделал «очевидное», как ему казалось, предположение, которое, однако, было доказано лишь в 1920 году. По-видимому, у самого Гаусса были сомнения, поскольку впоследствии он вернулся к проблеме и до конца жизни предложил три других доказательства1. Теорема утверждает, что любое полиномиальное уравнение n-й степени f(z) = anzn + an-1zn-1 + ... + a1z + a0 = 0, где все ai – произвольные числа, быть может, даже комплексные, как впервые заметил Арган, а не Гаусс, а n – произвольное целое положительное число, всегда имеет ровно n комплексных корней. Важно отметить, что одинаковые корни кратности m считаются как m корней, а не один2. Задолго до Гаусса математики полагали, что эта теорема верна. Например, Декарт в  своей «Геометрии» (1637) писал: «Всякое уравнение может иметь столько различных корней (значений неизвестной величины), каково количество измерений неизвестной величины в уравнении». Интуитивное «доказательство» Декарта основой теоремы понять легко. В нем просто говорится, что каждому корню r полиномиального уравнения f(x) = 0 должен соответствовать множитель (x - r) в разложении f(x) на множители. А если f(x) имеет степень n, то потребуется n таких множителей (и значит, n корней), чтобы получить член xn. Затем Декарт иллюстрирует эту идею несколькими конкретными примерами, но общего доказательства не приводит. Еще раньше его соотечественник Альбер Жирар (1590–1632) писал в  своей книге L’Invention Nouvelle en L’Algebra (1629):

296

ПРИЛОЖЕНИЕ A. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРы

«Всякое уравнение в  алгебре имеет столько решений, чему равен показатель степени при наивысшем члене». В  частности, Жирар обсуждает корни уравнения x4 - 4x + 3 = 0 и замечает, что, помимо двойного вещественного корня 1, у него есть еще два комплексных корня. До Гаусса в доказательстве основной теоремы пробовали свои силы и другие знаменитые математики, включая Д’Аламбера, Эйлера и Лагранжа. Но все потерпели неудачу. Повторю еще раз: основную теорему легко понять, в  нее легко поверить, но очень трудно доказать. В  этой книге мы примем ее на веру. Но гораздо проще доказать другой результат, который весьма ценен при работе с  комплексными числами. Это утверждение о том, что если уравнение f(z) = 0 с вещественными коэффициентами имеет комплексные корни, то они обязательно являются попарно сопряженными. То есть если z = x + iy – корень, то и  = x - iy – тоже корень. Впервые это доказал Д’Аламбер в 1746 году. Для доказательства полезно сначала установить предварительный результат – сопряженное суммы или произведения комплексных чисел является соответственно суммой или произведением их сопряженных. То есть

Проще всего это доказать, выполнив прямую подстановку – взять z1 = a1 + ib1 и z2 = a2 + ib2, вычислить обе части предполагаемого равенства и убедиться, что они равны. Теперь предположим, что все коэффициенты ai в  полиномиальном уравнении f(z) = 0 вещественны. Поскольку f(z) состоит только из сумм и произведений комплексных чисел, из доказанного выше предварительного результата мы сразу получаем, что f( ) = (z). Предположим далее, что z1 – решение уравнения f(z) = 0. Тогда  - тоже решение, потому что f( 1) = (z1) = = 0, т.  к. 0, как и любое вещественное число, равен сопряженному с ним. Теперь вы понимаете, почему в условии требуется, чтобы коэффициенты ai были вещественными? Потому что при вычислении (z) возникают сопряженные также к ai, а не только к степеням z, поэтому, чтобы предотвратить

ЧИТАТь ПОСЛЕ ОЗНАКОМЛЕНИЯ С РАБОТОй ВЕССЕЛЯ В ГЛАВЕ 3

297

неразбериху, должно быть i = ai, а это значит, что все ai вещественны. Таким образом, комплексные корни полиномиального уравнения любой степени с  вещественными коэффициентами (эта оговорка важна3) образуют сопряженные пары. В частности, у кубического полиномиального уравнения либо все три корня вещественные, либо есть один вещественный корень и  два комплексно-сопряженных. Трех комплексных корней быть не может, потому что тогда у одного не оказалось бы пары.

Читать после ознакомления с работой Весселя в главе 3 И последнее замечание о  комплексно-сопряженных числах. Для любого комплексного числа z = x + iy имеет место равенство

То есть сопряженное к корню k-й степени является корнем k-й степени из сопряженного. Проще всего убедиться в этом, воспользовавшись полярной формой. Для любого целого n можно написать

и, следовательно,

Таким образом,

Если аналогично записать в полярной форме, то получится такой же результат. Например, поскольку числа 1+ и 1 сопряженные, то квадратные корни из них тоже сопряженные, откуда становится понятным знаменитое выражение Лейбница (приведенное в конце главы 1). Лейбница так заворожило это поведение,

298

ПРИЛОЖЕНИЕ A. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРы

причин которого он не понимал, что в его неопубликованных бумагах встречается много подобных результатов. Математик и историк математики из Калифорнийского технологического института Эрик Темпл Белл по этому поводу писал: «Он был … изумлен … проверкой того, что вещественное [число] является суммой двух комплексно-сопряженных. Но исторически самое поразительное в этих опытах Лейбница с комплексными числами – то, что менее трех столетий назад [Белл писал эти слова в  1940 году] один из величайших математиков всех времен полагал, что [этот] результат является более неожиданным, чем два раза подряд щелкнуть тумблером»4. Эти надменные слова, конечно, показывают, что Беллу свойствен подход «вигов» к истории, при котором с усмешкой оценивают прошлое с  точки зрения наблюдателя, родившегося через триста лет после смерти Лейбница.

ПРИЛОЖЕНИЕ B

Комплексные корни трансцендентного уравнения В этом приложении я покажу, как комплексные числа можно использовать для определения природы корней уравнения, не решая его. Пример основан на интересе, проявленном в 1920-х годах одним математиком к чисто техническому вопросу, о котором он прочел в литературе по современной ему физике. Я остановлюсь только на чисто математических аспектах проблемы, а заинтересованные читатели могут самостоятельно узнать, в связи с чем он возник1. Урок же заключается не в том, как решить конкретное уравнение, а в том, чтобы познакомиться с цепочкой основанных на комплексных числах рассуждений, которые могут дать немало информации о природе корней уравнения, не вычисляя их. Мы будем рассматривать уравнение f(z) = (1 + 2z)ez - z = 0. Поскольку в разложении ez в степенной ряд (см. главу 6) присутствуют все степени z, мы имеем уравнение бесконечной степени, и можно ожидать, что у него бесконечно много корней. Для начала установим, что в этом бесконечном множестве нет ни одного вещественного корня. Предположим, что z = x, где x вещественное. Тогда

На рис. B.1 изображены примерные графики левой и правой частей этого уравнения. Как видим, графики ex и x/(1 + 2x) не пересекаются, поэтому вещественного x существовать не может. Возможно, вам это кажется «очевидным», а  возможно, и нет. Пьерпонт писал об этих кривых, что «сразу видно, [что они] не пересекаются в  вещественной точке», но лично мне это сразу не видно, а если и вы разделяете эту точку зрения, то поможет следующее рассуждение.

300

ПРИЛОЖЕНИЕ B. КОМПЛЕКСНыЕ КОРНИ ТРАНСцЕНДЕНТНОГО УРАВНЕНИЯ

y Кривая Кривая B = ex

1

½ Кривая –1 –ln2

–½

0

х

Рис. B.1. Геометрическое подтверждение того, что уравнение f(z) = (1 + 2z)ez - z = 0 не имеет вещественных корней

Две ветви гиперболы x/(1 + 2x) (A и C рис. B.1) имеют асимптоты, показанные штриховыми линиями. Я  думаю, понятно, что экспонента (кривая B) не пересекается с ветвью A. Вопрос о взаимном расположении экспоненты и ветви C не столь ясен. Поскольку ex меньше ½ при x < -ln(2) ≈ 20.69, то единственный потенциально возможный интервал, где кривые могут пересекаться (т. е. где может находиться вещественный корень), – это интервал -ln(2) < x < 20.5. Коэффициент наклона экспоненты равен ex, поэтому при x = -ln(2) коэффициент наклона равен ½. Коэффициент наклона ветви C равен 1/(1 + 2x)2, поэтому при x = -ln(2) он составляет приблизительно 1/(1 - 2 ´ 0.69)2 = 1/(0.38)2 > 1. На самом деле коэффициент наклона экспоненты всегда меньше, чем у ветви C, а поскольку C располагается

ПРИЛОЖЕНИЕ B. КОМПЛЕКСНыЕ КОРНИ ТРАНСцЕНДЕНТНОГО УРАВНЕНИЯ

301

выше экспоненты при x = -ln(2), то эти две кривые никогда не смогут пересечься. Поскольку вещественных корней не существует, все корни должны быть комплексными. В действительности можно высказать даже более сильное утверждение: все корни лежат вне мнимой оси, т. е. не существует чисто мнимых корней. Чтобы убедиться в этом, предположим, что существует чисто мнимый корень z = iy, где y вещественное. Тогда (1 + 2iy)eiy = iy, и, взяв абсолютную величину обеих частей, получаем: |(1 + 2iy)eiy| = |1 + 2iy| |eiy| = |iy|. Но поскольку |eiy| = 1, отсюда следует, что 1 + 4y2 = y2, или 3y = -1. Разумеется, для вещественного y так быть не может. Это противоречие означает, что исходное предположение о том, что z = iy, было ложным, и, следовательно, у любого корня уравнения f(z) = 0 должна быть ненулевая вещественная часть. Таким образом, все корни имеют вид z = x + iy, x ≠ 0. Но можно сказать еще больше. Как я покажу ниже, если z – корень, то  – также корень, т.  е. все корни образуют сопряженные пары. Положив z = x + iy и подставив это в исходное уравнение, будем иметь: 2

[1 + 2(x + iy)]ex+iy - (x + iy) = 0. Раскрыв скобки, воспользовавшись связью между комплексными экспоненциальными функциями и  тригонометрическими функциями (тождество Эйлера из главы 3) и приравняв к нулю по отдельности комплексные и мнимые части (каждая из которых, конечно же, должна обращаться в  нуль), будем иметь: [(1 + 2x)cos(y) - 2y sin(y)]ex - x = 0, [(1 + 2x)sin(y) + 2y cos(y)]ex - y = 0. Сделав теперь замену переменных x → x, y → -y, которая очевидно означает переход от z к  , мы обнаружим, что оба уравнения не изменились. Стало быть, если z – корень, то  – также корень. Подведем промежуточные итоги: уравнение f(z) = (1 + 2z) ez - z = 0 имеет бесконечно много корней, все корни имеют

302

ПРИЛОЖЕНИЕ B. КОМПЛЕКСНыЕ КОРНИ ТРАНСцЕНДЕНТНОГО УРАВНЕНИЯ

ненулевую вещественную часть и  образуют комплексно-сопряженные пары. Но можно еще многое выяснить. Например, далее я  покажу, что для любого корня x < 0. Мы знаем, что равенство x = 0 невозможно, а значит, либо x > 0, либо x < 0. Для начала заметим, что если z – корень, то

и что правая часть всегда определена, т. к. для любого корня z ≠ 0 (потому что x ≠ 0). Для удобства обозначений положим T = e-z и  t = 2 + 1/z. Тогда T = t, и понятно, что |T| = |t|. Имеем: |T| = |e-(x+iy)| = |e-x| |e-iy| = |e-x| = e-x. Предположим, что x > 0. Тогда |T| < 1. Далее я покажу, что это сразу же приводит к противоречию. Имеем:

Таким образом,

откуда при x > 0 следует, что |t|2 > 4 или |t| > 2. То есть, допустив, что x > 0, мы пришли к заключению, что |T| < 1 и |t| > 2, а это нарушает условие |T| = |t|. Следовательно, исходное предположение – x > 0 – должно быть ложным. Но тогда истинно утверждение x < 0, т. е. все корни лежат строго левее мнимой оси. Аналогичное рассуждение показывает, что корни не могут находиться в любом месте левой комплексной полуплоскости. На них накладываются дополнительные ограничения. Например, запишем корни уравнения f(z) = 0 в виде z = -x + iy, где x > 0. Тогда |T| = ex. Кроме того,

ПРИЛОЖЕНИЕ B. КОМПЛЕКСНыЕ КОРНИ ТРАНСцЕНДЕНТНОГО УРАВНЕНИЯ

303

откуда

Раскрыв скобки, получаем:

Следовательно, поскольку второй член всегда положителен (ведь мы предположили, что x < 0), имеем:

поэтому если x > 1, то верно, что

Но, как было показано выше, |T| = ex, и, следовательно, для x > 1 имеет место неравенство |T| > e. Условие |T| = |t| снова оказалось нарушенным, поэтому предположение, что x > 1, ложно. Поэтому корни z = x + iy должны удовлетворять условию -1 < x < 0, т. е. все бесконечное множество корней уравнения f(z) = 0 располагается внутри вертикальной полосы, определяемой неравенством -1 < x < 0. О корнях уравнения f(z) = 0 можно еще много чего сказать, и профессор Пьерпонт высказал все это в своей статье, но я на этом закончу обсуждение. Остальное вы можете при желании прочитать сами. Но не кажется ли вам поразительным, как много информации о  природе корней профессор Пьерпонт смог извлечь из этого уравнения, даже не пытаясь вычислить корни?

ПРИЛОЖЕНИЕ C

-1 -1 с точностью до 135 десятичных знаков, и как его вычислили Вопрос: является ли число целым? Не торопитесь с  порога отвергать эту возможность – ведь в  разделе 3.3 мы показали, что еще более странное выражение целое. Ответ приведен в примечании 4 к этому приложению, но не заглядывайте туда, пока не прочтете последующий текст. Если вы последуете моему совету, то оцените всю неожиданность ответа гораздо лучше, чем если «подглядите». Общей чертой любознательных и  изобретательных умов является острый интерес к  вычислению некоторых специальных чисел. Примеры π и e хорошо известны, особенно π, для которого вычислены многие миллионы знаков. Разрабатывая свое исчисление, Исаак Ньютон использовал его, чтобы вывести сходящийся ряд для π, с помощью которого затем вычислил π с точностью до шестнадцати знаков. Позднее он так объяснил, зачем это сделал: «Мне стыдно признаться, сколько цифр я  перелопатил в  этих вычислениях, не имея в  то время чем заняться» 1. Великий Гаусс также увлекался подобными вычислениями, после смерти в  его рукописях были найдены вычисления eπ/2 и 2e-9π с точностью до десятков знаков. В 1921 году было выполнено еще более длинное вычисление, которое намного превзошло замечательное вычисление Эйлером, а  примененный метод, пожалуй, даже интереснее, чем сам результат2. В  тот год физик из йельского университета Хорас Скаддер Улер (1872–1956) опубликовал значение i i, вычисленное с точностью более пятидесяти десятичных знаков. Но прежде чем переходить к тому, как он это сделал, должен сказать, что в численных расчетах профессор

ПРИЛОЖЕНИЕ С. –1 –1 С ТОЧНОСТью ДО 135 ДЕСЯТИЧНыХ ЗНАКОВ

305

Улер отнюдь не был дилетантом. Это была серьезная страсть, сопровождавшая его всю жизнь. Например, в 1947 году он обратил внимание на самое длинное десятичное число, которое можно записать тремя девятками ( ); известно, что в  нем 369  693  100 цифр. Он вычислил логарифм из этого монстра с точностью до 250 знаков. Зачем? Он говорил, что такие занятия его успокаивают, и, я полагаю, нам придется поверить ему на слово. Но вернемся к i i. Очевидно, что прямолинейный подход состоит в том, чтобы взять значение π с очень большим числом знаков и вычислить e-π/2 с помощью разложения ex в степенной ряд – воспользовавшись очень точной таблицей логарифмов. Но чтобы избежать зависимости от таких десятичных величин и  риска стать жертвой неизвестных ошибок, которые могли вкрасться в табличные значения, Улер придумал другой, неожиданный подход. По крайней мере, он говорил, что поступил так, «чтобы не пользоваться никакими математическими таблицами», но я подозреваю, что ему доставляло удовольствие сделать нечто такое, чего прежде никто не делал. Итак, Улер взял функцию f(x) = earcsin(x) и разложил ее в степенной ряд. А  сделал он это, потому что заметил, что для x = ±½f(±½) = e±π/6. Возведя это число в куб, он получил e±π/2 (поэтому он знал, что i i = e-π/2, не зная явного значения π). В своей статье он пишет, что сначала записал

где

По этим общим формулам он вычислил по 85 членов для четных и нечетных степеней x и округлил каждый до 54 знаков (5´10-55 округлялось до 1´10-54). Улер сделал вывод, что

306

ПРИЛОЖЕНИЕ С. –1 –1 С ТОЧНОСТью ДО 135 ДЕСЯТИЧНыХ ЗНАКОВ

эта процедура дала ему 52 правильных десятичных знака e±π/6. Его уверенность в точности вычислений возросла, когда он по отдельности вычислил f(½) = eπ/6 и f(-½) = e-π/6, а затем перемножил оба результата – с точностью до 52 знаков произведение совпало с единицей. Однако через много лет Улер выразил озабоченность «недопустимо медленной сходимостью» своих степенных рядов3, по крайней мере если использовать их для вычисления дополнительных цифр после пятидесятой. Поэтому в новом, еще более героическом вычислении Улер принял «очевидный» подход, о котором я упомянул ранее, а конкретно воспользовался 137-значными таблицами логарифмов, чтобы вычислить ex с помощью разложения в степенной ряд. На самом деле он пользовался двумя разными таблицами и сравнил результаты с целью обнаружить опечатки, если таковые присутствовали. По одной таблице он вычислил eπ/2 и  e-π/2 и  сравнил результаты, вычислив произведение – получилось 150 последовательных девяток после запятой. Затем по другой таблице он вычислил e-π/192 и  путем последовательного возведения в квадрат нашел e-π/6 и e-π/3. Наконец, перемножив последние два числа, он снова получил значение e-π/2 и  сравнил его со значением, полученным при использовании другой таблицы. Оба результата совпали с точностью до 139 знаков, а  первое расхождение обнаружилось в  140-м знаке. Поэтому Улер написал, что «полагает точность до 136 знаков обоснованной». На мой взгляд, нет никаких оснований думать, что в этом утверждении профессор Улер ошибся4. Сможете ли вы вообразить, каких усилий это стоило? цитирую Улера: «Самая подверженная ошибкам часть работы, как обычно, состояла в  ручном перемножении [напомню, в 1947 году до Билла Гейтса, компании Microsoft и персональных компьютеров в каждой комнате было еще ох как далеко] биномиальных коэффициентов, полученных с  помощью логарифмов. Поэтому вся последовательность операций перепроверялась трижды». Я могу предложить всему этому единственное объяснение – для Улера игра с числами была как для малыша игра в куличики. И без дальнейших обсуждений приведу значение i i, вычисленное со 135 знаками, в котором последняя цифра 3 получена

ПРИЛОЖЕНИЕ С. –1 –1 С ТОЧНОСТью ДО 135 ДЕСЯТИЧНыХ ЗНАКОВ

307

путем округления 136-го знака, равного 9. Сам Эйлер наверняка был бы впечатлен. = i i = 0.20787 95763 50761 90854 69556 19834 97877 00338 77841 63176 96080 75135 88305 54198 77285 48213 97886 00277 86542 60353 40521 77330 72350 21808 19061 97303 74663

ПРИЛОЖЕНИЕ D

Решение загадки Клаузена Во врезке 3.3 нам встретилось равенство e = e1+i2πn. Пока что ничего плохого не наблюдается, но уже в следующей строке обе части равенства возводятся в степень 1 + i2πn, и получается e1+i2πn = {e1+i2πn}1+i2πn, или, после замены левой части на e, имеем (как и Клаузен): e = e(1+i2πn) . 2

Присмотримся пристальнее. Пусть z = x + iy – произвольное комплексное число. Тогда, поскольку ei2πn = 1 для любого целого n, имеем: ez = ex+iy = ex · eiy = ex · eiy · ei2πn, или ez = ex · ei(y+2πn). Возведем обе части в степень z: (ez)z = {ex · ei(y+2πn}x+iy = ex(x+iy) · ei(y+2πn)(x+iy) 2 = ex +ixy · eixy-y2+i2πnx-2πny, или

Теперь видно, что произошло нечто странное, потому что если предположить, что z вещественное (т. е. y = 0), то имеем в левой части (ex)x,

ПРИЛОЖЕНИЕ D. РЕШЕНИЕ ЗАГАДКИ КЛАУЗЕНА

309

а в правой части –

2

То есть (ex)x не равно ex для всех x, если только ei2πnx не равно 1. А ei2πnx = cos(2πnx) + i sin(2πnx) = 1 означает, что cos(2πnx) = 1 и sin(2πnx) = 0. Оба эти равенства могут одновременно иметь место, только если nx целое. А это может иметь место для всех x, только если n = 0. Легко видеть, что к этому выводу мы придем также, предположив, что z чисто мнимое, т. е. x = 0. В этом случае мы имеем: 2

2

(eiy)iy = e-y = e-y · ei2πny. И рассуждая так же, как раньше, убеждаемся, что это может быть верно для всех y, только если n = 0. 2 Вообще, (ez)z равно ez  – а  именно это предполагалось при переходе от {e1+i2πn}1+i2πn к e(1+i2πn)

2

– только в случае n = 0, в чем и заключалась развязка загадки Клаузена, возникшей, как чертик из табакерки. Но теперь-то мы знаем, откуда взялся чертик: поразительный вывод Клаузена получился из-за вставки совершенно невинного, на первый взгляд, множителя ei2πn ( = 1) на шаге ez = ex+iy = ex · eiy = ex · eiy · ei2πn.

ПРИЛОЖЕНИЕ E

Вывод дифференциального уравнения генератора с фазовым сдвигом

«Решение» системы из восьми уравнений от девяти переменных на стр. 192 и вывод приведенного в тексте дифференциального уравнения, связывающего напряжения v и  u, может показаться тягомотным вычислением из-за встречающихся в  разных местах производных по времени. Это наводит на мысль о  том, чтобы попросту избавиться от этих производных, воспользовавшись преобразованием Лапласа. Оно способно справиться с этим, поскольку обладает замечательным свойством – преобразует дифференциальное уравнение в алгебраическое. Можно провести аналогию с тем, как операция логарифмирования преобразует умножение в  сложение: log(xy) = log(x) + log(y). Опишем, как это работает. Если f(t) – функция времени такая, что f(t) = 0 для t < 0, то преобразование Лапласа f(t), обозначаемое £{f(t)}, определяется следующим образом: £

(1)

где s – переменная преобразования (комплексная переменная, обычно записываемая в виде σ + iω). На самом деле не важно, что f(t) = 0 при t < 0, поскольку интеграл берется только по положительной части временной оси, но это ограничение позволяет установить взаимно однозначную связь между f(t) и F(s). С точки зрения инженера, любая функция, представляющая напряжение или ток в  практически реализуемой схеме, действительно равна нулю, если отступить достаточно далеко назад во времени (например, до того момента, когда схема

ПРИЛОЖЕНИЕ E. ВыВОД ДИФФЕРЕНцИАЛьНОГО УРАВНЕНИЯ ГЕНЕРАТОРА

311

была изготовлена!), и момент, получающийся в результате такого временного сдвига, и принимается за t = 0. Полезность определения (1) связана со следующим свойством: если f(0) = 0, то (2) В более сложных применениях преобразования Лапласа предположение f(0) = 0 не нужно, но в нашей задаче о генераторе с фазовым сдвигом оно позволяет упростить алгебраические выкладки. Формулу (2) можно вывести интегрированием по частям. В  традиционной нотации, применяемой во всех учебниках математического анализа, формула интегрирования по частям записывается в виде:

и мы полагаем в ней

(и значит, v = f ) и u = e-st

(и значит, du = -se-stdt). Таким образом,

Это означает, что (3) Теперь мы утверждаем, что первый член в равенстве (3) равен нулю. В точке, равной нижнему пределу, это просто f(0) – нуль по предположению. А в точке, равной верхнему пределу, формально получается f(¥), умноженное на limt→¥e-st. Будем считать, что f(¥) – конечная величина; для токов и напряжений в любой практически реализуемой цепи это предположение безопасно. Если принять, что вещественная часть s(σ) по-

312

ПРИЛОЖЕНИЕ E. ВыВОД ДИФФЕРЕНцИАЛьНОГО УРАВНЕНИЯ ГЕНЕРАТОРА

ложительна, то limt→¥e-st тоже равен 0. Итак, мы получили (2), как и хотели. Эти рассуждения можно повторить сколь угодно много раз, доказав тем самым, что преобразование Лапласа n-й производной f(t) равно (4) Еще одно интересное нам свойство преобразования Лапласа – линейность, т. е. если g(t) и f(t) – две функции времени, то для любых постоянных a и b имеет место тождество £{ag(t) + bf(t)} = aG(s) + bF(s).

(5)

Это сразу следует из определения преобразования (1). Отметим, что, по соглашению, функции времени обозначаются строчными буквами, а их преобразования – заглавными. И вот как все это работает в нашей задаче. Если применить преобразование Лапласа к  восьми уравнениям во временной области на стр. 192, то получатся следующие алгебраические уравнения в частотной области: (6) I = I1 + I2;

(7) I = CsV - CsV;

(8)

(9) I2 = I1 + I2;

(10) I2 = CsX - CsV;

(11)

(12) I4 = CsY - CsU;

(13)

*

Объединяя (12) и (13), получаем:

что после простых алгебраических манипуляций дает (14)

313

ЧИТАТь ПОСЛЕ ОЗНАКОМЛЕНИЯ С РАБОТОй ВЕССЕЛЯ В ГЛАВЕ 3

Далее, объединяя (9), (10), (11) и (13), получаем:

или, что то же самое, (15) Подставляя выражение Y (14) в формулу (15), получаем: (16) Теперь объединим (6) и (7): I1 + I2 = CsV - CsX, и подставим в это равенство (8) и (9):

что после элементарных преобразований принимает вид: (17) Затем, подставляя выражение (16) для X и  выражение (14) для Y в равенство (17), получаем:

Еще немного алгебры – и приходим к равенству

(18)

314

ПРИЛОЖЕНИЕ E. ВыВОД ДИФФЕРЕНцИАЛьНОГО УРАВНЕНИЯ ГЕНЕРАТОРА

Раскрывая скобки в числителе равенства (18), выполнив все упрощения и умножив на s3, получаем: (19) И наконец, вернемся во временную область, применив к каждому члену равенства (19) преобразование (4) и воспользовавшись свойством (5). Получается дифференциальное уравнение третьего порядка, приведенное на стр. 192:

ПРИЛОЖЕНИЕ F

Значение гамма-функции на критической прямой В разделе 6.13 мы вывели формулу дополнения для гаммафункции:

где сама гамма-функция определена следующим образом:

В этой книге n считается положительным вещественным числом, но если проигнорировать эту деталь и формально положить n = ½ + ib, то и

Γ(n) = Γ(½ + ib) Γ(1 - n) = Γ(½ - ib).

Поскольку единственное различие между Γ(n) и Γ(1 - n) на критической прямой – это знак i, то мы заключаем, что Γ(½ + ib) и Γ(½ - ib) – комплексно-сопряженные числа. Следовательно, на критической прямой а это равно

Γ(½ + ib)Γ(½ - ib) = | Γ(½ + ib) | 2,

316

ПРИЛОЖЕНИЕ F. ЗНАЧЕНИЕ ГАММА-ФУНКцИИ НА КРИТИЧЕСКОй ПРЯМОй

Согласно тождеству Эйлера:

Поскольку cosh(πb) не может быть отрицательным ни для какого вещественного b, знаки абсолютного значения для синуса можно опустить и написать

или

что и требовалось доказать.

Примечания

Предисловие ко второму изданию 1. H. M. Edwards «Riemann’s Zeta Function», Academic Press, 1974, p. 166. 2. Там же. 3. Подробнее об этом см. книгу Aleksandar Ivić «The Riemann Zeta-Function», Wiley-Interscience 1985, особенно стр. 197.

Предисловие 1. Пристрастие к –1 заронила во мне и научная фантастика, когда до извлечения квадратного корня дело еще не дошло. До того, как в  мою жизнь вошел журнал Popular Electronics, я был преданным поклонником ежедневной радиопостановки 1950-х годов «Икс минус единица». Как-то вечером в  21.30 я  слушал заставку этой программы, где диктор говорил: «Из далеких пределов неведомого приходят к нам расшифрованные рассказы о  новых измерениях пространства-времени. Это истории о будущем, о приключениях через миллионы лет в тысячах миров. Национальная радиовещательная компания совместно с  журналом Galaxy Science Fiction представляет…». И дальше – слова, от которых пробирала дрожь, слова, эхом отдававшиеся в моей темной спальне (где я, как предполагалось, должен был уже спать): «Икс икс икс икс, минус, минус, минус, минус, единица, единица, единица, единица» – и зловещая музыка. Славные были деньки!

Введение 1. Richard J. Gillings «Mathematics in the Time of the Pharaohs», MIT Press, 1972, pp. 246–247. 2. George Sarton «A History of Science» (volume 1), Harvard University Press, 1952, p. 39. 3. Интересные мысли о том, как могли рассуждать египтяне, см. в книге Джилингса (примечание 1), стр. 187–193, и в книге B. L. van der Waerden «Science Awakening», P. Noordhoff 1954,

318

ПРИМЕЧАНИЯ

стр. 34–35, где имеется фотография части вычислений объема усеченной пирамиды из ММП. 4. W. W. Beman «A Chapter in the History of Mathematics», Proceedings of the American Association for the Advancement of Science 46 (1897): 33–50. 5. Самой авторитетной работой, посвященной Диофанту, до сих пор является книга Thomas L. Heath «Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra», впервые опубликованная в 1885 году и переизданная в 1910 году (это издание сегодня можно найти в виде репринта). Этот классический труд содержит полный перевод Арифметики в виде, известном Хиту, снабженный развернутыми и весьма полезными комментариями. Позже были найдены дополнительные книги, см. Jascques Sesiano, Books IV to VII of Diophantus’ Arithmetica, Springer-Verlag, 1982. 6. «The Ganita-Sara-Sangraha of Mahaviracarya» (английский перевод и примечания M. Rangacarya), The Government Press, Madras, 1912, p. 7 (перевода).

Глава 1 «Загадки мнимых чисел» 1. Это не значит, что математики не знали, что делать, например, с выражением 7 - 5. Разница заключается в использовании знака минус для обозначения операции вычитания (которая была понятна) и для обозначения числа, меньшего, чем нуль или ничто (это было нечто загадочное). Таким образом, вычисление 5 - 7 стало бы проблемой, т. к. ответ -2 не имел физического смысла для математика, жившего в начале XVI века. Минус два иногда называли дефектом двух, и сквозящее в  этом термине неодобрение, по-видимому, показывает, насколько неудобными отрицательные числа казались математикам. 2. Если у вас возник вопрос, почему я опустил отрицательный корень, то это хорошо. Он и должен был возникнуть. С отрицательным корнем все в порядке, но если вы воспользуетесь им в анализе, то получите тот же ответ, что и для положительного корня. Попробуйте сами. 3. Содержательная и увлекательная история удивительной жизни Кардана приведена в довольно старой, но все еще рекомендуемой книге Oystein Ore «Cardano, the Gambling Scholar»

ПРИМЕЧАНИЯ

319

(Кардано, или ученый-игрок), Princeton 1953. О человеке, достаточно современном, чтобы решить кубическое уравнение, и в то же время достаточно средневековом, чтобы составлять гороскоп Христа, за что в 1570 году был брошен в тюрьму по обвинению в ереси, безусловно, стоит прочитать. 4. Английский перевод Ars Magna, выполненный Т. Ричардом Уитмером, был опубликован в 1968 году издательством MIT Press. Приведенная ниже цитата – первое из трех упоминаний Кардана о Тарталье: «Уже в наши дни Сципионе дель Ферро из Болоньи разрешил случай суммы куба и первой степени, приравненной к постоянной, что стало весьма элегантным и достойным восхищения достижением. Поскольку это искусство превосходит всю меру человеческой изощренности и талантов смертного и является несомненным даром небес и очевидной проверкой силы разума мужа, всякий, кто посвятит себя этому делу, уверует, что нет ничего такого, что он был бы не в  силах постичь. В  подражание ему мой друг Никколо Тарталья из Брешии, не желая оказаться превзойденным, разрешил тот же случай в  ходе состязания с  его [Сципионе] учеником, Антонио Марией Фиором, и, тронутый моими мольбами, поделился решением со мной». Согласитесь, это не слова человека, укравшего чужую работу. Отмечу еще, что есть некоторые свидетельства в пользу того, что прогресс в решении кубических уравнений наметился не позднее 1390-х годов во Флоренции, в  работах по меньшей мере двух итальянских математиков, имена которых история не сохранила. Да, предшественники у дель Ферро и Кардана были, хотя не вполне ясно, знали ли они об их работах. См. R. Franci and L. Toti Rigatelli «Towards a History of Algebra from Leonardo of Pisa to Luca Pacioli», Janus 72 (1985): 17–82. 5. Современный студент, изучающий математику, скажет, что это очевидно, т. е. для любого комплексного числа сопряженное к  нему получается заменой всех вхождений =i на = -i. 6. Виет первым выразил число π в виде бесконечного произведения, а не суммы в своей знаменитой формуле (1593)

320

ПРИМЕЧАНИЯ

В главе 3 я покажу, как этот замечательный результат, являющийся частным случаем более общей тригонометрической формулы, можно вывести из элементарного тригонометрического тождества, которое легко получить с помощью геометрии комплексных чисел. Исследования Виета по прямоугольным треугольникам уже в наше время связали с алгеброй комплексных чисел, хотя сам он такой связи не установил. В  главе 3 мы обсудим известное историческое развитие этой алгебры, а  о  предположениях вы можете прочитать в  работе Stanislav Glushkov «An Interpretation of Viète’s ‘Calculus of Triangles’ As a Precursor of the Algebra of Complex Numbers», Historia Mathematica 4 (May 1977): 127–136. 7. E. T. Bell «The Development of Mathematics» (2nd edition), McGraw-Hill 1945, p. 149. 8. R. B. McClenon «A Contribution of Leibniz to the History of Complex Numbers», American Mathematical Monthly 30 (November 1930): 369–74. Гюйгенс был так же озадачен, как и Лейбниц, что явствует из его ответа: «Никто бы никогда не поверил, что , в  этом таится нечто непостижимое». 9. Gilbert Strang «Introduction to Applied Mathematics», Wellesley-Cambridge Press, 1986, p. 330. 10. Имеется перевод этой книги на английский язык, выполненный Э. Л. Зиглером: The Book of Squares, Academic Press, 1987. См. также R. B. McClenon «Leonardo of Pisa and His Liber quadratorum», American Mathematical Monthly 26 (January 1919): 1–8. Леонардо Пизанский сегодня больше известен по прозвищу «Фибоначчи» (скорее всего, оно является сокращением от «Filiorum Bonacci» (из семьи Боначчи) или «Filius Bonacci» (сын Боначчи)), поскольку оно часто встречается в заглавиях многих его работ. Именно в  честь Леонардо Пизанского названа знаменитая последовательность Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, в которой каждое число, начиная со второго, является суммой двух предыдущих. Обычно она записывается в  виде рекуррентного соотношения un+2 = un+1 + un, где u0 = u1 = 1. Эта последовательность впервые встречается в книге Леонардо Liber abaci (1202) и является частным случаем более общей последовательности un+2 = pun+1 + qun, где p и q – произвольные постоянные. В главе 4 я покажу, как можно воспользовать-

ПРИМЕЧАНИЯ

321

ся комплексными числами при решении этого рекуррентного соотношения для некоторых p и q.

Глава 2 «Первая попытка понять геометрию –1» 1. La Geometrie – это не самостоятельное сочинение, а «всего лишь» третье иллюстрированное дополнение к труду Декарта «Рассуждение о  методе, чтобы верно направлять свой разум и отыскивать истину в науках». Джон Стюарт Милль называл его «величайшим из когда-либо сделанных шагов на пути прогресса естественных наук», и это действительно шедевр. Стоит потратить время и силы, особенно преподавателям геометрии в школе, чтобы прочитать великолепный английский перевод, выполненный Дэвидом Э. Смитом и Марсией Л. Лэтем «The Geometry of René Descartes», Dover 1954. (Имеется русский перевод: Декарт Р.  Геометрия. С приложением избранных работ П. Ферма и переписки Декарта. М.; Л.: Гостехиздат, 1938. Сер.: Классики естествознания.) 2. Сам Декарт не привел доказательства, но Смит и Лэтем (см. примечание 1) предложили идею возможного подхода. Я  полагаю, что их предложение без нужды усложнено, поскольку существует гораздо более простое решение. Подсказка: рассмотрите треугольник NQR на рис. 2.4 и  дважды воспользуйтесь теоремой Пифагора для нахождения QR. Далее MQ = ½a - ½QR и MR = MQ + QR. 3. Если T вещественно, то момент, когда человек догонит автобус, определяется меньшим из двух корней уравнения (со знаком минус). Но если человек не вскочит в автобус, а продолжит бежать, то обгонит его. Легко проверить, что человек действительно бежит быстрее автобуса – в конце концов, именно поэтому он его и догнал. Однако автобус ускоряется, и в конечном итоге – в момент, определяемый вторым значением T, – он поравняется с человеком, и в этот момент условие xm = xb будет удовлетворено во второй раз. 4. Гораздо больше информации об этой конкретной задаче можно найти в  статье Nathan Altshiller Court «Imaginary Elements in Pure Geometry–What They Are and What They Are Not» Scripta Mathematica 17 (1951): 55–64 и 190–201. Что же касается этого вопроса в целом, см. книгу J. L. S. Hatton «The Theory of

322

ПРИМЕЧАНИЯ

the Imaginary in Geometry, Together with the Trigonometry of the Imaginary», Cambridge University Press, 1920. 5. Florian Cajori «Historical Note on the Graphic Representation of Imaginaries Before the Time of Wessel», American Mathematical Monthly 19 (October–November 1912): 167–171. 6. Этот красивый результат является частным случаем общей теоремы об углах, вписанных в окружность, но, поскольку в данной главе мне понадобится только этот случай, я ограничусь его доказательством. На рис. 2.11 видно, что AC = BC = CD, поскольку все три отрезка – радиусы одной и той же окружности. Так как AC = BC, треугольник ABC равнобедренный, т. е. углы ∡BAC и ∡ABC равны (α). А поскольку BC = CD, треугольник BCD тоже равнобедренный, т. е. углы ∡CBD и ∡CDB равны (β). Таким образом, α + β + (α + β) = 180° = 2(α + β), а значит, α + β = 90°. Следовательно, вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, является прямым. B

α

A

α

β

C

β

D

Рис. 2.11. Вписанный прямой угол, опирающийся на диаметр

Воспользовавшись этим результатом, мы можем легко восстановить декартово построение квадратного корня из отрезка положительной длины. Взгляните на рис. 2.1, где два пря-

ПРИМЕЧАНИЯ

323

моугольных треугольника FIG и IGH имеют общую сторону IG. Теперь мы знаем, что угол ∡FIH = 90°, а отсюда сразу следует, что треугольники FIG и IGH подобны. В частности,

и, следовательно, IG = . Это построение и его доказательство были известны еще грекам. 7. Julian Lowell Coolidge «The Geometry of the Complex Domain», Oxford 1924, p. 14.

Глава 3 «Загадки начинают разрешаться» 1. Принято называть Весселя норвежцем, но на самом деле, когда он родился, Норвегия была частью Дании, большую часть жизни он провел в Дании и умер в Копенгагене. 2. Статью Весселя в 1895 раскопал некий антиквар, а ее значение было оценено датским математиком Софусом Кристианом юлем (1855–1935). Подробнее об этом открытии можно прочитать в статье Viggo Brun «Caspar Wessel et l’introduction géométrique des numbres complexes», Revue d’Histoire des Sciences et de Leurs Applications 12 (1959): 19–24. 3. E. T. Bell «Men of Mathematics», Simon and Schuster 1986, p.  234 (русский перевод: Белл Э. Т. Творцы математики. М.: Просвещение, 1979). На эту тему есть шутка о сообщении автоответчика телефонной компании: «Вы набрали мнимый номер. Если хотите набрать действительный номер, поверните свой телефон на 90° и попробуйте еще раз». Инженерам-электротехникам она нравится. 4. James Gleick «Genius», Pantheon 1992, p. 35. 5. См. мою книгу «The Science of Radio», AIP Press, 1995, pp.  173–175, где показано, как такие выражения возникают в радиопередаче с одной боковой полосой частот. 6. Обмен мнениями в журнале Annales был воспроизведен в  книге Уэля и  в  значительной степени повторен в  английском переводе репринта Уэля, подготовленном профессором математики из Дартмута А. С. Харди под названием «Imaginary Quantities», D. Van Nostrand 1881. 7. Julian Lowell Coolidge «The Geometry of the Complex Domain», Oxford 1924, p. 24.

324

ПРИМЕЧАНИЯ

8. G. Windred «History of the Theory of Imaginary and Complex Quantities», The Mathematical Gazette 14 (1929): 533–541. 9. Речь идет о Сильвестре Франсуа Лакруа (1765–1843), чьи учебники оказали очень сильное влияние. 10. Она кратко обсуждается в работах Кулриджа и Уиндреда (см. примечания 7 и 8), и в целом книге Моури (La Vraie Théorie des Quantités Négatives et de Prétendues Imaginaires) дается высокая оценка. 11. См. биографическое эссе Белла о Гамильтоне «An Irish Tragedy» в книге «Men of Mathematics» (примечание 3), pp. 340–361. 12. John O’Neill «Formalism, Hamilton and Complex Numbers», Studies in History and Philosophy of Science 17 (September 1986): 351–372. 13. См. мою книгу «Oliver Heaviside: Sage in Solitude», IEEE Press, 1988, стр. 187–215, где имеется дополнительная информация о Гамильтоне и его кватернионах. Более интересно (на мой взгляд), что пары Гамильтона можно рассматривать как четверки чисел, образующие матрицы 2´2. Для читателей, не знающих, как обращаться с матрицами, замечу, что матрица

играет роль –1, поскольку при умножении на нее любой матрицы получается матрица с противоположными по знаку элементами. Затем заметим, что

и, следовательно, матрица

играет роль в теории матриц размера 2´2. Такие матрицы, кстати, лежат в основе квантовой теории. 14. цитируется по изданию Umberto Bottazzini «The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass», Springer-Verlag, 1986, стр. 96.

ПРИМЕЧАНИЯ

325

15. John Stillwell «Mathematics and Its History», Springer-Verlag, 1991, стр. 188. 16. A. R. Forsyth «Old Tripos Days at Cambridge», The Mathematical Gazette 19 (1935): 162–179.

Глава 4 «Использование комплексных чисел» 1. Числовые примеры, приведенные в этом разделе, взяты из статьи Juan E. Sornito «Vector Representation of Multiplication and Division of Complex Numbers», Mathematics Teacher 47 (May 1954): 320–22, 382. 2. См., например, книгу E. F. Krause «Taxicab Geometry», Dover 1986, где подробно исследуется так называемое манхэттенское расстояние ds = |dx| + |dy|. Геометрическая интерпретация специальной теории относительности была предложена немецким математиком Германом Минковским (1864–1909), который одно время был учителем Эйнштейна. Однако вся теория принадлежит самому Эйнштейну. 3. См., например, мою книгу «Time Machines: Time Travel in Physics, Metaphysics, and Science Fiction», AIP Press, 1993, pp. 287–303. 4. На самом деле это верно только для плоского пространства-времени в  специальной теории относительности. В  искривленном пространстве-времени, которое встречается в общей теории относительности (теории гравитации Эйнштейна), метрики более сложные. Об этом можно прочитать в моей книге «Time Machines» (см. примечание 3), стр. 314. 5. О том, почему Эйнштейн ввел этот постулат, см. мою книгу «Time Machines» (см. примечание 3), стр. 291 и 302–303. 6. В  1889 русская женщина-математик Софья Ковалевская (1850–1891) использовала комплексное время при изучении механики вращающихся масс. Ее работа описана в книге Michèle Audin «Spinning Tops», Cambridge University Press, 1996. 7. Paul R. Heyl «The Skeptical Physicist», Scientific Monthly 46 (March 1938): 225–29.

Глава 5 «Другие применения комплексных чисел» 1. См. также мою книгу «Time Machines: Time Travel in Physics, Metaphysics, and Science Fiction», AIP Press, 1993, стр. 341–352.

326

ПРИМЕЧАНИЯ

2. Edward Kasner «The Ratio of the Arc to the Chord of an Analytic Curve Need Not Be Unity», Bulletin of the American Mathematical Society 20 (July 1914): 524–531. 3. Краткий, но элегантный чисто геометрический вывод закона тяготения приведен в книге Георгия Гамова «Gravity», Doubleday 1962. См. также статью S. K. Stein «Exactly How Did Newton Deal with His Planets?», Mathematical Intelligencer 18 (Spring 1996): 6–11. 4. См. книгу David L. and Judith R. Goodstein «Feynman’s Lost Lecture», W. W. Norton 1996. Вместе с  книгой продается компакт-диск, так что можно послушать, как Фейнман читает лекцию студентам-первокурсникам Калтеха 13 марта 1964 г. В конце лекции Фейнман делает важное замечание о том, что точно такая же физика лежит в  основе классического эксперимента Эрнеста Резерфорда 1910 года по рассеянию частиц с  положительным электрическим зарядом на ядрах атомов, тоже имеющих положительный заряд. Ниже в  этой главе мы объясним, что между одноименными электрическими зарядами действует сила отталкивания, а не притяжения, как между Солнцем и  обращающимися вокруг него планетами. Но математически это сводится лишь к  тривиальному изменению знака силы в алгебраическом уравнении. 5. Изложение предмета в  этом разделе заимствовано из статьи Donald G. Saari «A Visit to the Newtonian N-Body Problem via Elementary Complex Variables», American Mathematical Monthly 97 (February 1990): 105–119. 6. William J. Kaufmann III «Universe (2nd edition)», W. H. Freeman 1988, стр. 56. 7. О том, как все это было, см. мою книгу «The Science of Radio», AIP Press, 1995.

Глава 6 «Математики-кудесники» 1. Утверждение Вроньского – не уникальный случай в истории математики. В  конце XIX века было сделано еще более странное утверждение, причем в  издании, которое впоследствии стало одним из самых престижных математических журналов в  мире. В  биографическом очерке о  полковнике Джеймсе У. Николсоне (1844–1917), который был президентом и  профессором математики в  Луизианском университе-

ПРИМЕЧАНИЯ

327

те и  Колледже сельского хозяйства и  механики, сказано, что к числу его многочисленных открытий принадлежат тождества

Разумеется, это абсурд, потому что эти тождества – не что иное, как слегка замаскированные варианты тождества Эйлера, нужно просто подставить -1 = eiπ. Я не могу объяснить, как такое нелепое заявление могло быть напечатано; поначалу я был уверен, что это мистификация, но вскоре выяснил, что Николсон действительно существовал. Если хотите прочитать этот очерк самостоятельно (там есть и другие дикие утверждения), загляните в журнал American Mathematical Monthly 1 (June 1894): 183–187. 2. Как он сделал это и многое другое, можно прочитать в работе Raymond Ayoub «Euler and the Zeta Function», American Mathematical Monthly 81 (December 1974): 1067–1086. См. также Ronald Calinger «Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)», Historia Mathematica 23 (May 1996): 121–166. 3. Мое изложение вопросов, связанных с  i i, в  этой главе в значительной степени основано на статье R. C. Archibald «Historical Notes on the Relation e–(π/2) = i i», American Mathematical Monthly 28 (March 1921): 116–121. 4. Полный английский перевод «Logometria» см. в  книге Ronald Gowing «Roger Cotes – Natural Philosopher», Cambridge University Press, 1983. 5. R. C. Archibald «Euler Integrals and Euler’s Spiral–Sometimes Called Fresnel Integrals and the Clothoide or Cornu’s Spiral», American Mathematical Monthly 25 (June 1918): 276–282. 6. Исторические замечания и отсылки к работе Коши и Пуассона, связанные с этими интегралами, можно найти в статье Horace Lamb «On Deep-Water Waves», Proceedings of the London Mathematical Society 2 (November 10, 1904): 371–400. 7. В двух письмах, датированных 13 октября 1729 г. и 8 января 1730 г., немецкому математику Христиану Гольдбаху, жившему в Москве. Но название функции и символ гамма принадлежат Лежандру, который ввел современную терминологию

328

ПРИМЕЧАНИЯ

в 1808 году. Очерк этой работы Эйлера см. в статье Philip J. Davis «Leonhard Euler’s Integral: A Historical Profile of the Gamma Function», American Mathematical Monthly 66 (December 1959): 849–869.

Глава 7 «Девятнадцатый век, Коши и начало теории функций комплексного переменного» 1. Многие мои комментарии относительно работы Коши основаны на статьях H. J. Ettlinger «Cauchy’s Paper of 1814 on Definite Integrals», Annals of Mathematics 23 (1921–1922): 255–270 и Philip E. B. Jourdain «The Theory of Functions with Cauchy and Gauss», Bibliotheca Mathematica 6 (1905): 190–207. Ни Эттлингер, ни я рабски не следуем оригинальному изложению и обозначениям Коши (в отличие от Джордейна), хотя его идеи описаны точно. Очень интересна также вторая половина тома  2 из серии «Математика XIX века» под редакцией А. Н. Колмогорова и А.  П.  юшкевича, посвященная истории теории аналитических функций. Она была переведена с  русского языка Роджером Куком и  выпущена издательством Birkhäuser Verlag в 1996 году. Весьма полезным я нашел также пространный исторический комментарий в книге Morris Kline «Mathematical Thought from Ancient to Modern Times», Oxford University Press, 1972, стр. 626–670. Некоторые замечания Клайна по поводу споров, разгоревшихся в  связи с  мемуаром в  1814 году, прояснила мне книга I. Grattan-Guinness «The Development of the Foundations of Mathematical Analysis from Euler to Riemann», MIT Press, 1979, стр. 24–45. Наконец, смотрите также книгу Frank Smithies «Cauchy and the Creation of Complex Function Theory», Cambridge University Press, 1997. 2. Коши не использовал этот термин, но понятие аналитичности в его мемуаре присутствует. И как замечает Эттлингер (примечание 1), «хотя геометрическое представление теперь является неотъемлемой частью любого изложения теории функций, Коши не использовал ни рисунки, ни геометрический язык». Но, следуя Эттлингеру и всем современным учебникам, я в этой главе использую оба подспорья очень активно. 3. Именно этот момент лег в основу забавного научно-фантастического рассказа Стэнли Дж. Вейнбаума. Первоначально

ПРИМЕЧАНИЯ

329

он назывался «Вещественное и мнимое», но после безвременной кончины Вейнбаума был опубликован в декабрьском выпуске 1936 года бульварного журнальчика «Thrilling Wonder Stories» под названием «The Brink of Infinity» (в русском переводе рассказ называется «Край бесконечности»). В 1974 году он был перепечатан в сборнике «A Martian Odyssey and Other Science Fiction Tales», Hyperion Press. Сюжет прост. Ученый-химик оказался ужасно искалечен после неудачного эксперимента и  обвиняет математика, который неверно сделал предварительные расчеты. Желая отомстить всем математикам вообще, он заманивает другого математика к себе в дом и, наставив на него пистолет, предлагает следующую задачу: безумец задумывает «числовое выражение», а математик должен отгадать его, задав не более десяти вопросов. Если не сможет, умрет. Первый вопрос: является ли выражение вещественным или мнимым. Ответ: тем и другим! Математик думает, что в таком случае выражение должно быть нулем, но с удивлением обнаруживает, что неправ. Второй вопрос: чему равно выражение? Ответ: чему угодно. И в этот момент математик наконец понимает, что задумано выражение «¥ - ¥», хотя я не назвал бы его числовым. 4. Тот факт, что нам (как и Коши) для завершения вычисле¥ ¥ 2 2 ния ∫0 e–x cos(2bx)dx пришлось использовать значение ∫0 e–x dx (полученное ранее другими средствами, например так, как было сделано в разделе 6.12), показывает, что метод Коши не свободен от недостатков. На самом деле любой интеграл, который можно вычислить методом Коши, можно взять и другими способами. См., например, статью Robert Weinstock «Elemen¥ ¥ ¥ 2 tary Evaluations of ∫0 e–x dx, ∫0 cos x2dx, and ∫0 sin x2dx», American Mathematical Monthly 97 (January 1990): 39–42. Однако если метод Коши работает, то почти всегда является простейшим способом вычисления интеграла. С другой стороны, в течение ¥ 2 многих лет считалось, что интеграл ∫0 e–x dx нельзя взять методом Коши, однако изящный вывод этого интеграла с помощью теории Коши приведен в  книге Reinhold Remmert «Theory of Complex Functions», Springer-Verlag, 1991, стр. 413–414. Дополнительные сведения об истории этого вывода можно найти в книге Dragoslav S. Mitrinović and Jovan D. Keckić «The Cauchy Method of Residues», D. Reidel 1984, стр. 158–166.

330

ПРИМЕЧАНИЯ

5. См. том 4 трудов Стокса «Mathematical and Physical Papers», Cambridge University Press, 1904, стр. 77–109. 6. Jesper Lützen «Joseph Liouville 1809–1882: Master of Pure and Applied Mathematics», Springer-Verlag, 1990, стр. 586. См. также главу об интегральных теоремах в статье Дж. Дж. Кросса (J. J. Cross) в сборнике «Wranglers and Physicists: Studies on Cambridge Mathematical Physics in the Nineteenth Century» (под редакцией P. M. Harman), Manchester University Press, 1985. 7. I. Grattan-Guinness «Why Did George Green Write His Essay of 1828 on Electricity and Magnetism?», American Mathematical Monthly 102 (May 1995): 387–396. 8. Математик польского происхождения Марк Кац рассказал чудесную и забавную историю в своей автобиографии «Enigmas of Chance», Harper & Row 1985, стр. 126. Однажды на защите докторской диссертации он задал кандидату несколько вопросов по математике. Как пишет Кац, «он не особенно блистал – по крайней мере, в математике. Когда он не сумел ответить на два вопроса, я задал ему совсем простой – попросил описать поведение функции 1/z в комплексной плоскости. Он ответил: “Сэр, функция является аналитической на всей плоскости, кроме точки z = 0, в которой имеет особенность” – и был абсолютно прав. “Как называется эта особенность?” – продолжил я. Студент замялся. “Взгляните на меня, – сказал я. – Кто я такой?” Его лицо озарилось. “Простой полюс, сэр”, – и это был правильный ответ». (Еще одна игра слов. Pole – полюс и поляк. – Прим. перев.) Прекрасным человеком, должно быть, был этот Кац! 9. Пожалуйста, не думайте, что я  выказываю неуважение, назвав решение Коши «неуклюжим». Новые, лучшие способы решения задач приветствуются в  математике, и, более того, на их появление рассчитывают. Описанный мной метод вошел в  стандартные учебники, но даже его можно улучшить. Результат, приведенный в  тексте, на самом деле справедлив даже для нецелых m и n, но примененный мной метод налагает такое ограничение. Обсуждение этого важного интеграла и его вычисление в более общем случае можно найти в статье Orin J. Farrell and Bertram Ross «Note on Evaluating Certain Real Integrals by Cauchy’s Residue Theorem», American Mathematical Monthly 68 (February 1968): 151–152. 10. Одна из таких книг – A. David Wunsch «Complex Variables with Applications (2nd edition)», Addison-Wesley, 1994. Вунш,

ПРИМЕЧАНИЯ

331

профессор электротехники Массачусетского университета в Лоуэлле, проделал первоклассную работу по изложению всех деталей теории функций комплексного переменного, включая конформные отображения, ряды Лорана и  устойчивость систем. Он пишет на языке, понятном инженерам, не отказываясь при этом от математической целостности предмета. Для читателей с  математическим складом ума, но предпочитающим все же не отрываться от физической реальности, горячо рекомендую книгу Tristan Needham «Visual Complex Analysis», Oxford University Press, 1997. 11. Детали вычисления интеграла

на комплексной плоскости см. в книге E. C. Titchmarsh (переработана D. R. Heath-Brown) «The Theory of the Riemann ZetaFunction», Oxford University Press, 1986, стр. 18–20. 12. Этот рассказ перепечатан в сборнике «The Early Asimov», Doubleday, 1972. 13. Marilyn vos Savant «The World’s Most Famous Math Problem (the Proof of Fermat’s Last Theorem and Other Mathematical Mysteries)», St. Martin’s Press, 1993, стр. 61. Эта книга, которая, как радостно сообщает нам автор, была написана всего за несколько недель, полна и  других, столь же невежественных утверждений. 14. Репродукция этого собственноручно написанного письма приведена в журнале Scripta Mathematica 1 (1932): 88–90.

Приложение A «Основная теорема алгебры» 1. Подробнее об этом см. John Stillwell «Mathematics and Its History», Springer-Verlag, 1989, стр. 195–200. 2. Ранний малоизвестный спор по поводу количества комплексных корней полиномиального уравнения имел место между шотландским математиком Колином Маклореном (1698–1746) и его ничем не прославившимся соотечественником Джорджем Кэмпбеллом (?–1766). Подробное обсуждение этого злосчастного дела см. в статье Stella Mills «The Controversy Between Colin MacLaurin and George Campbell Over Complex

332

ПРИМЕЧАНИЯ

Roots, 1728–1729», Archive for History of Exact Sciences 28 (1983): 149–164. Еще больше информации о тогдашнем состоянии дел в вопросе о корнях уравнений см. в работе Robin Rider Hamburg «The Theory of Equations in the 18th Century: The Work of Joseph Lagrange», Archive for History of Exact Sciences 16 (1976): 17–36. 3. Например, решите ix2  - 2x + 1 = 0 и  покажите, что x = -i ± . Затем покажите, что числа x = -i + и  x = -i  не являются комплексно-сопряженными. На самом деле сопряженным к  -i + является -i + ≠ -i . 4. E. T. Bell, The Development of Mathematics (2nd edition), McGraw-Hill, 1945, стр. 176.

Приложение B «Комплексные корни трансцендентного уравнения» 1. James Pierpont «On the Complex Roots of a Transcendental Equation Occurring in the Electron Theory», Annals of Mathematics 30 (1929): 81–91. Интерес профессора Пьерпонта возбудила работа G. A. Shott «The Theory of the Linear Oscillator and Its Bearing on the Electron Theory», Philosophical Magazine 3 (April 1927): 739–752.

Приложение C « –1 –1 с точностью до 135 десятичных знаков, и как его вычислили» 1. Ньютон (1642–1727) вывел свой первый быстро сходящийся ряд для π в 1665–1666 году, когда уехал из охваченного чумой Лондона в свое семейное поместье в деревне Вулсторп в графстве Линкольншир. Так что этот ряд появился раньше, чем ряд Лейбница–Грегори (см. главу 6), но был опубликован лишь спустя много лет в посмертном переводе оригинального латинского текста на английский («Метод флюксий и  бесконечные ряды»). В тот же период Ньютон открыл, но не опубликовал разложение в ряд ln(1 + x) раньше Меркатора (см. обсуждение в разделе 6.3). Этим рядом воспользовался Шеллбах, чтобы вычислить π через (это также обсуждается в  главе 6), а сам Ньютон использовал его для вычисления различных «интересных» чисел с  точностью аж до шестидесяти восьми десятичных знаков.

ПРИМЕЧАНИЯ

333

2. H. S. Uhler «On the Numerical Value of ii», American Mathematical Monthly 28 (March 1921): 114–116. 3. Horace S. Uhler «Special Values of eKπ, COSH(Kπ) and SINH(Kπ) to 136 Figures», Proceedings of the National Academy of Sciences 33 (February 1947): 34–41. 4. Благодаря разработке таких мощных языков математического программирования, как MATLAB (см. рис. 7.8), вычислить i i можно в мгновение ока с точностью, намного большей, чем смог достичь Улер. Например, единственная строчка кода vpa(‘i ∧ i’, 140)

вызывает команду выполнения арифметической операции с переменной точностью, которая просит MATLAB напечатать i i с точностью 140 знаков. Мой маленький ноутбук справился с этим меньше чем за секунду, и получился точно такой же ответ, как у Улера. Теперь вы знаете, как ответить на вопрос, поставленный в начале этого приложения. Для начала заметим, что у этого выражения есть два значения: поскольку -1 = e±iπ и  , то Мы можем сразу же отбросить предположение о том, что может быть целым, потому что оно больше нуля и  меньше единицы. Но как насчет ? Оно, конечно, очень большое, но вот целое ли оно? Команда MATLAB vpa(‘exp(pi * sqrt(163))’, 37) дает значение

так что ответ – нет, это выражение не целое. На самом деле оно трансцендентное. Но от целого отличается совсем немножко! Теоретическое объяснение этого результата см. в статье Philip J. Davis «Are There Coincidences in Mathematics?» American Mathematical Monthly 88 (May 1981): 311–320.

Указатель имен

Абд-эр-Расул Ахмед и Мохаммед, 28 Абель Нильс, 251 Адамар Жак, 109, 210 Азимов Айзек, 291 Ампер Андре-Мари, 177 Апери Роже, 204 Араго Доминик, 195 Арган Жан Робер, 112, 116, 295 Аристарх, 159 Аристотель, 158 Баннистер Роджер, 43 Белл Эрик Темпл, 118, 298 Беман Вустер Вудрафф, 29 Бенедикт XIV (папа), 214 Бернулли Даниил, 195 Бернулли Иоганн, 134, 195, 199, 202, 214, 219, 283 Бернулли Николай, 195 Бомбелли Рафаэль, 46, 51, 63, 94 Браге Тихо, 161 Бюэ Адриен Квентин, 115 Буль Джордж, 125 Валле Пуссен Шарль-Луи-Жозеф де ла, 210 Валлис Джон, 41, 74, 84, 202, 236 ван Ромен Адриан, 100 Ван цюдон, 158 Вессель Каспар, 92, 104, 108, 112, 115, 123, 234, 293 Виет Франсуа, 52, 95, 98, 227 Вольта Алессандро, 178 вос Савант Мэрилин, 292 Вроньский юзеф Мария Хёне, 197 Галилей Галилео, 145, 161 Гамильтон Уильям Роуэн, 27, 113, 116, 118, 121

Гамов Георгий, 32, 135 Ганкель Герман, 115 Гаусс Карл Фридрих, 120, 123, 210, 252, 265, 269, 292, 295, 304 Гейтс Билл, 306 Генри Джозеф, 178 Генрих III (король Франции), 52 Генрих IV (король Франции), 52 Герон Александрийский, 29, 32, 293 Герц Генрих, 26, 182 Гильберт Давид, 211 Гиппократ, 34 Глейк Джеймс, 106 Голенищев В. С., 28 Гольдбах Христиан, 197 Грегори Джеймс, 75, 232 Грин Джордж, 269 Гурвиц Адольф, 290 Гурса Эдуар, 268 Гюйгенс Христиан, 55, 202 Д’Аламбер Жан Лерон, 119, 255, 296 Д’Арсонваль Арсен, 182 де Бройль Луи, 121 Декарт Рене, 32, 63, 66, 74, 77, 80, 295 дель Ферро Сципион, 34, 42 де Морган Огастес, 27, 124 де Муавра Абрахам, 93, 220, 238 Джефферсон Томас, 293 Дидро Дени, 12 Диофант, 30, 57 Дирихле Густав Петер Лежен, 243, 291 Дисней Уолт, 194 Евклид, 30, 121, 205, 293

УКАЗАТЕЛь ИМЕН

Екатерина Великая, 196 Жирар Альбер, 295 Жордан Камиль, 266 Зундман Карл Ф., 158 Кавендиш Генри, 164 Кант Иммануил, 121 Кардано Джироламо (Кардан), 44, 54, 114, 293 Карл I (король Англии), 74 Карл X (король Франции), 251 Карно Лазар, 116, 251 Карно Сади, 116 Каснер Эдвард, 152 Кац Марк, 35 Кеплер Иоганн, 161, 171 Кирхгоф Густав, 180 Клаузен Томас, 120 Коллинз Джон, 75 Коперник Николай, 159 Котс Роджер, 129, 133, 219, 223 Коши Огюстен Луи, 90, 113, 170, 235, 239, 248, 255, 258, 260, 267, 274, 280, 288, 293 Кристина (королева Швеции), 67 Кристоффель Эльвин Бруно, 289 Кромвель Оливер, 74 Кронекер Леопольд, 252 Кулон Шарль, 176 Лагранж Жозеф Луи, 96, 250, 296 Ламберт Иоганн, 225 Лаплас Пьер Симон, 123, 250, 257, 279 Лежандр Адриен Мари, 113, 204, 250 Лейбниц Готфрид, 55, 75, 133, 202, 216, 219, 232, 298 Леонардо Пизанский (Фибоначчи), 57, 137, 140 Литтлвуд Джон Эденсор, 210 Лодж Оливер, 176 Лопиталь Гийом Франсуа, 283 Лоран Пьер Альфонс, 289

335

Лоренц Хендрик Антон, 145 Луи-Филипп (король Франции), 251 Людовик XV (король Франции), 214 Людовик XVI (король Франции), 251 Лютцен йеспер, 269 Максвелл Джеймс Клерк, 145, 270, 290 Маркони Гильельмо Джон, 26 Махавирачарья, 32 Мах Эрнст, 82 Мачин Джон, 234 Менголи Пьетро, 202 Меркатор Николас, 201 Минковский Генрих, 149 Монж Гаспар, 251 Монтюкла Жан, 202 Морера Джачинто, 268 Моури К. В., 118 Наполеон I (император Франции), 250 Ньютон Исаак, 41, 75, 93, 141, 158, 162, 304 Оден Уистен Хью, 41 Ом Георг, 176 Орем Николай, 200 Остроградский Михаил, 270 Павел III (папа), 161 Паккард Дэвид, 194 Пачоли Лука, 34 Пелл Джон, 202 Пембертон Генри, 134 Петр Великий, 196 Пирс Бенджамин, 106, 231 Пифагор Самосский, 79 Платон, 65 Птолемей Александрийский, 92, 159, 170 Пуассон Симеон Дени, 235, 259 Пьерпонт Джеймс, 299, 303

336

УКАЗАТЕЛь ИМЕН

Рамануджан Сриниваса, 228 Раус Джон, 290 Риккати Винченцо, 227 Риман Георг, 208, 209, 243, 246, 255, 291, 294 Рэлей лорд. См. Стретт Джон Уильям Сервуа Франсуа Жозеф, 114 Смит Роберт, 134 Стокс Джордж, 262 Стретт Джон Уильям (лорд Рэйли), 175, 184 Томсон Уильям (лорд Кельвин), 238, 261, 269 Труэль Анри Доминик, 90 Улер Хорас Скаддер, 304 Уоррен Джон, 118 Уэль Гийом Жюль, 113 Фаньяно Джулио Карло деи Тоски, 214, 285 Фарадей Майкл, 178 Фейнман Ричард, 106, 162

Феодор Киренский, 65, 228 Фиор Антонио Мария, 43 Фонтана Никколо (Тарталья), 43, 114 Франсе Жак, 113, 117 Франсе Франсуа, 113 Френель Огюстен Жан , 235 Фридрих Великий (король Пруссии), 196 Фурье Жан Баптист Жозеф, 290 Хайнлайн Роберт, 23 Харди Годфри Харольд, 209 Хьюлетт Уильям, 194 Шварц Карл Герман Амандус, 289 Шеллбах Генрих, 231 Шрёдингер Эрвин, 121 Штейнмец Чарльз, 189 Эйлер Леонард, 38, 39, 41, 93, 119, 157, 195, 203, 213, 224, 234, 243, 250, 265, 283, 294, 296, 304, 307 Эйнштейн Альберт, 141, 145, 148 Эйри Джордж, 125 Эратосфен Киренский, 206

Предметный указатель

Символы

π число, 89, 204, 304 произведение Валлиса, 75, 213 произведение Виета, 100 разложение в ряд, 231

A

L

Liber quadratorum (Леонардо Пизанский), 57 L’Invention Nouvelle en L’Algebra (Жирар), 295 Logarithmotechnia (Меркатор), 201

Acta Eruditorum (Лейбниц), 133 Analyse des Infiniment Petits (Лопиталь), 283 Arithmetica Infinitorum (Валлис), 41, 75, 202 Ars Magna (Кардан), 44 A Treatise on the Geometrical Representation of the Square Roots of Negative Quantities (Уоррен), 118

M

C

P

E

S

Cтереометрия (Герон), 29 Exercises du Calcul Intégral (Лежандр), 250

G

Géométrie de Position (Карно), 116

H

Harmonia Mensurarum (Котс/Смит), 134, 223

I i оператор поворота, 90, 123, 135, 150, 292 перпендикулярность, 81, 115 i i, 106, 116, 214 Улер, 304 Фаньяно, 214 Эйлер, 224

MATLAB, 294

N

Novae Quadraturae Arithmeticae (Менголи), 202

O

Opusculorum ad Res Physicas et Mathematicas Pentinentium (Риккати), 227 Popular Electronics журнал, 23 Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita (Пачолли), 34

T

The Doctrine of Chances (де Муавр), 93

А

Алгебра (Бомбелли), 46, 55, 63 Алгебра (Валлис), 75 Алгебра (Эйлер), 39, 42, 63 Альмагест (Птолемей), 159 Анализ размерностей, 169 Аналитическая функция, 252, 255, 274, 289 Аналитическое продолжение, 208, 277 Апогей, 169

338

ПРЕДМЕТНый УКАЗАТЕЛь

Аргумент комплексного числа, 84 Арифметика (Диофант), 30 Астрономическая единица, 171 Афелий, 169

Б

Бернулли интеграл, 199 Биномиальный коэффициент, 99, 108 Бином Ньютона, 99, 218

В

Введение в анализ бесконечно малых (Эйлер), 198, 212 Виета тригонометрическая формула корней кубического уравнения, 52, 95, 98, 227 Время мнимое, 115, 148 Вычет, 250

Г

Гамильтониан, 120 Гамма-функция, 235, 315. См. также Факториал формула дополнения, 243, 284, 315 Гамова задача, 135 Гармоническая функция, 257 Гармонический ряд, 200, 208 Гармония миров (Кеплер), 161 Гелиоцентрическая система, 160 Генератор электрический, 190 Гений, определение Каца, 35 Геометрическая прогрессия, 155, 284 Геометрия (Декарт), 32, 63, 74, 77, 295 Геоцентрическая система, 159 Гиперболическая функция, 226 Гиперкомплексные числа, 123 Гиперпространство, 151 Дзета-функция, 200, 205

Е

Единичный вектор, 163

Ж

Жордана теорема, 266

З

Задача N тел, 157 Закон обратных квадратов всемирного тяготения, 157, 163, 176 Заряд электрический, 176 «Звездные врата», фильм, 151

И

Измеритель, 182, 189 Инвариантность, 142 Индуктивность, 178 Интегральные теоремы Гаусса, 269 Грина, 267 Коши, 252, 260, 265, 274, 280, 287 Остроградского, 270 Стокса, 269 Интегрирование по контуру, 170, 245, 249, 259

К

Кардана формула решения кубического уравнения, 44, 51, 74, 93, 94, 98, 293 Квадратура круга, 34 Кватернион, 123 Кеплера законы движения планет, 161, 166, 172, 285 Кирхгофа законы электрических цепей, 180 Клаузена загадка, 308 Количество движения, 165 Комплексная плоскость, 84, 104, 112, 124, 154, 185, 208, 274 Комплексно-сопряженное число, 48, 56, 97, 187, 281, 296, 302 Конденсатор, 178 Коническое сечение, 169 Контраполярная энергия, 25 Контур, 259, 265, 274 Конформное отображение, 289 Корни уравнения комплексные, 26, 32, 45, 53, 58, 66

ПРЕДМЕТНый УКАЗАТЕЛь

отрицательные, 40 Косинус, разложение в бесконечное произведение, 213 Коши–Римана условия, 254, 291 Кулона закон, 176

Л

Лапласа преобразование, 290, 310 Лапласа уравнения, 257, 289 Линейная ассоциативная алгебра (Пирс), 107 Логарифм отрицательного числа, 106 разложение в степенной ряд, 201, 207, 231 Лопиталя правило, 283 Лорана ряд, 289

М

Метрика, 142, 146, 156 Многозначные функции, 224, 291 Модуль, 84, 113 Московский математический папирус, 28, 30 Муавра формула, 93, 245, 280

Н

Напряжение, 177 Начала (Евклид), 30, 121, 205 Начала (Ньютон), 134, 157, 165, 219 Новая астрономия (Кеплер), 161

О

О вращении небесных сфер (Коперник), 159 Ома закон, 176 Основная теорема алгебры, 295 интегрального исчисления, 272 Особая точка. См. Полюс Относительность общая теория, 151 специальная теория, 141

П

Переменный ток, 176, 184 Перигей, 168 Перигелий, 168

339

Пифагора теорема, 132, 142 Полнота множества комплексных чисел, 104 Полюс высшего порядка, 274, 286 Полюс простой, 274, 281, 282 Полярная форма комплексных чисел, 84, 88, 91, 109, 197, 297 Поперечный разрез, 276 Попятное движение, 159 Постоянный ток, 176, 181 Преобразование Галилея, 144 Лоренца, 145 Производная комплексной функции, 253, 288, 291 Пространство-время, 121, 141 Пространство и геометрия (Мах), 82 Простые числа бесконечное множество, 205 единственность разложения на множители, 205

Р

Радиус-вектор, 84, 91, 162, 171 Радуга, 67 Раз, два, три … бесконечность (Гамов), 32, 135 Разность потенциалов. См. Напряжение Разрывный интеграл Дирихле, 243 Резистор, 170, 178, 181 Рекуррентное уравнение, 137 Римана гипотеза, 208 Рэйли задача о разделении переменных токов, 175

С

Синус, разложение в бесконечное произведение, 212 Скорость, 162 Среднее пропорциональное, 76 Стокса теорема. См. Интегральные теоремы

340

ПРЕДМЕТНый УКАЗАТЕЛь

Т

Теорема о простых числах, 210 Теория движения Луны (Эйлер), 157 Теэтет, 65, 225 Ток электрический, 176 Тяготение, 157, 164

У

Уравнение деления круга, 95, 110, 134 квадратное, 26, 31, 34, 55, 58, 67 кубическое, 34, 60 Уравнение движения по орбите, 168 Уравнение деления круга, 280 Усеченная пирамида, 28 Усилитель электрический, 190 Ускорение, 141, 162, 165 Устойчивость, 289

Ф

Фаза, 191 Факториал, 99, 235. См. также Гамма-функция

Феодора спираль, 66 Френеля интегралы, 235, 246, 251, 263 Функциональное уравнение дзета-функции, 247, 291 Фурье интеграл, 290

Ч

Частота, 182, 185, 191, 193 Червоточина, 151

Э

Эйлера постоянная, 201 Эйлера тождество, 106, 196, 220, 240, 284, 301, 316 Экспоненциальная форма комплексных чисел, 104, 120, 156, 163, 171, 185 форма тригонометрических функций, 107, 197, 226, 286 Эксцентриситет эллипса, 162, 285 Электричество и магнетизм (Максвелл), 270, 290 Эссе о геометрической интерпретации мнимых величин (Арган), 113

Благодарности

Мне всегда доставляет удовольствие выразить благодарность тем, кто помогал в создании книги. Физик Рой Торберт из НьюГэмпширского университета с энтузиазмом поддержал идею о том, чтобы инженер-электротехник написал книгу по истории математики, а  поскольку он декан моего факультета, то поддержка была особенно важна! Нэн Коллинз набрала текст, Ким Райли подготовил рисунки, Барбара Лэрч помогала составлять указатель, а студенты-первокурсники продвинутого общеобразовательного семинара осенью 1996-го тщательно и критически вычитали всем коллективом черновик рукописи. Профессор Артуро Сангалли из регионального колледжа Шамплейн (провинция Квебек) прочитал первый вариант черновика, а  его восторженный отзыв значил для меня больше, чем он может себе представить. Профессоры Эли Маор, Дэвид Ратледж и  Джон Моллиндер из университета Лойолы, Калифорнийского технологического института и  колледжа Харви Мадд соответственно прочитали близкий к  окончательному вариант и  сделали ряд полезных замечаний. Благодаря моему зоркому корректору, Дженнифер Слейтер, потенциально изнурительный труд превратился в  приятное времяпрепровождение. Редактор Тревор Липском из издательства Princeton University Press, его помощник Сэм Элсуорти и выпускающий редактор Карен Верд превратили машинописный текст, испещренный внесенными мной и Дженнифер исправлениями, добавлениями и удалениями, в книгу. И наконец, моя дражайшая супруга Патрисия Энн, с которой мы женаты уже тридцать шесть лет, терпеливо слушала, как я разговаривал сам с собой, что-то бормотал, ворчал, иногда рыдал на протяжении многих дней и ночей, что заняло написание книги. Ни разу не попросила она умолкнуть, и за это (но не только за это) я ее очень люблю.